Text
                    АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ СС!
1ШСТ11 'Г У Г МАТЕМАТИКИ
В.С.КОРОЛЮК, Ю.В.БОРОВСКИХ
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
СТАТИСТИК
КИЕВ
ПАУКОВА ДУМКА
1981


УДК 519.21 / j ' Асимптотический анализ распределений статистик / Королюк В. С., Боров¬ ских Ю. В,— Киев : Наук, думка, 1984.- 304 с. Монография посвящена проблеме аппроксимации вероятностных распределений* возникающих в математической статистике. Изложены основные вероятностные и аналитические методы, применяемые в асимптотических задачах,— метод тригоно¬ метрических сумм, метод характеристических функций, метод композиций. Отражена связь асимптотической теории (/-статистик и функционалов Мизеса с центральной предельной теоремой в бесконечномерных пространствах и изложены основные идеи и результаты, касающиеся проблемы аппроксимации вероятностных распределений в гильбертовом и банаховом пространствах. Представлена асимптотическая теория со2-статистик, в которой решена проблема оценки скорости сходимости (равномерной, неравномерной, в форме асимптотических разложений). Развита аналитическая тео¬ рия ранговых критериев, в которой рассмотрены задачи, связанные с гауссовой ап¬ проксимацией распределений статистик. Для специалистов в области теории вероятностей и математической статистики, а также для аспирантов и студентов старших курсов университетов. Библиогр.: с. 294—302 (232 назв.). Ответственный редактор М. И. ЯДРЕНКО Рецензенты И. Н КОВАЛЕНКО, В. Л. ГИРКО, А. Ф. ТУРБИН Редакция физико-математической литературы К 1702060000-429 М221(04)-84 133-84 © Издательство «Наукова думка», 1984
Предисловие ОГЛАВЛЕНИЕ 5 ГЛАВА 1 АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ /7-СТАТИСТИК И ФУНКЦИОНАЛОВ МИЗЕСА § /. Предельные распределения в конечномерном пространстве . . . 9 1. Оценки характеристической функции (9). 2. Равномерная теорема (20). 3 Не¬ равномерная теорема (27) 4. Векторное обобщение (37). 5. Интегральные условия на ядро и оценка констант (40) 6. Асимптотические разложения (52). 7. Невы¬ рожденные функционалы Мизеса (56). 8. Разнораспределенные переменные (61). 9. Функционалы от оценки плотности вероятности (62). 10. Линейные функции. L-статистики (66). § 2. Предельные распределения в бесконечномерных пространствах 72 1. Ортогональные разложения и предельные распределения (72). 2. Оценки ха¬ рактеристических функций. Общие неравенства (77). 3. Анализ скорости сходимости (81). 4. Об асимптотических разложениях (93). 5. Асимптотика распределений в гильбертовом пространстве (99). 6. Асимптотика в центральной предельной тео¬ реме в банаховых пространствах (133). ГЛАВА 2 АСИМПТОТИКА со1 2 * * * * * 8-СТАТИСТИК 164 1. й)2-статистики и центральная предельная теорема в гильбертовом пространстве (164). 2. со2-стати стик а как функционал Мизеса (166). 3. (о2-статистики и броунов¬ ское движение (168). § 2. Оценка скорости сходимости для со2-статистик 169 1. Статистика Мизеса — Смирнова (170). 2. Статистика Ватсона (177) 3. Статистика Айне (179). 4. <о2-статистика Рао (181). 5. Статистика Берана (182). 6. ' со2-статистика для выборки случайного объема (186). 7 Статистика Андерсона — Дарлинга (189). 8. Статистика Дурбина — Нотта (191). 9. Статистики Ротмана (192). 10. ((^-статис¬ тики симметрии (194) 11 (о2-статистика на торе (196). 1 2. Многомерная со2-статистика (198). 13. Двухмерная статистика симметрии (205). § 3. Асимптотические разложения для со2-статистик 206 1. Одномерные со2-стати стик и (206). 2. Многомерные <о2-статисгики (213). 3. Много¬ выборочные со2-статистики (221). § 4. Неравномерные оценки скорости сходимости для (^-статистик . . . . 224 1. Степенные оценки (224) 2. Показательные оценки (225) § 5, Обобщенные а2-статистики при альтернативах ........... 228 3
ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАНГОВЫХ СТАТИСТИК § 1. Проблема однородности 232 1. Перманентные формулы (232). 2. Аддитивные задачи аналитической теории чисел и распределения ранговых статистик (234). 3 Статистика Вилкоксона (240). 4. Двух¬ выборочные й)2-статистики (250). § 2. Проблема независимости 255 1. Формула для характеристической функции (255) 2. Асимптотический анализ статистики Кендалла (257). 3. Коэффициент корреляции Спирмена (267). 4. Идея Г'ефдинга. Интегральные критерии (279). § 3. Проблема симметрии 283 1. Линейные статистики (283). 2. Критерий знаков Вилкоксона (285). 3. Средне¬ квадратические статистики (290). Список литературы . 294
ПРЕДИСЛОВИЕ Одна из фундаментальных областей асимптотических исследований в теории ве¬ роятностей связана с проблемой аппроксимации распределений случайных величин. Более двух столетий эта проблема находится в центре внимания математиков. За это время ей посвящено подавляющее число работ, относящихся к теории верс- я’ постен и математической статистике., Интерес к асимптотическим постановкам за¬ дач объясняется тем, что точные аналитические выражения исследуемых объектов либо трудно найти, либо они необозримы с практической точки зрения. Предельные же теоремы дают более простые асимптотические результаты и, что не менее важно, позволяют глубже понять математическую природу изучаемых объектов. В задачах аппроксимации асимптотические оценки дают возможность выяснить характер по¬ грешностей, которые возникают при замене точных распределений предельными, что учитывается при численных расчетах и при применении статистических крите¬ риев. Предлагаемая монография посвящена проблеме аппроксимации вероятностных распределений, возникающих в математической статистике. Разнообразие статисти¬ ческих процедур служит источником новых асимптотических задач в теории вероятно¬ стей. Важным классом случайных величин являются (7-статистики и функционалы Мизеса, ранговые и порядковые статистики, со2-статистики. Интерес к исследованию этого класса случайных величин в последнее время заметно возрос благодаря тому, что были осознаны их глубокие аналитические свойства и обнаружена связь с централь¬ ной предельной теоремой в бесконечномерных пространствах. Цель монографии — исследование аналитических проблем асимптотики вероятностных распределений, порожденных классом (7-статистик и функционалов Мизеса, ранговых и порядковых статистик, о)2-статнс'1 и к. Более конкретные цели связаны с решением следующих воп¬ росов. Пусть на вероятностном пространстве (Q, У , Р) заданы случайные величины Х{, Х2,..., Хп со значениями в измеримом пространстве (£, jj), v\n =■ т] (Хх, Х2, ... .... Хп), где т| — отображение т]: Д71 R, и существует предел lim Р (т]л < х) = Ф (х). П -+ОО Центральным объектом исследования являются (7-статистики. С ними связаны по существу все ключевые идеи проводимого асимптотического анализа и к ним редуци¬ руются другие рассматриваемые случайные величины т)п, имеющие предельное рас¬ пределение Ф (х). Пусть Ф : -> R есть симметрическая функция т переменных, g (х) = Е (Ф (Л\, Х2, ..., Хт) | = х) и of = Eg2 (XY) < оо. Определим (7-стати¬ стику как
Классический вопрос теории вероятностей — какова скорость убывания к нулю относительно п и х величины (теорема типа Берри — Эссеена) I Р (Пн < х) — Ф (х) | ? Другой вопрос (асимптотическое разложение типа Чебышева — Эджворта) заключает¬ ся в выяснении условий и доказательстве существования таких функций Ф/г (х), k = = 1,2, г — 1, для которых при п -> оэ sup х г— 1 р (11/. < X) — Ф W — Ф/ W п i=i О (п 2 где г 1 — любое целое фиксированное число. В монографии исследуются два возможных случая: Oj > 0 и а, = 0. Если > 0, то Ф (х) — стандартная нормальная функция распределения. Если = 0, то невы¬ рожденное предельное распределение (/-статистики сосредоточено, вообще говоря, в бесконечномерном пространстве. При исследовании задач, связанных с оценкой скорости сходимости, для рассмат¬ риваемых классов случайных величин возникают трудности аналитического характе¬ ра Поэтому для решения таких задач применяются различные аналитические и вероят¬ ностные методы, в том числе метод характеристических функций, метод композиций и метод тригонометрических сумм. В главе 1 рассматриваются задачи аппроксимации распределений (7-статистик и функционалов Мизеса. Основополагающие работы в данной области принадлежат Гефдингу [157] и Мизесу 1185]. В § 1 изучаются задачи аппроксимации для невырож-; денных (/-статистик и функционалов Мизеса |8, 9, 11 —13, 23—25, 63—66, 116—120, 166, 167]. При доказательстве оценки скорости сходимости порядка О исполь¬ зованы метод характеристических функций, а также мартингальные свойства (/-ста’ тпетик и принципиальная идея Чжана и Виермана [ 120] о выделении в (/-статисти¬ ке суммы независимых случайных величин, которая дает основной вклад в оценку ха¬ рактеристической функции. Аналитическое изложение ориентировано на обобщенные (7-статистики [219]. В § 2 асимптотические задачи исследуются для вырожденных (/-статистик и функционалов Мизеса [18, 19, 24, 31, 91—94, 140—143, 207|. Отмеча¬ ется связь задач с центральной предельной теоремой в бесконечномерных простран¬ ствах, в связи с чем изложена развитая в последнее время теория, касающаяся про¬ блемы аппроксимации распределений в гильбертовом и банаховом пространствах [18, 19, 24, 26—30]. В главе 2 развивается асимптотическая теория классических оАстатистик [23|. Предельная функция распределения Ф (х) для оАстатистик была выведена Н В. Смир¬ новым в 1936 г. Интерес к асимптотическим задачам аппроксимации для оАстатистик заметно возрос после работ 10. В. Прохорова и В. В. Сазонова 175, 76, 79, 206], где было показано, что они сводятся к центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве Ь2 (0, 1). Другая точка зрения заключается в том, что всякую ^-ста¬ тистику можно представить в виде функционала Мизеса с определенным ядром Ф (х, //). Для основного класса со2-статистик ядра Ф (х, у) выписываются. Например, решение задачи аппроксимации для (о2-статистики Мизеса — Смирнова “Г. = n^(Fn (х) — Aj2 dx и 6
формулируется следующим образом [14, 23]: для всех х > 0 и п > 2 существуют абсолютные постоянные > 0 и ос2 > О такие, что | Р (w; < X) - Ф (Л-) I aie-^x -±- , где Ф (х) — функция распределения Н. В. Смирнова. В главе 3 исследуются асимптотические свойства распределений некоторых классических ранговых статистик. Развивается аналитическая теория ранговых статистик, в которой точные распределения ранговых статистик связываются с числом решений диофантовых уравнений (аддитивные задачи). Таким образом, решение задач .аппроксимации для многих ранговых статистик основано на нетривиальных оценках И. М. Виноградова [35] тригонометрических сумм Вейля. Например, для стати¬ стики din Диксона [163] при нулевой гипотезе Ю. В. Боровских доказано, что 125, 54] / /72 -т- /2 \ 1 mn = /e) = ( j rm.n(k), где гт,п обозначает число решений в целых положительных числах системы Гиль¬ берта — Варинга Х1 + Х2 + * • • + Лт4_1 = п, *1 + *2 + • • • + *,п+1 = к. В этой главе изложена также асимптотическая теория ранговых статистик, кото¬ рые используются для решения проблем независимости, однородности и симметрии [25, 36]. Значительное внимание уделяется статистикам Вилкоксона, Кендалла, Спир¬ мена, Диксона, п-статистикам. Выясняется, что исследование двухвыборочных (0^ п-статистик приводит к аддитивным задачам с растущим числом слагаемых для квадратичных форм [25]. Первая и вторая главы книги написаны Ю. В. Боровских, третья глава написана созместно обоими авторами.
ГЛАВА 1 АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ U СТАТИСТИК И ФУНКЦИОНАЛОВ МИЗЕСА Пусть имеется с независимых последовательностей (Az/Z-, i — = 1, 2, / = 1, 2, с} независимых случайных величин Все ве¬ личины из /-й последовательности принимают значения в измеримом пространстве (Ж/, е/Zy) и имеют на нем одно и то же вероятностное рас¬ пределение Pj. Пусть Ф (л;-/, i = 1, 2, .... П], j = 1, 2, ..._, с) есть из¬ меримая функция, симметричная относительно Ш; 1 аргументов /-го множества, / = 1, 2, ..., с. При Р = (Plt Р2. .... Рс) рассмотрим функционал 0(Р) = £Ф(Х7/, i = 1, 2,. .mh j = 1, 2, .. ., с), определенный на v? = {Р : 10 (Р) | < оо}. 0 (Р) называется оценивае¬ мым параметром или регулярным функционалом от Р по множеству "А Для множества выборок объема п2. . . ., пс). / = 1, 2. .... с. обобщенная (/-статистика определяется как U = с In \~1 = п ' 2Ф(Х ОС = Z/1, . -. , ijm., где суммирование /=1 \т,} 7 осуществляется по всем 1 (ц <О‘,2 < • • • /=1,2, ... .. ., с. (/-статистика является несмещенной оценкой функционала 0(Р). Отображение Ф называется ядром (/-статистики, числовой век год (т}. т2. . ... , пгс)— степенью функционала 0(Р) или ядра Ф, число с — порядком (/-статистики. В качестве другой оценки 0(Р) служит величина 0,7|_ ~ = П ;^Ф(А/а, сс=(л,..., iim. 1С/Сс), где суммирование /—-1 1 7 происходит по всем индексам 1 nh 1 k пг,. j = 1, 2, .. . , с. В этой главе рассмотрим основные асимптотические свойства U- и ©„-статистик, связанные с аппроксимацией их распределений. ^/-статистики порядка единицы и степени тбыли введены в рассмотрение в 1948 г. Ге^дингом 1157], который доказал для них центральную предельную теорему. Оче¬ видно, в этом случае • • , X,- ). 'nt
//-статистики любого порядка с были введены Леманом [177, 178] и Дуоссом [133] при исследовании задач теории ранговых статистик. Функционалы типа 0^ предло¬ жил и систематически изучил Мизес [185, 186]. При с = 1, тх — т, nY = п п п = У • У Ф(х;,..., х,). .,=1 <,„=i Различные свойства U- и Оп-сгатистик, включая их асимптотическую нормальность и многочисленные применения, приведены Фрейзером [ 138], Сугиурой [219], Пури и Сеном [191], Серфлингом [211]. § L ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Для сокращения выкладок всюду в дальнейшем без потерн общно¬ сти можно предполагать, что 0 (А) = 0, пг п2 ... пс, т = = max (/72j, m2, ..., тс). Для каждого вектора (dly d2, ..., dc), 0 d, my, .1 < j с, обозначим ^di...dc (Xjii i = 1» • • • ? dj, 1 j c) = E (Ф (X;1, ...» > X^d . так что Фоо...о = 0(Р), Фш,.../пс(- • •) = Ф( - • •). Пусть ]Н..Л =£Ot.^.(X/7, 1^/<с), Ф£/А Тогда дисперсия о2 = EU2 (7-статистики вычисляется по формуле Геф- дин га пМ' у п((W"' '"АК /=! \nij ^d^ni; /=i Wd, J \rrii — dj] Положим о, = где 6ab равно единице или нулю в соответст¬ вии с тем, а = Ь или а^=Ь. Если max ст2 >> 0, то говорят, что (7-статистика невырождена. Согласно многовыборочному варианту теоремы Гефдинга для не¬ вырожденных (7-статистик при п} -> оо величина W = Р < *) ~ Ф (*), где Ф (х) — функция распределения стандартного нормального закона, равномерно относительно —оо <; х <С оо стремится к нулю. Представ¬ ляет интерес детальное исследование этой сходимости. 1. Оценки характеристической функции Рассмотрим подробно случай, когда с — 1, т1 = т, пх = /г. Тогда
E®2r(*i, X2,. Фг(хь x2)..., xr) = ЕФ (xlr x2,xr, Xr+h... , Xm), r= 1, 2,..., m. •Обозначим для простоты g (x) = Ф1 (x) и введем в рассмотрение слу- чайные величины s 1^1’1 Y^. .„ = i'(X„ X, XJ-'BfX,. X,, XJ- -£g(X); r=l a2 = Eg^XJ; k = n — \Vn], IJ rn] — наибольшее целое число, не превосходящее \^п. Пусть y^E\g(X1)\\ т = 4pz| (/) и ср (/) — характеристические функции случайных величин о-1U и g (^i) соответственно. Теорема 1.1. В области | t | Т при ot > О, Е | Ф р < оо и всех I 'n^m~ 1 выполняется неравенство + o4(|/|)-^ I п t* е 6, (1.1) где константы aL> 0 и полином я4 (| / |) четвертой степени относи¬ тельно | t | в процессе доказательства определяются в явном виде. Доказательство. Очевидно, что е г- 2 flj ф П2 + П3, (1.2) 10
где П, П2 = |£e‘7S (1 — е^.)|; П3 = | Ee“s+ll6< (1 — |. Для П, в области | I1 < Т существует стандартная оценка (см., напри¬ мер, 173]) пх< 1б-^Г-Г“. (1.3) о; у п Рассмотрим П2: Ee‘iS (1 _ gi^) = _ ЦЕ (61(?«S) + JL Е (tfeits0), где случайная величина 0 (здесь и далее с индексом или без него) удов¬ летворяет условию | 0 | 1. Г1о определению £(sie<7s)= ' v \m) I Из соображений независимости £Х- ‘-ЧтЛг - S = 1 J _ [4 . ) tl—111 E \ G1 1 1 fl J п Oj г п Здесь второе равенство написано на том основании, что математическое ожидание не зависит от перестановки чисел 1, 2, in. Поэтому it Х' \ 01 I' « s'Sl В соответствии со стандартной оценкой 173] 1,рД4НГ<ехрП Относительно математического ожидания в правой части (1.4) и <Т1 V п в области | /1 Т <1,2 m exp s=l (1-4) (1-5) имеем X Е X m 11
где EYL2 m = 0; Е [У|,2 nt g (XS)J - 0, s = 1, 2, . .. , m. Применяя неравенство | е'х — 1 — ix | справедливое при всех реальных х, получаем ф- -МлМлЧ ,п (£ § (x5)J Е ГЬ2, (1.6) Стало быть, при | t | Т в силу (1.4) — (1.6) справедлива оценка \s = l (1.7) Из соображен и й неза вн си мости £ (6?e1ZS0) = £ ехр (— I о1 I п ; | V I °1 Cn X Е 6^9 ехр Случайная величина 9 не зависит от последовательности Xk+\, Хп. При оценке первого сомножителя используем (1.5); с ( it " , v J I / / \ \n~k /2 • | £ (6^*0) | £6? ехр (- —‘^=-) . Математическое ожидание Еб? нетрудно вычислить: х‘ ХА г (^т> • • • > %r) EY (%£, х2, . . ., xri A7-]-i, . . . , А 1П), г = 2, 3, ..., /п. (1.8) Отсюда находим, что £62 пгп2^ 12
Следовательно, /2 V im\ 2r Г=У ' Это неравенство и соотношение (1.7) | Eeits (1 - е"6') | < 1 1 е Е позволяют написать 2/тю^ п Y{ + + птЪ] \ п ] 1 1 Рассмотрим П3. Очевидно, что Eel(S+'^ (] _ .^(б-бд) = _ ЦЕ ((6 _ — e,ts+Lt6') + Е ((6 — 6J2 ef/S+£76>0). Поэтому можно написать П3 < 11И Е ((6 - 6,) I + -J- Е (б - 6J2. (1.9) (1.Ю) Нетрудно убедиться в том, что разность 6 — 6j можно представить в виде 6-61=a-,(0'V V Г(Х,„... \т) s=| <...<ts^<is+1 <-• <im • • • » Xis, ^S+1> . • • » — \m) v lm~' ^£> <hn—1m (1.11) Тогда Е ((6 — 6t) ei(S+il^) = а 1 j х У где = * ' Z Е{У(Х.„ .... П5=о-'(0' E E{Y{Xt,..., Xi )e'7S+"6’}; 13
'-./п \_I П0=о Е £!У(Х,- X,- )e"s+M<}; П7 = а 1 f 'j S Е [Y (Xi .., , Xi )e'«+<«,j Из соображений независимости CIY<X ^"s+"e-i - й-‘)b где Y (Xit, ..., X^ Хи.ь ... m—s .. m—s ) ,S *'A*+'>} • • • » —s)) £ Следовательно, .. k ) s g(x,.)+//«, e x xE[Y(Xlt X2, Xfn)e 2 ma\ -E у 3 1.2, 2 (М2) Для П5 имеем следующую формулу: ns=HTH 5 \mj \т—1 t Представим B^ в удобном виде г • /? В<'/ = Е |/1<" '=' + j m-1 £_ v g(*A+/)l J + m—] ,2 gW*+/) где 7(i) ii Zi',’ = y (Xi„ xh+h x^-i) - Zip; = £[У|ХЛ.,|) .... Хл-н,-,]. 14
Стало быть, S ву z,=i I т—I Е g(M I /=1 .. m—1 СГ1V« . (1.14) + n E\e Первое математическое ожидание в правой части (1.14) оцениваем по неравенству Коши — Буняковского, второе и третье — с помощью; (1.5) — (1-8). В результате получим /<- t- 1 — +— + 2a? + 2mo^ У n ! t2m! 1 пт2о] \ r Подстановка в формулу (1.13) (1.15) дает Z22m E fm—\ \2 E zp S g(JG+/) \ /=1 E ^‘2 L-\r) / i <₽— ' т \2 | . J kN lS=i / I \ V k m (1.15); + „ 2 ^3 fl CFj ]^E{Z\l}}2e 6y/~n + (m—\ \2 /2 / m \ Eg(x#+/)j e 4 ~d + /2 /2 + m-H n 2 X [т—1 \2 х Е zs2>(.g g(Xk+,^ + E Z\ е X ■s“i Для оценки Г1й применим следующую п-ЧПСЛ х X uii,i2 *s • • <fs^ ’ 2r (m — r) ! ^2, • • • , формулу: ₽UFdl D<S) i, 15
при этом величина B(^(,....,;s представляется в виде [ -^-У g(X;.)+(76, □«. . _ гЬу" i=l 7"). £>ii,i2 ts — I —2^ У, g(A' -)+i7c, I [ III s 4 ~77^ ...,y 1+ .. in—s ) где Z1'!g zs= r(Xz„ X(„ .... X,s, X,+1. X,+(,„_s)) - Z^i2 C<2 ,-s = £ir|X/l+1, .... ХЛ+(„,_5)]. Следовательно, I V1 p(.s). . I <" E I i^G<t2< • • • I k [ 2g(X;)+«6, 1 , lk\ ' Ц> 1 2> Д‘2) ..s' V 7^. . I 1 | 1 I , < £ О< • - - < is^A’ I Г . т—s [ 4г-Ь'М г. 7(2) 01 Vni=l E\z'- se ! . Из формулы для дисперсии (/-статистики выводим неравенство I 7{-l)- -I 4р| М /с\? \1/о e|i^<^-<^^ h*‘2 !sk-K|V г! (ЕФ2)1-. | z/2 V=i V7 / Объединяя выписанные оценки, получаем I п. I с (v (;y,, Y '■ ^5 + <2 (m _ 1) I 2'”-'-^ ' л’/го? XJ (m — 1) 1 S! 'HI — s g 6 Vn • , ^«zn-P ^+-1) S G^+O 0*2) + Рассмотрим далее П7. Выделим главную часть в писав этот член как = IE{6Д[Вх^,(У(Х,„ Х{„..., X,Х/,+1))]) + + —Е {V СД, .. О1 ] п + £|/'^'/=' Y (X(l, Xt„ .... Xim_}, Х,+1)е j Здесь третье слагаемое справа равно l/n-l, 3a“ ^У .У"”1 16
Следовательно, /г + -4тг= ^+> { I g (Хл+1) 11 Е ((/Д) I ) е~ + 77201 I 11 moi _1 У. х,„, . • • • <щ77_]^ Оценив математические ожидания, находим , п . . 4 I / I Ут ! . [ [т\ I п'!"-т^\ /("1—1)1 (и-г)! ■■■■ *• *4'*»'г’5+ , 4 I т ! /“ , г- .. . ( % ч ( т\ 9 1 + 11'"-» 1 X,)j X 2 2f 2Г 2r + /2 ■ т 9 EY-r{X^ Х2, ... С к /=-1 / помощью (1.11) математическое ожидание Е ((6 — 6J2) приводится следующей формуле: £(б — б1)2 = Еб2 —— х. - \т — st соответствии с (18) (1.16) .3 ¥ 2 (т — П 2Г 2 4-101 17
После обработки двойной суммы в (1.16) обнаруживаем 3 т I \ E(6-W^n~T 2(mg2~1) „„Д, EY2r(Xlt X2 Xr) + з , - ~ 2тт ! 4-/г — (1.17) Объединение всех оценок для П1? i = 1,2, ..., 7, и Е (6 — 6J2 приво¬ дит к (1.1). ▼ _ Теорема 1.2. Если \ t \ ^.Т, то при ЕФ4 < оо и всех У п т + 1 выполняется неравенство d2 dt2 + __2 + Y1 (0 -j7=- е 6 У п (1.18) где константы > 0, Pi > 0 и полином четвертой степени (/) в процессе доказательства выписывается в явном виде. Доказательство. Имеем где j _ d2 ( Eeits ~ dt2 t J ’ — А + А + А, — е ~ / П ’ Руководствуясь стандартной теорией сумм независимых случайных ве¬ личин, можно установить, что (1.19) Рассмотрим подробно J2. Прежде всего простой подсчет показывает, что /V2 = t2r3 (/) + 2itr2 (0 + 2гх (0, 18
= EeilS — Eeil(S+^; r2 (l) = —E (Seiis) + E ((S + 6,) r3 (t) — — E (S2eitS) + E((S + 6l)2e"'s+6-)). Далее представим эти формулы в удобном для анализа виде Г1 (/) = — НЕ (б^5) + -£- £ (6fe,7S) _ JgL £ (6ie‘zS01), r2 (t) = E (8^) + HE (6j (S + 6J eiis) - -4 £ (6f (S + 6J r;) (/) = - E (S2e17S) + E ((S + 6J2 eas) + HE (S + 6J2 e“sG;i). Для этих представлений мы применили элементарную формул}' exp(z/o1)= \ к ’ г 9/ , где случайные величины | 0у | 1. А=0 В результате некоторых подсчетов находим Л = Е (6^0,) + Е (б? (X 4 6J е''Ч) + Е (б£ (S + 6J2 Л3)- (1-20) Из соображений независимости £(6^7S01) = £exp — 1-4= I «1 I n S g(Xs) х s=A’—|—1 J Отсюда _ _д_ |E(6^'7S01)|<E|61|3e (1.21) Для оценки Е | б! линга (см. [144]): |3 применим уточненное неравенство Грамса — ( ерф- е?лн при любом целом г 1 £Ф2г < оо, то при всех m E (U — U)2r /2-'^ • 2г2тАг+2 (m !)2r EY2r. (1.22) С помощью соотношений (1.20) — (1.22) выводится оценка для Л. В работе |8| показано, что обработка величины J.A сводится к оценке математических ожиданий вида Е | 6 — \1. Для этой цели использу¬ ются следующие мартингальные свойства [/-статистик (см. 1210, 158]) Представим (/-статистику как и V Л-1 п /п, (1.23) 2* 19
где и™=f n(-1) Q И” = iT V Y„ (Xlt, Xit, .... xih). VlJ l^h<G<- • -<i^ Определим Vn} = Q^n\ h = 2, 3, .... tn. Величина V^Y имеет мартингальное свойство E(e|Xb X2, ..., Xk) = VY\ h^k<Yn. (1.24) С помощью (1.23) и (1.24) выводятся оценки для J:3 (см. |8]).v 2. Равномерная теорема После установления того факта, что функция распределения слу¬ чайной величины o~]U при пА оо сходится к функции распределе¬ ния стандартного нормального закона Ф (х), были предприняты попыт¬ ки изучить скорость этой сходимости. Так, впервые в работе 163] для случая с = 1 было доказано, что sup I Р (а-'и < х) — Ф (х) I = О (/1| 2<;+i)), X когда ядро Ф для всякого целого I > 2 удовлетворяет условию Е | Ф |z < оо. Для 1 этот результат позднее был получен Грам- сом и Серфлингом [144]. Бикел [110] с помощью метода характеристи- _ i ческих функций нашел оценку О (п\ 2) в предположении, чтоФ ограни¬ чена. Комбинируя методы работ Бикела [1101, Грамса и Серфлинга [144], Чжан и Виерман [1201 установили, что оценка Бикела справед¬ лива и тогда, когда Ф имеет конечный четвертый момент. Они доказа¬ ли, что если Ф имеет лишь конечный третий абсолютный момент, то _ .L _i_ _ J_ справедлива оценка О (п\ 2 (In /?г)3). Оценка же порядка О (П\ 2) в предположении Е | Ф |3 < оо была получена Каллаертом и Янссеном [1161, которые, развивая технику Чжана и Биермана,использовали мартингальное неравенство Дхармадхикари — Фабиана — Йогдео [1271. Очевидно, результат Каллаерта и Янссена вытекает также из теоремы 1.1 и известного неравенства Эссеена [73]. i_ В действительности оценка порядка О (п\ ?) справедлива при более слабых условиях на ядро Ф, чем условие существования абсолютного третьего момента Е | Ф |3 << оо. Перейдем к изложению этого резуль¬ тата. Будем вести доказательство при любом с I и считать, что, как 20
н прежде, max а, > 0. Обозначим с и = V E(U\ Ха). Ветчина 0 называется проекцией U-статистики на (п'~ [\,(ni\ нейных статистик. Поскольку _ J/U I. писать так: пространство ли¬ то U можно за- 7 где gj(x) = Е(Ф(ХП, Л2е, , Х„,С)|Х 5 , с. Пусть .... С С 1=1 Для этих случайных величин ЕУ<» ‘Стс = 0> -cnJ^) = 0. Далее пусть S = a~'Ut 6 = о"1 (U - £), 6, = а-' ПЬ Г где суммирование осуществляется по < Ц k!’ ki = n!~ 1КД1. / = 1, = V i=l (1.25) выполнено всем 1 г/1 < i/2 < 2, .... с, < 9 т,- о Обозначим Гс = max £ | gz (Х/1) |3 и предположим, что условие 2 г? 2 (У, = Egi. max (Гс, £Ф2)<оо. (1.26) Нетрудно видеть, что если Е | Ф |3 < оо, то (1.26) всегда выполняется. Как будет показано ниже, обратное неверно. Другими словами, най¬ дется такое ядро Ф, что, с одной стороны, (1.26) справедливо, а с дру¬ гой — Е | Ф |3 = оо. Положим лД.Д'ДД* = sup I Р (cT'U < X) — Ф (х) |. с X 21
Теорема 1.3. Если выполнено неравенство (1.26), то при п^ 2т справедлива оценка т) —-L ^nltn2, ...,пс Сфп1 , (1.27) где константа Сф > 0 в процессе доказательства выписана в явном виде. Доказательство. Обозначим > X причем А > 0 — любое число, которое в последующем будет выбрано определенным образом. Установим сначала неравенство АпХТпГ*’ <a! + a2 + a3. <1.28> Очевидно, что sup | Р (f х) - Ф (х) | С sup | Р (S + 6 х) - Ф (х) | + Ар Далее имеем + Р {(S + 6, <Х + 6, - 6) П (| 61 - 61 > Отсюда, во-первых, во-вторых, P(S + 6 <х) С Р [5 + 6, <х + -£-) + Р (| 6 - . Это позволяет с учетом того, что Ф (х) = 1 — Ф (—х), написать sup | Р (S -4- 6 х) — Ф (х) | <С Д2 + А3. X Следовательно, (1.28) действительно выполняется. Оценим A,, i = 1, 2, 3. 22
Лемма 1.1. Если пх то "7 2 7 7 FY2 (1.29) t —I Доказательство. Из свойств функции распределения нор¬ мального закона вытекает, что Ax<— V 2пе \ о J Согласно проекционной теореме Гаека [361 о2 — о2 = Е (U — О)2, (1.30) Математическое ожидание справа можно раскрыть как дисперсию вы¬ рожденной (/-статистики где ydu...,dc = EYdl„..tdc(Xjit 1</<с), Yd^,dc(xih 1 </Сс)-= = £" {X (х/1, ... , xidXjdy+i, • • • , Xjm.t 1 с}. При выводе (1.31) применено также (1.25). На первом шаге правую часть (1.31) можно оценить следующим образом: Е(и-иу^ v пп dt-'-d.,-}- '-d^l /=| я=1 На втором шаге можно получить более грубую оценку, если учесть, что ydl,...,dc < EY'2, "Ч EY\ (1.32) Поскольку о — о о2 о а то из (1.32) вытекает (1.29).т 23
Лемма 1.2. При пА 2т справедливо неравенство _2 4 л*<'г> 24(-4Г> о-33* где постоянная ах > О. Доказательство. Первое слагаемое в (1.33) не превосхо- 1 А —~ днт z. ■ п\ '. Это очевидно. Для оценки второго слагаемого приме- I 2л ним неравенство Чебышева. Тогда _i_ -^-£(6-6^. (1.34) Следует рассмотреть математическое ожидание Е (6 — 6J2. Непосред¬ ственным обобщением (1.16) получаем формулу Е (6 - 8,)’ - £8* - £6? - " X х S С У, Опу.-?/)Я, - пГУМк /=1 \\т, - Sjj \s;JJ ,1+м_.. ,+r^2 /==i J 1<Г ,-<S . (1.35) которая выводится при помощи (1.11). В силу (1.31) и (1.32) i=i (1.36) Если аналогично преобразовать последнее слагаемое в правой части (1.35) и затем объединить полученный результат с (1.36), то получим неравенство з где (1-37) £ (6 — 6J2 < avni 2, 24
Лемма 1.3. Пусть т + 1. Тогда в условиях теоремы сущест¬ вует такая постоянная СФ, не зависящая от nlf что выполняется не¬ равенство i_ ДзССф/21 2. Доказательство. Обозначим = Е \ gf (Хр) |3, и3 С (1.38). с з VI т, \2 / /2 ^l7(S+6'' _е 2 dt + — t /7Z3 (1.39) г=> *'/ l i-i и напишем по известному неравенству Эссеена —т При выбранном Т в области | t | Т с 2пЧ | Eeils — е 2 | <С 16 . 1 а3 Тогда т л 1 f | Eeits(\ -ем'} | , 1 /С1<— , 24 А> < - П 1 1 dl + пг (6 +тгж Рассмотрим подробно подынтегральную функцию EeitS (1 — е176’) = — itE (\ei,s) + ^-Е $eitSty. Сначала вычислим (1.41) £ <«>»“> =о-' nQJ'x X s Е[У(, , exp (lYo-'t/)]. I /=>.2 c J Пусть ф/ (/) — характеристическая функция случайной §i (2Qi), / = 1, 2, ..., с, С 1^. icmc exp {it<5-'£/)] = П ф/ /=1 L ( с ч л величины (1.42) / X ХЕ Yltli. Аг=1 25
Стало быть, Полагая в известной формуле т т _. t £ А'=0 1^/1</2<-’ и (1-</,)= S (— 1)' /=1 ■ ~ находим с /77 ; ’(-!)' V п '~T~kc=r S=1 ks X !• ... ons Л1, = Л (/77, с). X (1-43) где функция Ykl,k2,...,kc определена в (1.31). Отсюда • • • 4-шс с £ S п r=2 s=l - С f's ХЕ *еП ngs(XSs) S=1 /s=l Принимая во внимание (1.5) и (1.43), находим неравенство ~ Д [ k; \ I П< V _ _С ( !_ М I В (6iezZS) I j-1 1 1 л (/л, с)е 3 ' • Ут, /=1 \ >J х 17 Из соображений независимости для второго слагаемого в (1.41) чаем (1.44) полу- \" и-/г. X X £ 610 ехр 26
Оценим правую часть этого равенства. В соответствии с (1.5) Очевидно, Ьс = О(п\ 2), когда п1-+оо. Более точный анализ пока¬ зывает, что в рассматриваемых условиях при всех /?1^3 2 / 3—1 Следовательно, в силу (1.32) и (1.45) | Е ($el,sQ) | < £У2 («1 — т + 1 )2 о2 С п /=1 (1.46) Стало быть, интеграл в (1.40) по (1.44) и (1.46) допускает оценку j | Eeits{\ —т dt = О (/ii I (1.47) где константа в правой части (1.47), во-первых, может быть без особого труда записана в явном виде и, во-вторых, от ядра Ф зависит лишь через EY2 и oz, j = 1, 2, с. Подстановка (1.47) в (1.40) приводит к (1.38).v Объединяя доказанные леммы, получаем (1.27). ▼ 3. Неравномерная теорема В силу теоремы 1.2 и известных неравенств Эссеена можно утверж¬ дать, что при ЕФ4 <z оо |Д<"г)«| = 0(1) (1 +x2)-'n_Y В действительности в общем случае с 1 справедлива следующая теорема. Теорема 1.4. Пусть 2/тг и Е | Ф |3 <; оо. Тогда равномерно от¬ носительно всех —оо <д х <z оо выполняется неравенство (1-48) 27
где константа Сф не зависит от nlf х и оценивается в явном виде в процессе доказательства. Доказательство. Если в данной ситуации поступить ана¬ логично тому, как это было сделано при выводе (1.28), го можно по¬ лучить неравенство (1-49) где 4- * I “Г Оценим величины Ди- (%), i = 0, 1, 2, 3. Лемма 1.4. При всех хи 2т , (4j j I)2 /=1 (Е50> Для доказательства первого неравенства достаточно применить (1.37). 28
ст2 О2 » Убедимся в справедливости второго и третьего неравенств: У 2л J 2ло 7Г|х|+(1 + -2-и) 0 /г д12(х)<_^ С .-T^^^ + oixDo J 2л J -^1 Последующие оценки тривиальны.▼ Лемма 1.5. Для всех х и 2т справедливо неравенство __1_ •>¥_ е 2 х °2 . 2ло Д13(А-)С _^ф (1.51) причем константа СФ > 0 не зависит от пА и х. Доказательство. Из общего неравенства (см., например, 173, с. 193]) Ди W —f^-pi + л + ( 1 -t- \у 1)4 1 Т ]' 2л J ’ где у= пип^-х + (1 + -£-|х|)а, Vх-(1 + -V и) °}; 7 —Т Интеграл J} мы оценили в теореме 1.3. Поэтому необходимо рассмот¬ реть J2. Приступая к обработке J2, замечаем, что J2 Ju + J12, где 7 12 т при этом для подынтегральной функции ,/п справедливо неравенство типа (1.19). Стало быть, существенного внимания требует ,/12. Рас¬ смотрим сначала вторую производную. При доказательстве теоремы 1.2 aiy производную мы получили в виде (1.20). Эта формула верна и в 29
общем случае. Поэтому осталось оценить лишь математические ожида¬ ния в правой части (1.20) при любом с^ 1. Будем следовать той же схеме рассуждения, указывая свойственные общему случаю особен¬ ности: с Е(бУ/501)= П X ф/ X Е Если воспользоваться (1.45), то | Е (§\etlSQ^ | Е | |3 exp {— i2bc}. (1.52) Для оценки математического ожидания Е | |3 в правой части (1.52) можно применить неравенство Грамса—Серфлинга (1.22). Однако для этого необходимо существование четвертого момента ядра Ф, т. е. £Ф4 < оо. По условию же доказываемой теоремы предположено лишь, что Е\ Ф |3 < оо. В связи с этим представляет интерес следующий результат (см. работы [8, 9, 82, 119, 1671). «Лемма 1.6. Пусть ak = Е | Ф |* < оо при любом целом 2. Тогда существует постоянная yk (с, т) > 0, зависящая лишь от k, с и т такая, что для всякой обобщенной U-статистики справедливо неравенство E\U -U\k СтДс, m)aji7k. (1.53) Доказательство. Приведем доказательство (1.53) для слу¬ чая, когда для Б^-статистики с = 1, ат>2. Случай люСого порядка с 1 отличается от с = 1 лишь более громоздкими вычислениями. Будем применять метод математической индукции относительно сте¬ пени т и учитывать мартингальные свойства ^-статистик. Обозначим .m. Th = 0, где s = s {im} ’ Тогда очевидно (1.54) Покажем, что (1.53) справедливо при т=2. В этом случае гр2 = 1 1 = 12 Поскольку Е (т]/+| |П1, Лг, •••, Л/) = 0 Д-™ ЕСех / = Г 2» i 1 -1 то последовательность случайных величин (т]/9{, i2 = 1, 2, ..., /ц об¬ разует мартингал. Отсюда следует, что Е (Дь | Д2 Д3 F • • • + Д,_1) — 30
= 0 где As = V i]/2, s = 2, 3, n. Тогда из неравенства для мо- 0=2 ментов мартингала 1127] имеем Е | U - U р < Cj (" j «2 ..max Е | |*. При любом фиксированном /^>2 последовательность случайных ве- личин г=1, 2. —. i— 1> также образует мартингал,, поэтому из того же неравенства [127] находим В K J* 2. Таким образом, при tn = 2 Е | U — V \k < С3 (/г) akn~\ Предположим теперь, что лемма верна для ядра степени 2,3, .. и покажем, что (1.53) справедливо и для ядер степени т. Нетрудно видеть, что •, »■ Л I* (1.56) где ₽i = £ k —1» • • • , Дп)) > k • • • > Л/п) (1-57). Стало быть, достаточно оценить величины и |32. Начнем с рг По мар- тингальному неравенству из [127] имеем PxCQi2 max ^|т)Г ]*. Оценим в (1.57) величину Е | r)J*. Для этого положим % = .... X.J, у‘. •.-£&< <.1*< Нетрудно видеть, что при im = т, т + 1, .... п ЕI '1% I ^=2' ' Фз + Рд)> (1.58). где k О •••» % *; ₽4 = £ S 31
£ 2 ' - V у. ‘ ("' У Рассмотрим Рз и р4. Прежде всего по неравенству Гельдера оценим \ (1.59) 13—' V £ 1,=‘2 Пусть индексы /2, •••> 4п фиксированы. Тогда = Е Y, -■ ‘m 1 'т' l~ i,iz> - ,< 1^1, ..., м ♦ т 1 7 l,i2, .... ( , 1 1, 2, ... ’ 1т' ’ ’ > 1, 2, , /_ 1) = .... imI, j — 1» 2, ..., i2 1, обладает мартингальными Таким образом, последовательность при фиксированных индексах /2, itn •свойствами. Поэтому в силу неравенства, приведенного в [127], мож¬ но написать и—1 /? /г С7 (i2 — 1) 2 ak С8п 2 ak. Из (1.59) и (1.60) получаем (1.60) (1.61) седичина /г ,■ 2’ •••. т /г У, —1 4 Ру CgT? ^k* Переходим к оценке р4. Сначала отметим, что случайная не зависит от Х^. Из определения V I 1 • • * <£///—] I V V Отсюда по неравенству Гельдера Р4 — т + О X {т~т+] X V '1=1 В сумме под знаком математического ожидания дексам суммирования по формулам /г, = ..., т — 2: (1-62) новым ин- / / -[-1 11 j I з.е / 1 > » • • • перейдем к /<• 12’ Р4 = Е = Е Е т k Е
где + Далее при фиксированном Х\- определим g (^7+ч) = Е (№\л kin_2,tm I ^7+л). / = 1. 2, ... , т — 2, т—2 _ W^.k, km_2,im ~ km_2,inl— £ g^kj+ib- Очевидно, при фиксированном X.^ £(W\a km_2,im I Xkj+ll) = 0, j = 1, 2,... , tn — 2. (1.64) Пусть М'"--ГТ ■ wkt.ki к, !«*.<• ••<*, о 'т~1 ~ <.~7"г1г S g(Xl+h). 1т Ч А у=1 При помощи (1.63) — (1.65) получаем неравенство г< с U, (1.65) Е (1.66) В соответствии с индукционным предположением можно написать £|^,|А<С11«ИО1-Ч-1Г'г- (1-67) Математическое ожидание в правой части (1.66) оценим по неравенству для сумм независимых случайных величин ^С’12а/г(,»1 (l 0 Подставляя (1.67) и (1.68) в (1.60), находим Р4 CViak (im — т + 1)*_| X -'1-1 У / 'm-'i- 1 у-1 k —: — “Г У С^П - 1)Т .. (1.57), (1.58), (1.61) и (1.69), имеем величину |3., из (1.56). По неравенству Гельдера р2^п'-' у Е|£(фт|п.п-1. .... П,Х 1т ,п X V _1 <, = l Объединяя Оценим dm — <1 (1.68) (1.70) (1.71 3 4-101 33
Заметим, что Е К К,-’- ••• - 1i,„) = = £{£[1],ш|Х1> Х2 X I )]„„ = = £ ! У Ф (X,- И'ш' т—1 _ Sg(xf/) Г],,,, .... 1К_4, (1.72) й» т где Ф(Хг„ ..., Х,„!_1) = £(Ф(Х1-„ .... Х,т)|Х,,, . |(Х,-.) = £(Ф(Х1|1 ..., X/^IX,-.), /= 1, Поэтому по неравенству Йенсена 1£••• ■ пЛРС < £ S Ф (X,-, .... х1т_,) - у' g (Х{) I <'/и> _ /=1 2, ... /г Л/?г> • S [ф(Л'. <%> L /72—1 - У i(xi;.) i=i ' Для оценки математического ожидания применим индукционное пред¬ положение для ^-статистики степени т — 1. Стало быть, (1.75) Из (1.56), (1.70) и (1.75) следует (1.53). ▼ Вернемся к доказательству леммы 1.5 и неравенства (1.52). Соглас¬ но лемме 1.6 £ I б, I3 < С.пТ (1.76) где константа СА > 0 не зависит от пъ а от ядра Ф зависит лишь через Е | Ф |3 и оу, j = 1, 2, ..., с. Поэтому __3_ |£(6^6,2 ехр(—/26с). (1.77) Второе математическое ожидание в правой части (1.51) запишем в та¬ ком виде: £ [61 (S + б,) = W1 + Wi + E (бУ'Ч), где i=i ' I=/,/+i ^2 = о-1 £ У £ (£/ (*м) 6?ЛЧ). 7=1 1 <=| 34
Относительно IF] находим Г1 =v /=| Е gj (Хц) exp gj (X/i)) X E 6fe2exp{zfo-' yg/.(X/()j 1, 2, с, и \ on/ ]1 "ГТ I tmj Gtlj Поскольку Egj (X,1) = 0, j = E gi(Xji)exp X Ф/ 1Ч то с учетом (1.32) | W, | С2иГ*. Аналогичным образом IF,^"1 y-^L 2 п i /—1 ' "/"Л X X Е ]_\i=] / t j=\ ) J Математическое ожидание можно оценить по неравенствам Гельдера и лемме 1.6. В результате получим |Г2|^С3пГ'. Все сказанное позволяет утверждать, что |E(6i(S + 61)е‘,Ч)|^С4пГ', где С4 > 0 без особого труда выписывается в явном виде. Рассмотрим третье математическое ожидание в правой части (1.20): Е (6, (S + 6J2e"%) = + + 2Е (6iSe‘7%) + Е (die‘‘s03). Заесь последние два слагаемых оцениваются по (1.77) и (1.78). Далее им.чм (1.78) (1.79) где Л = Е V - /=1 ni C hi 35
*/ 9 T3 = E 1=1 Т\ = E(^SWSY Поочередно оценим величины Th i = 1, 2, 3, 4. Из соображений не¬ зависимости Л1С —п dt2 1 1 <р/( ' imi \ /=1 \ ). E8l Следовательно, Далее (1.80) — п dt 1 * Ф/1 [f'VI /=1 \ СП] / J X г 1 — ~E ^V>(XA)j6i Отсюда привычным для нас рассуждением выводим | т21 С6п~' ехр (— ЕЬС). Подобным образом получаем с г f j \ тГ1Лп~1 x о-' Xj Kj L /=i X x (1.81) Математическое ожидание в правой части может быть оценено по не¬ равенствам Гельдера и (1.53): |Т3| <С6пГ‘ ехр(— ЕЬС). Наконец, рассмотрим последнее слагаемое в (1.79): л = -о-'п(*'ТТ'х 7=, \mj\mj Я^Е|уехр^ V УЛ/ Из этого соотношения выводим неравенство 1 «1 с п ф/( ./=1 О«/ /. (1.82) (1.83) 36
Из (1-79) — (1-83) получаем | Е (61SVS03) | < С8111 пТ'е-1^ + С, -М- е V ni нз (1-77), (1.78) и (1.84) — неравенство I <Р lEeiiS (1 — eil6') \1 _i / |/| r |-ат5-(—h 1 +(C-V + C1'1 J 1 i Подставляя эту оценку в выражение для J]2, получаем (1.51). Объе¬ диняя доказательства лемм 1.4 и 1.5, приходим к соотношению (1.48). ▼ 4. Векторное обобщение Предположим, что имеется г обобщенных (7-статистик (7(р), р = 1, 2, г, определяемых как ^(Р) = П М 1 2ф(₽) а = '/ь ■ • • ’ '/"■/₽- 1 / <с)> О-85) /=1 где суммирование осуществляется по всем комбинациям 1 zzi < < J/2 < ... < 4mjp < ni> 1 = b 2, с. Далее подобно ядру Ф(р) некоторые величины будут снабжены верхним индексом р. Если Е {Ф(р)}2<оо, р = 1, 2, г, то (Jij = Е {t/U)(/(/)}. Известно [2191, что S-- S а)==0 0 = с п Lv=i где = min (mv,, /п?/), (см., например, [178, 219]), что если nt = p^V, pt > 0, и от N не за¬ висит, то при N -»■ оо г-мер (]W, /W2), ..., /ЛШ(Г)) (1.86) I, j = 1, 2, ..., г. Кроме того, доказано ный вектор асимптотически имеет г-мер ное нормальное распределение с нулевым средним вектором и матрицей ковариаций S = (bzy), ba ~—-—— _1_ ... л Cl о 4 рх по...о HooEi. Оценим разность между допредельным и предельным распределениями В этой векторной ситуации при условии оо. Сначала подробно остановимся на случае г = 2. Обозначим при любых вещественных /4 и л. F (л,, Х2) = Р (ай'^(1) < Х1( < л2), ■2 37
Ф (Ip — двухмерное нормальное распределение с характеристи¬ ческой функцией <Р (Л, = exp J J- (fl + 2^2\. 4- /5)j , где С SW (1,2) /г,- / а11а22 Теорема 1.5. Если Е | Ф(1) |3<С оо и Е | Ф(2) |3 < оо, то при п± ->• сю выполняется неравенство sup I F(Х1Т Х2) -Ф(Хх, Х2) |<С -Л=-, (1.87) (^1Л2) 1 "1 где константа С > 0 от п± не зависит. Доказательство. Очевидно, что sup | F (Хр Х2) — Ф (^р Х2) | Д21 4- Д22 + Д2з + ^24» Aq, Л.2 (1.88) где Д22 = Р (| 6<’> - 6(,) | > on) + Р (| б!2) - 6(2> | > о22); Д23 = sup | Ф (%х, Х2) — Ф (Хх + аи, Х2 + а22) |; Д,4 = sup |Р (S(1) 4- 6?' < Xlt S(2) + С < х2) - Ф (Хь Х2) |. МЛ, В справедливости (1.88) убеждаемся непосредственной проверкой. По свойствам нормального закона Д23 sup IФ (1Х) — Ф (1Х + ии) I ч- sup IФ (Х2) — Ф (Х2 + о22) |. Х2 Отсюда по приведенным ранее оценкам заключаем, что Д21 = О(пГ“), Д23 = О(пГ“). (1.89) Для анализа Д1в можно применить неравенство Чебышева и (1.37). Стало быть, i_ Д22 = О (hi ). 38
Несколько сложнее обстоит дело с оценкой Д24. Неравенство Садиковой [78] в нашем случае будет иметь вид — eZnt —еС/г, /(/../.р--Л (/„/,)_Idt^ 2 sup| F(Хп оо) - 4f2 Z. где е > 0 — достаточно мало; е4 > 0 — некоторое определенное число; Второе и третье слагаемые в правой части (1.90) можно оценить по теореме 1.3 какО(/?| 2). Следует рассмотреть подынтегральную функ¬ цию в (1.90). Очевидно, I f t2) ~ h (t., t2) | | p (/4, /2) - h (/4, /2) | + | p (/,, /2) - Ж, I, где p(t„ t.J = EeitrSW+it^) _Eeitts^Eeit^\ Интеграл от модуля разности | р (/4, /2) — h (tL, k) | также оценивается i_ как О (п[ ') (см., например, [78]). Таким образом, el% eVnl Д24^ L L —eVrii —е~Гп1 Pit,, /2) -/ (/р /р dtydt;> + О (/?! 1 (1.91) Функции р (/ь /2) и f (/• с 1, /=1 /2) допускают следующие представления: Z2m/2 V7 °22nj /_ АГ / П ч>/ ,=|L \ ОцП/ п[ф/р /=1 L о п,- Ее l{S[ ”г61 Ее ) П ; С Анализируя при помощи этих формул разность (р (А, I.,) — / (/)( /.,)), после некоторых вычислений обнаруживаем, что интеграл b (1.91) име¬ ет оценку О («1 2). Это совместно с (1.88) и (1.89) приводит к (1.87). г 39
Далее рассмотрим случай г 3. Обозначим Р (^1» ^2, • • • > ^г) — Ф (?4, Х2, ..., Хг)—функция распределения r-мерного нормального распределения с нулевым средним вектором и матрицей ковариаций S (оТФ/). Теорема 1.6, Если Е | Ф(1) |р < оо, i= 1, 2, г, р^2, то при п1-^ оо справедливо соотношение sup |F(^,X2, .... М-Ф(*1Д2, ••• . (1.92) а, лд Доказательство. Нетрудно получить неравенство где s(i) = оДО; 6(1) = Gh1 ((7<о - U(\ i = 1, 2, .. . , г; А ■> 0 — любое число. Сумму в правой части (1.93) оценим по неравен¬ ствам Чебышева и (1.53). Тогда £ Р (16(1'’ I > Л) = А~р0 (пТР). i=\ 1_ Второе слагаемое, очевидно, оценивается как О (п\ 2), а третье не пре¬ восходит АО (1). Наконец, по многомерной центральной предельной i_ теореме последнее слагаемое также можно оценить как О (п\ 2). Вы- р _ бирая А = п\ 2(р+1), получаем (1.92).v Неравенство (1.92) является распространением неравенства, при¬ веденного в работе [144, с. 156], на векторный случай обобщенных (7-статистик для любого целого р 2. 5. Интегральные условия на ядро и оценка констант Пусть Х1У Х2, ..., Х3 — независимые случайные величины с общей функцией распределения F (х). Рассмотрим подробно случай с = 1, mY = 2, п± — п. Тогда (/-статистика выглядит как ^=(оГ' S ФМ- (1.94) 40
+ где ядро Ф, как и прежде, удовлетворяет условиям ЕФ(ХН Х2) = О,, дисперсия а? случайной величины g (л^) = j Ф (А\, x)dF(x) положи¬ тельна. Обозначим +Шг(4) а',3 ‘ у л I7' 2 т 8 |/ 2ле j 1 /г \ 3 | 54Е | У12£ (Xj) с (Х2) | г) “Г .3 °1 J а1 Теорема 1.7. При всех п^З справедливо неравенство д<24 С(ф)- Доказательство. Используем неравенство (1.28) и 2 тельно уточним оценки для Дь Д2 и Д3. Поскольку о2 = 4 2 4- — oi, то в данной ситуации при всех п^З й < m’V . 1 8 У2ле (J2 У п (1.96) (1.97) последова- EY\2 + Далее обратимся к математическому ожиданию Е (6 — 6J2 и восполь¬ зуемся (1.34). Во-первых, Е (6 — 6J2 = Е62 — Еб/. Во-вторых, ^12 Г.С2 kik-DEY'l, Eoi = — 2 (п — 1) af ’ * 2п (п — I)2 а[ Все это элементарно. Выбирая затем в (1.34) А = —U (9 lz2n /2л у J .2 получаем .2 (1.98> Для оценки Д3 применим (1.40), (1.41). В связи с этим при всех п^З в области | /1 "£ | |3 выполняются соотношения 12/i 41
Из оценки выражения Е (etiS (1 —е/<51)) и соотношения (1.40) по¬ лучаем неравенство Д <- / 5)6 , 24 \ Е I g I3 , з )Л3 EY\2 54£ | У12§ СО £ СО I 3 у/2л ‘ л J 2л у о'} Уп 1 л/2 of/л. /ла^/п (1.99) Из неравенств (1.97) — (1.99) и (1.28) получаем (1.96). ▼ Каллаерт и Янссен [116] установили, что для всех п 2 при ус- . лови и Е | Ф |3 <z оо д<2ЧсД^-. (l.ioo) of у п В связи с (1.100) отметим, что всегда си | Ф |3. Сравним (1.96) и (1.100). Для этого лучше всего обратиться к примерам. Пусть Xlt Х2, ..., Хп — независимые случайные величины с рав¬ номерным распределениехМ на интервале [0, 11. Выберем ядро вида Ф(хп хг) = (X, 4- х2О -4(2у - !)• Элементарные вычисления показывают, что ЕФ (Х1( Х2) = 0, g (xj = 3 ((1 + хУ - %7) - -у (2~ - О» а? = J (*i) dx, > 0, ЕФ'2 (Хь Х2) < 152, Е | g (XJ |3 15*. о Следовательно, С (Ф) < оо. С другой стороны, Е | Ф (Хи Х2) |3 = оо. Существенность условия (1.26) более очевидна, если в качестве ядра Ф взять функцию, зависящую от п. Такого рода примеры возникают при непараметрической оценке плотности распределения и в теории ран¬ говых статистик (см. [9, 13, 133, 150, 226]). Теорема 1.8. Положим Пусть выполнены условия ^>0, £■ I g-(Хг) [3 < оо, (1.101) £|Ф(Х1; Х2)|3 <оо. (1.102) Тогда при всех п 3 справедливо неравенство sup | Р U < х) — ф W ( < Сп~ Т’ (1.103) 42
Константу С можно оценить как, С С 12! (а + Ь), Доказательство. Напомним, что случайная Y (Хь Х2) обладает свойством E(Y (Xlt Х2) | XJ = E(Y (X1( X2) | X2) = 0. К случайной величине величина (1.104) wn=% V У(Х(.,Х/) 1=1 j=i+l применим мартингальные соотношения в следующем виде. Для i = = 1, 2, k, k = 1, 2, п — 1 определим z< = v урс, х^ По свойству (1.104) Д/г(й)=-- V V У(Х£, xz). 1=1 /=1-г1 EZ к = 0, £(ZJZ/+i, .... Z/;) = 0, (1.105) если i = 1, 2, k — 1 и для всех j = i + 1, i Ч- 2, п Е(У(Х/,Х/)|ХО У(Х(,ХЖ), .... У (Xz> X,,)) = 0. (1.106) При 1 Р 2 по неравенству Чаттержи [122] для моментов мартин¬ гала по свойству (1.105) имеем k E\kn(k) |р<22_р V £|ZJP. Z = 1 Здесь к математическому ожиданию можно еще раз в силу (1.106) при¬ менить неравенство Чаттержи и получить оценку (см. [155, с. 61) Е | A,, (k) |₽ < 2*~2pk (п — \)Е \Y (Х1( Х2) |₽. Для k = 1, 2, .... п — 1 обозначим М*) = "е V У(ХЛ X,.). i=/i~r\ / = <’-7-1 Очевидно, что величину Wn можно записать как при всех k = 1, 2, ..., и — 1. (1.107) 43
Обозначим через <р„ (/) = Е exp (ito~'U) и ср (/) = Е exp (iig (%,)) характеристические функции случайных величин и g(X,) соот¬ ветственно. Пусть Тп = а~' п. По неравенству Эссеена (см. [85, с. 6161) тп 5ир|Р(о-1(/<х)-Ф(х)|^ 4- ( I ^~е " |d/+ Л! . X Д4 1 1 Л У 2л Тп 1 п (1.108) Оценим подынтегральное выражение в правой части (1.108). Оче¬ видно, Ч-|£ехр(— I \ (Ц У п где it °iV п (1.109) а fh (п — \) По неравенству Феллера [85, с. 621] в области | t | Тп /2 2 5а 12/п /2 5 (1.110) С помощью неравенства \eix — 1 — ix | 2 | х |2 3 , справедливого при всех вещественных х, получаем (ср. с [155, с. 7]) + it it fn (n — 1) 41 V П (П — 1) £k(^)exp (—S„ + I \ 41 У п 4- Rn> (1-111) где относительно Rn по неравенству (1.107) имеем 2 ( -—4 U 3 E I Д„ (k) |T < 2I T (Xn X2) \~kn~ 111“ \ Oj ] n (n — 1) j (1.112) при k = 1, 2, ..., n - 1; n = 2, 3 ...; Y (xit r2) = ф (xlt x2). 44
В (1.111) положим k = п — 1. Тогда <Р/I (0 ехР ( О1 j/7i + Q1 уп (п _ 1) где Rn оценивается с помощью (1.112) как | Rn | < 2~Ф ~Е | Т (Хъ Х2) |“ п~ ~\1 |Т (1.114) Из соображений независимости и свойств (1.104) (ср. с [155, с. 71) Ф- “Р (фг s").l - 1', ,Л Е (Т х'> “р (фгs")) - - ФФ г (фг)'Ф Ф" ехр Фг <*■’ + (1.115) По свойству (1.104) Я(Хг)-1 <Е | Y(X1( XJgMgO (1.116) причем для математического ожидания в правой части возможны дЕе оценки (по неравенству Гельдера): 5 3 2 ЕI Y (Ф, Ф) g (AJ g (Х2) К (ЕIЧ' (Хп ф) |3 )5 (Е | g (XJ |3)3 п (ср. с j 155, с. 6]) 5 Я|У(Х„ X2)g(X,)g(XJ| 2g I g (X,) |» З.Е1ЧЧХ!, X2) |~ 03 - 5O3 + 5 5a/ В области | i | Tn имеем (см., например, [155, с. 81) (1.117) Из (1.110), (1.113) — (1.117) в области | 11 Тп при «лучаем оценку |Фо(/)_е- —1^ ’ V П всех и > 3 по- (1.118) 45
где ЛЮ = -^И3е '2 + 23о, 3 E|¥(zYj, Х2)| 3 |/|3 + A A .L _2L + 4-оГ3(Е|^(Х1)|3)3 (£|Т(Х1( Х2) |3 )3 |/|3е (1.119) Оценка (1.118) является некоторым уточнением неравенства, приведен¬ ного в работе [155, с. 8]. Лемма 1.7. В области а~' ^\t\^Tn при всех /? 3 справедлива оценка 1ф«(0— е (0. I п (1.120) (1.121) где 21 к I « 12 X ехр I IT" Доказательство. Для всех k = 1, 2, ... , п — 2; с помощью (1.111) получаем Фп(0 — е~ 2 п = 3, 4, ... ((ф( о^п + Е exp I—~ (ехр ( \ F П ) \ \ Oj у п ( + — Е (An (Е) ехр (—Sn Н а1 У п(п— 1) ( \ ojn (1.122) (1.123) t — 2 ПГ где Rn оценивается по (1.112). Первое выражение в скобках можно оценить по (1.110). Для оцен¬ ки второго имеем £ехр(Дт s#xpL>4.-J '■ <4’Ь " “ (" () 11 £ «<xj) (“р и, 8-(4)) - 46
где Rn (»(тЬ))‘Е (*•w “p (тггХ* (M)+ оценивается no (1.107) как Ш V EI 6„ (/г) Д С 2ТаГ ~E | Y (Xn X2) | V T 1t Д. n (n— 1) ) it 01 Vn (« — 1) it 5 (1.126); Далее из независимости и свойства (1.104) E^J^expf—‘-t— _ . \ \ 01 У/2 S=A’4-1 = s’ S д(чг(Хг,Х/)ехр( U г=Н-1 /=г+1 \ \ S.g(X))) = -у- S g(X)]) = 01 У Л s=A+l )) (g(X.)4-S(X2)) it (ra_fe_l)(n_fe) * 2Е(Т(Х1)Х2)е<’.^ (п — k — 1) (n — k) 2 2 )) )=- (’ШГ*. X E {t (Xn X2) П (exp (--y=- g (Xr)j - 1 j}. Из (1.116), (1.117) и (1.125) — (1.127) в области | / | < Тп п^З н k = l£exp(yrs")h( о, < 2~оГ ~Е | Т (Х1( Х2) |“п~Т + ( g|g(^i)l3 + 3£| т(X,, Х2)р I 5о3 (1.127) 1, 2, ..., n — 2 получаем неравенство 17 c'w--/ i{ 6n(^-lj|c — 111 2 e 3,! + ■ j n~ ~ 1113 e~ 5 _5_ а,3 Оценим второе математическое ожидание в Так как при всех правой части (1.124),-. X(*) = S S (X,X) + S v T(X,xs), 7=1 s=r+l r=l s=A-^-l TO it OJ }7П (Л — 1) 47
= V У е[У(Х„ XJexpf—^-S,, ~L — r=l s=,+l I \ CTj J n o, ) n (n — 1) / + У У £[v(Xf,Xs)exp[—^-S„+—-J -6ДЛ)' ,-=l S=/<+l I \ GiV n J /2(72—1) _ v I V = 2ji ~ V‘2» где Уг и У2 — первая и вторая двойные суммы. Из (1.104) X Е {ехр [ —У g (Xs) + — 6„ (£))) , 1 \ oj7/. s=*+i atpn(n—1) /) (1.116), (1.117) и (1.130) в области | 71 Тп при условии I 2i I I о. 1 П (П — 1) I k (k - !) of3 (Е IТ (Хь Х2) |“)“ (ЕI g (XJ13)~ \t |3 е~ ^_2) — 2 it а из 2 J n(n — 1) n 1)} x (1.130) (1.123) (1.131) Рассмотрим величину У2: х У ехр (2^11. + 17 S=A’4-1 I \ Ох > /2 it , У gCC) + (Jt | /2 r=k+\ + iT о,Уп(п- 1) I] Величину bn (k) при всех s = k + 1, k + 2, ..., п представим C. (A) = ’I,. CQ -r 11s, (1.132) в виде (1.133) где П S— 1 tl.(Xs)= У T(XZ,XS) + У Y(XZ, Xs); Z=s-j-l /=А’4-1 п—1 л = V ’Is — у У(Х„Х,) + r=s-}-l s—1 s—1 /=А’4-1 s—1 п + У У УСС, /=/<+1 /=/?+! X/) + у у у (Х„ хд г=А-г1 /=s-H причем пустые суммы полагаются равными нулю. Кроме того, пусть s,„- S' S(x.>+ i 8(*л г=АД-1 r=s-[-l 48
С помощью (1.133) E^(X1>Xs)exp(^^- + £ S^r) + Oi V n Oj J n r=A’+l “Sh l‘^s Oi Vn e OiVn(n-1) + 7^ Sn (k) O1V n (II — 1) ■^=-(g(X.)+g(X)) T1„(XS) X £[T(X1( Xs)ea<^n eo,Vn(n-D ]}|<- —^(glX^+gfX.l) —Д1 %(* ) ■ ^E\E(W(Xt, Xs)e°^n e0,Vn(n-D s)| = £3, (1.134) где математическое ожидание под знаком модуля берется только по независимым переменным Хг и Xs. По свойству (1.104) if - ltr- (g(Xt)+g(X )) ЦП(Х ) Е (XF(A\, Xs)e S^ax^(n-1) s)_ ^g(X ) = F(T(X1, Xs)(e°^* — l)(eCT>V" s-l)) + —^7=-g(X,) —^=-g(As) + E('F(X1, Xs)(e°.<" _l)eo,V« sx —Л VXs> X (e ’x'/nm-i) _ j)). (1.135) В силу (1.135) —g(Xt) S3<|ECF(Xlt Xs)(ea.^ Г)(е°^ ’_1))И21( (1.136) где —^g(x,) _JL_g(X ) —JL Т) (X ) 24 = E|E(T(X1( Xs)(e°-V" S(ea.^-D n — 1))|. Первое слагаемое в (1.136) можно оценить по (1.116). Для оценки v4 применим неравенства 1 - ехр (-4^ g (Хх)) I С -4- IS (*х) I. \ О1 I п /I о. ) п it 01 Vn (Il — 1) ,UMI<2( Л'Л.>Г Тогда 2, 2 ЛП V Е(\ЩХ!, Х5)||П.,Ш|3 ЫХЖ 01 У п. \ о1 гп(п — I) ) (1.137) 4 4-101 49
По неравенству Гельдера 2 £(|Т(ХЬ Xs) 11 т]„ (Xs) |3 lg(Xx)|)< 5 3 2 5 2 < (£ | Y (Xx, Xs) p )V (£ (| (Xs) p | g (Xx) | )~)^ < <(E|4pX„Xs)|3)5 (B | (Xs) |3 )5 (Elg^JI3)3 а по неравенству Бара — Эссеена (см. [73]) Е I Ч. (*,) Г < 2 (п - й) Е | Y (Хх, Х2) Г. Из (1.137) — (1.139) получаем — — v _± 24<4О1 3£|Т(Х1,Х2)|3 (ElgGYJH3 -Ж-п >о (1.138) (1.139) (1.140) Из (1.116), (1.117), (1.132), (1.134) — (1.136) и (1.140) в области| I |С СС Тп при условии П.123) I — ids; е-X I Oj У 11 (П — 1) I ох И п П X {| (ЕI Ч' (Хх, Х2) Г)Т (£ I g (Хх) I3 )“ + 111~4оГ “ (Е I g (Хх)31 )“|. (1.141) С помощью (1.110), (1.112), (1.124), (1.128), (1.129), (1.131), (1.141) в области | I | ЙС Тп при условии (1.123) /2 7 5 t I <Pn (0 - е~ ~ | 2~Ь -Ш-З + ДД- чр* (/) е~ + пуп У п + (Чг“+4“ + -Нрте"Д (L,42> где Ч'м (/) = 2~b I I |~ + | / |2 е~а~ь^ + + | /12 + 4 a^b 1IД А Поскольку k п и а 1, то в области | I | Тп PVaWKPW, (1-143) где 7 2 J 1_ s 1 _2_ _2_ 2L /з (0 = 2 3 b 1113 -р 4е 3 а 3 b 1113 + 3 -|—— е ) a b | /1-. 50
Таким образом, в силу (1.142) и (1.143) в области | t | Тп при ус¬ ловии (1.123) 7 А _ 2L" I*.»-" ‘ |;,||,? + Для всех п>3и любого t из области (1.120) выберем целое число k = k (/) по формуле й n(\t \а) 12 j + 1, где r2i — целая часть числа г. Очевидно, если t изменяется в области I (1.120) , то число k при всех п 3 удовлетворяет неравенству [у п8 J + 4- 1. Таким образом, при любом t из области (1.120) при выбранном k = k (t) выполняется условие (1.123). Следовательно, для данного k справедлива также оценка (1.144) при всех I из области (1.120) . Учитывая свойство целой части числа, имеем очевидные неравен¬ ства 4-(|/|а)_лг <4 <( iz I <1J45) справедливые для всех i из области (1.120). Из (1.144) и (1.145) в области (1.120) получаем +(гиб) Из (1.156) вытекает оценка (1.121). ▼ Докажем (1.108). Область интегрирования | t | Тп разобьем на Две: | t | а~х и а~х | Тп. При интегрировании по области I а~х применим оценку (1.118), а по области а~[ | t | Тп воспользуемся леммой 1.7. В результате вычислений придем к (1.103). v Отметим, что оценка (1.103) была получена в [155] при условии (1.101) и Е | Ф (Хь Х2) 1Р<оо при < р ^2. Теорему 1.8 можно распространить на условие Хельмерса—Цвета (см. [155, с. 9]) и доказать, например, что оценка (1.103) для функцио- Мизеса второго порядка справедлива при условиях (1.101), (1.Ю2) и £|Ф(ХЬ XJIcoo. гт ^5 Аля люоого ~ <Z р ^2 приведем пример ядра Ф(д, у) —- Фр(х, £/), 4* 51
для которого не выполняются условия теоремы Хельмерса — Цвета, но выполняются условия теоремы 1.8. 5 Для всякого — <р<2 положим 2 Ф₽ (*, У) = (* + У) р — Фй, 2—р р ), р2 -(р_ 1)(2_р) Л1 2 2 In 2, В этом случае g (х) = gD (х) имеет вид Р-2 Р-2 _4_(х * _(i +х) р In (1 4-х) — In х — 2 In 2, 5 Можно проверить, что при всяком — фр если если Л-<р<2; р = 2. ) — Фр, если -|-<р<2; если р = 2. . £^(Х1)>0, Таким образом, условия теоремы Хельмерса — Цвета не выполняются. С другой стороны, можно при помощи неравенства Минковского по¬ казать, что Е1Ф₽(ХьХ2)|“<(¥7 +Фр)“, где _ 10—Зр Щ __ /1 n Зр х ГР (ю — Зр) (Зр — 5) 1 h 5 При любом <С р 2 величина в правой части этого неравенства конечна. Следовательно, для данного ядра Фр (х, у) выполняются ус¬ ловия (1.101), (1.102), т. е. справедлива оценка (1.103). 6. Асимптотические разложения Укажем алгоритм, по которому можно выписать любое число чле- i_ нов асимптотического разложения по степеням п 2 для распределения (/-статистики (см. работы 16, 8, 9, 11, 117, 1181). Сначала рассмотрим случай с = 1, mY = т. Обозначим г( £ е(Х/;) 2/770^ > 52
hm(\ — -v2) Предположим, что выполнено условие Крамера lim sup | <р (/) | < 1. |/1-юо Теорема 1.9. При услозии (1.147) и £Ф4 < оо ведливо соотношение для больших _ 3 sup I Р(О“'С/< .<) — Gm(x) I — 0(n 5 ). X Доказательство. Нетрудно видеть, что sup | P [o~lU <_ x) — Gm (x) | = sup Fn (x) X д<т) (1.147) п спри- G,n (x — j — Gm (x) | + sup | Gm (x) — Gm (x + n 5)| + + P(|6 —6T)|>n b ) + sup | F*'(x) — Gm(x)|. X В этом неравенстве первые три слагаемых при п -> оо можно оценить 3 как О (п 5). Причем относительно первых двух слагаемых это обосно¬ вывается с помощью лемм 1.1 и 1.2, относительно третьего —с по¬ мощью соотношений (1.23), (1.53). Следовательно, Д„ (т) = sup I F*' (х) — Gm (х) | + О (гГ 5 ). V По неравенству Эссеена п = sup X sup IF*' X Исследуем интеграл справа. Прежде всего Ее«(з+6,) _ ф(т) (/) t £^'(6+6.) _ (/) I где Рх п —II и_ Eeits — е 2 (1.149; dt + О (/г-1). dt\ п М —п Ее«(5+б.) _ Eeus wh—I V п 2то^ t dt. 53
При условии Крамера (1.147) из оценок центральной предельной тео¬ ремы известно, что Р± = О (/г-1). Чтобы оценить Р2, запишем EeilS (! _ eMt) = E (tfei/s) 4- -f- £ (6ie,7S0) (1.150) и последовательно рассмотрим математические ожидания. Исходя из (1.4) имеем E (8LeilS) = (1.151) Далее из соображений независимости £(6le^) = o-2 Q 2 X if m (1.152) где E it у у- ■ е °1АЛ‘ •’=* 1 h,i2--,ie при этом .. т Vn k=t S)j2> . , т. Формула (1.152) есть обобщение формулы Гефдинга для дисперсии (/-статистики. Что касается последнего слагаемого в (1.150), то I £ (6>s0) I С М—М Г ЕI б113- (1 ■ 153) I \ 01) л / I 54
Если, наконец, оценить подынтегральную функцию в Р2 с помощью (1.150) — (1.153) при условии (1.147), то после ряда выкладок при больших п получим 3 Р2 = О(/г”“). В результате з_ sup IF,®1 (х) — Gm (х) I = О (п 4), X что совместно с (1.149) доказывает справедливость (1.148). Обозначим Gm} (х) = Ф(х) + hm (п) (1 е 2 , I 2Л Ч>/ (0 = Е exp (itg (XZ1)), j = 1, 2, с, и предположим, что выполнено условие Крамера lim sup | ср.- (/) | < 1, j = 1, 2, ... , с. Теорема 1.10. Пусть п1-> оо и ЕФ4 < оо. Тогда справедлива оценка sup IР (<TlU < X) - G™ (X) I = О (п? Т). (1.154) X Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре¬ мы 1.9. Рассмотрим теперь случай с = 1, пг = 2, /2Х = /г. Обозначим Qi (х) = - е~ ~2~ а (Ф), Q2 (х) = - -pl=- е~ ~ {-х3~3х р (Ф) + — Юх*-;-15* а2 (ф)) ( где а (Ф) = -L {Eg> (А\) 4- ЗЕ [У (Х1( Х2) g (XJ g (Х2)]); Q1 ₽ (ф) = 4- {Eg* (XJ - За? + 12Е [У (Х1( Х2) g2 (XJ g (Х2)] 4- Q1 + 12£ [У (Хь Х2) У (Х1( Х3) g (Х2) g (Х3)]}. 55
Теорема 1.11. Пусть 77Т S Y (Х (2) ' 2 где Ехх (...) обозначает математическое ожидание по переменной Х\, k = 1, 2, ...» п. Предположим, что выполнено условие (1.148) и при некоторых достаточно малых г > 0, > 0, е2 Z> О sup 6„ (О = о f —А—) - (1.155) Тогда при £Ф6 < оо справедлива формула sup|P(<j_l£ <х) — Ф(х) — = of—\. (1.156) Для доказательства (1.156) достаточно применить метод анализа характеристической функции, изложенный в п. 1 (см. также работы [22„ 1181). В работе [109] предложен другой алгоритм для вывода асимп¬ тотического разложения, основанный на явных оценках кумулянтов. 7. Невырожденные функционалы Мизеса Пусть Х\, Х2, Хп — последовательность независимых случай¬ ных величин с общей функцией распределения F (х), а £ Фсс, хд (us?) п 1=1 /=1 причем Ф удовлетворяет условиям £Ф (Х\, Х2) = 0, £Ф2 (Хп Х2) < < оо, £ | Ф (Хх, ЛДрСоо, дисперсия of случайной величины g (XJ = ^Ф (А\, х) dF (х) положительна. Представим 0П как [7-статистику с ядром, зависящим от п. Оче¬ видно, 0„ = и + £ ф (*<> х^- о -158> п ,г i=l Отсюда легко видеть, что 0П является смещенной оценкой, ибо £0„ = Д-£Ф(Х„ X,). Положим при z, j = 1, 2, ..., п (Х(, Х(.) = ~(ф (Х‘> х^ - ЕФ X,)), Ф„ (X,., Х;) = ф (X,., X/) + (X,, xt.) 4- (Х;, АД Тогда формулу (1.158) можно записать как 0„-£0п = £„, (1.159) 56
где U„ есть {/-статистика с ядром Ф„ (х1( л'.>), т. е. и. (1.1GO> Дисперсия о2 (9„) в сиду (1.160) вычисляется по формуле Гефдипга <m)=Q) XW (х*’ Xi)+,г{п ~ 1)аМ ’ (i'i6!) где gn (XJ = Е (Ф„ (Хъ Х2) | Л\) = g (Х1) +. Ч'„ (Хх, Х\). Анализ (1.161) показывает, что в условиях невырожденности lim no2(Qfl) = 4oi. (1.162)- Теорема 1.12. При всех п^З справедливо неравенство (1.163) где 1 1 j_ 3 / 9 \ 3 / EYlz(n) \ 3 ( 54 / £Yl?(n) - 2 Ья Ц J ^1,2 (я) = Ф/i (^i, Х2) gn (Аг) gn (Х2). (1.164) Доказательство. Эта теорема является следствием теоре¬ мы 1.7. Для удобства соотношение (1.95) запишем в виде (1.164) в со¬ ответствии с очевидным неравенством E\Y12g(Xl')g(X2)\^(EY2l2)~. V В случае любого т 1 вместо (1.160) можно применить представ¬ ление функционала 0л как линейной комбинации (7-статистик: по фор¬ муле Беннера — Киршнера [114] при т ч Qn= (i.i65) где 1 и*> = (. I ФА(Хг„ А\, .... X<ft), (1.166) 57
Ф*(xlt х.2, , xj = S . V,! v.J. Vfr! Ф(Л'" ••■, Л7, .... v1+v2+...+v/ =,n. v,>l • • ' vt раз раз (1.167) причем Фт (xn x2, ... , x,„) = m\ Ф (xlt x2, .... xj, Ф1 (*i) = Ф (-^i, xlt ... , xt). Заметим, что [7-статистику можно выразить как линейную комби¬ нацию функционалов Мизеса. Для / = 1, 2, т введем следующие обозначения: u{i} = U{’} - EU„\ ЕиУ = ЕФ, (Х1( Х2, ..., X,), U{i} = £ Е ({/'«| X.), (Х) = Е (Ф, (Хь Х2, ... , X,) | X, = х). 1=1 Из (1.166) и (1.167) следует, что U = (т!)-1 и{т}. Согласно формуле (1.165) 0n-E0,.= -L (1.168) Положим при / = 1, 2, ..., т Следовательно, по (1.168) S,un = 0„ - Е0,„ S„1 = J_ V ф (х;.). п /=1 Непосредственный подсчет показывает, что о2 ((?"”) = E(U{m}y- = ДД (т!)2сф »! (8 J + — v + "2"‘ т / \ - [п\[п\ ... ... ЦЦЕ(Е,',Е(')), (1.169) 58
где причем Ф^(ХЪ Ф/г (%!, Теорема = 1,2, ... выполнено условие X,) I Xt, , Xf), Х/)|Х1( ..., xf). фиксированном j = Х2, , ХЛ) = Е(ФДХ1, Х2, ... , Х2, ... , ХЛ) = Е(Ф/(Х1, Х2, ... , 1.13. Пусть ЕФ = 0. Если при ... , Хг) <оо, г —1 то существует Сф > 0, зависящая от ядра лишь о2 (□■(/)) = E(g^) (А\) — Eg^ (XJ)2 > 0, такая, что i_ sup I Р (о-1 (U{ i}) Sni < х) — Ф (х) I < Сф/1 2. X через Г,- и (1.170) Доказательство. При помощи (1.168) имеем sup |Р (о-1 (t/<7)) Snj < х) — Ф (х) | sup | Р (о-1 ((7(/)) (/(;) < х) — Ф (х) | 4- X X lj‘r> Первое слагаемое в правой части(1.171) оценим по теореме 1.3, второе при / = 1 равно нулю, для / Д> 1 оно не превосходит величины /-i ln\ _ JL (7(Л)|>^-). Pi а — о2" / = 1 \// Отсюда по неравенству Чебышева Pi -(/~'тп S Й Е < С-2"~ Это совместно с (1.171) приводит к (1.170). ▼ Теорема 1.14. Пусть ЕФ = 0, о.’ = Eg2 (XJ> 0, g (Xt) = Е (Ф (Х15 Х2, .... XJIX,). Т,,,= max Е1ФДХР Х2) ..., Х;)|3<оо. 59
Тогда существует постоянная С > 0 такая, что при всех п^ т, т '^ 2 sup I Р (о-1 (0„ - Е0„) С X) - ф (Л-) \^С^-п х о* где (1.172) а2 (0„) = Е (0„ — E0J2. Доказательство. Применяя (1.168), получаем неравенство Согласно (1.169) X + Р ^E(U{hf + 2 uw (1.173) .174) .175) Отсюда следует, что По (1.174) и теореме 1.3 Рассмотрим второе слагаемое в (1.173). Очевидно, оно не превосхо¬ дит величины т—1 / ■ 3 аО1""1’ По неравенству Чебышева (m — I)3 п8/г (0„) (1.176) 60
где Тогда Сначала в (1.176) оценим слагаемое, отвечающее ] = т — 1. Предста¬ вим в этом случае (7-статистику как (т—1) —1 з » при этом Е|г7("'-'’|3^СЛ,п Е\ Е Следовательно, E\U{m~'}\3^Csymn 2. (1.177) Для оценки слагаемых в (1.176), отвечающих / = 1, 2, ..., пг — 2, достаточно применить тривиальную оценку Е | U{i) |3 С9у/П. В силу этого, а также с помощью (1.176) и (1.177) находим qn<Cw^n~^. (1.178) а. Из (1.173), (1.175) и (1.178) вытекает (1.172). т Отметим, что на функционалы Мизеса аналогичным образом рас¬ пространяются неравномерная теорема и асимптотические разложения. 8. Разнораспределенные переменные Пусть в рассматриваемой (/-статистике £ ф(Х,, хд 1 ! <; i случайные величины Х3, Х2, ..., Хп являются, вообще говоря, неоди¬ наково распределенными и ЕФ = 0. Для данного случая введем сле¬ дующие обозначения: g/,(XI) = E(Q(X,, ХУ)|ХД 61
,l — 1 ; = l Ё Е I h{ (Xi) |3 7 = : J П V/2 S Eh2i(Xi)\ и, как и прежде, п2 = EU2. Гефдинг [ 157] показал, что распределение случайной величины о-1 U слабо сходится к стандартному нормальному распределению Ф (х), если выполнены следующие условия: £Ф2(ХЛ Ху)СЛ V 1 £|М*/)13 < оо, i= 1, /2, lim Ltl = 0. П -¥ оо Для оценки скорости сходимости в этой ситуации предположим, что существуют такие постоянные а > 0 и b > 0, что Eh2 (Xz) > a, i = 1, /2, (1.179) £|М*Я^> /=1, п. Теорема 1.15. Если выполняются соотношения (1.179), то при всех 3 существует абсолютная постоянная С > 0 такая, что sup IР (О'*и <х) - Ф WI <C-Vп_,/г. (1.180) х а Для доказательства (1.180) достаточно применить метод, изложен¬ ный в предыдущих параграфах. Неравенство (1.180) справедливо и для функционалов Мизеса. От¬ метим, что из условий (1.179) правую часть (1.180) можно выразить в терминах дроби Ляпунова £п. 9. Функционалы от оценки плотности вероятности Пусть %!, Х2, ..., Хп — независимая выборка из совокупности с функцией распределения £ (х) и плотностью / (х). Для оценки неиз¬ вестной плотности / (х) выберем так называемую ядерную оценку fn (х) Розенблатта, определяемую как (см. [200, 227]) <м8|> где последовательность {ап} реальных чисел удовлетворяет условию ап-+ 0 при /2 оо, ядро W (х) представляет собой симметрическую относительно нуля плотность распределения, Fn (у) — эмпирическая функция распределения. В последующем изложении дополнительные условия на atl, W (х) и / (х) будут всегда указаны в соответствующе.^ 62
месте. Среднее и дисперсия /„ (л-) согласно (1.182) определяются под¬ формулам Efn W = j W (у) f (х — апу) dy, о2 (fn W) = (1.182) = Д- {-4" 5 W* f— а"У'1 dy — [^(yU(x — a„y) dy} |. Отсюда следует, что для состоятельности fn (х) в среднем квадратиче¬ ском достаточно, чтобы / (х) была непрерывна и ограничена, W (х) С (. L2 (— оо, оо), пап оо, когда /г —> оо. Оценка функционалов. Пусть требуется оценить функционал J= J f2(x)dx, (1.183) когда f (х) неизвестна. Изучение этого функционала мотивируется ря¬ дом непараметрических задач статистики. В качестве оценки J Шустер [208] предложил величину сю — оо (1.184). Очевидно, Jn можно представить в виде Л = V w ( + . nar‘ k fl'! 1 (1.185) Отсюда находим е Jn = И W W + ха^ f dxd,J + • 0 ■ 186> Следовательно, Jn является асимптотически несмещенной оценкой J при условии пап-+оо. Согласно (1.185), (1.186) запишем Jn — EJ„ как (/-статистику: j„ — EJn = -Д- V Ф„ (Хй X,) (1.187) \2; с ядром <>-188> Дисперсию Jn согласно (1.187) можно вычислить по формуле Геф- динга °2 = Q {(2) £Ф"+ «(«-!)(«-2) <}> <189>’ 63
где Og — дисперсия случайной величины gn (А\) = Е (Ф„ (Х1г .Х2) \ X,). Нетрудно проверить, что £Ф’ (Хъ Х2) = <na-'f J J W2 (х) f (у + хап) f (у) dxdy - “ (\г')2 {J J W W f (У + / (у) dxdy}2, (1.190) gn (*1) = У 'i7 W / (А, + хап) dx - у у г (х) / (г/ + + ха„) f (у) dxdy, (1.191) ст1, = <П~п^~ J {J W К) + ха,г) dxj? f (у) dy — — (,i ~2' - |УУ W (х) I (у + хап) f (у) dxdy}2. (1.192) Интегралы в (1.190) — (1.192) имеют смысл, если выполнены ус¬ ловия ^U72(x)<oo, у f3(x)dx< оо. (1.193) Для непрерывной плотности / (х) Кт = а2 = J f3 (х) dx — (J р (х) dx)? = J f (x) [/ (x) — J]2 dx. (1.194) Теорема 1.16. Пусть о > 0, IF2, /4 g Л2, n->oo, #n->0, a,iyr/?->oo. (1.195) Тогда существует константа С > 0, не зависящая от выбора {ап}> та¬ кая, что ? If ( '"ЕР" < *) - Ф М | < —7^ ■ (1.196) Доказательство. Применим теорему 1.7. Оценим С (Ф), отвечающую ядру (1.188). Очевидно, ЕУ2[2^2ЕФ;1(Х1, Х2) + 4с^, ЕI y^gn 0G) gn CQ I < < (£^2)Т. Поэтому в силу (1.194) и условий теоремы достаточно указать оценки для математических ожиданий ЕФ2г (Хи Х2) и Е | gn (XJ |3: по (1.190) апЕФ^Хъ Х2)<С, (1.197) по (1.191) и неравенству Гельдера E\gn(X1) |®< С. (1.198) Подставим (1.198) в (1.197) и придем к (1.196) у 64
Отметим следующий важный момент. Если JU/3 (xj dx •< оо, то в условиях теоремы даРЛ х2) ;3 = 0(1). Согласно Каллаерту и Янссену (см. неравенство (1.100)) справедлива лишь оценка (1|99) Поскольку ап -> 0, когда п —>• оо, то, очевидно, оценка (1.196) суще¬ ственно лучше (1.199). Глобальные меры Бикела — Розенблатта (см. [111]). Введем в рас¬ смотрение две среднеквадратические меры качества ядерных оценок тп = пап ( . (/„ (х) — f (х))2 а (х) dx,, (1.200) Qn = па,г { (fn (х) — Е fn (х))2 а (х) dx, где а (х) 0 — весовая функция. Применим теорию (7-статистик. Для этого достаточно установить следующие представления: = Л~ IЁЛ г'! (х> х^w"(х> Xi) а (х) dx= 1 = 1 /=1 —оо = Л- v ’ <х‘-’ (л) где тЛ(Х,-, х;) = ЛЛ- f xz)a(x)dx + ип — оо + Лд ? W" Х^ а dx + Лд W" (Х’ Х^ а dx’ — оо —оо Г. (X. X,) _ W |'=21) - EW , 1=1,2 п. Определим ядро Ф,<г|) как ФЛ (Х1( Х2) = ТЛ (Хп Х2) - £ТЛ (Х1( Х2). Тогда полученное представление дается формулой Qn-EQn=-X- у Ф,Л(Х(, ХД (2) (1.201) 5 4—101 65
Аналогично Представления (1.201), (1.202) дают возможность непосредственно при¬ менить теорему 1.7. В ряде работ рассмотрены различные асимптотические свойства (/-статистик в случае о, > 0. Малевич и Абдалимов [64] выяснили условия, при которых предель¬ ными законами для (7-статистик являются устойчивые законы. Вероятности боль¬ ших уклонений изучали Малевич и Абдалимов [65], Вандемаеле [2221, Вандемаеле и Веравербеке [223], Сластников [82]. Граничные функционалы от (/-статистик рас¬ сматривал Лин [180]. Закон больших чисел изучали Янссен [167] и Спроул [215]. (/-статистики с ядрами, зависящими от л, изучали Боровских [9, 13], Халл [150], Виоллаз [224], Вебер [226]. Вопросы слабой сходимости для обобщенных (/-ста¬ тистик исследовал Сен [191]. 10. Линейные функции, ^-статистики Пусть X], Х2, ..., Хп — независимые случайные величины с одной и той же функцией распределения F (х). Расположим эди величины в порядке возрастания: X(i)^/Y(o) ... Х(п). Тогда X(i} называется /-й порядковой статистикой или /-м членом данного вариационного ряда. (О теории порядковых статистик см. работу Дэйвида [41].) Пусть {cin} — произвольная последовательность постоянных. Ста- п ТИС1ИКИ вида V CinX{i} называются линейными функциями порядковых i-i статистик, А-статистиками или L-оценками. Выбор {ап} до некоторой 66
степени произволен. Однако в теории оценивания наиболее подходя¬ щими оказываются статистики п Tn=t Х<‘) 1=1 п j J (и) du (1.204) с некоторой функцией J (и) на [0, II. Хорошие статистические мотивы применения (1.203) и (1.204) даны Стиглером. [218]. L-статис'тки мож¬ но рассматривать в терминах функционалов, определенных на прост¬ ранстве функций распределения 5С Так, основным функционалом, со¬ ответствующим (1.204), является 1 Т (F) = Jf-1 (t)J(F)dt, о (1.205) где Пусть Fn (х) — эмпирическая функция распределения ] п (1 v Д> О F (х) = — V 6 (х — Ху), 6 (х) = ’ ’ ’ п ' io, х<0. Подставим в (1.205) Fn (х) вместо F (х). Тогда получим т (Fn) = J F-' (/) J (t)dt xJ (Fn (X)) dFH (x) = О — оо и (1.206; оо - Уdx — оо ■ Frtx) j J (ц) du - о П.207) т. е. Т (F„) = Тп. Рассмотрим методом Хельмерса случай гладких весовых функций J (и) на (0, 1). Теорема 1.17. Пусть функция J (и) и распределение F (х) удовлет¬ воряют следующим условиям: 1) J (и) имеет непрерывную производную J'(u) на [0, 1], которая удовлетворяет условию Липшица; 2) Е Х\ <Z оо; 67
4 (1.208) 5)Д j J (F (x)) J (F (y)) {F (min (x, y)) — — F (x) F (y)} dxdy>0. Тогда существует постоянная C (J, F), зависящая лишь от J и F та¬ кая, что при всех — оо < х < оо и выполняется неравенство р I Sn FSn ( о (Sn) < х — Ф (х) С (J, F) п (1 + х2} (1.209) 1 где Ф (х) — стандартная нормальная функция распределения. Доказательство. Пусть для каждого п *> I иъ и2, ..., ип — последовательность независимых равномерно распределенных на ин¬ тервале [0, 1] случайных величин, (Гл (х) — х) — эмпирический процесс, отвечающий этой последовательности. Хорошо известно, что совместное распределение АД, Х2> •••> совпадает с совместным рас¬ пределением У7-1 (и1), У7”1 (wj, F~] (ип). Положим I 1 f(u)= ( J (s) ds — (1 — и) J J (s) ds, (1.210) и 0 где 0<и< 1. По (1.206) и (1.210) Tn = ^(Tn(s))dF-'(s)+ F-’(«,) (1.211) о l’=I 1 с вероятностью единица, где а = § J (s) ds- о Пусть Qn = f (/ (s) + (Г„ (s) - S) Г (s) + ■(Гп (S2\~ sV Г («)) dF~l (s) + 6 ' J + (1.212) /=1 Условия теоремы гарантируют, что Qn определена. Для преобразо¬ вания подынтегральной функции в (1.211) применим формулу Тейло¬ ра с остаточным членом в форме Лагранжа f (Ц (S)) = / (s) (Г„ (s) - s) /'(s) + г (s + 0 (Г„ (S) - S)), (1.213) 68
(1.214) где случайная величина | 0 | 1. Тогда, очевидно, Тп = Qn “Ь Яп.1, где /?п.1 = 4- j (Г,. (S) - S)2 [/" (S + 0 (Г„ (з) - $)) - Г (s)J dF~' (з). (1.215) О Согласно (1.210) f" (s) = —J' (s). Производная J' (s) по условию удов¬ летворяет условию Липшица. Поэтому с вероятностью единица (з), о причем С( > 0 — постоянная (здесь и далее. i 1, не зависит от п и х). Стало быть, О2 (Т. - Qn) < Е (Тп - Qn)2 < $Е (j I Г„ (з) - s I3 dF~' (s)j . По неравенству Гельдера Е (j | Г„ (s) - s |3 dF~' (з)) < Q | Г„ (з) - з |ep d/--1 (s)j . 1 п Здесь Гп (s) = — У 6 (s — Uj) при любом s есть сумма и независимых п fii одинаково распределенных случайных величин, причем £Tn(s) = s, а2 (Гп (s) — s) = s (1 — s). Тогда Е | Га (s) — s |6 < C2n~3s (1 — s), где С2 > 0 — абсолютная постоянная. Таким образом, О2 (Л — QnXQi-ф' |/s(l _ s) dF~'(s)j • (1.216) Вследствие (1.214) и (1.216) видим, что Е-статистика Тп аппроксими¬ руется величиной Qn. Распишем QZ1 с помощью (1.210): Qn = j f (*) dF~' (s) — J J (s) (Г„ (S) — s) dF~' (s) — 0 0 - j j, (s) dF-' (s) + a J (Гя (s) _ s) dF-i (s) + 0 0 + V V F~} (Ui). i=i 69
Здесь с вероятностью единица j (Г„ (s) - s) dF~' (s) = _ -L V F-' (u.) -1- f F-' (s) ds. ' i=l 0 Поэте му 1 n r Q.t — EQn = — — £ J j (S) (6 (S _ u.) _ S) dF~' (s) — 1=1 ft — ~^r S X O'(s) (6 (S — «,) — s) (6 (s — Uj) — s) dF~x (s) -f- Zn (=1 ;=1 0 1 e _i + "2T J —s)dF (s). (1.217) 0 Далее при f, j = 1, 2, ...» n обозначим g (U() = — -i- j J (s) (6 (s — u,) — s) dF~' (s), 0 . 1 h (uit Uj) = - 4- J J' (s) (6 (s - W(.) - s) (6 (s - u,) - s) dF~' (s), 0 Ф„ (uh Uj) = n~l h (ub Uj) + g (и<) -}- g (Uj), Un — (7-статистика Un = 77— S Ф». («/, И/)- Из (1.217) и (1.218) можно написать Qn — un — E (Qn — Qn) = — -^2- S J J' <s) ((6 (s — «»•) — s)2 — t = 1 0 — s(l —s)) dF~' (s) (1.218) и, следовательно, a2 (Qn - Un) = о2 у Г (s) (6 (s - u.) - s)2 dF~' (s) j . Оценим выражение в правой части. Имеем цепочку соотношений о2 (у Г (s) (6 (s — их) — s)2 dF~' (s)j sC Е Q J' (s) (6 (s — uj — )2 1 1 = E J J J’ (s) J’ (t) (6 (s — uj - s)2 (6 (t - uL) — i)2 x 0 0 70
1 1 X dF~' (s) dF~l (!) = $$ J' <s) J' E l(6 (s — — s)2 (6 (z — «1) — и 0 1 1 — /)2| dF(s) dF~x (/) < У J | j' (S) j' (0 | [£ (6 (S — Z/J — s)4 E (6 (t — 0 (J _1_ — «1) — 04l2 dF~l (S) dF~l (/) 2 В результате (1.219) Неравенство (1.219) показывает, что Л-статистика Тп в среднем хо¬ рошо аппроксимируется (/-статистикой вида (1.218). Это дает возмож¬ ность применить далее результаты и методы данной главы. Положим Т — ЕТ 1 п. 1 п о (Тп) 2п2 = Нетрудно убедиться, что при любом А > 0 P(Znl ^x)^P(Zni ^x — A) — P(\Zn] _Z,i2|>A), P (Eni x) P (Zni s-7 x 4- A) -j- P (| Zn\ — Zn\ | A). Отсюда выводим неравенство | P (Z,a C x) - Ф (x) | C S ^n.i W + P (I Z”> - 1 > l — l (1.220) где An.i (x) —■ | P (Zn,4 x -}- A) — Ф (x -}- A) |; Дп.2 (x) = | P (Zn,4 < X — A) — Ф (x — A)|; Д„.з (x) = | Ф (x + A) - Ф (x) I; Дил (x) = | Ф (x — A) — (x) |. 1 1 I X I Пусть в данных выражениях А =—TJ_ 1 . При таком выборе А V п согласно условиям теоремы при всех 1 i 4 и —оо<;х<оо С,(7, л Tn(l + -v3) ’ (1.221) 71
где CL (J, F) не зависит от п и х. В работе [21] показано, что для по¬ следнего слагаемого в (1.220) также справедлива оценка (1.221). v Отметим, что если не выполнено условие 5 теоремы 1.17, то пре¬ дельное распределение сосредоточено, вообще говоря, в бесконечно¬ мерном пространстве. Асимптотические свойства распределений Л-статистик исследовали многие авто¬ ры. Шорак [212] применительно к Л-статистикам рассматривал слабую сходимость, связанную с эмпирическим процессом. Проекционный метод Гаека [150] развивал Стиглер [218]. Методы дифференцируемых по Фреше функционалов применял Сер- флинг [211]. Метод Сэвиджа — Чернова, который они использовали для доказатель¬ ства асимптотической нормальности некоторых двухвыборочных ранговых статистик при фиксированных альтернативах, уточнял Масон [183] в рамках теории /.-статис¬ тик. Равномерная оценка скорости сходимости порядка О впервые была полу- \|/ П! чена Бьерве[113] для трункированных (усеченных) линейных комбинаций порядковых статистик. В этом случае весовая функция J (и) разрывна. Хельмерс [152, 154] предложил оценку порядка О для некоторого класса гладких функций J (и) на (0,1). Вопрос об асимптотическом разложении исследовали Хельмерс [153] и Цвет [232]. Теоремы о больших уклонениях для L-статистик доказаны в работах Гроен- боо.ма и Шорака [148], Вандемаеле и Веравербеке [223]. § 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1. Ортогональные разложения и предельные распределения Пусть Xj, Х2, ..., Хп — независимые случайные величины, при¬ нимающие значения в измеримом пространстве (.X, c/Z) и имеющие на нем одно и то же распределение Р. Рассмотрим U- и 0/7-статистики ■ U = (" У W 1^-. т п п Ф(Х.., . п • • > XX (2.1) 0,. = n"y S д ••• i’i — 1 i2—1 Д Ф(Хг„ ... би-1 ’ XX (2.2) где Ф: (хп х2, ..., хп) Ф (хь х2, ..., хп) — симметрическая функция. Пусть L2(X, Р)— гильбертово пространство интегрируемых с квад¬ ратом функций, а Х'п = X х X х • • • X ЗЕ , Рт = Р х Р х • • • х Р. В пространстве £2(ЭЕ, Р) выберем сртонормированный базис <р0, дд, <р2, • • • такой, что ср0 = 1. Затем определим <Р» im Оф *2, .... Хт) = Ц)£, (Хх) ср,-, (х2) • • • <р,;п (Х,„). (2.3) Система функций ~ f =0 образует в пространстве L2(X"\ Рт) ортонормированный базис. Относительно (2.3) можно определить коэффициенты Фурье /(ц, ..., im) функции Ф по формуле / (Д ■ • •, б) = £ = (2.4) = Е (Ф (Хх, .... Хт) ср,- (Хх) ... <p,m (XJ). 72
Тогда для Ф имеем ряд Ф = S/(z'i, . . . , (т)ф,- ,ш, (2.5.! который сходится в L2, а по формуле Парсеваля ЕФ2 = S |/(4, ...,U|2. (2.6)) Для k = 0, 1, 2, ..., т введем условные математические ожидания Ф* (Хх, Х2, . . ., XJ = Е (Ф (XL, Х2, . . ., X J | Хх, Х2, . . ., Х/е). (2.7) Заметим, что Фш = Ф, Фо = ЕФ и положим /z? (4, 4> , • • • » hi) f (4, ht • • • > О, • • • , 0). Пусть Tj, т2, ...» ту, ... — независимые стандартные гауссовы слу¬ чайные величины в R и 9/г (Ф) = 0П. При п -> оо справедливо соотно¬ шение k—т @ п'7' 0„ (фч im) => Wi, ■ ■ ■ Т\„, (2-8> где -Д> обозначает сходимость по распределению; k — число ненуле¬ вых индексов среди т0 = 1. Для доказательства (2.8) заметим сна¬ чала, что т п 0»((pg %) = п~~. I ф<. 00.) • • • ф,-,п= 71 /щ = 1 т п п = S Ф. (XJ... s Ф^(Х/Д = 0„(фО...0,1(ф1-я1). (2.9) /1=1 /т=1 т т 111 Так как Ecpz = 0, Еср? = 1, Е (<р£, cpy) = 0, / =£ / =£ Он 0;1 (ср0) = \Хп, то по центральной предельной теореме & (Tz) (2.Ю) если i 0. Из (2.9) и (2.10) следует (2.8). Из (2.5), (2.8) и (2.10) вытекает следующая теорема. Теэрэма 2.1. Пусть Ф—симметрическая функция т переменных, а (Фо — ортонормированный базис такой, что <Po=h (2.11) 2 1/(4, 4, 4i)l<°°- Тогда при выполнении условия вырожденности ЕФк-1 = о, еф1 о справедливо соотношение (k—m П '2 (2.12) (2.13) = Р (1] < х), 73
■где (2.15) (2.16) (2.17) 11 = 2 и ) (<1’ '2 Т‘,Т1г ’ ’ ’Т'*’ <2- 14> причем сумма в (2.14) сходится в среднем квадратическом. По терминологии Гефдинга ядро Ф, удовлетворяющее условию (2.12) при наименьшем k, называется стационарным порядка k— 1. Выделим в теореме 2.1 случай т = 2. Теорема 2.2. Предположим, что Ф есть симметрическая функция двух переменных такая, что 0 < £Ф2 < оо, (Ех2Ф (Хп Х2))2 = О и ЕФ (Х1} А\) = г$е {М — собственные числа S-onepamopa 5: g-^Ex2^(xlt X2)g(X2)), ■действующего из L2 в L\ Тогда lim Р (0„ < х) = Р (т] < х), П->00 где л = S М? i и предполагается, что У, | Xt- | < оо. Если в этом случае воспользоваться разложением (2.5), то 0п-ста- тистику можно представить как = (2.18) i U Л /=1 J где ряд сходится в Л2. Относительно (7-статистики (2.1) данный метод, связанный с при¬ менением разложения Фурье (2.5), дает возможность утверждать сле¬ дующее. Теорема 2.3. Пусть k — наименьшее целое число такое, что ЕФ^ #= 0. Предположим, что <р0 (xj, <Pi (*;)» • •• есть любой ортонорми- рованный базис в гильбертовом пространстве L2, Фо = 1, и д-2 X нг(х) = (—1/ ах обозначает полином Эрмита. Тогда справедливо соотношение _k_ lim Р(п 2 U <х) = Р(ф<х), (2.19) П~>оо где n= S ..., • •• G, .... tpi \ * / оо • • • <PzA CQ) П Я?(0 (О, (2.20) z=i 74
при этом у (Г) есть число появлений индекса i в последовательности i19 i2, ..., ik. В частности, если в (2.19) k = 1, то при п -> оо — Q) п2 U ^N(0, т2ЕФ\). (2.21) Если в (2.19) k = 2, то lim Р (nU <Zx) = Р (q<x), (2.22) М—►оо где n = (2.23) при этом {XJ — собственные числа S-onepamopa S : g£ (Ф (Xt, Х2, ..., Xjg(X2)|Xl = x), (2.24) действующего из L2 в L2. В суммах (2.14) и (2.20) бесконечное число слагаемых. Поэтому пре¬ дельные распределения сосредоточены, вообще говоря, в бесконечно¬ мерном пространстве. Пусть ср (/) = Eeitl} — характеристическая функция случайной величины т). В случае (2.17) <р (/) = П (1 — (2.25) /■ Известно, что если k 3, то сумму в (2.14), вообще говоря, нельзя привести к диагональному виду (2.17), поэтому ф (/) в общем случае имеет более сложный вид, чем (2.25). Далее при помощи (2.7) для с = = 1, 2, ..., т определим функции §1 (*1) = Ф| U1). g-г Ut, х2) = Ф2 (X-,, х2) — g1 (Xj) — gj (Л'2), 3 gaUt, Х2, хя) = Ф3(х1г х2, Л-3)— £ gi(X/) — £ g2(Xi, X,), i=l m gm C^l» • • • > (^1> * . • т Хпг) gi (Xt) i=l Очевидно, что E (gc (x1( ..., xc_i, Xc)) = 0, c = 1, 2, ..., m. Для c = = 1, 2, ..., tn Ctl 1«G<- • ■ <ic^n (2.26) 75
При условии Е | Ф | с оо по теореме Гефдинга справедливо представ¬ ление (ср. с (1.23)) Более того, для каждого с = 1, 2, ..., tn E(Scn\X^ XJ = Scfi, c^k<^n. (2.27) (2.28) Стало быть, последовательность {Scn}, n^zc, образует мартингал (ср. с (1.24)). По теореме Гефдинга О = ао^01 С 02^ ••• a2z?_i ой = £Ф2, (2.29} где о? = ЕФ2(Хь . XJ, с = О, 1, т. Формулу Гефдинга для дисперсии (7-статистики можно записать как о2 ((7) Пусть целое число k удовлетворяет условию о0 = ... =о/г_! =0<оЛ<оо. (2.30} В этом случае при ЕФ2 < оо Очевидно, если в (2.30) k = 1, то ядро Ф невырождено. Если же в (2.30) k 2, то говорят, что вырожденность ядра Ф имеет порядок k. При k = т ядро Ф обладает свойством полной вырожденности. Для k = 1, 2, т определим «проекцию» (/-статистики как U{n} = S E(U\Xh, ... , X,.). Из (2.27), (2.28) и (2.31) следует, что (2.31) (2.32) Очевидно, в (2.32) £ gt (Ху), U™ = U и, n~U = tJu(nk) + Rnk, кроме того, (2.33) где k т Rnk = п2 М с=Л4-1 76
р Пусть выполнено условие (2.30) и в (2.33) Rnk=>0 (сходится к пулю по вероятности, если /?->оо). Тогда при п-^оо кп>к = sup | Р (п 2 U < х) — Р (г| < х) | -> 0, (2.34) х где vj . . . vs! ' vs^1’ • ••’ О n^vz(Tfz), • /=1 (2.35) V, раз vs Раз fvt, ...,- Vg 0*1, • • • » ^s) f 01» * • • » ^1» • • • » Ц, • ’ • » ^s)’ Заметим, что случайная величина rj из (2.20) представлена в виде (2.35) при помощи формулы Беннера — Киршнера (см. (1.165)). р Если в (2.30) k < m, то сходимость Rnk 0 следует из условия Е | Ф 11+6 <С оо при некотором 0 < d< 1. Таким образом, в случае k «< т в предельных теоремах для (7-статистик условия на ядро Ф можно записать в терминах существования моментов ЕФ2к < оо, £ | Фс |Рс < оо, рс <д 2, с = k + 1, ..., /и, что слабее условия £Ф2< < оо. Предельное соотношение (2.13) получено Янсоном [168], а соотношение (2.19) вывели Янсон [168], Рубин и Витале [204]. Некоторые частные случаи этих соотно¬ шений исследовали Мизес [185, 186], Филлиппова [86], Грегори [145], Нейхауз [187], Халл [151], Иглесон [134]. В работе [169] Янсон обобщил соотношение (2.19) на случай неполных ^/-статистик. По представлению (2.35) для случайной величины тц очевидно, легко можно вычислить Ет\т при любом целом т 1. В работе Ронжина [84] математическое ожидание EvR вычислено другим методом. Халл [150] при по¬ мощи мартингальной теории рассматривал центральную предельную теорему для /7-статистики с вырожденным ядром Фл (х, у), зависящим от п. 2. Оценки характеристических функции. Общие неравенства Пусть т = 2 и срп (/) = £ exp (z/0n) — характеристическая функ¬ ция случайной величины 0n = £ ФСС, X,); для любого целого k, X = (Хи Х2, ..., Xk) и Y = (Y, Y2, ..., Yk)— два независимых вектора с независимыми Х-значными координатами, имеющими одно и то же распределение Р; X = (Хл+ь Xk±2i Хп) и Z = (Zlf Z2, ..., Z2/<), где Zz = Х7, если j = 1, 2, ... 77
..., k, и Zj-^k = Yj, если j= 1, 2, k\ g(X) и /г(Х)— функции такие, что Eg2 = а* < оо, Eh2 = < оо. Обозначим (О = Е (ghe‘ttin). (2.36) Очевидно, что cpnJ) (/) = срп(/). Положим т == — . Лемма 2.1 (см. [24]). При любом реальном t и всех целых k, 1 k п, справедливо неравенство | Ф^Л) (/) |4 < <^Е | Е^^ (2.37) где /z© = 2 V (Ф(Х8, Э-Ф(У$) £)), <=1 причем В обозначает Ш-значную случайную величину с распределением Р, не зависимую от Z. Если, кроме того, функции g и h удовлетворяют условиям (2.38) \g\<A, \h\^B с некоторыми постоянными А > 0 и В > 0, то | <р,(.М) (012 < А*В2Е I Etfix,z^ I*"-*’, Доказательство. Представим 0П как = ал,/г + 2рп>/г 4" Уп,/г, (2.39) (2.40) (2.41) где k k = 2 Ф(Х<, X,.); 7п„ п 1=1 /=1 £ Ф(ХЙ Рпд = 4^ S ф(х<, хд п i=i /=Л4-1 = а (X), рпЛ = [3 (X, X), yntk = Величины а (X) и у (X) независимы. Поэтому ср^’/г) (/) = Е- (ke^Y^Ex (^e2t7P(A’A)+r7a(A))). неравенству Гельдера ут. (2.42) Отсюда по Вследствие получаем | Ф^Л) (/) | (Е-х IЕх |г) '. симметризации, вновь используя неравенство (2.43) Гельдера, | (ge2itV,tX.X)+ita(Xyj |2 _ = ExEy {g (X) g (У) e‘tWX)-a(Y^xe2il^X.X)-f,(X,y^ Е (I g (X) ё (У) 11 I) < o' (ЕI |2) Т (2 44) 78
j’3 соображений независимости £_е2г7(Р(Х-,л;_ра,у)) = (2.45) Это приводит к оценке (2.37). Для того чтобы получить (2.40), доста- точно в процессе приведенного доказательства воспользоваться условиями (2.39). Из (2.39) и (2.42) имеем | <р'йЛ) (/) К BE* | Ех ^е'ЖЕху+и^ | (2.46) По неравенству Гельдера 1 £_ | Ex (^2W(A.X)+!7a(X)) | (£_ | Ех (£е2‘7<?<Х’Х)+‘'/“<Х>) |2) 2 . (2.47> Из соображений симметризации и с помощью (2.39) получаем I X |2 ___ = ЕХЕУ {g (X) g (У) е«(а(А)-а(У))£_е2Щ₽(х,Х)-₽(Х,г))} < Е (| g (X) g (У) 11 £-е2^(Р<х.Х)-3(Х.Г)) |) < А2Е | Еуе2‘‘^х-х'-^х-у» |. (2.48) Из (2.45) — (2.48) следует (2.40). ▼ Пусть п п (2.49) где аи.... im являются симметрическими относительно любой пере¬ становки ..., im. Обозначим Zz = (Xz, Xj}, j = 1, 2, ..., и, где Xj. и X, — независимы и одинаково распределены. Пусть А/ есть разност¬ ный оператор, действующий по /-й переменной функции Ф (А\, ..., Хт), т. е. д;ф = ф(..., х„ ...)-Ф(...Л',,...). При помощи (2.50) определим функцию ДЖ-, = ... д,„ф. (2.50). Пусть (/) = Е ехр (И 0£) — характеристическая функция слу¬ чайной величины 0п. Лемма 2.2 (ср. с [25, 143]). При всех i £ R справедливо неравенство- I Фп (012"1 < Е ехр (itm\ Qcm,n), (2.51) где Qm.n 79
при этом ...< пт = и, а в остальном целые числа п( произвольны. В случае т = 2 оценка для <p™(Z) имеет следующий вид (см. [25]): при любых реальных t и всех целых /г, 1 k п, |ф,Д/)|2^£| fl Eze‘,6k{Z} I /=АЧ-1 (2.52) где k 6, (Z) = 2 V Cs; (Ф (xs, Z) - Ф (Ys, Z)). s=l При этом Хъ Х2, ...» Хк, Yit Y2, ..., Yk и Z — независимые случай¬ ные величины с одним и гем же распределением Р, символ Ez обозна¬ чает математическое ожидание по переменной Z. Лемма 2.3. (см. [93р. Пусть Xh X, — независимые одинаково рас¬ пределенные случайные величины со значениями в измеримом линейном пространстве (Ж, Л), Xj = X, —X, — независимые симметризации случайных, величин X,. Положим q = ХА + Х2 -г ... + Х,п. Если Q (хп х2, ..., xk) есть измеримая k-линейная вещественная симметри¬ ческая форма на Ж*, то при всех пг k и х £ R | Е ехр (ixQ (т), т])) |2* <£ехр (/г! it:Q (Х1; X*)). (2.53) Неравенства (2.37), (2.40), (2.51) — (2.53) аналогичны неравенст¬ ву (3.37) работы [1401. В. В. Юринский получил общие оценки предельных и допредельных характеристических функций, по которым совместно с известным неравенством Эссеена можно получить оценку скорости -сходимости порядка О ПРИ условии Е || Хг j,3 <С оо. При этом В. В. Юринский указал на возможность использования показательных оценок для сумм независимых случайных векторов в бесконечномер¬ ных пространствах, которые были получены им ранее (см. [230]). Неравенства (2.37), (2.40) и (2.52) выведены Ю. В. Боровских [15— 17, 24, 251 при исследовании асимптотических свойств распределений (7-статистик и функционалов Мизеса и применены им в теории ранго¬ вых и со2-статистик (одновыборочных, многовыборочных, многомерных (о2-статистик, статистики Спирмена и др.). Во многих ситуациях, отвечающих оАстатистикам, ядро Ф (х, у), х, у g R, может быть представлено как Ф(х, у) = у\, х, у) (2.54) или в виде Ф (х, у) = Ф2 (\х — у\) + Ф3 (х) + Ф3 (у), (2.55) где Ф! (г, х, у), Ф2 (х) и Ф3 (у) —некоторые функции. Особенность ядер типа (2.54) и (2.55) заключается в том, что Ф (х, у) явным образом зависит от модуля разности | х — у \. В качестве следствия приведем неравенство (2.40) при g = 1, h = 1 для ядра (2.55). 80
Лемма 2.4. При любом реальном t и всех целых k, 1 k /?, спра¬ ведливо неравенство (2.56) где в © = 2 V (ф2 (| Xs _ Е |) - Ф2 (I Y s - 11))- (2.57) S=1 В работах Ю. В. Боровских [24, 25] было показано, что при анализе выражения в правой части (2.56) во многих случаях полезны идеи ме¬ тода тригонометрических сумм [35] (лемма Ван дер Корпута, не¬ тривиальные оценки И. М. Виноградова сумм Вейля и др.), а также результаты работ С. М. Садиковой [77], В. В. Юринского [911 и Т. Л. Шервашидзе [90]. Как было показано в работе [251, требующиеся для оценки <prt (t) при помощи (2.56) получаются при фиксированном k (возможно, большом). Кроме того, используется техника оценки инте¬ гралов с осциллирующими подынтегральными функциями, развитая в методе тригонометрических сумм [351: оцениваемый интеграл поданной области разбивается на сумму интегралов по некоторым выбранным областям интегрирования и либо подынтегральная функция допускает требующиеся оценки, либо сами интегралы становятся вычислимыми. И в том и в другом случае оценивается исходный интеграл. В данном случае в силу (2.56) оценивается характеристическая функция срп (/), а в роли интеграла, область интегрирования которого разбивается, берется математическое ожидание по переменной £. Из (2.57) видно, что функция fz (5) выражается через модуль разности | х — у |. Это обстоятельство оказывается ключевым моментом при анализе интегра¬ ла по S и разбиении его на сумму интегралов, каждый из которых име¬ ет новую подходящую область интегрирования. Для математического ожидания по £ в правой части (2.57) иногда желательно иметь оценку вида lim sup | exp (гг/г (£)) | < 1 — 6 (2.58) I Т 1>с>0 для каждого z Q R2ft, где 6 > 0. В работе [1231 отмечено, что справедливость (2.58) следует непо¬ средственно из леммы 2.2, приведенной в работе Бхаттачариа и Гхоша [1081, если только ядро Ф (х, у) удовлетворяет подходящим условиям гладкости. В работе [1231 в качестве примера рассматривается ядро Ф (х, у), отвечающее многомерной аг-статистике Крамера — Мизеса, и утверждается (без вычислений), что для этого ядра выполняется со¬ отношение (2.58). Пусть 3. Анализ скорости сходимости 6 4-101 81
где ядро Ф(х, у) вырождено. Оценим скорость сходимости распределе¬ ния 0П с такими ядрами. Пусть <т[ = Eg2 (XJ, g (х) = Е (Ф (Х1Г Х2) | Хг = х). Теорема 2.4. Пусть выполнены условия ах = 0, £|Ф(Х1, Х2)|3<со, (2.59) _з £|Ф(ХЬ Хх)| 1 < оо. (2.60) Тогда при п -> оо справедлива оценка sup | Р (0„ < х) — Ф(х)| = О (у=-), (2.61) где Ф (х) — предельная функция распределения. Доказательство. Пусть S — линейный оператор, дей¬ ствующий из L2 в Л2, S:f-^E^(Xlt ЩЩ)), (2.62) {Ху}, {е,} —собственные числа и собственные функции этого оператора. Для определенности полагаем | Ху I | Х/Ч_] | при всех / > 1. Стало быть, Ee/(X1) = 0, Ее^Х^Х, (Хг) в,, (Л,) = 0, =7^= j-2, : £ (Ф (Xlt х) ej (X,)) = Kfij (x) (2.63) и ядро Ф (x, у) может быть представлено в виде Ф(Х, у) = у ^(х^у), (2.64) /=1 где ряд сходится в среднем квадратическом, т. е. Вт£\Ф(Х1( Х2)-V ^.(Х^ДхД =0, Л-оо I /==1 ) если только £Ф2 (А\, Х2) <Д оо. Будем предполагать, что число тех индексов /, при которых X,- =^= 0, бесконечно. В противном случае утверждение теоремы следует из оп¬ ределения 0,7-статистики, соотношения (2.64) и оценки В. В. Сазонова 1109, 207] скорости сходимости R!i. Пусть ср •(/) = Е exp (i70©o) — ха¬ рактеристическая функция случайной величины 0ТО = £ \fl, (2.65) где /2, ..., fz, ... — независимые стандартные нормальные случай¬ ные величины. Эта характеристическая функция имеет распределение Ф (X). 82
Лемма 2.5. В области | I | п е>0, справедливо неравенство К(0-ф(01<со-Ш(1 + |'|Г?,+ «“"9, (2.66) г /I где — произвольно большие фиксированные числа, постоянная Со зависит от ядра Ф только через собственные числа и математи¬ ческие ожидания Е | Ф (Хь Х2) |3, Е | Ф (А\, А\) | 2. Доказательство. Для всех k = 1, 2, .... п со Г А’ — 1 /? \ 2 6/1Л-1 = — Ъ М L Т/$ + \ е! (^$) + ei , П /=1 u=l s=A’+l J On.* = 4- E A,.! v. T/s + V e (x$) + T J , (2.67) П /-1 U=1 S=A+I • J где T/s, s =1, 2, j = 1, 2, — независимые стандартные гаус¬ совы случайные величины в R. Пусть срп,А? (О = Е exp Цп,к-\ (0 = = Е exp (itQn,/?-d обозначают характеристические функции 0,7.* и соответственно. Очевидно, что ср/7,о (0 = фп (0» фп.п (0 = Ф (О- Таким образом приходим к представлению п <Pn (О — Ф (0 = Е (фп,А—1 (0 — <Гм (0), (2 68) А=1 которое является обобщением аналогичного представления из рабо¬ ты [31]. Пусть имеются две независимые последовательности а2, ... ..., а/, ...; ри |32, ..., [3/, ... независимых стандартных гауссовых слу чайных величин. По свойствам гауссовых случайных величин сумма А —I У т/s совпадает по распределению с]//г — 1ау, а сумма \/ k — lc<z + S=1 4- Р/ совпадает по распределению с tj при всех j — 1, 2, ... В силу этого 83
£>k = d, + d2 4- d3, = 2 1 k 1 V X,a, n i=\ CO / fl \ OO d2 = V Щ PQ b d3 = ± V n j=() \s=A'+l / n / = 1 В (2.69) рассмотрим выражение под знаком математического ожи¬ дания. Для этого применим известную формулу г—1 ’ е* = У -J- + *' \ ~7-'b! " eXUdu (2'70) S=i) о - при различных целых г 1. С помощью (2.70) имеем — ^^(^1+^2) — gitkdi+d2) _|_ ц -f- + Д,Д/)+ Д;/Д0, (2.71) I где Д1А (/) = Ub3eii{bi+b*} § (e‘t/bsf — 1) dy; о i Д2/, (/) = itd3e"(di+dt) § (1 — elyd^ dy, о Далее находим е1'(£>1+*г) _ е««/,+</г) = Il Q _ J2) _|_ _Ц1_ ((£ /,2)2 _ 4. -(d, + cf2)2) + Д3,(0 + Au(0, (2.72) где A.w (/) = (^i + j (1 — и)2 e“<b‘+b^adu; S = 4- d2y { (1 - u}2e'^‘+^du; 0 it (bief/^+h’'> — d3e“^+d^) = it (ft3 — ds) + A-1Z (/) + Д5Л (/); (2.73) A->* (0 = (it)2 b3 (bi + b2) У е“'к'+'-}иЬи\ О Дел (i) = — (ity-d3 (di 4- d2) У e,,ia'+^>"du. I) Подставляя (2.71) — (2.73) в (2.69) и учитывая (2.63), (2.64), получаем Фп(0-ф(0= £ д,- А—1 I V=l НО)}- (2.74) 84
Оценим все слагаемые в правой части (2.74): | Е (i)) | с: 111 J dyE^ (| b311 1 - 11Eeit(Ak+b^ |), (2.75) 0 где Ez обозначает математическое ожидание по переменной z. Пусть / = — целая часть числа . По свойству безгранич¬ ной делимости случайная величина сос, совпадает по распределению с суммой ат,-| + при любых вещественных а, b и с = |/ а2 + Ь'1. Пользуясь этим свойством и рассуждением, приведенным в п. 2 § 2, пол у чаем (2.76) где rk = (2 2 / Z — I — 1) 4" ; т1 = (тш T2i> • ’ т/ь • • •)’ Т2 — (Т12, ^22> • • • > Т/2, . . . )• Вычислив в правой части (2.76) математические ожидания, I Ee^k+bt+b2) | ^ | ф ^/(^ —/_ 1) | . Далее имеем находим (2.77) 1 1 1 | 1 — eW |<2|/|.2 |&3| 2 \у\2. Подставляя (2.77) и (2.78) в (2.75), выводим неравенство |Е(/м*Д1А(0)|С 3 /' \ (2.79) Оценим математическое ожидание в левой части (2.76) другим спо¬ собом. Для всех т из области k + 1 tn п вследствие общего не¬ равенства (2.40) имеем 2i t I |2 ^ £ | EXie~ х,) (2.80) где fk W = S 6,- (X), 6, (х) = 6, = Ф (X,, х) - Ф (У , X). Пусть Лр ($, Р)— банахово пространство функций с нормой ||gj|p — = J I g w I", P (dx))1'”, p = 2, 3. Положим M = 8 (E | Ф (Xp X2) |3)“ VT, I ~ h 2, ..., m — k. На измеримом пространстве (Ж, Л) определим вероятностную меру Рм (Л),= Р (Х\ £ А 11| ||3 /И), где Е, = (х) = = Ф СМ. х) £ L3 (Ж, Р), А £ </1. Тогда (см. [207, с. 89J для любого Л £ Л £e^k+b'+b^ |2 з 2 2 85
Р(Д) = ^-(Р,И J-QM)(4) (2.81) с некоторой вероятностной мерой QM на (ЗЕ, Л). Следуя [207, с. 89— 951, применим (2.81) для оценки выражения справа в (2.80). По нера¬ венству Гельдера и симметризации имеем При помощи (2.81) для всех Z = 1,2, ..., т — k выводим неравенство (ср. с [207, с. 89—951) т п 2 г п Ев s=/7i+i <8 Е±е /=1 s=m+1 + 16^“"йГ, (2.82) где г = + 1, (х) = Ф (X/, х), символ Е± обозначает математи¬ ческое ожидание относительно меры Рм- Таким образом, разложение (2.81) позволяет согласно (2.82) оценить выражение справа в (2.82) через меру Рм, сконцентрированную на множестве (х: || [I Л4} £ 6 Л. Заметим, что где Е± обозначает усреднение по симметризованной мере Рм- При по¬ мощи формулы Тейлора У 6,.(Х) е j=\ Р (dx) 1 (2.84) 1_ г где gr = gr (х) = г 2 У 6; (х). Обозначим Z = (Л\, . . ., Хг', ... ■ • • . Yr), = Ф (Г,, х)' и пусть й, == {Z : || ||3 < М, || ||3 < М, j = = 1,2, .Q2 = (Z :|Ш|2 ^), Q3 = (Z : > (In/)2}. В (2.83) вероятностная мера Рм сосредоточена на множестве QP По¬ этому достаточно предполагать, что в (2.84) Z £Qr Если, кроме того, 86
в (2.84) Z gQ2 U Й3, то в области (2.85) выполняется неравенство , у Ш j е м. Р (dx) х 2(п— т) Из (2.83), (2.84) и (2.86) следует, что в области (2.85) • 2(п— т) П* + Ргм(П2) + Ргм(&). (2.87) Пространство L3 (X, Р) является банаховым пространством типа 2 (см. [96, 160, 161]). Поэтому по показательному неравенству В. В. Юринского [230] Р'м (Q3) = О (e-^{lnZ)2), q3 > 0. (2.88) По неравенству Чебышева Рм (Q2) < еЁ^-^(2.89) Далее можно видеть, что Пусть /77 = [4г]’ п—>оо. Сначала выберем в (2.90) ~х~п' НРИ такОхМ I область (2.85) переходит в область J г_ П ] ^ C2/z 2 2 и, кроме того, £ ехр (- C-J.'1 r^L_ZZl1| gr ||2) £ ехр (- СвР j| gr ©. Пользуясь разложением (2.64) для ядра Ф (х, у) и свойствами неза¬ висимых стандартных нормальных случайных величии С, £, ..., /у, ..., Для произвольного целого фиксированного N 1 имеем £ехр(- C6/2!lgrgc£ 87
где /V /л; (у) = У /.<?• {у). По неравенству Гельдера / м \4- |Ы|^Е|Ф(Х„ Х2)|3 (2.92) \/=i / I е В области | t | ^С2п 2 2 интеграл справа в (2.91) оценим с по¬ мощью формулы Тейлора по схеме (2.84), где вместо Sr полагаем щу. Тогда Е ехр (- С6/21| gr ||2) С С7 П (1 + + C7'i~". (2.93) /=1 _1 е _3__£ J—ьое Далее в области С2п 2 2 | /1 С9м 4 выберем / ~ п2 ' ~ , а в об- з g ласти С9и4 \t | Сп1_е выберем I ~ пе. По обеим областям оце¬ ниваем интеграл справа в (2.90) по схеме (2.91) — (2.93). Таким образом, (2.80) — (2.93) в области 111 Спх~8 при всех вь1' текает оценка N ТУ | Eeit(Ak+W | С)о ((1 + | t J)” + ~ 4 . 1—с Из (2.75), (2.77) — (2.79) и (2.94) в области | t | Сп k j имеем неравенство (2.94) при всех (2.95) Поскольку величина (/) получается из Д^ (/) заменой Ь( на dl9. то очевидно, что для математического ожидания Е (e'rA,'^2k (0 спра¬ ведлива оценка вида (2.95). В соответствии с определением ) | Е (е"^к ())) | С (1 _ иу | Е (е“Вк[и} (&, + Ь2У) |, (2.96) о где В/, (и) = Ak + ubl + ub2. Здесь при помощи формулы (bt Ь2)3 = = Z?i + 3b2b2 + ЗЬ^ + bi получаем IЕ (Ьх + 62)3) | | Е | 4- + 3 | Е (e"Bl'Mb]b2) | -г 3 | Е (ei,BkWb,fy | + | Е (е1,Вк'и'ьУ) |. (2.97) 88
Оценим математические ожидания в правой части (2.97). Пусть. I = ["тг] • Как и в (2.76), отметим, что случайная величина J/&— let, совпадает по распределению с суммой \/ 1т1} + \/ k — l — 1т/2. Тогда= ^1 — ^11 Н ^12» где Ьп = 2 У 2^ (XJ; п /=1 fe12 = 2 ~1 У WZ(XJ. " /=1 С учетом (2.98) | Е (eilBkWb3) |< | Е (/е",и)^) | + 31Е | + + 31Е (eitBkWbnb\2) | + | Е (еаВк{и}ьЪ) |. Далее | Е (е“в,‘1и}Ьп) | Ex J Е (е“Вк{и)ьЪ). Из общего неравенства (2.37) \Е (е"В',(“Д|)| ^ой|,^£т. где rk, т1, т2 определены в (2.76), а /„ =£Х. Заметим, что у /<(XJ = £2O2(Z, XJ, /=1 £X/J£zO2(Z, X2)i*. Следовательно, ой11 С /15 (2 (Z, XJp . Из (2.101) — (2.104) получаем IЕ (е“Вк(и}Ь3^ | С /15 (2 Е | Ф (Хх, X J |3 х Д_ х j<р(Ц- //(й-/ - 1))|2 . (2.99> (2.100), (2.101). (2.102) (2.103) (2.104) . (2.105) 89
Неравенствам, аналогичным (2.105), удовлетворяют и остальные математические ожидания в правой части (2.99). В результате некото¬ рых вычислений находим _2_ | Е (eitBk(u}b\) | 28 /Тб£ | Ф (Хь Х2) |31 ср (— j//(/e-/- 1)1 Г п 2. (2.106) Как и в (2.76), математическое ожидание в левой части (2.99) мож¬ но оценить по-другому. Сначала имеем | Е (et,Bklu)b3i) К £ (| Ь. |31 EeiiBk{u} |), (2.107) где математическое ожидание в правой части под знаком модуля вы¬ числяется по переменным Х/г+i, Хп. Затем отметим, что для этого математического ожидания справедлива оценка (2.94). Кроме того, в соответствии с (2.102), (2.103) _ з £р!|3^ 15 • 23£|Ф(Х1> Х2)|3п 2. (2.108) Для того чтобы в (2.97) оценить следующиетри математических ожи¬ дания, представим величину Ь2 в виде Ь2 = Ь21 + Ь22, (2.109) где ^=4 £ Ф(Х5,ХА); п s=AH-l ^22= 4 S Ф(^> при этом т1 = [-у-] обозначает целую часть . Последовательное применение (2.80), (2.94), (2.96), (2.98) и (2.109) приводит к оценке Е (егМ/гД3/? (/)) типа (2.79) или (2.95). Величина Д1А. (/) получается из Дз*(0 заменой на Поэтому оценки, которые справедливы для математического ожидания Е (eLiAk^k (0)> остаются верными для £(?м*Д1/г(Г)). Далее оценим математические ожидания в (2.74), содержащие ве¬ личины Д5/е (/) и Дол (/). При помощи (2.98) и (2.109) имеем 1 | Е (е“А^-эк (/)) | 1I12 ри | Е (еаВк(и}ЬпЬ,} | 4- о 1 . ' 1 + | /12 р« |£ (е1Вк(и\хЬ3) | + 11\2 du | Е (е“Вк'и}Ь21Ь3) | + о о 1 + \t\^du\E(e‘Bk{u)b^b.J)\. (2.110) и 90
Ооозначим X — (X/?.i_i, Х/г_|_9» •••, Xm)t Y — (-Y/nt-rb •••> X п). Из со¬ ображений независимости и неравенства Гельдера I Е {eitB^bnb,) \^E.E-EXlEe (| bnb31 Е^"’1) < < Е.ЕрЕХ/г {| Ь.л | (Ет. | Ьп |2)Т (Ех. | Ex.e‘BkW |2)“} < < ЕХк (| Ь.л | (Ех. | bn |2Я Ф (-L \El(k-'l- 1)) . (2.111) С помощью (2.102), (2.103) и неравенства Гельдера получим Exk (I b31 (Et. I ьп г-Г2) = 4- Цг !ф (*1> *i) (£гф2 (Z> *1)Р) < ^2]//'-4м_^(Е|Ф(Х1) Х1)ГМ’£|Ф(Х1, Х2)|3. (2.112) Из (2.111), (2.112) следует оценка типа (2.106). Оценку вида (2.94) для Е (e“BkWbnb3) можно получить из неравенства | Е (e^bjh) I < EvEx>EXk {| bn 11 b311 Ее11В^ |). Рассмотрим второе слагаемое в правой части (2.110). Для величины £ оценка вида (2.106) выводится из неравенства | Е (е1'в'к{,пЬ21Ь3) | С Е-Е- EXk (| 6211111 E^eitB'^ |} с последующим применением (2.77) попеременным (т1, т2) и неравен¬ ства Гельдера по переменным (X, У, Хл). Величину £ (е^к(и) b21b3) можно оценить еще так: | Е (е“в^'ЬМ | С Е(т1.т2)ЕЛ/£- (| Ь211 \b311 E-eltB^u} |). (2.113) Из неравенства Гельдера и затем общего неравенства (2.40) имеем Е(т1,т.)Ех/~(| М1М|Е~/ВА(и)|)^ < (ЕХ/Е- IЬ21 ;зЛ £(t-.V) (ExkE~ (I b3 F I EyeitB'kW р))^ < < (Е | Ь21|3)~ (Е | Ь3 |“)Т Lj, 91 (2.114)
где / 9., "в \ n—mt L* = Е | £х, ехр(—— V 6 .(Xj) \ п i=k+\ ) Из (2.114) выводится оценка вида (2.94). Аналогичными рассуждения¬ ми оцениваются и следующие два слагаемых в правой части (2.110). Поскольку величина Д6/г (/) получается из Д5/? (/) заменой bL на dt то Е (eLtAk (/)) можно оценить так же, как и Е (e'iAk (/))► Если объединить все полученные оценки для Е (еаА,'Лгк (/)), г = = 1,2, ..., 6, из (2.74), то придем к (2.66), что совместно с неравенст¬ вом Эссеена доказывает (2.61). Лемма 2.6. Пусть выполнены условия ^ = 0, £|Ф(ХЬ Х2)|4<оо, Е\Ф(Х1у Х1)\2<оо. (2.115). Тогда в области | I | С п~8у е >> 0, справедливо неравенство I Ф„ (0 - <Р (0 I С С12 ((1 + I /1)-’1 + п-^) (2.116> с произвольно большими числами qt> 1. Для п 2 определим уп как решение уравнения IФ (V„) I = tl~q (2117) при некотором фиксированном q 6 [47, 162]. Теорема 2.5. Пусть выполнены условия ох = 0, Е | Ф (Хь Х2) |4 < оо, (2.118) £|Ф(Х1, Х^Соо. (2.119) Тогда при п -> оо справедливо неравенство sup | Р (6„ < х) - Ф (х) | С Д'. ('У)3 , (2.120) где постоянная С > 0 зависит от ядра Ф только через собственные числа kj и математические ожидания Е|Ф(Х„ Х2)|4, £ | Ф (Хх, Хг) |2. Теорема 2.6. Пусть ог = 0 существует постоянная Х>0 та¬ кая, что |Ф(х, г/)|<Х для (х, у) G X X ЗЕ. Тогда при всех п 2 и — оо <х< оо справедливо неравенство IР (0,. < х) - Ф (х) I < Cs, где s 2 — любое целое фиксированное число, постоянная Cs зависит от К, s и собственных чисел S-onepamopa. 92
При условии (2.30) определим случайную величину г],» как оо оо X fk 01> ^2> т<*) Tlk ’ (2.121) где (т/'Х / = 1, 2, ..., k,— независимые копии {tZ1}. Пусть ядро Ф {7-статистики удовлетворяет условию (2.30) и выпол¬ няется соотношение (2.34). Теорема 2.7. Предположим, что при | t | -> оо | Eeil^ | = О (| / Г7) (2.122) с некоторым достаточно большим числом у > 0. Тогда при т 3 и Е | Ф |3 < оо (2123) если в (2.30) число k 1 нечетное, при т^Зи £Ф4 < оо (2.124) если в (2.30) число k 2 четное. В работе 1140| показано, что если выполнено условие (2.118) и Е|ф (Хи Х,)|4<оо, то левая часть (2.120) оценивается как О (у„ (In п)ь /?—'). В работе [214] исследована оценка скорости сходимос¬ ти для функционалов Мизеса в случае Oj = 0 и методом В. В. Сазоно¬ ва |79, 206] получены оценки порядка О (/г(р“2)/(22р4_4)), где 0 < р 1 и У Xf<oo, X, >0, /> 1. Г=1 4. Об асимптотических разложениях Пусть 0„ = ф£ У Ф(Х;> X,.), (2.125) п i=\ j=\ где ядро Ф (х, у) вырождено, и при 2 (WI®PG, Х1)Г+Е|Ф(Х1, Х2) Is. Обозначим через ср,7 (/) = Е ехр (f/0n) характеристическую функцию случайной величины 0П, а через а = (г\, ..., im) и г = (г /г)/(*=|2,.../?/ со¬ ответственно вектор и матрицу неотрицательных целых чисел таких, что У (П'А + Г/;/) = 4, й=1, 2, . . . , т. (2.126) /=1 Следуя [140, с. 335], определяем функцию Та (0 = S П ( П (г/а!) (4 R (0 (*/, x^ik Р (dx), (2.127) г 1 = 1 j.k=l Х ' 93
где dx = dxtdx2 ... dxmi суммирование осуществляется по всем матри¬ цам г, удовлетворяющим условию (2.126), R (/) (х, у) = 2it) (Ф (х, у) + 2/7 j Ф (х, г) |(/ - 2itS)~' Ф (•, //)] (г) Р (dz)}, где(/— 2/7S)-1 есть резольвента оператора S, который индуцируется ядром Ф (х, у). Функция уа (О не зависит от порядка компонент век¬ тора а и, кроме того, уа (/) = 0, если только число | а | = ах + а2 + + ... + нечетно. Далее определим формальные кумулянтные полиномы = = К; (d2, ..., rfz), / 2, от переменных d, при помощи формального- степенного ряда оо / оо . \ ix-k, df)^-=in^i + (2j28> и полиномы Р, = Pj (d2t ..., df+2)f j >= 0, при помощи ряда оо / оо \ , di+2) t1 = exp х/+2 +Z'2), ) . (2.129) В полиноме Ру каждое выражение daida2 ... da заменим функцией Т(а,.а2,...»aw) (0, определенной в (2.126), и полученный результат обо¬ значим через /,(/). Например, /0(/)=1, Д(/) = 0, f2(t) = -^(уА — — Зу(2.2)) (/) + ~у~г Y(3,3) (О’ Обозначим через Ф,(х) функцию, преобразо¬ вание Фурье которой равно ср (/) /2/(0» / Для s2>3 положим (2.130) (2 131) Пусть собственные числа оператора S занумерованы в порядке возрастания их абсолютных значений, так что | Х/+1 | <; | М, / 1. Предположим, что число тех /, при которых X,- У= 0, бесконечно. Оп¬ ределим yn,s как решение уравнения |<p(Y«JVs>r,) = n"12('"?). (2.132) где s^3no (s) = 24 (s — 2) 5, если 4 и о (3) = 31. Например, если ’к, = j~a, a > -Г, то у„л С С (s, a) (In п)а. Пусть т)„= (1п /г)6 yXi. Результаты Гетце (см. [140, с. 346, 3501) таковы: если НК /гФ.'> 94 (2.133)
то фЛ)-ф>"' (/)1^СХ(О, (2.134) ГД6 s-о ± (/) = n"V 11 |3<s-2} (1 + 11 |,(s-2’) (| Ф (4) |2 + n_6(s_2)'j, при этом постоянная Cs > 0 зависит от ядра Ф (х, у) только через соб¬ ственные числа S-оператора и |3S. Из (2.134) и неравенства Эссеена при s = 3 очевидно вытекает оцен¬ ка скорости сходимости порядка О (-pL j, если только р3 = Е | Ф (Хх, |3 + Е | Ф (Хи Х2) |3 < оо. (2.135) В п. 3 § 2 этой главы показано, что условие (2.135) можно ослабить. Если при s> 4 в области s—2 11\ С п 2 (2.136). характеристическая функция <рп (/) при п -> оо ведет себя как |сРп(/)| = О(/ГЦ, (2.137) то на основании (2.134) и известного неравенства Эссеена можно утвер¬ ждать, что s— 2 sup IР (9„ < х) — ф'п) (х) I = О (п г) (2.138) X для любого целого s 3 при условии |3S <6 оо. В работе [1401 вместо условия (2.137) использованы условия глад¬ кости (ср. с условиями, приведенными в работах [И, 117, 1181). По¬ казано, что неравенство (2.134) является по существу следствием тео¬ ремы 3.1 работы [141]. Сформулируем здесь этот результат. С этой целью введем следующие обозначения (см. [141 ]): Х}, Х2,..., X,. — неза¬ висимые случайные величины со значениями в сепарабельном веще¬ ственном банаховом пространстве £ типа 2, имеющие одно и то же рас¬ пределение Р, такие, что ЕХх= 0; т — гауссова l’-зиачная случайная величина с распределением N, у которого среднее значение равно ну¬ лю и такой же ковариационный оператор, как и у Р\ f : £ -> R — из¬ меримая функция, имеющая 3 (s — 2)-ограничениые производные по _ i_ Фреше; е = (е1( е2, ej, г] = (г),, г|.2> ..., т^), 0 е, п 'г, 0 С Л/ я 2, j = 1, 2, где q и s — целые числа. Определим функции ф 01) = \ f (т + ПгЧ + • • • + ЛЛ) N (dt) PQ (dx), (2.139) Ф, (£i. e2, ... , еи; 11], i]2, .... n0) = = $ / <4% (*> *))Nn+,) (2.140).
где х = (xlt х2, .... xq\, т = (ть т2, ... , т„); 1_ 4л, (*’ Т)=п 2 (*1 + • • • + xi + Т>Ч-1 + • • • + Т„) + EfTn+l + • • • * * ’ + ^q^n+q + hl^'i+l + * ’ ’ + ^qXn+q, причем i = О, 1, ...» n. Пусть для каждого целочисленного вектора а = (а1} а2, аД | а | = (Xi + а2 + ... + ocf/, и — частные производные соот¬ ветственно д1' д‘о dlf де\' ^1? 5’1> (2.141) функций g (elt ...» е/, т]г, •••» лД симметричных относительно е и т]. Ради простоты вместо g (е, 0, ...» 0; г), 0, ...» 0) будем писать g (е; тД С помощью (2.129) и (2.141) определим следующий дифференци¬ альный оператор Pf (jZ>n) (ср. с определением функций уа (/) в (2.127)). В полиноме Р, из (2.129) каждое выражение di? ... dik заме¬ ним частными производными t,i} относительно переменных гц, т]2, ..., “щ. В результате получим некоторый дифференциальный ■оператор (<2)п). Например, РМ = 1, Л (Л) 6^’1? Л(А) = 1 24 д' 5’1; 3» \ дг' Теорзма 2.8. (см. [1411). Пусть s 3, функции (р(- (е; т]), i = 0, 1, ..., п, определенные в (2.140), дифференцируемы, так что Rn = sup | <'° Х'* <Р, (е, 0, ... , 0; >Ъ 0, .. . , 0) | (2.142) 1 существует, если супремум берется по всем О^е^/г 2, i_ 2 таким, что г т| = 0, i = 0, 1, ..., /г, и всем целым числам 0^j, ц, ..., iq^s таким, что s^/’ + q-}- ••• + iq 3 (s — 2). Кроме того, предположим, что (0; 0) = ХГФ, (0; 0) (2.143) для. а = («„ «2 г,,), Р = (/\, .... /Д + С k < q, 0<('С/г, I ос [ н- I Р| ^3 (s — 2), а [3 = (t\ + /1( .... i„ 4- 4- jqY Тогдл V п 2 Р/(^Z>n) ср (ч) _ < С (s) Ran — 2 (2.144) 96
гд^ Рп обозначает распределение суммы Sn = п - (Х1 Н- Х2 + • • • - - • + Хп) ^-значных случайных величин, X—банахово пространство типа 2, Соотношение (2.144) непосредственно неприменимо к распределе¬ нию функционалов от суммы S„. Однако (2.144) дает возможность по¬ лучать асимптотические разложения для характеристических функ¬ ционалов вида <Pg (/) = У exp (i/g (х)) Рп (dx), если только функция g достаточное число раз дифференцируема по Фреше. В случае, когда т 3, и полной вырожденности ядра Ф для 9П- функционала Л4изеса (2.2) асимптотическое разложение имеет вид (см. [Г431) Р(9„<х)~ In-^ФДх), (2.145) /=0 где Ф/ (х) = Pj (0-) Р (Ооо (гь т]2, .. . , т]Р) < х) 1^=0* При этом оператор Pt ($-) действует по (2.129) и (2.141), ц = (ти, т]2, •••» лД Л = 0 обозначает, что Л1 = Лг = ••• = Лр = 0, случайная величина tU (rii, i]2, т]р) определяется как бое (Т]1( Г]2. • • • , Лр) = S U ' 5 f ('1. J2. • • • . 0«) М<, • • • 6/, 0=' 0=2 <m=> (2.146) где Sz = tz + Л1Ф/ (^i) + ••• + ЛрФ/ (ХД стандартные нормальные •случайные величины т£- не зависят от Хь Х2, ..., Хр, а коэффициенты f (С, г2, ..., im) определены в (2.4). В работе [1431 дана оценка остаточного члена в асимптотическом разложении (2.145) при условии типа (2.122) и моментных условиях на ядро Ф. Выделим следующий частный случай. Пусть в (2.125) ядро Ф (х, у) £ £ L- (ЗЕ, Р) и удовлетворяет условию ^(X^XJ |^<оо для любого целого s 2. Предположим, что собственные числа Д-} таковы, что Х2 ... > 0, причем число тех /, при которых 1,- > 0, бесконечно. В этих условиях для почти всех (х, у) С ЗЕ X ЗЕ по мере Р X Р 1®(*, У) 1ЧФ(*> х) Ф (у, у). Пусть г > 1 — любое целое фиксированное число. Для таких г рас¬ смотрим функционал Мизеса Wn>r = 0«. Отметим, что в соответствии 7 i-ioi 97
с (2.18) и условием X,- > 0 с вероятностью единица 0ZJ 0. Таким об¬ разом, Я' (Хь Х2, . . . , %2г-1, *2г) = Ф (*!, *2) ... Ф (Х2г_1, %9Г). где Ядро Т можно симметризовать по формуле Гефдинга как где суммирование осуществляется по всем перестановкам (ап а2Д чисел 1, 2г. Тогда п (2.147) Например, если г = 2, то = ф(Ф (Xj, Х2) Ф (Х3, Х4) + Ф (Xj, л-3) Ф (х2> х4) + Ф (хь х4) Ф (х2, х3)). Обозначим Г-Oli, Пг. • • • , Пр) = S + X П,ф/ ОС)) . /=1 \ t=l / Для ядра 4го случайная величина 0^ (т|х, т)2, т|р) в (2.146) выража¬ ется через UZoo (i^, 1]2, т]р) как 0~ 011, 112, • • • , 11₽) = (111, Па 11р), при этом Е exp (i7FTO (г|)) = = <р (/) Е ехр (itW (n) - 2Р £ Т* (n)'j , где р р р Для любого целого s 1 положим Ф„,5 (z) = У П 'Ф/ (z), где Ф, (г) = Р2/ (.0-)(Р {^01)^z})|-=0. 98
Очевидно, что при условии Д> 0 всегда выполняется равенство _i_ sup | Р (Wn,r < 2) — Фп>5 (гг ) | = sup | Р (0п < z) — Ф,г>5 (г) |. г>0 г^О Здесь выражение в левой части равенства согласно соотношению (1.5) из [143, с. 31 при достаточно большом фиксированном г > 2и условии типа (2.122) оценивается как О (/г~Э- Стало быть, при условии (2.122) с ядром Ч'° в этом частном случае для функционала Мизеса (2.125) справедлива оценка sup I Р (0„ z) — Фп,5 (z) I = О (n~s) (2.148) 2^0 для любого целого фиксированного s 1. 5. Асимптотика распределений в гильбертовом пространстве Пусть X = Н — сепарабельное вещественное гильбертово прост¬ ранство со скалярным произведением (•, •), нормой || • || и о-алгеб- рой борелевских множеств Хь Х.2, ..., Хп — независимые //-злач¬ ные случайные величины с одним и тем же распределением Р, нуле¬ вым математическим ожиданием и ковариационным оператором S ЕХ. = 0, £(ХЬ h)2 = (SH, НУ Н£Н. (2.149) Обозначим через {%,} и {ру} собственные числа и собственные функции S-оператора, причем предположим, что число ненулевых собственных чисел бесконечно, т. е. dim (SH) = оо. Пусть собственные числа /Ц ... расположены в порядке убывания, где каждое 'к1 выписы¬ вается столько раз, какова его кратность. В качестве ядра Ф (х, у) в определении функционала 0„ (см. (2.2) для т = 2) выберем скалярное произведение в //, т. е. Ф (х, у) = = (х, уУ х, у £ Н. Тогда очевидно, что еп = ||£Х (2.150) — 1 где Sn = п 2 (Хг 4- Х2 • • • 4- Хп), Отметим, что наряду с (2.150) можно рассматривать случайную ве¬ личину = ||Sj|2f, где г 1 — любое целое число. В этой ситуации появляется функцио¬ нал Мизеса вида (2.147), т. е. W, -4. I ч/о (х(1) х,.2г), (2.151) 2,А 99
причем суммирование осуществляется повеем перестановкам (аг, ...» «2г) чисел 1, 2, ...» 2г. В частности, при /' = 2 Т" (Xj, х2, х3, х4) = Л- ((Xj, х2) (х3) Х4) + (хь х3) (Х2, Х4) (х4> х4) (х2, х3)), поэтому в силу (2.151) к функционалу Мизеса (2.150) можно применять оценку (2.148) в тех условиях, при которых оценка (2.148) справедли¬ ва. Трудность такого анализа распределения случайной величины I! Sn |i2 связана в основном с проверкой выполнения условия (2.122) и оценкой присутствующего в правой части (2.122) числа у 0. Некоторые соотношения, связанные с гауссовым распределением. Вероятностная мера N на измеримом гильбертовом пространстве (Н,<А) называется гауссовой, если всякий непрерывный линейный функцио¬ нал fn (£) = (£, Л), £ С Н, является нормально распределенной слу¬ чайной величиной в R = (—оо, оо). Пусть мера N имеет среднее зна¬ чение а и ковариационный оператор S. Тогда характеристический функционал ср (Л), h £ Я, определяемый как <р (ft) = j e‘^>N d t, имеет вид Ф (Л) = ехр (а, /г) (Sh, /г)| , (2.152) где (a, h) и (S/i, К) — соответственно среднее значение и дисперсия нормальной случайной величины (с, /г). Очевидно, если в (2.152) а = 0 (нуль в Я), то Ф (th) = ехр ~ (Sh, ft)j (2.153) для любого t£R. В дальнейшем будем предполагать, что среднее значение гауссовой меры N равно нулю, а ковариационный оператор S такой же, как и у меры Р, Если Е || ||2 <с оо, то lim Р (|| S„||2 < X) == Ф (X), (2.154) оо где Ф(М =--=?( II т!!2<Х). Функцию Ф (X) можно выразить через собственные числа S-опера¬ тора. Пусть ф (/) = Е ехр (it || т ||2) обозначает характеристическую функцию распределения Ф (л). По равенству Парсеваля оо hll2 = Ч2, (2.155) i=i где £ (е,-. т) = 0, Е (т, е,)- = (Se„ et) = h,. 100 (2.156)
Пусть для всех / = 1, 2, 3, ... h == К ' (е,, т). В последовательности tu t2, ... все случайные величины неза¬ висимы и имеют стандартное нормальное распределение в R. Поэтому '•/ У, оо J II х |Pyv (dx) = С е '=1 N (dx) = П J eit{erx}2 N (dx) = H li i=\ H n/ 1 Г -4(1-2^..) \ ~ _J_ = П ' U 2 ’ dlt =П(1- 2^) (2.157) /■ = 1 \ ^2л -oo / / = 1 Таким образом, оо 1 ф(/)= П (1 — 2^) 2 /=1 (2.158) и по формуле обращения оо 1 р 1 оо 1 Ф<^= 2л 1 — е и П (1 — 2ia,)_T dt. (2.159) Для плотности р (X) = Ф' (X) в работе [33, с. 87] доказано, что при любом Хд> О р (X) YjVexp ( 4“) • (2.160) где у = шах ^0, хj , при этом xZ> 1 — целое число, равное крат¬ ности максимального собственного числа постоянная Yi>0 зави¬ сит только от собственных чисел S-оператора и приведена в работе [33, с. 87] в явном виде. Из (2.160) следует, что существует некото¬ рая постоянная С}>0 такая, что при всех Х>0 л (2.161) С помощью (2.155) — (2.157) таким же образом может быть выведена формула j exp (it || х + h ||2) N (dx) = ср (t) exp [it (Rs (2it) /i, /2)}, (2.162) 11 где h^H, Rs(2it) = (I— 2itS)~~\ I — тождественный оператор. Поскольку {к;} и {в;} — собственные числа и собственные функции S-оператора, то оо (Rs(2it)h,h)= (2.163) /=1 1 101
(2.164) и формулу (2.162) можно представить в виде { exp (it |! х + h i|2) W (dx) = <р (/) exp ! it У ! II I /-I 4 J Произведение <0s(z) = П(1~г\), /=1 где {X/} —собственные числа S-оператора, называется характеристи¬ ческим определителем или определителем Фредгольма в точке z опе¬ ратора S. Общие оценки, связанные в срп (/). Для //-пространства оценки п. 2 § 2 принимают следующий вид. Лемма 2.7. При любом реальном t и всех целых k, 0 k h, спра¬ ведливо неравенство | ф„ (/) I2 С Е | ехр(Д 6/, \ (2.165) где = ^1/ — ^2/, j = 1,2, ..., k, причем случайные величины И, Hi/, g2/, / = 1,2, ...,£, независимы и имеют одно и то же распределение Р. Запишем || Sn ||2 по равенству Парсеваля как IISJ2 = 2 (е„ s,,)2. /=--1 (2.166) Из (2.165) и (2.166) вытекает следующее неравенство. Лемма 2.8. При любом реальном t и всех целых k, 0 k п, спра¬ ведлива оценка | ф„ (/) I2 С Е Е$ exp Д (в/, Д 6sj (Г/, Е)) (2.167) гдеЬ],] =1,2, ..., определены в (2.165). Неравенство (2.165) можно записать в другой форме (см. [140, лем¬ ма 3.37; 94, лемма 2.11) | Е ехр (/т || X + Y + Z||2) |2 Е exp (2/т (X, К)), (2.168) где т = ; X, Y, Z — независимые векторы в /У; X = X — X', Y = Y— Y'—симметризации X и Y\ X' и Y'—случайные векторы в Н — независимые копии X и Y соответственно. Пусть, например, в (2.165) % — случайные величины, ограниченные по норме некоторой постоянной С Д> 0, т. е. ШКС- (2.169) Тогда очевидно в области |/| 4С4)-1 (2.170) 102
при всех 1 k п справедлива оценка |£;еЦдЦ^б;, с 1 - -1~ где (2.172) Из (2.165), (2.171), (2.172) при условии (2.169) в области (2.170) следу¬ ет оценка | ф„ (0 Г- < Е exp J- JL (П - /г) J ( Д б/, Р (<Ц , справедливая при всех 1 k п. Для всех s = 0, 1, ..., п s (2.173) P^n_s = Р * Р * • • • * Р * N * ... *Nt где символ * обозначает свертку распределений; при Z = 1, (ft) = J е' IVT +" I p,_1>n_; (dn), h £ Н, н Л/ = (ft) = У // + 1г) Р (dg) = ft ф Р, п,-1 = л/_| (/г) = ft (~^=~ + h)N (dl) =ft®N. (2.174) 2, .... п (2.175) (2.176) Следовательно, (2.177) (/) в не- <Гп (0 = лп(0), ср (/) = ло(О). Покажем, что при помощи (2.175) — (2.177) функция ср,, котором смысле выражается через л (0). Для этой цели введем следую¬ щие обозначения для производных по Фреше (см. [50]): В — банахово пространство; если /: Н -> В, то /г-ю производную в точке h £ Н обо¬ значим fl'f (h), а соответствующую /г-линейную форму так: ... , DCS, h^H, /= 1, 2, ... , й. k Для простоты запишем gff (/г) (£, Е, . . . , Е) = $kf (1г) (Е)\ <0°/ (к) (Е)() = = /(/*). В случае (2.175) — (2.177) производные можно вычислять по фор¬ муле где z — вещественный параметр. п—S (2.178) 103
179) Если отображение f: И -> В дифференцируемо до /г-го порядка, то справедлива формула Тейлора А—1 /(/* + £) = Я (/), (2.180) /=о '• где остаточный член R (/) представляется в интегральной форме как (!-«)*“' <Z>kf(h + u$®'!du. (2.181) Равенством (Prf)(h) = &P(dlj II (2.182> определим оператор Рг порядка г (г 0 — целое число). В связи с (2.184) отметим следующие соотношения: = 1, р1 = д/1 = 0, P2 = N\ (2.183) Кроме того, в силу свойств симметрии и аддитивности гауссовой меры W при любом целом k 0 N1 = ■ ’ J, (N2) ’ если 1 = 2k’ 2k- (2.184) 0, если 1 = 2^4- 1. Пусть Qn — мера, которая индуцируется мерой Q при отображении _ I 2 . Проинтегрируем (2.180) по мере Тогда т— 1 f®Q4= S -^С7(А)(-^У + ^, (2.185) /=о ’’ \ V tl / где оператор Q1 действует по формуле (2.182); tn Rn = ■(”_21)т f П - (,f $>mf (h + tV QH du- (2-186> 0 (H ' ' 11 1 I Из определения (2.176) следует, что при I = 1, 2, п Л; ф Nn = Л/_] ф Рп. (2.187) 104
Рассмотрим правую часть (2.187). Положим (формально) т — оо. Тогда оо (2.188). (2.189) Сворачивая сумму в (2.188), получаем —[—р л/_1 @ Рп = е Vrl л/_1, где оператор ехр f—U- Р) определяется обычным образом. Далее если \ V ГС ) применить формулы (2.184) и (2.185) при т = оо (формально), то ле¬ вую часть (2.187) можно представить так: оо /=о '* х 7 (2.19Э) Отсюда — /V2 ni®Nri = e2n л,. (2.191) Оператор этому из шение ехР(ЧгМ2) (2.187), (2.189) и (2.191) получаем рекуррентное соотно- имеет обратный оператор ехр ( л' = ехр(ттр_^ р2)я'-ь Поскольку Р'2 = Af2, то в соответствии с (2.192) n; = eXp^p__L_p2jJl/_1. Кроме того, с помощью (2.184) получаем (2.192) (2.193) “■> (- -£)«... = I V- Ш' <w«» = X (й)' i - -ехр (тт л'-‘- В (2.192) сделаем замену по (2.194). Тогда = ехр (у=- (Р + iW)j Л/_Ь Поскольку в (2.193) Z =1,2, ..., п, с учетом обозначений (2.177) по¬ лучаем /=о (2.194) (2.195) 2и (2.196) 105
Аналогичным образом из (2.185) находим (0 = (exp (Р + л0. (2.197) Таким образом, согласно (2.196) и (2.197) при п -> оо асимптотика характеристической функции <рп (/) аналогична асимптотике опреде¬ ленного /г-кратного оператора. Разложим в соотношении (2.197) опе- _ i ратор в ряд по степеням п 2 (формально), пользуясь свойствами (2.183): Нтг(₽+''<-(,1 + S(vr)i(,>+"V)' 1 + S (тг)'+ j)= ехр X а'п~ где X (Р + iW)n‘ ... (Р + iN)nl. 1_ Из (2.198) разложением экспоненты в ряд по степеням п 2 получаем оо Нтг(₽ + “< = ,§ШЧ (2'ед где До= 1; -4-2/1?-]- • • • +М/=/ Следовательно, по (2.197) и (2.199) асимптотическое разложение для (/) имеет вид фП(о = £(4Ул-,по> <2-200> /=0 7 где оператор А2/определен в (2.199), причем А2/+| Ло = 0 в силу (2.179) и (2.183), (2.184). Разложение, аналогичное (2.200), можно получить и из формулы (2.196). Рассмотрим вопрос об оценке остаточного члена в асимптотическом разложении (2.200). Лемма 2.9. Пусть для s = 3, 4, 5 = E|iX1||s < оо, xs = Е т .55 обозначает оператор £ = _4-\ dejd&72 ) 1 72 с/ь (2.201) 106
При помощи определим функцию Т (/) как U || ТЧ~£1 X- I 2 |Н р. =£2=0* (2.202) Тогда существует постоянная С (уь> х5), зависящая лишь от моментов v5 и х5 такая, что при всех реальных t и п 2 справедливо неравенство 3 <рп ю—ф (о—4"т <C(v5> х5)|/|(1 +|/|14)/г (2.203) Доказательство. Применим метод, изложенный в работе [31, § 2]. В соответствии с формулой (22) работы [31, с. 451 имеем пп — л0 = V (Я/ _ л,-!). (2.204) i=\ При любом целом s>0h всех I = 1,2, п из определения (2.176) следует Л) ® Nn = (ЛГл/-1) Ф Ptv (2.205) Левую и правую части (2.205) умножим на , полученный результат просуммируем по s от 0 до k — 1, где k 1 — любое целое фиксированное число. Тогда Рассмотрим выражение в правой части (2.206). Для оценки Nsfti—i ф @ Рп применим формулу Тейлора (2.185) при т = k — s, f = N33ii_\> Qn = Pn. В результате некоторых преобразований имеем /?—1 X1 S—0 где 4 (yL-y (Л'Ч_.) ф Рп = £ (у-)8 (Р + IN? Л/-1 + RW\ (2-207) R X (1Л) I ,п k k—1 s=() s’! (k — 1 — s)! У Ч-! [h + <) X (2.208) В (2.207) оператор (P + tW)s имеет вид (P4-iW)s= £ imCns'P5-'nN'n, m=0 (2.209) причем в силу (2.183) (P + <W)° =1, (P + tW)1 = (P + iN)2 = 0. Далее для опенки выражения в левой части (2.206) опять применим формулу (2.185), положив tn = k — s, f = №nz, Q„ = Nn. 107
В результате будем иметь V21P- (2.210) где (2.211) Сравнивая (2.206), (2.207) и (2.210), находим соотношение k ] Л; = Л;_1 4- У (Р “Ь А/ 1 (2.212) где nW пО-^) р(2’Л) А/,п = Л/,п — Л/,п . В (2.212) положим k = 5 и полученный результат подставим Тогда (2 213) в (2.204). лп — л0 = п 1 (Р + iN)3 (д л'_1 ) + п 2 (Р + zW)4 (ф л,_, j (2.214) где < = S № 1=\ Имеем И (2.215) поэтому (2.214) можно записать как л„ — л0 = « 2 (Р + А)3 ли н- п~} (Р + zW)4 л0 4- S„1 4- S„2 4- Р,1Г’, (2.216) где Sni = П 2 (Р + zW)3 ^Д (л, — л0) j ; S,12 = п~'2 (Р 4- zW)4 (Д (л, — л0)^ . 108
Оценим S,!i и Sn?. Для этого применим (2.204) и (2.212). Пусть сна¬ чала в (2.212) k = 3. Тогда в соответствии с (2.204) для всех г = 1, 2, ..., п лЛ - л0 = £ Р(Д’., (2-217) /=1 откуда согласно (2.208), (2.211), (2.213) и (2.217) для всех г = 1,2, ... ..., п |л,— л01 С (v3, х3) 111 (1 + 1114) п ’ 2. (2.218) Следовательно, с помощью (2.218) получаем |S,t21С, (ve, х5)|/|(1 + |(|8)«“~ (2,219) Отметим, что неравенства (2.218) для оценки величины S/2i недо¬ статочно. Поэтому воспользуемся соотношением (2.212) при k = 4. Стало быть, при любом г = 1,2, ..., п в соответствии с (2.204) и (2.213) имеем _± _2_ lr-] \ г пг — ли = п 2 (Р + iN)3 + п 2 (Р + iN)3 £ (Л/ — л0) + £ Рл,!. V=i / z=i (2.220) В силу (2.179) и (2.184) (Р + /Л03ло = 0. (2.221) Таким образом, согласно (2.213), (2.218) и (2.221) из (2.220) для всех г = 1, 2, ..., п K-no|<C2(v5, х6)|/|(1 + |/|8)/г->. (2.222) При помощи (2.222) находим |S,lt|<C3(v5,x5)|/|(l + |/|14)п““. (2.223) Оценка, аналогичная (2.223), справедлива и для величины /?,?' в (2.216). Это обстоятельство усматривается из явных представлений (2.208), (2.211) и (2.213). Из (2.216), (2.219), (2.221) и (2.223) вытекает (2.203). Лемма 2.10. Пусть т = и k — целое число такое, что 0^С ft. Тогда справедлива оценка | <р„ (0 |4 < С*Е I е1^ \2{n-k\ (2.224) где / (?) = 2 2 (?. ?ls — ?2s), S=1 109
что при этом ?1JL, ?12, 51/г и ?21, с22, •••> ^2k — две независимые последо¬ вательности независимых Р-распределенных случайных величин со зна¬ чениями в Н\ С = Е\\1’ IIs)1" + (Е||7] 'IIs)^ + 6 (£IIГ||4 (ЕIIп' ||4 А + + 4 (Е || I' ||2)" (Е || П' ||«)“ + 4 (Е || п' ||2 F (Е || ||6 )^, причем п' = V п s=l и предполагается, что Е || 5 ||8 < оо. Доказательство. Очевидно, <рга(/) = — E(||Sn||4ei/||S«112). (2.225) Формулу (2.166) можно записать как ||Е„||2 = а + &, (2.226) где а = IIИ2 + ИТ. ^ = 2^ МЖй /=1 Подставляя (2.226) в (2.225), имеем Е (|| S,, ||4 е“11 s->1,2 ) = Е (а2е“11 s"||2) + 2Е (abe!l 11 S"||2) + Е (Ь*е“11 s-1,2), (2.227) при этом Е (а2е17 11 sn "2) = Е (|| £' ||4 е1711S"||г) + 2Е (|| ||21| т|'1|2 е“11 S'<1,2 -f- + Eh' ||4 е" "S""\ Е (abe“11 sn!|!) = 2 V E (|| g' ||2 £') (eh n') e“ 11 S"l|2) + /=1 + 2g|E(h'||2(e/,T|')(^ Г)*" "S"”2), £ (b-e11"s- ”2) = 4 £ У £ ((e., Г) (e/2> j;') (e/i) n') (e/2, n') e':‘ “ S'<l|2). (2.228) /,=1 /2=1 Для оценки каждого слагаемого в правой части (2.227) применяем (2.165), (2.228) и неравенство Коши — Буняковского. После неко¬ торых подсчетов оказывается, что | Е (|| S„ ||4 е':‘11 ||2) | С С (Е | Е/т№ |2(П-А>)Т. (2.229) Из (2.225) и (2.229) следует (2.224). ▼ НО
Оценка скорости сходимости. Наряду с мерой Р рассмотрим меру P1(A) = P(X1^A\\\X1\\^M)t (2.230) где А£<Л, М = тЕ || Хх ||, т 2, — фиксированное число. Пусть { k\j }/Lj — собственные числа S'-оператора (можно предполагать, что 2vu>X12> •••), определяемого как (S'f, g) = j (X —Pl, /)(*—Hi, g)Pi(dx), f,g£H, (2.231) H где и, = j xPr (dx). H Следуя В. В. Сазонову [207, с. 89] и В. В. Юринскому [94, с. 271],. покажем, что при Е || Xr ||2 <. оо для любого целого k 1 2’ • ••-*> <2-232) если только т 2 удовлетворяет неравенству J \\xfP{dx^_L-Kk. (2.233) l|x||>mf || X, || 10 Поскольку в левой части (2.233) интеграл при /и -> оо стремится к ну¬ лю, то для любого фиксированного k 1 и > 0 всегда существует число т, удовлетворяющее (2.233). Связь между S-оператором и его спектром {Х;-} выражается известными формулами , (Sx, х) Xi — max . ||2 , (Sx, х) ■ un2 Х/+] = min max z/i, ...» У] (х,ур^=0, *=1, j (2.234) Аналогичные представления можно написать для S'-оператора. Тогда утверждение (2.232) будет следовать из (2.229), (2.231) и (2,234) при условии (2.233). Обозначим ср (t) = Ее"11г1Р, 4(/) = Ее"||т'|1г, где т' — гауссова /7-значпая случайная величина с ковариационным оператором S'. Согласно (2.157) оо 1 ср(О = п (1 - 2(7А,)_~, /=| СО 1 4(0 = п (1 — (2.235) /=1 Из (2.232) и (2.235) имеем k 1_ I 4 (0 I2 < П (1 + /2Х-)~ . (2.236) /=1 Оценим скорость сходимости, предполагая лишь существование второго момента нормы, т. е. £|| X, ||2 < оо, (2.237). 111
и выполнение такого условия: при | I | оо hPWI = O(|/rv), (2.238) где у > О — достаточно большое число. Очевидно, в силу (2.236) ус¬ ловие (2.238) всегда выполняется, если число тех /, при которых X, > > 0, бесконечно. Отметим, чго первые оценки скорости сходимости при условии (2.237) для конечномерных пространств Rk были получены И. А. Иб¬ рагимовым, В. В. Петровым, Л. В. Осиповым (см., например, 146, 731). Обозначим «,.= I w/w = 5 himdx), (2.239) 11*11 >/л F п II X II =£191 V/. = 4’ У hll4P(dx). Очевидно, что |3,^ С Е || Хг ||I 2 уп. . Теорема 2.9. Если выполнены условия (2.237) и (2.238), то при лю¬ бом 8 7> О справедливо неравенство sup I Р (II S„ II2 < х) — Р (|| т II2 < X) К Cja,, + С2р,2, + С3уп + С4 , (2.240) где С,- > 0 — некоторые постоянные, зависящие только от собственных чисел S-onepamopa и е. _ _i_ Доказательство. Обозначим Sn = п 2 (Xi 4- X? 4- ... 4- Х/7), где X/ = /= 1, 2, ...» /г; F(-) — распределение слу¬ чайной величины Xi. При oQR, и целых р^О, г^О, т = = 0, 1, ... , п — 1 определим интеграл от,п (/) = = J е''^+412+-о(х+г.ш) ц х + г ц2Р (х + г> wy F„, (у~ dx} Nn-m-X (у~ dzy Докажем следующую лемму (ср. с [42, лемма 2]). Лемма 2.11. Пусть ЕХх = 0, Е || Х1 ||2 < оо. Тогда в области | t | Сп}—\ 8 Д> 0 при всех а £ R, w £ .¥, целых р 0, г 0 и всех т = 0, 1, ..., п — 1 справедливо неоавенство I ^п.п (01С ₽1 (I (М Г + 11’ (Рз«Т) г + п-^) II w ||г (2.241) с некоторыми постоянными (3,; > 0 и произвольно большим q > 0. Доказательство. Пусть сначала где символ [Z?] обозначает целую часть числа Ь. Для таких т рассмотрим интеграл 6„,.„ (/) = j eit\\x+z\P+ia(x+z,^ || х 2||2'’ (Х _1_ 2> dxy 112
Очевидно, что при всех I = 1, 2, .... т 6,„.„ (/) = j el7“^+^+z:i2+''"<^+^+?“'H|z1 х2 + zp (Xj + х2 + z, w)' х X F'"~l (V'n dxY) Fl (]Fn dx.,}. (2.242) Преобразуем подынтегральное выражение в (2.242): 41 + Х2 + Z, W)' = r , fr!, r - (xI( w)r' (Х2, М' = 4, №?’, Fl+F2-\-r3=r Г 2‘ 3‘ II х1 + Х2 “Г И* Р — (*1 + Х2 + Х1 + Х2 + ?)Р — yi р\ 2P1+/74"’_Ps Pi+p?4~‘ • '-\~Рв=р Р11 р2!... ра! 4i, x2)P'(xlt Х^{х2, X2)Pj(x1, zf‘ X X (x2, z)Pi (z, z)p". По формуле Парсеваля (X1,X2) = V (e,, xjlej, x2) /■=1 при pt 1 получим oo oo oo px 41- X2)P' = E S • • • S П (6/ Xx) (6/ x2). /.=1 /2=1 ip =1 s=i Следовательно, (2.242) можно записать в виде б,,,.,, (О = V ■ О.р (г, a1/3 (z, G+gT ' 3=<. Pi_bP2_i_ ' • "\~Рб=Р к, V J. t , •Чр =1 (2.243) ^рп ^ia{z,w) где Ji„i2-.ip = j el7||x'+X2_l zi|2+‘0(Xi+-v=’“,)(T1 (х,) a2 (x2) FT,~' (Уn dx^F'^n dx2), (2.244) при этом 4i) = 4i, H'14i, Xif’iXi, z)-n 4/s, x2), s=l Pl a2 (x2) = (x2, w)r"- (x2, х2)Рз (x2, z)Ps П (ei, x2), S=1 r _ r\ p\ 2P1+^+Ps r,P ~ r.2\ r3! px! p2! . . . p6! ’ Для любого борелевского множества В F (В) - j F (В + х) F (dx) есть симметризация меры F. 8 4-Ю1 ИЗ
Интеграл в (2.244) можно оценить как (см., например, [24, 42, 94, 1401) I /р,1 4 (/1> • • • - /₽■) (/ь • • • > (2.245) где Li (/i. • • • . /₽,) = У al Ui) Г'"-' (Кп dxj, 7. о (in • • • > /р.) — &2 (х2) F (VП dx2)', L:I = У exp (2ZZ (Xj, x2)) F'n~] (\/rti dxx) Fl (J/ n dx2). По неравенству Коши — Буняковского i i S (/1> • • • , /pi) 0*1, • • • , /pl) /оо Г oo X M (/1> • • • > /pi) 1/ X ^2 (ji> • • • , /pi)- Далее имеем v; L, (ju jPt) = У (O1, wf' (x1( x1)p-+2p’ (xn z)2p' Fffl-1 (VndxJ, A '₽,=> £ L2 Hu > ipi) = У (Xi, wfr* (X2, х2)Р1+2Рз (x2, г)2р‘ F1 (Vn dx2). i /p>=1 (2.246) Отметим, что из показательных неравенств Юринского [2301 следу¬ ет, что если ЕХх = 0, Е \\ ||2 < оо, то при всех k = 1, 2, п и любом р 2 II х\ + %; + • • • + х' 11р £ 11 2 '—± ^С(р), (2.247) II V п II где постоянная С (р) от п не зависит. Существуют и другие доказа¬ тельства (2.247) (см., например, работу [42, лемма 1, с. 2791). Из (2.246) и (2.247) получаем v LAii, .... /р,)<С4МГ''1И|2₽4, /„...,/р =1 (2.248) МЛ, /p,)^c5Mi2r’M2rs- /п- ./р,=1 Рассмотрим величину Л3. В (2.230) можно предполагать, что М < Уп, ибо п оо. Тогда (см. [207, с. 891) для любого A С Л F(A)= ~(Р1{А) + Р2(А)), (2.249) 114
где р2 — вероятностная мера, сконцентрированная в шаре (х : || л !| ]/п}. Очевидно, что jexp(2z7(%!, x2)Fi (У п dx2)) = | fexp (2d (хр х2)) F1 (У/г dx2) | . (2.250) С помощью разложения (2.249) запишем j ехр (2d (х19 х2)) F1 (]/п dx2) = = SoQ 2_Z У ехр (2ii (xv yj) Р{ (Vп dyj х X jexp(2z?(x1, у2)) Р!2~’ (Vп dy2). (2.251) По неравенству Бернштейна (см., например, [44, с. 160, 210]) при 0<х^-^-, /> 1 S (f)2-'=s;e—. (2.252) Положим в (2.252) х = -^—. Тогда из (2.251) и (2.252) найдем | У ехр (2it (х1( х2)) F1 (]/п dx2) | < Е Q 2_z | j ехр (2(7 (х1; z/j)) Р{ (Vn~ dyj j + ё~ < | j exp (2z7 (xb z/J) Pj (/n dyj | ’ + 2e 16, (2.253) где + 1. Объединяя (2.250) и (2.253), имеем для 1 = = 1,2, . . . , т § ехр (2d (хх, х2)) (Уп ^х2) < 2 J ехр (2d (х19 О У (Уп dyj + 8е 8. (2.254) Левую и правую части (2.254) проинтегрируем по мере Fm~! (Уndx}) и к полученному результату применим соотношения (2.250) — (2.253). В результате придем к неравенству 4 j ехр (2d (xv х2)) Р\' (Уп dxj Р\- ()Лг dx2) 4- min(/,m—/) + 16е 8 , (2.255) справедливому при всех I = 1, 2, ... , т, гле /2 = Оценим интеграл в (2.255). Для этого рассмотрим два случая. 8* 115
1—8 Случай 1. Пусть в области п - | I | СпУ~е I ~ п-?. Тогда из соображений независимости и формулы Тейлора обычным путем получаем j ехр (2/7 (хр х2)) Р\' (Уп dxj Р\2 (\/Гп dx2) = = у 15 ехр РУ (х> у)} pi Ср1*' (2.256) где pz — некоторые постоянные. С помощью формулы (см. [81]) е ₽‘ ,‘е = (2.257) Ихмеем Р -3. —у (5' у,у) ip i j/'(x,Tf) |2/1 "e P\'(dy) = E\\e y Л№)| • (2-258) На множестве (co : || t' || In n} для оценки интеграла по мере Р} еще раз воспользуемся формулой Тейлора, а на множестве (ш : II т' || > > In п} для оценки выражения в правой части (2.258) применим пока¬ зательные неравенства (см., например, [92—941). В результате получим Заметим, что = | (1Лр5/ге) |2. (2.260) Из (2.255) — (2.260) выводим оценку А2С4|ф(И^)2 + С/1-з2^ (2.261) Случай 2. Пусть в области 2 Тогда анало¬ гичным рассуждением придем к оценке вида (2.261), где вместо ФП'Рз^) будет ф([36/). Следовательно, при условии E||X1|i2<oo в области |/|^Сц1— е справедливо соотношение А3 С (IФ (IV) I2 + № (J I2 ~г (2.262) где е > 0, q > 1 — произвольно большое число. Объединяя (2.243), (2.245), (2.248) и (2.262), получаем 16„,.„ (/) I С (14 (рво |~ + | 4 (/IV?) F + X Cr.p|!2|р+^+^+2',« . (2.263) Г 1~^~Г 2 + Г3=Г- Если левую и правую части (2.263) проинтегрировать по мере (р. то можно прийти к (2.241). 116
Заметим, что подынтегральная функция в а1ПЛ1 (/) симметрична от¬ носительно х и г. Поэтому в случае пг < неравенство (2.241) мож¬ но вывести аналогичными рассуждениями, рассматривая сначала ин¬ теграл по мере Л/'"”*”1, а затем усредняя полученное неравенство по мере Fl. v Можно показать, что (см., например, [207, с. 95]) sup | Р (|| Srl ||2 <х) — Р( || т||2 < х) || <С х < sup I Р (||s;, II2 < х) — Р (II т II2 < х) I + ап. ■ (2.264) X По неравенству Эссеена т sup|P(||S;i|2<x)-P(h||2<x)|<C J | Ь/+ ( ~Т (2.265) где 7' = Сп'-Е; <р„ (/) = Ее1"^. По формуле типа Линдеберга <р,> (0 — <р (0 = Ч - , _ Г” (У'п dx) И (dy) (Уп dz), (2.266) где //(•)=-• F (•) — N (•). При анализе (2.266) используем элементар¬ ную формулу г—1 s=d s! о (1 (г-1)’ exudu, (2.267) где г 1 —целое фиксированное число, а х — любое комплексное. Из (2.266) и (2.267) при г = 1 имеем Фн (0 — ф (0 X t X (I -L f + 2 У + г> О F'n (|/« dx) Н (dy) Nn-'n~} (Уп dz). 'ИМИ \ 1 и ;/ (2.268) Здесь учтено также равенство (FI (dy) = 0. Из (2.266) и (2.267) при г = 3 выводим представление = So (i П1т (I) - П2„, (0 - 4" Пз,п (t) + -f - п«'п (0) - (2.269) 117
где eU\\*+z\\2 П1/Н (/) = If 4- 2 (х + z, F’WTi dx) И (dy) X ) И 11 \ In I) X Nn-m-l ^r~ n2m (!) = е»цх+2|р -^=- jf 4- 2 (x 4- z, -^=-'^Fm (Vn dx) H (dy) (Уn dz), П3т (t) = •2 I “i“ x 4- z, j3 Fm (УП dx) H (dy) Nn~m~' (Vndz), 1 ч II U II2 . о-у ( - У \ JP it и —~r2ltu X-~Z, - ■ j_- du (1 — u)3 J еа\\х+^е И Vn || к ' X о Очевидно, что dx) H (dy) (У n dz). П1,„ (/) = — j F (dy) У el7"x+* f |l -^=-|f 4- 2 (x 4- z, > л II \ X Fm (Уп dx) JVn-m-1 (/т dz), П2т(/) = П^>(0 + П^(0, (2.270) (2.271) где Г1!Д (I) = C _Ljf Fm (Уn dx) H (dy) кп-т~' (Уn dz) — J II 1 « II - 4 j P (dy) j e"ll*+< (x 4- z, -±=-^ Fm (Уп dx) Nn~m-' (У„ dz), Ы> Vn П$(0 = = 4 J j ~^=- |2 (x 4- z, -^=-j Fm (Уп dx) H (dy) Nn~m~l (Уп dz), n3m (t) = n^(t) + n^(t), i2 / П3ш (!) = (2.272) IS,! (0 = (>..«■ (I 44 |- + 61 44. I* j.r + г, _«U + + 6 | -J^lf (x 4- Z, -^j2) Fm (Уп dx) H (dy) Nn-m~' (Уп dz), П(Д (0 = 8 J e,7H*+4F (x 4- z, -^j3 Fm (|/T dx) H (dy) Nn~m~' (Уп dz). 118
Из свойства симметрии гауссовой меры Af и формулы типа (2.266) имеем т — 1 ГС (/) = 4 V] f ехр (it || X + z II2) ex р (2it [х + z, -^=-) + + it| -$=г- II21 [х + z + -^, -£=■} Il -Mf F'n' (Vn dx) Н (dy) X х Н (dyj Nn~m'~- (/Т dz), (2.273) Пз™ (0 = 8 S ехР (# II * + z ||2) ехр \2it (х + г, + + it II П I х + z + -Д=-, -~^У’ Fm' (//Г dx)H (dy) И (dy,) х X Nn-mi-2 dz); (2 274) Далее для оценки каждого из интегралов в (2.260) — (2.264) можно непосредственно применить лемму 2.11 при достаточно большом у > 0 в условии (2.238). При этом для обработки (2.273) и (2.274) воспользу¬ емся еще раз формулой (2.267) с г = 3, чтобы раскрыть сомножитель ехр ^2it + г, ■ j + it | -yL || |. В результате указанных операций! в соответствии с (2.269) придем к неравенству т (Z) ~fp (Z) I dt < Ca., + Ср2 + Cyn, (2.275) —T где величина p/7 появляется только при оценке (2.273) и (2.274). Из (2.264), (2.265) и (2.275) вытекает (2.240). ▼ Пример 1. Пусть при х -> оо J 1М>Х В этом случае Е II Хх ||3 = оо и при /г -> оо sup | Р (Ц Sn |Г- < х) - Р (|| т ||2 < х ) | = О | . (2.276) \ In п J 11 / Пример 2. Пусть Е || Xt ||3 < оо. Поскольку для любого 0 < а < справедлива оценка Vn^n_T~“E||Xl|P + -U- J \\y\?P(dy), У п •'i Т" ~а \\1/\\>п 2 то из теоремы 2.9 вытекает результат Б. А. Залесского (см. [43]). Теорема 2.10. Предположим, что выполнены условия (2.237) и (2.238); 7^2 — произвольно большое целое число; 7t1 — любые 119
вещественные числа, i = 1, 2, 3. Тогда при любом 0 и всех х > О справедлива оценка |/’(||S„r<x)-P(||T||^<x)|<^A- j \\yfP(dy) + IMI>Vn(l-r^) + Tf+х/ + Р'- ++ "J") + L3 + Лг f \\yf'P(dy) + (1 4- xl?‘ nQl~1 J J + V7T<||vK/n(i+x) \УрР(№ J Wy^'P^dy}^ Vn<M«/n(l+x) -1 - f (1 + x)- x(l+ J \\yrP(dy)\, \ V7iOKV7i(l+x) / (2.277) где Lt> 0 — постоянные, зависящие только от собственных чисел S-onepamopa, q, q( и е. Доказательство. Для всех j = 1, 2, ..., п положим = lfflXyiK/7}’ = 1{||Хц/<-/Л(Т+7)}> S,i = - (Xi + Х2 + • • • + Xn), Sn = - (Xi + X2 + • • • + X,i). V n У n Тогда для всех x > 0 имеем |^(H2<*)-^(IIM2<*)I^S Д/(«. Д (2-278) где Рп — вероятностная мера, которая индуцируется суммой Дх (и, х) = | Р (|| Sn ||2 > х) - Р (|| S; ||2 > х) |, Д2 (и, х) = | Р (|| S,", ||2 > х) - Р (|| Sn ||2 > х) I, Д3 (п, х) = | Р (|| S,', ||2 < х) — Р (|| т ||2 < х) |. Оценим Aj (п, х). Для k = 1, 2, ..., п положим По формуле Линдеберга p(iis;1||2>x)-p(iis;n2>x) = s (pik+-^U *=| \ \ II у п (2.279) 120
Очевидно, что р (II °*+тг ЧМ=р (10;+тг *•' 1Г н - = J р(к + -U-*J>x)P(dxk) + PdlOilP>х)Р(||хАц>/п). (2.280), п = - S *=| Из (2.279) и (2.280) можно написать представление p(iis;ii2>%)-p(iis;n2>x) = - У Р (I Q'k + хк Г > у) Р (dxk> + ^<hftK^(i+7) 'll }п 11 ' + P (II0* II2 > x) P (Уп < || Xk || < /n(l +x)). A=1 Положим при г = 1, 2, ..., k, k = 1, 2, ..., n w = -i=-f£Ix; + £ x;V V \/=2 W4-1 J /г—1 Л-1 n \ e;,A= ’ у x"i+ S У + £ XT V П \j=l i=r+l /=A+1 J затем согласно (2.281) запишем формулу p(iio;ua>x)=р(ц hmii2>x)+ + E J p(||0;,A + -7Uxr|f>x')p(dxr)- 'Тчм^ 41 Vn 11 ’ - S P (II ОмII2 > x) P Уп < II Xr || < Уn(\ +X)). r=l Подставляя (2.282) в (2.281), получаем p (II s'n ||2 > X) — P (II II2 > X) = V ay (n, x), j=i (2.281), (2.282) (2.283) где 1 Oi (n, х) у С Р (dxk) Р ill т]п k + —— xk II > х^ °2 («>•*) = ~ £ £ У Р Х л~1 г—1 /и <11^11^ /п(1+х) Х У P(rfxr)p(||of,A + -pl-X, + у=-х,| >х), У П <||xfU Уп (14-х) 121
os (n, x) = 2P (/n < || Xx|| < Vn (1 + x) X k~lr ' l/КЦл^Н/'Ш+х) ff4 (fl, x) — P (/« < || Xt || sC ]Лг(1 + x)) S P (|| T|n,* II2 > *), A=1 a5 (n, x) = - (P (Vn < || Xx К Vn (1 + x)))2 £ £ P (II9^ II2 > x). A=l r=l Рассмотрим каждое слагаемое правой части (2.283). Из неравенства Чебышева и (2.247) при любом вещественном qr 1 для всех х > О 1 II2 \ >* < } п II / с {Qi) (1 (2.284) Очевидно, что У Р (dxk) (^/1,2(7! (х) Gn,2q1 (0)), (2.285) где On.2?I(x)= J Согласно (2.284) и (2.285) | ах (п, х) | (а„,2?1 (х) - (0)). (2.286) ( 1 -j- AJ П Для оценки о2 (п, х) так же, как и в (2.284), при любом веществен¬ ном 72 1 где по неравенствам Акоста (см. [96]) и (2.247) Е II Ц’^2 А 1<?н,2^2 (х) + А2> причем постоянные А( > 0 не k = 1, 2, ..., п. Следовательно, 7з > 1 зависят от п и всех г = 1, 2, ..., k, при любых вещественных (?2 > 1 и |о2 (п, х) I а-{q^ Qz-vQs— (l-i-Л'Г* п' 1 122
Аналогичные рассуждения показывают, что I °3 (П’ А-) I Л1 +-^ П4 W _ (0)) (1 + <7"’?‘7 (х))’ (2.288) I *) I < ~^=Г W - (0))> (2-289) 1 ’• ” I < 7Й5=Т П «Ч», « - ««.,ОО. (2.29Э) U Л х) Г1 1=8 где 7t1 — произвольные вещественные числа. Объединим неравенства (2.286) и (2.289), полагая qr = q- = q7, и неравенства (2.287), (2.288), (2.290), полагая q2 = qA = q8 и q3 = = qh = q9. Тогда в соответствии с (2.283) за счет выбора постоянных CL и С2 при всех х > 0 получаем оценку Л1 /■ //■ ~^=Г W ~ <0)) + U “г х) п 6*2 (1 +*)’’ И (on.21?. (*) — Ол,2<7(. (0)) (1 + а,г.2^ (*)). ' i=2 Оценим Д2 (/г, х). Для 6=1,2, ..., п положим 9* I 1 1 п -Г- V х,+ -U S X/. >п >п i=7+i Далее имеем представление, аналогичное (2.279), Р (il S,. ||3 > х) - Р (|| S'n ||2>х) = -£ 5 р(|в*+tW> ||л>||> /п(1+х) - £ Р (II0* II2 > х) р (II xk II > /Т(Т+7)). А —1 При любом х>0 и всех k = 1, 2, п J р/||0а+ ‘ xJ|2>xjp(^)^ Ы>/п(1+х) Таким образом, при всех х > О - У ы2рш. Ы>И1(1+х) 123 (2.292) (1 + х)
Оценим Д3 (n, x). По неравенству типаЭссеена (см. [73, с. 1931) при любом целом q 2 д3 (П, X) с —К-^- (У + j2 + _Ly (2.293). где t t JI1,17ф 1,11 — 7 —7’ при этом T = Спх—& > 1. Интеграл оценен в (2.275). Рассмотрим J2. Согласно (2.268) для произвольно большого целого q (q 2) _;.+. £ г iu г ,»«■" |тг1|’+”'“ ('+■• #) х dlq 1 ! m=00J J X Л, (I -±=- |2 + 2 (х + z, Fm (У~п dx) Н (dy) Nn-m-' Уп dz), (2.294) где I ч * 2 A2q = £с'||х + 3||2w-n Тогда (2.294) можно представить как _ /«+1 d<> (Фп (О — Ф W ') = (П5т(0 + П6,„(/)), / m=0 (2.295) t где - «u|!-^z-f+2«u (x+z.—M ]e II /nil \ Vn )x n5m(0 = fdupW О х Л,. (j-JL- j2 + 2 (х + г, Fm (Уп dx) H (dy) Nn~:n~' (J/ n dz), (2.296) П6,„ (t) = { du J il+2"U Ьг' Л ) х X A2q (j ||2 + 2 [х + z, Fm (Уп dx) Н (dy) Nn~m~' (Уп dz). (2.297) 124
где Преобразуем величину П.5,п (/). По формуле (2.267) при г = 2 П5„, (0 = R\m (0 + itRim (t) - FRim (/), (2.298) «'”('> - Й“ 5 (ШГ+ 2 (* + ’■ тН)х X F'n (/n dx) И (dy) Nn-”’-' (/n dz), R2m (t) = j duu^ e"MAla (J I + 2 (x + z, X x Fm (K« dx) H (dy) Nn-'n~' (Vn dz), R3in(t) = $ du $ dvu2(l —1>) J el7||Jc+?ll’e,/u|lVn’ll +“'“ (*+г'Тт) x X A|„ (| |2 + 2 (x + z, Fm (Vn dx) H (dy) Nn-m-' (Vn dz). Пользуясь тем, что ковариационные операторы мер Р и N совпадают, получаем для величин R\m (/) и R2m (/) следующие представления: к... 0) - J .',м (17Т Г + 2 (* + г' тт))’1 * + 2 |Г" + X Г" (/п dx) Н (dy) ()/„*) — - J е’+!"’ И + 2 (* + х иг))|х + гГ + + 2<? ^х + г, -у=-)||х + z [|2<г—2| Т7”' (V п dx) Nn~m~' (Vndz), (2.299) +Ш11’+!Н М|2+г!Г’+^|| + 2 (х + г, -j7=-j)'\\x + z Ц2’-4} Fm (Vn dx) H (dy) Nn~m~' i — 2 У P(dy)^eiM4x + z, -^V||x + z||2e X X F'” (Vn dx) Nn-m~' (Vn dz). (2.300) С помощью леммы 2.11, соотношений (2.273)— (2.275), (2.293), (2.295) — (2.300) и несложных вычислений приходим, к оценке Д3 (п, х) < («п + + Yr. + , (2.301) г~ -М2 + (Vn dz) — 125
справедливой для любого произвольно большого целого q 2. Объе¬ диняя выражения (2.278), (2.291), (2.292) и (2.301), находим (2.277). ▼ Асимптотические разложения. Пусть в (2.139) <р (ё) = j Л||1+е,а'+• ■ '+e'^N (di) Рч (d& где & (^1> ^2, • • • > (^1> ^2» • • • > Дифференциальный оператор Р}($)е), определенный в (2.144), прило¬ жим кф(е)и полученный результат обозначим через d}- (/), т. е. df (t) = Pi (0е) j ?'“г+е-^+- • (rfT) po (dl) |e=0. Здесь интеграл по гауссовой мере вычислим с помощью (2.162). Тогда dj (/) примет вид rfy (0 = Ф (0//(0, (2.302) где Л (/) = J <2,-(£№(<), Qj (I, t) = Pj (0e) (exp (it (Rs (2i7) h, h))) |ё=о, Л = £1?1 + £2^2 + ‘ • * + 8^. Например, Q2(U = -i-a2 ±-(b2 + 2ac) + -±-b3, (2.303) где a = it(Rs (2it)llt ^); b = it ((Rs (2it) g2) + (Rs (2it) |2) ^)); c = it (Rs (2it) £2, £2)- Из определения оператора Pj (<0£) и соотношения (2.302) следует, что ^+1(/) = 0 (2.304) для всех целых г 0. С помощью d, (t) и (2.302) определим функции Ф, (X), К 6 = 10, оо] как ф/w=4- [ 'р®ъwdt (2-305> и пусть ФГ (А.) = Ф (А) + п ’Ф/(л). (2.306) 126
По неравенству (2.144) при всех t £ R s—2 2 ^(0, (2.307) где Rn (/) согласно (2.142) представляется как Rn (0 = sup sup (Si^hj (t, ё) . 0<c/<Cn 0<$e<$1 I e= - (2.308)' при ЭТОМ hj (/, e) = J exp (it || и + w + я1х1 + • • • + ||3)' X X P\ (du) N"~' (dw) (P + N) (dxx) Pq~' (dx2, dxg), 1 1 Py^P'^n2 •) обозначает свертку j копий Р(п2 • ); = 7V*(n—y) (n 2 •) есть свертка n — j копий N(n2 u, w, E = (ei> e2, •••, (2.309) где .*/ УГ7’ 8 > 1 Vn 1 a = (ax, a2> • ••, 0^az^s, | a | 3 (s — 2), 3(s— 2)^2?, s>3. Оценим величину Rn (t) в (2.308), используя рассуждения, приве¬ денные в работе [140, с. 3471. Согласно определению оператора см. (2.141)) значение производной 8) ■Чтт'” ") распадается на конечную сумму членов типа С‘Г₽Л f И (« + w, XPY^} п (Хр, Xs)^ X \ г л / J Z,= | p.s=l X ехр (it L + w + -4- х, П P'l (du) N']~' (dw) (Р + N) (dx.) X \ II I n и / X Pq~' (dx2, .. ., dxq), (2.310У где Q /бр] + = v (rps + rsp), p = 1, 2, .. ., q\ C=() -Цг-^r C|a|, />0, 6Pi = 1, если p = 1; 6p] = 0, если /7=^1,. (fps) — целочисленная матрица, rpS^0. Стало быть, в соответствии. 127
‘С (2.310) достаточно оценить интегральное выражение С П (и, хр)гр (w, хрур ехр J х>=1 (2.311) Пусть В (2-311) оценим сначала интеграл Л = С П (и, xp)rpexp (tillи + w + —х1||2'| Р\ (du). (2.312) „=, \ II У« II/ «Очевидно, что при любом т = 1, 2, ..., j можно представить как •Л = IМ П («> Xp)lps п (и2, хрур* X J р р X ехр (г7 Ц ы! + u2-\-w + -р=- XjjP Р? (du.) Р'Гт (du2). (2.313) По неравенствам Гельдера и (2.165) модуль каждого интеграла в пра¬ вой части (2.313) при всех т = 1,2, ..., /не превосходит произведения М [тМ2т (J ехр (2ii (и., и2)) Р? (du.) Р\~т (du2)^T, где М\т = П («к xp)2lPs Р'” (du.)^, М2т = (j П («2. хрУкр*Р!Гт (du2))~2 . При условии Е || Xj fs < оо ЖЖт ^С|| Хр р. Обозначим L(h t) = «[4] J ехр (2// (ц1; и2)) РГ (du.) Р!Гп (du2). ‘Следовательно, \J.\^C\\xp\[pL4(j,t). (2.314) Пусть этом слУчае в (2.311) выделим сначала интеграл Л = f П (^, х„Ур ехр (it II ш + и Ч т=~ *11| 'j N” ' (dw) (2.315) J р==1 \ II V п \\ ! и затем оценим его, применяя свойства гауссовой меры (см. [140, «с. 3471). Тогда 1Л| ^с|1мГ₽| ф (4-) |~ • (2-316) 128
Из (2.308) — (2.316) при условии E || X{ |'5 <C oo для всех реальных t Q R вытекает неравенство /?п(0<С|/|(1 + |/|G(s-2,)L4 (04- |ф(4)|2)’ <2-317) где L,, (/) = L j, 1^. Далее, согласно (2.306) (Ф^’р.))' ^ С, поэто- S—2 му по неравенству Эссеена при Т = п 2 имеем suplPdlri.il2 <^) - ФГ (л) I X s—2 п 2 s—2 2 В работе [140] установлено, что при п1-е -л1-8 <Pn (О - <p(„s) (О dl -J- Cn s-r2 2 (2.318) — -с~2 dt = O(n 2 ). (2.319) Стало быть, для доказательства асимптотического разложения для вероятности Р (|| т|п ||2 < А,) необходимо в свете неравенства (2.318) оце¬ нить интеграл Л <Pn in — <р(,Г (0 У s—2 л1 —8^|/|^л - Очевидно, для справедливости соотношения sup IР (II II2 < *) - (X) I с Сп~ ~ X di. (2.320) —n t 8 > О Фп (o — <r!(s> (0 t t 2 s—2 (2.321) достаточно иметь оценку порядка 1п = О(п ~). (2.322) Из определения (2.320) видим, что оценитьможно двумя спосо¬ бами. Способ 1. Из неравенств (2.307) и (2.317) имеем Л> < с J di (1 +11 |6(s-2>) (lJ (0 + | ф (-Ц) = П1~ e^|/|^n - _L S—2 = C j d/(l +|/|6(s_2))L„4 (t) + O(n~~2 ). (2.323). s—2 nI_ e^|/|^n 2 9 4-101 129
В (2.323) при оценке интеграла от ср (/) мы воспользовались тем, что число ненулевых собственных чисел S-оператора достаточно велико. Таким образом, для справедливости (2.322) необходимо, чтобы при /2 —> оо У Л(1 + И6(5-2))Д4' W) = O(n М- с—9 Способ 2. Очевидно, что (2.324) < (О t Непосредственно из определения функций <р„1 (/) можно показать, что dt. (2.325) Поэтому (0 t s—2 di = O(n~~). (2.326) Таким образом, для справедливости (2.322) в силу (2.325) и (2.326) достаточно иметь оценку = О (2.327) <:—2 ц! 2 С другой стороны, для справедливости (2.326) достаточно иметь оцен¬ ку типа s—1 |<Р„(/)1 = О(«~~) (2.328) <?—2 при всех I из области и1-8 111 п 2 . В силу общих неравенств (2.165) и (2.167) можно утверждать, что условие (2.327) слабее условия (2.324). Это следует из того, что % (/) оценивается сверху величиной Ln (/), что можно вывести из (2.165). В формуле Парсеваля (2.166) распределение коэффициента Фурье (е,-, Sfl) случайной величины Sn по центральной предельной теореме в R при /? -> оо сходится к нормальному закону со средним, равным нулю, и дисперсией Xz. Поскольку {е,} является ортогональной систе¬ мой, то предельные случайные величины X. 2 (ez, т) = j = 1,2, ..., независимы. Представляет интерес изучить случай, когда допредель¬ ные случайные величины (ez, SJ, j = 1, 2, ..., тоже независимы. Не¬ которые результаты в этом направлении относительно оценки скорости сходимости получены в работах [31, 71]. 130
Обозначим Х/.л = ёл) л / , k = 1, 2, ... , п\ j = 1, 2, ... , фу (/) = Е ехр(г7Х/,|) — характеристическая функция случайной величины Xh\. Теорема 2.11. Пусть коэффициенты Фурье (ejf Sn), j = 1, 2, нормированной суммы Sn независимы и выполнены следующие условия: 1) для любого 6 > 0 (условие типа Крамера) sup sup | ф,- (/) | < 1; (2.329) 1^/<оо |/|^6 2) s KjEXl! < ОО. (2.330) /=1 Тогда при поо справедливо соотношение sup |Р (||S„||2 < л) - Ф(Х)— 4- Фх WI = о (П-1 (In n)~h (2.331) К п при этом в (2.331) Ф (X) — функция распределения с характеристиче- оо 1 ской функцией ср (/) = П (1 — 2/Л;) 2 ,ФХ (X) —функция спреобра- /=1 зованием Фурье f (I) = ср (/) h (i), где h(t) определено в работе [31]. Доказательство. Из соображений независимости <р„(/) = НтП ? eZA/W„iZ(x,.). (2.332) т-^оо /=1 J — со К интегралам в (2.332) при условии (2.329) применим неравенство из работы [73, с. 194] при k = 4. Обозначим п2р Jn= J (2.333) лг1-8 где а 0, е > 0 и число р 2 — произвольное фиксированное. Относительно Jn изложенный в этом параграфе метод дает возмож¬ ность доказать оценку Jn =О(п-р\ (2.334) Действительно, сначала запишем срп (/) как фп (/) = f J .1. 0 (2.335) "е 131
1_ Н} и /79 — распределения случайных величин a = k I 2 (X; 4- ••• i_ ••• 4-X*) и b = (п— /?) 2 (Х*_н 4- ••• 4-Хп) соо!ветственно, 6 = = Р Л ~ к , k ~ п — /2es > 0, — малые числа. Далее в (2.333) сделаем замену по (2.335) и затем проинтегрируем г раз по частям по переменной /, причем г 4р. В результате получим Jn= V (J|la + bbf-2! e^'-^+^H^da) Ht(db) + O(n~>>). /=1 E (2.336) Отсюда при помощи (2.241) выводится (2.334). Из (2.307), (2.334) и ме¬ тода работы 11031 непосредственно вытекают результаты В. В. Сазоно¬ ва и Б. А. Залесского [44, 208, 209] относительно оценки скорости схо¬ димости моментов в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве. Например, если при некотором s^3 Е || Х1 |р <2 оо, го тогда при всех 0 <Д q s (2.337) где ог?-> 0 при п оо, функции Ф. (у) определены в (2.1 28) — (2.131) и (2.305). Конечно, имея (2.334), можно написать оценки типа (2.337) для моментов Е || Sn |4, q s, при условии Е || X, || < х>, когда 2 s 3, используя схему метода работы [103]. Теорема 2.12. Пусть £ — Ц = С /?°° р||2 = Y р2 < оо|, т = = (Т], т2, ..., т,, ...), где т;- — независимые стандартные нормальные оо случайные величины в R. Для р^0 положим р(у)= р,у‘-, у = I -^i = {Ур С R°°- Пусть а\££, гр С R, г = 1, 2, ..., q и h = лдгр 4~ л%т).3 + 4- * • ’ 4-Vl<7’ -:Р(*/) СВ = Х\А — дополнение к множеству А. Пусть Р, (D}]) обозначает дифференциальный опера¬ тор, приведенный в (2.144), действие которого осуществляется в соответствии с (2.129) и (2.141). Тогда для всех 1 справедливы неравенства ! Р, (D„) р (Д - А) |п=0 К сД фй (х) р (dx), (2.338) В I Р, (£„) р (А - Л) Щ К сД <р, (х) р (dx), (2.339) А 132
где и, обозначает распределение вектора т, фДх) = П (1 + !]хД )?l7’H (1 + (х, хЛ’Л (2.340) Г=1 cq и cq — положительные постоянные. Доказательство. Пусть щ обозначает распределение слу¬ чайной величины т — h. Поскольку h £ то тогда (см. {[81, 1621) распределение р& абсолютно непрерывно относительно распределения р и —yW-(W) 1Чг№) = е 2 p(dx). (2.341) Стало быть, г* (* —(x.h) Р (Д — /т) = pft (Д) = j ph (dx) = j е P (dx) = A A -Ди2 c = 1 — e ~ ) e-'^i (dx). (2.342) Из (2.342) и определения дифференциального оператора P,(Dt|) вытекают (2.338) и (2.339). * Очевидно, что функции Ф, (X), определенные в (2.305), можно записать как (ср. С [81]) ф/ (X) = ( (Р2/ (£>„) .V (Д + /т) I 0) п р (dxr), (2.343 J r=l где А = {хб X : || х ||2 < X, X f #+ = [0, оо)}, h = + x2r)2 + ... + X/f 38, г|/ f R. Структура подынтегрального выражения в (2.343) схожа со стр\ ик¬ рой выражении в левой части (2.338) и (2.339) Следовательно, если Е || Xt || 2оН''< < оо, то в силу (2.160), (2.161) и (2.338) для некоторых h£X и гауссовых мер .V существуют постоянные сх2 > 0 и ос2 > 0 1акие, что при всех Х>0 выполняется не¬ равенство | Ф/ (X) | а,е~а*к. (2.344) Отметим, что оценка (2.339) полезна при X -> 0. 6. Асимптотика в центральной предельной теореме в банаховых пространствах Пусть X — сепарабельное вещественное банахово пространство с нормой I] • J; X* — пространство, сопряженное к 1, т. е. пространств) всех непрерывных линейных функционалов на X. Значение функцио¬ нала х* б X* на х £ X обозначается как х* (х). Пусть Р обозначает вероятностную меру, определенную на борелевской о-алгебре Л под¬ множеств X. Среднее меры Р равно нулю, если J х* (х) Р (dx) = 0 (2.345) х 133
для каждого х* С X* (интеграл Петиса). Ковариационным функциона¬ лом меры Р со свойством (2.345) называется симметрическая непре¬ рывная линейная форма S (х*, ;/*) = j X* (х) «/* (х) Р (dx), (3.346) х где х*, у* £ Ж*. Функционал (2.346) однозначно определяет кова¬ риационный оператор S : X* -> X**, Sx* = S (х*, •), при этом Ж** = = (X*)* — пространство, сопряженное к X*. Таким образом, опера¬ тор S действует как (Sx*) (y*)=S(x\ у*), где левая часть равенства понимается как значение линейного функ¬ ционала Sx* С Ж** на элементе у* С X* (см. [33, 1611). Характеристический функционал Р (х*) меры Р определяется как р (х*) = J eix^P (dx) (2.347) X для всех х* £ X*. Вероятностная мера Af, определенная на с/Z, называется гауссо¬ вой, если распределение на R = (—оо, оо), которое индуцируется ме¬ рой N и отображением х* : X -> /?, является нормальным для каждого х* £Х*. Характеристический функционал N (х*) гауссовой меры /V, у которой среднее равно нулю, а ковариационный оператор такой же, как и у меры Р, имеет вид N (х*; = ехр ( Д (Sx*) (х*)} (2.348) для каждого х* g X*. Пусть F: X -> R обозначает функционал. Предполагается, что F удовлетворяет условию дифференцируемости по Фреше (см. [50]): /г-я производная Л(/г) (х) в точке х есть ^-линейный симметрический функ¬ ционал (Xj, х2, ... , хк) -+ F(k} (х) [ х,, х2, ... , xk] = F(/,) (х), (xlt х2, ... , xk) t X*. Определим норму этой производной как II(х) || = sup { | Fw (х) [xlt х2, . .. , хк\ |:||Xj||< 1, ||х2|| < 1, ... , II^Kl}- Если функционал/7 дифференцируем до k-го порядка,то справедлива формула Тейлора (ср. с (2.180)) / 1 . F (X -т у) У] —Г Fll} (X) {у, у, . . . , у\ 4- Рк (2.349) ,=о 11 134
с остаточным членом в интегральной форме (ср. с (2.181)) I 1) , j (! — «)*“' (* + \y,y, , y] du. (2.350) Пусть X1? X2, . .. , Xn — независимые Х-значные случайные вели¬ чины с одним и тем же распределением Р. Обозначим через Рп вероятностную меру на c/Z, которая индуцируется суммой Sn = I = п2 (Хх + Х2 4- • • • 4- Х/?), ЕХг = 0. Предположим, что для Рп вы¬ полняется центральная предельная теорема, т. е. при п -> оо после¬ довательность мер {Рп} слабо сходится к гауссовой мере N на e/Z, имеющей тот же ковариационный оператор S, что и Р. Известно, что центральная предельная теорема выполняется для любой последова¬ тельности X], Х2, ..., Хп независимых случайных величин, удовлет¬ воряющих условиям ЕХ, = 0 и Е || X, ||2 < оо, если X есть банахово пространство типа 2, т. е. такое, для которого существует постоянная Сх > 0 такая, что выполняется неравенство для всех независимых случайных величин Хъ Х2, ..., Хп. Такими про¬ странствами являются, например, гильбертово пространство Я, про¬ странство функций Lp, пространство бесконечных последовательно¬ стей 1Р при 2 р < оо (см. [96, 97, 160, 1951). Многие задачи теории вероятностей и математической статистики могут быть сформулированы в терминах Е-функционалов, заданных на банаховых пространствах типа 2 (см., например, работы [24, 94, 1401). Теорема 2.13. Пусть для любого х Q X o2W = £(F(I>(x)|t])2, где т — случайная величина в X с нулевым средним и гауссовым распре¬ делением N. Предположим, что функционал F имеет четыре произ¬ водные по Фреше, удовлетворяющие условию И'*’ (х)|| < CF (1 +h||)r, 1 с k < 4, || FН) (л-) - F(,) (у) || < СF (1 + || х II 4- II y^f !> х - t/f (2.351) для любых х, у g X и некоторых фиксированных О ?> 0, г 0, 0 <7 Р 1. Пусть для всех I 0 при достаточно большом I 0 выполняет¬ ся неравенство Е ехр (— /о2 (т 4- а)) С (1 4- |1 |)-z (2.352) для любого a Q X с нормой || а || L (L — постоянная). Тогда при ус¬ ловии Е || Хх ||3 < оо для банаховых пространств типа 2 справедлива оценка sup I Рп (Е < z) — N (Е < г) I Z (2.353) 135
Доказательство. ПустьX- = Xyl^xZz = X' — ЕX•, j --= = 1, 2, . .. , п, и S,2 = п 2 (Xi 4- Х-2 -г • • * + Х.ч) — сумма незави¬ симых усеченных Ж-значных случайных величин. Лемма 2.12. Пусть У — банахово пространство типа 2 и ЕХ1 = = О, Е || Х2 if2 < оо. Тогда при любом вещественном р 2 E\\S'n\^Cpi (2.354) где постоянная Ср >* 0 от п не зависит. Доказательство. Из свойства нормы £ i| Sn j|p ^7 2РЕ н п ‘ (Zx 4~ Z2 -j- • • • 4- Z^) if 4" Очевидно, что в условиях леммы l/;z j ЕХ± I < С где символом С (с индексами или без них) здесь и далее обозначена не¬ которая постоянная, вообще говоря, не всегда одна и та же. В работах В. В. Юринского (см., например, [230]) доказано, что если X;, / = 1,2,..., п, удовлетворяют условию Е || X, |Г Е || Xz1|2 Епг~\ т^2, (2.355) то ЛИЛМ ••• + (2.355) где а = -Д-; р = Е || z\\ ~Х2+ ... + Хп ||; В; = V Е J Л'у р. Из (2.356) при X, = Z7, L = \/~п и предыдущих неравенств следует (2.354).▼ Пусть т, то т2, ..., тЛ., ... — гауссовы случайные величины в Л‘ с одним и тем же распределением N. Относительно т результаты Фер- ника и Скорохода гласят, что существует некоторая постоянная С д> > 0 такая, что Р I ’ т || > г) ехр (— Сг2). (2.357) Из (2.357) следует, что при любом р > 9 £||т^ < оо. (2.358) 136
Пусть ф (/) = Ее1 т) — характеристическая функция случайной величины F (т). Лемма 2.13. Пусть выполнены условия (2.351) и (2.352). Тогда при малых в > 0 существует постоянная О > О такая, что при всех реальных t С F (1 + I Ф (/) | С (2.359) Доказательство. При | t | 1 неравенство (2.359) оче¬ видно. Предполжим, что | t | > 1, п = [| t |2], k. = [| t |8], a Izl обо¬ значает целую часть числа г. Положим —— 1 n—k 1 п 6 = 1/ — , а = п - V т ь = ь •> V т Г п “i ' м-hi ' По свойству безграничной делимости гауссовых случайных величин в X имеем EeUF^ = Ee4F(a+6b}. (2.360) По формуле Тейлора (2.349) F (а + 66) = F (а) + 6F1" (а) [6] + F™ (а) [Ь, 6] 4- хз 1 + у (1 — и)2 о3’ (а + f>bu) [6, b, 6] du. о Отсюда и из (2.360) получаем = ^(0 + ^(0, (2.361) где e(t) = E ехр (i7 (л (а) + 6F(1) (а) [6] + (о) 1&, ф), величина pL (/) с учетом (2.351) и (2.358) оценивается как IpJOl^CUr2'”- (2.362) Рассмотрим е (/). По формуле Тейлора е(/) = Еа \e“F{a'iEbei,bF"}{a^b'<'l + + ^-Еа (e‘‘Fta>Eb (F™ (а) [6, b] + р2 (/), (2.363) где относительно р2 (/) при помощи (2.351) и (2.358) имеем I рг (01 < С и |-2+ч 137 (2.364)
В соответствии с определением Eb (F(1} (а) [ft, ft] exp (i76F(1) (а) [6])) = = -|- S £(t/1.TA)£(f(2)(a)[Th.'r/2]exp(z76f(1)(a)[&])) + n—k<ii<^j^n + 4- £ ЕьЕ (f<2) (а) Ь/> T/1 exP (l’^F(1) (a) [ft])). (2.365) Заметим, что F(1,(a)[ft] = £ F(1) (a) [?/]• (2.366) /=,;_/<+1 Из соображений независимости имеем Е (F{2} (а) |тЛ, TyJ exp (z76F(1) (a) [ft])) = = (E^ exP (t=- e{'} (a) kj))*-2 X X ^(тЛ.т/а) (f(2) (a) П/i, T/J exp (-pL (F(1) (a) [t,J + F(1) (a) [rj)j), (2.367) EX.E (F{12) (a) lb, T/] exp (i76FC) (a) = = (et, exp (yL- F(” (a) [tjjy ' x X Ex. (f(2) (a) [т/( г,] exp F(1) (a) l^/j)). (2.368^ По формуле (2.348) Ex< exp F(1) (a) Ixj') = exp ( o2 (a)j. (2.369) При помощи (2.366) и (2.369) находшм ехр (“ГТ- /?<1> = ехр (~ °2 М ■ (2.370) Объединяя соотношения (2.363), (2.365), (2.367) — (2.370) и используя (2.351) и (2.358), получаем | е (/) | gg СЕ ехр (— (* ~ 2) Со2 (а)) . (2.371) По свойству безграничной делимости гауссовых случайных величин £ ехр (- /2ff2 = Е ехР ( /2°2 (т I)) (2 ■ 372) Для оценки правой части (2.372) имеем £ ехр (- /V- (т )1 = 138
= Е (1 <||Т||>сVh7T7>} ехР (- —2п 2) /2°2 1Z 1 - 62))) + Т Е ('exp ( 2п~^~ Ео~(т — &))) < Е (1 <11т||^сVhT-l. exp № (т ГТ^)]) + С11 Г2- (2.373) Здесь применено также соотношение (2.357). В области || т || ^ <2 С l^ln | t\ при помощи формулы Тейлора и соотношений (2.351), (2.358) получаем | о2 (т /1 — 62) — ст2 (т) I sC С6. (2.374) Из (2.371) — (2.374) вытекает оценка | е (I) | С СХЕ exp (— С21I |Ро2 (т)) + С31 /|-2, (2.375) которая совместно с (2.352), (2.361), (2.362) и (2.364) приводит к (2.359) .т Отметим два следствия, которые имеют место в силу (2.359). Пусть ■п (г) обозначает плотность вероятности N' (F <. г). Тогда по формуле обращения п(г) = J е_1г/<₽ dt —оо соотношение (2.359) дает возможность написать оценку |ц(г)|<С (2.376) при всех г g R. Второе следствие связано с оценкой вероятности Л7([г, z + _ I 4- Сп 2 ]). По неравенству для функции концентрации (см. [73, с. 54]) sup /V(|г, г + Сп 2])=С—т=- J |ф(01^- г 1'п Л Отсюда и из выражения (2.359) —- С sup N (12, г + Сп 2 1) . (2.377) г 1 П Лемма 2.14. Если Е || Х} i3 <С оо, то sup I Р (F (Sn) < г) — N (F < z) |< sup | Р (F (S'n) < г) — — N(F<2)\ + F || Хг I)3 —Д=-. (2.378) Доказательство. Очевидно, что sup I Р (F (Sn) < z) — N (F < г) | sup | Р (F (S п) < z) — N (F < г) \ + z z + £ F(xzy=x;), (2.379) 139
при этом = "П1Х1Н> И/i )• По неравенству Чебышева (2.380) Р(Н1!|>Кн)<£|1%1!13^ \ что совместно с (2.379), (2.380) приводит к (2.378). Для оценки первого слагаемого в правой части (2.378) потребуются следующие неравенства сглаживания (см., например, [33, 2071). «Лемма 2.15 (см. [331). Пусть Р и Q — конечные меры на R = (—оо, оо) с функциями распределений F (х) = Р ((—оо, xl) и G (х) — Q ((—оо, х!) соответственно, при этом G имеет плотность, ограниченную некоторой постоянной С > 0; К? — симметрическая ве¬ роятностная мера на R, удовлетворяющая условию а = /С(—е, е)>4“ (2.381) для заданного е > 0. Тогда sup | F (х) — 6 (х) | х < (2а - I)”1 sup | (Р - Q) *Ке ((- оо, х]) | + С где символ * обозначает операцию свертки распределений. Кроме того, если г, (2.382) (2.383) то (2.384) Для того чтобы применить (2.382) и (2.384), выберем вероятностную меру К на R следующим образом: пусть X — случайная величина с плотностью распределения Р (х) = С (2.385) где
тогда в качестве меры выберем распределение случайной величины X X, где (3 > 0 — некоторая подходящая постоянная. Очевидно, вы¬ бором 0 можно добиться выполнения условия (2.381), например оп¬ ределить 0 > О так, чтобы сх = /<е(—е, е) = Р (х) dx > 0,8. (2.386) —з Кроме того, формула обращения показывает, что К (0 = 0, (2.387) если только | i ! 2О0е“ . Следовательно, выполняется также ус¬ ловие (2.383) для характеристической функции (/). Применим (2.382) и (2.384) при е = 4= . Тогда с учетом (2.376) Г ч sup | Рп (г) — Л' (г) I С sup I (P',t — А') * /<(„, (z) I +, (2.388) где Р’п (z) = P(F (S'n) < z); N (z) = Л’ (F < z); Atn,(z) = Aj_((— оо, г]). ■\7 n Пусть Pnj обозначает распределение случайной! величины F (Sn) -ф i 4- Хп ' h(Tk), где X —- случайная величина, не зависящая от Ха т-, i = 1, 2, .... ц, и имеющая распределение /<, = п (Z1 + Z2 + • * * + 24, = Р/М=£|А(1,«[Л1Г'. 7 = 2, 3. I k = \гГ> |, символ |а] обозначает целую часть числа а, в>0—- достаточно малое фиксированное число. Очевидно, что sup I (Рп — N)* Kw (Z) I с sup I (Pn.k — A'7) * K(n) (z) I + Z 2 4- sup I (P,u — P'n) * /<(«) (z) |. 2 При помощи неравенства (2.384) получаем 7 sup I (P„.A — АО * Л’(П) (z) I С V Д/( г /=1 (2.339) (2.390) 141
где л с 1~ ГГ ’ 5 А2 = J I А..Л (0 - Рп (О I \1 r'dt, I l/lsln4 I А;.л (о—А (о г dt, 1 -Г +*• д3 = п * А_> = Т +е п 3 а5 = У |А;(о-ф(/)11/г'л, _8_ 2 I 8_ ^|/|^Н2 2 J ]Р„(О - Ф(/) 1РГ1 dt, 1/^пТ +е л,- У у +е у ~ а7= J | Pn,*(t)-ф (О IP Г' dt. _1 е_ п 2 2 Второе слагаемое в правой части (2.389) оценим так же, как это сде¬ лано в работе 1142, с. 10—111,— с использованием распределения 8 Пусть Еп = {Tk • h (Tk) Сп 2 }, Еп —дополнение к Еп, {(%'., Х'2,..... X'): |F(S;)-2|^/i(7\)n~“r(n)), где г (и) = max (1, | и |), и, z£ R. Тогда sup I (Рп.ь — Р'п) * /<(„) (г) I = sup | j (р'п.ь (z p^-j — — Р’п^г К (dx) | C sup | P'n,lt (z) — Pn (z) |. По свойству симметрии распределения Л (и) sup I Рп,к (z) — Рп (Z) I С sup J Р (2 h (Tk) С Р (5Л < г + -£=- h (TS\ К (du) С sup J Р (г - -ДД- h (Тк) — оо < F (S'n) < г + h (Т^ К (du) = sup j Р F (S’n - z) | -р^- h (7\)j К (du). /Л /Л 142
Стало быть, sup | Pn,k (z) — Рп (z) | С sup j К (du)E\an. Далее sup у К (du) Е1 <2^ J± 4- J2, (2.391) (2.392) , где Согласно (2.385) inf р(«)^С>0, lulsSl F(S’n) — z поэтому можно написать Л < С sup J К (du) е(\епР ( j . .. \ \ h(Tk)n 2 г (и) JJ Отсюда и из формулы обращения имеем С sup у К) (du) Е р£л у diK (t) ехр (ii (F (Sn) — -z)h~' (Tk)n~~r~' («))}< < СгГ ~ sup У К (du) г (и) Е {1£д h (Tk) У diK (tn~ ~ h (Tk)) x X exp (it (F (S'n) - z))| Cn~ J к (du) r (u) J | Hn (t) | dt < С (Д8 + Д9), (2.393) где д8 = у- У к (du) г (и) У l/tn(t)ldt, е И|«'> 2 “ 2 = у- у К (du) г (и) у |/7„ (l)\dt, 1 р 1 т . v + v Hn(i) = E {1 [,n exp (itF (S'n)) h(Tk) К (tr (u) h(Tk)n 2)}. 143
Второе неравенство в (2.393) является результатом операции за¬ мены подынтегральной переменной, третье получено по теореме Фу- бини в силу свойства (2.387), следствием которого является соотноше¬ ние Нп (/) = 0, если только одновременно выполняются неравенства r(w)>l, h (Тк) > Сп 2 , |(|>Сп2 2. Для J2 имеем очевидную оценку ^2 Ю» где д,Р<Р(/1(Л)ХСп_т. Таким образом, из (2.379) и (2.388) — (2.393) следует неравенство sup I Р (F (Sn) <z) — N (F<z)|^C V Л/- (2.394) 2 j=\ Поскольку в (2.394) Д, = оШ (см. (2.379), (2.388) и (2.390)), то, ' ) п' следовательно, необходимо оценивать величины Ду при / = 2, 3, 10. Оценка Д2. Используем разложение J exp (—=- h (Т*) uj К (du) = 2,- = 1 + S -да" пЧН^Н2/ + Qs (П, (2- 395) которое в силу (2.385) справедливо при всех целых s таких, что 1 s ^7 9, и где |л2/ = I и2'К (du), |O)|<C|(|%-7r2s (Тк). Выберем в (2.395) s = 5. Тогда | Р'г,ъ (0 - Рп (/) | С v I M2i (/) I + CP^Eh™ (Tk), (2.396) /=i где M2j(t) = E(h2’ (Tk) exp (itF(S'n))). Пусть An = {7\ : p2 (Л) > /г_Е}> An — дополнение к An. Отме- тим, что в силу (2.351) Л(7\)СС/Т(1 н ,ЛЛ- (2-397) .Представим Mtj (/) как М2, (t) = М’ (t) + М((), (2.398) 144
где МУ (/) = Е{\-Ah2i (Л) ехр (UF (S,,))}, МУ (О = Е\ 1 Ah-S (Тк) ехр (itF (S'n))}. По неравенству Гельдера и из соотношений (2.354), (2.397) имеем | МУ(1) | Е (\-Ah2i (Tk)) < (Eh4’ (Tk^(El-A)^ < ^Сп\Р{МТь)^п~е})~- По неравенству Чебышева Р ф2 (Л) < п~е) С eEe-^-(Tk). Следовательно, | М{У (/).|2 < Сп-‘Ее~пеМТк\ (2.399) Рассмотрим (t). Пусть tn — целое число такое, что 2 m ~—е I i /" m k, k = [п 3 ], е > 0 — малое число, и 6 = бт = Обозна¬ чим Тщ — п 2 (АТ Т- Xi + • • • + А/г_т), __i_ Т/п — ' (Хп_т_]_1 -J- Хп— >пл_2 + • • • + Хп). Тогда очевидно, что S'tl = Тп1 + 6?;. По независимости и неравенству Гельдера | му (О I2 < (£• 1Л Л4/ (Л)) ЕI ET'm ехр (itF (S'n)) |2. (2 400) Еще раз используя неравенство Гельдера, а затем соотношения (2.351) и (2.354), находим | ,л4/ (Л) I2 < £рз2' (Л) Е (1Л;₽Г8/ (П)) <СЕ (1лпРГ8/ (Г*))- (2.4°I) Пользуясь формулой где х у> О, Г (р) — гамма-функция, получаем Е (1ЛХ; = TWT J duu8i~l < о п2е _J_ne < -уДр ( duu'-'Ee-^7^11 4- См'е 2 " . (2.402) 10 ',-101 145
Рассмотрим далее математическое ожидание по переменной Тт в правой части (2.400) и применим рассуждения, проведенные при дока¬ зательстве леммы 2.13. Аналогично (2.361) запишем соотношение Е ■ ехр (itF (S'„)) = eilF(Tk} gi (0 + (0, (2.403) где g. (Z) = E • exp (i76F(1) (Tm) [Tm] + (Tm) [Tm, Tm]) tn z и с помощью (2.351) для 7?! (t) получим оценку A i | Rx (01С C | i I 2 jdu Ет>т{ || Tm II3 (1 + || Tm + bTmu D). (2.404) Для gi (/) имеем (ср. с (2.363)) gl (/) = E . exp (z76F(1) (Tm) [Tm]) + it g* (0 + (0, (2.405) J tn z где £2 (0 = (Tm) [Tm, T m] exp (it6F{} (Tm) [Tzn])} (2.406) _3_ и при помощи (2.351) и неравенства \eix — ix—1 |^3|х|2, x£Rr для остатка /?2(0 получаем оценку з 3 \R.dt)\<c\i\~(-^-y (1 + и г; F) fillip. <2-407> Из соображений независимости (ср. с (2.365) — (2.368)) g2 (/) = (т — 1) g3 (/) ехр (у==- F(1) (Тт) [X'i]))m_2 + + Si V) exp (-y=- F(1) (T'm) [Xi]))'"-', (2.408) где g3 W = E' Y- m (T'm) [X'b exp (Fw (Tm) [Xj] + a1-x2 \ \ M + Fw(T'm) gi (/) = Ex. (f(2) (Tm) [%;, Xi] exp (-JL- Fw (T'm) [XlD). При помощи (2.351) находим |g3(/)l<C(l+HTm||)r, (2.409) I gi (t) C (1 + || Tm || )'. 146
Из (2.408) и (2.409) получаем |^2(/)|<Ст(1 +||T;||r|£’2iexp(-^F(1’(r;;i)[Z1]j|','_2. (2.410) Из (2.403) — (2.410) следует оценка | Е- exp (t7F (•$„)) | ^Cg-a(t) ' т EZi exp (-?=- F(1) (?;') [Zjj p 2 + CR3 (t). (2.411) где £5(0 = 1 + И^(1+Г>. Яз (0 = Id (v) 2 J duETm <11 II3 0 + II Tm + ^T'm ||)r) + а из (2.411) получаем ET; I E ■ exp (UF (S'n)) I2 CE ■■ Rl (t) + 1 tn | 1 tn I tn + CEym (g! (/) | EZl exp (-*=- Fw (Tm) [Zjj |2<m_2>}. (2.412) Здесь применено обобщенное неравенство треугольника |X + z/|p< 2Р_1 (|х|р + |(/|р) (2.413) при р = 2. Оценим каждое слагаемое в правой части (2.412) при условии £ || Ху ||3 < оо. При помощи (2.413) при р = 2 имеем EfRl (t) < с 1113 Ml)3 е «(1+ и т"т Ц)3г + m \ п ) 1 tn \duET. {||Fm||3(l + II т; + 6„Xn||)r} о т (2.414) Первое математическое ожидание в правой части (2.414) оценим по (2.354), второе рассмотрим следующим образом. Пусть. ..., Х;):||Г; + 6^т;2||^(1п/2)2}, 2)и — множество, дополнительное к множеству $)и. Тогда 1 2 \ duE • {||Tm||3 (1 +|| Г,; + 6„,иТт ИГ) о m 1 1 = du2ET-. Е . || Тт Г (1 + || Тт + ||)r X 0 0 tn 1 т * (1 + \\Ttn + b,ntl2T щ ||У — dy Н- 6?2, (2.415) 10* 147
где ut -^U2 X || Тт ||3 (1 4- || Тт 4- §mUiTт ||) (1 4“ Il Тт 4~ &тиъТtn ||) }, d2 = ^du^du2ET-mE ,{1(-- X q 0 т т и} и2 X || Тт ||3 (1 4~ II Тт 4~ 6/nw171 /П.||) (1 4-1| Тт 4* ^«2^*т ||) }. Для dx с учетом (2.354) имеем оценку dj С С (In n)4r. Поскольку $)Ul П Ж <= и Ж, ТО с учетом (2.354) для d2 можно записать оценку (2.416) X || Тт ||3 (1 + || Tm + т II)Г (1 + II Тт + ЬпгщТт ||)Г). Для оценки правой части этого выражения применим неравенство Гель¬ дера относительно математических ожиданий. Тогда d2^2(E\\Tm J du, J du2 (Е\& )Т (£ (1 +Ц7Д+ 6m«x ||)4r)T X 0 0 W1 _i_ х (£(1 + \\fm + 6ш«Х||)4г)4 • При помощи (2.354) и (2.356) при условии Е||Л1||3< оо получаем не¬ равенства (2.417) Объединяя (2.414) — (2.417), получаем з (2.418) 148
Второе слагаемое в правой части (2.412) оценим сначала по неравенству Гельдера, а затем применим соотношения (2.354) и (2.413): Е (gl (01 £z, ехр F(1) (Тт) [Zjj р-2’) < < (£gl (0)^ (£| Ez, exp Fw (Tm) [Zj p"2’)'’ <c(i +t2lJ(/), Ln (0 = E | EZl exp F(1) (?,'„) [Zj) |4<'"~2). (2.419) Таким образом, из (2.412), (2.418), (2.419) имеем ЕТ" IЕ т, ехр (UF (S’n)) |2 < С (1 + Р LJ (0 + 4- С1112 (1 + 111) (In n)3r. (2.420) Рассмотрим величину Ln (t). По неравенству (2.356) '+4'^ ИЧтг Пусть В = {Tm : рз (Tfn) |32 (Tm) /?8}, В — множество, дополнительное к В. Тогда + £Т^ + ехр (— С (In/?)2). (2.421) По неравенству Чебышева и из соотношений (2.351), (2.356) получаем £1н^е£ехр(—/?8(1п/?) br$2(Tm)) + Р ((1 + || Tm ||)3r > С (In еЕ ехр (— п (In п) Ьг |32 (Т1}.)) 4- ехр (— С (In /?)2). (2.422) Оценим далее первое слагаемое в правой части (2.421). По формуле Тейлора \ez, ехр MU F(,) (Г„) |Zj) |с I \ Г п /I <1 4|32(T;„)-F4-|_U-|P3(7’;,). (2.423) Неравенство (2.423) справедливо при всех реальных t. Поскольку ₽3 (TnX nsp2 Цт) И < (1п/г)2, то из (2.423) следует, что в об- J ласти 111 п2 е j EZ1 ехр Fw (Tm) [Zj) р_2) < exp (- С Д- mf)2 (7\)). (2.424) 149
Объединяя (2.421) — (2.424), в области | 11 п2 е получаем оценку Еп (/) < Е ехр (— С m|32 (Т",)) -ф -ф СЕ exp (— ne (In п)~бг р2 (Тт)) -ф ехр (— С (In п)2). (2.425) По неравенству типа Гетце (см. [142, лемма 4.171) Е ехр (—1$2 (Тт)) С±Е ехр (— и$2 (т + а)) 4- С2п_а, (2.426) где 0 и sC «е, || а || L, q > 0 — достаточно большое фиксирован¬ ное число. Из (2.396), (2.399), (2.402), (2.425) и (2.426) при т = {п~] и условии (2.352) следует, что Д,-о (2.427) Оценка Д3. Сначала оценим Д3 как A3^Clnn£exp(-nep2(O+ J т т+е п а£| П г£гг X [1 -^e^h{Tk}U К(</«)))[. (2.428) Пусть т = [п 11 Г2+9£], 6„, = 6 = У , Tni — П 2 (Х1 ~Г Х% 4- • • • “Г Хп- т)9 Т^г = (Ш — k) 2 (Лп_m_|_i Хп_/п±2 • • • + Xn—k)> Тогда F(1)(7\) [Z1]=a+8bt где a = F{[)(T^)[Z1]t b = J F(2) (Т£ + 8uT™) [Zb T%] du. о Представим | a + 8b |3 как | a + 8b |3 = | a |3 + a2 (| a 4- 8b | — | a |) + 26ab | c | + 82b21 c |, (2.429) где c = a + 8b. Отметим, что при всех вещественных а, b и 6 ||а + 6&| —|а||^6|&|. (2.430) Обозначим Л = Ez,\a |3, /2 = EZt (а2 (| а -ф | — | а |)), f3 = 26EZ. (ab | с I), /4 = 62Е21(/>2И). 150
Тогда J eV^T'i}U К (du) = j exp ( + f.2 + f3)j К (du) + pL (0. где | P1 (/) I < C | -±=- (Ez, (62 I с |)) Л Далее K(du)--=J3 + Ji + Pi(t), где I Рз (i)\^C-?-(fl+ fl), «₽2 при этом fl^&(Ez, (a-\b |))2, fl < 462 (Ez, (ab I с |))2. Относительно J3 и Д имеем t2 (E7 I a I3)2 r A = i — uK + P* 2«p2 где I I E7^a |3 V ipa(0i^c ) . 1Л1<сД-(|Л!|/21 + 1ЛНШ n-p-2 1Л 11/21 <6(£z, 1 O|3)£z, (O2|&|), I Л 11 f3 I < 26 (Ez, I a |3) I Ez, (^kl)l-- Объединяя эти оценки с оценкой (2.428), получаем Д3 Сп~^~е + С In пЕе~'гемт^ + 4 J П4 v|f[l £Z,lal3 "Fts'd '' I С (‘{РЛТ^п-е} рз 6 J dt I /1 x 1 , 3 ‘re (2.431) 151
Если для оценки математического ожидания под знаком интеграла применить рассуждение, приведенное при выводе (2.402) и (2.425), а затем воспользоваться (2.426), то при выбранном tn A.-Of-i). (2.432) Оценка Д4.. Выберем tn = [ti 11 |“2+е]. При таком т в области _L_l_e J l п3 <NO2 2 выполнено условие tn^k. Тогда Д4 < j dt 11 Г’Е - IE ■ e“F{Tm+6T'n) I. (2.433) 1 1 1 m m T4e T—8 n Далее можно воспользоваться оценками (2.420), (2.425) и (2.426). В результате получим Л. - О . (2.434) Оценка Д5. Следуя [142, с. 28], будем аппроксимировать Е ехр (it F (Sn)) математическими ожиданиями по гауссовой мере, применяя операторный метод Линдеберга [181] (см. также работы [31, 107, 207, 221]). Общая идея методаЛиндебергапо существу заключа¬ ется в следующей формуле. Пусть £4, £2, ..., и г^, г|2, ..., т]п — две последовательности случайных величин со значениями в ЗЕ, на ЗЕ дей¬ ствует некоторый оператор f. Для всех i = 1, 2, ..., п обозначим 6/ = L 2/ + S Л/ /<i />* и положим + £2 + • • • + Еп, Г|п = Th + Т)2 + • • • + П/г Тогда справедлива формула f (tn) - f 4) = t(f (0/ + У - / (0,- + n,)). (2.435) 1=1 Разности в правой части (2.435) при подходящих условиях на f можно разлагать в ряд Тейлора в окрестности точки 0£-и затем брать столько членов разложения, сколько необходимо для оценки остаточного члена (см. [107, 221]). Применяя (2.435), имеем (ср. с [142, с. 281) Рп (1) — (р (I) = П~ 2 S Тп-^ еХР № + S=1 I + У du^(P' — N)dyh2(it, y,Tn,s+ п 2 иу) ехр (iiF (Tn,s + п 2 иу))\, 0 J (2.436) где Tn,s = П 2 (Х1 + Xz + • • • + Хп— s + T;I_s+2 + • • • + Т,;), 152
h, (it, х) = п2 (Р' — N) (dy) (itF(2) (x) [y, y\ -j- (it)- Fw (x) [(/]), h2 (it, y, x) = (1 ~u) (itFw (x) [z/, y, y] + + 3 (it)2 + F(2) W [y, y] F"’ (x) \y\ -l (it)2 (Fw (x) [i/])3). Пусть tn = [n ( \t | + 1)“2+Уе1. При таком выборе т сумму в: (2.436) можно записать как пт п V {...)= V (...}+ S s=l s=l s=m+l для оценки математических ожиданий вида E{f(it,.Tm_s)eiiF{T^+!}} применим рассуждения, которые приведены при выводе соотношения’ (2.427) для того же значения tn. В результате придем к неравенству (ср. с [142, с. 291) \P'n(t) — ф(01СС 1Л ,,, —(2.437) I «и (1 + 1/|}1+е уп ’ ’ -+е справедливому в области 1t1 п3 ' . Следовательно, Д5 = О (—U). (2.438); Оценка Д6. Пусть tn = [п 11 |_2+е]. Тогда А6 < j dt 11 Г1 | E • exp (itE (f'L + 67^)) | + 2 , 18 mm T“*"£ "2 n + J dt |/Г’|ф(/)|. (2.439) 1 18 V+e "? Г n Первое слагаемое в правой части (2.439) можно оценить с помощью (2.420), (2.425) и (2.426). Для оценки второго слагаемого воспользуемся соотношением (2.359). В результате получим (2-440' Оценка Д7. Пусть in = k и 6А = Д-. Очевидно, что Ат Ц + J., 153 (2.441)
•где Л= J dt\t\-'Ef{\k(th(Tk)n~^\\ET.eilF^kTk}\}, 1 е k k 2 <|/|<V7i J6= j dt\t\~ *|ф(0|. J e_ n 2 2 ^|/[<$V7i При помощи (2.359) Л = о(-Ц. (2.442) Для оценки J5 воспользуемся (2.403) при т = k и уточним оценку для gY (/), которая в данном случае имеет вид gt (0 = Ет'к ехр (itbkF{{} (Тк) [7\] + it F™ (Т"к) [Т'к, Тк]), J е причем k = [п3 ], Tk = п 2 (Xi -J- X. • • • -j- Xn_k\ !_ Тk = k 2 (A\—£_{_i + Xn_fc.{_2 + • • • + Хп). .Пусть tn = |п 1l Г2+2е], 6,„ = > Tk.m — (&— m) 2 (Xn_k+\ Xn—k-{-2 + • • • + Xtl_ltl). Тогда справедливы формулы 6, = Fw (Тк) [Л1 = б,,/0 (Тк) [T,„l + F 11 (7\) 1Л.т], 62fl2) (Тк) 1Т'к, Тк] = 6;,F(I) (7\) [Г,;, Тт\ + + 2б,„ F{2} (Т'к) [Tm, Тк.,п] + (8i - б2,) F('2’ (Л) Тк,т]. Из соображений независимости можно написать оценку | Я1 (0 I I Ет,п ехр (г7б,„Fu> (Л) 17\J + itWk,n) |, (2.443) k,m тде Ум. 7П1 — Ш 2 (Zn—m-i-s -j- Z,i_m4-9 ~i~ • • • -q- Z„), = 62F(2) (7\) [Tm, Tm] + 262,F,2) (T'i) [Z,„ Tm\ -|- + 26,„ /б£ - б2, F(2) (7\) [Tm, Tk,m], Ki ~ I n £ 154
При помощи (2.351), формулы Тейлора и неравенства | eiX — 1 — ix | 3_ 31 х ]2, х С /?, получаем оценку е"4'*'" = ! + (T'k} [Т^ Тт] + + И26,п У$-д2тF™ (Т"к) [Т,„, Тк_т] + р4 (/), (2.444) где I р4 (/) | с с 111 ^б,3,. II тт F (1 + II т'к иг + с -Щ- & II тт II (1 + II т"к г -Ь Г П + ш?т (61 - б;п) II т,п ||2 II т\т II2 (1 + IIЛ Г Подставляя (2.443) в (2.444), находим I gi (О КI Етпг exp ((76mF<l) (Тк) [Tr„] I + 111 & I Етт (F™ (Тк) [Т,п, Т,п] X X exp (<76mF(1) (Т'к) [TJ)) | + 2 | /1 V$ - & X X Ет. | Er (F<2) (Тк) [Тт, Т'к,т] exp (:76mF(1) (Т”к) [TmJ)) | + k,m + С (I И "^+Зе + 11 Г1+2е п~^ + 11 Ге n"^"e) (1 + || Т'к 11)'. (2.445) Следующие представления получаются из соображений независимости: ЕТт ехр (z76,„Fll) (Тк) [FJ) = (Ezn exp (-^=- Fu> (Тк) [Zn])j'n , (2.446) Erm (F& (Г,) [Тт, Тт] ехр (М/" (Т"к) [Тт])) = - 4г Д 5, Е^_„+!Ег^.+,Е (7"’(Л) X (2.447) /1 — 1 /2—* = (tn - \)[EZn ехр [-^=- Fw (Тк) (F{2\T'k) [Zn, Zn_A X X exp (-y=- F!h (Tk) [Zn, Z,._>])) + [EZn exp F{1) (T'k) [Zn]J‘~l X X EZn (F(1> (Tk) [ZJ exp F<1 ’ (Tk) [Z„])) , ETm (F{2} (Tk) [Tk, T'k,m] exp (<,F(1) (Tk) [Tm])) = = Vm [EZn exp F{1> (Tk) [Zjjjm_' X X Ezn (f(2> (T"k) [Zn, T'k,m] exp (-^=- F(1> (Tk) [Zj)) . (2.448) 155
Из (2.445) — (2.448) для (/) получаем | gl (/) I С Сгп (0(14- II Т"к ||)г 4- Ср„ (0(14- II т"к ||)3г х X | EZn ехр Г(1) (^) [Zjj р2, (2.449) где з 1 ? rAt) = |/| 2+ +|/|-1+2еп 2 4-Id28 я 3 Р„ (0 = 1 4-1 /13 6,1, + -£=- 62, 4- Kd - 62,. (2.450) V п Таким образом, при помощи (2.403), (2.404) и (2.449), (2.450) с уче¬ том (2.354) и (2.356) имеем + С j dt\t\-'ETk\k{th(rk) х V П 1£ п 2 2 ^|/| Vrt X n“^)|| Eznexp F'1’ (П) [Zj) р-2, (2.451) где Т“к = ТкХп. По свойству (2.387) фукции К£(0 вне области 1'!<К"ТПЙГ <2-452> 1 имеем k (t h (Тк) n 2) = 0. Пусть Л* = {7\:||7\||<;(lnn)2) Q {T к: 02 (T k) > n~e). Если Тк£Ак, то при больших n и достаточно малом е > 0 02 ТА 02 Tk) е, 03 ТА 0з Tk) 8, (2.453) 1 е При помощи (2.423), (2.452), (2.453) при TkQAk в области п2 П | С И п находим <ехр (—C-J ('» —2)₽> <Л>) ■ Следовательно, Л^-^- + С(1пп)ЕГП8₽2(Гр.4- F п + С J dt\/Г1 F ехр (- С| t |2ер2(Л))- 1 8 п 2 2 /й Из (2.426), (2.441), (2.442) и (2.455) получаем (2.454) (2.455) (2.456) 156
Оценка Д8. Очевидно, при любом т k J dlE(h(Tk)\E ■ ехр(r7F(S,',))|), V п ■{ f Тт |/|^И 2 2 где, как показано выше, интеграл ведет себя как О (1). Таким образом, Л.-°(тт)- <2-457> Оценка Д9. Пишем основное неравенство Д9 -L f к (du) г (и) J dtE .. {h (Tk) IК (ir (и) h (Tk) n~ ~) I x у n J d ' k X I E ■ exp (HF (Tk + SkTk)) |}. (2.458) 7 k Подынтегральное выражение в (2.458) оцениваем так же, как и вели¬ чину J5 в (2.441). В результате получим 4,-0^). (2.459) Оценка Д10. По неравенству Чебышева с учетом соотношения |32 2 [З33 получаем Д]0<СЕехр(—и4132(Tk)). Отсюда по неравенству (2.426) находим Л1, _ 0 . (2.460) Из соотношений (2.394), (2.427), (2.432), (2.434), (2.438), (2.440), (2.456), (2.459), (2.460) следует (2.353).v Отметим, что оценка (2.353) была получена в работе [142] при ус¬ ловии £ || X] ||4 <С оо и условиях типа (2.351), (2.352). Пусть Ж = /2р—банахово пространство бесконечных последователь- ностей х = (хь х2, ...) G нормой || х|| = У | xf |2/j Р , где р 1 — це¬ лое число; Xz=(xZb Х/2, ..., х^, ...), / = 1, 2, ..., п. На измеримом пространстве (/2р, </£) определим вероятностную меру Рг по формуле (2.230), где предполагаем т^2. Пусть S' обозначает ковариацион¬ ную матрицу {S';;} меры Ръ где St-Z = £ (xf — |ilz) (xz — piiz), plz = = Х{РТ (dx), i, j = 1, 2, ..., t'. — гауссова /2р-значная случайная вели¬ чина с ковариационной матрицей S'. Положим оо В (хь Х2, . . . , Х2р) = S *1**2* • . • X2p.k, (2.461) k=\ где х,- = (x/i, х/2, .... х1к, ...) С Ер, / = 1, 2, ..., 2р, 157
и Т,„(() = £е''й<т1’т2 т*>\ (2.462) где t Q R\ Т/ — независимые копии т'. Предположим, что выполнено следующее условие: при некотором т 2 существует достаточно большое число у = у (т) Д> 0 такое, что при I t | -> оо |'Гт(/)| = О(|/Г?). (2.463) Из результатов В. В. Юринского [93] следует, что условие (2.463) вы¬ полняется всегда, когда распределение гауссовой случайной величины т' не сосредоточено ни в каком конечномерном подпространстве. Дей¬ ствительно, по методу В. В. Юринского всякий такой гауссов вектор т' можно представить как т' = 5 4- а (у! + у2 + * * • + ?2р), (2.464)* где £, у, — независимые гауссовы векторы, при этом вектор у}- = (y;i,. Т/2» •••) имеет k ненулевых компонент, которые являются независимы¬ ми стандартными нормальными величинами. В (2.464) а> 0 и число /г можно выбрать в принципе сколь угодно большим. Если в (2.462) сделать замену по (2.464) и затем воспользоваться независимостью и полилинейностью В-формы (2.461), то можно при¬ йти к (2.463). Теорема 2.14. Пусть Е || ||2 < оо и выполнено условие (2.463). Тогда для любого е > О sup I Рп (II n II2" — N (|| П ||2р <*) | С X < с (ап + 02 + уп + п-',+Е), (2.465) где р 1 — целое число; С > 0 — некоторая постоянная. Доказательство. Для того чтобы получить (2.465), доста¬ точно к методу п. 5 § 2 добавить следующую оценку: пусть ср„ (/) = = £exp(i7||S;,|r,p), где S'„ = п ~ (%', + Х2 + • ■ • + Х'п\ X-= = i 1 Ср- Лемма 2.16. В условиях теоремы существуют достаточно большие числа (h>0 и q2>0 такие, что в области | t | Спр~ъ справедлива оценка | <р„ (П I < С, (1 + \t1)-’> + С2п~^, (2.466) где С(- > О — постоянные. Доказательство. Очевидно, что °° 9 IIS4 ГР — (A'i/ 4" Л2/ + * * ’ + -WK /-1 > п 158
где Хц обозначает координату вектора X/. Положим s=l, 2, 2/7, где ms_i<ms, т0 = 0, т2р = п. В. В.’ Юринского [93] (см. также лемму 2.3) т У sj = S xrjr r=nts_i+l По неравенству I <Pn (0 Г < E exp (2/?)! В (ylt y,, z/2p)j , (2.467) где p.. = ytj — yih yif — независимые копии y{i. Далее для обработки правой части (2.467) применим разложение (2.249) и затем, действуя так же, как и при выводе (2.255), получаем, что математическое ожи¬ дание в правой части (2.467) не превосходит величины Cj j ехр (17 (2р)' В (z/p у2, .. . , у2р?) Р”' (yndyj х X Р'1г (Иndy2), ... Р"2р (/ndy2p) + 4-С2ехр(—C3min (п1( п2, п2р)), (2.468)^ Г т; — т,, 1 где п j = —-— 4-1, /=1,2, . .., 2р; CL > 0 — постоянные. Для каждого j = 1, 2, ..., 2р выберем такие решения (/ь /2, ..., /у); и (fo, fo, ..., fop) диофантова уравнения / 2р S ls 4- s ks = n, (2.469) S:=l S=/-|-l которые при п -> оо ведут себя как ~ А{п, k}- ~ В, где Л, > 0 и Bj > 0 — постоянные. Очевидно, что таких целочислен¬ ных решений уравнения (2.469) сколько угодно. Далее в (2.468) поло¬ жим rts = lSi s = 1, 2, ..., / и ns = s = j + 1, ..., 2/j, для всех j = 1, 2, ...» 2p. При выбранных параметрах в (2.468) выделим инте¬ грал по переменной уг и обработаем его по схеме (2.256) с учетом боль¬ ших уклонений (ср. с [931). Тогда при каждом j = 1, 2, ..., 2р в об¬ ласти i_ _ _i_ |/|<С^-е(/2/3 2(fo+1...fop) 2 (2.470; интеграл в (2.468) не больше величины je 1 п2р f (у2, ..., у2р) Р{г (VT2dy2) ... . • • Pi2p (VhPdy2p) 4- О (2.471) где Sbj > 0 — постоянная; f (t/2 у2р) = j В2 (yt— plt у2 у2р) х X Pi (dy,), рх = У1Р1 (dyj, l2l3 .../;= 1 при / = 1, ki+l . .. k2p= 1 при j = 2p‘, </>0— произвольно большое число. 159
(2.472) Рассмотрим следующие области: область | Л С‘2рПР 1 е (^1 ^2 . • • 1'2р) , области у 1_ ... //) " (&/+i ... Ы 2 . lj-S~~(kj ... k2p)~~, j = 2, 3, ..., 2p, (2.473) и область __i_ i_ i_ СрУ+Ч, 2 (k2 ... k>„) 2 < 11 К C«P-£ (k2 ... k2p) 2. (2.474) Очевидно, что за счет выбора постоянных в (2.472) — (2.474) можно добиться того, что объединение всех областей (2.472) — (2.474) будет давать область (2.470) при j = 1. Очевидно также, что для справедли¬ вости (2.466) из-за малости е >> 0 достаточно дать соответствующую оценку интеграла в (2.471) для области (2.470) при / = 1. Для области (2.472) в (2.471) положим / = 2р. Затем обработаем интеграл в (2.471) по схеме (2.257) — (2.261). Тогда окажется, что интеграл в (2.471) в области (2.472) не превосходит величину IWI + 0M. (2.475) Очевидно, что для всех / = 2, 3, ..., 2р в области (2.473) интеграл в (2.471) не больше величины J Р? (Г/^) ... р’?р (VWPdy2p). (2.476) Выражение (2.476) вновь преобразовываем по схеме (2.257) — (2.261). В результате получаем, что в области (2.473) интеграл в (2.471) не пре¬ восходит величину |¥ш(рХ)| + О(/г-^). (2.477) Для области (2.474) положим в (2.471) j = 1. Тогда, очевидно, ин¬ теграл в (2.471) не превосходит величину J e~^in2ei(!>2 Р^ (Vk2dy2) Рк2р (Vk^dy-2P). (2.478) Преобразуя (2.478) по указанной схеме, убеждаемся, что этот интеграл не больше выражения (2.477). Объединяя эти оценки и учитывая ус¬ ловие теоремы, приходим к соотношению (2.466). Метод п. 5 § 2 анализа разности характеристических функций Фп (0 — Ф (0> оценка (2.466) и неравенство типа Эссеена (2.265) для Т = Спр~е позволяют вывести (2.465) при условиях (2.463) и Е || X, ||2 < оо.т 160
Теорема 2.15. Пусть выполнено условие (2.463) и при некотором целом s таком, что 1 s р, существует Е [j Х}_ ij2s С сю. Тогда справедлива оценка sup X Рп (IIП 1|2р < О) — N (II я ||2р < х) — XI n-'Nj (х) /=1 = р1гп-(^\ (2.479) где р,г 0 при п оо, для функций N, (х) имеются явные формулы (см., например, [141]). Доказательство. Основой является следующая формула Бергстрёма [107]. Пусть, как и прежде, Р11 и Nn — соответственно zi-кратные свертки мер Р и N. Тогда при всех s = 0, 1, справед¬ лива формула (см. [107, с. 2]) Р" = У (")Nn~v . (Р — N)v + r«+l), (2.480) v=0 \vj для n =. 1, 2, ... /<s+1,= £ (V~ I)p"-v.(P-?V)v+1.7Vv-s-1, V=s+1 \ S 1 символ * обозначает операцию свертки. При s = 0 (2.480) редуцирует¬ ся к формуле Линдеберга Р'1 = Nn+ V p'!~v «(Р — Д') * A/v_1, (2.481) V=1 которая неоднократно применялась в п. 5 §2втерминах характеристи¬ ческих функций мер Р и N. Дальнейшее доказательство (2.479) связано с переходом в (2.480) к характеристическим функциям, применением метода анализа п. 5 § 2 и оценкой (2.466). Отметим, что «характеристическое» выражение, которое составляется для 4s4_1) из (2.480), становится остатком, а дру¬ гие слагаемые в (2.480) — первыми членами асимптотического разло¬ жения в (2.479).т Формула (2.480) применима к оценке производных по t любого по¬ рядка от разности ср (/) — ф (Z), что требуется для вывода неравно¬ мерных оценок скорости сходимости. В качестве примера можно сфор¬ мулировать следующий результат. Теорема 2.16. Пусть Е || Хх ||4 < оо, р 2 и распределение гаус¬ совой величины т не сосредоточено ни в каком конечномерном подпро¬ странстве. Тогда при всех х> 0 \Рп (Ы|2₽ <Х) - Р(||тГ<Х) |< J (2.482) где С\ > 0 — постоянная; q 2 — произвольно большое целое число. 11 4-101 161
Пусть X = LP(Y, pi), где p^2 целое,— банахово пространство вещественных интегрируемых по мере pt функций, заданных на мно¬ жестве F, и ||x'j = |х(ц)|р [i(du)^D, Хь X 2, ..., Хп — независи¬ мые Ж-значные случайные величины, ЕХх = 0. В (2.2) выберем ядро Ф специального вида Ф (A-J, ..., хр) = j xt (и) ... хр (и) р. (du). (2.483) У Очевидно, что k = т = р, т. е. ядро (2.483) обладает свойством пол¬ ной вырожденности. В работе [143] отмечалось, что если р 4 четное, то для ядра (2.483) при условиях Е || Хх j,4 < оо и (2.122) справедлива оценка sup | Р (0п < х) — Р (г| < х) | = 0 В действительности ядро (2.483) имеет следующие свойства. Теорема 2.17. Пусть для ядра (2.483) выполнено условие (2.122). Если р 3 нечетно и Е || Xr |j3 < оо, то при п оо i_ sup I Р (6„ < х) — Р (Г) < х) Щ- Xj (х) | = рг (п) п 2, (2.484) х I V п I если р 4 четно и Е || Хг ||4 < оо, то sup I Р (0л < х) — Р (Т) < х) У Х2 (х) I = р2 (/г) (2.485) X I I где р£ (п) -> 0. Функции /£- (х) приведены в работе [143, с. 10] и имеют следующий вид. Пусть т — гауссова случайная величина в Lp, имеющая ту же ковариационную структуру, что и ХР Такой вектор т существует, так как Ер при р 2 есть банахово пространство типа 2. Для любого а £ Lp обозначим W (а) = J (т + d)p rfp. Тогда у где X] и Х2 не зависят от т. Для коэффициентов N{ (х) в (2.479) и X/ (х) в (2.484), (2.485) можно указать оценки типа (2.344), где вместо X следует брать Х1/р. Для доказательства этого достаточно воспользоваться формулой за¬ мены переменного в интеграле по гауссовой мере из [95, с. 40] и схемой доказательства (2.338).
ГЛАВА 2 АСИМПТОТИКА <о2-СТАТИСТИК Пусть хп х2, ..., хп — результаты независимых наблюдений над случайной величиной с некоторой функцией распределения F (х). На основании данной выборки требуется оценить F (х) путем проверки нулевой гипотезы : F (х) = F(} (х), где Fo (х) — вполне определен¬ ная непрерывная функция распределения. Для решения этой задачи существуют критерии, основанные на ста¬ тистиках типа Крамера — Мизеса — Смирнова, оо «и = П У (F„ (х) — F (х))2 р (F (х)) dF (х), — оо где Fn (х) — эмпирическая функция распределения, определяемая как 1 Д [1, г>0; 6й_|0, г<0. р (и) >= 0 — некоторая весовая функция. По теореме Смирнова (см. [83, 213]), во-первых, распределение (о,^-статистики при гипотезе Но не зависит от Fo (х) и, во-вторых, величина Дп = sup | Р ((О* < х) — Ф (х) | -> О X при п -> оо, где функция распределения оо л2/ Ф(Х)= l-^V (_!)/-> (• ; —1 Л2/—1 Ф (х) дается формулой ■■ ? — dy, У-^у)у £)(//)= п (1-уД), /=1 причем Ф (х) имеет характеристическую функцию = П (1-2/7Д) С /=1 где {Ху} — собственные числа линейного интегрального оператора с ядром в (X, у} = (min (х, у) — ху) Vр (х) р (у), определенным на квадрате П2 = [О, I] X [0, 1]. и* 163
В последующих исследованиях многочисленных авторов результа¬ ты Крамера [124], Мизеса [184] и Смирнова [213] обобщались, уточня¬ лись и применялись в различных направлениях (см., например, [68, 101]), причем в теории со2-статистик возникли глубокие аналитические задачи, для решения которых потребовались новые идеи и методы. По существу асимптотика распределений со2-статистик относится к асимп¬ тотическому анализу вероятностных распределений в бесконечномер¬ ных пространствах. Эта точка зрения принадлежит Ю. В. Прохорову и В. В. Сазонову [75, 76, 206]. Другой общий подход к исследованию асимптотических свойств распределений со2-статистик связан с тем, что госстатистику можно рассматривать как функционал Мизеса. Эта точка зрения восходит к работам Мизеса (см., например, [185, 186]). В данной главе излагается асимптотическая теория со2-статистик, в основу которой положены именно эти принципиальные точки зрения. § 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПРИРОДА (о2-СТАТИСТИК 1. со2-статпстикп п центральная предельная теорема в гильбертовом пространстве В силу теоремы Н. В. Смирнова без потери общности можно пред¬ полагать, что исходная выборка х2, ..., хп извлечена из совокупнос¬ ти с равномерным распределением на интервале [0, 1]. Ради простоты положим р (ц) = 1. Тогда 1 ©2 = п J (F,, (х) — х)2 dx. (1.1) и Пусть Е2, ..., — независимые случайные величины, заданные на вероятностном пространстве (Q, сГ, Р) и принимающие значения в измеримом гильбертовом пространстве (Я, «/?), где Н = L2 (0, 1) — пространство интегрируемых с квадратом функций на [0, 1] с обычным скалярным произведением (•, •) и нормой || • |1, <А — ст-алгебра борелев- ских множеств в L2 (0, 1); Е^ = 0 и S обозначает ковариационный оператор, определяемый как (S/, g) = E(f, Ez)(g, ?z), Л gCMO, 1). Рассмотрим отображение (см. [79, 206]) СО —> 6 (% — Xj (со)) — х, 0 х 1, как случайную переменную со значениями в гильбертовом простран¬ стве L2 (0, 1). Обозначим Ez = б (х — Xj) — х, 0 х 1, j = 1, 2, ..., п. Тогда Etj = 0 и ковариационный оператор S есть интеграль- пый оператор Sf (у) = j В (х, у) f (х) dx, о f € ^2» (1-2) с ядром В (х, у) = min (х, у) — А-Z/. (1.3) 164
Этот оператор имеет собственные числа л, = (тс/) 2, j = 1, 2, и собственные функции <р7 (х) = |/2 sin (л/%), j = 1, 2, ... Положим Лн — (L + ?2 + ‘ ‘ ’ + D» I п Рп — борелевская мера на (/Y, Л), которая индуцируется г]/г Очевид¬ но, что 1 <О“ = п § (Fn (х) — х)2 dx = о 1 / п \ 2 = У -Л~S6(%—*/)—*) dx = iKii2- (i-4) О \ Г п i=\ / По равенству Парсеваля 1Ы12= £ С/, пХ (1-5) /=1 В ортонормированием базисе {]/2 sin (л/х)}, j = 1, 2, в простран¬ стве L2 (0, 1) /-я координата величины с7 имеет вид Отсюда и из равенства Парсеваля имеем (см. [206]) Ып = (§т(5§СОЗ(Л/Х)) • (1’6) Эту формулу можно записать в другом виде: где п (1.7) S—1 , • • = 1 1 п Из (1.4) следует, что Р (со ’ <х) = Рп (Ех), (1.8) где Ех — шар в L2 (0, 1) радиусом х. Пусть т — гауссова случайная величина, принимающая значения в L2 (0, 1) с нулевым средним и ковариационным оператором S. Тогда т = V] ti^i (х), (1.9) /~1 где tf = (т, ср7), j = 1, 2, ..., — независимые нормальные случайные величины в R с нулевыми средними и дисперсиями £ С. Т/)2 = <5(Р/. <Р/) = (л/)-2. 165
Таким образом, ||т||2=Е^ (1-Ю) 7 = 1 и характеристическая функция ср (/) случайной величины || т II2 опреде¬ ляется как 1 оо — —— Ф(/) = п(1 -\ (1.11) Очевидно, что N(Ex) = p[Yt2i<x\ (1-12) где У — распределение гауссовой случайной величины т в L2 (0, 1). Поэтому ЛЧЕх)=Ф(х), (1.13) где Ф(%) — функция распределения Смирнова, причем е_ J У — (т/) у dy, оо W)2 /=1 I))2 оо (1.14) Из (1.8) и (1.13) следует, что ' sup | Рп (£) — У (£) | = sup | Р (со?, < х) — Ф (х) |, (1.15) Е&, x£R где § обозначает класс всех шаров в L2 (0, 1) с центром в нуле. Заметим, что если воспользоваться представлением (1.7), то форму¬ лу (1.15) можно вывести в терминах гильбертова пространства беско¬ нечных последовательностей /2. 2. (о2-статистика как функционал Мизеса Пусть 1 со- = (Fn (х) — х)2 р (х) dx. 6 (1.16) где Fn (х) — обычная эмпирическая функция распределения, отвечаю¬ щая независимой выборке х1У х2. .... хп из совокупности с равномерным распределением на [0, 1]; р (х) 0 — весовая функция. Поскольку — У^^(х — Х/) — х), (1.17) 166
то (1.16) можно записать как < = v 2 £ ф (xz, х,), п /=1 (1-18) где 1 Ф (х, у) = \ du р (и) (6 (и — х) — и) (6 (и — у) — и). (1.19) о Таким образом, (О/2?-статистика (1.16) есть функционал Мизеса типа (1.18) с симметрическим ядром (1.19). Интеграл в (1.19) можно упрос¬ тить и во многих конкретных случаях вычислить. В качестве примеров приведем ядра Ф (х, у), отвечающие различным (о2-стагистикам: 1) для 2) для 3) для 4) для 5) дл я статистики Мизеса—Смирнова [681 Ф (М У) = 2~ I Х — Н—2~ ’— Х 3") + ~т(у2 — у + 4): Ватсона [671 \ 1 4 I 1 ' У} = — (1*-^1—Г| Дурбина — Нотта [131, 1321 ф (х, у)=—41х ~ у I+4~ (*2—х+4")+ , I / „ 1 \ , *2~* + у2-у + ^ ~[у ~ у ~ 12Л ’ статистики Айне [67] Ф(х, у) = 4 2 min (| х—</1, 1— |х — у\); статистики Андерсона—Дарлинга 11011 Ф (х, у) = — 1 — In (у-(\х — у\ + х + у)— ху^ ; статистики Ф(х, статистики .2 ,2 2 12/2 (1.20) 1 24 ’ (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) для статистики Пелита—Стефенса [1881 ф (х, Z/) = 4* (IIх ~ УI + х + У ~ 20-21 — II * — у | + х + у — 20х I) — — max [о, Д- (()'( — х2)) — max (о, (05 — г/2)) + 4- шах (о, (Qi — %2)j + max 4" (0‘ — У’>) + , , О2-0. "Г 3 *Г 2 ’ 6) 167
(1-25) 7) для многомерной со2-статистики [199] (tn т \ П (1-Х2) + П (1-Z/2) + S=1 S=1 / т + 2-"'П ((l-xs) + (l-//s)-|xs-z/J), S=1 х= (хь х2, . . ., х,„), у = (уи у2, у,„). (1.26) 3. (о2-статистики и броуновское движение Рассмотрим эмпирический процесс &n(x) = Vn(Fn(x) — x), 0^х<1, (1.27) построенный по независимой случайной выборке х{, х2) хп из со¬ вокупности с равномерным распределением на [0, 1]. Тогда 1 ^ = j6n(x)p(x)dx. (1.28) О Для эмпирического процесса Е6п (х) = 0, а ковариационная функция ; В (*, У) = ЕЬп W Ьп (У) имеет вид В(х, у) = min (%, у) — ху. Известно, что последовательность процессов (х), п = 1, 2, ..., сла- 0 бо сходится к броуновскому мосту W (х) на [0, 1], т. е. к гауссовому процессу с нулевым средним и ковариационной функцией В (х, у). Поэтому при условии 1 j dx х (1 — x)j^p(x)<Coo (1.29) о справедливо соотношение lim Р (со„ < х) = Р (со2 < х), (1.30) П—> оо где 1 СО2 == J W'2 (t) р (I) dt. (1.31) 6 Далее воспользуемся формулами (1.18), (1.19). Очевидно, что 1 1 f Ф (х, у) dx = f Ф (х, у) dy = 0. (1.32) о о 168
Поэтому по свойству (1.32) и формуле (1.18) находим представление I 1 = П Ф<х> y)d8n(x)d8n(y). (1.33) О о Отсюда замечаем, что при условии (1.29) предельное распределение а4-статистики совпадает с распределением случайной величины о (О 2 = j j Ф (х, у) dW (х) dW (у). О о (1.3V Пусть {XJ и {ср,- (х)) — собственные числа и собственные функции интегрального оператора с ядром Ф (х, у), так что для.всех j = 1,2,... 1 j Ф(х, у) ф; (х) dx = X;cpz (у). (1.35), О Разложим ядро Ф (х, у) в ряд по данным собственным функциям: оо ф (х, у) = у; Хуф,- (х) <ру (//). /=1 Из (1.34) и (1.36) получаем /=1 где 1 Xj = J <р/ (/) dW (/). О (1.36> (1.37) (1.38) Случайная величина Т/ имеет стандартное нормальное распределе¬ ние в R. Поэтому по (1.37) характеристическая функция ср (/) случай¬ ной величины о? определяется как о 00 _ _L Ф (() = Ее11ш‘ = П (1 — 2i7M 2 . (1.39) /=1 § 2. ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ ш2-СТАТИСТИК Пусть 1 = п \ (Еп (х) — х)2 р (х) dx, О где р (х) 0 — некоторая весовая функция; Fn (х) — эмпирическая функция распределения, отвечающая независимой выборке хь х2, ... хп из совокупности с равномерным распределением на [О, 1L 169
Положим 1 — j /2 (х) dx, О ;нова § = (6(х — х;) — х)]Ср(х), /=1, 2, ..., п, Ш2 = если f£L2 (0, 1). Тогда по теореме Прохорова — Сазо- 1. Статистика Мизеса — Смирнова В этом случае р (х) = 1 и предельное распределение Ф (X) имеет -характеристическую функцию _ 1 Ф (0 = (у=- sin (К2^)) 2 • (2.1) Теорема 2.1. При п -> оо справедлива оценка sup | Р (о)^ < X) — Ф (X) | = О X (2.2) Доказательство. Пусть (/) = Ее \ = п 2 (£i + В2 4- + + ?/г), £/ = б(х— Xj) — х, причем х1? х2, ..., хп— независи¬ мые равномерно распределенные на [0, 1] случайные величины. Лемма 2.1. При п -> оо справедлива оценка eKiri п)2 Фп (0 — ф (О t ejln п)2 (2.3) ■где 8! > 0 — достаточно большое, но фиксированное число. Доказательство. Соотношение (2.3) вытекает из представ¬ ления Прохорова — Сазонова и леммы 2.9 гл. 1. ▼ Лемма 2.2. В области ет (In п)2 111 8?// (In /?) 3 (2.4) при п оо справедлива оценка 1фпЮ1 = «(—А—; ’ <2-5) где 82 ;> 0 — достаточно малое фиксированное число, а г.Л (8И е2) >> 0 за счет выбора 8( и е2 может быть сделано достаточно боль и. им. Доказательство. Применим неравенство (2.165) гл. 1. Запишем || т]п ||2 в виде II Лп II2 == II ak II2 + 2 (ak, bk) -}- || bk ||2, (2.6) !_ k L_ n где ak ~ n 2 У £z; bk = n ' У Ez; k— любое целое число, при- /—1 1 чем 0 k п. При помощи неравенства (2.165) гл. 1 в эюм случае
имеем где 6/=gi/ — Uj, /' = 1,2,..., k, &/= 6(х —X/) —х, &>/ = б(х — у,) — х; g = 6(x —z)—х, причем хх, х2, ..., хк, ylt у2 ук и z — независимые равномерно распределенные на [0, 1] случайные величины. Выражение в правой части (2.7) представим в виде Му б. j Е\Еге п ‘^\п-к = /?, + /?,. (2.8) где /< = £{1й,М;|££е'1 к /?2 = £{(1-1£2,J|£^ k при этом Sk — k '2 Д 6Z; Q„* = {co :||SJ>-yi И1п/г}> Iq,, ,,—индика- торная функция множества Qnj;, yL>>0— достаточно большая фик¬ сированная постоянная такая, что 1, a 0<Zk<.n. Сначала оценим /?Р Нетрудно видеть, что II Sti II2 = j (yj- V (6 (X — X,) — 6 (X — £/,))) dx < < 2 (f (z/J'> (x))2 dx + J Q/I (x))2 dx\ < 2 (ИУ + (<>)2), \0 0 / где уи (x) и — эмпирические процессы и статистики Колмогоро¬ ва, построенные соответственно по выборкам хь х2, ..., xk и уъ у2, ... ..., ук. Далее по известной теореме о больших уклонениях для ^-ста¬ тистики при любом X >* 0 справедливо неравенство Р ехр (— 62Х2), причем k} > 0 и k2 > 0 — постоянные, не зависящие от k и X. В силу этого можно утверждать, что = О (п 'Д. Рассмотрим R2. В области 2 А 2 i__ 1 | /1 е2 (In /г) 2 k " п с применением формулы Тейлора находим оценку —-у < Ее п , (2.9) (2.Ю) (2.11) 171
где положено gk = + б2 + ... + (\. Важно отметить, что скаляр¬ ное произведение (Sgky gk) 0. Воспользуемся возможностью выбора в .качестве k любого целого числа из указанной области его изменения. Сначала разобьем область _1_ 1 на две: 2 (2.12) 1 £ 2 _ 1 _j_ \t | е2 (In п) 2 ([е2п|) 2 пу i_ i__ е2 (In/?) 2 ([e2/i]) 2 n^\t\^z2n(\rin) 2 ([еГ2(1п я)5]) 2 , (2.13) где [82и], [еГ2(1п/г)5] обозначают соответственно целую часть Е2/г, е72 (1п /г)5. 1. Пусть в (2.10), (2.11) k = [е2/2]. Тогда, очевидно, область (1.10) переходит в область (1.12). Для того чтобы оценить выражение в правой части (2.11) для данного ky воспользуемся формулой (см. [40, 811) Я' н Подставляя (2.14) (2.14) в (2.11), находим „ i /2 t Vn^k „ R2^\\Ee п {l'x}\2kN(dx). н Представим правую часть (2.15) как i /2 I V~k J | Ее н &T)/2^’(dT) = /?3 + /?4, (2.15) (2-16) п где н фикси- i V2 t Vn-k #4=Hi-4)i£e n H при этом An= {co : || т || > y2 Kin /?},_у2 > 0,— достаточно рованная постоянная такая, что 8у2 Ке2 < Ь По свойствам гауссовой меры при zi -> оо /?з = О(п~“). (2.17) Пользуясь формулой Тейлора, для Т?4 в области (2.12) получаем С J (di). (2.18) 172
Заметим, что j е2/ (Дт.т)дг = | (2.19) Следовательно, в области (2.12) R* < | ср (е2/) |2. (2.20) Объединяя (2.7), (2.8), (2.15) — (2.17), (2.20) и выбирая произведение е182 достаточно большим, в области 1_ i_ ег (In п)2 111 e2n (In п) 2 ([е2п]) 2 получаем оценку (2.5) в силу того, что при всех | / | ^ 1 1 1 I <р(01 С 21114 е-1Л 2 . Докажем (2.21). В соответствии с (2.1) (2-21) I ф (014 = —■ sin 2it) sin (У — 2it Отсюда, пользуясь тем, что при любом комплексном z eiz — e~iz sin2= , выводим формулу 1 _1_ л 8 1/1 e~^ 2 I ф (014 = 4- ■ Это позволяет при любом реальном I написать оценку 1 1 |ф(/)|2< 2/21/Г2^'2 . из которой следует утверждение (2.21). 2. Пусть в (2.10), (2.11) k = [еГ2 (In я)51- Тогда при данном k в области (2.13) согласно (2.11) имеем R2^Ee 21nn . (2.22) Отсюда при помощи (2.14) находим . 1ЛЕ,(^Т) R2 =С J | Ее |2^ (с/т). (2.23) н Выражение в правой части (2.23) запишем как . /₽?(>,т) J|£e |2/W (с/т) = R5 + Rs, (2.24) н 173
где Я5 = J \лп\Ее \'kN(dr); Ii . /FZq.t) R6 = J(l-bJ|Fe (Ш)- H Для R5 no свойствам гауссовой меры имеем Rb = O(n Ч. (2-25) Для оценки R6 вновь применим формулу Тейлора. Тогда Re < j e-№’-,(1 ■ (dxy (2.26) н Таким образом, в области (2.13) R6 | <р ((4е2) - (1п п)2) |2. (2.27) Отсюда следует, что в области (2.13) также справедлива оценка (2.5).т Леммы 2.1 и 2.2 доказаны также в работе [140]. Следующая лемма, приводящая к соотношению (2.2), впервые строго была доказана Ю. В. Боровских в работе [25] с помощью идей метода тригонометри¬ ческих сумм [35]. Лемма 2.3. Пусть е4 Д> 0 — достаточно малое фиксированное чис¬ ло. Тогда в области &?п (In п)~3 111 (2.2Е) при п -> оо справедлива оценка (2.29) где г5 > 0, причем число е5 в принципе может быть сделано большим. Доказательство. Поскольку собственные числа и соб¬ ственные функции S-оператора суть X/ = (л/)~2 и е, = j/2 sin (л/х)„ j = I, 2, ..., то в соответствии с представлением Прохорова — Сазо¬ нова и равенством Парсеваля (1.5) (си. 179, 2061) оо / п .2 = S it Scos o,jrxs) • <2-30> /=1 4=1 > Далее при малом е4 > 0 положим k = [еТ"1! [е4 2], где Ы обозначает целую часть числа а. Очевидно, при таком k (£ cos(/nxs)) =Фи cos(/nxs)) + ( S COS (/лх5)) 4- \s*~ 1 / \.S=1 J \S=/<+l J H- 2 cos (/.-tx5)j cos (/nxs)^, 174
следовательно, по (2.30) 9 С0л находим представление, аналогичное (2.6), = &-ntk + 2{Зп,л 4“ У.ч,А’> (2.31): где оо Un,k — 7=1 1 4=1 > ( )2 Д- £ cos(/nxs) ; ' 4=А+1 ' Д- ! V cos (/nxJ! У cos(/nxs)J. 1 4=1 4=A4-1 • ' в соответствии с неравенством (2.167) гл. 1 /=1 оо /=1 оо R _ 2 V 0П’Л ~ л2п /=1 При помощи (2.31) и получаем П-k (2.32): где А 6,- = V (cos (/ллг8) — cos (pu/s)), S=1 а хх, х2, Хй и уъ у2, ..., уk — Две независимые выборки из равно¬ мерного распределения на интервале [0, 1]. Применяя формулу Тейло¬ ра, находим в области | t | е4м оценку 1 Jexp о oo 4/2 V 1 л4/г2 ' /4 у* /=1 Стало быть, в силу (2.32), (2.33) в области | t | _ 8f4n-k) у 1 Л4/12 ]4 j \<?М2^Ее /2 (2.33) (2-34) Положим I = [е4 !], а4 = 2л 4/ 4 4 (и — k) (In ri) 6. Из (2.34) нетрудно видеть, что в области (2.28) выполняется неравен¬ ство -% у K(/)l2^£e '=1 . (2.35) Если тп т2, ..., т, — независимые стандартные нормальные случайные величины, то Ее i . 1 1 2/г V т;- cos (/лхЙ dx . j=i J (2.36). ' 9 у л » 1 175
Пусть R1 обозначает /-мерное эвклидово вещественное пространст¬ во z = (?х, г2, ..., z^R1, | z | =]/~ z2 + zi + ••• + zt Обозначим через (2.37) характеристическую функцию случайного вектора (cos X, cos (ZX)), где X — случайная величина, равномерно распределенная на [0, л]. Относительно ft (г) в работе [90] установлено, что для всех | z |> 0 1 \ (2.38) где константа Cz > 0 зависит только от размерности /, причем Cz вы¬ писана в явном виде. Для доказательства (2.38) весьма существенно используется известное неравенство И. М. Виноградова [351 1 ехр [/2л (zrv -{-••• 6 1 (2.39) где г0 = max | zm |. 1 Пусть Zj — т, ]^2ап, j = 1, 2, I. Тогда в соответствии с (2.36), (2.37) ■Л, Л2 —а/2 °/ Ее /=1 =£|/z(z)|2\ (2.40) При помощи (2.38) получаем оценку £|//(2)|2Ч(О)2"£|гГ“, (2.41) где | z | = ]Л2ссп (ТЛтТ + тг + • • • + т2) . Положим г = [е4 2 ]. Сле¬ довательно, г = у. Из (2.35), (2.40), (2.41) в области (2.28) получаем l%WI2^2 Г г (Ct) <*п ‘ Е {(Т| + Т2 + • • • + т/) }. (2.42) Поскольку при достаточно малом е4>0 всегда I > 4г, то математи¬ ческое ожидание в правой части (2.42) конечно. Стало быть, в области (2.28) | ф„ (/)12 = О (In nf п 2). (2.43) Для малых е4 > 0 из (2.43) вытекает (2.29). ▼ Если применить далее неравенство Эссеена, затем соотношения (2.3), -(2.5), (2.21) и (2.29), то в результате получится (2.2). ▼ 176
2. Статистика Ватсона (2.44) (2.45) Статистика Ватсона определяется как [67] Un = п § | F„ (х) — х — J (Fn (у) — y)dyj dx. Ватсон доказал, что предельное распределение Ф (X) статистики U2n имеет характеристическую функцию (“И/?) V Ф(/'Д Г Теорема 2.2. При п оо справедлива оценка sup|P(^<X)-O(X)| = 0(-i-j. I itUn Доказательство. Пусть (рп (t) = Ее , ?/ = (6(х — Xj)— х) — j" (b — Xj — yjdy, j = 1, 2, ... , п, О Яг — п 2 (£1 + * * * + ?/г)- В соответствии с представлением Прохорова — Сазонова (см. также 14]) (2.46) (2.47) Для анализа фл (/) применим метод, изложенный в предыдущем пунк¬ те. Оценка (2.3) также следует из леммы 2.9 гл. 1. Неравенство (2.165) гл. 1 в данной конкретной ситуации имеет вид — (£ м) |Фч(/)|2^Е|Е^ п k/=i (2.48) где = — Ео/, /=1, 2, ..., /г, 1 &/ = (6 (х — Xj) — х) — J (6 (х — Xj) — у) dy, О 1 bj = (6 (X — У/) — X) — У (6 (у — У/) — у) dy; О 1 £ = (6 (х — z) — х) — У (6 (у — г) — у) dy, О 12 4~101 177
хъ х2, ..., xfp, ..., ijk и г — независимые равномерно распределенные на интервале [0, 1] случайные величины. Подробный анализ выраже¬ ния, стоящего в правой части (2.48), приводит к оценке (2.5). Следующая лемма является усилением леммы 2.3. Лемма 2.4. Пусть а — фиксированное число такое, что 0<а< < -j- • Тогда в области "У 4" а 4 I 2 п 2 I /1 £4/г при п оо справедлива оценка |фп(0| = . (2.49) (2.50) где £6 > 0, причем число еб может быть большим. Доказательство. По равенству Парсеваля представим (/„-статистику в виде = l/vT S {(£ cos (2я/Х)) + Sin (2л/о) j . (2.51) Как и при выводе (2.32), получаем {оо ч п—k Zj (cos (2я/х) б/ + sin <2л/*) я/1 dx (2.52) где k — S (cos (2л/\) — cos (2л///$)); 7 (2.53) Л; — У, (sin (2n/xs) — sin (2л///5)), S=1 1_ причем k = [eC1] [si 2 ]. В области | t | n из (2.52) выводим неравенство | <P„ (/) I2 С Eexp j- I (6; + Л2) j. (2.54) Положим I = [s?1], a„ = л-8/1 (1 £-) n2a. Из (2.54) в области (2.49) находим I Ф„ (0 I2 < Ее /=> . (2.551 178
Правую часть (2.55) представим так же, как и (2.38): -%Д6/ Ее Нетрудно проверить, что 1 ’ , поэтому 2k (2.56) 2k о 1 4- _(е; I > 2Л S т/ cos (л/) cos (лjx)} dx , (2.57) -% Ее 2k + /= 1 О 1 I ] = I (2.58) 1= о Для оценки каждого слагаемого в (2.58) применим (2.41), (2.42), откуда в силу (2.55) будет справедлива оценка | <р„ (О I2 = О (2.59) 1_ где г = [е4 2]. При аг >2 из (2.59) вытекает (2.50). Наконец, приме¬ нение неравенства Эссеена вместе с полученными оценками для (рп (/) приводит к (2.46). ▼ 3. Статистика Айне Пусть х1? х2, ..., хп — независимая случайная выборка из ок¬ ружности С единичной длины; N (х) — число выборочных точек, попавших в полуокружность рг, х + у]. Функция N (х) периодическая с периодом, равным единице, кроме того, /V (х) = (б (х - X,.) - 6 (xz н- 4 - *)) • (2.60) Статистика Айне определяется как [67] ап = § IN (х) ^-/г| dx. (2.61) о ' z 12* 179
По теореме Ватсона [67] предельное распределение а„-статистики Ф (X) имеет характеристическую функцию <Р(/) = (cos (jZ-j'il)) • (2-62) Теорема 2.3. При п оо справедлива оценка sup | Р (а„ < X) — Ф (X) | = О (4-)- (2.63) Доказательство. Пусть % (/) = Ее , Ну = 6 (X — Ху) — б (ху -|—2 xj, / — 1, 2, ... , м, 'Пи — п (£1 + ?2 + ‘ • • + %п)- Тогда al = || Ни li2- (2.64) При помощи (2.64) получаем оценку (2.3). В данном случае неравенство (2.165) гл. 1 имеет вид (2.65) ; где бу = £1/ — ^2/, / = L 2, . . . , /г, Е)/ = 6(х-х/)-б(х/ + ?2У = = б (X - г) - б (г + 4 - Л-) - 4- > Х1, ...» хь <7], ijk и г — независимые равномерно распределенные случайные величины на [0, 1]. Из (2.65) выводится оценка (2.5). Для установления оценки типа (2.50) вновь воспользуемся пред¬ ставлением (2.64) и запишем ^-статистику по равенству Парсеваля: 00 sin2 (-^/-j ( / п \2 = ^-{(i;cos(2n/xs)) + (2.66) 180
Отсюда и из соотношения (2.167) гл. 1 получаем оценку 1 ( о i= n—k > (2.67) где 6/ и л/ определены из (2.53). Подробный анализ выражения, стоя¬ щего в правой части (2.67), приводит к (2.50) и, следовательно, к (2.63). ▼ 4. (о2-статистика Рао Пусть хх, х2, ..хп—независимая случайная выборка из ок¬ ружности С единичной длины; окружность разбита на т интервалов (число т фиксировано), причем Z-й интервал имеет вид /,• (х) = |^х + + ‘~г1 , X + , 0 < х < 1, z=l,2,..., т\ nt = tit (х) — число наблюдений в исходной выборке, попавших в интервал /Дх). Рао [194] ввел в рассмотрение статистику 5 Д [п' w - dx <2-68) и доказал, что ее предельное распределение Ф (X) имеет характеристи¬ ческую функцию ф(0 = П (1 — I7VF1, (2.69) /=1 где 2 sin2 (-£-)• Теорема 2.4. При п -> оо справедлива оценка sup I Р (X,2, < X) — Ф (X) I = О (-Ь) . (2 70) Доказательство. Пусть для г = 1, 2, пг ^ = 6(x_X/ + z_)_6(.r._x_z^Lj__L> /== ь 2, .... = ••• -н,п Тогда (2.68) можно записать как Хп = m i Ihln’ii2- (2.71) r=l 181
,2 11. Оценка (1.3) для фп (/) следует из соотношения 'в нашем Пусть (/) = Ее ‘ (2.71) и неравенства (2.203) гл. 1. Неравенство (2.165) гл. 1 случае имеет вид n—k / = 1, 2, _1_. tn ’ (2.72) • ) > = (g(,), .... л %i, х2, ..., xk\ у19 у2, ...» Уь и z — независимые равномерно л\, х2, ..., xk\ у19 у2у ...» Уь и 2 — независимые равномерно распреде¬ ленные случайные величины на интервале [0, 1]. Из (2.72) для фп (/) выводится оценка типа (1.5). Далее представим уД-статистику по ра¬ венству Парсеваля как И - 1(2 cos CwT + (| sin (2л/J! . Это дает возможность получить оценку 1 I Фп (0 I2 < £ j еХР о sin2 [—1 |cos (2л/.\-) 6, < n—k dx, (2.73) где 67 и л/ определены в (2.53). Путем анализа выражения в правой части (2.73) можно прийти к оценке (2.50) и, следовательно, к (2.70). ▼ 5. Статистика Берана Пусть хь х2у ..., хп— независимые реализации случайной перемен¬ ной, которая равномерно распределена на единичной окружности С; f (х) С ^2 (0, 1) — плотность ее распределения на С. Класс крите¬ 182
риев равномерности на С, который ввел Беран [105], основан на ста¬ тистике & = 4 J (/ (* + - I)2} dx, (2.74) где сложение х 4- xs понимается по модулю, равному единице. Пусть {Ст} обозначают коэффициенты Фурье f (х) относительно базиса [ехр (2л/тх); пг = 0, ±1, ±2, Тогда по равенству Пар- севаля п 2 У e2nimxs (2.75) 1 В работе [105] Беран определил функцию h (х) равенством /1(х) = У \Ck\2exp(2nikx) = 2 У, | Ck [2 cos (2 л Ах). (2.76) А--0 А=1 Поскольку S |CJ2<oo, то оба ряда в (2.76) сходятся равномерно и абсолютно. Функция h (х) является вещественнозначной, непрерыв¬ ной, симметричной относительно 0 и 1/2, периодической с периодом, равным единице. Из (2.75) и (2.76) следует, что M = У h{Xi-xk). (2.77) п /=1 /г=1 В работе [105] установлено, что предельное распределение Ф (X) дан¬ ной статистики имеет характеристическую функцию ф (/) = П (1 — 2 I Cj I2 ИГ1- (2.78) /=1 Пре дположим, что число тех /, при которых |С/| #= 0, бесконечно. Теорема 2.5. При п оо для любой В „-статистики класса Бе рана справедлива опенка. sup | Р (Bj; < А.) — Ф (А.) | = О • <2-79) Доказательство. Пусть <Г/1(/) = Ее'7Ч li = f (* + xi) — 1. / = 1,2,..., п, 1l,i — ,l Й1 + ?2 + ’ ’ ’ + ?n)' Тогда Д2, = Ы|2. (2.80) 183
Из (2.80) и неравенства (2.203) гл. 1 следует, что nV J | ^,0(4. -nV где у > 0 — достаточно малое число из интервала 0 < у < Не¬ равенство (2.165) гл. 1 в этой ситуации имеет вид (2.81) (2.82) где 67 = ^-Н2/, j= 1, 2, k, £1/ =f(x + Xj)—l, hi =f(x + y/)—l> I = f (x + z) — 1, x2, xk\ y19 y2l ..., yk и z — независимые равномерно распреде¬ ленные случайные величины на [0, 1]. Из (2.82) при условии, что число тех /, при которых | С, | =# 0, достаточно велико, в области пу 111 1 , “o’ + а ] п выводится оценка типа (1.5), при этом число а (0 < а <у) определено в (2.49). Стало быть, для доказательства (2.79) достаточно установить сле- оо дующую лемму. Положим (3 = У | Ст |2, е > О — достаточно малое т=1 1_ фиксированное число, г = [е 2J, Z = [е-1], k = rl, где [а] обозначает целую часть числа а. Лемма 2.5. Пусть ос — фиксированное число такое, что 0 <ос Тогда в области (2.83) справедлива оценка аг | <рп (/) | = О (п_ ~). (2.84) Доказательство. При помощи (2.75) и (2.82) находим (2.85) 184
где k = v, (cos (2л/х$) — cos (2л///0); s=) л, = S (sin (2л/Х) — sin (2л1у,У), S=1 при этом хъ х2, ..., xk и г/j, у2, ..., z/fe — Две независимые выборки из-’ равномерного распределения точек на интервале [0, 1]. В области (2.83) из (2.85) при помощи формулы Тейлора выводим неравенство I <P„ (012 E exp ( Положим an=(l ri2k. Из (2.86) в области (2.83) находим |<Pn(0 |г<£ехр(-а„£ |С,Тб?). ,2 П‘ (2.87). \ /=1 / Если ть т2, ..., т2 — независимые стандартные нормальные случайные* величины, то j ехр г /2а„ 0 \ -% S 1СЛб/ Ее V Т.|С.| 'П I ] I /=! (2.88) Из (2.88) имеем (2.89)- где /=| !сх/; — Т/1Сj |2 cos (л/) cos (л/х) j dx . Оценим Jp Пусть г7-= |/2ап ту | Су |2, / = 1, 2, ..., /. Тогда значениях формулы (2.37) величину Jr можно представить как Из (2.90) при помощи неравенства (2.38) получаем оценку k E\h (г)Г<(С^£]z]-_r, 185 J2 = E § ехр р /2а„ и ' 2k в обо- (2.90) 1 J. = Е f ехр L О V о 1 и / (2.91).
где z | 2azl (т? | C\ |4 + • • • + г? | Cz |4) 2. Из (2.90) и (2.91) имеем г г г Л <2 2 (С,)2*а„ 2£{(Т?|С1|4+ ••• +r/|Cz|4) 2}. (2.92) Поскольку при достаточно малом е > 0 всегда I > 4г, то математиче¬ ское ожидание в правой части (2.92) конечно. Стало быть, при оо (2.93) Аналогичными рассуждениями устанавливается оценка (2.93) для величины J2. Это совместно с (2.87) и (2.89) приводит в области (2.83) ж] (2.84). ▼ 6. госстатистика для выборки случайного объема Пусть xlt х2, ..., xr — независимая случайная выборка из совокуп¬ ности с равномерным распределением на [0, 1], причем г — пуас¬ соновская случайная величина с параметром X > 0, которая не зависит от х. Введем в рассмотрение эмпирический процесс у\ (х) = х X Fr W — х] • Положим w2 = j ух (х) dx. (2.94) о Известно, что lim Р(со2<х) = Ф(х), (2.95) где Ф (х) = Р \ W2 (/) dt < х , W (t) — стандартный винеровский про- \ о / /цесс. Характеристическая функция распределения Ф(х) равна ср(/) = (cos (/2//)) 2 (2.96) Теорема 2.6. При к -> оо справедлива оценка sup | Р (со2 < х) — Ф (х) | = О . (2.97) Доказательство. Пусть л (Z) — пуассоновский процесс интен¬ сивностью к. Известно, что процесс y^(t) имеет такое же распределение, как и процесс У (2.98) 186
Пусть п = [X], Xt = Кп 1 и лг (/), л2 (/), лп (/) — независимые пуассоновские процессы одной и той же интенсивности ХР Обозначим лу (/) = лу (/) — Х^, / = 1, 2, . • . , /г, i_ = « 2 Oh (/) + л2 (О -F • • • + л„ (/)). По аддитивному свойству распределение пуассоновского процесса л (0 совпадает с суммой пуассоновских процессов л1 (/) + ... -г (/). В силу этого и (2.98) имеем Р(4<х) = Р(Ш|2<МХ (2.99) 1 где ||/li2 = J/2(u)d«, fGL2(0, 1). О 2 Пусть фх (0 = Ее — характеристическая функция со^. В со¬ ответствии с (2.99) и неравенством (2.203) гл. 1 при X -> оо имеем Фх (0 — Ф (0 t (2.100) Лемма 2.6. В области et (In А)2 < I I I < -C- e^A (In A)-3 при X -> оо справедлива оценка (2.101) (2.102) где e7 > 0. Доказательство. Неравенство (2.165) гл. 1 в этой ситуа¬ ции применим следующим образом. Согласно определению озл = Таким образом, -4=- У 6 (X — Xj) — /X х I. Г А /■=! |1 (2.103) (2.104) где (/) = Е (е“а* \г = п)= Ее _L_ 6u_X/)_W..vj С2 105) Пусть = [A (1л А) 1 — 2 In А], п2 = [ЗА]. Из (2.104) I Фх (01 Cj (А) + С2 (А) 4- Со (А) 187 (2.106)
где ci(K) = e-K v 2L|^„(/)|; n=0 c3(M = e"x S -tfI^WI; rt=/l! C3(E) = e~K S -^|ад|. n=/l2-j- 1 Нетрудно видеть, что при А -> оо С, (Л) = О , С3 (X) = О (е~к). (2.107) Рассмотрим С2 (А). Для этого оценим vFn (/). Имеем -U-E 6(х —ху)—/Лх = хг'1 —U- i (6(х — х ) — х) 4- I ИХ 1=1 I V П i=i + ТГ (7Г ,Л) (й(8 <% “ - х}- *)+ + (2.108) Подставляя (2.108) в (2.105) и затем повторяя рассуждения, которые приводятся при выводе (2.165) гл. 1, получаем 44 s л | (/) I2 < ЕI Eze '<=* ’\n~k, (2.109) где 6/ и £ понимаются так же, как и в (2.7). При помощи (2.109) и леммы 2.2 имеем С2(Л) = О (/2Г<2+£з)). (2.110) Из (2.106), (2.107) и (2.110) вытекает (2.102). ▼ Лемма 2.7. При К -+■ оо в области 1 , А2 (2.111) справедлива оценка I <М0| = О (-1^), (2.112) где а — некоторое фиксированное число такое, что 0 < а < у, е8 > 0. Доказательство. Сделаем замену в (2.105) по (2.108). Затем применим (1.30), (1.31) и рассуждения, которые приведены при 188
доказательстве (1.32). В результате приходим к неравенству (2.113) Отсюда и из (2.50) имеем (2.114) 7. Статистика Андерсона — Дарлинга Пусть уп (х) = j/л (Fn (х) — х) — эмпирический процесс, отве¬ чающий независимым случайным наблюдениям х2, х2, хп над слу¬ чайной величиной, равномерно распределенной на [0, 1]. Критерий Андерсона — Дарлинга основан на статистике [101] 1 о (2.И19 о По теореме Андерсона — Дарлинга [101] предельное распределение Ф (X) этой случайной величины имеет характеристическую функцию <р(0 = cos (1 ) 2- (2-11б> Интеграл в правой части. (2.115) можно легко вычислить. Тогда X. = -п--^Ё (2/-- 1) [In Ы/. -F In (1 — u„_/+1)b (2.117) где 0 < щ < ... <1 ап <1 —порядковые статистики, отвечающие ис¬ ходной выборке. В работе [132] показано, что Уп (х) = Щ(1 —~) Znikjej, /=1 оо ^7(7Т1Гг"'’ (2-118) /=1 при этом \ =\i (j + 1))"’, е,. = Р} (2х - 1) 189
являются собственными числами и собственными функциями ядра i_ К (X, у) = (min (х, у) — ху) (х(1 — х) — у (I — у)) \ где P'j(z) — функции Фейера [132|, связанные с полиномами pa Р, (г) степени /, j = 1, 2, ... Пусть Pf- (г) = ]/" 1 Pj (z) — нормированный полином ра. Тогда из (2.118) вытекает, что *-1X71=42''®’’-'')’- /=1 \/=| / Теорема 2.7. При п -> оо справедлива оценка sup| Р (Л;, < X) — Ф (X) | = О (-Тj . ил - Доказательство. Пусть <рп (/) = Ее = / = 1,2, .... п, V *(1 —X) _ 1 Г)и = Л 2 Следовательно, & + ^+ ••• +D- Лежанд- Лежанд- (2.119) (2.120) Д2 __ I] п 1'2 — I,1 Ч/z || • с (2.117) НУ2 = — 1 — In (X/ (1 — X/)), /= 1, 2, ..., п. Несложные подсчеты показывают, что при любом целом k 2 E\\tj\\k </г!2*. (2.122) Таким образом, для статистики Андерсона — Дарлинга выполняются условия теоремы Юринского (см. неравенства (2.355) и (2.356) гл. 1). Из (1.121) и неравенства (2.203) гл. 1 вытекает оценка nV j | <Рп (0-Ф(0 | d{ = Q (J_ j , -nV Заметим, что в соответствии (2.121) (2.123) где 0<у<Л-. Неравенство (2.165) гл. 1 в этой ситуации имеет вид oU I <р„ (/) I2 Е I Е^е (2.124) где я- Sly — 6 (х - Г Ml -х) $i — ?1/ ?2/» j — 1 > 2, ..., k, хр — х t 6 (X — ///) — X , j. 6 (х— Z) — X ~ ’ &2/ П~~7Т~ —; |/ X (1 —X) ; £ = , , ~ l'x(l-x) 190
x,> Vi и 2— независимые равномерные случайные величины на [О, 1]. Из (2.124) в области —4-сс п! < 111 < п2 О < а < Т- , выводим оценку типа (1.5). Далее при помощи (2.119) в соответствии с (2.167) гл. 1 имеем где S/ = £ (Pl(2xs-l)-Pi(2ys-l)): S=1 Оценим предельную характеристическую функцию ср (/). Поскольку в этом случае X/ = (/ (/ + l))'”1, то |фО14 = П (1 + (2.126) /=1v 7 Отсюда имеем 1<р014^П (1 + = (1 + 40 П (1 + Я" = ;=1 V 7 /=1 V 7 = (1 + 40 П(1-2г-^-Г' П(1 + 2i-g^V. (2.12?; J=1v 7 /=1v 7 Согласно формулам (1.11) и (2.1) й (' - « ++' - (тлв-si" <я (2-1281 Таким образом, из (2.126) — (2.128) следует (см. вывод неравенства (2.21)), что при всех реальных / для характеристической функции ср (/) из (2.116) справедлива оценка 1 1 1 ] ф (О I2 2л /2|П2 V1 + 4/2(1 — е-wi2 )-'е-п|Н2 . (2.129) При помощи (2.125) и (2.129) выводятся оценки типа (2.5) и (2.50> в области п 2 +а | /1 гп (см. [20]). 8. Статистика Дурбина — Нотта Пусть О <С < ... < ип < 1 — порядковые статистики, отвеча¬ ющие независимым наблюдениям ..., хп равномерно распределенной на [О, 1] случайной величины. В работе [131, с. 304] Дурбин и Нотт 191
предложили статистику типа со2 (2.130) мотивируя это тем, что Euj = , / = 1, 2, ..., и. Лемма 2.8.. Пусть (•,•) и || • || обозначают обычное скалярное про¬ изведение и норму в Ь2 (0, 1). Тогда ЗУп = Iblnli2 + —U Oln, а)» (2.131? у п где — п (£1 + • • • + |/г), = ^х — х^ — х, /==1,2,..., и; а = 2х — 1, 0 < х 1. Формула (2.131) доказывается непосредственным вычислением ин¬ тегралов. Пусть срп (/) = Е ехр О7«0п). В силу (2.131) можно утверждать, что Итф/г(0 = ф(0, (2.132) П-+оо где ф (/) определяется равенством (2.1). Теорема 2.8. Пусть Ф (20 — функция распределения с характе¬ ристической функцией ф (0. Тогда при п —оо справедлива оценка sup [ Р 02^ <%) — Ф (МI == о (-^-) - (2.133) Доказательство. Достаточно иметь соотношение ф f | к (0 ~ ср (Z) | dt = О . (2.134) —ф Справедливость (2.134) устанавливается при помощи (2.131) методом, изложенным при выводе оценок (2.3), (2.5), (2.29). ▼ 9. Статистики Ротмана Пусть хъ х2 , ..., хп — независимые наблюдения над случайной величиной, равномерно распределенной на окружности С единичной длины. Пусть N (0, х) — число наблюдений, попавших в полу¬ интервал (х, х + 0). 192
В работе [202] Ротман рассматривал статистики , 1 (2.135) (2.136) где G (0) — функция распределения на С. Для а2п (9) в работе [202] найдена предельная характеристическая функция >ы>-П(|-!,У]Г' Теорема 2.9. Пусть Фо (х) — функция распределения с характери¬ стической функцией ср (t, 9). Тогда при любом фиксированном 9, 0 < < 9 < 1, и п -> оо справедлива оценка sup | Р (а„ (0) < х) — Фе (х) | = О л2/2 (2.137) (2.138) Доказательство. Для j = 1, 2, ..., п £. = Шх)==[1. если + (0 в противном случае. (2.139) Следовательно, М, Q)-nQ = £(^.(0, х)-9). /=1 Формулы (2.135), (2.139), (2.140) позволяют написать «а(0) = ЬХ (2.140) (2.141) где т]„ = п 2 (Cj + ... + || . || обозначает норму Разлагая N (х, 0) в ряд Фурье по полной системе Jexp (2ш&х), k = 0, ±1, ±2, ...}, получаем по равенству Парсеваля МО, 1). функций = ”л7Г S sinJ./0) |(V cos (2л/хй)) + ( V sin (2л/хй)) . /=1 1\А=1 / \/S / . Пусть <рп (/) = Е ехр (Па2п (9)) — характеристическая «п (9). Преобразуя ср,, (/) при помощи (2.141), (2.142), как сделано выше, приходим к (2.138).▼ В соответствии с (2.135), (2.136) и (2.142) имеем Rn = 7Р7Г 2 т^- cos sin (2n№)j | > (2-143) . (2.142) функция это было О'.,- в 13 4—101 193
где а- = j sin2 (л/О) dG (0). (2.144) О Пусть fn (/) = Е ехр (itRh). При помощи (2.143) получаем Нт/„(() = /(/), П-4-0О где 00 / 4а2 V-1 = • (2.145) Теорема 2.10. Пусть Ф (2i) — функция распределения с характери¬ стической функцией f (/). Предположим, что число тех j, при которых а у у= 0, бесконечно. Тогда при п -> оо справедлива оценка sup IР < X) — Ф (%) I = О (-Г-) • (2.146) Доказательство. Для простоты предположим, что в опре¬ делении статистики R* функция G (9) имеет плотность g (9). Тогда в соответствии с (2.136), (2.139), (2.140) Rn = Ihlnll2, (2.147) где 11п = п (G + h + • • • + и» /, = 5/0). /=1,2, причем || • || обозначает норму в L2 (Ш), П2 - [0, 11 X [0, 11. Анализ fn (/) при помощи (2.143), и (2.147) методом, изложен¬ ным в пп. 4—8, приводит к (2.146).▼ 10. (02-статпстики симметрии Пусть Х}, Х2, ..., Хп — независимые случайные наблюдения над случайной величиной с непрерывной функцией распределения F (х). Предположим, что F (х) удовлетворяет нулевой гипотезе HQ симмет¬ рии Но: F (—х) =1 — F (х). Введем в рассмотрение процесс Qr, (х) = Vn (Fn (х) + Fn (— х) — 1) ч, следуя [156, 173], определим статистики К2п = j Qn (X) dF (х), — оо Г,! = J ((?„ (х) - J Qn (//) dF (J dF (x). (2.148) (2.149) (2.150) 194
'П/г — П (L + * ’ * + _1_ lj = В/ (х) — J (х) dx, О ~ п (11 + ’ * * + In)- По гипотезе Но функция распределения для Кп и Wn совпадает с та¬ ковой для и определяемых как Кп = 1Ш12, Wl = ||n ,Ji2, (2.151) где ' || • || обозначает норму в L2 (О, Система функций {2sin ((2/— 1)лх),/‘ = 1, 2, ...} на интервале ^0, -T-j является полной и ортонормированной. Следовательно, по (2.151) и равенству Парсе- валя оо sin2 ( п Р L (2.152) /=1 Ia>=1 J Пусть срп (/) = Е ехр (itKnY По гипотезе Яо в силу (2.152) lim (0 = ф(/), (2.153) где 2 Теорема 2.11. Пусть Ф (X) — функция распределения с характери¬ стической функцией ф (/). Тогда при п оо sup |<Х) — Ф(?.)| = О (-М . (2.151) Для доказательства (2.154) достаточно применить представления (2.151), (2.152) и метод, приведенный в пп. 4—8. Система функций [2 ехр (4л/#х),& = 0, ±1, ±2, ...) на интервале Го, tJ-I является полной и ортонормированной. Поэтому по (2.151) 13: 195
и равенству Парсеваля получаем *5 —яг S 7 (S “» /=1 U=i Пусть [п (/) = Е ехр Из (2.155) имеем lim/n (/) = /(/), (2.155) где оо 1 /=1 ' Представления (2.151) и (2.155) позволяют доказать следующую теорему. Теорема 2.12. Пусть Ф (X) —функция распределения с характе¬ ристической функцией f (/). Тогда при п -> оо справедлива оценка sup|P(№- <Х)-Ф(Х)| = О (-С) . (2.156) 11. (о2-статпстика на торе Пусть = (хь r/J, Z2 = (х2, у2\ ..., Zn = (хп, уп) — независимые наблюдения двухмерной случайной величины Z = (X, /), причем случайные переменные X и Y принимают значения на окружности еди¬ ничной длины, независимы и имеют маргинальные равномерные рас¬ пределения; Нп (х, у), Fn (х) и Gn (у) — эмпирические функции рас¬ пределения, отвечающие соответственно переменным Z, X и Y, Введем в рассмотрение статистику b- “" j ( (х, у) dxdy, (2.157) где 1 1 1 Лп (X, У) = А„ (х, у) н- J j Д„ (х, у) dxdy — Д„ (х, у) dx — 0 0 о — У А„ (х, у) dy, о А„ (х, у) --= Н„ (х, у) — ху — у (Fn (х) — х) — X (6„ (у) — у). Основное свойство статистики Ь„ заключается в том, что она инвариант* на относительно выбора начала отсчета на торе, т. е. не изменяет своего значения, если исходная выборка подвергается преобразованию х! = X,. + С, (mod 1), (2 158) y'i = Уi + С2 (mod О. 196
где Ci и С2 — произвольные вещественные постоянные. Другие ста¬ тистики, обладающие данным свойством, рассматривались в работе [2011. Докажем свойство инвариантности статистики (2.157). Пусть Л2 (И2) — гильбертово пространство интегрируемых с квадратом на IJ2 = [О, И X [0, 1] функции; (•,•) и 1| • || — скалярное произведение и норма в L2 (П2); система функций {ехр (2л/ (kx 4- ту)), k, т = 0, ±1, =Ь2, ...} образует полный ортонормированный базис в L2 (П2). По равенству Парсеваля Ьп= (2.159) k т где 1 1 dkm = Yп § § $п (х, у) ехр (— 2ш (kx 4- ту)) dxdy. о о Вычислим коэффициенты dktn- Очевидно, что = dQtn = 0, k, т = 0, ± 1, ± 2, ... Пусть k 0, m =Д 0. Тогда i 1 j j (77п (х, у) — ху) ехр (— 2та (kx 4- ту)) dxdy = о о = {4 Д (ехр 2шЪО -г ехр (— t/nz/О) — — J_ £ ехр (— 2л1 (kx, -j- mt/y))|. n /=1 J Далее имеем 1 1 j j у (Fn (х) — х) ехр (— 2ш (kx + ту)) dxdy = о и 1 п = -т— У ехр (— 2nikx;), /=1 1 1 j 4 (G ~ у} ехр 2яг dxdy= о о = -4ЖгЕ ехр(-2ш7ш/у). /=1 Таким образом, если k 0, т Ф 0, то 1 п — V ехр (— 2ш (kXj 4- туЛ). (2.160) (2.161) dfan — 197
Из (2.159) — (2.161) получаем представление 1 16л4И оо оо I £ i/a=i |/п|=1 1 /г2т2 п У ехр (— 2лi (kXj ту /=1 (2.162) Инвариантность Ь„ при преобразовании (2.158) следует из того, что при k 5^= 0, т О I dktn | = | dkfn 11 exp (— 2л£ (kCr + mC2)) |. Пусть cpn (/) = E exp (itbl). В силу (2.162) lim(pn (/) = ср (О, /1-*оо где Ф(0 = ПП(1- Ar=l tn=\ ' it \-2 16л4/?2/?г2 j (2.163) Теорема 2.13. Пусть Ф (ZJ — функция распределения с характери¬ стической функцией (р (/). Тогда при п оо справедлива оценка sup|P(^<X)-O(X)| = 0(4) • (2-164) Доказательство. Обозначим i_ Л/г = п (L + * * * + £/г)> 11 1 1 li = Pi (х, у) + J f Pi (х, у) dxdy — у Pj (х, у) dx — у р, (х, у) dy, об о о А» (х, у) = Нп (х, у) — ху — у (Fn (х) — х) — х (G„ (у) — у). Тогда в соответствии с (2.157) Ь« = К1|2- (2-165) При помощи (2.162), (2.165) методом пп. 4—8 выводим (2.164). 12. Многомерная оАстатпстнка Пусть Х2, Хп— независимые наблюдения m-мерной слу¬ чайной величины, равномерно распределенной на единичном ку¬ бе Пт = [О, 1Гг, Xj = (Х/i, Xjin),j = 1, 2, ..., п. Предполагается, что координаты вектора Xj независимы. Определим эмпирическую функцию распределения 1 п т ( 1 Г "> О Fn(xlt .... xm) =-Т V 6(хг-хД 6(х)= ’ /=1 г=1 (О, X <С и. Введем в рассмотрение m-мерную со2-статистику со^ = п f (Еп(х)—х)2 dx, (2.166) II'71 где х = (хп ..., xm); dx = dxt ... dxm; х = хрс2 . .. х,„; Fn (х) = = Fn(xlt .... хт). 198
Статистика (2.166) была предложена в работе [199] и затем изу¬ чалась в работах [62, 129, 1301. В работе [199] установлено, что пре¬ дельное распределение Ф (X) случайной величины со,; имеет характе¬ ристическую функцию ф(0 = П (1 — 2i/%,)“, (2.167) /=1 где {kj} — собственные числа линейного интегрального оператора с ядром в (s, 0 = п min (sz, Q — п S.A, ■ (2.168) 1=1 1=1 причем s = (sj, .... sm); t = t2, ..., tm). Теорема 2.14. При n -> oo справедлива оценка sup | P (o)„ < X) — Ф (X) | = О . (2.169) Доказательство. Пусть H == L2 (Пт) — гильбертово про¬ странство интегрируемых с квадратом функций на ГР со скалярным произведением (•,•) и нормой || • ||. Определим S-оператор в Я, поло¬ жив S/(0 = J B(t,s)f(s)ds, fQH. (2.170) II'n Запишем (2.166) в виде <о,2. = КХ (2-171) где _ _i_ 'Ли = п 2 (L + ’ ’ * + В/г)» 5/ = П 6 (xr — xjr) — п Xr, j --= 1, 2, ..., п. г=\ г=\ Пусть срп (/) = Е ехр В силу (2.171) для срл (/) справедлива оценка (2.3). Для справедливости оценки (2.5) необходимо, чтобы для предельной характеристической функции ср (/) была справедлива соответствующая оценка. В соответствии с результатами работ [62, 1301 I Ф (0 |2 = П | 1 - 2/7Х/ Г1 = п (1 + 4/-Х2)- Т < /=| /= I (2.172) 199
2 —1 Поскольку то из (2.172) следует, что Отсюда при всех | 11 1 находим оценку | <р (/) | ^ 2 ехр | /1~). По теореме Дюге [129] при т 1 ф(0 = [»'2'"-14-11Гт(0)_\ (2.173) где (/) = cos (/2iY) и Tm(/)= Пт,,,-! /=1 t Согласно Дурбину [130] (см. также [123]) <p(0 = p“(i)S~~(0. где S»--TTI"P« = Далее установим соотношение (2.29), отвечающее многомерной ситуации.
Лемма 2.9. Если е4 > 0 — достаточно малое фиксированное число,, то тогда в области г\п (In /г)-3 | /1 &пП (2.174) при п оо справедлива оценка (2.175) где е5 > 0. Доказательство. Пусть К (s, t) обозначает ядро К (s, /) = П min (sz, /J. t=i Известно [62], что собственными функциями и собственными числами ядра К (s, t) являются соответственно <Рл./2 im (К h, • • • > U = 2~ П {sin (л (/, — 4-) *,)} И ,„ = пр(л-4-)Т'. причем jr 1, г = 1, 2, ..., т. Собственные функции (/)}’ образуют на единичном кубе Пт полную ортонормированную систему. Поэтому по равенствуПарсеваля можно представить ^-статистику как ®п= £ £ ... £ (2.176),. /. = 1 /3=1 /„,=1 где W ^Х. (2. 177)’ п/п После вычисления интеграла в (2.177) формула (2.176) вид приобретает оо оо ^=£ £ ... £ к,,-, 11 = 1 /2=1 lm=i 2 1т> (2.178). где п т т Sin Л jr — tn г=1 201
_ 1 При малом е4>0 положим k = [еТ”1] [&4 2 1, где [а] — целая часть 'числа а. Очевидно, при таком k w/i — Un,k “Г 2|3П,/г “Г Уп, k, (2.179) где /1=1 ... S Ч /■ =1 } т оо . S Ч /Д1.Л !т; 1т 1 ••• Ч /т)2’ >т ^’1' ’пУ"' при этом fb J'm 1_ Vn 1 Уп ■ S ^/./1.. /=1 S Л//, /=/?4-1 Ли» k • 1 7 = 1,2, ..., n. При помощи представления (2.179) и рассуждения, приведенного при выводе оценки (2.32), получаем неравенство J ехр Hr dx nm n—k (2.180) где оо S im 1 оо QaW= S . /1=1 k [ т 8it i =S П '* ’’т ,^| \г=| причем (%/] , ..., %/т) ™ W/I» •••, УрПЬ J Н •••, Л., riLOCIDULn .VIDIC выборки объема k из т-мерной равномерно распределенной совокуп¬ ности. Отметим, что при любых целых р и q j cos (их (р i-^cos^nx^ dx = | 2 ’ Р — (2.181) 202
Применяя формулу Тейлора и соотношение (2.181), находим в области | /1 С е'/г оценку (2.182) где а*= S ••• .Ь/ /,„• /.=' /m=i Таким образом, в силу (2.180), (2.182) и неравенства 1 — х е~х, 0 < х < 1, получаем в области | 11 &1п оценку I <Рп (< Ее~2 п‘ ^n~k\ (2.183) ■Очевидно, что А*> Jj Ч-i 1 = (4“) L (■>/ - (2-184) /1=1 ' /=i где I = [еГ’ь а„ = 4- (4Г (2/ ~ 1)_4 (П ~ k) (1П П)~5- Положим Из (2.183), (2.184) следует, что в области (2.174) выполняется неравен¬ ство | ф,, (Oi2 Ее z=i '. (2.185) Если ть ..., tz — независимые стандартные нормальные случайные величины, то i ехр п фЛ2а„ z У т,- cos ( -- ; *■ пт I /-1 ' 2/г (2.186) dx = dx, . .. dx„r Сначала в интегралах по х в правой части (2.186) сделаем замену переменных по формулам хг = arccos (уг — 1), г = 2, 3, ..., т. Тогда 203
где dyf(y)Jtl(y), (2.187) У — (У1>Уг> •••> i/m-i). У = У1У2 ••• i/m-i; dy — dyt ... dytll_r, Очевидно, что f(y) = П r=) если p 1 нечетное целое число, если р 2 четное целое число. (2.188) Используя (2.188) и замену переменных по формуле х1 = , запи¬ шем величину Jn(y) как л/2 О Г 21 — 1 ехр t \^2апу £ I р=1 (2.189) Для оценки величины Jn (у) применим неравенство (2.38). Тогда 1 т—1 1 I | 4 (у)\ < С1 (2аУ^=Ц П z/f"^7=T) (т2 + т2 + ... + Г=1 (2.190) Поскольку то г J dyf(y) П у 2(2/-1) =? < 00> R,n-1 <-=1 ' 1 4 (21-1) (2.191) Объединяя (2.185) — (2.187) и (2.191), получаем /? ь I % (0I2 С (ъО)2Л Е ((-4 + • • • + г?)}-2'-1 (2.192) Стало быть, по (2.192) в области (2.174) при достаточно малом е4 >0 k \^n(t)\ = O(((\nnYn-xY^). (2.193) Из (2.193) при малых е4 > 0 следует (2.175). Из приведенных оценок для <рп (/) и <р (/) и неравенства Эссеена вытекает (2.169). ▼ 1 204
13. Двухмерная статистика симметрии Пусть (Л\, ), (Xn, Yn) —двухмерная случайная выборка из совокупности с непрерывной функцией распределения F (х, у). Для проверки нулевой гипотезы симметрии, состоящей в том, что для всех х и у F (х, у) = F (у, х), существует критерий Голландера (см. [174]), основанный на статистике = п И {х' У' — F'< *))2 dFn (х> y'f’ (2-194) где Fn (х, у) — двухмерная эмпирическая функция распределения. В работе [174] показано, что при гипотезе Но статистика Н,г асимпто¬ тически эквивалентна статистике I I = п И (Fn (х> У') ~ Fn (У> х))2 dxdlJ’ (2.195) о и где Fn (х, у) — эмпирическая функция распределения, отвечающая двум независимым на [0, 11 выборкам. Пусть Ф (х) — функция распределения с характеристической функ¬ цией _ 1 <р(/)= П (1 — 8iiXjk) (2.196) 1^/<А<оо где Теорема 2.15. При п -> оо справедлива оценка sup|P(^<x) — Ф (х)| = О (2-197) Доказательство. Обозначим для / = 1, 2, ..., п = 6 (х — х,-) 6 (у — у,-) — 6 (у — х;) 6 (х — у,-), где хь х2, ...,х,7и г/п //2, ..., уп — независимые выборки из равномерно¬ го распределения на [0, 1]. Тогда ti=\n 2 (?i + • • • + UI2. (2.198) Система функций ^/а ($, /) = 2 sin (ns (/ sin (л/ [k ортогональна на П2 = [0, 11 X [0, 1]. Поэтому по равенству Парсе- валя 205
где Имея (2.196), (2.198), (2.199), методом предыдущих пунктов получаем оценку (2.197). ▼ § 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ о)2-СТАТИСТИК Для основного класса со1 2-статистик (см. § 2) сформулируем следую¬ щую теорему. Теорема 3.1. При любых целых фиксированных s 0, г 1 и всех х >> 0, п 2 справедливо неравенство Г—] Р (а>п < х) — Ф (х) — U п_;Ф; (х) /=1 <' С,.< (1 + Xs) пг где Cr,s >0 — некоторая постоянная; Ф (а) — предельная функция распределения; Ф, (х) — функции, выписанные в п. 4 § 2 гл. 1, Из этого неравенства вытекает равномерная оценка sup X Г—1 I Р (со,2 < х) — Ф (х) — Е П~]Ф; (х) I = О (п~г). /=1 I Для доказательства этой теоремы в свете изложенных выше ре¬ зультатов (см. п. 5 § 2 гл. 1 и § 2 гл. 2) достаточно установить, что при I — любом целом фиксированном s 0 в области | I | п2 , е > 0, спра¬ ведливо соотношение = о (п~\ dsgn (0 dts где / — сколь угодно большое фиксированное число. Строгое доказательство этого соотношения проведено Ю. В. Бо¬ ровских [24]. 1. Одномерные <о2-статистики Классическая со2-статистика Мизеса — Смирнова определяется как 1 = n\(Fn (х) — х)2 dx, (3.1) о где Fn (х) — эмпирическая функция распределения, отвечающая не¬ зависимой случайной выборке ад, х2, ..., х,3 из равномерного распре¬ деления на [0, 11. Если в правой части (3.1) вычислить интеграл, то можно записать со,i-статистику в виде функционала Мизеса с ядром (1.20). Относительно характеристической функции срп (/) = Е ехр (z/w,,) справедлива следующая лемма. 206
Лемма 3.1. Пусть т = Ип. В области | т | а при любом целом 1 k п — 1, произвольном а из области О <С а ■— и всех п k 4- 1 справедливо неравенство bn{t)\^Cka~~n~^, (3.2) где Ск = (3-3> при этом Г (z) — известная гамма-функция. Доказательство. Оценка (2.56) гл. 1 для ядра (1.20) при¬ нимает вид У М*МХ о п—k |фн (<^£ (3.4) где fz(x) = (|х — х;-| — |х — у.-\), (3.5) /=! при этом хь xk, ух, ..., yk— независимые равномерно распределен¬ ные на [0, 1] случайные величины. Рассмотрим функцию fz (х) из (3.5). Обозначим 6W-{’; х> 0, х< 0. Тогда при любых х и у \х — у\=х(2Ь(х — у)—\) + у(1 — 26(х —у)). При помощи (3.7) функцию f, (х) представим как /2 (х) = ха, (х) + Ь, (х), где а, (х) = 2k (Fk (х) — Fk (х)); b, (х) = £ (X/ (1 — 26 (х — X/)) — tjj (1 — 26 (х — г/,))), (3.6). (3.7)' (3.8) (3.9) ; Z = (гь ..., z->k), Zj = Xj, j = 1,2, ..., k\ zt = у j-ь, j = k + 1, .. ., 2k, при этом ■ 1 /? 1 k Flt W = -y S 6 (x — xs), G/; Q/) = yE 6 (у — yd 11 »1 R S=1 207
-суть эмпирические функции распределений, отвечающие соответственно выборкам хь ...» %/? и у19 ..., yk. Далее расположим координаты вектора z = (zlf ...» z2k) в порядке возрастания: г* <z*2< • - • <z*2k (3.10) и ПОЛОЖИМ ?0 = 0, Z*2k-\-\ = 1- Обозначим через Rt ранг zt-, i = 1, ..., 2/г, т. е. номер zt в ряду (3.10). Известно (см. [36, с. 471), что векторы г* = (zi, ..., z^) и R = (R}, Т?2, ..., R2k) независимы. Пусть $ = $2, ..., J02/?) — вектор ан¬ тирангов (см. [36, с. 771), т. е. произведем перестановку, обратную по отношению к /?2, ..., R>k в том смысле, что R.^. = = i, i = 1, 2, ..., 2k. Другими словами, $k = / тогда и только тогда, ког¬ да /?-я порядковая статистика z^ есть координата г,. Очевидно, что векторы z* и «0 также независимы. Разность Fk (х)— Gk (х) изменяет свои значения только в точках ряда (3.10), в каждой из них имеет скачок +у, а на каждом из интер¬ валов [z/,z*+i), / = 0, 1, 2k, сохраняет постоянное значение. По определению эмпирических функций (см. [36, с. 111 —1121) Fk (z/) = 6 (/г - ^,) + 6 (к - + к Gk (?,) = r- (З.П) Ч- 6 (fe - ^/) для всех j = 1, 2, 2k. Поскольку функции Fk (x) и Gk (x) непре¬ рывны справа, то в силу (3.11) k(Fk(x)— Gk(x)) = 2(b(k —£>,) + • • • + 6(6-$,))-/, (3.12) .когда xQ \z*i, z’+i)> /=1.2, ..., 2k. Для j = 1,2, ..., 2k ri = b{k-^)1) + 6(k-^2)+ ••• с,- = 2rz — /, d/ = f (*s-/O+ 2fv\-V A (3.13) s—1 4=1 S=1 ' Нетрудно видеть, что d}- = Ьг (г*). Таким образом, интеграл в (3.4) имеет вид * 1 2/? 2/_+1 f eix^x}dx = V е™/ [ e2ixcixdx, (3.14) где с0 = 0. и /=0 * 208
Опеним выражение в правой части (3.14). Для этого запишем (3.14) в виде I г/Ч-1 f eix,^dx = I eixdi J e2ixcixdx + V e™f (2‘+1 _ 2’); (J ° Oi (3.15> * 2 / где ст = {/:с, #=0, / = 0, 1, ..., 2й); стх = {0, 1, 2, ..., 2&}\ст. Далее j —|— 1 * * С e2ixcixdx = eix(Y+{ +Y)ci Sin (TC/ (г/+' ~ ?/)) J ТС/ г . / Известно, что в области | х | < л (3.16) 00 2/г sin* Х1 I i?o cfik х- = 1)Вг*2 (2fe) (2fe)! (3.17) где В:к — числа Бернулли, причем (—1)' 1 B2l > 0, /^1, - -Д-. Следовательно, sin (тс/ (zj+1 — г’)) В, Поскольку | т | >= а, max о * * т2с/(г/+1-г/ 6 и, кроме того, , * *\9 У2~ (Z/+1 — ztY- Таким образом, Zi-H Velxdi f е21'тсЛ Q * z . / 9 2 a2Cj I s (Z;+, - г,-) I < £ (г,-+, - г-) (1 - (г-+, - 2>). <з. и» Из (3.15), (3.19) и того, что /=0 2 . тс7 6 °2'/ . т-(г/+1-г/>! (3.20) 14 4-101 209
получаем неравенство J 0 откуда i E ^wdx 4k (3.21} 0 4k— 1 где tj = — z,. Оценим интеграл в правой части (3.21). Поскольку векторы I = = (/0, 6, /2Л-1) и $ = (£)lf $2, ..., У)2Л) независимы, то можно на¬ писать £ ехр -js" (« — к) cff) = E^Et ехр (n — k) сЩ . (3.22) Совместная плотность р (/) распределения координат вектора (/0, /ь ... ..., t>k-\) имеет вид (см. [52, с. 301) р(Г) = (2Хг)! б(1 - V/Sj, где 0 1, s = 0, 1, ..., 2k — 1. Следовательно, 4k— I \ 1 1 (3.23) Et ехр^ (п — /?) Д = (26)! j dt0 ... j d/2*-i6 ^1 — Д X X ехр -jj- (« — к) Ц . Из определения с, следует, что число индексов /, для которых \Cj |> 1, не менее k, Поэтому в соответствии с (3.24) справедливы оценки (3.24) 1 k о 210
А / оо \ k < НН Нт <'• - *’) 3 (j “ - Иг-(4 <»-4г(4Г- <3-25' Объединяя (3.21), (3.22) и (3.25), находим eizfz{x)dx (2fe!) /г! 2* 3 (п — k) Из (3.4) и (3.26) при условии п k + 1 следует (3.2).т Лемма 3.2. Пусть s О — любое целое фиксированное’ число. Тог¬ да в области | т | а при всех, целых k, 1 k п — 1, и любом а, О < а j-, справедливы неравенства I (/) I dts _k_ _k_ , ^3~Xka 3n e^s, (3.27) ds<Pn (0 dts k k k <LS2“G \Z~C~ka~ *n~ 12, где постоянная Ls> 0 зависит только от s, Ck определена в (3.3). Доказательство. По формуле Прохорова — Сазонова ®n=hX (3-29) 1_ где г],, = п 2 (gi + • • • + U, I, = 6 (х —х,) — х, j = 1, 2, п, сим¬ вол || • || обозначает обычную норму в L2 (0, 1). Поэтому (3.30) В силу (3.29) и 1206]) равенства Парсеваля можно написать (см., например, (3.31) Отсюда где (3.32) &П,к 14* 211
Из (3.30) и (3.32) находим представление Е ( при этом п S <7=Н-1 *П Р=1 cos (л/л) (3.34) Каждое из выражений вида (3.34) можно оценить с помощью (2.37) либо (2.40) гл. 1 и прийти соответственно к (3.28) или (3.27). Например, при помощи (2.40) гл. 1 получаем |£(||1L||2se““^1|2)|<3-V f eir,^dx о » (3.35) где функция fz (%) определена в (3.5).v Оценки, аналогичные (3.2), (3.27), (3.28), пригодны и для стати¬ стик Ватсона [67], Дурбина — Нотта [1311, Айне [67], Андерсона — Дарлинга [101], Петита — Стефенса [188]. Причем для различных статистик изменяется лишь вид функции fz (х), а общая схема рас- суждений остается той же. Изложенный метод применим и для обоб¬ щенной <о2-статистики типа Д' 1 W2n,k=n~ \ (Fn{x) — x)k dx, О где k 2 — целое число (см. теорему 2.16 гл. 1). Для сЛстатистики с эмпирическим весом 1 to2 (F„) = п $ (Fn (.г) — X)- dFn (х) о оценку характеристической функции получаем следующим образом. Очевидно, что ^ (/=■„)= 5 (Fn(«/)-«/)2. /=1 где 0 < < ... <С ип < 1 — порядковые статистики исходной вы¬ борки лд, лд, ..., хп. Так как nFn (uf) = то = S (Д- —• /=1 ' 212
Отсюда имеем Известно, что 1 1 п I —Г V 1 « J (Л. W — *)2 dx = V uj + -J2T- • Следовательно, <*>" (Л.) = n J {Fa (х) - х)2 4- 4 м (_L _ Х/),+ _L . О /=1 х ' Далее 4 S (4-—= J <Fn w—*) dx. / = 1 v ‘ о Поэтому можно написать (On (Fп) = li ’1,> II2 + -i- 01,» 1) + 4г ’ где || -|| и (•,•) —соответственно обычная норма и скалярное про¬ изведение в L2 (0, 1), причем определено в (3.29). С другой стороны, <Яп (/^-статистика представляется в виде = — V X Ф (xt-, %/) + — L (1 — X/) + 2 i=\ /=] п /=1 или в виде функционала Мизеса «П (Fn) = 4 - Ф- <x‘-’ п t=l /=1 где Ф„(х, у) = Ф(X, у) + ’ причем функция Ф (х, у) определена в (1.20). Эти представления дают возможность изложенными методами по¬ лучить требующиеся оценки для характеристической функции со,; (Fn)- статисгики. 2. Многомерные со2-статистики Пусть А\, X2i .... Хп — независимые наблюдения над т-мерной случайное величиной, равномерно распределенной на единичном кубе 1Г = [0, 1]'", Х} = (х;1, х/ш), j = 1, 2, п. Предполагается, что 213
координаты вектора Х{- независимы. Определим m-мерную эмпириче¬ скую функцию распределения 1 " ( 1, х>0, F-' Л"> “ V Ь J3, 6 <*' - хЛ 8 84 “io, х < о, и введем в рассмотрение m-мерную оЛстатистику (см. п. 12 § 2) = п § (Fn (х) — х)2 dx, (3.36) п"1 где х = (хп ...» хт)\ dx = dxtdx2 ... dxm, х = xtx2 ... х,п. После инте¬ грирования в (3.36) о<г-статистика представляется в виде функционала Мизеса с ядром (1.26). Лемма 3.3. В области | т | а при всех 4 £ ^п — 1, О <С а Y справедливо неравенство I Фп (О I С Ck.ma 4 п 8 , где г = j — целая часть (3.37) I (3.38) 3k целая часть Доказательство. По общему неравенству | (/) |2 j e^z(x,dx пт (2.56) ГЛ. 1 п—к » (3.39) где f, (х) = 2-m+1 У (п ((1 - xs) + (1 - x;s) _ | x; s — xs |) — /=1 \S=1 m \ _ П ((1 - xs) + (1 - yis) - I yjs - xj)j, (3.40) x = (Xj, ... , xm); dx = dXi ... dxm, (x,i, ..., xjin) и («//I, У/т), j= 1, 2, ..., n, — независимые равномер¬ но распределенные на П'" случайные величины. Рассмотрим функцию f2 (х) из (3.40). Обозначим Д (х, у) = 1 — у (1 — 6 (х — у)). (3.41) 214
Тогда при помощи (3.7) и (3.41) находим Л (■'•') = (— 0"' 2 s (ri (xs6 (xs — Xjs) — A (x„ x/s)) — i=i \s=i :n x — П (xs6 (X4 — у is) — A (xs, yis))j . (3.42) Известно, что m tn r m—r П (as + ys) = П as + \ П yi П ch , (3.43) s=l s—1 l^',< ••• </^/ns=l s=l где {Zlt z2, ..., i,n-r\ = {1,2, m\ \ {/,, /2, /7). В (3.42) произ¬ ведения распишем по (3.43). Тогда для f2 (х) получим следующее пред¬ ставление: /2 W = (— If • xtn (Fk (хг, .. . , xk) — Gk (хр . . . , х/{)) -к + (— 1) 2hz(x), (3 44) где ЛДх) = 5] £ S (— !)Л П XiHi„it , (хь ... , хг), /=1 г=1 !<$/,<... <ir^rn s=l s ^/1. •••♦ /г (Xl> • • • , хг) ~ П 6 (Х^ */Js) П Д (*/s> s=l s=l — П 6 (X,s — z//.,s) fl A (x/s, yj.is), s=l s=l Fi, (x) и G. (x) — эмпирические функции распределений, построенные соответственно по m-мерным векторам (x,i, ...» хуш) и (г/д, yim)t j= 1, 2, ..., п. Например, при т = 2 формула (3.44) редуцируется к формуле К (х) = 2/гх1х2 (Fk (х1; х2) — Gk (хр х2)) — А- — 2х( (6 (х,- — х;) А (л2, х/2) — 6 (Xj — У,\) А (х,, уг>)) — /-1 /? — 2х2 V (6 (х2 — х/2) А (х1( х/i) — б (х2 — z//2) А (Хр у,,)) /=| + 2 (А (Хр х/i) А (х2, х/2) — А (Хр t/л) А (х2) z//2)). (3.45) /=1 Для s = 1, 2, ...» т обозначим zs = (xis, xtiS, y\s, ..., уь) = = (Z|5, г->,., ..., Z:k,s). Расположим координаты этого вектора в поряд¬ ке возрастания: zis <2*>s< ■■■ < Z2k,s. s = 1, 2, ..., m, Zos = 0, Z2k+l,s = 1. 215 (3.46)
Пусть Rs = (R is, ..., R2/e,s) — вектор рангов относительно (3.46), отвечающий вектору zs, a J25s = (<0в, ..., <02/?,s) — вектор антирангов, s = 1, 2, т. Для интеграла в правой части (3.39) по неравенству Гельдера ( eixl^dx пт \ 0 (3.47) Отсюда после возведения в квадрат и симметризации получаем II"2 где < E dxm f dxme^x^zW, (3.48) - хт)- &xjz (X) = fz (X1( .... xm) — f (xlt ... Выражение правой части (3.48) запишем как Е § dxm § dxine^Xmfz'X) = Е § dx^e^"1^* о о (3.49) (3.50) о и и По неравенству Гельдера Далее 1 Е j dxm_ie т 2 С j гтДл fz{x} j dxm-ie т и 0 2 1 Г л ?z(x) } dx„2_!e Хт о (3.51) 1 1 Е j dxm—i j dx,n_te m~' 0 0 (3.52) где = Ахш_! (/2 (Х1, • • • » при этом оператор АХт_} действует в правой части (3.52) запишется как Е j dxm-i dx^1e‘xAxm-,Sx"‘fz'x о о Хт) — f2 (*1. • • • . <„)). по формуле (3.49). Выражение = Е J dxni_2e^Xm-^x™zW . (3.53) и Е > 1 Затем вновь воспользуемся неравенством Гельдера и идеей симметри¬ зации. Продолжая этот процесс до переменной xlt получаем неравен¬ ство [ e’^dx II"1 (3.54) 216
где ii ii S,„ = J dx,n J dx'„ ... J dx, У dx{ e;x^<x'x'\ (3.55) /г (*, X ) == ^хЛх2 • • • Величину Sm представим как Z//n+1’m 2/rl-l,1 V1’1 Sm = £ У dxm У dx,, ... У dx1 J. dx'ie‘x^'x,x'\ (3.56)? где J = {(/s. A) : О О js C 2k, О О j's sC 2k, s= 1,2, ... , m}. Пусть ° = {(/1. • • • > /,»): 0 < is < 2k, s = 1, 2, ... , m), J! = {(is, h) ■ is = is, 0^is^2k, 0^f's^2k, s = 1, 2, ... , m}, ai: J \ Л’ Сумму в (3.56) запишем так: S,n = S'}’ + S,'2’, (3.57) где %+’•'" 2Л+1.1 гЛ+1.1 s(1) - У O/n / | 0 У dxm j dxm . * * im-m 2/i.l dxr f 2Л.1 dxleixUx’x Zi,n+'-m Z’m-m * 2/l-H,l * 2/i-H,i s<2’ = V J j dxm j dx',n .. ■ J dxA j dx[elx,*{x’x'\ J2 * * * « 2i,n-m zim-m 2лл 2Л.1 Для Sm имеем очевидную оценку /о m IS,<2’ к 1 - V П (z/s+i,s - z‘s,s)2. (3.58) О s= 1 Рассмотрим S\n, Из определения функции fz (x, x') следует, что если zis,s xs 2/s+i.s, для всех s = 1, 2, m, то f2(x, x') = 2n(x’s — xt)Ch ,,n. (3.59) S=1 217
:при этом С/, im = k (Fk (z;„i, z’.21 ...» z-s,s) — Gk (z’.t, ... , z*,$)). Для s = 1,2, ..., tn Г/s,s = 6 (k — <2>ls) + 6 — <02s) + • • • 4“ 6 — <2\s,s)- Далее имеем vm Cilt im = % 6 (^ - Xs.1) - S 6 (4.i - У>. 1), s= 1 s=i Q, im = min r, min (js — r, s), (3.60) где Tm= min ris,s> Y'., = min (h - ris.s). 2^s^/n Величину Sm можно записать как "L+i-m 4n+'-m г/г+1.2 Z/2+I.2 S j dxm , dxm ... J dx2 . j dx'2 X ° 2* 2* ,.m г/г.2 г/,+и 2 X j dX1exx,Vl' ’-n , (3.61) где m ФА....»im ~ П (xs xs) Ciif.... jm s=2 Применяя оценки (3.16) — (3.18), получаем Непосредственные вычисления показывают, что ЧтЛ1’™ z/2-j-l,2 V-’t1’2 т У dxrn § dxm ... j dx2 j dx> П (x6 — x's) = z* z* z* z* s=2 im'nl lnvm i*-2 1 m = -^=Г П (<+M - M4- (3-63) s=2 218
При помощи (3.61) — (3.63) выводим неравенство пг |С £ п (z;s+1.s-z;s.sr-- о s=L [> т - 6-" -f- V .... iin п (2;s+1,s - z‘s.s)\ (3.64) 0 S=I Объединение (3.57), (3.58) и (3.64) приводит к оценке 1-6-'"4-О). (3.65) где О)= VC/ /,„п 0 S=1 tj^ = 2*s+i,s — z*s,s, s = 1, 2, ... , m. Таким образом, (3.39), (3.54) и (3.65) позволяют утверждать, что в области | т | а, О <С а |^(/)|^£exp(-b2Q2(/)), (3.66) где b'~ = (12) (п — k). Из соображений независимости аналогично (3.22) получаем £ ехр (— b2Q, (/)) = Е@> Et ехр (— b2Qz (/)). (3.67) Рассмотрим величину Q2(/). Очевидно, что Пусть I = j и>е<лая часть ЗА? 2 ’ ‘2k s=2 (3.68) Отметим, что если I + 1 Д 2Z?, s = 2, 3, т, то для всех s = = 2, 3, ..., п выполняются неравенства — ris.s k. (3.69) Если / + 1 Д 2k, s = 2, 3, ..., т, то согласно (3.60) число N тех индексов Д, при которых |С/ (3.70) удовлетворяет неравенству min (y/n, ут). Это в соответствии с (3.69) показывает, что ^>4- <з-71) 219
Пусть г = — целая часть k_ Т ’ 2Л—1 2k—1 X- - V У — —J /ш=/ + 1 hn—l=l+} т i п t''i s. ,ms=1 2k— 1 V г2 ь/1 /г=/+1 Учитывая (3.23) и (3.68), получаем Efi-^ £ {(26)! J d/Oj J ... J d/2*-i,i6 1 - Д /у, J X X ехр b2 Е М/..1) J {(26)! J dtOiI ... J х X ехр Ь2 Д Mb j J = (26)! Е (Д J dth ехр(-ЬМл)) • (3.72) В силу (3.70), (3.71) 2k—1 1 / ! V П j dtji ехр (— b2^^ < Н dt ехр (— b2gt*) , /1=0 о \0 J (3.73) где Из (3.72), (3.73) находим Ete-b^(t) < (2й)! Е Q dt ехр (— b'gt^ < (26)! Q ^(2й)!(Д-г(4-)У b-^E(g-T). .о dt ехр (— &’gt4) I (2й)! I A e~u4du I Е (b-g) 1 о Далее — — ( m ! 2*—1 л E{g 4) = £ П £ /J,s V=2 Vs=/+1 При помощи (3.23) имеем 220
< (2fe)! (* , . f dXjdx, . . . _ (2^)j '"'(z+1)! J J (*,+ ••• +4i-/-i)'74 x2^0 x1k—I—1^° *1+ ' * ’ +x2k-l-l^{ где (г ШГ1 “* e-k-‘-\2k-l-r-l) r р_^-1 j ’ r / ( \/77—I £(£~Т)Ц (ZTn, • (3-75) Таким образом, по (3.74), (3.75) г Б, ехр (- b2Qz (/)) < (2й)! щГ' Г (4")У b ' • (3'76> Объединив (3.66), (3.67) и (3.76), получим (3.37). ▼ Лемма 3.4. Пусть s 0 — любое целое фиксированное число. В области | т | а при всех 4^/г^/г, 0 < а справедливо не¬ равенство dts ds(p„ (О (3.77) где г = L~] — целая часть — ; постоянная Ck,m,s > 0 зависит толь¬ ко от k, т, s. Доказательство. Исходя из (2.179), для получения (3.77) достаточно применить рассуждения, которые приведены при доказа¬ тельстве леммы 3.1 и 3.2. Причем константу Cfitin,s в (3.77) можно записать в явном виде. Основные оценки этого пункта справедливы также для статистик Ротмана (см. [201]) — двухмерных аналогов оАстатистик для проверки гипотезы независимости на торе. Аналогичное замечание можно сделать относительно оАстатистик, которые рассматривались в работе [1721. 3. Многовыборочные оАстатистики Пусть имеется г одномерных независимых выборок х\!\ ..., j — 1, 2, ..., г, каждая из которых извлечена из совокупности с рав¬ номерным распределением на [0,1]. Пусть (х)— эмпирическая 221
функция распределения, отвечающая /-й выборке, Fn(x) — эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке, т. е. nFn (х) = £ П/Г*/.’ (х), п = пг 4- • • • + пг. z=i В работе [171] Кифер изучал со2-статистики вида г 1 «4 Пг = S П/ J (Fn- W - х)2 dx, (3.78) /=1 о г • nr = S ni \ (Fn- (х) — Fn (х))2 dx. (3.79) Обозначим через ф,7, (/) и ср,,,. (/) характеристические функ¬ ции соответственно (3.78) и (3.79). Очевидно, в силу независимости фи, пг (0 = П фпу (0* (3.80) /=1 Поэтому оценки для фП1 Пг (/) можно получить по леммам 3.1 и 3.2. Оценим срП1 Пг (/). Без потери общности будем предполагать, что min (пь /?2, ..., пг) = Hi и n-i П2 + * * ' пг Стало быть, q 1 и q -> 0, если п} фиксировано, я2 + п3 + ... + —> со. Лемма 3.5. При всех 1 k п± — 1 в области | т | а, 0 <С а справедливо неравенство 1<Рп, nr(t)\^2~Cka~^ п~^ , (3.81) где постоянная Ck определена в (3.3). Доказательство. Используя (3.79), можно найти следую¬ щее представление: < nr = ”,("г + f (F"l (х))2 dx + h + /2, (3.82) 6 где j Л = - ^ v J F(" (х) (х) + 4 С (х)) dx, i=2 о A = У р/ (л-) dx 4- 4" f с2 (x) dx, i=2o 2 о 222
14з (3.82) видно, что зависит от выборки х'/', х!\ линейно,. а /2 от нее не зависит. Имеем С (F'n" (х))2 dx = 4- Е (1 - 4') - 4- У У IxP’ - х'1’ |. (3.83)' J "i i nt о / = 1 1 i=l /=1 После подстановки (3.83) в (3.82) получаем п, п, .... пг = 1 VV|t(” r(”l 1 2(1 + </)п, S141 ' + п2 4- • • • + Пт П / = 1 (3.84) + Представление (3.84) позволяет написать следующее неравенство, впол¬ не аналогичное (3.4): (3.85) где функция /г (х) определена в (3.5). Таким образом, из (3.85) и леммы 3.1 следует 3.81. ▼ Лемма 3.6. Пусть s!>0— любое целое число. При всех l^fe^ пг—1 в области | т | а, справедливо неравенство* (3.86) где постоянная Ck,r,s > О зависит только от k, г и s. Доказательство. Множество функций {|/~2 sin (л/х), j 1} образует ортонормированный базис в L2 (0, 1). Поэтому по равенству Парсеваля <4 Пг = £ (/2 f (F^ (х) -Fn(x))sin (njx)dx\ . (3.87) 5=1 /=i \ о ! Вычислив интеграл в правой части (3.87), найдем (3.88): где Далее формулу (3.88) можно записать в виде (3.32) и затем применить рассуждение, проведенное при доказательстве леммы 3.2 и оценки ги- па (3.85). В результате приходим к (3.86). ▼ 223
Существуют другие многовыборочные модификации одновыбороч¬ ных со2-статистик. Соответствующим образом к ним можно применить изложенный здесь метод анализа характеристических функций, для того чтобы получить оценки типа (3.81) или (3.86). Отметим, например, оЛстатистики, которые были предложены и рассмотрены в работах [171, 182]. § 4. НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ (^-СТАТИСТИК (4.1) 1. Степенные оценки Рассмотрим многомерную оАстатистику (см. п. 12 § 2) con = п j (Fn (х) — х)2 dx. П'” Теорема 4.1. При всех х>0ип^2 для любого целого фиксирован¬ ного s 2 справедливо неравенство |Р((о2<х)-Ф(х)|<—, (1 + *) п где постоянная Cm,s зависит только от т и s. Оценка (4.1) справедлива для всякой со2-статистики § 2. Здесь в качестве примера рассматривается многомерная со2-статистика. Доказательство. Применим общее неравенство типа Эс- сеена (см. [73, с. 1931) |Р(^<Х)_Ф(Х)|<_А_^1 + А+ (4.2) dt. -г 1 1 -т х ' Пусть в (4.2) Т = ыг, & > 0. Относительно в п. 12 § 2 доказа¬ но, что (4.3) Для оценки J2 представим эту величину как А = А + J (4.4) где j:‘- J . I t |^(ln n)i - j' (In n)4^| t |<en \ z ds — dt5 dt\ dt. i 224
Из общих представлении и оценок, приведенных при доказательстве леммы 2.9 гл. 1 (см. неравенство (2.203)), следует, что (4.5) Для Л имеем dt + (In п)4^ | t | ^e/i + у (In п)4^ | t | dS Лр„(0\ diS \ И (4.6) Для оценки первого слагаемого в правой части (4.6) применим рас¬ суждения п. 12 § 2 и соотношение (3.77). По определению предельной характеристической функции ср (/) для производных ds / ср (/) \ dts \ t ) справедливы показательные оценки типа (2.173). Стало быть, (4.7) Из (4.2) — (4.7) вытекает (4.1). 2. Показательные оценки В § 3 было показано, что для основного класса <о2-статистик при всех х> 0 и п > 2 выполняется неравенство (а>,; <х)-ф(х)-ф1(х)4|с-^- (4.8) с некоторой постоянной С >> 0, где Ф (х) — предельная функция рас¬ пределения, для функции Фх (х) в п. 5 § 2 гл. 1 приведена формула типа формулы обращения 1 00 1 „-ifx dl-Чг—'1'^ (4-9) —co с явным выражением для (/). По методу Н. В. Смирнова (см. [68, 831) деформацией контура ин¬ тегрирования в (4.9) интеграл либо вычисляется до конца, либо при¬ водится к простому виду. В обоих случаях в результате приходим к следующей оценке при всех х > 0: I W I aie~K2X, (4.Ю) где ccto 0 — некоторые постоянные. Для определенности приведем примеры. 1. Статистика Ватсона. В этом случае собственные числа л, = (2л/)-2, 7^1, имеют кратность 2. Стало быть, предельная характеристическая 15 4-101 225
функция Функцию Ч/1 (/) согласно п. 5 § 2 гл. 1 можно вычислить по формуле ^w=<p(o(4-+4-^cp2w)- <4-12> Предельная функция распределения, соответствующая ф (/), Ф (х) = 1 + 2 у (— 1)' ехр (— 2л2/2х). (4.13) /=1 Если подставить (4.12) в (4.9) и затем вычислить интеграл, то получим Фг (х)=4 (5х - 4) s i' ехр <-2л2/2/) - — х2 V (— 1)' /4 ехр (— 1)' /4 ехр (— 2л2/2х). (4.14) /il Отметим (см. [140, с. 3391), что Ф (х) и Oj (х) можно выразить через третью 0-функцию: 03 (г, 2шх) = 1 + 2 у, ехр (— 2л2/г2х) cos (2nZ?x). (4.15) k=\ Действительно, из (4.13) и (4.15) видим, что при всех х^О Ф(х) = 03(Д-. 2ш'х) • (4-16) Функция (х) из (4.14) при помощи (4.13) и (4.15) записывается через дифференциальный оператор как « - (е (4 - е i - 4-^)ф <4-17> При помощи (4.16) и формулы Якоби из теории 0-функций можно на¬ писать при всех х > 0 (2/ - О V 8х j ’ (4.18) Представление (4.18) используется для оценки функций Ф (х) и Ф1 (х) при х 0. 2. Статистика Мизеса — Смирнова. В этом случае собственные числа л; = (л/)“■’, / 1, имеют кратность 1. Стало быть, <г (/) = П (1 - /=•v 2»7 \-у / /2(7 \4~ *2Г-) \sinf2Tt ) ' (4.19) 226
формула для W1 (/) была получена Дарлингом (см. [126, 1251): Ч\(0 = ф (/) (Л- — (4~ + 44 cos (У 2??)) ср2 (0 — - (4- + 41 C0S <2 • <4-2°) Если подставить (4.20) в (4.9), то в результате некоторых вычислений можно прийти к оценке (4.10). Оценки (4.8) и (4.10) дают возможность усилить неравенство (4.1) и сделать убывание по х в остаточном члене показательным. Теорема 4.2. Существуют постоянные 4> 0 и у2 > 0 такие, что для всех х д> 0 и п 2 выполняется неравенство |Р(со;<х)-Ф(х)|<71е-^4->. (4-21) Доказательство. Утверждение (4.21) справедливо для всякой со2-статистики § 2. Для определенности проведем строгое дока¬ зательство для статистики Ватсона. По представлению (2.47) и показательному неравенству Юринского при всех х > 0 Р (со 2 >> х) а3е_а<х, (4.22) где постоянные 0 в работе [2301 в общей ситуации выписаны в явном виде. Непосредственно из (4.13) и (4.18) видно, что при всех х >» 0 1 — Ф (х) аъе~^х (4.23) при некоторых at-> 0. Кроме того, формула (4.13) показывает, что порядок убывания по х в правой части (4.23) улучшить нельзя. По¬ скольку Р < X) — Ф (х) = Р (©2 > X) + ( 1 — Ф (х)), по (4.22), (4.23) в области х С1\пп при достаточно большом Сх > 0 и всех и > 2 справедливо неравенство | Р < х) — Ф (х) | . (4.24) Очевидно, что п~х = ехр (—In/г). Поэтому в области 0 < х Сх In /г 1 Из формулы (4.14) следует, что для Ф! (х) выполняется неравенство (4.10) при всех х > 0. Таким образом, в области 0 <С v С, In п при помощи (4.8), (4.10) и (4.25) находим I Р И, < X) — Ф (х) | | Р (©2 < X) — Ф (х) Д Ф, (х) | 1_ + 4-1 фх (д I <+4-1 ф1 д> | <Се С| л 4- д a*e_"2'v 4- • <4-26) Из (4.24) и (4.26) вытекает утверждение (4.21).v 227
В § 3 показано, что для со2-статистик справедливо равномерное а с и м 11 тот и ч ее кое раз л о ж е н и е X (4.27) где г > 1 — любое целое фиксированное число, для функций Фу (х) в п. 5 § 2 гл. 1 приведены явные формулы. Например, для статистики Ватсона ф/ W = V (— 1)/г ехр (— 2n2k2x) fkj (х), /г=1 где fkj (х) — полиномы относительно х с коэффициентами, зависящими от /г и /, причем степень полинома зависит только от /. Поэтому для данных функций выполняется условие (4.10). Теорема 4.3. Пусть г 1 — любое целое фиксированное число. Тогда существуют некоторые постоянные > 0 и [32 > 0 такие, что при всех х>0ип^2 выполняется неравенство г—\ Р (со2 < х) - Ф (х) - I Ф, (X) П-/ /■=> file-^xn-r. (4.28) Представляет интерес задача об оценке констант у2 в (4.21) и р2 в (4.28). § 5. ОБОБЩЕННЫЕ О)2-СТАТИСТИКИ ПРИ АЛЬТЕРНАТИВАХ Пусть Xi, х2, ...» хп — независимая случайная выборка из совокуп¬ ности с непрерывной монотонно возрастающей функцией распределе¬ ния F (х) на [0, 1], Fn (х)— эмпирическая функция распределения, отвечающая данной выборке. Рассмотрим обобщенную со2-статистику вида 1 сет = п § (Fn (х) — х)2 dG (х), (5.1) б где G (х) — непрерывная функция распределения, вообще гово¬ ря, отличная от F (х). Введем обозначение Н (х) = G (У7-1 (х)), где F{~x’ (х)— функция, обратная по отношению к F (х). Тогда статистику можно записать как 1 «Г = П \ (Fn (х)- F~' (л-))2 dH (х), (5.2) б где Fn (х) — эмпирическая функция распределения, отвечающая не¬ зависимой выборке хп х2, ..., хп из равномерного распределения на 10, 1], X/ = F (х/), / = 1, 2, ..., п. Пользуясь определением Fn (х), из (5.2) находим = ф X X \ (6 - х)) — F~l (х)) (6 (х — х/) — F~l (х)) dH (х). ‘ '■=' i^o (5.3) 228
Далее j 6 (х — xz) 6 (х — х7) dH (х) = /7(1) — Н (max (xz, х,)). о Поэтому (5.3) представляется как 0)2 = V Н (max (xz, Ху)) — 2 У} J F_1 (х) dH (х) + /-1 /=1 Х/ (5.4) При помощи (5.4) и в соответствии с (2.56) гл. 1 для срп (/), отвечающей (5.1), справедливо неравенство (5.5) где fz (х) = 2 V (Н (max (х, х,)) — И (max (х, г/,))), (5.6) при этом хь х2, ..., xk и уъ у2, ..., yk — независимые равномерно рас¬ пределенные на [0, 11 случайные величины. Заметим, что Н (max (х, у)) = Н (х) 6 (х — у) + Н (z/) (1 — 6 (х — у)). Поэтому /2 (х) можно записать как /2 (%) = 27/ (х) az (х)’ + Ь2 (х) 4~ С2, (5.7) где аг (х) = k(Ffi (х) — Gk (х)); Ьг (х) = У (Я (///) б (X — у,) — И (Xj) 6 (х — X;)); /=1 сг = X (Я (X/) — Я (у,)), /=1 Fk (х) и Gk (х) — эмпирические функции распределений, отвечающие соответственно х и у. Стало быть, (5.5) приобретает вид |<Р„(/)|Ч£ J e^f!(X}ozW+^zMdx О n—k (5.8) Учитывая структуру функций аг (х) и bz (х), получаем формулу * 1 2k J = " e^i j (5,9) 0 /=0 « 229
при этом Z* и Q определены в § 3 (п. 1), d, = bz (z*), j = 0, 1, 2, ... ..., 2k. Из (5.9) вытекает очевидное неравенство 1 С 2k У 2/+1 J e2iXtiHi(x}dx 0 * г/ где И'1 Н:(х) = Н(х) —— [ H(x)dx. (5.11) г/+1-г/ ;• При помощи формулы Тейлора в области находим оценку * г/-н j ехр (2i'iciHi (х)) dx (5.12) где ?‘+1 о2 = ] Н] (х) dx. * г/ (5.13) Из (5 10) и (5.12) с учетом формулы (3.20) в области получаем неравенство j ехр (2ixH (х) az (х) + i%bz (х)) dx ехр — т2 Имея (5.8) и (5.14), можно сформулировать следующую лемму. Лемма 5.1. В области пРи всех целых 1^/г^гг спра¬ ведлива оценка 2k—1 —т2(гг—/г) У Су(Т? (5.15) где Cj и в{- определены соответственно в (3.13) и (5.13). Таким образом, в соответствии с (5.15) данная оценка характери¬ стической функции ф/7 (/) в-области 1т1^^г зависит от распределе¬ ний F (х) и G (х) через о7- из (5.13). Приведем несколько примеров, где для о у указаны оценки, позволяющие вычислить интегралы в пра¬ вой части (5.15). 230
Пример 1. Пусть Н (х) = х, 0 х 1. В этом случае простой подсчет показы¬ вает, что (5.16) 9 1 / * *»•« а/ = —(г/+|_г/) • Подстановка (5.16) в (5.15) приводит к оценке (3.21). Пример 2. Пусть Н (х) = х2, О^х^С 1. В этом случае °1 = 4“ (<+1 - г? <4 (<+1 + г/)2 - гЖ г9 > <г/-Н - <5-17> Из (5.15) и (5.17) вытекает неравенство типа (3.21). Пример 3. Пусть при 0 х 1 1 —е~х Н{Х) = Т^- Вычисления показывают, что в этом случае 1 1 , ~zi+[ ~zi * * zi+l — 2" —6 ) — (z/4_i — Zj +e —e i ) j. Отсюда можно вывести неравенство ст —— (2*- 1 — z*)3- 1 240 _1“1 1 Подстановка (5.18) в (5.15) приводит к неравенству вида (3.21). Пример 4. Пусть при 0 < х < 1 (5.18) В этом случае оЛстатистика (5.2) редуцируется к оАстатистике Андерсона — Дарлинга (см. п. 7 § 2). Можно показать, что в этой ситуации 1<Г,1 (О Г2 Е * 2k zi+t \1 tTC; ZTC; z i х 1 (1 — х) / dx /=о 2* /■ (5.19) Из (5.19) вытекают оценки типа (3.2). Неравенство (5.15) используется также при асимптотическим разложении функ¬ ции мощности оАстатистик в тех случаях, которые исследовали Чепмен [121] и Чи¬ бисов [89].
ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАНГОВЫХ СТАТИСТИК Пусть Хг, Х2, ..., XN — независимые'случайные величины с функ¬ циями распределения Fj(x), Е2(х), /\v(x) соответственно. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что эти функции являются непре¬ рывными. Расположим исходные величины в порядке возрастания: Х(1)<Х(2)< ••• <<X(/V) и пусть Rt обозначает номер XL в этой но¬ вей последовательности. Тогда XZ = X’(^.), i= 1, 2, А, в«-'оП<а Случайная величина называется рангом Xh а вектор R ='- = (/?!, /?2, •••> Яд/)— вектором рангов. Очевидно, R есть некоторая пе¬ рестановка чисел 1, 2, ..., А. Статистические процедуры, использующие каким-либо образом /?, называются ранговыми. Основы теории ранговых татистик и критериев изложены в систематической форме Гаеком и Шидаком |36], Пури и Сеном [191]. Ранговые непараметрические методы статистики изложены Леманом [179]. Особенно подробно он представил критерий Вилкоксона и связанные с ним точечные и интег¬ ральные оценки. В этой глава рассмотрены аналитические вопросы теории ранговых статистик, относящиеся к аппроксимации вероятностных распределений. § 1. ПРОБЛЕМА ОДНОРОДНОСТИ Задача однородности заключается в прозэрке нулезэй гипотезы И о: F1 (х) = F2(x) = • • • — (х) относительно какой-либо альтернативы, состоящей в том, что не все F-распределения равны. Богатое разнообразие альтернатив в реальных ситуациях обусловило исследования всевозможных ранговых статистик и критериев, сравнение их мощностных свойств и оптимальных харак¬ теристик. 1. Перманентные формулы Пусть для проверки нулевой гипотезы Но применяется линейная ранговая статистика SA.= V a (i, (1.1) <=i 232
где [a (j, /)} — произвольная матрица N X N. Обозначим через (P.V (0 = Eeits* (1.2) характеристическую функцию Sx- Если г — возможное значение 7?, то при гипотезе Яо р^ = г) = 4г- d-З) Предположим, что распределение Ff (х) имеет плотность /z (х) = = Fj (х). Тогда нулевую гипотезу можно записать как Яо: /2 (х) = = /2 (х) = ... = fx (х) = / (х). Если имеется другая альтернативная плотность g (х) такая, что из / (х) = 0 следует g (х) = 0, то Р(/? = г) = 4г£ Из (1.2) и (1.3) получаем Ф* ю = -4т s (Г1.Гг... (1-4) (1.5> П где (Г], г2, .... r,v) пробегает все перестановки (1, 2, ..., N). Соотношение- (1.5) позволяет обратиться к перманентам. Если А = (az/), i, j = = 1, 2, ..., Л7, есть матрица комплексных чисел, то перманент А, обоз¬ наченный рег(Л), определяется как per (.4)= £ аирцг .. . o.vl v, (1.6) где суммирование осуществляется по всем перестановкам (z’j, z2, ..., z’x) чисел 1, 2, ..., N. Заметим, что (1.6) эквивалентно per (Л) = { П (V гаЛ\ . (1 у). Пользуя (1.6), распишем (1.5) по формуле Райзера для перманентов: <РлХ) = 4г £ (-1)S X ■ s=0 ИЛИ где ^1-1 p=kr-^l (1.8) (1-9) (110) т, г S 233
Кроме того, согласно (1.5) и (1.7) -I- (0 - -ST Ur)‘ {П (Д (1-11) где интегрирование осуществляется по окружностям малого радиуса вокруг точек Zj = 0, j = 1, 2, N. Для двухвыборочной статистики Sm = X a(R,), N = т + п, /=1 формула (1.8) редуцируется к выражению ^(0 = ^[n(i+2^))^t. Далее, если, например, в (1.13) положить a (k) = /г, то тл'('^“пПг \т) Очевидно, если в (1.2) подставить (1.4), то придем к (1.12) (М3) (I.H) (1.15) Таким образом, из (1.8) и (1.9) видно, что характеристическая функция •<рдг (/) выражается через стандартные тригонометрические суммы вида (1.10). Это обстоятельство открывает возможности для применения в асимптотической теории ранговых статистик идей метода триго¬ нометрических сумм. Основные сведения о перманентах содержатся в обзоре Минка [69]. Перманенты, отвечающие двухвыборочным ранговым статистикам, изучал Гыорес 1149]. Формула (1.13) доказана Эрдешем и Реньи [136] в связи с центральной предельной теоремой для выборок из конечных совокупностей. Формула (1.14) получена многими авторами в теории статистики Вилкоксона (см., например, работу Кендалла и Сгыоарта [51]). 2. Аддитивные задачи аналитической теории чисел и распределения ранговых статистик Аддитивные задачи аналитической теории чисел — одна из цент¬ ральных тем исследований в математике. Особенно большой интерес к исследованиям в этой области возник после того, как в 1934 г. И. М. Виноградов предложил метод тригонометрических сумм. Этот метод непрерывно совершенствуется, расширяются области его примене¬ ния. Он применяется также в теории вероятностей и математической статистике. 234
Целесообразно вспомнить постановку классической проблемы Ба¬ ринга. В 1770 г. Варинг высказал утверждение, согласно которому при каждом целом k>\ существует таксе целое п = п (k), что всякое целое положительное число /V может быть представлено в виде ••• + x» = N (1.16) с целыми неотрицательными х1У х2, ..., хп. Это утверждение получи¬ ло название проблемы Варинга и было доказано Гильбертом в 1909 г. Если обозначить через rn(N) число решений уравнения (1.16), то при помощи суммы Вейля л Т (гр) = V (! .17) Х=1 и элементарной формулы * [1, если m = 0, = (1J8) о (0, если пг целое, /л=#0, очевидно, можно написать 1 r„(/V) = j(T(<p))ne-wd<p. (1.19) о В простейших вариантах метода тригонометрических сумм весьма существенную роль играют нетривиальные оценки Т (ф), а также оценки интегральных выражений от Т (ср) типа (1.19). Метод Вино¬ градова был распространен на классы аддитивных задач, которые на¬ зываются обобщенными проблемами Варинга. К этому числу задач относится, например, сформулированная в 1900 г. Гильбертом проб¬ лема о разрешимости системы + ••• +xkn = Nk, ••• + х*-’= WA_i, Xt 4- х.2 - И • • • + хп = в целых неотрицательных х(, х2, ... , х„. Если гп (Л/j, Лг2, ... , N k) — число решений (1.20), то в соответст¬ вии с (1.18) имеем г,, (Л\, N,, Nk) = = f ... J (T (<Г1, ..., гр,))'* e-2ni^+---+^k> d(P1 ... d<fk, (1.21) о 6 где р фА) = V е2лцФ1л+...+<₽//>. (1.22) х=0 235
Вероятностным аналогом классической проблемы Варпнга явля¬ ются так называемые аддитивные задачи с растущим числом слагае¬ мых, В этих задачах изучается асимптотическое поведение при п -> оо числа rn (N) решений диофантова уравнения *i + *2+ ••• + xn = N (1.23) в целых числах xk Q Gk, k = 1, 2, где Gk = a\ti, ..., — некоторое множество, содержащее pk + 1 различных неотрицательных целых чисел. Костельнуово (см. [74, 801) следующим образом реду¬ цировал эту задачу к локальной предельной теореме теории вероятнос¬ тей. Если обозначить через £2, ..., последовательность незави¬ симых случайных величин с распределением P(U = aVk)= рД1~> aviXGx, k=\, 2, и положить Sn = + |2 + ... + то, очевидно, можно написать P(Sn = N) = -nr'W . (1.24) X (Рл+ 1) /?=1 Если воспользоваться (1.18), то ! п P(Sn = N) = ( П gk (2tt(p)dcp, (1.25) о k=[ где gk (ф) = L— V e!',p°v* ё + Pft+i есть характеристическая функция случайной величины Стало быть, чтобы исследовать асимптотические свойства, необхо¬ димо рассмотреть вопрос об оценках тригонометрических сумм gk (ср) и их произведений. Конечно, нельзя ожидать, что могут существовать универсальные теоремы об оценках такого рода сумм. Это обстоятель¬ ство вынуждает, как правило, ограничиваться некоторым классом задач, в пределах которого нужные оценки выполняются (см. 174, 801). Опишем постановки некоторых классических задач теории ранговых статистик, которые, на наш взгляд, аналитически изоморфны приве¬ денным задачам аддитивной теории чисел. 1. Статистика Кендалла. Рассмотрим подстановку 1, 2, . . ., п \ г2, • • • , гп) ’ В качестве меры связи между двумя упорядочениями (1, 2, ..., п) и (г1, г2, ..., гп) Кендалл предложил рассматривать величину т = /и/Г'п £ sign sign ‘— г(1 -26> 236
где sign х = 1, О, — 1, x> О, x = О, x < О. Удобно ввести линейную трансформацию т по формуле Тп = (т + 1) п (п — 1) 4 Это позволяет написать п тп=^Л-, I /=1 V | sign ~1 1, 2, ..., п. (1.27) , i = Очевидно, возможными значениями случайной величины являются О, 1, 2, j — 1. По теореме Терпстра [220] £2Дз, •••> %>п стохастически независимы, причем Р(ё, = /) = ф, /= 2, 3, .... п, /£(0,1,2,...,/—!}. Следовательно, P(Tn = k)= где rn (k) — число решений диофантова уравнения (1.23) с ф = {0, 1, 2, ..., j — 1} и pj + 1 = /. В соответствии с (1.25) Р (Тп = k) = У e-2ni^ п ) -5- У е2л‘<г'' t/ф. (1.28) о /=1 ( 1 v=0 J Поскольку тригонометрические суммы в правой части совершенно тривиальны, то обработка выражения (1.28) в целом не составляет особого труда. Таким образом, локальную предельную теорему с асимп¬ тотическим разложением для статистики Кендалла можно вывести как следствие теорем в аддитивных задачах. Чтобы рассмотреть интегральную предельную теорему, достаточно опять применить представление (1.28). Очевидно, если о2 = Ет2, то £ = /7 (И — 1) (/Л Л- 1) Отсюда и из (1.28) получаем 1 f \ 1 п [ 1 Р(о-'т<%) = У у e-2ni«4 П 4- У е2ш'<И (1.29) 0 U=o J / = 1 [ 1 v=0 J 2. Ста1 истина Вилкоксона. В этом случае $т. = + /?2 + • • • + Rm 237
и можно предполагать, что целые числа Rk, R2, ..., Rm расположены в порядке возрастания: 1 < /?2 < •••• <Z Rm т + п. Тогда, для того чтобы определить вероятность Р (Sm = k) при гипотезе //(), необходимо разделить число rm (k) всех решений уравнения X Rj: = k, 1<Я1<Я2< ••• <Rm^m + n, (1.30) (m + n\ на I I. В (1.30) введем новые переменные по формулам %i = /?i — 1, xk = Rk — Rk~] —1, k = 2, 3, .. . , tn, (1.31) %ш+1 = n + m — Rnl. Тогда получим систему У (m + 1 — /) Xj = k— m (m+ l}, /=1 /72-1-1 v X, = n, /=1 число решений которой rm (k) в соответствии с (1.21) может быть оп¬ ределено как rm(k) = Г1 | V. е ' 'Мс[у/(р2. 0 6 / = 1 I л—о I Таким образом, статистика Вилкоксона представляет собой пример так называемой двухмерной аддитивной задачи. 3. Статистика Терпстра — Джонкере. Пусть Xith, i = 1, 2, . . . , k, k h = 1, 2, . . . , nL, У nt= Ny есть N независимых одинаково pa* пэе- i=l деленных случайных величин; — число пар (/г, Z), h^niy у которых i <Z j и Xi,h<Z Xj'l. Определим (см. [51]) статистику Тк = s £ u,i. Ki Если ввести Т/,/дл = 6 (ХЛ/ — Х£л), то статистику Терпстра — Джонкере Tk можно переписать как Тк = s zh /=1 /-1 "I ”/ где Zj = V у у Xj'i-i'h, причем случайные величины z2, z3, . . . , zk /1=1 /=i по теореме Терпстра [220] стохастически независимы. Поэтому 1 /? P(Tk = г) = § е~2т“чг П фу (2лср) dcp, (1.32) о i=[ 238
где гр,- (/) — характеристическая функция случайной величины Нетрудно убедиться в том, что г;- есть статистика Вилкоксона, соот¬ ветствующая двум независимым выборкам и + п2 + ... + 4- /г/-1. Следовательно, по (1.14) „ ni / , и(гпг^) \ (133) 4. Знаковая статистика Вилкоксона. Пусть Хъ Х2, ..., Хп — неза¬ висимые наблюдения над случайной величиной с непрерывной функцией распределения. Обозначим через Rt ранг |XJ в упорядоченной вы¬ борке абсолютных значений |X(i)| < | Х(2)| < ... < |X(n)|. Для про¬ верки нулевой гипотезы о том, что исходная выборка извлечена из совокупности с симметрической функцией распределения, существу¬ ет одновыборочный критерий Вилкоксона, основанный на статистике = £ 6 (Х;.) /=1 Поскольку случайные величины zz = 6 (Xf) R/, j = 1, 2, ..., и, не¬ зависимы при нулевой гипотезе и принимают лишь два значения (0 и /) с одинаковой вероятностью V2, то Р (S* = k) может быть вычислена по формуле (1.24), где rn (k) есть число решений диофантова уравне¬ ния (1.23) с Gk = {0, k] и pk = 1. Стало быть, 1 п P(S+ = k)=\ e~^k П (4- (1 + dtp. (1.34) 0 5. Статистика от разности рангов. Пусть Х2, ..., Хт и Ylf Y2, .... ..., Yn — две независимые случайные выборки из совокупностей с одной и той же непрерывной функцией распределения. Расположим переменные X в порядке возрастания: X(d < Х(2) < ... < Х(т). Пусть Sk обозначает число переменных Y во второй выборке, попавших в ин¬ тервал [Х(А>—1), X(k))i Х(0) = ОО, Х(/П_р) = оо, k = 1,2, ..., tn + 1. В теории ранговых критериев существуют статистики, основанные- на Sk следующего вида (см. 11751): т + 1 ТтуП = V a(f, Sj), f=l причем а(х, у) — целозначная функция. Выразим Sk через ранги. Пусть Z(1)<Z(2)< • • • <Z(/„+,n — объединенная выборка (А\, ..., Хт; У], ..., Yn), расположенная в порядке возрастания элементов. Обозна¬ чим через Я*, ранг Х{к} в этом ряду. Тогда, очевидно, 1 Rx < < R2 < • * • < Rm^m 4- п и Sk = Rk — Rk_} — 1. Поэтому, во-пер¬ вых, /724-1 Тт.п = X a(j, Rj — Rj-i — 1) /=1 239
и, во-вторых, Р(7’т,„ = Л) = гт,п m 4~ fi' т t где гт,ц (&) — число решений диофантова уравнения /п+1 v a(i, /=1 при условии на решения 1 Ri<Z R2<Z ••• < Rm^tn + п. По из¬ вестной нам замене переменных (1.31) это уравнение сведем к систе¬ ме уравнений /п+1 V a (j, Xj) = k, i=i (1.35) /п+1 У Xf = П. /=1 Например, для статистики критерия Диксона а(/, х,) = х?. В этом случае имеем двухмерную систему Гильберта — Варинга Х1 Х2 “Ь • • • + хт+\ — П, Х| + Х2 + ’ ’ ’ + Хт±1 = k (1.36) и число гт,п (k) ее решений по методу тригонометрических сумм опре-. дел нем как I 1 rm.n (k) = П О 6 (1-37) Интегральное выражение в правой части (1.37) исследовалось во мно¬ гих работах (см., например, [34, 35, 87]). 3. Статистика Вплкоксона Пусть Хр Х2, ..., Хт— последовательность независимых случайных величин с общей непрерывной функцией распределения Р (,х)\ Ур У2, ..., Yn — вторая последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же непрерывную функцию распределе¬ ния G(z/). Через (/?ь R2, ..., Rm) обозначим вектор рангов X в объеди¬ ненной последовательности (Хр Х2, ..., Х,л; Ур У2, ..., Yn). Классическая статистика Вилкоксона определяется как Sfn = R1 + R2 + • • • + Rm- (1.38) Введем в рассмотрение случайную величину U, равную числу пар (Хр У;), при которых элемент первой выборки превосходит элемент второй, т. е. 6w=(i: '<»: “-39» 240
Из (138) и (1.39) следует, что Зт — U + т (т 4- 1) 2 (1.40) . Статистика Sm была предложена многими авторами. Ее называют статистикой Вилкоксона, который рассматривал Sm в случае т = п. В некоторых работах Stn называют статистикой критерия Манна — Уит¬ ни, которые изучали U при любых тип. Равенство (1.40) показы¬ вает, что можно пользоваться любой из статистик U и Sm в зависи¬ мости от ситуации. Критерий, основанный на статистике Вилксксо- на — Манна — Уитни, служит для проверки нулевой гипотезы Л7(): F = = G против альтернативы типа HY: F (х) > G (х), Н\ : F (х) < G (х). Пусть 1 г± г2 < • • • <гт^т п — расположенные в порядке возрастания ранги Rh i = 1, 2, ..., т, Sm = rx 4- r2 -Е • • • 4- rm. При гипотезе /70 случайный вектор (гь г2, ..., гт) имеет равномерное рас¬ пределение. Поэтому его производящая функция может быть записана как Е0?е? ... о„? = ,' т S 0['02! ... 0™П!. (1.41) 1 1^О<Г2<-..<^^/714-/7 правой части, вводя новые переменные суммиро- Упростим сумму в ] вания по формулам (1-42) Тогда •0?0? ... 0mm = 0в1 + 1д₽1+₽2+2 д₽.+Р»+-+Рот+"> dz /Я- \ I ,1 где интегрирование ведется по гладкому замкнутому контуру, охваты¬ вающему точку z = 0. Полагая здесь Д = 02 = ... = 0т = 0 и определяя затем коэффициент при zn в подынтегральной функции, получаем формулу е П (1 — os) £0S«1 = , (1.43) ' П (1 — 0s) П (1 -0>) \ т 1 5=1 5=1 справедливую при гипотезе Но. 16 4-Ю1 241
Представляет интерес изучить обобщенный аналог (1.43) в случае, когда выполнена гипотеза Н1У причем F и G имеют плотности соответ¬ ственно f и g такие, что f всегда положительна, когда положительна g. В этой ситуации распределение вектора рангов (/у, г2, /ш) равно выражению где kj — возможные значения rh j = 1, 2, ..., tn. Х(1) < Х(2) < ... ... < Х{т+.т — упорядоченная выборка объемом т + п из совокуп¬ ности с плотностью /, относительно которой и берется математическое ожидание. Стало быть, Свернем сумму в правой части. Тогда {/724-77 7 Пн +Z0" (1.44) Пусть ср,„.п (0 — характеристическая функция случайной вели¬ чины U при гипотезе Но. Согласно (1.43) ее можно выразить как itmn т tytn,n (0 = П А—1 k sin (1.45) Проанализируем cp,71.n (Z) с тем, чтобы в последующем рассмотреть во¬ прос об аппроксимации распределения статистики Вилкоксона. Для ] х | < л известно следующее разложение: Поэтому при In Si7-S( A=1 X2k 2k (2k)l c< 2л m -p n [ v = ехр 2j l/=i т rn ' v + kf - V ,.*=1 i=l Mli B2i (2/)! (1.46) п 242
Таким образом, кумулянты U хх = -у- тп, х2 = тп (пг + п - 1), И2/ = [(п + tf' — ^2/]> Х2/-М = 0, j > 1, ' А>=1 где ^2у = Jz_LL_^£LL (2/), £(2/)— дзета-функция Римана в точ¬ ке 2/. Без потери общности можно считать, что пг п. Предположим, кро¬ ме того, что существует фиксированное достаточно большое целое число I > 1 такое, чго при т -> оо т1 > п. (В случае, когда такое / отсутствует, исследование распределения Sm может быть сведено к теории (7-статистик (см. гл. 1).) По формуле обращения л р (Sm = г) = -Д- J (р,,,.п (/) e~l‘rdt. —Л Здесь область интегрирования разобьем на две части: P(Sm = r) = J1 + J2, (1.47) где j — 1 J2~ 2л 2л т-\-п 2л т-\-п j 4m,n(t)e~"rdt. |/|^л т-\-п 1 Для того чтобы преобразовать выражение для Ju применим (1.45) и (1.46). Однако сначала рассмотрим J2, сведя задачу оценки этой ве¬ личины к оценке одной тригонометрической суммы. 2^1 В области -т _р— 111 л используем интегральное представление типа Эрдеша—Репьи для характеристической функции <р,п.п (/): ЧЧп (0 = 1 У! ехР W (Г1 + г, + • • • + Гт)) = 1^О<72<- • • <гт^т+п л /77_|_п 2яВ(т,пГ 1 Ц {1 ~ Р + — Л h~~L т \Ш -I- п}‘ 243 1G*
По формуле Стирлинга В <'"• ,Ц ° у г ‘ (! я ( 12 („"+ ,.) —Sr - -ifer)' (1.48) прпчсхМ 0 < 0, <С 1, 1 i 3. Далее I 1 — Р + pei(ik+^ |2 = 1 — 2р (1 — р) (1 — cos (kt + 0)). Отсюда и из неравенства 1 4- х ех находим | j р | Q—РО—Р}^—COS(/tf-f-0))e Это позволяет написать П (1 — р ^>е'(//;+°)) *=i / , '«+'1 \ < e-(m+n)p(l-p) j У cos (Ы 0) 1 \ т -Г п А=| ] (1.49) Заметим, что т-\-п Г т-\-п \ У, cos (kt + 0) = Re ei{] У eitk). А=1 \ А=1 J Тогда в сил}7 | Re z | | z | заключаем, что т-\-п т , п U COS (kt 4-0) Tm,n(t)\, (1.50) где т±п m -р n k=] Эта тригонометрическая сумма по неравенству sin х х, 0 х -у-, допускает оценки 1 j 2 ’ объединяя которые с (1.49) и (1.50), видим, что в области п sS | /1 л, 101 л| при всех т и п справедливо неравенство тп /??+п П (1 —р -|- pei{ik+®}y) ^Ze 2(w+n). А=1 (1.51) 244
Таким образом, согласно (1.51) в области I I я ПРИ всех т и п тп 2,'"+"' • (L52> Если здесь tn ->■ оо, то по (1.48) и (1.52) в этой же области I W I < yiy ]/ г- . (1.53) Следовательно, 1 / _ пт - 1 I т.., (О IС yU У (1.54) Вернемся к формуле (1.47) и запишем ее следующим образом: /^P(Sm = r) = 1 2л 2л Ух, т-\п if г ( (pm,n [—-ХУ е dt 4- Kz2 J2. т-\-п (1.55) Остановимся подробно на подынтегральной функции в (1.55). Обратим¬ ся к (1.45) и (1.46): itmn где а (I) — V а/2/ с коэффициентами (-1)'-' Во, " пг т v у; Л=1 /г=1 2/ (2/)! х' В силу неравенства (—1); 1 В2/ > 0 видим, что а, > 0, j > 2, и, кро- ме того, (-1)'-' в,,. (48)' 2/ (2/)! т'~~1 (1.56) Это свойство подынтегральной функции позволяет промежуток инте¬ грирования 11\ *- в (1.55) заменить промежутком | /1 < A j/ln пг с достаточно большой фиксированной постоянной Ду>0. При такой 2 л х замене интеграл по области А у In т 111 * оценивается ввиду Ух.> 1 {(пг + п -4- 1) тп \1/? присутствия экспоненты И ТОГО, ЧТО = ni _i_ п ( ) < 245
^Vm, как 0(m_p), где число р^\ путем выбора А может быть сделано сколь угодно большим. В результате формула (1.55) приобре¬ тает вид А~\[In tn ^2 /x2P(Sm = r) = + (1.57) —A\f In/71 В области |/[<Л|Л1пт в силу (1.56) для a(t) справедлива оценка I а (/) | < Со, (1.58) причем константа Со > 0 от m и п не зависит. Далее запишем функцию а (/) как а (0 = Д bj (— it) (-Д) , где 6,(- ,7) _ - (- ,7)’»+“ 2(|'Ли + 2)1 (,.+" + ■) х |^(‘ + 4Г-(4Г1 и определим Pk (—it) следующим образом: ехр {— а (0} = 1 + Д Рк (— Ю • /4-1 X (1.59) Пусть, Qk (у) — полином относительно у такой, что выражение —е 2 Qk (У) имеет преобразование Фурье, равное е 2 Pk(— it). } 2л В (1.57) сделаем замену по (1.59). Затем возьмем s первых членов ряда, где s 1 — любое целое фиксированное число, и вычислим интегралы по переменной /. Остаток этого ряда и интеграл от него преобразуем при помощи (1.58). После указанных преобразований приходим к сле¬ дующей теореме. Теорема 1.1. Пусть т -+■ оо, т п и существует такое целое число 1, что т! п. Тогда справедливо асимптотическое разложение У х2 Р (Sm = г) е ' 2 v m 7 J 2л = O(m s), (1.60) где О — оценка, равномерная относительно г; пустая сумма полагается равной нулю. 246
Рассмотрим сейчас вопрос об аппроксимации функции распределе¬ ния случайной величины S,n. Обозначим Лт,п (х) = Р ( ^Х1 < х) - Fm,n (х), где Fm.n (X) = ф (х) — е~ ~Н3 (х), 4! г Н3(х)=х3— Зх—полином Эрмита третьей степени. Теоргма 1.2. Пусть т -> оо, т п и существует такое целое чис¬ ло 1, что т! п. Тогда справедлива оценка _з_ sup | Д,7,.,г (х) | = О(/?г 2). X Доказательство. я.Уу2 sup | A,„,„(x)|<-i- j —nV*X., где в качестве С можно выбрать константу из sup I Fm>„ (х) I С; X 4-(0 =r^ + v4,-«e 4*2 По неравенству Эссеена dt + (1.61) i и Интеграл в правой части оценим как где ( о —Л.У У 2 '’"AvC 'tV} l dt JL J2 -j- J3) (1.62) Л = f 1 • • •} dt; J2 = J dt\ 2л У у.., < i 1 < Л У У-, аУ In m A = J ( .. • j dt. |/|^Л У hull По (1.53) J L = О (m 3 y). Интеграл по области А 1Лп т 111 С —— г 1 1 т + п |/x2 в силу свойств подынтегральной функции оценивается как _ з J2 = O(m 2). 247
3 Наконец, по (1.58) и (1.59) получаем J3 = 0(т 2) и отсюда по (1.62) убеждаемся в справедливости (1.61). ▼ Для того чтобы выписать полный асимптотический ряд типа (х) ~'£ ck(x)m (1.63) л=з достаточно применить изложенный выше метод анализа подынте¬ гральной функции к следующей точной формуле: Р Sm — v. /х2 л = “ЙГ J фт’п —л 1 — ехр [— it ([хг + х /х2| 1)} 1— ехр{ —ZZ} (1.64) где [xj + А7|/~х2] обозначает целую часть числа xt + х]/х2. Теорема 1.3. Пусть т-+оо, т п и существует такое целое число / 1, что т п. Тогда при всех х справедливо неравенство &т,п (-^) С (1 + И)* з_ 2 (1.65) т где С > 0 — некоторая абсолютная постоянная; 2 — любое целое фиксированное число. Доказательство. По известному неравенству типа Эссеена • '4 где dt. Величина Ai (/и, п) была оценена нами в (1.62). Очевидно, для оценки Д2 (/л, п) по существу следует знать структуру £-й производной по t от Эта структура легко усматривается из формулы (1.45). Под¬ робности носят лишь технический характер, и мы их здесь опускаем. ▼ Существует /^-мерное обобщение статистики Вилкоксона, данное Терпстра и Джонкере (см. [51]). Пусть имеется k групп наблюдений {Xih i = 1, 2, ..., nk\ j = 1, 2, ..., k], причем в каждой /-й группе случайные величины имеют одинаковую функцию распределения F; (%). Проверяется нулевая гипотеза однородности На: Fx (х) = F2 (х) = ... = Fk (х) 248
относительно альтернативы нг •• Z7! (х) < F2 (х) < • • • <Fk (х) при помощи критерия Терпстра—Джонкере, основанного на стати¬ стике /?—1 k 7\ — V У U 1 k — —1 Ll U UQ* р=1 <7=р+1 При гипотезе На ET"k=4- [п2 <2п+з) - Д <2п₽+3)} ’ п = «j 4- п2 -J- • • • + пк. По теореме Терпстра — Джонкере при гипотезе Но случайная вели- 1_ чина (ЕТь) 2 (Т — ETk) асимптотически при min (nlf п2, ..., nk) -> оо нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией. В действительности для Tk справедливы при Яо асимптотические за¬ коны, полученные для двухвыборочной статистики Вилкоксона в пре¬ дыдущих теоремах. При этом роль большого параметра играет min (лгх, /г2, nk). Для доказательства этих новых фактов достаточ¬ но применить доказательства предыдущих теорем к анализу формулы (1.32). Ансари и Брэдли [36] в 1960 г. предложили двухвыборочный кри¬ терий вида m I А„,.п = У (пг + п + 1) — j Ri ^-(m + п + 1)| |. (1.66) По приведенным выше формулам легко находится точное распределение А1П,П в форме производящей функции. Производящая функция при HQ ненамного сложнее (1.43), поэтому к ней применим изложенный асимптотический анализ (см. [25, с. 32]). Аналогичное замечание справедливо и для критерия Лепейджа, который рассматривал следующую комбинацию статистик Вилкоксона и Ансари — Брэдли: / Sm — ES,„ V ( А,П1П~ЕАпкп ' \ о (Sm) / \ о (А,„п) L т,п (1.67) Общие статистические свойства критерия Вилкоксона изложены Леманом [179J. Уитни (см. [36]). обобщил статистику Вилкоксона на двухмерный случай. При иссле¬ довании точного распределения этой статистики возникли интересные аналитиче¬ ские задачи, которые по существу изоморфны тем вопросам, которые рассматривали в работах по аддитивной теории чисел Эрдеш и Ричмонд [137], Ричмонд [195] Различ¬ ным вопросам аппроксимации распределения обобщенной статистики Вилкоксона вида N SN = V ф (/, Rf) /=| 249
посвящены работы Королюка и Боровских [59], Бара [ 104], Мирахмедова [70], Берг- < стр ем а и Пури [106], Доеса [ 128], Энглу нда [135], Калленберга [176], Робинсона [198], Зуижлена [231]. Ворличкова [225] исследовала асимптотические свойства статистик типа в случае дискретных распределений. 4. Двухвыборочные о)2 -статистики Пусть Хъ Х2, Хт и Y2, ..., Ytl — две независимые случай¬ ные выборки из совокупностей с непрерывными функциями распреде¬ ления соответственно F (х) и G (у). Для проверки нулевой гипотезы Яо : F = G существуют критерии, статистики которых определяются как оо = J (FmW-Gn«d//m,.(x), (1.68) — оо тп т п J Г,„ (х) — G„ (х) — —оо [ оо — У [Рт(у)~ G,dHmn(y) —оо 2 dHпт (х), (1.69) где Fm (х), Gn (х) и Нтп (х) — эмпирические функции распределе¬ ния, построенные соответственно по первой, второй и объединенной вы¬ боркам. Статистика (1.69) была впервые предложена Леманом [1771 с точки зрения теории (7-статистик. В данной интегральной форме она пред¬ ставлена Андерсоном [1021. Статистику (1.69) ввел в рассмотрение Ватсон. Преобразуем (1.68) и (1.69). Поскольку (т + п)Нт,п (х) = mF,n (х) + 4- nGn (х), то интеграл в (1.68) можно записать как Ш (Xi) - ]F"‘ • (1.70) Далее пусть и S, обозначают ранги соответственно Xt и У, в объ¬ единенной выборке. Расположим их в порядке возрастания: 1 < Я(1) < ^(2) < ••• </?(Ш)<т + ц, 1 *S(i) 5(2) <Х • • • <С 5(П) 4 т 4- п. ( Тогда, очевидно, Гт(Х(0)-0„(Х(0)=4- 44- t = 1, 2, .... т, (1.72) j = 1, 2, ... , п, 250
где Х({) и У(/-) — порядковые статистики. Подставив (1.72) в (1.70), получим 1 т -I- п п (1.73) Это формула Андерсона. Пользуясь равенством (т 4- п) (т 4- fi + О (2т +-2п 4 1) 6 i:+ s - 1=1 /=1 можно записать (о^п как 0)2 = л(/п + п) Д — ')2 + В действительности, как заметил Бар [115], правая часть (1.73) сво¬ бодна от рангов одной из выборок, т. е. 1 т (т + п) № п г.2 _ п — I „ / I I т п \ п /=1 Вспоминая, что /?(/) — j = nGn (Х(/)), 2'~' ')2 + 2т + п (1 74) 2m / 12m (т +/г) ' из (1.74) получаем 2/ 1 \ I 2т ~~г п /1 2т / "Г" 12т (т +/г) ’ т > ^т'п = т + п X, К (Х<-^ Отсюда при фиксированном т и п -> оо в силу теоремы Гливенко оче¬ видным образом находим одновыборочную со^-статистику = /й (G (Х(/)) ) + ~12т~ • Из формулы (1.75) заключаем, что 1 J - Х? dx + 6(m+n) ’ 1 (1.76) где Ftnn (х) обозначает эмпирическую функцию распределения, по¬ строенную по последовательности Gn (XJ, Gn (Х)2, ..., Gn (Хт). Далее путем прямого интегрирования в (1.69) можно непосредственно пере¬ йти к формуле Бара ,/> _ (т + л) Vf 2/—1 U"‘-" п £ 1 т + п 2 т , I , I "т- 12т 12(т + л) ’ 251 (1-77)
где г = — 5] /?(/). Поскольку (m + n) H,-m (X(/)) = 7?(/), to (1.77) при- m /=1 водится к виду + 12m + 2(m + n) ’ (1.78) где Из (1.78) по теореме Гливенко при п -> оо и фиксированном т в пре¬ деле получим одновыборочную (/^-статистику Ватсона 1 т ^W(/)). т /=1 Пусть Gmn(x)— эмпирическая функция распределения, отвечающая последовательности Нпгп(Х1), Нтп(Х2), ..., Нтп(Х,п). По определению и соотношению (1.78) Um,n = П (ОТП+ |(G'nn (*) ~ Х) ~ | (У) — У) dy | 2 dx — т 12/? (т + /г) (1-79) ИЛИ U 2 т,п тп т -j- п 1 ( 1 12 У | Fпт (%) % (Рит (у) У) dy ( dx 4" 0 I О ) 1 (1 80) Отсюда путем вычисления интегралов получаем формулу ,п т 4- п пт m (/и 4~ я) \2п т 4- п у у | Rj — Rt I тп — I пг -I- п К1” /=| <-1 1 1 + 12 (m 4- п) (1.81) I W • Формулы (1.76) и (1.80) особенно применимы при асимптотическом анализе. Предельные распределения со2,7.,. и при min (пг, /?) оо совпадают с предельными распределениями соответствующих одновы¬ борочных оАстатистик. Пусть срш,п (/) = ЕеШ,п'п — харакгеристиче- 252
ская функция случайной величины для простоты предполагаем, что т п. По теореме Ватсона lim срш,„ (0 = ф(/) /??—>оо sin(/4J (1-82) При уточнении сходимости в (1.82) используется приведенное ниже представление для ф/п,„ (/). Теорема 1.4. При гипотезе HQ справедлива формула — ita ( ? т~~,} Л Г ?ith I -а . ) <₽-•" ® = 2яВ(т, п) Е |£ Д [ 1 - Р + Р^ "'г 1 1 e~i<3"'dQ) ’ <1'83> где т , (т л- гО т т а = —:—- ; b = — ; р = :— ; 2п (т -р п) п г т -у- п В(т, n) = (^ — р)'1; ak = j (б (х — m in ) — x]dW(x), k — 1, 2, ... , т -J- ц, О W (х) — стандартный броуновский мост на [0, 1]. Доказательство. При фиксированном векторе рангов (7?i, Т?2, ..., /?т) при помощи (1.79) имеем очевидное равенство ехр (r/f/m.n) = e~UoE ехр j j/2itb § (Gm>n (x) — x) dW (x) Левую и правую части проинтегрируем по мере, порожденной рангами, и воспользуемся затем формулой Эрдеша — Реньи. Тогда 1 2лВ (т, п) Отсюда следует (1.83). ▼ Представление, аналогичное (1.83), выполняется и для статнсти- КИ СО^.П. Теорема 1.5. При т -> оо, щ п справедлива оценка sup | Р < х) — Ф (х) | = О j, где Ф (х) — предельная функция распределения Смирнова. (184) 253
Соотношение (1.84) по существу доказано в работе [25, § 5] при по¬ мощи формулы (1.76) методами гл. 2. Для оценки функции мощности данных критериев можно записать и (Астатистики в форме (7-статистик и затем примени гь общие теоремы гл. 1 (см. [187]). Существуют обобщения статистик (1.68) и (1.69) на случай k выбо¬ рок: имеется k независимых выборок {Лщ 1 i <б /?,, I = 1,2, ..., k\ из совокупностей с непрерывными функциями распределений F} (х), F2 (х), ..., Fk (х) соответственно. По этим данным определим эмпириче¬ ские функции распределений I ,/у = /= 1, 2, 7 111 i=\ 1, х^О, О ( X/ = ) [О, х<0, и эмпирическую функцию распределения Hn (х) объединенной выбор¬ ки по формуле I k Hn W = -у- S П/F^ (х), N = rtj + n2 + • • • + nk. Тогда /г-мерные статистики, аналогичные (1.68) и (1.69), определяются как соп„П2,...,пА = J (х)~ Hn (*)]2| dHN (%), (1.85) (х) - HN (х) - - J [Fn] (у) — Н»(у)] dHN (у) — оо Интегралы в (1.85) и (1.86) выражаются через ранги. Согласно теореме Кифера [171], если mk = min (пх, ..., /?Л) ос, го при Hq г 0 1 im Р (оч....,^ <М = P J (Wi (О)2 dt < л V=1 о о о где Wlf ..., Wk-y — независимые броуновские мосты на [О, И. Мааг 1182], впервые предложивший статистику (1.86), установил при тех же условиях, что lim P(Un, пк<М = РДМ, n,k^ <1Н,ч (л'). (1 86) 254
где Pk (X) — функция распределения с характеристической функцией <р*(0 = 1<р(ОГ-1. Конечно, статистики (1.68) и (1.69) можно обобщить, например вве¬ дением подходящих весовых функций под знак интеграла. § 2. ПРОБЛЕМА НЕЗАВИСИМОСТИ Пусть (Хп К,), (Х2> г)» •••» (Хн Уп) ~ двухмерная последователь¬ ность независимых случайных величин с одной и той же функцией распределения Н (х, у); F (х) и G (у) — маргинальные функции рас¬ пределения переменных X и Y соответственно. Проблема независимо¬ сти заключается в проверке нулевой гипотезы Я0 : Н (х, У) = F(x)G (у) для всех —оо < х< оо, —оо < у << оо. Определим двухмерную эмпирическую функцию распределения! Нп (х, у) как Нп (х, у) = -}г£ 6 (x—Xj) Ь(у — Г,) п /=i и пусть Fn (х) и Gn (у) — маргинальные эмпирические функции распре¬ деления, отвечающие последовательностям (Хп Х2, ..., Хп) и (Kj, Y2, ... ..., У/7). Ранг R{ случайной величины Х( определим как число тех Xk. среди Х}, Х2, ..., Хп, для которых Xk^Xh а ранг Qz— как число? тех Yk среди У2, ..., Уп, для которых Yk^Y{. Статистики, которые применяются для проверки Яо, в большинстве случаев могут быть записаны в виде (см. [205]) оо оо Д = J f Jn (Fn W- Gn Ш Нп (*. у)) dH,t (л; у), — оо —оо где Jri (•,•) — некоторая подходящая функция, заданная на (0, 1] X X (0, 1] X (0, 1]. Очевидно, Тп выражается через ранги. Исследование именно такого рода статистик обусловлено тем, что- критерии, основанные на Тп, обладают необходимыми локально наи¬ более мощными свойствами среди определенного класса ранговых кри¬ териев. В этом параграфе будем предполагать, что функции распределения Н (х, у), F (х) и G (у) являются непрерывными. 1. Формула для характеристической функции Рассмотрим статистику п Д = Е a (R(, Q,), 1=1 где \а (7, /)} — произвольная матрица порядка п. Пусть ср,7 (/) =■- = Ее117” обозначает характеристическую функцию этой случайной 255
величины. Совместное распределение векторов 7? = (7?ь R2t ..., Rn) и Q = (Q15 Q2, Qn) при гипотезе Яо имеет вид Р(7? = г, Q = ?) = ^, где г = (z^, г2, ...» гп) и q = (^, q2, ..., q,^ — возможные значения R и Q соответственно. Если интересующая нас альтернативная гипотеза - Н (х, у) =/= F (x)G (у) такова, что функции распределения Н, F и G имеют плот¬ ности распределения f (х) = F' (х), g (у) = G' (у), (2.1) h (х, у) = д2Н (х, у) дхду то по теореме Гефдинга Р (R = г, Q = q) = Щ- Е (2.2) где 0 < ux < и2 < ... < un < 1, 0 < иг < v2 < ... < vn < 1 — по¬ рядковые статистики независимых выборок из равномерного распре¬ деления на [0, 1]. Теорема 2.1. При нулевой гипотезе Но n ns kr-^\ 1 ф If) = —т_У} (_l)s £ П V V eila(m,p) nl s=0 .-<fes m=l [r=0p=Af+l При альтернативной гипотезе Hlt удовлетворяющей (2.1), Доказательство. По определению п 17 У а{ГП1'С1ГП> ф,,(О = Z е т=' P(R1 = r1, , Qn = qn), r,i- (2.3) (2-4) (2.5) где суммирование пробегает по всем п\ перестановкам (гг, г2, ..., гп) чисел 1,2, ..., п и всем п\ перестановкам (^, q2, .... qn) чисел 1,2, ..., п. В (2.5) сделаем замену по (2.2). Получаем фП (0 = Е п е m=1 п П h (и V) i=\ 1 ' п /=1 ‘ (2-6) 256
Выражение под знаком математического ожидания представляет со¬ бой двухмерный перманент. Фиксируем (гь г2, гп) и просуммируем его сначала по (^ь q2, ...» Тогда условная сумма запишется как одномерный перманент п П h (и , V ) i~t 1 ’ П f(ur)g(v ) /=1 I q' {п п S(-Ds S п s=0 0^/?i</?2< • • • <k&^n m=l H(ar ,р) е т h (и , vp) т f(ur )g(vp) пг (2.7) Видим, что правая часть (2.7) инвариантна относительно перестановок (г,, г2» •••, rnY Поэтому из (2.6) и (2.7) следует (2.4). Аналогичным рас¬ суждением выводим (2.3).v Если, например, при Яо в (2.3) выбрать a (i, j) = ij, что соответ¬ ствует известной статистике Спирмена,то получим представление ха¬ рактеристической функции в виде, содержащем тригонометрические суммы, рассмотренные нами при исследовании распределения стати¬ стики Вилкоксона. Это обстоятельство можно использовать в асимпто¬ тическом анализе распределения статистики Спирмена. 2. Асимптотический анализ статистики Кендалла Классический ранговый коэффициент корреляции Кендалла деляется как опре- (2.8) где sign (х) == 1, О, -1, х> О, х = О, х<0. В терминах исходных случайных (2.8) записывается в форме (/-статистики: т = 'п(я2-1) sign (X, —X/) sign (Yi—Yj). величин выражение в правой части (2-9) п т — 1 Поскольку случайные величины YL имеют непрерывное распределение, то т = 2 п (п — 1) 2 v'sign^.-X;), /=1 1=1 (2.Ю) 17 4—101 257
Положим n 7—1 . T = Уе 7=1 £,= *<*;«» + ' ). j_i, 2 (2.11) Распределение также непрерывно. Поэтому 4 п(п- 1) (2.12) Формулы (2.1) — (2.5) приведены в работах, посвященных статистике Кендалла. По теореме Терпстра последовательность случайных вели¬ чин с/, £2, является стохастически независимой. Очевидно, чю р можно записать в виде j = 1, где независимые случайные величины xz имеют равномерное распре^ деление на [0, 1]. Пусть cpn (Z) = Ееатп — характеристическая функция Тп. Тогда <р„ (/) = п Ee“*i = П U. П ЕеТ <sign(x*-V+,>l|. /=1 /=11 1 L*=i JJ После вычислений математических ожиданий придем к известной фор¬ муле Кендалла (2.13) С другой стороны, поскольку принимает лишь значения 0, 1, 2, ... / — 1, то, как было отмечено ранее, P(Tn = k) = -^-, где г,г (/?) — число решений диофантова уравнения + х2 + • • • + хп = = /г с Gj = {0, 1, 2, ..., j— 1} и Pj = j— 1. Это обстоятельство мы и положим в основу асимптотического анализа распределения ста¬ тистики Кендалла (ср. с Г471). По формуле для коэффициентов Фурье л P(Tn = k) = -±- J (2.14) —Л Подынтегральную функцию представим в удобном виде P(Tn = k) = -±- je V 4 (2.15) —Л 258
где Ш = П т /=1 2^ В области 111 < имеем разложение it V ('О2' (V о- 1 1п%(/) =-pnf/Z— 1) + L (2j) (2j)l <s_'— ’ где B-2j — число Бернулли. Коэффициенты при дают кумулянты Ху случайной величины Тп: *i = 4~ п (п — 1), х,7+1 = 0, -Ж’”'-”)- />1. Непосредственные вычисления в (2.16) показывают, что Х2 = ' I81- 4 n(n~ V(2n + 5)’ х4 = 22524- п (6n* + 15«3 + Юп2 — 31), Х“ = • "1323- 2° П (6n<i + 21п& + 21п* — 7п"' — 41), х8 = — 675\ 25 п (Юп8 + 45п7 4- 60пв — 42п4 + 20п2 - 93). Далее пишем Х2; ,2/ п (2/)1 (2.16) где хх /2 / "7> 2 (2 17) &(/)= V ь/\ А—2 v (г2*-1) k) 1 r=i ' л'2 k / , 3 , 5 ь ' J|_ ( "3 + ^'г--—"j Легко видеть, что Ьк > 0. Кроме того, поскольку V (г2/' — 1) Г=| ^п|17'+1) и п3 + -^-п2 |-п>п3 при п>2, то b < 1 f 9 V £(2*} * „*-> ( .V ) k 2/г V Г г-1 (2.19) 17* 259
для всехk 2 и п 2. Стало быть, при любом целом s> 0 в области _1_ | t | /г4 справедливо неравенство s bkek k=s (2.20) Представим функцию b (I) как (2.21) где л2 3 Очевидно, при любом k число bk может быть разложено в ряд по сте¬ пеням 1/п. При помощи (2.21) разложим ехр {—&(/)} в ряд —Так, для p|<-^-]/^ I п 11 г по степеням оо /2k ехр {-&(/)}= 1 4-£СЛ(/2) 4^. к=л п Запишем (2.15) с учетом (2.17) в виде V Х2 Р (Тп = k) = + J2 + /3, (2.22) (2.23) j2 = д_ 2 2л ! nT=S|/l=S V5T 1Л7- л ' ЧЛП<11. Поскольку в области п4 р | Ущ, функция 6(/)>0, то _ Д’ 2 (2.24) (2.25) 260
Рассмотрим J3, Прежде всего В области 0<x^y sinx^x^l = f(x). Так как производ¬ ная f (x) = 1 ту- > 0 2 в области |х| < |/”2, то /(х) достигает в этой области минимума сать в точке Л х = . Следовательно, если напи- 2 V2 C dt J (sin/f Л tl JI n то по предыдущему У _л п dt (sin t)n пп л2 \ ’ Это совместно с формулой Стирлинга позволяет написать IАI < е~^, где е д> 0 — абсолютная постоянная. Для оценки применим разложение (2.22). Сначала сделаем в замену по (2.22). Выделим г первых членов присутствующего там ряда, а интеграл от остатка оценим при помощи (2.20). Тогда 00 ( г-1 t2k 'j ri + vcjn4d/ + 0(r) = I *=l n J (2.26) A - J' ‘ — oo 1 е |/2л 261
где ОО /2 *?*(</) = е * 2 екск(?)<и. — оо Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 2.2. Пусть /г -> оо и г 1 — любое целое фиксированное число. Справедливо разложение Укажем одно обобщение статистики Тп и приведенной теоремы. Пусть Р} (х) обозначает полином с целыми коэффициентами вида Pj (х) - asixs + • • • + а1}-х + aOj, j = 1, 2, . . ., п. Определим случайную величину Ttl (Р) как Тп (Р) = Р. (Ех) + Р2 (£2) + • • • +Рп (2.28) где последовательность ^2, ...» выписана в (2.11). Поскольку Тп (Р) принимает целые значения, то вопрос о нахождении вероят¬ ности Р (Тп (Р) = k) сводится по существу к определению числа реше¬ ний диофантова уравнения Л (*1) + Pi Д2) + • • • + Рп (х2) = k (2.29) в целых числах xzgGz = (0, 1, 2, ..., i— 1}, pt = 1 — i, i = 1, 2,. .. ... , n. Положим где 1]/ = P: Теорема 2.3. Пусть n -+■ оо и / 3 — любое целое фиксированное число. Тогда справедливо асимптотическое разложение sup и BnP(Tn(P) = k) l Чуп («) ZlV/2 — /~1 = 0(n 2 ). (2.30) Доказательство примерно такое же, как доказательство соответ¬ ствующих теорем в аддитивных задачах с растущим числом слагаемых. Функции qvn (и) определены, например, в работе [73, с. 169]. Обозначим Тп = Д„ = sup I В f Тп -1 х I \ V Х2 24 л2 ) 2ли2 262
+ 4 J е Л зуг |Ai оо "Т_£ / II '"1 + Лл Отметим, что при п -> оо уп = О . Теорема 2.4. При всех п 2 справедливо неравенство (2.31) Доказательство. По неравенству Эссеена hn (6 — g 2 24 dt Д , _ , л2У 2л I х2 (2.32) t i_ где hn (/) — характеристическая функция случайной величины х2 2 (Тп — — хх). Интеграл в (2.32) запишем как лУй’г _ — Г I hn (о - g 2 1 (2.33) t при этом J Л Л л зуТ п 2 ' - 2 11 А- Оценим Поскольку Цх2,то, применяя (2.17), имеем _1_ Л о —7= 11 " •'*- У 1 л у п 2 3 У 2 263
В рассматриваемой области ь силу (2.19) Следовательно, (2.34) Функцию J2 находим по формуле (2.17), где b (t) > 0: 1 (2.35) Величину J3 оцениваем тем же методом, которым было получено (2.26): 2 ]Ас2 I In — л п! (Л ' п 2 У 2 ) + 2лДЛх2 (2.36) /1 + 2 J Из (2.32) — (2.36) следует (2.3l).v Этим же методом можно получить полное асимптотическое разложе¬ ние в виде ряда по степеням l/j/n для вероятности Р ( _Х1 ■ х неравномерной оценки в локальной предельной теореме и неравномер¬ ные оценки в интегральной предельной теореме. Остановимся подробнее на вопросе о больших уклонениях. Посколь¬ ку ранее было отмечено, что асимптотические свойства распределения статистики Кендалла можно изучать, основываясь на предельных тео¬ ремах теории суммирования независимых разнораспределенных слу¬ чайных величин, для выяснения вопроса о больших уклонениях для коэффициента корреляции Кендалла следует использовать, например, работы [73, 46], где рассматриваются задачи такого рода в общем случае. В данной конкретной ситуации требуется по существу лишь проверить условия теорем из работ [73, 46]. 264
Запишем формулу (2.10) в удобном виде п(п — 1) т = V 6у, /=2 (2.37> 2 /-1 6; = £ Sign (Г, —Г/). 1=1 Согласно теореме Терпстра случайные величины 62, 63, 6П взаимно^ независимы, причем 67- принимает каждое значение из множества {—(/— 1), — (/— 2), .... —1, 0, 1, (/ — 2), (/—1)} с вероят- ностыо 1//. Обозначим = Ед2., = V v2, Lj (г) = In Eez6i, yki = Г, /=1 L z Jz=o Можно написать и явный вид L; (z), поскольку в данной конкретной: ситуации Если X 0, X = О (]//г), то - “р Г М~тН1 [1+0 (АО ■ ,2-38)' При этом Хп(/) = V akntk — известный степенной ряд Крамера с коэф* ^=о фициентами, выражающимися через 1\п. Доказательство (2.38) см. в работах [73, 46]. Отметим, что с вероятностью единица | 8п | п— 1 и, кроме того,, при п -> оо п К In In Вп > q ГХ * Стало быть, согласно [73, с. 3581 к статистике Кендалла можно при¬ менить теорему Колмогорова о законе повторного логарифма: Р (1 ini sup I n (n — 1) T 1 2 /Г In In Bn (2.39) Можно было бы продолжить применение предельных теорем теории суммирования независимых разнораспределенных случайных величин к статистике Кендалла в случае справедливости нулевой гипотезы Но. Мы предоставляем читателю самостоятельно пройти возможный путь исследования. 265
Поскольку т является [/-статистикой, то к ней применимы резуль¬ таты и методы гл. 1. Это обстоятельство используется для оценки функ¬ ции мощности т-критерия Кендалла. Рассмотрим сейчас статистику Кендалла в случае, когда вторая вы¬ борка (У\, К2, ..., Yn) извлечена из совокупности, имеющей, вообще говоря, разрывную функцию распределения. Тогда среди рангов (Qn Q2, ..., Qn) могут быть совпадения. Далее, пусть вектор (Q15 Q2, ... ..., Qn) распадается на k групп равных чисел, причем /-я группа, j = 1, 2, ..., fe, содержит rrij наблюдений. Следовательно, 4- т2 4- + ... + mk = п, причем k и тъ т2, ..., mk — вообще говоря, случай¬ ные величины. Случай тх = т2 = ... = гпп = 1 соответствует непре¬ рывной функции распределения. В предположении, что числовой вектор (k, гщ, т2, ..., т/г) фикси¬ рован, Робиллард [197] получил производящую функцию для распре¬ деления статистики Кендалла. Аналитически вопрос о нахождении этой функции заключается в следующем. Пусть сначала тх = т2 = = ... = тп = 1. Тогда случайную величину Тп в (2.11) можно запи¬ сать как тп= s 6w = !!’<2Л0) Назовем пару (г, /) инверсией, если i < /, но > Rf. Таким образом, Тп есть число инверсий в перестановке (/?ь /?2, ...,/?/7) чисел 1, 2, ...,и. Далее, пусть (Q,, Q2, ..., QJ, Qt g [1, 2, ..., k}f есть /^-перестановка, •с возможными повторениями, в которой nij из Q чисел равны /, / = = 1, 2, ..., /г, п = ml -J- пг2 4- ... + tn^m^ m2, — фиксирован¬ ные числа. Нахождение распределения статистики т в (2.8) в случае совпадений сводится тем самым к подсчету числа инверсий указан¬ ных Q-перестановок. Производящая функция этого числа выводится из различных соображений (см., например, работу Робилларда 11971). По формуле Робилларда т„ = V sign (7?z — Rj) sign ((?,. — Qy) i<i производящая функция fn (/) имеет вид (2.41) I-' -t~i = nn <=1 /=1 1 1 1 £-1 где tii = У tn-p = 0. Если здесь положить mL = 1, nt = i — 1 для всех i и k = n, to (2.41) редуцируется к производящей функции обыч¬ ной статистики Кендалла. Поскольку 266
то кумулянты случайной величины Тп \ ! k \ = 4- (п2 — V т2], 4 \ & г <2п+з) - р£ тР р"1» + - /? \ s2/_V V S2/ , р=1 S=1 / /=1, 2,... изложенного в этом параграфе ме¬ K>j B9i I n Z_>/+1 = 0, Непосредственное применение тода позволяет доказать следующую теорему. Теорема 2.5. Пусть т = min (тх, т2, mfi) Тогда сущест¬ вуют постоянные а^О иа2>0 такие, что при всех —оо < х < оо справедливо неравенство i_ |Р(х2 2 (7’п-х1)<х)-Ф(х)|^а1е-“г':2 Д-, (2.42) где Ф (х) — стандартная формальная функция распределения. Статистика т была введена в рассмотрение несколькими авторами. Однако лишь после работ Кендалла (см., например, [51]) статистика т стала общеизвестной и по¬ лучила название рангового коэффициента корреляции Кендалла. В последующем как структура самой статистики т, так и область ее применения была обобщена и рас¬ ширена (см., например, работы [192, 205]). Асимптотическое разложение и локальная предельная теорема при гипотезе А/о доказаны Прашковой-Визковой [190]. Эти ре¬ зультаты могут быть выведены в качестве следствия общих теорем теории суммиро¬ вания независимых разнораспределенных случайных величин. Одна из таких воз¬ можностей была реализована Альберсом [99]. С точки зрения аддитивных задач с рас¬ тущим числом слагаемых распределение статистики Кендалла изучал Исматуллаев [47]. В связи с формулой (2.30) следует упомянуть работу Исраилова [30], где иссле¬ дованы более общие аддитивные задачи и указаны условия, при которых справедли¬ вы соотношения типа (2.30). 3. Коэффициент корреляции Спирмена Пусть (X,, У]), (Х2, К>), (X.,, Yn} —случайная выборка объе¬ мом п из двухмерной совокупности с непрерывной функцией распре¬ деления Н (х, у), причем маргинальные функции распределения F (х) и G (у) предполагаются также непрерывными; (Rlt Rn) — вектор рангов переменной X; (QH ..., Qn) — ранговый вектор переменной Y. Для проверки нулевой гипотезы Н(): Н (х, у) = F (х) G (у) Спирмен в 1904 г. предложил коэффициент корреляции, основанный на рангах (Rlt R,‘)f (Qb Qn) и определенный по формуле где (2.43) 267
Поскольку исходные функции распределения непрерывны, то Я = + 1), Q = Д- п (п + 1), V (£,. - Rf = , V (Q,. — Q)2 = ^-п-. 1=1 1=1 Поэтому (2.43) можно редуцировать сначала к (2.44) а затем к 6= (Я, —Q,)2. (2-45) 1=1 Пусть (Х(1), ZJ, ...» (X(n), Zn) — первоначальная выборка из двухмерного распределения, расположенная в порядке возрастания величины X. Стало быть, величины Z получаются в результате неко¬ торой перестановки величин У. Пусть/?? — рангZt среди (Z2,Z2, ...,Z,;). Тогда (2.45) выражается в терминах /?? как Р = 1 - -^ГТГ £ (Я°- о2, (2.46) 1=1 причем, очевидно, здесь вместо /??, не умаляя общности, можно писать Это дает повод часто рассматривать статистику S = V iRh (2.47) 1=1 эквивалентную р. Математическое ожидание S и дисперсия р при гипотезе Н& имеют вид ES = — п (п + I)2, о- (S) = —> > £р = 0, о2 (р) = n . Дальнейший анализ показывает, что оп4 = 3 I 12(/1-2)(и-3) ) Р п— 1 ( 25м (п - I)2 J’ £р2^+1 =0, 1. Формула (2.47) говорит о том, что коэффициент корреляции Спир¬ мена может быть использован также для проверки гипотезы однород¬ ности. В работе [361 Гаек и Шидак показали, что коэффициент корре¬ ляции Спирмена есть проекция коэффициента Кендалла на семейство линейных ранговых статистик. Другая весьма полезная с нашей точки 268
зрения связь между этими коэффициентами обнаруживается в тер¬ минах (7-статистик. Речь идет о следующем. Выразим ранги через signum-функцию как Я, = -i- S sign (*<• - = 4- £ sign - Г₽) + ос=1 Р=1 I «4-1 2 Тогда из (2.44) находим 1_р = _3_£ £ у sign (ха_хэ) sign (уа_у?) " П а=1 ₽=1 v=l ИЛИ . (п — 2) k 4- Зт 1 — Р — п+Т " (2.48) где k = n(n-ц (zt _ 2) z sign - xe) sign (r“ — rv). (2.49) причем суммирование пробегает по всем различным индексам а, [3, у, а т = n(„2_ 1) Д sign (Ха —Хр) sign (Уа —Ур) (2.50) есть коэффициент корреляции Кендалла. Выражение в правой части равенства (2.49) есть (/-статистика. Однако присутствующее там ядро sign (Ха — Хр) sign (Уа — Kv) не является симметричным. Желательно его симметризовать. Обозначим Wi = (Xb Уг), i = 1, 2, ..., /г. Через переменные величина k вы¬ ражается так- k (2.51) S где Ф(^ Ж-2, IFO = sign (XG-Xz3) sign (У,- -К,з) 4- 4- sign (XG — XJ sign (Yh — Y J 4- sign (XG — XJ sign (K-9 — Y(-3) 4- + sign (XG — XQ sign (K;2 — YQ 4- sign (KG — Yit) sign (KG — К J4- 4- sign (Xt-3 — XJ sign (Kt-3 — KJ. (2.52) Ядро Ф (Wt^ Wi^ Wia) обладает требуемой симметрией. Таким образом, из (2.48), (2.50) и (2.51) видим, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена является линейной комбинацией двух {/-статистик. Это открывает путь и дает возможности для построения асимптотической теории данной статистики, основываясь на теории {/-статистик. Такие асимптотические результаты, как оценка скорости сходимости (равномерной и неравномерной), локальная предельная теорема, асимптотические разложения, большие уклонения, рассмот¬ 269
ренные и упомянутые в гл. 1 в общей ситуации, естественно, приме¬ нимы к статистике Спирмена. Положим Дп = sup | Р — 1 р С *) — Ф (*) х где Ф (%) — стандартная нормальная функция распределения. Следуя методу В. С. Королюка и Ю. В. Боровских (см., например, работы [25„ 58]), приведем следующий результат относительно величины А,г Теорема 2.6. Если справедлива нулевая гипотеза HQ, то при п оо справедливо соотношение An = °(v).- (2.53) Доказательство. Отметим, что при гипотезе без по¬ тери общности можно считать, что маргинальные функции распреде¬ ления F (х) и G (у) являются равномерными на интервале [0, 11. Пусть х = (I, Г]). Ф 0^1, Wi) = S (*1 — Х2) S (уг — у2), S (U) = Sign (и), = Г2, 1F3)|F1 = X) + + ^уЕ(Ф(1Г1( №2)|Г1==х). Пользуясь (2.52), нетрудно проверить, что при гипотезе Но g(x) = (2g — 1)(2Л- 1). Обозначим о2 = £(72 = Д-Е^2(Г1) = 4-) S = o~'U, 6 = a-'((/-t/) = Knft_1 у У!М, \OJ где = У Г(з) = Ф (Г,„ Wit, Wl3)~ g (Wit) - g (U/J - -g(wt,). Кроме того, пусть \ = (of s (ф w- z (W‘J - & Величина тп является вырожденной (7-статистикой, дисперсия которой Е (ф ~ я (2-54> 270
В принятых обозначениях при помощи (2.54) и некоторых элемен¬ тарных вычислений получаем Д„ = sup IР (S -[ X 6 х) — Ф (х) I + О Выберем Т = е —,~п и 7\ = гп, где 8 >* 0 — некоторое достаточ- V In п но малое фиксированное число, и затем для оценки первого слагаемого^ в правой части применим известное неравенаво Эссеена. Тогда можно- утверждать, что при п -> оо т sup | Р (S 4- б х) — Ф (х) | J _ /2 фи (б — g . 2 / dt + + v f + (2.55'1’ где % (t) = Eel/{S+6} — характеристическая функция случайной ве¬ личины S + б. Рассмотрим сначала в (2.55) интеграл по области | i | Т. При< больших п выберем числа k = п — 5 [Inп] и I = linn], где [Inn] — целая часть числа In п, и пусть - Yi^- Пользуясь формулой Тейлора, запишем очевидное равенство <Р„ (/) = £e"S+!76. + ‘7(«-«.) = V /=0 Е ((6 — V?7^'761) + где | 0J ) 1. Разность (б — бг) удобно представить в виде (Sin + S2n + S3n), (2.56) '- (2.57) .- где 5>n = V £ ‘у Y (Wit, W<„ FJ; i3=A+l t2=2 j, •-I s2n = £ ‘v Y(W(„ Wlt, r,-); '•3=A’+1 t2=A+l s3„ = s s' f Y (Wlt, W{„ Wia). i\=A+l i2=A-H r, = l Прежде всего для любого j 1 имеем очевидные оценки ЕI S2n ГЧ ((Cl Inn)3)', Е\ S3n |' (С, (In п)2 п)!, где С\ и С2 — абсолютные положительные постоянные. 271
Обратимся к Sin. Запишем Sin = V "V Фщ Wiz)9 i2=2 4=1 '■где Ф1#ч> Wiz) = V Y(Wit, Wiz, Wis). ts=k+i Обозначим g\n (x) = E (Фщ (W\, W2) | W, = x, WH, . .., Wn), Ут(^ Wi2)-g[n{WiL)-gm(Wi2). Тогда Sin — U l/i + U 2n, ■где Uln = (k- 1) V gin(^); Uin = S У1П (W^ Wiz). 1^4 <4^/? Отсюда при 1 E | Sln |7' 27 (£ | Uln |7’ + E | t/2n |7’). (2.59) Для того чтобы оценить математические ожидания в правой части '(2.59), применим следующее неравенство Бикела [110]. Пусть Нг, ё2, ... ..., Н/7 — последовательность случайных величин, обладающая мар- тингальным свойством E(g,|g1( . . ., g.-,) = 0, i = 1, 2, . . ., n; Zn = V 1=1 Mn = max E ($'), /> 1. 1^1^ n Тогда для всех j n ElZ^^n'M^erf. (2.60) По неравенству (2.60) получаем E |UXn |7' < VE\U{n |27' < (C3/“ (In n) п~У, E | U2n Г < VE I U2n I2/ < (C4j~ (In n) n)1. Это совместно с (2.59) позволяет утверждать, что при всех j k Е\3Хп\*<ЛС.1~ (lnn)nT)7', (2.61) 272
где С5>>0 — некоторая абсолютная постоянная. Следовательно, в силу (2.57), (2.58), (2.61) и произвольной малости еД>0 в области (2.62) Обратимся вновь к (2.56). Математическое ожидание запишем как Е {(б _ ^ elis+il^ = [Ф Е ((6 - , (2.63) где ср (/) — характеристическая функция случайной величины g (IFJ; S — сумма независимых случайных величин, как и S, но не содер¬ жащая точно I слагаемых. Оценим ср (/). По определению = + И+- е’“5' О i W О и f ■ —1 —1 —t (2-64) Из (2.64) видим, что при всех | t I 1 |ф(0| СС6>°. (2.65) Пусть а ^0 <Za <Z —достаточно малое число. Учитывая (2.56) — "(2.58), (2.61) — (2.63) и (2.65), в области пТ +°< UI ■ >— по- У In п лучаем оценку К (01 = о(^у. (2.66) -+а Из (2.56) аналогичными рассуждениями находим в области | t \^Zn2 % (0 = [ф (уу)]' Ee‘ts+M + 10 0 (2.67) Далее определим случайную величину 6.2 так же, как и6ь однако роль k здесь будет играть число k = п — [Напомним, что при опре¬ делении k = п — [In п\. Запишем 18 4-101 273
где | 021 1. Выбирая в (2.68) Jo — р j £к -г 1> будем иметь в т +а области |I| п " I < 1Л~' Jo! (2.69) По (2.67) - (2.69) при I t | J +“ Ф,> (0 = [ф 1 £eus+il6= + + (it) [ф Е ((б - 62) e«*.+™>) + + s' тН'* (тНГ"м’£ «в - +1 ‘ I ° и • (2.70) Поскольку выполнено условие (2.65), то sup | ср (Z) | < 1 для любого достаточно малого е22>0. Отсюда по (2.70) заключаем, что в области е2 Цп ;С I i I -С п2 |ф,,(01 = (Иг|/|)0[-^). (2-71) Далее, при | t ] е2 | (р (/) | < е~(2.72) с некоторым е3 > 0. В интеграле в (2.55) сделаем замену по (2.70) и учтем все найденные оценки. Тогда у *2 f | <Рп-(^~е 2- | di = Л + Л + J3 + О (4). (2-73) где —Е2Уп е2Уи £et7S+<762 _ е 11 2 dt\ t Jz J | [<p (-Д-)у/п’’-3 e ((6 - s2) | dt-, Jо EoV" H j. —e2V n j JVH-з/ E ((g _ ^ieitsrit^ | dt _ £ 7^ /=2 274
Пользуясь (2.72), нетрудно увидеть, что (2.74) Далее рассмотрим подробно Jr. Запишем формулу Тейлора МтНГ^+М4тН]"++ Е + - [<р (^Jf;l Е (S>-) + + е. 1<1* где | Од | 1. Поскольку Еёп (W\) = J J <*П (2g - If (2n - l)m = 0 о о при любом нечетном т 1, то (2.75) (2.76) —е2Ун Рассмотрим второе слагаемое в правой части (2.75). По определе¬ нию и из соображений независимости WU7»1)+g(^i.)+8(«7/.» . .РV<i 1 2 1 — .1г.'зе ) — -4 хЕ(У^ ). (2.77) Далее E(Y^" ' ) = ^£(Г1.2.з(^(Г1)+^(Г2) + 5(Г3))) + k n + 4- (-Т-Г E <r'-2.3 (g (Wt) + g (Г2) + g (№.,))*) + o4 , (2.78) z \ J fl / n 12 причем | 04 | 1. Заметим, что равенства £/1,2,3 = 0, (2.79) £ (/1.2,3 (g (Wj) + g (^2) + g (^3))) = 0 справедливы в силу свойства вырожденности £ (/1,2,31 = 0), /=-1,2,3. 1 и*
Вычислим третье математическое ожидание в правой части (2.78)* Е (Kj.2,3 (g (U7J + g (F2) + g (Г3))2) = E (y,..2,3g= (W,)) + + E (Y^g* (№2)) + E Ы (W3)) + 2E (У,.^ (Г,) g (Г2)) + + 2E (Y}.ug (W\) g (№3)) + 2E (Y^g (F2) g(W3)). (2.80) В силу свойства вырожденности функции У|,2,з первые три слагаемых в (2.80) равны нулю. Далее, Е (Ku.3 (g 1^) g (О = Е(Ф (Wv W2, W3,) g (Wj g (Г2)) - - E (g* (Гх) g (Г2)) — E (g (U7J g* (W2)) -E(g(W1)g (W2) g (Г3)) = = Е(Ф(Г„ W2, W3)g(W,)g(W2)). Сделаем здесь замену по (2.52). Тогда получим 2Е (Ф (Г х, Г2, W3) g( W\) g (Г2)) = E (s (Xx - X2) s (Yx - Y3) x X g (Wjg (Г,)) + E (s (Xx - Xs) s (Л - Y2) g (№,) g (W2)) + + E (s (X2 - Xj) s (Y2 - Y3) g (№,) g (Г2)) + E (s (X2 - X3) s (Y2 - Ух) X X g (W\) g Ш) + E (s (X3 - XJ s (У3 - r2) g (^l) g (^2)) + + E (s (X3 - X2) s (У3 - YJ g (U7J g (№2)) = 0, поскольку каждое слагаемое в правой части при гипотезе Яо равно нулю в силу (2.76). Равенство нулю последних двух математических ожиданий в пра¬ вой части (2.80) доказывается в силу симметрии аналогичными рас¬ суждениями и выкладками. Следовательно, в силу этого и (2.76) — (2.79) имеем (2.81) где |05|^1. Очевидно, что интеграл по области |/|^е2)Аг от выражения в правой части (2.81) ведет себя как О . Аналогично доказывается, что соответствующие интегралы от последних трех слагаемых в правой части (2.75) имеют при больших 11 порядок О ~ j . Стало быть, при п -> оо Л = О(Д-) . (2.82) Далее рассмотрим второй интеграл в (2.55) по области Т J t | 7\. Оценим там характеристическую функцию <рп (/). Нетрудно проверить, что где S + б = а„ У у; i (б (х, — х,) — X,) + (2.83) /=1 ,=1 12 . „ = ЗрТ (л+ 1) ) п (п — 1) (п — 2) ’ Р,! рг—1) (л+ 2) 276
Выберем число k = [с 3 (In л)31, причем символ Га] обозначает це¬ лую часть а. Затем при помощи (2.83) представим S + 6 в виде п k S + б = а,г £ (/ — Z) (б (xz — xz) — Xj) + antn + |3,г, (2.84) 1 Л=1 где k k п п А, = S S ' (6 (X,- — Xj) — Xi) 4- S Е <(fi (xi — xi) — Xt) + j=\ i=\ /=/v + l I = H-1 + k v z(i_x.)_ 1=Л’4-1 2 С помощью (2.84) и оценок п. 2 § 2 гл. 1 получаем п 1 / k £ ху. 2 . (2.85) где 6/ w = (6 (Xj — x) — xz) — (6 (z/z — x) — z/z). Отсюда при помощи формулы Тейлора в области lt \ s^nn ' k~'2 выводим оценку I <Р„ (О I2 < Е ехр 2/4; (л —k) J (j — —+J + 1 j 5. (%)j . 3_ Следовательно, в области справедливо неравенство ехр n+2j+1 1) 6/ (*)j • (2-86) Поскольку для любой функции 0 (х) £ Ь2 (0, 1) где W (х) — броуновское движение, то (2.86) можно записать в экви¬ валентной форме k * Выражение в правой части (2.87) преобразим методом § 2 гл. 2. 3_ Тогда в результате некоторых подсчетов в области Т 1I1 е/Г- k~~2 получим оценку |Ф„(/) |2<|Т(е-' (1пО| + 0(/г-12), 277
V(/) = {—^'2it_ -b. к sin ()' 2.7) ) Таким образом, J Объединяя (2.55), (2.73), (2.82) и (2.88), приходим к (2.53). ▼ Отметим, что в силу (2.88) доказано утверждение , 1 . sup Р (Ип — 1 р < х) — Ф (х) 0! (х) = О ((In n)G п 2) (2.89) х I n I с некоторой функцией Ф1 (x). Конечно, Ф! (x) можно записать и в явном виде. Непосредственно из доказательства (2.53) видим, что при всех —оо < х < оо существуют положительные постоянные С± и С2 такие, что I Ф1 (х) I < (2.90) Объединяя методы, изложенные при доказательстве (2.53) и в п. 2 § 4 гл. 2, получаем следующую теорему. Теорема 2.7. Существуют абсолютные постоянные и а, > 0 такие, что при всех —оо < х < оо и п^ 2 справедливо неравенство | Р (У п — 1 р < х) — Ф (х) | а^е-^*2 -±- . (2.91) Отмеченные связи и зависимости между р и т обуславливают силь¬ ную их корреляцию при гипотезе 7/0. Известно [511, что коэффициент корреляции между р и т убывает от 1 (п = 2) до минимального значения 0,98 (п = 5), а затем растет до 1 (п -> оо). Даниэле изучал совместное распределение вектора (р, т) и доказал, что при гипотезе /70 он имеет предельное двухмерное нормальное распределение. Дэйвид, Кендалл и Стьюарт рассматривали коэффициент корреляции между р и т для случая, когда выборка извлечена из двухмерной нормальной сово¬ купности с коэффициентом корреляции г, и установили, что корреляция между р и т сохраняется даже тогда, когда г =/= 0. При п -> оо коэффи¬ циент корреляции р и т приблизительно равен 0,984, если | г | 0,8, и 0,937, если г = 0,9. Гефдинг рассматривал совмест ное распределение вектора (р, т) в общем случае и доказал, что этот вектор при п -+■ оо имеет двухмерное нормальное распределение, а коэффициент корре¬ ляции так зависит от исходного двухмерного распределения, что может оказаться равным нулю. Очевидно, скорость сходимости в этой тео¬ реме Гефдинга может быть изучена в рамках теории (/-статистик гл. 1. 278
4. Идея Гефдипга. Интегральные критерии Пусть (Л\, Yt), (Х2, Y2), (Х,г, Yn)— последовательность не¬ зависимых и одинаково распределенных случайных векторов с непре¬ рывной функцией распределения Н (х, у), причем (Л\, Х2, Хп) имеют непрерывную маргинальную функцию распределения F (х), (Ур Y..., Yn)— непрерывную маргинальную функцию распреде¬ ления G(y). Обозначим через Нп{х, у), Fn(x) и Gn(y) эмпирические функции распределения, определяемые как (*- */) = 4- £6 6 w = Y £6 (2-92> n j=i n j=\ 1 Д fl. x> *< 0. Пусть (/?!, R.t, . .. , Rn) — ранги величин X, (Qlt Q.,, .. . , Q„) — ранги величин Y. Тогда, очевидно, ^(ХЛ1) = У, G„(VJ = ^, k = \, 2, . . . , п. (2.93) Для данной двухмерной функции распределения Н (х, у) положим <0 (х, у) = Н (х, у) — F (х) G (у), (2.94) Д = Д(Д) = J j y)dH(x, у). (2.95) — оо —оо Отметим, что $ (х, у) ■= О для всех (х, у) тогда и только тогда, когда гипотеза Н[} истинна. Относительно $ (х, у) можно думать как о мере уклонения от Н{} в точке (х, у), а величина А представляет собой сред¬ нее значение квадрата этого уклонения. Именно эти соображения были применены Гефдипгом [159] при конструировании им следующего критерия для проверки гипотезы независимости Яо: если ¥ (xL, х2, х3) = 6 (Xj — х2) — б (хг — х3), Ф(Хр z/p ; х5, z/5) =-Г Y (Хр х2, x3)Y(x1, х4, х5)Чг(г/р у2, Уз) X X v (z/p yit у-л), то можно записать Л = У • • • У Ф (Хр г/р ... ; х5, г/5) dH (хь г/J . .. dH (х3, г/5). (2.96) —оо Критерий Гефдинга основан на статистике Y.:. ■■■■■ X*. Г,,). (2.97) где суммирование 2 осуществляется по всем «таким, что = 1, 2, ... ..., п\ aL ау, если i j, п (/г — 1) ... (/г — 4) — число членов. 279
Поэтому по (2.95) имеем Е$) — А. Стало быть, статистика «0 является несмещенной оценкой параметра А. Нетрудно видеть, что при hTQ вели¬ чина А = 0. Кроме того, определенная таким образом случайная величина <0 принадлежит к классу [/-статистик. Положим с = £ СДС.-1). 1=1 (2.98) п. Имеем (2.99) 4 = V (R. _ 1) (R. _ 2) (Q. _ 1) (Q. _ 2), 1=1 ci = s 5 - Rj) 6 (Qi - Qi), i = 1. 2, n, i=i в = S (Ri-2)(Ql-2)Ci, 1=1 Гефдинг редуцировал (2.97) к виду _ Л — 2 (и — 2) В + (п — 2) (п — 3) С п(п — 1) (п — 2) (п — 3) (п — 4) Исходя из (2.98) выразим «0 через вектор (/??, ... , Rn) с координа¬ тами Ял = где («0!, «02, •••, — вектор антирангов, т. е. перестановка, обратная по отношению к (Т?15 R2, ... , Rn): R@. =■ = = i, z = 1, 2, ... , A = £ (i—l)(t —2)(R°—2), i=l в = £ I (/?? - 1) (t - 1) 6 (R°j - 7??), /•=1 i=l c = s 6 (Ri - /??)} [x 6 (R°i - Ri) -1} • При гипотезе вектор (R°, R°2, .... Rn) распределен так же, как и вектор (/?!, R2, ... , Rn). Далее положим G (Хр У1, . . Х5, 1/5) = -gj- X Ф (%а,, Уа,', ■ ■ • Xas, Уаь), Gk (Ху, У{, ... , Хь, yk) = У • • У G (%j, i/j, х^, У/;, • • • Х5, Y5)dH(Xk+h Yk+i) ■ ■ ■ dH (Хъ, К5), k = 1, 2, .. . , 5, Ъ = J • • • J {Gk (Xlt Л; ... ; Xk, Yk) - AJ2 dll (Xt, KJ ■ • • ' • • dH (Xk, Yk). В этих обозначениях дисперсия о2 (<0) случайной величины $ вычисля¬ ется по формуле Гефдинга 280
Отсюда 251^ /га2 ($) 5г|5, lim /га2 ($) = 25i]j. Стало быть, если функция распределения Н (х, у) такова, что т^ О,, то справедлива оценка S“P IР < х) - Ф (х) | = О (-pU-j . (2.100) Это вытекает из результатов гл. 1. При гипотезе HQ гц = 0. В этом случае 2 (п2 + 5п — 32) 9п (п —1) (п — 3) (п — 4) - ’ а предельное распределение «25-статистики будет отличным от нормаль¬ ного. Пусть Р (х) есть функция распределения с характеристической: функцией <р(/) = п fl- А = 1 \ at \-тт(А) £2Л4 J где т (&) — число делителей k. Функция Р (х) была определена Геф- дингом [1591. В гл. 1,2 показано, что в предельной теореме Гефдинга скорость сходимости при п -> оо имеет порядок sup | Р (п$)п + -Г- < XI /70) — Р (х) I = О ( Д-j . (2.101) Рассмотренные рантовые статистики для проверки гипотезы неза¬ висимости могут быть отнесены к интегральному классу статистик типа (см., например, [2051) Т. = П J., (F„ (х), Gn(y), Н,,(х, y))dHn(x, у), (2.102). где Jn (-,-,•) — некоторая подходящая функция. Например, стати¬ стика Кендалла эквивалентна интегральному выражению j j Н„ (X, у) dH., (X, у), (2.103) статистика Спирмена — интегральному выражению j j F,,(x)G,,(y) dHn(x, у). (2.104) В класс (2.102) входит также ^-статистика Блюма — Кифера — Ро¬ зенблатта. (см., например, [172]), которая по существу является сред¬ неквадратическим интегральным представлением статистики Гефдин¬ га [159J: Вп = П (Н" lA - Fn (X) 6а (У)У- dHn (х, у). (2.105) Смысл этой статистики состоит в том, что в (2.94) и (2.95) вместо тео¬ ретических функций распределения берутся соответственно их несме¬ 281
щенные оценки — эмпирические функции распределения. Статистика В2 является смещенной оценкой Д (Н). Вычислим интеграл в (2.105). По Риману — Стилтьесу В;, = £ (Нп (X,., Г() - Fn (Xz) G„ (Г,))2. п 1—1 Отсюда я2. = ~ £ (£ 6 (/?,- - R,) 6 (Q, - Qi) - Ri . (2.106) .В (2.106) можно перейти к рангам (/??, Ri, ..., R„) и найти формулу • (2.ю7) Если т]! =т^ 0, то для В2п справедливо также с соогвеютвующей норми¬ ровкой соотношение (2.100). При нулевой гипотезе Но Блюм, Кифер и Розенблатт установили, что предельное распределение случайной величины пВп совпадает с распределением случайной величины В2 = J У №2 (/1( /2) dt^, (2.108) о о где W (/ь t2) — гауссово случайное поле на единичном квадрате с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией К (I, т) = (min (/D tJ — /frj (min (/2т2) — /2т2), * = (*1, У, * = (Ъ> тз) Собственные числа {Ц.} и собственные функции {efil (х, у)} интеграль¬ ного оператора с ядром К (t, т) таковы: Ч = (л2//г)~2, /, k = 1, 2, .. . , еА>/(х, у) = 2 sin (л/х) sin (л/у), /, k = 1, 2, ... Если записать процесс W (tlf t2) в виде ряда W(tlt у = V £ (Хмр ек1 (/„ 12)Хц; /=1 Л=1 и затем сделать замену в (2.108) по (2.110), то тогда В2 = V £ Iikx]k, j=\ k=[ (2.109) (2.110) (2.111) где {Xjk} —двойная последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин. Следовательно, по (2.111) характе¬ ристическая функция предельного распределения статистики В» ср (/) = П П f 1 — /=1 А = 1 \ 2/7 \ n4j'-k2 у _1_ ~2 282
Из (2.109) и (2.110) случайные величины X/* можно представить как 1 1 Х//< = ^' П е'к W dt^- (2-112) о и Компоненты статистики Гефдинга в форме вычисляли Козиол и Немек [172]. По аналогии с (2.112) они определили величины I 1 Xnjk = J J eik (0- У Wn (F~' (/,). 0-' (/.)) rf/(rf/2. и и где _ Wn (т, у) = (Нп (х, у) — Fn (х) Gn (у}). При п -> оо случайные величины X 7г сходятся по распределению к X-k, j, k ~ 1, 2, ... Поэтому при п -+■ оо в- ~ У £ ^kx?ljk. /=| /?=1 Это приближенное соотношение является аналогом точной формулы (2.111). Двой¬ ная сумма в правой части выражается через (/-статистику с ядром, зависящим от п. Кроме того, в работе [172] авторы исследовали асимптотическую эффективность по Пигмэну и Бахадуру некоторых ранговых критериев независимости. § 3. ПРОБЛЕМА СИММЕТРИИ Пусть Хь Х2, ..., Хп — независимые наблюдения над случайной величиной с непрерывной функцией распределения F (х). На основа¬ нии этих данных 1ребуется проверить нулевую шпотезу Яо о том, чти F (х) симметрична относительно нуля, т. е. H():F(—х) = 1—F (%) для всех —оо<х<оо. Гипотеза Н{} называется гипотезой симметрии. Задача проверки /70 называется проблемой симметрии. 1. Линейные статистики Обычно этот класс ранговых статистик определяется следующим образом. Расположим абсолютные значения | |, | Х2 |, ..., | Хп | ис¬ ходных величин в порядке возрастания: |X|(1,<|Xil2|< ••• <|*Г, (3.1) и пусть — номер |XJ в ряду (3. 1), Т. е. R-' — ранг | XJ. Оче- видно, что п 1 Г х >0, = Х б([хд — |х?|), /=1 6w=k *<0, Х,= sign XJ х ( i =1,2,. • • , п. Пусть (Д)/, — вектор антирангов, т. е. перестановка чисел 1, 2, ... , п обратна по отношению к (/?Г, R2••• , RT)- 283
Линейные ранговые статистики, которые применяются для проверки HOi определяются как а„ (i, sign Хг, | X |<0, R?), (3.2) i=l где я,i (•,-,-,•) — некоторая подходящая функция. Простые линейные статистики, являющиеся частным случаем (3.2), записываются как S+= v CAl(T?+)signX(, (3.3) 1=1 где С1? С2, ... , Сп — произвольные регрессионные постоянные; ап(1), ап(п)— последовательность чисел, которые называются метками. Определим случайные величины и2, ..., vn по формуле [1, если X +>0, vi = 10 в противном случае, и пусть -St = s ап (/) Vj. /=1 (3.4) В лшературе эти величины представлены в виде либо (3.4), либо St = V й,1(/?+)6(Х1.)_ (3.5) 1=1 Обозначим через (/) = Ее п характеристическую функцию случай¬ ной величины St из (3.2). Теорема 3.1. Пусть при гипотезе Н0 существует плотность [ (х) ~ = F' (г). Тогда справедливо представление Sm.r = Ё [ ехр {itan (т, — 1, | X р)) p=*r+i + ехр (/п, 1, | X Р, р)}]. Доказательство. При Яо три случайных вектора [signXJ, [RF] и (|Х|(/)) независимы в совокупности, Р (sign XJ = (4“/’ ’ 284
а вектор {|Х |(0) имеет плотность распределения п 2"п! П /(%.) 0<х1<х2< ••• <х„. /=| Подставляя эти формулы в определение срп (/) и затем применяя рас¬ суждение п. 1 § 1, приходим к (3.6). Пусть срп (/) — характеристиче¬ ская функция случайной величины ST из (3.4). Очевидно, при гипоте¬ зе /70 v2, ..., vn являются независимыми одинаково распределен¬ ными случайными величинами, причем Р (Vj = 0) = Р (Vj = 1) = -t- (в общем случае ..., не являются независимыми). Однако если зафиксировать векюр | X | = (|Х |(1), | X |(2), | X |('7)), "то у2, ... ..., vn будут независимыми, причем P(Vi= 1||Х|) = И I X |(')) /(|Х R + /(-|хр>) Таким образом п п ■it У °п(№ I 17 У an<№j <Р„(/) = £е /=’ = Е {Ее /=• Рассмотрев математические ожидания, найдем <Р,, (0 = Е HI* |(/>) + f (- I X |(!’) + Н- I X |(/)) f (I X !<'■’) + н-1 X |('>) ] | ’ (3-7) В работах Альберса [98], Альберса, Бикела и Цвета [100], рассмотрены асимпто¬ тические разложения функции мощности при контигуальных альтернативах для кри¬ териев, основанных на статистиках вида (3.’4). При этом анализировалась формула для характеристической функции ср^ (/), вполне аналогичная (3.7). Различные асимп¬ тотические свойства статистик вида (3.2) исследовались в работах Гусковой [164], Ворличковой [225]. Принцип инвариантности, закон повторного логарифма, много¬ мерную симметрию изучал Сен (см., например, [191]). 2. Критерий знаков Вилкоксона Статистика критерия знаков Вилкоксона выделяется из. (3.4) при а,г (/) = Г- St = X /Ч (3-8) ./=1 или в традиционном виде St = y^5(Xz). (3.9) /=1 Определение (3.8) позволяет при гипотезе Яо трактовать S,t как сумму независимых разнораспределенных случайных величии. С другой сторо¬ ны, из формулы (3.9) видно, что St равна сумме рангов тех случайных 285
величин X/ среди координат вектора (Хь ...» Хг1), которые по¬ ложительны. Если обозначить через сумму рангов отрицательных случайных величин, то, очевидно, е+ , _ п (п + 1) г — 2 ’ Далее пусть р 1 — любое целое фиксированное число. Положим в (3.4) а„ (j) = j”. Тогда St = X/4 (3.10) ;=i Рассмотрим некоторые вопросы аппроксимации распределения Теорема 3.2. При Нп и п —>■ оо sup I оР (S,t = fe) — ' е 2 — X Qk(y)-^r =O(n~s), (3.11) A I У 2л A = i пк где Qk(y) определены в (3.24); о2 — дисперсия St; у = а“’ (k — ESt), S>? 1 —любое целое фиксированное число. Доказательство. По формуле (3.7) 1 1=1 Отсюда Р (S+ = k) = Д- J е~“к П (• 1 +/<,Р ) dt. (3.12) —л /=1 \ / Оценим подынтегральную функцию. Имеем для этого — 2 е п (pn(t)=e2 1=’ П cos (Д . По неравенству 1 + х ех находим Тогда Поскольку то —п I фп п ( 4 \ п И .Г v cos ДД У е~' /=| \ 2 ! /=| |ф„(01< Д’(1_7л,Д (3.13) 286
где Относительно тригонометрической суммы Тп (/) в аналитической тео¬ рии чисел доказано, что для любого абсолютного постоянного а > О' и любого целого р^\ существует такое число р = (а, р) <Z 1, зависящее только от а и р, что в области | /1 4- выполнено пр z неравенство 1Л(4л/)Кр. (3.14) Таким образом, по (3.13) и (3.14) в области пР z | фп(4л/) | (3.15) Вернемся к (3.12) и разобьем область интегрирования на две: 111 и 11\ л. Для оценки интеграла по области пр пр —-^|/|<л применим (3.15) с а = \/4. В силу сказанного (3.12)- пр можно записать как л и \ пР —и Ь__1_ 2 /р) п / \ P(St = k) = ~ J е V /=' 7 П cos (Д-/р) +О nP (3.16) причем О-оценка равномерна относительно k. Известно, что при | х | < -5- ~ 02k—1 /92k n О In cos X = (- 1/ * (3-1?) Таким образом, для In <р„ (0 = S 2 /=1 .р f V / 1 \к B2k (\у »2kp\ pk 1QV 7 +^( (2/e)(2*)l ДД7 У • <3J8)1 Обозначим (22* — 1) (2/г) (2 k) I G(t) = £ (_ I/"’ B2k k—'2 и перепишем (3.18) в виде in (о = 4- п V /^1 o2-G(/), (3.19). 287
I 1 "1 О где о2 = a2 (S,T) = — У, /2р. Относительно функции G (/) отметим, что 4 /=1 G(/)i>0 при всех Z. Это обстоятельство справедливо в силу того, что (—1)/?_1В2/? > 0. Сделаем в (3.16) замену по (3.19) и перейдем к новой подынтегральной переменной t -> а-1/. В результате получим по nP /2 / t \ <уР(S,t = £) = -1— J \°'dt + <iO(е-^-р)). (3.20) .ТТО ~-^р Положим «,.<«)-4 i: г-, pw-4-y/”, п ,=1 " /=1 / \ ак (”) / \ I t>-in (22* — 1) . . Чк(п) ~ (₽(л))Л ’ ak№) ~ ( О B-k {2k)(2k)l Va(w)- Тогда функцию можно записать как Определим полиномы Pk (/) относительно t равенством “р,гсД)]-1+4р‘<'>4г- <3-2» Пользуясь тем, что G (/) 0, интеграл в (3.20.) по области А (In п) - I I “~т~ оценим как О (п~А) путем выбора достаточно пр большого фиксированного числа Д > 0. Поэтому _у Л(1ПП)2 _ity_*L_G / М op(s+ = k) = J е 2 ДД/ + 0(п-Л). (3.22) —Д'Inn) 2 _1_ Очевидно, в области | t | < А (In п)‘2 при любом целом р 2 П У (- 1)* к—р (2~к - 1) В2к (2k) (2k)C (3.23) 288
где Ci > 0 — абсолютная постоянная. Подставим (3.21) в (3.22): Д(1п/г)2 , s+9 ч = j i + i Р,т4гр<+ —А (Inn) 2 J_ Л (Inn) 2 /2 / оо Ч + 4г J ] е (/;=J+3 (О + ° —A (Inn) 2 где s 1 — любое целое фиксированное число, интеграл от остатка ряда в силу (3.23) имеет оценку О (n~~s). Поэтому окончательно можно написать oP(St = k) = —L^e +1 q (f/) > +0(n-s)> (з,24) Т 2л k=i п где °° Иу =4? f e~‘y~~Pk(t)dt, —оо что эквивалентно (3.11).v Теорема 3.3. Существует абсолютная постоянная С > 0 такая, что при всех п 2 p(st-E^ sup X (3.25) Для доказательства достаточно применить известное неравенство Эссеена и метод, приведенный при доказательстве теоремы 3.1. Теорема 3.4. При п -> оо справедливо полное асимптотическое разложение вида р( S+-ES+ ^Л_ф^+ = о (W~~), (3.26) \ ° / /^2 П гдеу¥/г (X) — определенные функции от X; s^3 — любое целое фикси¬ рованное число. Доказательство. Имеем основные формулы Р ( " о " СМ = P(St + и) = YqP (St = k), (I = £S+ b — [Ao + Hl> (al обозначает целую часть числа а. По (3.12) 1 _e-«(6+D 1 -е~‘‘ 19 4-101 289
Последующий анализ подынтегрального выражения в (3.27) ведется' методом, изложенным в доказательстве теоремы 3.1. Тьюки предложил рассматривать статистику Вилкоксона в виде s+ = V V sign (xz + х(3.28) /=1 f=l Отсюда S^~ = S1'gn (^/ + ^/) “г X sign /)• (3.29) /=i Следовательно, статистика равна с точностью до постоянного мно¬ жителя сумме двух случайных величин: (/-статистики (первое слагае¬ мое) и линейной статистики (второе слагаемое). При этом линейная, комбинация = v sign (Xj) (3.30) /=i была предложена Фишером в качестве самостоятельного критерия симметрии. Представление (3.29) дает возможность исследовать функцию мощ¬ ности критерия Вилкоксона методами теории (7-статистик. Поэтому вопросы аппроксимации функции распределения статистики при альтернативах можно рассматривать также с позиций гл. 1. Один общий класс ранговых критериев, включающий критерии знаков и Вилкок¬ сона, исследовался в работах Едена и Бенарда (см. [36]). Некоторые обобщения- имеются у Беннетта (см. [191]). Вопрос об аппроксимации точного распределения зн-а- ковой статистики Вилкоксона был рассмотрен Феллингхамом и Стокером, Клайпо- олом и Толбертом, Прашковой (см. [189]). Распределение случайной величины Зф в (3.10) с позиций аддитивных задач аналитической теории чисел изучалось в работах (47, 170]. 3. Среднеквадратнческие статистики Для проверки нулевой гипотезы Но существуют также критерии, основанные на статистиках типа Крамера — Мизеса — Смирнова (см. [156, 203]) оо W„ = n (F„(x) + F.,(—х)—l)2dFn(x), (3.31) — оо оо F,2, = /1 £ (F,’, (х) + Fn (— х) — I)2 dF„ (х), —оо где Fn (х) — обычная эмпирическая функция распределения; 2Fn (х) = = Fn (х + 0) + Fn (х — 0). При этом в выражении для R„ вместо F„(x) написано Fn (х) для того, чтобы сделать величину R2n инвариантной относительно замены вектора (Хп Х2, •••» XJ вектором (—Хр —Х2, ... ..., —.Хп), В (3.31) статистики путем непосредственного интегриро¬ вания выражаются через (Rt> Rt, •••> Rn) и (sign Хх, sign Х2, sign XJ, 290
Согласно принципу инвариантности при Но случайные величины (3.31) при п->оо сходятся по распределению к случайной величине 1 F2 = (3.32) О где со (/)— стандартный винеровский процесс на [0, 11, т. е. гауссов процесс с корреляционной функцией К (Л т) = min (Z, т). Поскольку преобразование Лапласа W2 имеет вид оо I Ее~№г = П (1 + 8(л-2 (2А — I)-2)- Re t > О, /?=! то по формуле обращения Р(Г2<Х) = 2“ х>0, (3.33) где Ф (х) — стандартная нормальная функция распределения. Срива- сан и Годно [2161 предложили статистику оо о и установили, что при гипотезе HQ где со(/) — стандартный винеровский процесс на |^о, 4"] ‘ ® (3.34) ht и /г? — числа наблюдений, попавших в [0, х] и [—х, 0] соответст¬ венно. Существует другое представление S,r Пусть Zx < Z2 < • • • < Zn — порядковые статистики вектора абсолютных значений (| Хх |, | Х21, ••• ..., | Хп |). Обозначим через Nk число отрицательных Xz, которые удовлетворяют неравенству | Xz | Zk, a Pk — число положительных Хь удовлетворяющих этому же неравенству. Тогда (3.35) Очевидно, при Яо математическое ожидание случайной величины Nk равно k/2. Поскольку Nk + Р1г = k, то (3.35) можно записать в альтернативной форме n2Sn = -L-t (Nk-Рку, (3.36) 4 k=\ 19* 291
Укажем еще одно представление для Sn. По определению Pk и со¬ отношению Zj = | X I имеем цепочку равенств Pk = £ 6(Xz)6(ZA —|XZ|) = У б(Х +)6(Z,-|X +1) = /=1 /=1 ^£б(Х +)6(Z,-Zy) = V6(X ). /=1 /=1 -Л- k Поэтому (3.37) (3.38) Положим Е/ = 2vj— 1, j = 1, 2, ..., /?. При гипотезе Но Ех, |2, ...» есть независимые одинаково распределенные случайные величины, причем P(gz = — 1) = Р [Е/ = 1} = 4-. По (3.38) запишем , <3-39' Обозначим Qn = 4S,7. Тогда в соответствии с (3.39) Qn можно пред¬ ставить в виде квадратичной формы как Qn = -k- V V у (п — max («, /)) = (Ап1]„, n„), (3.40) п i=\ /=1 l_ где An — матричный оператор; т|,7 = п 2 (^ + + • • • + L)- Сле¬ довательно, статистика Сривасана и Годно является квадратичной формой симметричной схемы Бернулли, если справедлива нулевая ги¬ потеза симметрии Hq. Это обстоятельство дает возможность изучить вопрос об аппроксимации распределения статистики Qn следующим образом. Теорема 3.5. При всех п 2 существует абсолютная постоянная С >» 0 такая, что sup | Р (Q2 < х) — Ф(х)| С~г» (3-41) X п где Ф (х) — функция распределения с характеристической функцией _ i <p(/) = (cos(/27F)) 2. (3.42) 292
Доказательство. Пусть ф„ (/) = Е ехр (z7Q^) — характеристи¬ ческая функция случайной величины Q2; со^/), со2 (/), со,г(/) — i_ независимые стандартные броуновские движения; т/? = п 2 (соД-)-!- + (02(-)+ ••• +соп(-)). Очевидно, Ф(0 = Ееи^\ (3.43) где || • || обозначает обычную норму в Ь2 (0, 1). Из (3.42) при всех | t | 1 выводим оценку | ф (/) к 2e-l'l2 . (3.44) По общему неравенству из п. 2 § 2 гл. 1 имеем min(s,/)6s£. | Ф/г (/) Г2 С Е61 Е.е р, (3.45) где 6S = £s — Es, s= 1, 2, ..., ky причем Es и £s независимы и одина¬ ково распределены по симметричной схеме Бернулли. После упрощения правой части (3.45) получаем | <р,. (/) Р < Е cos-<"-*> I-J- f (3-46) \ П i=l J для всех k = 0, 1, ..., п. Собственные числа {XJ и собственные функции {ej (х)} интеграль¬ ного оператора с ядром К (х, у) = min (х, у) имеют вид Jlt.)*> (34?) для всех j = 1, 2, ... Разложим ядро К (х, у) в ряд по (3.47): /( (X, У) = X V/ (*) е1 (3.48) /=| Заметим, что значение квадратичной формы Q„ в (3.40) по распределе¬ нию инвариантно относительно замены переменных -+ £n+i_i, i = = 1,2, ..., п. Учитывая это обстоятельство, из (3.40) и (3.48) выводим представление оо (3.49) Из (3.46) и (3.49) методом гл. 2 находим (3.50) Из (3.50) и неравенства Эссеена вытекает (3.41).т
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Боровских 10. В. Оценка скорости сходимости для критерия Андерсона — Дар¬ линга.— Теория вероятностей и мат. статистика, 1978, вып. 19, с. 28—33. 2. Боровских Ю. В. Аналитические свойства распределения критерия Крамера — Мизеса — Смирнова и его некоторых аналогов.— Тез. докл. III Сов.-яп. симпоз, по теории вероятностей (Ташкент, 27 авг.— 2 сент. 1975 г.). Ташкент : Фан, 1975, т. 1. с. 18—20. 3. Боровских 10. В. Аналитические методы исследования асимптотических свойств вероятностных распределений в случайных блужданиях, в теории критериев Кол¬ могорова — Смирнова и Крамера — Мизеса — Смирнова.— Теория вероятностей и ее применения, 1975, 20, вып. 3, с. 694—695. 4. Боровских 10. В. Асимптотический анализ в гильбертовом пространстве и неко¬ торые задачи математической статистики.— Докл. АН СССР, 1976, 228, № 3, с. 521—524. 5. Боровских 10. В. Некоторые результаты асимптотического анализа в двугранич¬ ных задачах для случайных блужданий и в теории классических непараметри¬ ческих критериев согласия.— Теория вероятностей и ее применения, 1976, 21, вып. 1, с. 217—219. 6. Боровских Ю. В. Аппроксимация распределений (/-статистик.— Докл. АН УССР, Сер. А, 1979, № 9, с. 695—698. 7. Боровских Ю. В. Неравномерные оценки в центральной предельной теореме в гильбертовом пространстве.— Лит. мат. сб., 1979, 19, № 4, с. 29—37. 8. Боровских Ю. В. Проблема аппроксимации распределений (/-статистик и функ¬ ционалов Мизеса.— Киев, 1980.— Ч. 1.— (Препринт / АН УССР. Ин-т мате¬ матики ; 80.6).— 52 с. 9. Боровских Ю. В. Проблема аппроксимации распределений (/-статистик и функ¬ ционалов Мизеса.— Киев, 1980.— Ч. 2.—(Препринт / АН УССР. Ин-т мате¬ матики ; 80.7).— 56 с. 10. Боровских 10. В. Аналитические методы гильбертова пространства в задачах не¬ параметрической статистики.— В кн.: Прикладной многомерный статистический анализ. М. : ЦЭМИ АН СССР, 1978, с. 293—295. 11. Боровских 10. В. Аппроксимация распределений (/-статистик.— Сиб. мат. журн., 1980, 21, № 5, с. 180. 12. Боровских 10. В. Аппроксимация распределений функционалов Мизеса.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1980, № 2, с. 7—9. 13. Боровских 10. В. К асимптотической теории (/-статистик.— Там же, № 11, с. 6—9. 14. Боровских Ю. В. Показательные неравномерные оценки для со2-статистик.— Там же, 1983, № 3, с. 3—7. 15. Боровских Ю. В. Асимптотические свойства распределений (/-статистик и функ¬ ционалов Мизеса.—Теория вероятностей и ее применения, 1983, 28, вып. 1, с. 186—188. 16. Боровских 10. В. Асимптотика многомерной со2-статистики.— Докл. АН УССР, Сер. А, 1982, № 5, с. 3—6. 17. Боровских Ю. В. Асимптотика оАстатистик.— Докл. АН СССР, 1982, 264, № 1, с. 14—18. 18. Боровских Ю. В. Асимптотика в центральной предельной теореме в банаховых пространствах.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, № 1, с. 3—7. 294
19. Боровских Ю. В. Асимптотика ^/-статистик и функционалов Мизеса.— Докл. АН СССР, 1983, 269, № 2, с. 265—269. 20. Боровских Ю. В. Асимптотика со2-статистики Андерсона — Дарлинга.— Теория случайн. процессов, 1983, 11, с. 9—12. 21. Боровских Ю. В. Неравномерная оценка скорости сходимости для Г-статистик.— Укр. мат. журн., 1981, 33, № 2, с. 160—166. 22. Боровских Ю. В. Аппроксимация распределений (7-статистик.— Новосибирск, 1979. — Ч. 1.— Рукопись деп. в ВИНИТИ 04.12.79, № 4111-79 Деп. .23. Боровских Ю. В. Исследования по асимптотической теории (/-статистик и нор¬ мальной аппроксимации в бесконечномерных пространствах : Автореф. дне. ... д-ра физ.-мат. наук.— Киев, 1983.— 34 с. 24. Боровских Ю. В. Асимптотика функционалов Мизеса.— Киев, 1981.— 52 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математики АН УССР; 81.46). 25. Боровских Ю. В. Аналитическая теория ранговых критериев.— Киев, 1980.— 68 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т математики АН УССР; 80.21). 26. Боровских Ю. В. Оценки характеристических функций некоторых случайных величин с применением к со2-статистикам.— Теория вероятностей и ее примене¬ ния, 1984, 29, вып. 3. 27. Боровских Ю. В. Аппроксимация вероятностных распределений в бесконечномер¬ ных пространствах.— Киев, 1983.— 56 с.— (Препринт / АН УССР. Ин-т ма¬ тематики; 83.42). 28. Боровских Ю. В. Оценка скорости сходимости в центральной предельной тео¬ реме в банаховых пространствах.— Теория вероятностей и ее применения, 1984, 29, вып. 2. 29. Боровских Ю. В. О гауссовой аппроксимации в банаховых пространствах.— Там же, вып. 4. 30. Боровских Ю. В. О нормальной аппроксимации в бесконечномерных простран¬ ствах.— Докл. АН СССР, 1984. 31. Боровских Ю. В., Рачкаускас А. Асимптотика распределений в банаховых про¬ странствах.— Лит. мат. сб., 1979, 19, № 4, с. 39—54. 32. Булдыгин В. В. Сходимость случайных элементов в топологических простран¬ ствах.— Киев : Наук, думка, 1980.— 240 с. 33. Бхаттачария Р. ГГ, Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределени¬ ем и асимптотические разложения.— М.: Наука, 1982.— 286 с. 34. Вахания Н. И. Вероятностные распределения в линейных пространствах.— Тби¬ лиси : Мецниереба, 1971.— 156 с. 35. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел.— М. : Наука, 1980. — 144 с. 36. Гаек ft., Шидак 3. Теория ранговых критериев.— М. : Наука, 1971.— 376 с. 37. Гирко В. Л. Теория случайных детерминантов.— Киев : Вищ. шк., 1980.— 368с. 38. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов.— М. : Наука, 1971.— Т. 1. 664 с. 39. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. И. Предельные распределения для сумм незави¬ симых случайных величин.— Л.; М. : Гостехиздат, 1949.—264 с. 40. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах.— М. : Мир, 1979.— 176 с. 41. Дэйвид Г. Порядковые статистики.— М. : Наука, 1979.— 336 с. 42. Залесский Б. А. Оценка точности нормальной аппроксимации в гильбертовом пространстве.— Теория вероятностей и ее применения, 1982, 27, вып. 2, с. 279— 285. 43. Залесский Б. А. К оценке скорости сходимости в центральной предельной тео¬ реме в гильбертовом пространстве.— Докл. АН СССР, 1982, 267, № 2, с. 276—279. 44. Залесский Б. А., Сазонов В. В. О близости моментов при нормальной аппрокси¬ мации в гильбертовом пространстве.— Теория вероятностей и ее применения, 1983, 28, вып. 2, с. 251—263. 45. Золотарев В. М. Вероятностные метрики.— Там же, с. 264—287. 46. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величи¬ ны.—. М. : Наука, 1965.— 524 с. 47. Ибрагимов И. А. О вероятности попадания гауссова вектора со значениями в гиль¬ бертовом пространстве в сферу малого радиуса.— Зап. науч, семинаров ЛОМИ им. В. А. Стеклова, 1979, 85, с. 75—93. 295
48. Исматуллаев Ш. А. Двумерная аддитивная задача с растущим числом слагае¬ мых.— Мат. заметки, 1975, 18, № 3, с. 19—25. 49. Исматуллаев LLL А. Асимптотические разложения в локальной теореме для коэф¬ фициента ранговой корреляции Кендалла и знаковой статистики Вилкоксона.— Докл. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1980, № 6, с. 5—7. 50. Картам, А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.— М. : Мир, 1971.— 392 с. 51. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи.— М. : Наука, 1973.— 900 с. 52. Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности.— М. : Наука, 1972.— 192 с. 53. Королюк В. С., Боровских 10. В. Характеристические функции и оценки момен¬ тов И-статистик и функционалов Мизеса.—Докл. АН УССР. Сер. А, 1984, № 11.. 54. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Аддитивные задачи аналитической теории чисел: и асимптотика распределений ранговых статистик.— Докл. АН СССР, 1980,. 251, № 3, с. 525—529. 55. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Асимптотическая аппроксимация распределе¬ ния статистики Вилкоксона.— Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1981, № 2„ с. 26—31. 56. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Асимптотические разложения для критерия Вил¬ коксона.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1979, № 10, с. 797—801. 57. Королюк В. С., Боровских Ю. В. О среднеквадратических критериях симме¬ трии.— Теория вероятностей и мат. статистика, 1981, вып. 24, с. 75—77. 58. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Аппроксимация распределения рангового коэф¬ фициента корреляции Спирмена.— Там же, вып. 25 с. 47—55. 59. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теорема Берри — Эссеена для выборок из ко¬ нечных совокупностей.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1979, № 11, с. 902—904. 60. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Аналитические проблемы асимптотики вероят¬ ностных распределений.— Киев : Наук, думка, 1981.— 240 с. 61. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Показательные неравномерные оценки для клас¬ сических ранговых статистик.— Докл. АН УССР. Сер. А, 1983, 2,. с. 12—17. 62. Кривякова Э. И., Мартынов Г. В., Тюрин 10. И. О распределении статистики. (о2 в многомерном случае.— Теория вероятностей и ее применения, 1977, 22г вып. 2, с. 415—420. 63. Малевич Т. Л., Абдалимов Б. Уточнение предельной теоремы для (/-статистик.—- Изв. АН УзССР. Сер. физ-мат. наук, 1970, № 2, с. 6—12. 64. Малевич Т. Л., Абдалимов Б. Устойчивые распределения (/-статистик.— Теория: вероятностей и ее применения, 1977, 22, вып. 2, с. 379—385. 65. Малевич Т. Л., Абдалимов Б. А. Вероятности больших уклонений для (7-статис¬ тик.— Там же, 1979, 24, вып. 1, с. 215—220. 66. Малевич Т. Л., Абдалимов Б. Об оценке уклонения распределения (/-статистики, от нормального распределения.— Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук, 1979г № 3, с. 10—13. 67. Мардиа К. Статистический анализ угловых наблюдений.— М. : Наука, 1978.— 240 с. 68. Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат.— М. : Наука, 1978.— 80 с. 69. Минк X. Перманенты.— М. : Мир, 1982.— 216 с. 70. Мирахмедов Ш. А. Асимптотическое разложение распределения выборочной сум¬ мы из конечной совокупности независимых случайных величин.— Докл. АН УзССР, 1979, № 2, с. 3—5. 71. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Оценка скорости сходимости в центральной пре¬ дельной теореме в /2 Для случая независимых координат.— В кн.: Математиче¬ ский анализ и смежные вопросы математики / Под ред. А. А. Боровкова. Ново¬ сибирск : Наука, 1978, с. 153—182. 72. Паулаускас В. И. О скорости сходимости в центральной предельной теореме в некоторых банаховых пространствах.— Теория вероятностей и ее примене¬ ния, 1976, 21, вып. 4, с. 775—791. 73. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин.—М. : Наука, 1972.— 416 с, 74. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел.— М. : Наука, 1971.— 416 с. 75. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории 296
вероятностей.— Теория вероятностей и ее применения, 1956, 1, вып. 2^ с. 177—238. 76. Прохоров /О. В., Сазонов В. В. Об оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме в бесконечномерном случае.— В кы.: Советско-японский симпозиум по теории вероятностей (Хабаровск, август 1969 г.) : Тез. докл. Новосибирск : Наука, 1969, ч. 1,_с. 223—230. 77. Садикова С. М. Некоторые неравенства для характеристических функций.—Тео¬ рия вероятностей и ее применения, 1966, 2, вып. 3, с. 500—506. 78. Садикова С. М. Двумерные аналоги неравенства Эссеена с применением к цен¬ тральной предельной теореме.— Там же, с. 369—380. 79. Сазонов В. В. Улучшение одной оценки скорости сходимости.— Там же, 1969,. 14, вып. 4, с. 667—678. 80. Сираждинов С. X., Азларов Т. А., Зупаров Т. М. Аддитивные задачи с расту¬ щим числом слагаемых.— Ташкент : Фан., 1975.— 164 с. 81. Скороход А. В. Интегрирование в гильбертовом пространстве.— М. : Наука,. 1975.— 232 с. 82. Сласпгников А.Д. Предельные теоремы для вероятностей умеренных уклоне¬ ний.— Теория вероятностей и ее применения, 1978, 23, вып. 2, с. 340—357. 83. Смирнов Н. В. О распределении со2-критерия Мизеса.— Мат. сб., 1937, 2, № 5,. с. 973—993. 84. Ронжин А. Ф. Асимптотические формулы для моментов (7-сгатистик с вырожден¬ ным-ядром.— Теория вероятностей и ее применения, 1982, 27, вып. 2, с. 47—56. 85. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения : В 2-х т.— М. : Мир, 1967.—Т. 2. 752 с. 86. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эм¬ пирических функций распределения и ее статистические применения.— Теория вероятностей и ее применения, 1962, 7, вып. 1, с. 26—60. 87. Хау Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел.— М. : Мир, 1964.— 188 с. 88. Чибисов Д. М. Асимптотическое разложение для распределения статистики, до- пускающей стохастическое разложение.— Теория вероятностей и ее примене¬ ния, 1980, 25, вып. 4, с. 745—756; 1981, 26, вып. 1, с. 13—14. 89. Чибисов Д. М. Об асимптотической мощности и эффективности критерия со2.— Докл. АН СССР, 1961,138, № 2, с. 322—325. 90. Шерваишдзе Т. Л. Неравенство для характеристической функции одного вырож¬ денного многомерного распределения.— Сообщ. АН ГССР, 1976, 74, № 2, с. 277— 280. 91. Юринский В. В. Оценки для характеристических функций некоторых вырож¬ денных многомерных распределений.— Теория вероятностей и ее применения,. 1972, 17, вып. 1, с. 99—111. 92. Юринский В. В. О погрешности нормального приближения.— Сиб. мат. журн., 1983, 24, № 6, с. 188-199. 93. Юринский В. В. Оценка погрешности нормального приближения вероятности попадания в шар.— Докл. АН СССР, 1981, 258, № 3, с. 557—558. 94. Юринский В. В. О точности нормального приближения вероятности попадания^ в шар.— Теория вероятностей и ее применения, 1982, 27, вып. 2, с. 270—278. 95 Янович Л. А. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссо¬ вым мерам.— Минск: Наука и техника, 1976.—384 с. 96. Acosta de A. Inequalities for В-valued random vectors with applications to the- strong law of large numbers.— Ann. Probab., 1981, 9, N 1, p. 157—161. 97. Araujo A., Gine E. The central limit theorem for real and Banach valued random v-ariables.— New York : Wiley, 1980.— 233 p. 98. Albers U7. Asymptotic expansions and the deficiency concept in statistics.— Am¬ sterdam, 1974.—145 p.— (Math. Centr. Tracts; vol. 58). 99. Albers W. A note on the Edgeworth expansion for the Kendall rank correlation coefficient.— Ann. Statist., 1978, 6, N 2, p. 923—925. 100. Albers W., Bikel P. J., Zwet W. R., van. Asymptotic expansions for the power of distribution free tests in the one-sample problem.— Ibid., 1976, 4, N 1, p. 108— 156. 101. Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness-of-fit»* criteria based on stochastic process.—Ann. Math. Statist., 1925, 23, N 2, p. 193—212. 297
■102. Anderson T. W. On the distribution of the two-sample Cramer — von Mises criterion.—Ibid., 1962, 33, N 4, p. 1148—1159. 103. Bahr B.t von. On the convergence of moments in the central limit theorem.—Ann. Math. Statist., 1965, 36, N 3, p. 808—818. 104. Bahr B., von. On sampling from a finite set of independent random variables.— Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1972, 24, N 2, p. 279—286. 105. Beran R. J. Asymptotic theory of a class of tests for uniformity of a circular dis¬ tribution.— Ann. Math. Statist., 1969, 40, N 4, p. 1196—1206. 106. Bergstrom H.f PuriM. L. Convergence and remainder terms in linear rank statis¬ tics.— Ann. Statist., 1977, 5, N 4, p. 671—680. 107. Bergstrom H. On asymptotic expansions of probability functions.— Skand. ak- tuarietidskr., 1951, 34, p. 1—34. 108. Bhattacharya R. N., Ghosh J. K. On the validity of the formal Edgeworth expan¬ sion.— Ann. Statist., 1978, 6, N 2, p. 434—451. 109. Bhattacharya R. N. Puri M. L. On the order of magnitude of cumulants of von Mises functionals and related statistics.— Ann. Probab., 1983, 11, № 2, p.346—354. 110. Bickel P. J. Edgeworth expansions in nonparametric statistics.— Ann. Statist., 1974, 2, N 1, p. 1—20. 111. Bickel P. J., Rosenblatt. On some globale measures of the deviations of density function estimates.— Ibid., 1973, 1, N 6, p. 1071 —1095. 112. Bickel P. J., Zwet W. R., van. Asymptotic expansions for the power of distribution free tests in the two-sample problem.— Ibid., 1978, 6, N 5, p. 937—1004. 113. Bjerve S. Error bounds for linear combinations of order statistics.—Ibid., 1977, 5, N 2, p. 357—369. .114. Bonner N., Kirschner H. P. Note on conditions for weak convergence of von Mi- ses’differentiable statistical functions.— Ibid., p. 405—407. 115. Burr E. J. Distribution of the two-sample Cramer — von Mises criterion for small equal samples.— Ann. Math. Statist., 1963, 34, N 1, p. 95—101. .116. Callaert H., Janssen P. The Berry-Esseen theorem for (/-statistics.— Ann. Sta¬ tist., 1978, 6, N 2, p. 417—421. .117. Callaert H., Janssen P., Veraverbeke N. Some asymptotic results for the distri¬ bution function of (/-statistics.— In: Proc. Second Prague Symp. on Asymptot. statist. (Hradec Kralove, 1978). Amsterdam : North-Holland, 1979, p. 135—146. 118. Callaert HJanssen P., Veraverbeke N. An Edgeworth expansion for (/-statistics.— Ann. Statist., 1980, 8, N 2, p. 299—312. 119. Callaert H., Veraverbeke N. The order of the normal approximation for a studen¬ tized (/-statistic.— Ibid., 1981, 9, N 1, p. 154—200. 120. Chan Y. K., Wierman J. On the Berry-Esseen theorem for (/-statistics.— Ann. Probab., 1977, 5, N 1, p. 136—139. 121. Chapman D. G. к comparative study of several one-seded goodness — of-fit tests.— Ann. Math. Statist., 1958, 29, N 3, p. 655—674. 122. Chattcrji S. D. An /^-convergence theorem.— Ibid., 1969, 40, N 6, p. 1068—1070. 123. Coiterill Derek S., Csorgo M. On the limiting distribution of and critical values for the multivariate Cramer-von Mises statistic.— Ann. Statist., 1982, 10, N 1, p. 233—244. 124. Cramer H. On the composition of elementary errors : Pap. 2 nd. Statistical appli¬ cations.— Skand. Aktuar. J., 1928, 11, p. 141 — 180. 125. Csorgo S. On an asymptotic expansion for the von Mises (o2-statistic.— Acta sci. math., 1976, 38, N 1/2, p. 45—67. 126. Darling D. A. Sur les theorems de Kolmogorov — Smirnov.— Теория вероят¬ ностей и ее применения, 1960, 5, вып. 4, р. 393—398. 127. Dharmadhikari S. М., Fabian V., Jogdeo К. Bounds on the moments of martin¬ gales.—Ann. Math. Statist., 1968, 39, N 6, p. 1719—1723. 128. Does R. J. M. M. Higher order asymptotics for simple linear rank statistics.— Amsterdam, 1982.— 91 p.— Math. Centr. Tracts; vol. 151. 129. Dugue D. Characteristic functions of random variables connected with Brownian motion and of the von Mises multidimensional co^.— In: Multivariate Analysis / Ed. by P. R. Krischnaiah. New York : Akad. press, 1969, vol, 2, p. 289—301. J30. Durbin J. Asymptotic distributions of some statistics based on the bivariate sample distribution function.— In: Nonparametric Techniques in Statistical 298
Inference / Ed. by M. L. Pari. Cambridge : Univ, press., 1970, p. 435— 449. 131. Durbin J., Knott M. Components of Cramer-von Mises statistics.— J. Roy. Sta¬ tist. Soc. B, 1972, 34, p. 290—307. 132. Durbin J., Knott M., Taylor С. C. Components of Cramer von Mises Statistics.— J. Statist. Soc., 1973, 37, p. 216—237. 133. DwassM. The large-sample power of rank tests in the two-samples problem.— Ann. Math. Statist., 1956, 27, N 2, p. 352—374. 134. Eagleson G. K- Orthogonal expansions and (7-statistics.— Austral. J. Statist., 1979, 21, N 2, p. 221—237. 135. Englund G. On the Coupon Collector’s Remainder Term.— Z. Wahrscheinlichkeits- theor. und verw. Geb., 1982, 60, H. 3, p. 381—391. 136. Erdos P., Renyi A. On a central limit theorem for samples from a finite popula¬ tion.— Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci., 1959, 4, N 1, p. 49—61. 137. Erdos P., Richmond B. Concerning periodicity in the asymptotic behaviour of partition functions.— J. Austral. Math. Soc., 1976, 21, N 4, p. 447—456. 138. Fraser D. A. S. Nonparametric methods in statistics.— New York : Wiley, 1957,— 380 p. 139. Gine E. M. Invariant test for uniformity on compact Riemannian manifolds based on Sobolev norms.— Ann. Statist., 1975, 3, N 5, p. 1243—1266. 140. Gotze F. Asymptotic Expansions for Bivariate von Mises Functionals.— Z. Wahrs- cheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1979, 50, H. 3, p. 333—355. 141. Gotze F. On Edgeworth expansions in Banach spaces.— Ann. Probab., 1981, 9, N 5, p. 852—859. 142. Gotze F. On the rate of convergence in the central limit theorem in Banach spa¬ ces.— Preprint. Statist. Univ. Cologne. 1981, N 68, June, p. 1—34. 143. Gotze F. Expansions for von Mises functionals.— Ibib., 1982, N 76, Dec., p. 1—43. 144. Grams W. E., Serfling R. J. Convergence rates for U-statistics and related sta¬ tistics.—Ann. Statist., ■ 1973, 1, N l,p. 153—160. 145. Gregory G. G. Large sample theory for (/-statistics and tests of fit.— Ibib., 1977, 5, N 1, p. 110—123/ 146. Groeneboom POosterhoffJ. Bahadur efficiency and probabilities of large deviati¬ ons.— Statist, neerl., 1977, 31, N 1, p. 1—24. 147. Groeneboom P., Oos'erhoff J., Ruymgaart F. H. Large deviations theorems for empirical probability measures.— Ann. Probab., 1979, 7, N 4, p. 553—586. 148. Groeneboom PShorack G. R. Large deviations of goodness of fit statistics and linear combinations of order statistics.— Ibid., 1981, 9, N 6, p. 971—987. 149. GyiresB. Linear order statistics in the case of samples with non-independent ele¬ ments.— Publ. Math., Debrecen, 1975, 22, N 1, p. 47—63. 150. Hall P. Central limit theorem for integrated square error of multivariate nonpara¬ metric density estimators.—J. Multiv. Anal., 1984, 14, № 1, p. 1 —16. 151. Hall P. On the invariance principle for (/-statistics.—Stochast. Processes and aool., 1979, 9, N 2, p. 163—174. 152. Helmers R. The order of the normal approximation for linear combinations of order statistics with smooth weigth functions.— Ann. Probab., 1977, 5, N 4, p. 940—953. 153. Helmers R. Edgeworth expansions for linear combinations of order statistics with smooth weigth functions.— Amsterdam, 1976.—34 p.— (Math. Centr. Rep.; SW 44'76). 154. Helmers R. X Berrv-Esseen theorem for linear combinations of order stati¬ stics.— Ann. Probab., 1981, 9, N 2, p. 342—347. 155. Helmers R., Zwet W. R., van. The Berry-Esseen bound for ^/-statistics.— In: Mathematical Centre Rep.: SW 75/81. Amsterdam : Math. Centrum, 1981, p. 1 —14. 156. Hill D. L., Rao P. V. Tests of symmetry based on Cramer-von Mises statistics.— Biometrika, 1977, 64, N 3, p. 489—494. 157. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution. — Ann. Math. Statist., 1948, 19, N 3, p. 293—325. 158. Hoeffdina W. The strong law of large numbers for (/-statistics.— Inst. Statist. Mimeo Ser., 1961, N 302, p. 1 — 10. 159. Holding W. A поп-parametric test of independence.— Ann. Math. Statist.. 1948, 19, N 4, p. 546—557. 299
160. Hoffmann-Jorgensen J., Pisier G. The law .of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces.— Ann. Probab., 1976, 4, N 4, p. 587—599. 161. Hoffmann-J or gensen J. Probability in Banach space.— Leet. Notes Math. B, 1977,. 598, p. 2—186. 162. Hof fmann- J or gensen J., Shepp L. A., Dudley R. M. On the lower tail of Gaussi¬ an seminorms.—Ann. Probab., 1979, 7, № 2, p. 319—342. 163. Holst L., Rao J. S. Asymptotic theory for some families of two-sample nonpara¬ metric statistics.— Sankhya. Ser. A, 1980, 42, pt 1/2, p. 19—52. 164. Huskoua M. The rate of convergence of simple linear rank statistics under hypothe¬ sis and alternatives.— Ann. Statist., 1977, 5, N 4, p. 658—670. 165. Ismaiullaev S. A., Iusvaliev H. R. Non-uniform approximation of the distribution of two-sample Wilcoxon’s statistics.— In: IV USSR—Japan symposium on probab. theory and math, statist. Tbilisi : Mecniereba, 1982, vol. 1, p. 262—263. 166. Janssen P. Berry-Esseen rates for functionals of the empirical distribution functi¬ on.— Bull. Soc. math. Belg. B, 1980, 32, N 1, p. 33—45. 167. Janssen P. Rate of convergence in the central limit theorem and in the strong law of large numbers for von Mises statistics.— Metrika, 1981, 28, N 1, p. 35—46. 168. Janson Svante. The asymptotic distribution of degenerate ^/-statistics.— Techn. Rept., 1979, N 5, p. 1 — 17. 169. Janson Svante. The asymptotic distributions of incomplete (/-statistics.— Ibid., 1980, N 5, p. 1 — 16. 170. Katai Mogyorodi J. On the number of solutions of a diophantine system.— Acta math. Acad. sci. hung., 1969, 20, N 1/2, p. 185—191. 171. Kiefer J. ^-sample analogues of the Kolmogorov — Smirnov and Cramer — Mises tests.— Ann. Math. Statist., 1959, 30, N 2, p. 420—447. 172. Koziol J. A., Nemec A. F. On a Cramer — von Mises type statistic for testing bivariate independence.— Can. J. Statist., 1979, 7, N 1, p. 43—52. 173. Koziol J. A. On a Cramer— von Mises— type Statistic for Testing Symmetry.— J. Amer. Statist. Assoc., 1980, 75, N 369, p. 161 — 167. 174. Koziol J. A. A test for bivariate symmetry based on the empirical distribution function.— Communs Statist. Theor. meth., 1979, 8, N 3, p. 207—221. 175. Kuelbs J., Kurtz T. Berry-Esseen estimates in Hilbert space and an application to the law of the interated logarithm.— Ann. Probab., 1974, 2, N 3, p. 387— 407. 176. Kallenberg W. С. M. Cramer Type Large Deviations of Simple Linear Rank sta¬ tistics.— Z. Wahrscheilichkeits — theor. und verw. Geb., 1982, 60, H. 3, p. 403— 409. 177. Lehmann E. L. Consistency and unbiasedness of certain nonparametric tests.— Ann. Math. Statist., 1951, 22, N 1, p. 165—179. 178. Lehmann E. L. Robust estimation in analysis of variance.— Jbid., 1963, 34, N 3, p. 957—966. 179. Lehmann E. L. Nonparametrics : Statistical methods Based on Ranks.— San Francisco : Holden-Day, 1975.— 457 p. 180. Lin Kuang Hsien. Convergence rate and the first exit time for (7-statistics. — Bull. Inst. Math. Acad. Cinica, 1981, 9, N 1, p. 129—143. 181. Lindeberg J. W. Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrschein- lichkeitsrechung.— Math. Z., 1922, 15, H. 3/4, S. 211—225. 182. Maag U. R. A ^-sample analogue of Watson’s 77--statisticBiometrics, 1966„ 53, N 3/4, p. 579—583. 183. Mason D. M. Asymptotic normality of linear combinations of order statistics with a smooth score function.— Ann. Statist., 1981, 9, N 4, p. 899—908. 184. Mises R., von. Vorlesungen aus dem Gebiete der angemandte Mathematik.— Leip¬ zig, Warscheinlichkeitrechnung.— 1931, Bd 1, S. 316—335. 185. Mises R., von. On the asymptotic distributions of differentiable statistical functi¬ ons.— Ann. Math. Statist., 1947, 18, N 2, p. —348. 186. Arises R., von. Mathematical theory of Probability and Statistics.— New York; London : Acad, press, 1964.— 694 p. 187. Neuhaus G. Functional Limit Theorems for (/-statistics in the Degenerate Case.— J. Multivar. Anal., 1977, 7, N 3, p. 424—439. 188. Pettitt A. N., Stephens M. A. Modified Cramer— von Mises statistics for cen¬ sored data.— Biometrika, 1976, 63, N 2, p. 291—298. 300
189. Praskova Z. Asymptotic expansion and a local limit theorem for the signed Wilcoxon statistic.— Comment, math. Univ. carolinae, 1976, 17, N 2, p. 335—344. 190. Praskova-Vizkova Z. Asymptotic expansion and a local limit theorem for a function of the Kendall rank correlation coefficient.— Ann. Statist., 1976, 4, N 3, p. 597— 606. 191. Puri M. L., Sen P. K. Nonparametric Methods in Multivariate Analysis.— New York : Wiley, 1971.— 432 p. 192. Pyke R. Asymptotic results for rank statistics.— In: Nonparametric Techniques in Statistical Inference / Ed. by M. L. Puri. Cambridge: Univ, press, 1970, p. 21—40. 193. Rao J. S. Bahadur efficiences of some tests for uniformity on the circle.— Ann. Math. Statist., 1972, 43, N 2, p. 468—479. 194. Rao J. S. Some Variants of Chi — Square for Testing Uniformity on the Circle.— Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1972, 22, N 1, p. 33—44. 195. Rhee Wan Soo. On the rate of convergence in the central limit theorem and the type of the Banach space.— Stat. Probab. Lett., 1984, 2, № 2, p. 59—62. 196. Richmond L. B. Asymptotic relations for partitions.— Trans. Amer. Math. Soc. 1976, 219, N 1, p. 381—385. 197. Robillard P., Kendall’s S. A distribution with Ties in One Ranking.— J. Amer. Statis. Assoc., 1972, 67, N 338, p. 453—455. 198. Robinson J. An asymptotic expansions for samples from a finite population.— Ann. Statist., 1978, 6, N 5, p. 1005—1011. 199. Rosenblatt M. Limit theorems associated with variants of the von Mises stati¬ stic.— Ann. Math. Stat., 1952, 23, N 4, p. 617—623. 200. Rosenblatt M. Curve estimates.— Ibid., 1971, 42, N 6, p. 1815—1842. 201. Rothman E. D. Tests of coordinate independence for a bivariate sample on a torus.— Ibid., p. 1962—1969. 202. Rothman E. Tests for uniformity of a circular distribution.— Sankhya. Ser. A, 1972, 34, N 1, p. 23—32. 203. Rothman E. D., Woodroofe -M. A Cramer — von Mises type statistic for testing Symmetry.— Ann. Math. Statist., 1972, 43, N 6, p. 2035—2038. 204. Rubin H., Vitale R. A. Asymptotic distribution of symmetric statistics.— Ann. Statist., 1980, 8, N 1, p. 165—170. 205. Ruymgaart F. H. Asymptotic theory of rank tests for independence.— Amsterdam, 1973—117 p. (Math. Centr. Tracts; vol. 43). 206. Sazonov V. V. On co2-criterion.— Sankhya. Ser. A, 1968, N 2, p. 205—209. 207. Sazonov V. V. Normal Approximation.— In: Some Recent Advances. Berlin : Springer, 1981.— 105 p.— (Leet. Notes Math. В ; vol. 879). 208. Sazonov V. V., Zalesskii B. A. On the central limit theorem in Hilbert space.— Technical report center stochast. process. Dep. statist. Univ. North Carolina, Cha¬ pel Hill, 1983, № 35, June, p. 1—32. 209. Sazonov V. V., Zalesskii B. A. On the rate of convergence of moments in the cen¬ tral limit theorem in Hilbert space.—Leet. Notes Math., 1983, 1021, p. 561—575. 210. Sen P. K. On ^-convergence of (/-statistics.— Ann. Inst. Stat. Math., 1974, 26, N 1, p. 55—60. 211. SerfllngR. J. Approximation Theorems of Mathematical statistics.— New York : Wiley, 1980.— 371 p, 212. Shorack G. R. Functions of order statistics.— Ann. Math. Statist., 1972, 43, N 2, p. 412—427. 213. Smirnov N. V. Sur la distribution de co2.— C. r. Acad. sci. C, 1936, 202, p. 449—452. 214. Smith R. A. On the rates of convergence in Distribution of First Order Stationary statistics and von Mises Statistics.— Inst. Statist. Mimeo Ser., 1981, N 1348, 'p. 1 — 15. 215. Spruole R. N. Asymptotic properties of (/-statistics.— Trans. Amer. Math. Soc., 1974, 199, N 1, p. 55—64. 216. Srivasan R., Godio L. B. A Cramer-von Mises type statistic for testing symme¬ try.— Biometrika, 1974, 6, N 1, p. 196—198. 217. Stephens Л4. A. Components of goodness — of-fit statistics.— Ann. Inst. H. Poin¬ care B., 1974, 10, N 1, p. 37—54. 301
218. Stigler S. M. Linear functions of order statistics with smooth weight functions.— Ann. Statist., 1974, 2, N 4, p. 676—693. 219. Sugiura N. Multisample and multivariate nonparametric test based on ^/-sta¬ tistics and theor asymptotic efficiens.— Osaka J. Math., 1965, 2, N 2, p. 385—426. 220. Terpstra T. J. The asymptotic normality and consistency of Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking.— Proc. Kon. Neder. Akad. Wet. Ser. A, 1952, 55, N 3, p. 327—333. 221. Trotier H. F. An elementary proof of the central limit theorem.— Arch, math., Basel, 1959, 10, N 2, p. 226—234. 222. Vandemaele M. On large deviation probabilities for (/-statistics.— Теория вероят¬ ностей и ее применения, 1982, 27, вып. 3, р. 573—574. 223. Vandemaele М., Veraverbeke N. Cramer type large deviations for linear combina¬ tions of order statistics.— Ann. Probab., 1982, 10, N 2, p. 423—434. 224. Viollaz A. J. Asymptotic distribution of L2 norms of the deviations of density function estimates.— Ann. Statist., 1980, 8, N 2, p. 322—346. 225. Vorlickova D. Asymptotic properties of rank tests under discrete distributions.— Z. Wahrscheinlichkeitstheor. und verw. Geb., 1970, 14, N 2, p. 275—289. 226. Weber N. C. Rates of convergence of (/-statistics with varying kernels.— Bull. Austral. Math. Soc., 1980, 21, N 1, p. 1—5. 227. Wertz W., Schneider B. Statistical density estimation: A bibliography.— lot. Statist Rev., 1979, 47, p. 155—175. 228. Wet de T., Venter J. H. Asymptotic distributions for quadratic forms with app¬ lications to tests of fit.— Ann. Statist., 1973, 1, N 2, p. 380—387. 229. Woodworth G. G. Large deviations and Bahadur efficiency of linear rank statis¬ tics.— Ann. Math. Statist., 1970, 41, N 1, p. 251—283. 230. Yurinskii V.V. Exponential Inequalities for Sums of Random Vectors.— J. Mul- tivar. Anal., 1976, 6, N 4, p. 473—499. 231. Zuijlen M. C. A., van. Empirical Distributions and Rank Statistics.— Amster¬ dam, 1976.— 94 p.— (Math. Centr. Tracts; Vol. 79). 232. Zwet W. R., van. Asymptotic expansions for the distribution functions of linear combinations of order statistics.— In: Statistical Decision Theory and Related Topics. New York : Acad, press, 1977, vol. 2, p. 421—438.
Владимир Семенович Королюк Юрий Васильевич Боровских АСИМПТОТ И Ч ЕСКИ И АН АЛ ИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИК Утверждено к печати ученым советом Института математики АН УССР Редактор Д. И. Попович Художественный редактор И. П. АнтонюП Технический редактор В. А. Краснова Корректоры М. Т. Кравчук, С. Е. Ноткина, Л. Г. Бузиашвили Информ, бланк № 6575 Сдано в набор 02.01.84. Подп. в печ. 03.08.84, ВФ 26467. Формат 60х90/1о. Бум. тип. № 1‘. Лит. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л. 19,0. Усл. кр.-отт. 19,0. Уч.-изд. л. 20,06. Тираж 1550 экз-г- Заказ 4—101 Цена 3 р. 30 к. Издательство «Наукова думка». 252601 Киев 4, ул. Репина, 3. Изготовлено Нестеровской городской типографией, г. Нестеров, Львовской обл., ул. Горького, 8, с матриц Головного предприятия РПО «Полиграфкнига». 252057 Киев-57. Довженко, 3. Зак. 3741.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКОВА ДУМКА» В 1985 г. ВЫЙДЕТ В СВЕТ КНИГА: Лучка А. Ю., Лучка Т. В. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. 12 л. 2 р. В монографии освещены становление и развитие прямых мето¬ дов решения задач математической физики. Основное внимание уде¬ ляется вариационным и проекционным методам (Ритца, Бубнова — Галсркина, наименьших квадратов, моментов Крылова, Канторовича, коллокации). Показаны главные этапы эволюции этих методов, ос¬ вещена роль их основоположников в создании теории прямых ме¬ тодов. Рассмотрены основные достижения и современные направле¬ ния развития теории вариационных и проекционных методов, вклад советских ученых в создание общей теории приближенных методов. Для специалистов, интересующихся теорией, применениями и и историей развития прямых методов. Предварительные заказы на эту книгу принимают все магазины книготоргов, магазины «Книга — почтой» и «Академкнига». Просим пользоваться услугами магазинов — опорных пунктов из¬ дательства: Дома книги — магазина № 200 (340048, Донецк-48, ул. Артема, 147а), магазина «Книжный мир» (310003, Харьков-3, пл. Советской Украины, 2;2), магазина научно-технической книги № 19 (290006, Львов-6, пл. Рынок, 10), магазина «Техническая кни¬ га» (270001, Одесса-1, ул. Ленина, 17) и магазина издательства «Наукова думка» (252001, Киев-1, ул. Кирова, 4). Магазины во Львове и Киеве высылают книги иногородним за¬ казчикам наложенным платежом.