Author: Сретенский Л.Н.
Tags: гидромеханика механика жидкостей и газа физика метеорология
Year: 1977
Text
Л. Н. СРЕТЕНСКИЙ
ТЕОРИЯ
ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ
ЖИДКОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
фИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977
532
С75
УДК 532
Теория волновых движений жидкости, Сретен-
Сретенский Л. Н., Главная редакция физико-математической
литературы издательства «Наука», М., 1977, 816 стр.
Настоящая книга представляет собой полностью пере-
переработанное и значительно расширенное издание книги того
же названия, вышедшей в свет в 1936 г. В ней содержатся
исследования автора и других ученых, выполненные за ис-
истекшие сорок лет со времени ее первого издания, а также ре-
результаты автора, ранее нигде не опубликованные.
В книге излагается общая теория волновых движений жид-
жидкости и содержится разбор специальных вопросов этой тео-
теории, относящихся к ряду задач геофизики и теории кораб-
корабля. Значительное место в книге уделено вопросам теории волн,
представляющим интерес для математиков, занимающихся
нелинейными задачами теории уравнений в частных произ-
производных.
Книга предназначается для студентов и аспирантов, зани-
занимающихся гидродинамикой, а также и для научных работ-
работников, связанных с геофизическими и судостроительными
институтами.
Табл. 3, ил л. 87, библ. 206.
© Глазная редакция
20303 066 физико-математической литературь?
С г\ыпо\ 77 147-76 издательства «Наука», 1977,
w 053@2)-77 Tf о щщещепщтш
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ 9
Глава I. Плоская задача о бесконечно малых волнах на поверхности
тяжелой жидкости 15
А. Простейшие волновые движения 15
§ 1. Общие уравнения и граничные условия теории волн ... 15
§ 2. Граничные условия теории бесконечно малых волн ... 18
§ 3. Стоячие волны на поверхности канала конечной глубины 19
§ 4. Стоячие волны на поверхности жидкости бесконечной глу-
глубины 27
§ 5. Стоячие волны на поверхности слоисто-неоднородной жидко-
жидкости; внутренние волны 30
§ 6. Прогрессивные волны 33
§ 7. Волны Герстнера 39
§ 8. Установившиеся волновые движения 42
§ 9. Общие условия для определения установившихся волновых
движений 44
§ 10. Волны на поверхности раздела двух потоков жидкостей . 48
§ 11. Об энергии волн 51
§ 12. Образование волн пульсирующим источником 54
§ 13. Задача о пульсирующем источнике, находящемся в жидко-
жидкости конечной глубины 61
§ 14. Обтекание круглого цилиндра 70
§ 15. Движение круглого цилиндра под поверхностью жидкости
конечной глубины 77
Б. Некоторые более сложные волновые движения 85
§ 16. Установившееся движение твердого тела произвольного
вида под поверхностью жидкости 85
§ 17. Определение формы поверхности жидкости 90
§ 18. Вычисление сил, действующих на погруженное тело . . 92
§ 19. Вычисление момента сил давления потока на твердое тело 95
§ 20. Интегральное уравнение задачи обтекания твердого тела
волновым потоком 97
§ 21. Примеры 101
§ 22. Теория подводного крыла 106
§ 23. Интегральное уравнение теории тонкого крыла 111
§ 24. Определение сил и момента, действующих на тонкое крыло ИЗ
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Приближенный метод и примеры обтекания тонких крыльев 118
§ 26. О волнах, возникающих от неравномерного давления, рас-
распределенного вдоль поверхности текущей жидкости . . 122
§ 27. О волнах, возникающих на поверхности жидкости конечной
глубины от неравномерного внешнего давления . ... 127
§ 28. Движение глиссера по глубокой воде 132
§ 29. Решение интегрального уравнения теории глиссирования 138
§ 30. Числовое решение уравнения глиссирования 142
§ 31. Некоторые приближенные формулы в теории глиссера . 146
§ 32. Исследование движения жидкости около ведущего края
глиссера 147
§ 33. Движение глиссера по поверхности жидкости конечной
глубины 151
§ 34. Об установившихся колебаниях твердого тела под поверх-
поверхностью жидкости бесконечной глубины 152
§ 35. О форме волн, возникающих при колебаниях погруженного
тела 157
§ 36. Вычисление сил, действующих на тело при его колебаниях 160
§ 37. Определение главного момента сил давления 166
§ 38. Интегральное уравнение теории колебаний подводного тела 170
§ 39. Примеры 170
§ 40. Волновые движения на поверхности жидкости в канале
переменной глубины 175
§ 41. Вывод дифференциального уравнения задачи о волнах при
наклонном дне 176
§ 42. Решение однородного дифференциального уравнения задачи
о волнах при наклонном дне 182
§ 43. Решение неоднородного уравнения 186
§ 44. Определение формы стоячих волн нового вида 194
§ 45. Прогрессивные волны на поверхности водоема с понижаю-
понижающимся дном 200
§ 46. Примеры 203
§ 47. Замечания об изложенной выше теории волн над наклонным
дном . 207
§ 48. Волны на поверхности канала, дно которого составляет
произвольный угол с горизонтом 20Э
§ 49. Решение функционального уравнения 211
§ 50. Задача о плавающей пластинке 216
§ 51. Колебания пластинки на коротких волнах 225
§ 52. Волны на поверхности канала с очень пологим дном . . 226
§ 53. Распространение волн в присутствии наклонного барьера 229
§ 54. Волны, набегающие на вертикальный барьер 233
§ 55. Решение дифференциальных уравнений для характеристи-
характеристической функции w (z) 237
§ 56. Исследование вида волн при наличии вертикального барьера 241
§ 57. Отражение прогрессивных волн от вертикального барьера 248
ОГЛАВЛЕНИЕ §
§ 58. Прохождение волн над барьером 254
§ 59. О введении в теорию волновых движений малых рассеиваю-
рассеивающих энергию сил 259
§ 60. Установившиеся волны от поверхностного давления; перио-
периодические волны от подводного источника 262
§ 61. Капиллярные волны 270
§ 62. Капиллярно-гравитационные волны, образованные особен-
особенностями в потоке 274
Глава П. Плоская задача о неустановившихся движениях тяжелой
жидкости 281
§ 1. Колебание жидкости в прямоугольном бассейне 281
§ 2. Задача Коши — Пуассона для бассейна бесконечной глу-
глубины 285
§ 3. Волны, образованные начальным концентрированным
возвышением поверхности жидкости . . . 288
§ 4. Волны от сосредоточенного импульса давлений 294
§ 5. Примеры 2?б
§ 6. Задача Коши — Пуассона для бассейна с равномерно по-
понижающимся дном 3^5
§ 7. Волны от местного подъема поверхности жидкости ... 310
§ 8. Неустановившиеся колебания поплавка 312
§ 9. Решение уравнения колебаний поплавка 316
§ 10. Установление прогрессивных волн при простых гармониче-
гармонических колебаниях вертикальной стенки 320
§11. Преобразование прогрессивных волн в стоячие волны с
помощью гидродинамического удара 326
§ 12. Распадение полубесконечной последовательности волн . . . 33)
§ 13. Неустановившееся движение плоского контура под поверх-
поверхностью жидкости 344
§ 14. Вычисление сил, действующих на контур при его неуста-
неустановившемся движении 348
§ 15. Неустановившееся движение круглого цилиндра 353
§ 16. Колебания жидкости в подвижном сосуде 359
§ 17. Колебания жидкости в широком подвижном сосуде . . . 367
§ 18. Вертикальные движения сосуда с жидкостью 370
§ 19. Общая задача о колебаниях жидкости в подвижном сосуде
произвольного вида 373
Глава III. Пространственная задача о бесконечно малых волнах
на поверхности тяжелой жидкости 377
§ 1. Периодические колебания поверхности жидкости .... 377
§ 2. Установившиеся волны 386
§ 3. Прогрессивные волны 391
§ 4. Волны на поверхности раздела двух потоков жидкости . 3?2
§ 5. Волны в бассейне с наклонным дном 399
g ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Простейшие примеры волн у наклонного дна. Береговые
волны Стокса 407
§ 7. Общая задача о волнах в бассейне с наклонным дном . . 410
§ 8. Определение функции g (?) 413
§ 9. Исследование волновой поверхности над наклонным дном 421
§ 10. Прохождение^ волновых движении под наклонную плос-
плоскость 427
§11. Теория корабельных волн. Определение потенциала ско-
скоростей 428
§ 12. Асимптотические формулы для вертикальной координаты
волновой поверхности 436
§ 13. Описание вида корабельных волн 449
§ 14. Движение источника под поверхностью жидкости .... 455
§ 15. Движение твердого тела под водой с образованием волн . 459
§ 16. Вычисление сил воздействия потока на погруженное твер-
твердое тело. Волновое сопротивление 462
§ 17. Волновое сопротивление двойного слоя источников .... 469
§ 18. Движение сферы под поверхностью жидкости 470
§ 19. О волновом сопротивлении эллипсоида 474
§ 20. Исследование Мичелля 481
§ 21. Вычисление волнового сопротивления корабля для малых
и больших чисел Фруда 484
§ 22. Развитие теории Мичелля 4S0
§ 23. Примеры вычисления волнового сопротивления 494
§ 24. Исследование Н. Е. Кочина 500
§ 25. Волны от подводного источника периодического дебита . 501
§ 26. Колебания твердого тела под поверхностью жидкости . . 507
§ 27. Движение источника и диполя по круговому пути под по-
поверхностью жидкости 516
§ 28. Движение тела по круговому пути 526
§ 29. Определение главного момента волнового сопротивле-
сопротивления 527
§ 30. Волновое сопротивление сферы и эллипсоида 532
Глава IV. Неустановившиеся волновые движения пространствен-
пространственного потока жидкости 534
§ 1. Неустановившиеся движения жидкости в бассейнах . . 534
§ 2. Интегро-дифференциальное уравнение Адамара 588
§ 3. Задача Коши — Пуассона 542
§ 4. Исследование волн задачи Коши — Пуассона 553
§ 5. Дифракция волн; задача Коши — Пуассона 554
§ 6. Исследование дифракционного движения жидкости .... 562
§ 7. Теория корабельных волн, предложенная Хэвелоком . . 570
§ 8. О распадении корабельных волн 576
§ 9. Вид поверхности жидкости при распадении корабельных
волн 585
ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 10. Неустановившееся движение источника под поверхностью
жидкости 588
§ 11. Волновое сопротивление судна типа Мичелля при неуста-
неустановившемся движении 592
§ 12. О волнах, поднимаемых кораблем при движении по кру-
круговому пути 596
Глава V. Теория волн конечной амплитуды 607
А. Приближенные решения 607
§ 1. Первый метод Стокса 607
§ 2. Второй метод Стокса 614
§ 3. Предельная волна Стокса. Исследования А. И. Некрасова
и Мичелля 628
§ 4. Уединенная волна 637
§ 5. Волны Кортевега и де Вриса 643
§ 6. Исследования лорда Рэлея 647
§ 7. Энергия прогрессивных и стоячих волн конечной ампли-
амплитуды 656
§ 8. Основные уравнения теории стоячих волн конечной ампли-
амплитуды 663
§ 9. Вычисление коэффициентов рядов, определяющих стоячие
волны 667
§ 10. Свойства стоячих волн конечной амплитуды 680
§11. Некоторые работы по теории стоячих волн конечной ам-
амплитуды 684
§ 12. Пространственная задача об определении установившихся
волн конечной амплитуды 687
Б. Точные решения 695
§ 13. Интегральное уравнение А. И. Некрасова для определения
установившихся волн конечной амплитуды 695
§ 14. Доказательство существования установившихся периодиче-
периодических волн на поверхности бесконечно глубокой тяжелой
жидкости 703
§ 15. Установившиеся периодические волны на поверхности
жидкости конечной глубины1 713
§ 16. Движение потока жидкости по неровному дну с образова-
образованием волн 717
§ 17. Метод Леви-Чивита и его развитие 719
§ 18. Приведение задачи об определении установившихся волн
к проблеме Коши 723
§ 19. Метод Рузского 724
§ 20. Волны на поверхности завихренной жидкости 727
§ 21. О волнах на поверхности жидкости неоднородной плот-
плотности . , , . , , f , ? . . т . т , , , , . , ..... , , 73§
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 22. Периодические волны на поверхности завихренной одно-
однородной жидкости 738
§ 23. Капиллярно-гравитационные волны конечной амплитуды 745
§ 24. Вычисление рядов, определяющих капиллярно-гравита-
капиллярно-гравитационные волны в общем случае 751
§ 25. Исследование капиллярно-гравитационных волн в особом
случае при р2 == 2 756
§ 26. Капиллярные волны конечной амплитуды 766
Дополнение. Переход длинных волн с одной глубины на дру-
другую во вращающемся бассейне 775
Литература 797
Список трудов Л. Н. Сретенского 805
Указатель имен и библиографических ссылок 812
Предметный указатель 813
ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ
Настоящая монография «Теория волновых движений жидкости» явля-
является одной из последних фундаментальных работ крупнейшего специалиста
по волновому движению жидкости, выдающегося советского ученого, внес-
внесшего большой вклад в гидромеханику, геофизику, газовую динамику, ана-
аналитическую механику, теорию потенциала и другие разделы механики и ма-
математики, члена-корреспондента Академии наук СССР, профессора Москов-
Московского университета Леонида Николаевича Сретенского, скончавшегося
8 августа 1973 г.
Леонид Николаевич родился 27 февраля 1902 г. в Москве. Окончив реаль-
реальное училище, в 1919 г. он поступил на физико-математический факультет
Московского университета. На математическом отделении факультета он
учился у известных математиков Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина, И. И. При-
Привалова, С. П. Финикова. В 1923 г., окончив университет, Леонид Николаевич
работал в Химико-технологическом институте им. Д. И. Менделеева ассис-
ассистентом кафедры теоретической механики, которую возглавлял А. П. Котель-
Котельников. С 1925 по 1929 г. Леонид Николаевич занимался в аспирантуре Ин-
Института математики и механики при Московском университете под руковод-
руководством Д. Ф. Егорова и С. А. Чаплыгина, в 1929 г. защитил кандидатскую
диссертацию на тему «Уравнения Вольтерра в плоскости комплексного пе-
переменного».
С 1929 по 1930 г. Леонид Николаевич продолжал работать в Химико-
технологическом институте. С 1930 по 1933 г. работал доцентом кафедры
высшей математики в Московском гидрометеорологическом институте.
В 1934 г. Л. Н. Сретенский стал профессором кафедры гидродинамики Мос-
Московского университета, на которой работал до последних дней жизни.
В 1936 г. за работы по теории волн Леониду Николаевичу без защиты
диссертации была присуждена ученая степень доктора физико-математиче-
физико-математических наук. В 1939 г. по представлению академиков С. А. Чаплыгина,
Н. Н. Лузина, П. П. Лазарева и А. Н. Крылова он был избран членом-
корреспондентом АН СССР.
Одновременно с преподаванием Леонид Николаевич вел большую науч-
научную работу в ведущих научных учреждениях страны: с 1931 по 1941 г.—
старший инженер теоретического отдела ЦАГИ им. Н. Е. Жуковского, воз-
возглавляемого С. А. Чаплыгиным; с 1941 по 1945 г.— старший научный сот-
сотрудник Института теоретической геофизики АН СССР; с 1951 по 1963 г.—
заведующий лабораторией теории волн и течений Морского гидрофизического
института АН СССР.
Ю ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ
Научное творчество Л. Н. Сретенского обширно и многообразно. Пер-
Первые работы, которые он выполнил, будучи аспирантом, посвящены вопросам
дифференциальной геометрии. В кандидатской диссертации, явившейся од-
одной из первых работ по аналитической теории интегральных уравнений,
Леонид Николаевич изучил влияние особых точек ядра и свободного члена
на характер решения вблизи этих точек.
Широко известны фундаментальные исследования Л. Н. Сретенского
по теоретической механике, геофизике, гидродинамике и газовой динамике.
Диапазон научных интересов Леонида Николаевича очень велик: ему при-
принадлежат глубокие и оригинальные труды по теории потенциала, теории га-
газовых струй, теории приливов, общей линейной теории волн.
Для работ ученого характерны четкая постановка задачи, изящный ма~
тематический аппарат, аналитическое мастерство и конкретность выводов.
Ему присуще умение представлять самые сложные научные результаты в
форме, удобной для практической реализации.
Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньюто-
ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении.
Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к
проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит
решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.
В|предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему
П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также ис-
исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых по-
потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г.
монографии «Теория ньютоновского потенциала», к которой примыкают две
другие работы: «Об одной обратной задаче теории потенциала» A938 г.) и
«О единственности определения формы притягивающего тела по значениям
его внешнего потенциала» A954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим
вопросам не ослабевал до последнего времени («К теории сфероида Лапла-
Лапласа», 1968 г.).
Большое значение имеют его публикации «О переносе тепла жидкостя-
жидкостями» A933 г.) и «О нагревании потока жидкости твердыми стенками» A935 г.),
в которых преодолены большие математические трудности совместного ре-
решения уравнений гидродинамики и уравнения Кирхгофа, описывающего
перенос тепла в жидкости. Благодаря этому удалось рассмотреть плоские
движения тяжелой невязкой жидкости, вызываемые нагреванием ее поверх-
поверхности, и исследовать тепловой процесс внутри нее с учетом образования волн
на поверхности.
Л. Н. Сретенский обобщил на случай трех тел известную задачу Нью-
Ньютона о движении по вращающимся орбитам трех взаимно притягивающихся
точек («Движение трех точек по вращающимся орбитам», 1953 г.). Заслужи-
Заслуживают быть отмеченными три его работы по линейной теории колебаний газа и
акустике A940,1954,1956 гг.). Новые результаты получены им в теории дви-
движения гироскопов Горячеза — Чаплыгина, Чаплыгина и Аппельрота.
Наиболее значителен цикл трудов Л. Н. Сретенского по гидроаэроме-
гидроаэромеханике и геофизике. В них он достиг выдающихся успехов, сочетая строгость
ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ Ц
п глубину классического исследования с доведением решений задач до
результатов, имеющих большое прикладное значение. Отметим особенно
вакные работы этого цикла.
Фундаментальные исследования Леонида Николаевича по теории при-
приливов занимают ведущее место в мировой литературе A935, 1937, 1945, 1947,
1949, 1962 гг.). С большим искусством построил он точную теорию движения
свободных приливных волн внутри схематизированного полярного бассейна
(«О движении свободной приливной волны внутри полярного бассейна; от-
отражение волн Кельвина», 1937 г.), а также котидальную карту распростра-
распространения полусуточной приливной волны в водном полушарии Земли, приняв
во внимание форму континентов и островов этого полушария («Распростра-
(«Распространение полусуточной приливной волны в водном полушарии Земли», 1945 г.).
Большой вклад внес Л. Н. Сретенский в теорию волнового сопротивле-
сопротивления. Выполненные им в теоретическом отделе ЦАГИ работы по теории ко-
корабля Мичелля, а также исследования движения подводных тел и колеба-
колебания погруженного поплавка намного опередили зарубежные работы того вре-
времени, установив в этой области приоритет советской науки A933, 1935, 1936,
1937, 1938, 1940, 1946, 1951, 1959 гг.). Следует отметить одно из первых ре-
решений задачи о глиссировании («On the motion of a glider on deep water»,
1933 г.), где интегральное уравнение для функции распределения давления
по глиссирующей пластинке решено с помощью тригонометрических рядов,
аналогичных рядам теории крыла конечного размаха.
Л. Н. Сретенский выполнил большой цикл работ по общей линейной
теории волн. Результаты исследования «О волнах на поверхности раздела
двух жидкостей с применением к явлению «мертвой» воды» A934 г.) впервые
полностью объяснили явление, замеченное Ф. Нансеном при плавании на
«Фраме». Автор строго показал, что на поверхности раздела жидкостей появ-
появляются волны большей амплитуды, чем на свободной поверхности. Позже
он рассчитал волновое сопротивление, связанное с явлением «мертвой» воды
(«О волновом сопротивлении судна при наличии внутренних волн», 1959 г.).
В ряде его работ рассмотрены важные задачи теории вибраторов, сооб-
сообщающих периодические колебания поверхности ограниченной жидкости
A949, 1950, 1954 гг.). В работе «Преломление и отражение плоских волн в
жидкости при переходе с одной глубины на другую» A950 г.) впервые с точ-
точки зрения гидродинамики изучено изменение формы волны, выходящей на
мелководье. Публикация «О волнах на поверхности раздела двух потоков
жидкости, текущих под углом друг к другу» A952 г.) позволила объяснить
возникновение перисто-кучевых облаков. В статье «Задача Коши — Пуассо-
Пуассона для поверхности раздела двух текущих потоков» A955 г.) показано, что
при начальном возмущении на поверхности раздела двух неограниченных
жидкостей разной плотности, текущих с разными скоростями, неподвижный
наблюдатель уловит правильные, почти строго периодические чередования
подъемов и спадов жидкости. Это не следует из обычной постановки задачи
Коши — Пуассона.
Л. Н. Сретенский изучает мало исследованную задачу распростране-
распространения установившихся волн наиболее общего вида на поверхности трехмерного
12 ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ
потока жидкости бесконечной глубины («Поверхностные прогрессивные
волны общего вида», 1966 г.; «Дифракция волн корабельного вида»,
1968 г.).
Существенные результаты получил Леонид Николаевич по теории волн
конечной амплитуды путем разработанного им метода совместного примене-
применения переменных Эйлера и Лагранжа A953, 1954, 1955 гг.). Он впервые ука-
указал алгоритм, позволяющий решать в любом приближении задачу о динамике
трехмерных установившихся волн конечной амплитуды, и внес важное усо-
усовершенствование в известный второй метод Стокса, показав, что определение
волн возможно путем решения бесконечной системы кубических уравнений
(«Об одном методе определения волн конечной амплитуды», 1952 г.). Им рас-
рассмотрены задачи Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды A960,
1961 гг.) и образование волн конечной амплитуды источником жидкости
A965 г.).
Л. Н. Сретенский внес немалый вклад и в теорию возникновения волн
на поверхности вязкой жидкости A941, 1959 гг.), в частности, дал формулу
для вычисления волнового сопротивления постоянной системы нормальных
давлений, перемещающихся равномерно по поверхности жидкости. С помо-
помощью теории непрерывных дробей он решил в известном приближении задачу
о диффузии вихревой пары («О диффузии вихревой пары», 1947 г.), обобщив
решение задачи А. И. Некрасова о диффузии одного вихря.
Много внимания Л. Н. Сретенский уделял теории распространения упру_
гих волн в твердой оболочке Земли, возбуждаемых волнами, движущимися
в покрывающей эту оболочку тяжелой жидкости A952,4955,1956, 1961 гг.).
Эти его исследования послужили началом разработки теории возникновения
волн цунами и предсказания наступления их по записям сейсмических стан-
станций. Он решил задачу о высотах волн цунами в прибрежной зоне как без
учета вращения бассейна A961 г.), так и с учетом его A960, 1963 гг.). Его
классические исследования по теории приливов занимают ведущее место
в мировой литературе.
В своих работах Л. Н. Сретенский рассматривает задачи свежие, новые,
имеющие как большое теоретическое значение, так и существенный приклад-
прикладной интерес. Постановка каждой задачи им формулируется четко и ясно, а
полученные результаты в большинстве случаев доводятся до обозримых
формул, числовых таблиц, карт и графиков.
Основные труды Л. Н. Сретенского посвящены глубоким принципиаль-
принципиальным вопросам, часто математически весьма сложным, и богаты новым и инте-
интересным математическим содержанием. В них ярко проявляется высокое ана-
аналитическое мастерство их автора, его умение преодолевать значительные
трудности, выбрать или разработать подходящий математический аппарат
и с его помощью дать глубокие и оригинальные исследования.
Для всех работ Л. Н. Сретенского характерны разнообразие и ориги-
оригинальность математических методов исследования, глубина и точность по-
поставленных задач, изящество и наглядность их решения и мастерское умение
выделить основное в изучаемом явлении и представить в виде точной матема-
математической пробдемы. Его работы проложили новые пути исследования труд-
ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ 13
ных проблем, в частности в области геофизики, и дали начало ряду новых
направлений.
Значительны работы Леонида Николаевича по газовой динамике («К те-
теории газовых струй», 1958, 1959 гг.; «О функциях Чаплыгина», 1959 г.;
Ю приближенном методе Чаплыгина», 1963 г.), которые посвящены точному
и приближенному решениям некоторых задач теории распространения струй
газа, движущихся с дозвуковыми скоростями. Некоторые задачи о струях,
например те, когда в бесконечно удаленных точках струи и внутри сосуда
скорости газа разные, нельзя было решить методом Чаплыгина. В первой из
упомянутых публикаций Леонид Николаевич дал метод решения таких за-
задач, основанный на представлении решений уравнений газовой динамики
в виде определенных интегралов.
Л. Н. Сретенский — автор монографий «Теория волновых движений
жидкости» A936 г.), «Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы»
A938 г.), «Теория ньютоновского потенциала» A946 г.). Во второй из этих
монографий воспроизведен цикл лекций, читанных в Московском универси-
университете. Она содержит, в частности, прекрасное изложение основных результатов
А. М. Ляпунова по определению фигур равновесия вращающейся жид-
жидкости. Кроме того, его перу принадлежат полные глубокого содержания
работы о трудах Эйлера A958 г.), А. М. Ляпунова A948 г.), Пуанкаре
A963 г.), Фредгольма A966 г.), С. А. Чаплыгина A949, 1950, 1953, 1969 гг.)
и Н. Н. Лузина A953 г.), а также обзоры научных исследований в области
теории волн и приливов A968, 1969 гг.).
Большое внимание Л. Н. Сретенский уделял популяризации работ вы-
выдающихся советских и зарубежных ученых. Он принимал активное участие
в издании трудов Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Н. Н. Лузина и, как
один из лучших знатоков творчества А. М. Ляпунова, возглавлял комиссию
по изданию его трудов.
Л. Н. Сретенский проводил большую научно-общественную работу:
ряд лет он был вице-президентом Московского математического общества;
до последнего дня жизни был ответственным редактором журнала «Вестник
Московского университета» (серия математики и механики) и членом редак-
редакционных коллегий ряда журналов Академии наук СССР. Леонид Николаевич
был членом Национального комитета СССР по теоретической и прикладной
механике, Комитета по приливам Международной ассоциации физической
океанографии, Междуведомственного совета по сейсмологии и сейсмостой-
сейсмостойкому строительству при Президиуме АН СССР.
Более пятидесяти лет Л. Н. Сретенский проводил огромную творческую
работу по воспитанию научных, инженерных и педагогических кадров. Бу-
Будучи блестящим лектором, он только в Московском университете, помимо
общих курсов гидромеханики и теоретической механики, прочитал много
специальных курсов, весьма глубоких и оригинальных по содержанию
(«Теория волновых движений», «Теория приливов», «Теория фигур равнове-
равновесия», «Теория потенциала», «Теория газовых струй» и др.). На каждой сес-
сессии Ломоносовских чтений он неизменно выступал с интересными докладами.
Умение в ясной и лаконичной форме преподнести слушателям самый сложный
14 ЛЕОНИД НИКОЛАЕВИЧ СРЕТЕНСКИЙ
вопрос сделало его любимым лектором всех, слушавших его. Оригинальность
и глубина, ясность и богатство мысли, изящность метода и доведение, иногда
чрезвычайно кропотливое, результата до числа — качества, которые помо-
помогали Леониду Николаевичу прививать молодежи любовь к науке, к твор-
творчеству.
Под руководством Л. Н. Сретенского выполнено и защищено более 50
кандидатских диссертаций. Многие его ученики стали докторами наук.
Леонид Николаевич в течение многих лет вел исследовательский семинар
на механико-математическом факультете Московского университета. На семи-
семинаре регулярно прочитывались доклады его учеников, сотрудников и ученых
о новых работах в самых различных областях гидромеханики, аэромеханики,
теоретической механики, теории устойчивости, теории упругости, геофизики.
Беззаветное служение науке, талантливая педагогическая деятельность,
принципиальность и справедливость, отзывчивость и скромность снискали
Леониду Николаевичу горячую любовь и уважение всех, кому выпало сча-
счастье с ним работать.
За большие заслуги в научной, педагогической и общественной деятель-
деятельности Л. Н. Сретенский был награжден двумя орденами Ленина, орденом
Трудового Красного Знамени и медалями.
Глава I
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
НА ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
А. ПРОСТЕЙШИЕ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Общие уравнения и граничные условия теории волн
Большинство задач гидродинамики, связанных с образовани-
образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предполо-
предположении, что жидкость идеальная и обладает потенциальным дви-
движением. Кроме того, если оставить в стороне теорию приливных
волн, то все вопросы теории волн разбираются в предположении,
что единственными массовыми силами, действующими на частицы
жидкости, являются силы тяжести; иными словами, жидкость,
на поверхности которой образуются волны, считается тяжелой.
В этих предположениях мы и будем изучать в дальнейшем задачи
гидродинамики волновых движений.
Посвящая настоящую главу теории волн на поверхности плос-
плоскопараллельного потенциального потока, мы начнем, однако, с
общего рассмотрения пространственной задачи и выведем необхо-
необходимые для дальнейшего изложения уравнения и граничные усло-
условия.
Допустим, что в некотором открытом сосуде мы имеем тяжелую
жидкость, и предположим, что в начальный момент времени, t =
= 0, жидкость находится в покое — в состоянии гидростатиче-
гидростатического равновесия. Горизонтальный, плоский уровень жидкости
примем за плоскость хОу некоторой прямоугольной системы коор-
координат, ось Oz которой направляется нами вертикально вверх.
Во всем дальнейшем, за немногими исключениями, мы будем
считать жидкость однородной и несжимаемой. Предположим, что
жидкость приведена мгновенно в движение путем приложения к
ее частицам импульсивных давлений / (х, г/, z). В согласии с ос-
основной теоремой гидродинамики, возникшее движение будет по-
потенциальным в момент времени непосредственно после приложе-
приложения импульсивных давлений, если жидкость однородная. Тогда,
по теореме Лагранжа, и во все последующее время движение жид-
жидкости будет обладать потенциалом скоростей <р (х, г/, z; t), кото-
который будет удовлетворять уравнению Лапласа
16 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Компоненты скорости частицы жидкости и, v, w будут определять-
определяться по функции ф формулами
дф дф дф
дх ' ду ' dz
Импульсивное давление /, приведшее жидкость в движение, свя-
связано с потенциалом скоростей следующей простой формулой:
/ = рф,
где р — плотность жидкости.
Установим прежде всего те начальные и граничные условия,
которым должен удовлетворять потенциал скоростей.
Во-первых, в каждой точке поверхности сосуда нормальная
производная потенциала скорости должна быть равна нулю:
для каждого момента времени. Отметим, что это условие соблюда-
соблюдается лишь в том случае, если сосуд, в котором содержится жид-
жидкость, неподвижен. Если же сосуд будет перемещаться в простран-
пространстве, то условие A) должно быть заменено другим; с таким усло-
условием мы встретимся при рассмотрении движения жидкости в дви-
движущихся сосудах.
Затем, вдоль свободной волновой поверхности давление р со-
сохраняет постоянное значение, равное значению атмосферного дав-
давления:
р = const. B)
Это условие является основным в теории волн и отличает задачи
этой теории от других задач гидродинамики. При развитии тео-
теории волн приходится встречаться с такими задачами, когда на
поверхности жидкости давление меняется от точки к точке по не-
некоторому закону, и в таком случае условие B) приходится заме-
заменять более сложным условием; с задачами подобного рода мы
встретимся в дальнейшем.
При изучении вопросов теории волн наибольший интерес пред-
представляет установление уравнения открытой поверхности жидко-
жидкости; до полного решения волновой задачи это уравнение неизвест-
неизвестно и меняется с течением времени. Будем записывать уравнение
свободной поверхности жидкости так:
? = ?(*, у; t). C)
Так как мы рассматриваем потенциальные движения, то дав-
давление внутри жидкости может быть вычислено из интеграла Бер-
нулли:
Я <4>
§ 1. ОЁЩИЁ УРАЁЙЕНИЯ И t^AHH^HblE УСЙОЁЙЯ 1?
где g — ускорение силы тяжести, V — скорость частицы жид-
жидкости и / (t) — произвольная функция времени, которая может
быть присоединена к функции ор (х, у, z; t).
Применим интеграл Бернулли к точкам свободной поверхности
жидкости, заменяя в формуле D) величины z их значениями C),
относящимися к поверхности жидкости. После такой замены ос-
основное условие B) теории волн примет следующий вид:
Это условие должно соблюдаться во всех точках открытой поверх-
поверхности жидкости и во все время ее движения.
Между функцией ? (х, г/; t) и потенциалом ф (х, г/, z; t)
должно соблюдаться еще одно соотношение, выражающее то
свойство непрерывности движения, что при изменении времени
частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, не может пе-
перейти внутрь жидкости, а все время остается на поверхности.
Это положение можно выразить следующим уравнением:
dt ' дх ' ду
ИЛИ
dt дх дх ' ду ду dz ' V '
Во всех частных производных функции ф переменное z должно
быть заменено через ? (х, у; t), так как выписанное соотношение
F) имеет место вдоль открытой, свободной поверхности жидкости.
Перейдем теперь к установлению начальных условий задачи.
В момент времени t = 0 мы можем открытой поверхности жид-
жидкости придать желаемую форму, т. е. в начальный момент време-
времени мы можем произвольно задать неизвестную функцию ?>(x,y;t);
пусть будет
С (х, у; 0) = / (х, у). G)
Кроме того, в начальный момент времени мы можем произвольно
задать потенциал скоростей
Ф (х, г/, z; 0) = F (х, г/, z), (8)
причем задаваемая функция F должна удовлетворять уравнению
Лапласа. Задание функции F равноценно заданию импульсивного
давления, создающего из состояния покоя некоторое волновое
движение; но можно сказать также, что задание функции F ука-
указывает на те скорости, которые в исходный момент времени сооб-
сообщаются частицам жидкости.
Таким образом, задача теории волн состоит в отыскании интег-
интеграла уравнения Лапласа и функции ? (х, у; t), удовлетворяющих
18 ftl. t. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ЁЁСКОНЁЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
начальным условиям G), (8), граничному условию A) на внут-
внутренней поверхности сосуда и двум условиям E) и F), специфич-
специфичным для задач теории волн. В удовлетворении этих условий и за-
заключается вся сложность задач о распространении волн. Эта
сложность проистекает из того обстоятельства, что граничные ус-
условия E) и F) должны выполняться искомым потенциалом скорос-
скоростей ф на неизвестной границе ?=?(#, у; t), которая входит сама
в качестве искомого в изучаемую задачу.
Отметим, что с таким положением дела мы встречаемся в гид-
гидродинамике не только в теории волновых движений, но также в
теории струй и в сложном вопросе об отыскании фигур равновесия
жидкой вращающейся массы.
В настоящее время существует немного задач теории волн,
которые были бы решены с полным удовлетворением всех ука-
указанных граничных и начальных условий. Но широко развита и
богата разнообразными результатами приближенная теория волн,
основанная на предположениях о малости тех возмущений, кото-
которые волны вносят в равновесное состояние жидкости. Этой при-
приближенной теории, именуемой теорией бесконечно малых волн,
и будет, в основном, посвящено все дальнейшее изложение.
§ 2. Граничные условия теории бесконечно малых волн
Будем рассматривать такие волновые движения, которые соп-
сопровождаются незначительными скоростями, и будем предполагать
вместе с тем, что отклонения ? поверхности жидкости в ее движе-
движении от горизонтальной плоскости, а равно и все первые производ-
производные функции ? по координатам суть величины малые. В таком
предположении условия E) и F) из § 1 примут следующий вид:
е
dz )z=X> '
Допуская малость вторых частных производных d2q>/dt dz, <92cp/<9z2,
мы можем заменить в этих условиях
at }z=X.' \ dz /z-X.
соответственно через
dt /z=o ' \ z /z=o *
Благодаря этим предположениям условия A) перепишутся так:
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 19
Постоянное числЪ, которое должно было бы еще стоять в правой
части B), можно считать равным нулю в силу возможности присое-
присоединения к функции ф любой функции, зависящей от времени. Иск-
Исключая из формул B) и C) функцию ?, получаем граничное усло-
условие для потенциала скоростей:
Ф, *Р \ _ 0 D)
t* ^ g dz Jz^O ~ 1 }
dz Jz^O
Таким образом, функция ф должна удовлетворять условию обте-
обтекания стенок сосуда и граничному условию D), которое в этой
упрощенной теории должно соблюдаться не на неизвестной отк-
открытой поверхности жидкости, а на не возмущенной волнами
горизонтальной плоскости z — О (в области, принадлежащей
сосуду).
При известной функции ф уравнение открытой поверхности
найдется по формуле B) простым дифференцированием.
Начальные условия задачи состоят в задании исходного по-
потенциала скоростей и частной производной образующегося по-
потенциала, взятой по времени; это последнее условие равноценно
указанию формы поверхности жидкости в начальный момент вре-
времени.
Изложенное упрощение задачи о волнах было предложено Ко-
ши (A. L. Cauchy, 1789—1857), которого можно считать основа-
основателем теории волн [91].
§ 3. Стоячие волны на поверхности канала
конечной глубины
Начиная с этого параграфа, мы будем изучать в настоящей
главе плоскопараллельные волновые движения жидкости.
Изменяя несколько принятые выше обозначения, назовем вер-
вертикальную плоскость, в которой протекает движение жидкости,
плоскостью хОу, направляя ось Оу вертикально вверх. При этом
изменении обозначений условия задачи примут следующую
форму:
-л 0 на стенках сосуда,
Зф __
A)
и возвышение т] точки поверхности волнующейся жидкости над
невозмущенным уровнем будет определяться формулой
20 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Начальные условия запишутся так:
г] (*, 0) - / (х), Ф (х, у; 0) - F (х, у). C)
Применим эти общие формулы к определению некоторых вол-
волновых движений частного вида. Рассмотрим сначала задачу о ко-
колебании поверхности жидкости в бесконечно длинном канале пос-
постоянной глубины h. Оставим пока в стороне начальные условия C)
и найдем серию решений задачи, удовлетворяющих лишь гранич-
граничным условиям A). Первое из этих условий запишется в данном
случае так:
Найдем частное решение уравнения Лапласа
в виде произведения функции переменного х на функцию перемен-
переменного у:
Ф - X (х; t)-Y (у; t).
Подстановка этого произведения в уравнение E) приводит к сле-
следующему равенству:
_L^_L^!r (б)
X dx* "" У dy* ' { '
Приравняем обе части этого равенства какому-нибудь постоянно-
постоянному, не зависщему от времени отрицательному числу — к2. Тогда
получим два следующих уравнения:
Интегрируя эти уравнения, получаем
X — A1(t) cos kx + Вг (t) sin kx,
Y = A2 (t)e*v + В2 (t)er*v,
где Аг (t), A2 (t), Вг (t), В2 (t) — произвольные функции времени.
В силу граничного условия D) функции А2 (t) и В2 (t) можно
выразить через одну функцию D (t) по формулам
A, (t) = \ e^D (t), B2 (t) = -L e~
Отсюда функция Y (у; t) может быть представлена так:
Y (у; t)-D (t) ch к (у + К).
Составим теперь функцию ф (х, у; t), получим
ф = [a (t) cos kx -\- b (t) sin kx) ch к (у + h), G)
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 21
где a (t) и Ъ (t) — произвольные функции времени, причем
a (t) = A1 (t) D(t), b (t) = Bx (t) D(t).
Для определения этих функций применим второе граничное
условие A), мы придем к следующим двум уравнениям:
d2a . « n d2b . «т а
где
а2 - gk th kh. (8)
Интегрируя эти уравнения, получаем
a (t) = Сг cos (ot + 8i), Ъ (t) = С2 cos (ot + ^2),
где Cx, C2, ex, e2 — константы интегрирования.
Возвращаясь к формуле G), находим выражение потенциала
скоростей некоторого волнового движения:
Ф = Сг ch к (у + h) cos kx cos (ot + ex) +
+ C2 ch к (у + Л) sin Ax cos (at + e2).
Найдем по формуле B) соответствующее уравнение поверхности
жидкости, получим
yj = Cichkh cos /еж sin (ot + ех) —
о
— ch M sin /be sin (a^ + 82)«
о
Таким образом, общее возвышение поверхности жидкости мо-
может быть представлено в виде суммы двух волновых возвышений:
т]! = аг cos kx sin (ot + ?х), Лг = a2 sin ^ sin (^^ + 82)> (9)
где
ах = — —- ch kh, a2 = ch kh.
6 о
Этим волнам отвечают соответственно потенциалы скоростей
ф1 = ^
A0)
ttog ch к (у + /г) . , . ч
Ф2 = f- Xkh 8Ш Ы C°S (Q^ + 82)'
Рассмотрим волновое движение, определяемое первым из этих
потенциалов; волновое движение, определяемое вторым потенциа-
потенциалом скоростей, будет повторять первое движение по отношению к
системе координат, смещенной в горизонтальном направлении
на расстояние nlBk). Итак7 рассмотрим волновое движение,
22 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
описываемое формулами
\ .Chkn Ш)
г] = acos/b;sma?. л '
Отметим, что, не уменьшая общности исследования, можно было,
изменяя начальный момент отсчета времени, отбросить фазу е.
Формулы A1) описывают простейшее волновое движение, пе-
периодическое по отношению ко времени t и по отношению к пере-
переменному х.
Поверхность жидкости постоянно проходит через неподвиж-
неподвижные точки с абсциссами
1/1 \
х= -г- 1—л + ят , т = 0, +1, +2,...
к \ * I
Эти точки называются узлами рассматриваемой волны, а сама
волна называется стоячей волной. При любом значении времени
максимальные и минимальные ординаты волновой поверхности
отвечают абсциссам
х == -j-rn, т = 0, +1, +2, ...;
эти абсциссы определяют пучности стоячей волны. Максималь-
Максимального развития стоячая волна достигает в моменты времени
t = — т, т = 0, 4-1, 4- 2, ...
о — —
В эти моменты времени максимальные ординаты волновой поверх-
поверхности имеют значение а, называемое амплитудой стоячей волны.
Надо отметить, что амплитуда а должна считаться величиной
малой, дабы удовлетворялись допущения теории бесконечно ма-
малых волн.
Величины к и о называются соответственно волновым числом
и частотой стоячей волны; по этим величинам длина Я и период
т стоячей волны определяются формулами
Из формулы (8), связывающей волновое число с частотой волны,
следует соотношение между длиной и периодом стоячей волны.
Это соотношение мы запишем в следующем виде:
Где \л = %/h. Из этого соотношения можно получить следующие
следствия. Если длина стоячей волны мала по сравнению с
S 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, &АНАЙ КОЙЕ^ЙОЙ ГЛУЁЙНЫ 23
Глубиной канала, то можно принять
т2 = 2nX/g,
при стремлении к к нулю т будет также стремиться к нулю. Если
же отношение \i длины волны к глубине канала будет велико, то
Следовательно, при неограниченном увеличении длины волны бу-
будет неограниченно увеличиваться и ее период. При непрерывном
увеличении отношения [д, длины волны к глубине (и фиксирован-
фиксированной глубине) период волны будет монотонно увеличиваться от ну-
нуля до бесконечности, так как правая часть формулы A2) представ-
представляет собою произведение двух монотонно растущих функций пе-
переменного |Х.
В таблице 1 приведены величины периодов колебаний т, вы-
вычисленные по формуле A2), для различных значений h и для ря-
ряда значений к.
Таблица 1
Величины периодов колебаний стоячей волны
—— cth — , [х = ~y (период г, сек)
Глубина
б оды /г, м
1
10
100
1000
10 000
оо
1
0,80031
0,80030
0,80030
0,80030
0,80030
0,80030
10
3,3913
2,5308
2,5308
2,5308
2,5308
2,5308
Полина волны >
100
31,949
10,724
8,0031
8,0030
8,0030
8,0030
, м
1000
319,28
101,03
33,913
25,308
25,308
25,308
10000
3192,7
1009,6
319,49
107,24
80,031
80,030
Найдем траектории частиц жидкости при наличии стоячей вол-
волны A1). Для определения этих траекторий мы должны проинтег-
проинтегрировать следующую систему уравнений:
dx Эф dy 5ф
dt дх ' dt ду '
перепишем ее, используя выражение потенциала скоростей A1):
- sin kx cos ot,
kh
A3)
at
ch kh
cog cog
24 №. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Проинтегрируем эту систему разложением неизвестных функ-
функций х (?), у (t) в ряды по безразмерному числу ак, ограничиваясь
определением лишь двух первых членов разложений:
х = х0 (t) + ак-х± (t) + ...,
У = Уо 00 + ак-уг (t) + ...
Подстановка этих разложений в дифференциальные уравнения
A3) и сравнение членов с одинаковыми степенями ак приводит к
следующим уравнениям:
dt
= - X chk (Уо + fe> sin кх0 cos at,
о ch kh и ?
± = - X
dt о ch kh
J^± = J-shk^ + h) coskx0 cos at.
dt о ch kh u
Интегрируя первые два уравнения, получаем
^о = а, Уо = Р;
аир — произвольные константы. Интегрируя вторые два урав-
уравнения, получаем
%i = - -jfr c^kJ sm&asmo* + С,
где С и D — произвольные постоянные. Итак,
agk сЪкф+h) . 7 . . ,
ж • = a ^ ffri— sm ^a sm a^ + ,
) coskasinot + akD.
Определим постоянные С и D так, чтобы аир были значения-
значениями х и у в момент времени ? = 0, т. е. были бы лагранжевыми ко-
координатами движущейся частицы жидкости. Давая в предыду-
предыдущих формулах t значение нуль и заменяя х и у соответственно че-
через аир, получаем для С и D нулевые значения.
Таким образом, движение жидкости при наличии стоячей вол-
волны описывается в переменных Лагранжа следующими формулами:
agk ch к (Р + h) .
х = а §г eh/el s
y = fj + ^!L 8hk® + h) coskasmot.
у r ' a2 ch kh
§ 3. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, КАНАЛ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 25
Из этих двух формул получаем
у — р = —th к (р + h) ctg Aa.(s — a). A4)
Следовательно, частицы жидкости описывают отрезки прямых ли-
линий, наклоненных под разными углами ко дну канала, совершая
гармоническое движение с периодом 2я/а; амплитуда А колебаний
зависит от положения частицы жидкости и имеет следующее зна-
значение:
А = —=? 1/сЬ2ЛF + А) —cos2&a. A5)
У1 sh kh r vm т- ; \ /
Из уравнения траекторий частиц жидкости A4) видно, что части-
частицы жидкости, которые в момент времени t = О находятся под уз-
узлами открытой поверхности, описывают горизонтальные отрез-
отрезки длины
9 А _ 2а ch к (Р + h)
Частицы же жидкости, находящиеся в момент времени t = О
под пучностями, будут описывать во все время вертикальные от-
отрезки длины
2
1|I
sh kh
Вернемся к общим формулам (9) и A0) и рассмотрим сосуд,
ограниченный двумя вертикальными стенками х = —6, х = b и
горизонтальным дном у = —h. Найдем такие значения /с, для ко-
которых при х = + Ъ удовлетворялось бы или равенство
или
дф2 _ Q
дх
Соблюдение этих равенств обеспечивает обтекание вертикальных
стенок бассейна. Первое равенство будет иметь место при sin kb =
= 0, второе — при cos kb = 0. Из первого равенства находим
к = -у п, п = ± 1, +2, ±3, ..., A6)
из второго равенства находим
к = ^Bп + 1), п = 0,±1,±2, ... A7)
Первая формула (9), в которой числу к придадим значение A6),
дает симметричного вида собственное колебание жидкости в рас-
матриваемом бассейне. Вторая же из формул (9), в которой чщ-
26 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
ло к взято из формулы A7), представляет антисимметричные соб-
собственные колебания жидкости в рассматриваемом прямоугольном
бассейне. Частоты этих колебаний, симметричных и антисиммет-
антисимметричных, определяются по-прежнему формулой (8).
При рассмотрении уравнения F) мы приравнивали обе его час-
части постоянному отрицательному числу. Посмотрим теперь, к ка-
каким следствиям мы придем, если приравняем обе части этого урав-
уравнения какому-нибудь постоянному положительному числу к2.
Мы получим тогда для функций X (х\ t) nY (у; t) следующие вы-
выражения:
X = Аг (t)e*x + Вх (*)*¦**,
Y = А2 (t) cos ky + В2 @ sin ку.
Условие обтекания дна бассейна позволяет выразить функции
А2 (t) и Б2 (t) через одну функцию и представить соответствующий
потенциал скоростей в следующем виде через две произвольные
функции времени a (t) и Ь (t):
Ф = la (t)ekx + Ъ {г)еЛх] cos к (у + h). A8)
Граничное условие для поверхности жидкости дает два уравне-
уравнения для определения этих функций:
A9)
Эти уравнения будут иметь периодические по времени решения
a (t) = Сх cos (at + 8Х), Ь (t) = C2 cos (at + e2),
если между а и к установить следующую зависимость:
о2 + gk tg kh = 0.
При данном а этоуравнение имеет бесконечное число положитель-
положительных и отрицательных решений къ —кх, к2, —к2, . . .:
Функции cos A;x(i/ + /i), cosk^iy -{- h), .. . образуют в промежутке
—h <; у <; 0 ортогональную систему, причем
1
J cos2 kn (у + к)<1у = -щ- Bknh + sin 2knh).
—h
Формула A8) дает выражение соответствующего потенциала ско-
скоростей- Т$к как наша теория не допускает неограниченного
§ 4. СТОЯЩИЕ ВОЛНЫ, ЖИДКОСТЬ БЁСКОНЁЧЙОЙ ГЛУБИНЫ 2?
растания ординат свободной поверхности, то для положительных
значений х мы можем использовать только такие потенциалы ско-
скоростей:
Ф = <Vfc** cos кп (у + h) cos (at + е2), B0)
для отрицательных же х такие:
Ф = С^4** cos кп (у + h) cos (at + е^. B1)
При изучении ряда вопросов, связанных с волновыми движени-
движениями в каналах, нельзя обойтись без частных решений B0) и B1).
§ 4. Стоячие волны на поверхности жидкости
бесконечной глубины
Возьмем формулу A5) § 3 и придадим ей следующий вид:
Оставляя величины к и C неизменными, т. е. рассматривая волну
одной и той же длины и наблюдая за частицей одного и того же
погружения, будем увеличивать глубину бассейна. Тогда преды-
предыдущая формула будет показывать, что уже для небольших значе-
значений отношения глубины бассейна к длине волны величина А бу-
будет почти равна аек& и не будет, следовательно, зависеть от глуби-
глубины бассейна. Иными словами, при рассмотрении волн, коротких
по отношению к глубине, возможно глубину бассейна считать бес-
бесконечной. Это допущение упрощает в значительной степени все
вопросы, связанные с колебанием жидкости в сосудах и бассей-
бассейнах. Войдем здесь в некоторые подробности.
Отыскивая, как и в § 3, частные решения в виде произведения
двух функций, мы получаем следующее выражение потенциала
скоростей:
Ф = Wi (t) cos kx + В± (t) sin kx][A2 (t)^ + В2 (t)e~ky] .
Скорости частиц жидкости, вычисляемые по этому потенциалу,
будут при неограниченном погружении в жидкость, у-*—оо,
неограниченно расти. Для рассматриваемого случая жидкости
бесконечной глубины мы потребуем в качестве условия, заменяю-
заменяющего условие D) § 3, обращения в нуль обеих составляющих ско-
скорости на бесконечной глубине. Это требование приводит к обраще-
обращению в нуль функции В2 (t). Отсюда потенциал скоростей может
быть представлен в таком виде *):
Ф = la(t) cos kx + b (t) sin kx]eKv.
*) Здесь, как и во всем предыдущем и последующем, считается, что
к > 0,
28 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЁСКОНЕЧЙО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Граничное условие
приводит к следующим уравнениям для определения неизвестных
функций a (t) и Ъ (t):
da a r\ d^b
______ | (Г /7 - Г) ______ I tt^h ¦ О
где
а2 = gk. B)
Интегрируя эти уравнения, мы приходим, как и в § 3, к заключе-
заключению, что наиболее общее выражение функции ф может быть полу-
получено сложением двух следующих потенциалов скоростей:
фх =- —______ еку cos kx cos (ot -f- еЛ,
C)
ф = __L еку sin kx cos (ot 4- e2).
Уравнения поверхности жидкости, отвечающие этим потенциалам,
запишутся соответственно так:
Л1 = ai cos kx sin (at + 8i)> //\
i]2 = a2 sin kx sin (at + e2).
Постоянные a1? a2, e1? e2 могут иметь произвольные значения.
Полученными формулами определяются стоячие волны на по-
поверхности бесконечно глубокого бассейна. Описание кинематиче-
кинематической и геометрической стороны движения для рассматриваемых
волн повторяет все, что было сказано в § 3 для бассейна конечной
глубины.
Но здесь надо отметить одну интересную особенность стоячих
волн, возникающих на поверхности жидкости бесконечной глу-
глубины, не присущую, видимо, стоячим волнам на поверхности ка-
канала конечной глубины.
Стоячие волны — волны периодические по отношению к х и
t. Если мы возьмем стоячую волну длины 2п/(кп2), где п есть ка-
какое-нибудь целое число, то период колебания этой волны будет,
как это следует из формулы B), в п раз меньше периода волны с
волновым числом к. Следовательно, каждый из потенциалов ско-
скоростей
CL _Г _
ф =- -g—_ екп*у cog кп2х cos (n I/ gk t -4- 8n),
еЫ*у sjn кп2х Cos (п У gk t -f 8n)
§ 4. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ, ЖИДКОСТЬ БЕСКОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 29
будет представлять движение, периодическое по х и t\ периодом
по х можно вместе с тем считать 2я/&, а периодом по t — число
. Отсюда вытекает, что бесконечные ряды
Ф (х, y;t) = -jL=- У — екп2у cos кп2х cos (n Y~gk t + гп),
у gk ^—i п
ОО г
Ф' (х, y;t) = jL=r V — ekn'v sin ЫЧ cos (n Ylfi t + en)
Ygk Z-j n
будут изображать движения жидкости, периодические по х и по
t; коэффициенты ап и ап должны быть взяты так, чтобы была обес-
обеспечена сходимость написанных рядов.
Первый потенциал скоростей дает волны с неподвижными пуч-
пучностями, а второй — с неподвижными узлами.
Вернемся к уравнению F) § 3 и приравняем общее значение
правой и левой части этого уравнения положительному числу к2.
Мы получим тогда выражение соответствующего потенциала ско-
скоростей в следующем виде:
Ф = [Аг (t)ek* + В1 (t)eJkx] [А2 @ cos ку + В2 (t) sin ky). E)
Условие ограниченности скоростей на бесконечной глубине не
накладывает, как выше, каких-либо ограничений на функции
А2 @ и В2 (t). В первых квадратных скобках следует удержать
лишь второе слагаемое, если мы будем рассматривать движение
для положительных х; если же будем рассматривать движение для
отрицательных х, то надо взять только первое слагаемое; оба сла-
слагаемых брать нельзя, так как в противном случае ф неограничен-
неограниченно возрастало бы вместе с | х |. Будем рассматривать движение
жидкости для положительных значений х. В этом случае потен-
потенциал E) может быть записан так:
Ф = la (t) cos ky + Ъ (t) sin ky]e~Kx.
Условие A) приводит к следующему соотношению между новыми
функциями a(t) и Ъ (t):
-w + gkb = 0.
Это будет единственное соотношение между этими функциями,
и потенциал скоростей запишется так:
Ф = [a (t) cos ky-jj^^- sin %] е-**.
Отсюда уравнение поверхности жидкости будет
1 da _;
30 fttt. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ЁЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЁОЛНАх
Функция a (t) произвольна; если мы примем ее равной
— — cos (at + e),
где а есть постоянное число, то получим
ф = —^il (cos A:^ -1—^— sinку) е~кхcos (at + e),
ц = ае~ь sin (at + s).
Частные решения этого вида играют большую роль при решении
ряда важных задач о периодических волнах.
Частные решения C) позволяют найти для бассейна, ограни-
ограниченного двумя вертикальными прямыми х = —6, х = Ъ, решение
задачи о движении волн, возникших от сообщения жидкости дан-
данных начальных скоростей и от начального изменения горизон-
горизонтального уровня жидкости. Иными словами, с помощью частных
решений C) можно найти интеграл уравнения Лапласа, удовлет-
удовлетворяющий, помимо условий A) § 3, также и условиям C) § 3.
Это достигается обычными приемами интегрирования уравнений
математической физики.
§ 5. Стоячие волны на поверхности слоисто-неоднородной
жидкости; внутренние волны
Предположим, что на поверхности бесконечно глубокой жид-
жидкости плотности р2 лежит слой жидкости глубины h и плотности
Pi < Рг- Свободная поверхность и поверхность раздела этих жид-
жидкостей горизонтальны при отсутствии возмущений. Найдем те
простейшие волновые движения, которые могут быть на этих двух
поверхностях.
Несколько меняя принятую выше систему координат, прове-
проведем ось Ох по поверхности раздела в ее равновесном состоянии;
тогда равновесное состояние свободной поверхности будет иметь
уравнение у — h.
Обозначим через фх и ф2 потенциалы скоростей движения верх-
верхней и нижней жидкостей соответственно, а через ^и^ — верти-
вертикальные отклонения точек свободной поверхности и поверхности
раздела соответственно от их равновесных положений.
Прежде всего мы можем написать следующие формулы:
Давление внутри верхней и нижней жидкостей определяется ин-
интегралами Бернулли в их упрощенной форме:
§ 5. СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНАЯ ЖИДКОСТЬ 31
При переходе поверхности раздела волнующихся жидкостей дав-
давление не испытывает разрыва. Отсюда вытекает первое условие
сопряжения движения двух слоев жидкости:
Решая это уравнение относительно гJ и снося значения частных
производных на невозмущенную поверхность раздела, получаем
формулу для определения ординат точек поверхности раздела:
1 dt ^ dt Jy=o' v '
Примем теперь во внимание, что вдоль поверхности раздела дви-
движутся одни и те же частицы верхней жидкости и одни и те же час-
частицы нижней жидкости. Из этого условия вытекает для малых
движений жидкостей и небольших наклонов волновой поверхнос-
поверхности требование равенства вертикальных скоростей частиц верхней
и нижней жидкостей вдоль линии раздела:
~W = ~W ' [ '
и условие
дХ]2 дф2 /#ч
~дГ= If' W
Входящие сюда частные производные будем брать на невозму-
невозмущенном положении поверхности раздела, т. е. при у = 0. Исклю-
Исключим из формул B) и D) функцию гJ; мы получим тогда в добавле-
добавление к условию C) новое условие для у = 0:
Таким образом, гармонические функции фх и ф2 должны удовлет-
удовлетворять условиям A), C) и E). Если нижняя жидкость имела бы
некоторую конечную глубину Я, то к указанным условиям сле-
следовало бы добавить еще условие
Но при рассмотрении бесконечно глубокой жидкости мы подчи-
подчиним движение нижней жидкости требованию обращения в нуль
скоростей ее частиц на бесконечной глубине.
Основываясь на проведенном выше исследовании стоячих коле-
колебаний однородной жидкости, будем с самого начала искать прос-
простейшие решения новой задачи в следующем виде:
<Pi = {АхеЪ + Btf-^) cos kx cos at,
cpg = А%е*У cos kx cqs ot,
32 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Условия A), C) и E) дают следующие соотношения между не-
неизвестными коэффициентами Аг, Вг, А%ж частотой а:
(а2 - gk)A^h + (а2 + gk)B1e-'kh = О, А1-В1 = А2,
(а2 - gk)p2A2 - [(а2 - gk)A1 + (а2 + gk)B1]9l = 0. G)
Детерминант А этой системы уравнений имеет следующий вид:
А = 2 (gk — а2)[(р2 ch kh + рх sh kh)a2 — (р2 — p±)gk sh kh].
Приравнивая нулю этот детерминант, получаем два разных зна-
значения а:
о2 - gk, а2 - gk thkh Pa
Определим потенциалы скоростей и величины г)х и гJ для каждой
из этих частот.
Рассмотрим сначала первую частоту. Уравнения G) показы-
показывают, что в этом случае Вх ~ 0 и Ах = А2; в силу этого выраже-
выражение потенциала скоростей будет одним и тем же для обеих жид-
жидкостей:
<Pi ~ Фг — A-\^v cos kx cos at,
но величины г)х и гJ будут вычисляться по разным формулам: A)
и B). Выполняя подсчеты, находим уравнение свободной поверх
ности:
T|i = А±еш cos kx sin at, (8)
о
и уравнение поверхности раздела, определяющее внутреннюю
волну:
т]2 = Ах cos kx sin at. (9)
о
Рассмотрим теперь вторую частоту. Решая уравнения G)
в этом втором случае, получаем для потенциалов скоростей сле-
следующие выражения:
ф1 = [(а2 + gk)e4v-h) — (а2 — gk)e-^y~h) ]D cos kx cos at,
<p? = [(a2 + gk)e~]ih + (a2 -, gk)ekh]e*yD cos kx cos at,
рде Z3 — произвольная постоянная?
Уравнения свободной поверхности и поверхности раздела зат
писываются в этом случае так:
т]! = — 2kaD cos kx sin at,
2
rio = —^- kaehhD cos /еж sin a?.
12 P2-P1
§ 6. ПРОГРЕССИВНЫЕ^ ВОЛНЫ 33
Полученные выше формулы (8) и (9) показывают, что отношение
амплитуды колебаний поверхности раздела к амплитуде колеба-
колебаний свободной поверхности не зависит от плотностей рх и р2 и
имеет такое же значение, как будто бы жидкость была однородной.
Совершенно иное имеет место при частотах второго рода. Здесь,
во-первых, при данной длине волны частота пропорциональна раз-
разности плотностей и, следовательно, при небольшом различии плот-
плотностей частота колебаний весьма мала; таким образом, период ко-
колебаний будет значителен. Во-вторых, и это является наиболее
интересным в данной задаче, отношение амплитуды колебаний по-
поверхности раздела к амплитуде колебаний свободной поверхнос-
поверхности жидкости имеет, как это следует из формул A0), значительную
величину:
Pi gtth
Р2 - Pi
Таким образом, внутренние волны второго рода получают значи-
значительное развитие по отношению к волнам на свободной поверхнос-
поверхности и достигают большой амплитуды, если разность плотностей
двух жидкостей мала.
Результаты, полученные для симметричных колебаний, пов-
повторяются полностью и для асимметричных колебаний по коорди-
координате X.
§ 6. Прогрессивные волны
Вернемся к формулам A0) § 3, определяющим потенциалы ско-
скоростей стоячих волн (9) § 3. Положим в этих формулах ах = а2 =
= а, гг = 1/2я, е2 = 0 и сложим эти потенциалы; мы получим тог-
тогда потенциал скоростей
ag chk(y4-h) . /7 ,ч //|ч
соответствующий прогрессивной (распространяющейся) волне, бе-
гущей по поверхности канала глубины h без изменения своей фор-
формы:
т) = a cos (kx —¦ ot). B)
Эта волна движется в направлении возрастающих х со скоростью
с = о/к.
Если бы мы взяли снова аг = а2 = а, но положили ех = V2n,
е2 = я, то получили бы прогрессивную волну, распространяющую-
распространяющуюся со скоростью с в направлении убывающих х:
т] = a cos (kx + at).
Потенциал скоростей соответствующего движения жидкости
2 Л. Н. Сретенский
34 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
будет писаться так:
ag_chk(y + h) s-m{kx + aty
4 о ch kh \ i /
Для жидкости бесконечной глубины имеем следующую форму-
формулу для потенциала скоростей прогрессивной волны B):
Ф = — -^- ebv sin (кх — at). C)
Для прогрессивной волны, бегущей в сторону отрицательных х,
потенциал скоростей пишется так:
Обратимся к анализу формул, определяющих скорость прог-
прогрессивной волны.
Рассмотрим сначала канал конечной глубины h. Из формулы
(8) § 3 получаем для скорости с следующее выражение:
^ D)
или
Простые рассмотрения показывают, что при *к = О имеем с = О,
а при *к = оо имеем с = У gh. При непрерывном увеличении дли-
длины волны X от нуля и до бесконечности скорость с монотонно рас-
растет от нуля и до У gh. Действительно, производная от с по А,,
равная
1 / 1 4:7th 4лД
всегда положительна.
Из этого следует , что скорость распространения прогрессив-
прогрессивной волны по поверхности канала конечной глубины h ни для од-
одной волны не превосходит У gh. Эта максимальная скорость от-
отвечает волнам очень большой длины. Из формулы E) можно вы-
вывести вместе с тем, что за скорость очень короткой волны можно
принять следующее выражение:
2я
К этой формуле, установленной Эри (G. В. Airy, 1801—1892)
[77], можно прийти, рассматривая жидкость бесконечной глубины;
для жидкости бесконечной глубины а2 = gk, следовательно,
скорость распространения прогрессивных волн по поверхности
§ 6. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ 35
жидкости бесконечной глубины будет
с3=4- (в)
В таблице 2 приведены значения скоростей волн разной длины и
для разных глубин канала.
Рассмотрим волновое движение, определяемое потенциалом
скоростей A), и найдем формы траекторий частиц жидкости при
этом движении.
Таблица 2
Скорости распространения прогрессивных волн
-VI
(скорость волны, м/сек)
Глубина
воды h, м
1
10
100
1000
10 000
оо
1
1
1
1
1
1
1
,2495
,2495
,2495
,2495
,2495
,2495
2
3
3
3
3
3
Длина волны "К
10
,9487
,9513
,9513
,9513
,9513
,9513
100
3,1300
9,3246
12,495
12,495
12,495
12,495
, м
1000
3,1321
9,8980
29,487
39,513
39,513
39,513
10000
3,1322
9,9045
31,300
93,246
124,95
124,95
Дифференциальные уравнения траекторий запишутся так:
G
dx g 7 chk(y-\-h) n .v
¦Ж = ITak сьм cos <** -0')'
- sin (kx — at).
Будем интегрировать эти уравнения с помощью степенных рядов
по параметру ак, полагая
х = xQ (t) + акхг (t) +..., /g\
У = Уо @ + окуi{t) + ...
и ограничиваясь подсчетом лишь явно выписанных членов. Под-
Подстановка этих разложений в уравнения G) приводит к следующим
уравнениям, которые надо последовательно интегрировать:
dxQ q dy0 г,
dt U' dt ~~ '
<**! ^ JL cbk(yo+h) cc
dt g ch kh
dt
chkh
2*
36 ГЛ. I* ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Из двух первых уравнений получаем
%о — ai Уо — Р»
где а и р — постоянные. Интегрирование двух последних урав-
уравнений дает
kshkh
где С и D — две произвольные константы. Определим эти кон-
константы так, чтобы введенные выше постоянные а и C были коорди-
координатами Лагранжа движущейся частицы жидкости. Для этого
нужно, очевидно, С и D приписать следующие значения:
D=- Лк.<Р + fe) cosfea.
kshkh
C= smka, D= .
kshkh kshkh
Теперь ряды (8) приводят к следующим приближенным уравне-
уравнениям траекторий:
. ch/cF + /i) r . 7 . /7 ,Ч1
¦ ж == a -f a ^-гт—- [sm ш — sm (/ca — at)],
S (9)
[C0S ka ~~ C0S (&a ~" a*)]<
Исключая из этих уравнений время t, находим, что каждая час-
частица жидкости описывает при своем движении эллипс с полуосями
И U -
shkh * shkh
параллельными осям координат, причем горизонтальная ось
больше вертикальной. С погружением в жидкость меньшая ось
стремится к нулю и на дне принимает это значение. Движение
по эллипсу идет по часовой стрелке, и полное время пробега эл-
эллипса равно 2л/а = Х/с. Мы рассмотрели волну B), идущую сле-
слева направо; для волны, идущей справа налево, все предыдущее
сохраняется, за исключением того, что частицы жидкости будут
описывать свои эллиптические траектории против часовой стрелки.
Отметим, что при прохождении прогрессивной волны по поверх-
поверхности канала бесконечной глубины частицы жидкости описывают
круговые траектории. В этом можно убедиться, интегрируя тем
же приемом, как и выше, дифференциальные уравнения траекто-
траекторий,4 составленные на основании потенциала скоростей C). При-
Приближенные уравнения траекторий имеют вид
х = a + а№ [sin ка — sin (ка — at)], нп
у = C — ае^ [cos fcx — cos {ка — at)]. '
§ б. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ 37
К изложенным результатам о форме траекторий частиц жид-
жидкости надо отнестись с большой осторожностью. Эти результаты
являются совершенно справедливыми для волн бесконечно малой
амплитуды, т. е. являются справедливыми при тех упрощающих
предположениях, которые лежат в основе теории бесконечно
малых волн. Но при изучении волн конечной амплитуды мы
встретимся с замечательным явлением, обнаруженным Стоксом
(G. G. Stokes, 1819—1903) [187], [188], переноса жидкости в на-
направлении распространения прогрессивной волны; прогрессивная
волна создает внутри жидкости движение частиц в направлении
своего распространения. Таким образом, частицы жидкости не
описывают замкнутых траекторий.
При распространении прогрессивной волны по поверхности
жидкости бесконечной глубины частицы жидкости на бесконечной
глубине находятся в покое. По отношению к покоящейся в беско-
бесконечности жидкости и берется скорость прогрессивной волны с.
Но по отношению к каким частям жидкости следует измерять ско-
скорость волны в канале конечной глубины, ведь все частицы жидко-
жидкости находятся в этом случае в движении? Покажем, что центр
тяжести всякой массы жидкости, содержащейся в какой-нибудь
момент времени (например /• в начальный) между свободной по-
поверхностью , /дном канала и двумя прямыми линиями ix удаленными
друг от друга на расстояние длины волны,4 находится в покое.
Координаты частиц жидкости, принадлежащих такой массе,
могут быть определены формулами (9) через свои координаты
Лагранжа oc,4j3, t. Первая из этих координат меняется внутри рас-
рассматриваемой массы жидкости между а0 и а0 + 2я//Ь, где а0 —
какое-нибудь число. Координата |3 меняется от —h до a cos &a,
так как в момент времени t = 0 уравнение свободной поверхности
есть C = a cos ka.
Координаты Xf Y центра тяжести рассматриваемой массы
жидкости имеют следующий вид:
где М — величина массы жидкости. Перейдем в этих формулах
к переменным аир; будем иметь
ao+2"(fc a cos fca
)
—h
ао+2яGс a cos Ы
38 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Выполняя дальнейшие вычисления с точностью до первых степеней
ак включительно, имеем
и, далее,
Х = -ШГ \ da \ {а + а-^?±^-[sin ка-sin (ка-at)}] d§,
\ da \ {Р -а shksh kth) [cos ка ~cos № ~ а
h
а0 — h
Вычисляя эти интегралы, приходим к следующему результату:
X = (Хо -| ^- , Y = J- /г-.
Таким образом, при прохождении прогрессивной волны центр
тяжести рассматриваемой массы жидкости остается в покое. С этим
центром тяжести мы можем связать неподвижную систему отсчета,
по отношению к которой и измеряется скорость волны.
Обратимся, наконец, к прогрессивным волнам на поверхности
неоднородной жидкости.
Применяя изложенный в настоящем параграфе способ перехода
от стоячих волн к волнам прогрессивным, мы приходим, основы-
основываясь на результатах § 5, к следующим заключениям. По свобод-
свободной поверхности и по поверхности раздела двух жидкостей раз-
различных плотностей могут распространяться прогрессивные волны
двух разных видов. Волны первого вида, получаемые из стоячих
колебаний (8) и (9) § 5, распространяются со скоростью с, опреде-
определяемой формулой
<? = 4-
Волны второго вида, получаемые из стоячих колебаний A0) § 5,
обладают скоростью, находимой по формуле
~2 __ gh |Ь 2ЯЬ Р2 — Pi
с -^rth"^ ;
Р2 + РГ
Для коротких волн получаем отсюда
л — Ра — Pi gk
P2+Pl 2rt '
при небольшом различии плотностей скорость с будет весьма мала.
§ 7. ВОЛНЫ ГЕРСТНЕРА &j
Для длинных волн имеем
(j)h. A3)
Можно показать, что при непрерывном увеличении X от нуля до
бесконечности скорость с волн второго вида монотонно возрастает
от нуля до числа, определяемого формулой A3), дающей, следо-
следовательно, максимальную скорость волн второго вида.
Отметим и здесь значительное превосходство амплитуды волны
на поверхности раздела перед амплитудой волны на свободной
поверхности. Отношение первой из этих амплитуд ко второй ам-
амплитуде равно
Pi eh'h
Р2 — Pi
и достигает большой величины при малом различии плотностей
жидкостей.
§ 7. Волны Герстнера
Если в формулах A0) § 6 мы устраним члены sin ka и cos ka
и возьмем, следовательно, такие формулы:
х — а — аек$ sin (ka — ot), ...
у = р + aew cos (ka — ot), '
то придем к неожиданному и важному результату, состоящему
в том, что этими новыми формулами дается совершенно точное
решение гидродинамических уравнений Лагранжа в переменных
а, р, t; это решение определяет вместе с тем распространение про-
прогрессивной волны по поверхности бесконечно глубокой жидкости.
Чтобы убедиться в этом, преобразуем сначала уравнения A)
к более простому виду. Заменим переменное Р новым переменным
Р' по формуле
p = p +
и введем вместо у координату у' по формуле
После введения новых переменных уравнения A) примут следу-
следующий вид:
х = а тг№ sin (&<х — at)j
1 B)
у = р -}- -тг eW cos (ka — ot);
штрихи у Р и у опущены.
ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Возьмем уравнения движения жидкости
да ~г \ dt2 ~^~ ° у да р да
д2х дх , / д2у , \ ду 1 др
и составим по формулам B) левые части этих уравнений. Получим
S 4 е^(°2
gA)sin ^a"" 0^j
- gfc) cos (Ла — otf) -
7" "Sr = 4"
Эти уравнения совместны и дают для р следующее значение:
JL = J- (а2 — g/b) ^feP cos (&а — а^) + -^ е2^ — gp + const. C)
Составим затем уравнение непрерывности. Согласно этому урав-
уравнению детерминант
дх дх
~Та~ If
ду ду
D =
да
должен быть функцией лишь а и р. Подсчет показывает, что
D = 1 —
Таким образом, все три уравнения метода Лагранжа удовлетворя-
удовлетворяются функциями B) и C) безо всякого приближения.
Заметим, что а и C не будут значениями координат х и у для
t = 0, а некоторыми параметрами, отличающими одну частицу
жидкости от другой.
Рассмотрим формулу C). Правая часть этой формулы
свободна от времени, если множитель а2 — gk приравнять нулю,
и тогда формула C) запишется так:
^ = ^2*0 _?Р+ Const.
Эта формула показывает, что для всех частиц жидкости, обладаю-
обладающих одним и тем же |3, притом каким угодно, давление р имеет
постоянное, не зависящее от времени значение. Следовательно,
удаляя из всей жидкости слой, для частиц которого вторая коор-
координата Лагранжа превосходит выбранное значение р, мы будем
иметь волновое движение, причем поверхность волны будет опре-
определяться формулами B) с заменою C этим выбранным его значе-
значением.
§ 7. ВОЛНЫ ГЕРСТНЕРА 41
Формулы B) определяют в зависимости от параметра а про-
прогрессивную волну, распространяющуюся со скоростью
Легко видеть из формул B), что в каждый момент времени рас-
рассматриваемая прогрессивная волна представляет собою эпицик-
эпициклоиду, описываемую некоторой точкой М круга радиуса R =
= Ilk, катящегося без скольжения по горизонтальной прямой
у = R + Р; точка М, описывающая эту эпициклоиду, находится
на расстоянии Rek$ от центра круга; катящийся круг касается
снизу прямой у = R + р.
Отметим, что число р должно необходимо быть отрицательным,
так как в противном случае эпициклоида превращалась бы в
гипоциклоиду и поверхность жидкости имела бы двойные точки,
что недопустимо по содержанию гидродинамической задачи. Самое
большое допустимое значение р есть нуль, и в этом случае поверх-
поверхность жидкости представляет собою бесконечную последователь-
последовательность циклоид.
Покажем, что движение жидкости, определяемое формулами
B), не является, однако, потенциальным.
Чтобы видеть это, составим по компонентам скорости
величину вихря
Дифференцируя каждую из формул B) по х и у, получаем после
небольших вычислений
~ё~ ^ 4"[1 +е^cos ^a ~~ a*M' ~w = 4"еЩ sin ^а ~~ °^'
ар = 4r^P sin (ка - at)' -7Г- = 4" f1 - е^ cos (ka " а*)]'
и =
V =
С(
се
^-
№ COS
dv
~~ дх
(ha —
(ка —
да
ду *
at),
at)
dx ~" A —v— -7» ду ~ А
где
Принимая в расчет формулы
dv dv да . dv
~~да~ ~~дх~ + ~ЩГ "дх"
ди да , 5м ^Р
42 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
получаем на основании формул' D) следующее выражение величи-
величины {•:
Из этой формулы видно прежде всего, что рассматриваемое движе-
движение жидкости есть вихревое, но вектор вихря весьма быстро
уменьшается по своей величине по мере погружения в жидкость;
это уменьшение тем более значительно, чем меньше длина распро-
распространяющейся волны.
Изученное здесь волновое движение, примечательное своей
простотой и законченностью, было открыто в 1804 г. Герстнером
(J. F. von Gerstner; 1756-1832) [102'] *).
Простота формул Герстнера дала возможность А. Н. Крылову
построить теорию качки кораблей на волнении [137], нашедшую
большое приложение в судостроении.
§ 8. Установившиеся волновые движения
Рассмотрим какую-нибудь прогрессивную волну, распростра-
распространяющуюся в отрицательном направлении оси Ох. Скорость с
распространения этой волны может быть вычислена по ее длине.
Рассмотрим теперь систему координат, перемещающуюся вместе
с волной; по отношению к этой системе координат движение жид-
жидкости будет установившимся, и весь поток жидкости будет иметь
скорость с слева направо.
Выведенные выше формулы E) и F) из § 6 для скорости про-
прогрессивных волн получают теперь иной смысл. Они позволяют
по скорости потока определять длину установившейся периодиче-
периодической волны. Из формулы F) § 6 видно, что каждому значению ско-
скорости с отвечает вполне определенная длина X установившейся
волны, развивающейся на поверхности бесконечно глубокого
потока. Из проведенного выше анализа формулы E) § 6 вытекает,
что на поверхности потока глубины h могут возникать периодиче-
периодические волны лишь для скоростей потока, меньших чем ]/"gh. При
увеличении скорости потока от нуля и до ]/"gh длина установив-
установившейся периодической волны непрерывно растет от нуля до бес-
бесконечности.
Обратимся теперь к волнам на поверхности жидкости, состоя-
состоящей из двух слоев разных плотностей.
Прогрессивные волны, скорость которых дается формулой A1)
§ 6, переходят в установившиеся волны, длина которых по скоро-
скорости единственным образом определяется этой формулой.
*) Штрих у номера литературной ссылки означает, что соответствующая
литература указана научными редакторами. Автором указано лищь место
дднной ссылки в тексте, [Прим, ред,)
§ 8. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЙ /$
Прогрессивные волны второго вида, между длиной и скоростью
которых существует соотношение A2) § 6, переходят теперь в уста-
установившиеся волны. Соотношение A2) § 6 дает возможность найти
по скорости потока с единственным образом длину X установив-
установившихся волн, образующихся на открытой поверхности и на поверх-
поверхности раздела. Но величина X может быть определена лишь в том
случае, если скорость потока меньше чем
/ -.
' \ Pi
Иными словами, только для скоростей потоков, меньших этой
величины, могут образовываться установившиеся волны второго
вида. Эти волны достигают большего развития на поверхности
раздела, чем на свободной поверхности.
В связи с существованием двух видов установившихся волн
при данной скорости потока неоднородной жидкости можно отме-
отметить следующий интересный факт. Найдем такое значение скоро-
скорости, при котором длина X' установившейся волны первого вида
была бы целой долей длины X установившейся волны второго
вида:
п
Это требование эквивалентно существованию равенства
gX gX, <-i 2xt/i p2 — pi
2ш' = 2я ~ 2nh '
р2 + Pi th --у-
Отсюда находим
tb 2nh — Р*
til —т — ; :—гт .
К Яр2 — \П> ~Г * ) Pi
Длина X может быть определена из этого уравнения лишь при
соблюдении условия
из которого следует, что
Pi ^ n-i
Р2 ^ П + 1
Очевидно, что для взятых значений р2 и рх (р2 > рх) всегда сущест-
существует такое целое число тг0, что для всех целых значений п ^> п0
будет соблюдаться это неравенство.
Таким образом, для данных значений плотностей двух слоев
жидкости существует бесконечное число различных скоростей,
стремящи хся к
44 М. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
для которых длина волны первого вида будет целой долей волны
второго вида. Следовательно, для таких скоростей поверхность
жидкости и поверхность раздела будут составляться из двух про-
простых волн с произвольными амплитудами.
§ 9. Общие условия для определения установившихся
волновых движений
Установившиеся волны можно получить непосредственно, без
перехода через прогрессивные волны. Это мы сейчас сделаем, вы-
выведя общие условия для установившихся волновых движений.
Для этих движений начальные условия отпадают и остаются лишь
граничные условия. Условие равенства нулю нормальной произ-
производной потенциала на стенках бассейна остается в силе и для уста-
установившихся движений, но условие на свободной поверхности
жидкости
l_) -о
ду ;-и
должно быть заменено другим.
Рассмотрим течение жидкости в неограниченном канале глу-
глубины h и предположим, что вся жидкость как нечто целое пере-
перемещается со скоростью с, имея, следовательно, открытую поверх-
поверхность горизонтальной, у = 0. Допустим теперь, что под влиянием
некоторых причин такой простой режим течения изменился и
поверхность жидкости покрылась волнами установившегося вида.
Предположим, что это возмущение основного потока обладает
потенциалом скоростей, не зависящим от времени: ср (х, у). Для
невозмущенного движения компоненты скорости суть с и 0;
для возмущенного движения они будут
дер дф
дх ' ду
Применим интеграл Бернулли для рассматриваемого движения
к открытой поверхности г\ = г\ (х), считая, что в точках этой
-, дф дф
поверхности добавочные скорости — у-и — ~ малы сравнительно
со скоростью потока
JL = c'-g4 + c-%L.
р ь ' ' дх
Но вдоль открытой поверхности жидкости давление р постоянно.
Отсюда получаем возможность определить функцию х\ (х) через
производную потенциала скоростей. Принимая обычное согла-
§ 9. УСЛОВИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ 45
шение о малости движения, будем брать значение этой производ-
производной в точках невозмущенного уровня, т. е. для у = 0. Таким
образом, будем иметь следующее выражение функции ц:
1 g \ дх ]у=о v '
Но в силу того, что движение установившееся, касательная к вол-
волне совпадает с вектором скорости; отсюда
дф
dx\ __ ~ ду
dx ~~~ дф
с~~ ~дх~
При взятой степени точности расчетов мы можем заменить это
равенство таким:
ду )у=о'
Подставляя сюда вместо rj его значение из формулы A), получаем
требуемое граничное условие для свободной поверхности жид-
жидкости:
№Li5Ll -0 <2\
Определив интеграл уравнения Лапласа, удовлетворяющий
этому граничному условию и всем другим граничным условиям
задачи, находим уравнение поверхности жидкости по формуле A).
Рассмотрим наряду с потенциалом скоростей и функцию тока
i|) (х, у). Пользуясь известными дифференциальными соотноше-
соотношениями между функциями ф и г|), мы можем придать основным фор-
формулам A) и B) следующий вид:
с i д\р \ Г дф g , 1
ц = — -— , -~- %• \Ь = const.
1 g \ ду /у=о I ду с2 YJy=o
За счет изменения места отсчета функции гр можно константу пра-
правой части считать равной нулю.
Получим снова результаты предыдущего параграфа, но поль-
пользуясь граничным условием B). Определим частное решение урав-
уравнения Лапласа в виде произведения двух функций Х(х) и Y (у).
Для определения этих функций получаем уравнение
X» Y" Пч
Приравнивая общее значение этих отношений отрицательному
числу —/с2, получаем для функции ф (х, у) такое выражение:
Ф = (Ах cos кх + Вх sin kx)(A^v + В2еЛу).
4G ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Константы Аг и Вг остаются произвольными, константы же А2
и В2 определяются по условию обтекания дна канала у = —h.
Используя это условие, получаем
ф = (Аг cos kx + Вх sin kx) ch к (у + h). D)
Составим граничное условие B), которое должно соблюдаться при
у = 0 для всех значений х. Простые вычисления приводят к со-
соотношению между длиной установившейся волны X = 2тс/к и
скоростью потока:
с -"W^
Уравнение поверхности жидкости найдется по формуле A):
т] = -^— ch kh (Bi cos kx — Ax sin kx). E)
Для бесконечно глубокой жидкости имеем
Ф = (Ai cos kx -f- Bi sin kx) eky,
T) = ^— (Bi cos kx — Ax sin kx),
о
2 и К
" - 2jc '
Приравняем теперь общее значение отношений C) положительному
числу х2. Тогда получим для потенциала скоростей следующее
выражение:
Ф = (Ахе*х + В1е~хх)(А2 cos щ + В2 sin щ). F)
Условие обтекания дна канала приводит это выражение к более
простому виду:
Ф = {Аге*х + B±e-*x) cos к (у + h). G)
Удовлетворим затем условию B); составляя это условие, прихо-
приходим к следующему уравнению для параметра х:
4-0! wjj __. yf ((т\
Это уравнение имеет бесчисленное множество положительных и
отрицательных корней. Для каждого из таких корней мы можем
написать потенциал скоростей G) с двумя произвольными постоянны-
mh^iH^i. Но, как и при рассмотрении стоячих волн, надо заметить,
что полученное частное решение G) пригодно лишь в одной части
бесконечного канала. Для х^> 0 мы должны приравнять нулю Аг\
для х<0 постоянную Аг надо сохранить, а приравнять нулю Вг.
С частными решениями G) при указанном выборе констант
Ах и Вг мы встречаемся при решении различных задач о волнах.
Эти частные решения существуют при любой скорости потока.
§ 9. УСЛОВИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ 47
Если канал бесконечно глубок, то не будет требования обте-
обтекания дна и останется лишь одно условие B), которое связывает
постоянные А2 я В2 следующей зависимостью:
2 -Г -~Г 2 — »
и тогда выражение потенциала скоростей F) может быть записано
так:
Ф = (Ахехх + Вхе-*х) (~ cos хг/ — х sin хг/) .
\с i
Это решение, как и выше, приемлемо только в одной части канала.
Для х ]> 0 мы должны принять
Ф = Ве~*х(-\ соэхг/ — xsin хг/) ,
для х <С О
ф = Аехх (-^- cos хг/ — х sin хг/
с^
Таким образом, параметр х, который можно считать положитель-
положительным, остается произвольным. В силу этого полученные потенциа-
потенциалы скоростей можно обобщить, интегрируя их выражения по пара-
параметру х, рассматривая А я В как произвольные функции этого
параметра. Получим:
для х^> О
ф (х, у) = \ В (х) е~*х (-jjr cos хг/ — х sin щп dx,
о
для х <С О
с»
ф (#, у) = \ А (х) ехэс( -^- cos хг/ — х sin
о
Для канала конечной глубины вместо этих интегральных фор-
формул имеем бесконечные ряды, распространенные на положитель-
положительные корни хп уравнения (8):
для х ^> О
Ф (*, У) = S ?ne~v cos xn (z/ + Л),
n
для д; <^ О
Ф (ж, 2/) = S Л^ХпХ cos xn (г/ + Л);
Дп и ?п — произвольные коэффициенты, обеспечивающие сходи-
сходимость бесконечных рядов.
48 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
§ 10. Волны на поверхности раздела двух потоков
жидкостей
Рассмотрим два потока жидкостей различной плотности;
допустим, что верхний поток имеет скорость сг и плотность рх,
а нижний поток, который соприкасается с верхним, имеет скорость
с2 и плотность р2. Предположим, что оба потока простираются
неограниченно в вертикальном направлении. Нашей задачей
является определение установившихся волн на поверхности раз-
раздела этих потоков в предположении, что возмущения, вносимые
волнами, неограниченно убывают при удалении от поверхности
раздела в вертикальном направлении вверх, а также и вниз.
Возьмем невозмущенную поверхность раздела за ось Ох и
обозначим через ц (х) отклонение волновой поверхности от этой
оси.
Компоненты скорости частиц жидкости могут быть представ-
представлены так:
для верхней жидкости
для нижней жидкости
у/ г дф2 дф2
В силу того, что оба потока — установившиеся, имеем
dr\ ду dr\ ду
dx дфТ" ' dx дф2 '
Cl — ~дх~~ С* ~~ ~~дх~
эти точные формулы заменим следующими приближенными:
dx cx \ ду )y=o ' dx c2 V ду }y=o ' ^ '
Из этих двух формул следует первое граничное условие для по-
поверхности раздела:
LJ^44 =0. B)
ду с2 ду
Одновременно с этим кинематическим условием должно су-
существовать условие динамического характера; мы должны напи-
написать, что давление не испытывает разрыва при пересечении по-
поверхности раздела. Пользуясь интегралами Бернулли для верхней
и нижней жидкости, получаем с помощью обычных в данной тео-
теории приближений одно соотцошение, из которого выводим формулу
§ 10. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 49
для определения функции т| (х):
Внесем это значение функции т| в одно из равенств A) и резуль-
результат подстановки преобразуем с помощью соотношения B);
получим второе граничное условие:
2
Обратимся теперь к решению поставленной в начале этого
параграфа задачи. Согласно условиям задачи мы можем взять
выражения потенциалов фх и ф2 в следующем виде:
фх = Аге~ку cos kx, ф2 = А2еЧу cos kx.
Граничное условие B) позволяет выразить неизвестные коэффи-
коэффициенты Аг и А2 через один произвольный коэффициент а:
Аг = асъ А2 = —ас2. E)
Составим затем граничное условие D). После упрощений получим
формулу, определяющую длину X = 2п1к установившейся волны,
выраженной через параметры задачи:
. 2я Ф2+Ф
Формула C) позволяет затем найти, на основании соотношения
F), уравнение волны:
т] = a sin kx. G)
Полагая в формуле F) сх = с2 = с, получаем
2 _ Р2 — Pi
На эту формулу мы можем смотреть как на формулу, определяю-
определяющую скорость прогрессивной волны длины К, распространяющейся
по поверхности раздела двух покоящихся жидкостей различных
плотностей. Эта формула показывает, что при небольшой разности
плотностей скорость волны незначительна.
Для двух потоков жидкости, обладающих скоростями сг и
с2, текущих между двумя горизонтальными прямыми и имеющих
в невозмущенном состоянии глубины h± и fo2, длина установившей-
установившейся волны может быть найдена решением трансцендентного урав-
уравнения
plC; cth -j± + р2с| cth -j± = j^ (p2 - pi).
50 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Полагая здесь сг = с2 = с, получаем формулу для скорости про-
прогрессивной волны:
С2 = j>h_ Pa—Pi t
2jc 2пНг 2nh2
рх cth —«— + p2 cth —т—
Эта формула может служить также и для определения длины уста-
установившейся волны при равенстве скоростей двух потоков.
Две последние формулы были обобщены Гринхиллом (A. G.
Greenhill) [105'] на произвольное число слоев жидкости различной
плотности. Эта работа Гринхилла содержит исследование самых
разнообразных задач о распространении волн.
Вернемся к задаче о волнах на поверхности раздела двух по-
потоков и введем подвижную систему координат, перемещающуюся
с некоторой постоянной скоростью U слева направо. По отноше-
отношению к этой системе координат волна G) будет прогрессивной, иду-
идущей со скоростью U в направлении уменьшающихся абсцисс.
Верхний и нижний потоки будут иметь по отношению к новой
системе координат скорости сх = сг — U и с2 = с2 — U.
Введем в формулу F) вместо сх и с2 новые скорости с[ и с'2,
получим
х 2я (c'z+U
g P2 — P1
Решая это уравнение относительно ?/, находим
P2—рГ PlP2
777Г~
Этой формулой определяется, таким образом, скорость прогрес-
прогрессивной волны длины А,, распространяющейся по поверхности раз-
раздела двух неограниченных потоков, имеющих скорости с[ и с'2.
Из формулы (8) вытекают различные следствия, например: длина
волны К не может быть меньше, чем
^-М2, A0)
и скорость ее распространения есть
Р2 + Pi
Всякой длине X, превосходящей Хо, отвечают две скорости распро-
распространения; если X будет меньше, чем
/2 /2
* 2л; S P2 + ci Pi
§ 11. ОБ ЭНЕРГИИ ВОЛН 51
то эти скорости будут одного направления и одна из них будет
больше, чем ?/0, а другая меньше, чем Uo. Одна из волн длины
'к1 будет обладать скоростью 2?/0, а другая — нулевой скоростью,
т. е. будет установившейся волной. Волны длины, превосходящей
^ъ будут прогрессивными и распространяющимися в противопо-
противоположных направлениях. При неограниченном увеличении X ско-
скорости этих волн становятся все ближе и ближе к скорости (8)
прогрессивных волн на поверхности раздела двух жидкостей, не
имеющих основных скоростей движения.
§ 11. Об энергии волн
Рассмотрим стоячие колебания, возникшие на поверхности
жидкости глубины h. Возьмем часть движущейся жидкости, за-
заключенную между дном и двумя вертикальными прямыми х =
= —п/к, х = п/к, отстоящими друг от друга на расстояние, рав-
равное длине волны. Найдем кинетическую и потенциальную энергию
такой массы жидкости.
Все движение жидкости описывается двумя формулами A1)
§ 3. Из этих формул имеем для величины скорости частиц жидко-
жидкости такое выражение:
V1 = 2зЙ?/Г [ch 2к (v + h)~ cos 2fcrJcos2 aL
Отсюда кинетическая энергия Т рассматриваемой массы жидкости
будет равна
г./к ц
Т ^ 4a2cIi2L COs2 Ot \ dx \ [ch 2к (у + ^ ~~ C0S 2kx^ dlJ'
—ъ'к —h
Верхний предел внутреннего интеграла можно заменить нулем
при взятой степени точности всех подсчетов, и мы получаем, поль-
пользуясь формулой (8) § 3,
1
Т = -r-gpa2X cos2 ot. A)
Найдем потенциальную энергию Й рассматриваемой массы
жидкости:
Q = gp jj dx^ ydy.
—л/к —h
Пользуясь выражением функции т) (х), получаем
1 1
Q == —г- gpa2% sin2 ot к- gph2X.
Условимся считать, что при отсутствии волн, т. е. при а = О,
52 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
потенциальная энергия жидкости равна нулю. Тогда выражение
потенциальной энергии волны будет
Q = JLgpa?X sin2 at. B)
Складывая почленно формулы A) и B), находим, что при наличии
стоячих волн полная механическая энергия жидкости, заключен-
заключенной между двумя вертикалями, разделенными длиной волны, есть
число постоянное и равное
П = 4-?РЛ C)
Как видно, полная энергия не зависит от глубины канала; формула
C) будет применима, в частности, и для жидкости бесконечной
глубины.
Определим полную механическую энергию стоячих колебаний
слоисто-неоднородной жидкости; обратимся для этого к форму-
формулам § 5.
Для колебаний первого рода имеем
Т = -^ g [pi + (р2 — р^ e-afth] a2X cos2 a^,
4
= 4-* [Pi + (P2 - Pi) e~2khl ^ sin2 at,
и, следовательно,
П = 4" 8 [Pi + (P2 - Pi) e**h] a% D)
где а — амплитуда колебаний внешней поверхности.
Для колебаний второго рода имеем
т=4- "ййгк l(p2 ~pi)+pienh] cos2 at>
п 4
п = 4- тг^г ^ kp* - p1) + pieisin oL
Следовательно, полная механическая энергия в колебаниях вто-
второго рода будет
П = -f -?ЙГ ^КР. - Ы + Pi*2*"]-
Это выражение может быть переписано в ином виде, если вместо
амплитуды а внешней волны ввести амплитуду Ъ внутренней волны:
п = 4-?тг1
Эта формула показывает, что при данном количестве полной
гии амплитуда внутренней волны увеличивается с уменьшением
разности плотностей.
§ ii. OB ЭНЕРГИИ ВОЛН 53
Подобного явления не наблюдается для колебаний первого
вида, как это следует из формулы D) после введения в нее ампли-
амплитуды внутренней волны:
П = —r-gb2lk [(р2 — pl) + Pi62?c/l]. F)
Обратимся теперь к вычислению энергии прогрессивных волн.
Как и для стоячих волн, будем вычислять энергию объема жид-
жидкости, заключенной между двумя вертикалями, отстоящими друг
от друга на длину волны X.
Пользуясь формулами G) § 6, находим для квадрата скорости
частицы жидкости следующее выражение:
- h) -\- cos 2 (кх —¦ at)] *
Отсюда кинетическая энергия будет определяться формулой
хв+Х О
Г== 4xflc№kh \ dx \ [сЪ-2к(у+ h) +cos2(кх — at)]dy.
Выполняя интегрирование, получаем
Вычислим затем потенциальную энергию:
х<Н-Х ц
п = gp ^ dx ^ ydy,
где ц определяется формулой B) § 6. Выполняя вычисления, полу-
получаем в предположении, что при отсутствии волн потенциальная
анергия равна нулю,
Q = -i-*(*»»*,-
Таким образом, кинетическая энергия прогрессивной волны равна
ее потенциальной энергии, и полная энергия будет
n = -Ygpa*X. G)
Пользуясь вычислениями, которые привели к формулам E) и F),
можно без труда написать формулы для полной энергии прогрес-
прогрессивных волн первого и второго вида соответственно в случае не-
неоднородной жидкости:
П = 2Г = 2Q = -Lgb*% [(p2 - Pl) + Ptf»*],
П = 2Т = 2п = ~^f^ gV% [Pl + (р, - Pl
54 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
§ 12. Образование волн пульсирующим источником
Во всем предыдущем изложении мы предполагали, что внутри
движущейся жидкости нет никаких особенностей, благодаря чему
потенциал скоростей представлял собой, следовательно, правиль-
правильную гармоническую функцию во всей области, занятой жидко-
жидкостью. Но для решения наиболее интересных задач теории волн
надо рассматривать волновые потоки с особенностями *).
Рассмотрим сначала потоки с изолированными особенностями,
причем наибольшее внимание уделим потокам бесконечной глу-
глубины, когда решение всех задач достигается исключительно просто
применением методов теории функций комплексного переменного.
Сначала мы рассмотрим течения бесконечно глубокой жидко-
жидкости, обладающие по времени некоторой заданной частотой а.
Возьмем характеристическую функцию течения W (z, t) в сле-
следующем виде:
W {z, t) = w (z) cos at. A)
Потенциал скоростей Ф (х, у; t) удовлетворяет следующему
граничному условию при у = 0:
Положим
w (z) = ф + рф.
Из граничного условия для Ф будет вытекать следующее условие
для функции ф:
дф а2 /л
Этому условию можно придать следующий вид:
где v = a2/g.
Полученное условие для поверхности жидкости, находящейся
в периодическом движении, имеет место для жидкости любой глу-
глубины. Предположим теперь, что под поверхностью жидкости на
глубине h находится источник, дебит Q которого изменяется
периодически с течением времени, обладая частотой о:
Q — q cos at.
Тогда функция w (z) будет иметь вблизи точки z = — hi следующий
вид:
*) Здесь автор на полях рукописи указывает работу Ю. М. Крылова [20]
о дифракции волн жидкости. (Прим. ред.)
§ 12. ОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН ПУЛЬСИРУЮЩИМ ИСТОЧНИКОМ 55
И
dw a 1
"Ж ~~ ~~ "ЗлГ z + hi "+"•••
Отсюда вытекает, что функция комплексного переменного
будет голоморфна во всей области, занятой потоком, т. е. для
Im z < 0.
Заметив это, рассмотрим следующую функцию:
'<•>-(?+•»)+*¦ {три-
При z действительном выражение, заключенное в фигурные скоб-
скобки, имеет действительные значения; сумма первых двух членов
также действительна при z действительном, как об этом говорит
формула B). Таким образом, функция F (z) принимает вдоль оси
абсцисс действительные значения; эта функция, будучи составлена
из функции w (z), определенной в нижней части плоскости, имеет
первоначально значения только в этой части плоскости. Но так
как функция F (z) имеет действительные значения вдоль действи-
действительной оси, то она может быть продолжена аналитически через
эту ось на всю верхнюю полуплоскость, получая для комплексно
сопряженных значений аргумента комплексно сопряженные зна-
значения.
Как было отмечено выше, функция C) не имеет особенности
в точке z = —hi; в этой же точке не имеет особенности и сумма
я
2л
Следовательно, функция F (z) будет голоморфна в нижней полу-
полуплоскости; отсюда вытекает, что после аналитического продолже-
продолжения через действительную ось функция F (z) будет голоморфна
на всей плоскости комплексного переменного z.
В удаленных частях плоскости переменного z сумма первых
двух членов функции F (z), а равно и выражение в фигурных скоб-
скобках ограничены по модулю. Найдем затем ограничение для функ-
функции
dw
при больших значениях j z [. Модуль производной dwldz дает
величину скорости; будем предполагать, что в удаленных частях
плоскости эта скорость стремится к нулю и , следовательно, огра-
щгеева некоторой величиной Vo ^> 0. Приняв это, возьмем на
56 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
плоскости какую-нибудь точку zQ и рассмотрим формулу
г
w(z) = w (z0) + ^ -? dz.
Из этого равенства получаем
\w(z)\<\w(zj\ + Vo\ z - zo\.
Отсюда следует, что функция D) растет при увеличении | z | до
бесконечности не быстрее, чем линейная функция переменного z.
Отсюда вытекает по обобщенной теореме Лиувилля, что функция
F (z) сводится к линейной функции
F (z) = А + В (z).
Таким образом, для определения функции w (z) мы получаем сле-
следующее дифференциальное уравнение:
dw .. . q ( 2z . . , z + ЛП л \ т> /tr\
_+ lvw + ^_{__ + lvln_i_| = а + Вг. E)
Интегрируя это уравнение, находим
2n z — hi jt JJ-Ai b'
где К = Rei<x есть постоянная интегрирования. Эта постоянная
будет определена ниже из дополнительных условий.
Рассматривая вместе эту формулу и уравнение E), легко обна-
обнаружить, что при погружении на бесконечную глубину производ-
производная dwldz стремится к B/(iv), но так как скорость в бесконечности
равна нулю по допущению, то В = 0. Что же касается величины А,
то ее можно приравнять нулю за счет увеличения функции w (z)
на постоянную величину.
Таким образом, функция w (z) будет определяться формулой
z .
w (z) = Reiae~™z — S— In z 71 Д- e~™z \ — d?. (Q)
7 2я z — hi л J J — hi x f
о
Найдем поверхность жидкости по формуле
- i (дф )
которая в рассматриваемой задаче принимает следующий вид:
т) = sin ot [ Re w (z)]y==Q.
§ 12. ОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН ПУЛЬСИРУЮЩИМ ИСТОЧНИКОМ 57
Пользуясь формулой F), получаем
х
ц = — — cos (vx - a) sin at + -g- sin ot Re <HV* JJ tztS" • G)
0
Для x, близких к положительной бесконечности, эта формула запи-
записывается так:
г] = 1- [R cos (v# — а) — q (A cos vx + В sin v#)] sin at, (8)
где
О
При стремлении х к отрицательной бесконечности формула G)
принимает вид
т] = [i? cos (vx — а) — q (A cos vx — В sin vx)] sin o?. (9)
о
Таким образом, далеко за источником колебаний, как вправо,
так и влево от него, поверхность жидкости покрыта стоячими вол-
волнами. Из формул (8) и (9) видно, что амплитуды и фазы этих волн
содержат произвольные величины йиа. Для определения этих
величин следует применить условие излучения, к составлению
которого мы и обратимся.
Граничное условие B), которому удовлетворяет функция w (z),
остается без всякого изменения, если вместо функции W (z, t),
входящей в формулу A), мы возьмем функцию Wx (z, t), определя-
определяемую так:
W± (z, t) = W (z, t) + Kxe-"z sin ot, A0)
где K± — произвольное комплексное число:
Добавочное слагаемое определяет движение от стоячей волны,
имеющей уравнение
т] = —- cos (vx — ax) cos at.
Присоединяя эти свободные колебания поверхности жидкости
к тому движению поверхности, которое дается формулой G),
получаем более общее решение задачи:
г\ = -— cos (vx — a) sin at + ^—±- cos (vx — аг) cos ot +
w о
+ ^sinofRerte(|=§. A1)
58 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Из этой формулы находим, что для х = оо и для х = —оо имеем
соответственно следующие уравнения волновой поверхности:
г] = !L [r Cos (vx — a) sin at — Rx cos (vx — аг) cos ctf] +
о
+ — (Л cos vx -f- 5 sin vx) sin at,
I A2)
ц = [д cos (vx — a) sin a? — i?i cos (vx — Ol) cos at] -f-
о
-f — (^4 cos vx — В sin vx) sin at.
о
Потребуем, чтобы поверхность волны была симметрична относи-
относительно оси х ~ 0. Это условие приводит к заключению, что углы
а и ах должны быть нулями. Возможное равенство нулю R или
Rx должно быть отброшено, так как при этом предположении мы
пришли бы к случаю только что разобранному. При a = аг = 0
уравнение A2) для положительных х может быть записано в сле-
следующем виде:
Л = 3J7 [(#i + Bq) cos (vx — at) + (R — Aq) sin (vx — at)] +
+ y- [(#t — 5g) cos (vx + or*) — (Л — Лд) sin (vx + a*)]. A3)
Первая строчка в A3) изображает прогрессивную волну, распро-
распространяющуюся в направлении увеличивающихся х; вторая строчка
изображает волну, распространяющуюся из положительной бес-
бесконечности к источнику. Поставим условие излучения: в направ-
направлении к источнику не должны идти прогрессивные волны как
из положительной бесконечности, так и из отрицательной беско-
бесконечности.
В силу этого условия вторая строчка в уравнении A3) должна
пропадать, и мы получаем, в силу этого, два уравнения для опре-
определения R и Rx:
Цг — Rq = 0, R — Aq = 0.
При соблюдении этих уравнений вид поверхности жидкости
справа от источника, на большом от него удалении, будет пред-
представлять собою прогрессивную волну
ц = -^_ д cos (vx — a*),
о
уходящую в область положительных х со скоростью с = alv =
= VSlyi присущей прогрессивной волне длины 2n/v. Коэффи-
Коэффициент В может быть вычислен так. Мы имеем уравнение
я ) б-л* я ) z + ht я ) z-ht *
о о
§ 12. ОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН ПУЛЬСИРУЮЩИМ ИСТОЧНИКОМ 59
Применяя теорию интегральных вычетов, находим, что последний
интеграл равен 2ie~v/l, откуда В = е~ф. Следовательно,
-Л = — e-"h cos (vx — at). A4)
о
Это — уравнение поверхности жидкости для больших положи-
положительных х; для отрицательных х, больших по своей абсолютной
величине, найдем
Л = — e-"h cos (vs + <**)• A5)
о
Таким образом, при взятом выборе величин a, av R, R± соблю-
соблюдается условие излучения, благодаря которому в обе стороны
от источника распространяются одинаковые прогрессивные волны.
Пользуясь найденными значениями постоянных К и Кх, мы
можем написать выражение характеристической функции W1 (z, t),
отвечающей поставленным условиям излучения, в таком виде:
\?г {z, t) = q(A cos Gt + e~vh sin at) е~ы —
где
оо
/1 _ ^ С .?cos v^ — ^ s^n VS
о
Вернемся к формуле A1) и придадим ей окончательный вид, ис-
используя найденные значения величин a, av R, Rv Получим
г, = -^e-4os(v^=F^) -^sina^ Re.-- J -l^S ; A7)
верхние знаки берутся для положительных х, нижние — для от-
отрицательных X.
Рассмотрим изменение амплитуды а уходящих прогрессивных
волн в зависимости от частоты а, имеем
а = 32-е-*кшщ A8)
При изменении а от нуля до yg/2h амплитуда монотонно увеличи-
увеличивается от нуля до q/]/r2egh; при дальнейшем увеличении частоты a
до бесконечности амплитуда а монотонно стремится к нулю.
Рассмотрим теперь образование волн двумя источниками,
симметрично расположенными относительно оси Оу\ пусть
60 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
дебиты Qx и Q2 этих источников будут
Qx = q cos (ot — e),
Q2 = q cos (ot + e).
Обозначим через 21 расстояние между источниками.
Применение формул A4), A5) позволяет без труда найти урав-
уравнение поверхности жидкости для больших значений | х |; имеем
т] = -^ e~4h cos (vl + е) cos (vx + at).
о
Отсюда находим амплитуду ах волн, уходящих в направлении
увеличивающихся х, и амплитуду а2 волн, уходящих в направле-
направлении уменьшающихся х:
о
Исследование величин аг и а2 в зависимости от частоты приводит
к интересным заключениям. Зависимость аг от а может быть за-
записана так:
ал = 2а cos (— е) ,
\ 8 I
где а определяется формулой A8). Отсюда видно, что кривая,
изображающая аг как функцию от а, имеет бесконечное число
экстремальных ординат и вписана между двумя симметричными
кривыми 2а (а) и —2а (а). Экстремальные ординаты кривой аг
отвечают частотам, удовлетворяющим уравнению
2оЧ I '
кроме того, для бесконечного числа частот
а =
ордината кривой аг обращается в нуль и, следовательно, наблю-
наблюдается полная интерференция двух прогрессивных волн, обра-
образующихся действием двух рассматриваемых источников. Затем,
при каждом а найдется такая разность фаз е, что амплитуда аг
будет обращаться в нуль, т. е. будет снова наблюдаться полная
интерференция.
Аналогичные заключения можно вывести и в отношении ам-
амплитуды а2.
§ 13. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ 61
§ 13. Задача о пульсирующем источнике,
находящемся в жидкости конечной глубины
Простые соображения, основанные на методах теории функций
комплексного переменного, позволившие решить задачу об источ-
источнике, находящемся в жидкости бесконечной глубины, не дают,
однако, возможности решить аналогичную задачу для источника,
находящегося под поверхностью жидкости конечной глубины.
Для решения такой задачи придется пользоваться другими ме-
методами, которые с большим успехом прилагаются к решению
пространственных задач.
Допустим, что под поверхностью жидкости глубины Н нахо-
находится источник, дебит которого Q меняется с течением времени,
следуя гармоническому закону при частоте а и амплитуде q:
Q = q cos at.
Предположим, что источник находится в точке S с координатами
(О, —/г). Мы имеем в виду определить периодическое волновое
движение, обладающее частотой or.
Возьмем потенциал скоростей Ф (х, у; t) движения жидкости и
представим его так:
Ф (я, У\ t) = Фх (ж, у) cos at. A)
Функция Фх (х, у) имеет в точке S (О, —К) особенность вида
характеризующую источник.
Рассмотрим одновременно вспомогательный сток в точке
S' @, й); потенциал скоростей этого стока будет
Приняв это, представим потенциал скоростей Фх (я, у) в виде
суммы двух слагаемых:
где ф (х, у) — интеграл уравнения Лапласа, правильный в обла-
области течения жидкости
— оо<я<оо, — Н<у<0.
Функция Ф1 удовлетворяет следующим граничным условиям:
(дФЛ 0 (дФг Га2ф
62 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда получаются граничные условия для определения
функции ф (х, у):
Будем искать функцию ф (х, у) в виде следующего интеграла:
оо
ф (х, у) = \ {(A ch ky + В sh ky) cos to -f (^ ch ^У + Z?shA;y)sin to}d/b,
о
E)
где А, В, С, D — некоторые функции переменного к; эти функции
мы определим из граничных условий C) и D). К этим условиям
мы добавим, кроме того, требование симметрии всего движения
относительно оси Оу. В силу этого требования мы должны принять
в формуле E) функции С и D равными нулю.
Таким образом, при высказанном дополнительном условии
мы можем представить искомую функцию ф (х, у) в виде следую-
следующего интеграла:
ф (х, у) = ^ (A ch ky + В sh ky) cos kx dk. F)
о
Составим граничные условия C) и D); получим
\(BchkH-A sh Щ) к cos **<№-&{„ +H+l h? -
0
G)
(kB- —
\ g
Неизвестные функции А и В могут быть найдены из этих уравне-
уравнений с помощью формул обращения преобразования Фурье. По-
Получаем:
(BchkH -AshkH)k =
- AJ]cos ^ arr'
уд _a^ . __ 2^/г Р cos kxdx
К** — -?А~ ~W\ Ж2 + Л2 •
0
Интегралы, стоящие в правых частях этих уравнений, могут быть
§ 13. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ
вычислены по формуле
оо
С cos kx dx
j х2 + р2 2р '
о
и мы получим
BchkH-AshkH= -Л-<
Отсюда
q
я
q
chk(H
к sh kH — -
-А)
ст2
—- ch ftff
>
4 sh kh
kshkH——chkH
о
Подставим эти значения А и В в формулу F); получим
kshkH— — ch/сЯ
(9)
Эту формулу необходимо сопроводить важными разъяснениями.
Для всякого значения о знаменатель подынтегральной функции
обращается в нуль при некотором значении к = к0, являющемся
действительным корнем уравнения
kshkH- — chfctf = 0. A0)
В силу этого интеграл (9) теряет смысл. Но чтобы сохранить по-
полученное выражение функции ф(#, г/), изменим два раза в форму-
формуле F) путь интегрирования. Мы предполагали, что, начиная
с формулы F), интегрирование ведется по действительным зна-
значениям к. Теперь, приняв установленные предыдущими вычисле-
вычислениями выражения функций А и В, будем в формуле F) считать
интегрирование ведущимся сначала по какой-нибудь кривой 1\
верхней полуплоскости, а затем ш) какой-нибудь кривой Г2 ниж-
нижней полуплоскости комплексного переменного к; та и другая
кривые идут от точки к = 0 до точки к = оо. Отметим, что между
кривой Г2 и действительной осью не должны содержаться нули
функции к sh kll ch kH. То же самое относится и к кривой Г2.
64 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
При таком изменении первоначального пути интегрирования усло-
условия G) остаются выполненными.
Заметив все это, мы можем написать два разных потенциала
скоростей, удовлетворяющих, однако, условиям C) и D):
ф1 (%, У) = \ (A ch ky -f- В sh ky) cos kx dk,
ф2 (x, y) = \ (A ch ky + В sh ky) cos kx dk.
ra
Путь интегрирования 1\ может быть непрерывно преобразован
в отрезок оси абсцисс от точки 0 до точки к0 — е, полуокружность
Yi с центром в точке к0 и радиуса е и в бесконечный луч оси
абсцисс от точки к0 + е до оо. Путь Г2, в свою очередь, может быть
преобразован в путь, состоящий из тех же самых частей действи-
действительной оси и из полуокружности у2, находящейся в нижней
полуплоскости; центр этой полуокружности находится в точке к0,
и радиус есть 8.
Рассмотрим потенциал скоростей, определяемый полусуммой
потенциалов A1); этот потенциал, который обозначим снова через
Ф (х, у), может быть записан схематически так:
/Со—8 ©о
О fco+e Vi Y2
Будем теперь радиус е уменьшать до нуля; тогда сумма двух пер-
первых интегралов правой части будет стремиться к тому, что назы-
называется главным значением интеграла по Коши. Отмечая звездоч-
звездочкой, что интеграл берется в смысле главного значения, будем
иметь
Ко—? оо оо
fco+e
Рассмотрим два последних интеграла формулы A2). Около точки
к = к0 мы можем написать следующее разложение первого мно-
множителя подынтегральной функции:
м
где ЛТ0, Мр . . .— некоторые функции переменного у; отметим
значение коэффициента М:
М = ch koy-lim [(к — ко)А] + sh коу-lim [(к - ко)В].
Ь 13. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ 65
В силу этого имеем
lim ^ = — ni [P ch koy cos кох + Q shkoy cos kox],
где
Р = lim [(ft — ко)А], Q = lim [(ft — ко)В].
к-*к9 к-*ко
Совершенно такое же предельное значение имеет и последний
интеграл формулы A2), но с той лишь разницей, что перед квадрат-
квадратной скобкой будет стоять вместо —ni величина ni, так как дуга 72
лежит в нижней полуплоскости. Следовательно, два последних
интеграла формулы A2) взаимно уничтожаются.
Таким образом, потенциал ф (#, у) будет записываться так:
Ф (я, у) =
*~ ch к (Я — h) ch ку +1 e~hl sh kli + —г- е~Кп sh kh sh ky
_- JL \ \ ?l / поя fa dk.
П о /csh/сЯ —— ch/сЯ /434
По самому своему построению этот потенциал удовлетворяет гра-
граничным условиям C) и D).
Определим по формуле
Ti= — — Фг(х, 0)sina^
о
вид поверхности жидкости. Пользуясь формулами B) и A3),
получаем
ос
ch k (Я — /г) cos kx дь
sh fcH — — ch kll
Ь
Эта простая формула, однако, не так удобна для исследования,
как та, которую можно получить, используя потенциалы A1). С по-
помощью этих потенциалов мы можем записать выражение г\ в сле-
следующем виде, используя четность подынтегральной функции и
делая замену переменного кН = |:
до . lD f
Ц = — -^— sm а^ Re \
1
\
chbl-e
\ sh 5 — т ch \
I sh I - х ch Ьс
3 Л. Н. Сретенский
66 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
где
h-H-h х- —
Путь интегрирования 1\ состоит из полупрямой (—оо, —к0Н — е),
полуокружности нижней полуплоскости у! с центром в точке
—к0Н и радиуса е, отрезка оси абсцисс [— к0Н + 8, к0Н — е],
полуокружности Yi с центром в точке к0Н = ?0 и расположенной
выше оси абсцисс и полупрямой {к0Н + 8, оо).
Путь интегрирования Г2 состоит из тех же прямолинейных
участков, как и путь Г1? но вместо полуокружности Yi берется
полуокружность 72 верхней полуплоскости, а вместо полуокруж-
полуокружности Yi берется полуокружность ^2 нижней полуплоскости.
Преобразуем формулу A5) к новому виду, считая сначала,
что х > 0.
Рассмотрим в плоскости комплексного переменного \ = Я + i\i
мероморфную функцию
Эта функция имеет два действительных простых полюса ?0 и —?0
и, кроме того, бесконечное число чисто мнимых полюсов первого
порядка:
In = tyn, n = ±1, ±2, ±3, . . .,
причем [in будет корнем уравнения
[I sin \i + т cos \i = 0.
Заметив это, рассмотрим контур AXA2A3A^, составленный из трех
прямолинейных отрезков, параллельных осям координат. Отрезок
АгА2 начинается в точке Av находящейся на действительной
оси и имеющей абсциссу ? = а = -т>-Bп + 1), число п — целое;
конец этого отрезка, точка Л2, имеет аффикс \ = а + ia\ гори-
горизонтальный отрезок А2Ад кончается в точке А3 с аффиксом
I as —a + ia; наконец, третий отрезок Л3Л4> параллельный оси
ординат, кончается в точке Av имеющей абсциссу g = —а.
Оценим модуль функции F (|) на сторонах построенного кон-
контура.
На стороне АХА2 переменное ? может быть изображено так:
I = а + i\i, 0 < [х < а.
Ограничим снизу модуль знаменателя функции F (|). Имеем
^ sh | — т ch ? = [(a sh а — xch a) cos \i — \л ch a sin \i] +
+ [(a ch a — т sh a) sin \i + \*> sh a cos ji]i;
§ 13. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ
67
отсюда
| | sh | - т ch I | 2 -
= (a sh а — т ch аJ cos2 \i + (а ch а — т sh аJ sin2 [x +
+ 2т[л sin ц, cos \i + fx2 (sh2 а cos2 \i + ch2 a sin2 fx).
Отбрасывая последнее слагаемое правой части и заменяя сумму
первых двух членов ее наименьшим значением, получаем
sh Е — т ch
(a sh а — т ch аJ + 2t[x sin fx cos
Из этого неравенства вытекает, что на прямой АгА2 рассматривае-
рассматриваемый знаменатель возрастает по своему модулю вместе с а, т. е.
вместе с п, не менее быстро, чем V2aea.
Что же касается числителя функции F (?), то его модуль воз-
возрастает вместе с п менее быстро, чем еы; это следует из неравен-
неравенства
| ch bl | 2 = ch2 ba cos2 b\x, + sh2 6a sin2 b\i < ch26a + sh2fea.
-Si
Таким образом, на прямой А±А2 модуль функции F (%)ен , рав-
ный | jF (g) | е н , может быть ограничен сверху так:
Отсюда вытекает, что
А*
\ ^Sh^~t
ch
ах
A6)
Такое же неравенство может быть установлено и для отрезка
e
A7)
Рассмотрим теперь горизонтальный отрезок А2А3; в точках этого
отрезка имеем
I = Я + ai, — a < Я < a.
Отсюда получаем
ch bl | = ]/-i- [ch 26X + cos 2ba) ,
3*
ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ЁЕСКОЙЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Следовательно, на линии А2А3 будем иметь такое неравенство:
Отсюда находим следующее неравенство:
Аз ^rli
ch b^ е d\
Пользуясь неравенствами A6), A7) и A8), мы приходим к следую-
следующему неравенству для х ^> 0:
—
ch Ь\ ен
Е, sh \ — х ch ^
A9)
При неограниченном увеличении числа а, т. е. при неограничен-
неограниченном расширении контура А1А2А3А4: в горизонтальном и верти-
вертикальном направлениях, правая часть этого неравенства стремится
к нулю.
Возьмем теперь замкнутый контур, состоящий из ломаной ли-
линии А1А2А3А4: и из участка АгА± контура 1\, заключенного между
точками А± и Л4. Интеграл
ch Ъ\ ея
B0)
I sh I - x ch l "ъ'
взятый по замкнутому контуру А1А2А3А^А1, будет равен 2яг,
умноженному на сумму вычетов полюсов, находящихся внутри
этого контура. Внутри контура будут полюсы с аффиксами
"L W Л « v М^ ^ ^ г^2 9 * * * 9 ^ г^ 71 *
Полюсу —10 отвечает вычет
х
, где
соо =
[?2
1-т + Т"
sh
полюс же i\im имеет вычет —i®me a , где
cos b\i
-t-— J
Отметив это, будем увеличивать неограниченно размеры контура,
придавая числу п последовательно целые значения, стремящиеся
к бесконечности. Из неравенства A9) будет следовать тогда, что та
I 13. ЗАДАЧА О ПУЛЬСИРУЮЩЕМ ИСТОЧНИКЕ 69
часть интеграла B0), которая относится к ломаной линии
АгА2Лз^4» будет неограниченно приближаться к нулю, благодаря
чему интеграл B0) приведется к интегралу по пути 1\. В силу
этого получим
Возьмем затем второй интеграл формулы A5). Повторяя для него
все предыдущие рассмотрения и замечая, что внутри соответствую-
соответствующего замкнутого контура будет в этом случае не полюс — ?0, а
полюс g0, получим
B2>
т=1
Пользуясь этими формулами, мы можем придать теперь формуле
A5) следующий вид для х ^> 0:
00 х
ц = 32- щ sin ot sin -jrlo — — sin at \ come H m . B3)
m=i
Возвышение поверхности жидкости г\ симметрично относительно
оси ординат, поэтому для х < 0 имеем
00 х
ц = —!~ (оо sin at sin -^- ?0 — ~- sin at \ сот^я l m . B4)
т=1
Части общего возвышения поверхности жидкости, изображае-
изображаемые бесконечными суммами, быстро спадают на нет по мере уда-
удаления от источника колебаний. Следовательно, вдалеке от источ-
источника поверхность жидкости покрыта стоячими волнами, изобра-
изображаемыми первыми слагаемыми формул B3) и B4).
Но на течение, которое приводит к формулам B3) и B4), мы
можем наложить течение, соответствующее стоячим волнам,
т] = -^- соо cos at cos -j=- g0. (Z5)
Тогда поверхность жидкости будет представляться уравнением
Ч = I?-со0cos(JLl0zpat}-9jLsinat ^пе~^т; B6)
?П=1
знак минус отвечает положительным ж, знак плюс — отрицатель-
отрицательным.
70 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Таким образом, мы получаем другое решение поставленной
задачи, отвечающее новым условиям о виде поверхности жидкости
на большом удалении от источника колебаний. Это решение со-
состоит из двух частей. Первая часть определяет прогрессивные
волны, уходящие в обе стороны от источника со скоростью
с = ой7?0 = а//с0, присущей свободным волнам частоты а. Вторая
часть дает симметричное относительно начала координат и быстро
убывающее по мере удаления от него колебание поверхности.
Относительно полученного решения задачи следует сделать
одно замечание. Представляя решение задачи в виде полусуммы
определенных интегралов A1), мы пришли к уравнению поверх-
поверхности жидкости в виде A4); анализ этого решения показал, что по-
поверхность жидкости вдалеке от источника имеет форму стоячих
колебаний. Мы определяли решение задачи, имеющее тот же пе-
период, каким обладает дебит пульсирующего источника. В силу
этого на полученное решение A4), B3), B4) может быть наложено
любое решение, изображающее свободные периодические волны
с частотой ст. Наложив на поверхность жидкости стоячие колеба-
колебания частного вида B5), мы нашли новое частное решение задачи
с прогрессивными волнами, разбегающимися в обе стороны от
источника. Но мы могли бы наложить на волны A4) и другие
свободные волны частоты а, 2а, За и т. д. Иными словами, постав-
поставленная задача о волнах, возбуждаемых пульсирующим источни-
источником, не имеет единственного решения.
Чтобы получить единственное решение, следует задачу поста-
поставить иначе, как задачу о неустановившемся волновом движении,
которое создается в начальный момент времени в покоящейся жид-
жидкости источником, который в этот момент времени начинает свои
периодические пульсации с предписанной частотой. Предельное
течение жидкости, которое будет наблюдаться по истечении боль-
большого промежутка времени, обладающее уже установившимся
периодическим характером и симметрией относительно оси
ординат, и следует считать истинным решением задачи о волнах,
возникающих от периодически пульсирующего источника.
Заметим, что таким образом поставленная задача вызывает
большие трудности при своем решении. Вместе с тем есть все
основания считать, что «истинное решение» задачи должно даваться
формулой B6), полученной из достаточно простых соображений.
§ 14. Обтекание круглого цилиндра
Применим общий метод теории функций комплексного пере-
переменного к одной из простейших задач об обтекании твердого тела
установившимся потоком тяжелой жидкости.
Допустим, что на круглый цилиндр радиуса а, центр кото-
которого находится на глубине h под поверхностью тяжелой жид-
§ 14. ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 71
кости бесконечной глубины, набегает поток жидкости со скоро-
скоростью с.
Требуется определить форму волновой поверхности жидкости
и силы давления потока на цилиндр.
Отметим сразу же, что задача приводит к весьма значительным
трудностям при своем решении. Эти трудности возникают из усло-
условия обтекания поверхности цилиндра. Поэтому при начальном
рассмотрении задачи довольствуются приближенным соблюдением
условия обтекания, считая, что действие цилиндра на поток жид-
жидкости, имеющей открытую поверхность, равноценно действию
диполя и точечного вихря (если на цилиндр наложена циркуля-
циркуляция), заменяющих цилиндр при его обтекании неограниченным
потоком.
Таким образом, считается, что характеристическая функция
течения около точки z = —hi имеет следующий вид:
A)
причем ненаписанные слагаемые голоморфны во всей области
течения жидкости.
Положим
w (z) = ф (х, у) + п|) (х, у).
На свободной поверхности, а точнее при у = О, функция я|) (х, у)
должна удовлетворять условию (см. § 9)
i^v_ б_-ф) = 0.
Придадим этому условию другой вид:
Im(|.?-4-*) -0. B)
Рассмотрим теперь следующую функцию комплексного перемен-
переменного:
составленную с использованием формулы A). Построенная функ-
функция голоморфна во всей области, занятой потоком, а именно для
Im z < 0.
72 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Установив это, возьмем такую функцию комплексного пере-
переменного:
i i , g 1 ,
+ +
г» / \ • dw g j> Г
F W = * -я- - -Jr «> - * 4
-4- g 1 1 1 * Г
1 1 ln
+ fei + 2 - Ai ^ с* г -
В силу условия B) и присоединения надлежащим образом выбран-
выбранных функций, функция F (z) принимает на действительной оси
действительные значения и может быть продолжена аналитически
в верхнюю полуплоскость. Так как функция C) голоморфна
в нижней полуплоскости, а новые функции, добавленные для со-
составления функции F (z), также голоморфны в нижней полуплос-
полуплоскости, то отсюда вытекает, что функция F (z) будет голоморфной
на всей плоскости комплексного переменного z.
Так как функция dw/dz, изображающая комплексную скорость
дополнительных движений, вызванных присутствием диполя и
вихря под свободной поверхностью, является ограниченной во всей
нижней полуплоскости вне окрестности точки z = —hi, то отсюда
можно вывести, как и в § 12, что функция F (z) сводится к постоян-
постоянной действительной величине С, которую можно считать равной
нулю. Приравнивая правую часть формулы D) этой константе,
получаем линейное уравнение для определения неизвестной функ-
функции w (z). Интегрируя это уравнение, имеем
Постоянная интегрирования К = Reia должна быть определена
из дополнительных условий.
Ординаты поверхности жидкости определяются по формуле A)
§ 9 в следующем виде:
т| = — Re—_
1 g \ dz Jz=x
Выполняя подсчет по формуле E), получаем
+ ^(JL _!?!?) Re? *—*• (в)
с \ л с I iS — hi ъ v/
—со
Чтобы определить неизвестные константы R и а, предположим,
§ 14. ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 73
что поток вдалеке перед цилиндром имеет гладкую горизонталь-
горизонтальную поверхность. На основании этого дополнительного условия,
относящегося к х = —оо, находим, что R = 0. Таким образом,
получаем
, ч 2a2chi xi 1 z 4- hi ,
»Ю-7 + ы +
2tflg
ОО
(8)
Найдем с помощью формулы F) вид поверхности жидкости далеко
за преграждающим цилиндром, т. е. для х = оо.
Для больших положительных х интеграл в формуле F) имеет
следующее значение:
Отсюда вытекает, что далеко за обтекаемым цилиндром уравнение
поверхности жидкости имеет вид
Из формулы (8) видно вместе с тем, что далеко перед цилиндром
уравнение поверхности будет
Таким образом, присутствие в потоке жидкости препятствия соз-
создает на поверхности симметричное возвышение, сопровождаемое
за препятствием последовательностью установившихся волн длины
Из формулы (9) видно, что в том случае, если циркуляция к
потока вокруг цилиндра имеет специально выбранное значение
за цилиндром не будет развиваться волновой хвост.
Определим теперь воздействие потока на цилиндр. Обозначим
через X ж Y компоненты по осям координат главного вектора сил
74 ГД. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
давления потока на цилиндр. Для определения этих величин
имеем общую формулу С. А. Чаплыгина:
где С — контур цилиндра. Из формулы G) имеем
dW dw _ аЧ кг I
~1Г "~ ~~ ° """ dz " (z + ЛгJ "т" 2я 2 + hi '
i C'
j _
(^ — /пJ 2я z — hi + 1 \ а с I z — hi
Применяя к вычислению интеграла A0) теорему о вычетах,
получаем
Чтобы привести эту формулу к окончательному виду, выразим
входящий в нее интеграл через интегральную показательную
функцию.
Путь интегрирования, начинающийся в точке ? = —оо и
кончающийся в точке ? = — hi, можно преобразовать в путь L,
идущий из точки ? = оо? в точку ? = — hi вниз по мнимой оси
с обходом точки ? = hi небольшой полуокружностью, располо-
расположенной левее мнимой оси:
-м их. йь
— оо L
Используя понятие о главном значении интеграла по Коши, мы
можем этот последний интеграл преобразовать к такому виду:
-л -?
полагая здесь | = —fe Bт — 1), получаем окончательно:
§ 14. ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 75
Теперь формула A1) дает значения 1иУв следующем виде:
/- J , - <13>
— oo
Полагая в этой формуле % = О, находим силы воздействия бесцир-
бесциркуляционного волнового потока на цилиндр; полагая же а = О,
получаем силы воздействия потока на изолированный вихрь.
Отметим для этих случаев отдельно выражения горизонтальной
составляющей главного вектора давлений:
*Y A4)
с2 ' v '
первая формула относится к бесциркуляционному обтеканию
цилиндра; вторая — к неподвижному вихрю. Если в первом слу-
случае рассматривать глубину погружения и радиус цилиндра как
величины неизменные, а скорость движения менять, то величина X
при изменении с от нуля до |/gh будет монотонно возрастать от
. 4я2' / а2\2
нуля до значения—гР8\~г) » ПРИ дальнейшем увеличении с
до бесконечности X будет монотонно убывать до нуля.
Величина X для вихря обладает таким же характером изме-
изменения в зависимости от скорости потока. При неизменных % и
h составляющая X монотонно возрастает при увеличении с от
нуля до yr2gh и принимает максимальное значение, равное
(M2/2eh; при дальнейшем увеличении скорости величина X моно-
монотонно стремится к нулю.
Решение задачи о бесциркуляционном обтекании круглого
цилиндра с точным соблюдением условия его обтекания было пред-
предложено Хэвелоком [124].
В основу этого решения положена формула, определяющая зна-
значения аналитической функции w (z), заданной в области, ограни-
ограниченной осью абсцисс и окружностью, лежащей в нижней полу-
полуплоскости, по значениям этой функции на оси абсцисс и на окруж-
окружности. Такая формула представляет рассматриваемую функцию
в виде двух слагаемых: первое слагаемое есть ряд, расположен-
расположенный по целым отрицательным степеням разности z—hi, второе сла-
слагаемое представляет собой определенный интеграл, взятый по дей-
76 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
ствительной оси и содержащий преобразование Фурье значений
аналитической функции на действительной оси. Это второе сла-
слагаемое записывается так:
F(k)e-ikzdk,
где
Таким образом,
w{
e~ikz dk.
Условие обтекания цилиндра и граничное условие B) приводят
к бесконечной системе линейных уравнений для определения бес-
бесконечного числа неизвестных А „. Эта система может быть решена
с помощью детерминантов бесконечного порядка.
Хэвелок определил неизвестные коэффициенты Ап в виде сте-
степенных рядов, расположенных по параметру agle. Применяя
44
иг
-
0,6 0,7
к
<:
;
0,8 ^чй^ 10 c/}fgh
Рис. 1.
формулу Чаплыгина, Хэвелок нашел компоненты X, Y главного
вектора сил давления потока на цилиндр с точностью до восьмой
степени указанного параметра. Полученные общие формулы
для X и У он применил к подсчету волнового сопротивления и
подъемной силы для двух значений отношения alh, равных 1/4
и 1/2, при значениях параметра 2gh/c2, меняющихся в пределах
от 1 до 8.
Результаты вычислений даны на рис. 1, построенном для
alh = 1/2. По оси ординат отложена величина силы в долях веса
воды в объеме цилиндра. Кривые Rx = — Хг жУх построены по
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 77
формулам первого приближения, не учитывающим условия обте-
обтекания цилиндра, а именно при его замене диполем. Кривые
R = —X и Y построены с использованием найденных общих
формул. Из этих формул следует, что учет условий обтекания
приводит к повышению волнового сопротивления для малых ско-
скоростей и к значительному его снижению для больших скоростей;
это изменение в величине вычисляемого волнового сопротивления
оценивается по отношению к волновому сопротивлению диполя.
§ 15. Движение крутого цилиндра под поверхностью
жидкости конечной глубины
Изложим приближенное решение задачи о волновых движе-
движениях, вызванных движением круглого цилиндра над горизонталь-
горизонтальным дном. Эту задачу мы решим, заменяя действие цилиндра дей-
действием одного диполя, который в случае неограниченной жидко-
жидкости заменял бы собой обтекаемый цилиндр.
Пусть скорость набегающего потока вдалеке перед цилиндром
будет с, глубина потока Н и глубина погружения центра диполя
под свободной поверхностью h; момент диполя, заменяющего
цилиндр радиуса а, будет —2ла2с.
Потенциал волновых скоростей ф (х, у) удовлетворяет при
у = —Н условию
Вдоль свободной поверхности, у = 0, функция ф (х, у) должна
удовлетворять условию
i!2. 4- -L*E.-0 B\
дх* > с* ду — W
Вблизи центра погруженного цилиндра, т. е. около точки х = 0,
у = —h, функция ф должна иметь, на основании высказанных вы-
выше доцущеций? следующий вид:
Ф *= "^ Т
Введем две гармонические функции
аЧх
ф^ 55= —- — j —- , ф2
и представим функцию ф в следующем виде:
Ф (*, У) = Ф1 (*, У) + Ф2 (х, у) +Ф (х, у), C)
где ф (х, у) — гармоническая функция, правильная в нижней
полуплоскости.
78 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
В силу условий A) и B) эта функция будет удовлетворять сле-
следующим граничным условиям:
Правые части этих условий являются нечетными функциями пере-
переменного х, поэтому будем искать функцию Ф (х, у) в виде следую-
следующего интеграла:
ф (я, у) = ^ (Л ch ку + В sh ky) sin fcjc d&; F)
о
А и В — две неизвестные функции переменного к, подлежащие
определению. Путь интегрирования идет по плоскости комплекс-
комплексного переменного к, начинаясь в точке 0 и кончаясь в точке +°°.
Для определения функций А ж В воспользуемся граничными
условиями D) и E). Эти условия приводят к следующим равен-
равенствам:
k(AshkH — BchkH)smkxdk =
_ 2а?с (Н + h)x 2а2с(Н — h)x
~~ [я?а + (Н + /гJ]2 ~" [я?а _|_ (Я — /iJ]2 '
Применяя к этим двум равенствам формулы обращения преобра-
преобразования Фурье, получаем два уравнения:
A sh кН - В ch кН = -2а2се~т sh kh,
с2 с
Детерминант этой системы уравнений
J kchkH
обращается в нуль для бесконечного числа чисто мнимых значе-
значений к = i\x/H, где (л — корень уравнения
tgn = -^n. (8)
Если, кроме того, скорость с не превосходит ]^]ЦН, то А (к) будет
обращаться в нуль для одного действительного положительного
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 79
значения к и равного ему, но противоположного по знаку отри-
отрицательного к.
Если же с)> VgH, то уравнение А (к) = 0 не будет иметь
действительных корней.
Допустим, что путь интегрирования в формуле F) выбран так,
что он не проходит ни через один из корней уравнения А (&) =0.
Решая систему уравнений G), получаем возможность записать
выражение функции Ф (х, у) так:
Ф (х, у) = ^- ^ [chк (Я — К) chky
+ I e~h* sh kH + — <гя* sh kh) sh %| -^g- dfe. (9)
Приступая к анализу этой формулы, которая в соединении с фор-
формулой C) дает частное решение граничной задачи D), E), допустим
сначала, что скорость потока с больше чем \fgH. В этом случае
путь интегрирования в формуле (9), который шел по комплексной
плоскости, можно расположить по положительной части оси
абсцисс. Пользуясь формулой A) § 9, мы можем найти форму
поверхности жидкости. Выполняя вычисления, имеем
ch к (Н — К)
Повторяя те соображения, которые в § 13 привели нас от фор-
формулы A4) к формуле B3), мы можем и в данном случае преобра-
преобразовать интеграл A0) в бесконечный ряд, расположенный по вы-
вычетам подынтегральной функции.
Выполняя необходимые вычисления, получаем
71=1
где
H — h
Суммирование распространяется на все положительные корни \хп
уравнения (8).
Формула A1) показывает, что при скорости потока, превосхо-
превосходящей YgH, поверхность жидкости имеет форму, симметричную
относительно вертикали, проходящей через центр сферы; по мере
80 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
удаления от этой вертикали ординаты поверхности очень быстро
убывают, и поверхность жидкости не имеет волнистого вида.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда скорость
потока меньше чем )fjH. В этом случае интегрирование в форму-
формуле (9) нельзя вести по оси абсцисс, так как на этой оси будет точка
к = к0, обращающая в нуль функцию А (к). Возьмем сначала
в качестве пути интегрирования сложный путь Г1? состоящий
из отрезка оси абсцисс [0, к0 — е], полуокружности Yi с центром
в точке к0 и радиуса 8 и бесконечной полупрямой (к + 8, оо);
полуокружность Yi лежит выше оси абсцисс. Возьмем наряду
с этим путем путь Гг, симметричный пути Тг относительно начала
координат. Этот путь будет иметь в качестве составной части
полуокружность у! в нижней полуплоскости. Потенциалу Фг (х, г/),
построенному для пути Гц будет отвечать функция г|х, определяе-
определяемая формулой
9 Г chk(H-h) 7 77
Г[1=а2 \ — - cos kxdk.
Возьмем затем путь интегрирования Г2, симметричный пути Тг
относительно оси абсцисс. Мы получим тогда по формуле (9)
новый потенциал. Функция т]2, соответствующая этому потен-
потенциалу, может быть представлена формулой
т]2 = а1 \ ^- cos kx а к;
Г2 — путь, симметричный пути Г2 относительно начала координат.
Возьмем теперь полусумму потенциалов Фг и Ф2; потенциалу
V2 (Фх + Ф2) будет отвечать поверхность жидкости, определяемая
уравнением
г] = -^- or \ —-—^—¦ cos kx dk -\-
^cbkH—fashkH
+ -l-e. \ chfc(g-A) coskxdk. A2)
^ehfcff-i»hfcff
Преобразуем эти интегралы в бесконечные ряды. Это преобразо-
преобразование выполняется таким же контурным интегрированием, каким
был выполнен при с > ]f gHпереход от интеграла A0) к ряду (И).
Но в данном случае надо еще принять во внимание вычеты от дей-
действительных полюсов к0 и —/с0, присущих подынтегральной
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 81
функции при с < YgH\ отметим, что ко^>О — корень уравнения
Выполняя необходимые подсчеты, получаем уравнение поверх-
поверхности жидкости:
2nd1 Ech&Ech^ . 7 . 2яа2 V1 о ~~1 п~Н~
+ 1 S'"*r + 1А*
tl
где
с. 7 TT 7 Hi ft
*э — '"uiX i ^ — r_r
В этой формуле знак «—» у первого члена берется для х ^> О,
знак « + » берется для х < 0.
Бесконечная сумма, входящая в эту формулу, дает возвышение
поверхности жидкости, симметричное относительно начала коор-
координат и быстро стремящееся к нулю по мере удаления от начала ко-
координат. Первое же слагаемое дает с обеих сторон от начала коор-
координат периодические синусоидальные волны; длина этих волн
равна длине установившейся волны, образующейся на поверхности
жидкости, текущей со скоростью с.
Найденный нами потенциал скоростей ср (х, у) соответствует
частному решению уравнения Лапласа с неоднородными гранич-
граничными условиями D) и E). К этому потенциалу мы можем добавить
как решение однородной граничной задачи потенциал скоростей
установившихся волн, возникающих на поверхности жидкости,
текущей со скоростью с. Такой потенциал и соответствующее
ему возвышение поверхности определяются формулами D) и E)
из § 9.
Выберем постоянные Аг и Въ входящие в эти формулы, так,
чтобы при наложении на волны A3) соответствующих установив-
установившихся волн поверхность жидкости вдалеке перед обтекаемым
цилиндром не была покрыта периодическими синусоидальными
волнами. Такое новое, добавочное условие задачи приводит к сле-
следующим значениям постоянных Аг и Вг:
ch^__, д1=о.
При наложении новых установившихся волн потенциал скоростей
движения жидкости, обтекающей погруженный цилиндр, будет оп-
определяться формулой C), к правой части которой должно быть
добавлено еще слагаемое
ф' (я, у) =
82 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ЁЕСКОЙЁЧЙО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Выпишем окончательное уравнение поверхности жидкости:
Слагаемое, взятое в фигурные скобки, присутствует лишь для
х)>0и определяет собой установившиеся периодические волны,
развивающиеся далеко за цилиндром.
Обратимся теперь к определению сил воздействия потока на
цилиндр; ограничимся при этом вычислением лишь горизонтальной
слагающей общей силы давления. Составим с этой целью комплекс-
комплексную функцию обтекания цилиндра. Пользуясь формулами C),
(9), A4), находим
If If
+ -у \ (A sin &z + IB cos fez) d& + -у \ (Л sin fez + IB cos fez) d&. A6)
Заметим, что сумма двух последних интегралов может быть заме-
заменена главным значением интеграла по Коши.
Возьмем формулу Чаплыгина:
интеграл берется по контуру С, окружающему диполь z = — hi.
Имея своей задачей найти лишь проекцию X, ограничимся
вычислением мнимой части интеграла формулы Чаплыгина; имеем
dw \2 ,
Представим функцию w; B) около точки 2 = —hi в следующем виде:
где G (z) — функция, голоморфная около точки z = —hi. Из
этой формулы получаем
dw аЧ г,,
откуда, пользуясь теоремой о вычетах, находим
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 83
Следовательно,
X - - 2яра2с Re Q" (— hi). A7)
Вычислим на основе формулы A6) вторую производную функции
G (z); имеем
с„ ( , _ 2аЧ _ 2ata2g Z? cb &?, cos fe0 (z + iff) _
— ^ к2 (A sin kz + iB cos kz) dk. A8)
о
Пользуясь этой формулой, находим действительную часть величи-
величины G" {—Ы) и затем, по формуле A7), определяем горизонтальную
составляющую X главного вектора сил давления:
Отметим, что ? — действительный корень уравнения
c2=-^-th|. B0)
При весьма большом Н корень этого уравнения будет равен
gH/c2, откуда
ch4--gff/c2 с4
и формула A9) принимает следующий вид (см. формулу A4) § 14):
Эта формула для волнового сопротивления цилиндра была ука-
указана Ламбом [25'].
Перейдем к исследованию формулы A9), которую перепишем
в следующем виде:
где
При изменении числа gH/c2 от 1 до оо величина ?, как корень урав-
уравнения B0), будет меняться от 0 до оо. При ? = 0 множитель
М (?, Ъ) = 3/4. Это значение М (?, Ъ) — экстремальное. В самом
деле, около точки ? = 0 множитель М может быть разложен в та-
такой ряд:
84
ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Таким образом, волновое сопротивление X будет иметь при ? = О
минимальное значение, если Ъ > ]/"8/15; для остальных значе-
значений числа Ъ волновое сопротивление имеет при \ = 0, т. е. при
4-
Ю
Рис. 2.
с = Y^gH, максимальное значение. При стремлении ? к бесконеч-
бесконечности, т. е. при убывании скорости потока до пуля, М стремится
к нулю.
Это простое исследование выясняет в общих чертах зависимость
волнового сопротивления от скорости.
На рис. 2 приведены результаты подсчета величины
для ряда значений параметра Ь:
1
1 3 16
16
§ 16. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 85
С
при изменении числа F = ~Тг==Б > именуемого числом Фруда, от
нуля до единицы. Кривые на рис. 2 указывают на значительное
волновое сопротивление при малых погружениях цилиндра (для Ь,
близких к единице); с увеличением погружения цилиндра волно-
волновое сопротивление значительно уменьшается для большинства зна-
значений числа Фруда.
При Ъ = У8/15 меняется характер экстремума в точке F = 1.
Для значений Ъ ^> }/*8/15 кривые волнового сопротивления имеют
резко очерченный максимум; при уменьшении Ъ от 1 до J/8/15
этот максимум убывает. Присутствие максимума можно заметить
и для значений Ъ от У8/15 и до 0,7 (приблизительно). Для значений
Ъ <С 0,7 волновое сопротивление монотонно увеличивается с уве-
увеличением числа F; быстрота увеличения волнового сопротивления
наиболее значительна для чисел F, близких к единице.
Обратим теперь внимание на следующий важный факт, связан-
связанный с отсутствием за цилиндром периодического волнового хвоста
при с ^> У gH. Если мы станем вычислять для таких значений
скорости с величину волнового сопротивления X, то получим
в результате X = 0.
В самом деле, пользуясь формулой Чаплыгина, мы найдем для
X и в этом случае выражение A7), но в правой части формулы A6)
будет отсутствовать четвертое слагаемое, так как это слагаемое
было присоединено к потенциалу скоростей C) для устранения пе-
периодических волн впереди цилиндра; эти волны развиваются при
с <С У^Н, Для с ^>УgH таких волн нет. В силу этого в формуле
A8) будет отсутствовать второе слагаемое в правой части, но
только это слагаемое было при с < У gH и z = — hi действитель-
действительным, остальные были мнимыми. Поэтому
Re G* (- hi) = 0,
и, следовательно, X = 0 для всех скоростей потока, превосходя-
превосходящих Уё
Б, НЕКОТОРЫЕ БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ*)
§ 16. Установившееся движение твердого тела
произвольного вида под поверхностью жидкости
Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой тя-
тяжелой жидкости движется с постоянной скоростью с твердое тело,
ограниченное контуром С произвольного вида. Определим те
*) Название части Б гл. I дано редакцией, так как в рукописи названия
этой части не оказалось. (Прим, ред.)
86 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
волны, которые образуются при этом на поверхности жидкости,
и найдем сопротивление, встречаемое телом при его движении.
Для удобства решения этой задачи будем считать, что контур
С неподвижен и на него набегает поток жидкости, имеющий на
бесконечной глубине скорость с.
Свяжем с телом неподвижную систему координат хОу, распо-
располагая ось Ох вдоль среднего уровня свободной поверхности в на-
направлении скорости потока на бесконечной глубине; ось Оу на-
направим вверх.
Представим характеристическую функцию течения W (z) в виде
суммы двух слагаемых:
W (z) - - cz + w (z).
Функция w (z) определяет волновое движение; выражение этой
функции найдется из условий обтекания контура С, из условия на
свободной поверхности и из требования обращения в нуль волно-
волновых скоростей на бесконечной глубине.
Все дальнейшее исследование ведется близко к основной рабо-
работе Н. Е. Кочина [161.
Вначале же мы изложим приближенную трактовку задачи об
обтекании, предложенную Ламбом в его исследовании о движении
круглого цилиндра под поверхностью жидкости [25'].
В согласии с приближенным методом Ламба представим функ-
функцию w (z) в виде суммы двух слагаемых, из коих первое, w1 (z)
в сумме с —cz, есть характеристическая функция обтекания по-
погруженного контура С неограниченным потоком; выражение
этой функции заимствуется из теории крыла самолета; второе же
слагаемое выбирается так, чтобы сумма обоих слагаемых удовлет-
удовлетворяла волновому условию на линии у = 0.
Таким образом, условие обтекания контура С удовлетворяется
только функцией w-i (z), но не удовлетворяется всей функцией
w (z), как это должно было бы быть при точном решении задачи.
В дальнейшем мы увидим, какие трудности возникают при стрем-
стремлении удовлетворить точные условия обтекания.
Итак, функция w (z) представляется в виде суммы двух функ-
функций; представим, для удобства дальнейших вычислений, вторую
из указанных функций также в виде суммы двух функций w2 (z)
и w3 (z). Функция w2 {z) в сумме с — cz есть, взятая со знаком
минус, характеристическая функция обтекания безграничным по-
потоком контура С", симметричного контуру С относительно оси Ох.
Функция w3%(z) должна быть найдена так, чтобы сумма
w (z) = и?,, (z) + w2 (z) + w3 (z)
удовлетворяла волновому граничному условию. Потенциалы ско-
скоростей фх и ф3, отвечающие функциям wx (z) и w% (z), будут обладать
§ 16. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
следующим свойством:
На основании этих равенств граничное условие B) § 9 может
быть записано так:
д2фз
__
ду с* ду
здесь ф3 — действительная часть функции ws (z).
Нетрудно видеть, что это условие равноценно такому условию:
Функция w2 (z) голоморфна и ограничена в нижней полуплоско-
полуплоскости. Будем предполагать, что и функция ws (z) обладает этим же
свойством. При таких условиях предыдущее равенство дает урав-
уравнение, справедливое во всей нижней полуплоскости. Запишем
это уравнение, принимая такие обозначения:
Получим
dw3 | gi ' = 2ig ' ,g.
Представим при г/ = 0 известную нам функцию дщ/ду в виде сле-
следующего интеграла:
оо
дфо (я? 0) Г
о
Пользуясь интегралом Фурье, находим выражения функций
М (к) и N {к):
1 ^дщр^ ы
Из этих формул имеем
с»
М (к) + iN(k) = ±- \ .Эф2^' 0) eito da.
88 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Введем такое обозначение:
Г (ft) - М {к) + iN (к).
При этом обозначении предыдущая формула запишется так:
E)
Преобразуем эту формулу к другому виду. На действительной
оси плоскости комплексного переменного z имеем в силу равенств
A)
ду2(х, 0) i
ду 2 \ dz ' dz
откуда
\ 1 f — )elhada. F)
7 \ ^ '
•¦! ~ Ыг ) \ dz ' dz
— ОС
Интегрирование по действительной оси можно заменить интегри-
интегрированием по контуру С, охватывающему контур, симметричный
контуру С. В силу голоморфности функции w1 (z) в верхней полу-
полуплоскости, получаем для Г (к) следующее выражение:
Контур С обегается в положительном направлении.
Получим из формулы F) сопряженную ей формулу:
dz ' dz
— oo
Интегрирование по действительной оси можно заменить интегри-
интегрированием по контуру С, обегаемому в положительном направлении;
отсюда, в силу голоморфности функции i#2 в нижней полуплоскости,
получаем
Вернемся к формуле D); эта формула дает возможность напи-
написать выражение функции дщ/ду для любого у << 0; имеем
оо
д^{х' у) - [ (М cos кг + N sin кт) е*» dk.
§ 16. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 89
Но
(М cos кх + N sin кх) еЪу = ReT (]c) e~ikz,
следовательно,
оо
fy у) = Re ^ Г (к) е-** dk. (9)
О
Отсюда вытекает интегральное представление функции w\ (z):
U72 (z) = - i ^ Г (/с) е-«" dk. A0)
о
Подставим это выражение *) функции w'2 (z) в уравнение C) и бу-
будем искать его частное решение в виде следующего интеграла:
w3{z) = ) A(k)e-**zdk. A1)
0
Для определения неизвестной функции А (к) получаем уравнение
оо оо
[IlL _ цЛ A (ft) e-ikz dk= —Ц-[Т {к) e~iKz dk.
о о
Из этого уравнения находим
Следовательно,
-г/ег
Теперь мы можем написать окончательное выражение функции
w' B):
На пути интегрирования находится полюс /с = g/c2 подынтеграль-
подынтегральной функции; поэтому, начиная с формул A0) и A1), будем счи-
считать, что путь интегрирования идет в верхней полуплоскости и со-
состоит, например, из отрезков [0, g/c2 — е], [g/c2 + 8, оо] оси
*) Действительное постоянное число, которое можно было бы прибавить
к правой части, следует положить, однако, равным нулю, дабы w% (z) обраща-
обращалось в нуль в бесконечности.
90 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
абсцисс и из полуокружности верхней полуплоскости, соединяю-
соединяющей концы этих отрезков.
Заметим, что, используя главное значение интеграла, можно
формулу A2) записать так:
(§ 17. Определение формы поверхности жидкости
Покажем, что взятое частное решение w's (z), характеризуемое
выбранным путем интегрирования, будет давать, с помощью фор-
формулы A3) § 16, поток, не имеющий волн далеко впереди погружен-
погруженного препятствия.
Уравнение поверхности жидкости пишется так:
г) = — Re -=—
На основании формулы A3) § 16 получаем
Re\ dk== Re?f(x). A)
/с — g/ca с
о
Будем рассматривать переменное к как комплексное и положим
Оценим модуль подынтегральной функции; имеем, пользуясь фор-
формулой F) § 16
-гкх
У{к)е~
К ¦""¦" ^/С
i-\\w[{z)\\e-*«*+*)\\dz\.
На контуре С модуль функции
не превосходит некоторого положительного числа тп\ следова-
следовательно,
T(k)e-ikx
JA —
где z = z-l + iz2.\
§ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 91
Допустим, что zx и z2 удовлетворяют неравенствам *) —а <
<2х<а и z2 < 6 < 0; тогда для всех х > а и /с2<0 будем иметь
М2 + &2 (zx + х) < Ьй?! + (я — а) к% < 0.
Затем, обозначая через L длину контура С, получим из неравенст-
неравенства B)
Т[к)ё
-гкх
mL
к - g/c*
Из этого неравенства вытекает, что в интеграле J (х) формулы A)
возможно интегрирование повести по отрицательной части мнимой
оси для х > а. Так как путь интегрирования в формуле A)
обходил полюс к = glc1 сверху, то будем иметь
er**dx. C)
о
Предположим теперь, что х отрицательно и меньше, чем — а.
Тогда будем иметь для к2 ^> 0
ЧК + («1 + я) &2 < Ь*1 + (а + я) &2 < 0.
Следовательно, в этом случае интегрирование можно вести вдоль
положительной части мнимой оси; и мы получаем
оо
у 1Х\ - — [ Г {Ki] 2 e** dx. D)
о
Обращаясь теперь к формуле A), находим, на основании формул
C) и D), следующий результат:
Т1 =— Re^ .r(xi)/agxxdx-
1 с ^ Ki—g/c*
Первая из этих формул пригодна для положительных х^> а,
вторая — для отрицательных # < — а. При неограниченном воз-
возрастании | х | интегральные слагаемые той и другой формулы
стремятся к нулю. Первое же слагаемое правой части первой фор-
формулы представляет собой установившиеся волны, развивающиеся
*) Это место рукописи (до конца параграфа) несколько переработано ре-
редакцией. (Прим. ред.)
92 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
далеко за преграждающим погруженным телом. В распростра-
распространенном виде уравнение этих волн запишется так:
] F)
Путь интегрирования в формуле A) обходил сверху особую точку
к = g/c2", такой выбор пути обеспечил соблюдение дополнитель-
дополнительного условия, что набегающий поток не покрыт волнами перед
обтекаемым твердым контуром.
§ 18. Вычисление сил, действующих на погруженное тело
Вычислим главный вектор сил давления потока на погруженное
тело. Воспользуемся для этого формулой Чаплыгина:
^) dz.
с
Пользуясь обозначениями § 16, имеем
dW ,',','
-j-=—c + w1+w2+ w3,
отсюда интеграл формулы Чаплыгина может быть записан так:
~Т~) dz = \ [с2 + w2 -\-Щ — 2cw2 — 2cw3 -\- 2w2w3] dz -\-
с с
с /2 о , , * , ,
+ \w\ dz -\- \ [— 2cwx + 2w{w2 -\- 2w±w3] dz. A)
с с
Так как функции w'2 и w'3 голоморфны в нижней полуплоскости,
то первый интеграл правой части равен нулю.
Функция w[ (z) голоморфна на всей плоскости комплексного
переменного z вне контура С, и так как функция — cz + w± {z)
дает обтекание этого контура неограниченным потоком, то функ-
функция w[ (z) будет раскладываться около бесконечно удаленной
точки в такой ряд:
и, следовательно, разложение функции w'\ около бесконечно уда-
удаленной точки будет начинаться со слагаемого al /z2. Отсюда выте-
вытекает, что
С '2
yv, dz^O.
с
Интеграл
dz
§ 18. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПОГРУЖЕННОЕ ТЕЛО 93
равен, очевидно, 2 сх, где % — циркуляция потока вокруг кон-
контура С.
Таким образом, формула A) может быть записана так:
\\dz~l ^Z = ^СК + ^\(wiw2 + wiws)dz. C)
с с
Займемся вычислением интеграла
? = 2 ^wtfv^dz.
с
Преобразуем этот интеграл к такому виду:
5 = \ (w\ + ^2) ^z — \ м;х dz — \ м;2 rfz.
с ее
Два последних интеграла равны нулю, следовательно,
S = У^1 + ivzfdz.
Так как функции w;^ и w;2 голоморфны в нижней полуплоскости вне
контура С и обладают надлежащим поведением в бесконечности,
то выражение S может быть переписано так:
S = — ^ (щ + Щ) (w>i + и>2) dx. D)
На оси абсцисс, т. е. на пути интегрирования, сумму w[ + де2
можно представить так, имея в виду формулы A) и (8) § 16:
= -i) T(k)e-***dk — i
0
Теперь формуле D) может быть придан такой вид:
оо оо оо оо
S = i § (w[ + w2)dx^T (к)e~ikxdk + i ^ (w[ + w2)dx^T(ft)e**xdk
—oo 0 ¦—°° 0
ИЛИ
w[ + w2) e~i]ix dx + i^T (ft) dk
0 '
Используя определение функции Г (/с), придаем этой формуле
94 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
следующий вид:
оо
S == 4я§ \T(k)\*dk. E)
о
Вернемся к формуле C) и преобразуем интеграл
Т = \ w[w3 dz F)
с
к новому виду. Ввиду голоморфности функций w'z и w'z в нижней
полуплоскости, мы можем придать интегралу Т следующий вид:
Т = — ^ (w;x + w2) w3 dz.
—оо
Заменим здесь w'3 ее выражением A2) § 16; получим
ИЛИ
внутренний интеграл равен —2niT (к); следовательно,
Этот интеграл берется по комплексному пути, обходящему свер-
сверху точку к = g/c2. Используя главное значение интеграла по
Коши, мы можем предыдущую формулу записать так:
4^g f \T(k)\*dk
Эта формула и формула E) позволяют записать результат вычис-
вычисления интеграла C) в таком виде:
§ 19. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИЯ ПОТОКА 95
Обращаясь теперь к формуле Чаплыгина, находим выражения
обеих составляющих главного вектора сил давления:
(8)
Эти формулы были установлены Н. Е. Кочиным в цитированной
выше работе [16]. Все величины, связанные с волновыми движени-
движениями, возникающими от погруженного тела, Н. Е. Кочин выражает
через функцию И (к), связанную с функцией Г (к) нашего изложе-
изложения задачи зависимостью
Н(к) = -2nif(k).
§ 19. Вычисление момента с ял давления потока
на твердое тело
Момент сил давления относительно начала координат вычис-
вычисляется по формуле Чаплыгина:
dz. A)
Пользуясь принятыми обозначениями, имеем
\ z [¦—п-) dz = \ z [с2 4- Щ ~\-Щ — 2cw2 — 2cw3 -\- 2w2ws] dz +
с - с
+ \ zwx Uz + \ z [— 2cwx + 21^^-2 + 2w1Wz] dz, B)
Ввиду голоморфности функций w'2 и Wq в нижней полуплоскости,
первый интеграл правой части равен нулю.
Функция wx раскладывается в ряд B) § 18; следовательно,
...) dz - 2nial
Но—2яшх — циркуляция потока, определяемого функцией
следовательно, ах — число чисто мнимое, и поэтому
Re \ zw± dz = 0.
96 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Затем, из формулы (8) § 16 следует, что
dT(k)\ _ 1
-r)-
Поэтому
Следовательно,
Re ^ 2 (- 2си?1) <fe - 4лс Re Г @).
Возьмем затем интеграл
Применяя к этому интегралу такие же преобразования, которые
были применены к интегралу S § 18, получаем
оо
[ 2zw[w2 dz= — 2ма\ — Ы Im [ Г (к) -^ dk.
с о
Рассмотрим, наконец, интеграл
\ 2zwiw3 dz.
Повторяя преобразования, выполненные над интегралом Т § 18,
получаем для рассматриваемого интеграла следующее выражение:
Запишем эту формулу иначе, используя главное значение интег-
интеграла:
с о
Собирая вместе подсчеты всех интегралов формулы B), получаем
выражение момента сил давления потока на тело:
N - - 2яр R. {,V@) + ^Г (-?-) Г (X
C)
§ 20. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ 97
§ 20. Интегральное уравнение задачи обтекания
твердого тела волновым потоком
Функция w1 B), на основе которой было построено приближен-
приближенное решение задачи об обтекании твердого тела, была выбрана, со-
согласно Ламбу, как характеристическая функция, дающая обтека-
обтекание тела безграничным потоком; эта функция заимствуется, следо-
следовательно, из аэродинамики.
Но такой выбор функции w1 B) не входит ни в какой мере в пре-
предыдущие вычисления. Только при желании найти в простом
виде силы X и Y мы пользуемся результатами теории крыла
самолета.
Установив это положение, поставим задачу о таком выборе
функции тг (z)y чтобы функция комплексного переменного, опре-
определяющая поток:
W(z) = -cz + wx (z) + w2 (z) + w3 B), A)
точно удовлетворяла условию обтекания твердого тела.
Покажем, что в качестве функции wx (z) можно взять характери-
характеристическую функцию течения, возникающего от некоторого про-
простого слоя источников, соединенного с вихревым слоем, располо-
расположенных на контуре С.
Иными словами, покажем, что, выбирая надлежащим образом
функцию г (s) = q (s) + in (s) в зависимости от дуги контура,
можно в качестве функции wx B) взять следующий интеграл:
Wl ^ = "ST \ г ^1п (* ~~ ^ ds* B)
Здесь т = т (s) — аффикс переменной точки контура С. Функция
w2 B), отвечающая этой функции w1 (z), запишется так:
w2(z) = — y~ \ ? (s) In (z — t) ds. C)
Прежде всего, ясно, что, какова бы ни была функция wx B),
условия в бесконечности и на свободной поверхности будут удов-
удовлетворяться функцией A), если функция шг (z) взята в согласии
с формулой A2) § 16. Остается позаботиться лишь об удовлетворе-
удовлетворении условий обтекания.
Если через ф (я, у) мы обозначим потенциал волновых скоро-
скоростей, то условие обтекания запишется так:
-т-*- = с cos a,
an
где а — угол внешней нормали к контуру С с осью Ох.
4 Л. Н. Сретенский
98 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Перепишем это условие в таком виде:
D)
Принимая указанные выше выражения функций w1 (z) и w2 (z),
составим формулу A3) § 16:
г (s) ds 1 ?r(s)ds 2ig? T{k)e~ikz ^ ,^
dz 2
с с ~ 6
Преобразуем последний член этой формулы, используя выражение
функции Г (к). Для простейших функций
wi = -^-г (*) in(z - х), wt=-±?{s)In(z - t)
имеем по формуле G) § 16
Отсюда функция Г (fc), входящая в формулу E), будет даваться
таким интегралом:
С
и сама формула E) может быть преобразована к следующему виду:
~ L\rls)ds L\F{s)d- я*\f(-)dc\ к f•
с с со
Чтобы составить условие обтекания D), надо найти предельное
значение правой части этой формулы при стремлении точки z
к какой-нибудь точке контура С. При определении этого предель-
предельного значения все внимание должно быть обращено лишь на интег-
интеграл
Остальные два интеграла формулы F) не доставляют каких-либо
затруднений: их предельные значения совпадают с их прямыми зна-
значениями.
Перепишем интеграл G) так:
с
это есть интеграл типа Коши.
§ 20. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ Q9
Устремим точку z к какой-нибудь точке т' контура С, отвечаю-
отвечающей дуге s'. Применяя формулы Ю. В. Сохоцкого, получаем [47'],
[24']
Выполним теперь предельный переход в формуле F). Найдем
(8
Составим на основании этой формулы условие обтекания. Для
этого отметим сначала следующие формулы:
Re |! т ii^s4
2я
с
Этим двум последним формулам может быть придан более
простой вид, если ввести следующие обозначения:
%' — х = Re1®, т' — т = Re-1*,
%' — т = i?^s т' — т = Ryer***.
Здесь R — расстояние между текущей точкой интегрирования
т контура С и постоянной точкой %' на этом контуре; Rx — рас-
расстояние между точкой т' контура С и переменной точкой 1;, сим-
симметричной точке т относительно оси абсцисс. Кроме того, a — Ф —
угол между внешней нормалью в точке т' и радиусом, идущим
из переменной точки т контура С в постоянную точку т'; угол
4*
100 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
а — •Ь1 равен углу между внешней нормалью в точке т' и радиу-
радиусом, направленным из точки т в точку т'.
Используя вновь введенные обозначения, мы можем записать
формулы (9) и A0) в следующем виде:
(И)
A2)
Возьмем последний интеграл формулы (8). Примем для краткости
записи такое обозначение:
JL. \ 4 -5- dk = 4~M (s, s') e&; A3)
M и [A — функции переменных s и s'.
Имея формулы A1), A2), A3), мы можем записать теперь усло-
условие обтекания D) в следующем виде:
1 / /ч , 1 *Г cos (а — О) , v 7 1 "Г sin (а — Ф) , ч ,
1 f cos (a — Oi) /47 If sin (a — Ф^ , ч
1С 1 Г
-tj— \ M cos ([X -f- a) q (s) ds — y- \ ^ sin (Iх + a)
Это уравнение содержит две неизвестные функции q (s) и х (s).
Так как при соблюдении этого уравнения условие обтекания
контура С удовлетворяется, то отсюда следует, что одну из функ-
функций q (s), x (s) можно взять произвольно, и тогда другая будет
определяться решением интегрального уравнения типа Фред-
гольма.
Если взять произвольно функцию х (s), подчиненную лишь
одному условию, чтобы интеграл
х (s) ds,
равный циркуляции потока вокруг контура, имел данное значение,
то составленное уравнение определит плотность источников q (s),
распределенных на контуре С.
§ 21. ПРИМЕРЫ 101
После того, как выбрана функция х (s) и найдена функция
q (s), мы можем определить функцию Г (к), а по ней найти силы
и момент, действующие на контур, а также и уравнение поверхно-
поверхности жидкости. Все необходимые для этого формулы установлены
в предыдущих параграфах.
§ 21. Примеры
Определив с помощью интегрального уравнения обтекания фун-
функцию г (s), мы можем тем самым найти функции wx (z), w2 (z),
w3 (z) и, следовательно, построить характеристическую функцию
w (z), которая даст возможность вычислить функцию Г (к). Через
эту функцию можно затем составить уравнение поверхности жид-
жидкости и найти величины результирующей силы и момента давле-
давлений потока на тело. Полученные величины будут, таким образом,
найдены с соблюдением точных условий обтекания. Но так как
решение интегрального уравнения представляет значительные
аналитические трудности, то обычно для нахождения сил и состав-
составления уравнения поверхности жидкости прибегают к прибли-
приближенному методу Ламба, который состоит в том, что вместо точного
выражения функции w1 (z) берется характеристическая функция
обтекания тела безграничным потоком. Такой прием может быть
оправдан на основании следующих соображений в предположе-
предположении, что обтекаемое тело находится достаточно глубоко. При этом
предположении величина i?1? входящая в уравнение A4) § 20,
значительна, в силу чего четвертое и пятое слагаемые в правой час-
части A4) §20 могут быть отброшены. При большом погружении тела
модуль интеграла в равенстве A3) § 20 мал, благодаря этому мо-
модуль функции М (s, sr) незначителен, и, следовательно, последние
два слагаемых в правой части A4) § 20 также могут быть отбро-
отброшены. После этих упрощений рассматриваемое уравнение приоб-
приобретает вид уравнения теории обтекания тел безграничным потоком.
Решение этого уравнения приводит к функции wx (z), являющейся
характеристической функцией потока, обтекающего контур С.
Принимая этот приближенный метод, разберем ряд частных
задач.
Допустим, что под поверхностью жидкости находится круглый
цилиндр, центр которого лежит на глубине h, а радиус цилиндра
есть а; допустим, что вокруг цилиндра образовалась циркуляция
к. При этих условиях будем иметь
отсюда
xi 1
2jt z + hi '
102 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Применяя формулу (8) § 16, имеем
Вычисляя этот интеграл с помощью вычетов, получаем
o-kh
Формулы E) § 17 дают возможность написать уравнение поверх-
поверхности жидкости и найти, в частности, форму поверхности да-
далеко за цилиндром:
Эта формула была выведена уже в § 14 другим приемом. Формулы
A2) и A3) § 14 для сил воздействия потока на цилиндр могут
быть снова получены из общих формул G) и (8) § 18, так как со-
соответствующая функция Г (к) уже найдена. Добавим к этим фор-
формулам выражение для момента сил давления. Применяя формулу
C) § 19, получаем
Найдем теперь составляющую X силы давления потока на симмет-
симметричное крыло Жуковского, хорда которого расположена горизон-
горизонтально.
Безграничный поток, омывающий крыло Жуковского, может
быть представлен в параметрическом виде совокупностью двух
формул:
г2 \ . ш , о
A)
?2
h — глубина погружения крыла, г и е — параметры, характери-
характеризующие размеры крыла. Вспомогательное комплексное перемен-
переменное ? изменяется вне окружности радиуса г.
Функция w± B), входящая в определение функции Г (к), равна
w + cz, где w дается формулами A). Имеем
dwi rj7 - [7 cr2 4- ** 1 \ (Г f\* с (г р
§ 21. ПРИМЕРЫ ЮЗ
Отсюда
с
B)
Интегрирование ведется по какой-нибудь замкнутой кривой С,
охватывающей окружность | ? | = г, в плоскости комплексного
переменного ?•
Для преобразования формулы B) отметим, что интеграл
г
(С-«
с
равен
Г —8
—в).
В этом убеждаемся, интегрируя по кривой ? — е = (г — e)ei9>,
0 <^ Ф <^ 2я, и пользуясь известным разложением из теории
функций Бесселя:
оо
егх cos © = /о (Ж) + 2 23 ^Л (Ж) COS Sft. C)
Отсюда формула B) получит следующий вид:
2тГ (/с) = — 2я (г — б) се-*Чх Bft г — 8) +
Рассмотрим отдельно последнее слагаемое этой формулы, положим
Преобразуем это выражение, полагая Z, — е = (г — e)ei9; полу-
получим
^ 2я 8 + (r _ 8) e^\ v '
Положим здесь к — g / с2 я примем вместе с тем следующее
104 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
обозначение:
Следовательно,
сг*
^± - —I
2ш в + (г-е)вл J
r2ixcos * e^
Вычислить этот интеграл с помощью известных функций едва ли
возможно. Поэтому найдем приближенное его значение; будем
предполагать, что число i большое, при заданных размерах кры-
крыла это будет соответствовать малым скоростям движения.
Применяя метод определения [25'] приближенных значений
интегралов вида
ъ
для больших чисел X, получаем
1
— 2s) J
_JTl
(г — 2е)а 2jt (г
Пользуясь этим выражением интеграла S (g/c2) и заменяя в фор-
формуле D) функцию Бесселя ее асимптотическим выражением, при-
пригодным для больших значений К:
получаем после ряда вычислений следующую приближенную
формулу для Г (g/c2):
+ Ш2 cos B% — [i2 — \ n
Здесь приняты такие обозначения:
T2 n X8 1 г» •
(г — 2еJ г кс г (г — 2е) г
§ 21. ПРИМЕРЫ 105
Отсюда по формуле G) § 18 находим силу X:
#2 cos2 fejt — ^2 —
Это выражение показывает, что с увеличением К, т. е. с уменьше-
уменьшением скорости движения, сила X быстро стремится к нулю. В од-
одном частном случае, когда крыло вырождается в прямолинейный
отрезок, интеграл E) может быть выражен через функции Бесселя.
Для этого случая е = 0 и интеграл E) принимает следующий вид:
S (к) = ire
о о
Применяя разложение (З), находим
S (к) = 2ягс/х Bсг) — х/0 BАг).
Отсюда по формуле D) получаем для Г (к) следующее простое
выражение:
С помощью этой формулы возможно найти силы, приложенные
к пластинке, и составить уравнение поверхности жидкости. Огра-
Ограничимся определением волнового сопротивления и укажем форму
поверхности жидкости далеко за обтекаемой пластинкой. Имеем
Формула F) позволяет установить интересные особенности силы
X, рассматриваемой в зависимости от различных параметров.
Предположим, что размеры пластинки, глубина ее погружения
и циркуляция даны; будем рассматривать изменение силы X в за-
зависимости от скорости движения.
Прежде всего, видно, что сила X обращается в нуль, если па-
параметр 2gr/c2 принимает значение ;s одного из корней функции
Бесселя /0. Поэтому для скоростей с, определяемых формулой
с =
сила X будет равна нулю. Так как чисел js бесконечное множество
и с увеличением индекса s эти числа стремятся к бесконечности,
то волновое сопротивление обращается в нуль для бесчисленного
106 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
множества скоростей, имеющих в нуле предельную точку. Кроме
того, при стремлении с к нулю X быстро убывает. С увеличением
же с до бесконечности волновое сопротивление X также стремится
к нулю.
Отметим, что при скорости с, обращающей в нуль X, будет
обращаться в нуль и амплитуда синусоидального хвоста волн,
остающихся за пластинкой.
Если в качестве данных величин мы возьмем с, х и h и будем
рассматривать изменение волнового сопротивления в зависимости
от длины пластинки Z, которая равна 2г, то найдем, что при длине
пластинки, равной I = — /s, волновое сопротивление обращается
о
в нуль.
Отметим в заключение, что для избежания бесконечной ско-
скорости на острой задней кромке крыла надо определенным образом
выбрать циркуляцию к. Получающееся значение циркуляции бу-
будет в данной задаче теории волн отлично от того значения цирку-
циркуляции, которое, в согласии с постулатом Чаплыгина — Жуков-
Жуковского, находится в аэродинамике. Это проистекает, разумеется,
оттого, что совокупность аэродинамических формул A)не описы-
описывает в волновой задаче соответствующего потока.
Подробное исследование вопроса об определении циркуляции
потока вокруг погруженного тела можно найти в цитированной
выше работе Н. Е. Кочина [16].
§ 22. Теория подводного крыла
Рассмотрим крыло, незначительно уклоняющееся своими дву-
двумя поверхностями от горизонтальной оси в виде прямолинейного
отрезка. Допустим, что ось этого тонкого крыла имеет погружение
h и расположена симметрично относительно оси координат Оу.
Пусть уравнение верхней поверхности крыла будет
У = -А + М*), A)
а уравнение нижней поверхности
y = -h + U (x). B)
В пределах изменения х от —I до I функции fx (x) и /2 (х) имеют
значения, малые по своей величине, и удовлетворяют неравенст-
неравенству /i (х) ^> /г (#); 2Z — длина оси крыла.
На рассматриваемое тонкое крыло набегает со скоростью с
поток жидкости бесконечной глубины. Будем считать движение
жидкости установившимся и найдем силы, действующие на крыло.
Характеристическую функцию W (z) потока представим в виде
суммы двух членов: — cz, изображающего основной поток, и ела-
§ 22. ТЕОРИЯ ПОДВОДНОГО КРЫЛА Ю7
гаемого w (z), учитывающего те возмущения, которые в основной
поток вносит крыло.
Распределим на оси крыла некоторые простые слои источников
и вихрей; определим плотности того и другого слоя так, чтобы
поток жидкости обтекал рассматриваемое крыло. Представим
функцию w (z) в виде суммы трех слагаемых:
w (z) = w± (z) + w2 (z) + w3 (z).
Пусть функция wx (z) будет представлять поток, создаваемый в
безграничной жидкости простым слоем источников мощности
q (?) и вихревым слоем циркуляции х (?); имеем
\ C)
где
г (Е) = q (I) + Ht (|).
Функция w2 (z) пусть будет определяться интегралом
где
г (I) = ? F) - «к F).
Определим, наконец, функцию w3 (z) так, чтобы удовлетво-
удовлетворялось граничное волновое условие при у = 0:
«.+4-й-о.
z2 ' с2 dz I
Это условие, примененное к определению функции ш3 (^), в силу
выбора функции w2 (z) перепишется так:
Re
где
' / v dw2 1 Г - /c.v d?, ' dwz
—l
Пользуясь формулой
oo
\ ?~^(^~а) dk = - 1ш (z ol
j z — a ' v
108 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
перепишем выражение функции w'2(z) в следующем виде:
оо
w\ (Z) = — -L \ е-™* L (к) dk, Im z < h,
о
где
i
L(k) = ±-e-™\f{l)e»bdt G)
A
Заметим вместе с тем, что
оо
w[(z)= —y\ e^zL(k)dk, Imz> — h.
о
Отсюда условие E) примет следующий вид:
t СО
Re (-^г + •§¦ ^) = - -ж Re \ e~ikzL W dk- (8)
о
Будем искать функцию w'3(z), голоморфную в нижней полупло-
полуплоскости, в виде такого интеграла:
(9)
О
заметив предварительно, что из условия (8) следует дифференци-
дифференциальное уравнение
' ОО
A0)
dz
Чисто мнимая константа, которая может быть добавлена к пра-
правой части, не имеет значения и поэтому опущена. Подстановка
выражения (9) функции w'z(z) в это дифференциальное уравнение
определяет функцию А (к):
Отсюда функция wz(z) получает следующее выражение:
Это есть частное решение уравнения A0). Имея в виду появление
здесь полюса к = g/c2 на пути интегрирования, мы должны счи-
считать, что путь интегрирования, начиная с формулы (9), идет в
§ 22. ТЕОРИЯ ПОДВОДНОГО КРЫЛА 109
обход этого полюса по верхней полуплоскости комплексного пе-
переменного к. Предположим, что измененный путь состоит из двух
прямолинейных участков @, g/c2 — е), (g/c2 + 8, оо), соединен-
ных полуокружностью у в верхней полуплоскости. К частному
решению A1) уравнения A0) мы можем добавить, с произвольным
комплексным коэффициентом С, решение однородного уравнения
dz с1 *
Тогда общее решение уравнения A0) запишется так:
A2)
Определим постоянное число С так, чтобы характеристическая
функция
W (z) = - cz + w (z)
давала поток, поверхность которого не была бы покрыта устано-
установившимися периодическими волнами далеко перед обтекаемым
крылом.
С этой целью преобразуем интеграл формулы A2) к новому
виду, считая число z действительным и отрицательным. Положим
S(х) = Щ-[ ьЬ{к), е~^dk. A3)
4 ' с2 J к — g/c2 v '
о
Из формулы G) имеем
\L(k)\ < J_Дв-fcii (еЫ - e-W),
где
к = кг+ ik2, | г (|) | < R.
Это неравенство позволяет установить, что путь интегрирования
в формуле A3) (при х < — Г) можно заменить путем, идущим
по мнимой оси комплексного переменного кот Одо ?оо. Выполняя
преобразования, получаем для интеграла A3) новое выражение:
При неограниченном возрастании | х | интеграл S (х) стремится
к нулю,
Из формулы, определяющей ординаты точек свободной по-
поверхности;
НО ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
следует теперь, что константа С в формуле A2) должна быть при-
приравнена к нулю.
Таким образом,
%\?% A5)
Для больших положительных значений х интегрирование в фор-
формуле A5) может быть приведено к интегрированию по отрицатель-
отрицательной части мнимой оси. Так как в формуле A5) путь интегрирова-
интегрирования обходит сверху особую точку к = g/c2, то для больших поло-
положительных х функция w'3(z) преобразуется к следующему виду:
При неограниченном увеличении х интеграл стремится к нулю;
отсюда следует на основании формулы A4), что поверхность жид-
жидкости далеко за крылом покрыта установившимися периодиче-
периодическими волнами, уравнение которых будет
Запишем эту формулу в другом виде, отделяя мнимую часть от
действительной и полагая
L (к) = L± (к) + iL2 (к).
Получим
Собирая вместе полученные результаты, мы можем написать вы-
выражение производной характеристической функции течения, об-
образованного простым слоем источников и вихрей, распределенных
на прямолинейном отрезке — / ^ х ^ Z, у = —/г, в следующем
виде:
dz ' 2л ) z — l + hi 2я ) z — \ — hi
l l
Мы должны определить теперь функцию г (?) так, чтобы поток,
даваемый этой формулой, обтекал взятое тонкое крыло, изобра-
изображаемое уравнениями A) и B),
§ 23. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ ТОНКОГО КРЫЛА Щ
§ 23. Интегральное уравнение теории тонкого крыла
Обозначим через аг и а2 углы с осью Ох внешней нормали к
верхней и нижней поверхности крыла соответственно. Условия
обтекания этих поверхностей запишутся соответственно так (см.
формулу D) § 20):
\ Re (eia*-^-) = ccosa2.
Рассмотрим первое из этих условий; придадим ему следующий
вид:
— и cos аг — v sin аг = с cos av
Если мы будем считать, что кривая, представляющая верхнюю
поверхность крыла, достаточно пологая, то горизонтальная вол-
волновая скорость будет весьма мала сравнительно со скоростью по-
потока с и предыдущее условие можно будет заменить более простым:
и = — с ctg аъ
или
v = cf[(x). A)
Совершенно так же получаем условие и для нижней поверх-
поверхности:
v = сй(х). B)
Составим на основании формулы A7) § 22 левые части этих усло-
условий. Пользуясь выражениями предельных значений интегралов
типа Коши, имеем в точках верхней поверхности крыла ([8], гл
IV, § 2),
2gh gi l
-Z -I -I 0
При составлении этой формулы было принято во внимание выра-
выражение функции L (к).
С помощью полученной формулы мы можем записать условие
обтекания верхней поверхности крыла в следующем виде:
-2-*(*0— \{съ(
1 _ /„\ V Г 8 ~-9.еЪ.1г.г п,1ъ ? /лл ?\ "¦ *•
112 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
{{(xl) + J_ (x_
О —I
C)
Отметим, что в силу формул, определяющих предельные значения
интеграла Коши, условие обтекания нижней поверхности крыла
будет отличаться от составленного условия обтекания верхней по-
поверхности первым членом левой части: вместо V2 q (x) будет стоять
— 1/2 q (х). В правой же части будет вместо — cjx (х) находиться
—ch{x)* Это второе условие мы выписывать не будем. Вычитая по-
почленно два условия, находим плотность простого слоя источников:
q (х) = cf2 (х) — cf[ (x).
Таким образом, условие обтекания C) приводит к интегральному
уравнению для определения плотности х (х) вихревого слоя. Вы-
Выпишем это уравнение для того частного случая, когда крыло вы-
вырождается в дугу кривой линии; для этого случая /х (х) = /2 (х)
и, следовательно, q (х) = 0. Уравнение для определения плотно-
плотности вихревого слоя принимает следующий вид:
2я
I
= сП (х) - \ {JL e-*w cos -?.(x-
Это уравнение можно привести к обычному уравнению Фредголь-
ма второго рода, если воспользоваться известной формулой ре-
решения интегрального уравнения первого рода [28;]
искомая функция х (|) определяется следующим равенством:
2 j F{l)Vl?=y В
где В — произвольное постоянное число.
§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И МОМЕНТА ИЗ
Применим эту формулу к уравнению D), считая всю его пра-
правую часть известной функцией. Получим
J
-—\x(s)ds ^ T—\JL-e~W cos-frd-s)-
Это есть уравнение Фредгольма, к которому могут быть приме-
применены обычные приемы решения.
Для определения постоянного числа В следует указать допол-
дополнительное условие. Таким условием может быть требование об
удовлетворении постулата Жуковского о конечности скорости по-
потока на заднем конце обтекаемого крыла.
М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев предложили искать реше-
решение интегрального уравнения тонкого подводного крыла в виде
ряда по степеням отношения т длины оси крыла 21 к глубине его
погружения h [11]. Этим приемом ими были вычислены силы,
действующие на прямолинейную наклоненную к горизонту пла-
пластинку, на дугу окружности и на дугу эллипса; величины этих сил
были определены с точностью до третьих степеней параметра т.
§ 24. Определение сил и момента, действующих
на тонкое крыло
Применим формулу Чаплыгина
к определению главного вектора сил давления, действующих на
поверхность тонкого крыла.
Все дальнейшие вычисления будут в значительной мере повто-
повторять вычисления § 18; поэтому мы не будем останавливаться на
деталях подсчетов.
Представим функцию dWIdz в виде следующей суммы:
dW
-JT = — с + w1 (z) + w3 (z) + w3 (z),
последовательные члены которой даются формулой A7) § 22.
В силу того, что функции w'2 и w3 голоморфны в нижней
полуплоскости и ра зложение функции w[ (z) около бесконечно
114 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
удаленной точки начинается с z, будем иметь
2 \ (w[w2 + w[ws) dz.
Первый интеграл правой части равен, со знаком минус, полной
циркуляции К потока вокруг крыла. Заметив это, перепишем
предыдущую формулу так:
S+T, B)
= 2 ^w[w2dz = ^(m?i + w2f dz — ^w'i dz — ^w2 dz, C)
с с ее
'
T = 2 \ w[w3 dz.
с
Два последних интеграла формулы C) равны нулю, поэтому
5 =• $ (w[ + W2J dz.
с
Интегрирование по контуру крыла С можно заменить интегриро-
интегрированием по действительной оси от—ос до оо; тогда S примет сле-
следующий вид:
сю
S = — \ (w1 + w2J dx.
Пользуясь выражением функций w[ (z) и w2(z) через функцию L (к),
придадим последней формуле вид
S = -L f (ц,; + w'2) Я е**Ъ (к) dk+\ е~** L (к) dk\ dx.
—сю О О
Переменим здесь порядок интегрирований и заменим функции
и w2 их выражениями по формулам C) и D) § 22. Получим
—I
О —I
Вычисляя интегралы по переменному х с помощью вычетов,
§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И МОМЕНТА
получаем
оо I оо I
—I
Пользуясь выражениями функций L (к) и L (к), получаем окон,
чательно
S = n^ L(k)L(k)dk. D)
о
Рассмотрим затем интеграл Т. Пользуясь выражением функ-
функции w[ (z), мы можем придать этому интегралу следующий вид:
i
— I
Заменим здесь w's (x) ее выражением, взятым из формулы A5) § 22;
получим
Т - JL Г dx[ L(k)
-"*die [ r{l)dl
-г
или
т _ gi T L(к) _ „ Г /t4 л ? e"to^
о —г —оо
HO
следовательно,
о —I
Применяя к внутреннему интегралу формулу G) § 22, получаем
Интегрирование ведется по кривой, обходящей сверху полюс
к = g/c2 в согласии с выбором пути интегрирования в формуле
(И) § 22.
116 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Перепишем эту формулу, используя главное значение интег-
интеграла; получим
fb(fc)Z(fc)^ ,~
т
1 = --
— ) k-g/c*
Составим теперь с помощью формул A), B), D) и E) значение
комбинации X — iY и найдем по отдельности компоненты X и
Y; получим
Г- -(KK-±-f,n\Hk)Zik)dk—?§l\i0$ik. G)
О
Определим теперь по формуле
момент сил давления N относительно начала координат.
Приведем вычисления, не останавливаясь на деталях их вы-
выполнения. Имеем
\ z -J—) dz = \ zwx dz + 2 \(— czw1 + zitf^ -f zw^Ws) dz. (9)
с с с
Первый интеграл правой части равен К2 I Bju), следовательно,
Re^zwl2dz = 0. A0)
с
Рассмотрим затем интеграл
\ 2^ dz.
с
Заменим функцию w1 (z) ее интегральным выражением C) § 22;
получим, меняя порядок интегрирования,
{
С -1С'
Для дальнейших преобразований возьмем формулу G) § 22 и прсь
дифференцируем обе ее части по параметру к; полутам
i
§ A1)
§ 24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ И МОМЕНТА Ц7
Отсюда
I
Л j
Следовательно,
= — я!/@). A2)
с
Возьмем затем интеграл
\zWiWz dz A3)
с
и перепишем его так:
f ' ' If' ' if'2 If'2
\ zv)}Wb dz = -Д- \ z (wx + w2) dz Д- \ zw1 dz -—д- \ zw2 dz. A4)
e с ее
Последний интеграл правой части равен нулю, значение же пред-
предпоследнего есть
кч
Рассмотрим, наконец, первый интеграл правой части формулы
A4). Используя вычисления, сделанные выше для преобразования
интеграла S, получаем
—I —oo
0 —I —oo
Интегралы до переменному х вычисляются, и мы имеем
dk. A6)
Формулы A5) ш A6) поззолдют написать формулу для интеграла
A4):
±
я Im ^L (к) ^dk + ^ Ж». A7)
118 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Вернемся к формуле (9) и рассмотрим последний из интегралов
этой формулы:
Применяя к вычислению этого интеграла те же приемы, какие
были применены к вычислению интеграла Г, получаем
С 0—1
Интеграл по переменному х вычисляется, и мы получаем
nig f L(k) dL
Собирая вместе результаты подсчета интеграла (9), выраженные
формулами A0), A2), A7) и A8), получаем величину момента N
сил давления потока на крыло:
Я - - KV Re {cf @) + ^ I (•?) I' (¦§¦)
+
§ 25. Приближенный метод и примеры обтекания
тонких крыльев
Если форма подводного крыла дана, то, решая интегральные
уравнения § 23, мы можем найти распределение источников и
вихрей вдоль оси крыла. С помощью этих величин мы можем оп-
определить затем воздействие потока на крыло. Но так как решение
уравнений C), G) § 23 представляет большие трудности, то следует
предложить приближенный метод решения задачи.
Рассматривая в дальнейшем тот наиболее интересный случай,
когда крыло приводится к дуге кривой, мало отходящей от гори-
горизонтального отрезка, примем то допущение, которое было исполь-
использовано в теории движения твердого тела (см. § 21). Мы допустим,
что вдоль подводного крыла распределение циркуляции такое же,
как и у крыла в неограниченном потоке. Для определения же
циркуляции в этом последнем случае служит интегральное
§ 25. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД И ПРИМЕРЫ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛЬЕВ Ц9
уравнение с особым ядром [8]
)
где у = f (x) есть уравнение обтекаемой дуги. Уравнение A) мож-
можно получить из уравнения D) § 23, полагая h = оо.
Решение уравнения A) дается формулой F) §23. Выпишем эту
формулу, вводя вместо х и ? новые величины А, и со, полагая
| = — Z COS X, X = — I COS CO.
Будем считать функцию /' (х) представленной через новое пере-
переменное со и обозначим
/' (х) = Q (со).
При этих обозначениях будем иметь
/ ч 2с *F Q(X)sin2X ,. . В /оч
X (со) = — \ —Y- dk А J-. . B)
v ; Jtsmco J cos A — cos со ' JtZsinco x '
о
Преобразуем эту формулу, предполагая, что функция Q (со) пред-
представлена в виде следующего ряда:
Q (со) = а0 + #i cos со + а2 cos 2со + . . . + ад cos тгсо + . . . C)
Подставим этот ряд в формулу B) и выполним почленное интег-
интегрирование. Имеем на основе следующей формулы ([8'], гл. IV, §4):
п
cos mXdX sin moo
cos X — cos со sin со '
о
такой результат:
n
—7 dk = n sin 03 sin ясо.
cos X — cos со
о
Эта формула имеет место для значений п > 2; для п — 0 и п =
= 1 имеем
*F sin*
J COS X —
sin* X ,.
CLA = — Я- COS CO,
COS СО
*(' cos X sin2 X -,л я о
\ — ал = д- cos 2co.
• j cos л, — cos со 2
о
Пользуясь этими формулами, мы можем придать решению B)
120 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
уравнения A) следующий вид:
оо
/ \ о Х^ • . В' + 2яос cos ft> / / \
х(<о)= -гс^ЛпвшгеюН ^т^ , D)
п=1
где В' — Blnl + ахс. Отметим, что общая циркуляция К потока
вокруг крыла будет равна
i
К= \%dl^nl(Bf — агс).
i
Величина константы В' может быть определена из дополнитель-
дополнительных условий. Потребуем, чтобы функция к (со) имела конечное
значение на задней кромке крыла, т. е. при х = I или со = я.
Из формулы D) видно, что это будет осуществляться при В' —
= 2а0с. При таком значении В' формула D) примет следующий
вид:
оо
ап sin 720) + 2а0с ctg -у- со. E)
71=1
Найдем для этого распределения циркуляции функцию L (к) по
формуле G) § 22:
L (к) = — JL e-kh ^ x Q^ е-гШ cos X gi
о
Подставим сюда вместо х (к) его выражение E) и воспользуемся
для преобразований известным из теории функций Бесселя раз-
разложением:
х =
(ж) cos «A,.
С помощью этого разложения мы находим следующие вспомога-
вспомогательные формулы:
sin пХ е~ш cos x sin X dX = (- if-1 -^ Jn (kl), n > 1,
о
те
ctg -j- X е~ш cos х Sin ^ dX = я/0 (ftZ) — Я1
о
Пользуясь этими формулами *), мы можем представить функцию
*) Для получения последнего результата следует иметь в виду формулу
1 W + Jn-i W = 2nJ^{X) . (Прим. ред.)
§ 25. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД И ПРИМЕРЫ ОБТЕКАНИЯ КРЫЛЬЕВ 121
L (к) в виде следующего разложения:
оо
L(k) = 2icle-*h ^^(-i)n-^ajn(kl) - ao[Jo(H) - iJiW^y F)
n=i
Применим эту формулу к вычислению волнового сопротивления.
Пользуясь формулой F) § 24, находим для волнового сопротив-
сопротивления следующее выражение:
Х =
~ 1Г Bm
В связи с этой формулой следует отметить одно весьма примеча-
примечательное обстоятельство, указанное М. В. Келдышем в цитирован-
цитированной выше работе [И].
Известные факты из теории волнового сопротивления показы-
показывают, что обычно волновое сопротивление падает до нуля при не-
неограниченном увеличении скорости движения. Но для подводного
крыла, как это явствует из формулы G), волновое сопротивление
стремится, вообще говоря, к отличному от нуля пределу, равному
4я2р^2 (а0 - V2axJ ¦).
Все предыдущие формулы получают исключительно простой
вид для наклонной прямолинейной пластинки. Если через а на-
назвать угол наклона пластинки к вектору скорости набегающего
потока, то /' (х) = — tg а и все коэффициенты разложения C)
будут обращаться в нуль, кроме а0, которое будет равно — tg a.
Формула F) принимает следующий вид:
L (к) = 2cle~kh lJt (kl) + iJ0 (kl)] tg a, (8)
откуда формула F) § 24 для волнового сопротивления запишется
так:
х = wgpPr*™ [A (-g-) + J\ D)] ^2 «• <9)
Формула A6) § 22 дает уравнение волновой поверхности далеко
1
*) Величина а0 — -g- аг пропорциональна общей циркуляции потока во-
вокруг крыла, которая в свою очередь пропорциональна скорости потока; сле-
следовательно, волновое сопротивление обращается в нуль при с —» оо только
в случае отсутствия циркуляции вокруг крыла, что и было отмечено в статье
[11]. (Прим. ред.)
122 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
за крылом; пользуясь формулой (8), получаем
При неограниченном увеличении с поверхность жидкости остает-
остается покрытой весьма пологими установившимися волнами, имею-
имеющими отличную от нуля амплитуду 4я/1 tg а |.
Если не предполагать, что циркуляция выбрана так, что по-
поток сбегает с заднего конца рассматриваемой пластинки, но счи-
считать, что циркуляция К взята произвольно, то вместо формулы
(9) будем иметь следующую формулу:
Л (-?) + Л (f) tg2«] •
х =
Из этой формулы видно, что отличное от нуля волновое сопротив-
сопротивление, при с неограниченно растущем, обусловливается наличием
полной циркуляции потока вокруг пластинки, если с ростом
скорости потока циркуляция увеличивается пропорционально
скорости.
§ 26. О волнах, возникающих от неравномерного давления,
распределенного вдоль поверхности текущей жидкости
Предположим, что поверхность бесконечно глубокой жидко-
жидкости, текущей со скоростью с на бесконечной глубине, находится
под влиянием давления, величина которого меняется от точки к
точке поверхности, но не меняется, однако, со временем. В таком
случае движение жидкости будет установившееся и поверхность
ее будет покрыта волнами. В силу того, что движение считается
установившимся и потенциальным, будет иметь место интеграл
Бернулли. Если через ср (х, у) назвать потенциал скоростей, выз-
вызванных волнами, то интеграл Бернулли запишется так:
Применим этот интеграл к точкам поверхности жидкости, считая
волновые добавки к скорости с малыми; получим
где р (х) — заданное переменное давление на поверхности у =
= г) (х). К этому равенству мы можем присоединить еще условие
dx с \ ду /у=о"
§ 26. ВОЛНЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ 123
Отсюда получаем граничное условие для потенциала скоростей:
I дх* "^ с-2 ду Jy=o pc dx ' К '
Уравнение поверхности жидкости будет
4 = ±.!L) -iL. D)
1 g \ дх /у=о ?g ч '
Таким образом, задача об установившихся волнах, возникающих
от распределенного поверхностного давления, приводится к отыс-
отысканию интеграла уравнения Лапласа с удовлетворением гранич-
граничного условия C). Помимо условия C) функция ф (х, у) должна
удовлетворять добавочному условию, состоящему в том, чтобы
при у -> — оо скорости —дц/дх, —дср/ду стремились к нулю.
Представим заданную функцию р (х) в следующем виде:
Р(х) = \ 1а №)cos kx + Ъ (к) sin kx] dk,
о
где, на основании интеграла Фурье,
оо оо
а (к) = — \ р (a) cos ka da, Ъ(к) = — \ р (a) sin ka da. E)
.—оо —оо
Будем искать функцию ср (х, у) в виде следующего интеграла,
удовлетворяя условиям в бесконечности:
ср (х, у) = \ [А (к) cos kx -f- В (к) sin Аж] е*
о
Положим вместе с тем
оо
ц (х) = \ [I (к) cos А# + т (к)sm kx\ dk. G)
о
Функции А (к), В (A), Z (A), m (А) подлежат определению.
Пользуясь условиями A) и B), находим выражения этих
функций из уравнений
а (А) = р[скВ(к) — gl(k)],
-Ъ (А) = р [скЩк) + gm(k)l
cm (A) = -A (A), cl (А) = 5 (А).
Отсюда имеем
а (к) п ч Ь(/с)
124 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Обращаясь к формулам F) и G), находим потенциал скоростей и
уравнение поверхности жидкости:
ф(Ж) у) = _ JL^ Ь (к) «юкх-а (к) sin kx glsy ^ (g)
= J?ta{k)coBkx + b(k)sinkx dk (g
IW р J c4c — g v '
0
Как и при решении ряда рассмотренных выше задач, мы можем
считать, что путь интегрирования обходит особую точку к0 = g/c2
в плоскости комплексного переменного. Составим функции (8) и
(9), обходя точку к0 сначала сверху по маленькой полуокружно-
полуокружности, а затем снизу; таким путем мы получим две разных функции
Ф (#, у) и т) (х). Возьмем полусумму этих функций и уменьшим
обходные пути до нуля; это даст нам главные значения интегра-
интегралов, через которые и выразятся функции ф (х, у) и г\ (х) в следую-
следующем виде:
a Wcos kx + Ъ(к) sink* ^
О
Здесь надо отметить, что формулы A0) и A1) дают лишь частное
решение поставленной задачи; общее решение будет получаться
добавлением свободных установившихся волн, и к правым частям
формул A0) и A1) должны быть прибавлены соответственно такие
функции:
f? +С sin JE)
с с I A2)
<?cos-f-Psin-g;
величины Р и Q произвольны.
Для определения этих величин должны быть указаны, в каж-
каждой частной задаче, дополнительные условия.
В качестве приложения полученных общих формул рассмот-
рассмотрим один частный пример.
Предположим, что на участке изменения х от —8 до 8 давле-
давление р (х) имеет некоторое постоянное значение р0, отличное от
того, нулевого, значения, какое оно имеет для всех остальных
значений переменного х. Для этого частного случая имеем
§ 26. ВОЛНЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ 125
Отсюда
оо
/ ч 2рос*Г* sin/ce sin/ca? kv J7
ф^у)--^-^ k(c4-g)e Vdk>
A3)
ti/w — 2Ро *(" sin fee cos kx ^
VW-lv \ k{c4-g) Uli-
0
Преобразуем по формулам Эйлера составленное уравнение, полу-
получим
оо
2яф i
— g)
dk
к (сЧ — g) '
Перенесем интегрирование на мнимую ось комплексного перемен-
переменного к. Будем иметь
оо
етх dm, x<^ — е; A4)
яр
о
/ \ 2о0 . g& . gx , 2pac2 f shew ,„,„ j
1 v ; pg - с2 ^ ' яр J c4m2 -f- g2 '
о
r\{x) = ^соа^ cos ^-^[-g^&mx dm, \х\<г.
1 v y pg с2 с2 яр J c4m2 -)- g2 » i i ^ч
о
Добавим к рассматриваемому волновому движению с потенциалом
скоростей A3) волновое движение, описываемое формулами A2).
Выберем произвольные постоянные Р и Q так, чтобы набегающий
поток, подверженный внешнему давлению р0, яе был покрыт
периодическими установившимися волнами. Из формулы A4)
следует, что Q должно быть взято равным нулю, а
?g с2
Таким образом, если набегающий поток не покрыт периоди-
периодическими установившимися волнами и волны создаются лишь при-
приложенным давлением, то соответствующий потенциал скоростей
будет иметь следующий вид:
Ф(х, у) = ^sinii cos 4eW +*M[ Z%Sin^ ^ ^, A5)
^v u' pg с2 с2 ' яр J к (сЧ — g) » \ /
126 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
и уравнение поверхности жидкости для ] х | ^> 8 запишется так:
Интегральное слагаемое этой формулы стремится к нулю с увели-
увеличением | х |. Первое слагаемое правой части, взятое в квадратные
скобки, присутствует лишь для ж)>би дает периодические уста-
установившиеся волны, остающиеся за областью приложения внешнего
давления. Следует отметить, что амплитуда этих волн обращается
в нуль, если ширина области приложения давления есть целое
кратное длины установившейся волны при скорости потока,
равной с.
В промежуточной области, | х | < 8, имеем
оо
т,(я) = ^ cos-4" (я + в) - — [ '/Т? *chmxdm. A7)
о
Применим полученные формулы к определению вида поверх-
поверхности жидкости при давлении, сконцентрированном в одной точ-
точке — в начале координат.
Допустим, что длина е стремится к нулю, а давление р0 неог-
неограниченно растет, но так, что произведение 2гр0 стремится к
конечному пределу Р. Возьмем второй член правой части формулы
A6) и, воспользовавшись формулой
представим его так:
Г _^hem e_m|x| dm = 28^ ? _т_ g_m|x|
J c4m2 + g2 Jtp J c4w2 + g2 '
Яр
о
+ i^L е \ "^^Т е-™1*1 dm.
Абсолютное значение интеграла
не превосходит суммы чисел
1
+
§ 27. О ВОЛНАХ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИИ Ш
Отсюда вытекает, что при lim 2гр0 — Р будем иметь для | х \ ^> О
т 2р(с2Г shew . . _ Рс2 Г т тМ ,
lim __Li_ \ . ^ -е-т\х\ $т = \ 4 ^ _ е-т\х\ dm.
?~* о о
При стремлении е к нулю первый член правой части формулы A6)
имеет предел, равный
2Р . gx
~z sin ~- •
рс2 с2
Все эти рассмотрения показывают, что при концентрированном
давлении уравнение поверхности жидкости записывается так:
-л (х) = — '^—г sin Щ- А — \ л Г,—s ^~т'х1 dm. A8)
I DC С I Jtp ) С 171 -4— 2"*
О
Вернемся к формуле A5) и перепишем ее для рассматриваемого
случая концентрированного давления. Пользуясь изложенными
здесь соображениями, получаем для ф {х, у) следующее выраже-
выражение:
ф(я, у)= — cos i?еы*2 + —*[ sinkx e^ dk. A9)
Y v y/ рс с2 ' jtpc j g v ;
О Л---2-
§ 27. О войнах, возникающих на поверхности жидкости
конечной глубины от неравномерного внешнего давления
Определим вид установившихся волн, образующихся под
влиянием внешнего неравномерного давления, приложенного к
поверхности жидкости, текущей со скоростью с и имеющей
глубину h.
При исследовании этой задачи сохраним все обозначения § 26
и добавим к граничным условиям C) и D) § 26 условие обтекания
дна бассейна:
-
У /V=-h
Имея в виду это условие, представим потенциал скоростей в сле-
следующем виде:
ф (х, у) = ^ [А (к) cos кх + В (к) sin кх] ch к (у + /г) 3&.
о
Подстановка этого выражения потенциала скоростей в условия
A) и B) § 26 дает четыре уравнения для определения неизвестных
128 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
функций А (к), В (к), I (к), т (к):
a(k) =p [ck ch khB (к) - gl (к)],
—ft (к) = р [ck ch khA (к) + gm (/с)],
cm (к) = —A sh kh, cl (к) = В sh kh.
Решая эти уравнения, получаем
c2/c ch /сЛ - g sh ЛЛ ' P ^ ; ~ c2/c ch kh — g sh kh '
Пользуясь этими формулами, находим выражение потенциала
скоростей и уравнение поверхности жидкости:
chfefy+ ^)difc, A)
р ] c2/c ch A; A — g sh kh
о
1 v ; p
о
При исследовании этих формул могут представиться два случая:
1) скорость потока с больше чем Y~gh; 2) скорость потока меньше
чем Y~gh.
В первом случае знаменатель подынтегральных функций фор-
формул A) и B) не обращается в нуль на пути интегрирования, что
обусловлено отсутствием периодических установившихся волн
при скорости потока, превосходящей критическую скорость ^gh
(см. § 9). Но уравнение
с2к ch kh — g sh kh = 0 C)
имеет бесконечное число попарно сопряженных чисто мнимых кор-
корней. Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы преобразовать
уравнение B) к такому виду, который давал бы с возможной яс-
ясностью представление о виде поверхности жидкости.
Преобразуем выражение B) с помощью формул E) § 26, по-
получим
Г / чл Г
\ P(a)da \
sh kheik(x~aUk
§ 27. О ВОЛНАХ ОТ НЕРАВЙОМЕРЙОГО ВНЁШЙЕГй ДАВЛЕНИЯ 129
Разложим внутренний интеграл в ряд по полюсам подынтег-
подынтегральной функции. Эти полюсы находятся из решения уравнения
C); обозначим их через
М = Щп (п = ± 1,±2,±3, . . .)
и отметим, что,
И'-п = -f*n-
Применяя к преобразованию рассматриваемого интеграла мето-
методы, изложенные выше в §§ 13,15, получаем следующее разложение:
= *Е.У а
c4chkh — gshkh с2 ?j *
—оо П=1
где
Подставим этот ряд в формулу D), найдем
/? (а) ^ da. E)
П=1 —оо
Если давление отличается от нулевого лишь на некотором участке
(—Z, Z), то интеграл
м
p(a)e n h da= \p(a)e n h da
будет стремиться к нулю при неограниченном росте |#|. Отсюда
вытекает, что при рассматриваемом распределении давления и
для с ^> У gh поверхность жидкости не покрывается установивши-
установившимися периодическими волнами и ее ординаты быстро сходят
на нет по мере удаления от области избыточного внешнего дав-
давления.
Иное положение будет наблюдаться для скоростей, меньших
критической. Если с <С Ygh, то уравнение C) будет иметь два
действительных корня:
г = W
и
Всилу этого на пути интегрирования в формулах A) и B)
будут особые точки; эти точки надо обойти.
5 Л. Н. Сретенский
130 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ"!ВОЛНАХ
Поступая здесь совершенно так же, как при переходе от фор*
мулы (9) § 26 к формуле A1) § 26, мы получаем для потенциала
скоростей и ординат поверхности жидкости выражения, содержа-
содержащие главные значения интегралов. Таким образом, вместо формул
A) и B) будем иметь следующие формулы:
оо
, ч с *(* Ь (к) cos кх — а (к) sin кх , 7/ . n J7
Ф (х, у) = \ —w97 , 7, Цгтт— °п к (у + h) dk,
YV ' ^' р J сЧ ch kh — gshkh \г/ i / »
F)
- /r\ _ 1 *С a(fe)co3fea? + b(A)sinA;ar , ,, 5j,
1 v ' p J сЧ ch kh -— g sh kh
Эти формулы дают частное решение задачи о волнах, вызванных
приложенным давлением, при с <С y~gh. Общее решение получит-
получится добавлением к правым частям этих формул новых членов,
изображающих свободные установившиеся волны. Эти волны
имеют в качестве потенциала скоростей и своих ординат соответ-
соответственно такие функции:
'ckJhkQh (р cos кох + Q sin kox) ch к0 (у + К),
Q cos кох — Р sin k
где Р ж Q — произвольные константы.
Интегралы формул F) могут быть преобразованы в бесконеч-
бесконечные ряды, расположенные по вычетам подынтегральной функции.
Как и в случае с ^> У gti? мы. получаем здесь для ц (х) бесконечный
ряд E), к которому должно быть добавлено слагаемое, учитываю-
учитывающее действительный полюс к0 подынтегральной функции. Это сла-
слагаемое равно
оо
1 Г
— —гВ ^ sin/co|j — a\p(a)da, (8)
•—оо
где
ч»'-# (*-')'
Если давление будет распределено лишь на участке (—Z, Z), то при
неограниченном стремлении х к положительной бесконечности
это слагаемое будет стремиться к
г
2" \ sin ^о (х — а)Р (а) ^а.
§ 27. О ВОЛНАХ ОТ НЕРАВНОМЕРНОГО ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ 131
При стремлении же х к отрицательной бесконечности будем иметь
Каждое из этих слагаемых изображает периодическую установив-
установившуюся волну.
Если мы потребуем, чтобы поверхность потока перед областью
приложения давлений не была покрыта такими волнами, то мы
должны на движение, изображаемое совокупностью формул E)
и (8), наложить движение, изображаемое формулами G), приняв
i
7?
Р = -^
7? f
Q = —T- \ sin A:oa p (a) da.
PC _j
При таком выборе Р и Q мы будем иметь следующее уравнение
поверхности жидкости:
ОО I V'Y,
Yi (х) = —г > ^4П \ р (а) е /г da —
г
Г \ fs^n ^о Iх — а | + sin А:о (ж — а)] р (а) da. (9)
Первое слагаемое правой части, представляемое бесконечным ря-
рядом, стремится к нулю с увеличением | х \ и дает местное подня-
поднятие уровня жидкости. Второе же слагаемое обращается в нуль
для х <С -Z; для х > I оно отлично от нуля и представляет собою
периодическую установившуюся волну, возбужденную на по-
поверхности жидкости внешним давлением.
Если давление сосредоточено в одной точке, начале коорди-
координат, то уравнение (9) принимает такой вид
Последнее слагаемое, заключенное в фигурные скобки, присут-
присутствует в формуле лишь для положительных х и представляет со-
собою периодическую волну, поднятую сосредоточенным давлением
Р = lirn \ p(a)da.
5*
132 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
§ 28. Движение глиссера по глубокой воде
Результаты предыдущих параграфов имеют интересное и важ-
важное приложение к теории глиссирования пластинок. Допустим,
что по поверхности бесконечно глубокой жидкости движется с
некоторой постоянной скоростью с прямолинейная пластинка.
Задача состоит в том, чтобы по величине скорости движения
пластинки, по нагрузке на нее и по тянущей горизонтальной силе
найти давление потока на пластинку, величину погружения ее в
жидкость и угол наклона к горизонту.
Для решения этой задачи допустим сначала, что пластинке
придано вполне определенное положение относительно горизон-
горизонтального уровня жидкости, характеризуемое углом у наклона и
величиной погружения задней кромки. Относя все движение к
системе координат хОу, движущейся вместе с пластинкой, полу-
получаем задачу об определении установившегося движения потока,
набегающего со скоростью с на неподвижную прямолинейную
пластинку.
Примем в качестве оси Ох уровень жидкости в бесконечности
перед пластинкой; за начало координат возьмем проекцию на ось
Ох середины смоченной части пластинки. Пусть у = ах -f- Ъ —
уравнение пластинки, причем а = —tg у < 0. Обозначим, далее,
через 2г величину смоченной части пластинки; эта величина неиз-
неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи.
В качестве основной неизвестной возьмем давление р = f (х)
в точках пластинки. Эта функция ищется для значений х в пре-
пределах от —г до г; для | х | > г функция / (х) равна нулю, так как
вне пластинки давление жидкости постоянно.
Составим уравнение для определения функции / (х). С этой
целью возьмем формулу A9) § 26 и перепишем ее в новом виде:
/ \ р „ , р Г • • v,, , Г sinkx fril J71
ф (г у) = — е*у cos кх -\ <ти sin ш еху + \ -? еку ак\,
TV ' У) рс ' нрс [ ' л /с—к J
о
где % = g/c2, или
оо
Р Р С sin кг
(О (г lA — еус(х-гу)г I \ гки Л]? (\\
Т Ч ' У} рс ' ЯрС \ к — % V '
0
Интеграл в правой части A) берется по пути, обходящему, в
плоскости комплексного переменного к, особую точку к = х
сверху.
^ Предположим теперь, что на участке —г < х <С т к поверх-
поверхности жидкости приложено давление р = / (х). Составим, поль-
пользуясь формулой A), выражение соответствующего потенциала
§ 28. ДВИЖЕНИЕ ГЛИССЕРА ПО ГЛУБОКОЙ ВОДЕ 133
скоростей Ф (х, у). Получим
Ф (х, у) =
I
Найдем отсюда выражение частной производной потенциала по
переменному х; имеем
дФ _
дх ~~
г
f {a)da
Пользуясь этой формулой, составим уравнение поверхности жид-
жидкости для значений х от —г до г. Применяя формулу A) § 27,
находим
-л (#) = — Ьт (-к— — 1±-L . D)
Уравнение D) может рассматриваться как окончательное уравне-
уравнение поставленной задачи о глиссировании. В таком именно виде
оно послужило Маруо [152], [A53] и Сквайру [183] для определе-
определения функции / (х). Но нам казалось более'выгодным подвергнуть
уравнение D) добавочным преобразованиям, устраняющим из него
свободные волны.
Продифференцируем для этого обе части равенства D) по х
два раза и прибавим к полученному результату само равенство,
умноженное на и2. Имеем
g v_o \дх дх I P# dx '
/ д* дФ\ 1_ d*f_
[dx* dx ) pg dx* '
¦ту = — hm
Отсюда
d*r\ 2 _ _c_ у r^2 ^Ф , 2 ^Ф 1 1 V d*f , 2/1
^д.2 ' I gr ^o;2 Я/v. l^ Я/ij per dx*
О Ц. >. Q L. J "o L _J
Обратимся к формуле C), из этой формулы имеем
134 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Вычислим внутренний интеграл, имеем
о
Отсюда
_^__дф_ 2 дф __ 1 d2 f yf (a) da % д Г у/ (а) ^а
da?2 da? ' da; ~~ Яре ду2 j (а — хJ + у2 яре ду J (а — а?J + У1'
—г —г
G)
Рассмотрим интеграл, входящий в эту формулу. Заменим пря-
прямолинейный путь интегрирования комплексным путем С, идущим
в верхней полуплоскости над полюсом а = х — yi подынтеграль-
подынтегральной функции. Получим
Г yf(a
(a)da _. __ // _ л I- [ fjp,)da
с
Преобразуем с помощью этой формулы формулу G), получим
f(a)da , Q of j(a)da ,
дФ 2 дФ
С С
.г// .ч , Г f(a)da г, 9 Г f(a)da
+ Л1Х/ (х — yi) + х \ __ 42 л- 2 ^ \ __
с с
Перейдем к пределу, устремляя у к нулю, получим
f (a) da
у->_о L дх* дх { дх J / v / i / \ / i J
с
(а
— xV '
С помощью этой формулы основное уравнение F) теории глисси-
глиссирования запишется так:
Левая часть этого уравнения известна, так как форма глиссирую-
глиссирующей пластинки задана.
К уравнению (8) мы пришли бы и в том случае, если бы в пра-
правой части уравнения D) было еще дополнительное слагаемое
Р cos кх + Q sin хх (9)
с произвольными коэффициентами Р и Q. Поэтому мы должны
I 28. ДЁШ&ЁНЙЁ ГЛИССЕРА ПО ГЛУБОКОЙ ВОДЕ 135
потребовать, чтобы при каком-нибудь частном значении х, напри-
например при х = О, соблюдались именно равенства D) и E), а не бо-
более общие, получаемые присоединением двучлена (9). Таким об-
образом, должны соблюдаться следующие два условия:
Для дальнейших вычислений целесообразно преобразовать пер-
первые слагаемые правых частей к новому виду.
Заменим интегрирование в формуле C) по кривой, обходящей
точку к — п сверху, интегрированием по мнимой оси плоскости
переменного к. Имеем сначала
к — % a2 + t/2 l J к —
о о
<№. A2)
J к % a + t/ J к к х '
о о
Далее,
к
о
= _ я1е-ы\а\+*У + [ т™*ту e-mW dm + х [ slJi^iy9 e~mW dm. A3)
J /?г2 -|" x2 ' j m2 -|- к2 v y
о о
При г/, стремящемся к нулю, эта формула принимает такой вид:
J Л х ^ J w2 + k2
Принимая в расчет эту формулу и формулу A2), мы можем напи-
написать, что
Г 00
lim [ f(a)da[ ^*J™-ke*«dk =*
0
r
—г
dm.
136 ftl. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ЁЁСкОЙЁЧкО МАЛЫХ ВОЛНА!
Простой подсчет показывает, что
следовательно,
lim
~ я/ @) — ян* W (a) eixlal da + ^ ^ / (a) da ^ ^ x2 dm. A4)
—г —г о
Составим теперь на основании формул C), A2) и A4) условие A0).
Опуская некоторые промежуточные вычисления, придаем этому
условию такой вид:
О Г оо
*/(«)М-?ггз-*«- A5)
—г —г о
Обратимся затем к условию A1). Из формул A2) и A3) имеем для
х — 0 следующий результат:
д Г cos к (х ¦- сО
~дх J к—% "*" —
о
-m sin my) dm.
Верхние знаки берутся для a ]> 0, нижние — для a < 0. С по-
помощью этой формулы получаем для х = 0, полагая, где это воз-
возможно, у = — 0,
cos /с (а? — a)
0
-^ \ №*
§ 28. ДВИЖЕНИЕ ГЛИССЕРА ПО ГЛУБОКОЙ ВОДЕ 137
При у, стремящемся к нулю, имеем, используя введенную выше
ДУГУ С,
= jtix/(O) + H
\ ^) () \Щ \
—г С —т
г
lim [ f(aL—2-T-ir da = я/' @).
Следовательно, для х = О
lim -я-
—r —r
/ (a) e-^« da + x3 ( [/ (a) - / (— a)] da
Пользуясь этой формулой и формулой C), записываем условие A1)
в следующем виде:
П'@) ^1 "i*» ^ 5
—г
О
Таким образом, мы должны найти то решение уравнения (8), ко-
которое удовлетворяло бы добавочным условиям A5) и A6). Отыс-
Отыскав такое решение, мы сможем найти вид поверхности жидкости
перед глиссером и за глиссером. Основываясь на формулах D\
B), A3), находим, в частности, уравнение установившихся сину-
синусоидальных волн, развивающихся далеко за глиссером:
rl г
ц (х) = — cos m \ / (a) sin иа da sin ш \ / (a) cos иа da.
—г —г
Отметим, что уравнение (8) может быть приведено к основному
интегро-дифференциадьдому уравцердар теорвд крьща
138 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
размаха. В самом деле, перепишем уравнение (8) так:
и проинтегрируем его по х от 0 до х; получим
da a—
—г
где
Пользуясь формулами E) и F) § 23, можно привести это уравнение
к обычному уравнению Фредгольма с симметризуемым ядром и
получить его решение в виде тригонометрического ряда (см. § 29).
За подробностями отсылаем к известной книге Н. И. Мусхели-
швили об интегральных уравнениях с особыми ядрами [31].
§ 29. Решение интегрального уравнения теории
глиссирования
Для решения интегрального уравнения (8) § 28 применим ме-
метод тригонометрических рядов, развитый в аэродинамике для ре-
решения интегрального уравнения теории крыла конечного размаха
([8], гл. VI, §§ 6, 7).
Преобразуем уравнение (8) § 28 к новым переменным Ф и 0,
связанным с переменными а и х формулами
а = — г cos Ф, х = — г cos 0.
Новые переменные меняются в пределах @, л). Примем следующие
обозначения:
/(*) =F(9), /(a) =*¦(<>),
и, кроме того, положим
кг — gr — Г
Ограничиваясь рассмотрением глиссирования прямолинейной
пластинки т] = ах + Ь, положим
v2 = — pgar.
Пршщмая эта обозначения ? мы придаем уравцевдвд щисеироващя
I 29. ЙНТЁ^РАЙЬНОЁ УРАВЙЁНЙЕ ТЕОРИИ ГЛИССИРОВАНИЯ 139
следующий вид:
±[ * @)в1п0<№ Угсозв). A)
4 ' ' sm6 v ; ' jt J (cos 9 — cos Ф;2
0
Будем искать решение этого уравнения в виде следующего ряда:
F (9) = Л ctg \- 9 + Л sin 9 + Л sin 29 + ... B)
с неопределенными коэффициентами Ао, Аи А2,. . .
Подставим этот ряд в уравнение A) и укажем прежде всего ре-
результат подстановки слагаемого А 0 ctg 72 9 в левую часть этого
уравнения. Имеем
(cos 6 — cos -О1J и & 2
о
Подстановка же всего остального бесконечного ряда дает нам сле-
следующий результат:
с» с»
— Ху ^nsin729 =—q-> nAnsinnQ.
Z-J sin 6 ^j n
П = 1 П=:1
Таким образом, уравнение A) будет удовлетворено, если неизвест-
неизвестные коэффициенты ряда B) подобрать так, чтобы в промежутке
О < 9 < я удовлетворялось тождество
ОО СО
А, 2 ^n sin 9 sin ^г9 + 2 ^^n sin 7г9 =
= — АЛ A + cos 9) — A/Vi sin 9 1- A,v2 sin 29.
Раскладывая сумму 1 + cos 9 и произведение sin 9 sin тг9 в ряд
по синусам кратных дуг, приходим к следующей системе уравне-
уравнений:
^ =V 1 C)
тАт -\ \ ¦—-s— —-1 Ап = — •
л / ' L (m + яJ — i (m. — п)г — 1 J n Tim
n=i
G7i = 3, 5, 7,...),
140 ?Л. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
из которой могут быть определены все коэффициенты А с нечет-
нечетными индексами*).
Для определения коэффициентов А с четными индексами слу-
служит другая система уравнений:
n=2
А § | Ш\» \ ^ Г 1 1/1 ^Af-rXQ fib
m* ' jt / i (m 4- /гJ — i (m — /гJ — 1 I n зх /тг2 — 1
(т = 4, 6, 8,.. .)•
Можно показать, что к решению полученных систем уравнений
с бесконечным числом неизвестных может быть приложена тео-
теория бесконечных детерминантов.
После решения неизвестные Alt A2, ASi. . . могут быть пред-
представлены так:
Ап = алУ1 + ЬпА0 (п = 1, 3, 5,. . .),
An = flnva + ЬпА0 {п = 2, 4, 6, . . .),
где ап и Ъп — некоторые функции параметра К.
Установив это, мы можем представить искомую функцию в
следующем виде:
F (9) = vi*1! (в) + v2F2 (9) + Ао [ctg 4" 9 + ^з (9)] , E)
где
с» оо
^iF)= S' a» si» пв, ^2F)= З'впвшяв,
п==1 п=2
71=1
Полученное решение зависит от параметра X и содержит, кроме
того, одну произвольную константу Ао. Для определения этой
константы привлечем в рассмотрение условия A5), A6) § 28, в ко-
которых надо принять я @) = Ь, д' @) = а.
*) Один штрих у суммы означает, что суммирование распространяется
на нечетные значения индекса п; два штриха означают, что суммирование рас-
распространяется на четные значения п.\
I 29. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕОРИЙ ГЛИССИРОВАНИЙ 141
Подставляя в эти условия вместо / (х) = F (9) найденное вы-
выражение функции F (8), приходим к двум уравнениям вида
^iVi + M2v2 + M3^0 = 0, ^! + Л^2+Л^о = О, F)
в которых Ml9 Nl9. . ., М3, N3 — вполне определенные функции
параметра X. Эти уравнения, служащие для определения Ао,
будут совместны, если между v± и v2 будет существовать следую-
следующее соотношение:
vi = Lv2, G)
где L — некоторая функция X:
_ М2/У3 - М37У2
Ь~ M3N1-M1N3 '
При выполнении этого соотношения определяется коэффициент
Ло:
A0 = Kv2, (8)
где К — функция X.
Обозначим через —h = ar -\- Ъ погружение заднего конца
пластинки. Условие G) свяжет тогда зависимостью
&-=-(l-L)ak (9)
величины а = — tg у, X и hi г.
Найдем общую силу давления Р потока на пластинку; имеем
/ (x) dx.
Пользуясь разложением E) и формулами G), (8), преобразуем это
выражение к следующему виду:
Р = - \па /Г+72 Pgr2 [atL + B + bi)К], A0)
Отсюда мы получаем формулы для подъемной силы Y и для со-
сопротивления пластинки X:
у 1_ а j . , , „
X = -j-na*pgr* [axL + B + Ьх) Z].
С помощью тех же формул можно найти момент сил давления от-
относительно середины пластинки:
М = 4" ш A + а2) PS?3 [*а + B + Ьа) ЛГ]. (И)
Эта формула вместе с формулой A0) позволяет определить поло-
положение центра давлений.
142 ГЛ. t ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАМ
§ 30. Числовое решение уравнения глиссирования
Из системы уравнений C) и D) § 29 были определены неизвест-
неизвестные А в числе двадцати
А19 Аъ, As, • • •» Aiq, Л20
для девяти значений параметра \i = 2Уя:]
\i = 0,1; 0,25; 0,50, 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00.
Для этих значений параметра \i были найдены затем величины L
и К, входящие в формулы G) и (8) § 29. После этого формула E)
§ 29 позволила установить распределение давления вдоль плас-
пластинки, а точнее — величины
1|А|7 = X {LF± (9) + F, @) + К [ctg 4"е + *з (9)]} - A)
Результаты подсчетов даны на рис. 3 (где 1~ц, = 0,1;2~
~ \i = 0,25; 3 ~ \i = 0,5; 4 ~ \i = 0,75) и рис. 4 (где 5 ~ \i =
= 1,00; 6 ~ ^ = 1,25; 7 - |л = 1,5; 8 ~ ц = 1,75,9- |г = 2,0).
Для дальнейшего представления результатов вычислений введем
четыре различных числа Фруда:
F - с
С р С
Здесь (^ — нагрузка на пластинку, приложенная в точке, отстоя-
отстоящей на расстояние I от заднего края глиссера. Величина I равна
расстоянию центра гидродинамических давлений от задней кром-
кромки глиссера. Положение центра давлений может быть вычислено
по формулам A0) и A1) § 29 для каждого значения параметра ц.
На рис. 5 изображена зависимость между числами Фруда Fx
и F2. Рис. 6 представляет зависимость числа F3 у tg у от числа
Фруда Fx. Наконец,;на рис. 7 изображена зависимость числа 1/FJ
от числа 1/Fi. Кривые этих рисунков построены на основе число-
числового решения уравнений C), D) § 29 и значений A) функции F (9).
Допустим теперь, что задались скоростью движения с, дали
величину нагрузки Q и указали место I ее положения относительно
задней кромки. Эти данные позволяют найти числа Фруда F2 и
F3; из рис. 5 определяем затем число Fx, а тем самым величину смо-
смоченной части пластинки. По известному числу Fx и числу F3 оп-
определяем затем, пользуясь рис. 6, тангенс угла наклона у
Рис. 3.
Рие, 4,
144 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
пластинки к горизонту. Наконец, рис. 7 дает величину погруже-
погружения задней кромки пластинки.
2,0
W
л
/
о
1,0 2,0
Рис. 5.
W
1
-—-<
О 0,5 1,0 1,5 2,0 F;
Рис. 6.
Рис. 7.
Пользуясь формулой A), можно найти результирующую сил
давления Р потока на пластинку. Результаты соответствующих
подсчетов даны на рис. 8, на котором представлено изменение ве-
давления на единицу площади омытой части рластрщщ в
§ 30. ЧИСЛОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛИССИРОВАНИЯ
145
зависимости от числа Фруда F3, связанного с величиной нагруз-
нагрузки. Рис. 8 показывает, что при увеличении числа F3 от 0,649
до 1,35 давление на единицу площади уменьшается, а затем быст-
быстро растет.
На рис. 9 вдоль оси абсцисс отложено число Фруда F3, вдоль
оси ординат отложено отношение | расстояния центра давления
от середины пластинки к половине длины омытой части. Для ма-
малых чисел F3 центр давления лежит в задней половине пластинки
2.0
1,0
\
\
/
О
N
0,5 ^
\ с
15 г
—о»
1,0
1,5
2,0
Рис. 8.
Рис. 9.
и передвигается с увеличением числа F3 по направлению к перед-
передней части. При F3 = 0,95 центр давления совпадает с серединой
пластинки и при дальнейшем увеличении F3 смещается в переднюю
часть, стремясь к точке, делящей пополам эту часть движущейся
пластинки.
В упомянутой выше работе Сквайр [183] ищет решение урав-
уравнения D) § 28 в виде следующего тригонометрического ряда:
/(*)
рс2
sin 0
, COSi
При вычислениях в этом ряде удерживаются лишь четыре коэф-
коэффициента, которые находятся из требования, чтобы поверхность
жидкости на участке (— г <С х < г) была возможно более плоской
и образовала угол, близкий к а. Вместе с тем ставится условие
отсутствия силы давления на заднем конце пластинки, что ведет
к такому соотношению между коэффициентами:
aQ — аг + а2 — ац — 0?
146 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
§ 31. Некоторые приближенные формулы в теории глиссера
Изложенное в предыдущем параграфе числовое решение ин-
интегрального уравнения теории глиссера было предложено автором
книги [51]. Ю. С. Чаплыгин дал в ряде статей [71], [72] полное чи-
числовое решение задачи о глиссировании пластинки, основываясь
на методе, развитом Л. И. Седовым[40], [41]. Задача о глиссирова-
глиссировании доступна также и аналитическому решению для малых зна-
значений параметра X,
Если параметр X мал, то решение систем уравнений C) и D)
§ 29 или интегрального уравнения с симметризуемым ядром, о ко-
котором было упомянуто в конце § 28, можно искать в виде степенных
рядов, расположенных по этому параметру. Учитывая лишь пер-
первые степени X, можно найти для функции F @) следующее выра-
выражение :
F (G) = — hvi sin Э 1- Xv2 sin 29 +
mm0 4^
m=i m=2
Затем, формулы G) и (8) § 29 позволяют найти величину Ао:
и
_1
2
ln-|-A,)va,
где у — постоянная Эйлера:
у = 0,57721 . . .
Соотношение между числами Фруда Fx и F2 принимает вид
Fi
Подъемная сила пластинки Y и момент давлений получают сле-
следующие выражения:
Y = — 7tpac2r [l — X (я -f 4-)l '
Связь между погружением h задней кромки пластинки и осталь-
остальными величинами задачи получает следующий вид:
§ 3l ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ОКОЛО ВЕДУЩЕГО КРАЯ ГЛИССЕРА {/?
Так как % близко к нулю и а < 0, то h получает отрицательные
значения, т. е. при малых X пластинка всплывает над средним го-
горизонтальным уровнем жидкости.
Далеко за пластинкой образуется синусоидальный хвост волн
ц = 2nar [l — a7n+-
Отсюда волновое сопротивление пластинки, определяемое по ам-
амплитуде этих волн, будет иметь следующее выражение:
R = я2а2г2 [l - 2% (л + ~\] pg.
Но общее сопротивление X глиссера, имеющее следующее зна-
значение:
V 2 2 1/1 *\ / I ^
во много раз больше волнового сопротивления R. Поэтому главная
часть всего сопротивления обусловлена затратой сил на образова-
образование вертикальной струи жидкости ведущим концом пластинки (см.
§ 32). Приведенные в этом параграфе формулы были получены
Л. И. Седовым [40], [41].
§' 32. Исследование движения жидкости
около ведущего края глиссера
Возьмем формулу A) § 28, определяющую потенциал скоростей
при сосредоточенном давлении. Перепишем эту формулу так:
рс лрс
о
и присоединим к ней формулу для функции тока:
t(,,j/)sinx«4
О
Из этих двух формул можно составить характеристическую функ-
функцию течения:
°°
Pi Г р~гкг
Jtpc
\ 4 dk;
J к — к '
о
особая точка к = к обходится сверху. Дифференцируя эту
148 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 6 БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЁОЛНАХ
формулу, получаем
dw р Г*-гл>
dz лрс j к — \
о
Из этих двух последних формул находим
оо
dw . . _ Р Р
о
или
dw , . Pi 1
-i h ^М^ = — -z
Интегрируя это уравнение, получаем
Перепишем это выражение функции w (z), отмечая лишь особен-
особенность, присущую точке z = 0:
w(z)= — е~ш In z + ...
Составим теперь особую часть W (z) характеристической функции
течения, отвечающего давлению / (х), распределенному на отрезке
[— г, г] оси абсцисс. Будем иметь
== _. JL С / (a) e-ix(*-a) in (z _ а) da,
ИЛИ
г
W (z) = — -^ e~iKZ J / (а) е«а In (z — а) da. A)
—Г
Подставим сюда вместо / (а) взятое выше разложение B) § 29,
которое можно переписать так, используя переменное х:'
FF) = f {х) = Ло j/^fqr| + /г2 — х2 N (ж), B)
где iV (ж) — функция, голоморфная около точки х = —г. Рас-
Рассмотрим сначала интеграл
s1(z)= !
—г
§ 32. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ОКОЛО ВЕДУЩЕГО КРАЯ ГЛИССЕРА 149
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
г
S± (z) = v (г) In (z — г) — \ ——^ da,
,—г
где
-T7rda- C)
Функция i; (а) может быть представлена так:
v (а) = У^г + а У (а),
где V (а) — функция, голоморфная около точки а = —г. Следо-
Следовательно,
da.
Разложим функцию V (а) в ряд Тейлора около точки а = z, близ-
близкой к точке а = —г:
Подставляя это разложение в предыдущую формулу, находим
г г
S1(z) = v(r) In(z — r) —V(z) [ J^za da — V (z) J /r + a da — ...
Около точки z = — г обладает особенностью лишь второе слагае-
слагаемое правой части; вычисляя это слагаемое, получаем
Si (z) = V (-г) ni V7T~z + . . .
Из формулы C) легко получить, что
V (—г) = 2/2ге-**г;
следовательно, около точки z = — г имеем
Sx (z) = 2тУ2хе-™г \'r + z + ...
Отсюда около той же точки формула A) запишется так для
Возьмем затем второе слагаемое формулы B) и рассмотрим
{§0 fji. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛЙА1
интеграл
S2 (z) = \ N (а) /га — а2 е™« In (z - а) da.
—Г
Применяя формулу интегрирования по частям, находим
S% (z) = v, (r) In (z - г) - [ Ji?l da, E)
J U Z
—r
причем
a
vx (a) = J N («) /r- — a2 e'*« da.
Около точки a = —г мы можем написать следующее равенство:
Vl (a) = (r + a)s'2Fx (a),
где Ух (a) — голоморфная около точки а = —г функция. Следо-
Следовательно,
^2 (^) = ^i (r) In (z — г) —
Разложим функцию Vx (a) в ряд Тейлора около точки a = z,
близкой к точке a = —г:
и подставим это разложение в предыдущую формулу, получим
Около точки z = —г особенностью будет обладать лишь второй
член правой части; вычисляя его, получаем
?2 (z) = — ni У2ге~™г N (- г) (z + r)zl* + ...
Следовательно, функция W (zO определяемая формулой A), где
функция / (а) дается бесконечным тригонометрическим рядом
B) § 29, будет иметь около точки z = —г такой вид:
§ 33. ДВИЖЕНИЕ ГЛИССЕРА ПО ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 151
Следовательно, около точки z = —г полное выражение функции
W (z) будет
Таким образом, точка z = —г, отвечающая переднему краю глис-
глиссера, является алгебраической точкой ветвления для характерис-
характеристической функции течения.
Обозначим через и и v компоненты волновой скорости по осям
координат. Для определения этих компонент около точки z = —г
имеем следующую формулу:
^ dz pc у z+r ?c J V
Из этой формулы имеем для действительных z, больших чем — г
для действительных z, меньших чем —г, имеем
и = О, v =
рс у -— г — х
Из двух последних формул видно, что впереди глиссера, около его
ведущего края, образовывается почти вертикальная струя жидко-
жидкости с большой вертикальной скоростью.
Эти же формулы указывают и на несовершенство изложенной
теории, основанной на соображениях теории малых волн. В самом
деле, в согласии с формулой
_ си
=о ~~ Г"
поверхность жидкости около ведущего края должна незначитель-
незначительно уклоняться от прямой у = 0, так как около этого края и = 0.
Но около этого же края вторая слагающая скорости v имеет весь-
весьма большие значения.
§ 33. Движение глиссера по поверхности жидкости
конечной глубины
Изложенный метод решения задачи о движении глиссера по
поверхности жидкости бесконечной глубины может быть прило-
приложен и к решению задачи о движении глиссера по поверхности жид-
жидкости, имеющей данную конечную глубину h. He входя во все под-
подробности вычислений, основанных на формулах § 27, укажем ,
основные уравнения этой новой задачи,
152 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Здесь приходится рассматривать два случая:
В первом случае уравнение для определения давления вдоль глис-
глиссирующей пластинки пишется так:
~м а: — а
+ -TS- \ /(a)da\ иг, cos
—г о
Во втором случае оно имеет несколько более сложный вид:
я %
где ? — положительный корень уравнения
т? = th |.
К каждому из этих уравнений должно быть добавлено два усло-
условия, аналогичных условиям A5) и A6) § 28.
Уравнения A) и B) можно снова решать, пользуясь тригоно-
тригонометрическими рядами, и получить, в частности, приближенные
формулы для сил и моментов гидродинамического воздействия по-
потока на пластинку; эти формулы пригодны для малых значений
величины X = gr/c2.
Такие формулы были даны М. Д. Хаскиндом, который изучил
рассматриваемую здесь задачу с помощью соображений теории
функций комплексного переменного [63].
§ 34. Об установившихся колебаниях твердого тела
под поверхностью жидкости бесконечной глубины
Предположим, что некоторое твердое тело, находящееся под
поверхностью жидкости и ограниченное замкнутым контуром С,
совершает относительно своего среднего положения небольшие
по амплитуде установившиеся колебания частоты а. Определим то
двцщение жидкости, которое вызывается этими колебаниям^,
jj 34. ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1S3
Будем определять положение точки на контуре С длиной s
дуги, отсчитываемой от некоторого начала.
Допустим, что колебание контура определяется заданием нор-
нормальной скорости его точек в зависимости от дуги s и от времени t
в следующем виде:
Vn = к 00 cos at + /2 (s) sin at\ A)
Vn — скорость в направлении внешней нормали. В силу пред-
предполагаемой малости смещений тела от его среднего положения ус-
условие A) переносится с истинного положения контура С, занимае-
занимаемого им в момент времени t, на среднее положение этого контура.
Таким образом, задача состоит по существу дела в определении
движения жидкости от слоя простых источников переменной ин-
интенсивности, распределенных на неподвижной кривой.
Потенциал скоростей движения жидкости будет иметь следую-
следующий вид:
Ф (я, У\ t) = Ф1 (я> У) cos ot + ф2 (я* У) sin Gt- B)
Функции фх (х, у) и ф2 (х, у) должны удовлетворять в точках кон-
контура, взятого в его среднем положении, таким граничным усло-
условиям :
вытекающим из формулы A). Помимо этого, функции фх и ф2 дол-
должны еще удовлетворять волновым условиям на среднем уровне,
у = 0. Эти условия, вытекающие из общего условия D) § 2, за-
записываются так:
ду g T1 ' by g Y2 v ;
Кроме того, скорости, обусловленные потенциалом скоростей B),
должны обращаться в нуль на бесконечной глубине. Помимо все-
всего этого, мы должны потребовать, чтобы волны на поверхности жид-
жидкости были обязаны лишь колебаниям тела.
Введем функции wx (z), w2 (z) комплексного переменного z =
= х + iy, действительные части которых были бы соответственно
9i(s» У) и Ф2 (xfy):
Ф1 С*! У) = Re wx (z), ф2 (ж, у) = Re w2 (z).
Принимая это, мы можем записать характеристическую функцию
течения жидкости w (z, t) так:
w (z, t) = w1 (z) cos Gt + u?2 (z)sin Gt. D)
Представим каждую из функций wx(z)9 w%{z) в виде трех
154 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
слагаемых:
и>1 (z) = шп (z) + w12 (z) + w13 (z),
w2 {z) = iv21 (z) + w22 (z) + w23 (z),
выбирая шесть вновь введенных функций wn (z),. . ., w23 (z) сле-
следующим образом.
В качестве функции wlx (z) возьмем потенциал скоростей про-
простого слоя источников некоторой плотности дг (s), распределен-
распределенных на кривой С:
1 С
^ 13Г \ qi ^1п ^ ""
с
Здесь т = т (s) — аффикс переменной точки контура С. В качест-
качестве же функции w12 (z) примем потенциал простого слоя источников
плотности — q± (s), распределенных на контуре С, симметричном
контуру С относительно оси абсцисс. Функция w12 (z) запишется
так:
Щ* (z) = — -^г ^ 3i E)ln (z — ^)ds- G)
Для действительных значений z имеют место следующие два
равенства:
Фи + Ф12 = 0, -|^ + ^=2^-. (8)
Определим затем функцию w13 (z) так, чтобы соблюдалось первое
из условий C). Основываясь на равенствах (8), мы можем запи-
записать первое из условий C) так:
vy g oy ч '
Представим правую часть этого условия в виде следующего ин-
интеграла :ч
0ф1а(а?-,О1
ду
= { {М1 cos kx + Ыг sin kx) dk. A0)
Пользуясь интегральной формз^лой Фурье, мы можем определить
входящие сюда функции Мг (к) и N± (к):
coskada,
= — \ —ь^ — sin ka da.
§ 34. ОБ УСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЯХ ТВЕРДОГО ТЕЛА 155
Введем в рассмотрение функцию 1\ (к), полагая
1\ (ft) = Мх (к) + Шг (к);
будем иметь
4 |[ д^0) (И)
Из формулы A0) следует, что производная дср12 (х, у)/ду может быть
представлена для всех отрицательных у таким интегралом:
(x v) (*
* ' У) ¦ = \ (Mi cos kx 4- Af i sin kx) eKv dk.
ду J v ;
о
Но подынтегральная функция может быть выражена через функ-
функцию Гх (к):
(Мг cos kx + Nx sin fcr) e*y - Re Гх (/c)e"ifez,
следовательно,
оо
д^х у) = Re [ Тг (к) e~ikz dk. A2)
о
Это равенство дает возможность представить функцию w12 (z) в
следующем виде для Im z < 0:
w12 (z) = — i^T1 (к) e-^dk. A3)
о
Так как функция ш12 (z) обращается в нуль в бесконечности, то
к правой части этой формулы не следует добавлять произвольной
действительной константы.
Обратимся к определению функции iv[s. Условие (9), с соблю-
соблюдением которого должна быть найдена эта функция, может быть
записано так:
"V dz g и/^)~ -^^ dz
откуда получаем, с помощью обычных рассуждений, дифферен-
дифференциальное уравнение
. dwlz a2 о. dwtf
dz g 13 dz
Используя формулу A3), находим общее решение этого уравнения
в следующем виде:
а2г со
wi3 \z) — ^\е —\ -т——^-j—e~lKZ ale. A4)
о
156 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Путь интегрирования обходит сверху особую точку к = oVg;
коэффициент Dx у первого слагаемого произволен и будет опреде-
определен дальше.
Таким образом, функция w1 (z) определяется совокупностью
формул F), G), A4), где функция Тг (к) дается формулой A1).
Обратимся теперь к функции w2 (z). Повторяя все'изложенное
выше, определяем эту функцию совокупностью следующих фор-
формул:
1 (*
w21 (z) — -к— \ #2 (s) In (z — t) ds,
л с*
^22 (%) = *— \ ^2 {s) In (z — t) ds, A5)
Комплексное число D2 произвольно. Функция Г2 (к) определяется
формулой
Г2 (ft) = ±
—оо
Таким образом, характеристическая функция течения w (z, t)
найдена. Функции qx (s) и q2 (s), входящие в различные формулы,
определяющие функцию w (z, t), являются плотностями слоев
источников, распределенных на контуре С. Эти плотности должны
быть взяты такими, чтобы удовлетворялись условия обтекания
контура С. Об определении функций qx (s) и g2 (s) речь будет идти
ниже (§ 38).
В заключение этого параграфа отметим новые выражения для
функций Гх (к) и Г2 (к).
Возьмем следующие формулы:
= i
dz дх ду
. д(р12
i
dz дх ду
и сложим их почленно, получим
Для действительных значений z эта формула принимает, в силу
условий (8), следующий вид:
§ 35. О ФОРМЕ ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 157
Отсюда
Этой формуле можно придать еще и другой вид, замечая, что ин-
интеграл
взятый вдоль полуокружности бесконечно большого радиуса, ле-
лежащей в верхней полуплоскости, равен нулю. Ввиду этого фор-
формула A7) может быть преобразована к следующему виду:
причем контур С обегается в положительном направлении. Но
функция dwn/dz голоморфна в верхней полуплоскости, следова-
следовательно,
[
с
Совершенно так же мы можем преобразовать и формулу A6); най-
найдем
Замечание. Введенные в этом параграфе функции 1\ (к)
и Г2 (к) связаны следующими зависимостями с функциями Н1 (к)
и Н2 (к), введенными Н. Е. Кочиным при изучении рассматривае-
рассматриваемой здесь задачи [17']:
Н1{к) = — 2nif\(k), Н2(к) - - 2niT2 (к).
§ 35. О форме волн, возникающих при колебаниях
погруженного тела
Уравнение поверхности жидкости, обладающей движением
с потенциалом скоростей ср (х, у\ t)+ записывается так (см. § 2):
— 1 ( Э(Р \
В рассматриваемой задаче уравнение поверхности жидкости имеет
вид
Ti =' — ф! (х, 0) sin at + — Ф2 (ж, 0) cos at,
158 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
ИЛИ
т] = — sin at Re wx (z) + — cos at Re w2 (z);
здесь z надо заменить через х.
Составим правую часть этого уравнения, используя формулы
предыдущего параграфа. Имеем для z = х
ОН оо
Re wx (z) = Re D^T ~ * - Re \ r?=$f *"*** dk>
0
Re w2 (z) = Re D2e - Re
0
Следовательно,
оо
П = -у- Re ^ -?^- [Г1 (&) sin a* - Г2 (к) cos ai] -
— Re Dxe e sin a^ 4- — Re D2e 8 x cos at.
Преобразуем интегральное слагаемое, пользуясь результатами
§ 17. Имеем для х > О
) = -« Im ([4лГх (-^-) - Шх] Г "Т"х} sin a^ -
тГ2 ^—— 1 — Ш2 \е g icosct-f
сю
Re \ ^]~~ [*1 (— ул) sin а^ — Г2 (— кг) cos а^].
о x-
Для х < 0 имеем
(Т2г
Re^ZV ^Х18та^+
Re^V 1+
оо
Н — Re V ——^- [Гх (ул) sin at — Г2 (xi) cos at]. B)
При стремлении \х\к бесконечности интегралы, входящие в урав-
уравнения A), B), стремятся к нулю, как 1/ \х\. Следовательно, для
болыгих положительных х уравнение поверхности жидкости
§ 35. О ФОРМЕ ВОЛН, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ 159
может быть записано так:
^-^[(Зг + гЗ^Т °<>г +{Sl-iS2)e ^—-at!%] +
+ ^f[(S1-iS2)e^+^i+(S1 + iS2)e-^+^i], C)
где для сокращения письма положено
D)
Для больших отрицательных х имеем
E)
Имея эти уравнения, удовлетворим условиям излучения волн.
Потребуем, чтобы волны расходились в обе стороны от колеблю-
колеблющегося тела. Это условие приводит на основании уравнений D) и
E) к следующим уравнениям:
Si - iS2 = 0, S1 + iS2 = 0,
D2 — W1 = 0, D2 + iDx = 0,
При соблюдении этих уравнений формулы D) и E) запишутся так:
at
s __Die g , ж<0).
Решим уравнения F) относительно Dlt D2, Dlt D2, получим, поль-
пользуясь формулами D),
Dx = 2я (Г, - гГх), Dx = 2я (Т_2 + iTJ,
D2 = - 2ni (Г, - il\), Л2 = 2я» (Г2 + iFj).
Отсюда имеем
5Х = 2я (Гх - гГ2), 52 = 2я (Г, + Я\).
*) В этом месте на полях рукописи имеется замечание автора: «Ставя дру-
другие условия излучения, можно исследовать колебания тела на волне и отра-
отражение волн от твердого тела, в частности от вертикального экрана». {Прим,
ред.)
160 Ш. 1. ШШСКАЯ ЗАДАЛА О ЁЕСКОЙЕ^ЙО МАЛЫХ ЁОЙЙАХ
Отметим, что если у функций 1\ и Г2 не указан аргумент, то это
значит, что берутся значения этих функций для к = o2/g.
Составим теперь уравнения G) волн, уходящих вправо и влево
от колеблющегося тела, получим
4 = ~ Т" {1Г* + fl -1 {Гг ~ Гг)] cos ("T" ~ at) ~
- [Га + Г2 + i (Гх - ГО] sin (^ - at}} ,
Л = - -у-{[Г1 + Гх + г(Г2 - Г2)]
+ [Г2 + Г2 - i (Гх - ГО] sin {^- + atj] .
ие:
(8)
Амплитуда волн, уходящих вправо, имеет следующее значение:
о
амплитуда же волн, уходящих влево,—
а_=-^|Г1 + *Г2|. (9)
о
Скорость распространения с этих волн, их частота а и длина %
находятся в согласии с формулами § 6 теории простейших прог-
прогрессивных волн:
с - J- С2 = J}l
С~ о ' С 2я #
Обратимся теперь к формулам A4) и A5) § 34 и дадим оконча-
окончательное выражение функций wls (z) и w23 (z). Имеем
A0)
G2i oo
= - 2ni (Г, - iT1)e~~Z-
§ 36. Вычисление сил, действующих на тело
при его колебариях
Компоненты главного вектора сил давления, приложенных к
твердому телу, определяются следующими формулами:
X = — \ р dy, Y =\pdx,
36. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО ПРИ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ 161
причем давление р дается интегралом Бернулли:
¦$-¦$—i-v--¦
Подставляя это значение р в предыдущие формулы, получаем
х = -Р
Y = р[ -
где М — масса жидкости, вытесненной телом* Из этих двух фор-
формул получаем
[^?t A)
При колебаниях тела потенциал скоростей в каждой точке контура
С меняется благодаря изменению времени и перемещению точки
в силу движения тела. Определим это изменение потенциала, оно
будет иметь следующее значение:
~Di dt Ч[~и дх ~г ду ~~~di к#
С помощью этой формулы мы можем выражение Y-\-iX переписать
так:
Вынесем символ D/Dt за знак интегрирования, пользуясь форму-
формулой
которую можно переписать так:
Получим
^^^iv) + ^p^V2dz. B)
Предположим, что вокруг контура С нет циркуляции; тогда,
6 Л. Н. Сретенский
162 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
пользуясь интегрированием по частям, можем написать, что
\ ф d (и — iv) = — \ (и —- iv) dq>.
Отсюда, вместо формулы B), будем иметь
с с
Преобразуем последний член этой формулы. Имеем
1 Г 1 1
(и — iv) dtp -f- — V2 dz = (и — iv) йф -f- -у (и + iv) dz =
= (w- — iу) йф s- dw я= — (u — ii;) (Дф + ^ й"Ф) = «~ "T~ ^'
C)
После этих подсчетов получаем окончательную формулу:
Y + iX^ Mg + p-jjLJ Ф* - "f Р 5 "S" dw;- D)
с с
Применим эту формулу к той частной задаче, когда движение
контура и его деформация периодически зависят от времени.
В этом случае возможно получить для средних значений Хг и У
величин X и Y за период колебания весьма простые формулы.
Возьмем формулу D) § 34:
w (z, t) =¦ wx (z) cos at + w;2 (z) sin ot.
Для этой характеристической функции течения интеграл
входящий в формулу D), будет тригонометрическим двучленом от-
относительно cos at и sinotf, а потому среднее его значение за пе-
период колебания будет равно нулю, и, следовательно,
Для практического использования этой формулы выгодно преоб-
преобразовать ее введением функций 1\ (к) и Г2 (к).
Рассмотрим сначала интеграл
§ 36. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО ПРИ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ 163
Пользуясь выражением E) § 34 для функции и;г (z), получаем
\ [^тпгУ dz = \ (^н + ^i2J dz + 2 \ (wn + г^2) ^з ds + \ и?1з dz.
с^ с с с
В силу голоморфности функции w13 (z) в нижней полуплоскости,
последний интеграл равен нулю, и, следовательно,
с
Вычислим первый интеграл правой части:
S =[ (wn + гг;12Jdz.
Перепишем этот интеграл так:
s = —
В точках оси абсцисс частные производные
й» да;
равны по своим абсолютным величинам, но противоположны по
знаку, частные же производные
и
ду ду
равны друг другу. В силу этого в точках оси абсцисс комплекс-
комплексное число w'xl будет сопряжено числу —w'12. Заметив это, мы можем
написать в силу формулы A3) § 34, что
Гх (к) е^х dk.
о
Отсюда имеем
и>и (х) + w12 (х) = — i 5 Тх (к) е™* dk-i^T! (к) е~™х dk.
о о
Обращаясь теперь к формуле G), имеем
Гх (к) e**dk +
О
164 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
ИЛИ
оо оо
S = i ^ Гх (к) dk jj (w'n + wa) e»* dx +
О —°о
оо оо
+ i § ri {к) dk ^ (wn + w12) e~ikx dx.
0 —оо
Согласно формуле A7) § 34 имеем
(и>и + ^2)eikx dx = — 2тТг (к);
—оо
вместе с тем
оо
5 {w'n + и>а) е~Шх dx = - 2я4Г! (А), (8)
так как вдоль оси абсцисс функция w'n + w'12 имеет чисто мнимые
значения.
Таким образом,
S = 2я \ Гх(к) 1\(к)dk+ 2л\ Тг(к) 1\(к)dk,
о о
или
оо
S = in\ \Тг(к)\*<1к. (9)
о
Вернемся к формуле F) и найдем значение интеграла
Г = 2!
с
Этому интегралу можно придать такой вид:
Г = -2
Внесем сюда значение функции иг?3> взятое из § 35, получим
§ 36. СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕЛО ПРИ ЕГО КОЛЕБАНИЯХ 165
Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле и применяя
формулу (8), получаем
Т = Jf^L (г2 _ *Г)) Гх - 4*$ J^L dk \ (wn + wn) er** dx.
о
Применяя снова формулу (8), находим
или
A0)
Теперь мы можем составить значение интеграла F). Используя
формулы (9) и A0), получаем
8
о
Повторяя в значительной мере предыдущие вычисления, прихо-
приходим к следующей формуле:
^-JdZ = -^L{T1 + iT2)T2-An\\V2(k)\4k-
с о
Пользуясь двумя последними формулами, мы можем рассчитать
среднее значение сил за период колебания. Применяя формулу E),
получаем
о о
Отсюда находим отдельно силу X' и силу Y'\ выполняя небольшие
166 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
преобразования, получаем
X' = 4jt2(j2 т /Г f
(И)
"Y ,7" / V "^ —i Q I ft г I Т"^ / 7 \ 10 i I ТГ^ /7\1^т /7 i 7I/I"
О
§ 37. Определение главного момента сил давления
Главный момент сил давления L, взятый относительно начала
координат, имеет следующее значение:
L = § р (х sin а — у cos а) ds;
с
а — угол, образуемый с осью Ох внутренней нормалью, прове-
проведенной к контуру.
Подставим сюда вместо р его значение, взятое из интеграла Бер-
нулли, и заметим, кроме того, что
I
(х sin а — у cos а) ds = -^- d (zz).
Получим
ИЛИ
где ? — абсцисса центра вытесненного объема жидкости. Выне-
Вынесем операцию D/Dt за знак интеграла, пользуясь соотношением
-5-Д (fd{zz)=
Используя формулу C) § 36, получим после небольших преобра-
преобразований окончательную формулу для главного момента:
^-Ydz. A)
Будем рассматривать лишь среднее значение U главного момента
за период колебания тела. Интеграл
\ yd(zz)
§ 37. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИЯ 167
представляет собою тригонометрический бином относительно
cos at и sin at, благодаря этому среднее значение интеграла есть
нуль. Отсюда формула A) упрощается и дает величину среднего
момента:
^|[(^)г(^)>, B)
где |' — среднее значение абсциссы ?.
Выразим интегральное слагаемое формулы B) через функции
I\ (ft) и Г2 (ft).
Рассмотрим сначала интеграл
dz.
Пользуясь формулой E) § 34, записываем этот интеграл в распро-
распространенном виде:
Г / dw, \2 . Г / ' , ' \9 j ,
\ * -згМ dz = \ 2 (^и + ^и) d2 +
J \ az / )
• \ z iwn + wu) Щз dz + \ zwtz dz. C)
г г
В силу голоморфности функции w13 в нижней полуплоскости,
последний интеграл равен нулю:
= 0. D)
с
Рассмотрим интеграл
S = ^ z (wn + WmY dz.
с
При неограниченном увеличении | z | функция wlx + w12 стремится
к нулю, как1/|^|3, в силу этого мы можем придать интегралу S
следующий вид:
Но
wn(х) + w12(х) = — i] Гх(к)eikxdk — i^Ti(к)e~ikxdk,
о о
168 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
поэтому S можно преобразовать к такому виду:
или
оо оо
" Гх (к) dk ^ х (wn + w12) eikx dk +
) ОО
Тг(к)йк ^ x(wn + w12)e-ikxdk.
0 —оо
Из формулы (8) § 36 следует, что
оо
5 х (w'n + w'n) е-** dk = 2яТ'1 (к) E)
—оо
и, кроме того,
оо
\ х (w'n + w12) eikx dk = — 2я1\ (к).
— сю
Поэтому
оо оо
S = 2я? ^ Гх (/с) Г! (/с) dfe — 2Я1 J Гх (к) Т[ (к) dk,
о о
или
S = — 4я Im \ Тг (к) Г; (к) dk. F)
Возьмем затем интеграл формулы C)
Т = 2 § z (w'n + w12) w'iz (z) dz
с
и придадим ему следующий вид:
оо
Т = — 2 § х [wn (х) + w12 (x)] w13 (x) dx.
—оо
Подставим сюда вместо wis (x) его значение, получаемое из фор-
§ 37. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИЛ ДАВЛЕНИЯ 169
мулы A0) § 35, получим
dk \ х &* + w'^ e~ikx dx-
Применим к интегралам, взятым по переменному х, формулу
E), получим
Пользуясь этой формулой и формулам! D), F), находим выраже-
выражение интеграла C):
dz =
Выполняя такие же вычисления, мы можем найти величину ин-
интеграла:
dw2 \2
dz = ~j~~ ( 2"" ^ 2""
- 4rt Im [ Г2 (А) Г2 (A) dk - 8я1 ( ^^/^ dk.
Сложим почленно две последние формулы и запишем результат,
используя главное значение интеграла:
[Г! (Л) г; (А) + г2 (А) г;
о
T^§7F[l <)^ W + а ^)^ ()ldk-
0
Возьмем действительные части от обеих частей этого равенства и
170 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
составим формулу для главного момента, получим
и =
§ 38. Интегральное уравнение теории колебаний
подводного тела
В предыдущих параграфах были определены движения жидко-
жидкости, вызванные колебаниями погруженного тела. Эти движения
были найдены в предположении, что известно распределение ис-
источников по контуру, обеспечивающее обтекание тела. Условия
обтекания имеют следующий вид:
—!?-*<'>' ~^--Ш, A)
где Фх и ф2 — потенциалы скоростей, отвечающие характеристиче-
характеристическим функциям wx (z) и w2 (z) § 34.
Обозначим через а угол внешней нормали к контуру С с осью
Ох, тогда условия A) запишутся так:
Функции w± (z) и w% (z) зависят от плотностей qx (s) и g2 (s) слоев
источников. Поступая далее совершенно так же, как в § 20, мы
получаем два линейных интегральных уравнения вида A4) § 20
для определения неизвестных функций q± (s) и g2 (s). Найдя из
этих уравнений искомые функции, мы можем определить затем
функции 1\ (к) и Г2 (к). Это даст нам возможность находить в каж-
каждом отдельном случае силы и момент, приложенные к погружен-
погруженному телу.
Подробное исследование интегральных уравнений читатель мо-
может найти в статье Н. Е. Кочина [17'] *).
§ 39. Примеры
Решение интегральных уравнений ^обтекания весьма затруд-
затруднительно, поэтому приходится прибегать к приближенным мето-
методам построения потока. Если функции q± (s) и q2 (s) известны, то
по ним можно найти функции w1±(z) и w21 (z), с помощью которых
можно определить затем функции 1\ (к) и Г2 (к) и вычислить по
*) Здесь на полях рукописи имеется замечание автора: «Следует еще от-
отметить, что интегральное уравнение Кочина позволяет весьма просто опре-
определить все движение жидкости для больших частот колебаний». (Прим, ред,)
§ 39. ПРИМЕРЫ 171
этим функциям силы и момент, приложенные к телу. Таким об-
образом, главное заключается в определении функций w1± (z) и w21 (z).
Если тело находится достаточно глубоко под свободной поверх-
поверхностью, то в качестве функций wn (z) и ш21 (z) позволительно взять
характеристические функции течения, вызванного рассматривае-
рассматриваемым колебанием тела в безграничной жидкости, и, таким обра-
образом, миновать определение функций qt (s) и q2 (s).
Применим эти соображения к разбору некоторых простейших
примеров.
Предположим, что круг, имеющий центр в точке z = —hi, из-
изменяет свой радиус г с течением времени по закону
г = а + е sin at.
Найдем образующиеся при этих колебаниях волны. Функция
^и будет иметь вид
Отсюда имеем
dw-ii a 1
dz In z + hi
Для точек колеблющейся окружности, z = —hi + (а + esin ot) el*v
имеем, считая число е малым сравнительно с а,
.0
dz 2na
С другой стороны,
—77- = 08 cos at eiQ.
dt
В точках окружности должно соблюдаться равенство
Отсюда получаем
Следовательно,
dwn
dz
Ч
dwn
dz
dw12
dz
C0~ ° dt
= 2павг.
ao&
z + hi
z — hi '
Применим для определения функции Т± (к) формулу A8) § 34,
получим
172 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Этот интеграл вычисляется:
Г, (к) = -авге-Ьк.
Гак как функция w21 (z) = О, то Г2 (к) = 0. Применяя формулы
(8) и (9) § 35, находим амплитуду уходящих волн:
Вычислим по формулам A1) § 36 компоненты среднего значения
главного вектора сил давления, приложенных к пульсирующему
кругу:
X' = 0, Y' =
о
Выражение Y' можно преобразовать контурным интегрированием
к следующему виду:
1 ——%— х"т—ъ—\—: ^tli аУ\-
Применяя формулу интегрирования по частям, можно убедиться,
что второе слагаемое в фигурных скобках стремится к нулю бы-
быстрее любой степени числа 2o2h/g, когда это число неограниченно
растет. Таким образом, для больших значений числа 2o2h/g имеем
Y' = Jtpa2o2e2/ft.
Рассмотрим затем волны, возбуждаемые вертикальными коле-
колебаниями круга со скоростью с± cos ot.
Функция wn (z) имеет в данной задаче следующий вид:
Этой функции отвечают колебания круга в вертикальном направ-
направлении со скоростью с cos ot.
Функция м?12 (z) имеет следующее выражение:
-,~Т|Г- B)
Этим выбором функции М71а (z) обеспечивается соблюдение условий
(8) § 34.
Найдем функцию Гх (к). Имеем
Этот интеграл вычисляется, и мы получаем
1\ (к) = —tfcjur™.
§ 39. ПРИМЕРЫ '173
Функция Г2 (к) = 0. Подсчет амплитуд уходящих волн дает для
них следующие величины:
Подсчет сил, действующих на круг, приводит к таким результа-
результатам:
X' = 0, Г =
о
Преобразование выражения силы У приводит к следующей фор-
формуле:
лр<А? 2о«Л
~ 4Л» I ~*~ g "г
Для больших значений параметра 2d*h/g имеем
_
Допустим теперь, что круг совершает колебательные движения в
горизонтальном направлении со скоростью с2 sin ot. Для такого
движения функции w21 (z) и w22 (z) будут писаться так:
Отсюда имеем
Г2 (ft) =
Амплитуды уходящих волн будут даваться формулами
о
Средние значения компонент главного вектора сил давления будут
X' = 0, У =
О
Преобразование этой формулы для Y' приводит снова к формуле
C) с заменой в ней сх на с2.
Рассмотрим теперь движение круга, составленное из двух
гармонических колебаний со скоростями с2 sin ot и сх cos ot со-
соответственно вдоль осей Ох и Оу. Это движение определяется
174 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
совокупностью формул A), B), D). Для рассматриваемого сложного
движения имеем
Гх (к) = -atcjur*71, Г2 (к) = ia*c2ke~*h.
Амплитуды уходящих волн имеют следующие значения, вычис-
вычисляемые по формулам (8) и (9) § 35:
E)
Вычисление сил приводит к следующему результату. Составляю-
Составляющая Y' по оси ординат равна сумме соответствующих составляю-
составляющих в двух частных гармонических движениях. Составляющая же
X' отлична от нуля и равна следующей величине:
Формулы E) указывают на одно интересное обстоятельство. При
произвольных значениях сг и с2 точки круга описывают эллипсы
с горизонтальными осями. Если же сг будет равно с2, то каждая
точка круга будет описывать окружность по часовой стрелке и при
этом движении не будут возбуждаться ни при какой частоте а
прогрессивные волны в направлении положительной бесконечно-
бесконечности. Иными словами, при круговом поступательном движении
будут образовываться волны, уходящие лишь в одну сторону от
тела.
Если сг будет равно — с2, то движение тела будет опять круго-
круговое поступательное, но против стрелки часов. В этом случае не бу-
будет образовываться прогрессивных волн, идущих в отрицательную
бесконечность.
Первая из формул E), переписанная так:
|С2— СУ\ / ОЧ У/г __athtg
и рассматриваемая в зависимости от параметра a = o2h/g, показы-
показывает, что при a = 0 и при a = оо амплитуда а+ обращается в нуль.
Для значения a = 3/2 амплитуда а+ достигает максимальной ве-
величины, равной
2jta2 |с2 —сх| / 3
а длина волны становится равной —g— h.
Такие же заключения можно вывести и для амплитуды а_.
§ 40, ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ В КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ 175
§ 40. Воклновые движения на поверхности жидкости
в канале переменной глубины
Исследование движения жидкости с образованием волн на
поверхности канала, глубина которого переменная, представляет
большие трудности. Наиболее важные результаты получены здесь
в самое последнее время и относятся к бассейнам, имеющим рав-
равномерно понижающееся дно. Найденные здесь результаты полу-
получены с помощью методов теории аналитических функций и диффе-
дифференциально-разностных уравнений.
Рассмотрим канал, дно которого прямолинейно и наклонено
под некоторым углом а к горизонту; эта линия выходит из начала
координат и, спускаясь, уходит в бесконечность. Горизонтальную
поверхность жидкости в невозмущенном состоянии примем за
ось абсцисс прямоугольной системы координат, помещая ее на-
начало О в точке встречи дна с указанной горизонтальной прямой.
Будем рассматривать периодические по времени, с частотой а,
колебания поверхности жидкости.
Потенциал скоростей соответствующего движения будет иметь
вид
Ф (я, У\ t) = ф (я, z/)ecos (ot + е);
функция ф (х,у) должна удовлетворять следующим граничным
условиям:
JJSL — Vq> = 0 для х > О, у = 0;
дф . , дер А ^ А . а2
-^- sin а +-~--cosa = 0 для ж^>0, */= — tga-#, v =
Последнее условие есть требование обтекания дна бассейна.
Введем комплексное переменное z = х + iy и характеристи-
характеристическую функцию течения
w (z) = ф (х, у) + д|) (х, у).
Выписанные выше граничные условия для потенциала скоростей
можно переписать так:
lm (-?jL + ivw\ = 0 для z = :c>0; A)
Im (е-™ -^Л = 0 для z - re~*\ B)
Таким образом, задача об определении периодических волновых
движений в канале с равномерно понижающимся дном привелась
к построению аналитической функции w (z) внутри угловой обла-
области, ограниченной положительной частью оси абсцисс и прямой
у = —х tga и удовлетворяющей на границах этой области уело-
176 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
виям A) и B). Но одних лишь условий A) и B) недостаточно для
определения функции w (z); существенную роль в определении
функции w (z) играет предписываемое (в качестве дополнительного
условия) поведение функции w (z) в бесконечности и у точки z = 0.
Эти дополнительные условия будут указаны в дальнейшем.
Определение функции w (z) может быть получено для любого
угла а в пределах от 0° до 180°. Особенный интерес представ-
представляет задача для угла а, точно равного 180°. Здесь мы имеем за-
задачу о волнах на поверхности бесконечно глубокой жидкости, при-
причем лишь часть поверхности, от х = 0 до х = оо, свободна и на-
находится под постоянным давлением, а другая часть, от х = —оо
до х = 0, покрыта твердой горизонтальной пластиной.
Если угол а ^> 90°, то имеем задачу о волнах при нависающем
откосе. Все эти задачи будут разобраны в дальнейшем изложении.
Но наиболее просто и своеобразно решается задача для углов,
имеющих следующий вид:
где ряд — два взаимно простых целых числа, причем р — не-
нечетное число, меньшее чем 2д.
§ 41. Вывод дифференциального уравнения задачи
о волнах при наклонном дне
Предположим, что дно бассейна составляет с горизонтом неко-
некоторый угол а. Вдоль дна бассейна будет соблюдаться условие
B) § 40. Это условие показывает, что функция
F(z)=er*?L- A)
принимает действительные значения вдоль прямой
z = ге~<*. B)
Отсюда вытекает, по правилу аналитического продолжения, что
функция F (z) может быть аналитически продолжена через пря-
прямую B) из области D, занятой жидкостью, в угловую область
Dv ограниченную прямыми
z = re~ai и z = re~2ai.
Возьмем в области Dx точку %, симметричную точке z относительно
прямой B); точка z принадлежит области D. Значение функции
F в точке % будет сопряжено значению этой же функции в
точке z:
§ 41. УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНЕ 177
Придадим этому равенству другой вид:
е-*1 w' (zx) = e^w'iz). C)
Прежде чем выводить из этого равенства следствия, обратим вни-
внимание на принимаемые в дальнейшем обозначения. Символом
w (z) будем обозначать функцию комплексного переменного z, оп-
определяемую формулой
w (*) = Ф (*, —у) — й|> (х,—у).
В том, что правая часть этого равенства — действительно функ-
функция комплексного переменного z = х + iy, можно убедиться, по-
показав, что функциями ф (х, —у) и —ар (х, —у) удовлетворяются
условия моногенности.
Вернемся к соотношению C) и применим его к точке z = х
действительной оси. Значение zv соответствующее этой точке, бу-
будет zx = xe~2(Xi, и равенство C) запишется так:
и/ (хе-*™) = e2(xiw' (х). D)
Интегрируя это равенство, получаем
w (хе-^г) = w (х)\ E)
добавочная константа интегрирования может быть взята равной
нулю. Полученные равенства D) и E) дают возможность найти зна-
значения функций w (z) и w' (z) на прямой у = —х tg 2a по значе-
значениям функций w (z) и w' (z) на действительной оси.
Обратимся теперь к граничному условию A) § 40. Имея в виду
определение функции w (z), придадим этому условию такой вид:
Im [wr (x) — ivw (x)] = 0.
Перепишем это равенство в другой форме, пользуясь соотноше-
соотношениями D) и E); получим
Im [e-*aiwr (xe~*ai) — ivw (xer**)\ = 0.
Следовательно, в точках прямой у — —х tg 2a будет иметь место
следующее равенство:
Im [e-2«V (z) — iv w (z)] = 0. F)
Таким образом, функция w (z), определенная в угле, ограниченном
осью абсцисс и прямой у = —х tg 2a, удовлетворяет на сторонах
этого угла следующим условиям:
= 0 для 2 = я
Im (ег-*1* -^ ivw) = 0 для z = re~*ai.
Чтобы найти функцию w (z), обратим внимание на следующие
178 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
заключения, вытекающие из условий G). Если построить вспомо-
вспомогательную функцию
с помощью произвольно взятых действительных коэффициентов
&о> &i, ..., &s-i в каком-нибудь числе s, то для z = х ^> 0 будем
иметь следующее равенство:
Im T7x (*) = 0.
Затем дифференцирование по переменному х выражения
е-^т' (хе-**1) — ivw (хе-**1),
имеющего на прямой у = —х tg 2oc действительные значения (в си-
силу формулы F)), приводит всегда к действительным значениям.
Результат этого дифференцирования, выполненного к раз,
может быть записан так:
Отсюда вытекает, что вдоль прямой z = —х tg 2a другая
вспомогательная функция
s-l k
Wt{z)*= ^e-^cxjjle-^-^L.-ivw) (9)
будет иметь действительные значения, если коэффициенты с0, cv
с2, ..., с8_х действительны.
Поставим теперь задачу: так подобрать действительные числа
60, bv ..., 6в_!, с0, с1? ..., св_х, чтобы функции ^ (z) и Т72 (z) были
тождественны:
Ъ^
Это требование приводит к следующим уравнениям для опреде-
определения указанных чисел:
ivb0 = — ivcOi
A0)
Cs_2) 2(l)i
§ 41. УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНЕ 179
Из первого уравнения находим
с0 = -Ьо, (И)
отсюда второе уравнение после небольшого преобразования за-
запишется так:
iv {Ъг eai + с^-а!) = 2с0 cos ос,
или
v (сх — Ьг) sin а + iv (сг -}- Ъг) cos а = 2с0 cos а.
Но так как числа с0, сг, &х действительные, то
сх = — Ьь bi = ——ctg a. A2)
Третье уравнение системы A0) записывается так:
iv l(h + съ) cos 2а + i Fa — с2) sin 2а] — 2сх cos 2а.
Отсюда получаем
с2 = — Ьа, fe2 = —|- ctg a ctg 2а. A3)
Четвертое уравнение системы A0) дает
с3 = — fe3? b3 — —~ ctg a ctg 2а ctg За. A4)
Предпоследнее уравнение системы A0) дает
c8-i = — ъв-ъ Ь8-1 - —— ctg a ctg 2а... ctg (s — 1) а. A5)
v х
Подставляя эти значения bs_± и с5_х в последнее уравнение той
же системы, получаем
Но коэффициент &s_x не равен нулю, так как суммы (8) и (9) со-
содержат s слагаемых, но не меньше. Следовательно,
g-2scu _ /[
Отсюда получаем такое значение угла ос, при котором возможно
отождествить между собою функции W± (z) и W2 (z):
' ___ jx_ In + 1
a " 2 s ;
n — произвольное целое число.
Таким образом, если угол а имеет следующее значение:
кр
a = -тг—•,
где р — какое-нибудь нечетное число, меньшее чем целое число
?80 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
2д = 25, взятое произвольно, то, определяя коэффициенты Ьг,
Ь2, ..., 6s-i» сп Чч •••> cs-i по формулам A2) — A5), находим, что
функции Wx (z) и W2 (z) тождественны друг другу. Коэффициент
Ьо остается произвольным, возьмем его равным +1» тогда с0 бу-
будет равен —1. Отметим, в частности, что
Вернемся теперь к условиям G). Вдоль оси абсцисс функция
dw . .
—~j \- IVW
dz '
имеет действительные значения; действительные значения будет
иметь на этой же оси и всякая производная от этой функции.
Отсюда вытекает, что вдоль оси абсцисс функция Wt (z) имеет
действительные значения, так как все коэффициенты Ъ действи-
действительные.
Равным образом функция F)
имеет действительные значения на прямой у = —х tg 2a; на этой
же прямой будут иметь действительные значения и все производ-
производные этой функции, вычисленные по модулю комплексного числа
z = re~2<xi, как по независимому переменному. Из этого вытекает,
если принять, кроме того, во внимание, что все коэффициенты с
действительные, что значения функции W2 (z) на прямой у =
= —х tg 2а являются действительными. Но так как W2 (z) = Wx (z),
то отсюда вытекает, что и на прямой у = —х tg 2a, как и на
действительной оси, функция Wx (z) имеет действительные зна-
значения.
Следовательно, функция Wx (z), составленная с помощью иско-
искомой функции w (z), имеет действительные значения на двух пря-
прямых:
у = 0 и у = —х tg 2a. A6)
Это обстоятельство, в сочетании со специальным видом угла а =
= np/Bq), дает возможность просто определить функцию Wx (z).
Функция w (z) есть аналитическая функция z в области D, ог-
ограниченной прямыми A6). Единственной особой точкой этой функ-
функции может быть лишь z = 0. Этим же свойством будет обладать
и функция Wt (z).
Отобразим конформно область D на нижнюю полуплоскость
комплексного переменного Z, полагая
Z =
Функция Wx, рассматриваемая теперь в зависимости от перемен-
§ 41. УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНЕ 181
ного Z, будет аналитической функцией во всей нижней полупло-
полуплоскости и будет принимать действительные значения на всей дей-
действительной оси. Следовательно, эту функцию можно аналитиче-
аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость, при этом будет иметь
место соотношение
Wx (Z) = WT(Z). A7)
Таким образом, функция Wt (Z) будет аналитической функцией
на всей плоскости комплексного переменного Z с единственной
возможной особой точкой в начале координат. В силу этого функ-
функция Wx (Z) может быть представлена рядом Лорана на всей пло-
плоскости переменного Z:
В силу соотношения A7) коэффициенты ап будут действительными
числами.
Покажем затем, что все коэффициенты ап с четными индексами
равны нулю.
В самом деле, из равенства C) вытекает прежде всего, после ин-
интегрирования, что
W (Zj) = W(z),
и затем, после ряда дифференцирований, что
wf (Zl) = e^w' (z),
w" (zx) = е^ЯРНд, A9)
Составим теперь выражение функции W2 (%) = W± (z^; имеем
W, Bl) = ? e-***ck -^ [er-** -g- - ivw
или, пользуясь равенствами A9),
s—1 —=—
Заменяя здесь ск равной ему величиной —Ьк, имеем
W, (Zl) = -W1 (z)
ИЛИ
w (? \ = Ш~Ил
182 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Числу z отвечает число Z = zqfv; числу zx будет отвечать число
—Z. Следовательно,
W1 (-Z) = -W^Z).
Используя это свойство функции Wx (Z), приходим на основании
формулы A8) к следующему равенству:
an [(-1Г + 1] = О,
из которого вытекает, что все коэффициенты ап с нечетными ин-
индексами произвольны, а с четными индексами равны нулю. Таким
образом, формула A8) может быть переписана так:
?2т-Н *
т=— оо
Вернемся к переменному z, тогда получим для W± (z) следую-
следующее выражение:
Wxiz)= ^ m+1
Таким образом, определение функции w (z) требует прежде всего
интегрирования неоднородного линейного дифференциального
уравнения порядка q с постоянными коэффициентами:
B0)
Из самого вывода этого уравнения следует, что не всякое его ре-
решение удовлетворяет поставленной гидродинамической задаче.
Изо всех решений уравнения B0) пригодны только те решения, ко-
которые удовлетворяют первоначально установленным граничным
условиям A) и B) § 40.
§ 42. Решение однородного дифференциального уравнения
задачи о волнах при наклонном дне
Рассмотрим сначала простейшую задачу, полагая все коэф-
коэффициенты а2т+1 в уравнении B0) § 41 равными нулю. Найдем соот-
соответствующее волновое движение жидкости.
Итак, рассмотрим однородное уравнение
>1
Х>1
fe=0
Общее решение этого уравнения имеет следующий вид:
w = Coe^z + <Vvl2 + Сге>* + ... + Сд-хЛ-i*, B)
§ 42. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНЕ 183
где Со, Сх, С2, •••» Cq — произвольные комплексные константы,
а Яо, Xv Я2, ..., Xq -— корни характеристического уравнения
Имея в виду значения коэффициентов 6fe, можно убедиться, что
корни этого уравнения будут
где
Отметим нужные для дальнейшего соотношения
Выберем теперь постоянные Со, Сх, С2, ..., CQ так, чтобы удов-
удовлетворялись условия A) и B) § 40. Обратимся сначала к условию
B) § 40. Это условие можно записать так:
dz dz Jz=re~"ai
Подставляя сюда выражение B) функции w (z), имеем
-е™[1оСое& + l&efc + ...+ l^C^eV7] - 0.
Но при z = re"ai имеем
Xoz = Ха-гг, Xtz = Xg_2z, ..., Яа_х2 = Xoz.
Отсюда предыдущее равенство переписывается так:
e^ + ...
?o) exa-iz = 0,
или, принимая во внимание значения чисел Яо, Хг, ..., Яд_х,
ivn (Co - Ceel) e^z + ivy? (Сг - CQ_2) e^z + ...
! - Co) exa~iz = 0.
Отсюда получаем, в силу линейной независимости функций
eXl2, ..., ex3~lZ> такие равенства:
Со — Св.х = 0, Сг-С^^О, ..., Св.1-е?о = О. C)
Обратимся теперь к условию A) § 40. Это условие можно
184 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
переписать так:
Подставим сюда вместо w и dw/dz их выражения, получим
(Яо + Щ Сое**8 + (А,1 + iv) Cte^x + ... + (Xq-i + iv) C^e^-i* -
— (Ко — iv) Сое^ж— (Xi — iv) ^е1»*— ... — (lg_i — iv) ?q-1e\-ix= 0.
Принимая во внимание следующие формулы:
Яо + iv = 0, Хо — iv = 0,
приводим предыдущее равенство к такому виду:
[(%, + iv) Сх - (Ях - iv) Cg_J e*«* + [(Я, + iv) C2 -
- (Я, - iv) Cq^]e** + ... + I(Vi + *v) ca-i -
-(Vi - ^) Cx]eViK = 0,
откуда имеем:
(Яа + iv) Ci — (Xi — iv) ?3_x = 0,
(A,, + iv) C2 — (Xt — iv) Cq-2 = 0, D)
(Xa_x + iv) Cq-i - (Я.,-1 - iv) C,. = 0.
Таким образом, для определения коэффициентов Со, Сх, С2, ...
..., Cg.j имеем системы уравнений C) и D). На основании уравне-
уравнений системы C) придаем уравнениям системы D) следующий вид:
(Aa+iv)Ci = (bi —iv)C0)
(V-i + iv) Cg-i = (Xq_! - iv) Ca_2.
Перемножая почленно / первых уравнений, находим
1-iv)...(X1-iv)
i + *v> • •: (^i +iv)
Подставляя сюда вместо Я3- их значения, получаем выражение ко-
коэффициента Cj через коэффициент Со, остающийся пока произ-
произвольным :,
Cj = ij' ctg a ctg 2a ... ctg/a-C0 (/ = 1,2, ..., g — 1).
§ 42. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЛНАХ ПРИ НАКЛОННОМ ДНЕ 185
Подстановка найденного значения коэффициента Cj в уравнения
C) приводит к одному-единственному следствию:
где С — произвольное положительное действительное число. От-
Отсюда формула для Cj запишется так:
С; = Ce1'^2bQ+Dctgactg2a ... ctg /a (/ = 1, 2, ..., д—1). E)
Таким образом, подставляя в выражение B) вместо коэффициентов
Со, Съ С2, ..., Cq-i их значения, находим функцию w (z), опре-
определяющую по формуле
ф (#» У\ t) = cos (ot + е) Re w (z)
потенциал скоростей стоячих волн некоторого вида, развиваю-
развивающихся над наклонным дном:
(р(х, у; t) = Ccos(otf + 8) Re 21 е 4 * ctg a ctg 2a ... ctg/a-e^2.
F)
Уравнение поверхности жидкости, определяемое этим потенциалом
скоростей, будет писаться так:
г] (x,t) = — sin (at + е) Re w (x). G)
о
Исследование этого уравнения показывает, что в начале коорди-
координат возвышение поверхности жидкости имеет конечное зна-
значение при любом угле а. Что же касается возвышения поверх-
поверхности жидкости в бесконечности, то здесь имеют место два
случая.
Если число р = 1 и угол а имеет, следовательно, такое значе-
значение:
я
а
то при любом числе q действительная часть комплексных чисел
Хг, Я2, ..., Xq^ отрицательна. Отсюда вытекает, что в бесконеч-
бесконечности все члены суммы B), начиная со второго, равны нулю, и
уравнение поверхности жидкости в бесконечности запишется так:
т) = — -у- cos [vx +-3-я (ff — 1)] sin (a* + в). (8)
Если же число р не равно единице, то среди чисел Xv Я2, ..., Яа_х
будут числа с положительной действительной частью. В силу
186 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
этого вся сумма B) будет неограниченно расти при х, стремящемся
к бесконечности, и, в силу этого, ординаты поверхности жидкости
будут сами стремиться к бесконечности. Благодаря этому обстоя-
обстоятельству характеристическая функция течения B) не будет опре-
определять при р Ф 1 допустимого решения гидродинамической за-
задачи.
Здесь надо отметить, что при р = 1, как и при р Ф 1, ни один
из ctg /а не равен нулю и, следовательно, все коэффициенты Cj
отличны от нуля, что и обусловливает, для рф1, стремление т]
к бесконечности при х = оо *).
§ 43. Решение неоднородного уравнения
Решение дифференциального уравнения B0) § 41 мы проведем
только для того случая, когда число р = 1 и, следовательно,
угол а есть целая доля от 90°. В заключение мы перечислим те
результаты, которые относятся к любому нечетному числу/?. Вме-
Вместе с тем мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда
правая часть уравнения B0) § 41 состоит только из одного члена
с коэффициентом, равным единице.
Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение
A dk I dw , . \ 1
Применим к решению этого уравнения метод вариации произволь-
произвольных постоянных. Будем искать общий интеграл уравнения A)
в следующем виде:
считая Со, С1? С2, ..., Сд-г неизвестными функциями переменного
z. Подстановка выражения B) в уравнение A) приводит к сле-
следующей системе уравнений для определения Со, Съ С2, ..., Сд_х:
dC0
dz u /v° ' dz " /V1 ^ dz ^ /V2 ' •••
* * * + ~%lLeVlZ^ = ° № = 0,1, 2,...,?- 2),
zBm+i)q *
*) В этом месте на полях рукописи имеется указание автора на статью
Хансона [108]. (Прим. ред.)
§ 43. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
Решение этой системы уравнений записывается так:
187
dC0
где
dz
dz
dz
д =
V
1
m+l)q A "
m+i)g Д С '
2-1 Агу_г _xn_lZ
4-1K Д ^ '
1 ... 1
^i ... Vi
\2 ...*•_,
^Г1 • • • ^=i
•
Здесь До, Д1? Д2, ..., Дд_х — миноры детерминанта Д, отвечающие
элементам последней строки и взятые с соответствующими знаками.
Имеем
\ О, \ \ С\ \ \ (\ \ \
— 0 V 0 — 1/ \ 0 — 2/ *** \ 0 — г/—1/?
Д == До (А/о — А/п) (А/о — A/i) ... (Ло — Art_i),
Д = Дд_!(^а_-1 — Хо) (Xq-x — Хг) ... (kq-i — Kj-ъ)'
Положим
Л (X) = (^ - Хо) (^ - Хг) (X - Х2) ... (X - ^g-i).
При этом обозначении будем иметь
-А. = Л' (Ло), -х- = Л' (XO, • •., ~- = A' (Vi)-
Отсюда получаем формулы для производных функций Со, С1? ...
..., Cq-i в следующем виде:
dz
dz
zBm+l)g
C)
188 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отметим значения функции Л' (X) для корней уравнения Л (X) =
= 0; имеем
Л/ (Хо) = {2v)Q~1 е Т т а~г sin a sin 2а... sin (g — 1) а, 4
2o ... tgka (A= 1, 2 д — 1).
Отметим вместе с тем и следующие формулы:
E)
- JL Л' (V.-i) (* = 1, 2 д — 1).
Проинтегрируем уравнения C) и составим выражение общего ин-
интеграла уравнения B). Получим
w(z) =
Z Z
"*" A'(A,0) в ° \ gBW+i)Q + Л'(Л,!) ^ * J gBm+i)g + * * *
—оо
"¦¦ + Л'(Я, х)в
ОО
Здесь i?0, X1? ..., Kq-i — произвольные комплексные постоянные.
Покажем прежде всего возможность брать входящие сюда интег-
интегралы по кривой, идущей из отрицательной бесконечности дей-
действительной оси. Для этого рассмотрим интеграл
z -X ?
Возьмем показатель степени — k^t,; полагая ? = | ? | е'Р, имеем
Действительная часть этого показателя будет отрицательной при
соблюдении неравенств
Таким образом, угол Р будет удовлетворять неравенствам
f + f- (8)
§ 43. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 189
Отсюда видно, что при любом числе /с, положительном и не превос-
превосходящем q — 1, угол Р, равный я, удовлетворяет неравенству
(8). Следовательно, все интегралы формулы F) сходятся при ниж-
нижнем пределе. Отметим особо, что и при к = 0 для всех значений
чисел т и q интеграл So (z) также сходится при нижнем пределе.
Вернемся к интегралу Sk (z) и преобразуем его к новому пере-
переменному интегрирования t, полагая
Ы = *•
Принимая в расчет, что
получим
Г
Этот интеграл будет сходиться, если часть пути интегрирования,
уходящая в бесконечность, будет находиться в области тех значе-
значений t, действительная часть которых положительна. Но направ-
направление, уходящее в бесконечность и характеризуемое углом я/2 —
— nk/q, располагается, для всех значений &, в правой части полу-
полуплоскости. Следовательно, интеграл (9) сходится при нижнем
пределе.
Имея в виду теорему Коши о независимости значений интегра-
интеграла от формы пути, мы можем так изменить путь интегрирования
в формуле (9), что бесконечная ветвь этого пути расположится, для
больших tj вдоль положительной части оси абсцисс. Разумеется,
что при такой деформации особая точка t = 0 не должна пересе-
пересекаться путем интегрирования при его непрерывном преобразо-
преобразовании.
Допустим, что путь интегрирования в формуле G) был выбран
так, что в формуле (9), при движении по пути интегрирования от
t = оо до t = ?i,fez, точка t = 0 остается слева. Функция Sk (z)
является неоднозначной функцией переменного z, обладая в точке
2 = 0 логарифмическим ветвлением. Поэтому надо точно уста-
установить ту ветвь этой многозначной функции, которую мы будем
в дальнейшем рассматривать. Мы будем рассматривать в качестве
исходной ту ветвь, которая обладает действительными положи-
положительными значениями при действительных и положительных зна-
значениях верхнего предела т в интеграле
f e-1 dt
J tBm+i)q '
с»
Приняв такое соглашение, разрежем плоскость переменного т
190 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
вдоль отрицательной части мнимой оси. В точках такой разрезан-
разрезанной плоскости и будем рассматривать интеграл (9).
Вернемся теперь к формуле F) и перепишем ее, устраняя в ней
первые q — 1 слагаемых, как решение однородного уравнения A):
где
ЬМ-е**-^ (И)
оо
и
f = ( l)(w+i)Q^v2(m+l)g-l>
Как было указано выше, интегрирование в формуле A1) ведется
так, что особая точка z = 0 находится слева при движении от
t = со до t — %kZ. Но наряду с частным решением A0) мы можем
составить другое частное решение того же уравнения A), обходя
путем интегрирования точку 2 = 0 справа. Такое частное решение
будет записываться следующим образом:
fe=0
Функция Ь1]г (z) определяется такой же формулой A1), как и функ-
функция Lk B), но только путь интегрирования взят другим: он об-
обходит точку 2 = 0 справа.
Таким образом, мы можем составить новое частное решение не-
неоднородного уравнения A) в следующем виде: .
Покажем, что функция W (z) удовлетворяет обоим условиям A) и
B) § 40.
__ Чтобы установить это, найдем зависимости между Lfc (x) и
Lq-k (x), с одной стороны, и между Lhq^ и Ln, с другой сто-
стороны, считая число z действительным и положительным: z —
Применяя теорему о вычетах, имеем
U(х) = Lu (х) + (- 1Г1 [Bm+2^q_iV eV,
НО
§ 43. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 191
следовательно,
Lit (x) — Lq-fc (x) + (— 1) j
Отсюда имеем
Lik [X) — bq-k [X) — {— L) -
Из этого соотношения получаем на основе равенства A4) новое
соотношение
и, кроме того,
Отметим, что соотношения A5) и A6) имеют место для к ^> 0.
Для к = 0 надо отметить формулу
L» (х) = U [х) + (- 1)« [Bm+Z-lV. eX°X- A?)
Обратимся теперь к условию A) § 40. Чтобы составить левую
часть этого условия, выведем дифференциальное уравнение для
функции Lk (z). Дифференцируя формулу A1), получаем
/с
или
чг = ^Lfc + /2(awH1)gvM • A8)
С помощью этого уравнения находим
9—1 к Q-1
~~dz~ ~ ~2~' Z.J Л' (^ fcV / ~Т" 1» ft V Л "Т" vq-iTBrn+i)g ^ ! Дг (А,,Л "
ft=0 ft=0
Последняя сумма равна нулю *), и, следовательно,
*) В самом деле, рассмотрим интеграл
взятый по некоторому замкнутому контуру, заключающему внутри себя все
192 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Составим теперь условие A) § 40. Имеем
и (-l)*(^+iv)
dz __
fc=o
Отсюда получаем
fc=i
g-1
Из формул A5) и A6) вытекает, что
Следовательно,
7с=1
Переменим в последней сумме порядок следования ее членов и при-
применим, кроме того, формулу
Л' (А,а-й) = *Л' (
вытекающую из формул D) и E). После небольших преобразований
нули функции Л (к). Подынтегральная функция голоморфна около бесконеч-
бесконечно удаленной точки, и коэффициент при 1А, равен нулю, следовательно, по
теореме о вычетах интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот же ин-
интеграл равен сумме вычетов, относящихся к полюсам Яо, Ях,. . ., К^ подын-
подынтегральной функции; эта же сумма будет равна
1
^0
и, следовательно, ее значение есть нуль.
Надо заметить, что это доказательство неприменимо при q = 1. Но в
этом исключительном случае Л' (%) = 1 и рассматриваемая сумма будет рав-
равна единице.
§ 43. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 193
получим
q—I ft
Z ^Ь"[(?Wc+ *v) + *(А* ~iv) tg ka] [Lfe (x) + Llt
Но
(Я/с + iv) + i (Хь — iv) tg ka = 0;
отсюда следует, что
для действительных значений z. Таким образом, функция W (z)
удовлетворяет граничному условию A) § 40.
Покажем, что эта функция будет удовлетворять и условию B)
§ 40.
Пользуясь формулой A9), получаем для e~aidW/dz следующее
выражение:
Отсюда имеем для z = re'0-1
= -f /^ ? тат
<?—1
Преобразуем последнюю сумму на основании следующих формул,
имеющих место при z = re'0-1 и аналогичных формулам A5) и A6):
Jj k(z) = Ьг _jj_i (z) (
Получим
2ilr
q—1 7.
/J __ «—* / /f\n-
7 Л. Н. Сретенский
194 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Меняя в*последней сумме порядок следования слагаемых на обрат-
обратный, получаем
^-[L,B) + L1>ft(z)]
fc=O
q—1
1 - V~4 i
_j / \\Q eai+ \ v
Применяя формулу E), получаем
dz
(Z~1 n
k=Q ' Л
Коэффициент перед суммой обращается в нуль, так как
/ = (—\)qf и х = е~2:хг.
Таким образом, функция W (z) удовлетворяет и граничному усло-
условию B) § 40.
Следовательно, функция W (z), определяемая формулой A3),
удовлетворяет обоим условиям рассматриваемой волновой задачи
и дает, таким образом, некоторое волновое движение жидкости
над равномерно понижающимся дном. Уравнение поверхности
жидкости запишется так:
П = - -J- sin (at + г) Re f/^ ?"^ } [LH(x) + Llik(x)]\ . B0)
Таким образом, в добавление к стоячим волнам, найденным в
§ 42, мы получили еще один вид периодических волн. Уравнение
этих волн не содержит, в противоположность уравнению волн
§ 42, ни одного произвольного параметра, отличного от фазы 8.
§ 44. Определение формы стоячих волн нового вида
Проведем анализ вида новых стоячих волн, определяемых урав-
уравнением B0) § 43.
С этой целью рассмотрим сначала интеграл
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем
I 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ СТОЯЧИХ ВОЛН НОВОГО ВИДА 195
следующее рекуррентное соотношение:
Повторное применение этого соотношения приводит к следующей
формуле:
1 1 1
^n-i ' (л —1)(л—2)
! 1_,
(я — 1) (и — 2) (я — 3) ?"-з "г • • •
, (
!
(я — 1) (и — 2) (я — 3) ?"
(и-1) (я-2)... 4-3 ?3 "f" (я —1) (я-2)... 4-3-2
Для дальнейшего применения этой формулы укажем некоторые
свойства входящей в нее интегральной показательной функции
Функция Е (%) — многозначная функция комплексного перемен-
переменного ?. Мы будем рассматривать ту ветвь этой функции, которая
имеет при действительных положительных значениях | действи-
действительные значения. Через точку ветвления J- = 0 проведем разрез
вдоль отрицательной части мнимой оси. Комплексное переменное
g будет изменяться на своей плоскости, снабженной этим раз-
разрезом.
Для значений ?, малых по модулю, имеем следующее разложе-
разложение [19]:
здесь считается, что In ? имеет для действительных положитель-
положительных значений с нулевым аргументом действительные значения.
Число у есть постоянная Эйлера — Ыаскерони.
Следовательно, при малых значениях [ g | будем иметь для Cfn (I)
такое представление, вытекающее из формул A) и B):
р=1
C)
196 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Рассмотрим затем значения ?, большие по своему модулю и обла-
обладающие аргументом в пределах от —V2^ до 3/2я — г, где е — про-
произвольное положительное число. Иными словами, рассмотрим об-
область D плоскости комплексного переменного ?, ограниченную
правой стороной разреза @, —оси) и какой-нибудь прямой, накло-
наклоненной к левой стороне разреза под произвольно малым углом е.
Тогда для всех точек этой области будет иметь место следующая
асимптотическая формула:
Пользуясь этой формулой, находим для Cfn (?) следующую асимп-
асимптотическую формулу для точек области D:
1
-г • • •
Применим формулы C) и D) к исследованию функций Ьц (х)
и Ьиь (х) для малых и больших значений х.
Пользуясь функцией Щп (?), мы можем придать функции Lfe (x)
следующее выражение:
Будем при дальнейших вычислениях понимать под п величину
Bт + l)q.
Тогда для малых значений х функция Lfe (x) будет изображать-
изображаться формулой C) с заменой в ней g на Х^х.
Для больших значений х функция Ьъ (х) будет иметь асимпто-
асимптотическое разложение D) для точек области D переменного g =
%
Чтобы получить по формуле B0) § 43 величину г), надо найти
для функции Lltk (x) разложения, аналогичные разложениям C)
и D). Такие разложения легко выписываются из установленной
в предыдущем параграфе формулы:
Возьмем теперь формулу B0) § 43 и рассмотрим сумму, входящую
в эту формулу. На основании формулы F) получаем для этой сум-
суммы следующее представление:
0.-1 *
Л:=0
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ СТОЯЧИХ ВОЛН НОВОГО ВИДА 197
Преобразуем эту формулу к новому виду для малых значений х.
Применяя формулы E) и C), получаем после небольших преобра-
преобразований
\л ( 1)! 1
Y( 1У у
/ Z-Г ' (я - 1)! xn~s La Л' (Хк)
s=l fc=0
fc=o
q—1
Надо отметить, что в правой части этого равенства не будет двой-
двойной суммы, взятой по индексам s и к, если число п = Bт + 1)?
равно единице; действительно, в этом случае функция Ух (I) сво-
сводится лишь к интегральной показательной функции, не сопровож-
сопровождаемой рациональной функцией переменного ?.
Найдем значение суммы
9-1 л S-1
L
Эта сумма равна следующему интегралу, взятому по некоторому
замкнутому контуру Г, охватывающему все нули функции Л (к):
t Xs-1
2ni l
г
Этот интеграл будет равен вычету относительно бесконечно уда-
удаленной точки, взятому со знаком минус. Для значений s ^ q — 1
этот вычет равен нулю и, следовательно, Cs = 0. Для s > q вы-
вычет отличен от нуля и равен, в частности,—1 для s = g, следова-
следовательно, Cq = 1.
Для малых значений # наибольшее слагаемое в правой части
формулы G) отвечает индексу s, равному q. Ограничиваясь в фор-
формуле G) соответствующим членом, s = q, получаем
2V9
193 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Эта формула справедлива, однако, если число q меньше или равно
п — 1, иными словами, если Bт + 1)G — 1 ^> д, т. е. при соблю-
соблюдении неравенства 2mq ^> 1.
Формула B0) § 43 дает теперь возможность написать уравнение
поверхности жидкости около точки х = 0. Выполняя небольшие
преобразования, получаем
n-(—i n№ Bтд~1)\ gv*-1 sin (at + 6) ,o.
Эта формула найдена в предположении, что 2mq ]> 1. Если же это
неравенство не будет соблюдаться, то число s = q будет находить-
находиться за верхним пределом суммирования по индексу s в формуле G),
и тогда при малых х основное значение будет иметь слагаемое
с In х. Это слагаемое получает следующий вид:
fe=o
или *)
Итак,
Q—l _'fc
Формула (9) имеет место при 2mq ^ 0, а это неравенство соблю-
соблюдается при произвольном q для т = 0, а равно и для всех отрица-
отрицательных т. Вместе с тем при Bт + 1)(/ = 1 двойная сумма во вто-
второй части формулы G) отсутствует и для малых значений х основное
значение будет иметь логарифмическое слагаемое, т. е. будет иметь
место опять формула (9). Равенство Bт -f- 1)^ = 1 соблюдается
только при т = 0 и q = 1. Таким образом, формула (9) установ-
установлена для всех значений q и для значений т ^ 0.
Для этих значений q и т имеем уравнение поверхности жидко-
жидкости около начала координат в таком виде:
e). A0)
*) Сумма, входящая в это выражение, может быть вычислена так. Мы
имеем Ц = (— iv)« (—1)й, отсюда
^ у Ч'1 iq I r W-i j*
Ini ] Л (Я,)
§ 44. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ СТОЯЧИХ ВОЛН НОВОГО ВИДА 199
Полученные нами приближенные формулы (8) и A0) для опре-
определения вида поверхности жидкости около начала координат ука-
указывают на существенное отличие стоячих волн нового вида от сто-
стоячих волн, определенных в § 42. В то время как для этих послед-
последних волн ординаты поверхности жидкости ограничены по своей
величине около начала координат, для волн нового вида ординаты
поверхности жидкости неограниченно растут по своей величине
при приближении к началу координат. Если 2mq^>l, то этот
рост — степенного характера; если же 2mq <^ 0, то ординаты рас-
растут пропорционально логарифму расстояния до начала координат.
Изучим теперь вид поверхности жидкости для больших значе-
значений х, т. е. в местах, далеких от берега.
Пользуясь асимптотической формулой D), находим для Lfe (х) =
следующее асимптотическое выражение:
Применение формулы D) законно в том случае, если индекс
k ф 0; при выполнении этого неравенства число Х^х будет лежать
в области D приложимости формулы D). Если же число к будет
равно нулю, то Хох = — ivx будет находиться на левой стороне
разреза @,— ooi), т. е. вне области D.
Введем в рассмотрение вместо функции Lo (х) функцию Llj0 (x).
Точка KqX будет лежать, при рассмотрении функции Llj0 (x), в об-
области Z), т. е. в области приложимости асимптотической формулы
D). Поэтому
Применяя формулу A7) § 43, получаем асимптотическое представ-
представление функции Lo (x):
Второе слагаемое может быть отброшено, так как оно стремится
к нулю при неограниченном возрастании х. Таким образом, имеем
^lve-^. A3)
Применим теперь формулу B0) § 43 к установлению вида по-
поверхности жидкости вдалеке от берега. Принимая в расчет формулы
(И) — A3), получаем
г, = (_
sin
|va:+ — (9 —
200 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Полученные нами формулы (8), A0), A4) показывают, что част-
частное решение A3) § 43 неоднородного дифференциального уравне-
уравнения A) § 43 определяет волновое движение, имеющее вблизи бере-
берега неограниченно растущие колебания и переходящее в частях
поверхности жидкости, далеко расположенных от берега, в стоя-
стоячие волны, присущие жидкости бесконечной глубины.
§ 45. Прогрессивные волны йа поверхности водоема
с понижающимся дном
Найденные в предыдущих параграфах стоячие волны двух раз-
разных видов позволяют найти прогрессивные волны данной длины
и амплитуды, распространяющиеся от берега водоема в бесконеч-
бесконечность или движущиеся из бесконечности на берег.
Результаты § 42 дают возможность построить характеристи-
характеристическую функцию течения без особенности в начале координат
2 cos (at+ г1). A)
/с=о
Результаты же § 43 и § 44 дают возможность построить характери-
характеристическую функцию течения с особенностью в начале координат
g-i K
Yi iSw [Lk {z)+Lit k {z)] cos (a*+8з)* B)
/c=o
Обе эти функции содержат произвольные действительные посто-
постоянные Си Д, из которых первая входит множителем во все коэф-
коэффициенты Cfc. Кроме того, фазы гх и е2 произвольны.
Функция B) есть решение неоднородного уравнения A) § 43,
а функция A) есть решение соответствующего однородного урав-
уравнения. Следовательно, функция
а—1
w = 2 CKe^z cos (at + вг) +
fc=0
q—1 k
+ "ГfDYj vvly [Z/*(z) + Ll'*<Z)Jcos@i + e*) C)
/c=o
будет также решением уравнения A) § 43 и, удовлетворяя гранич-
граничным условиям A) и B) § 40, будет определять некоторое волновое
движение.
Первой характерной особенностью этого движения является
неограниченное возрастание ординат поверхности жидкости при
подходе к берегу.
Пользуясь выведенными выше асимптотическими формулами,
легко найти уравнение поверхности жидкости вдали от берега,
§ 45. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДОЕМА 201
Беря формулы (8) § 42 и A4) § 44, находим, что вдалеке от бе-
берега уравнение поверхности жидкости запишется так:
г] = — cos \vx + -т- я (q — 1) sin (ot + s) —
_ 2± sin [ух + 4- ^ (q - 1)] sin (at - e). D)
При этой записи отсчет времени смещен на -х- (8i + e2) и положе-
положено е = у (8х — 82). Кроме того, А — произвольная константа,
связанная с произвольной константой D соотношением
X vBm+i)g-i тл
2q~x lB/n +1)^ — 1]! sinasin2a. . . sin(^r — 1)а
Уравнение D) можно преобразовать к следующему виду:
т) := у- \(А cos 8 — С sin е) cos \(ух + ot) + -j- ^ (g — 1) +
+ (A sin 8 — С cos e) sin | (vx + a^) + -^- я (g — 1) \\ —
— -^- |(Л cos 8 -f- С sin e) cos (\x — ot) + -г- я (g — 1) —
— (A sin 8 + С cos e) sin (v? — ot) + -^- я (g — 1) 1 . E)
Определим входящие сюда постоянные А, С, г так, чтобы движе-
движение, характеризуемое функцией C), возникало от волны данной
амплитуды Д, идущей из бесконечности к берегу. Для этого мы
должны удовлетворить уравнениям
A cos 8 + С sin 8 = 0, A sin 8 + С cos 8 = 0.
У этих уравнений имеем два решения:
1) tge = 1, А + С = 0;
2) tge = -1, А - С = 0.
Для обоих решений имеем
Л = ¦-—sin (те + ot + -т-rtg) для е = -т- я;
О \ ^ / ^
1 \ 1
VX +Ot-{--т-Щ) ДЛЯ 8= т-Я.
4 / ^
аЛ / 1 \ 1
Ц = —-COS [VX +Ot{Щ) ДЛЯ 8
Постоянная Л определится через данную амплитуду R этой набе-
набегающей на берег волны простой формулой:
А = -?¦
a
202 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Используя все предыдущие формулы, находим по формуле C)
характеристическую функцию течения, возникшего от данной на-
набегающей на берег волны F). При т Ф 0 эта функция имеет в точ-
точке z = 0 полюс порядка 2mq и поведение соответствующей величи-
величины т] определяется в бесконечности формулами F), в которые не
входит число т. Поэтому существует оот прогрессивных волн,
имеющих заданное выражение F) для своих ординат в бесконеч-
бесконечности, причем главная часть G (z) разложения в ряд Лорана около
нуля характеристической фуакции течения будет состоять из т
слагаемых с произвольными коэффициентами Аи А2, . . ., Ат-ц
А-т*
Г (~\ — А™ I Аш~х \ л- -4i-
^ \Z) - zmq "Г Z2q(m-i) "Г ' ' ' + ^q •
Если в формуле E) мы подчиним константы Л, С, 8 уравнениям
A cos е — С sin 8 = 0,
A sine — С cos 8 = 0,
то определим прогрессивные волны, уходящие в бесконечность из
начала координат, как из источника. В бесконечности уравнение
прогрессивных волн запишется так:
оА I I \ 1
тг| = cos [ух — ot + -j- щ \ для 8 = -т- я;
оА . / . . 1 \ 1
т) = sm\vx — et-{--T-nq) для е = т- Jt.
Эти прогрессивные волны зарождаются у берега и уходят в беско-
бесконечность со скоростью прогрессивных волн на поверхности жид-
жидкости бесконечной глубины.
В заключение следует особенно отметить, что полученные про-
прогрессивные волны, идущие на отлогий берег, не испытывают отра-
отражения от берега, но уничтожаются у него. Аналитически это
уничтожение волны обусловлено наличием особенности в точ-
точке z = 0.
Задавшись частотой и амплитудой прогрессивной волны, иду-
идущей на берег, мы не определяем тем не менее однозначно ни форму
волны на всем протяжении бассейна, ни сопутствующее ей движе-
движение жидкости. В самом деле, для всякого числа т существует,
с назначенными частотой и амплитудой, прогрессивная волна,
движущаяся к берегу. Самое простое решение задачи получается
при т = 0, когда правая часть основного уравнения A) § 43 имеет
наиболее простой вид и когда уравнение поверхности жидкости
обладает не полярной, а логарифмической особенностью в начале
координат.
§ 46, ПРИМЕРЫ 203
§ 46. Примеры
Применим полученные общие формулы к рассмотрению некото-
некоторых частных случаев.
Допустим сначала, что число q равно единице; в этом случае
мы имеем распространение волн в бесконечно глубоком бассейне,
ограниченном вертикальной стенкой. В этом простейшем случае
имеем
а = ~ я, Л (к) = % — Ко, Хо = — iv.
Характеристическая функция течения, соответствующая стоячим
волнам с конечным возвышением в начале координат, запишется
так:
w (z) = Or**. A)
Уравнение поверхности жидкости будет
Tj = — С cos vx sin (at + ех). B)
о
Одновременно с этой стоячей волной будет и другая, обладающая
неограниченным возвышением вблизи начала координат. По фор-
формулам A3) и B0) § 43 эта волна определится так:
( 2g v2m Re [Lo (x) + Llt0 (x)] sin (at + e2). C)
В этих формулах
e~ldt
2m+i
здесь путь интегрирования обходит точку t — 0 слева. В формуле
же
-2VZ _t
|L* D)
путь интегрирования обходит точку t = 0 справа.
Формула A7) § 43 устанавливает связь между LQ (x) и LltQ (x):
откуда
204 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Интеграл, входящий в определение функции Lli0 (x), может быть
преобразован к новому виду, если заменить первоначальный путь
интегрирования интегрированием вдоль отрицательной части мни-
мнимой оси от точки —оо? до точки —ivх. Получим
. Г егх dx
Т (/у\ —— ( I yft'b'Xp—2VX \ ____
J X
vx
Следовательно,
J T2m+i
vx
Формула C) даст уравнение поверхности жидкости в следующем
виде:
а Г (_ i)m+ijtv2m . , ШГ cos(v:r-T)
Bт)!
Г cos(v:r
X
В том наиболее простом случае, когда т = 0, это уравнение мож-
можно записать с помощью интегрального синуса и косинуса так:
Y| — Е-. _ л gin vx — cos vx Ci (vx) + sin vx Si (vx) sin (at -j- e),
E)
где
со VX
n- i \ f cost j е-/ \ С sinr j
Ci (vx) = \ dx, Si (vx) = \ dx.
«3 « •) **
о
Для функции т] можно дать другое простое выражение при пг = 0,
если интегрирование провести по прямой линии, параллельной оси
абсцисс и находящейся ниже нее на расстоянии vx; получим
оо
ла . , а Г те"т
— in vx -f- — ^ Т2 + у%
о
Рассмотрим теперь волны над наклонным дном, образующим
угол в 45° с горизонтом. В этом случае число q равно 2 и, кроме
того,
1
06 = —т~ Я, К = — Ё, Aq = — IV, Ai= — V.
Характеристическая функция течения для стоячих волн с ограни-
ограниченным возвышением в начале координат запишется так:
w (z) = Ce 4 m e~iyiz + Се 4 "' e~vz.
§ 46. ПРИМЕРЫ 205
Отсюда уравнение поверхности жидкости будет
л = - Т [cos (w + ~т п)+ 7?*""]sin (af + 8l)* F)
Найдем затем волны с неограниченными ординатами около начала
координат. Для составления характеристической функции ука-
укажем сначала выражения ряда вспомогательных величин. Имеем
—ivz
Формула A3) § 43 дает выражение характеристической функции
в таком виде:
w {z) = " wrv4m+1 e~ni [iLo {z)+iLho {z)"Li (z)"Lia (z)]-
Применим эту формулу к написанию уравнения поверхности жид-
жидкости в простейшем случае: т = 0.
Для действительных значений z — х имеем на основании фор-
формул § 43 следующие соотношения:
LQ (х) = Lll0 (x) -2nie-™,
Ьг (х) - Ll9l (x) -2nUr*.
Отсюда
iL0 (х) + iLU0 (х) - Ьг (х) - Ll9l (x) =
= 2tLlt0 (х) —2Ь1Л (х) + 2п (e~Ux + te-*%
Следовательно,
Д "*
^ = ^rRe{[iL1>0(x)-L1I(^)]e* +
-f- л (е~гых -j- ie~vx) e 4 } sin (ot -\- iB2). G)
Преобразуем отдельные слагаемые этой формулы. Выполняя ин-
интегрирование по частям, получаем
—t
2С6 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда
sin [vx T-Jt)Ci(v;c) + cos [vx ?-JtJSi(w) -^=^(—
где
Теперь формула G) может быть записана так:
т, =
{-"-c
gV2l2
cos
cos (vx - -i-л) Si
~-ife~"x\ -?r^Jsin(a^ + 62).
-*
(8)
Полученные формулы позволяют вычертить поверхность жидкости
для стоячих колебаний двух разных видов.
На рис. 10 показана форма поверхности жидкости у отвесного
берега, а = 90°. Штрих-пунктирная линия изображает jtcosvz,
т. е. величины, пропорциональ-
Фк ные ординатам стоячих волн пер-
^ —1—|—|—|—|—|—|—|—|—| вого вида. Сплошная линия
^^—^^^ дает величину выражения, сто-
g 1&-L ^ ящего в квадратных скобках в
j /Д_\ Ч формуле E), т. е. величину Ф,
1 \ \ / пропорциональную ординатам
flj~~ "\ w—~ ~~~*х точек стоячей волны второго
-/ 4 -л |-^г-—-/— вида. Наконец, штриховая ли-
-g\ Л, 1—_Ц/ ния изображает п sin vx.
-3 Х^^^«, *Из рис. 10 видно, что при
/ S I' | увеличении vx ординаты стоя-
/ 2 и 4 5 чей волны второго вида ис-
исключительно быстро становятся
Рис 10 равными ординатам синусоиды
я sin vx, изображающей по
асимптотическим формулам волну второго вида для больших vx.
Затем, уже для небольших значений vx, ординаты стоячей вол-
волны первого вида становятся сдвинутыми на четверть длины волны
по отношению к ординатам волны второго вида. Это последнее об-
обстоятельство дает, в конце концов, возможность построить не отра-
отражающиеся от берега волны, возникшие в бесконечности и распро-
распространяющиеся к берегу.
S 47. ЗАМЕЧАНИЯ О ТЕОРИИ ПОЛИ НАД НАКЛОННЫМ ДНОМ
20?
На рис. 11 даны для а -— 45° величины, пропорциональные ор-
ординатам стоячей волны первого и второго вида. Штрих-пунктир-
Штрих-пунктирная линия дает значения Фг выражения в квадратных скобках
формулы F); сплошная линия
дает значения Ф2 выражения в
фигурных скобках формулы
(8), и, наконец, штрихами
изображена кривая, построен-
построенная по асимптотической форму-
формуле я cos (vx —-г- зх), соответству-
соответствующей выражению в фигурных
скобках формулы (8) для боль-
больших значений vx.
Из рис. 11 можно вывести
в данном случае те же заклю- ~3
чения, как и из рис. 10, пост-
построенного для а = 90°.
Оба чертежа (рис. 10 и 11)
( )
взяты нами из работы Стокера,
содержащей, кроме того, чер-
чертежи, иллюстрирующие волны,
берега, а = 6° [184] *).
Рис. 11.
возникающие у весьма отлогого
§ 47. Замечания об изложенной выше теории волн
над наклонным^дном **)
В основу всего предыдущего изложения теории распространения
волн над наклонным берегом было положено уравнение B0) § 41.
Это уравнение служит для определения характеристической функ-
функции в том случае, когда угол наклона дна к горизонту определяет-
определяется формулой
СС = -7ГГ »
в которой р — какое-нибудь нечетное число, меньшее чем произ-
произвольно взятое четное число 2q ^> р. Для этого общего случая бы-
было решено соответствующее однородное уравнение A) § 42. Для
р = 1 решение этого уравнения дало стоячие волны, ограничен-
ограниченные вблизи берега по своим ординатам. Наибольшее внимание
*) В этом месте на полях рукописи имеется ссылка автора на статью
Фридрихса и Леви [98], в которой дается приближенная формула для потен-
потенциала скоростей при малых а. (Прим. ред.)
**) Название § 47 дано редакцией, так как в рукописи названия этого
параграфа не оказалось. (Прим. ред.)
208 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
было уделено нами в предыдущем изложении тому случаю, когда угол
наклона дна бассейна к горизонту есть целая доля от 90°, сле-
следовательно, р = 1. Для этого случая нами было подробно изучено
неоднородное дифференциальное уравнение A) § 43. Решение это-
этого уравнения дает стоячие волны с неограниченными ординатами
вблизи берега. Сочетая эти решения с решениями однородного
уравнения, оказалось возможным найти прогрессивные волны, на-
набегающие из бесконечности на отлогий берег и не отражающиеся
от него.
Решение неоднородного уравнения
к3 dz \ dZ *
при p Ф 1 может быть получено, как и в § 43, методом Лагранжа
вариации произвольных постоянных. Но разбор полученного ре-
решения весьма сложен, так как требует выяснения многочислен-
многочисленных деталей. Поэтому мы вынуждены ограничиться лишь указа-
указанием полученных здесь результатов.
Мы видели выше (§ 42), что при р Ф 1 стоячие волны первого
вида, находимые как решения однородного уравнения, соответству-
соответствующего уравнению A), обладают неограниченно растущими орди-
ординатами при удалении от берега. Но можно найти одно-единствен-
одно-единственное решение w0 (z) неоднородного уравнения A), конечное в нача-
начале координат и дающее в бесконечности обычную стоячую волну.
Такое решение уравнения A) заменяет в данном случае, р Ф 1,
решение однородного уравнения при р = 1 и может служить для
образования прогрессивных волн, набегающих издалека на по-
покатый берег.
Уравнение A) обладает одним решением wx (z), имеющим в на-
начале координат логарифмическую точку ветвления и дающим вол-
волну с тем же самым поведением в бесконечности, каким обладает
волна, определяемая функцией w0 (z).
Следовательно, можно построить одну прогрессивную волну,
идущую на берег и обладающую в точке х = 0 логарифмической
особенностью.
Помимо такой волны можно установить существование oow про-
прогрессивных волн, идущих из бесконечности на берег и обладаю-
обладающих в точке х = 0 бесконечной ординатой порядка x~27nq/p.
Задача о волновых движениях жидкости над наклонным дном
при а = np/Bq) получила большое развитие в последние годы.
Среди работ, посвященных этой задаче, отметим основные работы
Леви [145J и упомянутую выше работу Стокера [184]. Все эти ра-
работы характеризуются широким применением методов теории функ-
функций комплексного переменного.
§ 48. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ КАНАЛА 209
Приведенное выше изложение задачи основывается, в главных
своих чертах, на исследовании Бриллуэ, удостоенном премии Фран-
Французской Академии наук [89].
Отметим, что стоячие волны с конечным возвышением у берега
были получены для углов а = nlBq) Поклингтоном [165] с по-
помощью метода отражений. Им было установлено, в частности, что
амплитуда колебаний поверхности в начале координат в у q раз
больше, чем максимальная амплитуда в бесконечности.
§ 48. Волны на поверхности канала, дно которого составляет
произвольный угол с горизонтом
В предыдущих параграфах были определены волновые движе-
движения на поверхности водоема, дно которого составляет с горизон-
горизонтом угол, равный целой части от 90°. Теперь.мы рассмотрим об-
общую задачу о волнах на поверхности водоема, дно которого сос-
составляет произвольный угол с горизонтом. Этот угол может быть
любым в пределах от 0° до 180°. При этом, если угол наклона дна
будет превосходить 90°, то это будет соответствовать бассейну с на-
нависающим берегом. Отметим, что мы не дадим полного изложения
решения задачи со всеми необходимыми деталями, так как это
потребовало бы слишком много места. Мы ограничимся лишь опре-
определением функции w (z), не давая, однако же, исследования этой
функции, и приведем только результаты такого исследования.
Наше изложение будет следовать статье Питерса [163], в кото-
которой рассматривается задача о волнах на поверхности водоема
в присутствии поля битого льда на поверхности жидкости; этому
же вопросу посвящена статья Вейца и Келлера [2021.
Функция w (z) должна удовлетворять условиям A) и B) § 40.
Рассмотрим сначала первое из этих условий. Функция w (z) опре-
определена внутри области D, ограниченной положительной частью
оси Ох и прямой z = re~ai. На действительной оси функция
принимает действительные значения, следовательно, она может
быть продолжена аналитически через действительную ось в об-
область 2I, ограниченную этой осью и прямой z = reai. Таким обра-
образом, в области D + Z>x, ограниченной прямыми z = re"ai и z =
= геаг, мы будем иметь аналитическую функцию A). Для действи-
действительных значений z функция A) имеет действительные значения;
следовательно, по правилу аналитического продолжения будет
существовать для точек z, принадлежащих области D + Dlr сле-
следующее равенство:
w' (z) + ivw (z) = wf (z) + ivw (z). B)
210 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Черта сверху служит для указания комплексно сопряженных ве-
величин.
Вдоль луча z = re~ai имеет место условие B) § 40; следователь-
следовательно, функция
в dz
может быть аналитически продолжена через луч z = re~ai в об-
ласть D2» ограниченную прямыми z = r?"ai, z = re~3(Xi, посколь-
поскольку функция w (z) определена в области D + Dx. При этом будем
иметь следующее равенство:
e-aV (z) = e~ai w' (ze~2ai). C)
Таким образом, в угловой области D + Dx + D2, ограниченной
прямыми z = re*1 и z = re~3cLi, имеют место для функции w (z)
равенства B) и C). Преобразуем эти равенства к новому виду,
принимая в соображение, что комплексная функция двух пере-
переменных
Ф (я>— У) — *Ф (ж, —г/)
есть аналит1тческая функция комплексного переменного z, кото-
которую мы обозначим так:
Ф {х,—у) — п|) (ж,—у) = й? (z).
В этом можно убедиться, проверив, что две функции ф (х,—у)
и —г|) (#,—у) удовлетворяют условиям Коши — Римана.
Принимая все предыдущие обозначения, составим с помощью
условий B) и C) некоторое функциональное уравнение для функ-
функции w (z), свободное от функции w (z).
Отметим прежде всего такие равенства:
w(z) = ф(ж, —у) + ity(x, — у) = ф(#, — у) — ii|)(r, — у) =
u;'(ze-2ai) = w'(ze2ai).
С помощью этих равенств условия B) и C) запишутся так:
w' (z) + ivw (z) = w' (z) — ivw (z),
e-™w' (z) = ^©'(ze2*1). ^
Проинтегрируем последнее уравнение, получим
w(z) = w (ze2cLi);
постоянная интегрирования может быть взята равной нулю. При-
Придадим этому уравнению другую форму:
w (ze-2™) - w (Z). E)
§ 49. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 211
Исключим теперь из уравнений D) и E) вспомогательную функ-
функцию w (z). Получим
и/ (z) + ivw (z) = e~2(Xiw' (ze-2*1) — ivw (ze~2(Xi). F)
Это уравнение, имеющее место для значений z в области D + Dx-\-
+ D2i является основным в нашей задаче.
Применим к решению уравнения F) метод Лапласа, отыскивая
функцию w (z) в виде следующего определенного интеграла:
Г
Функция g (?,) является искомой, и путь Г, взятый в области D
плоскости комплексного переменного ?, должен быть определен
соответствующим образом.
§ 49. Решение функционального уравнения
уя определенный интеграл (
уравнения F) § 48 следующ
' (z) + ivw (z) = 5 ^ (С + iv) g (С
Дифференцируя определенный интеграл G) § 48, получаем
для правой части уравнения F) § 48 следующее выражение:
w
Далее имеем
введем в этот интеграл новое переменное интегрирования ?х, по-
полагая ?х = ?г~2а\ получим
w (ze~mi) = е™1
Путь интегрирования Тг получен из пути Г поворотом этого пос-
последнего на угол 2а по стрелке часов. Этот путь находится в обла-
области D2-
Дифференцируя последнюю формулу по z, получаем
e-2aiw> {ze-mi} = ешг ^
Г'
Отсюда левая часть уравнения F) § 48 запишется так:
() — ivw (ze~2ai) = еш{ \ е*> (g — iv
Pi
Таким образом, уравнение F) § 48 приводит к следующему интег-
интегральному равенству:
Щ ё (I) dl = e^ $ ** (С - *v) g (l^ydl. A)
Тг
212 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Придадим этому равенству следующий вид:
S ** КС + iv) g (С) - **' (С -
— еш\ V ezx. (? __ щ g (гешг\ ^? _ ешг \ e2^ (g — iv) g (?tf2ai) dl. B)
г, г
Если функцию g (?) выбрать так, чтобы она удовлетворяла
уравнению
(С + w)g (?) — e2ai (I — w)^ (Ce2ai) = 0, C)
и путь интегрирования Г взять при этом таким, чтобы правая часть
B) обращалась в нуль, то уравнение B) будет удовлетворяться.
Обратимся сначала к решению уравнения C). Представим ис-
искомую функцию g (?) через две функции g0 (?) и h (?), полагая
Подстановка такого выражения функции g (?) в уравнение C)
дает следующее уравнение:
(С + ™)g0 (»fc @ = (С - ivte0 (Се*»*)Л(Св***)-.
Возьмем теперь в качестве функции h (?) какое-нибудь частное
решение уравнения
U + *v)M0 = (?-*vL?e2ai). E)
Тогда функция ^0 (?) должна быть общим решением уравнения
ft (fc") - й (О- F)
Это уравнение показывает, что функция g0 (?) есть произвольная
однозначная функция аргумента ?л'а:
. G)
Таким образом, нам остается найти лишь решение уравнения E).
Прологарифмируем обе его части, получим
In h (&*»•«) - In h (С) = In -i±|L. (8)
Покажем, что решение этого уравнения дается интегралом типа
Коши.
Введем вместо переменного ? новое переменное ?ь полагая
с = е1*.
При изменении переменного ? от его значения ? до значения
переменное ?х изменяется от ?х до ^е2™, т. е. переменное ?х описы-
описывает вокруг начала координат полную окружность в прямом на-
направлении.
§ 49. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 213
Заметив это, введем временно такое обозначение:
1пЛ@ = 1пЛ(Й'")=Я(Ь).
Теперь уравнение (8) перепишется так:
н№*<)-н(go = ь ^IVI ¦ (9>
Проведем из начала координат в бесконечность луч S и составим
интеграл
Функция Cf (?1) имеет логарифмическую точку ветвления в на-
начале координат. Разрежем плоскость переменного ?х вдоль луча
S. Между предельными значениями функции Cf (?i) B Двух сов-
совпадающих точках ?i и ?i» принадлежащих разным сторонам раз-
разреза S, будет существовать такое соотношение:
=_ln_g^. A1)
Отметим, что если смотреть из начала координат вдоль разреза
S в бесконечность, то точка ti будет находиться на левой стороне
разреза, а точка ?i — на правой его стороне. Сопоставляя формулы
(9), A0) и A1), находим, что функция Н (?х) будет определяться
следующим интегралом [7']:
Следовательно,
Вернемся теперь к формуле D). Эта формула представит решение
функционального уравнения C) в следующем виде:
g® = TU(С*)exp I^J —g.In fCCM + .v}. A2)
Теперь нужно показать, что эта функция g (?) обращает в нуль
правую часть уравнения B). Пользуясь уравнением C), мы мо-
можем придать правой части этого уравнения следующий вид:
\ е* (С + Щ g F) dt - \ е* (С + iv) g (?) dg. A3)
Ti Г
214 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Функция U (С71'*) была до сих пор произвольной однозначной
функцией аргумента ?л'а. Дальнейшее исследование будет огра-
ограничено предположением, что эта функция приводится лишь к
одночлену
go (Б) = U (Г'а) = Ч^а,
где q — какое-нибудь целое число, а Л — произвольная константа.
Ограничение подобного же рода было сделано в § 43 относительно
функции Wx (Z), введенной в § 41.
Рассмотрение особых точек функции g (?) показывает, что
всегда возможно найти такой путь интегрирования Г и, следова-
следовательно, путь Гх, что разность A3) будет обращаться в нуль.
Путь Г состоит из окружности, охватывающей все особенности
функции g (?), и из двух сторон разреза, идущего из некото-
некоторой точки окружности и уходящего в бесконечность под углом
я + V2a.
Таким образом, функция g (?), даваемая формулой A2), будет
удовлетворять уравнению C), если путь Г взят указанным выше
образом. Однако же надо заметить, что решение уравнения F)
§ 48 может давать решение более общей задачи, чем та, которая
выражается граничными условиями D) и E) § 48, так как к урав-
уравнению F) § 48 мы пришли, выполняя дифференцирование урав-
уравнения E) § 48. Следовательно, необходимо показать, что функция
G) § 48 действительно удовлетворяет граничным условиям D), E)
§ 48 нашей задачи. <
Проверка выполнимости этих условий показывает, что вве-
введенное выше число % должно быть чисто мнимым: X = iXXi чтобы
оба граничных условия действительно удовлетворялись.
Итак, функция w (z) имеет следующий вид:
A4)
Пользуясь найденными формулами, можно написать уравнение
свободной поверхности жидкости:
ц (х, t) = — sin (at + е) Re w (x).
о
Наибольший интерес и значение имеет рассмотрение поверхности
жидкости вблизи начала координат и в бесконечности. Опишем
без доказательств полученные здесь результаты.
Уравнение поверхности жидкости запишется так для боль-
больших значений х:
Ч=\ (/ _
§ 49. РЕШЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 215
где А, В, С — некоторые действительные константы, зависящие
от параметров задачи. Эта формула показывает, что при удалении
в бесконечность ординаты поверхности жидкости неограниченно
растут, если
если же целое число q будет удовлетворять неравенству
то в бесконечности будет образовываться стоячая волна с конеч-
конечными ординатами:
ri = (в cos -J^- + С sin ~^-\ sin (at + е).
Для значений х, близких к нулю, имеем
А
Если целое число q будет положительно, то ординаты поверхности
жидкости будут неограниченно расти при стремлении х к нулю.
Если же q будет нулем или отрицательным числом, то неограни-
неограниченного роста ординат поверхности не будет.
Таким образом, число q удовлетворяет двум неравенствам:
т. е. при q= 0 ординаты поверхности жидкости не превосходят
на всем интервале изменения х от 0 до оо некоторого конечного
числа.
Выше была указана та кривая Г, при которой соблюдается ра-
равенство нулю выражения A3). При таком выборе пути интегри-
интегрирования формула G) § 48 давала характеристическую функцию
течения.
Но можно найти другой путь интегрирования Г', при котором
будет снова иметь место обращение в нуль разности A3). Соот-
Соответствующее течение жидкости будет определяться и в этом случае
формулой G) § 48. Поверхность жидкости и при этом новом те-
течении будет иметь в бесконечности вид стоячих волн; фаза коле-
колебаний будет отличаться от фазы колебаний в изученном уже те-
течении на 90°. Около же начала координат ординаты поверхности
жидкости будут неограниченно увеличиваться, как In | x |.
Складывая вместе два полученных течения, можно получить
течение жидкости, сопровождаемое прогрессивными волнами,
216 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
.идущими из бесконечности к берегу, и найти волну, отраженную
от берега. Вместе с тем возможно получить прогрессивные волны,
уходящие в бесконечность и возникшие в точке пересечения дна
бассейна со свободным уровнем жидкости.
§ 50. Задача о плавающей пластинке
Все установленные в двух предыдущих параграфах результа-
результаты имеют место для любого угла а; особый же интерес представ-
представляет тот случай, когда угол а равен 180°. В этом случае поверх-
поверхность жидкости покрыта от х = — оо до х = 0 твердой пластинкой,
оставшаяся же часть поверхности от х = 0 до х = оо совершенно
свободна.
Найденные в последних параграфах общие формулы для ха-
характеристической функции течения содержат решение и рассмат-
рассматриваемой частной задачи. Полагая в формулах D), A2) § 49 угол
а = я, мы можем определить по волнам, идущим из бесконечно-
бесконечности, все течение жидкости и, в частности, волны, отражающиеся
от конца х = 0 твердой пластинки.
Не выписывая всех формул, решающих данную задачу, при-
приведем два рисунка, иллюстрирующих полученные результаты.
На рис. 12 (справа от начала координат) представлена поверх-
поверхность жидкости около начала координат для течения без особен-
особенности в точке х = 0. На этом же рисунке (слева от начала коор-
координат) дано и распределение давления вдоль пластинки; А —
амплитуда волны в бесконечности. На рис. 13 изображена поверх-
поверхность жидкости при течении с особенностью логарифмического
вида в точке х = 0; вместе с тем указано и распределение давле-
давления по пластинке.
§ 50. ЗАДАЧА О ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНКЕ 217
Эти рисунки заимствованы из статьи Фридрихса и Леви, пред-
предложивших решение рассматриваемой задачи [98].
Рассмотрим теперь более сложную задачу о волнах в присут-
присутствии пластинки конечной длины, находящейся на поверхности
жидкости. Здесь могут быть поставлены две задачи. Во-первых,
как и в случае бесконечно длинной пластинки, можно задаться
вопросом о вычислении амплитуды волны, отраженной от плас-
пластинки, зная амплитуду прогрессивной волны, набегающей на
пластинку, и о вычислении амплитуды волны, прошедшей под
пластинкой и уходящей в бесконечность. Во-вторых, придавая
пластинке известные периодические поступательные и враща-
вращательные движения, можно задаться целью найти соответствующее
движение жидкости и, в частности, определить амплитуды волн,
уходящих от пластинки в обе стороны от нее. Решение этой задачи
дает возможность определить ту работу, которую должна совер-
совершать пластинка, чтобы от нее отходили волны задаваемой амп-
амплитуды.
Решение этих задач может быть получено с помощью интег-
интегрального уравнения, аналогичного уравнению теории глиссиро-
глиссирования.
Предположим, что плоская пластинка, занимающая часть оси
абсцисс от точки (—Z, 0) до точки (Z, 0), совершает малые по амп-
амплитуде а вертикальные колебания частоты а. Для этой задачи
граничные условия записываются так:
ду т ' ' ^
у == t M\
ду
Возьмем функцию w (z) комплексного переменного z, действитель-
действительная часть которой есть ф (х, у), и построим следующую функцию:
В силу первого из условий A) действительная часть этой функции
будет равна нулю на действительной оси для значений | х |, пре-
превышающих Z. Допустим, что для значений х между —Z и Z дейст-
действительная часть функции F (z) равна / (х). Составим уравнение
для определения этой функции, исходя из второго граничного
условия A). Но сначала укажем на связь между функцией / (х)
и давлением жидкости в точках пластинки. В силу интеграла Бер-
нулли
JL = tap — gy,
218 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
с другой стороны, для точек пластинки имеем
__ дУ
Отсюда
Р <з
или
следовательно,
Пользуясь формулой, решающей задачу об определении функции
комплексного переменного по значениям ее действительной части
на оси абсцисс ([31], гл. II, § 43), имеем следующее выражение
функции F (z):
a — z
—I
где С — действительная константа, которую можно приравнять
нулю.
Таким образом, мы имеем следующее дифференциальное урав-
уравнение для определения функции w (z):
Найдем частное решение этого уравнения в виде следующего ин-
интеграла:
оо
с неизвестной функцией А (к). Подставим это выражение в урав-
уравнение B). Принимая в расчет формулу
оо
—— = [ eiK^-z) dk, Im z < О,
(X Z J
0
находим функцию А (к):
A(k)= klv
—I
§ 50. ЗАДАЧА О ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНКЕ 219
Отсюда имеем
-, dk.
Отметим, что при интегрировании по к мы обошли особую точ-
точку к = v сверху маленькой полуокружностью.
Это — частное решение уравнения B). Общее же решение
будет
w(z) = Be** + _L ^ /(a)da^ efe_v dft, C)
—г о
где В — произвольная комплексная константа. Эту константу
мы определим в дальнейшем из дополнительных условий излуче-
излучения.
Вернемся к уравнению B) и продифференцируем его два раза
по z, получим
д*ю . dm _ J_ P f(a)da
ЬУ/ dz ~~ л ) (a-zf '
7
dz*
V dz2 ~~~ я j (а — zK
dz*
Из этих двух формул имеем
i i
dsw 2 dw __ _2_ Г / (а) da __ iy Г / (а) da
dz* "^ V dz ~" "я" \ (а — zK яГ J (а —zJ "
Следует отметить, что интегрирование ведется здесь по отрез-
отрезку действительной оси, так как z — число комплексное. Присое-
Присоединим к этому уравнению ему сопряженное уравнение
, i i
dsw ъ dw __ _2_ Г f(a)da iv ? f (a) da
~dz*~ + V ~dz" ~~ ~}t (а-iK ~^~Д (a-zJ
Вычитая почленно эти уравнения, находим
7 ч i
dsw d6w , 2 / dw ___ dw \ _ 2 f f(a)da
rfz3 ' \ dz dz J я j (a — '<
l
_ А С /(a)^a _ Jl Г f(a)da _ J^ Г f(a)da
л _J (a — IK я J (a —zJ я J (a—zJ '
220 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Перейдем в этом равенстве к пределу, устремляя мнимые части
комплексных переменных z и z к нулю. Чтобы осуществить этот
переход, соединим точки (—Z, 0), (/, 0) плоскости переменного а
какой-нибудь кривой С, лежащей в верхней полуплоскости. Так
как z будет стремиться к х, то можно считать, что точка z находит-
находится внутри замкнутого контура, составленного из действительной
оси и кривой С. В силу этого будем иметь
J (а zf J (а
f{a)da
Д (а — zf I (a-zK
Отсюда вся правая часть уравнения E) принимает следующий вид:
G
При стремлении точек z и z к точке х отрезка [—/, I] все это вы-
выражение переходит в такое:
2v/'(х)- 2i/"(х) Щ f,{a)d" . F)
Рассмотрим затем левую часть уравнения E). Имеем
dw дф . дер , .
dz dx dy ' '
dz* ~ дх* 1 дх*ду "" да:2
Отсюда
/\ / dw
При стремлении точек z и z к оси абсцисс правая часть этой фор-
формулы стремится к вполне известному пределу, так как на оси абс-
абсцисс известна скорость v в зависимости от х.
Таким путем соотношение E) приводит, на основе формул
F) и G), к следующему уравнению колебаний пластинки:
с
Для придания этому уравнению окончательного вида проинтег-
§ 50. ЗАДАЧА О ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНКЕ 221
рируем обе его части от 0 до произвольного х, получим
/' (*) + ivf(x) + -^ JJ^|_ = V(x), (9)
С
где V (х) имеет следующее выражение:
X
^f(a)^--\(^ + v*v)dx. A0)
Для изучаемого движения пластинки в вертикальном направ-
направлении функция v (х) сводится к постоянной, равной — aat как
это вытекает из второго условия A). Следовательно,
V (х) = /' @) + ivf @) +-?-$/ (а) -?- + aov*x. (И)
Уравнение (9) может быть приведено к уравнению Фредголь-
ма с правильным ядром. В самом деле, проинтегрируем обе части
этого уравнения по х от нуля до х, получим
х
^(a)da. A2)
Положим х — а = Reix, —а = Roeix°, при этих обозначениях
будем иметь
ас
Возьмем двойной интеграл, входящий в уравнение A2), и
преобразуем кривую С в отрезок [—Z, I] оси абсцисс. В результате
этого преобразования получим для рассматриваемого интеграла
следующее выражение:
^
Принимая во внимание величины углов %о и % для различных
взаимных положений точек о? и а, находим, что этот интеграл
имеет следующее значение:
I X
\ / (a) In da + ni\ f (a) da.
—i о
222 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА б БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда уравнение A2) перепишется так:
х I
(a) da + — \ / (a) In ——— da. A3)
—i
Это уравнение может быть решено методом Фредгольма.
Отметим теперь одно существенное обстоятельство. Формула
A0) показывает, что функция V (х) будет иметь снова вид A1),
если даже вместо данной функции v (х) = —ао взять функцию
vi (х) = v (х) + К cos vx + L sin vx;
коэффициенты К и L произвольны. Благодаря этому необходимо
установить те добавочные условия, которые следует присоеди-
присоединить к основному уравнению (9) при его решении, чтобы получить
решение задачи, т. е. функцию / (х), отвечающее взятой именно
функции v (х).
Возьмем уравнение B) и сопряженное ему уравнение, выпи-
выпишем эти уравнения для z = x, используя интегрирование по ли-
линии С; будем иметь
dz л j а — х
с
dw . -_ 1 Г / (а) da
dz ~~ я \ а — х
Вычтем одну формулу из другой и запишем, что вертикальная
компонента скорости на пластинке есть vx (x). Найдем
v (х) + / (я) + —v [w (х) + w (х) ] = —К cos vx —L sin vx. A4)
Возьмем затем два следующих уравнения для z = х:
]
с
f(a)da
dz2- "+" lV dz ~~ я ] (a —
с
с
Вычтем одно уравнение из другого, получим
dv • f (я) _ ш (ж, 0) = v (К sin vx — L cos vx).
dx
Из этой формулы и формулы A4) вытекает, что двучлен К cos vx +
+ L sin vx будет тождественно равен нулю, если будут соблю-
§ 50. ЗАДАЧА. О ПЛАВАЮЩЕЙ ПЛАСТИНКЕ 223
даться следующие два условия:
v@) + f@) + ±v[w@) + w@)\ = 0,
A5)
z/ @) + /' @) - vu @, 0) = 0.
При этих условиях и нужно решать уравнения (9) или A3).
Функция w (z), найденная затем по формуле C), после реше-
решения уравнений (9) и A5) будет содержать константу В. .
Одновременно с уравнением (9) следует рассмотреть такое же
уравнение, но с другой функцией V (х), отвечающей неподвиж-
неподвижной пластинке. Новая функция w (z) будет содержать новую не-
неопределенную константу By
Надлежащим подбором констант В и J51? определяющих амп-
амплитуды свободных волн, возможно составить решение задачи об
отражении волны данной амплитуды от плавающей пластинки;
вместе с тем может быть определена и амплитуда волны, ушедшей
за пластинку.
Решение уравнения (9) может быть получено с помощью три-
тригонометрических рядов, как для уравнения теории глиссиро-
глиссирования.
Задача о набегании прогрессивной волны на неподвижную
пластинку бьша рассмотрена Рубином с помощью методов вари-
вариационного исчисления [178]. В основу своих рассмотрений Рубин
кладет две сопряженные гармонические функции Ф (х, у) и? (х, у),
представляющие собой действительную и мнимую части функции
комплексного переменного:
_ ^L + ivw = ф + 1ЧГ. A6)
На отрезке [—I, I] оси абсцисс функции Ф и ? удовлетворяют ус-
условиям
^ + ^ = 0, -^-,-?-0. A7)
на лучах (—оо, —Z), (I, оо) эти функции удовлетворяют условиям
^- = 0, т = 0. A8)
Первые из этих условий, относящиеся к функции Ф (х, у), указы-
указывают на интересный факт, что эта функция есть потенциал ско-
скоростей волнового движения жидкости, апериодически затухаю-
затухающего при наличии открытой поверхности лишь на участке
[—1,1] оси абсцисс.
По ряду причин не представляется возможным определить
начальный потенциал ф (х, у) как функцию, дающую минимум
некоторому функционалу, а приходится определять гармониче-
гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям A7) и A8).
224 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Рассмотрим функционал
I
м С Г 17 dS \2 , / dS \21 , , , 1 Г Г &У (а?, 0) 12 ,
* = \ ИЫ + Ы НУ + ~ i L—Ш—\ dx-
V<0 —I
Первая вариация этого функционала имеет вид
х, 0)
Вариация ^ (х, г/) функции 5 обращается в нуль для ) х \ ^> Z,
у = 0, а в остальном есть произвольная непрерывная функция
своих аргументов. Приравнивая вариацию 8Cf нулю, получаем
уравнение Лапласа и граничное условие для функции S. Таким
образом, функция S, дающая стационарное значение интегралу С/,
удовлетворяет второму условию A7). Такую функцию S=W
получаем затем, минуя дифференциальные уравнения и ус-
условия, как предел некоторой последовательности функций, ми-
минимизирующих интеграл J. По найденной функции Ф (х, у) поток
строится по формуле A6). Таким путем доказывается существо-
существование решения задачи о волнах, набегающих на неподвижную
пластинку.
Спаренберг показал, что функция Ф (х, у), удовлетворяющая
условиям A7), A8), может быть найдена без применения сообра-
соображений функционального анализа в результате решения некото-
некоторой краевой задачи Гильберта [182].
Функция дФ/ду есть мнимая часть функции комплексного пе-
переменного
п , ч d2w . dw
Эта функция, первоначально определенная в нижней полуплос-
полуплоскости, может быть, в силу условия A8), аналитически продолжена
через отрезки оси абсцисс (— оо, —I), (Z, оо) в верхнюю полуплос-
полуплоскость. Функция G (z) будет тогда аналитической^функцией во
всей плоскости, разрезанной вдоль отрезка [—I, I] оси абсцисс.
Условие A7) и свойство функции G (z), выражаемое равенством
G (z) = GW,
показывают тогда, что значения функции G (z) на верхней сто-
стороне разреза G+ (x) и на нижней стороне разреза G~ (x) будут
связаны между собой следующей зависимостью:
- (Г (х) = 2^Ф (х, 0).
§ 51. КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНКИ НА КОРОТКИХ ВОЛНАХ 225
Функция G (z), решающая эту задачу Гильберта, будет опреде-
определяться, при выполнении некоторых условий ограниченности в бес-
бесконечности, следующей формулой:
ф B0>
—I
где а, р, С — произвольные постоянные.
Устремим в этом равенстве точку z к какой-нибудь точке х
нижней стороны разреза; принимая в расчет связь между функ-
функциями G (z) и Ф (х, у), получаем следующее интегральное урав-
уравнение для определения функции Ф (х, 0):
i
-у Г»
B1)
Решив это уравнение, находим по формуле B0) функцию G (z)
во всей плоскости, а затем с помощью формулы A9) получаем
функцию w (z).
§ 51. Колебания пластинки на коротких волнах
Интегральные уравнения, установленные в предыдущем пара-
параграфе, дают возможность найти решения различных задач, свя-
связанных с колебаниями пластинки, если частота колебаний не-
небольшая. С достаточной простотой может быть найдено, напри-
например, движение пластинки, вызванное набегающей волной большой
длины.
Но полученные интегральные уравнения трудно использовать
для решения весьма интересной задачи о колебаниях пластинки,
порожденных волной большой частоты. Совершенно так же эти
уравнения затруднительно приложить для решения задачи о тех
волнах, которые образовываются при колебаниях пластинки с
большой частотой. Причиной этих затруднений является необхо-
необходимость удовлетворять добавочным условиям A5) § 50.
Эрселл предложил метод для решения волновых задач, свя-
связанных с колебаниями большой частоты. Этот метод, особенно
полно изложенный им для исследования распространения ультра-
ультразвука, возникшего от источника колебаний в присутствии пло-
плоского контура, основан на использовании формулы Грина
[( dG г d*v \ н — о A)
] у dn dn ) ~~ ^ '
В этой формуле функция Грина G обладает соответствующей осо-
особенностью, но не имеет, как обычно, нулевую нормальную произ-
8 Л. Н. Сретенский
226 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
водную на контуре, а имеет нулевую нормальную производную
на эллипсе, обладающем касанием третьего порядка в текущей
точке контура. Благодаря этому формула A) приводит к интег-
интегральному уравнению, ядро которого имеет малые значения в
точках контура и стремится к нулю при неограниченном возрас-
возрастании частоты колебаний. В силу этого полученное интегральное
уравнение возможно решать с помощью итерированных ядер,
приводящих, при большой частоте колебаний, к сходящимся
рядам.
Изобретенный им метод Эрселл приложил к решению акусти-
акустических задач и к решению задач о колебаниях с большой частотой
полупогруженного круглого цилиндра и о прохождении коротких
волн над погруженным цилиндром.
Метод Эрселла был приложен затем Хольфордом к решению
задачи о волнах, отходящих от плавающей пластинки в обе сто-
стороны от нее, когда пластинка совершает вертикальные и угловые
колебания с большой частотой. Вместе с тем была решена задача
о коэффициентах прохождения и отражения коротких волн от
плавающей пластинки.
Решение этих задач, предложенное Хольфордом, было значи-
значительно упрощено Леппингтоном.
Полное и точное изложение метода Эрселла и тех его прило-
приложений, которые были сделаны дальнейшими авторами к задачам
гидродинамики, требует исключительно много места, поэтому мы
ограничиваемся лишь библиографическими указаниями [130],
[140], [141], [194], [196], [198].
§ 52. Волны на поверхности канала
с очень пологим дном
Вернемся к рассмотренной выше задаче о волнах, возникаю-
возникающих на поверхности канала, дно которого составляет с горизон-
горизонтом угол а, равный целой части от 90°:
к
a
Для изучения волн, распространяющихся по мелководью, наи-
наибольший интерес представляют весьма малые значения углов а.
Для таких углов число q будет значительным и формулы, опреде-
определяющие вид свободной поверхности, будут представляться сумма-
суммами большого числа членов, что во многих отношениях неудобно
для анализа. Отсюда возникает задача о получении асимптотиче-
асимптотических формул, удобных для определения вида поверхности жид-
жидкости при больших значениях числа q.
Изложим способ получения таких формул, не останавливаясь,
однако, на всех деталях вычислений.
§ 52. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ КАНАЛА С ПОЛОГИМ ДНОМ 227
Представим искомую характеристическую функцию течения в
виде |интеграла метода Лапласа:
A)
Определение функции g (?) приводится к решению функциональ-
функционального уравнения E) § 49 относительно функции h (?). Найдя функ-
функцию h (?), мы находим функцию g (?) по формуле D) § 49. Мы ог-
ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда произвольная
однозначная функция g0 (?) аргумента ?™/а берется равной пос-
постоянному числу а. При таком выборе функции g0 (Q возможно
найти два разных пути интегрирования: Т± и Г2, из которых пер-
первый определяет возвышение поверхности жидкости, конечное
около начала координат, а второй путь Г2 приводит к поверхности
жидкости с логарифмической особенностью в начале координат.
В рассматриваемом случае функция h (?), удовлетворяющая
уравнению E) § 49, может быть выражена через функцию Л (?),
введенную в § 43:
Л @ = (? + *v) (С + ivH) . . . (g
В этом можно убедиться простыми вычислениями.
Таким образом, функция w (z) может быть* представлена так:
Если угол а мал, а следовательно, число q значительно, то произ-
произведение Л (?) будет содержать большое число множителей; наша
задача заключается в том, чтобы найти асимптотическую формулу
для произведения, состоящего из большого числа множителей.
Прежде всего введем вместо функции Л (?) новую функцию
Ц (?), полагая
S& =— ^ Q (к = 0, 1, 2, . . ., g — 1).
Найдем логарифм функции J (?), будем иметь
8*
228 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Применим к вычислению правой части этого равенства формулу
суммирования Эйлера — Маклорена [3']. Согласно этой формуле
имеем
или
О
Составим теперь формулу B); вводя обозначение
будем иметь
Отметим, что таких функций w (z) будем иметь две в согласии с
выбором пути интегрирования Г. Для входящего в эту формулу
определенного интеграла можно установить асимптотическую фор-
формулу для малых значений а в предположении, что произведение
avx имеет некоторое заданное значение. Асимптотическая формула
для интеграла C) получается методом седловой точки, если найти
на плоскости комплексного переменного ? те точки, для которых
производная
обращается в нуль. Таких точек будет по одной для каждого из
двух путей интегрирования Г.
Выполняя подсчеты первых членов асимптотических разло-
разложений, получаем два выражения функции w (x):
m>i,2(s) = —A + Я,) у ае 4
где
у
/ (Я) = Я + A - Я2) arcth Я,
х
= arcth Я + \ arcth x— ,
f 53. ВОЛНЫ В ПРИСУТСТВИИ НАКЛОННОГО БАРЬЕРА 229
параметр Я определяется через avx из уравнения
avx = % arcth X.
Для малых значений ava; > 0 имеем из D) следующие асимптоти-
асимптотические формулы:
w
(x) = 2/я ay^cos[2 |/"Ж_-1-Я] .
Для больших значений av# имеем на основании формулы D)
и\ (ж) = — 2 |/jta ae~ П^~+ "Т" +lv3CJ,
w2 (х) = 2
С помощью этих формул можно представить, в удаленных частях
бассейна, прогрессивные волны, идущие из бесконечности на бе-
берег, в следующем виде:
Y] = Я. д ]/nacos( vx + сг^ + -^
§ 53. Распространение волн в присутствии
наклонного барьера
Метод решения задач теории волн, основанный на составлении
и интегрировании линейных дифференциальных уравнений, мо-
может быть применен к определению тех изменений, которые вно-
вносятся в распространение простых синусоидальных прогрессивных
волн препятствием в виде прямоли-
прямолинейного барьера, идущего от поверх-
поверхности жидкости до некоторой глу-
глубины, с данным углом наклона к
горизонту (рис. 14).
Решение такой задачи может
быть получено соответствующим из-
изменением соображений, изложенных Рис- 14-
в § 41, если угол а наклона барьера
к горизонту равен целой части от 90°, положим а = л I Bg).
Вдоль открытой поверхности жидкости, которой отвечают дей-
действительные значения z, имеет место условие
= 0. A)
С обеих сторон прямолинейного барьера должно выполняться
230 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
условие обтекания этого барьера
/ . dw \ г\ /с)\
\ dz j ' '
Это условие имеет место для следующих значений z:
z = ге'л\ 0 < г < а,
а — длина омываемой части барьера.
Возьмем р — 1 каких-нибудь действительных чисел av а2, ...
. . ., ар_х и составим следующую сумму:
Wx (z) = \ ak —^ \—т- + ivw].
В силу условия A) функция W± (z) принимает действительные
значения вдоль свободной поверхности жидкости z = х.
Возьмем затем р каких-нибудь других действительных чисел
c±j с2, . . ., ср и составим сумму
р.
dzK
Из условия B), путем его дифференцирования вдоль барьера,
следует, что функция W2 (z) принимает действительные значения
в точках обеих сторон барьера.
Заметив это, поставим задачу так определить действительные
числа
C)
чтобы имело место тождество
V
dw
для всех значений комплексного переменного z и при любой
функции w (z).
Сравнение коэффициентов при производных различных поряд-
порядков в этом тождестве приводит к следующей системе уравнений
для определения действительных чисел C):
e-2ai = iva2 + a4,
a2, E)
+ a
§ 53. ВОЛНЫ В1Ш>ЙСУТСТЁЙИ НАКЛОННОГО БАРЬЕРА 231
Рассмотрение этой системы уравнений показывает, что для
угла а = я / Bд) все неизвестные
равны нулю, и система E) принимает следующий вид:
cqe-^1 = ivaq,
aq+li F)
Оставляя пока в стороне последнее уравнение, находим из всех
остальных следующие рекуррентные соотношения:
(/«1,2,..., p-g-1).
Система F) может быть удовлетворена при р = 2q и c2q= — #2g-i*
Установленные рекуррентные формулы дают для aq+j следую-
следующее выражение:
aq+j = —f-ctg/a ctg (/— l)a. ..ctga (/= 1, 2,. .., q — 1); G)
число aq остается произвольным. Аналогичная формула может
быть написана и для cq+j.
Таким путем могут быть составлены выражения тождествен-
тождественных друг другу функций Wx (z) и Ж> (z):
Wt (z) = W2 (z) =^а*-^г{-^-+ Ц • (8)
Подчеркнем, что по самому своему построению функция Wx (z)
принимает действительные значения на действительной оси пло-
плоскости комплексного переменного z и на двух сторонах барьера:
z = ге-°-\
Таким образом, определение функции w (z) приведено к оп-
определению такой функции Wx (z) комплексного переменного, ко-
которая обладала бы свойством, указанным в предыдущем абзаце.
Чтобы найти функцию Wx (z), отобразим конформно нижнюю полу-
полуплоскость переменного z, имеющую разрез BCD вдоль барьера,
232
ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
на нижнюю полуплоскость вспомогательного комплексного пере-
переменного ?. Такое отображение устанавливается формулой Швар-
Шварца — Кристоффеля и имеет вид
(9)
где К — действительное положительное число:
1
а I 1 + s \ m
к _
1 — S
Многозначные функции (? — i)n и (? + IJ7 принимают действи-
действительные положительные значения для действительных значений
?, больших чем 1 и —1 соответственно.
02}
в
дел
е
у//////////////в^
Рис.
Ш
щ
15.
у//////////////
W ®
Рис. 16.
На рис. 15 и рис. 16 показано соответствие точек плоскостей
комплексных переменных z и ?.
Условимся обозначать через F (^) результат преобразования
функции W1 (z) к переменному ?•
Функция И^! (z) принимала действительные значения на дей-
действительной оси и в точках барьера. Проведем в верхней полу-
полуплоскости переменного z отрезок прямой, симметричный барьеру
относительно действительной оси. Из точки пересечения барьера и
действительной оси опишем, как из центра, окружность Г радиу-
радиуса а. Функция Wx (z) имеет действительные значения на действи-
действительной оси; следовательно, эта функция, первоначально рассмат-
рассматриваемая в нижней полуплоскости, может быть аналитически
продолжена через действительную ось в верхнюю полуплоскость.
Таким образом, функция W1 (z) будет определена на всей плоско-
плоскости комплексного переменного z. Потребуем, чтобы эта функция
была голоморфной вне окружности Г. Это есть дополнительное ус-
условие.
При введении комплексного переменного ? мы будем иметь
тогда функцию W± (z (С)) = F (Q, голоморфную во всей плоско-
§ 54. ВОЛНЫ, НАБЕГАЮЩИЕ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 233
сти переменного ?, снабженной разрезом от точки ? = —1 до
точки ? = 1. На всей действительной оси 'функция F (?) имеет
действительные значения.
Для дальнейшего исследования задачи целесообразно ввести
вместо переменного ? новое переменное X по формуле
е_'/х + 4-
с
Рис. 17.
A0)
Этим новым конформным преобразованием плоскость ?, имеющая
разрез (—1,1), преобразуется во внешнюю часть окружности | X | =
= 1; при этом самой окружно-
окружности будет отвечать на плоско-
плоскости ? разрез (—1, 1) (рис. 17).
В согласии с предыдущим F (?),
как функция переменного X,
будет голомофной вне окруж-
окружности | X | — 1, и мнимая часть
этой функции будет равна нулю
на окружности ] X | = 1, а рав-
равно и на действительной оси пе-
переменного X вне окружности.
Если предположить, что
функция Wx не имеет никаких
особенностей на окружности | X \ = 1, то эта функция, имея мнимую
часть, равную нулю на окружности, будет тождественно равна
нулю для всех значений X. Но мы можем наделить функцию Wx
особенностями на окружности | А, | = 1, чтобы получить более
полное решение задачи.
§ 54. Волны, набегающие на вертикальный барьер
При изучении вопроса об отражении прогрессивных волн от
наклонного дна мы допускали наличие особой точки у функции
Wx (z) в точке пересечения дна бассейна со свободным уровнем
жидкости. При изучении задачи о волнах, преграждаемых в
своем движении барьером, мы также вводим на границы потока
особые точки. Таких точек в нижней полуплоскости переменного
z будем брать три. Одна особая точка будет на краю барьера при
2 = ае~аг\ две другие точки будут помещены на свободной по-
поверхности жидкости в местах ее пересечения с двумя сторонами
барьера *).
Таким образом, мы должны, взяв функцию И^ с особенностями
на границах потока, найти такой интеграл дифференциального
*) Здесь на полях оригинала имеется замечание автора: «См. работу [193]».
234 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
уравнения
2п—1
к=п
который удовлетворял бы первоначальным граничным условиям
A) и B) § 53. Определение такого интеграла требует' длинных
вычислений, и мы ограничимся лишь рассмотрением самого про-
простого случая *), когда барьер расположен вертикально, и, следо-
следовательно, число q = 1. Для этого частного случая уравнение A)
принимает вид
d2w . dw _ тяг / ч /о\
Составим сначала выражение функции Wx (z) в переменном X.
Мы можем наделить функцию Wx (z) любыми особенностями
на окружности | X | = 1, но так, чтобы мнимая часть этой функции
была равна нулю на этой окружности, а также и на действитель-
действительной оси переменного X вне окружности.
Выберем функцию Wx (z) так, чтобы она имела в точке X = 1
полюс первого порядка, совмещенный с полюсом второго поряд-
порядка. Положим
Pl
-4-
, —1 ^ (к — IJ'
числа рг и р2 должны быть действительными. Из требования
Im W1 = 0 на окружности | X \ — 1 получаем рх — р2; примем
Pi — Ръ — 1- Следовательно,
ТТТ А/
УУ 1 - (Я, — 1J *
Возвращаясь к основному переменному z, получаем по формулам
(9) и A0) § 53
W, (z) = JL [у в« + z2 - (z - а)] + -^ ЦЛ*2 + z2- (z - а)\\ C)
Предположим теперь, что на окружности | X \ = 1 в точке X = —1
находятся полюсы первого и второго порядка. Положим
числа qx и q2 имеют действительные значения.
Условие lmW1 = 0 на окружности | X | = 1 показывает, что
Qi = — Ч%\ положим дх = — д2 = 1. Следовательно,
*) Общий случай разобран в статье [99].
§ 54. ВОЛНЫ, НАБЕГАЮЩИЕ НА ВЕРТИКАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 235
ИЛИ
- (z + а)] -
Допустим теперь, что функция Wx имеет в точках 1= i и
X — —i полюсы первого порядка. Примем
W, = Гх 4- Г2
Так как функция Wx должна иметь на действительной оси пере-
переменного X действительные значения, то коэффициенты гг и г2 долж-
должны быть комплексно сопряженными числами:
Гг = Pl + ф2, Г2 = Pi — ф2-
Вычисления показывают, что Im Wx будет равна нулю на окруж-
окружности | X | = 1 лишь при условии р2 — 0. Примем рх = 1, тогда
будем иметь
^ 1 - X2 + 1 '
или
W1(z) = v^==. E)
|/ 2 + z2
Рассмотрим, наконец, более сложный случай. Допустим, что
в точках X = i и А* = —i находятся полюсы второго порядка;
тогда
W | 6
Условие Im Wx = 0 для Я действительных соблюдено. Рас-
Рассмотрим условие Im Wx = 0 для | Я | = 1. На окружности | X \ ¦-¦=
— 1 комплексное число X может быть представлено так:
X = i + 2 sin 9 e-9i. G)
Отсюда будем иметь
( ) (8)
Правая часть этого равенства ни при каких sx и s2 не будет нулем
при всяком угле 0. Следовательно, функция F) не может служить
правой частью уравнения B).
Имея в виду это обстоятельство, добавим к функции F) новую
функцию с полюсами третьего порядка в точках X -= i и X = — U
г О3
23E ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
При действительных коэффициентах t1 и t2 эта функция удовлет-
удовлетворяет для действительных X необходимому условию: Im Wx = 0.
На окружности | X \ = 1 имеем
3 tx
Используя эту формулу и формулу (8), получаем для мнимой
части суммы функций F) и (9) такое выражение:
\т Г *i+i*2 i *i — i*2 i h + lt2 , ti — ih 1 __
L(b-О2 ^ (X + if "*" (h-iK "*" (X+W J"
*i cos22e
Это выражение будет обращаться в нуль при любых углах Э,
если коэффициентам sx, s2, tx и t2 придать следующие значения:
3
5i = 0, 52 = ^ ^' h = 0.
Коэффициент ^ остается произвольным, и ему удобно приписать
значение 1. Таким образом, функция
j3_ . 1 з_. 1 1 1 1 _
2 l (k + i)* ~~~Tl (k-if + (k+iK + (X-if ]"
3 [ }
принимает действительные значения на окружности | X \ = 1 и на
действительной оси комплексного переменного к.
В зависимости от начального комплексного переменного z
эта функция запишется так:
Ограничиваясь лишь взятыми особенностями, мы должны, та-
таким образом, определить интегралы следующих дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
, • dw 1 j.|/ 2 | 2 / \1 |_ ri/ 2 ^ 2 / М2
A2)
d2w . . dw a
dhv . . dw __ a3
IF" + lv ~dT - « +
§ 55. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИИ w(z) 237
Эти интегралы должны удовлетворять двум условиям A) и B)
С СО,
Первое из этих условий должно иметь место для всех действи-
действительных значений z, второе — для чисто мнимых значений z от
—ai до 0.
§ 55. Решение дифференциальных уравнений
для характеристической функции (
Всякая линейная комбинация с произвольными постоянными
действительными коэффициентами, составленная из интегралов
системы уравнений A2) — A5) § 54, может быть взята в качестве
функции Wx (z) в дифференциальном уравнении B) § 54. Заме-
Заметив это, упростим систему уравнений A2) — A5) § 54.
Обозначим через
Siiz), S2(z), S,(z), SA(z)
правые части последовательно уравнений A2) — A5) § 54.
Не представляет труда проверить следующие равенства:
Si -j- 02 — 03 —
Получив эти равенства, мы можем заменить систему уравнений
A2) — A5) § 54 следующей системой, более удобной для исследо-
исследования:
d2w , . dw _ a2 ,.
~d^ + lV~dF^ la"» \Ч
d^w , . dw a3 .^.
IP" + lV~dT = zzy^7iT ' W
d^w , . dw а /Оч
Ч? + ™-Ш-- C)
dhv . dw
Возьмем уравнение A). Общий его интеграл при отбрасывании
несущественной константы интегрирования запишется так:
w = Ce~"z — aVivz ^ -^—d?. E)
3
238 ГЛ. 1. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда имеем
— ОО
и, следовательно,
dw . . а2
dz ' z
Последняя из этих формул показывает, что функция w (z) удов-
удовлетворяет первому из граничных условий A6) § 54. Нам остается,
следовательно, рассмотреть лишь второе из условий A6) § 54.
Найдем величину определенного интеграла, входящего в фор-
формулу F), для чисто мнимого значения z = iy, у < 0. В качестве
нижнего предела интегрирования можно взять точку ? = — оо -\-
+ iy, поэтому
4 Г4
.— oo-j-%
Отделяя здесь мнимую часть от действительной, получаем
54
р о
5 cos vl+y sin v? Л? Г \ sin vg — у cos v?
Ho
OO
следовательно,
\ ~^~ dl = - Ш + e~*v \
Обратимся теперь к формуле F) и найдем значение ее правой час-
части для z = iy. Получим
dw_\ = аЧ + ^ ^ + ш^ __ь^_ да^у/у)] evv? (8)
где J — интеграл правой части формулы G), а С± и С2 — дейст-
действительная и мнимая части постоянной интегрирования С.
Получив формулу (8), мы видим, что второе из условий A6)
§ 54 будет выполняться, если принять, что С2 = —яа2. Число
d остается произвольным, и его можно заменить нулем.
§ 55. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИИ w(z) 239
Таким образом, формула
w (z) = — nicPr*** — а2е~г* \ -^— d? (9)
дает характеристическую функцию одного из видов течения, омы-
омывающего погруженный вертикальный барьер.
Найдем теперь интеграл уравнения B), удовлетворяющий гра-
граничным условиям A6) § 54. Общий интеграл этого уравнения за-
запишется так:
„ф^Сх + ОН*-— ( . А +
откуда
+ ivw = ivd + а
Чтобы вывести из этих формул и из дальнейших формул верные
следствия, надо точно условиться о выборе ветви многозначной
функции j/^a2 + z2. Плоскость комплексного переменного z раз-
разрезается вдоль отрезка прямой линии [—ai, ail, и на положитель-
положительной части действительной оси берутся действительные положитель-
положительные значения корня у а2 + х2; на отрицательной части дейст-
действительной оси значения рассматриваемой функции будут равны
— у а2 + х2. На левой стороне разреза [—ai, ai], где z = iy, зна-
значения функции ]/а2 + z2 будут равны — \/~а2 — у2; в точках
же правой стороны разреза будем иметь |Лх2 + z2 = ]fa2 — у2.
Приняв все это во внимание, вернемся к формулам A1) и A2).
В точках левой стороны разреза [—ai, ai] формула A1) запишется
гак;
на правой же стороне — так:
V
240 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
и, следовательно, второе условие A6) § 54 будет соблюдаться,
если С взято действительным.
Возьмем затем формулу A2). Беря квадратуру, придаем этой
формуле такой вид:
ivw = ivCi -
Для действительных значений z это выражение будет действитель-
действительным, если С± взято равным нулю. При таком выборе Сх первое
условие A6) § 54 будет удовлетворяться. Таким образом, формула
A0) запишется так:
w v z ' v J
—аг
v z ' v J /п У а2 +
и определит второй вид течения около погруженного барьера.
Заметим, что в этой формуле, как и в дальнейших формулах, не
пишется слагаемое Ce~ivz, определяющее обычные стоячие волны
на поверхности безграничной жидкости и учитываемое в конце
этого параграфа.
Возьмем теперь дифференциальное уравнение C). Общий ин-
интеграл этого уравнения при устранении из него несущественных
слагаемых, содержащих две постоянные интегрирования, запи-
запишется так:
z z
i\ аЧ ? dt, . аЧ .С ег< dt /л/,
W (z) = \ ~т -\ e~"z \ 2_- A4)
} V Ьа2+?2K'2 V ] («2 + ?2) 2
откуда имеем
A5)
z
— u ivw; = a3\ b ,. . A6)
Отметим, что в формулах A4) — A6) интегрирование ведется от
точки ? = 0, лежащей на левой стороне разреза [—ai, ai].
Для чисто мнимых значений z производная dw/dz имеет чисто
мнимые значения. Выражение A6) имеет действительные значения
при действительных z. Таким образом, функция
w(z) = —
v ^ fl& —j— 2" v
О
будет давать третий вид течения около вертикального барьера.
§ 56. ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 241
Рассмотрим, наконец, уравнение D). Общий интеграл этого
уравнения записывается так:
W v Ja. Va? + t? v Jai V^ + P
отсюда имеем такие формулы:
У г/.а? + ?2
г
A8)
—аг
dw
—;
dz
Если число С взять действительным, то, как это следует из пер-
первой формулы A8), условие вдоль барьера будет удовлетворяться.
Для действительных значений х имеем из формул A8)
dw
и
= ivC±a [
f a2 _|_ Г2
иг ' ~ ' э d r ^ Ь
Верхние знаки берутся для х ^> 0, нижние — для х < 0. Эта
формула показывает, что невозможно найти такое комплексное
число С, чтобы для всех значений х, как положительных, так и
отрицательных, соблюдалось первое из условий A6) § 54. Таким
образом, уравнение D) не дает решения поставленной задачи.
Функция Wx B), входящая в общее уравнение B) § 54, может
быть взята тождественно равной нулю, и тогда решение этого
уравнения будет
w(z) = e~bz. A9)
Этой функцией удовлетворяются оба условия A6) § 54. Следова-
Следовательно, функция A9) — простейшая среди найденных в этом па-
параграфе характеристических функций — определяет течение око-
около вертикального барьера. На краю барьера скорость частиц жид-
жидкости конечна.
§ 56. Исследование вида волн при наличии
вертикального барьера
Полученные в предыдущем параграфе четыре различных
функции w (z) дают возможность найти четыре периодических вол-
волновых движения жидкости в присутствии вертикального барьера.
Отметим здесь, что исследуемое решение задачи не обладает той
степенью общности, какая была присуща решению задачи о вол-
волнах в бассейне с равномерно опускающимся дном. Действительно,
242 гл. i. плоская задача о бесконечно малых волнах
в качестве функции Wx (z) мы взяли лишь простейшие функции,
удовлетворяющие условиям, накладываемым на эти функции.
Функции W\ (z) общего вида мы не вводили в рассмотрение.
Потенциал скоростей движений жидкости, отвечающий взя-
взятым функциям w (z), имеет вид
Ф (х, у; t) = cos (at + е) Re w (z), A)
и уравнение поверхности жидкости записывается так:
т| (x,t) = - 4"sin (а* + 8) fRe w (z)b=«- B)
о
Рассмотрим последовательно движения, определяемые функ-
функциями (9), A3), A7), A9) § 55.
Формулу E) § 55, приводящую к формуле (9) § 55, легко отож-
отождествить с формулами начала § 46, определяющими колебание
жидкости около отвесной стенки, идущей на бесконечную глуби-
глубину. Для этого надо положить т = 0, t = —&v?, принять в
расчет, что
U (г) = е-** \ -?j- d?, L10 (z) = U (z)
и, наконец, заменить С через —яа2?.
Заимствуя вычисления § 46, мы можем записать уравнение по-
поверхности жидкости в следующем виде:
Jta2s f
о
При стремлении | х \ к нулю ординаты поверхности жидкости не-
неограниченно возрастают согласно уравнению
r,= -^-ln|vz|. C)
Это приближенное уравнение получается из точного уравнения E)
§ 46 с помощью приближенных формул для функций Ci (vx) и
Si (v#) при малых значениях | х |:
о
Здесь у — постоянная Эйлера — Маскерони.
§ 56. ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 243
При больших значениях | х | имеем для ц такую приближен-
приближенную формулу:
sin v I ж I sin (at + e). D)
о
Таким образом, вдалеке от начала координат поверхность жидкос-
жидкости покрыта обычными стоячими волнами длины X = 2n/v = 2ng/oz.
Отметим, что на краю барьера скорость частиц жидкости, разу-
разумеется, конечна.
Обратимся к течению, определяемому формулой A3) § 55. Из
этой формулы и формулы B) следует, что поверхность жидкости
антисимметрична относительно погруженного барьера и при при-
приближении к барьеру ординаты поверхности неограниченно рас-
растут по абсолютной величине. На краю барьера, z = —ai, скорость
частиц жидкости равна нулю.
Чтобы оценить величину ординат поверхности жидкости около
начала координат, отметим сначала формулу, пригодную для ма-
малых значений | z |:
_ 1 / 1 .
s=+— i
2 ^ а \ z
ivlnz
ненаписанные слагаемые голоморфны около точки z = 0. Верх-
Верхний знак берется при соблюдении неравенства
нижний — при соблюдении неравенства
3 . ^ 1
2~ jt < arg z < 2" я.
Отсюда для малых | z \ имеем
Из этой формулы получаем уравнение поверхности жидкости око-
около начала координат *):
т] = + In | vx | sin (at + е). F)
о
Здесь указано лишь слагаемое, обращающееся в бесконечность
при х = 0.
*) Здесь надо принять во внимание распределение знаков функции
ла2 + z2 на обеих сторонах барьера.
244 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Определим для рассматриваемого течения вид волн на боль-
шом расстоянии от барьера. Для этого найдем действительную
часть функции w (z) для больших положительных значений z =
= х. Определенный интеграл, входящий в формулу A3) § 55, име-
имеет следующее предельное значение для больших значений х:
s =
. С2
Заменим здесь путь интегрирования от точки —ai и до оо новым
путем, идущим от точки —ai до точки ai (с обходом точки ? = О
маленькой полуокружностью) и продолжающимся вдоль мнимой
оси от точки ai до точки осн. Будем иметь
ai . , оо
~~ ) ?2 1/^2
—ai ~ ' ' " аг
Введем вместо ? новое переменное интегрирования ? по формуле
С = а??, получим для 5 новое выражение:
Положим
or» \
s _ , ¦ -, „ _ - . «-а5^
а = av.
PVT^F '
Дифференцируя функцию Si два раза по переменному а, получаем
(X)
Интеграл правой части этой формулы есть функция Бесселя Ко (а)
от мнимого аргумента; таким образом,
g = —^. *,(«). (8)
Отметим, что
dsA 1 Г
rfa /о я2 J
§ 56. ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 245
Эти формулы дают возможность, интегрируя уравнение (8), выра-
выразить s± через функцию Бесселя:
а
G помощью таких же вычислений можно выразить и s2 через функ-
функцию Бесселя, имеем
a
*$ (Ю)
Теперь мы можем, пользуясь формулами (9) и A0), записать вы-
выражение функции G) так:
а
S = -^ ? ~ яа — a?i(a) — a
о
а
^[J] A1)
Обозначим действительную часть величины S через Sx, а мнимую
часть — через 52:
5 = 5Х + iS2.
Вернемся теперь к формуле A3) § 55 и составим выражение ее
действительной части для больших значений х, получим
аз
Re w (х) = — [Sx sin vx — 52 cos v^c].
Отсюда находим уравнение поверхности жидкости, в удаленных
ее частях, в следующем виде:
ц = —— [+ S2 cos vx — S1 sin vx] sin (ot + e). A2)
Верхний знак отвечает положительным х, а нижний знак — от-
отрицательным значениям х.
Рассмотрим затем течение, определяемое формулой A7) § 55.
Отметим прежде всего, что возвышение поверхности жидкости
антисимметрично относительно начала координат и равно нулю
с обеих сторон барьера. Край барьера обтекается жидкостью
с образованием бесконечной скорости в точке z = —ai, это выте-
вытекает из формулы A5) § 55.
Найдем вид поверхности жидкости вдалеке от барьера. Для
действительных положительных больших значений х можно
246 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
принять, что
Re w (х) = ^— {S$ sin vx — 54 cos vx),
где *)
jf coscScg St = ±[ S]UaUl . A3)
Отсюда
yj = _2— (-j- ?4 cos vx — 53 sin v;r) sin {at + г); A4)
верхний знак берется для положительных х, нижний — для от-
отрицательных х.
Возьмем, наконец, течение, даваемое формулой A9) § 55. По-
Поверхность жидкости имеет в этом случае следующее уравнение
для всех значений х:
ц= cos vx sin {at -j- e). A5)
о
Для функций Sx, 52, ?3, ?4 могут быть выведены простые прибли-
приближенные формулы в двух случаях: для больших и малых значе-
значений а.
Для больших значений а, т. е. для коротких волн, функция
Кг (а) может быть заменена через
а интеграл
a
\ Ко {a) da
о
может быть заменен его предельным значением
(X)
Г 1
\ Ко (a) da = -j-n.
о
Благодаря этим формулам будем иметь для Sx такое приближен-
приближенное выражение:
о
*) Интегралы ?3 и ?4 могут быть представлены через функции Бесселя.
Для S3 имеем следующее представление:
S3^=-^rK1 (a);
выражение менее простое можно найти и для SA.
§ 56. ВОЛНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 247
Отбрасывая в скобках последнее слагаемое, как величину, значи-
значительно меньшую первых двух слагаемых, получаем
5i-—5-. A6)
Применяя правило Лопиталя, можно найти, что при а, стремя-
стремящемся к бесконечности, отношение
/0 (а) da-—L=r-e-\:4 f=^
стремится к единице. Следовательно, интеграл
/0 (a) da
о
может быть заменен, при больших а, через
Для больших а функция 1г (а) может быть заменена такой функ-
функцией:
Изо всех этих формул следует простое выражение функции S2:
s2= — 4- /— •
я2 y2jta
Возьмем теперь две формулы A3) и составим из них объединен-
объединенную формулу:
1 С
~Г ^*^4 — —о" \
Выполняя интегрирование по частям, получаем
Интегральное слагаемое имеет по отношению к а порядок малос-
малости, превосходящий второй; следовательно, учитывая лишь первое
слагаемое в фигурных скобках, получаем
* + «
248 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда имеем
Ss = 0, S^~. A8)
Формула для S31 указанная в подстрочном примечании на стр. 246,
приводит к следующей формуле на основании асимптотического
разложения функции Кг (а):
Найдем теперь формулы для определения величин St, S2, Ss, 54
для малых значений а, т. е. для длинных волн.
Используя формулу A1), получаем для $1 и S2 следующие вы-
выражения:
Si=-4- + ---« 5,= --^-а»+... B0)
Рассмотрим затем функции 6*3 и ?4. Беря указанное выше выраже-
выражение функции ?3, находим
В формулах B0) и B1) не выписаны слагаемые, стремящиеся к
нулю вместе с а.
Приближенная формула для ?4 имеет следующий вид:
S, = -i-[a ~ Jta2 + 2a3- ^-шх4 + ...], B2)
и получается из точной формулы A3) путем ее дифференцирования
по а с последовательным устранением из подынтегральной функ-
функции членов разложения функции
1
(i + а3'2
по биному Ньютона.
§ 57. Отражение прогрессивных волн
от вертикального барьера
Предположим, что из положительной бесконечности распрост-
распространяется к вертикальному барьеру, погруженному на глубину
h от поверхности, прогрессивная волна данной длины К и ампли-
амплитуды 2А; требуется найти амплитуду отраженной волны и ампли-
амплитуду волны, ушедшей за барьер в отрицательную бесконечность.
Составим уравнение искомой поверхности жидкости в виде
линейной комбинации с постоянными действительными коэффи-
§ 57. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛИ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО ПАРЬЕРА 249
циентами
g 7
' ~~ a 4
правых частей уравнений волн частного вида, найденных в пре-
предыдущем параграфе.
Используя уравнения этих волн в области больших значений
| х |, имеем из формул A2), A4), D), A5) § 56 уравнение искомой
волны в следующем виде:
к) = Ьг lzhS2 cos vx — Sx sin vx] sin (ot + ex) +
+ b2 [+?4 cos vx — ?3 sin vx] sin (ot + ?2) zh
+й3 sin vx sin (ot -f- ?3) + fr4 cos v# sin (ot -f- e4)- A)
Фазы е, входящие в указанные формулы § 56, снабжены различны-
различными индексами, так как у каждой составляющей волны будет своя
фаза. Верхние знаки берутся для положительных х, нижние —
для отрицательных.
Выполняя простые тригонометрические преобразования, при-
приводим уравнение A) к следующему виду для больших значений \х\:
ц = ~y sin (vx + сг^)[+ hS2 cos гх + V>4 cos e2 + ^4 cos e4 —
— bxSx sin 8X — b2Ss sin e2 + ^з sin e3] +
+ -9- COS (V^ + a^)[+ W2 Sin 81 + ^2*^4 Sin 82 + Ь4 Sin 84 +
+ bxSx cos 81 -f b2S3 cos e2 + ^з cos 83] —
Y sin (vx — ot)[+ bxSz cos 8X + V>4 cos e2 + fo4 cos e4 +
+ b^i sin 8X + Ь2^з sin 82 + ^з sin 83] +
+ -9- cos (vx — Gt)[+ biS2 sin 8X + b2S4: sin e2 + b± sin e4 —
— hSi cos 8X — 62^3 cos e2 + b3 cos e3]. B)
Уравнение волны, идущей из положительной бесконечности
и набегающей на барьер, а именно уравнение падающей волны,
можно записать в следующем виде, не теряя притом общности:
ц = AVI sin (vx + at) + А /2 cos (vx + ot). C)
Отсюда следует, на основании уравнения B), что между коэффи-
коэффициентами Ь1? . . ., Ь4 и фазами ех, . . ., е4 должны существовать
следующие два соотношения:
b±S2 cos 8X + V>4 cos e2 -f- fr4 cos e4 — biiSi sin ex — b2S3 sin e2 +
+ fo3 sin 83-4/2, D)
^1^2 Sin 8X + ^4 Sin 82 + Ъ± sin 84 + ^1^1 COS 8i + &2^3 COS 82 —
— b3 cos 83 = А У 2. E)
250 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ЙОЛЙАХ
Потребуем затем, чтобы из отрицательной бесконечности не
распространялись волны в направлении к барьеру. Это условие
дает, на основании уравнения B), еще два соотношения:
—b±S2 cos ех — Ь2*54 cos е2 + fc4 cos е4 + bxS xsin 8X + b2S 3 sin 82+
sin83 = 0, F)
— bl^2 sin 8X — Ь2?4 Sin 82 + &4 Sm 84 — b^x COS 8X —
— Ь2?3 cos 82 — ^з cos 8з ^ 0- (?)
При соблюдении полученных четырех соотношений уравнение
отраженной волны запишется так:
Y] = 2~ 8*П (V:r — СТ^)[Ь^2 COS 8х + Ь2^4 COS 82 + &4 C0S 84 +
+ hSx sin 8i + b2Ss sin e2 — fr3 sin 83] +
+ -=- cos (w — а^)!^^ sin ei + &2*?4 sin e2 + b4 sin e4 —
— foiiSi COS 8X — fo2?3 COS 82 + Ьд COS 83]. (8)
Из уравнения (З) следует, что уравнение волны, прошедшей за
барьер в отрицательную бесконечность, будет
г) = — sin (vx + (rt)[— friS2 cos 8x — Ь254 cos e2 + fo4 cos e4 —
— bxSx sin ex — Ь2*?з sin e2 — b3 sin e3] +
+ -jr- cos (vx -f at)[— WS2 sin ei — V>4 sin e2 + fo4 sin e4 +
+ frl^l COS 8x + ^3 COS 82 + Ь3 COS 83]. (9)
Соотношения D) — G) можно преобразовать к следующему виду:
1 1
Ь4 cos е4 + h sin е3 = —^=- А, Ь4 sin е4 — Ъъ cos 83 = —=- А, A0)
У 2 У 2
^х??! sin 8Х — ^2^1 cos ех + ^з^2 sin 82 — S\Ь2 cos 82 = —А]/,
A1)
^х??! cos 8Х + #2^1 sin 8Х + #з^2 cos 82 + S\Ъ2 sin 82 = А]/~2.
Пользуясь соотношениями A0), можно исключить из уравне-
уравнений (8) и (9) отраженной и прошедшей волны величины Ь4 cos e4
и Ь4 sin е4. После исключения получим уравнения этих волн в
таком виде:
т] = 2A cos (v# — ot + х/4я) — sin (v# — ot)[S^x sin гг +
+ S3b2 sin e2 — b3 sin 83I — cos (vx — ot)[S1b1 cos e± +
+ $з&2 COS 82 — b3 COS 83J, A2)
Ц = COS (VX + O^lSx^ COS 8X+ S3b2 COS 82 + fo3 COS 83| —
— sin (vx + а^Гб'хЬх sin 8Х + S3b2 sin 82 + b3 sin 83I. A3)
§ 57. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 251
Таким образом, для определения отраженной и прошедшей вол-
волны необходимо знать шесть величин:
Ьг cos el7 b± sin 81, b2 cos e2, b2 sin e2, b3 cos e3, b3 sin e3. A4)
Но для определения этих величин мы имеем лишь два уравне-
уравнения A1). Следовательно, необходимо принять некоторые допол-
дополнительные условия, которые позволили бы найти все шесть неиз-
неизвестных A4).
Без соблюдения каких-либо добавочных условий поверхность
жидкости будет иметь с обеих сторон барьера бесконечные орди-
ординаты, а скорость частиц жидкости на ребре барьера будет равна
бесконечности. Эти заключения вытекают из формул C), F) § 56
и из формулы A5) § 55.
Для малых положительных х имеем
г\ = Г-^- b± sin (at + 8i) + — Ъъ sin (at + ё3)] In | vx |; A5)
для отрицательных х с малой абсолютной величиной имеем
ц = — [— Ьг sin (at + 8Х) — 4~ ьз sin (at + e3)l In | w |. A6)
l а я j
Наличие логарифмов в этих формулах, а равно и в формулах для
соответствующих функций w (z) указывает на присутствие источ-
источников и стоков жидкости в двух точках пересечения барьера с
открытой поверхностью жидкости.
Возьмем в качестве дополнительного условия задачи отсутст-
отсутствие бесконечного возвышения жидкости у левой стороны барьера.
Это условие приводит на основании формулы A6) к двум урав-
уравнениям:
— Ъг cos ех b3 cos е3 =0,
¦¦;¦¦¦ г («).
— bxsinei b3sin83=0.
Эти уравнения удовлетворяются, в частности, нулевыми значе-
значениями Ьх и 63, и в таком случае система уравнений A0) и A1) при-
приводит к следующему результату:
Ь4 sin
Уравнения A2) и A3) отраженной и прощедщей водны запишутся
252 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
так:
A \
vx — at + -т- л; J —
- Л /2 ^/3^2 [E8 + 54) cos (vx - а*) - E8 - 54) sin (vx - at)],
A8)
Л = А /2 - ^3 [E8 + 54) cos (vs + <rt) + E8 - 54) sin (vx + а*)].
3 + ^4
В этом частном случае Ь± и Ъ3 равны нулю; следовательно, ор-
ординаты поверхности жидкости имеют конечное значение не толь-
только у левой стороны барьера, но также и у правой его стороны.
Рассмотрев этот частный случай, обратимся к рассмотрению
общего случая.
Четыре уравнения A1), A7) надо дополнить еще двумя уравне-
уравнениями, чтобы получить возможность найти все шесть неизвест-
неизвестных A4). Такие два уравнения можно получить, налагая допол-
дополнительные требования на течение жидкости. Потребуем, напри-
например, чтобы отраженная волна отсутствовала в силу поглощения
части набегающей волны правой стороной барьера. При таком до-
допущении уравнение A2) дает два необходимых уравнения:
iSxfti sin г± + S3b2 sin е2 — b3 sin e3 = —А]/ 2,
i—
SJox cos г± + S3b2 cos e2 — b3 cos e3 = Ay 2.
Таким образом, для определения шести неизвестных A4) име-
имеем систему шести уравнений A1), A7), A9). Найдя из этой систе-
системы искомые неизвестные A4), можно составить по формулам пре-
предыдущего параграфа выражение характеристической функции те-
течения с теми особенностями распространяющихся волн, которые
и привели к системе уравнений A0), A1), A7) и A9).
Решение этой системы уравнений можно записать в таком со-
сокращенном виде:
{^ ) N,
б** = iStN, Ь4* = А A + I) S*N,
где N определяется формулой
[-^r E8 - iS,) + i (ЗД - 5253)] N = А /2 A - i).
Укажем в заключение уравнение волны, ушедшей за барьер:
т] = — 2А cos (vx + at — -|- л\ + 2&3 cos (vx + at + е3). B1)
§ 57. ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН ОТ ВЕРТИКАЛЬНОГО БАРЬЕРА 253
В конце § 56 были даны формулы для вычисления функций
Si? ?2, Ss, ?4 при больших значениях числа а = ao2/g. Приложим
эти формулы к определению отраженной и прошедшей волны для
двух рассмотренных случаев движения жидкости.
Рассмотрим сначала волны A8). Применяя формулы A8) и
A9) § 56, получаем для отраженной и прошедшей волпы следую-
следующие уравнения:
т] = 2А cos (vx —at + -г- Jtj — Аа У2ш е~* sin f vx — at -\--т-я),
г\ = Аа ]^2яа е~а cos (vx — at + -т- ^ ) •
Таким образом, при больших значениях а прошедшая волна име-
имеет незначительную амплитуду по отношению к амплитуде 2А на-
набегающей волны.
Из первого уравнения легко вывести значение коэффициента
отражения г:
г ==
Для больших значений а этот коэффициент близок к единице.
Рассмотрим теперь волну B1), уходящую за барьер. Найдем
по формулам B0) коэффициент bs и фазу е3, входящие в уравне-
уравнение B1). Для больших значений а имеем прежде всего
Отсюда третья из формул B0) дает
Следовательно, уравнение B1) волны, ушедшей за барьер, после
выполнения небольших вычислений будет записываться так:
ц = _ A cosivx -{-at т-л ).
Это значительное увеличение амплитуды прошедшей волны по
сравнению с амплитудой набегающей волны может быть объясне-
объяснено наличием источников с двух сторон погруженного барьера.
Рассмотрим теперь набегание волн большой длины на погру-
погруженный барьер.
Пользуясь формулами B0), B1) и B2) § 56, находим для волн
A8) следующие выражения:
2А cos [yx -f- at т- я).
254 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Пользуясь теми же формулами, находим для длинной волны B1)
следующее уравнение:
т) = — 2А cos (vx + at |-я) + 2А уr2 a2 cos (vx + at + -j-n) •
§ 58. Прохождение волн над барьером
Небольшие изменения приемов решения задач, разработан-
разработанных в четырех предыдущих параграфах, приводят к решению зада-
задачи о волнах, возникающих над вертикальным барьером, идущим
из бесконечной глубины и приближающимся на некоторое расстоя-
расстояние к свободной поверхности жидкости.
Будем предполагать, что верхний конец погруженного барьера
отстоит на расстояние а от среднего уровня жидкости.
Искомая комплексная функция w (z) должна удовлетворять
условию
т / UW | • \ А IА \
вдоль всей открытой поверхности жидкости, т. е. для действи-
действительных значений z от —оо до оо. В точках обеих сторон барьера
должно соблюдаться условие обтекания
= 0; B)
это условие имеет место для следующих значений комплексного
переменного z:
z = iy, —оо <у< —а.
Повторяя рассуждения §§ 53, 54, можно установить, что функция
W(z), определяемая через искомую функцию w (z) формулой
+lV C)
принимает действительные значения для действительных значений
z и для значений z, соответствующих обеим сторонам барьера.
Нетрудно видеть, что функция W (z), даваемая формулой
удовлетворяет при произвольном действительном к поставленным
условиям *).
¦) О степени общности исследуемого ниже рещенця ом. замечание р нача-
де | 56, касающееся функции W^ (z).
§ 58. ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН НАД БАРЬЕРОМ 255
Отсюда получаем дифференциальное уравнение
d2w . . dw kz
dz* ~ dz ^2 _|_ a2K/2
Интегрируя это уравнение, получаем последовательно
dw . . к ...
+ 1™ D)
—аг
E)
Две произвольные константы^ интегрирования приравнены нулю,
как не имеющие значения.
Из уравнения D) видно, что найденная функция w (z) удовлет-
удовлетворяет граничному условию A). Заменяя в формуле E) перемен-
переменное интегрирования ? переменным | по формуле ? = i% и полагая
z = iy, находим
W
W =
—a
V
л
Первая из этих формул относится к правой стороне барьера, вто-
вторая — к левой стороне барьера. Из этих двух формул имеем для
двух сторон барьера
dw . dw ki
dz dy
' " —a ' *
G)
dw . dw '-• * -~^jr- f
dz dy
Эти формулы показывают, что и условие B) удовлетворяется функ-
функцией E).
Вернемся к функции W (z)', эта функция может быть взята
тождественно равной нулю, ибо два условия, накладываемые на
функцию W (z), функцией W (z) = 0 удовлетворяются. Таким об-
образом, мы получаем для функции w (z) однородное дифференци-
дифференциальное уравнение
d2w . dw /-w
Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условиям A) и B),
256 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
записывается так:
w - Се-Ш ; (8)
С — произвольное действительное число.
Таким образом, поставленная задача обтекания вертикально-
вертикального погруженного барьера с образованием волн на поверхности
решается следующей функцией:
w = Се-™ + ke-"z \ ^ . (9)
Действительные постоянные С и к могут б^г^ь взяты произвольно.
Из формул G) вытекает, что скорости 4астйц жидкости на верх-
верхнем конце барьера обращаются в бесконечность, как это и долж-
должно быть при обтекании острых кромок твердых тел.
Найдем уравнение поверхности жидкости. Для функции w (z),
определяемой простейшей формулой (8), получаем стоячие волны
т] = cos vx sin (at -f- 8i); A0)
о
для функции w (z), определяемой формулой E), имеем уравнение
поверхности жидкости в таком виде:
г| = \\ Vb dl + sin vx \ - s \ sin (ai + e2). A1)
Найдем с помощью формул A0) и A1) уравнение поверхности
жидкости для функции (9); выпишем такое уравнение для мест
поверхности, находящихся вдалеке от начала координат. Имеем
Yj = —- -— cos vx sin (at + ?i) —
о
ok jF cosvi^ — x) 3+ . .
i \ - Vb dl + sin vx
\ s \ sin (a^ + e2);
это уравнение относится к большим положительным х\ для боль-
больших по абсолютной величине отрицательных х имеем
ц ~ — 2— cos vx sin (at + &i) +
о
.OO 1
-] i \ — - a? — sin v^c \ - j' sin (a^ + e2).
о ^ о
Придадим этим уравнениям другой вид, вводя следующие
§ 58. ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН НАД БАРЬЕРОМ 257
обозначения:
a f slave , а f «"*<% _ т
= -g-K0(av) = M.
о ' ° '
Получим для больших значений | х \
т) = — у- С sin гг -\- Lk cos e2 + Mk sin e2 cos (vx + otf) +
4- — у- С cos 81 + М/с cos e2 — Lk sin e2 sin (v# + Gt) -\-
+ — -7^- С sin 81 — Lk cos e2 ^p М/с sin e2 cos (vx — at) -f-
+ у- С cos 8i + М/с cos e2 — Lk sin e2 sin (vx — at).
Верхние знаки относятся к положительным х, нижние — к отри-
отрицательным х. В эти уравнения входят четыре произвольные конс-
константы:
С cos 8x, С sin 81, к cos e2, к sin e2. A2)
Для определения этих констант надо принять четыре добавочных
условия.
Предположим, что из положительной бесконечности идет про-
прогрессивная волна данной амплитуды А, определяемая уравнением
А А
г| = -у= cos (v? -I- at) + -wvf sin (vx + at).
Допустим, далее, что из отрицательной бесконечности не идет в
сторону положительной бесконечности никакой прогрессивной
волны. Эти два условия приводят к следующей системе уравне-
уравнений для определения неизвестных A2):
о А
— -х- С sin 8i -f- Lk cos e2 — Mk sin e2 =
^ \У OU1 UJ p X-VII/ UUO O2 J.VJ. IV к)Ш O2 ^-_ ,
—?- С cos Ej — MA; cos fe2 — ?& sin e2 =
/2 '
— у- С sin 8i — L/c cos e2 + Mk sin e2 = 0,
у- С cos 8X — М/с cos e2 — Lk sin e2 = 0.
Решение этой системы уравнений можно записать в виде
а
9 Л. Н. Сретенский
258 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
откуда уравнение поверхности жидкости для больших положи-
положительных х запишется так:
г| == -— cos {ух + at) + -7=- sin (vx + ot) +
У 2 У 2
, ,v . A M(L—M).,
cos <vx " ^ + 7Г ^+M2 sin (™ -
Уравнение поверхности жидкости для отрицательных х с большой
абсолютной величиной запишется так:
A L(L — M) . . ., . A
Л = f C0S (W + °0 + у
Уравнение A3) показывает, что в области положительных х по-
поверхность жидкости покрыта погрессивной волной, идущей в сто-
сторону погруженного барьера, и отраженной от барьера прогрессив-
прогрессивной волной; амплитуда этой последней волны есть
=А. A5)
Волна, ушедшая за барьер в сторону отрицательных х, — прог-
прогрессивная волна, амплитуда которой А", вычисляемая по урав-
уравнению A4), есть
А" = t L — Л A6)
Уь* + м* к }
Из этих двух формул вытекает соотношение сохранения энергии
волн
А2 = А'2 + А.
Для больших значений числа a — av = cio2/g, т. е. для коротких
прогрессивных волн, величины L и М имеют следующие прибли-
приближенные значения, находимые из асимптотических формул:
U 2g V 2a е \1 ^ 8а У ' т " 2g V 2а е \1 8а
Отсюда получаем формулы для А' и А", пригодные для вычисле-
вычисления этих амплитуд при больших значениях числа а:
А' = е-** А, А1 = 1л—±. е-А А.
Эти две формулы показывают, что отраженная волна имеет весь-
весьма незначительную амплитуду, а волна, прошедшая над барьером,
имеет амплитуду, мало отличающуюся от амплитуды набегающей
волны.
Найдем выражения амплитуд А' и А" для малых значений
числа а, т. е. для длинных набегающих волн. Обратимся для это-
j} 59. б ВВЕДЕНИИ МАЛЫХ РАССЕИВАЮЩИХ ЭНЕРГИЮ СИЛ 259
го к интегральным выражениям величин L и М. Для малых поло-
жительных значений а имеем
С е d*> - _L 4- -4- -i
Следовательно,
Пользуясь разложением функции Ко (а) около а — О, находим
2g a '
Определим теперь по формулам A5) и A6) амплитуды отраженной
и прошедшей волны. Найдем
А' = А , А' = Л
/'"
2 \2
)
Эти формулы показывают, что подводный барьер почти полностью
отражает длинные волны и не пропускает через себя такие волны.
В заключение §§ 54—58 отметим, что разобранные в них зада-
задачи были решены Ю. М. Крыловым на основе формул, относящихся
к движению жидкости, создаваемому пульсирующим источником,
120], §§ 12, 13.
§ 59. О введении в теорию волновых движений
малых рассеивающих энергию сил
Решение многих задач о возбуждении волн периодическими по-
поверхностными силами или препятствиями, расположенными на
пути движения потока, представляется, как мы видели, определен-
определенными интегралами от функций, имеющих вид дробей, причем зна-
знаменатели этих дробей обращаются, как правило, в нуль в некото-
некоторых точках пути интегрирования.
Выражение знаменателя подынтегральной функции, прирав-
приравненное нулю, представляет собой уравнение, связывающее вели-
величины, относящиеся к свободным волновым движениям. Такие вол-
волновые движения являются посторонними для поставленной задачи,
благодаря чему не удовлетворяются, обычно, естественно по-
поставленные условия излучения волн, образованных препятствия-
препятствиями или областями поверхностного давления.
260 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Благодаря автоматическому появлению свободных волновых
движений определенные интегралы теряют смысл, и специальным
изменением формы пути интегрирования приходится восстанав-
восстанавливать в каждом отдельном случае смысл интеграла.
Лорд Рэлей предложил способ избавляться в самом процессе
решения задачи от паразитических свободных волн [170J.
Этот способ, относящийся как к установившимся движениям,
так и к периодическим движениям, состоит в добавлении к дейст-
действующей силе тяжести некоторых диссипативных сил, пропорцио-
пропорциональных скоростям частиц жидкости. Такие силы уничтожают
своим воздействием свободные волны, и жидкость получает движе-
движение, вызванное лишь периодическими поверхностными силами
или погруженным телом.
Знаменатель подынтегральной функции осложненной задачи
не будет уже обращаться в нуль на пути интегрирования, что да-
дает возможность более свободно проводить вычисления и получить
решение задачи, удовлетворяющее условиям излучения волн.
Устремляя коэффициент диссипации к нулю, получаем решение
первоначально поставленной задачи, не содержащее лишних сво-
свободных волн.
Войдем теперь в подробности метода Рэлея.
Рассмотрим сначала неустановившиеся движения; в этом слу-
случае добавочные силы возьмем в следующем виде:
X = — [ш, Y = —\iv, A)
где [л ^> 0 — коэффициент диссипации, малый по своей величине.
Покажем, что если в начальный момент времени жидкость об-
обладает потенциалом скоростей, то она будет обладать потенциалом
скоростей и во все последующее время, когда к силе тяжести при-
присоединены еще силы Рэлея A). Для доказательства этого положе-
положения исключим из уравнений гидродинамики
ди г дн
dv . «. дН
B=f + gy + ±V*
функцию Я, тогда получим уравнение для вихря ?:
Интегрируя это уравнение, получаем
(а, р), C)
B)
§ 59. О ВВЕДЕНИИ МАЛЫХ РАССЕИВАЮЩИХ ЭНЕРГИЮ СИЛ 261
где аир — левые части уравнений
а (х, г/, t) = Съ р (х, г/, t) = С2,
изображающих траектории частиц жидкости, функция F произ-
произвольна.
Формула C) показывает, что если в момент времени t = 0 дви-
движение жидкости безвихревое, то и во все последующее время оно
будет безвихревым.
Таким образом, при наличии сил Рэлея соблюдается теорема
Лагранжа о сохранении потенциального движения. При наличии
этих сил уравнения гидродинамики удовлетворяются скоростями,
зависящими от потенциала. Потенциал скоростей удовлетворяет
снова уравнению Лапласа, а интеграл Бернулли приобретает вид
f -?-я,-4-у + 1«р+ /.<<)•
Для малых движений этот интеграл записывается проще:
-f—g-+w-w; D)
произвольная функция / (t) может быть отброшена.
Применим это равенство к открытой поверхности жидкости
в точках открытой поверхности р = О, отсюда получаем уравнение
открытой поверхности
В точках открытой поверхности жидкости соблюдается кинемати-
кинематическое условие
Исключая из двух равенств E) и F) функцию г), находим гранич-
граничное условие для потенциала скоростей при наличии сил Рэлея:
Рассмотрим теперь установившиеся движения и найдем гра-
граничное условие для открытой поверхности жидкости.
Пусть с будет основной скоростью потока жидкости, а —d^ldx
и —д<$1ду будут малыми добавками к ее компонентам, так что
дф дф
дх ' ду
Рассеивающие силы возьмем пропорциональными этим добав-
добавкам:
262 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Уравнения гидродинамики приводят и в данном случае к инте-
интегралу Бернулли, который для малых добавочных движений пишет-
пишется так:
Отсюда уравнение поверхности жидкости будет записываться так:
Присоединяя сюда кинематическое условие для поверхности
жидкости
^_= _ gy
dx с I ду Jy=o '
получаем граничное условие для потенциала скоростей:
§ 60. Установившиеся волны от поверхностного давления;
периодические волны от подводного источника
В качестве примеров на применение метода Рэлея рассмотрим
две задачи, уже решенные ранее другими методами.
Предположим сначала, что к поверхности бесконечно глубокой
жидкости, имеющей на бесконечной глубине постоянную скорость
с, приложены силы давления, зависящие от координаты х; требует-
требуется определить вид поверхности жидкости.
Для определения потенциала скоростей будем иметь несколько
измененное граничное условие (9) § 59.
Если через р (х) обозначить давление, приложенное к поверх-
поверхности жидкости, то вместо условия (9) § 59 будем иметь такое усло-
условие:
[дх* ""»" с дх * с2 ду ]у^0 рс dx ' К '
Уравнение поверхности жидкости будет составляться по формуле
4e-rcL + M] _?L. B)
1 g L дх ' rTJi/=o pg v ;
Представим функцию р (х) в виде суммы двух интегралов:
с» с»
р (х) = ^ /i (ft) cos kxdk+l U (к) sin kx dk. . C)
о о
Такое представление функции р (х) вытекает из интегральной
§ 60. ВОЛНЫ ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ДАВЛЕНИЯ 263
теоремы Фурье, если положить
с» с»
1 (* 1 (*
д (к) = — \ р (a) cos /ca da, /2 (&) = — \ р (a) sin &а da. D)
—с» —оо
Будем искать потенциал скоростей ф (х, у) в виде
с» с»
ф = ^ А (к) еКу cos kx dk + § 5 (fc) e»f sin kx dk;
функции А (к), В (к) — искомые. Для определения этих функций
составим граничное условие A), получим
_[7JL_ к) kA+ ^b] cos kx\dk =
oo oo
= — \ kfi (k) sin kx dk \ &/2 (k) cos kx dk.
о о
Отсюда получаем два уравнения для определения функций А (А),
В (к):
Решая эти уравнения, находим
где
Отсюда получаем для потенциала скоростей ф (х, ^) следующее
выражение:
264 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Уравнение поверхности жидкости, используя формулу B), запи-
запишем так:
= ~Ь Цт" ~ (" ~ *) ск]l/l {к) cos кх + h {к) sin кх]
Придадим этой формуле другой вид, принимая во внимание
равенства
/х (к) cos кх + /2 (к) sin кх = Re f (k)e~ikx,
/2 (к) cos кх — fx (к) sin кх = Im / (k)e~iKx,
где
= /l (ft) + */a (ft) = 4-
Получим
pc3
E)
Переходя в этой формуле к пределу [х = 0, находим уравнение
поверхности жидкости, находящейся под внешним давлением. Вы-
Выполним такой предельный переход, предполагая, что внешнее дав-
давление данной полной величины Р сосредоточено в одной точке —
в начале координат. В этом случае имеем
/<*>-¦#¦•
Отсюда формула E) примет такой вид:
\ ( р J А (/с)
о о
F)
Функция А (к) обращается в нуль для двух комплексных значе-
значений к:
h - 8 , И- 4 h - g ** /
§ 60. ВОЛНЫ ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ДАВЛЕНИЯ 265
Эти точки являются полюсами подынтегральных функций инте-
интегралов F). Преобразуем эти интегралы, путь интегрирования —
в отрицательную часть мнимой оси для ж^>0ив положительную
часть этой же оси для х < 0.
При х ^> 0 необходимо принять в расчет вычет полюса к2,
лежащего ниже действительной оси; при х < 0 — вычет полюса
кг, лежащего выше действительной оси.
Выполняя соответствующие вычисления, приходим к двум
формулам:
\ЬХ gX OO
- dk = — е с е с* — i \ -4-,——г»
|х I A(— ix) '
о
^Х gX . ОО
¦ dk = —e e +
Первая формула относится к положительным значениям х, вто-
вторая — к отрицательным х.
С помощью таких же вычислений получаем еще следующие две
формулы, относящиеся соответственно к положительным и отри-
отрицательным значениям х:
Г / 8
e~iliX
Применим эти формулы к преобразованию формулы F). Получим
для х > О
26G ГЛЬ I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
для х < О получим
о
Для дальнейших преобразований отметим формулы
Полученные выражения функции ц учитывают действие дис-
сипативных сил; возвышение поверхности жидкости над средним
уровнем стремится к нулю при увеличении \х\. Устраним теперь
диссипативные силы, устремляя коэффициент fx к нулю. Для по-
положительных х получим
gx g
C2 "t" pC2
для ж<0 имеем
%g __ g
0
Интегральное слагаемое, входящее в эти две формулы, стремится
к нулю, как | #|~\ при удалении от места приложения концентри-
концентрированного давления.
Таким образом, вдалеке от места приложения этого давления
вверх по потоку поверхность жидкости совпадает с горизонталь-
горизонтальной поверхностью невозмущенного набегающего потока. Вдалеке
же от приложенного давления вниз по потоку невозмущенная го-
горизонтальная поверхность жидкости покрыта установившимися си-
синусоидальными волнами длины X = 2nc2/g и амплитуды а =
= 2Р/(рс2). Таким образом, введением диссипативных сил устра-
устраняется появление установившихся волн на поверхности потока
вверх по его течению.
Рассмотрим теперь задачу о волнах, вызванных пульсирую-
пульсирующим источником, находящимся на некоторой глубине h под поверх-
поверхностью бесконечно глубокой жидкости.
Предположим, что дебит источника меняется с течением вре-
времени, как Q cos at. Приняв такой закон изменения дебита, возь-
возьмем вспомогательный сток поглощения Q cos at, расположенный
в точке @, /г). Потенциал скоростей взятых источника и стока
§ 60. ВОЛНЫ ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ДАВЛЕНИЯ 267
будет
Q л *2 + (У +
YU 4я 2 + (
Представим потенциал скоростей всего движения жидкости через
две неизвестные гармонические функции фх (х, у), ф2 (#, у), пола-
полагая
Ф (х,у) = ф0 (я, г/) + фх (ж, y)cos at + щ(х,у) sin at, G)
Составим граничное условие G) § 59. Принимая во внимание, что
при у = 0 имеем
гп — д^о _ д2фо _ а
записываем это условие в виде двух самостоятельных условий для
функций ф! и ф2:
Считая движение жидкости симметричным относительно оси
Оу, будем искать функции фх и ф2 в таком виде:
ф1 = ^ А (к) екУ cos kx dkr ф2 = ^ В (к) екУ cos kx dk, (9)
о о
где А (к) и В (к) — искомые функции. Правая часть первого из
уравнений (8) может быть представлена в виде интеграла:
5 ду л J
coskxdk.
Подстановка этой формулы и формул (9) в условия (8) приводит
к двум уравнениям для функций А (к) и В (к):
—в2А + \лоВ + gkA = ZQe-M,
gkB = 0.
Решая эти уравнения, получаем
gQ
hk
А С в
л е D(k) ' *~~
где
D (к) = (gk - 02J + [А202.
Отсюда получаем выражения функций <р1? ф2 и затем потенциала
268 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
скоростей G):
о
I<L cos at [ e~™ gkS7bf e*v cos to dk
+ J5_ Sin aj t e-h* ?щ e*v cos to dk.
о
Пользуясь формулой E) § 59, находим уравнение свободной по-
поверхности:
I оо
Л / -^- = ([х cos at — a sin crt) \ e~feh gD7]€\ cos ^ ^ +
+ (a cos at + \i sin a?) \ e-kh -^- cos to dk. A0)
о
Освободимся теперь от диссипативных сил, с этой целью найдем
предельные значения интегралов формулы A0) при'(ш = 0. Имеем
-kh gk — °2 p no, icr ль _ т>р С r-kh
D(k) C0S^xaK- ™]e
о
Перенесем интегрирование с действительной оси на положитель-
положительную часть мнимой оси. Принимая во внимание вычет полюса по-
подынтегральной функции
находим
оо
Г ь-ь як — а2 л-^ 77 ni
ee [ е %tj? e d*. A1)
о о
Совершенно так же преобразуем и второй интеграл формулы A0),
имеем
О
Перейдем теперь в этих двух формулах к пределу, полагая \х = 0.
§ 60. ВОЛНЫ ОТ ПОВЕРХНОСТНОГО ДАВЛЕНИЯ 269
Предельное значение интеграла A1) запишется так:
o*h (fix .
¦л1/ rt ;Г"г
ire e +
0
предельное значение интеграла A2) будет
gh2 (fix .
-|-e te* *. A4)
Действительные части выражений A3) и A4) будут соответственно
е
g
-е
1 j
0
—-
cos-
а2а?
Таким образом, предельные значения интегралов формулы A0)
найдены, и мы можем теперь написать окончательное решение за-
задачи:
оо
oQ . Г gxcosxft —
Smat)
Это уравнение показывает, что от начала координат в сторону бес-
бесконечности отходит свободная прогрессивная волна, длина кото-
которой соответствует частоте пульсирующего источника. Вместе с этой
волной на поверхности жидкости образовывается непериодичес-
непериодическая, по координате х, волна, сходящая на нет при отходе от на-
начала координат и обладающая частотой а; эта волна может быть
названа стоячей волной.
Заметим, что в области отрицательных х будут образовываться
стоячие колебания поверхности, определяемые уравнением
= -J?sinat\
и от начала координат будет отходить в отрицательную бесконеч-
бесконечность прогрессивная волна
270 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Проведенное решение двух задач показывает пользу введения
сил Рэлея, устраняющих необходимость специальных рассмотре-
рассмотрений, связанных с условиями излучения.
§ 61. Капиллярные волны
Капиллярные силы, действующие на поверхность жидкости,
часто бывают причиной образования чрезвычайно красивых и ин-
интересных по своим свойствам волн. Мы укажем здесь главные ре-
результаты теории этих волн, основы которой были даны Рэлеем
и Кельвином.
Заимствуем из физики закон Лапласа, согласно которому уве-
увеличение давления при пересечении поверхности жидкости пропор-
пропорционально средней кривизне этой поверхности, т. е.
главные радиусы кривизны Rx и R2 поверхности считаются поло-
положительными, когда соответствующий центр кривизны находится
внутри части жидкости с давлением р; величина р0 есть постоян-
постоянное атмосферное давление.
Величина а называется коэффициентом поверхностного натя-
натяжения; числовая величина его зависит от температуры и от физи-
физической природы жидкости. Для воды — воздуха при 20 °С а =
= 74, для ртути — воздуха а = 540 в единицах системы GGS.
Исследуем сначала стоячие волны на поверхности жидкости,
учитывая капиллярное натяжение. Для плоских движений R2 =
= оо, и, следовательно, в формуле A) остается в правой части
лишь первое слагаемое, которое для волн малой амплитуды будет
равно
Предполагая существование потенциала скоростей, будем иметь
для поверхности жидкости следующие граничные условия при
у = 0:
dt ~~ dy ' dt gl~~ ~lto2~' W
Найдем простейшие решения задачи, считая жидкость бесконечно
глубокой; примем
Ф = Аеш cos kx cos at. C)
Из первого граничного условия B) имеем
к
т) = Acoskx sin at, D)
h til. ixAllliJlЛИРНЫЕ liOJIlIbl 271
Подстановка этих двух функций во второе условие B) дает связь
между к п а:
а2 = gk + _ . E)
При а — 0 эта формула переходит в известную зависимость меж-
между частотой и длиной стоячей волны при отсутствии поверхност-
поверхностного натяжения. Если же считать g = О, т. е. считать жидкость
невесомой, то получим формулу для частоты чисто капиллярной
стоячей волны:
«г---- ак
Р
Одновременно с потенциалом скоростей C) можно взять потенциал
скоростей
Ф = Ае^ sin kx sin at. F)
Потенциал скоростей, равный сумме двух потенциалов C) и F),
будет давать потенциал скоростей движения жидкости
Ф = Aekv cos (kx — at), G)
сопровождаемого распространением прогрессивной волны
Л к
Y] sin (kx — at).
Скорость движения этой волны будет определяться формулой
Преобразуем эту формулу к другому виду, замечая, что для зна-
значения
а
скорость с достигает минимальной величины ст, равной
Р
Длина волны %т, отвечающая этой скорости, будет равна
%т = 2л;
Отсюда формула (8) после небольших преобразований получает
следующий вид:
2 _ 1 Г
272 ГЛ, I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Для небольших значений отношения Укт главную роль играет
в формуле (9) второе слагаемое и величина с будет скоростью чисто
капиллярной волны:
«¦--*=Ч- <10>
Наоборот, для больших значений АДт второе слагаемое будет не-
незначительным и формула (9) принимает вид известной формулы
скорости чисто гравитационной волны:
JL
2л
(И)
с
О
А
V
\\
У
(
1
•
У
~-~ —-
Л
На рис. 18 показана кривая Г зависимости с от X, вычисляемая
по формуле (9). Эта кривая имеет две асимптоты: первая из них
дается уравнением A0), вто-
вторая — уравнением A1). Из пре-
предыдущего следует, что часть
кривой Г от бесконечно удален-
удаленной точки А до точки М мини-
минимальной скорости отвечает вол-
волнам, в образовании которых
основную роль играет капил-
капиллярное натяжение, часть же
кривой Г от точки М до беско-
бесконечно удаленной точки В соот-
соответствует волнам, в формирова-
рис ^g нии которых основную роль
играет сила тяжести.
Отметим особо, что, в противовес чисто капиллярным и чисто
гравитационным волнам, скорость распространения капиллярно-
гравитационных волн имеет некоторое минимальное, отличное от
нуля, значение ст.
Кривая Г показывает, что каждой скорости с, превышающей
сте, отвечают две прогрессивных волны: одна малой длины Яь дру-
другая же большой длины Я2. Некоторым значениям с могут отвечать
две волны, длины которых соизмеримы между собой, т. е.
рХг = дХ2, A2)
р и q — два целых числа. Множество значений с, для которых
имеет место это особое обстоятельство, образует всюду плотное
множество на интервале изменения с от ст до оо.
При наличии равенства A2) на q полных волнах длины Х2 укла-
укладывается целое число раз р волн длины Кг. Так как волны, обуслов-
обусловленные капиллярностью, имеют небольшую длину %± и амплитуда
их может быть взята значительно меньше амплитуды волны дли-
§ 61. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 273
ны Ла, то одна волна длины р%г = дХ2, взятая как сумма двух рас-
рассматриваемых волн, будет представлять собой q прогрессивных
волн (каждая из которых имеет длину Я2), имеющих на своей по-
поверхности бугорки и впадины числом р.
Если жидкость имеет не бесконечную глубину, а некоторую
конечную глубину/г, то потенциал скоростей простейшего волново-
волнового движения будет иметь следующий вид:
ф = A ch к (у + h) cos kx cos at.
Уравнение волновой поверхности на основании первого гранич-
граничного условия B) запишется так:
к
П = A sh kh cos kx sin at.
1 a
Второе граничное условие B) приводит к соотношению между час-
частотой сг и числом к:
Если обе части этого равенства, определяющего частоту стоячей
волны по ее длине 2я/А, разделить на к2, то получится формула
связи между скоростью с прогрессивной волны и ее длиной К =
= 2п/к:
с* = [4- + — k)thkh.
Введем в эту формулу величины ст и Ят, отвечающие жидкости
бесконечной глубины, получим
Скорость с достигает минимума для значения к'т, большего чем Хт
и определяемого из уравнения
4яД 4я2а
^ Р
Подставляя в формулу A3) корень этого уравнения, находим ми-
минимальную скорость ст распространения волн. Для малых длин
имеем формулу для скорости, не содержащую глубины бассейна:
Легко видеть, что эта формула совпадает с формулой A0). Для
274 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
больших X формула A3) дает следующее значение для скорости:
с2 = gh. _
Таким образом, для скорости с, находящейся между ст и У gK
имеем две прогрессивные волны;
длина одной волны заключена
между значением корня Хг урав-
уравнения
2nh
Рис. 19.
и Х'т; длина другой волны заклю-
заключена между ?i'mn оо. Для значений
с, превосходящих У gh, имеем
лишь одну волну; длина этой
волны заключена между 0 и Xv
Эта волна обязана наличию капил-
капиллярного натяжения. Общий вид зависимости с от X показан на
рис. 19.
§ 62. Капиллярно-гравитационные волны,
образованные особенностями в потоке
Метод, предложенный М. В. Келдышем для определения волно-
волновых движений жидкости бесконечной глубины, вызванных присут-
присутствием особенностей в потоке, может быть применен к определению
капиллярно-гравитационных волн, вызванных различными осо-
особенностями, находящимися в потоке. В дальнейшем мы ограничим-
ограничимся рассмотрением волновых движений, образованных погружен-
погруженным в поток вихрем.
Начнем с того, что укажем граничные условия для определе-
определения установившихся волновых движений при наличии капилляр-
капиллярных сил. Применяя, как обычно, интеграл Бернулли и условие,
что частица жидкости, принадлежащая ее поверхности, остается
во все время движения на поверхности, приходим к следующим гра-
граничным условиям для потенциала скоростей, вызванных волнами:
dy) . дф ~ с дф a d2r\ ,*.
dx ' ду ~~ ' g дх pg dx2 ' * '
Величина с — основная скорость потока; отсюда потенциал ско-
скоростей Ф всего движения запишется так:
ф = ~ сх + Ф (#, у).
Назовем через *ф (х, у) функцию тока, отвечающую потенциалу
ф (х, у); имеем между этими двумя функциями известные
§ 62. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 275
соотношения:
дф дф дф __ дф
дх~ = ду ' ду = дх~'
Первое граничное условие A) может быть записано так:
JH=J±]
dx дх J у=о '
Интегрируя это уравнение, получаем формулу для определения
возвышения тр
Подставим это выражение во второе из условий A), получим
Преобразуем это условие, вводя в рассмотрение характеристичес-
характеристическую функцию течения
w (z) = ф (х, у) + ity (х, у), z = х + iy.
Отсюда имеем
Следовательно, условие C) может быть переписано так:
это равенство должно иметь место для действительных значений z.
Предположим теперь, что на глубине h под поверхностью жид-
жидкости находится точечный вихрь с циркуляцией х; на этот вихрь
набегает поток, имеющий на бесконечной глубине скорость с. Най-
Найдем те волны, которые образуются при это#м на поверхности жид-
жидкости.
Около вихря (О, —К) характеристическая функция течения
имеет следующий вид:
Составим выражение функции
W (Z) =
около точки z = — hi. Получим
\ a^ d2w с2 dw
' pg dz* g dz
276 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Внутри потока жидкости нет иных особенностей, кроме взятого
вихря; следовательно, функция
E)
будет голоморфной внутри всей области, занятой потоком. Но в то
время как действительная часть функции W (z) равна нулю для
действительных значений z, действительная часть функции F (z)
не будет равна нулю для действительных значений z. Однако если
к функции F (z) прибавить выражение, сопряженное для z дей-
действительных тому, которое стоит во вторых квадратных скобках,
то получим функцию / (z), действительная часть которой будет
равна нулю для действительных значений z:
ai
ill) —
ах
Функция / (z) будет голоморфной в нижней полуплоскости, дей-
действительная часть этой функции равна нулю вдоль действитель-
действительной оси Ох. Следовательно, функция / (z) может быть аналити-
аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость; на всей плоскости
комплексного переменного z функция / (z) будет голоморфной. Ес-
Если теперь наложить на искомый поток с характеристической функ-
функцией w (z) требование ограниченности этой функции и ее двух пер-
первых производных на всей плоскости переменного z, то по теореме
Лиувилля функция / (z) будет приводиться к некоторой постоян-
постоянной величине С. Таким образом, выражение F) приводит к сле-
следующему дифференциальному уравнению для определения иско-
искомой характеристической функции потока:
ai d2w с2 dw
pg dz* g dz
— iw =
_ л , J«_i z + hi кеЧ z амии ъ .„
""G + 2rt П z — hi Kg z2 + /i2 ~~" npg B2 + ft2J " I'/
Заметим, что за счет увеличения функции w (z) на постоянную ве-
величину iC можно считать С = 0.
Проинтегрируем уравнение G). Однородное уравнение
ai dhv j?_ dw . _ n
~UT~d^~~~ в dz -W-V
§ 62. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 277
имеет следующий общий интеграл:
w = Cxe*xZ + C2eS2Z, (8)
где
*—'?¦[»-/»-?]•
Для интегрирования уравнения G) применим метод вариации про-
произвольных постоянных, считая, следовательно, в формуле (8) ве-
величины Сх и С2 некоторыми функциями переменного z. Для опре-
определения этих функций будем иметь два уравнения:
dz
— i - s*e -т~
__ и i z + hi жЧ z __ 2акЫ
Решим эти уравнения относительно производных dCJdz и dCJdz,
получим
g
"L 2я n z —Ы rtg z2 + /i2
2ах/г iz 1
npg (z2 + h2J J '
8 ^ g e~s*
dz
^ e"S2 Г x ^ g + fe<
c4 1/ 4ag L 2я z — hi
\/ 1 —• 'I
г pc4
+ A«)«J-
Для определения функций Сх (z) и С2 B) отметим следующие фор-
формулы:
j z— hi s z — Iw ' « J\z-flii z — /u/j
z dz - -
2(««+fc*) 4
Пользуясь этими формулами, находим выражения функций Сх (z)
278 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
И С2 (z)l
z — hl
_ aKh e~SlZ 4- xc2^ С g"SlZ лД
npg z2 + ft2 "I" ng J z — hi J '
(9)
pc4
z2 -f-
Теперь следует назначить пределы интегрирования у неопре-
неопределенных интегралов формул (9). Чтобы это сделать, надо при-
принять некоторые условия излучения волн. Число sx относится к вол-
волнам, в образовании которых главную роль играет капиллярность;
наблюдения показывают, что капиллярные волны образуются на-
навстречу потоку перед препятствием. Поэтому нижний предел ин-
интегрирования в первой из формул (9) возьмем равным оо, а'верх-
а'верхний предел — равным z.
Число 52 относится к волнам, главное участие в образовании
которых имеет сила тяжести; гравитационные же волны развивают-
развиваются за препятствием; следовательно, нижний предел во второй фор-
формуле (9) следует взять равным — оо, а верхний предел — равным z.
Приняв такие условия излучения, напишем характеристичес-
характеристическую функцию (8), подставляя в нее принятые выражения функ-
функций Сг (z) и С2 (z). Получим
. ч ш , z-\-hi
4ag U С — W J g — ^t J #
Применим это выражение функции w (z) к определению вида по-
поверхности жидкости. Пользуясь формулой B), получаем
х
cos g2 (а? — О + ha2 sin б2 (а? — О
«1 = ,—^rr {\
¦—СХЭ
DC
? cos C! (a? — g) + h<5x sin бг (g — g)
здесь и далее для простоты написания формул принимаются
§ 62. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 279
такие обозначения:
s2 ~ —
числа аг и ст2 — действительные и положительные.
Формула A1) дает вид поверхности жидкости для всех значе-
значений х; наибольший интерес представляет определение формы по-
поверхности жидкости в местах, удаленных от вихря. Найдем фор-
форму поверхности жидкости далеко за вихрем, т. е. при z = х = оо.
Для этого удобно воспользоваться не формулой A1), а формулой
A0); полагая в ней z = х = оо, получаем по теории вычетов
Г) =
Положим затем z — х = — оо, найдем
Эти асимптотические формулы показывают, что за вихрем, далеко
за ним, развиваются синусоидальные волны, которые своим проис-
происхождением обязаны в основном силе тяжести; перед вихрем, да-
далеко впереди него, развиваются короткие волны капиллярного
происхождения.
Найдем теперь горизонтальную составляющую X силы давле-
давления потока на некоторый замкнутый контур Г, окружающий
вихрь; эта составляющая будет определять волновое сопротивле-
сопротивление вихря. С этой целью воспользуемся формулой Чаплыгина:
X-iY =±Pi\(-c + ^ffdz. A2)
Дифференцируя формулу A0), получаем
ЧГ = ~2я~ Т+ТТ + Н (*)'
где Н (z) — функция, голоморфная около точки z= —hi, ее вы-
выражение записывается так:
*<>
Подставим в формулу A2) выражение производной dw/dz, полу-
получим, применяя теорему Коши о вычетах,
X — iY = cpni — ixpH (—hi). A4)
280 ГЛ. I. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВОЛНАХ
Пользуясь выражением A3) функции Н (z), находим
—hi -hi
\ Й
Преобразуем к новому виду интегралы, входящие в эту формулу.
Выполняя комплексное интегрирование, получаем
—hi . „ 0 . —hi
С го? гах
\
—оо О
Отсюда формула A5) перепишется так:
Отметим теперь следующие формулы, получаемые приложением
теории интегральных вычетов:
оо оо
Т TY1 \ ,__——_— /7/У —— ____ Т TY1 \ /7'У —— ТГO~%hG\
j х— 2hi 2 ] х — 2hi '
О —оо
Imi JT2F dx = TIm \ ZTui dx = -
О —оо
Составим на основании этих подсчетов формулу A6), ограничива-
ограничиваясь лишь определением мнимой ее части:
Im Я (— hi) =
V
Найдем, наконец, по формуле A4) компоненту X силы давления
потока на вихрь, т. е. волновое сопротивление:
X =
Несколько более сложная формула может быть получена для
подъемной силы вихря.
Глава II
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Колебание жидкости в прямоугольном бассейне
В предыдущей главе были рассмотрены установившиеся и пе-
периодические движения тяжелой жидкости с образованием волн на
открытой поверхности. В настоящей главе мы изложим результа-
результаты, полученные при изучении неустановившихся движений, вы-
вызванных различными причинами.
Рассмотрим сначала бассейн постоянной глубины h, ограни-
ограниченный с боков вертикальными стенками х = 0, х = Z. Допустим,
что ось абсцисс расположена по уровню жидкости в состоянии ее
равновесия, ось Оу направлена вверх.
Пусть в начальный момент времени, t = О, к поверхности жид-
жидкости приложено некоторое импульсивное давление, а частицам
жидкости, принадлежащим поверхности, даны некоторые смеще-
смещения. Требуется найти вызванное этими причинами движение жид-
жидкости во все последующее время.
Так как движение жидкости вызывается приложением импуль-
импульсивных давлений, то будет существовать потенциал скоростей
Ф = ф (х, у\ t). Если через / (х) обозначить функцию, дающую на-
начальное импульсивное давление в точках поверхности жидкости,
то первое начальное условие задачи запишется так:
РФ (я, 0; 0) = / (х), A)
где р — плотность жидкости.
Предположим, что в начальный момент времени уравнение по-
поверхности жидкости имеет вид
г, = F (х).
На основании формулы B) § 3 гл. I это условие принимает следую-
следующий вид:
Искомый потенциал скоростей ф (ж, у; t) должен, помимо условий
A) и B), удовлетворять добавочным граничным условиям. Прежде
всего, это будут условия обтекания стенок и дна бассейна:
(*L) =0, (¦#.) = 0, (*L\ =0. C)
282 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Затем, должно выполняться специфическое граничное условие
волновой задачи:
это условие было установлено в § 3 гл. I.
Таким образом, мы должны найти интеграл уравнения Лапласа
дх*
удовлетворяющий начальным условиям A), B) и граничным усло-
условиям C), D). Определив такой интеграл, находим скорости частиц
жидкости в волновом движении и, кроме того, уравнение поверх-
поверхности жидкости. Это уравнение записывается так в согласии с § 3
гл. I:
В § 3 гл. I было дано выражение A1) потенциала скоростей стоя-
стоячих волн. Определим число А, входящее в выражение этого потен-
потенциала, так, чтобы соблюдалось второе из граничных условий C);
первое и третье из этих условий рассматриваемым потенциалом
уже удовлетворяются. Если число к выбрать в согласии с формулой
sin/cZ = O, kn = ^- (л = 0,1, 2,...),
то будут удовлетворяться все три условия C). Если же число сг
взять равным
то будет соблюдаться и условие D). Таким образом, потенциал
скоростей
¦ cos —^- п cos ant F)
—h
будет удовлетворять граничным условиям C) и D).
Уравнение поверхности жидкости запишется так:
т]п = ап cos -^- n sin ant.
Уравнения (И) § 3 гл. I были получены из первой формулы
A0) того же параграфа, если положить гг = 0. Положим затем
8Х = — я/2. Тогда, повторяя все предыдущие вычисления, при-
приходим к следующему потенциалу скоростей, удовлетворяющему
§ 1. КОЛЕБАНИЕ ЖИДКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ БАССЕЙНЕ 283
всем граничным условиям C) и D):
пп
Фп = — jjj cos — n sinan *; G)
п <* —*
здесь &л — произвольная постоянная. Этому новому потенциалу
отвечает уравнение поверхности жидкости
Лп = К COS —у- П COS Gn?.
Пользуясь найденными потенциалами скоростей F) и G), составим
выражение потенциала скоростей в виде следующего бесконечного
ряда:
Ф (х, y;t) =
= 8 2j яд cos I "Г пГп sin a^"" an cos °nt^ О
n=0 ^Cb—~ n
Этому потенциалу будет отвечать поверхность жидкости с уравне-
уравнением
C0S 0^) C0S (т П) '
Потенциал скоростей (8) удовлетворяет всем граничным условиям
нашей задачи.
Определим теперь коэффициенты ап и Ьп так, чтобы удовлет-
удовлетворились и начальные условия задачи A), B). Составляя эти усло-
условия, приходим к следующим уравнениям:
п—о
Ьп cos
Из этих уравнений получаем обычным приемом значения коэф-
коэффициентов ап и Ьп:
о
I
fcn = -у- \ F (x) cos —p n ах.
284 ГЛ. 11в ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Подставляя эти значения коэффициентов ап и Ьп в формулы (8)
и (9), получаем решение поставленной задачи об определении вол-
волнового движения жидкости, вызванного данным импульсивным
давлением и данным начальным изменением равновесного поло-
положения поверхности жидкости:
оо _. ЛП ,__ , ^
ф (*.»;*) = 4-
—;— ">
X \ cos о j[f (a) cos-^ n da + ^- sinoJ^F (a)
п
о
п/ х яа 7
I
— sin an? \ / (a) cos -^ n da .
о
Если глубина бассейна бесконечна, то вместо этих формул имеем
более простые, а именно:
оо пп
l
71=0
I
X [coscyj /(a) cos ^j- n da + ^-sinoj J F(a) cos^-n
о n о
oo I
2 V1 Ла? [ ?S .f л/ \ яа 7
^l^ljGnC0S~nle ™sent\^F(a)cos — nda —
n=0 П О
I
— sin an? \ / (a) cos ~- n da ,
причем 0^ = —p-
Отметим, что функция F (а:) должна удовлетворять условию
i
чтобы ось Ох была средним уровнем жидкости. Нетрудно прове-
проверить, что в силу этого условия будет при любом значении t удов-
удовлетворяться необходимое равенство
ц (a, t) da = 0.
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ - ПУАССОНА ДЛЯ БАССЕЙНА 285
§ 2. Задача Коши — Пуассона для бассейна
бесконечной глубины
Под задачей Коши — Пуассона обычно понимают задачу об
определении движения жидкости, обладающей свободной поверх-
поверхностью, простирающейся неограниченно во всех горизонтальных
направлениях, причем такое движение вызвано приложением им-
импульсивного давления к поверхности с одновременным изменением
горизонтального равновесного состояния свободной поверхности.
Итак, предположим, что в рассматриваемой плоской задаче
поверхность жидкости неограниченно распространяется в сторону
положительных и отрицательных х\ допустим, кроме того, что
жидкость имеет бесконечную глубину.
Допустим, что в начальный момент времени к поверхности
жидкости приложено некоторое импульсивное давление
РФ (*,0) =/(*), A)
а поверхности придана некоторая форма, задаваемая уравнением
Л = F (х). B)
Требуется по этим данным определить соответствующее движение
жидкости и вид ее открытой поверхности в каждый момент вре-
времени.
Отметим, что задание импульсивного давления A) определяет
в момент времени t = О начальный потенциал скоростей во всей
массе жидкости. Следовательно, поставленная задача равноценна
определению движения жидкости по заданному начальному рас-
распределению скоростей всех ее частиц и по заданной начальной фор-
форме открытой поверхности.
Что касается граничных условий задачи, то здесь надо прежде
всего отметить условие D) § 1, которому должен удовлетворять на
поверхности жидкости искомый потенциал. Первые же два усло-
условия C) § 1 здесь отпадают, так как жидкость не стеснена боковыми
стенками. Что же касается третьего условия, то оно заменяется
требованием обращения в нуль скоростей движения при неограни-
неограниченном удалении от открытой поверхности в глубь жидкости.
Для решения задачи Коши — Пуассона существует несколько
методов. Самым простым из них является метод, основанный на
применении интеграла Фурье. Этот метод мы и изложим.
Рассмотрим сначала частную задачу. Предположим, что в на-
начальный момент времени поверхности жидкости не сообщено ни-
никакого изменения от ее равновесного горизонтального состояния
и все движение возникает лишь от приложенного импульсивного
Давления. Таким образом, F (х) = О, и, следовательно,
286 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА 6 НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Уравнение Лапласа при любых значениях параметров а я к
имеет частное решение следующего вида:
Ф = A (a)ekv cos к (х — a) cos at; D)
здесь А (а) — произвольная функция параметра а. Если а взять
равным Y~gk, то это решение будет удовлетворять условию D)
§ 1 и вместе с тем условию C). Скорости движения, возникающие
от потенциала скоростей D), будут стремиться к нулю при стрем-
стремлении у к отрицательной бесконечности.
Заметив эти свойства функции D), построим новый потенциал
скоростей, интегрируя потенциал D) по параметрам а ж к соот-
соответственно в пределах (—оо, оо) и @, оо). Получим новое решение
уравнения Лапласа, удовлетворяющее условиям D) § 1 и C) и ука-
указанным условиям в бесконечности:
оо оо
ц) = \^dk ^ А(а)е*у cos к (х-—a) cos Ygkt da. E)
О •—о
Допустим теперь, что функция / (х) может быть представлена ин-
интегралом Фурье:
оо оо
/ (a) cos к (х — а) da. F)
О —оо
Положим в формуле E) у = 0 и t = 0, получим
оо оо
ф = \ dk \ A (a) cos к (х — а) da.
О —оо
Сопоставляя эту формулу с формулой F), устанавливаем, что на-
начальное условие A) будет выполнено., если функцию А (а) выбрать
так:
л(а)в"^/(а)-
Отсюда искомое выражение потенциала скоростей, решающего по-
поставленную задачу, будет писаться так:
оо оо
<p=-L^d/(; ^ /(а) в** cos к (х — а) cos YJkt da. G)
О —°о
Ha основании общей формулы E) § 1 уравнение поверхности жид-
жидкости запишется для любого момента времени t следующим обра-
образом:
оо оо
Tl = — ^\dk \ Vgkf{a)cosk(x-a)smVgktda. (8)
О —оо
§ 2. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА ДЛЯ БАССЕЙНА 287
Формулами G) и (8) решается первая часть задачи Коши —
Пуассона.
Рассмотрим затем вторую часть этой задачи, предполагая, что
в начальный момент времени импульсивное давление не приклады-
прикладывается к поверхности жидкости и движение вызывается распаде-
распадением начальной, задаваемой формы поверхности жидкости. Та-
Таким образом, начальные условия для второй части задачи будут
писаться так:
Ф0г,0;0) = 0, JL(iJ) =
Возьмем такое частное решение уравнения Лапласа, анало-
аналогичное решению D):
Ф == В (а)еКу cos к (х — a) sin at, a = /gA. (9)
Предположим, что функция F (х) может быть представлена инте-
интегралом Фурье:
оо оо
F (х) = -i- \ dk [ F (a) cos к (х — a) da.
О —оо
Частное решение (9) приводит к новому решению уравнения Лап-
Лапласа, удовлетворяющему условию D) § 1:
оо оо
ф = \ dk \ В (а) е*1* cos к (х —a) sin Ygkt da.
О —«о
При t = 0 этот потенциал скоростей обращается в нуль, и если
функцию В (а) взять равной
то потенциал скоростей
оо оо
cp^JL^dfc \ F (a) e*v cos к {х-a) sin_^?fc * da A0)
0 — оо * g
будет решать вторую часть задачи Коши — Пуассона.
Уравнение поверхности жидкости будет записываться так:
оо оо
т] = — \ dk \ F(a)cosk(x — a) cos ]/~gktda. A1)
0 —оо
В силу того, что граничные условия задачи и уравнение Ла-
Лапласа линейны относительно потенциала и всех его производных,
решение полной задачи Коши — Пуассона с соблюдением началь-
начальных условий A) и B) получится простым сложением формул G),
A0) и формул (8), A1).
288 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
§ 3. Волны, образованные начальным концентрированным
возвышением поверхности жидкости
Допустим, что в момент времени t = О поверхность жидкости
получила в области начала координат концентрированное возвы-
возвышение площади, равное единице, иными словами, предположим,
что начальная форма поверхности жидкости задается в виде
б-функции.
Таким образом, функция F(x), определяющая начальный вид
поверхности жидкости, удовлетворяет условию
F (a) cos к (х — а) da = cos кх. A)
Допустим, далее, что в момент времени t = 0 к поверхности
жидкости не приложены импульсивные давления, т. е. движение
жидкости начинается без скоростей. В этих предположениях
потенциал скоростей образовавшегося движения жидкости будет
определяться формулой A0) § 2 с учетом условия A). Получим
k. B)
Преобразуем эту формулу к новому виду, пользуясь разложением
Маклорена
sin У gkt = t %¦/__.
Bn+l)l
n=0
Получим
C)
n=0
Вычислим интеграл
Cf = 5 eky cos kx-kndk,
о
в котором у <Г 0. Имеем, полагая х -\- iy = z,
п
dk = Refin-^
Положим
z — —i
§ 3. КОНЦЕНТРИРОВАННОЕ ВОЗВЫШЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 289
тогда получим искомое выражение интеграла ?f:
Подставим это выражение в формулу C). После небольпшх пре-
преобразований найдем выражение потенциала скоростей в виде
следующего бесконечного ряда:
П=0
Продифференцируем эту формулу по времени, получим
Для точек свободной поверхности угол 0 == ±х/2я; отсюда следует,
что уравнение поверхности жидкости для х ^> О запишется так:
~ ш 2-Л 1-3.5... Dт+ 1) \2х ) '
Преобразуем этот ряд к новому виду. Для этого введем функцию
S (I), определяемую таким степенным рядом:
?3 ?5 ?
П + Т^Т + +
271+1
Этот ряд легко суммируется; мы имеем
¦^=1 + ^A), 5@) = 0.
Интегрируя это дифференциальное уравнение, получаем
~T<X\fa. G)
Установив этот результат, найдем связь между рядами E) и F).
Из формулы F) получаем
?5 ?9
положим здесь
10 Л. Н. Сретенский
290 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
найдем
Таким образом, получаем новое представление ординат г\ свобод-
свободной поверхности:
(8,
Освободимся в этой формуле от мнимых выражений. Полагая
в формуле G)
--L*
2х '
получаем
^Нл^гт* 5
е 2 dr.
о
Аналогично
о
С помощью двух последних формул находим
.2 f
Обращаясь к формуле (8), получаем уравнение поверхности
§ 3. КОНЦЕНТРИРОВАННОЕ ВОЗВЫШЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ 291
жидкости, представленное через интегралы Френеля:
т/"ИЕ
Г 2Х
~— \ cos -77- т2ат +
4а? J 2 '
(9)
Две полученные нами формулы E) и (9) позволяют: первая — вы-
вычислять г) для малых значений безразмерного параметра
к =
gt*
2х '
а вторая — для больших значений параметра к.
Вместе с тем эти формулы дают возможность установить общие
закономерности распространения волн от местного начального
изменения поверхности жидкости.
Обратимся к формуле E) и запишем ее в сокращенном виде:
T|*(fc),
где К (к) — бесконечный ряд этой формулы.
Найдем для данного момента времени положения максималь-
максимальных и минимальных ординат поверхности жидкости. Дифферен-
Дифференцируя предыдущее уравнение по j и приравнивая результат
нулю, получаем
К (к) + кК' (к) = 0. (И)
Решая это уравнение, находим бесконечное число его корней
0<Л1<Л9<Л3< • • ., A2)
имеющих предельную точку в бесконечности, ибо левая часть
уравнения — целая функция переменного к.
По подсчетам Коши, обратные значения первых десяти чисел
A2) суть
4- = 0,32536 ..., 4- = 0Д20 • • -
±- = 0,069 ..., -L = 0,048 ...,
Т5Г-О.О37..., -*- = 0,030 ....
т- = 0,025 ..., ±. = °'022 • • • -
4 .., ±- = 0,017...
10*
292 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Перед каждым из этих чисел следует брать двойной знак. Знак
минус отвечает волнам, идущим в направлении к —оо; знак плюс
отвечает волнам, идущим к -{-ею. Обе системы волн симметричны
друг другу относительно оси Оу. В дальнейшем мы рассматриваем
вторую систему.
Имея в виду значение параметра /с, мы приходим к следующему
закону распространения экстремальных ординат:
Xl ~ кх ~2~~' Хг "" к2 2 ' Хз ~" кг ~~2Г
Таким образом, вершины волн и нижние точки долин распростра-
распространяются равномерно ускоренно в обе стороны от начала координат
в бесконечность. У каждой вершины и каждой подошвы волны —
свое ускорение, и чем ближе к началу координат, месту возникно-
возникновения волн, вершина или подошва волны, тем меньше ее уско-
ускорение.
Абсолютная величина каждой максимальной и минимальной
ординаты изменяется при движении экстремальных ординат
обратно пропорционально квадрату времени. Это заключение
легко выводится из уравнения A0), из которого следует, кроме
того, что узлы волновой поверхности распространяются тоже рав-
равномерно ускоренно. Положение этих узлов находится из решения
трансцендентного уравнения К (к) — 0. Обозначим через
0<к[< к'2< к'3< . . .
корни этого уравнения. Предельной точкой этих корней будет
бесконечно удаленная точка. Каждый узел распространяется
по закону
В каждый момент времени предельной точкой узлов волновой
поверхности является начало координат — источник всего вол-
волнового движения. Чем дальше отстоит от начала координат узел,
тем больше его ускорение, следовательно, участок волны между
двумя последовательными узлами неограниченно растягивается
с течением времени, и так как экстремальные ординаты убывают
обратно пропорционально квадрату времени, то этот участок
волны стремится совпасть с осью Ох.
Все эти заключения о законе распространения волн получены
из уравнения A0). Добавочные сведения можно получить из урав-
уравнения (9). Определим вид волновой поверхности около начала
координат. Для малых значений х и при данном времени t
интегралы формулы (9) могут быть заменены их предельными
8 а. КОНЦЕНТРИРОВАННОЕ ВОЗВЫШЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
203
значениями:
cos
ОС
= 5 sin
о
Отсюда получаем
cos(^~~
A3)
200 Y
~200\
Это уравнение показывает, что около начала координат скапли-
скапливается бесконечное число уз- ^
лов волновой поверхности и
значения экстремальных ор- ,
динат, заключенных между
двумя последовательными уз-
узлами, неограниченно растут
при приближении к началу
координат. Это несколько па-
парадоксальное следствие про-
проведенного анализа имеет в
своей основе самую сущность
рассматриваемой задачи, а
именно возникновение волн
от начального возвышения,
сконцентрированного в одной
точке. При распределенном
начальном возвышении с таким следствием не встретимся.
Замена полного уравнения (9) приближенным уравнением A3)
допустима не только для данного времени t и малых #, но и для
too
JO
О
-50
-too
Рис. 20.
0,3
Рис. 21.
Рис. 22.
данного значения х и больших значений времени. В силу этого
мы можем видеть, как в данной точке изменяется уровень жидко-
жидкости по истечении достаточно большого промежутка времени.
Мы видим, что с увеличением времени колебания поверхности
жидкости в данном месте происходят с частотой, все более и более
увеличивающейся, притом размахи колебаний растут пропорцио-
пропорционально времени; это есть следствие того, что в начальный момент
294 М. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
времени возвышение поверхности жидкости сосредоточено в на-
начале координат и из него, как из неистощимого источника, исхо-
исходят возмущения, распространяющиеся затем по всей поверхности
жидкости.
На рис. 20 и рис. 21 изображен вид поверхности жидкости
в определенный момент времени; рис. 22 показывает, как изменя-
изменяется с течением времени возвышение поверхности жидкости в опре-
определенном месте оси абсцисс. Эти рисунки получены расчетом ве-
величины ц по данным выше формулам E) и (9).
§ 4. Волны от сосредоточенного импульса давлений
Возьмем формулу A0) § 2 и продифференцируем ее по времени,
мы получим тогда формулу G) § 2, в которой / (а) заменено через
gpF (а). Равным образом дифференцирование формулы A1) § 2 при-
приводит к формуле (8) § 2 при указанной замене.
Следовательно, решив задачу о волнах, возникающих от на-
начального возвышения поверхности жидкости, мы получаем про-
простым дифференцированием решение задачи о волнах, возникаю-
возникающих от импульсивного давления, приложенного к поверхности
жидкости.
Применим это замечание общего характера к определению
волновых движений, возникающих от сосредоточенного импуль-
импульсивного давления, приложенного к началу координат. Составим
и проанализируем уравнения для ординат свободной поверхности.
Из уравнения E) § 3 имеем
1 - ngt* Zj 1-3-5... Dm+ 1) \ 2x
Дифференцируя формулу (9) § 3, находим уравнение поверхности
для новой задачи:
Отметим, что величина импульса равна здесь pg.
Полученные формулы приводят к ряду заключений о распро-
распространении волн. Как и в первой части задачи Коши — Пуассона,
узлы волновой поверхности движутся в обе стороны от места при-
приложения импульса в бесконечность равномерно ускоренно. Чем
§ 4. ВОЛНЫ ОТ СОСРЕДОТОЧЕННОГО ИМПУЛЬСА ДАВЛЕНИЙ 295
дальше от начала координат находится узел, тем с большим уско-
ускорением он перемещается. Уравнение, определяющее положение
экстремальных ординат на поверхности жидкости в данный мо-
момент времени,
43-= о
дх
имеет бесконечное число корней
О < кг < к2< кг< . . .
с предельной точкой в бесконечности. Отсюда вытекает что каждая
экстремальная ордината уходит в бесконечность равномерно
ускоренно:
и величина самой ординаты уменьшается по своей абсолютной ве-
величине обратно пропорционально кубу времени. Подсчеты пока-
показывают, что ускорение первой максимальной ординаты равно
0,59763 g.
Таким образом, расстояние между каждыми двумя соседними
узлами неограниченно растет с течением времени и вся поверх-
поверхность жидкости между такими узлами начинает очень быстро
прилегать к среднему уровню.
Уравнение A) позволяет находить ординаты поверхности
жидкости для малых значений параметра
т. е. для больших значений х при данном времени, или же для
данного х в начале волнового движения. Уравнение же B) удобно
для вычислений ординат г) для больших значений &, потому что
для таких значений этого параметра интегралы могут быть заме-
заменены их предельными значениями при к = оо.
Выполняя вычисления, находим
S—H+
Из этой формулы можно вывести такие же следствия, какие были
выведены из формулы A3) § 3. Если величине t дать какое-нибудь
значение, то формула C) даст возможность определить вид по-
поверхности жидкости около начала координат. При стремлении х
к началу координат ординаты поверхности испытывают неогра-
неограниченно учащающиеся колебания. Экстремальные ординаты без-
безгранично увеличиваются до своей абсолютной величине,
296 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Если же наблюдать за изменением г] в данном месте, то будем
видеть колебания уровня жидкости с безгранично увеличиваю-
увеличивающейся частотой и неограниченно растущими экстремальными ор-
ординатами.
V
10000 -
-10000-
Рис. 23.
Рис. 24.
Рис. 25.
Отметим, что из уравнения C) возможно определить в числах
изменение частот колебаний уровня и увеличение экстремальных
ординат.
На рис. 23 и рис. 24 показана форма поверхности жидкости
в определенный момент времени, а на рис. 25 показано, как изме-
изменяется в данном месте оси Ох возвышение уровня жидкости в за-
зависимости от времени.
§ 5. Примеры
В двух последних параграфах были рассмотрены волновые
движения, возникшие от концентрированного возвышения по-
поверхности жидкости и от концентрированного начального импуль-
импульса. Интегрируя полученные формулы, можно найти уравнения
§ 1 ПРИМЕРЫ 297
поверхности жидкости при начальном возвышении и начальном
импульсивном давлении распределенного вида.
Но можно- прийти к целому ряду интересных частных форм
движения на основе следующего замечания Коши. Рассмотрим
потенциал скоростей ср (х, у; t) волнового движения. Функция
Ф (х, у; t) есть интеграл уравнения Лапласа, с помощью этой
функции можно построить новый интеграл уравнения Лапласа
Г (х, у; t) по формуле
Так как потенциал ф соответствует волновому движению, то при
у = О гармоническая функция Г (х, у; t) будет обращаться в нуль
во всех точках оси абсцисс. Кроме того, при стремлении у к отри-
отрицательной бесконечности обе частные производные
стремятся к нулю в силу добавочного условия об отсутствии
движения на бесконечной глубине. Отсюда вытекает, что введен-
введенная гармоническая функция Г (х, у; t) тождественно равна нулю.
Следовательно, во всей массе жидкости, обладающей волновым
движением с потенциалом скоростей ф (х, у; ?), удовлетворяется
не только уравнение Лапласа, но и уравнение параболического
типа
№ + б ду V- КЧ
Уравнению A) будет удовлетворять и гармоническая функция
Н (х, у; t) = ^--. При постоянном значении у = с функция
Н (х, с; t) будет давать ординаты волны, бегущей по невозмущен-
невозмущенному уровню у = с.
Это положение Коши было использовано лордом Кельвином
для построения ряда примеров распадения начальной формы
поверхности жидкости [135].
Уравнение A) имеет, как известно, частное решение следую-
следующего вида:
JJ^L e^fcr, B)
где а — произвольное постоянное число; примем это число рав-
равным — У~^Ах.
Таким образом, Н стала функцией комплексного переменного
У + ix. Поэтому ее мнимая и действительная части Н\ и Н%
298 ГЛ. It. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА С) НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
удовлетворяют уравнению Лапласа и, кроме того, уравнениям
— ' dt* ^ g ду ~ '
~1Р~"+" g ду — ' dt* ^ g ду
Каждая из этих функций представит при постоянном у ординаты
некоторой движущейся неустановившейся волны.
Примем для исследования этих волн следующие обозначения:
х• = р sin 20, у = —р cos 20.
С помощью этих обозначений функции Нх и Н2 могут быть за-
записаны так:
C)
Ограничимся рассмотрением функции Нг.
Дадим у какое-нибудь постоянное отрицательное значение —с,
тогда будем иметь для положительных абсцисс
и аргумент у тригонометрических функций в уравнениях C) и D)
запишется так:
0--^-sin 49.
Отсюда нетрудно получить, что в момент времени t — 0 урав-
уравнение поверхности жидкости записывается так:
В начальный момент времени скорости частиц жидкости равны
t
нулю, так как потенциал скоростей будет ф = g \ Hxdt.
о
Рассмотрим волну C) и определим ее узлы. Они найдутся из
следующего уравнения:
0 + ™ = T
как абсциссы точек пересечения синусоиды -~— sin 48 с семей-
ос
ством отрезков прямых линий 0 + теп -f- я/2, рассматриваемых
для п — 0, 1, 2, . . . при изменении 0 от 0 до я/4.
§ 5. ПРИМЕРЫ
299
Возьмем сначала п = О и будем давать параметру gf/(8c)
значения, увеличивающиеся от нуля. При некотором значении
времени произойдет касание синусоиды у = -^— sin 49 с отрезком
прямой линии у = 9 + я/2. Из этой точки касания образуются
затем два узла, из которых один будет уходить в бесконечность,
а другой — стремиться к началу координат. При дальнейшем
12
16
-az
Рис. 27.
увеличении времени произойдет для некоторого значения 9 ка-
касание синусоиды и отрезка прямой линии у — 9 + Зя/2. Отсюда
возникнут еще два узла, один из этих узлов будет уходить в бес-
бесконечность, а другой — к началу координат.
Таким образом, при увеличении времени появляются на по-
поверхности волны, в определенных ее местах, два новых узла
с противоположными направлениями движения. Одно семейство
узлов уходит в бесконечность, а другое имеет предельную точку
в начале координат.
Между каждыми двумя образовавшимися узлами ординаты
поверхности жидкости весьма быстро стремятся к нулю при уве-
увеличении времени.
Кривая, изображающая начальную функцию E), дана на
рис. 26. Изменение вида этой кривой, т. е. начальной формы
«оверхлостд яшдкостц? иллюстрируется рис? 27? Этот рисуцо^
300 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
изображает форму поверхности жидкости для семи моментов вре-
времени:
/ _ О- / *.oi/c — 1 . 1- 3 . ?. 5 . ^
Рассмотренный нами пример имеет то неудобство, что полная
площадь начального возвышения поверхности жидкости равна
бесконечности. От этого неудобства можно избавиться, рассма-
рассматривая вместо функции Нг производную по х от функции Н2.
Итак, рассмотрим распадение начального возвышения, опре-
определяемого формулой
2 ""
dx
2 (с
V—
Дифференцируя функцию D) по переменному ж, находим уравнение
свободной поверхности для каждого момента времени:
На рис. 28 показана кривая G); общая площадь, ограниченная
этой кривой и осью абсцисс, равна нулю; части кривой G), воз-
возвышающиеся над горизонтальной прямой у — —с, заключены
внутри узкого отрезка ширины 2|ЛЗ с; при увеличении | х \
ординаты рассматриваемой кривой убывают, как | х |~s/2. Эти об-
обстоятельства делают рассматриваемое начальное возвышение
весьма удобным для изучения распространения волн, возникающих
от отдельных возвышений.
§ 5. ПРИМЕРЫ 301
На том же рис. 28 указана форма поверхности жидкости для
различных моментов времени. Цифрами помечены точки пересе-
пересечения поверхности жидкости с ее невозмущенным положением.
Абсциссы этих точек найдутся из уравнения
cos [ 39 — -|?- sin 48] — -f^- cos 29 cos [58 — ~^- sin 4в] = 0.
Анализ этого уравнения показывает, что в момент времени t = 0
имеется с каждой стороны оси Оу по одному узлу. Между момен-
моментами t = 0 и t — 1/2}/'п • 2)/ clg с каждой стороны от начала коор-
координат возникает еще по одному узлу B), которые так же, как и на-
начальные узлы, удаляются от начала координат. Между моментами
времени t — |Лгс-2 Y^c/g и t = 3/2 y~n-2]/~c/g появляются еще
два узла C, 3) с каждой стороны оси Оу. Один из этих узлов
движется к оси Оу, другой — от нее. В момент времени
t = 4|/*jt • 2J/ clg имеем по шестнадцати узлов с каждой стороны
оси ординат. На положительной части линии у — —с девять из
этих узлов A, 2, 3, . . ., 9) лежат правее точки х = с, семь же
остальных узлов находятся между началом координат и точкой
х = с. При увеличении времени первые из упомянутых узлов
удаляются от начала координат, остальные же семь прибли-
приближаются к нему. Такое же распределение и движение будет наблю-
наблюдаться и у шестнадцати узлов, расположенных левее начала
координат. При t = 8|/"jt«2]/"c/g имеется уже по 64 узла с каждой
стороны от оси ординат. Тридцать три узла из каждых шестиде-
шестидесяти четырех имеют абсциссу, большую величины с по абсолют-
абсолютному значению; эти узлы удаляются в бесконечность с увеличением
времени. Остальные же узлы группируются в интервале (—с, с)
и при увеличении времени неограниченно приближаются к оси Оу.
Рис. 29—31, взятые из статьи Кельвина [135], показывают
распространение группы волн, образованной сложением девяти
изученных выше волн и состоящей в начальный момент времени
из пяти гребней и четырех долин.
В качестве следующего примера рассмотрим образование
волн от начального возвышения постоянной величины h, возник-
возникшего на отрезке [—а, а] оси абсцисс. Применение общей формулы
(И) § 2 приводит к уравнению поверхности жидкости для любого
момента времени Р.
Ц = -jj- \ cos kx cos (Ygk t)sin Ы —|- .
о
Придадим этому уравнению следующий вид:
41 + 58 + 5з + 54), (8)
302 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
где
оо оо
о
о о
Рассмотрим сначала интеграл Sx. Введем вместо к новое
о
Рис. 29.
О
Рис. 31.
переменное интегрирования и по следующей формуле
и положим для краткости записи
х -f- а
Получим
Sl = f ei<»,(*-VZ) ^L.
Найдем асимптотическое выражение этого интеграла для больших
5. ПРИМЕРЫ BOS
значений (йг [41, [25]. Для этого, обозначая
х __ /и = F (х),
найдем нули производной функции F (х). Имеем
1 rfa/g- 1
Производная обращается в нуль для х = 1/4. При этом значе-
значении х вторая производная положительна и равна 2. Отсюда полу-
получаем следующую формулу для больших значений с^:
Совершенно так же найдем асимптотическую формулу для инте-
интеграла S2i пригодную для больших значений параметра со2:
@2
Получаем
-Г('^). (Ю)
Формулы (9) и A0), составленные для положительных значений щ
и 02» т- е« Для х^> а> Дают величины интегралов Sx и 52 с точностью
до ©7Vl и ^г^-
Обратимся к интегралу 53. Преобразовывая этот интеграл
к переменному х, мы получаем в показателе степени функцию
F (х) = х + |/"х.
В промежутке интегрирования @, оо) эта функция не имеет экстре-
экстремумов, следовательно, для больших значений щ интеграл S3
будет порядка со^1, т. е. будет несравненно меньше интегралов
S± и S2. Точно так же для больших значений оо2 интеграл ?4 пре-
пренебрежимо мал по сравнению с интегралами Sx и 52.
Таким образом, для больших значений параметров о)! и со2
имеем вместо полной формулы (8) следующую асимптотическую
формулу:
Если мы будем рассматривать значения х, достаточно большие по
отношению к а, то множитель
со2 V х + а
304 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
будет близок к единице, и формула A1) может быть переписана
тогда так:
sin-I-
или
В данном месте оси абсцисс, достаточно удаленном от области
начального подъема поверхности жидкости, колебания уровня
в зависимости от времени можно графически представить синусо-
синусоидой
[4^Ч^] A2)
вписанной в части плоскости, ограниченные двумя косинусои-
косинусоидами:
AkV* + i cog Г j
1 ~ tV^g L
Расстояния Ап между двумя последовательными узлами косину-
косинусоиды сжимаются с увеличением номера п узла и равны для уда-
удаленных, по времени, узлов следующей величине:
Д = "^ х_
п Vag V'n '
Последовательные же узлы синусоиды гц разделены расстоянием
Так как х должно быть взято значительно большим, чем а, то
множитель Уа/х будет близок к нулю; следовательно, Ал значи-
значительно больше, чем А^. Это показывает, что в область, ограничен-
ограниченную двумя арками косинусоид гJ и взятую между ее двумя после-
последовательными узлами, вписывается значительное число арок си-
синусоиды т)х. Так как амплитуды косинусоид гJ стремятся к нулю
с возрастанием времени, то при этом будет наблюдаться в данном
месте своеобразное явление биений с неограниченно уменьшаю-
уменьшающимися общими отклонениями уровня жидкости от равновес-
равновесного его положения.
В добавлении XVI к своему основному мемуару по теории
волн Коши рассмотрел, помимо сейчас приведенного, еще целый
ряд других примеров распадения начальных возвышений поверх-
поверхности жидкости. Эти примеры, как и разобранные выше, указы-
Jj б. БАССЕЙН С РАВНОМЕРНО ПОНИЖАЮЩИМСЯ ДНОМ 305
вают на всю сложность и своеобразие движения волн, возникаю-
возникающих даже от самых простых начальных форм поверхности жид-
жидкости. Такая сложность и в некоторых случаях запутанность
в распространении волн могут быть объяснены наличием диспер-
дисперсии рассматриваемого нами волнового процесса.
§ 6. Задача Коши — Пуассона для бассейна
с равномерно понижающимся дном
Рассмотрим бассейн, дно которого представляет собой пря-
прямую линию, наклоненную к горизонту под некоторым углом а.
Допустим, что в начальный момент времени поверхность жид-
жидкости получила какое-то изменение своего равновесного горизон-
горизонтального вида, а частицам жидкости сообщены некоторые началь-
начальные скорости, зависящие от потенциала. Требуется определить
по этим данным последующее движение жидкости и, в частности,
форму ее открытой поверхности в любой момент времени. Впервые
эта задача была рассмотрена Б. Н. Румянцевым, который решил
ее с помощью интегральных уравнений в предположении, что
угол а — целая доля от 90° [35]. Мы изложим решение этой задачи
с помощью соображений, которые были использованы Б. Н. Ру-
Румянцевым и которые основываются на приеме, позволившем ре-
решить задачу Коши — Пуассона для бассейна бесконечной глу-
глубины.
Рассмотрим сначала движение жидкости, возникающее лишь
от начального импульсивного давления, приложенного к поверх-
поверхности жидкости. Следовательно, начальные условия задачи за-
запишутся так:
рФ(*,0;0) = /(а), ^-ЭФУО)=О. A)
В § 42 гл. I был найден потенциал скоростей собственных колеба-
колебаний жидкости в бассейне, дно которого наклонено к горизонту
под углом а — n/Bq). Этот потенциал дается формулой F) § 42
гл. I; перепишем эту формулу, полагая в ней 8 = 0и заменяя о
через У (о, получим
Ф (я, у; t) =
= С cos /со t Re ^ *Т mBj"q+1) ctg a ctg 2а ... ctg /а еV, B)
j
где
ico
= е
g
g
Коэффициент С произволен, будем считать его некоторой функци-
функцией параметра со и проинтегрируем обе части формулы B) по этому
параметру от 0 до ос;. В результате получим потенциал скоростей
306 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯМ
некоторого неустановившегося движения жидкости:
оо
Ф (ж, у; t) = $ К (х, у; со) С (со) cos /со t dco. C)
о
Здесь для краткости записи через К (х, у; со) обозначена действи-
действительная часть той суммы, которая входит в формулу B).
Определим теперь функцию С (со) так, чтобы были удовлетво-
удовлетворены начальные условия задачи A).
Второе из этих условий удовлетворяется само собой, первое
же приводит к интегральному уравнению для функции С (со):
dCD = /(?). D)
о
Ядро этого уравнения зависит лишь от произведения акт и имеет
следующий вид:
к (ш) = р Re S eT nm~q+1) ctg a ctg 2а... ctg /аЛ*, E)
причем
Таким образом, задача об определении функции С (со) привелась
к решению интегрального уравнения первого рода. Это уравне-
уравнение может быть решено на основании формул обращения, подоб-
подобных взаимным формулам теории интеграла Фурье.
Такие формулы обращения можно установить, если, например,
соблюдается следующее условие:
где I — какое-нибудь число, а функция кх (у) определяется фор-
формулой [59]
*i (У) = \ к (и)du-
о
При соблюдении этого условия будем иметь две взаимные
формулы:
/ (х) = 5 к М с И d@' С (ж) = J й (соя) / (со) dco. G)
о о
Можно показать, что ядро E) интегрального уравнения (^удовле-
(^удовлетворяет условию F).
§ 6. БАССЕЙН С РАВНОМЕРНО ПОНИЖАЮЩИМСЯ ДНОМ 307
Установим это свойство лишь для бассейна, дно которого на-
наклонено под углом 45° к горизонту. Для такого бассейна ядро E)
запишется следующим образом:
М«*) = р [cos (^ + 4
Функция к± (у) имеет вид
(у) = gp [sin (JL + -г «)
Составим теперь интеграл F), получим
^- (8)
Пользуясь таблицами определенных интегралов, можно устано-
установить, что интеграл, находящийся во втором слагаемом правой
части этой формулы, равен -^ я, а интеграл в третьем слагаемом
равен нулю. Что же касается последнего интеграла формулы (8),
то его можно вычислить так:
Заметим теперь следующие формулы:
U
±-d% = — Ei(— u) = — y — lnu + Q(u),
ч
308 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
где у — постоянная Эйлера, а Р (и) и Q (и) — некоторые степен-
степенные ряды, не содержащие свободных членов. Из этих формул
вытекает, что интеграл (9) равен нулю.
Таким образом, получаем значение интеграла (8):
о
но
о | —-g- Я,
Следовательно,
\ к (ш) 1V *' da =
о,
Сравнивая этот результат с условием F), видим, что условия су-
существования взаимных формул соблюдаются, но не для ядра E),
а для видоизмененного ядра
Перепишем для этого ядра уравнение D):
Это уравнение может быть решено на основании формул обращения
G), написанных для ядра kf (core). Получим
О
или, возвращаясь к ядру к (сох),
Подставляя это значение функции С (х) в формулу C), получим
потенциал скоростей, решающий задачу Коши — Пуассона для
§ 6. БАССЕЙН С РАВНОМЕРНО ПОНИЖАЮЩИМСЯ ДНОМ 309
рассматриваемого бассейна:
cos
оо
-^ — 4" Я)] cos У~® td(* \ Icos ("Т" + 4"
Дифференцируя эту формулу по времени и полагая затем у — 0,
получим уравнение свободной поверхности жидкости:
fcos (ir^
0 L
x
о
Формулами A0) и A1) решается полностью задача о волнах при
угле наклона дна к горизонту, равном 45°.
Составим теперь формулы для определения потенциала скоро-
скоростей и вида поверхности жидкости в предположении, что движе-
движение возникает от начального возвышения поверхности жидкости,
без приложения к ней импульсивных давлений. Начальные усло-
условия новой задачи запишутся так:
гтл/ п а\ п 1 дф(х, 0; 0) „ 7 ч
рФ (ж, 0; 0) = 0, Нг~^ = F <*)•
Нетрудно видеть, что решение этой задачи будет даваться форму-
формулами, получаемыми простым видоизменением формул A0) и A1):
оо
Ф(х, у; t) = A^ |>«cos {—- + 4"
A2)
4 = Ь Ucos (т-+тя)+-w1]cos
о
310 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
§ 7. Волны от местного подъема поверхности жидкости
Предположим, что в начальный момент времени возникло около
точки х = х0 концентрированное возвышение поверхности жид-
жидкости общей площадью S. Такое возвышение может быть изобра-
изображено функцией б (х — х0).
Формула A2) § 13 гл. I дает уравнение поверхности жидкости
для произвольного момента времени:
Основываясь на этой формуле, Б. Н. Румянцев нашел, путем ее
интегрирования (т. е. суммируя отдельные точечные воздействия),
2,0
Рис. 32.
вид поверхности жидкости для начального возвышения постоян-
постоянной величины, взятого на отрезке длины 10 см и отстоящего на 1 ж
от начала координат.
Соответствующие вычисления были выполнены быстродей-
быстродействующими электронными машинами для значений времени
t = 72, 1, 2, 4, 8 сек.
Результаты подсчетов приведены на рис. 32, рис. 33, заимствован-
заимствованных нами из статьи Б. Н. Румянцева [35]. По оси ординат откла-
откладывалась величина г) — ят)/B0, где Q — объем жидкости, заклю-
заключенной между профилем начального возвышения и осью абсцисс.
§ 1. ВОЛНЫ ОТ МЕСТНОГО ПОДЪЕМА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 311
о
-1,0
t~Y aeu
2,0
1,0
о
-1,0
Г\
i=lсек
10 ' V
2,0
1,0
о
-1,0
2,0
Рис, 34,
О
-1,0
О
4,0
t=8 сек
1,0
2,0
Рис. 35.
312 Ш. tl. ПЛОСЙАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Приведенные рисунки показывают, что начальное концентри-
концентрированное возвышение, начиная распадаться, образует две группы
волн, одна группа уходит от берега в бесконечность, другая же
группа волн идет к берегу, отражается от него и затем, как и
первая группа, уходит в бесконечность, и оставляет за собой
лишь незначительные колебания поверхности.
Аналогичные графики, иллюстрирующие распространение волн
от начального импульса, могут быть построены на основе форму-
формулы A1) § 13 гл. I, что и было сделано Б. Н. Румянцевым (рис. 34,
рис. 35). Здесь по оси ординат отложена величина r\z=n(jgr\/BII
где / — величина начального импульса.
§ 8. Неустановившиеся колебания поплавка
Допустим, что в жидкость погружено некоторое твердое тело,
симметричное относительно вертикали своего центра тяжести.
Допустим, далее, что вес тела уравновешивается действующей
на него силой Архимеда. Благодаря этому тело будет находиться
в состоянии равновесия. Приподнимем теперь это тело на неко-
некоторую небольшую высоту и предоставим ему возможность опу-
опускаться. Наша задача будет состоять в том, чтобы изучить после-
последующее движение тела, учитывая возникновение волн в окружаю-
окружающей жидкости. При решении этой задачи мы будем предполагать,
что в начальный момент времени поверхность жидкости горизон-
горизонтальна и телу не придается никакой вертикальной скорости.
В силу этого жидкость придет в движение без начальных скоро-
скоростей своих частиц и начальная потенциальная энергия тела будет
расходоваться на образование волн, уходящих в обе стороны от
тела в бесконечность.
Потенциал скоростей образовавшегося движения жидкости
будет удовлетворять при у — 0 следующим условиям:
В силу симметрии тела относительно вертикали, оси Оу, эти и
дальнейшие условия можно рассматривать лишь для положи-
положительных значений х.
Условие обтекания качающегося тела имеет при х ]> О следую-
следующий вид:
--g.-cWcosp, B)
где C — угол внешней нормали п к поверхности тела с осью Оу,
с (t) — вертикальная составляющая скорости центра тяжести
тела. Предположим, что правая часть поверхности тела дается
§ 8. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ПОПЛАВКА 313
в момент времени t уравнением
х = <хЗ (у — s (t)) = а со (у).
Будем предполагать, что а — очень малое число; в силу этого
можно принять, что
cos р = —асо' (у).
Помимо этого, нормальную производную в условии B) можно
заменить частной производной по переменному х, вычисленной
при х = 0.
Таким образом, условие B) примет следующий вид:
причем переменное у изменяется от нуля до —h (t), где h (t) ^> 0 —
переменная осадка колеблющегося поплавка. В состоянии равно-
равновесия h — h0 имеет заданное значение, определяемое весом по-
поплавка и формой его поверхности. Что же касается s (t), то это —
искомое возвышение тела в момент времени t над осью Ох. Отме-
Отметим, что ds/dt = с (f).
Рассмотрим на оси Оу от точки у = —h (t) до точки у = 0
простой слой источников плотности
Симметрично этому слою расположим на положительной части
той же оси простой слой источников плотности
q {у) = ас со' (— у).
Потенциал скоростей движения жидкости, вызванного этими про-
простыми слоями, запишется так:
Представим искомый потенциал скоростей ф (х, у; t) в виде сле-
следующей суммы:
ф(х, y,t)=?\ со'(_р)ь[;+;;1
о
При написании этой формулы мы заменили верхний предел ин-
интеграла D) его значением, отвечающим состоянию равновесия
поплавка. Эта замена допустима при взятой степени точности
подсчетов? так как число а малое,
314 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Интегральное слагаемое формулы E) удовлетворяет усло-
условию C), вытекающему из свойства нормальных производных по-
потенциала простого слоя в точках самого слоя, и, кроме того, обра-
обращается в нуль при у = 0.
Функция фх (х, у; t) — новая искомая функция. Эта функция
должна быть регулярна во всей нижней полуплоскости и должна
быть определена так, чтобы функция ф (х, у; t) удовлетворяла
условиям A). Первое из этих условий приводится к следующему
виду:
^ + ^ + 2Цо>'(-Р)^ = 0. F)
0
Будем искать функцию фх (#, у; t) в виде следующего интеграла,
содержащего неизвестную функцию А (к, t):
h0 оо
Ф1 & y;t) = [ со' (— р) dp jj А (к, t) е*(У-М cos kx dk. G)
о о
Чтобы найти функцию А (к, t), воспользуемся граничным усло-
условием F).
Принимая во внимание формулу
с»
-Jj~_ = ^ е-№ cos kzdk,
находим, что условие F) удовлетворится, если функция А (к, t)
будет интегралом уравнения
Общий интеграл этого уравнения пишется так:
t
А = Сг cos Y~gk t + С2 sin Y"gk t — -^L- \ с (x) sin Y~gk (t — t) dx.
Легко видеть, что два последних условия A) будут удовлетво-
удовлетворяться, если Сг и С2 приравнять нулю.
Таким образом, имеем для А (/с, t) следующее окончательное
выражение:
t
-x)dx. (8)
Совокупность формул E), G) и (8) определяет искомый потенциал
скоростей.
§ 8. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ПОПЛАВКА 315
Составим теперь уравнение движения поплавка. Для этого
найдем вертикальную составляющую Y результирующей сил дав-
давления жидкости на обе поверхности поплавка.
Имея в виду малость скоростей частиц жидкости, мы можем
взять интеграл Бернулли в следующем упрощенном виде:
Отсюда имеем для составляющей Y следующее выражение:
о
Y = — 2 § р cos p dy,
но cos p = —асо' (г/), следовательно,
о
Y = 2a ^ P<*'(y)dy.
-МО
Пользуясь интегралом Бернулли, придаем этой формуле такой
вид:
о о
^L®'(y)dy—2apg ^ y<*'(y)dy.
-/КО -ft(O
Преобразуем последний интеграл этой формулы; выполняя ин-
интегрирование по частям, получаем в предположении, что
со (—Л) = О,
о о
\ y®'(y)dy=— \ (o(y)dy= — S + ®{O)s(t);
-ад -ад
здесь aS — половина площади тела, находящейся под уровнем
жидкости в состоянии гидростатического равновесия.
Теперь формула для Y может быть переписана так:
о
Y=Q-2apgo>@)*(t) + 2ap ^со'(у)dy; (9)
здесь Q — вес тела; нижний предел интегрирования можно было
бы взять равным —h0 вместо —h (t).
Пользуясь формулами E), G) и (8), можно вычислить инте-
интегральное слагаемое формулы (9).
316 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Выполняя такое вычисление, получаем для Y следующее вы-
выражение:
Y = Q-2apgu@)s(t)-?&-%- \®'(у)*У \ «>' (Р) In | %Ц \d?> -
—ho -h0
t оо
о о
где о
= \ ri(y)e*vdy.
§ 9. Решение уравнения колебаний поплавка
Полученное в конце § 8 выражение для силы У позволяет
написать уравнение движения поплавка в вертикальном направ-
направлении. Называя через т массу поплавка, записываем уравнение
его движения в следующем виде:
t оо
О
где
о о
|l?jj| A)
—Ло —h0
Преобразуем интегрированием по частям вторую часть уравнения}
обозначая через s0 начальное поднятие поплавка над осью Охл
получим
t
+ n*s^K(t- x)s(x)dx + sof(t). B)
Поясним принятые обозначения:
пг = 2apg(o@) + ^-^ R2(k)dk,
K(t-x) = ^- \ YlfrlP (к) sin Ygh (t - х) dk,
О
оо
f(t) = i^ii № (к) cos Ygktdk.
о
§ 9. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПОПЛАВКА 317
Решение интегро-дифференциального уравнения B) можно по-
получить с помощью преобразования Лапласа.
Умножим обе части уравнения B) на e~tz и, считая действи-
действительную часть комплексного числа z положительной, проинте-
проинтегрируем полученное произведение по переменному t от 0 до оо.
Найдем
= s0 5 e~tzf (оdt- с3)
о
Преобразуем слагаемые левой части этого уравнения, принимая
во внимание, что с @) — 0; получим
\(М-g + n*s\e-tzdt = - Mzs0 + (Mz« + n*)^s(t) e'izdt,
о о
— x)s(x)dx =
о о
t
0 0 0
где
оо
fc(z) = [ e-uzK(u)du.
о
Теперь уравнение C) может быть переписано так:
ос
[ s (т) е-« dx = m^I+J^I^ s0, D)
О
где
о о
Таким образом, решение уравнения B) привелось к задаче обра-
обращения интеграла D).
Обозначая буквой а некоторое положительное число, полу-
получаем s (t) в виде следующего контурного интеграла:
s(t)-J*- f ezt
a—ooi
Для получения окончательного выражения функции s (t) заме-
заметим, что К (t) — —/' (t), откуда следует связь между функциями
318 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
к (z) и if> (z):
к (z) = п2 — 2оф#со @) — яф (z).
В силу этой формулы имеем
/ + Mz* + z* (s) aZ' ^°>
a—ooi
Оставляя в стороне задачу об исследовании интеграла E) как
функции времени для поплавка произвольной формы, рассмотрим
один частный пример, на котором достаточно хорошо выясняются
особенности рассматриваемого движения тела с образованием им
волн.
Предположим, что функция ш (у) имеет следующий вид:
со (у) = e*v, I > 0;
примем вместе с тем, что h0 — оо. Для такой функции имеем по
формуле A)
т к \ 2 ^ 2aZ
Обозначим выражение в скобках этой формулы буквой [i и поло-
положим, кроме того,
Y "" 2aZ ' ^W- E2_iJ ь.
Укажем вместе с тем выражения функций R (к) и г|з (z):
где
Принимая все эти обозначения, мы можем для рассматриваемой
частной задачи записать формулу E) так:
•о-feT*1*
Функция In ? неоднозначна на плоскости комплексного перемен-
переменного |; по смыслу задачи мы берем ту ветвь этой функции, которая
имеет действительные значения при ? действительном и положи-
положительном. Эта ветвь не допускает обращения в нуль знаменателя
подынтегральной функции в формуле F). Благодаря этому инте-
интегрирование в формуле F) может быть проведено вдоль мнимой оси.
Обозначим g = iy. Для отрицательных у функция In | равна
§ 9. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПОПЛАВКА 319
ln\y\ — VaJii, для положительных у будем иметь
Приняв все это в расчет, приводим формулу F) к следующему
виду после несложных преобразований:
t(t) = -%-\[ny(Py + Q)cos<
О
-(PQ-nY)sm(Vglty)}
где
Найдем асимптотическую формулу для функции s (t) при
больших значениях параметра }fgl t. Применяя интегрирование
по частям, находим
Слагаемые, скрытые за точками, стремятся к нулю быстрее, чем
r
Интегрирование по частям, примененное ко второму интегралу
формулы G), приводит к заключению, что этот интеграл стремится
к нулю быстрее, чем (]/~gl t)~2.
Таким образом, для больших значений параметра y~gl t будем
иметь следующую асимптотическую формулу:
или
||... (8)
Это и есть искомая формула для отклонения центра тяжести тела,
пригодная при больших значениях времени t.
Заметим, что формула (8) будет справедлива и в случае, когда
поверхность поплавка задается уравнением общего вида:
х = ао) (у).
Надо число а в формуле (8) заменить через асо @).
320 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Чтобы сделать ясным процесс колебаний поплавка, приведем
результаты подсчетов функции 5 (t), выполненных по формуле G)
при следующих данных:
gl = 100 сек'2, а = щ сму
Результаты подсчетов даны на рис. 36, по оси абсцисс отложены
о,в
0,2
о,о
-0,2
-0А
-0,6
г
А
_Л1
7Г
V
V
р
1
\
1
У
1
?5 4,
ool
254,
504/5frOO
Рис. 36.
значения параметра У gl t, а по оси ординат — отношения s/sQ.
Вычисленные точки кривой отмечены на рис. 36 кружочками.
§ 10. Установление прогрессивных волн при простых
гармонических колебаниях вертикальной стенки
Допустим, что жидкость, находящаяся в состоянии покоя до
момента времени t = 0, приходит в этот момент в движение бла-
благодаря скоростям, которые сообщаются ее частицам, прилегающим
к вертикальной оси Оу.
Предположим, что при х = 0 ж для всех отрицательных зна-
значений у от 0 до — оо дана горизонтальная компонента скорости
в виде произведения функции времени t на функцию переменного у:
-¦Й-" @/00.
Определим потенциал скоростей возникшего движения жидко-
жидкости. Этот потенциал будет определяться формулами E), G) и
(8) § 8, в которых функции с (t), со' (у) заменены соответствен-
соответственно на v (t) и / (г/), а числа а и h0 приравнены соответственно
Ч й оо,
оо оо
я. у; t) = J / (— р) dp ^ А (к, t) e*(y-V cos kx dfc,
§ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 321
Таким образом, потенциал скоростей определится формулами
Ф1 (
А (к, t)= —-^^V(x) sin
Отметим, что движение, определяемое этими формулами, может
иметь в начальный момент импульсивно образованные скорости,
если v @) Ф 0, но к поверхности жидкости, которая совпадает
с осью Ох, не приложены в этот момент времени импульсивные
давления. Уравнение поверхности жидкости запишется так:
оо оо t
т| = -1- [ / (- р) dp J е-*Э cos fcr dfc \ i; (t) cos Vgk(t — t) dr.
оо о'
Применим полученные общие формулы к рассмотрению одного
частного случая. Предположим, что граница бассейна, линия
х = 0, начинает колебаться по синусоидальному закону с данной
амплитудой аету и частотой а:
При таком выборе скоростей, нормальных к стенке бассейна х = 0,
трехкратный интеграл приводится к однократному. Имеем
оо
2ао Г cos ot — cos у gk t cos kx ¦,,
1 ng ] к — v к -f m
о
где
V = O2/g.
Представим ординату ц поверхности жидкости в виде
где
Г cos ot — cos tfgkt 7 J7 /o\
rji = \ г —— cos kx dk, B)
J л — V
0
оо
f cos ot — cos у gk t 7 л ,o\
rj2 = \ у—. l-2— cos йж d/c. C)
0
11 Л. Н. Сретенский
322 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Обратимся сначала к исследованию интеграла B) и перепишем
его так:
оо оо
tC coskx 77 Г соз у gk t 7 J7 //\
т]! = cos at V к___ dk — \ —^-^— cos кх dk. D)
о о
В связи с переходом от формулы B) к формуле D) необходимо
сделать одно важное замечание. В формуле B) интегрирование
ведется вдоль положительной части оси абсцисс, при этом в точке
к = v подынтегральная функция не обращается в бесконечность.
Не изменяя значения интеграла B), мы можем сместить путь инте-
интегрирования в плоскость комплексного переменного, обходя точку
к = v сверху небольшой полуокружностью. Основываясь на этом
замечании, мы можем считать, что в каждом из двух интегралов
формулы D) путь интегрирования идет по плоскости комплексного
переменного к, обходя сверху точку к = v.
Первый член правой части формулы D) может быть преобразо-
преобразован с помощью контурного интегрирования к следующему виду:
cos at [ l°^kx dk = — me-™ cos otf + cos ot [ ^ , 3* . E)
о о
Преобразуем второй член правой части формулы D). Имеем
V СО 3 |/ ?К t 777 J- I в -j 7 I -I \ в 77i
\ —^LJ— Cos kxdk == -7- \ ^ d/c + -г- \ = d/c +
}t к — v 4 J /с — v 4 j A; — v
о оо
i___\ ^— cZ/b —|—7-\ -—j dk. F)
Подвергнем преобразованию по порядку все четыре интеграла
правой части этого равенства. Рассмотрим интеграл
Jkx+Vgkt)i
о
введем вместо к новое переменное интегрирования х по формуле
к- gt
Получим
где
10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 323
Для дальнейшего преобразования необходимо изучить функцию
К (х) = х + У к
в зависимости от переменного х, рассматриваемого как комплекс-
комплексное переменное.
Разрежем плоскость переменного х вдоль действительной оси
от точки — оо до точки 0. Вдоль положительной части действи-
действительной оси |/~х имеет положительные действительные значения;
отсюда следует, что функция К (х) может быть представлена так:
К (х) = pei% + p1/2eei/2,
где
р = | х |, 0 = arg х.
Такое изображение функции К (х) показывает, что
Re К (х) = р cos 0 + р1/2 cos -=- 0,
1т К (и) = psin0
-g- 0.
Из последнего равенства вытекает, что мнимая часть функции
К (х) положительна в верхней полуплоскости; из первого же ра-
равенства следует, что в точках линии
Съ выходящей из начала координат,
идущей во втором квадранте и опре-
определяемой уравнением
1
cos
cos 6
(8)
®
Рис. 37.
действительная часть функции К (х)
равна нулю (рис. 37). Таким обра-
образом, вдоль линии Сг функция
(х + |/х) i имеет действительные от-
отрицательные значения, уменьшаю-
уменьшающиеся от нуля до — оо. В силу
этого можно первоначальный путь интегрирования @, оо) заме-
заменить в формуле G) путем Сг. Получим
ы(х+/к)г
d
— Щ
Асимптотическое значение этого интеграла определяется при боль-
больших о> значениями подынтегральной функции вблизи точки х = 0.
Кривая Сх касается в точке х = 0 отрицательной части оси
324 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
абсцисс. Поэтому асимптотическое значение интеграла Sx будет
*х> . лг- . °°
ш У р г л. г» _ о
Цdp \ <r»V»dp =
i P+o o
о о
Рассмотрим затем интеграл
(9)
Преобразуем его к переменному х, получим
52 = [ е~1 ** "l dx. A0)
J /С /VQ
О
Действительная часть функции К (к) равна нулю и на той ветви
С2 линии (8), которая находится в третьем квадранте и для которой
угол 0 меняется от —л/2 до —я; мнимая же часть функции К (к)
отрицательна в точках линий С2 и во всей нижней полуплоскости.
В силу этого возможно интегрирование в формуле A0) перенести
на линию С2, но при таком изменении пути интегрирования при-
приходится учитывать полюс к = х0, который обходится первоначаль-
первоначальным путем сверху. Таким образом, будем иметь
-dn.
\
С
Повторяя вычисления, относившиеся к выводу асимптотической
формулы (9), находим для нового интеграла асимптотическое зна-
значение, равное
2
Таким образом, для больших значений со будем иметь
S2 = -JL. — 2ju<r"(*<>+>^. A1)
Теперь нам предстоит найти асимптотические формулы для двух
последних интегралов формулы F).
Преобразуем интеграл
о
§ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 325
к переменному х. Будем иметь
«(x-Vx)i
' d
Для получения искомой асимптотической формулы надо подробно
изучить функцию
Кх (х) = х - /х
для комплексных значений переменного х.
Разрежем плоскость переменного х вдоль отрицательной части
действительной оси и определим |/"х так, как было принято выше.
Составим выражения действительной и мнимой части функции
Кх (х). Имеем
Re К1 (х) = р cos 0 — р1/2 cos -у- 0,
! A2)
Im Zx (x) = р sin 0 — р1'2 sin -=- 0.
Производная dK-Jdx. обращается в нуль при х = V4, для этого
значения х имеем
Re *х
Заметив эти равенства, найдем с помощью формул A2) уравнение
той линии, вдоль которой соблюдались бы два условия:
Уравнение этой линии будет
1 1
р COS 0 — р1'• COS -s- 0 = т- .
Эта линия распадается на две параболы с вертикальными осями,
проходящие через точки р = V4, Э = 0, 0 = я. Уравнение первой
параболы Р± имеет вид
1 1
1 | cos -о- 0 + sin -тг- Э
" 2cose
уравнение второй параболы Р2 имеет вид
1 1
1 1 cos ~2~ 8 — sin -у"
A4)
326 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Мнимая часть функции Кх (х) имеет следующее выражение в точ-
точках параболы Рг:
1
Im Kl <х) = -J- Р"* !3^ [l + VTsin (в - 4"
и при изменении 6 от —3/2я до 0 уменьшается от оо до 0, при даль-
дальнейшем увеличении 0 от 0 до */2я увеличивается от 0 до оо.
Мнимая часть функции Кх (х) имеет следующее выражение
в точках параболы Р2:
A6)
При увеличении угла G от —х/2я до 0 это выражение увеличивается
от — оо до 0, при дальнейшем возрастании 0 от 0 до 3/2я умень-
уменьшается от 0 до — оо.
При х = 0 функция Кг (х) равняется нулю. Найдем те кривые,
выходящие из начала координат, вдоль которых действительная
часть функции Кг (х) равна нулю.
Приравнивая нулю первое из выражений A2), получаем
cos ~ог9
о2
Эта линия имеет в декартовых координатах следующее уравнение:
г/2 - 4г3 (х — 1).
Те ветви Сх и С2 этой линии, которые выходят из начала коорди-
координат, получаются: ветвь Сг при изменении 0 от —3/2я до —я, ветвь
С'г при изменении угла 0 от я до 3/2я. Мнимая часть функции
Кг (х) имеет в точках ветвей Сх и С2 следующие значения:
A7)
При изменении 0 от —3/2я до —я мнимая часть Кх (х) будет умень-
уменьшаться от оо до 0; при изменении 0 от я до 3/2я, т. е. вдоль ветви
С2, мнимая часть Кх (х) будет уменьшаться от 0 до —оо.
Установив свойства функции К1(к), выражаемые равенствами
A5) — A7), можем преобразовать теперь интеграл S3 к новому
виду и получить для него асимптотическую формулу при больших со.
Возьмем плоскость комплексного переменного х и проведем на
ней разрез (— оо, 0), к обеим берегам этого разреза будет примы-
примыкать второй лист римановой поверхности неоднозначной функции
*l(K).
Парабола Р± будет лежать частью (—я <С Э <С х/2я) на верхнем
листе римановой поверхности, а частью (—Зя/2 <С 0 <С —я)
§ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 327
на нижнем листе этой поверхности. Кривая Сх будет лежать на
втором листе.
Расположение кривых Рг и Сг на двухлистной римановой по-
поверхности указано на рис. 38. Те части кривых Рг и Съ которые
расположены на втором лис-
листе, изображены штриховыми
линиями.
Вдоль кривых Рг и Сг
действительная часть функ-
функции Кг (х) сохраняет посто-
постоянное значение, а мнимая
часть функции К1 (х) поло-
положительна и в удаленных
частях этих кривых равна оо.
Благодаря этому можно ин-
интегрирование по действи-
действительной оси от 0 до оо за-
заменить интегрированием по
сложному пути, состояще-
состоящему из кривой Сг и всей параболы Pv Но при этом надо заме-
заметить, что интеграл по первоначальному пути будет равен интегра-
интегралу по составному пути только в том случае, если полюс х = х0
будет находиться вне отрезка [0, 1/4]; если же будет иметь место
противное, т. е. будет соблюдаться неравенство
\
\ ч\
4 ^^.
О
®
А
/
Т
Рис. 38.
0<х0<
1
A8)
то надо принять во внимание вычет полюса х0. Таким образом,
имеем
п, сй(х-/х)
\
Слагаемое, заключенное в квадратные скобки, добавляется лишь
при соблюдении неравенства A8).
Повторяя способ оценки интеграла Sv можно показать, что
интеграл по кривой Сх стремится к нулю, как со, при о>, стремя-
стремящемся к бесконечности. Что же касается интеграла по кривой Pv
то асимптотическое значение этого интеграла при больших со
может быть получено методом перевала [10]. Производная К\ (х)
обращается в нуль при к = V4, это есть перевальное значение
328 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
показателя степени у подынтегральной функции интеграла
X —Хо
Около точки перевала (ей отвечает угол 0, равный нулю) имеем
следующие разложения на основании формул A3) и A5):
Асимптотическое выражение рассматриваемого интеграла при
больших о будет, согласно правилам метода перевала, таким:
ОО О) Г - + J-02]!
\ з -V~e4 d!9 = -] т—I/ —е
J 1 4 1 4х Г со
] т—I/ —
1 —4х0 Г со
Следовательно, учитывая лишь главный член разложения, имеем
следующее асимптотическое представление интеграла A9):
Возвратимся к формуле F) и рассмотрим интеграл
^ p-{Kx-VgUt)i
S4= \e dk.
J Л—v
о
Переписывая этот интеграл в переменном х, имеем для 54 другое
выражение:
Пользуясь установленными выше свойствами функции К± (>с),
преобразуем путь интегрирования @, оо) в сложный путь, состоя-
состоящий из кривой С2 и всей параболы Р2. Расположение этих кривых
указано на рис. 39.
Будем иметь
10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ
329
Последнее слагаемое правой части добавляется лишь при соблю-
соблюдении неравенства
4-О- B1)
Придболыпих значениях о> первый интеграл стремится к нулю,
как о. Интеграл по параболе Р2 может быть вычислен при
/
/
*//
О
/
\Т
\ оо
\
\
Рис. 39.
больших со по методу перевала. Для проведения вычислений
заметим, что вдоль линии Р2 переменное к может быть представ-
представлено, на основании формул A4), так:
1 eiQ
4 1+sine *
Отсюда следует, что около перевальной точки будем иметь
Следовательно,
L
Повторяя в значительной степени предыдущие вычисления, на-
находим следующий результат:
А / JL(co-7i)i
1 — 4х0 У со
330 М. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Таким образом, принимая в расчет лишь самые значительные
члены асимптотического выражения, получаем
-^ь B2)
Теперь формулы (9), A1), B0), B2) вместе с условиями A8) и B1)
позволяют написать выражение интеграла F) для больших зна-
значений со. Пользуясь формулой E), мы можем вместе с тем соста-
составить и выражение функции т]1? даваемой формулой D). Получим
при соблюдении неравенства A8)
-Hi = — ме~™ cos Gt + 2L *
о
Принимая во внимание значение величин v, и0 и со, можем этой
формуле придать следующий вид:
. (Фх Л 2 -ш/~~ {gt* 1
Tli = — Я Sin Gt) — -. -.— I/ COS -. -7- Jt
1 \g у 1 — 4x0 Г (о \ 4» 4
0
Составим затем выражение функции гц, при соблюдении условия
B1) получим
IT . - 4 <ш-я>{ , -т
или, выполняя ряд преобразований,
О
Рассмотрим, наконец, интеграл C). Преобразуем его к следу-
следующему виду:
оо
Y]2 = COS 0^ \
о
coskx
] m 2 J ma?2
о о X + ~^T
§ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 331
Первый член правой части может быть приведен с помощью кон-
контурного интегрирования к такому виду:
cos at
о
и выражен через интегральные синус и косинус.
Обратимся ко второму и третьему интегралам формулы B5);
найдем для них асимптотические формулы при больших значениях
со. Ввиду того, что на пути интегрирования нет особых точек
подынтегральной функции, асимптотические формулы могут быть
получены с помощью метода установившихся фаз.
Производная функции К (ус) = ус + У ус не обращается в нуль
в интервале интегрирования второго интеграла; следовательно,
порядок этого интеграла будет —1 по отношению к со, как опреде-
определяемый концом к = О пути интегрирования. Члены такого порядка
мы не учитываем при своих подсчетах, поэтому второй интеграл
формулы B5) можно заменить нулем. Производная же функ-
функции Кх (к) = ус — У ус обращается в нуль внутри интервала инте-
интегрирования, а именно при ус =х/4. Применяя формулы метода уста-
установившихся фаз, находим для больших со следующую асимпто-
асимптотическую формулу [4'], [25']:
Следовательно, для больших со имеем
После всех этих вычислений возможно составить уравнение по-
поверхности жидкости для больших значений параметра со. Поль-
Пользуясь формулами B3), B4) и B6), получаем
TW
(ir-4B7)
332 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Последнее слагаемое этой формулы добавляется лишь при соблю-
соблюдении неравенства A8). Выясним смысл этого неравенства. Под-
Подставляя вместо и0 его значение и извлекая квадратный корень из
обеих частей неравенства A8), получаем
ох
или
Обозначим через с скорость прогрессивных волн частоты а; имеем
--?•
Отсюда предыдущее неравенство запишется так:
X<^Ct
B8)
Р
Но с/2 есть групповая скорость прогрессивных волн частоты о1.
Следовательно, неравенство A8) показывает, что дополнительный
член в формуле B7) имеет место в той области поверхности жидко-
жидкости, которая пройдена уже группой волн частоты о*.
Первоначальные формулы B) и C) показывают, что для вся-
всякого значения времени t ординаты поверхности жидкости стре-
стремятся к нулю при неограниченном
увеличении х. Более же точно
можно сказать, что для всякого
конечного интервала изменения
времени 0 < t < Т можно указать
такое значение Х(Т), что для
всех значений х ^> X ординаты tj
стремятся к нулю.
Выяснив все это, мы можем
описать теперь с достаточной
полнотой распространение волн,
возникающих у колеблющейся
плоскости х = 0 и распростра-
распространяющихся вдоль оси Ох в беско-
бесконечность. Для этого возьмем систему координат Otx (рис. 40)
и, задавшись большим числом Q, построим параболу Р
Рис. 40.
и прямую L
B9)
C0)
§ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 333
Эти две линии пересекаются в точке М с координатами
Полученная асимптотическая формула B7) имеет место для тех
значений переменных t и х, которые изображаются точками, лежа-
лежащими между осью Ot и параболой Р.
Дадим t какое-нибудь значение, меньшее чем tQ. Для такого
значения t поверхность жидкости будет иметь, как это видно из
формулы B7) и рис. 40, довольно сложный вид, изображаясь кри-
кривой с бесконечным числом подъемов и спусков, уменьшающихся
по своим величинам до нуля по мере приближения к началу коор-
координат. Это обусловлено присутствием слагаемых с множителями
i/jLC0S(§i- 1-
Г со \4аг 4
в квадратных скобках формулы B7).
Дадим теперь t какое-нибудь значение, превосходящее t0.
Для такого значения t прямая ABC, параллельная оси ординат,
пересечет прямую L, и для значений переменного х, отвечающих
точкам, расположенным между А и В, основное значение в фор-
формуле B7) будет играть последнее слагаемое. Это слагаемое изобра-
изображает прогрессивную волну длины к = 2ng/&2, сформировавшуюся
на участке АВ и уходящую в бесконечность. Область оси абсцисс,
охватываемая этой правильной волной, увеличивается с течением
времени, и ее передний фронт распространяется в бесконечность
с групповой скоростью волн длины X. Впереди этого фронта, ко-
который на рис. 40 можно условно принять за точку В, будет область
ВС оси Ох, где поверхность жидкости будет изображаться слага-
слагаемыми, находящимися в квадратных скобках в формуле B7).
Для значений х, превосходящих ординату точки С, поверхность
жидкости мало отличается от горизонтальной прямой.
Полученные результаты исследования можно кратко описать
так: от колеблющейся оси ординат распространяется формирую-
формирующаяся прогрессивная волна, фронт которой движется в почти спо-
спокойную жидкость с групповой скоростью прогрессивной волны
длины X = 2ng/o2. Все полученные в предыдущем изложении
результаты относились к тому случаю, когда скорости, нормаль-
нормальные к оси Оу, менялись пропорционально sin at. Если же эти ско-
скорости будут пропорциональны cos ot, то все проведенное исследо-
исследование можно, с небольшим изменением в деталях вычислений,
повторить и получить соответствующие формулы, определяющие
вид свободной поверхности жидкости в любой момент времени.
Имеем
^ %-%), C1)
334 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
где
оо
fsinai—sin 1/ gkt
%= \ k + m
о
Для больших значений параметра со получаем отсюда асимптоти-
асимптотическую формулу для у\:
оо
sin « \ ^ ^> W
[si
2]/"я/0 . fgt2 1 \1 , 2ао
4га#2
gt2 1 \1 . 2ао [ о2х А /о/ч
^ у- я N—si c°s стП . C4)
Последнее слагаемое этой формулы добавляется лишь для зна-
значений х, меньших чем ct/2. Это слагаемое дает волну, распростра-
распространяющуюся в бесконечность и постепенно, со скоростью с/2, покры-
покрывающую всю поверхность жидкости.
Формула C4) имеет место для больших значений параметра со.
Рассмотрим произвольно большой интервал изменения х, начи-
начинающийся в точке х = 0, и устремим t к бесконечности. Благодаря
этому о будет стремиться к бесконечности, и после перехода к пре-
пределу формула C4) представит вид поверхности жидкости, находя-
находящейся под постоянным воздействием периодических колебаний
оси Оу. Соответствующее этим колебаниям уравнение поверхности
жидкости запишется так:
Lin ot С
I
_ „ cos f**_ _
\ g
ц = in ot (в6 _ e5) J _ „ cos
1 я (а2 + gm) I У М + ?» \ g
C5)
Задачу об образовании волн под влиянием периодических колеба-
колебаний вертикальной прямой, оси Оу, можно рассмотреть без при-
привлечения теории неустановившихся движений. При таком решении
задачи будут известного рода затруднения, связанные с удовлет-
удовлетворением условий излучения волн из бесконечности в направлении
к колеблющейся прямой. С такими затруднениями встречаемся
всегда, когда ставим задачу о волнах, возникающих в ре-
результате внешних периодических воздействий на жидкость. Ука-
Указанные затруднения состоят в том, что получаемое тем или иным
способом решение задачи неоднозначно; к полученному решению
$ 10. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ СТЕНКИ 335
можно добавить соответствующие собственные колебания жидко-
жидкости. С помощью надлежащего выбора этих колебаний удовлетворя-
удовлетворяются условия излучения.
Такие обстоятельства, осложняющие решение задачи, могут
быть устранены двумя путями. Во-первых, можно к массовым си-
силам (силе тяжести) добавить фиктивные силы Рэлея, рассеиваю-
рассеивающие энергию жидкости и тем самым устраняющие в решении зада-
задачи паразитические собственные колебания. Такое введение сил
Рэлея и последующее их устранение в решении несколько услож-
усложняет выполнение необходимых вычислений.
Во-вторых, искомые периодические движения, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям излучения, можно получать в результате перехода
к пределу при t = оо в формулах, определяющих решение задачи
о неустановившемся движении, поддерживаемом данными перио-
периодическими воздействиями внешних тел.
Такой прием решения задач о периодических движениях жид-
жидкости представляет, вообще говоря, много трудностей, но вместе
с тем обнаруживает процесс формирования периодических дви-
движений.
Этим вторым приемом мы воспроизвели для частного случая
колебаний оси Оу результаты Хэвелока о волнообразователях
[113].
Разобранная в этом параграфе задача является частным слу-
случаем общей задачи, исследованной Меем, об образовании волн
системой прямолинейных пластинок, расположенных на одной вер-
вертикальной прямой [154]. Каждая из этих пластинок начинает со-
совершать с момента времени t = О некоторые движения около сво-
своего среднего положения. В этот же момент времени поверхность
жидкости имеет некоторое отклонение от горизонтального уровня
и частицам жидкости сообщаются скорости, зависящие от потен-
потенциала.
Решение этой общей задачи достигается применением преобра-
преобразования Лапласа к характеристической функции течения. Новая
функция комплексного переменного, полученная с помощью этого
преобразования, представляется в виде суммы двух функций.
Первая функция дает решение задачи Коши — Пуассона по на-
начальному состоянию жидкости, не стесненной пластинами.
Вторая функция определяется квадратурами через характери-
характеристическую функцию течения безграничной жидкости, вызванного
движениями данной системы пластинок и дополнительной системы
пластинок, симметричной первой относительно невозмущенного
уровня жидкости.
Окончательное решение задачи дает характеристическую функ-
функцию течения в виде некоторого тройного интеграла, для которого
устанавливается ряд асимптотических формул, разъясняющих
основные черты образовавшегося движения жидкости.
336 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
§ 11. Преобразование прогрессивных волн в стоячие волны
с помощью гидродинамического удара
Предположим, что по поверхности бесконечно глубокой жид-
жидкости распространяется из положительной бесконечности про-
прогрессивная волна
цо = A cos (— + at + &). A)
\ о /
Допустим, что в момепт времени t = О мгновенно возникает вдоль
оси Оу вертикальный барьер. В силу этого простое движение
жидкости, описываемое соответствующим потенциалом скоростей
Фо = -Ц- Ае°*№ sin (^ + at + е) , B)
сразу нарушается и приобретает новый вид. Наша задача заклю-
заключается в определении этого нового движения жидкости, возник-
возникшего благодаря гидродинамическому удару. Эта задача может
быть решена с помощью формул, установленных в предыдущем
параграфе.
Горизонтальные скорости в точках оси ординат, связанные
с прохождением волн A), имеют следующее значение:
—^ = aAeatylg (sin 8 sin at — cos e cos at).
Отсюда вытекает, что вдоль оси Оу добавочные горизонтальные
скорости, возникающие от введения новой связи, наложенной на
первоначальное движение жидкости, должны иметь следующее
выражение:
gjj^- = aAeaiyig [cos 8 cos at — sin 8 sin at].
Здесь фх (х, у; t) — потенциал скоростей, возникших благодаря
гидродинамическому удару. Отметим, что потенциал фх должен
обращаться в нуль в начальный момент времени при у — О, так
как к поверхности жидкости не приложено импульсивное давле-
давление. Неустановившееся движение жидкости во все время после
удара будет иметь потенциал скоростей
Ф (х, у; 0 = "т- A**** sin ("Y" + Gt +
Уравнение же поверхности жидкости будет
/l/=0
Для определения последнего слагаемого этой формулы могут слу-
служить формулы A) — C) и C1) — C3) § 10. В первой группе этих
§ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВОЛН С ПОМОЩЬЮ УДАРА 33?
формул коэффициент а должен быть заменен на —аА sin е, во
второй же группе на -\-аА cos e; число т во всех указанных фор-
формулах § 10 должно быть взято равным v = G2/g.
Выполнив эти преобразования, найдем для Н следующее вы-
выражение:
Н = Acos(^j- + at +
оо
~Ч-А\ -Ж^г [sin {at + e) - sin (Vgkt + в)] dk. C)
о "
Пользуясь асимптотическими формулами B7) и C4) § 10, легко
получаем для Н следующую асимптотическую формулу при
больших значениях со и при х < ct/2:
1 ГТ . f gt2 1
A/ —sm 4 т-я
У со V 4a? 4
я A — 16x2) г со V Ax
+ 2 A cos cos (at -f- e). D)
Для больших значений со, но для х ^> с?/2 имеем
„. 4Л -I /Г . / gt'2 1 . \ .
Л = — I/ Sin. —. т- Jt + 8 ] +
л A — 16x2) г со \ 4аг 4 У
—|— Л cos f-2-^- -f- at -f- s j. E)
Формулы D) и E) показывают, что до момента времени ?0, введен-
введенного в § 10 и отвечающего точке N (рис. 40), поверхность жидкости
для больших со, т. е. около начала координат, будет представлять
собой волнистую кривую с бесконечным числом узлов около точки
О и с неограниченно уменьшающимися ординатами при приближе-
приближении к этой точке *). При увеличении времени за предел t0 поверх-
поверхность жидкости начинает покрываться стоячими волнами частоты
с, причем область, захватываемая этими волнами, увеличивается
с групповой скоростью волн частоты а. Вне этой области будут
сохраняться идущие из бесконечности прогрессивные волны, на
которые при больших со будут накладываться незначительные по
величине и довольно сложные по своей структуре волны, изобра-
изображаемые первым слагаемым правой части формулы D).
Таким образом, мгновенно введенная связь, преграждающая
распространение прогрессивных волн, преобразовывает эти волны
в стоячие колебания, область существования которых неограничен-
неограниченно увеличивается с течением времени; эти стоячие колебания вы-
вытесняют, так сказать, прогрессивные волны.
*) Очевидно, имеется в виду первое слагаемое формулы E). (Прим. ред.)
338 1'Л. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Рассмотрим теперь движения в области отрицательных х,
куда доступ прогрессивных волн прекращен.
Движение жидкости при х > 0 образовывалось прогрессивны-
прогрессивными волнами A) с потенциалом скоростей B) и волновыми движе-
движениями, вызванными простым слоем источников, распределенных
на оси Оу. Эти последние движения симметричны относительно
оси Оу. Так как после момента времени t = 0 прогрессивные волны
не пропускаются в область х <С 0, то из потенциала скоростей B)
следует вычесть потенциал скоростей простого слоя источников.
Поэтому для ординат поверхности жидкости в области х <С О
будем иметь ту же формулу C), но со знаком плюс перед инте-
интегралом.
Применение асимптотических формул B7) и C4) § 10 дает для
ординат поверхности жидкости при больших значениях параметра
со' = gfi/ | х | следующие результаты:
для \х I < ct/2
АА т /~ Л . I et2 . 1
— I/ —г- sm -7 —7- я ¦
16х ) г со \ 4а? 4
для | х | > ct/2
Не останавливаясь на детальном разъяснении этих формул, можно
сказать, что за барьером, в стороне отрицательных х, поверхность
жидкости освобождается от прогрессивных волн, и граница по-
поверхности жидкости, свободной от этих волн, отступает с группо-
групповой скоростью, присущей волнам частоты сг. За этой границей будет
движение основной прогрессивной волны в направлении к отри-
отрицательной бесконечности.
Формулы, полученные в § 10, позволяют вместе с тем решить
задачу о тех изменениях, которые вносятся в стоячие колебания
поверхности жидкости введением новой связи в виде мгновенно
погруженной вертикальной плоскости. Не проводя детально всех
вычислений, укажем окончательные результаты.
Возьмем потенциал скоростей, отвечающий стоячим волнам
т]0 = A cos (кх + a) sin (at + e);
имеем
Фо = — ??- е°гУ№ cos (кх + a) cos (at + e).
При мгновенном погружении в момент времени t = 0 плоскости
х ~ 0 будут образовываться в точках этой плоскости горизонталь-
горизонтальные скорости, равные
Аа sin aeQZv'8 (cos e cos at — sin e sin at).
§ 12. РАСПАДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВОЛН 339
Пользуясь асимптотическими формулами B7) и C4) § 10, получаем,
что при больших со для значений t ]> t0 и значений х, изменяю-
изменяющихся от 0 до ct/2, поверхность жидкости покрыта волнами,
определяемыми уравнением
ц = A cos (кх + a) sin (at + е) — A sin a cos (кх —-at — е). F)
Следовательно, по поверхности жидкости, покрытой стоячими вол-
волнами
г] = A cos (кх + a) sin (at + e),
будут бежать прогрессивные волны
ц = — ^Isin a cos I at -f
\ ?
занимающие отрезок оси Ох от точки О до точки с?/2. В этой по-
последней точке прогрессивные волны пропадают, и на остальной
части оси Ох будут лишь начальные стоячие волны г\0. Эти послед-
последние волны будут постепенно вытесняться волнами F).
§ 12. Распадение полу бесконечной последовательности
волн
Различные формулы, полученные в § 10, позволяют разобрать
задачу о распадении бесконечной последовательности волн
r\0 = A sin vx,
образовавшейся на поверхности жидкости в момент времени t = 0
на протяжении оси абсцисс от х = —оо до х = 0; на осталь-
остальной части оси абсцисс @ < х < оо) поверхность жидкости оста-
остается горизонтальной: г\0 = 0. Предположим, что в исходный мо-
момент времени скорости частиц жидкости равны нулю. Эта задача
представляет собой особый случай задачи Коши — Пуассона.
Метод, основанный на применении интеграла Фурье, не может
быть здесь применен непосредственно, так как интеграл
о
\ a2 sin2 х dx
—оо
не сходится.
Покажем, что потенциал скоростей
дает волновое движение от начального возвышения поверхности
340 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
жидкости, определяемого уравнением
Asinvx, z<0,
0, *>0. <2>
Отметим особо, что в формуле A) полюс к = v обходится
сверху.
Из формулы A) получаем уравнение поверхности жидкости
для каждого момента времени, имеем
Л = *г \ -%%¦ ™sYlktdk + 4r At cos our**. C)
О
Положим здесь t = 0, получим
оо
vA f cos Л;
о
cos Л;а? J7 . I
v2 '2
Применяя теорию вычетов, можно найти, что первый член в пра-
1 1
вой части этой формулы равен-тггае^* при #<0 и равен ^ ae~Ux
при х ^> 0. Отсюда следует, что формулами A) и C) действительно
описывается движение при начальном возвышении поверхности
жидкости B).
Покажем, что выражение C) можно записать без мнимых сим-
символов. Для этого заменим контурный интеграл его выражением
через главное значение по Коши, получим
*
т] = 1— \ feca°^ x2 cos Ygkt dk-\-~Y A sin vx cos at.
Выполним анализ формулы C). Возьмем интеграл, входящий в эту
формулу, и перепишем его в преобразованном виде, используя
обозначения § 10, получим
cos kx
F
о
>s kx ,/—г\ л
-—у cos у gkt dk a=
ос
= -^-Ei + Sz + S3 + Si) — -|- ^ fe0!^ cosYgktdk.
Применяя асимптотические формулы, выведенные в § 10 для
Sv 53, 53, Si7 получаем для больших значений со следующую
§ 12. РАСПАДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВОЛН 341
асршптотическую формулу:
ос
cos ft» __ ^г-~Г, л. Ш ;„>_._ tf2* .
cos V*** dft = - ~5Г e cos
Та
v A — 0) r \ / J
0
OO
cos/b?
p-; COS
5_cosD-<o-4W^-^
co V 4 4 / 2v J
о
D)
эта формула имеет место при соблюдении неравенства
0<х„<4-- E)
Если же будет иметь место неравенство
то будем иметь такую формулу:
"cos** > ,г~. „ т -^\0SGt.
Та
v A
оо
Т~^ 1/ COS -г- СО 7- ) — "о— \ ТП C0S V g^t dk. G)
— 4х0) го \ 4 4/ 2v J fc + v ro v/
В формулах D) и G) величина х считается положительной; для
отрицательных значений х величину со надо заменить через со' =
= gt2/ | ж | и, кроме того, в формуле G) слагаемое
Jtl г
2— е ё cos °t
надо заменить на
. о*х .
ту— е * cos at.
Эти замены обусловлены тем, что левые части формул D) и G)
являются четными функциями переменного х.
Подставим выражение интеграла D) в формулу C); выполняя
небольшие преобразования, получаем уравнение свободной поверх-
поверхности жидкости при соблюдении условия E) и для больших зна-
значений параметра (о:
(8,
342 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
При соблюдении же условия F) будем иметь, используя формулу
G), такое уравнение:
оо
А -т / я~ / 1 я \ A f cosкх ,/—г, 77
4= —/. / ч 1/ —cos(-г-со г- я—Д -тгп—cosy gktdk.
1 яA —4х0) г со \ 4 4 / 2я J Hv ro
о
(9)
Эти два уравнения относятся к положительным х\ для отрица-
отрицательных х уравнения поверхности записываются так:
,. \ , i/Л cos (-
яA — 4х0) К со' \ 4
со'--?-)-
4 )
л . о2а; , , А т/я /1, я \
= A sm cos Gt -\—j-r-.—т—г I/ —г- cos -г- со -г- —
g ' 4 A — 4х0) г со' \ 4 4 у
Чтобы привести эти формулы к окончательному виду, заменим
входящий в них определенный интеграл его асимптотическим вы-
выражением, данным в § 10; имеем для х > 0
оо
f cos кх жГТ± 77 2 -1 Г я / gt2 I \
\ т~1— cos V gkt dk = . . .— 1/ — cos ~ у- Jt .
J /^ + v r 6 1 + 4x0 Г со \ Ax 4 /
Отсюда формулы (8) и (9) запишутся так:
А
ti=
1 Клш
8х0 /1
^—- cos
4--
1 . . / (fix \ п, . \
-я-Лзш —- —on, 0<x0<
2 у ^
0, *0>^.
4 '
A2)
Формулы же A0) и A1), относящиеся к отрицательным значениям
ж, примут вид
Т1 =
1
¦/ясо' 1 — 16x2
8х0 / 1 , 1
5—- COS -г- (О т- Я
\ 4 4
Л sin cos at, -r-
8 4
A3)
§ 12. РАСПАДЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ВОЛН
343
Процесс происходящего распадения полубесконечной последова-
последовательности волн B) легко разъяснить с помощью формул A2) и
A3).
Рассмотрим сначала область положительных х. Пользуясь
рис. 40 и всеми пояснениями, данными к нему в § 10, мы видим,
что для значений х и ?, принадлежащих криволинейному тре-
треугольнику 0NM, вид поверхности жидкости описывается первым
и вторым слагаемыми правой части формулы A2). Первое слага-
слагаемое представляет достаточно сложные колебания уровня жид-
жидкости. При увеличении времени за предел t0 мы по-прежнему
видим, что к этим колебаниям присоединяется движение от про-
прогрессивной волны
2
A sin
— at
которая распространяется в сторону увеличивающихся х, и область
ее существования неограниченно расширяется с групповой ско-
скоростью волн частоты а. Точки х, t, отвечающие этой волне, принад-
принадлежат трапеции NABM. За преде-
лами этой области, а именно для
значений х, t, находящихся в
треугольнике МВС, поверхность
жидкости описывается лишь пер-
первым слагаемым формулы A2).
Несколько иной вид имеет
форма поверхности жидкости для
отрицательных х.
Построим график (рис. 41),
симметричный рис. 40 относитель-
относительно оси Ot.
Для значений #-, t, находящих-
находящихся в криволинейном треугольнике
0MN (рис. 41), колебания поверхности жидкости описываются
первым и вторым слагаемыми правой части формулы A3). При
увеличении времени за предел tQ мы снова видим, что к колебаниям,
выражаемым первым слагаемым, присоединяется движение от
прогрессивной волны
Р
Рис. 41.
1
Фх
— at
уходящей со скоростью g/o в сторону увеличивающихся х. Эта
волна возникает около места, характеризуемого абсциссой
— ct/2 и продвигающегося с групповой скоростью в сторону умень-
уменьшающихся #.
344 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Для значений х, t, принадлежащих треугольнику МСВ, будут
появляться вместо прогрессивных воли стоячие колебания
, . о^х
A sin cos at.
s
Эти колебания будут охватывать часть поверхности жидкости,
неограниченно возрастающую с течением времени и отступающую
от начала координат с групповой скоростью волн частоты сг.
§ 13. Неустановившееся движение плоского контура
под поверхностью жидкости
Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой тя-
тяжелой жидкости движется поступательно с переменной горизон-
горизонтальной скоростью с (I) некоторый замкнутый контур L. Опреде-
Определим волновое движение жидкости, вызванное перемещением этого
контура.
Соединим с контуром L систему осей координат, проводя ось
Ох по невозмущенному уровню жидкости, а ось Оу — вертикаль-
вертикально вверх. Обозначим через ф (я, у; t) потенциал абсолютных ско-
скоростей жидкости, записанный в координатах, связанных с переме-
перемещающимся телом. Функция ф (х, у; t) удовлетворяет уравнению
Лапласа. Рассмотрим неподвижную систему координат, и пусть
Ф (X, Y; t) — потенциал абсолютных скоростей, записанный через
координаты неподвижной системы:
Ф (X, Y; t) - Ф (х, у; t). A)
Отметим, что X = х + \с (f) dt.
Функция Ф (X, Y] t) удовлетворяет при Y =-•¦ 0 следующему
условию:
дФ п 9
Преобразуем это условие к подвижным координатам. Дифферен-
Дифференцируя равенство A) и принимая в расчет соотношение между X
и х, получаем
дФ дф дф дФ дф
д& ~~ dt* dtdx ^ дх* С дх
где с = dc/dt. Отсюда условие B) запишется так:
dt1 di дх ' дх2 I ' ° ду
§ 13. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 345
Уравнение поверхности жидкости будет
В начальный момент времени можно задать потенциал скоростей
и его производную по времени для у — 0; положим
0;0)=/(х), *Py°> =gF(x). E)
Будем искать функцию ф (х, у; t) в виде суммы трех слагаемых,
полагая
Ф (х, у; t) = с (t) Ф1 (х, у) — с (t) ф2 (х, у) -(- ф3 (х, у; t). F)
Функция ф! (х, у) изображает потенциал абсолютных скоростей
движения безграничной жидкости, вызванного равномерным пе-
перемещением контура L в направлении оси Ох со скоростью, равной
единице. Функция ф2 (х, у) есть потенциал абсолютных скоростей
движения безграничной жидкости при перемещении в ней с еди-
единичной горизонтальной скоростью контура V, симметричного
контуру L относительно оси абсцисс.
Что'же касается потенциала ф3 {х, г/; t), то он выбирается так,
чтобы полный потенциал ф (х, у; t) удовлетворял граничным и на-
начальным условиям C) и E) и, помимо того, условию обтекания
контура L.
По самому своему выбору потенциалы фх и ф2 удовлетворяют
условию обтекания контуров L и V соответственно безграничным
потоком, следовательно, этому условию должен удовлетворять
и потенциал ф3 (х, у; t). Но было бы весьма сложно искать функцию
Ф3 с одновременным соблюдением волнового граничного условия
и этого условия обтекания. Поэтому мы довольствуемся при отыс-
отыскании функции ф3 (х, у; t) лишь удовлетворением волнового гра-
граничного условия; условия обтекания будут в известной мере соб-
соблюдаться наличием в потенциале F) слагаемого с (t) фх (х, у).
Такое упрощение задачи правомерно при достаточном удалении
контура L от поверхности жидкости. Совершенно такое же упро-
упрощение было принято в гл. I при изучении установившегося или ко-
колебательного движения замкнутого контура под поверхностью
жидкости.
В силу симметричного расположения контуров L и V отно-
относительно оси абсцисс имеем следующие равенства при у = 0:
ф! (X, 0) = ф2 (X, 0),
дх дх ' ду ду
, 0)
дх*
346 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
На основе этих равенств граничное условие C) примет следующий
вид:
g ду -с дх
(?)
Будем искать функцию ср3 (#, у; t) в виде такого интеграла:
оо
Фз (ж, y;t) = § (A cos кх-\- В sin kx) еъЫк, (8)
о
где А и В — две неизвестные функции времени и параметра к.
Допустим, что мы представили функцию дц^(х, О)/ду в виде
следующего интеграла:
д^ху 0) = | [М (к) cos kx + N (к) sin kx] dk, (9)
где М (к) и Ат (к) — две известные функции параметра к.
Внесем выражения (8) и (9) в граничное условие G). Сравни-
Сравнивая коэффициенты при cos kx и sin kx в обеих частях этого усло-
условия, получаем два дифференциальных уравнения:
^^ + (gk - cW) A-kcB =
д2в
2ск 4f + (gk - Л2) В + кс А = 2gcN.
Эту систему уравнений можно привести к одному уравнению для
функции С — А + Вц имеем
д2С
dt*
где
2ick ^-^{gk- cW) С + ikcC = 2gcK,
К (к) = M (к) +iN(k) = -L ^ Эф'^'0) e*«da. A0)
— оо
Общий интеграл этого уравнения запишется так:
С = [Р (/с) cos ]/"p t+Q(k) sin
A1)
здесь для сокращения записи введено такое обозначение:
§ 13. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 347
Две произвольные функции интегрирования Р (к) и Q (ft) могут
быть найдены из начальных условий задачи E). При t = 0 и у =
= 0 имеем
р § U (О, к) cos кх + В (О, ft) sin ftx] ей = / (ж),
о
^—- cos Ля Ц ^' ; sin k (Jfe = ^F (ж).
о
Решая эти уравнения с помощью формул обращения Фурье,
получаем
оо 8
А @, к) = — \ / (a) cos /са da, 5@, Л) = — \ /(a)sin/cada,
—оо —сю
дА @, /с) Я Г п/ ч 7 л дВ(О,к) g Г гг/ ч .
~-^-^- = -?- \ F (a) cos /ca da, зг—^ = — \ ^ (а)s
откуда следует, что
дС @, к) =j_
dt я
—оо
Левые части этих формул могут быть вычислены по формуле A1);
имеем
С @, ft) = P (ft), дС(^к) = Vl&Q(k)— ikc(O)P(k).
Отсюда получаем
оо
= — ^ f(a)eiliada,
A2)
Таким образом, функция С (t, ft) полностью определена. Составим
теперь выражение характеристической функции, отвечающей
потенциалу скоростей ф3 (х, у; t):
оо
j,0= 5 C{t,k)e-ilizdk,
о
М8 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
или в развернутом виде:
со
Щ (z, *) = ^[Р {к) cos ygk t + Q (к, t) sin У"Щк t] er**(*+*)dk +
о
t со
K(к)
0
Отметим особо один частный случай этой формулы. Предпо-
Предположим, что в начальный момеш времени к поверхности жидкости
не прикладываются импульсивные давления и сама поверхность
горизонтальная. В таком случае функции / (х) и F (х) будут об-
обращаться в нуль, благодаря чему будут нулями и функции Р (к)
и Q (к), как это показывают формулы A2). В этом частном случае
выражение A3) значительно упрощается и приобретает следую-
следующий вид:
ws (z, t) =
\ (t) dx [ К (к)
0 0 ^ g
В рассматриваемом частном случае частицы жидкости, находящие-
находящиеся внутри потока, буду! при t = 0 испытывать импульсивное дав-
давление (jc @) [фх (х, у) — ф2 (я, у)] и обладать, следовательно, не-
некоторыми скоростями. Но если тело приходит в движение без ско-
скорости, то у частиц жидкости не будет начальных скоростей. Если,
помимо того, движение тела начинается без ускорения, то в на-
начальный момент времени давление внутри жидкости будет гидро-
гидростатическим.
Укажем в заключение уравнение поверхности жидкости. С по-
помощью формулы D) получаем
или
оо
1] = — Re [ D?- + ickC] е~-^Чк. A5)
g J \ ot I v '
о
§ 14. Вычисление сил, действующих на контур
при его неустановившемся движении
Выведем общую формулу для компонент сил давления потока
на контур L.
Возьмем интеграл Бернулли для рассматриваемого неустано-
неустановившегося поступательного движения. Обозначая через V отно-
I 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ЙА КОНТУР 349
сительную скорость частицы жидкости, будем иметь
При подсчете сил давления функция / (t) может быть отброшена,
как и слагаемое — gy, дающее подъемную силу Архимеда. По-
Поэтому формула для давления может быть взята в следующем упро-
упрощенном виде:
JL = J*L_J-y\ (I)
р ot 2 v '
Составляющие X и Y главного вектора сил давления имеют вид
отсюда
ds ds
Заменим р его значением A), получим
^ + 'МИИ-'¦?-)*¦ <2>
где z — х — iy. Функция dq/dt может быть представлена так:
дф _ dw . дг|)
где w — характеристическая функция абсолютного течения, а
ф — отвечающая ей функция тока. Вдоль обтекаемого контура
функция тока равна —су, следовательно, на этом контуре будем
иметь
Эф _ dw , . dc
или
4f--If+4-<*-'>-?-• <3>
Рассмотрим затем второй член правой части формулы B). Имеем
у21**_ t^L\ds== v(u-iv)ds,
\ ds ds I ч '
где и и v — проекции относительной скорости; поэтому
и-— iv = -т- (w + °z)i
350 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
V ds равняется изменению потенциала othochiельных скоростей:
V ds = — d (ф 4- сх);
вдоль обтекаемого контура яр + су — величина постоянная, сле-
следовательно,
V ds = — dw — с dz.
Итак,
Пользуясь этим результатом и формулой C), мы можем записать
формулу B) так:
L
Если циркуляция потока вокруг контура равна Г, то интеграл
с
ь
\ dw
ь
обращается в — сТ и предыдущая формула приобретает следую-
следующий вид:
1 П dw
' 2 )\ dz
dwVdz+cY. D)
Эта формула является частным случаем одной общей формулы
С. А. Чаплыгина [70'].
Применим эту формулу к определению главного вектора сил
давления для того частного случая, когда в начальный момент
времени к поверхности жидкости не приложены импульсивные дав-
давления и поверхность жидкости горизонтальная. Будем предпола-
предполагать, кроме того, что вокруг движущегося тела не развивается цир-
циркуляция потока, Г = 0.
В этом случае функция w (z, t) имеет следующий вид:
w (z, t) = с (t) и\ {z) - с (t) w2 (z) + w3 (z, t\ E)
где w±(z) и w2 (z) — характеристические функции течения, обла-
обладающего потенциалами скоростей ц>г (х, у) и фа(я, у) соответственно,
а функция w3 (z, t) определяется формулой A4) § 13.
, § 14. ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА КОНТУР 351
Применим к рассматриваемому движению формулу D), заме-
заменяя в ней w его выражением E) и полагая Г = 0. Найдем сначала
величину интеграла
\ Нг- dz.
Повторяя в значительной степени вычисления § 18 гл. I, имеем,
обозначая штрихами дифференцирование по переменному z:
?"Jdz==c2\(w'i — w'*f dz + 2c^ (w[ — w2) wsdz. F)
Рассмотрим первый интеграл правой части; преобразуем его, поль-
пользуясь формулой
= 2i Re [ К (к)
о
оо оо
= i[ К (к) е-^Чк + i [ К (к) eilixdk.
о
Имеем
оо
dz — — 2i \ (w1 — w2) ?* dx =
= — i ^ К (к) dk ^ (w[ — w2)
0 •—оо
оо
— i\K(k)dk
0 —oo
Применяя к внутренним интегралам формулу A0) § 13, получаем
5 (w[ - w2Lz = 4jc 5 | Я (ft) |2 dk. G)
L 0
Рассмотрим затем второй интеграл правой части формулы F).
Имеем
оо
d<f*?'0) w'3dx.
Li
Заменим w3 его выражением из формулы A4) § 13. Выполняя ряд
352 ГЛ. П. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
преобразований, получим
§ К — w2) wsdz =
L
* оо
= Ag [ с (t) dx { kK (k)
l 1
X
Применяя к последнему интегралу формулу A0) § 13, паходим
L
= 4л ^c(r)dt ^ /iftsin )/"p(^ - x)IZ(&) |2e-*kW*)-*(^)]dA;. (8)
0 —00
Составим теперь выражение интеграла F); применяя формулы
G) и (8), получаем
_L ^ ЦЕЛ* dz = 2яс2 [ | Z (Л) |2 dk
L
(т) dx\y 8k sin V 8к {t — t) | К (к) |2 бг-гВДо-^ад/с. (9)
о
Найдем затем первый член правой части формулы D). Принимая
обозначения
получаем
\Widz = пъ
ВТ \wwM — vf</i >u*i dt i "*6 \ "(y/di! \ н(/с) л. (/с) в X
L 0 0
X []/"gk cos /gk (t - t) - ike (t) sin /gfe (* - т)] -??=. A0)
Рассчитаем, наконец, второй член правой части формулы D).
Имеем
где 5 — площадь, охватываемая контуром L.
§ 15. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 353
Таким образом, правая часть формулы D), определяющей глав-
главный вектор давлений, составляется на основе формул A0), A1)
и (9). Функция К (к), служащая для составления этих формул,
определяется формулой A0) § 13.
§ 15. Неустановившееся движение круглого цилиндра
Применим полученные в предыдущих параграфах формулы
к рассмотрению одного простейшего случая неустановившегося
движения, изученного Хэвелоком [125].
Предположим, что круглый цилиндр радиуса а приобретает
в момент времени t = 0 скорость с, которую и сохраняет во все
последующее время своего движения; допустим, что центр этого
цилиндра находится на глубине h под свободной поверхностью
жидкости. В начальный момент времени поверхность жидкости
горизонтальна и не получает воздействия импульсивного давления.
Найдем выражение для сил, действующих на цилиндр.
Функции и\ (z) и w2 (z) имеют следующие выражения:
а2 а2
1 z + /w z — hi
Найдем функцию К (к); имеем
*<*>--та-$-?¦«"¦*¦
L2
Подставляя сюда вместо производной щ ее выражение и приме-
применяя теорию вычетов, получаем
К (к) = 1а2ке-ы. A)
Используем теперь общие формулы § 14 и определим составляющие
главного вектора сил давления жидкости, приложенных к поверх-
поверхности цилиндра.
Применяя формулу A), находим
Я (ft) |2 dk = а4
х {к) = ^ e-ilizdz = — 2na*ke-*h.
L
Второй из этих интегралов, взятый по окружности ъ = —hi +
найден применением теоремы о вычетах, после того как e9i было
заменено комплексным переменным ?, изменяющимся по окруж-
окружности единичного радиуса,
12 Л. Н. Сретенский
354 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Составим формулу (9) § 14. Имеем
J Ygk — ck L
Вычислим затем интеграл A0) § 14. Имеем
4т \wdz = 2я*а«с U ^g + cfc [1_
L 0
[1 - е]
Отсюда формула D) § 14 примет следующий вид:
оо
У 4- iX = - -^L. pa' + 2na*cgp \ [i -
— c/c
\ [1 - e~W+ ^^)t ] _Af_— dk. B)
J V gfe + ck
f_—
V gfe + ck
Найдем по отдельности компоненты Х и У; запишем получающие-
получающиеся формулы, вводя в их выражения скорость v — }/~g/k волны
длины 2п/к. Получим
1
sin2 —n- к (с — v) t
с-—г?
•v)t
1
sin2 -х- k(c +5
H ^— — I ke~**hdk. D)
Эти формулы были установлены Хэвелоком [125].
Выведем асимптотические формулы для X и У, справедливые
для больших значений параметра т = gt/c. Обратимся сначала
§ 15. Т1ЕУСТАГ10ВШНИККAГ1 ДВИЖЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 355
к исследованию интеграла
оо
t/1 = \ 6 ^ о ) СЬгС.
J /gA — с/с
Введем вместо к новое переменное интегрирования х но формуле
к= -\-к и положим вместе с тем Iglilc* ~ \\,. В новых переменных
интеграл Jx перепишется так:
где
-5- U^-^Ч E)
Не приводя подробных вычислений, укажем уравнения линий
N± =¦• Re ЛГ = О
и
ЛГа|=-- 1тЛг = 0,
лежащих на двух листах римановой поверхности переменного х.
Полагая х = peie, записываем уравнения линий Ь\ = 0 и Лг2 = О
соответственно в таком виде:
1
^ COS -у ф
у;
cos (-01 —¦ а) »
Р — , / ^Fsin(#-a)> tga— T
У ^
На рис. 42 указаны эти линии, лежащие на первом листе (/) ри-
римановой поверхности, а на рис. 43 указаны эти линии, лежащие на
втором листе (//) риманоЕОЙ поверхности. Укажем, что линия Л^^
— О имеет на первом листе две асимптоты:
х2 — — хх tg a,
х2 = хх tg a;
две асимптоты с такими же уравнениями будут и у ветвей
линии iV2 = 0, расположенных на втором листе.
Для дальнейшего важно отметить, что интеграл с подынтег-
подынтегральной функцией интеграла E), взятый по любой кривой, ухо-
уходящей в бесконечность в областях, где Лг2 <^ 0, будет сходя-
сходящимся.
12*
356 ГЛ. It. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДЁИЖЕЙЯХ
Заметив это, перепишем интеграл E) в новом виде:
F)
где
Кх (х) = х — /х.
Путь интегрирования в формуле F) может быть заменен слож-
сложным путем, состоящим из кривой С2 и параболы Р2 (рис. 39).
Полюс х — 1 обходится в интеграле F) сверху маленькой полу-
полуокружностью, и так как парабола Р2 пересекает действительную
Рис. 42.
Рис. 43.
ось плоскости х в точке % = 1/4, то при замене первоначального
иуаи интегрирования путями С2 и Р2 надо отнять вычет подынтег-
подынтегральной функции, равный
Таким образом, будем иметь
Направление интегрирования по линиям С2 и Р2 указано на
рис. 39. Отметим особо, что эти линии проходят по тем областям
римановой поверхности функции N (х), в точках которых N2 < 0.
Это свойство легко установить, рассматривая расположение ^ли-
^линий Р2 и С2 относительно асимптот кривой N2 = 0, проходящей по
двум листам римановой поверхности. Следовательно, интегралы
в формуле G) сходятся.
Применим к оценке этих интегралов метод перевала, при этом
будем пользоваться вычислениями, выполненными в § 10 для на-
нахождения асимптотической формулы для интеграла 54.
§ 15. НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА
Асимптотическое выражение интеграла, взятого но линии
будет
съ 16
Интеграл, распространенный на линию С2, начинающуюся в юч-
ке к =-- 0, стремится при неограниченном увеличении т к нулю,
как т~2. В этом можно убедиться, заменяя х через а2 и принимая
затем во внимание, что подынтегральная функция будет иметь
в точке а =- 0 нуль второго порядка.
Таким образом, для больших значений т интеграл Jx имеет
следующее асимптотическое значение:
е-^™. (8)
Вернемся теперь к формуле B) и рассмотрим входящий в нее
интеграл
оо
j = V _i?
Преобразуем этот интеграл к переменному х, получим
с5
Подынтегральная функция не имеет полюсов на пути интегрирова.
ния, и, кроме того^ производная (к + У кI не обращается в нуль
для действительных и положительных значений х. В силу этого
асимптотическое значение интеграла J2 будет определяться ле-
левым концом пути интегрирования, т. е. значением х = 0. Вводя,
как и выше, переменное а, находим, что интеграл J2 убывает, как
тг2, при стремлении т к бесконечности.
Нерассмотренные еще два интеграла формулы B) дают после
их объединения такой результат:
) g-c*k 2Ш ~~ h^ ~*~ ~^ ) g-сЧ
о
*b-*hdk
g-c*k
Особая точка к — g/c2 обходится сверху маленькой полуокруж-
358 гл. п. плоская Задача о неустановившихся движениях
ностью. Перепишем эту формулу, используя главное значение
интеграла:
^' Vf* д. {9)
+ j
e3 ' / с4 J g — сЧ
о о
Формулы G) — (9) позволяют теперь написать асимптотическое вы-
выражение величины Y + iX. Отделяя в этом выражении дейст-
действительную часть от мнимой, находим горизонтальную силу X
воздействия жидкости на тело и подъемную силу Y:
*? Цe-?sin(|L J
е _&?Цesin(|L
с4 2с4 У gt \Ас 4
g-сЧ
о
4-
4
Первый член в формуле для X дает величину сопротивления при
установившемся движении со скоростью с, второй же член учи-
учитывает влияние неустановившегося характера движения на со-
сопротивление. Это дополнительное слагаемое стремится к нулю по
мере увеличения времени и имеет колебательный характер. Точ-
Точно так же в формуле для подъемной силы Y присутствует совокуп-
совокупность слагаемых, дающих подъемную силу при установившемся
движении, и, кроме того, одно слагаемое, обязанное возникнове-
возникновению движения из состояния покоя. Это слагаемое, имея колебатель-
колебательный характер, неограниченно стремится к нулю.
Таким образом, по истечении достаточно большого промежут-
промежутка времени силы, действующие на цилиндр, сначала находившийся
в покое, принимают значения, вычисляемые для установившегося
движения (см. § 14.гл. I). Отсюда можно вывести заключение, что
по истечении некоторого времени после начала движения цилиндра
движение частиц жидкости будет стремиться к тому движению,
которое наблюдается при установившемся процессе. В частности,
образующиеся волны будут стремиться принять вид тех волн,
которые сопровождают цилиндр при его установившемся дви-
движении.
Точнов исследование вида волновой поверхности и ее изме-
изменения с течением времени может быть проведено с помощью фор-
формулы A5) § 13. Но такое исследование требует много места для
своего изложения, вследствие чего оно здесь не приводится,
несмотря даже на то, что по своим результатам оно небезынте-
небезынтересно.
§ 16. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 359
§ 16. Колебания жидкости в подвижном сосуде
Большое внимание в последнее время привлекла к себе задача
о движении жидкости в сосуде, имеющем заданное перемещение
в пространстве. Наибольший интерес среди различных задач,
связанных с поведением жидкости в движущемся сосуде, пред-
представляет задача о колебаниях жидкости, имеющей открытую по-
поверхность. Подробное изучение этой задачи можно найти в книгах
[29], [30].
В настоящем параграфе мы разберем одну из частных задач,
которой будут присущи, однако же, все особенности задач общего
вида. Рассмотрим прямоугольный сосуд, наполненный до опре-
определенного уровня тяжелой жидкостью; предположим, что этот
сосуд может перемещаться поступательно в горизонтальном на-
направлении, и допустим, далее, что такое перемещение вызывает
появление горизонтальной упругой силы, приложенной к твердой
массе сосуда и пропорциональной величине смещения сосуда от
некоторого среднего его положения.
Наша задача состоит в определении периодов собственных ко-
колебаний сосуда с налитой в него жидкостью.
Возьмем неподвижную систему координат хОу, направляя ось
Оу вертикально вверх, а ось Ох горизонтально. Предположим, что
нижняя горизонтальная стенка сосуда расположена по оси Ох,
по которой и может скользить. Обозначим буквой s расстояние ле-
левой стенки сосуда от неподвижного начала координат. Свяжем
с движущимся сосудом подвижную систему координат хО'у, бе-
беря начало ее в нижнем левом углу сосуда; оси подвижной системы
параллельны соответствующим осям неподвижной системы коор-
координат. Обозначим через а ширину, а через h высоту сосуда. Пусть
Ф (#» У\ t) — потенциал относительных скоростей частиц жидкости.
Функция ф удовлетворяет по координатам х, у уравнению Лапласа
й ряду граничных условий. Из требования обтекания стенок и дна
сосуда имеем такие условия:
v ух=о, х=а \ ду /у=о
Условие постоянства давления вдоль свободной поверхности жид-
жидкости приводит к требованию
\ y)y
где с (t) есть скорость сосуда (или подвижной системы координат)
в направлении оси Ox, a? = cPcfdt2.
Уравнение| поверхности жидкости в системе координат хОу
запишется так:
360 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь периодические
движения; обозначим через а частоту этих движений. Потенциал
скоростей и смещение s (t) будем искать в таком виде:
Ф (х, у; t) - ф {х, у) eiGt, s {t) - soeiat;
положим вместе с тем
с (t) = соег°*, с0 = ias0.
Приняв эти обозначения, придадим предыдущим условиям такой
вид:
'??\ = о 1^-) =0
Ох )х=0} х=а ' V дУ /У=0 ' 2
а2 \ с0а2
-^- ф = ^—х
Л" g Т y=h g
^-(<f — cox)y==h. C)
о
Для построения гармонической функции ф (х, у), удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям B), рассмотрим следующую функцию:
Ф (х, у) — ch ky cos kx.
Эта функция удовлетворяет первому и второму условиям B), ес-
если число к взято равным пп/а, где п — произвольное целое число.
Образуем ряд с неопределенными коэффициентами:
Составим для этой функции левую часть последнего из условий B);
имеем
да а2 \
Т^Г Ф) _ =
оо
= — к- ^Aq + / An (n sb rn — ? ch. rn) cos —— x ,
где
a ' *-4
Возьмем затем разложение
, cos — x
a
I 16. КОЛЕЁАНЙЯ 5КЙДКОСТЙ В ПОДВИШЮМ СОСУДЕ *${
штрих у сигмы указывает, что суммирование ведется лишь по
нечетным значениям индекса п. Составим теперь последнее из ус-
условий B); получим
оо КП
8 V^ ' cos — х
71=1
ОО
= 2~ 54> + /, Ап (п sb rn —¦ 5 ch rn) cos -^- x. E)
n=l
Отсюда получаем значения неизвестных коэффициентов Ап:
Ао =-• ас0, Ап = 0 (л =- 2, 4, 6,. . .),
(Л = 1, 3, 5, . . .)•
?г я2 /г2(гг sh г/г — ? ch г/г)
Таким образом, потенциал скоростей относительного движения
жидкости запишется так:
ч 1 I 4асо? \^ 53/ Я/г /ft4
.у) = —-аС0-\ р- > -S-: т т-Т "nCOS X. (О)
'^у 2 и ' я2 /j /i2(/ishr/i — ^ch г/г) а ч у
Отметим что если частота колебаний а такова, что для некоторого
целого нечетного значения индекса п величина
п sh rn — | ch rn G)
равна нулю, то наступает явление резонанса и формула F) не мо-
может быть использована — необходим учет нелинейных слагаемых
в условиях задачи. Если же величина G) обращается в нуль для
четного значения п, то, как это следует из равенства E), коэффи-
коэффициент Ап с соответствующим индексом остается произвольным и
формула F) пополняется одним слагаемым с неопределенным коэф-
коэффициентом.
Найдем результирующую сил давлений жидкости на стенки
сосуда. Интеграл Бернулли для медленных движений жидкости
пишется так:
или
JL = jo (ф _ Сох) -g(y — h).
302 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Распределение давлений вдоль вертикальных стенок сосуда будет
= io [ф (а, у) — ас0] —g{y — h).
Отсюда результирующие сил давления на левую и правую стенку
будут соответственно равны
= — p
о
Х2 = р 5 (^ [ф (^, у) — ас0] — ?(у — ft)} Ay.
о
Преобразуем эти выражения, пользуясь формулой F); получим
\
ас0 + ^f; n2 (n 2J_\ ch J dy,
о
_\ ch J
X2 = 2~ ^P K1! (a) — hf — fe2l — 1Орас0ц (а)
О п=1.
Отсюда имеем
Х\ + Х2 = -о-№{[11 @) — ^]2 — l1! (а) — Щ2} — iopac0 [т|о (а) — h] —
Si Г V^' а У i
о n=i
Слагаемые
-у ёР{[Ц @) — ^l2 — h (Л) — ^]2} — iopac0 [r\ (a) — h)
суть величины второго порядка малости; отбрасывая их и выпол-
выполняя интегрирование, находим горизонтальную силу, действующую
на твердые стенки сосуда:
с©
2 -j- Л2 = — wapcoh -g-pazcoc
§ 16. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 363
Составим уравнение движения сосуда. Обозначим через т массу
сосуда, через А,2 — коэффициент пропорциональности в выражении
упругой силы, действующей на массу сосуда.
Представим выражение силы X = (Хг + Х2) еш, действую-
действующей на сосуд со стороны жидкости, в таком виде:
X = nPghts + Qal^' nS{nshfnrllchrn) •
П=1
Уравнение движения сосуда запишется так:
или, после подстановки вместо X его значения, даваемого преды-
предыдущей формулой:
n (n—%cth rn)
Это уравнение должно иметь частное решение вида
s = <?oeia'.
Подставляя это значение 5 в дифференциальное уравнение движе-
движения и выполняя небольшие преобразования, получаем следующее
уравнение для вычисления частоты колебаний а:
_
/г3 (тг — Е, cth rn)
n=i
(8)
В этом уравнении М есть масса всей системы:
М = т -\- pah.
Определив из этого уравнения его корень ?, можно затем найти
движение сосуда и форму открытой поверхности жидкости. При-
Применяя формулу A), находим
g t\ 2 / ' я2 /j w2(wthrn — ^) J
"inrt. (9)
n=i
Изучим корни уравнения (8). С этой целью построим на плоско-
плоскости (?, у) две кривые, определяемые уравнениями
71=1
а найдем абсциссы точек их дересечетая*
364 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Кривая у2 (?) обладает бесконечным числом вертикальных
асимптот, пересекающих ось абсцисс в точках
%г = th г, ?3 = 3 th Зг, %ъ = 5 th 5г,. . .
Для значения ?, равного |п — 0, функция у2 имеет большое по-
положительное значение; при ?, равном ?п + 0, функция у2 имеет
большое по абсолютной величине отрицательное значение. Отсюда
вытекает, что между ?п и ?п+2 находится по крайней мере один нуль
функции г/2. Но легко видеть, что в каждом интервале (%п, ?п+2)
будет находиться лишь один нуль функции г/2. В самом деле,
производная
оо
cth r n
n=l
{n—iahrnf
положительна.
Отметим, далее, чю при | =^ 0 и при всех отрицательных g
функция г/2 положительна и стремится к нулю при ? ~ — оо.
Для g отрицательных и больших по абсолютной величине имеем
Уг= ~ ¦
ihrn
A0)
Найденные свойства функции г/2 (g) позволяют начертить достаточ-
достаточно точно кривую г/2 = г/2 (^). Кривая у1 = г/х (^) имеет ось ординат
Рис. 44.
в качестве своей двойной асимптоты и приближается асимптоти-
асимптотически к отрицательной части оси абсцисс сверху, а к положитель-
положительной части — снизу; при g = aX2/ngAf кривая пересекает ось абс-
абсцисс.
§ 16. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 365
Рассматривая рис. 44, устанавливаем, что уравнение (8) имеет
бесконечное число положительных корней, принадлежащих про-
промежуткам
(О, 6i), (Ei, 6.), (Е., W,- • •
Каждый такой корень определяет частоту собственных колебаний
рассматриваемого сосуда.
Покажем, что уравнение (8) не имеет отрицательных корней;
из этого будет следовать, что колебания твердого тела и жидкости
не смогут с течением времени неограниченно увеличиваться по
своей амплитуде. При | = 0 имеем
Покажем, что такое же неравенство будет иметь место и для вся-
всякого отрицательного ? = — х. Имеем
rt=l
ИЛИ
x2 [уг (I) г- У2, (?)] = ^2 + -^г (т + РаЩ % —
оо
•• 8pg о V^' 1
Я2 ^Ll ^(/г + жсШгл)'
71=1
Далее имеем
71=1
Покажем, что величина
я2/- ^j ns (n-\-x cth г?г)
71=1
положительна. Действительно,
8* V'
^2r Lml xr& oXhrn
71=1
перепишем это неравенство так:
366 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Но lh rn «< т, следовательно,
п=1
Таким образом, неравенство
Ух F) - Уг (I) > О
установлено для отрицательных ?.
Найдем выражение удаленных корней уравнения (8). Рас-
Рассмотрим значение ?, равное
I = s lh sr + ?,
где s — какое-нибудь нечетное число, ? — новая искомая вели-
величина. Для малых значений ? можно принять, что
th sr) - -^
V' * 1 +V" 1
?j n3 (n — 5 cth rn) s*(s—¦% cth rs) ' Zj л8 (n — 5 cth rn)
_ th Г5 .V1" 1 thrtt ,
~ &3 jLJ nS n bhrn — s th sn ' " ""
n—i
В суммах, отмеченных двумя штрихами, исключается значение и,
равное s. Далее имеем
3 (л - 5 cth гл) я? «С ^ * e e
П==1
Таким образом, левая часть уравнения (8) примет следующий вид:
При больших значениях числа s все это выражение будет обращать
ся в нуль, если величину ? взять равной
Таким образом, удаленные корни уравнения частот имеют значе-
значения
Вводя в эту формулу вместо ? и г их значения, получаем
§ 17, КОЛЕБАНИЕ ЖИДКОСТИ В ШИРОКОЙ ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 36?
Эта формула показывает, что высокие частоты колебаний сосуда
с жидкостью весьма близки по своей величине к частотам колеба-
колебаний жидкости в неподвижном сосуде.
Если упругая восстанавливающая сила отсутствует, X — О,
то колебания сосуда около положения его равновесия будут воз-
возникать только от волновых движений жидкости. Период таких ко-
колебаний будет определяться из уравнения
1 rtW 1
> (n — ? cth г/г) 8pa2 E, '
Это уравнение встречается при решении задачи о колебаниях сосу-
сосуда, наполненного жидкостью и подверженного действию внешней
периодической силы. Если в направлении оси Ох действует на со-
сосуд сила
F = /еш,
то, согласно предыдущим рассмотрениям, уравнение движения
сосуда запишется так:
оо
"' А ч =/^. A2)
п3 (п —
Отсюда вынужденные колебания сосуда будут определяться фор-
формулой
,-
Приравнивая нулю знаменатель, получаем уравнение A1), кото-
которое будет определять резонансные частоты.
Рассматриваемая задача возникает при изучении вопроса о по-
поведении на волне судна с жидкой нагрузкой. Заменяя воздействие
морских волн на поверхность судна одной силой, приходим к
уравнению A2), и уравнение A1) будет определять частоты опас-
опасных волн. Таких волн бесконечное число.
§ 17. Колебания жидкости в широком подвижном сосуде
Заключительные формулы предыдущего параграфа приобре-
приобретают весьма простой вид для сосуда, ширина которого несравнен-
несравненно больше его глубины. Чтобы получить соответствующие фор-
формулы, рассмотрим функцию комплексного переменного ?:
368 ГЛ, И._ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Разложим эту мероморфную функцию в ряд по главным частям,
следуя способу Коши [24]. Функция F (Q имеет простые полюсы
в точках
*оэ ~*о, ?п = Ьъ (к =- ± !». ± 2> ± 3,. . . ),
где т0 — положительный действительный корень уравнения
С th ? - |i = 0, A)
a ?fe —- чисто мнимые корни этого же уравнения, причем т^ —
действительный корень уравнения
т tg х + ц = 0. B)
Выполняя необходимые действия, получаем следующее разложе-
разложение:
Обратимся теперь к формуле (9) § 16, преобразуем эту форму-
формулу на основе равенства C). Получим
^ Я/г
—х
n=i
а " "
hi &-v)-4 hi ™+4
Преобразуем правую часть этой формулы с помощью равенств
~, Я/г
х
Z> ^ а * я* Л 2х\
п* ~~ 8 \ а у
Я/г
cos
§ 17. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ШИРОКОМ ПОДВИЖНОМ СОСУДЕ 369
Получим
„ пп
cos—*
п2 (п th rn — ?)
ЯГ2
г 2
fc=U
Подставив это выражение в формулу (9) § 16, найдем уравнение
поверхности жидкости в новом виде:
Предположим теперь, что параметр г незначителен по своей вели-
величине; это может быть в том случае, если отношение глубины жид-
жидкости в сосуде к ширине сосуда мало. При этом условии все чле-
члены бесконечного ряда D), начиная с первого, будут малы по своей
величине и будут стремиться к нулю, когда г стремится к нулю.
Это имеет место, однако, для значений #, не находящихся в непос-
непосредственной близости к стенкам сосуда, т. е. к х = 0 и х = а.
Таким образом, для малых значений г можно считать, что по-
поверхность жидкости определяется уравнением
Г ят0 / 2х \1
г) = h -^- L_L_\ ±JA sin at.
Следовательно, поверхность жидкости в широком сосуде, нахо-
находящемся в колебательном движении, имеет вид синусоиды. Дли-
Длина волны X этой синусоиды определяется действительным корнем
уравнения A) для каждого вида колебаний, даваемых уравнением
(9) § 16. Имеем
ir 2га
3?0 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Для удаленных корней этого уравнения имеем
Отсюда
tothto = —, о2 = -f-s _th —s.
T0thT0 = ^-sth —*,
следовательно,
поэтому
Таким образом, длина образующейся волны рассматриваемого
колебания будет весьма незначительной. Амплитуда же колебаний
будет
2с0а 1 /
sh V
ngs
COS I ТГ Я5
Эта формула показывает, что амплитуда колебаний, отвечающих
нечетному s, исключительно велика; это заключение вытекает из
обращения в нуль знаменателя] в нашей приближенной формуле.
Для четного же s амплитуда колебаний будет
-1- sh V Kgs '
При взятом с0 эта амплитуда убывает с увеличением параметра s.
§ 18. Вертикальные движения сосуда с жидкостью
Предположим, что прямоугольный сосуд ширины 2& и глубины
h покоится на пружинах, опирающихся на горизонтальную пря-
прямую. Рассмотрим колебания такого сосуда с налитой в него жид-
жидкостью *).
Обозначим через ф (х, у; t) потенциал относительных скоростей
частиц жидкости для системы координат, связанной с сосудом,
который имеет поступательные движения в вертикальном направ-
направлении. Пусть начало подвижной системы координат хО'у будет
в середине горизонтального дна сосуда, и пусть расстояние точки О
от неподвижной прямой будет s (t). Напишем интеграл Бернулли,
отбрасывая члены второго порядка малости; имеем
^ y). A)
*) Подробное исследование этой задачи можно найти в статье [78].
§ 18. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СОСУДА С ЖИДКОСТЬЮ 371
Отсюда уравнение поверхности жидкости запишется так:
Присоединим сюда кинематическое условие для поверхности жид-
жидкости
(-JL) __*L. C)
\ ду /y=h dU K J
Найдем частное решение уравнения Лапласа следующего вида:
Ф = Т (t) ch ку sin kx; D)
условие обтекания вертикальных стенок сосуда, х = ± Ь, будет
удовлетворяться, если число к взято равным пп/Ь, где п = 1, 2,
3,. . . Функция Т (t) еще неизвестна. Запишем уравнение поверх-
поверхности жидкости так:
т] = L (t) ch kh cos &# + fc;
функция L (t) также не известна. Подставляя принятые выражения
функций ф и т] в условия B) и C), получаем два уравнения для
определения функций Т (t) и L (t):
j?L = (g + s)L^ ^=-kthkhT. E)
Отсюда имеем
dt L g + s dt J l
Найдем теперь зависимость s от времени, для этого определим
результирующую Y сил давления жидкости на дно сосуда. При-
Применяя формулу A), находим
Подставим сюда вместо ф его значение из формулы D) и выполним
квадратуру; получим
Y = -2pghb.
Обозначим через № коэффициент упругости пружин; тогда уравне-
уравнение движения сосуда запишется так:
$0 — расстояние дна сосуда от опорной прямой при равновесии
372 ГЛ. II. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
системы, следовательно,
s0 = 2pghb.
Поэтому уравнение движения сосуда будет
Для разъяснения вопроса о колебаниях жидкости достаточно при-
принять, что
s = A cos at, a = - .
Vm
Отсюда уравнения F) запишутся так:
d \ 1 dT
ЧТ[ Ш -^
L 1 — —-— cos ot
о
Перепишем эти уравнения в новом виде, принимая такие сокра-
сокращенные обозначения:
а = —т gk th kh, q = 2k th kh A,
и вводя вместо переменного t новое переменное т по формуле at =
= 2t. При этих обозначениях уравнения G) примут вид
^ (8)
(9)
cos 2t
Таким образом, наша задача привелась к решению уравнения
Матье [151]. Исследование свойств интегралов этого уравнения
приводит к заключению, что на плоскости двух действительных
переменных a, q существуют такие области, включающие в себя
ось q = 0, что для значений параметров а, д, принадлежащих этим
областям, интегралы уравнений (8), (9) представимы сходящимися
тригонометрическими рядами. Следовательно, для таких пара-
параметров функции L и Т будут ограничены для всех значений вре-
времени, колебание жидкости будет оставаться в известных пределах
и поверхность жидкости будет устойчива при колебаниях сосуда.
Но из точек, для которых q = 0 и а равно квадрату целого
числа, будут выходить узкие языки, и для точек а, д, принадле-
принадлежащих этим языкам, решение уравнения (8) будет представляться
тригонометрическим рядом по т, умноженным на неограниченно
§ 19. ОБЩАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ В СОСУДЕ 373
растущую с течением времени показательную функцию. Для та-
таких значений a, q поверхность жидкости в сосуде, обладающем
гармоническим движением, будет неустойчивой.
Заметим, что если между параметрами задачи имеет место со-
соотношение
2 4m gTtn , 7th
s =^F —th~ *'
то колебания сосуда будут представимы функциями Матье; s —
какое-нибудь целое число.
§ 19. Общая задача о колебаниях жидкости
в подвижном сосуде произвольного вида
Методы, примененные в предыдущих параграфах к определе-
определению колебаний жидкости в сосуде прямоугольной формы, могут
быть использованы и для решения задачи о колебаниях жидкости
в сосудах произвольной формы.
Рассмотрим задачу о поступательных горизонтальных движе-
движениях сосуда, ограниченного некоторой кривой С. Свяжем с этим
сосудом подвижную систему координат хОу с началом на среднем
уровне жидкости; пусть, далее, s (t) — расстояние начала подвиж-
подвижной системы координат от оси абсцисс неподвижной системы.
Тогда граничные условия для определения потенциала отно-
относительных скоростей ф (х, у; t) будут
*\ =о, (-S-
Положим
Ф (я, У\ t) = Ф (*> У) еш, s = soel°\ с = соеш.
При этих обозначениях предыдущие условия перепишутся так:
дп /с \ду g т/у=о г g V ;
и возвышение поверхности жидкости будет определяться форму-
формулой
Ц = -у (Ф ~ cox)y=Q. B)
Рассмотрим область D, ограниченную кривой С и частью I прямой
у = h, заключенной между точками ее пересечения с кривой С.
Возьмем в этой области две точки М (х, у) и Р (х, у) и составим
функцию Грина G (М", Р) для задачи Неймана в области D.
374 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Функция ф (х, у), удовлетворяющая условиям A), может быть
представлена через функцию Грина так:
Ф(я, у) = —?г\в(.г, г. I. 0)Ф(|, 0)d% + 4&\в&, у; I, 0Md?.
C)
Положим в этом равенстве у = 0, получим
(a;'0; Е> 0)ф(|'0)d|+w56(a:'0; l'
Обратимся теперь к интегральному уравнению, определяюще-
определяющему собственные колебания жидкости в рассматриваемом сосуде.
Обозначим через R (х, |; X) резольвенту ядра G (ж, 0; ?, 0). Так
как это ядро положительно, то можно написать такое разложение
9'?
E)
2я
Решение неоднородного интегрального уравнения D) запишется
так:
где
Разложим переменное | в ряд по фундаментальным функциям яд-
ядра G (х, 0; |, 0), получим
1= SV«9n(S,0). G)
На основании этого разложения представим функцию F (л:) в ви-
виде ряда
F(x) = Y,^ \G(x, 0; I, 0)Фп(Е, O)dg = _2я^^.фп(Ж| 0)." (8)
n=i г n=i n
Подставим теперь разложения E) и (8) в формулу F); отметим
сначала результат промежуточного вычисления:
n=1
§ 19. ОБЩАЯ ЗАДАЧА О КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ Б СОСУДЕ 375
В силу этого равенства получаем
У Ф (х> 0)
n=i
Подставим найденные разложения G) и (9) в формулу C), получим
выражение потенциала скоростей во всей области D:
Ф (*, у) = - ~ ^ Jfngv Bn (ж, у), A0)
n=i п
где
Найдем, пользуясь этой формулой, горизонтальную составляющую
X сил давления жидкости на внутреннюю поверхность сосуда:
X = р ^ a [io (ф — сох) — gy] ds;
с
а — направляющий косинус угла, образованного внешней нор-
нормалью к линии С с осью Ох. Подставляя в эту формулу вместо ф
его выражение A0), взятое в точках линии С, и выполняя ряд пре-
преобразований, получаем
X = - ipc0oD - *?- iap ^ т^Г \ аВп (х> У) ds'>
здесь Л есть площадь области D.
Принимая во внимание равенство iac0 = — o2s0, придадим
предыдущей формуле такой вид:
оо
X = |рЛсг2 + ^"g2 / | гг2 — ^—\ аВп{х, y)ds\s(t).
п=х п С
Составим уравнение движения сосуда под влиянием упругих сил
присоединенных пружин и давления жидкости. Обозначая через
га массу сосуда, получим
-fr \ аВ« ^у)ds]s w-
П С
Отсюда вытекает следующее уравнение для определения частот
колеблющейся системы:
= 0. A1)
376 ГЛ. И. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О НЕУСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЯХ
Это уравнение обобщает уравнение (8) § 16, полученное при иссле-
исследовании задачи о колебании жидкости в прямоугольном сосуде.
Исследование уравнения A1) приводит к тем же заключениям
о свойствах частот собственных колебаний, которые сделаны при
рассмотрении частной задачи § 16.
Уравнение поверхности жидкости можно записать в следующем
виде, пользуясь формулами B) и (9):
оо
Отметим в заключение, что вертикальные колебания сосуда
произвольного вида могут быть определены через интегралы урав-
уравнения Матье, как это имеет место для частной задачи о движении
прямоугольного сосуда с жидкостью.
Глава III
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
§ 1. Периодические колебания поверхности жидкости
Потенциал скоростей пространственного движения жидкости
удовлетворяет уравнению Лапласа
дх* ^ ду* ' dz* ~~ v >
и ряду граничных условий. Среди этих условий следует отметить
прежде всего условие, которому должна удовлетворять функция
Ф (#, у, z\ t) в точках среднего уровня жидкости. Это условие, вы-
вытекающее из интеграла Бернулли, было уже выведено в § 2 гл. I
и записывается так:
= °- B)
Кроме этого условия должно соблюдаться требование обтекания
стенок 2 того сосуда, в котором находится жидкость; это условие
запишется так:
\дп
Помимо граничных условий B) и C) функция ф (х, у, z; t) должна
удовлетворять начальным условиям. Начальных условий — два.
Первое условие состоит в том, что при t = О функция ф, умножен-
умноженная на плотность жидкости р, должна давать то импульсивное дав-
давление / (#, у, z), которое в начальный момент времени приложено
к частицам жидкости.
Второе условие заключается в том, чтобы производная dyldt
имела при t = 0 и z = 0 значения задаваемой функции координат
х, у. Ординаты поверхности жидкости определяются в любой мо-
момент времени через потенциал скоростей по формуле
Отсюда следует, что второе условие основано на требовании, что-
чтобы поверхность жидкости имела в начальный момент времени за-
заданный вид,
373 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
В настоящем параграфе мы найдем простейшие решения урав-
уравнения A), удовлетворяющие условию B) и периодические по вре-
времени. Кроме того, мы ограничимся рассмотрением движения
жидкости в слое, имеющем постоянную глубину h и неограничен-
неограниченно распространяющемся в горизонтальном направлении. Таким
образом, условие C) примет в рассматриваемой задаче такой вид:
для всех значений х и у. Что же касается начальных условий, то
в рассматриваемой задаче они отпадают, заменяясь требованием
периодичности функции ф (х, у, z; t) по времени. Найдем частное
решение задачи в виде произведения трех функций X (я), Y(y),
Z (z), умноженного на cos (at + г); подстановка в уравнение Лап-
Лапласа функции
Ф = х (х) Y (у) Z (z) cos (at + е) F)
приводит к следующему равенству:
1 dYl I
"" Y dy* "• Z
Y dy* "• Z dz* ~~
Это равенство будет соблюдаться, если неизвестные функции
X, Y, Z подчинить уравнениям
+,»Х-0, ?. + „у = 0, g-ftZ-0, G)
потребовав, чтобы между постоянными числами т, п, к сущест-
существовала зависимость
/с2 = т2 + п2.
Интегрируя уравнения G), получаем
X = Ах cos тх + Аг sin mx,
Y = Вг cos пу + В2 sinrn г/,
Z = Сх^г + C2e-fez.
Числа Лх, Л2,. . ., С2 — произвольные постоянные интегриро-
интегрирования.
Граничное условие E) дает возможность выразить постоянные
С± и С2 через новую постоянную С по формуле
Отсюда имеем!
Z = С ch ft (я + К).
Изменяя несколько значения постоянных Av A%, Bv 52, можем
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 379
написать выражение функции F) так:
Ф = (А± cos mx + ^2 sin mx) (Bxcos ny -г В2 sin ny) x
Xch /с B -f /г) cos (at + г). (8)
Составим теперь граничное условие B); найдем после небольших
вычислений
а2 = gk th № (9)
при любых коэффициентах^ Аъ А2, В1у 52, фазе 8.
Таким образом, все условия задачи удовлетворены, функция
(8) определяет некоторое волновое движение жидкости, обладаю-
обладающее частотой о.
Формула D) дает уравнение поверхности в рассматриваемом
движении жидкости:
? = ch kh (A± cos mx -f- A2 sin mx) EX cos ny -f
о
+ В2 sin лу) sin (at + e). A0)
Все движение жидкости и форма свободной поверхности обладают
в направлениях осей координат периодами Хх = 2п/т и Х2 =
= 2jc/?i. Числа ^х, Х2 суть длины волн в направлении осей Ох
и Оу соответственно. Формула (9) определяет частоту колебаний
жидкости через длины волн 'к1 и ^2> имеем
Перемещая начало координат в выбранную определенным об-
образом точку на среднем уровне жидкости, можно формулы (8) и
^10) записать короче:
Ф = a cos mx cos ny ch к (z + h) cos (at + e),
? = ¦—-^-ch/ей cos m^c cos wi/sin (a^ + e). ( '
Последняя из этих формул показывает, что при любом значении
времени поверхность жидкости пересекает средний уровень по
семейству взаимно ортогональных прямых
х =^(тл + рт;)' # = 4~(тя + 2л:) (р, 5 = 0, +1,+2,...).
A3)
Из той же формулы следует, что при всяком значении времени эк-
экстремальные точки поверхности жидкости находятся в одних и тех
же местах, определяемых координатами
з = -?-я, » = -?-* (Р', 2'=0,+1, ±2, ...)• A4)
380 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Эти свойства позволяют назвать волны, определяемые формула-
формулами A2), стоячими волнами. Семейство взаимно ортогональных
прямых A3) будет семейством узловых линий этих волн, точки же
A4) будут пучностями стоячих волн.
Формула (9), или равноценная ей формула A1), определяет
частоту стоячих колебаний через длины %1 и Х2 стоячих волн
в направлениях их узловых линий.
Граничное условие E) относится к дну бассейна. Если же бас-
бассейн столь глубок, что его можно считать бесконечно глубоким,
то условие E) следует заменить требованием обращения в нуль
скоростей частиц жидкости при неограниченном удалении от
поверхности жидкости.
Для бесконечно глубокого бассейна интеграл Z последнего из
уравнений G) должен быть взят такого вида, чтобы удовлетво-
удовлетворялось указанное требование:
Z = Сек\ к > 0.
Соответствующий потенциал скоростей будет
Ф = (Аг cos mx -\- A2 sin; mx) (Вг cos ny +
+ В2 sin ny) e*z cos (at + е). A5)
Граничное условие B) устанавливает связь между параметрами
яг, п и частотой а волны:
с2 = gk, A6)
или
Уравнение поверхности жидкости запишется так:
? = (А± cos mx -j- A% sin mx) (i?i cos ny + В*2 sin ny) sin (ot -j- s).
A7)
Формулы A5) — A7) определяют стоячие колебания поверхности
бесконечно глубокой жидкости.
Перейдем теперь к рассмотрению стоячих волн другого вида.
Введем в пространстве систему цилиндрических координат
@, г, z). Уравнение Лапласа в этой системе координат запишется
так:
dz2 -г drz
+ о
Найдем частное решение этого уравнения следующего вида:
ф = R (г) В @) Z (z) cos {at + е), A9)
где R (г), в @), Z (z) — три неизвестные функции своих перемен-
I i. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕЁАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 381
ных. Подстановка функции ср @, г, z) в уравнение A8) дает
--з--ЧГ = °. B0)
где
Z" =
7 О
dz2
Возьмем какое-нибудь целое число тг и подчиним функцию в
уравнению
= 0.
Общий интеграл этого уравнения будет
0 = A cos (ив + а); B1)
здесь А и а — произвольные постоянные. При таком определении
функции 6 потенциал скоростей A9) будет однозначным внутри
бассейна.
Уравнение B0) примет вид
Z" .
Это уравнение будет удовлетворено, если положить
Ъ" — k*Z = 0,
где /с — какое-нибудь действительное число.
Первое из этих уравнений интегрируется в показательных
функциях:
Z = Сге*г+ С2е-Ч
Интеграл же второго уравнения будет
R = BxJn (кг) + 52УП (кг), B2)
где Jn (кг) есть функция Бесселя первого/ рода п-то порядка, а
Yn (кг) есть второе решение уравнения Бесселя — функция Бес-
Бесселя второго рода ?г-го порядка, Въ _В2, ^i и ^2 СУТЬ произвольные
константы.
Граничное условие для дна бассейна приводит, как и выше,
к следующему окончательному выражению функции Z (z):
Z = С ch(z + h). B3)
Принимая во внимание найденные выражения B1) — B3)
функций, входящих в потенциал скоростей A9), придаем этому
362 1'Ла Ш. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
потенциалу следующий вид:
Ф = IB^nikr) + B2Yn (кг)] cos (nB + a)x
Xch к (z + h) cos(ot + с). B4)
Теперь остается удовлетворить граничному условию B), это усло-
условие приводит к зависимости между числами а и к:
о2 = gk th kh. B5)
Таким образом, предыдущая формула определяет потенциал ско-
скоростей волнового движения при любых константах В±, В2 и при
произвольных фазах а и е.
Уравнение свободной поверхности будет
? = — — ch fc& [#i/n (ftr) + 52Fn (&r)] cos (nQ + a) sin (ot + e). B6)
о
Для определения постоянных Вх и В2 необходимы дополнительные
условия. Если мы потребуем, чтобы потенциал скоростей и орди-
ордината поверхности жидкости были конечными в точке г = 0, то
для соблюдения такого дополнительного требования надо при-
приравнять константу В2 нулю.
Если же рассматривается колебание жидкости в кольцевом ка-
канале, ограниченном цилиндрическими поверхностями радиусов
гг и г2, то условия обтекания этих поверхностей
(Л1\ = о
\ Or /r=ri, г=г2
установят следующие две зависимости между Вги В%:
Вг/п (кг,) + B2Yfn (кгг) = О,
BxJn (Ага) + ВУп (кг2) = 0.
Эти два уравнения будут совместными, если их детерминант равен
нулю:
j'n(krL) Y'n(kri)
Можно показать, что это уравнение имеет бесконечное число по-
положительных корней
Каждому из этих корней будет отвечать по формуле B4) свое зна-
значение or, которое будет, таким образом, давать частоту соответ-
соответствующего собственного колебания жидкости в кольцевом канале.
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 383
Уравнение поверхности жидкости запишется при этом так:
I
ch[n (кг±) JJkr) — fn
о
коэффициент В произволен.
Если бассейн имеет бесконечную глубину, то вместо формулы
B3) будем иметь другую формулу, а именно:
Z =
и тогда потенциал скоростей запишется так:
Ф = [ВгГп (кг) + B2Yn (кг)] cos (nQ + a) eu cos (at + г). B7)
Граничное условие B) приведет к соотношению
a2 = gk,
не зависящему от числа п.
Уравнение поверхности жидкости запишется так:
I = — — [BtJn (кг) + B2Yn (кг)] cos (nQ + a) sin (at + е). B8)
о
Ординаты ?, определяемые формулой B6) или формулой B8),
обращаются в нуль в любой момент времени для значений радиуса
г, обращающих в нуль двучлен
BxJn (кг) + B2Yn (кг), B9)
а также и для значений угла 9, обращающих в нуль cos (nQ + а).
Двучлен B9) обращается в нуль для бесконечного числа раз-
различных значений г, a cos (nQ -\- а) обращается в нуль для 2тг
различных значений угла 0. Таким образом, вся поверхность
жидкости разбивается на бесконечное число клеток, ограничен-
ограниченных дугами двух последовательных окружностей и двумя радиу-
радиусами, отвечающими соседним значениям угла 0, обращающим
в нуль cos (nQ -f- °0- Эти окружности и прямые линии, выходящие
из начала координат, называются узловыми линиями, а все дви-
движение жидкости определяет стоячие волны.
При надлежащем изменении функции 0(9) возможно предста-
представить формулой A9) стоячие колебания жидкости внутри угла
произвольного раствора 2C.
Допустим, что стороны этого угла расположены симметрично
относительно оси Ох. В точках сторон этого угла должны удовлет-
удовлетворяться условия
56 /6=^ ' \ ^8 /9=—р
Эти два условия будут удовлетворены, если число п в уравнении
В" + пЩ = 0.
384 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
считать не целым, а равным
w = JLjV (W = 1,2,3,...)
или
n = ^BN-l) : (JV = 1, 2, 3, .. .)•
В первом случае а = О, во втором а = я/2. В первом случае
имеем
во втором случае имеем
6 = 4sm[-gj5-Btf —1)9].
Отсюда получаем два разных выражения потенциала скоростей
стоячих волн, развивающихся на поверхности рассматриваемого
бассейна:
ф = [BxJnN (кг) + B2YnN (кг)] cos (-f- ш) ch k (z + h) cos (at + e),
+ B2Y^_ 2^_ (kr)] sin j"^ BN — 1) б] ch к (z + h) cos (at + e).
Если угол р — нечетная доля угла в 180°, то потенциал скоростей
второго вида выражается через элементарные функции при любом
индексе N. В самом деле, если
то индекс функций Бесселя будет равен половине нечетного числа
а в этом случае функции Бесселя вырождаются в элементарные
функции.
Отметим особо, что для р — 1 угол р = л; следовательно,
бассейн, в котором образовываются стоячие колебания, имеет твер-
твердую вертикальную перегородку, проходящую через положитель-
положительную часть оси Ох,
Вернемся к формуле A2), определяющей стоячие волны с се-
семейством взаимно перпендикулярных узловых линий. При данной
частоте колебаний а величины тип связаны лишь одним соотно-
соотношением (9). Следовательно, существует бесконечное число стоя-
§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ 385
чих волн, зависящих от одного параметра. Отсюда вытекает, если
принять во внимание линейность уравнений и всех граничных
условий, что, проинтегрировав уравнения A2) по свободному
параметру, получим снова периодические колебания поверхности
жидкости; эти колебания будут иметь частоту а. Решая уравнение
(9) относительно kh, получаем
Отсюда зависимость между к, ти п запишется так:
Следовательно, обозначая через у вспомогательный параметр, бу-
будем иметь
mh = f (—— j cos y, nh = / ( J sin y.
Отсюда формула A2) для потенциала скоростей, если считать ко-
коэффициент а какой-нибудь функцией параметра у, перепишется
так:
Перепишем эту формулу, вводя следующие обозначения:
z=-rcos9, у = г sin9, -L-f(^L\ = кг = R;
будем иметь
Ф = -g- а (у) {cos [R cos (у — 8)] + cos [R cos (у + 9)]} x
X ch к (z + h) cos (at + e).
Проинтегрируем обе части этого равенства по у от 0 до 2я. В ре-
результате получим потенциал скоростей нового периодического
движения:
ф = -i- ^ а (у) cos [R cos (у — 6)] dy- ch к (z + h) cos (at + e) +
о
2«
+ 4" \ a M cos [Л cos (y + 6)] dV-ch^ (z + Л) cos(a^ + e).
0
Преобразуем это выражение к новому виду, пользуясь формулой
13 Л. Н. Сретенский
386 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Сонина:
cos (g cos со) '== /0 (g) — 2/2 (i) cos 2@ + 2/4 (g) cos 4<o -
— 2/6 (g) cos 6co + ...
Получим
Ф = {/0 (Д) J a (v) dv — 2/2 (Д) cos 29 ^ а (у) cos 27 cty +
+ 2/4 (Д) cos 40 ^ а (у) cos 4y dy —
о
— 2J6 (Д) cos 69 ^ а (v) cos 67 dy + ... j ch к (z + A) cos (a* + e).
Таким образом, мы нашли потенциал скоростей нового периодиче-
периодического движения, зависящего от одной произвольной функции а (у).
Беря эту функцию равной последовательно
1, cos 27, cos 47, cos 67, ...,
получаем стоячие колебания, описываемые потенциалами скоро-
скоростей
Ф = В^п (кг) cos тг9 ch к (z + h) cos (at + г) (п = 0, 2, 4, 6, ...),
C0)
входящими в общую формулу B4) (без участия функции Yn (кг)).
Аналогичными вычислениями можно получить потенциал вида
C0) и для нечетных значений индекса п.
Следовательно, система стоячих волн со взаимно перпендику-
перпендикулярными прямыми узловыми линиями дает систему стоячих волн
с круговыми и радиальными узловыми линиями при надлежащем
сложении волн первой системы.
§ 2. Установившиеся волны
Рассмотрим поток жидкости, текущий по горизонтальному дну
и обладающий скоростью с в направлении положительной части
оси Ох. Допустим, что под влиянием каких-то причин на поверх-
поверхности этого потока образовались установившиеся малые волны,
сопровождаемые некоторым потенциальным движением жидкости.
Обозначим через ф (х, у, z) потенциал скоростей, добавочных к
основной скорости потока. Составляющие скорости частиц жид-
жидкости по осям координат запишутся так:
дф дф Эф
дх ' ay ' dz
§ 2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНЫ 387
Повторяя в значительной степени рассуждения § 9 гл. I, прихо-
приходим к заключению, что потенциал скоростей ф (я, у, z) удовлет-
удовлетворяет на среднем уровне жидкости, z = О, граничному условию
[ ЭХ* + С* dz Jz=O ~ ' К >
а на дне водоема условию
где h — глубина водоема. По известной функции ф (#, г/, z) урав-
уравнение поверхности жидкости запишется так:
^/аф\ 3
b g \дх Jz=o v '
Всякий интеграл уравнения Лапласа ф (я, г/, z), удовлетворяющий
условиям A) и B), будет определять некоторое установившееся
волновое движение жидкости. Заметим, что для бесконечно глу-
глубокой жидкости, имеющей на бесконечной глубине скорость с,
условие B) заменяется требованием обращения в нуль частных
производных функции ф (х, г/, z) при z = —оо.
Возьмем такой частный интеграл уравнения Лапласа, удовлет-
удовлетворяющий условию B):
Ф = a cos т (х + &i) cos п (У + ?2) cn ^ (z ~t~ ^)» (^)
здесь е1? 82, а —произвольные константы, а числа т, п, /с связаны
условием
к2 = т2 + п\ E)
Условие A) дает вторую связь между этими числами:
ith**. F)
Подставляя это значение т2 в формулу E), получаем
G)
Отсюда потенциал скоростей D) запишется так:
Ф = a cos [(ж + б1) |/-J- thA*] cos [(у + 82) /с ]/l - JL thfefc] X
X chkiz + h),
и уравнение волновой поверхности будет
? = - -у-1/"sh 2А;А sin [(ж + ei) ]/^th4 x
X cos [(г/ + е2) fe j/l - X thAfe] . (8)
13*
388 ГЛ. III, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Величина к может рассматриваться как свободный параметр.
Найдем, как при изменении к будут изменяться числа тип,
обратно пропорциональные длине волны в направлениях осей ко-
координат. Из формулы G) вытекает, что если скорость потока с
меньше чем Y~gh, то kh должно превосходить корень koh уравнения
jk - -щг • w
При уменьшении с от У gh до нуля корень koh уравнения (9) моно-
монотонно увеличивается от нуля до бесконечности.
При изменении kh от koh до бесконечности величина п увели-
увеличивается монотонно от нуля до бесконечности; величина жет уве-
увеличивается монотонно от к0 до бесконечности. Следовательно, при
увеличении kh от kQh до бесконечности длина Ях волны (8) в на-
направлении оси Ох уменьшается монотонно от 2л/к0 до нуля, длина
же Ji2 волны в направлении оси Оу уменьшается монотонно от бе-
бесконечности до нуля. Отсюда вытекает, в частности, что при kh,
равном корню koh уравнения (9), длина волны в направлении оси
Оу равна бесконечности, а в направлении оси Ох равна 2я/к0
и определяется, следовательно, через скорость потока по форму-
формуле (9), которую перепишем в таком виде:
В этом частном случае волна (8) обращается в плоскую волну,
изученную в гл. I:
?= — —l/ -Y-sh2k0hsm[k0(x-
и
Ф = a cos [&0 (а: + е^] ch [kQ (z + Л)].
Предположим теперь, что скорость потока больше чем j^gfe.
При этом предположении величина
кс2
будет реальной для всех положительных значений к.
При увеличении kh от нуля до бесконечности числа тип будут
монотонно расти от нуля до бесконечности. Следовательно, при
увеличении kh от нуля до бесконечности длины волн в направле-
направлениях координатных осей будут одновременно уменьшаться от беско-
бесконечности до нуля. В силу этого последнего заключения выводим,
что при с ^> У gh не будет плоских волн, так как при обращении
в нуль числа п будет обращаться в нуль и число т.
§ 2. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНЫ 389
Найденные волновые движения зависят от нескольких пара-
параметров. Придавая этим параметрам различные значения, получаем
различные волны. Складывая соответствующие потенциалы скоро-
скоростей, можно получать новые виды волновых движений, Поясним
это простым примером.
Приравняем в формуле D) фазы sx и s2 нулю, получим потен-
потенциал скоростей
ф = a cos mx cos ny ch к (z + h)\
составим еще другой потенциал скоростей, полагая гг = я/ Bп),
е2 = я/ Bп):
ф = a sin mx sin ny ch к (z + h).
Сложим эти потенциалы. Получим потенциал скоростей нового
установившегося движения:
Ф = a cos (mx — ny) ch k (z -f- h).
Уравнение поверхности жидкости, отвечающее новому потенци-
потенциалу скоростей, будет
Z = A sin (mx — ny),
где
ЛпТПС ¦, 7 7
= ch kh.
g
Нетрудно видеть, что новая поверхность жидкости представляет
собою цилиндрическую поверхность, направляющей которой слу-
служит синусоида с длиной волны
Г.= , 2л - A0)
Образующие этой цилиндрической поверхности и, в частности,
гребни ее наклонены к оси Ох под углом, тангенс которого равен
т/п. Угол же а оси Ох с перпендикулярами к гребням волны будет
определяться формулами
sin а = , , cos а =
Формула E) показывает на основании формулы A0), что
Отсюда формула F) устанавливает связь между скоростью потока
с, длиной волны % и углом а:
^h. A1)
390 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Полагая здесь а — 0, находим известную формулу, связывающую
скорость плоского потока с длиной установившейся волны. Легко
видеть, что рассматриваемые волны с прямолинейными гребнями,
наклоненными к основной скорости потока, могут существовать
лишь при условии, что
с < sec а Уrgh.
Все предыдущие формулы значительно упрощаются для беско-
бесконечно глубокого потока. Вместо потенциала скоростей D) будем
рассматривать здесь потенциал
ф = a cos т (х + ?i) cos n (у + s2) eKz,
обеспечивающий обращение в нуль волновых скоростей на беско-
бесконечной глубине. Соотношение E), вытекающее из уравнения Лап-
Лапласа, здесь сохраняется, но вместо условия F) имеем более простое
условие:
Пользуясь этой формулой, находим из формулы E) выражение п
через к:
Отсюда следует, что параметр к может меняться от g/c2 до сю.
Найдя выражения чисел т и ?г, напишем выражение потенциа-
потенциала скоростей и уравнение поверхности жидкости в зависимости
от параметра к:
[ 7""j Г / 1
(^ + %) 1/ «7ГUos \(у + еа)Л1/ 1 — т|- efez,
A2)
= -а Yt sin [{x+ei) Yf]cos
Отметим, наконец, зависимость между скоростью потока в беско-
бесконечности и длиной волны X для цилиндрических волн, гребни кото-
которых наклонены к оси Ох:
Найденные простейшие установившиеся движения зависят от
параметра /с; число а, входящее в формулы, определяющие эти дви-
движения, может рассматриваться как функция этого параметра.
Интегрируя формулы, определяющие потенциал скоростей и
ординаты поверхности жидкости по параметру к, можно получить
§ 3. ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ 391
весьма интересные и сложные установившиеся волновые движения,
зависящие от одной произвольной функции.
Такие движения, возникающие на поверхности бесконечно глу-
глубокой жидкости, будут рассмотрены после изложения теории кора-
корабельных волн.
§ 3. Прогрессивные волны
Рассмотрим установившиеся волновые движения, найденные
в предыдущем параграфе, и введем систему подвижных координат
XO'Y, увлекаемую основным потоком жидкости со скоростью с.
Располагая плоскость z = О вдоль среднего уровня жидкости,
будем иметь следующие зависимости между старыми и новыми
координатами:
х = X + ct, у = У, z = Z.
Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет ви-
видеть, что из положительной бесконечности X = оо идут в отри-
отрицательную бесконечность X = —оо без изменения своего вида вол-
волновые гряды. Эти волны будем называть прогрессивными волнами.
Движение жидкости, сопровождающее распространение прогрес-
прогрессивных волн, не имеет основной скорости, как это есть у уста-
установившихся движений; при распространении прогрессивных волн
частицы жидкости имеют лишь небольшие скорости, вызываемые
прохождением волн, которые считаются малыми.
Потенциал скоростей, вызываемых прогрессивными волнами,
возникающими при рассмотрении установившихся волн § 2, пи-
пишется так:
Ф = a cos \(Х + ct + 81) 1/ -§- thkhl X
X cos [(У + е3) к ]/1 - Х- thkh] ch к (Z + h).
Прогрессивные волны, соответствующие этому потенциалу, имеют
уравнение
B_
= - -J- Y3^ Sh 2kh sin [(X + ct + ei)j/fr th kh\ X
A)
Величина с, которая при рассмотрении установившихся волн да-
давала скорость потока, будет теперь скоростью распространения
прогрессивных волн-.
392 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Обозначим через А,х и А,2 длины прогрессивных волн в направ-
направлениях осей О'Хи O'Y. По этим длинам параметр к определится
по формуле
Длина Ях связана со скоростью распространения волны в направ-
направлении оси О'Х зависимостью
как это видно из уравнения волны A). Подставляя сюда вместо к
его значение B), получаем выражение скорости прогрессивной вол-
волны в зависимости от ее длин Хг и А,2 в двух взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных направлениях:
Потенциал скоростей простейших прогрессивных волн, рас-
распространяющихся по поверхности жидкости бесконечной глубины,
пишется так в согласии с формулами A2) § 2:
ср = a cos [(X +ct + ei) У?\ cos YY + 8»>* Yi ~ &\ ***¦
Уравнение волновой поверхности будет
t = - а У± sin [(X + ct + 4J)flP\ cos [(Y + **) k V1 ~ w] ¦
D)
Скорость распространения этой волны в направлении оси О'Х
определяется (через длины %г и к2 волны в направлениях осей
О'Х и O'Y соответственно) формулой
которая легко выводится из равенства B) и равенства
§ 4. Волны на поверхности раздела двух потоков жидкости
Рассмотрим два потока жидкости, разделенные горизонтальной
плоскостью хОу; допустим, что нижний поток имеет скорость с,
плотность р; верхний поток имеет плотность р' и скорость с', со-
составляющую угол § со скоростью нижнего потока. Предположим,
§ 4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 393
далее, что нижний поток имеет бесконечную глубину, а верхний
поток имеет глубину h.
Поставим задачу определить установившиеся волны на откры-
открытой поверхности жидкости и на поверхности раздела двух жидко-
жидкостей [57].
Предполагая движения потенциальными, найдем те гранич-
граничные условия, которым должны удовлетворять на среднем поло-
положении поверхности раздела два потенциала волновых скоростей.
Пусть ? = ? (х, у) будет уравнение поверхности раздела, по-
покрытой волнами. Проведем в какой-нибудь точке этой поверхности
касательную плоскость
§(X-x)+|i(y-2/)-(Z-2) = O. A)
Так как движение установившееся, то точка с координатами
' Y = y-%dt, Z = z-d?dt, B)
принадлежащая нижней жидкости, будет лежать в касательной
плоскости A); здесь ср (х, z/, z) — потенциал скоростей нижней
жидкости. Подставляя выражения B) в уравнение A), получаем
К (с - $2.) - К 22. 4- 4^ = 0.
дх \ дх j ду ду ' dz
Отбрасывая в этом соотношении произведения малых чисел, полу-
получаем первое условие:
дх ' \ d
Рассмотрим теперь точку верхнего потока, перемещающуюся
вдоль поверхности раздела. Принимая во внимание, что движение
установившееся, находим, что точка с координатами
?2L
dz
будет лежать в плоскости A); здесь q/ (x, у, z) — потенциал ско-
скоростей частиц жидкости верхнего слоя. Получаем
или, отбрасывая квадратичные слагаемые,
«-(«•?+ .!.¦$)+ (?¦)_-0. D)
394 ГЛ. ИТ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Используя обычные упрощения теории малых волн, можем на-
написать уравнения Бернулли в следующем виде для нижней и верх-
верхней жидкости соответственно:
gz + ca, gZ +
р s ' дх ' р' ь '
При пересечении поверхности раздела давление во всей массе
жидкостей не испытывает разрыва, поэтому два предыдущих
уравнения приводят к следующей формуле, устанавливающей
уравнение поверхности раздела:
g dx g \ дх ' ду I v '
g g \
Здесь приняты такие обозначения:
р — р" Р — р' '
производные потенциалов скоростей берутся при z = 0. Внесем
в формулы C) и D) вместо ? найденное его значение E); мы получим
тогда два условия, накладываемые на потенциалы волновых ско-
скоростей:
?-) = 0, F)
ду J ' ч '
dz ) \ дх% ' дх ду J
(^ |^8in«^)] = 0; G)
эти условия должны соблюдаться при z = 0.
Составим граничное условие для свободной поверхности.
Условие постоянства давления на этой поверхности дает выражение
координаты ?' волновой поверхности через потенциал скоро-
скоростей q/ (х, у, z):
?^ . (8)
dy )z=h v ;
Из уравнения волновой поверхности ?' = ^ (х, у) получаем но-
новое соотношение, аналогичное соотношению D):
=0.
Подставляя сюда вместо ^ его выражение (8), получаем граничное
условие для свободной поверхности:
^] 0; (9)
здесь z должно быть взято равным h.
§ 4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 395
Таким образом, потенциалы скоростей верхнего и нижнего по-
потоков должны удовлетворять граничным условиям F), G) и (9).
Кроме этих условий надо поставить требование обращения в нуль
волновых скоростей в нижнем потоке на бесконечной глубине.
Найдем частные решения задачи, имеющие вид плоских волн,
распространяющихся по свободной поверхности и по поверхности
раздела.
Будем искать функции ф (х, z/, z) и q/ (х, z/, z) следующего
вида:
Ф (х, г/, z) = Aekz cos (mx + пу + е),
ф' (х, у, z) = [Вх сЪ к (z — К) + i?2 sh A (z — h)] cos (mx +
+ пу + e),
где к2 = т2 + п2. Неизвестные коэффициенты А, Вх, В2 найдем
из граничных условий F), G) и (9). Эти условия запишутся так:
(g — ас2 A cos2 я|)) А + а ее к cos я|) cos (Ф — я|)) (Вг ch kh —
- В2 sh kh) = О,
асе'A: cos я|> cos (О — ф)-Л + [^ (^sh M — ?2ch АЛ) — A0)
- а'с'2 к cos2 (# - -ф) (i?! ch АА — 52 sh АЛ)] = 0,
gB2 — с/2 A cos2 (# - я|))-5! - 0,
где угол я|) определяется формулами
и является углом между осью Ох и направлением, перпендикуляр-
перпендикулярным к гребням волн.
Система уравнений A0) имеет отличное от нуля решение, если
ее детерминант А равен нулю. Равенство нулю А приводит к сле-
следующему уравнению, из которого возможно определить через па-
параметры задачи длину установившейся волны:
a
где х = АЛ, г;2 = gh.
При соблюдении этого уравнения решение системы уравнений
A0) запишется так через одну произвольную константу С:
А — qlcc'% cos я|) соз (# — я))) b2ch к — с'гп cog2 (# — f) sh x] -Cf
#! « —i* (у2 - ac2 н cos21|)) »Cf
5а » ^-с'2 и (i* - ас2 х cos21|>) cos2 (Ф - у) -С.
396 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Установив эти равенства, найдем амплитуду а волны на по-
поверхности раздела и амплитуду а' волны на свободной поверхности
жидкости. Пользуясь формулами E) и (8), получаем
а = а'с х Ыс'2 cos2 (ft — i|)) sh x — v2 ch х] cos (ft — 'Ф) • C\
а = с'х (г;2 — ас2 х cos2 -ф) cos (ft — а|)) • С.
Отсюда находим
а "" a'[xc'2cos2(ft — tf)shx — v2chx]
Изучим формулы A1) и A2) в одном частном случае; допустим, что
скорость нижнего потока равна нулю (т. е. с = 0). В этом допу-
допущении, когда можно принять, что ft = 0, уравнение A1) запишется
более просто:
л
Al ac z;2KC0S2\b /A Оч
th X = —т — . A3)
а'с х2 cos4 г|5 + я4
Рассмотрим на плоскости Ощ кривую
A4)
к — абсцисса. При х = 0 ордината ц = 0; при стремлении х к бес-
бесконечности т] стремится к нулю. Для значения х, равного
ордината кривой A4) достигает максимальной величины, равной
—т=- = -7==?==г>1. A5)
2 У а' V?2— (Р — VJ
Это неравенство позволяет решить вопрос о числе корней уравне-
уравнения A3).
Угловой коэффициент касательной к кривой A4) в начале ко-
координат равен
Кривая, изображающая гиперболический тангенс ц = th x, на-
наклонена в начале координат под углом 45° к оси абсцисс.
Заметив это и приняв во внимание неравенство A5), можно
сказать, рассматривая взаимное расположение тангенсоиды и
кривой A4), что при соблюдении неравенства
§ 4. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ПОТОКОВ 397
производная A6) будет для всех углов г|) меньше чем единица и,
следовательно, тангенсоида и кривая A4) будут пересекаться
в двух точках. Поэтому уравнение A3) будет иметь два корня.
При стремлении cos i|) к нулю оба корня стремятся к бесконеч-
бесконечности. Следовательно, установившиеся волны, гребни которых
почти параллельны вектору скорости верхнего потока, имеют весь-
весьма малую длину.
Предположим теперь, что имеет место неравенство
Тогда для углов i|), удовлетворяющих неравенству
2?, A8)
будет существовать лишь одна точка пересечения гиперболической
тангенсоиды с кривой A4). Эта точка дает один корень уравнения
A3), и длина соответствующей волны будет меньше чем
Из неравенства A8) следует, что гребни волн Оудут почти пер-
перпендикулярны к скорости верхнего потока.
Если же угол i|) будет удовлетворять неравенству
ас'2
то будут существовать два корня уравнения A3). Эти корни будут
определять две установившиеся волны с общим расположением
гребней, как и при соблюдении неравенства A7). При стремлении
cos i|) к нулю эти гребни будут стремиться стать параллельными
вектору скорости верхнего потока; длины этих волн стремятся
при этом к нулю.
Для рассматриваемого частного случая, с =¦ О, Ф = 0, формула
A2) записывается так:
A9)
а a'(xc'2cos2i|)shx —
Исключим из двух формул A3) и A9) величину
кс' cos2 г|).
Выполняя ряд преобразований, получим
^ B0)
398 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Если а будет больше, чем2а', т. е. р < 2р', то ch % будет больше
единицы для всех значений а/а от единицы до бесконечности. Сле-
Следовательно, в рассматриваемом случае амплитуда волн, образую-
образующихся на поверхности раздела, т. е. внутренних волн, будет
превосходить амплитуду волн, принадлежащих свободной поверх-
поверхности. Чем короче будут эти волны, тем больше а будет превосхо-
превосходить а'.
Если же а будет меньше, чем 2а', что имеет место при р ]> 2р',
то ch х будет больше единицы для всех значений отношения alar
от нуля до единицы. Поэтому в данном случае амплитуда волн
на свободной поверхности будет для всех длин волн больше, чем
амплитуда внутренних волн. Чем короче будет волна, тем меньше
будет амплитуда волн на поверхности раздела.
Вернемся теперь к двум потокам жидкости, текущим под углом
друг к другу, и рассмотрим их движение по отношению к новой
системе координат OXX}YXZX, ось ОХХХ которой направлена по ли-
линии, перпендикулярной к гребням установившихся волн; допу-
допустим, что начало координат Ох движется с постоянной скоростью V.
Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет
видеть, что волны, которые в системе координат O'XYZ были
установившимися, будут теперь перемещаться со скоростью V
из положительной бесконечности оси О1Х1 в отрицательную бес-
бесконечность этой оси. Потоки жидкости имели скорости с и с' по
отношению к системе координат OXYZ и образовывали между со-
собой угол Ф.
Наблюдатель, связанный с новой системой координат, будет
видеть, что скорости потоков будут иметь некоторые другие значе-
значения сх, с/ и угол между потоками будет -01. Старые и новые харак-
характеристики потоков связаны друг с другом соотношениями
с cos г|) = V -f~ сх cos \|)l7 cr cos (г|) — Ф) = V + ci c°s (Ф1 — ^i)?
B1)
где if^ — угол между направлением распространения прогрессив-
прогрессивных волн и вектором скорости сг.
Выведенное выше соотношение A1), будучи преобразовано к но-
новым величинам по формулам B1), дает зависимость между длиной
прогрессивной волны и скоростью ее распространения V.
Имеем *)
ах [V + с[ cos (^! — дх)]2 [г;2 — х (V + сх cos ЦХ)Ц
th х = ; ;
а'х2 [V + с1 cos (ург — их)]4 — ахг;2 [V + сх cos г^]2 + г;4
ддица водны К связана с величиной к формулой
*) Подробное исследование этой формулы, выполненное в предположении
р < 2р', можно найти в работе [36]*
§ 5. ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 399
§ 5. Волны в бассейне с наклонным дном
Определим простейшие волновые движения поверхности жидко-
жидкости в бассейне, дно которого наклонено под некоторым углом а
к горизонту и уходит на бесконечную глубину. Будем предпола-
предполагать, что угол а есть целая часть от 90°; положим
где q — какое-нибудь целое число [175].
Примем средний уровень жидкости за плоскость хОу, распо-
располагая ось Ох вдоль линии пересечения этой плоскости с дном
бассейна и направляя ось Оу в бесконечность по среднему
уровню жидкости; ось Oz направлена, как обычно, вертикально
вверх.
Найдем стоячие волны, обладающие длиной X по отношению
к переменному х. г Пусть Ф (х, г/, z\ t) — потенциал скоростей
частиц жидкости. В силу принятого условия периодичности мож-
можно представить этот потенциал так:
Ф = ф (у, z) cos kx cos at
Неизвестная функция ф (г/, z) должна удовлетворять уравнению
и следующим граничным условиям:
g -g - <т2ф = 0 для z=0, B)
¦у- sin а + тр cos а = 0 для z = — у tg а. C)
Уравнение A) имеет частные решения следующего вида:
Ф (у, z) = Re A exp {-i- к [(g + -L}y + i (^ -f) ]}
где А и А' — два произвольных комплексных числа, а ? — па-
параметр, имеющий произвольное значение.
В дальнейшем будет удобно рассматривать вместо ф (у, z)
в ф' (у, z) функции, находящиеся под знаком действительной части
и формулах D). Обозначим эти функции соответственно через
400 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
X (у, z) и %' (у, z)\ следовательно,
( )
Составим для функции % (г/, z) левую часть условия B), полу-
получим
\)y + i(Z-\)Z]}. F)
Применим это равенство к частному случаю, полагая ? = —iU
где Z — произвольное действительное число. Правая часть равен-
равенства F) обратится при этом в выражение
и будет обращаться в нуль, если а2 взять равным
Таким образом, при значении ?0 функция % (г/, z) удовлетворяет
граничному условию B).
Для функции %' (у, z) можно написать тождество, аналогичное
тождеству F):
(8)
При z = 0 показатели экспоненты в формулах F) и (8) одинаковы
при любом у и для любого значения параметра ?• Отсюда следует,
что функция
X (У, ^) + X' (У, *) (9)
будет удовлетворять граничному условию B), если коэффициенты
А и А' связать зависимостью
Составим для функции % (г/, z) левую часть условия C), полу-
получим
Я*# \ _ Г/. 4 \ I \ \ Л
X
§ 5. ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 401
для функции %' (у, z), взятой для параметра ?', имеем
_gLsina+ -glcosa = \ к А' [(?' + ¦?¦) sin a - i (? - -i-)cos a] x
X exp {-*- к [(f + -gr) * " ' (Г " "f) 4 • A2)
Показатели экспоненты в формулах A1) и A2) будут равны
друг другу при z = —у tg a, если принять равенство
(Х + y"]cos a — i\Z р J sin a = \Z' + -p-j cos a + i \l' — — j sin a.
A3)
Из этого равенства вытекает следующее соотношение между пара-
параметрами ? и ?':
И = 1е~^\ A4)
Функция
X (У. 2) + х' (У, z),
составленная для параметров ? и ?', связанных соотношением A4),
будет удовлетворять условию C), если коэффициенты А ж А'
связать равенством
А [(с + y) sin a + * (^ — у) cos a]
Отсюда вытекает в предположении, что t, Ф e~ai, следующее
равенство:
А' = А. A5)
Установив формулы A0), A4) и A5), построим две последователь-
последовательности функций.
Первая последовательность:
402 ГЛ. Т.П. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Вторая последовательность:
Примем, что
Si = Si» S2 — ^2? «••> Sm ~ Sm» .- A6)
При таком выборе чисел ? и ?' каждая сумма
Хт (г/, ^) + Хт (г/, 2)
будет удовлетворять условию B), если будет соблюдаться следую-
следующее соотношение, вытекающее из формул A0) и G):
т + А^) (т = 1,2,3,...).
A7)
Возьмем теперь зависимость A4) между числами ^ и ?' и при-
примем, что
к'= Coeai, С2'= Coe-4ai, .-., U = ^-m-Mi, - A8)
При соблюдении этих равенств сумма двух функций
%т (У, *) + Xm+i (г/, г) (т = 0, 1, 2, ...)
будет удовлетворять условию C), если коэффициенты Ат и
4m+i взять равными друг другу:
Отметим теперь, что в силу этого последнего равенства и ра-
равенств A8) уравнение A7) запишется так:
= fcos2ma — i z2~ sin2maj (Лт — Лт^) (т = 1, 2, 3,. . .)•
A9)
Выясним теперь вопрос, до какого предела может изменяться
индекс т и сколько, следовательно, будут иметь функций взятые
§ 5. ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 403
две последовательности
XlG/> Z)> Ъ (У, *), ..., Хт (У, ^), ...,
Xi (У» z), Х2 (г/, z), ..., х'т (У, z), ...
Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим показатель степени у функ-
функции %т (у, z) для значений у и z, принадлежащих бассейну. По-
Положим
у = г cos Э, z = r sin Э, — а ^ Э ^ 0;
получим
= -*. кг Ul + j\ sin @ — 2am) + i(l — у) cos @ — 2amX\.
Показатель степени у функции %т (у, z) может быть преобразован
к такому виду:
= "" Т кг К1 + Т") sin @
"" [1 — т)cos
Потребуем теперь, чтобы функции %т (г/, z) и %т (г/, z) были огра-
ограничены во всем бассейне; это требование приводит к выполнению
двух неравенств:
sin @ — 2ат) < 0, sin @ + 2ат) > 0
для всех значений 0 от —а до 0. Рассмотрение этих неравенств по-
показывает, что целое число т не должно превосходить q — 1/2,
т. е. самое большое допустимое значение т равно q — 1.
Однако же взятые последовательности функций %т (г/, z)
и %т (у, z) не могут состоять: первая из q функций, а вторая из
q — 1 функций, потому что необходимость удовлетворять условию
C) влечет за собой необходимость присоединения к функции
%q-i {Уч z) первой последовательности функции %'q (у, z) второй
последовательности, а эта последняя функция неограниченно ра-
растет при удалении в бесконечность внутри бассейна.
Чтобы выйти из этого затруднения, необходимо рассмотреть
отдельно два случая. Угол а может быть или нечетной долей 90°,
или же четной долей 90°;
1) a^-g-, 9 . 2р + 1; 2) а**$~, Ч - 7л.
Покажем, что в первом случае функция %р (г/, z) дает возможность
удовлетворить условию C) без привлечения функции %'p+i (г/, г),
404 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Таким образом, первая последовательность будет состоять из р +
+ 1 функций, а вторая — из р функций.
Возьмем функцию %р (у, z); имеем
, z) = Apexvljk ^ + -^у
где
Следовательно,
Хр
(У, z) = А9 ехр {- -I к \_(le<* + -^-) у + i (le«\- -^-) z]}.
Отсюда получаем после небольших преобразований левую часть
условия C):
.Sina _i-_^COsa - - - • • 1\ 2
ду
i 7 л 7, 1
— у /с Лр (/ —j-
Предположим теперь, что коэффициент Ао выбран так, что Ар,
находимый из решения системы уравнений A9), получает действи-
действительное значение. Больше того, будем рассматривать не функции
%т (У) 2)> %т (у, z), которые удовлетворяли граничным условиям
B) и C), а лишь их действительные составляющие, т. е. функции
Фо (У, 2), фх (у, z), ..., фр(у, z),
представимые формулами D) для чисел ?, даваемых формулами
A6) и A8).
При таком соглашении функция
ФР (у, z) = Re Хр (г/, 2)
будет удовлетворять условию C) без привлечения функции
фр+i (У, 2).
Отсюда следует, что функция F (у, z), определяемая следующей
конечной суммой, будет удовлетворять граничным условиям за-
задачи для Д =2BД
F (у, z) = Re 2 ^mXm (У, 2) + Re 2] Ат-гХт (г/, z). B0)
m=0 m=i
Таким образом, потенциал скоростей стоячих колебаний в рас-
рассматриваемом бассейне запишется так:
Ф (я, у, z; t) = F (у, z) coskx cos at, B1)
§ 5. ВОЛНЫ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 405
и соответствующее возвышение поверхности жидкости будет
Z = — — F (у, 0) cos кх sin at B2)
о
Отметим в заключение выражение коэффициентов Ат\ решая
систему уравнений A9), получаем
а- #4+1 ^2+1 Km +1 л /9О\
л™ = "W Г "F Г к Т л°» \ °)
&1—I А2—1 Ат — 1
где
Kj = cos 2/a — i ^qri sin 2/'а 0" = 1,2,..., p).
Коэффициент Ар получает действительное значение А, если Ао
придано следующее значение:
Предположим теперь, что
я я
а
В этом случае всю последовательность функций %т (у, z), %m (у, z)
приведем к 2s функциям:
Хо (У, 2), xi (У» 2)> •••» Xe-i(y» 2)»
и покажем, что действительная часть функции %s (у, z) будет
удовлетворять условию B) без присоединения функции %s(y, z)>
но при определенном выборе коэффициента As-
Имеем
с = -г.
Отсюда
л; ехР {- i- ft [(г +1) у +1 (z _ |) г]}.
Составим для функции Xs (?/» 2) левую часть условия B).
Получим
Предположим, что коэффициент Ло выбран так, что
K'+f)+«('-i)]*
есть число чисто мнимое: Bi. В таком случае действительная часть
406 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
функции
Re %s (у, z) = (pi (г/, z)
будет удовлетворять граничному условию B).
Отсюда вытекает, что функция F (z/, z), составленная по фор-
формуле
F (у, z) = Re 2 ^mX™ (I/» 2) + Re S Лт_^ (у, z), B4)
m=o m=i
будет определять потенциал скоростей Ф (х, у, z; i) данной выше
формулой B1); соответствующее возвышение поверхности жидко-
жидкости будет даваться формулой B2). Коэффициенты Ат, входящие
в формулу B4), имеют прежнее выражение B3), но начальный ко-
коэффициент А о будет определяться из равенства
"-fe^-* <25>
В предыдущем исследовании были определены стоячие волны
в бассейне с наклонным дном. Применяя обычный прием, можно
получить из этих волн установившиеся волны и прогрессивные
волны, распространяющиеся параллельно береговой черте.
Потенциал скоростей, отвечающий прогрессивным волнам,
запишется так:
Ф (я, у, z; t) = F (у, z) cos (kx + of),
причем функция F (у, z) определяется формулой B0) или форму-
формулой B4) в зависимости от величины угла а.
Скорость распространения прогрессивной волны вдоль оси Ох
будет определяться формулой
с = а/к;
принимая во внимание формулу G), находим другое выражение для
скорости:
Составим функцию %о (г/, z), получим
Отсюда часть полного значения возвышения поверхности жидко-
жидкости, возникающая лишь от функции %0(у, z), будет рарца
± y Ao cos ^ к U — j\ у] sin (kx ^ at),
Назовем длиной волны в направлении^ перпендикулярном к
§ 6. ВОЛНЫ У НАКЛОННОГО ДНА. БЕРЕГОВЫЕ ВОЛНЫ CTOKGA 407
береговой черте, величину
Длина волны, измеряемая вдоль береговой черты, есть К = 2п/к.
Отсюда получаем
7,1 2
и формула B6) для скорости прогрессивной -волны перепишется
так *):
Отметим затем, что частота колебаний стоячих волн, даваемая
формулой G), получает следующее выражение:
§ 6. Простейшие примеры волн у наклонного дна.
Береговые волны Стокса
Дадим явное выражение потенциала скоростей для двух зна-
значений угла.
Предположим сначала, что дно бассейна наклонено к горизон-
горизонту под углом а = 45°. В этом случае число s = 1 и для составле-
составления потенциала скоростей имеем следующие значения пара-
параметра ?:
Со ~ —Mi ?1 — —I*
Отсюда получаем
, , л
X!(у, z) =
Далее,
применяя формулу B5) § 5, получаем
*-ттЫ('~г)-
Эту формулу можно представить в более простом виде, меняя
Ср. с формулой E) § 3.
408 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
значение действительного числа В; получим
. B)
Составим теперь формулу B4) § 5. Пользуясь формулами A) и B),
находим
F(y, z) = B[(l -})cos [\k (l -r) у]-
- О+т
Отсюда уравнение волновой поверхности будет
Z = + -Bsm(kx + at)\(l — yVT Т +
+ (' 4)" [т* (' -т)»]- (' + 1)-[т* (' - т) у}} • <3>
Предположим теперь, что угол а = 30°. В этом случае будем
иметь
~ о г) z=. \ Т = 7*/ ? = Ир ^ = Zp ^
Хо (У» 2) = Аге 2 г в 2 1 ,
Xi(У» 2) = Л1 ехр] — -я-к ( fe 6 + —.—)y + i(le* —
71 .
— г "Тг
Л/ /71 т\ —— Л OVTI J _^_ ^— Тс I / /^ I _____^_^__ 1 7# _^ ^
Xl \i/» ^/ — «др S п" Л I ^с -( 1 J с/ I
L L \ I
Далее,
._ /2 —
з
здесь Л — действительное число, равное Л1#
Выполненные вычисления дают возможность написать по фор-
формуле B0) § 5 выражение потенциала скоростей. Ограничимся лишь
§ 6. ВОЛНЫ У НАКЛОННОГО ДНА. БЕРЕГОВЫЕ ВОЛНЫ СТОКСА 409
составлением уравнения прогрессивной волны. Имеем
УгГ, I. 1
D)
Отметим, что величины I — 111 и I + 1/Z, входящие во все преды-
предыдущие формулы и в формулы C) и D), могут быть выражены через
а2 и к:
о»
К найденным частным решениям задачи о волнах над наклонным
дном при угле а = n/Bq) может быть присоединено одно простое
частное решение, пригодное для любых значений угла а. Такое
решение получается из рассмотрения левой части граничного ус-
условия C) § 5. Найдем такую функцию ф (у, z), которая являлась
бы интегралом уравнения в частных производных первого поряд-
порядка:
-~- sm а + -%*- cos а = 0.
Общий интеграл этого уравнения запишется так:
Ф = / (z sin a — у cos а).
Произвольная функция / сложного аргумента и = z sin a — у cos а
определится подстановкой в уравнение A) § 5. Функция / (и) бу-
будет интегралом уравнения
Интеграл этого уравнения, ограниченный в бесконечности, запи-
запишется так:
4 _. ?gfe(z sin a-y cos a)t
Условие B) § 5 будет удовлетворяться, если будет существовать
равенство
(у2 -- gh д{п а
Таким образом, по поверхности бассейна, дно которого наклонено
к горизонту под произвольным углом а, будет распространяться
волна, характеризуемая потенциалом скоростей
ф = С COSjJcXa—]pt) e^
410 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Уравнение этой волны запишется так:
Z = — sin (кх — at) e~*v cos а.
Найденная волна носит название береговой волны, так как верти-
вертикальные отклонения точек ее поверхности от горизонтального не-
невозмущенного уровня имеют заметные значения лишь у береговой
черты. Береговая волна была найдена Стоксом, скорость ее распро-
распространения определяется формулой
Заметим, что число ?, входящее в первую из формул D) § 5 и отве-
отвечающее волне Стокса, равно — e~ai. Такие значения чисел были
исключены из рассмотрения в предыдущем параграфе.
§ 7. Общая задача о волнах в бассейне
с наклонным дном
Определение волновых движений в бассейне, дно которого нак-
наклонено под произвольным углом a <^ л/2 к горизонту, представ-
представляет собой задачу, требующую для своего решения применения
разнообразных методов теории функций комплексного перемен-
переменного.
Мы дадим решение этой задачи, основываясь на замечательной
работе М. Розо [175]. При своем изложении решения мы будем
опускать некоторые детали вычислений, которые читатель сможет
сам легко восстановить.
Возьмем частное решение уравнения Лапласа следующего вида:
Ф = Ф (У, z) cos кх cos at.
Функция ф (у, z) — решение уравнения A) § 5 — должна удов-
удовлетворять граничным условиям B) и C) § 5. Для построения функ-
функции ф (г/, z), удовлетворяющей этим условиям, возьмем частное
решение / (у, z; Z) уравнения A) § 5, содержащее произвольный
комплексный параметр ? и некоторую функцию А (?), зависящую
от этого параметра:
f(y, z; С) =fRe A{1) exp {I* [(t + \)y + ф-{)*]} •
Возьмем затем на плоскости комплексного переменного ? некото-
некоторую линию Г и проинтегрируем функцию / (г/, z; Z) по этой линии;
выполнив эту операцию, получим решение уравнения A) § 5:
§ 7. ЗАДАЧА О ВОЛНАХ В БАССЕЙНЕ С НАКЛОННЫМ ДНОМ 411
Покажем, что при надлежащем выборе кривой Г и функции А (?)
построенная функция ф (у, z) будет удовлетворять граничным усло-
условиям задачи. В определении функции А (?) заключается вся слож-
сложность и интерес задачи.
Для удобства проведения дальнейших вычислений введем вмес-
вместо функции А (?) новую аналитическую функцию g (?) и некоторое
комплексное число т, полагая
где
V = 02/g.
При новом обозначении функция ф (у, z) запишется так:
A)
Составим граничное условие B) § 5, получим
d? = 0. B)
Чтобы удовлетворить этому условию надлежащим выбором функ-
функции #(?)> необходимо выбрать определенным образом путь инте-
интегрирования Г.
В качестве такого пути будут взяты два различных пути, при-
приводящие в конечном итоге к волнам двух существенно различных
видов.
Первый путь 1\ будет состоять из совокупности двух кривых
С и С", выходящих из начала координат; кривая С проходит по
первому и второму координатным углам и асимптотически прибли-
приближается к отрицательной части действительной оси. Кривая С"
симметрична кривой С относительно действительной оси. Кривые
С и С" касаются в начале координат отрицательной части дей-
действительной оси, образуя около точки О клюв. Это требование,
накладываемое на вид кривых С и С", обеспечивает сходимость
интеграла A) при нижнем пределе для у ]> 0 и z < 0. Интегриро-
Интегрирование по кривым С и С" ведется от начала координат в направле-
направлении к бесконечно удаленным] точкам этих кривых (рис. 45 *)).
*) Рис. 45 дан редакторами. {Прим, ред.)
412
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
В двух сопряженных точках кривых С и С" множитель в фор-
формуле B)
имеет сопряженные значения; следовательно, чтобы удовлетворить
условию B) для пути Гх, достаточно число t взять действительным,
положив, например, т = 1, а
функцию g (Z) подчинить условию
g(t) = g(t). (о)
Второй путь интегрирования Г2 в
формуле B) будет составляться
снова из кривых С" и С", но пробег
по этим кривым будет иным и бу-
будет начинаться в бесконечно уда-
удаленной точке кривой С", дохо-
доходить до начала координат и затем
будет продолжаться от начала
координат по кривой С до бесконечно удаленной точки этой
кривой.
Для пути Г2 условие B) будет соблюдаться, если функция g (?)
будет удовлетворять условию C), а число t — взято равным i.
Обратимся теперь к условию обтекания дна бассейна. Это ус-
условие C) § 5 запишется так:
Рис. 45.
Re it
1
г Т
fcr^+T,
где г — расстояние от начала координат до произвольной точки
z = — у tg а дна бассейна.
Следствия, вытекающие из этого интегрального равенства и ка-
касающиеся неизвестной функции g (Q, приобретут более простой
вид, если вместо переменного ? ввести новое переменное ?', пола-
полагая
При такой замене переменных первоначальный путь интегрирова-
интегрирования Г преобразуется в новый путь Г', который получится враще-
вращением пути Г по стрелке часов на угол а. Таким образом, условие
D) перепишется так:
Re
e"g (*"?')
= 0.E)
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ g (?) 413
Вернемся в уравнении E) к пути Г, этот путь получится вра-
вращением пути Г' в плоскости переменного ?' против стрелки часов
на угол а. Опуская штрих у буквы ?, запишем условие E) в таком
виде:
5 [(С- -L)Л »('Ч) ] , *<*° « - о.
5 [(С
Условие F) будет эквивалентно условию E) лишь в том случае,
если в области плоскости переменного ?', заключенной между пу-
путями Г' и Г, не будет особых точек у функции
G)
что мы и предполагаем.
Если путь интегрирования Г будет путем 1\ или путем Г2
безразлично, условие F) будет соблюдаться, если функция g
будет удовлетворять функциональному уравнению
Это уравнение на основе уравнения C) можно переписать так:
— • (8)
е2агя
Таким образом, для определения аналитической функции g (Z)
имеем два уравнения: C) и (8).
§ 8. Определение функции g(L)
Функция g(?), удовлетворяющая уравнениям C) и (8) § 7,
может быть найдена с помощью интегрального уравнения Фред-
гольма, которое мы сейчас и установим.
Рассмотрим уравнение
корни at, Ы этого уравнения даются формулами
414 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Рассмотрим затем уравнение
1 / e~2CLi \
-rk(e^--T-) + iy = 0; A)
корни этого уравнения суть
—а1е~2*\ —Ые~^\ B)
Все дальнейшее рассмотрение будет относиться к тому случаю,
когда число k/v меньше чем 1 и, следовательно, длина волны в на-
направлении оси Ох будет достаточно большой, а именно удовлетво-
удовлетворяющей неравенству
При этом предположении числа anb будут положительными, кор-
корни же уравнения A) будут лежать левее мнимой оси, так как
Если длина волны не удовлетворяет неравенству C), то все ис-
исследование значительно усложняется [176], [177].
Возьмем уравнение (8) § 7 и прологарифмируем его, получим
Из этого равенства вытекает такое следствие:
Предположим теперь, что функция g (?) не имеет ни нулей,
ни полюсов с положительной действительной частью. В таком слу-
случае гармоническая функция In | g (?) | может быть представлена
в правой полуплоскости в виде потенциала двойного слоя плотно-
сти —ln|g(?s)|, распределенной на оси ординат:
оо
= JL \ \n\g{is)\
Применим эту формулу к определению In | g (Q | в точке ^ = ?pe~2ai,
I = р sin 2a, ц = р cos 2a, получим
In I g (*pr~) | = 4- \ in | g (is) | p,_^? + <. • E)
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ g (?)
415
Если в уравнении D) переменное ? принять равным ie~~2alp,
то получится следующее равенство:
(р + а) (р + Ь)
F)
Сложим почленно равенства E) и F), тогда получим интегральное
уравнение для определения значений функции g (Z) на мнимой оси:
Это уравнение установлено для положительных значений р. Но
из уравнения C) § 7 следует, что
In | g (-ip) | = In \g (ip) I,
т. е. уравнение G) справедливо и для отрицательных значений р.
Пользуясь этим равенством, придадим уравнению G) такой вид:
Таким образом, для определения функции In | g (ip) | получили ин-
интегральное уравнение Фредгольма. Заметим, что в силу неравенств
а^>0, Ь^>0иа< я/2 известный член уравнения (8) не имеет
особенностей на пути интегрирования.
Уравнение (8) может быть решено с помощью преобразования
Фурье, так как простой заменой переменных ядро этого уравнения
делается зависящим лишь от разности переменных.
Введем вместо s и р новые переменные и и v, полагая
s = еи, р - ev\
положим вместе с тем
In | g (is) | = Я («), In | g (ip) | = H (v).
В новых обозначениях уравнение (8) перепишется так:
(9)
H(v)=—[h (и) (
2 cos 2а + eu
+ 2cos 2а + eu
ln
a)(ev+b)
(ev-ae2ai)(ev-be2ai)
416 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Чтобы найти из этого уравнения функцию Н (и), умножим обе его
части на
/2л;
и проинтегрируем результат по переменному v в пределах от —оо
до оо. Повторяя обычные в таких случаях преобразования, нахо-
находим [59]
-4
где
оо
=- \ H{v)eivwdv=\ %Ш , A0)
2л J W 'l-Y2rtJT(») '
¦—оо
Функция G (w) может быть преобразована к такому виду:
^2lt J. 1 /е2" - 2a cos 2a ev + a* /e2" - 2b cos 2a ev + b* J
применяя формулу интегрирования по частям, получаем новое
изображение функции G (w):
оо
1 Г (
*e2V — 2а cos 2а *р + «2
, e2V — Ъ cos 2а ev
Этот интеграл может быть найден с помощью определения вычетов
в полосе
—оо < Re v < оо, 0 < Im v < 2n.
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ g (?) 417
Получаем после выполнения вычислений
величина о> определяется через параметр а так:
Интеграл, входящий в формулу для К (w), может быть также
определен с помощью теоремы о вычетах, при этом надо рассмат-
рассматривать контур, ограничивающий полосу
—оо < Re v <^ оо, 0 <J Im v <^ я.
Проведя вычисления, получаем
p-2clw I J2a-n)w
1
Далее имеем
e ]Ц-е ]
Теперь можно составить формулу A0); после ряда вычислений
получаем
Функция Н (v) может быть получена отсюда с помощью общей фор-
формулы обращения преобразования Фурье. Но проще найти эту
функцию, основываясь на следующей формуле, которую легко ус-
установить с помощью теории вычетов:
[ eiwv In [(emu> — e'mv) (e-mu> — e~mv)] dv =
27Х
w
е т +1 . A
cos cow;, m > 0.
w w
e m —1
Полагая в этой формуле сначала т = 2, а затем т = л/а, получим
вычитанием результатов
In
2я
_,.. . ...... . ICOSCDW.
\А Л. Н. Сретенский
418 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Сравнивая эту формулу с уравнением A1), находим неизвестную
функцию:
Вернемся к переменному р; получим на основании формул (9)
Формула A2) дает значения действительной части функции In g (Q
в точках мнимой оси.
На основании свойств интеграла типа Коши [8] функция, изоб-
изображаемая интегралом
взятым по мнимой оси, принимает при подходе справа к точке гр
этой оси следующие значения:
при подходе же слева к той же точке принимает значения:
Отметим, что логарифмы, входящие в две последние формулы, оп-
определяются формулой A2), а от интегралов, входящих в эти форму-
формулы, берутся их главные значения. Отсюда вытекает, что интегра-
интегралом A3) изображается функция In g (?) для Re ? ^> 0 через зна-
значения своей действительной части A2) на мнимой оси.
Нетрудно проверить, что функция F (?), определяемая инте-
интегралом A3), совпадает в правой полуплоскости переменного ?
с функцией g (?). Иными словами, полагая
A6)
мы получаем функцию, удовлетворяющую уравнениям C) и (8)
§ 7 для Re? ^> 0. Проверка уравнения C) достигается прямой под-
подстановкой в него найденного выражения функции g (?). Что же
касается уравнения (8), то проверка этого уравнения сложнее, так
как интегральное уравнение (8) § 8 обеспечивает удовлетворение
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ g (?) 419
уравнения (8) § 7 лишь на прямой ? = р?е~2а% как это видно из са-
самого составления интегрального уравнения. Таким образом, мож-
можно утверждать, что модуль функции
равен единице при ? = pie 2ai. Пользуясь уравнением C) § 7,
можно показать, что модуль функции G (?) равен единице и на ли-
линии ? = — ф. Функция G(?) голоморфна в секторе —1/2п <С
< arg ?<1/2Jt — 2ос, на сторонах сектора ее модуль равен еди-
единице, а в бесконечности G (?) = 1. Отсюда следует, что G (?) = 1,
Для значений ? с отрицательной действительной частью функ-
функция, находящаяся в правой части формулы A6), не дает решения
уравнений C) и (8) § 7. Это следует из того, что интеграл типа
Коши A3) определяет с разных сторон пути интегриррвания
(оси, —ooi) различные аналитические функции. Функция g (?) для
Re? < 0 должна иметь значения, получаемые аналитическим про-
продолжением через линию (оси, —ooi) значений A6).
Чтобы найти аналитическое продолжение функции A6) через
мнимую ось, обратим внимание на первые слагаемые выражений
A4) и A5). Эти два слагаемых станут одинаковыми, если к выра-
выражению A5) добавить 2 In | g (i \ p|) |. Функция
принимает на мнимой оси значения 21n|g(?|p|) |, если выбра-
71
на та ветвь многозначной функции (—?2Jа, которая имеет
действительные значения на мнимой оси переменного ?.
Отсюда следует, что в левой полуплоскости переменного ?
функция g (?) имеет следующее представление:
0 (Г) =
f 1 (• In I g (i |
Таким образом, формулами A6) и A7) определяется функция
?) на всей плоскости комплексного переменного ?. Но здесь
1/,*
420 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
следует сделать одно важное замечание. Благодаря тому, что в фор-
форте
мулу A7) входит многозначная функция (—?2Jа с точкой вет-
ветвления в начале координат, аналитическое продолжение функции
A6) приводит к многозначной функции. Эта функция имеет, вооб-
вообще говоря, бесконечное число значений для данного ?, и лишь для
углов а = np/Bq) точка ?> = 0 есть алгебраическая точка ветвле-
ветвления; р и q — два целых взаимно простых числа. При р = 1 много-
многозначность пропадает.
Чтобы иметь дело с одной определенной ветвью многозначной
функции g (?), проведем вдоль действительной оси разрез от точки
? = 0 до точки ? = — оо. На плоскости комплексного перемен-
переменного ?, снабженной таким разрезом, функция g(?) будет одно-
однозначной.
В правой полуплоскости переменного ? функция g (?) не имеет
ни нулей, ни полюсов, так как интеграл типа Коши, входящий
в формулу A6), является функцией, голоморфной для Re?]>0.
Этим оправдывается апостериори предположение, позволившее
построить на основании равенства D) основное интегральное урав-
уравнение G) задачи.
Что же касается характера функции g (?) в левой полуплоско-
полуплоскости, то благодаря присутствию в знаменателях формулы A7) раз-
разностей
функция g(?) будет иметь в левой полуплоскости и на всех листах
римановой поверхности, в которые эта полуплоскость переходит
через разрез @, оо), бесконечное число полюсов первого порядка,
расположенных на двух окружностях: | ? | = а, | ? | = Ь. Эти по-
полюсы имеют такие аффиксы:
t = ± ia**Ni, I = ± ibe*«Ni (N = ± 1, ±2, +3, ...).
A8)
Полюсов каждого из двух семейств будет п на разрезанной плос-
плоскости, причем я/Dа) —1 < п <; я/Dа).
Обратимся теперь к условию перехода от равенства E) § 7 к
равенству F) § 7. Это условие, связанное, как было объяснено
в § 7, с особыми точками функции G) § 7, а именно с полюсами
A8), будет удовлетворяться, если контур Г выбран так, что он со-
содержит внутри себя все полюсы функции g (e*%)\ аффиксы этих
полюсов получаются умножением чисел A8) на e~ai.
Отметим в заключение, что точка ? = 0 есть точка ветвления
функции g (?). Около этой точки функция g (t) имеет следующий
вид: g (t>) = a?n/a~2 + . . . В этом можно убедиться с помощью
формул, определяющих вид интеграла типа Коши около особен-
§ 9, ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ1НАД НАКЛОННЫМ ДНОМ 421
ности подынтегральной функции [7j, в данном случае — около
точки z — 0.
Функция g (t) стремится к единице при стремлении | ? | к бес-
бесконечности, так как показатель экспоненты в формуле A6) стре-
стремится к нулю при | ? | = оо . Это свойство имеет место на всей раз-
разрезанной плоскости.
Таким: образом, формулы A6) и A7) дают в разрезанной плос-
плоскости ? решение системы функциональных уравнений C) и (8)
§ 7. Этим самым находится по формуле A) § 7, в предположении
ХЛ> 2ng/o2, потенциал скоростей рассматриваемого колебания жид-
жидкости над наклонным дном.
§ 9. Исследование волновой поверхности
над наклонным дном
Применим найденные формулы к определению вида волновой
поверхности. Вертикальная координата точки на волновой по-
поверхности определится в обозначениях § 7 формулой
Z = — ф (г/, 0) cos kx sin at. A)
о
Функция ф (г/, 0) составляется с помощью формул A) § 7 и A6),
A7) § 8.
Найдем сначала поведение функции ф (i/, 0) около точки у = 0,
т. е. у самого берега бассейна.
Путь Г2 интегрирования в формуле A) § 7 выберем более опре-
определенно, чем выше. Верхняя часть этого контура состоит из кривой
Со» начинающейся в точке ? = 0 и оканчивающейся в точке ?0 <
< 0 оси абсцисс и продолжающейся от точки ?0 в бесконечность
по оси абсцисс. Нижняя часть пути 1\ симметрична верхней отно-
относительно оси абсцисс. Криволинейные части Со и Со всего пути
выбраны так, что они заключают внутри себя все особенности
функции g (e*1 ?). Интегрирование по верхней и нижней части пу-
пути Гх идет от точки ? = 0 в бесконечность.
Путь Г2 геометрически совпадает с путем 1\, но пробегается он
от точки ? = — оо, лежащей на нижней стороне оси абсцисс, до
начала координат и пробегается далее по верхней части пути в бес-
бесконечность.
Функция g(?) может быть представлена на прямолинейных
участках путей интегрирования так:
S (?) = Si (?) + % (?) на верхней части оси абсцисс,
S (?) = ?i (?) — ig* (?) на нижней части оси абсцисс.
Такое представление функции g (?) оправдывается соотношением
C) § 7.
422 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Принимая в качестве пути интегрирования линию Г1? имеем
один потенциал скоростей:
±J, A_\ , ,. e ' B)
2Re
принимая в качестве пути интегрирования линию Г2, получаем
другой потенциал скоростей:
—
C)
При стремлении переменного г/ к нулю интегралы формул B) и C),
взятые по криволинейным путям, стремятся к конечным пределам
и представляют собой голоморфные функции у.
Рассмотрим интегралы по прямолинейным путям. Найдем по-
поведение функции g (?) около ? = — оо. Для этого обратимся
к формуле A7) § 8, определяющей эту функцию в левой полуплос-
полуплоскости. Интеграл, входящий в эту формулу, может быть оценен так:
1 Г ln|g(t|
где М — некоторое число. Поэтому
Отсюда имеем, пользуясь формулой A7) § 8,
и, следовательно,
Ui(?)-1|<T7T> IftttJK-fyr. D)
Второй интеграл формулы C) сходится при любом значении у и,
в частности, при у — 0 в силу последнего неравенства.
§ 9. ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ НАД НАКЛОННЫМ ДНОМ 423
Отсюда следует, что потенциал скоростей ф2 (у, 0) имеет конеч-
конечные значения около точки у = 0 и в этой точке, и поэтому формула
Z =^ L фа (у, 0) cos kx sin at E)
о
определяет волновую поверхность с конечными значениями верти-
вертикальной координаты около берега и вдоль него.
Обратимся теперь к потенциалу скоростей фх и рассмотрим вто-
второй интеграл формулы B) для г/, близких к нулю. Имеем
—oo
В силу неравенств D) первый из интегралов правой части этого ра-
равенства имеет конечное значение в точке у —¦ 0. Следовательно,
остается изучить второй интеграл. Представим этот интеграл в сле-
следующем виде:
+—
Первый из интегралов правой части сходится при у = 0; что же
касается второго интеграла, то введением нового переменного |' =
= ? + 1/? он приводится к известному интегралу:
—оо
424 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Около точки у = О этот интеграл неограниченно растет и может
быть представлен так:
—оо
4 Г dZ
Собирая вместе все полученные сведения об интегралах, состав-
составляющих формулу B), приходим к заключению, что потенциалом
скоростей фх (у, z) описывается движение жидкости, сопровождае-
сопровождаемое неограниченными по своей величине вертикальными коорди-
координатами волновой поверхности около береговой черты.
Чтобы получить полное описание движения, отвечающего по-
потенциалам скоростей фх (у, z) и ф2 (г/, z), надо исследовать эти по-
потенциалы для больших значений у при z = 0.
Для проведения этого исследования необходимо преобразовать
формулу A) § 7. Путь Г охватывал полюсы функции G) § 7 и, кро-
кроме того, заключал внутри себя точки —а?, —Ь?, которые являются
нулями знаменателя подынтегральной функции в формуле A) § 8.
Возьмем вместо пути Г новый путь Г', который отличается от
пути Г тем, что точки — ai, —Ы лежат вне области, ограниченной
этим новым путем. Применяя теорему о вычетах, имеем новые вы-
выражения потенциалов скоростей:
ф1 {у, 0) = Re \ { ;<Р« Д к ("+ Т) " - Re 2яШ,
F)
где R — сумма вычетов функции
относительно полюсов — ai, —Ы. Отметим, что 1\ и Г2 аналогич-
аналогичны путям 1\ и Г2 § 7.
Вычисления показывают, что
Принимая во внимание формулы § 8, определяющие числа а, Ь,
§ 9. ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ НАД НАКЛОННЫМ ДНОМ 425
и пользуясь равенствами
можно предыдущую формулу записать проще:
G)
Здесь Аг, А2 и е1? е2 — некоторые постоянные, зависящие от угла
а и чисел fc, v.
Рассмотрим теперь интеграл
=\ 1 .'«>?. вТ*('+т)« (8)
; тг*(ст)+*
для больших положительных значений у.
В начале координат ветви контура 1\ не касаются оси ординат,
образуют с ней некоторый угол у ^> 0; поэтому, если положить
? = reiQ, то во всех точках пути 1\ будет иметь место неравенство
я + 7<9<:rt7
из которого следует, что cos Э < 0.
Рассмотрим теперь показатель экспоненты в формуле (8):
Так как у ^> 0, то действительная часть показателя экспоненты бу-
будет отрицательна и по своей абсолютной величине будет неогра-
неограниченно расти при увеличении г/, т. е. при удалении от берега.
Из этого вытекает, что интеграл (8) стремится к нулю при у, стре-
стремящемся к бесконечности.
Такое же заключение можно вывести и для интеграла второй
формулы F).
Теперь формулы F) показывают, согласно равенствам G), что
для больших значений у потенциалы скоростей фх (у, 0) и ф2 (г/, 0)
имеют следующие выражения:
, 0) = Вх cos (vy l/"l — -J- — б!),
ф2 (?/, 0) = В, cos
где Ви В2 и 81? е2 — новые постоянные, причем Вг и Д2 могут
быть взяты произвольно.
426 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Таким образом, для больших значений у вертикальные коорди-
координаты точек поверхности жидкости имеют следующие значения,
отвечающие потенциалам фх и ф2 соответственно:
Z± = — -^±- cos кх cos Lyy 1—ljL— 8l) sin a*,
Z2 = —2- cos &# cos (vz/ 1/1 i— e2) sin a?.
Эти предельные выражения показывают, что вдалеке от береговой
черты форма поверхности жидкости повторяет форму поверхности
жидкости для бассейна бесконечной глубины.
Если через *кг обозначить длину волны в направлении оси Ох,
а через >.2 — длину волны в бесконечности в направлении оси Оу,
то из формул A0) получим следующее выражение для частоты вол-
волны ах
Эта формула повторяет формулу A6) § 1.
Найденные потенциалы скоростей дают, таким образом, собст-
собственные колебания жидкости над наклонным дном, причем потен-
потенциал фх (х, у) отвечает колебаниям с бесконечным всплеском по-
поверхности жидкости вдоль береговой черты.
Каждый из этих двух потенциалов может быть представлен
в виде суммы двух потенциалов, отвечающих прогрессивной волне,
идущей на берег, и прогрессивной волне, отраженной от берега
и уходящей в бесконечность. Длина падающей волны и направле-
направление ее распространения могут быть назначены произвольно; по
этим данным определится частота волны.
По амплитуде волны Z± определяется коэффициент при лога-
логарифме в формуле для потенциала фх (#, у), т. е. интенсивность
всплеска волны Zx вдоль береговой черты. Надлежащим определе-
определением этой интенсивности возможно для специально выбранной
линейной комбинации потенциалов фх и ф2 обратить в нуль ампли-
амплитуду отраженной волны. Таким образом, набегающая из бесконеч-
бесконечности волна будет целиком гаситься у берега. Здесь повторяется
в значительной мере то, что было исследовано с достаточными
подробностями в гл. I.
При исследовании волн для больших значений у мы преобразо-
преобразовали первоначальный контур интегрирования Г в контур Г' так,
что полюсы —ai, —Ы стали находиться вне области, ограниченной
контуром Г'; но мы могли бы преобразовать контур Г в такой кон-
контур Г', что не только полюсы — ai, —Ы оказались бы вне области,
ограниченной этим контуром, но и все полюсы A8) § 8. Вычеты от
этих последних полюсов дают волновые возвышения, сходящие
на нет при г/, стремящемся к бесконечности. Выражение потенциа-
§ 10. ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ПОД НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТЬЮ 427
лов скоростей содержало бы, помимо вычетов от всех указанных
полюсов, интеграл по обеим сторонам разреза отрицательной час-
части действительной оси. Если угол а — целая доля от 90°, то в вы-
выражении потенциала ф2 (#, у) этот интегральный член пропадет
и потенциал скоростей представится в виде конечной суммы сла-
слагаемых, найденных в § 5 по методу Хэнсона. Выражение же по-
потенциала фх (#, у) будет содержать интегральное слагаемое, оно
будет составлено из интегральных показательных функций.
§ 10. Прохождение волновых движений
[под наклонную плоскость
Вводя небольшие изменения в предыдущее изложение, можно
решить задачу о волнах при угле а, превышающем 90°.
Прежде всего, представим потенциал скоростей формулой A)
§ 7, но будем интегрирование вести по новому контуру Г, который
получается из контура Г § 7 поворотом на угол а/2 вокруг начала
координат. Этим будет обеспечена сходимость интеграла во всей
массе жидкости.
Затем, в качестве функции g (?) возьмем функцию, изображае-
изображаемую формулой A7) § 8. Эта функция, определенная левее мнимой
оси, обладает тем свойством, что для нее модуль выражения
git) = 1 / е-2осг \ A)
4*( -сv)+*
равен единице при ? = pie~2ai и при ? — — гр в силу равенства
Благодаря этим двум свойствам выражение A), обращаю-
обращающееся в единицу в бесконечности, равно тождественно
единице в секторе —2а 4- г/2п < arg? < —х/2я и, тем самым, для
всех комплексных значений ?.
_Так как функция A) тождественно равна единице и так как
? (?) = 8 (?)» то граничные условия, накладываемые на функцию
Ф (у, z), соблюдаются, и функция ф (у, z), определяемая формулой
A) § 7 с измененным путем интегрирования, будет давать два по-
потенциала скоростей свободных волн в бассейне с нависающим бере-
берегом. Один потенциал будет давать движение, регулярное у берего-
береговой черты, другой же будет обладать логарифмической особен-
особенностью вдоль береговой черты.
При а = Jt получаем решение*задачи о прохождении волновых
движений под горизонтальную полуплоскость.
428 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
§ 11. Теория корабельных волн. Определение
потенциала скоростей
Одним из наиболее интересных применений теории волн являет-
является определение тех движений жидкости, которые возникают при дви-
движении твердого тела по поверхности жидкости или при движении
погруженного тела. Полное определение вида волновой поверхно-
поверхности жидкости и выяснение различных особенностей движения жид-
жидкости представляет собой чрезвычайно сложную задачу, не полу-
получившую еще полностью законченного решения.
Успехи, достигнутые при решении этой задачи, имеют тем не
менее большой интерес, как содержащие достаточно хорошее объяс-
объяснение главных черт явления образования кораблем волн, сопро-
сопровождающих его движение. При некоторых простейших предполо-
предположениях об источнике волнообразования возможно воспроизвести
с помощью уравнений гидродинамики тот известный из наблюде-
наблюдений факт, что за движущимся кораблем развивается волновой
хвост, распространяющийся далеко в область, пройденную кора-
кораблем, и представляющий собой наложение двух различных семей-
семейств волн — поперечных и продольных. При этом возможно опре-
определить с большой точностью угловой размер волнового хвоста и
составить уравнение поверхности жидкости внутри этой волно-
волновой области.
Первые успехи в решении задачи об образовании корабельных
волн были достигнуты лордом Кельвином [134]. В теории Кельви-
Кельвина действие корабля на воду, вызывающее образование волн, за-
заменяют действием концентрированных импульсов давления, при-
прикладываемых в точках пути корабля.
Иными словами, концентрированный импульс движется прямо-
прямолинейно с постоянной скоростью из бесконечности. В каждый мо-
момент времени этот импульс добавляет известные скорости к ранее
образовавшимся скоростям. Возвышение поверхности жидкости
в данной точке и в данный момент времени t будет, таким образом,
слагаться из суммы возвышений, созданных всеми импульсами,
приложенными к поверхности жидкости в течение времени от —оо
до данного момента t. По отношению к системе осей координат, дви-
движущейся вместе с импульсом, поверхность жидкости будет иметь
неизменную форму. Уравнение этой поверхности и было впервые
составлено и изучено Кельвином.
Вслед за основной работой Кельвина по теории корабельных
волн стали появляться (и до настоящего времени появляются)
исследования по волнообразованию корабля. Среди этих исследо-
исследований надо назвать работы Хэвелока [109] и особенно Хогнера
[127].
Работа Хэвелока основана на изложенных выше соображениях
Кельвина и содержит общее описание воднорой поверхности жид-
§ 11. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 429
кости за кораблем, который заменяется перемещающимся импуль-
импульсом давления (см. гл. IV, § 7).
Большой успех в развитии теории корабельных волн был до-
достигнут Хогнером. Хогнер заменяет действие корабля на воду дей-
действием давлений, распределенных по некоторой области, переме-
перемещающейся по поверхности жидкости с постоянной скоростью.
Хогнер нашел асимптотические формулы для ординат поверхно-
поверхности жидкости. Эти формулы описывают вид поверхности жидкости
на некотором расстоянии от области перемещающихся давлений.
Работа Хогнера дает почти исчерпывающее решение задачи о фор-
форме корабельных волн; оставались неизученными в исследовании
Хогнера лишь некоторые особые области поверхности жидкости.
Мы имеем в виду изложить теорию корабельных волн, следуя
статьям Питерса [162] и Эрселла [195], содержащим в известном
отношении законченное исследование этих волн.
Предположим, что по поверхности бесконечно глубокой жид-
жидкости перемещается справа налево с постоянной скоростью с не-
некоторая область давлений. Благодаря этому жидкость, находя-
находящаяся в состоянии покоя, приходит в движение и на ее поверх-
поверхности образуются волны. Эту область перемещающихся давлений
будем схематически считать за движущийся корабль. Волны, обра-
образованные движущейся областью давлений, будем рассматривать
как корабельные волны. По отношению к системе координат, дви-
движущейся вместе с кораблем, движение жидкости будет установив-
установившееся, причем скорость частиц жидкости, принадлежащих
бесконечной глубине, будет равна с и будет направлена слева нап-
направо; это направление скорости потока, набегающего на корабль,
примем за положительное направление оси Ох.
Компоненты скорости частиц жидкости по осям координат,
связанные с кораблем, будут
__ Эф _ дф __ Эф
дх ' ду ' dz
Используя соображения, изложенные в § 27 гл. I, можно написать
граничное условие для потенциала волновых скоростей ср (х, у, z)
и уравнение поверхности жидкости, подверженной давлению
Р (х, у):
рс дх
Р (ж. У)
К граничному условию A) надо добавить требование обращения
в нуль частных производных первого порядка функции <р*на
бесконечной глубине.
430 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Найдем потенциал скоростей, удовлетворяющий поставленным
условиям, предполагая, что давление р (х, у) есть величина по-
постоянная и равная р0 во всех точках круга радиуса а и равная ну-
нулю вне этого круга. Согласно интегралу Фурье — Бееселя эта
функция может быть представлена таким двойным интегралом:
Р (ж, у) = А, § Jo {кг) kdk^J0 {krf)r'dr\
Внутренний интеграл может быть вычислен на основании форму-
формулы
Получаем
сю
р (ж, у) = ар0 \ /0 {кг) /х {ак) dk.
о
Рассмотрим теперь следующую функцию переменных я, г/, z < 0:
оо
Р {х, у, z) = а/H ^ ekzJo №) Ji {Щ dk. C)
о
Это — гармоническая функция переменных х, у, z, принимающая
при подходе к плоскости z = —0 значения р {х, у).
Устремим теперь радиус круга а к нулю и вместе с тем будем
неограниченно увеличивать р0, но так, чтобы произведение па2р0
стремилось к конечному, отличному от нуля пределу S. При таком
переходе к пределу мы будем иметь волны, возбуждаемые давле-
давлением, сконцентрированным в одной точке поверхности жидкости.
Выполняя в формуле C) предельный переход, получаем
Можно заметить, что этот интеграл вычисляется применением фор-
формулы
о
и получает следующее значение!
§ 11. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 431
Отсюда имеем
дР SX
/0 (кг) Л « _ J*L J *WX (ftr) dk
дх 2пг У °v ' 1ш
о о
^ 3Sxz . D)
Обратимся после выполнения этих вспомогательных вычисле-
вычислений к граничному условию A) и рассмотрим следующую гармо-
гармоническую функцию в нижнем полупространстве:
Я( Ф II Т\ T^L { " ' ^^ _^^__ _____^_
li^/, С/, At I — rs о — ь, о ^~~ "^^^ rs »
Функция Н (х, г/, z) принимает нулевые значения при подходе
к точкам плоскости z = 0, не совпадающим с началом координат;
вместе с тем эта функция обращается в нуль в бесконечности.
Следовательно, Н (х, г/, z) тождественно равна нулю для всех
значений своих переменных, в силу чего для определения
этой функции будем иметь дифференциальное уравнение
Так как правая часть этого уравнения — четная функция перемен-
переменного г/, то будем искать функцию ср как четную функцию этого же
переменного. Положим
ер (.г, г/, z) = ^ А (.т, г; X) cos Xy ей, F)
о
где А (х, z\ К) — искомая функция. Так как функция ср (х, у, z)
должна удовлетворять уравнению Лапласа, то функция
А (#, z; X) должна быть интегралом следующего уравнения:
™*?-0. G)
Подставим теперь выражение F) функции ф (х, у, z) в уравнение
E), получим
\ ( )
о о
Умножим обе части этого уравнения на cos \лу и проинтегрируем
432 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
по переменному у от 0 до оо. Получим
-J-cos w йУ \ №/l № dk-
о о
Левая часть этого уравнения равна, в силу интеграла Фурье,
.2 i v>2
2 \ дх* l с* dz
причем переменное К, входящее в функцию А (х, z; X), заменено
переменным \i.
Преобразуем правую часть уравнения (8). Имеем
оо оо оо оо
\ -^-cos \iydy [ №Ji(kt) dk=\ хкЧ^йк [ cos \ау Л (кг) -^-,
о ооо
но ([4], § 13.47)
оо [0, если к <^ [х,
\ cos \ху /х (кг) ^L = . ( YW—p)
J г [ Lng —, если Л>ц.
Следовательно,
оо оо оо
^ -^- cos jx у dy \ k2ekzJx (кг) dk = [ ke*z sin (x У к2 — \i2) dk.
0 0 ^
Теперь уравнение (8) может быть переписано так:
д*А g дЛ S
^ 4- —
dz
x
оо
[ ke*z sin (х ]/~к2 — %2) dk.
Пользуясь уравнением G), исключим из этого уравнения вторую
производную по х, получим
° \ 2 Л — V lcpkz dn (qn l/~Ip2 \ 2\ /IT» /Q\
"—' 2 Я — ^o \ О 111 ^Д' p A/ /v I U/f«/. v,^/
X
Для дальнейшего целесообразно путь интегрирования, идущий от
точки % в бесконечность по действительной оси, заменить криво-
криволинейным путем С, расположенным в верхней полуплоскости ком-
комплексного переменного к. Этот путь будет снова соединять точки
X и оо.
§ 11. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 433
Перепишем уравнение (9) так:
д%А L. дА _ х2А — Im [ ке**-™^**-*2dk М (У>
dz* с* dz КЛ~~ jBpC im]*e а/с. (Ш)
с
Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде
суммы его частного решения Ао (я, z; X) и общего решения
A1(x^z;X) соответствующего однородного уравнения
^ф^ = о. (И)
Нетрудно найти частное решение уравнения A0); оно будет иметь
вид
Л (х, z;Х) = - -?- Im \ ^— dk. A2)
Р й^
Обратимся теперь к определению функции Ах (#, z; X); по-
покажем, что эта функция равна тождественно нулю. В самом деле,
общий интеграл уравнения A1) может быть записан так:
A^FyteWete + Fitetye**, A3)
где кг и к2 — корни уравнения
fca--?-*-*• = 0,
причем
Число к± больше, чем X.
Две произвольные функции интегрирования Fx (x\ X), F2 (x\ %)
могут быть определены из того условия, что функция А (х, z\ %)
должна удовлетворять уравнению G). Отсюда получаем два диф-
дифференциальных уравнения:
Общие интегралы этих уравнений пишутся так:
Pi = Si М c°s V -*ж~х + 82 М sin'
Чтобы определить произвольные функции ?i(A,) ,. . ., g^ (X), за-
заметим, что, в силу взятого расположения пути интегрирования С
на плоскости переменного к, функция Ао (х, z\ X) будет ограниче-
434 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
на на бесконечной глубине, z ~ — оо, и, кроме того, при х, стре-
стремящемся к — оо, будет стремиться к нулю. Из формул A3) и A4)
вытекает, что для сохранения этих свойств у функции А (х, z;K)
необходимо прежде всего приравнять функцию F2 (х\ X) нулю,
так как второе слагаемое в формуле A3) неограниченно растет при
z = —оо. Функция F (х; X) не имеет предела при ж = -оо и
любом z, следовательно, надо принять gx {X) = g2 (X) = 0. В силу
этих свойств функция Ах (х, z] X) обращается в нуль.
Таким образом, функция А (х, z\ X), входящая в формулу F),
совпадает с функцией Ао {х, z\ X), определяемой формулой A2).
Преобразуем интеграл, входящий в формулу A2):
dk,
к более удобному виду.
Предположим сначала, что переменное х меньше нуля. В этом
случае путь интегрирования С можно заменить новым путем, со-
состоящим из отрезка [X, 0] действи-
действительной оси плоскости /с, всей поло-
положительной части мнимой оси и из
четверти Г окружности бесконечно-
бесконечного радиуса (рис. 46). На линии Г
мнимая часть функции ]/ к2 — X2
положительна, в силу этого модуль
и функции
О —^ ** --L^_ ekz—ix YW-te
J стремится к нулю при неограничен-
ном увеличении радиуса окружно-
ис' ' сти Г. Вместе с тем интеграл по
линии Г будет стремиться к нулю
при неограниченном увеличении радиуса окружности Г. Прини-
Принимая во внимание это свойство, преобразуем интеграл L к сле-
следующему виду:
Рассмотрим затем положительные значения переменного х.
Интеграл по линии С может быть заменен интегралом по отрезку
[X, 0] оси абсцисс и интегралом по отрицательной части всей мни-
мнимой оси и по четверти окружности Г, лежащей в четвертом квад-
квадранте (рис. 47). Но в рассматриваемом случае, когда х > 0, не-
необходимо добавить вычет подынтегральной функции относительно
§ 11. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ 435
полюса к = кг. Проводя вычисления и замечая, что интеграл
по линии Г обращается в нуль при неограниченном увеличении
радиуса этой окружности, получаем для интеграла L новое вы-
выражение:
2--V/C -А,*
Iztz—ix V Til—X2
Рис. 47.
После этих вычислений можно за-
записать выражение функции А (я, z\ К)
в следующем виде. Для положительных значений х имеем
Яре
Ы-ixV fcj-x«\ _
д2
75- +
я2рс
Im
0 x2-
для отрицательных значений х имеем
A (x, z; K) = —
я2рс
Im
Подставим эти выражения функции А (х, z; X) в формулу F),
получим выражение потенциала скоростей движения жидкости,
сопровождающего корабельные волны. Для х ^> 0 имеем
Ф (я, г/, z) =
яре
Re
к±cos Xy
«V*
4X2
—гхг—
¦Ле; A5)
о **—
436 ГЛ. III.!ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
для х < О имеем
<р(ж, г/, z) = — -j^ Im ^ costa/ (ft, ^ Лс. A6)
о о и2+ —и + ^2
§ 12. Асимптотические формулы для вертикальной
координаты волновой поверхности
Вертикальная координата ? волновой поверхности определяет-
определяется по формуле C) § 2, если использовать выражения A5) и A6)
§ 11 потенциала скоростей. Получаем для х ^> О
} /J1
Im ^ cosKy d% J ХУУ + *2 «-•««-«T^+Sdx; A)
О О И2— ~^2~
для х < 0 имеем
=—-?- Im \ cos ty (ft, \ х^2 + и2— ei«+*^?+^x. B)
Отметим особо, что в правых частях этих формул следует перейти
к пределу, полагая z = —0.
Введем на плоскости хОу полярную систему координат, по-
полагая
х = R cos 8, у = R sin 8,
и рассмотрим безразмерный параметр
Дальнейший анализ будет состоять в нахождении асимптотиче-
асимптотических разложений для величины ? при больших значениях этого
параметра.
Рассмотрим сначала второй член формулы A) и правую часть
формулы B). Вводя вместо % и х новые переменные интегрирования
по формулам
X = к cos 7, х = й sin у,
преобразовываем рассматриваемые двойные интегралы формул
A) и B) к следующему виду:
Т «Ь'Ууу) d
§ 12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 437
Исследование этого интеграла, которое мы здесь не приводим, по-
показывает, что для больших значений со и при любом значении уг-
угла 9 он имеет порядок о> [195'].
Не принимая в расчет члены такого порядка малости, можно
формулу A) переписать так:
Это выражение ? относится к положительным х; для отрица"
тельных значений х величина ? равна нулю. Ввиду того, что
вся волновая поверхность симметрична относительно оси Ох,
достаточно предполагать, что угол 8 принадлежит первой чет-
четверти.
Преобразуем предыдущую формулу* вводя новое переменное
интегрирования и и полагая
Отсюда имеем
Следовательно, ? запишется так:
? = -
X eMcos e-u sm vVi+^du. C)
Прямой переход к пределу в этой формуле недопустим, так как
интеграл, получающийся после замены z нулем, расходится.
Чтобы перейти к пределу надлежащим образом и найти вместе с
тем асимптотические формулы для ? при больших значениях
параметра со, изучим на плоскости комплексного переменного и
функцию
V = (cos 9 — и sin 9) /1 + и2 D)
для углов 9 в первой четверти.
Предположим сначала, что 9 =^ 0. Найдем производную
dV _ __ 2ц2 Sin 6 — и cos 6 + sin 9
du ~~
438
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Эта производная обращается в нуль для двух значений перемен-
переменного и:
Ut^-j-cbgQil + /l-8tg29), ^2 = -l-ctge(l-/l-8tg2e).
E)
Эти значения будут действительные и положительные, если угол
0 не превосходит угла 0О первой четверти, удовлетворяющего урав-
уравнению
tg е =
6
21/2
©
В
Угол 90 равен 19°28\
Изучим функцию V сначала для углов 8, удовлетворяющих
неравенству
0< 0< 0О = 19°28\ F)
Разрежем плоскость комплексного переменного и по линиям
(j, ooi) и (— г, — ooi). Проведем на разрезанной плоскости через
точки их и и2 линии, вдоль которых действительная часть функции
V сохраняла бы свое значение, а менялась бы лишь мнимая часть
этой функции. Для построения
этих линий нада принять во
внимание, что в точках иг и щ
нарушается конформность пре-
преобразования плоскости пере-
переменного и в плоскость перемен-
переменного V.
На рис. 48, представляющем
первый лист римановой поверх-
поверхности функции D), проведены
линии Zl9Zi,. . .,^4»^4» вдоль ко-
которых не меняется действитель-
Рис 48. ная часть функции V; стрелки на
этих линиях указывают направ-
направление увеличения мнимой части
функции. Две из проведенных линий упираются в разрез (?, ooi),
и от него они должны быть продолжены по второму листу римано-
римановой поверхности. На этом втором листе рассматриваемые линии
уходят в бесконечность, и мнимая часть функции V принимает
там положительное бесконечное значение.
Линии l2, h доходят до разреза (— ?, — со i) и дальне про-
продолжаются на втором листе, уходя в бесконечность, где мнимая
часть функции V будет равна отрицательной бесконечности.
Продолжения линий Z1? Z3, h и h на втором листе указаны на
первом листе римановой поверхности штрихами.
§ 12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 439
Обратимся теперь к выполнению предельного перехода в фор-
формуле C). Для этого преобразуем первоначальный путь интегриро-
интегрирования (— оо, оо) в новый путь Г, идущий в удаленных своих
частях в третьем квадранте — между осью абсцисс ВО и бис-
биссектрисой третьего координатного угла, а в четвертом квадран-
квадранте — между осью абсцисс О А и биссектрисой координатного угла
этого квадранта. Легко видеть, что Re и2 ^> 0 в удаленных точ-
точках пути Г; в силу этого множитель
будет равномерно ограничен. Вместе с тем мнимая часть функции
V (и) будет во всех точках этого пути положительна, благодаря
чему при преобразовании пути интегрирования (— оо, оо) в
путь Г интеграл не будет терять своего конечного значения.
В силу этого возможно в интеграле, взятом по линии Г, положить
z равным нулю. В результате этого будем иметь вместо формулы
C) такую формулу для функции ?:
Обратимся к установлению асимптотической формулы для функ-
функции ?, предполагая, что угол 0 находится в пределах
0< 81<9<90 — 8а, (8)
где 8Х и 82 — два малых произвольно взятых положительных
угла.
Преобразуем путь интегрирования Г в сложный путь, состоя-
состоящий из линии 13, линии Z3, проходящей через точку и2, и линий
Zx и Zx, проходящих через точку их.
Надлежащее стремление к положительной бесконечности мни-
мнимых частей функции V (и) между линией Г и линиями 4 и Z1? а рав-
равно и между линиями 1Х, 13 и отрезком щих оси абсцисс, обеспечи-
обеспечивает возможность преобразования линии Г в новый, сложный
путь интегрирования, проходящий через точки иг и щ.
Рассмотрим интеграл
Асимптотическое выражение этого интеграла для больших
значений параметра со может быть найдено по методу наискорей-
наискорейшего спуска. Функция V (и) обладает в точке и2 нулевой произ-
производной, и, кроме того, вдоль пути интегрирования l3 -f- Z3 действи-
действительная часть этой функции не меняется, а мнимая часть меняется
440 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
от оо до нуля (в точке щ) и до оо в удаленных точках линии 13
на втором листе. Следовательно, путь 13 + 1Ъ может служить
для применения метода наискорейшего спуска.
Около точки и2 переменное и на линиях 13 и 13 может быть
представлено так: и = щ-\- re* , причем г может иметь как поло-
положительные, так и отрицательные значения, малые по абсолютной
величине. Далее, около этой же точки имеем
1 -{- и2 = 1 + Щ + • • •» V (и) = V(и2) + -Z-V"(и2){и — w2J + .. .,
причем
1 + ut = -|- ctg2 G A + 4 tg2 в — |/ — 8 tg2 6),
v (u2) = -L- cos e C + jA-8tg2e) /l + ul (9)
V \U2) = — , Ш, — ll2) = 1Г .
Пользуясь этими формулами, находим применением правил
метода наискорейшего спуска следующее асимптотическое вы-
выражение для интеграла Lx:
[1 1 °о 1
Ьг = A + и) е 4 \ е * dr'
— оо
или
Z/i = —~т=
Найдем теперь асимптотическое выражение интеграла
^. A1)
Около точки щ, через которую проходит путь нового интегриро-
интегрирования, имеем следующие разложения:
1 + м2 = A + и\) + ..., V(u) = 7(иг) + 4"F
где
1 + м2 =-|-ctg2e[i + 4 tg2e
V(Ul) = ^cos6 C-/1 -8tg2e)/l + ul, A2)
§ 12 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 441
кроме того.
и — иг = re4 "*, (w — щJ = — ir2.
Применим к вычислению интеграла L2 метод наискорейшего
спуска. Пользуясь формулами A2), получаем
e
т<*vwr 7
—с»
Заменяя определенный интеграл его значением, приходим к асим-
асимптотическому выражению интеграла A1):
Асимптотические формулы A0) и A3) позволяют написать асимпто-
асимптотическое выражение функции ?, определяемой формулой G).
Для больших значений параметра со и для значений угла 0, удов-
удовлетворяющих неравенствам (8), имеем
/ 1+М1 Г Т7/ X , 1 1
1 -. cos оУ (иг) + -у- я —
^У со | F" Aгх) I L 4 J
= cos[coF(a2) + 4"]}- A4)
яре4
Вернемся к формулам E), определяющим величины щ, щ, и
предположим теперь, что угол 0 превосходит угол 0О = 19°28'.
Придадим формулам E) такой вид:
ма = -Lctg 9 A — i /8tg26-l). A5)
Найдем на плоскости переменного и распределение линий,
в точках которых действительная часть функции V (и) сохраняет
свое значение, равное значению действительной части этой функ-
функции в точках A5), а мнимая часть меняется.
Принимая во внимание, что при отображении плоскости и
на плоскость V нарушается конформность преобразования в точ-
точках иг, и2, можно построить рассматриваемые линии с той точ-
точностью в их расположении, которая будет достаточной для даль-
дальнейшего. На рис. 49 представлены схематически рассматриваемые
линии. Стрелки, поставленные вдоль этих линий, указывают на-
направление возрастания мнимой части функции V (и).
Чтобы перейти к пределу в формуле C) для z = — 0, преобра-
преобразуем путь интегрирования (— ор, оо) в новый путь Г, использо-
442
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
ванный в предыдущем изложении. Такое преобразование пути
интегрирования возможно благодаря тому, что между осью абс-
абсцисс и линией Г действительная часть функции и2 и мни-
мнимая часть функции V (и) положительны. После такого пре-
преобразования пути интегрирования будем иметь вместо
формулы C) формулу G) для ?.
После выполнения этого преоб-
преобразования заменим путь интег-
интегрирования Г путем, состоящим
из линий 1Х и 1±, которые бу-
будут являться линиями наиско-
наискорейшего спуска, проходящими
через точку и2.
Будем иметь
0
Рис. 49.
A6)
Около точки и = и2 имеют место следующие разложения:
1 + у} = A + и\) + ..., V(u) = V(u2) + 4-(и - u2)*V"(u2) + ...,
где
. 3sin9-l
l
2sine '
cos -пг i
V"(u2) = |A2sin6K8tg2e-le 2 2 ; ;
вспомогательный угол Ф определяется формулами
A7)
Уравнение линий Zx, 1Ъ I , ls пишется так:
Re V = Re V (и,).
Около точки и2 это уравнение принимает такой вид:
Re (и - Щ) V" (и,) = 0.
A8)
§ 12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 443
Пользуясь предыдущими формулами и полагая
и = и2 + re™,
находим из уравнения A8), что угол а касательных к линиям
^ъ hi h h c осью абсцисс в точке и2 определяется из уравнения
Отсюда угол касательной к линиям 1г и 1Х с осью абсцисс, по кото-
которым ведется интегрирование, будет
Следовательно, переменное и может быть на линиях 1Х и 1Х изо-
изображено вблизи точки и2 так:
и — щ + re 4
Асимптотическое выражение интеграла, входящего в формулу G),
будет
BsmeN'4(8tg2e-lI/4 /со
Отсюда асимптотическое выражение функции ? для больших
значений параметра со и для углов 9 в пределах
будет
5
с /-у Sill ( G>J\ — -г"
я Bsine)8/4(8tg2e-lI/4 /со
Здесь Fx и F2 — соответственно действительная и мнимая части
второй производной V" (щ), причем
В начале этого параграфа было указано, что двойные интегра-
интегралы, входящие в полные выражения функции ?, имеют по отно-
отношению к большому числу ю порядок — 3. Члены такого порядка
малости мы условились отбрасывать. В силу этого значения функ-
функции ? в рассматриваемых пределах изменения угла 0 могут, тем
самым, быть заменены нулем, так как эти значения убывают при
увеличении со сильнее, чем значения показательной функции от-
отрицательного аргумента.
444 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
В первой половине настоящего параграфа предполагалось при
изучении функции ?, что угол 9 отличен от нуля. Проведем теперь
анализ формулы C), считая угол 9 точно равным нулю. Для этого
значения угла 9 формула C) запишется так:
V" da.
Z—-О
—оо
Чтобы выполнить переход к пределу, преобразуем путь интегри-
интегрирования (— об', оо) в путь Г, идущий в первом и третьем квадран-
квадрантах между осью абсцисс и биссектрисами этих квандрантов. Из-
Изменив таким приемом путь интегрирования, положим z = 0.
Получим
[A + и1)е™ Y^2 du. B0)
г
Преобразуем затем кривую Г в мнимую ось, причем новый путь
интегрирования должен идти по левому берегу разреза
(— ooj, — i) и по правому берегу разреза (?, оси). Выполняя та-
такое изменение пути интегрирования, будем иметь для интеграла
формулы B0) следующее выражение:
I^2 dv + 2i J A — v
Применяя этот результат к формуле B0), получаем
1
? = - $Г \ (* - р2) C0S (
—1
Пользуясь формулой из теории функций Бесселя ([4], стр. 181, A))
\ ? е~ы dt I
о о '
находим для ? следующее выражение:
т — *^
fe ~" рс4
§ 12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 445
Пользуясь формулами приведения
переписываем выражение функции ? в таком виде:
При больших со имеем
Эта формула получена применением асимптотических формул для
функций Yt (ю) и У3 (ю):
Обратимся теперь к исследованию функции ? для углов 8, под-
подчиняющихся неравенству
0<е<ех B3)
и исключенных выше неравенством (8). Для этих углов опреде-
определенный интеграл формулы G) может быть представлен в виде сум-
суммы двух интегралов Lx и L2. Рассмотрим сначала второй из этих
двух интегралов. Точка иг, через которую проходит путь интег-
интегрирования lx + Zx, удаляется в бесконечность при стремлении уг-
угла 9 к нулю. Это заставляет сделать замену переменного интегри-
интегрирования и ввести вместо переменного и новое переменное v по
формуле
и = v ctg 8.
Новый путь интегрирования, будем его снова обозначать через
Zx + hi проходит через точку ух, определяемую равенством
При стремлении 8 к нулю число ух стремится к 1/2. Через точку
17Х будет проходить путь наискорейшего спуска.
Функция V (и) примет в новом переменном такой вид:
положим
F* (р) = A _ V) yv* + tg
446 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Теперь
где
интеграл
Ь2 =
L2 запишется
= ctg 8 § (! +
со* — со
так:
•d2 ctg'
cos2 9
¦6)
sin 9
Будем рассматривать со* как параметр и найдем асимптотическое
выражение интеграла L2 для больших значений этого параметра.
Применим метод наискорейшего спуска; для этого отметим
следующие разложения и формулы:
1 + у2 ctg2 8 = A + v\ ctg2 8) + ...
... = -1.A + 4 tg2 8 + /l-8tg28) + ...,
Г (v) = V* (Vl) +±(v-
dv2
4tg2e
2/2/1—8 tg2 9 , T
r r & -v = Vi + re
»=»i )/ 1 + 4 tg2 9 + /1 — 8 tg2 9
Пользуясь этими формулами, находим асимптотическое выра-
выражение интеграла L2:
ctg 9A+^ ctg2 9) ipH
— e
dW*
rfv2
Относительно этой формулы надо сделать такое замечание. Пара-
Параметр со* считается большим, и это может иметь место не только
при каком-нибудь угле 8^0 и большом со, т. е. на большом
расстоянии от места приложения давлений, но параметр со* мо-
может быть большим при каком-нибудь значенци со и при угле 8,
стремящемся к нулю. Это последнее обстоятельство имеет, как
мы увидим далее, особый интерес.
Рассмотрим в заключение интеграл Lx. Так как при стремлении
угла 0 к нулю переменное и2 имеет конечное предельное значение,
равное нулю, то для рассматриваемых углов 0 асимптотическое
значение интеграла будет по-прежнему даваться формулой A0),
которую можно переписать, вводя вместо функции V (и) функцию
F* (v). При стремлении угла 0 к нулю интеграл Ьх будет стре-
стремиться к интегралу формулы B0) и, следовательно, для малых
значений угла 0 может быть заменен его предельным значением.
§ 12. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 447
Согласно предыдущим вычислениям, мнимая часть этого предель-
предельного значения равна
dca3 "
Таким образом, для углов 9, удовлетворяющих неравенству B3),
имеем следующую асимптотическую формулу для функции ?:
+ -COS [со У Ы + — "J- B5)
Чтобы закончить составление асимптотических формул для функ-
функции ?, остается рассмотреть лишь угол небольшого раствора с бис-
биссектрисой, совпадающей с прямой 0 = 19°28'. Определение асим-
асимптотических формул внутри такого угла связано с продолжитель-
продолжительными вычислениями и выполняется с помощью функций Эри.
С этим можно познакомиться по статье Эрселла. См. также статью
[200], в которой видоизмененным методом установившихся фаз
рассматриваются волны вблизи линии 0 = 0О. Мы же приведем
менее законченное исследование функции ?, рассматривая по-
поведение этой функции в узкой полосе, ограниченной двумя пря-
прямыми линиями, симметричными прямой 8 — 0О и ей параллель-
параллельными.
Преобразуем принятую систему координат хОу, вводя вместо
нее новую систему координат х'Оу', проводя ось Ох' вдояь линии
0 = 0О. Между новыми и старыми координатами имеют место
соотношения
х — xr cos 0О — у' sin 0O,
у = х' sin 0О + У' cos 0O.
Преобразуем выражение coF (и) к новым координатам; имеем
= — Щг (sin ео + и cos 60) ]/ +и2 + ^1 (cos 80 — и sin 80) /1 + и2.
Отсюда функция ?, определяемая формулой C), запишется так:
= -^rImlim ^ F(u)ec* " e^'v^ du, B6)
оо
CO =
448
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
функция V (и) берется здесь для значения 0 = 0О. Применим к
интегралу B6) метод наискорейшего спуска, считая число ю'
большим, а число gy'/c2 ограниченным. Для применения этого
метода надо найти нули производной функции V (и); имеем
dV
du
2 sin 90м2 — cos %u + sin 0O
Но
2/2
sin 60 = —,
cos 90 =
2/2
отсюда следует уравнение для определения и:
Это уравнение имеет двойной корень: и0 = 1/]/. Для этого кор-
корня имеем следующие значения производных функции V (и):
На рис. 50 показано схематически расположение линий lu Z2,
Z3, выходящих из точки и = и0, вдоль которых сохраняется зна-
значение действительной части функции V (и), равное V2 j//2, и
вдоль которых мнимая часть воз-
возрастает от 0 гдо оо. В точке щ
эти линии наклонены друг к дру-
другу под углом в 120°, а линия Z2,
уходящая в бесконечность в чет-
четвертом квадранте, наклонена к оси
абсцисс под углом в 30°. Это сле-
следует из того, что в точке и0 об-
y^-ih /X ращается в нуль не только первая
производная, но и вторая про-
производная функции V (и).
Переход к пределу [в формуле
B6) осуществляется совершенно
так же, как и выше, рассмотре-
рассмотрением некоторой вспомогательной
кривой Г. После выполнения этого предельного перехода интег-
интегрирование с кривой Г переносится на линии 1Х и Z2; отметим, что
при таком преобразовании путей интегрирования линия 13 ос-
остается в стороне, так как между этой линией и осью абсцисс будут
области, где мнимая часть функции V (и) отрицательна, что пре-
препятствует сходимости интегралов.
Рис. 50.
§ 13. ОПИСАНИЕ ВИДА КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 449
Итак,
с=- 4$?Im \F {и) е™
h
Применим к асимптотической оценке этих интегралов метод наи-
наискорейшего спуска.
5 .
т
Для первого интеграла имеем и = 1/|/ + re 6 г; переменное
г меняется от оо до 0. Таким образом, будем иметь
_ _I •
Для второго интеграла имеем и = 1/]/ + ге • , переменное г
меняется от 0 до оо; Отсюда асимптотическое выражение второго
интеграла будет
Применим эти формулы к оценке функции ?; получим
Эта формула пригодна для вычисления ? в полосе, охватывающей
линию 9 = 90, и при больших значениях параметра со'.
§ 13. Описание вида корабельных волн
Асимптотические формулы для вертикальной координаты то-
точек волновой поверхности, образующейся при движении очага
давлений, дают возможность составить законченное представле-
представление о виде корабельных волн на достаточном удалении от места
их возникновения.
15 Л. Н. Сретенский
450 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
При описании формы корабельных волн мы будем принимать в
расчет лишь те области поверхности жидкости, где вертикальная
координата имеет порядок малости по отношению к безразмерно-
безразмерному параметру со не выше чем —1/2.
При таком соглашении можно сказать, что левее прямой, про-
проведенной через очаг возмущения перпендикулярно к его пути, по-
поверхность жидкости свободна от волн. Это следует из того, что
при х < 0 выражение ? дается лишь одним двойным интегралом
B) § 12, который, как было упомянуто, в § 12, имеет порядок ма-
малости —3 по величине со.
В силу симметрии всего движения жидкости относительно пло-
плоскости у = 0 достаточно описать вид поверхности жидкости
лишь в первом квадранте; часть плоскости хОу, находящаяся
в первом квадранте, разбивается на ряд отдельных областей.
Возьмем два малых числа 8Х и е2.
Область I ограничена двумя лучами г± и 0О — гг; для точек
этой области соблюдается неравенство
8Х < 6 < 0О — 82.
Область II ограничена положительной частью оси ординат и лу-
лучом 80 + в; в области II имеет место неравенство для углов 8
Затем имеем две переходных области: область III, ограниченную
лучами 0 и гг, и область IV, ограниченную лучами 0О — е2 и
0о + 82- Для углов 0, принадлежащих этим областям, соблю-
соблюдаются соответственно следующие неравенства:
0 < 0 < в!,1 0О - е2 < 0 < 0О + е2.
Отметим прежде всего, что область II можно исключить из рас-
рассмотрения, так как в этой области величина ? имеет по отношению
к параметру со порядок убывания более высокий, чем —1/2, как
это следует из формулы A9) § 12.
Главная часть волнового движения поверхности жидкости, со-
сопровождающая очаг возмущения, сосредоточена в области I. Верти-
Вертикальные координаты точек волновой поверхности в этой области
даются при больших со формулой A4) § 12 и составляются из двух
координат:
= Y&fg 1+"х cos
bl яре* Ye>\V"(Ul)\
яре*
8 «1. B)
4 J
§ 13. ОПИСАНИЕ ВИДА КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 451
Рассмотрим волны, определяемые уравнением A). Уравнение
гребней этой системы волн пишется так:
o)F (щ) = 2пп ^- я (п = 1, 2, 3,...),
или, на основании формул A2) § 12,
gR 4л; (Sn — 1) sin 6
~
cos2 6C-/1—8 tg2 Qf'2 A + /Г- 8 tg2 6I/2 *
,O\
Все гребни этого семейства выходят из начала координат, причем
каждый гребень семейства касается в начале координат оси абс-
абсцисс. При изменении угла 9 от нуля до 90 — е2 радиус-вектор R
монотонно увеличивается, и если углу 9 придать значение 90,
то кривая линия C) встретит сторону угла 9 = 19°28/ на расстоя-
расстоянии
Jt (8/г — 1) с2
2/3 g
от начала координат.
В силу этих свойств волны A), обладающие пучком гребней
C), выходящих из начала координат, носят название продольных
или расходящихся волн.
Изменение высоты расходящейся волны при движении по греб-
гребню дается формулой
лРс2 /со | V" (их) |
Пользуясь формулами A2) § 12 и формулой C), легко устано-
установить, что вдоль гребня продольной волны ординаты неограничен-
неограниченно увеличиваются при увеличении угла 9. Если в формуле D) по-
положить 9 равным 90, то Ах будет равно бесконечности. Это дает
указание на то, что можно ждать при точном исследовании вол-
волновой поверхности около линии 9 = 90 большого увеличения ор-
ординат точек поверхности жидкости. Это действительно и будет
установлено при исследовании области IV.
Рассмотрим затем волны, определяемые формулой B). Урав-
Уравнение гребней этих волн запишется так:
соУ (иа) +~п = 2пп (п = 1, 2, 3,. ..),
или, в силу формул (9) § 12,
8R = 4я (Sn — 3) sin 9 ,r.
с2 cos2 6C + /1-8 tg2 6K/2 A - /1-8 tg2 6I/2 ' ( '
15*
452
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
При увеличении угла 8 от нуля до 0О радиус R монотонно уве-
увеличивается от V43t (872 — 3) до значения
jt(8/i — 3) с*
2/3 8
Это последнее значение — несколько уменьшенное — радиус-век-
радиус-вектор R примет для угла 9, отвечающего границе 0О — е2 области I.
Что же касается угла 0 = 0, то в формуле B) возможно 0
заменить нулем, так как изменение асимптотических выражений
при переходе из области I в область III относится лишь к точке
иг, ибо только эта точка уходит в бесконечность при 0, стремящем-
стремящемся к нулю.
Гребень волны B) пересекает ось абсцисс под прямым углом,
и расстояние между двумя последовательными гребнями, изме-
измеренное в точках оси абсцисс, будет равно 2nc2/g; это есть длина ус-
установившейся волны на поверхности потока, текущего со ско-
скоростью с.
Благодаря всем этим свойствам волны второго семейства носят
название поперечных волн.
Высота поперечных волн в точках их гребней дается формулой
Формулы (9) § 12 показывают, что при подходе к границе области IV
амплитуда А2 неограниченно растет, и если 0 положить равным
90, то найдем А2 = оо; Это указывает на неприменимость асимпто-
асимптотической формулы B) в области IV.
Приводимая ниже табличка, заимствованная из статьи Хэвело-
ка [109], дает понятие об изменении ?2 вдоль гребня поперечной
волны. В этой табличке указаны для разных углов 0 величины,
пропорциональные ?2:
е
0°
1,00
6°
1,03
12°
1,18
18°
2,00
19°
2,9
19°15'
3,5
19°27'
7,5
19°28'
оо
Числа этой таблицы показывают, что лишь в непосредственной бли-
близости к границе области I наблюдаются значительные и быстро
увеличивающиеся значения ?2.
Проведенное исследование функции ? в области I показывает,
таким образом, что поверхность жидкости внутри угла 8j< 6<
< 0О — 8Х покрыта двумя семействами волн: продольными и по-
поперечными. Гребни продольных волн, выходя из области начала
13. ОПИСАНИЕ ВИДА КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН
453
координат, расходятся по области I веером и подходят к границам
области IV; гребни же поперечных волн идут от границы области
IV и встречают под прямым углом путь очага давлений.
Схематически расположение гребней продольных и попереч-
поперечных волн указано на рис. 51 как в первом, так и в четвертом квад-
квадранте.
Обратимся теперь к рассмотрению волновой поверхности внут-
внутри угла 0 < 6 < г±. Уравнение этой поверхности для больших
«27
Рис. 51.
значений со* дается формулой B5) § 12. Первый член этого урав-
уравнения определяет поперечные волны, рассмотренные выше. Если
во втором члене мы перейдем от со* и V* (иг) к со и V (иг), то полу-
получим асимптотическую формулу для рассмотренных выше про-
продольных волн. Таким образом, поверхность жидкости внутри уг-
угла 0 < 8 <; г1 покрыта, как и внутри угла гг < 0 < 0О — е2,
поперечными и продольными волнами. Но второй член уравнения
B5) § 12, записанный через параметр со* и функцию У* (v), дает
возможность получить некоторые новые сведения относительно
продольных волн.
Дадим R какое-нибудь значение и устремим угол 0 к нулю.
Тогда аргумент функции
равный ^p-g- для малых значений 0, будет стремиться к бесконеч-
бесконечности при 0, стремящемся к нулю. Отсюда следует, что вдоль
маленькой дужки окружности R колебания поверхности жидкос-
жидкости, возникающие от продольных волн, будут обладать стремя-
454 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
щейся к нулю длиной волны. Что же касается амплитуд этих ко-
колебаний, то внутри рассматриваемого угла они будут неограничен-
неограниченно увеличиваться при стремлении 0 к нулю, как это вытекает из
формулы
s угк ctg e(i + ^ ctgs е) ^ 1 s уы е-5/г
4-23/4
Вместе с тем интересно отметить, что при 6 = 0, т. е. вдоль пути
очага давлений, ? имеет конечные значения, определяемые фор-
формулой B1) § 12. Асимптотическая формула B2) § 12 показывает,
что вдалеке от очага давлений колебания поверхности жидкости
меняются обратно пропорционально корню квадратному из рас-
расстояния места наблюдения от очага. Длина же волн вдоль пути
очага определяется через скорость его движения по формуле
Эри.
Обратимся, наконец, к исследованию волновой поверхности в
области IV. Уравнение поверхности жидкости в этой области имеет
вид B7) § 12 для больших значений со' = gx'/c2. Первое, что мож-
можно получить из этого уравнения,— это установить формулу греб-
гребней волн в рассматриваемой области; уравнение семейства греб-
гребней запишется так:
, х' я .. л ч с2
у = —рг т=- (An — 1) — ;
целое число п должно браться достаточно большим. Это семей-
семейство состоит из отрезков параллельных прямых, наклоненных к
пути очага давлений под углом 54°44' и отстоящих друг от друга
4л; с2
на расстояние —=* —.
В области I выражение амплитуды волны содержало в зна-
знаменателе корень квадратный из величины со, пропорциональной
расстоянию места наблюдения до очага давлений; в области же IV
такое расстояние будет входить в знаменатель под знаком куби-
кубического корня. В силу этого в переходной, четвертой области вер-
вертикальные координаты точек поверхности жидкости будут зна-
значительно больше, чем в области I. Такое заключение подтверж-
подтверждается простым наблюдением волн, возникающих при движении
судна.
Проведенное исследование дает возможность построить рису-
рисунок (как резюме всего исследования формы волновой поверхно-
поверхности), представляющий расположение гребней волн в областях I,
III, IV и в областях, им симметричным относительно оси Ох (рис. 52).
Полное исследование Эрселла формы волновой поверхности
жидкости дало возможность построить диаграммы, представляю-
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 455
щие распределение горизонтальной волновой поверхности около
волновой области Кельвина, ограниченной лучами 6 —
е
о
Все предыдущие рассмотрения относились к определению
волн на большом расстоянии от очага их зарождения. Несомнен-
Несомненный интерес представляет определение волн вблизи очага и на
Рис. 52.
небольшом от него расстоянии. Соответствующие формулы были
получены Хогнером во второй части его основной работы о ко-
корабельных волнах [129].
Изложенное исследование корабельных волн относится к бас-
бассейну бесконечной глубины. Известное усложнение проведенного
анализа позволяет дать полную картину корабельных волн при
движении корабля по поверхности водоема конечной глубины.
§ 14. Движение источника под поверхностью жидкости
Задача о движении твердого тела под поверхностью тяжелой
жидкости приводит к необходимости решения сложного интеграль-
интегрального уравнения, если точно удовлетворять граничному условию
на поверхности жидкости и условию обтекания поверхности те-
тела. Такое интегральное уравнение было получено и исследовано
Н. Е. Кочиным [16].
Но можно получить хорошее приближенное решение задачи,
если следовать методу Лэма, который обеспечивает лишь частич-
частичное удовлетворение условия обтекания и тем лучшее, чем глубже
находится твердое тело под поверхностью жидкости,
456 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Применение метода Лэма требует нахождения волнового дви-
движения, возникающего от действия погруженного точечного ис-
источника.
Предположим, что бесконечно глубокий поток жидкости, имею-
имеющий в бесконечности скорость с, направленную в сторону поло-
положительной части оси Ох, встречает на своем пути источник
B@,0, —К) дебита q. Потенциал скоростей движения жидкости
Ф (х, у, z) можно записать в следующем виде, выделяя потенциал
скоростей невозмущенного потока и потенциалы скоростей ис-
источника Q и стока Q' @, 0, К):
Ф (я, y,Z) = --CX + -?- a* ==г- —
-{- ф (.Г, 7/, 7.). A)
Функция ф (х, у, z) дает скорости волновых движений. Для опре-
определения этой функции возьмем граничное условие
дх2 ' с2 dz )z=o
и преобразуем его к функции ф (х, у, z). Получим
д2Ф , ? дф ?? h _ q ,л\
0 1 7 0\Щ9 '
Рассмотрим следующую гармоническую функцию, регулярную
в нижнем полупространстве *):
jj . v 52ср g ^ф , z — h
В бесконечности, а именно при z ^= — оо и любых х, у, эта
функция обращается в нуль; при 2=0 функция Н (х, у, z) при-
принимает нулевые значения в силу граничного условия B). Отсюда
вытекает, что во всем нижнем полупространстве функция Н(х1 у, z)
равна нулю тождественно; следовательно, гармоническая функ-
функция ф (х, у, z) будет удовлетворять вместе с тем следующему урав-
уравнению в частных производных:
дх* ^ c2 dz [X2 + y2 + B _ hJf\* ' Л '
Для определения функции ф (х, у, z) воспользуемся тем методом,
который был применен выше к нахождению корабельных волн.
Все дальнейшие вычисления будут повторять в большой степени
*) Для простоты записи множитель gq/Bnc2) заменен единицей, в оконча-
окончательных формулах он будет восстановлен.
§ 14. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 457
вычисления § И и поэтому будут приводиться в сокращенном
виде.
Движение жидкости симметрично относительно плоскости
Oxz, поэтому потенциал ф должен быть четной функцией перемен-
переменного у. В силу этого будем искать потенциал скоростей ф (х, у, z)
в следующем виде:
Ф (х, у, z) = ^ А (х, z; X) cos Ху dX. D)
о
Неизвестная функция А (х, z; X) должна удовлетворять двум
уравнениям:
*4 ^ 0, C)
z— h ,a.
Запишем второе уравнение иначе, пользуясь известной формулой
из теории функций Бесселя:
z — h __°°
о
где
Применяя эту формулу к правой части уравнения F), записы-
записываем это уравнение так:
оо
-J-^г)cos ^ ^=\ ke4z~h)J» ^dk-
H)
о о
Пользуясь формулой обращения Фурье, получаем отсюда
оо оо
S- + -к ^ = 4- \cos
О О
Преобразуем правую часть этого равенства:
00 оо с» оо
\ cos Я# dy \ ke*(z-h)jQ (д.г) d?c == 5 ке^-Щк ^ /0 (йг) cos
По одной из формул теории функций Бесселя имеем ([4], § 13.47)
[ cos (х V /с2 — X2) fc\^
\ /0 (кг) cos %ydy = ' V№ — А,2
о ( О,
458 ГЛ. III, ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда уравнение G) запишется так:
оо
ffiA 0 дЛ 2 С cos (x l//c2 A»2)
у у к —~~ /\t
Таким образом, для определения функции А имеем два уравне-
уравнения: E) и (8).
Рассматривая х как параметр, можно привести эти два уравне-
уравнения к одному:
_4¦?-- хм = —2-f
J
А
Как в задаче о корабельных волнах, можно и здесь ограничиться
лишь рассмотрением частного решения следующего вида:
' ,ч 2
A(x,z;%) = - —
Подынтегральная функция имеет два полюса, из которых один,
лежит на пути интегрирования. Будем обходить этот полюс ма-
маленькой полуокружностью в верхней полуплоскости комплекс-
комплексного переменного к. Такой выбор пути интегрирования обеспечит
отсутствие волн на поверхности набегающего потока.
Рассмотрим интеграл
_Г «ц*-*)-**^*^ kdk
Преобразовывая этот интеграл совершенно так же, как был пре-
преобразован интеграл L § 11, приходим к новому выражению функ-
функции (9):
Jx(z-h)+x
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ВОДОЙ 459
Подставим эти выражения функции А (х, z; X) в формулу D);
найдем, восстанавливая множитель gq/Bnc2), потенциал волно-
волновых скоростей:
к — с2'
+ Л. \ _*?_ sin (, /f) cos (,
Первая из этих формул пригодна для отрицательных х, вторая —
для положительных х.
Исследование корабельных волн, выполненное в § 12, может
быть повторено здесь и покажет, что найденные потенциалы ско-
скоростей A0) действительно изображают движение жидкости, по-
поверхность которой не покрыта волнами при отрицательных коор-
координатах х, и, следовательно, все волновое движение обязано воз-
возмущению, вносимому присутствием источника.
Отметим в заключение, что первые слагаемые правых частей
формул A0) переходят друг в друга при изменении знака у пере-
переменного х и представляют собой, следовательно, четную функцию
этого переменного.
§ 15. Движение твердого тела под водой
с образованием волн
Допустим, что твердое тело, ограниченное некоторой поверх-
поверхностью S, обтекается бесконечно глубоким потоком жидкости,
имеющим в бесконечности скорость с, направленную в сторону
возрастающих координат х. Для определения потенциала ско-
скоростей возникающего движения жидкости распределим на поверх-
поверхности S простой слой источников переменной плотности q. Этот
слой создаст движение жидкости с потенциалом скоростей
Ф(я,2/,2) = -СЯ+ *
¦(у — з
$ Ф {х — ж0, у — г/о, г + h + z0) dS, A)
460 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Здесь х0, г/0, z0 — координаты точки поверхности S, выраженные
через криволинейные гауссовы координаты, функция ф опреде-
определяется с помощью формул A0) § 14.
Потенциал скоростей A) удовлетворяет, в силу своего построе-
построения, условию на свободной поверхности. Плотность q (х0, у0, z0)
должна быть найдена из условия обтекания потоком A) погружен-
погруженного в него тела. Это условие, которое можно составить по форму-
формулам разрыва нормальных производных потенциала простого слоя,
приводит к интегральному уравнению для неизвестной функции
Я. (хо, Уо> zo)- Это уравнение достаточно сложного вида было со-
составлено и исследовано Н. Е. Кочиным. Мы не будем приводить
этого уравнения и будем предполагать, что функция q (х0, у0, z0),
удовлетворяющая этому уравнению, нам известна.
Зная функцию q (х0, у0, z0), можно найти по формуле A) по-
потенциал скоростей рассматриваемого движения жидкости. Пол-
Полное выражение потенциала A) содержит два рода слагаемых.
Во-первых, это будут слагаемые, содержащие два квадратных
корня под знаком двойного интеграла и двойной интеграл от той
части функции ф (х — х0, у — у0, z — z0), которая возникает от
двойных интегралов формул A0) § 14. Во-вторых, это будет одно
слагаемое, представимое двойным интегралом от той части функ-
функции ф (х — х0, у — у0, z — ?0), которая возникает от простого
интеграла второй из формул A0) § 14.
Слагаемые первого рода определяют движение жидкости, быс-
быстро сходящее на нет при удалении от тела; в формировании дви-
движения жидкости за телом главную роль играет слагаемое второго
рода, и определяемый им потенциал волновых скоростей может
быть записан так:
<f(x,y,z) = —\\q(xo,y<hZo)dS \ —7r===- X
s ?l°2 I/ —f-—1
X sin
_
in [(x - *„) УЩ«os [(„ _ у,) y-f - -SV]dj. B)
Это есть, по существу дела, потенциал скоростей, сопровождаю-
сопровождающих корабельные волны, возникающие от движения подводного
тела; не принимаемые в расчет слагаемые первого рода определяют
тот фон, на котором развиваются корабельные волны.
Преобразуем выражение B) к новому виду, вводя вместо пере-
переменного у другое переменное 0 и полагая
у = X. sec2 6, dy = -|f- sin 6 sec3 6 dG.
Выполняя ряд преобразований, получим новое выражение
§ 15. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПОД ВОДОЙ 461
потенциала qr.
«12 gz
= с [ Pi (9) cos 9 е с2 sec29 sin Г-^- sec2 9 (х cos 9 + У sin 9I dQ —
-я|2 -*
я|2 ^2
г» ° sec2 9 Г f П
— с \ (?i(9)cos9e c2 cos k|-sec2 9 (я cos 9 + # sin 9) Ш +
71B gz
г» ° sec2 9 Г ^ п
+ с \ P2(9)cos9ec2 sin -Jj-sec2 9 (жcos 9 — у sin9) d9—
—71B
тсB ^2
P sec2 9 Г x? П
— с \ (?2(9)cos9^ c2 cos I-^-sec29(жcos9 — г/sin9) d0.
|2
Функции Рх @), (?i (9), P2 (9), Q2(Q) определяются формулами
X
COS] r
/ [
COS] r д spr2 Q a gZ°. sec2 9
sin/ [^T1 (^ cos e + Уо sin 0)] e « dS, C)
XSin}H^oCOS0
- ,0 sin 0)] e^ ^ ^5. D)
Заменим в правых частях формул D) переменное 9 на — 9;
выполнив простые вычисления, найдем, что
Р* (- 6) = Рх F), Q, (- 6) = Qt @).
Эти равенства позволяют записать выражение потенциала скорос-
скоростей ф в более простом виде:
тсB gZ
<p(z,y,z) = 2c [ Р (9) cos 9 в"^"8602^!"-^- sec29(х cos 9+у sin 9I d9-
—71B
7tB gZ
— 2c ^ (?(9)cos9e~sec29cosj"-^-sec29(^:cos9 + ?/sm9Id9. E)
—7CB
Заметим, что при написании этой формулы отброшен индекс 1 у
PQ)*Q (в)-
Для выполнения дальнейших вычислений представим на время
формулу E) в другом виде, вводя вместо переменного интегриро-
462 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
вания 0 новое переменное к, полагая
7 # 9 А . п с?8 с2 cos3 8
.& = -?-sec» 0 sin в, ^ = T
и обозначая для краткости записи
Получим
= 2с [ [Р @) sin я|ю — Q @) cos я|>ж] cos 0 е~ ^9 Ц- cos /су du +
—оо
2с \ [Р (Q) cos tyx + Q(Q) sin tyx] cos Qe~sec**-^ sin kydk. F)
§ 16. Вычисление сил воздействия потока
на погруженное твердое тело.
Волновое сопротивление
Обратимся теперь к решению основной задачи о вычислении
главного вектора сил давления, приложенных к поверхности S по-
погруженного тела. В своем изложении мы ограничимся определе-
определением лишь той составляющей главного вектора, которая направ-
направлена по скорости потока:
Скорость V определяется формулой
\ д I l \ д ) ' \ d I
*
Компонента X главного вектора сил давления будет выражаться
формулой
где а — направляющий косинус нормали к поверхности S с осью
Ох. Эта формула может быть записана проще:
§ 16. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 463
Подставим сюда вместо V2 его значение A), получим
X = -^
Первый из этих интегралов равен нулю, следовательно,
Целью дальнейших преобразований будет перенос интегрирований
с поверхности S на свободную поверхность жидкости Р и на плос-
плоскость 2, перпендикулярную к оси Ох и пересекающую эту ось
при некотором большом значении х. Поверхность S, плоскость 2
и свободная поверхность жидкости Р ограничивают некоторый
объем Т. Будем обозначать через а, |3, у направляющие косинусы
внешней нормали в точках поверхностей, ограничивающих объем Т.
Применяя теорему Остроградского, мы можем написать следу-
следующее равенство:
дх* ^ ду дхду ^ dz dxdz
C)
При этих вычислениях можно интегрирование по свободной поверх-
поверхности жидкости заменить интегрированием по плоскости z — 0;
в силу этого последний интеграл обратится в нуль, так как в
точках плоскости 2 — 0 величина а = 0.
Отметим теперь, что для гармонической функции ф (хл уг z)
имеет место следующее тождество:
ду д2ф ду Э2ф , _Эф_ д2ф ^
дх дх* "" ду дх ду * ~~fa дх dz ""
a» \ a» a» J + ду \ дх ~df) + IF 1F
464 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Это тождество позволяет записать формулу C) в таком виде:
1 ГГ [7дф \2 /0ф\2 , /дф \21 ,с
д (ду 0Ф\ , л /0ф 5ф\ з /5Ф 5ф\п ,
Преобразуем тройной интеграл по формуле Остроградского в
двойные интегралы:
to ^to дх)^ ду\дх ду )-г dz\dx dz
S
Р
Воспользуемся теперь условием обтекания поверхности 5:
Получим
дх \дх дх ) ^ ду \ дх
)])
Вернемся к формуле C) и подставим в нее вместо тройного интег-
интеграла равную ему сумму трех поверхностных интегралов. Такое
преобразование позволяет записать формулу B) в следующем
виде:
В точках свободного уровня жидкости, z — 0, имеет место ра-
равенство
Применяя это равенство к предыдущей формуле, получаем
\dydz.
\ dz ) \ дх
§ 16. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 465
Преобразуем, далее, первые два члена второго интеграла, исполь-
используя формулу
справедливую для гармонических функций; получим
Выполняя в правой части этой формулы ряд интегрирований, по-
получаем после небольших преобразований формулу Хэвелока для
компоненты X:
2=0
При выводе этой формулы были приняты во внимание следующие
равенства:
(дУ \ __ о (т -E3L\ — о (дУ\ — о-
число I — расстояние плоскости Р от начала координат.
В связи с предложенным выводом формулы Хэвелока следует
сделать ряд замечаний. Вывод этой формулы был основан на
применении теоремы Остроградского; для применения этой тео-
теоремы необходимо было рассматривать не тот объем Т, который
ограничивают поверхности S, Р и 2, а объем конечного размера,
ограниченный поверхностью S, поверхностью жидкости и плоскос-
плоскостями х — ± Z, у = +^? z — —h. После введения таких плоскостей
необходимо было показать, что двойные интегралы, распростра-
распространенные по этим плоскостям (за исключением плоскости х — I),
стремятся к нулю при неограниченном увеличении Z, к и /г. Это
можно показать, принимая потенциал скоростей E) § 15. Вместе
с тем к такому же результату можно прийти, рассматривая не этот
потенциал, изображающий движение жидкости вдалеке от пре-
препятствия, а потенциал скоростей в его полном виде, изображае-
изображаемый формулой A) § 15. Таким образом, формула D) может служить
для вычисления силы X с использованием выражения потенциала
скоростей в удаленных местах потока за погруженным телом.
466 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Вернемся к формуле D) и подставим в нее вместо ф его вы-
выражение F) § 15. Для выполнения соответствующих вычислений
укажем одну вспомогательную формулу.
Рассмотрим две функции /2 (у) и /2 (у), представленные в виде
следующих интегралов:
= \ [A1(k)cosky + B1(k)sinky]dk,
/2(г/)= ^ [А2 (к) cos ку + В2 {к) sin ky]dk,
—оо
и вычислим интеграл от произведения этих функций
оо
—оо
Имеем
оо оо
I = \ h(y)dy \ [Ai (к) cos ку + Вг (к) sin ky]dk =
= § Ax{k)dk ^ /а (у) cos ку dy + § B1(k)dk $ /2 (у) sin ky dy.
—оо ¦—оо —оо —оо
Возьмем известные из теории интегралов Фурье формулы
оо
?2 (&) = -!_ J /2 (у) sin ky dy
—оо
и применим их к преобразованию выражения /, получим
оо
h (У) h (У) dy = 2я $ [At (к) Аг (к) + Вг (к) В2 (к)} dk. E)
Это и есть нужная нам вспомогательная формула.
Применим эту формулу к вычислению силы X. Вычислим сна-
сначала интеграл
для функции ф, определяемой формулой F) § 15. Получим
_ . - . 2
= - 8яса \ [Р2 (9) + (?2 (9)] i|)« cos2 9 е <=2 ^ j dft,
§ 16. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 467
или, возвращаясь к переменному интегрирования 9,
оо
\ I CD — ¦¦¦' I ——— I
j I C/jc V doc /
«la nz
. , »• F)
Отсюда имеем
2=0 —л/2
G)
Далее получаем, пользуясь формулой F),
—оо —оо
J [Р2 @) + 9» F)] Y
—71/2
Пользуясь этой формулой и формулой G), находим выражение
силы X:
я|2
j (8)
Приведем эту формулу к другому виду, используя цредложен-
ную Н. Е. Кочиным функцию
Н (к, 9) = JJ q (х0,1/0, z0) еЧ**Ч* «>8 е+ш sin e)] d5e
s
Формулы C) § 15 показывают, что
Р @) + iQ (в) = -^г sec3 0 Я (-J- sec2 0, в) .
Благодаря этому равенству формула (8) Хэвелока принимает сле-
следующий вид:
2
Х = "Йг \ |#(-frsec2е,0)| sec«0d0.
—7lf2
В таком виде формула для силы X была дана Н. Е. Кочиным.
При своем движении твердое тело возмущает равновесное со-
состояние жидкости и сообщает ей новое количество механической
468 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
энергии. Это новое, дополнительное количество механической
энергии возникает благодаря той работе, которую совершают си-
силы давления, прилагаемые к жидкости в местах ее соприкоснове-
соприкосновения с поверхностью тела. Эта работа обязана той силе R, которая
заставляет твердое тело перемещаться с указываемой скоростью
под поверхностью жидкости. Мощность этой силы R равняется
мощности сил давления, приложенных к частицам жидкости, об-
обтекающим поверхность тела.
Для установившегося движения, которое мы и рассматриваем,
мощность сил давления будет равна произведению скорости тела
с на силу R. Покажем, что эта сила R равняется найденной выше
силе X.
Действительно, теорема об энергии дает следующее равенство:
cR — — ^ § р (
s
или
§padS.
Условие обтекания поверхности тела
(и + с) а + г?р + wy =* О
показывает, что первый двойной интеграл равен нулю и, следова-
следовательно, cR — сХ, т. е. R = X.
Таким образом, формулой (8) определяется величина той силы,
которая, будучи приложена к телу, позволяет ему перемещаться
под поверхностью жидкости с назначаемой скоростью и которая
приводит жидкость в движение, ведущее за собой образование
волн. Благодаря этому силу R — X называют волновым сопротив-
сопротивлением тела.
Волновое сопротивление тела зависит от скорости его движе-
движения, глубины погружения и, разумеется, от формы самой поверх-
поверхности тела. В дальнейшем изложении мы познакомимся на ряде
частных примеров с характером этой зависимости *).
Отметим, что формула (8) может служить для вычисления вол-
волнового сопротивления и при движении тела под поверхностью жид-
жидкости конечной глубины. В этом случае функции Р F) и Q F)
не будут, однако, иметь выражения C) § 15, но будут определяться
формулами, которые можно получить с помощью потенциала ско-
скоростей источника, движущегося под поверхностью жидкости ко-
конечной глубины. Такой потенциал скоростей легко найти, изме-
изменяя надлежащим образом вычисления § 14.
*) Задача о волновом сопротивлении судна при наличии внутренних волн
решена автором в работе [57]. (Прим. ред.)
§ 17. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ДВОЙНОГО СЛОЯ 469
§ 17. Волновое сопротивление двойного слоя источников
Предположим, что поверхность S покрыта двойным слоем
источников, имеющих момент [л; допустим, что ось L двойных
источников (диполей) имеет направляющие косинусы Z, т, п. До-
Допустим, что поверхность S вместе с нанесенным на нее двойным
слоем перемещается со скоростью с под поверхностью жидкости.
Потенциал скоростей образовавшегося движения жидкости мож-
можно найти с помощью формулы A) § 15, выполнив дифференцирова-
дифференцирование, соответствующее переходу от простого слоя источников к
двойному слою источников. Получаем
Ф (ж, у, z) =
1 СС / - чГ/z д 1 , э 1 , д 1
s
д 1 . д 1
§ f {x — ж0, У — 2/о, ^ + h
s
где
г = Y(x - xof + (y- y0)*
r' = V(x - xQf + (y - yQf + (z + zQ)\
Функция / есть потенциал волновых скоростей, вызываемых од-
одним диполем момента |х, помещенным в точке (х0, у0, z0); ось ди-
диполя имеет направляющие косинусы Z, т, п. На основании фор-
формул A0) § 14 функция / (х, у, z) запишется так:
/ (х, у, z) = - JjL Im J dk\~ [cosky e««(«*H* Та**] X
х
ОО ОО
Im\ d%\ -^[coslye-i«(z+hyxY:K2+*2] X
о о
+
470 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Дифференцирование под знаками интегралов ведется по направ-
направлению оси диполя L. Первая из этих формул пригодна для значе-
значений х < 0, вторая — для значений х ^> 0.
В областях потока, далеких за телом S, потенциал волновых
скоростей имеет более простое выражение и записывается в виде
<P(s,y,z) =
оо
1(*(* С д \ .Г -ш /~ sy 1
S g\c*
dy
Рассматривая двойной слой источников как предел двух слоев
источников и стоков, распределенных на двух поверхностях,
весьма близких к поверхности S и заключающих эту поверхность
между собой, возможно получить формулу для волнового сопротив-
сопротивления из общей формулы Хэвелока F) § 15, придавая в ней функ-
функциям Р @), Q @) следующие значения:
X in cos -p- sec2 0 (x0 cos 0 + Уо sin 0) — (I cos 0 + та sin 0) x
X sin Г-?- sec2 0 (ж0 cos 0 + y0 sin elj sec2 0 e~ se°2 W, A)
, z0) \n sin — sec2 0 (^o cos 0 + Уо sin(
+ (I cos 0 + та sin 0) cos Г-~- sec2 0 (^0 cos 0 + y0 sin 0I1 x
§ 18. Движение сферы под поверхностью жидкости
В качестве применения общей теории рассмотрим несколько
простейших примеров.
Предположим, что под поверхностью жидкости движется со
скоростью с сфера радиуса а, центр сферы находится на глубине h.
Движение сферы в жидкости, неограниченно распространяющей-
распространяющейся по всем направлениям, создает поле скоростей, совпадающее
с полем скоростей диполя, расположенного в центре сферы и имею-
имеющего момент ]х — 2па3с и ось, направленную по скорости сферы.
§ 18. ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ
471
Волновое движение жидкости, вызванное этим диполем, найдет-
найдется по формулам предыдущего параграфа, в которых надо устра-
устранить знаки двойных интегралов по поверхности S и заменить
И (#о> Уro» zo) dS на 2па3с (это надо сделать потому, что рассматри-
рассматривается в данном примере лишь один диполь); вместе с тем направ-
направление L оси диполя будет иметь направляющие косинусы —1, 0, 0.
Выражение потенциала скоростей и уравнение свободной по-
поверхности были найдены и исследованы Хэвелоком [120].
Опишем вкратце результаты этого исследования.
Возвышение ? (х, у) точек поверхности жидкости над средним
уровнем может быть составлено из двух частей: первая часть,
ti (xi У)» симметрична относительно точки О пересечения вертика-
вертикали центра сферы с поверхностью жидкости и весьма быстро схо-
сходит на нет по своей величине по мере удаления от точки О; эта
часть общего возвышения не играет существенной роли в значе-
значении ?• Вторая часть, ?2 (х, у), создает главное возвышение вол-
волновой поверхности жидкости над средним уровнем.
Асимптотические формулы, устанавливаемые для больших
значений места наблюдения отточки О, показывают, что, как и в
теории корабельных волн, существенные значения ?2 лежат внут-
внутри угла в 38°56', расположенного за точкой О симметрично от-
относительно пути сферы. Поверхность жидкости покрыта внутри
этого угла поперечными и продольными волнами. Если скорости
движения сферы меньше чем ]/"gh, то продольные волны получают
малое развитие по сравнению с волнами поперечными. Эти послед-
последние волны наблюдаются и при небольшом удалении от точки О,
причем они выходят за пределы угла в 38°56'.
На рис. 53, а изображены для с — V2 ]/ gh сечения волновой
поверхности различными плоскостями, проходящими через вер-
вертикаль точки О. Следы этих сечений на плоскости z — 0 показаны
на рис. 53, б; эти следы наклонены к положительной части оси
Ох под углами:
А
0°
В
18°26'
С
19°28'
D
26°34'
Е
45°
F
90°
Амплитуды волн наиболее развиты вдоль центральной линии А
и уменьшаются при повороте сечения к F. Отметим, что на
рис. 53, б линия В совпадает с линией С.
Если же с^>У gh, то вдалеке от точки О большое развитие по-
получают продольные волны по сравнению с поперечными. Амп-
Амплитуды продольных волн приобретают наибольшие значения
472 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
точках двух прямых, наклоненных под углами
к положительной части оси Ох.
О
A)
F
.х
б)
Рис. 53.
На рис. 53, в, построенном для с = |/r2g/i, показаны сечения
волновой поверхности теми же плоскостями, как и для предыду-
§ 18. ДВИЖЕНИЕ СФЕРЫ ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 473
щего случая. Но так как вдоль плоскостей F, E, D возвышения
ничтожно малы, то изображены лишь сечения плоскостями
А, В, С. Наибольшими амплитудами обладает кривая В, отвечаю-
отвечающая углу в 18°26', угол же A) равен здесь 16°42\
Виглей, пользуясь числовыми расчетами Хэвелока, построил
две диаграммы, указывающие распределение горизонталей по-
поверхности жидкости [204] (рис. 54 и рис. 55).
Рис. 54.
Рис. 55.
Найдем теперь волновое сопротивление сферы. Так как по-
потенциал скоростей движения жидкости находится в данном слу-
случае с помощью потенциала скоростей диполя, движущегося под
поверхностью жидкости, то при составлении формулы (8) § 16
надо воспользоваться формулами A) и B) § 17 для Р F) и Q (9).
Как было указано выше, двойное интегрирование по S надо
устранить и заменить \i(x0, y0, z0) dS через 2па3с, приняв I — — 1,
771—0, П = 0.
При этих условиях будем иметь
откуда
474 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Применяя формулу (8) § 16, находим волновое сопротивление
сферы:
'2 2gh
-sec29de. B)
-—тс/2
Преобразовывая подынтегральную функцию подстановкой t —
— tg 0, можно выразить величину X через функции Макдональда
[204']
Ко (и) = § е~и ch vdv, Кг (и) = § ch v e~u ch vdv
о о
и получить следующее выражение волнового сопротивления:
§ 19. О волновом сопротивлении эллипсоида
Рассмотрим теперь движение трехосного эллипсоида. Изме-
Изменяя несколько название осей координат, возьмем вертикальную
ось за ось Оу, а две горизонтальные — за оси Ох и Oz. Напишем
в этих координатах уравнение эллипсоида:
Допустим, что глубина погружения центра эллипсоида есть /г,
а скорость поступательного движения есть и в направлении отри-
отрицательной стороны оси Ох.
Потенциал абсолютных скоростей частиц жидкости, обуслов-
обусловленных движением эллипсоида в неограниченной жидкости, пи-
пишется так:
где К — эллиптическая координата точки (х, у, z) по отношению
к системе софокусных поверхностей второго порядка
Числа А, а0, ро, 7о даются формулами
00
«о - abe 5(^р|уд. Ро = Ле
§ 19. О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА 475
Нетрудно видеть, что <р есть частная производная по переменному
х от функции У, изображающей внешний ньютоновский потенциал
эллипсоида однородной плотности
8_ 1 и
имеем
Возьмем какой-нибудь эллипсоид семейства B):
где
а'2 = а2 + т, Ъ'2 = б2 + г, с'2 - с2 + т.
Внешний потенциал этого эллипсоида некоторой однородной
плотности б пишется так:
V - tfavAh--* ? ?-]§¦; D)
aoi Ро. Yo и Д' получаются из а0, ро, Yo> Д заменой в них а2, б2, с2
на а'2, Ь'2, с'2; что касается Я.', то это есть положительный корень
уравнения
С»
разрешенного относительно переменного О'. Очевидно, Я' —
— А, — т. Отсюда следует, что выражение D) потенциала V мо-
может быть переписано так:
ТГ -_ а'Ь'С> ® т/
V — —у 5~~ У .
аос о
Это равенство выражает известную в теории притяжения тео-
теорему Маклорена.
Найдем из равенства D) производную функции V по перемен-
переменному А/ в точках поверхности эллипсоида C), т. е. при X' — 0.
Пользуясь формулами, выражающими декартовы координаты
х, у, z через эллиптические координаты X', [д/, v', определяемыми
с помощью софокусной системы поверхностей E), имеем
дх __ х ду у dz __ z
^7~ = ^7
476 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда получаем искомую производную
Отметим затем формулу для дифференциала дуги линии pi'
= const, v' — const при V — 0; имеем
la be
Теперь формула F) перепишется так:
Заставим число с' стремиться к нулю; в силу этого эллипсоид
C) превратится в фокальный эллипс семейства E); будем вместе
с тем увеличивать плотность б' так, чтобы произведение с'Ь'
стремилось к некоторому конечному числу а. Нетрудно найти, что
lim A/h/v7, ds\ ao, pi, y0, a'2,6'2) =
C'-»0
= /(a» - c2) (&2 - c*)y 1 - ^L- - ^, dz,0,0,2,a* - c\b* - c\
Применим к формуле G) эти предельные значения различных
величин, получим
5Г Ж) = 2оУ i- ^ р
Так как эллипсоид C) обратился теперь в эллиптический диск е,
то V будет изображать потенциал простого слоя, распределен-
распределенного на этом диске с поверхностной плотностью
Это выражение плотности слоя вытекает из формулы, дающей
предельное значение нормальной производной потенциала про-
простого слоя.
Таким образом,
V - 2
§ 19. О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА 477
Применяя теорему Маклорена, получаем выражение потенциа-
потенциала V эллипсоида A) через потенциал V' простого слоя:
a'b'o
Потенциал V будет равен потенциалу V, если число а взято рав-
равным
аЪс и
Отсюда вытекает, что ньютоновский потенциал однородного эл-
эллипсоида плотности б равен (во внешнем по отношению к эллип-
эллипсоиду пространстве) ньютоновскому потенциалу простого слоя
плотности
Итак,
аЪс
V =
__c2w&2__c2v2— a0JJ V а*—с* №—i
Отсюда находим потенциал скоростей ер, вызванных движением
эллипсоида:
dV abc и
гп __ __ ЧУ
X
е
Таким образом, действие эллипсоида A) совпадает с действием си-
системы диполей, распределенных на эллиптическом диске; оси
этих диполей параллельны скорости движения эллипсоида, а мо-
моменты их равны \i = —4яр.
Обратимся к вычислению волнового сопротивления; для этого
составим функции Р @) и Q @) § 17. В рассматриваемом случае
имеем
Z = —1, т = 0, п = 0, г/о = 0;
следовательно,
Q (в) = -
478 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Чтобы вычислить Q F), введем вместо ?, г\ новые переменные ин-
интегрирования о) и Ф, полагая
? = У а2 — с2 sin о) cos #, г) = ]^Ь2 — с2 cos о>,
d? dr\ = У (а2 — с2)(Ь2 — с2) sin2 о) sin ft do d#,
0< co< я, 0<#< я.
Получим, пользуясь формулой (9), следующее выражение функ-
функции Q @):
sec4 Э ~ 4г sec*9 Г • ч "^" ^b2-c2 sec2 e cos o>
е и \ sin3 (оеи day x
* /m 2g4bc sec4 Э ~ 4г sec*9 Г •
О (9) = б , х е и \ si
4 ' яа4 2 — а0 J
о
X \ sin2 О cos ^ /а2 — с2 sec 6 sin со cos ft\ dd. A0)
о
Делая во внутреннем интеграле замену переменного cos Ф = %
находим, что этот интеграл равен
Jx f-4- /a2 — с2 sec 6 sin co^ .
Отсюда формула A0) запишется так:
№ sec3 9e-g-secM
V V ^ M2/a2_c22— a0
Г -4- Уъ*—с*sec29coso>
X \ и2
Г -4- Уъ*—с*sec29coso> / ? у— \ . о т ,in
\е и2 /i (-^- у а2 — с2 sec 8 sin coj sin2 со dco. A1)
о
Интеграл этой формулы разбиением промежутка интегрирования
на две части точкой о> = я/2 может быть приведен к следующему
виду:
я|2
ф* _ с2уи sec 6 \ /i Ufc У а2 — с2 sec 6 sin co^ X
о
X / 1 (i -4" Yb2 — с2 sec2 6 cos со) sin2 со /cos со dco. A2)
При этом следует применить такую формулу из теории бесселе-
бесселевых функций:
2 2
где / i (?) — функция Бесселя мнимого аргумента.
§ 19. О ВОЛНОВОМ СОПРОТИВЛЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА 479
Применяя к интегралу выражения A2) второй интеграл Сони-
на [1], [4], приводим это выражение к такому простому виду:
Jq М-У а2 — с2sec ЭУ I — /?2sec29)
4\ м2 /
g (аа — г3) u A —
Таким образом, двойной интеграл формулы A0) определен, и
функция Q @) получает следующее выражение:
2/2jtgabc sec^28g--^-^
J з \lk V^^sec 9 /l^-p2sec29l
Обращаясь к формуле (8) § 16, находим волновое сопротивление
эллипсоида при его поступательном движении вдоль большой оси-
со скоростью и:
x ) tt
0
Делая здесь замену переменного т = tg 0 и принимая обозначе-
обозначение
получаем формулу Хэвелока [122]
Эта формула относится к тому случаю, когда а^> Ь^> с. Если же
будут иметь место неравенства а^> с ^> Ь, то эта формула
480 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
несколько изменится и примет такой вид:
X
где
С2— 62
а2—б2 '
Присутствие функции Бесселя /з2 [. . Л в этой формуле сооб-
сообщает волнистый характер кривой зависимости волнового сопро-
сопротивления от скорости движения. Вид этой кривой мало изменяет-
изменяется с изменением полуоси с, если отношение длины большой оси
2а к осадке 2Ъ превосходит 10, т. е. на волновое сопротивление ока-
оказывает малое влияние в данном случае изменение в поперечном
сечении тела.
Зависимость волнового сопротивления от скорости и от полу-
полуосей эллипсоида упрощается, если эллипсоид делается фигурой
вращения.
Для вытянутого эллипсоида вращения, движущегося в направ-
направлении оси вращения, имеем
- Mh. ? 2 I ag ч _ Mhx2
X-128npgaeAe J-^TJ* 1 + т )* « dt,
где
а А 1 — 82 1 — 8
Для сплюснутого же эллипсоида получаем
О 2
где
е' = }^!zi?l, -|- = л [arcsine' - e' /l-e'2].
При движении в направлении, перпендикулярном к оси вращения,
имеем для вытянутого эллипсоида такое выражение волнового соп-
сопротивления:
__?^ 2gh
§ 20. ИССЛЕДОВАНИЕ МИЧЕЛЛЯ
для сплюснутого — такое:
Х =
481
'3B'e " \ П № в'
S 2 V u
2gh
Здесь приняты такие обозначения:
, , 1 + 8 1 / , 1+8'2 . Д
+ In А ^о , -gr = яI е — arcsmв )
1 — 82
1 — 8 '
С помощью предыдущих формул Хэвелок выполнил подсчеты
волнового сопротивления пяти эллипсоидов следующих размеров:
4
а- 5
А
4
- 5 «
B
= С
5
а- ,
С
5
5
D
Ь =
5
Е
а = 5& =
= 5с
причем во всех пяти случаях h = 2b.
Zft? ^
Рис. 56.
Рис. 57.
Рис. 56 дает волновое сопротивление при движении вдоль оси
вращения эллипсоида; рис. 57 дает волновое сопротивление при
движении в направлении, перпендикулярном к оси вращения
эллипсоида.
§ 20. Исследование Мичелля
Мичеллю принадлежит основная работа в теории волнового
сопротивления кораблей [156], [192]. Мичелль нашел потенциал
скоростей и волновое сопротивление кораблей особого вида, ха-
характеризуемых тем, что внешняя поверхность корабля не отходит
значительно от средней диаметральной его плоскости и сами об-
обводы корабля достаточно плавные. Такие корабли называются в
теории корабля тонкими или кораблями типа Мичелля.
^6 Л. Н.-Сретенский
482 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Потенциал скоростей, вызываемых установившимся движением
корабля типа Мичелля по поверхности жидкости бесконечной
глубины, может быть найден как пример применения общих фор-
формул, относящихся к определению волновых движений, вызванных
перемещающимися источниками.
Вообразим, что по поверхности бесконечно глубокой жидкости
движется с постоянной скоростью с в направлении отрицательной
оси Ох судно данных обводов, симметричное относительно своей
диаметральной плоскости Oxz. Представим уравнение поверхно-
поверхности корабля в следующем виде по отношению к системе осей коор-
координат, связанной с кораблем:
\у = / (ж, z) для у > 0, у = — / (я, z) для у < 0.
Выпишем условие обтекания поверхности корабля. Если через
Ф (х, у, z) обозначить потенциал относительных скоростей, а бук-
буквами а, C, у обозначить углы с осями координат внешней нормали
к поверхности судна, то условие обтекания запишется так:
-J— = -з— cos а + -7Г- cos P + -O— cos у = 0.
dn дх ду dz '
При у ^> 0 имеем
a df л df
cos а: cosp: cosy = ^- - — 1- -$- .
Отсюда предыдущее условие запишется так:
дф df дф . дф df п. ^ с\ /л \
Для симметричной части поверхности судна, т.е. для у < 0,
условие обтекания запишется так:
дф df . дФ , дФ df А
Рассмотрим судно типа Мичелля. Поверхность этого судна
весьма мало отходит от своей диаметральной плоскости, и каса-
касательная плоскость к поверхности такого судна составляет с его
диаметральной плоскостью незначительный угол. При этих до-
допущениях и при использовании обычных предположений теории
волн малой амплитуды условия A) и B) могут быть записаны более
просто. Прежде всего, считается возможным удовлетворять усло-
условиям A) и B) не на поверхности судна, а на его диаметральной
плоскости, заменяя, следовательно, в производных
дф дФ дФ
"дх" ' "ду"' ~дГ
деременное у не через ± / (^, z), а нулем-
? 20. ИССЛЕДОВАНИЕ МИЧЕЛЛЯ 48fj
Потенциал скоростей Ф (х, у, z) можно представить в таком
виде:
Ф (я, г/, z) = — сх + Ф± (х, у, z),
где Ф± (х, у, 2) есть потенциал волновых скоростей. Имеем
ЭФ __ , дФх дф __ дФх дФ __ дФх
-— __ — с + 5а; , ду ~ ду ' dz ~~ dz '
Отсюда условия A) и B) запишутся для кораблей Мичелля следую-
следующим образом: для левой стороны поверхности корабля
вфл of дФ, дФ1 a/i _0
и для правой стороны поверхности корабля
\С+"^"У"^+ ду ^ dz azjy==o"
Отбросим в этих условиях квадратичные слагаемые
дФг df дФ1 df
дх дх ' 5z 5z
в силу предполагаемой малости сомножителей. Получим
-?L + -p-) =0, 1-с$- + д-р) =0. C)
дх ^ ду /у=о 7 \ дх ' ду /у=~о v ;
Этим условиям должна удовлетворять функция Ф± (х, у, z) в точ-
точках диаметральной плоскости корабля.
Распределим на этой плоскости простой слой источников дебита
Потенциал волновых скоростей, вызванных этим слоем, будет удов-
удовлетворять в точках диаметральной плоскости условиям C) в силу
известных из теории ньютоновского потенциала свойств разрыва
нормальных производных потенциала простого слоя [52'].
Отсюда вытекает, что функция Фх (х, у, z) может быть найдена
с помощью формул §§ 14 и 15. Формула A) § 15 дает выражение
функции Ф1(х, у, z):
1
^ ф (х — х0, у, z + h + z0) dxodz0.
s
16*
484 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Функция ф, входящая в эту формулу, определяется формулами
A0) § 14 с заменой в них q его значением D).
Установив все это, мы можем найти теперь волповое сопротив-
сопротивление. Для этого надо определить сначала функции Рх (Э), Р2 @),
Qi (9)» (?2 (9)- Пользуясь формулами D) и E) § 15, находим
РХ (в) = ? sec* Э \\ Ц4. cos (f sec в) Д ~в dx dz,
s
Ql @) = ^ Sec« 9 {[ д±^ sin (Щ. sec в) Д ^9^ dz.
Придадим этим формулам другой вид, заменяя sec 9 на X и пола-
полагая после выполнения преобразования
Получим
Подставим эти значения рассматриваемых функций в формулу (8)
§ 16, переписанную в переменном X; после небольших преобразо-
преобразований найдем выражение волнового сопротивления:
Это есть формула Мичелля для определения волнового сопротив-
сопротивления тонких судов при их движении по поверхности водоема
бесконечной глубины.
§ 21. Вычисление волнового сопротивления корабля
для малых и больших чисел Фруда
Определение волнового сопротивления корабля по формуле Ми-
Мичелля представляет, вообще говоря, достаточно трудную задачу,
требующую выполнения большой вычислительной работы. По-
Поэтому имеет значение установление приближенных формул, кото-
§ 21. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОРАБЛЯ 485
рые давали бы возможность определять волновое сопротивление
без затраты большого труда для производства вычислительной
работы.
В настоящем параграфе будут установлены приближенные фор-
формулы для кораблей типа Мичелля при условии, что базразмерный
параметр
F- с
называемый числом Фруда, имеет малую или большую величину.
Величина L, входящая в число Фруда, есть длина корабля.
Возьмем функции / (X) и / (X), входящие в формулу Мичелля,
и перепишем их в другом виде, вводя следующие обозначения:
При этих обозначениях будем иметь
/ (х, z) = / (Lx', Lz') = /' (*', z'),
df (x, z) = 1 df (x', z') _ B^
dx L dx'
Отсюда получаем новое изображение функций I (X) ж J (X); отбра-
отбрасывая при написании формул штрихи, будем иметь
cos (со^) е^Чх dz,
C)
= L \\ df ^ z)
Отметим, что область интегрирования S в этих формулах получи-
получилась из области интегрирования в основной формуле Мичелля вы-
выполнением преобразования A).
Сначала мы получим формулу волнового сопротивления для
малых чисел Фруда; такую формулу мы установим для кораблей
частного, но все же достаточно широкого вида, считая, что поверх-
поверхность корабля пересекает диаметральную плоскость по сторонам
прямоугольника, горизонтальная сторона которого есть L, а вер-
вертикальная есть Н. Таким образом, областью интегрирования S
в формулах B) будет прямоугольник, горизонтальная сторона ко-
которого есть 1, а вертикальная h = H/L. Следовательно, выбирая
начало координат в середине горизонтальной стороны, определим
область интегрирования S в формулах B) такими неравенствами:
df ^ z) sin
486 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Принимая эти обозначения, придадим формулам C) такой вид:
о */¦
I(k)=L [ e»z»dz ^ dff'z) соз(шА,)Дк,
t 7, ' D)
e»*»dz \ df{^
Найдем сначала асимптотическую формулу для функции / (X)
при больших значениях параметра со. Рассмотрим интеграл
cos
применяя два раза формулу интегрирования по частям, преобра-
преобразовываем выражение функции М (Я, z) к следующему виду:
-^-,z) df(— -т--,
дх
I cos i-2-
Возьмем функцию / (Я); на основании полученного выражения
функции М (Я, z) возможно представить функцию / (Я) так:
)
—h
cos D
—л,
О
-Ш \ eU>ZX'dz \ Srcos(co^)^. E)
Если мы предположим, что частные производные функции / (х, z)
до третьего порядка по переменному х ограничены некоторым чис-
числом N, то для всех значений параметра со и для всех значений к
§ 21. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОРАБЛЯ 487
от 1 до оо будут иметь место неравенства
cos
1
—л,
«—л,
~-h
—h
Применяя интегрирование по частям, находим для первого инте-
интеграла формулы E) такое представление:
1
» «214
Если предположить, что частные производные по переменным х
и z до третьего порядка ограничены, то рассматриваемый интеграл
будет иметь порядок со-1 для всех значений К от 1 до оо.
Таким образом, функция / (К) может быть представлена так при
учете членов порядка со-2:
488 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
С помощью аналогичных вычислений находим асимптотическую
формулу для функции / (к):
Составим теперь формулу Мичелля. Получим, учитывая лишь
4
члены порядка со-4,
«в»
дх
Примем теперь во внимание формулы
-1 3 Н4/Х2~1 К 2@
и вернемся к начальному определению B) функции / (х, z). После
ряда преобразований получим для волнового сопротивления такую
асимптотическую формулу:
16
cos (В+-4-Я *L ' ^ л! ' • F)
Покажем теперь, что с увеличением числа Фруда волновое со-
сопротивление стремится к нулю. Это положение можно доказать
для всех судов мичеллевского типа, но для простоты изложения мы
ограничимся рассмотрением лишь тех судов, для которых было
определено в этом параграфе волновое сопротивление при малых
числах Фруда.
Представим формулу Мичелля в таком виде:
X 5= X} -f- Х2,
полагая
Л&
§ 2i. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ КОРАБЛЯ 48Н
где Хо — некоторое вспомогательное число, которое будет опре-
определено в дальнейшем. Функции / (X) и / (X) даются формулами D).
Рассмотрим функцию / (X) для значений X, превышающих л0.
Для этой функции можно установить следующее неравенство,
обозначая через т максимум абсолютной величины производной
df
-—; имеем
ох
A)\<Ьт J
—h
Совершенно так же можно установить неравенство
Отсюда получаем
С02
Г ^ 8Pg2L2m2 / _ /Я* - 1 \ .
раскладывая выражение в скобках по биному Ньютона, находим
следующее неравенство:
Рассмотрим затем функции I (X) ж J (X), входящие в формулу
для Хг.
Придадим выражению функции / (X) следующий вид:
/(*,) = — L J ^X2dz J ^[l-cos(axX)]dx+L [ e<**»dz \ ^-dx.
Последний двойной интеграл равен нулю, так как / A/2, z) *=*
— / (—1/2, z) = 0. Следовательно,
о *>2
/(X) - —2L \ е^Чъ \ |lsin2(-|-CD^W
—ь. _i/2
Оценим абсолютное значение функции / (X). Так как синус мень-
меньше своего аргумента, то будем иметь, выполняя небольшие преоб-
преобразования, такое неравенство:
о
11(к)|<~ Lm&V ^ e^dz<±-
—h
490 ГЛ. Ш. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Для функции / (X) можно найти следующее неравенство:
С помощью этих двух неравенств находим оценку для Хх; имеем
Установив неравенства G) и (8), будем считать, что число Яо взято
равным
при неограниченном увеличении с число Хо стремится к бесконеч-
бесконечности.
При взятом значении Яо неравенство G) даечг следующую оцен-
оценку величины Х2 при больших значениях скорости с:
. (9)
Обратимся затем к неравенству (8); для больших чисел Яо можно
принять, что
о
Отсюда неравенство (8) запишется так:
ИЛИ
Это неравенство и неравенство (9) показывают, что оба слагаемых,
из которых составлено полное выражение силы X, стремятся
к нулю, когда скорость движения неограниченно увеличивается.
Следовательно, волновое сопротивление судов Мичелля стремится
к нулю при неограниченном увеличении скорости движения.
§ 22. Развитие теории Мичелля
Основная формула Мичелля для определения волнового сопро-
сопротивления корабля, идущего по поверхности жидкости бесконечной
глубины, может быть обобщена на тот случай, когда бассейн имеет
постоянную конечную глубину /г. Для получения формулы, опре-
§ 22, РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МИЧЕЛЛЯ
491
деляющей волновое сопротивление в этом случае, надо найти сна-
сначала потенциал скоростей источника, движущегося с постоянной
скоростью под поверхностью жидкости конечной глубины, и затем
составить потенциал скоростей простого слоя источников, распре-
распределенных надлежащим образом по диаметральной плоскости ко-
корабля. Получив выражение этого потенциала, можно затем,
пользуясь общей формулой (8) § 16, найти выражение волнового
сопротивления.
Мы не будем приводить вывода соответствующей формулы и за-
запишем ее в окончательном ее виде [48'], [50']. Имеем
л* (V) + л (v)
A)
где
COS 1т-
ch
т-) dx dz.
sm I-? I/ ~"
Число Yo — положительный корень уравнения
если с < У gh; если же с превосходит j/"gA, то число Yo должно
быть взято равным нулю.
Применяя метод изображений, можно на основании формул,
определяющих потенциал скоростей, возникающих при движении
корабля по поверхности жидкости конечной или бесконечной глу-
глубины, определить волновое сопротивление кораблей Мичелля в ка-
канале бесконечной и конечной глубины.
Не приводя соответствующих вычислений, выпишем оконча-
окончательные формулы [48], [50].
Предположим сначала, что корабль Мичелля идет посередине
канала ширины Ъ и бесконечной глубины. Волновое сопротивле-
сопротивление корабля определится тогда формулой
B)
~ — {(/<> +Л)+ 2
в которой постоянные 1к и Jk имеют следующие значения:
ЧУ
u*ch2xK
COS Р-т
sm -^r
dxdz
492 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Число Тд. — положительный корень уравнения
Если канал имеет конечную глубину /г, то вместо формулы B)
будем иметь такую формулу:
&=¦*
C)
где
COS
(* /5
tg
sin
- 0, 1, 2, . . .),
dxdz
S =
Число ts — положительный корень уравнения
Если скорость движения с превосходит Уgh, то т0 ^= 0 и, кроме
того, 10 — Jo — 0.
В заключение этого параграфа приведем формулы, определяю-
определяющие волновое сопротивление корабля при возникновении внут-
внутренних волн [57].
Предположим, что на поверхности бесконечно глубокой жидко-
жидкости плотности рх находится слой жидкости глубины h и плотности
р2. Допустим, что корабль Мичелля, осадка которого меньше чем
/г, перемещается со скоростью с. При этих условиях его волновое
сопротивление будет определяться формулой
glc*
|
Л J [(r — 1) e^ + 2e"v"] (re*" +
22. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ МИЧЕЛЛЯ
493
в которой
r==
Pl±P2
Pi — Н
reYh + e-yh
ox
My)
Ш
My)
C(Y,*)=j[(r +
— корень уравнения
если скорость корабля с меньше чем
(r __
если же скорость корабля превосходит эту величину, то Yo — 0.
Предположим теперь, что судно перемещается в погруженном
состоянии, находясь полностью в нижней жидкости. При этом ус-
условии волновое сопротивление будет иметь следующее выражение:
в/с"
с?
где
Кг (У)
OX
еУгУ-dxdz.
dx
494 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Определение волнового сопротивления корабля в переслоенной
жидкости конечной глубины было сделано П. Н. Успенским. По-
Полученные формулы имеют достаточно сложный вид, и мы их не
приводим здесь, отсылая читателя к работе П. Н. Успенского [60].
§ 23. Примеры вычисления волнового сопротивления
Формулы теории Мичелля были применены к определению вол-
волнового сопротивления судов всевозможных обводов с целью вы-
выяснить влияние различных особенностей и параметров обвода кор-
корпуса корабля на величину испытываемого им сопротивления. Не
ставя своей задачей описать многочисленные выполненные в этой
области гидродинамики корабля работы, приведем лишь несколь-
несколько примеров вычисления волнового сопротивления судов простей-
простейших обводов *).
Рассмотрим судно, поверхность которого определяется урав-
уравнением
Составляя формулу Мичелля F) § 20, находим волновое сопротив-
сопротивление рассматриваемого судна:
оо
= со ^ (sing —gcosgJ [l-
2__ оJ
со'2 " г "'
Величина X была найдена для следующих значений отношения
#/L:
0,15; 0,125; 0,10; 0,075; 0,05
при числах Фруда F = с/УgL, равных
7
0
0
,07
,71
,35
2
0
0
,83
,63
,31
1
0
0
,41
,60
,28
0
0
0
,94
,47
,26
0
0
0
,74
,40
,23
Результаты расчетов представлены на рис. 58 и дают величину,
пропорциональную волновому сопротивлению, в зависимости от
обратного значения числа Фруда, относящегося к половине длины
корабля. При таком выборе независимого переменного можно хо-
хорошо представить на рисунке волнистый характер кривых для
*) С результатами большого числа вычислений волнового сопротивле-
сопротивления можно познакомиться по следующим работам; [16'1, [17'], [65'], [68'],
[81'], [121'] - [125'], [146'J, [156'],
§ 23. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 498
малых чисел Фруда. Построенные кривые показывают, что до
значений числа Фруда F, меньших чем 0,35, волновое сопротивле-
сопротивление незначительно, а затем резко увеличивается, достигает для
каждого отношения hIL своего максимума и потом быстро убывает,
0,0/0
0,008
0,00В
004
U002
Х-
32pgB2L
1 / j
W
1С
/у
\ь
I
,—
/
/
\
\
s
<®
1,23
V
\\
\\
^ч
\
-А , L
0,10,25 0,50 0,750,951,125 7,50 1,75 2,0 2,25 2,50 2,75 3
Рис. 58.
стремясь к нулю при неограниченном увеличении числа F. Отме-
Отметим, что на рис. 58 изменению числа F от нуля до 0,35 отвечает из-
изменение числа \/~gUc от бесконечности до 2,0.
Рассмотрим движение судна A) по поверхности безграничной
жидкости глубины h. Для вычисления волнового сопротивления
этого судна воспользуемся формулой A) § 22. Найдем следующее
выражение силы X:
X
U
X [sin (и У у th 7) — и Yy th 7 cos (и Yy th 7)] — dy
В этой формуле и — Ygh/c; число 7о — 0 для и < 1 и равно кор-
корню уравнения и2 th 7 = у при и > 1.
Приведем результаты подсчетов величины X для значений па-
параметра и от нуля до 3, приняв L = 2/г; отношению HIL будем
придавать следующие значения:
HIL = 0,15; 0,125; 0,10; 0,075; 0,050; 0,025; 0,0125.
496
ГЛ. III. ИРОСТРДНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Результаты подсчетов позволяют, следовательно, установить
влияние осадки судна на его волновое сопротивление при движе-
движении по мелководью. На рис. 59 изображены в виде графиков
0,012
Рис. 59.
результаты проведенных вычислений, представленные в зависимо-
зависимости от числа и, равного
и =
Будем считать глубину бассейна неизменной и равной h и
будем рассматривать волновое сопротивление в зависимости от
изменения отношения осадки судна Н к его длине L, или, так как
L — 2/г, в зависимости от отношения осадки к глубине бассейна.
Рис. 59 показывает, что с увеличением скорости от нуля и до
некоторого предела волновое сопротивление растет. Этот рост осо-
особенно значителен для осадок Н от 0,075L до 0,15L. Для таких
осадок волновое сопротивление достигает некоторого макси-
максимального значения для скорости несколько меньшей, чем крити-
критическая скорость У gh. После перехода этого максимума волновое
сопротивление резко падает (для больших осадок) и затем начи-
начинает опять расти, принимая некоторое максимальное значение для
скоростей с, близких к ]/2gL. Этот второй максимум кривой вол-
волнового сопротивления начинает играть главенствующую роль для
§ 23, ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 49?
осадок // < 0,075L, переводя, в значительной мере, для этих
осадок кривую волнового сопротивления на мелководье в кривую
волнового сопротивления, вычисляемую по интегралу Мичелля
(рис, 60*)).
При исследовании многих задач теории волнообразования ко-
кораблей рассматривают, с целью выяснения влияния различных
параметров корабля на встречаемое им волновое сопротивление,
корабли самых простых обводов, позволяющие тем самым упро-
упростить в значительной степени обычно большую вычислительную
работу. Для уяснения влияния стенок канала на волновое сопро-
сопротивление рассмотрим результаты числовых подсчетов волнового
сопротивления судна весьма большой осадки, движущегося в ка-
канале бесконечной глубины. Поверхность такого судна, представ-
представляемого вертикальным цилиндром, задается уравнением
При таком выборе поверхности корабля вычисления величины X
по формуле B) § 22 могут быть выполнены без большого труда.
Формула для волнового сопротивления запишется так:
v 32 mr 32я f/ . 1 1 1 \2
X: _р?В2? = —^sm©<DCos)
где
00 - C2 > P - C2 •
Допустим, что одно и то же судно (В и L считаются неизмен-
неизменными) испытывается в каналах различной ширины. В таком случае
волновое сопротивление X будет меняться лишь от изменения
правой части формулы B), в которой параметру и отношение длины
судна L к ширине канала Ъ имели следующие значения:
, 5 3 7 9 9 10 11 о 13 14 15 , 17 18
Р — li 4'Т'Т''Т'Т'Т''Т'Т'.Т''Т'Т;
— = А 1 L 3 5 * 1
ь 4 'х» 8 ' 4 ' ?' Т' У
Результаты вычислений представлены на рис. 60; вдоль оси абсцисс
отложены числа cy2/ygL, а вдоль оси ординат отложены числа
X: |
*) Рис. 60 взят автором из работы [50], на нем ординаты всех точек гра-
графиков уменьшены в два раза. (Прим. ред.)
498
ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
О
СО
§ 23. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 499
Различные кривые этого рисунка относятся к различным отно-
отношениям длины судна к ширине канала. Штриховые линии соеди-
соединяют точки, для которых р имеет одно и то же значение.
Изучение кривых на рис. 60 приводит к следующим заключе-
заключениям. Для данного значения отношения ЫЬ волновое сопротив-
сопротивление растет при увеличении скорости корабля, при некотором
значении скорости достигает максимума и затем убывает; возра-
возрастание волнового сопротивления к его максимальному значению
идет тем быстрее, чем уже канал; величина максимума значительно
увеличивается при уменьшении ширины канала.
Максимальное значение волнового сопротивления достигается
при скоростях тем больших, чем уже канал. Это смещение макси-
максимальных ординат кривых волнового сопротивления должно
играть значительную роль для больших скоростей и узких кана-
каналов, при сравнении чисел, получаемых для каналов различных
ширин. Кривая, отвечающая значению ЫЬ — 1/5, может быть взя-
взята за кривую, изображающую волновое сопротивление в безгранич-
безграничной жидкости.
Хэвелок нашел волновое сопротивление излучаемой нами мо-
модели корабля в случае беспредельной жидкости [116']. Сравни-
Сравнивая числа, найденные Хэвелоком для
X: §PgB2L
при
^=1,4907; 2,001; 2,8284,
которые суть соответственно
0,0948; 0,0703; 0,0442,
с числами, лежащими в основе построения рис. 60 при ЫЬ — 1/5,
которые имеют следующие значения (по недостатку):
0,0840; 0,0651; 0,0515,
видим, что кривая, отвечающая этому значению отношения ЫЬ,
может быть взята с достаточным правом за кривую, изображаю-
изображающую волновое сопротивление в безграничной жидкости.
Кривые на рис. 60 располагаются в полном порядке с измене-
изменением параметра ЫЬ.
Таким образом, уменьшение ширины канала дает всегда увели-
увеличение волнового сопротивления. Это увеличение наиболее резко
проявляется, когда ширина канала становится меньше длины
модели.
Просматривая числовые подсчеты, служившие для построения
кривых на рис. 60, можно было обнаружить, что для значений па-
параметра р > 3 и для значений отношения ЫЬ ^> 1 первое слагав-
500 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
мое во вторых скобках формулы B) больше всей суммы бесконеч-
бесконечного ряда не меньше чем в пять ряз. Отсюда следует, что для боль-
больших значений р и ЫЪ имеет место следующая формула для вол-
волнового сопротивления:
При данных размерах канала и судна эта формула будет иметь
место для малых скоростей.
§ 24, Исследование Н. Е. Кочина
Н. Б. Кочиным были даны общие формулы для главного векто-
вектора сил давления потока на твердое тело. Эти формулы были по-
получены как результат полного исследования волновых движе-
движений, возникающих при установившемся движении твердого тела
произвольного вида под поверхностью жидкости [16].
В основу всего исследования кладется формула, определяю-
определяющая потенциал скоростей волнового движения, выраженный че-
через его значения и через значения его нормальной производной на
поверхности обтекаемого тела. Предполагается, что эти значения
известны из каких-то добавочных соображений.
С помощью поверхностных значений потенциала скоростей и
его нормальной производной вводится характерная для всех ис-
исследований Н. Е. Кочина и его продолжателей вспомогательная
функция // (к, 6), через которую выражаются в дальнейшем все
величины, относящиеся к волновому движению. Эта функция
имеет следующий вид:
Н (к, 9) - \[ е«№ соз e+iysin 8) ik (ia cos e + ф sin Э + 7) Ф — ^} dS;
A)
здесь а, |3, у — направляющие косинусы внешней нормали к об-
обтекаемой поверхности S, точки которой имеют координаты х, г/, z.
Через функцию Н (к, 8) определяются компоненты силы воз-
воздействия потока на твердое тело по следующим формулам:
§ 25. ВОЛНЫ ОТ ПОДВОДНОГО ИСТОЧНИКА 501
Для определения функции Н (к, 0) необходимо знать распреде-
распределение значений ф и dyldn на обтекаемой поверхности S. Но можно
избежать этого, дав другое выражение функции Н (к, 0).
Поставим задачу: найти такой простой слой источников на по-
поверхности S, чтобы потенциал скоростей этого слоя давал потен-
потенциал скоростей потока, обтекающего поверхность S. Плотность
q (х, у, z) искомого простого слоя находится в результате решения
интегрального уравнения Фредгольма.
Через функцию q (х, у, z), удовлетворяющую этому уравне-
уравнению, функция Н (к, 0) записывается так:
И (Л, в) = Ц q F, т|, С) **«+** cos е+*ч sin е> d$9 C)
s
Сложная задача решения интегрального уравнения может
быть оставлена в стороне, если обтекаемое тело находится доста-
достаточно глубоко под поверхностью жидкости. В этом случае для вы-
вычисления Н (к, 0) можно в формулу A) подставить вместо функ-
функций ф и dtp/dn, относящихся к волновому потоку, функции ф и
dq>/dn, соответствующие движению тела в неограниченном потоке,
т. е. воспользоваться результатами теории крыла аэроплана. Та-
Таким путем могут быть получены данные выше формулы для вол-
волнового сопротивления сферы, эллипсоида и тонкого судна Мичелля.
Метод функции Н (к, 0) был применен различными авторами к ре-
решению разнообразных задач обтекания твердого тела волновым
потоком [16'], [651.
§ 25. Волны от подводного источника
периодического дебита
Предположим, что под поверхностью бесконечно глубокой
жидкости находится источник S, дебит которого Q ~ q cos at,
где q — постоянная величина, а — частота колебания дебита ис-
источника. Пусть координаты центра источника будут @, 0, —А).
Поместим в точке с координатами @, 0, К) фиктивный сток деби-
дебита Q.
Представим потенциал скоростей движения жидкости, вызван-
вызванного источником S, в следующем виде:
^ A)
где Г2 __ Х2 _|_ у2 и ф ^ у^ z) — искомая функция. Функция Ф
должна удовлетворять при z = 0 такому граничному условию:
dz
502 ГЛ. Ш. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Отсюда вытекает, что функция ф (х, у, z), правильная в нижнем
полупространстве, будет удовлетворять следующему граничному
условию при 2=0:
U -т. СГ2ф = гт .
OZ т h-2 _[« h2)'1
Перепишем это условие в другом виде, пользуясь формулами:
получим
g *L — а2ф = 2g \ ке-*Ч0 (кг) dk. B)
о
Будем искать функцию ф (х, у, z) в виде следующего интеграла:
оо
Ф = \ А (к) e**J0 (kr) dk (z < 0),
о
содержащего неизвестную функцию А (к). Подстановка этого ин-
интеграла в условие B) определяет функцию А (к):
Отсюда получаем выражение потенциала ф:
ф^тнe4z~h) J° ^r)dk-
На пути интегрирования находится полюс к = cr2/g; поэтому мы
должны обойти этот полюс на плоскости комплексного переменно-
переменного к маленькой полуокружностью; такую полуокружность можно
взять или в верхней полуплоскости, или в нижней полуплоскости.
Если через ф+ мы обозначим потенциал, получаемый при верхней
полуокружности, а через ф- — при нижней полуокружности, то
будем иметь такое соотношение:
M)(i) D)
§ 25. ВОЛНЫ ОТ ПОДВОДНОГО ИСТОЧНИКА 503
Рассмотрим функцию ф+ и преобразуем ее к новому виду, за-
заменяя функцию Бесселя полусуммой двух функций Ганкеля:
Найдем
оо оо
Ф+ = \ к 2— e^z~h) H(o\kr) dk%-\- \ ^-g— e^-V H{02) (kr) dk.
о о
Имея в виду асимптотические формулы
— • ( 1 \
справедливые для больших значений г, можно установить, что ин-
интегрирование по действительной оси в первом интеграле может
быть заменено интегрированием по положительной части мнимой
оси, а интегрирование во втором интеграле может быть заменено
интегрированием по отрицательной части мнимой оси. Выполняя
такое изменение путей интегрирования и принимая в расчет вы-
вычет полюса к — a2/g во втором интеграле, получаем новое пред-
представление функции ф+:
Ф+ =
а2, ^ч
1 \
о
Преобразуем эту формулу на основании соотношения между дву-
двумя функциями Ганкеля одного и того же порядка:
Я<2) (- ш-) = - Д<« (tor);
после ряда преобразований получим
оо
|sin [х (z - W + * cos ^ (z -
8 ° \g
Принимая во внимание формулу
504 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАМ
где Ко (z) — функция Макдональда нулевого порядка, получаем
другое изображение функции ф+:
- h)\ + gKcos [к(z-h)]}K0(кг) -
Щ?у E)
Пользуясь формулой D), находим функцию <р~:
оо
Ф" = -4т \ *+%» ^ sin Iх (z - АМ + Z* cos tx (z -
\
0
+ fc,f7»Jl"(A). F)
Возьмем полусумму функций ф+ и ф~; новая функция, которую
будем обозначать через ср, будет удовлетворять граничному усло-
условию B). Эта функция запишется так:
ф = ?-2я — е* Y
где S обозначает для краткости первые интегральные слагаемые
формул E) и F), а
Если теперь взять полуразность функций F) и E), то получим
функцию
9'=2*f вТ <->/,(<*). (8)
Эта функция будет удовлетворять однородному условию B), т. е.
Заметим теперь, что условие B) остается без изменения, если
в формуле A) cos at заменить на sin at. Отсюда вытекает, что по-
потенциал скоростей
Ф (х, z/, z; t) = -j— • г —• cos at
+ "й"ф ^'у> ^cos 0^ + "srф' ^у'z)sin a^ (9)
имеющий более общий вид, чем потенциал скоростей A), будет
обеспечивать своими составляющими функциями фиф' удовлет-
§ 25. ВОЛНЫ ОТ ПОДВОДНОГО ИСТОЧНИКА 505
ворение граничного условия B) в его неоднородном и однородном
виде.
Таким образом, потенциал скоростей (9) дает волновое движе-
движение жидкости, вызванное подводным источником дебита q и нахо-
находящимся на глубине h.
Покажем, что этим потенциалом удовлетворяется условие излу-
излучения, начальным же потенциалом A) это условие не будет удов-
удовлетворяться. Рассмотрим для этого сначала два последних слагае-
слагаемых выражения (9); имеем
Ф (х, ?/, z) cos at + q/ (х, у, z) sin at =
= S cos at -2n^eT(z-h)[Y0(^)co80t-Jo(^)smot\ . A0)
Найдем асимптотическое выражение функции, стоящей в квадрат-
квадратных скобках, для больших значений переменного a2r/g; пользу-
пользуясь соответствующими асимптотическими формулами для функ-
функций Бесселя, получаем
Yq (——) cos at — /0 (—-) sin at =
/7" Г . / a2r 1 \ . / aV 1 \ . Л
—%- sm 7— jc j cos at — cos -г- n sm at\ =
= ±l/rILs-m(*L-ot-'x). A1)
<5 V ttr \ g 4 / V '
Рассмотрим затем функцию S:
oo
S = ^f \ ei\dgw (o*s^ I*B - Щ] + g*qos [x (z - h)}} Ko(xr).
Заменим здесь Ко (кг) его интегральным изображением ([4],
стр. 190):
1
и переменим порядок интегрирования; получим
S -
или
5 = -^
I
-j- /vcos|"~(
506 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Найдем асимптотическое выражение внутреннего интеграла при
больших значениях параметра a2rlg. Интегрируя по частям, по-
получаем
Отсюда асимптотическое выражение функции S будет
<? = -^-D-П1 + —(z-
Эта формула показывает, что функция S стремится к нулю при
неограниченном увеличении параметра o%rlg, как — 3-я степень
этого параметра, притом с этой степенью точности произведение
S cos Gt, входящее в формулу A0), не будет представлять волны,
идущей в бесконечность или из бесконечности, а будет представ-
представлять в некотором отношении стоячую волну.
Определим возвышение поверхности жидкости, отвечающее по-
потенциалу скоростей (9); получим
S^У'°)sinat + -&Fф'(ж'2/H) cosat'
Имея в виду формулы A0) — A2), мы можем сказать, что по-
потенциал скоростей (9) дает движение жидкости от источника пери-
периодического дебита, причем образующиеся кольцевые волны рас-
распространяются от места своего возникновения в бесконечность.
Уравнение волновой поверхности A3) запишется для больших
значений o2r/g так:
Радиальная длина этих волн % — 2ng/o2 связана с радиальной
скоростью с == g/a их распространения формулой
С ~ 2л '
При заданных глубине источника h и его дебите q коэффициент
амплитуды этих волн
. § 26. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 50?
имеет наибольшее значение для частоты а, равной |/~g7/i, макси-
максимальное значение а будет
2gh
§ 26. Колебания твердого тела под поверхностью
жидкости
Применим формулы предыдущего параграфа к определению
движения жидкости, вызванного гармоническими колебаниями
некоторого погруженного твердого тела.
Допустим, что точки поверхности S твердого тела имеют в на-
направлении нормали к этой поверхности некоторые скорости, ма-
малые по своей амплитуде и периодические по времени. Имея выра-
выражения амплитуд колебания в зависимости от координат точки на
поверхности S, можно найти простой слой источников, распреде-
распределенных на поверхности S, который будет создавать такое же дви-
движение жидкости, какое получается при колебательных движени-
движениях поверхности тела.
Определение плотности простого слоя через заданные нормаль-
нормальные скорости точек поверхности требует решения интегрального
уравнения внешней задачи Неймана. В дальнейшем мы будем
предполагать, что такое уравнение решено и, следовательно, из-
известен дебит Q = q (xQ, z/0, zQ) cos Gt dS источника, расположен-
расположенного в точке М (х0, г/0, z0) поверхности S.
Потенциал скоростей этого источника найдется применением
формул (9), (8) и G) § 25; будем иметь для этого потенциала такое
выражение:
O(x,y,z;t) =
1 (*(* Г 1 1 Л
= -т— \\ Q (#о> Уо» %о) ¦ dS cos Gt 4-
4rt ^ Ч\ Уо, о) у yr2 +{z__ 2qJ yr2 + {z + zoJ j
+ 15Г ^j? ^°' y°' Zq>) ^ ^ — x^y — У^ z — zo) cos ot +
+ ф' (x — rr0, y — yo,z — z0) sin Gt} dS, A)
где
г2 = (x - х0Г + (У~ z/0J.
Уравнение поверхности жидкости, отвечающее этому потенциалу
скоростей, найдется применением обычной формулы. Мы не будем
выписывать уравнение поверхности для произвольных значений
координат х, г/, а составим это уравнение для мест, достаточно
удаленных от начала координат. Для этого обратимся к формуле
508 ГЛ. HI. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
A4) § 25 и проинтегрируем ее по поверхности S, получим
at - -f
Преобразуем эту формулу, вводя вместо г новые величины R, I, а,
показанные на рис. 61, и найдем вы-
выражение ? вдалеке от начала коор-
координат. Имеем
Представим тригонометрический мно-
множитель формулы B) в таком виде:
COS i
Рис. 61.
= cos ^JL cos (at + -г- я j -f-
+ sin — sin (a* + -^ л J. D)
Подставим сюда вместо г его выражение C) и разложим результат
в ряд по степеням отношения 1/R. Предполагая, что расстояние R
значительно больше любого расстояния Z, будем иметь такие фор-
формулы, учитывающие лишь первые члены разложений:
cos -^- = cos (— — cos a) + ... ,
g \ g g I
sin — = sin (— — cos a)+ ...
g \ g 8 I
Отсюда формула D) может быть записана так:
/ &г 1 \ / a'2R 1 \ / аЧ \ ,
cos (—: at Т л) ^ cos ( at Т п) cos ( —cosaj +
Далее можно написать, что
at 1- я j sin f — cos a
У7 УЖ ' '"
Эти две формулы позволяют написать уравнение поверхности в сле-
следующем виде для значений/?, больших по сравнению с максималь-
максимальным значением I в области интегрирования:
E)
§ 26. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА ИОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 509
Здесь приняты такие обозначения:
Di =[\q (x0, ijo, Zq) ea2Zfl/?cos (-^- cos a) dS,
F)
/ \
= \\
J/o, z0) ea2Zo^sin (— cos a
Введем комплексную функцию /) по формуле
a2
л _ _ fC . . —Bо—г? cos a)
-О = Dx — Ша = \\ q (х0, у0, z0) e $ dS.
Обозначим через # угол между осью Ох и радиусом R, идущим
в точку (х, у); принимая это обозначение, будем иметь
х — R cos О, у = R sin О,
Z cos a — ?0 cos О + г/0 sin -&.
Отсюда введенная выше функция D запишется так:
ч "Г" (^-^о cos *-*Ve sin «) о ^
J/o, z0)e ^ d5. G)
Теперь уравнение E) поверхности жидкости может быть записано
короче:
Пользуясь формулами A0) и A1) § 25 и формулой A), находим
для больших значений R выражение потенциала скоростей, отве-
отвечающего волнам E):
V2ngR
(^^)] (9)
При своем колебании твердое тело излучает в окружающую его
жидкость механическую энергию, которая проявляется в виде
движений частиц жидкости и поверхностных волн, уходящих в
бесконечность. Поставим задачу определить мощность, излучае-
излучаемую твердым телом. С этой целью рассмотрим вертикальный круг-
круглый цилиндр С большого радиуса поперечного сечения, содержа-
содержащий внутри себя колеблющееся тело. Найдем количество энергии,
уходящей через поверхность этого цилиндра в бесконечность в те-
течение одного периода колебания тела. Эта энергия будет равна
работе сил давления, приложенных к жидкости в точках поверх-
510 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ЁОЛЙА!
ности С, сложенной с потоком механической энергии, проходя-
проходящей через поверхность цилиндра; все величины относятся к пе-
периоду колебания тела.
Для подсчета работы сил давления возьмем интеграл Бернулли
dt
Пользуясь формулами настоящего параграфа, находим выражения
отдельных слагаемых этого интеграла:
at J-
В каждой из этих формул выписаны лишь наиболее значитель-
значительные слагаемые при большом R. Составим на основе этих формул
выражение давления, причем ограничимся указанием лишь са-
самых больших слагаемых при R весьма большом. Получим
л °!_ е,т \Di cos
Р V2ngR L х
_ at _ i я
4
g _ at _
\ g 4
Найдем работу сил давления, приложенных к жидкости в точках
поверхности цилиндра С. Имеем
Так как мы имеем в виду найти энергию, передаваемую за один
период колебания, то рассчитаем величину произведения
dR
за один период колебания, т. е. найдем интеграл
+ D. sin (^L - о, - 4- n)J it - -^ «,»¦>« IВ р.
§ 26. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 511
Формула (И) дает теперь следующее значение для работы сил дав-
давления за один период колебания:
О 2я 2я
dz\ Ч$тс егаЧ'е |ДГД<й> = -?$|лГ<и>- A2)
—оо О О
Из двух последних формул A0) следует, что поток механической
энергии через поверхность С равен нулю за период колебания
тела.
Таким образом, за период колебания тела от него уходит
в бесконечность энергия, равная величине A2). Следовательно,
мощность W, излучаемая телом и отнесенная к единице времени,
будет
\D№. A3)
Помимо формулы A3), определяющей излучаемую мощность, мож-
можно установить формулы для сил, действующих со стороны жидко-
жидкости на тело при его колебаниях [18].
Применим полученную формулу к рассмотрению двух задач.
Предположим сначала, что сфера радиуса а, центр которой нахо-
находится на глубине h под поверхностью жидкости, совершает в вер-
вертикальном направлении гармонические колебания, максималь-
максимальная амплитуда которых есть А.
Найдем мощность, излучаемую сферой при этих колебаниях.
Будем предполагать, что для определения величины D можно де-
дебит источников д, распределенных по поверхности сферы, нахо-
находить по условиям движения сферы в безграничной жидкости,
т. е. принять постулат Лэма.
Потенциал скоростей такого движения сферы будет
ф « -L а3аА -^- cos at, A4)
где 6 — угол между осью Oz и радиусом-вектором L, идущим из
центра сферы в произвольную точку пространства.
Не представляет труда найти, что дебит источников, распреде-
распределенных на поверхности сферы и образующих потенциал скоростей
A4), будет
q = — a4cos0.
Найдем по формуле G) функцию D. Подставляя в эту формулу
вместо q его значение, получаем
Р = -у а А \\ cos 0 е 8 dS;
512 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
cos 0 = у — косинус угла внешней нормали к поверхности сферы
S в точке (х0, у0, z0) с осью Oz:
3 А f f " (го—гхо cos Q—гуо sin S)
_
f f
Применим к этому интегралу формулу Остроградского, получим
dx, A5)
где Т7 — объем сферы S. Введем сферическую систему координат
с началом в центре сферы и обозначим через г полярный радиус,
а через dm элемент площади сферы Sr радиуса г с центром в центре
сферы S. Отсюда формула A5) может быть преобразована к такому
виду:
а о2
г^ За3 ,, Г 7 ГС -z-(zo—гх* cos &—iyо sin &)
D = -77— А \ dr \\ е 8 dco.
s
о sr
Подынтегральная функция
о8
-—- (zq—ixo cos в—гу0 sin •&)
удовлетворяет уравнению Лапласа; следовательно, внутренний
двойной интеграл будет равен, согласно теореме о среднем значе-
значении гармонических функций, значению этой функции в центре
сферы Sr, умноженному на 4лг2. Таким образом, будем иметь
D = J^
или окончательно
g
Найдем теперь по формуле A3) излучаемую сферой мощность;
получим
Выпишем в заключение уравнение волловой поверхности в ее
удаленных частях. Применяя формулу (8), находим, что поверх-
поверхность жидкости представляет собою семейство кольцевых &олн,
расходящихся в бесконечность:
R \ g 4
§ 26. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 513
Рассмотрим теперь образование волн вращающейся деформиро-
деформированной сферой.
Допустим, что поверхность, определяемая в сферических коор-
координатах с полюсом в точке @, 0,— К) уравнением
г = а + 1, A6)
вращается равномерно со скоростью со вокруг вертикальной пря-
прямой, проходящей через точку @, 0, —К). Найдем уравнение об-
образующихся волн и величину излучаемой мощности. Будем пред-
предполагать, что I — некоторая заданная функция двух угловых ко-
координат 0 и х? связанных с вращающейся поверхностью. Будем
предполагать, что I @, у) и ее частные производные первого поряд-
порядка суть величины малые; в таком случае уравнение A6) будет оп-
определять деформированную сферическую поверхность. По отноше-
отношению к системе осей координат, связанных с вращающейся поверх-
поверхностью A6), движение жидкости будет установившимся. Потенциал
скоростей абсолютного движения жидкости, записанный во
вращающейся системе координат, должен удовлетворять условию
обтекания поверхности A6).
Определив угловые коэффициенты нормали к поверхности A6),
можно составить это условие; оно запишется так:
Искомый потенциал скоростей представим в виде потенциала про-
простого слоя источников, распределенных на поверхности сферы
г = а:
Мы ограничимся разбором одного частного случая, предполагая,
что функция I @, х) имеет следующий вид:
I = АРР (\i) cos пь
где РпП) (ц) — присоединенная функция Лежандра от аргумента
|х = cos 8; имеем
где Рп (|х) —- функция Лежандра первого рода п-то порядка. Ис-
Искомая функция q будет иметь следующий вид:
Я = QP(n] (ц) sin их,
где Q — неизвестное постоянное число, которое должно опреде-
определиться из условия A7). Функция ф, соответствующая взятой
17 Л. Н. Сретенский
514 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
функции q, записывается так:
Условие A7) дает выражение Q через известный коэффициент А:
г\ 2д +1 л
Q = JL-. псоА.
v п + 1
Следовательно, плотность простого слоя будет
9 = "ТТТ п&А1р^) (V)sin пЪ
Перепишем это выражение функции д, вводя вместо угла % угол
г|), измеряемый от неподвижной оси Ох; имеем х = ^ — ^. По-
Получим
q = ^±^- аЛ {sin m|) cos a^ + cos m|) cos Га (« + -^-M j P(nn)(^), A9)
где а = дсо.
Таким образом, задача привелась к нахождению волновых
движений, возбуждаемых колебаниями поверхности сферы, опре-
определяемыми формулой A9) и имеющими частоту а.
Основная часть задачи состоит теперь в определении функции
D. Эту функцию можно найти для всякого целого числа п, но не-
необходимые вычисления слишком громоздки, чтобы их приводить
здесь. В силу этого мы рассмотрим простейший случай: п = 2.
Для малых значений А поверхность, образующая волны, будет
трехосным эллипсоидом
Рассмотрим сначала колебательное движение, определяемое
функцией
которую представим так:
qx = 5gA sin2 8 sin 2г|).
Функция D, отвечающая этой функции дх, пишется так:
8
рр — (zo—ix0cos &—гу0 sin &)
D = 5аА \\ sin2 9 sin 2-ф ес dS.
s
Этот двойной интеграл может быть вычислен применением форму-
формулы Остроградского и использованием теоремы о среднем значении
§ 26. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 515
гармонической функции. Получим
; sin.
Возьмем затем функцию
или
q2 = 5аЛ sin2 0 cos 2г|).
Функция Z), отвечающая функции g2> запишется так:
D = ЪаА \\ sin2 0 cos
s
Выполняя вычисления, получаем
~- (z0—гх0 соз &—гуо sin &)
с
Пользуясь формулой E), находим уравнение поверхности жидко-
жидкости далеко от начала координат:
= _ ^ ^_a2h,, rin 2# /^_ _ Qt __ 1 \
b 3g*V2atgR L W 4 /
3g*V2atgR
+ cos2#sin(^--^--i-^l , B0)
или
Это выражение функции ? приводит к заключению, что линия
равной фазы возвышения поверхности жидкости представляют со-
собой в каждый момент времени спирали Архимеда:
В частности, спиралями Архимеда будут и узловые линии функ-
функции ?; при изменении времени эти спирали, не меняя своего вида,
вращаются против стрелки часов с угловой скоростью, равной
а/2. Вычислим мощность, излучаемую при вращении рассматри-
рассматриваемой поверхности. Уравнение волновой поверхности дается
формулой B0). Сопоставляя эту формулу с формулой E), устанав-
устанавливаем, что в данном случае величины Dx и D2 имеют такие значе-
значения:
17*
516 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
следовательно,
Применяя формулу A3), находим излучаемую мощность:
8 ёъ
В работе Эрселла теория гармонических колебаний твердого
тела, образующего волны, была приложена к задаче о колебаниях
удлиненного (сигарообразного) тела вращения, ось которого рас-
расположена горизонтально на открытой поверхности жидкости [197].
Тело не имеет поступательного движения в горизонтальном на-
направлении и может совершать лишь вертикальные движения и не-
небольшие гармонические колебания своей оси в горизонтальной
плоскости. В работе даются формулы, определяющие главный
вектор и главный момент сил давления, приложенных к поверх-
поверхности тела, а также и излучаемую мощность.
§ 27. Движение источника и диполя
по круговому пути под поверхностью жидкости
Предположим, что под поверхностью жидкости бесконечной
глубины движется по круговой траектории источник. Допустим,
что это движение продолжается неограниченно долго и, следова-
следовательно, по отношению к системе осей координат, вращающейся
с соответствующей угловой скоростью вокруг вертикальной пря-
прямой, движение жидкости будет установившимся.
Напишем интеграл Бернулли для рассматриваемого движения
жидкости. Источник описывает с постоянной скоростью окруж-
окружность в горизонтальной плоскости. Проведем через центр этой ок-
окружности вертикальную прямую и примем ее за ось Oz; горизон-
горизонтальную плоскость, совпадающую со средним уровнем жидкости,
возьмем за плоскость хОу, причем будем считать, что оси Ох и
Оу вращаются в рассматриваемой горизонтальной плоскости с
той же самой угловой скоростью со, с какой вращается вокруг оси
Oz источник. Таким образом, по отношению к системе координат
Оху движущаяся сфера имеет неизменное положение.
Обозначим через Ф (х, у, z) потенциал абсолютных скоростей
частиц жидкости, написанный в координатах, связанных с вра-
вращающимся источником; в силу этого функция Ф (х, у, z) не будет
зависеть от времени. Проекции и, у, w относительной скорости на
подвижные оси имеют следующие значения:
дф дф дф /4Ч
§ 27. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 517
Интеграл Бернулли в системе координат, вращающейся с неко-
некоторой угловой скоростью, обладающей проекциями р, q, r на под-
подвижные оси, имеет следующий вид:
р q r
~р~ = dt "т" U 2"
дф
дх
У
дф
ду
дФ
dz
где U — силовая функция внешних сил, V — значение абсолют-
абсолютной скорости частицы жидкости.
В условиях рассматриваемой задачи имеем
дф п т/ / дФ \2 / дф \2 / дФ
p = 0, g = 0, r = со.
Отсюда интеграл Бернулли запишется так:
B)
Применим этот интеграл к точкам поверхности жидкости, от-
отбрасывая притом квадрат абсолютной скорости. В точках свобод-
свободной поверхности жидкости давление имеет постоянное значение,
которое можно считать равным нулю. Обозначим через ? верти-
вертикальную координату точки поверхности жидкости; из равенства
B) получим для ? следующее выражение:
«. со / дФ дФ
В точках поверхности жидкости должно соблюдаться условие
которое говорит, что частица жидкости, лежащая на поверхности,
не покидает при своем движении поверхности жидкости.
Условие D) при использовании равенств A) может быть пере-
переписано так:
/ аФ \ ас . / дФ \ dt,
\ ^ дх I дх ~ \ ду ) ду
Отбрасывая здесь члены второго порядка малости, получаем
дФ
дФ
Подставим сюда вместо t его значение C); найдем
8 дф _ г д (.. дФ дФ\ д ( дФ
x[y )
518 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Это граничное условие должно удовлетворяться гармонической
функцией Ф (х, г/, z) при z = 0.
Составленное граничное условие и формула C) приобретут
простой вид, если вместо координат х, у взять координаты г, Ф,
полагая
х = г cos Ф, у = г sin О1.
Для любой функции F имеет место следующее тождество:
3F dF __ 3F
Рассматривая Ф как функцию переменных г, О*, 2, применим это
тождество к формуле C); получим
граничное же условие E) примет такой вид:
-о G)
Предположим, что движущийся источник () имеет дебит q и по
отношению к вращающейся системе координат имеет координаты
(/, 0, -К).
Введем в рассмотрение вспомогательное течение жидкости,
образованное источником Q в сочетании с течением, образованным
стоком Q', расположенным в точке (/, 0, К). Потенциал скоростей
этого вспомогательного течения будет
ф1 " 4л
где
R\ = (x- If + г/ + (z + h)\
R\ = (X- If + f + (Z - hf.
Представим искомый потенциал абсолютных скоростей Ф (х, (/, z)
в виде суммы двух слагаемых:
Ф = Ф1 (ж, у, z) + ф (х, у, z).
Функция ф (х, у, z) есть потенциал волновых скоростей. В точках
плоскости 2 = 0 функция фх равна нулю, в силу чего имеем при
z = 0
Вместе с тем при z — 0 имеем
§ 27. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 519
В силу этих соотношений условие G) запишется так:
д№ "•" w2 dz 2лоJ \dz i?2 /2==0' ^ '
Будем искать функцию ф в виде такого интеграла:
оо п
ф = ^к dk § А (к, 0) е*[(г->0+*гсоз(?-9)]^е, (9)
содержащего неизвестную функцию А (к, 8).
Составим левую часть граничного условия (8); имеем
SL = [kdk [ А (к,
О —г.
полагая здесь z = 0, получаем
^ \ Л (А, в)
О —л
Далее имеем
с» ~
|J. = _ «С k*dk [ А (к, 0) г sin (О-
о —л
положим здесь z = 0, получим
Z==0
\ А {к, в) г sin (О — 0)^rcos^-0)d9. A1)
Преобразуем внутренний интеграл интегрированием по час-
частям, получим
(А, 0) г sin (# — 0) е™
Подчиним искомую функцию требованию
А (к, п) = А (к, -я). A2)
При соблюдении этого условия будем иметь
А (к, 9)rsin('&— e)eifcrc()d0= L_ [ JL?-
—я
520 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
и формула A1) перепишется так:
оо те
= __ С ke-*hdk
2=0
Продифференцируем обе части этого равенства по переменному Ф,
получим
№\ = i С A»e-Wi dft ^ j|L r sin (^ _ 9)
~~ 0 те
Применим к внутренней квадратуре формулу интегрирования по
частям, получим
п
\ ^ Г Sin (U — 0) е«Ь-COS (О-в) dQ =
_ i Г дА
Подчиним функцию 4 (/с, 9) дополнительному условию
ал (fc, jt) __ аЛ(/с, —я) ш
A4)
при соблюдении этого условия будем иметь
—те
Отсюда формула A3) перепишется так:
—п
Составим теперь на основе равенств A0) и A5) граничное ус-
условие (8), получим
Чтобы найти из этого равенства функцию А (к, 6), преобразуем
правую его часть по формуле
оо те
4- = -Д- [ dk [ ^[(г-^-Иг cos («-вН1 cos 91^0.
• 2я J J
О —те
§ 27. Движение источника й Дййоля йо круговому пути 521
Получим
со тс
[ ke-*hdk \ ffi- + -g- А\
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, определяющее
функцию А (к, 0):
Разложим правую часть этого уравнения в тригонометрический
ряд по известной формуле [4]
(—i)sJs(kl)eis*. A7)
Отсюда уравнение A6) может быть переписано так:
A8)
Найдем решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям
A2) и A4). Будем искать такое решение в виде следующего ряда,
каждый член которого удовлетворяет указанным условиям:
Подстановка этого разложения в уравнение A8) дает значения не-
неизвестных коэффициентов:
Таким образом, искомая функция А (к, 6) будет определяться
рядом
А <*' 6) = ТИТ Z Т^СТ '. (*0 *"• A9)
S=— с»
Подставим этот ряд в выражение (9) потенциала скоростей,
522 ГЛ. 111. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
получим
О —п
Основываясь на формуле, вытекающей из разложения A7):
можно переписать предыдущее выражение потенциала скоростей
так:
S=—оо О
Интеграл этой формулы не меняет своей величины при изменении
знака у индекса s, поэтому можно выражению потенциала <р при-
придать такой вид:
* = -& {т \ ek(z~h)Jo {kl) h {kr) dk+
О
оо оо
^ + е-"») \ -да^г '. Ф1) J, (кг) dk}. B0)
Для установления точного смысла интеграла этой формулы нуж-
нужно изменить путь интегрирования около полюса к0 = aJs2/g. Бу-
Будем считать, что путь интегрирования 0 < к <С оо обходит сверху
точку к0.
Рассмотрим интеграл
и найдем его асимптотическое выражение для больших значе-
значений г.
Вводя функции Ганкеля, придадим этому интегралу такой вид:
1 Г
=4- \
§ 27. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 523
Считая число г большим, чем Z, мы можем в первом члене интег-
интегрирование повести вдоль положительной части мнимой оси, а
во втором члене — вдоль отрицательной части той же оси. При
этом преобразовании путей интегрирования надо принять во вни-
внимание вычет полюса к0 во втором интеграле. Проводя необходи-
необходимые вычисления, получаем
2 r° Wcosl%(z — u)]+s2sin[x(z — h)}
S = ~л~\ ~
о
G>2(Z—ft)
B1)
При стремлении г к бесконечности интегральное слагаемое стре-
стремится к нулю, как г", второе же слагаемое стремится к нулю,
как г'2. Имея в виду исследовать движение жидкости в удален-
удаленных областях, сохраним в выражении функции S лишь последнее
слагаемое. При таком ограничении будем иметь вместо формулы
B0) такую формулу:
Рассмотрим по отдельности члены бесконечной суммы. Возьмем
множитель
для больших значений г этот множитель может быть представлен
так:
Чтобы выяснить, какую волну представляет взятый множитель,
введем вместо угла #, отсчитываемого от подвижной оси Ох, угол
X, отсчитываемый от неподвижной оси абсцисс; имеем # = % —
— cot.
После введения угла % показатель экспоненты в выражении
B3) запишется так:
Этот множитель изображает волну, гребень которой имеет вид
524 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
спирали Архимеда, вращающейся при увеличении времени в по-
положительном направлении вокруг начала координат; при этом
каждая точка пересечения гребня со всякой прямой, выходящей
из начала координат, приближается к началу координат. Следо-
Следовательно, слагаемое B3) общего выражения B2) потенциала ско-
скоростей изображает волну, приходящую из бесконечности. В про-
противоположность этому слагаемое формулы B2), имеющее множи-
множитель
E ) B4)
представляет волну, излучаемую в бесконечность. Действитель-
Действительно, для больших значений г этот множитель может быть записан
так после введения угла %:
Этот множитель изображает волну, гребень которой имеет снова
вид архимедовой спирали, но с увеличением времени эта спираль
вращается по стрелке часов; каждая прямая, выходящая из нача-
начала координат, пересекается со спиралью в точках, уходящих в
бесконечность при увеличении времени. Следовательно, то слагае-
слагаемое бесконечной суммы B2), которое содержит множителем вели-
величину B4), изображает волну, уходящую в бесконечность.
Что же касается первого слагаемого правой части формулы
B2), то оно определяет некоторое нераспространяющееся, симмет-
симметричное относительно начала координат движение жидкости. Дей-
Действительно ([4], стр. 426),
COS \
При г, стремящемся к бесконечности, рассматриваемое слагаемое
стремится к нулю, как г"*/2, т. е. быстрее, чем отдельные слагае-
слагаемые бесконечной суммы формулы B2).
Чтобы удовлетворить условию излучения волн в бесконечность,
необходимо, в согласии с предыдущим, устранить в общем члене
ряда B2) то слагаемое, которое содержит еш. Прямое вычеркива-
вычеркивание в ряде формулы B2) слагаемого
было бы равноценно добавлению потенциала скоростей свободных
волн, имеющих в точке г = 0 особенность. Поэтому к общему вы-
§ 27. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА И ДИПОЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 525
ражению B2) потенциала скоростей добавим ряд потенциалов ско-
скоростей, отвечающих правильным около начала координат волнам
и представимых таким выражением:
o>*(z—h)
После этого формула B2) примет следующий вид:
-Я*»^-*»)^]. B5)
Применяя асимптотические формулы для функций Ганкеля, лег-
легко установить, что каждое слагаемое бесконечной суммы изобра-
изображает волну, излучаемую в бесконечность *).
Составим теперь выражение полного потенциала скоростей.
Получим для г^>1
оо оо
+ —V cos sfl [ Щ- cos [x (z -/г)] + s2 sin [x (z — h)]I,{7d) X
s=l 0
ex o>2(z—h) 2
X К.(иг)хАе}+ i^^^~^5/s (iJL^) X
x [д<1) (it ^ еш _ д(« ^- s2) e-W] . B6)
Отделим в этом выражении потенциала скоростей действительную
часть от мнимой и возьмем лишь действительную часть. Эта дейст-
действительная часть дает потенциал скоростей движения, возникшего
от источника; мнимая же часть дает потенциал свободных волн.
Удерживая в выражении действительной части лишь наибо-
наиболее значительные слагаемые при г = оо,^ находим выражение
¦) Следует отметить, что формула B5) дает значения потенциала скоростей
Ф для г > I и, следовательно, особая точка г = 0 функций Ганкеля находится
вне области приложимости этой формулы. Неравенство г < I было принято
выше при преобразовании интеграла S.
526 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
потенциала скоростей в удаленных областях жидкости:
s=l
х
**L SA Sin sb + Ys (— s2) cos sd] . B7)
о / \ о / J
Формулы B6) и B7) позволяют весьма просто найти потенциал
скоростей, возникающих при движении диполя по круговому
пути. Предположим, что ось диполя направлена по скорости цент-
центра диполя, т. е. параллельна оси Оу подвижной системы коорди-
координат.
Принимая во внимание, что диполь образовывается слиянием
бесконечно близких источника и стока, получаем возможность
найти потенциал скоростей, возникших от движения диполя, диф-
дифференцированием выражений B5) и B6) по переменному €*. Таким
приемом находим полное выражение потенциала скоростей и его
выражение в удаленных частях жидкости:
l Lj S \ g / L s \ 8 J
— Ys (— s2) sin sOl . B8)
\ о / J
В этой формуле \i есть момент диполя.
§ 28. Движение тела по круговому пути
Найденные в предыдущем параграфе потенциалы скоростей
источника и диполя позволяют составить потенциалы скоростей,
возникающих в жидкости при движении произвольного тела по
круговой траектории.
Предположим, что движение жидкости может быть представ-
представлено как результат совместного действия источников, распреде-
распределенных на поверхности 21 тела в виде простого слоя. Назовем че-
через q (х0, г/о, z0) поверхностную плотность этого слоя.
Свяжем воедино с перемещающимся телом некоторую систему
декартовых координат, вращающихся вокруг вертикальной пря-
прямой с угловой скоростью со. Рассмотрим источник, находящийся
в точке (#0, г/0, z0) поверхности 2. Потенциал скоростей, образуе-
образуемых этим источником, определяется формулой B6) § 27, в которой
величины х, г/, Ф надо заменить соответственно на величины
§ 29. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 527
Где<0> = arctg —. Что же касается h и Z, то вместо них надо подста-
подставить соответственно
— 7 V<T* 4- 7/2
После таких преобразований будет составлен потенциал ско-
скоростей источника, находящегося в точке (х0, j/0, z0) поверхности
тела. Интегрируя выражение этого потенциала по всей поверх-
поверхности 2, находим потенциал скоростей, возникающих от движе-
движения твердого тела.
Выпишем выражения этого потенциала для точек, находящих-
находящихся далеко от тела. Применяя формулу B6) § 27, найдем, после
указанных замен,
S 8=1
X {/, (^ V&Tlfi) sin [s @ - Go)! +
os [s @ - 00)]} q (a*, i/o, z0) d5. A)
Определение плотности q (x0, yQ, z0) доставляет большие
затруднения. Чтобы найти функцию q (х0, i/0, z0), надо решать
интегральное уравнение, получающееся из условия обтекания
поверхности тела волновым потоком. Ввиду сложности этого урав-
уравнения ограничиваются обычно приближенным выражением функ-
функции q (х0, г/0, z0), считая, что при достаточно глубоком погруже-
погружении движущегося тела истинная плотность простого слоя источ-
источников мало отличается от той плотности, при которой достигается
обтекание тела потоком, неограниченно простирающимся по всем
направлениям.
Надо заметить, что простой слой источников, дающих обте-
обтекание тела, может в ряде случаев находиться не на поверхности
обтекаемого тела, а на некоторой другой поверхности, располо-
расположенной внутри тела. С таким обстоятельством мы встретились,
например, при рассмотрении в § 19 движения эллипсоида.
§ 29. Определение главного момента
волнового сопротивления
Для составления уравнения движения тела по круговой траек-
траектории необходимо знать главный момент сил давления жидко-
жидкости на поверхность тела. Среди трех компонент этого момента осо-
особенно важно знать вертикальную его составляющую. Эту состав-
составляющую можно найти с помощью уравнений движения жидкости
в системе осей координат, связанных с перемещающимся телом.
528 tti. lit. пространственная &АДА*а б мАлЫх
Назовем буквами и, v, w компоненты абсолютной скорости, взя-
взятые по осйм подвижной системы координат. Для определения аб-
абсолютного движения жидкости будем иметь следующую систему
уравнений:
, х ди . . ч ди , ди 1 dp
(и + щ)ж + (v- ш)^ + w^ - w = - — w ,
i v ' dy x dz ' & p dz
ди . dv . dw A
дх { ду х dz
Уравнения этой системы можно преобразовать обычным путем,
вводя функцию
к такому виду:
ди ди \ _ Ш_
дх '
дН
Y дх ду J dz
Умножим эти уравнения соответственно на и, v, w и результаты
сложим, получим
, dHv , dHw
Проинтегрируем обе части этого уравнения по некоторому объе-
объему Г, ограниченному поверхностью тела S, открытой поверхностью
жидкости Р и поверхностью 2 круглого вертикального цилиндра
большого радиуса R с осью, совпадающей с осью Oz системы коор-
координат. Будем иметь
Преобразуем правую и левую части этого равенства по отдель-
отдельности. Имеем, применяя формулу Остроградского,
s
V2 (уа'— ягР) dS + Ц F2 (г/а — яр) dS, C)
I 20. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕЙИЯ 529
где а, р, у — направляющие косинусы нормали к соответствую-
соответствующей поверхности, взятые в направлении от жидкости. Интегри-
Интегрирование по поверхности Р может быть заменено интегрированием
по среднему уровню жидкости, в точках же этого уровня а = р =
== 0, следовательно,
2 (уа ___ д.р) dS = 0.
Интеграл по поверхности цилиндра 2 также равен нулю, так как
в точках его поверхности
R ' р ~ R '
Следовательно,
Г S
Рассмотрим затем правую часть равенства B). Имеем
Р 2J
В точках поверхности S соблюдается условие обтекания этой по-
поверхности:
иа + ^Р + ivy = со (х$ — г/а),
следовательно,
55 Я (иа + ^Р + ivy) dS = со 55 Я (жр — г/а) d5.
В точках среднего уровня ао= р = 0, у = 1, поэтому
Ця(иа + ,р + ^)^=й.
В точках поверхности цилиндра 2 имеем
следовательно,
=-i-^ Я (от + г/у) d5.
530 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
Таким образом, формула E) перепишется так:
5
S
+ -±f^H(zu + yv)dS. F)
Составим теперь на основе формул D) и F) равенство B); найдем
Подставляя в левую часть этого равенства вместо Н его значение,
получаем
= -j-N. (8)
Введенная здесь величина N есть вертикальная компонента глав-
главного момента сил давления, приложенных к поверхности тела. ,
Из системы уравнений A) находим для Н следующее выраже-
выражение через потенциал Ф (х, у, z) абсолютных скоростей частиц
жидкости:
„ / дФ ЭФ
Н = со [у -з х -s—
у дх ду
Введем вместо прямоугольных координат х, у полярные коорди-
координаты г, д и будем рассматривать потенциал скоростей как функ-
функцию цилиндрических координат г, Ф, z. В этих координатах будем
иметь
Отсюда следует, что интегралы правой части формулы G) могут
быть переписаны так:
yv)dS = aR\\*».™.dS.
На основании этих формул и формулы (8) равенство G) может быть
переписано так:
Первый интеграл правой части равен нулю. В самом деле, на ос-
§ 29. ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 531
новании граничного условия G) § 27 имеем
дФ дФ jo2 д
отсюда вытекает, что
0 0
так как производная 5Ф/5О — функция однозначная.
Теперь формула (9) примет свой окончательный вид:
Г
О
Применим эту формулу к обтеканию поверхности S, предполагая
известным распределение источников на этой поверхности.
Так как в формуле A0) радиус г должен быть взят бесконеч-
бесконечно большим, то вместо полного выражения потенциала скоростей
Ф достаточно взять его выражение A) § 28, содержащее лишь чле-
члены порядка г-1/з.
Формула A) § 28 приводит к следующим разложениям:
s=l
ОО ^2
дФ (О4 V1 *—Ts*r\i v f г' / 0JГ «\ . г /а а
s=i
где для краткости записи положено
С помощью этих разложений находим величину интеграла;
§=х
532 ГЛ. III. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О МАЛЫХ ВОЛНАХ
При вычислении этого интеграла была использована формула
Js (a*. A y: (s*lA - /; (ША ys [**.А = -4т- •
\ ё ) *\ g I \ ё I ' \ ё I Л0J52Г
Подставим значение интеграла A1) в общую формулу A0); выпол-
выполняя интегрирование по переменному z, получаем окончательный
результат:
AT РФ2
N = -—
S=l
§ 30. Волновое сопротивление сферы и эллипсоида
Формула A0) § 29 позволяет найти составляющую Y главного
вектора давления, приложенного к поверхности сферы.
Заменяя сферу радиуса а диполем момента [х = 2ясо/а3, мы
можем при вычислении составляющей N главного момента сил
давления, определяемого формулой A0) § 29, использовать фор-
формулу B8) § 27. Внутренний интеграл этой формулы имеет следую-
следующее значение:
0 s=l
Отсюда находим
—оо О
s=l
и, следовательно, составляющая N главного момента сил давления
будет
20J/1
С помощью этой формулы можно определить составляющую Y
главного вектора, используя формулу, пригодную для сферы:
Получаем, вводя в формулу радиус сферы,
*^ A)
§ 30. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СФЕРЫ И ЭЛЛИПСОИДА
533
Наряду с этой формулой можно установить другую, которая будет
давать проекцию главного вектора сил давления на ось Ох, т. е.
радиальную компоненту. Не приводя вывода этой формулы, ука-
укажем ее:
+ 4яра«<й» ^ ^ ®e~^ «•/. (kl) J's (kl) dk.
s=i о к —• ~~ s2
Пользуясь формулой A), Хэвелок рассчитал величину Y, которая
является волновым сопро-
сопротивлением сферы, для не-
нескольких значений парамет-
параметров задачи [126]. На рис. 62
представлены результаты
проведенных вычислений.
Кривая В представляет
волновое сопротивление при
равенстве радиуса циркуля-
циркуляции I глубине h погруже-
погружения центра сферы. Кривая С
представляет волновое соп-
сопротивление при I = Ah. Кри-
Кривая же А изображает волновое сопротивление сферы при ее пря-
прямолинейном движении со скоростью с (= ©Z) на глубине h.
Построенные кривые показывают, что при достаточно большом
радиусе циркуляции I волновое сопротивление мало отличается
от волнового сопротивления прямолинейного движения. Вместе
с тем следует отметить интересное обстоятельство волнообразного
изменения волнового сопротивления при равенстве глубины по-
погружения сферы радиусу циркуляции. Рассматриваемая задача
о движении сферы получила дальнейшее развитие в работах
Е. А. Курлович и Э. А. Пержнянко [22], [34]. В первой из этих
работ рассматривается установившееся движение сферы под поверх-
поверхностью жидкости конечной глубины, во второй — изучается вопрос
о волновом сопротивлении тела при его движении по круговой тра-
траектории в цилиндрическом бассейне и в круговом канале. Иссле-
Исследование движения тонкого тела типа Мичелля было предпринято
индийским математиком Бхаттачария [79]. Отметим затем иссле-
исследование 3. М. Шкуркиной о неустановившемся движении сферы
по круговой орбите; общие формулы для волнового сопротивле-
сопротивления прилагаются к разбору ряда частных случаев движения [75],
Глава IV
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПОТОКА ЖИДКОСТИ
§ 1. Неустановившиеся движения жидкости
в бассейнах
Основная задача теории неустановившихся движений тяжелой
жидкости состоит в определении вида свободной поверхности жид-
жидкости, приведенной в движение какими-либо внешними причина-
причинами. Большей частью изучается волновое движение жидкости,
вызванное теми импульсивными давлениями, которые приложены
в начальный момент времени к открытой поверхности. Одновре-
Одновременно рассматриваются и движения, возникшие в начальный мо-
момент времени благодаря нарушению вида горизонтальной равно-
равновесной поверхности жидкости.
Определение волнового движения жидкости, порожденного на-
начальным импульсивным давлением в соединении с начальным из-
изменением горизонтальной поверхности жидкости, составляет со-
содержание основной задачи теории волн — задачи Коши — Пуас-
Пуассона. Наряду с задачей Коши — Пуассона большое значение в этой
теории имеет исследование тех волновых движений, которые об-
образуются при неустановившемся движении твердых тел, погру-
погруженных в жидкость или перемещающихся по ее поверхности.
Приступая к изучению различных задач теории неустановив-
неустановившихся волновых движений, отметим, что во всем дальнейшем бу-
будут рассмотрены лишь потенциальные движения с допущениями
теории малых волн. Безвихревой характер движений будет обус-
обусловлен видом начальных условий рассматриваемых задач. В §§ 1,
2 гл. I было установлено, что потенциал скоростей неустановивше-
неустановившегося волнового движения удовлетворяет на среднем уровне жид-
жидкости, на плоскости z — О, такому граничному условию для лю-
любого момента времени:
dz )z=
~ [ '
Если жидкость находится в сосуде, ограниченном поверхностью
2, то во все время движения должно соблюдаться условие обте-
Кания поверхности 2:
да - »¦ <2>
§ 1. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНАХ 535
Отклонение ? (х, у; t) точки свободной поверхности от среднего
уровня определяется формулой
Допустим, что в начальный момент времени, t = О, известна
форма поверхности жидкости и начальное импульсивное давле-
давление, приложенное к точкам свободной поверхности. Иными сло-
словами, предположим, что в начальный момент времени дано ? и
импульсивное давление рф как функции координат х, у точек сво-
свободной поверхности:
J_ ЭФ(»,у,О;0) =/(а.у); w(x,y,0;0) = F(x,y). D)
Определение потенциала скоростей, удовлетворяющего граничным
и начальным условиям A), B), D), может быть приведено к реше-
решению некоторого интегрального уравнения.
Найдем сначала собственные колебания жидкости с потенциа-.
лом скоростей
Ф (х, у, z; t) = ф (х, у, z) cos (a* + е).
Гармоническая функция ф (х, у, z) должна удовлетворять усло-
условиям:
—?. = 0 на стенках сосуда 2,
дф о* - п E)
-тг ф = 0 на среднем уровне со.
Обозначим через G (М, Р) функцию Грина задачи Неймана для
области D, ограниченной стенками 2 сосуда и средним уровнем со
свободной поверхности *).
*) Функция Грина задачи Неймана есть интеграл уравнения Лапласа,
правильный во всех точках области D, за исключением одной точки Р с коор-
координатами а, Ь, с. Вблизи этой точки функция Грина имеет следующий вид:
V(x- af + (y -Ъ)* + {z -c
+ #,
где Я — гармоническая функция переменных х, у, z и переменных а, &, с
во всей области D.
В точках поверхности 2 + со производная функции Грина, взятая по
внутренней нормали, имеет постоянное значение, равное An/А, где А — пло-
площадь поверхности 2 + со. Интеграл
— \\ Gde
есть постоянное число, не зависящее от координат а, &, с параметрической точ-
точки Р. Соблюдение этого последнего условия обеспечивает симметрию функции
Грина относительно двух из трех переменных ж, j/, z и в, &, с.
536 Ш. IV. йёуСФайовйвптиёсй вблйбвыЁ двиШййй
С помощью этой функции искомый потенциал скоростей запи-
запишем так:
или, пользуясь условиями E),
^§ F)
Эта формула дает значение потенциала Ф во всякой точке
Р (а, Ь, с) области D. Устремим теперь эту точку к какой-нибудь
точке Ро (а, 6, 0) среднего уровня жидкости. При стремлении точ-
точки Р к точке Ро границы со можно заменить интеграл правой части
формулы F) его прямым значением, взятым для точки Ро, так как
та особенность, которой обладает функция G, совпадает с особен-
особенностью потенциала простого слоя, предельное же значение потен-
потенциала простого слоя равно его прямому значению в точке границы.
Таким образом, формула F) дает после перехода от точки Р
к точке Ро такое уравнение:
Ф (а, Ь, 0) = -^ g G (х, у, 0; а, Ь, 0) ф (х, у) dx dy. G)
Функция G (х, у, 0; а, 6, 0) симметрична относительно двух пар
переменных: (х, у) и (а, 6); следовательно, для определения зна-
значений потенциала Ф в точках среднего уровня получается одно-
однородное интегральное уравнение Фредгольма с симметричным яд-
ядром. Это уравнение имеет бесконечное число действительных фун-
фундаментальных чисел *)
ffi, сг2,б3?. . . (8)
и отвечающих им фундаментальных функций
Фх К Ь), Ф2 К 6), ф3 (а, 6),. . . (9)
*) Фундаментальные числа уравнения G) положительны. Действитель-
Действительно, рассмотрим кинетическую энергию Т жидкости:
применяя граничные условия E), придаем этой формуле другой вид:
Отсюда следует, что с2 > 0 и, следовательно, все фундаментальные числа (8)
действительны.
§ 1. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В БАССЕЙНАХ 537
Эти числа и функции определяют свободные колебания жидкости
в рассматриваемом сосуде. Формула G) дает возможность найти
соответствующий потенциал скоростей во всем сосуде.
Составим из фундаментальных функций ряд с неопределенны-
неопределенными коэффициентами Сп и фазами е^:
с»
2 СпФ„г(х, у) cosjent\+ en), A0)
71=1
и определим эти величины так, чтобы построенный ряд изображал
функцию, удовлетворяющую начальным условиям D). Предполо-
Предположим, что функции / (#, у) и F (х, у) могут быть представлены абсо-
абсолютно и равномерно сходящимися рядами по ортогональной систе-
системе фундаментальных функций; положим
71=1
оо
F («. У) = 2 F$n (x, У).
71=1
Легко видеть, что ряд A0) будет изображать функцию
Ф (х, у, 0; t), удовлетворяющую условиям D), если коэффици-
коэффициенты Сп и фазы гп находить по формулам
рСп cos гп = Fn, Cnan sin гп --= — fn.
При этом условии функция ф (х, у, 0; t) запишется так:
оо оо
Ф (х, г/, 0; t) = -у Yj FnVn (ж, у) cos ant + g ^ ^ fn (x, у) sin ant.
71=1 П=1 П
Отсюда получаем уравнение поверхности жидкости для любого
момента времени:
ер ее
^= Xj ^п ^'у}cos °nt"" "йГ 1j CTn/?"^a;' ^^sin ffnlt' ^41)
71=1 71=1
и выражение потенциала скоростей во всей жидкости, заполняю-
заполняющей сосуд:
оо
Ф(х, у, г; t) = ~ Ц G {-1-^o»Fnf„(а, Ь)cosап( +
ап^п (а? ь)sin ап
n=i
538 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 2. Интегро-дифференциальное уравнение Адамара
Задача о колебании жидкости в сосуде конечного размера мо-
может быть приведена, как показал Адамар, к решению некоторого
интегро-дифференциального уравнения [106], [107].
Допустим, что некоторая масса жидкости, содержащаяся в со-
сосуде, совершает под влиянием силы тяжести малые колебания око-
около своего положения равновесия.
Рассмотрим гармоническую функцию
_1_ дф (а?, у, z\ t)
Х~ 8 dt '
построенную исходя из потенциала скоростей ф (х, у, z\ t). Эта
функция удовлетворяет следующим граничным условиям:
X = ? (я, У\ t) при z = 0,
A)
dY
-~ = 0 на стенках сосуда.
CiTl
Эти условия приведут нас к уравнению для функции ?. Для опре-
определения функции х по условиям A) введем в рассмотрение функ-
функцию Грина G(M, P), определяемую следующими условиями:
1) функция G (М, Р) двух точек М (х, у, z) и Р (а, 6, с) удовлет-
удовлетворяет по координатам каждой из этих точек уравнению Лапласа;
2) вблизи точки Р функция G(M, P), рассматриваемая в за-
зависимости от переменных х, у, z, имеет следующий вид:
G(M, Р) = 1 + Я(М, Р),
Y(xa)* + (yb)* + izcp ^
где Н — гармоническая функция переменных (х, у, z) и перемен-
переменных (а, 6, с);
3) на поверхности 2 удовлетворяется граничное требование
4) на плоскости z = 0
G (М, Р) = 0.
Эти два последних условия относятся к точке М.
Функция Грина, удовлетворяющая этим условиям, может быть
определена через функцию Грина, решающую задачу Неймана.
В самом деле, построим поверхность 2', симметричную поверх-
поверхности 2 относительно плоскости z = 0. Поверхности 2 и 2'
ограничат некоторый объем V. Обозначим через у (М, Р) функцию
Грина, разрешающую задачу Неймана для объема F, и составим
разность
у(М\ Р) -у (Л/, Р'), B)
§ 2. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ АДАМАРА 539
где Р' — точка, симметричная точке Р относительно плоскости
z = 0.
Легко видеть, что все условия, которым подчиняется функция
G(M, jP), удовлетворяются функцией B), и, следовательно, это
есть функция Грина G (М, Р).
Функция % (я, Ъ, с; t) может быть представлена следующей
формулой:
/ ь *\ i ГС*/ a dG(ALP) 7 ,
% (а, &, С; *) = - _ ^?(я, у; f) L—1 dx dy.
Заметим теперь, что для точек области оз
dG (М, Р) ^ 2 / ду (М, Р)
dn \ dz
Отсюда предыдущая формула запишется так:
% (а, Ъ, с; t) = - 4г \\ U [Q)^ dx dy.
Продифференцируем эту формулу по переменному с, получим
дс 2я ])ъм \dcdz ;z=o U V ;
Вблизи точки Р функция у (М, Р) имеет следующий вид:
у(М, Р) = -L + Я(М, Р), г2 = (ж - аJ + (г/ - bf + (z- cf,
и Н (М, Р) есть функция правильная около точки Р. Заметим те-
теперь, что
ду _ _э__i_ _ая_ _ __ a _i_ эя
5^ 9z r 9z дс г ' 5z '
/ д*у \ ^!__L
\ дс dz )z=o "" дс* г
~ да* г + 962 г ~T~\dzdc)z=o'
В силу этого формула C) перепишется так:
Перейдем теперь в этой формуле к пределу, устремляя точку
Р (а, Ь, с) к точке Ро (а, Ь, 0) области со. Получим
540 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Но в силу определения функции % и условия A) § 1 имеем
дс )с=о g \dtdc )с=о g dt* '
Отсюда уравнение C) запишется так:
Li!L_/ д2 4)[[t(x у я дхду
Это есть уравнение Адамара для определения формы свободной
поверхности жидкости, обладающей неустановившимся движением.
Если жидкость занимает все бесконечное полупространство
ниже плоскости z — 0, то уравнение E) значительно упрощается
и приводится к уравнению в частных производных четвертого по-
порядка. В рассматриваемом частном случае можно принять, что
функция у равна [(х — аJ + (у — bJ + (z — сJ]-1'2. Отсюда
уравнение E) приобретает более простой вид:
Л!к=-?- (JL Л- JL
дР 2л \ да* "*" дЪ*
Для дальнейшего преобразования этого уравнения рассмотрим
вспомогательную гармоническую функцию
ib (а Ь с- п - i д ([ l{x,y;t)dxdy
ip<a, 0, c,t) - __^_7====
изображающую производную по вертикальной координате с по-
потенциала простого слоя плотности ?/Bя), распределенного на
плоскости z = 0. Функция я|) (а, 6, с; t) стремится к ? (а, Ь; ?),
когда переменное с стремится к нулю по отрицательным значени-
значениям; это вытекает из свойств нормальной производной потенциала
простого слоя.
Заметив это, рассмотрим следующую гармоническую функцию
переменных a, fc, с:
ее», «о _¦?+,?.
При стремлении переменного с к 0 функция в стремится к нулю.
Действительно,
о 2я с->-о дс
§ 2. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ АДАМАРА 541
ИЛИ
Правая часть этого равенства равна нулю в силу уравнения F).
Следовательно,
lim в (а, 6, с; t) = 0.
с-»-0
Далее, частные производные
стремятся к нулю, когда переменное с стремится к — оо; следо-
следовательно,
lim в (а, 6, с; t) = 0.
С—>-оо
Таким образом, гармоническая функция в равна нулю в беско-
бесконечности и стремится к нулю при подходе к плоскости с = 0; от-
отсюда вытекает, что эта функция равна нулю тождественно. Итак
дс v.
Продифференцируем это уравнение по переменному с, получим
для всех значений переменных а, &, с, t
или
• ¦ О ——— —— [J ^
Это уравнение можно переписать затем так:
Перейдем в этом уравнении к пределу, полагая с = — 0. Так как
функция ij) стремится при этом предельном переходе к ? (а, 6; ?),
то получим
Это есть уравнение Коши для определения формы поверхности бес-
бесконечно глубокой жидкости, неограниченно простирающейся в бес-
бесконечность по горизонтальным направлениям.
Теперь возникает вопрос, нельзя ли уравнение E) привести
к уравнению в частных производных и для бассейнов конечных
542 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
размеров. В результате исследования этого вопроса Адамар по-
показал, что уравнение E) может быть преобразовано к виду, обоб-
обобщающему уравнение Коши на разбираемый случай; это уравнение
записывается так:
MK(M,P)dxdy. (8)
dt* ~ 6 \ да2 ' дЪ'
Функция К (А/, Р) двух точек М и Р составляется вполне опре-
определенным образом через функцию Н.
Относительно этого уравнения следует отметить, что оно не
освобождается, для сосуда произвольной формы, от интегрального
слагаемого. Рассматривая во всех подробностях задачу о колеба-
колебаниях жидкости в полусферической чаше, Булиган показал, что
функция К (М, Р) существенно отлична от нуля. Но им же было
указано, что если поверхность сосуда представляет собой цилиндр
с вертикальными образующими, то функция К (М, Р) = 0 и урав-
уравнение (8) обращается в уравнение Коши G). В работах Булигана
указывается на ту особую роль, которую играет при изучении
уравнения Адамара линия пересечения среднего уравнения жид-
жидкости со стенками сосуда [82] — [84]. Исследование функции ?
около этой линии приводит в связь задачу о колебаниях жидкости
в сосудах с задачей о волнах у отлогого берега (см. гл. I, § 53).
§ 3. Задача Коши — Пуассона
Решение задачи Коши — Пуассона для жидкости, заполняю-
заполняющей некоторый сосуд, может быть представлено в виде бесконечного
ряда, составленного в конце § 1. Для ряда сосудов частного вида
фундаментальные функции, по которым располагается такой ряд,
могут быть выражены через элементарные функции. Таким обра-
образом, построение решения задачи Коши — Пуассона в виде беско-
бесконечного ряда не вызывает каких-либо затруднений. Но анализ
полученного решения, который представлял бы с достаточной про-
простотой и ясностью процесс распространения волн по поверхности
бассейна конечного протяжения, исключительно сложен и даже
для простейших бассейнов еще не выполнен. Образцом желаемого
исследования может служить приводимое в этом параграфе реше-
решение задачи о распространении кольцевых волн по поверхности бес-
бесконечно глубокой жидкости, заполняющей все нижнее полупро-
полупространство.
Допустим, что в начальный момент времени дано импульсивное
давление, приложенное к поверхности жидкости, и форма поверх-
поверхности жидкости; будем предполагать, что эти данные обладают сим-
симметрией по отношению к некоторой точке, взятой в качестве начала
координат на свободной, невозмущенной поверхности жидкости.
§ 3. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 543
Пусть будет
г = V& + У2-
Возьмем простейшее решение уравнения Лапласа, симметричное
относительно оси Oz и удовлетворяющее волновому условию A) § 1:
Ф = ekz (A cos at + В sin at) Jo {kr), a2 = gk. B)
Коэффициенты А, В произвольны; выбирая их в виде некоторых
функций параметра к, мы сможем удовлетворить начальным усло-
условиям задачи A).
Проинтегрируем функцию B) по параметру к в пределах от нуля
до бесконечности; в результате получим снова потенциал скоростей
волнового движения:
Ф (г, z; t) = ^ ekz (л cos at + B sin at) Jo (kr)dk- ^3)
0
Определим функции А (к) и В (к) так, чтобы удовлетворялись
начальные условия задачи. Для определения этих функций полу-
получим следующие два уравнения:
{к) /0 (кг) dk, f(r) = \—B (к) /0 (кг) dk.
о ' g
Неизвестные функции А (к) и В (к) могут быть получены из этих
уравнений на основе формул обращения теории функций Бесселя
L (г) = 5 kJ0 (кг) М (к) dk, М (к) = J a/0 (ka) L (a) da.
о о
Применяя эти формулы, получаем
оо оо
А (к) = -у ^ a/o (fca) F (a) da, Я (ft) = a J a/0 (fta) / (a) da.
о о
Подставляя эти выражения функций А (к) и В (к) в формулу C),
получаем решение задачи Коши — Пуассона при симметрич-
симметричных начальных данных:
с» оо
Ф (г, z; t) = — [ kekz cos at Jo (kr) dk [ a/0 (ka) F (a) da +
о
aekz sin at Jo (kr) dk ^ a/0 (fta) / (a) da. D)
о о
544 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Выполним анализ полученного решения для двух частных слу-
случаев. Предположим сначала, что волны образовались под влияни-
влиянием лишь начального возвышения поверхности жидкости: F (г) =
— 0. Затем рассмотрим волновые движения, образовавшиеся лишь
от начального импульсивного давления, в этом случае / (г) = 0.
Рассмотрим первый случай. Допустим, что начальное возвы-
возвышение поверхности жидкости сконцентрировано около начала ко-
координат, занимая кружок весьма малого радиуса 8, причем вер-
вертикальные координаты точек поверхности жидкости внутри этого
кружка столь велики, что интеграл
2я ^ а/0 (ка) / (а) da
имеет конечное значение, отличное от нуля, равное объему V на-
начального возвышения.
При этих предположениях потенциал скоростей запишется
так:
оо
Ф (г, z\ t) = -Tjjj- \ oe*z sin at /0 (kr) dk, E)
Во втором случае будем предполагать, что импульсивное дав-
давление сосредоточено на поверхности маленького кружка радиуса
е с центром в начале координат и имеет столь большое значение,
что интеграл
е
2я ^ а/о {Щ F (а) da
отличен от нуля и равен полному импульсу 5, сосредоточенному
в области начала координат. Потенциал скоростей возникшего
движения жидкости будет
00
ср (г, *; *) « -jL J fo*« cos ot /о (кг) dk. F)
Если начальные данные задачи Коши — Пуассона не обладают
центральной симметрией, а представляются функциями, завися-
зависящими от двух горизонтальных координат, то соответствующее ре-
решение задачи может быть получено интегрированием функций E)
и F) по области определения начальных данных. Величины V и S
легко связываются при этом с начальными данными.
Перейдем теперь к изучению потенциалов скоростей E) и F),
§ 3. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 545
Разложим sin ot в ряд Маклорена и представим потенциал E)
в виде следующего ряда:
О
Имеем, применяя известную формулу из теории функций Бес-
Бесселя,
\°2
Обозначим через Рп (\х) многочлен Лежандра порядка п. В теории
функций Лежандра доказывается следующая формула:
дп
Таким образом,
о
Отсюда формула G) перепишется так:
n=l
где со = gt2 /г. Найдем отсюда значение ф (г, z; t) для z = 0. При-
Принимая во внимание формулы
Р*т+1 @) = 0, Рш @) = (- 1)« "У^.б'.^т^ '
получаем
Dщ-1)| 2-4-6... 2m
т=1
Дифференцируя эту формулу по переменному t, находим уравне-
уравнение поверхности жидкости:
m1 1-3.5 ...B/tt-l) 2ro-i /qv
— 1)! 2-4-6... 2т
Для дальнейшего преобразования ряда (8) отметим равенство
Bт)! 1-3-5, .. Bт— 1) _ 1 R
Dт— 1)! 2-4-6 . . . 2т ~~ 2^т (т— I)!2 4m"lJ
18 Л. Н. Сретенский
546 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
где
_ 2-4-6... Dт-2) __ Т
- 1.3-5... Dm-l) ~
о
Т .
} 8Ш
Преобразуем, пользуясь этой формулой, выражение потенциала
скоростей (8); получим
/ л ^ 8^ Y V* / Affl1/o) \2m sin4™;* ,
О т=1
Перейдем здесь к новому переменному интегрирования ?, полагая
cos а = ^, — sin a da = d%;
получим
0 m=i
Бесконечный ряд имеет своей суммой функцию Бесселя нулевого
номера от -т-со A — ?2). Таким образом,
Ф (г^О = ^ ^ A - EVo [4"»(! -
о
Приведем эту формулу к более простому виду; полагая
получим
Ф (г, 0; t) = ОТ ^ (т» _ т*). j0 (Т2 _ f) dv>
о
Найдем отсюда уравнение поверхности жидкости:
т
? = т§- 5[/о (т2 ~ yi) ~(т2 ~у2) Jl (т2 ~y2
Преобразуем эту формулу к другому виду, заменяя переменное у
новым переменным О, вводимым.равенством
т2 — у2 = т2 cos О, dy = —j=r cos -z- dd.
Получим
7T/2
g — —JL— \ [/0 (t2 cos 0) — t2 cos #/1 (t2 cos #)] cos -^- dO,
jt]/2r2 t) «
3. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОЙА 54?
или
3 *
я/2 г2
тс/2 те/2
= \ /0 (т2 cos ft) cos -х- <ift 2~ t2 \ J1 (t2 cos ft) cos -y- dft —
о о
тс/2
"¦ 4"t2 \Ji (t2 cos *)cos т"dx% ("x 1}
0
Для дальнейшего преобразования этого выражения заимствуем
из теории функций Бесселя следующую формулу ([4], § 5.43):
я/2
2 {*
J\x (z) /v (z) = \ /u+v B2 COS ft) COS [(ji — v) ft] dft.
0
Получим
тс/2
[ JQ (t2 cos ft) cos -|- dft = -|- /j_ (-|-J /_ _i_
о "*" 4
тс/2
\ Ji (^2 cos '&)co^ о d$ ~ "ту J i
0
тс/2
j Л (т« cos г<>) cos
Составим теперь на основе этих формул выражение функции A1);
найдем
Эта изящная формула, определяющая форму поверхности жид-
жидкости во всякий момент времени, была предложена Н. Е. Кочиным,
который получил ее на основе методов теории размерностей [15].
Если сопоставить формулы E) и F), полагая в них z = 0, то
нетрудно будет найти, что уравнение поверхности жидкости, при-
приведенной в движение начальным концентрированным импульсив-
импульсивным давлением, будет
1С*
548 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Дифференцируя формулу A2), находим
Формулы E) и F) не дают возможности написать выражения
функций ? и ?' непосредственным дифференцированием этих
формул по времени и принятием затем z = О, так как получа-
получающиеся при этом интегралы расходятся. Но можно преобразовать
эти формулы к новому виду, так что это неудобство будет ис-
ключейо.
Возьмем потенциал скоростей E) и перепишем его, заменяя
функцию Бесселя полусуммой функций Ганкеля:
Получим
у ОО
Ф (г, z\ t) = -L- [ aehz sin ot Я(о1} (кг) dk +
о
ОО
+ -Z_. [ oeHz sin ot H[2) (kr) dk. A5)
о
Имея в виду асимптотические формулы
мы можем интегрирование в первом интеграле заменить интегри-
интегрированием по положительной части мнимой оси, а во втором инте-
интеграле — интегрированием по отрицательной части мнимой оси.
Полагая в первом интеграле
к = ?х, а = YgK e* ,
а во втором интеграле
k = __ fx, а = \г
§ 3. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 549
приводим формулу A5) к такому виду:
ф (г, z; t) = -у— в 4 \ У~gK eiyiZ sin (|/"gx e 4 ^) Я^ (Jxr) dx +
о
о ОО л
|T __ О • л ^_ -I- •
-1—t—e 4 \ ]/"gxe~ixz sin (\fgKe 4 t) Hq (—iw) dx.
0
Для дальнейшего преобразования отметим формулы ([4], §§3.62,
3.7)
Я(о1} (ixr) - 4" «о (w)f Я@2) (- her) = - Я^1} (ixr);
4
здесь Ко (хг) — функция Макдональда. Применяя эти форму-
формулы, получаем
Ф (г, 2; t) = -^ ^Т m ^ /гх ^ixz sin (t VgK eT m) Ko (xr) dx +
0
1 . °° 1
+ ше~тт\ ^"^ е'ыг sin (* ^^ e~ т "г^Ko
0
Выполняя небольшие преобразования, находим
- cos (* ]/ ^i) sh (* ]/^) sin D~ п + *z)] ^o (x, r) dx. A6)
Из этой формулы получаем
- cos ^ ]/^-) ch ^ |/"-y-) sin xz] Xo (xr) dx.
В этой формуле можно положить z '= 0, так как присутствие функ-
функции KQ (xr) обеспечивает равномерную сходимость интеграла по
параметру z. Таким образом, уравнение поверхности жидкости
запишется в произвольный момент времени так:
S — "^Г ^ х sin \ * 1/ -о-) sh (П/ —
о
550 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Несколько более сложная формула может быть получена для воз-
возвышения ?' поверхности жидкости, приведенной в колебательное
движение начальным сосредоточенным импульсом величины S:
-f sin f 11/ Ц- j ch f ^ l/ -y-j jRT0 (w) dx.
Применим формулу A7) к определению асимптотической фор-
формулы для ? при больших значениях параметра т = gt2/Br). Для
этого введем в формулу A7) новое переменное интегрирования
!• — у гх/т, получим
оо
е = -Ур- *а ^*8 Sin-T| sh т| *°(т
Для больших значений параметра т возможно заменить функцию
Ко (т|2) ее асимптотическим выражением *):
Получим
I = -S?" |/"й- \ I2 sin (tg) sh (t|) e-P dg.
0
Преобразуем этот интеграл к новому виду, вводя такие две функ-
функции:
A8)
(т) = ^ gVKi+^-w dg,
*) Возможность такой замены требует разъяснения, так как функция
К0 (т?2) берется для значений аргумента, изменяющегося от 0 до оо, следо-
следовательно, для малых ? использование асимптотической формулы незаконно.
Чтобы прийти, однако, к простым формулам A8) и B0), надо поступить сле-
следующим образом. Разобьем путь интегрирования @, оо) какой-нибудь точкой
а на две части: @, <з) и (а, со). Для больших значений i можно в точках второй
части применить эту асимптотическую формулу; что же касается точек пер-
первой части, то число <з можно принять за такую функцию параметра т, стре-
стремящуюся к нулю вместе ст, что интеграл по первой части будет бесконечно
мал по сравнению с интегралом по второй части при неограниченно увели-
увеличивающемся т.
§ 3. ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 551
Получим
^У^1га[Е1(х)-Е2(х)]. A9)
Дополняя показатели степени в подынтегральных функциях
формул A8) до полных квадратов, получим
l+i\2
~2~
1—i\2
Рассмотрим функцию Ег (т). Введем вместо !• новое переменное
интегрирования т|, полагая
Путь интегрирования Lx по переменному т) будет представ-
представлять собой горизонтальную прямую, восходящую из точки
— ги A + О И уходящую в бесконечность. В новом переменном
будем иметь
^ 5 ^dri ¦" т"г ^Ti • B0)
5
Li
Преобразуем путь Lx в новый путь, состоящий из двух прямых,
соединяющих точки
и
Выполняя надлежащие преобразования над формулой B0), бу-
будем иметь
' 4т К т
-^ "*
2тКт о
e-is*ds.
552 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Заметим теперь, что при переходе от полной формулы A7)
к формуле A9) мы, заменяя функцию Ко (т?2) ее асимптотическим
выражением, учли лишь слагаемые порядка малости, равного V2
по отношению к т. Следовательно, в двух предыдущих формулах
возможно откинуть те члены, порядок малости которых превосхо-
превосходит 1/2. Сделав это, получим
Отсюда формула B0) запишется так:
Т.. B1)
Обратимся, наконец, к функцииЕ2(х). Подвергая эту функцию
таким же преобразованиям, какие были выполнены над функцией
Ех (т), находим
Д" Х'1ЕЪ (т) = —y
Путь L2 есть горизонтальная прямая, идущая из точки A — i) 12
в положительную бесконечность. Вычислим отдельные члены пра-
правой части. Имеем
L2
— ~тг
Учитывая в написанных формулах лишь члены порядка малости
V2 по отношению к т, получаем
и
Отсюда следует, что
\ е-^2 йц = 0, -^- [ е~^2 dx\ = 0.
L2
Ег (т) = 0.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛН ЗАДАЧИ КОШИ — ПУАССОНА 553
Вернемся теперь к формуле A9) и примем в расчет найденные
асимптотические выражения функций Е1 (т) и Е2 (т). Получим сле-
следующее уравнение поверхности жидкости для больших значений
величины т:
* Vgfi gt*
t = т=— cos 4—.
Совершенно так же можно найти, исходя из формулы A3),
уравнение поверхности жидкости после воздействия на нее сосре-
сосредоточенного импульсивного давления:
8jt /2 pr4 4r
§ 4. Исследование волн задачи Коши -г- Пуассона
Выполним исследование формул для возвышения поверхности
жидкости, полученных в предыдущем параграфе, для двух частей
задачи Коши — Пуассона.
Формула A2) § 3 показывает, что узловые линии волновой
поверхности распространяются от начала координат равномерно
ускоренно. Действительно, приравнивая нулю правую часть этой
формулы, получаем уравнение, в которое входит в качестве неиз-
неизвестной одна лишь величина т2 = g?2/Dr), которая и определяет
равномерно ускоренное изменение радиуса узловой окружности:
г = gt2/(Ax2). Значений т2, обращающих ? в нуль, бесконечно
много, как это можно видеть из дальнейших асимптотических
формул. Эти значения имеют своей предельной точкой бесконеч-
бесконечность. Следовательно, вся поверхность жидкости в любой момент
времени обладает бесконечным числом узловых линий, которые
при увеличении времени неограниченно расширяются, уходя
в бесконечность. В каждый момент времени радиусы узловых ли-
линий имеют в качестве предельной точки начало координат. Чем
меньше радиус узловой линии, тем меньше ускорение, с которым
этот радиус увеличивается. В силу этого каждая часть поверхно-
поверхности жидкости, заключенная между двумя соседними узловыми ли-
линиями, неограниченно растягивается. Из той же формулы A2)
§ 3 можно найти, что и экстремальные ординаты поверхности рас-
распространяются равномерно ускоренно, причем величина самой
ординаты уменьшается обратно пропорционально четвертой сте-
степени времени. Таким образом, часть поверхности жидкости между
двумя последовательными узловыми линиями не только растяги-
растягивается при увеличении времени, но и достаточно быстро умень-
уменьшается по своим вертикальным размерам.
По подсчетам Коши, наибольшая окружность максимального
возвышения распространяется с ускорением, равным 0,3673044g.
554 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Такие же заключения можно вывести и из формулы A3) § 3
о распространении узловых окружностей и линий экстремальных
ординат при волновом движении, возникшем от концентрирован-
концентрированного импульсивного давления.
Более полное и вместе с тем простое описание формул волно-
волновой поверхности можно получить с помощью асимптотических
формул для функций Бесселя. Эти формулы дают возможность
исследовать возвышение поверхности жидкости при больших
значениях величины т.
Для больших значений т2 имеем следующую асимптотическую
формулу:
Применяя ее к уравнению A2) § 3 поверхности жидкости, получаем
Е- Vfl cos-gjl. B)
Применение асимптотической формулы A) к уравнению A3) § 3
дает такой результат:
sfl inJgL. C)
Две полученные формулы изображают ординаты поверхности
жидкости для больших значений переменного т; следовательно,
эти формулы могут служить для подсчета величин ? и ?' в данный
момент времени на небольшом расстоянии от начала координат
или же в данном месте наблюдения для больших значений времени.
Общие заключения об изменении поверхности жидкости, которые
можно получить из формул B) и C), повторяют почти в полной
мере заключения, установленные в § 3 гл. И при изучении плос-
плоской задачи.
Что же касается определения ? для малых значений величи-
величины т, то здесь может служить формула (9) § 3.
§ 5. Дифракция волн; задача Коши — Пуассона
В настоящем параграфе мы имеем в виду изложить решение
одной из основных задач теории дифракции волн. Допустим, что
в бесконечно глубокую жидкость погружена вертикально полу-
полуплоскость, ребро которой также вертикально. Предположим, что
в начальный момент времени, когда жидкость имеет во всех своих
точках нулевую скорость, возникло в некотором месте поверхности
концентрированное возвышение этой поверхности общего объ-
объема V. Если бы не было погруженной полуплоскости, то возвышаю-
возвышающаяся часть поверхности жидкости стала бы растекаться, следуя
законам обычной задачи Коши — Пуассона.
§ 5. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 555
Наша задача — исследовать распадение начального сосредо-
сосредоточенного возвышения поверхности, принимая во внимание те
изменения, которые вносит в этот процесс распадения присутствие
погруженной полуплоскости. Решение этой простейшей задачи
дифракции будет выполнено с помощью метода разветвленных
решений, предложенного Зоммерфельдом для исследования ди-
дифракции световых волн [181'].
Для построения потенциала скоростей рассматриваемого вол-
волнового движения жидкости воспользуемся выражением A6) § 3
потенциала скоростей обычной задачи Коши — Пуассона, когда
начальное возвышение поверхности жидкости, собранное в одной
точке S, не встречает при своем распадении каких-либо препят-
препятствий. Перепишем формулу A6) § 3 в таком виде:
^r)sh (* Yif)sin [%z+4~
В этой формуле г, 0, z — цилиндрические координаты места на-
наблюдения М, а й — расстояние от точки S, имеющей полярные
координаты г', а, до проекции точки М на плоскость z — 0; осью
цилиндрической системы координат является ребро погруженной
полуплоскости; угол 0 измеряется от линии пересечения горизон-
горизонтального начального уровня жидкости с полуплоскостью. Имеем
Д2 = Г2 + г/2 _ 2rr' cos (a - 0).
Принимая следующее обозначение:
придаем R2 такой вид:
д* = 2rr' [ch г] - cos (а - в)]. B)
Обратимся к преобразованию формулы A), заменяя выражение
функции Ко (kR) некоторым контурным интегралом.
Рассмотрим следующий интеграл, взятый по бесконечно мало-
малому контуру с, окружающему в плоскости комплексного перемен-
переменного C точку а:
C)
с
где
Rl = 2rr' [ch т) - cos ф - в)]. D)
556
ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Отметим, что
F =
Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках
р = а + 2пп (п = 0, ±1, ±2, . . .).
Функция i?p обращается в нуль для значений переменного E,
равных
р = 0 ± «п + 2яд.
Эти значения Р являются алгебраическими точками ветвления
функции i?^ и вместе с тем логарифмическими точками ветвления
функции Ко (х/?з).
Рассмотрим в плоскости переменного |3 полосу, ограниченную
прямыми
Щ = -я + 6, Щ = я + 0; E)
проведем в этой полосе разрез DD', соединяющий точки ветвления
Р = 0 + ?т], (S = 0 — иг]. Припишем функции
/ch л ~ cos (P - 0) F)
положительные значения на правой стороне проведенного разреза.
Тогда вдоль ломаной линии ABCDEFG (рис. 63, а), начерченной
е а
л
с в
О
е
G' А
а)
б)
Рис. 63.
в)
на плоскости комплексного переменного C, функция F) будет
иметь действительные значения: положительные на участке
ABCD и отрицательные на участке DEFG. Из этого следует, что
во всех точках области, ограниченной рассматриваемой ломаной
линией, мнимая часть функции F) положительна. Положительна
эта мнимая часть и в тех полуполосах ширины 2я, которые при-
примыкают к линиям E) вдоль прямых FG' и В А''. В остальных обла-
областях мнимая часть функции F) отрицательна.
§ 5. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 557
При взятой системе разрезов мнимая часть функции F) поло-
положительна в областях плоскости |3, покрытых на рис. 63, б и
рис. 63, в штриховкой. Вдоль разреза DD' осуществляется пере-
переход на второй лист римановой поверхности функции F). В тех
областях второго листа римановой поверхности, которые находят-
находятся под областями, не покрытыми штриховкой на первом листе,
мнимая часть функции F) положительна.
Для выяснения взаимного расположения точки а, прямых E)
и разреза DD' будем считать, что угол а не превосходит я; это до-
допущение не уменьшает общности задачи. Здесь представится три
случая:
I. О < 9 < а. П. а < 9 < я + а. III. я + а < 9 < 2я.
G)
Выполним преобразование интеграла C) отдельно для каждого
из этих случаев.
Рассмотрим сначала первый случай. На рис. 63, б изображена
плоскость комплексного переменного |3 для этого случая. В обла-
областях, покрытых штриховкой, мнимая часть функции F) положи-
положительна. Отсюда следует, что в удаленных частях этих областей
функция Ко (kR$) имеет следующее асимптотическое выражение
([4], § 7.23):
(8)
Отметим, что это же асимптотическое выражение будем иметь и
в областях второго листа римановой поверхности, не покрытых
штриховкой, так как формула (8) имеет место для аргумента ком-
комплексного числа kR$ в пределах (—Зя/2, Зя/2); на второй лист
переходим через разрез DD'.
Заметив это, будем непрерывно деформировать путь интегри-
интегрирования с, вытягивая его в бесконечные дуги, идущие в бесконечно
удаленные точки A, G, А', G прямых E). Выполняя такую де-
деформацию, будем протягивать деформируемый контур с на второй
лист римановой поверхности через разрез DD'. Преобразованный
путь интегрирования будет состоять из четырех кривых линий:
^i» Г2, Yi, 72» Кривая 1\ идет частью по заштрихованной области
первого листа, затем переходит через разрез DD' на второй лист
и продолжается далее до бесконечности по незаштрихованной
области второго листа. Кривая Г2 начинается в точке G' незаштри-
незаштрихованной области второго листа, переходит затем в заштрихо-
заштрихованную область первого листа, чтобы достичь бесконечно удален-
удаленной точки А'. Бесконечно удаленные точки A, G, G', А' кривых
1\, Г2 соединяются боковыми путями Yi и у2- Первый из этих путей
идет по незаштрихованным областям второго листа, а второй
путь — по заштрихованным областям первого листа.
558
ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Асимптотическая формула (8) показывает, что при взятых пу-
путях интегрирования, уходящих в бесконечность, интеграл F схо-
сходится. Имея в виду рис. 63, б, мы можем написать, что
Ла
На рис. 63, б пути интегрирования, идущие по второму листу,
изображены штриховыми линиями.
Нетрудно видеть, что интегралы по путям уг и у2 взаимно
уничтожаются, благодаря чему предыдущая формула переписы-
переписывается так:
V2 * ~~в
(9)
Допустим теперь, что угол 0 заключен между а и я + а,
В этом случае мы будем иметь несколько иное расположение путей
интегрирования, чем в первом случае. Составляя рис. 63, в,
примем те же условия
изображения, как и при
составлении рис. 63, б.
Деформируя контур с, по-
получаем в рассматриваемом
случае ту же формулу (9)
для интеграла F, но с
иным расположением пу-
путей интегрирования Тг и
Г2, приведенным на рис.
63, в.
Если же угол 0 будет
рис. 64. удовлетворять неравенст-
неравенству я + а <0 <С 2я, то
для преобразованного интеграла F будем иметь опять формулу
(9), но со своим расположением путей интегрирования 1\ и Г2,
показанным на рис. 64, а.
Пользуясь формулой (9), представляем для каждого из рассмо-
рассмотренных промежутков G) изменения угла 0 выражение функции
Ко (kR) = -у--^ в виде суммы двух контурных интегралов.
Обратимся теперь к построению новой функции ? (г, 0),
которая для задачи дифракции должна будет заменить в формуле
A) функцию Ко (kR).
Рассмотрим некоторую функцию Ф (г, 0) переменных г и 0,
построенную по примеру функции (9) с заменой в первых множи-
множителях подынтегральных функций переменных а и C соотрет-
$ 5, ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; НДДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 559
ственно на а/2 и р/2. Положим
Ф(г,6) =
— e2 1? e2 —б2
Придадим путям интегрирования 1\ и Г2 более определенный вид.
Предположим сначала, что угол 0 удовлетворяет неравенству
О < 0 < а. Непрерывной деформацией путей Гх и Г2, указанных
на рис. 63, б, можно эти пути расположить по вертикальным
линиям E) и по действительной оси переменного р с обходом
полюса р = а двумя маленькими полуокружностями, причем
верхняя полуокружность принадлежит пути 1\, а нижняя —
пути Г2 (рис. 64, б). Интегрирование по горизонтальным участкам
дает в результате вычисления функции Ф (г, 0) нуль; интегриро-
интегрирование по двум полуокружностям дает АпК0 (х.й), величина R
определяется формулой B). Рассмотрим затем интегрирование
по линиям E). Заменим на первой из этих линий переменное р
через (jt, полагая Р = —п + 0 + р, а на второй — полагая
р = п + 0 + \ii. После выполнения вычислений получим
где
Rl = Irr tch ц + ch jji].
Совершенно такое же выражение для Ф (г, 6) получается и
для углов 0, удовлетворяющих неравенству
Иное выражение будет при наличии неравенства
п + а < 0 < 2я. A2)
Действительно, в этом случае полюс |3 = а подынтегральной функ-
функции находится вне полосы, ограниченной прямыми E), так же
как и следующий полюс |3 = а + 4я. В силу этого в формуле A1)
не будет в правой ее части первого члена. Таким образом, при со-
соблюдении неравенства A2) будем иметь следующую формулу:
(.3,
560 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь новую функцию Ф (г, 0), получаемую из
функции Ф (г, 0) заменой а на —а; имеем
l\ 1
ф (г, 0)
\ —-±1 — К,
A4)
Внутри полосы, ограниченной прямыми E), подынтегральная
функция имеет полюс лишь для углов 0, удовлетворяющих нера-
неравенству
0 < 0 < я — ос. A5)
Выполняя преобразование путей интегрирования, которое при-
привело от формулы A0) к формулам A1) и A3), получаем следующее
выражение вновь введенной функции A4):
Первое слагаемое правой части входит в эту общую формулу
лишь для углов 0, удовлетворяющих неравенству A5). В этом
первом слагаемом Ё имеет такое значение:
Я2 = 2rrf [ch т) - cos (a + в)].
Введем теперь в рассмотрение новую функцию W (г, 0, х),
определяя ее формулой
4я? (г, 0, х) = Ф (г, 0) + Ф (г, 0).
Пользуясь формулами A1), A3) и A6), мы можем записать выра1
жение этой функции так:
W (г, 0, х) - Ко (xi?) + #о (*Д) - Т (г, 0, х), 0 < 0 < я ~- а,
? (г, 0, х) = Ко (хй) — Т (г, 0, х), я — а < 0 < я + а, A7)
W (г, 0, х) = —Т (г, 0, х), я + а < 0 < 2я,
где
§ 5. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН; ЗАДАЧА КОШИ — ПУАССОНА 561
Выполняя небольшие преобразования, можно придать функции
Т (г, 0, х) другой вид:
JL(a+9)i
Так как в каждых квадратных скобках одно слагаемое переходит
в другое при замене 0 на —0, то отсюда вытекает, что частные про-
производные функции Т (г, 0, х) по переменному 0 равны нулю при
0 = 0 и при 0 = 2я для всех значений г.
Далее имеем
дВ гг' . . Лч дВ гг' . , . m
-§§- = -~r sm(a-е)' -w = -^-sm(a +е);
отсюда получаем
= — -^- х [sin (a — 0) K'q (хД) — sin (a + 9) К'о (хД)].
Для 0 = 0 правая часть этого равенства обращается в нуль для
всех значений г.
Возвратимся теперь к формулам A7); проведенные вычисления
показывают, что частная производная функции W (г, 0, х), взятая
по переменному 0, обращается в нуль при 0 = 0 и 0 = 2я для всех
значений г.
Построив функцию W (г, 0, х) с этим свойством, подставим ее
вместо функции Ко (хД) в формулу A). Мы получим тогда неко-
некоторый потенциал скоростей ср (г, 0, z; t) волнового движения
жидкости:
Ф (г, 0, z; t) =
/ _i_ 1
\ ^
4- n)] "? (r, 0, x) d>
Найдем свойства движения жидкости, описываемого этим потен-
потенциалом скоростей.
= ^\VT* [sin (* УЦ) (t УЩ
562 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
§ 6. Исследование дифракционного движения жидкости
В конце предыдущего параграфа было установлено, что част-
частная производная функции W (г, 0, к) по переменному 6 равна нулю
при 6 = 0 и 9 = 2я. Отсюда следует, что потенциал скоростей A8)
§ 5 дает движение жидкости, обтекающее обе стороны погружен-
погруженной вертикальной полуплоскости.
Найдем уравнение поверхности жидкости, соответствующее
рассматриваемому потенциалу. Имеем
(Г~ \ / Г" "\ "I
t Л/ -^-)ch (t Л/ -^j-isinxz ^(^ 9> x)d>c. A)
Положив здесь ? = 0, получим
оо
1 dm V С
"~~^ rs == ~-~" 2 \ X Sin XZ I у/, U, %} бХХ.
О
Перепишем правую часть этой формулы в новом виде, используя
формулы A7) § 5.
Для углов 9, удовлетворяющих неравенству 0 < 9 < зх — а,
получаем
оо оо
1 9(р F Г „ . „, , V f
Т"^" = ~? \ xsin»w?o(xfl)dx--j^ xsi
oo
V С
2~ \
0
Применяя формулу ([4], § 13.21)
msmbmK0(m)dm = 2
мы можем преобразовать предыдущее равенство к такому виду:
g dt 2я [ (№+zzfl* ~*~ (i?2 + z2K'^ J •
Устремим переменное z к нулю. Так как в пределах интегрирова-
интегрирования величина Rp не обращается в нуль, то последнее слагаемое
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 563
правой части этой формулы обращается в нуль при z, стремящемся
к нулю.
Рассмотрим затем первое слагаемое правой части. Величина Я
может обращаться в нуль лишь при г = г' и 6 = —а или при
г = г', 6 = 2я — а, но эти значения угла 6 не принадлежат рас-
рассматриваемому промежутку изменения угла 6. Следовательно,
для всех значений 6 в промежутке @, я — а) имеем
lim Г _ z ] = 0.
Что же касается функции
то для всех значений г Ф г' эта функция стремится к нулю при
z = 0. Если же г будет равен г', то для всех значений угла 6,
кроме 6 = а,- расстояние R будет отлично от нуля; при 9 = а
эта функция будет обращаться в бесконечность.
Но здесь следует отметить, что в пределах своего изменения
@, я — а) угол 9 может равняться углу а лишь в том случае,
если а < я/2. Таким образом, для углов а < я/2 правая часть
формулы B) и, следовательно, начальное возвышение поверхности
жидкости обращается в нуль во всей области изменения г и для
угла 6 в пределах @, я — а), за исключением точки г = г , 6 = а.
При этих последних значениях координат г, 6 начальное возвы-
возвышение обращается в бесконечность.
Если же угол а будет больше, чем я/2, то для 0 = а следует
использовать вторую из формул A7) § 5. В этом случае мы придем
к тому же самому результату, как и выше.
Из всего этого следует, что потенциал скоростей A8) § 5 опре-
определяет движение жидкости, возникшее от начального возвышения
поверхности, сосредоточенного в некоторой точке (г', а) поверх-
поверхности жидкости.
Проведем подробный анализ формы волновой поверхности
жидкости.
Уравнение поверхности жидкости запишется так для любого
момента времени:
^\ х sin (t
t УЩ sh (* V-Щ
Подставим сюда выражение функции ? (г, 9, и), даваемое
формулой A7) § 5. Получим
/r)(r>e,x)dx + 5(r,e), C
564 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
где функция S (г, 9) имеет следующее выражение:
оо
S (г, 9) = JL J х sin (t ]Af-) sh (* ]/-f-) [Яо (хД) + Ко (хД)] dx,
о
0<9<jt —a;
5 (r, 6) = Jl ^и sin (t Y^y) sh (f Y^r) Ko (xi
+ а;
S (r, 9) = 0, jx + a < 9 < 2jx.
Рассмотрим первое слагаемое правой части формулы C). Принимая
во внимание выражение функции Т (г, 9, х), приведенное в пре-
предыдущем параграфе, получаем
J х sin (* ]/-f-) sh (* Ylf) T (r'6l x) dyl =
0
2я
где
, 9, *) + ±rb^M%(r, 9, 0, D)
(г, 9, t) = \ х sinU I/ Дт-j sh \t\/ Щ^-Ых \ ^^
О —оо
E)
F)
Преобразуем выражения этих двух функций, пользуясь формулой
([4], стр. 190)
и введем вместо х новое переменное интегрирования ?, полагая
1 а>5 я^2
' где M =
Обозначим затем через р выражение
+ ch
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 565
и отметим, что при этих новых обозначениях будем иметь
В новых обозначениях формулы E) и F) после изменения порядка
интегрирования запишутся так:
оо Ц- оо
2 dx
8rr' ) 1 + eV*a-9> P
—oc 1
X
8rr'
— ОО
X
6
Рассмотрим внутренний интеграл этих формул, положим
Если заменить произведение синусов суммой показательных
функций, то интеграл U может быть преобразован к виду
U = 2 (U, + U,),
где
причем
Функция С?! — функция, сопряженная функции С71в Интеграл С/х
может быть выражен через интеграл Френеля. Введем вместо пере-
переменного ? новое переменное интегрирования х, полагая
В силу этой замены переменного интегрирования новый путь
интегрирования будет состоять из отрезка прямой линии, соеди-
1 JU*
няющей точку j=re* с началом координат, продолженного
У 2
566 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
положительной частью действительной оси от х = О до х = оо.
После этого преобразования будем иметь следующее выражение
интеграла иг:
2г J V /2 2
_ff 1
X е 2*р«ж +f eJTpX
х \(х3 + ~WеТ "ж2 + 4еТ "ж + TF"*)
О
Второй интеграл правой части формулы (9) легко вычисляется и
получает следующее значение:
юг оо 1 . 1 . з .v сох2
г* / о — m о т л пг\
. з .v сох2
л — пг\
4 J21 I \ -L
~ 2 ь
A0)
Рассмотрим первый интеграл правой части формулы (9). Для
его вычисления отметим следующие вспомогательные формулы,
выведенные путем интегрирования по частям:
О сох2
1 4
4тр
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 56?
О __ff 1 _.. ._ 1 . ас
\ е dx =
\/—
_ Г 4тр
На основании этих формул первый интеграл правой части формулы
(9) будет равен
ОI 1
2 L ^
со ' 2@/2
Пользуясь этим результатом и формулой A0), получаем для Ux
такое выражение:
Г 1 ni /^ rt tp . о 7ni
+ З 4
= -о" е р "о" е I/ -f
2 L2 гсо|
T/fl1-^- \ -"¦
со2
У ю/4-ср
При дальнейших вычислениях будем учитывать лишь первый
член формулы A1), содержащий со~1/2; следовательно,
Обратимся теперь к формуле G) и, принимая найденное зна-
значение Ul9 вычислим интеграл
г t^y^Zl 4 У со
для больших значений со. Применяя метод установившихся фаз,
получаем
[ иг dx
и, следовательно,
яр ~-гг
я - —
г^Т~ со/2 в
568 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
На основании этих подсчетов применением метода установив-
установившихся фаз получаем для М± такое выражение:
cos / j— — — я
4eh-2-i
Рассмотрим затем функцию М, определяемую формулой (8); ее
асимптотическое выражение для больших со получится заменой
в формуле A2) е*(а-0) на <г*(а+9>:
cos — - — я
Составим теперь формулу D); имеем, используя формулы A2)
и A3),
х sin (* "(/-f-) sh (f ]/-f-) Г (г, 9, x) dx =
cos / -л— — -j- n
26/4rr' •/ Ц 14- ^a~9) 1 4-
ch 2
Простой подсчет показывает, что
i (a-9)i - i (a+9)i cog ^ a cog * e
]•
^ ^ e-i(a+9) COS a + COS' 9
Отсюда предыдущая формула запишется так:
_______
х sin ft Y^t) sh (* YJr) T (r' 6' x) d* =
CO
l l cos 1—-Tя
26/vr' cos a + cos 0 3/ r]
ch ?—
Придадим этой формуле другой вид, зная, что
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИОННОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 569
Получим
оо
$ я sin
1 1
V Г A cos-у a cos-о-9 г A_- ,
я У 2п (rr')lu{r +r'f'2 cos а + cose |_4(r+r') 4 %\'
A4)
Обратимся теперь к формуле C) и к входящей в нее функции
S (г, 0). Для углов, удовлетворяющих неравенствам
О < 9 < я — а,
функция S (г, Э) состоит из двух частей. Первая часть определяет
возвышение поверхности жидкости в обычной задаче Коши —
Пуассона, когда начальное возвышение сосредоточено в точке
с координатами г', а; вторая часть определяет возвышение по-
поверхности жидкости при начальном возвышении в точке
(г', 2зх — а). Присутствие этой точки устанавливает отражение
волн от погруженного барьера. Таким образом, для углов 0
между 0 и я — а поверхность жидкости определяется суммой двух
решений задачи Коши — Пуассона и дифракционными волнами
A4), выражение которых может быть записано так:
пУЪ Vrr' (r + r') cosa + cose l.4(r + r') 4
A5)
Для углов 0 в пределах (п — а, я + а) возвышение поверх-
поверхности жидкости дается лишь решением одной задачи Коши — Пуас-
Пуассона при начальном возвышении в точке (г', а) с присоединением
дифракционных волн A5).
Для углов 0 в пределах (я + а, 2я) отсутствует решение задачи
Коши — Пуассона, и в этой области — области тени — все реше-
решение состоит из дифракционных волн A5).
Полученное решение дифракционной задачи Коши — Пуассо-
Пуассона, выражаемое волнами A5), справедливо для больших значений
параметра
(О =
-V5?''
что имеет место, например, для больших значений времени в дан-
570 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
ном месте поверхности жидкости или вблизи точки г = 0 в данный
момент времени. В начале координат функция ? стремится к бес-
бесконечности, как 1/|/7.
Вместе с тем следует отметить, что формула A5) применима для
подсчета величины дифракционной волны для углов 0, немного
отличающихся от я — а и от я + а.
Задача о дифракции неустановившихся гравитационных волн
была впервые рассмотрена Л. А. Бойко и решена им путем раз-
разложения искомого решения в ряды по функциям Бесселя [2].
Примененный нами метод решения задачи Коши — Пуассона,
основанный на рассмотрении разветвленных решений уравнений
математической физики, был затем использован Б. И. Себекиным
для определения дифракции неустановившихся волн гранями
двугранного угла раствора, соизмеримого со 180° [37]. В после-
последующей работе Б. И. Себекин решил задачу Коши — Пуассона
для двугранного угла произвольного раствора и для бассейна
конечной глубины; для решения этой задачи были применены
методы интегральных преобразований [38]. В этих же работах
наряду с задачей Коши — Пуассона были изучены и другие задачи
дифракции, а именно задачи о дифракции волн, вызванных по-
погруженными источниками периодического и непериодического
дебита. В статье С. С. Войта дано решение задачи о волнах,
возбуждаемыхпериодически действующим источником, в предполо-
предположении, что жидкость имеет бесконечную глубину и распростра-
распространение волн стеснено присутствием вертикальной полуплоско-
полуплоскости [5], [39]. В соавторстве с Б. И. Себекиным С. С. Войт дал ре-
решение задачи о дифракции поверхностных и внутренних волн,
образованных погруженным источником переменного дебита [6].
§ 7. Теория корабельных волн, предложенная
Хэвелоком
Результаты, полученные в предыдущих параграфах и относя-
относящиеся к задаче Коши — Пуассона, имеют интересное и важное
применение к определению вида корабельных волн. Теория кора-
корабельных волн была изложена в гл. III в полном своем виде; на
основании же рассмотрений задачи Коши — Пуассона могут быть
установлены главные свойства корабельных волн с большой про-
простотой. Мы изложим теорию корабельных волн в ее новом виде,
следуя работе Хэвелока [109].
Действие корабля на воду заменяется в этой теории действием
концентрированных импульсов давления, приложенных в точках
пути корабля. Точнее: сконцентрированное в общей точке импуль-
импульсивное давление движется с постоянной скоростью с вдоль оси Ох
из оо в направлении к —оо. В каждый момент времени этот им-
§ 7. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН, ПРЕДЛОЖЕННАЯ ХЭВЕЛОКОМ 571
пульс добавляет частицам жидкости новые скорости к уже образо-
образовавшимся ранее.
Возвышение данной точки поверхности жидкости над средним
уровнем будет представляться в момент времени t в виде суммы
возвышений, образовавшихся ото всех импульсов, приложенных
к поверхности жидкости в промежуток времени от —сю до дан-
данного момента t. По отношению к системе координат, движущейся
вместе с импульсом, форма поверхности жидкости не меняется,
поэтому для упрощения формул можно считать t = 0 и положение
центра импульса брать в этот момент времени в начале неподвиж-
неподвижной системы координат.
Предположим, что импульс движется из положительной беско-
бесконечности оси абсцисс неподвижной системы координат. Тогда
в момент времени т <[ 0 его абсцисса будет —ст. Возвышение по-
поверхности жидкости А? в произвольной точке М с полярными ко-
координатами г, Э, вызванное импульсом, приложенным в момент
времени т <^ 0 к точке Р (х = —ст), будет в момент времени
t = 0 определяться из формулы F) § 3 в следующем виде *):
С koe** sin at J0(kR)dk, A)
где
Чтобы найти полное возвышение ? точки М, надо формулу A)
проинтегрировать по переменному т от —-оо до нуля; получим
о °°
I = ^~— \ dx \ kaekz s'max Jo{kR)dk. B)
—оо О
Преобразуем эту формулу, заменяя в ней /0 (кВ) через
я/2
-|- [ cos (kR cos
о
[ dx [ koe*z sin at dk [ cos (kR cos
О
о
получим
О оо «/2
ИЛИ
те'2
{ dx[ kaekzdk [ [sin (at + kR cos P)
О О
—со О О
+ sin (at — kR cos p)] dp.
*) Д? — возвышение поверхности жидкости в произвольной точке М
за промежуток времени dx. (Прим. ред.)
572
ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Придадим этому интегралу новый вид, вводя вместо % и к новые
переменные ^ и х по формулам
? --= — ст/r, к = c2k/g
и полагая
со = gr/c2.
Получим
оо оо
0 0
+ sin [(I ]/"x +
Здесь принято следующее обозначение:
L = /1 + I2 — 2g cos 9.
Запишем эту формулу в таком виде:
cos P) со]} dp.
ТС/2
0 0
TC/2
Im
C)
полагая
Мб, х, Р) = gjAx-x
/a(g, х, р) - g/x + HLcosp.
Найдем асимптотическое выражение функции ? для больших
значений параметра со. Для этого мы должны определить экстре-
экстремальные значения функций fx и /2 для значений переменных ?,
х, р, принадлежащих области интегрирования [11'].
Составим уравнения:
d/i т/— о ? — cos 0
-^ = у ^ — к cos р ^ ^
= 0,
Решая эти уравнения, получаем две системы решений:
= 4- C cos 9 + /9 cos2 6 - 8),
E!-cos er M1~ '
= ^_ C cos 9 — /9 cos2 9 — 8),
= 2fe-COS 6) ' P2 = 0.
I
II
7. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН, ПРЕДЛОЖЕННАЯ ХЭВЕЛОКОМ 573
Отметим, что значения ?х и ?2 действительны лишь для углов,
косинус которых не превышает по своей абсолютной величине
2/3 ]^2. Эти значения ?х и |2 должны принадлежать области инте-
интегрирования; это же может быть лишь в том случае, если угол 8
находится в промежутке (—arccos 2/3^2, arccos2/31^2). Для этих
систем решений имеем
fi(ii,xi,h) = -YhVr*i, л(S2,Х2,ря) = -1-бауи;.
Для первой системы решений получаем
где
Отсюда находим
1 ^2 9X2
= V 4"
F)
Для второй системы решений мы получаем такие же формулы, как
E), но с заменой индекса 1 индексом 2. Дискриминант А запишется
во втором случае несколько иначе, а именно:
a2 =
Отметим значение величины
= ]/"C cos2 6 - 2) — 4" cos6/9cos2e —8 .
4
Таким образом, функция /х (|, х, C) может быть представлена
около рассматриваемых систем решений уравнений D) так: для
первой системы
-i- Ь J^xx + 4
№
574 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
для второй системы
/ СР- v ft4 1 * -./" . 1
/lib? л» Р
4- & /*«+4
" 4" [if « -
21у^ (Б - ЬХ* -
Возьмем первый из тройных интегралов формулы C). На осно-
основании известных правил нахождения асимптотических выражений
кратных интегралов первый член асимптотического разложения
рассматриваемого интеграла для больших чисел со будет состоять
из суммы двух слагаемых, вычисляемых отдельно для первой си-
системы решений уравнений D) и отдельно для второй системы реше-
решений тех же уравнений. Первое слагаемое будет
я/ Л/ у» ? с2 q 2 \/
X
—оо —оо О
второе слагаемое будет
е* X
ОО ОО ОО
р^ г
—оо о
Интегрирование по переменному р может быть выполнено, бла-
благодаря чему вместо этих выражений получаем соответственно
такие:
§ 7. ТЕОРИЯ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН, ПРЕДЛОЖЕННАЯ ХЭВЕЛОКОМ 575
*>
х
X
ОО СХ>
Для вычисления этих двойных интегралов применим формулу
(9)
*
для
2зх
=. для bl —
\(ОУВ2—АС
Получим для величин (8) и (9) соответственно такие значения:
^i-|/ 2L яд е^
i«u/SfA-
A0)
Таким образом, первый тройной интеграл формулы C) будет
равен сумме этих двух величин.
Рассмотрим затем второй тройной интеграл формулы C).
Система уравнений для вычисления асимптотического выражения
этого интеграла будет
Второе из этих уравнений не имеет решений, принадлежащих
области интегрирования; поэтому рассматриваемый интеграл
будет стремиться к нулю при неограниченном увеличении ю
быстрее, чем со/з. Таким образом, основную роль при определе-
определении ? для больших значений ю играет первый тройной интеграл
формулы C). Составим теперь окончательное выражение величины
?; используя формулы A0), находим
576 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Различные величины, входящие в эту формулу, выражаются через
тригонометрические функции угла Э:
—8tg2e\
e/i-
Полученные формулы полностью совпадают с теми асимптотиче-
асимптотическими формулами, которые были найдены в § 12 гл. III для кора-
корабельных волн, развиваемых движущейся областью внешних
давлений. Отсюда вытекают все следствия, которые были получены
в § 13 гл. III при детальном изучении вида корабельных волн.
В частности, первое слагаемое формулы A1) определяет попереч-
поперечные волны, второе — продольные волны; эти волны существуют
внутри угла, равного 2 arccos B/3 У 2) = 38°56'и симметрично рас-
расположенного относительно пути импульса.
Подробное исследование асимптотической формулы (И) пока-
показывает, что эта формула определяет волновую поверхность для
больших значений г внутри угла A9°28' — 8, —19°28' + г) и
вне узкой полосы, симметрично расположенной относительно пути
движения импульса.
§ 8. О распадении корабельных волн
Предположим, что точечный импульс давлений, перемещав-
перемещавшийся с постоянной скоростью вдоль оси Ох из положительной
бесконечности, прекратил свое движение, достигнув в момент
времени t = О начала неподвижной системы координат. Правиль-
Правильная система корабельных волн, которая образовалась к моменту
времени t = О при этом движении импульса, начинает с момента
времени t = 0, когда прекратилось воздействие импульса на жид-
жидкость, распадаться. Наша задача будет состоять в том, чтобы про-
проследить, насколько это возможно без привлечения численных
методов, за распространением неустановившихся волн, вызван-
вызванных распадением правильной системы поперечных и продольных
волн *).
*) Задача о формировании системы корабельных волн была изучена
Л. В. Черкесовым [73], [74] и В. С. Федосенко, Л. В. Черкесовым [61].
§ 8. О РАСПАДЕНИИ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 577
Применим к решению этой задачи метод, изложенный в пре-
предыдущем параграфе, все обозначения этого параграфа сохраняются
здесь.
Возвышение поверхности жидкости, возникшее от импульсив-
импульсивного давления, приложенного в точке х = —с% в момент времени
т < 0, определяется в момент времени t формулой
оо
С kee*z sin [a (t — t)] Jo (kR) dk.
Полное возвышение поверхности жидкости в момент времени
t ]> 0 будет
о °°
Z = — -^— [ dx [ keekz sin [а (t — t)] /0 (Щ dk.
0
— oo 0
Заменяя функцию Бесселя ее интегральным изображением и вы-
выполняя ряд преобразований, придаем предыдущей формуле
новый вид:
Z =_.?-?_ Im ( dx [ kodk
О
тг/2
Im [ dx[ kadk [ ^
о о
Перепишем это уравнение поверхности жидкости, вводя новые
переменные интегрирования х и ? по формулам
и полагая
Т] = -^— , СО = -^-.
Получим
где
оо оо
0 0 О
оо оо п!2
0 0 0
(?> ^» Р) ==t (^ ~Ь ^i) |/"х — ^ cos Р?
(S, >^, Р) = (I + т|) /х + xL cos p.
19 Л. Н. Сретенский
578 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Найдем асимптотические формулы для функций Н1 и Я2 при
больших значениях параметра со. Рассмотрим сначала функцию
Н1 и найдем экстремальные значения функции Fy принадлежа-
принадлежащие области интегрирования. Для определения таких значений
составим уравнения
Последнее из уравнений D) дает р = О, отсюда система D) пере-
перепишется так:
l^ = 0,|±|--L = 0. E)
Из всех решений этой системы уравнений пригодны лишь те, ко-
которые удовлетворяют двум дополнительным требованиям:
6-cose>o, E>o. F)
Соблюдение первого из этих требований обеспечивает положитель-
положительное значение корню ]/%; при соблюдении второго требования ре-
решение ? системы E) будет принадлежать, как это и должно быть,
промежутку @, оо) изменения ? в интеграле B).
Если угол 0 находится в первой четверти, то неравенства F)
сводятся к одному неравенству:
I > cos 0. G)
Если же угол 0 будет находиться во второй четверти, то неравен-
неравенства F) будут приводиться тоже к одному неравенству:
5 > 0. (8)
Исключая из уравнений E) неизвестное х. получаем уравнение
для определения неизвестного ?:
V, (I - cos в)(? + Л) = L\
или
I2 - C cos 0 + т|) I + B + т) cos 0) = 0.
Решая это уравнение, находим два его корня:
& = i [Ccos 0 + г]) + 1/"(9cos2 0-8) + (t,2 + 2t1cos0)], (9)
ga = .1 fCcos 0 + т)) - l/"(9cos2 0 - 8) + (rf + 2ц cos в)]. A0)
Из первого уравнения системы E) находим соответствующие
§ 8. О РАСПАДЕНИИ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 579
значения переменного х:
1 1
Xl"~" 2 5i-cos9 ' Щ ~ 2 52-
Из формул (9) и A0) следует, что должно соблюдаться условие
(9 cos2 0 - 8) + (гJ + 2ti cos 0) > 0. A2)
Рассмотрим теперь совместно условия G) и A2), а затем усло-
условия^) и A2). Эти рассмотрения будут относиться порознь к вели-
величинам с индексом 1 и с индексом 2 у решений ?х и ?2-
Для анализа условий G), A2) и (8), A2) будем рассматривать
величины I = cos 0 и т] как декартовы координаты точки на пло-
плоскости О1ц.
Рассмотрим на этой плоскости кривую, определяемую уравне-
уравнением
9Z2 + ц2 + 21ц - 8 = 0; A3)
это есть эллипс с центром в начале координат; меньшая полуось
эллипса есть У 5— (Л 7, большая полуось есть V 5 -f- |/; меньшая
полуось наклонена к оси абсцисс 01 под углом
1 - 1
TarctgT.
Рассматриваемый эллипс целиком находится между прямыми
I = 1? / = _1? которых он касается соответственно в точках
A, —1) и (—1, 1). Ось абсцисс пересекается эллипсом в точках
С B/3 j/2, 0) и С/ (—2/3]^2, 0). Точки эллипса, максимально уда-
удаленные от оси абсцисс, имеют координаты G3, —3) и (—V3, 3)
(рис. 65, а)
Отметим, что неравенство A2) соблюдается во всех, точках пло-
плоскости OZy], лежащих вне эллипса A3).
Рассмотрим сначала условия, относящиеся к величинам, име-
имеющим индекс 1, и допустим, что угол 0 принадлежит первой чет-
четверти: 0 <С 1<С 1. В этом случае будем иметь следующие два
неравенства:
1 + Ц + V (9Z2 - 8) + (гJ + 21ц) > 0,
(9Z2 - 8) + (гJ + 21ц) > 0.
Так как ц ^> 0 и I ^> 0, то первое неравенство удовлетворяется, и,
следовательно, оба неравенства будут удовлетворяться для всех
значений ц и Z, изображаемых точками, лежащими в области D±,
ограниченной отрезком прямой I = 0 от точки А @, оо) до точки
В @, 2 У 2), дугой эллипса A3) от точки В до точки С B/3 /2,0),
отрезком оси абсцисс от точки С до точки D A, 0) и отрезком пря-
прямой I = 1 от точки D до точки Е A, оо).
19*
580
ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Предположим затем, что угол 0 лежит во второй четверти:
—1 < Z < 0. Для этих углов должны удовлетворяться следующие
два неравенства:
31 + т| + J/"(9Z2 - 8) + (гJ + 21ц) > 0,
(9Z2 - 8) + (гJ + 21ц) > 0.
Перепишем первое неравенство так:
31 + ц + /CZ + г]J - 4 B + Zt|) > 0.
Если числа Z и rj удовлетворяют неравенству
2 + Zr]< 0, A7)
то неравенство A6) будет удовлетворяться. Если же будет удов-
удовлетворяться неравенство 2 + 1ц ^> 0, то неравенство A6) будет
соблюдаться при условии, что 3Z + ц ^> 0.
A5)
A6)
н
F
%/
\у
и
is
п
и
с \
0
\
\
п
\
\
\
С
J
Е
D
/ 1
Рис. 65.
Чтобы определить на плоскости О1ц ту область D21 где соблю-
соблюдается условие 2 + 1ц < 0, и ту область D3i где соблюдаются
условия 2 + 1ц ^> 0, 31 + ц ^> 0, рассмотрим лежащую слева от
оси ординат ветвь равносторонней гиперболы 1ц = —2. Эта ветвь
пересекает прямую I = —1 в точке F(—1, 2), касается эллипса
в точке G (—V31^6, ]/"б) и имеет ось ординат в качестве асимптоты
(рис. 65, б).
Нетрудно усмотреть, что выше этой ветви двучлен 2 -\- 1ц
отрицателен, а ниже этой ветви он положителен. Отметим, кроме
§ 8. О РАСПАДЕНИИ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 581
того, что прямая 31 -\- ц — 0 проходит через точку касания G
гиперболы и эллипса.
На основании этих геометрических свойств приходим к заклю-
заключению, что область D2 ограничена отрезком прямой Z = —1 от
точки Е' (—1, оо) до точки ^(—1,2) и дугой гиперболы
2 + 1ц = 0 от точки F до точки А (О, оо).
Что же касается области D3i то она ограничена дугой гипер-
гиперболы от точки G до точки А, отрезком прямой Z = 0 от точки 4
до точки 5 @, 2 1^2) и дугой эллипса от точки В до точки G.
Проведенное исследование показывает, что решение ?1? хх
системы уравнений E) будет удовлетворять неравенствам F),
если точка с координатами Z, ц будет находиться в области
E'FGBCDE.
Рассмотрим теперь условия, относящиеся к величинам с индек-
индексом 2, и предположим сначала, что угол 0 лежит в первой четверти.
Условие G) примет следующий вид:
l + Ц- V (9Z2 - 8) + (г,2 + 2r,Z) > О,
или
l + Ц- V(l + ЦJ - 8 A - Z2) > 0.
Это неравенство будет соблюдаться для положительных значений
чисел Z и г), удовлетворяющих неравенству
(9Z2 - 8) + (л2 + 2Zt)) > 0.
Таким образом, решение системы уравнений E) в рассматриваемом
случае изображается точкой, принадлежащей области ABCDE.
Предположим теперь, что угол Э лежит во второй четверти.
Тогда должно соблюдаться условие (8), которое записывается так:
3Z + т| - V(9l2 - 8) + (ц2 + 2ц1) > 0,
или
3Z + т| - /C1 + цJ - 4 B + 1ц) > 0.
Это неравенство соблюдается при выполнении двух неравенств:
3Z + r]>0, 2 + Zr|>0.
Эти два неравенства удовлетворяются в области, ограниченной
дугой гиперболы AG, дугой эллипса GB и отрезком прямой линии
Z = 0 от точки В до точки А. Следовательно, для чисел |а, ха,
решающих систему уравнений E), будут соблюдаться неравенства
F) в том случае, если точка с координатами Z, ц будет лежать
в области AGBCDE.
Обратимся теперь к интегралу C) и найдем экстремальные
значения функции F2 (g, %, p). для определения этих значений
582 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОЁЫЁ ДВИЖЕНИЯ
составим уравнения
дх 2/х
Из последнего уравнения находим р = 0, оставшиеся два уравне-
уравнения переписываются так:
s9 =0,
Эта система уравнений не имеет решений, которые удовлетворяли
бы необходимому условию ? ^> 0.
Таким образом, для больших значений со интеграл Н2 будет
иметь порядок малости более высокий, чем интеграл Нг, и поэтому
не будет рассматриваться в дальнейшем. Обратимся к составлению
асимптотического выражения интеграла B).
Разложим функцию F± (?, х, Р) в ряд Маклорена около решения
?i> xi' P = 0 уравнений D). Для этих значений величин ?, х, р
имеем
i29 дЧ 1 J!!? — О
LJ
следовательно,
Л(^, х, р) = ^(Ь, хх, 0) + i
Аналогичное разложение можно написать около точки ?2> х2,
Р = 0; имеем
^i F, х, Р) = Fx ffia, к* 0) + у
Теперь мы имеем возможность составить асимптотическое вы-
выражение интеграла B). Применяя известные правила, мы нахо-
находим, что для больших значений параметра о> асимптотическое
выражение этого интеграла будет состоять из суммы двух слага-
слагаемых, отвечающих двум различным решениям системы уравнений
D). Эти слагаемые пишутся так:
§ 8. О РАСПАДЕНИИ КОРАБЕЛЬНЫХ ВОЛН 583
первое слагаемое
К, W'*™'" \ dt\d»\ е,ф[-^(-g-sin-ef +
—оо —оо О
второе слагаемое
оо оо оо
ха у щеш 1^2'Х2>0' \ (Щ, \ d%\ exp | —~
—с» —с» О
Дальнейшие вычисления могут быть заимствованы из § 7, и мы
получаем для первого и второго слагаемых соответственно такие
выражения:
Я г ra>Fi(^,X2,0)——
2L2|A2|
В этих формулах ^ (?1? х1? 0) и ^ (^2, х2, 0) имеют такие значения
Что же касается Ах и А2, то это — значения дискриминанта
для первой и второй системы решений уравнений D) соответст-
соответственно.
Пользуясь формулами A8), находим
Проводя вычисления, основанные на формулах (9), находим
? + r]=lCr]
L2 = 1(т|* + 2y]cos0 + 3cos29 —2) + 1(т| + c
где _^__
S = /"(9cos2 6 — 8) + On2 + 2т1 cos 0)-
584 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Запишем выражения функций Fx и А, вводя вместо г) — ctlr
и cos 0 новые переменные х, у по формулам
х = г cos 0 -f ct, у = г sin 0.
Новые переменные х, у суть декартовы координаты места наблю-
наблюдения, взятые по отношению к системе координат хОу, начало О
которой перемещается влево со скоростью с.
В новых переменных имеем
=
2 ?i — cos G
= -^s- (^ + W + а;/ж» - 8i/*),
5 /ж8у.
Пользуясь формулами B1), находим
Преобразуем затем формулу B3) к новым переменным; выполняя
ряд вычислений, получаем
^
Отметим, что при х ^> 0 первая из этих величин отрицательна, а
вторая — положительна.
Формулы A9) и B0), переписанные в переменных я, у, не содер-
содержат времени t; следовательно, по отношению ко всякой системе
осей координат, перемещающейся влево со скоростью с, величины,
изображаемые формулами A9) и B0), не меняются по своему зна-
значению. Но при t = 0 эти величины изображают с точностью до
множителя — gwS/2n2gc*, входящего в формулу A), соответст-
§ 9. ВИД ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ПРИ РАСПАДЕНИИ ВОЛН 585
венно продольные и поперечные установившиеся корабельные
волны.
Общее возвышение поверхности жидкости от обеих систем
волн будет определяться формулой
W"cos (Mfl" ?я
")]' B4)
Коэффициенты при косинусах в этой формуле являются некоторы-
некоторыми функциями х, г/, умноженными на г/|Л#со. Величина г есть
расстояние от места наблюдения до той точки О горизонтальной
оси, в которой закончилось движение импульса. Обозначим
через R расстояние от места наблюдения до точки О. Приняв такие
обозначения, будем иметь
R щ/ ~~
"
Отсюда вытекает, что величина Z, определяемая формулой B4),
может быть представлена так:
7—1/ Т
у ~д~*>'
где ? —аппликата точек волновой поверхности, образованной
корабельными волнами, возникшими от импульса, который в мо-
момент времени t находился в начале координат системы хОу. Отме-
Отметим, что формула B4) справедлива для тех точек поверхности
жидкости, для которых величина г достаточно велика.
§ 9. Вид поверхности жидкости при распадении
корабельных волн
Дадим геометрическое описание вида поверхности жидкости
при распадении корабельных волн. Для этого нам будут служить
формулы B4) и B5) § 8 и рис. 65, б, устанавливающий области при-
приложимости этих формул.
Проведем на горизонтальной плоскости ось Ох, вдоль которой
перемещался из положительной бесконечности импульс давлений,
и отложим влево от точки О, в которой импульс остановился,
отрезок ОО\ равный по величине ct. Проведем через точку О'
два луча O'L и ОfM, симметрично расположенные относительно
оси Ох и наклоненные к ней под углом
а = arctg —i— да 19°28'.
586 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Опишем из точки К, лежащей слева от точки О на расстоянии
l/uct, окружность Г радиуса 74cZ; эта окружность будет касаться
лучей О'L и О'М и будет проходить через начало координат О
(рис. 65, б). Уравнение этой окружности есть
ту - 16
или
В согласии с обозначениями начала предыдущего параграфа это
уравнение можно записать так:
г* = _-*-<¦*. г/,
или
ц1 = — 2.
Следовательно, построенная окружность изображается на
рис. 65, а гиперболой.
На этом же рисунке изображен эллипс, уравнение которого
есть A3) § 8. В согласии с принятыми обозначениями
7 х ct
Подставляя эти значения I и у\ в уравнение A3) § 8, получаем
(х + ctf = 8у*.
Это уравнение распадается на два уравнения:
У = —-W (ж + ct), у = ^=г (ж + с?). B)
2"К2 2/2
Первое уравнение изображает луч O'L, второе — луч О'М.
Таким образом, эллипсу на плоскости О1ц отвечает на среднем
уровне жидкости два луча, ограничивающие волновую область.
Уравнение B4) § 8 определяет в координатах, связанных с точ-
точкой О', волновую поверхность в момент времени t. Вид этой по-
поверхности легко устанавливается на основании формулы B5)
§ 8. Рассмотрим волновую поверхность жидкости в момент времени
t = 0, т. е. в тот момент, когда импульс прекратил свое движение.
В этот момент поверхность жидкости будет покрыта системой
обычных корабельных волн. Переместим эту поверхность без
изменения ее формы влево на расстояние ct и умножим затем все
ее аппликаты ? на величину yr/R, находящуюся в формуле B5).
После этого мы получим аппликаты Z волновой поверхности для
момента времени t. Волновая поверхность жидкости расположена
§ 9. ВИД ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ ПРИ РАСПАДЕНИИ ВОЛН 587
в момент времени t правее линии х = —ct/2, как это будет уста-
установлено ниже; поэтому множитель У г/В. меньше единицы, благо-
благодаря чему аппликаты точек поверхности жидкости момента t
меньше аппликат соответствующих точек момента времени t = 0.
Рассмотрим те волны, которые определяются первым членом
формулы B4) § 8. Сравнение выражения этого слагаемого с первым
членом формулы A1) § 7 показывает их совпадение (с точностью
до множителя Уг/R). Следовательно, первый член формулы B4)
§ 8 определяет поперечные волны.
Таким же путем можно установить, что второй член формулы
B4) § 8 дает продольные волны. Отождествление формулы B4)
§ 8 с формулой A1) § 7 проще всего устанавливается путем пере-
перехода в этой последней формуле от полярных координат к прямо-
прямоугольным координатам.
Установим области существования поперечных и продольных
волн для момента времени t.
В предыдущем параграфе было показано, что величины I и т],
отвечающие переменным с индексом 1, могут изменяться в обла-
области Е'FGBCDЕ рис. 65, а. Следовательно, эта область отвечает
поперечным волнам.
Дадим времени t какое-нибудь значение и будем] изменять
переменное г от нуля до бесконечности.
Для значений г, меняющихся от нуля до с?/3, переменное I
может иметь любое значение между —1 и 1. Следовательно, через
все точки окружности г ^ ct/З могут проходить поперечные вол-
волны. Для значений г\ между У6 и 3 будет два отдельных участка
изменения переменного Z, которые представляют собой две разоб-
разобщенные лучом у =—у=.(х-\-ct) дуги окружности г = ct/r\; через
точки этих дуг проходят поперечные волны. Для значений ц меж-
между У 6 и 2 переменное I меняется от —1 до —2/т] на одной дуге
окружности радиуса г и от ]Лб/9 до 1 на другой дуге *).
Первой дугой ограничивается слева область распространения
поперечных волн. Вторая дуга содержит точки поперечной волны,
находящиеся справа от точки О.
При увеличении г до бесконечности будет лишь одна дуга ок-
окружности с поперечными волнами. Таким образом, при увеличении
времени от 0 до бесконечности область поперечных волн будет ог-
ограничена двумя лучами B) и левой дугой окружности A), содер-
содержащейся между этими лучами. Скорость продвижения левого
конца окружности равна половине скорости движения импульса.
Рассмотрим затем волны, отвечающие индексу 2. Эти волны
будут продольными.
В рукописи автора не указана величина У*6/9. (Прим. ред.)
588 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Из рассмотрения рис. 65, а, на котором очерчены штрихами
границы области изменения переменных Z, т), отвечающих про-
продольным волнам, можно вывести заключения о форме области
существования продольных волн. Здесь самое основное значение
имеет область, соответствующая изменению I и г\ между верти-
вертикальной прямой от точки А до точки В, дугой эллипса BG и дугой
параболы GA. Не представляет труда видеть, что на плоскости
течения этой области будет соответствовать область, ограничен-
ограниченная правой дугой окружности A) и лучами B) от точек их прикос-
прикосновения к окружности A) до бесконечности. В такой области,
меняющейся с течением време-
времени по своему положению и
размерам, будет находиться
система продольных волн.
Общее расположение попе-
поперечных и продольных волн в
некоторый момент времени
изображено схематически на
рис. 66 *).
Рассмотренная здесь задача
о распадении системы корабель-
:Рис 66. ных волн была впервые изучена
Л. В. Черкесовым в его книге по
неустановившимся волновым движениям жидкости. В этой книге
разобраны также различные виды движения жидкости, образую-
образующиеся от неустановившегося воздействия сил, приложенных к
границам бассейнов и к свободной поверхности [73].
§ 10. Неустановившееся движение источника
под поверхностью жидкости
Методы, примененные нами в гл. III для получения формул,
определяющих волновое сопротивление судов типа Мичелля при
их установившемся движении, легко приводят к формуле, уста-
устанавливающей волновое сопротивление таких судов при их неуста-
неустановившемся движении.
Для получения этой формулы рассмотрим сначала вспомога-
вспомогательную задачу о неустановившемся движении источника дебита
Q (?), перемещающегося со скоростью с (t) под поверхностью
жидкости.
Свяжем с движущимся источником прямоугольную систему
координат Oxyz, начало которой поместим в проекцию источника
на плоскости невозмущенного уровня, а ось Ох направим парал-
параллельно скорости источника. Обозначим через ср (#, у, z\ t) потен-
*) Рис. 66 дан редакторами. (Прим. ред.)
§ Ю. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 589
циал абсолютных скоростей, записанный в координатах, связан-
связанных с движущимся источником. В § 13 гл. II было показано, что
функция ф удовлетворяет на поверхности жидкости следующему
граничному условию *):
Представим функцию ср в следующем виде:
где
у2
здесь ? << 0 — третья координата источника.
Функция Ф (х, у, z\ t) — искомая гармоническая функция в
нижнем полупространстве. Для определения этой функции отме-
отметим формулы
оо п
1 = 1 С fifo С е-К(г-К,)+Щх cos 0+y sin 0)^0
i?! 2Я J J '
О -п C)
оо тс
i?2 2я J J
i/f(x cos 9+y sin
Будем искать функцию Ф в виде следующего интеграла, содержа-
содержащего неизвестную функцию А (к, 0; t):
оо тс
1 С (*
ф \ к dk \ А (к 0* t) g^(z+O+^ (x cos 9+y sin 9)^0 /д)
2я j J
О -тс
Подставим эту функцию в граничное условие A); получим, поль-
пользуясь формулами C),
оо тс
\kdk\ \~w—2ifcccose"зг + (gk~"с2Л;2cos20—^coseL"~
Q -n
2^(?1 e^+i*(x cos ®+y sin e^d0 = 0.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для определения
функции А:
—^ 2ikc cos 0 ~. -f (gk — c2fe2 cos2 0 — ike cos 0) Л =
*) Это условие было установлено для плоских движений, но самый вывод
его переносится безо всяких изменений и на пространственные движения, на-
надо лишь заменить у на z4
590 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Введем вместо А новую неизвестную функцию В, полагая
В = А ехр [—iks (t) cos 9],
t
где s(t) = ^c dt.
о
Для функции В получаем уравнение
d&
Интегрируя это уравнение, находим
В = d (к, 0) cos Ygkt + d (К 6) sin Ygkt +
t
+ *\f (x, Q)sm[Y'gk(t — x)] dx,
где
F (t, 0) - 2gQ exp [—iks (t) cos 0]. E)
Вернемся теперь к функции А и составим выражение D) по-
потенциала скоростей
Ф - Фг + Ф2 + Ф3, F)
полагая
ф1=Л-^к cos Ygktdk [ Сг {к,
0 -n
oo n
ф2 = _i_ [к sin Yglet dk \ C2 (k, 0) е*B+О+Щ(*+*)со5 9+и sin ej^e, G)
0 -я
OO TC
ф3 = 1 С ^^ С
?
X ^F(t,e)sin [/p (t - x)\ dx.
о
В этом общем выражении потенциала скоростей остаются неопре-
неопределенными функции Сг (к, 0) и С2 (к, 0). Эти функции могут
быть определены из дополнительных начальных условий задачи.
Составим выражение полного потенциала скоростей для на-
начального момента времени; найдем
оо п
!_. С к dk [ d (к, в) ^(z+O+Щх cos е+у sin ещ
8я2
"о
§ 10. ДВИЖЕНИЕ ИСТОЧНИКА ПОД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ 591
г,, z; 0) _ _QJO) f 1 1
oo
к Ygkdfs [ С2 (к, 6) е*(г-ю+щ* cos е+у sin в) ^в. (9)
О
Из этих уравнений можно найти с помощью интеграла Фурье
функции С1 (к, 8) и С2 {к, 0), если известен потенциал скоростей
и форма поверхности жидкости в начальный момент времени и,
кроме того, даны начальные значения дебита источника и его
производной по времени.
Предположим, например, что в начальный момент времени
жидкость не имеет скоростей и поверхность ее горизонтальна; до-
допустим вместе с тем, что дебит источника и производная его по
времени равны нулю при t = 0. В таком случае функции Сг (к, 0)
и С2 (к, 9) будут нулями и потенциал Ф будет состоять лишь из
одного слагаемого, а именно из Ф3.
Рассмотрим затем движение с другими начальными условия-
условиями. В момент времени t = 0 жидкость получает скорости, проис-
происходящие от потенциала источника и стока, симметрично распо-
расположенных относительно горизонтальной плоскости. В этом слу-
случае будем иметь
/ ПЧ Q(°) М 1 \ А
Ф (х, у, «; 0) = -^bL ^_ _ _)и=_о. о.
Следовательно, Сх (к, 0) = 0.
Если, затем, при горизонтальной начальной поверхности жид-
жидкости дебит Q (t) выбран так, что Q {t) = 0, то будет равна нулю
и функция С2 (/с, 0).
Такой случай представляется, в частности, если в начальный
момент времени источник постоянного дебита Qo получает неко-
некоторую скорость с, которую и сохраняет неизменно во все время
движения. При этих условиях имеем
F(t, 0) = i
f(*, о)s
\
— cos yjgkt) + ike cos 0 sin Y~gkt]
и потенциал Ф запишется так:
rb gQo t dk Г . r л
Фз = \ —¦ - \ e^^+^+^CC^+cOcos в+у sin 9] /l/ ^Д; [COS (kct COS 6) —
0 —n
— cos Y"gkt] — i \YJk sin (fccf cos 0) — kc cos 0 sin Ygb*]} -—3
A0)
592 гл. iv. неустановившиеся волновые движения
Для дальнейшего нам достаточно будет знать выражение функции
для у = 0. Полагая в формуле G) у = 0 и пользуясь формулой
E), находим
Ф3 = ¦?¦ \ -Щг-\е*B+о sin \Vgk(t-x)]Q {x)dx x
-п
Преобразуем эту формулу, замечая что интеграл
представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка от
к [х + s(t) — s(t)].
В силу этого будем иметь для Ф3 такое выражение:
Ф3 = 2
О О
xX{A[^ + 5@-5(T)]}dT. A2)
§ 11. Волновое сопротивление судна типа Мичелля
при неустановившемся движении
Формула для вычисления волнового сопротивления судна
типа Мичелля может быть получена на основании результатов
предыдущего параграфа, если воздействие корпуса такого судна
заменить воздействием простого слоя источников, распределен-
распределенных на диаметральной плоскости судна. Плотность простого
слоя определяется из условия обтекания поверхности судна.
Пусть уравнение поверхности судна будет
у = f {х, z) для у > 0, у = — / (х, z) для у < 0.
Согласно § 20 гл. III условие обтекания запишется так *):
гар дц n pep dfi 0
Чтобы удовлетворить этим условиям, распределим на диамет-
диаметральной плоскости S корабля простой слой источников плотности
*) Здесь для удобства знак у с изменен на обратный.
§ 11. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СУДНА ТИПА МИЧЕЛЛЯ 593
Возьмем вместе с тем на части S' плоскости Oxz, симметричной
S относительно оси Ох, простой слой стоков плотности Q. Обоз-
Обозначим через ?, 0, ? координаты какого-нибудь источника диамет-
диаметральной плоскости S и составим выражение потенциала скоростей.
Мы будем предполагать, что движение судна начинается или
без скорости и ускорения, или же судно сразу получает некото-
некоторую скорость, которую и сохраняет во все последующее время
своего движения. В том и другом случае потенциал Ф приводит-
приводится лишь к одному слагаемому Ф3. Выпишем для у = 0 выражение
этого слагаемого для всего простого слоя источников и стоков.
Пользуясь формулой A2) § 10 и формулой A), получаем
оо
s о
t
- x)]c(r)J0{k[(j -I) + s(t)- s (r)]}dr,
где для краткости записи положим
Обращаясь к формуле B) § 10, получаем полное выражение по-
потенциала абсолютных скоростей в точках диаметральной плоско-
плоскости корабля:
Ф(а-, 0, z; t) =
— %)] X
о
X /о [ft ((x -l) + s(t)-s (т))] dx) г|> (I, E) dl dg. B)
Волновое сопротивление, как горизонтальная результирующая
сил давления, определится формулой
R = y^pada.
Интеграл распространяется на всю поверхность корабля. Подста-
Подставим сюда вместо р и направляющего косинуса нормали к поверх-
поверхности корабля с осью Ох их значения:
/ дф дф\ df
р = р —1 с -~ — ЯР2, а = ^- .
Применяя теорему Остроградского к интегралу
j j gp^a da,
594 ГЛ* IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
легко установить, что его значение есть нуль. Поэтому
В этой формуле интегрирование распространяется дважды на об-
область S. Будем входящие в подынтегральную функцию производ-
производные дц/dt, дц/дх брать для у = 0. Распространяя интегрирование
лишь один раз на область S, получаем следующую формулу
для R:
Jy=Q dx ' '
S
Подставим сюда вместо ф его выражение B). Имеем
(О
,
: - If + (z- №*
оо /
? т г* с
:— М- 2 \ gke^2^dk\c(x) cos [|/ gA:(^ — т)] X
X /о [ft ((х -1) + s (t) - s (т))] dx);
подставляя в C), получим
оо
R = — Мс + 8яр ^ -ф (j, z) d^: dz 5$ 'Ф (I,. Q dg d^ § gke*^) dk X
S S 0
X 5с(т) cos [/p(* - т)]/о [ft((x -l) + s{t)-s(т))]dr. D)
О
В этой формуле число М имеет такое значение:
М = 4яр \\ i|) (х, z) dx dz
+О*
и является присоединенной массой корабля при его движении в
горизонтальном направлении. Второе же слагаемое правой части
формулы D) дает собственно волновое сопротивление при условии,
что в начальный момент времени и скорость, и ускорение судна
равны нулю, а равно и при условии постоянства скорости, получен-
полученной мгновенно в начальный момент времени.
В этом последнем случае формула D) может быть значительно
упрощена.
§ 11. ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СУДНА ТИПА МИЧЕЛЛЯ 595
Возьмем внутренний интеграл этой формулы, будем обозна-
обозначать его через S. Заменяя в нем s (t) через ct при с постоянном,
подставим в него вместо функции Бесселя интеграл A1) § 10.
Получим
t п
S = ,±-.CCos[|/gA(J — x)]dx
0
Переменим здесь порядок интегрирования, что даст возможность
взять квадратуру по переменному т. Выполняя соответствующие
вычисления, получаем
S = — ~ \ еИ(*-5)+сПсо8в е_ + — 7= dB.
4я J L /ее cos 9 + /gfc kc cos 9 — /gfc -I
Подставим это выражение в формулу D); найдем, отбрасывая
слагаемое — Мс и выполняя небольшие преобразования,
Д = — icp\ gk dk \ gikcfcose f ^^ i __ de x
J J L /cc cos 9 + Ygh kc cos 9 — Ygk \
о —it
§ (X, Z) e^+ibc cos 9 fa fa ^
s s
Введем такие обозначения:
55ф (ж, z)^z+tocos0fc^ = J(-ft, 9) + ^ (Л, 0),
s
55*F. ?)^-Щсозе dgdC = J(ft, 0) - i^(ft, 9).
s
Отсюда предыдущая формула перепишется так:
Д = —icp\ gkdk \ ei^coso f .
J j L kc cos e + Ygk
0
kc cos 0 —
Заметим теперь, что
\ piltct cos 0 ° Г ^/2 (Ъ. о\ _1 ^2 /j^. D\i ДС\
•) /сс cos Q -\-y gk
J /cc cos 9 — YIP* '
596 гл. iv. неустановившиеся волновые движения
Следовательно,
R = 2cp\gkdk I
0
+
sin (fr cos 9 -Vgk) 11 ^
kcos9-"|/g/c J
В этой формуле
J (fc, 9) = ^ Ф (ж, z) efez cos (fcz cos 9) йж dz,
s
, 9) = ^ г|) (a?, z) efe2 sin (kx cos 9) d^ dz.
s
Формула E) была получена Хэвелоком [125].
§ 12. О волнах, поднимаемых кораблем при движении
по круговому пути [53]
Метод, примененный лордом Кельвином для определения вида
волн, остающихся за кораблем, движущимся равномерно и пря-
прямолинейно, может быть использован и для исследования волно-
волновых систем, поднимаемых кораблем при его равномерном движе-
движении по круговому пути.
Метод Кельвина дает возможность охарактеризовать в общих
чертах систему волн, остающихся далеко за движущимся кораб-
кораблем. В основе этого метода лежит замена действия корабля на
воду действием сосредоточенных ударных давлений, перемещаю-
перемещающихся вдоль поверхности жидкости по пути корабля.
Если в момент времени t = 0 к поверхности бесконечно глубо-
глубокой тяжелой жидкости приложен в начале координат импульс
давлений, то уравнение поверхности жидкости в момент времени
t запишется так (см. § 3):
Bin-P, A)
где г — расстояние рассматриваемой точки поверхности жидкости
от центра импульса [53]. Эта формула имеет место для больших
значений величины gt21 Br).
Формула A) и была положена Кельвином в основу его иссле-
исследования. Для решения своей задачи мы воспользуемся также
формулой A).
Предположим, что концентрированный импульс давлений пе-
перемещается по поверхности бесконечно глубокой жидкости, опи-
описывая с постоянной угловой скоростью Q окружность радиуса а\
12. ВОЛНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОРАБЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ
597
этот импульс начал свое движение при t = — оо. Найдем сис-
систему волн на поверхности жидкости в какой-нибудь момент вре-
времени; за этот момент времени мы можем взять начальный момент
t = 0. Из формулы A) следует, что в начальный момент времени
фаза колебания 8, определяемого этой формулой и вызванного
импульсом, который был приложен в момент времени за t сек до
начального, будет равна
Возьмем какую-нибудь точку М поверхности жидкости и пос-
поставим задачу: найти такие положения
центра импульса, для которых величи-
величина 8 приобретает в точке М стационар-
стационарное значение. Для решения этой за-
задачи введем систему осей координат,
принимая за плоскость хОу средний
уровень жидкости, осъОх проведем из
центра пути импульса через положе-
положение центра импульса в момент време-
времени t = 0, ось Оу проведем перпенди-
перпендикулярно к оси Ох (рис. 67).
Примем все обозначения рис. 67.
Величина г должна иметь стационар-
стационарное значение при малых изменениях в
положении точки Q центра импульса; отсюда получаем следую-
следующее условие:
о?8 g 2tr — Г
Ж ^ 7*~
откуда имеем
Рис. 67.
= 0,
C)
г = 2rlt.
Из рис. 67 легко получить следующее соотношение:
dr = aQ cos 9 dt.
D)
При выводе соотношения следует помнить, что t надо рассматри-
рассматривать как то положительное количество секунд, которое следует
затратить точке Q для достижения точки 1 при движении с угло-
угловой скоростью Q.
Из формул C) и D) имеем
Q cos 8 = —.
Из рис. 67 следует
г cos Э = R sin (ф — а),
г2 = а2 + Л2 — 2aR cos (<p — а).
E)
F)
598 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Заметим, кроме того, что
Ф = Q?.
Формулы F) дают возможность найти по данным а и R вели-
величины ф и 0. Пользуясь формулами F), можем преобразовать урав-
уравнение E) к следующему виду:
4- aq>R sin (ф — а) = а2 + R2 — 2aR cos (ф — а). G)
Это уравнение при данных a mR позволяет найти величину ф,
т. е. то положение центра импульса, около которого созданные
волны дают стационарное значение фазе поднятия уровня жид-
жидкости в рассматриваемой точке М в момент времени t = 0.
Откладывая изучение уравнения G), представим формулы F)
в ином виде, переходя от полярных координат точки М к декар-
декартовым ее координатам х и у по формулам
х = R cos а, у = R sin а.
Вместо F) получаем такие формулы:
х sin ф — у cos ф = г cos 9, /gx
(х — a cos фJ + (у — a sin фJ = г2.
Но из формул B) и E) имеем
г = а/нр2, г = -s-аф cos 0, (9)
где
Из формулы B) видно, что фаза 8 больше я/2; отсюда следует,
что число р положительное. Теперь уравнения (8) могут быть
переписаны так:
х sin ф — у cos ф = 2ар2ф3, /лл\
(х — a cos фJ + (у — a sin фJ = а2р2ф4.
Полученные уравнения позволяют весьма отчетливо предста-
представить форму линий данной фазы поднятия поверхности жидкости.
Зададимся числом s; тогда при данном ф уравнения A1) опреде-
определят линию фазы 8. Эта линия состоит из точек пересечения окруж-
окружности и прямой линии (рис. 68). Окружность имеет центр в той
точке Q пути импульса, которая создает установившуюся фазу
в точке М; прямая же параллельна радиусу, соединяющему центр
пути импульса с точкой Q. Расстояние этой прямой от точки Q и
радиус окружности — величины переменные. Две точки Пересе-
§ 12. ВОЛНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОРАБЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 599
чения прямой и окружности будут принадлежать кривой данной
фазы поднятия жидкости. Эти точки будут действительными при
изменении угла ф от нуля до
Предельное значение угла ф, пользуясь формулой A0),
можно переписать так:
При этом крайнем значении ф две точки встречи линий
A1) будут сливаться и их расстоя-
расстояние от точки О будет
Для полного исследования кри-
кривых данной фазы представим коор-
координаты их точек в новом виде, по-
полагая
х = a cos ф +
cos (ф — ft),
A2)
у = a sin ф + ару2 sin (ф — ft).
Рис. 68.
Подстановка в первое уравнение
системы A1) приводит к следующему соотношению между угла-
углами ft и ф:
sin ft = 2рф.
A3)
Угол ft изменяется в пределах первой и второй четверти, так
как ф ]> 0.
Применим уравнения A2) прежде всего к выяснению формы
рассматриваемой кривой вблизи точки 1. Для малых значений
параметра ф имеем
ft = 2/xp, cos(ф -ft) = cos [(I — 2р) ф] = 1 1~С1 — 2РJФ2 + • ••>"
отсюда
Исключая ф, получаем
600 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Таким образом, вблизи точки 1 ветвь кривой равной фазы будет
параболой с осью Ох. Найдем расположение этой параболы отно-
относительно пути импульса. Простое вычисление показывает, что
разность значений х, отвечающих одному и тому же значению у
параболы и окружности, будет
т. е. парабола лежит выше окружности.
При данном ф уравнение A3) имеет, кроме корня Ф, найден-
найденного выше, еще корень Ф', равый я —Ф. Для этого корня имеем
' = л-Ф, cos(<p-O')= -1 +4-
sin(q> —fl')= — A
Отсюда
Исключение параметра ф дает связь между х и у:
.—.(p+4-H-f)'
Это уравнение изображает параболу, проходящую ниже пути им-
импульса и касающуюся его в точке 1.
Таким образом, вблизи точки 1 между ветвями кривой равной
фазы содержится окружность, по которой движется центр им-
импульса.
Для полного выяснения формы кривой A2) найдем ее особые
точки. С этой целью определим производные х и у по параметру ф.
Имеем
1 dx
— ^— = — sin ф -f- РЧ> [2 cos (ф — О) — ф sin (ср — Щ +
4"-^" = cos Ф + ?Ф t2 sin (Ф — *) + Ф cos (Ф —
- /5ф2 COS (ф — ф) — .
Из этих двух формул легко получаем следующие два соотно-
соотношения:
§ 12. ВОЛНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОРАБЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 601
где
Отсюда видим, во-первых, что радиус переменной окружности,
имеющей центр в точке Q, нормален к кривой равной фазы в точ-
точке М. Затем, особые точки этой кривой определяются из уравне-
уравнения
Заменим в этом уравнении ф его значением через sin Ф по
формуле A3), получим
1 4р \
Перепишем это уравнение следующим образом, полагая ? =
= cos ft:
1 — ?2 2 Ар 5*
Из графического изображения обеих частей этого уравнения
легко найти, что в пределах (—1, 1) заключаются два корня этого
уравнения: один корень положительный, другой — отрицательный.
При изменении р от нуля до оо положительный корень возрастает
от нуля до 1/J/3, отрицательный же возрастает от —1 до —1
Решим предыдущее уравнение относительно р, найдем
р "
2 A -
/з
Получив эти результаты, обратимся к уравнениям A2) и най-
найдем по ним координаты особой точки кривой равной фазы. Ука-
Укажем предварительно следующую формулу:
Подстановка в уравнения A2) дает нам
з и
A
JL д «- A _ 6«) sin
а 2 v b ;
602 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
При изменении g в пределах, указанных выше, эти уравнения
будут определять геометрическое место особых точек кривых рав-
равной фазы 8.
Найдем радиус-вектор R и амплитуду а точек кривой A5);
имеем
R =
tg
При изменении ? от нуля до 1/]ЛЗ радиус-вектор R уменьшается
от оо до а, при изменении ? от —1 до —l/j/~3 радиус-вектор i?
увеличивается от нуля до а. Из формулы, определяющей ампли-
амплитуду а, следует
или
о = Ф — arctg — ф, A7)
где
ср =
Рассмотрим изменение величины ф в зависимости от ?. Диф-
Дифференцируя предыдущую зависимость, получаем
и, далее,
9 ^ с?ф
Таким образом, а есть убывающая функция переменного ?.
При изменении ^ от нуля до 1/|ЛЗ угол а убывает от оо до нуля;
для малых ? имеем
следовательно,
т. е, рассматриваемая кривая приближается к спирали Архимеда.
§ 12. ВОЛНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОРАБЛЯ ПО КРУГОВОМУ ПУТИ 603
При изменении | в пределах (—1, —1/|/) угол а уменьша-
уменьшается от оо до 0; при больших значениях а имеем
R = a /2 УI + I, a = >Ll— .
Отсюда
R = 2a/a.
Таким образом, вблизи начала координат рассматриваемая
кривая имеет вид гиперболической спирали.
Выясним, наконец, вид кривой около точки 1. Этой точке от-
отвечает значение ? = 1/)/. Пользуясь формулами A6) и A7),
находим
отсюда декартовы координаты запишутся так:
Исключим из этих уравнений параметр ?, получим
=1 + 4-+...
а ' 21^2 й
Отсюда вытекает, что внешняя ветвь спирали касается в точке
1 прямой, наклоненной к пути центра импульса под углом
arctg A/2У) =19°28\ Мы встречаем здесь известный угол теории
корабельных волн.
Точке 1 отвечает также значение ? = —1/|/, значениям ? <
< —1/|АЗ соответствуют точки внутренней ветви спирали.
Выполняя вычисления, аналогичные приведенным выше, нахо-
находим уравнение внутренней спирали вблизи точки 1:
^- = 1—$=-¦*-+...
а 21^2 а
Таким образом, внутренняя спираль касается в точке 1 пря-
прямой, наклоненной под углом 19°28' к пути импульса.
Обратимся теперь к установлению формы кривых равной фазы.
Умножим первое из уравнений A4) на г/, второе на х и сло-
сложим результаты, получим
Умножим затем первое из рассматриваемых уравнений на х9
604 ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
второе на у и вычтем результаты, получим
Решим новые уравнения относительно комбинаций
dx | dy dy dx
получим
или, пользуясь формулами A2),
Знак плюс берется для части кривой, лежащей за путем импуль-
импульса; знак минус — для части кривой, лежащей внутри пути им-
импульса.
Из уравнения A8) следует, что радиус-вектор рассматривае-
рассматриваемой кривой принимает максимальное значение в особых точках
кривой, так как в этих точках выражение Е обращается в нуль.
Из уравнения A9) следует, далее, что в этих же точках обращается в
нуль и выражение х dy/dq — у dx/dq>, которое представляет собой
величину, пропорциональную производной по ср от полярного угла
точек кривой; следовательно, в особых точках полярный угол
достигает максимального значения. Кроме того, в тех точках,
где cos § < 0 и
рцJ — j/"l — 4р2ф2 = 0,
полярный угол имеет некоторое экстремальное значение; нетрудно
видеть, что значение ф, определяемое этим последним уравнением,
меньше нежели 1/Bр), т. е. принадлежит к числу возможных зна-
значений параметра ф.
Из этого общего анализа кривых равной фазы легко устано-
установить и вид этих кривых. Из центра импульса выходят две ветви
кривых равной фазы: одна из этих ветвей располагается вне пу-
пути импульса, другая — внутри него. При отходе от центра им-
импульса первая ветвь непрерывно удаляется от центра траектории
импульса и достигает наибольшего удаления в некоторой точке,
являющейся точкой возврата всей кривой равной фазы. Эта внеш-
внешняя ветвь принадлежит продольным волнам. Внутренняя ветвь,
§ 12. ВОЛНЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОРАБЛЯ НО КРУГОВОМУ ПУТИ
605
выходя из центра импульса, непрерывно приближается к центру
пути импульса и представляет собой внутреннюю ветвь продоль-
продольной волны. Эта внутренняя ветвь оканчивается в другой особой
точке всей кривой равной фазы. Две особые точки кривой равной
фазы соединяются дугой поперечной волны. Участок внутренней
продольной волны имеет по сравнению с внешней продольной
Рис. 69.
волной малое протяжение, но поперечная волна сравнима по
своей длине с внешней продольной волной. По своему виду попереч-
поперечная волна и внешняя продольная волна могут быть названы спи-
спиралями.
На рис. 69 изображен ряд кривых равной фазы, образовав-
образовавшихся при движении центра импульса по окружности радиуса
200 м при угловой скорости ?2, удовлетворяющей условию
aQ2/g = 0,01; период обращения импульса вокруг центра окруж-
окружности будет около 5 мин. Построенные кривые изображают греб-
гребни, долины и узловые линии всей системы корабельных волн.
606
ГЛ. IV. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Сплошные кривые принадлежат продольным системам волн, а
штриховые кривые принадлежат поперечным системам волн.
Закончив описание вида линий равной фазы, мы должны были
бы теперь рассмотреть величины поднятия точек поверхности
жидкости. Но этот вопрос исключительно сложен вследствие свое-
своеобразной интерференции возвышений отдельных поперечных и
продольных волн, проходящих через произвольную точку поверх-
поверхности жидкости; разбором этого вопроса мы заниматься не будем,
Рис. 70.
а ограничимся лишь тем, что выясним, какие волны проходят
через каждую точку поверхности жидкости.
Вернемся к уравнению G) и допустим, что величины йиа
даны, т. е. рассматривается вполне определенная точка поверх-
поверхности волны; мы желаем определить значения угла ф, т. е. найти
те точки пути импульса, которые дают стационарное значение
фазе поднятия жидкости в точке р (/?, а).
Для установления числа решений уравнения G) изобразим ле-
левую и правую его части в виде кривых линий, беря за абсциссу
переменный угол ф. Абсциссы точек пересечения этих двух кри-
кривых линий дают искомые значения угла ф. Из рис. 70 видно, что
уравнению A7) удовлетворяет бесконечное множество различных
чисел ф. Эти числа можно объединить в пары, причем числа ка-
какой-нибудь пары порядка п будут заключены между а + 2 (п —
— 1) я и а + Bп — 1) я. Этим двум числам отвечают одна про-
продольная и одна поперечная волна, проходящие через выбранную
точку. Таких пар — бесчисленное множество, следовательно,
через данную точку проходит бесконечное число различных ли-
линий равной фазы. Отсюда вытекает крайняя запутанность окон-
окончательного рисунка волн. Но при удалении от центра пути импуль-
импульса рисунок волн упрощается, так как с увеличением R начинают
последовательно исчезать одна за другой пары продольных и
поперечных волн.
Глава V
ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
А. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ *)
§ 1. Первый метод Стокса
В настоящем параграфе мы изложим содержание основной ра-
работы Стокса 1847 г. об определении установившихся волн конеч-
конечной амплитуды на поверхности бесконечно глубокой жидкости
[187]. Будем считать, что движение жидкости потенциальное и
плоскопараллельное. Наша задача состоит в определении формы
периодической волны данной длины и амшштуды; предполагается
известной скорость потока жидкости на бесконечной глубине.
Компоненты скорости частицы жидкости по осям прямоуголь-
прямоугольной системы координат с осью Оу, направленной вверх, запишутся
так:
дф дф
дх ду '
здесь с — скорость потока на бесконечной глубине, ф (#, у) —
искомый потенциал скоростей.
В точках поверхности жидкости давление имеет постоянное
значение р0; следовательно, вдоль поверхности жидкости будет
соблюдаться следующее равенство:
dp , dp A
-^- U + ~- V = О,
дх ' ду '
которое можно переписать так:
сдр_
дх
Из интеграла Бернулли
др_ = д? ду_ др_ ду_ 4
дх дх дх * ду ду ' ^ '
имеем
1 dp д2ф / дф д^ф дф д2ф \
р дх дх2 \ дх дх2 ду дх ду / '
1 др д2ф / дф д2ф , дф д2ф \
р ду дх ду \ дх дх ду ' ду ду2) °"
*) В рукописи нет деления гл. V на две части: А. Приближенные решения;
Б. Точные решения/(Я/?ыле. ред.)
608 гл. v. теория волн конечной амплитуды
Подставим эти выражения в равенство A), получим
г аф __^ф _аф_1_ а2ф_/_аф_
L ^2/ ^ ду J ду*\ду
Это соотношение должно удовлетворяться во всех точках открытой
поверхности жидкости.
Из интеграла Бернулли можно получить второе соотношение
для точек поверхности жидкости. Придавая р значение р0, отве-
отвечающее поверхности жидкости, получаем
«-«¦Й- -
Таким образом, мы должны найти интеграл уравнения Лапласа
Ф = ф (х, у), для которого соблюдались бы два условия C) и
D). Каждое из этих условий представляет собой соотношение меж-
между координатами х, у точки на поверхности. Следовательно, оп-
определив из условия D) у в зависимости от х и подставив его в
условие C), мы должны получить тождество относительно х. Чтобы
осуществить это, введем в рассмотрение некоторый малый безраз-
безразмерный параметр 8 и будем искать неизвестную функцию ф (х, у)
в виде ряда по степеням этого параметра. Положим
Ф = 8(Pi + е2Ф2 + ?3ф3 + . . . E)
Коэффициенты этого ряда суть неизвестные интегралы уравнения
Лапласа; эти интегралы должны быть периодическими функция-
функциями переменного х с периодом, равным задаваемой длине К волны.
В теории бесконечно малых волн устанавливается соотношение
между X и скоростью потока с; для волн конечной амплитуды
также должно быть соотношение между этими величинами. Од-
Однако, определяя периодические волны на основе соотношений C)
и D), приходим к невозможности удовлетворить соотношениям
C) и D), не вводя предположения, что скорость потока с зависит от
параметра 8, который в конце концов дает амплитуду волны.
Ввиду этого положим
С = Со + гСг + 82С2 + 83С3 + . . ., (g)
С2 = С0 + &С[ + &% + 834 + . . . ,
причем
с'о = Со, с[ = 2сос17 с2 = с\ + 2с0с2, съ = 2с±с2. G)
Числа с с различными индексами будут находиться из условия,
что все коэффициенты ряда E) должны быть периодическими
функциями переменного х. Таким образом, соотношения F) будут
§ 1. ПЕРВЫЙ МЕТОД GTOKGA 609
давать связь между длиной установившейся волны, ее амплиту-
амплитудой и скоростью потока.
Мы ставим своей задачей найти коэффициенты рядов E) и F),
имеющие порядок, не превышающий третий по отношению к пара-
параметру 8.
Подставим ряды E) и F) в условие C). Получим следующее
равенство:
2 дх*
дх* 1 дх дх* л \ дх- / дх* ~ \ ду
-)J+...
Обратимся теперь к условию D), подставим в правую его часть
ряд E), получим
Разложим функции фх, ф2, ф3 ,. . . в ряды по степеням у, найдем
у аФ? У2 а2ф» уз азф1°
Фх(^ 1/) - Фх(^ 0) + \ -%- + %- ^-+ -f ^+ .,.,
v ^Ф? 1/2
х, У) = Ы*, 0) + f "#¦ + +
Индекс 0 вверху указывает, что соответствующая функция берется
для I/ = 0.
Разложим затем неизвестную функцию у в ряд по степеням 8,
получим
У = в?! + 821/2 + 831/з + • • • (И)
Теперь мы должны подставить разложения A0) и A1) в условия
(8) и (9) и приравнять нулю коэффициенты при различных степе-
степенях е. Составим прежде всего коэффициент при 8 в первой
20 Л. Н. Сретенский
610 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
степени в условии (8). Получим
«чОг+'-%- = <>• A2)
Возьмем интеграл уравнения Лапласа
фх = ЪеНу sin кх; A3)
здесь число Ъ имеет произвольное значение, число к связано с дли-
длиной периодической волны формулой
к = 2яА.
Этот интеграл определяет потенциал скоростей бесконечно малых
волн, движение от которых стремится к нулю по мере погружения
в жидкость. Функция A3) будет удовлетворять условию A2),
если с'о взять равным
со = g/k = с\. A4)
Перейдем затем к условию (9). Пользуясь всеми предыдущими раз-
разложениями, находим (сравнением коэффициентов при первых
степенях е в этом условии) функцию уг:
ух = —cos&r. A5)
Применяя результаты A3) — A5), составим на основе рядов
A0), A1) коэффициент прие2в условии(8). Проводя вычисления,
приходим к следующему граничному условию для функции ф2 (х, у):
с° ~д^Г + ?-%" " bClk smkx = Ов
Уравнение Лапласа будет иметь периодический по х интеграл,
удовлетворяющий этому условию лишь в том случае, если с[ =0.
При таком значении с[ функция ф2 (х, у) будет снова давать потен-
потенциал скоростей бесконечно малого волнового движения. Мы бу-
будем считать, что такое движение дается найденной уже функцией
<Pi(#, у). Если этого не предполагать, то заменой параметра 8
некоторым новым параметром е' можно тем не менее представить
бесконечно малое движение лишь первым членом ряда E). Таким
образом, можно считать, что функция ф2 (#, у) тождественно равна
нулю.
Установив это, приравняем в условии (9) друг другу коэф-
коэффициенты при е2 в правой и левой его частях. Получим после вы-
выполнения простых вычислений
yi'=^~-cos2kx. A6)
§ 1. ПЕРВЫЙ МЕТОД СТОКСА 611
Подставим разложения A0), A1) в условие (8) и приравняем
нулю коэффициент при е3. Проводя вычисления, получаем следую-
следующее граничное условие для гармонической функции ф3 (х, у):
§ ^ я ~ *»> sin ** = °-
Рассуждая, как и выше, находим, что функция ф3 (х, у) = 0
и число с2 должно иметь следующее значение:
с; = Ь2к\ A7)
Найдем с помощью условия (9) функцию у3. Получим
у C cos3 kx—2 cos kx),
ИЛИ
г/3 = C cos 3 kx+cos kx).
°8со
Собирая вместе результаты всех подсчетов, получаем, что потен-
потенциал скоростей
ф = _ сх + гЬе^у sin kx A8)
определяет с точностью включительно до третьих степеней пара-
параметра е установившееся волновое движение бесконечно глубокой
жидкости, имеющей основную скорость с.
Уравнение поверхности жидкости запишется так:
у e W + ^ГУ ^os + ^Гcos 2кх + "sF^cos Ъкх'
Представим полученный результат в другой форме, вводя вместо
параметра е новый параметр а, полагая
__ ?1
с0 Sgc0
Отсюда находим е в зависимости от а:
Введем в формулы A8) и A9) параметр а, получим
B0)
1 3
у — acoskx-{- -J-а2кcos2кх -f -g-а3^2cos^Аж. B1)
Параметр а можно назвать амплитудой волны.
20*
612 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Выпишем второй из рядов F), пользуясь равенствами A4),
A7); получим
или, вводя параметр а и длину волны X,
<22>
Найденную нами установившуюся волну конечной амплитуды
можно рассматривать также как некоторую прогрессивную вол-
волну, распространяющуюся без изменения своего вида по поверх-
поверхности жидкости, покоящейся в бесконечности. Скорость распро-
распространения с такой волны, имеющей длину X и амплитуду а, будет
определяться формулой B2). Эта формула показывает, что ско-
скорость волны конечной амплитуды зависит не только от ее длины,
как это имеет место для бесконечно малых волн, но также и от
амплитуды.
Приведем без вывода результаты определения волн конечной
амплитуды для бассейна конечной глубины h. Учитывая лишь
вторые степени амплитуды а, запишем уравнение волны в сле-
следующем виде:
7 chkh(ch2kh + 2) 7 » 7
у = a cos кх / , q ?.—!—- к a* cos кх:
у 4 sh3 kh '
соответствующий потенциал скоростей будет
^ . sh (v + Л) • 7 3 ch [2к (у + h)] 9 . от /оо\
Ф = — сх + ас *;, sin кх — .477—- л2сsin2b;; B3)
между скоростью потока и длиной волны имеет место зависимость
с2 = 2я"th ~T~ '
верная до вторых степеней амплитуды а включительно.
При исследовании бесконечно малых прогрессивных волн было
установлено, что каждая частица жидкости описывает замкнутую
эллиптическую траекторию при распространении волны. Изу-
Изучая вопрос о форме траекторий частиц жидкости при распростра-
распространении прогрессивной волны конечной амплитуды, Стоке пришел
к неожиданному и замечательному результату, что при распро-
распространении такой волны частицы жидкости имеют, помимо колеба-
колебательного движения, еще постоянное движение в направлении
распространения волны. К такому заключению Стоке пришел,
интегрируя уравнения движения частиц жидкости при наличии
потенциалов скоростей B0) и B3).
Дадим доказательство существования такого дополнительного
стоксова течения, следуя рассуждениям Рэлея [168'], для бес-
бесконечно глубокого потока.
§ 1. ПЕРВЫЙ МЕТОД CTOKGA 613
Пусть А В будет поверхностью волны от гребня до низшей точки
ее долины. Будем предполагать, что на бесконечной глубине
жидкость имеет движение слева направо со скоростью с. Рас-
Рассмотрим вблизи линии АВ некоторую другую линию тока CD
между вертикалями точек А и В. Обозначим через do поперечное
сечение полоски ABDC в некоторой ее точке М\ пусть V будет
скоростью жидкости в этой точке. Обозначим, далее, через Q dt
количество жидкости, проходящей через сечение АС за время dt.
Время, необходимое частице жидкости для пробега кривой АВ,
выразится так:
rp V u.o
но V = Q/da; отсюда
1 Г л л пл. ABDC
= -q\ dsdG = Q
Заметив эту формулу, рассчитаемте время 7", в течение которого
частица жидкости, находящаяся на очень большой глубине, про-
проходит путь между вертикалями гребня А и долины В волны.
Пусть через элементарную трубку A'B'D'C, лежащую на большой
глубине, проходит в течение времени dt то же количество жидкости
Q dt, какое проходит через трубку ABDC. Так как рассматривае-
рассматриваемая трубка находится весьма глубоко, то линии А'В' и CD'
могут считаться прямыми. Время Т' пробега пути А'В' опреде-
определится так:
гр, пл. A'B'D'C'
Проведем теперь некоторое число линий Ф = const так, чтобы они
разбили прямоугольную полоску A'B'D'C на квадратики. Эти
линии будут разбивать криволинейную полоску ABDC тоже на
квадратики, но эти квадратики не будут уже равными. Действи-
Действительно, обозначим через йФ разность значений Ф для каждых
двух соседних линий Ф = const. Очевидно, йФ = — V ds, но в
силу интеграла Бернулли скорость V с перемещением точки М
от А к В увеличивается, следовательно, при переходе от одного
квадратика к другому (спускаясь вниз) будем получать уменьшаю-
уменьшающиеся значения ds. Отсюда вытекает, что квадратики полоски
ABDC будут разных размеров. Если бы теперь мы разбили линию
А В на равные части, оставляя число частей прежним, и на
каждом кусочке построили бы квадратики, то сумма S пло-
площадей этих квадратиков была бы меньше площади ABDC.
Но так как линия АВ имеет большую длину, чем линия А'В',
то S будет больше, чем площадь А'В D'C'\ поэтому площадь
A'B'D'C' меньше площади ABDC.
614
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Отсюда на основании формул B4) и B5) следует, что Т < Т.
Следовательно, пробег частицей жидкости дуги АВ длится дольше,
чем пробег линии А'В'\ иными словами, около поверхности жид-
жидкости существует некоторое дополнительное течение, направление
этого течения будет от вертикали точки В к вертикали точки А,
т. е. против направления скорости потока в бесконечности.
Для наблюдателя, связанного с потоком жидкости в бесконеч-
бесконечности, установившаяся волна переходит в волну прогрессивную,
распространяющуюся справа налево, и в этом направлении распро-
распространяющейся волне будет сопутствовать найденное выше допол-
дополнительное стоксово течение. Это течение называется также при-
приповерхностным, так как его скорость имеет ощутимое значение
лишь около поверхности жидкости. В § 12 будет дано аналитиче-
аналитическое исследование стоксова течения и определена его скорость.
Леви-Чивита определил приповерхностное течение для потока
жидкости конечной глубины [142].
§ 2. Второй метод Стокса
Второй метод Стокса для определения волн конечной амплитуды
есть по существу дела современный метод решения задач гидро-
гидродинамики с помощью конформных отображений [187']. Найдем
этим методом установившее-
установившееся волновое движение для
жидкости бесконечной глу-
глубины *).
Введем систему прямо-
прямоугольных координат; ось Оу
этой системы направим вер-
тикально вверх, проводя ее
& через вершину волны; ось Ох
проведем по среднему уровню
жидкости в сторону скорости
потока в бесконечности. Рас-
Рассмотрим часть потока между
двумя вертикальными пря-
прямыми, симметрично расположенными относительно оси Оу и раз-
разделенными длиной волны К; эти прямые проходят через низшие
точки волны (рис. 71). Допустим, что свободной поверхности
жидкости, т. е. поверхности волны, отвечает нулевое значение
О
Рис. 71.
*) Установившиеся периодические волновые движения жидкости конеч-
конечной глубины были определены с помощью второго метода Стокса в работе
Дэ [94].
Предлагаемое здесь автором усовершенствование второго метода Стокса
путем сведения определения волн к решению бесконечной системы кубиче-
кубических уравнений впервые опубликовано в работе [54]. (Прим. ред.)
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД GTOKGA 615
функции тока яр, а вершине волны — и нулевое значение потен-
потенциала скоростей ф.
При отсутствии волн функции ф и яр имели бы следующие зна-
значения:
Ф = — сх, яр = — су;
отсюда
х = — (р/с, у = — яр/с.
Положим, что при наличии волн имеют место следующие соот-
соотношения между переменными х, у, ф, яр:
A)
2яф
Ф V ~~сГп
= —а0 — > апе cos
Действительные коэффициенты а0, а1? а2,. . . этих рядов неиз-
неизвестны.
В основу второго метода Стокса положено рассмотрение вели-
величин ф, г|) как независимых переменных, а величин #, у — как
функций этих переменных. Таким образом, Стоке преобразовы-
преобразовывает конформно рассматриваемую область волнового потока, за-
заключенную между вертикальными прямыми х = — 72А,, х = 1/2Х
и ограниченную сверху неизвестной линией волны, на бесконеч-
бесконечную полуленту плоскости комплексного переменного ф + д|),
1 1
ограниченную прямыми линиями ф = — -^ сХ, ф = -^ сХ, яр = 0.
При таком отображении неизвестная по форме поверхность волны
переходит в ось абсцисс плоскости (ф, яр).
Задание зависимости х, у от ф, яр в виде A) предполагает сим-
симметрию потока и волны относительно оси Ог/, т. е. вертикали
гребня.
Введем для краткости вместо переменных х, г/, ф, яр соответ-
соответственно новые переменные ?, г\, а, р, полагая
t 2rt 2к 2я Q 2к .
положим вместе с тем
2л 2я;
соп = j- пап, соо = 5Г а°*
В пределах рассматриваемой части потока переменное а будет
меняться от — я до я, а переменное |3 — от 0 до оо. В новых
616 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
обозначениях формулы A) запишутся так:
= — а — \ —— е~$п sin тга,
ZJ п
^ B)
т| = — Р + ^о+^-^Гe~Pncos na'
п=1
Ось 0# системы координат была проведена по среднему уровню
жидкости; в силу этого будем иметь следующее равенство:
Х| 2
-Х/2
Составим левую часть этого равенства на основании предыдущих
разложений, полагая в них |3 = 0; получим
Х|2 71 ОО
-XJ2 -n n=L
Отсюда следует, что
•*--¦г
Возьмем интеграл Бернулли
и применим его к частицам жидкости, лежащим на бесконечной
глубине. Для таких частиц имеем
Р = Ро — gpy,
где р0 — постоянное атмосферное давление, действующее на по-
поверхность жидкости. Отсюда интеграл Бернулли примет такой
вид для рассматриваемых частиц:
Следовательно,
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД GTOKGA
и интеграл Бернулли запишется так:
С17
Применим это соотношение к точкам свободной поверхности жид-
жидкости; так как вдоль свободной поверхности давление постоянно
и равно р01 то будем иметь
2gy = с2 - Y\ D)
Это есть основное уравнение нашей задачи.
Преобразуем уравнение D) к новому виду. Для этого введем
временно такие обозначения в связи с формулами A):
z = х + iy,
W = ф + П|),
и объединим эти формулы в одной записи:
Отсюда имеем
dz _ f/ / ч
но так как
то
f (го)
Перепишем эту формулу так:
1
V =
дх
ду
3
да
E)
Подставим это значение V в уравнение D); выполняя ряд преоб-
преобразований, приводим это уравнение к такому виду:
Подставим сюда вместо ? и г] их разложения B), написанные для
точек открытой поверхности, т. е. для |3 = 0.
Отметим прежде всего такое равенство:
llJ +
= С1 + ^о) + 2 (о)! + 50 cos a + 2 (со2 + 5a) cos 2cc+...
618
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
в котором положено для сокращения записи
$0 = (д1(О1 + Ш20J + Ш3О>з + . . . + Щ
S + С02О>з + СО3СО4 + • • • +
+ С020>4 + СО3СО5 + . . . + Щ(дк+2
(8)
Далее, имеем
яс2 яс2 V^ wn
—г т] = —г соо — > ——
cos
(У)
n=l
Составим теперь на основе формул G) и (9) уравнение F) нашей
задачи. Левая часть этого уравнения будет иметь вид тригономет-
тригонометрического ряда по косинусам дуг, кратных аргументу а. Срав-
Сравнивая левую часть уравнения F) с правой его частью, получаем
следующую систему уравнений:
- (оо
- S,)
= J?.SO, A0)
^ + ^) (co2 + S2) +
A1)
("T
"г
тCOa'
¦^¦5, - 5.) + (^ + -?¦) К + 50 + (^ + ¦$¦) («. +
(-f + f )(
co5
A3)
0J I ^10 \
~ "t" 10 У'
•.. = Г
co4) + i- ш4) A4)
2. ВТОРОЙ МЕТОД GTOKGA 619
-|-^-со5, A5)
0N с Cl
I / 0K , A)9
+ [-3- 1- "9-
b^6) + -g-w6» A6)
В этих уравнениях Г обозначает следующее выражение:
A7)
Звездочки в скобках поставлены вместо нулей, чтобы сделать на
писание уравнений наиболее симметричным.
Составленная система A0) — A6) содержит бесконечное чис-
число кубических уравнений относительно неизвестных
too, ©!, со2, со3>- • • A8)
К числу неизвестных присоединяется и Г, так как Г содержит
с и X, между которыми существует неизвестная еще связь, содер-
содержащая неизвестные A8). Заметим, что к уравнениям A0) — A6)
должно быть добавлено еще уравнение C).
Уравнения C), A0) — A6) и составляют систему уравнений
второго метода Стокса, записанную в симметричном виде.
Будем искать неизвестные A8) в виде рядов, расположенных
по степеням некоторого параметра 8. В качестве такого параметра
возьмем корень квадратный из величины
входящей в уравнение C). Положим
620 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
откуда следует, что
A9)
Совместное рассмотрение уравнений A0) — A6) показывает, что
величины A8) имеют по отношению к 8 порядок малости, равный
индексу соответствующей величины; что же касается величины Г,
то это есть величина второго порядка малости по 8. Заметив
это, будем искать все указанные величины в виде следующих
рядов:
Г = 82 (Го + 82Г2 + 84Г4 + . . . )
(/г = 1,2,3,. ..)•
Определим неизвестные со в числе шести, ведя, таким образом,
подсчет всех величин с точностью до шестой степени параметра 8.
Положим
о>1 = е (со10 + 82ш12 + 84со14),
С02 = 82 (Ш2О + 820J2 + 84С024),
ю3 = е3 (созо + е2о>32),
о>4 - е4(о>40 +82со42), B0)
со5 = e5fc>5o>
GN = 86С060,
Г = 82 (Го + 82Г2 + 84Г4).
Подставим эти разложения сначала в уравнение A2) и сравним
коэффициенты при одинаковых степенях 8 в обеих частях этого
уравнения; получим после этого следующие три уравнения:
1 1
g- ol>io(d3o = Госо20 + -^- оо22, B2)
4" (°2o(°40 + 2 + + +
-уСОгоЧ- 3@10@12@20 + "з~
= " «24 + а>2оГ2 -f (C022 + (ОюСОзо) Го. B3)
Подстановка разложений B0) в уравнение A3) приводит к двум
уравнениям:
3 2
-2-союОJо = -3-0K0, B4)
-3
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА (V21
1 ,3 4
~4" 0)Ю@40 +• ~2 ® +
+ -J- ^10^20 = "у О>32 + @30Г0. B5)
Из уравнения A4) получаем два уравнения:
/ \ q
-д- «ю^зо + у «20 = -f" «40, B6)
4 . 1 .4 .
-у (Озг^ю + -g- «бо^ю + у @300I2 +
^^ + CD(OC0 0) + О)ГО. B7)
Подстановка разложений B0) в уравнения A4) и A5) дает по
одному уравнению:
¦J- Ю40Ю10 + -g" «30^20 = -5" G>69'
6 , 3 .12 5
-^ ©50©ю + " ^о^го + -у «зо = -g- ^ео-
Решим систему полученных уравнений B1) — B9). Из уравне-
уравнений B1), B4), B6), B8), B9) находим
о 2 9 з 32
@20 = ^С010, @30 = -у ®10» ^О = "з~
625 5 .. 324 6
0M0 = 4" ^^^ (°6° = ~5~" (°10#
Возьмем затем уравнения B2), B5), B7); пользуясь результатами
C0), получаем
ш22 = 9(oJ0 + 4(о10(о12 — 4@10Г0, C1)
145 5 1 27 2 63 зп /оо\
^ = <*>10 + " Ш10%2 — — С010Г0, C2)
739 « , 128 » „ 476
739 6 , 128 3 476 4 ту /оо\
©42 = — ©10 + -3- ©10O12 д- ЮюГ0. C3)
Теперь остается рассмотреть лишь уравнение B3), но будет
проще решить это уравнение в самом конце, чем сейчас.
Возьмем уравнение A0). Заменим в этом уравнении коэф-
коэффициент при SQ в правой части через
и подставим затем вместо о> и Г их разложения B0). Выполнив эти
действия, получим, после сравнения коэффициентов при s2, s4,
622 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
е6 в обеих частях, такую систему уравнений:
<о?о = 1, C4)
<*>io<°2O 2" ^io ^ " О32О 2" ^io + ©xoCDia + -у Г0оз^0, C5)
7?~ 0J0 — C0l0^12 =
1 2 | I , 1 2 3 2 2
= -у (О30 + ОЗ22СО20 + 0)ю0)ц + -у 0I2 ?- 0I0С02о —
— 2СО?00I2 + -у 0J0^0 + ОI0(О12Г0 + -у 01ОГ2. C6)
Из уравнения C4) следует, что *)
со1О = 1;
подставляя это значение со1О в формулу C0), получаем
0)ю ~ 1» 0J0 — ^ч О)зо = ~у »
32 625 324
0Хш — ~^~» о^бо — 4- ^ 0N0 — —g— .
Уравнение C5) принимает теперь такой вид:
0I2 + 4" Го = °- C8)
Возьмем уравнения C1), C2), C3), заменяя в этих уравнениях
оIО единицей, а со12 через —х/г Го; получим
Q пГ 145 45 г 739 668 г
0J2 — У — D1 0> 0K2 = —| 2~ 0? 0L2 = —g g— I 0- )
Пользуясь полученными результатами, можно переписать урав-
уравнение C6) в такой простой форме:
4-^+4-^-^-4^=^. D0)
Обратимся, наконец, к уравнению A1). Это уравнение приводит,
после сравнения коэффициентов при одинаковых степенях е,
к двум таким уравнениям:
о)юГ0 = 2,
1 D1)
9 + 4со12 +-f со22 = 2Г0 + оI2Г0 + Г2.
*) Если принять со1О = —1, то при положительном значении параметра е
над точкой х = 0 будет не гребень волны, а нижняя точка долины волны. При
дальнейшем исследовании формы волны достаточно ограничиться предполо-
предположением, ЧТО 0H= 1 И8>0.
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА 623
Из первого уравнения вытекает, что Го = 2; далее из формул C8)
и C9) получаем
@12=— 1, 0J2:-— 3, (Ода = — 4р , 0L2=—^-. D2)
Уравнение D1) дает затем значение коэффициента Г2:
4-
г.-
Возвращаясь к уравнению D0), находим из него
4
Рассмотрим, наконец, уравнение B3); это уравнение дает на ос-
основе предыдущих вычислений значение коэффициента аJ4:
2
0J4=- — .
Таким образом, все коэффициенты разложений B0) найдены,
и теперь можно написать такие формулы:
, / 9
35
Возьмем последнюю формулу и заменим в ней величину Г ее зна-
значением A7), получим
Это есть формула, определяющая скорость прогрессивной волны
по ее длине Я и по относящемуся к ней параметру 8.
Если в формулы B) мы подставим вместо коэффициентов со
найденные их значения D3), то определим весь поток жидкости.
Полагая в этих формулах р = 0, найдем параметрические урав-
уравнения профиля установившейся волны конечной амплитуды. Да-
Дадим уравнения этой волны, беря в качестве параметра не величи-
величину 8, a щ.
Из формулы
COi = 8 I 1 — 8*
624 гл. v. те ория волн конечной амплитуды
легко находим е как функцию сох; имеем
8 = (
Подставляя это значение s в формулы D3) и обозначая (х)х через Ь,
получаем
оJ = w (г + ь* + Щ-
2^4
32 , 313 ,,\ 625 ,, 324
Из формулы C) находим
Внося эти значения величин со в разложения B) и переходя к ко-
координатам х, у, записываем параметрические уравнения волны:
х = - -|_|a + bsma + -|-b2 B + & + -|U4)sin2a +
, l,o/9 , 9 ,,\ . о , 1 ,, / 32 , 313 ,„\ . , ,
+ —b {-r + ii b)smЗа +—Ь ("г + тгb)sm4a +
^ ^} D5)
-1-b2 f 2 + 62 + Д b4^ cos 2a + -4- b3 f-S- + ^7- b2)cos 3a +
f
\
. 1 74/З2 . 313 ,o\ , . 125 7. r . 54 ,fi fi 1 //лч
+ ~Ь4 -Q- + "To-fe cos4a+-7r7-b5cos5a + -F-66cos6aL D6)
4 \ о lo J u4l О J
Перепишем формулу D4) для скорости с в зависимости от нового
параметра й, найдем
Полученные уравнения волны повторяют, но с добавлением чле-
членов пятого и шестого порядка, уравнения, найденные Стоксом.
Выведем некоторые следствия из полученных результатов.
Положим в формуле D6) переменное а равным нулю, в резуль-
результате получим ординату к± высшей точки гребня волны:
*• - ъ [if+-^+? *)+О+>+
Положим затем в той же формуле a = я; после подсчетов получим
ординату низшей точки долины волны:
D9)
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД GTOKCA 625
Назовем амплитудой волны а полусумму величин h± и (— А2);
найдем
Определим отсюда Ъ в зависимости от а, получим
' 2яа \ 3 / 2яа \з 1 / 2яа \5
Подставим это значение Ъ в формулу D7), получим тогда выраже-
выражение скорости через длину и амплитуду волны:
2 _ 8^ \л , / 2яа \2 , 1 / 2яа
Из формул D8) и D9) можно вывести заключение, что высота hx
гребня больше, нежели погружение (—h2) низшей точки долины
волны:
7 / 7\ 7Oi ^-*-^7Л|
Приравнивая нулю ординату г/, находим значения переменного а,
отвечающие двум точкам пересечения волны со средним уровнем:
Значения ж, отвечающие этим числам а (т. е. абсциссы точек пере-
пересечения волны со средним уровнем), будут
1 к
я~ — • —
1 2яа
"Г • — + •
Из этих формул выводим заключение, что ширина возвышающей-
возвышающейся над средним уровнем части волны, равная К/2 — а, меньше ши-
ширины долины К/2 + а.
Сопоставляя это заключение с формулой E0), приходим к вы-
выводу, что низшие части волны имеют более пологие очертания, не-
нежели высшие.
Вернемся к уравнению D) и положим в нем у = 0, получим
V = с; таким образом, скорость частицы жидкости при пере-
пересечении среднего уровня равна скорости потоков в бесконечности.
Проинтегрируем обе части уравнения D) по х от — К/2
до К/2; мы получим тогда следующий результат, указанный
626 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Леви-Чивита:
Х| 2
-г \
—Х}2
Итак, среднее значение квадрата скорости частиц жидкости, те-
текущих по ее поверхности, равно скорости потока в бесконеч-
бесконечности.
Возьмем формулу
dt ~ ~~V
и, пользуясь формулой E), перепишем ее так:
да I l \ da j
Составим по формулам B) правую часть этого равенства, получим
(И)'+Ш=
п=1
+ 2 \ \ (дп(оте-Ып+т) cos (n + /^) а.
п=1 тп=1
Подставим это разложение в предыдущую формулу и результат
проинтегрируем по а от я до—я, т. е. вдоль всей линии тока |3 =
= const в пределах волны. Выполнив вычисления, получим
71=1
Частица жидкости, находящаяся на большой глубине, проходит
расстояние между двумя вертикалями, проведенными через две
последовательные нижние точки долины волны, в течение време-
времени То = %/с. Формула E1) показывает, что частица жидкости,
описывающая линию токао|) = -о— Р, проходит расстояние между
взятыми двумя вертикалями в течение большего промежутка
времени. Этот промежуток времени Т отличается от То тем больше,
чем меньше величина р, т. е. чем ближе взятая линия тока к сво-
свободной поверхности жидкости, |3 = 0.
Так как основное течение направлено слева направо, то отсю-
отсюда вытекает, что в жидкости устанавливается стоксово течение,
идущее справа налево. Это течение имеет заметную величину лишь
у поверхности жидкости, как это следует из присутствия показа-
показательного множителя в общем члене ряда E1).
§ 2. ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА
627
Переходя от установившейся волны к волне прогрессивной,
замечаем, что при своем движении эта волна создает в направлении
своего распространения некоторое добавочное течение во всей
жидкости, но сколько-нибудь заметное лишь у поверхности жид-
жидкости. Наиболее полное определение волнового течения с помощью
второго метода Стокса было сделано Вильтоном [205].
Приведем значения коэффициентов рядов B), данные Виль-
Вильтоном; пользуясь принятыми нами обозначениями, имеем
-^ = б2 + 0,56* + 2,41 766 + 15,5976е + 64,08610,
-^- = 1,563 + 1.58365 + 8,2156' + 55,0169,
-5|± = 2,6676* + 4,34766 + 24.0168 + 166.2610,
-^- = 5,208b5 + 11,536' + 67,40#\
-J- = 10,866 + 30,2668 + 186.5610,
•^ = 23,346' + 79,206» + 498,36",
^- = 52,016е + 207.4610 + 1390612,
^- = 118,66" + 543,46П,
-^ = 275,6610+1426612,
%± = 649,86й, -^f- = 1551612,
= 1 4- б2 + 3,564 + 19,086е + 154,7b8 + 1297610.
На рис. 72, заимствованном из статьи Вильтона, представлена ус-
установившаяся волна, отвечающая значению параметра 6, равному
Рис. 72.
l/j/ЧО, и отношению Х/а = 14,6; скорость соответствующей про-
прогрессивной волны будет с2 = 1,2-#Я/2я. Эта волна близка к пре-
предельной волне Стокса, для которой также с2 = 1,2-^Я/2я.
628 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 3. Предельная волна Стокса.
Исследования А. И. Некрасова и Мичелля
В приложениях к своему основному мемуару о волнах Стоке
высказал предположение, что с увеличением амплитуды очерта-
очертание волн приближается к некоторой предельной форме, характе-
характеризуемой наличием на вершине волны угловой точки [187]. К ча-
части волны, имеющей эту угловую точку, стремятся гребни проме-
промежуточных волн при увеличении амплитуды. Стоке доказал, что
угол между касательными в угловой точке всегда равен 120°.
Волны подобного вида можно наблюдать на берегу моря, где
дно постепенно понижается; здесь волны, приходящие из откры-
открытого бассейна параллельными рядами, постепенно растут в своей
высоте и становятся вблизи своих гребешков необыкновенно рез-
резкими по очертанию. Такие волны сильно приближаются по фор-
форме к рассматриваемой предельной волне Стокса.
Первое определение формы волны Стокса было дано Мичеллем
и затем А. И. Некрасовым. Анализ А. И. Некрасова мы здесь вос-
воспроизводим, но в конце параграфа пользуемся теми значениями
числовых коэффициентов, которые были найдены Мичеллем [32],
[155].
Допустим, что изучаемая волна распространяется, без изме-
изменения своей формы, со скоростью — с справа налево по поверх-
поверхности бесконечно глубокой жидкости. Сообщив тогда всей массе
жидкости скорость с, получим движение жидкости с неизменной
формой открытой поверхности.
Введем прямоугольную систему координат хОу, выбирая ее
начало в угловой точке О волны и проводя ось Оу вертикально
У
Рис. 73.
вверх. Будем считать, что поверхности волны отвечает нулевое
значение функции тока i|) и волны симметричны относительно
вертикали самой низкой точки В волны (рис. 73).
Рассмотрим одну какую-нибудь волну ОБА изо всей системы
периодических волн и покажем прежде всего, что угол 2а между
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. И, НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 629
касательными к двум ветвям волны, сходящимися в угловой точ-
точке О волны, равен 120°.
Характеристическая функция потока w (z) может быть пред-
представлена около точки О функцией, дающей обтекание угла раство-
раствора 2а, симметрично расположенного относительно вертикали точ-
точки О:
w = — Ае* "V\ А > 0. A)
В точке О скорость жидкости равна нулю, в силу чего интег-
интеграл Бернулли записывается так:
V = - 2gy. B)
Применим этот интеграл к линии тока я|э = 0; в окрестности точ-
точки О линия тока гр == 0 представляется двумя прямыми линиями,
составляющими между собой некоторый угол 2а. На линии я|э = 0
около точки О имеем
= — г sin (-J- я — a j и у = — г sin l-j- я + а],
У
Отсюда интеграл Бернулли запишется так для двух ветвей линии
тока г|) = 0:
п2А2гт~2 == 2gr cos a.
Так как это равенство должно иметь место для всех (достаточно
малых) значений г, то
2и — 2 = 1.
Отсюда находим щ получаем п = 3/2. Из формулы A) имеем
На линиях 6 = — (V2 я — а) и 6 = — (V2 я + а) функция тока
должна быть равна нулю. Отсюда
3 1 \ л • / 3 - . 1 \ п
ya Тп) ^ ^' sm(-y a+-7-jt) — 0.
Следовательно, a = я/3 и угол между касательными в угловой точ-
точке к предельной волне равен 120°. Заметим, что этот результат име-
имеет место и для предельных волн, распространяющихся по поверх-
поверхности жидкости конечной глубины.
Обратимся теперь к определению всего потока жидкости и,
в частности, к определению формы волны.
Рассмотрим какую-нибудь одну волну ОБА) допустим, что точ-
точке А соответствует нулевое значение потенциала скоростей, а точ-
точке О — значение ф0 ^> 0; тогда в силу предполагаемой симметрии
630
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
волны относительно вертикальной линии, проходящей через са-
самую низкую точку В волны, этой точке будет отвечать значение
потенциала скоростей фо/2; вдоль всей линии ОБА функция тока
я|) равна нулю. Расстояние между вертикалями точек О и А равно
длине волны Я; эти вертикальные прямые суть линии равного по-
потенциала ф0 и 0. Скорость потока в бесконечности равна с, значит,
ф0 = ск.
Рассмотрим часть OBAED потока жидкости, заключенную
между вертикалями точек О и А. Этой области будет отвечать на
У
©
в
А
со
Е
9
Л'
О'
Ar Gr[
®
Рис. 74.
плоскости комплексного переменного w = ф + ?я|) прямоуголь-
прямоугольная полоса O'B'A'E'D' в верхней полуплоскости, заключенная
между осью абсцисс и прямыми <р = 0 и ф = сХ (рис. 74 *)).
Отобразим конформно каждую из областей OBAED и
О'В'A'E'D' на внутренность круга радиуса единица плоскости
вспомогательного комплексного переменного и = ? + Щ- Уста-
Установим точное соответствие между плоскостями переменных (г, и) и
(и?, и).
Выберем зависимость z = z (и) так, чтобы при обходе границы
OBAED потока переменное и, выходя из точки и = 1 и двигаясь
по часовой стрелке вдоль окружности \и\ = 1, проходило точку
В' при и = —1 и достигало точки А' при и = 1. Потребуем затем
от функции z = z (и), чтобы при движении точки z от А к Е пере-
переменное и описывало бы верхнюю сторону радиуса A, 0) от точки
и = 1 до точки и = 0, а при движении точки z от D к точке О пе-
переменное и описывало бы нижнюю сторону радиуса A, 0) от точ-
точки и = 0 до точки и = 1.
Таким образом, область OBAED, обладающая неизвестной гра-
границей ОБА, отображена конформно на внутренность единичного
круга | и | = 1, разрезанного по радиусу A,0).
Точка и = 0 будет, очевидно, логарифмической точкой вет-
ветвления функции z = z (и). При обходе точки и = 0 по маленькой
*) В рукописи автора отсутствует рис. 74. (Прим. ред.)
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. И. НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 631
окружности против часовой стрелки переменное z будет уменьшать-
уменьшаться на X. Из этого следует, что производная -т— будет иметь в точке
и = 0 полюс первого порядка с вычетом, равным —X.
Затем отметим, что точка и = 1 не может быть обыкновенной
точкой функции z {и). Действительно, при сходе точки и с прямой
ЕА на дугу окружности в точке А аргумент числа z — X подвер-
подвергается резкому изменению: на прямой ЕА он равен — л/2, в точ-
точках же дуги АВ и вблизи точки А он равен, согласно теореме
Стокса об угловой точке, — л/2 — л/3. При сходе переменного и
с радиуса DO в точке и = 1 на дугу окружности ОВ аргумент чис-
числа z меняется от — л/2 до — л/2 + зх/3. С другой стороны, при
сходе переменного и с линии ЕА на дугу круга аргумент числа
и — 1 уменьшается на л/2; при сходе переменного и с линии DO
на дугу ОВ аргумент числа и — 1 увеличивается на л/2. Следо-
Следовательно, вблизи точки и — 1 функция z (и) имеет следующий
вид:
z = A _ uyf*F(u)i
функция F (и) голоморфна около точки и = 1; неоднозначная
функция A — и)*1* имеет действительные значения для действи-
действительных значений и, меньших единицы. Отсюда следует, что
dz_ __ Fx(u)
du ~ Yi=z'
Приведем эту формулу к окончательному виду. Так как производ-
производная -— имеет в точке и = 0 полюс первого порядка с вычетом,
равным —X, то предыдущая формула запишется так:
dz l_ f(u) /on
Функция f(u) голоморфна внутри круга | и \ = 1 и на его окруж-
окружности. Пусть
f(u) = 1 +alU + a^ + ... D)
будет разложением этой функции в степенной ряд. Коэффициенты
этого ряда суть действительные числа в силу симметрии волны от-
относительно вертикали точки В.
Зависимость переменного w от параметра и дается формулой
dw сХ 1 /г>^
E)
с
2Я1 ' du 2т и
Легко проверить, что движение жидкости, определяемое форму-
формулами C) и E), имеет в бесконечности скорость с в сторону увели-
увеличивающихся абсцисс. Действительно,
dw с з/-. /а,
Viu F)
632 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
и для и = О имеем
dw , .
az
Если мы определим коэффициенты ряда D), то решим полно-
полностью задачу о форме предельной волны Стокса. Для определения
этих коэффициентов воспользуемся условием на поверхности вол-
волны, вытекающим из интеграла Бернулли:
У2 = -2gy. G)
Вдоль поверхности волны переменное и может быть изображено
так:
и =-• eie.
Продифференцируем условие G) по переменному 6, получим
Величина dy/dQ может быть получена из формулы C); имеем
dx_,.dy__ Х_ 1 (е№)
Отделим в правой части мнимые слагаемые от действительных, по-
получим
/ (ei9) 4I/ (ei9) + / (e"i9)l + l I/ И) / И9)]
sm4-e[cos-J-(e — n) + ism^-(Q — я)]
Следовательно,
2 sin — 9
4л за т-
,"/—г"
у 2sin —
Отсюда
4л з
у 2sin-^-
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. И. НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 633
Придадим этим формулам другой вид, пользуясь разложением D);
получим
dx X 1 vi г/. 1 \а . 1
2aCOS]9 +
2л
Возьмем теперь формулу F) и применим ее к точкам поверхно-
поверхности жидкости, получим формулу для вычисления левой части урав-
уравнения (8):
Теперь основное уравнение задачи (8) запишется так:
sin ~2~ Э
A2)
Это есть уравнение А. И. Некрасова в теории предельной волны
Стокса.
Уравнение A2) дает возможность вычислить коэффициенты ак
и тем самым построить поток жидкости.
Но более просто можно найти эти коэффициенты, если несколь-
несколько изменить уравнение A2) и ввести, наряду с коэффициентами
ак, новые коэффициенты Ъ^, разлагая функцию 1// (и) в ряд Мак-
лорена:
1// (и) = I + Ь±и + Ь2и2 + Ь3и3 + . . .
Между коэффициентами Ьъ 62, Ь3 и аъ а2, а3 существуют такие
соотношения:
ах = —Ьъ а2 = Ъ\ — Ь2, а3 = 2b1b2i — Ъ\ — Ь3.
Возьмем уравнение (8) и умножим обе его части на У2, получим
dd " ^gK dd '
634 гл. v. теория волн конечной амплитуды
Пользуясь формулой A1) и второй из формул (9), находим
уз-
узили
-ж =-?—с2 i/2sin-s-9 тт—е 6 we »
sin [(в + 4" в) - ¦?] + Ь, sin [B9 4- 4- в) - -f ] +
m [(зв + 4-е) -*
4
Преобразуем эту формулу к такому виду:
1 „ , / 1 , 7 , 13 , 19
! , 7 г, , 13 г, 19 г, \ 5
- + Тгеб1 + Жб2-1жЧ)СО8 —
+ ь + ь + ^
Затем имеем из формулы A1)
= С21/4 sin2 -i- 9 [A + Ъ\) + 2 (b± + bj>2) cos 9 +
+ 262 cos 29 + 263 cos 39 ] A5)
и, далее,
F4 = 2c" У2 sin4 4~ 9 [A + 46?) + 4 (b, + 6xfe2 + bs) cos 9 +
+ 2 Bb2 + 6?) cos 29 + 4 (Ь3 + ЬхЬа) cos 39],
c4 >/ 2sin4-9 [A - bx + &l - 2bJ>2 - 6?)cos 4-9 +
+ Ebx - 2fcx2 + 10&A - 462 + 56?) cos 4" 9 +
+ D6? - 76X62 + 862 - 7&з) cos 4- 9 +
Подставим это разложение и разложение A4) в уравнение A2).
Сравнивая коэффициенты при косинусах одинаковых дуг, нахо-
находим систему уравнений для определения Ъъ 62, bs и параметра
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЯ А. И. НЕКРАСОВА И МИЧЕЛЛЯ 635
Выпишем эту систему:
1 _ ь1 + 46* - 26А - Ь3± =
= к @,125 - 0,175 6Х - 0,0812562 - 0,05398 63),
56Х - 2^2 + 106А - 4Ьа + 56? -
= & @,0125 + 0,218756! — 0,1477262 — 0,0678663),
46? — 76{62 + 862 — 763 =
- А-@,00446 + 0,039773^ + 0,23214362 - 0,1397063),
116162 + 1163 - к @,00227 + 0,017856х + 0,0477962 + 0,237563).
По вычислениям Мичелля, эта система уравнений имеет сле-
следующее решение:
Ьх = 0,0397, 62 = 0,0094, 63 = 0,002, к = 8,25. A7)
Отсюда для коэффициентов аи а2, а3 получаем такие числовые зна-
значения:
ах = —0,0397, а2 = —0,0078, а3 = —0,001.
Подставим в формулу A6) вместо к его найденное значение.
Выполняя вычисления, получаем формулу, связывающую ско-
скорость потока с длиной предельной волны Стокса:
c2 = ^ = 120^
Если через с0 обозначить скорость бесконечно малой волны дли-
длины X, то будем иметь
с - 1,095 с0.
Определим удвоенную амплитуду 2а волны Стокса. Для этого
найдем по формуле A5) квадрат скорости V2 для 6 = я, получим
V2 - с2 УХ A + Ь\ - 2Ьг - 26Х62 + 262 - 263).
Подставим это значение V2 в формулу G) и заменим 61? 62, 63 их
числовыми величинами A7); получим, выполняя подсчеты,
2а = 0,142 L A9)
Отметим, что вычисленная по формуле Стокса
Г2 _ ^ h , / 2^ V -4- 1 ( 2па V
скорость с при значении амплитуды A9) несколько превосходит
скорость, определяемую по формуле A8). Из формулы B0)
636
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
получаем
= 1,219^-.
Составим теперь дифференциальные уравнения волновой по-
поверхности. Для этого подставим в формулы A0) вместо аи а2, а3
их числовые значения, указанные выше; получим
dx
2я з
1 Г / 6 я \ А попп ! <Г) л i 1
==- cos -ё тг) —0,0397 cos Ьг 6 +ir^
1 L \ ь ь / \б ^ 6
2 sin -tj- 6
— 0,0078 cos (-^- 9 + 4"л) — °>001 cos (^~ ^ + 4
1/ 2 sin -77- (
х - т) - °'0397 sin (те + i я) -
- 0,0078 sin Ш- 0 + 4"я) - °'001 sin ("У + 4" яI '
Результаты интегрирования написанных уравнений собраны в
приводимой ниже таблице (табл. 1).
G
1
5"
1
10
1
5
2
5
3
5
4
5
я
я
я
я
я
я
я
х/Х
0,04952
0,09247
0,1497
0,2461
0,3337
0,4179
0,5000
-0,02779
-0,04977
—0,07529
-0,1081
-0,1291
-0,1395
-0,1432
0,2762
0,5049
0,7762
1,122
1,329
1,448
1,486
Табл
0,948
0,966
0,984
0,990
0,990
0,990
0,990
ица
е
49
25
19
10
9
5
сл| оо
7
5
6
5
я
1
я
я
я
я
я
я
По числам второго и третьего столбцов этой таблицы построен
рис. 75. В четвертом столбце приведены отношения квадрата ско-
скорости частицы на поверхности к квадрату скорости потока. По
числам пятого столбца можно судить о точности выполненных под-
подсчетов: при совершенно точном решении все числа этого столбца
§ 4. УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА
637
должны были бы равняться единице. Как видно, вдоль долины вол-
волны точность приближенного решения больше, чем в области угло-
угловой точки.
\
-0,028
-0,050
-am
-0J28
-д,139
-а/43
DfiW 0,092 0,150 0,
734 0,478 0,6
So
X
Л
в
Рис. 75.
В заключение отметим, что и решения Мичелля, и решение
Некрасова основаны, по существу дела, на идеях второго метода
Стокса.
§ 4. Уединенная волна
Скот Рэссель нашел экспериментальным путем, что по поверх-
поверхности канала конечной глубины может распространяться на боль-
большие расстояния с постоянной скоростью и без изменения своей
формы отдельное возвышение поверхности жидкости — уединен-
уединенная волна [180]. Первые теоретические исследования уединенной
волны были проведены Буссинеском [87], [88] и Рэлеем [168].
Предположим, что по каналу небольшой глубины распростра-
распространяются прогрессивные безвихревые волны. Обозначим через
Ф (х, у) соответствующий потенциал скоростей в координатах, свя-
связанных с волной. Ось Ох проведена по дну канала, а ось Оу —
вертикально вверх.
Представим функцию ср (х, у) в виде ряда по степеням перемен-
переменного у:
Ф (*, У) = Фо
A)
Подставим это разложение в уравнение Лапласа. Приравни-
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях z/, приходим к
соотношениям, связывающим коэффициенты разложения A):
1
2 dx*
2-3 dx*
Ф4=~
1
3-4 dx^
или
2-3 dx*
^ = Ж1х^'
1
5!
dx*
B)
638 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Отсюда получаем для составляющих скорости такие выражения:
U dx У dx ' 2 У dx3 + 2-3^ dx3 4\'* ~ dx* '"*
v = — <Pi И — 2г/ф2 И — Зг/2ф3 (я) — 4г/3ф4(я) — 5г/4ф5(ж) + ...
Функция фх (х) тождественно равна нулю, так как на дне канала
г; должно быть нулем. Отсюда, на основании формул B), получаем
ф3 (х) = ф5 (х) = ф7 (ж) = . . . — О,
и выражения для и, v запишутся так:
Лгг* 4 d3(D I
dx ' 2 у dx* 4! и dxb п ' " ' '
C)
и = —
а
у = ту ^2Фо i_ т/3. , ...
da;2 3! у dx^
Функция ф0 (х) остается пока произвольной.
При изучении задачи об уединенной волне Рэлей предполагал,
что коэффициенты последовательных членов разложений C)
весьма мало меняются при изменении переменного х. Аналитиче-
Аналитически это предположение можно передать тем, что функция dyjdx
зависит от переменного х, умноженного на некоторое малое число
8, т. е. зависит от переменного I = гх. В согласии с этим поло-
положим
где с — некоторое постоянное число, которое будет связано со
скоростью потока в бесконечности Uoo или, что то же, со скоростью
движения волны. Что же касается функции / (?), то будем счи-
считать, что при ? = оо она имеет конечное значение и все ее произ-
производные стремятся к нулю при | = + оо. Решение, которое будет
построено, будет удовлетворять этим требованиям. Отсюда имеем,
обозначая штрихами дифференцирование по переменному ?:
С помощью этих равенств разложения C) могут быть переписаны
так:
v = — е3г//' + -gj- 85z/3/w + •..
Вдоль свободной поверхности жидкости давление сохраняет по-
§ 4. УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА 639
стоянную величину, поэтому будем иметь следующее равенство:
(и2 + г;2) +2gy = C E)
для величин у, равных ординатам точек свободной поверхности.
Обозначая через h глубину канала при отсутствии волн, пред-
представим у так:
у = h + еЧ (|) + еЧ (!) + •• м F)
где функции r]i(?), %(?), • • • подлежат определению.
Подставим ряды D) и F) в интеграл Бернулли E), получим
с2 + 2се2/ + е4 (/2 — cy2f") + е6 (-^- ci/4/IV — I/2//" + У21'*) +
+ 2g (h -j- е2Л1 + ^4Л2 +•••) — const. G)
Одновременно с этим условием должно удовлетворяться в точках
поверхности жидкости кинематическое условие
w и dy
Пользуясь написанными выше разложениями, придаем этому ус-
условию такой вид:
^+e»-^+...). (8)
Будем теперь сравнивать коэффициенты при одинаковых степе-
степенях е в обеих частях условий G) и (8). Коэффициенты при вторых
степенях 8 в условии G) дают уравнение
cf + gi\! = 0.
Коэффициенты при третьих степенях 8 в условии (8) дают уравне-
уравнение
Из этих двух уравнений получаем
/ = --?-%, #=gh. (9)
Рассмотрим коэффициенты при четвертых степенях 8 в условии
G), получим уравнение
f _ сщ" + 2гПв = 0. A0)
Рассмотрение коэффициентов при пятых степенях е в условии (8)
640 ГЛ. V, ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
приводит к уравнению
Исключим из этих двух уравнений функцию rj2, придем к уравне-
уравнению
/ч - 4- h3r = -k w - ch2t""> -fit-
Внесем сюда вместо / его выражение через г], получим в резуль-
результате простых вычислений уравнение для функции гц (?):
d3^i ,i, ilk _ и
Интегрируя это уравнение один раз, получаем
Интегрируя еще раз, получаем
отсюда имеем
_. Г* Л-vi
=- = -?, A1)
где а — наибольшее значение величины гц, отвечающее гребню
волны, который соответствует нулевому значению переменного
?. Величина а связана с константами интегрирования зависи-
зависимостью
За3 - Сга - С2 = 0. A2)
Интеграл A1) есть эллиптический интеграл первого рода, поэтому
при всех изменениях верхнего предела гц он имеет конечное зна-
значение, но величина ? должна изменяться от —оо до оо. Это может
быть лишь в том случае, если подрадикальный многочлен
имеет двойной корень. Этот корень найдется из уравнения
.*?. = — 9ri2 + с = о
и будет иметь значение, если положить С1 = р2,
Трехчлен R обращается в нуль при этом значении гц, если постоян-
§ 4. УЕДИНЕННАЯ ВОЛНА 641
ная С2 имеет такое значение:
2
Отсюда
Теперь формула A1) примет такой вид:
Из этой формулы следует, что величина % не может превышать
числа
_2_
о
которое в силу равенства A2) равно а.
Вычислим интеграл формулы A3), получим
-¦/ 2 т|1
Отсюда имеем
Следовательно, уравнение поверхности жидкости будет
A4)
где а — г2р. Перепишем это уравнение, вводя основное независи-
независимое переменное х\ имеем
2h V h 2h V h 2h V h '
Отсюда уравнение волновой поверхности A4) будет
A5)
о
При х — 0 ордината i/ равна /г + -^ а, это есть ордината гребня
волны. При х = ±оо ордината г/ равна /^ — а/3.
Ординаты волны A5) монотонно убывают от значения h + а
до значения Д — а/3 при изменении я от 0 до оо и при изменении
21 Л. Н. Сретенский
642 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМП ЛИТУДЫ
от 0 до —оо. Следовательно, уравнение A5) изображает уединен-
уединенную волну. Уровень жидкости в бесконечности имеет высоту
Н = h — а/3 над дном канала, и поэтому Н может быть названа
глубиной канала.
Внесем в уравнение A5) величину Н; тогда получим уравнение
уединенной волны в новой форме:
у = Н + asech* Г xVf 1. A6)
[() J
xVf 1.
я+-а) J
Гребень волны возвышается над уровнем жидкости в бесконечно-
бесконечности на величину а, следовательно, эта величина может быть на-
названа амплитудой уединенной волны *).
Применим первую из формул D) к определению скорости Uco
потока в бесконечности; учитывая лишь первые два члена правой
части этой формулы, получаем для Uoo такое выражение:
Uco = С + 82/ (оо),
или, на основании формул (9) и A4),
Заменим здесь величину h величиной Н = h — а/3, получим
Эту формулу можно упростить, устраняя в ней величины второго
порядка малости по отношению к дроби а/Н. Проводя вычисле-
вычисления, приходим к известной формуле, определяющей скорость
распространения уединенной волны:
4) A7)
В связи с этой формулой следует сделать одно существенное
замечание. В гл. I было показано, что скорость прогрессивной
волны малой амплитуды никогда не превосходит величины Y^gH.
Формула A7) показывает^что уединенная волна движется со ско-
скоростью, большей чем |/ gH; это превышение критической скорости
y^gH тем больше, чем больше амплитуда волны по отношению
к глубине канала. Эти обстоятельства объясняются тем, что при
*) Если учитывать лишь первые степени дроби а/Н, то аргумент функции
sech может быть записан так: __
У-Ъа х
§ 5. ВОЛНЫ КОРТЕВЕГАИ ДЕ ВРИСА 643
изучении уединенной волны мы входим в область нелинейных вол-
волновых движений.
Полученное нами решение вытекало из рассмотрения членов
со второй и четвертой степенью 8 в условии G) и членов с третьей
и четвертой степенью 8 в условии (8).о
Рассмотрение следующих членов в условиях G) и (8) приводит
к дальнейшим приближениям — к уравнению F) уединенной
волны [136], [148]. Но, чтобы найти эти приближения, надо функ-
функцию / (?) представить в виде бесконечного ряда по степеням вспо-
вспомогательного параметра.
Укажем без доказательства формулы Лэтона, определяющие
уединенную волну в дальнейших приближениях [138]:
т)(х) а , о хг 3 / а \2 , „ v .. л « v ~ / а \2
¦jj^- = -^-sech2аХ ^- (-^-\ sech2аХA — sech2 аХ) + О (-^\ ,
В работах основателей теории уединенных волн (Буссинеск,
Рэлей) было дано лишь приближенное определение этих волн, и во-
вопрос об их существовании, положительно решенный эксперимен-
экспериментами, оставался, однако, нерешенным с точки зрения теоретиче-
теоретической гидродинамики.
Доказательство существования уединенных волн было дано
сравнительно недавно М. А. Лаврентьевым [23] и К. О. Фридрих-
сом и Д. Г. Хайерсом [62], использовавшими методы теории кон-
конформных преобразований и теории нелинейных интегральных
уравнений.
Что же касается возможности построения доказательства су-
существования уединенных волн с помощью метода разложения по
малому параметру, то было установлено Жерменом, что получаю-
получающиеся ряды являются расходящимися и могут служить лишь для
получения асимптотических формул [102]. Эти формулы дают воз-
возможность, однако, выявить главные черты изучаемого волнового
движения.
§ 5. Волны Кортевега и де Вриса
Методы, изложенные в предыдущем параграфе для определения
уединенной волны, дали возможность открыть новый вид периоди-
периодических установившихся волн конечной амплитуды.
Возьмем формулу (И) § 4 и устраним сделанное в § 4 предпо-
предположение, что величина ? должна изменяться от — со до со. Таким
образом, будем предполагать, что многочлен
R = _ Зги3 + С^ + С2
21*
644 гл. v. теория волн конечной амплитуды
не имеет двойного корня и что все три его корня — числа дейст-
действительные. Если уравнение R = О имеет лишь один действитель-
действительный корень, то интервал изменения г]х, определяемый неравен-
неравенством
4 сг > о, A)
уходил бы в бесконечность, но это неприемлемо, так как по смы-
смыслу задачи переменное гц должно иметь лишь конечные значения.
Дадим С2 какое-нибудь положительное значение, равное
2
77 р3; тогда уравнение R — О будет иметь для значений Сх > р2
три действительных корня а, Ъ, с, удовлетворяющих неравенст-
неравенствам
с < Ъ < 0 < а.
2
Если же С2 взять отрицательным и положить С2 = — -ц-р3, то
уравнение R = 0 будет иметь три действительных корня, если
Сх > р2. Эти корни а, 6, с будут удовлетворять неравенствам
с < 0 < Ъ < а.
В обоих случаях неравенство A) будет соблюдаться при изменении
i|t между числами аи Ъ. Так как в уравнении A) отсутствует член
с квадратом гц, то между числами имеет место соотношение
а + Ъ + с = 0.
Возьмем многочлен /? и запишем его так:
Преобразуем правую часть введением новой переменной величи-
величины х вместо %; положим
Л1 - 4"(а + 6> + 4"(а — fo)cos2^' °<Х<
В новом переменном функция R запишется так:
_3
4
где
R = -|- (а — ЬJ (а — с) sin2 2% [1 — A2 sin2 x],
ft <i.
После этих вычислений формула A1) § 4 примет вид
f
/3(а —с) J /l_/c2Sm2X *
с)
Обращая этот эллиптический интеграл первого рода, получаем
следующий результат, записанный в эллиптических функциях
§ 5. ВОЛНЫ КОРТЕВЕГА И ДЕ ВРИСА 645
Якоби [27]:
Г I 1 /' 3 (о —
Формула B) примет теперь такой вид:
Отсюда уравнение волновой поверхности будет
?L] D)
Из формулы B) следует, что гребень волны и низшая ее точка име-
имеют соответственно ординаты
h± = h + ?2a, /г2 == й + e2fe.
Положим
А' = /г + 82с.
Отметим, что
Ai + К + А' = ЗЛ. E)
В этих обозначениях уравнение D) перепишется так:
У =hz + (h1 — h2) en2 -p- , F)
где
Волна, изображаемая этим уравнением, была найдена Кортевегом
и де Врисом и получила название кноидальной волны по причи-
причине присутствия в ее уравнении эллиптической функции сп.
Определим длину X этой волны и положение среднего уров-
уровня жидкости.
Длина к равняется удвоенной абсциссе низшей точки долины
волны; из формулы C) имеем следующее значение X:
п /2
К = 26 [ r d% . (8)
Высота Н среднего уровня жидкости над дном канала будет
определяться формулой
Х/2
= \ ydx.
646 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Пользуясь выражениями величин у и х через угол %, имеем
Установим теперь формулу для определения скорости U про-
прогрессивной волны. Под скоростью волны мы будем понимать сред-
среднее значение скоростей частиц жидкости на дне бассейна при уста-
установившейся волне. Имеем
U =± \ udx.
—Х/2
Но при у = 0 имеем и = с — ^ или, по формулам B) и C),
с
Преобразуем правую часть этой формулы, пользуясь равенствами
G) и (8), получим
У — /с2 sin2 ^
, пользуясь равенст
_ V = 2c-t?-; A0)
здесь с= Vgh.
Таким образом, мы имеем три формулы E), (8), (9), содержащие
шесть величин: fe, hly h2i h', H, А,, определяющих волну Кортевега
и де Вриса. Из этих шести величин принимаем Н, глубину потока,
как величину известную, затем рассматриваем X и hx как величи-
величины данные. Таким образом, по величинам Н, к, hx можно опреде-
определить из формул E), (8), (9) остальные параметры волны: fe, h2, Ы.
По формуле A0) находим затем скорость движения прогрессивной
волны.
Детальное числовое решение уравнений, определяющих пара-
параметры кноидальных волн, можно найти в статье Вигеля [203].
Из этой статьи мы заимствовали рисунок профилей кноидальных
волн для разных значений модуля к эллиптических интегралов
(рис. 76). Кривая, отвечающая к2 = 0, есть дуга косинусоидаль-
ной волны; кривая, отвечающая к2 = 1—10~4а, почти совпадает
с профилем уединенной волны. Между этими двумя крайними
кривыми располагаются волны Кортевега и де Вриса для разных
значений к.
Рядом авторов были определены кноидальные волны с учетом
высших степеней параметра 8 (в разложении ординаты волны *)).
*) Основная работа Кортевега и де Вриса и работа Лэтона [138] содержат
учет высших степеней е в разложениях.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ
647
Точная теория волн Кортевега и де Вриса была построена Литт-
меном *).
Изложенная в §§ 4 и 5 теория волн конечной амплитуды на
поверхности жидкости конечной глубины должна содержать в себе
теорию кноидальных волн. Совместное рассмотрение результатов
этих двух теорий содержится в статье Дэ [94], указанной в § 2.
§ 6. Исследования лорда Рэлея
По теории установившихся волн конечной амплитуды лордом
Рэлеем было опубликовано три статьи: в 1876 г., 1911 г. и в
1917 г.
В первой из этих статей [168] им было показано, что условие
постоянства давления на свободной поверхности бесконечно
глубокой жидкости может быть удовлетворено, с точностью до
третьих степеней малого числа а, выбором следующей функции
тока:
гр = —су + осеку cos кх. A)
Для упрощения дальнейших вычислений введем вместо х, у, г|э
и параметра а новые величины хъ уъ % и 8, полагая
/сг|) а/с
хг = кх, уг = ку, i|?i =
B)
В новых обозначениях будем иметь вместо равенства A) такое ра-
равенство:
^ ^i*-Ji + eeVl cos хъ
*) У.Литтмен, О существовании периодических волн при скорости,
близкой к критической (сборник переводов «Теория поверхностных волн»,
М., ИЛ, 1959). Оригинал статьи в журнале: Commun. Pure and Appl. Math.
10A957), 241-269.
648 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
или, отбрасывая здезь и во всем дальнейшем индекз 1;
я); = — у -f- геу cos х. C)
Найдем, пользуясь этим равенством, уравнение линии тока
в виде, разрешенном относительно г/, проводя вычисления с точ-
точностью до третьей степени параметра 8. При 8 = 0 имеем у = — г|).
Продифференцируем равенство C) по параметру 8, получим
A — геу cos х) -~- = еу cos x. D)
Положим здесь 8 — 0, получим
= tf^COSX. (О)
Продифференцируем равенство D) по параметру 8, найдем
A — геу cos х) -^-т- = 2еу cos х -?— + ееу cos х (-~-) . F)
v ' дгъ L ^е \ дв / J v y
Положим здесь 8 = 0, получим, пользуясь равенством D), такой
результат:
A — геу cos хJ -^-|- = 2^2У cos2 х + е^зу cos3 ж A — ееу cos ж).
Отсюда для 8 = 0 будем иметь
= 2гг2ф cos2 х. G)
Из равенства F) имеем, далее,
A — геу cos х) -^— = Зеу cos х (-Д-) + 8^у cos д: (-^-) +
OS \ G8 / У С8 у
+ 6еу cos ж + Зееу cos ж --1- -^4- •
\ дг I ае2
Полагая здесь 8 = 0, найдем, используя предыдущие подсчеты,
следующий результат:
Теперь мы имеем возможность разложить функцию у в ряд
Маклорена, пользуясь формулами E), G), (8):
з
у = — <ф -)- 8?"ф COS X + 82б~2ф COS2 X -\- -j- 83е"зФ COS3 X + • • • (9)
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ 649
Перепишем это разложение в другом виде, а именно так:
у = / — -ф + -i- г*е-*А + (ее~* + -|" **е~**) cos ж +
+4- 8^~2Ф c°s 2х+-§¦ 8^~зф cos Зж+• • • A0)
Это есть уравнение любой линии тока, записанное в виде, разре-
разрешенном относительно координаты у.
Найдем скорость V частицы жидкости в точках линии тока.
Пользуясь начальным выражением A) функции тока, получаем
cos кх
\ дх I \ д,) I
Преобразуем эту формулу к переменным B); отбрасывая индек-
индексы 1, находим
72 = C2 (i__2e^ cos х + г2е2У). A1)
Подставим сюда вместо у его разложение A0). Для этого отметим
следующие вспомогательные формулы:
еУ = IV1 -f -|- г2е~*А + ее-ф cos х + -|- е2^2ф cos 2ж1 *гф,
е2У = A + 2 8бгф cos а;)еф.
Составим теперь формулу A1), получим
у2 = С2 U __ /2ее-ф + 4" е3е"ЗФ) cos ж "~ 8^Ф cos 2x ~
__^_8з^-зфС08зЛ . A2)
Пользуясь формулами A0) и A2), выпишем интеграл Бернулли
Р _ г 1 У2 g3/
получим
-|- = С + [(с2 + -f) Ы-* + ± (с2 - -^-) еV^] cos x
-i- (с2 - -|-
-^ cos 2ж + -|- (с2 — -f") е3е"зф cos
Определим теперь по величине скорости с, длине волны
X = 2п/к и параметру г такое значение функции тока я|? = я|H,
при котором коэффициент у cos x стал бы равен нулю:
с2 - J-) ее-*» + 4" («• - ^) в V* = 0. A4)
050 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Отсюда получаем с точностью до третьих степеней 8 включи-
включительно искомое значение гр0:
ь = 4-ln ge\
4/ \
Из формулы A4) находим вместе с тем
С2 ^ _|_A+82^-2Фо). A6)
При этом значении с формула A3) запишется так:
JL = c + -§r е V^° (cos 2х + 4~ ге~Ф cos
р Z/C \ 4
Таким образом, вдоль линии тока A5) давление р сохраняет по-
постоянное значение с точностью до третьей степени параметра 8
включительно.
Следовательно, при такой степени точности линия тока гр0
может быть принята за свободную волновую поверхность жидко-
жидкости.
Если в уравнение A0) ввести первоначальные переменные я, у
согласно равенствам B), то получим уравнение произвольной
линии тока в начальных переменных:
у - 4" ( — ^i + 4- е2еф1) + -г- (w*1 + -гг е3е~3Ц cos kx +
К \ Z / К \ О /
+ IF 8^Ф1 cos 2кх + W 8^"ЗФ1 cos Ъкх + ''' A7)
Если в этом уравнении заменить т\\ его значением i|H, определяе-
определяемым формулой A5), то получим уравнение открытой поверхности
жидкости, покрытой установившимися периодическими волнами.
Введем такое обозначение:
_L (8е-Фо + _|_ 8зе-зФо\ = ui
/с \ » /
и будем называть величину а амплитудой волны. При этом обо-
обозначении уравнение установившихся волн запишется так:
_L\(ak)cosкх + -^-(akfcos2kx + -|-{akf cos Ъкх\. A8)
Преобразование уравнения A7) к виду A8) выполнено с помощью
формулы
Q
ее-Фо = ак ^- (акK.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ 651
Подставляя это значение 8в~Фо в равенство A6), получаем основ-
основную зависимость между скоростью потока, длиной установив-
установившейся волны X и ее амплитудой а:
Формула A4) показывает, что вдоль рассматриваемой линии
тока, принимаемой за волновую поверхность, давление имеет по-
постоянное значение с точностью до третьих степеней параметра 8.
Желая получить более точное решение задачи, Рэлей предлагает
усложнить функцию тока добавлением к правой части формулы C)
двух слагаемых
тг*е2У cos 2х, пг5езу cos Ъх
с постоянными коэффициентами тип, так подобранными, чтобы
в формуле для давления исчезли бы слагаемые с четвертой и пятой
степенями малого параметра 8 [171].
Итак, рассмотрим течение жидкости, определяемое функцией
тока
г|5 = — у + геу cos х + ms*e2y cos 2x + пгъезу cos Ъх. A9)
Найдем уравнение произвольной линии тока в виде, разрешенном
относительно у; пусть это будет
у = -гр + Аге + А2г2 + А3г3 + А^ + Аьгъ + . . . B0)
Коэффициенты Аг, . . ., Аь суть неизвестные функции абсциссы х.
Чтобы определить эти коэффициенты, подставим разложение B0)
в формулу A9). Не приводя некоторых промежуточных вычисле-
вычислений, запишем результат подстановки, выполненной с учетом
первых пяти степеней параметра 8:
Агг + А2&2 + А3г3 + Л4е4 + А5гь =
= 8в-Ф [1 + Агг + (А2 + jAl)e2 + (А3 + АгА2 + i^3)83 +
cos x +
+ ms*e-2* A + 2А1г) cos 2x + пгье~3* cos Ъх.
Сравнивая коэффициенты, стоящие при различных степенях
е в обеих частях этого тождества, получаем
А1 = бгф cos х, А2 = е-2ф cos2 х, А3 = -j- e'^ cos3 x^
os2x -f -|-e^cos4 x,
п) е~^ cos х + 2 (Ът + 2л) е^ cos3 х + -=~ e~^ cos5 x.
652 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Составим теперь, пользуясь формулой A9), выражение скорости
частицы жидкости:
VVc2 = A — 2геу cos х + г2е2У) + (Am + 18/г) г5езу cosx —
— 8те*е2У cos2 x — 2Апг5езу cos3 x + 4тг*е2у. B1)
Подставим сюда вместо у его разложение B0) с установлен-
установленными значениями коэффициентов А. Имеем
1 — 2геу cos x + г2е2у =
= A + е2е-2ф) + (—2ее-ф + 2г*е-^ + 2/тге5<Г3ф) cos x +
+ (- 2г2е~^ + 4eV4*) cos2 a; +
(ос: \
— Зе8в-з* + 4г 8^Ф — 4тб5^-зф) cos3 x +
+ I- I*. &erA cos4x+(-
18/г) е5езу cos x —
— 24/ге5езу cos3 x = 4тг*е~2* + A2т + 18/г) въе~^ cos
-|_ (—8 те4е~2ф) + (—16лге
При выводе этих равенств служили формулы
Л Q
cos х + 4е2е-2ф cos2 х + -^
4 + зе<>-Ф cos ж.
Применим все эти результаты к составлению формулы B1), по-
получим
- = A + 86?
+ A2т + 18/г) ебг5^] cos ж
(ос:
— 383^"зФ — 4/пё5бгзф +-V 8б^-5ф — 16/п85бтзф —
8%4Ф)cos4 ж + (-
Одновременно с этой формулой выпишем уравнение B0) линии
тока, заменяя коэффициенты А найденными их значениями:
у = (_ <ф — т^ф84) +
__. 3 (г?г + п) 85е~зф] cos ж + (82еф + 2/п84^-2ф) cos2 ж +
4- L18зе-зф + 2 C/л + 2л) е5е-зф^ cos3 x +
+ f-|- 8%~4Ф) cos4 х + (~ 85<г*ф) cos5 х. B3)
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ 653
Возьмем интеграл Бернулли
Р - г [ V2 gy
р 2 к
и подставим в него выписанные выше значения F2 и у. Получим
— = С + Lx cos x -f- L2 cos2 x -\- L3 cos3 x -f L± cos4 a; + L5 cos5 r, B4)
где L1? L2, . . ., L5 составляются из коэффициентов при различ-
различных степенях cos x, входящих в формулы B2) и B3). Формула B4)
дает распределение давления вдоль каждой линии тока.
Найдем такую линию тока, вдоль которой давление р было бы
неизменным с точностью до пятой степени параметра е включи-
включительно.
В нашем распоряжении две неизвестные величины т, п
и параметры задачи с, к, &. Определим эти величины так, чтобы
коэффициенты Ьъ L2, L3 были равны нулю. В результате неболь-
небольших преобразований получаем следующие уравнения:
с*к _ 1 _ 3 (т + п) ^
— F/м + 9/г) 8%'2ф '
— A - 2eV** + 4me2) - A + 2me2)"= 0, B6)
i!L
+ №- те** )
_ п + 4-
Удерживая в вычислениях степени е не выше четвертой, придаем
уравнению B5) такой вид:
— = 1 + е2е-2ф + [Dт + 6») + е~2ф] eV2+. B8)
Подставим это значение величины c2k/g в уравнения B6) и B7),
получим после преобразований следующие два уравнения:
B + 882<Г2*) те^ + 6г2е~^пе^ = 1 + е2**,
12 A + 4е2еф) те** + 3 (8 + 2№е~^) пе^ - 8 A + 82<Г2ф).
Решая эти уравнения, получаем
654 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Величины т, п, определяемые этими формулами, могут быть пред-
представлены в виде рядов, расположенных по четным степеням пара-
параметра е. Имея в виду выражение A9) функции тока г|э и взятую
точность вычислений, можно принять, что
1 1
т — 2 е , п - 12 е .
Подставим эти значения чисел га, п в уравнение B7), получим
С2 = _|_ U _|_ е2в-2Ф + _|_ е^-4Ф^ . B9)
Обратимся теперь к коэффициентам L4 и L5, их выражения
пишутся так:
- s сее k 3 e e -\c к ) 3
^5 - 12 C 8 e к 24 &e -\C к ) 24 8 e '
Из соотношения B9) видно, что разность с2 — g/к имеет второй
порядок малости по отношению к е; следовательно, величины L4
и Ьь можно считать равными нулю.
Это показывает, что при соблюдении соотношения B9) давле-
давление р сохраняет, с точностью до пятых степеней е включительно,
неизменное значение вдоль рассматриваемой линии тока. Таким
образом, эта линия тока может быть принята за свободную поверх-
поверхность жидкости, покрытой установившимися волнами. Перепи-
Перепишем уравнение этих волн в другом виде, заменяя степени косину-
косинусов косинусами кратных дуг и переходя к основным переменным
х, у, даваемым формулами B).
Проводя необходимые вычисления, получаем
(* + V2* + ^
1
+ к
1
1
+ 3/с
(fee-*
/ з
о_|_ 9 8%-зФо_]
о
1 * + 128 8 б
^cosihx +^
[- тдо ебб~бф»] cos kx +
-4^о j cos 2kx +
~5ф°] собЗАж +
_ р5л—5Фо рпч ^1ст
C1)
Перепишем это уравнение волны в другом виде, вводя величину
а, которую будем называть амплитудой волны и которую опре-
определим формулой
а = i- (8ф +
S 6. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ f,55
Отсюда имеем
ее-*» = в& — -J- (afcK - -^- (а/сN. C3)
Внося в уравнение C1) величину ак вместо ъе~^°, получим
У = 4" [- ^о + \{^kf - 4-Ю4] + в cos to +
+ X [т (ак? + Ж (ак^] cos 2кх +
+ -1 [4- №3 + ш ИN] cos 3to +
+ -i- (a/cL cos 4to + -^- (a/i;M cos 5to. C4)
Подставим значение ее~ф°, определяемое формулой C3), в форму-
формулу B9), получим
( ^y C5)
Это соотношение связывает скорость потока с длиной волны
X = 2%/к и с ее амплитудой а. Если величины с и к будем считать
данными, причем с2 ^> g/fc, то из формулы C5) можем опреде-
определить ак и затем найти из равенства C3) величину if>0; параметр е
можно заменить параметром а (считаемым данным), используя
последнюю из формул B).
Таким путем может быть установлена формула, аналогичная
формуле A8) и определяющая то значение функции тока, для ко-
которого линия тока будет открытой поверхностью жидкости.
Вернемся к формуле B4); для рассматриваемой функции тока
эта формула может быть переписана, с точностью до шестой сте-
степени параметра ее~ф, на основе равенств B9) и C0) так:
Сопоставляя эту формулу с формулой A4), устанавливаем, что до-
добавление к функции тока C) двух дополнительных слагаемых
! 42Ф2У 2 5
_!_ ее2Ф^2У cos 2x и -jj ге^е3У cos Ъх
значительно увеличивает степень точности получаемых резуль-
результатов. Отклонение давления от постоянной величины при функции
тока A9) на два порядка по отношению к ее~ф меньше, чем для
функции тока C).
Имея в виду крайне незначительные отклонения давления
от постоянной величины (например, при ге с ° = 0,1) для функции
тока A9), Рэлей мог утверждать, что эта функция тока действи-
656 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
тельно дает установившиеся периодические волны конечной ам-
амплитуды.
В статье, относящейся к 1917 г. [172], Рэлей дает еще более
точное решение задачи, добавляя к функции тока A9) еще два
члена:
-J2— eiv cos kx -f 48Q еъУ cos bx.
Выполнив изложенное здесь исследование, Рэлей решил вы-
вычислительным путем задачу о волнах установившегося вида и
высказал пожелание, чтобы эта же самая задача была решена
строго математически и тем самым было бы устранено мнение,
высказывавшееся в свое время крупными математиками, о невоз-
невозможности существования периодических установившихся волн[ 90].
§ 7. Энергия прогрессивных и стояч лх волн
конечной амплитуды
При изложении теории установившихся и прогрессивных волн
бесконечно малой амплитуды были определены кинетическая и по-
потенциальная энергия периодических волн. Пользуясь найденными
в настоящей главе формулами, определяющими установившиеся и
прогрессивные волны конечной амплитуды, найдем для таких волн
выражения их механической энергии. Воспользуемся для этого
формулами метода Рэлея.
Функцию тока if, определяющую движение жидкости при на-
наличии установившихся волн, возьмем в простейшем виде, давае-
даваемом формулой A) § 6. Опуская в этой формуле слагаемое —су,
получаем функцию тока прогрессивных волн, причем переменное х
должно быть заменено через х' — ct, где х — абсцисса в системе
координат, связанной с движущейся волной,
i|) = aekv cos (х' — ct).
Для упрощения записи всех формул при вычислениях придадим
этому выражению функции тока такой вид:
i|) = аеку cos kx. A)
Мы будем определять кинетическую и потенциальную энергию
массы жидкости, заключенной между свободной поверхностью
и двумя вертикальными прямыми
Jt Я
ж = __ и ж = _,
ограничивающими одну волну.
Найдем скорость V частицы жидкости; применяя формулу A),
получаем
V2 = а2к2е2ку,
§ 7. ЭНЕРГИЯ ПРОГРЕССИВНЫХ И СТОЯЧИХ ВОЛН 657
или, пользуясь обозначениями B) § 6,
У2 == c2eVyi.
Заменим здесь е2У* его выражением
e*vi = A + 2е^"^ cos xje'2**,
установленным в § 6, получим
У2 - с2г2 A + 2ге~ь cos ^е^. B)
Кинетическая энергия рассматриваемой массы жидкости записы-
записывается так:
Шк у
Т = ±-р \ dx\ V4y; C)
—п'к —оо
заменим здесь х, у соответственно через xL/k, yjk и подставим
вместо У2 его выражение B), получим
Т = JL с2ё2 J Ac! j (I + 2ee-!"cosa;1)e-2t!"^i. D)
—г: —оо
Уравнение линии тока в переменных хг, у±1 грх записывается сле-
следующим образом при взятой точности подсчетов:
У\ = —^i + 8в~ф1 cos xi-
Приняв это, выполним в интеграле D) замену переменных, вводя
вместо хг, у1 новые переменные интегрирования |, /ф1? полагая
*i = S> У1 = —*i + 8в"ф1 cos I- E)
Переменное ^ будет изменяться от —я до я, переменное i^ —
от г|)° до оо\ где i|)° — значение функции гр! для волновой поверх-
поверхности.
Отметим, что
=щdl #i=~A+ее-ф1 cos l} dl difi*
Отсюда формула D) перепишется так:
Т = 2^ с2е2 \ di|)i \ A + 2е^-^ cos
Внутренний интеграл равен, с точностью до первой степени г
658 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
включительно, 2яе~2ф*; отсюда получаем
Выполняя интегрирование, имеем
При взятой точности подсчетов величина ее" * равна произведе-
произведению амплитуды волны а на число к:
ее"*1 = а/с.
Следовательно, предыдущая формула может быть переписана так:
T = J^a2c\ F)
Подставим сюда вместо с2 его значение
.2 _ ^ (i ! 4jx2f
тогда получим окончательное выражение кинетической энергии
прогрессивной волны с точностью до второй степени отношения
ее амплитуды к длине:
Т = — gpU2 A + —fir-*). G)
Интересно отметить, что формула F) повторяет, по своему виду,
формулу для кинетической энергии прогрессивной волны беско-
бесконечно малой амплитуды.
Найдем затем потенциальную энергию прогрессивной волны
п'к Y
U=-pg 5 dx\ydy. (8)
—п/к о
Интегрирование по у берется от среднего уровня жидкости,
принятого за ось Ох; величина У, стоящая в верхнем пределе
внутреннего интеграла, есть ордината волновой поверхности,
соответствующая абсциссе х. Пусть будет
Y = Вг cos кх + В2 cos 2кх + Bs cos Зкх + • • • (9)
Выполняя внутреннее интегрирование в формуле (8), получаем
п/к
—я/ft
§ 7. ЭНЕРГИЯ ПРОГРЕССИВНЫХ И СТОЯЧИХ ВОЛН 659
Подставим сюда вместо Y его разложение (9), получим
п>к оо оо
П = ~y pg \ \ \ ВтВп cos mkx cos пкх dx,
—л/к ТП—1 П=1
или, пользуясь свойством ортогональности тригонометрических
функций,
оо п/к
pgS] В1 \ cos2 mkx dx.
771=1 — Ttfk
Выполняя интегрирование, получаем общую формулу для потен-
потенциальной энергии:
В § 6 было дано уравнение установившейся волны в форме A8).
Применим это уравнение к данному случаю, учитывая лишь
третьи степени числа ак. Имеем
5, = а, Въ = ±-(ак)\ В^ ^{akf.
Подставим эти коэффициенты в общую формулу для П, получим
Сравнивая это выражение потенциальной энергии с выраже-
выражением G) кинетической энергии, видим, что кинетическая энергия
прогрессивной волны конечной амплитуды превосходит (для до-
достаточно малых значений отношения а/Х) потенциальную энергию
этой волны.
Полная механическая энергия Е прогрессивной волны, взятая
для одной волны, имеет значение
-«**[! +-§-
с точностью до вторых степеней отношения а/Х.
Обратимся теперь к вычислению кинетической и потенциаль-
потенциальной энергии стоячих волн конечной амплитуды. В основу этого
вычисления будут положены формулы §§ 6, 7 гл. I, определяющие
движение жидкости с помощью координат Лагранжа.
Рассмотрим массу жидкости, заключенную между двумя вер-
вертикальными прямыми # = — Х/2 и х = Х/2, ограничивающими
вместе со свободной поверхностью объем жидкости в одной стоя-
стоячей волне.
660 гл- V- ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Кинетическая энергия этой массы жидкости записывается,
как и выше, в виде формулы C). Введем в эту формулу вместо
переменных интегрирования х, у новые переменные а, 6, являю-
являющиеся лагранжевыми координатами произвольной точки рассма-
рассматриваемого объема жидкости.
Новые переменные a, b и переменные #, у связаны зависимо-
зависимостями
x = a+l(a,b;t), у = Ь + r\ (a, Ъ; t). A0)
При изменении х, у в пределах
—л/к < х < п/к, — со < у < Y,
где Y — ордината свободной поверхности, отвечающая абсциссе а:,
переменные а, Ъ будут изменяться в пределах
— тс/к < а < п/к, — оо < Ъ < 0.
Функциональный детерминант преобразования A0) имеет следую-
следующее выражение:
D(x,
D(a,
У)
b)
1 +
дц
да
dt,
да
14
д\
дъ
дц
эь
L 5а ^ 56 ^ D(a,b) J
Но выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю (см.
§8); таким образом, функциональный детерминант преобразова-
преобразования A0) равен единице, и благодаря этому формула C) для кине-
кинетической энергии может быть записана так:
0 nlk
Т = 4-Р [ db { V2da. A1)
ь* 1 1
—оо —п'к
На основе формул теории стоячих волн выражение V2 может
быть представлено так:
Функции | и г| изображаются рядами, расположенными по степе-
степеням малого параметра 8:
При изложении теории стоячих волн будут определены значения
тех коэффициентов этих разложений, которые здесь выписаны.
§ 7. ЭНЕРГИЯ ПРОГРЕССИВНЫХ И СТОЯЧИХ ВОЛН 661
Таким образом, с точностью до четвертой степени параметра 8
включительно, будем иметь
^1 9т12 , р4 17 ^2 \2 , О д^ ЭтЬ
В первом разложении опущено слагаемое с ?2> так как ?г =^ О-
Пользуясь найденными выражениями функций ?1? . . ., ti3, полу-
получаем
dw I
= 82 Z. [Cos2 w + 82 ~^— (8 + 13 cos 2^ + 5 cos 4w)l ^2Vb sin2
ao L 32ao J
^!LV = e2 {— ^2/cb cos2 ka cos2 и; +
, dw I la2
+ 2s —теъ>кь cos /i:a sin w A — cos 2г^) -f
+ 82 Г Jl_g27cb B + Cos 2fea) A — cos Щ +
L 8a0
J! C0S2 ka (g + 13 cos 2гг; + 5 cos 4г
щ
Пользуясь этими разложениями, находим
—оо —пГк
= Jt*L rcOs2 w + s2 k\ (8 + 13 cos 2w + 5 cos 4w) I,
—oo — n/k
= J^- Tcos2 м; -Ь 82 —^L- A6 + 13cos 2w — 3 cos
Складывая эти формулы почленно, получаем выражение кинети-
кинетической энергии:
Т = ^?182Г^-
1 L
16ao
Чтобы получить окончательное выражение кинетической энергии,
662 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
следует подставить в эту формулу вместо с2 его выражение
Выполняя вычисления, получаем окончательное выражение
кинетической энергии:
Т = J*L 82 COS2 w + J^t_ 84-(8 + g cos 2w~+ cos 4и;)- A4)
Za 64^
Найдем теперь выражение потенциальной энергии (8), прини-
принимая в качестве переменных интегрирования а, Ъ и отсчитывая
потенциальную энергию от среднего уровня жидкости:
о — n
Подставим сюда вместо т] его разложение A3); пользуясь значе-
значениями коэффициентов этого разложения, получаем выражение
потенциальной энергии:
П = JEE. e2 sin2 w + -i^?- 84 A0 - 9 cos 2w - cos 4u>). A5)
Складывая формулы A4) и A5) почленно, получаем выражение
полной механической энергии стоячей периодической волны ко-
конечной амплитуды:
Средние значения кинетической и потенциальной энергии за пе-
период колебания равны соответственно
/1
\
среднее значение потенциальной энергии превышает среднее зна-
значение кинетической энергии.
Придадим формулам A6) и A7) другой вид, заменяя в них
величины е и к их выражениями через амплитуду А и длину
волны X:
А = /с8/а0, к = 2яА.
Получим
§ 8. OGH ОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ СТОЯЧИХ ВОЛН 603
§ 8. Основные уравнения теории стоячих волн
конечной амплитуды
В начальных параграфах гл. I были исследованы собственные
колебания тяжелой жидкости в предположении, что амплитуда
этих колебаний весьма мала. Волны, образующиеся при этих ко-
колебаниях, носят название стоячих волн. Теперь мы обратимся
к определению стоячих волн, учитывая конечную величину их
амплитуды.
Будем рассматривать плоскую задачу гидродинамики и пред-
предположим, что жидкость, имеющая открытую свободную поверх-
поверхность, обладает бесконечной глубиной. Поставим задачу: найти
для такой жидкости потенциальные движения, периодические по
отношению к горизонтальной координате и по отношению ко вре-
времени.
При таких движениях жидкости на ее поверхности будут об-
образовываться стоячие волны; вместе с тем можно сказать, что эти
движения жидкости являются собственными ее колебаниями дан-
данной длины в направлении горизонтальной оси. В дальнейшем
будет показано, что период этих колебаний зависит от длины
волны, а также и от амплитуды колебаний, так как рассматри-
рассматриваются нелинейные колебания.
Решение поставленной задачи найдем применением перемен-
переменных Лагранжа. Определение стоячих колебаний конечной ампли-
амплитуды с помощью переменных Лагранжа было предложено
Я. И. Секерж-Зеньковичем [42], который впервые построил об-
общую теорию стоячих волн конечной амплитуды *). Уравнения
Лагранжа для плоских движений тяжелой жидкости пишутся так:
JVx_dx__ , /j% i J\.%._ __ J_^P
|д*2 да "*" \ дР "i"g/ да ~~ р да '
dt* дъ + \ а** + 8) IF ~ JT дЪ '
К этим динамическим уравнениям следует добавить уравнение
непрерывности. Если через xQ, y0 обозначить декартовы коорди-
координаты частицы жидкости в момент времени t = 0, то уравнение
непрерывности запишется так:
дх дх
дх0 ду0
ду ду
дх0 ду0
= 1. B)
*) В дальнейшем мы излагаем эту теорию с некоторыми изменениями
в деталях.
664
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Установим следующую зависимость между декартовыми коорди-
координатами х0, г/0 и координатами Лагранжа а, Ь:
Xq = а, у0 = b + f(a). C)
Припишем частицам жидкости, принадлежащим поверхности,
значение Ь, равное нулю; тогда уравнение поверхности жидкости
в начальный момент времени примет вид
У о гг:/(^о)-
Этим равенством определяется смысл функции /(а). Преобразуем
уравнение B) к переменным а, Ь, получим
дх
да
ду
да
дх
дЪ
ду
дЬ
•
да
дх0
дЪ
дх.
да
дЪ
= 1,
или, пользуясь формулами C),
дх
На
ду
да
дх
Ж
ду
дЪ
= 1.
Решим уравнения A) относительно вторых производных d2x/dt2
и d2yldt2\ пользуясь уравнением D), найдем
д*у
дН
~да~
дН
дЪ
ду
дЬ
¦-г
дН
да
дН
~Ж~
дх
Ж
ду
да
где
# = -?-
Преобразуем эти уравнения к новым искомым функциям ? и т),
полагая
х = а+l, у = Ъ + ц.
Получим новую систему уравнений:
д% ^ дН П(%Н)
0*2 Оа ^ Z)(a,b) '
d2r) _ ^_BL__RjXJ^L
а«2 ¦" аб /)(а,ь) '
Преобразуем затем уравнение непрерывности D); найдем
E)
da
Л1
дЪ
D(a,b) '
F)
§ 8. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ СТОЯЧИХ ВОЛН 665
Вдоль поверхности жидкости давление имеет постоянное значение,
равное, например, нулю. Отсюда вытекает основное граничное
условие нашей задачи:
Я (а, 0;*) =gi\{a,O;t).
При t = О функция !• (а, ft; t) обращается в нуль для всех
значений переменных Лагранжа, при этом же значении t функ-
функция г\ (a, ft; t) должна обращаться в неизвестную пока функ-
функцию / (а).
При погружении на бесконечную глубину координаты х, у
должны стремиться соответственно к х0 и у0, что обусловливается
предполагаемым угасанием волнового движения на бесконеч-
бесконечной глубине. Таким образом, функция | должна стремиться к
нулю при Ъ = —оо, а функция т] должна стремиться к функ-
функции /(а).
Функции | (а, ft; ?), r\ (а, ft; ?), / (а) должны иметь по отноше-
отношению к переменному а данный период, равный длине волны
X = 2п/к.
По отношению ко времени t функции |, г\ должны иметь данный
период т, определяемый частотой колебания волны а:
х = 2я/сг.
Величина к дается, величина а определяется в процессе решения
задачи.
Будем предполагать, что переменное а изменяется между
—jt/fe и jt/fe, при этих значениях а и при всех значениях ft и вре-
времени t функция ? должна быть нулем:
I {± я/к, ft; t) - 0.
Ко всем этим условиям должно быть добавлено еще одно условие,
указывающее, что в каждый момент времени ось Ох есть средний
уровень жидкости. Это условие записывается так:
\ 2/^ = 0 или \ [лA + !!)]ь=0^ = 0. G)
—Х'2 —Ttlk
Определив содержание задачи и ее условия, укажем метод ре-
решения.
Мы будем искать стоячие волны весьма малой, но конечной
амплитуды, зависящие от некоторого малого параметра 8 и при-
приводящиеся к горизонтальной прямой при нулевом значении этого
параметра.
В силу этого условия будем искать неизвестные функции за-
задачи в виде рядов, расположенных по степеням параметра 8.
666 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Положим
I -8^ + 82Е2 + гЧз + *Ъ+ . .., (8)
Т] = 8TU + 82Т]2 + 83Т1з + 84Т]4 + . . . , (9)
Н = гН, + 82#2 + 83#3 + е4#4 + . . . , A0)
/ (а) = вД (а) + 82/2 (а) + 83/3 (а) + г% (а) + . . ., (И)
а2 - сг0 + га1 + е2сг2 + 83сг3 + . . . A2)
Все коэффициенты этих рядов подлежат определению. По отно-
отношению к переменным а, Ъ и t коэффициенты написанных рядов
должны удовлетворять тем условиям, которые были указаны
выше по отношению к суммам этих рядов.
Преобразуем уравнения E) к новому независимому перемен-
переменному w, полагая
w = at; A3)
при изменении t от 0 до т переменное w будет изменяться от 0
до 2я.
Выполняя преобразование переменного, приводим систему
уравнений E) к такому виду:
да ~т D(a,b)
дН
dw* дЪ {D(a,b) '
Система уравнений F) и A4) будет положена в основу решения
нашей задачи.
Подставим ряды (8)—A0), A2) в уравнения F) и A4); сравни-
сравнивая коэффициенты при различных степенях 8 в обеих частях этих
уравнений, приходим к следующей системе уравнений для опре-
определения коэффициентов указанных рядов:
д^ *Я
D(a,b) '
? i \dw* дЪ Д] D{a,b)
да + дЬ ~ 2j D(a,b)
(« = 1,2,3,...).
Интегральное условие G) приводит к следующей системе условий,
§ 9. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 667
которые должны выполняться при любом значении w:
г + Цп-1 -р- + т]п-2-^р- +••• + % J1'1 da = 0 A8)
(п = 1,2,3,...).
§ 9. Вычисление коэффициентов рядов, определяющих
стоячие волны
Дадим индексу п в уравнениях A5)—A7) § 8 значение 1, полу-
получим систему уравнений первого приближения
Из уравнений A) и B) получаем уравнение Лапласа для функ-
функции Нг:
Возьмем решение этого уравнения, обладающее периодом X по
отношению к координате а и периодом 2я по отношению к пере-
переменному w:
Нг = екЬ cos ka sin w. C)
С целью несколько упростить написание всех дальнейших
формул мы не поставили перед правой частью этой формулы мно-
множителя размерности функции Нг\ вследствие этого параметр раз-
разложений 8 есть безразмерное число, а имеет размерность L2T~2.
Подставим выражение C) функции Нг в уравнения A), получим
w, а0 -тгЩ- = — кекЬ cos ka smw.
dw2
Интегрируя эти уравнения, находим
?х = екЬ sin ka sin w + 1\ (а, Ь),
* а° <4>
% = — екЬ cos ka sin w -{- т1 (a, b).
Функции 1г (а, Ь), т1 (а, Ь) произвольны, для их определения вос-
воспользуемся уравнением B).
Так как функция ?х должна обращаться в нуль при w = О,
то функция 1Х (а, Ъ) обращается в нуль тождественно. Отсюда
668 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
вытекает, что производная dmjdb = 0; следовательно, функция
т1 зависит лишь от переменного а.
В силу основного граничного условия функция Нг должна
равняться #% при Ъ = 0 и при всех значениях переменных a, w.
Таким образом, должно соблюдаться условие
/ к \
coskasmiv = gl— cos ка sin w -f- тЛ .
Отсюда получаем
а0 = gk, m1 (а) =~~ 0. E)
Интегральное условие A8) § 8 удовлетворяется при п = 1 тожде-
тождественно.
Итак, система уравнений первого приближения имеет такое
решение:
?i = —екЬ sin ha sin w,
,Оо (в)
т]х = — екЬ cos ka s'miu, cr0 = gh-
Это решение отвечает взятому частному решению C) уравнения
Лапласа.
Покажем, что при таком выборе функции Нг получаются стоя-
стоячие волны из линейной теории.
Действительно, координаты х, у точки поверхности жидкости
определяются в рассматриваемом случае формулами
х = а — г — sin ka sin w, и = г — cos ka sin w.
Из первой формулы имеем, учитывая лишь первые степени пара-
параметра 8,
к . 7 .
а == х 4- е — sm kx sm w.
Подставляя это выражение во вторую формулу, находим уравне-
уравнение стоячей волны, получаемое в линейной теории:
у = е — cos kx sin w.
®о
Формула A2) § 8 дает известное выражение частоты стоячей волны:
а2 = gk.
Все дальнейшие вычисления коэффициентов рядов G)—A2) будут
основаны на взятом частном решении C) уравнения Лапласа;
следовательно, стоячие волны конечной амплитуды будут, в опре-
определенном смысле, развитием бесконечно малых стоячих волн.
Обратимся теперь к определению функций ?2» Лг* Н%- Соглас-
Согласно уравнениям A5)—A7) § 8 эти функции будут определяться
§ 9. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 669
из уравнений
а^ зчи _ эн2 p^H,)
Q° ^2 "t"alIj2 - '~"^"t" Р(а,Ъ) '
Р(а,Ъ) '
5а "^ ЗЪ ~ D(a,b) ^'
Подставляя сюда вместо функций с индексом 1 их найденные вы-
выражения, получаем систему уравнений
а0 5% - - Щ± - ^ е*ь sin ka sin w, A0)
а0 ^| = _ Щг. + ^_е^ь cosка sin у, + Ь еыъ A _ cos
+ -^
Из этих уравнений находим уравнение для функции Н2:
а тт ^4 f>1th 3/с4 от-к о
&Н2 = — ^2fcD _ ^2feD cos 2гг;.
a0 a0
Решение этого уравнения, периодическое относительно w, имеет
следующий вид:
A3)
где р0, pm, qm — гармонические функции переменных а, Ъ с пе-
периодом 2я//с относительно координаты а. Подставим это выраже-
выражение функции Н2 в уравнения A0) и A1), получим
<*0
¦ cos raw -
№+?(**
^Г|2 = кО± ekb cog ^a gin w №_
u dw% a0 ' a0
Отметим, что частные производные функции р0 (а, Ь) должны быть
приравнены нулю, чтобы интегралы этих уравнений были перио-
670 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
дическими функциями переменного w. Следовательно, р0 — ве-
величина постоянная, значение ее определено ниже.
Интегрируя составленные уравнения, получаем
^оьг = —- e sm ka sin w +
da ' da j ' L v '
a0rj2 = ekh cos ka s in w j— e^kb cos 2w +
oo
e2kb + L^(-^cosmw + -wsin
Уравнение A2) будет удовлетворяться при условии
ал "г" дъ ~ и*
Составим теперь условие для поверхности жидкости:
#2 (а, 0, и;) — gr]2 (a, 0, и;).
На основании предыдущих формул это условие приводит к следую-
следующему тождеству относительно а и w:
оо
/с2 3/с2 \~^
15"" ^7 cos 2w + Ро + 2j 'Pm ^' °^cos mw + qm (a' °^sin mw^ =
а0
[^+-^F— sinH
1
m=i
Из этого тождества получаем следующие соотношения:
Ро = —m1(a1 0) = const,
•nst,
= 1
= 2,
,3,
3,
4,...),
4,...)-
A6)
A7)
A8)
A9)
Выше было указано, что функции Н2, HSi ... не должны содер-
содержать слагаемых вида екЬ cos ka sin w, определяющих функцию
§ 9. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 671
Нг. Поэтому в выражении функции qx (а, Ъ) не должно быть
члена е™ cos ка. Отсюда вытекает, что первое слагаемое правой
части тождества A5) должно обращаться в нуль. Это определяет
величину с^:
oi = 0.
Определим функцию рт (а, Ъ), удовлетворяющую граничному
условию A7).
Так как функция ?2 должна обращаться в нуль при а — ± п/к
и при всех значениях Ъ и го, то гармоническая функция рт (а, Ь)
может быть представлена рядом
оо
рт (а, Ъ) = ао+ S <*/*b cos J'ka B0)
с неизвестными коэффициентами а. Для определения этих коэф-
коэффициентов служит граничное условие A7), которое дает следую-
следующее тождество:
21 ]Щ cos jka — т? (а0 + 21 аУcos
Отсюда следует, что
Если / =^= т2, то ос7- — 0; если же / = т2, то ат2 может быть взято
произвольно. В этом последнем случае бесконечная сумма в фор-
формуле B0) будет содержать лишь одно слагаемое:
Рт (#» b) = amzem2kb cos m2ka,
и тогда соответствующий член в бесконечной сумме формулы A3)
будет
атгет2кЬ cos m2ka cos mw.
Это слагаемое в выражении функции Н2 определяет стоячую волну
длины 2л/(кт2) с основной частотой колебания (по линейной тео-
теории), равной 2я/(шт). Таким образом, мы встречаемся здесь с теми
добавочными стоячими волнами, о которых говорилось в §§ 3, 4
гл. I.
Совершенно такое же заключение можно вывести и из рассмо-
рассмотрения второго члена в бесконечном ряду A3), основываясь на
граничном условии A9).
Во всем дальнейшем рассмотрении мы ограничиваемся построе-
построением стоячих волн конечной амплитуды, порождаемых лишь
одной стоячей волной, возникающей из функции C). В силу этого
бесконечная сумма в формуле A3) обращается лишь в одно сла-
слагаемое:
р% (a, b) cos 2w\
672 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Функция р2 (а, Ь) определяется граничным условием A8); если
повторить следующие рассмотрения, то окажется, что
/с2
p^ta, b) = -75—cos 2w.
Следовательно,
#2 = -?—е™ъ + -^— cos 2w - i^-^bcos 2w + gmi (a, 0). B1)
Пользуясь полученными результатами, составим формулы A4),
получим
Oo\]2 = — е^ъ A — cos 2м?) + mi (a, 6).
Так как функция ?2 должна обращаться в нуль при w = 0, то
функция 1г (а, Ь) будет тождественно равна нулю; в силу этого
функция тпг (a, b) не будет зависеть от Ъ и, благодаря равенству
A6), будет сводиться к постоянному числу С. Итак,
^2 = 0, т]2 = -^ е^ A - cos 2w) + С.
Для определения числа С воспользуемся интегральным усло-
условием A8) § 8, которое в данном случае запишется так:
—л 'к
Выполняя вычисления, находим
те/ft
я/fc
—nlk L ° ° J
Отсюда получаем значение величины С:
с-о,
и окончательные формулы, определяющие второе приближение,
запишутся так:
1.9
B2)
2 ЧА-2
— cos 2м? — -F-e*5 cos 2м;.
а0 4а0
§ 9. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 673
Обратимся теперь к определению третьего приближения.
Полагая в уравнениях A5)—A7) § 8 п = 3, получаем следующую
систему уравнений:
D Ea-, Яг
IP" "T a2 IP" ~ "~ 15 D (a, 6) Z> (a,
да ~^ db D (a, b) D (a, b) '
Используя выполненные выше вычисления, придаем этой системе
такой вид:
а0 —-2|- = —J. L ^^ь sin /.a sin ^ _
и ^гг;2 да о0
/с5
еш sin Aa (sin г^ — sin 3w), B3)
2a
oro
дНъ . I кв2 5/с5 91еЛ кь 7
= мг-+ I—- -\ 7Гe2kb\ek0 cos kasmw —
^6 ^ у a n 42 I
_ JO* вз/сь cos ftfl sin 3^? B4)
4a
4ao
^L + _§r- = -^r ^3/Cb cos ka C sin ^ - sin 3m;)' B5)
aa do 4a3 v / \ /
Дифференцируя первое уравнение по а, второе по Ъ и складывая
результаты, получаем, в силу уравнения B5), уравнение для
функции Н3:
= -ZL- вз/сь cos jta (Sin ц; _ si
Общее решение этого уравнения, периодическое по переменному гг;,
запишется так:
#з = —J- ез7сЬ cos Aa (sin м; — sin Згг;) +
2cro
+ I Ро (a, b) + 2 (Pm cos mw; + ^m sin mw;)J , B6)
m=i
где p0, pm, qm — гармонические функции переменных a, 6, перио-
периодические относительно а с периодом 2я//с.
22 Л. Н. Сретенский
674 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Подстановка этого выражения функции П.л в уравнения B3)
и B4) дает уравнения
°>о о о = —=- в sm ka sin м> —
дги2 а0
^~- -= — -7—7- e3teb cos /са (sin м; — sin 3w)
С/ ^ 2 ry *•
0
A-a, . 5A5 9lch\ Wi 7 . ЗА5 ..,., 7 . o
—- _i __ g2/co \ g/it> cos /ga sin ^ . g3/i0 cos Д;а sin ^^
m=i
Так как функции ?3, т]3 должны быть периодическими по перемен-
переменному w, то отсюда вытекает, что р0 — число постоянное.
Проинтегрируем эти уравнения:
с. /iOV> i.h
sin
cos ™ + T-sin mw
^о^з =¦-' —г e>3/vb cos ^a f S^n ^ "" "^~ S!n 3w) -—— ekb cos ka sin w
4^ \ ^ / ao
А^ о,,, . ... 7_ /... . 1 ... о \ ко.,
[ dp да
Si 1 op oq \
—т —^r- cos mw Л—тг~ sm mw + mi (a' b):
m2 \ db '06 / ' x '
m=i
Составим на основе этих формул граничное условие:
Я3 (а, 0, и;) = ёГПз (а, 0, г/;);
получим следующие условия, которым должны удовлетворять
функции рт и qm при 6 = 0:
-t-W- = m2P'm (« = 1, 2, 3, ...), po = -J-mi(fl,O) = const,
Я $<7i i A;4 , /с4 7 а2 7
~——^ = (/1 H r- cos /ш cos fca H cos to,
a0 db 41^ 2o20 4a^ ^ cr0
7- p- = g3 — cos /ca -\ cos ka.
*4 ^6 i3 2^ 12J
§ {). КОЭФФИЦИЕНТЫ РИДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Г>75
Повторяя рассуждения, относившиеся к решению системы
уравнений A6)—A9), находим, что
Рт (я, Ь)=0 (т = 1, 2, 3, . . .),
qm (а, Ь) = О (/п = 1, 2, 4, . . .),
яч (а, 6) = е11 cos /fa, а.? = т— ,
Таким образом, имеем
#з = -Ц- е*кЪ cos /ca (sin ^ — sin 3?r) + ¦ e:{b cos fea sin Зш -|- pt)
и, далее,
0O|3 = —L екЪ sin fea sin м; екЪ sin /ca sin 3w,
a 96^
L екЪ sin fea sin м; екЪ
2 fcb ^a si |^b cos ]ia sin З
-j — en;'b cos ka ( sin ?/1 n- sin Зм? -]- С.
4a^ \ 3 у
Можно проверить, что полученными значениями Е3 и Лз уравне-
уравнение B5) удовлетворяется.
Для определения константы С воспользуемся интегральным
условием A8) § 8. Это условие запишется в данном случае так:
-л к
Подставляя сюда найденные значения тK, г\2, ^1? переписываем
это условие так:
7C/fe L ^
(
— cos ka sin w(i — cos 2w) Ida = 0
4G I
Отсюда получается, что С равно нулю и р0 = 0.
22:!:
676 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Итак, третье приближение определяется формулами
#3 = —_ езкЪ cos ka (sin w — sin 3w) -\ екЪ cos ka sin 3w,
|3 = —^. efcb sin ka sinw е*ъ sin ka sin Зг#,
ao 96ao
5 B7)
r]3 = ^- г*ь cos /ca sin w -\ e*b cos ka sin Згг; +
ao 96ao
L.5 / 1 \
_j ез/сь cos Дд (sin m? г- sin Згг; ,
4a^ \ 6 J
Обратимся теперь к вычислению величин четвертого прибли-
приближения. Уравнения для определения этих величин пишутся так:
д^2 &ъх _
D(Tjlf Я3)
D(o, 6) ^ D(a, b) ^ D (а, Ъ)
, Я2) Z) (Si, Я8)
Z> (а, 6) Л (а, 6) D (а, Ъ)
да п дЪ D (а, Ъ) D (а, Ъ) D (а, Ъ) '
Подставим в эти уравнения вместо величин с индексами 1, 2, Зих
найденные выше значения, получим, выполняя вычисления,
систему уравнений
On -т% = тг-^ — ^ъ sin ka sin w —
Ч- е^ъ sin 2ka C — 8 cos 2w + 5 cos 4a?), B8)
24ao
4_ _j 2i. gTcb cos ka sin ^ _|_
-^- e2^ A2 + 37 cos 2w — 25 cos 4и?) +
96ao
е^ъ A — 2 cos 2w 4- cos 4гг;) +
2a03
— elfcb cos 2A;a A — 2 cos 2u> + cos Aw), B9)
4(Jo
§ 9. КОЭФФИЦИЕН ТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 677
ik + 4^- = ~-^^ьB4- 19cos2iz;- 5cos4w) +
да ^ дЪ 96а4 v >^
J?L ет C — 4 cos 2w + cos Ш +
12а*
-^r*47cb cos 2ka C — 4 cos 2w; +cos Щ- C0)
24a
Дифференцируя первое уравнение по а, второе уравнение по
Ь, получаем сложением результатов уравнение для функ-
функции /74:
Д#4 = -^з- е2кЬ A2 — cos 2w — 65 cos Щ +
+ _fL. ^4/cb C — 8 cos 2w + 5 cos 4w) +
3ao
+ -^V е*кЪ cos 2Aa C — 8 cos 2w + 5 cos 4w;).
Найдем интеграл этого уравнения, периодический по w и а; полу-
получим
#4 = —^-j е^ъ A2 — cos 2гг; — 65 cos Ы) +
192а0
+ -^V ^47cb C — 8 cos 2w + 5 cos 4w) +
24(Jo
+ _^L емъ Cos 2Ла C — 8 cos 2w + 5 cos 4w;) +
48ao
(«, b) + 2 (pm cos от + gm sin тм;) I. C1)
m=2
Подставим это выражение функции Я4 в уравнения B8) и B9),
получим
= — е*ъ sin ka sin w —
ot
•о
^Lsto4]- <32>
678 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
д2г\л ко* kh т •
°°~д^^ ~ife cos&аsinW +
+ JL *кЪ A9 cos 2w + 20 cos Ы) + ^— е^ъ (cos 2w — cos 4м;) +
-1 (cos 2w — cos 4w) ^47cb cos 2ka —
^7 cos mzz; -1 ^— sin j
т=2
7 J •
Так как функции |4 и ^4 должны быть периодическими по отно-
отношению к w, то функция р0 (а, Ъ) должна сводиться к константе.
Проинтегрируем уравнения C2) и C3), получим
—^- екЬ sin ka sin w;
я
cos mu; + T sin
4 lh 7 :sin?/; —— A9cos2w + 5cos4w;) —
о
k1
cos ^?/; — cos ^^) з~ (^ C0S ^^ — C0S ^) ^4/l?) C0S
(^ cos ^?/; cos ^^)з
cos mu; + -J2- sin mwj + mi (a, b).
Составим на основе полученных формул граничное условие:
Я4 (а, 0, w) = grj4 (a, 0, w).
Сравнивая коэффициенты при тригонометрических функциях
одинаковых углов в двух частях этого граничного условия, на-
находим следующие результаты:
a3 = 0, -f-rrii (a, 0) = p0 + —T C + cos ka),
^^ ^^, C4)
pm = 0 (in = 1, 3, 5, 6, 7, . . .),
<7m = 0 (m - 1, 2, 3, 4, 5, . . .)•
§ 9. КОЭФФИЦИЕНТЫ РЯДОВ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ 679
Пользуясь этими результатами, можно придать функциям ?4, гL,
Я4 следующий вид:
, 5 /с6 о . /с6 ,
На = Ро + -от ~Т COS ^^ Н Т cos ^^ +
и0 О
,2/сь A2 — cos 2м; — 65 cos 4м?) -f-
1-е
—^ em C—8 cos 2гг; — 5 cos Aw) -f
G cos 2w; — 3 cos iw) е^ъ cos 2/ca
28ao
4- _^_ C — 8 cos 2w + 5 cos 4l^) ^4/ib cos 2A;a, C5)
48ao
-^-r- B5 — 28 cos 2w + 3 cos 4w) ^2feb sin 2/ca, C6)
224ao
/c7
yi — _ еыъ Ц9 cos 2гг; + 5 cos 4м;)
14 192aJ v ^ }
e*kb D cos 2m; — cos Aw) —
— elkb cos 2ka D cos 2w — cos Aw)
96g;J v y
cos 2ka fcos 2м; - 4"cos 4^) + ^^ &) • C7)
\ Z8 / ao
Для удовлетворения начальному условию | (a, 6, 0) — 0 было
принято, что
7 L7
lx (a, 6) = Л_ емъ sin 2/са ?!Ц, е*ьъ sin 2/са,
т. е.
Подставим выражения функций ?4 и гL в уравнение C0), получим
уравнение для определения функции ;% (а, Ъ)\
Ь 25
^4fcb 1
Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условию C4),
680 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
пишется так:
тг = кр0 + -JjL |C + cos 2ка) - A - е*ь) X
X [3 - -у- cos 2ка + е**ъ [i + -i- cos 2ua)l} . C8)
Подставляя это выражение функции т1 (а, Ъ) в формулу C7), по-
получаем окончательное выражение функции тL. Число р0 определя-
определяется из интегрального равенства A8) § 8, которое для данного слу-
случая пишется так:
—п/к
Подставляя сюда вместо функций г\ и ? их выражения, получаем
Ро = 0.
Таким образом, выражения функций четвертого приближения бу-
будут C5) — C7), в которых р0 заменено нулем, а т1 (а, Ъ) имеет
значение C8).
Обратимся теперь к определению функции / (а), с помощью
которой в § 8 было произведено преобразование уравнений Лаг-
ранжа A) § 8 к виду E) § 8. Функция / (а) есть значение функции
т) (а, Ь, га) при Ъ — 0:
/ (а) = Т] (а, 0, w) = ет)! + г\2 + 83ri3 + г% + . . .
Подставляя сюда значения коэффициентов, найденные в этом па-
параграфе, получаем после выполнения вычислений такое выраже-
выражение функции / (а):
/с7
/ (а) = е4 —- cos 2ka.
7а0
Отсюда уравнение поверхности жидкости в начальный момент
времени запишется так:
у = e^~cos2kx. C9)
§ 10. Свойства стоячих волн конечной амплитуды
Покажем прежде всего, что определенные нами стоячие волны
принадлежат поверхности жидкости, находящейся в потенциаль-
потенциальном движении. Для этого составим выражения компонент скорое-
§ 10. СВОЙСТВА СТОЯЧИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 681
ти частицы жидкости по осям координат; имеем
d\ dx\
и = а-т^-, v = а-т-1.
aw aw
Покажем, что эти компоненты равны нулю тождественно при
я 1
t = -х— ИЛИ W = -тг Я.
Формулы F), B2), B7), C6), C7) § 9 дают для производных по вре-
времени от функций %19 . . ., ?4, т)х, . . ., гL нулевые расчеты при w ==
= я/2. Нетрудно убедиться, что производные по времени от функ-
функций %п, г\п выражаются через косинусы нечетных дуг от w для не-
нечетных значений индекса п и выражаются через синусы четных
дуг от w для четных значений п. Отсюда вытекает, что при w =
= я/2 все эти производные обращаются в нуль, и поэтому будут
равны нулю значения компонент скорости каждой частицы жид-
жидкости при w = я/2.
Следовательно, в момент времени t = я/Bог) жидкость не име-
имеет скоростей; отсюда по теореме Лагранжа все последующее дви-
движение жидкости будет обладать потенциалом скоростей.
Покажем теперь, что ни в один момент времени поверхность
жидкости не распрямляется. Иными словами, покажем, что урав-
уравнение
т] (а, 0, t) = вт)! (а, 0, t) + г2ц2 (а, 0, t) + г*гK (а, 0, t) +
+ 8^т]4 (а, 0, t) + . . . = 0
не может быть удовлетворено значением t, не зависящим от коор-
координаты а при произвольном значении параметра е. Действитель-
Действительно, уравнение г)х (а, 0, t) = 0 удовлетворяется при w = 0; этим
же значением w уравнения\2 (а, 0, t) = 0, тK (а, 0, t) = 0 также
удовлетворяются. Но при w = 0 функция г]4 (а, 0, t) не обращает-
обращается в нуль, а принимает значение
т]4 (а, 0, 0) = —- cos 2ka.
7а0
Это выражение функции тL (а, 0, 0) получается из формул C7),
C8) § 9 и уже встречалось в конце § 9.
Таким образом, при наличии стоячих колебаний поверхность
жидкости никогда не распрямляется. Следовательно, движение
жидкости со стоячими колебаниями ее поверхности не может
быть образовано с помощью импульсивных давлений, приложен-
приложенных к горизонтальной поверхности.
682 гл. v. теория волн конечной амплитуды
Найдем затем выражения ординаты точки волны при а = 0;
обозначая эту ординату через у±, имеем
г/i = е — sin w + е2 -^- A — cos 2w) +
- tsiiim; ^-sin6w
1 19 с 11 \
1 Т92-соз2м;-ТЖСО84и?)-
Найдем вместе с тем выражение ординаты у2 точки волны, отве-
отвечающее а = л/к; получим
у2 = — е — sin w -f е2 —- A — cos 2w) —
у sin и;— -gg-sin3
1 19 9 11 , x
Для значений w в пределах от 0 до я ордината ух положительна,
она отвечает гребню волны и при w = я/2 достигает наибольше-
наибольшего значения, равного
о к _Ьр2^ , iIP3il , 229 с4 W
Для того же значения w ордината у2 достигает своего минимально-
минимального отрицательного значения, равного
к , о й3 17 о /с5 , 229 Л V
— 8
32 ° аз ^ 1344 с :Х
о ио
Это значение у2 отвечает низшей точке долины волны. Высота греб-
гребня превосходит понижение долины волны на величину
&_ _229_ W_
о» h 672 a4 •
При увеличении времени за предел я/a положения гребней и до-
долин волны будут периодически обмениваться между собой. Най-
Найдем положение узлов волны. Уравнение для определения коорди-
координаты а узла волны будет т) (а, 0, w) = 0. Ограничиваясь лишь чле-
членами третьего порядка по е, записываем это уравнение так:
гк 7 . 82/с3 . 2 . Е3/сб 7 . /13 . 1 . о \ п
— cos ka sm гг; -] sm2 w -\ cos ka sm w hr^- + -7- sm 2w = 0.
^0 ^ 2a2 2a^ \16 ^ 4 /
2a2
§ 10. СВОЙСТВА СТОЯЧИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 683
Устраняя множитель sin w, получаем отсюда
&Ч* / 13 . 1 - а
[ + — sm
Положим здесь ка = я/2 + а, получим
8/с2 . Г, 82/с4 /13 . 1 . '
sma = -s— sinu? I —- -^- + ^-sm2
Za0 L 4a2, \ 8 ^
Решение этого уравнения, близкое к нулю, будет
е/с2 . 83/сб / 13 . , 1 . „
Sma;(Sm^+— 8Ш
Отсюда координата Лагранжа а для узла будет
13 , 1 . '
Если же в уравнении A) положить
Ла = 2~ я + а,
то для а получим значение
б/С2 . . 83/С6 / 13 . . 1 .
a = — -о— sin w H — -з- sin гг; -^—5- sm
za0 8aj* \ ь 6
и координата а второго узла будет определяться формулой
/Ох
C)
Формулы B) и C) определяют в пределах периода волны два ее
узла и показывают, что узлы стоячей волны конечной амплитуды
перемещаются по оси абсцисс с течением времени. Иными словами,
у рассматриваемых волн конечной амплитуды нет неподвижных
узлов. В этом состоит одно из отличий стоячих волн конечной амп-
амплитуды от таких же волн, определяемых линейной теорией.
Уравнение стоячей волны в произвольный момент времени опре-
определится формулами F), B2), B7), C7), C8) § 9, в которых коорди-
координата Лагранжа Ъ должна быть взята равной нулю. Формулы х =
= а + ? (а, 0, го), у = ц (а, 0, w) представят уравнение волны
в зависимости от переменного параметра а.
Определим давление в жидкости; пользуясь формулой
# = JL+ !?(& +Л)
и найденными значениями функций Яит|, можем найти давление
684 гл. v. теория волн конечной амплитуды
в любой точке жидкости. Найдем это давление на бесконечной глу-
глубине, которой отвечает значение Ь, равное — оо. Имеем
Н = е2 -^— cos 2w + е4 —- E cos 2w + A cos iw),
к7
ц = е4 —- cos 2ка.
ч
Отсюда получаем
д>2 д-6
+ е2 -^- cos 2гг^ + е4 —^- E cos 2w + 4 cos 4м?).
Эта формула показывает интересную особенность в распределе-
распределении давлений, обусловленную нелинейным характером задачи.
Первый член правой части дает гидростатическое давление, кото-
которое только одно и было бы при линейном рассмотрении задачи,
т. е. для бесконечно малых волн. К этому члену добавляются при
полном решении задачи слагаемые со второй и четвертой степеня-
степенями параметра е. Второе слагаемое правой части дает незначитель-
незначительный добавок к гидростатическому давлению и, меняясь с коорди-
координатой а, не зависит от времени. Два последних члена, наоборот,
не зависят от координаты Лагранжа а, но меняются во времени,
передавая, таким образом, на бесконечную глубину колебания
поверхности жидкости с течением времени.
Укажем в заключение этого параграфа выражения периода и
частоты колебания поверхности жидкости. Применяя формулы
§ 9, имеем
§ 11. Некоторые работы по теории
стоячих волн конечной амплитуды
Определение стоячих волн на поверхности жидкости бесконеч-
бесконечной глубины может быть сделано на основе первого метода Стокса,
как это было показано в больших статьях Пеннея и др. [160],
[161].
В основу исследования положено выражение потенциала ско-
скоростей
оо
Ф (х,у; t) = 4 У "г X, Р"*" cos nkx' <4)
n=Q
§ 11. НЕКОТОРЫЕ РАБОТЫ ПО ТЕОРИИ СТОЯЧИХ ВОЛН 685
коэффициенты этого разложения |3n — неизвестные функции вре-
времени, периодические по отношению к этому переменному с одним
и тем же периодом для всех |3n, подлежащим определению.
Уравнение открытой поверхности жидкости берется в виде
оо
ку — -я- а0 -\- у ап cos 'nkx. B)
n=i
Коэффициенты ап — неизвестные периодические функции време-
времени, период этих функций равен периоду функций |3n.
Для определения функций
а0, аг, а2, . . ., ап, . . .,
Ро» Pi> Рг> • • •> Ря» • • •
и их периода служат два уравнения:
оо
у j= \ $nenKy cos nkx +
к у gkLml
1
2/с5
оо
V
1
771=
ОО
V
=in=i
1 . V1 •
-2-а°2_Л
т=1
оо оо оо
= / тат sin ткх \ n$nenkv^sm nkx — \ nfinenkv cos nkx. E)
m=i n=l n=l
Первое из этих уравнений представляет собой условие постоянст-
постоянства давления на свободной поверхности жидкости, оно вытекает из
интеграла Бернулли. Второе уравнение выражает тот факт, что
частица жидкости, принадлежащая ее поверхности в какой-ни-
какой-нибудь момент времени, будет и во все последующее время принад-
принадлежать поверхности.
В эти два уравнения надо подставить вместо у его выражение
в виде ряда B). После такой подстановки уравнения D), E) бу-
будут представлять собой два тригонометрических ряда Фурье по
косинусам дуг, кратных кх. Коэффициенты этих рядов будут зави-
зависеть от неизвестных ат, f$m и их производных по времени. Равен-
Равенство нулю этих коэффициентов дает для функций C) систему бес-
бесконечного числа нелинейных уравнений.
В работах Пеннея и др. эти уравнения решаются путем разло*-
шеций в ряды до степеням мадого параметра, за который берется
686 гл. v. теория волн конечной амплитуды
множитель А у первого члена аг ряда B):
ал = -^-sin
Таким приемом были определены с точностью до пятой степени
величины А пять коэффициентов бесконечного ряда B). Получен-
Полученные результаты совпадают с теми, которые были найдены методом
Лагранжа. Отметим лишь более полную формулу для частоты
волны:
_J_42_-i!,
4 128
Если перейти к обозначениям § 10, то будем иметь такое выраже-
выражение для а2:
так как
А = гк/g.
В работах Пеннея и др. содержится определение стоячих волн
и в бассейне конечной глубины с вычислением двух первых чле-
членов в уравнении волновой поверхности
оо
к у = 2 un(t) cos пкх.
п—1
Более подробное определение соответствующих волн содержится
в работах Я. И. Секерж-Зеньковича, где приводятся формулы
с точностью до третьей степени малого параметра [42], [45] и в
работе [92].
Стоячая волна малой амплитуды и длины X обладает частотой
колебания, равной
Волна длины Х/п2 обладает частотой в п раз большей, чем волна
длины X. Отсюда следует, что волна, состоящая из суммы двух
волн длины X и Х/п2, обладает длиной X, и частота колебаний но-
новой волны равна а. Эту новую волну, которую можно назвать со-
составной волной, можно положить в основу построения волн ко-
конечной амплитуды, периодических по переменному х и по вре-
времени t.
Пользуясь переменными Лагранжа, Я. И. Секерж-Зенькович
построил приближенную теорию составных волн и нашел главные
их свойства [43]. Теория стоячих волн на поверхности трехмер-
трехмерной массы жидкости получила продвижение в работах Я. И. Се-
керж-Зепьковича, Пеннея и Прайса [44], [160].
Анализ полученных приближенных решений показал, что вол-
волновая поверхность не имеет неподвижных узловых линий и что
§ 12, ПРОСТРАНСТВ К; til VH Л\ДАЧА 68?
отсутствуют такие моменты времени, ко|Дп поверхность жидкости
стала бы горизонтальной. Все вычислении были выполнены с точ-
точностью до второй степени амплитуды исходной стоячей волны из
линейной теории.
В работе Пеннея и Прайса [160] высказывается предположение,
что стоячая волна наибольшего развития имеет на своем гребне
угловую точку с углом касательных в ней, равным 90°. Это предпо-
предположение нашло свое подтверждение в работе Тейлора, посвящен-
посвященной экспериментальной проверке теории стоячих волн конечной
амплитуды [191].
§ 12. Пространственная задача об определении
установившихся волн конечной амплитуды
В настоящем параграфе излагается приближенное решение за-
задачи об определении установившихся периодических волн на по-
верхности трехмерного потока бесконечно глубокой жидкости *).
Допустим, что бесконечно глубокий поток тяжелой жидкости
имеет на бесконечной глубине скорость v, направленную в положи-
положительную сторону оси Ох. Будем рассматривать движение жидко-
жидкости, определяемое следующим потенциалом скоростей, задаваемым
в переменных Эйлера:
Ф (х, у, z)=v [—xJr(a11ekuZ cos пу-{-а1гек1зХ cos Зш/+. . .) sin mx -\-
+ (°^2oe2kioZ + OL22e2k22Z cos 2ny -f- • • •) sin 2mx +
+ {(%sie3]?nZ cos ny + a33e3k3iZ cos 3ny + • • •) sin 3mx +...]. A)
Здесь v, m, n — данные величины, а
A V'sW + *\
Коэффициенты ars должны быть определены так, чтобы потенциал
Ф действительно соответствовал движению жидкости с открытой
поверхностью, покрытой установившимися волнами конечной ам-
амплитуды с длинами 2л/т,2п/пв двух взаимно перпендикулярных
направлениях. Для определения этих коэффициентов перейдем
от переменных Эйлера к переменным Лагранжа а, Ь, с, t и, найдя
зависимости переменных х, у, z от переменных а, Ь, с, t, выразим
давление через переменные Лагранжа.
Приравнивая давление р постоянной величине, не зависящей
ни от времени, ни от координат а, Ь, получим соотношение между
переменными а, Ь, с и ряд уравнений для определения неизвестных
коэффициентов ars. Указанное соотношение и будет уравнением
свободной волновой поверхности в переменных Лагранжа.
*) Здесь автор дает изложение своих работ [55], [56]. (Прим. ред.)
688 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Для установления зависимости между переменными Эйлера и
Лагранжа надо проинтегрировать систему уравнений
dx дФ dy дФ dz дФ /4-чч
= — —— = , = . (Z)
dt dx dt ду dt dz ч '
Для интегрирования этой системы уравнений введем вместо t
новое независимое переменное т, полагая т = qt, где q — некото-
некоторая постоянная величина; заменим вместе с тем Ф через г;ф, где
Ф — функция, находящаяся в квадратных скобках формулы A).
После этих преобразований уравнения B) перепишутся так:
где у = vlq. Проинтегрируем систему уравнений C), считая чис-
число ап малым. По отношению к этому числу остальные коэффици-
коэффициенты ars могут быть представлены так:
ars = —aji8 (Р;^ + Prs*an + • • •)» г и s нечетные,
ars = —сх1Хs (Prs 4" Prs an -\- >>')-) т is. s четные.
Мы определим все члены рядов ars, содержащие ап в степени не
выше третьей.
Примем для упрощения записи новые обозначения:
1 1
an = 8, ai3 = Pi83, a20 = -yl^s2* a3i = — Рз^3-
В этих обозначениях функция ф (х, у, z) запишется так:
Ф (ж, у, z) — — х + seKlZ cos ny sin mx -f- -я- ^2^k2Z sin 2mx +
+ ?3 (pi^37Cl32: cos Ъпу sin mx + -у р3ез7Сз2 cos ?гг/ sin Зтж) + . .., D)
причем для соблюдения уравнения Лапласа должно быть
к\ = ш2 + тг2, к2 = /гг, 9&?3 = ттг2 + 9w2, 9/с3 = 9/гг2 + w2.
Составим систему уравнений C), получим
1 dx
т- =1 — emeklZ cos тж cos ny — 82m82e2fc22: cos 2тж —
у dx v r
cos 3mx cos дг/ — 83mf3ie3/fl32: cos тж cos 3/гг/,
13mx sin /гг/ +
32 sin тж sin Здг/, E)
sin 2/тгж —
sin Ътх cos 7гг/ — Зе3/!:^!^3^132 sin mx cos 3fti/.
— -p = 872^^lZ sin mx sin nz/ + -у- е3р3ез7Сз2 sin Зтж sin /гг/
1 (^2
j— = — гк^11 sin mx cos ?гг/ — г^кф^ё***2 sin
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕН НАЯ ЗАДАЧА 689
Проинтегрируем эту систему уравнений разложением искомых ве-
величин в ряды по степеням параметра е; положим
х = х0 + гхх + б2х2 + г3хг + . . .,
У = Уо + *У1 + 82*/2 + ^Уъ + • • •> F)
z = z0 + ezx + г\ + г% + . . .
Произвольное число у, входящее в систему уравнений E), предста-
представим также в виде степенного ряда по 8, полагая
Y = 1 + 87l + 82Т2 + 837з + . . . G)
Коэффициенты этого ряда будут определяться из добавочных
условий при интегрировании уравнений E).
Подставим ряды F) и G) в уравнения E) и сравним коэффици-
коэффициенты при одинаковых степенях е в правых и левых частях. Коэф-
Коэффициенты при нулевых степенях г дают систему уравнений
dX ' dX ' dX
Интегрируя эту систему уравнений, получаем
х0 = х + а, г/о = b, z0 = с. (8)
Произвольные постоянные интегрирования могут рассматриваться
как координаты Лагранжа.
Сравнение коэффициентов при первых степенях г в уравнениях
E) приводит к такой системе уравнений:
—! == Yi — meklZo cos mx0 cos ny0,
-^! = neklZo sin mx0 sin ny0, (9)
-3- = — к^20 sin m^o cos тг^0-
Проинтегрируем эту систему уравнений, используя значения (8)
величин х0, г/0, z0. Число уг определим так, чтобы интегралы этой
системы не содержали вековых членов и были бы только периоди-
периодическими функциями переменного т. Очевидно, число Yi надо для
этого приравнять нулю, и тогда решение системы уравнений (9)
запишется так:
хг = — <?fciC cos rab sin [m(x -\- а)],
ух -. ~^lCsin nb cos [m(x + а)], A0)
к
zx = -~- е^е cos nb cos [m (x + а)].
Сравнение коэффициентов при квадратах е в системе E) при-
приводит (если использовать формулы (8) и A0)) к следующим
690 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
уравнениям:
_ LL n2e^c + т%е^с 1 cos [2т (т + а)],
4t=- (Йг'2/С1С + ^е2*20) sin [2т (х + а)].
Приравняем нулю в первом уравнении свободный член, чтобы ве-
величина х2 не получила после интегрирования векового слагаемого.
Таким путем найдем число у2:
ъ = JL(n* + 2т? cos2 nb) е*к«. (И)
и
Интегрируя предыдущую систему уравнений, получаем
.г2 = — ^- D~ n2e*klC + m^e^c) sin [2m (т + а)],
й = 0, A2)
Сравним, наконец, коэффициенты при кубах г в уравнениях E).
Результат такого сравнения мы выписывать не будем ввиду его
громоздкости, а выпишем интегралы уравнений третьего прибли-
приближения, полагая ys = 0 для устранения векового слагаемого:
т (т - к^ №М)С - -ше3к1С -
X sin [Ът (т + а)] - {^ [j?- Bn» + 1т*) <*** +
+ 4"т (&
cos3 nb Г-|- w2e3^c + 4Pie3fc»cl 1 sin [m (т + а)],
4
4" ^Рз^з] X
X sin nb cos [3m (t + a)] + — -|- (&х + m) p2 sin nb e^kl
+ J_ nm? sin3 nb e3/ClC — -^ (m2n2 + 2m4 — n4) sin
— 3npx sin З^р е3/С1зС] cos [m (t
12. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 691
ш {cos пЬ [ше3к1С + \{kl - т) {kl
cos [3m (t + а)] + -^ {cos га& Г-i- к^
+ cos3 nb Ц- fc^V^ + 12/c13p1e3fciacll Cos [hi(t + a)].
Запишем эти формулы и формулы A0), A2) в сокращенном виде:
#i = ^l sin tm (T + а)Ь ^2 = ^2 sin [2m (т + a)],
Уг = Qi cos lm (т + a)h У2 = Qi cos [2m (x + a)],
zx = /?j cos [m (x + a)], z2 = R2 cos [2m (x + a)], A3)
x3 = P3 sin [3m (x + a)] + P3 sin [m (x + a)],
z/3 = ^g cos [3m (x + a)] + Q3 cos [m (x + a)],
z3 = R3 cos [3m (x + ft)] + /?з cos [m (x + a)].
Вновь введенные величины Pl7 P2, . . ., R3 являются вполне опре-
определенными функциями переменных b, с.
Укажем разложение величины у:
7-1+4" 8^2/ClC (^2 + 2™>2 cos2 nb)- A4)
Слагаемые с нечетными степенями г отсутствуют в этом разложе-
разложении. Далее имеем такие разложения:
— -L г2е*** {п* + 2т2 cos2 nb)] ,
J i т A5)
т = 1 — -i- в2е*ь* {п* + 2m2 cos2 nb)\ vt.
Определим давление в жидкости с помощью интеграла Бернулли
Подставим в правую часть этого интеграла вместо х, у, z их выра-
выражения через переменные Лагранжа. Имеем
Подставим сюда вместо х, у, z, q их разложения F) и A5). Поль-
Пользуясь формулами A3), находим для р/р следующее выражение:
-?. = С- gc-^-v*[m*(Pl + Qt + Rl)- 472]е* -
—Тг cos [m (x + а) ] — Г2 cos [2m (x + a)] — Г3 cos [3m (x + а)],
A6)
692 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
где
+ gRs* + mv2 {Р[ + тР1Р2 + mQ1Q2 +
+ mR^ - 2у2Р1)е\
Га = gR2e* + 4- mV (/>J - Q\ -R1 + -J-? P*) в2,
Г3 =* gR3*3 + mv2 CP3 + mP1P2 - mQxQ% -
Каждая частица жидкости, принадлежащая свободной поверх-
поверхности, испытывает все время одно и то же давление, и поэтому ве-
величина р, рассчитанная для точек поверхности, не должна за-
зависеть от t. В силу этого для точек поверхности жидкости должны
соблюдаться следующие три условия:
Гх =0, Г2 = 0, Г3 = 0. A7)
При соблюдении этих условий формула A6) принимает следующий
вид:
.??.= С - gc - -^v2[m2(Pt + Ql + Д?)- 47а]82 + ...,
или, если пользоваться значениями функций Р±, Qt, Rl9 y2,
l± = C — gc+ \ и2 (п2 + 2т2 cos2 nb)e**8* + ...;
здесь р0 — постоянное внешнее давление. Не ограничивая общ-
общности задачи, можно принять С = ро/р\ тогда получим
с = ji (п2 + 2т2 cos2 rib) е**«г2 + ...
Это есть уравнение открытой поверхности; решая его относитель-
относительно с, получаем уравнение волновой поверхности, записанное в
координатах Лагранжа:
с = -|1 (п2 + 2т2 cos2 rib) г2. A8)
Ставя своей задачей найти установившиеся волны в нелинейном
приближении, мы должны в силу этого считать, задаваясь длина-
длинами 2п1т и 2п/п, что величина v должна быть функцией парамет-
параметра в, определяющего вертикальные размеры волны. Переходя от
установившихся волн к волнам прогрессивным, мы должны по дли-
длинам этих волн в двух взаимно перпендикулярных направлениях
найти скорость распространения этих волн. Эта скорость должна
необходимо зависеть от параметра е, поэтому положим
v2 = v0 + e2v2 + . . .,
где v0, v2, . • , — неизвестные величины.
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА 693
Заметив это, приравняем нулю коэффициенты при г и е3 в усло-
условии Тг = 0. Получим следующие два уравнения:
"о = ¦& . A9)
cos nb [mi;, + ^ + -J Cfc13 - Л^ Pi + -^ Р.] +
+ cos3 nfe [-^- (*i — ЗЛМ) р! - g^ro] = 0. B0)
Условие Г2 = 0 дает одно уравнение, определяющее коэффи-
коэффициент р2:
Условие Г3 = 0 приводит к уравнению
4)8 = 0. B2)
Если п Ф 0, то из уравнения B0) вытекают два уравнения:
lk <3*13 - fcl) Pi + ¦? Р2 = 0, B3)
¦^¦(fti-3&13) Pi-?*!/?*== 0. B4)
Таким образом, имеем пять уравнений A9), B1) — B4) для опре-
определения пяти неизвестных
*>0> Vb Pi» P2» Рз-
Решая эти уравнения, получаем
ш,-п,1 q rfiki
)m
Пользуясь найденными значениями у0 и г?2, находим скорость у:
2C^-^)^ 2 1
_—2fcx) "Г • • -J >
и выражение D) потенциала скоростей.
Возьмем первое из разложений F). Из выполненных подсчетов
следует, что хг, х2, хъ — периодические функции переменного т
с периодом 2п/пг\ период этих функций по времени будет
rnv
694 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Отсюда вытекает, что для данной частицы жидкости координата х
увеличивается на 2л/т, т. е. на длину волны в направлении по-
потока, в течение времени, равного указанному выше периоду:
Т = Jg- U + \ е^с (п* + 2m2 cos2 nb) е2] .
Это время всегда больше чем 2л/(тг') и для каждой частицы жид-
жидкости — свое. Таким образом, и для пространственной задачи
мы имеем явление приповерхностного течения, указанного Сток-
сом для плоской задачи об установившихся волнах.
Уравнение A8) есть уравнение свободной поверхности жидкос-
жидкости, точное до третьих степеней параметра е. Если в ряды F) под-
подставить вместо с его выражение A8), то получатся уравнения вол-
волновой поверхности, содержащие два независимых параметра а +
+ т, Ъ как гауссовы криволинейные координаты точки на поверх-
поверхности. В этих уравнениях присутствуют три первые степени пара-
параметра 8.
Возьмем коэффициент при е2 в формуле B5) и перепишем его,
полагая m = n\x; получим
-) [2 C^ - 1) Г 1 + и2 - И C^-^ 5)].
Величина, стоящая в квадратных скобках, имеет отрицательные
значения для |ы в пределах от 0 до некоторого числа |и/, меньшего
4 /—
чем Ну 3. Следовательно, прогрессивные волны, очень вытяну-
вытянутые в направлении своего распространения, имеют скорость мень-
меньшую, чем скорость движения бесконечно малых волн соответствую-
соответствующих длин.
Выше мы предполагали, что п Ф 0; если же п будет равно ну-
нулю, то уравнение не распадется на два отдельных уравнения,
а приведет после упрощений к одному уравнению
v2 — grn = 0.
Уравнения A9), B3), B4) дадут
v0 = g/m, p2 = 0, рз = 0.
Коэффициент рх остается неопределенным в данном приближении.
Потенциал скоростей запишется так:
ф = v (—х + еУ712 sin mx), г = 8 + Р^2,
и формула для скорости волны примет вид
указанный Стоксом.
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ А. И. НЕКРАСОВА 695
Ю. М. Крылов определил пространственные установившиеся
волны применением к данной задаче первого метода Стокса, раз-
развитого для решения плоских задач о волнах [21J. В своем исследо-
исследовании Ю. М. Крылов рассмотрел случай конечной и бесконечной
глубины бассейна. Останавливаясь на этом последнем случае,
дадим уравнение открытой волновой поверхности, записанное в
декартовых координатах:
? = a cos тх cos пу j- а2к |1 + cos 2пу + ^ ( — "*) 1
+ — т~cos
здесь а — произвольный параметр.
Б. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ
§ 13. Интегральное уравнение А. И. Некрасова
для определения установившихся волн
конечной амплитуды
В первой части этой главы были изложены приближенные ре-
решения задачи об установившихся периодических волнах конечной
амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. Некоторые из этих
решений обладают большой степенью точности, ноне дают, однако,
полной уверенности в существовании рассматриваемых волн.
Впервые строгое доказательство существования периодических
установившихся волн конечной амплитуды на поверхности жид-
жидкости бесконечной и конечной глубины было дано в 1921 и в 1927 гг.
А. И. Некрасовым [33]. Иными методами, чем А. И. Некрасовым,
эти же задачи были решены Т. Леви-Чивита для бесконечно глу-
глубокой жидкости [143J, [144] и Д. Струиком для жидкости конеч-
конечной глубины [189], [190]. Работы Т. Леви-Чивита были опубли-
опубликованы в 1924—1925 гг., опубликование работ Д. Струйка отно-
относится к 1925—1926 гг.
Изложим с достаточными подробностями содержание исследо-
исследования А. И. Некрасова. А. И. Некрасов предполагает с самого
же начала своего исследования, что искомые волны обладают сим-
симметрией относительно вертикалей своих гребней. Такое предполо-
предположение вносится на основе рассмотрения приближенных решений
задачи и оправдывается затем полученным строгим решением
задачи. Без такого априорного допущения решает задачу Леви-Чи-
Леви-Чивита, устанавливая уже после решения задачи, что полученные
волны обладают симметрией относительно своих гребней.
Принимая допущение А. И. Некрасова, возьмем ось симмет-
симметрии профиля какой-нибудь одной из периодических волн за ось Оу,
проводя ее вертикально вверх. Начало координат поместим
696
ГЛ, V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
на вершине волны и проведем через нее ось Ох в направлении пото-
потока в бесконечности: слева направо.
Отобразим область ABOCD потока, занятую одной волной
(рис. 77) *), на плоскость комплексного переменного w = ф -f-
+ ity', на этой плоскости получим полуполосу ABOCD, ограничен-
ограниченную прямыми линиями. Если поверхности волны приписать нуле-
нулевое значение функции тока г|), а значение потенциала скоростей
в
А
У
У
Э
0 х
с_
8
v\ 0
о с <р
Хс
2 2
A J)
Рис. 77.
Ф взять равным нулю, то полуполоса будет находиться в верхней
полуплоскости и будет симметрично расположена относительно
оси ф = 0 и ограничена слева прямой ф = —сХ/2, справа прямой
Ф = сХ/2, снизу полуполоса ограничена отрезком оси ф от точ-
точки — сХ/2 до точки сХ/2. Здесь с — скорость потока в бесконеч-
бесконечности, а Я — длина волны.
Отобразим в свою очередь полуполосу на плоскость вспомога-
вспомогательного комплексного переменного и = ? + щ, полагая
W =
с%
т dw
' du
с%
2niu
A)
Полуполосе ABOCD будет отвечать внутренность единичного
круга Г с центром в точке w = Оис разрезом вдоль отрицательной
части оси абсцисс от точки и = —1 до точки и = 0. Окружности
круга | и | = 1 отвечает отрезок [¦—сЯ/2, сХ/2] оси абсцисс, он со-
соответствует неизвестной поверхности волны. Соответствующие
точки плоскостей z, w, и помечены на рис. 77 одинаковыми
буквами.
Определим теперь соответствие между областью, занятой одной
волной на плоскости z, и кругом на плоскости и. Так как беско-
бесконечно удаленная точка области волны перешла в начало коорди-
координат плоскости и и так как при обходе точки и = 0 по часовой стрел-
стрелке функция z должна увеличиваться на Я, то искомое соответствие
между плоскостями z и и найдется в результате интегрирования
*) Рис. 77 дан редакторами. (Прим. ред.)
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ А. И. HEKPAGOBA 697
соотношения
du ~~ 2Ш и ' W>
Функция / (и) голоморфна внутри круга радиуса единица плос-
плоскости комплексного переменного и, разложение ее в ряд Маклоре-
на должно иметь такой вид:
/ (и) = 1 + аги + а2и2 + а3и3 + . . . C)
Коэффициенты а±, а2, а3, . . . действительны, так как волна сим-
симметрична относительно вертикали вершины. Функции / (и) не
должны обращаться в нуль при | и | <; 1, так как скорости частиц
жидкости не обращаются в бесконечность в потоке. Деля форму-
формулы A) и B) почленно одну на другую, находим
dw с
ЧГ= ~~Т(и)'
Применим эту формулу к значению и = 0, отвечающему беско-
бесконечности в потоке жидкости, получим
с
следовательно, скорость течения жидкости в бесконечности равна с,
как и должно быть.
Возьмем условие на открытой поверхности; так как вдоль этой
поверхности давление постоянное, то между скоростью V и орди-
ординатой у будет существовать соотношение
V2 = -2gy + const, D)
вытекающее из интеграла Бернулли. Будем рассматривать в этом
соотношении V и у как функции аргумента 0 комплексного пере-
переменного и, изменяющегося вдоль окружности | и \ = 1. Полагая
и = е19, продифференцируем граничное условие D) по перемен-
переменному 0, найдем
_ 2 dy ^
Но
Тто dw dw с2
dz /(ei9)/(e49)
кроме того,
Отсюда условие E) запишется так:
698 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Отделим в функции / (е10) мнимую часть от действительной и за-
запишем результат так:
/ (е10) = А (9) + 1В (9).
В новых обозначениях условие F) перепишется так:
Г
1 — х2/? A)
J ' К ]
где
Покажем теперь, как уравнение G) может быть приведено к нели-
нелинейному интегральному уравнению.
Рассмотрим внутри круга | и | = 1 следующую функцию комп-
комплексного переменного и:
Z = ilnf(u). (8)
Отделяя в правой части мнимую часть от действительной, получим
Z = -arg/(a) + Пп|/(и)|.
Для точек окружности | и \ = 1 эта формула запишется так:
В
Z - — arctg -4- + Пп ]/Л2 + 52. (9)
Представим функции Л F) и Б (9) через угол со (9) наклона скорости
частицы жидкости к оси Ох и через отношение R (9) скорости по-
потока в бесконечности к скорости частицы жидкости, получим
А = R cos а, В = R sin со.
Отсюда равенство (9) приобретает такой вид:
Z = -о + Пп Д. A0)
В новых обозначениях условие G) запишется так:
или
(И)
Таким образом, на окружности | и \ — 1 соблюдается соотноше-
соотношение A1) между действительной и мнимой частью функции (8). Вос-
Воспользуемся теперь следующей теоремой [7], [26]: на
окружности круга единичного радиуса между значениями дейст-
действительной части g (9) и мнимой части h (9) всякой голоморфной
функции комплексного переменного существует следующее
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ А. И. НЕКРАСОВА 699
соотношение:
1
sin — (е+6)
при условии, что
Функция
1
sin — (e —6)
h Bя — 9) = h (9).
h (9) = In R
ds + const
A2)
удовлетворяет этому добавочному условию в силу симметрии вол-
волны. Следовательно, к функции A0) может быть применена форму-
формула A2), поэтому
275
@|
— — 9тг \ йо In
sin-«-(8+0)
1
sin — (e — Э)
de.
A3)
Константа в правой части равна нулю, так как (о @) = 0. Из
условия A1), имеем, интегрируя его,
е
In i? = q-lni-гД- 1 + jji \ sin co(e) de i-;
о
здесь |х, постоянная интегрирования, имеет следующее значение:
Дифференцируя это равенство, получаем
dlnR __ 1 \л sin @(9)
+ [X j sin (о (e) rfe
Подставим найденное значение производной в формулу A3), полу-
получим
(O(U) =
[I sin (о (е)
In
о 1 + ц, J sin (о (е) d&
sin -«- (e + Э)
_
sin
—e)
de.
A5)
Это есть интегральное уравнение А. И. Некрасова в теории уста-
установившихся периодических волн.
Решение этого уравнения дает действительную часть функции
A0) на окружности \ и\ = 1; по этой действительной части мож-
можно определить функцию Z (и) внутри всего круга, пользуясь
700 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
известной формулой |[7']:
где к — действительное постоянное число. Затем основная неиз-
неизвестная функция / (и) находится безо всякого затруднения:
С помощью этой функции определяется весь поток жидкости.
Уравнение поверхности жидкости найдется по формуле B),
если положить в ней и — eiB:
отсюда
и координаты х, у найдутся как функции угла 6 простыми квад-
квадратурами.
Установим теперь связь между различными величинами, ха-
характеризующими волновое движение. Для этого возьмем следую-
следующий интеграл по окружности I и \ — 1:
м ? с dw л
J и dz
Так как dwldz •— —elf (и) и так как внутри круга | и | = 1 функ-
функция / (и) не обращается в нуль, то по теореме о вычетах интеграл
У будет равен — 2nic2.
Вычислим затем этот же интеграл непосредственно. Для этого
заметим, что на окружности | и \ = 1 имеем
*L =
dz
Отсюда
п
-п
Но из формул A6) вытекает, что
dx . dy X . л
или
dx . dy__ __cX_
did l dQ "" 2я
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ А. И. НЕКРАСОВА 701
Следовательно,
Сравнивая этот результат с полученным выше значением интег-
интеграла Cf, находим
-1 С V4x = c\ A7)
Следовательно, среднее значение квадрата скорости частиц жид-
жидкости вдоль поверхности волны равно квадрату скорости потока
в бесконечности.
Обозначим через Vx скорость жидкости на вершине волны;
тогда скорость V в точке волны, имеющей ординату у, будет
V2 = V\ - 2gy.
Проинтегрируем обе части этого равенства по х от —Я/2 до Я/2,
получим
Х|2 Х|2
j V4x = VlX — 2g j ydx.
—Х/2 -Xf2
Но определенный интеграл равен со знаком минус произведению
длины волны на расстояние hx вершины волны от среднего уровня
жидкости, следовательно, применяя формулу A7), получаем
Совершенно так же можно прийти к формуле, определяющей рас-
расстояние h2 самой низкой точки волны от среднего уровня:
VI- с*
/га = -%—; A9)
здесь V2 — скорость в самой низкой точке волны.
Из формул A7) — A9), полученных Леви-Чивита, можно вы-
вывести некоторые следствия относительно распределения скорости
вдоль поверхности волны. Из формулы A8) следует, что скорость
течения в точках пересечения волновой поверхности со средним
уровнем равна с; из той же формулы следует, далее, что скорость
7х<си является вообще наименьшей скоростью частиц жидкости
в точках волны. Совершенно так же из формулы A9) вытекает,
что V2 ]> с и будет самой большой скоростью частиц жидкости
вдоль волны.
Заключим изложение общих свойств установившихся периоди-
периодических волн доказательством существования приповерхностного
702 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
течения. Для этого вычислим то время Т, в течение которого не-
некоторая частица жидкости описывает свою линию тока между
вертикалями двух последовательных гребней волны. С этой целью
возьмем формулу B) и заменим в ней и через peie; величина р
считается постоянной, что отвечает движению по линии тока. По-
Получим
_dx_ . dy_ _ _сХ_ _?^_
Ж + 1 ~Ш ~ ~~ ~гп Т~ •"
Отсюда имеем
dx cX cos со
~Ш ""= "" л Т~ '
С другой стороны, имеем
ij* -Fcosco.
dt
Исключая из этих двух равенств dx, получаем
j. el dQ
dt
Проинтегрируем обе части этого равенства по всему пути частицы
жидкости от вертикали одной низшей точки волны до вертикали
ближайшей низшей точки. В результате получим то время Т,
в течение которого частица жидкости проходит по своей линии
тока путь между указанными вертикалями:
тс
Т = _?L [ JL /20)
Представим эту формулу в другом виде, отделяя в функции
/ (peie) действительную часть от мнимой и полагая
/(ре«)=Л(р, 6) + Ш(р, 9).
Имеем
Отсюда следует, что формула B0) может быть переписана так:
)]dQ. B1)
На основании разложения A) имеем
А (р, 9) == 1 + а±р cos 9 + а2р2 cos 29 + . . .,
В (р, 9) = ахр sin 9 + а2р2 sin 29 + ...
§ 14. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 703
Подставляя эти разложения в формулу B1), получаем
Частица жидкости, находящаяся на бесконечной глубине, про-
проходит путь между вертикалями двух последовательных низших
точек волны в течение временив 1с. Соответствующий промежуток
времени для вышележащих частиц больше чем XI си определяется
формулой B2). Отсюда следует, что чем ближе частица жидкости
к поверхности, тем дольше она проходит путь слева направо меж-
между взятыми вертикалями. Это показывает, что при распростране-
распространении прогрессивной волны создается дополнительное течение жид-
жидкости в направлении движения этой волны. Скорость этого тече-
течения быстро убывает с погружением в жидкость и называется по-
поэтому приповерхностным значением (см. § 2).
§ 14. Доказательство существования установившихся
периодических волн на поверхности
бесконечно глубокой тяжелой жидкости*)
Возьмем интегральное уравнение Некрасова и покажем, что
оно имеет решение в виде целого ряда, расположенного по степе-
степеням некоторого параметра и сходящегося для малых значений
такого параметра. Этим самым будет доказан основной факт тео-
теории волн о существовании установившихся периодических волн.
Рассмотрим ядро уравнения A5) § 13:
6я
sin -tj-@ + 8)
1
sin -7г (9 — 8)
это ядро может быть разложено в тригонометрический ряд и запи-
записано так:
П=1
Фундаментальные числа \i этого ряда суть
\х = 3, 6, 9, 12, . . .;
*) Это доказательство автор публикует здесь впервые. Оно замечательно
по своей простоте и изяществу. Оно непосредственно обосновывает сходимость
приближенных методов Стокса и Рэлея. (Прим. ред.)
704 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
отвечающие им фундаментальные функции таковы:
B)
.„ч sin 6 /nN sin 26
ф! (8) = -=r , фа (9) -
Эти функции образовывают ортогональную и нормальную систему
в интервале @, 2я).
Приняв эти обозначения, перепишем уравнение Некрасова
короче:
е
где У (е) = \ sin со (fc) d&.
о
Наша задача состоит в точном определении волн, мало откло-
отклоняющихся от горизонтальной прямой по своим ординатам и по
углам со наклона вектора скорости. Имея это в виду, выделим
в первом множителе подынтегральной функции уравнения C)
линейную часть по отношению к переменному о>. Получим
\i sin со (б) _ , v jAco (г) [1 + У>У (е)] — И- sin'oo (г)
___ __ jxo) (8 ) 1 + ^(в) *
Подставим это выражение в уравнение C), найдем
со (в) = ^ ^ ?(9, e)(o(e)de —
о
f ^И-sin (о(б) к т v , ,, v
Рассмотрим линейное интегральное уравнение, определяющее бес-
бесконечно малые волны,
О)! @) = \1 ^ К @, 8) 0)! (8) d8. E)
О
Решением этого уравнения будут фундаментальные функции B).
Для нашей задачи достаточно будет взять лишь первую фунда-
фундаментальную функцию фх @), принадлежащую числу \х = 3,
так как все остальные функции будут определять такое же волно-
волновое движение, как и первая функция, но с длиной волны в целое
число раз меньшей, чем у первой функции. Приняв это, будем
искать решение нелинейного уравнения D) в виде ряда, располо-
§ 14. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 705
женного по степеням некоторого параметра а:
а (9) - сохСв) а + ш2 (9) а2 + со3 (9) а3 + . . . F)
Представим число \i в таком виде: \i = 3 A+m), и будем искать
величину т также в виде степенного ряда по параметру а:
т = т^а + т2а2 + ш3а3 + . . . G)
Подставим ряды F) и G) в уравнение D) и приравняем друг другу
коэффициенты при различных степенях а в обеих частях этого
уравнения, получим следующую систему уравнений:
©1F) = 3 5 Я (в, 8)@1(8)d8, (8)
2л: 2л:
= 3 J JST (в, e ^ ^
о
2л:
В последнем уравнении индекс к принимает значения: к — 2, 3,
4,... Отметив тождество
2л: 2л:
г»
Зт \ К (9, е) со (е) de = Зта
о о
2л:
+ ЗтуК (9, е) [со (е) — а©! (е)] de, A0)
о
которое на основе уравнения (8) можно переписать так:
2л: 271
Зт, \ К (9, е) со (е) de = та^ (9) + 3m \ iiT (9, е) [со (е) — acoi (e)] de,
о о
перепишем уравнение (9) в новом виде:
2л:
<ok(e) = 3^?(e,e)<ofc(e)de+ 4"[4т mal n(Oi(e) +
•) л* l aaft ja=o
о
¦fc г 2р
—- 3m \ if (9, e) [со (e) — acoi (&)] ds —
(/с = 2, 3, 4, 5, ...)•
23 Л. Н. Сретенский
706 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Уравнение (8) имеет решение
С помощью уравнения (9) или уравнения A1) можно опреде-
определить, решая неоднородные интегральные уравнения при фунда-
фундаментальном числе 3, дальнейшие коэффициенты со2 @), со3 (Э),. . .
ряда F).
При таком определении следует соблюдать условие третьей
теоремы Фредгольма об ортогональности известной функции
уравнения к фундаментальной функции срх @). Это условие в при-
применении к уравнению A1) записывается так:
1 Г d* 1
-гт\ та +
*i L da* Jao ^
2л 2п
О
Мв)-ш»(в) + у(в)^(в)| е)
о о
Преобразуем это условие. Имеем
2л; 2л;
ф1 @) dQ[K @, е) 0 (е) d& =
о о
2я 2тг 27Г
= ^ о) (е) de ^ Z @, е) ф! @) dQ = -|- ^ со (е) ф! (е) de,
0 0 О
2я
ф! @) d0 [ К @, е) a«x (e) de = -i- a,
о
Ф1 F) Й
о о
со (е) — sin со (8
о
§ U. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН
Отсюда условие A2) запишется так:
1 Г dfc Г 1 Т @ (8) - Sill СО (8)+ [Х@ (8) ,7 (в) ^ ( ,
l^^[T^ ) i + ii*(e) <Pi(e)de-
2тх
— т \ (о(8)ф!(8)Й8 + та \{ . A3)
Важно отметить, что в правой части этой формулы присутствуют
лишь те коэффициенты ряда G), индекс которых меньше чем к — 1.
Действительно, разложение функции со (е)—sin со (e) + |ico (г) .У(г)
в ряд Маклорена начинается со второй степени а, и поэтому
т [со (е) — sinco (е) + |ico (e) С/ (г)]
будет содержать m^-i ak+1; при дифференцировании к раз по а
и замене а нулем это слагаемое пропадает.
Обратимся теперь к решению уравнения (9). Введем для крат-
краткости записи такое обозначение:
^ @> = ТГ Щг [Зт \К F' 8) Ю (8) d& ~
1+11^(8)
О
При этом обозначении уравнение (9) запишется так:
щ (9) = 3 jj К (9, е) щ (е) йг + FK (9).
О
Это уравнение с фундаментальным числом 3 разрешимо в силу
выбора значения A3) величины т^. Из бесконечного числа реше-
решений этого уравнения возьмем то, которое дается формулой
-; A5)
П=2
коэффициент Fkn имеет такое значение:
Дадим явное выражение этого коэффициента. Имея в виду формулу
A4) для функции Fjj (9), вычислим отдельные слагаемые, из
23*
708 гл. v. теория волн конечной амплитуды
которых будет составляться значение коэффициента/^. Имеем
2тс 2п
" Я (9, e)co(e)de =
2л 2 тс 2тс
= \ 0) (б) d& \ К (9, е) фп (9) dQ = -^— \ о) (е) фп (б) йе,
0 0 О
Фп (9) «У \ 1 1„^м ^ (У» 8) »8 =
О О
271
1 f со (е) — sin со (е) + [хсо (е) .7 (е)
0
Отсюда получаем для коэффициента Fkn такое выражение:
о
Таким образом, функция со/с (9) построена, определены также
и числа игй-1. Следовательно, ряды F) и G), решающие интеграль-
интегральное уравнение C), составлены и теперь надо доказать их сходи-
сходимость.
Для доказательства сходимости рядов F) и G) воспользуемся
методом мажорантных функций [9].
Докажем сначала сходимость ряда G). Возьмем формулу A3),
умножим обе ее части на ак и просуммируем результаты по ин-
индексу к от 2 до оо. Получим
оо
a 2
ft =2
ЕаМ d* Г 1 7 (оF) -sin @(е) + \1®(е)У(е) , ,
"ArtelT^ i 1+^(8) Фх(8H!8-
к^ч о
27Х
— т. \ со (е) ф! (е) d& -\- та \
J JJa=o
Заметим, что функция, находящаяся под знаком дифференциро-
дифференцирования, не содержит членов с нулевой и первой степенью а; сле-
следовательно, предыдущая формула может быть записана так:
1 и f <Р (в)-sin @(8) + ^ (в) ^(в)
_^^
— т \ со (е) ф! (г) dz
§ 14. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 709
Составим мажоранту для правой части этого равенства, т. е. най-
найдем такой степенной ряд по ос с постоянными положительными ко-
коэффициентами, значения которых превосходили бы абсолютные
значения коэффициентов разложения правой части в ряд по сте-
степеням а при всех рассматриваемых значениях переменного 6.
Предположим, что для ряда F) мажорантой будет ряд
Qxa + Q2a2 + Q3a3 + . . . = Q (a).
Тогда мажорантой для sin со (е) — со (е) будет ряд
sh Q — Q.
Мажорантой для функции С/ (г) будет ряд
? ?
J (е) = ^ sin со (е) de << ^ sh Q de << 2я sh Q.
о о
Таким образом, имеем
со (е) - sin со (е) + fxco (e) Cf (г) < (sh Q - Q) +
+ 3 A + М) Q-2jx sh Q = (sh Q - Q) + 6я A + M) Q sh Q,
где М — мажоранта для ряда G).
Далее, функция A + \i Cf (e)) имеет такую мажоранту:
1 1
1 — 3A +MJjtshQ "" 1 — 6rt(l + M)shQ '
Следовательно, мажоранта первого слагаемого правой части фор-
формулы A8) будет
A + М) \
М)
1 —6ji(l+M)shQ '
Составим мажоранту для функции
27Х
— т \ со (е) ф! (е) d& + та.
о
Такой мажорантой будет функция
2fnM(Q -aQi). B0)
Таким образом, мажорантой правой части формулы A8) будет
функция, равная сумме функций A9) и B0). Примем эту сумму за
мажоранту функции am, т. е. приравняем функции аМ:
710 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Перепишем это равенство так:
1 — 6n A + Л
/(^). B1)
Составим теперь второе уравнение для определения функций М
и Q.
Такое уравнение найдется при составлении мажорантной функ-
функции для со/с (9)- Имея в виду формулу A5), найдем сначала мажо-
мажоранту для функции Fk(Q). Эта функция дается формулой A4),
для отдельных частей которой составим мажоранты.
Ядро К F, е) — функция нечетная по отношению к перемен-
переменному е; функция со (е) — также нечетная функция своего аргу-
аргумента, как это следует из симметрии волны. Поэтому
?(9, e)co(e)de =
При изменении б и 8 в пределах от 0 до я ядро К F, е) — функция
положительная, как это следует из нового выражения этой
функции:
КМ р)- -J— In l-cos(9 + 8)
К ^ &> ~ ~Ш Ш l-cos(9-e) '
Отметим, кроме того, что для всех значений б от 0 до я интеграл
не превосходит по своему значению некоторого положительного
числа х.
Из этих свойств ядра К (б, е) вытекает, что мажорантой для
функции
2тх
Зт \ К F, в) со (е) dz
о
будет функция
где
_ 2 yv 1 _2 я2 _ я
Х ~~ Зя 2.J «2 ~~ Зя ~8~ "~ 12*
1
(штрих означает, что суммирование ведется по нечетным значе-
значениям п). Далее, на основании предыдущих подсчетов мажорантой
§ 14. СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 711
ДЛЯ
^ ш(е)^sin
о
будет функция
бях A + М) ^ Q - Q)
v ' ' 1
Следовательно,
271 27X
ts /c\ - \ / \ 7 f © (s) — sin со (e) + uco (e) У (г)
А F, е) ©(e)de —[i ^ —^ 1 + ^(в)
Отсюда
Jja=o
B2)
Обратимся теперь к формуле A7); мажорантой для функции
о
будет такая функция:
6 VI?Г A + M)shQ ol
Ь V п [i_6jt(l + M)shQ "" "J '
Следовательно,
^ oil
JJa=o'
поэтому для бесконечной суммы формулы A5) будем иметь
Z°° ^Фп(е) ^JLHL V 1 Г (l+M)shQ _ Qll
п — 1 ^/cll^a^Z-J w(w— 1) [l — 6n(l+M)shQ JJa=o
2 2
П=2
_ 2 Г й* Г (l + M)shQ
oo
так как N —:—ujr = !• На основании формул B2) и B3) можно
71=2
712 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
написать мажоранту для функции ©к F):
- A 4- Л
A + M
1
a A J_^L Г (l + M)shQ _ o]l
"*" *l I do* L 1 - 6я A + M) sh Q JJa=0-
Умножим обе части этого соотношения на а71 и просуммируем
результат по к от 2 до оо, получим
Zfe /о\ ^ с Гл/гг> , /л I л/г\ (shQ — йL-3лA + A/)Qsh Q"| ,
аЧ (в) < бях [MQ 4- A 4- М) i tJantl + AOshQ J +
fe=2
9 Г (l+M)shQ O1
+ U-6ji(l + Af)shQ ~" "J '
Отсюда выводим
co (e) < w + 6ях r Q + A + M) Jl-aTd+JiehQ
, 2 Г (l+M)shQ
"T" ^Ll—6n(l+M)shQ
Это соотношение дает второе уравнение для М и Q:
0 - тг+Hm+A+М) ^
Таким образом, для определения функций I(a) и Q (а) имеем
два уравнения: B1) и B4).
Перепишем эти уравнения, вводя вместо М (а) и Q (а) новые
функции М' (а) и Q' (а), полагая
М = аМ\ Q = aQr.
В новых неизвестных функциях уравнения B1) и B4) изменяются
в такие:
_ 2/яA+аМ)
1 — 6я A + аМ') sh aQ' A
L Ct
6я + аМ,} Q, sh aQЛ + 2 ^- /^ _ Щ
^ J \ (X (X у
(а , ^ Л^/Ч (sh aQr — aQQ + Зя A + aMQ aQ' sh аи'}
l + ; a[l-3fl(l+aM')shaQ'l J +
"^ La 11 — 6я A + аМ') sh aQ'] J •
§ 15. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 713
При ос — 0 эта система уравнений имеет решения
М' @) = 12/я, Q' @) = /
и функциональный детерминант А системы при этих значениях
М' @) и Q' @) и при а = 0 имеет вид
Д = 1 - 12jt/jcxQ' @) - 1 - я2,
т. е. отличен от нуля.
Следовательно, система уравнений для определения функций
М' (а) и Q' (а) имеет в области а = 0 решение, изображаемое
сходящимися степенными рядами по а.
Отсюда вытекает, что ряды F) и G) сходятся и дают тем самым
решение задачи о существовании периодических установившихся
волн на поверхности жидкости бесконечной глубины.
Мы не будем проводить вычисление коэффициентов рядов F)
и G); из предыдущего изложения видны те операции, которые надо
выполнять для определения этих коэффициентов. Вместе с тем
заметим, что результаты, которые можно было бы здесь получить,
повторяют те, которые уже даны при изложении первого и вто-
второго методов Стокса. Заметим лишь, что ряд G) дает возможность
установить связь между скоростью потока с, длиной волны X
и параметром а, характеризующим амплитуду волны. Действи-
Действительно, из формулы A4) § 13 имеем
с = "SF
Функция / (и) определяется через функцию Z (и) формулой
/ (и) - е-Щ"К
Действительная часть функции Z (и) равна на окружности | и | =
= 1 найденной функции о) @). По этой функции может быть опре-
определена Z (и) для всех значений и и, в частности, при и = 1. Отсю-
Отсюда определится /A), и формула B5) даст искомую зависимость
между скоростью потока, длиной волны X и параметром а.
§ 15. Установившиеся периодические волны
на поверхности жидкости конечной глубины
Небольшое изменение приемов, изложенных в двух предыду-
предыдущих параграфах, позволяет решить задачу о волнах конечной
амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины [33].
Обозначим через h глубину жидкости при отсутствии волн.
Рассмотрим область D на плоскости течения, ограниченную двумя
отрезками вертикальных прямых, проходящих через две сосед-
соседние низшие точки волны, свободной поверхностью жидкости, на-
находящейся между этими отрезками, и дном бассейна. Отобразим
714 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
эту область плоскости комплексного переменного z на корону С
плоскости вспомогательного комплексного переменного щ эта
корона ограничена внешней окружностью радиуса 1 и внутренней
окружностью радиуса го<1. Вдоль части радиуса (— г0,— 1)
корона разрезана. Соответствие точек плоскостей z и и дано на
рис. 77.
Взятое конформное преобразование области D на корону можно
представить формулой
dz Я_ f(u) ,,
du 2т и ' ^ }
в которой / (и) есть ряд Лорана, сходящийся внутри короны.
Допустим теперь, что в точках вертикальной прямой, про-
проходящей через вершину волны, потенциал скоростей ф равен
нулю; в точках же прямых, проходящих через низшие точки вол-
волны, его значения равны соответственно ф0 и —ф0. Не определяя
пока значения величины с, положим ф0 = сХ/2. Допустим, далее,
что свободной поверхности жидкости отвечает значение функции
тока г|э = 0, а дну бассейна — значение этой функции, равное
д>0.
Приняв это, отобразим прямоугольник плоскости комплекс-
комплексного переменного w, ограниченный сторонами
Ф =ТЛ, 0<г|)<д,
Ф = --j-cX, 0<г|)<д,
на корону С. Первой из указанных сторон отвечает внешняя
окружность короны, второй стороне — внутренняя окружность,
а двум оставшимся сторонам — верхний и нижний берега разреза
короны.
Соответствие между плоскостями w и и определится формулой
u^^lnu, ^L = ^L± B)
2ni ' du 2tti и ' v ;
Радиус внутренней окружности г0 связан с величиной q формулой
Принимая все обозначения § 13, записываем условие на свободной
поверхности так:
§ 15. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 715
Условие на дне канала будет, очевидно,
ю = 0. E)
Первое из этих условий должно соблюдаться на внешней окруж-
окружности, а второе — на внутренней окружности короны. В условиях
D) и E) In R есть мнимая часть функции
Z = Пп / (и)
на внешней окружности, а со — действительная часть той же функ-
функции на внутренней окружности.
Наша задача состоит теперь в том, чтобы найти уравнение для
определения величины со в точках внешней окружности.
Для вывода такого уравнения воспользуемся формулой, ко-
которая определяет действительную часть функции Z на окружности
| и | =* 1 по известной производной F F) мнимой части этой функ-
функции, взятой по углу в точках той же окружности, и по нулевым
значениям действительной части функции Z на окружности | и | =
= г0. Эта функция пишется так:
27t °° л 2п
ReZ = \ ВДУ --^\ ^- ^-dz. F)
} Ы п ^ + ГТ У* У« V '
2п
} Ы Т У* У«
Эта формула выписана в предположении, что функция F (г) —
нечетная функция своего аргумента. Такое предположение отве-
отвечает допускаемой симметрии волны относительно вертикали ее
вершины.
Из условия D) имеем
|isino)(8) /7ч
1 + (i \ sin со (е) de,
о
Подставим это выражение в формулу F) и заменим в ней Re Z
равной ей величиной — со. После выполнения этих действий полу-
получим основное интегральное уравнение нашей задачи:
со (9) = [ Мпев(в) к @? 8) d&. (8)
п С
0 1 + jx \ sin со (s) de,
о
ядро этого уравнения есть
^ — ro sin 0 sin пг /ГкЧ
716 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Определив из уравнения (8) функцию со @), находим весь поток
жидкости по формуле
Интегральное уравнение (8) переходит в уравнение C) при г0 =
= 0 и представляет собой его обобщение.
Выясним смысл величины с. Для этого возьмем интеграл
вдоль дна бассейна от точки z = —К/2 — ih до точки z = К/2 —
— ih. Так как в точках дна скорость частиц жидкости горизон-
горизонтальна и равна и, то
J udx. A0)
С другой стороны,
но вдоль дна u = ro^ie и угол 0 меняется от я до —я, следова-
следовательно,
S = -сК.
Сопоставляя эту формулу с формулой A0), получаем, что с есть
средняя скорость частиц жидкости в точках дна бассейна. Глу-
Глубина бассейна h связана с расходом q и скоростью с соотноше-
соотношением
q = ch.
Формула A4) § 13 приводит и в данном случае к зависимости между
скоростью с, длиной волны и параметром, характеризующим ам-
амплитуду волны.
Интегральное уравнение (8) настолько повторяет интегральное
уравнение C) § 14, что весь процесс построения мажорантных
функций, изложенный в предыдущем параграфе, непосредственно
переносится и на доказательство существования решения нового
уравнения (8).
Таким образом, является доказанным существование устано-
установившихся периодических волн на поверхности потока конечной
глубины.
§ 16. ДВИЖЕНИЕ ПОТОКА ЖИДКОСТИ ПО НЕРОВНОМУ ДНУ 717
§ 16. Движение потока жидкости по неровному
дну с образованием волн
Предположим, что поток тяжелой жидкости течет по твердому
дну, представляющему собой периодическую кривую данного пе-
периода X. Допустим, далее, что эта кривая обладает в пределах
периода вертикальной осью симметрии, проходящей через выс-
высшую точку кривой. При движении такого потока на его свободной
поверхности будут образовываться установившиеся волны, сим-
симметричные относительно оси симметрии кривой, представляющей
дно. Составим интегральное уравнение для определения этих
волн, обладающих конечной амплитудой. Такое уравнение можно
составить, повторяя в значительной мере все рассуждения пре-
предыдущего параграфа.
Свободной поверхности жидкости приписываем нулевое значе-
значение функции тока г|), а дну бассейна — значение гр = q ^> 0.
Формулы A) — D) § 15 сохраняются в новой задаче, но условие
E) должно быть заменено другим. Мы не будем предполагать, что
дно канала задано в виде уравнения, связывающего абсциссу и
ординату точек дна, а будем предполагать, что угол to скоро-
скорости жидкости в точках дна задается как некоторая известная
функция потенциала скоростей частиц жидкости, текущих по
Дну.
Итак, положим, что при гр = q угол со есть данная функция ф.
В точках дна потенциал скоростей связан с углом 0 точки на ок-
окружности | и | — г0 простой зависимостью:
Следовательно, для точек дна канала или для точек окружности
| и | = г0, отвечающей дну канала на плоскости переменного и,
должно иметь место условие
ю = Ь(в); A)
функция Ъ @) задается.
Таким образом, на окружности | и | = 1 должно соблюдаться
условие D) § 15, а на окружности \и\ = г0 должно соблюдаться
условие A). Найдем по этим условиям функцию со в точках окруж-
окружности | и | = 1. Допустим, что на окружности | и | = г0 известны
значения —Ъ F) действительной части функции Z комплексного
переменного и, а на окружности | и \ = 1 известны значения про-
производной d In R/dQ по углу 6 мнимой части той же функции Z.
Тогда, если функции Ъ F) и d In R/dQ нечетные по отношению
к углу 9, то значения функции о> на внешней окружности короны
718 гл. v. теория волн конечной амплитуды
будут определяться формулой *)
Л ОО
@\ — ^ [ h ( Y1 sin/г8 sin/га ,
О 71=1
71 ОО _„
а? In i? (а) V1 1 Го — ro sin n 6 sin /га 7
~ Z 7= 7=— CLO.
0
0 ' 0
Подставим в эту формулу вместо производной d In R (o)/do ее
выражение G) § 15, вытекающее из условия на свободной поверх-
поверхности, получим
4 Г7 / ч V^ sin/гб sin/га
О п=1
1_ \ sm о (а)
3 '
00 -п п
V1 го — ro sin /гб sm /га 7
7 7= г— do.
^j rn _i_ r~n Yn Ytt
Одновременно с этим уравнением можно вывести другое уравнение
для функции со @) в точках внешней окружности.
Для получения нового уравнения укажем формулу, определя-
определяющую In R как значения действительной части функции In R +
+ ш на окружности | и \ = 1 через значения функции со на внут-
внутренней и внешней окружностях короны. Имеем
п оо
, , V cos /г8 si
n=i
о ;о
\ (о (о) у — ^- cos n 9 sin no do.
О n=l ° О
Проинтегрируем формулу G) § 15 по переменному 6, получим
0
1пД = —-*-ln|4 + ,i,J sm(o(9)del .
¦) Эта формула может быть получена из разложения Лорана функции
Z (и) в кольце
с помощью определения коэффициентов ап через задаваемые функции Ъ (ст)
п d In Rlda,
§ 17. МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИТА И ЕГО РАЗВИТИЕ 719
Подставляя это значение In R в предыдущую формулу, находим
второе уравнение для функции со @):
In Tl + (х [ sin со F) del = -|- \ со (а) V Г°п Г°_п cos nQ sin n a da —
п=1
о
sin гсб sin тга , /Оч
rnr-w da. C)
n=l
Это интегральное уравнение было получено Понсеном в большой
работе, посвященной теории установившихся волн на поверхности
жидкости, текущей в канале переменной глубины [167].
Одновременно с этим уравнением Понсеном было составлено
и исследовано уравнение для волн, образующихся на поверхности
потока, дно которого изображается кривой, обладающей двумя
асимптотами: к одной асимптоте кривая приближается при х—
= — оо, к другой асимптоте приближается при х = оо.
Понсен дал доказательство существования рассматриваемых
волн и для периодически изменяющейся глубины канала, и для
непериодически изменяющейся его глубины. Примененный метод
последовательных приближений дает сходящиеся ряды для малых
значений параметра (х, что отвечает быстрым потокам или мелким
каналам.
Отметим, что работа Понсена является развитием исследования
Вилла о вытекании тяжелой жидкости из отверстия в трубе пере-
переменного сечения [199].
§ 17. Метод Леви-Чивита и его развитие
Исследование Леви-Чивита об установившихся волнах конеч-
конечной амплитуды отличается от изложенной выше работы А. И. Не-
Некрасова иным способом определения гармонической функции Z,
подчиненной граничному условию A1) § 13 [143], [144].
Кроме того, начало исследования ведется в более общих пред-
предположениях, чем в работе А. И. Некрасова. Именно допускается,
что лишь профиль волны установившийся, а не все движение
установившееся. С помощью двух добавочных предположений,
налагаемых на поток, доказывается, что и все движение жидкости
будет установившимся. Эти два предположения состоят в следую-
следующем:
1) дебит течения, обусловленного волнами,
конечен через каждую вертикаль, движущуюся с волнами;
2) поток жидкости через всякий отрезок вертикали, переноси-
переносимой со скоростью потока, остается конечным с увеличением вре-
времени.
720 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Далее, в изложении А. И. Некрасова предполагалось с самого
начала, что волны симметричны относительно вертикали гребня.
Леви-Чивита не делает этого предположения, а выводит его из
получающегося решения.
Дадим краткое изложение основ метода Леви-Чивита, исполь-
используя те обозначения, которые приняты в этом методе.
Будем рассматривать вместо функции Z метода Некрасова
функцию — Z, которую обозначим через со (и); отделяя в этой
функции действительную ее часть от мнимой, положим
ш = Ф + гт.
Следовательно, In R и ш метода Некрасова должны быть заменены
соответственно на —ти§.
В этих новых обозначениях условие A1) § 14, которое должно
соблюдаться в точках окружности | и\ = 1, запишется так:
или
dQ ~~ P ' ^ '
где
__ 1 2 = ек
р — 9 х"
Это есть разрешающее уравнение метода Леви-Чивита.
Допустим сначала, что т и д столь малы, что условие A)
можно считать равноценным такому:
dx а /Оч
Функция ю (^) комплексного переменного м, голоморфная внутри
круга единичного радиуса и удовлетворяющая на окружности
этого круга условию B), пишется так:
о> = —ivup,
где р должно быть целым положительным числом; v — произ-
произвольное действительное число. Число р следует взять равным
единице, чтобы иметь на круге | и \ < 1 изображение лишь одной
простой волны.
Итак,
w = —ivu, Ф = V sin 0, т = —v cos 9.
Заметим, что равенство р = 1 приводит к известной формуле тео-
теории бесконечно малых волн
§ 17. МЕТОД ЛЕВИ-ЧИВИТА И ЕГО РАЗВИТИЕ 721
Перейдем теперь к отысканию голоморфной функции о> (и),
удовлетворяющей полному условию A). Метод Леви-Чивита можно
определить как метод получения волн, близких по своему профилю
к горизонтальной прямой, так как решение задачи ведется путем
определения коэффициентов степенных рядов
со = coxv + co2v2 + co3v3 + . . ., C)
к = 1 - р - k±v + Kv2 + A8v3 + • • • D)
в предположении, что параметр v — малое число.
Для вычисления коэффициентов рядов C) и D) придадим ус-
условию A) следующий вид:
-^-<>:=A- А) />-*<>, E)
где
р = e-^sinO —О.
Разложения искомых функций т и § будут
о =olV + oava + v8 + ..., F)
т = Tlv + t2v2 + x3v3 + . . . G)
Можно считать, что функции $п и %п не содержат, для п > 2,
в своих разложениях Фурье членов с sin 9 и cos 9; такие члены
присутствуют лишь в выражениях функций Ох и %. Этому допу-
допущению соответствует вполне определенный смысл вспомогатель-
вспомогательного параметра v.
Подстановка разложений F), G), D) в условие E) приводит
к серии условий, накладываемых на коэффициенты рядов F)
и G).
Если коэффициенты йит, номер которых равен или меньше
чем п — 1, уже найдены, то коэффициенты Ф^ и тп могут быть
вычислены из условия
dx
— An-iSine, (8)
которое должно соблюдаться на окружности | и | — 1; функция
F перечисленных в ней аргументов является известной по преды-
предыдущим вычислениям. Согласно указанному выше соглашению
о выборе параметра v функции хп идп не должны содержать в своих
разложениях Фурье членов с sin 9 и cos 9. Следовательно, пра-
правая часть предыдущего равенства не должна содержать sin 9.
Отсюда получается значение коэффициента кп-х:
722 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
При соблюдении этого равенства функция сол (и) определится
внутри круга | и | < 1 формулой
п
соп (и) =- -~ ^ ue In -—i—^- (F — fen»! sin 0) dQ.
—я
Таким образом, коэффициенты четырех рядов C), D), F), G)
вычисляются.
Построением соответствующих мажорантных функций Леви-
Чивита доказывает сходимость этих рядов для малых значений
параметра v. Тем самым задача о периодических установившихся
волнах конечной амплитуды может считаться решенной.
Используя метод Леви-Чивита, Струик дал доказательство
существования периодических установившихся волн конечной
амплитуды на поверхности жидкости постоянной конечной глу-
глубины.
Решение задачи о существовании таких волн достигается по-
построением степенных рядов вида C), D), F), G), удовлетворяющих
условию E) на окружности | и \ = 1 и условию обтекания дна
бассейна:
Ф = 0 при | и | = г0 < 1.
Методом мажорантных функций устанавливается сходимость пе-
перечисленных рядов между окружностями | и | = 1 и | и | = г0
и тем самым доказывается существование рассматриваемых вол-
волновых движений*).
Применяя метод Леви-Чивита, Н. Е. Кочин [14] дал решение
задачи о периодических установившихся волнах на поверхности
раздела двух жидкостей различных плотностей.
Содержание задачи, решенной Н. Е. Кочиным, такое: на по-
поверхности раздела двух слоев жидкостей различных глубин и
плотностей, заключенных между двумя горизонтальными прямы-
прямыми, образовываются установившиеся периодические волны. В ре-
результате решения находится, что длина этих волн и средние ско-
скорости движения жидкостей вдоль граничных прямых связаны со-
соотношением, включающим в себя амплитуду волн.
По отношению к задачам Леви-Чивита и Струйка задача, рас-
рассмотренная Н. Е. Кочиным, отличается особой трудностью, за-
заключающейся в том, что потенциалы скоростей верхнего и ниж-
нижнего потока по-разному меняются вдоль линии раздела потоков,
т. е. вдоль волны. Благодаря этому в задачу входит новое вспомо-
вспомогательное неизвестное в виде соотношения между названными
потенциалами.
*) Некоторые неточности, вкравшиеся в вычисления Струйка, исправле-
исправлены в указанной в § 2 статье Дэ [94] и в статье [131].
§ 18. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К ПРОБЛЕМЕ КОШИ 723
Метод Леви-Чивита был с успехом применен С. Р. Синхом к ре-
решению задачи о волнах конечной амплитуды, образующихся на
открытой поверхности и на поверхности раздела двух жидкостей;
нижняя жидкость имеет бесконечную глубину, верхняя же имеет
данную конечную глубину и отличается от нижней своей плот-
плотностью [46]. В работе определяются периодические волны двух
разных семейств; волны первого семейства имеют большее развитие
на свободной поверхности, чем на поверхности раздела; волны вто-
второго семейства, чисто внутренние, имеют амплитуду значительно
большую, чем амплитуда поверхностных волн. В предположении,
что скорости верхней и нижней жидкости одинаковые, устанав-
устанавливается соотношение между длиной установившейся волны (того
или другого семейства) и скоростью потоков; в такое соотношение
входят амплитуды образовавшихся волн.
§ 18. Приведение задачи об определении установившихся волн
к проблеме Коши
Возьмем на плоскости хОу некоторую аналитическую кривую
С; пусть х = fx{u), у = f2(u) будут аналитическими функциями
комплексного переменного и, изображающими при и действитель-
действительном эту кривую.
Допустим, что функции fxiu), /2 (и) раскладываются около
некоторой точки щ в целые ряды с действительными коэффициен-
коэффициентами по степеням разности и — и0. Допустим, далее, что ф3 (и)
и фх (и), ф2 (и) изображают вдоль кривой С значения некоторого
интеграла Ф уравнения Лапласа и его первых производных
дФ/дх, дФ/ду. Функции фх (и), ф2 (и), ф3 (и) считаются голоморф-
голоморфными функциями разности и — и0.
По этим данным интеграл Ф представится вблизи кривой С
следующими формулами:
= Re [/,(«)
Ф = Фо + Re {j [ф1 (и) - Up, (и)] [/; (и) + i/g (и)) du).
В этих формулах и — комплексное переменное, Фо — произволь-
произвольное действительное число [91.
Предположим теперь, что кривая С есть часть профиля уста-
установившейся волны. Обозначим через z комплексное переменное
х + iy, а через w — комплексный потенциал w = Ф + Г?. Из
формул A) находим z и w в зависимости от комплексного
724 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
переменного:
Г . B)
w = wQ + j [ф! (и) — ?ф2 (и)] [/i (и) + i/2 (u)] du.
Линии С отвечают действительные значения и и действительные
значения функций (рг(и), . . ., /2 (и); следовательно, коэффициент
при i в подынтегральной функции должен обращаться в нуль,
дабы профиль волны был линией тока. Это приводит к соотноше-
соотношению
Ф1 (и) к (и) — Ф2 (и) h (и) = 0. C)
В точках линии С давление должно быть постоянным, отсюда
получаем еще одно соотношение:
Ф? (и) + Фг (и) + 2^ф3 (и) = 0. D)
Определим из соотношений C) и D) функции фх(и), ф2 (гг) и подста-
подставим их выражения в формулы B), получим
- 2?/а (и) /[Д (u)]2 + [ft (u)]2 du.
Этими двумя формулами переданы все условия задачи; следова-
следовательно, можно думать, что эти формулы дают полное и притом
исключительно простое решение задачи об установившихся вол-
волновых движениях жидкости. Но дополнительное условие о взаим-
взаимно однозначном соответствии плоскостей z и w требует сложных
рассмотрений для определения функций /х (и), /2 (и), при которых
было бы соответствие с соблюдением ряда дополнительных гра-
граничных условий, отвечающих поставленной волновой задаче.
Единственное, что можно сказать: формулы E) дают неболь-
небольшую область некоторого волнового движения около маленькой
дуги кривой х = /х (и), у = /а (и).
§ 19. Метод Рузского
Первое по времени точное решение задачи о волнах на поверх-
поверхности тяжелой жидкости принадлежит Рузскому [179]. Рузский
нашел строгое решение задачи об установившихся волнах на по-
поверхности потока, текущего по неровному дну некоторого част-
частного вида. Возьмем уравнение A1) § 13
i J A)
§ 19. МЕТОД РУЗСКОГО 725
и преобразуем его, заменяя угол 9 его выражением через потенциал
скоростей ф; в точках свободной поверхности имеем между 9
и ф такое соответствие (см. формулу A) § 13):
Отсюда уравнение получит такой вид:
_ = gesinco, B)
где L = In c/R. Определим теперь на свободной поверхности
жидкости некоторую действительную функцию Ф (ф) дифферен-
дифференциальным уравнением
d d$ A /О\
= 0. C)
Два уравнения B) и C), связанные с поверхностью жидкости, при-
приводят к новому уравнению:
Проинтегрируем это уравнение, получим
Это равенство имеет место в точках линии тока г|) = 0; А и В —
произвольные действительные константы.
Обозначим через 9 (w) функцию комплексного переменного
w = ф -|- ji|}? принимающую при яр = 0 значения Ф (ф).Равенство
D) приводит тогда к следующей зависимости между w и z:
dw
Это равенство имеет место внутри всей жидкости. При любом
выборе функции 9 (w) из этого равенства можно получить гранич-
граничное условие A), относящееся к поверхности жидкости. Таким
образом, уравнение E) решает полностью задачу об установив-
установившихся волнах, но это решение страдает тем же дефектом, как и
решение предыдущего параграфа. Но все же при удачном выборе
функции 9 (w) можно получить ряд интересных частных примеров
волновых движений.
Рузский приложил свой метод к разбору следующего част-
частного случая:
А > 0, 5 = 0, 9 - —iv.
726 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Уравнение E) привело к следующему уравнению свободной по-
поверхности:
- 4-)] Щ.
где
и
Анализ полученных формул показывает, что изображаемое ими
движение жидкости представляет собой поток, бегущий по твер-
твердому ложу, имеющему периодический волнистый вид. Рис. 78 дает
глубина 157
влубина!,!
Рис. 78. Рис. 79.
представление о форме дна и о волнах, развивающихся на поверх-
поверхности потока.
Ричардсон методом, тождественным, по существу дела, методу
Рузского, дал несколько интересных примеров движения тяжелой
жидкости с открытой поверхностью [173]. Он дал, в частности,
формулу, изображающую движение жидкости по ложу, имеюще-
имеющему уступ (рис. 79 *)) (числа на нижней линии дают скорости):
dz __ Y^- — a2 sect»4 aw — m sech2 aw
dw
¦/3g(B — thaw)
Общая же формула для dz/dw имеет у Ричардсона такой вид:
__ =
dw Зго _ —г
У 3gG {iv)
Функции G(w), G' (w) is. Yl~G'2(w) считаются конечными
и действительными для всех значений w с данной мнимой частью
г|H, отвечающей поверхности жидкости.
Подробное изучение всех вопросов, связанных с изложенным
направлением в теории волн, можно найти в работе Эмона [76].
*) Рис. 78 и 79 даны редакторами. (Прим. ред.)
§ 20. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАВИХРЕННОЙ ЖИДКОСТИ 727
§ 20. Волны на поверхности завихренной жидкости
В § 7 гл. I был дан пример волн на поверхности бесконечно
глубокой жидкости, обладающей вихрением. Эти волны, открытые
Герстнером, являются частным случаем широкого класса волн,
найденных Дюбреиль-Жакотэн [96].
В работе Дюбреиль-Жакотэн ставится задача об определении
плоских периодических установившихся волн конечной ампли-
амплитуды на поверхности однородной жидкости, бесконечной и ко-
конечной, постоянной глубины; предполагается, что каждая частица
жидкости имеет отличный от нуля вектор-вихрь, достаточно малый
по своей величине.
Дадим общее описание исследования Дюбреиль-Жакотэн.
Компоненты скорости частицы жидкости могут быть представ-
представлены через функцию тока г|э (х, у) формулами
ду ' дх '
отсюда вектор-вихрь будет иметь такое выражение:
Так как движение установившееся, то в силу уравнений Гельм-
гольца для плоских потоков величина ? будет функцией от if» без
явного присутствия в ней переменных х, у:
Это есть главное уравнение задачи в первоначальном своем виде.
Постоянное число (л будет в дальнейшем считаться малым и будет
обеспечивать малость вектора-вихря.
Вдоль поверхности жидкости функция тока г|э имеет постоян-
постоянное значение, которое можно взять равным нулю.
В точках поверхности жидкости давление имеет постоянное
значение; в силу этого интеграл Бернулли, примененный к по-
поверхности жидкости, дает граничное условие задачи в таком
виде:
Это условие должно соблюдаться для всех значений х, z/, связан-
связанных уравнением поверхности жидкости г|) (х, у) = 0. Так как это
уравнение неизвестно и, наоборот, в отыскании его и заключается
вся задача, то уравнение A) и условие B), взятые в их первона-
первоначальном виде, не позволяют еще дать решение задачи, так как
требуется найти интеграл известного уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющий условию B) на неизвестной границе^ = 0. Эту трудность
728 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
можно устранить выполнением некоторой замены переменных,
аналогичной в достаточной мере замене переменных второго ме-
метода Стокса.
До сих пор независимыми переменными были х, у, искомой
функцией была ф. Возьмем теперь в качестве независимых пере-
переменных х, я)?, а в качестве искомой функции возьмем у. Таким об-
образом, будем искать у как функцию независимых переменных
Преобразование уравнения A) к новым независимым перемен-
переменным приводит к следующему уравнению для искомой функции
У(х, ip):
2ду ду dhl +[ ду
^ \дх j J дф ~ * ~дх~~~д$~ШЩ + \~W/ ^2 ~ nw)\ dip
Граничное условие B) примет такой вид:
и должно будет удовлетворяться на известной уже границе, а
именно при гр = 0; К — постоянная величина.
Для бесконечно глубокой жидкости уравнение C) должно удо-
удовлетворяться в области, определяемой неравенствами
— сх><^< оо, 0<г|)< оо,
с подчинением искомого интеграла уравнения C) граничному
условию D) и добавочным условиям поведения интеграла при
1)) -> ОО.
Для жидкости конечной глубины, характеризуемой некоторым
числом д, интеграл уравнения C) должен определяться в области
изменения х и г|)
— оо<;^<;оо, 0<1|)<;д
с соблюдением граничного условия D) при г|) = 0 и условия обте-
обтекания дна бассейна г|э = д.
Будем искать такие волновые движения, для которых линии
тока мало отличались бы от горизонтальных прямых. Имея такую
цель, введем вместо функции у (х, ij)) новую искомую функцию
v (ж, г|)), полагая
у(х, г|>) = - А|) + v(x, t|>), E)
где А — некоторая константа, которая связывается со скоростью
потока в бесконечности или на линии ty = q. Будем искать такие
движения, для которых функция v и ее производные двух первых
порядков — величины малые. При таких допущениях кривая
ip = 0 будет близка к горизонтальной прямой и вектор-вихрь бу-
будет величиной малой.
^20. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАВИХРЕННОЙ ЖИДКОСТИ 729
Уравнение для новой функции v (х, яр) и граничное условие D)
примут для яр = 0 более сложный вид:
dx dx d\p dty dx2
ch>
d2v / dv \2 J
a^2 \ &* / +
—г + gA2v -— -к- kA} = Л2 (/c + 2gy) -—- + ^г-т- -
1 л
Вновь введенная постоянная величина к = К + 1А42 считается
малой.
Из этого уравнения интеграл у, удовлетворяющий граничным
условиям при яр = 0, яр = д, яр = оо, может быть найден методом
разложения по малому параметру. Но для доказательства суще-
существования периодических установившихся волн, что и составляет
главный предмет исследования Дюбреиль-Жакотэн, выгодно урав-
уравнение и граничное условие подвергнуть новому преобразованию.
Преобразуем декартовы координаты х, яр в координаты р, а
по формулам
? 2я
р = е л , а = ~~т~~х
и будем рассматривать р и а как полярные координаты точки на
плоскости с декартовыми координатами х', у':
х' = р cos а, у' = 9 sin а-
Области, занятой на плоскости (ж, г/) одной волной длины X, будет
отвечать на плоскости (х', z/r) корона, ограниченная окружностя-
ми р=1 и ро~? л ' Для бесконечно глубокой жидкости внут-
внутренняя окружность короны вырождается в точку — в начало
координат.
В переменных р, а уравнение F) запишется так:
j_ _а_ /. dv \ , 1
р аР
^сГ аоГа^" ар" "аа2~/
0 dv dv
2я Г/ ^г; 1 dv \ { ду \2
да2
730 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Граничное условие G) примет, после ряда преобразований, такой
вид для окружности р = 1:
Правая часть этого условия есть функция второго порядка мало-
малости по отношению к г; и частным производным этой функции по
р и а.
Функция h (p), входящая в уравнение (8), определяется через
функцию /(я|э), дающую распределение вектора-вихря по семей-
семейству линий тока, такой формулой:
Будем рассматривать лишь случай бесконечно глубокой жидко-
жидкости. Искомая функция v может быть представлена в виде суммы
трех функций:
v = V1+V2+V. A0)
Функция Vx удовлетворяет уравнению Пуассона
AV, = fx/ (p)
и, следовательно, представима двойным интегралом, распростра-
распространенным на весь круг р = 1:
где г — расстояние между точками (|, т]) и (р, а). На окружности
р = 1 функция Fx (p) удовлетворяет условию
dV1 1
dp 2я I dp ~
о
Функция 72 берется равной двойному интегралу, взятому по
кругу р = 1:
У2 (х\ у') = — -L
где F (у, ...,?, т]) — совокупность всех членов правой части
уравнения (8) с исключенным первым членом. Функция F2 удов-
удовлетворяет уравнению Пуассона
Tjl
Функция V будет, следовательно, интегралом уравнения Лапласа,
§ 20. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАВИХРЕННОЙ ЖИДКОСТИ 731
удовлетворяющим граничному условию
дР + 2% Л V ~
1^^^ ...). A2)
В правую часть этого условия входят значения функции 72 на
окружности р = 1; эти значения могут быть заимствованы из
формулы A1), если считать, что точка (х\ у') принадлежит окруж-
окружности р = 1.
Таким образом, определение гармонической функции V при-
привелось к решению двух нелинейных интегро-дифференциальных
уравнений A1) и A2), связывающих граничные значения функций
F2 и dV/dp на окружности *) | р | = 1.
После решения этих уравнений функции У2 и V найдутся внут-
внутри всего круга р <J 1.
Решение уравнений A1) и A2) ведется методом последователь-
последовательных приближений; сходимость метода доказывается при соблюде-
соблюдении достаточного условия, что функция h (i|)) удовлетворяет ус-
ловию Гёльдера и стремится к нулю по меньшей мере как е х
при i|), стремящемся к бесконечности; параметр \i должен иметь
достаточно малую величину.
Найденное решение показывает, что волны обладают свойст-
свойством симметрии относительно вертикали их вершины. Скорость
распространения волн, взятая относительно покоящейся в беско-
бесконечности жидкости, определяется формулой Эри с точностью до
первых степеней высоты волны; для волн потенциального типа
формула Эри определяет скорость прогрессивной волны с точно-
точностью до вторых степеней высоты волны.
Отметим, что по характеру стремления к нулю вектора-вихря
при неограниченном погружении в жидкость найденные волны
повторяют, обобщая их, волны Герстнера.
С помощью метода последовательных приближений доказыва-
доказывается существование периодических установившихся волн и для
жидкости конечной глубины.
*) Величина V на окружности | р | = 1 может быть исключена из уравне-
уравнения A2), если пользоваться формулой
dV 1
1 d^
5Г \дГ1»
о
вытекающей из основной формулы теории гармонических функций.
732 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 21. О волнах на поверхности жидкости
неоднородной плотности
В этом параграфе мы изложим основное содержание второго
мемуара Дюбреиль-Жакотэн о волнах конечной амплитуды [98].
Содержание этого мемуара состоит в определении формы ли-
линий тока установившегося течения неоднородной жидкости между
двумя горизонтальными прямыми; предполагается, что течение
имеет в горизонтальном направлении данный период. Эта задача
обобщает упомянутое в § 17 исследование II. Е. Кочина о те-
течении двух однородных жидкостей различных плотностей между
двумя горизонтальными прямыми.
На основе решения этой задачи дается далее решение более
сложной задачи о движении неоднородной жидкости с открытой
поверхностью, вдоль которой давление постоянно.
Выведем сначала уравнение для функции тока i|) (x, у) неод-
неоднородной жидкости плотности р (х, у).
Возьмем уравнения гидродинамики в переменных Эйлера для
установившегося движения неоднородной жидкости:
ди . ди 1 др
U -= \- V-rr— = -?- ,
дх ' ду р дх
A)
dv , dv I dp
-?-+V=0' " <2>
Систему уравнений A) можно представить в такой форме, обозна-
обозначая через ? вектор-вихрь:
__ ^_____^ L j52.
D)
d v 1 дУ2
Исключим из этих уравнений давление р, получим
dput , д9у? _ J__d_,'dvn , J д / ау\
' ду ~ ' 2 дх \г ду ) "г 2 ду \V дх )
дх ' ду ~~ 2 дх \г ду j^ 2 ду \г дх ) s дх •
Преобразуем это уравнение по уравнениям B) и C), найдем
д? д? 1 / dV2 д In p dV2 д\пр
(
2 ^ж % ду дх
\ ainp
I g дх *
§ 21. О ВОЛНАХ ЙА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 733
Введем в это уравнение функцию тока, полагая
Получим
С/ Уи С/Ц/ с.
ду ' дх ' '
Л (а?, г/) 2 Л (я?, г/) 6 дх J
но последний член этого уравнения можно представить так:
д In р __ JD (у, In p)
отсюда предыдущее уравнение перепишется так:
E)
Но
D(x,y) = Щх~у)
так как р — функция величины ty. Следовательно, уравнение E)
примет такой вид:
D(x,y)
Таким образом, между функциями
существует зависимость, не содержащая переменных х и у; итак,
Это и есть искомое уравнение для функции тока г|).
Из уравнений D) находим, что вдоль свободной поверхности
жидкости будет иметь место граничное условие
Мы изложим вкратце решение задачи о периодическом движе-
движении жидкости между двумя горизонтальными прямыми. Допустим,
что ось Ох расположена по верхней прямой, которая будет ли-
линией тока я|) = 0; нижняя прямая граница будет линией тока
г|) = q > 0, и вдоль нее у = — Я.
При этих граничных условиях надо найти интеграл уравнения
F), имеющий по переменному х данный период X. Нас интересует
734 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛЙТУДЬ!
форма линий тока г|) — const. Чтобы определить эти линии, це-
целесообразно дать уравнению F) новый вид, вводя переменные р
и а, которые были использованы в предыдущем параграфе.
Прежде всего, вместо переменных х, у вводим новые незави-
независимые переменные х, г|); искомой функцией будет у (х, г[)). Затем,
вместо функции у вводим новую неизвестную функцию U (х, я))),
полагая у = — А^> + U (х, \[)); величину А можно рассматривать
как значение, обратное скорости потока:
А = Не.
Таким образом, вместо уравнения F) будем иметь новое уравне-
уравнение для функции U с независимыми переменными х, г|). Вместо этих
независимых переменных вводим новые независимые переменные
р и а, полагая
р = е х , а = —г"^'
Первоначальная область течения, определяемая неравенствами
преобразуется на плоскости полярных координат р, а в корону,
ограниченную окружностями
В точках первой окружности функция U (а, р) обращается в
нуль, в точках внутренней окружности функция U (а, р) также
будет равна нулю, если числу А приписать значение H/q.
Уравнение F) после выполненных замен переменных примет
следующий вид для функции U (р, а):
1 д
здесь приняты такие обозначения:
В уравнении (8) функция F есть многочлен второй степени по U
и ее производным первого порядка с коэффициентами, зависящими
от р и а.
Поставленная задача гидродинамики состоит в определении
интеграла нелинейного дифференциального уравнения (8), обра-
2пА
щающегося в нуль на двух окружностях р = 1 ир0 = е л .
§ 21. О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 735
Искомый интеграл ищется в виде суммы двух функций 9 и
х, удовлетворяющих соответственно уравнениям
р dp у dp j ' р2 5а2 чг/ у v dp ) ч '
Интеграл уравнения (9), обращающийся в нуль при р = 1 и
р = р0, не всегда может существовать. Если число р будет соб-
собственным числом однородного дифференциального уравнения
1—\р—г-) + В(р) рб— p-j— = 0, A1)
р dp у dp ] [ \г/ у v dp I v '
то функция / (р) должна удовлетворять условию, вытекающему из
третьей теоремы Фредгольма, чтобы существовал надлежащий
интеграл уравнения (9). Если же число р не будет собственным
числом, то уравнение (9) будет иметь интеграл с рассматриваемы-
рассматриваемыми граничными условиями. Будем предполагать в дальнейшем,
что число р не является собственным числом уравнения A1).
Обратимся к решению уравнения A0) и рассмотрим линейное
уравнение, получаемое отбрасыванием нелинейной правой части
этого уравнения:
1 d I dUx\ . 1 d*U\ . D/ 4/ TT dU\ п //1O4
л" P -a-^" H T -О-Г- + 5 (p) P^l — P "я— = 0. A2)
p dp \v dp / ' p2 5a2 ' xv' у L ^ dp ) x '
Это уравнение имеет частные решения такого вида:
Uг = сст (р) cos ша, иг = bm (p) sin ma, A3)
где m — какое-нибудь целое число. Функции ат (р) и Ът (р)
являются интегралами уравнения
d^c dc
р2 _|L _4- р [1 — р2Д (р)] _hl + [рР25 (р) — т2] ст = 0, A4)
удовлетворяющими условиям
ат (Ро) = ап A) = 0, Ът (р.) = Ьт A) = 0.
Очевидно, что функции ат (р) и Ьт (р) тождественны между со-
собой.
Введем вместо функции ат (р) и числа р новую функцию
1Ш (р) и число |х, полагая
\х = р — т, pw lm (р) = ат (р) = Ьт (р).
Заменим вместе с тем независимое переменное р на новое незави-
независимое переменное t, вводимое интегрированием уравнения
2т + 1 — р2# (р)
736 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
при граничных условиях
р = 1, -j2- = 1 при t = 1;
пусть вместе с тем будет
*о = *(Ро)-
В новых переменных уравнение A4) примет такой вид:
Из теории граничных задач для уравнений второго порядка
следует, что существует бесконечное число положительных чисел
[г, при которых уравнение A5) имеет интеграл, отличный от нуля
и удовлетворяющий граничным условиям
lm (t) = 0 при t = t0 я t = I.
Числа (х зависят от целого числа т, неявно входящего в коэффи-
коэффициент .уравнения A5); обозначим эти числа \i так:
|iTOk, ти = О, 1, 2, 3, . . ., /с-1, 2, 3, 4, . . . A6)
Каждому числу \imli будут отвечать две функции A3), удовлет-
удовлетворяющие уравнению A2) и соответствующим граничным усло-
условиям.
Здесь следует отметить одно любопытное обстоятельство, ко-
которое может иметь место при некоторых законах распределения
плотности жидкости. Это обстоятельство состоит в том, что число
р, входящее в уравнение A2), может иметь одно и то же значение
при разных значениях целого числа т. Это будет при соблюдении
следующего равенства для целых чисел т1 и т2:
При соблюдении этого равенства уравнение A4) будет иметь для
соответствующего числа р не два решения вида A3), а несколько
(вообще говоря — четыре). Такой исключительный случай тре-
требует особого изучения и оставляется в дальнейшем в стороне.
Уравнение A0) в частных производных может быть приведено
к интегро-дифференциальному уравнению, определяющему тот
интеграл уравнения A0), который удовлетворяет поставленным
граничным уловиям. Это интегро-дифференциальное уравнение
устанавливается введением функции Грина G для задачи Дирих-
Дирихле с нулевыми значениями на окружностях р = р0 и р = 1.
С помощью функции Грина уравнение A0) заменяется интегро-
дифференциальным уравнением
§ 21. О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 737
Пользуясь результатами теории нелинейных уравнений, Дюбре-
иль-Жакотэн показывает, что уравнение A7) имеет решение,
близкое к тем решениям A3), которые даются линейной теорией.
Таким образом, устанавливается (за исключением тех особых
случаев, о которых говорилось выше) существование установив-
установившихся периодических движений тяжелой неоднородной жидкости,
заключенной между двумя горизонтальными прямыми.
Найденные движения жидкости, имеющие по отношению к
переменному х период %, зависят при взятом X от числа \imlil у
которого индексы тик принимают целые значения от 0 до оо.
Таким образом, периодических движений данной длины X суще-
существует бесконечное множество. Функция В (р) зависит от парамет-
параметра Xc/q и от числа т\ следовательно, собственные значения \im1t
зависят от целых чисел т и к и от параметра Xc/q. Отсюда, прини-
принимая во внимание определение числа р, получаем соотношение
2л;
При наличии этого соотношения простое поступательное движе-
движение жидкости со скоростью с переходит в периодическое устано-
установившееся движение, характеризуемое числами \imli и длиной
периода X в направлении оси Ох. Таким образом, при соблюдении
соотношения A8) движение жидкости с прямолинейными линиями
тока может перейти в периодическое движение с волнообразными
линиями тока, т. е. возникает новое по форме движение. Отсюда
соотношение A8) можно назвать уравнением разветвления в дан-
данной нелинейной задаче.
Задача о волнах на поверхности потока неоднородной жидко-
жидкости, имеющей открытую поверхность, приводит также к рассмот-
рассмотрению нелинейного интегрального уравнения. Это уравнение вы-
вытекает, как и в рассмотренной задаче, из дифференциального
уравнения (8), но граничное условие для р = 1, отвечающее сво-
свободной поверхности, имеет в новой задаче более сложный вид, чем
?7 = 0. Это условие, выражая постоянство давления в точках сво-
свободной поверхности, повторяет условие (9) § 20.
Рассмотрение интегро-дифференциального уравнения новой
задачи несколько сложнее, чем рассмотрение уравнения A7). Ре-
Результат изучения этого уравнения состоит в доказательстве су-
существования периодических установившихся волн *).
*) При доказательстве существования периодических волновых движе-
движений неоднородной жидкости Дюбреиль-Жакотэн пользуется результатами,
полученными ею в статье [97].
24 Л. Н. Сретенский
738 гл. v. теория волн конечной амплитуды
§ 22. Периодические волны на поверхности
завихренной однородной жидкости
Основные результаты, полученные Дюбреиль-Жакотэн в теории
волн, были снова найдены и широко развиты Гуйоном [104].
Возьмем сначала в качестве независимых переменных вели-
величин х и г|5. Компоненты! скорости и, v частицы жидкости будут
функциями этих переменных:
и = и (х, г|э), v = v (я, г|э),
причем
7/ ' у? т
ду дх
Перепишем уравнение непрерывности в переменных х, г|э, получим
ди , ди dv A /у|ч
Составим затем выражение вектора-вихря в переменных х, г|э,
имеем
, dv ди dv dv ди (Г>,
Величина ? есть функция только переменного г|э; обозначим ее
через / (г|)) и будем считать заданной. Отсюда равенство B) пе-
перепишется так:
dv.dv.du , , . ч /ох
Таким образом, для определения компонент скорости и, v имеем
два уравнения A) и C). При рассмотрении этих уравнений будем
считать, что составляющая скорости и близка к скорости потока
с в бесконечности. В согласии с этим положим
и = с{\ + С/), v = —cV. D)
Новые функции С/, V малы по своей абсолютной величине и яв-
являются функциями переменных х и г|); в пределах одной из пе-
периодических волн длины % и для жидкости бесконечной глубины
эти переменные заключены в таких пределах:
Нулевому значению яр отвечает свободная поверхность жидкости,
причем для х = 0 имеем вершину волны с горизонтальной ско-
скоростью.
Преобразуем уравнения A) и C) к функциям U, V и введем
вместе с тем новые независимые переменные а и р по формулам
__ 2п^
р = f ~ , а = 2л -J- .
§ 22. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 739
Область потока, ограниченная свободной поверхностью и двумя
вертикальными прямыми х = —^-Х, х = —г-Х, преобразуется во
внутренность единичного круга с разрезом по радиусу а = ± я.
В переменных аир уравнения A) и C) запишутся так:
J __ ±^L __ V*L = О, F)
p да dp ' v '
U)J __ ±^L __ V
> Op p да dp
du dv . 1 dv
где
При написании этих уравнений С/, V заменены и, v. Относительно
функции / (р), определяющей величину вектора-вихря на линиях
тока, будем считать, что / (р) стремится к нулю по меньшей мере
как р, когда это переменное стремится к нулю. Отсюда вытекает,
что функция ф (р) есть функция, ограниченная в круге | р | = 1.
К уравнениям F) и G) должны быть присоединены граничные
условия. Прежде всего, будем требовать, чтобы скорости и, v
стремились к нулю при погружении на бесконечную глубину или,
что то же, при стремлении р к нулю. Затем, должно удовлетво-
удовлетворяться условие постоянства давления вдоль свободной поверх-
поверхности жидкости:
- [с1 (A + uf + v2)] + ?*/}ф__0 = const,
Продифференцируем это условие по переменному х, получим
после небольших преобразований
1 + U) ~да~ + V да 1+и \ф=о " ' l }
где
Для интегрирования системы уравнений F), G) применим ме-
метод малого параметра. Обратимся к заданию функции <р (р); бу-
будем считать, что эта функция есть степенной ряд, расположенный
по степеням некоторого малого параметра 8, сходящийся для ма-
малых значений 8 и для всех р внутри круга | р | = 1:
Ф(Р)= 5 8»фп(Р). (И)
Приняв это, будем искать решение уравнений F) и G), удовлет-
удовлетворяющее условию (9), в виде степенных рядов по параметру г.
24*
740 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Положим
оо оо
и = 2 гпип (р, a), z; = 2 ^Х (р, а); A2)
п=1 п=1
представим величину р также в виде степенного ряда:
Р = Ро+ 2 А>в"- A3)
71 = 1
Функции wn (p, a), vn (p, а) и числа рп являются искомыми и бу-
будут получены подстановкой рядов A2) и A3) в уравнения F), G),
(9) и сравнением коэффициентов при различных степенях 8.
Сравнение коэффициентов при первых степенях 8 дает систему
уравнений
~ да ~ ' f
д9 ~ да ~ ' * f р да
Сравнение коэффициентов при п-ж степени 8 приводит к такой
системе уравнений:
dv 1 ди ди | dv
= P + ^
где приняты такие обозначения:
q—1
7=1
Решим систему уравнений A4). Введем временно вместо щ
новую функцию п1 = иг — ф2 и перепишем эти уравнения, за-
заменяя р и а на новые независимые переменные ? и т], вводимые по
формулам
? = р cos а, ц = р sin а.
§ 22. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 741
В новых переменных система уравнений A4) запишется так:
di дг] ~и' дц "т" ^ ~и*
Следовательно, i;x + шх есть функция комплексного переменного
? = 6 + П:
i;x+ i»1 = Z(S).
Граничное условие A5) может быть представлено так:
= O. A8)
Отсюда вытекает, что на окружности | ? | = 1 имеет место равен-
равенство
t^-PoZ = ai, . A9)
где а — действительное число. Принимая теперь во внимание,
что функция Z (?) голоморфна внутри единичного круга, выво-
выводим, что равенство A9) соблюдается не только для | ? | — 1, но и
для всех значений ? внутри круга | ? | <![ 1. Следовательно, A9)
есть дифференциальное уравнение для определения функции
Z (?). Интегрируя это -уравнение, получаем
Z = - — + С?*\ B0)
Отсюда следует, что число р0 должно быть положительным целым
числом; действительно, только при таком значении р0 функция
Z (?) будет голоморфной однозначной^ функцией переменного ?.
Полагая в равенстве B0) ? = 0, находим в согласии с опреде-
определением функции Z ¦(?), что
^~ = VX (X, оо) + Ш± (X, оо).
Ро
Но правая часть этого равенства обращается в нуль согласно
формулам D). Следовательно, а = 0, и поэтому
Z =
Определим константу С. Начало координат плоскости течения
совпадает с вершиной волны; для вершины волны х == 0 и, сле-
следовательно,
а = 0, р = 1, ? = 1, ч = 0, ? = 1.
В вершине волны vx = 0 и
Z = шх@, 0).
Отсюда следует, что константа интегрирования С есть чисто
742 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
мнимое число ikx\ таким образом, выражение функции Z будет
Z = ikx ?po.
Отметим, что р0 можно принять равным единице без ущерба в
полноте решения задачи. Действительно, если целое число р0
будет больше единицы, то на круге | р | <; 1 будет укладываться
не одна волна, а р0 волн. Но так как достаточно исследовать одну
волну, то можно принять р0 = 1. Поэтому окончательное выра-
выражение функции Z будет
z = ад
Составим на основании этой функции соответствующие ей выра-
выражения иг и v±:
ui <Pi (р) + &i Р cos а> vx = — &iP sin a- B1)
Пользуясь найденными значениями функций иг и z;1? можно
затем составить и решить уравнения A6) для всех значений п ^> 1.
Решая последовательно эти уравнения, можно удостовериться,
что функции Ра, Qn и Rn имеют следующие выражения:
п п
Рп= S P^i^smma, Qn= 2 Qn ] (p) cos та,
(¦Rn)p=i = S r^} sin ma'
где Pm} (p), ^m} (p) — некоторые функции переменного р, вели-
величины r^) — некоторые числа.
В согласии с этими значениями функций Рп и Qn будем искать
функции ип и vn в таком виде:
п п
ип = S ^m} (p) cos та, z;n = 2 v™} (p) sin та-
Подставляя эти выражения функций ип ш vn в уравнения A6),
находим прежде всего
О
и затем систему уравнений для определения и{т (р), У(т} (р) с
индексом т > 1:
Г т т '
B2)
/л (п) п(п)
§ 22. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 743
К этим уравнениям должны быть присоединены условия, выте-
вытекающие из соотношения A7), и требования обращения в нуль и^
и v(m для р = 0. Эти условия запишутся так:
ти%> (I) + и™ A) = -г<?\
и?} @) = i#> @) = 0. • B3)
Общее решение уравнений B2) будет
U
п) _ n-m /г(п)
(/?n -f- Km j,
Um — Р V^m -f" Ьт ; -f- p (/?n -f- Km j, /24)
^m — P [Im ~Т Ьт ; — p \Jm -\- Km ),
где /т} и /(т} имеют следующие выражения:
i
/¦(«)__ 1 VrP(n)M Г)(П)М1 rfr
«/7М — ~2Гу^™ у) — vm Vr;J —Ж~ '
р
р
/?>= i- ^ [Р^' (г) + Q%} (r)] rm dr.
о
Величины Cm и .йГт) — произвольные постоянные интегрирова-
интегрирования. Для их определения служат условия B3). Эти условия по-
показывают, что для всех значений индекса т постоянная Cffi рав-
равна нулю; что же касается постоянной Кт\ то для ее определения
устанавливается уравнение
(т - 1) К{т] + г%] + (т + 1) ffl A) - 0. B5)
Из этого уравнения могут быть определены все константы Кт\
у которых индекс т отличен от единицы. Для т = 1 уравнение
B5) приводит к соотношению
гГ + 27&> A) = 0.
Принимая во внимание строение функции Rn, можно установить,
что это соотношение содержит все числа рг, р2, . . ., pn-i и число
рп с коэффициентом, отличным от нуля. Следовательно, определив
числа рг, р2, . . .,Рп-1> получаем возможность найти число рп.
Коэффициент К^ остается произвольным и вносит с собой
в выражения функций ип и vn слагаемые
Собирая в рядах и л v такие слагаемые вместе, получаем в выра-
выражениях функций и, v члены, изображаемые степенным рядом по
8 с множителями
р cos a и — р sin a. B6)
744 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Введем вместо 8 новый параметр х, равный указанному степенно-
степенному ряду; тем самым, функции B6), вводимые интегрированием
уравнений A4), будут сопровождаться лишь первой степенью
нового параметра х.
Подробное рассмотрение функций B4) показывает, что, не-
несмотря на присутствие множителя р~т, функции B4) имеют ко-
конечные значения при *р = 0.
Таким путем строятся все коэффициенты рядов A2) и соотно-
соотношения A3).
Большую часть исследования Гуйона занимает доказательство
сходимости рядов A2) и A3), проводимое в предположении, что
ряд A1) сходится для достаточно малых значений а равномерно
в круге | р | <^1. Этого доказательства мы здесь приводить не
будем, отсылая читателя к статье [104] автора исследования.
Приведем выражения функций и, и, р, учитывающие лишь
первые два члена соответствующих рядов:
и =¦• х (ф! + р cos а) + х2 J\pa — — (р2 + ер*) —
v = — xpsina +
р р
^ ^ | ^) ±] ..., B7)
о
1
р=\ +4x
о
Составим на основе двух последних формул и формул D) уравне-
уравнение свободной поверхности жидкости, учитывая лишь первую
степень параметра х. Имеем
dx /Л . v dy
или приближенно
1 dx л , , , ч 1 dy . 2я
__r==l+x(q)l + cosa)> _^-=-xsina, a = -j- x.
Предположим, что при t = 0 некоторая частица жидкости, при-
принадлежащая ее поверхности, находится на вершине волны, т. е.
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя предыдущие уравнения при
этих условиях, получаем параметрические уравнения волны
х = ct + х Гср! A) ct + -^- sin (~y j
B8)
§ 23. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 745
Значение х = Х/2, отвечающее нижней точке долины волны, со-
соответствует времени t, равному УBс); отсюда ордината волны
в нижней точке будет —Хк/п и, следовательно, амплитуда а
волны будет равна
Более полное значение амплитуды будет
Формула B7) дает связь между скоростью потока с, параметром
х и функцией, определяющей вихрь жидкости:
Формулы B8) показывают, что волна симметрична относительно
вертикали своего гребня; это свойство может быть установлено
также и из полных рядов A2), решающих задачу в точной форме.
Все предыдущие формулы дают, как частный случай, теорию волн
конечной амплитуды на поверхности потенциального потока.
Упомянем один неожиданный факт, полученный Гуйоном из
доказательства сходимости рядов. Ставя вопрос об оценке мини-
минимального значения радиуса круга сходимости построенных рядов
в задаче о волнах потенциального потока, Гуйон нашел, что по-
построенные ряды будут безусловно сходиться, если амплитуда вол-
волны не будет превышать весьма малого значения
X
2Я-2000 '
В заключение отметим, что надлежащим изменением приемов дока-
доказательств и вычислений Гуйон определил периодические волны
конечной высоты на поверхности завихренной жидкости конечной
глубины.
§ 23* Капиллярно-гравитационные волны
конечной амплитуды
В § 62 гл. I были исследованы установившиеся капиллярно-
гравитационные волны малой амплитуды, при этом было установ-
установлено, что для целого ряда значений скорости потока существует
два разных вида установившихся периодических волн, длины
которых соизмеримы между собой. Эта особенность капиллярно-
гравитационных волн приводит к интересным и неожиданным
фактам в теории этих волн при учете конечной их амплитуды.
746
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Поэтому мы и посвящаем нелинейной теории капиллярно-гра-
капиллярно-гравитационных волн несколько параграфов. При изложении этой
теории особенно удобно воспользоваться методом Леви-Чивита.
Рассмотрим бесконечно глубокую жидкость, текущую со ско-
скоростью с на бесконечной глубине. Допустим, что под влиянием
силы тяжести и поверхностного натяжения образовались на сво-
свободной поверхности жидкости периодические установившиеся
волны длины X. Определим вид этих волн и соответствующее дви-
движение жидкости.
Введем на плоскости течения систему прямоугольных коорди-
координат, беря начало их в вершине волны О и направляя ось абсцисс
по скорости с потока в бесконечности, ось Оу проводится верти-
вертикально вверх.
Рассмотрим часть потока жидкости, ограниченную сверху ли-
линией BCD одной волны свободной поверхности и двумя вертика-
вертикалями АВ и DE, уходящими на бесконечную глубину от двух со-
соседних наинизших точек В и D линии волны (рис. 80, а) *).
©
О
с
Е
Придадим поверхности волны BCD нулевое значение функции
тока ip (х, у) и допустим, что вертикальной прямой, проходящей
через вершину волны С, отвечает нулевое значение потенциала
скоростей ф (х, у). При этих предположениях вертикальные ли-
линии АВ и DE будут эквипотенциальными линиями со значениями
потенциала скоростей, соответственно равными — ск/2 и ск/2.
Эти предположения соблюдаются для волн, симметричных отно-
относительно вертикальной прямой CF, проходящей через вершину
волны. Такие волны мы и будем рассматривать в дальнейшем.
Рассмотрим комплексную функцию течения w(z) = ср (#, у) +
+ iip (х, у). На плоскости комплексного переменного w = ср +
+ гф области потока ABCDE плоскости комплексного перемен-
переменного z будет отвечать полубесконечная полоса, ограниченная
*) В рукописи автора отсутствует рис. 80. (Прим. ред.)
§ 23. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 747
прямой А'В' (для ее точек ср =—ск/2), отрезком оси ф от точки
В' до точки D' (для них ф =— ск/2 и ф = ск/2 соответственно) и
вертикальной прямой D'E' (для ее точек ср = ск/2) (рис. 80, б).
Огобразим конформно область A'B'C'DE' на круг радиуса 1
плоскости вспомогательного комплексного переменного и = g -f
-j- щ. При этом отрезку В'CD' оси абсцисс плоскости wбудет от-
отвечать окружность плоскости и, прямым же А'В' и D'E' будут
соответствовать два берега разреза, проведенного из начала коор-
координат Н, = 0, г\ = 0 в точку и = —1. Верхний берег соответствует
вертикальной прямой А'В', нижний — вертикальной прямой
E'D' (рис. 80, в).
Рассматриваемое преобразование полуполосы плоскости w на
круг с разрезом (—1, 0) осуществляется функцией
сХ , dw сХ 1 //1Ч
W = R—г In U, -т- = о—г — . A)
Отобразим на этот же круг рассматриваемую область течения
ABCDE плоскости z так, чтобы неизвестной линии волны BCD
отвечала окружность, а вертикальным линиям АВ и DE соответ-
соответствовали берега разреза. Такое конформное отображение устанав-
устанавливается функцией z = z (и), находимой квадратурой из уравне-
уравнения
dz _ X f(u) /9.
Ж " ~2^-~1Г~' W
когда из динамических условий задачи будет найдена неизвестная
функция f (и). Эта функция должна быть голоморфной внутри
круга и на его окружности.
Из формул A) и B) находим комплексную скорость течения
dw __ с о.
7 ~ ТЙ' А j
Так как точке и = 0 отвечает бесконечно удаленная точка плоско-
плоскости течения, где скорость жидкости есть с, то значение функции
/ (и) должно быть равно единице при и = 0:
Обозначим через V скорость частицы жидкости, а через Ф угол
вектора скорости с осью Ох; в этих обозначениях формула C)
перепишется так:
dz ~ к* "
Введем вместо F новую величину т, полагая 7 = сет; получим
_
748 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Левая сторона этого равенства есть некоторая функция комплекс-
комплексного переменного, и, следовательно, функция
со (и) = —т + #}
есть аналитическая функция переменного и. С помощью этой
функции равенство D) запишется так:
*L = _ce-«.<»>. E)
Чтобы определить функцию со (и), а через нее и функцию / (и):
f (и) = ***>,
составим граничное условие для двух гармонических сопряжен-
сопряженных функций —тиф.
Применим интеграл Бернулли
4v F)
к точкам свободной поверхности жидкости. Непосредственно над
свободной поверхностью давление имеет некоторое постоянное
значение р0; непосредственно же под поверхностью жидкости дав-
давление р будет больше, чем р0, на величину, пропорциональную
кривизне поверхности жидкости в соответствующей точке. Этот
закон Лапласа в теории капиллярных сил приводит к следующему
соотношению между величинами р и р0:
d®
где а — постоянная поверхностного натяжения, a ds — элемент
дуги линии свободной поверхности.
Подставим в эту формулу вместо р его значение F), тогда
получим соотношение в точках свободной поверхности
Продифференцируем это равенство по переменному 5, получим
р ds* 2 ds ё ds ~ U' {''
Преобразуем это равенство к другому виду, пользуясь форму-
формулами
dy . п dV* « de2x о.мй
ds ds ds ds
Введем в эти формулы вместо s потенциал скоростей ср:
§ 23. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 749
Получим
р dy \ dq> I ' с/ф с^ V '
В точках окружности | гг-1 = 1, отвечающей свободной поверхно-
поверхности жидкости, переменное и может быть представлено так:
и = е]\
Отсюда формула A), примененная к точкам свободной поверхности
жидкости, запишется так:
Введем в соотношение (8) вместо ср угол Э, по этой формуле полу-
получим
dd \ dd / ' 2я \ dd 2я2 /
Это и есть то граничное условие, которому должны удовлетворять
действительная и мнимая части -ти§ функции со (и) на окруж-
окружности | и | = 1.
Для выполнения дальнейших вычислений выгодно придать
предыдущему условию следующий вид:
^-2,sin^__o (9)
2яа
Для волн малой амплитуды имеет место следующее соотношение
между скоростью потока с и длиной волны X:
Таким образом, для этих волн разность между числами левой и
правой частей этого равенства равна нулю; это позволяет для опре-
определения волн конечной амплитуды ввести некоторый малый пара-
параметр г), пропорциональный разности между величинами
+
с2 ит*
относящимися к волнам конечной амплитуды. Положим
Введем этот параметр в граничное условие (9), получим после не-
небольшого преобразования
750 га. v. теория волн конечной амплитуды
Отметим, что между величинами рид существует легко устанавли-
устанавливаемая зависимость
1 - q + р* - 0. A3)
Будем искать функции т и Ф, удовлетворяющие граничному
условию A1), в виде рядов, расположенных по степеням некоторо-
некоторого малого параметра:
2Т2 + 83Т3
Т = 8TX + 82Т2 + 83Т
83#
функция со (и) будет представляться также степенным рядом по 8:
со (и) = 8сох (и) + s2co2 (и) + 83со3 (м) +..., A5)
причем
С0х (и) = — Хг + ^, С02 (и)= — Т2 + 1*2, С03 (и) = — Т3 + ^3, ...
Для возможности определения функции со (и) следует считать, что
число т] также зависит от параметра 8; положим
\\ = гцг + е2г]2 + е3гK + ... A6)
Беря разложения A4) и A5), мы ищем тем самым волны, весьма
близкие к невозмущенному горизонтальному уровню жидкости;
при 8 = 0 все волновое возмущение потока пропадает и поверх-
поверхность жидкости становится горизонтальной.
Подставим разложения A4) и A5) в граничное условие A1)
и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях 8.
В результате довольно продолжительных вычислений придем
к следующим условиям, налагаемым на последовательные коэф-
коэффициенты разложений A4) и A5):
-35-
A7)
+ Р* D- *? + 2тА - 2* + 2t>#i)] - 0, A9)
§ 24. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 751
§ 24. Вычисление рядов, определяющих
капиллярно-гравитационные волны в общем случае
Определим аналитические функции сах (и), со2 (и), о>3 (и) ком-
комплексного переменного и, голоморфные внутри круга радиуса 1
и на его окружности, подчиненные граничным условиям A7) —
A9) § 23.
Возьмем условие A7) § 23; это условие мы можем переписать
так:
¦г» Г- d I dtoA . do)i , . 9 1 а
Re ш-г-[и -~) — щи-~ + ip2(Ox = О,
\ du \ Аи j * du ' ^ l] '
имея в виду, что coj (и) = — хг + Ь§г.
Таким образом, действительная часть функции
du \ du J * du [ * ¦
голоморфной внутри круга | и\ ^ 1, обращается в нуль на его
окружности; следовательно, эта функция имеет везде внутри кру-
круга чисто мнимые значения im. Отсюда вытекает, что функция
сох (и) будет интегралом уравнения
^ + Р2 A)
Общий интеграл этого уравнения запишется так:
+ -«.,
где кги к2 — корни уравнения
&2 __ ф _|_ р2 = 0.
В силу равенства A3) § 23 один корень к± этого уравнения ра-
равен 1, а другой корень к2 будет равен р2. Таким образом, общий ин-
интеграл уравнения A) запишется так:
(Ol = C1u + C2uP2 + -p-. B)
Допустим, что величина р2 отлична от целого числа: это — общий
случай. При соблюдении этого условия ир3 будет неоднозначной
функцией переменного и, ввиду этого произвольную постоянную
С2 следует приравнять нулю. Отсюда вытекает, что функция о)х (и)
будет равна т/р2 при и = 0. Но так как при и = 0 функция со1 (и)
должна обращаться в нуль, то число т следует приравнять нулю.
Таким образом, интеграл уравнения A), удовлетворяющий
принятым условиям, может быть записан так:
б>! = щ C)
752 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
приравнивая единице константу С1? не уменьшаем общности за-
задачи.
Из равенства C) следует, что на окружности | и | = 1 имеем
Tl = —cos в, *! = sin 9. D)
Составим теперь граничное условие A1) § 23; используя найденные
выражения функций тх и •&1, получаем
¦S§r + ? ж ~~ р°2 = Тр Sln 9 ~ gr]l sm 9-
Перепишем это условие в другом виде, вводя функцию со2 (и)'
iqu~d^ + 1рщ + Т1р и ~~ ipr{lU\ = °*
Это условие позволяет выписать дифференциальное уравнение для
функции со2 (и), пригодное для всех комплексных значений пе-
переменного и:
d I d(x)c}\ dcdo , о , 3 0 о ^ /Гх
и1ы[и -Ш) - Iй лГ + Р ^ + Т Р " - Р^и = °- E)
Если число т)! будет отлично от нуля, то в силу равенства A3)
§ 23 интеграл этого уравнения будет иметь в начале координат
логарифмическую точку ветвления и тем самым будет нарушаться
условие голоморфности функции о>2 (и) в круге |м|<;1. По-
Поэтому число % должно быть приравнено нулю:
ти = 0. F)
При этом значении % общий интеграл уравнения E) будет
0J = С[и + С'2иР> + 4^~Г2 'и*- G)
Предполагая, как и выше, что число р не есть число целое, мы
должны постоянную С2 приравнять нулю. Один из фундаменталь-
фундаментальных интегралов уравнения E), как и уравнения A), есть ш2 = и.
Все дифференциальные уравнения, определяющие коэффициенты
ряда A5) § 23, имеют и фундаментальных интегралов. Благодаря
этому ряд A5) § 23 будет содержать и с коэффициентом в виде сте-
степенного ряда по 8 с произвольными коэффициентами. Мы можем
вместо 8 ввести новый малый параметр е', равный сумме этого
ряда. Тогда ряд A5) § 23 будет иметь и лишь в первом своем члене
с коэффициентом, равным первой степени г . Будем предполагать,
что такое введение нового параметра сделано и в силу этого и
будет содержаться лишь в первом члене ряда A5) § 23.
Следовательно, функция со2 (и) может быть записана так:
§ 24. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 753
Отсюда имеем
Т2 = — 4 ^Г2 cos 29' *2 = -|" ^TZT2 sin 20- (9)
Возьмем, наконец, граничное условие A9) § 23. Пользуясь найден-
найденными значениями функций т1? /в|1, т2, &2 и числа т]1, получим
зр* + ч 4г - Р1 *» + Ьйгsin зе + р^ sin e) -
-^424(^-2) sm39+-sm9j-
(^_2) SU1 36 + 8(^-2) SU1 6J =
Общий коэффициент при sin 0 должен быть приравнен нулю, что-
чтобы свободный член в дифференциальном уравнении для функции
о>з (и) был равен нулю:
Это есть уравнение, из которого определяется число гJ:
При этом значении числа ti2 условие A0) для определения функций
т3 и *з будет
d [ d(o3 \ . d(o3 ,
D Г. d [
Re Г1?[и1ш)
Re (Г ЗР" D2 85Р2_26 17р2+2 -[
~ lLpa2 Р24(р22) <? 8(^2) Jm
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для нахождения
функции ю3 (и):
3^2 85^2-26 17^+2 1 з
?2 —2 ^ 24(р2_2) Ч S(p* — 2)J
Преобразовав правую часть этого уравнения, переписываем его
в более простом виде:
17 4 . 41 2
Т^ +14 Р ~
Интеграл этого уравнения, подчиняющийся дополнительному ус-
условию голоморфности и условию определения параметра 8, пишет-
пишется так:
1 / 17 4 41 2 . 1 \ «
754 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Таким образом, выражение функции со (и) можно записать сле-
следующим образом, учитывая лишь третьи степени малого пара-
параметра е:
со (и) = ш + -j- -^zriиЧ* +
1 / 17 , 41 « ,
Найдем с помощью разложения A2) функцию / (и); имеем
Отсюда получаем уравнение для определения формы волны:
И 1
2Ш dz _ 1 9^4^ +
Интегрируя это уравнение, находим
_2rt? ^)
11
4
Положим здесь и = ег9, такое значение переменного отвечает точ-
точкам поверхности волны. Выполняя эту подстановку и отделяя
мнимую часть от действительной, получаем параметрические урав-
уравнения волновой поверхности:
*L х = - е - 6sin9 - 9У'~ ^sin29 ~ в2 -
И 1
3 ^ "8~р2+Т
11
Принимая во внимание найденные значения чисел Т11? тJ, составим
формулу A0) § 23. В результате получим
Эта формула устанавливает связь между скоростью потока, длиной
установившейся волны и ее амплитудой.
§ 24. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Все полученные формулы, определяющие установившиеся
капиллярно-гравитационные волны, зависят от параметра р, рав-
равного отношению длины волны к длине волны при наименьшей ско-
скорости потока, взятой из линейной теории волн. Значения парамет-
параметра, меньшие чем единица, отвечают волнам, в образовании которых
главную роль играют силы поверхностного натяжения. Значе-
Значениям же этого параметра, превосходящим единицу, отвечают вол-
волны, в образовании которых главную роль играет сила тяжести.
Уравнения первых из этих волн будут получаться по формулам
A3), A4), если придать р значения, меньшие чем единица. При-
Придавая же параметру р значения, превышающие единицу, будем
получать волны второго вида. Для волн того и другого вида связь
между скоростью потока, длиной волны и ее амплитудой дается
одной и той же формулой A5).
Обратим теперь особое внимание на коэффициенты формул
A3) — A5). Эти коэффициенты обращаются в бесконечность для
значений р, равных У2 и ]/*3. Рассматривая разложения коорди-
координат х, у с точностью до третьей степени параметра е, будем полу-
получать коэффиииенты, обращающиеся в бесконечность для значений
р, равных j/T, УТ, /б;...
Выясним, с1 каким особым обстоятельством в определении волн
мы здесь встречаемся.
Возьмем формулу из теории малых волн
а JL ^
С
из этой формулы получаем уравнение для определения длины вол-
волны через скорость потока:
Возьмем волну длины %г1 вычисляемую через взятое значение па-
параметра р по формуле
Хх = р%т.
Длина Х2 волны для той же скорости потока с будет равна
А/2 — А/т/А/1*
Исключая^из двух последних формул величину Я,т, получаем
Таким образом, для целого числа р2 длина волны Х2 в Р2 Р&з мень-
меньше, чем длина волны к±. С такими парами волн мы уже встреча-
встречались в § 62 гл. I при изучении капиллярно-гравитационных волн
бесконечно малой амплитуды. Скорость потока имеет для таких
с2 — — с2 (в 4- — \
с2 —
756 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
волн следующее значение:
2
где р есть корень квадратный из целого числа.
Следовательно, уравнения A3), A4) и все дальнейшие формулы
оказываются непригодными для того особого случая, когда от-
отношение длин двух волн, отвечающих данной скорости потока,
есть целое число.
Таким образом, для целых значений параметра р2 должна
быть построена новая теория.
§ 25. Исследование капиллярно-гравитацион«ых волн
в особом случае при р2=2
Найденные в §24 разложения, определяющие капиллярно-гра-
капиллярно-гравитационные волны, теряют силу, если р2 есть целое рациональное
число. Найдем установившиеся капиллярно-гравитационные вол-
волны в этом особом случае, когда число р2 = 2. При этом значении
числа р2 число q будет равно 3.
Для определения функции со (и) будет служить, как и прежде,
условие (9) § 23. Это условие приводит к системе граничных ус-
условий A7) — A9) § 23 для определения коэффициентов рядов
A4) - A6) § 23.
Рассмотрим условие A7) § 23:
^^ A)
Это условие приводит к линейному дифференциальному уравне-
уравнению для функции «! (и):
и2 —^ 2u —y-i- + 2coi = т.
du2 du ' L
Общий интеграл этого уравнения пишется так:
о)! = О + С2и2+ -^-т. B)
Число т следует приравнять нулю, как это делалось и в преды-
предыдущем параграфе; произвольную постоянную Сх можно взять
равной единице, так как в разложении функции ю (и) в ряд коэф-
коэффициент (д1 (и) сопровождается произвольным множителем 8.
Второй фундаментальный интеграл С2и2 можно оставить в фор-
формуле B), так как он голоморфен в круге | и \ <; 1; больше того:
решение задачи о вычислении функции со (и) в рассматриваемом
особом случае может быть получено лишь при введении второго
фундаментального интеграла. Итак, примем
шг = и + Ъи2, C)
§ 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ р* = 2
757
где b — произвольный действительный коэффициент. Для точек
окружности | и | = 1 имеем из формулы C)
т1 = —cos 9 — Ъ cos 29, -&! = sin 9 + Ъ sin 29. D)
Обратимся теперь к составлению условия A8) § 23. Пользу-
Пользуясь найденными выражениями функций тх, #х, придаем этому ус-
условию следующий вид:
+ 3 "Й 2*2 +(ТЬУГ2 —Т) sin9 "г B /2 К ~ 3)sin20-
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для определения
функции соа (и):
+ C — 2 У2 Ьтц) и1 + ~Ъи* + ЗЬ2и4 - т. E)
Отметим прежде всего, что действительное число т надо взять рав-
равным нулю. Если сохранить в этом уравнении члены
и C-2/2bTiiK, F)
то функция ы2(и) будет содержать слагаемые, неоднозначные
в круге | и | <; 1; но функция со2 (и) должна быть голоморфной
внутри этого круга, следовательно, коэффициенты при и я и2
должны быть приравнены нулю:
-|-b-rll/2 = 0, 3-2/2bTu = 0. G)
При этих условиях общий интеграл уравнения E) запишется так:
13 1
где тип — произвольные постоянные интегрирования. Первая
из этих констант может быть взята равной нулю; это устанавли-
устанавливает здесь и будет устанавливать во всем дальнейшем отсутствие
слагаемого с и во всех членах разложения ю (и), кроме первого.
Таким выбором произвольной постоянной интегрирования уста-
устанавливается определенный выбор параметра разложения 8. Сле-
Следовательно,
щ -- _ ' Ьи3 — и1 + пи?. (8)
758 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Обратимся теперь к уравнениям G). Так как число Ъ отлично от
нуля, то уравнениям G) можно придать такой вид:
JL & — У2Ьцг = О, 3 — 2 |/Ьл1 = 0.
Отсюда вытекает, что
Ь2 = 1, bt\1 = —-7=r.
Если Ъ принять равным 1, то будем иметь
3
если же Ъ принять равным —1, то будем иметь
%=- гут {b=-i]-
Тот и другой выбор числа Ь законен. Дальнейшие вычисления
будем вести, не заменяя в формулах числа Ъ и % найденными зна-
значениями, однако же величину Ь2, когда она будет встречаться,
будем заменять единицей. Это позволит нам рассматривать одно-
одновременно два решения: (9) и A0).
Таким образом, функций о2 две, их выражения даются форму-
формулой (8), в которой Ъ имеет значение 1 или значение —1, коэффи-
коэффициент п остается еще произвольным.
Действительная и мнимая части т2, д2 функции со2 (и) имеют
на окружности | и | = 1 следующие значения:
13 1
ta = -т—fc cos ЗЭ + — cos 49 — п cos 20,
Перейдем теперь к составлению наиболее сложного уравнения
A9) § 23.
Пользуясь значениями функций D) и A1), записываем уравне-
уравнение A9) § 23 так:
i-
+ [ JjL b - 2n + У2 BH + 2ити - -\- Цг)] sin 26 +
+ (- -^— -Ln - 2Ьл) sin39 + B16 - Abn - 31^2%)sin49 +
^ ^ 0. A2)
§ 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ р* = 2
759
По той же самой причине, по какой в уравнении E) были устра-
устранены слагаемые F), устраним и в этом уравнении слагаемые с
sin 0 и sin 20. Это дает два уравнения:
3 - -L п + 2Ъп + /2Tia = О,
A3)
-J-Ь- 2п + /2 ( L)
При внесении такого упрощения уравнение A2) дает следую-
следующее линейное дифференциальное уравнение для функции со3 (и):
359 . 9
- т.
Интеграл этого уравнения, не содержащий фундаментального ин-
интеграла и1 пишется так, если т заменить нулем:
83 о 173 д . 27 г 13 «
^^-ТГ" -"вот" +1Г" -Ж"
где fe — произвольная постоянная интегрирования. Функции
т3 и 'в'з запишутся так:
t3 = -75- cos 30 + -щ- cos 40 jg-cos50 + -j2o"Cos60 — h cos 20,
A5)
Обратимся теперь к уравнениям A3); решим их относительно
неизвестных п и гJ. Получим
_ 9 1 __ 3 366 — 19
п-— 36-2 ' ^"ТрГ 2-36 '
Для 6 = 1 имеем
9 51
для Ъ = —1 имеем
9 33
Теперь мы получаем возможность придать формулам (8), A1)
760 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
окончательный вид. Для 6 1 имеем
= _?_ 2 13 иЗ 1 ^4
с°2 4 W 4 2 '
13
г.2 = - -j- cos 20 -!- -^- cos 39 + -\- cos 46, A8)
4
Для & = —1 имеем
, = 9 Sin 20 - -^- sin 30- 4-sin 40.
'4 4 z
13 ,
тя = -^-cos 26--^-cos 36 + -^-cos 40, A9)
#2 = _JL Sin 26 + -^- sin 30 -4- sin 40.
Выпишем выражение величины т] для обоих значений парамет-
параметра Ъ. Для Ъ — 1 имеем
3 51
3 1 2
Т| = —= 8 -= 82
2/2 8/2
для Ъ = — 1 имеем
3 33 9 .
Ti = -— е —: 6" + . . .
2/2 8/2
Пользуясь формулой A0) § 23, установим связь между скоростью
потока, длиной установившейся волны и параметром разложе-
разложения 8.
В рассматриваемом особом случае число р = ААт = У2;
отсюда указанная формула запишется так: для Ъ = 1
для Ъ = — 1
Все проведенные вычисления учитывали члены третьего по-
порядка малости по отношению к параметру 8, тем не менее мы не
можем записать с этой степенью точности выражения функции
со (и) и числа т|3, так как в выражение функции со3 (и) входит не-
неизвестное число fe, которое, как и число ti3, может быть найдено
лишь после составления и рассмотрения уравнения для функции
ю4. Такое уравнение, по причине большой его сложности, мы не
составляем.
§ 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ р2 = 2 761
Таким образом, мы можем записать функцию о (и) лишь в та-
таком виде: для Ъ - - 1
(о = (и + и*) е + (±и* - ^-ц» - 4-w4) е2 + • • .,
для Ь - —1
Этим двум функциям отвечают следующие функции /(и), входя-
входящие в основную формулу B) § 23: для Ъ = 1
f(u) = 1 + (и + и2)е + (-^-и« |-^
для Ь = —1
/(и) = 1 + (и- и*)в + (^-и2 + 4й3)82 + • • •
Интегрируя эту формулу с условием z A) = 0, получаем: для
Ъ = 1
2л/ , / 3 1 Л /5 11 2,3
А \ 2 2 / \ о о 4
для Ъ = — 1
2ш _ , / 1 1 2\ /31 1 о 3
~Z ~ U ~~ \~2 U + Т^ / 8 ~" \~4б W1^ 4
Полагая в этих формулах и = е19, находим параметрические
уравнения свободной поверхности жидкости: для Ъ = 1
2я / 1 . \
psin20-4-sin3e)e2 + ...,
-*Ly= _[(l_cos0)+4-(l-cos2e)]e- B2)
— Г-^- A — cos 20) — JL (i _ cos 30)] e2 + • • •.
для b = —1
2?LX = _ e_ fsin0 — 4-sin20)e —
A. \ ^ /
_(_Lsin20 + -!-sin30)e2+ ....
- B3)
- [-±-A -cos20) + ^-A _coS30)J62 + ...
762 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Установившиеся волны, определяемые этими уравнениями,
можно перевести в прогрессивные волны, распространяющиеся
по поверхности жидкости, покоящейся в бесконечности.
Уравнения прогрессивных волн получатся из предыдущих
уравнений заменой х на х + ct. Скорость распространения волн
B2) будет определяться формулой B0), скорость распростране-
распространения волн B3) — формулой B1).
В связи с этими формулами следует отметить одну особенность,
присущую рассматриваемым волнам.
Скорость распространения капиллярно-гравитационных волн
общего вида зависит лишь от четных степеней параметра е, ско-
скорость же распространения волн особого вида B0) и B1) зависит
от первой и дальнейших степеней параметра е и меняет, следова-
следовательно, свое значение при изменении знака у этого параметра.
Скорость распространения волн первого семейства (Ъ = 1) от-
отлична от скорости распространения волн второго семейства (Ь =
= -1).
Установим теперь общие очертания найденных волн B2)
и B3).
Рассмотрим сначала волны B2) и найдем положение экстре-
экстремальных ординат этих волн в пределах длины одной волны.
Продифференцируем вторую из формул B2) по переменному
8, получим
124)
Приравняем нулю эту производную, получим два отдельных урав-
уравнения для определения углов 6, отвечающих экстремальным зна-
значениям ординаты у.
sm e = о, B5)
A + 2 cos 6) + D Ч- cos 9 — 9 cos2 &) 8 + . .. = 0.
Первое уравнение определяет начало координат и две крайние
точки волны: х = К/2 и х = —К/2. В этих трех точках, в силу
симметрии волны относительно оси Оу, касательная к волне гори-
горизонтальна.
Решим второе уравнение B5) для малых значений е, расклады-
раскладывая искомое решение в ряд по степеням 8. При 8 = 0 имеем cos 8==
= —V2; определим неизвестный коэффициент А так, чтобы
cos 6 = — -i- + А& + . .. B6)
удовлетворял уравнению B5) с точностью до первых степеней
параметра 8. Подставляя разложение B6) в уравнение B5),
§ 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ р2 = 2 763
находим
А = g~,
откуда следует, что значение cos 0, удовлетворяющее уравнению
B5), будет
cos0= --1 у"е + --- B7)
Решим это уравнение относительно угла 9; положим, обозначая
через В искомый коэффициент,
8 = -An + ?e + ...
Подстановка в уравнение B7) этого значения 0 определяет коэф-
коэффициент В и дает тем самым решение уравнения B7):
9 = _4-л " ь + ... B8)
3 4/3 V }
Одновременно с этим решением уравнение B7) имеет, в пределах
одной волны, еще другое решение:^
е4я + е +
Вернемся к формуле B4) и составим выражение второй произ-
производной у по 0, получим
Подставляя сюда вместо cos 0 его значение B7), находим величину
второй производной для экстремальных точек B8) и B9) волновой
поверхности:
2я dh, _ 31
X сШ2 2
для 0 - О
2эт <Ру о .
Таким образом, для малых положительных значений 8 поверх-
поверхность волны имеет в начале координат максимальную ординату
(равную нулю), в точках же, определяемых значениями B8) и B9)
угла 0, имеет минимальные ординаты, равные
16
C0)
764 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Для 8 — ± я ордината волны имеет максимум, равный
Для малых отрицательных значений г поверхность волны имеет
в начале координат минимальную ординату (равную нулю), а в
точках B8) и B9) — максимальные ординаты, определяемые фор-
формулой C0); в точках 0 — ± я ординаты волны имеют минималь-
минимальное значение, равное C1).
По первой из формул B2) можно найти величины абсцисс экс-
экстремальных точек B8) и B9) волновой поверхности; имеем соот-
соответственно
4-/38+...
и
7
¦^<^^^ Я х
b-U,?.
* ~~ 2я \ 3 " ' 6
Пользуясь полученными сведениями о главных точках кривых
B2), можно начертить сами кривые. На рис. 81 изображены кри-
кривые B2) для е = 0,2 и
8 = -0,2.
Построенные кривые
показывают наличие на
них при положительном 8
двух впадин небольшой
глубины. При 8 отрица-
отрицательном на кривой обна-
обнаруживаются два неболь-
Рис. 81. ших бугорка, симметрично
расположенных относи-
относительно вертикальной прямой х = АУ2. Присутствие таких впадин
и бугорков — явление, характерное для капиллярно-гравитаци-
капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды.
Скорость прогрессивной волны конечной амплитуды превосхо-
превосходит при 8 ^> 0 скорость бесконечно малой волны той же длины.
При 8<0 противоположное обстоятельство имеет место: при
одинаковых длинах скорость волны конечной амплитуды меньше
скорости волны бесконечно малой амплитуды. Эти заключения вы-
вытекают из формулы B0).
Повторяя в значительной мере все предыдущие вычисления,
можно установить, что при 6 = —1 кривая B3) имеет для е >> 0
минимальную ординату при х — 0, две положительные макси-
максимальные ординаты для
ж = -^D + 4г/Зе) ЛХ = Ь-Ь(* +4гГ^\, C2)
§ 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ПРИ р*
равные
2я
1
-8
123
80
765
C3)
При
2я
2
И .Г =-: Л — ¦
кривая B3) пересекает ось абсцисс. При х = Х/2 кривая имеет
минимальную отрицательную ординату, равную
C5)
Длина этой ординаты почти в восемь раз больше максимальных
ординат C3) бугорков.
Если параметр 8 меньше нуля, то в точке х = 0 кривая имеет
максимальную ординату, равную нулю; в точках C2) имеет отри-
отрицательные минимальные ординаты C3); в точках C4) кривая
Рис. 82.
пересекает ось абсцисс и в точке х = Х/2 имеет значительную по
величине положительную ординату C5).
Прогрессивная волна со значением Ъ = —1 и 8 ^> 0 имеет ско-
скорость, меньшую чем скорость соответствующей бесконечно малой
волны; при 8 < 0 волна конечной амплитуды обладает скоростью,
большей чем соответствующая волна малой амплитуды.
На рис. 82 изображены капиллярно-гравитационные волны
при Ъ = —1 ие= 0,2 и при Ъ = —1 и 8 = —0,2.
Заключая это исследование особых волн для р2 = 2, можно
сказать, что значению с2, вычисляемому по формуле теории бес-
бесконечно малых волн, соответствуют три периодические установив-
установившиеся волны: две волны, найденные в этом параграфе для Ъ = 1
и Ъ = —1, и, кроме того, волна, соответствующая значению р2 ~
= 1/2. Вид этой волны определяется без затруднений по формулам
A3), A4) § 24.
Теория капиллярно-гравитационных волн бесконечно малой
амплитуды была развита, как это было упомянуто в § 62 гл. I,
766 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
в трудах Кельвина и Рэлея. Теория капиллярно-гравитационных
волн конечной амплитуды получила свое начало в работе Виль-
тона [206], остававшейся долгое время вне поля внимания. При-
Применяя второй метод Стокса, Вильтон рассчитал форму волны с точ-
точностью до пятой степени параметра 8. Вместе с тем Вильтон
обнаружил волны особого вида; теория этих волн изложена в
настоящем параграфе. Непосредственным продолжением работы
Вильтона является работа Пирсона и Файфа [164], содержащая
подробное исследование волн около значения числа р2 = 2.
За последние годы теория капиллярно-гравитационных волн
получила широкое развитие, главным образом, в направлении
исследования взаимного воздействия волн капиллярного типа на
волны гравитационного типа при особых значениях параметра р2
[157] — [159]. Вместе с тем общие теоретические выводы проверя-
проверялись в экспериментальных работах [149], [150].
Во всем предыдущем изложении теории волн были приведены
расчеты движения жидкости и формы волн и были выяснены, рас-
рассмотрением полученных приближенных формул, главные особен-
особенности, относящиеся к распространению волн и их внешнему виду.
Математическая теория существования установившихся пери-
периодических капиллярно-гравитационных волн в различных усло-
условиях была построена в ряде работ Я. И. Секерж-Зеньковича, при-
приложившего к данной задаче метод Леви-Чивита из теории грави-
гравитационных волн конечной амплитуды. Вместе с тем в работах
Я. И. Секерж-Зеньковича был использован метод Ляпунова —
Шмидта для доказательства существования и устажсщйшия един-
единственности волн для данной скорости потока. Волны особого вида
приведены в связь с фундаментальными числами основного нели-
нелинейного уравнения задачи [45] *).
§ 26. Капиллярные волны конечной амплитуды
Определение гравитационных волн конечной амплитуды и тем
более определение капиллярно-гравитационных волн конечной
амплитуды требует решения весьма сложных задач гидродинами-
гидродинамики с нелинейными граничными условиями, и единственное, что
удается большей частью сделать,— это построить бесконечные
ряды, представляющие решение. В ряде случаев представляется
возможным доказать сходимость таких рядов. Построение этих
рядов требует, как это можно видеть из предыдущих параграфов,
проведения большой вычислительной работы.
При таком положении в решении нелинейных задач теории
волн особенное значение и интерес имеет исследование Крэппера,
*) Работа [45] содержит полный список статей автора, посвященных
задачам теории капиллярно-гравитационных волн.
26. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ
767
содержащее полное и законченное определение в элементарных
функциях капиллярных установившихся волн конечной амплиту-
амплитуды [93].
Определение этих волн может быть получено для жидкости
конечной глубины и для жидкости бесконечной глубины. Мы рас-
рассмотрим лишь этот последний случай.
Возьмем основное граничное условие (8) § 23 теории капил-
капиллярно-гравитационных волн и положим в нем g = О, тогда мы
получим граничное условие теории чисто капиллярных волн:
d I _ d-ft \ . dx A
ех —— + с —j— = 0.
\ d J ' dcp
Проинтегрируем это уравнение, получим
где С — константа интегрирования, а р имеет следующее значе-
значение:
р ~ 2а *
Чтобы определить константу С, применим условие A) к той точке
волны, отвечающей значению ф = 0, в которой касательная го-
горизонтальна; обозначим через т0 значение переменного т в рас-
рассматриваемой точке. Условие A) даст такое соотношение:
Это соотношение позволяет выразить числа р и С в зависимости
от некоторого постоянного числа Ь:
Н 2 ' 2
Теперь условие A) примет такой вид:
Комплексное переменное —т + i$ является функцией комплекс
ного переменного ср + #ф, следовательно,
aft = Ji.
аф а\|?
Благодаря этому условие C) может быть переписано так:
Отметим, что это условие должно соблюдаться при значении г|),
равном нулю.
768 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Допустим теперь, что во всей массе жидкости имеет место такое
уравнение:
—L- = f (яр) sh (т — t0), D)
где /' (яр) есть некоторая неизвестная функция лишь одного аргу-
аргумента яр, принимающая значение Ъ для яр = 0. Функция / (яр) дол-
должна быть такой, чтобы функция т, определяемая интегрированием
уравнения D), удовлетворяла уравнению Лапласа
П (^л\
Проинтегрируем уравнение D), получим
lncth (r~2to)
где h (ф) — произвольная функция переменного ф. Отсюда имеем
где
i?(i|>) = <?/<*>, Я(ф) = е'1<*>. G)
Теперь надо так определить функции F (яр) и Н (ф), чтобы удовлет-
удовлетворялось уравнение Лапласа E).
Дифференцируя равенство F) два раза по яр и два раза по ф,
получаем
дН 2Г Г 1 d4IF I dF
2 —Я2 d^ (Л— Я2J
2 — Я2 dqp2 ' (/ 2 — Я2J WqT~/ J '
Подставим эти выражения вторых производных в уравнение E),
получим следующее соотношение между функциями F, Н и их
производными:
2 (#'2 + F'2) + (F2 - Я2) f-|~ — -^-) = 0. (8)
Продифференцируем это равенство по переменному ф и затем по
переменному яр, получим
1 d 1" 1 d H"
IF' dty I ~~ HH' dy II
Так как ф и яр — независимые друг от друга переменные, то общее
значение обеих частей этого равенства есть некоторое постоянное
число Акг. Отсюда получаем два дифференциальных уравнения:
§ 26. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 769
Интегрируя эти уравнения два раза, находим
= -klH* + k'2H* + k's, (9)
где /с2, &з, к'2, к'ъ — постоянные интегрирования. Из этих равенств
имеем
Z7W/ 9Ь С2 I If TJ'" —— Л
Г ^itb^T а —(— #€2 Л 1— ' //1 А\
-j- = т » -jr= я • tlu)
Подставим выражения (9) и A0) в соотношение (8), после вычисле-
вычислений получим
(к2 + k'2)F* + (к2 + к'2)Н2 + 2 (к9 + k's) = 0.
Это равенство может соблюдаться лишь при выполнении следую-
следующих равенств:
/t2 — —tt2» Кв — —/t3«
Теперь уравнения (9) могут быть записаны так:
(-^^М^ + М^ + йз, {^.у^-кгН^-к^-к,. (И)
Полное исследование задачи требует рассмотрения эллиптических
функций, но если ограничиться частным случаем, приписывая
коэффициенту кг нулевое значение, а не оставлять его произволь-
произвольным, то все исследование можно провести в элементарных функ-
функциях. Итак, положим к± = 0, тогда уравнения A1) запишутся
так:
Величина т должна обращаться в нуль при г|э = оо. Это условие
будет выполняться, если коэффициент к2 взять положительным,
а коэффициент к3 отрицательным:
В этих новых обозначениях интегралы уравнений A2) запишутся
так:
F = mch Ы (ij? — я1}0)], Я = т cos [x (ф — ф0)], A3)
где ф0 и iJ}0 — константы интегрирования.
Теперь формула F) запишется так:
т_То ___ ch [к (ф — %)] + cos [% (ф — фоI ,*,.
ch[x(a|5 —1|H)] — cos [х (ф — фоI ' V ;
При увеличении \|э до бесконечности переменное т должно прибли-
приближаться к нулю, но этого не будет, если т0 будет отлично от
нуля, следовательно, т0 = 0. Таким образом, скорость частицы
25 Л. Н. Сретенский
770 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
жидкости на гребне волны (или во впадине), где ф = 0, равна
скорости потока в бесконечности.
Течение жидкости симметрично относительно вертикали греб-
гребня (или впадины) волны, которому соответствует нулевое значе-
значение потенциала ф; значит, в двух точках ф и —ф должны быть
одинаковые значения т, поэтому величина ф0 должна быть взята
равной нулю.
Принимая во внимание эти замечания, придадим формуле A4)
следующий вид:
g =
ch[x(i|) — %)] — coswp ' v ¦ /
Из формул G) и A3) легко найти, что
/' (ф) = х th [x(t|>—я|>оI.
Эта производная должна иметь при я|э = 0 значение 6; отсюда вы-
вытекает такое равенство:
xthxifo = -g-. A5)
Обратимся теперь к определению формы волны. Для этого
надо найти функцию Ф. С этой целью придадим формуле A4') дру-
другой вид, преобразовывая ее числитель и знаменатель. Имеем
ch [х (ty — я|H)] + cos щ = 2 cos -5- х (w — w0) cos -у- x (w — w0) ,
ch [x (if) — ip0)] — cos хф = 2 sin -^- x (w — w0) sin — n(w — w0) ,
где
г2;0 = —
Отсюда формула A4Г) перепишется так:
^ = ctS ["Г к ^ "~ ^°^] ctg [4" к (Ш ~~ ^
и, далее,
х = In jctg ^ х (и? — м;0)] ctg ^ х (й; — m?0)J| . A6)
Пользуясь соотношением
д$ дх
находим уравнение для определения функции
1 1
— w0)]
§ 26. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 771
Интегрируя это уравнение, получаем
О = Ип jctg [-|- (w - t*o)] tg [-?- (й? - й>0)]} . A7)
Соединяя формулы A6) и A7), находим функцию
со = —
Отсюда получаем, применяя формулу
dw
dz
¦ = — се~
выражение комплексной скорости
dw
Проинтегрируем обе части этого равенства и заметим, что при
w = О переменное z равно нулю; отсюда находим связь между
z и w:
cz = w - Л {tg [-J- (и; - ц;0)] + tg (-J- w;0)} . A8)
Положим в этом равенстве г|) = 0 и будем считать величину ф пе-
переменной; отделим затем действительную часть от мнимой. В ре-
результате этих операций получим параметрическое уравнение вол-
волновой поверхности
±1A9)
= 4 / 1+в^созхф __ 1 \
^ \ 1 + 2ехФосозхф + е2хФо 1 + ехф0 / "
Абсцисса х возрастает на величину 2я/(хс), когда переменное ф
увеличивается на 2я/х; при этом увеличении ф ордината у не ме-
меняет своей величины, отсюда выводим, что волна имеет длину %%
равную
Найдем значения г/, экстремальные по своей величине. Диффе-
Дифференцируя формулу B0) по переменному ф, получаем
dy _ 4вхФоA —в2хфо)
CW A + 2вхф° cos щ+e^f
Эта производная обращается в нуль при ф = 0 и при ф ~ п/х.
При этом последнем значении ф ордината у имеет величину а,
25
772 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
которую назовем амплитудой волны,
4 1
кс shwf>0
Перепишем это выражение так:
~~ я shxi|H ' \ '
Отсюда имеем
2%
Подсгавляя это значение th xi|H в формулу A5), находим зависи-
зависимость между скоростью потока, длиной волны и ее амплитудой:
С , B2)
где Со = 2яа/(рХ) — квадрат скорости бесконечно малой капил-
капиллярной волны длины X. Формула B2) показывает, что волны ко-
конечной амплитуды распространяются медленнее, чем волны бес-
бесконечно малой амплитуды.
Интересно отметить, что каждая линия тока найденного тече-
течения может быть принята за свободную волновую поверхность.
Действительно, предположение, что волновой поверхностью
является линия тока ф = 0, используется лишь при установлении
формулы A5). Для линии тока г[) = г|/, являющейся свободной
границей, будем иметь вместо формулы A5) такую формулу:
xth(^-ipo) = -^-. B3)
Ж далее, зависимость A8) между z и w будет давать следующие
значения для ординаты рассматриваемой линии тока при ф =
/ и ф = 0 соответственно:
] th (т-
- 4- fth [т (*¦-
Разность этих ординат дает амплитуду а! линии тока г|/:
/ ^Л/ 1
Вычисляя с помощью этой формулы th [к (t|H — "Ф')! и подставляя
найденное его значение в формулу B2), приходим опять к формуле
B2) с новым значением B4) амплитуды и, следовательно, с новым
значением скорости потока.
§ 26. КАПИЛЛЯРНЫЕ ВОЛНЫ 773
Чтобы определить вид свободной поверхности жидкости, по-
поставим вопрос: может ли вертикальная прямая х = О пересекать
поверхность жидкости не только в начале координат, но и в дру-
других точках?
Из формулы A9) следует, что потенциал скоростей <р, не рав-
равный нулю и относящийся к искомым точкам, будет удовлетворять
уравнению
вхФо sin хф 1
1 + 2ехфо cos Хф + е2хфо ~ ~ Хф*
Перепишем это уравнение так:
Начертим кривую
2
ch w|H = —— sin хф — cos хф. B5)
2
у = — sin a; — cos x. B6)
При я = 0 ордината у равна единице, а у' = 0. Начиная со зна-
значения х = 0 ординаты у увеличиваются от единицы до 1,32703;
это максимальное значение у соответствует корню
х = 2,080
уравнения
^=4-cosx-(^--1)sinx=0-
При дальнейшем увеличении х ордината у уменьшается и при
х = я принимает значение единица. При значении х, близком
-3rt/2 -л -2,08-л/2 О я/2 2,08 к Зя/2
Рис. 83.
к Ззт/2, ордината у обращается в нуль. Нам достаточно знать из-
изменение у лишь при увеличении х от 0 до я, так как величина хф
изменяется в пределах одной волны от —я до я. На рис. 83 пока-
показана дуга кривой B5) в пределах изменения переменного х от
—Зя/2 до Зя/2.
774
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Рассмотрим теперь уравнение B5). Пользуясь рис. 83, мы ви-
видим, что если
chw|H> 1,32703,
то ось ординат (плоскости течения) пересекает поверхность жид-
жидкости лишь в начале координат. Если же ch xi|H будет равен точно
1,32703, то ось ординат будет являться касательной к кривой,
изображающей волновую поверхность. Точке касания будут от-
отвечать два значения потенциала скоростей:
Ф = 2,080/х, ф = -2,080/х.
Если ch хя|H будет меньше чем 1,32703, то уравнение B6) будет
иметь четыре корня: два положительных и два отрицательных.
j=0,?30\
Зг» '
0,527
0,037
0,340 \
0,095]
0,795
О;177
0,295 \
0,287 )
Рис. 84.
Благодаря этому линия тока я|э = 0 будет иметь две двойные точки
на оси ординат плоскости течения.
Таким образом,1 допустимые значения ch хя|H должны быть не
меньше чем 1,32703; sh xi|H, вычисляемый по этому значению гипер-
гиперболического косинуса, равен 0,87212.
Возьмем формулу B1) и подставим в нее вместо sh xi|H ука-
указанное значение, получим а/к = 0,7295. Следовательно, самое
большое значение амплитуды капиллярной волны есть 0,7295Х.
При этом значении а у кривой, изображающей волну, будет об-
образовываться у точки х = 0 небольшой мешок, верхний диаметр
которого равен 0,21154Я.
На рис. 84, заимствованном из статьи Крэппера [93], показана
волна максимального развития (ей отвечает нулевое значение
функции тока) и проведен вместе с тем ряд линий тока с различ-
различными значениями функции тока.
Дополнение
ПЕРЕХОД ДЛИННЫХ ВОЛН С ОДНОЙ ГЛУБИНЫ
НА ДРУГУЮ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ БАССЕЙНЕ *)
§ 1
Рассмотрим два бассейна, находящихся во вращении с постоянной угло-
угловой скоростью со вокруг вертикальной прямой. Допустим, что эти бассейны
сообщаются друг с другом вдоль плоскости у = 0 и первый бассейн распро-
распространяется неограниченно во все стороны выше оси Ох, а второй бассейн
находится ниже оси Ох и распространяется во все стороны неограниченно.
Предположим, что глубина первого бассейна постоянна и равна h±, а глуби-
глубина второго бассейна равна h2, величине постоянной. Будем все величины,
относящиеся к первому бассейну, сопровождать индексом 1, а ко второму —
индексом 2.
Система уравнений распространения длинных волн во вращающемся
бассейне пишется, при использовании обычных обозначений, так:
диг о d?x I dp
dvx
дх + ду + hx dt ~ U*
Эта система относится к первому бассейну, к поверхности которого прило-
приложено, как мы предполагаем, некоторое внешнее давление р (х, у, t). Система
уравнений движения жидкости во втором бассейне записывается так:
ИГ
ди2 dv2 1 д^2
дх "Т" ду ~т~ h2 dt ""и*
2
Поверхность жидкости во втором бассейне свободна от внешнего давления.
Мы будем рассматривать распространение волн в обоих бассейнах в
предположении, что эти волны вызваны полем внешних давлений, не изме-
изменяющимся по своему виду и равномерно перемещающимся в направлении ли-
линии раздела бассейнов с постоянной скоростью с. Уравнение этой линии есть
у = 0. Будем искать решения систем уравнений A) и B) как функции пе-
переменных х — ct и у; внешнее давление — функция этих же двух пере-
переменных.
*) Опубликовано в работе автора [58]. (Прим. ред.)\
776 ДОПОЛНЕНИЕ
При этих предположениях системы уравнений A) и B) перепишутся
так:
дщ д1л 1 др
dv2
ди^ dv± ±_^l__n дщ дщ с д?>2 п
дх "Т" ду hx дх ~U* дх "+" ду ~~ /г2 Эя? ~U>
Эти две системы уравнений объединяются граничными условиями, которые
должны соблюдаться во всех точках оси Ох:
Ь (х - ctr 0) = ?2 (х - rf, 0), D)
х — с«, 0) = h2v2 (x — ct, 0); E)
к этим условиям следует добавить некоторые условия излучения, о которых
будет речь ниже.
Найдем частные решения системы уравнений C), являющиеся произве-
произведениями показательной функции ехр(ж — ct) на некоторые неизвестные
функции одного переменного у:
иг(у), иг (у), ?i(y); ".(У). »*(У), С(У). F)
Такие решения будут найдены в предположении, что давление имеет следую-
следующий вид*.
Р (*. У\ t) = р (у) el^x-ct\ G)
где р (у) — данная функция ординаты у.
Пользуясь системой уравнений C), найдем следующую систему урав-
уравнений для функций F):
ik
ickux + 2(йъ\ = igktfr + р, icku2 + 2соу2
dv± ick dv2 ick
^+^¦ = 17^ ^ + ^- = -^-
Из этих систем уравнений найдем
- сЩ Ul = -g (ск^ + 2со ^) - —
На основе этих формул получим два уравнения для определения
Запишем эти уравнения, принимая следующие обозначения:
ДОПОЛНЕНИЕ 777
Тогда
*-* (8)
Преобразуем первое из этих уравнений, вводя вместо ?х новую искомую
функцию 1г по формуле
Р
Функция ?j будет удовлетворять уравнению
Граничные условия D) и E) примут следующий вид:
Si
при у = 0. (Ю>
2< +
§2
Применим уравнения и граничные условия общей задачи к разбору од-
одного частного случая. Допустим, что давления, приложенные к поверхности
жидкости и изображаемые функцией р (у), сосредоточены в полосе s <^у < Г
первого водоема, причем будем предполагать, что функция р (у) сводится к
постоянной величине р0. В этом частном случае уравнение (9) § 1 должно
быть заменено тремя отдельными уравнениями, которые надо сопроводить
условиями перехода через линии у = s и у = I. Эти условия состоят в тре-
требовании непрерывности возвышения жидкости и ее производной по у при»
переходе указанных линий.
Таким образом, будем иметь следующие уравнения:
(-оо<у<0), A)=
B).
. C)
1?Г-*& = ° (*<</< °о). D).
При переходе от уравнения A) к уравнению B) должны выполняться^
условия
при у = 0; E>
dy J
778 ДОПОЛНЕНИЕ
при переходе от уравнения B) к уравнению C) мы должны иметь
?i = Si + ^7'
при y = s. F)
dy ™l x ~ pgc
Наконец, при переходе от уравнения C) к уравнению D) должны соблю-
соблюдаться условия
г' г"
при y = Z. G)
dy ^1 Ь1> — pgc
К этим условиям должны быть добавлены условия излучения волн в беско-
бесконечность, об этих условиях будет сказано ниже.
Проинтегрировав уравнения A) — D), получим
Восемь постоянных интегрирования G, Я, А, В, С, D, E, F связывают-
связываются граничными условиями E) — G), которые приводят к следующим урав-
уравнениям:
А + В = G + Я,
Bсо + скх) А + Bсо — сщ) В = -у- [Bсо + ск2) G + Bсо — ск2) Н),
2%\г " 7 " ~ " *>«»- " ' (9)
Таким образом, для восьми постоянных интегрирования имеется шесть урав-
жений, добавим к ним из условий излучения два недостающих уравнения.
§3
Между величинами с, hi и h2 могут существовать различные соотношения
неравенств. В дальнейшем мы будем считать, что глубина hx первого бассей-
бассейна больше глубины h2 второго бассейна и что скорость распространения об-
области давлений по поверхности первого бассейна находится в пределах от
K ДО VWv
В этих предположениях получаются наиболее интересные результаты.
ДОПОЛНЕНИЕ 77g
Число щ будет для всех значений к действительным, но число и будет
действительным лишь для значений к, удовлетворяющих неравенств2у
2со
Для значений \ к \^> к0 число х2 будет чисто мнимым.
Рассмотрим функцию ?i (ж — с?, i/); в области изменения у от Z до оо бу-
будем иметь
Ь (* - с*, у) = (Ее™ + Л"*") ^Х"СЧ
Так как число хх действительное и положительное, то, высказывая требова-
требование отсутствия неограниченно увеличивающихся значений ?х при у —» оо,
мы должны положить Е = 0.
Таким образом, в первом бассейне, в той его части, где у > J, распрост-
распространяется волна
Рассмотрим теперь функцию ?2 = {Ge*2V + He~*iV) eik{x-ct\
Предположим сначала, что | к \ < /с0, и допустим, что при i/ —>•— оо
возвышение ?2 не растет до бесконечности. При таком предположении мы
должны положить Н = 0. Предположим затем, что | к | > /с0. В этом случае
^2 будет чисто мнимым. Чтобы определить знак коэффициента при i, рассмот-
рассмотрим х2 в зависимости от /с, считаемого комплексным переменным:
Разрежем плоскость переменного к по линиям (— оо, — к0) и (к0, оо) и
будем рассматривать верхнюю полуплоскость, значения и2 на которой будут
определяться действительными и положительными значениями щ на отрез-
отрезке [— к0, к0] оси абсцисс. На верхних сторонах разрезов будем иметь
Vsh у л;
2coi
Отсюда ?2 запишется так:
*У) eik(x-ct) (ko<k< oo),
где
2со
¦ — 1 .
Для отрицательных к, а равно и для положительных к волна
Н exp [ik(x — ct) — in2y]
приходит из отрицательной бесконечности и поэтому, как не образованная
единственным источником возбуждения в виде перемещающейся области
давлений, должна быть устранена. Таким образом, Н = 0. Итак, во вто-
втором бассейне, где у < 0, распространяется волна
;- B)
780 ДОПОЛНЕНИЕ
Вернемся к уравнениям (9) § 2 и перепишем их, учитывая принятые условия
излучения:
А + В = G,
Bсо + схх) А + Bсо — скг) B = —LBay
о 1
„ _ k2Po XiS _ _
А~С— 2l е ' B-D—
с—
Решив эту систему уравнений, получим
к2р0кг 1
Сг ~ Г)
2co
—- (h± — h2)
(Mi + M2) - ^" (h - h2)
С помощью этих формул можно составить выражения всех волн, но нас бу-
будет интересовать главным образом волна ?2» как наиболее примечательная
по своим свойствам.
§4
Для дальнейшего исследования образовавшихся волн необходимо изу-
изучить корни уравнения
2со
А (к) ее (Mi + Мг) - — (К- h) = 0.
Рассмотрим функцию
/ (к) =
и найдем ее производную
rf/c 2(B r g
A)
Эта производная обращается в нуль при А; = 0 и для малых А; имеет такое
значение:
ДОПОЛНЕНИЕ 781
Так как hx > h2, будем иметь
Поэтому, если будет соблюдаться неравенство
то при малых значениях к функция / (к) будет возрастать. Если же будет
соблюдаться неравенство
то при малых значениях /с функция / (к) будет убывать. Отметим, что
Производная /' (Л) будет обращаться в нуль и при обращении в нуль выра-
выражения в скобках равенства A). Соответствующее значение к будет опреде-
определяться формулой
с« - 2g (hx + fe2) с2 + g* (h\ + hfa + h\)
k' Ш
Числитель этой дроби может быть представлен так:
- gh2) - /Я;(с»-j^)] [с*-g(h-
Этот числитель будет положителен, если будет выполняться неравномерно
неравенство
с2 < 2(^1- Vfhh + h2). B)
Следовательно, при соблюдении этого неравенства функция / (к) будет
иметь в промежутке (— kOi к0) два максимума {—к' и к') и один минимум
{в точке /е=0). Если же неравенство B) не будет выполняться, то в промежут-
промежутке (— к0, к0) будет иметься лишь один максимум функции / (к) в точке
к = 0. Величина к'2 будет при этом отрицательной и к' будет величиной
чисто мнимой.
Найдем максимальное значение функции / (к) при к = ±к'. Для этих
значений к будем иметь
а 2
*! - (С2 _ ^2) [g (^ + ^ _ СЦ ' Х2 ~ (gfc, - С2) ^ (^ + ^) _ С2] '
Отсюда после ряда вычислений получим
Найдем, наконец, значение функции / (к) при к = ± &0:
- 2й) у
]Лс2— g/i2
Покажем теперь, что величина
2со
с
782 ДОПОЛНЕНИЕ
всегда меньше, чем / (± к'). Действительно, мы имеем следующее неравен-
неравенство:
Прибавляя к обеим частям этого неравенства величину gc2 (h^ + h2) — с\
получим
gc2 (h + K)-c*> gc2 (hx + h2) - c4 - gthfo,
или
с2 [g (hx + h2) - c*) > {ghx - C2)(C2 - gh2) > 0.
Извлекая из обеих частей этого неравенства квадратный корень, получим
с Vg (h + h2)-c2> V(gK - c2)(c2 ~ ghj,
или
c #
Умножая обе части этого неравенства на 2 со (hx — h2), получим требуемо©
неравенство
2со
/(±*')> — (Ai-Aj). E)
Отсюда можно вывести такое заключение. Если соблюдается неравен-
неравенство B) при определенном с, то будет соблюдаться и неравенство E), кото-
которое приводит к следующему выводу. Если число
2со
— (Ai-Ла) F>
больше наибольшего из двух чисел / @) и / (± &0), то уравнение А (к) = О
имеет четыре действительных корня. Если же число F) меньше меньшего
из двух чисел / @) и / (± к0), то уравнение А (к) = 0 не имеет действитель-
действительных корней.
Предположим теперь, что соблюдается неравенство
g (hx - VhJh + К) <с2< ghv
В этом случае функция / (к) монотонно убывает от —.5L (YK + У^2) ДО
Vg
Укх(кл — h2) при изменении Л от 0 до к0. Покажем, что наимень-
шее из этих чисел всегда больше, чем Bco/c)(&i — h2). В самом деле^
при h2 < кг мы имеем такое очевидное неравенство:
с2 > g (h - К).
Умножим обе части этого неравенства на h% и прибавим затем к обеим
частям с2Ах. Тогда
he2 + h2c* > gh2 (h2 - hx) + h,c\
Отсюда следует, что
he2 > (К - h2)(c* - gh2),
ЖЛИ
ДОПОЛНЕНИЕ
2@ /-————
Умножая обе части этого неравенства на —У \—Л2, получим
с
>-(h1-h2).
T====—>
Таким образом, наименьшее значение функции / (к) всегда больше, чем
Bсо/с)(Д1 — Лз). Следовательно, при
g (h - VhJT2 + h2) < с2 < ghi
уравнение A(k) = 0 не имеет решений в действительных числах.
Рассмотрение функции
/ (к) =
на плоскости комплексного переменного /с, разрезанной по линиям
2ан \ / 2coi
приводит к следующим заключениям о комплексных решениях уравнение
А(к) = 0. Производная А'(к) обращается в нуль, при наличии комплексных,
решений, для чисто мнимых значений ± к! переменного к* Отсюда вытекает,,
что через точки к' и —к' плоскости к проходят две кривые, встречающие ось
ординат под прямым углом, вдоль которых функция / (к) имеет действитель-
действительные и положительные значения. На этих кривых линиях, а также и на уча-
участке мнимой оси
2coi 2со*
будут располагаться комплексные решения уравнения А (А;) = 0. Эти ре-
решения являются комплексными полюсами подынтегральной функции ин-
интеграла A) § 5, выписанного ниже.
§5
В предыдущем изложении мы предполагали, что внешнее давление из-
изменяется гармонически с изменением переменного к (х — ct) = а. Допус-
Допустим теперь, что внешнее давление есть некоторая функция этого переменного>
Р (а). Применим к этой функции интеграл Фурье
Введем обозначение
оо
\ P(a)e-ikada=p(k).
—оо
Тогда
784 ДОПОЛНЕНИЕ
Взятому распределению давлений в области у <[ 0 будет отвечать волна,
определяемая в силу формул B) и C) § 3 следующим интегралом:
оо
hx ? [ехр (— хх1) — ехр (— Xjs)] ехр [к2у + ik(x — ct)] к2
Обратимся к нахождению асимптотического выражения этого интеграла
для больших значений расстояния
(i)
[ческого выражения этого интегра
г = У(х — ctJ + у2.
Положим
х' = х — ct = — г cos 0, у = — г sin 0
ш запишем интеграл A) так:
оо
hx С [ехр (—%Z) — ехр (—kxs)] ехр [—г (x2sin0 + ik cos 0)]
Ъ2 2npg j 2@
с
X^-p(k)dk.
Перепишем теперь этот интеграл, пользуясь безразмерными величинами
J71, р, R'.
2со
2@ 2(ог
V' -м/ ^ -г ' *
М (ттг, 9) = р /1 — m2 sin 9 + im cos 9.
Тогда для функции ?г получим следующее выражение:
B
Найдем максимумы и минимумы функции М (т, 0) относительно пере
именного т. Имеем
dM
Приравнивая нулю эту производную, получим уравнение
р т sin 0 — i cos 0 |Al — m2 = 0.
Отсюда имеем
cos0
m ¦"" — y^cos2 0 — p2 sin2 0 '
1ИЛИ
ДОПОЛНЕНИЕ 785
Допустим сначала, что
1 - р2 tg 2e > о,
а угол 0 лежит в первой четверти. Так как | т | > 1, то при
т cos9 1
171 ~ i/We — pzsinae ~~ /i — р2 tg2 e l }
будем иметь
Уравнение dM I dm = 0 будет удовлетворено, если взять в последнем ра-
равенстве знак минус в правой его части. Следовательно, точка
1
т /1 — р2 tg2 e
будет находиться на верхней стороне разреза A, оо). Если же взять
D)
то уравнение dM I dm = О будет удовлетворяться при
__ ^ Btge .
т ~~ У1 — р2 tg2 e
Значит, точка D) будет находиться на верхней стороне разреза (— оо, —1).
Если угол 0 будет лежать во второй четверти, то при
1
будем иметь
Уравнение dM I dm = 0 будет удовлетворяться при верхнем знаке, и, сле-
следовательно, точка т будет лежать на нижней стороне разреза A, со). Если
же принять
1
то уравнение dM I dm = 0 будет удовлетворяться при нижнем знаке и точка
т будет лежать на нижней стороне разреза (— со, —1). Все это следует
из того, что
tg 9 < 0.
Определим вторую производную функции М (т, 9):
psin9
26 Л. Н. Сретенский
786 дополнение
Для углов в первой четверти при значениях т, обращающих в нуль первую
производную, будем иметь
/72/Jf рпчЗ fl (\ R2 \(зЧ А\3/2
to j.vl UU3 \J 1 J- ~~^ U Usi \J) • / s.. r\\
= . i : !^ . л [771 > и),
dm* P2sin2 9;
dm* "
Для углов во второй четверти будем иметь
d41 cos3 9 A — 1
dlM cos3 9A —
dm* =
Допустим теперь, что
1 - p2 tg 29 < 0.
Предположим, что угол 9 принадлежит первой четверти; тогда уравнение
dMldm = 0 будет удовлетворяться при
т =
Если же угол 9 будет во второй четверти, то
т = — А , /1 — ^2 = _ ' 1Ц . (8)
/P2t201 K /P2t291
Для этих значений т будем иметь соответственно
cos39F2tg2 9 — I)8'2
Fif^
cos39(p2tg2 9 —I)8'2
F^T (вторая четверть).
§6
Для того чтобы составить асимптотические формулы для функции ?2
при больших Л, надо установить на плоскости комплексного переменного
т распределение значений функции М (т, 9). Предположим сначала, что
1 _ рг tg2 е > 0, cos 9 > 0.
Точка т, определяемая формулой C) § 5, есть перевальная для функции
М (т, 9); найдем линию наибольшего спуска, проходящую через эту точку.
Эта линия будет определяться уравнением
Im М = const, Re M > 0.
В точке C) § 5 будем иметь
Im М = cos 9 Vl — р2 tg 29, Re M = 0.
Через эту точку, находящуюся на верхней стороне разреза A, оо),
проходят четыре особые линии, необходимые для установления распределе-
рия значений функции М (га, 8). Прежде всего, это — верхняя сторона раз-
ДОПОЛНЕНИЕ Ш1
реза A, оо). Функция М (т, 0) имеет в точках этого разреза чисто мнимые
значения, меняющиеся от i cos 0 до i cos 0 У \ — В2 tg2 0 при изменении
т от 1 до A — Р2 tg2 0)'2 и от i cos 0 У1 — fJ tg2 0 до ocz при дальней-
дальнейшем увеличении m до оо.
Через точку C) § 5 проходит линия Съ вдоль которой
Im М = cos j/l — p2tg2 0,
а действительная часть функции М (т, 0) изменяется от 0 до оо; при этом
линия Сг будет проходить отчасти по первой четверти плоскости, а беско-
бесконечной своей ветвью — по четвертой четверти той же плоскости. Линия Сх
пересекает действительную ось в точке
т = /1 - р2 tg2 0 < 1;
функция М (т, 0) имеет в этой точке такое значение:
sin2 0
sin 0 г— -
М = ^ "c^iT" + i cos 0 /1 - Р2 tg2 0.
Линия С1 может быть продолжена через точку C) § 5 на второй лист
римановой поверхности функции М\ вдоль этого продолжения С1 действитель-
действительная часть функции М будет увеличиваться от 0 до оо.
Через точку C) § 5 проходит, кроме того, линия С2, в точках которой
функция М имеет чисто мнимые значения, меняющиеся от i cos 0 У1 — (З2 tg2 0
до нуля. Нулевое значение функция М (т1 0) принимает при
/II/ «/ /-- ,
j/i_-p2tg*e
Наконец, через точку C) § 5 проходит линия С3, вдоль которой функция
М (т, 0) имеет постоянную мнимую часть i cos 0 ]/l —- [d2 tg2 0, в то вре-
время как ее действительная часть меняется от 0 до со.
Линии Съ Съ С2, С3 могут быть отображены зеркально относительно
мнимой оси. В результате мы получим линии Cv C±1 С2, С^. Вдоль линий
Сх и Ux мнимая часть функции М не меняется и остается равной — i cos 0 X
X V4 — Р2 tg2 0; действительная же часть меняется от со до 0 на ветви Cv
расположенной на втором листе римановой поверхности. В точках линии Сх
действительная часть увеличивается от 0 до оо. При движении по линии
С2 от точки мнимой оси
ptge
т = i л_—
до точки D) §5 действительная часть функции М равна нулю, а мнимая из-
изменяется от 0 до — i cos 0 У\ — р2 tg2 0. Вдоль линии С3 функция
М(т, 0) сохраняет свою мнимую часть, равную — i cos 0 У1 — Р2 tg2 0;
действительная же часть меняется от нуля до — ©о.
В^ заключение заметим, что в точках мнимой оси функция М (яг, 0) име-
имеет действительные значения, при т = ioo функция М (т, 0) равна — со,
при
Ptge
т' lVi — P2 tg2 о
26*
788
ДОПОЛНЕНИЕ
функция М (т1 0) обращается в нуль, а при т = — ioo она равна оо. Рас-
Распределение значений функции М (т, 0) показано на рис. 85 (через «ЧМ»
Рис. 85.
и «Д» с «+» или «—» обозначены линии чисто мнимых и действительных
значений функции с соответствующими их знаками).
§7
Возьмем интеграл A) § 5 и выполним его исследование для cos 0
считая сначала, что соблюдается неравенство
О,
и, кроме того, число 2(co/c)(ft1 — h2) больше наибольшего из чисел / @) и
/ (± &о)- При этих предположениях на пути интегрирования в формуле A)
§ 5 будет четыре особые точки:
/Со К л /€¦) /Со
Обойдем эти точки маленькими полуокружностями — у2, — уъ Yi» Y2» ле^
жащими в верхней полуплоскости комплексного переменного т. Вместе с
тем проведем на плоскости переменного т разрезы (— оо, —1) и A, оо), по
верхним сторонам которых будем вести интегрирование. Проведем также
разрезы (— оо?, — il0) и (iZ0, ooi), относящиеся к функции
2со
где
lo -
На рис. 86 изображена плоскость переменного т со всеми разрезами.
Преобразуем путь интегрирования в формуле A) § 5 с помощью непрерывной
деформации. Имея в виду проведенное в § 6 исследование функции М (т, 0),
мы можем первоначальный путь заменить новым, состоящим из трех час-
частей (рис. 87):
(I)
(II) (-
- il0
(-П01 -
(III) Сг +
Направление интегрирования по этим линиям показано на рис. 87 стрел-
стрелками.
ДОПОЛНЕНИЕ
789
Так как числа т2 и т1 не зависят от угла 0, а абсцисса точки пересече-
пересечения линии Сг и Сх зависит от угла 0 и меняется от 1 до 0 и от —1 до О
©
tin
Рис. 86.
Рис. 87..
с оответственно, то при преобразовании первоначального пути нужно для
углов
9 < arctg о
принимать во внимание вычеты всех четырех полюсов: — w2, —тъ тг, т2.
Для углов 0, находящихся в пределах
arctg о < 0 < arctg g ,
надо брать вычеты двух полюсов: — щ, mv Для углов
9 > arctg
вычеты будут отсутствовать.
1
, 9 < arctg -j-
790 ДОПОЛНЕНИЕ
Укажем значения вычетов для рассматриваемых полюсов:
А^ гпР('п)_ {р-кх1 _ -хк) ехр [- Л (р fr^T^sm 0
1
В этой формуле переменное т должно быть заменено аффиксом соответствую-
соответствующего полюса.
После преобразования начального пути интегрирования получим для
?2 следующее выражение:
И
В этой формуле F (тг, 0) есть результат преобразования подынтегральной
функции A) § 5 к переменному п = —im с учетом изменения значений функ-
функции щ (т) при обходе точки ветвления — il0. Что же касается N (п, 0), то
выражение этой функции будет иметь вид
N (л, 6) = 3 /1 + д2 sin 0 — п cos 0; C)
для всех значений п от — /0Д° ~™ °° эт^ функция имеет положительные зна-
значения.
Возьмем первые два интеграла формулы B) и найдем для их суммы асимп-
асимптотическое выражение при больших значениях параметра R. Определяющей
точкой при построении этого асимптотического выражения по методу пере-
перевала будет точка
^ D)
Линия С^ + Сх встречает ось абсцисс под углом 45°; поэтому, применяя фор-
формулы метода перевала, положим
репШ.
у 1 — Р2 tg2 0
Используя вычисления § 6, будем иметь вблизи точки D)
соз3 0 A — Р2 tga P)8/2
Отсюда следует, что сумма двух первых интегралов формулы B) будет иметь
такое выражение для больших R:
%) ехр (— KXZ) — ехр (— kls)
созз
ДОПОЛНЕНИЕ 791
Вычисляя последний интеграл, получаем
V + \ = —=г р (т'о) SeQi exp \i ( R cos 0 /l — P2 tg2 0 + -^ я
где
Ш _ /^7 хр (— щ1) — ехр (— х^) 1
82 = 1-e2t^ * Ч
х, ptg9 .,¦. F)
У COS 9 A — Р2 tg2 0) 2
Здесь х2 и х2 имеют следующие значения:
2со pitgG ,
2 V* ?^2 I7 ™ P2 tg2 0 ' ° У1 — p2 tg2 9
Отметим, что х2 — мнимое число.
Совершенно так же может быть найдено асимптотическое выражение
для суммы второго и третьего интегралов формулы B):
Т« • G)
Относительно области приложимости формул E) и G) следует заметить,
что угол G должен быть несколько меньше чем arctg A/р). Перевальным точ-
точкам отвечают следующие значения переменного т:
' 1 „ 1 1
Эти точки не должны совпадать с точками и^±1 ветвления функции
х2 или быть в их окрестности. Таким образом, угол G должен быть несколько
больше 0°. Следовательно, формулы E) и G) имеют место внутри угла 2),
заключенного между прямыми 6 = 0 и arctg A/6).
Рассмотрим теперь интеграл
При больших значениях R величина этого интеграла будет, с точностью
до множителя, зависящего от угла 9, такой:
(8)
Возьмем, наконец, последний член формулы B). Этот член представляет
собой умноженную на — 2ni сумму вычетов всех полюсов, пересекаемых
начальным путем интегрирования при его преобразовании в совокупность
путей С. При этом преобразовании будут пересекаться полюсы, находящиеся
на действительной оси (если они там есть), и комплексные полюсы, о кото-
которых шла речь в конце § 4.
792 ДОПОЛНЕНИЕ
Выражение каждого вычета будет содержать множитель
ехр [-R (В /1 — т2 sin G + im cos 61),
где т — аффикс полюса. Для действительных полюсов это выражение стре-
стремится к нулю, как показательная функция с отрицательным аргументом.
Для комплексных полюсов, находящихся под действительной осью, действи-
действительная часть корня У~1 — т2 положительна, а, следовательно, действи-
действительная часть показателя степени отрицательна при cos 6 > 0, и вся функ-
функция при этом быстро стремится к нулю при неограниченном увеличении R.
Такое же заключение легко выводится и при cos 6 < 0. Формулы E) и G)
приводят к следующему заключению: внутри угла D имеет место асимптоти-
асимптотическая формула
1
+ р (т) ехр [- i [r cos 9 /1 - pa tg* 0 +;Q + \ it)]} .
Беря от правой части этой формулы лишь действительную часть, получим
уравнение поверхности жидкости в мелком бассейне для больших значений
2сог
переменного К = г =¦, а именно:
]/с2 gh
K) + рК)! c
Линии равной фазы имеют вид, близкий к гиперболам, обладающим общей
асимптотой 6 = arctg A/Р) и действительной осью.
Все предыдущее исследование было проведено в предположении, что
скорость с удовлетворяет неравенствам
g (К - VhJh + h2) <c*< ghv A0)
Если же с будет удовлетворять неравенствам A0), то, как показано в конце
§ 4, уравнение Д(&) = 0 не будет иметь действительных корней, а мнимые
корни будут давать вычеты, стремящиеся к нулю при R —> оо, как показа-
показательная функция с отрицательным аргументом. Следовательно, и в этом слу-
случае для t2 имеет место асимптотическая формула (9).
В конце § 6 были указаны значения переменного т, отвечающие переваль-
перевальной точке для углов 6, удовлетворяющих нервенству
1 — р2 tg2 G < 0.
Для этих значений переменного т функция М (т, 6) имеет следующие дей-
действительные значения:
М (т
тг, е
, в)
) = cos e /р
= — cos 6 Y
2 tg2 e -
р2 tg2 e -
-1
-1
(cose
(cos
>0),
в<0).
Повторяя разбор функции ?2> изложенный в настоящем параграфе при соб-
соблюдении неравенства
1 — Р2 tg2 e > о,
можно убедиться, что при наличии противоположного неравенства функция
?2 будет убывать с увеличением R1 как показательная функция отрицатель-
отрицательного аргумента,
ДОПОЛНЕНИЕ ?9§
§8
Исследуем теперь ?2 в предположении, что величина у = R sin 6 может
принимать значения от 0 до некоторого Y < 0, и найдем асимптотическое
выражение ?2 для больших значений | = г cos 6. Пользуясь формулой A)
§ 5, запишем ?2 в таком виде:
I - - О ОО
га2 [ехр (— n-J,) — ехр (—
dm
Путь интегрирования можно преобразовать так, что части его (— оо, —1) и
A, оо) останутся без изменения, а отрезок [—1, 1] преобразуется в прямые
(—1, —1 — ooi), A — ooi, 1) и разрез (— ooi, — loi). Интегралы по этим пря-
прямым убывают обратно пропорционально |, и значение интеграла будет опре-
определяться вычетами подынтегральной функции относительно полюсов, кото-
которые пересекаются начальным путем интегрирования при его преобразовании
в указанные выше части.
При определенных соотношениях между величинами hv h2 и с подын-
подынтегральная функция может иметь четыре, два или нуль действительных полю-
полюсов та. Если же выпадают два действительных полюса, то появляются два
мнимых сопряженных полюса. Вычет полюса, имеющего отрицательную
мнимую часть, будет при стремлении х — ct к — оо неограниченно умень-
уменьшаться, как показательная функция отрицательного аргумента.
Таким образом, интерес представляют вычеты от действительных полю-
полюсов. Определяя эти вычеты, найдем в полосе 0 > у > Y следующее выра-
выражение:
Суммирование распространяется на корни та уравнения
2@
(К - Л2) = 0-, B)
расположенные на отрезке [—1, 1]. При переходе к действительным числам
суммирование распространяется лишь на положительные корни этого урав-
уравнения; таких корней может быть два, один или ни одного.
Полученная формула для ?2 показывает, что в полосе 0 > у ^> Y рас-
распространяются незатухающие по отношению кг — d волны. В направлении,
перпендикулярном оси Ох, аппликаты поверхности волны резко падают.
Найденные волны, обязанные переменной глубине бассейна, аналогич-
аналогичны волнам Кельвина; скорость их распространения не зависит от длины,
равной 2я//с0, где ка — корень уравнения B), переписанного для
С такими волнами, связанными с изменением глубин бассейнов, встретился
М. С. Лонгет-Хштинс при исследовании распространения свободных волн.
794
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 9
Все предыдущие рассмотрения относились к тому случаю, когда имеют
место неравенства
1 — Р2 tg2 6 > 0, cos 0 > 0.
Рассмотрим теперь выражение ?2 в предположепии, что угол 0 удовлетворяет
неравенствам
1 — р2 tg2 G > 0, cos G < 0. A)
На рис. 88 показано распределение значений функции М (т, 6) в предпо-
предположении A). Вдоль линии «Д +» действительная часть функции М меняется
ЧМ+
чм-\
\
ЧМ+
( у, ^М~
Рис. 88.
по положительным значениям, увеличивающимся до бесконечности; «ЧМ» —
линии чисто мнимых значений.
Так как нули функции (h^ + /г2и2) — 2(со/с)(/гх — h2) обходятся сверху
маленькими полуокружностями, то при преобразовании начального пути в
новый путь, который будет проходить дважды разрез (?/0, ioo), в преобразо-
преобразованное выражение не будут входить вычеты действительных нулей знамена-
знаменателя (если при данном с они имеются), но могут входить вычеты комплексных
корней. Вычеты этих корней дают в общем выражении t2 слагаемые, быстро
стремящиеся к нулю при удалении от линии у = 0. В силу этого при х —
— d > 0 не будет незатухающих волн кельвиновского типа. Форма пути ин-
интегрирования с верхним обходом полюсов и была выбрана так, чтобы при
х — ct > 0 не было незатухающих волн.
Таким образом, при больших R, а равно и при больших | х — ct \ ап-
аппликаты точек поверхности жидкости убывают до нуля, следуя показатель-
показательной функции с аргументом, стремящимся к — оо.
Предположим, что с2 < gh2 < gh^ тогда для всех действительных к
величины щ и и2 будут действительными и возрастающими вместе с пере-
переменным к. При к = 0
Следовательно, если будет иметь место неравенство
ДОПОЛНЕНИЕ 795
то уравнение
(Mi + Л2х2) — — (hi — h2) = 0
будет иметь два действительных корня, приводящих к одной волне.
Неравенство B) соблюдается, если скорость с достаточно мала, а именно
удовлетворяет неравенству
с < Vgh - VgV
В этом случае в окрестности изменения глубин будет развиваться система
незатухающих волн кельвиновского типа. Точка экстремума функции М
будет находиться на мнимой оси, и в силу этого асимптотическое выражение
интеграла будет порядка убывающей показательной функции.
Допустим теперь, что имеет место неравенство gh2 < ghx < с2. Значе-
Значения функции h^i + h2n2 в промежутке (—/с0, к0) будут заключены между
2о Vgfa—hj) 2со _ —
у с2 gh У g
Для выполнения уравнения
2со
(Mi + М-2) — — {К— h) == о C)
необходимо соблюсти неравенство
2@ /^-Ы 2@
у с2 — ^л3 с
из этого неравенства следует, что
Jh Vc*-~gh2
Но это неравенство противоречиво. Следовательно, уравнение C) не имеет
действительных решений. Значит, нет свободных волн типа Кельвина, свя-
связанных с разломом глубин.
§ ю
Рассмотрим теперь вкратце свойства функции ^ для значений у от I
до оо.
Взятому в § 5 закону изменения давления р (х — ci) будет отвечать сле-
следующая функция ?х:
оо
1 f
Si = —^7" \
К Г №р(к) [ехр (— щ1) — ехр (— kls)] ехр [— щу + ik \х — ct)]
2nPgl * ) <**>
Введем длд исследования этих интегралов вместо w — d и i/
796 ДОПОЛНЕНИЕ
независимые переменные г и if по формулам
х — ct = — г cos if, у = I + r sin
и положим вместе с тем
2@
k
Q (Qj if) = я sin if |/"l -f- ?2 + iq cos if,
где q — новое переменное интегрирования. При таких обозначениях показа-
показатель экспоненты — щу + ik (х — ct) запишется так:
2со/ г
/1 + аД<? (!)
Отсюда выражение функции Si примет вид
7,3 °°
7,3
= - ~2^i \ д2Р («) <ch х^ ~ch xis) exP (- 7§71АП'Г^) е"йд(9> *} dq +
ьЗ °°
J С д2р (q>) exp ^~ Xi/^"ехр ^~ Xig^
2@ Х
г^ + Л2х2) — -j~ (hx — h2)
X ехр (- у|= /ПГ72^ e"RQ(^ *> dq. B)
Асимптотическое выражение функции Si для больших значений Л будет
определяться поведением функции Q (q, if) около нулей ее производной
dQ aq
которые имеют следующие значения:
Верхний знак берется при tg if < 0, нижний — при tg if > 0. Соответствую-
Соответствующие значения функции ^ имеют вид
Отсюда вытекает, что для больших значений R и для всех углов if величина
Si будет убывать, как показательная функция. Таким образом, для у > I
не будет тех волн, которые были найдены в § 7 в определенной угловой об-
области второго бассейна. Что же касается волн кельвиновского типа, то в
рассматриваемом бассейне (у > Z) они будут существовать, примыкая к
границе области распространяющегося давления. В этом можно убедиться,
обращая внимание на то, что во втором бассейне волны Кельвина появились
за счет вычетов подынтегральной функции. Но такие же вычеты, обязанные
корням уравнения A(fc) = 0, будут и в рассматриваемом случае.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции,
функции Бесселя, «Наука», 1966.
2. Л. А. Бойко, Дифракция волн на поверхности тяжелой несжимае-
несжимаемой жидкости, Ученые записки МГУ 24, 8 A938), 34—60.
3. Ш. Ж. Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, ГТТИ,
1933.
4. Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых функций, ИЛ, 1949.
5. С. С. Вой т, Дифракция от полуплоскости волн, образуемых на по-
поверхности жидкости периодически действующим источником, ПММ 25,
2 A961), 370—374.
6. С. С. В о й т, Б. И. С е б е к и н, Дифракция неустановившихся поверх-
поверхностных и внутренних волн, Физика атмосферы и океана 5, 2 A969), 180—
187.
7. Ф. Д. Г а х о в, Краевые задачи, Физматгиз, 1963.
8. В. В. Голубев, Лекции по теории крыла, Гостехиздат, 1949.
9. Э. Г у р с а, Курс математического анализа, тт. I—III, ГТТИ, 1933—
1934.
10. Г. Д ж е ф ф р и с, Б. С в и р ж, Методы математической физики, вып. 3,
«Мир», 1970.
И. М. В. Келдыш, М. А. Л а в р е н т ь е в, О движении крыла под по-
поверхностью тяжелой жидкости, Тр. конференции по теории волнового
сопротивления, изд-во ЦАГИ, 1937.
12. А. А. Костюков, О волнообразовании и волновом сопротивлении,
ПММ 19 A955), 557-570.
13. А. А. Костюков, Теория корабельных волн и волнового сопротив-
сопротивления, Судпромгиз, 1959.
14. Н. Е. К о ч и н, Точное определение установившихся волн конечной
амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины,
Собр. соч., т. II, Гостехиздат, 1949, 43—75.
15. Н. Е. К о ч и н, К теории волн Коши — Пуассона, Собр. соч., т. II,
Гостехиздат, 1949, 86—104.
16. Н. Е. Кочин, О волновом сопротивлении и подъемной силе погру-
погруженных в жидкости тел, Собр. соч., т. II,Г1 Гостехиздат, 1949, 105—
182.
17. Н. Е. Кочин, Плоская задача об установившихся колебаниях тел под
свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости, Собр. соч.,
т. II, Гостехиздат, 1949, 244—276.
18. Н. Е. К о ч и н, Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под сво-
свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости, Собр. соч.,
т. II, Гостехиздат, 1949, 277—304.
19. А. К р а т ц е р, Ф. Ф р а н ц, Трансцендентные функции, ИЛ, 1963.
20. Ю. М. Крылов, Дифракция волн жидкости, Тр. Гос. океанографи-
океанографического института, вып. 18 A949), 13—18.
21. Ю.М. Крылов, К теории трехмерных морских волн, Тр. Гос. океа-
океанографического института, вып. 21 C3) A952), 129—138*
22. Е. А. Курлович, Движение сферы под поверхностью тяжелой
жидкости, Ученые записки МГУ 193 A961), 157—170,
798 ЛИТЕРАТУРА
23. М. А. Л а в р е н т ь е в, До Teopii довгих хвиль, 36. праць 1нст. ма-
тем. АН УРСР 8 A946), 13—69.
24. М. А.Лаврентьев, Б.В.Шаба т, Методы теории функций ком-
комплексного переменного, Физматгиз, 1958.
25. Г. Л а м б, Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.
26. Н. Н. Л у з и н, Интеграл и тригонометрический ряд, Собр. соч., т. I,
изд-во АН СССР, 1953.
27. А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, гл. 7, Гос-
Гостехиздат, 1950.
28. С. Г. М и х л и н, Р1нтегральные уравнения, Гостехиздат, 1949.
29. Н. Н. М о и с е е в, А. Н. П е т р о в, Численные методы расчета соб-
собственных частот колебании ограниченного объема жидкости, «Наука»,
1966.
30. Н. Н. М о и с е е в, В. В. Р у м я н ц е в, Динамика тела с полостями,
содержащими жидкость, «Наука», 1965.
31. Н. И. Мусхелиш вили, Сингулярные интегральные уравнения,
Гостехиздат, 1946.
32. А. И. Н е к р а е о в, О волнах Стокса, Собр. соч., т. I, Физматгиз,
1961, 26-34.
33. А. И. Некрасов, Точная теория волн установившегося вида на
поверхности тяжелой жидкости, Собр. соч., т. I, Физматгиз, 1961,
358-439.
34. Э. А. Пержнянко, К вопросу о волновом сопротивлении тела
при его круговом движении, ДАН СССР 130, 3 A960), 514—516.
35. Б. Н. Румянцев, О неустановившихся движениях тяжелой жид-
жидкости у наклонного берега, ПММ 24, 3 (I960), 554—557.
36. Р. Н. С а м у с е в а, О волнах на поверхности раздела двух потоков,
текущих под углом друг к другу, Тр. Морского гидрофизического
института 24 A961), 126—134.
37. Б. И. С е б е к и н, Дифракция поверхностных волн на клине, Изв. АН
СССР, МЖГ, вып. 5 A966), 148-151.
38. Б. И. С е б е к и н, Дифракция поверхностных волн на клине, Физика
атмосферы и океана 3, 8 A967), 890—902.
39. Б. И. С е б е к и н, Дифракция на клине неустановившихся гравита-
гравитационных волн, Изв. АН СССР, МЖГ, вып. 1 A968), 136—142.
40. Л. И. Седов, Плоская задача о глиссировании по поверхности тяже-
тяжелой жидкости, Тр. конференции по теории волнового сопротивления,
изд-во ЦАГИ, 1937.
41. Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гос-
Гостехиздат, 1950.
42. Я.И.Секерж-Зенькович, К теории стоячих волн конечной ам-
амплитуды на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины, Изв.
АН СССР, серия географ, и геофиз., 15, 1 A951), 57—73.
43. Я. И. Секерж-Зенькович, Составные стоячие волны конечной
амплитуды на поверхности тяжелой жидкости бесконечной глубины,
Изв. АН СССР, серия геофиз. 5 A951), 68—83.
44. Я. И. Секерж-Зенькович, К трехмерной задаче о стоячих вол-
волнах конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости, ДАН СССР
86, 1 A952), 35—38.
45. Я. И. С е к е р ж- 3 ejE ь к о в ич, Об установившихся капиллярно-
гравитационных вынужденных волнах конечной амплитуды на поверх-
поверхности жидкости конечной глубины, Сб. «Механика сплошной среды и
родственные проблемы анализа», «Наука», 1972, 445—458.
46. С. Р. П. С и н х, Точная теория установившихся волн на свободной по-
поверхности и поверхности раздела двух жидкостей, ДАН СССР 168, 1
A966)^47-50,
ЛИТЕРАТУРА
47. Ю. В. С о х о цкп й. Об определенных интегралах и функциях, упот-
употребляемых при разложении в ряды, СПб., 1873.
48. Л. Н. С р е т е н с к и й, К теории Мичелля, ПММ 2, 2 A935), 163—
179.
49. Л. Н. С р е т е н с к и й. О вычислении волнового сопротивления ко-
корабля, движущегося по поверхности воды конечной глубины, ДАН
СССР 2, 7 A936), 259—261.
50. Л. Н. Сретенский, Теоретическое исследование о волновом соп-
сопротивлении, Тр. ЦАГИ, вып. 319 A937), 3—55.
51. Л. Н. С р е т е н с к и й, К теории глиссера, Изв. АН СССР, отделение
технических наук, 7 A940), 3—26.
52. Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского потенциала, Гостех-
издат, 1946.
53. Л. Н. Сретенский, О волнах, поднимаемых кораблем при движе-
движении по круговому пути, Изв. АН СССР, отделение технических наук,
1 A946), 13—20.
54. Л. Н. С р е т е н с к и й, Об одном методе определения волн конечной
амплитуды, Изв. АН СССР, отделение технических наук, 5 A952),
688-698.
55. Л. Н. С р е т е н с к и й, Пространственная задача об определении ус-
установившихся волн конечной амплитуды, ДАН СССР 83, 1 A953), 25—
28.
56. Л. Н. Сретенский, Пространственная задача об установившихся
волнах конечной амплитуды, Вестник МГУ, серия физ. и естеств. наук,
5, 3 A954), 3-12.
57. Л. Н. С р е т е н с к и й, О волновом сопротивлении судна при наличии
внутренних волн, Изв. АН СССР, отделение технических наук, Механи-
Механика и машиностроение, 1 A959), 56—63.
58. Л. Н. Сретенский, Переход длинных волн с одной глубины на
другую во вращающемся бассейне, Сб. «Механика сплошной среды
и родственные проблемы анализа», «Наука», 1972, 473—494.
59. Е. Т и т ч м а р ш, Введение в теорию интегралов Фурье, гл. XI, §11,
Гостехиздат, 1948.
60. П. Н. У с п е н с к и и, О волновом сопротивлении корабля при нали-
наличии внутренних волн (в условиях конечной глубины), Тр. Морского
гидрофизического института 18 A959), 68—85.
61. В. С. Ф е д о с е н к о, Л. В. Черкесов, Развитие корабельных
волн в неоднородной жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, вып. 4 A970),
137-146.
62. К. О. Фридрихе, Д. Г. X а й е р с, Существование уединенных
волн, Сб. переводов «Теория поверхностных волн», ИЛ, 1959. Ориги-
Оригинал статьи в журнале: Comm. Pure Appl. Math. 7 A954), 517—550.
63. M. Д. X а с к и н д, Плоская задача о глиссировании по поверхности тя-
тяжелой жидкости конечной глубины, Изв. АН СССР, отделение техничес-
технических наук, 1—2 A943), 67—90.
64. М. Д. X а с к и н д, О поступательном движении тел под свободной
поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины, ПММ 9, 1 A945),
67—78.
65. М. Д. X а с к и н д, Общая теория волнового сопротивления при дви-
движении тела в жидкости конечной глубины, ПММ 9, 3 A945),257—264.
66. М. Д. X а с к и н д, Качка корабля на спокойной воде, Изв. АН СССР,
отделение технических наук, 1 A946), 23—34.
67. М. Д. X а с к и н д, Гидродинамическая теория качки корабля на вол-
волнении, ПММ 10 A946), 33—66.
68. М. Д. X а с к и н д, Приближенные методы определения гидродина-
гидродинамических характеристик качки, Изв. АН СССР, отделение технических
наук, 11 A954), 66—86.
800 ЛИТЕРАТУРА
69. М. Д. Хаскинд, Приближенный метод расчета волнового сопротив-
сопротивления удлиненных судов, Изв. АН СССР, отделение технических наук,
10 A956), 108-112.
70. С. А. Ч а п л ы г и н, О влиянии плоско-параллельного потока воздуха
на движущееся в нем цилиндрическое крыло, Собр. соч., т. 3, ОНТИ,
1935, 3-64.
71. Ю. С. Ч а п л ы г и н, Глиссирование плоской пластинки бесконечного
размаха по поверхности тяжелой жидкости, Тр. ЦАГИ, вып. 508 A940),
3-45.
72. Ю. С. Чаплыгин, Глиссирование по поверхности жидкости конеч-
конечной глубины, ПММ 5, 2 A941), 223—252.
73. Л. В. Черкесов, Неустановившиеся волны, «Наукова думка»,
Киев, 1970.
74. Л. В. Ч е р к е с о в, Поверхностные и внутренние волны в неоднород-
неоднородной жидкости, Изв. АН СССР, МЖГ, вып. 4 A970), 137—146.
75. 3. М. Шкуркина, Определение сил, действувщих на сферу при
неустановившемся движении по круговому пути, Вестник МГУ, серия
«Математика и механика», 1, 3 A966), 98—109.
76. F. Aimond, Recherches d'hydrodynamique en vue la determination
du mouvement de Геаи sur un barrage-deversoir, Annales de la Faculte
des Sciences de l'Universite de Toulouse C) 11 A929), 139—221.
77. G. B. Airy, Tides and Waves, Encyclopedia Metropolitana, vol. 5,
241—396 (+ 6 plates in vol. 26), London, 1845.
78. Т. В. В e n j a m i n, F. U r s e 1 1, The stability of the plane free surfa-
surface of a liquid in vertical motion, Proc. Roy. Soc. (A) 225 A954), 505—
515.
79. R. N. В h a t t а с h a r у у a, Proc. Nat. Inst. Sec. India, part (A) 24
A958).
80. G. В i r k h о f f, J. К о t i k, Some transformations of Michell's integral,
Publ. Nat. Techn. Univ. of Calif. Inst. Eng. Research, ser. 61, Issue 2,
July 1953.
81. G. Birkhoff, J. Kotik, Theory of the wave resistance of ships. II.
The calculation of Michell's integral, Trans. Soc. Nav. Archit. Marine
Engrs. 62 A954), 372—385; discussion, 385—396.
82. G. В о и 1 i g a n d, Sur les petits mouvements de surface d'un liquide dans
le champ d'une force centrale attractive fonction de la distance, С R. Acad,
Sci., Paris, 154 A912), 1338-1340.
83. G. В ouligand, Sur les equations des petits mouvements de surface
des fluides parfaits, Bull. Soc. Math. France 40 A912), 149—180.
84. G. В о и 1 i g a n d, Sur les singularites a la paroidans le probleme des
ondes liquides, Bull. Sci. Math. B) 50 A926), 89—96, 106—112.
85. G. В о и 1 i g a n d, Sur la continuite et les approximations en dynamique
des liquides, J. l'Ecole polytechn. B) 26 A927), 1—38.
86. G. В о и 1 i g a n d, Sur divers problemes de la dynamique des liquides,
Paris, Gauthier-Villars, 1930, 1—57.
87. J. Boossinesq, Theorie de Г intumescence liquide appelee onde so-
solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire, C. R.
Acad. Sci./Paris, 72 A871), 755—759.
88. J. Boossinesq, Cours d'Analyse infinitesimale, t. II, fas. II A890),
496-515:
89. G. Brillouet, Etude de quelques problemes sur les ondes liquides
de gravite, Publ. Sci. du Ministere de Г Air 329 A957), VI + 144, Paris.
90. W. В и г n s i d e, On the small wave-motions of a heterogeneous fluid
under gravity, Proc. Lond. Math, Soc. 20 A889), 392—397.
91. А. С а и с h у, Theorie de la propagation des ondes a la surface d'un flui-
de pesant d'une profondeur mdefinie, Oeuvres Completes d'Augustin
Cauchy, I serie, 1 A815), 5—318.
ЛИТЕРАТУРА 801
92. G. С h a b е г t d'H ieres, R. Gonyon etJ. Kravtchenko,
Contribution a la theorie du clapotis plan, J. de Mathematiques pures et
appliquees 43 , 1 A964), 1—25.
93. G. D. С г а р р е r, An exact solution for progressive capillary waves
of arbitrary amplitude, J. Fluid Mech. 2, 4 A957), 532—540.
94. S. С D e, Contributions to the theory of Stokes waves, Proc. Cambr. Phil.
Soc. 51 A955), 713—736.
95. M. St. Denis, W. J. P i e r s о n, On the motion of ships in confused
sea, Trans. Soc. Nav. Archit. Marine Engrs. 61 A954), 200—332.
96. M. L. Dubreil-J acotin, Sur la determination rigoureuse des ondes
permanentes periodiques dempleur finie, J. Math. Pures Appl. (9) 13, 3
A934), 217—291.
97. M. L. D u b r e i 1 - J а с о t i n, Sur la discussion des equations de rami-
ramification relatives a certains problemes d'ondes, Application aux ondes
dues aux inegalites du fond, Bull. Soc. Math. France 64 A936), 1—24.
98. M. L. Dubreil-Jacotin, Sur les theoremes d'existence relatives
aux ondes permanentes periodiques a deux dimensions dans les liquides
heterogenes, J. Math. Pures Appl. (9) 16 A937), 43—67.
99. K. 0. F r i e d r i с h s, H. L e w y, The dock problem, Comm. Pure Appl.
Math. 1, 2 A948), 135-148.
100. J. Fritz, Waves in the presence of an inclined barrier, Comm. Pure
Appl. Math. 1, 2 A948), 149-200.
101. R. A. F u с h s, R. С. М а с С a m y, A linear theory of ship motion in irre-
irregular waves, Publ. Nat. Techn. Univ. of Calif, Inst. Eng. Research, ser.
61, Issue 2, 1953.
102. J.-P. Germain, Etude des series entieres untilisees dans la theorie de
la 3loule en peu profonde, С R. Acad. Sci., Paris, 262 A966), 546—648.
103. J. Franz von Gerstner, Theorie der Wellen sammt einer abgeleite-
ten Theorie der Deichprofile, Gilbert's Annalen der Physik 32 A809),
412-445.
104. R. G о uy о n, Contribution a la theorie des houles, Annales de la Facul-
te des Sciences de l'Universite de Toulouse D) 22 A958), 1—55.
105. A. G. G r e e n h i 1 1, Wave motion in hydrodynamics, Amer. J. Math.
9 A887), 62-112.
106. J. Hadamard, Sur les ondes liquides, С R. Acad. Sci., Paris, 150
A910), 609-611, 772-774.
107. J.Hadamard, Sur les ondes liquides, Atti Accad. Lincei E) 25 A916),
716-719.
108. E. Т. Н a n s о n, The theory of ship waves, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 3,
759 A926), 491—528.
109. Т. Н. Havelock, The propagation of groups of waves in dispersive
media, with application to waves on water produced by a travelling dis-
disturbance, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 81 A908), 398—430.
110. Т. Н. Havelock, The wave making resistance of ships: a theoretical
and practical analysis, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 82 A909), 276—300.
111. Т. Н. Havelock, Ship resistance: the wave making properties of cer-
certain travelling pressure disturbances, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 89 A914),
489-499.
112. Т. Н. Havelock, The initial wave resistance of a moving surface
pressure, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 93 A916), 240—253.
113. T. H. H a v e 1 о с к, Some cases of wave motion due to a submerged ob-
obstacle, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 93 A917), 520—532.
114. Т. Н. Havelock, Wave resistance: some cases of three-dimensional
fluid motion, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 95 A919), 354—365.
115. Т. Н. Havelock, The effect of shallow water on wave resistance, Proc.
Roy. Soc. Lond. (A) 100 A922), 499—505.
802 ЛИТЕРАТУРА
116. Т. Н. Н a v е 1 о с к, Studies in wave resistance: influence of the form
of the water-plane section of the ship, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 103
A923), 571-585.
117. T. H. H a v e 1 о с к, Studies in wave resistance: the effect of parallel
middle body, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 108 A925), 77—92.
118. T. H. H a v e 1 о с к, Wave resistance: the effect of varying draught,
Proc Roy. Soc Lond. (A) 108 A925), 582—592.
119. Т. Н. Have lock, Wave resistance, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 118
A928), 24—33.
120. Т. Н. Havelock, The wave pattern of a doublet in a stream, Proc.
Roy. Soc. Lond. (A) 121 A928), 515—523.
121. Т. Н. Havelock, The w7ave resistance of a spheroid, Proc. Roy. Soc.
Lond. (A) 131 A931), 275-285.
122. T. H. H a v e 1 о с к, The wave resistance of an ellipsoid, Proc. Roy. Soc.
Lond. (A) 132 A931), 481—486.
123. Т. Н. Havelock, The theory of wrave resistance, Proc. Roy, Soc.
Lond. (A) 138 A932), 339—348.
124. Т. Н. Havelock, The forces on a circular cylinder submerged in a
uniform stream, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 157, 892 A936), 526—534.
125. Т. Н. Havelock, The wave resistance of a cylinder started from
rest, Quart. J. Mech. Appl. Math. 2, 3 A949), 325—334.
126. Т. H. Havelock, The forces on a submerged spheroid moving in a
circular path, Proc. Soc. Lond. (A) 201 A950), 297—305.
127. E. Hogner, A contribution to the theory of ship waves, Ark. Mat.
Astr. Fys. 17, 12 A922—1923), 1-50.
128. E. H о g n e r, On the theory of ship wave resistance, Ark. Mat. Astr. Fys.
(A) 21, 7 A928), 1—11.
129. E. Hogner, Contributions to the theory of ship waves, St<skholm,
1925.
130. R. L. Holford, Short surface waves in the presence of a finite dock.
I, II, Proc. Cambr. Phil. Soc. 60 A964), 957-985, 985—1011.
131. J. N. Hunt, A note on gravity w/aves of finite amplitude, Quart. J. Mech.
Appl. Math. 6, 3 A953), 336—343.
132. T. I n u i, Japanese development on the theory of wave-making and wa-
wave resistance, 7th Internat. Conf. on Ship Hydrodynamics, Oclo, 1954,
1—60; discussion, 61—70.
133. Kelvin (W. Thomson), On the waves produced by a single impulse
in water of any given depth or in a dispersive medium, Mathematical and
Physical Papers, vol. 4, Cambridge, 1910, 303—306.
134. Kelvin (W. Thomson), Deep sea ship-waves, Mathematical and
Physical Papers, vol. 4, Cambridge, 1910, 394—418.
135. Kelvin (W. Thomson), Initiation of deep-sea waves of three clas-
classes: 1) from a single displacement; 2) from a group of equal and similar
displacements; 3) by a periodically varying surface pressure, Mathemati-
Mathematical and Physical Papers, vol. 4, Cambridge, 1910, 419—456.
136. D. J. К о r t e w e g, G. de Vr i e s, On the change of form of long waves
advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary
waves, Phil. Mag. E) 39 A895), 422—443.
137. A. N. К r i 1 о f f, A general theory of the oscillations of a ship wa-
waves, Trans. Inst. Naval. Archit. 40 A898), 135—190; discussion, 190—
196.
138. E» V. L a i t о n e, The second approximation to cnoidal and solitary wa-
waves, J. Fluid Mech. 9, 3 A960), 430-444.
139. H. L a m b, On wave resistance, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 111 A926), 14—
25.
140. F. G. L e p p i n g t о n, On the scattering of short surface waves by a
finite dock, Proc Cambr. Phil. Soc 64 A968), 1109—1129.
ЛИТЕРАТУРА 803
141. F. G. L e p p i n g t о n, On the radiation and scattering of short surface
waves, J. Fluid Mech. 56, 1 A972), 101—119.
142. T. Levi-Civita, Sulle onde di canale, Atti Accad. Lincei E) 21
A912), 3-14.
143. T. Levi-Civita, Determinazione rigorosa delle onde yrotazionale
periodiclie in acqua profonda, Atti Accad. Lincei E) 33 A924), 141—
144.
144. T. Levi-Civita, Determination rigoureuse des ondes permanentes
d'empleur finie, Math. Ann. 93 A925), 264—314.
145. H. Lew y, Water waves on sloping beaches, Bull. Amer. Math. Soc. 52,
9 A946), 737—775.
146. J. K. Lunde, On the linearized theory of wave resistance for displace-
displacement ships in steady and accelerated motion, Trans. Soc. Nav. Archit.
Marine Engrs. 59 A951), 25—76; discussion, 76—85.
147. R. С. М а с С a m y, R. A. F u с h s, 0. S i b u 1, The oscillations of
ships in a solitary wave, Publ. Nat. Techn. Univ. of Calif. Inst. Eng.
Research, ser. 61, Issue 6, 1954.
148. S. M с С о w a n, On the solitary wave, Phil. Mag. E) 32 A891), 45—58.
149. L. F. M с G о 1 d r i с к, An experiment on second-order capillary gravi-
gravity resonant wave interaction, J. Fluid Mech. 40, 2 A970), 251—271.
150. L. F. M с G о 1 d r i с к, On Wilton's ripples: a special case of resonant
interaction, J. Fluid Mech. 42, 1 A970), 193—200.
151. N. W. M с L а с h 1 a n, Theory and application of Mathieu functions,
Oxford, 1947.
152. H. M a r u o, Tho-dimensional theory of the hydroplane, Proc. 1st Japan
Nat. Congr. Appl. Mech., Tokyo, 1952, 409—415.
153. H. M a r u o, Modern developments of the theory of wave-making resis-
resistance in the non-uniform motion, The Society of Naval Architects of Japan,
60th anniversary series, Tokyo 2 A957), 1—82.
154. С. С. M e i, Radiation and scattering of transient gravity waves by verti-
vertical plates, Quart. J. Mech. Appl. Math. 19, 4 A966), 417—440.
155. J. H. M i с h e 1 1, The highest waves in water, Phil. Mag. E) 36 A893),
430-437.
156. J. H. M i с h e 1 1, The wave resistance of a ship, Phil. Mag. E) 45 A898),
106-123.
157. AH Hasan Nayfeh, Finite amplitude surface waves in a liquid layer, J.
Fluid Mech. 40, 4 A970), 671—684.
158. AH Hasan Nayfeh, Third harmonic resonance in the interaction of
capillary and gravity waves, J. Fluid Mech. 48, 2 A971), 385—395.
159. AH Hasan Nayfeh, Non linear waves in a Kelvin — Helmholtz flow,
J. Fluid Mech. 55, 2 A972), 311-327.
160. W. G. P e n n e у, А. Т. Р r i с e, Finite periodic stationary gravity waves
in a perfect fluid, Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. (A) 224A951—1952),
254—284.
161. W. G. P e n n e у, А. Т. Р г i с e, G. T а у 1 о r, An experimental study
of standing waves, Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 218, 1132 A953), 44—59.
162. A. S. Pett ers, A new treatment of the ship-wave problem, Comm. Pure
Appl. Math. 2, 2-3 A949), 123-148.
163. A. S. P e t t e r s, The effect of a floating mat on water waves, Comm. Pure
Appl. Math. 3, 4 A950), 319-354.
164. W. P i e г s о n, P. Fife, Some nonlinear properties of long-grested
periodic waves with lengths near 2,44 centimeters, J. Geograph. Research
66, 1 A961), 163-179.
165. H. С Pocklington, Standing waves parallel to a plane beach, Proc.
Cambr. Phil. Soc. 20 A921), 308—310.
166. H. Poincare, Sur la diffraction des ondes Hertziennes, Rendiconti
del Circolo Mathematico di Palermo, t. 29, 1910,
804 ЛИТЕРАТУРА
167. Н. Р о п с i n, Recherches sur le mouvement d'un fluide pesant dans un
plan vertical, Publ. Sci. Tech. du Ministere de Г Air, № 16, Paris, 1932,
1—102.
168. Rayleigh (J. W. Strutt), On waves, Phil. Mag. E) 1 A876), 257—
279.
169. Rayleigh (J.W. Strutt), On progressive waves, Proc. Lond. Math.
Soc. A) 9 A877), 21—26.
170. R а у 1 e i g h (J.W. Strutt), The form of standing waves on the sur-
surface of running water, Proc. Lond. Math. Soc. 15 A883), 69—78.
171. Rayleigh (J. W. Strutt), Hydrodynamical notes, Phil. Mag. F)
21 A911), 177-195.
172. R а у 1 e i g h (J.W. Strutt), On periodic irrotationalj waves at the
surface of deep water, Phil. Mag. F) 33 A917), 381—389.
173. A. R. Richardson, Stationary waves in water, Phil. Mag. F) 40
A920), 97-110.
174. A. R. Richardson, D'hydrodynamique en vue de la determination
du mouvement de l'eau sur un barrage-deversoir, Annales de la Faculte
des Sciences de l'Universite de Toulouse C) 11 A929), 139—221.
175. M. Roseau, Contribution a la theorie des ondes liquides de gravite
en profondeur variable, Publ. Sci. Tech. du Ministere de l'Air, № 275,
Paris, 1952, t. 90.
176. M. Roseau, Short waves parallel to the shore over a sloping beach,
Comm. Pure Appl. Math. 11 A958), 433—493.
177. M. R о s e a u, Sur une equation fonctionnelle de la theorie des ondes li-
liquides de gravite, Тр. Международного симпозиума в Тбилиси, «Наука»,
2 A965), 358—361.
178. Н. Rubin, The dock of finite extent, Gomm. Pure Appl. Math. 7, 2
A954), 317-344.
179. M. P. R u d z k i, Ober eine Klasse hydrodynamischer Probleme mit be-
sonderen Grenzbedingungen, Math. Ann. 50 A898), 269—281.
180. J. S. R u s s e 1, Report on waves (British Ass. Rep., 1844), London,
1845.
181. A. Sommerfeld, Mathematische Theorie der Diffraction, Math.
Ann. 47 A896).
182. J. A. Sparenberg, The finite dock, Proceedings of the Symposium
on the behaviour of ships in a seaway, Wageningen, 1957, 717—728.
183. H. B. Squire, The motion of a simple wedge along the water surface,
Proc. Roy. Soc. Lond. (A) 243 A958), 48-64.
184. J. J. Stoker, Surface waves in water of variable depth, Quart. Appl.
Math. 5, 1 A947), 1—54.
185. J.J. Stoker, Water waves, New York, 1959.
186. J. J. Stoker, A. S. Petters, The motion of a ship, as a floating ri-
rigid body, in a seaway, New York, Univ. Inst. Math. Sci. IMM-NYV, Res.
Rep. 203, 1954.
187. G. G. Stokes, On the theory of oscillatory waves, Mathematical and
Physical Papers 1, Cambridge A880), 197—229.
188. G. G. S t о k e s, Supplement to a paper on the theory of oscillatory waves,
Mathematical and Physical Papers 1, Cambridge A880), 314—326.
189. D. J. S t r u i k, Sur les ondes irrotationelles dans les canaux, Atti
Accad. Lincei A6) 1 A925), 522—527.
190. D. J. S t г u i k, Determination rigoureuse des ondes irrotationelles per-
manentes dans un canal a profondeur finie, Math. Ann. 95 A926), 595—
634.
191. G. I. Taylor, An experimental study of standing waves, Proc. Roy.
Soc. Lond. (A) 218, 1132 A953), 44-59.
192. The collected mathematical works of J. Hand A. G. M. Michell, Gronin-
gen, 1964, P. Noordhoff, Ltd.
СПИСОК ТРУДОВ Л. Н. СРЕТЕНСКОГО 805
193. F. U г s е 11, The effect of a fixed vertical barrier on surface waves in
deep water, Proc. Cambr. Phil. Soc. 43 A947), 374—382.
194. F. U r s e 11, On the short-wave asymptotic theory of the wave-equation
(A2 + P) ф = 0, Proc. Cambr. Phil. Soc. 53, 1 A957), 105-133.
195. F. U r s e 11, On Kelvin's ship-wave pattern, J. Fluid Mech. 8, 3 A960),
418-431.
196. F. U r s e 11, The transmission of surface waves under surface obstacles,
Proc. Cambr. Phil. Soc. 57, 3 A961), 638—668.
197. F. U r s e 11, Slender oscillating ships at zero forward speed, J. Fluid
Mech. 14, 4 A962), 496—516.
198. F. U r s e 11, On the rigorous foundations of short-wave asymptotics, Proc.
Cambr. Phil. Soc. 62, 2 A966), 227—244.
199. H. V i 1 1 a t, Sur l'ecoulement des fluides pesants, Ann. Sci. Ecole
norm., Sup. C), 32 A915), 177—214.
200. F. W. G. Warren, A stationary-phase approximation to the ship-
wave pattern, J. Fluid Mech. 10, 1 A961), 584—592.
201. G. P. W e i n b 1 u m, M. St. Denis, On the motions of ships at sea,
Trans. Soc. Nav. Archit. Marine Engrs. 58 A950), 184—248.
202. M. Weitz, J.Keller, Reflection of water waves from floating ice
in water of finite depth, Comm. Pure Appl. Math. 3, 3 A950), 305—318.
203. R. L. W i e g e 1, A presentation of cnoidal wave theory for practical ap-
application, J. Fluid Mech. 7, 2 (I960), 273—286.
204. C. W i g 1 e y, Ship wave resistance, Proc. 3rd Internat. Congr. Appl.
Mech., Stockholm, 1 A930), 58—73.
205. J. R. Wilton, On deep water waves, Phil. Mag. F) 27 A914), 385—
394.
206. J. R. Wilton, On ripples, Phil. Mag. F) 29 A915), 688-700.
СПИСОК ТРУДОВ Л. H. СРЕТЕНСКОГО
1. О влиянии присоединенных наблюдений на коэффициент корреляции.—
Труды геофиз. обсерв. в Кучине, Геофиз. бюллетень, 1926, № 14, 50—53.
2. Об изгибании поверхностей.— Матем. сб., 1929, 36, вып. 2, 109—111.
Резюме на франц. яз.
3. Sur une generalisation du complexe tetraedral.—Матем. сб., 1930, 37,
вып. 1—2, 91—95. Резюме на русск. яз.
4. Работы Luigi Bianchi по преобразованию поверхностей.— Труды гео-
геометр, кружка НИИ матем. и механ. МГУ, 1930, вып. 1, 27—36.
5. Дарбу (Darboux) Гастон A842-1917).— БСЭ, т. 20, 1930, 426-427.
6. Кривые.—Техн. энц., т. 11, 1930, 590—597.
7. Об одном обобщении тетраэдрального комплекса (резюме доклада).—
В сб. «I Всесоюзный съезд математиков в Харькове 24—29/VI 1930».
Харьков, 1930, 42.
8. О преобразовании тройных ортогональных систем (резюме доклада).—
Там же, 42—43.
9. Memoire sur les equations de M. V. Volterra.— Матем. сб., 1931, 38,
вып. 1—2, 1—44. Резюме на русск. яз.
10. Об экстраполяции.— В сб. «Научные труды геофизической обсерватории
в Кучине и теоретического отдела Гос. геофиз. института», Бюлл. Гос.
геофиз. ин-та, 1931, № 36, 144.
11. Кривые.— Техн. энц., доп. тираж, т. 11, 1931, 590—597.
12. On the motion of a glider on deep water.— Изв. АН СССР, ОМЕН, 7-я
серия, 1933, 6, 817-835.
13. Потенциальные поверхности с плоскими линиями кривизны.— Изв.
АН СССР, ОМЕН, 7-я серия, 1933, 7, 903—918.
806 СПИСОК ТРУДОВ Л. Н. СРЕТЕНСКОГО
14. О переносе тепла жидкостями.— Ж. геофизики, 1933, 3, вып. 1, 4—31.
15. О волнах на поверхности раздела двух жидкостей с применением к яв-
явлению «мертвой воды».— Ж. геофизики, 1934, 4, вып. 3, 332—370.
16. Об одной задаче минимума в теории корабля.— ДАН СССР, 1935,
3, 6, 247—248; Sur un probleme de minimum dans la theorie du navire.—
C. R. Acad. Sci. URSS, 1935, 3, 6, 247-248.
17. Дифференциальная геометрия.— БСЭ, т. 22, 1935, 608—618 (совместно
с И. Бурстиным).
18. К теории глиссера.— В сб. «Труды I Всесоюзной конференции по гидро-
гидродинамике», Изд-во ЦАГИ, 1935, 81—93.
19. Общая теория приливов в неоднородной жидкости.— Ж. геофизики,
1935, 5, 4, 395-409.
20. О нагревании потока жидкости твердыми стенками.— ПММ, 1935, 2,
вып. 2, 163-179.
21. Теория волновых движений жидкости.— ОНТИ, 1936.
22. О вычислении волнового сопротивления корабля, движущегося по по-
поверхности" воды конечной глубины.— ДАН СССР, 1936, 2, 7, 259—
261.
23. Sur la determination de la resistance ondulatoire d'un navire se deplacant
a la surface de l'eau d'une profondeur finie.— С R. Acad. Sci. URSS,
1936, 2, 7, 265-267.
24. On the wave-making resistance of a ship moving along in a canal.—
Philos. Mag., ser. 7, 1936, 22, Suppl. № 150, 1005—1013.
25. Теоретическое исследование о волновом сопротивлении.— Труды ЦАГИ,
1937, вып. 319, 1—55.
26. О затухании вертикальных колебаний центра тяжести плавающих тел.—
Труды ЦАГИ, 1937, вып. 330, 1—12.
27. Логарифмический потенциал.— Физ. словарь, т. 3, 1937, 352—356.
28. О движении свободной приливной волны внутри полярного бассейна;
отражение волн Kelvin'a.— Изв. АН СССР, серия геогр. и геофиз.,
1937, 3, 383-402.
29. Движение свободной приливной волны во вращающемся канале.—
Уч. зап. МГУ, Механика, 1937, вып. 7. 20—42. Резюме на англ. яз.
30. О волновом сопротивлении корабля при неустановившемся движении.—
В сб.: «Теоретический сборник ЦАГИ», вып. 4, Труды ЦАГИ, 1937,
вып. 301, 16—19. Резюме на англ. яз.
31. О волновом сопротивлении судна, движущегося в канале.— Там же,
20—21.
32. Волновое сопротивление судов при движении в каналах (краткое содер-
содержание).— В сб. «Труды конференции по теории волнового сопротив-
сопротивления», Изд-во ЦАГИ, 1937, 138—139. Резюме на англ. яз.
33. Применение преобразования Legendre'a к теории струй.— В сб. «Тео-
«Теоретический сборник ЦАГИ», вып. 5, Труды ЦАГИ, 1938, вып. 342,
36-40.
34. Замечание к теории качки кораблей, предложенной акад. А. Н. Кры-
Крыловым.— Там же, 41.
35. Движение цилиндра под поверхностью тяжелой жидкости.— Труды
ЦАГИ, 1938, вып. 346, 1-27.
36. Об одной обратной задаче теории потенциала.— Изв. АН СССР, серия
матем., 1938, 2, № 5—6, 551—570. Резюме на англ. яз.
37. О применении интегральных инвариантов к задаче о движении жидкого
эллипсоида.— Уч. зап. МГУ, Механика, 1938, вып. 24, кн. 2, 22—27.
Резюме на англ. яз.
38. Теория фигур равновесия жидкой вращающейся массы.— УМН, 1938,
вып. 5, 187—230.
39. К теории волнового сопротивления.— Труды ЦАГИ, 1939, вып. 458,
1-28,
СПИСОК ТРУДОВ Л. Н. СРЕТЕНСКОГО 80?
40. К теории глиссера.— Изв. АН СССР, ОТН, 1940, 7, 3—26.
41. О гравитационных колебаниях газовой сферы.— ХШМ, 1940, 4,
вып. 5—6, 87—104. Резюме на англ. яз.
42. О волнах на поверхности вязкой жидкости, ч. I,— Бюро нов. техн.
НКАП, Труды ЦАГИ, 1941, вып. 541, 1-34.
43. Ньютонова теория приливов и фигуры Земли.— В кн.: Исаак Ньютон,
1643—1727, Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения, Изд-во
АН СССР, 1943, 211—243.
44. Памяти академика С. А. Чаплыгина.— Изв. АН СССР, ОТН, 1943,
3-4, 3—8.
45. Обтекание плоских контуров газовым потоком.— Изв. АН СССР,
ОТН, 1945, 7—8, 622-637.
46. Распространение полусуточной приливной волны в водном полушарии
Земли.— Изв. АН СССР, серия геогр. и геофиз., 1945, 9, 3, 230—239.
Резюме на франц. яз.
47. Приближенный метод для решения задач об обтекании тел газовым по-
потоком.— В сб. «Рефераты научно-исследовательских работ за 1943—
1944 годы», Отделение физико-математических наук АН СССР,
Изд-во АН СССР, 1945, 81.
48. Влияние параметров корпуса корабля на его волновое сопротивление.—
Там же, 81.
49. О распространении суточной и полусуточной приливных волн в водном
полушарии Земли.— Там же, 104.
50. К доказательству теоремы Гильберта — Шмидта. ДАН СССР, 1946,
52, 3, 195—198. Sur la demonstration du theoreme de Hilbert — Schmidt.
С R. Acad. Sci. URSS, 1946, 52, 3, 195—197.
51. Теория ньютоновского потенциала.— Гостехиздат, 1946.
52. Влияние изменения главных размеров корабля на его волновое сопро-
сопротивление.— ПММ, 1946, 10, вып. 1, 21—32 (совместно с И. В. Гирсом).
Резюме на англ. яз.
53. О волнах, поднимаемых кораблем при движении по круговому пути.—
Изв. АН СССР, ОТН, 1946, 1, 13—22.
54. О силах, действующих на сферу при ее движении по круговому пути
под поверхностью жидкости.— ДАН СССР, 1946, 54, 9, 777—778;
On the forces acting upon a sphere while in motion along a circular path
under the surface of a fluid.— С R. Acad. Sci. URSS, 1946, 54, 9, 773—
774.
55. О диффузии вихревой пары.— Изв. АН СССР, ОТН, 1947, 3, 271—300.
56. Теория приливов долгого периода.— Изв. АН СССР, серия геогр. и гео-
геофиз., 1947, И, 3, 197—270. Резюме на англ. яз.
57. Комментарий к работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Ди-
Дирихле».— В кн.: Ляпунов А. М. «Избранные труды», Изд-во АН СССР,
1948, 457-477.
58. Комментарий к работе «Исследования в теории фигур небесных тел».—
Там же, 484—492.
59. О кольцевых волнах на поверхности вращающейся жидкости.— Изв.
АН СССР, ОТН, 1949, 1, 5-18.
60. О симметричных приливах неоднородной жидкости.— Изв. АН СССР,
серия геогр. и геофиз., 1949, 13, 1, 5—8.
61. О волнах, образованных подводным источником, находящимся под
поверхностью сферы.— Изв. АН СССР, серия геогр. и геофиз., 1949,
13, 6, 473—496.
62. О работах С. А. Чаплыгина по динамике неголономных систем.—
В кн.: Чаплыгин С. А. «Исследования по динамике неголономных систем»,
Гостехиздат, 1949, 100—107.
63. Волны.— В сб. «Механика в СССР за тридцать лет. 1917—1947», Гос-
Гостехиздат, 1950, 279—299.
80В СПИСОК ТРУДОВ Л. Н. СРЕТЕНСКОГО
64. О работах С. А. Чаплыгина по теоретической механике.— В кн.: Чап-
Чаплыгин С. А., Собр. соч., т. 3, Математика и механика. Речи и доклады,
Гостехиздат, 1950, 366—376.
65. О работах С. А. Чаплыгина по гидродинамике.— Там же, 377—413
(совместно с М. И. Гуревичем).
66. Плоская задача о распространении волн в бассейне от подводного источ-
источника.— Изв. АН СССР, ОТН, 1950, 3, 321—332.
67. Преломление и отражение плоских волн в жидкости при переходе с
одной глубины на другую.— Изв. АН СССР, ОТН, 1950, 11, 1601 —
1614.
68. Колебание жидкости в подвижном сосуде.— Изв. АН СССР, ОТН, 1951,
10, 1483-1494.
69. Разложение функции Бесселя, рассматриваемой как функция индекса,
в ряд по главным частям.— Вестн. МГУ, серия физ.-матем. и естеств.
наук, 1951, 8, вып. 5, 19—20.
70. Обзор работ по теории волн за время с 1917 по 1949 г.— Уч. зап. МГУ,
Механика, 1951, вып. 152, кн. 3, 76—98.
71. Распространение волн от звучащего диска.— Уч. зап. МГУ, Механика,
1951, вып. 154, кн. 4, 275—285.
72. Об одном методе определения волн конечной амплитуды.— Изв. АН
СССР, ОТН, 1952, 5, 688-698.
73. Распространение упругих волн, возникающих при движении системы
нормальных напряжений по поверхности полупространства.— Труды
Московск. матем. о-ва, 1952, 1, 167—186.
74. О волнах на поверхности раздела двух потоков жидкости, текущих под
углом друг к другу.— Изв. АН СССР, ОТН, 1952, 12, 1782—1787.
75. Пространственные установившиеся волны конечной амплитуды.— В сб.:
«Тезисы докладов на Всесоюзном совещании по гидроаэродинамике»,
Изд-во АН СССР, 1952, 40.
76. Движение гироскопа Горячева — Чаплыгина.— Изв. АН СССР, ОТН
1953, 1, 109—119.
77. Научное творчество С. А. Чаплыгина. К десятилетию со дня смерти.—
Изв. АН СССР, ОТН, 1953, 1, 106—108.
78. Волны конечной амплитуды, возникающие от периодически распреде-
распределенного давления.— Ивв. АН СССР, ОТН, 1953, 4, 505—511.
79. Пространственная задача об определении установившихся волн конечной
амплитуды.— ДАН СССР, 1953, 89, 1, 25—28.
80. Движение трех точек по вращающимся орбитам.— Вестн. МГУ, серия
физ.-матем. и естеств. наук, 1953, вып. 2, 15—19.
81. Замечания к посмертной работе Н. Н. Лузина об интегрировании урав-
уравнений изгибания поверхностей на главном основании.— УМН, 1953,
8, вып. 2, 75-82.
82. Движение вибратора под поверхностью жидкости (краткое изложение
доклада, прочитанного на заседании Московского математического
общества).- УхМН, 1953, 8, вып. 4, 173-174.
83. Движение вибратора под поверхностью жидкости.— Труды Московск.
матем. о-ва, 1954, 3, 3—14.
84. Распространение звука в изотермической атмосфере.— Изв. АН СССР,
серия геофиз., 1954, 2, 134—142.
85. О единственности определения формы притягивающего тела по значе-
значениям его внешнего потенциала.— ДАН СССР, 1954, 99, 1, 21—22.
86. Пространственная задача об установившихся волнах конечной ампли-
амплитуды.— Вестн. МГУ, серия физ.-матем. и естеств. наук, 1954, 5, вып. 3,
3-12.
87. Потенциала теория.— БСЭ, изд. 2-е, т. 34, 1955, 272—273.
88. Распространение волн конечной амплитуды в круговом канале.—
Труды Морск. гидрофиз. ин-та, 1955, 6, 3—9.
СПИСОК ТРУДОВ Лэ Н. СРЕТЕНСКОГО 809
89. Распространение волн в упругом полупространстве при движении при-
приливной волны по поверхности бассейна круговой формы.— Там же,
10-23.
90. Задачи Коши — Пуассона для поверхности раздела двух текущих
потоков.—Изв. АН СССР, серия геофиз., 1955, 6, 505—513.
91. Образование регулярных последовательностей волн.— В сб. «Тезисы
докладов механико-математического факультета Московск. ун-та»,
изд. МГУ, 1955, 16 (Юбилейная научная сессия, посвященная
200-летию университета, 9—13 мая 1955 г.).
92. Излучение звука вращающимся диполем.— Акуст. ж., 1956, 2, вып. 1,
93—98.
93. Возбуждение упругих колебаний полуплоскости волновыми движениями
жидкости.— В сб. «Бюллетень Совета по сейсмологии АН СССР», 2
(сборник статей по цунами), Изд-во АН СССР, 1956, 12—26.
94. О направленном излучении волн из области, подверженной внешнему
давлению.— ПММ, 1956, 20, вып. 3, 349—361.
95. On two problems relating to the theory of gaseous jets.— IX International
congress of applied mechanics, Brussels, 1956. Book of Abstracts. Section
I, Brussels, 1956, 148. Параллельный текст на франц. яз.
96. Об интегрировании уравнений движения твердого тела — Вестн. МГУ,
серия физ.-матем. и естеств. наук, 1956, б, вып. 4, 150.
97. Вычисление тангенциальных сил волнового сопротивления сферы, дви-
движущейся по круговому пути.— Труды Морск. гидрофиз. ин-та, 1957,
II, 3-17.
98. Замечания к статье Л. Н. Сретенского «О направленном излучении волн
из области, подверженной внешнему давлению», ПММ, 1956, 20,
вып. 3.—ПММ, 1957, 21, вып. 4, 595—596.
99. Доклад на Юбилейной научной сессии отделений физико-математиче-
физико-математических и технических наук АН СССР, посвященной 250-летию со дня
рождения Эйлера. Ленинград, 15—18 апреля 1957. Краткое изложе-
изложение.— Матем. проев., 1957, вып. 2, 239.
100. Изучение движения корабля и работа испытательных бассейнов (кон-
(конференции в Голландии и Испании).— Вестн. АН СССР, 1958, 1, 91 —
93 (совместно с С. С. Войтом).
101. К теории газовых струй.— ДАН СССР, 1958, 119, 6, 1113—1114.
102. Sur deux problemes de la theorie des jets gazeux.— Actes IX Congres
Internat. Mec. Appl., Bruxelles, 1956, Bruxelles, 1958.
103. Динамика твердого тела в работах Эйлера.— В кн. «Леонард Эйлер».
Сб. статей в честь 250-летия со дня рождения, представленных Ака-
Академии наук СССР, Изд-во АН СССР, 1958, 210—230. Резюме
на нем. яз.
104. Неопубликованные рукописи А. М. Ляпунова.— В сб. «Труды третьего
Всесоюзного математического съезда, Москва, июнь — июль 1956 г.»,
т. 3, Обзорные доклады, Изд-во АН СССР, 1958, 490—500.
105. К теории газовых струй.— ПММ, 1959, 23, вып. 2, 305—332.
106. О функциях Чаплыгина.— ПММ, 1959, 23, вып. 3, 574—575.
107. Дифракция волн в задаче Коши — Пуассона.— ДАН СССР, 1959, 129,
1, 59-60.
108. О волновом сопротивлении судна при наличии внутренних волн.— Изв.
АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1959, 1, 56—63.
109. Замечания к посмертной работе Н. Н. Лузина об интегрировании урав-
уравнений изгибания поверхностей на главном основании.— В кн.: Лузин
Н. Н. Собр. соч., т. 3, Работы по различным вопросам математики,
Изд-во АН СССР, 1959, 461—467.
110. Sur la resistance due aux vagues d'un fluide visqueux.— Proceedings
Symposium on the behaviour of ships in a seaway. September 7th—10th
1957, 1959, vol. 2, Wageningen, 729—733,
810 СПИСОК ТРУДОВ Л. Н. СРЕТЕНСКОГО
111. Об одной гидродинамической задаче, связанной с проблемой цунами.—
ДАН СССР, 1960, 131, 2, 273—274.
112. Задача Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды.— ДАН СССР,
1960, 133, 3, 544—545 (совместно с Я. И. Секерж-Зеньковичем).
ИЗ. Задача Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды.— В сб.
«Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике, Москва,
27 января — 3 февраля 1960 г.» Аннотации докладов, Изд-во АН СССР,
1960, 107—108 (совместно с Я. И. Секерж-Зеньковичем).
114. Теория приливов и родственные вопросы.— Там же, 109—110.
115. Задача Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды.— Труды
Морск. гидрофиз. ин-та, 1961, 24 (Теория волн), 5—24.
116. Вычисление высоты волн цунами вдоль берега.— Там же, 25—47 (сов-
(совместно с А. С. Ставровским).
117. Упругие волны, возникающие от нормальных напряжений, приложен-
приложенных к поверхности полупространства.— В сб. «Проблемы механики
сплошной среды. К 70-летию академика Н. И. Мусхелишвили», Изд-во
АН СССР, 1961, 411-427.
118. Дифракция приливной волны островом круглого очертания.— В сб.
«Второй Всесоюзный симпозиум по дифракции волн, Горький, 1962»,
Аннотации докладов, Изд-во АН СССР, 1962, 83.
119. Обзор работ по теории приливов.— В сб. «Труды Всесоюзного съезда
по теорет. и прикл. механ. 27 января — 3 февраля 1960 г.», Обзорные
"доклады, Изд-во АН СССР, 1962, 213—224.
120. О методе^интегрирования" уравнений приливов, предложенном Фейр-
берном.— 'Изв. АН СССР, серия геофиз., 1962, 7, 947—954.
121. О колебаниях вращающейся нити.— Инж. ж., 1962, 2, вып. 2. 352—
355.
122. Sur les oscillations non-stationnaires des corps flottants.— Applied me-
?"~" ^chanics. Proc. of the tenth internat. congress of appl. mechanics. Stresa
" (Italy), 1960. Amsterdam — New York, 1962, 129—130.
123. О волнах, образуемых источником, находящимся над наклонным дном.—
В сб. «Международный симпозиум по приложениям теории функций
в механике сплошной среды, Тбилиси, 1963», Аннотации докладов,
Изд-во АН СССР, 1963, 49.
124. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гироста-
гиростата.— ДАН СССР, 1963, 149, 2, 292—294.
125. Периодические волны, создаваемые источником, находящимся над на-
наклонным дном.—ДАН СССР, 1963, 151, 5, 1050—1052.
126. О приближенном методе Чаплыгина.— Инж. ж.,1963, 3, вып. 1, 135—
136.
127. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела с гироскопом.—
Вести. МГУ, серия 1, Математика, механика, 1963, вып. 3,^60—71.
Резюме на франц. яз.
128. Периодические волны, создаваемые источником, находящимся^над на-
наклонным дном.—ПММ, 1963, 27, вып. 6, 1012—1025.
129. Творчество Анри Пуанкаре (к 50-летию со дня смерти).— Вопросы исто-
истории естествознания и техники, 1963, вып. 15, 30—46.
130. Об одной гидродинамической задаче, связанной с проблемой цунами.—
В сб. «Теория волн и течений», Киев, Изд-во АН УССР, 1963,^3—10
(Труды Морск. гидрофиз. ин-та, т. 27).
131. Метод Пуанкаре в теории дифракции радиоволн.— В сб. «Рефераты до-
докладов III Всесоюзного симпозиума по дифракции волн, Тбилиси, 24—
30 сентября, 1964 г.», «Наука», 1964, 70—71.
132. Периодические волны, создаваемые источником, находящимся над на-
Гклонным дном.— В сб. «Приложения теории функций в механике сплош-
сплошной среды». Труды Междунар. симиоз. в Тбилиси, 1963, т. 2, «Наука»,
1965, 389-396.
(ПШСОК ТРУДОВ JLJL GPRTRriCKoro 811
133. Образование волн конечной амплитуды источником жидкости.— ПММ,
1965, ?9, выи. 4, 667—671.
134. Ивар Фредхольм. Биография и научные исследования,— В сб. «История
и методология естественных наук», выи. 5, Математика, изд. МГУ,
1966, 150-156.
135. Поверхностные прогрессивные волны общего вида.— Вестн. МГУ,
серия 1, Математика, механика, 1966, 1, 90—97. Резюме на франц. яз.
136. Дифракция волн корабельного вида.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1968, 2,
40-49.
137. К теории сфероида Лапласа.— Вестн. МГУ, серия 1, Математика, меха-
механика, 1968, 3, 59—66.
138. Длинные и приливные волны.— В сб. «Итоги науки за 1966 год. Геофи-
Геофизика», 1968, 245—258.
139. Обзор теоретических работ по теории длинных и приливных волн.—
В сб. «Итоги науки за 1967 год. Геофизика», 1968, 179—184.
140. Обзор работ по теории волн и приливов,— В сб. «Итоги науки за
1968 год. Геофизика», 1969, 174—187.
141. Колебания тяжелой жидкости с образованием всплесков.— Вестн. МГУ,
серия 1, Математика, механика, 1969, 2, 110—112.
142. С. А. Чаплыгин (к 100-летию со дня рождения).— Вестн. МГУ, серия 1,
Математика, механика, 1969, 5, 125—126 (совместно с А. А. Померан-
Померанцевым) .
143. К задаче Коши — Пуассона.— Инж. физ. ж., 1971, 21, 3, 524—530.
144. Аналитическая механика (XIX в.).— В сб. «История механики с конца
XVIII века до середины XX века», «Наука», 1972, 7—45.
145. Переход длинных волн с одной глубины на другую во вращающемся
бассейне.— В сб. «Механика сплошной среды и родственные проблемы
анализа. К 80-летию академика Н. И. Мусхелишвили», «Наука», 1972,
473-494.
146. Теория волновых движений жидкости.— «Наука», 1977, изд. 2-е, пере-
переработанное и дополненпое.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
Адамар (Hadamard J.) 538
Али Хасан Нейфе (АИ Hasan Nayfeh) 766
Бернсайд (Burnside W.) 656
Биркхоф (Birkhoff G.) 494
Бойко Л. А. 570
Бриллуэ (Brillouet G.) 209
Булиган (Bouligand G.) 542
Буссинеск (Boossinesq J.) 637
Бхаттачария (Bhattacharyya N. R.) 533
Вейц (Weitz M.) 209
Вигель (Wiegel R. L.) 646
Вилла (Villat H.) 719
Вильтон (Wilton J. R.) 627, 706
Войт С. С. 570
Врис, де (Vries G., de) 643, 646
Гахов Ф. Д. 421
Герстнер (J. Franz von Gierstner) 42, 727
Голубев В. В. 418
Гринхилл (Greenhill A. G.) 50
Гуйон (Gouyon R.) 745
Дюбреиль-Жакотэн (Dubreil-Jacotin M.L.)
727, 732, 737
Дэ (DeS. С.) 614, 647, 722
Келдыш М. В. 113, 121, 274, 572
Келлер (Keller J.) 209
Кельвин (Томсон) [Kelwin (Thomson W.)]
428, 596, 766
Кортевег (Korteweg D. J.) 643, 645, 646
Котик (Kotik J.) 494
КочинН. Е. 86, 95, 106, 157, 170, 450,-455,
467, 494, 500, 501, 547, 732
Кратцер А. 195
Крылов А. Н. 42
Крылов Ю. M. 259, 695
Курлович Е. A. 533
Лаврентьев М. A. 99, 113, 572, 643
Ламб (Lamb H.) 83, 86, 97, 104, 331
Леви (Lewy H.) 208, 217
Леви-Чивита (Levy-Civita T.) 695, 701, 719,
720
Леппингтон (Leppington F. G.) 226
Литтмен У. 647
Лонгет-Хиггенс М. С. 793
Лунде (Lunde J. К.) 494
Лэтон (Laitone E. V.) 646
Макковен (McGowan J.) 643
Макголдрик (McG-oldrick L. F.) 766
Маклахлан (McLachlan N. W.) 372
Mapyo (Maruo H.) 133
Мей (Mei G. G.) 335
Мичелль (Michell J. H.) 481, 494, 628, 635
Моисеев Н. H. 359
Мусхелишвили Н. И. 138, 218
Некрасов А. И. 628, 695, 719, 720
Пенней (Penney W. G.) 684, 686, 687
Пержнянко Э. A. 533
Петров А. Н. 359
Пирсон (Pierson W. J.) 766
Питере (Petters A. S.) 209, 429
Поклингтон (Po3klington H. G.) 209
Понсен (Poncin H.) 719
Прайс (Price A. T.) 686, 687
Ричардсон (Richardson A. R.) 726
Розо (Roseau M.) 399, 410, 414
Рубин (Rubin H.) 223
Румянцев Б. Н. 310, 312
Румянцев В. В. 359
Рэлей (Стрэтт) [Rayleigh (Strutt J. W.)]
260, 612, 637, 647," 651, 655, 656, 703,
766
Рэссель (Russel J. S.) 637
бебекин Б. И. 570
Седов Л. И. 146, 147
Секерж-Зенькович Я. И. 663, 686, 766
Синх С. Р. 723
Сквайр (Squire H. В.) 133, 145
Сохоцкий Ю. В. 99
Спаренберг (Sparenberg J. A.) 224
Сретенский Л. Н. 146, 393, 468, 483, 491,
492, 497, 596, 614, 687, 774
Стокер (Stoker J. J.) 208
Стоке (Stokes G. G.) 37, 607, 614, 703
Струик (Struik D. J.) 695, 722
Уоррен (Warren F. W. G.) 447
Файф (Fife P.) 766
Федосеенко В. С. 576
Франц Ф. 195
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 643
Фриц (Fritz J.) 234
Хайерс Д. Г. 643
Хансон (Hanson E. Т.) 186
Хаскинд М. Д. 152, 494, 501
Хогнер (Hogner Е.) 428, 429, 455
Хольфорд (Holford R. L.) 226
Хэвелок (Havelock Т. Н.) 75, 76, 335, 354,
428, 452, 471, 473, 479, 481, 494, 499,
570, 596
Чаплыгин С. А. 350
Чаплыгин Ю. С. 146
Черкесов Л. В. 576
Шкуркина 3. М. 533
Эмон (Aimond F.) 726
Эри (Airy G. В.) 34
Эрселл (Ursell F.) 226,
233, 429, 447
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара уравнение 542
Амплитуда стоячей волны 22
Барьер вертикальный 241
Бассейн вращающийся 775
— полусферический 542
— прямоугольный 281
— с наклонным дном 399, 407, 410
— с равномерно понижающимся дном 305
Волновое сопротивление см. Сопротивление
волновое
Волны береговые 407, 410
— в бассейне с наклонным дном 399, 407,
410
— в присутствии наклонного барьера 229
— внутренние 32, 33
— Герстнера 39, 731
— де Вриса и Кортевега 645, 646
—, дифракция 562, 569
— задачи Коши — Пуассона 553, 554
— капиллярно-гравитационные 274, 745,
751, 756
— капиллярные 270
— Кельвина 796
— конечной амплитуды, метод Стокса вто-
второй 614
, первый 607
стоячие, основные уравнения 663
— корабельные 449
, определение потенциала скоростей
428
при круговом пути корабля 596
, распадение 576, 585
, теория Хэвелока 570
— Кортевега и де Вриса 645, 646
— на поверхности завихренной жидкости
727
канала переменной глубины 175,
176
с очень пологим дном 226
неоднородной жидкости 732
раздела двух потоков 48, 392
— над вертикальным барьером 254
— над наклонным дном 207, 209
— над очень пологим дном 226
— от концентрированного возвышения по-
поверхности жидкости 288
— от местного подъема поверхности жид-
жидкости 310
— от неравномерного давления 122, 127
— от пульсирующего источника 54, 61,
501
— от сосредоточенного импульса давлений
294
— периодические на поверхности завихрен-
завихренной однородной жидкости 738
от подводного источника 262
— поперечные 452
— при колебаниях погруженного тела 157
Волны при наклонном дне 176, 182, 186
— при наличии вертикального барьера 241
— прогрессивные 33, 391
на поверхности неоднородной жидко-
жидкости 38
над понижающимся дном 200
, отражение от вертикального барьера
248
при простых гармонических колеба-
колебаниях вертикальной стенки 320
— продольные, (расходящиеся) 451
— Стокса береговые 407, 410
предельные 628
— стоячие 22, 194
, амплитуда 22
, волновое число 22
, вычисление коэффициентов рядов
667
конечной амплитуды 663, 680
, узел 22
, частота 22
— уединенные 637
— установившиеся 43, 386, 723
конечной амплитуды, задача прост-
пространственная 687
— — — —f уравнение интегральное
А. И. Некрасова 699
от поверхностного давления 262
периодические 703, 713
Герстнера волны 39, 731
Гильберта краевая задача 224
Глиссирование 132, 142, 151, 152
—, движение жидкости около края глис-
глиссера 147
— на глубокой воде 132
—, приближенные формулы 146, 147
Давление неравномерное 122, 127'
— поверхностное, волны установившиеся
262
— потока на твердое тело 95
Движение глиссера см. Глиссирование
— диполя по круговому пути 526
— жидкости в бассейне неустановившееся
534
— источника под поверхностью 455
неустановившееся 588
по круговому пути 516
— корабля по круговому пути, поднимае-
поднимаемые им волны 596
— круглого цилиндра под поверхностью
жидкости конечной глубины 77
— неустановившееся, волновое сопротив-
сопротивление судна типа Мичелля 592
источника под поверхностью жидко-
жидкости 588
контура плоского под поверхностью
жидкости 344
круглого цилиндра 353
S14
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение потока по неровному дну 717
— сферы под поверхностью жидкости 471
— тела по круговому пути 528
, волновое сопротивление
527
под поверхпос!ью 85, 459, 462
Движения вертикальные сосуда с жидко-
жидкостью 370
— горизонтальные сосуда с жидкостью
359
Де Вриса волны 646
Диполь, движение по круговому пути 526
Дифракция волн 554, 562
, задача Коши — Пуассона 569
Дно наклонное 176, 182, 186
— неровное 717
Задача Коши — Пуассона 534, 542
дифракционная 554, 569
для бассейна бесконечной глубины
285
с равномерно понижающим-
понижающимся дном 305
, исследование волн 553, 554
— краевая Гильберта 224
— о плавающей пластинке 216
— о пульсирующем источнике 61
Импульс давлений сосредоточенный 294
Источник движущийся 455, 588
—, — по круговому пути 516
— пульсирующий (периодического дебита)
54, 61, 501
Кельвина волны 796
Колебания вертикальной стенки простые
гармонические 320
— жидкости в бассейне прямоугольном 281
в подвижном сосуде 359, 367, 370,
373
в полусферической чаше 542
— пластинок на коротких волнах 225, 226
— поверхности жидкости периодические
377
— погруженного тела 157
— поплавка 312, 316
— тела под поверхностью жидкости 507
бесконечной глубины уста-
установившиеся 152
Контур плоский под поверхностью жидко-
жидкости, движение неустановившееся 344
Корабль типа Мичелля 482
— тонкий 482
Кортевега волны 645
Коши — Пуассона задача 534, 542
дифракционная 554, 569
для бассейна бесконечной глуби-
глубины 285
— с равномерно понижающим-
понижающимся дном 305
, исследование волн 553, 554
Крыло подводное 106
Ламба формула 83
Матье уравнение 372
Метод Леви-Чивита 720, 746
— Рузского 724, 725
— Стокса второй 614
первый 607
— тригонометрических рядов 138
Мичелля формула 484, 491, 494
Момент сил давления потока на твердое
тело 95
Период колебания стоячей волны, таблица
24
Пластинка плавающая 216
—, — на коротких волнах 225, 226
Плоскость наклонная, прохождение под
нее волновых движений 427
Поверхность волновая над наклонным дном
421
— раздела двух потоков 48, 392
Подъем поверхности жидкости концентри-
концентрированный, волны от него 288
местный, волны от него 310
Поплавок 312, 316
Поток, движущийся по неровному дну 717
Преобразование прогрессивных волн в
стоячие с помощью гидродинамического
удара 336
Прохождение волновых движений под на-
наклонную плоскость 427
Путь корабля круговой, волны корабель-
корабельные 596
Распадение корабельных волн 576, 585
— полубесконечной последовательности
волн 339
Рассеяние энергии малыми силами 259
Рузского метод 724, 725
Силы, действующие на погруженное тело
92, 462
—, при его колебаниях 160, 166
—, — на тонкое крыло 113
— малые, рассеивающие энергию 259
Скорости распространения прогрессивных
волн 35
Сопротивление волновое двойного слоя ис-
источников 469
корабля для больших чисел Фруда
488
для малых чисел Фруда 485
при возникновении внутренних
волн 492
— типа Мичелля при неустановив-
неустановившемся движении 592
пластинки 105, 106
подводного крыла 121, 122
сферы 532, 533
трехосного эллипсоида, движущего-
движущегося под поверхностью жидкости 474
цилиндра 76, 77, 83—85
эллипсоида 532, 533
Сосуд с жидкостью подвижной 359, 373
, вертикально колеблющийся
370
, горизонтально колеблющийся
359
широкий 367
Стокса волны береговые 407, 410
предельные' 628
— метод 607, 614
второй 614
первый 607
Судно типа Мичелля, сопротивление вол-
волновое при неустановившемся движении
Сфера, волновое сопротивление 532, 533
—, движущаяся под поверхностью жидко-
жидкости 470, 471
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
815
Теория бесконечно малых волн 18
, граничные условия 18, 19
— глиссирования см. Глиссирование
— корабельных волн Хэвелока 570
— подводного крыла 106
Удар гидродинамический 336
Узлы стоячей волны 22
Уравнение Адамара 542
— интегральное теории гласспрования 134,
138, 142
колебаний подводного тела 170
тонкого крыла 111
— Матье 372
— Некрасова интегральное для установив-
установившихся волн конечной амплитуды 699
Формула Ламба 83
— Мичелля 484, 491, 494
— Чаплыгина 74
Формулы Герстнера 39—42
Фруда число 85, 485
Хэвелока теория корабельных волн 570
Цилиндр круглый, неустановившееся
движение 353
, обтекание 71
Чаплыгина формула 74
Частота стоячей волны 22
Число волновое стоячей волны 22
— Фруда 85, 485
Эллипсоид, волновое сопротивление 47 4,
532, 533
Энергия прогрессивных еолн 53
— стоячих колебаний 51
слоисто-неоднородной жил кости
Леонид Николаевич Сретенский
ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ДВИЖЕНИЙ ЖИДКОСТИ
М., 1977 г. 816 стр. с илл.
Редакторы Л. П. Смирнов, П. И. Цой, Н. П. Рябенькая
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Т. С. Плетцева, Я. Б. Румянцева
Сдано в набор 27/XII 1976 г.
Подписано к печати 8/IV 1977 г. Бумага 60x90l/i6.
Физ. печ. л. 51+1 вкл. Условн. печ. л. 51,125. Уч.-изд. л. 49,5.
Тираж 4000 экз. Т-03403. Цена книги 5 р. 21 к.
Заказ № 1557
Издательство «Наука»
Глазная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»,
Москва Г-99, Шубинский пер., 10