В. И. Богачев, О. Г. Смолянов
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС
R&C
^tftUUkiCA’
Москва ♦ Ижевск
2009

УДК 519.2, 517.5
Интернет-магазин
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru
технологии
Богачев В. И., Смолянов О. Г.
Действительный и функциональный анализ: университетский
КУРС* ~~ М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динами¬
ка», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.
Книга содержит стандартный университетский курс действитель¬
ного и функционального анализа, рассчитанный на три семестра
и включающий весь дополнительный материал по функциональному
анализу и теории функций действительного переменного, входящий
в программу кандидатского минимума по специальности «Математиче¬
ский анализ». Кроме того, в нескольких десятках разделов, набранных
более мелким шрифтом, представлена обширная коллекция ярких и ин¬
тересных фактов из разных разделов теории функций и функциональ¬
ного анализа — как классических, так и современных. Все основные
результаты и понятия проиллюстрированы большим числом примеров.
Имеется более 500 упражнений. По всем разделам даны библиографи¬
ческие указания, призванные помочь дальнейшему профессионально¬
му совершенствованию читателя в теории функций и функциональном
анализе и познакомить его с последними достижениями.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов физико-математи¬
ческих, инженерно-математических и экономических специальностей,
а также на широкий круг научных работников в теоретических и при¬
кладных областях математики.
Библ. 606.
ISBN 978-5-93972-742-6
© В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, 2009
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2009
http://shop.rcd.ru
http: //ics.org.ru

Оглавление
Предисловие	9
Глава 1.	Метрические и топологические	пространства	13
1.1.	Элементы теории множеств	13
1.2.	Метрические пространства	17
1.3.	Непрерывные отображения	25
1.4.	Принцип сжимающих отображений	28
1.5.	Теорема Бэра о категории	31
1.6.	Топологические пространства	33
1.7.	Компактные множества и их свойства	38
1.8.	Критерии компактности	43
1.9.	Дополнения и задачи	46
Направленности в топологических пространствах (46).
Теорема Тихонова (49). Счетная и секвенциальная
компактность (50). Функциональная отделимость
множеств (53). Теорема Стоуна-Вейерштрасса (59).
Канторовское множество (62). Задачи (63).
Глава 2. Основы теории меры	69
2.1.	Вводные замечания	69
2.2.	Алгебры и ст-алгебры	71
2.3.	Аддитивность и счетная аддитивность	78
2.4.	Внешняя мера и лебеговское продолжение мер 85
2.5.	Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса	95
2.6.	Знакопеременные меры	103
2.7.	Дополнения и задачи	106
Измеримость Каратеодори и продолжения мер (106).
Задачи (111).
Глава 3. Интеграл Лебега
3.1.	Измеримые функций
115
115

4
Оглавление
3.2.	Сходимость по мере и почти всюду	122
3.3.	Конструкция интеграла Лебега	128
3.4.	Предельный переход под знаком интеграла	135
3.5.	Пространство L1	140
3.6.	Признаки интегрируемости	142
3.7.	Связь с интегралом Римана	145
3.8.	Неравенства Гёльдера и Минковского	147
3.9.	Теорема Радона-Никодима	151
3.10.	Произведение пространств с мерами	155
3.11.	Теорема Фубини	158
3.12.	Дополнения и задачи	166
Критерий интегрируемости по Риману (166). Образ
меры при отображении (167). Равномерная
интегрируемость (169). Лифтинги (173). Задачи (174).
Глава 4.	Связь интеграла и производной	179
4.1.	Дифференцируемые функции	179
4.2.	Функции ограниченной вариации	182
4.3.	Абсолютно непрерывные функции	188
4.4.	Формула Ньютона-Лейбница	193
4.5.	Дополнения и задачи	198
Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (198).
Сходимость рядов Фурье (199). Задачи (209).
Глава 5.	Нормированные и евклидовы пространства	211
5.1.	Нормированные пространства	211
5.2.	Примеры	216
5.3.	Шары в нормированных пространствах	219
5.4.	Ортонорм1фованные системы, базисы и	проекции 221
5.5.	Выпуклые множества и теорема Шаудера	229
5.6.	Дополнения и задачи	234
Шары и эллипсоиды (234). Теоремы Кадеца
и Милютина (235). Упорядоченные векторные
пространства и векторные решетки (236). Задачи (239).
Глава 6.	Линейные операторы и функционалы	245
6.1.	Норма и непрерывность оператора	245
6.2.	Теорема о замкнутом графике	253
6.3.	Теорема Хана-Банаха	258
6.4.	Применения теоремы Хана-Банаха	264
6.5.	Сопряженные к конкретным пространствам	270
6.6.	Слабая и *-слабая топологии	277
6.7.	Компактность в *-слабой топологии	283
6.8.	Сопряженные и самосопряженные операторы 287
6.9.	Компактные операторы	292

Оглавление
5
6.10.	Дополнения и задачи	299
Образы операторов и факторизация (299). Слабая
компактность в банаховых пространствах (302). Свойство
Банаха-Сакса и равномерная выпуклость (312). Базисы,
аппроксимации и дополнения (314). Операторы на
упорядоченных векторных пространствах (321).
Векторное интегрирование (328). Интеграл Даниэля (332).
Интерполяционные теоремы (339). Задачи (340).
Глава 7.	Спектральная теория	355
7.1.	Спектр оператора	355
7.2.	Квадратичная форма и спектр
самосопряженного оператора	362
7.3.	Спектр компактного оператора	366
7.4.	Альтернатива Фредгольма	368
7.5.	Теорема Гильберта-Шмидта	374
7.6.	Унитарные операторы	377
7.7.	Непрерывные функции от самосопряженных
операторов	380
7.8.	Функциональная модель	385
7.9.	Проекторы и проекторнозначные меры	393
7.10.	Дополнения и задачи	400
Структура спектра (400). Коммутирующие
самосопряженные операторы (403). Образы операторов
в гильбертовом пространстве (408). Операторы
Гильберта-Шмидта и ядерные операторы (412).
Интегральные операторы и теорема Мерсера (427).
Тензорные произведения (430). Фредгольмовы
операторы (431). Векторная форма спектральной
теоремы (435). Инвариантные подпространства (437).
Задачи (438).
Глава 8. Локально выпуклые пространства и обобщенные
функции	447
8.1.	Локально выпуклые пространства	447
8.2.	Линейные отображения	454
8.3.	Отделение выпуклых множеств	459
8.4.	Обобщенные функции	465
8.5.	Производная обобщенной функции	469
8.6.	Дополнения и задачи	473
Метризуемость и нормируемость (473). Топология
Макки (476). Индуктивные и проективные пределы (479).
Бочечные и борнологические пространства (480).
Банаховы пространства, порожденные функционалами
Минковского (481). Теорема Крейна-Мильмана (488).
Теорема об измеримом графике (490). Задачи (490).

6
Оглавление
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева 495
9.1.	Преобразование Фурье в L1	495
9.2.	Преобразование Фурье в L2	502
9.3.	Преобразование Фурье в S'	504
9.4.	Свертка	507
9.5.	Спектр преобразования Фурье и свертки	511
9.6.	Преобразование Лапласа	514
9.7.	Применения к дифференциальным уравнениям 516
9.8.	Пространства Соболева Wp,k	521
9.9.	Описание W2,k через преобразование Фурье	526
9.10.	Дополнения и задачи	527
Сингулярные интегралы (527). Теоремы вложения (531).
Теоремы Бохнера и Пэли-Винера (534). Задачи (535).
Глава 10.	Неограниченные операторы и теория полугрупп 539
10.1.	Графики и сопряженные	539
10.2.	Симметричные и самосопряженные
операторы	545
10.3.	Спектральная теорема	549
10.4.	Унитарные инварианты самосопряженных
оператфов	552
10.5.	Полугруппы операторов	561
10.6.	Генераторы полугрупп	568
10.7.	Дополнения и задачи	575
Расширения симметричных операторов (575).
Полуограниченные формы и операторы (582). Теоремы
Чернова и Троттера (586). Математическая модель
квантовой механики (588). Задачи (596).
Глава 11.	Банаховы алгебры	599
11.1.	Основные определения	599
11.2.	Идеалы	605
11.3.	Спектры	607
11.4.	Функциональное исчисление	613
11.5.	Коммутативные банаховы алгебры	616
11.6.	Структура С*-алгебр	623
11.7.	Дополнения и задачи	628
Алгебры С (К) и L°° (628). Алгебры фон Неймана (630).
Задачи (631).
Глава 12.	Бесконечномерный анализ	633
12.1.	Дифференцируемость и производные	633
12.2.	Свойства дифференцируемых отображений	641

Оглавление
7
12.3.	Обратные и неявные функции	647
12.4.	Производные высших порядков	654
12.5.	Дополнения и задачи	658
Метод Ньютона (658). Полилинейные отображения (659).
Субдифференциалы и монотонные отображения (663).
Приближения в банаховых пространствах (665).
Накрывающие отображения (666). Задачи (668).
Комментарии	671
Литература	685
Предметный указатель	711

Предисловие
Итак, увидел я, что нет ничего лучше,
как наслаждаться человеку делами свои¬
ми: потому что это — доля его.
Экклесиаст.
Эта книга — обработанные и существенно расширенные
записи лекций по курсу действительного и функционального
анализа, который авторы многие годы читают на механико¬
математическом факультете Московского государственного уни¬
верситета им. М.В. Ломоносова. Курс функционального анализа
под названием «Анализ-Ш» был введен на мехмате в 40-х го¬
дах по инициативе А.Н. Колмогорова, который стал и первым
лектором вместе с С.В. Фоминым, читавшим этот же курс на
физическом факультете. Несколько лет спустя появился клас¬
сический учебник Колмогорова и Фомина, остающийся лучшим
университетским учебником и поныне. Впоследствии курс чита¬
ли И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов и другие известные специалисты.
Анализ-III вобрал в себя читавшиеся прежде отдельные курсы те¬
ории функций действительного переменного, интегральных урав¬
нений, а также элементы вариационного исчисления. В настоящее
время на мехмате действительный анализ (точнее говоря, инте¬
грал Лебега) и вариационное исчисление (оптимальное управле¬
ние) опять стали отдельными предметами (правда, существуют
и университетские программы функционального анализа, вклю¬
чающие интеграл Лебега). С другой стороны, в курс функцио¬
нального анализа вошли спектральная теория самосопряженных
операторов и элементы теории пространств Соболева. Поэтому

10
Предисловие
актуальным стало и появление учебного пособия, учитывающего
произошедшие изменения. На русском языке есть очень хорошие
книги по данному предмету как учебного характера, например,
Колмогоров, Фомин [105], Люстерник, Соболев [140], Рудин [188]
и другие, перечисленные в библиографических комментариях,
так и фундаментальные монографии справочного характера, на¬
пример, Данфорд, Шварц [68], Эдвардс [243], Канторович, Аки¬
лов [91], но они либо не полностью охватывают программу, либо,
наоборот, содержат очень много дополнительного материала, не
отделенного от обязательного минимума, и по своему замыслу
и стилю являются скорее не учебными пособиями, а курсами по¬
вышения квалификации для уже знакомых с предметом читате¬
лей. Цель нашей книги — дать современное изложение всех све¬
дений из функционального анализа, включаемых в обязательный
трехсеместровый курс (с учетом действительного анализа) и ис¬
пользуемых в учебных курсах уравнений с частными производ¬
ными, оптимального управления, теории случайных процессов,
а также сведений, необходимых для сдачи аспирантского экзаме¬
на по программе ВАК (кандидатского минимума). В книге три
уровня изложения, рассчитанные на разные категории читателей:
1)	стандартный курс, принятый на математических и физических
факультетах отечественных университетов; это менее половины
всего объема книги; соответствующий материал занимает основ¬
ную часть набранных крупным шрифтом параграфов глав 1-9,
а также примерно половину задач; 2) дополнительный материал
для аспирантов, сдающих кандидатский минимум по программе
ВАК; он включает основные параграфы глав 10 и 12 и неболь¬
шое число отдельных разделов из дополнительного материала
других глав (все дополнительные разделы набраны более мелким
шрифтом), а также некоторые задачи; 3) наконец, более специ¬
альные сведения, не входящие в перечисленные программы, но
имеющие несомненный общий интерес и заслуживающие внима¬
ния при углубленном знакомстве с предметом (соответствующий
материал помещен в разделах «Дополнения и задачи» всех глав).
Подчеркнем, что обязательный материал, относящийся к 1) и 2),
занимает менее 300 страниц книги, т.е. несколько менее половины
всего объема (этот материал соответствует примерно 100 лекци¬
онным академическим часам, а за час можно изложить в среднем
2-3 страницы книжного текста).
Пока нет учебного пособия для широкого пользователя, ко¬
торое бы полностью охватывало весь необходимый материал

Предисловие
11
по действительному и функциональному анализу для студентов
и аспирантов. Нашим намерением восполнить этот пробел объяс¬
няется и название предлагаемого пособия. Конечно, как указано
в пункте 3), мы тоже выходим за формальные рамки програм¬
мы и приводим различные дополнительные полезные и интерес¬
ные факты, которые либо демонстрируют связи этого предмета
с другими областями и приложениями, либо относятся к класси¬
ке функционального анализа и допускают при этом экономное
изложение (например, приведены с доказательствами теоремы
Эберлейна-Шмульяна и Крейна-Мильмана). Однако все такие
факты помещены в разделы, набранные более мелким шрифтом,
и могут быть пропущены при первом чтении. Кроме того, эти до¬
полнения не используются в основной части книги и независимы
друг от друга. Естественно, некоторые вопросы изложены в пе¬
речисленных выше справочных книгах полнее. Как явствует из
сказанного, мы и не ставили перед собой цели создания всеобъ¬
емлющего трактата. В библиографических комментариях даны
указания для дальнейшего чтения по многим классическим и со¬
временным направлениям, что вместе с дополнительными разде¬
лами сделает книгу полезной и для продвинутого пользователя.
В приложении приведены типовые программы трех экзаменов по
семестровым курсам и программа кандидатского минимума по
функциональному анализу и теории функций действительного
переменного (последняя была принята много лет назад и по на¬
шему мнению в настоящее время нуждается в редактировании).
К каждой главе дана подборка простых упражнений (отмечен¬
ных значком °), которые можно использовать на зачетах и для
самоконтроля, а также ряд более сложных задач, рассчитанных
на более сильных студентов. Задачи такого рода мы иногда пред¬
лагаем на досрочных экзаменах или на аспирантских экзаменах,
когда уровень подготовки отвечающего позволяет надеяться на
успешное решение. Мы старались избегать чрезмерно трудных
задач, предпочитая сообщать некоторые полезные факты без до¬
казательства со ссылкой на литературу (небольшое число очень
трудных задач отмечено значком *). Некоторые задачи, приве¬
денные с решениями или указаниями на литературу, можно рас¬
сматривать просто как теоремы, перенесенные в задачи для эко¬
номии места.
Завершает книгу подробный предметный указатель, в начале
которого помещен список обозначений, упорядоченных по первой
букве названия согласно латинскому алфавиту, за исключением

12
Предисловие
символов, начинающихся с математических знаков. Термины, со¬
держащие несколько слов, обычно приведены в указателе по всем
значащим словам. Например, термин «банахово пространство»
дан еще и как «пространство банахово».
Параграфы нумеруются в пределах каждой главы, причем
номеру параграфа предшествует номер главы; например, второй
параграф третьей главы указывается как §3.2. Для утверждений
и формул используется тройная нумерация: номер главы, номер
параграфа, номер утверждения (причем утверждения нумеруют¬
ся подряд в пределах данного параграфа независимо от их типа,
а их номера стоят перед наименованиями утверждений). Напри¬
мер, ссылка на определение 1.2.5 отсылает читателя к §1.2 гла¬
вы 1, где находится «1.2.5. Определение». Следующий за этим
определением пример оформлен как «1.2.6. Пример». При такой
системе цифра 6 не означает, разумеется, что это шестой при¬
мер в данном параграфе, а указывает лишь общий порядковый
номер в ряду выделенных утверждений параграфа. Аналогично
устроенные номера формул заключены в круглые скобки.
Мы благодарим наших коллег, аспирантов и студентов за
высказанные замечания по тексту книги; особенно мы призна¬
тельны Е.А. Алехно, проделавшему большую редакторскую ра¬
боту, а также М.Д. Авдеевой, А.В. Арутюнову, П.А. Бородину,
А.В. Горшкову, А.В. Королеву, Е.П. Круговой, А.А. Липчюсу,
О.В. Пугачеву, Н.А. Толмачеву, А.Я. Хелемскому, А.В. Шапош¬
никову, С.В. Шапошникову.

Глава 1
Метрические и топологические
пространства
В этой главе рассматриваются важнейшие понятия совре¬
менного анализа — метрические и топологические пространства.
Основную часть главы занимают определения и примеры (веро¬
ятно, уже знакомые читателю из курса анализа), кроме того, при¬
ведены необходимые для дальнейшего сведения о компактных
пространствах.
1.1.	Элементы теории множеств
Мы будем считать известными простейшие теоретико-множе¬
ственные понятия и факты, но здесь мы напомним некоторые из
них для удобства последующих ссылок. Важнейшую роль в функ¬
циональном анализе играют неопределяемые понятия множества
и отображения. Отображение / множества X в множество У
(обозначение: f:X—>Y) называется инъективным или инъек¬
цией, если f(x) ф f(y) при х ф у. Отображение / называется
сюръективным или сюръекцией, если f(X) = У, т.е. для всяко¬
го у Е Y есть х Е X с f(x) = у. Если / инъективно и сюръ¬
ективно, то / называется биекцией или взаимно однозначным
отображением. Через /-1(у) обозначается полный прообраз у,
т.е. /-1(у) := {х € X: f(x) = у}. Полный прообраз множества
Е С У есть /_1(Е) {х Е X: f(x) Е Е}. Для всякого А С X
множество /(А) := {f(x): х Е А} называется образом А при
отображении /. Сужение отображения / на подмножество Е С X
обозначается через /| е-
Декартовым произведением непустых множеств X и У назы¬
вается совокупность XxY всех пар вида (ж, у), где х Е X и у Е У.
Декартово произведение любого числа непустых множеств Xt,

14
Глава 1. Метрические и топологические пространства
где индекс t пробегает некоторое непустое множество Т, опре¬
деляется как совокупность всех наборов {xt]teT с х% Е Xf. Оно
обозначается через
Множества натуральных, целых, рациональных и действи¬
тельных чисел обозначаются соответственно через IN, Z, Q и И1.
Символ JRn обозначает n-мерное координатное пространство.
Ниже используются два теоретико-множественных понятия:
отношение эквивалентности и отношение частичного порядка.
Пусть выделено некоторое множество TZ пар элементов из
множества X, т.е. подмножество 1Z С ХхХ. Говорят, что 1Z зада¬
ет на множестве X отношение эквивалентности, и пишут х ~ у
при (х, у) Е TZ, если выполнены следующие условия:
(i)	х rsj х для всех х Е X,
(И) если х ~ у, то у ~ х,
(iii)	если х ~ у и у ~ 2, то х ~ z.
Читатель без труда убедится на простых примерах, что эти
три условия независимы.
Отношение эквивалентности разбивает X на непересекающи-
еся классы эквивалентности, состоящие из попарно эквивалент¬
ных элементов. Например, если х ~ у только при х = у, то каж¬
дый класс состоит ровно из одного элемента; если, наоборот, все
элементы эквивалентны, то получится лишь один класс эквива¬
лентности. Еще пример: пусть х ~ у для х,у Е IR1, если х — уЕ Q.
Тогда классы эквивалентности счетны. Часто бывает полезно вы¬
брать по представителю в каждом классе эквивалентности. Ока¬
зывается, что для осуществления этого на первый взгляд совер¬
шенно невинного желания нужна специальная аксиома.
Аксиома выбора. Если дана совокупность непустых попар¬
но непересекающихся множеств, то существует множество,
содержащее ровно по одному элементу из каждого из этих мно¬
жеств.
Использование этой аксиомы существенно для многих вопро¬
сов функционального анализа, а без этой аксиомы хотя бы для
счетных совокупностей мало что останется от непрерывной ма¬
тематики вообще. Тем не менее, полезно помнить, что это дей¬
ствительно аксиома, не вытекающая из основных положений так
называемой наивной теории множеств.
Говорят, что на множестве X задано отношение частичного
порядка или частичный порядок, если выделена некоторая сово¬
купность V пар (х, у) Е ХхХ, для которых пишут х ^ у, причем

1.1. Элементы теории множеств
15
(i)	х < ху (ii) если х ^ у и у ^ z, то х ^ z. Если х ^ у, то пишут
также у ^ х. Отметим, что мы не включаем равенство х = у при
х^уиу^хв отличие от ряда других учебников.
При этом не требуется, чтобы все элементы были попарно
сравнимы. Например, на IR2 можно ввести такой частичный по-
рядок: х = (XI,х2) < у = (уъЫ, ec™ xi < У1 и х2 ^ уг-
Если же все элементы X оказались попарно сравнимы, то X
называется линейно упорядоченным. Например, прямая с обыч¬
ным порядком линейно упорядочена, а указанный выше покоор¬
динатный порядок на плоскости не является линейным. Однако
на плоскости можно ввести естественный линейный порядок: так
называемый лексикографический порядок, при котором х < у, ес¬
ли Либо Х\ <J/1, Либо Х\ = J/1 И Х2 ^ 2/2*
В частично упорядоченном множестве некоторые части мо¬
гут оказаться линейно упорядоченными. Такие части называют
цепями. Например, вещественная прямая как часть плоскости
с покоординатным порядком является цепью.
Если X — частично упорядоченное множество и М С X,
то элемент /х £ X называется мажорантой множества М, ес¬
ли т < /х для всех т £ М. Если т — такая мажоранта М, что
га ^ га для всякой другой мажоранты га множества М, то m на¬
зывается точной верхней гранью М. Элемент т € X называется
максимальным, если нет такого элемента га7 £ X, что m ^ га7.
При этом не требуется, чтобы все элементы X были меньше т.
Например, если х ^ у лишь при ж = у, то каждый элемент мак¬
симален. Аналогично определяются миноранта, точная нижняя
грань и минимальный (или наименьший) элемент.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне упо¬
рядоченным, если всякая непустая часть X имеет минимальный
элемент.
Например, множество натуральных чисел с естественным по¬
рядком вполне упорядочено, а множества рациональных и веще¬
ственных чисел — нет.
Аксиоме выбора равносильно следующее утверждение (если
его принять в качестве аксиомы, то теоремой станет аксиома вы¬
бора); доказательство можно прочитать в [105], [124].
Теорема Цермело. Всякое непустое множество можно
вполне упорядочить.
Приведем еще одно следствие аксиомы выбора (которое также
оказывается ей эквивалентным).

16
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Лемма Цорна. Если всякая цепь в частично упорядоченном
множестве X имеет мажоранту, то в X есть максимальный
элемент.
Еще раз напомним, что максимальный элемент не обязан быть
единственным.
Весьма характерным примером использования леммы Цорна
является доказательство существования алгебраических базисов
в линейных пространствах. Система векторов {иа} в линейном
пространстве X линейно независима (или алгебраически незави¬
сима), если c\vai +	1-	CnVan ф 0 для всех чисел с*, не равных
одновременно нулю, и всех а\,..., ап. Такая система называется
алгебраическим базисом (базисом Гамеля) пространства X, если
всякий вектор из X является конечной линейной комбинацией
векторов va. В нулевом пространстве базисом считается нуль.
1.1.1.	Предложение. Всякое вещественное или комплекс¬
ное линейное пространство обладает алгебраическим базисом.
При этом всякие два таких базиса равномощны. Кроме того,
алгебраический базис линейного подпространства можно допол¬
нить до алгебраического базиса всего пространства.
Доказательство. Можно считать, что данное пространство
X содержит ненулевые векторы. Тогда в X имеются системы
алгебраически независимых векторов. Обозначим совокупность
всех таких систем через Л и введем на Л следующее отношение
подчиненности: Ai ^ А2, если Ai С А2. Ясно, что получено отно¬
шение частичного порядка. Нам надо установить, что в множе¬
стве Л есть максимальный элемент, т.е. система А алгебраически
независимых векторов, не являющаяся собственным подмноже¬
ством никакой другой системы независимых векторов. Такая мак¬
симальная система будет базисом, поскольку существование век¬
тора v, не представимого в виде линейной комбинации векторов
из А, означало бы, что система Аиг; тоже независима вопреки мак¬
симальности А. Существование максимального элемента следует
из леммы Цорна, для применения которой необходимо проверить,
что всякая цепь Ло в Л имеет мажоранту. Иначе говоря, имея та¬
кое множество Ло независимых наборов векторов, что всякие два
набора из них сравнимы (т.е. хотя бы один из двух содержится
в другом), надо найти независимую систему векторов, содержа¬
щую все системы из Ло- В качестве таковой следует взять просто
объединение Лх всех систем из Ло- Тот факт, что полученная си¬
стема независима, ясен из следующего. Если векторы v\,..., vn
входят в Лх, то существуют такие системы Ах,..., An Е Ло, что

1.2. Метрические пространства
17
Vi 6 Лi при г = 1,..., п. Поскольку системы А* попарно сравнимы,
среди них есть наибольшая А*0. Тогда все Vi входят в А$0 и потому
линейно независимы.
Небольшая модификация этого рассуждения позволяет до¬
полнять алгебраические базисы подпространства до базиса всего
пространства: достаточно брать в качестве элементов Л независи¬
мые системы, содержащие фиксированный базис из данного под¬
пространства. Кстати, эти рассуждения верны для любого поля.
Наконец, утверждение о равномощности алгебраических ба¬
зисов пространства X в случае конечномерного пространства из¬
вестно из линейной алгебры. Если же X бесконечномерно и 71
и 72 — два его алгебраических базиса, то мощность 72 не выше
мощности 7х. В самом деле, каждому элементу v 6 72 сопоста¬
вим конечное множество элементов 5 С 71, через которые он
линейно выражается. Такое конечное множество S сопоставлено
не более чем конечному числу элементов из 72 (не превосходяще¬
му мощности 5, ибо через к векторов нельзя линейно выразить
более к линейно независимых векторов). Значит, мощность 72 не
выше мощности множества конечных подмножеств 71, которое
равномощно 7i (задача 1.9.26). Итак, мощность 72 не выше мощ¬
ности 7i, причем верно и противоположное неравенство.	□
1.2.	Метрические пространства
Одним из самых фундаментальных понятий современного
анализа является понятие метрического пространства.
1.2.1.	Определение. Множество X, наделенное функцией
d: ХхХ —> [0, +оо), называется метрическим пространством
с метрикой d, если
1) d(x, у) = 0 в точности при х — у,
2) d(x, у) = d(y, х) для всех ж, у £ X,
3) d(x,z) < d(x,у) + d(y,z) для всех x,y,z G X.
Условие 3) называется неравенством треугольника. Метри¬
ческое пространство X с метрикой d обозначается через (X,d).
На одном и том же множестве могут быть заданы разные метри¬
ки. Когда говорится о метрическом пространстве X без указания
метрики, подразумевается, что некоторая метрика выбрана. Если
выполнены лишь условия 2) и 3), то d называют предметрикой.
Всякое подмножество метрического пространства само явля¬
ется метрическим пространством относительно метрики объем¬
лющего пространства.

18
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.2.2.	Пример, (i) Любое множество X становится метриче¬
ским пространством с метрикой d(x, у) = 1 при х ф у, d(x, ж) = 0.
(ii) Множество всех ограниченных функций В (Cl) на непустом
множестве О является метрическим пространством с метрикой
d(f,g) = эир|/(ж)-5(ж)|.	(1.2.1)
Частным случаем является пространство 1°° всех ограниченных
последовательностей на 1N с метрикой
d(x, у) = sup \хп - у„|, X = (жп), у = (уп).
п
(iii) Множество С[а, Ь] всех непрерывных функций на отрезке
[а, 6] является метрическим пространством с метрикой (1.2.1).
(iv) Множество I2 всех таких бесконечных вещественных по¬
следовательностей х = (хп), что XmLi хп < 00> с метрикой
оо	^12
dix,y) =	-уп^2) *
п=1
(v) Пусть X — непустое множество, (У, dY) — непустое мет¬
рическое пространство и В(Х, У) — множество всех отображе¬
ний /: X —► У, ограниченных в следующем смысле: найдутся
такие уо У и г > 0 (зависящие от /), что (/(#), г/о) ^ т дая
всех жЕХ, т.е. f(X) содержится в шаре. Тогда функция
d(f,g) ■■= sup dY (/(ж) ,д(х))
хех
превращает В(Х, У) в метрическое пространство.
Проверка того, что в этих примерах получаются метриче¬
ские пространства, — обязательное упражнение. На координат¬
ном пространстве ]Rn есть много метрик, помимо обычной евкли¬
довой (например, метрика d(x, у) = sup^ \xi — г/г I)-
Для общего метрического пространства (X, d) естественным
образом определяются многие понятия, известные для прямой
или n-мерного пространства. Например, открытым шаром ра¬
диуса г > Ос центром в точке Хо называется множество
B(xo,r) := {х е X : d(x,xо) < г}.
Термин «открытый» будет ясен из дальнейшего. Замкнутый шар
радиуса г > 0 с центром в xq есть множество
{х е X : d(x,xо) < г}.
Множество А называется ограниченным, если оно содержится
в шаре. Его диаметр есть diamA := sup{d{x,y): х, у 6 А}.

1.2. Метрические пространства
19
1.2.3. Определение. Последовательность точек хп в X на¬
зывается сходящейся к точке х, если для всякого е > 0 найдется
такой номер п£, что d(xn,x) < е для всех п ^ пе. Тогда х назы¬
вается пределом {хп} и обозначается через lim хп.
п—>оо
Последовательность {хп} С X называется фундаменталь¬
ной, если для всякого е > 0 найдется такой номер пе) что имеем
d{xn, Xk) < е для всех п,к ^ пе.
Сходящаяся последовательность фундаментальна ввиду
оценки d(xn,Xk) < d(xn,x) + d(x,Xk)- Ясно, что предел только
один. Фундаментальная последовательность ограничена, ибо
объединение шара и конечного множества ограничено.
Точка х называется предельной для множества М в метри¬
ческом пространстве X, если во всяком открытом шаре положи¬
тельного радиуса с центром х есть точки из М, отличные от х.
Точку х называют точкой прикосновения М, если во всяком от¬
крытом шаре положительного радиуса с центром х есть точки
из М (возможно, совпадающие с х). Возможны два случая:
1) х Е М и в некотором открытом шаре В{х,г) положитель¬
ного радиуса нет других точек М (тогда х называется изолиро¬
ванной точкой М), 2) существует сходящаяся к х последователь¬
ность различных точек из М.
При такой терминологии изолированные точки являются точ¬
ками прикосновения, но не являются предельными. Впрочем, это
терминологическое разделение, используемое нами лишь для со¬
гласованности с другими учебниками* не очень принципиально;
иногда удобнее причислять изолированные точки к предельным.
Если всякий шар положительного радиуса с центром в х со¬
держит несчетное множество точек из М, то х называют точкой
сгущения или конденсации множества М.
1.2.4. Определение. Множество U в метрическом про¬
странстве X называется открытым, если для всякой точки
х из U найдется такое г(х) > О, что В(х>г(х)) С U. Пустое
множество тоже считаем открытым. Множество F в X на¬
зывается замкнутым, если его дополнение X\F открыто.
Замкнутость F равносильна тому, что F содержит все свои
предельные точки. В самом деле, предельная точка замкнутого
множества не может быть в открытом дополнении. Если же F
содержит все свои предельные точки и X\F не открыто, то для
некоторого х £ F во всяком шаре В(ху 1 /п) есть точка хп из F,
т.е. х — предельная точка F и потому х 6 F, что невозможно.

20
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Легко проверить, что открытый шар В(хо,г) радиуса г > 0
открыт в смысле введенной выше терминологии, а замкнутый
шар замкнут. Сказанное не является тавтологией, ибо непосред¬
ственно из определения ясно лишь, что сам центр хо входит в
В(хо,г) с шаровой окрестностью. Чтобы убедиться, что для вся¬
кой точки х Е В(хо,г) найдется подходящий радиус г(х) > 0,
следует взять r(x) <r — d(x, хо) и воспользоваться неравенством
треугольника. Отметим, что открытый шар В(хо,г) может ока¬
заться замкнутым множеством, отличным от замкнутого шара
{х: d(x,xo) ^ г*}. Например, так будет в любом пространстве из
двух точек х и у при г = d(x, у).
Ясно, что во всяком метрическом пространстве (X, d) объ¬
единение любого набора открытых множеств открыто. Значит,
пересечение любого набора замкнутых множеств замкнуто. Лег¬
ко проверить, что конечные пересечения открытых множеств от¬
крыты, а конечные объединения замкнутых множеств замкнуты.
Для всякого множества А С X пересечение всех содержащих
А замкнутых множеств называется замыканием А и обознача¬
ется символом А. Ясно, что А — наименьшее замкнутое множе¬
ство, содержащее А. Оно совпадает с множеством всех предель¬
ных и изолированных точек А. Действительно, все предельные
точки входят в замыкание. Если тошв, z £ А не является пре¬
дельной, то найдется открытый шар B(z,r), не имеющий общих
точек с А. Тогда А входит в замкнутое множество X\B(z,r),
т.е. А С X\B(z, г) и z £ А. Точка называется внутренней для
множества, если она входит в это множество вместе с некото¬
рым шаром положительного радиуса с центром в данной точке.
Совокупность всех внутренних точек множества называется его
внутренностью. Ясно, что внутренность может быть пуста.
Хотя все приведенные определения совпадают с теми, кото¬
рые в начальном курсе анализа даются применительно к множе¬
ствам на прямой, общие метрические пространства по своим свой¬
ствам заметно отличаются от прямой и JRn и их подмножеств. Мы
в этом неоднократно убедимся ниже, но сейчас заметим лишь,
что даже подмножества плоскости с обычной евклидовой мет¬
рикой могут иметь довольно удивительные свойства. Например,
если взять три точки а, b и с на плоскости так, что |а — b\ = 1,
|Ь — с| = 2 и |а — с| = 5/2, то в полученном метрическом простран¬
стве шар радиуса 2 с центром в Ъ строго содержит шар большего
радиуса 9/4 с центром в а. Приведем теперь одно из основных
определений, связанных с метрическими пространствами.

1.2. Метрические пространства
21
1.2.5. Определение. Метрическое пространство X назы¬
вается полным, если всякая фундаментальная последователь¬
ность в нем сходится.
1.2.6. Пример, (i) Полуинтервал [0,1) с обычной метрикой
не является полным пространством, так как последовательность
{1—1 /п} фундаментальна, но не сходится к точке из [0,1). Однако
этот же интервал оказывается полным пространством с метрикой
d(x,y) = |tg(Trz/2) -tg(7ry/2)|.
(И) Пространство i?(fi) с метрикой (1.2.1) полно. Действие
тельно, пусть {/п} — фундаментальная последовательность. Яс¬
но, что для каждого фиксированного х числовая последователь¬
ность {/п(#)} фундаментальна и потому сходится. Ее предел мы
обозначим через f(x). Ограниченность фундаментальной после¬
довательности {/п} показывает, что функция / ограничена. Оста¬
ется заметить, что {/п} сходится к / по метрике В(П), а не только
поточечно. Для этого при фиксированном е > 0 находим такое
число пе, что |fn(%) — fk(x)I < 6 Для всех п, к ^ пе и х 6 П. Если
теперь зафиксировать п ^ п£ и устремить к к бесконечности, то
получим I fn(x) - f(x)I ^ е для всех х eCt, т.е. d(/n, /) < е.
(iii) Пространство 12 из примера 1.2.2(iv) полно: если после¬
довательность векторов Vj = (xj^n) 6 I2 фундаментальна, то для
каждого п последовательность чисел х^п фундаментальна и име¬
ет предел хп. Так как sup^ Y^=i х? п ^ С < оо, то J2^=i хп ^
т.е. v := (хп) 6 12. Наконец, d(vj,v) —> 0, ибо для каждого е > О
найдется такое je, что YS?=i(xj,n ~ хк,п)2 < £2 при j,k ^ je. При
к —► оо находим J2™=i(xj,n ~ хп)2 ^ £2 при j > j£.
Полнота ряда других важных пространств будет установлена
ниже. Из определений ясно, что замкнутые подмножества пол¬
ных пространств полны как самостоятельные щ^етранства.
1.2.7. Определение, (i) Множество А но&ывттся всюду
плотным в множестве В в метрическом пространстве X, если
замыкание А содержит В.
(и) Метрическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется конечное или счетное всюду плотное мно¬
жество.
(iii)	Множество 1В называется нигде не плотным в метри¬
ческом пространстве X, если во всяком непустом открытом
множестве в X имеется шар положительного радиуса, свобод¬
ный от точек М.

22
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Даже если А плотно в JB, то АП В может быть пусто. Одна¬
ко если U открыто, то U П А = U П А для всякого А, что легко
проверить (если х EU и х £ U П А, то найдется открытое V Э х
с V HU П А = 0, откуда х $ А, ибо U П V открыто).
Прямая с обычной метрикой сепарабельна: множество раци¬
ональных чисел в ней всюду плотно. Сепарабельны и простран¬
ства С[а, Ь] и 12. В I2 плотно множество конечных последователь¬
ностей с рациональными компонентами. В С[а,Ь] можно взять
счетное всюду плотное множество многочленов с рациональными
коэффициентами (всякая непрерывная функция равномерно при¬
ближается многочленами). Можно взять и множество кусочно¬
линейных функций следующего вида: для каждого п разделим
[а, Ь] на 2П равных промежутков точками tn^ и разделим [—2П, 2П]
на 4П равных промежутков точками rnj, затем возьмем функции,
принимающие в точках tn^ какие-либо из значений rnj и линейно
доопределенные между точками tnПространство В (ft) с беско¬
нечным множеством несепарабельно. Действительно, для каж¬
дого непустого множества Е С ft возьмем функцию /# на £2, рав¬
ную 1 в точках Е и 0 во всех остальных точках, т.е. индикатор
множества Е. Множество полученных функций несчетно, а рас¬
стояние между функциями /# и /#/ с различными множествами
Е и Е' равно 1. Поэтому в В (ft) имеется несчетное множество
попарно непересекающихся открытых шаров. Ясно, что счетное
множество не может присутствовать во всех этих шарах. В част¬
ности, пространство 1°° несепарабельно.
Указанные в предыдущем определении свойства можно оха¬
рактеризовать через замыкание следующим образом. Простран¬
ство сепарабельно, если оно является замыканием конечного или
счетного множества. Множество Е нигде не плотно, если его за¬
мыкание не содержит шаров положительного радиуса. Проверка
этих утверждений — простое, но полезное упражнение.
1.2.8. Определение. Изометрией двух метрических про¬
странств (M\,d\) и (М2,б?2) называется такое взаимно одно¬
значное отображение J пространства М\ на М2, что
d2(J(x)iJ(y)) — d\(x,y) для всех х,у ЕМ\.
1.2.9. Лемма. Пусть (M\,d\) и (Мг,^) — полные метри¬
ческие пространствау Е\ С М\ и Е% С М2 — всюду плотные
множества и J — изометрия из Е\ на Е2. Тогда J продолжа¬
ется единственным образом до изометрии Mi и М2.

1.2. Метрические пространства
23
Доказательство. Всякая точка х Е Mi\E± есть предел по¬
следовательности {хп} С Е\. Так как J — изометрия, а М2 пол¬
но, то {J(xn)} сходится к некоторой точке из М2, которую мы
и возьмем в качестве J(x). Всякая другая последовательность то¬
чек уп Е Mi, сходящаяся к ж, приведет к тому же элементу «/(ж),
ибо {#i, J/1,..., хп, 2/п? • • •} тоже сходится к ж. Легко видеть, что J
сохраняет расстояния. Наконец, J(Mi) = М2, ибо ко всякой точ¬
ке у Е М2 сходится последовательность точек J(xn) с хп Е Е\,
а тогда последовательность {хп} фундаментальна в Mi и потому
сходится к некоторому х Е Mi, что дает J(x) = у. Из сказанного
ясна единственность изометрического продолжения.	□
Многие свойства метрических пространств инвариантны от¬
носительно изометрий. К таким свойствам относятся полнота,
сепарабельность, ограниченность. Замечательной особенностью
пространств ограниченных функций -B(fi), на первый взгляд
весьма специальных, является то, что с точностью до изометрий
они содержат вообще все метрические пространства.
1.2.10. Теорема. Всякое метрическое пространство (M,d)
изометрично части пространства В(М).
Доказательство. Считаем, что М непусто. Зафиксируем
элемент хо Е М и для каждой точки х Е М зададим функцию
fx на М с помощью равенства fx(y) = d(y,x) — d(y,x0). Заме¬
тим, что в силу неравенства треугольника \fx(y)\ ^ d(x,x0), т.е.
функция fx ограничена. Для фиксированных xi)X2 € М в силу
неравенства треугольника имеем
\fxi(y) - fx2(y)I = \d(ytxi) - d(y,X2)I < <*(Ж1,Ж2),
что дает d(fXl,fX2) < d(xi,x2). Поэтому d(fXl,fX2) = d(xi,x2)
ввиду равенства \fxi(xi) — fx2(xi)\ = d(x 1,^2). Итак, отображение
J: жиДиэМв B(M) является изометрией М и J(M).	□
В качестве применения этой теоремы установим существова¬
ние пополнения М.
1.2.11. Определение. Пополнением метрического про¬
странства М называется такое полное метрическое простран¬
ство М, что М изометрично всюду плотному множеству в М.
1.2.12. Предложение. Всякое метрическое пространство
имеет единственное с точностью до изометрии пополнение.

24
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. В силу предыдущей теоремы достаточно
рассмотреть множество М в пространстве B(fl) с fl = М. Так
как В(М) полно, то искомым пополнением является замыкание
множества М в B(Q). Остается заметить, что если Mf — неко¬
торое пополнение М, то М и М' изометричны. Действительно,
имеется изометрия J' между М и всюду плотной частью J'(M)
в М'. По доказанной выше лемме эта изометрия продолжается до
изометрии из М на М'.	□
Приведем одно полезное свойство сепарабельных метрических
пространств (называемое свойством Линделёфа).
1.2.13. Теорема. Из всякого набора открытых множеств
в сепарабельном метрическом пространстве можно выбрать не
более чем счетный поднабор с тем же самым объединением.
Доказательство. Пусть множества Ua открыты в данном
пространстве (X,d). Возьмем в X счетное всюду плотное мно¬
жество {хп}. Для каждой точки хп имеется счетное множество
открытых шаров B(xn,rk) с центрами в хп и рациональными
радиусами г*. > 0. Если В(хп,гь) входит в какое-нибудь из мно¬
жеств Ua, то мы отметим ровно одно такое множество Un^. В ито¬
ге отмечено не более чем счетное семейство множеств (соответ¬
ствующих разным пик). Проверим, что объединение всех отме¬
ченных множеств совпадает с объединением всех множеств Ua.
В самом деле, пусть точка х содержится в каком-то Ua. Найдет¬
ся такое г > 0, что В(х,г) С Ua. Возьмем точку жп, для которой
d{X)Xn) < г/4. Ясно, что найдется г*. < г/4 с х £ В(хп,Гк)- В си¬
лу неравенства треугольника В(хП)гь) С В{х,г) С Ua. Так как
В(хп,гь) С Ua, то имеется отмеченное множество E/n,fc, содержа¬
щее B(xn,rk). Итак, х е В(хп,гь) С Un^	□
Свойство Линделёфа часто используется в функциональном
анализе, теории меры и топологии.
1.2.14. Предложение. Всякое подпространство сепара¬
бельного метрического пространства сепарабельно относитель¬
но метрики объемлющего пространства.
Доказательство. Пусть S — счетное всюду плотное множе¬
ство в метрическом пространстве X. Пусть Y С X. Каждой точ¬
ке s € S сопоставим пустое, конечное или счетное подмножество
Ys С Y следующим образом. Для всякого фиксированного п 6 IN

1.3. Непрерывные отображения
25
выберем какой-нибудь элемент уп Е У с d(yn, 5) < 1 /га, если тако¬
вой имеется. Совокупность элементов всех множеств П, в е 5, не
более чем счетна. Она всюду плотна в У. В самом деле, для всяко¬
го у Е У и всякого га Е ИМ найдется s(y) Е S с d(y, s(y)) < 1/п. По¬
скольку имеются точки из У, отстоящие от s(y) менее чем на 1/п,
то среди них нами была взята некоторая точка уп из построенного
семейства, что дает оценку d(y,yn) < 1/п.	□
1.3.	Непрерывные отображения
Здесь мы рассмотрим отображения метрических пространств.
1.3.1. Определение. Отображение f из метрического про¬
странства (X,dx) в метрическое пространство (У,dY) называ¬
ется непрерывным в точке х Е X, если для всякой последова¬
тельности {хп}, сходящейся к х, последовательность {f(xn)}
сходится к f(x).
Отображение f называется непрерывным, если оно непре¬
рывно в каждой точке.
Ясно, что непрерывность в точке х можно сформулировать
в (е, 5)-терминах: для каждого е > 0 найдется такое 8 > 0, что
dY (f(z), f(x)) < е для всех таких точек z Е X, что dx(z,х) < S.
В задаче 1.9.36 предлагается проверить, что непрерывность
отображения / равносильна тому, что для всякого открытого
множества У С У множество /-1(У) открыто в X (это экви¬
валентно тому, что дл% всякого замкнутого множества Z с У
множество	замкнуто в X).
Как и в анализе на прямой, вводится более сильная непре¬
рывность: равномерная непрерывность.
1.3.2. Определение. Отображение f из метрического про¬
странства (X,dx) в метрическое пространство (Y,dy) называ¬
ется равномерно непрерывным, если для всякого е > 0 найдется
такое S > 0, что dY (/(#), f(y)) ^ е при dx(x,y) ^ 8.
Ясно, что равномерно непрерывные отображения непрерыв¬
ны. Пусть (X,dx) и (Y,dy) — метрические пространства.
1.3.3. Предложение. Пусть fn: (X,dx) —> (Y,dy) — непре¬
рывные отображения, которые равномерно сходятся к отобра¬
жению /: (X,dx) —► (Y,dy) в следующем смысле: для всякого
£ > 0 найдется такой номер п£, что dY(fn(x),f(x)) < е для
всех га ^ п£ и х Е X. Тогда отображение f непрерывно.

26
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Пусть хо е X и е > 0. Возьмем указан¬
ный в условии номер пе и такое S > 0, что dY (fn£(x)i fn£(xо)) < £
при dx(x,xо) < S. Тогда для таких х получаем
dY{fix)J(xо)) < dY(f(x),fne(x))+dY(fne{x),fne(ж0)) +
Н~ dy (fns(®о)»/(*^о)) ^ 3s,
что показывает непрерывность / в точке хо-	□
Если равномерно сходящиеся отображения /п равномерно не¬
прерывны, то их предел также равномерно непрерывен. Это ясно
из доказательства.
Напомним, что множество В(Х, У) всех ограниченных отоб¬
ражений из метрического пространства X в метрическое про¬
странство Y — метрическое пространство с метрикой
d(f,9) = sup dY(f(x),g(x)).
хех
Здесь ограниченным считается отображение, принимающее зна¬
чения в некотором шаре из У. В приложениях часто встречают¬
ся различные подмножества пространств такого вида, наделен¬
ные и другими естественными метриками. Некоторые примеры
рассмотрены в задачах. Подпространство в В(Х, У), состоящее
из ограниченных непрерывных отображений, обозначается сим¬
волом Сь(Х, У) (оно наделяется той же метрикой, что и В(Х, У)).
Множество ограниченных непрерывных числовых функций на
метрическом пространстве X обозначается через Сь(Х).
С учетом задачи 1.9.27 получаем такой факт.
1.3.4. Следствие. Пусть X и У — непустые метрические
пространства, причем У полно. Тогда пространство Сь(Х, У)
полно. В частности, полны Сь(Х) и С[а, Ь].
1.3.5. Определение. Отображение /: X —> У удовлетво¬
ряет условию Липшица с постоянной L (или липшицево с по¬
стоянной L), если dY(f(x), f(y)) ^ Ldx(ж,у) для всех х,у Е X.
Ясно, что липшицево отображение равномерно непрерывно.
Приведем простой пример липшицевой функции: расстояние
от точки до множества.
1.3.6. Пример. Пусть А — непустое множество в метриче¬
ском пространстве (X,d). Расстояние от точки ж до множества А
зададим формулой
dist(ж, А) := inf{dfoу): у € А}.

1.3. Непрерывные отображения
27
Тогда х ь-у dist {х, А) — липшицева с постоянной 1 функция, при¬
чем множество ее нулей совпадает с замыканием А. Действитель¬
но, для любых х и z имеем d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) для всех у.
Поэтому dist (х, А) ^ d(x,z) + dist (г, А), откуда следует нера¬
венство |dist (х, А) — dist (z, А) | ^ d(x, z). Ясно, что dist (ж, А) = О
в точности тогда, когда либо х £ А, либо есть последовательность
точек уп £ А, сходящаяся к х.
Следующее простое утверждение будет использовано ниже.
1.3.7. Предложение. Пусть (X,dx) u (Y,dY) — метриче¬
ские пространства, причем Y полно, и пусть отображение /
из множества Хо С X в пространство Y удовлетворяет усло¬
вию Липшица с постоянной L. Тогда f единственным образом
продолжается до липшицевого с постоянной L отображения из
замыкания Хо в замыкание /(Xо) в пространстве Y.
Доказательство. К каждой точке х из замыкания Хо схо¬
дится некоторая последовательность точек хп £ Хо (не обяза¬
тельно различных). Естественно положить f(x) := lim f(xn).
п—>оо
В самом деле, последовательность точек f(xn) фундаментальна
в Y ввиду липшицевости / и потому сходится к некоторой точ¬
ке у е У. По той же причине у не зависит от выбора сходящейся
к х последовательности. Это показывает также, что f(x) = f(x)
при х £ Xq. Наконец, если х9 и хп — две различные точки из за¬
мыкания Хо, то, взяв сходящиеся к ним последовательности {х'п}
и «} из Хо, подучаем, что dY (/«),/«)) ^ Ldx«,z"). Это
дает оценку dY(f(x'),f(x")) ^ Ldx (х',х").	□
Отметим, что не всегда / продолжается до липшицева отоб¬
ражения на всем X. Например, если X = [0,1], Хо = Y = {0,1}
с обычной метрикой и f(x) = х на Хо, то нет даже непрерывного
продолжения на [0,1] (однако см. задачи 1.9.59, 1.9.60).
Отметим еще одно свойство липшицевых отображений.
1.3.8. Предложение. Пусть (X,dx) и (Y,dy) — метри¬
ческие пространства, причем Y полно, и пусть отображения
Fn: X —► Y, где n £ IN, удовлетворяют условию Липшица с об¬
щей постоянной L. Если для всех точек х из некоторого всю¬
ду плотного множества в X существует предел lim Fn(x), то
71—» ОО
этот предел существует для всех х £ X и задает липшицево
с постоянной L отображение.

28
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Зафиксируем х £ X и е > 0. По условию
найдется точка у с d(x,y) < е, для которой последовательность
элементов {Fn(y)} сходится. Поэтому найдется такой номер
что dY (Fn(y), Fk(y)) < е при п,к ^ п€. Тогда по неравенству
треугольника имеем
dY(Fn(x),Fk(x)) <
< dY (Fn(x), Fn(y)) + dY (Fn{y), Fk(y)) + dY (Fk(y), Fk(x)) <
< Ld(ar, y) + e + Ld(a;, y) < e(2L + 1),
что доказывает фундаментальность {Fn(x)}. В силу полноты Y
эта последовательность сходится. Липшицевость с постоянной L
предельного отображения очевидна.	□
1.4.	Принцип сжимающих отображений
Липшицевы отображения с постоянной L < 1 называются
сжимающими отображениями или сжатиями. В приложени¬
ях часто используется следующий результат.
1.4.1.	Теорема. (Принцип сжимающих отображений)
Всякое сжатие f непустого полного метрического простран¬
ства X имеет единственную неподвижную точку х, т.е.
f(x) = х. При этом d(x,xn) ^ Ln( 1 — L)~1d{x\,xq) для всяко¬
го хо € X, где xn+i := f(xn).
Доказательство. Пусть xq е X. Положим хп = f(xn-i),
п 6 IN. Покажем, что последовательность {f(xn)} фундаменталь¬
на. Для этого заметим, что
d(xk+i,Xk) ^ Ld(xk,xk-1) ^ ••• ^ Lkd(xi,xo).
Поэтому d(xn+m,xn) оценивается через
d(xn+m, xn+m—i) + d(xn+m—х, хп+т—2) + * • • + d{xn+1, хп) ^
^ Ln+m~ld{xuxо) + Ln+m~2d(x 1,ж0) + • • • + Lnd(x 1,я?0),
что дает d(xn+m,xn) < Ln( 1 — L)~1d(xi,®o)- Из этой оценки
и условия L < 1 следуют фундаментальность {хп} и существова¬
ние предела х = lim хп. Ясно, что
га—* оо

1.4. Принцип сжимающих отображений
29
ввиду непрерывности /. Единственность неподвижной точки вид¬
на из того, что d(x, у) = d(/(x), f(y)) < Ld(x, у) для другой непо¬
движной точки у. Ясна и оценка скорости сходимости.	□
1.4.2. Следствие. Пусть X — полное метрическое прост¬
ранство и /: X —► X — такое отображение, что некоторая
его степень fn является сжимающим отображением. Тогда f
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Существует точка х с fn(x) = х. Тогда
Г(т) = /(/"(*)) = /(*), т.е. f(x) — также неподвижная точ¬
ка fn. Ввиду единственности неподвижной точки сжимающего
отображения имеем f(x) —х.	□
В приложениях встречаются сжимающие отображения, зави¬
сящие от параметра. Приведем одно из простейших утверждений,
позволяющих количественно оценить такую зависимость.
1.4.3. Предложение. Предположим, что X — полное мет¬
рическое пространство и отображения / и g из X в X липши-
цевы с постоянной А < 1. Тогда для неподвижных точек Xf и х9
этих отображений справедливо неравенство
d(xf,Xg) < (1 - A^supxeXd{f(x),g(x)).
Доказательство. Положим уп = gn(xf). Из доказатель¬
ства теоремы о неподвижной точке следует, что xg = lim уп.
П »оо
Поэтому d(xf,xg) = lim d(xf,yn). Как и в доказательстве упо¬
мянутой теоремы, для каждого п мы имеем
dfafi Уп) ^ ^(ж/> 9(xf)) (1 + А + • • • + Ап) ^
< (! - А)_1<*(®/»0(*/)) = (! “ ^)-1d(/(a;/),9(a:/)),
откуда вытекает наше утверждение.	□
Следующий результат дает непрерывную зависимость непо¬
движной точки от параметра. Кроме того, он позволяет получать
неподвижные точки отображений открытых шаров. Последнее не
всегда возможно в общем случае. Например, сжатие х н-* х/2+1/2
интервала (—1,1) не имеет неподвижных точек в этом интервале.
1.4.4. Теорема. Пусть U — В(хо,г) — открытый шар ра¬
диуса г > 0 с центром в хо в полном метрическом простран¬
стве (X,d), пусть Т — метрическое пространство, и пусть

30
Глава 1. Метрические и топологические пространства
F: TxU —*■ X — такое отображение, что для некоторой по¬
стоянной А € [0,1) выполнено неравенство
d(F(t, x),F(t, х')) < Xd(x,x') Vi € Т, Vx,x' € U.
Кроме того, пусть
d(F(t,xo),xo) < r(l — A) Vt€T.
Тогда существует такое отображение /: Т —у U, что
№ = F(t,f(t)) vt е Т.
При этом такое отображение f единственно.
Если же F непрерывно, то f также непрерывно (более точ¬
но, f непрерывно в каждой точке t, в которой непрерывны все
отображения t н-* F(x, t)).
Доказательство. Заметим, что
dx (.F(t, х), х0) < dx (F(t, х), F(t, я0)) + dx (F(t, я0), яо) <
< \dx (х, хо) + г(1 — Л) < г
при всех х е U, т.е. F(t, х) Е U при всех t е Т и ж Е У. В силу
предложения 1.3.7 можно считать, что отображения х н-* F(t,x)
продолжены на замыкание U множества U, причем продолжения
принимают значения в U и липшицевы с постоянной Л. Каж¬
дое из этих^ отображений имеет единственную неподвижную точ¬
ку /(£) Е U. Полученная выше оценка переносится и на продол¬
жения, поэтому они принимают значения в самом U. В частности,
f(t) Е U. Единственность / ясна из единственности неподвиж¬
ной точки сжимающего отображения. В доказательстве теоремы
о сжимающем отображении было установлено, что
f(t) = lim /n(t), где /„(i) = F(t, fn-i(t)), f0(t) = x0,
n—>oo
и была получена оценка
\п
dx (fn(t), fn+m(t)) <	- A) = rAn,
означающая равномерную сходимость последовательности отоб¬
ражений /п. Поэтому в случае непрерывного F отображение /
также непрерывно. Если же все отображения t»—> F(t,x) непре¬
рывны в точке to, то каждое /п тоже непрерывно в точке to- Это

1.5. Теорема Бэра о категории
31
легко проверяется по индукции. Если отображение /п_i непре¬
рывно в точке to, то таково и /п. Это следует из оценки
dx (Ш, fn(t0)) < dx (F(t,	F(t, /„—i(*o))) +
+ dx	/n—l (^o)) i F (toi fn—i (to)) ^ ^
< Adx (fn-i(t),fn-i(to)) + dx (F(t, fn-i(to)), F(to, fn-i(t0)))
и равенства F(to,x) = lim F(t,x) при всех x.	□
t—*to
В качестве применения теоремы 1.4.4 мы покажем в гл. 12 (см.
теорему 12.3.1), что достаточно малые возмущения тождествен¬
ных отображений банаховых пространств локально являются го¬
меоморфизмами.
1.5.	Теорема Бэра о категории
Следующие две простые теоремы являются важнейшими об¬
щими результатами теории метрических пространств.
1.5.1. Теорема. (Теорема о вложенных шарах) Пусть
X — полное метрическое пространство и {Вп} — последова¬
тельность замкнутых шаров со стремящимися к нулю ради¬
усами, причем Вп+1 с Вп для всех п. Тогда flnLi непусто.
Доказательство. Возьмем хп € Вп. Ввиду вложенности
шаров и стремления их радиусов к нулю последовательность {хп}
фундаментальна. Из-за полноты X она сходится к некоторой точ¬
ке, которая входит во все шары Вп в силу их замкнутости. □
Ясно, что вместо шаров можно брать замкнутые множества
диаметров dn —> 0. Простые примеры показывают, что полнота X
и замкнутость шаров важны (см. также задачу 1.9.32). Нельзя
отказаться и от стремления к нулю их радиусов (задача 1.9.33).
1.5.2. Теорема. (Теорема Бэра о категории) Пусть X —
полное метрическое пространство, причем X — UnLi Хп, где
множества Хп замкнуты. Тогда хотя бы одно из них содержит
открытый шар положительного радиуса.
Если X = {JZi Ап, где Ап — произвольные множества, то
хотя бы одно из Ап всюду плотно в некотором шаре ненулевого
радиуса, т.е. полное метрическое пространство нельзя предста¬
вить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

32
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Предположим противное. Тогда для вся¬
кого п во всяком открытом шаре U имеется открытый шар, сво¬
бодный от точек Хп, ибо иначе U входит в Хп = Хп. Поэтому
найдется замкнутый шар В\ положительного радиуса тт, свобод¬
ный от точек Х\. В шаре В\ найдется замкнутый шар В2 ради¬
уса т*2 < п/2, свободный от точек X<z- По индукции получаем
вложенные замкнутые шары Вп со стремящимися к нулю ради¬
усами и Вп П Хп = 0. Предыдущая теорема дает общую точку
всех jВп, не входящую в объединение Хп, — противоречие. По¬
следнее утверждение теоремы очевидно из первого, применяемо¬
го к замыканиям Ап.	□
Несмотря на тривиальность доказательств, обе эти теоремы
имеют многочисленные применения, в чем мы убедимся ниже.
При первом знакомстве с теоремой Бэра может вызвать недо¬
умение ее мнимое противоречие с тем фактом, что натуральный
ряд — полное пространство относительно естественной метрики
прямой — является счетным объединением точек. Никакого дей¬
ствительного противоречия здесь нет: точка в таком простран¬
стве сама является шаром положительного радиуса.
Название теоремы Бэра связано с тем, что множества, пред¬
ставимые в виде счетных объединений нигде не плотных мно¬
жеств, называют множествами первой категории, а все прочие —
множествами второй категории. В этой терминологии теорема
Бэра гласит, что полное метрическое пространство не является
множеством первой категории. Метрические пространства с та¬
ким свойством называются бэровскими. Однако бывают и непол¬
ные бэровские метрические пространства, например, интервал
(0,1) с обычной метрикой; в нем всякий шар — бэровское про¬
странство (это легко вывести из того, что прямая — бэровское
пространство).
1.5.3.	Пример* (Принцип равномерной ограниченно¬
сти) Пусть X — полное метрическое пространство и непрерыв¬
ные функции /п: X —► 1R1 таковы, что для каждого х Е X после¬
довательность ifn(x)} ограничена. Тогда найдется такой замкну¬
тый шар В положительного радиуса, что supn s\xpx£B \fn(x)\ < оо.
Доказательство. Пусть Хм {х еХ: supn \fn(x)\ < N}.
Множества замкнуты ввиду непрерывности /п. По условию объ¬
единение Хм есть X. Согласно теореме Бэра некоторое Хм имеет
внутренние точки и потому содержит замкнутый шар положи¬
тельного радиуса.	□

1.6. Топологические пространства
33
1.6.	Топологические пространства
Естественным и весьма важным расширением понятия мет¬
рического пространства является топологическое пространство.
1.6.1. Определение. Множество X с выделенным семей¬
ством т его подмножеств называется топологическим про¬
странством, если 1) 0,Х Е г, 2) пересечение всяких двух мно¬
жеств из г входит в г, 3) объединение всякого набора множеств
из г входит в г.
Множества из г называются открытыми, а само семей¬
ство г называется топологией.
База топологии — такой набор открытых множеств, что их
объединения дают все открытые множества.
Дополнения к открытым множествам называются замкнуты¬
ми множествами. Ясно, что конечные объединения и произволь¬
ные пересечения замкнутых множеств замкнуты. Пустое множе¬
ство и все пространство одновременно открыты и замкнуты.
1.6.2. Пример, (i) Набор (0,Х) — минимальная топология
на множестве X. (ii) Семейство 2х всех подмножеств X — мак¬
симальная топология на X. (iii) Открытые множества в метриче¬
ском пространстве (X, е£) (в соответствии с терминологией, вве¬
денной для метрических пространств!) образуют топологию. Эта
топология называется топологией, порожденной метрикой d. То¬
пологическое пространство называется метризуемым, если его
топология порождается некоторой метрикой.
Отметим, что, хотя метрика порождает указанным выше об¬
разом топологию, эта топология не позволяет восстановить исход¬
ную метрику. Например, стандартная метрика прямой порождает
ту же топологию, что и ограниченная метрика |arctga; — arctg у\.
Всякая часть Хо топологического пространства становится
топологическим пространством, если в качестве топологии на Хо
взять пересечения Хо с открытыми в X множествами. Такая то¬
пология называется индуцированной топологией из X. Иногда
открытые в этой топологии на Хо множества называют отно¬
сительно открытыми. Разумеется, такие множества не обязаны
быть открытыми в X (если само Хо не было открыто). Для то¬
пологических пространств естественным образом определяются
аналоги многих понятий, введенных ранее для метрических про¬
странств. Точка х в топологическом пространстве X называет¬
ся предельной для множества А С X, если во всяком открытом

34
Глава 1. Метрические и топологические пространства
множестве, содержащем эту точку, есть элемент множества А, от¬
личный от х. Если же во всяком открытом множестве, содержа¬
щем ху имеется несчетное множество точек из Ау то х называется
точкой сгущения или конденсации множества А. Точка а Е А —
изолированная точка множества А, если у нее есть окрестность,
в которой нет других точек из А. Поэтому все точки А делятся на
изолированные и предельные,- но могут существовать и предель¬
ные точки Ау не входящие в А. Точка х Е X называется точкой
прикосновения множества Д если каждая окрестность х содер¬
жит хотя бы одну точку из А (возможно, саму точку х). Точки
прикосновения — это либо предельные точки для А, либо изоли¬
рованные точки А. Замыкание А множества А есть пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих А. Ясно, что А получа¬
ется из А добавлением всех предельных точек. Если А = Ху то А
называют всюду плотным в X. Пространство сепарабельно, если
в нем есть конечное или счетное всюду плотное множество.
1.6.3. Определение. Последовательность точек хп топо¬
логического пространства называется сходящейся к точке х, ес¬
ли для всякого открытого множества U, содержащего х, най¬
дется такой номер N, что хп Е U при п ^ N.
Ясно, что в случае метрического пространства приходим
к рассмотренной ранее сходимости. В произвольном топологиче¬
ском пространстве предел сходящейся последовательности может
не быть единственным. Например, если топология состоит лишь
из пустого множества и всего пространства, то всякая последова¬
тельность в такой топологии сходится к каждой точке. Следую¬
щее понятие позволяет избежать подобных явлений.
1.6.4. Определение. Топологическое пространство (Хут)
называется отделимым или хаусдорфовым, если для всяких двух
различных точек х, у Е X найдутся такие непересекающиеся
открытые множества U и V, что х EU, у EV.
Термин «хаусдорфово» воздает должное выдающемуся немец¬
кому топологу Ф. Хаусдорфу. Имеются и другие понятия отде¬
лимости топологических пространств (см. [105], [246]). Если X
содержит более одной точки, то его минимальная топология не
хаусдорфова. Топология, порожденная метрикой, всегда хаусдор-
фова. Приведем один из наиболее характерных примеров немет-
ризуемых пространств, возникающих в приложениях.
1.6.5. Пример. Пусть Т — непустое множество и Ит — про¬
странство всех вещественных функций на Т. Для фиксированных

1.6. Топологические пространства
35
X Е IRT,	€	Г	и е > 0 введем «базисные окрестности»
точки х следующего вида:
:= {уеШг: Iy(ti) - x(ti)\ < е, i = 1,..., п). (1.6.1)
Объявим открытыми в JRT пустое множество и всевозможные
объединения окрестностей UX3tu...,tn,e> гДе могут варьироваться ж,
n, U и е. Полученное семейство множеств образует хаусдорфо-
ву топологию, называемую топологией поточечной сходимости.
Эта топология метризуема только в случае, когда Т не более чем
счетно. Последовательность {хп} С JRT сходится к элементу х в
точности тогда, когда lim xn(t) = x(t) для каждого t € Г.
71—* ОО
Доказательство. Из трех свойств топологии единственным
не вполне очевидным свойством введенной системы множеств яв¬
ляется ее замкнутость относительно конечных пересечений. По¬
нятно, что достаточно проверить, что пересечение двух базисных
окрестностей Ui = UXutl,...9tn,ei и С/2 = CCr2,5l,...,5fc,e2 является объ¬
единением набора базисных окрестностей. Для этого достаточно
убедиться, что всякая точка г из Ui П U2 входит в Ui Г) U2 вме¬
сте со своей базисной окрестностью вида U = UZ£u...,tn,si,...,8kie
при достаточно малом е > 0. В качестве такого е надо взять
положительное число, меньшее всех чисел е\ — \х\(Ц) — z(U)|,
62 — \%2 (si) “ £($г)1- При таком выборе е для всех у EU имеем
Iy(ti) - Xl(ti)\ ^ Iy(ti) - z(ti)\ + \z(ti) - a?l(t*)| < £\.
Аналогично |y(sj) — a?i(si)| < e2- Итак, получена топология. Она
хаусдорфова, ибо две различные функции х и у отличаются хотя
бы в одной точке ti, и потому их можно разделить окрестностями
вида UXjtlj£ и UyM,e' Равносильность поточечной сходимости по¬
следовательностей функций сходимости в данной топологии оче¬
видна: поточечная сходимость выводится из сходимости в топо¬
логии путем использования окрестностей UXjt,e, а из поточечной
сходимости следует сходимость на каждом конечном множестве,
что и есть сходимость в смысле окрестностей вида (1.6.1).
Если Т = {tn} — счетное множество, то пространство IRT
метризуемо посредством метрики
ОО
d{x,y) := ]p2_nmin(|a;(£n) -y(tn)|,l).	(1.6.2)
71=1
Проверка этого — задача 1.9.67. Если же Т несчетно, то введен¬
ную топологию нельзя задать с помощью метрики. В самом деле,

36
Глава 1. Метрические и топологические пространства
иначе для каждого п можно взять открытый шар i?(0, п~1) с цен¬
тром в тождественно нулевой функции х и радиусом п-1 по дан¬
ной метрике. В этом шаре найдется окрестность вида (1.6.1), за¬
даваемая точками Щ,..., и числом еп > 0. Рассмотрим функ¬
цию у, равную 1 в некоторой точке £, отличной от всех Щ (такая
существует, ибо Т несчетно), и равную 0 во всех прочих точках.
Тогда у Е В(0, п-1) для всех п, откуда у — 0 — противоречие. □
1.6.6. Определение. Отображение / из топологического
пространства X в топологическое пространство Y называет¬
ся непрерывным в точке х, если для всякого открытого мно¬
жества V в Y, содержащего f(x), найдется такое открытое
множество U в X, содержащее х, что f(U) С V.
Отображение называется непрерывным, если оно непрерыв¬
но в каждой точке.
Множество всех непрерывных отображений между топо¬
логическими пространствами X и Y обозначается символом
C(X,Y). Множество всех ограниченных непрерывных функций
на топологическом пространстве X обозначается через Сь(Х).
В задаче 1.9.36 предлагается проверить, что непрерывность
отображения / равносильна тому, что прообраз всякого откры¬
того в У множества открыт в X (что равносильно также тому,
что прообраз всякого замкнутого множества замкнут). Аналогич¬
но предложению 1.3.3 доказывается такой факт.
1.6.7. Предложение. Если X — топологическое простран¬
ство и непрерывные на X функции fn равномерно сходятся к f,
то функция f непрерывна. В частности, пространство Сь(Х)
с метрикой d(f,g) = sup^x \f(x) — g(x) | полно.
Более слабым, чем непрерывность, является свойство секвен¬
циальной непрерывности. Отображение /: X —> Y называется
секвенциально непрерывным, если для всякой последовательно¬
сти точек хп из X, сходящейся к х, последовательность {f(xn)}
сходится к f(x). Для метрических пространств оба понятия рав¬
носильны. Обоснование следующего примера — задача 1.9.38.
1.6.8. Пример, (i) Пусть С[0,1] — пространство всех непре¬
рывных функций на [0,1] с метрикой d(f,g) = supt |/(£) — g(t)\.
Тогда на С[0,1] непрерывна функция

1.6. Топологические пространства
37
(ii)	Пусть X есть множество всех непрерывных функций на
отрезке [0,1], наделенное топологией поточечной сходимости, т.е.
топологией, индуцированной из ГО]0,11. Тогда функция / из (i)
секвенциально непрерывна, но разрывна в каждой точке. Всюду
разрывна и непрерывная по метрике из (i) функция
д: хи / x(t)dt.
Jo
Следующее понятие придает точный смысл выражению «то¬
пологические пространства с одинаковыми свойствами».
1.6.9.	Определение. Гомеоморфизмом топологических про¬
странств X и Y называется такое взаимно однозначное отоб¬
ражение h пространства X на Y, что h и h~l непрерывны. При
этом X uY называются гомеоморфными.
Топологическое пространство метризуемо тогда и только то¬
гда, когда оно гомеоморфно метрическому пространству.
Обсудим еще часто используемую конструкцию произведения
топологических пространств. Пусть Т — непустое множество ин¬
дексов и Xt, где t Е Т, — непустые топологические пространства.
Произведением Y[t€T Xt множеств Xt называется семейство всех
наборов вида (Xt)teT> где xt € Xt при каждом t. Если все Xt
совпадают с одним и тем же пространством X, то произведение
обозначают символом Хт и называют степенью пространства X.
Произведение топологических пространств наделяется следу¬
ющей топологией произведения: открытыми объявляются пустое
множество и всевозможные объединения произведений вида
П*ег0 х Yit&To
где множества Ut открыты в Xt и То С Г конечно. Проверка
того, что получена топология, — задача 1.9.66. Например, если
Xt = Ш1 для всех £, то получаем уже рассмотренную ранее то¬
пологию пространства ЮТ. Если Т бесконечно, то произведение
бесконечного числа открытых множеств Ut ф Xt уже не будет от¬
крыто. Произведение счетного набора метрических пространств
(Xn, dn) можно снабдить метрикой
оо
d(x, у) :=	2~n min(dn(a;n, уп), 1), х = (яп), у = (уп). (1.6.3)
71=1
Задаваемая этой метрикой топология совпадает с топологией про¬
изведения (проверка отнесена в задачу 1.9.68).

38
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.7.	Компактные множества и их свойства
Важнейшую роль в непрерывной математике имеет понятие
компактности.
1.7.1. Определение. Множество в хаусдорфовом прост¬
ранстве называется компактным (или компактом), если из
всякого его покрытия открытыми множествами можно вы¬
брать конечное подпокрытие.
Из определения ясно, что множество в хаусдорфовом про¬
странстве компактно в точности тогда, когда оно компактно
как самостоятельное пространство с индуцированной топологией.
Хаусдорфовость не всегда включается в определение и требуется
у нас лишь для удобства последующих формулировок.
Это отнюдь не напрашивающееся определение на первый
взгляд кажется слишком техническим по сравнению с интуитив¬
но убедительным свойством компактности для подмножеств пря¬
мой, состоящим в возможности выбора сходящейся подпоследо¬
вательности из всякой последовательности. Однако уже столет¬
ний опыт показывает, что данное определение (не равносильное
определению в терминах последовательностей в случае общих то¬
пологических пространств, но совпадающее с ним в метрических
пространствах) оказывается значительно более выгодным и ве¬
дет к существенно более богатой теории. Покрытие множества
открытыми множествами называют открытым покрытием.
1.7.2. Предложение, (i) Замкнутое подмножество ком¬
пакта компактно.
(ii) Компакт в хаусдорфовом пространстве замкнут.
(iii) Образ компакта при непрерывном отображении со зна¬
чениями в хаусдорфовом пространстве компактен.
(iv) Всякое бесконечное подмножество компакта имеет пре¬
дельную точку.
(v) Всякое непрерывное отображение из компактного мет¬
рического пространства в метрическое пространство равномер¬
но непрерывно.
Доказательство, (i) Пусть множество А замкнуто в ком¬
пакте К и семейство открытых множеств Ua покрывает А. Доба¬
вив к этому семейству открытое дополнение А, получим покры¬
тие всего К открытыми множествами. Выберем из него конечное
подпокрытие. Оно состоит из некоторых множеств Uai,. • • Дап
исходного семейства и, возможно, дополнения А. Ясно, что пер¬
вые п множеств покрывают А.

1.7. Компактные множества и их свойства
39
(ii) Пусть К — компакт в хаусдорфовом пространстве X
и у & Х\К. Тогда для каждой точки ж € К найдутся окрестность
Ux точки х и окрестность Vx точки у с Ux П Vx = 0. Из окрестно¬
стей Ux выберем конечное подпокрытие UXl,..., UXn компакта К.
Тогда окрестность V := VXlD---nVXn точки у не пересекается
с К, ибо не пересекается с UXl U • • • U UXn. Итак, V С Х\К, что
показывает открытость Х\К.
(iii) Пусть К — компакт и f{K) — его образ при непрерыв¬
ном отображении в хаусдорфово пространство Y. Для всякого
покрытия /(К) открытыми множествами Va получаем покрытие
множества К открытыми (ввиду непрерывности /) множества¬
ми f-\Va). Выбрав из них конечное подпокрытие К, получим
конечное покрытие f(K) соответствующими множествами Va.
(iv) Пусть дана бесконечная последовательность точек хп
в компакте К. Если никакая точка х из К не является предельной
для {ж„}, то для всякой точки х Е К найдется такое открытое
множество Ux, что х & Ux и Ux П {жп} конечно. Выбрав конечное
подпокрытие, получаем, что конечна последовательность {жп},
т.е. приходим к противоречию.
(v) Пусть (X,dx) — компактное метрическое пространство,
(Y,dY) — метрическое пространство и /: X —► У непрерывно.
При заданном е > 0 для каждой точки х G X есть такое 5Х > О,
что dY Ш,№) < е при dx(y, х) < 5Х и dx(z,x) < 5Х. От¬
крытые шары В(х,дх/2) покрывают X, поэтому из них мож¬
но выбрать конечное подпокрытие B(xi,5Xl /2),...,В(хп,6Хп/2).
Пусть S := min(5a.1/2,...,8XJ2). Пусть dx(x,y) < 6. Найдется жi
с dx(x,Xi) < 8XJ2. Тогда dx(y,Xi) < 8XV ибо 8 < 8щ/2. Значит,
имеем dY (/(ж), f(yj) ^ е.	□
Как объяснено в §1.9 (iii) ниже, свойство (iv) не означает, что
из {жп} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
1.7.3.	Следствие. Непрерывная вещественная функция на
компакте принимает наименьшее и наибольшее значения.
Доказательство. Непустой компакт на прямой содержит
наименьшую и наибольшую точки. Например, наибольшая точ¬
ка — точная верхняя грань (она либо входит в это множество,
либо является пределом последовательности точек из него). □
Подмножества компактов называют относительно компакт¬
ными множествами.

40
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Компакты в метрических пространствах устроены более про¬
сто. В этом случае появляются важные дополнительные понятия.
1.7.4. Определение, (i) Пусть А — множество в метриче¬
ском пространстве (X,d) и е > 0. Множество ЕсХ называет¬
ся е-сетью для А, если для всякой точки а € А найдется точка
е € Е с d(a,e) < е. Точки из Е называются узлами е-сети.
(ii)	Множество А называется вполне ограниченным, если
для всякого е > 0 оно обладает конечной е-сетью.
Иначе говоря, вполне ограниченное множество — это множе¬
ство, которое для всякого е > 0 можно покрыть конечным числом
открытых шаров радиуса е. Отметим, что центры таких шаров
не обязаны лежать в А, но при этом в А можно найти конеч¬
ную 2е-сеть с таким же или меньшим количеством элементов,
как и число данных шаров. Для этого в каждом из упомянутых
шаров, пересекающихся с А, надо взять произвольный элемент
из А и воспользоваться неравенством треугольника. Для каждо¬
го е > 0 имеется минимально возможное число элементов е-сети
для А, обозначаемое через Ne. Двоичный логарифм числа Ne —
важная метрическая характеристика вполне ограниченного мно¬
жества, называемая метрической энтропией. Эта характеристи¬
ка используется в различных областях, в частности, в теории
информации. Отметим, что вполне ограниченное пространство
сепарабельно: взяв конечное число узлов l/n-сети для каждо¬
го п, получаем не более чем счетное всюду плотное множество.
Вполне ограниченные множества называют также предкомпакт-
ными (но единообразия в терминологии здесь нет). Легко видеть,
что замыкание вполне ограниченного множества вполне ограни¬
чено (е-сетъ для А есть 2г-сеть для А). Ограниченность множе¬
ства не означает, что оно вполне ограничено.
1.7.5. Пример, (i) Пространство ИМ с расстоянием 1 между
всякими различными элементами ограничено (является замкну¬
тым шаром радиуса 1 с центром в любой точке), но не вполне
ограничено: это пространство нельзя покрыть конечным числом
шаров радиуса 1/2. (ii) В пространстве Z2 шары не являются
вполне ограниченными. Например, шар радиуса 1 с центром в ну¬
ле содержит точки еп, у которых n-ая координата 1, а осталь¬
ные 0. Тогда d(en,e*;) = \/2 при п ф к. Значит, конечное число
шаров радиуса 1/2 не может покрыть все еп.
Отметим такое свойство вполне ограниченных множеств, оче¬
видное из определения.

1.7. Компактные множества и их свойства
41
1.7.6. Пример. Равномерно непрерывные отображения пе¬
реводят вполне ограниченные множества во вполне ограничен¬
ные. В частности, это верно для липшицевых отображений.
Докажем следующий критерий того, что множество вполне
ограничено, в терминах фундаментальных последовательностей.
1.7.7. Предложение. Множество А в метрическом про¬
странстве X вполне ограничено в точности тогда, когда из
всякой бесконечной последовательности его элементов можно
выделить фундаментальную подпоследовательность.
Доказательство. Пусть А вполне ограничено и {хп} с А.
Покроем А конечным числом шаров радиуса 1. Хотя бы один шар
Ui этого покрытия содержит бесконечную часть {хп}. Множество
AnU\ можно покрыть конечным числом шаров радиуса 1/2 и вы¬
брать среди них такой шар £/2, что U\ Г1С/2 содержит бесконечную
часть {хп}. Продолжая по индукции, для каждого п получаем
шар Un радиуса 1/п с тем свойством, что Vn ~ U\ П ••• П Un
содержит бесконечно много точек исходной последовательности.
Теперь можно найти попарно различные элементы х^п Е Vn. Яс¬
но, что получена фундаментальная последовательность.
Обратно, пусть А обладает указанным свойством. Предполо¬
жим, что для некоторого е > 0 в А нет конечной е-сети. По ин¬
дукции строим последовательность точек ап Е А с попарными
расстояниями не менее е: в качестве а± берем произвольный эле¬
мент А\ если точки а\,..., ап уже построены, то найдется точка
an+1 с расстояниями до всех них не менее е, ибо иначе ai,..., ап
образовывали бы е-сеть. Из такой последовательности нельзя вы¬
брать фундаментальную подпоследовательность.	□
Дадим теперь несколько равносильных описаний компактно¬
сти в метрическом пространстве. Аналогичные свойства для то¬
пологических пространств обсуждаются в §1.9(iii).
1.7.8. Теорема. Пусть К — множество в метрическом
пространстве X. Следующие условия равносильны.
(i) Множество К компактно.
(ii) Всякая бесконечная часть К имеет предельную точку
из К.
(iii) Всякая бесконечная последовательность в К содержит
подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.
(iv) Множество К вполне ограничено и полно.
В частности, если X полно, то компактность К равносиль¬
на вполне ограниченности и замкнутости.

42
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Доказательство. Мы уже знаем, что из (i) следует (и). Яс¬
но, что из (ii) следует (iii), так как если последовательность {хп}
имеет предельную точку х € К, то некоторая ее подпоследова¬
тельность сходится к х. Для этого достаточно в каждом шаре ра¬
диуса 1/п с центром в х взять точку х^п £ {#п}> отличную от х.
В силу предыдущего предложения из (iii) следует, что К вполне
ограничено. При этом К полно, так как всякая фундаменталь¬
ная последовательность точек из К содержит сходящуюся в К
подпоследовательность и потому сама сходится.
Докажем, что из (iv) следует (i). Пусть дано покрытие К от¬
крытыми множествами Ua, a Е Л. Поскольку К сепарабельно
(как отмечено выше), то по теореме 1.2.13 существует не более
чем счетное его подпокрытие {Uan}. Предположим, что из это¬
го подпокрытия нельзя выбрать конечное. Тогда для каждого п
найдется точка хп £ if, не входящая в U*=i Ввиду преды¬
дущего предложения и полноты К из последовательности {хп}
можно выбрать подпоследовательность {хПк }, сходящуюся к точ¬
ке х Е if. Найдется такой номер га, что х	£ Uarn. Следовательно,
для некоторого N получаем хПк Е Uarn	для	всех	к	^	N.	Это
противоречит тому, что хПк £ UI^i	^
Ясно, что свойство компактности инвариантно относительно
гомеоморфизмов. Докажем более сильное утверждение.
1.7.9. Теорема. Пусть X — компакт и / — непрерывное
взаимно однозначное отображение К на хаусдорфово простран¬
ство Y. Тогда /-1 также непрерывно, т.е. f — гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть g = f~l. Если Е замкнуто в X, то
Е компактно. Тогда компактно g~l(E) = f(E). Поэтому g~l(E)
замкнуто. Это дает непрерывность д.	□
Хорошей иллюстрацией использования компактности являет¬
ся следующий полезный классический результат.
1.7.10. Теорема. (Теорема Дини) Пусть последователь¬
ность непрерывных функций на компакте поточечно убывает
к непрерывной функции. Тогда она сходится равномерно. То же
самое верно в случае поточечного возрастания.
Доказательство. Пусть нам даны компакт if, непрерыв¬
ные функции fn с /п(#) ^ fn+i(%), причем известно, что функция
f(x) = lim fn(x) также непрерывна. Надо доказать, что сходи-
п—>оо
мость равномерна. Ясно, что вычитанием / мы сводим задачу

1.8. Критерии компактности
43
к случаю / = 0. Пусть е > 0. Для каждой точки х есть такой
номер п(х), что fn(x)ix) < £• Ввиду непрерывности существует
такая окрестность Ux точки х, что /п(ж) (у) < е при у 6 Ux. Эти
окрестности покрывают К, поэтому можно найти конечное под¬
покрытие UXl,..., UXrn. Положим Ne := max(n(a;i),...,п(хт)).
Тогда ввиду оценки /п+1 < /п при всех Ne получаем fn(y) < е
при всех у € К. Отметим, что непрерывность предельной функ¬
ции существенна: функции fn(x) = хп на [0,1] убывают пото¬
чечно, но не равномерно. Этот же пример с [0,1) вместо [0,1]
показывает существенность компактности К.	□
В следующем параграфе будут получены критерии компакт¬
ности в некоторых конкретных метрических пространствах.
В стандартном координатном пространстве IRn компактные
множества — это замкнутые ограниченные множества. В кур¬
се анализа этот факт обычно выводится из случая п = 1, ко¬
торый в свою очередь устанавливается с помощью свойств ве¬
щественных чисел. В большинстве интересных для приложений
пространств класс компактных множеств строго содержится в
классе замкнутых ограниченных множеств. Поэтому представля¬
ют значительный интерес критерии компактности в конкретных
пространствах. Здесь мы рассмотрим три характерных примера.
1.8.1.	Теорема. Множество К в пространстве I2 компакт¬
но в точности тогда, когда оно замкнуто, ограничено и выпол¬
нено следующее условие:
Доказательство. Если К компактно, то оно замкнуто, ог¬
раничено и для всякого е > 0 имеет конечную е^сеть ц1,..., ат,
где аг = (а\, a\,...). Взяв N таким, что	\ah\2 < ^ ДО51 всех
г ^ га, получим YHn=Nxn < 4е2 для всякого х Е К, ибо найдется
г < т с	I	хп	~	<|2	<£2И1^ 2|жп - <|2 + 2|a*J2. Обрат-
но, если выполнено указанное условие, то множество К обладает
конечной е-сетью для каждого е > 0. В самом деле, пусть N та¬
ково, что supxeKY^=N-{-i хп < £2/4. Множество Км точек вида
nNx := (xi,..., ХМ) 0,0,...), где х Е К, является е/2-сетью для К
1.8.	Критерии компактности

44
Глава 1. Метрические и топологические пространства
(ибо расстояние между х и п^х не больше е/2). В Кн есть ко¬
нечная s/2-сеть (которая и будет конечной s-сетью для К), ибо
проекция Км на ГОЛ ограничена из-за ограниченности К и пото¬
му имеет конечную s/2-сеть, которая становится s/2-сетью для
Kn после дописывания нулевых координат с (iV+l)-ro места. □
1.8.2. Пример. Множество Е = {хеР-. ££,<*.zS<l},
где ап > 0 и ап —> +оо, компактно в I2. В самом деле, легко
проверить, что оно замкнуто и ограничено. Кроме того,
оо	оо
sup	sup sup се"1 У2 апхп < sup о:"1 -*• О
xeEn=N	xeEn^N n=N	n^N
при TV —► оо. Поэтому применима доказанная теорема.
1.8.3. Теорема. Множество К в пространстве В {О) ком¬
пактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено
и для всякого е > 0 множество Q, можно разделить на конеч¬
ное число частей fli,..., Пп с тем свойством, что при каждом
i = 1,..., п имеем \f(uj) — /(u/)| < s для всех / 6 К, и), и' £ JV
Доказательство. Как и в предыдущем доказательстве, ес¬
ли множество К компактно, то оно замкнуто, ограничено и для
всякого е > 0 имеет конечную s-сеть Д,..., fm. Для конечного на¬
бора функций Д,..., fm нужные множества Й* существуют. Дей¬
ствительно, отображение F = (Д,..., /т): П —► JRm принимает
значения в ограниченном множестве М. Разделим М на дизъ¬
юнктные части Mi диаметра менее s и положим П* := F~1(Mi).
Остается заметить, что для всякой функции / Е К при u;, и/ 6 £2
имеем | f(uj) — /(u/)| < 3s. В самом деле, найдется такая функция
Д из выбранной s-сети, что d(/, Д) < s, откуда
1/м - /м)1«1/М - Ш\ + \!М - Ш)\ + йИ - /М1-
Обратно, пусть выполнено указанное условие. Достаточно пока¬
зать, что К вполне ограничено. Пусть s > 0. Возьмем указанные
в условии множества fli,..., fin. Существует такое число М > 0,
что sup^Q 1/0*01 ^ М для всех f е К. Отрезок [—М, М] раз¬
делим точками а\ — —М,..., ат = М на отрезки равной длины
менее s. Рассмотрим конечное множество F всех функций / на П
таких, что на каждом из множеств П* функция / принимает по¬
стоянное значение из {ai,... ,am}. Полученное множество явля¬
ется 3s-ceTbio для К. Действительно, для всякой функции / £ К
можно выбрать по точке о;» в каждом П*, а затем взять число

1.8. Критерии компактности
45
Uj(i) так, что f(wi) € [aj(*)’ai(0+i]- ФУНКЦИЯ 9, равная на fl*,
входит в F. При этом |/(о;) — д(ш)\ < 2е для всех ш Е П. В самом
деле, a; G Пг при некотором г, откуда получаем
I/M - pMI < 1/М - /М)I + 1/М) - 5М)1 + ЬМ) - »М1 < 2^,
ибо |/М - /М)1 < е и рМ) = flM-	п
1.8.4. Теорема. (Теорема Асколи-Арцела) Множество
К в пространстве С[а,Ь] компактно в точности тогда, когда
оно замкнуто, ограничено и равностепенно непрерывно, т.е. для
всякого е > 0 найдется такое 6 > 0, что при \t — s\ < 6 имеем
|/(t) — /(^) | < £ для всех / G К. Аналогичное утверждение верно
в случае пространства С(Х), где X — метрический компакт.
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, необходи¬
мость указанного условия легко усмотреть из того, что оно вы¬
полнено для конечных множеств. Достаточность этого условия
следует из предыдущей теоремы. Действительно, пространство
С[а,Ъ\ изометрично части пространства В([а,Ь]). Поэтому доста¬
точно проверить, что К вполне ограничено как подмножество
В ([а, Ь]). В качестве множеств П* можно взять промежутки дли¬
ны менее S, дающие в объединении [а, Ь]. Это же рассуждение
годится для любого метрического компакта X вместо отрезка
(в качестве П* надо брать части диаметра менее д).	□
Задача 1.9.45 предлагает распространить этот результат на
отображения со значениями в метрических пространствах. Ана¬
лог для общих компактов К указан в задаче 1.9.75.
1.8.5. Замечание. Если в трех теоремах выше опустить усло¬
вие замкнутости, то получим критерии вполне ограниченности
в соответствующих пространствах. Это ясно из доказательств.
1.8.6. Следствие. Если X — метрический компакт, а по¬
следовательность функций fn € С(Х) поточечно сходится и рав¬
ностепенно непрерывна, то она сходится равномерно.
Доказательство. Условия легко дают равномерную огра¬
ниченность {fn} и единственность предельной точки в С(Х).	□
:..8.7. Пример. Множество Ес всех дифференцируемых на
[0,1] функций / с |/(0) | ^Си supt |/'(t) | < С вполне ограничено
в С 0,1]. В самом деле, |/(£) — f(s)\ < C\t — s| для всех / Е Ес
по теореме о среднем, что дает равностепенную непрерывность.
Кроме того, \f(t)\ < |/(0)| + C\t\ ^ 2С, т.е. Ес ограничено.

46
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.	Дополнения и задачи
(i) Направленности в топологических пространствах (46). (ii) Те¬
орема Тихонова (49). (iii) Счетная и секвенциальная компакт¬
ность (50). (iv) Функциональная отделимость множеств (53).
(v) Теорема Стоуна—Вейерштрасса (59). (vi) Канторовское множе¬
ство (62). Задачи (63).
1.9(i). Направленности в топологических пространствах
В отличие от случая метрических пространств, наиболее важные
свойства множеств в общих топологических пространствах нельзя опи¬
сать в терминах последовательностей. Для этого приходится привле¬
кать обобщенные последовательности, индексируемые несчетными мно¬
жествами.
Будем называть непустое множество Т направленным, если на нем
введена частичная упорядоченность (см. §1.1), удовлетворяющая сле¬
дующему условию: для всяких t, s € Т найдется uGTct^uns^u.
В направленном множестве могут быть несравнимые элементы. На¬
пример, на IR2 можно ввести частичный порядок (х, у) ^ (и, v) посред¬
ством условий х ^ и, у ^ V. При этом не все элементы сравнимы, но
всякие два мажорируются некоторым третьим.
Направленностью в X называют набор элементов {xt}teT в X,
индексируемых направленным множеством Т. Аналогичным образом
определяется направленность множеств {Ut}teT в X. Направленность
{%t}teT называется поднаправленностью направленности {y3}ses, если
есть такое отображение п: Т —► 5, что xt = y^t) и дая всякого so € S
найдется to € Т с п(t) ^ so при всех t^ to. Надо иметь в виду, что даже
если индексирующее множество S направленности счетно, не всякая его
счетная часть дает поднаправленность. Например, если S = Z с обыч¬
ным порядком, то элементы с отрицательными индексами не образуют
поднаправленность: здесь нарушено условие, что для всякого индекса
исходной направленности есть больший индекс поднаправленности.
1.9.1.	Определение. Направленность	в	топологическом
пространстве X сходится к элементу х, если для всякого открытого
множества U, содержащего х, найдется такой индекс to, что xt £17
для всех t € Т с to < t. Обозначение: lim х* = х.
Важное отличие сходящейся направленности от сходящейся после¬
довательности состоит в том, что множество индексов t таких, что
t ^ to и xt не входит в U, может быть бесконечно. Таким образом,
выражение «все элементы направленности, начиная с некоторого, по¬
падают в U» имеет несколько иной смысл и не означает «все, кроме
конечного числа». Даже счетная сходящаяся направленность — не то
же самое, что сходящаяся последовательность. Например, если Т = Z

1.9. Дополнения и задачи
47
с обычным порядком, xt = 1/t при t > 0 и xt = 1 при t < 0, то полу¬
ченная направленность сходится к нулю. Ее часть с t < 0 лежит вне
(—1,1) и не является поднаправленностью, как пояснено выше.
1.9.2. Предложение. Пусть X uY — топологические простран¬
ства. Отображение f:X—>Y непрерывно в точке х в точности
тогда, когда для каждой направленности {ха}, сходящейся к х, на¬
правленность {f{xQ)} сходится к f(x).
Доказательство. Пусть / непрерывно в точке х, направленность
{ха} сходится к х и V — окрестность f(x). Возьмем такую окрестность
U точки х, что f(U) С V. Выберем индекс ао с тем свойством, что
ха £ U при ао < а. Тогда f(xa) £ f(U) С V при всех таких а, т.е.
имеем /(х) = Ит/(ха).
а.
Обратно, пусть выполнено указанное условие с направленностями,
и пусть V — окрестность точки f(x). Возьмем в качестве множества
индексов Т семейство U всех окрестностей точки х со следующим от¬
ношением: U\ < С/2, если Uч С U\. Ясно, что получено направлен¬
ное множество. Предположим, что для всякого U £Ы найдется точка
хи £ U с f(xu) V. Полученная направленность {хц} сходится к х.
В самом деле, пусть W — окрестность х. Тогда при W < U мы имеем
U С W. Поэтому Х[/ £ U С W. Наше условие дает такую окрест¬
ность Uо, что f(xu) € V при Uo < U, что противоречит выбору эле¬
ментов хи- Следовательно, наше предположение неверно, т.е. найдется
такая окрестность U точки х, что f(U) С V. Это доказывает непрерыв¬
ность / в точке х.	□
Приведем другой пример использования направленностей.
1.9.3. Пример. Предельная точка множества А в топологическом
пространстве X является пределом некоторой направленности элемен¬
тов А, отличных от данной точки. В самом деле, используем то же ин¬
дексное множество, что и в доказанном выше предложении. Тогда для
каждой окрестности U данной предельной точки х существует элемент
хи € АП U, отличный от х. Полученная направленность сходится к х.
Отметим, что предельная точка множества, образованного всеми
элементами направленности {х*}, может не быть пределом какой-либо
поднаправленности в {х*} (хотя и является пределом направленности,
составленной из элементов {х*}). Например, пусть Т = Z с обычным
порядком, хп = 1/га при га < 0, хп = га при га ^ 0. Тогда 0 — предельная
точка множества чисел хп, но в направленности {хп} нет сходящихся
к нулю поднаправленностей. Наконец, даже если направленность со¬
держит лишь счетное число различных точек и сходится к некоторому
пределу, может не существовать никакой сходящейся счетной последо¬
вательности элементов этой направленности.

48
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.4. Пример. Пусть X = [0,1]ш с топологией поточечной схо¬
димости. Положим xn(t) = sinnt. Всякая окрестность U точки х = О
содержит некоторый элемент хп. Действительно, окрестность U содер¬
жит окрестность вида
= {х: \x(ti)\ < е,г = 1,..., fe}.
Нетрудно видеть (читателю предлагается это проверить), что при неко¬
тором п мы имеем | sinnti| < е при i = 1,..., к, т.е. хп € TJq. Из преды¬
дущего примера следует, что существует сходящаяся к нулю направлен¬
ность, состоящая из элементов данной последовательности. С другой
стороны, легко показать, что нет такой последовательности натураль¬
ных чисел п*, что sin nit —» 0 при всех t, т.е. никакая подпоследователь¬
ность в {хп} не сходится к нулю.
Все эти простые примеры и утверждения демонстрируют также
весьма характерные приемы обращения с направленностями. Приве¬
дем еще одно полезное, но чуть более трудное утверждение похожего
типа. Будем говорить, что направленность {х*} часто бывает в мно¬
жестве Е, если для всякого to найдется t с to < t и xt £ Е.
1.9.5. Предложение. Пусть направленность {xt}teT элементов
топологического пространства X и точка х € X таковы, что {х*}
часто бывает в каждой окрестности х. Тогда в {xt} есть поднаправ-
ленность, сходящаяся к х.
Доказательство. Решающий момент здесь — правильный выбор
индексирующего множества для поднаправленности. В качестве такого
множества S возьмем совокупность всех пар вида s = (t, С/), где t £ Т,
U — окрестность х и х* £ U. На множестве пар отношение частичного
порядка зададим так:
(ti, U\) < (t2, U2), если ti < t2 и U2 С C/i.
Ясно, что это действительно отношение частичного порядка. При этом
S направленно. В самом деле, поскольку Т направленно, для всяких
si = (ti,J7i) И52 = (£2,^2) из S найдется to £ Т с t\ < to и t2 < t0.
Положим Us = E/in{72. По условию существует ts £ Т с to < ts, xt3 £ U3.
Тогда элемент S3 := (t3, U3) входит в S и мажорирует si и s2.
Теперь положим х8 := xt при s = (t, U). Тогда х = limxs. Действи-
3
тельно, пусть U — окрестность х. Так как {х*} часто бывает в С/, то
найдется to £ Т с xto £ U, т.е. so := (to, 17) £ S. Если s = (t, F) и So < s,
то получаем xs = xt £V С U, что и доказывает наше утверждение.
Наконец, не забудем проверить, что {xs} — поднаправленность ис¬
ходной направленности. Для каждого s = (t,U) £ S положим 7r(s) = t.
Пусть to £ Т. Поскольку в качестве U можно брать и все X, то пара
s0 = (to, X) входит в S. Если so < s = (t, V) £ 5, то to < t = tt(s), что
завершает доказательство.	□

1.9. Дополнения и задачи
49
Еще раз обратим внимание на то, что для справедливости заклю¬
чения этого предложения мало предположить, что х есть предельная
точка множества элементов xt даже в случае прямой.
Направленности будут использованы ниже в §1.9(iii) для описания
компактности в терминах сходимости.
1.9(ii). Теорема Тихонова
Приведем одну полезную характеризацию компактности. Семей¬
ство множеств в пространстве X называется центрированным, если
каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение.
1.9.6. Теорема. Хаусдорфово пространство X компактно в точ¬
ности тогда, когда всякое центрированное семейство его замкнутых
подмножеств имеет непустое пересечение.
Следовательно, X компактно в точности тогда, когда всякое
центрированное семейство его произвольных подмножеств имеет об¬
щую точку прикосновения.
Доказательство. Пусть X компактно и Т — некоторое центри¬
рованное семейство его замкнутых подмножеств. Если пересечение всех
множеств из Т пусто, то дополнения множеств из Т образуют открытое
покрытие X. Ввиду компактности из этого покрытия можно выделить
конечное подпокрытие множествами X\Fi, ..., X\Fn, где F* £ Т. То¬
гда pf=1 Fi пусто вопреки условию.
Обратно, пусть X удовлетворяет указанному условию, и пусть от¬
крытые множества Ua, а £ А, покрывают X. Тогда замкнутые множе¬
ства X\Ua имеют пустое пересечение. Следовательно, найдется конеч¬
ный набор индексов а\,... ,ап, для которого множество f)7=i(X\Uai)
пусто. Это означает, что X = UILi Uai. В случае произвольных под¬
множеств надо применить доказанное к их замыканиям.	□
Очень важную роль в топологии и функциональном анализе, а так¬
же в их приложениях играет следующий результат А.Н. Тихонова.
1.9.7. Теорема. (Теорема Тихонова) Пусть Т — непустое
множество индексов и для каждого t £ Т дано непустое компакт¬
ное пространство Kt. Тогда произведение К := Yiter^t компактно
в топологии произведения.
Доказательство. Проверим, что всякое центрированное семей¬
ство S подмножеств пространства К имеет общую точку прикосно¬
вения. Тогда можно будет применить предыдущую теорему. Сначала
покажем, что данное семейство можно считать максимальным, т.е. что
нет строго содержащего его центрированного семейства. Для этого рас¬
смотрим множество 0, элементы которого — всевозможные центри¬
рованные семейства подмножеств К, содержащие данное семейство S.

50
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Оно частично упорядочено по включению, причем всякая линейно упо¬
рядоченная часть 6 имеет мажоранту: объединение всех семейств этой
части. По лемме Цорна в 0 есть максимальный элемент, которым мож¬
но заменить S. Из максимальности S следует, что S замкнуто относи¬
тельно конечных пересечений, ибо добавление к S всевозможных ко¬
нечных пересечений множеств из S дает центрированную систему.
Теперь, считая, что семейство S максимально, для каждого t возь¬
мем естественное проектирование 7г*: К —» Kt и рассмотрим семейство
St := {7г*(Л): Л Е S} подмножеств в Kt, т.е. проекции на Kt исходных
множеств. Ясно, что это семейство также центрировано. Ввиду ком¬
пактности Kt оно имеет общую точку прикосновения. Возьмем какую-
либо из таких точек xt• Покажем, что точка х = (xt) € К — искомая.
По определению топологии в К всякая окрестность этой точки содер¬
жит окрестность вида V := П* Ut, где для некоторого конечного набора
ti,...,£п множества С/** — окрестности а все остальные Ut совпа¬
дают с Kt. В силу выбора xt каждая окрестность Ut пересекается со
всеми множествами семейства S*, т.е. 7г^“1 () пересекается со всеми
множествами семейства S. Ввиду максимальности S мы получаем, что
€ S, ибо добавление 7rt“1(f/t) к S приводит к центрированной
системе. Поскольку S замкнуто относительно конечных пересечений,
получаем V Е S. Тем самым множество V пересекается с каждым мно¬
жеством из S, т.е. х — общая точка прикосновения.	□
Имеются и другие доказательства этого важного результата.
Теорема Тихонова часто используется для доказательства компакт¬
ности более специальных множеств путем вложения их в произведение
компактов и проверки замкнутости образа. Например, таким спосо¬
бом ниже будет доказана важная теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки.
Следует сказать также, что всякий компакт гомеоморфен компакту
в некоторой степени отрезка (см. задачу 1.9.73).
1.9(iii). Счетная и секвенциальная компактность
В неметризуемых пространствах компактность отнюдь не всегда
характеризуется через последовательности.
1.9.8.	Определение. Множество в хаусдорфовом пространстве
называется секвенциально компактным, если из всякой бесконечной
последовательности его элементов можно выделить подпоследова¬
тельность, сходящуюся к точке этого же множества.
Множество в хаусдорфовом пространстве называется счетно
компактным, если всякое счетное покрытие его открытыми множе¬
ствами имеет конечное подпокрытие.
Ясно, что компакты счетно компактны, но обратное неверно, как
мы увидим ниже. Кроме того, компакт не обязан быть секвенциально
компактным.

1.9. Дополнения и задачи
51
1.9.9. Пример. Пусть X — [—1,1]®* = {х: IR —> [—1,1]} с то¬
пологией произведения. По теореме Тихонова X компактно, однако
последовательность элементов хп £ X вида xn(t) = sinnt не имеет
сходящихся подпоследовательностей. В самом деле, если бы в {хп} бы¬
ла сходящаяся подпоследовательность {хПк}, то это означало бы, что
последовательность sin rikt сходится при каждом t £ 1R. Оставляем чи¬
тателю проверку того, что это невозможно.
Однако аналог полученной выше характеризации компактности
в метрических пространствах все же возможен, если вместо последова¬
тельностей использовать направленности.
1.9.10. Теорема. Пусть X — хаусдорфово пространство. Следу¬
ющие условия равносильны:
(i) пространство X компактно;
(ii) всякая бесконечная направленность в X имеет сходящуюся
поднаправленность.
Доказательство. Пусть X компактно и {xt}teT — бесконечная
направленность в X. Заметим, что существует такая точка х £ X, что
{х*} часто бывает в каждой окрестности х. В противном случае для
каждой точки х £ X найдутся ее окрестность Ux и индекс tx такие, что
%t & Ux при tx < t. Так как множества Ux покрывают X, то некоторое
конечное их подсемейство UXl,..., UXn также покрывает X. Найдет¬
ся индекс г £ Т, мажорирующий все tXi, % ^ п. Тогда для всякого t
с г < t получаем xt & UXl U • • • U UXn — противоречие. Теперь остается
воспользоваться предложением 1.9.5.
Пусть верно (ii), и пусть данб покрытие X открытыми множества¬
ми С/а, а £ А. Рассмотрим множество Т, состоящее из всевозможных
конечных подмножеств А, частично упорядоченное по включению. Яс¬
но, что это направленное множество, ибо объединение двух конечных
множеств конечно. Предположим, что данное покрытие не имеет ко¬
нечного подпокрытия. Тогда для каждого t = {ai,..., ап} £ Т имеется
точка xt £ Х\ Цп=1 • Итак, задана направленность в X. По условию
она имеет поднаправленность {xs}sGs> сходящуюся к некоторой точ¬
ке х £ X. Выберем ао £ А с х £ Uao• По построению имеется такой
элемент so £ S, что х3 £ Uao для всех s £ S с so ^ s. Множество S со¬
держит элемент si, который превосходит как so, так и элемент {ао} £ Т
из одной точки ао- Тогда xSl £ Uao. Это ведет к противоречию, ибо s\
есть такой конечный набор {£i,... ,£&}, что х81 не входит в объедине¬
ние множеств U^., г ^ /с, но среди этих множеств есть Uao из-за того,
что {ао} ^ s\. Итак, всякое открытое покрытие пространства X имеет
конечное подпокрытие.	□
Как видим, здесь не упомянут аналог свойства (и) теоремы 1.7.8:
всякая бесконечная часть X имеет предельную точку. Оказывается, это

52
Глава 1. Метрические и топологические пространства
свойство в общих топологических пространствах слабее компактности
и равносильно свойству счетной компактности.
1.9.11. Предложение. Хаусдорфово топологическое пространст¬
во X счетно компактно в точности тогда, когда всякая его бесконеч¬
ная часть имеет предельную точку.
Доказательство. Пусть наше пространство X счетно компактно
и {хп} — бесконечная последовательность различных точек в X. Если
она не имеет предельных точек, то для каждого п множество Fn точек
Xk с к ^ п замкнуто. При этом H^Li = Множества X\Fn откры¬
ты и покрывают X. Значит, некоторое их конечное число покрывает X,
т.е. одно из них есть все X, что невозможно.
Пусть всякая бесконечная часть X имеет предельную точку, и пусть
открытые множества Un, где п £ JN, покрывают X. Предположим, что
для каждого п найдется точкахп, не покрытая множествами U\,..., Un.
Множество таких точек бесконечно (иначе найдется конечное подпо¬
крытие) и потому имеет предельную точку х. Найдем п с х £ Un.
Затем найдем т > п с хт £ Un (это возможно, ибо X хаусдорфово
их — предельная точка {хп}). Получено противоречие с тем, что хт
не покрыто множествами E/i,..., Um.	□
Ясно, что в доказанном утверждении достаточно рассматривать
лишь счетные подмножества.
Из этого предложения также следует уже известный нам факт, что
всякая бесконечная часть компакта обладает предельной точкой.
Из доказанного ясно, что всякое секвенциально компактное про¬
странство счетно компактно. Однако обратное неверно: в примере 1.9.9
компакт не является секвенциально компактным. Приведем пример
некомпактного счетно компактного и секвенциально компактного про¬
странства.
1.9.12. Пример. Пусть S — множество всех функций х на прямой
со значениями в [0,1], для которых существует счетное множество Ех,
вне которого функция х равна нулю. Тогда с топологией поточечной
сходимости (т.е. топологией, индуцированной компактным простран¬
ством [ОД]11) пространство S не является компактным, хотя счетно
компактно и даже секвенциально компактно. Действительно, если да¬
на последовательность функций хп £ 5, то имеется счетное множество
Е = {£j}, вне которого все хп равны нулю. С помощью диагонально¬
го метода можно выбрать подпоследовательность {хПк}, сходящуюся
в каждой точке tj. Легко видеть, что S всюду плотно в [0,1]ш. Поэто¬
му S — не компакт. Можно также и явно указать открытое покрытие,
не имеющее конечного подпокрытия. Для этого рассмотрим открытые
в S множества
Ut,k := {х £ S: \x(t) —t\> 1 /к}, t £ [0, l],fc £ IN.

1.9. Дополнения и задачи
53
Всякая точка х из S входит в одно из £/*,& (достаточно взять t ф О
с x(t) = 0 и fc с 1/fc < t), но никакое конечное их объединение не
исчерпывает S.
Таким образом, счетная компактность вытекает как из компакт¬
ности, так и из секвенциальной компактности, но других импликаций
между этими тремя понятиями в общем случае нет. В метрических же
пространствах они равносильны.
1.9(iv). Функциональная отделимость множеств
Во многих приложениях общей топологии бывают важны непре¬
рывные функции на компактах. Пока же из наших рассмотрений никак
не вытекает, что на бесконечных компактах всегда есть непостоянные
непрерывные функции. Конечно, на метрических компактах можно
задавать такие функции с помощью метрики. Но как быть с общи¬
ми топологическими компактами? Ответ дается замечательной теоре¬
мой П.С. Урысона, которая применима даже к более широкому клас¬
су нормальных пространству т.е. таких хаусдорфовых топологических
пространств, в которых для всяких непересекающихся замкнутых мно¬
жеств А и В можно найти непересекающиеся открытые множества U
hVcAcUhBcV.
1.9.13.	Пример. Всякий компакт является нормальным простран¬
ством. Кроме того, всякое метрическое пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В — дизъюнктные замкнутые мно¬
жества в компактном пространстве. Заметим сначала, что для всякой
точки х вне В имеются такие открытые множества Ux и Vx, что х е Ux,
В cVxHUxnVx = 0, т.е. х и В разделяются открытыми множествами.
В самом деле, для каждого у € В найдем непересекающиеся окрестно¬
сти Wy и Sy точек х и у. Из покрытия компакта В множествами Sy
выберем конечное подпокрытие Syi,..., SVri и положим
Ux = Wyi П • • • П Wyn, Vx = Syi U • • • U SVn.
Так как замкнутые множества А и В в компакте дизъюнктны, то по
доказанному для каждой точки х € А имеются окрестность Ux точки х
и окрестность Vx множества В с UxnVx = 0. Покрытие А множествами
Ux имеет конечное подпокрытие UXl, • • •, UXn. Положим
U = Ux 1 U • • • U UXn, V = VXl П • • • П VXn •
В случае метрического пространства подходят множества
и := UxeA5^’^^’5)/2)’ v '■= Щв	(х,А)/2),
что легко проверяется с помощью неравенства треугольника. Еще про¬
ще сразу проверить функциональную отделимость А и В с помощью
указанной ниже формулы.	□

54
Глава 1. Метрические и топологические пространства
Множества А и В в топологическом пространстве X называют-
ся функционально отделимыми, если существует такая непрерывная
функция /: X —» [0,1], что А С /~’1(0) и В С /_1(1).
Следующий важный результат получен П.С. Урысоном.
1.9.14.	Теорема. (Теорема Урысона) В нормальном простран¬
стве всякие два непересекающиеся замкнутые множества функцио¬
нально отделимы. В частности, это верно для компактных и для
метризуемых пространств.
Доказательство. Трудность построения нужной функции за¬
ключается в том, что у нас нет никакой информации о нашем про¬
странстве X, кроме знания о существовании разделяющих окрестно¬
стей. Поэтому эта функция строится весьма неявно путем указания ее
множеств уровня. Пусть А и В — дизъюнктные замкнутые множества.
Найдется такое открытое множество U, что AdUdV:— Х\В. Пред¬
положим, что для каждого двоично-рационального числа г £ [0,1], т.е.
числа вида га2”п, нам удалось указать открытое множество Ur С X
так, что Uq = U, U\ — V, Ut С Ur при t < г. Зададим функцию /
формулой
f(x) = inf {г: х £ Ur} при х £ V, f(x) = 1 при х £ X\V.
Заметим, что f(x) = 0 для х £ А С U. По построению В С /_1(1).
Для доказательства непрерывности / достаточно проверить откры¬
тость множеств /_1((а,6)). Неравенство f(x) < b равносильно тому,
что х £ Ur при некотором г <Ъ, т.е. множество /_1([0,b)) = (Jг<ъ^г
открыто. Неравенство f(x)>a равносильно тому, что существует та¬
кое г > а, что х 0 Ur. По свойствам Ur это выполнено в точности тогда,
когда при некотором q > а мы имеем х (£Uq. Следовательно,
Г1((а,1])=и9>0(^\Ю.
что показывает открытость множества /-1 ((а, 6)). Остается найти мно¬
жества Uг для г вида г = m2”71. Применим индукцию по п. Пусть
множества Ur построены при всех г = m2”71, где т = О,...,2П. На
следующем шаге нужно найти множество Ur для каждой новой точ¬
ки — середины г отрезка [s, t] с s = m2”71, t = (т + 1)2”п. Для такой
точки г множество Ur находится так: поскольку замкнутые множества
U8 и X\Ut не пересекаются, то найдутся такие открытые множества Ur
и Vr, что Us С Ur и X\Ut С Vr. Из последнего включения следует, что
и~г С Ut, поэтому Uг подходит для наших целей.	□
В случае метрического пространства нужную функцию можно за¬
дать явно: / =	+	/2), где fi(x) = dist (х, A), f2(x) = dist (х, В).

1.9. Дополнения и задачи
55
При этом выполнено даже более сильное условие (которого не всегда
можно добиться для общих компактов): А = /_1(0), В = /_1(1).
Близкой по духу и сфере применений является следующая теорема
Титце-Урысона о продолжении непрерывных функций.
1.9.15. Теорема. Пусть X — нормальное топологическое про¬
странство и Z — замкнутое подмножество в X. Тогда всякая огра¬
ниченная непрерывная вещественная функция на Z продолжается до
непрерывной вещественной функции на всем X без изменения инфи-
мума и супремума.
В частности, это верно, если X компактно или метризуемо.
Доказательство. Без ущерба для общности можно считать, что
infZez f{z) = —1, supzez fiz) = 1. Идея построения продолжения со¬
стоит в следующем: сначала проверим, что для всякого с > 0 и всякой
непрерывной функции ip: Z —> [—с, с] существует такая непрерывная
функция ф: X —► [—с/3,с/3], что snpzeZ\\<p(z) — ф(г)\ < 2с/3. В са¬
мом деле, множества А := <£_1([—с, —с/3]) и В := <р~г([с/3,с]) замкну¬
ты и дизъюнктны. По теореме Урысона существует такая непрерыв¬
ная функция g: X —> [0,1], что А С <7_1(0) и В С gr_1(l). Положим
ф(х) = 2с{д{х) — 1/2)/3. Тогда \ф(х)\ < с/3 и |ip(z) — ^(z)| < 2с/3 для
всех z £ Z, ибо при z £ А имеем tp(z) £ [—с, —с/3] и 'ip(z) = —с/3,
при z £ В имеем cp(z) £ [с/3, с] и ф(г) = с/3, а для прочих z £ Z
имеем \<p{z)\ < с/3 и \ф(г)\ ^ с/3. Теперь по индукции находим такие
непрерывные функции на X, что
sup\fk(x)\ < (2/3)fc-1/3,	sup|/(;z) - £*=1 /j(z)| < (2/3)*.
x€X	z€Z	J
В качестве /i берем построенную выше функцию ф для функции <р = f
и с = 1. Если /1,..., fk уже построены, то применяем доказанное выше
к функции (р = / — Sj=i Л на Z и с = (2/3)*. Равномерно сходящийся
ряд YlkLi fk задает искомое продолжение.	□
С функциональной отделимостью связано построение так называ¬
емых разбиений единицы, используемых во многих вопросах.
1.9.16. Теорема. Пусть X — нормальное топологическое про¬
странство и {Ut}teT — его покрытие открытыми множествами, ло¬
кально конечное в следующем смысле: каждая точка обладает окрест¬
ностью, пересекающейся лишь с конечным числом этих множеств.
Тогда существует семейство непрерывных функций ft: X —> [0,1] со
следующими свойствами: Ylter f*(x) = * ^ля всех х и ft = 0 вне Ut
для всякого t.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что существует открытое
покрытие {Vt}teT пространства X с Vt С Ut при всех t. Пусть W —

56
Глава 1. Метрические и топологические пространства
класс всех открытых множеств в X, и пусть F — семейство всех таких
отображений F: Т —► W, что \JteTF(t) = X, причем либо F(t) = Ut,
либо F(£) С Ut- Исходное покрытие дает отображение из F. Данное
семейство Т частично упорядочено следующим образом: Fi ^ F^, если
F2(£) = Fi(t) для всякого такого t, что Fi(t) Ф Ut- Нетрудно проверить,
что действительно получен частичный порядок.
Докажем, что всякая линейно упорядоченная часть Fo С F имеет
мажоранту Fo, задаваемую формулой Fo(t) := ПFeTo ^(0* Для этого
надо лишь убедиться, что F0 £ F. Ясно, что множество Fo(t) либо
совпадает с Ut, либо имеет замыкание, входящее в Ut. При этом Fo(£)
открыто, ибо если F(t) Ф Ut при каких-то F £ Fo и t £ Т, то для
всякого другого Ff £ Fo мы имеем либо F'(t) = Ut, либо Ff(t) = F(t).
Это следует из того, что либо F < F', либо F' < F ввиду линейной
упорядоченности Fo. Чтобы проверить, что X = [jteT F(t), возьмем
х £ X и выберем конечное множество индексов t\,...,tk € Т, для
которых х £ Ui=i Uti и х ф Ut при t ф {t\,... ,£&}. Это возможно по
условию. Если Fo(ti) = Ut{ при некотором г < fc, то проверка окончена.
Пусть F(£*) ф Uti при всех i ^ к. Тогда для каждого г ^ к найдется
Fi £ Fo с Fi(ti) ф Uti- Ввиду линейной упорядоченности Fo имеется
такое j < к, что Fi ^ Fj при i < к, что дает х € Fj(U) при некотором
i ^ к, ибо х ^ Fj(t) при t ф {t\,... ,£*;} из-за того, что х ф Ut, но при
этом х £ (J^ак как	7^ то из сказанного выше сле¬
дует, что Fi(ti) = Fj(ti) = F(ti) для всех таких F £ Fo, что F(U) ф Uti.
Следовательно, х £ Fo(ti) = Fj(U).
По лемме Цорна в F есть максимальный элемент F. Покажем, что
F(t) С Ut при всех t, что и даст нужное покрытие. Допустим, что
F(t) П (X\Uto) ф 0 при некотором to- Тогда из определения F следу¬
ет, что F(to) = Ut0- Множество Е := X\Ut_^oF(t) С F(to) замкнуто.
Ввиду нормальности X есть такое V £ W, что Е с V С V С F(to).
Отображение F', заданное формулой F'(to) = V, F'(t) = F(t) при
t ф to, входит в F, причем F ^ F' и F Ф F'. Это противоречит макси¬
мальности F и доказывает, что F(t) С Ut при всех t.
2. Возьмем такие открытые множества Wt, что V* С Wt и Wt С Ut.
Согласно теореме Урысона для каждого ^существует непрерывная
функция gt: X [0,1] с gt{x) = 1 при х £ Vt и gt(x) = 0 при х ф Wt-
Значит, каждая точка имеет окрестность, в которой лишь конечное
число функций gt отлично от нуля. Поэтому функция д — YLt 9t ко¬
нечна и непрерывна. Кроме того, д(х) ^ 1, ибо всякая точка х входит
в некоторое Vt и потому gt(x) = 1. Остается положить ft := gt/9-	□
Для применений этой теоремы полезно уметь вписывать в откры¬
тые покрытия локально конечные открытые покрытия. Это не всегда

1.9. Дополнения и задачи
57
возможно. Пространства, в которых это возможно, называются па-
ракомпактными. Ясно, что компактное пространство паракомпактно.
Следующая теорема Стоуна показывает, что метризуемые простран¬
ства также паракомпактны.
1.9.17.	Теорема. Пусть (X,d) — метрическое пространство,
{Ut}teT — его открытое покрытие. Тогда найдется локально конечное
покрытие {V^}sGs пространства X, вписанное в {Ut}teT, яъе. всякий
его элемент входит в какой-либо элемент исходного покрытия. При
этом можно взять S состоящим из счетного числа частей Sj с тем
свойством, что для всякого j каждая точка имеет окрестность, пе¬
ресекающуюся не более чем с одним из множеств V3 с s £ Sj.
Доказательство. Превратим Т во вполне упорядоченное мно¬
жество. Напомним, что тогда всякое непустое подмножество Т имеет
наименьший элемент. По индукции зададим семейства V* =
г € IN, открытых подмножеств X формулой Vt^ := [j В(с,1/2г), где
В(с,г) — открытый шар радиуса г с центром в с и объединение берет¬
ся по всем с £ X, удовлетворяющим следующим условиям: (1) t есть
наименьший элемент Т, для которого с £ Ut\ (2) с £ V.J при j < г
И5<еГ;(3)£(с,3/2*)сС/*.
Ясно, что Vt,i С Ut. Пусть х £ X. Выберем наименьшее t с х £ Ut,
а затем такое i £ IN, что В(х, 3/2г) С Ut- Заметим, что либо х ZV.J
при некоторых j < г и s £Т, либо х £ Vtfi. Итак, V := Ui^i И является
открытым покрытием, вписанным в исходное.
Покажем, что при фиксированном г мы имеем d(x,xf) > 1/2г, ес¬
ли х £ V8ii, х' £ Vt,i и s ф t. Это означает, что всякий шар радиуса
1/2г+1 пересекает не более одного множества из Vi. Пусть s < t. По
определению Vs^ и Vtyi найдутся такие точки с и с', удовлетворяющие
(1)-(3), что х £ В(с, 1/2*) С VSyi и xf £ B(d, 1/2*) С Vtyi. Так как
с' £ Us ввиду (1) и В(с, 3/2% С Us ввиду (3), то d(c, d) ^ 3/2*. Поэтому
d{x,x') ^ d(c,d) — d(c,x) — d(d,xf) > 1/2% что и требовалось.
Для завершения доказательства достаточно показать, что для вся¬
ких t £ Т и пары натуральных чисел j, к из включения В(х, 1 /2к) С Vt,j
следует равенство В(х, 1/2J+*) П V8ii = 0 при всех i^j + kns£T.
В самом деле, если это установлено, то для всякого х можно выбрать
такие k,j £ IN и t £ Т, что В(х, 1/2*) С Vtj, а тогда шар В(х, 1/2J+*)
пересекает не более j + к — 1 элементов V. Для обоснования указанно¬
го утверждения заметим, что из использованного при определении V8ti
свойства (2) следует, что упомянутые там точки с не входят в Vtj, если
j Л-к. Так как В(х, 1/2*) С Vtj, то d(x,c) > 1/2* для таких с. Ввиду
неравенств j-ffc^fc+lnz^fc + l имеем В(д;,1/2;+*)ПВ(с, 1/2г) = 0,
откуда В(х, 1/2^+*) П	= 0.	□

58
Глава 1. Метрические и топологические пространства
В терминах функциональной отделимости вводится еще один важ¬
ный класс топологических пространств. Хаусдорфово пространство X
называется вполне регулярным или тихоновским, если для каждой
точки х £ X и каждой ее окрестности U найдется непрерывная функ¬
ция /: X —► [0,1] с f(x) = 1 и f(y) = 0 при всех у 0 U. Из доказанно¬
го выше явствует, что нормальные пространства вполне регулярны.
В частности, компактные пространства вполне регулярны, ибо нор¬
мальны. Бывают, однако, вполне регулярные пространства, не явля¬
ющиеся нормальными (задача 1.9.76).
Для вполне регулярных пространств имеется важная процедура
компактификации Стоуна-Чеха. Компакт /ЗХ называется компакти-
фикацией Стоуна-Чеха вполне регулярного пространства X, если X
гомеоморфно вложено в качестве всюду плотного множества в /ЗХ, при¬
чем всякая ограниченная непрерывная функция на X продолжается до
непрерывной функции на (ЗХ.
1.9.18. Теорема. Всякое вполне регулярное пространство X име¬
ет единственную с точностью до гомеоморфизма компактификацию
Стоуна-Чеха (ЗХ.
Доказательство. Пусть Т — класс всех непрерывных функций
из X в [0,1]. Пространство [0,1]^ всех функций на Т со значениями
в [0,1] наделим топологией поточечной сходимости. Пространство X
вложено в [0,1]*^ с помощью формулы х Фж, ФДу?) := ¥>0*0 > Ч> €
Непосредственно проверяется, что X гомеоморфно своему образу при
этом вложении. В качестве (ЗХ возьмем замыкание X пространства X
в [0,1]*^ (точнее, замыкание образа при вложении). Пространство [0,1]^
компактно по теореме Тихонова, поэтому X — тоже компакт. Чтобы
продолжить ограниченную непрерывную функцию / с X на X, доста¬
точно сделать это в предположении, что f(X) С [0,1]. Тогда полагаем
/(Ф) := Ф(/), Ф € X, что возможно, ибо / € Т. Единственность (ЗХ
с точностью до гомеоморфизма — предмет задачи 1.9.79.	□
1.9.19. Следствие. Если К — компакт во вполне регулярном
пространстве X, то всякая непрерывная функция f на К продолжа¬
ется до непрерывной функции g на X с sup^* |0(X)I — suPxe*r 1/0*01-
Доказательство. Множество К компактно и в (ЗХ, поэтому при¬
менима теорема 1.9.15.	□
Обсуждение компактификаций см. в Энгелькинг [246]. Отметим
лишь, что компактификация Стоуна-Чеха — весьма сложный объект
даже для простых пространств. Например, компактификация Стоуна-
Чеха интервала (0,1) не есть отрезок [0,1]. Компактификация Стоуна-
Чеха (3HN натурального ряда IN отнюдь не совпадает с одноточечной
компактификацией IN U {оо}, а является несчетным неметризуемым

1.9. Дополнения и задачи
59
компактом. С пространства X на (ЗХ продолжаются не только ограни¬
ченные непрерывные функции, но и любые непрерывные отображения
в компакты (см. задачу 1.9.79). Заметим еще, что мы имеем (ЗХ — (ЗУ,
если X С YC (ЗХ.
1.9(v). Теорема Стоуна-Вейерштрасса
Из курса анализа известно, что всякая непрерывная функция на
отрезке равномерно приближается многочленами. Следующая фунда¬
ментальная теорема Стоуна-Вейерштрасса дает весьма широкое обоб¬
щение этого факта.
Семейство £ вещественных функций на множестве X называют
алгеброй функций, если для всех /, д £ £ и всех А £ IR1 мы имеем
А/, /+#, fg £ £, где операции над функциями определяются поточечно.
Говорят, что семейство функций Т разделяет точки множества X,
если для всякой пары разных точек х, у £ X найдется функция f £ Т
С f ix) ф f(y).
1.9.20. Теорема. (Теорема Стоуна-Вейерштрасса) Пусть
К — непустой компакт и £ — некоторая алгебра непрерывных ве¬
щественных функций на К, содержащая все постоянные и разделяю¬
щая точки. Тогда алгебра £ всюду плотна в пространстве С(К) с его
стандартной sup -метрикой.
Доказательство. Чтобы не использовать классическую теорему
Вейерштрасса, а получить ее как следствие, мы заметим, что функцию
t yft на [0,1] можно равномерно приблизить многочленами. Для это¬
го достаточно уметь приближать многочленами функции t	yjt + 1/fc,
а эти функции приближаются рядами Тейлора.
Первый этап доказательства — проверка того, что для всех_функ-
ций /, # £ £ функции min(/, g) и тах(/, д) входят в замыкание £ алге¬
бры £ в С (К). Поскольку
min(/,5) = i(/ + p-|/-3|), max(f,g) = ^(f + g+\f-g\),
то ввиду линейности £ достаточно убедиться, что |/| £ £ при f £ £.
Можно считать, что sup^. |/(х)| < 1. Возьмем последовательность мно¬
гочленов Pj, равномерно сходящихся на [0,1] к функции t у/t, и поло¬
жим fj(x) := Pj(f(x)2). Ясно, что функции fj входят в £ и равномерно
сходятся к |/| = y/f2- Отметим, что на этом этапе мы не использовали,
что К компактно, а £ разделяет точки. Кроме того, заметим, что £ —
также алгебра функций.
Теперь покажем, что для всяких / £ С(К) и е > 0 найдется элемент
fe £ £ с supa. | f{x) — fe{x)| < 6. Для каждой пары различных точек

60
Глава 1. Метрические и топологические пространства
а, b £ К по условию есть функция На,ъ € £ с /1а,б(«) Ф ha,b(b)- Положим
Мх) =	■ *м(*))+т■
Тогда /а,ь € £ и /а,б(а) = /(о), fa,b{b) = f(b). Множества
иа,ь ■= {х: fa,b(x) < f(x)+£} и Vajb ■= {я: fa,bix) > f(x) - £}
являются окрестностями точек а и b соответственно. Зафиксируем Ъ.
Из покрытия компакта К множествами Ua,b выберем конечное подпо¬
крытие множествами Uai,bi • • • > Uan,b- По доказанному выше функция
fb := min(/ai)b,..., /вп|ь) входит в £. Ясно, что /ь(х) < f(x)+e при всех
х £ К и fb(x) > f(x) — е при х £ Vb := ПГ=1 ^Ри этом множество
Vb — открытая окрестность точки 6. Из полученного покрытия компак¬
та К выберем конечное подпокрытие множествами ,..., Vbm. Нако¬
нец, положим де = тах(/ьг,..., /ьт). Ясно, что supx \f(x) - де(х)| < е.
Из сказанного на первом этапе доказательства следует, что де £ £. По¬
этому найдется fe £ £ с supx |f(pc) — fe(x)\ < е.	□
Из этой теоремы следуют классические теоремы Вейерштрасса
о приближении многочленами (алгебраическими или тригонометричес¬
кими). Например, обычные многочлены, суженные на компакт К в ГО/1,
образуют алгебру и разделяют точки. Поэтому ими приближаются все
непрерывные вещественные функции на К. Рассмотрим другой при¬
мер.
1.9.21.	Пример, (i) Если Т — некоторый разделяющий точки
класс непрерывных вещественных функций на компакте К, то всякая
непрерывная вещественная функция на К равномерно приближается
функциями вида P(/i,..., /п), где Р — многочлен от п переменных,
/ъ • • • > fn £ Т. В частности, всякая непрерывная вещественная функ¬
ция на степени отрезка [0,1]т равномерно приближается функциями
вида P(xtx,..., xtn), где Р — многочлен от п переменных и Xt — коор¬
динатные функции.
В самом деле, функции указанного вида образуют алгебру и раз¬
деляют точки.
(п) Пусть Kt, где t Е Т, — некоторое семейство непустых компактов
и К = П*6Т Kt — их произведение. Тогда всякая непрерывная веще¬
ственная функция на К равномерно приближается функциями вида
где Р — многочлен от п переменных, /* — непрерывная функция на Kti,
U £ Т и Xt — координатные функции. Например, непрерывные веще¬
ственные функции на произведении двух компактов Кг и К2 равно¬
мерно приближаются функциями вида P(/i(xi),/2(3:2)), гДе Р ~ мно"
гочлен от двух переменных, /* — непрерывная функция на Ki и х\ —

1.9. Дополнения и задачи
61
координатные функции, г = 1,2. Действительно, здесь мы также полу¬
чаем алгебру функций, а тот факт, что она разделяет точки, следует
из теоремы Урысона.
Приведем комплексный вариант теоремы Стоуна-Вейерштрасса.
В данной нами выше формулировке она не переносится на комплекс¬
ные функции. Например, функцию \z\ на круге в С нельзя приблизить
многочленами от комплексного переменного z, так как она не анали-
тична в круге.
1.9.22. Теорема. Пусть К — непустой компакт и £ — некото¬
рая алгебра непрерывных комплексных функций на К, содержащая все
постоянные и разделяющая точки. Предположим также, что алге¬
бра £ замкнута относительно комплексного сопряжения. Тогда эта
алгебра всюду плотна в комплексном пространстве С(К) с его стан¬
дартной Бир-метрикой.
Доказательство. Пусть Тг — класс всех вещественных функ¬
ций из замыкания £ в С (К). Тогда Тг является замкнутой подалгеброй
алгебры С(г){К) вещественных непрерывных функций на К, причем Тг
содержит вещественные постоянные. Кроме того, Тг разделяет точки.
В самом деле, пусть / £ С (К). Тогда f\ = (/ + /)/2 и /2 = (/ - /)/(2г)
входят в £, а тогда и в Тг. Поэтому если f(x) ф f(y) для некоторых
х,у £ К, то хотя бы одна из функций f\ и /2 разделяет точки х и у.
Значит, Тг = С(Г)(К), откуда вытекает доказываемое.	□
1.9.23. Пример, (i) Многочлены от^иг плотны в комплексном
пространстве С (К) для всякого компакта К С С.
(ii) В пространстве Сг* непрерывных комплексных 27г-периодичес-
ких функций на прямой всюду плотно множество конечных линейных
комбинаций функций ехр(Ш), k £ Z. В самом деле, всякой непрерыв¬
ной функции / на [0, 27г] с /(0) = /(27т) соответствует непрерывная
функция g на единичной окружности в С, для которой выполнено ра¬
венство р(ехр(г£)) = f(t). Приближения функции g многочленами от 2
и z на окружности порождают приближения / многочленами от ехр(г£)
и ехр(—г£). В случае вещественной функции / вещественные части при¬
ближающих многочленов дают приближения линейными комбинация¬
ми функций l,sin(fc£),cos(fc£).
(iii) Пусть Т — разделяющее точки семейство непрерывных веще¬
ственных функций на компакте К. Тогда множество линейных комби¬
наций функций вида exp(zci/H Нсп/п), где с* £ IR1 и /1,..., /п £ Т,
всюду плотно в комплексном пространстве С (К).
Теорема Стоуна-Вейерштрасса не дает способа приближения,
а лишь говорит, что приближения существуют. Построение приближе¬
ний — отдельная задача.

62
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9(vi). Канторовское множество
В теории метрических и топологических пространств и многих их
приложениях важную роль играет канторовское множество С (на¬
званное так в честь знаменитого немецкого математика Георга Кан¬
тора). Это множество можно определить двумя разными способами.
Первый способ дает С как замкнутое множество в [0,1], получаемое
удалением из [0,1] последовательности открытых интервалов следую¬
щего вида: на первом шаге удаляем открытую среднюю треть [0,1], т.е.
(1/3,2/3), на втором шаге удаляем открытые средние трети получив¬
шихся двух отрезков и затем индуктивно продолжаем этот процесс.
Нетрудно проверить, что множество С состоит из всех точек t вида
^ =	*»3“п, гДе числа tn принимают значения 0 и 2. Отметим,
что указанное разложение на С единственно, ибо используется запись
с tn ф 1. Например, 1/3 записывается как (0,2,2,...); неединствен¬
ность представления возможна лишь из-за последовательности двоек.
Второй способ состоит в рассмотрении компактного метрического про¬
странства Д := {0,1}°°, т.е. счетной степени двухточия. Это простран¬
ство состоит из всевозможных последовательностей из 0 и 1; метрику
можно задать, например, формулой
d{x, у) = Х3га=1 2 п\хп — yn|, X = (хп), у ~ {Уп)'
Хотя эти два множества весьма различны на первый взгляд, они иден¬
тичны как топологические пространства: отображение
h: {0,1}°° —> С, (х1,х2,...)^'£п=1^-п,
является гомеоморфизмом. Это ясно из того, что оно непрерывно и вза¬
имно однозначно отображает А на С (см. теорему 1.7.9).
В разных ситуациях бывает полезно то или другое представление
канторовского множества. Например, совершенно очевидно, что про¬
странство Д гомеоморфно как своему квадрату Д2, так и счетной сте¬
пени Д°°. Конечно, это сразу переносится и на С, что совсем не очевид¬
но в первом представлении. Однако удобством первого представления
является то, что с помощью него пространство Д вкладывается гомео¬
морфно как подмножество отрезка [0,1].
1.9.24. Предложение. Гомеоморфные множества Д и С можно
непрерывно отобразить на [0,1] и на [0,1]°°.
Доказательство. Непрерывную сюръекцию гр: Д —[0,1] мож¬
но задать формулой ф(х) = ]CnLi хп%~п, х = (хп). Поскольку Д и Д°°
гомеоморфны, достаточно задать сюръекцию Д°° на [0,1]°°, что можно
сделать следующим образом: (zn) (ip(zn)), (zn) € Д°°.	□
1.9.25. Следствие. Всякое непустое компактное метрическое
пространство является образом множества Кантора при некотором
непрерывном отображении.

1.9. Дополнения и задачи
63
Доказательство. Согласно задаче 1.9.69 непустой метрический
компакт К гомеоморфен компакту Ко в [0,1]°°. Из предложения вы¬
ше и компактности прообраза Ко при непрерывном отображении С
на [0,1]°° следует, что достаточно уметь непрерывно отображать С на
всякую его непустую компактную часть S. Заменим С гомеоморфным
множеством Ci, состоящим из точек [0,1] вида х = Y^h=i хк§~к, где
Xk = 0 или Хк = 5 (оба множества гомеоморфны {0,1}°°). Легко ви¬
деть, что если € Ci, то (х + у)/2 0 С\. Поэтому для непустого
компакта S\ С С\ определено отображение ft, сопоставляющее точке
х £ Ci ближайшую к ней точку ft (х) £ S\. Это отображение непрерыв¬
но и очевидным образом сюръективно.	□
Множество Кантора не имеет изолированных точек (непустое за¬
мкнутое множество без изолированных точек называют совершенным).
Задачи
1.9.26.° Пусть X — бесконечное множество. Доказать, что оно равно¬
мощно как своей счетной степени, так и множеству всех своих конечных
подмножеств.
1.9.27° Доказать, что пространство B(X,Y) ограниченных отображе¬
ний из непустого множества X в полное непустое метрическое пространство
(Y,dyr) полно относительно метрики d(f,g) := supx€X dY (f(x),g(x)).
1.9.28.° Всякое ли метрическое пространство, состоящее из трех точек,
можно изометрично вложить в IRn?
1.9.29.° Верно ли, что замыкание открытого шара в метрическом про¬
странстве является замкнутым шаром?
1.9.30? Обосновать следующую конструкцию пополнения метрического
пространства М. Пусть М — пространство классов эквивалентности фун¬
даментальных последовательностей х = (жп) пространства М, где х = (жп)
и У = (Уп) считаются эквивалентными, если фундаментальна последователь¬
ность xi, yi,..., хп, Уп,..а метрика такова: d(x,у) := lim d(xny уп)> Вложе-
П—►OQ
ние М в М задано формулой х i—► (х,х,...).
1.9.31° Пусть А и В — непустые компакты в метрическом простран¬
стве (X,d). Доказать, что найдутся такие точки а £ А и b £ В, что
d(a,b) = inf{d(x,y): х £ А,Ь £ В}.
1.9.32° Показать, что во всяком неполном метрическом пространстве
есть последовательность вложенных замкнутых шаров с убывающими к ну¬
лю радиусами и пустым пересечением.
1.9.33? Построить пример, показывающий, что в теореме о вложенных
шарах нельзя отказаться от стремления к нулю их радиусов.
1.9.34? Доказать, что метрическое пространство сепарабельно в точно¬
сти тогда, когда оно обладает свойством Линделёфа.

64
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.35? Пусть множество U открыто в метрическом пространстве, мно¬
жество F замкнуто, U — замыкание U и F° — множество внутренних точек F.
Доказать, что U\U и F\F° являются нигде не плотными.
1.9.36.° Показать, что непрерывность отображения / между топологи¬
ческими пространствами равносильна тому, что для всякого открытого мно¬
жества V С У множество f~1(V) открыто в X (это эквивалентно тому, что
для всякого замкнутого множества Z С У множество f~1(Z) замкнуто в X).
1.9.37? Доказать, что функция / на топологическом пространстве непре¬
рывна в точности тогда, когда для всякого с € IR1 открыты множества
/_1((-оо,с)) И /_1((с,+Оо)).
1.9.38? Обосновать пример 1.6.8.
1.9.39? Привести пример неограниченной равномерно непрерывной ве¬
щественной функции на ограниченном полном метрическом пространстве.
1.9.40? (i) Пусть (X,dx) и (Y,dY) — метрические пространства, А С X,
В С У — непустые вполне ограниченные множества. Доказать, что Ах В
вполне ограничено в пространстве X х Y с метрикой, заданной формулой
d((xi,yi), (х2,у2))) := dx(xi,x2) + dY(yuy2).
(ii)	Доказать непосредственно, что произведение двух непустых компакт¬
ных пространств компактно в топологии произведения.
1.9.41. Существует ли неполное метрическое пространство, всякое сжи¬
мающее отображение которого имеет неподвижную точку?
1.9.42. Пусть (K,d) — компактное метрическое пространство и отобра¬
жение f:K—>K таково, что d(f(x), f(y)) < d(x,y) при х фу. Доказать, что
/ имеет неподвижную точку.
1.9.43. Распространить теорему 1.4.4 на случай, когда Т — топологиче¬
ское пространство.
1.9.44. (i) Показать, что метрическое пространство компактно в точно¬
сти тогда, когда всякая непрерывная вещественная функция на нем ограни¬
чена. (ii) Показать, что на некомпактном топологическом пространстве из
примера 1.9.12 всякая непрерывная функция ограничена.
1.9.45? Пусть (X, dx) — компактное метрическое пространство, (У, dY) —
метрическое пространство и пространство С(Х, Y) непрерывных отображе¬
ний из X в Y наделено метрикой d(f, д) := sup^^ dY (/(ж), р(ж)).
(i)	Доказать, что К С С(Х, Y) вполне ограничено в точности тогда, ко¬
гда выполнены следующие условия: (а) для всякого е > 0 найдется такое
S > 0, что dY(f(x),f(x')) ^ е для всех / е К при dx(x,x') ^ S, (Ь) суще¬
ствует такое вполне ограниченное множество М С У, что f(x) € М при всех
/ £ К и х € X. (ii) Привести пример, показывающий, что (Ь) нельзя заме¬
нить на равномерную ограниченность отображений из К. (iii) Показать, что
при условии (а) условие (Ь) равносильно следующему: для каждого фик¬
сированного х G X множество точек {f(x): / € К} вполне ограничено,
(iv) Показать, что компактность К равносильна замкнутости К и выпол¬
нению условий (а) и (Ь), где множество М в (Ь) компактно.

1.9. Дополнения и задачи
65
1.9.46? Пусть (K,d) — метрический компакт. Доказать, что множество
F С С (К) вполне ограничено в точности тогда, когда оно ограничено и су¬
ществует такая функция и;: [0,+оо) —> (0,+оо), удовлетворяющая условию
lim u(t) = cj(0) = 0, что \f(x) - f(y)| ^ u(d(x, у)) при всех х,у £ К, f £ F.
1.9.47.	Доказать, что метрическое пространство несепарабельно в точ¬
ности тогда, когда для некоторого е > 0 в нем имеется несчетное множество
точек, попарные расстояния между которыми не меньше е.
1.9.48? Пусть Ас — множество точек сгущения несчетного множества А
в метрическом пространстве. Доказать, что Ас замкнуто и не имеет изоли¬
рованных точек, а если А сепарабельно, то А\АС конечно или счетно.
1.9.49. Доказать, что непустое замкнутое множество без изолирован¬
ных точек в полном метрическом пространстве имеет мощность не менее
континуума.
1.9.50. Множество А называют множеством первой категории в точке ж,
если х имеет окрестность U, для которой А П U есть множество первой ка¬
тегории. В противном случае говорят, что А — множество второй категории
в х. Доказать, что для всякого множества А второй категории есть такой
шар 1/, что А является множеством второй категории в каждой точке из U.
1.9.51. Пусть X = С[0,1], п £ 1N и Хп — множество таких / G I, что
при некотором to £ [0,1 — 1 /п] неравенство | f(t) — /(to)| ^ n(t — to) верно для
всех t £ [to, 1)- (i) Доказать, что Хп — замкнутое нигде не плотное множество,
(п) Доказать, что множество всех функций из X, имеющих конечную пра¬
вую производную хотя бы в одной точке, есть множество первой категории.
Вывести существование нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
1.9.52.° Пусть X — метрическое пространство. Колебанием функции
/: X —> 1R1 на множестве Е С X называется величина
osc (f,E) := sup.^gB \f(x) - f(y)\.
Колебанием функции / в точке хо называется величина
oscf(xo) := lim osc (/, В(хо,е)),
где В(хо, е) — замкнутый шар радиуса е с центром в xq. Доказать, что функ¬
ция / непрерывна в точке хо в точности тогда, когда osc f(xo) = 0.
1.9.53? Пусть F — компакт в С[0,1]. Доказать непрерывность функций
ф(х) := inff<=F f(x) и <р(х) := supfEFf(x). Доказать аналогичное утвержде¬
ние для компактов в Сь(Т), где Т — топологическое пространство.
1.9.54. (В.Д. Ерохин) Доказать, что всякий компакт диаметра d в С[0,1]
лежит в некотором замкнутом шаре радиуса d/2.
1.9.55. Пусть X — полное метрическое пространство и /п: X —> IR1 —
такие непрерывные функции, что для каждого х £ X существует конечный
предел f(x) = lim fn (x). Доказать, что функция / имеет хотя бы одну точку
п—юо
непрерывности. Вывести из этого, что / имеет всюду плотное множество
точек непрерывности.

66
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.56. (И. Экланд) Пусть (X, d) — полное метрическое пространство
и / — ограниченная сверху непрерывная функция на X. Доказать, что для
всякого е > 0 найдется такая точка х£ € X, что f(x) ^ f(x£) + ed(xyx£) для
всех х € X.
1.9.57. Пусть X и Y — полные метрические пространства и функция
/: X х Y —> И1 непрерывна по каждому переменному отдельно при фик¬
сированном другом. Доказать, что существует точка непрерывности / по
совокупности переменных.
1.9.58. Дана последовательность функций /п на метрическом простран¬
стве, причем известно, что если	—> ж, то существует конечный предел
f(x) = lim fn(xn)- Доказать, что функция / непрерывна.
п—юо
1.9.59. Пусть (X,d) — метрическое пространство, (i) Пусть / — ограг
ниченная функция на множестве А С X и \f(x) — f(y)\ ^ d(x,y) для всех
х,у G А. Положим
д(х)max{supygA(/(t/) - d(x,y)), MA/}■
Проверить, что д(х) = f(x) при х € A, supy€X |р(г/)| = supl6A |/(х)|,
|д(х) — д(у) | ^ d(x,y) для всех ж, у € X. (ii) Доказать, что всякая ограни¬
ченная равномерно непрерывная функция на X равномерно приближается
ограниченными липшицевыми функциями.
1.9.60.** Пусть А С lRn и /: А —> IRfc — липшицево. Доказать, что
/ имеет липшицево с той же постоянной продолжение на IRn. Вывести из
этого, что если А С I2 и /: А —► I2 липшицево, то / продолжается на все I2
с той же постоянной Липшица.
1.9.61. Пусть (K,d) — метрический компакт и / : К К. (i) Доказать,
что если / липшицево с постоянной С < 1, то f(K) ф К. (и) Доказать, что
если d(/(x), f(y)) ^ d(x, у) и f(K) = К, то / — изометрия, (iii) Доказать, что
если d(/(aj), f(y)) ^ d(x, у), то f(K) = К. В частности, непустой метрический
компакт не может быть изометричен своей собственной части, (iv) Доказать,
что если d(f(x),f(y)) ^ d(x,y), то / — изометрия.
1.9.62. Доказать, что множество всех изометрий метрического компакта
К является компактом в метрике из С (К, К).
1.9.63. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в точно¬
сти тогда, когда на нем есть счетное семейство непрерывных функций /п,
разделяющих точки в следующем смысле: если х ф у, то для некоторого п
имеем fn(x) ф fn{y)- При этом в качестве метрики можно взять
d{x,y) =	2~п	min(|/„(x)	-	/п(у)|,	l).
1.9.64. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в точно¬
сти тогда, когда пространство С{К) с обычной sup-метрикой сепарабельно.
1.9.65. Доказать, что компактное пространство нельзя представить в ви¬
де счетного объединения нигде не плотных множеств.
1.9.66.° Проверить, что описанная в конце §1.6 конструкция действи¬
тельно задает топологию на произведении топологических пространств.

1.9. Дополнения и задачи
67
1.9.67.° Показать, что формула (1.6.2) задает метрику, порождающую
топологию 1RT для счетного Т.
1.9.68° Пусть дано счетное множество метрических пространств Хп
с метриками dn. Показать, что формула (1.6.3) является метрикой на произ¬
ведении Хп, причем задаваемая этой метрикой топология совпадает с топо¬
логией произведения.
1.9.69° Доказать, что всякий метрический компакт (K,d) гомеоморфен
компакту в [0,1]°°, задав вложение К в [0,1]°° формулой h(x) = (^(я»#п))^_15
где {хп} — счетное всюду плотное множество в К.
1.9.70° Функция /: М —► 1R1 на метрическом пространстве называется
непрерывной сверху, если f{x) ^ limsupn_,^c f(xn) при хп —► х. Показать, что
если М компактно, то такая функция ограничена и достигает максимума.
1.9.71° Пусть {С/а} — открытое покрытие метрического компакта К.
Доказать, что существует е > 0 со следующим свойством: для каждого х Е К
найдется Ua с В(х,е) с СЛ*.
1.9.72. Пусть (M,d) — метрическое пространство и Те, — множество
всех непустых ограниченных замкнутых подмножеств М. (i) Доказать, что
dH (А, В) := max{supo6A d(a, В), sup66B d(b, Л)}
есть метрика (метрика Хаусдорфа) на Td, причем М изометрично подмноже¬
ству одноточечных множеств, (ii) Пусть хо € М. Показать, что Td изометри¬
чески вложено в Сь(М) посредством A i—► /л, где /а(х) := d(x, А) — d(xixo).
(iii) Показать, что (М, dH) полно в точности тогда, когда полно (М, d). (iv) По¬
казать, что (М, dH) компактно в точности тогда, когда компактно (М, d).
1.9.73. Доказать, что всякий компакт гомеоморфен компакту в некото¬
рой степени отрезка [0,1].
1.9.74. Построить пример компактного сепарабельного топологического
пространства, имеющего несепарабельное подпространство.
Указание: рассмотреть множество функций в [0,1]^0,1^, отличных от ну¬
ля лишь на конечных множествах.
1.9.75. (Теорема Асколи-Арцела) Пусть К — компактное топологиче¬
ское пространство. Доказать, что F С С (К) имеет компактное замыкание
в точности тогда, когда оно ограничено и равностепенно непрерывно в сле¬
дующем смысле: для каждого х € К и каждого е > 0 найдется такая окрест¬
ность Ux>e точки ху что | f{y) — f(x) | < £ при всех у € UXye И всех f € F.
1.9.76. Привести пример вполне регулярного пространства, не являю¬
щегося нормальным.
1.9.77. Пусть X — вполне регулярное пространство, К С X — ком¬
пакт и U — открытое множество, содержащее К. Доказать, что существует
непрерывная функция /: X —► [0,1] с /\к = 1 и f\x\u — О-
1.9.78. Пусть X и Y вполне регулярны, К С XxY — компакт, функция
/: К —> [0,1] непрерывна. Доказать, что для всякого е > 0 найдется такая
функция g вида g(x,y) =	^(ж)^(у), где 4>i € Сь(Х), & € Сь(У), что
\д(х,у)\ ^ 1 для всех х G X,у G Y и |д(х,у) - f(x,y)| ^ е для всех (х,у) G К.

68
Глава 1. Метрические и топологические пространства
1.9.79. Пусть X — вполне регулярное пространство, (i) Доказать, что
всякое непрерывное отображение / из X в компакт К продолжается до
непрерывного отображения из /ЗХ в К. (ii) Доказать, что компактификация
Стоуна-Чеха единственна с точностью до гомеоморфизма.
Указание: (i) вложить К в степень [0,1]; (и) если К — еще одна ком¬
пактификация Стоуна-Чеха, то вложения / : X К и д : X —> (ЗХ продол¬
жаются до непрерывных отображений (ЗХ —► К и К —> (ЗХ.
1.9.80. (i) Пусть X — нормальное пространство и {хп} — такая после¬
довательность в X, что для всякой ограниченной непрерывной функции / на
пространстве X последовательность {f(xn)} сходится. Показать, что после¬
довательность {хп} сходится в X. (ii)* Привести пример вполне регулярного
пространства, для которого (i) неверно.
Указание: (i) {жп} имеет предельные точки. Иначе можно найти такие
дизъюнктные окрестности Un точек жп, что Un содержит замыкание меньшей
окрестности Wn точки хп. Для каждого п имеется функция /п с 0 ^ /п ^ 1,
равная 1 в Х2п+\ и 0 вне Whn+i* Функция /, равная /п в W2n+i и 0 вне
объединения множеств W2n+i > ограничена и непрерывна, что дает противо¬
речие. Это же верно для всякой подпоследовательности в {хп}. Легко про¬
верить, что нет разных предельных точек, (ii) Пусть ил — первое несчетное
порядковое число и X — произведение [0, шг] х (IN U {оо}) без точки (cji, оо);
рассмотреть точки хп = (u;i,n) (использовать [96, задача 5С, с. 225]).
1.9.81. Пусть (M,d) — непустое метрическое пространство. Множество
Е С М называется множеством существования, если для каждого х £ М в Е
имеется хотя бы одна ближайшая точка у £ Е, т.е. d(x, Е) = d(x, у). Если для
каждого х € М существует не более одной ближайшей точки, то Е называет¬
ся множеством единственности. Если Е — множество существования и един¬
ственности, то Е называется чебышевским множеством. Привести примеры:
(i) множества единственности, не являющегося множеством существования,
(ii) множества существования, не являющегося множеством единственности,
(iii) бесконечного чебышевского множества.
1.9.82. Пусть (М, d) — метрическое пространство и Е С М — непустое
множество. Если х £ М, уп е Е и d(x,yn) —> d(x,E), то {уп} называется ми¬
нимизирующей для х. Множество Е называется аппроксимативно компакт¬
ным (термин Н.В. Ефимова и B.C. Стечкина), если в нем всякая минимизи¬
рующая последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся
к точке из Е. (i) Привести пример некомпактного аппроксимативно компакт¬
ного множества, (ii) Доказать, что аппроксимативно компактное множество
является множеством существования.
1.9.83. Доказать, что подмножество М полного метрического простран¬
ства гомеоморфно некоторому полному метрическому пространству в точно¬
сти тогда, когда М есть <5г-множество, т.е. пересечение последовательности
открытых множеств.
1.9.84. С помощью базиса Гамеля вещественной прямой, рассматри¬
ваемой над полем Q, построить аддитивную функцию /: IR1 —► IR1, т.е.
/(£ + s) = f(t) + f(s) при всех t,s £ IR1, которая неограниченна на каж¬
дом интервале.

Глава 2
Основы теории меры
В этой главе и следующих двух излагается лебеговская теория
меры и интеграла. Кроме того, выясняется связь между интегри¬
рованием и дифференцированием.
2.1.	Вводные замечания
Задача измерения длин, площадей и объемов восходит к глу¬
бокой древности. Частичное ее решение, данное математиками
античности и формализованное в конце XIX века, приводит к так
называемой мере Жордана (которую правильнее называть ме¬
рой Пеано-Жордана), определяемой следующим образом. Для
упрощения мы обсудим одномерный случай и попытаемся задать
длину Л подмножеств отрезка I = [0,1]. Для промежутка J ви¬
да (а,6), [а, Ь), {а, Ь] или (а, Ь] полагаем A(J) = |Ь — а\. Для ко¬
нечного объединения непересекающихся промежутков
полагаем	J*)	= Ya=i HJi)- Такие множества будем назы¬
вать элементарными. Теперь предстоит расширить меру на неэле¬
ментарные множества. Естественный способ состоит в том, что¬
бы приближать неэлементарные множества элементарными. Но
как приближать? Восходящая к античности конструкция тако¬
ва: считать множество Adi измеримым по Жордану, если для
всякого е > 0 найдутся такие элементарные множества А£ и Ве,
что Ае С А С В£ и \(В£\А£) < е. Ясно, что при е —► 0 дли¬
ны А£ и В£ имеют общий предел, который и выбирается в каче¬
стве А(Л). Мера Жордана аддитивна, т.е. Х(АиВ) = А(А) + \(В)
для всяких непересекающихся множеств А и В из области опре¬
деления. Более того, она счетно-аддитивна в следующем смысле:
если непересекающиеся множества Ап вместе с их объединением

70
Глава 2. Основы теории меры
А = (J^Li Ап измеримы по Жордану, то Х(А) =	Од-
нако далеко не всем множествам приписана длина после этой про¬
цедуры. Например, множество Qfl J рациональных чисел отрезка
неизмеримо по Жордану: в нем нет элементарных множеств по¬
ложительной меры, а все элементарные множества, содержащие
Q П /, имеют меру 1. Это явление вызывает недоумение: ведь
множество рациональных чисел есть счетное объединение очень
простых элементарных множеств. Скажем, круг тоже составлен
из счетного числа элементарных множеств, причем более массив¬
ных, чем точки, но измерим по Жордану. В чем дело? Проблема
в том, что класс измеримых по Жордану множества не замкнут
относительно операции счетного объединения, и ситуация с кру¬
гом — скорее исключение, чем правило. Можно ли продолжить
Л на более широкую область определения, замкнутую относи¬
тельно счетных операций, с сохранением свойства счетной адди¬
тивности? Роль счетной аддитивности ясна уже из нахождения
площади круга путем приближения его объединениями прямо¬
угольников. Поэтому тот факт, что область определения меры по
Жордану не замкнута относительно счетных объединений, явля¬
ется весьма существенным недостатком. Преодолеть его удалось
лишь в начале ЮС века выдающемуся французскому математику
А. Лебегу, предложившему принципиально иной способ прибли¬
жения элементарными множествами и приводящий к мере Лебе¬
га. А именно: сначала по аналогии со старой конструкцией вво¬
дится внешняя мера А* для всякого множества Adi как точная
нижняя грань сумм мер элементарных множеств, образующих
счетные покрытия А. Здесь решающим шагом является переход
к счетным покрытиям (этот шаг уже был сделан Э. Борелем). За¬
тем множество А называется измеримым по Лебегу, если выпол¬
нено равенство А* (А) + А* (ДА) = А(/). Равносильное описание
измеримости по Лебегу в терминах приближений элементарными
множествами: для всякого е > 0 существует такое элементарное
множество Ag:, что А*(А Д Ag:) < е. При этом в отличие от ме¬
ры Жордана не требуется никакой вложенности множеств, т.е.
допускаются «косые приближения». Эта тонкость (вместе с ис¬
пользованием счетных покрытий в определении внешней меры)
приводит к существенному расширению класса измеримых мно¬
жеств. Расширение столь велико, что ответ на вопрос о существо¬
вании множеств, которым не приписана никакая мера, зависит от
принятия или не принятия некоторых специальных теоретико¬
множественных аксиом. Класс измеримых по Лебегу множеств
замкнут относительно счетных объединений и пересечений, а не

2.2. Алгебры и сг-алгебры
71
только конечных. Внешняя мера на классе измеримых множеств
оказывается счетно-аддитивной, причем мера измеримого множе¬
ства А равна пределу мер аппроксимирующих его в указанном
выше смысле элементарных множеств. Сужать внешнюю меру
на класс измеримых множеств приходится потому, что на сово¬
купности всех множеств она может не быть даже аддитивной.
Итак, в подходе Лебега два идейных новшества: использование
счетных покрытий вместо конечных (эта идея в более специаль¬
ных случаях появлялась и у предшественников Лебега, в частно¬
сти, у Э. Бореля) и выделение области определения меры усло¬
вием Л* (Л) = \(1) — Х*(1\А). Из всего сказанного явствует, что
при обсуждении мер ключевую роль играют вопросы, связанные
с областями определения и продолжениями. Поэтому следующий
параграф посвящен основным классам множеств, возникающим
как области определения мер. При этом оказывается, что специ¬
фика длины на подмножествах прямой не играет никакой.роли,
и потому с самого начала имеет смысл говорить о мерах общего
вида. Более того, такая точка зрения становится необходимой для
рассмотрения мер на пространствах произвольной природы, на¬
пример, многообразиях или функциональных пространствах, что
весьма важно для многих разделов математики и теоретической
физики.
2.2.	Алгебры и сг-алгебры
Одно из основных понятий теории меры — алгебра множеств.
2.2.1.	Определение. Алгебра множеств А — это такой
класс подмножеств некоторого фиксированного множества X
(называемого пространством), что
(i)	0, X Е А\
(п) если А, В Е А, то АП В Е A, AU В Е А, А\В Е А.
Вместо условия А\В Е А достаточно иметь Х\В Е А при
В Е А, ибо А\В = А П (Х\В). Однако условие А\В Е А дает
остальные условия в (ii), так как А П В = А\(А\В).
Отметим, что иногда в определении алгебры вместо вклю¬
чения X Е А используется следующее более широкое условие:
существует такое множество Е Е А, называемое единицей алге¬
бры, что АпЕ = А при всех Ае А. Ясно, что, заменяя X на Е,
мы приходим к нашему определению на меньшем пространстве.
Следует иметь в виду, что не все приводимые ниже результаты
распространяются на указанное более широкое понятие.

72
Глава 2. Основы теории меры
2.2.2. Определение. Алгебра множеств А называется
а-алгеброй, если UnLi Ап Е А для всякой последовательности
множеств Ап из А.
2.2.3. Определение. Пара (X, А), состоящая из множес¬
тва X и некоторой а-алгебры А его подмножеств, называется
измеримым пространством.
Иногда бывают полезны и некоторые другие классы множеств
(определяемые ниже полуалгебры, кольца, полукольца, сг-кольца
и т.п.), немного отличающиеся теми операциями, которые они
допускают. Ясно, что в определении сг-алгебры вместо замкну¬
тости относительно счетных объединений можно требовать за¬
мкнутость относительно счетных пересечений. Действительно, из
формулы U£Li Ап = Х\р|^=1(Х\Дп) и из замкнутости алгебры
относительно дополнений видно, что эти свойства равносильны.
2.2.4. Пример. Класс всех конечных объединений проме¬
жутков вида [а, 6], [а, Ь), (а, Ь], (а, Ь) из отрезка [0,1] (или только
вида [а, Ь) П [0,1]) является алгеброй, но не сг-алгеброй.
Ясно, что множество всех подмножеств фиксированного
множества X является сг-алгеброй, как и класс, состоящий лишь
из X и пустого множества. Всякая другая сг-алгебра подмножеств
в X заключена между этими двумя тривиальными примерами.
2.2.5. Определение. Пусть Т — семейство подмножеств
пространства X. Наименьшая а-алгебра подмножеств X, со¬
держащая Т, называется а-алгеброй, порожденной Т, и обозна¬
чается символом а(Т). Алгеброй, порожденной Т, называется
наименьшая алгебра, содержащая Т.
Упомянутые в определении наименьшая сг-алгебра и наимень¬
шая алгебра действительно существуют.
2.2.6. Предложение. Пусть X — некоторое множество.
Для любого семейства подмножеств X существует единствен¬
ная порожденная им а-алгебра. Существует и единственная по¬
рожденная данным семейством алгебра.
Доказательство. Положим а{Т) =	где	пеРесече~
ние берется по всем сг-алгебрам подмножеств пространства X,
содержащим систему множеств Т (такие сг-алгебры существуют:
например, 2х). По построению Т С cf{T). Если дана последо¬
вательность множеств Ап Е сг(^г), то их пересечение, объедине¬
ние и дополнения входят во всякую сг-алгебру А, содержащую Т,

2.2. Алгебры и сг-алгебры
73
а потому входят и в сг(^), т.е. сг(Т) — сг-алгебра. Единственность
очевидна из того, что существование сг-алгебры В, содержащей Т,
но не содержащей cr(.F), противоречит определению сг(^), ибо
В П сг(^) содержит Т и является сг-алгеброй. Случай алгебры
аналогичен.	□
Из определения вытекает, что дополнения множеств из класса
F порождают ту же самую сг-алгебру, что и Т. Счетный класс мо¬
жет порождать несчетную сг-алгебру. Например, интервалы с ра¬
циональными концами порождают сг-алгебру, содержащую все
одноточечные множества отрезка.
Алгебру, порожденную семейством множеств Т, легко опи¬
сать явным образом (см. задачу 2.7.14). Однако элементы сг-ал¬
гебры, порожденной классом множеств Т, обычно не допускают
такого простого описания. Например, не каждое множество из
сг-алгебры, порожденной интервалами на прямой, представимо
в каком-либо конструктивном виде с помощью счетных объеди¬
нений или пересечений интервалов. Дело в том, что указанные
операции можно повторять неограниченное число раз в любом
порядке. Например, можно образовать класс счетных объ¬
единений замкнутых множеств отрезка, затем класс счетных
пересечений множеств из и индуктивно продолжить этот про¬
цесс. При этом будут все время получаться новые классы, но даже
их объединение не исчерпывает сг-алгебры, порожденной замкну¬
тыми множествами.
Приведем два примера, когда можно явно описать сг-алгебру,
порожденную классом множеств.
2.2.7.	Пример, (i) Пусть Ло — некоторая а-алгебра подмно¬
жеств пространства А, и пусть множество S из X не входит в Ло•
Тогда сг-алгебра сг(Ло U {£}), порожденная Ло и множеством 5,
есть совокупность всех множеств вида
Е = (А П S)U(B Г) (X\S)), А.ВеЛо. (2.2.1)
(ii)	Пусть X — произвольное множество. Тогда одноточечные
множества порождают сг-алгебру, состоящую из всех не более чем
счетных множеств и дополнений таких множеств.
Доказательство, (i) Все множества вида (2.2.1) входят
в сг-алгебру сг(Ло U {S}). С другой стороны, множества указан¬
ного вида образуют сг-алгебру. Действительно,
Х\Е = ((XVI) П S)U{(X\B) n (X\S)),

74
Глава 2. Основы теории меры
ибо х не входит в Е в точности тогда, когда либо х входит в 5, но
не в А, либо х не входит ни в 5, ни в В. Кроме того, если множе¬
ства Еп представлены в виде (2.2.1) с некоторыми Ап, Вп 6 Ло, то
Г\п=1 Еп и Un=i Еп также имеют вид (2.2.1). Например, f^Li Еп
имеет вид (2.2.1) с А = HnLi Ап и В = flnLi Д»- Наконец, множе¬
ства из Ло получаются в виде (2.2.1) при А = В, а для получения
5 надо положить А = X, В = 0.
(и) Ясно, что класс А всех не более чем счетных множеств
и их дополнений входит в сг-алгебру Ло, порожденную одното¬
чечными множествами. Для доказательства равенства Л = Ло
достаточно заметить, что Л — сг-алгебра. Это ясно из того, что
если множества Ап не более чем счетны, то таково и их объеди¬
нение, а если среди них есть хотя бы одно АП1 с не более чем
счетным дополнением, то X\|J^=1 Ап С Х\АП1.	□
В рассуждениях с сг-алгебрами часто используются следую¬
щие непосредственно проверяемые теоретико-множественные со¬
отношения. Пусть (Аа)аед — любое семейство подмножеств мно¬
жества X, а / : Е —► X — произвольное отображение некоторого
множества Е в X. Тогда
*\ U	= П	П	= U
аЕЛ	аЕЛ	аЕЛ	аЕЛ
r‘(U *<) = U	Г'(П **) = П гЧа,)-
аЕЛ	аЕЛ	аЕЛ	аЕЛ
Из этих равенств видно, что если Л — некоторая сг-алгебра
подмножеств множества X и / — произвольное отображение из
множества Е в X, то класс /-1(Л) всех множеств вида /-1(Л),
где A Е Л, является сг-алгеброй в Е.
Кроме того, для всякой сг-алгебры множеств В в Е класс мно¬
жеств {А С X: /-1(Л) Е В} — сг-алгебра. Наконец, для всякого
класса множеств Т в X имеем сг(/_1(^)) = /_1(сг(^г)).
На простых примерах легко убедиться, что класс f(B) всех
множеств вида /(Н), где В е В, не всегда является алгеброй.
2.2.8.	Определение. Борелевской а-алгеброй IR71 называет¬
ся а-алгебра B(TRn), порожденная всеми открытыми множе¬
ствами. Множества из б(Ип) называются борелевскими. Для
произвольного множества Е С Ип через В(Е) обозначим класс
множеств вида ЕС\В, где В 6 B(JRn).

2.2. Алгебры и сг-алгебры
75
Класс В(Е) есть сг-алгебра, порожденная пересечениями Е
с открытыми в IRn множествами. Это ясно из того, что если
последнюю сг-алгебру обозначить через £, то класс всех таких
В € В(ИП), что В П Е Е £, есть сг-алгебра, содержащая все от¬
крытые множества, т.е. она совпадает с B(TRn). Множества из
В(Е) называются борелевскими множествами пространства Е,
а В(Е) называется борелевской сг-алгеброй пространства Е. Сле¬
дует иметь в виду, что такие множества могут не быть борелев¬
скими в IRn, если, конечно, само Е не является борелевским в TRn.
Например, всегда Е 6 В(Е), ибо Е П JRn = Е. Ясно, что В(Шп)
порождается и классом всех замкнутых множеств. Ниже мы уви¬
дим, что не все множества борелевские.
2.2.9.	Предложение. Борелевская а-алгебра прямой поро¬
ждается любым из следующих классов множеств:
(i) множество всех интервалов;
(ii) множество всех интервалов с рациональными концами;
(iii) множество всех лучей вида (—оо, с), где с рационально;
(iv) множество всех лучей вида (—оо,с], где с рационально;
(v) множество всех лучей вида (с, +оо), где с рационально;
(vi) множество всех лучей вида [с, +оо), где с рационально.
Наконец, то же самое верно, если вместо рациональных чисел
брать точки какого-либо всюду плотного множества.
Доказательство. Все указанные множества являются бо¬
релевскими, так как они либо открыты, либо замкнуты. Поэтому
порождаемые ими сг-алгебры входят в	Поскольку	каждое
открытое множество на прямой есть объединение не более чем
счетного набора интервалов, то достаточно установить, что вся¬
кий интервал (а, Ь) входит в сг-алгебры, соответствующие клас¬
сам (i) — (vi). Это вытекает из того, что (а, Ь) есть объединение
интервалов вида (ап,Ьп), где ап и Ьп рациональны, а также объ¬
единение промежутков вида [ап,Ьп) с рациональными концами,
а такие промежутки входят в сг-алгебру, порожденную лучами
(—оо, с), ибо записываются как разности лучей. Аналогичным об¬
разом разности лучей вида (с, оо) дают промежутки (ап,Ьп], из
которых с помощью объединений строятся интервалы (а, Ь).	□
Ясно, что ^(И1) порождается и отрезками с рациональными
концами. Из этого, кстати, видно, что непересекающиеся классы
множеств могут порождать одну и ту же сг-алгебру. Введем еще
некоторые классы множеств, используемые в теории меры.

76
Глава 2. Основы теории меры
2.2.10. Определение, (i) Система 1Z подмножеств мно¬
жества X называется кольцом, если 0 € 7Z и множества АПВ,
A U В и А\В входят в 71 для всех А, В €71.
(и) Система S подмножеств множества X называется по¬
лукольцом, если она содержит пустое множество, АП В € S
для всех А,В € S и для всякой пары множеств A,BeScAcB
множество В\А является объединением конечного числа дизъ¬
юнктных множеств из S. Если X € S, то S называется полу-
алгеброй.
(iii)	Кольцо называется а-кольцом, если оно замкнуто отно¬
сительно счетных объединений. Кольцо называется S-кольцом,
если оно замкнуто относительно счетных пересечений.
Все ограниченные множества на прямой образуют кольцо, но
не алгебру. Класс всех промежутков в отрезке дает пример по¬
лукольца, не являющегося кольцом. Другой пример полукольца:
все промежутки вида [а, Ь) на прямой (а их пересечения с [0,1]
или с [0,1) образуют полуалгебру в [0,1] или в [0,1) соответствен¬
но). Согласно следующей лемме класс всех конечных объедине¬
ний элементов полукольца является кольцом (называемым коль¬
цом, порожденным данным полукольцом). Ясно, что это — мини¬
мальное кольцо, содержащее данное полукольцо.
2.2.11. Лемма. Для любого полукольца S совокупность ко¬
нечных объединений множеств из S образует кольцо 71. При
этом всякое множество из 71 является конечным объединением
попарно непересекающихся множеств из S. Если S — полу алге¬
бра, то 71 — алгебра.
Доказательство. Ясно, что класс 71 допускает конечные
объединения. Пусть А = А\ U • • • U Ап, В = В\ U • • • U Вгде
Ai, Bj € S. Тогда А П В = |JП Bj € 71. Кроме того,
А\в - иг.,(А\и£ в,) = UL, nJ-i(MBi)-
Так как Ai\Bj = Ai\(A{ П Bj) есть конечное объединение мно¬
жеств из <S, то А\В € 71. Ясно, что А можно записать в виде
дизъюнктного объединения множеств из <S ввиду замкнутости S
относительно пересечения. Если X € S, то X € 71.	□
Отметим, что для всякой сг-алгебры В в X и всякого А С X
класс В а := {В Г) А: В € В} — сг-алгебра в пространстве А.
Теперь докажем теорему о монотонных классах — весьма
полезный инструмент для работы с сг-алгебрами.

2.2. Алгебры и сг-алгебры
77
Семейство 8 подмножеств множества X называется монотон¬
ным классом, если IJnLi ВпЕ 8 для каждой возрастающей после¬
довательности множеств Еп Е 8 (т.е. Еп С £7n+i) и fX'Li Вп Е 5
для каждой убывающей последовательности множеств 2?п Е 8.
Для всякого класса 5 подмножеств X существует минималь¬
ный монотонный класс, содержащий 8 и называемый монотон¬
ным классом, порожденным 8. Таким минимальным классом яв¬
ляется пересечение всех монотонных классов, содержащих 8.
2.2.12.	Теорема. Пусть А — алгебра множеств. Тогда
а-алгебра, порожденная А, совпадает с монотонным классом,
порожденным А. Следовательно, если алгебра А входит в неко¬
торый монотонный класс М, то сг(А) С М.
Доказательство. Пусть М(А) — монотонный класс, поро¬
жденный А. Так как &(А) — монотонный класс, то М{А) С а(А).
Докажем обратное включение. Для этого покажем, что М(А)
есть <т-алгебра. Достаточно установить, что М(А) является алге¬
брой. Докажем сначала, что класс М(А) замкнут относительно
взятия дополнения. Пусть
Мо := {В: В,Х\В Е М(А)}.
Класс Мо является монотонным, что очевидно из монотонности
класса М(А) и равенств
АП“=1 в„ = ir=i(x\««), *\lT.i в» = ГГ=1(х\в„).
Поскольку А С Мо С М(А), то Мо = М(А).
Проверим теперь замкнутость М(А) относительно конечных
пересечений. Пусть А Е М(А). Положим
Ма-={ВеМ{А): АПВеМ{А)}.
Если Вп Е Ма — возрастающие множества, то мы получаем
A n (U“ 1 в„) = ц£, (А П Вп) Е М(А). Аналогично рассматри¬
вается случай, когда Вп убывают. Поэтому Ма ~ монотонный
класс. Если Ае А, то имеем А С Ма С М{А.), откуда получаем
Ма = М{А). Пусть теперь А е Аи В е М(А). Тогда В Е Ма•
Поэтому получаем А П В Е М(А), что дает А Е Мв- Таким
образом, имеем включения А С Мв С М(А). Следовательно,
Мв = М(А) при всех В Е М(А), что означает замкнутость
М(А) относительно взятия пересечения двух множеств. Из до¬
казанного следует, что М(А) — алгебра, что и требовалось. □
Близкий результат вынесен в задачу 2.7.45.

78
Глава 2. Основы теории меры
2.3.	Аддитивность и счетная аддитивность
Числовыми функциями будем называть функции со значени¬
ями	в (—оо, +оо).	В тех случаях, когда	речь	пойдет	о функциях
со значениями	из	расширенной прямой	[—оо,	+оо], это будет спе¬
циально оговариваться.
2.3.1. Определение. Числовая функция множества р на
некотором классе множеств А называется аддитивной, если
Ai'j =	(2.3.1)
г= 1	г=1
для всех п и всех таких конечных наборов попарно непересекаю-
щихся множеств е А, что U*=i € А.
Функция р называется счетно-аддитивной, если
оо	оо
м(ил») = 1>И»)	(2-3-2)
п=1	п=	1
для всех таких счетных наборов попарно непересекающихся мно¬
жеств Ап из А, что L£Li Ап е А. Счетно-аддитивная функция
множества, определенная на алгебре, называется мерой.
Счетно-аддитивная мера р на а-алгебре подмножеств про¬
странства X называется вероятностной, если р неотрица¬
тельна и р(Х) = 1.
Мера, определенная на борелевской а-алгебре всего простран¬
ства IRn или какой-либо его части, называется борелевской.
Из определения нетрудно усмотреть, что ряд (2.3.2) сходится
абсолютно (ибо его сумма не зависит от перестановок ряда).
2.3.2. Замечание. Для функций множества со значениями
в (—оо,+оо] устанавливаются естественные правила сложения:
+оо + с = +ос при с £ (—оо, +оо]. Значение —оо специально ис¬
ключено во избежание неопределенности +оо + (—оо). При таком
соглашении аналогично определяют аддитивность и счетную ад¬
дитивность функции множества р со значениями ц (—оо,+оо],
однако при этом дополнительно требуется, чтобы р(0) = 0, если
0 € А (например, если А — алгебра или кольцо). Для конечных
функций множества это требование автоматически вытекает из
аддитивности.
Мера р со значениями в [0, +оо] на сг-алгебре А в X называ¬
ется а-конечной, если X = U^Li где р(Хп) < оо. Простейшим

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
79
примером не сг-конечной меры со значениями в [0, +оо] являет¬
ся мера на множестве из одной точки а, заданная следующим
образом: //(а) = оо, /х(0) = 0.
В том случае, когда класс А замкнут относительно конечных
объединений, конечная аддитивность равносильна равенству
для всех непересекающихся множеств А, В € А. Например, та¬
кая равносильность имеет место, если А — алгебра. Аналогич¬
но, если А — сг-алгебра, то счетная аддитивность есть равен¬
ство (2.3.2) для всевозможных дизъюнктных последовательно¬
стей множеств из А. Приведенные выше формулировки удобны
по двум причинам: во-первых, справедливость соответствующих
равенств требуется проверять лишь для тех наборов множеств,
для которых обе части имеют смысл, а во-вторых, как мы уви¬
дим далее, при естественных предположениях аддитивные (или
счетно-аддитивные) функции множества допускают аддитивные
(соответственно счетно-аддитивные) продолжения на более ши¬
рокие классы множеств, замкнутые относительно взятия объеди¬
нения соответствующего типа.
Аддитивные функции множества называют также аддитив¬
ными мерами, но мы для упрощения терминологии мерами бу¬
дем называть только счетно-аддитивные меры на алгебрах (или
кольцах в тех весьма редких случаях, когда они будут рассмат¬
риваться). Кроме того, счетно-аддитивные функции со значени¬
ями в (—оо, —оо], определенные на алгебрах, мы будем называть
мерами со значениями в (—оо, +оо] (т.е. тот факт, что допускают¬
ся бесконечные значения, будет специально оговариваться). Все
эти оговорки связаны с тем, что значительная часть основных
результатов в случае бесконечных мер требует дополнительных
условий (причем разных для разных теорем). Счетно-аддитивные
меры называют также сг-аддитивными.
Полезно рассматривать и свойство субаддитивности (назы¬
ваемое также полуаддитивностыо):
р(А U В) = р{А) + р(В)
(2.3.3)
п
п
(2.3.4)
для всех А{ Е А с U?=i А* € А. Аддитивная неотрицательная
функция множества на алгебре субаддитивна (см. ниже).

80
Глава 2. Основы теории меры
СЧ CL*f
2.3.3. Предложение, пусть р — аддитивная числовая
функция множества на алгебре (или кольце) множеств Л. То¬
гда следующие условия равносильны:
(i) функция р счетно-аддитивна;
(ii) функция р непрерывна в нуле в следующем смысле: если
Ап € А, Ап+1 с Ап для всех п € IN и А» = 0> то
lim р(Ап) = 0;	(2.3.5)
п—+оо
(iii) функция р непрерывна снизу, т.е. если Ап £ А таковы,
что Ап С Ап+1 для всех п £ IN и Unli Ап £ А, то
m(1£1iAi) = lim р(Ап).
п—►ОО
Доказательство, (i) Пусть р счетно-аддитивна, а множе¬
ства Ап £ А монотонно убывают к пустому множеству. Положим
Вп = Ап\Ап+1. Множества Вп входят в А и дизъюнктны, а их
объединение есть А\. Поэтому сходится ряд X)n^=i №{Вп). Тогда
Y^=n КВп) стремится к нулю при N —> оо, но сумма этого ряда
есть р(Ам), ибо (J™=N Вп = An- Итак, приходим к условию (И).
Пусть теперь выполнено (ii) и Вп £ А — попарно непересека¬
ющиеся множества с В := IJnli Вп Е А, Ап = В\ Ufc=i Bk- Ясно,
что Ап £ А, Ап+1 с Ап, П~1 Ап = 0- По условию, р(Ап) —> 0.
Значит, lim Yj1c=i ^(Bk) = №(В) ввиду конечной аддитивности.
п—►оо
Итак, р счетно-аддитивна. Ясно, что (iii) следует из (ii), ибо если
множества Ап £ А монотонно возрастают и дают в объединении
множество А £ А, то множества А\Ап £ А монотонно убывают
к пустому множеству. Наконец, из (iii) ввиду конечной аддитив¬
ности очевидным образом следует счетная аддитивность р. □
Следует иметь в виду, что указанная равносильность не имеет
места для полуалгебр (задача 2.7.29).
2.3.4. Пример. Пусть А — алгебра таких множеств А с 1N,
что либо А, либо JN\A конечно. Для конечных А пусть р(А) = 0,
а для А с конечным дополнением пусть р(А) = 1. Тогда р —
аддитивная, но не счетно-аддитивная функция множества.
Доказательство. Ясно, что А — действительно алгебра.
Соотношение (2.3.3) очевидно для непересекающихся множеств
А и В, если А конечно. Наконец, А и В из А не могут быть бес¬
конечными одновременно в силу дизъюнктности. Если бы р была
счетно-аддитивной, то мы бы имели р(IN) =	М(п}) — 0-	□

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
81
Существуют и аддитивные, но не счетно-аддитивные функ¬
ции множества на сг-алгебрах (см. пример 6.4.10). Простейшая
счетно-аддитивная функция множества — тождественно нулевая.
Другой пример: пусть X ^ 0, а Е X и мера Дирака (или дираков-
ская мера) 8а на всяком А С X равна 1 при а Е А и 0 при а & А.
Приведем чуть менее тривиальный пример.
2.3.5. Пример. Пусть А — сг-алгебра всех подмножеств IN.
Для А = {rik} положим р(А) =	2~Пк.	Тогда р — мера на А.
Чтобы строить более содержательные примеры (скажем, ме¬
ру Лебега), нам понадобятся вспомогательные технические сред¬
ства, обсуждаемые в следующем параграфе.
Отметим несколько простых полезных свойств аддитивных
и счетно-аддитивных функций множества.	^ ^
2.3.6. Предложение. Пусть р — неотрицательная адди¬
тивная функция множества на алгебре или кольце А. Тогда
(i) если А, В Е А и А С В, то р(А) < р(В);
(ii) если Аи..., Ап е А, то m(U£=i Л) < Y%=i МА);
(iii) функция р счетно-аддитивна в точности тогда, когда
в дополнение к аддитивности она счетно-субаддитивна в сле¬
дующем смысле• для всякой последовательности {Ап} С А
с U“ ! Ап € А имеем /*((J~ j Ап) < £~=i fi(An).
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из неотрица¬
тельности р(В\А). Утверждение (ii) очевидным образом прове¬
ряется по индукции с учетом неотрицательности р и соотношения
р(А U В) = р(А\В) + р(В\А) + р(А П Б).
Если р счетно-аддитивна и объединение множеств Ап Е А
также входит в А, то согласно предложению 2.3.3 имеем сходи-
мость ^(U”=i^t) ^(USi Ai), что ввиду (ii) дает указанную
в (iii) оценку. Наконец, такая оценка в сочетании с аддитивностью
дает счетную аддитивность. Действительно, пусть Вп — попар¬
но непересекающиеся множества из А, объединение В которых
также входит в Л. Тогда для всякого п Е 1N имеем
п	п	оо
^2	=	м(и	в*) ^ /*(*) <
fc=l	fc=l	k=l
откуда вытекает, что	М-®*:) =	□

82
Глава 2. Основы теории меры
НС, С±а*Аг* (4 J
2.^.7. Предложение. Пусть Ло — полуалгебра. Тогда вся¬
кая аддитивная функция множества р на Ло однозначно про¬
должается до аддитивной функции множества на алгебре Л,
состоящей из всевозможных конечных объединений множеств
из Ло (т.е. алгебре, порожденной До). При этом продолжение
счетно-аддитивно, если р счетно-аддитивна на Ло• Это же
верно и в случае полукольца Л и порожденного им кольца.
Доказательство. По лемме 2.2.11 класс всех конечных объ¬
единений элементов из До ~ алгебра (или кольцо, когда До —
полукольцо). Всякое множество из Д имеет вид дизъюнктного
объединения элементов До. Положим р(А) = Yli=iM^t)> если
Ai € До попарно не пересекаются и в объединении дают А. Ука¬
занное продолжение очевидным образом аддитивно, но надо про¬
верить корректность его задания, т.е. независимость от разбие¬
ния А на части из До- В самом деле, если В\,..., Вт — попарно
непересекающиеся множества из До, дающие в объединении А,
то в силу аддитивности р на алгебре До справедливы равен-
ства n(Ai) = EJLjMA ПВ,-), Квз) = Ya=i v(Ai n Bj), отку-
да вытекает требуемое. Проверим счетную аддитивность указан¬
ного продолжения в случае счетной аддитивности на До. Пусть
Д, Ап е Д, А = UnLi Ап, причем Дп П Д& = 0 при п ф к. Тогда
имеем А = (jf=i Bj, Ап = (J^i Bnгде Bj,Bn^ 6 До- Положим
Cn,ij := BUii П Bj. Множества Cn^j дизъюнктны, причем
Bj — \Jn=l UfeTl Cn,ij> Bnii — UjLl
В силу счетной аддитивности р на До имеем
оо Nn	N
KBj) =	t^(Bn,i) =	№(Cn,i,j)-
п=1 г=1	j=l
Кроме того, ц(А) - T.jLiKBj), КАп) = й(вп,д ПО опре-
делению р на Д. Эти соотношения дают р(А) = Yl™=i m(A»)i и&°
обе величины равны сумме всех р(Сп^j). Законность перестанов¬
ки суммирования по п и по j очевидна из того, что ряды по п
сходятся, а суммы по j и г конечны.	□
Поскольку на алгебрах бывают аддитивные, но не счетно¬
аддитивные функции, следующее эффективно проверяемое до¬
статочное (хотя и не необходимое) условие счетной аддитивности
весьма полезно на практике.

2.3. Аддитивность и счетная аддитивность
83
2.3.8. Определение. Класс множеств К в X называется
компактным, если из того, что Кп € К и Пп=1Кп = 0, следу¬
ет, что n£Li Кп = 0 при некотором N.
Терминология объясняется тем, что любой набор компактов
является компактным классом (см. теорему 1.9.6).
2.3.9. Теорема. Пусть р — неотрицательная аддитивная
функция множества на некоторой алгебре множеств А, при¬
чем существует компактный класс 1C, приближающий р в сле¬
дующем смысле: для всякого А е А и всякого е > 0 найдутся
такие К£ е К, и Ае € А, что Ае с К£ С А и р(А\А£) < е. Тогда
мера р счетно-аддитивна.
В частности, это верно, если А содержит такой компакт¬
ный класс К, что для всякого А 6 А имеем
р(А) = sup р(К).
ксА, кек
Доказательство. Пусть множества Ап е А убывают и их
пересечение пусто. Покажем, что р(Ап) —► 0. Пусть е > 0. Возь¬
мем такие множества Кп 6 К и Вп 6 А, что Вп С Кп С Ап
и р(Ап\Вп) < е2~п. Ясно, что f^Li Кп С f|^=i Ап = 0- Вви¬
ду компактности К найдется такое N, что HnLi Кп = То¬
гда Г\п=1Вп = 0 И AN = Алг\Пп=1Бп = Un=l(AN\Bn) ВХОДИТ
в Un=lG^»iY®n)> т,е* ^(^n) ^ Еп=1 №(Ап\Вп) ^ Еп=1^2 п ^ Еш
Итак, р(Ап) —► 0, что влечет счетную аддитивность р.	□
2.3.10. Пример, (i) Пусть I — отрезок в IR1, А — алгебра
конечных объединений промежутков из I (замкнутых, открытых
и полуоткрытых). Тогда обычная длина Ai, равная сумме чи¬
сел bi — ai на конечном дизъюнктном объединении промежутков
с концами ai и bi, счетно-аддитивна на алгебре Л. Это же верно
для полуалгебры промежутков вида [а, 6) в [0,1).
(и) Пусть I — куб в JRn вида [а, Ь]п, А — алгебра конечных
объединений параллелепипедов из J, являющихся произведения¬
ми промежутков из [а, Ь] (открытых, замкнутых или полуоткры¬
тых). Тогда обычный объем Ап счетно-аддитивен на А. Будем
называть Ап мерой Лебега.
Доказательство. Конечные объединения отрезков являют¬
ся компактными множествами и приближают изнутри конечные
объединения прочих промежутков. Случай куба аналогичен. □

84
Глава 2. Основы теории меры
Существуют меры, не имеющие компактных приближающих
классов, но такие меры довольно экзотичны и в реальных прило¬
жениях не появляются. Приведем следующий результат, показы¬
вающий, что указанное достаточное условие счетной аддитивно¬
сти носит весьма универсальный характер.
2.3.11.	Теорема. Пусть /л — неотрицательная счетно-ад¬
дитивная мера на борелевской а-алгебре B(JRn) пространст¬
ва IRn. Тогда для всякого борелевского множества В С lRn и вся¬
кого г > 0 найдутся такие открытое множество Ue и компакт¬
ное множество К€, что К£ С В с Ue и p(U£\K£) < е.
Доказательство. Покажем, что для любого е > 0 найдет¬
ся такое замкнутое множество F£ С В, что p(B\Fe) < е/2. Тогда
в силу счетной аддитивности р само Fe можно приблизить изну¬
три с точностью до е/2 компактом F£ П С/, где U — замкнутый
шар достаточно большого радиуса. Обозначим через А класс всех
таких множеств А Е #(IRn), что для всякого е > 0 найдутся за¬
мкнутое множество F£ и открытое множество U£j для которых
F£ С А С U£ и /jl(U£\F£) < £. Заметим, что всякое замкнутое
множество А входит в Л, ибо в качестве Fe можно брать само Л,
а в качестве U£ можно взять некоторую открытую ^-окрестность
As множества Л, т.е. объединение всех открытых шаров радиуса S
с центрами в точках из Л (при стремлении S к нулю открытые
множества As убывают к Л, поэтому их меры стремятся к ме¬
ре Л). Покажем, что А — сг-алгебра. Если это сделано, то теорема
доказана, так как замкнутые множества порождают борелевскую
сг-алгебру. По построению класс А замкнут относительно опера¬
ции дополнения. Поэтому остается проверить замкнутость А от¬
носительно счетных объединений. Пусть Aj Е А и е > 0. Тогда
существуют такие замкнутые множества Fj и открытые множе¬
ства Uj, что Fj с Aj С Uj и li(Uj\Fj) < e2~i, j Е IN. Множество
и = и~1 Uj открыто, а множество Z*. = Uj=i Fj замкнУт0 Для
всякого k Е IN. Остается заметить, что Z*. С [JJLi A j С U и при
достаточно большом к имеет место оценка fi(U\Zk) < е. Действи-
тельно, m(UТ-гШЪ)) <	£ и »(Zk) - /x(U^i Fj)
при fc^ooB силу счетной аддитивности.	□
Эта теорема показывает, что измеримость можно определять
(как и делается в ряде учебников) в духе конструкции Пеано-
Жордана через внутренние приближения компактами и внешние

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
85
приближения открытыми множествами. Для этого надо сначала
задать меру открытых множеств (что определит и меру компак¬
тов). На отрезке это легко, ибо открытое множество слагается из
дизъюнктных интервалов, что по счетной аддитивности задает
его меру через меры интервалов. Однако уже в случае квадрата
такого дизъюнктного представления открытого множества нет,
поэтому упомянутое построение здесь не столь эффективно.
Наконец, стоит сказать, что рассмотренную выше меру Лебе¬
га на алгебре, порожденной кубами, можно сразу задать на бо¬
релевской сг-алгебре равенством \п(В) := inf Лп(/7), где inf
берется по всем не более чем счетным покрытиям В кубами Ij. На
самом деле это и будет сделано ниже, однако обоснование того,
что указанное равенство дает счетно-аддитивную меру, не три¬
виально и будет дано обходным путем с помощью конструкции
внешней меры, которой посвящен следующий параграф.
2.4.	Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
Здесь показано, как продолжать счетно-аддитивные меры
с алгебр на сг-алгебры. О продолжении с колец см. §2.7(i). Мы
будем рассматривать конечные функции множества, а в конце
сделаем замечание о функциях со значениями в [0, +оо].
Для всякой неотрицательной функции множества /х, которая
определена на некотором классе Л подмножеств пространства X,
содержащем само X, формула
оо	оо
ц*(А) = inf|У^/ф4п) Ап е А, А с У Aij
71=1	71=1
задает новую функцию множества, определенную уже для каж¬
дого А С X. Эта же конструкция применима к функциям множе¬
ства со значениями в [0, +оо]. Если X не входит в Л, то /х* зада¬
ется указанной формулой на всех множествах А, которые можно
покрыть счетной последовательностью элементов Л, а всем про¬
чим множествам можно приписать бесконечное значение (иногда
им приписывают значение, равное точной верхней грани значе¬
ний /х* на содержащихся в них множествах, которые покрывают¬
ся последовательностями из Л). Функцию /х* называют внешней
мерой, хотя она не обязана быть даже аддитивной. Более подроб¬
но внешние меры Каратеодори, не обязательно происходящие из
аддитивных функций множества, обсуждаются в [26, гл. 1]; см.
также §2.7(i) ниже.

86
Глава 2. Основы теории меры
2.4.1. Определение. Пусть р — неотрицательная функ¬
ция множества на области определения А С 2х. Множество А
называется р-измеримым (или измеримым по Лебегу относи¬
тельно р), если для всякого е > 0 найдется такое Ае £ А, что
выполнено неравенство р*(А А Ае) < е.
Класс р-измеримых множеств обозначается через Ар.
Нас будет интересовать случай, когда р — счетно-аддитив¬
ная мера на алгебре А. Определение измеримости, данное самим
Лебегом, состояло в равенстве р*(А) + /х*(Х\Л) = р(Х) (для от¬
резка X). Ниже будет показано, что для аддитивных функций
на алгебрах такое определение (возможно, интуитивно не столь
прозрачное) равносильно данному выше (см. предложение 2.4.12
и теорему 2.7.8). Кроме того, упомянутые утверждения содержат
критерий измеримости по Каратеодори, который также равноси¬
лен данному нами определению в том случае, когда речь идет
о неотрицательных аддитивных функциях множества на алге¬
брах, но гораздо более содержателен в общем случае (в частности,
когда рассматриваются меры со значениями в [0, +оо]).
2.4.2. Пример, (i) Пусть 0 € А и р(0) = 0. Тогда А С Ар,
ибо при А Е А мы берем Ае = А. Кроме того, всякое множество А
с р*(А) = 0 является р-измеримым (можно взять Ае = 0).
(ii) Пусть А — алгебра конечных объединений промежутков
из примера 2.3Л0 с обычной длиной Л. Тогда A-измеримость А
равносильна тому, что для всякого £ > 0 можно найти множе¬
ство Е, равное конечному объединению интервалов, и множества
4, А" из I с А = (Е U 4)\4,	А*(4) ^ е, А*(4) < е.
(iii) Пусть X = [0,1], А = {0,Х}, р(Х) = 1, р(0) = 0. Тогда
р — счетно-аддитивная мера на А, причем Ар — А. Действитель¬
но, р*(Е) = 1 для всякого Е ф 0. Поэтому из непустых множеств
лишь весь отрезок можно приблизить множеством из А с точно¬
стью £ < 1.
Отметим, что даже если р — счетно-аддитивная мера на сг-ал-
гебре Л, соответствующая внешняя мера р* может не быть счет¬
но-аддитивной на классе всех множеств.
2.4.3. Пример. Пусть X — двухточечное множество {0,1}
и А = {0,Х}. Положим р{0) = 0, р(Х) — 1. Тогда класс А —
сг-алгебра, а р счетно-аддитивна на Л, но р* не является адди¬
тивной на сг-алгебре всех множеств, ибо /х*({0}) = 1, р*({ 1}) = 1,
/**({0}и{1}) = 1.

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
87
2.4.4. Лемма. Пусть р — неотрицательная функция мно¬
жества на классе А. Тогда функция р* счетно-субаддитивна,
т.е. справедливо неравенство
/°°	\	00	<J
M*(UAi)<X>*(A»)	(2.4.1)
71=1	71=1
для любых множеств Ап. '	А '
Доказательство. Пусть е > 0 и р*(Ап) < оо. Для всякого
п существует такой набор {Sn,fc}fcli С А, что Ап С (JfeLi Bn,k и ^
00	" ТЛ Л-*- <1 i Л"
5>(ад</••(*.)+£•	1 ' v ■ '
fc= 1
Тогда |Jn=i ^ С |Jn=i U=i Bn ^ и потому получаем
оо	оо	оо	оо
^ ( LJ Ап) ^ У! У ^(Вщк) ^ ]У] М (-^п) + £•
71=1	71=1	/с=1	71=1
Ввиду произвольности е, приходим к (2.4.1).	□
2.4.5. Лемма. В ситуации предыдущей леммы для всяких
множеств А и В с р*(В) < оо справедливо неравенство
| р*(А) - р*(В) | < if (А А В).	(2.4.2)
Доказательство. Заметим, что А с В и (А А В), откуда
в силу субаддитивности /х* получаем оценку
/хДЛ)</х*(В) + /х*(ЛДВ),
т.е. р*(А) — р*(В) ^ р*(ААВ). Оценка р*(В) — р*(А) ^ р*(ААВ)
получается аналогично. _	/	si	Й
2.4.6. Теорема. Пусть /х — конечная неотрицательная
счетно-аддитивная функция множества на алгебре Л. Тогда
(i)	А С Afj, и внешняя мера р* совпадает с р на Л;
(И) совокупность Ац всех р-измеримых множеств является
сг-алгеброй, причем ограничение /х* на Ац счетно-аддитивно;
(iii)	/х* — единственное неотрицательное счетно-аддитив¬
ное продолжение р на а-алгебру сг(Л), порожденную А, а также
единственное такое продолжение р на Лм.

88
Глава 2. Основы теории меры
Доказательство, (i) Уже отмечалось, что Л С ЛПусть
А е А и А С U£Li А», где Ап е А. Тогда А - U^=i(^ n АО-
Поэтому в силу предложения 2.3.6(iii) имеем
ОО	ОО
/*(А < ^2 n Ai) < ^2 МА»),
п=1	п=1
откуда д(Л) < д*(Л). По определению, д*(4) ^ д(Л). Значит,
ц(А) = „*(Л).
(ii)	Сначала заметим, что дополнение измеримого множества
А измеримо. Это ясно из формулы (-ХДЛ) Д (Х\Л£) = А А Ае.
Далее, объединение измеримых множеств Aw. В измеримо. Дей¬
ствительно, пусть г > 0 и Ае, В£ € А таковы, что д*(ЛДЛ£) < е/2
и /л*(В А В£) < е/2. Поскольку
(Л U В) Д (Л£ U Б£) С (А Д Л£) U (В А Ве),
то справедливы неравенства
д* ((Л U Б) Д (Л£ U Бе)) ^ д* ((Л Д Ае) U (БД Бе)) < е.
Следовательно, АиВ Е Ац. Кроме того, в силу уже доказанного,
А П В = Х\((Х\Л) U (.Х\В)) Е Лм. Итак, Л^ — алгебра.
Теперь установим два менее очевидных свойства внешней ме¬
ры. Сначала проверим ее аддитивность на Лм. Пусть А, В Е Лм,
причем АПВ = 0. Зафиксируем е > 0 и найдем такие Ае, Ве Е Л,
что
д*(АД4)<е/2 и fi*(BAB£)<e/2.
По лемме 2.4.5 с учетом совпадения //* на Л с /i имеем
д*(Л U Б) ^ д(Л£ U Ве) - д* ((Л U Б) Д (Л£ U Б£)).	(2.4.3)
Из включения (Л U Б) Д (Л£ U Б£) С (Л Д Л£) U (Б Д Б£) и суб¬
аддитивности д* вытекает неравенство
д* ((Л U Б) Д (Ае и Б£)) < д*(Л Д Ае) + д*(Б Д Б£) < г. (2.4.4)
Ввиду включения Л£ П Ве С (Л Д Л£) U (Б Д Б£) получаем
д(Л£ П Б£) = д*(Л£ П Б£) ^ д*(Л Д Л£) -(- д*(Б Д Б£) ^ в.
Из оценок д(Л£) ^ д*(Л) — г/2 и д(Б£) > д*(Б) — г/2 имеем
д(Л£ U Б£) = д(Л£) + д(Б£) - д(Л£ П Ве) ^ Д*(Л) + д*(Б) - 2г.

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
89
С учетом соотношений (2.4.3) и (2.4.4) это дает
/х*(Д U В) ^ /л* (А) + /х*(В) - Зе.
В силу произвольности е получаем /х* (A U В) ^ /х*(Д) + //*(£).
Поскольку /х* (A U В) ^ /х*(Д) + /х*(В), то
/х*(ЛиВ) = /х*(Д) + /х*(В).
Следующий важный шаг состоит в проверке того, что счетное
объединение измеримых множеств измершщ. Достаточно дока¬
зать это для непересекающихся множеств Ап € Ац. Действитель¬
но, в общем случае можно положить Вп —	Тогда
множества Вп не пересекаются, по доказанному измеримы и име¬
ют то же объединение, что и множества Ап. Имея дело с непере-
секающимися множествами, замечаем, что ввиду конечной адди¬
тивности /х* на Ац справедливы следующие соотношения:
п	п	оо
X>*(4k) - M*(U Ак) < /,*((J Ак) < »(Х).
к=1	к=1	к=1
Итак, YlkLi /x*(^fc) < Пусть е > 0. Выберем п так, что
оо
Е *•'(*> < \
к=п+1
Пользуясь измеримостью конечных объединений, найдем такое
множество В € А, что ц*{В Д Ufc=i Ak) < е/2- Поскольку имеет
место включение В Л UbLi Ак С {В A U*=i Ак) U (Ufcln+i Ак)>
то получаем
оо	п	оо
fc=l	/с=1	fc=n+l
оо
<§ + S »*(Ak)<e-
k=n+1
Итак, UfcLi измеримо. Тем самым Дм — сг-алгебра. Остается
заметить, что из аддитивности и счетной субаддитивности /х* на
Ац следует счетная аддитивность (см. предложение 2.3.6).
(iii)	Заметим, что сг(Д) С Дм, ибо Д^ — сг-алгебра, содержа¬
щая Д. Пусть г/ — какое-нибудь неотрицательное счетно-аддитив¬
ное продолжение /х на сг(Д). Пусть A Е сг(Д) ие>0. Поскольку

90
Глава 2. Основы теории меры
А*®
А € A/i, то найдется В € Л с /х*(А Д В) < г. Это_значит, что >*лс/. *■/
существуют такие множества Сп е А, что А А В содержится
в объединении (JnLi Сп и д(Сп) < е. Тогда имеем
оо	оо
|1/(Л) — 1^(5) | ^ i/(A ЛВ)< 53 "(Сп) — 53 /*(С») < £-
71—1
Поскольку г/(В) = /х(В) = /х*(В), то окончательно получаем
ИЛ) - /х*(Л)| = ИЛ) - „(В) + /х*(Я) - /х*(Л)| ^
^ ИЛ) - и{В)I + |/х*(В) - /х*(Л)| ^ 2е.
В силу произвольности е приходим к равенству ^(Л) = /х*(Л).
Это рассуждение дает единственность неотрицательного счетно¬
аддитивного продолжения /х и на Лм, ибо мы использовали лишь
включение А Е А^ (неотрицательность важна, см. ниже). □
Контрольный вопрос: где в вышеприведенном доказательстве
использована счетная аддитивность /х? Она важна.
2.4.7. Пример. Пусть А — алгебра всех конечных подмно¬
жеств IN и их дополнений, а функция множества /х равна 0 на
конечных множествах и 1 на их дополнениях. Тогда /х аддитивна,
одноточечные множества {га} покрывают IN и /х*(IN) = 0 < //( 1N).
Отметим, что в теореме выше /х не может иметь знакопере¬
менных счетно-аддитивных продолжений с Л на сг(Л), что следу¬
ет из (iii) и разложения Жордана из гл. 3, но может иметь зна¬
копеременные продолжения на Ац. Например, пусть X = {0,1},
А = <т(А) = {0,Х}, ц = 0, i/({°}) = !> "(I1» = -1. "№ = О-
Тогда /х = и = 0 на Л, точки 0,1 входят в Ац и имеют нулевую
меру относительно продолжения /х на Аа мера v есть ненулевое
продолжение /х.
2.4.8. Пример. Важный частный случай, к которому при¬
менима теорема о продолжении, описан в примере 2.3.10. Так
как сг-алгебра, порожденная кубами с ребрами, параллельными
координатным осям, есть борелевская сг-алгебра, то в результа¬
те получаем счетно-аддитивную меру Лебега \п на борелевской
сг-алгебре куба (и даже на более широкой сг-алгебре измеримых
множеств), продолжающую элементарный объем. Эта мера более
подробно рассматривается в §2.5. По теореме 2.4.6 мера Лебега
любого борелевского (как и любого измеримого) множества В
в кубе есть А* (В). Возникает вопрос, почему бы сразу не задать

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
91
меру на сг-алгебре борелевских подмножеств куба этой форму¬
лой. Дело в том, что трудность состоит в проверке аддитивности
полученной функции множества. Чтобы обойти эту трудность,
приходится проверять аддитивность на более широком классе из¬
меримых множеств и доказывать, что он является сг-алгеброй.
С помощью доказанной теоремы можно дать новое описание
измеримых множеств.
2.4.9.	Следствие. Пусть /х — неотрицательная счетно¬
аддитивная функция множества на алгебре А. Множество А
является ц-измеримым в точности тогда, когда существуют
такие множества А!\Ап Е сг(Д); что
А' с А С А" и р*(А"\А') = 0.
В качестве А' можно взять множество вида (Jn^i flS£i
где AUik Е А, а в качестве А" множество вида flnLi UfcLi Bn,k,
где Вп^ Е А.
Доказательство. Пусть АеА^. Для всякого е > 0 найдем
множество А£еа(А), для которого А С Ае и р*(А) ^ р>*(Ае) — е.
Действительно, по определению найдутся Ап Е А с А С UnLi Ап
и р*(А) ^ Yl%LiKAn) ~ е- Положим Ае = U^Li^n- Ясно, что
А С Ае, Ае Е cf(A) С Ац. В силу счетной аддитивности /х* на А^
имеем р*(А£) ^ Y^LiK^n)- Положим А" = f|^Li^i/n- Тогда
Ас А" Е <т(А) С причем р*(А) = /х*(А"), ибо
/х*(Д) > М*(Д1/Я) - 1 /п > /х*(А") - 1 /п
для всех п. Отметим, что для построения А" измеримость А не
нужна. Применим доказанное к дополнению А и найдем содер¬
жащее Х\А множество В Е ст(А) С Ац равной с Х\А внешней
меры. Положим А! = Х\В. Тогда А! с А, причем в силу адди¬
тивности /х* на сг-алгебре Ац и включений А,Ве Ац имеем
/х*(Л') = /х(Х) - /х*(В) = р(Х) - р'(Х\А) = /х*(А),
что и требовалось. Обратно, пусть такие множества Af и А" суще¬
ствуют. Поскольку А является объединением А! и части An\Af, то
достаточно проверить, что всякое множество С из Ап\А' входит
в Это верно, ибо /х*(С) < /х*(Д"\Д') = р*{Ап) — /х*(Д') = 0
ввиду аддитивности /х* на А^ и включений Л", А! Е &(А) С □
Из единственности продолжения вытекает следующий полез¬
ный результат.

92
Глава 2, Основы теории меры
2.4.10. Следствие. Для равенства неотрицательных боре-
левских мер р и v на прямой необходимо и достаточно, чтобы
они совпадали на всех отрезках (или на всех интервалах).
Доказательство. Поскольку отрезок есть пересечение вло¬
женной последовательности интервалов, а интервал есть объеди¬
нение возрастающей последовательности отрезков, то в силу счет¬
ной аддитивности совпадение р и v на отрезках равносильно сов¬
падению на интервалах и влечет равенство обеих мер на алгебре
промежутков в И1. Поскольку эта алгебра порождает ^(И1), то
ввиду единственности счетно-аддитивного продолжения с алге¬
бры на порожденную сг-алгебру получаем доказываемое.	□
Описанное в теореме 2.4.6 счетно-аддитивное продолжение
называется лебеговским продолжением или лебеговским попол¬
нением меры /х, а измеримое пространство (Х,Ар,р) называется
лебеговским пополнением (X, А, р). Кроме того, Ар называют ле¬
беговским пополнением алгебры (или сг-алгебры) А относитель¬
но р. Такая терминология (обычно используемая в том случае,
когда А — сг-алгебра) связана с тем, что мера р на Ар является
полной в смысле следующего определения.
2.4.11. Определение. Неотрицательная счетно-аддитив¬
ная мера р на а-алгебре А называется полной, если А содержит
все подмножества всякого множества из А, имеющего р-меру
нуль. В этом случае говорят также, что а-алгебра А полна
относительно меры р. Точно так же определяют полноту меры
на алгебре или кольце.
Из определения внешней меры ясно, что если А С В Е Ар
и р(В) = 0, то А Е Ар и р(А) = 0. Полнота ограниченной меры
р на сг-алгебре А равносильна равенству А = Ар (задача 2.7.31).
Примером неполной счетно-аддитивной меры на сг-алгебре слу¬
жит нулевая мера на сг-алгебре, состоящей из пустого множе¬
ства и отрезка [0,1]. Более содержательный пример: мера Лебега
на сг-алгебре всех борелевских подмножеств отрезка, построенная
с помощью примера 2.3.10. Эта мера рассматривается ниже более
подробно; мы увидим, что существуют компактные множества
нулевой меры Лебега, содержащие неборелевские подмножества.
Множества меры нуль называют пренебрежимыми.
Отметим следующий простой, но полезный критерий изме¬
римости множества в терминах внешней меры (представляющий
собой, как уже отмечалось, исходное определение Лебега).

2.4. Внешняя мера и лебеговское продолжение мер
93
2.4.12.	Предложение. Пусть ц — неотрицательная счет¬
но-аддитивная мера на алгебре А. Тогда множество А входит
в Ац в том и только том случае, когда р*(А)+/л*(Х\А) = /л(Х).
Это равносильно также тому, что /1*(ЕпА)+/л*(Е\А) = р*(Е)
для всякого Е С X.
Доказательство. Проверим достаточность первого из укаг
занных условий (тем самым окажется достаточным и более силь¬
ное второе). Найдем такие /i-измеримые множества В и С, что
А с В, Х\А С С, р(В) = /х*(Л), р(С) = /г*(Х\А). Существо¬
вание таких множеств было установлено в доказательстве след¬
ствия 2.4.9. Ясно, что D = Х\С С Л и
М(В) - n(D) = ц(В) + ц(С) - ц(Х) = 0.
Следовательно, р*(А А В) = 0, откуда вытекает измеримость А.
Теперь установим необходимость второго из упомянутых
в формулировке условий. В силу субаддитивности внешней ме¬
ры достаточно проверить, что р*(Е П А) + р*(Е\А) ^ ft*(E) для
всякого Е С X и всякого измеримого А. Из оценки (2.4.2) следу¬
ет, что достаточно установить это неравенство для всех А е А.
Пусть 6>0иАпеА — такие множества, что Е С Un^=i ^п
и f{E) >	- е. Тогда Е П А С U~=i(Ai П А)
и Е\А с {Jn=1{An\A), откуда
ОО	ОО
»*{Е П А) + fj*(E\A) < £ МА» nA) + Yl МАЛА =
71=1	71=1
ОО
= ^2ц(Ап) < ц*{Е) + е.
71=1
В силу произвольности е утверждение доказано.	□
Данный критерий измеримости можно сформулировать как
равенство р*(А) = /х*(Л), если внутреннюю меру задать равен¬
ством
/х*(Л) := rtX)-f(X\A),
как и было фактически сделано Лебегом. Следует только иметь
в виду, что при этом нельзя пользоваться определением внутрен¬
ней меры в духе меры Жордана как точной верхней грани мер
множеств из алгебры А, вписанных в А. Ниже в §2.7(i) мы рас¬
смотрим абстрактные внешние меры и увидим, что последнее

94
Глава 2. Основы теории меры
свойство в предложении 2.4.12 можно взять в качестве определе¬
ния измеримости, что приводит к весьма интересным результатам
(при этом само предложение будет распространено на конечно-
аддитивные функции множества).
2.4.13. Замечание. Всякое множество А Е А^ можно пре¬
вратить в пространство с мерой, ограничив р на класс /i-измери¬
мых подмножеств А, представляющий собой сг-алгебру в А. По¬
лученная мера /ха (или р\д) называется ограничением или суже¬
нием р на А. См. задачу 2.7.46 про сужения на любые множества.
Следует иметь в виду, что не всякая счетно-аддитивная мера
на под-сг-алгебре Ао в сг-алгебре А продолжается до меры на А
(см. задачу 2.7.43).
2.4.14. Замечание, (i) Аналог теоремы 2.4.6 имеется и для
мер со значениями в [0, +оо], а также для мер на кольцах, одна¬
ко при этом вместо класса Ац приходится брать либо класс
множеств, измеримых по Каратеодори (см. §2.7(i)), либо совпа¬
дающий с	в случае счетно-аддитивной меры (см. ниже заме¬
чание 2.7.11) класс локально измеримых множеств
А1™ := {А С X: А П Е Е Ац для всех Е Е Ас р(Е) < оо}.
Класс Ац из определения 2.4.1 в случае меры со значениями
в [0, +оо] может не быть сг-алгеброй. Рассмотрим такой пример:
пусть А — алгебра конечных множеств в IN и их дополнений,
и пусть р(А) = оо, если А Е А непусто, /х(0) = 0. Тогда мера р
со значениями в [0, +оо] счетно-аддитивна. При этом из неравен¬
ства р*(Е) < оо следует, что Е = 0. Поэтому Ац совпадает с А
и не является сг-алгеброй.
(ii)	Пусть конечная мера р ^ 0 счетно-аддитивна на коль¬
це 1Z и сг-конечна, т.е. X = (Jb=i гДе ^ и М-Фь) < °°*
Тогда теорема 2.4.6 позволяет легко построить продолжение р до
счетно-аддитивной меры со значениями в [0, +оо] на сг-алгебре
<т(Тг), порожденной 1Z. В самом деле, перейдя к Uj=i^j> мож¬
но считать, что Rk С Rk+i- Для каждого к мера р имеет един¬
ственное счетно-аддитивное продолжение на сг-алгебру Ak под¬
множества Л*, порожденную пересечениями R П Д/с, где R Е 11,
ибо такие пересечения образуют алгебру и р конечна и счетно¬
аддитивна на ней. Ясно, что такие продолжения согласованы, т.е.
продолжение на Ak+i на множествах из Ak дает то же, что и про¬
должение на Ak- Легко проверить, что сг(7£) есть класс всех таких

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
95
множеств Е, что EDRk € Ак для каждого к. Теперь продолжение
на а(П) задается формулой
ц(Е) = lim n(EnRk),
к—>оо
где р(Е П Rk) есть значение на Е Г) Rk продолжения /х на Ak.
Полученное продолжение счетно-аддитивно. Действительно, для
дизъюнктных Aj Е (t(R) множества Aj П Rk дизъюнктны при
каждом fc, откуда p(Rk П (J£Li Aj) — Y^jL\ МА? п ^к)- Легко
видеть, что равенство остается и в пределе к —► оо (включая
случай бесконечных значений). Той же формулой р продолжается
и на более широкий класс 7?^с.
2.5.	Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
Вернемся к мере Лебега, рассмотренной в примерах 2.3.10
и 2.4.8. Пусть I — куб в Ип вида [а,Ь]п, Ао — алгебра конеч¬
ных объединений параллелепипедов из I с ребрами, параллель¬
ными координатным осям. Как мы знаем, обычный объем Ап
счетно-аддитивен на До и продолжается до счетно-аддитивной
меры, также обозначаемой через Ап и называемой мерой Лебега
на сг-алгебре Сп(1) всех Ап-измеримых множеств в J, содержащей
борелевскую сг-алгебру. Представим IRn в виде объединения воз¬
растающей последовательности кубов Ik = {|xj| < fc, г = 1,..., п}
и положим
Cn := {Е С IRn: Е П 1к <Е Сп(1к) для всех к 6 1N}.
Ясно, что Сп — сг-алгебра. На ней формула
An(E) = lim Ап(ЕП1к)
«—►00
задает сг-конечную меру Ап.
2.5.1.	Определение. Указанная выше мера Хп на Сп на¬
зывается мерой Лебега на IRn. Множества из Сп называются
измеримыми по Лебегу.
В тех случаях, когда подмножества IRn рассматриваются с ме¬
рой Лебега, обычно используются термины «множество меры
нуль», «измеримое множество» и т.п. без явного упоминания ме¬
ры Лебега. Мы также будем следовать этой традиции.

96
Глава 2. Теория меры
Для задания меры Лебега множества Е Е Сп можно исполь¬
зовать и формулу
оо
\n(E) = '52\n(EnQj),
3=1
где Qj — попарно непересекающиеся кубы, являющиеся сдвигами
[— 1,1)п и дающие в объединении все IRn. Поскольку сг-алгебра,
порожденная параллелепипедами указанного выше вида, есть бо-
релевская сг-алгебра В(1) куба J, то все борелевские множества
в кубе /, а значит и во всем Ип, измеримы по Лебегу.
Меру Лебега можно рассматривать также на 5-кольце всех
множеств конечной меры Лебега.
В одномерном случае мера Лебега множества Е есть сумма
ряда из Ai (Е П (n, п + 1]) по всем целым числам п.
Сдвиг множества А на вектор /i, т.е. множество всех точек
вида а + h, где а 6 Л, обозначим через А + h.
2.5.2.	Лемма. Пусть W С I = (—1,1)п — открытое мно¬
жество. Тогда существует такое не более чем счетное множе¬
ство открытых попарно непересекающихся кубов Qj С W вида
Qj — Cjl + hj, Cj > 0, hj 6 I, что множество ГГ\ Ujli Qj имеет
лебеговскую меру нуль.
Доказательство. Воспользуемся задачей 2.7.16 и предста¬
вим W в виде W — [J°°=1Wj, где Wj — открытые кубы, ребра
которых параллельны координатным осям и имеют длины q2~p
с натуральными р, <?, а центры имеют координаты вида 12~т с це¬
лыми I и натуральными т. Затем следующим образом реструк¬
турируем кубы Wj. Удалим все кубы Wj, принадлежащие W\,
и положим Q1 = W\. Возьмем первый куб Wn2 из оставшихся
и внутренность множества Wn2\Qi представим в виде конечно¬
го объединения открытых кубов Q^ ..., Qm2 такого же вида, как
и кубы Wj, а также некоторых кусков границ этих новых ку¬
бов. Это возможно в силу выбора исходных кубов. Затем удалим
все Wj, содержащиеся в объединении USaOi? возьмем первый
куб из оставшихся и измельчим указанным выше способом его
часть, выступающую за объединение ранее построенных кубов.
Продолжая описанный процесс, мы получим попарно непересека¬
ющиеся кубы, покрывающие W с точностью до множества меры
нуль, а именно счетного объединения границ этих кубов. □

2.5» Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
я
сЯ	У/у^°о
2.5.3.	Теорема. Пусть А — измергшое по Лебегу множе¬
ство конечной меры. Тогда
(i) Лп(А + К) = Лп(А) для всякого вектора h 6 lRn;
(ii) \n(U(A)) = АП(Л) для всякого ортогонального линейного
оператора U на IRn;
(iii) Лп(аА) = \а\пХп(А) для всякого вещественного числа а.
Доказательство. Из определения меры Лебега явствует,
что достаточно доказать перечисленные свойства для ограничен¬
ных измеримых множеств.
(i) Возьмем такой куб I с центром в начале координат, что
множества А и A+h содержатся в некотором кубе внутри /. Пусть
Ао — алгебра, порожденная кубами в I с ребрами, параллельны¬
ми координатным осям. При определении внешней меры А мож¬
но рассматривать лишь такие множества В е Ло, чт0 В + h С I.
Поскольку объемы множеств из Ло не меняются при сдвигах, то
множества A + h и А имеют одинаковые внешние меры. Для каж¬
дого £ > 0 найдется множество Ае Е Ло с А* (Л Л Ае) < е. Тогда
а; ((Л + К) Л (Ае + Л)) = А* ((А Л Ае) + h) = А*П(А Л Ае) < е,
откуда следует измеримость A + h и доказываемое равенство.
(ii) Из определения меры Лебега ясно, что достаточно дока¬
зать наше утверждение для множеств из Ло- Поэтому остается
показать, что для всякого замкнутого куба К с ребрами, парал¬
лельными координатным осям, справедливо равенство
\n{U{K)) = \n{K).	(2.5.1)
Допустим, что это неверно для некоторого куба К, т.е.
\n(U(K)) = rXn(K),
где г ф 1. Покажем, что тогда для всякого шара Q С I с центром
в начале координат справедливо равенство
An{U(Q)) = r\n{Q), если U(Q) с I.	(2.5.2)
Пусть d — длина ребра К. Возьмем натуральное число р и разде¬
лим куб К на рп одинаковых замкнутых кубов Kj с равными ре¬
брами длины d/p, пересекающихся лишь по граням или ребрам.
Кубы U(Kj) являются сдвигами друг друга и по доказанному
имеют одинаковые меры. Легко видеть, что грани любых кубов
имеют меру нуль. Поэтому An(U(K)) = pnXn(U(Ki)). Следова¬
тельно, Xn(U(Ki)) = rXn(Ki). Тогда это верно для всякого куба

98
Глава 2. Теория меры
вида qK+h, где q — рациональное число, что дает (2.5.2) для ша¬
ра Q. В самом деле, по аддитивности это равенство переносится
на конечные объединения кубов с ребрами, параллельными ко¬
ординатным осям. Далее, для всякого е > О можно найтй два
объединения Ei и Е2 такого вида, для которых Е\ С Q С Е2
и Xn(E2\Ei) < е. Для этого надо взять такие шары Q9 и Q"
с центром в начале координат, что Qf С Q С Qn со строгими
включениями и мера Qn\Qf мала. Затем можно найти конечное
объединение Е\ кубов указанного вида с Q' С Е\ С Q и анало¬
гичное объединение Е2 с Q С Е2 С Q". Остается заметить, что
U(Q) = поэтому равенство (2.5.2) приводит к противоречию.
Утверждение (iii) очевидно для множеств из Ло и потому, как
и (ii), переносится на все измеримые множества.	□
Отметим, что свойство (iii) меры Лебега является следстви¬
ем свойства (i), ибо из (i) оно следует для куба и а = 1/т, где
т € IN, затем переносится на рациональные а, что по непрерыв¬
ности приводит к общему случаю. Как видно из доказательства,
свойство (ii) также следует из (i). При этом свойство (i) характе¬
ризует меру Лебега с точностью до множителя (см. задачу 2.7.28).
Из теоремы 2.5.3 вытекает, что мера Лебега всякого прямоуголь¬
ного параллелепипеда Р С / (не обязательно с ребрами, парал¬
лельными координатным осям) равна произведению длин его ре¬
бер. Из этого легко получить такой результат.
2.5.4. Следствие. В предыдущей теореме для всякого ли¬
нейного оператора Т в IRn имеем \п(Т(А)) = | detT\\n(A).
Всякое счетное множество имеет лебеговскую меру нуль. Как
показывает следующий пример канторовского множества, опи¬
санного в §1.9(vi), существуют и несчетные множества лебегов-
ской меры нуль. Для удобства напомним конструкцию.
2.5.5. Пример. Пусть I = [0,1]. Обозначим через J±д ин¬
тервал (1/3,2/3). Через J2ji, «/2,2 обозначим интервалы (1/9,2/9)
и (7/9,8/9), являющиеся средними третями отрезков, получен¬
ных после удаления интервала *7хд. Продолжим индуктивно про¬
цесс удаления средних интервалов. На п-ом шаге получим 2п от¬
резков, а на следующем шаге удалим их средние трети «7п+1,ъ
«Jn+i,2>-• • jJn+i,2nj после чего останется 2n+1 отрезков и процесс
продолжится. Множество С = I\ [jnj Jnj называется канторов-
ским. Оно компактно, имеет мощность континуума, но лебегов¬
скую меру нуль.

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
99
Доказательство. Множество С компактно, ибо его допол¬
нение до отрезка открыто. Чтобы увидеть, что С имеет мощность
континуума, запишем точки отрезка [0,1] в троичной системе, т.е.
х — xj 3-,?, где Xj принимает значения 0,1,2. Как и для де¬
сятичных разложений, такое представление не однозначно, ибо,
например, последовательность (0,2,2,...) соответствует тому же
числу, что и последовательность (1,0,0,...). Однако подобная
неоднозначность возможна лишь для счетного множества точек.
По индукции проверяется, что после n-го шага удаления остают¬
ся точки ж, для которых Xj = 0 или Xj = 2 при j < п (если точки
типа 1/3 записывать как (0,2,2,...)). Таким образом, С состоит
из точек, допускающих троичное разложение лишь с 0 и 2, откуда
следует, что С равномощно множеству вещественных чисел. За¬
метим, что разложение с использованием только 0 и 2 однозначно
(даже для точек, имеющих иные разложения с использованием
еще и 1). Чтобы показать, что С имеет нулевую меру, остается
проверить, что дополнение к С имеет меру 1. По индукции про¬
веряется, что мера множества <7пд U • • • U Jn?2n-i равна 2n-13-n.
При этом 2П-13-П = 1.	□
2.5.6.	Пример. Пусть е > 0 и {гп} — множество всех раци¬
ональных точек из [0,1]. Положим
оо
к = [о, 1]\ (J (гп - е4_п, гп + е4-п).
71=1
Тогда К — компакт без внутренних точек с мерой Лебега не мень¬
ше 1 — £, ибо мера [0,1 ]\К не превосходит XmLi 2е4-п.
Таким образом, положительность меры компактного множе¬
ства не означает, что у него есть внутренние точки.
Отметим, что всякое подмножество канторовского множества
также имеет меру нуль. Из этого вытекает, что совокупность всех
измеримых множеств имеет мощность, равную мощности клас¬
са всех подмножеств прямой. Можно показать (см. [26, гл. 6]),
что борелевская сг-алгебра имеет мощность континуума. Поэто¬
му среди подмножеств канторовского множества имеются небо-
релевские измеримые множества.
Естественно возникает вопрос, сколь обширен класс измери¬
мых по Лебегу множеств и охватывает ли он все множества. Ока¬
зывается, что ответ на этот вопрос зависит от привлечения до¬
полнительных теоретико-множественных аксиом и принципиаль¬
но не может быть дан в рамках «наивной теории множеств» без

100
Глава 2. Теория меры
аксиомы выбора. Во всяком случае, как показывает следующий
пример Витали, с помощью аксиомы выбора легко строится при¬
мер неизмеримого по Лебегу множества.
2.5.7.	Пример. Будем считать точки х и у из [0,1] эквива¬
лентными, если число х—у рационально. Ясно, что полученное от¬
ношение действительно является отношением эквивалентности,
т.е. 1) х ~ ж, 2) у ~ х при х ~ у, 3) х ~ z при х ~ у и у ~ z. Та¬
ким образом, возникают классы эквивалентности, объединяющие
точки, которые отличаются друг от друга на рациональное чис¬
ло, причем разности между представителями различных классов
иррациональны. Выберем теперь из каждого класса ровно по од¬
ному представителю и обозначим полученное множество через Е.
Возможность такого построения как раз и обеспечивается акси¬
омой выбора. Множество Е не может быть измеримо по Лебегу.
Действительно, если его мера равна нулю, то мера [0,1] также
равна нулю, ибо [0,1] покрывается счетным множеством сдвигов
Е на всевозможные рациональные числа. Положительной мера
множества Е тоже не может быть, ибо для различных рацио¬
нальных р и q множества Е + риЕ + qne пересекаются и имеют
равную меру с > 0. Так как Е + р С [0,2] при р 6 [0,1], то [0,2]
будет иметь бесконечную меру.
Следует, однако, иметь в виду, что вместо аксиомы выбора
можно присоединить к стандартным теоретико-множественным
аксиомам такое предположение, что все подмножества прямой
окажутся измеримыми.
Заметим еще, что даже если использовать аксиому выбора, то
все равно остается такой вопрос: существует ли какое-нибудь про¬
должение меры Лебега до счетно-аддитивной меры на классе всех
подмножеств отрезка? Построенный выше пример говорит лишь
о том, что такое продолжение нельзя получить с помощью лебе-
говского пополнения. Ответ на поставленный вопрос также зави¬
сит от привлечения дополнительных теоретико-множественных
аксиом (см. §1.12(х) в книге [26]). Во всяком случае лебеговское
продолжение заведомо не является максимально возможным, ибо
по теореме 2.7.12 для каждого множества Е с [0,1], неизме¬
римого по Лебегу, можно продолжить меру Лебега до счетно¬
аддитивной меры на сг-алгебре, порожденной всеми измеримыми
по Лебегу множествами в [0,1] и множеством Е.
Важным свойством измеримости по Лебегу на JRn является ее
инвариантность относительно широкого класса преобразований.

2.5. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса
101
2.5.8. Теорема. Пусть отображение /: JRn —> IRn липши-
цево на ограниченных множествах. Тогда / переводит измери¬
мые по Лебегу множества в измеримые.
Если же f имеет обратное, которое липшицево на ограни¬
ченных множествах, то прообразы измеримых по Лебегу мно¬
жеств измеримы.
Доказательство. Пусть А с IRn измеримо по Лебегу. До¬
статочно рассмотреть ограниченное А. Пусть С — постоянная
Липшица отображения /. Для всякого £ > 0 найдется компакт
К€ С А с \(А\К£) < е. Тогда f(Ke) — компакт в f(A). Пока¬
жем, что \*(f(A)\f(K£)) ^ 2Сп£\ ввиду произвольности £ это
будет означать измеримость f(A). Найдется последовательность
замкнутых шаров Bj := B(xj,rj), для которой А\Ке С (Jjli
и E£Li 4Bj) < 2г. Тогда f(A)\f(Ke) с U“i f(Bj), откуда на¬
ходим \*(f(A)\f(K£)) < Ejli ^{f(Bj))- Остается заметить, что
f(Bj) входит в шар B(f(xj),Crj) меры Cn\(Bj). Второе утвер-
ждение теоремы следует из первого.	□
Отметим, что эта теорема верна отнюдь не для всякой боре-
левской меры. Например, если мера /х на [0,1] задана формулой
/i(A) = Л (А П [0,1/2]), А 6 #([0,1]), то все множества из [1/2,1]
имеют /х-меру нуль. Ясно, что при отображении х н-> х/2 некото¬
рые из них перейдут в неизмеримые подмножества [0,1/2].
Скажем несколько слов о мере Жордана (или Пеано-Жорда-
на, что более точно отражает историю вопроса).
2.5.9. Определение. Ограниченное множество Е в IRn на¬
зывается измеримым по Жордану, если для всякого £ > 0 суще¬
ствуют множества U£ и Ve, являющиеся конечными объедине¬
ниями кубов, такие, что U£ С Е <ZV£ и An(V£\U£) < е.
Ясно, что при £ —> 0 существует общий предел мер U£ и V£,
называемый мерой Жордана множества Е. Из определения оче¬
видно, что всякое измеримое по Жордану множество Е измеримо
и по Лебегу, причем его мера Лебега совпадает с мерой Жордана.
Обратное, однако, неверно: например, множество рациональных
чисел отрезка не измеримо по Жордану. Совокупность измери¬
мых по Жордану множеств представляет собой кольцо (см. зада¬
чу 2.7.30), на котором мера Жордана совпадает с мерой Лебега.
Разумеется, мера Жордана счетно-аддитивна на своей области
определения, а ее лебеговское продолжение есть мера Лебега.

102
Глава 2. Теория меры
Перейдем к рассмотрению мер Лебега-Стилтьеса. Пусть /х —
неотрицательная борелевская мера на И1. Тогда функция
t н-* F(t) = /х((—oo,t))
ограничена, возрастает, непрерывна слева, т.е. F(tn) —> F(t) при
tn 1£, что вытекает из счетной аддитивности /х, причем справед¬
ливо равенство lim F(t) = 0. Эти условия оказываются и до-
t—>—оо
статочными для того, чтобы функция F порождалась некоторой
мерой по указанной формуле. Функция F называется функцией
распределения меры р. Отметим, что часто функцию распределе¬
ния задают формулой F(t) = /х((—оо, t}), что приводит к отличию
в точках положительной /г-меры (скачки функции F — это точки
положительной до-меры).
2.5.10.	Теорема. Пусть F — ограниченная, неубывающая
и непрерывная слева функция, причем lim F(t) = 0. Тогда су-
t—►—ОО
ществует и единственна такая неотрицательная борелевская
мера на JR1, что F(t) = /х((—oo,i)) для всех t Е И1.
Доказательство. Из курса анализа известно, что функция
F имеет не более чем счетное множество D точек разрыва. Яс¬
но, что в IR1\D можно выбрать счетное множество 5, которое
всюду плотно в IR1. Рассмотрим класс А всех множеств вида
А = USU гДе Ji — промежуток одного из четырех типов (а, 6),
[а, 6], (а, Ь] или [а, Ь), причем а и Ъ либо входят в 5, либо совпадают
с —оо или +оо. Нетрудно проверить, что А — алгебра. Зададим
функцию множества /х на А следующим образом: если А — про¬
межуток с концами в а и 6, причем а ^ Ь, то р(А) = F(b) — F(а),
где F{—оо) = 0, F(+oo) = ^ lim F(£), а если А есть конечное объ¬
единение непересекающихся промежутков */*, то /х(Л) = ^ /х(Ji).
Ясно, что функция /х корректно определена и аддитивна. Для
доказательства счетной аддитивности /х на А достаточно заме¬
тить, что класс конечных объединений компактных промежутков
компактен и является приближающим. Действительно, если J —
открытый или полуоткрытый промежуток, например, J = (а, Ь),
где а и b входят в S (или совпадают с точками +оо, — оо), то
в силу непрерывности F в точках из S имеем F(b) — F(a) =
lim [F(bi) — F(ai)], где ai J, a, 6» | 6, a*, bi 6 S. Если a = —сю,
i—+oo
то это же вытекает из условия lim F(t) = 0. Продолжим /х до

2.6. Знакопеременные меры
103
меры на сг-алгебре ^(Н1), которая порождается алгеброй А в си¬
лу плотности S. Заметим, что F(t) = /х((—оо, £)) для всех £, а не
только для t е 5, ибо обе функции непрерывны слева и совпа¬
дают на 5. Единственность /х ясна из того, что F однозначно
задает значения /х на промежутках. В этом доказательстве вви¬
ду предложения 2.3.7 вместо А можно было взять полуалгебру
промежутков вида (—оо,6), [а, Ь), [а, +оо), где а,Ъ Е S.	□
Мера /х, построенная выше по функции F, называется ме¬
рой Лебега-Стилтьеса с функцией распределения F. Аналогич¬
но с помощью функций распределения п переменных, представ¬
ляющих меры множеств (—oo,£i)x- • -х(—оо,хп), задаются меры
Лебега-Стилтьеса на Ип.
2.6.	Знакопеременные меры
В этом параграфе мы рассмотрим знакопеременные меры.
Следующая теорема позволяет во многих случаях свести знако¬
переменные меры к неотрицательным.
2.6.1.	Теорема. (Разложение Хана) Пусть /х — счетно¬
аддитивная числовая мера на измеримом пространстве (X, А).
Тогда существует такое множество Х~ Е А, что, полагая
Х+ = Х\Х~, для всех А Е А получаем
/х(ЛпХ”) ^0 и /x(ifll+) ^0.
Доказательство. Будем называть множество Е е А от¬
рицательным, если /х(А П Е) ^ 0 при всех А Е А. Аналогич¬
но определим положительные множества. Пусть a ==~i
где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам.
Пусть Еп — последовательность отрицательных множеств, для
которых lim /л(Еп) = а. Ясно, что Х~ — U^i Еп — отрицатель¬
ное множество, причем /х(Х“) = а, ибо а < 1*{Х~) < р(Еп). По¬
кажем, что Х+ = Х\Х~ — положительное множество. Предпо¬
ложим противное. Тогда существует такое Aq Е А, что Aq с Х+
и /х(Ао) < 0. Множество Aq не может быть отрицательным, ибо
тогда было бы отрицательным и множество Х~ U Aq, для кото¬
рого /х(Х~ U Aq) < а, что невозможно. Поэтому найдутся та¬
кие множество А\ С Aq и натуральное число к\, что А\ Е А,
р(А\) ^ 1/fci, причем к\ — наименьшее возможное из натураль¬
ных чисел к, для которых в Aq найдется подмножество с мерой не

104
Глава 2. Теория меры
меньше 1/к. Заметим, что p(Aq\Ai) < 0. Повторяя рассуждение,
проведенное для Ло, применительно к ДДЛх, получаем множе¬
ство А<2, С Aq\Ai из А, для которого /х(^2) ^ 1/^2 с наименьшим
возможным натуральным k<i. Продолжим этот процесс индуктив¬
но. В результате получим попарно непересекающиеся множества
А{ 6 А с таким свойством: Лп+1 С A)\U1Lx М и К^п) ^
где кп — наименьшее из натуральных чисел fc, для которых в
MUSTi ^ есть подмножество меры не меньше 1/к. Заметим,
что кп —► +оо, ибо иначе в силу дизъюнктности множеств Лп мы
бы получили, что р(Ао) = +оо. Пусть В = Ao\(Ji^i Заметим,
что /х(В) < 0, ибо /л(Ао) < 0, m(U“i Аг) > о и Ai с А0.
Более того, В — отрицательное множество. Действительно, ес¬
ли С С В, С 6 А и р(С) > 0, то найдется натуральное число
к с р(С) > 1/fc, что при кп > к противоречит выбору fcn, ибо
С С	Таким	образом,	присоединив	В	к	Х“,	прихо¬
дим к противоречию с определением а. Следовательно, множе¬
ство X+ положительно.	□
Построенное в предыдущей теореме разложение измеримого
пространства X в дизъюнктное объединение X = U Х~ на¬
зывается разложением Хана. Ясно, что разложение Хана может
быть не единственным, так как добавление множества, все под¬
множества которого имеют меру нуль, не влияет на свойство мно¬
жества быть отрицательным. Однако если X = X+UX~ — другое
разложение Хана, то для всех A € А имеем
р{АПХ~) = р(АпХ~) и р(АпХ+) =/ф4ПХ+).	(2.6.1)
Действительно, всякое множество В из Л, входящее в Х~ П Х+
или в Х+ П Х~, имеет меру нуль, ибо р(В) одновременно неот¬
рицательно и неположительно.
2.6.2. Следствие. При условиях теоремы 2.6.1 положим
/х+(Л) = р(А П Х+),	р~(А) = -р(А П Х~), А е А. (2.6.2)
Тогда р+ и р~ — неотрицательные счетно-аддитивные меры,
причем р =	—	р~.
Ясно, что р(Х+) — наибольшее значение, принимаемое ме¬
рой /i, а р(Х~) — ее наименьшее значение.
2.6.3. Следствие. Если р: А —> И1 — счетно-аддитивная
мера на а-алгебре А, то множество значений р ограничено.

2.6. Знакопеременные меры
105
2.6.4. Определение. Меры р+ и р~, построенные выше, на¬
зываются соответственно положительной и отрицательной
частями р. Мера
И ;= м+ +
называется полной вариацией р. Величина \\р\\ := \р\(Х) назы¬
вается вариацией меры р.
Разложение р — р^ — р~ называется разложением Жордана
или Жордана-Хана.
Меру \р\ не следует путать с функцией множества А н-► \р(А)\,
которая обычно не аддитивна (например, если ||/х|| > р(Х) = 0).
Отметим, что меры и р~ обладают следующим свойством,
которое можно было бы взять в качестве их определения:
р+(А) = sup|//(Б): В С А, В е Л j,
р~(А) = supj-//(B): В С A, Be А}
для всех Ае А. Кроме того,
оо
\ц\(А) = supjj^ IMAOl},	(2.6.3)
71=1
где верхняя грань берется по всем не более чем счетным разбие¬
ниям А на попарно непересекающиеся части из А. Можно брать
конечные разбиения и вместо sup поставить шах, ибо верхняя
грань достигается на разбиении А\ = А П Л 2 = А П Х~. От¬
метим, что ||/х|| не совпадает с величиной sup{|/x(A)|, А е Л}, если
обе меры и р~ отличны от нуля, но справедливо неравенство
\\ц\\ < 2sup||/x(j4)|: А €	<	2\\fi\\.	(2.6.4)
Все эти соотношения очевидны из разложения Хана.
2.6.5. Замечание. Из доказательства теоремы 2.6.1 вид¬
но, что она остается в силе и в том случае, когда р — счетно¬
аддитивная функция множества на А со значениями в (—оо, +оо].
В этом случае мера р~ ограничена, а мера принимает значе¬
ния в [0, +оо]. Таким образом, в рассматриваемом случае ограни¬
ченность р равносильна тому, что р(Х) — конечное число.
Можно ввести и комплексные меры. Пусть А — сг-алгебра
в пространстве X. Комплексная мера р: А —► С — это функция

106
Глава 2. Теория меры
вида /х = /х 1 + ifi2, где ц\ и Ц2 — вещественные меры на А. Ее
вариация ||/х|| задается формулой
INI
fc=1
где sup берется по всем конечным разбиениям X на дизъюнкт¬
ные множества Ek Е А. Так как |/i(£7fc)| < \/ii(Ek)\ + |/X2(^fc)|, то
справедливо неравенство ||/х|| < IN II + INII-
2.7.	Дополнения и задачи
(i)	Измеримость Каратеодори и продолжения мер (106). Зада¬
чи (111).
2.7(i). Измеримость Каратеодори и продолжения мер
В этом разделе мы обсудим построение мер с помощью так называ¬
емых внешних мер Каратеодори. С основной идеей мы уже встречались
при продолжении счетно-аддитивной меры с алгебры на сг-алгебру, но
теперь мы не будем предполагать, что «внешняя мера» возникла из
какой-то аддитивной меры. Кроме того, будем рассматривать функ¬
ции множества с бесконечными значениями.
2.7.1. Определение. Функция множества т, заданная на клас¬
се всех подмножеств множества X и принимающая значенгля в мно¬
жестве [0, +оо], называется внешней мерой на X (или внешней мерой
Каратеодори), если (i) т(0) = 0; (й) ха(А) < ха(В) при А С В;
(iii)	m(L£Li Ап) < E“i m(An) для всех An С X.
Важный пример внешней меры Каратеодори — функция //*, обсу¬
ждавшаяся в §2.4.
2.7.2. Определение. Пусть ха — функция множества со значе¬
ниями в [0, +оо], определенная на классе всех подмножеств простран¬
ства X, причем т(0) = 0. Множество А С X называется измери¬
мым по Каратеодори относительно ха (или ха-измеримым по Карате¬
одори), если для всякого множества Е с X справедливо равенство
ха(Е ПА)+ ха(Е\А) = ха(Е).	(2.7.1)
Пусть Шт — класс всех т-измеримых по Каратеодори множеств.
Таким образом, измеримое множество разбивает любое множество
согласно требованию аддитивности т. Сразу отметим, что в общем слу¬
чае измеримость не вытекает из равенства
ха(А) + ха(Х\А) = ха(Х)	(2.7.2)
даже в случае внешней меры с ха(Х) < оо (в отличие от ситуации
предложения 2.4.12). Рассмотрим следующий пример.

2.7. Дополнения и задачи
107
2.7.3. Пример. Пусть X = {1,2,3}, т(0) = 0, ха(Х) = 2, и пусть
т(Л) = 1 для всех прочих множеств А. Легко проверить, что ш — внеш¬
няя мера. В данном случае всякое подмножество А С X удовлетворяет
равенству (2.7.2), однако для множеств А — {1} и Е — {1,2} равен¬
ство (2.7.1) нарушено (левая часть равна 2, а правая 1). Из сказанного
можно усмотреть, что m-измеримы лишь 0 и X.
В этом примере класс 9Ят всех т-измеримых по Каратеодори мно¬
жеств меньше класса Ат из определения 2.4.1, ибо для внешней меры
ш на классе всех множеств семейство Ат и будет классом всех мно¬
жеств. Однако мы увидим, что в том случае, когда m = р* — внешняя
мера, порожденная счетно-аддитивной мерой р на сг-алгебре со зна¬
чениями в [0, +оо], класс ЗЯщ может быть шире Ац (задача 2.7.42).
С другой стороны, при разумных предположениях классы Шц* и Ац
равны. Ниже выделен класс внешних мер, для которых измеримость
равносильна выполнению (2.7.2). К таким внешним мерам относятся,
например, внешние меры, порожденные счетно-аддитивными мерами
на алгебрах (см. предложение 2.7.7 и теорему 2.7.8).
2.7.4. Теорема. (Теорема Каратеодори) Пусть m — функция
множества на классе всех подмножеств пространства X со значе¬
ниями в [0, + оо] и т(0) = 0. Тогда
(i) 2Ят — алгебра, а функция т аддитивна на 9DTm.
(ii) Если функция ха является внешней мерой на множестве X,
то класс Шт является а-алгеброй, причем функция ш со значениями
в [0, +оо] счетно-аддитивна на ®Тт. Кроме того, мера т полна на 9Лт.
Доказательство см. в [26, §1.11].
По счетно-аддитивной мере р := т|аят на ®1щ> где т — внешняя
мера, можно построить обычную внешнюю меру //*, как мы делали
ранее. Однако эта внешняя мера может отличаться от исходной функ¬
ции m (разумеется, на множествах из Шт обе внешние меры совпада¬
ют). Скажем, в примере 2.7.3 получаем р*(А) = 2 для всякого непустого
множества А, отличного от X.
В приложениях внешние меры часто строятся с помощью так на¬
зываемого метода I, описанного в следующем примере и уже исполь¬
зованного в §2.4, где в лемме 2.4.4 была установлена счетная субадди¬
тивность.
2.7.5. Пример. Пусть X — какое-нибудь семейство подмножеств
множества X, причем 0 е X. Предположим, что определена функция
т: X —► [0, +оо] с т(0) = 0. Положим
оо	оо
т(А) = inf{]rV(Xn): Хп€Х, А С (J Х„},	(2.7.3)
П— 1	71=1
причем при отсутствии таких множеств Хп считаем т(Л) = оо. Тогда
т — внешняя мера. Ее обозначают через т*.

108
Глава 2. Основы теории меры
Доказательство леммы 2.4.4 (где речь шла о конечных функциях)
очевидным образом применимо и здесь.
Обратим внимание на то обстоятельство, что в примере выше не
утверждается, что построенная внешняя мера продолжает функцию т.
В общем случае это и неверно. Кроме того, множества исходного семей¬
ства X могут оказаться неизмеримыми относительно ш. Рассмотрим
соответствующие примеры. В качестве X возьмем IN, а в качестве X
семейство всех одноточечных множеств и все X. Положим т(п) = 2”п,
т(Х) = 2. Тогда ш(Х) = 1, причем X измеримо относительно т. Если
же в качестве X взять отрезок [0,1], а в качестве т внешнюю меру Ле¬
бега, определенную на классе X всех множеств, то построенная функ¬
ция m будет совпадать с исходной функцией т, а m-измеримыми будут
обычные измеримые по Лебегу множества, т.е. не все множества из X.
Можно построить аналогичный пример с аддитивной функцией т на
сг-алгебре всех множеств отрезка (см. [26, задача 1.12.108]).
Выделим теперь один важный класс внешних мер.
2.7.6. Определение. Внешняя мера m на X называется регу¬
лярной, если для всякого множества А с X существует такое
ш-измеримое множество В, что Ad В и т(А) = хп(В).
Например, внешняя мера А*, построенная по мере Лебега на отрез¬
ке, регулярна, так как в качестве В можно взять множество
где Ап измеримы, А с Ап и А(ЛП) < А*(А) -f 1 /п (такое множество
является так называемой измеримой оболочкой А).
2.7.7. Предложение. Пусть m — регулярная внешняя мера на
множестве X, причем т(АГ) < оо. Тогда т-измеримость множества
А С X равносильна равенству
т (А) + т (Х\А) = т(Х).	(2.7.4)
Доказательство. Если А £ Ш1т, то (2.7.4) верно. Обратно, пред¬
положим, что (2.7.4) выполнено. Пусть Е — произвольное множество
в X, С £ ЯЛт, Е С С, т(С) = т(Е). Нам достаточно показать, что
m(JE?) ^ т(Е Г\А)+ т(Е\А),	(2.7.5)
ибо обратное неравенство следует из субаддитивности. Заметим, что
т(А\С) + ха((Х\А)\С) > т(Х\С).	(2.7.6)
В силу измеримости С имеем
m(А) = т(А ПС) + т(А\С), т(Х\А) - ш(С П (Х\А)) + т((Х\А)\С).
Эти равенства с учетом (2.7.4) дают
т(А П С) + т(А\С) + ш(С П (Х\А)) + т({Х\А)\С) = т{Х) =
= т(С)+т(Х\С).

2.7. Дополнения и задачи
109
Сравнивая это равенство с (2.7.6) и используя, что ш принимает ко¬
нечные значения, приходим к оценке т(С П А) + ш(С\А) < т(С). Из
этой оценки с учетом включения Е С С и монотонности m получаем
m(Е П A) + m(Е\А) < m(<7) = т(Е). Итак, мы доказали (2.7.5).	□
Пример 2.7.3 показывает, что метод I из примера 2.7.5 не всегда
приводит к регулярным внешним мерам. Однако если X С ®tm, то
этот метод дает регулярную внешнюю меру, ибо в данном случае при
Ап £ X имеем U^Li Ап £ $Тт* Еще один результат в этом направлении
содержится в следующей теореме (доказательство см. в [26, §1.11]).
2.7.8. Теорема. Пусть X, X, г и ш — те же, что и в приме¬
ре 2.7.5. Предположим еще, что X — алгебра или кольцо, а функция г
аддитивна. Тогда внешняя мера m регулярна, причем все множества
из класса X измеримы относительно т, а если г счетно-аддитивна,
то т совпадает с г на X. Наконец, если т(Х) < оо, то Шт = ХТ,
т.е. в данном случае определение измеримости по Каратеодори рав¬
носильно определению 2.4.1.
2.7.9. Следствие. Если на кольце (или полукольце) определена
счетно-аддитивная функция множества со значениями в [0, -f оо], то
она имеет счетно-аддитивное продолжение на сг-алгебру, порожден¬
ную данным кольцом (соответственно полукольцом).
В отличие от случая алгебры упомянутое продолжение не всегда
единственно. Пример: X = {0} с нулевой мерой m на кольце X = {0},
которую можно продолжить на X любым значением. Легко прове¬
рить единственность продолжения сг-конечной меры т с кольца X на
порожденное им сг-кольцо. Для этого представим X в виде объеди¬
нения счетного числа множеств Хп £ X конечной меры и применим
утверждение о единственности к ограничению т на алгебру множеств
{Хп П Е: Е £ X} пространства Хп. Еще раз обратим внимание на то
обстоятельство, что внешняя мера ш может отличаться от т на X, но
если функция т на алгебре X счетно-аддитивна, то построенная по ней
внешняя мера m совпадает с т на X. При этом для бесконечных мер
может случиться, что класс Хг строго содержится в Шг* (см. замеча¬
ние 2.4.14(i)). Покажем, как предыдущее следствие можно доказать и
без конструкции Каратеодори. Определение А1°с см. в замечании 2.4.14.
2.7.10. Предложение. Пусть р — счетно-аддитивная мера со
значениями в [0, +оо], заданная на кольце А. Тогда является
а-алгеброй, содержащей А, причем функция р* на А1°с есть счетно¬
аддитивное продолжение р. Кроме того, это продолжение полно.
Доказательство. То, что — сг-алгебра, сразу следует из тео¬
ремы 2.4.6 применительно к ограничениям р на множества из А ко¬
нечной меры, ибо ограничение р* на такое множество Е совпадает

110
Глава 2. Основы теории меры
с внешней мерой на Е, построенной по ограничению /л на, Е (это яс¬
но из определения внешней меры). Эта же теорема дает равенство
(2.3.2) в случае конечной суммы ряда. Действительно, достаточно по-
казать, что M*(U^Li Ai) >	М*(Аг)	Для	дизъюнктных	Ап € А1°с
(противоположное неравенство следует из определения fi* точно так
же, как и для конечной меры). Поэтому достаточно получить оценку
M*(Un=i Ап) ^ £n=1 /**(Ап) для всех N £ IN. Пусть е > 0. Тогда най¬
дется такое множество Е £ Л, что £^=1 №*(Е^Ап) > £n=i №*(Ап) — е-
Остается заметить, что согласно теореме 2.4.6 имеет место равенство
Ii* (Е П Un=i An) = £n=i р*(ЕГ\Ап). Если же сумма ряда в (2.3.2) бес¬
конечна, то нетрудно видеть, что и левая часть (2.3.2) бесконечна. □
2.7.11. Замечание. Если р — счетно-аддитивная мера со значе¬
ниями в [0, +оо], заданная на алгебре Л, то метод Каратеодори дает
как раз класс Л^с локально измеримых множеств, описанный в заме¬
чании 2.4.14. В самом деле, ясно, что 971м* С А1°с. С другой сторо¬
ны, если А С Л£с, то для всякого множества Е с р*(Е) < оо име¬
ем р*(Е) = р*(Е П А) + р*(Е\А) ввиду предложения 2.4.12. Если же
р* (Е) = оо, то хотя бы одно из чисел р*(Е П А) или р*(Е\А) тоже
бесконечно. Итак, = А1°с-
В завершение обсуждения продолжений отметим, что меру всегда
можно продолжить на более широкую сг-алгебру, содержащую наперед
заданное множество, если она была определена не на всех множествах.
При построении используется измеримая оболочка произвольного мно¬
жества Е в измеримом пространстве (X, А) с конечной неотрицатель¬
ной мерой р. Так называется всякое множество Е £ А, для которого
выполнены соотношения Е С Е и р(Е) = р*(Е). Измеримая оболочка
существует: например, можно взять Е = (Xi=i Еп, где Е С Еп £ А
и р(Еп) ^ р*(Е) -f 1/п. Аналогично проверяется существование изме¬
римого ядра Е, т.е. такого множества Е_ £ Л, что
ЕаЕ и р(Е) = р*(Е) := sup{/i(A): Л € Л, Л С Е}.
Если М — измеримая оболочка Х\Е, то Х\М — измеримое ядро Е.
2.7.12. Теорема. Пусть р — конечная неотрицательная мера
на о-алгебре В в пространстве X, и пусть S — такое множество,
что p*(S) = а < p*(S) = j3, где /jl*(S) = sup{p(B): В С S,B £ В}.
Тогда для всякого 7 £ [а,/3] существует счетно-аддитивная мера и
на а-алгебре а (В U 5), порожденной В и S, такая, что и — р на В
и справедливо равенство u(S) = 7.
Доказательство отнесено в задачу 2.7.52.

2.7. Дополнения и задачи
111
Задачи
2.7.13? Доказать, что класс всех одноточечных множеств пространства
X порождает сг-алгебру, состоящую из всех множеств, которые либо не более
чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения. В частности, эта
сг-алгебра меньше борелевской, если X = И1.
2.7.14? Пусть Т — некоторый класс множеств в пространстве X. Доба¬
вим к Т пустое множество и обозначим через Т\ совокупность всех множеств
этого расширенного набора и их дополнений. Затем через Тъ обозначим класс
всех конечных пересечений множеств из Т\. Доказать, что класс Тг всех ко¬
нечных объединений множеств из Тъ совпадает с алгеброй, порожденной Е.
2.7.15.° Пусть Е — некоторый набор множеств в пространстве X. До¬
казать, что всякое множество А из а-алгебры &(Е), порожденной Е, содер¬
жится в сг-алгебре, порожденной некоторым не более чем счетным поднабо-
ром {Fn} С Е.
2.7.16? Пусть W — непустое открытое множество в IRn. Доказать, что
W является объединением не более чем счетного набора открытых кубов,
ребра которых параллельны координатным осям и имеют длины вида р2“9,
где р, q € IN, а центры имеют координаты вида т2~к, где m £ Z, к £ IN.
2.7.17. Показать, что ет-алгебра	всех	борелевских	подмножеств
прямой является наименьшим классом множеств, содержащим все замкну¬
тые множества и допускающим счетные пересечения и счетные объединения.
2.7.18. Показать, что на прямой существует такое борелевское множе¬
ство В, что для всякого непустого интервала J множества BDJ и (JR1\B)(lJ
имеют положительные меры Лебега.
2.7.19. Пусть fi — произвольная конечная борелевская мера на отрез¬
ке I. Показать, что найдется такое множество Е первой категории (т.е. счет¬
ное объединение нигде не плотных множеств), что /л(1\Е) = 0.
Указание: достаточно для всякого п найти компакт Кп без внутренних
точек с ц{Кп) > fi(I) — 2~п. Пользуясь тем, что /х имеет не более чем счетное
множество точек aj ненулевой меры, можно найти счетное всюду плотное
множество точек Sj нулевой р-меры. Вокруг каждой точки Sj можно описать
интервал Unj с fi(Un,j) < 2~j~n. Компакт Кп = AU^li Un,j — искомый.
2.7.20? Доказать, что лебеговская мера всякого измеримого множества
Е с !Rn равна точной нижней грани сумм	^n(Uk)	по	всем	последова¬
тельностям открытых шаров C/fe, покрывающих Е.
2.7.21? Показать, что множество Е С IR измеримо по Лебегу в точности
тогда, когда для каждого е > 0 существуют такие открытые множества U
и V, что ECU, U\E С V и A(V) < е.
2.7.22? Пусть А С IR1 — множество положительной меры Лебега. Дока¬
зать, что найдутся такие ai,a2 € А, что число ai — <22 иррационально.
2.7.23.	Пусть А С Н1 — множество положительной меры Лебега. До¬
казать, что А — А := {ai — ai: ai, аг G А} содержит интервал. В частности,
найдутся такие а\, аг £ А, что число а\ — а.2 рационально.

112
Глава 2. Основы теории меры
2.7.24. Доказать без использования гипотезы континуума, что всякое
множество положительной меры Лебега имеет мощность континуума.
2.7.25. Показать, что упомянутая в задаче 1.9.84 аддитивная функция
на прямой не ограничена на каждом множестве положительной меры.
2.7.26? Показать, что всякая бесконечная ет-алгебра несчетна.
2.7.27.° Пусть /л — ограниченная неотрицательная борелевская мера
на !Rn. Доказать, что для всякого ^-измеримого множества Е и всякого е > О
найдется конечное объединение Ее открытых кубов с ребрами, параллель¬
ными координатным осям, для которого /л(Е Д Ее) < е.
2.7.28° Пусть fi — вероятностная борелевская мера на кубе I единичного
объема, причем /л(А) = /л(В) для всяких борелевских множеств А, В С /,
отличающихся лишь сдвигом. Показать, что /л совпадает с мерой Лебега Ап.
2.7.29. (i) Пусть91 — полукольцо, /л: 91 —► [0, +оо) — счетно-аддитивная
функция и А,Ап € 91 таковы, что Ап либо возрастают, либо убывают к А.
Показать, что справедливо равенство /л(А) = lim /л(Ап).
п—>оо
(ii)	Привести пример, показывающий, что из указанных в (i) свойств не
вытекает счетная аддитивность для неотрицательной аддитивной функции
множества на полукольце.
2.7.30. (i) Показать, что ограниченное множество Е с IRn измеримо по
Жордану (см. определение 2.5.9) в точности тогда, когда граница Е (мно¬
жество точек, во всякой окрестности которых есть точки из Е и из дополне¬
ния Е) имеет меру нуль, (ii) Показать, что совокупность всех измеримых по
Жордану множеств на отрезке (или в кубе) представляет собой кольцо.
2.7.31° Показать, что ограниченная неотрицательная мера /л на ст-ал¬
гебре А полна в точности тогда, когда А = Ац\ в частности, лебеговское
продолжение полной меры совпадает с ней самой.
2.7.32. Пусть Е С [0,1] — множество нулевой меры Лебега. Может ли
множество Е — Е := {х — у: ж, у € Е} иметь положительную меру?
2.7.33. Привести пример ст-конечной меры на ст-алгебре, которая не яв¬
ляется ст-конечной на некоторой под-ст-алгебре.
Указание: сузить меру Лебега на IR1 на под-ст-алгебру множеств, кото¬
рые либо не более чем счетны, либо имеют не более чем счетные дополнения.
2.7.34. Показать, что всякое множество положительной меры Лебега
содержит неизмеримое подмножество.
2.7.35. Найти меру Лебега множества точек из [0,1], в двоичном разло¬
жении которых на всех четных местах стоит 0.
2.7.36. Доказать, что не существует счетно-аддитивной меры, опреде¬
ленной на всех подмножествах пространства X — {0,1}°°, принимающей
лишь значения 0 и 1 и равной нулю на всех одноточечных множествах.
Указание: пусть Хп = {(#0 € X: хп = 0}; если такая мера /л есть,
то для всякого п либо /л(Хп) = 1, либо /л(Хп) = 0; обозначим через Уп то
из двух множеств Хп и Х\Хп, которое имеет меру 1; тогда H^Li также
имеет меру 1 и является точкой.

2.7. Дополнения и задачи
113
2.7.37? (Критерий измеримости Юнга) Пусть (X, *4, ц) — пространство
с конечной неотрицательной мерой. Доказать, что множество А С X входит
в Ац в точности тогда, когда для всякого множества В, не пересекающегося
с А, справедливо равенство ц*(А U В) = /л* (А) + V*(B).
2.7.38. Доказать, что существует такая последовательность множеств
Ап С [0,1], что Ап+1 С Ап, fXLi Ап = 0 и А*(АП) = 1, где А — мера Лебега.
2.7.39. Распространить теорему 2.5.8 на липшицево отображение, за¬
данное лишь на некотором измеримом множестве.
2.7.40? Пусть (Х,А, /л) — вероятностное пространство, В — под-ет-алгеб-
ра в А, — a-алгебра, порожденная В и всеми множествами меры нуль
из Ац. (i) Показать, что Е G В*1 в точности тогда, когда существует такое
множество В G В, что Е А В G Ац и /л(Е А В) = 0.
(ii) Привести пример, показывающий, что В* может быть строго шире
а-алгебры Вявляющейся пополнением В относительно меры /л\в-
2.7.41? Пусть Т — некоторый класс множеств в пространстве X, /л иг/ —
две вероятностные меры на сг(Е), совпадающие на Т. Верно ли, что (л — и
на о,(^г)?
2.7.42. Пусть (Х,А,/л) — измеримое пространство, где А — ст-алгебра,
а /л — счетно-аддитивная мера со значениями в [0,+оо]. Обозначим через
£м класс всех таких множеств Е С X, для которых существуют множества
А\,А2 € А с А\ С Е С А2 и 1л(А2\Аг) = 0.
(i) Показать, что £м является ст-алгеброй, совпадает с Ац и входит в .
(ii) Показать, что если мера /л ст-конечна, то £м совпадает с Шц*.
(iii) Пусть X = [0,1], А есть ст-алгебра, порожденная всеми одноточечны¬
ми множествами, а мера /л со значениями в [0, +оо] задана так: /л(А) есть мощ¬
ность А, А £ А. Показать, что содержит все множества, но [0,1/2] £ £м.
2.7.43. Пусть А — класс всех множеств первой категории в [0,1] (т.е.
счетных объединений нигде не плотных множеств) и их дополнений, и пусть
/л(А) = 0, если А имеет первую категорию, /л(А) = 1, если [0,1 ]\А имеет
первую категорию. Доказать, что А — ст-алгебра, мера д счетно-аддитивна,
но не продолжается до счетно-аддитивной меры на В([0,1]).
Указание: применить задачу 2.7.19.
2.7.44. Пусть Е — множество на окружности S, имеющее нулевую ме¬
ру относительно естественной меры Лебега на S, причем дополнение Е —
множество первой категории. Доказать, что всякое счетное множество в S
содержится в образе Е при некотором вращении.
Указание: заметить, что пересечение счетного числа образов Е при
поворотах непусто.
2.7.45. Семейство S подмножеств множества X называется а-аддитив¬
ным классом, если (i) X 6 S, (ii) S2\Si € S для всех Si, S2 € S с Si С S2,
(iii)	IXLi Sri £ $ Для попарно непересекающихся Sn € <S. Доказать, что если
класс множеств S допускает конечные пересечения, то сг-аддитивный класс,
порожденный S (т.е. пересечение всех сг-аддитивных классов, содержащих £),
совпадает с а-алгеброй, порожденной S.

114
Глава 2. Основы теории меры
2.7.46. Пусть /х — конечная неотрицательная мера на измеримом про¬
странстве (Ху А) и Е С X — произвольное множество (не обязательно изме¬
римое). На <7-алгебре Ае множеств вида В = ЕПА, где А £ А, пространства
Е зададим меру /jle формулой /ле(В) := /л(Е П А), где Е — измеримая обо¬
лочка Е. Показать, что це корректно определена (т.е. ц,(ЕОА\) = /л(ЕГ\А2)
при А\ П Е = А2 П Е) и счетно-аддитивна. Мера /ле называется сужением (i
на множество Е.
2.7.47. Доказать, что всякое выпуклое множество в lRn (т.е. множество,
которое вместе со всякой парой своих точек содержит соединяющий их от¬
резок) измеримо по Лебегу, причем его граница имеет меру нуль.
2.7.48. Пусть Е С [0,1] — множество положительной меры Лебега. До¬
казать, что для всякого а < Х(Е) найдется компакт К С Е без внутрен¬
них и изолированных точек, для которого Л (К) = а. Доказать аналогичное
утверждение для всякой безатомической борелевской меры на [0,1].
2.7.49. Доказать, что [0,1] является объединением континуума дизъ¬
юнктных множеств внешней меры 1.
Указание: континуальное множество всех компактов положительной
меры представить в виде {Ки}ш^п0у где По — множество конечных и счетных
ординалов. По трансфинитной индукции построить континуум дизъюнктных
множеств At С [0,1], каждое из которых пересекается со всеми Кш. Для этого
на шаге, отвечающем ординалу и £ По, брать в	континуальное множество
Ct меры нуль (об ординалах — порядковых числах — см. [105]).
2.7.50. Если (j-алгебра А в пространстве X порождается конечным или
счетным набором множеств, то А называется счетно-порожденной.
(i) Доказать, что <7-алгебра в [0,1], порожденная всеми точками, не яв¬
ляется счетно-порожденной, а ббльшая борелевская сг-алгебра является.
(и) Доказать, что всякая счетно-порожденная а-алгебра А имеет вид
А = {) (В): В £ В([0,1])}, где /: X —► [0,1] — некоторая функция.
(iii)	Доказать, что всякая счетно-порожденная ст-алгебра имеет мощ¬
ность не более континуума, пользуясь тем, что борелевских множеств на
прямой ровно континуум.
2.7.51. Пусть /л — конечная неотрицательная мера на измеримом про¬
странстве (Ху А). Измеримое множество Е называется атомом ц, если
1л(Е) > 0 и нет измеримых множеств А с 0 < /л(А) < /л(Е). Мера без ато¬
мов называется безатомической. Атомы Е\ и Ё2 считаются эквивалентны¬
ми, если ц(Е\ Д Е2) = 0. (i) Доказать, что /л может иметь лишь конечное
или счетное число попарно неэквивалентных атомов, (й) Доказать, что ес¬
ли {Еп} — все атомы /х с точностью до эквивалентности, то ограничение /х
на Х\ (XLi Еп безатомично. (iii) Доказать, что если мера /л безатомична, то
такова и всякая мера v fi. (iv) Доказать, что множество значений безато¬
мической меры /х есть весь отрезок [0, fi(X)].
2.7.52. Доказать теорему 2.7.12.
Указание: см. [26, теорема 1.12.14].

Глава 3
Интеграл Лебега
В этой главе мы изучим интеграл Лебега и получим основные
результаты, относящиеся к предельному переходу под знаком ин¬
теграла и пространствам интегрируемых функций. Кроме того,
будут доказаны очень важные для приложений теоремы Радона-
Никодима и Фубини.
3.1. Измеримые функции
В этом параграфе изучаются измеримые функции. Несмотря
на свое название, понятие измеримости функций определяется
в терминах сг-алгебр и никак не связано с мерами. Связь с мера¬
ми возникает тогда, когда в качестве основной сг-алгебры берется
сг-алгебра всех множеств, измеримых относительно фиксирован¬
ной меры. Этот важнйй частный случай рассмотрен в конце па¬
раграфа. Измеримые функции нужны для построения интеграла.
3.1.1. Определение. Пусть (X, Л) — пространство с а-ал¬
геброй. Функция /: X —» IR1 называется измеримой относи¬
тельно Л (или Л-измеримой), если {х: f(x) < с} Е А для каж¬
дого с Е IR1.
Простейший пример Л-измеримой функции — это индикатор
1а множества А £ Д, задаваемый так: /д(ж) = 1 при х Е А,
1а(х) = 0 при х А. Индикатор множества А называют также
характеристической функцией А или индикаторной функцией А.
Множество {х: /д(ж) < с} пусто при с < 0, равно дополнению А
при с Е (0,1] и совпадает с X при с > 1. Ясно, что включение
Ае Л является и необходимым для Д-измеримости 1а-
3.1.2. Теорема. Функция / измерима относительно а-ал-
гебры Д в точности тогда, когда /-1(В) Е Л для всех мно¬
жеств В Е ^(IR1).

116
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Пусть / — Л-измеримая функция. Обо¬
значим через £ совокупность всех таких множеств В Е ^(И1), что
Г1 (В) Е А. Покажем, что £ — сг-алгебра. Действительно, если
Вп е £, то /_1(и^1 Вп) - lC=i/-1(S„) е Л. Кроме того, при
В € £ имеем /-1(Ш,1\В) = X\f~l(B) е Л. Поскольку £ содер¬
жит лучи (—оо, с), то получаем, что ^(IR1) С £, т.е.	=	£.
Обратное утверждение очевидно, так как лучи являются боре-
левскими множествами.	□
Запишем / в виде / = /+ — /“, где
/+(ж) := max (/(ж), 0) и f~{x) := тах(-/(ж),0).
Заметим, что Л-измеримость / равносильна Л-измеримости обе¬
их функций /+ и /“. Например, при с > 0 имеет место равенство
{х: f(x) < с} = {х: f+(x) < с}.
Из определения ясно, что сужение /|е всякой Л-измеримой
функции / на любое множество Е С X измеримо относительно
сг-алгебры Ае = {Л П Е: Ае Л}.
Часто бывает полезно следующее более общее определение.
3.1.3. Определение. Пусть (X\,Ai) и (-Х^Лг) — прост¬
ранства с а-алгебрами. Отображение /: Х\ —► X<i называется
измеримым относительно пары (ЛьЛг) или {А\,А%)-измери¬
мым, если f~l(B) Е А\ для всех В Е Л2.
Если (-Х2, Л2) = (И1,^^1)), то мы приходим к определе¬
нию Лх-измеримой функции. В другом частном случае, когда Х\
и Х2 — метрические (или топологические) пространства с боре-
левскими сг-алгебрами Л1 = &(Х\) и Л2 = В(Х2), приходим к
понятию борелевского (или измеримого по Борелю) отображения.
3.1.4. Пример. Любая непрерывная функция / является бо-
релевской, поскольку в этом случае множества {х: f(x) < с} от¬
крыты, а потому являются борелевскими.
Важный подкласс Л-измеримых функций образуют простые
функции, т.е. такие Л-измеримые функции /, которые принима¬
ют лишь конечное множество значений. Таким образом, простая
функция / имеет вид / = Ya=i <*1^ гДе с» € М1, Л» е Л, т.е. яв¬
ляется конечной линейной комбинацией индикаторов множеств
из Л. Очевидно, что верно и обратное. Представление простой
функции в указанном виде не единственно, однако легко перейти
к представлению, в котором все числа с* различны, а множества

3.1. Измеримые функции
117
Ai дизъюнктны. Для этого достаточно взять все различные зна¬
чения / и их полные прообразы.
В следующей теореме описываются основные свойства изме¬
римых функций.
3.1.5.	Теорема. Предположим, чтпо функции f, g, fn, где
n 6 IN, измеримы относительно а-алгебры А. Тогда
(i) функция р о f измерима относительно А для всякой бо¬
релевской функции <р: 1R1 —► IR1; в частности, это верно, если
функция р непрерывна;
(ii) функция af + (3g измерима относительно А для всех чи¬
сел а, (3 € Н1;
(iii) функция fg измерима относительно А;
(iv) если g ф О, то функция f/g измерима относительно А;
(v) если существует конечный предел fo(x) = lim /п(ж) при
п—►оо
всех х, то функция /о измерима относительно А,
(vi) если функции s\xpfn(x) и inf fn(x) конечны при всех х,
п	п
то они измеримы относительно А.
Доказательство. Утверждение (i) сразу вытекает из ра¬
венства (р о /)-1(В) = f~1(p~1(B)). Ввиду (i), для доказатель¬
ства (ii) достаточно рассмотреть случай а = (3 = 1 и заметить,
что множество {х: f(x)+g(x) < с} = {х: f(x) < с — #(#)}
имеет вид Ц.Д{я: /0*0 < rn}f){x: гп < с- g(x)}^j, где объ¬
единение берется по всем рациональным числам гп. Правая часть
приведенного соотношения входит в А, ибо функции / и g изме¬
римы относительно А. Утверждение (iii) вытекает из равенства
fg = [(/ + g)2 — f2 — р2]/2, ибо квадрат измеримой функции
измерим в силу (i). Заметив, что функция р, заданная равен¬
ством р(х) = 1/х при ж/Ои <£>(0) = 0, является борелевской
(несложную проверку этого оставим в качестве упражнения), по¬
лучаем (iv). Менее очевидно утверждение (v), которое, однако,
вытекает из следующего легко проверяемого соотношения:
ОО ОО ОО	1
{х: /о(я) < с} = IJ (J р| |ж: /т(ж)<с--|.
k=1 n=l т=п+1
Для доказательства (vi) заметим, что
supn /„(ж) = lim max(/i(a;),..., fn(x)).

118
Глава 3. Интеграл Лебега
В силу (v), достаточно установить измеримость max(/i,... ,/п).
По индукции это сводится к п = 2. Остается заметить, что
{ж: max(/х(ж),/2(ж)) < с} = {ж: /i(ж) < с} П {ж: /2(ж) < с}.
Утверждение для inf проверяется аналогично (можно воспользо¬
ваться и тем, что inf fn = — sup(—/п)).	□
3.1.6. Замечание. Для функций / со значениями в расши¬
ренной числовой прямой IR = [—оо, +оо] мы определим Д-изме-
римость, потребовав включения /-1(—оо),/~1(+оо) € А и Д-из¬
меримость / на /_1(И). Это равносильно измеримости в смысле
определения 3.1.3, если на IR взять сг-алгебру В(Ш), состоящую из
борелевских множеств обычной прямой с возможным добавлени¬
ем точек —оо, +оо. Тогда для функций со значениями в IR оста¬
ются в силе утверждения (i), (v), (vi) доказанной теоремы, а для
справедливости утверждений (ii), (iii), (iv) следует рассматривать
функции / и j, принимающие значения либо в [—оо,+оо), либо
в (—оо,+оо]. Для таких значений операции определяются есте¬
ственным образом: +оо + с = +оо при с £ (—ос, +оо], +оо *0 = 0,
+оо • с = +оо при с > 0, +оо • с = —оо при с < 0.
3.1.7. Предложение. Предположим, что функции fug
измеримы относительно а-алгебры А, а функция Ф непрерывна
на подмножестве плоскости, образованном значениями отобра¬
жения (/,<?). Тогда функция Ф(f,g) измерима относительно А.
Доказательство. Пусть h:= (f,g): 1-»Е2иУ := h(X).
Ввиду непрерывности Ф на У для всякого с существует такое
открытое множество U С Ш.2, что Y П Ф_1((—оо,с)) = Y П U.
Поэтому (ж: Ф(/(ж), р(ж)) < с} = /i_1(t/). Представим U в виде
объединения счетного набора открытых прямоугольников вида
Ап х Вп, где Ап и Вп — открытые интервалы. Итак, получаем
hr\U) = U~ 1 ГЧАп) Пд-НВп) € Д.	□
3.1.8. Предложение. Пусть А — некоторая а-алгебра под¬
множеств пространства X. Тогда для всякой ограниченной
A-измеримой функции f найдется последовательность про¬
стых функций fn, сходящаяся к f равномерно на X. Можно сде¬
лать эту последовательность возрастающей.
Доказательство. Поделив на постоянную и добавив посто¬
янную, можно считать, что 0 < f(x) ^ 1. Для каждого п € 1N

3.1. Измеримые функции
119
разделим [0,1) на 2П непересекающихся промежутков
Ij — [0 — l)2-n, j‘2-n)
длины 2~п, причем в fa включим 1. Положим Aj = /-1(Jj). Яс¬
но, что Aj Е А и Aj = X. Зададим функцию /п равенством
/п(ж) = (j — 1)2~п при х Е Aj. Тогда /п — простая функция,
причем sup^x | f(x) — fn(x)| < 2_п, ибо / переводит А; в /j, а /п
отображает Aj в левый конец /j, отстоящий от любой точки Ij не
более чем на 2~п. Легко проверить, что fn(x) ^ /n+i(z).	□
3.1.9. Следствие. Предположим, что А — некоторая а-ал-
гебра подмножеств пространства X. Тогда для всякой А-изме-
римой функции / найдется последовательность простых функ¬
ций fn, сходящаяся к / в каждой точке. Если / ^ О, то после¬
довательность {fn} можно выбрать возрастающей.
Доказательство. Функция g := arctg / измерима и прини¬
мает значения в (—7г/2,7г/2). Как показано выше, найдутся про¬
стые функции дп со значениями в [—7г/2,7г/2), поточечно воз¬
растающие к д. Если / ^ 0, то их можно взять со значениями
в [0, 7г/2). В общем случае, отказавшись от монотонности {дп},
можно выбрать,дп со значениями в (—7г/2,7г/2); например, мож¬
но переопределить каждую функцию дп значением —тг/2+1/п на
множестве {х: дп(х) ^ —7г/2 + 1 /п}. Функции /п = tgдп облада¬
ют нужными свойствами.	□
Еще раз обратим внимание читателя на то обстоятельство,
что пока при обсуждении измеримых функций не появлялись ме¬
ры. Предположим теперь, что на сг-алгебре А подмножеств про¬
странства X задана неотрицательная счетно-аддитивная мера р.
Тогда Ар — пополнение А относительно р — может быть шире А.
3.1.10. Определение. Вещественная функция f на X на¬
зывается р-измеримой, если она измерима относительно сг-ал¬
гебры Ар всех р-измеримых множеств.
Будем считать р-измеримой также всякую функцию f, ко¬
торая не определена на некотором множестве Z р-меры нуль
или бесконечна на Z, а на X\Z является Ap-измеримой. Мно¬
жество всех р-измеримых функций обозначим через С°(р).
В случае меры со значениями в [0,+оо] определение анало¬
гично, но вместо Ар берется А1£с.

120
Глава 3. Интеграл Лебега
Итак, //-измеримость функции / означает, что / определена
всюду, кроме, возможно, множества меры нуль, причем для всех
с £ IR1 имеем {х: f(x) < с} £ А^ (или Aljfc в случае бесконеч¬
ной меры). Ясно, что //-измеримых функций может быть больше,
чем Д-измеримых. Если //-измеримая функция / не определена
на множестве Z меры нуль, то при любом доопределении ее на Z
она будет Дм-измеримой. Из дальнейшего будет ясна оправдан¬
ность несколько более широкого понятия измеримой функции,
допускаемого второй частью определения. Когда в конкретных
ситуациях идет речь об измеримой функции, бывает ясно, опре¬
делена ли она всюду или лишь почти всюду, и специально это
не оговаривается. Иногда такое уточнение необходимо. Напри¬
мер, если рассматривается континуум функций fa на [0,1], где
а £ [0,1] и fa не определена в точке о, то с формальной точки
зрения у этих функций нет ни одной общей точки области опре¬
деления. Когда ясно, о какой мере // идет речь, //-измеримость
называют измеримостью. Имея делос мерой Лебега на IRn, гово¬
рят об измеримости rio Лебегу или просто об~измеримости.
Для функций со значениями в {—оо, Я-6о]'(ужеие обязательно
конечных вне множества меры нуль) //-измеримость понимается
так: /-1(—оо), /-1(+оо) £ Дм, а на множестве {|/| <оо} функция /
//-измерима. Такие функции мы не будем причислять к £°(//) (да
и вообще не будем их рассматривать); во избежание путаницы их
удобнее называть не функциями, а отображениями.
Две //-измеримые функции fug называются эквивалент¬
ными, если они равны вне множества меры нуль. Обозначение:
/ ~ д. При этом f и д называются модификациями или версиями
друг друга. Из того, что объединение двух множеств меры нуль
является множеством меры нуль, ясно, что это дает отношение
эквивалентности на £° (//). Пространство классов эквивалентно¬
сти обозначается через L°(//).
3.1.11.	Предложение. Пусть // ^ 0 — счетно-аддитивная
мера на а-алгебре А. Тогда для всякой р-измеримой функции f
можно найти множество А £ А и функцию g, измеримую от¬
носительно А, такие, что f(x) = g{x) при х £ А и р(Х\А) = 0.
Доказательство. Можно считать, что функция / всюду
определена и конечна. В силу следствия 3.1.9 существует пото¬
чечно сходящаяся к / последовательность Д^-измеримых про¬
стых функций /п. Функция fn принимает конечное число раз¬
личных значений на множествах	£ Дм. В каждое из

3.1. Измеримые функции
121
Ai можно вписать такое множество В{ из Л, что p(Bi) — МА).
Рассмотрим функцию дп, совпадающую с /п на объединении мно¬
жеств Bi и равную 0 вне этого объединения. Ясно, что дп —
Л-измеримая простая функция, причем существует такое мно¬
жество Zn Е А меры нуль, что fn(x) = 9п(%) при х & Zn. По¬
ложим У = Х\[)™=1 Тогда Y Е А и p(X\Y) — 0. Положим
д(х) = f(x) при х eY и д(х) = 0 в противном случае. Для всякого
х eY имеем f(x) — lim fn(x) = lim gn(#)• Поэтому / является
n—►ОО	71—►OO
Л-измеримой на У, что дает Л-измеримость д на X.	□
Из доказанного вытекает, что для ограниченной //-измеримой
функции / существуют такие Л-измеримые функции Д и /2, что
Л(ж) < /(ж) < /2(ж) для всех ж и ц(х: /х(ж) ф /2(ж)) = 0.
Действительно, пусть Д = Д = р на У. Вне У можно положить
Д(ж) = inf /, Д = sup/. Однако см. задачу 3.12.47.
Характеристическое свойство измеримых функций иметь из¬
меримые прообразы борелевских множеств не следует путать со
свойством совершенно иной природы: иметь измеримые образы
борелевских множеств. Следующий поучительный пример следу¬
ет запомнить. В нем используется функция Кантора, интересная
и в других отношениях (она понадобится ниже при обсуждении
связей между интегралом и производной).
3.1.12.	Предложение. Существует такая непрерывная не¬
убывающая функция Со на [0,1] (функция Кантора или канто-
ровская лестница), .что Со(0) = 0, Со(1) = I и Со = (2к — 1)2-п
на интервале Jn^ из дополнения к множеству Кантора С из
примера 2.5.5. Кроме того, функция
/(ж) = [Со (ж) + ж]/2
осуществляет непрерывное и взаимно однозначное отображение
отрезка [0,1] на себя, причем существует такое множество
меры нуль Е в канторовском множестве С, что f(E) неизме¬
римо по Лебегу.
Доказательство. Определенная указанным образом на до¬
полнении к С функция является неубывающей. Пусть Со(0) = 0,
Со(х) = sup{Co(£): t & С, t < х] при х ЕС. Неубывающая функ¬
ция Со принимает все значения вида p2~q. Поэтому она не имеет
скачков и непрерывна на [0,1]. Ясно, что / — непрерывное и вза¬
имно однозначное отображение отрезка [0,1] на себя. На каждом

122
Глава 3. Интеграл Лебега
интервале дополнения к С функция / имеет вид х/2 + const (где
const зависит от интервала) и потому переводит такой интервал в
интервал вдвое меньшей длины. Следовательно, дополнение к С
переходит в открытое множество U меры 1/2. Множество [0,1 ]\U
меры 1/2 имеет неизмеримое по Лебегу подмножество D. Ясно,
что Е = f~l(D) С С имеет меру нуль и f(E) = D.	□
Пусть д — функция, обратная к функции / из предыдущего
примера. Тогда множество д_1(Е) неизмеримо, хотя Е имеет ме¬
ру нуль и д — борелевская функция. Это показывает, что в опре¬
делении измеримой по Лебегу функции требование измеримости
прообразов борелевских множеств не влечет измеримость прооб¬
разов произвольных измеримых по Лебегу множеств.
3.2.	Сходимость по мере и почти всюду
Пусть (X, Л, р) — пространство с неотрицательной мерой р.
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всю¬
ду (или p-почти всюду) на X, если множество Z точек в X, не
обладающих этим свойством, входит b и имеет меру нуль от¬
носительно /х, продолженной на Лм. Дополнения множеств меры
нуль называют множествами полной меры. Мы будем использо¬
вать следующие сокращения «почти всюду»: п.в., /х-п.в. Из опре¬
деления Ац ясно, что существует такое множество Zq е Л, что
Z С Zo и /х(Хо) = 0, т.е. соответствующее свойство выполняется
вне некоторого множества из Л меры нуль. Это обстоятельство
полезно иметь в виду, имея дело с неполной мерой.
Например, можно говорить о сходимости п.в. последователь¬
ности функций /п, о фундаментальности п.в. {/п}, о неотрица¬
тельности п.в. некоторой функции и т.д. Ясно, что сходимость
{/п} п.в. вытекает из сходимости {/п(#)} для каждого х (назы¬
ваемой поточечной сходимостью), а последняя следует из равно¬
мерной сходимости {/п}- Более глубокая связь сходимости почти
всюду с равномерной сходимостью описывается следующей тео¬
ремой замечательного русского математика Д.Ф. Егорова.
3.2.1.	Теорема. (Теорема Егорова) Пусть (Х,Л,/х) —
пространство с конечной неотрицательной мерой р, /п —
р-измеримые функции и p-почти всюду существует конечный
предел f(x) = lim fn(x). Тогда для всякого е > 0 существует
п—►оо
такое множество Х£ 6 Л, что р(Х\Х£) < е и функции fn схо¬
дятся к f равномерно на Хе.

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
123
Доказательство. Продолжим ц на Ац. По условию есть та¬
кое множество L € -Дм, что fi(L) = ц(Х), на L все функции /„
определены, конечны и сходятся к /. Поэтому утверждение сво¬
дится к случаю, когда {/„(ж)} сходится в каждой точке. Тогда
хп ;= П{1: I/<М - /мI < ^} е Л-
-Для всех m, п е ЕМ имеем X™ С X^hl, причем UJJLi Хп =
ибо при фиксированном т для всякого ж существует такой но¬
мер 71, что |/»(ж) — /(ж)| < 1/т при i ^ п. Пусть е > 0. В силу
счетной аддитивности ц для всякого т существует номер к(т)
с МХ\Х%т)) < е2-~. Пусть ЛГ, := П£ы Х%т). Тогда Х« е Л »
оо	оо	оо
мх\хе) =,,( и (Х\Х%т))) <	»(Х\Х%т))	<	'	Е 2"”
Ш=1	771=1	771=1
Наконец, при фиксированном га для всех х £ Х£ и всех г ^ /с (га)
имеем |/г(ж)—/(ж)| < 1/га, что означает равномерную сходимость
{/п} к / на множестве Остается взять в Хе подмножество из
А равной меры, которое мы обозначим тем же символом. □
Теорема Егорова не распространяется на случай 6 = 0. На¬
пример, функции /п: х и-* хп на (0,1) сходятся в каждой точ¬
ке к нулю, но не сходятся равномерно ни на каком множестве
Е С (0,1) лебеговской меры 1, ибо во всякой окрестности точки 1
найдутся точки из Е и потому snpxeE fn(x) = 1 для каждого п.
Свойство сходимости, установленное Д.Ф. Егоровым, называют
почти равномерной сходимостью.
Перейдем к рассмотрению еще одного важного вида сходимо¬
сти измеримых функций.
3.2.2.	Определение. Пусть даны пространство (Х,А,р)
с конечной мерой р и последовательность р-измеримых функ¬
ций fn, причем р продолжена на А^.
(i) Последовательность {/п} называется фундаментальной
по мере, если для каждого с > 0 имеем
lim sup ju(x: |/„(ж) - fk{x)| ^ с) = 0.
N~*°° n,k^N
(ii) Последовательность {fn} сходится по мере к р-измери-
мой функции f, если для каждого с > 0 имеем
lim //(ж: |/(ж) - /п(ж)| > с) = 0.
?г—юо

124
Глава 3. Интеграл Лебега
В случае бесконечной меры р определение сходимости по ме¬
ре удобнее модифицировать так: требуется сходимость по мере на
каждом множестве положительной меры. Это более слабое и бо¬
лее удобное условие, чем полученное прямолинейным перенесе¬
нием определения.
Можно проверить, что сходимость по мере задается некото¬
рой метрикой (см. задачу 3.12.29).
Всякая сходящаяся по мере последовательность измеримых
функций fn фундаментальна по мере. Это вытекает из того, что
множество {х: |/п(#) — /&(#) | ^ с} содержится в множестве
{ж: |/(ж) - /п(ж)| > с/2} U (ж: |/(ж) - Д(ж)| ^ с/2}.
Отметим еще, что если последовательность {fn} сходится по
мере к функциям / и <?, то / = д почти всюду, т.е. с точностью до
переопределения функций на множестве меры нуль может суще¬
ствовать лишь один предел в смысле сходимости по мере. Дей¬
ствительно, для каждого с > 0 имеем
д(ж: |/(ж) - д(ж)| ^ с) < ц{х: |/(ж) - /п(ж)| ^ с/2) +
+ ц(х: |/п(ж) - д(ж)| ^ с/2) ->• О,
откуда //(ж: |/(ж) — <?(ж)| > 0) = 0, ибо множество точек, где
функция |/ — д\ положительна, является объединением множеств
точек, где она не меньше п-1.
Выясним теперь связь между сходимостью по мере и сходи¬
мостью почти всюду.
3.2.3.	Теорема. Пусть (Х,Л,/х) — пространство с конеч¬
ной мерой. Если р-измеримые функции fn сходятся почти всюду
к функции /, то они сходятся к / и по мере.
Доказательство. Пусть Ап = П“п{ж: I/0е) ~ Мх)\ < с}>
где с > 0. Множества Ап /х-измеримы и Ап с Ап+\. Ясно, что
множество U~=i Ап содержит все точки, в которых {/п} сходится
к /. Поэтому ц{Х) = /i(U^°=i Аг,^. В силу счетной аддитивности
(х получаем ц{Ап) —»/х(Х), т.е. jx(X\An) —»• 0. Остается заметить,
что {ж: |/(ж) - /„(ж)| ^ с} С Х\Ап.	□
Обратное к доказанной теореме утверждение неверно: суще¬
ствует последовательность измеримых функций на [0,1], которая
сходится к нулю по мере Лебега, но не сходится ни в одной точке.

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
125
V
3.2.4. Пример. Для каждого п 6 1N разделим [0,1] на 2п
промежутков = [(к — 1)2-п, А;2_п), к = 1,..., 2П, длины 2~п.
Положим fn,k(x) = 1 при ж G и fn,k(x) = 0 при Ж 0
Запишем функции /п^ в единую последовательность
fn = (/l,l, /l,2> /2,1 j /2,2, • . •)>
в которой функции /тг+1д следуют за функциями fnj. Последова¬
тельность {/п} сходится к нулю по мере Лебега, ибо длина про¬
межутка, на котором функция /п отлична от нуля, стремится
к нулю с ростом п. Однако сходимости нет ни в одной точке ж,
поскольку при фиксированном х в последовательности {/п(#)}
бесконечно много нулей и единиц.
Следующий результат Ф. Рисса дает частичное обращение те¬
оремы 3.2.3.
3.2.5. Теорема. (Теорема Рисса) Пусть (Х,А,р) — про¬
странство с конечной мерой.	&	f
(i) Если последовательность р-измеримых функций fn схо¬
дится к функции f по мере р, то существует ее подпоследова¬
тельность {fnk}, которая сходится к f почти всюду.
(ii) Если последовательность р-измеримых функций fn фун¬
даментальна по мере р, то она сходится по мере р к некоторой
измеримой функции /.
Доказательство. Продолжим р на АПусть {/п} фунда¬
ментальна по мере. Покажем, что найдутся возрастающие к бес¬
конечности натуральные числа п*., для которых
ц(х:	|/„(ж) - fj(x)|	> 2-fc)	<	2~k	Vn,	j ^ nk.
Действительно, найдем номер ni, для которого
ц(х:	|/„(ж) - fj(x)\	^ 2-1)	<	2-1	Vn,	j^n\.
Далее найдем	номер 712 > пь	для которого
ж:	|/п(ж) - /,(ж)|	^ 2"2)	^	2"2	Vn,jttn2.
Продолжая этот процесс индуктивно, получаем нужную после¬
довательность {п&}. Покажем, что последовательность {fnk} схо¬
дится п.в. Для этого достаточно установить, что она п.в. фунда¬
ментальна. Положим
Щ = {х: |/„,+1(ж)-/„,(ж)|>2-*}.

126
Глава 3. Интеграл Лебега
Поскольку ^([JjLk^j) ^	~	2~fc+1	—> 0 при к —► оо, то
множество Z = HfcLi UjLk з имеет М‘меРУ нуль. Если х входит
в X\Z, то последовательность {fnk(x)} фундаментальна. В самом
деле, найдется к с х $ [J?LkEj, т.е. х $ Ej при всех j ^ fc. Это
по определению означает, что \fnj+1(x) — fnj(x)\ < 2~J при всех
j ^ к. Следовательно, для каждого фиксированного т ^ к при
всех i > j > т справедлива оценка
\/щ{х) - /пД*)| < |/щ(*) - /n,_i(*)| + I frn-Лх) - fm-2{x)I + ... +
+l/nJ+1(*) - fnj(x)| <	+ 2-i-1 + • • • < 2-i+! < 2-»
которая означает фундаментальность {/nfr (%)}• Таким образом^рс^
{fnk} сходится почти всюду к некоторой функции /. Тогда {fnk} ^ I
Годится к / по мере, что дает утверждение (ii) ввиду включе- ^
ния множества {х: \f(x) — fn(x)\ > с} в объединение множеств
{х: |f(x) - fnk(x)| > с} и {х: \fnk(x) ~ fn(x)\ > с} и фундамен¬
тальности {/п} по мере. Утверждение (i) вытекает из того, что
сходимость по мере влечет фундаментальность по мере, причем
предел сходящейся почти всюду подпоследовательности совпада¬
ет почти всюду с пределом {/п} по мере ввиду единственности
предела по мере с точностью до эквивалентности.	□
3.2.6. Следствие. Последовательность р-измеримых функ¬
ций сходится по конечной мере р в точности тогда, когда вся¬
кая ее подпоследовательность имеет дальнейшую подпоследова¬
тельность, сходящуюся р-п.в.
3.2.7. Следствие. Пусть р — конечная мера, и пусть две
последовательности р-измеримых функций fn и дп сходятся по
мере р к функциям fug соответственно. Предположим, что
Ф — непрерывная функция на некотором множестве Y С И2,
причем (f(x),g(x)) Е У и (fn(x),gn(x)) Е Y для всех х и всех п.
Тогда функции Ф(fm9n) сходятся по мере р к функции Ф(/,р).
В частности, fngn —> fg и afn + /Здп —> af + /Зд по мере р для
всех а, (3 Е И1.
Доказательство. Функции Ф(/,<?) и Ф(fn,9n) измеримы
ввиду предложения 3.1.7. Если доказываемое утверждение невер¬
но, то найдутся такие с > 0 и подпоследовательность jn, что
ц(х: \<Sf(f(x),g(x)) - V(fjn(x),gjn(x))\ > с) > с (3.2.1)

3.2. Сходимость по мере и почти всюду
127
для всех п. По теореме Рисса в {jn} найдется подпоследователь¬
ность {гп}, для которой /in0*0 -» fix) И gin(x) д{х) п.в. В силу
непрерывности Ф получаем ^(fin(x),gin(x)) ->■ Ф(f(x),g(x)) п.в.,
откуда Ф(fin,9in) —► Ф(/,д) по мере, что противоречит (3.2.1).
Оставшиеся утверждения вытекают из доказанного применитель¬
но к функциям Ф(ж, у) = ху и Ф(ж, у) = ах + (Зу.	□
3.2.8. Лемма. Пусть К — компактное множество на пря¬
мой, U — открытое множество, содержащее К, a f — непре¬
рывная функция на К. Тогда существует такая непрерывная
функция g на прямой, что g = f на К, g = 0 вне U, причем
sup |flf(®)| = sup I /(ж) I.
xeiR1	хек
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда U
ограничено. Множество U\K представляет собой конечное или
счетное объединение попарно непересекающихся открытых ин¬
тервалов. Положим 5 = 0 вне U, g — / на К, а на каждом из
упомянутых интервалов (а, Ъ) доопределим g с помощью линей¬
ной интерполяции: g(ta + (1 — t)b) = tg(a) + (1 — t)g(b).	□
Строение измеримых по Лебегу функций на отрезке проясня¬
ет следующий классический результат Н.Н. Лузина.
3.2.9. Теорема. (Теорема Лузина) Функция / на отрез¬
ке I измергша по Лебегу в точности тогда, когда для всякого
е > 0 существуют такие непрерывная функция fe и компактное
множество Ке, что \(1\Ке) < е и f = fe на Ке.
Доказательство . Достаточность указанного условия ясна
из того, что при его выполнении множество {х: /(ж) < с} с точ¬
ностью до множества меры нуль совпадает с борелевским мно¬
жеством	£	Ki/n:	fi/n(x) < с}. Проверим,необходимость
этого условия. Можно считать, что функция / ограничена, перей¬
дя к arctg/. Возьмем последовательность простых функций /п, I (Ъ
равномерно сходящуюся к /. Функция /п принимает к значений
на дизъюнктных измеримых множествах Апд,..., Ап^. Впишем
в AUii компакт Кпд так, что сумма мер Anii\Knti будет мень-
ше е2~п. Ограничение /п на компакт Кп := КП)iU* • -UКПук непре-
рывно из-за дизъюнктности Кпд. Поэтому непрерывно ограни¬
чение / на компакт Ке := 1Т=1 кп (как равномерный предел

128
Глава 3. Интеграл Лебега
непрерывных на К функций). По доказанной выше лемме / мож¬
но продолжить с К£ до непрерывной функции f€ на I. Остается
заметить, что мера дополнения К£ не больше суммы ряда из мер
дополнений Кп, что не превосходит YlnLie<2~n = е’	Ё
Отметим, что эта теорема вместе с приведенным доказатель¬
ством сохраняет силу для произвольной ограниченной борелев-
ской меры на отрезке.
3.2.10.	Следствие. Для любой измеримой по Лебегу функ¬
ции f на отрезке I существует последовательность непрерыв¬
ных функций fn, сходящаяся к f по мере.
3.3.	Конструкция интеграла Лебега
Имеется несколько равносильных определений интеграла
Лебега. Мы воспользуемся способом, при котором интеграл
определяется сначала для простых функций, а затем интеграл
неотрицательной функции задается как супремум интегралов ма¬
жорируемых ею простых функций. После этого мы установим эк¬
вивалентность этого способа нескольким другим, включая подход
самого Лебега (см. §3.6).
Пусть (X, Д, р) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, со значениями в [0, +оо]). Как и выше, пусть
/+ = тах(/, 0),	/“	=	тах(—/, 0).
Пусть простая неотрицательная функция / принимает зна¬
чения q ^ 0 на попарно непересекающихся множествах где
г = 1,..., п. Положим
п
f(x)n(dx) :=
i=1
где 0 • р(х: f(x) = 0) := 0 и допускается значение +оо. Коррект¬
ность данного определения ясна из аддитивности меры, благода¬
ря которой можно перейти к случаю, когда все с* различны.
При определении интеграла удобно использовать расширен¬
ное понятие измеримой функции на X из определения 3.1.10 и до¬
пускать к рассмотрению такие функции, которые определены по¬
чти всюду (т.е., возможно, не определены на множестве меры
нуль или принимают на нем бесконечные значения).
Из определения и аддитивности меры легко усмотреть ад¬
дитивность и неотрицательность интеграла на неотрицательных
простых функциях.

3.3. Конструкция интеграла Лебега
129
3.3.1.	Определение. Пусть / — р-измеримая функция. Ес¬
ли f(x) ^ 0 /i-n.eто положим
Будем называть f интегрируемой, если эта величина конечна.
В общем случае будем называть / интегрируемой по Лебегу от¬
носительно р или р-интегрируемой, если обе функции /+ и f~
интегрируемы. При этом полагаем
В том случае, когда интегрирование ведется по всему про¬
странству X, область интегрирования иногда не указывается
и используется обозначение / / dp. В случае меры Лебега на IRn
будем обозначать интеграл функции / также через I f(x) dx.
Легко видеть, что для простых неотрицательных функций та¬
кое определение дает прежнее значение интеграла.
Важным свойством интеграла Лебега является то} что по са¬
мому определению всякая .футсЦММ^^^	йнтегриру-
емой; также интегрируемая Кроме того, измеримая функция /
интегрируема тогда и только тогда, когда функция |/| интегри¬
руема, причем
Из определения очевидно также, что если / и g — такие //-изме¬
римые функции, что \g(x)\ ^ \f(x)\ р-п.в. и / интегрируема, то д
также интегрируема и
В частности, если функция / интегрируема, то для всякого из¬
меримого множества А функция flA также интегрируема. Инте¬
грал функции /будем называть интегралом / по множеству А
(р ^ 0 — простая функция и (р(х) < f(x) р-п.в.
[ f(x)n{dx):= f f+(x) fi(dx) — f f (ж)/x(dr)
Jx	Jx	Jx
(3.3.1)

130
Глава 3. Интеграл Лебега
и обозначать одним из двух сдедующих символов:
[ /(ж) n(dx) и [ f йц.
Если /(ж) ^ 0 при /х-п.в. ж е А, то имеем I	0.
J А
Если I |/| dp = 0, то / = 0 п.в., ибо иначе при некотором
n Е IN получим //(ж: |/(ж)| ^ п *) > 0.
Простым следствием определения является следующее часто
используемое неравенство П.Л. Чебышёва.
3.3.2. Теорема. (Неравенство Чебышёва) Для всякой
/i-интегрируемой функции f и всякого R > 0 имеем
Доказательство. Положим Ar = {х: \f(x)\ ^ Д}. Ясно,
что R-Iar(x) ^ |/(я)| ДОЯ всех ж. Следовательно, интеграл функ¬
ции R • /дд мажорируется интегралом |/|, что дает (3.3.2).	□
3.3.3.	Следствие. Для всякой р-интегрируемой функции
/ существует такая последовательность измеримых мно¬
жеств Ап конечной меры, что f(x) = 0 при ж & U^Li
Доказательство. Множества {х: \f(x)\ ^ 1/п} имеют ко¬
нечные меры.	□
Покажем, что для вычисления интеграла неотрицательной
измеримой функции достаточно использовать какую угодно воз¬
растающую к ней последовательность простых функций. Это не
вполне очевидно из определения.
Лемма. Пусть дана последовательность простых
функции fn ^ 0, fn(%) ^ fn+i(x) р-п.в. при всех п; при¬
чем интегралы от fn равномерно ограничены. Тогда функция
f(x) ~ lim fn(%) конечна р-п.в., интегрируема, причем
п—+оо

3.3. Конструкция интеграла Лебега
131
Доказательство. Интегралы от /п возрастают к конечно¬
му пределу Для каждого R > 0 по неравенству Чебышёва
имеем /л(х: fn(x) > Л) < L/R. При п —> оо левая часть воз¬
растает к ц(х: f(x) > Я), поскольку множества {х: fn(x) > R}
возрастают и в объединении дают {х: f(x) > Я} с точностью до
множества меры нуль (на котором {fn{%)} не является возраста¬
ющей). Значит, /л(х: /(*) > Я) < L/R при всех R > 0, откуда
следует равенство р(х\ f(x) = +00) = 0.
Пусть р ^ 0 — простая функция, р(х) < f(x) //-п.в. Покажем,
что интеграл от р не превосходит Р. Функции (рп := min(/n, р) —
простые и //-п.в. возрастают к р. Так как интеграл от рп не
больше интеграла /п, то достаточно проверить, что интегралы
от рп возрастают к интегралу от р. Ввиду аддитивности ин¬
теграла на простых функциях остается показать, что интегра¬
лы от рп1е сходятся к интегралу от р1в для всякого множе¬
ства Е вида Е = <£-1(с). При с = 0 это очевидно. Пусть с > 0
и е 6 (0, с/2). Множества Еп := {х € Е: рп(х) ^ с — е} возраста¬
ют и покрывают Е с точностью до множества меры нуль, откуда
/л(Еп) —► /л(Е). Из этого видно, что /л(Е) < оо, ибо
/ Pndfi ^ (c-e)fi(En) -> (c-s)ijl(E),
Je
а левая часть не больше L. Так как е можно взять сколь угодно
малым, интегралы от рп1в сходятся к интегралу от </?/#. П
Если / ^ 0 — //-измеримая функция, то следствие 3.1.9 да¬
ет //-п.в. возрастающую к / последовательность простых функ¬
ций fn (которые интегрируемы, если интегрируема /).
Выясним условие интегрируемости функции со счетным чис¬
лом значений.
3.3.5.	Пример. Пусть //-измеримая функция / принимает
счетное число различных значений Сп. Тогда интегрируемость /
равносильна сходимости ряда Xm^=i	/(#)	=	Сп)?	причем
в случае интегрируемости получаем
оо
f(x)ii{dx) = ^2спц(х: f(x) = с„).
71=1
В самом деле, достаточно рассмотреть случай, когда Сп ^ 0. За¬
нумеруем Сп по возрастанию. Пусть fn(x) = f{x) при f(x)^Cn

132
Глава 3. Интеграл Лебега
и /п(я) = 0 при f(x) > Сп. Тогда /п — простые функции, возрас¬
тающие к /. Так как интеграл от /п равен °г(х: f(x) = ci)i
то остается применить доказанное выше предложение.
В следующей теореме установлено одно из важнейших эле¬
ментарных свойств интеграла —линейность.
Axctc&dfuxJ *-
3.3.6.	Теорема. Если функции fug интегрируемы отно¬
сительно меры р, то для всяких чисел а и (3 функция af + (3g
также р-интегрируема, причем
[ (af + fig) d/л = а [ fdn + fif gdfj,.
Jx	J	х	Jx
Доказательство. Для простых функций доказываемое ра¬
венство очевидным образом следует из аддитивности меры. Слу¬
чай (3 = 0 очевиден из определения. Теперь достаточно рассмот¬
реть случай а = (3 = 1. Тогда / + д = /+ +	- (/” + д~)-
Поэтому достаточно доказать наше утверждение в двух случа¬
ях: когда / ^Ohj^Oh когда / ^ 0 и д ^ 0. Первый из них
следует из справедливости этой теоремы для простых функций
и леммы 3.3.4, ибо, взяв п.в. возрастающие к / и д последова¬
тельности простых неотрицательных функций /п и jn, получа¬
ем последовательность простых функций fn + gnj п.в. возраста¬
ющую к / + д. В оставшемся случае / ^ 0 и д ^ 0 заметим, что
\f + g\ ^ 1/1 + Ы и потому функция f + g интегрируема. При этом
/ + 9 = (/ + 9)1Е + (/ + 9)1х\е, где Е = {ж: /(ж) + ^(ж) ^ 0}. По¬
скольку fIE = (f + g)lE~glE и -gIx\E - flx\E + (- f~9)Ix\E,
где все слагаемые неотрицательны (все эти соотношения выпол¬
нены п.в.), то по доказанному имеем
/ fIEdp= / (f + g)IEdp - / gIEdp,
Jx	Jx	Jx
~ JГ gix\E^^~JX №X\Edf1 ~ Jx(f + 9)1 X\E dp-
Из этих равенств с учетом тождества IE + Ix\e — 1 получаем
доказываемое равенство.	□
В частности, если функция / интегрируема и А и В — непе-
ресекающиеся множества из то
[ f(x)p(dx)= [ f(x)p(dx)+ [ f(x)p(dx).
Jaub	Ja	Jb

3.3. Конструкция интеграла Лебега
133
3.3.7.	Предложение. Всякая Ац-измеримая ограниченная
функция / интегрируема по всякому множеству А £ Ац конеч¬
ной меры, причем
L
f{x) /Jb{dx) < sup \f(x)\fji{A).
A	xeA
Доказательство. Если (p — неотрицательная простая фун¬
кция с р(х) < |/(т)| при п.в. ж € Д принимающая различные
значения с\,... ,Сп, то интеграл от р1д равен
П	П
^с»д(Л n^-1(ci)) < maxcj^/i(>l П</?-1(сг)) = тахсщ(А),
i=1	f	1	i=1	1
что не превосходит sup,^ \f(x)\ р(А).	□
В следующей теореме установлено очень важное свойство аб¬
солютной непрерывности интеграла Лебега.
3.3.8. Теорема. Пусть дана р-интегрируемая функция /.
Тогда для каждого е > 0 найдется такое S > О, что
/ \f(x)\ p(dx) < е, если р(А) < 8.
J А
Доказательство. Найдется такая простая функция (р ^ О,
что (р ^ |/| п.в. и разность интегралов от |/| и (р меньше е/2.
Положим 8 = в(2тахж ср(х) + 2)”1. При р{А) < 8 получаем
/ I/I dfi= f <pdn+ [ [|/|-у>]ф<
JA	J A	J	А
< sap tp{x)it(A) + / []/) - <р] dp, ^ | J = е,
х	JX	II
что и требовалось.	□
3.3.9. Замечание. Мы не предполагали полноту меры р, но
ясно, что в качестве А можно взять и Лм. При замене А на Лм
мы получим тот же класс интегрируемых функций, что очевидно
из определения. Однако если вместо сг-алгебры А взять какую-
то ее подалгебру Ао (даже порождающую Л) и в определении
интеграла рассматривать лишь простые функции, соответствую¬
щие множествам из Ло? т0 запас интегрируемых функций может
столь расшириться, что потеряет содержательность. Например,
пусть Ло — алгебра промежутков в [0,1]. Возьмем такое множе¬
ство Е С [0,1], что и Е, и его дополнение пересекают каждый

134
Глава 3. Интеграл Лебега
непустой интервал по множеству положительной меры (см. зада¬
чу 2.7.18). Тогда всякой измеримой неотрицательной функции /,
равной нулю на Е, будет приписан нулевой интеграл при таком
классе «простых» функций (в нем лишь нулевая функция удо¬
влетворяет условию (р ^ / п.в.), хотя в смысле нашего обычного
определения интеграл этой функции может быть и бесконечным
из-за того, что он бесконечен по дополнению Е.
3.3.10. Замечание. Измеримость и интегрируемость ком¬
плексной функции / относительно меры /х будем понимать со¬
ответственно как измеримость и интегрируемость вещественной
Re / и мнимой Im / частей /. Положим
J f dfi := Jnefd/i + i Jlmfd/л.
Для отображений со значениями в IRn измеримость и интегрируе¬
мость будем понимать аналогично, т.е. покоординатно. Таким об¬
разом, интеграл отображения / = (Д,..., /п) с интегрируемыми
компонентами Д есть вектор, координатами которого являются
интегралы от Д.
3.3.11. Замечание. Для интеграла по классической мере
Лебега на IRn верна формула замены переменных
[ f(Tx + a)dx= | det ТГ1 f /(у) dy
JlRn	JlRn
для всякого обратимого линейного оператора Т и всякого а 6 Ип.
Ввиду следствия 2.5.4, для обоснования достаточно проверить
эту формулу для простых функций с ограниченными носителя¬
ми, что сводит все к индикаторам ограниченных множеств. Ниже
в §3.12(И) мы обсудим более общие формулы замены переменных
для меры Лебега и для абстрактных мер.
Скажем несколько слов об интеграле Лебега-Стилтьеса.
В гл. 2 были определены меры Лебега-Стилтьеса на прямой: каж¬
дой непрерывной слева неубывающей функции F, имеющей пре¬
дел 0 на —оо и предел 1 на +оо, была сопоставлена вероятностная
борелевская мера /х с F(t) = /х((—оо,£)). Пусть д — /х-интегриру-
емая функция. Будем называть интегралом Лебега-Стилтьеса
функции д по функции F число
[ g(t)dF(t) := [ g(t)/i(dt).
J—оо	JlR
(3.3.3)

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
135
Это определение легко расширить, включив функции F вида
F = c\F\ + C2F2, где FbF2 — функции распределения вероят¬
ностных мер /XI и //2, a ci,C2 — постоянные. Тогда в качестве /х
надо брать меру ci/xi + c2\i2. Аналогично определяется интеграл
Лебега-Стилтьеса по отрезку или интервалу. В некоторых прило¬
жениях бывает известна именно функция распределения F, а не
сама мера /х, поэтому обозначение интеграла посредством левой
части (3.3.3) оказывается довольно полезным и наглядным в вы¬
кладках. Если д принимает конечное число значений с* на про¬
межутках [a,i,bi) и обращается в нуль вне этих промежутков, то
Для непрерывных функций д на [а, Ь] интеграл Лебега-Стилтьеса
можно получить в виде предела таких сумм римановского типа
(что обычно в курсах анализа и берется за определение интеграла
Стилтьеса от непрерывной функции). В самом деле, пусть функ¬
ция д непрерывна. Тогда она равномерно непрерывна на [а, Ь].
Значит, для всякого е > 0 существует такое S > О, что для любых
точек а = to < h < * * * < tn = b с \U — U-\\ < 6 ступенчатая функ¬
ция Л, равная g(ti) на (ti_i,t*j (при этом h(a) = <?(а)), отличается
от д не более, чем на е. Поэтому разность интегралов от д и h
по мере /х не превосходит по абсолютной величине e\\ii\\. Отме¬
тим, что с помощью сумм римановского типа можно определять
интеграл Стилтьеса от непрерывной функции д по возрастаю¬
щей функции Fj не обязательно непрерывной слева. Для этого
достаточно проверить, что при измельчении разбиений соответ¬
ствующие суммы будут сходиться к тому же значению, которое
получается, если F переопределить на счетном множестве точек
разрыва и сделать непрерывной слева.
Интеграл Лебега-Стилтьеса затрагивается также в следую¬
щей главе при обсуждении функций ограниченной вариации.
3.4.	Предельный переход под знаком интеграла
В этом параграфе приведены три основные теоремы о схо¬
димости интегрируемых функций, носящие имена Лебега, Беппо
Леви и Фату. Как обычно, мы предположим, что /х — неотрица¬
тельная мера (возможно, со значениями в [0, +оо]) на измеримом
пространстве (Х, Л).
п
i=i

136
Глава 3. Интеграл Лебега
Следующий важный результат — теорема Беппо Лёви о мо¬
нотонной сходимости.
3.4.1. Теорема. (Теорема Беппо Леви) Пусть fn —
/i-интегрируемые функции и fn(%) ^ /n+i(#) п.в. для каждого п.
Предположим, что
Тогда функция f(x) — lim fn(%) почти всюду конечна и инте-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вычитая Д из всех функций, приходим
к случаю fn ^ 0. Интегралы от /п возрастают к некоторому
числу J. Для каждого п имеется последовательность простых
функций (рП£ ^ 0, при к —» оо возрастающая к /п п.в. Функ-
ции gn := max(<£iin,.. .,<рп,п) — простые, дп < gn+i, поскольку
<Pj,n < <fij,n+1, и дп <: fn, ибо <pjtn < fj < fn при j < п. Поэто¬
му g = lim gn < / п.в. С другой стороны, д ^ (рп,к при п < к,
откуда д ^ fn п.в., т.е. д = / п.в. По лемме 3.3.4 функция д
интегрируема и ее интеграл равен пределу интегралов от дп, не
превосходящему J. Значит, интеграл от / равен «7.	□
3/$
Разумеется, в теореме Беппо Леви вместо возрастания /п(#)
к f(x) можно требовать убывание.
Теорему Беппо Леви можно переформулировать так:
если ряд из интегралов неотрицательных интегрируемых
функций fn сходится, то почти всюду сходится ряд /п(#)
и интеграл от его суммы равен сумме ряда из интегралов от /п.
Следующий часто используемый результат теории интегра¬
ла — теорема Фату (иногда его называют леммой Фату). Он по¬
казывает, что в случае неотрицательных /п (или хотя бы име¬
ющих общую интегрируемую миноранту) для интегрируемости
предельной функции / достаточно равномерной ограниченности
интегралов от /п. Правда, при этом вместо равенства (3.4.1) га¬
рантируется лишь некоторое неравенство.
грируема. Кроме того, справедливо равенство
(3.4.1)
п—+оо

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
137
3.4.2. Теорема. (Теорема Фату) Пусть {fn} — последо¬
вательность неотрицательных р-интегрируемых функций, ко¬
торая сходится к функции / почти всюду, причем
SUP / fn(x) p{dx) ^ К < оо.
п Jx
Тогда функция / р-интегрируема и I f(x) p(dx) ^ К.
Jx
Более того, I f(x)p(dx) < liminf I fn(x) p(dx).
Jx	n_KX) Jx
Доказательство. Положим gn(x) = infk^nfk{x)- Тогда
0 ^ 9n ^ fm 9n ^ 9n+1-
Поэтому функции gn интегрируемы и образуют монотонную по¬
следовательность, а их интегралы ограничены сверху числом К.
По теореме Беппо Леви почти всюду существует конечный предел
g(x) = Ит	причем функция д интегрируема и ее интеграл,
п—>оо
равный пределу интегралов функций дп, не превосходит К. Оста¬
ется заметить, что f(x) — д(х) п.в. в силу сходимости {fn(%)} п*в*
Второе утверждение теоремы следует из доказанного путем пе¬
рехода к подходящей подпоследовательности.	□
3.4.3. Следствие. Пусть {fn} — последовательность р-ин-
тегрируемых функций ид— р-интегрируемая функция.
(i)	Пусть fn^ 9 п.в. для каждого п, причем
liminf / fn{x) p(dx)
п Jx
< оо.
Тогда функция liminf fn р-интегрируема, причем
п—>оо
/ liminf fn(х) p{dx) < liminf / fn(x) p(dx).
Jx n-*°°	n-»oo	Jx
(ii) Пусть fn^9 п.в. для каждого n, причем
limsup I fn{x) p{dx) > — oo.
n Jx
Тогда функция limsup fn р-интегрируема, причем
n-+oo
/ limsup fn(x) p(dx) ^ limsup / fn(%) p{dx).
Jx n-+oo	n—>oo	Jx

138
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство, (i) Перейдя к /п — д, сводим утверждение
к случаю fn ^ 0. Заметим, что liminf/n(#) = lim infn>fc/n(#),
п—>оо	к—>оо '
и затем применим теорему Фату к функциям infn^fc /n(#)- Утвер¬
ждение (ii) следует из (i) переходом к —/п.	□
Важнейшим в теории интеграла является следующий резуль¬
тат Лебега.
3.4.4. Теорема. (Теорема Лебега о мажорированной
сходимости) Пусть р-интегрируемые функции fn сходятся
почти всюду к функции /. Если существует такая р-интег¬
рируемая функция Ф, что
|/п(#)| ^ Ф(#) п.в. для каждого п,
то функция f интегрируема, причем
/ f(x)p(dx) = lim / fn(x)p(dx).
Jx	n^°°	Jx
Кроме того, lim / | f(x) — fn(x)\ p(dx) — 0.
n”*°° Jx
Доказательство. Первое равенство следует из второго, ко¬
торое вытекает из утверждения (и) предыдущего следствия. В са¬
мом деле, для gn := \ fn - /1 п.в. имеем дп -> 0 и 0 ^ дп ^ 2Ф.	□
3.4.5. Теорема. Теоремы Лебега и Фату остаются в силе,
если вместо сходимости почти всюду в их условиях потребо¬
вать сходимость {fn} к f по мере р (в случае неограниченной
меры требуется сходимость по мере на каждом множестве ко¬
нечной меры).
Доказательство. Пусть р(Х) < оо. Поскольку {/п} имеет
подпоследовательность, сходящуюся к / почти всюду, то сразу
получаем аналог теоремы Фату для сходимости по мере, а так¬
же заключение теоремы Лебега для выбранной подпоследова¬
тельности. Тогда утверждение верно и для всей последователь¬
ности {/п}, ибо в противном случае нашлась бы такая подпосле¬
довательность fnk, что I | fnk — /| dp ^ с > 0 для всех к, а это
Jx
невозможно в силу доказанного, ибо из {fnk} можно выбрать под¬
последовательность, сходящуюся п.в. В случае неограниченной
меры каждая из функций fn равна нулю вне некоторого счет¬
ного объединения множеств конечной меры. Поэтому найдется

3.4. Предельный переход под знаком интеграла
139
счетный набор дизъюнктных множеств Ej конечной меры, вне
объединения Е которых все /п равны нулю. Тогда / = 0 п.в.
вне Е. Теперь можно выделить подпоследовательность в {/п},
которая сходится почти всюду на Е.	□
Рассмотрение функций fn(x) = п/(0д/п](ж), поточечно сходя¬
щихся к нулю на (0,1], показывает, что в теореме Лебега нельзя
отказаться от наличия интегрируемой мажоранты, а в теореме
Фату не всегда можно переставлять предел и интеграл. Однако
может случиться, что интегралы от |/п — /| сходятся к нулю и без
общей интегрируемой мажоранты (задача 3.12.12(ii)).
С помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости
доказывается следующее утверждение о непрерывности и диф¬
ференцируемости интеграла по параметру.
3.4.6.	Следствие. Пусть р — неотрицательная мера (воз¬
можно, со значениями в [0, +оо]) па пространстве X и функция
/: X х (а, Ь) —► IR1 такова, что при каждом а € (а, Ь) функция
х н-* f(x,a) интегрируема.
(i)	Пусть при п.в, х функция аи /(ж, а) непрерывна, причем
существует такая интегрируемая функция Ф, что для каждого
фиксированного а п.в. имеем \f(x,a)\ < Ф(я). Тогда функция
непрерывна.
(и) Пусть для п.в. х функция а > f(x,a) дифференциру¬
ема, причем существует такая р-интегрируемая функция Ф,
что при п.в. х имеем \df(x,a)/da\ < Ф(ж) сразу для всех а. То¬
гда функция J(a) := I f(x,a)p(dx) дифференцируема, причем
Доказательство. Утверждение (i) ясно из теоремы Лебега.
(И) Пусть а фиксировано и tn —► 0. Тогда по теореме о среднем
для п.в. х существует такое £ = £(х,а,п), что
J: аи / f(x, a) p(dx)
Jx
х
|С (/(ж, а+ *„)-/(*, а)) | = |df(x,£)/da\ < Ф(х).

140
Глава 3. Интеграл Лебега
Указанное разностное отношение сходится к df(x,a)/da. По те¬
ореме Лебега предел lim	+	tn) — J(a)) равен интегралу
п—кэо
от df(x,a)/da.	□
В задаче 3.12.21 указана модификация утверждения (ii), да¬
ющая дифференцируемость в отдельной точке.
3.5.	Пространство L1
Пусть (X, Л, р) — измеримое пространство с неотрицательной
мерой (возможно, со значениями в [0, +оо]).
Совокупность всех /х-интегрируемых функций будем обозна¬
чать через £х(/х).
Часто бывает полезно не различать функции, равные почти
всюду (напомним, что такие функции называются эквивалентны¬
ми). Для этого вместо пространства С1(р) рассматривают про¬
странство Ьг(р) (альтернативное обозначение: Lx(X,/х)), элемен¬
тами которого являются классы эквивалентности в £*(/х), состо¬
ящие из почти всюду равных функций. Тем самым Ll(p) — это
часть Т°(/х), соответствующая классам с интегрируемыми пред¬
ставителями.
Здесь мы установим, что пространство интегрируемых по Ле¬
бегу функций обладает свойством полноты, т.е. фундаменталь¬
ные в среднем последовательности сходятся в среднем (этого
важного свойства нет у интеграла Римана, см. задачу 3.12.25).
3.5.1.	Определение, (i) Последовательность функций fn>
интегрируемых по мере /х (возможно, со значениями в [0, +оо]),
называется фундаментальной в среднем, если для всякого е > 0
найдется такой номер N, что
[ Ifn(x) - fk(x)\p(dx) <е Vn, k ^ N.
Jx
(ii)	Будем говорить, что последовательность реинтегрируе¬
мых функций fn сходится к р-интегрируемой функции f в сред¬
нем, если
lim [ | f(x) - fn(x)| p{dx) = 0.
n^°° Jx
Фундаментальность или сходимость в среднем будем также
называть фундаментальностью или сходимостью в Ll(p) со¬
ответственно.

3.5. Пространство L1
141
Такие сходимость и фундаментальность — это просто сходи¬
мость и соответственно фундаментальность по естественной мет¬
рике пространства Ll(p), задаваемой формулой
где в правой части подразумеваются произвольные представите¬
ли классов эквивалентности / и д (ясно, что от их выбора значе¬
ние интеграла не зависит). Неравенство треугольника очевидно
из поточечной оценки | f(x) — h(x) | ^ | f(x) — д(х)\ + |д(х) — h(x) |.
Эта же формула задает на С1 (//) предметрику. Именно для того,
чтобы из условия d(f, д) = 0 следовало равенство / = р, и сделан
переход к пространству классов эквивалентности. Заметим еще,
что указанная метрика соответствует норме
на	о чем подробнее говорится в гл. 5.
Легко видеть, что если последовательность интегрируемых
функций fn фундаментальна в среднем, то supn Ц/пЦь1^) < 00 ♦
Кроме того, если последовательность интегрируемых функций /п
сходится в метрике Ll(p) к функциям / и д, то f(x) = д(х) //-п.в.
3.5.2.	Теорема. Если последовательность р-интегрируе¬
мых функций fn фундаментальна в среднем, то она сходится
в среднем к некоторой р-интегрируемой функции /. Иначе го¬
воря, пространство Ll(p) с указанной метрикой полно.
Доказательство. Найдем такую последовательность {п*},
что ||/nfc+i — fnkHz,1 (до) ^ 2-fc. Теорема Беппо Леви дает сходимость
//-п.в. ряда Y%Li \fnk+i(x) ~ fnk(x)I- Значит, последовательность
{fnk(x)} имеет конечный предел f(x) для //-п.в. х. Тогда //-п.в.
\f{x)\ — lim \fnk(x)\- По теореме Фату функция / интегрируема.
п—►оо
Наконец, для всякого е > 0 найдется такой номер Ne, что
при всех п,т ^ Ne. Подставляя п = щ и еще раз применяя те¬
орему Фату, приходим к оценке |/ — /ш| dp ^ е при т ^ N£.
Теорема доказана.
□

142
Глава 3. Интеграл Лебега
3.5.3. Следствие. Если фундаментальная в среднем после¬
довательность р-интегрируемых функций fn сходится почти
всюду к функции /; то функция / интегрируема и последова¬
тельность {fn} сходится к ней в среднем.
Используя идею пополнения, можно следующим образом оп¬
ределять интегрируемые функции (см., например, [26, гл. 2]).
3.5.4. Предложение. Функция / интегрируема относите¬
льно меры р в точности тогда, когда существует последова¬
тельность простых функций fn7 которая сходится к f почти
всюду и фундаментальна в среднем. При этом ||/ —	~* О-
Доказательство. Если такая последовательность есть, то
/ € С1{р) и ||/ —	0, что вытекает из доказательства
предыдущей теоремы. Для доказательства обратного возьмем по¬
следовательность простых функций fn так, что /п(ж) —»• /(ж) п.в.
и |/»( х)\ ^ \f(x) \ п.в. (это легко сделать, см. доказательство след¬
ствия 3.1.9). По теореме Лебега ||/ — fnW&fa) О-	Ё
В том случае, когда р — знакопеременная мера, по определе¬
нию положим Ll(p) := Ll(|/х|), Сг(р) := ^С1 (|м|)- Для / G Сг(\р\)
полагаем
[ fdp:= [ f(x)p(dx) := [ f(x)p+(dx)~ f f(x)p~(dx).
Jx	Jx	Jx	Jx
Вводя функцию £, равную 1 на Xи —1 на Х~, получаем
f f(x)p(dx)= f f(x)£(x)\ii\(dx).
JX	Jx
3.6.	Признаки интегрируемости
Определение интеграла почти никогда не используется для
установления интегрируемости конкретных функций. Весьма эф¬
фективные и часто используемые на практике достаточные усло¬
вия интегрируемости даются теоремами Беппо Леви и Фату. В ре¬
альных задачах часто применяется и один из самых очевидных
критериев интегрируемости измеримой функции: мажорирова¬
ние по абсолютной величине заведомо интегрируемой функцией.
В настоящем параграфе из этого тривиального критерия мы вы¬
ведем ряд менее очевидных следствий и получим признаки ин¬
тегрируемости в терминах сходимости рядов или римановских
интегралов по прямой.

3.6. Признаки интегрируемости
143
3.6.1.	Теорема. Пусть (Х,А,р) — пространство с конеч¬
ной неотрицательной мерой и f — р-измеримая функция. То¬
гда интегрируемость функции f относительно р равносильна
сходимости ряда
оо
^Рп/х(ж: п < |/(ж)| < n+ 1),	^ .^3-6.1)
п=1	\ •' ‘ 54 v • i'V
а также равносильна сходимости ряда
оо
^2ц(х: \f(x)\^n).	(3.6.2)
71=1
Доказательство. Пусть А0 = {х: \f(x)\ < l}. Положим
Ап := [х: п ^ \f(%)\ < п + 1} для п Е IN. Множества Ап явля¬
ются /х-измеримыми, попарно не пересекаются и дают в объеди¬
нении все пространство (с точностью до множества меры нуль,
на котором / может быть не определена). Функция д7 задан¬
ная равенством д\лп = п, где п = 0,1,..., очевидным образом
/х-измерима, причем д{х) < |/(#)| ^ <?(#) + 1- Следовательно,
функция д интегрируема в точности тогда, когда интегрируе¬
ма функция /. Согласно примеру 3.3.5 интегрируемость д рав¬
носильна сходимости ряда (3.6.1). Остается заметить, что ряды
(3.6.1)	и (3.6.2) сходятся или расходятся одновременно. Действи-
тельно, {х: |/(ж)| ^ n} = \J£LnAk, откуда
ОО
р(х: |/(ж)| > п) = ]Г^(Лк).
к=п
Таким образом, при суммировании по п число р(Ап) входит в пра¬
вую часть п раз.	□
Рассмотрим некоторые простые применения.
3.6.2.	Пример, (i) Функция /, измеримая относительно ог¬
раниченной неотрицательной меры /х, интегрируема во всякой
степени р Е (0, оо) в точности тогда, когда р(х: \f(x)\ > t) убыва¬
ет быстрее любой степени t при t —> +оо. Это видно из равенства
р(х: \f(x)\p >t)= ц{х: |/(®)| > tl/p).
(ii) Функция | In х\р на (0,1) интегрируема по Лебегу при всех
р > —1, а функция ха интегрируема при а > — 1.
(iii) Функция ||ж||-р на IRd интегрируема в окрестности нуля
при р < d.

144
Глава 3. Интеграл Лебега
Для бесконечных мер указанные признаки не годятся, так как
они не учитывают множества малых значений |/|. Их можно мо¬
дифицировать и для бесконечных мер, но вместо этого мы приве¬
дем универсальный критерий, одно из достоинств которого состо¬
ит в сведении проблемы к некоторому римановскому интегралу.
3.6.3. Теорема. Пусть р — счетно-аддитивная мера со зна¬
чениями в [0, +оо] и f — р-измеримая функция. Тогда интегри¬
руемость f по мере р равносильна интегрируемости функции
t н-> р(х: \f(x)\ > t) на (0,+оо) по мере Лебега. При этом
[ \f(x)\iJ,(dx) = [ ц(х: \f(x)\>t)dt.	(3.6.3)
Jx	Jo
Доказательство. Здесь мы докажем лишь равносильность
интегрируемости / сходимости указанного интеграла по полуоси,
а короткий вывод равенства (3.6.3) будет дан ниже с помощью те¬
оремы Фубини. Если / интегрируема, то множество {/ > 1} имеет
конечную меру. Интеграл от g(t) := р(х: \f(x)\ > t) по [1, +оо) не
превосходит сумму ряда из д(п) и потому конечен. Обратно, схо¬
димость этого интеграла дает интегрируемость	Поэтому
можно считать, что 0 < / < 1. Аналогично предыдущей теореме
проверяется, что интегрируемость д по (0,1] равносильна сходи¬
мости ряда из 2~пр(х: \f(x)\ > 2-п), которая, как легко видеть,
сводится к сходимости ряда из 2~пр[х\ 2~п < \f(x)\ ^ 2-n+1),
равносильной интегрируемости //{о^/^i}-	П
Одно из исходных построений самого Лебега также может ис¬
пользоваться в качестве удобного и наглядного критерия инте¬
грируемости.
Пусть (X, А, р) — пространство с конечной неотрицательной
мерой и / — //-измеримая функция. Рассмотрим лебеговские сум¬
мы
+оо
Л(е) := ке/л(х: ке < f(x) < (к + 1)г),	£>0.	(3.6.4)
к=—оо
3.6.4. Предложение. Измеримая функция / интегрируема
по Лебегу в точности тогда, когда при некотором е > 0 обе
части ряда (3.6.4) по к > 0 и к < 0 сходятся. В этом случае
указанный ряд сходится при всех е > 0, причем величины Л(е)
при £ —► 0 стремятся к интегралу от f.

3.7. Связь с интегралом Римана
145
Доказательство. Рассмотрим функцию Д, равную ке на
множестве {х: ке ^ f(x) < (к + 1)ег} при всех целых к. Яс¬
но, что эта функция измерима, причем абсолютная сходимость
ряда (3.6.4) есть условие ее интегрируемости. В случае сходимо¬
сти сумма ряда равна интегралу от Д. Остается заметить, что
sup^ | f(x) — fs(x) | < е. Так как р(Х) < оо, то либо обе функции
/и /£ интегрируемы, либо обе не интегрируемы. В случае инте¬
грируемости модуль разности интегралов не превосходит ер(Х),
откуда следуют последние два утверждения.	□
3.7. Связь с интегралом Римана
Мы считаем известным определение интеграла Римана (см.
Архипов, Садовничий, Чубариков [12], Зорич [86], Рудин [187]
или Фихтенгольц [219]). Для кусочно-постоянных функций на
отрезке римановский интеграл совпадает с лебеговским. Функ¬
ция Дирихле (индикатор множества рациональных чисел) не ин¬
тегрируема по Риману, но является простой и имеет нулевой ин¬
теграл Лебега. См. также задачи 3.12.22 и 3.12.23.
3.7.1. Теорема. Если функция f интегрируема на отрезке
I = [а, Ь] по Риману в собственном смысле, то она интегри¬
руема на I и по Лебегу, причем ее римановский и лебеговский
интегралы равны.
Доказательство. Можно считать, что Ъ — а = 1. Для каж¬
дого n Е IN разделим отрезок I = [а, Ь] на непересекающиеся
промежутки [а, а + 2-п),..., [6 — 2-п, Ь] длины 2-п, обозначае¬
мые через /ь...,/2п. Пусть mk = infxeIk /(ж), Мк = supxG/fe f(x).
Рассмотрим ступенчатые функции /п и дп, заданные следую¬
щим образом: /п = тк на 1к, дп = Мк на 1к, к = 1,...,2П.
Ясно, что fn(x) < f(x) < дп(х). Кроме того, fn(x) < Д+Дж),
дп+Дж) < дп(х). Поэтому существуют пределы р(х) = lim Д(ж),
71—►ОО
ф(х) = lim дп(х), причем (р(х) ^ /(ж) ^ ф(ж). Как известно из
'П—^ОО
курса анализа, интегрируемость / по Риману влечет равенство
fb
lim I /п(ж) dx = lim
П—+00 Ja	n—>oo
где R(f) обозначает римановский интеграл / (при этом мы ис¬
пользуем отмеченное выше совпадение римановского и лебегов-
ского интегралов для кусочно-постоянных функций). Функции р
/
Ja
gn(x)dx = R(f),
(3.7.1)

146
Глава 3. Интеграл Лебега
и 'ф ограничены и измеримы по Лебегу (как поточечные пределы
ступенчатых), поэтому они интегрируемы по Лебегу. Ясно, что
rb	rb	rb	*	рЪ
/ fn{x)d:г < / tp(x)dx ^ I ^{x)dx < I gn(x)dx
Ja	Ja	Ja	Ja
для всех п. Из (3.7.1) вытекает, что интегралы функций (риф
равны R(f), откуда <р(х) =	п.в.,	ибо	(р(х) < ф(х). Поэтому
(р = / = ф п.в., что дает доказываемое утверждение.	□
Существуют несобственно интегрируемые по Риману функ¬
ции, которые не интегрируемы по Лебегу (см. задачу 3.12.24). Од¬
нако существование абсолютного несобственного интеграла Ри-
мана влечет интегрируемость по Лебегу.
3.7.2.	Теорема. Предположим, что функция / интегриру¬
ема на промежутке I (ограниченном или неограниченном) по
Риману в несобственном смысле вместе с функцией |/|. Тогда f
интегрируема на I и по Лебегу, причем ее несобственный рима¬
новский интеграл равен лебеговскому.
Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда промежу¬
ток I = (а, Ъ] ограничен, а / интегрируема по Риману в собствен¬
ном смысле на отрезках [а + е, 6], е > 0. Случай а = —оо ана¬
логичен, а общий случай разбивается на конечное объединение
рассматриваемых. Пусть /п = fl[a+n-',b\' Тогда fn(x) —> f(x)
при х Е (а, Ь]. По предыдущей теореме функции /п измеримы по
Лебегу. Значит, измерима и /. Кроме того, лебеговские интегра¬
лы функций |/п| равны их римановским интегралам, которые по
условию равномерно ограничены. По теореме Фату функция |/|
интегрируема по Лебегу. По теореме Лебега интегралы функций
fn по (а, Ь] стремятся к лебеговскому интегралу /, что дает его
совпадение с несобственным римановским.	□
Обе доказанные теоремы остаются в силе и в многомерном
случае с аналогичными доказательствами. *
Интеграл Лебега в JRn можно определить с помощью некото¬
рых обобщенных сумм римановского типа (см. §5.7 в книге [26],
посвященный интегралам Хенстока-Курцвайля и Макшейна).
Даже абсолютный несобственный римановский интеграл не
имеет свойства полноты из §3.5, т.е. может случиться, что по¬
следовательность интегрируемых по Риману функций (даже сту¬
пенчатых) фундаментальна в среднем, но не имеет предела среди
интегрируемых по Риману функций (см. задачу 3.12.25).

3.8» Неравенства Гёльдера и Минковского
147
3.8.	Неравенства Гёльдера и Минковского
Пусть (Х,Д,/х) — пространство с неотрицательной мерой /х
(конечной или со значениями в [0,+оо]) и р € (0,+оо). Обозна¬
чим через £р(/х) множество всех /х-измеримых функций /, для
которых |/|р — /х-интегрируемая функция. В частности, £2(/х) —
множество всех /х-интегрируемых функций. Как и в §3.1, через
jC°(/x) обозначаем класс всех /х-п.в. конечных /х-измеримых функ¬
ций. Обозначим через 1Р(р>) фактор-пространство £р(/х) по вве¬
денному в £°(/х) отношению эквивалентности. Итак, 1Р(р) есть
множество классов эквивалентных /х-измеримых функций /, для
которых |/|р интегрируема. Эти же обозначения используются
для комплексных функций. В случае меры Лебега на lRn или
на множестве Е С ШР используются символы £p(IRn), Lp(IRn),
СР(Е) и 1Р(Е) без указания меры. Вместо IP {[а, &]) и 1Р([а, +оо))
пишут 1Р[а,Ь\ и 1Р[а,+ оо). Иногда бывает нужно явно указать
пространство X во введенных обозначениях, и тогда используют¬
ся символы £р(Х,/х), 1Р(Х, /х). Часто допускается сознательная
неточность обозначений в выражениях типа «функция / из 2^»,
в которых следовало бы говорить «функция / из Ср» или «класс
эквивалентности функции / в 1Р». Обычно такое смешение не
приводит к недоразумениям, а иногда и способствует сокраще¬
нию формулировок, неявно указывая на то, что какое-либо утвер¬
ждение верно не только для отдельной функции, но и для всех
представителей ее класса.
При 1 ^ р < оо положим
И/Ир := ll/IU-M := (jf If\pdli)'/\ f € С(р).
Эти же обозначения используются для элементов 1Р(р).
Наконец, пусть £°°(/х) — множество всех ограниченных всю¬
ду определенных /х-измеримых функций. При / е £°°(/х) положим
WfWb^U) := 11/11 ОО •= inf sup \f(x)\. Функцию / называют суще-
хЕХ
стпвенно ограниченной, если она /х-п.в. равна ограниченной функ¬
ции. Тогда величина ||/||оо задается, как и выше (она не зависит
от представителя класса эквивалентности функции /). Альтерна¬
тивные обозначения: ess sup |/|, vraisup |/|. Пространство классов
эквивалентности существенно ограниченных функций обознача¬
ется через L°°(/x). Обратим внимание на то, что ||/||оо может быть
строго меньше supxeX \f(x)\- Пространство Ь°°(/л) оказывается

148
Глава 3. Интеграл Лебега
метрическим с метрикой ||/ — д\\ь°°(^)- Легко проверить его пол¬
ноту. Ниже вводится естественная метрика на
При этом нам понадобится следующее неравенство Гёльде¬
ра, которое имеет большое самостоятельное значение: это одно
из наиболее употребительных неравенств теории интеграла.
3.8.1. Теорема. (Неравенство Гёльдера). Предположим,
что 1 < р < оо, q = р{р — I)-1 и / Е Cv(p), g 6 Cq(p). Тогда
f9 € С1{ц) и ||/0||i ^ ||/||р||0||д, т.е.
J \fg\d» < (J \f\p ф) /P (jf \g\4 ф) ,q■	(3.8.1)
Доказательство. Функция fg определена п.в. и измерима.
Нетрудно показать (см. задачу 3.12.32), что для всех неотрица¬
тельных а и Ь справедливо неравенство аЪ ^	^. Тогда
I/Ml |g(»)l < 1I/MI” | 1 laWI8
ll/ll. 11911» ' р ll/ll? я IMIS ■
Правая часть этого неравенства интегрируема, причем ее инте¬
грал равен	1, поэтому левая часть также интегрируема и ее ин¬
теграл не превосходит 1, что равносильно (3.8.1).	□
3.8.2. Следствие. При условиях доказанной теоремы
J^fgdp^ ( jf |/|р ф) /Р ( jf I5I9 ф) /9.	(3.8.2)
В задаче 3.12.33 выясняются условия равенства в неравен¬
стве (3.8.2).
Непосредственным следствием неравенства Гёльдера являет¬
ся следующее неравенство Коши-Буняковского, которое, однако,
можно легко доказать непосредственно (см. гл. 5).
3.8.3. Следствие. Если f,g Е С2{р), то fg Е	и
J^fgdp^ (jf |/|2ф) ' (jf Ы2ф) 7 •	(3-8-3)
3.8.4. Теорема. (Неравенство Минковского) Пусть
р е [1, -|-оо) и f,g € &{ц)- Тогда / + g € Ср{р), причем
(jf I/ + «Г ф)1/Р < ( jf 1/1” ф)1/Р + (Jx ЬГф)1/Р- (3.8.4)

3.8. Неравенства Гёльдера и Минковского
149
Доказательство. Функция f + g определена п.в. и измери¬
ма. При р = 1 неравенство (3.8.4) очевидно. При р > 1 имеем
I/ + 9\р ^ 2Р(1/1Р + Ыр)> поэтому |/ + д\р е Сх{р). Заметим, что
I/ + 9\р < I/ + 0|р-1|/| + I/ + ЯГ'Ы-	(3-8.5)
Поскольку |/ + g|p_1 € £р/(р_1)(д() = Сд(р), то в силу неравенства
Гёльдера
^_1/ + р|р_1|/|Ф < (Jx\f + 9\pdp) /9^|/|рф)1/?.
Оценивая аналогичным образом интеграл от второго слагаемого
в правой части (3.8.5), приходим к оценке
J \1 +я\"Л^ <
Заметив, что 1 - 1/q = 1 /р, получаем ||/ + ff||p < ||/||р + ||д||р.	□
Неравенство Минковского означает, что при 1 ^ р < оо фор¬
мула d(f,g) := ||/ — <?||р на LP{p) задает метрику, ибо
1Ь - Нр =115-/ + /- Чр ^ ||5 - /||Р + II/ - h\\P-
3.8.5. Теорема. Пространство 1Р{р), где 1 < р < оо, полно
относительно метрики d(f,g) = ||/ — р||р.
Доказательство. Применим то же рассуждение, что и при
р = 1, взяв пк так, что ||/„fe+1 - /„J|£ < 2"fc.	□
Аналогично предложению 3.5.4 получаем такой результат.
3.8.6. Предложение. Функция / входит в Ср(р) в точ¬
ности тогда, когда существует последовательность простых
функций fn, которая сходится к / почти всюду и фундамен¬
тальна в LP{p). При этом ||/ — /п||тр(р) —* 0.
3.8.7. Пример. Пространства 1Р\а,Ъ] и 1^(Ж”), р € [1, +оо),
сепарабельны. При этом в них плотны множества бесконечно
дифференцируемых функций с компактными носителями. Эти
утверждения верны и для всякой ограниченной борелевской ме¬
ры р на IRn. Пространства L°°[a,b] и L°°(JRn) несепарабельны.

150
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Простые функции плотны во всех этих
пространствах. Для всякого множества Е конечной меры и вся¬
кого е > 0 можно найти конечное объединение Ее открытых ку¬
бов с рациональными центрами и рациональными ребрами, па¬
раллельными координатным осям, для которого \п(Е Д Ее) < е.
Значит, линейные комбинации с рациональными коэффициента¬
ми индикаторов таких кубов плотны в IP(JRn) при 1 ^ р < оо.
Это же верно для всякой ограниченной борелевской меры на IRn.
Итак, получили счетное всюду плотное множество. Для прибли¬
жения функциями класса Co°(IRn) заметим, что индикатор куба
приближается в IP такими функциями (можно взять функции fj
этого класса с 0 ^ fj < 1, поточечно сходящиеся к индикатору
куба). Несепарабельность L°°[a,b] ясна из того, что при t ф s
расстояние между индикаторами [a, t] и [a, s] в Ь°° равно 1.	□
Из приведенного рассуждения видно, что для сепарабельно¬
сти 1Р(р) при р < оо достаточно, чтобы мера /х была задана
на сг-алгебре Л, порождаемой счетным набором множеств. Надо
иметь в виду, что бывают вероятностные меры /х, для которых
все пространства 1Р(р) несепарабельны (например, произведение
континуума мер Лебега на [0,1]; см. §3.5 в [26] о бесконечных про¬
изведениях мер). Из предыдущего примера следует такой факт.
3.8.8. Лемма. Если интегралы по двум ограниченным боре-
левским мерам /х и v на Нп совпадают на Co°(IRn); то /х = г/.
Неравенство Гёльдера помогает в доказательстве принадлеж¬
ности к IP.
3.8.9. Пример. Пусть /х — конечная неотрицательная мера.
Предположим, что /х-измеримая функция / удовлетворяет следу¬
ющему условию: существуют такие р Е (1,оо) иМ)0, что для
всякой функции (р Е С°°(р) имеем fp Е Ll(p) и
Тогда / € Lq(n), где q = p(p- 1) \ причем ||/||х,*Са») ^ М-
В самом деле, подставляя в этом неравенстве в качестве р
функции (Рп := sgn/l/l9-1/^!^}, получаем

3.9. Теорема Радона-Никодима
151
что дает оценку ||/-f{|/|^n}llL«0i) < м-> иб° 1 - 1/р = 1 fq. По
теореме Фату получаем требуемое. Это же верно для бесконечных
мер, если условие выполнено для всех ср € £°°(/х) П £р(/х).
Хотя функции из пространств Ср(р) можно складывать
и умножать на числа (на множествах полной меры), эти про¬
странства не являются линейными, ибо указанные операции не
ассоциативны: например, если функция / не определена в точ¬
ке ж, то такова и / + (—/), но эта функция должна быть всюду
равна нулю, ибо в линейном пространстве лишь один нулевой эле¬
мент. Конечно, можно взять в Ср(р) подмножество всюду опре¬
деленных конечных функций, которое уже является линейным
пространством, но целесообразнее перейти к пространству LP(p).
Пусть / — функция, интегрируемая относительно меры /х
(возможно, знакопеременной или со значениями в [0, +оо]) на
пространстве (X, Л). Тогда определена функция множества
Из теоремы Лебега вытекает, что и счетно-аддитивна на Л. Дей¬
ствительно, если множества Ап £ Л попарно не пересекаются,
то ряд Y^n= 1 JAn (x)f(x) сходится для каждого х к /д(ж)/(ж), ибо
в нем лишь один из членов может быть отличен от нуля в силу
дизъюнктности Ап. При этом Ц^=1-Гап(ж')/(ж)| < /д(ж)|/(ж)|.
Поэтому этот ряд допускает почленное интегрирование.
Будем обозначать v через / • /х. Функция / обозначается сим¬
волом du/dp и называется плотностью меры v относительно р
(плотностью Радона-Никодима или производной Радона-Нико¬
дима). Мера v абсолютно HenpepbiBHai относительно /х в смысле
следующего определения.
3.9.1.	Определение. Пусть /х и и — счетно-аддитивные
меры на пространстве (X, Л).
(i) Мера v называется абсолютно непрерывной относитель¬
но р, если |И(Л) = 0 для всякого множества А с |/х|(Л) = 0.
Обозначение: v /х.
(ii) Мера и называется сингулярной относительно р, если су¬
ществует такое множество Cl Е А, что выполнены равенства
Н(П) = 0 и |i/|(X\fi) = 0. Обозначение: и _L /х.
3.9.	Теорема Радона-Никодима
(3.9.1)

152
Глава 3. Интеграл Лебега
Определение имеет смысл и для мер со значениями в [0, +оо].
Отметим, что если мера v сингулярна относительно /х, то р
сингулярна относительно и, т.е. р JL г/. Поэтому меры р и и на¬
зывают взаимно сингулярными. Если г/ < /х и /х < г/, то меры /х
и v называются эквивалентными. Обозначение: /х ~ v.
Следующий результат, называемый теоремой Радона-Нико-
дима, является одним из ключевых в теории меры.
3.9.2.	Теорема. (Теорема Радона-Никодима) Пусть /х
и v — конечные меры на пространстве (X, А). Мера v абсолютно
непрерывна относительно меры /х в точности тогда, когда су¬
ществует такая р-интегрируемая функция f, что г/ задается
формулой (3.9.1).
Доказательство. Поскольку /х = Д • |/х| и v — /2- \и\, где
\fi(x)\ = I/2(#)| = т° достаточно доказать теорему для неотри¬
цательных мер /х и и. Пусть 1/</хи
L f dp ^ *Д^) для всех Л е
Положим
М := sup 1/, fd/л: feFj.
Покажем, что в Т есть функция /, на которой достигается этот
супремум. Найдем последовательность функций /п Е Т, интегра¬
лы которых стремятся к М. Пусть gn(#) — max (/Да;),..., fn(x)).
Заметим, что gn Е Т. Действительно, всякое множество А Е А
можно представить в виде А — Ufc=i гДе А^ Е А попарно не
пересекаются и дп(х) = Д(ж) при х Е А^. Тогда
Г	_п_ /*	_п_
I 9ndfi = У] I gndn^y2vi.Ak) = viA)-
•*А	k=1 ^Ak	k=1
Последовательность {<?n} возрастает, а интегралы функций <?П/^
ограничены числом гДХ). По теореме о монотонной сходимости
функция / := lim <jrn интегрируема. Ясно также, что f Е J7
п—>оо
и интеграл / по мере р равен М. Покажем, что / удовлетво¬
ряет (3.9.1). В силу выбора / функция множества
г
г)(А) := i/(A) - f fdn
J А

3.9. Теорема Радона-Никодима
153
является неотрицательной мерой, причем v /х. Нам надо по¬
казать, что г] = 0. Предположим, что это не так. Рассмотрим
знакопеременные меры г) — п_1/х и возьмем для них разложения
Хана X = Х+ U Х~. Пусть Xq := HnLi Тогда из определе¬
ния Х~ имеем tj(Xq) ^ п~1р(Х^) для всех п, откуда t](Xq) = 0.
Поэтому найдется такое п, что г)(Х) > 0, ибо в противном слу¬
чае rf(X) = т](Х~) для всех п и тогда rj(X) = г](Х^) = 0. Для
всякого измеримого множества Е с Х+ имеем п~1р(Е) < г](Е).
Поэтому, положив h(x) := f(x) + п~11х-^(х), для всякого А € А
получим
[ hdp — [ / ф + п_1^П1^)< [ fdp + rj(AnX+) =
JA	Ja	Ja
= Л fdr + v(AnX+)<v(A\X+) + v{AnX+) = v(A).
Ja\X+
Таким образом, h E T вопреки тому, что интеграл h по мере р
больше М, ибо /х(Х+) > 0. Итак, г/ = 0.	□
Ясно, что функция du/dp определена однозначно с точностью
до множества меры нуль, ибо функция с нулевым интегралом по
каждому множеству п.в. равна нулю. В гл. 6 (пример 6.5.4) будет
приведено другое доказательство теоремы Радона-Никодима.
Отметим, что если меры /х и v конечны и неотрицательны,
причем I/ < /х, то г/ ~ /х в точности тогда, когда du/dp > 0 п.в.
относительно /х. Легко проверить, что если даны три меры /xi, /Х2
и /Хз, для которых /XI /Х2 и JX2	то	/XI	С	/хз	и
dm/dn з = (dfj,\/ dfj,2) (dfi2 / duz) ■
Это вытекает из следующего утверждения.
3.9.3.	Предложение. Пусть на измеримом пространстве
(Х,А) заданы две ограниченные меры /х и v, причем v /х.
Пусть g := du/dp. Тогда для всякой и-интегрируемой функции /
функция fg интегрируема относительно /х и
[ fdi/= [ fgdp.	(3.9.2)
Jx Jx
Обратно j если р-измеримая функция / такова, что fg £ Сг(р),
то f 6 С1 {и) и выполнено равенство (3.9.2).

154
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Используя разложение Хана и определе¬
ние интеграла для знакопеременных мер, можно перейти к слу¬
чаю неотрицательных мер. Кроме того, достаточно рассмотреть
неотрицательные функции /. Равенство (3.9.2) верно для про¬
стых функций ввиду определения плотности Радона-Никодима.
С помощью равномерных приближений оно сразу переносится на
ограниченные функции. Наконец, из справедливости этого равен¬
ства для min(/, п) следует его справедливость для / по теореме
Беппо Леви. Это рассуждение дает и обратное утверждение. □
Очевидным образом это предложение остается в силе и для
сг-конечных неотрицательных мер.
3.9.4. Пример, (i) Пусть /л — ограниченная неотрицатель¬
ная мера и мера v задана плотностью / Е С1 (/л) относительно /х.
Тогда мера \v\ задается относительно /х плотностью |/|. Это ясно
из рассмотрения v на множествах {/ < 0} и {/ ^ 0}.
(ii) Пусть /х — знакопеременная ограниченная мера и мера v
задана плотностью / Е С1 (/л) относительно /х. Тогда мера \и\ за¬
дается относительно |/х| плотностью |/|. Это следует из (i), ибо
мера /х задается плотностью £ относительно |/х| с |£| = 1.
Из теоремы Радона-Никодима можно получить следующее
разложение Лебега.
3.9.5. Теорема. Пусть /ли и — конечные меры на а-алгеб¬
ре А. Тогда существуют такие мера /хо на А и /л-интегрируемая
функция f, что v = / • /х + /хо> Mo Т /х.
Доказательство. Рассмотрим меру Л := |/х| + \v\. По те¬
ореме Радона-Никодима получаем /х =	• Л, v = /„ • Л, где
Ли/V € ^(Х). Пусть Y = {х: /м(ж) ф 0}. При х Е Y положим
f(x) = фи(х)/ф^(х). Наконец, положим /ло{А) :=	(Х\У)).
Для ограничений /ху и иу мер /х и v на множество Y очевидным
образом имеем иу = / • /ху. Получено искомое разложение. □
Если /х — конечная или сг-конечная неотрицательная мера на
сг-алгебре А в пространстве X, то всякая конечная измеримая
неотрицательная функция / (не обязательно интегрируемая) за¬
дает сг-конечную меру v f • /х по формуле (3.9.1), ибо X —
объединение множеств конечной меры {х: f{x) ^ п) ПХП, где
/л(Хп) < оо. Ясно, что в такой форме теорема Радона-Никодима
верна и для сг-конечных мер. Для мер /х({0}) = 1» ^({0}) = 00
(или наоборот) она уже теряет силу (с конечными /).

3.10. Произведение пространств с мерами
155
3.10.	Произведение пространств с мерами
Пусть (Xi, Ai,pi) и (Х2,Л2, Р2) — пространства с конечны¬
ми неотрицательными мерами. На множестве Х1ХХ2 рассмотрим
множества А\хА2, где Ai Е Ai, называемые измеримыми прямо¬
угольниками. Положим рь\ХЦ2{А\ХА2) := /хДАО/^Лг)- Распро¬
странив функцию pi х Ц2 по аддитивности на конечные объеди¬
нения попарно непересекающихся измеримых прямоугольников,
получим конечно-аддитивную функцию на алгебре 71, порожден¬
ной такими прямоугольниками. Отметим, что корректность тако¬
го определения р\ хр2 на 7Z (независимость от разбиения множе¬
ства на попарно непересекающиеся измеримые прямоугольники)
очевидна из аддитивности р\ и Ц2- Наконец, через А\ <8>А2 обо¬
значим сг-алгебру, порожденную указанными выше прямоуголь¬
никами и называемую произведением сг-алгебр А\ и Дг-
Следующий результат является довольно типичным примене¬
нием теоремы о монотонных классах.
3.10.1.	Предложение, (i) Пусть (Xi,A\) и	—	из¬
меримые пространства и А\®А2 — а-алгебра, порожденная все¬
ми множествами А\ х А2, где € Дь ^2 ^ Л* Тогда для
всякого множества А Е А\®А2 и всякого х\ Е Х\ множество
АХ1 := {х2 Е Х2: (xi,x2) <Е А}
содержится в А2- Кроме того, для всякой А\ ® А2~измеримой
функции f при каждом х\ Е Х\ функция Х2 f(x 1,3:2) являет¬
ся А2-измеримой.
(ii)	Если на А2 задана конечная мера и, то числовая функция
х\ н-> i*(Axi) является Ai-измеримой.
Доказательство, (i) Если А является произведением мно¬
жеств из А\ и А2, то утверждение верно. Обозначим через £ класс
всех%множеств А Е А\®А2, для которых оно верно. Поскольку
пересечениям, объединениям и дополнениям множеств соответ¬
ствуют такие же операции над их сечениями в точке х\, то класс
£ очевидным образом является сг-алгеброй. Поэтому £ = А\®А2-
Измеримость функции Х2 *-► f{x\,x2) вытекает из доказанного
применительно к множествам {Х2 • f(x 1,^2) < с}.
(и) Функция /а(х 1) = v(AXl) корректно определена согласно
утверждению (i). Обозначим через £ класс множеств А Е Аг<&А2,
для которых она ^Дх-измерима. Этот класс содержит множества
А\ х А2 с Ai Е Ai. Поэтому £ содержит все конечные дизъюнкт¬
ные объединения таких прямоугольников, т.е. порожденную ими

156
Глава 3. Интеграл Лебега
алгебру. Далее, £ — монотонный класс, что следует из теоремы
Лебега и того обстоятельства, что если множества возрастают
к А, то А3Х1 возрастают к АХ1 (и аналогично с убывающими мно¬
жествами). По теореме 2.2.12 класс £ содержит А\®А2 и потому
совпадает с А\ 0И.2-	П
3.10.2.	Следствие. В ситуации утверждения (ii) предло¬
жения выше для всякой ограниченной А\®А2-измеримой функ¬
ции / на Х\ хХ2 определена и А\-измерима функция
»-> / f(xuX2)v(dx2).
JX 2
/х2
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда /
есть индикатор множества А Е Д10*4.2? ибо линейными комбина¬
циями таких индикаторов можно равномерно приблизить всякую
ограниченную Л10*42-измеримую функцию, причем соответству¬
ющие интегралы будут равномерно сходиться. Таким образом,
утверждение является прямым следствием предложения. □
Применим доказанное для построения произведения мер.
3.10.3.	Теорема. Функция р\хр2 счетно-аддитивна на алге¬
бре, порожденной всеми измеримыми прямоугольниками, и од¬
нозначно продолжается до счетно-аддитивной меры 0 р2 ма
лебеговском пополнении указанной алгебры, обозначаемом сим¬
волом Л10Д2.
Доказательство. По доказанному предложению коррект¬
но определена функция множества
Ah-*	fi2{AXl)pi(dx 1),	4	e	4i042-
Jx 1
Она счетно-аддитивна, ибо если А = U^Li Ап, где Ап Е Д10Д2
ДИЗЪЮНКТНЫ, ТО АХ1 = Un==l(^rc)iCi > гДе (Ап)х 1 € А2 дизъюнктны,
откуда //2(An) = Y^=i ^2((Ап)Х1). Это равенство можно инте¬
грировать почленно по мере ибо частичные суммы ряда равны
и не превосходят /^2(^2)- Если А = А\ х Л2, то
получаем pi(Ai)//2(^2)? так как АХ1 = А2 при х\ Е А\ и АХ1 = 0
при х\ & А\.	□
Полученная выше мера /^10/^2 называется произведением мер
и р2- По построению мера /Xi0/X2 полна. Произведения мер
иногда называют продакт-мерами.

3.10. Произведение пространств с мерами
157
Отметим, что лебеговское пополнение сг-алгебры Ai®A2, поро¬
жденной всеми прямоугольниками Л1ХЛ2, где А\ е Аи М. € А2,
как правило, шире самой этой сг-алгебры. Например, если в каче¬
стве А\ = А2 мы возьмем борелевскую сг-алгебру отрезка [0,1],
а в качестве /л\ = /12 возьмем меру Лебега, то А\®А2 совпадет
с борелевской сг-алгеброй квадрата (всякое открытое в квадра¬
те множество является счетным объединением открытых квадра¬
тов). При этом, конечно, существуют измеримые неборелевские
множества в квадрате. Не исправит положение и замена борелев-
ских сг-алгебр отрезка на сг-алгебры измеримых по Лебегу мно¬
жеств. В этом случае, как видно из предложения 3.10.1, в А\®А2
не будет входить неизмеримое подмножество отрезка, рассмат¬
риваемое как подмножество квадрата (оно очевидным образом
имеет меру нуль в квадрате и входит в пополнение А\®А2)• Ра¬
зумеется, меру /ii<8>/X2 можно рассматривать и на не обязательно
полной сг-алгебре А\®А2.
С помощью разложения Жордана-Хана естественно опреде¬
ляется произведение знакопеременных мер (впрочем, это можно
сделать непосредственно). Пусть /х = /х+ — /х“, v =	—	i/_,
X = Х+ UX", Y = У+ U Y~ — разложения Жордана-Хана двух
мер /х и v на пространствах X и Y соответственно. Положим
H<&v := /х+ ® v+ + уГ ® v~ — /х+®^“ — /x“®z/+. Ясно, что меры
/х+®1/+ + /х-®*/" и /x+®i/" + /x-(g>i/+ взаимно сингулярны, ибо пер¬
вая сосредоточена на множестве (X+xY+) U (Х“хУ“), а вторая
сосредоточена на множестве (Х+ xY~) U (Х~ хУ+).
По индукции определяется произведение конечного числа мер
(хп на пространствах (.Хп, Дп), п = 1,..., N. При этом такое про¬
изведение ассоциативно, т.е. справедливо равенство
А*1<8>(М2®Мз) = (М1®/Х2)®МЗ*
Можно определить и произведение сг-конечных неотрицательных
мер /х и v на сг-алгебрах А и В. Пусть X является объедине¬
нием возрастающей последовательности множеств Хп конечной
/х-меры, a Y является объединением возрастающей последова¬
тельности множеств Yn конечной г/-меры. Формула
p®v{E)= lim ^|лгп®ИуД-ЕП(ХпхУп))
71—►ОО
задает ст-конечную меру на А® В.
Можно было бы сразу свести дело к конечным мерам, выбрав
такие конечные меры /хо и i/q, что /х =	• /хо, у = Qu * Ц)? где £/х

158
Глава 3. Интеграл Лебега
и Qu — положительные измеримые функции. Тогда можно поло¬
жить p®v := (QfxQu) • ро®Щ- Нетрудно проверить, что это дает ту
же меру, что и выше.
Отметим, что можно определить произведение произвольного
числа вероятностных мер (см. [26, гл. 3]).
3.10.4.	Предложение. Пусть (X, А) и (Y,B) — измеримые
пространства и /: X —► Ж1, д: Y —► Ж1 — измеримые функции.
Тогда отображение	XxY	—> Ж2 измеримо относительно
А®В и В{Ж2). В частности, график функции f и множества
{(ж,у): у < /(ж)} и {(ж,у): у ^ /(ж)} входят в .Дф^Ш.1).
Доказательство. Для каждого открытого прямоугольника
П = /х J в Ж2 множество {(х,у): (f(x),g(y)) £ П} есть про¬
изведение элементов А и В и входит в А®В. Класс множеств
Е € В(Ж2), прообразы которых относительно отображения (/,у)
входят в А®В, является а-алгеброй. Так как этот класс содержит
прямоугольники указанного вида, то он содержит и порожденную
ими сг-алгебру, т.е. В(Ж2). В случае, когда (Y,B) = (Ж1,В(Ж1))
и д(у) = у, получаем измеримость отображения {х, у) (/(#), у)
из ХхЖ1 в Ж2, что дает принадлежность к Дф/^Ж1) прообразов
борелевских множеств. Например, график / есть прообраз пря¬
мой у = х, а два других указанных в формулировке множества
являются прообразами полуплоскостей.	□
К этой теме примыкают также задачи 3.12.37 и 3.12.38.
3.11.	Теорема Фубини
Предположим, что р и v — конечные неотрицательное ме¬
ры на пространствах (X, А) и (У, В) соответственно. Для всякого
множества А С XxY определены сечения
Ах = {у: (х,у)€А}, Ау = {ж: (х,у) е А}.
3.11.1.	Теорема. Пусть множество А с X xY измери¬
мо относительно меры p®v, т.е. входит в {А®В)^и. Тогда
для р-п.в. х множество Ах v-измеримо, а функция х »—> v(Ax)
p-из мерима, для v-п.в. у множество Ау р-измеримо, а функция
у и-* р(Ау) v-измерима, причем справедливо равенство
p®v{A) = J^i/(AX) y,(dx) = J n(Ay)v(dy).	(3.11.1)

3.11. Теорема Фубини
159
Доказательство. Из доказательства теоремы 3.10.3 видно,
что мера д®1/ на А<2>13 совпадает с мерами
Ci(А) := f i/(Ax)ti(dx), Сг(А) := [ n(Ay)u(dy).
Jx	Jy
Поэтому доказываемое утверждение верно для А е А®В. Оно
верно и для всякого множества Е, имеющего /х®г/-меру нуль.
В самом деле, найдется множество Е 6 Л® В, которое содержит
Е и имеет меру нуль относительно /х®1/. Тогда Ех С Ех, причем
v{Ex) = 0 для /х-п.в. х в силу уже установленного равенства
[ i/(Ex) fi(dx) = 0.
Jx
Аналогичным образом /л(Еу) = р(Еу) = 0 для v-п.в. у. Наконец,
всякое /х®v-измеримое А имеет вид А = В U Е, где В е Л®В,
ВпЕ = 0и p®v(E) = 0. Значит, теорема верна и для А. □
3.11.2. Следствие. Предыдущая теорема верна в случае, ко¬
гда /х и v — a-конечные меры, если множество А имеет конеч¬
ную меру.
Доказательство. Запишем X п Y в виде X =
Y = UnLi^ni гДе Хп и Yn — возрастающие множества конеч¬
ной меры, а затем воспользуемся доказанным выше для Хп х Yn
и теоремой Беппо Леви.	□
3.11.3. Следствие. Пусть Y = IR1, А — мера Лебега на Ш,1,
/ ^ 0 — интегрируемая функция на пространстве (Х,А,р)
с a-конечной мерой /х. Тогда
J f dfi =	0	у	</(ж)}).	(3.11.2)
Доказательство. Множество А = {{х,у): 0 < у < f(x)}
измеримо относительно /х®А в силу предложения 3.10.4. Остается
заметить, что А(АЖ) = f(x).	□
Отметим, что с помощью равенства (3.11.2) можно было бы
определять интеграл от неотрицательной функции (у Лебега это
было «геометрическим определением»). Установленные факты
приводят к следующему общему результату.

160
Глава 3. Интеграл Лебега
3.11.4.	Теорема. (Теорема Фубини) Пусть р и v —
a-конечные неотрицательные меры и функция / интегрируема
относительно р®и. Тогда для р-п.в. х функция у ► f(x,y) ин¬
тегрируема относительно и, для v-n.e. у функция х f(x,y)
интегрируема относительно р, функции хи I f(x,y) v(dy)
Jy
и У I f(x>y) №(Ах) интегрируемы на соответствующих
Jx
пространствах, причем
[ fd(ji®v)= [ I f(x,y)n(dx)v{dy) =
Jxxy	Jy	Jx
-11 f{x,y)v(dy)n{dx).	(3.11.3)
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать теорему
в случае неотрицательных функций /. Рассмотрим пространство
XxYхЕ1 и меру /х<8>г/<8>А, где А — мера Лебега. Положим
Л={(х,у,г): 0
Тогда в силу следствия 3.11.3 получаем
L
/ d(n($v) =
f XxY	*
Применяя теорему 3.11.1 и еще раз используя следствие 3.11.3,
приходим к равенству
= J А(Де) y,(dx) =	f(x,y)u(dy)j n{dx).
При этом получаем и интегрируемость всех входящих в эти соот¬
ношения функций (их измеримость ясна из теоремы 3.11.1 и ра¬
венства f(x,y) = А(Л(Ж2/))). Второе равенство в (3.11.3) доказы¬
вается аналогично.	□
В задаче 3.12.39 предлагается построить примеры, показы¬
вающие, что существование и равенство повторных интегралов
в (3.11.3) не гарантирует p®v-интегрируемость измеримой функ¬
ции /. Кроме того, может случиться так, что оба повторных ин¬
теграла существуют, но не равны. Наконец, существуют и такие
измеримые функции /, что один из повторных интегралов суще¬
ствует, а второй не существует. Имеется, однако, один важный

3.11. Теорема Фубини
161
частный случай, когда существование повторного интеграла вле¬
чет интегрируемость функции на произведении.
3.11.5. Теорема. (Теорема Тонелли) Пусть f — неотри¬
цательная р ® г/-измеримая функция на X xY, где р и v —
а-конечные меры. Тогда f Е Ьх(р®и), если
/(ж, у) p{dx) v(dy) < оо.
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение
для конечных мер. Положим /п = min(/,rc). Тогда функции /п
ограничены и измеримы относительно p(&v, а потому интегриру¬
емы. Ясно, что /п —> / в каждой точке. Остается заметить, что
по теореме Фубини, применяемой к /п, справедлива оценка
Ш. fn dpj dv <	/	dpj dv,
ибо /п{%чУ) ^ f(x>y)' По теореме Фату / интегрируема.	□
Отметим, что из существования повторных интегралов функ¬
ции / на XxY не следует ее измеримость (задача 3.12.41).
Легко видеть, что теорема Фубини переносится на знакопере¬
менные меры, а теорема Тонелли нет.
Приведем еще одно полезное следствие теоремы Фубини.
3.11.6. Следствие. Пусть функция f на XxY измерима
относительно p®v, где обе меры a-конечны. Предположим, что
для р-п.в. х функция у /(ж, у) интегрируема относительно и.
Тогда функция
Ф: Ж1J f(x,y)v(dy)
измерима относительно р.
Доказательство. Допустим сначала, что меры р и v огра¬
ничены. Пусть fn(x,y) = /(ж,у) при \f{x,y)\ < п, fn(x,y) = п
при /(ж, у) ^ п, /„(ж, у) = -п при /(ж, у) < -п. Тогда функции
fn измеримы относительно p®v и ограничены, а потому интегри¬
руемы. По теореме Фубини функции
Ф»(*) = J fn(x,y) v(dy)
//-измеримы. Поскольку /п —► f поточечно и |/п| < |/|, то по
теореме Лебега получаем, что Фп(ж) —► Ф(ж) для всех тех ж, для

162
Глава 3. Интеграл Лебега
которых функция у и-* | f(x, у) | интегрируема относительно и, т.е.
для /х-п.в. х. Следовательно, Ф — /х-измеримая функция. В общем
случае найдем такую возрастающую последовательность измери¬
мых множеств XnxYn С 1x7 конечной /х®г/-меры, что мера
/х<8>г/ сосредоточена на их объединении. Затем воспользуемся до¬
казанным для функций Фп(#) = I f(x,y)i/(dy) и заметим, что
Jrn
Фп(#) —► Ф(#) для /х-п.в. х в силу теоремы Лебега о мажориро¬
ванной сходимости.	□
В качестве применения теоремы Фубини выведем полезное
тождество, выражающее интеграл Лебега по абстрактному про¬
странству через интеграл Римана по полуоси и в случае р = 1
уже объявленное в теореме 3.6.3.
3.11.7.	Теорема. Пусть / — измеримая функция на изме¬
римом пространстве (X, Л) с мерой /х со значениями в [0, +оо].
Пусть 1 ^ р < оо. Функция |/|р интегрируема по мере /х в точ¬
ности тогда, когда функция t н-* £р_1/х(ж: \f(x)\ > t) интегри¬
руема на [0, +оо) по мере Лебега. При этом '
[ \f\pdp = p f tp-V(:r: |/(ж)| >t)dt.	(3.11.4)
Jx	Jo
Доказательство. Пусть р = 1. Предположим, что функ¬
ция / интегрируема. Тогда утверждение сводится к случаю сг-ко-
нечной меры, ибо такова мера /х на множестве {/ ф 0}. Далее
с помощью теоремы о монотонной сходимости можно ограничить¬
ся случаем конечной меры. Обозначим через Л меру Лебега на
[0,+оо) и положим S == {(х,у) £ Хх[0,+оо): у < |/(ж)|}. Ин¬
теграл |/| совпадает с мерой множества S относительно /х<8)А,
как уже было показано (следствие 3.11.3). Вычислим эту меру по
теореме Фубини. При фиксированном t имеем
54 = {ж: (x,t) € S} = {ж: t < |/(ж)|}.
Поскольку интеграл от /х(5*) по переменной t по [0,+оо) дает
интеграл от |/|, то приходим к (3.11.4) с (х: \f(x)\ ^ t) вме¬
сто (х\ \f(x)\ > t). Однако при почти всех t эти два множе¬
ства имеют равные /х-меры, поскольку множество таких £, что
р(х: \f(x)\ = t) > 0, не более чем счетно. Действительно, ес¬
ли бы оно было несчетно, то для некоторого k £ IN имелось бы

3.11. Теорема Фубини
163
бесконечное множество точек t с /л(х: \f(x)\ = t) > к~г, что про¬
тиворечит интегрируемости /. Обратно, если интеграл в правой
части (3.11.4) конечен, то множества (х: \f(x)\ > t) имеют конеч¬
ные меры при всех t > 0. Поэтому для каждого натурального п
функция /п, равная |/| при п-1 ^ |/| ^ п и 0 в противном случае,
интегрируема. Поскольку р{х: \fn(x)\ > t) < р(х: \f(x)\ > t), то
в силу уже доказанного функции /п имеют равномерно ограни¬
ченные интегралы. По теореме Фату функция / интегрируема.
Случай р > 1 сводится к случаю р = 1 заменой переменного t = sp
ввиду равенства (ж: |/(ж)|р > t) = (х: |/(ж)| > tl!p). Здесь до-
статочно формулы замены переменных в интеграле Римана, но
можно применить и обсуждаемую ниже формулу замены пере¬
менных (4.4.3) для интеграла Лебега.	□
Важное применение теоремы Фубини — построение свертки.
3.11.8. Лемма. Пусть функция f на Ж71 измерима по Ле¬
бегу. Тогда функция (я, у) »—> f{x — у) измерима по Лебегу на
пространстве Ш2п.
Доказательство. Заметим, что f(x — у) = fo(F(x,y)), где
/о(я, у) — f(x) — измеримая по Лебегу функция на Ж2п не¬
обратимое линейное преобразование (х,у) н-> (х—у,у). Прообразы
измеримых множеств при F измеримы (теорема 2.5.8).	□
3.11.9. Теорема, (i) Пусть /, # 6 /^(М71). Тогда функция
/ * g(x) = [ f(x- y)g(y) dy,	(3.11.5)
JlRn
называемая сверткой fug, определена для почти всех х и ин¬
тегрируема,, причем
II/ * sIIl1 (IFtn) < ||/IUi(IR-)I|5||li(IR-)-	(3.11.6)
Кроме того, f * g = g * f почти всюду.
(ii)	Пусть f e £°°(IEtn), g e £x(IRn). Тогда функция
f * g(x) = / f{x - y)g(y) dy
JlRn
определена для всех x и равномерно непрерывна, причем
II/ * S||l/00(IFtn) < II/IIХ/°°(IFtn) llslli/1(iFtn) •	(3.11.7)
Кроме того, / * д{х) = д * /(ж).

164
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство, (i) Как мы знаем, функция
ф: (х,у)	\f(x-y)g{y)\
измерима на Ж2п. Поскольку
/	/	\f(x-y)\\g(y)\dxdy	=	f ([	\f(z)\dz)\g(y)\dy<oo,
JIRn JJRn	Rn \J\Rn	/
то в силу теоремы 3.11.5 функция ф интегрируема на IR2n и
По теореме Фубини функция р: х н-* J ф(х, у) dy определена для
почти всех х и интегрируема, а потому интегрируема и функция
/ * <7, ибо |/ * д(х) | < р{х), а измеримость / * д вытекает из лем¬
мы 3.11.8 и утверждения об измеримости в теореме Фубини. Для
тех ж, для которых функция f(x*^ у)д(у) интегрируема по у, за¬
меной переменной z = х — у (см. замечание 3.3.11) убеждаемся
в равенстве f * д(х) = д * /(#).
(И) Оценка (3.11.7) очевидна. Равенство f*g(x) = у*/(ж) дока¬
зывается так же, как и в (i). Если функция д непрерывна и равна
нулю вне некоторого куба, то у*/ очевидным образом равномерно
непрерывна. В общем случае мы возьмем непрерывные функции
gj с ограниченными носителями так, что \\д — <?j||i/1(]Rn) —► 0 при
j —> оо (пример 3.8.7). Оценка (3.11.7) дает равномерную сходи¬
мость gj * / к д * /, откуда следует доказываемое.	□
3.11.10.	Следствие. Пусть д 6 £1(И71). Если функция f
из £°°(IRn) имеет ограниченные производные до порядка к, то
такова же и функция f * д, причем
дхч ■ ■ ■ dXim (f*g) = (dXii ... dXim f)*g для всех m О
и эти производные равномерно непрерывны.
Доказательство. Равенство dXi(f * g) = dXif * g следует
из теоремы о дифференцировании интеграла Лебега по парамет¬
ру (см. следствие 3.4.6). По индукции наше утверждение распро¬
страняется на производные высших порядков, а их равномерная
непрерывность следует из доказанной выше теоремы.	□
Свертку можно определить и для функций из Lp(lRn). Мы
рассмотрим два важных частных случая, а общий результат от¬
несем в задачу 3.12.42.

3.11. Теорема Фубини
165
3.11.11.	Предложение, (i) Пусть / € £P(IR"), д е £9(НП),
где p-1+g_1 = 1. Тогда функция f*g, заданная формулой (3.11.5),
равномерно непрерывна и ограничена, причем
II/*5lU°°(lRn) < ll/||£P(]Rn)IMI.L9(]Rn)-	(3.11.8)
(ii)	Пусть / € £p(IRn), g € £1(IRn). Тогда свертка f*g опре¬
делена почти всюду, причем
II/*flllLP(lRn) < ||/l|l/P(]Rn) llfllll,1 (lRn) •	(3.11.9)
Доказательство, (i) При каждом фиксированном х функ¬
ция у I—> / (х — у) входит в £Р(Ш,П). Ввиду неравенства Гёльдера
/ f(x - y)g(y) dy
\Jnn
< 11/(ж_ •)11ьр(Ип)1|0|1ы(1Еп) =
= 11/11ьр(Нп) ||9||ь9(Ип))
интеграл в (3.11.5) существует при всех х и задает ограниченную
функцию. Для / € Co°(lRn) равномерная непрерывность /*<? оче¬
видна. В общем случае при р < оо возьмем непрерывные функции
fj с ограниченными носителями, сходящиеся к / в 1^(НП) (при¬
мер 3.8.7). Ввиду полученной оценки функции fj * g равномерно
сходятся к / * д. Случай р = оо, q = 1 уже был рассмотрен.
(ii)	Неравенство Гёльдера применительно к мере \g\dy дает
оценку
I [ /(* - y)y(y)dy\ € / |/(ж - у)\р\д(у)\dy IIpII^jru).
J ]Rn	I	J	IRn
/]Rn	|	JJRn
Интегрируя пожи используя оценку (3.11.6) с |/|р и \д\ вместо /
и р, находим
II/ * А < Mi'll 1/1" * М IL. < M#'II/IILMl4r"),
что ввиду равенства 1 -I- р/д = р дает нужную оценку.	□
С помощью свертки строят гладкие приближения функций.
3.11.12.	Следствие. Пусть / € £p(lRn). Пусть функция д
из класса Со°(Ш,п) имеет интеграл 1 по пространству. Поло¬
жим де{х) := £~пд(х/е) при е > 0. Тогда f * gs Е С£°(Ш.п), при¬
чем / * д£ —* / в L^nt”) при е —► 0, если р < оо.

166
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Остается проверить сходимость в IP. Для
/ € Co(lRn) функции f*Qe имеют равномерно ограниченные носи¬
тели и сходятся к / равномерно, что дает и сходимость в IP. В об¬
щем случае для фиксированного 8 > 0 выберем <р е СЬ(НП) так,
что II/—v?||lp < 8. Затем найдем такое ец > 0, что \\<р*ве~<£>||i,p < 8
при е < £о- Для таких е имеем
II/ *ве~ f\\bP <|| f*Qe~<P* ве\\ьр + \\<Р * ве ~ <р\\ы + \\ф ~ f\\bP
< \W - ЛЫЫк1 + 28 < 38,
иб° НЫЬ1 = !•	□
К рассмотрению сверток мы вернемся в гл. 9, где речь пойдет
о свертках с обобщенными функциями.
3.12.	Дополнения и задачи
(i)	Критерий интегрируемости по Биману (166). (ii) Образ меры
при отображении (167). (iii) Равномерная интегрируемость (169).
(iv) Лифтинги (173). Задачи (174).
3.12(i). Критерий интегрируемости по Риману
Для удобства читателя докажем лебеговский критерий интегриру¬
емости по Риману, обычно включаемый в качестве дополнительного
материала в курсы математического анализа.
3.12.1.	Теорема. Функция f на отрезке [а, Ь] интегрируема по
Риману в точности тогда, когда она ограничена и множество всех
точек ее разрыва имеет меру нуль.
Доказательство. Непрерывность функций / в точке х равно¬
сильна тому, что в этой точке равно нулю колебание функции /, опре¬
деляемое формулой
о//(х) := lim sup{|/(x') — f{xn)\: \х — х'\ < 5, \х — х"\ < £}.
Заметим, что для произвольной функции / при всяком е > 0 мно¬
жество W€ := {х : u>f(x) > е} замкнуто. Поэтому множество Df всех
точек разрыва /, совпадающее с множеством {и/ > 0}, всегда боре-
левское. Пусть функция / интегрируема по Риману. Тогда она огра¬
ничена. Предположим, что множество Df имеет положительную меру.
Тогда при некотором S > 0 имеет положительную меру а замкнутое
множество А := {х: ш/(х) ^ 6}. Если отрезок [а, Ь] разбит на конеч¬
ное число промежутков Ij равной длины, то суммарная длина тех из
них, внутри которых есть точки из А, не меньше а. Пусть
все такие промежутки. Тогда внутри каждого hu есть такие точки хк

3.12. Дополнения и задачи
167
и ж£, что | f(x'k) - f{xk)| > 8/2, т.е. либо /(ж') - /(ж") > 5/2» либ°
/(xfe) “ f(xk) ^ V2* Можно считать, что по крайней мере для полови¬
ны промежутков Ijk выполнено первое неравенство. Во всех остальных
промежутках Ij возьмем середины Xj. Тогда римановские суммы, ис¬
пользующие ж*., отличаются от сумм, использующих хк, не менее, чем
на а8/4, что противоречит интегрируемости по Риману.
Обратно, пусть supa.G[a щ |/(ж)| < М и Df имеет меру нуль. Пусть
е > 0. Тогда компакт Ке := {ж: со/(х) ^ е} нулевой меры можно по¬
крыть конечным числом интервалов суммарной длины менее е. Пусть
даны точки а = to < ti < • • • < tn = 6, среди которых концы всех ин¬
тервалов нашего покрытия. Измельчив разбиение, можно считать, что
| /(ж') — /(ж")| < е при ж', ж" € [£«,£*+1] для всякого отрезка разбиения,
не пересекающего никаких интервалов покрытия. Поэтому модуль раз¬
ности двух римановских сумм для данного разбиения не превосходит
е{Ь — а) + 2Се. Ввиду произвольности е функция / интегрируема по
Риману.	□
3.12(H). Образ меры при отображении
Пусть даны пространства X и Y с сг-алгебрами Ли В и некоторое
(Л, В)-измеримое отображение /: X —> Y. Тогда для всякой ограни¬
ченной (или ограниченной снизу) меры р на Л формула
цо/-1(В) := Iи(/_1(В)), где В € В,
задает меру pof~x на В, называемую образом меры р при отображе¬
нии /. Счетная аддитивность /io/_1 вытекает из счетной аддитивно¬
сти р. Имеет место следующая общая формула замены переменных.
3.12.2.	Теорема. Пусть р — ограниченная неотрицательная ме¬
ра. Измеримая относительно В функция д на Y интегрируема отно¬
сительно меры pof~l в точности тогда, когда функция gof интег¬
рируема относительно р. При этом
f 9(y)f^°f~1(dy) = f g(f(x)) n(dx).	(3.12.1)
Jy	Jx
Доказательство. Для индикаторов множеств из сг-алгебры В до¬
казываемая формула (3.12.1) есть определение образа меры, поэтому
по линейности она распространяется на простые функции. С простых
функций эта формула распространяется на ограниченные В-измери-
мые, поскольку такие функции являются равномерными пределами
простых. Если g — неотрицательная В-измеримая функция, которая
интегрируема относительно /ао/-1, то для функций gn — min(^, п) ра¬
венство (3.12.1) уже доказано. Из теоремы Беппо Леви вытекает его

168
Глава 3. Интеграл Лебега
справедливость для д, ибо интегралы функций gn°f по мере ц равно¬
мерно ограничены. Из приведенных рассуждений вытекает и необходи¬
мость //-интегрируемости go f для интегрируемости д ^ 0 относительно
//о/-1. В силу линейности (3.12.1) по д получаем общий случай. □
Ясно, что равенство (3.12.1) остается в силе для всякой функции д,
которая измерима относительно лебеговского пополнения меры //о/-1
и //о/-1-интегрируема. Это вытекает из того, что всякая такая функция
эквивалентна ^-измеримой функции. Условие ^-измеримости функции
д можно заменить измеримостью относительно сг-алгебры
Af = {EcY: Гг(Е)еА},
если на ней задать меру fiof~l той же формулой, что и на В. Однако
следует иметь в виду, что сг-алгебра, А^ может быть строго больше
лебеговского пополнения В относительно //о/-1 (см. [26, §7.5]).
В случае знакопеременной меры // равенство (3.12.1) остается в си¬
ле, если функция д of интегрируема относительно \х (это ясно из разло¬
жения Жордана для //). Однако интегрируемость д относительно меры
//о/-1 уже не влечет интегрируемость gof (например, мера fjpf~l может
оказаться нулевой для ненулевой меры ц).
Если на X задана В-измеримая числовая функция то по форму¬
ле (3.12.1) интеграл от фof представляется в виде интеграла от ф по
мере //о/-1 на прямой. Например,
/ If(x)\pfi(dx) = f \t\pfj,of-\dt).
Jx	JlR
Введем функцию распределения функции /:
Фf(t) := fi{x:	f(x) <	t),	t G	IR1.	(3.12.2)
Ясно, что Ф/(t) = //o/_1((—oo,t)),	т.е.	Ф/	совпадает с функцией	рас¬
пределения F^f-i меры //о/-1. В том случае, когда // — вероятностная
мера, функция Ф/ является неубывающей, непрерывна слева, имеет
пределы справа в каждой точке, причем
lim Ф/(£) = 0, lim Ф/(£) = 1.
t—►—оо J 4 '	t—кх> J 4
Вспоминая определение интеграла Лебега-Стилтьеса по возрастающей
функции (см. формулу (3.3.3)), можно записать
/	f*(dx)	=	f	${t)d&f(t).	(3.12.3)
Jx	J	IR
Поясним связь рассмотренной общей формулы замены переменных
с формулой замены переменных в интеграле, известной из курса ана¬
лиза. Пусть Q — открытое множество в lRn и отображение /: J7 —> IRn
непрерывно дифференцируемо и инъективно. Тогда множество f{U)

3.12, Дополнения и задачи
169
измеримо (оно является счетным объединением компактов), причем
для всякой интегрируемой по Лебегу функции ip на f(U) справедливо
равенство
/ <p{f(x))\detf(x)\dx= f ip(y)dy.	(3.12.4)
Ju	Jf(U)
В частности, функция <p(f{x)) |det ff(x)\ интегрируема на U\ при <p = 1
получим, что объем f{U) есть интеграл от |det/'| по U. Для обоснова¬
ния достаточно рассмотреть случай, когда множества U и f(U) огра¬
ничены (тогда общий случай следует из этого с помощью разложения
ср в разность неотрицательных функций и представления U в виде объ¬
единения возрастающих областей с компактными замыканиями в U).
С точки зрения общей формулы замены переменных равенство (3.12.4)
означает, что отображение / переводит меру /х, заданную плотностью
|det/'| относительно меры Лебега на U, в меру Лебега Ап на f(U).
Для совпадения мер /хо/-1 и Ап на f(U) достаточно иметь совпадение
интегралов по этим мерам от всякой гладкой функции с компактным
носителем в f{U) (задача 3.12.43). Но это и есть факт, известный из
курса анализа.
3.12(iii). Равномерная интегрируемость
Здесь мы обсудим свойство равномерной интегрируемости, тесно
связанное со свойством абсолютной непрерывности и предельным пе¬
реходом под знаком интеграла.
Пусть (X, A, fi) — измеримое пространство с конечной неотрица¬
тельной мерой /х.
3.12.3. Определение. Множество функций Т С С1(р) {или мно¬
жество Т С Ьг(/л)) называется равномерно интегрируемым, если
lim sup f |/|d/x = 0.	(3.12.5)
С-+оо/е£У{|/)>с}1-М ^
Множество, состоящее лишь из одной интегрируемой функции, рав¬
номерно интегрируемо в силу абсолютной непрерывности интеграла
Лебега. Поэтому для всякой интегрируемой функции /о множество всех
измеримых функций / с |/| < |/о| является равномерно интегрируе¬
мым.
3.12.4. Определение. Множество функций Т С С1 {у) {или мно¬
жество Т С L1{у)) имеет равномерно абсолютно непрерывные инте¬
гралы, если для всякого £ > 0 существует такое 8 > 0, что
J |/| dy < е для всех / £ Т, если у{А) < 8.

170
Глава 3, Интеграл Лебега
3.12.5. Предложение. Множество Т С Сг(р) равномерно ин¬
тегрируемо в точности тогда, когда оно ограничено в L1 (р) и имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. В случае меры Лебега
на множестве X С Жп конечной меры равномерная интегрируемость
равносильна равномерной абсолютной непрерывности интегралов.
Доказательство. Предположим, что Т равномерно интегрируе¬
мо. Пусть е > 0. Найдем такое С :> 0, что
/	|/|d/i <| V/е jr.
Положим 5 = е(2С)-1. Пусть ^(Л) < 5. Тогда для всех / е Т имеем
/|/|^=/	1/1Ф+/	\f\dn<^	+ ^=e.
Ja	JAn{\f\^c}	JAn{\f\>c}	^	1
Кроме того,
/ |/| dp < C/i(X) + f |/| d/* < C/i(X) + §.
Предположим теперь, что множество Т ограничено в L1(//) и имеет
равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Пусть е > 0. Возьмем
S из определения равномерной абсолютной непрерывности интегралов
и заметим, что по неравенству Чебышёва существует такое С\ > 0, что
/х({|/| > С}) < C-'WfU^ < 5 при всех / е Т и С > С\. Наконец,
в случае меры Лебега на множестве X С Жп конечной меры равно¬
мерная абсолютная непрерывность интегралов влечет ограниченность
в Ьг(р), ибо для е = 1 множество X можно разбить на конечное число
множеств (скажем, N(6)) с мерой меньше соответствующего £, что дает
H/lUv) ^ N(s) 'д«ля всех / €	D
Как видно из доказательства, последнее утверждение остается в си¬
ле для всякой меры без атомов (см. задачу 2.7.51). Если р является
вероятностной мерой в точке 0, то равномерная абсолютная непре¬
рывность интегралов не влечет ограниченность в Ll{p), ибо значения
функций из Т в точке 0 могут быть сколь угодно велики.
Следующий важный результат — теорема Лебега-Витали — очень
часто применяется в теории интеграла и ее приложениях.
3.12.6. Теорема. Пусть / — р-измеримая функция и {fn} — по¬
следовательность р-интегрируемых функций. Тогда следующие ут¬
верждения равносильны:
(i) последовательность {fn} сходится к f по мере и равномерно
интегрируема;
(ii) функция / интегрируема и последовательность {fn} сходится
к / в Ьг(р).

3.12. Дополнения и задачи
171
Доказательство. Пусть выполнено условие (i). Тогда множество
{fn} ограничено в Ьг(р). В силу теоремы Фату, примененной к функ¬
циям |/п|, функция / интегрируема. Для доказательства сходимости
{fn} к / в Ll{p) достаточно показать, что всякая подпоследователь¬
ность {дп} в {/п} содержит подпоследовательность {дПк}, сходящуюся
к / в Ll{p). В качестве {<fofc} возьмем подпоследовательность {<?п},
сходящуюся к / почти всюду, что возможно по теореме Рисса. Пусть
е > 0. В силу предложения 3.12.5 существует такое 8 > 0, что
для всякого п и всякого множества А с р(А) < 8. Применяя теорему
Фату, получаем, что
По теореме Егорова существует такое множество А с р(А) < 5, что
сходимость {дПк} к / на Х\А равномерна. Пусть N таково, что при
N выполнено неравенство sup^\A \дПк — /| < е. Тогда
откуда вытекает сходимость {дПк} к / в пространстве L
Если выполнено условие (ii), то последовательность {/п} ограниче¬
на в Ll{g) и сходится по мере к /. Ввиду предложения 3.12.5 остается
заметить, что последовательность {/п} имеет равномерно абсолютно
непрерывные интегралы. Это вытекает из оценки
Докажем теперь следующий полезный критерий равномерной инте¬
грируемости, принадлежащий Ш.-Ж. де ла Валле-Пуссену. Даже при¬
менительно к семейству, состоящему из одной функции, он дает полез¬
ное заключение об «улучшении интегрируемости».
3.12.7.	Теорема. Пусть fi — конечная неотрицательная мера.
Семейство Т р-интегрируемых функций равномерно интегрируемо
тогда и только тогда, когда существует такая неотрицательная
возрастающая функция G на [0, +оо), что
При этом функцию G можно взять выпуклой и возрастающей.
/ \9пк — /|dp < ер(Х) + / \gnk\dp+ [ \f\dp < е{2 + р(Х)),
JX	J	A	J	А
J A	J A	J	А
и абсолютной непрерывности интеграла Лебега.
/ \fn\dfi< [ \ fn — f\d(i+ [ |/|dfi
□
(3.12.6)

172
Глава 3. Интеграл Лебега
Доказательство. Пусть выполнено условие (3.12.6) и число М
мажорирует интегралы функций G о |/|, / е Т. Для заданного е > О
найдем такое С, что G(t)/t > М/е при t ^ С. Тогда для всех / £ Т
имеем |/(х)| < eG{\f(pc)\)/М при |/(х)| > С. Следовательно,
/	1^1dfi ^ Тг f Go l-fl dfi ^ irM = e-
Итак, T равномерно интегрируемо. Докажем обратную импликацию.
Функцию G будем искать в виде	*
G(t) = [ 9(s) ds,
Jo
где g ^ 0 — неубывающая ступенчатая функция, g(t) —► +оо при
t —► -foo, g(t) = ап при t £ (n, n + 1], где n = 0,1, — Чтобы подобрать
числа ап, для / £ Т положим iin{f) =	1/0*01 > п)- В силу равно¬
мерной интегрируемости Т существует возрастающая к бесконечности
последовательность натуральных чисел Сп, для которых
sup /	|/| dpi ^ 2”п.	(3.12.7)
Заметим, что
Из (3.12.7) следует, что Y^Li Y!k=cn Pk(f) < 1 при / е Т. При п < С\
положим ап = 0. При п ^ С\ положим ап = max{fc е 1N: G& ^ п}.
Ясно, что ап —> -foo. При / £ Т интеграл от С(|/(х)|) не превосходит
ащ(х: 1 < |/(х)| < 2) + (аг + а2)р(х: 2 < |/(х)| < 3) + ...,
где правая часть равна otn^n{f) = J2kLcn	Остается
заметить, что функция G неотрицательна, возрастает, выпукла, причем
G(t)/t —> -foo при t —> -foo.	□
3.12.8.	Пример, Пусть ц, — конечная неотрицательная мера,
(i)	Для всякой интегрируемой функции / найдется такая выпуклая воз¬
растающая положительная функция G на [0, -foo), что G(t)/t —> -foo
при t —> -foo и функция G о |/| интегрируема.
(ii)	Семейство Т С £*(/0 равномерно интегрируемо, если
sup / |/| In |/| d/i < оо,
ferJ
где мы полагаем 0 InO := 0. Чтобы применить критерий Валле-Пуссена,
нам следует взять функцию G(t) = tint при t ^ 1, G(t) = 0 при t < 1,

3.12. Дополнения и задачи
173
заметив, что G(|/|) < |/| In |/| + 1. Другое достаточное условие:
sup I \f\pdfi < оо при некотором р > 1.
ferJ
3.12.9. Пример. Пусть Аг(и) — пространство Бергмана всех ком¬
плексных функций на открытом единичном круге U в С, которые инте¬
грируемы по Лебегу на U и аналитичны внутри U, т.е. представимы ря¬
дами f(z) = Y^=o CnZ71) сходящимися внутри U. Тогда всякая функция
из Аг(и) приближается в метрике Ll(U) последовательностью много¬
членов от г.
Доказательство. Если функция / аналитична в круге большего
радиуса, то ее ряд Тейлора сходится к ней равномерно на С/, а тогда
и в Ьг(и). В общем случае равномерной сходимости ряда Тейлора нет.
Проверим, что функции f$(z) = f(9z) с в £ (0,1) при в —> 1 сходятся к /
в Ll(U). Так как функция f$ аналогична в круге радиуса 1/0, то она
приближается частичными суммами ряда Тейлора на U. При каждом
z мы имеем fe(z) —> f(z) при в —> 1. Остается взять вп = 1 — 2~п и
заметить, что fen равномерно интегрируемы. Это видно из критерия
Валле-Пуссена: взяв соответствующую функцию G для /, получаем
равномерную ограниченность интегралов от G(fen) с помощью замены
переменной. Можно и сразу проверить той же заменой, что функции
f$n обладают равномерно абсолютно непрерывными интегралами. □
3.12(iv). Лифтинги
Пусть // — ограниченная неотрицательная мера на измеримом про¬
странстве (X, А). Множество всех /i-измеримых всюду определенных
функций со значениями в IR1 является линейным пространством, а так¬
же обладает операцией умножения. Возникает следующий вопрос: мож¬
но ли в каждом классе //-эквивалентности выбрать по представителю
так, чтобы алгебраические операции над ними соответствовали опера¬
циям над классами? Такого рода выбор называется лифтингом. Ока¬
зывается, лифтинг существует на множестве ограниченных функций,
но в нетривиальных случаях его нет на LP. Сформулируем теорему
Магарам, доказательство которой можно прочитать в [26, гл. 10].
3.12.10. Теорема. Существует отображение L, называемое
лифтингом, из L°°(p) в С°°(р) со следующими свойствами:
(i)	для всякого элемента f £ L°°(p) функция Lf есть представи¬
тель класса эквивалентности /; (ii) для всех х имеем L(l)(x) = 1;
(iii)	для всех f,g £ L°°{p), а,/3 £ 1R1 и всех х имеем
L(af + 0g)(x) = aL(f)(x) + 0L{g)(x), L(fg) = L(f)(x)L{g)(x).

174
Глава 3» Интеграл Лебега
Задачи
3.12.11.° Пусть /п — функции, измеримые относительно сг-алгебры Л
в пространстве X. Доказать, что множество L всех тех точек х 6 X, в кото¬
рых существует конечный предел lim fn{x)y является элементом Л. То же
п—юо
самое верно для множеств L~, L+ тех точек, где предел равен — оо и -foo.
3.12.12.° (i) Построить последовательность неотрицательных функций
/п на [0,1], интегралы которых стремятся к нулю и которые стремятся к нулю
в каждой точке, но функция Ф(ж) = sup fn(x) не интегрируема. В частности,
п
функции fn не имеют общей интегрируемой мажоранты.
(ii) Построить последовательность функций /п ^ 0 на [0,1], интегралы
которых стремятся к нулю, но supn fn(x) = -foo для каждого х.
3.12.13° При каких а и /3 функция a?a|sinaj|^ интегрируема на [0,1]?
На [0,2тг]?
3.12.14? Последовательность неотрицательных функций /п на [0,1] схо¬
дится к функции / в Ьг[0,1]. Верно ли, что y/Jп —► у/7 в £2[0, 1]?
3.12.15? Последовательность функций /п на [0,1] сходится к функции
/ в L/[0,1]. Доказать, что функции sin/n сходятся к sin / в Ь2[0,1].
3.12.16.° Пусть /п ^ 0 — интегрируемые по Лебегу функции на [0,1],
fn(x) -+ f(x) п.в. Доказать, что
J f(x)2e~*^ dx = lim J fn(x)2e~fn^ dx.
3.12.17. Пусть fn—>f в L1(/x). Доказать, что найдутся подпоследова¬
тельность {пк} и функция Ф € С1 (д) такие, что \fnk(x)\ ^ Ф(ж) при всех к
для //-п.в. х.
3.12.18. Пусть // ^ 0 — конечная мера и {/п} С С1 (//) — равномерно
интегрируемая последовательность, причем ||/п||ь1(м) ^ б > 0 при всех п.
Доказать, что если числа ап ^ 0 таковы, что	an\fn(x)\	<	оо п.в., то
S^°=i ап < °°* Вывести из этого, что если множества Еп измеримы относи¬
тельно //, fi(En) ^ б > 0 И 2^=1 &п1еп{х) < ОО П.В., ТО 52^! ОСп < оо.
3.12.19? Пусть / € £1(НП). Доказать, что
lim [ |f(x -f h) — f{x)\dx = 0.
h—*Q Jjrti
3.12.20. (i) Доказать следующую теорему Юнга. Пусть три последова¬
тельности //-интегрируемых функций <рп, /п и фп сходятся п.в. к //-интегри¬
руемым функциям (р, f и ф соответственно, причем (рп ^ /п ^ фп п.в. Если
интегралы от (рп и фп сходятся к интегралам от <р и ф соответственно, то
интегралы от /п сходятся к интегралу от /.
(ii) Вывести из (i) следующий результат Витали. Если интегрируемые
функции /п 3*0 сходятся п.в. к интегрируемой функции /, причем интегралы
от fn сходятся к интегралу от /, то {/п} сходится к / в метрике Ь1(д).

3.12. Дополнения и задачи
175
3.12.21? Пусть (X, Л, /х) — пространство с неотрицательной мерой, фун¬
кция /: Хх (а, 5) —► Ш,1 при всех t интегрируема по ж, при каждом х диф¬
ференцируема по t в фиксированной точке to Е (а, Ь) (не зависящей от х),
причем существует такая /х-интегрируемая функция Ф, что для всякого t
найдется множество Zt, для которого /x(Zt) = 0 и выполнено неравенство
| f(x, t) — f{x, to)\ ^ Ф(®)|* — to\ при x & Zt. Показать, что интеграл от f(x, t)
по мере /л дифференцируем по t в точке to, причем
3.12.22? Построить такое измеримое множество в [0,1], что всякая функ¬
ция на [0,1], почти всюду равная его индикаторной функции, разрывна почти
всюду (и не интегрируема по Риману, см. задачу 3.12.23).
Указание: взять такое множество, что оно само и его дополнение пере¬
секаются со всяким интервалом по множеству положительной меры.
3.12.23. Доказать, что функция / на [а, Ь] интегрируема по Риману
в точности тогда, когда для всякого е > 0 найдутся такие ступенчатые функ-
(Ъ
ции дик, что | f(x) — р(ж)| ^ к(х) и I h(x) dx ^ е. Доказать аналогичное
Г	Ja
утверждение с непрерывными дик.
Указание: применить теорему 3.7.1 и неравенство Чебышёва.
3.12.24.° Пусть Jn — последовательность непересекающихся отрезков
в [0,1], сходящихся к началу координат, |Jn\ = 4~п, и пусть / = n~1/\J2n\
на Лп, / = — w-1/|J2n+i| на J2n+i, а в остальных точках равна нулю. Пока¬
зать, что функция / интегрируема по Риману в несобственном смысле, но не
интегрируема по Лебегу.
^3.12.25? Построить фундаментальную в среднем последовательность не¬
отрицательных ступенчатых функций, которая сходится в среднем к огра¬
ниченной функции, не имеющей интегрируемой по Риману модификации.
3.12.26? Пусть / Е £1(НП) имеет интеграл 7/ и vi,... ,Vk € Ип. Дока¬
зать, что найдется х Е Нп, для которого 7/ ^ к~г ]Ci=i f(x + v0-
3.12.27? Пусть / Е ^(И1) и функция xf(x) также входит в ^(И1).
Доказать, что / Е £1(1R1). Получить аналог для / Е ^(Н1).
3.12.28? Пусть / Е £Р(НП), где 1 ^ р < оо. Доказать, что при к —► О
выполнено соотношение ||/( • + h) + f\\Lp^21/»\\f\\LP.
3.12.29.	Пусть /х — конечная неотрицательная мера на пространстве X.
Для f,g Е L°(fj) положим
— f 1 + |/_g| d>x'	~ Jxndn(\f-g\,l)dn.
Доказать, что do и d\ — метрики, относительно которых 7v°(/x) полно, причем
последовательность сходится по какой-либо из этих метрик в точности тогда,
когда она сходится по мере.

176
Глава 3. Интеграл Лебега
3.12.30. Показать, что сходимость почти всюду на отрезке I с мерой Ле¬
бега нельзя задать никакой топологией, т.е. не существует такой топологии
на множестве всех измеримых функций на I (или на множестве всех непре¬
рывных функций на /), что последовательность функций сходится в этой
топологии в точности тогда, когда она сходится почти всюду.
Указание: воспользоваться тем, что сходимость, задаваемая топологи¬
ей, обладает следующим свойством: если элемент / таков, что всякая под¬
последовательность последовательности {/п} содержит подпоследователь¬
ность, которая сходится к /, то /п —► /; найти последовательность непрерыв¬
ных функций, которая сходится пб мере, но не сходится ни в одной точке.
3.12.31. Пусть / Е Сг[а, b], функция <р ограничена на (а, Ь) и возрастает.
Доказать, что существует точка £ Е [а, Ь], для которой
/*ь	/*€	/*ь
I <p(x)f(x)dx = <p(a + 0) I f(x)dx + (p(b — 0) I f(x)dx,
J a	J	a	J	£
где <р(а + 0) и ip(b — 0) обозначают пределы справа и слева соответственно.
Если же (р еще и неотрицательна, то найдется такая точка г/ Е [а, ft], что
рЪ	рЬ
I ^(®)/(s) dx = ¥>(& ~ °) / Дж) dx.
J a	J г)
3.12.32.° Пусть 1 < р < оо, р~г + q~x = 1. Показать, что для всех
неотрицательных а и b справедливо неравенство аЪ ^ ^	^.
3.12.33? Пусть 1 < р < оо, р-1 + g"1 = 1, / Е £р(д), 9 Е Сч{р), причем
/pd/Х = ||/||p||<7||g > 0.
/■
Доказать, что = sgn/ • |/|p_1 п.в.
Указание: из доказательства неравенства Гёльдера и задачи 3.12.32 за¬
ключить, что \д\ = |/|р-1, откуда вытекает требуемое.
3.12.34. (Обобщенное неравенство Гёльдера) Предположим, что даны
числа 1 ^ r,pi, . ..,рп < оо, причем 1/pi + ••• + 1/Рп = 1/г, и функции
fi Е СР1 (р),..., fn Е СРп (р). Доказать, что /i • • • /п Е £г(р) и
(£ l/i •• • /«Г 4м)1А < (fx l/ilP1 d»)1/P1 • •(/. 1/»Г	VPn•
Указание: перейти к случаю г = 1, заменив pt на Pi/r\ затем использо¬
вать индукцию по п и неравенство Гёльдера, положив 1/ргН	Ы/рп =	1/V
лх-fh
3.12.35. Пусть / Е /^(IR1), Д(ж) := (2h)_1 I	f(t)dt,	h > 0. Дока-
J x—h
зать, что || Д — /||£,i —► 0 при h —► 0.
3.12.36. Для каждого к Е IN дано разбиение lRn на счетное число изме¬
римых частей Ekyi диаметра менее <5*,, причем 6к —>► 0. Для всякой функции
/ G	положим	Jk(f)(x) :=	f f(y) dy при x G Ekti. Дока-
JEki
зать, что ||Jk{f) - f\\Li -» 0.

3.12. Дополнения и задачи
177
3.12.37? Доказать, что график измеримой числовой функции на измери¬
мом пространстве (X, Д, д) с конечной мерой — измеримое множество меры
нуль относительно д®А, где А — мера Лебега.
3.12.38.° Пусть (X, Ах) и (Y,Ay) — измеримые пространства и / —
отображение из X в Y. Построить примеры, в которых
(i) / является (Лх, Лу)-измеримым, но график / не входит в Лх®Лу;
(ii) график / входит в Лх®Лу, но / не измеримо.
Доказать, что если множество {(у, у), у € F} входит в Лу<8Лу, то график
всякого (Лх, Лу)-измеримого отображения входит в Ах<8>Ау.
Указание: (i) рассмотреть тождественное отображение из [0,1] с а-ал-
геброй, порожденной одноточечными множествами, в это же пространство;
(ii)	рассмотреть тождественное отображение из [0,1] со стандартной боре-
левской а-алгеброй в [0,1] с а-алгеброй измеримых по Лебегу множеств. По¬
следнее утверждение следует из измеримости отображения (ж, у) ► (/(ж), у)
относительно пары (Ах Ay , Ay <8> Ay ).
3.12.39.° Построить примеры, показывающие, что (а) существование
и равенство повторных интегралов в (3.11.3) не гарантируют д ® ^-интег¬
рируемость измеримой функции /; (Ь) может случиться так, что оба повтор¬
ных интеграла существуют для измеримой функции /, но не равны; (с) су¬
ществуют такие измеримые функции /, что один из повторных интегралов
существует, а второй не существует.
3.12.40! (В. Серпинский) (i) Показать, что в квадрате существует неиз¬
меримое по Лебегу множество, все пересечения которого с прямыми, парал¬
лельными координатным осям, состоят не более чем из одной точки.
(ii)	Показать, что в квадрате есть также такое неизмеримое множество,
что всякая прямая пересекает его не более чем в двух точках.
Указание: см. [26, с. 284].
3.12.41. Показать, что найдется такая неизмеримая по Лебегу ограни¬
ченная неотрицательная функция / на [0,1]х[0,1], что существуют конечные
,y)dxdy, / I f(x,y)dydx.
Jo Jo
Указание: использовать предыдущую задачу.
3.12.42. (Неравенство Юнга) Предположим, что 1 ^ р ^ q ^ оо, где
q~x = г-1 + р-1 — 1. Доказать, что для всяких / € £p(lRn) и д G £r(IRn)
функция /*£ определена почти всюду (всюду, если q — оо), входит в £9(Нп),
причем / *д = д* f почти всюду и ||/ * д\\Ья(щ.п) ^ ||/||lp(R»)||p||l»*(R»)*
Указание: см. [26, теорема 3.9.4].
3.12.43.° Доказать, что для равенства двух ограниченных борелевских
мер на JRn достаточно иметь совпадение интегралов по этим мерам от всякой
гладкой функции с компактным носителем.
3.12.44. Пусть д — вероятностная мера на борелевской а-алгебре В(Х)
вполне регулярного топологического пространства X, причем д радонова,
т.е. ijl(B) = sup{fj,(K): К С В компактно} для всех В € В(Х). Доказать, что
множество Съ(Х) ограниченных непрерывных функций плотно в L2(fi).
и равные нулю повторные интегралы /	/	f(x
II
Jo Jo

178
Глава 3. Интеграл Лебега
Указание: для приближения /в, где В — борелевское множество, при
е > 0 взять компакты К\ С В и К2 С Х\В с fi(B\Ki) + /л((Х\В)\К2) < е;
применить следствие 1.9.19 к функции /, равной 1 на К\ и 0 на К2.
3.12.45.	Пусть Q с lRn — ограниченная область с гладкой границей,
отображения f,g: И —> lRn непрерывно дифференцируемы в окрестности
замыкания П, причем /|ап = Доказать, что
Указание: отображения /Дж) = £/(ж) + ж и рДж) = £/(ж) + ж при малых
t > 0 инъективны на П, причем /t(H) = pt(H), ибо ft\an = Qt\dn\ значит, объ¬
емы Д(П) и gt(£l) равны, что дает равенство интегралов от det Dft и det Dgt,
являющихся многочленами по t\ сравнить коэффициенты при tn.
3.12.46. (i) Вывести из предыдущей задачи, что не существует отоб¬
ражения /, непрерывно дифференцируемого в окрестности замкнутого ша¬
ра В, для которого f(B) С дВ и f(x) = х при х £ дВ. (ii) Вывести из (i)
теорему Боля-Брауэра: для всякого непрерывного отображения F: В —* В
существует такая точка хо, что F(xо) = хо.
Указание: (i) взять д(х) = х, тогда det Df(x) = 0, det Dg(x) = 1.
(ii)	Пусть В — единичный шар, F не имеет неподвижных точек и непре¬
рывно дифференцируемо в окрестности В; найдется такое е > 0, что при
1 ^ q ^ 1 + е уравнение F(x) — qx не имеет решений в В; пусть ip — гладкая
функция на В, (р\дв = 0, <р(х) = (1+е)-1 при ||ж|| ^ 1-е/4, 0 ^	^ (1+в)-1;
тогда g(x) = x — (p(x)F(x) не имеет нулей на В, f(x) = F(aj)/||F(aj)|| принима¬
ет значения в дВ и тождественно на дВ. Случай непрерывного F выводится
из рассмотренного с помощью гладких приближений.
3.12.47. Доказать, что существует такая измеримая по Лебегу функ¬
ция /: [0,1] —► IR1, что ни для какой борелевской функции д: [0,1] —► Н1
неравенство f(x) ^ д(х) не может быть верным сразу для всех х £ [0,1].
Указание: использовать задачу 2.7.25 и то, что канторовское множество
есть образ прямой при взаимно однозначной борелевской функции.
3.12.48.* Пусть ji — безатомическая вероятностная мера на измеримом
пространстве (X, А). Доказать, что существует такая Д-измеримая функция
/: X —► [0,1], что /хо/-1 есть мера Лебега.
Указание: см. [26, предложение 9.1.11].
3.12.49? (Теорема Ляпунова) Пусть /xi,..., /хп — безатомические вероят¬
ностные меры на измеримом пространстве (X, Д). Доказать, что существует
такая Д-измеримая функция /: X —> [0,1], что /Хго/-1 есть мера Лебега для
каждого г = 1,..., п.
Указание: см. [26, §9.12(ix)].
3.12.50. Пусть /XI,..., Дп — безатомические вероятностные меры на из¬
меримом пространстве (X, Д) и числа ct\,..., c*k ^ 0 таковы, что аз = 1-
Доказать, что существуют такие множества Ai,..., Ak € Д, что p>i(Aj) = otj
для всех г = 1,..., п и j = 1,..., к.
Указание: взять / из предыдущей задачи, разделить [0,1] на дизъюнкт¬
ные промежутки Ij длины aj и положить Aj = f~1(Aj).

Глава 4
Связь интеграла и производной
4.1.	Дифференцируемые функции
Напомним, что функция /, определенная в окрестности точ¬
ки х 6 И1, называется дифференцируемой в этой точке, если
существует конечный предел
lim /(* + *)-/(*),
h-> о	h
который называется производной / в точке х и обозначается че¬
рез f{x). В математическом анализе и самых разных приложе¬
ниях важную роль играет задача восстановления функции по ее
производной. Основная формула анализа — формула Ньютона-
Лейбница — следующим образом выражает функцию / на [а, Ь]
через ее производную /':
f(x) = f(a)+[ f'(y)dy.	(4.1.1)
Ja
Для непрерывно дифференцируемых функций / интеграл в фор¬
муле (4.1.1) существует в смысле Римана, поэтому никаких про¬
блем с интерпретацией этого равенства не возникает. Проблемы
появляются при попытке распространить формулу Ньютона-
Лейбница на более широкий класс функций. Если производ¬
ная существует всюду или почти всюду, то возникают вопросы
о ее интегрируемости в каком-то смысле и о выполнении равен¬
ства (4.1.1). Чтобы пояснить характер возникающих здесь труд¬
ностей, мы рассмотрим несколько примеров. Сначала мы постро¬
им функцию /, которая в каждой точке прямой дифференци¬
руема, но /' не интегрируема на [0,1] ни в смысле Лебега, ни
в несобственном смысле Римана.

180
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.1.1. Пример. Пусть f(x) = a:2sin^ при х ^ 0 и /(0) = 0.
Тогда функция / всюду дифференцируема, но функция /' не ин¬
тегрируема по Лебегу на [0,1].
Доказательство. Равенство /'(0) = 0 следует из ограни¬
ченности синуса. При х ф 0 имеем f{x) — 2х sin Д г — 2jCos4*.
Достаточно показать, что функция ф(х) = ^ cos 4* не интегри¬
руема по Лебегу на [0,1]. Предположим противное. Тогда инте¬
грируема и функция - cos 2^7, что проверяется с помощью заме¬
ны переменных у = у/2х. Следовательно, интегрируема функция
ф(х) ~ х cos2 2х^ф Так как ф(х) = 2(р(х) — то получаем инте¬
грируемость i, т.е. приходим к противоречию.	□
В рассмотренном примере функция /' несобственно интегри¬
руема по Риману. Однако теперь легко испортить и это свойство.
Возьмем компактное множество К С [0,1] положительной меры
Лебега, не имеющее внутренних точек (см. пример 2.5.6). Мно¬
жество [0,1]\/Г имеет вид UnLi(an>bn), гДе интервалы (ап,Ьп)
попарно не пересекаются. Возьмем такую гладкую функцию 0,
что 9{х) = 1 при х < 1/2 и 9{х) = 0 при х ^ 1. Положим
д(х) — 9(x)f(x) при х ^ 0 и д(х) = 0 при х < 0. Заметим, что
</(0) = </(1) = 0 и \д(х)\ ^ Cmin{a;2, (1 — х)2} при некотором С.
4.1.2. Пример. Положим F(x) = Yl^Li(bn - an)2p(^E^;)-
Функция F всюду дифференцируема, а F' не интегрируема по
Лебегу на [0,1] и разрывна в каждой точке множества К (поэтому
не интегрируема по Риману в несобственном смысле).
Доказательство. Ясно, что ряд, задающий функцию F,
сходится равномерно, так как функция д ограничена. Достаточно
показать, что Ff(x) = 0 в каждой точке х Е К, ибо в интервале
(«п? Ьп) функция F равна (Ъп - ап)2д((х - ап)/(Ъп - ап)). По по¬
строению, F(x) = 0 при х Е К. Пусть h > 0. Если х + h Е К, то
F(x + К) — F(x) = 0. Если х + h £ К, то найдем интервал (an, Ьп),
содержащий х + h. Тогда х + h — ап < h и потому
F(z + h) - F(x) F(x + h)	2li /x + h-an\
—i— = —h~	sK'i,-.;	)
< <^4 f = Cft,
h	(bn	an)

4.1. Дифференцируемые функции
181
что стремится к нулю при h —> 0. Случай h < 0 аналогичен.
Очевидно, что функция F9 не ограничена в правой окрестности
точки ап, ибо F на (ап,Ьп) представляет собой аффинное преоб¬
разование д на (0,1). Следовательно, F' имеет разрыв в каждой
точке из замыкания {ап}. Указанное замыкание совпадает с К
ввиду отсутствия внутренних точек у К,	□
Таким образом, ни интеграл Лебега, ни несобственный инте¬
грал Римана не решают задачу восстановления всюду дифферен¬
цируемой функции по ее производной. В главе 5 книги [26] мож¬
но найти сведения о более общих (не абсолютных) интегралах,
решающих указанную задачу (правда, лишь в некотором смыс¬
ле). Отметим, однако, что в приложениях теории интеграла го¬
раздо более типичной является задача восстановления функции,
которая имеет производную лишь почти всюду. Конечно, без до¬
полнительных предположений такое восстановление невозможно.
Например, обсуждавшаяся выше функция Кантора (предложе¬
ние 3.1.12) почти всюду имеет производную, равную нулю, хотя и
не является постоянной. Лебегом был описан класс всех функций,
которые почти всюду дифференцируемы и восстанавливаются по
своей производной с помощью формулы Ньютона-Лейбница для
интеграла Лебега. Оказалось, что это — абсолютно непрерывные
функции. Прежде чем начать их обсуждение, мы рассмотрим бо¬
лее широкий класс функций, которые также почти всюду диф¬
ференцируемы, хотя и не обязательно являются интегралами.
При изучении производных полезно рассмотреть так называ¬
емые производные числа функции /, которые принимают значе¬
ния из расширенной числовой прямой и определяются так:
Д+/(*) = limsup+
/i—>+0	'Ь
Г» tt \	1-	•	С	f(X	+	h) ~ f(x)
D+/(z) = hmmf	-
D~ f(x) = limsup	^ —
h^-0	*
D-m = liminf
Если D+f(x) = D+f(x), то /+(ж) := D+f(x) = D+f(x) называ¬
ют правой производной / в точке х, а если D~f(x) = D-f(x), то

182
Глава 4. Связь интеграла и производной
f'-(x) := D~f(x) = D-f(x) называют левой производной / в точ¬
ке х. Ясно, что существование конечной производной / в точке х
равносильно тому, что в этой точке правая и левая производ¬
ная совпадают и конечны. Если fL(x) — /+(#) = +00, то пишут
/'(#) = +оо (аналогично для —оо).
Определим также верхнюю и нижнюю производные Df(x)
и Dfix) как, соответственно, верхний и нижний пределы отно¬
шений [f(x + h) — f(x)\/h при h —► 0, h ф 0.
4.1.3.	Лемма. Для всякой функции / на отрезке [а, Ь] мно¬
жество всех точек, в которых правая и левая производные f
существуют, но различны, конечно или счетно.
Доказательство. Пусть D := {х: fUx) < /;(*)}, к}-
множество всех рациональных чисел. Для всякого х Е D суще¬
ствует такой наименьший номер к, что fL(x) < rk < f+(x). Далее,
существует такой наименьший номер т, что гт < х и при всех
t € (гт,х) справедливо неравенство (f(t) — f(x))/(t — x) < гк. На¬
конец, существует такой наименьший номер п, что гп> х и при
всех t 6 (х,гп) справедливо неравенство (f(t) — f(x))/(t—x) > т^.
В силу нашего выбора тип получаем
/(£) - f(x) > rk(t - х), если t^x nte (rm, rn). (4.1.2)
Таким образом, каждой точке х € D сопоставлена тройка на¬
туральных чисел (к, т,п). При этом разным точкам отвечают
разные тройки. Действительно, пусть точкам х и у сопоставлена
одна и та же тройка (к, га, п). Положим t = у в (4.1.2) и получим
/(у) “ /0*0 > rfc(y “ #)• Если же в (4.1.2) вместо х взять у и поло¬
жить t — x, то получится обратное неравенство. Итак, D не более
чем счетно. Аналогично доказывается, что множество {/+ < ff_}
не более чем счетно.	□
4.2.	Функции ограниченной вариации
4.2.1.	Определение. Будем говорить, что функция f на
множестве Т С IR1 имеет ограниченную вариацию, если
п
V(f, Т) := sup£ If(ti+1) - f(ti)I < 00,
i=1
где sup берется no всем наборам ii < *2 ^	^ *n+i из Т. Если
T = [a, 6], то положим V£(f) := V(f, [a, 6]).

4.2. Функции ограниченной вариации
183
Если функция / имеет ограниченную вариацию, то она огра¬
ничена, причем для всякого to ЕТ
sup|/(t)K|/(i0)| + nf,r).
teT
Нас в основном будет интересовать случай, когда Т — промежу¬
ток [а,Ь] или (а,Ь) (возможно, неограниченный).
Простейший пример функции ограниченной вариации — это
неубывающая на [а, Ъ] функция / (в случае открытого или неогра¬
ниченного промежутка при этом требуется, чтобы пределы в кон¬
цах были конечны). Здесь V%(f) = У(/, [a, b]) = /(b) — /(а). Ясно,
что ограниченную вариацию имеет также и всякая невозраста¬
ющая функция. Таковой оказывается и разность неубывающих
функций, ибо пространство BV[a, Ь] всех функций ограниченной
вариации линейно. При этом
*?(«/ + 0д) ^ \a\Vb(f) + \j3\V£(g)
для любых двух функций fug ограниченной вариации и произ¬
вольных скаляров а и /3, Это очевидно из оценки
|«/(t*+i) + fig(ti+1) - af(U) - Pg(U)| <
< H l/(*t+i) - /(*01 + Ш \g(ti+i) - g(U)|.
4.2.2.	Предложение. Пусть функция f на [a,b] имеет ог¬
раниченную вариацию. Тогда
(i) функции V: х У(/, [а, ж]) и U: х V(x) — /(ж) —
неубывающие на [а, Ь];
(ii) функция V непрерывна в точке хо Е [а, 6] в точности
тогда, когда в этой точке непрерывна функция /;
(iii) для всякого с Е (а, Ь) справедливо равенство
v(f, [о, 6]) = V(f, К с]) + V(f, [с, 6]).	(4.2.1)
Доказательство. Поскольку при добавлении новой точки
в разбиение [а, Ь] соответствующая сумма абсолютных величин
приращений функции не уменьшается, при вычислении V%(f)
можно рассматривать разбиения, содержащие точку с. Тогда
у(/,м])=sup[£ i/(ti+i) - f(u)| + \f(ti+i) - /(и)\]>
i=1	i=fc-fl
где sup берется по разбиениям с £&+1 = с. Из этого равенства по¬
лучаем (4.2.1), откуда вытекает, что V — неубывающая функция.

184
Глава 4. Связь интеграла и производной
Функция U = V — / — также неубывающая, ибо при х ^ у имеем
V(x) - V(y) = !£(/) ^ |/(ж) - /(у)| ^ /(ж) - /(у).
Тогда |V(x) ~V(y) | ^ |/(ж) - /(у)|, откуда сразу вытекает непре¬
рывность / в точке ж, если в этой точке непрерывна функция V.
Осталось проверить непрерывность V в тех точках ж, где непре¬
рывна /• Пусть е > 0. Выберем So > 0 с |/(ж + h) — /(ж)| < е/2
при \h\ < <Jo- По определению существуют такие наборы точек
о =	<	£n+i	= жиж = ^1<---< sn+i = Ь, что
W(f, [а,ж]) - £ |/(ti+i) - /(*г)|| +
г=1
+ |НЛ [ж, 6]) -	|/(s»+i)	- /(s»)|
г=1
Пусть |/i| <8 := min(<50, ж — tn, S2 — ж) и h > 0. Тогда
П
V(x + Л) - V(i) = V«‘(/) - ОЯ < 2 |Д*+1) - /(*)|+
i=1	Г
+ I - Vx+h(f) < 1/(ж) - /(ж + Л)I + |/(ж + Л) - /(а2)|+
+ £ |/(*+i) - /(*)1 +1 - v;6+/l(/) < |/(*) - fix + Л)|	+	£	<	e,
i=2
ибо |/(ж + h) - /(«2)| + E"=2 l/(si+i) - /041 < vx+hif)- Анало-
гичная оценка имеет место при h < 0.	□
Вариация функции / не всегда является аддитивной	функци¬
ей множества. Например, У(/, [0,1]) = 1 > У(/, [0,1)) = 0, если
/(ж) = 0 на [0,1) и /(1) = 1.
4.2.3. Следствие. Непрерывная функция ограниченной ва¬
риации есть разность двух непрерывных неубывающих функций.
4.2.4. Следствие. Всякая функция ограниченной вариации
имеет не более чем счетное множество точек разрыва.
Доказательство. В силу доказанного выше нам достаточ¬
но рассмотреть неубывающую функцию /. В этом случае точки
разрыва — это такие точки ж, что lim f (x — h) < lim f(x + h).
h—►0-4-	h—> 0+
Ясно, что их число не более чем счетно.	□

4.2. Функции ограниченной вариации
185
В доказательстве следующей важной теоремы нам понадобит¬
ся техническая лемма, которая имеет и самостоятельный интерес.
4.2.5.	Лемма. Пусть Е — множество в (0,1). Предполо¬
жим, что задано некоторое семейство X интервалов, которое
для каждого х Е Е и каждого S > 0 содержит некоторый ин¬
тервал (х, х + h) с 0 < h < S. Тогда для всякого е > 0 мож¬
но выбрать конечное подсемейство дизъюнктных интервалов
1\,..., /*. в этом семействе таким образом, что
к	к
A(U 1,-)<А*(Я) + е « \*(Ef]{Jlj)>\*(E)-e.
j = 1	j=1
При этом для заданного открытого множества U, содержаще¬
го Е, эти интервалы можно взять внутри U.
Доказательство. Найдем открытое множество G D Е, для
которого X(G) < \*(Е)+£. Если дано открытое U D Е, то G берем
в U. Удалив из X все интервалы, не содержащиеся в G, можно счи¬
тать, что с самого начала все интервалы X лежат в G. Тогда мера
их объединения не больше \*(Е) + е. Пусть Еп — множество всех
точек хеЕ, для которых в X есть интервал (х,х + h) с h > 1/п.
Поскольку Е есть объединение возрастающих множеств Еп, то
существует п с Х*(Еп) > Х*(Е) — е/2. Пусть 8 = £/(2п + 2). Пусть
ai — нижняя грань Еп. Возьмем точку х\ Е Еп в [а\,а\ + 8\.
Пусть I\ = (xi, х\ + hi) Е X — интервал с hi > 1/п. Если множе¬
ство Еп П (х\ +	1)	непусто,	то пусть а2 — его нижняя грань.
Возьмем точку x<i Е Еп в [аг, о>2+8\ и найдем /2 = (#2, #2+^2) 6 X
с Ji2 > 1/п. Продолжая этот процесс, получим k ^ п интервалов
Ij = (Xj,Xj + hj) с hj > 1/п, причем справа от ху* + hk нет то¬
чек Еп, Xj Е [aj, aj+8], где aj — нижняя грань Enf)(xj-i+hj-i, 1).
Ясно, что точки из Еп, не покрытые UjLi содержатся в объ¬
единении отрезков [aj,aj + 8\, j = 1,..., к. Поэтому внешняя мера
множества таких точек не превосходит п8 < е/2. Следовательно,
в силу субаддитивности внешней меры
к	к
A*(sf| (J Ij) > А*(Еп) - А*(Еп\ (J Ij) > А*(Е) - е.
i=i	3=1
При этом A^U*=1 Ij) < A(G) < А*(Е) + е.	□

186
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.2.6.	Теорема. Всякая функция ограниченной вариации на
отрезке почти всюду имеет конечную производную.
Доказательство. Достаточно дать доказательство для не¬
убывающей функции /. Пусть S = {х: D+f(x) < D+f(x)}. По¬
кажем, что X(S) = 0. Для этого достаточно показать, что для
всякой пары рациональных чисел и < v множество
S(u,г;) = {х: D+f(x) < и < v < D+f(x)}
имеет меру нуль. Предположим, что A*(5(<u, v)) = с > 0. Каждая
точка х множества S(u,v) является левым концом сколь угодно
малых интервалов (х, х + К) с f(x + h) — f(x) < hu. По лем¬
ме 4.2.5 для фиксированного е > 0 существует такой конечный
набор попарно непересекающихся интервалов (;x^xi + hi), что для
их объединения U справедливы оценки
X*(UnS(u,v))>c-e, А (и) = ^2{}ц<с + е.
Ясно, что Yli[f(xi + Ы) - f(xi)] <	< u(c + e). С другой
стороны, каждая точка у £ U П S(u, v) является левым концом
сколь угодно малых интервалов (у, у + г) с /(у + г) — /(у) > rv.
Поэтому по той же лемме 4.2.5 можно найти конечный набор
попарно непересекающихся интервалов (yj,yj+rj), лежащих в U,
для объединения W которых справедлива оценка
А*(ГГП5(гл,г;)) > \*(U П S{u, v)) - е > с - 2е.
Тогда Y,j [f(Vj + rj) ~ /(%)] > v Ylj rj > v(c — 2e). Поскольку /
не убывает, а каждый из интервалов (yj, yj + rj) лежит в одном
из интервалов (xi, Xi + hi), то
YiifiVj + rj) - f(yj)] ^	[f(xi + hi) - f(xi)}.
j	i
Таким образом, v(c — 2e) < u(c + e). В силу произвольности e > 0
получаем v < и — противоречие. Следовательно, с = 0, и правая
производная / существует почти всюду. Аналогично доказывает¬
ся, что левая производная / существует почти всюду. При этом
множество Е тех точек х, где f+(x) = +оо, имеет меру нуль.
В самом деле, для всяких е > 0 и N £ IN найдется h(x) > 0
с f(x + h) — f(x) > Nh при 0 < h < h(x). По лемме 4.2.5
имеется конечный набор дизъюнктных интервалов {x%,Xi + hi),
где hi = h(xi), общей меры L > А*(2?) — е. Тогда интервалы

4.2. Функции ограниченной вариации
187
+ hi)) дизъюнктны и мера их объединения не мень¬
ше NL, откуда Х*(Е) ^ е + L ^ е + У(/, [a, b])/iV. Теперь доказы¬
ваемое следует из леммы 4.1.3.	□
4.2.7. Следствие. Всякая неубывающая функция / на от¬
резке [а, Ь] почти всюду на [а, Ь] имеет конечную производную /',
причем функция f интегрируема на [а, Ь] и
[ f(x) dx < /(£>) - /(а).	(4.2.2)
Ja
Доказательство. Положим f(x) = /(6) при х ^ Ь. Пусть
,	-1	,	, \	f(X + hn) - /(^) гр	t ^ П
пп — п и jn{x) =	  .	Тогда	/„	^	0	и	п.в.	имеем
hn
fn(x) —» /'(ж)- Кроме того,
/*Ь	1	1	/*Ь
/	/„(ж) dx	= —	/(у) dy- —	f(x) dx =
Ja	""п	Ja+hn	ton	Ja
i pb+hn	i	/*л~ЬЛ-п
= h~	dx~T	dx ^ ^_ -^a)’
ton Jb	ton	Ja
ибо / = b на [6,6 + /in] и / ^ /(a) на [a, a + /in]. Остается восполь¬
зоваться теоремой Фату.	□
4.2.8. Следствие. Для всякой функции / ограниченной ва¬
риации на [а, 6] производная f существует почти всюду и ин¬
тегрируема.
Функция Кантора Со (см. пример 3.1.12) показывает, что
в (4.2.2) может не быть равенства даже для непрерывных функ¬
ций.	В самом	деле,	Cf0(x) = 0 почти всюду, но Со(х)	ф	const.
В следующем	параграфе мы рассмотрим	подкласс класса	функ¬
ций ограниченной вариации, приводящий к равенству в (4.2.2).
В связи с обсуждавшимися в §2.5 мерами Лебега-Стилтьеса
здесь уместно привести следующее утверждение.
4.2.9. Предложение. Пусть р — ограниченная борелевская
мера на отрезке [a, ft] (возможно, знакопеременная) с функцией
распределения F^(t) := /x([a,t)). Тогда V^F^) = ||/х||.
Доказательство. Если отрезки [ai, fti],..., [an, bn\ попарно
не пересекаются, то сумма величин |^(Ь*) —F^ai)] — //([a*, bi)) не

188
Глава 4. Связь интеграла и производной
превосходит ||/х||. С другой стороны, пусть Х+ и Х~ — борелев-
ские множества из разложения Хана для //. Для заданного е > О
можно найти компакты К\ С Х+ и К2 С Х~ с \/jl\(X+\Ki) < е
и \р\(Х~\К2) < е. Затем можно найти такие дизъюнктные полу-
интервалы [аь Ьг),...., [ак, Ък) и [afe+b bfc+1),..., [ат, bm), что
к	771
ЖК\) <	+	£>	V(K2)^	Klai’bi))	~£-
i=l	i=k+1
Это ясно из теоремы 2.3.11. Тогда получим
1Ы1 = /*(Х+) - ц(Х~) ^ ц(Кг) - 1Л(К2) + 2е <
771
< 1ВД) ~ I + 4е < Fab(^) + 4е.
г=1
Так как е > 0 произвольно, то ||/х|| ^	□
4.3.	Абсолютно непрерывные функции
В этом параграфе рассматриваются функции на ограничен¬
ных промежутках.
4.3.1. Определение. Функция f на отрезке [а, Ь] называ¬
ется абсолютно непрерывной, если для всякого е > 0 найдется
такое S > 0, что для каждого набора попарно непересекающихся
интервалов (щ,Ьг) в [а, 6] с 1 \Ы~ ai\ < 8 справедливо нера¬
венство Y%= 11 fib) - /(a*) I < £.
Из определения очевидно, что абсолютно непрерывная функ¬
ция равномерно непрерывна. Обратное неверно: например, фун¬
кция / на [0,1], равная п~1 в (2п)-1, обращающаяся в нуль
в (2п + l)^1 и доопределенная по непрерывности линейным обра¬
зом между этими точками, не является абсолютно непрерывной.
Это явствует из расходимости ряда $3n^=i|/((2П)^1)| и стремле¬
ния к нулю величин	+ I)”1]-
Обозначим через АС[а, Ь] класс всех абсолютно непрерывных
функций на отрезке [а, Ь].
4.3.2. Лемма. Пусть функции /1,..., fn абсолютно непре¬
рывны на отрезке [а, Ь\, а функция <р определена и удовлетворяет
условию Липшица на множестве U С IRn, причем для всех х из

4.3. Абсолютно непрерывные функции
189
[а,Ъ] имеем (fi(x),...,fn(x)) € U. Тогда функция <^(/i,...,/n)
абсолютно непрерывна на отрезке [о, 6].
Доказательство. По условию при некотором С > 0 для
всех х, у G U имеем \^{х) — <р(у)\ < С\\х — у||. Кроме того, для
заданного е > 0 найдется такое «5 > 0, что при каждом j = 1,..., п
получим \fj(bi) — fj(ai)\ < еп-1(С+1)-1 для всякого набора
попарно непересекающихся интервалов (oi,6i),..., (а^,6^) в [а, Ь]
с Хл=1 l^i — ail < Теперь из оценки
к
Xl|^(/l(6i)> • • • . /»(Ь»)) - <K/l(Oi), • • • > /пЫ)
г=1
 	.,о\i/a "	‘
ЕС(Е imm - л(«*>12) « СЕ Е i/iw - /jWi <е
г=1 j=1	г=1 j=1
вытекает доказываемое утверждение.	□
4.3.3. Следствие. Если функции fug абсолютно непрерыв¬
ны, то таковы же fg и f + g, а если g ^ с> 0, то и f /д.
4.3.4. Предложение. Всякая функция f, которая абсолю¬
тно непрерывна на отрезке [а, Ь], имеет на этом отрезке огра¬
ниченную вариацию.
Доказательство. Возьмем 6, соответствующее е = 1 в оп¬
ределении абсолютно непрерывной функции. Возьмем натураль¬
ное М > \Ь — а|£-1. Пусть задано разбиение а = t\ ^	^ tn = ft.
Добавим к точкам Ц все точки вида Sj = а + (Ъ —	где
j = 0,..., М. Элементы полученного разбиения обозначим че¬
рез Zi, г = 1,..., к. Тогда
Е i/(*<+i) - /(‘Oi« Е - /mi =
г=1	г=1
М
= Е Е |/(*т)-/(*г)|<М,
3 1 i-	1
ибо сумма длин интервалов (zi,Zi+i) с Zi+1 Е (sj-\,Sj] не превос-
ходит Sj — Sj-1 = |6 — o|M_1 < S. Итак, V(f, [о, Ь]) < М.	□

190
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.3.5.	Следствие. Для всякой абсолютно непрерывной фун¬
кции / на [а, Ъ] производная /' существует почти всюду и ин¬
тегрируема. В частности, это верно, если / липшицева.
4.3.6.	Предложение. Пусть функция f абсолютно непре¬
рывна на отрезке [а, Ь]. Тогда функция V:	[а, х]) также
абсолютно непрерывна и потому / есть разность неубывающих
абсолютно непрерывных функций V и V — /.
Доказательство. Пусть е > 0. Найдем такое S > 0, что
сумма абсолютных величин приращений / на всяком конечном
наборе непересекающихся интервалов (а*,Ь*) суммарно^ длины
менее S оценивается через е/2. Остается заметить, что сумма аб¬
солютных величин приращений V на интервалах (a*, bi) оценива¬
ется через е. Действительно, пусть дан такой набор из к интер¬
валов (ai,bi). Для каждого % можно найти такое разбиение [а*,6г]
точками а* = t\ ^ tlN. = 6*, что
Для всякой интегрируемой по Лебегу функции / на [а, Ь] и вся¬
кой постоянной С можно рассмотреть функцию
которая называется неопределенным интегралом /. Оказывает¬
ся, что функции такого вида — это в точности абсолютно непре¬
рывные функции.
Доказательство. Применимо следствие 4.2.8.
□
Ni-l
V(f, [аи 1н]) < £ |/(t}+i) - Щ)\ + е4-\
Тогда
к
к
£ им - Иог)1 = £ V(f, [щ, bi]) <
к Ni-l
г=1 з=1
ибо интервалы (£*•, попарно не пересекаются и сумма их длин
не превосходит S.
□

4.3. Абсолютно непрерывные функции
191
4.3.7.	Теорема. (Теорема Лебега) Функция f абсолютно
непрерывна на [а, Ъ] тогда и только тогда, когда существует
такая интегрируемая на [а, 6] функция	g, что
/(ж) =/(а) + / g{y)dy	Уж€[а,Ь].	(4.3.1)
Ja
Доказательство. Если / имеет вид (4.3.1), то в силу аб¬
солютной непрерывности интеграла Лебега для всякого е > О
найдется такое <5 > 0, что
/ \g(x)\dx < е
JD
для всякого множества D меры меньше 5. Остается заметить, что
= Yl\ f	[	\g(x)\dx<£
i=1	i=l ^a<	Ju
для всякого объединения U = ЦЦк, b{] попарно непересекаю-
щихся отрезков суммарной длины меньше 6.
Докажем обратное утверждение. Достаточно доказать его для
неубывающих функций /, ибо в силу предложения 4.3.6 функция
/ есть разность неубывающих абсолютно непрерывных функций.
Пусть /(а) = 0. Согласно теореме 2.5.10 существует такая неотри¬
цательная борелевская мера /х на [а, 6], что f(x) = /х([а,ж)) для
всех х 6 [а,Ь]. Теперь достаточно установить, что мера /х зада¬
ется некоторой интегрируемой плотностью g относительно меры
Лебега А, что в силу теоремы Радона-Никодима равносильно аб¬
солютной непрерывности /х относительно А. Пусть Е — борелев-
ское множество лебеговской меры нуль в [а, Ь]. Нам надо прове¬
рить, что р(Е) = 0. Зафиксируем е > 0. По условию существу¬
ет такое S > 0, что сумма абсолютных величин приращений /
на всяких непересекающихся отрезках суммарной длины менее S
оценивается через е. Найдем такое открытое множество С/, содер¬
жащее Е, что \(U) < S. Множество U представляет собой конеч¬
ное или счетное объединение попарно непересекающихся интер¬
валов (ai,bi). В силу выбора 8 для каждого конечного объедине-
ния (щ,Ъг) имеем /*(U?=i(aiA)) = ЕГ= l \f(bi)~f(ai)\ < е, откуда
ввиду счетной аддитивности // получаем д(£/) < е. Следователь¬
но, /л(Е) < /л(и) ^ е, ибо /л^О. Итак, у.{Е) = 0.	□

192
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.3.8.	Следствие. Если выполнено соотношение (4.3.1), то
V(f,[a,b]) = f\g{x)\dx =	(4.3.2)
Ja
Доказательство. Так как для каждого отрезка [s, t] в [а, Ь]
справедливо неравенство
11 <7(ж)йж| ^ I \g(x)\dx,
то V(/, [а, 6]) ^ ||0||i,i[a,6]- Докажем обратное неравенство. Можно
считать, что /(а) = 0. Зафиксируем е > 0. Пользуясь абсолютной
непрерывностью интеграла Лебега, найдем такое <5 > 0, что
JD\g(x)\dx<y
для всякого множества D меры меньше S. Положим
П+ := {х: д(х) ^ 0}, Q- := {х: д(х) < 0}.
Затем найдем в [а, Ь] конечный набор попарно непересекающихся
интервалов (ai, 6i), ... ,(an, Ьп), для которых
п
\(п+ A (J(ab Ь*)) < <5.	(4.3.3)
i=1
Далее выберем в [а^Ь]\[]^=1(а^Ь{) конечный набор попарно непе¬
ресекающихся интервалов (ci,rfi), ... ,(с^? cZ^), для которых
к
а(п_ Д Ufa,*)) <s•
i=1
Положим Ai := (щ,Ьг)\{д > 0}. Тогда
f(bi)-f(ai)= f д{х)dx = f \g(x)\dx+ f Г^(ж)— |^(;
J Q»i	J	Q>i	J	Q>i
= f \g{x)\dx-2 f \g(x)\dx.
o»%	J	Aj
Из (4.3.3) имеем ^”=1 А(Д<) < 8. Поэтому
dx =

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
193
к ^	г	2
Аналогично V] |/(dj) - /(с*)| ^ /	|р(ж)| dx - -е. Итак,
7^.	■'п.	2
п	к
V(f, [а, 6]) > ^ |f(bi) - /(а*)| +	|/(di)	-	f(ci)| ^ ||9||li[o,6] - e,
г=1	г=1
что завершает доказательство.	□
4.4. Формула Ньютона—Лейбница
Как мы увидим в этом параграфе, интеграл Лебега дает фор¬
мулу Ньютона-Лейбница (4.1.1) в ее естественной общности.
4J4.1. Лемма. Пусть функция f интегрируема на [а, Ь], при-
Г
чем I f(t)dt = 0 для всех х Е [а, 6]. Тогда / = О почти всюду.
J а
Доказательство. Из равенства нулю интеграла с перемен¬
ным верхним пределом вытекает, что интеграл / по любому ин¬
тервалу в [а, Ь] равен нулю, что дает равенство нулю интегралов /
по конечным объединениям интервалов. Тогда обращается в нуль
и интеграл / по множеству П = {х: f(x) > 0}. Действительно,
пусть е > 0. В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
существует такое 6 > 0, что I \f\dx < е для всякого множества
JD
D меры меньше 8. Найдем множество А, равное конечному объ¬
единению интервалов, для которого \(П Д А) < 8. Тогда
[ f(x)dx ^ [ f(x)dx+ [ \f(x)\dx ^ f f(x)d:
Jn	Ja	JnAA	Ja
В силу произвольности e > 0 левая часть этого неравенства об¬
ращается в нуль, т.е. fi имеет меру нуль. Аналогично множество
{/ < 0} имеет меру нуль. Альтернативное обоснование: борелев-
ская мера //:=/• А обращается в нуль на всех интервалах,
а потому и на порожденной ими сг-алгебре, т.е. на борелевской
сг-алгебре. Другими словами, интегралы / по всем борелевским
множествам равны нулю, откуда / = 0 п.в.	□
4.4.2.	Теорема. Пусть f Е Сг[а9Ь]. Тогда
d fx
— I f(t)dt = f(x) почти всюду на [а, 6].
Ja
,Х + £ = £.

194
Глава 4. Связь интеграла и производной
Доказательство. Положим f(x) = 0 при х $ [а, Ь\. Пусть
F(x)=[Xf(t)dt.
Jа
Предположим сначала, что \f(x)\ ^ М < оо. Пусть hn —► 0. Функ¬
ция F липшицева. По следствию 4.3.5 она почти всюду диффе¬
ренцируема на [а,Ь]. Тогда lim h~1[F(x + hn) —F(x)] = Ff(x) для
n—кэо
п.в. x € [a, 6]. Поскольку
F(* + y-FW _| ‘ rKf№ «М,
tln	'	hn	Jx
то по теореме о мажорированной сходимости получаем
шп rFfa+y-Ffa4= /Vw*
п~+°° Ja	hn	Ja
для каждого х £ [а,Ь]. Заметим, что
Г* F(y + hn)-F(y) ,	1	[x+h*
гъ+у-тф1-±-Г'т+-± Гпу)*у =
Ja	Пп	ап	Ja+hn	ап	Ja
-j rx+hn	i	ra+hn
= —	F(y)dy-—	F(y)dy,
">n Jx	Ja
что стремится к F(x) — F(a) при n —» оо в силу непрерывности F.
Итак,
F(x) = F(x)-F(a) = Г Ff(у) dy,
Ja
т.е.
г
Ja
[-F'(y) ~ /(У)] dy = 0 V® € [a, 6].
fa
В силу леммы 4.4.1 это означает, что F’{x) — f{x) = 0 п.в. на [о, 6].
Перейдем к общему случаю. Можно считать, что / > 0, ибо /
есть разность неотрицательных интегрируемых функций. Пусть
fn = min(/, п). Поскольку f — fn> 0, то функция

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
195
не убывает, следовательно, ее производная почти всюду суще¬
ствует и неотрицательна. Таким образом,
£I miv>TxL шл» п'в-
Ввиду ограниченности /п и доказанного выше, получаем оценку
F'(xY^ /п(я) п.в. Значит, F\x) ^ f(x) п.в., откуда
rb
по	пО
I F'(x) dx ^ / /(ж) dx.
Ja	Ja
С другой стороны, в силу следствия 4.2.7 имеем
rb	пЬ
откуда
f F'(x)dx^F(b)-F(a) = f f(x)dx}
Ja	Ja
j [F'(x)~ f(x)]dx = 0,
J a
что возможно лишь при Ff(x) — f(x) = 0 п.в. ввиду установлен¬
ного выше неравенства Ff(x) — f(x) ^ 0 п.в.	□
4.4.3.	Следствие. Пусть функция f интегрируема на [а, 6].
Тогда для почти всякой точки х Е [а, Ь] имеем
1 nx+h	1	rx+h
Й, 2h Lb Ш - /WI dy = °’ f(x) = Й. 2h Lb m dy•
Точки x с таким свойством называются точками Лебега функ¬
ции /.
Доказательство. Второе из этих равенств выполнено по¬
чти всюду по доказанной выше теореме. Применив его к функ¬
ции | f(x) — с|, получаем, что для всякого рационального числа с
почти всюду имеет место равенство
1 px+h
| f(x) - с| = lim — /	1/(2/)	-	с|	dy.
h->о 2h Jx_h
Тогда при почти всех х это равенство верно сразу для всех ра¬
циональных чисел с. При таких х оно остается в силе для вся¬
кого с Е IR1: возьмем рациональные с& —> с и заметим, что
|l/(y) -Cfc| - \f(y)-Cm\\ ^ \ck-Cm\. Наконец, берем с = f(x).	□

196
Глава 4. Связь интеграла и производной
Если функция / абсолютно непрерывна, то, объединяя дока¬
занную теорему с теоремой 4.3.7, мы видим, что интегрируемая
функция д, неопределенный интеграл которой есть / — /(а), по¬
чти всюду равна /'. Значит, мы получаем следующую формулу
Ньютона-Лейбница для абсолютно непрерывных функций.
4.4.4. Следствие. Пусть функция f абсолютно непрерывна
на [а, Ъ]. Тогда ее производная существует почти всюду, инте¬
грируема и удовлетворяет равенству
f(x) = f(a)+ f f'(t)dt, хе[а,Ь].	(4.4.1)
J а
Из формулы Ньютона-Лейбница вытекает следующая фор¬
мула интегрирования по частям.
4.4.5. Следствие. Пусть fug — абсолютно непрерывные
функции на отрезке [а,Ь]. Тогда
[ f'(x)g(x)dx = f(b)g(b) - f(a)g(a) - I f{x)g'{x)dx. (4.4.2)
Ja	J a
Доказательство. Поскольку функция fg абсолютно непре¬
рывна (следствие 4.3.3), то к ней применима формула Ньютона-
Лейбница. Остается заметить, что (fg)f = ffg + fgf почти всюду
(т.е. во всех точках, где / и g дифференцируемы).	□
Еще одно полезное следствие формулы Ньютона-Лейбница —
формула замены переменных.
4.4.6. Следствие. Пусть р — монотонная абсолютно не¬
прерывная функция на отрезке [с, d\ и </?([с, d\) С [а, Ь]. Тогда для
всякой функции f, интегрируемой по Лебегу на отрезке [а, 6],
функция f(p)pf интегрируема на [с, d\ и справедливо равенство
p<p(d)	pd
/ f(x)dx= / f(<p(y))<p\y)dy.	(4.4.3)
J<p{c)	Jc
Это утверждение остается в силе и для промежутков вида
(—оо, d\, [с,+оо), (-оо,+оо).
Доказательство. Можно считать, что р не убывает, при¬
чем а = р(с), Ъ = p(d). В силу интегрируемости pf на [с, d] опре¬
делена конечная неотрицательная борелевская мера /х = pf • Л, где
Л — мера Лебега на [c,d\. Обозначим через v борелевскую меру
/хо р~1 на [а,6], т.е. J'(jB) = /х(^_1(В)). В силу общей формулы

4.4. Формула Ньютона-Лейбница
197
замены переменных (теорема 3.12.2) равенство (4.4.3) для всех
борелевских интегрируемых функций / равносильно тому, что
мера v совпадает с мерой Лебега Ai на [о, 6]. Поэтому для дока¬
зательства в*случае борелевских / достаточно установить равен-
а,(3] из [о, 6] (см. след-
С [с, с?], что ip(7) = а,
ft) = М[7> <*]) = [ <р'(у) dy = <р(8) - <р(7) = /3 - ■
J'y
ство значений v и Ai на каждом отрезке
ствие 3.5.3). Найдется такой отрезок [7,5
<р(5) = /?, [7,^] = (р~1([а,0\). Остается заметить, что
гб
р'(у) dy = <р(8) - <р(7) = (3-а.
/7
Чтобы перенести доказанное равенство с борелевских функций
на все измеримые по Лебегу, проверим, что мера v абсолютно
непрерывна. Это равносильно тому, что (p~l(E)f]{y: (pf(y) > 0}
имеет лебеговскую меру нуль для всякого множества Е лебегов-
ской меры нуль. Так как Е покрывается борелевским множеством
лебеговской меры нуль, то можно само Е считать борелевским.
Тогда остается применить равенство (4.4.3) к функции / = 1е-
Случай бесконечного промежутка вытекает из доказанного. □
Формула (4.4.3) верна и для не обязательно монотонной функ¬
ции <£>, если дополнительно известно, что функция	инте¬
грируема, однако в отличие от рассмотренного случая это может
не выполняться автоматически (см. [26, задачи 5.8.63-5.8.65]).
В качестве следствия установленных фактов получаем следу¬
ющее разложение Лебега монотонной функции.
4.4.7.	Предложение. Пусть F — неубывающая непрерыв¬
ная слева функция на отрезке [а, Ь\. Тогда F = F^ + FS[ng, где
Fqc — абсолютно непрерывная неубывающая функция и Fsing —
неубывающая непрерывная слева функция с F^ing(t) = 0 п.в. При
этом Fs[Ug = F& + Fc, где Fc — непрерывная неубывающая функ¬
ция и Fa, — непрерывная слева неубывающая функция скачков,
т.е. F&(t) = ]Гп: tn<t К, где {*„} С (о, Ь), hn > 0,	К	< оо.
Доказательство. Мы знаем, что F* существует п.в., инте-
Гу
грируема, причем F(y) — F(x) ^ I F\t)dt при а ^ х ^ у ^ Ь.
X
Поэтому функция -FsingOzO := F(x) — I F\t)dt возрастает. Яс-
X
но, что Fging (ж) = 0 п.в. Положим Fac(x) := / F'(t) dt. Функция
J а

198
Глава 4. Связь интеграла и производной
Fsing имеет не более чем счетное множество точек разрыва tn.
Скачок в tn обозначим через hn. Положим F&(t) := ]Pn. tn<t hn.
Функция Fa (функция скачков) имеет в точках tn скачки вели¬
чины hn, т.е. справедливы равенства lim F&(t) = F&(tn) + hn]
t—
во всех прочих точках она непрерывна. Непосредственно прове¬
ряется, что получена возрастающая непрерывная слева функция,
причем функция Fc := Fs[ng — Fa возрастает и непрерывна. □
На разложение Лебега можно смотреть также с другой сто¬
роны (что дает и другое его обоснование). Если F — функция
распределения ограниченной неотрицательной борелевской ме¬
ры р на [а, Ъ] (всякая непрерывная слева возрастающая функция
имеет такой вид), то разложение Лебега для мер дает равенство
М — Mac + Msing? где р^ — абсолютно непрерывная мера, a Msing ~~
мера, сингулярная относительно меры Лебега. Тогда F^ и FSing —
соответствующие функции распределения. Далее в сингулярной
мере Msing можно выделить чисто атомическую (сосредоточенную
в счетном числе точек) и безатомическую компоненты, что дает
разложение Fsing. Непрерывная монотонная функция / ф const,
для которой f'(t) = 0 почти всюду, называется сингулярной.
Применение формулы Ньютона-Лейбница к дифференциро¬
ванию по параметру см. в задаче 4.5.12.
4.5.	Дополнения и задачи
(i)	Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса (198). (ii) Схо¬
димость рядов Фурье (199). Задачи (209).
4.5(i). Интегрирование по частям в интеграле Стилтьеса
Пусть р и v — ограниченные борелевские меры на интервале (а, Ь)
(возможно, неограниченном) с функциями распределения и т.е.
Ffjt(t) := p((a,t)) и аналогично для и. Эти функции ограничены и яв¬
ляются борелевскими. Поэтому они интегрируемы относительно всех
борелевских мер.
4.5.1.	Теорема. Для всех а, Ъ € [—оо,-foo] справедливо равенство
[ F^t) i/(А) = F^{b)Fv{b) - [ Fu(t+) p(dt).	(4.5.1)
J (a,b)	J(a,b)
Если хотя бы одна из функций Fи непрерывна (или у них нет
общих точек скачков), то вместо Fv(t-\r) в этом равенстве можно
поставить Fv(t).

4.5. Дополнения и задачи
199
Доказательство. По теореме Фубини имеем
J(a,b)	*■	J(a,Ь)	J(а,Ь)
[ Fp(t)v{dt)= f [	I(a,t)(3)	ft(ds)	v{dt)	=
xa,6)	J{a,b)
что и требовалось. Последнее утверждение очевидно.
Если F — абсолютно непрерывная функция на [а, 5], то
□
f F(t) v{dt) = F(b)F„(b) - [	F„(t)F'(t)dt,
что следует из (4.5.1) применительно к мере ц с плотностью F*.
4,5(ii). Сходимость рядов Фурье
Здесь мы обсудим поточечную сходимость рядов Фурье. В следую¬
щей главе будет рассматриваться сходимость в среднем квадратичном
более общих ортогональных разложений. Однако специфика тригоно¬
метрических рядов такова, что их естественнее обсуждать в главе, от¬
носящейся к действительному анализу
Для функции f £ С1 [0, 27г] и п = 0,1,... положим
о>п-=	f(x)	cosnxdx,	bn:=	f(x)	sinnxdx.	(4.5.2)
Эти числа называются коэффициентами Фурье функции /, а формаль¬
ный ряд
называется рядом Фурье функции f по тригонометрической системе.
Такой ряд можно рассматривать и для заданных коэффициентов ап
и 6П, не обязательно порождаемых какой-либо интегрируемой функ¬
цией /. Тогда указанный ряд называют тригонометрическим рядом.
Можно ввести также коэффициенты
приводящие к формальному ряду Xmez спегпх.
Такие ряды полезны в приложениях, так как служат удобным сред¬
ством представления или приближения функций. Поэтому возникают
вопросы о сходимости рядов Фурье, о свойствах коэффициентов Фурье
и о возможности восстановить функцию или судить о ее свойствах по
коэффициентам Фурье. Для функций на всей прямой имеется близкий
оо
п= 1

200
Глава 4. Связь интеграла и производной
объект — преобразование Фурье, изучаемое в гл. 9. Ряды и преобразо¬
вания Фурье — классика математического анализа, сохраняющая свою
актуальность. Все перечисленные вопросы оказались весьма тонкими;
в их исследование внесли большой вклад такие выдающиеся математи¬
ки, как Б. Риман, Г. Кантор, А. Лебег, Н.Н. Лузин, А.Н. Колмогоров,
Л. Карлесон. Ниже дано резюме основных достижений.
Сходимость ряда Фурье может пониматься в различных смыслах.
Во-первых, можно интересоваться сходимостью ряда Фурье в какой-то
заданной точке и (в случае сходимости) ставить вопрос о связи суммы
ряда со значением исходной функции. В этом случае разумно считать,
что имеется какая-то естественная модификация функции (иначе, пе¬
реопределив / в рассматриваемой точке, мы получим другое значение
функции, но прежний ряд Фурье). Например, такой вопрос представля¬
ется вполне естественным для непрерывных 27г-периодических функ¬
ций. Во-вторых, можно интересоваться сходимостью ряда Фурье почти
всюду (и связью суммы с функцией / почти всюду), но не заботиться
о каких-то отдельных точках. Наконец, может быть полезна сходимость
ряда в метриках L1 (или LP при / £ Lp). Этим не исчерпываются все
возможности; например, даже сходимость в точке можно понимать рас¬
ширительно, используя разные методы суммирования (об этом кратко
сказано ниже). Кроме того, возникают и другие вопросы. Скажем, если
дана последовательность чисел {вп} (или две последовательности {ап}
и {&п})> то интересно знать, когда есть функция с такими коэффици¬
ентами Фурье. Прежде чем приводить более специальные результаты,
сразу сообщим читателю некоторые фундаментальные общие факты.
Во-первых, даже в случае 27г-периодической непрерывной функции
/ ряд Фурье может не сходиться в каких-то точках. Это будет установ¬
лено в гл. 6 (см. пример 6.1.11). Чтобы гарантировать сходимость в
заданной точке, приходится накладывать некоторые дополнительные
условия в окрестности (например, условие Дини). Однако суммирова¬
ние по Чезаро дает сходимость для всякой 27г-периодической непре¬
рывной функции и позволяет равномерно приближать такие функции
тригонометрическими многочленами.
Во-вторых, как показал А.Н. Колмогоров, существует такая функ¬
ция / £ С1 [0,2п], что ее ряд Фурье расходится в каждой точке. Однако,
как мы увидим ниже, если такой ряд суммировать не в обычном смыс¬
ле, а по Чезаро или по Абелю, то почти всюду его сумма совпадет с /.
В частности, две интегрируемые функции с одними и теми же коэф¬
фициентами Фурье равны почти всюду.
В-третьих, если функция / входит в Ср[0,27т] с некоторым р > 1,
то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Этот факт был доказан
в 1966 г. JI. Карлесоном для р = 2 и затем в 1968 г. Р.А. Хантом для
всех р > 1. Подробное доказательство можно прочитать в Лукашенко
[137], Arias de Reyna [262], J0rboe, Mejlbro [397], Grafakos [369], Lacey
[602], Mozzochi [461]. В частности, ряд Фурье непрерывной функции /

4.5. Дополнения и задачи
201
сходится к ней почти всюду (несмотря на то, что бывают точки, в ко¬
торых сходимости нет). До появления более общего результата Кар-
лесона даже это в течение полувека оставалось открытой проблемой.
При этом для всякой функции / € £2[0, 27г] ее ряд Фурье сходится
к ней в метрике Ь2[0,27т], что доказывается очень просто для любого
ортонормированного базиса (см. гл. 5).
Один из простейших фундаментальных фактов содержится в сле¬
дующей теореме Римана-Лебега.
4.5.2.	Теорема. Пусть / € Сг[а, Ь] и ап —> оо. Тогда
рЪ	рЪ
lim I f(t) sin ant dt = lim I f(t) cos ant dt = 0.
n-^oo Ja	n-^oo	Ja
В частности, коэффициенты Фурье интегрируемой на [0,27т] функции
стремятся к нулю.
Доказательство. Если / = то равенство проверяется явно.
Оно остается в силе и для конечных линейных комбинаций индика¬
торов промежутков. Наконец, чтоадля всякого е > 0 найдется такая
линейная комбинация индикаторов <?, что интеграл функции |/ — д\ по
[а, Ъ\ меньше е. Тогда интеграл от f(t) sin ant отличается от интегра¬
ла g(t) sin ant меньше, чем на е, а последний по абсолютной величине
меньше е при всех достаточно больших п. Для c6sant аналогично. □
Далее в этом разделе при рассмотрении интегрируемых функций
на [0, 27г] будем переопределять их в 2п равенством /(2тг) = /(0) и пе¬
риодически продолжать на всю прямую. Для исследования сходимо¬
сти тригонометрических радов Фурье полезно следующее представле¬
ние частных сумм, получаемое с помощью тождества
1	sin
- + cos z + cos 2z Н + cos kz = -— ■
2	2	sm	I
и элементарных преобразований:
n
Sn(x) : = — -f У^[а& cos kx -f bk sin kx] =
k=l
= -[	/(ж +1) -x ;in- t- dt.	(4.5.3)
7Г J о	2 sin 2
Действительно, из равенства cos kx cos kt + sin kx sin kt = cos k(t — x)
находим

202
Глава 4. Связь интеграла и производной
что в силу указанного выше тождества дает представление
1 Г* „	,	1	г2*-*	sj„2n±i„	,
ЭД = ;/„ f(t) 2вш^	/(l	+ “)'2itaF
Ввиду 27г-периодичности подынтегральной функции получаем нужное
равенство. Если подставить / = 1, то ап = Ьп = 0 при п ^ 1 и ао = 2,
поэтому придем к полезному тождеству
г2тг 2n+l j
1 Г* sin	,
- /	-	. t dt = 1.
7Г 70	2 sm §
2
Функция
_	1 sin
Dn(z) = -V
7Г 2sm |
называется ядром Дирихле. Формула (4.5.3) лежит в основе различных
достаточных условий поточечной сходимости рядов Фурье. С помощью
27г-периодичности / и Dn и четности Dn получаем
Г2* 4sin^l< f° f/	Nsin^fi i,	Г»,,
I f(x+t)—г-4—<ft = I f(x+t)—т-4—dt = I f(x-t)—г-4—dt.
Л	sin	f	sm|	Л	sinf
Это дает представление
1	sin *
5n(x) = — / [/(* +1) + f(x - *)]	dt.	(4.5.4)
Jo	sln §
4.5.3.	Пример. (Условие Дини) Пусть / имеет период 2п и инте¬
грируема на [0, 27г], причем функция ф: t	t_1 [f(x+t)~2/(x)-f/(ж—£)]
интегрируема на [0,7г]. Тогда lim Sn(x) = /(ж). Например, это верно,
71—»00
если функция t £_1[/(х-И) — f(x)\ интегрируема на [—5,5] при неко¬
тором 5 > 0, в частности, если / дифференцируема в точке х. Действи¬
тельно, равенство (4.5.4) дает следующее представление:
1	/-7Г	ч;п 2n±lf
sn(x) - f(x) = — / \f(x + t) + f(x -t)- 2f(x)] —г-T— dt =
J0	sm	5
= J- Г Ф(*)-^Т
2ж J0	sm |
t . 2n + lxJi
sm —-—tdt.
По теореме Римана-Лебега правая часть стремится к нулю при п —> оо
ввиду интегрируемости ф и ограниченности t/ sin(£/2) на [0,7г].
Следующий признак Валле-Пуссена тоже использует (4.5.4).
4.5.4.	Теорема. Пусть х фиксировано. Предположим, что функ¬
ция ip(t) = f(x + t) + f(x — t) удовлетворяет следующему условию:

4.5. Дополнения и задачи
203
на (0,7г] имеет ограниченную вариацию функция
1 Ги
ф(и) = — I ip(t) dt.
и Jo
Пусть lim ф(и) = 25. Тогда lim Sn(x) = 5.
u—>0	га—*00
Доказательство. Заметим, что ip(t) = 0(£) +	при почти
всех t € [0, 27г]. Можно считать, что 5 = 0. В силу (4.5.4) равенство
lim Sn(x) = 0 равносильно соотношению
Г* sin^^t
lim / (pit)—— dt = 0,
n—00 Jo	sin \
/0	sm	g
которое ввиду теоремы Римана-Лебега сводится к равенству
2п+1 4
fit	:	2n±lf
lim I 0t(£)	—^— dt = 0,
n->°° Jo	*
ибо функция p(t)/ sin(£/2)fc—2у?(£)/£ интегрируема на [0,7г] из-за ограни¬
ченности функции 1/ sin(£/2)—2/t и 0' € ZJfO, 7г]. Мы имеем ф = 01—02,
где *01 и 02 возрастают. Можно считать, что lim ф\ (t) = lim 02(0 = 0.
Для данного £ > 0 найдем такое г) > 0, что ф\ (т?) < е. Тогда по второй
теореме о среднем получаем
П . sin 2B±±t	rn	gin	2^1*	r^+V2)n	ад „
/		Г—rft = 0i(T7) / 	—^—dt = 0i(ry) /	 dv,
Jo	*	Jt	*	J(n+l/2)£	v
где £ € [0,7/]. Поскольку функция sin г;/г; несобственно интегрируема
по Риману на (0, +оо), то существует такая постоянная С, что выра¬
жение в правой части полученного равенства по абсолютной величине
оценивается через Се. Остается заметить, что при фиксированном rj
oi
lim / 0i(*)~
n“>°%
-— dt = 0
frj	t
по теореме Римана-Лебега. Такое же рассуждение применимо и к 02,
что завершает доказательство.	□
Отметим, что функция ф абсолютно непрерывна и имеет ограни¬
ченную вариацию на каждом отрезке [5,27т] с 5 > 0. Поэтому условие
Валле-Пуссена — это ограниченность вариации в окрестности нуля.
4.5.5.	Пример, (i) (Признак Жордана) Если функция / имеет
ограниченную вариацию в окрестности точки х, то ряд Фурье / схо¬
дится в точке х к [/(х Ч- 0) -f /(х — 0)]/2. Если же функция / имеет
ограниченную вариацию на [0,27т] и непрерывна, то ее ряд Фурье схо¬
дится к ней в каждой точке.

204
Глава 4. Связь интеграла и производной
Действительно, если / в окрестности х имеет вид /1 — /2, где функ¬
ции /1 и /2 положительны и возрастают, то ф также имеет ограничен¬
ную вариацию. Это следует из того, что для монотонной функции д
(мы рассмотрим g(t) := fi{x +1) -f2(x-t) и g(t) := fi(x-t)-f2(x + t))
функция
G(x) = - f g(u) du
также монотонна (задача 4.5.25).
(ii)	(Признак Дини в терминах ф). Для сходимости ряда Фурье /
к S достаточна интегрируемость функции h(t) = (p{t)/t в окрестности
нуля. Действительно, мы имеем
■ф(и) = х(и) - - [ x(t) dt, x(t) = f h(s) ds.
u Jo	Jo
Это ясно из сказанного выше, ибо функция х имеет ограниченную ва¬
риацию.
Отметим, что признаки Дини и Жордана не вытекают друг из дру¬
га. Например, если f(x) = (lnx)-1 при х £ (0,1/2) и f(x) = 0 при
х £ [1/2, 27г), то в точке 0 выполнено условие Жордана, но не усло¬
вие Дини. Если же f(x) = -v/xsin(l/x) при х £ (0,7г) и f(x) = 0 при
х £ [7Г, 27г), то в точке 0 выполнено условие Дини, но не условие Жор¬
дана.
Сделаем несколько замечаний о скорости убывания коэффициен¬
тов Фурье.
(1) Если функция / удовлетворяет условию Гёльдера с показателем
а £ (0,1], т.е. | f(x + К) - f(x)\ < C\h\a, то
ап = 0(п~а), Ъп = 0(п_а), Сп = 0(п~а).
Действительно, замена t = s -f п/п дает
/*27Г	/»27Г	—7Г/п
I f(t) exp(—int) dt = — I	f(s + 7Г/n) exp(—isn) ds =
JO	J—tv/п
/»27Г
f(s + n/n) exp(-isn) ds.
/0
Следовательно,
1	f2*
Cn = —y= / [f(t) - f(t + 7Г/n)\ exp(—int) dt,
2V27T Jo
откуда и вытекает сказанное.
(2) Если функция / имеет ограниченную вариацию, то
ап = 0(п-1), Ьп = 0(п-1), Сп = 0(п~1).
f
Jo

4.5. Дополнения и задачи
205
Действительно, можно считать функцию / непрерывной слева, перео¬
пределив ее на счетном множестве точек разрыва. По формуле инте¬
грирования по частям для интеграла Стилтьеса имеем
Это видно из предыдущего, так как после интегрирования по частям
появляется коэффициент Фурье интегрируемой функции /7.
Приведем простое достаточное условие равномерной сходимости
ряда Фурье (доказательство отнесено в задачу 4.5.23).
4.5.6.	Теорема. Пусть / £ Сх[0, 2тт] продолжена 2п-периодически,
причем для всякого е > 0 найдется такое 5 > 0, что
т.е. функции t^t 1[f(x + t) — 2f(x) + f(x — t)\, х £ [0,27т], равномерно
интегрируемы. Тогда ряд Фурье сходится к f равномерно.
4.5.7.	Пример. Если функция / удовлетворяет условию Гёльдера
| f(x + t) - f(x)I ^ c\t\a, где a > 0, /(0) = /(2n), то ряд Фурье схо¬
дится к / равномерно. В частности, достаточно (задача 4.5.22), чтобы
функция / была абсолютно непрерывна и /' £ Lp[0,27т], где р > 1.
Для улучшения сходимости рядов часто используется суммирова¬
ние по Чезаро, т.е. переход от ряда с общим членом ап и частичными
суммами sn = X)fc=i ak к последовательности ап := ($! + ••• + sn)/n.
Если ряд £Г=1ап сходится к числу s, то к s сходится и последова¬
тельность ап, но указанное преобразование может дать сходящуюся
последовательность из расходящегося ряда (например, ап = (—1)п).
Еще один способ суммирования рядов называется суммированием по
Абелю. Он состоит в рассмотрении степенного ряда S(r) := Y^Li апГп
при г £ (0,1). Если суммы S(r) определены и имеют конечный предел
s при г —► 1, то s называется суммой ряда Ylan по Абелю. Если ряд
суммируем к числу s по Чезаро, то он суммируем к s и по Абелю (за¬
дача 4.5.13). Применительно к рядам Фурье суммирование по Чезаро
с помощью представления (4.5.3) и равенства
I f(t)exp(—int)dt=—in 1 /	ехр(—int) df(t),
Jo	Jo
что по абсолютной величине не превосходит n_1Vо2?г(/)-
(3)	Если функция / абсолютно непрерывна, то
ап = о(п~1), Ьп = о(п~1), сп = о(п~1).
= —гп
П— 1

206
Глава 4. Связь интеграла и производной
(оно следует из тождества 2sin^sin(2fc + 1 )z = cos 2kz — cos 2(к + l)z)
приводит к следующим суммам Фейера:
оп(х) := ‘g°^ +	+ Sn-i(x) _ f f(x +z)$n(z)dz,	(4.5.5)
П	J	о
где функция
ж / \	1	^	^	^ \ ^
Фп(г) := -— > 	г-~— = -— sin —/ sin -
2тг nf-^ smf 2тгп\ 2 х 2/
fc=o 2
называется ядром Фейера. Ядра Фейера неотрицательны, что карди¬
нально улучшает свойства сходимости.
С помощью (4.5.4) суммы Фейера можно записать в виде
°п(х) = [ [f(x + z) + f(x - z)№n(z) dz.	(4.5.6)
Jo
Для дальнейшего отметим равенства
Фп{г) dz = 1,	£ Фп(^) dz = i.	(4.5.7)
Для этого достаточно положить / = 1 в (4.5.5) и (4.5.6).
4.5.8.	Теорема. Если / — 2п-периодическая функция, интегриру¬
емая на [0,27г], то для всякой ее точки Лебега х (см. следствие 4.4.3)
оо
имеем f(x) = lim <rn(x) = — + lim Y^[an cosnx -f 6n sinnx]rn.
n—►oo	2	r—►!—	' ^
Доказательство. Ввиду задачи 4.5.13 достаточно доказать пер¬
вое равенство. Можно считать, что f(x) = 0. Кроме того, общий слу¬
чай сводится к случаю х = 0. Мы будем пользоваться представлени¬
ем (4.5.6). При 2 £ [0,7г] мы имеем Фп(г) ^ п/2, Фп&) < тг/(2nz2).
Первая оценка очевидна из того, что Фп является суммой п слагаемых,
не превосходящих по абсолютной величине 1/2, так как
| sin(^/2)| ^ И/7Г,	|	sin(fc	+	1/2)г|	<	n\z\.
Вторая оценка следует из того же неравенства для sin(z/2) и нера¬
венства | sin(nz/2)|2 < 1. Используя первую оценку при 2 £ [0,1 /гг],
а вторую при z > 1 /п, мы получаем
/ [\f(z)\ + \f(-z)\\$n(z)dz^
< 1	[|№)|	+1/(-2)0 А + i Г 11/(г)1^/("г)11 *■

4.5. Дополнения и задачи
207
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю ввиду предположе¬
ния, что х = 0 является точкой Лебега и /(0) = 0. Второе слагаемое
с помощью интегрирования по частям с использованием функции
f(z)= fz[\m\ + \f(-t)\]dt
Jo
приводится к виду
[F(7r)7T-2 - Р(п-г)п2] + - / F(z)z~3 dz.
2nL	J n J1/n
Это выражение стремится к нулю при п —» оо. В самом деле, по ука¬
занной выше причине F(z) < i>{z)z, где ф — ограниченная положи¬
тельная измеримая функция с Мтф^) = 0. Поэтому nF{n~l) —> 0,
F(z)z~3 < ip(z)z~2. Для данного е > 0 найдем такое S > 0, что ф(z) ^ е
при z ^ 5. Затем подберем такое N > 5~1, что п~г J ^(z)z~2 dz < е
при всех п > N. При таких п мы имеем
г5
/И 7	-	^	— -1 /
fl/n	Jl/n
что завершает доказательство.	□
Покажем, что в случае непрерывной функции суммы Фейера схо¬
дятся к ней равномерно на [0,27т], а в случае интегрируемой функции
сходимость имеет место в метрике /^[О,27т]. Ряд Фурье таких свойств
не имеет (см. задачу 6.10.85).
4.5.9.	Теорема. Пусть / — 2п-периодическая функция, интегри¬
руемая на [0,27г]. Тогда
/»27Г
/*7Г	р5
1 I ф(z)z~2 dz < n-1 I	ф(.z)z~2 dz + e	2e,
Jl/n	Jl/n
lim /	\f(x)—<jn(x)\dx	=	0.
n~*°° Jo
Если же функция f непрерывна, mo lim sup | f(x) — сгп(ж)| = 0.
n_>0° же[0,2тг]
Доказательство. Предположим сначала, что функция / непре¬
рывна. Оценим разность |f{x) — сгп(х)|. Из (4.5.6) и (4.5.7) находим
f(x) - ап{х) = [ [2f{x) - f(x + z)~ /(х - г)]ф„(г) dz.
Jo
Достаточно оценить интеграл от \2f(x) — f(x+z) — f(x — z)^n(z). Поло¬
жим С := supyGj0,27r] \f(y)\- Пусть e > 0. Ввиду равномерной непрерыв¬
ности / найдется такое S £ (0,1), что | f(x) — f(y)| < е при \х — у\ ^ 6.

208
Глава 4. Связь интеграла и производной
Поэтому интересующий нас интеграл не превосходит
2е+ [ |2f(x)—f(x + z)- f(x - г)\Фп(г) dz ^ 2s + 4С [ Фп(-гО dz <
Js	Js
2-кС Г _2j	2nC
^ 2£ H I z dz ^ 2e H —,
n Js	nd
где мы использовали оценку Фп(^) < 2~1жп~1z~2 из доказательства
предыдущей теоремы. При достаточно больших п правая часть не пре¬
восходит Зе, откуда следует равномерная сходимость ап к /. В слу¬
чае лишь интегрируемой функции для заданного е > 0 найдем такую
непрерывную функцию д, что #(0) = <?(27г) и
/•27Г
| f(x) - 5(х)| dx < е.
/о
По доказанному суммы Фейера сг£ для д сходятся к д равномерно, а по¬
тому и в метрике L1, т.е. найдется такое N, что
(*27Г
|д(х) — (т^(х)\ dx < е при п ^ N.
/о
Осталось сравнить суммы Фейера а? для / с сг^. Мы имеем
р2п	р2ж
f
Jo
f
Jo
fZTT	fZlT	flit
/	-aan(x)\dx < /	/	\f(x	+	z)	-	g{x	+	г)\Фп(г) dz dx =
Jo	Jo	Jo
p2n р2тг	*2тт
—	/	\f(x + z) — g(x + z)\&n{z)dxdz^e I	Фn(z)dz	= e.
Jo Jo	Jo
Используя равенство f — с= f — g + g — ^	^ и неравенство
треугольника, оцениваем интеграл от |/ — <т£\ через Зе при п ^ N. □
Известно, что если тригонометрический ряд сходится всюду, кроме
не более чем счетного множества точек, к конечной интегрируемой по
Лебегу функции, то этот ряд является рядом Фурье своей суммы (см.
Харди, Рогозинский [225, с. 144]). Напомним, что ряд Фурье интегри¬
руемой функции может не сходиться ни в одной точке. Тем не менее,
ряды Фурье обладают следующим удивительным свойством интегри¬
руемости.
4.5.10.	Теорема. Пусть / £ Сг[0,27т]. Тогда для всякого отрезка
[а, Ъ] С [0, 27г] справедливо равенство
I f(x)dx= lim I Sn(x)dx.
Ja	n^°°	Ja
Таким образом, ряд Фурье интегрируемой функции можно почленно
интегрировать независимо от того, сходится он или нет.

4.5. Дополнения и задачи
209
Доказательство. Можно считать, что а = 0. Положим
F(x)= / f(y)dy.
Jo
Функция F абсолютно непрерывна, поэтому ее можно разложить в схо¬
дящийся ряд Фурье F(x) = Ао/2 + (Ai cos пх + Bnsinnx). Фор¬
мула интегрирования по частям дает
1 [2ж	1	/*2?г	Ъп
Ап = — I F(x)cosnxdx = I f(x)sinnxdx = —”.
к Jo	™Jo	п
Аналогично Вп = ап/п. Итак,
оо
F(x) = Ао/2 + ^ п~г (ап sin пх — Ъп cos пх).
71=1
При х = 0 находим Ао/2 = Y^Li Wn- Окончательно получаем
оо
F(x) = п~г[ап sin пх — bn( 1 — cosnx)],
71=1
что совпадает с пределом интегралов от Sn по [0,х]. Поскольку это
верно для всякой точки х, то теорема доказана.	□
Попутно мы установили следующий неочевидный факт.
4.5.11. Следствие. Для всякой интегрируемой на [0,27т] функ¬
ции f ряд Ьп/п сходится.
Про тригонометрические и ортогональные ряды см. Ахиезер [13],
Бари [19], Зигмунд [85], Кашин, Саакян [95], Суэтин [199], Харди,
Рогозинский [225], Эдвардс [244], Garsia [354], Grafakos [369], Kufher,
Kadlec [426], Olevskii [472], где можно найти дополнительные ссылки.
Задачи
4.5.12.° Пусть /л — мера на пространстве X и функция / на А х [а, Ь]
такова, что функции х /(х,£) интегрируемы, а функции t \-+ f(x,t) абсо¬
лютно непрерывны, причем функция df/dt интегрируема относительно /к8)А,
где А — мера Лебега. Доказать, что функция t»—► J /(£, х) p(dx) абсолютно
Г df(x,t) ,	.
непрерывна и ее производная п.в. равна J —щ— ц{ах).
4.5.13. Доказать, что если ряд суммируем к числу s по Чезаро, то он
суммируем к s и по Абелю (см. §4.5(ii)).
4.5.14. Пусть Е С IR1 — множество лебеговской меры нуль. Построить
липшицеву функцию на IR1, не дифференцируемую в точках Е.

210
Глава 4. Связь интеграла и производной
4.5.15.° Пусть fn — возрастающие абсолютно непрерывные функции
на [0,1], причем f(t) =	fn(t)	<	оо. Доказать, что функция / абсолютно
непрерывна.
4.5.16? Пусть функция / на [а, Ь] такова, что для всякого е > 0 найдется
такое 8 > 0, что |1^=1 [/(&*) — /(а0]| < ^ для каждого конечного набора по¬
парно непересекающихся отрезков [а*, Ы] в [а, Ь] с \Ы — сц\ < е. Доказать,
что функция / абсолютно непрерывна.
4.5.17. Пусть функция / на [а, Ь] такова, что для всякого € > 0 най¬
дется такое 8 > 0, что для каждого конечного набора отрезков [а®, Ь®] в [а, Ь]
с J2i=i |bi — а®| < е имеем	1 f(bi) — /(а*)| < 8 (отрезки могут пересекать¬
ся). Доказать, что функция / липпшцева.
4.5.18. Пусть функция / на [а, Ь] такова, что для всякого счетного набо¬
ра отрезков [а®, 6®] в [а,Ь] с |Ь® — а®| < оо имеем Ylih I/(&*) — /(а*)1 < 00
(отрезки могут пересекаться). Доказать, что функция / липпшцева.
4.5.16? Доказать следующую теорему Хелли: из всякой равномерно огра¬
ниченной последовательности возрастающих функций на отрезке можно вы¬
делить поточечно сходящуюся подпоследовательность.
4.5.20? Доказать, что функция / на [0,1] имеет ограниченную вариацию
в точности тогда, когда | f(t) — /(s)| g(t) — g(s) при t>s, где д — некоторая
возрастающая функция.
4.5.21. Построить пример непрерывной возрастающей функции на [0,1]
с плотным множеством точек недифференцируемости.
4.5.22. Пусть функция / абсолютно непрерывна на [0,1] и /' € Ьр[0,1],
где р > 1. Доказать, что |/(t) - /(s)| < C\t - s|“, где С = ||/'||w, а = 1 - 1/р.
4.5.23. Доказать теорему 4.5.6.
4.5.24. Доказать следующее неравенство Чебышёва для монотонных
функций: если (риф — неубывающие конечные функции на [0,1], а ^ —
вероятностная; плотность на [0,1], то
Если же (р возрастает, а ф убывает, то верно противоположное неравенство.
4.5.25. Пусть функция д монотонна на [0,1]. Доказать, что функция
также монотонна.
4.5.26. Пусть функция F на [0,1] имеет ограниченную вариацию и не¬
прерывна слева. Из предложения 4.4.7 имеем разложение F = Fac + FSmg,
где функция Fac абсолютно непрерывна и Fs'ing(£) = 0 п.в. Доказать, что
справедливо равенство V(F, [0,1]) = V{Fac, [0,1]) -f V(FSing, [0,1]).
4.5.27. Пусть функция / непрерывна и строго возрастает на [0,1]. Дока¬
зать, что функция /_1 абсолютно непрерывна в точности тогда, когда мно¬
жество {х: f'{x) = 0} имеет меру нуль.

Глава 5
Нормированные и евклидовы
пространства
В этой главе обсуждаются основные геометрические и тополо¬
гические свойства нормированных и евклидовых пространств —
важнейших типов пространств функционального анализа.
5.1.	Нормированные пространства
Из курса линейной алгебры известно понятие линейного (или
векторного) пространства.
5.1.1. Определение. Линейное пространство X над полем
вещественных или комплексных чисел называется нормирован¬
ным, если оно наделено функцией || • || —> [0, +оо), называемой
нормой и удовлетворяющей следующим условиям:
(i) ||х|| = 0 лишь при х = О,
(ii) \\ах\\ = Н||ж|| для всех х £ X и всех скаляров а,
(iii) (неравенство треугольника) ||х + у|| ^ ||#|| + ||у|| для всех
векторов х, у £ X.
Из условий (i) и (iii) ясно, что всякое нормированное про¬
странство оказывается метрическим пространством, если в каче¬
стве расстояния между х и у взять \\х — у||. Нетрудно проверить,
что отображения {х, у} »—> х + у и {а, х} н-> ах непрерывны.
В классе нормированных пространств имеется важный под¬
класс евклидовых пространств (называемых так в честь выдаю¬
щегося античного математика Евклида).
5.1.2. Определение. Линейное пространство X над полем
вещественных или комплексных чисел называется евклидовым,
если на ХхХ задана функция (•, •) со значениями в соответ¬
ствующем поле скаляров и выполнены следующие условия:

212
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
(i) (ж, х) ^ 0, причем (х, х) — 0 лишь при х = 0,
(ii) (х,у) = (у,х) для всех х, у Е X (в вещественном случае
это значит, что (х,у) = (у,х)),
(iii) (ах + /?г/, z) = а(х, z) + /?(у, z) для всех x,y,z 6 X и всех
скаляров а, (3.
Функция с указанными свойствами называется скалярным
произведением. Если (а, Ь) = 0, то пишут a J_ Ь и называют
векторы а и b взаимно ортогональными.
Отметим, что в комплексном случае (ж, ау) = а(х,у). В этом
случае говорят, что скалярное произведение сопряженно-линейно
по второму аргументу.
Положив ||х|| := у/(х,х), получаем норму на евклидовом про¬
странстве X (называемую евклидовой нормой). Неравенство тре¬
угольника после очевидных преобразований сводится к неравен¬
ству Коши-Вуняковского
\(х,у)\2 < (х,х)(у,у),
вытекающему из того, что (х + ty,x + ty) ^ 0 при всех t € ГО.1.
Комплексный случай аналогичен.
Поскольку нормированные и евклидовы пространства оказы¬
ваются метрическими пространствами, то можно говорить об их
полноте (относительно метрики, порожденной нормой).
5.1.3. Определение. Полное нормированное пространство
называется банаховым пространством. Полное евклидово про¬
странство называется гильбертовым пространством.
Терминология связана с именами выдающихся математиков
Стефана Банаха и Давида Гильберта.
Рассмотрим важнейшие примеры евклидовых пространств.
5.1.4. Пример, (i) Множество 12 бесконечных вещественных
последовательностей х = (хп) таких, что	\хп\2	<	сю?	явля¬
ется евклидовым пространством со скалярным произведением
оо
(Х>У) = '^хпуп.
71=1
В комплексном случае надо положить
оо
(х, у) =У^ Хпуп.
71=1
Пространство I2 полно, т.е. гильбертово (а потому и банахово).

5.1. Нормированные пространства
213
(ii)	Рассмотрим пример, предполагающий минимальное зна¬
комство с материалом глав 2 и 3. Пусть р — неотрицательная
счетно-аддитивная мера на пространстве Q, и L2(p) — класс экви¬
валентностей квадратично-интегрируемых функций, введенный
в гл. 3. Скалярное произведение на L2(p) вводится по формуле
(f,g)= f /Mfl'Mju(dw),
JSl
где под интегралом фигурируют произвольные представители
классов эквивалентности. Пространство L2(p) полно. Однако ес¬
ли ограничиться лишь интегрируемыми по Риману функциями,
то получится неполное пространство. Здесь видно одно из пре¬
имуществ интеграла Лебега.
Множества {х: ||ж|| ^ 1} и {х: ||ж|| = 1} в нормированном
пространстве называются единичным шаром и единичной сферой.
Не всякая норма может быть получена из скалярного произ¬
ведения. Простейшим примером является следующая норма на
плоскости: ||ж|| = max(|a;i|, |#2|)- Единичный шар по этой нор¬
ме — квадрат. Имеется следующий критерий (теорема Йордана-
фон Неймана) того, что данная норма || • || на линейном про¬
странстве X порождается скалярным произведением: равенство
параллелограмма
ll* + I/||2+||*-yf = 2|M2 + 2|M2
должно быть выполнено для всех х,у Е X. Необходимость это¬
го условия проверяется тривиально, а достаточность отнюдь не
очевидна (см. задачу 5.6.36).
Наличие линейной структуры позволяет рассматривать в нор¬
мированных пространствах сходимость не только последователь¬
ностей, но и рядов. Будем говорить, что ряд X)n^=i хп из векторов
нормированного пространства X сходится к вектору х Е X, если
выполнено равенство lim \\х — У)™! хп\\ =0.
га—►оо"	11
5.1.5.	Предложение. Полнота нормированного простран¬
ства X равносильна тому, что из сходимости числового ряда
из норм YlnLi \\хп\\ следует сходимость ряда из векторов хп.
Доказательство. Если X полно, то ряд из таких векторов
сходится, ибо неравенство треугольника показывает фундамен¬
тальность последовательности его частичных сумм. С другой сто¬
роны, пусть сходимость ряда из норм влечет сходимость самого

214
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
ряда. Пусть {хп} — фундаментальная последовательность в X.
Возьмем подпоследовательность {хПк} с \\хПк —хПк+1\\ ^ 2~к. То¬
гда сходится ряд из хПк — хПк+1, что означает сходимость после¬
довательности хП1 —хПк. Значит, сходится и {хп}.	□
5.1.6. Определение. Пополнением нормированного прост¬
ранства X называется такое банахово пространство X, что
X вложено линейно и изометрично в качестве всюду плотного
линейного подпространства в X.
Пополнением евклидова пространства X называется такое
гильбертово пространство X, что X вложено линейно с сохра¬
нением скалярного произведения в качестве всюду плотного ли¬
нейного подпространства в X.
5.1.7. Замечание. В следующей главе (предложение 6.4.6
и замечание 6.5.2) описана простая и естественная конструкция
пополнения произвольного нормированного или евклидова про¬
странства. Здесь укажем, что по аналогии с известной из анали¬
за процедурой пополнения множества рациональных чисел (см.
задачу 1.9.30) можно взять в качестве пополнения нормирован¬
ного пространства X пространство X классов эквивалентности
всех фундаментальных последовательностей х = (хп) простран¬
ства X, считая х = (хп) и у = (уп) эквивалентными, если фун¬
даментальна последовательность х\, yi,..., жп, уп,..., причем ли¬
нейные операции задаются покомпонентно, а норма вводится так:
\\х\\ := lim ||жп||. В случае евклидова пространства полагаем еще
71—>00
(х у) lim (xnjyn). Несложное обоснование предлагается в ка-
71—>00
честве задачи 5.6.16. Отметим, что пополнение в категории общих
метрических пространств еще не решает нашу задачу, ибо теперь
требуется согласование с линейной структурой.
Наименьшее линейное подпространство, содержащее множе¬
ство А в линейном пространстве X, называется линейной обо¬
лочкой А или линейным подпространством, порожденным А. Ес¬
ли X нормировано, то замкнутая линейная оболочка А — это
наименьшее замкнутое линейное подпространство, содержащее А
(оно совпадает с замыканием линейной оболочки А).
Если даны нормированные пространства Xi,...,Xn, точих
произведение Х\ х Х% х • • • х Хп, состоящее из всех наборов ви¬
да х = (#i,... ухп) с Xi Е Xi, наделяется естественной линейной

5.1. Нормированные пространства
215
структурой (с покомпонентными операциями) и нормой
Ill'll ~ 11*^1 Их! “Ь * * * “Ь 11жп|1хп *
Это пространство называют также прямой суммой Х\,... Дп
и обозначают через Х\ ® ••• ®ХП. В случае евклидовых про¬
странств Xi,..., Хп на X вводятся скалярное произведение
(ж,у) := (®i,yi)Xl +	1-	(ж„,у„)Хп	и	норма
М ~ (INlllJ. + •• • + ||^»1и„)1/г-
Легко проверить, что если все X* полны, то полно и X.
Если даны нормированное пространство X и его замкнутое
линейное подпространство У, то фактор-пространство Х/У, со¬
стоящее из классов смежности [ж] = х + У, становится нормиро¬
ванным пространством относительно нормы
IINil ==inf{IM|: zE[x]}.
Действительно, если \\[х\\\ = 0, то найдутся векторы zn Е [х]
с \\zn\\ -» 0. Имеем zn = х + уп, где уп Е У. Поэтому уп -» -ж
ихбУ ввиду замкнутости У, т.е. [ж] = 0. Если 2 Е [ж], zf Е [ж'],
то 2 + г' 6 [ж + ж']. Поэтому ||[ж] + [ж']|| < Цг + zf\\ ^ ||г|| + ||z'||.
Значит, || [ж] + [ж'] || ^ || [ж] || + || [ж'] ||. Аналогично проверяем, что
ЦЛ[ж] || = |Л| || [ж] ||.
Если X полно, то Х/У также полно относительно введенной
нормы. Действительно, пусть элементы [хп] таковы, что сходится
ряд из их норм. Возьмем такие xfn Е [жп], что ||ж^|| < ||[#п]|| + 2_п
при всех п. Тогда ряд из х'п сходится к некоторому ж Е X. Легко
видеть, что ряд из [хп\ сходится в Х/У к [ж].
Следует иметь в виду, что банахово пространство X не обяза¬
но быть линейно гомеоморфным произведению Ух(Х/У), где У —
замкнутое линейное подпространство в X. Более того, в X может
не быть подпространств, изоморфных Х/У (см. задачу 6.10.103).
Введем также комплексификацию нормированного простран¬
ства X и евклидова пространства Е следующим образом. Ком¬
плексное пространство Хс есть пространство X х X, векторы
которого обозначаются посредством ж + гу, где ж, у 6 X, опе¬
рация сложения задана естественным образом, а умножение на
комплексные числа а + г/9, где а,/9 Е И1, задано так:
(а + г/9)(ж + гу) := ах - /3у + i(ay + /9ж).
Норма на Хс задается формулой ||ж + гу|| ••= INI + Hi/ll-

216
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
В случае евклидова пространства Е конструкция аналогична,
но вместо указанной нормы задается скалярное произведение по
формуле
(х + iy,u + iv) := (х, и) - (у, v) + г(у, и) - i(x, г;).
Легко проверить, что Хс и Ес — нормированное и евклидово
пространства, причем они полны, если были полны X и Е.
Наконец, отметим, что если в определении нормы отказаться
от условия j|ж || > 0 при х ф 0, то получим определение полунор¬
мы. Полунормы играют важную роль в функциональном анализе
и обсуждаются по разным поводам ниже (см. также гл. 8). Ли¬
нейное пространство X с полунормой р иногда называют пред-
нормированным пространством. Множество Хо := р-1(0) явля¬
ется линейным подпространством. Фактор-пространство Х/Хо
также становится нормированным пространством, если положить
|| [х] || := р(х) для всякого класса эквивалентности [х] с предста¬
вителем х. Определение корректно, ибо ввиду неравенства тре¬
угольника имеем р(х + z) = р(х) при p(z) = 0.
5.2.	Примеры
Приведем список наиболее употребительных банаховых про¬
странств функционального анализа. Эти пространства играют
важную роль в теории. Кроме того, они используются в приложе¬
ниях для построения других пространств (либо как «блоки» для
построения более сложных объектов, либо как образцы методов
построения).
5.2.1.	Пример, (i) Множество B(Q) всех ограниченных ве¬
щественных (или комплексных в комплексном случае) функций
на непустом множестве Q с поточечно заданной линейной струк-
турой, т.е. (/ + д)(ш) = /(а;) + д(ш), (Xf)(w) = Af(w), является
банаховым пространством с нормой
11/11 = sup |/(ж)|.
xeti
(ii) При Q = IN получаем в (i) пространство 1°° ограниченных
вещественных последовательностей с нормой
||х|| = sup|xn|.
П
(iii) Пространство cq состоит из всех вещественных последо¬
вательностей, стремящихся к нулю, и наделяется той же нормой,
что и /°° в (И); оно тоже банахово, ибо замкнуто в 1°°.

5.2. Примеры
217
(iv) Пространство С [а, Ь] всех непрерывных (вещественных
или комплексных в зависимости от поля скаляров) функций на
отрезке [а, Ь] банахово с нормой ||/|| = suptG[a 6] |/(£)|.
(v) Пусть 1 ^ р < оо. Пространство 1Р бесконечных веще¬
ственных последовательностей х = (жх, Ж2,..., хп,.. .)> Для кото¬
рых	\хп\р	<	оо,	наделенное	линейной	структурой
(жЬ Ж2,. . .) + (уь 2/2 j • • •) = (xi + Уъ х2 + У2,. . •)>
А(жх, Ж2,...) = (Ажх, Ла?2,...)? банахово с нормой
(vi)	Пусть (П,Д,//) — пространство с неотрицательной ме¬
рой, 1 < р < оо и LP{p) — пространство классов эквивалентности
//-измеримых функций (вещественных или комплексных в зави¬
симости от поля скаляров), интегрируемых в степени р. Сложение
элементов и умножение на скаляр задаются с помощью предста¬
вителей классов эквивалентности (сумма классов эквивалентно¬
сти с представителями / и д задается представителем f+g). Тогда
LP{p) банахово (Т2(//) гильбертово, см. пример 5.1.4) с нормой
где под интегралом фигурирует произвольный представитель
класса эквивалентности /, обозначаемый тем же символом.
Обоснование сказанного — задача 5.6.13.
Приведем менее элементарный пример, показывающий, как
нормы стандартных пространств используются для построения
более сложных пространств (его частный случай уже обсуждался
в примере 3.12.9). Еще одним важным примером этого служат
пространства Соболева, обсуждаемые в главе 9.
5.2.2.	Пример. Пусть П С С открыто, 1 ^ р < оо и АР(П) —
пространство Бергмана таких голоморфных в П комплексных
функций /, что |/| £ -^(П), где П рассматривается с плоской
мерой Лебега. Тогда пространство Ар(£1) с нормой из 1^(П) яв¬
ляется банаховым (в отличие от пространства вещественно-ана¬
литических функций на (0,1) с нормой из 1^(0,1)), причем A2(Q)
гильбертово. Кроме того, пространство ЛР(П) сепарабельно, а ес¬
ли П — круг, то многочлены плотны в ЛР(П).
71=1

218
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Доказательство. Пусть последовательность {/п} фунда¬
ментальна в АР(П). Тогда она сходится в 1^(17) к некоторой функ¬
ции / €	Однако нам требуется показать, что эта функция
/ имеет модификацию, голоморфную в П. Покажем, что на вся¬
ком замкнутом круге К С П последовательность {/п} сходит¬
ся равномерно. Из этого, как известно из комплексного анализа,
следует голоморфность предела. Ясно также, что предел почти
всюду совпадает с / (ибо к / почти всюду сходится некоторая
подпоследовательность в {/г})- Возьмем замкнутый круг S С П
с тем же центром, что и if, но радиуса, большего на S > 0, чем
радиус if. Нужная сходимость вытекает из следующей оценки
для всякой функции <р € Ар(0,) при zq £ if:
\<рЫ)\ < ^2 J \v(x + iy)\dxdy ^ 1г~11рЬ~2,рМ\ьр(П)-	(5-2.1)
Указанная оценка выводится из формулы Коши
ч>Ы) = y^[
27гг У7г го - zo
где 7Г — окружность радиуса г ^ 8 с центром в 2о- Записав эту
формулу в полярных координатах и умножив обе части на г > О,
приходим к оценке
г Г2ж	а
r\<p(z0)\ < — уо l^o + re% )|de,
интегрируя которую по г от 0 до 5, получаем неравенство
^2|^(-го)| < - I \<p(x + iy)\dxdy,
К JK(zo,S)
где K(zq, S) — круг радиуса 8 с центром zq. Это приводит к оцен¬
ке (5.2.1), ибо L1-норма ц> на K(zq,8) по неравенству Гёльдера
оценивается через (тг<52)1-1/р||<£||lp(Q)- Сепарабельность АР(С1) яс¬
на из того, что они являются подпространствами сепарабельных
пространств IP (Cl) (см. пример 3.8.7). Тот факт, что многочле¬
ны плотны в Ар(£2) в случае, когда £2 — круг, доказывается так
же, как и в примере 3.12.9. Можно показать, что при 1 < р < оо
функции из AP(U), где U — единичный круг, приближаются по
норме своими рядами Тейлора, но при р = 1 это не так (см. Duren,
Schuster [335]). Так как L2(p) гильбертово, то таково и A2(Cl).	□

5.3. Шары в нормированных пространствах
219
На одном и том же линейном пространстве существует мно¬
жество различных норм. Две нормы р и q называются эквива¬
лентными, если существуют такие числа с\ и С2, что
cip(x) < q(x) < С2р(х) для всех х.
Не всякие две нормы сравнимы. В качестве примера укажем та¬
кие две нормы на пространстве многочленов на [0,1]:
р(х) = [ \x(t)\dt + |а/(0)|, д(х) = max |a?(t)|.
Jo	*€[0,1]
Ни одна из этих норм не оценивается через другую.
Отметим, что норму можно ввести на всяком линейном про¬
странстве X. Для этого достаточно взять алгебраический базис
(базис Гамеля) {^а} в X. С помощью аксиомы выбора в §1.1 дока¬
зано, что всякое линейное пространство обладает алгебраическим
базисом. Положим
р(х) = |®в1 ! + ••• + |жап I при X = Xaivai + • • • + X anvan.
Получаем норму на X. Правда, стоит отметить, что такие нор¬
мы на бесконечномерных пространствах используются лишь для
построения каких-либо контрпримеров и не встречаются в реаль¬
ных приложениях.
5.3.	Шары в нормированных пространствах
В следующей теореме заключено характеристическое свой¬
ство конечномерных линейных пространств.
5.3.1.	Теорема. На всяком конечномерном линейном про¬
странстве X все нормы эквивалентны.
Доказательство. Возьмем в X базис ei,...,en и с помо¬
щью разложения х = х\в\ + Ь хпеп введем норму
р{х) = |®i| н 1- |ж„|.
Пусть q — еще одна норма на X. Положим с = тах* д(е*). Тогда
п
я(х) < \xi\q(ei) < ср(х).
г=1
В частности, |q{x) — q(y)\ < q(x — у) < ср(х — у), т.е. функция q
липшицева, а потому и непрерывна на X с нормой р. Легко ви¬
деть, что единичная сфера 5 = {х: р(х) = 1} в X с нормой р

220
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
компактна. Значит, функция q достигает на этой сфере миниму¬
ма т. При этом т > 0, так как q не обращается в нуль вне нуля.
Из оценки q(x) ^ т на S следует оценка q(x) ^ тр(х) на X, ибо
q(tx) = \t\q(x) и p(tx) = \t\p(x). Итак, тр(х) < д(ж) < ср(х). □
Используя тот очевидный факт, что конечномерное простран¬
ство с указанной в доказательстве нормой р полно, а его замкну¬
тые шары компактны, получаем ряд полезных следствий.
5.3.2. Следствие. В конечномерном линейном пространст¬
ве замкнутые шары и замкнутые сферы компактны.
5.3.3. Следствие. Всякое конечномерное нормированное
пространство полно.
5.3.4. Следствие. Всякое конечномерное линейное подпро¬
странство нормированного пространства замкнуто.
Иная ситуация в бесконечномерных пространствах: здесь ша¬
ры положительного радиуса не могут быть компактными. Это
вытекает из следующего результата.
5.3.5. Теорема. Пусть Хо — замкнутое линейное подпро¬
странство в нормированном пространстве X, отличное от X.
Тогда для всякого е > 0 найдется такой вектор х£ Е X, что
\\х£\\ = 1 и \\х£ — у|| > 1 — е для всех у Е Хо.
Доказательство. По условию найдется элемент г е Х\Хо-
Положим
6 = inf{||z - 2/||: у е Х0}.
В силу замкнутости Хо имеем S > 0. Выберем такое ео > 0, что
5/(6 + ео) > 1 — е. Возьмем у0 Е Xо с \\z - уо\\ < 5 + ео. Пусть
х£ = (z — yo)/\\z — Уо||- Тогда для всякого у Е Хо получаем
1	5
" у"= IF^11 г “ *" “||г “ы'у 11 * ^ > 1 “£’
ибо v := Уо + IIz - j/о|| * У € Х0 и потому ||z - v\\ ^ 5.	□
5.3.6. Замечание. Если подпространство Хо конечномерно,
то существует такой элемент ж, что ||#|| = 1 и \\х — у\\ ^ 1 для
всех у Е Хо- Действительно, в изложенном доказательстве можно
воспользоваться компактностью шаров в Хо и выбрать у о так, что
||2-Уо|| = 6.

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
221
5.3.7. Следствие. Во всяком бесконечномерном нормиро¬
ванном пространстве X найдется бесконечная последователь¬
ность векторов хп с \\хп\\ = 1 и ||яп—ж*;|| ^ 1 при пф к. Значит,
все шары в X положительного радиуса некомпактны.
Доказательство. С помощью предыдущего замечания по
индукции легко построить последовательность векторов хп еди¬
ничной длины с \\хп — Xk\\ ^ 1 при пф к.	□
Отметим еще один полезный факт, идейно близкий содержа¬
нию этого раздела. Алгебраическая сумма множеств Х\ и X<i в ли¬
нейном пространстве определяется как
Хо + -^1 := {Х1 + ж2 : Х\ £ Х\,Х2 € Х2}.
5.3.8. Предложение. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство в нормированном пространстве X. Тогда для
всякого конечномерного линейного подпространства Х\ в X ал¬
гебраическая сумма Хо + Х\ замкнута.
Доказательство. Утверждение сводится к одномерному
пространству Xi, порождаемому вектором v (n-мерный случай
получается п-кратным применением одномерного). Можно счи¬
тать, что v не входит в Xq. Тогда ввиду замкнутости Хо имеем
dist(v, Хо) = inf{||v — ж||: х Е Хо} > 0. Пусть элементы вида
Уп = хп + Апг;, где хп Е Хо? сходятся к у Е X. Заметим, что
dist(Av, Хо) = |A|dist(?;,Xo)
для всех скаляров А. Так как уп — Ук = (An — ^k)v ~ (хк ~ #п)? гДе
хк~хп € Хо, то ||уп - укII ^ |An - Afc|dist(?;,Xo). Итак, последо¬
вательность {Ап} фундаментальна и сходится к некоторому чис¬
лу А. Тогда существует х = lim хп Е Хо. Значит, у = х + Аг;. □
п—►оо
5.4.	Ортонормированные системы, базисы и проекции
Важнейшими понятиями, относящимися к евклидовым про¬
странствам, являются ортогональные проекции и базисы.
5.4.1.	Определение. Система взаимно ортогональных век¬
торов единичной длины в евклидовом пространстве X называ¬
ется ортонормированной.
Такая система {еа} называется ортонормированным бази¬
сом в X, если для всякого х Е X найдутся не более чем счетная
подсистема {еап} С {еа} и конечный или счетный набор скаля¬
ров {сп}, для которых х =	г&е ряд сходится в X.

222
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Система векторов называется полной, если ее линейная обо¬
лочка плотна. Ортонормированный базис — полная система.
Числа Сп, называемые коэффициентами Фурье ж, однозначно
задаются равенствами
Cfl	(*£> ^OLn )*
Это следует из непрерывности скалярного произведения: если
ип —> и и vn —> v по норме в X, то (*ип, г;п) —► (гл, г;) ввиду оценки
|(«п,«п) - («,«)| = |(«n,«n) - (Un,v) + (Un,v) - (u,v)| <
< ll«nll IK - v\\ + И IK - «II-
Из этого же следует равенство Парсеваля:
оо
М2 = £ы2.	(5.4.1)
71=1
Таким образом, если ряд X)n^=i °rien п0 ортонормированной
системе {еп} сходится по норме, то ]T)nLi fchl2 < 00• Обратно,
сходимость последнего ряда дает фундаментальность последова¬
тельности сумм Yln=i Спвп, а в случае полного X и их сходимость.
5.4.2.	Теорема. (Неравенство Бесселя) Пусть {еа} -
ортонормированная система в евклидовом пространстве X. То¬
гда для каждого х Е X множество всех тех а, для которых
(ж,еа) ф 0, не более чем счетно, причем
5^|(ж,еа)|2 < (ж, ж).	(5.4.2)
а
Доказательство. Для всякого конечного ортонормирован-
ного набора ei,..., еп имеем (х — Ya=i(x> ei)ei) -L ej Для всякого
j = 1,..., п. Поэтому
71	71	П	71
(®,52(*,e<)ei) =	=^|(ж,е*)|2.
i=l	г=1	г=1	г=1
Левая часть оценивается через ||х||	1(ж5 ег)12)1^2 в СИЛУ нера¬
венства Коши-Буняковского, что дает оценку
£|(*,е()|2«И2.
1=1
Следовательно, неравенство Бесселя верно и для всякой счетной
ортонормированной системы. В частности, для всякого натураль¬
ного числа к может существовать не более чем fc||#||2 индексов а

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
223
с \(х,еа)\2 ^ 1 /к. Это показывает, что отличными от нуля числа
(х,еа) могут быть лишь для конечного или счетного семейства
индексов а.	□
5.4.3. Лемма. Пусть Eq — линейное подпространство ев¬
клидова пространства Е, а Е Е, a ё Eq. Тогда следующие усло¬
вия равносильны для вектора Ъ ё. Eq:
(i) а — Ъ _L Eq, т.е. (а — Ъ, х) = 0 для всех х € Eq\
(ii) ||а — 6|| = inf{||a - х\\: х € Eq}.
Доказательство. Пусть а — Ь JL Eq. При х £ Eq имеем
||а — х\\2 = \\а — Ь + Ь — х\\2 —
= (а — Ъ, а — b) + 2Re (а — Ъ, Ъ — х) + (b — х, b — х) —
= ||а-Ь||2 + Ц6- *||Ъ||«-Ь||2.
Пусть выполнено (ii). Предположим, что существует xq 6 Eq, для
которого (а — b,#o) 7^ 0. Можно считать, что ||#q|| = 1. Тогда
а — Ь = Ъ + (а — Ь — Ь), Ь = (а — Ь, #о)#о*
Заметим, что Ь J_ а — Ъ — Ь, ибо Ъ пропорционален #о и
(ж0>a-b-Ъ) = (х0,а - Ь) - (а - Ь,х0)(х0,ж0) = 0.
Итак, ||а —6||2 = ||6||2 + ||а —Ь —6||2, откуда ||а — Ь — Ь||2 < ||а — Ь||2 и
b+b € Eq, т.е. мы нашли вектор в Eq с меньшим расстоянием до а,
чем Ь. Полученное противоречие завершает доказательство. □
Следующий простой факт непосредственно вытекает из дока¬
занной леммы.
5.4.4. Следствие. Если дано конечное ортонормированное
семейство	еп,	то вектор XX=i(x’ ei)ei является ближай¬
шим к х элементом линейного подпространства, порожденного
векторами е\,..., еп.
В случае замкнутого подпространства гильбертова простран¬
ства доказанная лемма дает существование ортогональной про¬
екции и ортогонального разложения.
Для всякого множества М в евклидовом пространстве Е его
ортогональное дополнение зададим равенством
М1- := {х 6 X: (х, т) = 0 для всех шЕМ}.

224
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Тогда М1- — замкнутое линейное подпространство в Е. Действи¬
тельно, если векторы хп Е М1- сходятся к х, то
(х, т) = lim (хп, т) — 0 для всех шеМ,
71—>00
т.е. х Е МА Значит, М-1 замкнуто. Аналогично проверяется ли¬
нейность М-1. Ясно также, что М П М1- = 0, ибо т А. х при всех
т Е М, а; 6 М-1. Наконец, если L — линейная оболочка М, то
zA = мх, откуда следует также, что и для замкнутой линейной
оболочки L множества М мы имеем L"1 = М-1.
Следующая теорема об ортогональном разложении — одна из
важнейших в геометрии гильбертовых пространств.
5.4.5.	Теорема. Пусть Xq — замкнутое линейное подпро¬
странство в гильбертовом пространстве X. Тогда Xq — за¬
мкнутое линейное подпространство в X, причем X = Хо ф Xq,
где слагаемые ортогональны. В частности, для всякого вектора
х Е X существует единственный вектор хо Е Xq с тем свой¬
ством, что х — хо _L Хо, т.е. х — хо _L у для всех у Е Хо. При
этом хо — ближайший к х элемент Хо. Вектор хо называет¬
ся ортогональной проекцией вектора х на подпространство Хо
и обозначается через РХох-
Доказательство. Ввиду сказанного выше Xq является за¬
мкнутым подпространством, ортогональным Хо. Покажем, что
всякий элемент х Е X входит в сумму Хо ф Xq. Пусть
S := inf{||a; — у\\: у Е Х0}.
Найдется последовательность {уп} С Хо с \\х — уп\\ —> S. Пока¬
жем, что эта последовательность фундаментальна. Пусть е > 0.
Найдется такой номер N, что \\х — уп||2 < S2 + в2/4 при п ^ N.
Пусть п, к ^ N. Тогда ввиду равенства параллелограмма
Ьп - Ук\\2 = 2\\х - Уп\? + 2||ж - укII2 - 4||ж - (Уп + ук)/2||2 <
<462 + е2 -452 = е2.
В силу полноты X и замкнутости Хо последовательность {уп}
сходится к некоторому вектору хо £ Хо- Легко видеть, что вы¬
полнено равенство \\х — хо\\ = lim \\х — уп|| = S. Согласно лемме
71—>00
имеем х — хо А- Хо- Полнота в этой теореме важна: см. зада¬
чу 5.6.21; ясно, что достаточно иметь полноту Xq.	□

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
225
5.4.6. Следствие. Пусть Xq — замкнутое линейное под¬
пространство в гильбертовом пространстве X. Тогда отобра¬
жение РХо : х н-> РХох> называемое ортогональным проектором
на Хо, линейно и непрерывно, ||РХо#|| < ||х||, причем Р^о = PXq-
Доказательство. Пусть х е X. Для всякого скаляра Л век¬
тор ЛPXqx входит в10, а разность Хх — XPXqx ортогональна Xq.
Ввиду единственности проекции имеем РХо(Лж) = ХРх0х. Анало¬
гично PXq (х + у) = РХо х + PXq у, ибо мы имеем РХ0Х + РХ0У е Х0
и х + у — РХох — РХоу А. Хо. Поскольку х — PXqx J. PXqx, то
INI2 = llpx0xll2 + IIх - px0xll2> откуда ll^ll < 11*11- в силу
линейности PXq получаем \\PXqx — PXqV|| ^ \\x — у||, что показы¬
вает непрерывность отображения PXq . Наконец, при всех х Е Xq
справедливо равенство PXqx = х.	□
Ортогональный проектор называют также оператором орто¬
гонального проектирования.
5.4.7. Следствие. Пусть {еа} — ортонормированное семей¬
ство в гильбертовом пространстве X. Тогда для всякого х Е X
ряд	еа)еа сходится и его сумма является ближайшим к х
элементом замкнутого линейного подпространства, порожден¬
ного векторами еа.
Доказательство. Из неравенства Бесселя следует сходи¬
мость ряда ^2а(х, е<х)еа, в котором не более чем счетное множе¬
ство членов отлично от нуля. Его сумма является проекцией х на
упомянутое подпространство.	□
5.4.8. Следствие. Пусть X — гильбертово пространство,
{еа} — ортонормированное семейство. На заданном элементе х
неравенство Бесселя для этой системы обращается в равенство
в точности тогда, когда х входит в замкнутую линейную обо¬
лочку {еа}.
Доказательство. Сумма ряда из \(х,еа)\2 равна квадрату
нормы проекции х на замкнутую линейную оболочку {еа}. Поэто¬
му равенство в неравенстве Бесселя возможно лишь тогда, когда
элемент х совпадает с указанной проекцией.	□
5.4.9. Замечание. Таким образом, ортонормированная си¬
стема {еа} в гильбертовом пространстве полна тогда и только

226
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
тогда, когда для всякого х выполнено равенство Парсеваля по
этой системе. Последнее свойство называют замкнутостью си¬
стемы. Итак, замкнутость равносильна полноте. Ясно, что это
же равносильно тотальности системы, т.е. равенству {еа}1~ = 0.
В общем случае ортонормированная система является базисом
в замыкании своей линейной оболочки.
Из всякой конечной или счетной последовательности векто¬
ров хп можно получить ортонормированную последовательность
с той же линейной оболочкой с помощью стандартной процеду¬
ры ортогонализации Грамма-Шмидта. Для этого, считая, что
х\ ф 0, положим е\ — #i/||a:i||, затем возьмем в {хп} первый
линейно независимый с Х\ вектор Xk2 и в двумерном простран¬
стве, порожденном е\ и хь2, возьмем единичный вектор в2, орто¬
гональный в\. Построение продолжается по индукции: если век¬
торы е\,..., еп уже построены и их линейная оболочка Еп не
совпадает с линейной оболочкой {хп}, то возьмем первый век¬
тор Xkn+1, не попавший в Еп, и в линейном пространстве, поро¬
жденном #fcn+1 и Еп, найдем единичный вектор en+i, ортогональ¬
ный Еп. В итоге получится искомая ортонормированная система.
В сепарабельном пространстве описанная процедура позволяет
легко получить ортонормированный базис. Ниже мы увидим, что
в неполном несепарабельном евклидовом пространстве может не
быть ортогонального базиса.
5.4.10.	Теорема. В каждом сепарабельном евклидовом про¬
странстве Е ф 0 существует конечный или счетный ортонор¬
мированный базис. При этом базис можно выбрать в линейной
оболочке произвольного всюду плотного счетного множества.
Доказательство. Возьмем всюду плотное счетное множе¬
ство {хп} и применим к нему процесс ортогонализации. Получен¬
ная ортонормированная последовательность {еп} — базис.
Действительно, для всякого вектора х и всякого е > 0 найдет¬
ся такой вектор жп, что \\х — хп\\ < е. По построению хп входит
в линейную оболочку векторов ei,..., при некотором N < п.
Следовательно, Ця —Х^1(ж,е<)е*|| ^ \\%~ хп\\ < е. Тогда при всех
к ^ N имеем ||* - ELiO^tell < ||® -	т-е-
ряд с общим членом (x,ei)ei сходится по норме к х.	□
Из существования базиса вытекает следующий классиче¬
ский результат об изоморфизме бесконечномерных сепарабель¬
ных гильбертовых пространств.

5.4. Ортонормированные системы, базисы и проекции
227
5.4.11. Теорема. (Теорема Рисса-Фишера) Всякое бес¬
конечномерное сепарабельное гильбертово пространство линей-
лем). В частности, все бесконечномерные сепарабельные гиль¬
бертовы пространства (над одним полем) линейно изометрич-
ны между собой.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис
сепарабельного гильбертова пространства Н. Положим
Получено линейное отображение в /2, причем \\Jx\\ = \\х\\. Кроме
того, J(H) = 12. Действительно, для всякого элемента (хп)™=1 из
пространства 12 ряд ]Cn^=i хп^п сходится по норме в iJ, ибо
что показывает фундаментальность последовательности частич-
Приведем примеры ортонормированных базисов.
5.4.12.	Пример, (i) Пусть Н — вещественное пространство
L2[0, 27г]. Тогда тригонометрические функции
(2тг)"1/2,7г-1/2 cos(na;), п*1/2 sin(пх), где п 6 1N,
образуют ортонормированный базис. В комплексном случае ба¬
зис образуют функции (27г)““1/2ехр(та:), п £ Z. Ортонормиро-
ванность проверяется непосредственно. Для проверки полноты
тригонометрической системы достаточно сослаться на известный
из анализа факт (доказанный в §1.9(v)): всякая 27г-цериодическая
непрерывная функция равномерно приближается конечными ли¬
нейными комбинациями этих функций, поэтому их линейная обо¬
лочка всюду плотна и в Ь2[0,2я].
(ii)	Пусть р — неотрицательная конечная борелевская ме¬
ра на отрезке [а, Ь]. Тогда множество многочленов всюду плот¬
но в L2(/jl). Следовательно, процесс ортогонализации функций
1, х, х2,... приводит к последовательности многочленов рп степе¬
ни п, образующих базис в Ь2(р). Для мер с конечным носите¬
лем эта последовательность также конечна. Выбирая различные
отрезки и различные меры, получаем множество ортогональных
но изометрично пространству 12 (над соответствующим по-
Jx = (хп)™=1, хп = (я,еп).
ных сумм. Для суммы х этого ряда имеем Jx = (#n)5JLi* П

228
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
систем из полиномов. Этот способ восходит к П.Л. Чебышёву.
Например, в случае отрезка [—1,1] с мерой Лебега получаем мно¬
гочлены Лежандра Ln(x) = Сп^(х2 — l)71, Lq = 1, где Сп —
нормирующие постоянные.
(iii) В пространстве Ь2{7), где 7 — стандартная гауссовская
мера на прямой с плотностью ехр(—х2/2)/у/Ът, ортонормирован-
ный базис образуют многочлены Чебышёва-Эрмита
н'(х)-ад-*-
Линейные оболочки {Нп} и {хп} равны. Ортонормированность
{Нп} проверяется по индукции, а полнота будет доказана в §9.1.
(iv) Функции (27г)-1/4#п(#)ехр(—ж2/4) образуют ортонорми-
рованный базис в L2(IR1). Это равносильно (iii).
Несепарабельные гильбертовы пространства также имеют ор-
тонормированные базисы. Ниже приведен пример несепарабель¬
ного гильбертова пространства.
5.4.13. Теорема. Всякое ненулевое гильбертово, простран¬
ство обладает ортонормированным базисом.
Доказательство. Пусть В — множество всех ортонормиро-
ванных систем в гильбертовом пространстве X, частично упоря¬
доченное по включению. Всякая цепь Во С В имеет мажоранту,
в качестве которой можно взять объединение V всех векторов,
входящих в семейства из Во. Всякие два различных вектора х
и у из V ортогональны, ибо х 6 Vi Е Во, У £ V2 £ Во, причем
либо Vi С V2, либо V2 С V\ из-за линейной упорядоченности Во.
По лемме Цорна в В есть максимальный элемент, т.е. ортонор-
мированное семейство {еа}, которое не является частью большей
ортонормированной системы. Это означает, что нет ненулевых
векторов, ортогональных всем еа. Из полноты X и теоремы 5.4.5
следует, что линейная оболочка {еа} плотна в X. Значит, вся¬
кий вектор х является пределом последовательности линейных
комбинаций некоторого счетного набора еап. Из доказательства
теоремы 5.4.10 ясно, что тогда х = Y^=i(xiean)ean-	^
5.4.14. Пример. Пусть Г — несчетное множество и /2(Г) —
линейное пространство всех таких вещественных функций х на Г,
что	1Ж(7) |2 < 00, т-е* множество точек 7 € Г с x(j) Ф 0
не более чем счетно и сумма указанного ряда по таким точкам

5.5» Выпуклые множества и теорема Шаудера
229
конечна. Положим (х,у) := Х)7ег	Ясно,	что	это	пре¬
вращает /2(Г) в евклидово пространство, причем оно полно из-за
полноты 12 (для всякой счетной последовательности элементов
хп € 12(Г) имеется общее счетное множество, вне которого все хп
равны нулю). Функции е7 вида e7(z/) = 0 при v ф 7 и е7(7) = 1
образуют несчетный ортонормированный базис в /2(Г). Поэтому
/2(Г) несепарабельно. Отметим, что есть вероятностные меры /х,
для которых L2(/x) несепарабельно (например, несчетная степень
меры Лебега на [0,1]).
В несепарабельном неполном евклидовом пространстве может
и не быть ортонормированного базиса.
5.4.15.	Пример. Пусть Т = [0,1], Н\ = /2, Щ = 12{Т),
X ~ Н\ © Н2. В 12 имеется базис Гамеля {г;*} континуальной
мощности. Будем рассматривать Hi и Н2 как замкнутые подпро¬
странства (i?i,0) и (0, #2) в X. Возьмем в X линейное подпро¬
странство L, являющееся линейной оболочкой множества векто¬
ров vt + е*, где {et} — ортонормированный базис в 12(Т) из пре¬
дыдущего примера. Тогда в L нет ортонормированного базиса.
Доказательство. Возьмем в сепарабельном пространстве
Hi ортонормированный базис {еп}. Предположим, что в L есть
ортонормированный базис {иа}. Ввиду неравенства Бесселя для
каждого п есть не более чем счетное множество векторов иа
с (enj'Ua) Ф 0* Поэтому существует такое счетное множество ин¬
дексов {а*,}, что (еп,гха) = 0 при всех п и а & {ctk}- Значит,
иа Е i?2 Для всех таких а, но в #2 нет ненулевых векторов из L
из-за линейной независимости vt и ортогональности Hi и #2- Зна¬
чит, базис {иа} счетен, т.е. L сепарабельно. Тогда сепарабельна
и проекция L на #2, что невозможно, ибо эта проекция содержит
базис из Н2 и потому плотна в Я2, а Я2 несепарабельно. □
Отметим, что фактически из наших рассуждений следует, что
евклидово пространство L несепарабельно, но в нем нет несчет¬
ных ортонормированных систем.
5.5.	Выпуклые множества и теорема Шаудера
В этом параграфе доказывается один из наиболее важных ре¬
зультатов нелинейного анализа — теорема Шаудера о неподвиж¬
ной точке. Предварительно мы введем весьма полезное и само по
себе понятие выпуклого множества.

230
Глава 5» Нормированные и евклидовы пространства
5.5.1. Определение. Множество V в линейном простран¬
стве называется выпуклым, если для всяких двух элементов
х, у Е V и всякого числа X Е [0,1] имеем \х + (1 — \)у Е У.
Множество V называется уравновешенным, если Xv Е V для
всех v EV и всех скаляров X с |Л| ^ 1.
Множество точек вида Хх + (1 — А)у, где А пробегает [0,1],
называется отрезком с концами х и у. Таким образом, выпуклое
множество содержит все отрезки с концами из этого множества.
Для всякого множества У в линейном пространстве X име¬
ется минимальное выпуклое множество, содержащее У (пересе¬
чение всех выпуклых множеств, содержащих У). Это множество
называется выпуклой оболочкой У и обозначается через conv У.
Нетрудно проверить (задача 5.6.30), что выпуклая оболочка У
состоит из всех сумм вида Y^i=i гДе п eJN, Vi Е V, t{ Е [0,1]
и 1 ti = 1*
Отметим, что для образования выпуклой оболочки недоста¬
точно взять все отрезки с концами в точках данного множества
(например, в случае трех вершин треугольника это даст не весь
треугольник, а лишь его границу).
Пересечение всех выпуклых уравновешенных множеств, со¬
держащих У, называется уравновешенной выпуклой оболочкой V
и обозначается через absconvV. Она состоит (задача 5.6.30) из
всех сумм вида Ya=\ где п Е IN, Vi Е У и Y%=1 |А*| < 1.
Наконец, для множества У в нормированном пространстве пе¬
ресечение всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих У,
называется замкнутой выпуклой оболочкой У, а пересечение всех
замкнутых уравновешенных выпуклых множеств, содержащих У,
называется замкнутой уравновешенной выпуклой оболочкой У.
Эти множества обозначаются через conv У и absconv У соответ¬
ственно.
5.5.2. Предложение. Замкнутая выпуклая оболочка V рав¬
на замыканию выпуклой оболочки V, а замкнутая уравновешен¬
ная выпуклая оболочка V равна замыканию уравновешенной вы¬
пуклой оболочки У.
Доказательство. Достаточно проверить выпуклость замы¬
кания выпуклой оболочки У. Если х и у входят в замыкание
conv У, то х = lim хп, у = lim уп, где хп,уп Е conv У. Тогда
П—КХ)	п—>оо
для всякого t € [0,1] имеем tx + (1 — t)y = lim txn + (1 — t)yn, где
П—ЮО

5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
231
txn + (1 — t)yn 6 conv V. Случай замкнутой абсолютно выпуклой
оболочки аналогичен.	□
5.5.3.	Теорема. (Теорема Шаудера) Пусть К — выпук¬
лый компакт в нормированном пространстве X и /: К —► К —
непрерывное отображение. Тогда существует х € К с f(x) = х.
Доказательство. Мы будем считать известным конечно¬
мерный случай — теорему Боля-Брауэра. Различные элементар¬
ные доказательства есть в задаче 3.12.46, а также в [68, с. 506],
[91, с. 615]. Покажем, что для всякого е > 0 найдется х£ Е К
с ||f(x£) — х£\\ ^ е. Это дает существование неподвижной точки.
В самом деле, из {#i/n} выделим последовательность {zn}, схо¬
дящуюся к некоторой точке х Е К, тогда f(zn) —> /(ж), откуда
получаем f(x) = ху ибо мы имеем \\f(zn) — %п\\	0.
Зафиксируем е > 0 и выберем в К какую-нибудь е/2-сеть
• • • > xn € К. Пусть S — выпуклая оболочка этих точек. Ввиду
выпуклости К имеем S С К. При г = 1,..., N положим
/3i(x) = е-||ж-а*|| при ||ж - Xi\\ ^ е,	$(ж)	=	0	при	\\х	-Xi\\	> е.
Легко проверить, что функции /3* непрерывны. Заметим, что
N
/?г(ж) > 0 при X € К,
i=1
ибо для каждого х € К найдется такой номер г, что ||ж—ж*|| ^ г/2.
Поэтому функции
а.(х) - #(*)
непрерывны на К. Заметим также, что
N
0 < Gti(x) <1и	=	1	при	х	Е	К.
г=1
Теперь зададим непрерывное отображение g на К формулой
N
в(х) =
i=1
Отображение /ip = gof:K—>K также непрерывно, причем
-0(5) С S ввиду выпуклости S и условия f(K) С К. В силу упо¬
мянутой теоремы Боля-Брауэра существует z Е S с ф(г) = z.

232
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Оценим величину \\f(z) — z\\. Справедливы соотношения
11/(2) - z\\ = ||/(2) - g(f(z)) || =
= I5^0ч(/(*))/(2) - Y^ai{f(Z))Xi
г=1	i=1
N
< Х^Д*)) 11/00 -ж<11 < е»
г=1
так как при ||f(z) — Х{\\> е имеем ai{f(z)) = 0.	□
5.5.4. Предложение. Выпуклая оболочка и выпуклая урав¬
новешенная оболочка вполне ограниченного множества в норми¬
рованном пространстве вполне ограничены. Замкнутая выпук¬
лая оболочка и замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка
компакта в банаховом пространстве компактны.
Доказательство. Пусть х\,...,хп — е-сеть множества V.
Тогда выпуклая оболочка S конечного множества {х\, ...,жп}
является e-сетью выпуклой оболочки V множества V. Действи¬
тельно, для всякого х Е V найдутся такие векторы v\,..., гд> 6 V
и точки ti,..., tfc £ [0,1], что 1 tj = 1 и х = Y^=i tjvr Суще¬
ствуют х^, для которых \\xij — Vj || < е. Тогда г = Y^= 1 е ^
и ||ж —z|| < 6. Остается заметить, что множество S в конечномер¬
ном пространстве компактно. Случай выпуклой уравновешенной
оболочки аналогичен. Второе утверждение следует из компакт¬
ности замкнутого вполне ограниченного множества в банаховом
пространстве.	□
5.5.5. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое множе¬
ство в банаховом пространстве X и /: V —► V — непрерывное
отображение, причем f(V) содержится в компакте. Тогда /
имеет неподвижную точку.
Доказательство. Пусть К — замыкание выпуклой оболоч¬
ки f(V). В силу условия и доказанного выше предложения К —
выпуклый компакт. При этом f(K) С К.	□
Теорема Шаудера является мощным средством доказатель¬
ства разрешимости интегральных и дифференциальных уравне¬
ний.

5.5. Выпуклые множества и теорема Шаудера
233
5.5.6. Пример. Пусть р: JR1 —> IR1 игр: Ж2 —> IR1 — ограни¬
ченные непрерывные функции. Тогда на отрезке [0,1] существует
непрерывная функция и, удовлетворяющая интегральному урав¬
нению
u(t) = p(t) + / гр(и(в), s) ds.
Jo
Действительно, в пространстве С[0,1] зададим отображение /
формулой
/(w)(i) = </>(i) + [ ф(и(з),з) ds.
Jo
Множество значений / равномерно ограничено. Кроме того, это
множество равностепенно непрерывно ввиду равномерной непре¬
рывности (р на [0,1] и ограниченности гр:
\f(u)(t) - f(u)(t')\ < I<p(t) -- ip{t')I + \t - t'\sup \ф{х,у)\.
Итак, множество значений / содержится в компакте. В силу оче¬
видной непрерывности / существует неподвижная точка.
В связи с теоремой Шаудера полезно иметь в виду следую¬
щий результат, описывающий структуру компактов в банаховых
пространствах.
5.5.7. Предложение. Пусть К — компакт в банаховом
пространстве X. Тогда К содержится в замкнутой выпуклой
оболочке некоторой последовательности, сходящейся к нулю.
Доказательство. Для каждого п найдем для К конечную
4_п~2-сеть Кп С К. Множество UnLi Кп плотно в К. Поло¬
жим Si := 2К\. Затем при п > 1 выберем конечные множе¬
ства Sn в X следующим образом: для каждого v £ Кп най¬
дем элемент и £ Кп-\ с Цг; — и|| ^ 4~п и образуем элемент
х :— 2n(v — и) £ X. Множество Sn, составленное из так обра¬
зованных элементов, имеет мощность, не превосходящую мощно¬
сти Кп. Так как ||2п(г> — гл)|| < 2~п7 то последовательность {хп},
полученная поочередной нумерацией точек из Si, 52,..., сходит¬
ся по норме к нулю. Заметим, что каждый элемент v £ Кп имеет
вид v = 2~1Xi1 Н Ь 2~nXin и потому лежит в уравновешенной
выпуклой оболочке {ж*} = IJnLi &п- Значит, IJnLi Кп входит в за¬
мкнутую выпуклую оболочку {хп}и{—хп}. Остается вспомнить,
что К есть замыкание UtS=i Кп-	П

234
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
Таким образом, компакты — это в точности замкнутые под¬
множества замкнутых выпуклых оболочек последовательностей,
стремящихся к нулю. Задача 5.6.31 дает простое явное описание
таких замкнутых выпуклых оболочек.
Во многих задачах, связанных с выпуклыми множествами,
важную роль играют крайние точки. Точка х множества М в ли¬
нейном пространстве называется крайней, если она не является
внутренней точкой никакого отрезка с концами в М, т.е. равен¬
ство х = tm\ + (1 — t)m2, где t 6 [0,1] и mi, m2 6 М, возможно
лишь при т\ = m2 = ш. В §8.6(iv) мы увидим, что выпуклые
компакты являются замкнутыми выпуклыми оболочками своих
крайних точек.
5.6.	Дополнения и задачи
(i)	Шары и эллипсоиды (234). (ii) Теоремы Кадеца и Милюти¬
на (235). (iii) Упорядоченные векторные пространства и векторные
решетки (236). Задачи (239).
5.6(i). Шары и эллипсоиды
В геометрии банаховых пространств есть интересный раздел, по¬
священный строению конечномерных подпространств (так называемая
локальная теория). Мы приведем здесь два результата о сравнении ша¬
ров с эллипсоидами. Банахово пространство X называется финитно
представимым в банаховом пространстве У, если для всякого е > О
для каждого конечномерного подпространства L С X существует та¬
кое инъективное линейное отображение Tl : L —> У, что
(1 - s)||х|| < \\TLx\\ < (1 + е)||а;||, х е L.
Следующий замечательный результат получен А. Дворецким.
5.6.1.	Теорема. Гильбертово пространство I2 финитно предста¬
вимо во всяком бесконечномерном банаховом пространстве.
Геометрическое содержание теоремы Дворецкого состоит в том, что
для всякого г > 0 при каждом п в X можно найти такое n-мерное под¬
пространство Ln с евклидовым шаром Un (в некоторых линейных ко¬
ординатах), что Un и единичный шар в Ьп по норме из X находятся в е-
окрестности друг друга. Тем самым шар в X имеет «почти евклидовы»
сечения любой конечной размерности. Разумеется, в точности евкли¬
довых сечений может не быть. Более точная количественная оценка
состоит в следующем. Имеется абсолютная константа С > 0 с таким
свойством. Пусть на IRn дана норма || • ||х с ||х||х < ||ж||, где || - || —
обычная евклидова норма. Обозначим через 9Х интеграл от ||х||х по ев¬
клидовой единичной сфере со стандартной поверхностной мерой. Пусть

5.6. Дополнения и задачи
235
О < е < 1/3 и к < га, причем к < С02 га2е2| 1пе| *. Тогда найдется такое
/с-мерное подпространство L С IRn, что
(1 - е)вх ||ж|| ^ ||х||х < (1 + е)вх ||х||, х 6 L.
Если размерность X конечна, то шары по евклидовым нормам на всем
пространстве могут довольно сильно отличаться от шара по данной
норме X. Однако и здесь есть полезный положительный результат —
теорема Джона. Перед ее формулировкой отметим, что X можно отож¬
дествить с ]Rn с некоторой нормой || * ||. В единичный шар U по этой
норме можно вписьюать эллипсоиды. Нетрудно проверить, что среди
них есть эллипсоид Uj максимального объема (с точки зрения П1п),
называемый эллипсоидом Джона. Эллипсоид Джона задает евклидо¬
ву норму II • IIJ на X.
5.6.2. Теорема. Имеет место включение U С y/nUj.
Например, если X есть IR2 с нормой max(|xi|, |#2|)> то единичный
шар — квадрат, а эллипсоид Джона — обычный единичный круг. Здесь
\/2 — радиус наименьшего круга, содержащего этот квадрат. Доказа¬
тельства приведенных результатов можно найти в [251, гл. 12].
5.6(H). Теоремы Кадеца и Милютина
Здесь мы приведем два глубоких результата, связанных с класси¬
фикацией банаховых пространств. Первый из них — знаменитая теоре¬
ма М.И. Кадеца — утверждает, что в категории топологических про¬
странств все бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства
гомеоморфны.
5.6.3. Теорема. Всякие два бесконечномерные сепарабельные ба¬
наховы пространства гомеоморфны. В частности, они гомеоморф¬
ны 12.
Согласно более общему результату Андерсона-Кадеца, это же вер¬
но для бесконечномерных сепарабельных пространств Фреше, а Торун-
чик обобщил эту теорему на пространства равного топологического ве¬
са. Доказательства можно найти в книге Bessaga, Pelczynski [282].
Совершенно иная ситуация возникает, когда рассматриваются толь¬
ко линейные гомеоморфизмы (еще более специальный случай — ли¬
нейные изометрии). В следующей главе будут приведены результаты,
позволяющие различать многие банаховы пространства с точки зре¬
ния линейной топологической классификации. Например, привлечение
сопряженных пространств сразу показывает, что пространства С[0,1]
и L2[0,1] не являются линейно гомеоморфными. С другой стороны,
мы увидим, что всякое сепарабельное банахово пространство линейно
изометрично замкнутому линейному подпространству в С[0,1]. Следу¬
ющая замечательная теорема принадлежит А.А. Милютину (доказа¬
тельство см. в книге Пелчинский [170]).

236
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.4. Теорема. Пусть К — несчетный метрический компакт.
Тогда пространства С(К) и С[0,1] линейно гомеоморфны.
Однако изометрия между этими пространствами существует редко,
как показывает следующая теорема Банаха-Стоуна (ее доказательство
вынесено в задачу 6.10.174 в гл. 6).
5.6.5. Теорема. Пусть К\ и К2 — компактные пространства.
Пространства С{К\) и С(К2) линейно изометричны в точности то¬
гда, когда К\ и К<2 гомеоморфны.
5.6(iii). Упорядоченные векторные пространства
и векторные решетки
Многие функциональные пространства, встречающиеся в прило¬
жениях, обладают естественным порядком, согласованным с линейной
структурой. Здесь мы кратко обсудим этот вопрос. Пусть Е — веще¬
ственное линейное пространство, которое наделено частичным поряд¬
ком согласованным с линейной структурой в следующем смысле:
если х < г/, то x + z^y + z для всех z £ Е и Хх ^ Ху для всех чисел
А ^ 0. Тогда Е называют упорядоченным векторным пространством.
Обратим внимание, что Е лишь частично упорядочено. Часто в опреде¬
ление включают антисимметричность порядка, т.е. равенство х = у
при х < у и у < х, но мы этого не делаем. Ясно, что х ^ у в точности
тогда, когда х — у < 0. Положим у > х, если х < у. Таким образом,
порядок однозначно определяется множеством
K :={zeE: z^O).
Это множество называется положительным конусом. Оно обладает
следующими двумя свойствами: z\ -f Z2 € К при z\, Z2 € К и Xz £ К при
z £ К и А > 0. Обратно, всякое множество с указанными свойствами
задает порядок, согласованный с линейной структурой, если положить
х < у при у — х £ К. При К П (—К) = 0 порядок антисимметричен.
На пространстве B(Q) всех вещественных функций на непустом
множестве ft имеется естественный частичный порядок, заданный по¬
точечным неравенством х(и>) < у (и,>). Такой же порядок задан на про¬
странстве непрерывных функций С(Т) на топологическом простран¬
стве Т. На пространстве LP(p) частичное упорядочение / < g задается
неравенством f(x) < g(x) //-п.в. для представителей классов эквива¬
лентности. На пространстве Л4(Л) всех ограниченных вещественных
мер на сг-алгебре А отношение р < v естественно задать неравенством
р(А) < z/(A) при всех А £ А. Конечно, всякое вещественное вектор¬
ное пространство можно снабдить тривиальным частичным порядком,
положив х < у лишь при х = у, т.е. взяв К = {0}.
Линейное подпространство упорядоченного векторного простран¬
ства также является упорядоченным векторным пространством с тем
же самым частичным порядком.

5.6. Дополнения и задачи
237
Мажорантой множества F в частично упорядоченном множестве
(Е, <) называется такой элемент т £ Е, что / < т для всех / £ F
(о частично упорядоченных множествах см. §1.1). Мажоранта т назы¬
вается точной верхней гранью F, если т < га для всякой другой мажо¬
ранты ш множества F. Точная верхняя грань единственна, если поря¬
док антисимметричен. Аналогично определяются термины миноранта
и точная нижняя грань. Частично упорядоченное множество (Е, <)
называется решеткой (или структурой), если для всяких х,у £ Е име¬
ется точная верхняя грань хУу и точная нижняя грань хАу (не обяза¬
тельно единственные). Решетка Е называется полной, если в ней каж¬
дое множество, имеющее мажоранту, имеет и точную верхнюю грань.
Если же указанное условие выполняется для счетных множеств, то Е
называется сг-полной решеткой. Точная верхняя грань множества F
в решетке Е обозначается через V F. Упорядоченное векторное про¬
странство с антисимметричным порядком, являющееся решеткой, на¬
зывается векторной решеткой или пространством Рисса.
5.6.6. Пример, (i) Пусть Т — такое линейное пространство ве¬
щественных функций на непустом множестве Q, что таx(f,g) £ Т
для всех f,g £ Т, где тах(/,^)(х) := max(f(x), д(х)). Задав min(f,g)
также поточечно, получим min(/, д) = — тах(—/, —д) £ Т, т.е. Т —
векторная решетка относительно частичного порядка, заданного по¬
точечным сравнением, причем мы имеем / V д(х) := max.(f(x),g(x)),
f Ад(х) := min (f(x),g(x)). Заметим также, что |/| £ Т для всех f £Т.
Поскольку тах(/,д) = (|/ — g\+f+g)/2, то достаточно требовать лишь
замкнутость Т относительно взятия абсолютной величины.
(ii)	Множество С°(р) вещественных //-измеримых функций явля¬
ется решеткой с естественным отношением порядка: / ^ д, если имеем
/0е) ^ 9(х) М-п.в. В качестве / V д и / А д следует взять поточечные
тах(/, д) и min(/, д) соответственно. Решетками с тем же отношением
порядка являются классы вещественных функций Ср(р), р £ (0,оо],
а также пространства Lp(p) классов эквивалентности.
Последовательность {хп} в векторной решетке Е называют поряд-
ково сходящейся к х, если есть такая последовательность {уп} С Е, что
\хп ~ х\ < Уп И Уп I о, т.е. yn+1 < уп и inf{t/n} = 0.
Приведем ряд полезных результатов о решеточных свойствах про¬
странств Lp\ доказательства можно прочитать в книге [26, §4.7(i)]-
5.6.7. Теорема. Пусть (Х,Л,р) — измеримое пространство
с а-конечной мерой р. Тогда множества С°(р) и L°(p) являются
полными решетками с указанным выше отношением порядка. Кро¬
ме того, если множество Т С С°(р) имеет мажоранту h, то су¬
ществует такое не более чем счетное множество {/п} С Т, что
/ < supn fn^h при всех f £ Т.

238
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.8. Следствие. Для а-конечной меры fi множества Cp(fi)
и Lp(fi) при всех р £ [0, -foo] являются полными решетками с ука¬
занным выше отношением порядка. Кроме того, если множество Т
в Cp(fi) имеет мажоранту h, то его точная верхняя грань в Ср(р)
совпадает с точной верхней гранью в £°(/х), причем существует та¬
кое не более чем счетное множество {/п} С Т, что / < supn fn^h
при всех f £ Т.
5.6.9. Следствие. Пусть fi — а-конечная неотрицательная мера
на пространстве (Х,Л) и At, t £ Т, — некоторое семейство измери¬
мых множеств. Тогда в нем найдется такое не более чем счетное
подсемейство {Atn}, что /х(АД Atn) = Q для каждого t.
Отметим, что точная верхняя грань \/ Т множества Т в Cp(fi) мо¬
жет не совпадать с поточечно определяемой функцией sup^eF f(x). На¬
пример, пусть F — множество в [0,1]. При t £ F положим ft(s) = 1, если
s = t, ft(s) = 0, если вфЬ, где s £ [0,1]. Тогда supteF ft(s) = /F(s), хотя
точная верхняя грань семейства {ft} в Ср[0,1] есть нулевая функция.
Если F — неизмеримое множество, то функция supteF ft(s) = If(s)
вообще неизмерима. В качестве примера неполной решетки укажем
пространство С[0,1] непрерывных функций с естественным порядком.
В этой решетке множество всех непрерывных функций, равных нулю
на [0,1/2) и не превосходящих 1 на [1/2,1], имеет мажоранту 1, но не
имеет точной верхней грани. Если на множестве измеримых функций
на [0,1] вместо сравнения почти всюду (как было сделано выше) вве¬
сти порядок, порожденный неравенством f(x) < g(x) для каждого х,
то также получится неполная решетка.
Укажем также, что приведенные результаты не распространяются
на произвольные бесконечные меры, хотя бывают не сг-конечные меры,
для которых они верны.
5.6.10. Следствие. Пусть fit, t £Т, — некоторое семейство ве¬
роятностных мер на а-алгебре А, абсолютно непрерывных относи¬
тельно некоторой фиксированной вероятностной меры р на А. Тогда
существует такое не более чем счетное множество индексов tn, что
все меры fit абсолютно непрерывны относительно меры	2_n/itn.
Пространство Л4(Х,Л) всех ограниченных знакопеременных мер
на А также является полной решеткой. На Л4(Х,А) есть естественный
порядок: fi < v тогда и только тогда, когда р(А) < i/(A) для всех А £ А.
Если /х, v £ М(Х, А), то положим
fi V v := fi -f (i/ — /i)+, p An := p — (и — p)~.
Если fi и v заданы плотностями / и g относительно некоторой неотри¬
цательной меры А (например, А = \fi\ -f \г/\), то fi V v = max(/,^) • A,
fiAv = min(/, <j)-A. Легко видеть, что fi\lv является наименьшей мерой,

5.6. Дополнения и задачи
239
мажорирующей /гиг/ (т.е. точной верхней гранью /гиг/). Действитель¬
но, если мера г/ такова, что /г ^ г/ и г/ < 77, то выберем неотрицательную
меру А так, что /х = / - A, г/ = д\, 77 = /г - А. Тогда h > / и h ^ д А-п.в.,
откуда h > max(/,y) А-п.в. Итак, Л4(Х,Л) является решеткой.
5.6.11. Теорема. Решетка М(Х, А) полна.
Для векторной решетки Е положим |х| := х V (—х), х+ := х V О,
х+ := (—х) V 0. Верны следующие факты (задача 5.6.63).
5.6.12. Предложение. Пусть Е — векторная решетка. Тогда
х + у = xV у + х Лу, х = х+ - х”, |х| = х+ + х”, (Ах| = |А||х|,
\х + у\ ^ |#| + \у\ при всех х, у Е X и A Е IR1.
Нормированная решетка — это векторная решетка Е, снабженная
такой нормой || • ||, что ЦуЦ < ||х|| при \у\ < |х|. Если Е полно отно¬
сительно этой нормы, то Е называется банаховой решеткой. Заметим,
что ||х|| = |||х[||, так как |х| = ||х||. ПространстваС(К), М(Х, Д), 1^(/х)
при 1 < р < оо являются банаховыми решетками. Заметим, что бана¬
хова решетка не обязана быть полной решеткой (например, С[0,1]).
Задачи
5.6ДЗ? Доказать, что описанные в примере 5.2.1 пространства линейны
и полны относительно указанных норм.
5.6.14? Доказать, что замыкание линейного подпространства нормиро¬
ванного пространства является линейным подпространством.
5.6.15.° Доказать, что нормированное пространство полно в точности
тогда, когда в нем сходится каждый такой ряд #п, что ||хп|| ^ 2~п.
5.6.16? Обосновать конструкцию пополнения нормированных и евкли¬
довых пространств, изложенную в замечании 5.1.7.
5.6.17? Показать, что нормированное пространство сепарабельно, если
и только если его единичная сфера сепарабельна.
5.6.18? Показать, что пространства Сь(И1) и Сь((0,1)) несепарабельны.
5.6.19? Пусть Г —бесконечное множество, 1 ^ р < оо и 1Р{Г) — простран¬
ство всех функций х: Г —► IR,1, для которых ||х||р := (]С7ег \Х('У)\Р)1^Р < 00»
где сходимость ряда означает, что не более чем счетное число х(7) отлично
от нуля и сумма по ним конечна. Показать, что || • ||р — норма, относительно
которой 1Р(Г) полно. Проверить, что /Р(Г) несепарабельно, если Г несчетно.
5.6.20? В пространстве 12 рассмотрим следующие два подпространства
коразмерности 1 и 2: Yi := {х: xi = 0}, Yi := {х: xi — Х2 — 0}. Показать,
что Yi и Y2 линейно изометричны, но фактор-пространства I2 /Y\ и I2/Y2 не
являются даже линейно изоморфными.

240
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.21? Пусть Е — пространство всех векторов вида (a?i,...,жп, 0,0,...)
со скалярным произведением из I2 и Ео := {х G Е:	п~1хп = 0}. Дока¬
зать, что Ео — замкнутое подпространство в Е коразмерности 1, но Eq = 0.
5.6.22. Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом простран¬
стве X существует норма, не эквивалентная исходной, но также превращаю¬
щая X в полное пространство.
Указание: пусть X сепарабельно; взять в X базис Гамеля {г/а} кон¬
тинуальной мощности и с его помощью установить линейные изоморфизмы
между X и пространствами I2 и I1 (которые не являются линейно гомео-
морфными, что будет очевидно из следующей главы). Это дает на X две
неэквивалентные нормы, относительно которых X полно. В общем случае
использовать пространства вида /2(Г) и ^(Г).
5.6.23. Доказать, что на всяком бесконечномерном банаховом простран¬
стве есть ббльшая норма, относительно которой оно не полно.
5.6.24. Пусть на бесконечномерном линейном пространстве X заданы
две нормы, относительно каждой из которых X полно. Верно ли, что X полно
относительно суммы этих норм?
5.6.25? Пусть Y — замкнутое подпространство банахова пространства X.
Показать, что X сепарабельно, если и только если Y и Х/Y сепарабельны.
5.6.26? Пусть {Вп} — последовательность замкнутых шаров в банаховом
пространстве X и Вп+1 С Вп- Доказать, что их пересечение непусто.
5.6.27.	Привести пример последовательности убывающих ограничен¬
ных замкнутых выпуклых множеств в С[0,1] с пустым пересечением.
5.6.28? Пусть множества Аи В в нормированном пространстве замкну¬
ты, причем В компактно. Доказать, что А + В замкнуто. Можно ли отка¬
заться от компактности В?
5.6.29? Пусть А и В — вполне ограниченные множества в нормирован¬
ном пространстве X. Доказать, что их алгебраическая сумма А + В вполне
ограничена.
5.6.30. (i) Доказать, что выпуклая оболочка множества V в линейном
пространстве состоит из всевозможных конечных сумм вида ]СГ=1 Uvi, где
п 6 IN, Vi € Vj U € [0,1] и h — 1> a уравновешенная выпуклая оболочка
состоит из сумм вида Y17=i гДе w £ IN, € V и ]T^=1 |А*| ^ 1 (числа Ai
вещественны или комплексны в зависимости от того, каково пространство).
(ii) Показать, что выпуклая оболочка компакта в IRn компактна.
(iii) Показать, что выпуклая оболочка открытого множества откры¬
та. Верно ли, что выпуклая оболочка замкнутого множества на плоскости
замкнута?
5.6.31. Пусть X — банахово пространство, {хп} С X и ||жп|| —* 0. Докаг
зать, что conv {хп} = {E£LitnXn: ^ ^ 0, Y^Li tn ^ 1}-
5.6.32. Пусть К — непустой выпуклый компакт в банаховом простран¬
стве. Доказать, что для всякого е > 0 можно найти такой выпуклый компакт
С С К, что множество К\С непусто и имеет диаметр менее е.

5.6. Дополнения и задачи
241
5.6.33. Привести пример замкнутого линейного подпространства L
и точки / в С[0,1] таких, что в L нет ближайшего к / элемента.
5.6.34. Пусть А — замкнутое выпуклое множество в гильбертовом про¬
странстве Н и х € Я.
(i) Доказать, что точка р € А является ближайшей к х точкой в А в точ¬
ности тогда, когда (а — р, х — р) ^ 0 при всех а € А.
(ii) Доказать, что в А есть единственная ближайшая к х точка.
5.6.35. Пусть X — вещественное нормированное пространство конечной
размерности п^2и®1,..., xn-i — линейно независимые векторы в X. До¬
казать, что существует вектор хп € X, для которого ||тп|| = 1 и ||жп — Xi\\ > 1
при всех г = 1,..., n — 1. Вывести из этого, что на единичной сфере X най¬
дутся точки ui,..., ип с ||tti — Щ || > 1 при i ф j.
Указание: пусть / — линейная функция на X, равная нулю на векторах
xif..., Xn-i и имеющая максимум 1 на замкнутом единичном шаре U из X;
кроме того, пусть д — линейная функция на X, равная 1 на х\,... ,жп-1-
Взять хп так, что д(хп) = min{p(aj): ||ж|| = l,f(x) = 1}.
5.6.36. Доказать, что из равенства параллелограмма следует, что дан¬
ная норма порождается некоторым скалярным произведением.
Указание: см. [105, гл. III, §4].
5.6.37.° Доказать, что множество {х € I2: \хп\ ^ Сп}, где Сп > 0, ком¬
пактно в I2 в точности тогда, когда (сп) £ I2•
5.6.38. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с ортонор-
мированным базисом {еп} и К С Н — компакт. Доказать, что К содержится
в компактном эллипсоиде вида Q := {х € Н:	ап\(х,	en)|2	^ 1}, где
ап > 0 и ап —► +оо.
5.6.39? Доказать, что пространство
Lipo[0,1] := {/ е С[0,1]: /(0) = 0, ||/||Ыр := supt#e |/(<) - f(s)\/\t - s\ < 00}
линейно изометрично пространству Ьг[0,1], причем в качестве изометрии
можно взять отображение
V: L1 [0,1] - Lipo[0,1], Vf(t) = I* f(s) ds.
Jo
5.6.40. Пусть X — гильбертово пространство. Доказать, что существует
такая вероятностная мера /х, что X линейно изометрично L2(p).
Указание: пусть {еа}с*ед — ортонормированный базис в X. Взять в ка¬
честве /л произведение А копий меры Лебега на [0,1] (см. [26, §3.5]).
5.6.41? Пусть 0 < а ^ 1 и На — пространство Гёльдера таких функций
<р на [0,1], что \\<р\\а := sups_^ |<р(£) - <p(s)\/\t - s|a + sups |<p(s)| < оо.
(i)	Доказать, что пространство (На, || • ||а) банахово и несепарабельно,
(ii)	Доказать, что замкнутые шары пространства (На, || • ||а) компактны
в пространстве (Н|| • ||/?) при а> /3.
5.6.42? Доказать, что множество Co°(IRn) бесконечно дифференцируе¬
мых функций с ограниченными носителями плотно в каждом пространстве
Lp(JRn) с 1 ^ р < оо.

242
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.43. Многочлены Чебышёва-Лагерра задаются формулой
!*(*):= е‘^(Лг‘), к = 0,1,2,...
Доказать, что функции Чебышёва-Лагерра фk(t) := k\~1e~t^2Lk(t) образуют
базис в Ь2[0, -foo).
5.6.44. Пусть /л — мера на [0, -foo) с плотностью д(х) = х~1пх отно¬
сительно меры Лебега. Показать, что при п = 0,1,... функции хп входят
в L2(ji) и ортогональны функции sin(27r In ж), т.е. многочлены не плотны
в L2(m).
5.6.45. Пусть si — пространство всех вещественных последовательно¬
стей х = (д?п), для которых ряд	Хп	сходится (не обязательно абсо¬
лютно). Положим ||ж||в1 := supn|^?=1 ®<|. Доказать, что || • ||Si — норма,
относительно которой si полно.
5.6.46° Предположим, что вещественная функция / на нормированном
пространстве X равномерно непрерывна. Доказать, что найдется С ^ 0, для
которого |/(ж)| ^ 1/(0)| -f С||ж|[ при всех х е X.
5.6.47° Доказать, что множество К С со вполне ограничено в точности
тогда, когда есть такой у 6 со, что |жп| ^ \уп\ при всех п £ 1N и х € К.
5.6.48.° Пусть А — всюду плотное множество в нормированном про¬
странстве X. Доказать, что для каждого х € X найдутся такие а* € А, что
х = '52<*L1 di и ||ai|| < оо, причем последнюю сумму можно сделать сколь
угодно близкой к ||ж||.
Указание: при е > 0 можно взять а\ € А с ||ж —ai|| < е/2 и затем брать
ai € А так, что ||ж — ai ai|| < е2~г.
5.6.49. Пусть ап —г► 1, <*n+i > otn• Доказать, что в последовательности
функций fn(t) — tan всякая подпоследовательность имеет плотную линейную
оболочку в L2[0,1] и С[0,1].
5.6.50. Доказать, что всякие два ортонормированных базиса в гильбер¬
товом пространстве равномощны, причем их мощность равна наименьшей
возможной мощности всюду плотного множества.
5.6.51. Показать, что во всяком бесконечномерном сепарабельном бана¬
ховом пространстве есть всюду плотное счетное множество линейно незави¬
симых векторов.
5.6.52. Доказать, что базис Гамеля бесконечномерного банахова про¬
странства равномощен самому пространству.
5.6.53. В 11 рассмотрим множества Е\ := {(жп): #2п = 0 Vn € IN},
Е2 := {(#n): X2n-i = пх2п Vn € IN}. Доказать, что Е\ и Е2 — замкнутые
линейные подпространства, но их прямая алгебраическая сумма не замкнута.
5.6.54! Доказать, что в I2 есть незамкнутое линейное подпространство,
не являющееся множеством первой категории. Это дает пример неполного ев¬
клидова пространства, являющегося бэровским'пространством (т.е. не пред¬
ставимого в виде счетного объединения нигде не плотных множеств).

5.6. Дополнения и задачи
243
Указание: пусть {оп} С I2 — всюду плотное счетное множество линейно
независимых векторов и Г — некоторый базис Гамеля, содержащий {оп};
взять счетную часть {Ьп} С Г\{ап} и рассмотреть линейные оболочки Lk
векторов из Г\{Ьк+1, Ьь+г, • •.}; заметить, что при некотором к пересечение Lk
с замкнутым единичным шаром не является множеством первой категории;
проверить, что соответствующее Lk неполно.
5.6.55. Пусть ii и v — неотрицательные меры на X и	Y,	F €	£2(/4<£>i/),
{<рп} и {фк} — такие ортонормированные системы в L2(fi)	и	L2(v)	соответ¬
ственно, что F входит в замкнутую линейную оболочку функций <рп(х)фк(у)
в L2(/jl®v). Доказать, что при 1/-п.в. у функция х F(x,y) входит в замкну¬
тую линейную оболочку функций (рп в L2(p).
5.6.56. Пусть 1 ^ р < оо и /С — ограниченное множество в Lp(IRn).
(i)	(А.Н. Колмогоров; для р = 1 А.Н. Тулайков) Доказать, что /С имеет
компактное замыкание в Lp(IRn) в точности тогда, когда
(a) sup lim I \f(x)\pdx = 0,
feKc^°° J\x\>c
(b) для каждого £ > 0 найдется такое г > 0, что supfeJC \\f — Srf\\P ^ е,
где Srf — функция Стеклова, задаваемая равенством
Srf(x)~Xn(B(x,r))~1f f(y)dy,
J B(xtr)
B(x, г) — шар радиуса г в Нп с центром х.
(ii) (М. Рисс) Показать, что компактность замыкания К равносильна
также тому, что выполнено (а) и
(b') sup lim [	|	f(x	-f	h)	—	f(x) |p dx = 0.
fefc JjRn
(iii) (B.H. Судаков) Показать, что из условий (а) и (Ь) (или (а) и (Ь7))
автоматически следует ограниченность К в Lp(IRn) и потому ее можно не
требовать заранее.
Указание: (i) если /С имеет, компактное замыкание, то К ограничено
и для всякого е > 0 имеет конечную е-сеть; поэтому необходимость (а) и (Ь)
следует из того, что оба условия выполнены для каждой отдельной функ¬
ции /. Для доказательства достаточности следует заметить, что 5Г(/С) имеет
компактное замыкание. Действительно, Sr есть оператор свертки с ограни¬
ченной функцией д = /в(о,г)/(-В(0, г)). Для всякого <5 > 0 имеется функция
gs € Co°(IRn) с ||<7б —<7||i ^ <5, что ввиду неравенства Юнга сводит все к опера¬
тору свертки с 0<s, а тогда функции д$ */, / € /С, оказываются равностепенно
непрерывными на шарах, откуда нетрудно усмотреть, что всякая последова¬
тельность в этом множестве имеет сходящуюся в Lp подпоследовательность.
Из (Ь') следует (Ь), т.е. (ii) следует из (i). Наконец, (iii) проверено в [585].
5.6.57. Пусть функция Ф на [0,1] х [0,1] х Н1 ограничена и непрерыв¬
на. Доказать, что для всякой непрерывной функции ф на [0,1] существует
непрерывная функция х на [0,1], удовлетворяющая уравнению

244
Глава 5. Нормированные и евклидовы пространства
5.6.58.° В I2 и со построить примеры непрерывных отображений, пере¬
водящих замкнутый шар в себя, но не имеющих неподвижных точек.
5.6.59. Мера некомпактности Куратовского ot{A) множества А в метри¬
ческом пространстве есть точная нижняя грань чисел е > 0, для которых А
можно разбить на конечное число частей диаметра менее е. Мера некомпакт¬
ности Хаусдорфа х(А) есть точная нижняя грань чисел е > 0, для которых
А имеет конечную е-сеть. Отметим, что а(А) = х(А) = 0 в точности тогда,
когда А вполне ограничено, (i) Показать, что х(А) ^ а(А) ^ 2х(А), причем
для единичного шара U в бесконечномерном нормированном пространстве
имеем x(U) = 1, ot(U) = 2. (й) Пусть Ап Ф 0 — замкнутые множества в ба¬
наховом пространстве, Ап+1 С Ап и х(^п) —> 0. Показать, что fXLi ф 0.
5.6.60. Пусть V Ф 0 — замкнутое выпуклое множество в банаховом про¬
странстве, /: V —> V — непрерывное отображение, переводящее V в ограни¬
ченное множество, (i) (Теорема Дарбо) Пусть при некотором к < 1 для всех
ограниченных множеств А С V имеем a (/(A)) ^ ка{А). Доказать, что /
имеет неподвижную точку, (ii) (Теорема Садовского) Пусть x(f(A)) < х{А)
для всякого А с х(^4) > 0. Доказать, что / имеет неподвижную точку.
Указание: (i) пусть Vn — замыкание выпуклой оболочки f(Xn-1), при¬
чем Vo = V. Рассмотреть W := f^Li Гм и применить теорему Шаудера.
5.6.61. (Теорема Мазура-Улама) (i) Пусть X — вещественное нормиро¬
ванное пространство, х±,Х2 € X и хо = (xi + X2)j2. Положим
Ei := {ж: ||®-®i|| = ||®-®2|| = ||я?1 -®2||/2},
Еп+1 := ЕпП{х: dist (х, Еп) ^ dn/2},
где dn — диаметр Еп- Доказать, что хо = f)^Li
(ii)	Пусть Т — изометрия пространства X на вещественное нормирован¬
ное пространство Y, причем Т(0) = 0. Доказать, что отображение Т линейно.
Указание: см. [18, с. 169] или [80, с. 184].
5.6.62. Нормированное пространство X называется пространством
Ефимова-Стечкина, если в нем всякое непустое замкнутое выпуклое мно¬
жество аппроксимативно компактно (см. задачу 1.9.82). (i) Доказать, что
указанное условие равносильно следующему: если {хп} С X, ||жп|| = 1 и су¬
ществует f € X* с f(xn) —► 1, то в {хп} есть сходящаяся подпоследова¬
тельность. (ii) Доказать, что всякое нормированное пространство Ефимова-
Стечкина полно и рефлексивно.
5.6.63. Доказать предложение 5.6.12.
5.6.64.* (Теорема Какутани) Пусть К — непустой выпуклый компакт
в нормированном пространстве. Доказать, что все изометрии h: К —► К
имеют общую неподвижную точку.
Указание: см. [88, с. 471].
5.6.65.* Пусть X — банахово пространство и L — его линейное под¬
пространство, являющееся множеством типа Gs, т.е. счетным пересечением
открытых множеств. Доказать, что L замкнуто.
Указание: см. [343, с. 34].

Глава б
Линейные операторы и функционалы
В этой главе обсуждается одна из центральных тем курса
функционального анализа — линейные операторы. Сначала бу¬
дут установлены три важнейших результата для общих линей¬
ных операторов: теорема Байаха-Штейнгауза, теорема Банаха об
обратном операторе и теорема о замкнутом графике. Затем мы
перейдем к рассмотрению линейных функционалов, т.е. операто¬
ров с числовыми значениями. Главные результаты о линейных
функционалах связаны с теоремой Хана-Банаха и ее следстви¬
ями. Рассмотрением компактных операторов завершается основ¬
ной материал этой главы.
6.1.	Норма и непрерывность оператора
Пусть (X, || • ||х) и (У, || • ||у) — нормированные пространства,
А: X —► У — линейное отображение, т.е. А(ах+(3у) = аАх+(ЗВу.
Линейные отображения называют также линейными оператора¬
ми. Если X = У, то оператор I: х н-+ х называют единичным.
Линейные отображения со значениями в У = Ж или У = С на¬
зывают линейными функционалами. Положим
PII := sup \\Ax\\y,
II® Их
если эта величина конечна, и будем называть ||А|| нормой опе¬
ратора А. Например, норма линейного функционала I задается
равенством
11*11 := sup |J(a?)|.
11ж11х ^
Линейный оператор с конечной нормой называется ограничен¬
ным. Отметим, что такая терминология не согласована с терми¬
нологией для случая общих отображений, когда ограниченными

246
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
называются отображения с ограниченными образами. У ограни¬
ченного линейного оператора А ограничен лишь образ шара, но
образ Ran А := А(Х) всего пространства, называемый образом
оператора А, может быть ограничен лишь тогда, когда А(Х) = 0.
Заметим, что \\А\\ есть наименьшее из таких чисел М, что
||Аг||у ^ М||ж||х для всех х £ X. Ясно также, что в определе¬
нии || А || можно брать sup по единичной сфере вместо единичного
шара (если X ф 0).
Если X,Y,Z — нормированные пространства, A: Y —► Z
и В: X —> Y — ограниченные линейные операторы, то линей¬
ный оператор АВ: X —> Z очевидным образом ограничен и
\\т < рн т\.
Это неравенство может быть строгим; легко построить соответ¬
ствующий пример в IR2 или С2 (например, композиция ненулевых
операторов может быть нулем).
Множество C(X,Y) всех ограниченных линейных операто¬
ров, действующих из нормированного пространства X в норми¬
рованное пространство У, само становится нормированным про¬
странством с операторной нормой А н-* \\А\\. Линейность этого
пространства очевидна из того, что алгебраическая сумма двух
ограниченных множеств ограничена и произведение ограничен¬
ного множества на скаляр ограничено. Тот факт, что получе¬
но нормированное пространство, сразу следует из соотношений
\\(А + В)х\\у ^ ||Ае||у + ||Вж||у и ЦААгЦу- = |А| ||<Аж||у. Основные
результаты этой главы связаны с операторной нормой. Особую
роль играет случай, когда Y — пространство скаляров.
6.1.1.	Определение. Пусть X — нормированное простран¬
ство. Пространство X* := С(Х, IR) (или X* := С(ХУ С) в ком¬
плексном случае) всех непрерывных линейных функционалов на
пространстве X называется сопряженным (или топологически
сопряженным) к пространству X. Пространство Хг всех ли¬
нейных функций на X называется алгебраически сопряженным.
Значение линейного функционала / на векторе х часто обо¬
значают через (/, х). На конкретных пространствах легко стро¬
ить явные примеры ненулевых непрерывных функционалов. Ока¬
зывается, такие функционалы существуют на всяком отличном от
нуля нормированном пространстве. Этот неочевидный, но очень
важный для всей теории факт будет установлен ниже в §6.4 с по¬
мощью теоремы Хана-Банаха. Алгебраические сопряженные ис¬
пользуются редко.

6.1. Норма и непрерывность оператора
247
6.1.2. Теорема. Для линейного оператора А: X —►У следу¬
ющие условия равносильны:
(i) оператор А ограничен;
(ii) оператор А непрерывен;
(iii) оператор А непрерывен в некоторой точке.
Доказательство. Если оператор А ограничен, то имеет ме¬
сто оценка ||Лж —Ау\\ < ЦАЦЦж—у||, т.е. отображение А удовлетво¬
ряет условию Липшица с постоянной \\А\\ и потому непрерывно.
Пусть оператор А непрерывен в некоторой точке х$. Из равенства
Ах = А(х — хо) + Ах о следует непрерывность А в нуле. Поэтому
найдется такое г > 0, что \\Ах\\ < 1 при \\х\\ ^ г. Это дает оценку
\\Ах\\ ^ г-1 при ||ж|| ^ 1. Итак, ||А|| ^ г-1.	□
6.1.3. Следствие. Линейное отображение между нормиро¬
ванными пространствами непрерывно в точности тогда, когда
оно переводит сходящиеся к нулю последовательности в ограни¬
ченные последовательности.
Доказательство. Необходимость этого условия очевидна,
а достаточность следует из того, что если \\хп\\ < 1 и ||Я#П|| —> оо,
то Уп := ||Ажп||_1/2жп -» 0 и ||Ауп|| = ||4жп||1/2 -> оо.	□
Согласно доказанному, линейное отображение, разрывное
в одной точке, разрывно всюду. На конечномерном нормирован¬
ном пространстве все линейные операторы непрерывны и потому
ограничены. В бесконечномерном случае положение иное.
6.1.4. Пример. На всяком бесконечномерном нормирован¬
ном пространстве существует разрывный линейный функционал.
Действительно, пусть {va} — базис Гамеля, состоящий из векто¬
ров единичной длины. Возьмем в этом базисе счетную часть {vn},
положим l(vn) = п для каждого п, на остальных элементах базиса
зададим I нулем и доопределим по линейности на все простран¬
ство. Ясно, что получен неограниченный линейный функционал.
Он разрывен в каждой точке по предыдущей теореме.
На некоторых неполных нормированных пространствах мож¬
но явно (без использования базиса Гамеля) задать разрывные
линейные функционалы. Например, пространство непрерывных
функций на [0,1] можно наделить нормой из L2[0,1] и задать I
формулой 1{х) = ж(0). Однако явных примеров неограниченных
линейных функционалов на банаховых пространствах нет.

248
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Рассмотрим несколько примеров вычисления норм функцио¬
налов и операторов.
6.1.5.	Пример, (i) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой,
Kf) = /(0)- Тогда ||1|| = 1, ибо |/(/)| < 1 при ||/|| <1и /(1) = 1.
(ii) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой, 1(f) = /(0) — /(1).
Тогда \\1\\ = 2, ибо |/(/)| < 2 при ||/|| < 1 и 1(f) = 2 для функ¬
ции /: 11—> 1 — 2t.
(iii) Пусть X = С[0,1] с обычной нормой,
*(/) = f1 №g(t) Я,	(6.1.1)
Jo
где g(t) = —1 при t < 1/2, g(t) = 1 при t > 1/2. Тогда имеем
||/|| = 1, ибо |Z(/)| < 1 при II/H < 1, а для всякого е > 0 найдется
непрерывная функция / с |/(£)| < 1 и /(/) > 1 — е. Заметим,
что в этом примере не существует такого элемента / с ||/|| < 1,
что 1(f) = ||/||, т.е. непрерывный линейный функционал может не
достигать максимума на замкнутом шаре.
Более общим образом, для всякой интегрируемой функции д
на [0,1] для функционала (6.1.1) имеем
imi = iipiui = fm\dt.
Jo
Оценка ||/|| ^ |Ы|ц очевидна, а для доказательства равенства
надо заметить, что для всякого е > 0 найдется такая ступенчатая
функция де, что	^ £• Аналогично предыдущему случаю
замечаем, что существует функция f£ Е С[0,1] с \\ f£\\ ^ 1 и
/ fe(t)ge(t)dt > ||0e||Li - е.
Jo
Это дает
l(fe) > [ fe(t)ge(t) dt-e ^ \\g\\Li - Зе,
Jo
ибо ||ge||x,i ^ ||fl||i,i — £• Ввиду произвольности е получаем оценку
т\>м».
(iv) X — евклидово пространство, 1(х) = (ж, о), где а (Е X.
Тогда ||/|| = ||о||, ибо |/(ж)| < ||ж||||а||, что дает ||/|| < ||а||. С другой
стороны, если аф 0, то ((о/||о||) = ||а||.

6.1. Норма и непрерывность оператора
249
(v) X = L2[0,1] с обычной нормой,
V о
где у Е Z-x[0,1], ф е L2[0,1]. Тогда ||Л|| = ЦуЦцЦ^кг. Это выте-
(vii) Диагональный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н — это оператор вида
оо
где {еп} — ортонормированный базис в Н и {ап} ~~ ограниченная
последовательность в С. При этом \\А\\ = supn |ап|, ибо мы имеем
\\Ах\\ ^ supn |<хп| и Ре„|| = |ап|, откуда \\А\\ ^ supn |ап|.
Следует помнить, что согласно (iii) даже в случае линейного
функционала на бесконечномерном пространстве норма может не
достигаться на единичном шаре, т.е. не всегда sup можно заме¬
нить на max.
Докажем теперь важный результат, согласно которому пото¬
чечно ограниченное семейство непрерывных операторов равно¬
мерно ограничено на шаре, т.е. ограничено по норме.
6.1.6.	Теорема. (Теорема Банаха-Штейнгауза; прин¬
цип равномерной ограниченности) Пусть дано семейство
{Аа} ограниченных линейных операторов на банаховом про¬
странстве X, принимающих значения в нормированном про¬
странстве Y. Предположим, что
кает из (iii) и равенства
sup ||>1а#|| < °о для каждого х € X.
а
Тогда sup||.4a|| < оо.
а

250
Глава 6- Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Как и в примере 1.5.3 (можно и сразу на
него сослаться), рассмотрим множества
Мп = {ж Е X: ||j4a#|| ^ п для всех а}.
В силу непрерывности операторов Аа эти множества замкнуты.
По условию они покрывают X. Согласно теореме Бэра найдет¬
ся такое п, что множество Мп содержит некоторый шар U(a,r)
с центром в а и радиусом г > 0. Поскольку Ах = А(х + а) — Аа
и sup ||Ааа\\ < оо, то получаем равномерную ограниченность опе-
а
раторов Аа на шаре U(0, г), что дает их равномерную ограничен¬
ность на единичном шаре.	□
Полнота X существенна в этой теореме (хотя требование пол¬
ноты можно ослабить до бэровости X, что очевидно из доказа¬
тельства). Например, на линейном подпространстве в С[0,1], со¬
стоящем из функций, равных нулю в окрестности нуля (своей для
всякой функции), ограниченные функционалы 1п(%) = пх(1/п)
поточечно ограничены (на каждом фиксированном элементе х
они обращаются в нуль с некоторого номера), но их нормы не
ограничены в совокупности: ||/п|| = п. Таким же свойством об¬
ладают функционалы 1п(х) = пхп на линейном подпространстве
в /2, состоящем из всех векторов с конечным числом ненулевых
компонент.
6.1.7. Следствие. Пусть X uY — банаховы пространства,
Ап: X —► Y — непрерывные линейные операторы, причем для
каждого х существует предел Ах = lim Апх в Y. Тогда А —
п—>оо
непрерывный оператор.
Доказательство. Ясно, что А — линейное отображение. По
теореме Банаха-Штейнгауза имеем supn ||-Ап|| ^ С < оо. Тогда
\\Ах\\ = lim ||Апа;|| ^ С||ж||, т.е. ||А|| < С.	□
п—>оо
6.1.8. Следствие. В ситуации предыдущего следствия для
всякого компакта К С X имеем
lim sup ||Ах — Апх|| = 0.
п—°° хеК
Доказательство. Мы уже знаем, что найдется такое С > 0,
что ||Л„|| < С при всех п и ||Л|| < С. Пусть е > 0. Найдем
в К конечную в(4С)-1-сеть х\,...,Хк и возьмем такое N, что

6.1. Норма и непрерывность оператора
251
\\Axi — АпХ{\\ ^ е/2 при г = 1,..., к для всех п ^ N. Тогда для
таких п при всяком х G К имеем ||Ах — Апх|| < е, ибо найдется
xi с \\х — Xi\\ < е(4С)”1, что по неравенству треугольника дает
||Аг - Апх|| < ||Аг - Axi\\ + \\Axi - АпЯг|| +	-	Aiz||	^
< 2С\\х - я*|| + е/2 ^ е,
как и требовалось.	□
6.1.9. Теорема. Пусть Y — банахово пространство. Тогда
для всякого нормированного пространства X пространство опе¬
раторов C(X,Y) полно относительно операторной нормы.
В частности, пространство X* полно для всякого нормиро¬
ванного пространства X (не обязательно полного).
Доказательство. Пусть {Ап} с С(Х, Y) — фундаменталь¬
ная последовательность. Для каждого х Е X последовательность
{Апх} фундаментальна в У, ибо \\Апх — А^х|| < Рп — -AfclllMI-
Поэтому существует Ах = lim Апх. Ясно, что А е C(X,Y),
71—*00
||Л|| ^ supn ||Л„||. Однако надо проверить, что ||Л — Ап\\ —► 0.
Пусть е > 0. Найдем такое N, что \\Ап —	^ е при п,к ^ N.
При n^N для всякого вектора ж с единичной нормой имеем
\\Ах - Апх\\ = lim \\Акх - Лпж|| < е,
к—►сю
откуда ||Л - Лп|| < е.	□
Отметим, что в этой теореме и теореме Банаха-Штейнгауза
требуется полнота разных пространств. В учебных целях проще
запоминать обе теоремы, требуя полноту обоих пространств. Од¬
нако затем легко сообразить, что в теореме Банаха-Штейнгауза
полнота Y не нужна потому, что можно перейти к пополнению Y
(что сохранит поточечную ограниченность), а в предыдущей тео¬
реме не нужна полнота X, ибо можно продолжить все операторы
Ап на пополнение X, что даст фундаментальную последователь¬
ность операторов на пополнении.
Теорема Банаха-Штейнгауза может применяться и для полу¬
чения отрицательных результатов (что иногда называют «прин¬
ципом сгущения особенностей»).
6.1.10. Пример. Пусть последовательность непрерывных
линейных операторов Ап из банахова пространства X в норми¬
рованное пространство У не является ограниченной по норме.
Тогда найдется такой элемент xEl, что supn ||Апж|| = оо.

252
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.1.11.	Пример. Для всякого а £ [0,27т] найдется такая не¬
прерывная 27г-периодическая функция, у которой частичные сум¬
мы ряда Фурье в точке а не являются равномерно ограниченны¬
ми, в частности, не имеют конечного предела.
Доказательство. Достаточно рассмотреть а = 0. Если бы
для каждой функции / из пространства С^тг непрерывных функ¬
ций / на [0,2л] с /(0) = /(27г) частичные суммы ряда Фурье
в нуле были бы ограничены, то в силу представления (4.5.3) для
частичных сумм была бы поточечно ограничена последователь¬
ность функционалов
/*2тг ч:п ,2п±1 +
Ш):=
J о
/о	2 sin |
Ввиду примера 6.1.5 норма такого функционала на С2п равна
L
2п' Sin
2 sin |
dt.
Поэтому
/»27Г	2	/*(2п+1)тг	2
||/„|| ^ /	|sin(n + l/2)t|-dt = I	|sins|-ds,
Jo	t	J	о	s
что при n —> оо стремится к бесконечности.	□
В приложениях бывает нужно приближать в каком-то смыс¬
ле или заменять бесконечномерные операторы конечномерными.
Например, без этого не обходятся никакие численные методы.
Однако здесь есть много тонкостей, связанных с характером при¬
ближений. Например, единичный оператор в бесконечномерном
пространстве нельзя приблизить конечномерными по оператор¬
ной норме. Ниже в §6.9 мы будем обсуждать компактные опе¬
раторы, которые в хороших пространствах (например, гильбер¬
товом) приближаются конечномерными по норме. Но часто хва¬
тает более слабых приближений, например, поточечных. Такое
возможно для всякого ограниченного оператора в пространстве
с базисом Шаудера; этот вопрос обсуждается в §6.10(iv). Скажем,
в гильбертовом пространстве с ортонормированным базисом {еп}
для всякого ограниченного оператора А имеем РпАх —> Ах при
всех ж, где Рп — ортогональный проектор на линейную оболочку
ei,...,en, т.е. Рпх = (ж,ei)ei + ••• + (ж,en)en. Приведем менее
тривиальный пример.

6.2. Теорема о замкнутом графике
253
6.1.12. Пример. Пусть Съп — пространство всех непрерыв¬
ных 27г-периодических функций на прямой с sup-нормой и ап —
оператор, сопоставляющий функции / ее сумму Фейера
/*27Г
crn(f)(x) := / f(x + г)Фп(г) dz,
Jo
где Фп — n-ое ядро Фейера (см. (4.5.5)). Тогда по теореме 4.5.9
имеем II/ — сгп(/)|| —► 0 для всех / Е С^тг- Следовательно, для вся¬
кого ограниченного оператора А со значениями в получаем
поточечную сходимость \\Ах — апоАх\\ —► 0. Аналогичное верно
и для пространства С[0,1]. Для этого достаточно заметить, что
пространство С[0,7г] можно вложить в С2тг посредством отобра¬
жения /«-*/, где /(£) = /(—£) при t Е [—7г,0], а затем / продол¬
жается периодически.
Напомним, что согласно следствию 6.1.8 из поточечной сходи¬
мости операторов в банаховом пространстве следует равномерная
сходимость на компактах, что еще более увеличивает полезность
таких приближений.
6.2.	Теорема о замкнутом графике
Следующий результат Банаха и Шаудера лежит в основе мно¬
гих важных результатов, связанных с образами операторов.
6.2.1.	Лемма. Пусть X uY — банаховы пространства с от¬
крытыми единичными шарами Ux и UY, и пусть А: X —► Y —
такой непрерывный линейный оператор, что UY входит в замы¬
кание A(UX). Тогда UY С A(UX). В частности, А(Х) = Y.
Доказательство. Из условия следует, что
A(sUx) П sUY плотно в sUY для всякого s > 0.	(6.2.1)
Пусть у EUY и 0 < £ < 1 — \\у\\. Тогда ||(1 — £)-1у|| < 1. Поэтому
есть вектор х\ Е Ux, для которого ||(1 — s)~1y — Ахi|| < е, т.е.
(1 — e)~ly — Ах 1 Е eUY. Ввиду (6.2.1) найдется вектор Х2 € eUx
с ||(1 — ё)~1у — Ах 1 — Ах21| < е2. По индукции с помощью (6.2.1)
находим хп Е en~1Ux с ||(1 — s)~ly — Ах\ — ... — Ахп\\ < еп. Тогда
у — (1 — е)	Ахп- Ввиду оценки ||жп|| < en_1 и полноты X ряд
(1 — ё)	хп	сходится	к	некоторому х Е X. При этом Ах = у
и ||х|| < (1-е)	671-1 = li т-е- х е Ux. Итак, UY С A(UX).	□

254
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.2.2. Замечание. Была использована лишь полнота X. По¬
путно получен такой факт: если множество S плотно в UY, то вся¬
кий у е UY имеет вид у = CnSn, где sn € 5,	Ы	<	1.
Следующая важная теорема получена Банахом и Шаудером.
6.2.3. Теорема. (Теорема об открытом отображении)
Пусть X uY — банаховы пространства, Ае С(Х, У), А(Х) = У.
Тогда для всякого открытого в X множества V множество
A(V) открыто в пространстве У.
Доказательство. Пусть Ux — открытый единичный шар
в X. Поскольку У = U£Li	т0	по теореме Бэра найдется
такое к, что множество A(kUx) плотно в некотором открытом
шаре UY{a,r) радиуса г > 0 в У. Так как A(kUx) = —A(kUx),
то A(kUx) плотно и в шаре UY{—а,г). Значит, A{kUx) плотно
в шаре UY (0, г). В самом деле, если \\у\\у ^ги ип, vn G Ux таковы,
что А(кип) -> а + у и A(kvn) -а + у, то wn := (ип + vn)/2 € Ux
и A(kwn) —+ у. Заменив А на г~1кА, можно считать, что A(UX)
плотно в открытом единичном шаре UY в У. По доказанной выше
лемме UycA(Ux). Значит, UY(Ax,r)c A(Ux(x,r)), жЕХ, г > 0.
Предположим теперь, что V — непустое открытое множество
в X. Пусть у Е A(V), т.е. у = Ах, х Е V. Найдем такое е > 0, что
Ux(x,e) С V. Тогда в силу доказанного
UY(y,e)cA(Ux(x,ej)cA(V).
Итак, А(у) открыто. См. обобщение в задаче 12.5.30.	□
6.2.4. Замечание, (i) Из доказательства видно, что вместо
сюръективности А достаточно, чтобы А(Х) было множеством
второй категории в У (тогда A(UX) будет плотно в некотором
шаре из У). Вместо полноты У достаточно иметь свойство Бэра
для У, но для произвольных нормированных пространств У тео¬
рема неверна: возьмем диагональный оператор А в X = I2 с соб¬
ственными числами гГх и У = А(Х) с нормой из 12.
(ii)	Поскольку образ единичного шара из X содержит некото¬
рый шар Uy (0, е) с центром в нуле, то получаем, что для всякого
у EY найдется такой вектор х Е X, что
Ах = у и ||ж|| <£-1||у||.
Конечно, такой вектор не обязан быть единственным.
Важным следствием является такой результат Банаха.

6.2. Теорема о замкнутом графике
255
6.2.5. Теорема. (Теорема об обратном операторе)
Пусть А — взаимно однозначное линейное непрерывное отобра¬
жение банахова пространства X на банахово пространство У.
Тогда обратное отображение А~1 тоже непрерывно.
Доказательство. Прообраз при отображении А~1 всякого
открытого в X множества V совпадает с A(V) ввиду взаимной
однозначности А. В силу предыдущей теоремы этот прообраз от¬
крыт в У, что и означает непрерывность А”1.	□
6.2.6. Следствие. Пусть линейное пространство X полно
относительно двух норм р\ и Р2- Предположим, что найдется
такое число с, что pi(x) ^ ср2(х) для всех % € X. Тогда суще¬
ствует такое число М, что Р2{х) ^ Мр\(х) для всех х Е X.
Доказательство. Ввиду условия тождественное отображе¬
ние X с нормой pi в X с нормой р2 непрерывно. Тогда непрерыв¬
но и обратное отображение, т.е. оно имеет конечную норму, что
и означает наличие нужного числа М.	□
Для формулировки еще одного важного следствия теоремы
об открытом отображении введем новый объект.
График отображения А: X —» У есть множество
Г (А) :={(х,Ах): xEXjcXxY.
Если при этом X и У — банаховы пространства, то произведение
XxY наделяется естественной структурой линейного простран¬
ства и естественной нормой ||(#,у)|| := ||ж|| + ||у||. Ясно, что XxY
полно относительно этой нормы.
6.2.7. Теорема. (Теорема о замкнутом графике)
Линейное отображение А: X —► У между банаховыми про¬
странствами непрерывно в точности тогда, когда его график
замкнут в XxY.
Доказательство. Легко видеть, что график всякого непре¬
рывного отображения замкнут. Обратное для нелинейных отоб¬
ражений неверно. В случае линейного отображения А с замкну¬
тым графиком замечаем, что этот график есть линейное подпро¬
странство в XxY и потому является банаховым пространством.
При этом оператор Т: Г (А) —> X, (х, Ах) !-► х линеен, непреры¬
вен и отображает Г(Д) взаимно однозначно на X. По теореме об
обратном операторе отображение х н-> (х,Ах) непрерывно. Это
и означает непрерывность А.	□

256
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.2.8. Следствие. Пусть X,Y,Z — банаховы пространства
и j: Y Z — инъективный непрерывный линейный оператор.
Предположим, что линейное отображение А : X —> Y таково,
что композиция jo А: X —> Z непрерывна, т.е,
X y Z,
где непрерывно сквозное отображение. Тогда А непрерывно.
Доказательство. Проверим замкнутость графика А. Пусть
хп х в X и Ахп —► у в Y. Из условия следует, что
j(Axn) -► j(y), j(Axn) = joA(xn) -► joA(x).
Значит, j(y) = joA(x), откуда у = Ax.	□
Приведем характерные примеры использования полученных
выше результатов.
6.2.9. Пример. Пусть A: L2[a,b] —» L2[a,b] — такой непре¬
рывный линейный оператор, что А{Ь2[а,Ь\) С С[а,Ь]. Тогда опе¬
ратор А непрерывен как отображение из L2[a,b] в С[а, Ь].
6.2.10. Пример. Пусть банахово пространство X представ¬
лено в виде прямой алгебраической суммы своих замкнутых под¬
пространств Xi и Х2- Тогда операторы алгебраического проек¬
тирования Р\: X —► Х\ и Р2* X —► Х2 непрерывны.
Доказательство. Рассмотрим X как банахову прямую сум¬
му Х1ФХ2 с нормой (xi,X2) *-> \\xi\\ + ||ж2||. Так как верно нера¬
венство ||ж1 + X2W ^ \\xi|| + 113^21|? то следствие 6.2.6 показывает,
что введенная норма эквивалентна исходной. Поскольку проек¬
ции очевидным образом непрерывны относительно новой нормы,
то они непрерывны и относительно старой.	□
Следует иметь в виду, что алгебраическая прямая сумма двух
замкнутых линейных подпространств банахова пространства не
обязана быть замкнутой (см. задачу 6.10.96). Предыдущий при¬
мер имеет следующее интересное обобщение.
6.2.11. Предложение. Пусть Х\ и Х2 — такие замкнутые
подпространства банахова пространства X, что X = Х\ + Х2
{сумма не предполагается прямой в отличие от предыдущего
примера). Тогда существует такое число с > 0, что всякий эле¬
мент х € X допускает представление
х = Х1 + Х2, где ||zi|| + ||ж2|| < с||аг||.

6.2. Теорема о замкнутом графике
257
Доказательство. Обозначим через У прямую сумму бана¬
ховых пространств Х\ и X<i. Отображение Т: Y —» X, заданное
формулой Т(х 1,^2) = Х1 + Х2, линейно, непрерывно и сюръектив¬
но. Из теоремы об открытом отображении следует, что образ еди¬
ничного шара из У содержит шар в X некоторого радиуса г > 0.
Теперь достаточно положить с := г-1.	□
Приведем еще один полезный результат, вытекающий из до¬
казанного. Заметим, что если X и У — нормированные простран¬
ства, то непрерывный линейный оператор А: X —» У с ядром
Кег А := А-1(0) порождает инъективный линейный оператор
А : Х/КегА —> У,
называемый факторизацией А по ядру и задаваемый формулой
А[х] := Ах, где [х] — класс эквивалентности в Х/Кет А с предста¬
вителем х. При этом А(Х/Кег А) = Д(-Х’) и ||Л|| = ||А||. Первое
равенство очевидно, а второе проверяется следующим образом:
так как \\[х]\\ < ||х||, то \\А\\ ^ ||Л||. С другой стороны, если
|| [ж] || = 1 и е > 0, то найдется представитель у класса эквива¬
лентности^] с ||j/Ц < 1 + е, откуда \\А[х]\\ = \\Ау\\ ^(1 + е)||Д||.
Значит, ||Д|| ^ (1 + £)||>1|| для всех е > 0 и потому ||Д|| < РП-
6.2.12.	Предложение. Пусть X uY — банаховы простран¬
ства, А 6 С(Х, У). Если образ А имеет конечную коразмерность
в Y, то он замкнут.
Доказательство. Так как А(Х) = А(Х), где X = Х/КегА
и А: X —> У — оператор, порожденный А, то мы можем считать,
что оператор А инъективен. По условию найдется такое конечно¬
мерное линейное подпространство Уо в У, что У является алге¬
браической прямой суммой Yq и А(Х). Обозначим через X © Уо
банахову прямую сумму X и Уо (напомним, что конечномерные
нормированные пространства полны). Оператор В: X ®Yq —> У,
(х, у) I—► Ах + у, непрерывен. Этот оператор инъективен, ибо мы
имеем дело с инъективным оператором А. Кроме того, оператор
В сюръективен, ибо У является алгебраической суммой А{Х)
и Уо- По теореме Банаха оператор В имеет непрерывный обрат¬
ный. Поэтому В переводит замкнутые множества в замкнутые.
В частности, замкнутое подпространство X пространства X © Уо
(т.е. множество пар (ж, 0), х £ X) переводится в замкнутое мно¬
жество А(Х), что и требовалось доказать.	□

258
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.3. Теорема Хана—Банаха
В этом параграфе доказывается важнейший результат линей¬
ного анализа — теорема Хана-Банаха. Этот результат имеет мно¬
гочисленные применения как в математике, так и в приложени¬
ях, в частности, в экономике. В отличие от большинства других
утверждений данного курса, теорема Хана-Банаха нетривиальна
и в конечномерном случае.
6.3.1. Определение. Пусть X — линейное пространство.
Функция р: X —> [0,+оо) называется полунормой на X, если
р(ах) = |а|р(ж) и р(х + у) < р(х) + р(у)
для всех скаляров а и всех векторов х,у.
6.3.2. Определение. Пусть X — действительное линейное
пространство. Функция р: X —► (—оо,+оо) называется выпук¬
лой, если
p(tx + (1 - t)y) < tp(x) + (1 - t)p(y) Уж,у € X, Vt G [0,1].
Функция р: X —> (—оо,+оо) называется однородно-выпук¬
лой, если
р(ах) = ар(х) и р(х + у) < р(х) + р(у)
для всех а ^ 0 и всех х,у Е X.
Ясно, что однородно-выпуклыми являются все полунормы и
все линейные функции. Из определения следует, что однородно¬
выпуклая функция р выпукла:
p(tx + (1 - t)y) < p(tx) + р((1 - t)y) = tp(x) + (1 - t)p(y)
при t Е [0,1]. Если р(—х) = р(х), то р оказывается и полунормой.
6.3.3. Теорема. (Теорема Хана-Банаха) Пусть X —
вещественное линейное пространство, р — однородно-выпуклая
функция на X, Хо — линейное подпространство в X и Iq — ли¬
нейная функция на Хо, удовлетворяющая условию
10(х) < р(х) для всех х Е Хо-
Тогда 1о можно продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию 1(х) < р(х) при всех х Е X.

6.3. Теорема Хана-Бянаха
259
Доказательство. Отметим, что эта теорема нетривиальна
даже в двумерном случае. Как мы сейчас увидим, основная про¬
блема состоит в продолжении функционала на большее простран¬
ство, в котором Хо является гиперплоскостью. Предположим сна¬
чала, что X — линейная оболочка Хо и вектора z, не принадле¬
жащего Хо- Всякий вектор х из X имеет вид х = хо + tz. Всякое
линейное продолжение однозначно определяется выбором числа
с = l(z). Тогда l(x) = lo(xo) + tc. Нам надо так выбрать с, чтобы
иметь оценку / < р. Итак, требуется выполнение неравенства
lo(xo) +tc^ р(х0 + tz).	(6.3.1)
При t > 0 это неравенство равносильно неравенству
lo{t~xxo) + С ^ p(t~lxо + z),
что можно записать в виде
с ^ p{t~lxо + z) — lo{t~lXo).
Аналогично при t < 0 неравенство (6.3.1) равносильно оценке
с ^ -p(-t~lxо - z) - loit-'xo).
Покажем, что существует число с, удовлетворяющее обоим этим
неравенствам при всех хо и t. Для этого нужно, чтобы выполня¬
лось неравенство
с' := sup [-p(-y-z)-l0(y)] ^с":= inf [p(y+z)-l0(y)] ■ (6.3.2)
уеХо	У^хо
В качестве с тогда можно взять любое число между (У и с". Нера¬
венство (6.3.2) равносильно оценке
-Р(-У -г)- 1оЫ) < р{у” + z)- lo{y") V у', у" е Х0.
Эта оценка вытекает из соотношений
*о(у"Ыо(у') <р(у"-у') =р{у”+2-у’-2)) < p(y"+z)+p(-y'-z)‘
Итак, в указанном случае теорема доказана. В общем случае про¬
должение строится постепенным расширением пространства на
единицу большей размерности, что осуществляется с помощью
леммы Цорна. Обозначим через Ш совокупность всевозможных
продолжений 10 на более широкие подпространства с условием
подчиненности р. Каждое такое продолжение V имеет линейную
область определения Z7, на которой V ^ р, причем 1'\х0 = 1о-
Будем считать продолжение V подчиненным продолжению ес¬
ли для соответствующих областей определения имеем V С Ln
и Vf\Lt = V. Ясно, что получен частичный порядок. Условие цепей

260
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
выполнено: если дана цепь продолжений 1а с областями La, то ма¬
жоранта I Е Ш для нее строится так. Объединение L всех Ьа есть
линейное пространство, ибо для всяких х,у Е L найдутся Ьа и Lp
с х Е La и у Е Lp, но по определению цепи либо La С Lp, либо
Lp a La, т.е. в любом случае х + у Е L. Ясно, что tx Е L для всех
скаляров t. По этим же соображениям функция 1(х) = 1а{%а) Для
х = ха корректно задана на L, т.е. la(xa) = b(xp)i если ха = #/?•
При этом I ^ р на L. Итак, I Е Ш — мажоранта для всех 1а. По
лемме Цорна в Ш есть максимальный элемент /. По доказанно¬
му на первом этапе область определения I совпадает со всем X:
иначе I можно было бы линейно продолжить на большее подпро¬
странство с подчинением р вопреки максимальности I.	□
С помощью базиса Гамеля (см. предложение 1.1.1) легко по¬
лучить линейное продолжение I, но оно не всегда подчинено р.
6.3.4.	Следствие. Пусть X — вещественное или комплекс¬
ное линейное пространство, р — полунорма на X, Хо — линейное
подпространство в X и 1о — линейная функция на Хо, удовле¬
творяющая условию
\ЫХ)\ < Р(х) Vх € Хо-
Тогда 1о можно продолжить до линейной функции I на всем X,
удовлетворяющей условию \1(х)\ ^ р(х) при всех х Е X.
Доказательство. В вещественном случае утверждение не¬
посредственно следует из теоремы Хана-Банаха. В комплексном
случае через Xj& обозначим овеществление X, т.е. X над полем IR.
Применим теорему Хана-Банаха к функции Re lo на овеществле¬
нии Xo^jr пространства Xq. Ясно, что |Re Zo| ^ р на	Полу¬
чим вещественную линейную функцию 1\ на Xj& с Zi|x0,ir = Re/о
и 1\ ^ р. Заметим, что |Zi| ^ р. Положим теперь
l(x) = 1\(х) — il\(ix), х Е X,
что возможно, ибо гх Е X, а X совпадает с Xjr как множество.
При х Е Xq имеем
h(x) — ili(ix) = Relo(x) — iRelo(ix) = Relo(x) + Hmlo(x) = Zo(#).
Наконец, для всякого х Е X найдется такое вещественное число в,
что l(x) — ef*|Z(a:)|. Положим у = е~гвх. Тогда 1{у) = \1(х)\, т.е.
1{у) = 1\{у) и l\(iy) = 0, ибо h(iy) Е IR1. Значит,
|/(ж)| = 1{у) = h(y) SC р{у) = р(х).
Следствие доказано.	□

6.3. Теорема Хана-Банаха
261
6.3.5.	Следствие. Пусть Хо — линейное подпространство
нормированного пространства X (необязательно замкнутое)
и 1о — непрерывная линейная функция на Хо. Тогда 1о можно
продолжить до непрерывной линейной функции на всем X, име¬
ющей ту же норму, что и функционал 1о на Xq.
Доказательство. По условию \k(x)\ < ||/о|||И| при х е Х0.
Положим р(х) = ||/п|||И|. Применив предыдущее следствие, про¬
должим 10 до линейной функции I на X с |/| < р. Это дает
IHI ^ ||/о||. Так как ||/0|| ^ ||Z||, то ||Z|| = ||/0||.	□
Приведем еще геометрическую форму теоремы Хана-Банаха,
связанную с разделением выпуклых множеств.
Пусть X — вещественное линейное пространство. Говорят, что
линейная функция I разделяет множества А, В С X, если
inf 1{х) ^ sup 1(х).
хев
Иначе говоря, найдется такое число с, что
В С {х: 1{х) < с} и А С {х: 1(х) ^ с}.
Геометрически это означает, что А и В находятся по разные сто¬
роны от аффинного подпространства 1~1(с).
Если / ф 0, то множество {х: 1(х) ^ с} называют полупро¬
странством, а {х: 1{х) = с} называют гиперплоскостью.
Назовем алгебраическим ядром множества А в линейном про¬
странстве X множество всех таких точек х Е А, что для каждого
v 6 X найдется число е = e(v) > 0, для которого х + tv 6 А
при \t\ < е. Если X — нормированное пространство, то всякая
внутренняя точка А входит в алгебраическое ядро, но алгебра¬
ическое ядро может быть шире внутренности. Например, если
в качестве X взять пространство многочленов на [0,1] с нор¬
мой из С[0,1], то множество многочленов х с max*|a/(t)| < 1
не имеет внутренних точек, но совпадает со своим алгебраиче¬
ским ядром. Для произвольного бесконечномерного нормирован¬
ного пространства X множество /-1{(—1,1)}, где I — разрывная
линейная функция, также не имеет внутренних точек, но совпа¬
дает со своим алгебраическим ядром.
Пусть V — выпуклое множество в линейном пространстве X.
Предположим, что алгебраическое ядро V содержит точку 0.
Функционал Минковского множества V есть функция
Pv{x) •= inf{t >0: t lx € V}.

262
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Предположение о том, что 0 входит в алгебраическое ядро V,
нужно лишь для того, чтобы функционал ру принимал конечные
значения.
6.3.6. Теорема. При указанных предположениях функцио¬
нал ру является однородно-выпуклым и неотрицательным. Ес¬
ли множество V уравновешено (т.е. 0V С V при \в\ < 1), то
ру — полунорма.
Обратно, для всякой однородно-выпуклой неотрицательной
функции р множество U := {х: р(х) ^ 1} выпукло, его алгебра¬
ическое ядро есть множество {х: р(х) < 1}, причем р — ри-
Доказательство. Как уже отмечалось, 0 < ру(х) < оо.
Для всякого а > 0 и всякого х Е X имеем
ру(ах) = inf{t > 0: t~lax 6 V} =
= a inf {5 > 0: s~*x Е V} = ару(х).
Пусть х,у G X. Зафиксируем е>0и выберем такие s,t > 0, что
ру(х) < s < ру(х) + е, ру(у) < t < ру(у) + е. Тогда x/s е V,
y/t € V. Положим г = s +1. Тогда точка (х + y)/r — fx/s + -y/t
принадлежит отрезку с концами в x/sn y/t, т.е. из-за выпуклости
множества V входит в V. Итак, ру((х + y)/r) < 1, откуда
р(х + у) < г < ру(х) + ру(у) + 2е.
В силу произвольности е получаем ру(х + у) < ру(х) + ру(у).
Наконец, если V уравновешено, то ру(вх) = ру(х) при \в\ = 1.
Пусть р ^ 0 — однородно-выпуклая функция. В силу выпук¬
лости р множество U = {х: р(х) < 1} выпукло. Всякий элемент
х € X с р(х) < 1 входит в алгебраическое ядро С/, ибо
р(х + ty) С 1 при \t\ < (1 - р(х))/тах(р(у), 1).
Если же р(х) ^ 1, то х не входит в алгебраическое ядро U, так
как
р(х + ex) = (1 + s)p(x) ^ 1 + е > 1
при всех е > 0. Из определений ясно, что ри = Р-	П
6.3.7. Теорема. Пусть U uV — выпуклые множества в ве¬
щественном линейном пространстве X, причем алгебраическое
ядро U не пусто и не пересекается с V. Тогда существует нену¬
левая линейная функция, разделяющая U и V.

6.3. Теорема Хана-Банаха
263
Доказательство. Можно считать, что 0 входит в алгебра¬
ическое ядро U (иначе можно было бы перейти к множествам
U — ал V — а для некоторой точки а из алгебраического ядра U).
Возьмем какую-нибудь точку £ V и положим
W = U — V + vq.
Ясно, что W — выпуклое множество, причем его алгебраическое
ядро W0 содержит 0. Кроме того, vq ^ W°, ибо алгебраиче¬
ское ядро U не пересекается с V. Обозначим через р функционал
Минковского множества И^0. Тогда p(vо) ^ 1. На одномерном
подпространстве векторов вида tvо зададим линейную функцию
lo(tvо) = tp(vо). По теореме Хана-Банаха можно продолжить Iq
до линейной функции I на X с I ^ р. Тогда l(w) ^ 1 при w £ W°.
Ввиду теоремы 6.3.6 имеем l(w) < 1 при всех w £ W. Так как
1(уо) = ^о(^о) = р(уо) ^ 1, то / разделяет множества W и vq.
Значит, I разделяет U — V и {0}, но тогда I разделяет U и У. □
Отметим, что в предыдущей теореме не использовалась топо¬
логия: алгебраическое ядро определялось в чисто алгебраических
терминах. Применительно к нормированным пространствам по¬
лучаем такое утверждение.
6.3.8. Следствие. Пусть выпуклые множества U uV в ве¬
щественном нормированном пространстве X не пересекаются,
причем U открыто. Тогда существует ненулевая непрерывная
линейная функция, разделяющая U и V.
Доказательство. Заметим, что алгебраическое ядро U сов¬
падает с U ввиду открытости U. Поэтому существует ненулевая
линейная функция I, разделяющая U и V. Такая функция ав¬
томатически непрерывна в случае открытого множества U. Это
следует из такого очевидного замечания: если линейная функция
I ограничена сверху или снизу на непустом открытом множестве,
то она непрерывна. В самом деле, функция I ограничена сверху
или снизу на некотором шаре радиуса г > 0. Поэтому она огра¬
ничена сверху или снизу на шаре радиуса г с центром в нуле, что
дает ограниченность по модулю на этом шаре.	□
Приведем еще один очень полезный результат.
6.3.9. Следствие. Если V — замкнутое выпуклое множе¬
ство в вещественном нормированном пространстве X их &V,
то существует I £ X* с 1{х) > supvGy l(v). Если V линейно, то
можно взять I так, что 1(х) = 1 и 1\у — 0.

264
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Можно считать, что х = 0. Есть откры¬
тый шар U с центром в нуле и UDV = 0. Как мы уже знаем, най¬
дется ненулевой функционал I € X* с inf иец1(и) ^ snpveV l(v).
Тогда infиеи 1{и) < 0 = 2(0), ибо иначе I = 0. Если V линейно, то
1\у = 0 (иначе супремум бесконечен).	□
6.4.	Применения теоремы Хана-Банаха
Некоторые интересные применения теоремы Хана-Банаха мы
уже обсуждали выше: теоремы о разделении. Другим важным
применением является доказательство того заранее не очевидно¬
го факта, что сопряженное к бесконечномерному нормированно¬
му пространству нетривиально.
6.4.1. Теорема. Для всякого ненулевого элемента х норми¬
рованного пространства X найдется такой функционал I, что
1И1 =1« К*) = IMI-
Доказательство. На одномерном пространстве, порожден¬
ном ж, положим lo(tx) = t||x||. Тогда lo(x) — ||ж|| и ||2о|| = 1. Оста¬
ется продолжить I на X с сохранением нормы.	□
Из этой теоремы (или с помощью аналогичного рассуждения)
легко усмотреть, что в случае бесконечномерного пространства X
для всякого п найдутся такие векторы жх,..., хп 6 X и функци¬
оналы Zi,..., ln Е X*, что li(xj) = Sij. В частности, сопряженное
пространство тоже бесконечномерно.
6.4.2. Следствие. Пусть Хо — конечномерное подпростран¬
ство нормированного пространства X. Тогда Хо топологически
дополняемо в X, т.е. существует такое замкнутое линейное
подпространство Х\, что X является прямой алгебраической
суммой Хо и Х\, а естественные алгебраические проекции Ро
и Pi на Хо и Х\ непрерывны.
Доказательство. Как указано выше, можно найти базис
пространства Хо и элементы 6 X* с k(xj) — S^.
Положим
п	п
Х\ := П Кег2<, Рох := '*^k(x)xi, Р\х := х — РоХ.
i=i	i=i
Для всякого j имеем Pqxj — lj{xj)xj = xj. Ясно, что Po\xi = 0,
Хо П Х\ = {0}, X = Хо ® Xi, ибо х — Рох 6 Xi ввиду равенств
lj(x — Pqx) = lj(x) — lj(x)lj(xj) = 0. Непрерывность Ро и Pi ясна

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
265
из их определения. Ясно также, что Р$ и Р\ совпадают с алгебра¬
ическими проектированиями на Хо и Xi.	□
Построим теперь изометрическое вложение нормированного
пространства X во второе сопряженное X**. Для каждого х Е X
рассмотрим функционал Jx \ f н-* f(x) на X*.
6.4.3. Предложение. Отображение J: х н-* Jx является
линейным изометрическим вложением X в X**.
Доказательство. Линейность J очевидна. Поскольку
l«W)l = \f(x)\ < 11*11 при 11/11 < 1»
то \\JX\\ ^ ||ж||. С другой стороны, согласно доказанному выше,
если х ф 0, то найдется / Е X* с ||/|| = 1 и f(x) = ||ж||, т.е.
JxU) = \\х\1 откуда И^Н > ||ж||.	□
Если J(X) = X**, то пространство X называется рефлексив¬
ным. Ниже будут приведены примеры рефлексивных и не ре¬
флексивных пространств. Следует иметь в виду, что рефлексив¬
ность пространства X не равносильна существованию изометрии
между X и X** (в задаче 6.10.178 описан контрпример — знаме¬
нитое пространство Джеймса); требуется, чтобы именно канони¬
ческое отображение J было изометрией на все X**.
Сочетая это предложение с теоремой Банаха-Штейнгауза, по¬
лучаем важное утверждение об ограниченности слабо ограничен¬
ных множеств.
6.4.4. Определение. Множество А в нормированном про¬
странстве называется слабо ограниченным, если
sup \1(х)\ < оо
хеА
для всякого непрерывного линейного функционала I.
В вещественном случае достаточно иметь такую оценку без
модуля, ибо —I также является непрерывным функционалом.
6.4.5. Теорема. Множество в нормированном пространст¬
ве слабо ограничено в точности тогда, когда оно ограничено по
норме.
Доказательство. Слабая ограниченность множества А оз¬
начает, что семейство функционалов Jx, где х Е А, ограничено на
каждом элементе X*. Так как X* банахово, то указанное семей¬
ство ограничено по норме в X** по теореме Банаха-Штейнгауза.

266
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Ввиду доказанного выше предложения множество А ограничено
по норме. Обратное утверждение очевидно.	□
Еще одним полезным следствием существования изометриче¬
ского вложения X в X** является следующий результат.
6.4.6. Предложение. Всякое нормированное пространст¬
во X обладает единственным пополнением, являющимся бана¬
ховым пространством.
Доказательство. Таким пополнением является замыкание
образа X при вложении в X**. Следует заметить, что при ис¬
пользовании пополнения, построенного ранее в категории общих
метрических пространств, можно получить пространство, не яв¬
ляющееся линейным.	□
В случае сепарабельного нормированного пространства с по¬
мощью теоремы Хана-Банаха легко получить счетное множество
функционалов, разделяющих точки.
6.4.7. Предложение. Пусть X — сепарабельное нормиро¬
ванное пространство. Тогда существует такое счетное множе¬
ство функционалов ln Е X*, что из равенства 1п(х) = 0 при всех
п следует равенство х = 0.
Доказательство. Пусть {хп} — некоторое счетное всюду
плотное множество в X. Считая, что X ф 0, для каждого п най¬
дем ln € X* с 1п(хп) = ||жп|| и ||/n|| = 1. Пусть 1п(х) = 0 при
всех п. Зафиксируем е > 0 и найдем хт с \\х — хт\\ ^ е. Тогда
||^ш|| = 1т{%т) = 1т{хт ~ х) ^ \\хт ~ х\\ ^ Откуда ||ж|| ^ 26.
Значит, х = 0.	□
Наличие разделяющих точки функционалов будет использо¬
вано и в доказываемой в §6.7 теореме об универсальности про¬
странств С (К).
С помощью теоремы Хана-Банаха мы строили функционалы,
имеющие максимум на шаре. С другой стороны, мы встречали
примеры функционалов, не достигающих максимума. По этому
поводу приведем следующий результат Бишопа-Фелпса (доказа¬
тельство можно найти, например, в книге Дистель [75, гл. 1];
усиление можно найти в книге Bollobas [287, гл. 8]).
6.4.8. Теорема. Пусть С — непустое замкнутое ограничен¬
ное выпуклое множество в вещественном банаховом простран¬
стве X. Тогда множество функционалов из X*, достигающих
максимума на С, всюду плотно в X*.

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
267
Отметим, что для всякого нормированного пространства X
с пополнением X сопряженные X* и X совпадают в том смыс¬
ле, что всякий функционал из X* однозначно продолжается по
непрерывности до функционала из X , причем всякий элемент
X получается таким образом из своего сужения на X. Если ба¬
наховы пространства X и Y линейно гомеоморфны посредством
оператора J, то отображение / t—► lo J есть гомеоморфизм из Y*
на X*. Однако следует иметь в виду, что существуют неизоморф¬
ные (линейно топологически) банаховы пространства X и У с ли¬
нейно гомеоморфными сопряженными. В качестве примера ука¬
жем I1 и Ll\0,1] (отсутствие линейного изоморфизма между ни¬
ми — предмет задачи 6.10.102, а изоморфность их сопряженных
1°° и L°°[0,1] — теорема Пелчинского, доказательство которой
можно прочитать в книге Albiac, Kalton [251, теорема 4.3.10]).
Приведем менее очевидные примеры однородно-выпуклых
функций, с помощью которых строятся некоторые интересные
линейные функции.
6.4.9.	Пример. Следующие функции р однородно-выпуклы:
(i) пусть X — пространство всех ограниченных вещественных
последовательностей х = (хп) и
1 уП >
р(х) = inf S(x,ai,...,On),	S(x,ai,...,an) := sup - Y] хк+<н,
1=1
где inf берется по всем натуральным n и всем конечным наборам
чисел ai,... ,an 6 IN;
(ii) пусть X — пространство всех ограниченных вещественных
функций на прямой и
1 уП л
p{f) = inf S(f, oi,... ,an), S(f,oi,... ,an) := sup	+
telR i^l
где inf берется по всем натуральным n и всем конечным наборам
чисел ai,..., ап 6 IR;
(iii) пусть X — пространство всех ограниченных веществен¬
ных последовательностей х = (хп) и
1 п
р(х) = miS(x,ai,... ,ап), S(x,ai,... ,о„) := lim sup -	хк+<н,
к^оо п ,=1
где inf берется по всем натуральным п и всем конечным наборам
чисел ai,... ,Оп € 1N.

268
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Утверждение (i) вытекает из (ii), которое
мы и докажем. Ясно, что \p(f)\ < оо и p(af) = ap(f) при а ^ 0.
Пусть /, <7 Е X и е > 0. Найдем такие ai,..., an, bi,..., Ьт, что
j П	j	771
sup - У2 /(< + a*) < p(f) + e, sup — У] g(t + k) < p(g) + e.
ten «г?	ten m
1=1 1=1
Заметим, что величина sup(mn)-1 YlT=i	+	ff)(^	+	°i + ^j)
tGli
не превосходит суммы
j m j n	^	n	j	m
sup 77 ^2 й X] + щ + bi) + sup 7 ]C 77	+ °* + 6i)-
Мы имеем n_1 Х^Г=1 /(* + ai + fy) ^ ^(/> аъ • • * > an) при фиксиро¬
ванных £ и bj, откуда
j 771 j тг
SUP — У' “ У] /(* + «г + 6j) ^ £(/, ab . . . , On).
Из аналогичной оценки для д получаем
Р(/ + 9) < £(/, аь ..., an) + S(g, 6Ь ..., 6m) < p(f) + p(g) + 2e,
что в силу произвольности е дает p(f + д) ^ p(f) +р(д). Доказа¬
тельство утверждения (iii) совершенно аналогично.	□
Теперь применим доказанное для построения некоторых лю¬
бопытных функций множества.
6.4.10.	Пример. На сг-алгебре всех подмножеств 1N суще¬
ствует неотрицательная аддитивная функция г/, которая равна
нулю на всех конечных множествах и равна 1 на 1N; в частности,
функция v не счетно-аддитивна.
Доказательство. В пространстве X ограниченных после¬
довательностей с функцией р из пункта (iii) предыдущего приме¬
ра возьмем подпространство Xq последовательностей, имеющих
предел. Положим 1{х) = lim хп при х Е Xq. Тогда 1(х) = р(х),
п—►оо
ибо lim sup n-1 Xk+ai = lim %к при всех фиксированных n
fc-oo	k^°°
и ai,... ,an. Продолжим l до линейной функции l на X с I ^ p.
Если х G X и хп ^ 0 для всех п, то р(х) <0и потому 1(х) ^ 0.
Значит, 1{х) ^ 0, если хп ^ 0. Если х = (#1,... ,жп,0,0,...), то

6.4. Применения теоремы Хана-Банаха
269
1(х) = 1(х) = 0. Наконец, /(1,1,...) = 1. Для каждого Е С IN
положим v(E) := 1(1е), где 1е ~ индикатор Е, т.е. последова¬
тельность, на n-м месте которой стоит 1 или 0 в зависимости от
того, входит п в Е или нет. Конечным множествам соответству¬
ют конечные последовательности, поэтому на них г/ обращается
в нуль. На всем ИМ значение г/ равно 1, а аддитивность v следует
из аддитивности I и того, что Iex\je2 = ^Ei +1е2 Для непересекаю¬
щихся Ei и 1?2- Отсутствие счетной аддитивности очевидно. □
6.4.11.	Пример. На пространстве X всех ограниченных ве¬
щественных функций на прямой с ограниченными носителями
существует линейная функция L, совпадающая с интегралом Ле¬
бега на интегрируемых функциях и имеющая следующие свой-
ства: L(f) ^ 0 при / ^ 0, |L(/)| < supt\f{t)\, L(f(• + h)) = L{f)
для всех / E X и h G IR1, где /(• + h)(t) = f(t + h).
Доказательство. Сначала построим такой функционал на
пространстве Х\ ограниченных функций с периодом 1. Возьмем
на Х\ функцию р из примера 6.4.9(ii). На подпространстве Хо
интегрируемых по периоду функций зададим L как интеграл Ле¬
бега и заметим, что L(f) ^ p(f) при f € Хо ввиду задачи 3.12.26.
Продолжим L на X по теореме Хана-Банаха. Мы имеем соотно-
шения L{-f) = -L(f) <	откуда
-p(-f)^L(f)<p(f) V/GX,.
Если / ^ 0, то р{—/) < 0 в силу определения р и потому L(f) > 0.
Ясно, что Щ/)| ^ supt|/(i)|, ибо p(f) < supt|/(£)|. Покажем,
что L(f) = L(/(- + h)) для всех / 6 Х\, h G IR1. Мы положим
g(t) = f(t+h) — f(t) и проверим, что L(g) = 0. Пусть а& = (k—l)h
при А: = 1,..., п. Тогда YX=i 9(t + <ч) = /(* + nh) - f(t), откуда
р(д) < S(g,ai,...,an) = sup n-1[/(i + n/&)-/(£)] ->• 0 при n -> оо.
t
Итак, p(<?) < 0. Аналогично p(—g) ^ 0, откуда L(g) = 0. Те¬
перь для ограниченной функции / с носителем в [—п, п) положим
L(f) :=	где	fj — 1-периодическое продолжение су¬
жения функции / на [7, j + 1). Нетрудно проверить, что получен
нужный функционал.	□
Оба этих примера принадлежат Банаху.

270
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Положив С(А) := Ь(1д) для ограниченных множеств А, по¬
лучаем аддитивную неотрицательную функцию множества, про¬
должающую меру Лебега на ограниченных множествах и инвари¬
антную относительно сдвигов. Кстати, если в качестве Хо взять
одномерное пространство констант, то такое же рассуждение даст
еще один линейный функционал на Х\, равный 1 на 1, неотри¬
цательный на неотрицательных функциях и инвариантный отно¬
сительно сдвига аргумента функции. Аналогичные соображения
позволяют на всяком множестве Т, на котором действует ком¬
мутативная группа биекций Q, построить инвариантную относи¬
тельно Q неотрицательную аддитивную функцию ( с £(Т) = 1.
Таким способом Банах построил аддитивную площадь на клас¬
се всех ограниченных множеств, совпадающую с мерой Лебега на
измеримых множествах и инвариантную относительно движений.
Однако для IR3 такого продолжения не существует, что доказал
Хаусдорф. Поэтому коммутативность группы Q существенна.
Вот еще один пример применения теоремы Хана-Банаха.
6.4.12.	Пример. Пусть X, У — нормированные простран¬
ства, D С X — линейное подпространство, Т: D —» У — линейное
отображение (необязательно непрерывное), I — линейная функ¬
ция на £), причем \1(х)\ ^ ||Тж||у при х £ D. Тогда существует
функционал / 6 У*, для которого l(x) — f(Tx) при х £ D.
Доказательство. Если КегТ = 0, то 10(у) = 1(Т~гу) — ли¬
нейный функционал на T(D) и \lo(y)\ ^ IMIy Продолжим Iq
до функционала / £ У*. Тогда 1{х) = f(Tx) при х £ D. Если
КегТ ф 0, то возьмем такое линейное подпространство D\ в D,
что D = KerTeDi. По доказанному найдется / 6 У*, для кото¬
рого l(x) = f(Tx) при х £ D\. Это верно и при х £ КегТ, ибо
\1(х)\ ^ ||Тж||у. Значит, это верно для всех х £ D.	□
6.5.	Сопряженные к конкретным пространствам
Здесь указаны сопряженные к важнейшим банаховым про¬
странствам. Начнем с теоремы Рисса об общем виде непрерывно¬
го линейного функционала на гильбертовом пространстве.
6.5.1.	Теорема. (Теорема Рисса) Пусть Н — веществен¬
ное или комплексное гильбертово пространство. Тогда для вся¬
кого v £ Н формула
lv(x) = (x,v)
задает непрерывный линейный функционал на Н U 1МЧМ1-

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
271
Обратно, всякий функционал I Е Н* задается таким способом,
а отображение v н-* lv является изометрией, которая линейна
в вещественном случае и сопряженно-линейна в комплексном.
Доказательство. Равенство ||ZV|[ = ||г;|| ясно из неравен¬
ства |(#,v)| ^ IMIIMI и равенства lv(v) = |М|2. Пусть I Е Н*.
Если I = 0, то v = 0. Будем считать, что Но := Z-1(0) ф Н.
Возьмем единичный вектор е J_ Но и положим v := 1(е)е. Тогда
для всех х Е Н имеем 1(х) = (x,v), поскольку это верно для всех
х Е Но и для х = v ввиду равенств l(v) = |Z(e)|2, (v,v) = |Z(e)|2.
Последнее утверждение теоремы очевидно.	□
Из этой теоремы следует, что всякий непрерывный линейный
функционал F на Н* имеет вид F(l) = 1(a), где а Е Н (функци¬
онал v н-* F(lv) линеен), т.е. Н рефлексивно.
6.5.2. Замечание. Для всякого евклидова пространства Е
(не обязательно полного) отображение J: Е —+ Е*, v lv, где
lv(z) = (xiv)i сохраняет расстояния. Поскольку Е* всегда полно,
то это отображение дает пополнение Е в категории евклидовых
пространств. Для этого надо заметить, что на замыкании J(E)
в Е* есть не только норма, но и скалярное произведение: если
/ = lim J(vn) и g = lim J(wn), то предел (f,g) := lim (wn,vn)
n—*oo	n—>oo	n—> oo
существует, не зависит от выбора сходящихся последовательно¬
стей, линеен по / и сопряженно-линеен по g (ибо мы имеем
J(^vn) — AJ(vn) и (wn,\vn) = X(wn,vn)). Можно было бы поло-
жить (/, д) := [||/ + д||2 - ||/||2 - ||р||2]/2 и с помощью vn и «^убе¬
диться, что получено скалярное произведение. Тем самым J{E) —
гильбертово. На самом деле J(E) — Е*, ибо после отождествле¬
ния Е с J(E) и ЩЁ)* с J{E) получаем Е* = J(E)* = J{E).
6.5.3. Пример. Пусть D — линейное подпространство гиль¬
бертова пространства Н, Т: D —► Н — линейное отображение,
I — линейная функция на D, причем |/(ж)| < ||Тж|| при х Е D.
Тогда существует' v G Н, для которого l(x) = (Tx,v) при х € D.
Это следует из примера 6.4.12.
Выведем из теоремы Рисса теорему Радона-Никодима.
6.5.4. Пример. Пусть д^0иг/^0 — конечные меры на
пространстве (X, А) и и -С д. Рассмотрим меру X = д, +и. Всякая
функция >р из £*(A) входит в С1 (/л), причем ее интеграл по мере д

272
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
не изменится при переопределении р на множестве A-меры нуль.
Следовательно, линейная функция
L(p) = pd/л
Jx
корректно определена на вещественном L2(А) (не зависит от вы-
бора представителя <р). По неравенству Коши-Буняковского
\т\ ^ [ \f\dX ^ II1 Н£3(Л)НУ>1|£9(Л)•
J х
Теорема Рисса дает такую функцию ф е £2(Л), что
цуф<1\	(6.5.1)
/ <pdp =
Jx Jx
IX
для всех (р е L2(А). Будем иметь дело с ее ^-измеримой версией.
Подставив ip = Ia, где А € А, находим /л = ф • А, и = (1 — ф) • Л.
Докажем, что функция (1 — ф)/ф подходит в качестве dv/dp.
Пусть £1 = {ж: ф(х) < 0}, Hi = {х: ф{х) > 1}. Тогда £l,£li € А.
Подставив в (6.5.1) функции <р = Iq и р = 1^, получаем
р(£1) = j фйХ^О, p(£li) = j фd\> А(Пх).
«/fi	J
откуда /х(П) = 0и /x(fii) = 0, ибо /x(fli) ^ A(fii). Тогда функ¬
ция /, заданная равенством
I _ ф(х)
f(x) =  при X & fi U ^1, f(x) = 0 При X £ О. U ^1,
гр(х)
неотрицательна и Л-измерима. Функция / интегрируема отно¬
сительно /л. В самом деле, функции fn =	i/n}	ограничены
и возрастают поточечно к /, причем
/ fndfi- /{^i/n}(l -Ф)ЛХ= /	dv	^	v(X).
J X	J X	J	X
Остается воспользоваться теоремой Беппо Леви, дающей также
сходимость {/п} к / в Z/1(/x). Наконец, для каждого А € А имеем
1а /х-п.в., следовательно, и г/-п.в. (лишь в этом ме¬
сте используется абсолютная непрерывность v относительно /л).
В силу сходимости {fn} к / в Ьг(/л) находим
v(A) =	1а1{ф>\/п} dv =	W^i/n}/dp, = jf / dp.

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
273
Приведем теперь другую теорему Ф. Рисса об общем виде
непрерывного линейного функционала на пространстве С [а, 6].
6.5.5.	Теорема. (Теорема Рисса для С) Общий вид не¬
прерывной линейной функции на вещественном или комплекс¬
ном пространстве С [а, Ь] таков:
l(x) = I x(t)p(dt),
J[*M
где р — ограниченная борелевская мера на [а, Ь] (комплексная
в комплексном случае), причем ||/|| = ||/х||.
Доказательство. Для упрощения формул рассмотрим ве¬
щественный случай. По теореме Хана-Банаха всякий непрерыв¬
ный линейный функционал I на С [а, Ь] продолжается с сохране¬
нием нормы на пространство В[ау Ь] всех ограниченных функций
на [а, Ь]. Продолжение обозначим также через I. Положим
F(s) :=
Покажем, что функция F имеет ограниченное изменение. Пусть
a = to<ti<---<tn = bn£k:= sgn (F(tk) - F(ife_i)). Тогда
£ \F(U) - F(U-i)\ = X>№) - F(U-i)) =
г=1	г=1
n	n
=	““ W,])) ^	—	I[aM-i])
i=1	i=1
ибо функция ei{I[aM] ~ I[a,ti-1]) может принимать лишь зна¬
чения — 1,1,0. Итак, V£(F) ^ ||/||. Функция F имеет не более чем
счетное множество Т точек разрыва (см. §4.2), причем эти точки
являются точками скачка. Переопределим F в этих точках так,
чтобы получить непрерывную слева функцию Fo. Легко прове-
рить, что V£(Fq) < V%(F).
Пусть теперь х — непрерывная на [а, Ь] функция. Зафиксиру¬
ем £ > 0 и выберем такое S > 0, что |ж(£) — ж(в)| < £ при |t — s| < «5
и выполнено неравенство
гЪ	п	.
x(t) dF0(t) - ^2 (Fo(U) ~ Fo(U-i)) j < £,
i=1
если точки a = to < ti < • • • < tn = b таковы, что |tj —	11 ^ S.
Выберем такие точки вне Т (в них Fq и F равны) и возьмем
I/
'Ja

274
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
ступенчатую функцию ф, равную x(ti) на	г	=	1,...,п.
Положим ^/>(а) = х(а). Ясно, что ||ж — ф\\ < в. Поэтому получаем
\1(х) - Z(i/>)| < е||/|[. Наконец, 1(ф) = £"=1 x(U)(Fo(U) - F0(*i_i)),
откуда
\j x(t)dF0(t)-l(x)\ <e(l + ||i||).
Ввиду произвольности e величина 1(х) есть интеграл Стилтье-
са от х по функции Fo. Такой интеграл можно представить в
виде интеграла Лебега по борелевской мере /х, порождаемой Fo
(см. §4.2). Легко видеть, что интеграл Стилтьеса от х по Fo не
больше ya6(F0)supt |z(t)|, откуда ||l|| < V*{F0), т.е. ||/|| = vf(F).
Равенство ||/х|| = V^f(Fo) доказано в предложении 4.2.9.	□
На самом деле, как показано в §6.10(vii), теорема Рисса оста¬
ется в силе для всякого компакта, поэтому можно обойтись без
приведенных выше кустарных построений. Читатель может за¬
даться таким вопросом: нельзя ли получить искомую меру /х сра¬
зу как действие продолжения I на индикаторы? Оказывается, от¬
вет отрицательный: полученная функция множества может быть
не счетно-аддитивной (задача 6.10.98).
6.5.6.	Теорема, (i) Общий вид непрерывной линейной функ¬
ции на со таков:
оо
l(x) = X УпХп, где у = (уп) € I1 и ||1|| = ЦуЦр.
71=1
(ii) Пусть 1 < р < сю. Общий вид непрерывной линейной
функции на 1Р таков:
оо
Кх) = Z) УпХп, где у = (уп) € lq, l/p+1/q = 1 и ||/|| = \\у\\1ч.
71=1
(iii) Общий вид непрерывной линейной функции на 11 таков:
оо
l(x) = X) УпХп, где у = (уп) el°° и ||/|| = ||у||*<*>.
71=1
Доказательство. Ясно, что всякий элемент у € I1 задает
функционал / на со по указанной формуле, причем ||/|| ^ \\у\\р-
Поскольку для вектора х = (sgnyi,..., sgnyn, 0,0,...) мы имеем
\\х\\ = 1 и l(x) =	т0 на самом деле ||Z|| = ЦуЦр.
Обратно, пусть I — непрерывный линейный функционал на со.
Положим уп := Z(en), где еп — последовательность с 1 на п-ом

6.5. Сопряженные к конкретным пространствам
275
месте и 0 на остальных местах. Тогда ]С£=1 \Уг\ == Кх) ^ IKII
ж = (sgnj/i,... ,sgnyn,0,0,...), откуда у € I1. Вектор у задает
функционал /0, совпадающий с I на конечных линейных комби¬
нациях векторов еп. Поскольку такие комбинации плотны в со,
а оба функционала непрерывны, то получаем равенство / = /о*
Это доказывает утверждение (i). Утверждения (ii) и (iii) доказы¬
ваются совершенно аналогично, надо лишь воспользоваться нера-
венством 5^1 \хпуп\ < ||ж|Н|у||г,.	□
Таким образом, имеет место равенство Cq* = 1°°. Это равен¬
ство любопытно тем, что дает один из немногих известных при¬
меров, в которых явно вычисляется второе сопряженное нере¬
флексивного пространства. Конечно, образуя прямые суммы со
с рефлексивными пространствами, можно умножить число при¬
меров, но без использования со обойтись трудно.
Теперь рассмотрим пространства LP.
6.5.7.	Теорема. Пусть р — неотрицательная о-конечная
мера на измеримом пространстве (Cl, А).
(i) Пусть 1 < р < оо. Общий вид непрерывной линейной
функции на вещественном или комплексном L?(p) таков'.
1(х) =
При этом ||/|| = ||y|U,(M).
(ii) Общий вид непрерывной линейной функции на веществен¬
ном или комплексном Lx(p) таков:
1(х) = [ x(t)y(t)p(dt), где у € С°°(р).
Jci
При этом ||1|| = ||у|и~ы.
Доказательство. Для упрощения выкладок мы рассмот¬
рим вещественный случай. Из неравенства Гёльдера ясно, что
всякая функция у € Lq(p) задает на LP(p) линейный функци¬
онал, норма которого не превосходит ||у||х,9(м). Если при р > 1
в качестве ж подставить функцию х(ш) = sgny(ui)\y(ui)\g^p, то
с учетом соотношения q/p = q — 1 получим равенства
I х(t)y(t) p(dt), где у <= Щр), 1 /р + 1/q = 1.
J п
11*11^0.) = ИУНЬМ и ( х(Ш)у(Ш)р(ди) = \\у\\1Ч11у

276
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
показывающие, что ||/|| = Цг/Hi/?(д). В случае р = 1 положим
с := 1Ы1ь°°(м)- Если с = 0, то I = 0. Пусть с > 0. Рассмотрим
множества Еп := {ш: с — 1/n ^	^	с} положительной меры
и возьмем функции хп := T^sgn у/р(Еп) с нормой 1. Тогда
Кхп) = / Хп(и>)y{u)n{dw) >с-1/п
JQ.
и потому ||/|| ^ с — 1/п, т.е. ||/|| ^ с. Обратное неравенство оче¬
видно.
Пусть дан непрерывный линейный функционал I на LP(p).
Разбивая пространство Q на части конечной меры, легко свести
общий случай к случаю конечной меры. Поэтому далее будем
считать, что /х(^) < оо. Функция
is(A):=1(Ia), АеА,
является счетно-аддитивной мерой на А. Если р(А) = 0 при неко¬
тором А е А, то i/(A) = 0, т.е. мера v абсолютно непрерывна
относительно меры //. По теореме Радона-Никодима существует
такая //-интегрируемая функция у, что
1(1 А) = и(А) = [ 1А(и)у(и) р(<ки), АеА.
Jn
Поэтому для всякой простой функции х величина 1(х) равна ин¬
тегралу от ху. Следовательно,
/ х(ш)у(ш) n(cL>)
\Ja
< И*111МЬ>(д)-	(6-5.2)
/
Предельным переходом распространяем эту оценку на все огра¬
ниченные //-измеримые функции х. Пусть р > 1. Подставим в ка¬
честве х функцию х(и) = sgn.y(uj)\y(uj)\q/pI^y^n^ где п Е 1N. Это
дает оценку
/о1уН1^{1у1^п}НМ^) < 11*11
Итак, ||У-Г[|У|5С„}||2,,(М) < ||*|| ||у/{|у|^п} 11^), откуда ввиду равен¬
ства q = l + q/p получаем оценку ||y/{|j,|^n}llx,«(M) < 11*11- По теоре-
ме Фату ||у||^(м) < ||/||. Функция у задает на ^(р) непрерывный
линейный функционал /о? который совпадает с I на всех простых
функциях. Ввиду непрерывности обоих функционалов и плот¬
ности множества простых функций в LP(p) с р < оо получаем

6.6. Слабая и *-слабая топологии
277
равенство I = Iq. Наконец, в случае р = 1 из (6.5.2) получаем
неравенство
[ |2/MIm(gL>) < |К11м(^),
Ja
Оно показывает, что ц(и: \у(ш)\ > ||/||) = 0, т.е.	<	||£||,
что завершает доказательство.	□
Отметим, что бывают случаи, когда сопряженное к гиль¬
бертову пространству неудобно отождествлять с самим про¬
странством, несмотря на наличие естественного изоморфизма.
Скажем, так обстоит дело при рассмотрении сопряженных к про¬
странствам Соболева (см. гл. 9). Вот еще один характерный при¬
мер. Пусть ft — открытый единичный круг в комплексной плоско¬
сти и Л2(П) — пространство Бергмана голоморфных в ft функ¬
ций, входящих в L2(fl) (см. пример 5.2.2). Для всякого Л Е ft
линейный функционал р ► р(Х) непрерывен на А2 (О) (см. оцен¬
ку (5.2.1) в указанном примере). Этот функционал не записан
в виде (р,ф), хотя, конечно, в соответствии с общей теоремой
его можно представить в таком виде с некоторым элементом
ф Е A2(ft). Аналогичная ситуация возникает и для более общих
функционалов вида
<p(z) n(dz),
Jk
где /х — мера с компактным носителем К в ft.	^
6.6.	Слабая и *-слабая топологии
Пусть Е — линейное пространство и F — некоторое линей¬
ное пространство линейных функций на £7, разделяющее точки Е
в следующем смысле: для всякого х ф 0 найдется f EF с f{x) ф 0.
Иначе говоря, для всякой пары различных точек х,у Е X най¬
дется элемент / Е F с f(x) ф /(у). В этой ситуации, когда нет
никаких норм или топологий, во многих приложениях бывает по¬
лезно ввести сходимость на Е следующим образом: хп —► ж, если
f{xn) —» f(x) для всякого / Е F. Аналогичным образом на F
бывает полезно рассматривать поточечную сходимость, т.е. схо¬
димость /п(#) —» f(x) при каждом х. Сейчас мы введем есте¬
ственную топологию, в которой сходимость последовательностей
имеет указанный вид. Следует сразу предостеречь читателя, что
топология с таким свойством не единственна. Однако вводимая

278
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
далее топология a(E,F) является естественной во многих отно¬
шениях. Вводимые и изучаемые в этом параграфе объекты на
самом деле относятся к теории локально выпуклых пространств,
основные элементы которой обсуждаются в главе 8. Однако спе¬
цифика слабых топологий столь значительна, что предпринятое
здесь нарушение дедуктивного порядка изложения представля¬
ется совершенно оправданным и, более того, даже полезным для
последующего знакомства с более общими понятиями.
Сначала зададим следующие базисные окрестности нуля:
:= {я е Е: \Ь(х)\	\fn(x)\ < г},
где п Е IN, fi Е F, e > 0. Затем введем базисные окрестности
произвольной точки a Е Е:
: = ^/lv,/n,£ + а =
= {х € Е: \fi(x — а)\ < е,... ,\fn(x - а)\ < е}.
Наконец, объявим открытыми пустое множество и всевозмож¬
ные объединения окрестностей	т-е- в объединяемых
окрестностях можно варьировать как точки а, так и функциона¬
лы fi вместе с числами п и е. Эта топология является ограни¬
чением известной нам топологии поточечной сходимости на TRF,
если точки Е рассматривать как функции на F.
6.6.1.	Предложение. Полученный класс множеств явля¬
ется хаусдорфовой топологией, обозначаемой через a(E,F).
Последовательность {хп} сходится в этой топологии к х
в точности тогда, когда f(xn) —► f(x) для всякого f Е F.
Доказательство. Можно сослаться на пример 1.6.5, но мы
повторим рассуждения. Указанный класс содержит Е и пустое
множество и допускает произвольные объединения. Проверим,
что он допускает конечные пересечения. Для этого достаточно
показать, что пересечение V = Ufly„jnj£(a) nUgii„.igrnts(b) входит
в а(Е, F), т.е. всякая точка v Е V входит в V с окрестностью вида
ufu.. ■,fn,9u—£m>f(v)- Д713 этого выберем г > 0 следующим образом:
r = \ mi.n{e ~ \fi(v ~ а)1>6 “	“ Ь)\}-
Тогда получаем t//i,...,/n>5b...,5m,r(v) С V. Действительно, пусть
ж е Ufu...jn,gu...,gmtr(v). Мы имеем
|fi{x - о)| = | fi{x - v) + fi(v - о)| < г + |fi(v - о)| < е,

6.6. Слабая и *-слабая топологии
279
т.е. х € Ufu...jnte(a). Аналогично х € ^91,...,дт,б(Ь). Хаусдорфо-
вость полученной топологии следует из того, что F разделяет
точки Е: точки афЪ могут быть разделены простейшими окрест¬
ностями вида Ufj£(a) и Ufj£(b).
Пусть последовательность {хп} сходится в топологии а(Е, F)
к х. Для всякого / £ F и всякого е > 0 найдется такой номер N,
что хп £ Ufj£(x) при п ^ N. Это означает, что f(xn) —> f(x).
Обратно, если для всякого / £ F выполнено это соотношение, то
во всякую окрестность {//ь...,/п,е(я0 попадают все элементы хпу
начиная с некоторого номера.	□
Аналогичное утверждение верно и для направленностей.
Топология сг(£7, F) обладает следующим замечательным свой¬
ством.
6.6.2.	Теорема. Множество всех линейных функций на Е,
непрерывных в топологии a(E,F), совпадает с F, т.е. справед¬
ливо равенство (£7,сг(£7,F))* = F.
Доказательство. Функции из F непрерывны на Е по по¬
строению топологии. Покажем, что всякая линейная функция I
на Е, непрерывная в топологии сг(2?, F), обязана быть элемен¬
том F. По условию множество {х: \l(x)\ < 1} открыто и содер¬
жит нуль. Поэтому оно содержит некоторую окрестность нуля
UЭто означает, что I обращается в нуль на пересечении
ядер функционалов /*. Покажем, что I является линейной ком¬
бинацией fi. Воспользуемся ицдукцией по п. Пусть I = 0 на мно¬
жестве L\ = fil{ 0). Если L\ = Е, то I = f\ = 0. Если есть вектор
v ф Li, то получаем I = l(v)fi(v)_1/i ввиду линейности функ¬
ционалов I и /х и того обстоятельства, что Е является суммой
L\ и линейной оболочки v. Пусть наше утверждение верно для
некоторого п — 1^1. Рассмотрим I на ядре Ln функционала /п.
По уже доказанному существуют такие числа ci,...,^-!, что
l(x) = C\f\{x) -I Ь Cn-ifn-i(x) при всех х £ Ln. Если Ln = Е,
то все доказано. Если существует v ф Lnj то I = c\f\ + Ь Cnfn,
где Сп := /п(^)-1 (l(v) - cifi(v)	Cn-ifn-i(v)).	□
Аналогичным образом определяется топология cr(F, Е) на F.
Для этого элементы Е рассматриваются как линейные функцио¬
налы на F, т.е. каждый х £ Е порождает функционал / н-> f (x).
Согласно доказанному выше, сходимость последовательностей в
топологии cr(F,E) — это поточечная сходимость. Пространство

280
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
непрерывных линейных функций на F с топологией a(F, £7) сов¬
падает с исходным пространством Е в следующем смысле: всякая
непрерывная в топологии a (F, Е) линейная функция I имеет вид
/ f(x) для некоторого х € Е.
Рассмотрим два важных примера.
6.6.3. Пример. Пусть X — нормированное пространство.
(i) Положив Е = X и взяв X* в качестве F, получаем слабую
топологию сг(Х, X*) на X. При этом сопряженным к X с тополо¬
гией сг(Х, X*) остается X*. Однако в случае бесконечномерного
пространства X слабая топология всегда строго слабее топологии
нормы. Это видно из того, что всякая базисная окрестность нуля
{х G X: \fi(x)\ <е,..., |/п(я)| < £}, fi G X*, содержит линейное
подпространство П£=1 /г_1(®)’ котоРое бесконечномерно в случае
бесконечномерного X. В частности, открытый шар в X не может
содержать слабо открытых множеств. Интересно, что, несмотря
на различие слабой топологии и топологии нормы, они могут об¬
ладать одинаковыми запасами сходящихся последовательностей.
Так обстоит дело для X = I1 (задача 6.10.102).
(ii) Положив Е = X* и взяв X в качестве F, получаем так
называемую ^-слабую топологию сг(Х*, X) на X*. При этом мно¬
жество непрерывных в топологии сг(Х*,Х) линейных функций
естественно отождествляется с X, т.е. это множество в общем слу¬
чае меньше пространства X**, как, например, происходит с про¬
странством X = со, где X** = 1°°.
Из доказанного в §6.4 получаем такое утверждение.
6.6.4. Предложение. Всякая слабо сходящаяся последова¬
тельность в нормированном пространстве X ограничена по нор¬
ме.
Последовательность в X*, которая сходится в *-слабой то¬
пологии, ограничена по норме.
Особенно большое значение в приложениях имеет слабая схо¬
димость в гильбертовом пространстве. Поскольку здесь сопря¬
женное отождествимо с самим пространством, то слабую тополо¬
гию можно отождествить со *-слабой.
6.6.5. Пример. Пусть Н — сепарабельное гильбертово про¬
странство с ортонормированным базисом {еп}. Последователь¬
ность векторов hk € Н слабо сходится к вектору h в точности
тогда, когда она ограничена по норме и для всякого п последова¬
тельность чисел (/ifc,en) сходится к (£, еп).

6.6. Слабая и *-слабая топологии
281
Доказательство. Пусть supn ||/in|| < оо и (hk,en) —> (/ь,еп)
для всякого п. Ясно, что тогда (hk, х) —> (h, ж) для всякого ж, яв¬
ляющегося конечной линейной комбинацией еп. Это дает сходи¬
мость на каждом элементе х Е Я, ибо для всякого £ > 0 найдется
конечная линейная комбинация z векторов базиса с \\х — z\\ < е,
откуда имеем |(hk}x) - (hkjz)| С esupn \\hn\\.	□
6.6.6. Пример. Последовательность функций /п Е С[а, Ь]
слабо сходится к функции / Е С [а, Ь] тогда и только тогда, когда
supn ||/л|| < оо и fn{t) —> /(£) для каждого t Е [а, 6]. Достаточ¬
ность этого условия ясна из теоремы Лебега о мажорированной
сходимости и того факта, что С[а, Ь]* есть пространство огра¬
ниченных борелевских мер на [а, 6]. Необходимость очевидна из
рассмотрения функционалов (р <p(t) и ограниченности слабо
сходящейся последовательности.
Слабая топология в бесконечномерном случае неметризуема.
Это имеет много различных проявлений.
6.6.7. Пример. Рассмотрим векторы ип = 1п(п + 1)еп в Z2,
где еп — стандартный базис I2. Точка 0 входит в замыкание {ип}
в слабей топологии, но никакая подпоследовательность в {ип} не
может сходиться слабо, ибо она не ограничена. Чтобы увидеть,
что всякая слабая окрестность нуля содержит точку из {гхп}, за¬
метим, что для каждого фиксированного конечного набора век-
торов VI =	Vm	=	.	.	.	,vmj,	...) в I2
и всякого е > 0 найдется номер п, удовлетворяющий условию
YaLi \vi,n\2 < ln(n + 1)|~2, что очевидно из расходимости ряда
из 11п(га + 1)|~2. Тогда получаем |(-yi,wn)| <£,... ,\(vm,un)\ < е.
Отметим следующий просто доказываемый, но неожиданный
на первый взгляд факт.
6.6.8. Теорема. Пусть А — линейное отображение между
нормированными пространствами X и У. Следующие условия
равносильны:
(i) отображение А непрерывно,
(ii) отображение А непрерывно относительно слабых топо¬
логий, т.е. как отображение А: (X,сг(Х,X*)) —► (У,сг(У, У*));
(iii) если ► О слабо, то {Ахп} слабо сходится.
Доказательство. Пусть ||Д|| < сю. Для слабой окрестности
нуля в У вида V = {у Е Y: \gi{y)\ < £,£i,... ,gn € У*} возьмем

282
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
слабую окрестность нуля U = {х € X: \fi(x)\ < e9i = 1 , ...,n}
в X, где /i := gi о А € X*, что дает включение A(J7) С У и по¬
казывает слабую непрерывность в нуле, из которой очевидным
образом следует слабая непрерывность во всех точках. Ясно, что
(ii) влечет (iii). Пусть выполнено (iii). Тогда \\А\\ < оо в силу след¬
ствия 6.1.3, ибо если \\хп\\ —» 0, то хп —> 0 слабо, а тогда {Ахп}
слабо сходится по условию (iii), откуда supn ||Аяп|| < оо.	□
Уже отмечалось, что слабая топология неметризуема, если X
бесконечномерно. Поэтому для нелинейных отображений (даже
со значениями в прямой) слабая секвенциальная непрерывность
может быть строго сильнее непрерывности в слабой топологии
(см. задачу 6.10.166). Однако на шарах в I2 слабая топология
метризуема (см. §6.10(ii)).
Предостережем читателя, что установленная равносильность
непрерывности в топологии нормы и слабой топологии не распро¬
страняется на промежуточные топологии (задача 8.6.42).
Еще одним замечательным свойством слабой топологии нор¬
мированного пространства является то, что запас выпуклых за¬
мкнутых множеств в ней такой же, как и в исходной топологии,
хотя произвольных замкнутых по норме множеств больше, чем
слабо замкнутых (в бесконечномерном случае).
6.6.9. Теорема. Выпуклое множество V в нормированном
пространстве X замкнуто в слабой топологии в точности то¬
гда, когда оно замкнуто по норме. При этом V является пересе¬
чением всех содержащих его замкнутых полупространств вида
{х: 1(х)<с},1бГ.
Доказательство. Пусть V замкнуто по норме и и qL V. По
следствию 6.3.9 найдется I £ X* с 1(и) > с := s\xpveVl(v), т.е.
V С П := {х: 1(х) ^ с} и и £ П, что доказывает последнее
утверждение, а из него сразу следует первое.	□
Открытое по норме выпуклое множество может вообще не
иметь внутренних точек в слабой топологии (как, например, от¬
крытый шар). Следует иметь в виду, что доказанная теорема не
переносится на *-слабую топологию в сопряженном пространстве
(см. задачу 6.10.161).
6.6.10. Следствие. Пусть последовательность элементов
хп нормированного пространства X слабо сходится к х 6 X.
Тогда найдется последовательность векторов vn из выпуклой
оболочки {хп}, сходящаяся к х по норме.

6.7. Компактность в *-слабой топологии
283
Доказательство. Точка х входит в замыкание V выпук¬
лой оболочки последовательности {хп} в слабой топологии. Оста¬
ется заметить, что V выпукло. Действительно, пусть е
t Е [0,1]. Для всякой базисной окрестности нуля U в слабой топо¬
логии найдутся точки щ, v\ Е conv {хп} cu-u^u-vi Е U. Тогда
tui + (l — t)vi Е conv{a;n} и tu + (l — t)v — [tui + (l — t)vi] Е U. Вви¬
ду произвольности U получаем tu + (1 — t)v Е У, что доказывает
слабую замкнутость У.	□
По аналогии с топологией поточечной сходимости на про¬
странстве функционалов вводятся и топологии на пространстве
операторов. Пусть X и Y — нормированные пространства. На
пространстве операторов £(X,Y) есть, конечно, слабая тополо¬
гия нормированного пространства. Однако слабой операторной
топологией называется еще более слабая топология, в которой
базисные окрестности нуля имеют вид
{А Е ЦХ, Y): \k(Axi)\ < е, i = 1,..., п}, х%еХ,Ье Y*.
Если X = Y — гильбертово пространство, то такие окрестно¬
сти задаются «матричными элементами» (Ащ,У{). В бесконечно¬
мерном случае слабая операторная топология слабее топологии
<т(£(Х),£(Х)*), так как не всякий непрерывный функционал на
£(Х) является конечной линейной комбинацией матричных эле¬
ментов. Еще одна полезная топология на £(X,Y) соответствует
поточечной сходимости операторов. Она называется сильной опе¬
раторной топологией. Соответствующие окрестности нуля име¬
ют вид
{А Е £(Х, Y): \\Axi\\ < е, г = 1,..., тг}, XiE X.
Сильной и слабой операторным топологиям посвящены также за¬
дачи 6.10.183, 7.10.117.
6.7.	Компактность в *-слабой топологии
В этом разделе содержатся два важных результата, связан¬
ных с компактностью в слабой и *-слабой топологиях.
6.7.1.	Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство. Тогда из всякой ограниченной последовательно¬
сти линейных функционалов на X можно выделить *-слабо схо¬
дящуюся подпоследовательность.

284
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть fn е X* и ||/п|| ^ С. Возьмем
в X всюду плотное счетное множество {х/.}. Выделим в {/п}
подпоследовательность {/i,n}> для которой последовательность
{/i,n(^i)} сходится. Затем в {/i,n} выделим подпоследователь¬
ность {/2,п}> для которой последовательность {/2,71(^2)} сходится.
Продолжая по индукции, строим вложенные последовательности
2)}, для которых сходится	Ясно,	что	последо¬
вательность {/п,п} сходится на каждом элементе х^. Эта после¬
довательность сходится и на всяком элементе х Е X, ибо для
каждого е > О найдется вектор хь, для которого \\х — хь\\ К е,
что дает |/П|П(ж) — /n,n(#fc)| ^ Се для всех п. Ясно, что равенство
f(x) = lim /пп(х) задает элемент X* с ||/|| < С.	□
71—>00 ’
Доказанное свойство означает секвенциальную компактность
шара в сопряженном пространстве к сепарабельному нор¬
мированному пространству относительно *-слабой топологии
(в §6.10(ii) проверена метризуемость этой топологии на шаре).
Это свойство не следует из обычной компактности, и без условия
сепарабельности его нельзя гарантировать. Например, из после¬
довательности функционалов /п(я) = хп на 1°° нельзя выделить
поточечно сходящуюся подпоследовательность (для всякой под¬
последовательности {fnk} есть такой элемент х Е /°°, что {хПк}
не имеет предела). В общем случае имеет место компактность
в *-слабой топологии. Приводимое ниже доказательство исполь¬
зует сведения из дополнительного материала гл. 1 и не входит
в обязательную программу. Впрочем, для большинства приложе¬
ний хватает и предыдущего элементарного результата.
6.7.2. Теорема. (Теорема Банаха-Алаоглу-Бурбаки)
В пространстве, сопряженном к нормированному простран¬
ству, замкнутые шары компактны в *-слабой топологии.
Доказательство. Достаточно рассмотреть единичный шар
S пространства X*, сопряженного к нормированному простран¬
ству X с замкнутым единичным шаром U. Согласно теореме Ти¬
хонова, произведение U копий отрезка [—1,1] компактно в топо¬
логии произведения, т.е. пространство всех функций на U со зна¬
чениями в [—1,1] компактно в топологии поточечной сходимости.
Вложим S в К := [—1,1]^ с помощью отображения J(l){x) = 1{х),
х Е U. Как легко видеть, это отображение является гомеомор¬
физмом между множеством S и его образом в К. Поэтому доста¬
точно убедиться в замкнутости J(S) в К. Пусть у — элемент К,

6.7. Компактность в *-слабой топологии
285
являющийся предельным для J(S). Это означает (см. 1.9(i)), что
найдется такая направленность элементов уа Е S, что направ¬
ленность {уа(%)} сходится к у(х) при каждом х Е U. Ввиду ли¬
нейности всех уа сходимость имеет место для каждого х Е X.
Функция z, заданная формулой z(x) = limуа{х), линейна на X
а
и совпадает с у на U. Поэтому 2 Е X*. Итак, у = J(z). Конечно,
похожее рассуждение можно провести в терминах окрестностей
в *-слабой топологии, не используя направленности.	□
В случае гильбертова пространства Н получаем аналогичные
утверждения для слабой топологии, ибо при каноническом изо¬
морфизме между Н и Н* слабую топологию на Н можно отож¬
дествить со *-слабой на Н*.
6.7.3. Теорема. Пусть Н — гильбертово пространство. То¬
гда из всякой ограниченной последовательности в Н можно вы¬
делить слабо сходящуюся подпоследовательность.
В частности, замкнутый единичный шар в Н секвенциально
компактен в слабой топологии.
Доказательство. Пусть \\hn\\ ^ С. Замыкание линейной
оболочки {hn} является сепарабельным гильбертовым простран¬
ством. Обозначим его через Hq. В Но по доказанному можно вы¬
делить слабо сходящуюся подпоследовательность из {hn}. Она
будет слабо сходиться и во всем Д, ибо всякий функционал I Е Н*
задается вектором v Е Н, который можно разложить в сумму
v = vo + г/, где г/ J_ Щ. Поэтому действие I на До совпадает
с действием функционала, порожденного вектором vo.	□
Аналогичное утверждение верно для всякого рефлексивного
банахова пространства (задача 6.10.115). Здесь мы рассмотрим
такой частный случай.
6.7.4. Теорема. При 1 < р < оо из всякой ограниченной по¬
следовательности в LPilR71) можно выделить слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. Мы знаем, что ^(JR71) можно отожде¬
ствить с сопряженным к Lq(JRn), где qf1 + p~l = 1. При таком
отождествлении слабая топология LP соответствует *-слабой то¬
пологии сопряженного. Остается применить теорему 6.7.1.	□
В отличие от гильбертова пространства (и некоторых дру¬
гих пространств), в общем случае слабая топология не облада¬
ет установленным в теореме 6.7.1 свойством *-слабой топологии.

286
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Например, из последовательности функций xn(t) = tn в С[0,1]
нельзя выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (хотя
она сама фундаментальна в слабой топологии), а из последова¬
тельности функций xn(t) = sin(7rnt) нельзя даже выделить под¬
последовательность, которая была бы фундаментальна в слабой
топологии (т.е. значения на ней всякого непрерывного линейно¬
го функционала давали бы фундаментальную числовую последо¬
вательность). В §6.10(iii) показано, что шары в нерефлексивных
пространствах никогда не являются слабо компактными.
Теперь мы может показать, что всякое банахово пространство
есть замкнутое линейное подпространство в некотором простран¬
стве С (К), где К — компакт. Сепарабельное пространство можно
вложить в С[0,1]: этот факт доказан ниже в теореме 6.10.24.
6.7.5. Теорема. Всякое банахово пространство линейно изо-
метрично замкнутому линейному подпространству простран¬
ства С {К), где К — компакт.
Доказательство. В качестве К естественно взять замкну¬
тый единичный шар пространства X* со *-слйбой топологией.
Теперь каждому х £ X сопоставим функцию фх £ С (К) по фор¬
муле фх(Л = /(я), / € К. Тогда supfeK\f(x)\ = ||х||. Таким
образом, х ► фх — линейная изометрия.	□
Следующая теорема Голдстайна является еще одним приме¬
ром применения теоремы Хана-Банаха.
6.7.6. Теорема. Пусть X — нормированное пространство,
Ux и Ux„ — замкнутые единичные шары в X и X** соответ¬
ственно и J : X —» X** — каноническое вложение. Тогда мно¬
жество J(UX) всюду плотно в {7Х** в топологии сг(Х**,Х*).
Значит, J(X) всюду плотно в X** в топологии сг(Х**,Х*).
Доказательство. По теореме 6.7.2 шар С/х** компактен
в топологии <т(Х**,Х*). Пусть V — замыкание J(UX) в этой
топологии. Оно также компактно. Если V ф {7Х**, то имеется
х** £ UX„\V. По следствию 6.3.9 применительно к *-слабой топо¬
логии найдется такой элемент I £ X*, что x**(l) > supиеих Ju(l).
Такая форма следствия теоремы Хана-Банаха будет доказана
в гл. 8, поэтому здесь мы непосредственно установим существова¬
ние I. Для этого, пользуясь сг(Х**, Х*)-компактностью У, найдем
сг(Х**,Х*)-окрестность нуля W в X** вида
W = {z**eX**: |***&)|<М = 1,...,п}, keX\

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
287
для которой (ж** + W) П V = 0. Положим Р: X** —> IR”, где
Рz** = (z**(Zi),... ,z**(1п))- Выпуклый компакт P(V) не содер¬
жит точку Рх**. Применив теорему Хана-Банаха к конечномер¬
ному пространству Р(Х**), получим линейный функционал / на
Р(Х**) с f(Px**) > supheP(Ux) f(h). Функционал foP зада¬
ется элементом из X*, ибо представляет собой линейную ком¬
бинацию	так	как	равен нулю на пересечении ядер Ц.
Итак, нужный функционал I € X* найден. Остается заметить,
что supueUx \Ju(l)\ = supu€[/x \1{и)\ = ||/|| и ||ж**|| < 1, так что
неравенство х**(1) > ||/|| невозможно.	□
С помощью этой теоремы легко доказать, что рефлексивность
банахова пространства равносильна слабой компактности его за¬
мкнутого единичного шара (см. теорему 6.10.10).
6.8.	Сопряженные и самосопряженные операторы
Пусть X, У — нормированные пространства. Для всякого опе¬
ратора Т е £(Х,У) и всякого функционала у* £ У* функция
Т*у* на X, заданная формулой
СТ*у*,х):=(у*,Тх), т.е. Т*у*(х) := у*(Тх),
линейна и непрерывна на X. Полученное линейное отображение
JI* . у* 	^
называется сопряженным оператором. Оно непрерывно, причем
1П1 = ||тц.
Действительно,
||ГУ||= sup |ТУ(*)|= sup |у*(Гж)|<||Т|||У||,
1И1<1	IMK1
ибо ||Тж|| ^ ||Т||. С другой стороны, для всякого е > 0 найдется
х е X с |Н| = 1 и ||Тж|| > ||Г|| — е. По теореме Хана-Банаха
найдется у* G Y* с ||у*|| = 1 и
|гу(*)1 = Ь*(г*)1 = IITill > ||гц - г.
чтодает||Г-||>||Г||.
Для всех А,В е С(Х) имеем
(А + В)* = А* + В*,	{АВ)*	=	В*	А*,	(6.8.1)
что легко проверить непосредственно.

288
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Имеется следующая связь между образом оператора и ядром
сопряженного.
6.8.1.	Лемма. Пусть А Е C(X,Y). Тогда
Ж*) = {уеУ- /(if) = О V/ е Кег .А*} = р) Кег/.
/еКегА*
Доказательство. Пусть у = Ах и / Е Кег А*. Тогда
/(у) = f(Ax) = (A* f)(x) = 0.
Итак, А(Х) входит в правую часть доказываемого соотношения.
Так как последняя замкнута, то она содержит и замыкание А(Х).
Обратно, пусть вектор у EY входит в правую часть, но не входит
в Y\ := А(Х). По следствию 6.3.9 найдется / Е Y* с /(у) = 1
и /|ух = 0. Для всякого х Е X имеем (A*f)(x) = f(Ax) = 0.
Поэтому / G Кег А*. Тогда /(у) = 0 ввиду нашего условия на у,
что дает противоречие. .	□
В случае гильбертова пространства Н (возможно, комплекс¬
ного) для всякого оператора A G С{Н) зададим сопряженный
оператор А* равенством
(Ах, у) = (х,А*у).
Поскольку левая часть непрерывна по ж, то по теореме Рисса есть
однозначно определенный вектор А*у, удовлетворяющий указан¬
ному равенству. Ясно, что оператор А* линеен. Отличие от случая
банахова пространства состоит в том, что сопряженный опера¬
тор задан на том же пространстве, что и исходный. Такое опре¬
деление согласовано с общим случаем банаховых пространств:
отождествив функционал I: х н-> (x,v) с вектором v, получим
(A*l)(x) = l(Ax) = (Ax,v) = (x,A*v). Отметим, однако, следую¬
щий нюанс, возникающий в комплексном случае: для гильбертова
пространства имеем (ХА)* = ХА*, а для банахова пространства
(ЛЯ)* = ЛЯ*. Таким образом, в случае комплексного гильбертова
пространства сопряженный оператор в категории гильбертовых
пространств не совпадает с сопряженным оператором в категории
банаховых пространств. Это объясняется тем, что естественная
изометрия между Н* и Н сопряженно-линейна, а не линейна.
В случае гильбертова пространства X имеет место очевидное
равенство (Я*)* = Я. Поэтому здесь всякий ограниченный опе¬
ратор является сопряженным к ограниченному оператору. Для

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
289
общих банаховых пространств положение иное, что обсуждается
в задачах 6.10.149 и 6.10.150.
Следующее определение вводит весьма важный класс опера¬
торов в комплексных или вещественных гильбертовых простран¬
ствах.
6.8.2. Определение. Ограниченный линейный оператор А
в гильбертовом пространстве Н называется самосопряжен¬
ным, если А* = А, т.е. (Ах, у) — (х,Ау) для всех х,у Е Н.
Иногда ограниченные самосопряженные операторы называ¬
ют эрмитовыми операторами или симметричными операторами,
но в случае неограниченных не всюду определенных операторов
приходится различать самосопряженные и симметричные опера¬
торы (см. гл. 10), поэтому в этой главе мы не будем использовать
термин «симметричный оператор».
6.8.3. Пример, (i) Пусть Р — оператор ортогонального про¬
ектирования на замкнутое линейное подпространство Но в гиль¬
бертовом пространстве Н (см. §5.4). Тогда Р самосопряжен. В са¬
мом деле, (Рх,у) = (Рх,Ру) = (х,Ру), ибо Рх,Ру Е Но и х —
Рх _L Я0, у - Ру J- Щ.
(ii)	Диагональный оператор из примера 6.1.5(vii) самосопря¬
жен в точности тогда, когда все ап вещественны.
Если дан ограниченный оператор А в вещественном гильбер¬
товом пространстве Н, то можно взять комплексификацию Не
пространства и задать комплексификацию Ас оператора А фор¬
мулой Ас(х + гу) := Ax + iAy, х,у Е Н. Заметим, что оператор А
в вещественном пространстве самосопряжен в точности тогда, ко¬
гда самосопряжен оператор Ас* Действительно, если А = А*, то
(Ас(х + iy), u + iv) = (Ах + гАу, и + iv) =
= (Ах, и) — (Ay, у) + г(Ау, и) — i(Ax, у) =
= (х, Аи) - (у, Ау) + г(у, Аи) - г(х, Ау) = (х + iy, Ас(и + гг;)).
Комплексификация самосопряженного оператора в веще¬
ственном пространстве фактически является прямой суммой
двух копий этого оператора. Большинство результатов спек¬
тральной теории справедливо для комплексных пространств, но
в случае самосопряженных операторов многие факты остаются
в силе и в вещественном случае.

290
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
В случае гильбертова пространства Я и сопряженного опе¬
ратора в смысле гильбертовых пространств лемму 6.8.1 можно
уточнить следующим образом.
6.8.4. Лемма. Пусть А Е £(Я). Тогда
~А{Н) = (Кег А*)-1, А*(Н) = (Кег А)-1,
причем имеет место ортогональное разложение
Н = Л(Я) ф Кег А* = ~ЩЙ) 0 Кег А.
Если оператор А самосопряжен, то А(Н) _L Кег А и
Н = А(Н)® Кег А.
Доказательство. Из леммы 6.8.1 ясно, что подпростран¬
ства Л(Я) и Кег Л* взаимно ортогональны и А(Н) = (Кег Л*)-1,
что дает также ортогональное разложение Н. Так как Л** = Л,
то получаем оставшиеся равенства.	□
Из этих равенств видно, что оператор Л взаимно однозначно
отображает Л* (Я) на Л (Я), а если множества Л* (Я) и Л (Я) за¬
мкнуты, то первое взаимно однозначно отображается на второе.
С помощью сопряженного оператора можно дать следующее
условие сюръективности оператора.
6.8.5. Предложение. Пусть X, Y — банаховы пространст¬
ва и А Е C(X,Y). Равенство А(Х) = Y равносильно тому, что
при некотором с > 0 выполнено неравенство
\\А*У*\\Х, >сШу. Vy*GY*.	(6.8.2)
Доказательство. Пусть А(Х) = Y и у* € Y*. Согласно
замечанию 6.2.4 найдется такое е > 0, что для всякого у € Y
имеется х G X с Ах — у и ||ж||х < £-1||у||у Взяв у так, что
llvllr = 1 и \У*Ш > ||У*||у./2, получаем
PVIWMIx > I^VHI = \У*(Лх)\ = \у*(у)\ > ||у*||у./2,
откуда \\А*у*\\хт ^ £\\y*\\Yj2.
Обратно, пусть мы имеем (6.8.2). Ввиду леммы 6.2.1 достаточ¬
но проверить, что замыкание A(Ux{0,1)) содержит шар Е/у (0, с).
Если это не так, то существует вектор у € Y с ||у||у ^ с, не
входящий в указанное замыкание. Согласно следствию теоремы
Хана-Банаха есть такой функционал у* € Y*, что \у*(у)\ > 1
и \у*(Ах)\ ^ 1 при ||ж||х ^ 1. Тогда \А*у*(х)\ = \у*(Ах)\ < 1 при

6.8. Сопряженные и самосопряженные операторы
291
||а;||х ^ 1, т.е. \\А*у*\\х, < 1. Из (6.8.2) имеем ||у*||у. < с х. Так
как ||у||у ^ с, то |у*(у)| ^ 1 — противоречие.	□
6.8.6. Следствие. Пусть X,Y — банаховы пространства,
А Е С(Х, Y). (i) Множество А(Х) замкнуто в точности тогда,
когда замкнуто множество A*(Y*).
(ii)	Оператор А взаимно однозначно отображает X на Y
в точности тогда, когда А* взаимно однозначно отображает
пространство Y* на X*.
Доказательство, (i) Пусть подпространство Z := А(Х) за¬
мкнуто. Обозначим через Aq оператор А, рассматриваемый со
значениями в Z. Согласно доказанному выше предложению при
некотором с > 0 имеем ||Ao«*||x, > c||z*||z,. Пусть последова¬
тельность {у*} С Y* такова, что А*у* —» х* в X*. Ограниче¬
ние у* на Z обозначим через z*. Заметим, что А*у* = A^z*, ибо
оба функционала дают уп{Ах) на векторе х € X. Следовательно,
функционалы г* сходятся в Z* к некоторому z* € Z*. Продол¬
жим z* на Y до элемента у* 6 У*. Тогда А*у* = AqZ* = х*, что
доказывает замкнутость A*(Y*). Если дана замкнутость A*(Y*),
то подпространство Aq(Z*) также замкнуто. В самом деле, если
z*eZ**AZz* —► х* j то можно продолжить z* до функционалов
у* Е Y*. Как и выше, имеем Л*у* = AqZ*. Ввиду замкнутости
A*(Y*) найдется у* Е Y* с А*у* —> А*у*. Тогда для 2* := y*\z
имеем AqZ* = А*у* = lim AqZ*. Оператор Aq инъективен, ибо
п—►оо
множество А(Х) плотно в Z. Так как оператор Aq имеет замкну¬
тый образ, то обратный к нему непрерывен. Значит, верно (6.8.2),
что дает равенство А(Х) — Z и замкнутость А(Х).
(ii)	Если А — изоморфизм, то очевидным образом А* тоже
является изоморфизмом, ибо для всякого х* Е X* функционал
у*(у) = х*(А~1у) непрерывен и А*у* = х*. При этом А* имеет
нулевое ядро ввиду леммы 6.8.1. Если же А* —- изоморфизм, то по
доказанному предложению А(Х) = Y. При этом А имеет нулевое
ядро. В самом деле, если Ах = 0 и х Ф 0, то имеется х* Е X*
с х*(х) = 1, что для у* = (А*)-1 х* дает противоречивое равенство
1 = х*(х) = А*у*(х) = у (Ах) =0.	□
6.8.7. Пример. (Лемма Лакса-Мильграма) Пусть Я —
вещественное гильбертово пространство, А Е £(Я), с > 0, при¬
чем (Ах, х) ^ с(х,х). Тогда А(Н) = Я, ибо \\А*у\\ ^ с||у|| ввиду
оценки (Л*у,у) = (у,Ау) ^ с(у,у).

292
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Сопряженный оператор можно определить и для не обяза¬
тельно ограниченного линейного отображения (см. гл. 10), но та¬
кой сопряженный уже не будет определен на всем пространстве.
6.8.8.	Пример. Пусть А — такое линейное отображение ба¬
нахова пространства X в банахово пространство У, что суще¬
ствует линейное отображение А*: У* —► X*, для которого имеем
1(Ах) = (А*1)(х) при всех х е X и Z е У*. Тогда Л непрерывно.
В частности, если X — гильбертово пространство и бсюду
определенное линейное отображение А: X —► X таково, что при
всех х,у € X мы имеем (Ах, у) — (х,Ау), то А непрерывно.
Доказательство. График А замкнут, так как если хп —> х
и Лжп —> у, то 1(Ахп) — (А*1)(хп) —> (А*1)(х) = 1(Ах) для всех
I е У*, откуда /(у) = 1(Ах), т.е. Ах— у.	□
6.9.	Компактные операторы
В этом параграфе начинается изучение одного специального,
но весьма важного для приложений класса операторов.
6.9.1.	Определение. Пусть X и У — банаховы простран¬
ства. Линейный оператор К: X —> У называется компактным,
если он переводит единичный шар в множество с компактным
замыканием. Класс компактных операторов из X в У обозначим
символом fC(X,Y).
В терминах последовательностей компактность означает, что
для всякой ограниченной последовательности {хп} в X последо¬
вательность {Кхп} должна содержать сходящуюся подпоследо¬
вательность.
Из определения ясно, что компактный оператор ограничен.
Аналогичное определение можно дать и в случае не обязатель¬
но полных нормированных пространств, но здесь имеется и дру¬
гое, несколько более общее определение (равносильное исходному
в случае полного У): образ единичного шара вполне ограничен.
Такие операторы называют вполне ограниченными.
Простейший пример компактного оператора — нулевой опе¬
ратор. Другой очевидный пример — ограниченный оператор с ко¬
нечномерным образом. Здесь важно то, что в конечномерном
нормированном пространстве ограниченные множества вполне
ограничены. Следует предостеречь читателя: не всякий линей¬
ный оператор с конечномерным образом компактен, ибо бывают

6.9. Компактные операторы
293
неограниченные конечномерные операторы (например, разрыв¬
ные линейные функционалы). Простейший пример оператора, не
являющегося компактным, — тождественное отображение беско¬
нечномерного банахова пространства, т.е. единичный оператор.
Для дальнейшего отметим ряд элементарных свойств вполне
ограниченных множеств в нормированных пространствах.
6.9.2. Лемма, (i) Ограниченный линейный оператор перево¬
дит вполне ограниченные множества во вполне ограниченные.
(И) Если множества А и В в нормированных пространствах
X uY вполне ограничены, то Ах В вполне ограничено в XxY.
(iii)	Если множества А и В в нормированном пространстве
вполне ограничены, то вполне ограничено и множество аА+(ЗВ
для всяких скаляров а и (д. Если А и В компактны, то компакт¬
но и указанное множество.
Доказательство. Лишшщевость ограниченного линейного
оператора дает (i) (см. пример 1.7.6). Утверждение (ii) следует
из задачи 1.9.40. Первое утверждение в (iii) следует из (i) и (ii),
ибо а А и /ЗВ вполне ограничены очевидным образом, а оператор
(х, у) н-> х + у из ХхХ в X непрерывен. Это же рассуждение дает
и компактность а А + (ЗВ в случае компактных А и В.	□
Основные свойства компактных операторов собраны в следу¬
ющей теореме.
6.9.3. Теорема. Пусть X,Y и Z — банаховы пространства.
(i) Класс K(X,Y) — замкнутое линейное подпространство
в пространстве C(X,Y).
(ii) Если А Е JC(X,Y) и В е C(Y,Z) или если А Е C(X,Y)
иВЕ JC(Y, Z), то В А Е Х(Х, Z).
(iii) Оператор К Е C(X,Y) компактен в точности тогда,
когда компактен оператор К*: Y* —> X*.
Доказательство, (i) Пусть А, В Е IC(X,Y) и U — единич¬
ный шар в X. Тогда (А + B)(U) С A(U) + B(U) и (AA)(U) =
AA{U). Остается заметить, что алгебраическая сумма двух вполне
ограниченных множеств и растяжение вполне ограниченного мно¬
жества вполне ограничены (лемма 6.9.2). Пусть Кп Е JC(X,Y),
К Е C(X,Y) и ||Кп — К|| —> 0. Для всякого е > 0 найдется та¬
кой номер N, что ||Кп — К\\ < е при п ^ N. Это означает, что
множество Kn(U) является е-сетью для K(U). Тогда имеющаяся
в Kn(U) конечная е-сеть служит 2е-сетью для K(U).

294
Глава 6» Линейные операторы и функционалы
(ii) Множество A(U) вполне ограничено в У, поэтому его об¬
раз под действием В вполне ограничен в Z.
(iii) Пусть К Е /С(Х, У). Пусть V — единичный шар в У*. Про¬
верим, что множество K*(V) вполне ограничено в X*. Пусть дана
последовательность функционалов /п Е У. Нам надо установить,
что из последовательности функционалов К* fn можно выделить
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на единичном
шаре U пространства X. Для этого применим теорему Асколи-
Арцела (см. теорему 1.8.4). Так как K*fn(x) = fn(Kx), а множе¬
ство К(U) имеет компактное замыкание S, то нужно заметить
лишь, что функции /п равномерно ограничены на S и равномер¬
но липшицевы, ибо ||/n|| ^ 1. Итак, из всякой последовательности
в К*(у) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, что
означает компактность К*(у).
Предположим теперь, что К* Е /С(У*,Х*). По доказанному
К**: X** —> У** — компактный оператор. При этом
К** J\x = J<iKx для всех х Е X,
где J\: X —► А** и J<i: У —► У** — изометрические вложения.
Действительно, для всякого / Е У* имеем
(K**J\x)(f) = (J!X)(K*f) = (*7)(*) = /(**) = (*№)(/).
Ввиду изометричности вложений получаем компактность замы-
Еще одно простое свойство компактного оператора К на про¬
странстве X: сепарабельность К(Х), вытекающая очевидным об¬
разом из сепарабельности образов шаров радиуса п (ибо эти об¬
разы также вполне ограничены).
Приведем некоторые примеры компактных операторов.
6.9.4.	Пример, (i) Пусть {с£п} ~ ограниченная последоваг
тельность чисел. Диагональный оператор
кания множества K(U) в У.
□
А: I > / , {хп) •--> (о,пхп),
компактен в точности тогда, когда lim ап = 0.
71—КХ)
(ii) Пусть /С Е С([0,1]2). Тогда оператор
в пространстве С[0,1] компактен.

6.9. Компактные операторы
295
(iii) Пусть /С Е L2([О, I]2). Тогда оператор
Kx(t) = ( /С(£, s)x(s) ds
Jo
в пространстве L2[0,1] компактен.
(iv) Оператор Вольтерра
Vx(t)= f x(s)ds
Jo
компактен как оператор из L^O, 1] в 1^(0,1] с 1 < р < оо, а также
как оператор из 1Р[0,1] в С[0,1] при р > 1. Однако оператор
V: L1[С^ 1} —► С[0,1] не является компактным.
Доказательство, (i) Пусть lim ап = 0. Рассмотрим опе-
71—>00
раторы Кп: (хп) н-> (ai^i,..., anxnj 0,0,...). Эти операторы ко¬
нечномерны. Кроме того, \\К — Кп\\ < supi>n \щ\ —> 0 при п —► сю.
Итак, АГ — компактный оператор.
Если в {ап} найдется такая подпоследовательность {ап.}, что
l^nil ^ с > 0, то из последовательности векторов ifeni = anieni)
где еп — вектор с 1 на n-месте и 0 на остальных местах, нельзя
выбрать фундаментальную подпоследовательность. Поэтому опе¬
ратор К не компактен.
(ii) Множество М функций Кх, где ||ж|| ^ 1, вполне ограниче¬
но по теореме Арцела-Асколи. В самом деле, это множество огра¬
ничено ввиду ограниченности функции /С. Кроме того, множе¬
ство М равностепенно непрерывно, ибо функция /С равномерно
непрерывна. Действительно, для всякого е > 0 есть такое 8 > 0,
что |/C(t, s) — /C(t', 5)| < е при 11 — i'| < 8. ТЪгда
\Kx(t) — Kx(t')\ ^ f |/С(£,s) — /С(£',5)| |#(5)|d5 < £
Jo
при \t —1'\ < 8 и \\x\\ < 1.
(iii) Для всякой функции x E L2[0,1] функция /C(t,s)x(s)
интегрируема no s при почти всех £, ибо по теореме Фубини
/С(£, •) Е £2[0,1] при почти всех t. Поэтому функция Кх опре¬
делена почти всюду. При этом в силу неравенства Коши имеем
JC(t,s)x(s)ds < f \K{t,s)\2ds f \x(s)\2ds,
Jo	Jo

296
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
что дает оценку
f \Kx(t)\2dt ^ ||#||2 [ ( |/C(£,s)|2 dsdt.
Jo	Jo Jo
Итак, \\K\\ ^ ||^||i/2([o,i]2)* Теперь возьмем такую последователь-
ность функций Кп на [О, I]2 вида JCn(t,s) =
где <Pi,ipj G L2{0,1], что ||JCn — ^||ь2([о,1]2)- Операторы Kn, задан-
ные функциями /Сп, сходятся по операторной норме к К ввиду
полученной выше оценки. Остается заметить, что эти операторы
конечномерны: образ Кп содержится в линейной оболочке функ¬
ций
(iv)	Образ единичного шара U из L^O, 1] ограничен в С[0,1].
Если {/„} С U, то Vfn = V(f+)~ V(f-). Функции V(/+) моно-
тонны и равномерно ограничены. Поэтому из них можно выде¬
лить подпоследовательность, поточечно сходящуюся на [0,1] (см.
задачу 4.5.19). Выбрав еще одну подпоследовательность {/nfc}>
для которой всюду сходятся и монотонные функции V(fnk)j полу¬
чаем равномерно ограниченную поточечно сходящуюся последо¬
вательность {Vfnk}. По теореме Лебега о мажорированной сходи¬
мости она сходится во всех 1^(0,1]. Это дает компактность V как
оператора со значениями в 1Р[0,1]. Компактности со значениями
в С[0,1] нет: последовательность Vfn, где /п = п/[0д/п], не явля¬
ется равностепенно непрерывной, ибо сходится поточечно к ин¬
дикатору (0,1]. Наконец, при р > 1 оператор V: 1^[0,1] —> С[0,1]
оказывается компактным, ибо в дополнение к равномерной огра¬
ниченности образа единичного шара из 1Р[0,1] имеет место и его
равностепенная непрерывность, вытекающая из оценки
\Vx(t) — Vx(tf)\ ^ jjT |z(s)|ds < \t — t'|1-1//p>
которая выполняется по неравенству Гёльдера.	□
Часто (но не всегда) для проверки компактности операто¬
ра строятся его приближения конечномерными операторами. Во
многих конкретных пространствах класс компактных операторов
совпадает с замыканием множества конечномерных операторов.
6.9.5.	Предложение. Пусть Н — гильбертово простран¬
ство. Тогда множество К,(Н) компактных операторов совпада¬
ет с замыканием множества ограниченных конечномерных опе¬
раторов по операторной норме. Если Н сепарабельно и {еп} —

6.9» Компактные операторы
297
ортонормировапный базис, то для всякого К Е Х(Н) имеем
\\К — РпК\\ —► 0, где Рп — ортогональный проектор на линейную
оболочку ei,... ,еп.
Доказательство. Нуждается в обосновании возможность
приблизить всякий оператор К Е 1С(Н) конечномерными. Как
отмечено выше, образ компактного оператора сепарабелен, поэто¬
му можно иметь дело с сепарабельным Н и доказывать последнее
утверждение предложения. Оно вытекает из критерия компакт¬
ности в Н, ибо образ шара при отображении К входит в ком-
пакт S, откуда \\К - РпЩ\2 < supy6S £~n+i I(у, е*)|2 -► 0.	□
Аналогичное утверждение верно для С[0,1] и вообще для про¬
странств с базисом Шаудера (см. §6.10(iv)). Долгое время было
неизвестно, верно ли оно для всех банаховых пространств; лишь
в 1973 г. П. Энфло опубликовал опровергающий контрпример.
Укажем простое достаточное условие некомпактности опера¬
тора (в случае гильбертова пространства это условие является
и необходимым).
6.9.6. Пример. Пусть X и Y — банаховы пространства,
А Е C(XjY). Если А(Х) содержит бесконечномерное замкнутое
подпространство, то А не является компактным. Действительно,
если Е — замкнутое подпространство в А(Х) и U — единичный
шар в X, то по теореме Бэра есть такое п Е IN, что замыкание
A{nU) П Е содержит шар из Е. Так как указанное замыкание
вполне ограничено, то Е конечномерно.
Отметим, что образ замкнутого единичного шара при ком¬
пактном операторе не обязан быть замкнутым (а значит, и ком¬
пактным).
6.9.7. Пример, (i) Возьмем непрерывный линейный функ¬
ционал I на С[0,1] из примера 6.1.5(iii), который не достигает
максимума. Тогда образом замкнутого единичного шара при I
является интервал (—1,1).
(ii)	Образ замкнутого единичного шара в С[— 1,1] при опера¬
торе Вольтерра
не замкнут в С[—1,1], ибо функция x(t) = \t\ входит в замыкание
этого образа, но не входит в сам образ.

298
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
С другой стороны, есть и положительный результат о ком¬
пактности образа шара.
6.9.8. Предложение. Пусть X — рефлексивное банахово
пространство (например, гильбертово пространство), Y — нор¬
мированное пространство и К: X —► Y — вполне ограниченный
оператор. Тогда образ всякого замкнутого шара из X компактен
в пространстве Y.
Доказательство. Пусть В — замкнутый шар и уп = Кхп,
хп Е В. Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что
последовательность {уп} фундаментальна. Пользуясь рефлексив¬
ностью X, можно перейти к подпоследовательности в {хп}, ко¬
торая слабо сходится к некоторому х Е В (см. задачу 6.10.115).
Опять считаем, что такова вся исходная последовательность. То¬
гда векторы уп = Кхп слабо сходятся к Кх. Легко видеть (зада¬
ча 6.10.94), что тогда \\уп — Кх|| —► 0.	□
В различных конкретных пространствах компактные опера¬
торы могут иметь дополнительные интересные свойства. Напри¬
мер, имеет место следующая теорема Даугавета.
6.9.9. Пример. Для всякого компактного оператора К
в С[0,1] справедливо равенство \\К + XI\\ = \\К\\ + |А|, А Е С.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай А = 1.
Сначала рассмотрим К вида Кх = Ya=i k(x)xi, где k Е С[0,1]*,
Xi Е С[0,1]. Так как \\К + \1\\ < \\К\\ + |А|, то достаточно уста¬
новить противоположное неравенство. Докажем, что при каж¬
дом е > 0 верно неравенство \\К + А/|| ^ \\К\\ + |А| — е. Найдем
функцию х, для которой ||ж|| = 1 и \\Кх\\ > \\К\\ — е/3. Затем
найдем такую точку t Е [0,1], что |]C*=i
li(x)xi(t)| = ||-Ка:||. По
теореме Рисса функционалы U имеют вид
k(x)= / x(s)pi(ds),
Mi]
где pi — ограниченные борелевские меры на [0,1]. Заменим взя¬
тую точку такой точкой t, что pi(t) = 0 при всех г (если это не бы¬
ло выполнено сразу) и г :=	k{x)xi(t)I ^ \\Кх\\ - е/3. Пусть
Х]Г=1 k(x)xi(t) = гег0, в Е IR1. Теперь переопределим функцию ж
в малой окрестности t так, чтобы получить непрерывную функ¬
цию у с IIj/Ц = 1, y(t) = eie и \k(y) - ^(ж)| < е(3птах» ||ж<||)-1,

6.10. Дополнения и задачи
299
г = 1,..., п (считаем, что не все xi нулевые). Тогда
п
\\Ку + у\\ ^ ^2li{y)xi(t) +y(t)| ^
г=1
п	п
> |53гг(ж)Жг(^) Н- 2/(^)| —	1^(2/)	~	^(ж)1	>
г=1	г=1
^ |re* + ei0\ - е/3 = г + 1 - е/3 ^ \\Кх\\ + 1 - 2е/3 ^
^М + 1-e.
В общем случае найдем последовательность конечномерных опе¬
раторов Кп с ||К — Кп || —> 0, что возможно ввиду компактности
К и примера 6.1.12. Тогда ||ifn|| —> ||if || и ||Jfn+J|| -> \\К+1\\.	□
Операторы в гильбертовых пространствах такого свойства не
имеют (достаточно взять диагональный оператор с собственными
числами 0 и —1).
Компактные операторы обсуждаются также в гл. 7.
6.10.	Дополнения и задачи
(i)	Образы операторов и факторизация (299). (ii) Слабая ком¬
пактность в банаховых пространствах (302). (iii) Свойство Банаха—
Сакса и равномерная выпуклость (312). (iv) Базисы, аппроксима¬
ции и дополнения (314). (v) Операторы на упорядоченных век¬
торных пространствах (321). (vi) Векторное интегрирование (328).
(vii) Интеграл Даниэля (332). (viii) Интерполяционные теоре¬
мы (339). Задачи (340).
6.10(i). Образы операторов и факторизация
В этом разделе приведен ряд полезных результатов, связанных со
свойствами образов непрерывных линейных отображений, а также с
близким вопросом о возможности представить один из двух данных
операторов в виде композиции второго с некоторым третьим операто¬
ром. Сначала обсудйм условия, при которых данное линейное подпро¬
странство L в банаховом пространстве X совпадает с образом какого-
нибудь оператора Т £ C(Z, X) на банаховом пространстве Z. Если при
этом можно брать любые банаховы пространства Z, то достаточно рас¬
сматривать лишь инъективные операторы Т, ибо T(Z) = T(Z/KerT),
где Т — факторизация Т по ядру, т.е. оператор на фактор-пространстве,
переводящий класс смежности [z] элемента z £ Z в Tz. Образ T(Z)

300
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
инъективного оператора Т можно наделить нормой
||*||т := ЦТ"1*!!,,	x€T(Z).
Тогда T(Z) с этой нормой оказывается банаховым пространством, тож¬
дественное вложение которого в X непрерывно. Действительно, мы
имеем ||х|| < ||Т|| ||T_1x||z. Если последовательность {хп} С T(Z) фун¬
даментальна по введенной норме, то последовательность {Т~1хп} фун¬
даментальна в Z и потому сходится к некоторому z £ Z. Значит, полу¬
чаем хп -» Tz и ||Tz — хп\\т —> 0.
6.10.1. Определение. Линейное подпространство Е в банаховом
пространстве X называется непрерывно вложенным банаховым про¬
странством, если на Е задана норма || • ||в, относительно которой Е
полно, причем тождественное отображение (Е, || • Ц^) —> (Е, || • ||х)
непрерывно.
Если шар по норме || • ||Б вполне ограничен в X, то Е называется
компактно вложенным.
Из сказанного выше следует такой вывод.
6.10.2. Предложение. Линейное подпространство L банахова
пространства X является образом некоторого непрерывного линей¬
ного оператора из банахова пространства в точности тогда, когда L
можно наделить нормой, относительно которой оно будет банахо¬
вым пространством, непрерывно вложенным в X.
Положение изменится, если накладывать ограничения на Z. В этом
случае может вообще не существовать непрерывных операторов на Z,
образ которых содержит L. Например, не существует непрерывного
оператора из 12 на Z1, ибо иначе I1 было бы линейно гомеоморфно
фактор-пространству /2, т.е. гильбертову пространству (и тогда про¬
странство l°° = (I1)* было бы сепарабельно). По этой же причине
L2[0,1] нельзя отобразить на С[0,1] посредством ограниченного опе¬
ратора. Однако С[0,1] можно отобразить на L2[0,1] посредством огра¬
ниченного оператора (задача 6.10.172).
Отметим следующее свойство операторных образов или, что то же
самое, непрерывно вложенных банаховых пространств.
6.10.3. Предложение. Пусть X и Y — банаховы пространства
и оператор А £ С(Х, Y) имеет незамкнутый образ. Тогда алгебраиче¬
ская размерность алгебраического дополнения А(Х) в Y несчетна.
Доказательство. В противном случае есть конечное или счет¬
ное множество векторов уп, линейная оболочка которых алгебраически
дополняет А(Х). Обозначим через Еп линейную оболочку yi,..., уп.
Ясно, что А{Х) + Еп является образом непрерывного оператора Ап,
действующего из банахова пространства Хп := ХфЕп в Y по формуле

6.10. Дополнения и задачи
301
(х, у) Ах + у. По теореме Бэра при некотором п образ шара радиуса
п из Хп плотен в некотором шаре из Y. Согласно лемме 6.2.1 это дает
равенство Ап(Хп) = Y. Значит, А(Х) имеет конечную коразмерность.
Согласно предложению 6.2.12, образ А замкнут, что противоречит усло¬
вию предложения.	□
Отметим следующий нетривиальный результат В.В. Шевчика, до¬
казательство которого есть в [605] (см. также задачу 6.10.164 для слу¬
чая гильбертова пространства).
6.10.4. Теорема. Пусть X — сепарабельное банахово простран¬
ство иЕ\ф X — непрерывно вложенное в X банахово пространство,
всюду плотное в X. Тогда найдется такое непрерывно вложенное в X
сепарабельное банахово пространство Е2, что Е2 также всюду плот¬
но и EiDE2 = 0.
Докажем теперь один полезный результат о факторизации.
6.10.5. Теорема. Пусть X,Y,Z — банаховы пространства,
и пусть А : X —> Z и В : Y —» Z — такие непрерывные линейные опе¬
раторы, что А(Х) С #(10- Если КегВ = 0, то существует такой
непрерывный линейный оператор С: X —> У, что А = ВС.
Если оператор В не инъективен, то существует непрерывный
линейный оператор С: X —> Y/KerB, для которого А = ВС, где
В: Y/KerB —> Z — факторизация В по ядру.
Доказательство. При КегВ = 0 корректно определено линей¬
ное отображение С: X —» У, Сх := В-1 Ах. Это отображение имеет
замкнутый график: если хп —> х и Схп —> у, то имеем Ахп —> Ах
и Ахп = ВСхп —> By, откуда Ах = By, т.е. у = Сх. Следовательно,
оператор С непрерывен. Если же ядро В отлично от нуля, то перехо¬
дим к инъективному оператору В.	□
6.10.6. Следствие. Если в ситуации предыдущей теоремы опе¬
ратор В компактен, то А тоже компактен.
6.10.7. Пример. Так как естественное вложение С[0,1] в Ь2[0,1]
не является компактным оператором (достаточно рассмотреть функ¬
ции xn(t) — sin(27rnt)), то ввиду предыдущего следствия не существует
компактного оператора в L2[0,1] с образом, содержащим С[0,1].
Следующий результат Банаха и Мазура показывает, что всякое
сепарабельное банахово пространство изоморфно некоторому фактор-
пространству I1.
6.10.8. Теорема. Для всякого сепарабельного банахова простран¬
ства X существует оператор А £ С(1г,Х) с А(1г) = X.

302
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть {хп} — некоторое счетное множество,
плотное в единичном шаре X. Тогда задан оператор
оо
А: I1 —> X, AZ = Y,ZnXn, £ = (£«),
П= 1
ибо ряд сходится по норме. При этом \\А£\\ < ||£||. Сюръективность А
следует из леммы 6.2.1, ибо образ единичного шара из 11 плотен в шаре
из X по построению.	□
Приведем один характерный пример использования слабой сходи¬
мости одновременно в С[а, Ь] и L2[a, Ъ] для установления компактности
оператора с помощью информации о его образе.
6.10.9.	Пример. Пусть A: L2[a,Ь] —» L2[a,b] — такой ограничен¬
ный линейный оператор, что А(Ь2[а, Ь]) С С[а,6]. Тогда оператор А
компактен. Это же верно, если вместо отрезка с мерой Лебега взять
произвольное топологическое пространство Т с ограниченной борелев¬
ской мерой и заменить С[а, Ъ] на Сь(Т).
Доказательство. Покажем, что для всякой ограниченной в L2
последовательности {хп} из {Ахп} можно извлечь сходящуюся в L2
подпоследовательность. Как мы знаем, перейдя к подпоследовательно¬
сти, можно считать, что {хп} слабо сходится к некоторому элементу х
из L2. Ввиду следствия 6.2.8 оператор А непрерывен и как оператор со
значениями в банаховом пространстве С [а, Ь]. Поэтому в силу слабой
сходимости хп —> х последовательность {Ахп} ограничена по норме и
слабо сходится в С[а, Ь] к Ах. Значит, для всякой точки t € [a, b] имеем
Axn(t) —> Ax(t). По теореме Лебега о мажорируемой сходимости полу¬
чаем сходимость Ахп к Ах по норме L2, что и требовалось. Ясно, что
в этом рассуждении никакой специфики отрезка мы не использовали,
поэтому оно годится для всякой ограниченной борелевской меры на
топологическом пространстве.	□
Ниже в теореме 7.10.27 будет установлено еще более сильное свой¬
ство операторов на L2 с образом в С. Напомним, что тождественное
вложение С[0,1] —> L2[0,1] не является компактным оператором.
6.10(ii). Слабая компактность в банаховых пространствах
В гильбертовом пространстве слабая топология совпадает со ^сла¬
бой при отождествлении пространства с сопряженным. В общих бана¬
ховых пространствах (даже являющихся сопряженными) такого явле¬
ния нет. По своим свойствам слабая топология банахова пространства
может заметно отличаться от *-слабой топологии его сопряженного.
Скажем, шар в слабой топологии не обязан быть компактным. Посколь¬
ку слабые топологии часто используются в приложениях, мы сделаем

6.10. Дополнения и задачи
303
небольшой экскурс в их теорию, остающуюся за рамками обязательных
учебных курсов. В частности, мы докажем две важнейшие теоремы
о слабых топологиях: Эберлейна-Шмульяна и Крейна-Шмульяна.
Сначала напомним, что замкнутый единичный шар банахова про¬
странства не всегда компактен в слабой топологии. Такой пример на
самом деле у нас уже встречался: в §6.1 был указан непрерывный ли¬
нейный функционал на С[0,1], не достигающий максимума на замкну¬
том шаре. Оказывается, этот пример выявляет общую картину.
6.10.10. Теорема. Пусть X — банахово пространство. Следую¬
щие утверждения равносильны:
(i) замкнутые шары в X слабо компактны;
(ii) каждый непрерывный линейный функционал на X достигает
максимума на замкнутом единичном шаре;
(iii) пространство X рефлексивно.
Доказательство. Из (i) следует (И), а из (iii) следует (i) ввиду
теоремы Банаха-Алаоглу-Бурбаки, ибо слабую топологию рефлексив¬
ного пространства X можно отождествить со *-слабой топологией про¬
странства X**. Импликация (ii)=>(iii) — глубокий результат Джеймса
(см. также следующую теорему); он доказывается, например, в кни¬
ге Дистель [75, гл. 1]. Мы ограничимся доказательством элементарной
импликации (i)=^(iii). Она следует из теоремы 6.7.6, ибо слабая ком¬
пактность замкнутого единичного шара Ux в X дает его а(Х**, X*)-
компактность и потому а(Х**, Х*)-замкнутость в X**.	□
6.10.11. Следствие, (i) Банахово пространство X рефлексивно
в точности тогда, когда рефлексивно X*.
(ii)	Замкнутое подпространство рефлексивного банахова про¬
странства рефлексивно.
Доказательство, (i) Если X рефлексивно, то на X* слабая то¬
пология совпадает со *-слабой, что ввиду теоремы Банаха-Алаоглу-
Бурбаки дает слабую компактность замкнутых шаров в X*. Если X*
рефлексивно, то по уже доказанному рефлексивно X**. Поэтому шар
слабо компактен. Шар Ux замкнут в по норме и потому слабо
замкнут. Значит, он слабо компактен в X**. Тогда он слабо компактен
и в X, ибо слабая топология X** сильнее слабой топологии X.
(ii)	Пусть Е — замкнутое подпространство рефлексивного банахо¬
ва пространства X. Тогда единичный шар Е есть множество Е П Ux,
которое слабо компактно в X ввиду слабой замкнутости Е и слабой
компактности Ux. Остается заметить, что слабая топология Е есть
ограничение слабой топологии X на Е. Это следует из того, что всякий
элемент I € Е* является сужением на Е некоторого I € X*.	□
В действительности Джеймсом доказан следующий еще более об¬
щий факт (см. [75, с. 19]).

304
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.12. Теорема. Если В — слабо замкнутое ограниченное мно¬
жество в банаховом пространстве X, то слабая компактность В
равносильна тому, что каждый непрерывный линейный функционал
достигает на В максимума.
Для работы со слабой топологией исключительно важна следую¬
щая теорема Эберлейна-Шмульяна.
6.10.13. Теорема. Пусть А — множество в банаховом прост¬
ранстве Е. Тогда следующие условия равносильны:
(i) множество А имеет компактное замыкание в слабой тополо¬
гии;
(ii) всякая последовательность в множестве А имеет подпосле¬
довательность, слабо сходящуюся в Е\
(iii) всякая бесконечная последовательность из А имеет в Е пре¬
дельную точку в слабой топологии (т.е. точку, каждая окрестность
которой содержит бесконечно много элементов этой последователь¬
ности).
В частности, для множеств в банаховом пространстве со сла¬
бой топологией компактность равносильна секвенциальной компакт¬
ности и равносильна счетной компактности.
Доказательство. 1. Сначала покажем, что из бесконечной по¬
следовательности {ап} в слабо компактном множестве А в банаховом
пространстве X можно выбрать слабо сходящуюся подпоследователь¬
ность. Для этого отметим следующий простой факт (составляющий со¬
держание задачи 6.10.116): если X* содержит счетное множество {/п},
разделяющее точки X, то {A, <j(X,X*)) метризуемо. Пусть Ао — сла¬
бое замыкание {ап} и Е — замыкание линейной оболочки {ап}. Тогда
множество Е слабо замкнуто (будучи выпуклым) и потому Ко слабо
компактно в Е. Это позволяет перейти к сепарабельному простран¬
ству Е. Тогда в Е* есть счетное семейство элементов, разделяющих
точки. Поэтому (Ло, &(Е, Е*)) — метризуемый компакт. Значит, в {ап}
есть подпоследовательность, слабо сходящаяся в Е, а тогда, как легко
видеть, и в X.
2. Предположим теперь, что всякая бесконечная последователь¬
ность в А имеет предельную точку в слабой топологии. Докажем, что
А содержится в слабо компактном множестве. Нам понадобится сле¬
дующий факт: если Z С X** — конечномерное подпространство, то на
единичной сфере Sx* в X* найдется такое конечное множество Л, что
||***|| <2max{|***(i)|: *€ Л} V*** G Z.
Для этого, пользуясь компактностью единичной сферы Sz в Z по нор¬
ме, выберем в ней конечную 1 /4-сеть	Затем возьмем эле¬
менты U е Sx* с |***(/»)1 > 3/4. Тогда для всякого z** £ Sz имеется

6.10. Дополнения и задачи
305
z%* со свойством ||z** — z%*\\ < 1/4, что дает
z**(lk) = z*k*(lk) + z**(lk) - z*k*(lk) > 3/4 - 1/4 = 1/2,
откуда следует нужная оценка для всех z** £ Z.
Заметим, что А ограничено по норме. Иначе нашелся бы такой
функционал I £ X*, что supa€A |i(a)l = 00• Это дало бы последо¬
вательность {an} с |Z(an)| > га, которая не может иметь предельной
точки в слабой топологии. Будем рассматривать А как множество
в X** и обозначим через В его замыкание в топологии сг(Х**,Х*), т.е.
*-слабой топологии пространства X** = (X*)*. По теореме Банаха-
Алаоглу-Бурбаки В компактно в указанной топологии. Наша цель —
показать, что на самом деле В С X. Тогда окажется, что А лежит
в слабо компактном множестве. Пусть х** £ В и l\ £ Sx* • Окрестность
{у** £ X**: \(х** — y**)(h)\ < 1} содержит элемент а\ £ А. Тогда
|(ж** -ai)(Zi)| < 1.
Рассмотрим линейную оболочку Z\ векторов х** и х** —а\. Сделанное
выше наблюдение дает элементы 12,..., h2 £ $х* со свойством
||z**|| < 2max{\z**(li)\: i = l,...,k2} Vz** е Z\.
Теперь возьмем *-слабую окрестность х**, порожденную элементами
h, h, • • • 5 h2 и числом 1/2 и найдем в ней элемент а2 G А, что дает
\(х** - a2){k)\ < 1/2, i = 1,..., к2.
Берем линейную оболочку Z2 векторов х**,х** — а\,х** — а2 и с помо¬
щью нашего наблюдения находим функционалы 1ь2+1,..., h3 £ $х* со
свойством
||z**|| < 2max{|2**(Zi)|: г = 1,...,&з} V2** £ Z2.
Продолжим этот процесс по индукции и получим последовательность
точек ап £ А и функционалов Z* £ Sx*, kn-i < г < fcn, для которых
|(х** — an)(li)\ < l/2n, i = l,...,fcn,
||z**|| < 2max{|z**(Zi)|: г = 1,..., kn+i} V2** € Zn,
где Zn — линейная оболочка элементов х**,х** — вц,... ,х** — ап. Со¬
гласно нашему предположению, последовательность {оп} имеет пре¬
дельную точку х £ X в слабой топологии. Поскольку замкнутая ли¬
нейная оболочка Е последовательности {ап} слабо замкнута, то х £ Е.
В пространстве X** элемент х** — х является предельной точкой по¬
следовательности х**, х** — а\, х** — а2,... в *-слабой топологии и пото¬
му входит в замыкание F линейной оболочки этой последовательности
в *-слабой топологии. По нашему построению
||z**|| <2sup|«**ft)|	(6.10.1)
i
для всех 2** из линейной оболочки х**,х** — ai,x** — а2,..., что оче¬
видным образом переносит (6.10.1) на все z** £ F. В частности, это

306
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
неравенство выполнено для z** = х** — х. Однако из построения {ап}
и {li} и того, что х — слабая предельная точка {ап}, следует, что
|(х** — х)(1т)| = 0 для всех ш. Итак, \\х** — х\\ = 0, что и требова¬
лось.	□
6.10.14. Следствие. Банахово пространство рефлексивно в точ¬
ности тогда, когда рефлексивно всякое его сепарабельное замкнутое
подпространство.
Доказательство. Мы уже видели, что любые замкнутые подпро¬
странства рефлексивных пространств рефлексивны. Пусть в X рефлек¬
сивны сепарабельные подпространства. Тогда всякая последователь¬
ность {хп} из шара содержится в сепарабельном замкнутом подпро¬
странстве У, которое по условию рефлексивно, т.е. его замкнутые шары
слабо компактны. По теореме Эберлейна-Шмульяна из {хп} можно вы¬
делить слабо сходящуюся в У подпоследовательность. Тогда эта под¬
последовательность слабо сходится и в X, т.е. шар в X секвенциально
компактен. Еще раз применив теорему Эберлейна-Шмульяна, заклю¬
чаем, что шар в X слабо компактен. Иное обоснование дает теорема
Джеймса.	□
Следующая теорема Крейна-Шмульяна является глубоким анало¬
гом уже известного нам факта (см. 5.5.4) о компактности замкнутой
выпуклой оболочки компакта в банаховом пространстве.
6.10.15. Теорема. Пусть множество А в банаховом простран¬
стве X компактно в слабой топологии. Тогда замкнутая выпуклая
оболочка А (т.е. пересечение всех замкнутых выпуклых множеств,
содержащих А) также компактна в слабой топологии (напомним,
что замкнутая выпуклая оболочка по норме является и замкнутой
выпуклой оболочкой в слабой топологии).
Доказательство. Мы применим теорему 6.10.12, хотя имеются
и другие доказательства. Пусть V — замкнутая выпуклая оболочка по
норме, и пусть f € X*. Ввиду компактности А существует точка а £ А
с /(а) = supX£Af(x). Для применения упомянутой теоремы остается
заметить, что a GV и supa.G^ f(x) = sup^^ /(#)•	□
Теорема Эберлейна-Шмульяна весьма полезна для выяснения усло¬
вий слабой компактности и слабой сходимости в конкретных простран¬
ствах. Приведем здесь ряд характерных результатов, доказательства
которых можно найти в §§4.7(iv), 4.7(v) гл. 4 книги [26].
6.10.16. Теорема. Пусть р — конечная мера на измеримом про¬
странстве (П,Д) и Т — некоторое множество р-интегрируемых
функций. Тогда множество Т равномерно интегрируемо в точности
в том случае, когда оно имеет компактное замыкание в слабой то¬
пологии Ll(p).

6.10. Дополнения и задачи
307
6.10.17. Следствие. Предположим, что {/п} — равномерно ин¬
тегрируемая последовательность на пространстве с конечной ме¬
рой р. Тогда существует подпоследовательность {fnk}> которая схо¬
дится в слабой топологии Ь1(р) к некоторой функции / Е Ьг(р).
6.10.18. Следствие. Пусть р — ограниченная неотрицательная
мера, и пусть множество М С Ll(p) ограничено по норме. Замыка¬
ние М в слабой топологии компактно в точности тогда, когда для
всякой последовательности p-из меримых множеств Ап с Ап+\ С Ап
и |XLi Ап = 0 выполнено равенство
lim sup I \f\dp = 0.
n~*°° feM JAn
Пусть теперь (fi, A) — измеримое пространство и A1(fi, A) — бана¬
хово пространство всех вещественных счетно-аддитивных мер ограни¬
ченной вариации с его естественной вариационной нормой //и ||/х||.
6.10.19. Теорема. Для всякого М с A4(fi, А) следующие условия
равносильны.
(i) ЗамыканиеМ в топологии а(М,М*) компактно.
(ii) Множество М ограничено по вариации и существует такая
неотрицательная мера v Е A4(fi, А) (вероятностная при М ф {0}),
что семейство М равномерно v-непрерывно, т.е. для всякого е > 0
найдется S > 0 с тем свойством, что
\КЛ)\ ^ е для всех р G -М, если A G *Д и 1/(^4.) ^ <5.
При этом меры из М абсолютно непрерывны относительно v, за¬
мыкание множества {dpjdv: р Е М} компактно в слабой тополо¬
гии Ьг(г/), а в качестве v можно выбрать меру £n\l*n\ для неко¬
торого конечного или счетного набора {рп} С М и чисел Сп> 0.
(iii) Из всякой последовательности в М можно выделить подпо¬
следовательность, сходящуюся на каждом множестве из А.
6.10.20. Следствие. Последовательность мер рп Е .M(fi, А) схо¬
дится в топологии о(Л4,Л4*) тогда и только тогда, когда она схо¬
дится на каждом множестве из А. Равносильное условие:
lim [ f(<jj)pn(dw) = f f(uj)p(dw)	(6.10.2)
n-*°° Jn	Jx
для каждой ограниченной A-измеримой функции f.
Рассмотрим одно применение к предельному переходу в интеграле-
6.10.21. Следствие. Предположим, что последовательность
мер рп Е М(£1,А) сходится к мере р на каждом множестве из А,

308
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
а последовательность A-измеримых функций fn равномерно ограни-
чена, причем lim fn(uj) — f(v) для всякого ш. Тогда справедливо сле-
п—>оо
дующее равенство:
Доказательство. По теореме 6.10.19 существует такая вероят¬
ностная мера v на А, что меры fin и р равномерно ^-непрерывны. Пусть
\fn(v)\ < С, \\рп\\ ^ С и е > 0. Найдем такое 5 > 0, что из v(A) < 5 сле¬
дует |/х|(А) < е и \рп\(А) < е при всех п. По теореме Егорова найдется
множество А с v{A) > 1 — 5, на котором сходимость /п —► / равномерна.
Значит, есть такое N G 1N, что |/п(^) — /(^)| ^ £ ПРИ uj е А и п ^ N.
Остается заметить, что
и что интегралы от / по мерам рп стремятся к интегралу от / по
В случае, когда, например, Q=[0,1]иЛ - борелевская а-алгебра,
пространство Л4(£1, А) по теореме Рисса совпадает с сопряженным
к С[0,1], поэтому на А4(С1, А) есть еще и *-слабая топология. Ее не сле¬
дует путать со слабой топологией сг(А4,М*). Сходимость мер (in к ц
в *-слабой топологии означает равенство (6.10.2) для каждой непре¬
рывной функции /, в то время как сходимость в топологии а(Л4,Л4*)
есть выполнение (6.10.2) для всех ограниченных борелевских функ¬
ций /. Например, дираковские меры 5\/п в точках 1 /п стремятся к ди-
раковской мере 5о в нуле в *-слабой топологии пространства мер, но не
в слабой топологии банахова пространства С[0,1]*. Это особенно важно
иметь в виду потому, что во многих приложениях (в частности, в тео¬
рии вероятностей и теории случайных процессов) *-слабую топологию
пространства мер называют просто слабой топологией (см., например,
[26, гл. 8]). Следствие 6.10.21 неверно для *-слабой сходимости мер.
Достаточно взять меры 5\/п и функции /п, заданные так: 0 ^ /п ^ 1,
/п(1Д0 = 1, fn(t) = 0 при 11 - 1/п\ > 1/(2п).
Приведем еще несколько результатов и замечаний в связи со слабой
и *-слабой топологиями.
6.10.22.	Предложение. Пусть Е — нормированное простран¬
ство.
(i) Пространство Е со слабой топологией метризуемо в точно¬
сти тогда, когда Е конечномерно.
(ii) Единичный шар Ue пространства Е со слабой топологией
метризуем в точности тогда, когда Е* сепарабельно.
мере р.
□

6.10. Дополнения и задачи
309
Доказательство, (i) Если топология а(Е,Е*) метризуема мет¬
рикой d и Е бесконечномерно, то в шаре радиуса п-1 с центром в нуле
есть слабо открытое множество, которое неограничено и потому содер¬
жит вектор хп с ||хп|| > п. Тогда d(xn,0) —> 0, но {хп} не может слабо
сходиться к нулю в силу неограниченности — противоречие.
(ii)	Если Е* сепарабельно, то можно взять счетное всюду плотное
множество {/п} в единичном шаре Е*. Легко проверить, что метрика
d(x,y) := ££Li 2-n|/n(x - у)|
задает слабую топологию на шаре Ue- Обратно, пусть шар Ue мет-
ризуем в слабой топологии. Возьмем счетный набор окрестностей нуля
U/n>i,...,/n>fcn, пересечения которых с шаром Ue дают базис окрестностей
нуля в Ue- Покажем, что линейная оболочка /П}* плотна в Е*. Пусть
Y — замыкание этой линейной оболочки. Если / £ E*\Y, то по теоре¬
ме Хана-Банаха существует элемент х** £ Е** с ||х**|| = 1, х**|у = 0
и #**(/) = с > 0. Слабая окрестность нуля V := {х £ Ue - \f(%)\ < с/2}
в UB содержит некоторое множество Ufn l^,,jn kri П Ue- По теореме
6.7.6 имеется вектор х £ Ue, для которого выполнены неравенства
Ix**(f) - f(x)I < с/2 и I- fn,i(x)\ < 1 при г =	Так
как x**(fn<i) = 0, то |/„,i(z)| < 1, т.е. х е Ufn,fcn П UE■ Однако
|/(а:)| > с/2, ибо x**(f) = с. Поэтому х £ V — противоречие.	□
Сопряженное к бесконечномерному банахову пространству не мо¬
жет быть метризуемым в *-слабой топологии, но сопряженное к непол¬
ному бесконечномерному нормированному пространству со *-слабой
топологией может быть метризуемо (см. задачу 6.10.146).
6.10.23.	Теорема. Пусть X — сепарабельное нормированное про¬
странство. Тогда замкнутый единичный шар U* пространства X* со
*-слабой топологией является метризуемым компактом. В качестве
метрики, задающей *-слабую топологию на шаре, можно взять
d(f,g) ■= Y,n=i 2~n\f(xn) — g(xn)\i
где последовательность {хп} плотна в единичном шаре из X, В част¬
ности, в U* есть счетное множество, разделяющее точки X.
Доказательство. Это утверждение является частным случаем
утверждения из задачи 1.9.63, но его можно вывести непосредственно
из доказанного выше. Для этого сначала заметим, что из теоремы 6.7.1
легко выводится компактность шара в X* с метрикой d (тот факт, что
d — метрика, очевиден). При этом тождественное отображение из шара
с метрикой d в шар со *-слабой топологией непрерывно, ибо из сходи¬
мости fn —► / по метрике d на шаре следует *-слабая сходимость. По¬
этому ввиду теоремы 1.7.9 это отображение — гомеоморфизм. Конечно,
нетрудно и непосредственно проверить непрерывность тождественного
отображения из *-слабой топологии в метрику.	□

310
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Следующая замечательная теорема Банаха-Мазура устанавлива¬
ет универсальность С[0,1] в категории сепарабельных банаховых про¬
странств.
6.10.24. Теорема. Всякое сепарабельное банахово пространст¬
во линейно изометрично некоторому замкнутому линейному подпро¬
странству в С[0,1].
Доказательство. В случае сепарабельного X пространство К из
доказательства теоремы 6.7.5 — единичный шар в X* со *-слабой то¬
пологией — есть метрический компакт, как показано выше. Согласно
задаче 1.9.69, компакт К гомеоморфен компакту в [0,1]°°. Поэтому
можно считать, что К С [0,1]°°. Предложение 1.9.24 дает непрерыв¬
ную сюръекцию 7г множества Кантора из [0,1], обозначаемого здесь
через К\, на [0,1]°°. Пусть Ко 7г”1(К'). Отображение /	/on есть
линейная изометрия пространства С (К) в С (Ко), ибо
sup|/(7T(i))| = sup |/(х)|.
teKo	ж€[0,1]°°
Остается вложить С (Ко) в С[0,1] с помощью линейной изометрии. Для
этого каждую функцию из С(Ко) продолжим до непрерывной функции
на [0,1] с помощью линейной интерполяции на каждом из дизъюнктных
интервалов дополнения Ко в [0,1].	□
Таким образом, сепарабельные нормированные пространства мож¬
но мыслить как линейные подпространства в С[0,1].
6.10.25. Замечание. Из теоремы Банаха-Штейнгауза мы знаем,
что если последовательность непрерывных линейных функционалов /п
на банаховом пространстве X такова, что для всякого х £ X число¬
вая последовательность {/п(х)} сходится, то имеется элемент / £ X*,
к которому {fn} сходится в *-слабой топологии. Тем самым простран¬
ство X* секвенциально полно в *-слабой топологии. Можно поставить
аналогичный вопрос о слабой топологии X. Пусть последовательность
векторов хп £ X такова, что для всякого f £ X* последовательность
{fn(x)} сходится. Верно ли, что {хп} слабо сходится к некоторому век¬
тору х £ XI Вообще говоря, это неверно. Например, в пространстве
со последовательность векторов хп = (1,..., 1,0,0,...), где 1 стоит на
первых п позициях, не имеет слабого предела, но для всякого элемен¬
та / £ Cq = I1 последовательность {f(xn)} сходится. Пространство X,
в котором из сходимости {f(xn)} при каждом f£X* следует слабая схо¬
димость {хп}, называется слабо секвенциально полным. Из сказанного
в начале этого замечания следует, что всякое рефлексивное банахово
пространство слабо секвенциально полно, ибо его слабую топологию
можно отождествить со *-слабой топологией сопряженного. Например,
гильбертово пространство слабо секвенциально полно. Бывают и нере¬
флексивные пространства с этим свойством: например, 11 и Ь1(р).

6.10. Дополнения и задачи
311
Приведем без доказательства (которое можно найти в [236, с. 193])
следующий глубокий результат Банаха-Дьедонне.
6.10.26. Теорема. Пусть пространство X банахово и множе¬
ство V С X* выпукло. Если пересечение V с каждым замкнутым
шаром радиуса п с центром в нуле замкнуто в топологии а(Х*уХ),
то V также замкнуто в топологии а(Х*уХ).
Если при этом X сепарабельно, то для замкнутости V в топо¬
логии а(Х*уХ) достаточно, чтобы V содержало пределы всех своих
*-слабо сходящихся последовательностей.
В задаче 8.6.68 гл. 8 обсуждается связанная с этой теоремой топо¬
логия на X*.
6.10.27. Следствие. Пусть X — банахово пространство и F —
линейная функция на X*. Тогда следующие условия равносильны:
(i) функция F непрерывна в топологии а{Х*,Х)',
(ii) существует х G X с F(l) = 1(х) для всех I Е Х*\
(iii) ограничение F на единичный шар Ux* из X* непрерывно в то¬
пологии а{Х*у X);
(iv) множество F_1(0) П Ux* замкнуто в топологии а(Х*уХ).
Наконец, если X сепарабельно, то это равносильно тому, что
lim F(ln) = 0 для всякой последовательности {1п} С X*, которая
п—►оо
*-слабо сходится к нулю.
Банахово пространство X называется пространством со свойством
Данфорда-Петтиса, если из сходимости хп —> 0 в слабой топологии X
и сходимости 1П —> 0 в топологии сг(Х*,Х**) пространства X* следует
сходимость ln(xn) —> 0. Например, бесконечномерное гильбертово про¬
странство не обладает таким свойством: достаточно взять в качестве
xn = In ортонормированную последовательность. Пространство со име¬
ет свойство Данфорда-Петтиса, ибо из слабой сходимости в i1 = (со)*
следует сходимость по норме (задача 6.10.102). Приведем чуть менее
очевидный пример.
6.10.28. Пример. Пространство С[0,1] обладает свойством Дан¬
форда-Петтиса.
Доказательство. Так как С[0,1]* есть пространство ограничен¬
ных борелевских мер на [0,1], то применим следствие 6.10.21.	□
Еще один пример пространства со свойством Данфорда-Петтиса —
Хг1 [0,1] (задача 6.10.176).
Надо иметь в виду, что, хотя слабая топология бесконечномерно¬
го банахова пространства всегда строго слабее топологии нормы (при¬
мер 6.6.3), может случиться, что запасы сходящихся последовательно¬
стей в слабой топологии и топологии нормы совпадают. Так обстоит

312
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
дело в 11 (задача 6.10.102). Иное положение со *-слабой сходимостью,
как показывает следующая теорема Джозефсона-Ниссенцвайга (ее до¬
казательство имеется в книге Diestel [327, гл. XII]).
6.10.29. Теорема. Если X — бесконечномерное банахово про¬
странство, то найдется последовательность функционалов fn £ X*
с ||/n|| = 1, которая *-слабо сходится к нулю. Более того, ко всяко¬
му функционалу / £ X* с ||/|| < 1 сходится в *-слабой топологии
некоторая последовательность элементов /п £ X* единичной нормы.
Приведем два любопытных результата, связанных cl1. Доказатель¬
ства и ссылки можно найти в Albiac, Kalton [251]. Первый из них при¬
надлежит X. Розенталю.
6.10.30. Теорема. Пусть {хп} — ограниченная последователь¬
ность в бесконечномерном банаховом пространстве X. Тогда либо
она содержит слабо фундаментальную подпоследовательность, либо
в ней есть такая подпоследовательность {хПк}, что отображение
Т: 11 —> X, (£*;) YukLi €кХПк; является гомеоморфизмом из 11 на
замкнутое подпространство, порожденное {xnfc}.
Следующий результат получили Э. Оделл и X. Розенталь.
6.10.31. Теорема. Сепарабельное банахово пространство X не
имеет замкнутых подпространств, изоморфных I1, в точности то¬
гда, когда всякий элемент х** £ X** является пределом некоторой
последовательности {хп} С X в топологии а(Х**,Х*).
Все встречавшиеся нам до сих пор конкретные бесконечномерные
банаховы пространства обладают тем свойством, что содержат под¬
пространства, изоморфные какому-либо из простейших пространств 1Р
с 1 ^ р < оо или со- Долгое время был открыт вопрос о существо¬
вании бесконечномерных пространств, не содержащих и со. Нако¬
нец, в 1974 г. такой пример был построен ленинградским математиком
Б.С. Цирельсоном.
6.10(iii). Свойство Банаха—Сакса и равномерная
выпуклость
Будем говорить, что банахово пространство X обладает свойством
Банаха-Сакса, если из всякой ограниченной по норме последователь¬
ности {хп} в X можно извлечь такую подпоследовательность {хПк},
что последовательность средних арифметических
хт Н~ • * • Н~ хПк
к
сходится по норме.

6.10. Дополнения и задачи
313
Нормированное пространство Е с нормой || • || называется равно¬
мерно выпуклым, если для всякого е > 0 существует такое 8 > 0, что
если ||х|| = 1, ||у|| = 1 и ЦУ\ ^1-6, то ||ж-у||<е.
Пространства Ьр(р) при 1 < р < оо равномерно выпуклы (доказатель¬
ство можно прочитать в §4.7(iii) книги [26]).
6.10.32. Теорема. Все равномерно выпуклые банаховы простран¬
ства обладают свойством Банаха-Сакса.
Доказательство см. в Дистель [75, гл. 3, §7]. Например, простран¬
ство Lp((i) при 1 < р < оо обладает свойством Банаха-Сакса. Наличие
этого свойства у гильбертовых пространств легко проверить непосред¬
ственно.
6.10.33. Пример. Гильбертово пространство обладает свойством
Банаха-Сакса.
Доказательство. Переходя к подпоследовательности, мы можем
считать, что {хп} слабо сходится к некоторому х. Кроме того, можно
считать, что х = 0. Положим п\ = 1. Поскольку (хП1,хп) —> 0, то
найдется номер > п\ с \(хП1,хП2)\ < 1. Если уже выбраны номера
711 < П2 < • • • < rife, то находим такой номер п&+\ > га&, что
l(^,®nfc+1)| < AT1, j = l,...,k.
Это возможно ввиду слабой сходимости {хп} к нулю. Заметим, что
supn ||хп|| = М < оо. Поэтому
||хП1 + • • • + хПк ||2	кМ2 -f 2 • 1 -f • • • + 2(к	— l)(fc — I)-1 ^
к2	^	к2
^М2 + 2
^ к ’
что показывает сходимость средних арифметических по норме. □
Пространство Ьг[0,1] свойством Банаха-Сакса не обладает, что оче¬
видно из рассмотрения функций nJ[0>i/n]*
6.10.34.	Теорема. Пространства со свойством Банаха-Сакса ре¬
флексивны.
Доказательство. Покажем, что каждый непрерывный линейный
функционал / на пространстве Е со свойством Банаха-Сакса достига¬
ет своего максимума на замкнутом единичном шаре U. Найдем такие
ип € U, что f(un) —> II/H. Переходя к подпоследовательности, можно
считать, что элементы sn := (щ Н \-ип)/п сходятся по норме к и £ U.
Ясно, что /(s„) -»• 11/11- Поэтому f(u) = 11/11-	□

314
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Равномерно выпуклое пространство X обладает следующим свой¬
ством: если хп —> х слабо и ||хп|| —> ||ж||, то ||ж—хп\\ —> 0. Действительно,
можно считать, что ||xn|| = \\х\\ = 1. Тогда \\хп + х\\/2 —> 1, ибо если
||х + хп\\/2	< 1, то \l(x + хп)/2\ < q при ||2|| < 1. Значит, |/(х)| < q,
что дает ||ж|| ^ q — противоречие. Однако указанное свойство слабее
равномерной выпуклости. В этой связи приведем следующую теорему
Кадеца-Кли (см. Дистель [75, с. 88]).
6.10.35. Теорема. Пусть X — банахово пространство с сепара¬
бельным X*. Тогда на X есть эквивалентная норма, которая диффе¬
ренцируема по Фреше вне нуля, причем порождаемая ею норма || • ||*
на X* обладает следующим свойством: если /п —> / в *-слабой mono-
логии и ||/„||. -*• ||/||„ то ||/„ - /||» -*• 0.
Доказательство следующего любопытного результата можно про¬
читать в Fabian и др. [343, с. 259].
6.10.36. Теорема. Пусть норма банахова пространства X диф¬
ференцируема по Фреше вне нуля. Тогда всякое ограниченное замкну¬
тое выпуклое множество в X является пересечением замкнутых ша¬
ров. В частности, это верно для гильбертова пространства.
6.10(iv). Базисы, аппроксимации и дополнения
Как мы видели, важнейшим атрибутом гильбертовых пространств
являются ортогональные базисы. Многие банаховы пространства обла¬
дают топологическими базисами.
6.10.37. Определение. Пусть X — сепарабельное банахово про¬
странство. Последовательность {hn} С X называется базисом Шау-
дера или топологическим базисом, если для каждого х G X имеет¬
ся единственная числовая последовательность {сп(х)} такая, что
х =	Cn(x)hn, где ряд сходится по норме.
Ясно, что базис Шаудера является линейно независимым множе¬
ством. В бесконечномерном банаховом пространстве топологический
базис не может быть алгебраическим базисом (базисом Гамеля), ибо
последний всегда несчетен.
Ввиду единственности разложения функционалы 1п: х ь-> сп(х) ли¬
нейны. Оказывается, что они автоматически непрерывны! Отметим,
что k(hj) = Sij также в силу единственности разложения.
6.10.38. Предложение. Все функционалы U непрерывны. Зна¬
чит, конечномерные отображения Рп: жи Y%=i к{х)Ы непрерывны.
Кроме того, норма ||я||оо supn ||Рп#|| эквивалентна исходной норме.
Доказательство. Так как ||Рпя|| —► М, то ||х|| < ||я||оо- По¬
кажем, что X полно с нормой || • ||оо- Тогда по теореме Банаха об

6.10. Дополнения и задачи
315
обратном операторе мы получим эквивалентность обеих норм. Это даст
ограниченность всех отображений Рп относительно исходной нормы
и оценку supn ||РП|| < оо. Из этого следует непрерывность всех /п,
ибо Рпх — Pn-ix = ln{x)hn. Пусть последовательность {xj} фундамен¬
тальна по новой норме. Тогда она фундаментальна и по старой норме
и потому сходится по ней к некоторому х € X. Нужно показать, что
||ж — хj ||оо —* 0. Заметим, что при фиксированном п последователь¬
ность векторов PnXj также фундаментальна по новой норме и потому
сходится по старой норме к некоторому уп € X. При этом вся после¬
довательность {PnXj} содержится в конечномерном пространстве Хп,
порожденном	На конечномерных подпространствах функ¬
ционалы k непрерывны, поэтому при каждом i = 1,..., п существует
предел
к(Уп) = lim li(PnXj) = lim k{xj) с*,
j~~*oo	j ►oo
не зависящий от n ввиду второго равенства. Проверим выполнение ра¬
венства х = сг^г относительно исходной нормы. Для заданного
е > 0 найдем такое п, что \\хп — хт||оо ^ £ при т ^ п. Возьмем ко так,
что \\хп — РкХп\\ ^ £ при к ^ ко. Для таких к имеем
IIУк ~~ х\\ — lim ||Р&#т хт\\ ^
771—ЮО
< limsupf||PfcXm - PfeX„|| + IIРкхп - х„|| + ||х„ - хто|| ^
т—►сю L	J
< limsup[||xm -xn||oo + е+ ||xn - XtoIIoo] < Зе.
т—>оо L	J
Значит, \\ук — х\\ —> 0. В силу единственности разложения имеем равен¬
ство yk = Ркх. Следовательно,
||®П - ^||оо = sup IIРкхп - РкХII < limsupsup ||Ркхп - Ркхт|| = -
fe^l	т—*оо к^1
= lim sup ||х„ - хто||оо -> 0
т—* оо
при п—> оо. Итак, X полно с новой нормой.	□
Относительно новой нормы || • ||оо проекторы Рп имеют единичные
нормы (что не всегда верно для исходной нормы).
Во многих конкретных банаховых пространствах были построены
базисы Шаудера. Например, функции Хаара Хп> задаваемые формула-
ми Xi(*) = 1,
{1 при t € {(21 - 2)2-fc_1, (21 - l)2-fc-1],
-1 при t е ((21 - Х)2-к~\ (21)2~к~1},
0 в остальных случаях,

316
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где к = 0,1,2,... и I = 1,2,..., 2fe, образуют базис Шаудера в Lp[0,1]
при 1 < р < оо. Функции Фабера-Шаудера
дают базис Шаудера в С[0,1] (эти функции были введены еще в 1910 г.
Г. Фабером, установившим, что они образуют базис). Функция ip0 = 1 —
постоянная, функция —t — линейная, а следующие функции (рп
имеют графики, представляющие собой равнобедренные треугольни¬
ки с высотой 1 и основанием вида [2~к,2г~к], обращаясь в нуль вне
этого основания. Частичная сумма с номером п разложения / по ipi
есть результат линейной интерполяции между значениями / в точках
0,21_п, 22_п,..., 1 при n ^ 1. Например, мы имеем Sof(t) = co<po(t)j
где со = /(0), Sif(t) = coip0(t) + ci</?i(£), где а = /(1) - /(0), затем
&/(*) = CQipo(t)+Ciipi(t)+C24>2> гДе с2 = /(1/2) —/(0)/2 — /(1)/2 и т.д.
Из этого нетрудно усмотреть равномерную сходимость Snf к /.
В некоторых пространствах долго не удавалось построить базис.
Например, в 1974 г. С.В. Бочкарев решил поставленную еще Банахом
проблему и построил базис Шаудера в пространстве аналитических
в круге функций, непрерывных на замкнутом круге и наделенных sup-
нормой. В течение десятилетий оставался открытым вопрос о существо¬
вании базиса Шаудера во всяком сепарабельном банаховом простран¬
стве. Это была одна из самых знаменитых проблем теории банаховых
пространств. Наконец, в 1973 г. шведский математик П. Энфло опуб¬
ликовал свой знаменитый контрпример. Заодно он решил и другую
трудную старую проблему о существовании сепарабельных банаховых
пространств без свойства аппроксимации. Говорят, что банахово про¬
странство обладает свойством аппроксимации, если для всяких ком¬
пакта К С X и е > 0 найдется такой непрерывный конечномерный
оператор Т, что ||х — Тх\\ < е при всех х € К. Известно, что это равно¬
сильно тому, что для каждого банахова пространства Z конечномерные
операторы плотны по норме в пространстве /C(Z, X) компактных опера¬
торов. Если X имеет базис Шаудера {/in}> то проекторы х	i	х&%
сходятся к единичному оператору равномерно на компактах, поэтому
X имеет и свойство аппроксимации. Однако существуют пространства
со свойством аппроксимации, но без базиса Шаудера. Известно, что
пространства без свойства аппроксимации (а потому и без базиса Шау¬
дера) существуют даже среди замкнутых подпространств со и 1Р с р > 2
(конечно, они есть и среди замкнутых подпространств универсального
пространства С[0,1]).
Если линейно независимая последовательность {hn} является ба¬
зисом Шаудера замыкания своей линейной оболочки, то она называ¬
ется базисной последовательностью. Это равносильно тому, что при
<po(*) = l, <Pn(t)= Xn(s)ds, n> 1,

6.10. Дополнения и задачи
317
некотором С > 0 при всех га < га и всех скалярах ,..., ат выпол¬
нено неравенство ||2Г=1а*М1 ^	^Ы\\- Действительно, если
{hn} — базис Шаудера замыкания У своей линейной оболочки, то ука¬
занная оценка с С = 1 верна для эквивалентной нормы II * II ОО- Обратно,
пусть есть такая оценка. Тогда из сходимости ряда аг^г к нулю
следует, что все а* равны нулю. Если этот ряд сходится к ж, то поло¬
жим Xi := Остается заметить, что множество всех ж, представимых
в таком виде, есть замкнутое подпространство. Это легко усмотреть
из оценки ||ЕГ=1 <*М\ ^ СЦжЦ, вытекающей из условия при га —» оо.
Значит, это замкнутое подпространство и есть У.
Базисные последовательности есть во всех пространствах. Следу¬
ющий факт был известен еще во времена Банаха.
6.10.39. Теорема. Во всяком бесконечномерном банаховом про¬
странстве есть бесконечная базисная последовательность.
Доказательство. Используем следующий простой факт, доказа¬
тельство которого отнесено в задачу 6.10.83: пусть У — конечномер¬
ное подпространство бесконечномерного банахова пространства X. То¬
гда для всякого е > 0 найдется такой вектор h € X с \\h\\ = 1, что
||г/|| < (1 + е)\\у + Xh\\ при всех у £ У и А € JR1.
Теперь возьмем е > 0 и такие числа еп > 0, что	<	1+е.
Пусть \\hi\\ = 1. По индукции получаем векторы hn с
IMI ^ (1 +£n)||y + Xhn+1||
для всех у из линейной оболочки hi,..., hn и всех А € IR1. Легко видеть,
что {hn} — базисная последовательность и ||Pn|| < 1 +£ при всех п. □
Отнюдь не всякая линейно независимая последовательность с плот¬
ной линейной оболочкой является базисом Шаудера.
6.10.40. Пример. Функции 1, sinrat, cosnt не образуют базис Шау¬
дера в пространстве 27г-периодических функций Съ*■, что ясно из суще¬
ствования функции в С2тг с рядом Фурье, расходящимся в нуле. Функ¬
ции жn(t) = tn не образуют базис Шаудера в С[0,1] и L2[0,1]. Для
доказательства заметим, что из разложения ж =	сп(х)хп	в	С[0,1]
или в Ь2[0,1] следует вещественная аналитичность функции ж на [0,1),
ибо сходится ряд из интегралов, т.е. ряд	сп(ж)(п -f I)-1, что дает
сходимость степенного ряда i	ПРИ И < 1-
Можно построить базис Шаудера в С[0,1] из многочленов. Как по¬
казал Г. Фабер еще в 1914 г., в С[0,1] нет базиса Шаудера, состоящего
из многочленов hn степени п. В 1990 г. А.А. Привалов доказал, что
если многочлены hn образуют базис Шаудера в С[0,1], то при неко¬
тором е > 0 для всех достаточно больших п выполняется неравенство
deghn > (1 + £)п. При этом для всякого £ > 0 имеется базис Шаудера

318
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
{hn} с deghn < (1 + е)п. Как показала в 2001 г. М.А. Скопина, такие
многочлены можно выбрать даже ортогональными (ссылки см. в книге
Одинец, Якубсон [167]).
Следующий результат Крейна-Мильмана-Рутмана показывает не¬
которую устойчивость базисов.
6.10.41. Предложение. Пусть {ип} — базис Шаудера в банахо¬
вом пространстве X, ||wn|| = 1 и supn ||РП|| = К, где Рп — проектор
на линейную оболочку и\,... ,ип. Если последовательность {vn} С X
такова, что Y^=i Н^п — ^пН < К/2, то {vn} — также базис Шаудера.
Доказательство. Для х = Y^=\xnUn пусть Тх — J2™=ixnVn-
Так как \хп\ = ||Рпх — Pn_ix|| < 2К||д:||, то ряд сходится ввиду сходи¬
мости рядов из хпип и xn(vn — Un), причем
оо	оо
||я - Тх|| < ^2 |®„| ||«„ - г>п|| < д||ж||, q = 2K^2 ll«n - «п|| < 1-
п=1	п=1
Значит, ||I — Т|| < 1. Поэтому Т обратим (см. теорему 7.1.3), откуда
следует доказываемое.	□
6.10.42. Следствие. Если банахово пространство имеет базис
Шаудера, то такой базис можно найти во всяком всюду плотном
множестве.
В некоторых задачах отсутствие базиса Шаудера восполняют биор-
тогональные системы и базисы Маркушевича.
6.10.43. Определение. Пусть X — банахово пространство. Па¬
ра последовательностей {хп} С X и {/п} С X* называется биортого-
нальной, если h(xj) = Sij.
Если при этом линейная оболочка {хп} плотна в X, а функцио¬
налы 1п разделяют точки из X, то {хп} называют базисом Марку¬
шевича в X.
Отметим, что если пара {хп} С X и {1п} С X* биортогональна, то
последовательность {хп} является минимальной в следующем смысле:
никакой элемент хп не входит в замыкание линейной оболочки осталь¬
ных элементов Xk, кфп (иначе 1п(хп) = 0).
Следующий результат получен А.И. Маркушевичем.
6.10.44. Теорема. Всякое сепарабельное банахово пространство
имеет базис Маркушевича. При этом такой базис можно найти во
всяком плотном линейном подпространстве.
Доказательство. Вложим данное пространство X в качестве за¬
мкнутого подпространства в С[0,1] и возьмем в нем линейно незави¬
симую последовательность {уп} с плотной в X линейной оболочкой.

6.10. Дополнения и задачи
319
Пусть {хп} — результат ортогонализации {уп} в L2[0,1]. Положим
1п(х) = (х,хп)ь2, х £ X, Если 1п(х) = 0 для некоторого х £ X при
всех п, то элемент х ортогонален замкнутой линейной оболочке {хп}
в L2[0,1] и потому ортогонален X в L2[0,1]. Значит, (хух)^ = 0. По¬
этому получаем af = 0.	□
Простым примером базиса Маркушевича, не являющегося бази¬
сом Шаудера, является система функций exp(mt), п £ Z, в комплекс¬
ном пространстве С[0,27т] непрерывных функций с х(0) = х(27г) с sup-
нормой. В общем случае может оказаться, что supn ||хп|| ||/п(| = оо. Од¬
нако известно, "что для всякого е > 0 можно найти базис Маркушевича
с supn ||хп|| \\1п\\ <1 + б. Вопрос о том, верно ли это при 6 = 0, остается
открытым.
В конечномерном пространстве имеются биортогональные системы
{системы Ауэрбаха) со следующим свойством.
6.10.45.	Предложение. В банаховом пространстве X конечной
размерности п можно найти такие векторы х\,..., %п и линейные
функционалы 1п, что Цж^Ц = ||Zi|| = 1 и h(xj) = 8ij.
Доказательство. Можно считать, что X = IRn с некоторой нор¬
мой. Пусть В — замкнутый единичный шар по этой норме. Для всякого
набора векторов гц,..., уп £ В обозначим через V(yi,..., уп) определи¬
тель матрицы (yi,yj)i,j^n, где у* = (ум,..., 2/i,rx)- Функция V достигает
максимума на В на некотором наборе векторов xi,... ,хп £ В. Ясно,
ЧТО ||xi|| = • • • = ||хп|| = 1. Положим
(Я') *— V{х\, #2, • • •, Х%—1, Ху Xi-f~ 1 * • • • > •Efi) jV(*^1 > * • •» ^*п)*
Тогда Ufa) = 1, \k(x)\ < 1 при х £ By т.е. ||^|| = 1. Наконец, h{xj) = 0
при i ф jy ибо V{у\,..., Уп) = 0, если среди у\ есть два одинаковых
вектора.	□
Еще одно важное геометрическое свойство в банаховых простран¬
ствах связано с существованием ограниченных проекторов. Говорят,
что замкнутое подпространство Е банахова пространства X дополняе¬
мо в Ху если существует такое замкнутое подпространство D С X, что
X — Е 0 D. Это дает ограниченный оператор Р: X —> Е с Р(Х) = Е
и Рх = х при х £ Еу т.е. ограниченный проектор на Е. Обратно, нали¬
чие такого проектора дает дополнение Е в виде D = Р“1(0). Как мы
знаем, в гильбертовом пространстве всякое замкнутое подпространство
имеет ортогональное дополнение и потому дополняемо. Оказалось, что
других пространств с таким свойством не бывает: Й. Линденштраус и
Л. Цафрири доказали, что если в банаховом пространстве X всякое
замкнутое подпространство дополняемо, то X линейно гомеоморфно
гильбертову пространству. Приведем интересный конкретный пример
недополняемого подпространства.

320
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.46. Пример. В пространстве С[0,1] есть замкнутое подпро¬
странство Е, линейно изометричное L2[0,1]. Это подпространство недо-
полняемо.
Доказательство. Мы знаем, что С[0,1] обладает свойством Дан-
форда-Петтиса (пример 6.10.28), а Е нет. Покажем, что если бы Е было
дополняемо, то оно тоже имело бы свойство Данфорда-Петтиса. Пусть
Р — ограниченный проектор на Е. Если хп —> 0 в слабой топологии Е,
то это верно и для слабой топологии С[0,1]. Пусть ln £ Е*, причем
1п —> 0 в топологии а(Е*, Е**). Положим /п = 1поР. Тогда fn £ С[0,1]*.
Пусть F £ С[0,1]**. Положим G(l) := F(loP), I £ Е**. Ясно, что
G £ Е**. Тогда F(fn) = G(ln) —> 0 по предположению. Следовательно,
fn{xn) -* 0, т.е. 1п(хп) —> 0, что дает свойство Данфорда-Петтиса в Е.
Итак, получено противоречие.	□
Не имеет дополнения и пространство со в /°° (задача 6.10.114).
Приведем один результат А. Собчика о продолжении поточечно
сходящейся последовательности функционалов.
6.10.47. Предложение. Пусть X — сепарабельное нормирован¬
ное пространство, Y С X — линейное подпространство, {fn} С Y*,
причем lim fn(y) = 0 для всех у £Y и ||/n|| < 1. Тогда существуют
п—*оо
JnS: X* с fn|у = fn, НДЦ < 2 и lim fn{x) = 0 для всех х € X.
ТЪ—>оо
Доказательство. Пусть {х*} — счетное всюду плотное множе¬
ство в единичном шаре X с {х*} П Y = 0. Достаточно построить про¬
должения с нормами не более 2, поточечно сходящиеся к нулю на каж¬
дом Xi.
Это легко сделать, если доказать следующий факт: для всякого
фиксированного к и всякого е > 0 найдется такое N(k, е), что при
п > N(k,e) функционалы fn имеют такие продолжения gn £ X*, что
||<7П|| < 2 и \gn(xi)\ ^ £ при i = 1,..., к. Обозначим через L линейную
оболочку Y и xi,... ,Xfe. Если указанный факт неверен, то в {/п} есть
подпоследовательность {fnj}, для которой все fn. не имеют продолже¬
ний с указанными свойствами. Можно считать, что такова вся исходная
последовательность. Мы знаем, что /п имеет продолжение (рп € X*
с \\<рп\\ < 1. Последовательность векторов (gn(xi), • • • ,9n(xk)) €
ограничена и потому имеет сходящуюся подпоследовательность. Опять
можно считать, что она сама сходится. Тогда предел l(x) := lim дп(х)
п—юо
существует при всех х £ L. Ясно, что I — линейный функционал на L
и ||2|| < 1. Кроме того, 1\у = 0. Продолжим I до функционала lo £ X*
с llVll ^ 1- Положим фп := fn — lo- Тогда фп\у = /п, \\фп\\ < 2 и при всех
достаточно больших п мы имеем \i>n(xi)\ ^ г = 1,..., fc, что противо¬
речит нашему допущению и потому завершает доказательство. □

6.10. Дополнения и задачи
321
Этот результат можно переформулировать так.
6.10.48. Следствие. Пусть X — сепарабельное нормированное
пространство, Y С X — линейное подпространство и Т : Y —> со —
непрерывный оператор. Тогда Т продолжается до такого оператора
S: X —> со, что ||5|| < 2||Г||.
Следовательно, со дополняемо в каждом изометрически содержа¬
щем его сепарабельном банаховом пространстве.
Сепарабельность здесь важна: как уже отмечалось, со не имеет до¬
полнения в 100 (задача 6.10.114). С точностью до изоморфизма со —
единственное сепарабельное банахово пространство, которое дополня¬
емо во всяком сепарабельном банаховом пространстве, в которое оно
вложено в качестве замкнутого подпространства (М. Zippin, см. [396]).
6.10(v). Операторы на упорядоченных векторных
пространствах
В теории упорядоченных векторных пространств, кратко затро¬
нутой в §5.6(iii), важную роль играют положительные функционалы
и операторы. Пусть Е — упорядоченное векторное пространство. Го¬
ворят, что линейный функционал / на Е является положительным
(обозначение: / > 0), если f(x) ^ 0 при х > 0. Это равносильно тому,
что f(x) < f(y) при х < у. Аналогично определяются положительные
операторы между упорядоченными пространствами.
Для положительных функционалов имеется ряд аналогов теоремы
Хана-Банаха.
6.10.49. Теорема. Пусть р — однородно-выпуклый функционал на
упорядоченном векторном пространстве Е. Если на линейном подпро¬
странстве Eq С Е задан линейный функционал f, удовлетворяющий
условию
f(x) < р(х + z) при всех хеЕо и всех z ^ 0,	(6.10.3)
то f продолжается до линейного функционала на всем Е, удовлетво¬
ряющего указанному условию при всех х € Е.
Доказательство. Положим q(x) = inf{р(х + z): z ^ 0}, х £ Е.
Так как 0 = /(0) < р(0 + z) = p(z) при г ^ 0, то для z ^ 0 получаем
р(х + z) + р(—х) > p(z) ^ 0, т.е. q(x) < — р(—х) > — оо. Легко видеть,
что q(Xx) = Aq(x) при х £ Е, А > 0. Неравенство q(x + у) < q(x) + q(y)
следует из того, что для всякого е > 0 найдутся такие zi,z2 ^ 0, что
q(x) > р(х + z\) — е и q(y) > р(у + z2) — е, ибо это дает
q(x)+q(y) > p(x+zi)+p(y+z2)-2e > p(a?+y+2i+z2)-2e > q(x+y)-2e,
ибо z\ -f z2 ^ 0. По условию / < q на Eq. Остается применить теорему
Хана-Банаха к / и q.	□

322
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.50. Следствие. Условие (6.10.3) необходимо и достаточно
для существования такого линейного продолжения f функции / на Е,
что f > 0 и / < р на Е. В частности, линейный функционал f на ли¬
нейном подпространстве Ео имеет положительное линейное продол¬
жение наЕ в точности тогда, когда существует однородно-выпуклая
функция р, удовлетворяющая условию (6.10.3).
Доказательство. Если указанное условие выполнено, то постро¬
енное в теореме продолжение неотрицательно, ибо при z ^ 0 имеем
—f(z) = f(—z) < р(—z) — 0. Обратно, если такое продолжение / су¬
ществует, то имеем f(x) = f(x) < f(x) + f{z) — f(x + z) < p(x -f z)
при x G Eq и z ^ 0, т.е. выполнено (6.10.3). Наконец, если / продол¬
жается до положительного линейного функционала / на Е, то (6.10.3)
выполнено с р = /.	□
Рассмотрим простые примеры положительных линейных функци¬
оналов, не имеющих положительных продолжений.
6.10.51. Пример, (i) Пусть Е — пространство всех ограничен¬
ных вещественных функций на прямой с естественным частичным по¬
рядком, и пусть Ео — линейная оболочка индикаторов ограниченных
промежутков. Функционал / на Ео, заданный как интеграл Римана,
линеен и положителен. Если бы он продолжался до положительного
линейного функционала / на Е, то мы бы имели а := /(1) € 1R1. По¬
скольку Ij < 1 для всякого промежутка J, то /(1 — Ij) ^ 0, откуда
f(Ij) < а, что невозможно, если длина J больше а.
(ii)	Пусть Е = IR°° — пространство всех вещественных последо¬
вательностей с частичным порядком, заданным покоординатным срав¬
нением, и пусть Е — с — подпространство всех последовательностей
с конечным пределом. Тогда функционал f(x) := lim хп не имеет по-
71—* ОО
ложительных линейных продолжений на Е. Действительно, если такое
продолжение / нашлось, то элемент х с хп = п перешел в некоторое
число а € [0, -foo). Возьмем натуральное к > а и элемент усуп = к при
п ^ к и yj = 0 при j < к. Тогда к = /(у) < f(x) = а — противоречие.
Приведем два положительных результата.
6.10.52. Следствие. Пусть / — положительный линейный фун¬
кционал на линейном подпространстве Ео С Е. Предположим, что
для всякого х е Е найдется такой у € Ео, что х < у. Тогда f продол¬
жается до линейного положительного функционала на Е. В частно¬
сти, это верно, если есть точка алгебраического ядра положитель¬
ного конуса из Е, содержащаяся в Eq.

6.10. Дополнения и задачи
323
Доказательство. Положим U := {х £ Е0: f(x) < 1} и
W := {w £ Е: w ^и при некотором и £ J7}.
Заметим, что множество W выпукло и 0 £ W. Кроме того, для всякого
х £ Е найдется такое е > 0, что ex £ W. В самом деле, по условию
найдется у £ Ео с х ^ у. Можно взять такое е > 0, что f(sy) < 1,
тогда ex £ W. Возьмем в качестве р функционал Минковского мно¬
жества W. Из сказанного выше следует, что р — однородно-выпуклая
функция. Проверим условие (6.10.3). Иначе найдутся такие х £ Ео
иОО, что f(x) > 1 и р(х + z) < 1. Тогда при некотором А £ (0,1)
имеем (х + z)/А £ W, т.е. (х + z)/\ ^ и, где u£U. Поэтому х + z < \и,
откуда х < А и. Значит, f(x) < A f(u) < 1 — противоречие. Применение
теоремы 6.10.49 завершает доказательство первого утверждения. Если
положительный конус имеет непустое алгебраическое ядро, пересека¬
ющее Ео, то возьмем какую-либо точку zq £ Ео этого ядра. Тогда для
всякого х £ Е найдется а > 0 с zo — ах ^ 0, т.е. х < zo/ot £ Eq. □
6.10.53. Следствие. Пусть zo входит в алгебраическое ядро по¬
ложительного конуса К. Тогда существование положительного ли¬
нейного функционала f с f(zo) = 1 равносильно тому, что —zq $ К.
Доказательство. Пусть — zq & К. На одномерном пространстве,
порожденном zq, зададим / формулой /(Azo) = А. Если А^о £ К, то по
условию имеем А ^ 0 и потому f(\zo) ^ 0. Теперь применимо преды¬
дущее следствие. Если же / уже есть, то при — zo £ К мы бы получили
f(~zо) ^ 0, т.е. f(z0) < 0 вопреки равенству f(zo) = 1.	□
Отметим, что если упорядоченное векторное пространство Е на¬
делено еще и нормой (или топологией, превращающей его в тополо¬
гическое векторное пространство), причем положительный конус име¬
ет внутренние точки относительно возникающей топологии, то всякий
положительный линейный фунющонал оказывается непрерывным, ибо
ограничен снизу на непустом открытом множестве.
6.10.54. Пример. Ца пространствах Е°°(р) и Съ(Т), где Т— топо¬
логическое пространство, все положительные линейные функционалы
непрерывны.
Простым примером разрывного положительного линейного функ¬
ционала на упорядоченном нормированном пространстве является
функция f((p) = <р(0) на пространстве всех многочленов на [0,1] (или
всех непрерывных функций), наделенном нормой из L2[0,1].
Однако наличие внутренних точек положительного конуса не обя¬
зательно для того, чтобы все положительные линейные функционалы
на упорядоченном нормированном пространстве оказывались автома¬
тически непрерывными. Определение банаховой решетки см. в §5.6(iii).

324
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.55. Предложение. Всякий положительный линейный фун¬
кционал f на банаховой рететке Е автоматически непрерывен. Кро¬
ме того,
ll/ll = sup{|/(x)|: х > 0, ||х|| = 1}.
В частности, это верно для Ьр(ц), 1 < р < оо. При этом в случае,
например, меры Лебега fi положительный конус в Ьр(ц) при р < оо
не имеет внутренних точек.
Аналогичное утверждение верно для положительных операторов
на Е со значениями в нормированной решетке.
Доказательство. Пусть / — разрывный положительный функ¬
ционал. Тогда найдется такая последовательность элементов хп £ Е,
что ||хп|| < 2~п и f(xn) ^ п. Можно считать, что хп ^ 0, поскольку мы
имеем |/(х)| < |/(|х|)|- Пусть х - J2^=ixn- Тогда /(х) > /(х„) ^ п
для всех п, что невозможно. Утверждение о ||/|| следует из оценки
\f(x)\ < |/(|#|)|* Случай положительного оператора совершенно ана¬
логичен. Если мера fi не сосредоточена в конечном числе атомов, на¬
пример, является мерой Лебега на отрезке, то во всякой окрестности
всякой функции из Lp(/jl) с р < оо есть функция, строго отрицатель¬
ная на множестве ненулевой меры. Поэтому положительный конус не
имеет внутренних точек.	□
Из этого предложения вытекает, что положительный функционал
<р ь-> <^(0) на линейном подпространстве непрерывных функций в про¬
странстве L2[0,1] не имеет положительных продолжений на L2[0,1].
Приведем теорему Канторовича о продолжении положительных
операторов, частным случаем которой является следствие 6.10.52.
6.10.56. Теорема. Пусть X — упорядоченное векторное прост¬
ранство с положительным конусом К, Хо С X — такое линейное
подпространство, что Хо + К — X, и Y — полная векторная ре¬
шетка. Тогда всякий положительный линейный оператор Т: Хо —> Y
продолжается до положительного линейного оператора на всем X.
6.10.57. Предложение. Пусть на упорядоченном векторном
пространстве Е заданы линейный функционал / и однородно¬
выпуклый функционал р, а на линейном подпространстве Eq С Е за¬
дан линейный функционал д. Тогда равносильны следующие условия:
(i) имеется линейное продолжение g функционала g на Е с
f(z) < g(z) при всех z ^ 0 и д(х) < р(х) при всех х £ Е; (6.10.4)
(ii) имеется линейное продолжение g функционала g на Е с
g(x) + f(z) < р(х + z) при всех z ^ 0 и х £ Е;	(6.10.5)
(iii) функционал д удовлетворяет условию
д(у) + /0*0 < р(у + z) при всех z ^ 0 и у £ Е0.	(6.10.6)

6.10. Дополнения и задачи
325
Доказательство. Из (i) следует (ii), так как мы имеем
р(х + z) > д(х + z)= д(х) + g(z) > д(х) + f(z).
Из (ii) следует (iii). Пусть выполнено (iii). Положим р\(х) := p(x) — f(x)
при х £ Е и gi(y) := д(у) — f(y) при у £ Ео- Тогда в силу (6.10.5)
получаем д\(у) < р\(у -f- z) при у £ Ео, г ^ 0. По основной теореме есть
линейное продолжение д\ функционала д\ на Е с д\ (х) < р\ (х + z) при
х £ Е, z ^ 0. Положим д := д\ + /. Тогда д\ — линейное продолжение д.
При z > 0 и х £ Е имеем д(рс) + f(z) = д\(х) + f(x) + f(z) < p(x + z).
При x — —z получаем f(z) < g(z), а при z = 0 имеем g(x) ^ p(x).	□
6.10.58. Следствие. Пусть на упорядоченном векторном про¬
странстве Е заданы линейный функционал f и однородно-выпуклый
функционал р. Тогда необходимое и достаточное условие существова¬
ния такого линейного функционала g на Е, что д(х) < р(х) при х £ Е
и f(z) < g(z) при z^0, состоит в следующем: f(z) < p(z) при z ^ 0.
Доказательство. Необходимость ясна. Для проверки достаточ¬
ности возьмем Ео = {0} с g = 0 на Ео- Тогда выполнено условие (6.10.6),
поэтому g линейно продолжается на Е так, что выполнено (6.10.4).	□
Обратимся теперь к упорядоченным нормированным простран¬
ствам. Пусть упорядоченное векторное пространство Е наделено такой
нормой || • ||, что при некотором с > 0 выполнена оценка
||х|| < с||з|| при 0 < х < 2.	(6.10.7)
Тогда положительный конус называют нормальным. Например, в бана¬
ховых пространствах В (ft) и Ьр(р) (вообще в банаховых решетках) это
условие выполнено, а в пространстве С1[0,1] непрерывно дифференци¬
руемых функций с его естественной нормой и поточечным частичным
порядком это условие нарушено. Сначала отметим такой факт, кото¬
рый нетрудно вывести из теоремы 6.10.49.
6.10.59. Предложение. Если Ео — банахова подрешетка банахо¬
вой решетки Е, то всякий положительный функционал на Ео продол¬
жается до положительного функционала на Е с сохранением нормы.
Обсудим разложения функционалов в разности положительных.
6.10.60. Предложение. Пусть Е — упорядоченное нормирован¬
ное пространство с нормальным положительным конусом, удовле¬
творяющим условию (6.10.7). Тогда для всякого непрерывного линей¬
ного функционала / существуют такие положительные непрерывные
функционалы f\ и f2, что
/ = /1-/2, ll/iKc||/u/2K(i + c)||/||.
Обратно, если сказанное верно для всякого f £ Е*, то положитель¬
ный конус нормален и выполнено (6.10.7) с 2(1 + с) вместо с.

326
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказательство. Пусть ||/|| = 1, U := {х £ Е: ||х|| < 1/с},
W \~U — К, где К = {z £ Е: z ^ 0}. Легко видеть, что W — открытое
выпуклое множество, причем 0 £ W. При z £ KnW имеем \\z\\ ^ 1, ибо
0 < 2 = и — zi, где ||w|| < 1/с и z\ > 0, откуда 0 < 2 < и. Ввиду (6.10.7)
это дает \\z\\ < c||w|| < 1. Обозначим через р функционал Минковского
множества W. Заметим, что
f(z) ^ Р{%) и P{~z) < “1 ПРИ z £ К.
В самом деле, положив а := p(z), при е > 0 имеем p(z/(a + е}) < 1, т.е.
(а + e)~1z £ W П К и по доказанному выше \\z/(a + е)\\ < 1. Значит,
f(z) < \\z\\ < а. Далее, —z ^0 £ U, откуда —z £ W и потому р(—z) < 1.
Предыдущее следствие дает такой линейный функционал д < р, что
f(z) < g(z) при z £ К, Функционал у положителен, ибо при z £ К
и А > 0 имеем g(—\z) < p(—Xz) < 1, откуда g(z) ^ —1/А. Наконец, при
||х|| < 1 получаем х/с £ U С W, что дает д(х/с) ^ р(х/с) < 1. Итак,
Ij^ll < с. Теперь можно положить f\ := у, /2 := д — /.
Предположим теперь, что для всякого f £ Е* найдутся положи¬
тельные функционалы /1 и /2 с / = Д - /2 и ||/i|| < (1 + с)||/||,
II/2II < (1 + с)||/||. Пусть 0 < х ^ z. Следствие теоремы ^Сана -Б анаха
дает / £ Е* с f(x) = ||х|| и ||/|| = 1 (можно считать, что х Ф 0). Взяв
упомянутые выше /1 и /2, получаем 0 < fi(x) < fi(z) < (1 + c)IHI*
Значит, \\х\\ = f(x) = fi(x) - f2(x) < 2(1 + c)\\z\\.	□
Полезен также следующий результат о разложении функционала
в разность положительных функционалов, дающий несколько больше,
чем предложение 6.10.60.
6.10.61.	Теорема. Пусть Т — векторная решетка ограничен¬
ных функций на множестве ft, содержащая 1. Предположим, что
на Т задан линейный функционал L, непрерывный относительно нор¬
мы II/H = sup\f(x)\. Тогда L можно представить в виде L = L+ —L~,
п
где L+ ^ 0, L~ ^ 0 и для всех неотрицательных f £ Т справедливы
равенства
!+(/)= sup L(g),	L'(f) = -miL(g).	(6.10.8)
O^g^f	O^g^f
Кроме того, полагая \L\ := -f L~, при f > 0 имеем
\L\(f)= sup \L(g)\,	||L||=L+(1)	+ L-(1).
0 <\g\<f
Аналогичное утверждение, за исключением последнего равенства,
справедливо для всякого непрерывного линейного функционала на нор¬
мированной векторной решетке.

6.10. Дополнения и задачи
327
Доказательство. Для неотрицательных функций f,g £ Т и вся¬
кой функции h £ Т такой, что 0 < ft ^ f+g, можно записать ft = h\+ft2,
где hi у ft2 £ F, 0 ^ hi < /, 0 ^ ft2 ^ 9- В самом деле, положим
hi = min(/, ft), ft2 = ft — hi. Тогда fti, /12 G f, 0 Oi < / и ft2 > 0.
Наконец, ft2 < <7. Действительно, если fti(x) = ft(x), to ft2(x) = 0, если
fti(x) = /(x), to ft2(x) = ft(x) — f(x) ^ g(x), поскольку ft < <7 4- /.
Пусть определяется равенством (6.10.8). Заметим, что величи¬
на Т+(/) конечна, поскольку |L(ft)| < ||L|| ||ft|| < ||L|| ||/||. Ясно, что
= ^+(/) Для всех неотрицательных чисел t и / ^ 0. Пусть
/ > 0 и д > 0 входят в Т. Используя обозначения выше, получаем
L+{f + 9) = sup{L(ft): 0<ft</ + #} =
= sup{L(fti) -f L(ft2): 0 < fti < /, 0 < ft2 <	= L*(f) -f L+(^).
Теперь для всех f £ T положим Т+(/) = L+(/+) — L+(/“), где /+ =
тах(/, 0), /” = - min(/, 0). Отметим, что если / = Д-/2, где /ъ /2 > 0,
то Т+(/) = L+(/i) — L+(/2). Действительно, Д + /“ = /2 + /+ и потому
£+(Д) + L+(f~) = ^(/2) + Ь+(/+). Ясно, что £+(*/) = t£+(/) для
всех £ е И1 и / £ Т. Аддитивность функционала вытекает из
его аддитивности на неотрицательных функциях. Действительно, для
заданных / и д имеем / = /+ — д = д+ — <7”, откуда находим
/ + <7 = (/+ + <7+) — (/” 4- д~) и согласно сказанному выше получаем
L+(/ + д) = L+(/+ + д+) - L+(/~ + <Г) = L+(/) + Ь+(<?).
По определению, L+(/) ^ L(/) для неотрицательных /, поэтому функ¬
ционал L~ := L+ — L неотрицателен. Легко видеть, что L~ задается
анонсированной формулой.
Наконец, ||L|| < ||Ь+|| -j- ||L”|| = L+( 1) + L”(l). С другой стороны,
L+( 1) + L~( 1) = 2L+(1) - L( 1) = sup{L(2<£> - 1): 0 < <p ^ 1} <
^ sup{£(ft) : -1 < ft ^ 1} < |[L||.
Теорема доказана для T, но эти же рассуждения применимы к любым
векторным решеткам.	□
Приведем замечательный результат П.П. Коровкина о сходимости
положительных операторов, (доказательство см. в [106, гл. 1]).
6.10.62.	Теорема. Пусть Тп — положительные линейные опе¬
раторы в С[0,1], т.е. Тх > 0 при х ^ 0, причем для трех функций
Xk(t) = tk, к = 0,1,2, мы имеем ||Тпх& — х&|| —> 0 при п —> оо. Тогда
||Тпх — х|| —> 0 для всякого х £ С[0,1].
Такое же утверждение верно для пространства С27Г непрерывных
2п-периодических функций, если x\(t) — 1, x2(t) = sint и x2(t) = cost.

328
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10(vi). Векторное интегрирование
Здесь мы кратко обсудим интеграл Лебега для векторных отобра¬
жений, называемый в этом случае интегралом Бохнера. Пусть (ft, В) —
измеримое пространство и р — неотрицательная мера на В. Сначала
мы предположим, что мера р ограничена, а затем укажем небольшие
изменения, необходимые в общем случае.
Пусть Е — вещественное или комплексное банахово пространство.
Через В(Е) обозначим сг-алгебру, порожденную открытыми в Е мно¬
жествами. Эта сг-алгебра называется борелевской.
6.10.63. Определение. Отображение /: ft —» Е, определенное
p-почти всюду, называется р-измеримым, если для всякого В £ В(Е)
множество /~г(В) является р-измеримым.
Ясно, что если / — /i-измеримое отображение со значениями в ба¬
наховом пространстве Е, то функция и ||/(о>)11 также //-измерима
ввиду борелевости открытых шаров в Е.
6.10.64. Предложение. Пусть банахово пространство Е сепа¬
рабельно и отображение /: ft —> Е определено p-почти всюду. Это
отображение р-измеримо в точности тогда, когда для всякого I £ Е*
числовая функция I о f является p-из меримой.
Достаточным условием р - измеримости / является р-измери-
мость функций 1п о /, где {1п} С Е* — такое счетное мнооюество,
что всякий элемент в Е* есть предел подпоследовательности из {1п}
в *-слабой топологии (такое множество существует ввиду сепара¬
бельности Е).
Доказательство. Рассмотрим вещественный случай. Необходи¬
мость указанного условия ясна из того, что для всякого I £ Е* и всякого
открытого множества скаляров V множество /”1(^”1(Vr)) является р-
измеримым ввиду открытости	Покажем, что сг-алгебра Во, по¬
рожденная полупространствами вида {х: 1(х) < г}, совпадает с В(Е).
Ввиду сепарабельности пространства Е каждое открытое в нем мно¬
жество есть объединение счетного набора открытых шаров с центрами
в точках из {хп}. Пусть U — такой шар. Покажем, что U £ Во- Так
как U есть объединение последовательности замкнутых шаров с тем
же центром, то можно перейти к замкнутому шару U. Представим
его в виде пересечения счетного набора замкнутых полупространств.
Для этого для каждой точки хп £ E\U и каждого замкнутого шара
B(xn,rk) рационального радиуса г к, не пересекающего U, найдем та¬
кое полупространство Пп^, что U С Пп и В(хп,Гк) С Е\Т1п,к- Имеем
U = nnfenn,*. Действительно, если х £ U, то найдутся такие хп и г&,
что X £ В(хп,Гк) и ип В(хп,Гк) = 0, откуда х £ ПП)*. Итак, U £ Во,
что дает равенство Во = В(Е).

6.10. Дополнения и задачи
329
Пусть {1п} с Е* — такое счетное множество, что всякий элемент
I в Е* есть предел подпоследовательности в {1п} в *-слабой тополо¬
гии. Существование такого множества очевидно из того, что Е* есть
объединение замкнутых шаров радиуса га, каждый из которых — мет-
ризуемый компакт в *-слабой топологии (см. теорему 6.10.23). Тогда
функция I измерима относительно сг-алгебры, порожденной {1п}. По¬
скольку функции 1п измеримы относительно Во, то такова и I. □
Отметим, что измеримость / равносильна измеримости функций
9п ° /, где {дп} С Е* — счетное множество, разделяющее точки в Е,
ибо в качестве {1п} можно взять множество конечных линейных комби¬
наций gi с рациональными коэффициентами (пересечение этого множе¬
ства с единичным шаром в Е* плотно в этом шаре в *-слабой топологии,
что нетрудно проверить).
Для широкого класса пространств с мерами (в частности, для от¬
резка с борелевской мерой) всякое измеримое отображение со значе¬
ниями в банаховом пространстве автоматически принимает значения
в некотором сепарабельном подпространстве после переопределения на
множестве меры нуль (см. следствие 6.10.16 и теорему 7.14.25 в [26]).
Как и в случае скалярных функций, мы будем называть простыми
/i-измеримые векторные отображения с конечным множеством значе¬
ний. Для такого отображения ф со значениями yi,..., уп на дизъюнкт¬
ных множествах fli,..., fln интеграл Бохнера задается равенством
/
JQ.
ф(ш) ц(с!ш) :=	Уф(&г).
2=1
Ввиду аддитивности р это определение корректно, т.е. не зависит от
разбиения П на дизъюнктные части, на которых ф постоянно.
Последовательность простых отображений фп называется фунда¬
ментальной в среднем, если для всякого е > 0 есть такое N, что
/
Jn
||фп(и) - фк(и)|| p(du) < е при га, fc ^ N.
/п
Заметим, что при этом последовательность интегралов от фп фунда¬
ментальна в Е. Это ясно из оценки
II N
[Фп(и) - Фк(и)} М(<М < Y1 Ну" “	=
I' 2=1
II/'
\\Jn
= / 1№пМ-^кМНМ<М.
Jn
где fix,..., Qn — измеримые дизъюнктные множества, выбранные при
фиксированных пик так, что фп и фк постоянны на них (их легко
получить измельчением множеств, на которых постоянны фп и фк)-

330
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.65. Определение. Пусть Е — банахово пространство. Бу¬
дем называть отображение f:Q—>E интегрируемым по Бохнеру,
если найдется последовательность простых Е-значных отображе¬
ний фп, сходящаяся к / p-почти всюду и фундаментальная в среднем.
Интегралом Бохнера от / будем называть предел интегралов от фп
и обозначать его через / f(uj) p(duj).
Jn
Корректность определения следует из скалярного случая, ибо для
всякого I Е Е* последовательность функций 1офп сходится почти всюду
и фундаментальна в среднем.
Интегрируемое отображение / измеримо относительно р. Действи¬
тельно, из определения ясно, что найдется такое сепарабельное под¬
пространство Хо С X, что /(и) £ Хо при р-п.в. ш. Теперь измеримость
/ вытекает из доказанного выше предложения и измеримости предела
последовательности числовых измеримых функций.
6.10.66. Пример. Всякое ограниченное измеримое отображение
/ со значениями в сепарабельном банаховом пространстве Е интегри¬
руемо по Бохнеру.
Доказательство. Зафиксируем п £ 1N. Пусть {х*} — счетное
всюду плотное множество в Е. Пространство Е покрыто последова¬
тельностью шаров В^п := B(xi, 2”п). Найдем такое Nn, что
м(п\ийж1 f-4Bt,n)) < 2-п.
Положим Пп>1 := /_1(Bi>n),nnife := /_1(Вк)П)\Пп,к_ьА: < Nn. На мно-
жестве fin,fc сделаем отображение фп равным х&, а вне fin := Ufc=i &nyk
сделаем фп нулем. Получены простые отображения. При ш £ iln,k име¬
ем \\фп(и) —	^ 2”п. Значит, эта оценка выполнена на множестве
fin с /i(fi\fin) < 2~п. Следовательно, lim фп(и) = /(^) для ц-почти
п—юо
всех и). Это верно для всякого ш из множества fi' := Пт=1 U^Lт ^
полной р-меры. Пусть ||/(о;)|| < М. Тогда \\фп(ш)\\ ^ Af + 1. При п > к
и и £ fin П ilk имеем ||фп(ш) - Фк{и)|| < 21_fe, откуда следует фунда¬
ментальность {фп} в среднем.	□
6.10.67. Теорема. Пусть f — такое р-измеримое отображение
со значениями в сепарабельном банаховом пространстве Е, что функ¬
ция lo н-> ||/(^)|| интегрируема относительно р. Тогда отображение
f является р-интегрируемым по Бохнеру.
Доказательство. Для каждого п £ 1N найдем такое измеримое
множество fin, что /i(fi\fin) < 2”п и
/	||/(и;)||М<М<2-".
JQ\nn

6.10. Дополнения и задачи
331
Немного уменьшая множество ftn с сохранением этих оценок, можно
найти простые отображения фп, для которых \\^n(uj) — f(uj)\\ < 2”n
при ш £ Пп и ||^пИ|| ^ \\КШ)\\ + 1 ПРИ почти всех и. Это ясно из
доказательства предыдущего примера. Как и выше, получаем сходи¬
мость последовательности {фп} к / почти всюду и ее фундаменталь¬
ность в среднем.	□
Из определения вытекает, что для всякого интегрируемого по Бох-
неру отображения / со значениями в банаховом пространстве Е и вся¬
кого непрерывного линейного оператора Т из Е в банахово простран¬
ство Y отображение То/ также интегрируемо по Бохнеру, причем
jf г(/Н)	=	t(J /и •
Совершенно аналогично скалярному случаю доказывается следую¬
щее утверждение (задача 7.10.97).
6.10.68.	Теорема. Класс С}(р\Е) всех р-интегрируемых по Бох¬
неру отображений со значениями в банаховом пространстве Е явля¬
ется линейным пространством, на котором интеграл Бохнера лине¬
ен. Множество классов р-эквивалентности L1 (р; Е) с нормой
II/IU:= / Н/ММ«М>
JQ,
заданной посредством какого-либо представителя класса эквивалент¬
ности, является банаховым пространством. Кроме того, при всяком
р £ [1,-foo) подпространство LP^E) в Ьг(р;Е), соответствующее
отображениям с конечной нормой
\\f\\W) :=(jf ||/НГМ^))1/Р,
также является банаховым пространством.
В случае бесконечной меры построение интеграла Бохнера анало¬
гично, но в определении простого отображения дополнительно требу¬
ется, чтобы оно было равно нулю вне множества конечной меры.
В приложениях часто оказывается полезным более слабое понятие
скалярной интегрируемости или интегрируемости по Петтису.
Отображение / со значениями в банаховом пространстве Е назы¬
вают скалярно интегрируемым или интегрируемым по Петтису, если
для всякого I £ Е* функция I о / интегрируема относительно р, причем
существует такой элемент h £ Е, называемый интегралом Петтиса
от /, что интеграл функции I о / равен 1(h).
Если Е сепарабельно, то скалярная интегрируемость влечет изме¬
римость /, однако в общем случае не дает интегрируемость по Бохнеру.
Например, пусть мера р на 12 сосредоточена в точках вида пеп и —пвп,

332
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где {еп} — стандартный базис I2, причем мера такой точки есть п”2.
Отображение f(x) — х имеет нулевой интеграл Петтиса, ибо для всяко¬
го у = (г/п) £ I2 ряд с общим членом упп_1 абсолютно сходится. Однако
функция ||х|| не интегрируема относительно jjl ввиду расходимости ря¬
да с общим членом п-1.
6.10(vii). Интеграл Даниэля
Изложенное в этой книге построение интеграла основано на пред¬
варительном определении меры. Можно, однако, действовать и наобо¬
рот: меры определять с помощью интегралов. В основе этого лежит
следующий результат Даниэля. В формулировке используется поня¬
тие векторной решетки функций, т.е. такого линейного пространства
Т вещественных функций на непустом множестве $7, что тах(/, д) £ Т
для всех f,g £ Т (это равносильно замкнутости Т относительно взя¬
тия абсолютной величины). Рассматриваемые здесь векторные решет¬
ки функций являются частным случаем абстрактных векторных реше¬
ток, упомянутых в §5.6(iii). Пусть на Т задан неотрицательный линей¬
ный функционал Ь, т.е. L(f) ^ 0 при / ^ 0, причем L(fn) —> 0 для
всякой поточечно убывающей к нулю последовательности {/п} С Т.
Такой функционал называется интегралом Даниэля. Наша ближай¬
шая цель — распространить L на более широкую область определения
С так, чтобы продолжение обладало основными свойствами интеграла,
т.е. для него выполнялись аналоги теорем о монотонной и мажориро¬
ванной сходимости и С было бы полно. Пример, который можно иметь
перед глазами, — продолжение интеграла Римана с множества ступен¬
чатых или непрерывных функций. Затем мы выясним связь интеграла
Даниэля с настоящим интегралом по мере.
6.10.69. Определение. Множество S С ft назовем Ь-нулевым,
если найдется неубывающая последовательность неотрицательных
функций Д £ Т, для которой supn L(fn) < оо и sup/n(x) = -foo на S.
п
Это определение навеяно теоремой Беппо Леви.
6.10.70. Лемма. (1) Объединение счетного числа L-нулевых мно¬
жеств Sk является L-нулевым.
(й) Множество S является L-нулевым в точности тогда, ко¬
гда для всякого е > 0 найдется неубывающая последовательность
неотрицательных функций fn € Т с L(fn) < е и sup/n(x) ^ 1 на S.
п
(iii)	Если / £ Т и / > 0 вне L-нулевого множества, то L(f) > 0.
Если f,g £ Т и f < g вне L-нулевого множества, то L(f) < L(g).
Доказательство, (i) Если {/п} С Т — возрастающая последо¬
вательность с указанными в определении свойствами и b(fn) ^ М,

6.10. Дополнения и задачи
333
то при заданном е > 0 можно взять функции еМ 1/п. Если же вы¬
полнено указанное в (i) условие, то при каждом к найдется возрас¬
тающая последовательность {fk,n} С Т с L(fk,n) ^ 2-fc при всех п
и supn /куП ^ к на 5. Положим 0П = /м + -.. + /П)П. Тогда € Т,
0 < 9п < 0п+ь £(0п) < 1, supn£n = +оо на 5. (ii) При фиксирован¬
ном к возьмем функции Д>п £ Р, п £ 1N, для которых L(fk,n) ^ 2”fe
и sup/fcjn(x) = оо на S*. Положим дп — fitn Л Ь /п,п- Тогда дп £ Т,
п
L(gn) < 1 и supдп(х) = +оо на (Jfcli и^° последнее верно на каж-
п
дом Sk• (iii) Пусть 5 = {/ < 0} и с = L(/) < 0. Возьмем возрастающую
последовательность неотрицательных функций fn £ Т с L(/n) < |с|/2
и supn fn(x) = оо при х £ S. Тогда последовательность функций / + /п
возрастает, причем ее конечный или бесконечный предел всюду неотри¬
цателен, ибо функция / конечна на 5 и неотрицательна вне 5. Кроме
того, L(f + fn) < — |с|/2. Положим <рп = (/ + fn)~. Тогда (рп € Т,
причем функции у?п поточечно возрастают к нулю. Значит, L(ipn) —> О
вопреки тому, что L((pn) < L(/ -f /п) < —|с|/2. Итак, с = 0.	□
Получаем такое усиление свойства непрерывности L.
6.10.71.	Следствие. Пусть {/п} С Т и fn I 0 вне некоторого
L-нулевого множества S. Тогда L(fn) I 0.
Доказательство. Положим gn = min(/i,...,/n). Тогда дп £ Т.
Вне S имеем дп = /п. По лемме L(fn) = L(gn). Кроме того, {дп} всюду
убывает. Если Ь(дп) > с > О при всех п, то возьмем возрастающую
последовательность неотрицательных функций <рп £ Т с L(<pn) < с/2
и supn ifn(x) = оо при х £ S. Тогда функции дп—<Рп € Т всюду убывают
к неположительному пределу, ибо вне S функции дп убывают к нулю,
а на 5 мы имеем дп — <рп <9\~4>п—оо. Функции (дп — (рп)+ £ Т по¬
точечно убывают к нулю, откуда L((gn — <Рп)+)	0* Это противоречит
тому, что L((gn - <Рп)+) > L(gn - <рп) > с/2.	□
Обозначим через класс всех функций /: И —> (—оо, + оо], для ко¬
торых найдется такая последовательность неотрицательных функций
fn £ Т, что вне некоторого L-нулевого множества f(x) = lim fn(x)
71—►ОО
и fn(x) ^ fn+i(x) при всех п, причем последовательность (L(/n)} огра¬
ничена. Положим
£(/) := lim L(fn).
71—ЮО
Предел существует, ибо из утверждения (iii) доказанной выше леммы
следует, что последовательность {L(fn)} возрастает. Следующая лемма
показывает корректность определения L на £Т.

334
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.72. Лемма, (i) Если {/п} и {<jn} — две такие последова¬
тельности из Т, что вне некоторого L-нулевого множества S они
возрастают и удовлетворяют условию lim /п < lim gn, где допуска¬
ть—* оо	п—* оо
ются бесконечные пределы, то lim L(/n) < lim L(gn). В частности,
п—> оо	п—*	оо
эти пределы равны, если вне S последовательности {/п} и {дп} воз¬
растают к общему пределу. (ii) Всякая функция из & конечна вне
некоторого L-нулевого множества.
Доказательство, (i) При фиксированном п функции /п — gk вне
S убывают к неположительному пределу. Поэтому (fn — g^)+ 1 0 вне 5,
что по доказанному выше следствию дает L((/n — gk)+) i 0. Значит,
lim L(/n — gk) < 0, т.е. L(/n) ^ lim L(gk), что дает нужное неравен-
fe—юо	k—>	оо
ство. (ii) Пусть функции /п £ Т возрастают к / вне L-нулевого множе¬
ства 5, причем L(/n) < С. Положим дп = max(/i,..., fn). Тогда дп £ Т,
9п ^ 9п+ь причем дп = /п вне S. Множество Z = {х: supngn(x) = оо}
по определению является L-нулевым. При этом функция / конечна вне
множества S U Z.	□
Из доказанного следует, что если / £ &, а функция д ^ 0 рав¬
на / на дополнении L-нулевого множества, то д £ & и L(g) — L(f).
Поэтому всякую функцию из & можно сделать всюду конечной без
изменения L(/).
Через С обозначим множество вещественных функций /, предста¬
вимых в виде разности / = /i — /2 двух всюду конечных функций
/ь/2 € Для таких функций положим L(/) := L(/i) — L(/2). Кор¬
ректность определения проверяется в следующей теореме.
На С можно ввести отношение эквивалентности, объявив эквива¬
лентными функции, которые не совпадают лишь на L-нулевом множе¬
стве. Тогда множество С классов эквивалентности становится метриче¬
ским пространством с метрикой db(f,g) := L(|/ — g\). Кроме того, С —
линейное пространство, a L естественным образом определяется на С.
Ясно, что Т всюду плотно в С.
6.10.73. Теорема, (i) Функционал L на С (или С) корректно опре¬
делен и линеен, (ii) Если f £ С, то |/| £ С и |L(/)|
(iii)	Для L справедливы утверждения теорем Беппо Леви, Лебега
и Фату с L вместо интеграла: если /п £ С, /п —» / вне Ь-нулевого
множества и либо есть такая функция Ф £ С, что |/п| < Ф вне
L-нулевого множества, либо {/п} возрастает вне L-нулевого множе¬
ства и supn L(/n) <00, то f £ С и lim L(/n) = L(/); если же /п ^ 0
71—>00
и sup„ £,(/„) < 00, то f е С и !(/„) < liminfn £(/„).
Кроме того, пространство С полно относительно метрики di,.

6.10. Дополнения и задачи
335
Доказательство, (i) Легко видеть, что / + д £ & при /, <7 £ £^,
причем L(f + д) = L(f) + L{g). Если /ь/2,51,52 € £т и Д - /2 =
51 — 52? то L(/i) -f L(^2) = £(51) + £(/2), что показывает корректность
определения L на £. Так как L(af) = aL(g) при / £ £т иа)0,
то это верно для всех / £ £ и а £ 1R. Если /,5 € £ и / = /1 — /2?
9 = 91- 92, где /ъ/2,51,52 € £т, то / + д = /1 + 51 - (/2 + 52) G £
и L(/ + д) = L(fi + 51) - Ц/2 + 92) = L(f) + L(g) по уже доказанному.
Из замкнутости класса Т относительно операций (ip, ф) »—> min((/?, ф)
и (у?, -0)	шах(<^, следует замкнутость £^ относительно этих опера¬
ций. Значит, min(/i, /2) € £* и max(/i, /2) € £т, откуда
I/I = |/i - /2I = тах(/ь/2) - min(/i,/2) € £.
Наконец, для доказательства оценки |L(/)| ^ L(|/|) достаточно прове¬
рить, что Lip ^ 0, если р £ £ и р ^ 0. Тогда р = ф\ —ф2, где ^2 € £^
и ф2 ^ Фг- Поэтому можно применить утверждение (i) установленной
вьппе леммы.
(ii) Пусть {/п} С £ возрастает вне L-нулевого множества и после¬
довательность (L(/n)} ограничена. Для каждого п найдем /П}ь £ Т,
возрастаюнще к /п вне некоторого L-нулевого множества Sn. Пусть
дп = maxfe,m^n/W)fe. Тогда дп £ Т, {дп} возрастает и {L(pn)} огра¬
ничена. Поэтому / = lim дп € £+ и L(/) = lim L(gn). Ясно, что
П—КХ)	п—>оо
/п(х) —» /(х) вне L-нулевого множества и L(/) = lim L(/n), ибо
n—►оо
L(gn) < L(/„) и L(fn) = lim L(fn,k)- Теорема Фату выводится точ-
fc—► оо
но так же, как и в случае интеграла Лебега. Пусть fn(x) —> /(х) и
|/п(я)| ^ Ф(х) вне L-нулевого множества, где /п, Ф £ £. Положим
:= Ык^п fk(x), фп(х) := supfc>n fk(x). Тогда вне L-нулевого мно¬
жества имеем ipn ^ /„ < фп, (рп > —Ф, i/>n < Ф, <£>„ f /, Фп I /• Поэтому
f € Си L(f) = lim L(tpn) = lim Ь(фп), что дает L(f) = lim L(fn).
n—►ОО	n—►ОО	71—► ОО
Пусть последовательность {/п} С £ фундаментальна в метрике db-
Перейдя к подпоследовательности, считаем, что db(fn,fn+i) ^ 2~п.
Как показано выше, ряд из |/n — /n-i|, где /о := 0, сходится вне
некоторого L-нулевого множества S к элементу Ф £ £. Тогда суммы
fn = Y2k=i(fk — fk-i) сходятся к конечному пределу / вне 5. Так как
|/п| < Ф, заключаем, что {/п} сходится к / в £.	□
Интеграл Даниэля обладает важнейшими свойствами интеграла
Лебега, и потому возникает вопрос, нельзя ли его задать как инте¬
грал по счетно-аддитивной мере. Ведь некоторая мера автоматически
возникает. Действительно, обозначим через 7Zl класс всех множеств
Е £ $7, для которых 7# £ £, и положим v(E) := £(/#). Из доказан¬
ной теоремы сразу следует, что 1Zl является ^-кольцом и мера v на

336
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
нем счетно-аддитивна. Однако в общем случае интеграл по этой мере
может не совпадать с L. Как показывает следующий пример, без допол¬
нительных предположений не всегда возможно представить L в виде
интеграла Лебега по какой-либо счетно-аддитивной мере.
6.10.74.	Пример. Пусть Т — множество всех конечных веще¬
ственных функций / на [0,1] со следующим свойством: для некоторого
числа а = а(/) множество {t: f(t) ф а(\ -f £)} имеет первую кате¬
горию. Положим L(f) := а. Тогда Т — векторная решетка функций
с естественным отношением порядка из н[0 L — неотрицательный
линейный функционал на JF, причем L(fn) —> 0 для всякой поточечно
убывающей к нулю последовательности функций fn £ Т, однако даже
на подпространстве всех ограниченных функций в Т функционал L
нельзя задать в виде интеграла по счетно-аддитивной мере.
Доказательство. Заметим, что для любой функции f £ Т име¬
ется лишь одно число а с указанным свойством, ибо отрезок не яв¬
ляется множеством первой категории. Поэтому функция L корректно
задана. При / £ Т положим Ef := {t: f(t) ф а(1-И)} для соответству¬
ющего / числа а. Если /,</ £ Т и а = а(/), /3 = а(д) — соответству¬
ющие числа, то множество Ef U Ед имеет первую категорию и вне его
f(t)+g(t) = (a-f/3)(1-И). Для всякого скаляра с имеем cf(t) = ca(l-K)
вне множества Е/.чИтак, Т — линейное пространство. Легко видеть,
что |/| £ Т при f £ Т. Из сказанного ясно также, что функция L линей¬
на. При / ^ 0 имеем L(f) > 0. Если функции /п £ Т поточечно убыва¬
ют к нулю, то объединение множеств Efn является множеством первой
категории. Поэтому найдется такая точка t, что L(fn) = fn(t)/(l -f t)
сразу для всех п, откуда lim L(fn) = 0. Предположим теперь, что
71—► ОО
существует мера // на	принимающая	значения	в [0,-foo], такая,
что всякая ограниченная функция / из Т входит в £*(//) и L(f) сов¬
падает с интегралом / по мере //. Функция ф: t 1 +1 входит в Т,
откуда вытекает, что все открытые множества из [0,1] входят в g(T).
Ввиду оценки ф ^ 1 получаем //([0,1]) < Е(ф) = 1. Таким образом,
ограничение // на В([0,1]) является конечной мерой. Поэтому найдется
такое борелевское множество Е первой категории, что //([0,1 ]\Е) = 0.
Действительно, можно взять объединение нигде не плотных компактов
Кп с //([0, l]\ifn) < 1/п, которые строятся путем удаления достаточно
малых интервалов с центрами в точках всюду плотного счетного мно¬
жества //-меры нуль. Рассмотрим следующую функцию /: f(t) = 0 при
t £ Е, f(t) = 1 + t при t ф Е. Ясно, что / £ Т и L(f) = 1. С другой
стороны, интеграл / по мере // равен нулю — противоречие.	□
В этом примере мера г/, порожденная L на 5-кольце 1Zl, тожде¬
ственно равна нулю. В самом деле, здесь L-нулевые множества — это

6.10. Дополнения и задачи
337
множества первой категории, ибо если a(fn) < 1/3, то fn(t) < 2/3 вне
множества первой категории. Значит, класс С совпадает с Т. Индика¬
тор множества может входить в Т лишь при а = 0, т.е. 7Zl состоит
лишь из множеств первой категории, причем они являются нулевыми.
Следует иметь в виду, что мера v может оказаться нулевой и в том
случае, когда L задается как интеграл по некоторой ненулевой мере р.
Например, возьмем в качестве Т одномерное линейное пространство,
порожденное функцией f(t) = t на (0,1), а в качестве L возьмем ин¬
теграл Римана, т.е. L(af) = а/2. Тогда 7Zl состоит лишь из пустого
множества и и = 0.
Теперь мы установим, что добавление одного просто формулируе¬
мого условия, выполняющегося во всех приложениях, приводит к тому,
что интеграл Даниэля задается интегралом Лебега по некоторой мере.
Таким условием является условие Стоуна:
Это условие тривиальным образом выполнено, если решетка функций
Т содержит 1. Содержательным примером решетки с условием Стоуна,
но без 1, является пространство непрерывных функций с компактны¬
ми носителями на IRn. Пространство Т из предыдущего примера и его
подпространство, состоящее из ограниченных функций, очевидным об¬
разом не удовлетворяют условию Стоуна.
6.10.75.	Теорема. Пусть Т удовлетворяет условию Стоуна и на
Т задан неотрицательный линейный функционал L, причем L(fn) —> 0
для всякой поточечно убывающей к нулю последовательности функ¬
ций fn £ Т. Тогда на o-(F) существует такая счетно-аддитивная
мера р со значениями в [0, +оо], что Т С Сг(р) и выполнено равен-
Кроме того, С = Ьг(р) и мера р единственна на а-кольце, порожден¬
ном множествами вида {/ > с}, где f £ Т и с > 0. Наконец, если
1 € Т, то мера (л конечна.
Доказательство. Построенная выше мера и на J-кольце 7Zl од¬
нозначно продолжается до счетно-аддитивной меры р, (со значениями
в [0, +оо]) на сг-кольце 7££, порожденном 1Zl- Кроме того, она продол¬
жается (но уже не обязательно единственным образом) и до счетно-
аддитивной меры р на сг-алгебре, порожденной 7Zl- Покажем, что по¬
следняя совпадает с сг-алгеброй сг(£), порожденной С. Для этого заме¬
тим, что из условия Стоуна легко вывести, что min(/, 1) е С для всех
/ £ С. Это дает включение Ес := /_1(с, +оо) £ Иь для всех с > 0
и f £ С. Действительно, достаточно проверить это для с = 1. Тогда
функции (рп := min(l, nf—n min(l, /)) £ С поточечно возрастают к 1ех ,
min(/, 1) £ Т для всех f £ Т.
ство
(6.10.9)

338
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
причем 0 < (fin < 1 и (рп ^ |/|, откуда Е((рп) < L(\f |). Следовательно,
/_1 ((а, /?]) € при 0<а</Зи/£ С. Из этого следует, что функции
из С измеримы относительно сг-алгебры, порожденной Кь- Пусть / £ С
и 0 < / ^ 1. Положим fk := Х^1 n2-fe7(n2-*,(n+i)2-*]- Тогда fk е С,
fk-> f И /fc < /. Поэтому
[ fkd» = L(fk)^L(f).
Jn
Следовательно, функция / интегрируема относительно //, а ее инте¬
грал равен L(f). Теперь для всякой неотрицательной функции f £ С
мы получаем min(/, п) £ L1 (//), а интеграл min(/, п) равен L(min(/, п)),
что дает //-интегрируемость / и равенство ее интеграла L(f) по теореме
Беппо Леви для интеграла и для L. Тогда это остается верно и для всех
f £ С. Разумеется, cr(.F) с <т{С) и Т С £. Единственность представ¬
ляющей меры на сг-кольце, порожденном множествами вида {/ > с},
где / £ Т и с > 0, ясна из доказательства. Наконец, если 1 £ Т, то
//(fi) = L( 1) < оо.	□
На а(^) мера // не всегда единственна. Например, если Т — про¬
странство всех конечных интегрируемых по Лебегу функций / на луче
[О, + оо) с /(0) = 0 и L — интеграл Лебега, то в качестве // можно взять
любую меру А + с&о, где А — мера Лебега ис^О.
Типичные применения метода Даниэля-Стоуна связаны с продол¬
жением функционалов на пространствах непрерывных функций.
6.10.76.	Теорема. (Теорёма Рисса) Пусть К — компакт, на
С (К) задан линейный функционал L, причем L(f) ^ 0 при f > 0. То¬
гда на а-алгебре, порожденной всеми непрерывными функциями на К,
существует такая неотрицательная конечная мера //, что
ад= f f(x)p(dx), f£C{K).
Jk
Доказательство. Из условия имеем ]L(f)\ < L(l)maxa; |/(х)|.
Остается заметить, что если функции /п £ С (К) поточечно убывают
к нулю, то по теореме Дини max*; \fn{x)\ ^0и потому L(fn) —> 0. □
Отметим, что мера // однозначно продолжается до меры на боре¬
левской сг-алгебре В(К) (последняя в случае неметризуемого К может
быть шире сг-алгебры Ва(К), порожденной С(К)) со следующим свой¬
ством регулярности: fi{B) = sup{/z((7): С С В компактно} для всех
борелевских множеств В С К. Доказательство можно прочитать в [26,
гл. 7]. Если К метризуем, то В(К) = Ва(К).
Более общий пример (с возможно бесконечной мерой) получится,
если рассмотреть положительный функционал на пространстве Cq(T)

6.10. Дополнения и задачи
339
всех непрерывных функций с компактными носителями на локально
компактном пространстве Т. Например, таким способом можно про¬
должать интеграл Римана до интеграла Лебега на Шп или на многооб¬
разии. Из этого, кстати, видно, почему при определении интеграла на
О привлекались L-нулевые множества: если брать только поточечные
пределы непрерывных функций, то не всякая интегрируемая по Лебегу
функция будет почти всюду равна какой-либо функции из полученно¬
го класса. В заключение отметим, что если 1 € Т, то представление
(6.10.9)	имеет место и без предположения о неотрицательности L. Для
этого функционал L с условием L(fn) —» 0 при /п [ 0 разлагается в раз¬
ность двух неотрицательных функционалов с таким же условием (см.
теорему 6.10.61 и [26, §7.8]).
6.10(viii). Интерполяционные теоремы
Здесь мы докажем теорему М. Рисса и Торина об интерполяции —
один из важнейших результатов теории интерполяции линейных опера¬
торов. Пусть р и v — неотрицательные меры на измеримых простран¬
ствах (fti, Лх) и (Пг^Лг)*
6.10.77.	Теорема. Пусть Ро,<7о,Ръ<71 € [1,-foo], причем ро ф р\
и Qo Ф Qi • Пусть дано линейное отображение
где пространства комплексны, причем
I|t/||l«om ^ M)||/||lpo(M) и \\т/\\ЬЯ1^ < Mi||/||LPi(/i).
Тогда Т продолжается до оператора между Lp(p) и Lq{v) с нормой
М ^ М^-вМ? при условии, что 0 < в < 1 и
1 _ l-g в_	1 _ 1-0	0_
Р Ро Pi ’	Q qo	qi'
Доказательство. Ясно, что Т продолжается до операторов из
LPo(p) в Lqo{v) и из LPl (р) в Lqi (z/) с нормами не более М$ и М\. Точка
(р 1 ^ q 1) лежит на отрезке, соединяющем точки (pg1,д^-1) и (pf1,^1)
в плоскости. Этим объясняется термин «интерполяция». Если мера ко¬
нечна и ро < Ръ т° Р-1 лежит между р^1 и pg1 и потому LP(iT) лежит
между LP1 (р) и LP° (р), т.е. Т можно сузить с LP° (р) на 1^(р). Однако не
является очевидным, что LP(p) будет отображаться в Lq(u). Заметим,
что 1<р<оои1<^<оо. Поэтому дальнейшие рассмотрения можно
проводить с простыми интегрируемыми функциями. При 0 < Re z < 1
положим
1	  1	—	Z	Z	1	_	1	—	Z	Z
p{z) ~ Ро + Pi ’	q'(z) ~ q'o	+ q{ ’
Ф) = \f\pMz)f/\f\,	Ф) = I 9\я'/я'(2)9/\9\,

340
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
где /ид — простые интегрируемые функции на и Яг соответственно,
причем Н/Цгр^) = \\g\\L4'{l/) = 1- Тогда функция
аналитична в открытой полосе 0 < Re 2 < 1 и непрерывна и ограничена
в ее замыкании. Непосредственные вычисления показывают, что
ЫИ)\\ЬР0(„) = IM1 +it) || LPlfa) = II II £<,(„) = HlKl +»*)ll */!(„) = 1-
Ввиду условия |^(г£)| < Mo, |F(1 + it)| < M\. При этом F(9) есть
интеграл от (Tf)g по мере г/, ибо ср(в) = /, ф{9) = д. Так как норма Т
как оператора из Ьр{р) в Lq{v) есть точная верхняя грань F(9) по
/ид указанного вида, то для получения нужной оценки достаточно
сослаться на теорему Адамара о трех прямых из комплексного анализа,
которая дает оценку \F(9 + it)| < M<J-0Mf при всех t £ JR.	□
В вещественном случае это же верно с оценкой М ^ 2Mq~6 M%.
6.10.78.	Пример. Если оператор Т имел конечные нормы в про¬
странствах £(Lp(/i), Lp(v)) и C{Lq{ii), Lq(i/)) с р < q, то конечны и нор¬
мы в £(Lr(/i), Lr(v)) с г £ [р, q\. Если же Т ограничен как отображение
между Z/1 (/х) и Ll(v)i а также между L°°(/jl) и Ь°°(у), то Т имеет ко¬
нечную норму в C(Lp(ii),Lp{v)) для всех р £ (1,оо). Эта норма не
превосходит 1, если таковы были нормы на L1 и на L°° (над С).
Другие результаты, в том числе интерполяционную теорему Мар-
цинкевича, см. в Берг, Лёфстрём [20], Крейн, Петунии, Семенов [119],
Трибель [211], Bennett, Sharpley [276].
6.10.79° Привести пример разрывной функции /: 1R1 —> Н1 с замкну¬
тым графиком.
6.10.80° Пусть X, Y — нормированные пространства и lim Апх = Ах
для всех х £ X, где А,Ап £ £(Х, Y). Доказать, что ||А|| ^ limsupn_,oc ||АП||,
и привести пример, когда равенства нет.
6.10.81° Пусть X — нормированное пространство и / £ X*, ||/|| = 1.
Доказать, что для всякого х выполнено равенство dist(aj,Кег/) = \/(х)\.
6.10.82.	Пусть Y — замкнутое подпространство банахова пространства
X и жо £ X\Y. Доказать, что существует такой функционал I £ X*, что
\\l\\ = 1, 1\у = 0 и l(x0) = dist (жо, К).
Указание: пусть d = dist(ajo,y); на линейной оболочке Y и хо задан
функционал 1{у + txо) = dt. Ясно, что 1\у = 0. Так как ||у + txо|| ^ d\t\,
то \\l\\ ^ 1. Возьмем {уп} С У с \\уп — а?о|| —► d, что дает нам соотношения
Задачи

6.10. Дополнения и задачи
341
d = \1(хо) — /(2/п)| ^ \\1\\ ||а?0 — УпII —► d\\l\\, откуда ||/|| = 1. Теперь продолжим
функционал I на X с сохранением нормы.
6.10.83. Пусть У — конечномерное подпространство бесконечномерного
банахова пространства X. Доказать, что для всякого € > 0 найдется такой
вектор h € X с \\h\\ = 1, что ||у|| ^ (1 + £)||у + Л/г.|| при всех у eY и А Е IR1.
6.10.84. Пусть на линейном пространстве Е заданы две неэквивалент¬
ные нормы. Доказать, что сопряженные к Е относительно этих норм раз¬
личны как множества линейных функций.
Указание: если шар U по первой норме pi не ограничен по второй нор¬
ме Р2, то он не является слабо ограниченным в (Е,р2) и потому существует
такой непрерывный по норме р2 функционал Z, что supuGt/ \1(и)\ = оо.
6.10.85.° Пусть Sn — оператор в Ьг[0,27т], сопоставляющий функции
/ частичную сумму Sn(f) ее ряда Фурье. Доказать, что supn||5n|| = оо.
Вывести из этого, что существуют функции в £*[0,27т], ряды Фурье которых
не сходятся в L1.
6.10.86.° Пусть X и Y — банаховы пространства, А е С(Х, У), и пусть
А : Х/Кет А —> У, А[х] := Ах, — индуцированный отображением А оператор
на фактор-пространстве, (i) Доказать, что ||А|| = ||А||.
(ii)	Доказать, что \\(А)*у*\\ = ||А*у*||, у* G Y*.
6.10.87? Пусть X и У — нормированные пространства, Jx : X —► X** и
Jу : У —► У** — канонические вложения. Доказать, что для всякого операто¬
ра Т Е С(Х, У) верно равенство T**JX = Т. Значит, T**Jx{X) С JY (У)-
6.10.88. Доказать, что ко всякому Z € С[0,1]* сходится в *-слабой топо¬
логии последовательность функционалов вида х »-» ]СГ=1	гДе	^	€	[0>
и Сг — скаляры.
Указание: Z задается ограниченной борелевской мерой /л; разделить
[0,1] на части h = [0,1 /п), /2 = [1/тг-, 2/п) и т.д. и взять U = г/гг, с* = ^(^0-
6.10.89. Пусть С — выпуклое уравновешенное множество в нормиро¬
ванном пространстве X и / — линейная функция на X, причем сужение /
на С непрерывно в нуле. Доказать равномерную непрерывность / на С.
6.10.90. Пусть X и У — нормированные пространства, причем X полно,
Т Е С(Х, У) — открытое отображение. Доказать, что У полно.
6.10.91. (i) Доказать, что существует разрывное линейное отображе¬
ние, которое взаимно однозначно отображает нормированное пространство
на банахово пространство и имеет замкнутый график, (ii) Доказать, что
существует разрывное линейное отображение, которое взаимно однозначно
отображает банахово пространство на нормированное пространство и имеет
замкнутый график.
6.10.92. Может ли непрерывный линейный оператор отображать непол¬
ное нормированное пространство на полное взаимно однозначно?
6.10.93. Пусть X и У — банаховы пространства и Т £ C(X,Y). Пока¬
зать, что если Т переводит всякое ограниченное замкнутое множество в за¬
мкнутое, то Т{Х) замкнуто. Построить пример, показывающий, что замкну¬
тости образов замкнутых шаров может быть недостаточно для этого.

342
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.94. Пусть последовательность {жп} в нормированном пространстве
фундаментальна по норме и сходится слабо к некоторому вектору х. Дока¬
зать, что {жп} сходится к ж по норме.
Указание: заметить, что это верно в полном пространстве, и перейти
к пополнению.
6.10.95. Пусть X — нормированное пространство, / € X*, ||/|| = 1.
Доказать, что / достигает максимума на единичной сфере в точности то¬
гда, когда в /_1(1) есть вектор минимальной нормы. Это равносильно также
тому, что в Кег f есть ближайший элемент к какому-либо вектору вне Кег /.
6.10.96. (i) Найти пример двух замкнутых линейных подпространств
#i и Яг гильбертова пространства, для которых Н\ П Яг = {0}, но алгебра¬
ическая сумма Hi и Яг не является замкнутой (см. также задачу 5.6.53).
(ii)* Доказать, что такой пример существует для всякого бесконечномер¬
ного банахова пространства.
Указание: (i) пусть оператор Т в I2 задан формулой Тх = (2~пхп),
Hi — график Т в Z2 ФZ2, Яг := /20{О} С /20/2; тогда Hi и Яг обладают
требуемыми свойствами, (ii) См. [33, с. 234].
6.10.97. Пусть Y и Z — замкнутые подпространства банахова простран¬
ства X и Y П Z = 0. Доказать, что сумма Y + Z замкнута в точности тогда,
когда dist(5y, Sz) > 0, где SY и Sz — единичные сферы в Y и Z.
6.10.98. С помощью теоремы Хана-Банаха построить такой непрерыв¬
ный линейный функционал / на множестве всех ограниченных функций на
отрезке [0,1], что действие I на непрерывных функциях совпадает с интегра¬
лом Римана, но существует борелевское множество Я, для которого 1(1 в) не
совпадает с лебеговской мерой В.
6.10.99. Пусть X и Y — банаховы пространства и А £ £(X,Y). До¬
казать, что A*(Y*) — X* в точности тогда, когда А имеет нулевое ядро
и замкнутый образ.
6.10.100. Пусть X и Y — банаховы пространства, причем X рефлек¬
сивно. Доказать, что для всякого оператора А 6 £(Х, Y) образ замкнутого
шара замкнут.
Указание: использовать слабую компактность шара в X.
6.10.101. Пусть на С[0,1] задана такая банахова норма, что из сходи¬
мости по ней следует поточечная сходимость. Доказать, что эта норма экви¬
валентна обычной sup-норме.
6.10.102. (Теорема Шура) Доказать, что в пространстве 11 всякая слабо
сходящаяся последовательность сходится по норме. Вывести из этого, что I1
и L1 [0,1] не являются линейно гомеоморфными.
Указание: рассмотреть случай слабой сходимости к нулю и рассуждать
от противного.
6.10.103. (i) Доказать, что в I1 нет подпространств, линейно гомеоморф-
ных I2, (ii) Пусть А: 11 —> I2 — непрерывная линейная сюръекция из тео¬
ремы 6.10.8. Доказать, что в 11 нет подпространств, изоморфных I1 /Кет А.
В частности, I1 не изоморфно /2х (/1/КегА).

6.10. Дополнения и задачи
343
Указание: в (i) использовать теорему Шура и слабую сходимость к ну¬
лю векторов стандартного базиса в Z2; вывести (ii) из (i) и того факта, что Z2
изоморфно I1/Кет А.
6.10.104.° Показать, что единичный шар в Z/1 [0,1] не имеет крайних
точек (см. §5.4).
6.10.105. Доказать, что пространства со 0 со и со изоморфны (т.е. ли¬
нейно гомеоморфны), но не изометричны.
6.10.106. Пусть X и У — банаховы пространства и Т € С(Х, У) —
такой взаимно однозначный оператор, что Т* — изометрия. Верно ли, что
Т — изометрия?
6.10.107. Показать, что на пространствах Ьр[0,1], 1 ^ р < оо, не су¬
ществует линейного лифтинга, т.е. нельзя так выбрать представителя Lf из
каждого класса эквивалентности / G Lp[0,1], что L(f -f g)(t) = Lf(t) + Lg(t)
и L(cf) = cf(t) для всех f,g G Lp[0,1], всех с € IR1 и всех t G [0,1].
Указание: если L — линейный лифтинг на Lp[0,1], 1 ^ р < оо, то для
каждого t функционал lt(f) = L(f)(t) на Lp[0,1] линеен и неотрицателен на
неотрицательных функциях, откуда согласно предложению 6.10.55 следует
его непрерывность. Поэтому функционал It задается функцией gt G Lp [0,1].
Для каждого п разделим [0,1] на п промежутков Jn,i,..., Jn,n точками к/п.
Пусть Еп>к ~ {х: L(Ijn k)(x) = 1} и Еп := Ufc=i Еп,к- Тогда А(Еп) = 1 по
свойствам лифтинга. Существует точка t G D^Li ^п- Для каждого п имеется
j(n) с t е	т.е.	L(Ijn	jin))(t) = 1. Поскольку L(Ijn k) = Ijn k п.в., то
для всех к имеем
ЦД,.*)(«) = Г Ijn,k(s)gt(s)ds < n-1/p\\gt\\LP,,
Jo
что ведет к противоречию.
6.10.108. Пусть L — линейное подпространство нормированного про¬
странства X. Доказать, что всякая норма на L, эквивалентная исходной,
может быть продолжена до нормы на X, эквивалентной исходной.
Указание: пусть U — единичный шар по исходной норме, V — еди¬
ничный шар в L по эквивалентной норме. Можно считать, что U П L С V.
В качестве искомого продолжения взять функционал Минковского выпуклой
оболочки U U V.
6.10.109. Распространить теорему Голдстайна 6.7.6 на случай сферы:
единичная сфера банахова пространства X плотна в единичной сфере X**
в топологии а(Х**,Х*).
6.10.110° Доказать, что всякое сепарабельное банахово пространство
линейно изометрично замкнутому подпространству в 1°°.
6.10.111.° Пусть /Сп € С([а, 6J2) и Кп — оператор с ядром /Сп в С[а, 6].
Доказать, что Knf —> / для всякого / G С [а, Ь] в точности тогда, когда
1) Knf —> / для / из плотного множества, 2) sup
max
f \JCn(x,t)\dt < оо.
J а

344
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.112. Доказать, что на всяком сепарабельном банаховом простран¬
стве есть эквивалентная строго выпуклая норма.
Указание: вложить это пространство в качестве замкнутого подпро¬
странства В С[0, 1] И ПОЛОЖИТЬ ||ж||о = ||®||с[0,1] + INIl2[0,1]-
6.10.113. Пусть X — банахово пространство и Y — его n-мерное под¬
пространство. Доказать, что существует линейная проекция Р: X —► Y, для
которой ||Р|| ^ п.
6.10.114. (Р. Филлипс) Доказать, что со не является дополняемым в 1°°.
Указание: см. [251, §2.5].
6.10.115. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. Доказать,
что из всякой ограниченной последовательности в X можно выделить слабо
сходящуюся подпоследовательность.
6.10.116. Пусть К — слабо компактное множество в банаховом про¬
странстве X, причем X* содержит счетное множество {/п}, разделяющее
точки К. Показать, что (К,а(Х,Х*)) — метризуемый компакт.
Указание: можно считать, что ||/n|| ^ 1; взять стандартную метрику
d(x,y) :=	2~n\fn(x	— у)| и проверить, что тождественное отображение
из (К,а(Х,Х*)) в (K,d) непрерывно, поэтому оно — гомеоморфизм.
6.10.117. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что шар в X*
метризуем в *-слабой топологии тогда и только тогда, когда X сепарабельно.
6.10.118. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство, причем
X* сепарабельно по норме, (i) Доказать, что существует слабо сходящаяся
к нулю последовательность векторов хп € X с ||жп|| = 1. (ii) Доказать, что
существуют слабо сходящаяся к нулю последовательность векторов хп G X
с ||хп|| = 1 и *-слабо сходящаяся к нулю последовательность функционалов
In £ X С In(^n) = 1*
6.10.119. Пусть X — банахово пространство и С С X* — *-слабо ком¬
пактное множество, (i) Показать, что если С сепарабельно по норме, то за¬
мыкание по норме выпуклой оболочки С также *-слабо компактно, (ii) По¬
казать, что без предположения о сепарабельности С заключение (i) может
быть неверно, взяв в качестве С множество дираковских мер St в С[0,1]*.
6.10.120. Пусть X — метризуемый компакт и /: X —► Y — непрерывное
отображение, причем Y хаусдорфово. Доказать, что компакт f(X) также
метризуем.
Указание: пространство С(Х) сепарабельно, a C(f(X)) вкладывается
в него изометрично посредством отображения <р »—► <pof. Значит, C(f(X))
тоже сепарабельно, что дает метризуемость f(X).
6.10.121. Пусть X и Y — банаховы пространства и А,В е £(X,Y).
Доказать, что следующие условия равносильны:
(i)	А*(У*) С В*(У*), (ii) есть такое число к, что ||Аг|| ^ АгЦВжЦ, х G X.
Указание: если такое к есть, то для всякого у* G Y* функционал / на
В(Х), заданный формулой f{Bx) := у*(Ах), корректно определен и огра¬
ничен, ибо |у*(Ах) ^ \\у*\\ ||Аг|| ^ к\\у*\\ ||Вж||. По теореме Хана-Банаха он

6.10. Дополнения и задачи
345
продолжается до z* <Е У*. Тогда ETz* = А*у*, откуда A*{Y*) С В* (У*). Если
же дано это включение, то А* = В* С, где оператор В* : Y* /КетВ* —► X* по¬
рожден оператором В*, а, С — некоторый непрерывный оператор (см. теоре¬
му 6.10.5). Тогда А** = С*(В*)*, что дает нужную оценку с учетом равенств
\\А»\\ = IIА*II = ЦАЦ, 11(541 = ll^ll = II-В*II = Mil И задачи 6.10.86.
6.10.122. Пусть X и Y — банаховы пространства, А, В £ С(Х, У), при¬
чем А(Х) С В(X). (i) Доказать, что существует такое число к, что
MVIIx. OIMVII*., у*еГ.
(ii) Показать, что А**(Х**) С В*'{Х").
(iii) Показать, что если X рефлексивно, то оценка в (i) равносильна вклю¬
чению А(Х) с В(Х).
Указание: (i) при тех же обозначениях, что и в указании к предыдущей
задаче, имеем А = ВС, откуда \\А*у*\\х. = \\С*В*у*\\х* ^ ||С*|| \\В*у*\\х*
в силу задачи 6.10.86. Теперь (ii) и (iii) следуют из предыдущей задачи.
6.10.123. Пусть X и Y — банаховы пространства, А 6 С(Х, Y), при¬
чем А(Х) = Y и Y сепарабельно. Доказать, что в X есть такое замкнутое
сепарабельное подпространство Z, что A(Z) = У.
Указание: взять счетное множество {уп}, плотное в единичном шаре
из У, с помощью замечания 6.2.4 выбрать ограниченное счетное множество
{хп} С X с Ахп — Уп и взять в качестве Z замыкание линейной оболоч¬
ки {хп}\ применить лемму 6.2.1.
6.10.124! Доказать, что пространство С[0,1] можно отобразить линейно
и непрерывно на со, но нельзя на I1. Вывести из этого, что I1, вложенное
изометрично в С[0,1], не является дополняемым.
Указание: первое утверждение ясно из следствия 6.10.48; второе см.
в [343, с. 274]. Отметим, что всякое бесконечномерное дополняемое замкну¬
тое подпространство в С[0,1] содержит дополняемое подпространство, изо¬
морфное со (см. [343, предложение 5.6.4]. Имеется недоказанная гипотеза,
что всякое бесконечномерное дополняемое подпространство X в С[0,1] изо¬
морфно пространству С (К) для некоторого метрического компакта К]Х. Ро¬
зенталь доказал, что если X* несепарабельно, то это верно с К = [0,1].
6.10.125. (i) Доказать, что в L1 [0,1] есть дополняемое подпространство,
изометричное I1, (ii) Доказать, что L1 [0,1], вложенное изометрично в С[0,1]
в качестве замкнутого подпространства, не является дополняемым.
Указание: (i) взять функции, постоянные на [2-1_n, 2_n); (ii) приме¬
нить (i) и предыдущую задачу. Согласно недоказанной гипотезе, всякое бес¬
конечномерное дополняемое подпространство X в L1 [0,1] изоморфно либо I1,
либо Z/1 [0,1].
6.10.126.* (i) (И. Каплански) Пусть А — множество в банаховом про¬
странстве X и точка х входит в замыкание А в слабой топологии. Доказать,
что х входит в слабое замыкание некоторого счетного подмножества в А.
(ii)	Пусть А — подмножество слабо компактного множества в банахо¬
вом пространстве X и точка х входит в замыкание А в слабой топологии.

346
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Доказать, что х является пределом некоторой последовательности {ап} С А
в слабой топологии.
Указание: см. [343, теоремы 4.49 и 4.50, с. 129-130].
6.10.127. (Е.А. Лифшиц [580]) Множество W в банаховом простран¬
стве X называется идеально выпуклым, если ряд	апХп сходится в X
для всякой ограниченной последовательности {хп} С W и всякой последова¬
тельности чисел ап ^ 0 с	ап	=	1-
(i) Доказать, что в конечномерном пространстве выпуклое множество
идеально выпукло.
(ii) Привести пример выпуклого множества, не являющегося идеально
выпуклым.
(iii) Доказать, что если выпуклое множество замкнуто или открыто, то
оно идеально выпукло.
(iv) Доказать, что если множество W идеально выпукло и Т: Z —> X —
непрерывный линейный оператор из банахова пространства Z, то T~1(W)
идеально выпукло.
(v) Доказать, что если множество W идеально выпукло и ограничено,
а Т: X —► Y — непрерывный линейный оператор в банахово пространство Y,
то T(W) идеально выпукло.
(vi) Пусть множество W идеально выпукло. Доказать, что внутренность
W совпадает с внутренностью замыкания W, а также с алгебраическим
ядром W и алгебраическим ядром замыкания W.
(vii) Вывести из предыдущих результатов теорему Банаха-Штейнгауза
и теорему об открытом отображении.
6.10.128. Доказать, что формула
6.10.129.	(Теорема Хольмгрена) Пусть /ли v — вероятностные меры на
пространствах Hi и Пг и К — такая /х0 ^-измеримая функция, что
Ci = esssup3 |/C(s, t)| v{dt) < оо, C2 = esssupt \JC(s,t)\ /x(ds) < 00.
ограничен и \\K\\ ^ C^2C^2.
Указание: пусть C2 > 0 и с = Cj^C^1^2; для х £ С°°(/л) и у € С°°(у)
таких, что ||®||l2(m) ^ 1 и \\y\\L2{u) ^ 1, имеем
задает ограниченный оператор в Ь2[0,1].
Доказать, что оператор
I [ f K(8,t)x(8)y(t)p(ds)v(dt)\^ f f |£(s,t)l[2 1c|j/(t)|2+
+ 2-1c-1|a;(s)|2] /x(ds) v(dt) < 2_1cC2 + 2~1c~1Ci = C1/2^2,
откуда следует нужная оценка.

6.10. Дополнения и задачи
347
6.10.130.	(Тест Шура) Пусть ц и v — неотрицательные меры на изме¬
римых пространствах Т и S, К ^ 0 — измеримая функция на Т х S, ip > О
и ф > 0 — такие измеримые функции на Т и S соответственно, что
6.10.131.° Даны последовательности чисел ап > 0 и Ъп > 0, причем Ьп
убывают к нулю и {апЬп} имеет конечный предел. Оператор Т: С[0,1] —> с
задан формулой
Доказать, что К компактен в точности тогда, когда апЬп —► 0.
6.10.132° Пусть X и Y — нормированные пространства и А: X —► Y —
линейное отображение, непрерывное из слабой топологии в топологию нор¬
мы. Доказать, что А{Х) конечномерно.
6.10.133. Пусть Е — замкнутое линейное подпространство в С[0,1], при¬
чем Е С С1 [0,1]. Доказать, что dim jEJ < оо.
Указание: заметить, что С^О, 1] входит в образ компактного оператора
и потому не может содержать бесконечномерных замкнутых подпространств.
6.10.134. Пусть X и У — банаховы пространства и А е С(Х, У). До¬
казать, что компактность оператора А равносильна следующему условию:
найдутся такие ln € Y* с ||/п|| —+ 0, что ||Аг|| ^ supn |/п(ж)| при всех х G X.
Вывести из этого, что компактность А равносильна существованию огра¬
ниченной последовательности {fn} в X* и последовательности скаляров Лп
с Ап —* 0 и ||Аг|| ^ supn |Ап/п(ж)| при всех х G X.
Указание: если A G )C(X,Y), то A* G 1C(Y*,X*). Пусть W — единич¬
ный шар в Y*. Тогда A*(W) содержится в замыкании выпуклой оболочки
последовательности 1п —* 0 (предложение 5.5.7). Поэтому для всякого х € X
имеем
где а и /3 — числа. Доказать, что оператор
ограничен и \\К||2 ^ а/З. Вывести из этого предыдущую задачу.
Указание: заметить, что
||**|| W) ^ LU. X(t,s)tp(s)u(ds)\( f К (Ь,8)ф(з) 1\x(s)\2 v(ds)\ ^
Jt \Js	/	\Js
^ a ip(t) ^ K,{t, а)ф(а)	1'(ds)^ n(dt) ^ otf3\\x\\2L2{v).
||Ar|| = sup \ f(Ax)\ = sup \l(x)\ ^ sup |/п(ж)|.
few
ieA*(w)
n

348
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
Обратно, если выполнено указанное условие, то S = {Zn} U {0} — компакт
в У*. Образ единичного шара U из X вполне ограничен как множество в C{S)
по теореме Арцела-Асколи, ибо \1{Ах) — 1'(Ах)\ ^ ||А|| ||I — V|| при ||х|| ^ 1,
что означает равномерную липшицевость элементов Ах как функций на S.
Оценка из условия показывает, что || Ах\\ оценивается через норму Ах как эле¬
мента C(S). Значит, множество A{U) вполне ограничено в Y. Второе утвер¬
ждение задачи следует из первого.
6.10.135. Пусть X и Y — банаховы пространства, причем У сепарабель¬
но. Доказать, что компактность оператора А € С(Х, У) равносильна следу¬
ющему условию: ||А*|| —> 0 для всякой последовательности {у*} с У*,
которая *-слабо сходится к нулю.
6.10.136. Пусть X — рефлексивное банахово пространство. Доказать,
что всякий оператор А € £(Х, I1) компактен.
6.10.137. (i) Пусть fi — неотрицательная мера на измеримом простран¬
стве (П, Л), и пусть (t,s) I—► JC(t, s) — измеримая функция, причем функция
s /С(£, s) входит в С2 (/л) при /л-п.в. t, а функция
Kx(t) = j K(t, s)x(s) fx(ds)
Jn
входит в	при всех х 6 С2 (/л). Доказать, что К — ограниченный опера¬
тор в Ь2(/л).
(ii) Обобщить (а) на случай, когда известно лишь, что для всякой функ¬
ции х € £2Ы функция s »—► K,(t, s)oj(s) интегрируема и Кх € С2(/л.).
(iii) Показать, что если в (i) или (ii) оператор К равен нулю, то /С(£, s) = О
при /Х0/Х-П.В. (t,s).
(iv) Пусть /л — мера Лебега на [0,1]. Доказать, что единичный оператор
I нельзя представить в виде, указанном в (ii).
(v) Пусть в (ii) мера /л конечна. Доказать, что К: Ь2{[л) —> Ьх(/х) компак¬
тен, хотя и не обязан быть компактным как оператор со значениями в Ь2(/л).
(vi) Пусть /л — мера Лебега на [0,1], 1/2 ^ а < 1 и Kot(t,s) = \t — s|-a
при t > s и JCoc(t,s) = 0 при t ^ s. Доказать, что ядра Ка порождают
ограниченные операторы в Ь2[0,1].
Указание: в (i) и (ii) применить теорему о замкнутом графике (см.
книгу [224, с. 26]). Утверждения (iii)—(vi) см. в цитированной книге, с. 51,
с. 53, с. 101 й с. 74.
6.10.138. (i) Пусть Ci С IRd — ограниченное измеримое множество и
K(t, s) — Ко(t, s)|t—$|~л, где Ко — ограниченная измеримая функция и а < d.
Доказать, что оператор К, заданный ядром К в Ь2(С1), компактен.
(ii)	Доказать, что если функция Ко непрерывна по £, то оператор К
компактен и в C(fi).
6.10.139.° Компактен ли оператор Ax(t) = х(уД) в С[0,1]? В Ь2[0,1]?
6.10.140. Пусть 0 < а < /3 ^ 1. Доказать, что естественное вложение
пространств Гёльдера —» На из задачи 5.6.41 — компактный оператор.

6.10. Дополнения и задачи
349
6.10.141.° Дана последовательность дизъюнктных отрезков [ап,Ьп]
в [0,1]. Доказать, что оператор в L1 [0,1], заданный ядром
оо
/С(£, s) = У ^(Ьп — Q>n) I[anibn](t)I[an,bn]{s)i
п=1
не является компактным.
6.10.142. Доказать, что всякий компактный оператор Т в Z/1 [0,1] зада¬
ется в виде Tx[t) = I JC(t, s)x(s) ds с таким измеримым ядром JC( •, •), что
J о
выполнено условие sups ||/С( •, s)\\Li < оо.
6.10.143. Пусть X и У — банаховы пространства. Оператор Т: X —>Y
называется вполне непрерывным, если он переводит слабо компактные мно¬
жества в компактные, (i) Доказать, что оператор Т € С(Х, У) вполне непре¬
рывен в точности тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последователь¬
ности в сходящиеся по норме, (ii) Доказать, что множество вполне непрерыв¬
ных операторов является замкнутым линейным подпространством в С(Х, У),
(iii)	Доказать, что всякий оператор Т G £(/\ У) вполне непрерывен. В част¬
ности, тождественный оператор в I1 вполне непрерывен, но не компактен.
6.10.144. Пусть У — линейное подпространство нормированного про¬
странства X с сепарабельным сопряженным X*. Доказать, что У* сепара¬
бельно.
6.10.145. Пусть X — такое нормированное пространство, что X* сепа¬
рабельно по норме. Доказать, что X сепарабельно.
Указание: пусть счетное множество {/п} плотно в единичном шаре Х*\
для всякого п выберем хп с ||жп|| = 1 и 1п(хп) > 1/2. Пусть У — замыкание
линейной оболочки {жп}- Тогда У сепарабельно. Если У ф X, то найдется
I € X* с ||/|| = 1 и 1\у = 0. Возьмем 1п с ||/ — 1п\\ < 1/2. Тогда получаем
\1п(хп)\ = |(In - 1)(хп)\ < ||In - 1\\ < 1/2 — противоречие.
6.10.146. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Дока¬
зать, что X* со *-слабой топологией не является метризуемым. Показать,
что полнота здесь существенна, рассмотрев подпространство Е финитных
последовательностей в со (хотя Е* = Z1, но а(/1, Е) Ф ст(/1, со)).
6.10.147. Привести пример последовательности непрерывных линейных
функционалов /п на банаховом пространстве X, которая *-слабо сходится к
нулю, но выпуклая оболочка {/п} содержится в сфере {ж: ||ж|| = 1}.
6.10.148° Пусть Н — гильбертово пространство, Ап € С(Н), причем
Апх —► 0 для всякого х € Н. Верно ли, что А„х —► 0 для всякого х?
6.10.149.	Пусть X и У — нормированные пространства и S: У* —> X* —
линейное отображение. Доказать, что существование оператора Т 6 £(Х, У),
для которого S = Т*, равносильно непрерывности 5 относительно тополо¬
гий <т(У*,У) и сг(Х*,Х). В частности, из непрерывности S относительно
♦-слабых топологий следует непрерывность 5 по норме.
Указание: если оператор 5 непрерывен относительно *-слабых топо¬
логий, то для каждого х € X функционал у* »—► Sy*(x) на У* непрерывен

350
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
в топологии сг(У*, У) и потому существует элемент Tx £ X, для которого
верно равенство Sy*(x) = у* (Тх)\ проверить, что Т — искомый оператор.
6.10.150. Пусть X = со и непрерывный оператор S в X* = J1 задан
формулой Sy= (S^L12/n,2/2,2/3,...),2/= (2/п). Доказать, что S взаимно одно¬
значно отображает X* на X*, т.е. является линейным гомеоморфизмом X*,
но не является сопряженным ни для какого оператора Т £ £(Х).
Указание: заметить, что имеет место *-слабая сходимость еп —► 0, где
{еп} — стандартный базис Z1, но (Sen)i = 1 для всех га, т.е. S не является
непрерывным в *-слабой топологии.
6.10.151. Пусть X и Y — банаховы пространства, причем Y сепара¬
бельно. Пусть S £ £(Y*, X*). Доказать, что существование такого оператора
Т £ £(Х, Y), что Т* = 5, равносильно следующему: если у„ -ч► 0 в *-слабой
топологии У*, то	—>	0 в ^-слабой топологии X*.
6.10.152. Пусть X и У — банаховы пространства, Jx : X —> X** и
JY : У —> У** - канонические вложения, S £ £(У*, X*) и S* Jx (X) С JY (У).
Доказать, что S = Т*, где Т £ £(Х, У) задан так: Т =	.
6.10.153. Доказать теорему 6.10.44 индуктивным построением без ис¬
пользования вложения в С [0,1] в следующей более сильной формулировке:
если даны последовательности {уп} С X и {/п} С X*, причем последняя раз¬
деляет точки из X, то базис Маркушевича {жп} в линейной оболочке {уп}
можно выбрать так, что соответствующая последовательность {1п} С X*
найдется в линейной оболочке {/п}.
Указание: см. [343, с. 188].
6.10.154. Пусть X — бесконечномерное сепарабельное банахово про¬
странство. Показать, что найдутся такие последовательности {жп} С X
и{*п}сХ*, что h(xj) = $tj, линейная оболочка {жп} плотна в X, но су¬
ществует ненулевой элемент ж £ X с 1п(х) = 0 при всех га.
Указание: пусть последовательность линейно независимых векторов ai
с |K|| = 1 имеет плотную линейную оболочку L в X; возьмем х £ X\L.
По теореме Хана-Банаха найдутся fi £ X* с ||/*|| = 1, /г (ж) = 0, /г (а*) = 1
и fi(aj) = 0 при j = 1,..., г—1. Можно найти векторы хп € L и функционалы
In из линейной оболочки {fi} с h(xj) — Sij (см. задачу 6.10.153); при этом
1п(х) = 0, ибо fi (ж) = 0 при всех г.
6.10.155. Пусть X — нормированное пространство, М > 0, {жп} С X,
{сп} С Ш,1. Доказать, что существование / £ X* с ||/|| <Ми /(жп) = Сп при
всех га равносильно тому, что |$^Г=1 А*с*| ^ М||]СГ=1 А«Жг|| при всех га и всех
Ai £ IR1.
6.10.156. Пусть X — вещественное нормированное пространство с за¬
мкнутым единичным шаром U, и пусть fyg £ X*, причем ||/|| = ||</|| = 1
и /-1(0) DU С 0-1([—£,£]), где 0<е< 1/2. Доказать, что либо ||/ - д\\ ^ 2е,
либо II/ + 0II ^ 2е.
Указание: см. [287, с. 128].

6.10. Дополнения и задачи
351
6.10.157. Доказать, что функции (га-f 1/7x)l^2zn образуют ортонорми-
рованный базис в пространстве Бергмана A2(U) (см. пример 5.2.2), где U —
единичный круг в С1.
6.10.158. Пусть A(U) — пространство аналитических в открытом еди¬
ничном круге U С С1 функций, которые непрерывны на замыкании U. На¬
делим A(U) нормой ||<р|| = max* \<p(z)\. Доказать, что непрерывные линейные
функционалы на A(U) имеют вид
*(<?) = 53 "■	lim sup \l(zk)\1/k < оо.
fc=0	k-*°°
6.10.159. Пусть V — непустое выпуклое замкнутое множество в рефлек¬
сивном банаховом пространстве X. Доказать, что для всякого х € X в V
имеется ближайшая к х точка.
6.10.160. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что следующие
условия равносильны: (i) X рефлексивно, (ii) всякое непустое замкнутое вы¬
пуклое множество в X имеет ближайшую к нулю точку, (iii) для всякого
замкнутого сепарабельного линейного подпространства Y С X и всякого
/ € Y* с II/H = 1 в множестве /-1(1) есть ближайшая к нулю точка.
6.10.161. Пусть X — банахово пространство, не являющееся рефлексив¬
ным. Доказать, что в X* есть замкнутое по норме линейное подпространство,
которое не замкнуто в *-слабой топологии.
Указание: взять F е X**, не входящий в образ X при каноническом
вложении X С X**, и рассмотреть ядро £.
6.10.162. Доказать, что для всяких бесконечномерных сепарабельных
банаховых пространств Х\ и Х2 есть компактный оператор Т: Xi —> Х2
с нулевым ядром и плотным образом, содержащим наперед заданную после¬
довательность из Х2.
Указание: если Х2 = 12> то можно взять разделяющую точки в Х\
последовательность {/п} С XI с ||/n|| ^ 1 д положить (Тх)п = 2~п1п(х);
если же Х\ = Z2, то можно взять последовательность единичных векторов
Уп G Х2 с плотной линейной оболочкой, положить Тох =	2~пхпуп,
затем перейти к оператору То/КегТо.
6.10.163. (i) Пусть Е\ и Е2 — гильбертовы пространства, А € £(£?i, F2).
Предположим, что Е2 сепарабельно и оператор А инъективен. Доказать, что
тогда Ei также сепарабельно.
(И) Распространить (i) на случай, когда Ei и Е2 — банаховы простран¬
ства, причем Ei рефлексивно. Привести пример, показывающий, что это мо¬
жет быть неверно, если Ei не является рефлексивным.
(iii)	Показать, что если в (i) не предполагать сепарабельность £2, то
можно утверждать, что мощность ортонормированного базиса пространства
Ei не выше мощности ортонормированного базиса пространства Е% и что
существует оператор В € £(£2) с £(£2) = £1.
Указание: (i) множество A*(E%) плотно в £* в силу инъективности А;
сепарабельность Е* влечет сепарабельность Ei. (ii) Вложить £2 инъективно
в L2[0,1]. (iii) Использовать плотность A*(£J) в El и задачу 5.6.50.

352
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.164. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, (i) При¬
вести пример ограниченных операторов А и В в Н, для которых множества
А(Н) и В(Н) плотны в Я, но А(Н) П В(Н) = 0.
(ii) Пусть А е £(Я), причем А(Н) незамкнуто. Доказать, что найдется
такой оператор В £ С(Н), что В(Н) плотно и А(Н) Г) В(Н) = 0.
6.10.165. Пусть X — банахово пространство. Последовательность век¬
торов хп € X называется ^-независимой, если из соотношения	СпХп	=	О
следует, что Сп = 0 при всех п.
(i) Привести пример линейно независимой последовательности, не явля¬
ющейся ^-независимой.
(ii) (В.И. Гурарий) Пусть {хп} С X и хо G X, хо ф 0, таковы, что при
некотором С > 0 и всех п выполнена оценка
n_|_i	Хо\\ < СQm Qn inf| ||Жо	1 &кхк || • BiaXfe^n \c*k\ ^ 1^•
Доказать, что {хп} является (^-независимой.
(iii) Доказать, что из всякой линейно независимой последовательности
можно выделить бесконечную ^-независимую подпоследовательность.
Указание: см. [576].
6.10.166. (i) Доказать, что норма на бесконечномерном нормированном
пространстве не является непрерывной в слабой топологии.
(ii) Доказать, что норма на пространстве 11 секвенциально непрерывна
в слабой топологии, хотя и не является непрерывной.
(iii) Доказать, что функция f(x) =	П~2хп	на	I2	со	слабой топо¬
логией секвенциально непрерывна, но не является непрерывной ни в одной
точке.
Указание: (i) заметить, что норма не ограничена на слабых окрестно¬
стях нуля; (й) применить теорему Шура из задачи 6.10.102; (iii) восполь¬
зоваться компактностью оператора А: (хп) >—> (п~1хп) для проверки сла¬
бой секвенциальной непрерывности (или равномерной сходимостью ряда на
шарах), а для проверки разрывности / в слабой топологии убедиться, что
оператор А не ограничен ни на какой слабой окрестности нуля.
6.10.167. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что всякие два
замкнутых подпространства в X коразмерности 1 линейно гомеоморфны.
Вывести из этого, что всякие два замкнутых подпространства в X равной
конечной коразмерности линейно гомеоморфны.
6.16.168. Доказать, Ито банахово пространство X линейно гомеоморф-
но X ф IR1 в точности тогда, когда X линейно гомеоморфно всякой своей
замкнутой гиперплоскости.
Указание: использовать предыдущую задачу и тот факт, что X линей¬
но гомеоморфно ЯвШ,1, где Н — замкнутая гиперплоскость в X. Отметим,
что существует бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X,
не являющееся линейно гомеоморфным никакой своей замкнутой гиперплос¬
кости (см. [599]).
6.10.169.* Доказать, что всякая замкнутая гиперплоскость в С[0,1] ли¬
нейно гомеоморфна С[0,1].

6.10. Дополнения и задачи
353
6.10.170. Пусть I — разрывная линейная функция на банаховом про¬
странстве. (i) Может ли Гх(0) быть множеством второй категории?
(ii)** Может ли /_1(0) быть множеством первой категории? (См. [588].)
6.10.171. (i) Показать, что замыкание выпуклой оболочки ортонормиро-
ванного базиса в I2 не имеет внутренних точек. (И)* Показать, что замыкание
выпуклой оболочки слабо сходящейся последовательности в бесконечномер¬
ном банаховом пространстве не имеет внутренних точек.
Указание: (ii) см. [343, с. 87].
6.10.172.* Доказать, что существует непрерывная линейная сюръекция
Т: С[0,1] -4 L2[0,1].
Указание: см. [343, с. 195].
6.10.173. Пусть К — компакт. Показать, что крайние точки (см. §4.6)
в единичном шаре С (К) — это функции со значениями в {1,-1}, а крайние
точки в единичном шаре С (К)* — это меры 6к и — 6к, к 6 К.
6.10.174! Доказать теорему 5.6.5: если Xi и Х2 — компакты, то С{К\) и
С (К2) линейно изометричны в точности тогда, когда К\ и К2 гомеоморфны.
Указание: если h: Ki —> К2 — гомеоморфизм, то J(f) := foh — линей¬
ная изометрия С(Х2) и С (Кг). Обратно, если J: С(К\) —> С(К2) — линей¬
ная изометрия, то J*: С(К2)* —► С(К2)* — изометрия. Для всякого k е К2
мера J*8k является крайней точкой единичного шара в С(К\)*. Ввиду за¬
дачи 6.10.173 имеем J*6k = £kSh(k), где h(k) G Xi, £k = 1 или ей = — 1.
Легко проверить, что отображение k ► £k$h(k) непрерывно, ибо J* непре¬
рывно относительно *-слабых топологий. При этом функция к £к также
непрерывна, так как £к = €к$ь(к)0) =	=	J(l)(k). Следовательно,
непрерывно отображение h: к h(k). Оно дает искомый гомеоморфизм.
О восстановлении К по С(К) см. [88, §18.2.1].
6.10.175. (Теорема Алехно-Забрейко) Пусть функции /п G L°°[0,1] схо¬
дятся к нулю в топологии a(L°°, (L°°)*). Доказать, что fn(t) —► 0 п.в.
Указание: если Л — лифтинг на L°°[0,1], то A(fn)(t) —► 0 для всех t.
6.10.176. Доказать, что L1 [0,1] обладает свойством Данфорда-Петтиса.
Указание: применить задачу 6.10.175.
6.10.177. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что X* допол¬
няемо в X***.
Указание: положить Р: X*** —> X*, P(f) f\x* (проекция Диксмье).
6.10.178. (Пространство Джеймса) Пусть J — линейное подпростран¬
ство в со, состоящее из всех элементов с конечной нормой
II^IIj :=	—	X3l) * * * “Ь (Х32т ~ Х32т— 1 ) "Ь (Х32т+1) )	>
где sup берется по всем конечным наборам 1 < ji < j2 < • • • < J2m+i. До¬
казать, что пространство J при каноническом вложении в J** имеет кораз¬
мерность 1 и потому нерефлексивно, однако оно линейно изометрично J**.
Вывести из этого, что J не изоморфно ХфХ ни для какого банахова про¬
странства X. В частности, J не изоморфно J0 J.

354
Глава 6. Линейные операторы и функционалы
6.10.179. Пусть {/in} — базис Шаудера в гильбертовом пространстве Н
и {!„} — такая последовательность функционалов на if, что h(hj) = дц
и ||/п|| = \\hn\\ = 1. Доказать, что {hn} — ортонормированный базис.
Указание: если (/ii,/i2) ф 0, то в линейной оболочке hi и /12 есть еди¬
ничный вектор t7 ± Ль Тогда /12 = (h2, v)v + (/12, /ii)/ii, откуда получаем
1 = |(fe2, v)|2 + \(h,2,hi)\2 и |(/»2,i;)| < 1. Однако 1 = |Ь(Лг)| = |(Лг, v)| |b(u)|,
что дает |/2(v)| > 1. Значит, Ц/2Ц > 1 — противоречие.
6.10.180.° Пусть {еп} — базис Шаудера в банаховом пространстве X.
Доказать, что К С X вполне ограничено в точности тогда, когда для всякого
е > 0 есть такое пе, что supl€K||X!£Lne: cfc(x)efc|| < е, х = J2kLi ск(х)ек.
6.10.181.* Пусть X — банахово пространство с базисом Шаудера {/in}
и {1п} — соответствующие координатные функционалы. Доказать, что {/п}
является базисом Шаудера в X* в точности тогда, когда линейная оболочка
{/п} плотна в X*.
Указание: см. [448, с. 405].
6.10.182. Пусть if — гильбертово пространство, А Е £(Н) и ||А|| ^ 1.
Доказать, что операторы Sn := п_1(/ + А + • • • + А""1) сходятся поточечно
к проектору на Кег (А — I). Более общие результаты см. в книге [420].
6.10.183. (i) Пусть Н — бесконечномерное гильбертово пространство.
Рассмотрим отображение (А, В)	АВ, £(Н)х£(Н)	—> £(Н). Исследовать
непрерывность и секвенциальную непрерывность этого отображения при на¬
делении С(Н) одной из следующих операторных топологий: (а) топология
нормы, (Ь) сильная операторная топология, (с) слабая операторная тополо¬
гия. Рассмотреть также разные комбинации топологий на сомножителях и на
образе, (ii) Показать, что если Н сепарабельно, то на ограниченных по норме
множествах в £(Н) слабая и сильная операторные топологии метризуемы.
6.10.184* Пусть X — банахово пространство и L С X* — линейное
подпространство, разделяющее точки в X. Верно ли, что для всякого х £ X
выполнено равенство ||ж|| = sup{/(aj): I £ L, ||/|| ^ 1}? Рассмотреть X = со,
L = {у = (уп) € Z1: ук = к~х J2пе1кУп Vfc Е /}, где /, 7i,/2,... — бесконечные
дизъюнктные множества, дающие в объединении 1N.
6.10.185! Построить пример банахова пространства X и линейного под¬
пространства L С X* со следующим свойством: L плотно в X* в топологии
<т(Х*,Х), однако *-слабое замыкание пересечения L с единичным шаром X*
не содержит шаров положительного радиуса.
Указание: см. [33, с. 275].
6.10.186! (i) Доказать, что существует линейное отображение А: I2 —► I1,
разрывное на каждом бесконечномерном линейном подпространстве в I2 (не
обязательно замкнутом), (ii) Доказать, что для всякого линейного отобра¬
жения А из I1 в банахово пространство Е найдется такое бесконечномерное
линейное подпространство Lb/1, что сужение А на L непрерывно, (iii) До¬
казать, что для всякого линейного отображения А: /2 —> I2 найдется такое
бесконечномерное линейное подпространство Lb/2, что сужение отображе¬
ния А на L непрерывно. Более общие факты см. в [575], [591], [606].

Глава 7
Спектральная теория
Эта глава посвящена очень важному для приложений разделу
теории операторов — спектральной теории. Более, чем какие-либо
другие разделы настоящего курса, спектральная теория обязана
своим возникновением и интенсивно продолжающимся развитием
задачам естествознания, в частности, механики, физики и химии.
7.1.	Спектр оператора
Основной объект спектральной теории — спектр линейного
оператора. Пусть X — банахово пространство. Ограниченный
оператор А: X —► X называют обратимым, если он взаимно од¬
нозначно отображает X наХ. По теореме Банаха обратное отоб¬
ражение А-1 автоматически непрерывно. Как и в линейной алге¬
бре, важную роль играет вопрос об обратимости оператора А—XI
при различных Скалярах Л, где I: жих - единичный оператор.
7.1.1.	Определение. Спектр а(А) ограниченного линейного
оператора А в комплексном банаховом пространстве X состо¬
ит из всех таких А € С, что оператор А — XI не обратим.
Для оператора в вещественном пространстве аналогично оп¬
ределяется вещественный спектр. Если X = {0}, то единствен¬
ный оператор — нулевой; он имеет и нулевой обратный, поэтому
его спектр пуст. Обычно этот случай по умолчанию исключают
из рассмотрения; в дальнейшем мы тоже не всегда будем явно
оговаривать, что речь идет о ненулевых: пространствах.
Дополнение спектра называют резольвентным множеством
оператора А и обозначают через д(А). Точки резольвентного мно¬
жества называются регулярными. Для всякого А € д(А) оператор
RX(A) := (А - XI)-1
называется резольвентой А (следует иметь в виду, что нередко

356
Глава 7. Спектральная теория
резольвенту определяют как обратный к XI — А). При Л, /л Е д{А)
верно тождество Гильберта
RX(A) - ЯМ(Л) = (А — n)R^(A)Rx(A),
которое легко проверяется умножением справа на (А — XI) обеих
частей, а затем умножением слева на (А — pi).
По теореме Банаха об обратном операторе точка Л входит
в спектр тогда и только тогда, когда либо Кег(А — XI) ф 0, либо
(А - Х1)(Х) ф X, где Кег(Л - XI) := {х: Ах- Хх = 0}. В пер¬
вом случае Л — собственное число, т.е. Av = Xv для некоторо¬
го вектора уф 0 (называемого собственным). В конечномерном
пространстве обе возможности могут осуществляться лишь одно¬
временно, но в бесконечномерном пространстве положение иное.
7.1.2. Пример. Оператор Ах = (0, х\,хъ,...) в 12 инъекти-
вен, но не сюръективен. Оператор Вх = (Х2,хз,...) в I2 сюръек-
тивен, но не инъективен. В обоих случаях 0 входит в спектр, но
по разным причинам. При этом А не имеет собственных чисел,
но можно проверить, что сг(А) = {Л Е С: |А| ^ 1}. Оператор
Вольтерра в Ь2[0,1] или С[0,1] (пример 6.9.4(iv)) тоже не имеет
собственных чисел (если Vx = Аж, то x(t) = Ax'(t), х(0) — 0).
Как мы увидим, спектр всякого ограниченного оператора
(в ненулевом пространстве) является непустым компактом. Сна¬
чала установим следующий важный факт.
7.1.3. Теорема. Множество обратимых операторов в бана¬
ховом пространстве X (комплексном или вещественном) от¬
крыто в пространстве С(Х) с операторной нормой. Более того,
если оператор А е С(Х) обратим и оператор D Е С{Х) таков,
что ||£>|| < 1/||Л-1||, то оператор А + D обратим.
Доказательство. По теореме Банаха достаточно показать,
что для всякого у Е X уравнение Ах + Dx = у однозначно разре¬
шимо. Это уравнение равносильно уравнению
А~г(А + D)x = А~1у,
которое можно переписать как А~гу — A~xDx = х. Положим
F(x) = A~ly — A_1Dx и заметим, что F — сжимающее отоб-
ражение, ибо ||F(a;)-.F(z)|| = \\A~lD(x-z)\\ < ||Л_1||||1)||||ж-г||,
где WA-'WWDW <1.	□
Из теоремы непосредственно вытекает, что резольвентное
множество открыто. Это утверждение можно уточнить.

7.1. Спектр оператора
357
7.1.4. Следствие, (i) Пусть А е С(Х). Тогда при |А| > И1
имеем А € (?{А), причем
Лк
лл(Л) = -ЕдЭТ.
к=О
где ряд сходится по операторной норме.
(ii)	Для всякой точки Ао € в{А) при |А — Ао| < ||Дл004) II-1
имеем А € q{A), причем
ОО
Дл(Л) = Х>-Ао)*Яао04)*+\
k=0
где ряд сходится по операторной норме.
Доказательство, (i) Мы имеем А — XI = —XI + А, где
Mil < W = 1/1К^)_1||* Сходимость ряда из —	по	опера¬
торной норме очевидна из оценки ||A“fcAfc|| < |А|_л||А||л. Прямая
проверка показывает, что для его суммы S\ справедливы равен¬
ства SX(A - XI) = (А — XI)SX = /.
(ii)	Сходимость ряда по норме обосновывается аналогично.
Для его суммы Sx имеем
оо
SX(A - XI) = £(А - А0)*Яло (Л)*+1 (А - А0/ - (А - А0)/) =
к=О
оо
= £[(*- ЛоМюИ)* - (Л - Ло)ь+1Дд0(Л)‘+1] = /.
к=О
Аналогично (А — XI) Sx = /.	□
7.1.5. Замечание. Если dimX < оо, то множество обрати¬
мых операторов не только открыто, но и плотно в С(Х). В случае
I2 это не так: оператор сдвига А: (хп) н-> (0, х\, х^ ...) не прибли¬
жается обратимыми. Действительно, если ||А — 2?|| < 1, то В не
может быть обратимым, ибо ввиду равенства А*А = I имеем
|| J — А*В\\ ^ ||А*|| ||^4 — jB|| < 1, что по теореме выше дает обрати¬
мость А*В. Если бы В был обратим, то был бы обратим А*, а за
ним и А. По этому поводу см. также задачи 7.10.111 и 7.10.112.
7.1.6. Теорема. Спектр всякого оператора А € С{Х) в ком¬
плексном банаховом пространстве X ф 0 является непустым
компактом в круге радиуса \\А\\ с центром в нуле комплексной
плоскости.

358
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Включение сг(А) с {z е С: \z\ < МП}
и замкнутость сг(Л) уже известны. Проверим непустоту а(А).
Предположим, что R\(A) существует для всех Л € С. Пусть
ф £ С(Х)* и ^(Л) = %j){R\{A)). Ввиду утверждения (и) предыду¬
щего следствия функция F — целая, а ввиду утверждения (i) при
|А| —> оо имеем |F(A)| —► 0. По теореме Лиувилля F = 0, откуда
мы получаем	= 0> что невозможно при X ф 0.	□
Полученную оценку радиуса круга, содержащего спектр, мож¬
но уточнить. Спектральный радиус оператора А зададим форму¬
лой
r(A) := infilled1/": пЕ DSf}.
Ясно, что г(А) < ||Л||, ибо ||ЯП|| ^ ||Д||П.
7.1.7.	Предложение. Справедливо равенство
r(A) = lim \\An\\Vn.
п—У ОС
Кроме того, г(А) = max{|z|: г Е <г(А)}.
Доказательство. Пусть е > 0. Пусть р € IN таково, что
\m'i? ^	При	п ^ р имеем ть — кр~\~*ох, где 0 ^ ш ^ р	1.
Тогда
||ДП|| < рр||*мт|| < M\\AP\\k,	М:=	1 + 1И11 + • • • + \\АР-г\\.
Следовательно,
r{A) <	\\An\\Vn < Mxln\\AP\\k/n < Mx/n{r{A) + е)кр/п.
Поскольку Ml/n -» 1 и кр/п —> 1 при п —» оо, то
r{A) ^ lim supn_00 \\Ап\\х/п < г (А) + е.
Ввиду произвольности е это доказывает первое утверждение.
Покажем, что при |А| > г (А) оператор А — XI обратим. По¬
делив на А, приходим к случаю А = 1 и г (А) < 1. В этом случае
ряд	сходится	по операторной норме, ибо при всех до¬
статочно больших п имеем ЦЛ71!! ^ (г(А) + е)п, где е > 0 таково,
что г {А) + е < 1. Прямая проверка показывает, что сумма ука¬
занного ряда является оператором, обратным к I — А. Остается
проверить, что на окружности радиуса г (А) есть хотя бы одна
точка спектра. В противном случае ввиду компактности спектра
нашлось бы такое г < г(А), что все Ас |А| > г входили бы в ре¬
зольвентное множество. Согласно доказанному выше следствию

7.1. Спектр оператора
359
это означает, что для всякого непрерывного линейного функци¬
онала ф на С{Х) функция /(А) := ф(К\{А)) голоморфна при
|А| > г. При этом вне круга радиуса \\А\\ эта функция представ¬
ляется рядом Лорана — о ^~1~кФ(Ак). Ввиду единственности
разложения этот же ряд представляет функцию / при |А| > г.
Зафиксируем такое А Е (г, г (Л)). Сходимость указанного ряда
Лорана для каждого ф дает оценку supk ||А“1-*Л*|| < С < оо
ввиду теоремы Банаха-Штейнгауза. Итак,	^ С1!кА1+1/*,
откуда г(А) < А — противоречие.	□
В бесконечномерном случае весьма непохожие операторы мо¬
гут иметь равные спектры.
7.1.8. Пример. Пусть {гп} — все рациональные числа [0,1],
оператор А в I2 задан формулой Ах = (г\Х\, г^х^ .. •)> а оператор
В в L2[0,1] задан формулой Bx(t) = tx(t). Тогда оба оператора
имеют спектр [0,1], хотя у А все числа гп — собственные, а В
не имеет собственных чисел. Действительно, {гп} С сг(Л), отку¬
да [0,1] С а (А) ввиду замкнутости спектра. Если А ^ [0,1], то
существует оператор R\(A)x = ((n — А)-1#!, (7*2 — А)-1^,...).
Всякая точка А Е [0,1] входит в сг(В), ибо нет такой функции
х Е L2[0,1], что (t — A)x(t) = 1 п.в. При А ^ [0,1] обратным к опе¬
ратору В — XI является оператор умножения на ограниченную
функцию cp(t) = (£ — А)-1. Собственных чисел у оператора В нет:
равенство Ax(t) = tx(t) п.в. возможно лишь при x(t) = 0 п.в.
Для всякого оператора А в комплексном линейном простран¬
стве и всякого многочлена P(z) = XX=ockzk с комплексными
коэффициентами оператор Р(А) зададим формулой
P(A)=J2ckAk; А°:=1.
к=0
7.1.9. Теорема. (Теорема об отображении спектров)
Пусть А — ограниченный линейный оператор в комплексном ба¬
наховом пространстве X. Тогда для всякого многочлена Р ком¬
плексного переменного верно равенство
а{Р{А))=Р(а(А)),
т.е. спектр Р(А) есть образ спектра А при отображении Р.

360
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Зафиксируем Л е С. Пусть Ai,...,An —
корни многочлена Р — А. Тогда А = Р{\) при всех г = 1,..., п,
P(z) - А = c(z - Ai) • • • (z - Ап) и
P(A) - A I = c(A - Ai I) • • • (A - An/).
Пусть с ф 0 (иначе утверждение очевидно). Заметим, что обра¬
тимость Р(А) — XI равносильна обратимости всех операторов
А — А * 7, ибо они коммутируют. Действительно, если все эти опе¬
раторы обратимы, то обратимо и их произведение. Если же неко¬
торый оператор A — Xi0I не обратим, то либо Кег(А — KI) Ф о,
либо (A — Ai0I)(X) ф X. Поскольку из-за коммутативности со¬
множителей можно поставить A — Xi0I как на последнее место,
так и на первое, то такие же соотношения выполнены и для все¬
го произведения. Итак, А входит в сг(Р(Л)) в точности тогда,
когда найдется номер г с А* £ сг(А). Последнее равносильно то¬
му, что А £ Р(а(А)), В самом деле, если такое г существует, то
А = P(Xi) Е Р(а(А)). Если А = Р(г), где 2 € сг(Л), то z — это
одно из чисел А*, т.е. А* лежит в о'(А).	□
7.1.10. Замечание. Если А Е С(Х), где X — банахово про¬
странство, то ст(А) = сг(А*) ввиду	следствия 6.8.6(H)	и	равен¬
ства (А — XI)* = А* — XI, Однако	для гильбертова	простран¬
ства X спектр а (А*) есть множество {z: z Е сг(А)}, комплексно¬
сопряженное а(А), ибо здесь (А — XI)* = А* — А/, так как А*
действует в X. Отметим, что в случае гильбертова пространства
равносильность обратимости операторов В и В* очевидна из ра¬
венства (ВС)* = С*В* и следствие 6.8.6 не требуется.
Рассмотрим следующий важный пример.
7.1.11. Пример. (Оператор умножения на функцию)
Пусть ц ф 0 — конечная неотрицательная мера на простран¬
стве Г2, (р — ограниченная комплексная /х-измеримая функция.
Зададим оператор А^ умножения на <р в L2(/jl) формулой
АфХ(и;) = <р( ш)х(ш).
Тогда (i) А* есть оператор умножения на </?, спектр А^ есть мно¬
жество существенных значений <р, т.е. множество всех таких
чисел А £ С, что /л(ш: |<р(ш) — А| ^ е) > 0 для всех е > 0;
(И) <р(ш) £ сг(А<р) для /х-п.в. ш\
(iii)	||Ар|| = M\LooM. Кроме того, оператор А<р самосопряжен
в точности тогда, когда <р(ш) Е IR1 для /х-п.в. ш.

7.1. Спектр оператора
361
Доказательство, (i) Заметим, что оператор ограничен
и \\Ар\\ < |MU°°(aO- Вид сопряженного к А^ ясен из равенства
/ 1р(ш)х(ш)у(ш) n(dw) = / х(ш)(р(ш)у(ш) /л(<ки)
Ja	Ja
для всех х, у € L2(fi). Найдем спектр А^. Если Л не является су-
щественным значением </?, то при некотором е > 0 для //-почти
всех uj имеем \р(и>) — А| ^ £. Переопределив р на множестве //-
меры нуль, можно считать, что это неравенство верно для всех
uj Е ft. Тогда оператор умножения на ограниченную функцию
1 /(р — X) является обратным к А^ — А • I. Обратно, пусть Л — ре¬
гулярное значение. Если Л оказалось существенным значением </?,
то множества Вп = {ш: \р(ш) — Х\ < 1 /п} имеют положительные
меры и потому функции хп = 1вп/\Jц(Вп) имеют единичные
нормы. При этом (А<р — \1)хп —> 0, ибо
Ш) L Ww)' А|2'‘(<м s п"2мк)'‘<в")=п"2-
Тогда получаем хп = (А^ — XI) 1(А{р — Х1)хп —> 0 вопреки равен¬
ству \\хп\\ = 1. (ii) Множество S\р существенных значений функ¬
ции р может отличаться от множества ее фактических значе¬
ний. Например, зададим функцию р на интервале (0,1) с мерой
Лебега так: p(t) = t при t ф 1/2, <^(1/2) = 2. Тогда принимае¬
мое значение 2 не является существенным, а не входящее в мно¬
жество принимаемых значений число 1 является существенным
значением. Однако можно заменить <р функцией £>, которая рав¬
на ей //-почти всюду и принимает значения во множестве суще¬
ственных значений <р. В самом деле, для каждой точки z Е С,
не являющейся существенным значением р, найдем открытый
круг U(z,r) с /и(р~г (U(z,r))) = 0. Из полученного покрытия
С 1\S(p выберем счетное подпокрытие кругами U(zj,rj). Множе¬
ство Е = Uj	имеет	//-меру	нуль.	В	частности, име¬
ются существенные значения (иначе //(fi) = 0). Вне Е сделаем
функцию р равной </?, а на Е положим р равной какому-нибудь
существенному значению. Полученная модификация принимает
значения в (iii) Ввиду доказанного в (i) осталось проверить,
что \\А<р\\ ^ \\р\\ь°°(^)- Это ясно из того, что наибольшее суще¬
ственное значение функции \р\ есть |MU°°(aO* Равенство А^ = Д*
равносильно тому, что операторы умножения на р и Тр равны, т.е.
тому, что р(и) = р(и) для //-п.в. и,	□

362
Глава 7. Спектральная теория
Отметим, что доказанное не распространяется на произволь¬
ные бесконечные меры (задача 7.10.89). Важность рассмотрен¬
ного примера ясна из того, что, как мы увидим ниже, к такому
виду приводятся все самосопряженные операторы и все унитар¬
ные операторы в сепарабельных пространствах.
Если /х — мера Лебега на [0,1] и ц>(и;) = о;, то а(А^) = [0,1],
причем А<р не имеет собственных чисел (пример 7.1.8). Для об¬
щей борелевской меры /х на [а, Ь] и ср(и) = ш спектр А^ есть
носитель /х, т.е. [а, Ь] без всех интервалов /х-меры нуль, причем
собственные числа — это точки положительной /х-меры.
7.2.	Квадратичная форма и спектр
самосопряженного оператора
Для непрерывного линейного оператора А в комплексном
гильбертовом пространстве Н определены функции
фл(я, У) = (Ах, у), Qa(x) = (Ах, х).
Функция Qа называется квадратичной формой оператора Д. Из
тождества
4Фл(я, у) = Qa(x + у) - Qa(x - у) + iQa(х + гу) - iQA(x - гу)
следует, что функция Фа и оператор А однозначно определены
квадратичной формой Qa (в вещественном случае это неверно!).
Функция ФА, называемая билинейной формой оператора Л, ли¬
нейна по первому аргументу, сопряженно-линейна по второму
и непрерывна. Обратно, с помощью такой функции можно по¬
строить оператор.
7.2.1.	Лемма. Пусть Н — комплексное гильбертово про¬
странство и Ф — комплексная функция на НхН, линейная по
первому аргументу' сопряженно-линейная по второму и непре¬
рывная по каждому переменному при фиксированном другом.
Тогда существует такой непрерывный линейный оператор А
в пространстве Н, что Ф(*х, г;) = (Au,v), и,у е Н.
Доказательство. Отображение v н-* Ф(и,у) при фиксиро¬
ванном и линейно и непрерывно. Теорема Рисса дает однозначно
определенный вектор Лгх, для которого (г;, Лгх) = Ф(гх, г;), откуда
(Ащ v) = Ф (и,у). Из линейности Ф(гх, г;) по и следует линейность
отображения и Лгх. Если ип —> 0, то Ф(гхп,г;) —► 0 при всех
у Е Н, т.е. Лгхп —> 0 слабо и потому {Лгхп} ограничена. Значит,
оператор А непрерывен (см. теорему 6.1.3).	□

7.2. Квадратичная форма и спектр
363
Для самосопряженного оператора А справедливо следующее
важное тождество:
Для доказательства достаточно преобразовать выражение
(А(х + у), ж + у) - (А(х -у),х- у)
с учетом равенства (Ау,х) = (у, Ах).
7.2.2. Лемма. Оператор А самосопряжен в точности то¬
гда, когда его квадратичная форма Qa вещественна.
Доказательство. Если А = А*, то
(Ах, х) — (х,Ах) = (Ах,х).
Обратно, если Qa — вещественная функция, то Qa* = Qa, откуда
А = А*, ибо оператор однозначно определен квадратичной фор¬
мой (напомним, что речь идет о комплексном пространстве). □
7.2.3. Теорема. (Критерий Вейля) Число А принадлежит
спектру самосопряженного оператора А в точности тогда, ко¬
гда существует такая последовательность векторов хп, что
Доказательство. Если такая последовательность сущест¬
вует, то А € сг(А), ибо в противном случае
В частности, Кег (.А — XI) = 0. Положим Y = (А — XI) (Н) и по¬
кажем, что Y = Н. Пусть a±Y, т.е. (Ах — Аж, о) = 0 для всех ж.
Тогда (ж, Аа — Ха) = 0 и потому Аа = Ха. Если а ф 0, то А должно
быть вещественным ввиду вещественности Qa• Поэтому Аа = Аа
вопреки инъективности А — XI. Итак, замыкание Y совпадает
с Н. Пусть у € Н. Выберем уп = Ажп — Ажп —► у. Из фундамен¬
тальности {уп} и (7.2.1) следует фундаментальность {жп}. Ввиду
полноты Н существует ж = lim жп, откуда у = Ах — Аж. Итак,
4Ие(Лж,у) = Qa(ж -Ну) - Qa(x - у).
||ж„|| = 1 и \\Ахп - Аж„|| -» 0.
(7.2.1)
оператор А — XI обратим.
□

364
Глава 7. Спектральная теория
7.2.4. Следствие. Если А — самосопряженный оператор	\
и комплексное число А таково, что inf IIАх — \х\\ >0, то А —
11*11=1
регулярное значение.
Заметим, что как критерий Вейля, так и доказанное следствие
верны и в вещественном случае (см. также задачу 7.10.96).
7.2.5. Следствие. Спектр самосопряженного оператора ле¬
жит на вещественной оси.
Доказательство. При ||ж|| = 1 для всех вещественных чи¬
сел а и (3 имеем
(Ах — ах — г/Зх, Ах — ах — i/3x)
— (Ах — ах, Ах — ах) — (Ах — ах, i(3x) — i(3(x, Ах — ах) + г/?(ж, г/Зх)
= ||Ах - ах\\2 + (32\\х\\2 ^ fi2.
Если (3 ф 0, то применимо предыдущее следствие.	□
7.2.6. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора А
(в ненулевом комплексном или вещественном гильбертовом про¬
странстве) справедливы равенства
||Л|| = 8ир{|(Лж,ж)|: ||ж|| < 1} = sup{|A|: А — точка спектра Л}.
Кроме того, в спектр А входят точки
тд = inf (Ах, х), Ма — sup (Ах,х).
||ж||=1	ЦзЦ—1
Доказательство. Положим М = sup \(Ах,х)\. Ясно, что
11*11*1
М = Ма или М — —гпа■ Имеем \(Ах,х)\ < М||ж||2 и М < ||Л||,
ибо |(Лж, ж)| < ||Л||||ж||2. С другой стороны,
||А|| = sup ||Яж|| = sup 11е(Аж,у) =
11*11*1	11*11,	IMI*i
= 7 SUP [(А(х + у),х + у)-(А(х-у),х-у)] <
4 11*11,Цу||*1
* 7 sup [М||ж + у||2 + М||ж — у||2] =
4 11*11,llvll*i
= \ sup [М||ж||2 + М\\у\\2] = М.
2 11*11,1М1*1

7.2. Квадратичная форма и спектр
365
Итак, М — ||А||. Можно считать, что М = Мд, так как в слу¬
чае М = —гпа можно перейти к оператору —Л. Тогда найдутся
векторы хп с \\хп\\ = 1 и (Ахп,хп) —> М. Это дает
||Ла;п - Мхп||2 = (Ахп,Ахп) - 2М(Ахп,хп) + М2(хп,хп) <
^ Р||2 + М2 - 2М(Ахп,хп) = 2М2 - 2М(Агп,ж„) -► 0.
По критерию Вейля получаем М € ст(Л), что завершает доказа¬
тельство первого равенства с учетом того, что спектр содержится
в круге радиуса ||Л||.
Для доказательства второго равенства заметим, что
Ма+cI = Ма + С, rriA+ci = rriA + c, а(А + cl) = а (А) + с
для всякого с € И1. Возьмем с = ||Л||. Поскольку
|(Дж,ж)| < ||Д||||ж||2,
то имеем 0 < rriA+ci ^ Ма+ы, откуда Ма+cI £ &(А + с/), т.е.
МА 6 сг(А). Взяв с = — ||Л||, с учетом равенства <т(—А) = — сг(А)
аналогично получаем тд Е сг(А).	□
7.2.7.	Замечание. Из доказательства легко усмотреть вклю¬
чение
сг(А) С [тд,Мд].
Конечно, это сразу следует и из критерия Вейля, ибо если мы
имеем ||Ахп - Ххп\\ —► 0 и ||жЛ|| = 1, то (Ахп, хп) —> Л.
Для самосопряженного оператора А в вещественном гильбер¬
товом пространстве Н его комплексификация Ас в комплекси-
фикации Не пространства Н действует по естественной формуле
Ас(х, iy) = (Ах, г Ay) и, как легко видеть, также является са¬
мосопряженным оператором. Овеществлением такого оператора
(переход к полю 1R) является прямая сумма двух копий операто¬
ра А. Нетрудно проверить, что спектры А и Ас равны.
Если А,В — самосопряженные операторы с (Ах, х) ^ (Вх, х),
то будем писать А ^ В и В ^ А. В частности, А ^ 0, если
(Ах, х) ^ 0 (как мы знаем, в комплексном случае эта оценка дает
и самосопряженность Л, но в вещественном случае самосопря¬
женность требуется дополнительно). Такой оператор называет¬
ся неотрицательным. Из доказанного выше следует, что А ^ 0
в точности тогда, когда А = А* и а (Л) С [0, + оо).

366
Глава 7. Спектральная теория
7.3.	Спектр компактного оператора
Спектр компактного оператора обладает особыми свойства¬
ми. Пусть X — комплексное или вещественное банахово про¬
странство. Рассмотрим оператор I — К, где К компактен.
7.3.1.	Лемма. Пусть К — компактный оператор в X.
(i) Ядро оператора I — К конечномерно.
(ii) Образ оператора I — К замкнут.
Доказательство, (i) На ядре оператора I — К оператор I
равен К и потому компактен, что возможно, лишь если это ядро
конечномерно.
(ii)	Пусть уп — хп — Кхп —> у. Покажем, что у £ (I — К)(Х).
Предположим сначала, что supn||a;n|| < оо. Ввиду компактно¬
сти К из {Кхп} можно выбрать сходящуюся подпоследователь¬
ность {Кхщ}. Так как хп. — ущ + Кхщ, то сходится и {хщ}.
Обозначив предел через ж, получим у = х — Кх.
Теперь рассмотрим случай, когда последовательность {хп} не
ограничена. Положим Z = Кег(/ — К) и
dn = mf{\\xn -z\\: z £ Z}.
Так как Z конечномерно, то найдутся zn £ Z с \\xn — zn\\ = dn. По¬
кажем, что последовательность {dn} ограничена. Предположим
противное. Можно считать, что dn —► +оо. Положим
vn = {xn-zn)l\\xn-zn\\.
Так как (I — K)zn = 0 и supn ||уп|| < оо, то имеем
\\vn|| ~ 1? Vn ~~ Kvn = (/ — К)хп/\\хп ч- Zn\\ = Уп/dn * О*
Из {Kvn} выберем сходящуюся подпоследовательность {Kvni}.
Тогда {ущ} сходится к некоторому v £ X. При этом
v - Kv= lim (vUi ~ Kvni) = О,
i—+oo
т.е. v £ Z. Однако это невозможно, ибо dist(v, Z) ^ 1, так как
1	d
||v„ - z\\ = -г—||жп - zn - dnz\\ ^ -р = 1 для всех zeZ, n€lN.
On	U>n
Итак, последовательность {dn} ограничена. Теперь все сводится
к первому случаю, ибо (I — К)(хп — zn) = (I — К)хп — уп• П
Конечно, лемма верна и для I + К, ибо —К тоже компактен.

7.3. Спектр компактного оператора
367
7.3.2.	Теорема. Пусть К — компактный оператор в ком¬
плексном или вещественном бесконечномерном банаховом про¬
странстве X. Тогда спектр К либо совпадает с точкой 0, либо
имеет вид
a(K) = {0}U{kn},
где все кп — собственные числа К конечной кратности, т.е.
dim Кег (К — knI) < <х>, причем набор {кп} либо конечен, либо
является сходящейся к нулю последовательностью.
Доказательство. Ввиду некомпактности I оператор К не¬
обратим и потому 0 е <з{К). Пусть Л G сг(Л') и Л ф 0. Покажем,
что Л — собственное число. Предположим противное. Перейдя
к оператору Л~гК, можно считать, что А = 1. По лемме подпро¬
странство Xi = (К — 1)(Х) замкнуто в X. При этом Х\ ф X, ибо
иначе К — I был бы обратим. Положим
Хп = (К-1)п(Х) = (К-1)(Хп.1), п> 2.
Ясно, что Xn+i С Хп, ибо Х\ С X, откуда Х2 С Х\ и т.д. По
лемме получаем, что все подпространства Хп замкнуты. Они раз¬
личны ввиду инъективности К — I, ибо если
(K-l)(Xn) = (K-I)(Xnr.1),
то Хп — Хп-\, откуда получаем Хп = • • • = Х\ = X.
По теореме 5.3.5 найдутся векторы хп Е Хп с \\хп\\ = 1
и dist(£n,Xn+i) ^ 1/2. При п < т имеем
Кхп - Кхт = хп - хт +(К - 1)хп - (.К - 1)хт,
где
Хщ “Ь (К- 1)Хп {К 1)хт ^ “Ь -^тИ-1 “Ь 1	-^тИ-1*
Поэтому \\Кхп—Кхт\\ ^ 1/2, т.е. из {Кхп} нельзя выделить фун¬
даментальную подпоследовательность вопреки компактности К.
Полученное противоречие означает, что Л — собственное значе¬
ние К. По лемме dim Кег(ЛГ — XI) < оо, т.е. Л имеет конечную
кратность. Покажем, что сг(К) не имеет отличных от нуля пре¬
дельных точек. Предположим, что Хп —> А, где Ап — собственные
числа и А/0. Можно считать, что Ап различны и |АП| ^ а > 0.
Возьмем хп Ф 0 с Кхп — Хпхп. Легко видеть, что векторы хп
линейно независимы. Обозначим через Хп линейную оболочку
£i,... ,хп. Ясно, что К(Хп) С Хп. По теореме 5.3.5 найдутся
упЕХп с \\уп\\ = 1 и dist(yn,Xn_i) ^ 1/2, п > 1. Мы имеем
Уп — OLnXп + znj zn Е Хп—\.

368
Глава 7. Спектральная теория
Тогда при п> т имеем
Куп Кут ~ К{апхп) Н“ Kzr,г Кут — otnXnxn + Кzn Кут —
- Хп(Уп -Zn + ЛnXKzn - КХКут),
где -zn + \~lKzn - \~lKym € Xn-i, ибо zn € X„_b Kzn € Xn_i,
€ Хто с Xn_i. Так как |A„| ^ а и dist(yn,Xn_i) ^ 1/2, to
||iTyn — Kym\\ > сг/2. Поэтому из {Kyn} нельзя выбрать фунда¬
ментальную подпоследовательность — противоречие.	□
7.3.3. Пример. Оператор Вольтерра V в Ь2[0,1] или С[0,1]
(пример 6.9.4(iv)) не имеет собственных чисел, т.е. cr(V) = {0}.
7.3.4. Следствие. Пусть К — компактный оператор в X.
Тогда (/ — К)(Х) — замкнутое подпространство конечной ко¬
размерности, т.е. X = (/ — К)(Х)®Е, где Е — конечномерное
линейное подпространство.
Доказательство. Замкнутость (I — К)(Х) уже доказана.
По лемме 6.8.1 это подпространство является пересечением ядер
функционалов из ядра I — К*. Так как dimKer(I — К*) < оо
ввиду компактности К* (см. теорему 6.9.3), то найдутся линейно
независимые функционалы ..., ln G Кег(/ — К*), для которых
(I — К)(Х) = HILiKer li. Возьмем векторы Х{ G X с k(xj) = Sij.
Тогда X есть сумма (J — К)(Х) и линейной оболочки ... ,хп.
Действительно, для всякого х 6 X положим z = х — X)<Li k(%)xi.
Это дает lj(z) = lj(x) — lj(x)lj(xj) = 0 при всех j = 1,..., п. □
Ясно, что это следствие остается в силе и для XI—К при Л ф 0,
ибо Х~гК — компактный оператор. В следующем параграфе мы
используем это соображение.
7.4.	Альтернатива Фредгольма
Мы уже знаем, что если ненулевое число Л не является соб¬
ственным для компактного оператора К в банаховом простран¬
стве X, то оператор К — XI обратим и потому уравнение
Кх — Хх = у	(7.4.1)
однозначно разрешимо для каждого у Е X. Здесь мы уточним
это утверждение и покажем, что из одного факта разрешимости
уравнения (7.4.1) при всех у следует его однозначная разреши¬
мость. Иначе говоря, нетривиальность ядра К — XI означает, что
(К — Х1)(Х) ф X, как и в конечномерном случае.

7.4. Альтернатива Фредгольма
369
7.4.1. Теорема. (Альтернатива Фредгольма) Пусть дан
компактный оператор К в комплексном или вещественном ба¬
наховом пространстве X. Тогда
Ker(K - I) = О (К- 1)(Х) = Ху
т.е. либо уравнение
Кх — х — у
однозначно разрешимо при всех у Е X, либо для некоторого век¬
тора у Е X оно не имеет решений и тогда однородное уравнение
Кх — х = О
имеет нетривиальные решения.
Доказательство. Если Кет(К — I) = 0, то по теореме 7.3.2
имеем 1 ф ст(К). Значит, (К — I)(X) = X. Обратно, пусть
(К - I)(X) = X, но Кег(К -1)ф0.
Как мы знаем, оператор К* в X* также компактен. Заметим, что
Кег (К* — I) = 0. В самом деле, если / Е X* и (К* — /)/ = 0, то
f((K — 1)х) = (К* — I)f(x) = 0 для всех х Е X.
Так как (К — I)(X) = X, то / = 0. По теореме 7.3.2 оператор
К*—1 обратим. Теперь возьмем ненулевой элемент а Е Кег(K—I).
По теореме Хана-Банаха имеется / Е X* с /(а) = 1. Пусть
g = (X* — I)~lf. Тогда (К* — I)g(a) = f(a) = 1. С другой сто¬
роны, (К* — I)g(a) = g((K — I)a) = 0 — противоречие. Часть
приведенных рассуждений можно было бы заменить ссылкой на
следствие 6.8.6.	□
7.4.2. Следствие. Альтернатива Фредгольма остается
в силе и для такого оператора К Е С(Х), что для некоторо¬
го п Е 1N оператор Кп компактен.
Доказательство. Пусть 1 Е &{К). Ввиду компактности Кп
и равенства а(Кп) = а(К)п на единичной окружности может
быть лишь конечное число точек Ai,..., Аш из а (К). Увеличив п,
можно считать, что п — простое число и ехр(2&7гг/п) ф Aj при
k = 1,...,п — 1, j = 1,... ,m. Пусть в := ехр(27гг/п). Тогда вк
отлично от всех А^ при & = 1,..., п — 1, т.е. операторы I — вкК
обратимы. Значит, обратим оператор V = (I—QK) • • • (/—в^^К).
Так как
1-Кп = (1-К){1-вК)---{1-вп~гК) = (I- K)V,

370
Глава 7. Спектральная теория
где V обратим и коммутирует с К, то К — I и Кп — I имеют
равные ядра и равные образы.	□
Ясно, что альтернатива Фредгольма остается в силе для вся¬
кого ненулевого числа Л вместо 1, т.е. разрешимость (7.4.1) со
всякой правой частью равносильна отсутствию нетривиальных
решений уравнения
Кх-\х = 0.	(7.4.2)
В качестве применения теоремы Фредгольма докажем следу¬
ющий важный результат Вейля о поведении спектра при ком¬
пактных возмущениях.
7.4.3.	Теорема. Пусть X — банахово пространство и А —
ограниченный оператор в X. Тогда для всякого компактного опе¬
ратора К в X спектры операторов А и А +К совпадают с точ¬
ностью до множеств собственных значений, т.е.
а(А)\ар(А) С а(А + К) и а{А + К)\ар(А + К) С <т(Л).
Доказательство. Пусть Л е а (А). Нам надо показать, что
если оператор С := А + К — XI обратим, то Л — собственное
значение А. Рассмотрим равенство
А - XI = С + (А - XI - С) = С - К = С(1 - С-1 К).
Так как Л Е а (Л), то оператор I — С-1 К не может быть обра¬
тимым. По теореме Фредгольма (которая применима ввиду ком¬
пактности С~1К), он имеет нетривиальное ядро, т.е. существует
такой ненулевой вектор v, что С~гКи = v. Тогда Kv = Cv, отку¬
да Av = Лг;, что и требовалось. Применяя доказанное к операто¬
рам А+К и —К, получаем второе соотношение из формулировки
теоремы.	□
Стоит отметить, что полные спектры А и А+К все-таки могут
сильно отличаться (задача 7.10.64).
Классические результаты Фредгольма были получены в тер¬
минах интегральных уравнений. Прежде чем обратиться к их
рассмотрению, приведем еще один абстрактный результат — так¬
же входящий в число так называемых теорем Фредгольма —
о связи между разрешимостью уравнений вида (7.4.1) и (7.4.2)
и разрешимостью аналогичных уравнений с сопряженным опе¬
ратором. Напомним, что для компактного оператора К в X со¬
пряженный оператор К* в X* также компактен.

7.4. Альтернатива Фредгольма
371
7.4.4.	Теорема. Пусть К G /С(Х) и А ф 0. Уравнение (7.4.1)
разрешимо для тех и только тех у, которые входят в множе¬
ство
{z е X: f(z) = 0 V/ G Кег(К* - XI)} = f) Кег/,
f ЕКет(К*—XI)
называемое аннулятором Кег(Х* — XI) в X. При этом
dimKer(K-XI) = dimKer(К*-XI) = codim(X-AJ)(X). (7.4.3)
Доказательство. Достаточно рассмотреть Л = 1. Первое
утверждение было объяснено в доказательстве следствия 7.3.4.
При этом было показано, что есть такие векторы xi,...,xn в X
и функционалы Zi,..., 1п е Кег (К* — /), что Кег (К* — I) совпа¬
дает с линейной оболочкой функционалов Zi,...,Zn, выполнены
равенства U(xj) = Sij, (К — 1)(Х) = ПГ=1 Кег Z*, причем п-мерное
подпространство Е, порожденное Ж1,...,жп, дополняет замкну¬
тое подпространство (К — 1)(Х) до X. Итак,
dimKer(К* — I) = dimX = codim(К — 1)(Х). .
Покажем, что dimKer (К — I) = п. Конечномерное подпростран¬
ство Хо := Кег (К — I) можно дополнить до X замкнутым линей¬
ным подпространством Х\ (следствие 6.4.2). Если dimXo < п, то
найдем инъективный, но не сюръективный оператор Kq : Xq —*Е.
Записывая х в виде х = хо ф xi, хо 6 Хо, х\ е Xi, зададим опе¬
ратор К\: X —> X, ж н-* Хо^о + X#. Этот оператор компактен
в силу компактности X и указанного следствия. Ядро К\ — I
тривиально: если К\х = ж, то ж — Кх — KqXq £ X, откуда
Хо^о = 0 и xq = 0, ибо ЕП(К- 1)(Х) = 0 и КегХо = 0. Это
дает х\ — Кх\ = 0 и х\ = 0 из-за инъективности К — I на Xi.
Кроме того, образ К\ — I отличен от X (не все Е входит в него),
что невозможно ввиду альтернативы Фредгольма. Аналогичным
образом, если dimXo > п, то имеется сюръективный оператор
Xq: Хо —► Е с нетривиальным ядром. Это дает сюръективный
оператор Xi — I с нетривиальным ядром, что также исключается.
Итак, dimXo = п. Ввиду уже доказанного коразмерность образа
X* — I также равна п.	□
Применим доказанные абстрактные результаты к тем объек¬
там, с которых и начиналась теория Фредгольма, — интеграль¬
ным операторам. Пусть дано комплексное квадратично-интегри-
руемое ядро /С на [а, 6]2 или, более общим образом, на 0x12, где

372
Глава 7. Спектральная теория
(fi, А, /х) — пространство с неотрицательной мерой. Это ядро за¬
дает компактный оператор
т.е. соответствует ядру /C*(t, s) := /C(s,t). Если ядро вещественно
и симметрично, то /С = /С*. Первый вопрос теории интегральных
уравнений — разрешимость уравнения
с заданной правой частью. Полученные выше результаты приво¬
дят к следующим выводам относительно (7.4.4).
(1) Множество решений уравнения (7.4.4) с у = 0 имеет конеч¬
ную размерность п, причем такую же размерность имеет множе¬
ство решений однородного уравнения, соответствующего ядру /С*;
(2) если щ,... ,ип — линейно независимые решения однород¬
ного уравнения, соответствующего /С*, то множество всех тех у,
для которых уравнение (7.4.4) разрешимо, состоит из функций у,
Конечно, сказанное верно и для оператора в вещественном
пространстве, заданного вещественным ядром.
Рассмотрим аналогичный вопрос для интегрального операто¬
ра К, заданного непрерывным вещественным ядром /С в С[а, Ь].
Такой оператор тоже компактен. Поэтому к нему применима те¬
орема 7.4.4. Однако эта теорема привлекает сопряженный опера¬
тор в сопряженном пространстве С [а, 6]*, представляющем собой
пространство мер. Возникает вопрос, нельзя ли при решении за¬
дачи о разрешимости уравнения х — Кх = у ограничиться рас¬
смотрением сопряженного оператора
лишь на функциях из С[а, Ь] (оператор К' есть сужение К* на
подпространство в С[а,Ь]*, соответствующее мерам, заданным
в комплексном пространстве L2[a, Ь] или аналогично определяе¬
мый оператор в Ь2(/х). Как показывает непосредственное вычис¬
ление, сопряженный оператор К* задается формулой
(7.4.4)
для которых y(t)ui(t) dt — 0, г = 1,..., п.

7.4. Альтернатива Фредгольма
373
непрерывными плотностями). Это оказывается возможным. Дей¬
ствительно, по общей теореме нам надо исследовать уравнение
а — К*а = 0 в С[а, Ь]*, где К*а есть мера, действующая на
х € С[а, b] по формуле
Это означает, что мера К* а задается непрерывной плотностью
Поэтому наличие нетривиальных решений уравнения а—К* а = О
в С [а, Ь]* равносильно существованию ненулевых решений урав¬
нения q — KfQ = 0 в С[а, Ь].
Следует иметь в виду, что здесь была использована непрерыв¬
ность /С по обоим аргументам (точнее, здесь важно, что К* пе¬
реводит С[а, 6]* в С[а,Ь]). Рассмотрим ядро /C(t,s) = (3/2)£s-1/2,
которое непрерывно лишь по одному аргументу, но очевидным
образом порождает компактный оператор в С[0,1] с одномерным
образом. Оператор К* в С[0,1]* также имеет одномерный образ,
а мера а = s~l/2ds удовлетворяет уравнению К*а = а и по¬
рождает Кег (К* — I). По теореме 7.4.4 условие разрешимости
уравнения х — Кх = у дается равенством
Если же здесь действовать по формальной аналогии с предыду¬
щим случаем и искать собственные векторы сопряженного ядра
лишь в С[0,1] или L2[0,1] (а не в С[0,1]*), то, убедившись, что их
нет, можно сделать неверный вывод о разрешимости уравнения
х — Кх = у при всех у.
Отметим, что непрерывность ядра /С в случае отрезка или
его квадратичная интегрируемость в общем случае были нужны
лишь для того, чтобы просто проверить компактность К. Теоре¬
ма 7.4.4 применима также к операторам в L2[0,1] или С[0,1], за¬
данным сингулярными ядрами /С(£, s) = /Со(£, s)\t—s|“a, где а < 1
и измеримая функция /Со ограничена в случае L2[0,1] и ограни¬
чена и непрерывна по t в случае С[0,1] (см. задачу 6.10.138). Ес¬
ли же функция /Со непрерывна и а < 1/2, то при исследовании
разрешимости уравнения х — Кх = у в С[0,1] тоже достаточно
К*а(х) = Kx(t) a(dt) =	/C(i,	s)x(s)	ds	a(dt).
g(t) = /	/C(£,	s)a(ds).
J[aM

374
Глава 7. Спектральная теория
анализировать уравнение 2 — Kfz = 0, соответствующее сопря¬
женному ядру, лишь в С [0,1], а не в С[0,1]*. В самом деле,
при у £ С[0,1] разрешимость уравнения х — Кх = у в С[0,1]
равносильна его разрешимости в L2[0,1], ибо Кх € С[0,1] при
х £ Ь2[0,1], что легко проверяется ввиду квадратичной интегри¬
руемости |s|_a при а < 1/2. Кроме того, все решения уравнения
2 — К'z = 0 в L2[0,1] также входят в С[0,1].
7.5.	Теорема Гильберта-Шмидта
В конечномерном пространстве всякий самосопряженный опе¬
ратор является диагональным в некотором ортонормированном
базисе. В бесконечномерном случае самосопряженный оператор
может вообще не иметь собственных векторов (например, как опе¬
ратор Ax(t) = tx(t) в L2[0,1]). Однако для компактных само¬
сопряженных операторов сохраняется полная аналогия с конеч¬
номерным случаем. В этом состоит следующий замечательный
классический результат.
7.5.1.	Теорема. (Теорема Гильберта-Шмидта) Предпо¬
ложим, что А — компактный самосопряженный оператор в ве¬
щественном или комплексном сепарабельном гильбертовом про¬
странстве Н ф 0. Тогда А имеет собственный ортонормиро¬
ванный базис {еп}; т.е. Аеп =	где числа ап вещественны
и стремятся к нулю, если Н бесконечномерно.
Доказательство. Заметим, что А имеет собственные век¬
торы. В самом деле, по теореме 7.2.6 инфимум и супремум функ¬
ции Qa(%) = (Ах,х) на единичной сфере входят в спектр. Если
они равны нулю, то А = 0. Если хотя бы одно из этих чисел отлич¬
но от нуля, то в силу компактности А оно является собственным.
Все собственные числа А вещественны. Собственные векторы, от¬
вечающие разным собственным числам, взаимно ортогональны.
Действительно, если Аа = аа и АЬ = (ЗЪ, то
/3(а,Ь) = (а, АЬ) = (Аа,Ь) = <*(а,6),
откуда (а, 6) = 0 при а ф (3. Следовательно, в силу сепара¬
бельности Н собственных чисел не более чем счетное множество.
Каждое ненулевое собственное число имеет конечную кратность
ввиду компактности А. Пусть {ап} ~ все собственные числа А.
В каждом подпространстве Нп := Кег(А—ап1) выберем ортонор¬
мированный базис (для ап ф 0 такие базисы конечны). Объедине¬
ние всех этих базисов дает ортонормированную систему {еп} в Н.

7.5. Теорема Гильберта-Шмидта
375
Остается проверить, что {еп} — базис. Обозначим через Я' за¬
мкнутую линейную оболочку {еп}. Легко видеть, что А(Н') С Я',
ибо А{Нп) С Нп для всех п. Пусть Н" — ортогональное допол¬
нение Н'. Заметим, что А(Н") с Н". В самом деле, если и € II",
то для всякого v € Н' имеем (Au,v) = (u,Av) = 0, поскольку
Av Е Я'. По доказанному в Н" есть собственный вектор А, что ве¬
дет к противоречию, если Я" ф 0. Теорема 7.3.2 дает ап —> 0.	□
7.5.2.	Замечание. Аналогичное утверждение верно и для
несепарабельного пространства Я. Здесь существует такое сепа¬
рабельное замкнутое подпространство Яо С Я, что А(Яо) С Яо
и А(Н±) = 0. В качестве Щ можно взять замыкание А(Н), ко¬
торое сепарабельно в силу компактности А.
Имеется и другое, вариационное, доказательство этой важной
теоремы, которое не использует спектральной теории. Из приве¬
денного рассуждения видно, что основное — установить нали¬
чие хотя бы одного собственного вектора. Такой вектор мож¬
но найти, исследуя на максимум функцию Q(x) = \(Ах,х)\ на
замкнутом единичном шаре (конечно, если уже иметь теорему
Гильберта-Шмидта, то ясно, что максимум достигается на соб¬
ственных векторах, отвечающих наибольшему по модулю соб¬
ственному числу). Обозначим через q супремум этой функции и
найдем единичные векторы hn с Q(hn) —► q. Выберем из {hn} под¬
последовательность {hni}, слабо сходящуюся к некоторому векто¬
ру h. Последовательность {Ahn.} сходится по норме к Ah, откуда
(Ahni,hni) —> (Ah, h) и Q(h) = q. Ясно, что \\h\\ = 1, если \\А\\ > 0.
Теперь нетрудно проверить, что h — собственный вектор. Для
этого достаточно показать, что Ah X /Л, ибо тогда Ah = Лh.
Пусть е X h, ||е|| = 1. Можно считать, что (Ah, h) > 0. Тогда при
всех вещественных t имеем (1 + t2)~lQ(h + te) ^ q, т.е.
q + 2tRe (Ah, е) + t2(Ae, е) ^ q + qt2.
Это возможно лишь при Re (Ah, е) — 0, что ввиду произвольности
е Eh1- доказывает соотношение Ah X /Л.
Отметим еще, что вместо \(Ах,х)\ можно было бы исследо¬
вать на максимум саму функцию (Ах, х), если дополнительно
предположить, что она принимает хотя бы одно положительное
значение. Если же (Ах, х) < 0, то можно перейти к исследованию
минимума.

376
Глава 7. Спектральная теория
Приведенное рассуждение не только дает другое доказатель¬
ство, но и приводит к следующему полезному вариационному
принципу. Обозначим через Сп совокупность всех n-мерных ли¬
нейных подпространств в гильбертовом пространстве Н.
7.5.3. Теорема. Пусть А — компактный самосопряженный
оператор в вещественном или комплексном гильбертовом про¬
странстве и а 1 ^ <*2 • • • > 0 — все положительные собственные
значения А, выписанные в порядке убывания с учетом кратно¬
стей. Тогда справедливы следующие равенства для тех п, для
которых есть ап > 0.
(i) Вариационный принцип Куранта:
ап — min max (Ах, х).	(7.5.1)
ьеСп-1 *61^,11*11=1
(ii) Вариационный принцип Фишера:
ап = max min (Ах,х).	(7.5.2)
LeCn *6L, ||*||=i
Доказательство, (i) Пусть L е £n-i* В пространстве
Нп, порожденном ортонормированными собственными вектора¬
ми е\,..., еп, отвечающими собственным числам а\,..., ап, есть
вектор h L L. Так как при х € Нп мы имеем (Ах,х) ^ ап(х,х),
то msxxeL±^=1{Ax, х) ^ ап. Если взять L = Нп-\, то равенство
достигается.
(ii)	Пусть L 6 Сп. Тогда в L есть вектор h JL Нп~\, где Нп —
те же, что и выше. Ясно, что тогда {Ah, К) ^ an(h,h). Значит,
min*€L,||*||=1 {Ах,х) < ап. Если взять L = Нп, то равенство до¬
стигается.	□
Аналогичные вариационные описания можно выписать и для
отрицательных собственных чисел (можно просто перейти к —А).
Отметим, что в бесконечномерном случае приходится разде¬
лять положительные и отрицательные собственные числа. В ко¬
нечномерном случае указанные равенства выполнены для всех
собственных чисел, записанных в порядке убывания.
Следующий результат ясен из доказанного.
7.5.4. Следствие. Пусть А и В — компактные самосопря¬
женные операторы в вещественном или комплексном гильбер¬
товом пространстве Н, причем (Ах,х) ^ (Вх,х). Пусть {ап}
и {/Зп} — последовательности их положительных собственных
чисел, записанных в порядке убывания с учетом кратностей. То¬
гда для каждого п выполнено неравенство ап ^ (Зп.

7.6. Унитарные операторы
377
7.6.	Унитарные операторы
Пусть Н — комплексное гильбертово пространство и А —
ограниченный оператор в Н. Напомним, что а (А*) есть множе¬
ство, комплексно-сопряженное <т(А) (замечание 7.1.10).
7.6.1. Определение. Линейный оператор U в гильберто¬
вом пространстве Н ф 0 называется унитарным, если он отоб¬
ражает Н на Н и сохраняет скалярное произведение, т.е.
(Ux,Uy) = (х, у) для всех х,у Е Н.
Унитарным изоморфизмом ненулевых гильбертовых прост¬
ранств Н\ и H<i называется взаимно однозначный линейный опе¬
ратор U: Hi —► H<i, сохраняющий скалярное произведение.
Равносильное определение унитарности — равенство
и~г = U*
или два равенства
UU* = U*U = I.
Отметим, что лишь одного из этих равенств недостаточно для
унитарности оператора, если не потребовать его обратимость. На¬
пример, пусть Ux = (0, #i,	• • •) в 12- Тогда U сохраняет скаляр¬
ное произведение и [/*[/ = /, однако UU* ф I.
7.6.2. Пример. Пусть — рассмотренный в примере 7.1.11
оператор умножения в L2(/jl) на ограниченную //-измеримую фун¬
кцию (р. Тогда условие унитарности оператора А^ состоит в ра¬
венстве \(р(ш)\ = 1 для //-п.в. ш. В самом деле, равенство	= I
дает соотношение ср(и;)(р(и) = 1 для //-п.в. ш. Обратно, из этого
соотношения ясно, что Л<^Л* = I = Л* Л^.
7.6.3. Лемма. Спектр унитарного оператора принадлежит
единичной окружности.
Доказательство. Пусть U — унитарный оператор. Тогда
\\U\\ = 1 и потому спектр U лежит в единичном круге. Это же
верно и для U*, но U* = Е/-1, что исключает из спектра внутрен¬
ние точки круга: если оператор U — XI не обратим, то таков же
и I — AU*, а потому и A-1/ — U*.	□
7.6.4. Определение. Оператор Ai в гильбертовом про¬
странстве Hi называется унитарно эквивалентным оператору
Л2 в гильбертовом пространстве Н2, если существует такой

378
Глава 7. Спектральная теория
унитарный изоморфизм J: Hi —► #2» 'мяо Д1 = J lA2J, т.е.
мы имеем коммутативную диаграмму
нх щ
V V'
н2 —^ н2
7.6.5. Лемма. Линейная изометрия гильбертовых прост¬
ранств является унитарным изоморфизмом.
Доказательство. Пусть J: Hi —»• Н2 — линейная изомет¬
рия. Тогда ||«7ж +«7у||2 = ||ж + у||2, ||«7ж||2 = ||т||2, ||Jy||2 = ||у||2, от¬
куда (Jx,Jy) + (Jy,Jx) = (х,у) + (у,х), т.е. Re(Jx,Jy) = Rе(х,у).
Заменив х на гх в комплексном случае, получим равенство и для
мнимых частей. Изометрия сюръективна по определению. □
Характеристики оператора, не меняющиеся при унитарной
эквивалентности, называются унитарными инвариантами. На¬
пример, спектр и норма — унитарные инварианты.
7.6.6. Лемма. Пусть Н\ и Щ — гильбертовы простран¬
ства, Но С Hi — всюду плотное линейное подпространство,
U: Hq —► Н2 — линейное отображение, сохраняющее скалярное
произведение. Тогда U единственным способом продолжается
до линейного отображения из Н\ в Н<ь, сохраняющего скаляр¬
ное произведение и имеющего замкнутый образ. Если 11(Щ) ф О
плотно в Щ, то продолжение является унитарным изоморфиз¬
мом.
Доказательство. Пусть х е Н\. Найдем хп е Но с хп —> х.
Тогда последовательность {Uxn} фундаментальна в Щ и потому
сходится к некоторому у Е H<i- Положим Ux := у. Из условия
ясно, что у не зависит от выбора сходящейся к х последователь¬
ности. Если zn —► z, то
ахп + f3zn —* ах + j3z и aUхп + /3Uzn —> aUх + (3Uz,
откуда U(ах + f3z) = aUx + ftUz. Итак, продолжение линейно.
Кроме того,
(Ux,Uz)= lim (Uxn,Uzn) = lim (xn,zn) = (x,z).
n—>00	71—►OO
Поскольку U сохраняет норму, то множество U(H\) замкнуто.
Если оно плотно, то совпадает с Н^	□

7.6. Унитарные операторы
379
Обобщением унитарного оператора является частцчная изо¬
метрия. Так называется оператор J, определенный на замкну¬
том линейном подпространстве Hi гильбертова пространства Н
и отображающий его с сохранением нормы на замкнутое подпро¬
странство i?2 С Н. Ясно, что такой оператор сохраняет также
и скалярное произведение. Однако он не всегда продолжается до
унитарного оператора. Например, оператор J: (0,Х1,хч, - - •)
(х\, #2) • • •) изометрично отображает замкнутую гиперплоскость
в I2 на все пространство и не может быть продолжен до изометри¬
ческого оператора на всем 12. Всякая частичная изометрия V име¬
ет максимальное частично изометрическое продолжение V. Дей¬
ствительно, если Hi не совпадает с Я, но при этом V(H{) ф Я, то
возьмем ортогональные дополнения Ei := Н± и Еч := V(Hi)~L.
Тогда возможны следующие случаи: 1) пространства Ei и Еч изо-
метричны и потому V можно доопределить до унитарного изо¬
морфизма, 2) Еч «больше» Е\, т.е. Еч не изометрично Ei, но
имеет замкнутое подпространство Е2, изометричное Е\, что да¬
ет изометрию между Я и V(Hi) ® Е2, 3) Ei «больше» Ечг т.е.
Ei не изометрично Еч, но имеет замкнутое подпространство Е[,
изометричное Еч, что дает изометрию между Hi © Е[ и Я.
Отметим некоторые свойства частичных изометрий. Напо¬
мним, что ортогональный проектор — это оператор ортогональ¬
ного проектирования на замкнутое подпространство (см. след¬
ствие 5.4.6).
7.6.7.	Предложение. Пусть V € £(Я). Следующие условия
равносильны:
(i) оператор V является частичной изометрией на ортого¬
нальном дополнении ядра;
(ii) V* V — ортогональный проектор на некоторое замкнутое
подпространство;
(iii) V = vv*v.
При этом Кег V1- = V*V(H) и V* — также частичная изо¬
метрия из V(H) на Кег равная нулю на У (Я)-1.
Доказательство. Если оператор V изометрично отобража¬
ет Hi на V(Hi) и равен нулю на Н±, то оператор V* равен ну¬
лю на V(Hi)1- и изометрично отображает V(Hi) на Н±. В самом
деле, из равенства (Vx,y) = (x,V*y) видно, что V*y = 0 при
у _L V(Hi) = У (Я). При у € V(Hi), т.е. у = Vz с z е Hi, имеем

380
Глава 7. Спектральная теория
V*y JL Кег У, т.е. V*y е Н\. Тогда (Vx,y) = (x,z) = (x,V*y)
при жеЯх, откуда V*y = z. Поэтому V*V есть проектор на ifi,
откуда V = VV*V.
Пусть V*V — ортогональный проектор Р на замкнутое под¬
пространство Н\. Тогда V = 0 на Н± и V — изометрия на J9i,
ибо (Vx,Vx) = (V*Vx,x) = (Рх,х) = (Рх,Рх). Ясно, что вы¬
полнено и равенство У = VV*V\ Наконец, пусть для V имеет
место это равенство. Тогда V*V = (V*V)2, т.е. самосопряженный
оператор А = У*У удовлетворяет тождеству А = А2. Легко про¬
верить (это сделано ниже в лемме 7.9.1), что А — ортогональный
проектор.	□
Из сказанного ясно, что оператор V является максимальной
частичной изометрией, доопределенной нулем на ортогональном
дополнении подпространства, на котором он изометричен, тогда
и только тогда, когда либо V*V = J, либо VV* = I (т.е. один из
операторов V или V* изометричен на всем Н).
Расширения изометрических операторов будут рассмотрены
в гл. 10 в связи с изучением расширений симметрических опе¬
раторов. В следующем параграфе частичные изометрии исполь¬
зуются для получения так называемого полярного разложения
оператора.
7.7.	Непрерывные функции от самосопряженных
Всякий линейный оператор А в пространстве X можно под¬
ставить в качестве аргумента многочлена / одного переменно¬
го и получить оператор f(A). Здесь мы установим совершенно
нетривиальный факт, что самосопряженные операторы можно
подставлять в любые непрерывные функции.
7.7.1.	Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор
в ненулевом комплексном гильбертовом пространстве и Р —
многочлен с комплексными коэффициентами. Тогда
операторов
(7.7.1)
Доказательство. Пусть P(t) = YX=ocbtk- Тогда
П
П
Р(А)*Р(А) =	=	Q(A),
fc=о	*=о

7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов
381
Q: t *->P(t)P(t) — многочлен, Р(А)*Р(А) самосопряжен. Значит,
\\Р(А)\\2 = sup (Р(А)х,Р(А)х) =
INK1
= sup (Р(А)*Р(А)х,х) = ||Р(Л)*Р(А)|| =
||х|К1
sup |Л| = sup \P(t)P(t)\ = sup |P(i)|2,
ЛЕсг(Р(А)*Р(А))	tEcr(A)	t£a(A)
где третье и четвертое равенства вытекают из теоремы 7.2.6,
а предпоследнее равенство получено из теоремы 7.1.9.	□
В вещественном случае это же верно для вещественных мно¬
гочленов.
С помощью этой леммы легко определить непрерывные функ¬
ции от самосопряженного оператора. Напомним, что алгеброй
называют линейное пространство £, наделенное ассоциативным
умножением (а, 6) аб, для которого (\а)Ь = а(\Ь) = Ааб,
(а + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd при всех а, Ь, с, d е £ и всех ска¬
лярах А. Алгебры более подробно обсуждаются в гл. 11. Важней¬
ший для нас пример — алгебра С(Н) операторов в гильбертовом
пространстве Н. Обозначим через С(К) алгебру непрерывных
комплексных функций на компакте К.
7.7.2.	Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
в комплексном гильбертовом пространстве Н ф 0. Существует
единственный гомоморфизм J алгебры С(а(А)) в алгебру С{Н),
такой, что
1) J(P) = Р(А) для всякого многочлена Р: 1R1 —> С,
2) \\J(f)\\ = SUP 1/(01 для всех / G С(а(А)),
iE<j(A)
3) «/(/)* — J(f) для всех f е С(сг(А)).
Аналогичное утверждение верно в случае вещественных про¬
странств Н и С (а (А)).
Доказательство. Для каждого многочлена / положим
Af) := f(A).
Для всякого / € С(а(А)) найдется последовательность много¬
членов /п, равномерно сходящаяся к / на компакте ст(А) веще¬
ственной прямой. По лемме последовательность операторов /П(А)
фундаментальна в С(Н) и потому сходится по операторной норме

382
Глава 7. Спектральная теория
к некоторому оператору J{f) G С{Н). Важно, что этот оператор
не зависит от приближающей последовательности: если много¬
члены дп также равномерно сходятся к / на ст{А), то таковы и
многочлены /1,01, f2ч92ч • • •> что доказывает наше утверждение.
Если многочлены (рп сходятся в С{а(А)) к функции (р, а много¬
члены фп сходятся к функции ф, то (р(А)ф(А) есть
lim <рп(А) lim фп(А) = lim <рп(А)фп(А) = (<р-ф){А),
п—+оо	п—юо	п—►оо
ибо многочлены фпфп сходятся к функции ц>ф. Итак, построен го¬
моморфизм. При этом ||/(А)|| = lim ||/п(Л)||, что доказывает 2).
п—>оо
Кроме того, J(f) = J(f)*. Из доказательства ясна единствен¬
ность гомоморфизма с указанными свойствами.	□
Положив f(A) := J(f) для непрерывных функций /, получа¬
ем равенство \\f(A)\\ = sup \f(t)\.
tea(A)
7.7.3.	Следствие. Пусть f G C(a(A)) и f(t) ^ 0 для всех
t G a(A). Тогда оператор f(A) самосопряжен и f{A) ^ 0.
Доказательство. Неотрицательная функция / приближа¬
ется неотрицательными на сг(А) многочленами с вещественны¬
ми коэффициентами. Для этого достаточно приблизить \fj ве¬
щественными многочленами /п и рассмотреть /^.	□
Взяв функцию /(£) = y/t на [0, +оо) в случае оператора А ^ 0,
получаем оператор у/А.
7.7Л. Следствие. Если А ^ 0, то оператор у/А самосопря¬
жен, неотрицателен и А = у/Ау/А.
Оператор у/А оказывается единственным неотрицательным
оператором, квадрат которого равен А (задача 7.10.73).
7.7.5.	Следствие. Для всякого ограниченного оператора А
в гильбертовом пространстве Н оператор
\А\ := (А*А)1/2
определен и неотрицателен. Оператор |Л| называют абсолют¬
ным значением А.
Доказательство. Имеем (А*Ах,х) = {Ах, Ах) ^ 0.	□

7.7. Непрерывные функции от самосопряженных операторов
383
7*7.6. Пример. Пусть — рассмотренный в примере 7.1.11
оператор умножения в L2{p) на ограниченную /i-измеримую фун¬
кцию р. Оператор можно подставлять в любые ограниченные
борелевские функции / на комплексной плоскости (не обязатель¬
но непрерывные), определив f(A4f) как оператор умножения AfQ(p
на ограниченную /л-измеримую функцию fop. Ясно, что для мно¬
гочлена / это дает оператор /(А<^). Более того, из теоремы 7.7.2
нетрудно усмотреть, что в случае вещественной функции р по¬
строенный там оператор /(Аи есть оператор умножения на
функцию fop. Ниже, когда мы установим унитарную эквивалент¬
ность всякого самосопряженного оператора некоторому операто¬
ру умножения А<р, это позволит легко определять борелевские
функции от самосопряженных операторов.
Следующий полезный результат выражает общие операторы
через самосопряженные операторы и частичные изометрии и на¬
зывается полярным разложением оператора.
7.7.7.	Теорема. Пусть А — ограниченный оператор в ком¬
плексном или вещественном гильбертовом пространстве Н. То¬
гда существует частичная изометрия U на замыкании обра¬
за \А\, равном ортогональному дополнению ядра А, для которой
А = U\A\.
Если А ф 0 имеет нулевое ядро и плотный образ, то U — уни¬
тарный оператор.
Доказательство. Положим
Uy := Ах, у = \А\хе\А\(Н).
Так как
(Ах, Ах) = (А*Ах,х) = (\А\2х,х) = (\А\х, \А\х),
то при | А\х = 0 имеем Ах = 0, что доказывает корректность зада¬
ния U. Из приведенных равенств получаем (Uy,Uy) = (у, у), т.е.
U — изометрия на ^[(i?). Поэтому U продолжается до частичной
изометрии на замыкании \А\(Н). Эти же равенства показывают,
что Кег А = Кег \А\. Так как \А\ — самосопряженный оператор,
то замыкание его образа есть ортогональное дополнение ядра (см.
лемму 6.8.4). Если оператор А инъективен и имеет плотный об¬
раз, то оператор U на замыкании \А\(Н) всюду определен и имеет
плотный образ. Поэтому он унитарен.	□

384
Глава 7. Спектральная теория
Обычно бывает удобно доопределить U до оператора на всем
пространстве Н, положив и\кегА — 0. Ниже при необходимости
рассматривать U на всем Н будет предполагаться такое доопре¬
деление. Способ доопределения не влияет на U\A\, однако при
указанном доопределении сопряженный оператор U* также ока¬
зывается частичной изометрией. Действительно, так продолжен¬
ный оператор U равен нулю на Кет А и линейно и изометрично
отображает замкнутое подпространство
Нг := (Кег Л)= ~А*{Н)
на замкнутое подпространство
#2 := ~МН) = (Кег-А*)"1.
Ортогональное разложение Н = Кет А® А*(Н) = Кег А* © А(Н)
показывает, что оператор U* равен нулю на Кег А* и отобража¬
ет #2 изометрично на Hi посредством обратного к C/|#i (здесь
можно было бы сослаться на предложение 7.6.7). Значит, U*U
есть ортогональный проектор на Я1, a UU* есть ортогональный
проектор на H<i. Это дает (при указанном доопределении J7, ко¬
нечно) равенство
\А\ = U* А.
О единственности полярного разложения см. задачу 7.10.86.
Полярное разложение напоминает представление комплекс¬
ного числа 2 в виде г = e^\z\. Правда, эта аналогия имеет свои
пределы. Скажем, не всегда \А + В\ < \А\ + \В\. Кроме того, не
всегда \А\ = \А*\. Например, если оператор А в I2 есть сдвиг
вправо (я?1,	(0,®i, #2, • • •)> то А*А = I и \А\ = J, однако
АА*х = (0, я?2,	...) и \А*\2 = АА* ф I.
Если оператор U унитарен (т.е. А инъективен и имеет плот¬
ный образ), то W = U* также унитарен, поэтому А* — |Л|ГГ, где
W унитарен. Так как А* тоже инъективен и имеет плотный образ,
то аналогично А = |Д*|У, где V унитарен. Однако в общем слу¬
чае не всегда можно разложить А в произведение А = ST само¬
сопряженного оператора S и унитарного оператора Т. В качестве
примера укажем рассмотренный выше сдвиг: оператор S должен
был бы иметь нулевое ядро и не плотный образ, что невозможно
для самосопряженного оператора.
Из полярного разложения и теоремы Гильберта-Шмидта по¬
лучаем следующее представление произвольного компактного
оператора в гильбертовом пространстве.

7.8. Функциональная модель
385
7.7.8.	Предложение. Пусть К — компактный оператор
в комплексном или вещественном сепарабельном гильбертовом
пространстве Н ф 0. Тогда найдутся две ортонормированные
последовательности {(рп} и {Фп} и стремящаяся к нулю после¬
довательность вещественных чисел \п, для которых
оо
Кх = ^2 Хп(х, <рп)фп, хен.
71=1
Кроме того, всякий оператор указанного вида компактен.
Доказательство. Пусть К = U\K\ — полярное разложе¬
ние. Пусть {ipn} — собственный базис самосопряженного ком¬
пактного оператора \К\ и \К\(рп = Ап<^п. Положим фп := U(pn
при таких п, что Utpn ф 0. Так как \К\х =	Ап(ж,</?п)<£п,
то после применения U к обеим частям этого равенства прихо¬
дим к нужному представлению (конечно, исключение номеров п
с Uipn = 0 требует перенумерации (рп и фп).	□
7.8.	Функциональная модель
Основной результат этого параграфа показывает, что с точно¬
стью до изоморфизма самосопряженные операторы — это опера¬
торы умножения на вещественные функции. Это утверждение яв¬
ляется континуальным аналогом известного из линейной алгебры
факта о приведении симметричной матрицы к диагональному ви¬
ду. Нетривиальность обобщения состоит, в частности, в том, что
в бесконечномерном случае самосопряженный оператор может не
иметь собственных векторов. Приведение оператора к виду умно¬
жения на функцию называют функциональной моделью опера¬
тора. В следующем параграфе мы обсудим представление само¬
сопряженного оператора в виде интеграла по проекторнозначной
мере. Сначала мы рассмотрим операторы, аналогичные конечно¬
мерным операторам без кратных собственных чисел. Аналогом
является следующее понятие.
7.8.1. Определение. Говорят, что оператор А в нормиро¬
ванном пространстве X имеет циклический вектор h, если ли¬
нейная оболочка векторов h, Ah, A2h,... всюду плотна в X.
7.8.2. Пример. Единичный оператор в пространстве размер¬
ности выше 1 не имеет циклических векторов. Оператор А^ умно¬
жения на аргумент в Ь2(р), где р — ограниченная борелевская

386
Глава 7. Спектральная теория
мера на отрезке, имеет циклические векторы. Например, цикли¬
ческим вектором является функция h(t) = 1, так как линейная
оболочка функций 1,£,£2,... состоит из всех многочленов и пото¬
му плотна в Ь2{р).
Будем говорить, что гильбертово пространство Н является
ортогональной суммой своих замкнутых подпространств Нп, ес¬
ли Нп ± Hk при п ф к и всякий вектор h € Н является суммой
ряда Ylri=1 Pnh, где Рп — оператор ортогонального проектирова¬
ния на Нп.
7.8.3. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда Н является
ортогональной суммой замкнутых подпространств Нп, таких,
что А(Нп) С Нп и А\нп обладает циклическим вектором.
Доказательство. Рассмотрим семейство <S, элементы ко¬
торого — наборы попарно ортогональных замкнутых подпрост¬
ранств Е С Я, таких, что А(Е) С Е и А\е имеет циклический
вектор. Это семейство частично упорядочено по включению. Вся¬
кая цепь в S имеет мажоранту: объединение своих элементов. По¬
этому в S есть максимальный элемент S. Ввиду сепарабельности
Н этот элемент S состоит из конечного или счетного набора вза¬
имно ортогональных подпространств Нп с указанным свойством.
Линейная оболочка всех Нп всюду плотна в Н, так как иначе
нашелся бы ненулевой вектор h _L Нп. Тогда замыкание Е ли¬
нейной оболочки последовательности векторов Akh, fc = 0,1,...,
было бы ортогонально всем Нп, переходило бы под действием
А в себя, а вектор h был бы циклическим для А\е. Однако та¬
кое невозможно ввиду максимальности S. Остается заметить, что
h =	Pnh	Для	всякого h 6 Н (Рп — проектор на Нп), ибо ина¬
че вектор а = h —	Pnh	был	бы ортогонален всем Нп и не
приближался векторами из линейной оболочки Нп.	□
7.8.4. Замечание. Аналогично можно определить разложе¬
ние Н = 07 Я7 с несчетным числом попарно ортогональных се¬
парабельных замкнутых подпространств Я7. Тогда предыдущая
лемма остается в силе и в случае несепарабельного Я, что дока¬
зывается тем же самым рассуждением.
7.8.5. Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор
с циклическим вектором в сепарабельном гильбертовом про¬
странстве Н ф 0. Тогда существует такая неотрицательная

7.8. Функциональная модель
387
борелевская мера р на компакте сг(Л); что оператор А унитарно
эквивалентен оператору умножения на аргумент в L2(p), т.е.
оператору А^ с <p(t) = t.
Доказательство. Пусть h — циклический вектор А. Зада¬
дим функционал I на С(а(А)) формулой 1(f) = (f(A)h, h). Ясно,
что получен непрерывный линейный функционал. Если / > О,
то 1(f) ^ О согласно доказанному в предыдущем параграфе. По
теореме Рисса найдется неотрицательная борелевская мера р на
компакте сг(Л), для которой
‘(f) = f /ММ*),	f€C(a(A)).
Ja(A)
Для целых неотрицательных к положим
и(Akh) := рк, где рк(t) = tk.
По линейности распространим U на конечные линейные комби¬
нации векторов Akh. Поскольку
{^акАкК^^шАть) = ((j2^m)(^2akAk)h,h) =
= J (E^m) (Е0*4*) м*) =
= (Е^Еал»)^)»
то отображение С/ корректно определено при распространении по
линейности (т.е. совпадающие линейные комбинации переходят
в один и тот же элемент L2(p)) и сохраняет скалярные произ¬
ведения. Множество значений U всюду плотно в Ь2(р), так как
в L2(p) всюду плотно множество многочленов, т.е. линейная обо¬
лочка {р*;}. По лемме 7.6.6 можно продолжить U до унитарного
оператора из Н в L2(p). По построению имеем
UA(£2<*kAkh) = u(j^akAk+1h) =
= Е акРк+1 = Ар Е акРк = AVU (Е akAkh)»
где </?(£) = £. Итак, UA — A^U, т.е. = {7Л£/-1.	□
Рассмотрим теперь общий случай спектральной теоремы.

388
Глава 7. Спектральная теория
7.8.6.	Теорема. (Функциональная модель самосопря¬
женного оператора) Пусть А — самосопряженный оператор
в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ф 0. Тогда на
прямой найдутся такие конечная неотрицательная борелевская
мера /л и ограниченная борелевская функция ip, что оператор
А унитарно эквивалентен оператору умножения на р в L2(p).
При этом функцию (р можно взять со значениями в о'(А).
Доказательство. Разложим Н в ортогональную сумму за¬
мкнутых подпространств Нп, которые переходят в себя под дей¬
ствием Д причем операторы А\нп имеют циклические векторы.
Ортогональную проекцию h на Нп обозначим через hn. Для каж¬
дого п на компакте <7(А) С [— ||Д|, \\А\\] найдем вероятностную
борелевскую меру /хп, для которой оператор А\нп унитарно эк¬
вивалентен умножению на аргумент в Ь2(рп). Можно считать,
что ||Л|| < 1, т.е. <т(А) С [а, Ь] С (—1,1). Перенесем меру рп на
интервал Пп = (2п — 3,2п — 1) и обозначим полученную меру че¬
рез ип (она сосредоточена на а (А) + 2п — 2). Ясно, что оператор
А\нп унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию
— 2п + 2 в L2(vn). Пусть Jn: Нп —► L2(i/n) — соответствую¬
щая унитарная эквивалентность. Положим
оо
ц = 2~пип
п=1
и <p(t) = t—2n+2 при t Е а(А)+2п—2. Вне этих компактов можно
как-нибудь доопределить (р до борелевской функции; например,
можно сделать равной фиксированному числу из а (А), что даст
функцию со значениями в &(А), а можно доопределить до непре¬
рывной периодической кусочно-линейной функции с (p(t) = t при
t Е [а, Ъ] (однако не всегда можно получить непрерывную функ¬
цию со значениями в сг(Л)). В пространстве Ь2{р) действует опе¬
ратор Ар умножения на (р. Зададим оператор J: Н —► L2(p) ра¬
венством
оо	оо
j-.	271,2JnK.
п=1	п=1
Ряд в правой части сходится в £2(/х), ибо функции Jnhn имеют
носители в дизъюнктных множествах сг(А) + 2п — 2, а интеграл
функции по мере р равен сумме ее интегралов по мерам 2~ni/n.

7.8. Функциональная модель
389
Проверим, что получены искомые объекты. Для всякого h 6 Н
имеем
оо	оо
WJh\\hw = Ег-г-плчЬю = £ ИМ2 = Ml2.
71=1	71=1
Кроме того,
ОО	ОО
AyJh = Y_\ <p2n/2Jnhn = J22n/2jnAhn = JAh-
71=1	71=1
Итак, J — унитарная эквивалентность операторов А и А<р. □
7.8.7.	Замечание, (i) В доказательстве построена мера на
прямой, а функция <р взята либо со значениями в а (А), либо
непрерывной и кусочно-линейной, йо легко видоизменить кон¬
струкцию так, чтобы получить меру на интервале (можно и про¬
сто преобразовать прямую в интервал с помощью функции arctg).
Непрерывной версии (р со значениями в спектре А может не быть,
если спектр не отрезок.
(ii) Замечание 7.8.4 позволяет получить аналог доказанной те¬
оремы в случае несепарабельного гильбертова пространства. Для
этого представим Н в виде ортогональной суммы инвариантных
относительно А взаимно ортогональных сепарабельных замкну¬
тых подпространств Я7, 7 6 Г. Сужение А на Щ унитарно эк¬
вивалентно умножению на измеримую функцию : IR1 —► ст(А)
в L2(/x7), где /х7 — некоторая борелевская мера на прямой. Теперь
можно взять Г дизъюнктных копий прямой и в качестве /х взять
сумму мер /х7 на этих копиях (что дает счетно-аддитивную меру
со значениями в [0, +оо]; такая мера может не быть сг-конечной).
(iii) Выбор Нп неоднозначен. Например, для оператора умно¬
жения на аргумент в L2[—1,1] можно взять подпространство Н\
функций, равных нулю на (0,1], и подпространство функций,
равных нулю на [—1,0). Операторы А\нг и А\н2 имеют цикличе¬
ские векторы. Тем более такое возможно при отсутствии цикли¬
ческого вектора во всем Я. В §10.4 мы обсудим некоторые кано¬
нические разложения, инвариантные при унитарных изоморфиз¬
мах. Отметим также, что спектр ограничения А на Нп может
быть строго меньше о'(А).
Приведение оператора к виду умножения на функцию позво¬
ляет подставлять его в борелевские функции.

390
Глава 7. Спектральная теория
7.8.8. Определение. Пусть А — самосопряженный опера¬
тор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ф 0 и / —
ограниченная борелевсшя функция на прямой. По доказанному А
унитарно эквивалентен посредством 'изоморфизма J оператору
умножения на ограниченную борелевскую функцию р в Ь2(р).
Определим оператор f(A) следующим образом:
f(A) := J~lAfoipJ.
Это определение переносится и на несепарабельный случай
путем разложения пространства, в котором действует самосопря¬
женный оператор, в прямую сумму инвариантных сепарабельных
подпространств.
Легко видеть, что такое определение согласовано с ранее вве¬
денной конструкцией непрерывной функции от самосопряженно¬
го оператора. В следующем параграфе борелевские функции от
самосопряженных операторов будут выражены через интегралы
по проекторным мерам, откуда будет следовать, что наше опре¬
деление борелевских функций от самосопряженного оператора не
зависит от выбора функциональной модели.
7.8.9. Следствие. Каждой ограниченной комплексной бо-
релевской функции f на прямой данное определение сопостав¬
ляет оператор f(A) Е С(Н) со следующими свойствами: если
/(*) = 9(t) пРи t Е а (А), то f(A) = g(A) и fn(A)x —> f(A)x при
всех х Е н, если fn(t) —» f(t) при всех t Е &(А) и |/п(£)| ^ С < оо
при всех п Е 1N и t Е а (А).
Доказательство. Приведем А к виду оператора умноже¬
ния на функцию р со значениями в а (А). Тогда первое утвер¬
ждение очевидно, а второе следует из теоремы Лебега.	□
С учетом примера 7.1.11 получаем такое утверждение.
7.8.10. Следствие. Пусть А — самосопряженный оператор
и / — непрерывная комплексная функция на сг(Л). Тогда
a{f(A)) = f(<r(A)).
Доказательство. Можно считать, что А есть оператор ум¬
ножения на ограниченную борелевскую функцию р в Ь2(/х), где
/х — ограниченная неотрицательная борелевская мера на прямой.
При этом для /х-п.в. t число <p(t) является точкой спектра А. То¬
гда f(A) есть умножение на функцию / о ру которая определена

7.8. Функциональная модель
391
/х-почти всюду. Если Л — существенное значение </?, то /(А) — су¬
щественное значение /оу>, ибо множество /_1({;г: |/(А) —z\ < г})
содержит окрестность Л для всякого г > 0. Если же точка г\ не
входит в компакт /(сг(А)), то она находится от него на положи¬
тельном расстоянии в, поэтому | f(<p(t)) — Г]\ ^ е для /i-П.В. t, что
дает обратимость оператора f(A) — rjl.	□
Важным примером функции от самосопряженного оператора
А является его преобразование Кэли
U = (A- iI)(A + И)-1 = <р(А),
где <p(t) = (t — i)/(t + г). Поскольку \(p(t)\ = 1, то оператор U
унитарен. Оператор А восстанавливается по U формулой
A = i(I + U)(I-U)-\
поскольку спектр U не содержит 1 в силу предыдущего след¬
ствия. Обратно, для всякого унитарного оператора U, спектр ко¬
торого не содержит 1, оператор г(/ + U)(I — U)~l самосопряжен,
что проверяется непосредственно. В самом деле, сопряженный
последнего есть —г(/ + U*)(I — и*)~~г. При этом верно равенство
—(I + U*)(I — U*)-1 = (I + U)(I — J7)-1, ибо после умножения
обеих частей на обратимый оператор (I — U*)(I — U) с учетом
перестановочности U и U* мы приходим к верному равенству
-(I + U*)(I-U) = (I + U)(I-U*) (в обеих частях стоит U-U*).
Если оператор А не имеет циклических векторов, то он не
может быть унитарно эквивалентным оператору умножения на
аргумент в L2(p) для какой-либо меры р на отрезке, ибо такой
оператор умножения обладает циклическим вектором, а наличие
циклических векторов очевидным образом сохраняется при уни¬
тарных изоморфизмах. Однако и в отсутствие циклических век¬
торов самосопряженный оператор приводится к виду умножения
на аргумент в пространстве векторных функций (cM.§7.10(viii)).
7.8.11.	Замечание. Полезно сравнить теорему Гильберта-
Шмидта о диагонализации компактного самосопряженного опе¬
ратора А в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с тео¬
ремой о приведении к виду умножения на ограниченную веще¬
ственную измеримую функцию ср в L2(p), где р — ограниченная
борелевская мера на прямой. Если оператор А не имеет кратных
собственных чисел (в том числе кратного нулевого), а простран¬
ство Н бесконечномерно, то А унитарно эквивалентен оператору
умножения на аргумент в L2(/x), где р — вероятностная мера,

392
Глава 7. Спектральная теория
сосредоточенная на множестве {ап} собственных чисел Л; мож¬
но считать, что значение р на ап равно 2~п. В случае кратных
собственных чисел можно разложить А в прямую сумму операто¬
ров без кратных собственных значений и применить ту же кон¬
струкцию, что и в общей теореме. С другой стороны, теорему
Гильберта-Шмидта можно вывести из общей спектральной тео¬
ремы. Для этого достаточно проверить, что если оператор умно¬
жения на <р в L2(p) компактен, то ограничение меры р на множе¬
ство {t: <p(t) ф 0} сосредоточено в счетном числе точек (тогда их
индикаторы — собственные функции). Эта проверка — предмет
задачи 7.10.87.
Приведем пример плодотворного сочетания спектральной те¬
оремы и полярного разложения.
7.8.12. Предложение. Пусть А — ограниченный оператор
в гильбертовом пространстве Н.
(i) Оператор А не является компактным в точности тогда,
когда существует такое бесконечномерное замкнутое подпро¬
странство Hq С Н, что сужение А на Но имеет ограниченный
обратный оператор, т.е. отображение А: Но —> А(Но) взаимно
однозначно и обратное к нему непрерывно.
(ii) Оператор А компактен в точности тогда, когда
lim ||Леп|| = 0
п—>оо
для каждой бесконечной ортонормированной последовательно¬
сти {еп} в Н. Это равносильно также тому, что
lim (Афп, <рп) = 0
п—►ОО
для всяких бесконечных ортонормированных последовательно¬
стей {фп} и {<рп} (см., однако, задачу 7.10.113).
Доказательство, (i) Мы уже знаем, что компактный опе¬
ратор не может быть обратим на бесконечномерном простран¬
стве. Предположим, что А не является компактным. Достаточ¬
но иметь доло с сепарабельным Н. Сначала рассмотрим случай,
когда А самосопряжен и неотрицателен. Можно считать, что А
есть умножение на ограниченную неотрицательную борелевскую
функцию (р в L2(/x), где р — некоторая борелевская вероятност¬
ная мера на прямой. Тогда при некотором е > 0 борелевское мно¬
жество Ее := {£: p(t) ^ е} обладает тем свойством, что под¬
пространство Но в Ь2(р), состоящее из функций, равных нулю
вне Ее, бесконечномерно. В противном случае оператор А был

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
393
бы компактен, так как он является пределом (по норме) опера¬
торов умножения на <р1е£ при е —> 0. Ясно, что на Щ наш опе¬
ратор обратим. В общем случае возьмем полярное разложение
А = U\A\. Тогда \А\ тоже не компактен. По доказанному имеет¬
ся бесконечномерное замкнутое подпространство Н$, на котором
\А\ обратим, т.е. есть такое с > 0, что ||#|| ^ с|||А|ж|| при х £ Но•
Тогда имеем ||ж|| < с||Ас|| при х £ Hq.
(ii) Пусть А £ К,(Н) и {еп} — ортонормированная последова¬
тельность. Тогда Аеп —> 0 в слабой топологии, ибо для всякого
у £ Н мы имеем (Аеп,у) = (еп,А*у) —> 0. Значит, ||^4еп|| -*-> 0.
Если же А £ К(Н), то в силу (i) найдется бесконечная ортонор¬
мированная последовательность {еп} с ||Деп|| ^ с > 0. Можно
найти также две ортонормированные последовательности {фп}
и Wn} с \{Афп,ц>п)\ ^ с > 0. Для этого заметим, что оператор
у/\А\ тоже не является компактным. Значит, можно взять бес¬
конечную ортонормированную последовательность {фп} так? что
llv'PhMI > с > 0. Такую последовательность можно выбрать
в подпространстве
Hi := Кег	= Кег \А\-*- = Кет А1.
Положим (рп = ифп. Это дает ортонормированную последова¬
тельность, так как фп £ i?i, а оператор U — изометрия на Н±.
При этом также \А\фп £ \А\(Н) С Hi. Мы получаем
(Афп, ipn) = (iи\А\фп,ифп) = (\А\фп,фп) - Hx/flM2 ^ С2,
что завершает доказательство.	□
В заключение этого параграфа отметим, что построенные на¬
ми представления самосопряженных операторов в виде операто¬
ров умножения на функции оставляют открытым такой вопрос:
как по двум операторам умножения определить, эквивалентны
они или нет? Этот вопрос будет исследован в гл. 10.
7.9.	Проекторы и проекторнозначные меры
Ортогональным проектором в гильбертовом пространстве Н
называют оператор ортогонального проектирования на замкну¬
тое подпространство (см. следствие 5.4.6).
7.9.1.	Лемма. Ограниченный оператор Р является ортого¬
нальным проектором в точности тогда, когда Р* = Р = Р2.

394
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Если Р — проектор на замкнутое подпро¬
странство Но, то Р2 = Р и (Рх, у) = (ж, Ру), т.е. Р* = Р, что уже
отмечалось в примере 6.8.3. Обратно, если выполнены указанные
равенства, то положим
Но := Кег(/ - Р), Нг := Кег(Р).
Ясно, что Ро и Pi замкнуты, причем Щ -L Pi, ибо при х Е Щ
и у G Pi мы имеем (ж, у) = (Рж, у) = (х, Ру) = 0. Так как
х — Рх Е Кег(Р), Рх Е Кег(/ — Р),
то для всякого вектора х получаем разложение х = (х — Рх) + Рх,
где Рх Е Ро и х — Рж 6 Pi, т.е. Р есть сумма Ро и Pi. На
подпространстве Ро оператор Р совпадает с тождественным, а на
Pi равен нулю. Поэтому Р есть проектор на Ро-	□
Здесь мы обсудим представление самосопряженного операто¬
ра в виде интеграла по проекторнозначной мере.
7.9.2.	Определение. Пусть (П,В) — измеримое простран¬
ство, Н — сепарабельное гильбертово пространство. Отобра¬
жение П из В в пространство Р(Р) ортогональных проекторов
в Н называется проекторной мерой (или проекторнозначной ме¬
рой), если для всяких а, Ь Е Р комплексная функция
П0)6: В н-» (n(JB)o, Ь)
является ограниченной счетно-аддитивной мерой на Р.
Отметим простейшие свойства проекторной меры П:
1) отображение П аддитивно, т.е. n(Pi U В2) = ЩР1) + ЩР2)
для дизъюнктных Pi, Р2 € В;
2) n(Pi) ^ ЩР2), если Pi, Р2 Е В и Pi С Р2;
3) n(Pi)n(P2) = n(P2)n(Pi) = 0 для дизъюнктных Pi, Р2 6 Р;
4) П(Р1)П(Р2) = n(P2)n(Pi) = n(Pi П P2) для всех Рь Р2 6 В.
Свойство 1) следует из аддитивности мер Па^. Свойство 2)
следует из равенства ЩР2) = n(Pi) + n(P2\Pi) с учетом того,
что П принимает значения во множестве неотрицательных опе¬
раторов. Для доказательства 3) заметим, что из 1) и равенства
n(Pi U Р2) = n(Pi U Р2)2 следует равенство
П(Р1)П(Р2) + n(P2)n(Pi) = 0.
Умножив его слева на n(Pi), получим
П(Р1)П(Р2) + n(Pi)n(P2)n(Pi) = о,

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
395
т.е. U(Bi)U(B2)(l + П(Вх)) = 0. Так как оператор I + n(Bi) ^ I
обратим, то n(Bi)n(i?2) = 0. Второе равенство в 3) следует из
первого. Для всяких В\,В2 £ В можно записать В\ — С\ U D,
В2 = С2 U D, где
С\ = Si\(Bi П JB2), С2 = B2\(JBi П В2), D = 2?i П #2-
Поскольку Ci,C2>D дизъюнктны, то по доказанному проекторы
П(Сх), П(С2) и П(£>) коммутируют, причем
n(Ci)n(C2) = ЩСОЩП) = U{C2)U(D) = 0.
Это дает равенство H(Bi)U(B2) = П(D)2 = П(D).
Так как П(В) — проекторы, то
Равенство Rena>& = \(П.а+ъ,а+ъ - Пa,a — Щ,ь) дает для вариации
меры Па,ъ оценку
Для всякой ограниченной комплексной В-измеримой функ¬
ции / мы определим интеграл
для всех а, Ь Е Н. Действительно, правая часть этого равенства
линейна по а, сопряженно-линейна по Ъ и раздельно непрерывна
по а и Ь, что следует из приведенной выше оценки для вариа¬
ции (достаточно также воспользоваться непрерывностью функ¬
ций 11а1ь(В)). Можно пойти дальше и ввести интеграл Лебега по
.ff-значной мере, чтобы с помощью него задавать Та. Наконец,
можно задавать операторный интеграл с помощью сходящихся
по операторной норме частичных сумм. Мы не будем развивать
здесь эти подходы, ограничившись следующим утверждением.
7.9.3.	Предложение. При каждом п можно так разбить fi
на дизъюнктные части Ппд> • • •, &п,п £ В, что при любом выборе
точек ujnjk £ £1п,к суммы J2k=i /(&п,к)Щ&п,к) будут сходиться
кТ по операторной норме.
ИЗД « 2(||а + 6||2 + ||а||2 + И2) « 6|[а||2 + в||Ь||2.
как такой ограниченный оператор Г, что

396
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Достаточно доказать наше утверждение
для вещественных функций. Тогда оператор Т и упомянутые сум¬
мы являются самосопряженными операторами. Можно считать,
что 0 < /(u;) < 1. Разделим [0,1) на равные промежутки вида
Jn,k = [(& - 1 )/п,к/п) и положим £1П'к =	При	любом
выборе точек 6 Г1п,к Для всякого а € Н с ||а|| ^ 1 имеем
Поскольку мы имеем дело с самосопряженными операторами, то
по теореме 7.2.6 получаем ||Т - X)*=i /(wn,k)n(^V*)|| < 1/п.	□
Отметим, однако, что интеграл по проекторной мере не явля¬
ется интегралом Бохнера по операторной норме.
7.9.4.	Предложение. Пусть П — проекторная мера на
с7-алгебре В в пространстве £l, <р и ф — ограниченные В-изме¬
римые комплексные функции, А и В — интегралы от ip и ф по
мере П в указанном выше смысле. Тогда для всяких u,v £ Н
имеем
Доказательство. Из предыдущего предложения ясно, что
П(S)B = BU(S) для всех S € В. Достаточно проверить (7.9.1)
для функций с конечным числом значений, что сводится к инди¬
каторам множеств. В том случае, когда (р = /5^ ф = /52, предпо¬
ложим сначала, что SiflSk = 0. Тогда правая часть (7.9.1) равна
нулю, а левая часть есть
UbuASi) = (П (Si)Bu, v) = (Bn(Si)u, v) = (П(52)П(51)«, v) =0.
Верно доказываемое равенство и в том случае, когда S\ = £2.
Общий случай следует из доказанного, ибо
п
(Та, а) У ^ /(^п,&)Пд,д(^п,Дг) —
k=1
п Р	п
^ ^ J f (ш) (Ш.а,а(ш) У ^/(^n,fc)nQTa(rin?fe) ^
к-i JMn,k	к=1
^ ^ ^ SUP |/(^) “ /(^п,/с)|Па,а(^п,/с) ^
:—: теи	п
(7.9.1)
Si = Mi U (Si П S2), S2 = М2 U (Si П S2),
где Mi, М2 и Si П S2 попарно не пересекаются.
□

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
397
Особенно важен случай, когда П = К — компакт на прямой
(например, [а, Ь]) и В есть борелевская (т-алгебра К. В этом случае
возникает самосопряженный оператор
А := [ АсШ(А).	(7.9.2)
J к
Из предыдущего предложения следует, что для всякого k £ IN
оператор Л*5 записывается как интеграл от \к по <Ш(А). Значит,
для всякого многочлена / получаем
/(А)= [ /(А)<Я1(А).
J к
Так как две борелевские меры на компакте с одинаковыми инте¬
гралами от многочленов равны (см. лемму 3.8.8), то приходим к
следующему выводу.
7.9.5. Следствие. Если А представлен в виде (7.9.2) по про-
екторной мере П на К, то такая мера единственна.
Покажем теперь, что всякий самосопряженный оператор
представим в виде интеграла по проекторной мере.
7.9.6. Теорема. (Спектральное разложение самосо¬
пряженного оператора) Пусть А — самосопряженный опе¬
ратор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ф 0. То¬
гда существует и единственна такая проекторная мера П на
^(IR1) с П(И1) = I, равная нулю вне некоторого отрезка, что
для всякой ограниченной борелевской функции f имеем
f(A)= [	/(А)<Ш(А) = / /(A)<m(A).	(7.9.3)
J<r(A)	JTR}
В частности,
A= f А<Ш(А) = f Aefll(A).	(7.9.4)
Ja(A)	J]R1
Мера П сосредоточена на o'(A), т.е. П(К1\сг(у1)) = 0.
Доказательство. Положим П(5) := 1в{А). Тогда П(£) —
ортогональный проектор, ибо П(£?) ^ 0 и П(£?)2 = П(В). Если А
реализован как оператор умножения на борелевскую функцию <р,
то П(5) есть оператор умножения на 1в0(Р = 1<р-цв)- Мера П
сосредоточена на сг(А), т.е. П(П) = 0 при В П а(А) = 0, ибо

398
Глава 7. Спектральная теория
по теореме 7.8.6 можно выбрать р со значениями в ст(А). Если
/ = 1м, где М €	то для всяких а, Ь 6 Н имеем
т.е. равенство (7.9.3) верно для простых /. С помощью равно¬
мерных приближений оно легко переносится на ограниченные /.
Единственность меры П ясна из следствия выше.	□
Конечно, в (7.9.3) или (7.9.4) вместо <т(А) можно брать какой-
либо отрезок [а,Ь\ D сг(А), например, отрезок [— ||А||, ||.А||].
Для оператора умножения на аргумент явное вычисление
спектральной меры проведено в доказательстве: П(7?) есть умно¬
жение на 1в• Из доказательства легко усмотреть и явный вид
мер Па?ь оператора умножения на р в L2(/jl): Па^ = (ab • р)ор~1
для всех а, Ь 6 L2(/jl). Например, для оператора умножения на
аргумент мера Иа ь задается плотностью аЬ относительно р.
Если А — ортогональный проектор, то в случае А ф 0 и А Ф I
имеем П = (I — A)5q + А8\, где £о и 5\ — дираковские меры
в точках 0 и 1. Наконец, если А — самосопряженный оператор
с собственным базисом {еп} и собственными числами {ап}, т.е.
Аеп = апеп, то П = Y%Li Рп$ап, где Рп — проектор на линейную
оболочку еп.
Из этой теоремы и предложения 7.9.3 следует, что самосо¬
пряженный оператор А является пределом по операторной норме
последовательности конечных линейных комбинаций ортогональ¬
ных проекторов. В этом легко убедиться и с помощью теоремы
о приведении А к виду умножения на ограниченную веществен¬
ную функцию <р, равномерно приблизив р простыми функциями.
Проекторнозначная функция По(А) := П((—оо, А)) называет¬
ся разложением единицы. Это — очень важная характеристика
оператора А. Подобно функции распределения скалярной меры,
она обладает следующими свойствами:
(i) По (А) ^ Uo(n) при А < ц,
(ii) По(Ап)ж —> По(А)ж для всех х Е Н при An f А.
Кроме того, По(о) = 0 при а < — ||А|| и По(Ь) = I при Ъ > PII-
Проекторные меры с равными разложениями единицы равны,
поскольку числовые меры однозначно определяются их функци¬
ями распределения. При этом функцию По можно задать через

7.9. Проекторы и проекторнозначные меры
399
оператор А без использования его функциональной модели (но
используя функциональное исчисление). Для этого положим
По(\)h= lim фп(А)Н,
п—►оо
где непрерывные функции фп на прямой заданы так: ^n(t) = 1
при t ^ А — 1/п, фп(£) = 0 при t ^ Л, а на (Л— 1 /п, А) функция фп
линейно интерполируется. Это показывает, что построенные на¬
ми ограниченные борелевские функции от А однозначно опреде¬
ляются самим оператором А (по функциональному исчислению)
и не зависят от выбора его функциональной модели (использо¬
ванной при нашем определении этих объектов). Независимость
от модели видна также из следствия 7.9.5.
По функции По с указанными выше свойствами можно по¬
строить проекторнозначную меру аналогично тому, как числовая
мера строится по функции распределения. Прежде чем это до¬
казывать, отметим, что для ортогональных проекторов Р\ и Р^
в Н условие Pi < P<i равносильно тому, что Р\{Н) С р2(Н). В са¬
мом деле, если (P\h, h) ^ (P2h,h), то для всякого h с P\h = h
имеем \\h\\2 = (P\h, h) < (P2h,h), откуда P^h = h, так как P2 —
ортогональный проектор. Обратное очевидно.
7.9.7.	Предложение. Пусть По: JR1 —> Р(Н) имеет свой¬
ства (i) и (ii) выше, причем По (a) = 0w По(Ь) = I при некоторых
а <Ь. Тогда существует самосопряженный оператор А со спек¬
тром в [а,Ь], для которого По есть разложение единицы.
у
Доказательство. Функция П^: А н-* (По(А)#,х) при каж¬
дом х Е Н есть функция распределения некоторой неотрицатель¬
ной борелевской меры рх на прямой, сосредоточенной на [а,Ь],
причем \\рх\\ ^ \\х\\2- Функция П®,у: А н-* (По(А)ж,у) для всяких
х, у Е Н является функцией распределения комплексной борелев¬
ской меры pXty на прямой, заданной через меры рх соотношением
4Рх,у := Мж+у — №х—у “Ь iftx+iy ~ ^Px-iy
Тогда /jlXjX = fjbx. Для всех А имеем
АЧу((-оо,А)) = (По(А)ж, у).
Так как меры на прямой с равными функциями распределения
равны, то fj,x+z,y = №х,у "Ь A*z,y) №ах,у = а№х,у и 1*х,у = t^y.x■ Яс¬
но, что IKJ ^ 4 при ||х|| ^ 1, |М| < 1. Поэтому для каждого
борелевского множества В на прямой функция (ж, у) »-*• цх у(В)

400
Глава 7. Спектральная теория
линейна по ж, сопряженно-линейна по у и непрерывна по каж¬
дому аргументу. Значит, найдется такой оператор Р(В) Е С(Н),
что 1лХуУ(В) = (Р(В)хуу). Так как цХ)Х ^ 0, то Р(В) — неотри¬
цательный самосопряженный оператор. Проверим, что Р(В) —
ортогональный проектор. Оператор Р(В) = По(/?) — По(а) для
В = [а, /3) — ортогональный проектор, что легко проверить с по¬
мощью равенства По(а)По(/?) = По(/3)По(<*) = По (а), вытекаю¬
щего из условия По (а) < По(/3). Из сказанного следует равен¬
ство Р(В П Е) = Р(В)Р(Е) = Р(Е)Р(В) для полуинтервалов.
Пусть х,у Е Н. Рассмотрим две комплексные борелевские ме¬
ры Е ь-> (Р{В П Е)х, Р(Е)у) и (Р(В)ж, Р(Е)у). Если В —
полуинтервал [ск,/?), то эти меры равны на полуинтервалах и по¬
тому совпадают, т.е. Р(В П Е) = Р(В)Р(Е) = Р(Е)Р(В) для
всех борелевских Е. Повторяя это рассуждение при фиксирован¬
ном борелевском Е, заключаем, что равенство остается в силе
для всех борелевских В. В частности, Р(В) = Р(В)2. Ясно, что
П„(Л) = Р(( —оо,Л)). Теперь положим
А:= [	\dP(X).
J[a,b]
Ввиду следствия 7.9.5 оператор А порождает проекторную меру
Р и имеет разложение единицы По-	□
7.10. Дополнения и задачи
(i) Структура спектра (400). (ii) Коммутирующие самосопряжен¬
ные операторы (403). (iii) Образы операторов в гильбертовом про¬
странстве (408). (iv) Операторы Гильберта—Шмидта и ядерные
операторы (412). (v) Интегральные операторы и теорема Мерсе¬
ра (427). (vi) Тензорные произведения (430). (vii) Фредгольмо-
вы операторы (431). (viii) Векторная форма спектральной теоре¬
мы (435). (ix) Инвариантные подпространства (437). Задачи (438).
7.10(i). Структура спектра
Обсудим структуру спектра ограниченного оператора А в беско¬
нечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Множество
<т(А) — непустой компакт в С. При этом всякий непустой компакт
К С С есть спектр некоторого оператора А Е £(#), ибо в К можно
найти конечное или счетное всюду плотное множество точек Ап, взять
ортонормированный базис {еп} в if и с помощью формулы Аеп = Апеп
задать ограниченный диагональный оператор в Н. Его спектр — за¬
мыкание {Ап} (задача 7.10.57), т.е. К. Как доказали Гауэре и Морэ,

7.10. Дополнения и задачи
401
существуют бесконечномерные сепарабельные банаховы пространства,
в которых спектр всякого ограниченного оператора конечен или счетен.
Если множество (А — XI)(Н) плотно и оператор {А — А/)-1 непре¬
рывен на нем, то он продолжается до ограниченного оператора, ко¬
торый будет служить обратным к А — А/. Часть спектра А — это
точечный спектр, т.е множество &Р{А) собственных значений (кото¬
рых, как мы знаем, может и не быть в бесконечномерном случае).
Остальные числа А £ сг(А) попали в спектр потому, что отображение
(А — А/)-1: (А — Х1)(Н) —> Н либо разрывно, либо определено не на
плотном множестве (хотя и непрерывно). Непрерывный спектр аС(А)
обычно определяют как множество всех тех А £ сг(Л)\сгр(А), для ко¬
торых А — XI имеет плотный образ, но обратный оператор разрывен
на нем. Тогда остаточный спектр <гг(А) — это <т(.А)\(<7р(-А) U ас(А)),
т.е. совокупность тех А, для которых образ оператора А —XI не плотен
(при этом (А — А/)-1 может быть как ограничен на этом образе, так
и разрывен). Впрочем, в литературе встречаются и несколько другие
разбиения спектра на части. Например, можно относить к остаточному
спектру лишь те А, для которых образ А — XI не плотен, но обратный
оператор ограничен.
Опишем структуру множества собственных значений.
7.10.1.	Теорема. Пусть А — ограниченный оператор в бесконеч¬
номерном сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда мно¬
жество &р(А) всех собственных значений А является счетным объ¬
единением компактов.
Обратно, всякое ограниченное множество, являющееся счетным
объединением компактов, служит множеством всех собственных
значений некоторого ограниченного оператора в Н.
Доказательство. Множество собственных чисел ограничено как
часть спектра. Замкнутый единичный шар U в Н со слабой тополо¬
гией — метризуемый компакт. Поэтому его открытое подмножество
С/\{0} можно представить в виде счетного объединения замкнутых
(в слабой топологии) частей Кп С U. Множества Кп компактны в сла¬
бой топологий. Точка А £ С является собственным значением А в точ¬
ности тогда, когда ||Ах — Ах|| = 0 при некотором х £ ?7\{0}. Поэтому
сгр(А) есть объединение проекций на С множеств
мп := {(ж, А) € KnxD: ||Ах - Аж|| = 0},
где D — замкнутый круг в С с центром в нуле и радиусом ||Л||. Заме-
тим, что Мп — компакт, если Кп рассматривать со слабой топологией.
Это видно из того, что Кп х D компактно при наделении Кп слабой
топологией, а Мп замкнуто в этом произведении, ибо выделяется усло¬
виями A(x,ei) = (x,A*ei), где {е*} — ортонормированный базис в Н.
Следовательно, проекция Мп на С также компактна.

402
Глава 7. Спектральная теория
Покажем, что всякое ограниченное множество Р, равное объеди¬
нению компактов Sn С С, совпадает с точечным спектром некоторого
ограниченного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Достаточно сделать это для каждого Sn в отдельности, ибо прямая сум¬
ма равномерно ограниченных операторов Ап в гильбертовых простран¬
ствах Нп имеет в качестве собственных чисел объединение точечных
спектров Ап. Итак, будем иметь дело с одним компактом S. Считаем,
что он непуст и содержится в D := {z: \z\ < 1}. Рассмотрим простран¬
ство Бергмана A2(D) всех голоморфных в D функций / £ L2(D), где D
наделено мерой Лебега (пример 5.2.2). Мы знаем, что A2(D) является
сепарабельным гильбертовым пространством с нормой из L2(Z>), т.е.
\\f\\%(D) '■= f \f(x + iy)\2 dxdy.
Jd
Рассмотрим оператор T в сопряженном к A2(D), заданный формулой
T'ijj(f) := ф(zf), где (zf)(z) = zf(z). Сейчас мы не отождествляем
A2(D) с его сопряженным. Фактически Т есть оператор, сопряжен¬
ный умножению на аргумент в A2(D). Однако у оператора Т слишком
много собственных чисел: всякая точка А из D оказывается собствен¬
ным числом, ибо функционал f »—► /(А) удовлетворяет равенству
Тф\ = Хф\. Непрерывность этого функционала ясна из оценки (5.2.1)
в примере 5.2.2. Поэтому естественно взять в качестве Н замкнутое
линейное подпространство в A2(D)*, порожденное функционалами 'фх
с А € 5. Ясно, что Т(Н) С #, причем все элементы S остаются соб¬
ственными числами Т\н- Проверим, что других собственных чисел нет.
Достаточно убедиться, что оператор Г в if не имеет собственных чисел
на единичной окружности, а для всякого А € D ядро Т — XI во всем
A2(D)* одномерно. Поскольку Т сопряжен оператору Т\ умножения
на аргумент в A2(D), то нужно проверить, что образ Т\ — XI плотен
при |А| = 1 и имеет одномерное ортогональное дополнение при |А| < 1.
Предположим, что найдутся такие А о |А| = 1 и единичный вектор
д £ A2(D), что (T\f — Xf,g) = 0 при всех / £ A2(D), т.е.
/ (x + iy)f(x + iy)g(x + iy)dxdy = X f(x + iy)g{x + гу) dxdy
Jd	Jd
при всех / £ A2(D). В частности, при f = д получаем в правой ча¬
сти число, модуль которого равен 1. Левая часть строго меньше, ибо
\x+iy\ < 1 при x+iy £ D. Пусть теперь |А| < 1. Поскольку функционал
/	/(А)	непрерывен, его ядро Нх замкнуто и имеет коразмерность 1.
При этом всякая функция из Нх входит в образ оператора Т\ — XI. Дей¬
ствительно, для всякой функции f £ Нх функция g(z) = (z — X)~xf(z)
входит в A2(D) (она голоморфна и квадратично-интегрируема в D, ибо
/(А) = 0) и удовлетворяет равенству / = (Т\ — XI)д.	□

7.10. Дополнения и задачи
403
Близкие соображения дают следующий результат (см. [584]).
7.10.2. Теорема, (i) Для всякого оператора А £ С(12) множество
<тс(А) является счетным пересечением открытых множеств.
(ii)	Пусть К С С — непустой компакт, причем К — PUCUR, где
Р, С и R попарно дизъюнктны, Р — счетное объединение компактов
и С — счетное пересечение открытых множеств. Тогда существует
такой оператор А £ С(12), что ар(А) = Р, ас(А) = С и <тг(А) = R.
7.10(ii). Коммутирующие самосопряженные операторы
Класс самосопряженных операторов входит в класс нормальных
операторов, т.е. таких ограниченных операторов В на гильбертовом
пространстве, что В В* = В* В. В этот же класс входят и унитар¬
ные операторы. Оказывается, нормальные операторы также приводят¬
ся к виду умножения на функцию. Этот факт выведен ниже из более
общего утверждения об одновременном приведении коммутирующих
самосопряженных операторов к виду умножения на функцию. Снача¬
ла докажем вспомогательный результат о проекторных мерах. На про-
екторные меры распространяются некоторые (но не все!) результаты
обычной теории меры.
7.10.3. Предложение. Пусть на алгебре 7Z в пространстве ft за¬
дана аддитивная функция множества П со значениями в множестве
ортогональных проекторов в гильбертовом пространстве Н. Предпо¬
ложим, что для всяких а,Ь £ Н комплексная функция
RI-4► Пв,*(Я):= (П(й)л,
счетно-аддитивна на 7Z. Тогда функция П имеет единственное про¬
должение до проекторной меры на а-алгебре а(71), порожденной 71.
Доказательство. Для фиксированных а,Ъ £ Н функция Па,ь
имеет единственное продолжение до счетно-аддитивной комплексной
меры на о-(Тг), обозначаемой тоже через Па,ь- В самом деле, если а = Ъ,
то функция Па)а на 7Z счетно-аддитивна, неотрицательна и ограничена,
ибо (П(Я)а,а) < (П(П)а,а). По теореме 2.4.6 она однозначно продол¬
жается до ограниченной меры а (71). Формулы
2Re Па>ь = Па4-ь,а+ь Па>а П&}ь, 21тПа)& = Па_|_^,a+ib Па>а -|-
дают продолжение Па,ь на cr(7Z). При этом Пад = П&>а на а(71), ибо это
верно на 71. Следовательно, для каждого S £ <т(7£) существует огра¬
ниченный самосопряженный оператор П(S) с (П(5)а,6) = Пa,b(S) (см.
лемму 7.2.2). Из построения следует, что 0 < П(S) ^ I. Покажем, что
П(5) — ортогональный проектор. Обозначим через М класс множеств
S £ cr(7Z) с таким свойством. Тогда М. содержит алгебру 7Z. Кроме того,
Л4 — монотонный класс, т.е. если множества Мп из А4 либо возрастают

404
Глава 7. Спектральная теория
к М, либо убывают к М, то М £ Л4. Действительно, в первом случае
n(Mn+i) = П(Мп) + n(Mn+i\Mn) ^ П(МП), т.е. П(МП) представля¬
ют собой проекторы на возрастающие замкнутые подпространства Нп
и потому М является проектором на замыкание объединения Нп. Во
втором случае рассуждение аналогично.	□
7.10.4. Следствие. Пусть П' и П" — проекторные меры на о-
алгебрах А' и А!' в пространствах ft' и ft". Предположим, что И'(S')
и П"(S") коммутируют для всех S' £ А! и S" £ А". Тогда на а-алгебре
А = А'<8> А" в пространстве ft = ft'х ft" имеется такая проекторная
мера П, что П(5' х S") = П'(5')П"(5") для всех S' £ А! и S" £ А".
Доказательство. Произведения вида S'xS", где S'£ А!, S" £ А",
представляют собой полуалгебру 7£о, на которой П задается равен¬
ством П(5'х5") = П'(5/)П//(5//). Легко проверить, что получена ад¬
дитивная проекторнозначная функция. Множества из алгебры 7Z, по¬
рожденной 7?о, имеют вид Я = U • • • ийп, где Ri £ TZo дизъюнктны.
Продолжим П на TZ формулой П(й) = П(йх) + • • • + П(ДП). Заметим,
что H(Rt)H(Rj) = 0 при i ф j. Значит, П(Я) — ортогональный про¬
ектор. Из предложения 2.3.7 следует, что неотрицательные числовые
меры R (П(й)а, а) счетно-аддитивны на TZ для всех а £ Н. Это дает
счетную аддитивность комплексных мер R н-> (П(й)а, b), a,b £ Н. □
7.10.5. Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор с цикли¬
ческим вектором, а самосопряженный оператор В коммутирует с А.
Тогда В является борелевской функцией от А.
Доказательство. Можно считать, что А — оператор умноже¬
ния на аргумент в L2(fi) для некоторой меры ц на отрезке. Положим
ф = В(1), где выбрана борелевская версия функции В( 1) £ L2(fi),
и покажем, что В совпадает с оператором умножения на ф. Сначала
проверим, что для всякой функции pk: t tk имеет место равенство
Врк = фри• При к = 0 это верно. Если равенство верно при некотором
к ^ 0, то оно остается в силе и для к + 1, так как справедливы соот¬
ношения Врк+г = ВАрк = АВрк = А(фрк) = фрк+i- Для завершения
доказательства надо еще установить, что ф £ L°°(/i), ибо тогда опера¬
тор умножения на ф ограничен и можно сделать вывод, что В = ф(А).
По доказанному для всяких многочленов f и g имеем
IJФЯЦ = \(Bf,g)\ < ||Я|| 11/11||5||.	(7.10.1)
Эта оценка с помощью равномерного приближения легко распростра¬
няется на непрерывные функции / и д. Далее она распространяется
на функции /,<7 £ Ь°°(/л), ибо для каждой функции из Ь°°(р) можно
найти равномерно ограниченную и д-почти всюду сходящуюся к ней

7Л0. Дополнения и задачи
405
последовательность непрерывных функций. Оценка (7.10.1) для функ¬
ций из Ь°°(р) показывает, что \ф{Ь)\ ^ ||В|| для р-п.в. t. Действитель¬
но, если множество М = {£: \ip(t)\ > ||В||} имеет положительную меру,
то положим д = 1м и / = £Гм, где функция £ £ L°°(p) такова, что
= \ФШ- Тогда
||В||л(М) < J№№Ш№) < \\B\\y/j4M)VtKM),
что дает противоречие.	□
7.10.6. Лемма. Пусть самосопряженные операторы А и В в се¬
парабельном гильбертовом пространстве коммутируют. Тогда для
всяких ограниченных борелевских функций (риф операторы р(А)
и ф(В) коммутируют.
Доказательство. По задаче 7.10.78 есть такие многочлены рп,
что операторы рп{А) сходятся к (р{А) на каждом векторе. Тогда
В<р(А)х = lim Врп(А)х = lim рп(А)Вх = (р(А)Вх.
п—►оо	п—>оо
Итак, В коммутирует с (р(А). Еще раз применив доказанное, получаем
равенство ф(В)(р(А) = р(А)ф(В).	□
7.10.7. Теорема. Предположим, что самосопряженные операто¬
ры А\,...,Ап в сепарабельном гильбертовом пространстве Н ф 0
коммутируют. Тогда найдутся ограниченная неотрицательная боре-
левская мера р на IRn, унитарный изоморфизм J: Н —* Ь2(р) и огра¬
ниченные борелевские функции <р\,..., (рп на IRn, такие, что операто¬
ры JAiJ~x являются операторами умножения на (pi при i = 1,..., п.
Доказательство. Сначала предположим, что имеется такой еди¬
ничный вектор h, что множество конечных линейных комбинаций всех
векторов вида А*1 • • • А^п Л, hi = 0,1,..., плотно в Н. Запишем Ai в ви¬
де интегралов по проекторным мерам П* на прямой. На IRn можно
задать проекторную меру П с помощью следствия 7.10.4 и индукции.
Заметим, что
Ai — j Udlli(t)= I tidH(t), i = l,...,n.
Jjr1	Jmn
Пусть p = Uhyh- Мера p сосредоточена на кубе ПГ=1[—	М*||]-	За¬
дадим отображение J: Н —» L2(p) формулой
J{A\1 •■■A%'h) :=pkl,...,kn, где pkl fc„(£i,...,tn) =	•	•	-t*n,
а затем распространим его по линейности на линейную оболочку таких
векторов. Заметим, что для конечной линейной комбинации указанных

406
Глава 7. Спектральная теория
векторов справедливо равенство
JJRn
Полученное равенство означает, что отображение J корректно опре¬
делено и сохраняет скалярное произведение. Образ J всюду плотен
в Ь2(р), ибо содержит все многочлены. Поэтому J продолжается до
унитарного изоморфизма. В общем случае можно разложить Н в ор¬
тогональную сумму замкнутых подпространств, инвариантных относи¬
тельно всех операторов Ai и обладающих указанным выше свойством.
Как и для одного оператора, это делается с помощью леммы Цорна. □
7.10.8. Следствие. Всякий нормальный оператор S в сепарабель¬
ном гильбертовом пространстве Н ф 0 унитарно эквивалентен опе¬
ратору умножения на ограниченную комплексную борелевскую функ¬
цию в пространстве L2(p) для некоторой ограниченной неотрица¬
тельной борелевской меры р на С.
Доказательство. Операторы A = S + S*hB = г_1(5 - S*) яв¬
ляются самосопряженными и коммутируют. При этом S = A/2 + iB/2.
Остается одновременно привести А и В к виду умножения.	□
7.10.9. Следствие. Всякий унитарный оператор U в сепарабель¬
ном гильбертовом пространстве Н ф 0 унитарно эквивалентен опе¬
ратору умножения на некоторую борелевскую функцию С в простран¬
стве Ь2(р) для некоторой ограниченной борелевской меры р на С или
на Ж1, причем |£(£)| = 1 для р-п.в. t. Кроме того, имеет место пред¬
ставление U = ехр(гВ), где В — самосопряженный оператор.
Доказательство. По предыдущему следствию можно считать,
что U есть умножение на ограниченную функцию £ в Ь2(р) для некото¬
рой борелевской меры р на С. Тогда |С(£)| = 1 Р~п-в. Поэтому £ можно
записать в виде С = ехр(г#), ГДе 9 ~ борелевская функция со значе¬
ниями в [0, 27г]. В качестве В берем оператор умножения на д. Теперь
Используя проекционную меру П самосопряженного оператора В
из этого следствия, получаем оператор U в виде
приводим В к виду умножения на функцию на отрезке.
□

7.10. Дополнения и задачи
407
Теперь распространим предыдущую теорему на бесконечные семей¬
ства коммутирующих операторов.
7.10.10. Теорема. Пусть дано счетное множество коммути¬
рующих самосопряженных операторов Ап в сепарабельном гильбер¬
товом пространстве Н ф 0. Тогда найдутся такие ограниченная
неотрицательная борелевская мера р на [0,1]°°, унитарный изомор¬
физм J: Н —» L2(p) и ограниченные борелевские функции (рп на [0,1]°°,
что JAnJ~x являются операторами умножения на рп для всех п.
Доказательство. Без ущерба для общности можно считать, что
ст(Ап) С [0,1]. Так же, как и в предыдущей теореме, на [0,1]°° строится
борелевская проекторная мера П, по которой интегралы координатных
функций дают операторы Ап. Единственное отличие состоит в том,
что в качестве начальной алгебры, на которой задана мера П, берет¬
ся объединение конечных степеней В([0,1]) (на них мера П определе¬
на по доказанной теореме). Как и для конечного набора операторов,
общий случай сводится к случаю, когда имеется единичный вектор h
с тем свойством, что линейная оболочка всевозможных векторов ви¬
да А*1 • • • А^”- h плотна в Н. В последнем случае используется тот же
изоморфизм J, что и для конечного набора. Его множество значений
состоит из многочленов от конечного числа переменных, которое всюду
плотно в Ь2(р). Поэтому доказательство завершается, как и выше. □
Рассмотрим произвольные множества операторов.
7.10.11. Теорема. Пусть дан некоторый набор Т коммутиру¬
ющих самосопряженных операторов в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н. Тогда найдутся самосопряженный оператор А в Н
и для каждого Т € Т ограниченная борелевская функция рт ш пря¬
мой, такие, что Т = рт(А) для всех Т € Т.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай счетного набора
коммутирующих самосопряженных операторов Ап. По доказанному
можно считать, что операторы Ап являются операторами умножения
на ограниченные борелевские функции ср^ в L2(p), где р — борелев¬
ская мера на [0,1]°°. Теперь воспользуемся таким фактом (см. [26,
следствие 6.8.8]): существует борелевский изоморфизм G между [0,1]°°
и отрезком [0,1]. Пусть v — образ меры р при этом изоморфизме. То¬
гда операторы Ап записываются как операторы умножения на боре¬
левские функции 'фп' = <рп° G~l в L2(v) с мерой и на отрезке, т.е. ока¬
зываются функциями от оператора умножения на аргумент в Ь2{у).
В общем случае найдем в Т счетное семейство операторов % с таким
свойством: для каждого Т G Т найдется последовательность опера¬
торов Ап € 7о, сходящаяся к Т в слабой операторной топологии, т.е.
(Апх,у) —> (Тх, у) для всех х, у £ Н. Это возможно, ибо, как легко

408
Глава 7. Спектральная теория
видеть, слабая операторная топология метризуема на шарах. По дока¬
занному выше можно считать, что все операторы из 7о имеют вид умно¬
жения на функции ф о у?, где ф — ограниченные борелевские функции,
а <р — борелевская функция на отрезке, задающая оператор в L2(y),
функциями от которого являются операторы из %. Можно выбрать
такую борелевскую версию у?, что норма каждого оператора из % бу¬
дет равна supa. \ф&р(х)\ для соответствующей функции ф. Пусть Т £ Т.
Найдем последовательность {Тп} с 7о, сходящуюся к Т в слабой опе¬
раторной топологии. Тогда {фп о ф) слабо сходится в L2(v) к некото¬
рому пределу д. Последовательность {Тп} ограничена по операторной
норме, что дает ограниченность {фп о у?} в L°°(v). Тогда д £ L°°(u),
ибо последовательность Sno<p средних арифметических некоторой под¬
последовательности в {фп о ф} сходится по норме в Ь2(у) (см. при¬
мер 6.10.33). Ясно, что оператор Т задается умножением на д, но нам
надо проверить, что д = фор для некоторой ограниченной борелев¬
ской функции ф. Перейдя к подпоследовательности, можно считать,
что Sno(p —> д 1/-п.в. По теореме Лузина множество сходимости содер¬
жит компакты Kj с v(Kj) —> ^([0,1]), на которых функция у? непре¬
рывна. Множества <p(Kj) компактны, Е = U^=i <P(Kj) ~ борелевское
множество, причем для каждого у £ Е последовательность (S'nfe)}
сходится. Обозначим предел через ф(у). Вне Е доопределим ф нулем.
Получена ограниченная борелевская функция. При х £ U^i Kj имеем
ф(<р{х)) = lim фп{у>(х)) = <70*0, т.е. ф(<р(х)) = д(х) для zz-п.в. х. □
7.10.12.	Следствие. Всякий нормальный оператор Т в сепара¬
бельном гильбертовом пространстве Н имеет вид Т = f(A), где А —
самосопряженный оператор в Н и f — ограниченная комплексная бо¬
релевская функция.
Доказательство. Так как Т = А\ + г А2, где А\ и А2 — комму¬
тирующие самосопряженные операторы, то применима теорема выше
(конечно, здесь нужен ее простейший случай).	□
Значит, Т записывается в виде интеграла (7.9.3) от / по проектор-
ной мере П. Теперь Т можно записать и как интеграл
Т= [ zdP(z)
Jct{T)
по проекторной мере Р на сг(Т), заданной так: Р(В) := П(/-1 (£?)).
7.10(iii). Образы операторов в гильбертовом пространстве
Покажем с помощью полярного разложения, что образ всякого ог¬
раниченного оператора в гильбертовом пространстве совпадает с обра¬
зом некоторого самосопряженного оператора.

7.10. Дополнения и задачи
409
7.10.13. Лемма. Для всякого ограниченного оператора А в гиль¬
бертовом пространстве Н имеем
А(Н) = \А*\(Н).
Доказательство. Пусть A* = V\ А* \, где оператор V изометрич¬
но отображает Е\ := (Кег Л*)-1 на Е<ь := А*(Н) и равен нулю на Кег А*.
Тогда А = |А*|У*, откуда А(Н) с |Л*|(Д). С другой стороны, имеем
Кег \А*\ = Кег А*, поэтому \А*\(Н) = \A*\(Ei). Так как V* изометрично
отображает Е2 на Pi, то \А*\(Н) = \A*\V*(E2) = А(Е2) С А(Н).	□
В соответствии с общим результатом для банаховых пространств
из §6.10(i) линейное подпространство L гильбертова пространства Н
есть образ ограниченного оператора в Л в точности тогда, когда оно
является непрерывно вложенным в Н гильбертовым пространством.
В самом деле, фактор-пространство Н по замкнутому подпространству
Но тоже гильбертово (его можно отождествить с До"). Кроме того, если
гильбертово пространство Е непрерывно вложено в Д, то есть оператор
А е С(Н) с А(Н) = Е (задача 6.10.163). Следующий результат дает
более конструктивное условие.
7.10.14. Предложение. Линейное подпространство L гильбер¬
това пространства Н является образом ограниченного оператора в Н
в точности тогда, когда существует такая последовательность вза¬
имно ортогональных замкнутых подпространств Нп С Н, что
оо	оо
£ =	Д'п	6 Нп,^Ап\\хп\\2 < оо|.
п— 1	71=1
Доказательство. Если L имеет указанный вид, то L — А(Н), где
А = 2~прп и Рп — проектор на Дп.
Пусть L является образом ограниченного оператора. Как отмече¬
но выше, можно считать, что L = А(Н), где А — неотрицательный
самосопряженный оператор. Общий случай легко сводится к случаю
сепарабельного Д и оператора А с циклическим вектором. Поэтому
можно считать, что А есть оператор умножения на аргумент в L2(fi)
для некоторой ограниченной борелевской меры на отрезке [0,1]. Возь¬
мем в качестве Нп подпространство в L2(/i), соответствующее функци¬
ям, равным нулю вне (2”п, 21-п]. Тогда Ах = E^Li РпАх, РпАх £ Дп,
причем \\РпАх\\ < 21“n||Pnx|| и потому 4п||РпАх||2 < 4||Рпх||2, что дает
сходящийся ряд. С другой стороны, если у = Y^Li Уп, где уп € Нп
и E^=i4nll2/n||2 < оо, то Уп = Ахп, где хп € Нп и ||хп|| < 2п||г/п||, ибо
xn{t) = t^ynit). Значит, i2%Li \\хп\? < EJJLi4П||Уп||2 < оо. Поэтому
ряд из попарно ортогональных векторов хп сходится к некоторому х,
причем Ах = у.	□

410
Глава 7. Спектральная теория
В случае гильбертовых пространств теорему 6.10.5 о факторизации
можно уточнить следующим образом (этот результат получен в рабо¬
те [596]).
7.10.15. Теорема. Пусть А и В — ограниченные операторы
в гильбертовом пространстве Н. Следующие условия равносильны:
(i) А(Н) С В(Н),
(ii) А = ВС при некотором С £ С(Н),
(iii) существует такое А > 0, что
(А*х, А*х) < А2(Я*х, В*х) для х € Я.
Доказательство. Равносильность условий (i) и (и) ясна из тео¬
ремы 6.10.5, ибо в случае гильбертова пространства она дает непре¬
рывный линейный оператор С = В^гА из if на (Кег В)-1, где Во —
ограничение В на (Кег В)-1 и В0-1 - алгебраически обратный. Из (ii)
сразу следует (iii). Пусть выполнено (iii). На линейном пространстве
Я* (Я) определено линейное отображение D : В*х А*х. Коррект¬
ность определения обеспечена тем, что А*х = 0 при В*х = 0. Кро¬
ме того, \\Dy\\ < Х\\у\\ при у £ Я* (Я), поэтому D можно продол¬
жить до ограниченного оператора на замыкании В*(Н). Далее про¬
должим D до ограниченного оператора на всем Я, сделав D нулем на
Я*(Я)-1 = Кег Я. Тогда DB* = А*, откуда А = ЯЯ*. В части рассу¬
ждений можно было бы сослаться на результаты §6.10(i).	□
Отметим, что в (iii) важна оценка именно на сопряженные операто¬
ры, а не на исходные (чтобы в этом убедиться, достаточно взять А = I
и изометрию Я с Я(Я) ф Я). Из доказанной теоремы и следствия 7.5.4
получаем такой результат, помогающий оценивать скорость убывания
собственных чисел компактных самосопряженных операторов.
7.10.16. Следствие. Предположим, что А и В — компактные
операторы в гильбертовом пространстве Н, причем А(Н) С Я(Я).
Пусть ^ 4 ^ ••• > 0	^	/?2+	^	•••	>	0	-	положительные
собственные числа операторов \А\ и \В\ соответственно, записанные
в порядке убывания с учетом кратностей. Тогда существует такое
С > 0, что а+ < С/3+.
Доказательство. Теорема дает оценку А А* < А2 В В*. Теперь
важно то, что операторы А А* и А* А имеют одни и те же ненулевые
собственные числа (задача 7.10.65), т.е. |А*| и |А| имеют общие ненуле¬
вые собственные числа; то же верно для пары операторов В В* и В* В.
Согласно следствию 7.5.4 из указанной оценки вытекают неравенства
\п(АА*) < А2Ап(ВВ*) для положительных собственных чисел опера¬
торов АА* и В В*, записанных в порядке убывания.	□

7.10. Дополнения и задачи
411
7.10.17. Пример. Пусть W%£[0,27т] — класс всех абсолютно непре¬
рывных комплексных функций / на [0,27т] с /' € Ь2[0,1] и /(0) = /(27г).
Если образ ограниченного оператора А в L2[0,27т] входит в W%£[0,27т],
то А — компактный оператор и для положительных собственных чисел
оператора |А|, записанных в порядке убьшания с учетом кратно¬
стей, при некотором С > 0 имеет место оценка < Сп-1.
Для этого заметим, что 0,27г] есть образ оператора В, имею¬
щего собственные функции ехр(Ш), с собственными числами 0k = к~г,
к ф 0, /?о = 1 (задача 9.10.32).
Докажем следующую теорему фон Неймана.
7.10.18. Теорема. Пусть ограниченный оператор А в сепарабель¬
ном гильбертовом пространстве имеет незамкнутый образ. Тогда су¬
ществует такой унитарный оператор U, что А(Н) П UA(H) = 0.
Доказательство. Начнем с простого явного примера таких опе¬
раторов в Ь2[—7г,7г] с плотным образом. Пусть en(t) = егпЬ и А задан
посредством Аеп = е~п еп. Легко видеть, что все функции из А(Н)
вещественно-аналитичны на [—7г, 7г]. Пусть U — оператор умножения
на sign t. Тогда образы А и UA пересекаются лишь по нулю. Этот при¬
мер легко модифицировать так, чтобы образ А был не только плотен,
но и содержал бесконечномерное замкнутое подпространство. Для это¬
го достаточно взять прямую сумму счетного числа копий А.
Основной этап доказательства состоит в проверке следующего лю¬
бопытного факта: если образ А плотен, незамкнут и содержит бесконеч¬
номерное замкнутое подпространство, то для всякого ограниченного
оператора В с незамкнутым образом найдется такой унитарный опе¬
ратор W, что WB(H) с А(Н). Для этого воспользуемся предложени¬
ем 7.10.14 применительно к L = В(Н) и возьмем указанные там попар¬
но ортогональные замкнутые подпространства Нп. Ввиду незамкнуто-
сти В(Н) таких ненулевых Нп бесконечно много. Пусть IN = USi —
разбиение на счетное число счетных частей и Sn — та из частей
которая содержит п. Положим Н!^ := фге5п^* Применив цитиро¬
ванное предложение к попарно ортогональным подпространствам Н'п,
получим оператор В' с В(Н) С В'(Н), однако все Н'п уже бесконечно¬
мерны.
Теперь применим это же предложение к А(Н) и возьмем соответ¬
ствующие ненулевые попарно ортогональные замкнутые подпростран¬
ства Еп. Заметим, что среди Еп есть хотя бы одно бесконечномерное.
Действительно, если бы все Еп были конечномерны, то мы бы полу¬
чили компактный оператор С := YlnLi 2~пРеп с С(Н) = А(Н), как
было показано в упомянутом предложении. Однако образ компактного
оператора не может содержать бесконечномерного замкнутого подпро¬
странства, так как покрывается счетным числом компактов. Можно

412
Глава 7. Спектральная теория
считать, что Е\ бесконечномерно. Тогда можно взять такие попарно ор¬
тогональные бесконечномерные замкнутые подпространства Li С
что Ei = 0^!^. Положим Е[ :=	при	г	> 2 и Е[ := L\.
Получаем взаимно ортогональные бесконечномерные замкнутые под¬
пространства. Как легко видеть, для соответствующего им в цитиро¬
ванном предложении оператора А! имеем А'(Н) С А(Н). Унитарный
оператор W зададим посредством унитарных изоморфизмов Н[ и Е[.
Тогда В(Н) С В'(Н) С А'(Н) С А(Н). Для завершения доказательства
теоремы остается перевести А(Н) унитарным оператором W в Ао(Н),
где Ао — оператор с плотным образом, причем Ао(Н) П UoAo(H) = О
для некоторого унитарного С/о- В качестве U берем W~lU$W.	□
7.10(iv). Операторы Гильберта—Шмидта и ядерные
операторы
В этом пункте мы обсудим два важных для приложений и инте¬
ресных класса компактных операторов в гильбертовом пространстве.
Одно из нескольких равносильных определений этих классов связано
с поведением собственных чисел абсолютных значений операторов.
7.10.19. Определение. Пусть А — компактный оператор
в гильбертовом пространстве Н (вещественном или комплексном)
и {зп(Л)} — собственные числа оператора \А\, Будем называть А опе¬
ратором Гильберта-Шмидта, если
оо
^s„(A)2 < оо.
71=1
Оператор А называется ядерным или оператором со следом, если
оо
^s„(A) < оо.
71=1
Класс всех операторов Гильберта-Шмидта в Н обозначают через
Н{Н) или £(2)(Я). Класс всех ядерных операторов в Н обозначают
через М{Н) или £(х)(Я).
Напомним, что зп(Л) ^ 0. Ясно, что М{Н) С Н(Н) С /С(Я).
Имеется следующая характеризация операторов Гильберта-Шмид¬
та, которую часто берут в качестве определения.
7.10.20. Теорема, (i) Оператор А £ С(Н) в сепарабельном гиль¬
бертовом пространстве Н является оператором Гильберта-Шмид¬
та в точности тогда, когда для некоторого ортонормированного ба¬
зиса {вп} имеем
оо
£ ||Леп||2 < сю.	(7.10.2)
71=1

7.10. Дополнения и задачи
413
В этом случае такой ряд сходится для всякого ортонормированного
базиса и его сумма не зависит от базиса.
(ii) Ограниченный оператор А в сепарабельном гильбертовом про¬
странстве Н является оператором Гильберта-Шмидта в точности
тогда, когда А* — оператор Гильберта-Шмидта. При этом
оо	оо
£||Аеп||2 = ]Г||А*е„||2.	(7.10.3)
71=1	71=1
Доказательство. Возьмем полярное разложение А = U\A\. Ес¬
ли А £ Н(Н), то имеем (7.10.2) для собственного базиса |А|. Если же
выполнено (7.10.2), то оператор А компактен. Действительно, из оцен-
ки ||Е^1(ж>е»Меп||2 < E^Li 1Иеп||2||а;||2 следует, что конечномерные
операторы х ^2^=1(х,еп)Аеп сходятся к А по норме. Проверим, что
сумма (7.10.2) не зависит от базиса. Для этого возьмем произвольный
ортонормированный базис {у?п} и запишем следующие равенства:
оо	оо	оо	оо	оо	оо
£ ||Леп||2 = £ £	I(Аеп, ЫI2	= £ £ |(е„, AV*)la = £ MV*||2.
7i=l	7i=l	k=	1	n=l	k=1	k=	1
Если {фп} — еще один базис, то правая часть равна Y^Li IIибо
А** = А. Таким образом, независимость суммы от базиса установлена.
Применяя это к собственному базису {^71} оператора \А\, получаем, что
А £ Н{Н). Утверждение (i) доказано. Попутно доказано и (й).	□
7.10.21.	Предложение. Класс Ti(H) всех операторов Гильбер¬
та-Шмидта в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, наде¬
ленный скалярным произведением
оо	оо
(.А, В}^ .	^^(Aen,	Se^)	^	АетСп))
71=1	71=1
оказывается сепарабельным гильбертовым пространством. Соответ¬
ствующая норма Гильберта-Шмидта имеет вид
ОО	■«	/л
И1« = (£1Ие«И2)	.
71=1
Если А £ Н{Н) и В £ С{Н), то АВ £ Н(Н), В А £ Н(Н) и справедли-
вы неравенства \\АВ\\Н < ||В||Л(Я)||А||„,	\\ВА\\п < ||В||£(Н)||А||„.
Доказательство. Из (7.10.2) ясно, что Н(Н) — линейное про¬
странство. Кроме того, ряд, задающий скалярное произведение в Н{Н),
сходится абсолютно, ибо |(Аеп,Веп)\ < ||Аеп||2+||1?еп||2. Проверим пол¬
ноту Н(Н). Если последовательность операторов Aj фундаментальна
в Н(Н), то она сходится по норме к некоторому оператору А £ £(#),

414
Глава 7. Спектральная теория
поскольку \\Т\\С(Н) < \\Т\\п. Пусть {еп} — ортонормированный базис.
Ясно, ЧТО Х)п=1 1Иеп||2 < SUPj Еп=1 \\АЗеп\\2 < SUPj ||А,||2 для всех JV,
т.е. Л £ Н(Н). Проверим, что ||А — Aj\\n —> 0. Пусть е > 0. Найдем
номер jo с ||Aj — А*||2 < е при всех г, j ^ jo. Пусть m > jo- Выберем N
с J2™=n+1 ll(^ “ ^m)en||2 < £> что возможно, ибо А, Аш £ Н(Н). На¬
конец, Yln=1 II№ ~~ ^m)en||2 ^ £> что получается при i —> оо из оценки
£n=i ||(Ai — Am)en||2 < £, имеющей место при г ^ jo- Сепарабель¬
ность 'Н(Н) следует из того, что конечномерные операторы плотны
в Н(Н), ибо оператор |А| с собственным базисом {еп} является пре¬
делом по норме Н(Н) конечномерных операторов х ь->	(я,	е^Ае*,
а конечномерные операторы можно приближать рациональными ли¬
нейными комбинациями операторов х (x,Vi)vj, где {^} — счетное
всюду плотное множество. Если А £ Н(Н) и В £ С(Н), то ВА £ 7i(H)
и ll#^L < llBILwHI«> 1160 \\ВАеп\\ < ||В||£(н)||Леп||. Кроме то-
го, АВ £ Н(Н), поскольку выполняются равенства (.АВ)* = В*А*,
llB*IU(H) = II^IUh,. II£*L = ll^ll*-	□
Введенные классы являются важнейшими специальными случаями
классов Шаттена SP(H), задаваемых условием (sj(A)} С 1Р.
Полезно определить отображения Гильберта-Шмидта между про¬
извольными гильбертовыми пространствами.
7.10.22.	Определение. Пусть Е\ иЕ2 — гильбертовы простран¬
ства. Оператор А £ С{Е\,Е2) называется оператором Гильберта-
Шмидта, если ряд ||Аеа||22 сходится для какого-нибудь ортонор¬
мированного базиса {еа} в Е\.
Класс всех операторов Гильберта-Шмидта, действующих из Е\
в Е2, обозначается через W(£i, Е2)5 а также через £(2)(£i, #2)-
Как и выше, легко проверяется, что композиция непрерывных опе¬
раторов между гильбертовыми пространствами — оператор Гильберта-
Шмидта, если таковым является хотя бы один из этих операторов.
Если пространство Е± несепарабельно, то включение А £ H(Ei, Е2)
означает, что А обращается в нуль на ортогональном дополнении к
некоторому сепарабельному замкнутому подпространству Ео С Е\ и
Меп||22 < 00 дая какого-либо ортонормированного базиса {еп}
в Ео. Как и выше, доказывается, что если ряд из ||Аеа||22 сходится
для какого-нибудь ортонормированного базиса в Е\, то он сходится
для всякого ортонормированного базиса и его сумма не зависит от вы¬
бора базиса. Корень из суммы называется нормой Гильберта-Шмидта
оператора А и обозначается через ||А||^. Норма Гильберта-Шмидта
порождается скалярным произведением (А, В) = Х}а(Аеа,.Веа)в . Эта
величина не зависит от ортонормированного базиса {еа} в Е\.

7.10. Дополнения и задачи
415
Следующий результат показывает, что абстрактные операторы
Гильберта-Шмидта — это интегральные операторы в пространствах
7.10.23. Предложение, (i) Пусть р — неотрицательная мера
со значениями в [0, +оо] на измеримом пространстве (П, Л), и пусть
(ii) Всякий оператор Гильберта-Шмидта в L2(p) имеет такой
вид. Поэтому всякий оператор Гильберта-Шмидта унитарно изо¬
морфен интегральному оператору указанного вида.
Доказательство, (i) Ограниченность оператора Т со значениями
в L2(p) легко проверяется аналогично примеру 6.9.4(iii). Пусть {еп} —
ортонормированная последовательность в L2(p). Тогда в силу неравен¬
ства Бесселя, применяемого к функциям s i-> /С(£, s), получаем
Поэтому Т — оператор Гильберта-Шмидта (в сепарабельном случае
это очевидно, в общем случае см. задачу 7.10.101). Возьмем ортонор¬
мированную последовательность {еп} так, что /С входит в замкнутую
линейную оболочку функций y?n,m(£, s) •’= en(t)em(s). Тогда при р-п.в. t
функция s /С(£, s) разлагается в ряд по элементам еп (задача 5.6.55).
При таких s в приведенной выше выкладке вместо неравенства стоит
равенство Парсеваля, что дает	\\Теп\\2	=
(ii)	Пусть Т — оператор Гильберта-Шмидта в Ь2(ц), и пусть {еа} —
ортонормированный базис в Ь2{ц). Тогда имеется его не более чем счет¬
ная часть {еп} с ||Ге„|| > 0. Зададим ядро К. формулой
П,771^1
Этот двойной ряд сходится в Ь2{р®р), ибо последовательность функций
en(t)em(s) ортонормированаи £n,m>i |(Ten,em)|2 = X^°=i ||Ten||2<oo.
L2 с квадратично-интегрируемыми ядрами.
/С — измеримая функция на ilxil, входящая в Ь2(р®р). Тогда оператор,
заданный в L2(p) формулой
является оператором Гильберта-Шмидта. При этом
\\П н = / [ №,s)\2n(eU)»(ds) = \\IC\\l4tl^).
J J fi
1C(t, з)— ^ ^ (Тen, em)en (t)em (s).

416
Глава 7. Спектральная теория
Задаваемый ядром /С оператор Тк. совпадает с Т, ибо для всякого еп
из выбранной последовательности мы имеем Теп = Тк,еп, а для всех
прочих еа мы имеем Tjcea = 0 = Теа. Наконец, абстрактный опера¬
тор Гильберта-Шмидта унитарно эквивалентен некоторому оператору
Гильберта-Шмидта в подходящем L2(/i), унитарно изоморфном исход¬
ному пространству (см. задачу 5.6.40).	□
Из теоремы 7.10.15 сразу следует такой результат.
7.10.24. Предложение. Пусть Н\ и — гильбертовы про¬
странства, А,В £ С(Н\,Н2), причем А(Н\) С В(Н\). Если В — опе¬
ратор Гильберта-Шмидта, то такое же и оператор А. Если же
Hi = Нч и В — ядерный оператор, оператор А — также ядерный.
Еще одна важная характеризация операторов Гильберта-Шмидта
описывает их как абсолютно суммирующие и 2-суммирующие операто¬
ры. Ряд £~i хп в банаховом пространстве называют безусловно схо¬
дящимся, если оно сходится при всех перестановках индексов. Если же
2^=1 ||хп|| < оо, то этот ряд называют абсолютно сходящимся.
7.10.25. Определение. Пусть X uY — банаховы пространства.
Оператор Т £ С(Х, Y) называется абсолютно р-суммирующим, если
для каждой слабор-суммируемой последовательности {хп} С X, т.е.
\Чхп)\р < ОО при всех I £ X*, мы имеем Y^Li ll^nll^ < оо.
Оператор Т называется абсолютно суммирующим, если он пере¬
водит безусловно сходящиеся ряды в абсолютно сходящиеся.
Для абсолютно р-суммирующего оператора есть такое С > 0, что
оо	оо
V ||Т*„||* < С sup У2 |Z(*n)|p	(7.10.4)
для всякой последовательности {хп} С X. Действительно, иначе для
всякого т нашлось бы конечное множество хт,1,..., хт^, для кото¬
рого supufn^x E*=i |i(xTO>i)|p < 2~т и Ег*=1 \\ТхтДру > 1, что ведет
к противоречию. Наименьшее возможное С обозначается через тгр(Т).
Введенные классы выдерживают композиции справа и слева с огра¬
ниченными операторами. По теореме Дворецкого-Роджерса во всяком
бесконечномерном банаховом пространстве X есть безусловно, но не аб¬
солютно сходящийся ряд. Если X не имеет подпространств, изоморф¬
ных со (и только в этом случае), то безусловная сходимость ряда из хп
равносильна слабой 1-суммируемости {хп} (см. [89, гл. 3, 4]).
7.10.26. Предложение. Пусть Е\ и Еъ — гильбертовы прост¬
ранства. Оператор Т £ С{Е\,Е2) — оператор Гильберта-Шмидта
в точности тогда, когда он является абсолютно 2-суммирующим или
абсолютно суммирующим.

7.10. Дополнения и задачи
417
Доказательство. Пусть Т — абсолютно 2-суммирующий опера¬
тор и {еа} — ортонормированный базис в Е\. Для всякого у £ Е\
имеем 13а1(У>е«)12 = 1Ы12 < °°, откуда J2aWTe<*\\2 < °°- Предполо-
жим теперь, что Т £ Н(Е\,Е2) и {hn} — последовательность в Е\
с	1(^п>2/)|2 < оо при всех у £ Е\. Можно считать, что Е\ есть
замыкание линейной оболочки векторов hn. Если £*1 конечномерно, то
утверждение легко проверяется. Поэтому будем считать, что Е\ беско¬
нечномерно, и возьмем базис {еп}. Зададим оператор S в Е\ посред¬
ством Sen — hn, т.е. Sx =	en)hn. Этот ряд сходится слабо в Е\,
ибо для всякого у £ Е\ абсолютно сходится ряд Y^=i(x> en)(hn, у), что
следует из сходимости рядов из |(х,еп)|2 и \(hn,y)\2. Значит, опера¬
тор S непрерывен. Поэтому TS — оператор Гильберта-Шмидта. Сле¬
довательно, ряд из ||T7in||2 = ||TSen||2 сходится. Если Т — абсолют¬
но суммирующий и {еп} — ортонормированная последовательность, то
при (хп) £ 12 ряд из хпеп сходится безусловно. Тогда сходится ряд из
|яп|||Теп||, откуда {||Ten||} £ I2. Значит, Т £ Н(Е\,Е2). Обратное сле¬
дует из задачи 7.10.129. Заметим, что предложение верно при р > 0.	□
7.10.27. Теорема. Пусть р — вероятностная борелевская мера
на топологическом пространстве П. Тогда тождественное вложение
j: Сь{&) —> L2(p) является абсолютно 2-суммирующим.
То же самое верно, если в качестве О, взять произвольное веро¬
ятностное пространство, а вместо Cf, (ft) взять Ь°°(р).
Доказательство. Пусть {хп} с C*>(ft) и Y£Li \Кхп)\2 < оо для
всякого I £ Cb(ft)*. Это показывает, что последовательность операторов
Тп: Сб(П)* —> I2, I (J(xi),... ,/(xn),0,0,...), поточечно ограничена.
По теореме Банаха-Штейнгауза вирщц^	\Кхп)|2 ^ С < оо. Бе¬
ря в качестве I функционалы х x(t), получаем	1хп(£)|2	^	С.
Итак,	11Лхп)||2	^	С- Случай Ь°°{р) для общего измеримого про¬
странства сводится к случаю С(К) для компакта К. Для этого нужен
следующий факт из §11.7(i): существует такой компакт К, что алгебра
Ь°°(р) линейно изометрична алгебре С (К), причем на К есть такая
вероятностная борелевская мера v, что указанный изоморфизм Ь°°(р)
и С(К) задает изоморфизм между L2(p) и L2(u).	□
С учетом предложения 7.10.26 получаем такой интересный факт.
7.10.28. Следствие. Пусть Н — гильбертово пространство,
— вероятностное пространство и А: Н —> Ь2(р) — такой
непрерывный оператор, что А(Н) С Ь°°(р). Тогда А является опера¬
тором Гильберта-Шмидта.
Это следствие допускает важное усиление, являющееся частным
случаем одного более общего результата В.Б. Короткова.

418
Глава 7. Спектральная теория
7.10.29.	Теорема. Пусть р — вероятностная мера на измери¬
мом пространстве (ffc,A). Ограниченный оператор Т на Ь2(р) явля¬
ется оператором Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда суще-
функции х £ L2(p) элемент Тх имеет модификацию, которая с неко¬
торым числом Сх>0 удовлетворяет оценке
Доказательство. Необходимость этого условия ясна из доказан¬
ного выше и оценки
для оператора Т, заданного ядром /С £ С2(р<8>р), ибо справа стоит функ¬
ция из С2(р). Пусть выполнена оценка (7.10.5). Заменив Ф на Ф -f 1, бу¬
дем считать, что Ф ^ 1. Заметим, что в качестве Сх можно взять С||х||
с некоторым С > 0. Действительно, ограниченный оператор S = Ф-1Т
принимает значения в L°°(p) и потому ограничен как оператор из L2(/jl)
в L°°(p) (см. следствие 6.2.8), что дает искомое число С. Положим
Тогда \Тех(ш)\ < Се 1 ||х||, т.е. образ оператора Те входит в L°°(p).
Согласно предыдущему следствию оператор Те является оператором
Поэтому достаточно установить равномерную ограниченность норм
Гильберта-Шмидта операторов Те. Поскольку при е —> 0 ввиду тео¬
ремы Лебега ||Ф(егФ +	ЦФ||ь2(д)> то нам достаточно по¬
казать, что в случае ограниченной функции Ф имеет место оценка
||Г||„ ^ С\\Ф\\Ь2М. Мы уже знаем, что в случае ограниченной функ¬
ции Ф оператор Т является оператором Гильберта-Шмидта и потому
задается некоторым ядром /С £ С2{р^р). Значит, для каждого х £
с ||#||l2(/x) ^ 1 МЫ имеем
для ц-п.в. Однако соответствующее множество меры нуль может за¬
висеть от х. Ввиду компактности Т имеется сепарабельное замкнутое
подпространство Н С Ь2{р) с Т(Н) С Я и Т^Я1-) = 0. Возьмем в
единичном шаре Я счетное плотное множество {хп}. Это позволяет
перейти к случаю сепарабельного пространства L2(p) (для чего доста¬
точно рассматривать меру ц на сг-алгебре, порожденной всеми функци¬
ями хп и Ф). Тогда (7.10.6) выполнено почти всюду сразу для всех хп.
cmeyem такая неотрицательная функция Ф £ С2(р), что для каждой
\Тх(и>)\ ^ СхФ(а;).
(7.10.5)
Тех(ш) := |еФ(и;) + 1| гТх(ш), е > 0.
Гильберта-Шмидта. При каждом х £ Ь2(р) мы имеем limTea; = Тх.
(7.10.6)

7.10. Дополнения и задачи
419
В силу выбора {хп} величина sup / K,(t,s)xn(s) p(ds)\ есть £2-норма
п Un	I
функции s )C(t,s) при таких t, что эта функция входит в L2(p).
Следовательно, при р-п.в. t имеем / |/С(£, s)|2 /i(ds) < С2Ф(£)2. Значит,
Jn
ЦТ’Ии < I|£||l*(m®/») < с,211ф1к2(м). чт0 и требовалось.	□
Как показывает следующая теорема А. Пича, в случае общих бана¬
ховых пространств абсолютно 2-суммирующие операторы также связа¬
ны с пространством L2.
7.10.30.	Теорема. Пусть X и Y — банаховы пространства, В* —
замкнутый единичный шар пространства X* со *-слабой тополо¬
гией, а (С(В*)) — а-алгебра, порожденная непрерывными функция¬
ми на компакте В*. Оператор Т £ C(X,Y) является абсолютно
2-суммирующим в точности тогда, когда на о (С (В*)) существует
такая ограниченная неотрицательная мера р, что
г в*
Доказательство. Если такая мера есть, то при xi,...,xn £ X
имеем
£|М* < / £К(*|)12М<*е) <м(в*) sup £|Л*«)|2,
откуда 7Г2 (Т) < р(В*). Обратно, пусть 7Г2(Т) = 1. Рассмотрим следую¬
щие подмножества в банаховом пространстве С (В*):
*к:={/еС(В*): sup|m|<a/(£) < 1}
и F%, равное выпуклой оболочке множества функций / £ С (В*) ви¬
да /(£) = |£(х)|2, где ||Тх||у = 1. Эти множества выпуклы, причем F\
открыто и Fi ПЕг = 0, ибо 7Г2(Т) = 1. По теореме Хана-Банаха и теоре¬
ме Рисса о представлении функционалов на С (В*) мерами существует
такая мера р на упомянутой сг-алгебре в В*, что
sup /	[ Л£) #*(<£)•
/GFi JB*	feF2 Jb*
Поскольку в Fi входят все отрицательные функции, то мера р ока¬
зывается неотрицательной. Можно считать, что р(В*) = 1. Тогда ле¬
вая часть предыдущей оценки равна 1. При ЦТжЦ^ = 1 для функции
fx(£) := |£(х)|2 получаем fx £ F%, поэтому интеграл от fx по мере р не
меньше 1, что и означает выполнение нужного неравенства.	□
Диагональные операторы определены в примере 6.1.5(vii). Приве¬
дем одну теорему фон Неймана (см. [224, теорема 14.13]).

420
Глава 7. Спектральная теория
7.10.31. Теорема. Для всякого самосопряженного линейного опе¬
ратора А в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и всякого
е > 0 существуют такие диагональный самосопряженный оператор
D и самосопряженный оператор Гильберта-Шмидта S£ в Н, что
A = D + S£u\\S£\\n^e.
Обратимся теперь к ядерным операторам и их связи с операторами
Гильберта-Шмидта.
7.10.32. Замечание. Если А £ С(Н) и есть такое С, что
оо
71=1
для всех пар ортонормированных базисов {'фп} и {<рп}, то Л €
Действительно, из предложения 7.8.12 следует, что оператор А компак¬
тен. Возьмем его полярное разложение А = U\A\ и собственный базис
{Фп} оператора \А\. В качестве {ipn} возьмем дополненную до бази¬
са ортонормированную последовательность всех ненулевых ифп. Это
дает сходимость ряда из sn(A).
7.10.33. Теорема. Пусть Н — сепарабельное гильбертово про¬
странство и А £ С(Н). Следующие условия равносильны:
(i) А £ щну9 (ii) А* £ щну, (iii) А = АгА2, где AUA2 G И(Я);
(iv) существуют такие последовательности векторов Vk и Uk
с ||itfc|| = ||vfe|| = 1 и числовая последовательность {Afe} £ I1, что
оо
Ах = Лк(ж, uk)vk;	(7.10.7)
fc=i
(v) есть ортонормированный базис {еп} с X^Li Меп|| < оо.
Доказательство. Равносильность (i) и (ii) следует из того, что
согласно задаче 7.10.65 операторы А*А и АА* имеют одни и те же
ненулевые собственные числа (для нуля это может быть неверно). По¬
этому для ненулевых собственных чисел имеем Sj(A) = Sj(A*). Если
А — ядерный, то \А\г/2 — оператор Гильберта-Шмидта, поэтому по¬
лярное разложение А = U\A\ дает представление А =	где
U\A\lf2 £ Н(Н), т.е. имеем (iii). Выведем (iv) из (iii). Пусть дано пред¬
ставление А = А\ А2, где Ai,A2 £ Н{Н). Возьмем полярное разложение
А2 = V\A2\. Оператор \А2 \ имеет собственный базис {еп} и собственные
числа ап. Значит, Ах = an{x,en)A\Ven. При ]Зп := ||AiVen|| > 0
положим vn := Z?”1 A\Vеп. Тогда для чисел Ап := ап/Зп получаем
{An} £ i1, что дает (7.10.7) с ип = еп. Теперь предположим, что имеет
место (iv). Тогда А очевидным образом компактен. Если {фп} и {ipn} —
ортонормированные базисы, то ряд из \(АфП9<рп)\ оценивается через

7.10. Дополнения и задачи
421
двойной ряд из |Аk($ni'U'k)(vk,<pn% мажорируемый рядом из |А*|, ибо
\(Фп,ик)(ьк,<Рп)\ < [\{i>n,Uk)\2 + \{vk,ipn)\2)/2 и сумма по п в правой
части равна 1. В силу замечания 7.10.32 оператор А — ядерный. При
этом (v) выполнено для собственного базиса \А\. Из (v) следует (iv),
если взять А* = ||<Ае*||, Uk = и Vk = \\Аек\\~гАек при Авк ^0.	□
Отметим, что ряд в (v) сходится для некоторого, но в общем случае
не для всякого ортонормированного базиса (задача 7.10.114). В каче¬
стве базиса, для которого сходимость имеет место, можно взять соб¬
ственный базис \А\. Тогда в качестве разложения (7.10.7) можно взять
Ах =	sn(A){x,en)Uen, где учитываются только еп с Uen ^ 0.
Следующий результат позволяет ввести след ядерного оператора.
7.10.34. Лемма. Пусть А £ Af(H) и {<рп} — ортопормированпый
базис в Н. Если А представлен в виде (7.10.7), то
оо	оо
^2 K(vn,uп) = ^2(А<рп,<рп),	(7.10.8)
71=1	71=1
ряд в правой части сходится	абсолютно и его	сумма	не	зависит	от
выбора	базиса. В частности,	Y^=i(A(Pn,<Pn) = Z^i	sn(A)(Uen,en),
где {еп} — собственный базис \А\.
Доказательство. Ряд в левой части сходится абсолютно, причем
оо	оо	оо
An(^n, Un) = ^ ^ Ап	y?fc)(y?fc? ип)	=
тг=1	7г=1	к=1
оо оо	оо
= ££л n(vn,<Pk)(<Pk,Un) = У^ХА<Рк,<Рк),
к=1 n=l	к=1
что показывает сходимость ряда в правой части. Его абсолютная сходи¬
мость следует из того, что сумма не меняется при перестановках членов
ряда (перестановка {<Рк} ~ ортонормальный базис).	□
Следом оператора А £ М{Н) называется число
оо
tr А := Y2(A<pk,<Pk),
к=1
где {<рк} — ортонормированный базис. Лемма показывает корректность
определения. Отметим следующий факт.
7.10.35. Предложение. Пусть Н — комплексное гильбертово
пространство. Оператор А £ С(Н) — ядерный в точности тогда,
когда для всякого ортонормированного базиса {еп} в Н сходится чи-
еловой ряд J^Li(Aen, е„).

422
Глава 7. Спектральная теория
Доказательство. Покажем, что А £ J\f(H), если все такие ряды
сходятся. Если Л > 0, то достаточно сходимости для одного базиса, ибо
тогда Л1/2 оказывается оператором Гильберта-Шмидта. Если А само¬
сопряжен, то найдутся такие замкнутые подпространства Н\ иЯ2, что
Н\ 1_ Яг, Н = Н\ 0 Яг, А(Щ) С Hi. Это следует из теоремы о при¬
ведении А к виду умножения на вещественную функцию р в Ь2(р):
в качестве Н\ и Яг можно взять подпространства функций, равных
нулю вне {р > 0} и {р ^ 0}. Операторы А\нх и — А\н2 неотрица¬
тельны. Возьмем ортонормированные базисы {рп} и {фп} в Н\ и Яг.
Пусть еп = рп при нечетных п и еп — фп при четных п. Тогда оба
ряда (AtpniPn) и (АФтФп) должны сходиться по отдельно¬
сти, ибо ряд из (Аеп,еп) сходится при любых перестановках его чле¬
нов. Следовательно, ограничения А на Н\ и Яг являются ядерны-
ми операторами, откуда А £ М(Н). Наконец, в общем случае мы за¬
мечаем, что оператор А* удовлетворяет тому же условию, что и А.
Тогда этому условию удовлетворяют и самосопряженные операторы
В\ = Л + А* и Яг = г(Л — А*). По доказанному В\, Яг £ /Ф(Н). Значит,
А=(В1- гЯ2)/2 £ ЛГ(Н).	□
Отметим, что здесь может оказаться недостаточно сходимости од¬
ного такого ряда (даже абсолютной): см. задачу 7.10.115. Для веще¬
ственных пространств это предложение неверно (достаточно взять не¬
компактный оператор А с (Ах, х) = 0).
7.10.36.	Теорема. Пусть Я — комплексное или вещественное
гильбертово пространство, (i) Пусть А £ М(Н). Тогда
оо
tr |А| = sup]P\(Афп, <рп)\,	(7.10.9)
71= 1
где sup взят по всем парам ортонормированных базисов {фп} и {рп}.
(ii) Пусть А £ Af(H). Тогда
оо
tr |Л| = inf |А„|,	(7.10.10)
71=1
где inf берется по всем представлениям вида (7.10.7).
(iii) Пространство ядерных операторов на сепарабельном гильбер¬
товом пространстве Я является сепарабельным банаховым относи¬
тельно нормы ||^4||(1) := tr\А\.
(iv) Оператор А £ С(Н) является ядерным в точности тогда,
когда таков А*. При этом ||Л||(1) = ||Л*||(1) и tr Л = tr Л*.
(v) Если А £ М(Н) и Т £ С(Н), mo АТ, ТА £ ЛГ(Н), причем
tvAT = tvTA и ||АГ||(1) < ||Г||£(Я>М11(1).

7.10. Дополнения и задачи
423
Доказательство. Будем считать Н комплексным (вещественный
случай аналогичен), (i) Возьмем полярное разложение А = U\A\ и соб¬
ственный базис {еп} оператора\А\. Тогда Афп = Y^jLi sj{A)^n, ej)Uej,
откуда T^=i(A^n,<Pn) = J2n=i Sj{AWn,ej){Uej,<f>n), что по аб-
солютной величине оценивается через tr \А\, как и в доказательстве те¬
оремы 7.10.33. Так как это же верно при замене еп на егвпеп с любыми
вещественными вп, то правая часть (7.10.9) не больше левой. С другой
стороны, все ненулевые векторы Uen образуют ортонормированную си¬
стему. Дополнив ее до базиса {<рп}, получим пару базисов, на которой
достигается равенство.
(ii) В доказательстве теоремы 7.10.33 мы видели, что сумма ряда
из sn(yi) не превосходит сумму ряда из |АП| для всякого представле¬
ния (7.10.7). Равенство достигается для Ах = Y2^Li sn(A)(x,en)Uen,
где А = U\A\ — полярное разложение и {еп} — собственный базис \А\.
(iii) Из утверждения (iv) теоремы 7.10.33 ясно, что М{Н) — линей¬
ное пространство. Оценка (7.10.9) вместе с очевидным неравенством
||-А|| ^ ||^l||(i) показьшают, что || • ||(х) — норма. Если последователь¬
ность {Ап} фундаментальна по этой норме, то она сходится к некото¬
рому оператору А ё 1С(Н) по операторной норме. Пусть А = U\A\ —
полярное разложение А и {еп} ~~ собственный базис \А\. Положим
фп = еп и (рп = Uеп при Uen ф 0. Дополним {<рп} до ортонорми¬
рованного базиса. Тогда мы получаем сходимость ряда из sn(A), ибо
ряд из \(Афп,(рп)\ сходится ввиду (7.10.9) и равномерной ограничен¬
ности норм ||^n||(i). Покажем, что ||Л — Ап||(х) —> 0. Пусть е > 0.
Найдем номер щ с \\Ат — Ап||(х) < е при всех п,ш ^ щ. Пусть
в пространстве Н даны два ортонормированных базиса {фк} и {<fk}-
Пусть т ^ п0. Найдем N с Y^Ln+i \{^Фк ~ АтФк, <Pk)\ < s. Из оценки
Y^k=i |{Ajфk - Атфк, <Рк)| ^ £ при j ^ по в пределе получаем такую же
оценку с А вместо Aj. Итак, ввиду (7.10.9) получаем \\А — Дп||(х) ^ 2в.
Остается заметить, что всякий оператор А £ АГ(Н) приближается по
норме || • ||(х) конечномерными, ибо это верно для \А\ (достаточно вос¬
пользоваться собственным базисом |А|).
Первое утверждение в (iv) ясно из того, что |А| и \А*\ имеют одни
и те же ненулевые собственные числа, что уже отмечалось выше. Это
же соображение дает равенство ||Л||(х) = ||A*||(x). Последнее равенство
в (iv) очевидно.
В утверждении (v) ядерность операторов АТ и ТА очевидна из
утверждения (iv) теоремы 7.10.33 (можно использовать и связь с опе¬
раторами Гильберта-Шмидта). Оценка ||АТ||(х) < ||^1|£(я)||^||(1) сле¬
дует из утверждения (ii) и представления (7.10.7). Проверим равенство
следов операторов АТ и ТА. Записав оператор А в виде (7.10.7), мы

424
Глава 7. Спектральная теория
приходим к следующим двум равенствам:
оо	оо	оо
ТАх = ^2 Лп(х> un)Tvn, АТх = ^2 ^п(Тх, un)vn = Хп(х, T*un)vn.
71= 1	71=1	71=1
Равенство (7.10.8) говорит, что след ТА равен ^n(Tvn, wn), а след
АТ равен X^ILi ^n(vmT*un), т.е. тому же самому числу.	□
Приведем достаточное условие ядерности оператора в Ь2[0,1].
7.10.37. Пример. Пусть Т — ограниченный оператор в L2[0,1],
причем его образ содержится в множестве липшицевых функций (или,
более общим образом, существует такая функция Ф € L2[0,1], что образ
Т входит в класс абсолютно непрерывных функций х, для которых
|х'(£)| < СЖ|Ф(£)| п.в.). Тогда Т — ядерный оператор.
Доказательство. Сначала дополнительно предположим, что все
функции из образа Т равны нулю в 0. Оператор Sx = (Тх)' прини¬
мает значения в L°°[0,1]. Согласно следствию 7.10.28 оператор S яв¬
ляется оператором Гильберта-Шмидта. В случае второго более общего
условия применяем теорему 7.10.29. Оператор Вольтерра V неопреде¬
ленного интегрирования также есть оператор Гильберта-Шмидта. По¬
этому Т = VS — ядерный. В общем случае заметим, что оператор Т
непрерывен и как оператор со значениями в С[0,1]. Поэтому функ¬
ционал I: х	Тх(0)	непрерывен. Это позволяет записать Т в виде
Тх = /(х)1+Т0х, где То имеет рассмотренный в начале вид. Тогда Т яв¬
ляется ядерным, ибо таковы То и одномерный оператор х l(x) 1.	□
Частным случаем является следующий оператор.
7.10.38. Пример. Пусть измеримая функция /С входит в С2 на
квадрате [0,1] х [0,1] и при почти каждом s функция t «—> /C(t, s) удо¬
влетворяет условию Липшица с постоянной Ф(з), причем функция Ф
входит в £2[0,1]. Тогда оператор
Tx(t) = f /С(£, s)x(s) ds
Jo
является ядерным. Это же верно при более слабом условии: при по¬
чти каждом s функция t »-> )C(t, s) абсолютно непрерывна на [0,1]
и dK(t, s)/dt е С2([0,1] х [0,1]).
Отметим, что непрерывности ядра /С недостаточно для ядерности
интегрального оператора с ядром /С. Т. Карлеман указал следующий
пример: /С(£, s) — F(t—s), где F — такая непрерывная функция с перио¬
дом 1 и разложением Фурье F(t) = Y^kezcke2nl,kt > что Лк \°к\ = 00• То¬
гда функции ek(t) = e2n%kt образуют собственный ортонормированный

7.10. Дополнения и задачи
425
базис интегрального оператора с ядром /С, причем {сь} — последова¬
тельность соответствующих собственных чисел. Однако если дополни¬
тельно известно, что интегральный оператор с ядром /С неотрицателен,
то он будет ядерным.
7.10.39.	Пример. Пусть /С — непрерывная вещественная функ¬
ция на [0,1] х [0,1], JC(t, s) = /C(s, t), причем интегральный оператор Т,
заданный на Ь2[0,1] ядром /С, неотрицателен. Тогда Т — ядерный опе¬
ратор, причем
В самом деле, возьмем собственный базис {еп} оператора Т с собствен¬
ными числами Ап. По доказываемой ниже теореме Мерсера 7.10.43 ряд
Anen(£)en(s) сходится к /С(£, s) равномерно на квадрате. В частно¬
сти, он сходится равномерно на диагонали, что после интегрирования
дает указанное равенство. Отметим, что ядерность Т имеет место, если
вместо непрерывности /С предположить лишь измеримость и ограни¬
ченность (разумеется, сохранив условие Т ^ 0). Это следует из дока¬
занного, ибо можно взять последовательность непрерывных ядер JCn
с sup |ICn(t, 5)| < sup |/С(£, 5)|, сходящихся по мере к /С и порождающих
неотрицательные операторы (см. Гохберг, Крейн [63, с. 149-151]).
Следующая теорема описывает интересную связь между ядерными
операторами и функционалами на пространствах операторов.
7.10.40.	Теорема, (i) Для всякого S £ Af(H) функционал
на /С(Я) имеет норму ||5'||(i). Обратно, всякий непрерывный функ¬
ционал на 1С(Н) допускает такое представление, т.е. пространство
1С(Н)* естественно изоморфно пространству ЛГ(Н).
(ii)	Для всякого Т £ С(Н) функционал
наМ{Н) имеет норму ||Т||£(#). Обратно, всякий непрерывный функ¬
ционал наМ{Н) допускает такое представление, т.е. пространство
ЛГ(Н)* естественно изоморфно пространству С(Н).
Доказательство, (i) Мы уже знаем, что норма ||А|| указанного
функционала Л не превосходит ||£||(1). Покажем, что ||Л|| ^ HS'H(i)-
Пусть е > 0. Возьмем полярное разложение S = U\S\ и собственный
базис {еп} оператора |5| с собственными числами 5П. Тогда
K^trSK
S^trTS
N
№) ^ sn + g

426
Глава 7. Спектральная теория
при некотором N, где sn > 0. Возьмем конечномерный оператор Км
с KpfUen = еп, г — 1,..., JV, доопределив его нулем на ортогональном
дополнении линейной оболочки ei,..., ejv* Тогда ||^лг||/:(я) = 1 и
N	N
trKNS = ^Tsn{KNUen,en) = ^sn > ||S||(i) -e,
n=l	n=1
что дает нужную оценку. Итак, есть изометрическое вложение про¬
странства М{Н) в /С(#)*. Пусть теперь Л £ /С(#)*. Для всяких u,v £ Н
задан одномерный оператор KUjV(x) := (x,u)v. Положим
B(u,v) := Л(KUfV).
Функция В линейна по и и сопряженно-линейна по v. Непрерывность
В ясна из равенства ||^и,1?||(1) = IMI IMI (см. задачу 7.10.63). Соглас¬
но задаче 7.2.1 существует оператор S £ С(Н) с (Su,v) = В(щ v).
Покажем, что это искомый оператор. Для всяких бесконечномерных
ортонормированных последовательностей {фп} и Wn} и всякого эле¬
мента (£n) £ со ряд	£>пКфп^п сходится по операторной норме
к некоторому К £ К{Н). Ввиду непрерывности Л сходится ряд из
€пМКг1>п,ч>п) = €n(Sfl>n,<Pn)i причем модуль его суммы не превосхо¬
дит ||Л|| \\К\\с(н)- Легко проверить, что \\К\\С(н) = supjfn|. Следо¬
вательно, {(вфтсрп)} € г1 и YHZLi \(ЗФп,<Рп)\ < ||А||, что дает оценку
||^||(1) < ||А|| ввиду предыдущего замечания. Утверждение (й) доказы¬
вается аналогично.	□
Из этой теоремы следует равенство К,(Н)** = С(Н).
Одним из наиболее глубоких результатов о следах операторов яв¬
ляется следующая теорема В.Б. Лидского. Ее довольно трудное дока¬
зательство можно прочитать в нескольких книгах, например, см. Гох-
берг, Крейн [63, гл. Ш, §8] (наиболее короткое доказательство изложено
в книге Simon [517]).
7.10.41.	Теорема. Для всякого А £	верно равенство
оо
tr А = ^ ^ Ап,
71— 1
где Хп — все собственные числа А с учетом кратностей, причем при
отсутствии собственных чисел правая часть считается нулем.
Наиболее трудная часть доказательства как раз и связана со случа¬
ем отсутствия собственных чисел. Совершенно неочевидно, что в этом
случае след равен нулю. Отличные от нуля собственные числа рассмот¬
рены в задаче 7.10.105. О собственных числах компактных операторов
см. также Konig [417], Pietsch [484].

7,10. Дополнения и задачи
427
7.10(v). Интегральные операторы и теорема Мерсера
Приведем еще несколько фактов, связанных с теоремой Гильберта-
Шмидта и полезных при исследовании интегральных уравнений. Пусть
/С £ £2([0,1]х[0,1]) — комплексная функция с /С(£, s) = /C(s, f). Рассмот¬
рим компактный самосопряженный оператор
в £2[0, 1]. По теореме Гильберта-Шмидта существует ортонормирован-
при почти всех t. Поэтому при почти всех t это равенство верно сразу
для всех п. Кроме того, при почти всех t функция s /C(s, t) входит
в £2[0,1]. Пусть t обладает обоими свойствами (множество таких точек
также имеет полную меру). Тогда предыдущее равенство означает, что
Так как при почти всяком t мы имеем ортогональное разложение
п=1
где ряд сходится в Ь2([0,1]х[0,1]). Если на /С наложить дополнительные
условия, то можно уточнить сказанное.
7.10.42.	Пример. Пусть есть такое число С, что
ный базис {еп} с Ткеп = Апеп, где Ап € Ж1. Это значит, что для
каждого п мы имеем
АпеП (0 — (^С( * » J вп) ,
что дает равенство
(7.10.11)
После интегрирования по t получаем
оо
оо
/С( •, t) — ^	*	>	0»	еп)еп	—	^	^	Anen(t)en>
71=1
ТО
оо
(7.10.12)
|/С(£, s)\2 ds < С почти всюду на [0,1].

428
Глава 7. Спектральная теория
Тогда	\^nen(t)\2	^	п.в.,	причем	для всякого х G I/ [0,1] ряд
оо
TKx(t) = Е *п{х, en)en(t)	(7.10.13)
71—1
сходится абсолютно и равномерно на некотором множестве Е полной
меры.
Доказательство. Первое утверждение ясно из (7.10.11) и равен¬
ства |/С(£, s)\ = |/C(s,f)|. В качестве Е возьмем множество тех t, для
которых выполнены (7.10.11) и неравенство из условия. Теперь оценка
ОО	ОО	-j	/2	ОО	■*	j	(у
(£ (Е <
71=771	71=771	71=771
<C'1/2(f)|(ar,en)|2)1/2
71=771
доказывает второе утверждение.	□
7.10.43.	Теорема. (Теорема Мерсера) Пусть функция /С не¬
прерывка, причем оператор Тк неотрицателен, т.е. (Т^х,#) > 0. То¬
гда функции еп, соответствующие числам Хп ф 0, имеют непрерыв¬
ные модификации, причем ряды (7.10.12) и (7.10.13) сходятся абсо¬
лютно и равномерно. Кроме того, справедливо равенство
tr = f lC(t,t)dt.
Jo
Доказательство. При Ап ^ 0 непрерывная версия еп дается фор¬
мулой
en(t) = X~1f fC(t, s)en(s)ds.
Jo
Заметим, что	^ 0. Для этого при фиксированном т £ [0,1) возь¬
мем функции хп = п/[г>г+1/п]/[о,1]. По условию
/min(r+l/n,l) /•min(r+l/n,l)
j	IC(t,	s)	dt	ds.
При n —> оо интеграл в правой части стремится к /С(т, т), откуда
/С(т,т) ^ 0. Применим это наблюдение к непрерывным ядрам /С — /Сп,
где
71
A^7i(^s) = ^ ^ Ajgj(t)ej(в),
j=i

7.10. Дополнения и задачи
429
задающим неотрицательные операторы, поскольку A j > 0, причем
оо
(T)cxix) ~ {T}cnxiх) = ^ ^ Aj-K®, е,-)| ^ 0.
j=n+l
Итак, )Cn(t,t) < /С(£,£). Следовательно,
п
y^Aj|ej(t)|2 </С(М) < М := sup |/C(£, s)|.
т-f	t,s
3=1
Таким образом,
ОО	ОО	I
]ГА,м*)еЛ*)К£А;-
3=1	3=1
Кроме того, при всяком фиксированном s ряд	^jej(t)ej(s) схо"
дится равномерно по t. В самом деле, при заданном е > 0 найдем т
с Y^Lm Ajlej(5)|2 ^ £ и по неравенству Коши-Буняковского получим
оо	оо	1/2	1/2
AjleiWej(s)l ^ (5Z AilejW|2) ЧЕ ^|ej(s)|2)	<	(Ме)1/2.
j=m	j=m	j=m
Теперь можно сделать вывод, что ряд J^Li Anen(t)en(s) сходится
к /С(£, s) в каждой точке, а не только почти всюду. Действительно, обо¬
значим сумму этого поточечно сходящегося ряда через Q(t, s). Из дока¬
занного следует, что функция Q ограничена и непрерывна по каждому
переменному отдельно. Зафиксируем s и покажем, что Q(t, s) = /С(£, s)
при всех t. Ввиду непрерывности обеих функций по t достаточно прове¬
рить, что они имеют равные скалярные произведения с функциями е&.
Поскольку ряд, задающий Q, сходится равномерно по t (что показано
выше), то интеграл от Q(t,s)ek(t) по t равен А&е&($). Этому же равен
интеграл от /С(£, s)ek(t) по t согласно выбору версий е^. Из поточечного
равенства /С(£, s) = Q(t, s) следует, что ряд Y^=i An|en(£)|2 сходится по¬
точечно к непрерывной функции /С(£,£). По теореме Дини сходимость
равномерна. Из этого с помощью неравенства Коши-Буняковского лег¬
ко усмотреть и равномерную сходимость ряда (7.10.12). Равенство для
следа получается интегрированием этого ряда при t = s.	□
Обобщение см. в задаче 7.10.127.
Нетрудно проверить, что непрерывное вещественное симметрич¬
ное ядро /С на [0,1]2 задает неотрицательный (в смысле квадратичных
форм) оператор Тк в точности тогда, когда матрицы (IC(U,tj))i .<п
являются неотрицательно определенными. Поэтому условие Тк > о
не следует из условия tC(t,s) ^ 0. В качестве примера укажем ядро
wr±JaW!!<M
2 ""

430
Глава 7. Спектральная теория
/С(£, s) = |t—s|, которое задает оператор, не являющийся неотрицатель¬
ным (впрочем, это легко усмотреть из формулы для следа в §7.10(iv)).
Отметим еще, что неотрицательность оператора Т на L2(fi) в смысле
квадратичных форм не следует путать с неотрицательностью в смысле
упорядоченных пространств, т.е. с условием Тх ^ 0 при х ^ 0 (ни одно
из этих двух условий не следует из другого).
7.10(vi). Тензорные произведения
Пусть X и У — банаховы пространства. Для каждой пары (х,г/)
вХ<8)У формула I 1(х)у задает одномерный оператор из X* в У,
обозначаемый символом х®у. Обозначим через X&Y линейное про¬
странство в £(Х*,У), порожденное всеми операторами х®у. Отметим,
что представление оператора в виде х\®у\ И b хп®уп не однозначно.
Например, х0(г/ + ^) = x<8>y + x®z. Линейное пространство Х®У назы¬
вается алгебраическим тензорным произведением пространств X и У.
Его можно пополнить по какой-либо норме на пространстве конечно¬
мерных операторов. Норма р на X&Y называется кросснормой, если
р(х<&у) = ||х|| ||г/|| для всех х € X, у £ У. Оказывается, среди кросснорм
есть две экстремальные, которые соответствуют обычной операторной
норме на £(Х*,У) и ядерной норме. Эти две кросснормы задаются
равенствами
IHloo :=sup^2f(Xi)g(yi): u =	||/||х.	<1,|Ы1У. < l},
i	i
IML := inf{S INI 1Ы1: u =
i	i
Для всякой кросснормы p выполнены неравенства \\и\\оо ^ р(и) < \\u\\^
(задача 7.10.118). Термин «ядерная норма» связан с тем, что оператор
Т G С(Х, У) назьюается ядерным, если он представим в виде
оо	оо
Тх = У^Ui(x)vj, где щ е X*, ы€У., ^ ||и*|| Ц^Ц < оо.
2=1 2=1
Точная нижняя грань сумм YhLi llM*ll 1КН по всем возможным пред¬
ставлениям Т называется ядерной нормой Т и обозначается симво¬
лом ЦТЦ^. Пополнения Х®У по нормам || • и || • ||оо обозначаются
символами X&Y и X&Y. Пространство Х&Г называется банаховым
тензорным произведением X и У. Всякий элемент u € X§>Y можно
представить в виде ряда
оо	оо
и = Y^Xi®yi, где ^2 INI 11у*11 < 00>
2=1	2=1
причем	есть	точная нижняя грань сумм указанного вида (это
ясно из задачи 5.6.48).

7.10. Дополнения и задачи
431
Если X и Y — гильбертовы пространства, то на X®Y есть норма
Гильберта-Шмидта, что приводит к гильбертову тензорному произве¬
дению Х®2Y. Таким образом, в том случае, когда X — Y = Н — гиль¬
бертово пространство, банахово тензорное произведение Н®Н есть про¬
странство Af{H) ядерных операторов, гильбертово тензорное произве¬
дение #02# есть пространство Н(Н) операторов Гильберта-Шмидта,
а тензорное произведение #<£># есть пространство /С(Я) компактных
операторов, причем введенные выше тензорные нормы как раз и явля¬
ются соответствующими операторными нормами.
7.10(vii). Фредгольмовы операторы
Пусть X и Y — банаховы пространства.
7.10.44. Определение. Ограниченный оператор А: X —> Y на¬
зывается фредгольмовым, если его ядро Кег А имеет конечную раз¬
мерность, а его образ Ran А = А(Х) имеет конечную коразмерность.
Число dim Кег А — codim Ran А называется индексом оператора А
и обозначается символом Ind А.
Ввиду предложения 6.2.12 образ фредгольмова оператора замкнут.
Иногда фредгольмовы операторы называют нётеровыми, а нётеро-
вы с нулевым индексом — фредгольмовыми.
Индекс фредгольмова оператора оказывается более важной харак¬
теристикой, чем сами размерность его ядра или коразмерность образа.
Это связано с поведением индекса при композициях и возмущениях
операторов, что будет продемонстрировано ниже.
7.10.45. Пример, (i) Всякий линейный оператор А в конечномер¬
ном пространстве Е является фредгольмовым с нулевым индексом, ибо
dim Кег А + dim А(Е) = dim Е.
(ii) Компактный оператор К: X —>Y может быть фредгольмовым
только в том случае, когда оба пространства X и Y конечномерны.
В самом деле, замкнутое пространство К{Х) обязано быть конечно¬
мерным по теореме об открытом отображении (образ открытого шара
открыт, но при этом вполне ограничен). Тогда ядро К имеет конечную
коразмерность, т.е. X тоже конечномерно.
(iii) Пусть К: X —> X — компактный оператор. Тогда оператор
I + К — фредгольмов. При этом Ind (/ + К) = 0. Это было доказа¬
но в §7.4. Как мы увидим ниже, этот пример весьма типичен. Сам
термин «фредгольмов оператор» воздает должное Фредгольму, зани¬
мавшемуся интегральными уравнениями. Его результаты, относящие¬
ся к интегральным операторам, проложили дорогу для последующих
исследований Рисса и Шаудера абстрактных компактных операторов.
Доказываемая ниже теорема Никольского выявляет тесную связь меж¬
ду фредгольмовыми операторами и компактными возмущениями тож¬
дественного оператора.

432
Глава 7. Спектральная теория
(iv) Оператор A<pi Ь2[0,1] —> L2[0,1] умножения на ограниченную
измеримую функцию (р является фредгольмовым в точности тогда, ко¬
гда он обратим, т.е. \<p(t)\ > с почти всюду на [0,1] для некоторого
числа с > 0. При этом индекс А<р равен нулю. Действительно, мно¬
жество Z := у?-1(0) имеет меру нуль, ибо в противном случае про¬
странство функций из L2[0,1], равных нулю вне Z, бесконечномер¬
но. Это пространство совпадает с ядром А. Таким образом, опера¬
тор А оказывается инъективным. Кроме того, его образ всюду плотен
в Ь2[0,1], так как для всякой функции / из L2[0,1] функции //#п, где
Еп := {£: \<p\(t) ^ п"1}, сходятся к / в Ь2[0,1], а такие функции входят
в образ А. Значит, оператор А взаимно однозначен.
(v) Пусть U — открытый единичный круг в С и X = H(U) —
банахово пространство аналитических функций в С/, непрерывных на
замыкании U, причем ||/|| = таxzeu \f(z)\- Положим Af(z) = znf(z).
Тогда А — фредгольмов оператор индекса п. Действительно, этот опе¬
ратор имеет нулевое ядро и образ конечной коразмерности. Функции
1,з,..., zn~x вместе с образом А порождают H(U), что ясно из разло-
жения в ряд f(z) = akz>°-
Рассмотрим подробнее структуру фредгольмова оператора Т меж¬
ду банаховыми пространствами X и У. Возьмем замкнутое линейное
дополнение Х\ к ядру Т в X (см. следствие 6.4.2). Имеется также ко¬
нечномерное дополнение Yq к образу Y\ оператора Т. Оператор Т вза¬
имно однозначно отображает Х\ на Y\ и равен нулю на Хо := Кег Т.
Поскольку Х\ и Yi — банаховы пространства, то Т: Х\ —> Y\ — линей¬
ный гомеоморфизм. Из этого вытекает следующее утверждение.
7.10.46. Предложение. Пусть X, У u Z — банаховы простран¬
ства иТ £ С(Х,У) — фредгольмов оператор. Тогда образ T(Z) всякого
замкнутого линейного подпространства Z С X замкнут в У.
Доказательство. Линейное подпространство Z\ := Z п Х\ за¬
мкнуто и имеет конечномерное линейное дополнение Z<i до Z. Поэто¬
му T(Z) = T(Zi) + T(Z2), где подпространство T(Z\) замкнуто ввиду
гомеоморфности Т на Xi, а подпространство T(Z2) конечномерно. Со¬
гласно предложению 5.3.8 множество T(Z) замкнуто.	□
Теперь с помощью приведенных выше соображений мы докажем
следующую теорему С.М. Никольского, связывающую фредгольмовы
операторы с компактными возмущениями тождественного.
7.10.47. Теорема. Пусть X и У — банаховы пространства,
Т £ £(Х, У). Оператор Т фредгольмов в точности тогда, когда суще¬
ствует такой оператор S £ £(У, X), что операторы ST—Ix и TS—Iy
компактны (соответственно в X и в У). При этом оператор S мож¬
но выбрать так, что указанные операторы будут даже конечномер¬
ными.

7.10. Дополнения и задачи
433
Доказательство. Пусть Т фредгольмов. Как и выше, возьмем
замкнутое линейное дополнение Х\ к Хо = КегТ в X. Как мы зна¬
ем, оператор проектирования Pi: X —► Х\ непрерывен. Непрерывен
и проектор Р = 1х — Р\ на КегТ. Имеются также конечномерное
дополнение Уо к образу Y\ оператора Т и непрерывный оператор про¬
ектирования Q\: Y —> Y\. Тогда Q := /у — Q\ — непрерывный опе¬
ратор проектирования на Уо* Оператор Т взаимно однозначно отобра¬
жает Х\ на Y\. Теорема Банаха об обратном операторе дает отобра¬
жение So £ C(Yi,Xi) с SoTx = х при всех х £ Х\ и TSoy = у при
всех у £ Y\. Положим S: Y —> X, Sy = SoQiy. Тогда S £ £(У,Х)
и TSy = TSoQiy = Qiy — у — Qy для всех у £ Y. Кроме того, имеем
STx = SoPoTx = SoTx = SoTPox = Pox = x — Рх при всех x £ X.
Итак, операторы ST — Ix и TS — Iy конечномерны.
Обратно, пусть существует такой оператор S £ £(У, X), что опера¬
торы ST — 1х и TS — 1у компактны. Это дает фредгольмовость опера¬
торов ST и Т£. Поскольку КегТ С Кег5Т, то ядро Т конечномерно.
Кроме того, образ TS входит в образ Т, и потому последний имеет
конечную коразмерность.	□
Отметим, что оператор S («почти обратный» к фредгольмову Т)
также оказывается фредгольмовым, ибо для него выполнено условие
Никольского.
7.10.48.	Теорема. Пусть Х,У и Z — банаховы пространства,
S £ £(Х, Y) иТ £ £(У, Z) — фредгольмовы операторы. Тогда оператор
TS £ £(Х, Z) таксисе фредгольмов u Ind (TS) = Ind Т + Ind S.
Доказательство. Рассмотрим конечномерное подпространство
У0 := S(X) пКегГ в У. Ясно, что Кег (TS) = S^KerT). Оператор S
отображает Кег (TS) на Уо, причем ядром этого отображения является
множество Кег S. Таким образом,
dim Кег (TS) = dim Кег S + dim Уо.
Поскольку образ S конечномерен, то S(X) + КегТ обладает конечно¬
мерным алгебраическим дополнением Y\. Ясно, что RanT является
алгебраической суммой Ran(TS) и T(Yi). Проверим, что это — пря¬
мая сумма. Действительно, если TSx = Тг/, где х £ X и у £ Ух, то
Sx — у £ КегТ. Тогда у £ (£(Х) + КегТ) П Y\. Значит, у = 0, ибо
последнее пересечение состоит лишь из нуля. Таким образом, оператор
TS является фредгольмовым, и мы приходим к равенству
codim Ran (TS) = codim Ran T + dim У1.
В силу доказанного получаем следующее соотношение:
Ind (TS) = (dim Кег S + dimyb) — (codim Ran T -j- dim У1).
Подпространство Уо имеет в конечномерном подпространстве КегТ
линейное дополнение У2. Поэтому dim КегТ = dimyb + dimY^. Для

434
Глава 7. Спектральная теория
получения доказываемого соотношения остается заметить, что
codim Ran S = dim Y\ + dim У2.
Это равенство следует из того, что по построению Y есть прямая сумма
Ran S+Кег Т и Y\, причем Ran S+Кег Т является прямой суммой Ran S
и Y2 ввиду того, что Y2 — дополнение Ran S П КегТ в Кег Т.	□
7.10.49. Следствие. Пусть X и Y — банаховы пространства,
Т € £(Х,У) — фредгольмов оператор, К € /С(Х, Y) — компактный
оператор. Тогда оператор Т + К также фредгольмов, причем
Ind (Т + К) = Ind Т.
Доказательство. По теореме Никольского имеется такой опера¬
тор S Е £(У, X), что операторы Pi := ST — Ix и Р2 := TS — Iy конеч¬
номерны. Значит, S(T + К) — Ix + Pi + SK и (Г + K)S = Iy + P2 + KS,
где операторы Pi -f SK и P2 -f KS компактны. По той же самой теоре¬
ме оператор Т + К фредгольмов. В примере 7.10.45(iii) было отмечено,
что компактные возмущения тождественного оператора имеют нулевой
индекс. Ввиду доказанной выше теоремы это дает равенства
Ind Г -f Ind 5 = 0 = Ind (Т + К) + bad 5,
из которых следует равенство Ind (Т + К) = Ind Т.	□
7.10.50. Теорема. Пусть X uY — банаховы пространства. Опе¬
ратор Т G £(Х,У) является фредгольмовым в точности тогда, когда
сопряженный оператор Т* фредгольмов. При этом Ind Т = — IndT*.
Доказательство. Пусть Т фредгольмов. Тогда
dim Кег Г* = codim Ran Т, codim Ran Т* = dim Кег Т.
Действительно, представим X в виде Xq 0 Xi, где Хо = Кег Г и Х\ —
замкнутое линейное дополнение Хо. Кроме того, представим Y в ви¬
де У = Yo 0 Y\, где Y\ — замкнутый образ Т, а УЬ ~ конечномерное
дополнение Y\. В этом представлении оператор Г записывается как
(x0,xi)	(0,Tixi), где Т\: Х\ —> Y\ — обратимый оператор. Тогда
оператор Т*: Yq 0 Yf -> Xq 0 X* действует так: Г* (t/o, У\) = (0, Т?у{),
Уо G Y0\ yl G УГ- При этом оператор Т* является изоморфизмом про¬
странств Ух* и XJ. Для конечномерных пространств имеем равенство
dimXo = dimXo и dimYo = dim У0*. Это показывает фредгольмо-
вость Т* и дает нужное равенство. Отметим, что сама фредгольмо-
вость Т* очевидна из теоремы Никольского и равенств (ST)* = T*S*,
(TS)* = S*T*. Обратно, пусть оператор Т*: Y* —> X* фредгольмов.
Тогда Т**: X** —> Y** тоже фредгольмов. Поэтому dim КегТ < оо.
Образ Т имеет конечную коразмерность. В самом деле, этот образ за¬
мкнут, ибо совпадает с образом замкнутого подпространства X в X**
под действием фредгольмова оператора Т**. Следовательно, образ Т
совпадает с аннулятором конечномерного ядра Т* (см. лемму 6.8.1).	□

7» 10. Дополнения и задачи
435
В задаче 7.10.119 предлагается доказать, что фредгольмов опера¬
тор Т имеет нулевой индекс в точности тогда, когда Т = S + К, где
оператор S обратим, а оператор К конечномерен.
Во всех известных в настоящее время примерах бесконечномер¬
ных банаховых пространств существуют операторы, не являющиеся ни
компактными, ни фредгольмовыми. Однако остается открытой следую¬
щая старая проблема: существует ли такое бесконечномерное банахово
пространство X, в котором всякий ограниченный оператор имеет вид
XI + К, где К компактен?
7.10(viii). Векторная форма спектральной теоремы
Здесь мы получим еще два функциональных представления само¬
сопряженных операторов, но будем использовать пространства вектор¬
ных функций. Следующее утверждение вытекает непосредственно из
доказательства теоремы 7.8.6.
7.10.51.	Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н ф 0. Тогда найдется та¬
кое конечное или счетное семейство неотрицательных борелевских
мер fin на [— ||А||, ||А||], что оператор А унитарно эквивалентен опе¬
ратору В в пространстве	Ь2{рп),	действующему по формуле
Bf(t) = (tfl(t),tf2(t),...	...),	/	=	(/ь/2,
Эту теорему можно представить в несколько ином виде, где опе¬
ратор будет действовать не в сумме пространств Ь2(рп), а в подпро¬
странстве некоторого общего пространства L2(p, Н) квадратично-ин-
тегрируемых векторных функций. Сначала введем само пространство
Ь2(ц, Я), где р — конечная неотрицательная мера на а-алгебре А в про¬
странстве fi, а Я — сепарабельное гильбертово пространство. Будем
называть ^-измеримыми такие отображения х со значениями в Я, ко¬
торые определены р-и.в. и обладают тем свойством, что для некоторого
ортонормированного базиса {еп} в Я числовые функции и \-+ (х(с*;), еп)
являются /i-измеримыми. Это свойство не зависит от выбора базиса:
если {<fk} — другой ортонормированный базис, то
(x(u),(pk) = Xvn=l (^0*0> en)ff(eni фк^н-
Аналогично скалярному случаю вводится класс С2(р,Н) всех таких
/i-измеримых отображений х со значениями в Я, что || • Ц# £ L1(/i),
т.е. выполнено неравенство
\(х(и),еп)н\2 p((Lv) < оо.
Наконец, через L2(/i, Я) обозначим пространство классов эквивалент¬
ности в С2(р,Н), соответствующее отношению, при котором эквива¬
лентными считаются /i-п.в. равные отображения (такие пространства

436
Глава 7. Спектральная теория
введены в §6.10(vi)). Как и в скалярном случае, пространство Ь2(р, Н)
наделяется структурой линейного пространства с помощью операций
над представителями классов и скалярным произведением
где в правой части подразумеваются представители классов эквива¬
лентности. В частности, отображение х имеет норму
В задаче 7.10.97 предлагается проверить полноту £2(/i, Н). Выбрав ор-
тонормированные базисы {еп} в Н и {/&} в L2(p), получаем ортонор-
мированный базис из отображений ш	Д(и)еп в Ь2(р,Н).
7.10.52.	Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н ф 0. Тогда найдется та¬
кая неотрицательная борелевская мера р на [—ЦАЦ, ЦАЦ], что опера¬
тор А унитарно эквивалентен оператору Aq, заданному формулой
в некотором замкнутом линейном подпространстве гильбертова про¬
странства L2(/i, I2).
Доказательство. Пусть ЦАЦ ^ 1. Как мы знаем, оператор А уни¬
тарно эквивалентен прямой сумме операторов умножения на аргумент
в пространствах L2(pn) с некоторыми неотрицательными борелевскими
мерами рп на fi := а (А), причем /in(fi) < 1. В качестве р возьмем меру
р := 53^=1 2“71/in на fi. Поэтому достаточно доказать наше утвержде¬
ние для этой прямой суммы. Поскольку каждая мера рп очевидным
образом абсолютно непрерывна относительно меры р, то по теореме
Радона-Никодима она обладает плотностью дп относительно /i, т.е. су¬
ществует такая неотрицательная /i-интегрируемая функция дп, что
для каждого борелевского множества В С fi. Из этого равенства сле¬
дует (см. §3.9), что для всякой /^-интегрируемой функции (р мы имеем
Aof(t) = tf(t)
f ipdn„ = / <pQn dy,.
п	J	n

7.10. Дополнения и задачи
437
В частности, это верно для всех р £ Ь2(рп). Зададим вложение J про¬
странства 1L2(/jLn) в L2(fi,l2) формулой
Ясно, что J линейно и сохраняет скалярное произведение, ибо для вся-
кого ip = {<Pn}£Li ИЗ	ь2{цп)	имеем
оо i.	ОО	р
И«М2 = £ /	Ы*)12М*МЛ)	=	£	/	\vn(t)\2»n(dt)	=	M2.
П— 1	п=	1
Следовательно, образ изометрии J — замкнутое линейное подпростран¬
ство Е в L2(/i,i2). В общем случае это подпространство не совпадает
с L2(/jl, I2). Однако оператор умножения на аргумент действует в Е
по формуле A)({#n})(£) = (ton(£)} и соответствует нашему оператору
в пространстве	L2(/jbn) при изоморфизме J.	□
7.10(ix). Инвариантные подпространства
При изучении самосопряженных операторов нам иногда бывали
полезны их инвариантные подпространства, т.е. такие замкнутые под¬
пространства Но, что А(Но) С Но. Всякий самосопряженный опера¬
тор имеет много таких подпространств (задача 7.10.91). Однако уже
несколько десятилетий открыт такой вопрос: всякий ли ограниченный
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н имеет отлич¬
ные от 0 и if инвариантные замкнутые подпространства? Аналогич¬
ный вопрос для общих сепарабельных банаховых пространств тоже
был долго открыт, но в 1981 году Энфло построил контрпример (поз¬
же Рид построил контрпример в I1). Здесь мы приведем замечатель¬
ный результат В.И. Ломоносова, полученный еще до открытия этих
контрпримеров и усиливающий результаты фон Неймана, Ароншайна
и Смита. Доказательство являет неожиданное и красивое применение
нелинейной теоремы Шаудера к линейным операторам.
7.10.53.	Теорема. Пусть К ^ 0 — компактный линейный опера¬
тор в бесконечномерном банаховом пространстве X. Тогда все комму¬
тирующие с К ограниченные операторы (в том числе сам К) имеют
общее нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство.
Доказательство. Предположим противное и возьмем такой от¬
крытый шар U С X, что 0 не входит в выпуклый компакт S := K(U).
Рассмотрим подалгебру Л4 := {А £ С(Х): АК = КА} и линейные под¬
пространства М(х) := {Ах: А £ М} для каждого х £ X. При х ф 0
имеем М(х) = X, ибо замкнутое подпространство М(х) инвариантно
относительно всех А £ М. и х £ М(х), так как I £ Л4. Поэтому для
всякого s £ S найдется А3 £ М с As(s) £ U. Это дает открытый шар

438
Глава 7. Спектральная теория
V3 с центром в s и A3(V3) С U. Ввиду компактности S получаем такой
конечный набор si,..., sn £ S, что S С V8l U ... U V3jl. Как показано
в §1.9(iv), найдутся функции <pi £ С(К), i = 1,... ,п, такие, что (fi ^ О,
<Pi(x) = 1 и ^i(x) = 0 при х $ USi- Рассмотрим отображение
п
F: S —* X, F(x) = К <Pi(x)ASi (ж)).
i—1
Это отображение непрерывно, причем F(S) С 5, ибо при х £ S мы
имеем (fi(x) ф 0 липп> при х £ V8i, но тогда А3.(х) £ С/, а множество
U выпукло. По теореме Шаудера имеется точка хо £ S с F(xо) = хо-
Наконец, возьмем компактный оператор Т =	^{хо)^А31. Ясно,
что Т £ М и Т(хо) = хо. Замкнутое подпространство L := Кег (Т — I)
конечномерно. Так как КТ — ТК, то К{Ь) С L. Значит, в L опера¬
тор К имеет собственный вектор с некоторым собственным числом А.
Остается заметить, что подпространство Е = Кет (К—XI) инвариантно
относительно всех операторов, коммутирующих с К.	□
Небольшая модификация этого рассуждения приводит к еще более
сильному результату В.И. Ломоносова.
7.10.54. Теорема. Пусть X — бесконечномерное банахово про¬
странство, оператор Т£С(Х) коммутирует с некоторым ненулевым
компактным оператором и не является кратным единичного опера¬
тора. Тогда все коммутирующие с Т ограниченные операторы имеют
общее нетривиальное замкнутое инвариантное подпространство.
Класс операторов Т, охватываемых этой теоремой, настолько ши¬
рок, что понадобилось несколько лет, чтобы построить оператор, в него
не входящий. Об инвариантных подпространствах см. [275]	[587].
Задачи
7.10.55.° Вычислить спектры операторов в 12: (i) Ах = (0,a?i,a?2,...);
(ii) Ах = (ж2,жз, • • •)*> (iii) Ах = (ж2/2, ж3/3,... ,жп/п,...).
7.10.56.° Вычислить спектры операторов в пространстве l2(Z) двусто¬
ронних последовательностей: (i) (Ах)п = хп+1; (ii) (Ах)п — 0, если п нечетно,
(Ах)п = Xn+i, если п четно; (iii) (Ах)п = xn+i/(\n\ + 1).
7.10.57° Пусть {еп} — ортонормированный базис в сепарабельном гиль¬
бертовом пространстве Н и ограниченный оператор А задан посредством
формулы Аеп = «пвп, где {an} — ограниченная последовательность в С
Доказать, что спектр А есть замыкание {an}.
7.10.58° Оператор А в I2 задан формулой Ах = (тчж^ггЖг, • • ♦, гпхп,. •.)?
где {гп} — некоторая нумерация рациональных чисел из [0,1]. Доказать, что
А имеет циклический вектор и спектр [0,1], однако не является унитарно
эквивалентным оператору умножения на аргумент в L2[0,1].

7.10. Дополнения и задачи
439
7.10.59? Выяснить, есть ли унитарно эквивалентные среди следующих
операторов умножения на функцию <р в Ь2[а, Ь], где отрезок [а, Ь] наделяется
мерой Лебега:	(a) ip(t) = t, [a,b] = [0,1], (b) <p(£) = |t|, [a, 6] = [—1,1],
(с) Ф) = t\ [a, 6] = [0,1],	(d) tft) = t3, [a,b] = [0,1], (e) ф) =
[a,b] = [0,1], (f) ф) = sin t, [a, 6] = [0,1].
7.10.60. (i) Доказать, что линейный оператор в С" обладает цикличе-
ским вектором в точности тогда, когда он не имеет кратных собственных
чисел, (ii) Доказать, что компактный самосопряженный оператор в гильбер¬
товом пространстве обладает циклическим вектором в точности тогда, когда
он не имеет кратных собственных чисел.
7.10.61. Пусть /л — борелевская вероятностная мера на [0,1], взаимно
сингулярная с мерой Лебега Л, не имеющая точек положительной меры, при¬
чем ц((а,6)) > 0 при 0 ^ а < Ь ^ 1. Доказать, что операторы умножения на
аргумент в L2(jj) и L2(A) имеют циклические векторы, равные спектры и не
имеют собственных чисел, но не являются унитарно эквивалентными.
7.10.62? Пусть А — такой ограниченный оператор в комплексном бана¬
ховом пространстве Х> что ||А|| € сг(А). Доказать, что ||/ + А\\ = 1 + ||.А||.
7.10.63.° Пусть Н — гильбертово пространство, u,v € Ни оператор
Ku>v задан формулой KUyVx := (х, u)v. Показать, что выполнены равенства
Ku,v = Kv,u и \Ku>v\x = (v,v)(x,u)u.
7.10.64.° Пусть U — сдвиг в пространстве 12 двусторонних последова¬
тельностей (zn)nez, заданный так: Uen = еп+ь Положим Kz (z,e-i)eo-
Доказать, что спектр U — К совпадает с единичным кругом.
7.10.65° Пусть А и В — линейные операторы в линейном простран¬
стве X. Показать, что операторы АВ и В А имеют одни и те же ненулевые
собственные числа.
7.10.66.° Пусть X — комплексное банахово пространство и А € С(Х),
Доказать, что если А2 имеет собственное число, то А тоже.
7.10.67? Построить такой ограниченный линейный оператор в комплекс¬
ном пространстве I2, что его спектр состоит из двух точек 0 и 1, причем ни
одна из них не является собственным числом.
7.10.68.° Вычислить собственные числа оператора V*V для оператора
Вольтерра Vx(t) = I x(s)ds в L2[0,1].
Jo
7.10.69. Пусть X — банахово пространство, t At — непрерывное
по операторной норме отображение из [0,1] в С(Х), причем существует та¬
кое С > 0, что ||х|| ^	при всех х € X и t € [0,1]. Доказать,
что обратимость Ао равносильна .обратимости А\. В частности, операторы
Aq,A\ g ЦХ) одновременно обратимы или необратимы, если условие вы¬
полнено для At := tAi + (1 — t)Ao, t € [0,1].
7.10.70. Пусть X — комплексное банахово пространство, А £ С(Х),
функция f(z) =	OnZn	аналитична в круге радиуса г > ||А|| с центром
в нуле. Доказать, что a(f(A)) = f(a(A)), где f(A) := 2^°=0CnAn.

440
Глава 7. Спектральная теория
7.10.71f Пусть А — самосопряженный оператор и А ^ 0. Доказать, что
||Аг||2 < |И|(Лж,ж).
7.10.72.° Пусть А, В — самосопряженные операторы, причем А, В ^ 0
и АВ = В А. Доказать, что АВ ^ 0. Привести пример, показывающий, что
это не всегда верно, если А и В не коммутируют.
7.10.73.° Пусть В — самосопряженный оператор, В ^ 0 и А = В2. До¬
казать, что b = Va.
Указание: привести В к виду умножения на функцию.
7.10.74? Пусть А — самосопряженный оператор, причем а(А) = K1UK2,
где К1 и К2 компактны и К\ П К2 = 0. Доказать, что А можно представить
в виде прямой суммы операторов А\ и А 2 с <r(Ai) = и ^(Аг) = i^2.
7.10.75? Пусть Pi и Р2 — ортогональные проекторы на подпространства
Н\ и Вг- Доказать, что Р1Р2 — ортогональный проектор в точности тогда,
когда Р1Р2 = В2В1, причем в этом случае Р1Р2 — проектор на Hi Г) Н2.
7.10.76° Пусть Pj — ортогональные проекторы в комплексном гиль¬
бертовом пространстве, (i) Пусть Р — такой ортогональный проектор, что
(Pjx,x) —► (РХуХ) при всех х. Доказать, что \\PjX — Рх|| —► 0 при всех х,
заметив, что (PjX, у) —> (Рх, у) для всех х, у. (ii) Пусть для каждого х после¬
довательность (PjX, х) возрастает (или для каждого х убывает). Доказать,
что существует ортогональный проектор Р, для которого \\PjX — Рх|| —> О
при всех х. (iii) Показать, что если Р — такой оператор, что \\Pjx — Рх|| —> О
при всех ху то Р — проектор, (iv) Привести пример оператора Р, не являю¬
щегося проектором, для которого (PjXyy) —> (Рх,у) для всех х,у. Для этого
рассмотреть индикаторы множеств Вп С [0,1], где Вп состоит из левых по¬
ловин промежутков, полученных делением [0,1] на 2П равных частей.
7.10.77° Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство и Р —
проекторнозначная мера на борелевской а-алгебре прямой со значениями
в Р(Н). (i) Доказать, что найдется такая конечная неотрицательная боре¬
левская мера д на прямой, что все меры цх(В) = (Р(В)х, х) абсолютно
непрерывны относительно д. (ii) Доказать, что для всякого борелевского
множества В с И1 можно найти такую последовательность множеств Bj,
являющихся конечными объединениями промежутков, что P(Bj)x —> Р(В)х
для каждого х € Н.
7.10.78.	Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, оператор
A G С(Н) самосопряжен, ф — ограниченная борелевская функция. Доказать,
что найдутся такие многочлены рп, что операторы рп(А) сходятся к ф(А) на
каждом векторе.
Указание: пусть А = А/ — оператор умножения в Ь2(р) на ограничен¬
ную функцию /; мера v := до/-1 сосредоточена на отрезке, поэтому можно
найти равномерно ограниченную последовательность многочленов рп, кото¬
рая 1/-п.в. сходится к фу тогда функции pn°f равномерно ограничены и д-п.в.
сходятся к фof у что по теореме о мажорированной сходимости для каждого
х Е L2(fi) дает сходимость (pnof)x к (фо/)х в Ь2(р). Можно также исполь¬
зовать теорему 7.9.6 и меру д из пункта (i) предыдущей задачи.

7.10. Дополнения и задачи
441
7.10.79. Пусть Ап — самосопряженные операторы в гильбертовом про¬
странстве Я, (Aix,х) ^ (Агх,х) ^ ••• ^ (Апх,х) ^ и supn ||АП|| < оо.
Доказать, что существует самосопряженный оператор А в Я, для которого
Ах = lim Апх при всех х £ Я.
п—> оо
7.10.80. Пусть Я — гильбертово пространство и А £ £(Я) — самосопря¬
женный оператор. Доказать, что существуют и единственны такие самосо¬
пряженные операторы А+, А“ ^ 0, что А+А“ = А“А+ = 0 и А = А+ - А~,
причем если Ai, А2 £ £(Я) — самосопряженные операторы, для которых
О ^ А\ ^ А+, 0 ^ А2 ^ А- и А = Ai — А2, то А\ = А+ и Аг = А-.
7.10.81. Построить пример непрерывной квадратичной формы на бана¬
ховом пространстве, которую нельзя разложить в разность двух неотрица¬
тельных непрерывных квадратичных форм.
Указание: построить последовательность двумерных банаховых про¬
странств (Хп,|| • ||п) с такими квадратичными формами Qn, что |Qn| ^ 1
на единичном шаре Un в Хп, но положительная часть Qn принимает значе¬
ние 2П на ип\ рассмотреть пространство ограниченных последовательностей
х = (a?n), где Хп £ Хп, с нормой ||ж|| = sup ||жп||п (или его сепарабельное под-
п
пространство последовательностей (хп) с ||жп||п —> 0), и форму	n~2Qn>
7.10.82. Доказать, что из всяких двух гильбертовых пространств хотя
бы одно линейно изометрично замкнутому подпространству второго.
7.10.83. Пусть Я — гильбертово пространство и А £ С(Н). Доказать,
что оператор А обратим в точности тогда, когда обратим |А|.
7.10.84. (i) Пусть А — оператор в С[0,1], заданный формулой
Ax(t) = 7 / x(s)ds,	Аж(0)	=	ж(0).
ь J о
Доказать, что r(A) = 1.
(ii)	Найти собственные числа оператора, заданного формулой выше
в пространствах С[0,1] и в Ь2[0,1] (см. задачу 6.10.128). Доказать, что в обо¬
их случаях он некомпактен.
7.10.85. Пусть X — банахово пространство, А £ С{Х) и Л — граничная
точка спектра А. Доказать, что найдется последовательность векторов хп из
пространства X с ||жп|| = 1 и ||Ажп — Лжп|| —► 0.
7.10.86. Пусть Я — гильбертово пространство, А £ £(Я) и А = U\A\ —
полярное разложение А. Предположим, что А = WB и В = W*А, где
В £ С{Н) — неотрицательный самосопряженный оператор и W £ С(Н) —
изометрия на замыкании Я(Я). Доказать, что В = |А| и W = U на замыка¬
нии |А|(Я).
7.10.87. Пусть [л — ограниченная борелевская мера на прямой и <р —
ограниченная ^-измеримая функция. Доказать, что оператор А^ умножения
на, <р в L2{/j) компактен в точности тогда, когда ограничение /л на множество
{t: ip(t) ф 0} сосредоточено в конечном или счетном числе точек ап, причем
р(ап) —> 0, если множество этих точек бесконечно.

442
Глава 7. Спектральная теория
7.10.88. Пусть /л — ограниченная борелевская мера на прямой и <р —
ограниченная //-измеримая функция. Когда оператор А<р умножения на <р
в Ь2(/л) имеет замкнутый образ?
7.10.89. Построить бесконечную меру /л и ограниченную //-измеримую
функцию (f, для которых спектр оператора умножения на (р в L2(/i) не сов¬
падает со множеством существенных значений (р.
7.10.90. Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном гиль¬
бертовом пространстве и По — соответствующее разложение единицы. До¬
казать, что сг(А) совпадает с дополнением к объединению всех интервалов
постоянства По, а также с множеством таких Л, что По (Л) ф lim По(Лп).
Л п 1А
7.10.91.° Пусть А — самосопряженный оператор в бесконечномерном
гильбертовом пространстве. Доказать, что А имеет нетривиальные замкну¬
тые инвариантные подпространства.
7.10.92? Рассмотрим оператор сдвига Ux = (0, Ж1,а?2,.. •) в 12. Доказать,
что не существует такого компактного оператора К ф 0, что UК = KU.
7.10.93. Доказать, что самосопряженный оператор А ^ 0 в гильберто¬
вом пространстве компактен в точности тогда, когда при некотором а > О
(а тогда и при всяком а > 0) компактен оператор Аа.
7.10.94. Пусть оператор А в гильбертовом пространстве Н самосопря¬
жен, причем А ^ 0 и множество А(Н) замкнуто. Доказать, что множество
Аа(Н) замкнуто при всех а > 0. В случае а € IN доказать это же без пред¬
положения о неотрицательности А.
Указание: здесь А является линейным изоморфизмом А(Н).
7.10.95. Пусть А и В — самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве Н и А ^ В,
(i)	Доказать, что TAT* ^ ТВТ* для всякого Т G С(Н).
(й) Доказать, что если оператор А обратим и А ^ 0, то оператор В
обратим и В~г ^ А~г.
(iii)	Доказать, что если А ^ 0, то Аа ^ Ва при a G (0,1]. Привести
пример, когда неверно, что А2 ^ В2.
7.10.96. Доказать, что теорема 7.2.3 и следствие 7.2.4 верны и для нор¬
мальных операторов.
7.10.97. Доказать полноту пространства Ь2(/л, Я), введенного перед те¬
оремой 7.10.52. Доказать более общее утверждение теоремы 6.10.68.
7.10.98. Пусть L — линейное подпространство гильбертова простран¬
ства, не содержащее бесконечномерных замкнутых подпространств. Дока¬
зать, что всякий оператор А € С(Н), для которого А(Н) С L, компактен.
7.10.99. Пусть Н — гильбертово пространство и А € С{Н). Доказать,
что вектор у входит в А(Н) в точности тогда, когда
вир|(®,у)|/||Л*®|| < оо, где 0/0 := 1.
X
Указание: применить теорему 7.10.15.

7.10. Дополнения и задачи
443
7.10.100. Пусть Ап и А — самосопряженные операторы в сепарабельном
гильбертовом пространстве Я, Апх —► Ах для эсех х € Я, / € Сь (1R1).
Доказать, что f(An)x —► f(A)x для всех х G Н.
7.10.101. Пусть Л 6 £(Я), где Я — гильбертово пространство. Пока¬
зать, что Л — оператор Гильберта-Шмидта в точности тогда, когда есть
такое число С, что	|| Аа\\2 ^ (7 для всякого конечного ортонормирован¬
ного набора ei,..., еп. При этом ||Л||^ ^ С.
7.10.102. Эллипсоидом Гильберта-Шмидта в сепарабельном гильбер¬
товом пространстве будем называть образ единичного шара относительно
оператора Гильберта-Шмидта.
(i) Доказать, что множество V является эллипсоидом Гильберта-Шмид¬
та в точности тогда, когда есть такие ортонормированная последователь¬
ность {<рп} и числа ап > 0 с SnLa < °°> чт0
V = {х: х = ^n_1xnipn, 5^n_i |Xn/oLn\ ^ l}*
(ii) (В.Н. Судаков) Доказать, что если ограниченное множество W не
содержится ни в каком эллипсоиде Гильберта-Шмидта, то найдется такая
ортонормированная последовательность {<^п}, что
T,n=i suPwew IK <Рп)\2 = оо.
7.10.103. Пусть Я — гильбертово пространство и Л, Я € £(Я).
(i) Доказать, что Л (Я) + Я(Я) = у/А А* 4- ЯЯ*(Я). В частности, если
операторы Л и Я являются самосопряженными неотрицательными, то верно
равенство у/А + В{Н) = у/1(Н) + у/В{Н).
(ii) Пусть операторы Л и Я являются самосопряженными неотрицатель¬
ными и имеют замкнутые образы. Доказать, что образ Л + Я замкнут в точ¬
ности тогда, когда замкнуто линейное подпространство Л (Я) + Я(Я).
Указание: применить теорему 7.10.15.
7.10.104? Пусть Я — гильбертово пространство и Л, Я € С(Н) — такие
операторы, что Я = Л (Я) + Я(Я).
(i) Доказать, что существуют замкнутые подпространства Hi С Л (Я)
и Яг С Я(Я) такие, что Hi -f Яг = Я, Я1 П Яг = 0 и Я^ П Я^ = 0.
(й) Пусть Л (Я) и Я(Я) плотны. Доказать, что множество Л (Я) П Я(Я)
тоже плотно.
Указание: см. [593], [594].
7.10.105.	Пусть К — компактный оператор в сепарабельном комплекс¬
ном гильбертовом пространстве Я и (ЛП(Я)} — все его ненулевые собствен¬
ные числа, записанные в порядке убывания модулей с учетом кратностей.
(i)	Доказать, что существует такая ортонормированная система {еп}, что
равенство (ЯеП)еп) = ЛП(Я) верно при всех п.
(й) Пусть {вп(Я)} — собственные числа \К\. Доказать, что для всякого
р G [1,оо) выполнено неравенство Вейля SnLi. |ЛП(Я)|Р ^ ^2™=i\sn(K)\p-
Отметим также, что неравенство верно при суммировании от 1 до любого
конечного N (см. [517, §1.6]).

444
Глава 7. Спектральная теория
7.10.106. Пусть Я — комплексное гильбертово пространство, А 6 £(#).
Доказать, что оператор А нормален (см. §7.10(ii)) в точности тогда, когда
||Аж|| = \\А*х\\ при всех х G Я.
7.10.107. Пусть Т — ограниченный оператор в гильбертовом простран¬
стве Я. Доказать, что его можно представить в виде Т = 17А, где U — уни¬
тарный оператор и А ^ 0 — самосопряженный оператор, в точности тогда,
когда Кег Т и Кег Т* изометричны.
7.10.108. Доказать, что ограниченный оператор Т в гильбертовом про¬
странстве Я нормален в точности тогда, когда он представим в виде Т = UА,
где U — унитарный оператор, А — неотрицательный самосопряженный опе¬
ратор и выполнено равенство UА = AU.
7.10.109. Пусть ограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве
Я представим в виде Т = UA, где U унитарен, А самосопряжен, А ^ О,
причем UА ф AU. Доказать, что Т не является нормальным.
7.10.110.	Доказать, что всякий ограниченный линейный оператор
А : Ь2[0,1] —► L2[0,1] имеет вид
Указание: композиция А и оператора Вольтерра является оператором
Гильберта-Шмидта.
7.10.111. Пусть Я — сепарабельное гильбертово пространство. Дока¬
зать, что множество операторов, имеющих левый или правый обратный, всю¬
ду плотно в С(Н).
7.10.112. Пусть К — компактный оператор в комплексном банаховом
пространстве X и пусть А = XI + К, где Л € С. Доказать, что для всякого
е > 0 найдется обратимый оператор Ае с \\А — Ае\\ ^ е.
7.10.113. Привести пример такого некомпактного неотрицательного са¬
мосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве, что существует
ортонормирЬванный базис {еп}, для которого lim ||Аеп|| = 0.
п—► оо
7.10.114. Привести пример такого ядерного оператора А ^ 0 в ком¬
плексном гильбертовом пространстве, что существует ортонормированный
базис {еп}, для которого	\\Аеп\\	= +оо.
7.10.115. Привести пример ограниченного оператора А в комплексном
пространстве I2, который не является ядерным, хотя существует такой орто¬
нормированный базис {еп}, что (Аеп, еп) = 0 и потому	I(Аеп, еп)\ < оо.
7.10.116. (i) Пусть Е — замкнутое линейное подпространство в L2[0,1],
причем Е С Ь°°[0,1]. Доказать, что dim Я < оо.
Указание: применить следствие 7.10.28 и получить компактность про¬
ектора на Е.
7.10.117. Пусть Я — бесконечномерное комплексное гильбертово про¬
странство и Ы{Н) — множество всех унитарных операторов в Я.
где К е Ь2([0,1] х [0,1]).

7.10. Дополнения и задачи
445
(i) Выяснить, связно ли пространство Ы{Н) с операторной нормой (связ¬
ным называется пространство, которое нельзя разложить на непустые дизъ¬
юнктные открытые части).
(ii) Найти замыкания Ы(Н) в слабой операторной топологии и сильной
операторной топологии.
7.10.118. Пусть X и Y — банаховы пространства и р — кросснорма на
тензорном произведении X®Y, т.е. р(х®у) = \\х\\ ||у||. Доказать неравенства
IMIoo <р(«) ^ |М|„.
7.10.119. Пусть X, Y — банаховы пространства. Доказать, что фред-
гольмов оператор Т £ C(X,Y) имеет нулевой индекс в точности тогда, когда
Т = S + К, где S обратим, а К компактен, причем К можно выбрать даже
конечномерным.
7.10.120. Пусть X и Y — банаховы пространства, Тп € С(Х, У),
Sn € C(Y,X)j операторы Тп сходятся поточечно к Т, операторы Sn сходятся
поточечно к S. Предположим, что SnTn = I + Knj TnSn = I + #n, гДе опе¬
раторы Кп и Нп равномерно компактны, т.е. если Uх — единичный шар X,
a UY — единичный шар У, то Kn(Ux) содержатся в общем компакте и ана¬
логично для Hn(UY). Доказать, что IndT = lim IndTn.
п—>оо
Указание: cm. [229, теорема 19.1.10].
7.10.121. Пусть Т и S — ядерные операторы в сепарабельном гильбер¬
товом пространстве Н и А, В G £(Н) таковы, что АВ = I — Т, В А = I — S.
Доказать, что Ind А = tr S — tr Т.
Указание: см. [229, предложение 19.1.14].
7.10.122. Пусть А — ядерный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н и операторы Рп, Qn £ £{Щ поточечно сходятся к I. Дока¬
зать, что tr(PnAQ*n) —> tr А.
7.10.123.* Пусть V — оператор Вольтерра неопределенного интегри¬
рования в L2[0,1]. Пусть На — подпространство функций, равных нулю
на [0, а], а € [0,1]. Доказать, что V не имеет замкнутых инвариантных под¬
пространств, ОТЛИЧНЫХ ОТ На.
Указание: см. [433, с. 280].
7.10.124. (Теорема Глисона) Пусть Н — сепарабельное комплексное
гильбертово пространство, V — множество всех ортогональных проекто¬
ров в Н и fi: V —► [0,1]— такая функция, что р(Р) ^ Ai(Q) при Р ^ Q
и mQCS 1 R) =	i	60111 ортогональные проекторы Pi попарно орто¬
гональны. Доказать, что /л(Р) = tr SP, где S — неотрицательный оператор
со следом.
7.10.125. (Теорема Вигнера) Пусть Н — сепарабельное комплексное
гильбертово пространство, V — множество всех ортогональных проекторов
в if и £: V —— такое отображение, что £(/) = /, £(Р) ^ $(Q) при Р ^ Q
и для каждой последовательности попарно ортогональных проекторов Pi
проекторы £(Рг) попарно ортогональны, причем	Р*)	=	SSa	£(R)*
Доказать, что £(Р) = UPU_1, где U — вещественно-линейная изометрия,
которая либо комплексно-линейна, либо сопряженно-линейна.

446
Глава 7. Спектральная теория
7.10.126. Пусть X — комплексное банахово пространство, А £ £(Х)
и Л© — полюс порядка т операторной функции Л R\(A) = (А — Л/)-1.
Доказать, что Ло — собственное число, причем при ть ^ т имеет место раз¬
ложение X = Кег (А - Ло 1)п 0 (А - \01)п(Х).
Указание: см. [87, гл. VIII, §8].
7.10.127. Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, являю¬
щееся плотным линейным подпространством в банаховом пространстве Е,
причем тождественное отображение Н —* Е непрерывно. Тогда непрерыв¬
но вложение Е* —> Н* = Я, что дает так называемую тройку пространств
Е* С Н С Е.
(i) Пусть А — такой компактный самосопряженный оператор в Н, что
А(Н) с Е*, причем А компактен и как оператор со значениями в Е*. Дока¬
зать, что разложение Ах =	otn(x,en)en по собственному ортонормиро-
ванному базису {еп} сходится по операторной норме в £(Я,Е*).
(ii) Пусть дополнительно А продолжается до компактного оператора из
пространства Е в Е*. Доказать, что указанное разложение сходится и по
операторной норме в £{Е, Е*).
(iii) Пусть (П, ц) — вероятностное пространство и JC: ПхП —► И1 — огра¬
ниченная измеримая функция, причем )C(t,s) = )C(s,t). Пусть {Л*} и {е*} —
собственные числа и собственные функции оператора Т в L2(/x), заданного
ядром /С. Предположим, что Т компактен как оператор из Ег((л) в L°°(/x).
Доказать, что J|^esssuptenesssup,€n|£(t,s) - 5D”=i Aie<(f)e<(s)| = 0.
Указание: cm. [114, гл. Ill, §9].
7.10.128. Пусть А — самосопряженный оператор в сепарабельном гиль¬
бертовом пространстве Я, имеющий разложение единицы По, Т £ £(Я).
(i) Доказать, что АТ = ТА в точности тогда, когда ТПо(Л) = По(Л)Т для
всех Л £ IR1. (ii) Доказать, что Т коммутирует со всеми операторами, ком¬
мутирующими с А, в точности тогда, когда Т = f(A), где / — ограниченная
борелевская функция.
7.10.129.* Доказать, что тождественное вложение I1 —> I2 — абсолютно
суммирующий оператор.
7.10.130. (Kalisch [600]) Рассмотрим оператор
Kx(t) = tx{t) — f x(s) ds
Jo
в вещественном L2[0,1]. Доказать, что для всякого непустого компакта S
из И1 найдется такое замкнутое подпространство Я С L2[0,1], что К(Н) С Я
и спектр Я на Я совпадает с S и состоит из собственных значений.
7.10.131. Пусть Е — банахова решетка, А £ £(Е) иЛ^О (см. §6.10(v)).
(i) Показать, что г (А) £ a (A), (ii) Доказать теорему Крейна-Рутмана: если
оператор А компактен, то его спектральный радиус г (А) — собственное чис¬
ло, причем имеется собственный вектор v ^ 0.
7.10.132! Пусть Я — комплексное гильбертово пространство, А £ £(Н).
Доказать, что множество {(Ахух): ||х|| = 1} выпукло.

Глава 8
Локально выпуклые пространства
и обобщенные функции
В этой главе мы переходим к изучению линейных пространств
более общих, чем нормированные. Для многих вопросов анализа
и приложений рамки нормированных пространств оказываются
тесны; характерный пример — пространство бесконечно диффе¬
ренцируемых функций, обладающее естественной сходимостью,
которую, однако, нельзя описать с помощью нормы. Элементы
этой теории уже встречались нам при обсуждении слабых то¬
пологий. В этой же главе речь пойдет об обобщенных функци¬
ях — важном инструменте теории дифференциальных уравнений
в частных производных и математической физики.
8.1.	Локально выпуклые пространства
Пусть Е — вещественное или комплексное линейное простран¬
ство и {Ра} — некоторый (непустой) набор полунорм на Е, причем
для каждого х ф 0 существует такое а = а(х), что ра(х) > 0. Про¬
стейший пример — нормированное пространство с семейством по¬
лунорм, состоящим из его нормы.
Рассмотрим множества вида
Uau...,an-£(a) = {х е Е: pai(x - а) < е,г = 1,... ,п},	(8.1.1)
где е > 0, а Е Е, pai € {Ра}- В случае нормированного простран¬
ства с нормой р и ра = р такие множества — это открытые шары.
Всевозможные объединения таких множеств (объединения в про¬
извольном числе, где можно варьировать точки а, число п, индек¬
сы щ и число е) и пустое множество будем называть открытыми
в Е. Получена хаусдорфова топология в Е. Проверка совершен¬
но аналогична уже встречавшемуся случаю топологии a(E,F).
Действительно, по определению любые объединения введенных

448
Глава 8. Локально выпуклые пространства
нами открытых множеств открыты. Чтобы доказать, что пере¬
сечение двух открытых множеств открыто, достаточно устано¬
вить, что пересечение всяких двух множеств U ~ £fai,...,an;e:(a)
и Uf := £^i,...,/3fe;<s(b) открыто. Для этого достаточно проверить,
что всякая точка х EU DUf обладает окрестностью
У ~ Uai,...,an,Pi,...,Pk\ei(x) С С/ П ?7
при некотором е\ > 0. Включение х € U П Uf дает оценки
pai(x-a)<e и р%(х-Ь)<8.
Положим е\ := min (е — pai(х — а), 8 — рр. (х — Ь)). Пусть у е V.
Из неравенства треугольника имеем
РаЛу - а) < Раг(у - х)+Раг(х - а) < £i + pai{x - а) < £.
Аналогичная оценка имеет место для ppj(y — Ь). Хаусдорфовость
полученной топологии следует из того, что для всяких различ¬
ных х и у найдется ра с ра(х — у) = с > 0. В силу неравенства
треугольника это дает равенство UajC/4(x) Л ^<*,с/4(у) = 0-
8.1.1. Определение. Пространство Е называется локаль¬
но выпуклым пространством с топологией, порожденной семей¬
ством полунорм ра.
Непосредственно из определения ясно, что для всякой окрест¬
ности U точки а множество U — а является окрестностью нуля,
а множество U — а + Ъ — окрестностью точки Ь. Базисные окрест¬
ности нуля (8.1.1) выпуклы и уравновешены.
Иногда бывает удобно говорить о базисе W замкнутых выпук¬
лых уравновешенных окрестностей нуля: здесь требуется, чтобы
всякое множество из W содержало открытую окрестность нуля
и чтобы во всякой открытой окрестности нуля имелось множе¬
ство из W. Например, в качестве W можно взять замыкания мно¬
жеств из базиса открытых выпуклых уравновешенных окрестно¬
стей нуля (см. задачу 8.6.34).
8.1.2. Замечание. В нормированном пространстве две эк¬
вивалентные нормы задают одну и ту же топологию. Аналогом
этого в локально выпуклом пространстве X, топология которо¬
го задана полунормами {ра}, является следующее утверждение:
набор полунорм {qp} на X задает ту же топологию в точности
тогда, когда для всякой полунормы qp найдутся число Ср и по-
лунормы ра1,... ,рап с qp < Cp\pai +	1-	Рап] и, наоборот, для

8.1. Локально выпуклые пространства
449
ВСЯКОЙ полунормы ра наЙДуТСЯ ЧИСЛО С а И полунормы Q/31V .. ,<2/3fe
с Ра ^ Са[ярj Н + Q/9fe]. Действительно, совпадение топологий
равносильно тому, что во всякой окрестности нуля вида (8.1.1) по
одной из двух систем полунорм должна содержаться окрестность
по второй системе. Это и есть указанное нами условие.
Рассмотрим основные примеры. Помимо нормированных про¬
странств, нам уже встречался важный класс примеров: простран¬
ство Е с топологией а(Е, F). В качестве полунорм здесь вы¬
ступают функции |/|, где f € F. Вообще, одно из назначений
полунорм — ввести количественные характеристики какой-либо
естественной сходимости в функциональном пространстве.
8.1.3.	Пример, (i) Пространство С£°(0,1) всех веществен¬
ных бесконечно дифференцируемых функций на (0,1) с конеч¬
ными полунормами
Рк{Ф) ■= sup |¥>(Л)(*)|.
*€(0,1)
Аналогично вводится пространство C%°(U) всех вещественных
бесконечно дифференцируемых функций на открытом множе¬
стве U С IRn с конечными полунормами
Рк(Ф) := sup	(ж)II.
хеи
Сходимость в C£°(U) — это равномерная сходимость на U про¬
изводных всякого фиксированного порядка. Более широким яв¬
ляется пространство C°°(U) всех бесконечно дифференцируемых
функций на открытом множестве U С Мп с полунормами
PkAv) '■= sup||^(fe)(®)ll>
xes
где S — компакт в U. Сходимость в C°°(U) — это равномер¬
ная сходимость производных всякого фиксированного порядка
на всякой компактной части U. При этом на всем U функции
не обязаны быть даже ограниченными.
(ii)	Пусть U — открытое множество в С. Комплексное про¬
странство H(U) всех голоморфных в U функций наделяется си¬
стемой полунорм
PsW) :=sup|y>(z)|,
Z€zS
где S — компакт в U. Сходимость в H{JJ) — это равномерная
сходимость на компактах из U. Из курса комплексного анализа

450
Глава 8. Локально выпуклые пространства
известно, что такая сходимость дает и равномерную сходимость
производных на компактах. Более того, если добавить к полунор¬
мам ps еще и полунормы Pk,s(<p) = sxxPxes |М*ЧЖ)11, т0 тополо¬
гия не изменится, так как для всякого компакта S С U и всякого
к 6 1N найдутся такие компакт S' С U и число С = С(5, С/, к) > О,
что Рк,з{Ф) ^ Cps'(<p) для всех ср £ H(U). Это легко проверяется
с помощью формулы Коши.
(iii) Пространство S(JR}) состоит из всех бесконечно диффе¬
ренцируемых функций (р на IR1 с конечными полунормами
Рк,т{ф) := sup (1 + |*|2)"V(fc)(aO|,
хеш1
где га, к — целые неотрицательные числа. Таким образом, про¬
странство ^(И1) состоит из гладких функций, все производные
которых убывают на бесконечности быстрее всякой степени. Ту
же самую топологию можно задать полунормами (которые, как
и Pfc,m, являются нормами)
Рт{Ф) ■= SUp SUp (1 + |ж|2)то|<^(®)|.
к^тхеШ}
Аналогично вводится пространство <S(IRn) функций на lRn. Здесь
вместо \<р(к\х)\ надо брать либо норму fc-линейного отображения
ipW(x), где |Mfc)0r)|| := sup^.^ |^(Л)(Ж)(^Ь • • • ,Л*)1. либо вели¬
чину тах|а|^*. |a<aV(*)l. гДе
д^<р :=	• • • d^ip, а = («ь..., otn), |о:| := од +	1- а„.
Так как \д^<р(х)\ ^ ||<^(1а1)(х)|| и ||<£^(ж)|| оценивается через сум¬
му \д^(р(х)\ по всем |а| = к, то получаются эквивалентные по¬
лунормы.
(iv) Пространство 2?m(IR1), m 6 IN, состоит из всех бесконеч¬
но дифференцируемых функций, равных нулю вне [—т, т]. Оно
наделяется счетной системой полунорм (на самом деле норм)
рк((р) := max|#>(fc)(t)|.
Вместо всех норм рк можно взять любую их счетную часть, ибо
\p(k\t)\ < 2гаmax* |^fc+1^(t)| ввиду теоремы о среднем. Анало¬
гично определяется пространство 2?([а, Ь]) всех гладких функ¬
ций на прямой, равных нулю вне [а,Ь], наделенное теми же нор¬
мами рк. Пространство X>m(IRn) вводится точно так же: вместо

8.1. Локально выпуклые пространства
451
[—га, га] берется шар |ж| ^ га. В многомерном случае, как и в (iii),
вместо производных ip^k\x) как полилинейных функций можно
использовать частные производные, положив
Рк(ф) := max max |d£j • • • Q£”y>(z)|.
*i+-+fc»=fc Nsjm1 Xl
Более того, можно взять еще более узкий набор норм
qk(<p) := sup \д*1---д%пф)\.
\х\^т
В самом деле, по теореме о среднем имеем
sup* l^i1 • • • д^(р(х)\ < 2msuPa. \dXid^ ■ • • д^ф)|.
Поэтому левую часть можно оценить через (2m)dqi, где I — наи¬
большее из чисел fci,..., кп и d =	~	&)•
(v)	Пространство 27(ВЛ) состоит из всех бесконечно диффе¬
ренцируемых функций на прямой с ограниченными носителями,
т.е. X^IR1) = U^i Ап (К1). Оно наделяется полунормами
оо
Е	(8Х2)
к=—ос
где в качестве {ад.} берутся всевозможные наборы целых неотри¬
цательных чисел а*., к € Z. Аналогично вводится пространство
£>(IRn): вместо \р^т\х)\ надо брать либо \\ф(т^(х)\\, либо наиболь¬
шее из чисел \д^<р(х)\ с \а\ = га. Конечно, х € [fc,к + 1] заменя¬
ется на к ^ \х\ ^ к + 1.
Как мы увидим ниже, топологии пространств из (i)—(iv) за¬
даются метриками, но не задаются нормами, а топология V даже
и не метризуема. В дальнейшем нам нужна будет лишь сходи¬
мость последовательностей в Т>, поэтому мы определим ее, не
прибегая к топологии.
8.1.4. Определение. Последовательность {cpj} С
сходится к функции (р € Т>(Ш}) в V(TR}), если все функции pj и р
равны нулю вне некоторого общего компакта и для каждого це¬
лого неотрицательного к имеет место равномерная сходимость
<рф =3 Аналогично вводится сходимость в Т>(Шп).
8.1.5. Замечание. Последовательность {<fj} сходится к
в ©(IR1) в смысле этого определения тогда и только тогда, когда

452
Глава 8. Локально выпуклые пространства
она сходится в локально выпуклой топологии т на ^(И1), поро¬
жденной указанными в (v) полунормами. В самом деле, сходи¬
мость в топологии т очевидным образом следует из определен¬
ной нами сходимости, ибо ввиду равенства нулю всех <pj и р вне
некоторого отрезка [—п, п] ряд (8.1.2) с p—pj вместо р превраща¬
ется в конечную сумму. Обратное утверждение будет доказано,
как только мы установим наличие общего отрезка, вне которо¬
го равны нулю функции сходящейся в топологии т последова¬
тельности {pj}- Можно считать, что предельная функция есть 0.
Предположим, что для всякого п найдется jn с Pjn(tn) ф 0, где
£ [кп^кп + 1], кп Е Z и либо кп ^ п, либо кп ^ —п — 1. То¬
гда есть такое а^п £ IN, что о>кп\Щп№п)\ > 1, и мы приходим
к противоречию. Следует предупредить читателя, что введенная
нами локально выпуклая топология — не единственная локаль¬
но выпуклая топология, порождающая указанную сходимость по¬
следовательностей; более того, имеются и не локально выпуклые
топологии с таким же запасом сходящихся последовательностей.
Все эти тонкости, ненужные для последующего изложения, обсу¬
ждаются в задачах 8.6.40, 8.6.76.
В §8.6(1) приведены простые критерии метризуемости и нор¬
мируемости локально выпуклого пространства. Класс всех полу¬
норм на X задает сильнейшую локально выпуклую топологию.
Имеется и другой, более геометрический, способ введения ло¬
кально выпуклых топологий.
8.1.6.	Определение, (i) Вещественное линейное простран¬
ство Е с хаусдорфовой топологией г называется топологиче¬
ским векторным пространством, если операции Е х Е Е,
(ж, у) н-► х+у, Ш}хЕ —► Е, (t,x) н-► tx, непрерывны относительно
естественных топологий на ЕхЕ и JR}xE. Комплексное топо¬
логическое векторное пространство определяется аналогично.
(ii) Топологическое векторное пространство Е называется
локально выпуклым, если каждая окрестность нуля содержит
выпуклую окрестность нуля.
Всякая окрестность нуля U в топологическом векторном про¬
странстве содержит уравновешенную окрестность нуля W. Дей¬
ствительно, найдутся такие е > 0 и окрестность нуля У, что
Xv Е U при |А| ^ £ и v Е У. Множество Wo = fl|^|^i № оче“
видным образом уравновешено и содержит окрестность нуля eV.
Согласно задаче 8.6.33 внутренность W множества Wo уравнове¬
шена. Ясно, что eV С W CU.

8.1. Локально выпуклые пространства
453
Локально выпуклое пространство в смысле нашего первого
определения является локально выпуклым в смысле части (ii)
определения выше. Действительно, множества вида (8.1.1) с а = О
являются выпуклыми окрестностями нуля, причем всякая окрест¬
ность нуля содержит множество такого вида. Непрерывность опе¬
рации сложения следует из включения
Ца1,...,ап;е
/2(0) +		ав;е/г(°) С иа1_ап]£ (0),
вытекающего из неравенства треугольника. Аналогично проверя¬
ется непрерывность умножения на скаляр. Менее очевидно, что
топология локально выпуклого пространства Е в смысле второ¬
го определения может быть задана посредством семейства по¬
лунорм. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что всякая
выпуклая окрестность нуля V содержит выпуклую уравновешен¬
ную окрестность нуля W. Действительно, по доказанному выше
всякая выпуклая окрестность нуля U содержит уравновешенную
окрестность нуля V. Выпуклая оболочка множества V выпукла,
открыта и входит в U. Легко проверить, что она уравновеше¬
на. Нетрудно убедиться, что функционалы Минковского таких
окрестностей W образуют семейство полунорм, задающих исход¬
ную локально выпуклую топологию.
В топологическом векторном пространстве вводится особое
определение ограниченности (совпадающее с обычным для нор¬
мированных пространств, но не для метрических!).
8.1.7.	Определение. Множество А в топологическом век¬
торном пространстве Е называется ограниченным, если для
всякой окрестности нуля U есть такое А > 0, что А С AU.
Подчеркнем, что если Е метризуемо, то из ограниченности
по метрике не следует ограниченность в указанном смысле. На¬
пример, прямую можно метризовать ограниченной метрикой, что
не делает ее ограниченным топологическим векторным простран¬
ством. Если в Е есть ограниченная окрестность нуля, то Е мет¬
ризуемо (см. [236, с. 44]), а если найдется выпуклая ограничен¬
ная окрестность нуля, то Е нормируемо (см. теорему 8.6.3). Если
топологическое векторное пространство Е метризуемо, то Е на¬
зывают метрическим линейным пространством. В этом случае
метрику можно выбрать инвариантной относительно сдвигов, т.е.
d(x,y) = d(x — г/,0) (см. §8.6(i)). Полное метризуемое локально
выпуклое пространство называют пространством Фреше.
Линейное подпространство локально выпуклого пространства
является локально выпуклым с теми же полунормами.

454
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.2. Линейные отображения
Простейшие свойства линейных функционалов и операторов
в локально выпуклых пространствах аналогичны их свойствам
в нормированных пространствах.
8.2.1. Лемма. Если линейное отображение F: X —> Y
между топологическими векторными пространствами непре¬
рывно в некоторой точке, то оно непрерывно в каждой точке.
Доказательство. Пусть а, Ь е X, причем F непрерывно
в точке а. Если V — окрестность F(b), то W = V — F(b) + F(a)
является окрестностью F(a). По условию найдется такая окрест¬
ность U точки а, что F(U) С W. Тогда U — а + b — окрестность
точки Ь, причем
F(U - а + Ь) = F(U) - F(a) + F(b) С W- F(a) + F(b) = V,
что показывает непрерывность в точке Ъ.	□
8.2.2. Теорема. Пусть X — локально выпуклое простран¬
ство с задающим топологию набором полунорм {ра}. Линейная
функция f на X непрерывна в точности тогда, когда найдутся
конечное семейство рах,... ,рап в указанном наборе и число С,
для которых
|/(ж)| < C\pai (ж) + • • • +Рап(х)}
при всех х 6 X.
Доказательство. Из указанной оценки следует непрерыв¬
ность / в нуле, а тогда и во всякой другой точке. Если же функ¬
ция / непрерывна, то множество {х: \f(x)\ < 1} содержит неко¬
торую окрестность нуля вида {х: ра1(х) < £, • • - ,Рап(х) < е}-
Следовательно, из условия pai(x) Н ЬРап(х) < 6 следует нера¬
венство \f(x)\ < 1. Значит, в качестве С можно взять С = £-1.	□
В качестве задачи 8.6.35 предлагается доказать следующее об¬
общение этой теоремы.
8.2.3. Теорема. Пусть X и Y — локально выпуклые про¬
странства с задающими топологию наборами полунорм {ра}
и {qp} соответственно. Линейное отображение F: X —► Y
непрерывно в точности тогда, когда при каждом /3 найдутся
конечное семействорр^\ч • • • ?Р/3,ап 6 наборе {ра} и число Ср, для
которых
qp{F{x)) < Cp\pp,ai(x) + • • • +Р0,а»(з)]» хеХ.

8.2. Линейные отображения
455
Как и в случае нормированных пространств, теорема Хана-
Банаха влечет нетривиальность сопряженного к локально выпук¬
лому пространству.
8.2.4. Теорема. Пусть X — локально выпуклое простран¬
ство и Xо — его линейное подпространство. Всякий непрерыв¬
ный линейный функционал на Xq продолжается до непрерывного
линейного функционала на всем X.
Доказательство ! Для непрерывного функционала / на Xq
теорема 8.2.2 дает такие полунормы ра1,... ,рап из задающего то¬
пологию набора и число С, что |/| < C\pai Н	ЬраJ на -Хо- По
теореме Хана-Банаха / обладает линейным продолжением на X,
удовлетворяющим этому же неравенству на X, что дает непре¬
рывность продолжения.	□
8.2.5. Следствие. Для всяких линейно независимых векто¬
ров х\,...,хп в локально выпуклом пространстве X найдутся
такие непрерывные линейные функции	на	X, что вы¬
полнены равенства k(xj) = 8ц.
Следующий часто используемый результат говорит, что в ло¬
кально выпуклых пространствах ограниченные множества в ис¬
ходной топологии и в слабой — одни и те же.
8.2.6. Теорема. Множество А в локально выпуклом про¬
странстве Е ограничено в точности тогда, когда оно ограниче¬
но в слабой топологии, т.е.
sup \f(x)\ < оо V/ 6 Е*.
хеА
Доказательство. Ясно, что из ограниченности следует сла¬
бая ограниченность. Обратно, цусть А слабо ограничено, и пусть
р — непрерывная полунорма на Е. Рассмотрим нормированное
фактор-пространство E/Eq, где Eq = р-1(0), наделенное нормой,
порожденной р (см. §5.1). Нам нужно установить ограниченность
образа А при естественном отображении из Е на E/Eq. По усло¬
вию, для каждого с ^ 0 на А ограничен всякий линейный функ¬
ционал /, для которого |/| ^ ср. Это означает слабую ограни¬
ченность в E/Eq образа А. Остается применить результат, уже
известный для нормированных пространств.	□
На некоторые классы топологических векторных пространств
переносятся и такие важные теоремы о линейных отображениях,

456
Глава 8. Локально выпуклые пространства
как теорема Банаха-Штейнгауза, теорема о замкнутом графи¬
ке и теорема об открытом отображении. Подробное обсуждение
этих вопросов выходит за рамки нашей книги, но мы приведем
один весьма элегантный результат П.П. Забрейко [578], позво¬
ляющий просто и единообразно распространить упомянутые те¬
оремы на полные метрические линейные пространства (конечно,
можно было бы использовать и несложные модификации рассу¬
ждений для случая банаховых пространств); см. также §8.6(iv).
8.2.7.	Теорема. (Теорема Забрейко) Пусть метрическое
линейное пространство X является множеством второй кате¬
гории (например, полно) и функция ф: X —> [0, +оо) такова, что
(i)	lim^(ta) = 0 для всякого х Е Х\
(й) ф{х 4- у) ^ Ф(%) + Ф{у) для всех х, у Е X, причем
оо	оо
Жп) < Е ф(хп)
П=1	71=1
для всякого сходящегося в X ряда с общим членом хп.
Тогда функция ф непрерывна.
Доказательство. Рассуждение основано на модификации
доказательства Банаха теоремы об открытом отображении. Из
неравенства ф(х + у) ^ ф(х) + ф(у) следует оценка
|ф(х + h)~ ф(х)| < ф(К) + ф{-Ь).
Поэтому достаточно проверить непрерывность ф в нуле. Пусть
М(е) := {х Е X: ф(х) + ф(—х) ^ е}, е > 0.
Зафиксируем е > 0. По условию (i) имеем X = U^=i пМ(е). Так
как X есть множество второй категории, то пМ(е) при некото¬
ром п содержит шар положительного радиуса. Значит, М(е) со¬
держит открытый шар В(хо,г) с центром в некотором хо Е М(е)
и радиусом г = г(е) > 0. Тогда — хо Е М(е). Найдется такое
5(e) > 0, что хо + В(0,6(е)) С В{х$,г) (если выбрана инвариант¬
ная относительно сдвигов метрика, то 5(e) = г). Шар В(0,5(e))
входит в М(2е). В самом деле, для всякого v Е В(0,5(e)) есть
{хп} С М(е) с хп —► xo + v, откуда хп — хо^уихп — хоЕ М(2е).
Покажем, что ф(у) ^ 4е при у Е В(0,5(e)). По доказанному най¬
дется у\ Е М(2е) с у — у\ Е В(0,5(е/2)). Далее находим y<i Е М(е)

8.2. Линейные отображения
457
cv—v\—г>2 G в (О, 5 (е/4)). По индукции получаем последователь¬
ность элементов vn G М(22~пе) cv — v\ vn € B(0,S(2~ns)).
Значит, v = E^°=i vn и ф(и) < E~=i ФМ ^ e E~=i 22_n.	□
8.2.8. Теорема. Предположим, что X uY — метрические
линейные пространства, причем X является множеством вто¬
рой категории. Пусть последовательность непрерывных линей¬
ных отображений Ап: X —> Y такова, что для всякого х е X
последовательность {Апх} ограничена. Тогда для всякой окрест¬
ности нуля V С Y найдется такая окрестность нуля U С X,
что An(U) С V при всех п.
Доказательство. Пусть d — метрика на Y, инвариантная
относительно сдвигов (ее существование доказано в §8.6(i)). По¬
ложим
ф(х) := supd(0, Апх), х G X.
П
Так как An{tx) = tAnx, то из условия теоремы следует равенство
lim xp(tx) = 0 при всех х € X. Из оценки
d(0, u + v) ^ d(0, и) + d(u, и + v) = d(0, г») + d(0, v)
следует неравенство ф(х + у) < ф(х) + ф(у). Наконец, если ряд
E“i xi сходится в X к ж, то для всякого п имеем
к	оо
d(0, Апх) = lim
г=1	г=	1
Поэтому ф(х) <	Итак,	выполнены	все	условия	пре¬
дыдущей теоремы, что дает непрерывность ф, из которой следует
доказываемое.	□
Отметим важный частный случай.
8.2.9. Следствие. Если в теореме выше при всех х Е X
существует Ах = lim Апх, то оператор А непрерывен.
71—►ОО
Получим обобщение теоремы об открытом отображении.
8.2.10. Теорема. Предположим, что X uY — метрические
линейные пространства, причем X полно, a Y является множе¬
ством второй категории. Пусть А: X —» Y — такое непрерыв¬
ное линейное отображение, что А(Х) = Y. Тогда для всякого
открытого множества U С X множество A(U) открыто в Y.

458
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. Пусть d — метрика на X, инвариантная
относительно сдвигов. Положим
ф(у) := inf{d(0, х): Ах = у}, у EY.
Условие (i) теоремы 8.2.7 очевидным образом выполнено, ибо если
Ах = у, то A(tx) = ty. Неравенство ф{у\ +у%) ^ Ф{у\) + Ф(У2) сле¬
дует из оценки d(0,xi+x2) ^ d{0, Xi)+d(0,х2). Пусть ряд	Уп
сходится в У к вектору у. Проверим, что ф(у) ^ ]Сп=1
Иначе найдется такое е > О, что	Ф(Уп) < Ф(у) — £• Выбе¬
рем вектор хп е А~г(уп) так, что d(0,xn) ^ ф(уп) + е4~п. Тогда
d(0, Хп) ^ Ф(у) — £/2. Ввиду полноты X ряд из хп сходится
к некоторому жЕХ, причем d(0, ж) < ф{у) — s/2, что противоре¬
чит определению ф{у).	□
8.2.11. Следствие. Предположим, что X и У — метри¬
ческие линейные пространства, причем X полно, a У являет¬
ся множеством второй категории. Пусть А : X —> Y — такое
непрерывное линейное отображение, что Кег Л = 0 и А(Х) = У.
Тогда отображение А~1: Y —> X непрерывно.
Как и в банаховом случае, для полных линейных метрических
пространств из теоремы об обратном операторе следует теорема
о замкнутом графике (ибо проекция графика А: X —> У на X яв¬
ляется биекцией). Однако мы выведем ее также из теоремы 8.2.7.
8.2.12. Теорема. Предположим, что X и У — метриче¬
ские линейные пространства, причем У полно, а X является
множеством второй категории. Пусть А : X —► У — линейное
отображение с замкнутым графиком. Тогда оно непрерывно.
Доказательство. Пусть d — метрика на У, инвариантная
относительно сдвигов. Положим
ф(х) := d(0, Ах), х € X.
Условие (i) теоремы 8.2.7 очевидным образом выполнено. Кроме
того, d(0,Ах\ + Ах2) < d(0,Ах\) + d(0,Ах2)> Если ряд Y^=ixn
сходится к х 6 X, то оценка d(0, Ах) ^ Yl™=i d(0,Axn) выпол¬
нена в случае бесконечной суммы справа. Если же сумма ко¬
нечна, то ввиду полноты У ряд из Ахп сходится к некоторо¬
му у 6 У. Замкнутость графика дает равенство Ах = у, откуда
d(0, Ах) = d(0, £п=1 Ахп) ^ £n=i d(0, Ахп).	□

8.3. Отделение выпуклых множеств
459
8.3.	Отделение выпуклых множеств
Здесь мы обсудим ряд геометрических следствий аналитиче¬
ской формы теоремы Хана-Банаха, обобщающих и дополняющих
результаты, полученные ранее для нормированных пространств.
Гиперплоскостью в линейном пространстве Е называется
множество вида а + L, где a £ Е и L — линейное подпростран¬
ство коразмерности 1. Иначе говоря, гиперплоскость — это мно¬
жество вида {х Е Е: 1(х) = а}, где I — линейная функция на Е
на — число. Следующая лемма показывает, что гиперплоскость
замкнута в точности тогда, когда задающая ее линейная функция
I непрерывна.
8.3.1.	Лемма. Линейная функция I на топологическом век¬
торном пространстве Е непрерывна в точности тогда, когда
множество /-1(0) замкнуто, что равносильно замкнутости
какого-либо из множеств /_1(а). Если линейная функция I раз¬
рывна, то множество 1~1(0) всюду плотно в Е.
Доказательство. Если функция I непрерывна, то все мно¬
жества 1~г(а) замкнуты. Пусть замкнуто хотя бы одно из этих
множеств /_1(о'). Покажем, что замкнуто и множество /-1(0).
В самом деле, либо I = 0, либо найдется v Е Е с l(v) = а.
Тогда /-1(0) =	*“ v замкнуто как сдвиг замкнутого множе¬
ства. Для доказательства непрерывности I достаточно установить
непрерывность I в нуле. Это будет сделано, если мы проверим,
что всякое множество U£ = {х: \1(х)\ < е} при е > 0 содер¬
жит окрестность нуля. Если I ф 0, то найдется элемент е Е Е
с 1(e) = s. В силу замкнутости i_1(0) найдется такая уравно¬
вешенная окрестность нуля W, что (е + W) П /-1(0) = 0. Из
этого следует, что W С U£. Иначе нашелся бы вектор w е W
с \l(w)\ ^ е. Тогда v := —ewf{w)~l Е W, откуда l(e + г>) = 0, т.е.
е + v Е (е + W) П /_1(0), что невозможно. Наконец, если линей¬
ная функция I разрывна, то по доказанному ее ядро не замкнуто.
Поэтому его замыкание является более широким линейным под¬
пространством (задача 8.6.38). Поскольку ядро имеет коразмер¬
ность 1, то замыкание есть все пространство.	□
Будем говорить, что два множества А и В в вещественном то¬
пологическом векторном пространстве Е разделяются замкнутой
гиперплоскостью Н вида 1~г(а), где I — непрерывная линейная
функция и а Е 1R1, если либо 1{х) < а при х £ А и 1{х) ^ а при

460
Глава 8. Локально выпуклые пространства
хбВ, либо 1(х) < а при х £ В и 1(х) ^ а при х Е А, т.е. Аи В на¬
ходятся в разных замкнутых полупространствах, задаваемых ги¬
перплоскостью Н. Если же Аи В находятся в разных открытых
полупространствах, задаваемых гиперплоскостью Н, то говорят,
что А и В строго разделяются гиперплоскостью Н. Например,
замкнутые полупространства {х: 1{х) ^ 0} и {х: 1(х) ^ 0} разде¬
ляются гиперплоскостью /-1(0), но не строго, а соответствующие
открытые полупространства строго разделяются.
Замкнутая гиперплоскость Н, проходящая через точку мно¬
жества А, называется опорной, если А целиком лежит в одном из
двух полупространств, задаваемых Н.
8.3.2. Теорема. Пусть Е — вещественное топологическое
векторное пространство, А и В — непустые выпуклые множе¬
ства в Е, причем множество внутренних точек А непусто
и не пересекается с В. Тогда существует замкнутая гиперплос¬
кость Н, разделяющая А и В.
Если при этом А и В открыты, то они строго разделяются
замкнутой гиперплоскостью.
Доказательство. Нетрудно проверить, что множество А°
всех внутренних точек А тоже выпукло. По теореме 6.3.7 суще¬
ствует ненулевая линейная функция Z, разделяющая А° и В, т.е.
для некоторого с имеем 1{х) < с при х Е А° и 1(х) ^ с при х Е В.
Из ограниченности сверху на открытом множестве следует непре¬
рывность I. Ясно, что 1(х) < с при х Е А.
Если множества А и В открыты, то полученная гиперплос¬
кость Н =	строго их разделяет. Действительно, если, ска¬
жем, 1(b) = с при некотором b Е В, то найдется такая окрестность
нуля U, что b + U С В, з, в U найдется вектор и с 1(и) <0 (так
как I ф 0), откуда 1(Ь + и) <0, что невозможно.	□
8.3.3. Следствие. Пусть Е — вещественное топологиче¬
ское векторное пространство, V — непустое открытое выпук¬
лое множество в Е и L — аффинное подпространство, причем
LnV = 0. Тогда в Е есть замкнутая гиперплоскость Н, содер¬
жащая L и не пересекающая V.
Доказательство. С помощью сдвига можно перейти к слу¬
чаю, когда L — линейное подпространство. По доказанной выше
теореме V и L разделяются гиперплоскостью Н вида Н = Z-1 (с),
где I — ненулевая непрерывная линейная функция и с Е И1, т.е.
1(х) ^ с при х Е V и 1(х) ^ с при х Е L. Поскольку мы перешли к

8.3. Отделение выпуклых множеств
461
случаю линейного подпространства, то с = 0. Как и в доказатель¬
стве теоремы, имеем V Г\Н = 0. Наконец, ЬсЯ, ибо если х Е L
и 1(х) ф 0, то умножением на скаляр получаем вектор у Е L, для
которого 1(у) <0.	□
8.3.4. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое множе¬
ство с непустой внутренностью в вещественном топологиче¬
ском векторном пространстве Е. Тогда через всякую гранич¬
ную точку множества V проходит хотя бы одна замкнутая
опорная гиперплоскость. При этом V является пересечением
замкнутых полупространств, задаваемых опорными гиперплос¬
костями и содержащих V.
Доказательство. По доказанной выше теореме всякая гра¬
ничная точка х множества V отделяется от V замкнутой гипер¬
плоскостью. Ясно, что эта гиперплоскость — опорная. Для дока¬
зательства второго утверждения обозначим через W пересечение
всех замкнутых полупространств, задаваемых опорными гипер¬
плоскостями и содержащих V. Тогда V С W. Допустим, что есть
точка г Е W\V. Возьмем какую-нибудь точку х из внутренно¬
сти V. Отрезок [х, z] содержит некоторую граничную точку у
множества V. Мы уже знаем, что через у можно провести за¬
мкнутую опорную гиперплоскость Н для V. Тогда Н не содер¬
жит г, ибо иначе внутренняя точка х также бы входила в Н,
что невозможно, как было показано при доказательстве теоремы.
Следовательно, z иУ находятся в разных полупространствах, за¬
даваемых П. Итак, z & W — противоречие.	□
8.3.5. Следствие. Пусть А и В — непустые выпуклые мно¬
жества в вещественном локально выпуклом пространстве Е,
причем А замкнуто, а В компактно. Тогда существует замкну¬
тая гиперплоскость, строго разделяющая А и В,
Доказательство. Мы покажем, что найдется такая выпук¬
лая окрестность нуля U, что (A+U)n(B+U) = 0. Так как A+U
и В + U открыты и выпуклы, то останется сослаться на теоре¬
му выше. Достаточно найти такую выпуклую уравновешенную
окрестность нуля W, что А П (В + W) = 0; тогда можно взять
JJ = W/2. Для всякой точки b Е В найдется такая выпуклая
уравновешенная окрестность нуля W&, что А П (b + Wb) = 0. От¬
крытое покрытие компакта В множествами Ъ + 4~~1 W& содержит
конечное подпокрытие Ь\ + 4_1И^1,..., Ьп + 4-1 W&n. Окрестность
W := 4-1 ПГ=1 Щ - искомая.	□

462
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.3.6. Следствие. Всякое непустое замкнутое выпуклое
множество в вещественном локально выпуклом пространстве
есть пересечение содержащих его замкнутых полупространств.
Доказательство. По предыдущему следствию данное мно¬
жество можно отделить замкнутой гиперплоскостью от всякой
точки вне его.	□
8.3.7. Следствие. В вещественном локально выпуклом про¬
странстве Е замыкание всякого выпуклого множества совпада¬
ет с его замыканием в слабой топологии а(Е, Е*).
Доказательство. Замыкание выпуклого множества V в ис¬
ходной топологии выпукло и замкнуто. Ввиду предыдущего след¬
ствия это замыкание замкнуто и в слабой топологии. С другой
стороны, замыкание в слабой топологии не меньше замыкания
в исходной топологии.	□
8.3.8. Следствие. Пусть А — непустое замкнутое выпук¬
лое уравновешенное множество в вещественном локально вы¬
пуклом пространстве Е. Пусть v € Е\А. Тогда найдется такая
непрерывная линейная функция f на Е, что \f(x)\ ^ 1 при х 6 А
и f(v) > 1.
Доказательство. Ввиду следствия 8.3,5 есть такой функ¬
ционал / £ Е*, что при некотором с имеем f(x) ^ с для всех
х € А и f(v) > с. Ввиду уравновешенности А имеем \f(x)\ < с
при х е А. Значит, с ^ 0. Можно считать, что с > 0. Теперь
заменим / на //с.	□
В случае локально выпуклого пространства следствие 8.3.4
можно перенести на выпуклые компакты (в бесконечномерном
случае не имеющие внутренних точек).
8.3.9. Следствие. Пусть С — непустое выпуклое компакт¬
ное множество в вещественном локально выпуклом простран¬
стве Е. Тогда для всякой замкнутой гиперплоскости Н в Е су¬
ществует не менее одной и не более двух опорных гиперплоско¬
стей, являющихся сдвигами Н. При этом С является пересе¬
чением замкнутых полупространств, задаваемых замкнутыми
опорными гиперплоскостями и содержащих С.
Доказательство. Пусть Н имеет вид Н = /_1(с), где I е Е*
и с £ И1. Ввиду компактности С найдутся такие точки а £ С
и Ь £ С, что 1(a) = а := infх€с Кх) ИК^) — ft := suPo:gC Кх)- Ясно,

8.3. Отделение выпуклых множеств
463
что /-1(о0 и /-1(/?) — замкнутые опорные гиперплоскости (они
могут совпадать), являющиеся сдвигами Н, причем нет других
опорных гиперплоскостей, параллельных Н.
Покажем, что С является пересечением замкнутых полупро¬
странств, порожденных содержащими С опорными гиперплоско¬
стями. Согласно следствию 8.3.5 всякая точка z # С строго от¬
деляется от С замкнутой гиперплоскостью Н. Ясно, что тогда
найдется такая параллельная Н опорная гиперплоскость, что С
и г находятся в разных задаваемых ей полупространствах. Это
доказывает наше утверждение.	□
8.3.10. Следствие. Пусть С — выпуклый компакт в веще¬
ственном локально выпуклом пространстве Е. Тогда
с= П r'WO)-
leE*
Характерной чертой приведенных выше результатов о раз¬
делении гиперплоскостью замкнутых выпуклых множеств было
наличие у одного из них какого-либо дополнительного свойства
типа наличия внутренних точек или компактности. Покажем, что
в общем случае нельзя обойтись без дополнительных условий.
8.3.11. Пример. В банаховом пространстве /1 рассмотрим
прямую L, заданную условиями хп = 0, п ^ 2, а также множество
А := {х = (хп): \г?хп — п\ < х\У п > 2}.
Легко проверить, что А замкнуто и выпукло, причем А П L = 0.
Однако А и L нельзя разделить замкнутой гиперплоскостью, ибо
множество A — L нельзя отделить от нуля замкнутой гиперплос¬
костью, поскольку это множество всюду плотно. В самом деле,
всякая такая точка х £ Z1, что хп = п~2 при п ^ щ с некото¬
рым по, входит в A — L.
Пусть даны линейное пространство Е и некоторое линейное
пространство F линейных функций на £7, разделяющее точки
из Е. Тогда говорят, что задана дуальная пара {E,F}. Мы уже
знаем из результатов §6.6, что при наделении пространства Е
топологией сг(£7, F) в качестве пространства всех непрерывных
линейных функций получается в точности пространство F. Ес¬
ли эту конструкцию применить к локально выпуклому простран¬
ству Е (наделенному топологией т) и взять в качестве F про¬
странство Е* всех непрерывных в топологии т линейных функ¬
ционалов на £7, то мы получим более слабую топологию на Е,

464
Глава 8. Локально выпуклые пространства
однако сопряженное при этом не изменится. Возникает вопрос
о том, как устроены локально выпуклые топологии на Е, при ко¬
торых сопряженным остается Е*. Такие топологии называются
согласующимися с двойственностью. Ясно, что а(Е, Е*) — сла¬
бейшая из них. Оказывается, среди этих топологий есть и силь¬
нейшая — топология Макки гм• Доказываемая в §8.6(ii) теорема
Макки-Аренса дает полное описание согласующихся с двойствен¬
ностью топологий как топологий, находящихся между а(Е,Е*)
и тм. Основная идея описания согласующихся с двойственностью
топологий состоит в привлечении топологий равномерной сходи¬
мости на некоторых классах множеств. Для этого полезно ввести
поляры множеств.
Пусть дана дуальная пара (£7, F). Полярой множества Ас Е
относительно дуальной пары (£7, F) называется множество
A°:={feF: |/(а)| ^ lVa € А}.
Из определения очевидны следующие свойства поляры.
8.3.12. Лемма. Множество А° является выпуклым, урав¬
новешенным и замкнутым в топологии a(F, Е).
Такое же рассуждение, как и в случае банаховых пространств,
дает следующий вариант теоремы Банаха-Алаоглу-Бурбаки для
локально выпуклых пространств.
8.3.13. Теорема. Пусть X — локально выпуклое простран¬
ство. Тогда поляра всякой окрестности нуля U в X компактна
в топологии а(Х*,Х).
Большое значение имеет следующая теорема о биполяре.
8.3.14. Теорема. Биполяра А°° множества Ас Е, т.е. по¬
ляра А° относительно пары (F, Е), совпадает с сг(£7, F)-замкну¬
той выпуклой уравновешенной оболочкой А.
В частности, если X — локально выпуклое пространство,
поляра А0 берется относительно (Х,Х*), а биполяра берется
относительно {X*, X), то А°° совпадает с замкнутой выпуклой
уравновешенной оболочкой А.
Доказательство. Ясно, что А с А°°. Пусть В — а(Е, F)-
замкнутая выпуклая уравновешенная оболочка А. Если элемент
v Е Е не входит в В, то по следствию теоремы Хана-Банаха
существует такой а(Е, £')-непрерывный линейный функционал /,
что \f(v)\ > 1 и |/(Ь)| ^ 1 при всех Ь G В. Мы знаем, что / Е F
(см. §6.6). Поэтому / G А°. Значит, v £ А°°. Итак, В С А°°.	□

8.4. Обобщенные функции
465
8.4.	Обобщенные функции
Обобщенные функции вводятся как непрерывные линейные
функционалы на различных пространствах гладких функций.
Основная идея этой конструкции, пришедшая из физики, состо¬
ит в том, что даже многие обычные, но достаточно разрывные
функции представляют интерес не с точки зрения их значений
в индивидуальных точках, а с точки зрения того, что они дают
после усреднения с гладкими функциями. В теории интеграла
имеется близкое по духу отождествление эквивалентных функ¬
ций, но здесь происходит более тонкое развитие этих мотивов.
8.4.1. Определение, (i) Пространство всех непрерывных
линейных функций на <S(IRn) обозначается через <S'(lRn) и на¬
зывается классом обобщенных функций умеренного роста.
(И) Пространство всех линейных функций F на Т>(Шп) та¬
ких, что F((fj) —> 0 для всякой последовательности {<pj}, схо¬
дящейся к нулю в V(JRn), обозначается через T>'(JRn). Функции
из 2У(ИП) называются обобщенными функциями на Нп.
Ясно, что пространства Sf и ТУ линейны. Отметим, что в (ii)
требуется секвенциальная непрерывность F. Мы знаем, что Т>
неметризуемо. Поэтому возникает вопрос о совпадении V с про¬
странством всех непрерывных линейных функций на V. Оказы¬
вается, в данном случае такое совпадение имеет место (хотя для
нелинейных функций это уже не так: задача 8.6.40!). Мы привели
определение в такой форме лишь для того, чтобы не использовать
в нем топологию (которая и не нужна для последующего обсу¬
ждения). Однако для полноты изложения в предложении 8.4.8
ниже приведено доказательство упомянутого совпадения.
Отметим также, что линейная функция F на S входит в Sf
в точности тогда, когда \F(<p)\ ^ Срт((р) для некоторых Сит,
где {рт} — нормы из примера 8.1.3(iii).
8.4.2. Пример, (i) Пусть F — локально интегрируемая функ¬
ция на lRn. Формула
ф(х)Р(х) dx
JWC1
задает элемент X>'(IRn), который обозначается также через F.
(ii)	Всякая борелевская мера р на IRn, ограниченная на каж¬
дом шаре, задает обобщенную функцию из X>'(IRn) по формуле
<р н-> /	(р(х) p(dx).
JWC1

466
Глава 8. Локально выпуклые пространства
(iii) Формула <р н-> <^(0) задает обобщенную функцию, назы¬
ваемую (5-функцией (или 5-функцией Дирака). Аналогично для
каждого о Е Ш,га определена обобщенная функция
== ¥>(<*).
Ясно, что 8а соответствует мере Дирака 8а в точке а. Заметим, что
8 не задается никакой локально интегрируемой функцией F: до¬
статочно взять последовательность таких функций <pj £ V(JRn),
что (fj(0) = 1, 0 ^ (fij ^ 1 и (fj(x) —► 0 для каждого х ф 0. Тогда
8((fj) = 1, но интеграл от pjF должен стремиться к нулю ввиду
теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
(iv) Обобщенная функция ср »-> —<Д(0), <р £ Т>(IR1), не задает¬
ся не только локально интегрируемой функцией, но даже и мерой,
ибо легко построить функции (pj £	с	<Pj(0)	= 1, которые
равномерно ограничены и поточечно сходятся к нулю.
Функции классов Т>и S называют пробными. Пространства S
и Т>ш — полные метризуемые, что дает следующий аналог след¬
ствия теоремы Банаха-Штейнгауза (см. следствие 8.2.9).
8.4.3. Теорема. Пустпь Fj £ ^'(IR71), причем для всякого (р
из5(Еп) существует конечный предел F(<p) := lim FAip). Тогда
j—>оо
F £ <S'(IRn). Аналогичное утверждение верно для ТУ(К1п).
С помощью этого результата легко построить еще несколько
интересных примеров обобщенных функций.
8.4.4. Пример. Для каждого ip £ ^(И1) существует конеч¬
ный предел
V.P.iM := lim f	dx	=	Г°°	yW-y(0)	dx,	(8.4.1)
&	e~~¥^J\x\>£	%	J—ОО
задающий обобщенную функцию V.P Д. Аналогично обобщенные
функции (х + г0)-1 и (х — г0)-1 задаются равенствами
(* + «)->(*>):= Шп
ОО
ох - г0)~1(<р) := lim f	dx.
£—*о+ J—оо х-ге
Для обоснования (8.4.1) заметим, что утверждение очевидно для
функций <р, равных нулю в окрестности нуля. Поэтому достаточ¬
но рассмотреть функции ip Е ©(Ш.1). Пусть <р(х) = 0 при |ж| ^ т.

8.4. Обобщенные функции
467
Тогда функция [<р{х) — v?(0)]/z интегрируема на [—т, га], ибо оце¬
нивается через supt |у>'(£)|. Значит,
г v(*)-v(°)dx=]jm г Ф)-ут^
J—т х	£~*®Je<\x\^m	х
что доказывает наше утверждение, ибо интеграл от р(0)/х по
[—т, —г] U [е, га] равен нулю. Остальные утверждения обосновы¬
ваются аналогично.
Сходимость обобщенных функций Fj к F понимается как схо¬
димость Fj((p) —► F((p) на всех пробных функциях р.
Хотя обобщенные функции не являются функциями точки
на прямой, к ним применимы многие конструкции и понятия,
известные для обычных функций. Здесь мы рассмотрим умноже¬
ние на функцию и понятия носителя и сингулярного носителя,
а в следующем параграфе речь пойдет о дифференцировании.
Если F £ ТУ(Шп) и / £ C^IR71), то обобщенная функция fF
задается формулой (fF)(ip) := F(f<p). Ясно, что fF £ 2>'(IRn).
Аналогично, fF £ <S'(IRn), если F £ <S'(IRn) и / £ C°°(IRn), при¬
чем для каждого к при некотором т = т(к) имеет место оценка
ll/(t)(x)|| ч	+	ИУ.
Носитель supp/ обычной функции / — замыкание {/ ф 0}.
8.4.5. Определение. Будем говорить, что обобщенная фун¬
кция F € X>'(]Rn) является гладкой на открытом множестве
U С HI”, если найдется такая функция g е C°°(U), что
F(ip)= / ip(x)g(x)dx
Ju
для всех (р £ £>(IRn) с supp (р С U. Если при этом g = 0, то
будем говорить, что F равна нулю на U.
Дополнение к объединению всех открытых множеству на ко¬
торых F является гладкой, называется сингулярным носите¬
лем F и обозначается символом singsuppF.
Дополнение к объединению всех открытых множеств, на ко¬
торых F равна нулю, называется носителем F и обозначается
символом supp F.
8.4.6. Пример. Справедливы равенства
suppS = {0}, suppV.P.— = IR1, singsuppV.P.— = {0}.
х	х
Из определения ясно, что если F £ V'(JRn), (р £ V(JRn)
и suppF П supp<p = 0, то F(cp) = 0.

468
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.4.7. Пример. Если F € ©'(IRn), / € C°°(IRn) и / = 1
в открытом множестве U Э supp F, то fF = F, ибо носитель
ftp — <р не пересекается с supp F. Однако недостаточно равенства
/ = 1 на suppF. Например, если F(<p) = <р'(0) и /(ж) = 1 + ж, то
suppF = {0} и /(0) = 1, но fF = F+ 6, что видно из следующих
равенств: (fF)((p) = F(f<p) =	0) = (р(0) + у/(0).
8.4.8. Предложение. Пространство ©'(IR1) совпадает
с пространством непрерывных линейных функций на ©(И1)
с введенной выше топологией. Это же верно для ©'(IRn).
Доказательство. Надо показать, что всякая секвенциаль¬
но непрерывная линейная функция F на ©(IR1) в действительно¬
сти непрерывна в топологическом смысле. Для этого достаточно
проверить, что найдется такая полунорма Р{ап) вида (8.1.2), что
\F(^p)\ ^ Р{ап}((Р) Ддя всех V € П(Ш}). Секвенциальная непре¬
рывность дает непрерывность ограничения F на каждое метри-
зуемое локально выпуклое пространство X>W(1R1).
Легко построить последовательность функций Е ©(IR1),
k Е Z, со следующими свойствами: 0 < Ofc ^ 1? Ск(х) = 1 ПРИ
х Е [к — 1/3, к + 1/3], Сk(x) = 0 при х [к - 2/3, к + 2/3], причем
Ск(х) + Ck+i(x) = 1 Для всех ж. Тогда Y*=-oo Ск(х) = 1.
Для каждого к рассмотрим функционал Fk(<p) := Ffatp) на
©(IR1). Сужение Fk на Т>([к — 1,к + 1]) непрерывно, а значение
Fk(<p) зависит лишь от сужения ip на [к — 2/3, к + 2/3] и не из¬
менится при замене ip на вк<р, где вк €Е ©(IR1), вк{ж) = 1 при
ж € [к — 2/3, к + 2/3] и вк(ж) = 0 при ж ^ [fc — 1, fc + 1]. Применяя
теорему 8.2.2 для Т>([к — 1, к + 1]), находим такие Ск, Гк € 1N, что
\Fk(<p)\^Ck sup [№(*)! + •••+ |?(rfc)(f)l] ^©(nt1).
t€[k—1,/c+l]
Положим otk := Yli=k-i(Cr + rl)- При (p € ©(IR1) имеем
771	+00
№)i = К E c*v)| < E iF(Cfcv)i <
fc=—771	k=	—	00
+oo
< E Ck sup [i^(*)i+---+b(rfe)wi]>
k=-oo te[k-i,k+i\
откуда |-Р(<£>)| ^ P{afc}(¥?)- Случай n > 1 аналогичен.	□

8.5. Производная обобщенной функции
469
К обобщенным функциям можно применять и многие другие
операции, которые применяются к обычным функциям. Произ¬
водная будет рассмотрена в следующем параграфе, а здесь огра¬
ничимся замечанием, что прямое произведение обобщенных фун-
кций F е £>'(МП) и G е ^(Ш*) задается как элемент F®G из
Т>\JRn+fc), действующий на пробные функции <р £ X>(IRn+fc) =
X>(IRnxlRfc) по формуле F<g>G((p) := F(ip), ф(х) := G((p(x, •)).
Ясно, что функция ф имеет компактный носитель. Проверка ее
гладкости и доказательство включения F®G £ ТУ {lRn+fc) отнесе¬
ны в задачу 8.6.48.
В приложениях используются многие другие классы пробных
и обобщенных функций. Например, естественный класс проб¬
ных функций — класс £ (JRn) всех бесконечно дифференцируе¬
мых функций на JRn с топологией равномерной сходимости всех
производных на ограниченных множествах, т.е. соответствующие
полунормы имеют вид Pk,m(<f) = sup|x|^m ||<^(ж)||. Соответству-
ющий класс £' обобщенных функций входит в Sf. Обобщенные
функции из £г — это обобщенные функции из 2У с компактными
носителями.
8.4.9.	Предложение. Функционал F £ Х>'(ИП) продолжа¬
ется до элемента £'(IRn) (т.е. непрерывен относительно топо¬
логии из £(lRn)) в точности тогда, когда он имеет компактный
носитель.
Доказательство. Если F имеет носитель в шаре J7, то про¬
должение на £(IRn) дается формулой F(cp) := F(0(p), где в —
фиксированная функция из Co°(IRn), равная 1 в окрестности U.
Обратно, если F непрерывен в топологии из £(ИП), то найдутся
такие к, т и С, что \F((p)\ ^ Cpk,m(<p) Для всех V € T>(JRn). Это
означает, что носитель F входит в шар радиуса т (для всякой
точки а вне этого шара есть функция (р £ Z>(IRn) с (р(а) = 1
и ср(х) = 0 при \х\ ^ т).	□
8.5.	Производная обобщенной функции
Как известно, бывают даже непрерывные функции, не име¬
ющие производной ни в одной точке. В рамках теории обобщен¬
ных функций производную можно определить не только для та¬
ких функций, но даже для всюду разрывных локально интегри¬
руемых функций. Правда, эти производные будут не обычными
функциями, а обобщенными.

470
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.5.1. Определение. Пусть F е T>f(SRn). Обобщенная част¬
ная производная dXiF обобщенной функции F определяется как
элемент Х>'(ИП); заданный формулой dXiF((p) := —F(dXi<p).
Аналогично полагаем d^F((p) := (—l)laIF(d^(p).
При п = 1 получаем Ff{p) = —F((p').
Функционал (р н-* — F(dXip) действительно является обобщен¬
ной функцией, ибо если ipj —» 0 в Т>(JRn), то и dXi(pj —> 0 в V(TRn).
Таким образом, всякая обобщенная функция имеет обобщен¬
ные частные производные любого порядка в указанном смысле.
В частности, обычная локально интегрируемая функция, даже
не имеющая обычной производной ни в одной точке, бесконеч¬
но дифференцируема в смысле обобщенных функций. Правда, ее
производные — уже не обычные функции, а обобщенные.
8.5.2. Пример, (i) Пусть обобщенная функция F задается
обычной функцией /[о,+оо) (ее называют функцией Хевисайда).
Тогда F* = S в смысле обобщенных функций, ибо
/*оо
F\<p) = -F(<p’) = - / /(ж) dx = <р(0) = 5(0), <р е VQR}).
Jo
(ii)	Пусть обобщенная функция F задается локально интегри¬
руемой функцией 1п|ж|. Тогда F* = V.P.j. В самом деле,
/+оо
(р'(х) In |ж| dx =
-оо
= — lim f <р\х) In \х\dx = lim f	dx.
£-*°J\x\>e	£->°J\x\>e	x
Как и в случае обычных функций, обобщенная функция с ну¬
левой производной оказывается константой, т.е. задается посто¬
янной обычной функцией (конечно, это не означает, что такая
обобщенная функция является постоянным линейным функцио¬
налом: линейная функция постоянна лишь в том случае, когда
она тождественно равна нулю).
8.5.3. Предложение. Пусть F е Р^И1) и F' = 0. Тогда F
задается некоторой постоянной с, т.е.
F((p) = с / р(х) dx.
Ju1
Если же Ff = 0 на интервале U, то найдется постоянная с,
для которой указанное равенство верно для всех <р Е Cq°(?7).

8.5. Производная обобщенной функции
471
Доказательство. Пусть ро е Х^М1) имеет интеграл 1 по
всей прямой. Положим с := F(po) и покажем, что получена ис¬
комая постоянная. Для всех р 6 ^(IR1) имеем р = р — вро + вро,
где в — интеграл от р. Положим
[p(t) - Opo(t)\ dt.
-оо
Заметим, что ф € Х^И1), ибо если обе функции р и ро обраща¬
ются в нуль вне некоторого отрезка [а, 6], то ф также обращается
в нуль вне [а, 6], так как интеграл от р—вро по всей прямой равен
нулю. Ясно, что ф' = р — сро. Поэтому
F(p) = FW) + 0F(p о) = -F'WO + св = св,
что и требовалось. Случай интервала аналогичен.	□
Для функции Кантора Со из предложения 3.1.12 мы имеем
С'0(х) = 0 п.в., но Cf0 в V отнюдь не нуль, а вероятностная мера г/,
для которой г/([0,х)) = Со(х). Более общим образом, если /х —
мера на прямой и F(x) = /х((—оо,ж)), то F* = /х в ТУ (см. §4.5(i)).
Как и локально интегрируемые функции, обобщенные функ¬
ции обладают первообразными.
8.5.4.	Предложение. Для всякой обобщенной функции F
из ТУ(IR1) существует такая функция G €	что G = F.
Если взять одну такую функцию, то всякая другая отличается
от нее на обобщенную функцию, задаваемую константой.
Доказательство. Для р € ©(IR1) возьмем ту же функ¬
цию ф, что и в предыдущем доказательстве. Положим
G(p) :=
Функция G линейна на ©(1R1). Покажем, что она непрерывна.
Достаточно проверить, что линейное отображение р н-* ф непре¬
рывно на ©(1R1). Пусть pj —> 0 в ^(И1). Тогда функции pj равны
нулю вне некоторого отрезка, а их интегралы 6j стремятся к ну¬
лю. Функции pj — 6jpo равны нулю вне некоторого отрезка [а, Ъ\
и имеют нулевые интегралы. Поэтому соответствующие функции
фj равны нулю вне [а, Ь]. Поскольку Pj — Ojpо —► 0 в Т>(Ш}), то по¬
следовательность функций фj также стремится к нулю в X^IR1),
что завершает наше доказательство.	□
Обобщенная функция G также имеет первообразную и т.д.
Оказывается, если зафиксировать отрезок [а, 6] и сузить F на

472
Глава 8. Локально выпуклые пространства
функции с носителями в [а, Ь], то через конечное число шагов мы
придем к обычной функции (непрерывной или даже непрерывно
дифференцируемой).
8.5.5. Теорема. Если F £ Vf(JRn) имеет носитель в от¬
крытом шаре U, то найдутся непрерывная функция Ф на U
и число /с 6 IN, для которых F =	• • • с^пФ. Всякий элемент
F £ <S'(IRn) имеет вид F = д%г • • • А£пФ, где k е IN, Ф £ С(ИГ),
|Ф(ж)| ^ С + С||ж||т, С,га > 0. В одномерном случае F = ф(*).
Доказательство. Пусть n = 1 и [7 = (0,1). По теореме 8.2.2
есть такие га, С £ IN, что |F(^)| < C'sup^^ МтЧж)1> V €
По теореме о среднем \(р^т\х)\ ^	^ |Мт+1^Иь2- Итак,
|F((^)| ^ С\\^т+1Ц\Ь2. Теорема Рисса (пример 6.5.3) дает функ-
Цию g € Ь2[0,1], для которой F(<p) = (^m+1\g)^(U)^ <Р € ЩЮ-
Значит, F = (-i)m+ig(m+i) в
качестве Ф можно взять перво¬
образную д. В многомерном случае рассуждения аналогичны.
Пусть U С (0,1)п. Как и выше, найдутся числа С и /с, для ко¬
торых \F((p)\ < Сзързсеи Id^ • • • д%п(р(х)\. Заметим, что правая
часть оценивается через СЦд^1 • • • c^+VIIl2* Действительно, для
всякой функции ф £ T>(U) мы имеем \ф(х)\ ^ \\дХ1 • • •
ибо ввиду n-кратно примененной формулы Ньютона-Лейбница
ф(х) есть интеграл от функции дХ1 • • • дХпф по параллелепипе¬
ду {0 < yi ^ х^г = 1 ,...,п}. Как и выше, получаем функцию
g £ L2, для которой F = (—• • •д^1д. В качестве Ф
ГХп	ГХ\
возьмем функцию /	•	•	•	I	д(у) dy\ - • • dyn. Случай S9 анало-
J о	Jo
гичен, но надо использовать оценки с Ь1-нормой и пример 6.4.12
для Y = L1 (см. Владимиров [44, с. 97]). Отметим, что функция
—ех sin х = (cos еху входит в <S', но не имеет степенной оценки. □
8.5.6. Предложение. В предыдущей теореме F((p) = 0, ес¬
ли djj* • • •	=	0	на	supp F при всех ki ^ к.
Доказательство. Пусть U£ — открытая е-окрестность ком¬
пакта suppF и 0е(х) = e~ng(x/s)1 где g £ Co°(IRn) имеет ин¬
теграл 1 и носитель в замкнутом единичном шаре U. Гладкая
функция := д€ * 1к2е имеет носитель в Us£ и равна 1 на U£.
Кроме того, |9^Се(®)| ^	Из формулы Тейлора и нашего

8.6. Дополнения и задачи
473
условия на <р следуют оценки • • • d^tp{x)\ ^ C\Skn hl кп.
Поэтому |Й* • • • ajjn(&¥>)l < Се, где С не зависит от е. Можно счи¬
тать, что suppF С U, suppy> С U и Ф непрерывна на U. Таким
образом, согласно примеру 8.4.7 получаем
|<F»| = \(F,{s<p)\ = |(Ф,^ -^(С*>)>1 < CesnPu \Щх)\Хп(Ц),
где правая часть стремится к нулю при е —> 0.	□
8.5.7.	Пример. Пусть F € D'(IRn) и suppF = {0}. Тогда
F =	cad^S	при	некоторых	са	Е	1R1	и	N	е	IN	U	{0}.	Если
п = 1, то F = со<$ + с\8' -|	1-	cn8^n\
Доказательство. Пусть функция £ е P(IRn) равна 1 в еди¬
ничном шаре и са := F^x^1 ■ • • х%п), а — (ах,..., ап). Положим
Ф '•=#>- С E|q|^(aV(0)®i1 “ • хпп' Предыдущее предложение
дает	= 0, ибо д^ф(0) = 0 при \а\ < кп. В случае п = 1
есть другое обоснование: так как F = фМ, где Ф — непрерывная
функция, то существуют такие многочлены Р\ и Р2 степени к — 1,
что Ф(ж) = Pi (х) при х>0и Ф(я) = Pzix) при х < 0.	□
8.6.	Дополнения и задачи
(i) Метризуемость и нормируемость (473). (ii) Топология Мак-
ки (476). (iii) Индуктивные и проективные пределы (479). (iv) Бо¬
чечные и борнологические пространства (480).	(v) Банаховы
пространства, порожденные функционалами Минковского (481).
(vi) Теорема Крейна—Мильмана (488). (vii) Теорема об измеримом
графике (490). Задачи (490).
8.6(i). Метризуемость и нормируемость
8.6.1.	Предложение. Локально выпуклое пространство Е мет-
ризуемо в точности тогда, когда его топология порождается неко¬
торым счетным набором полунорм. В этом случае из исходного набо¬
ра полунорм {ра}, задающего топологию, можно выделить конечный
или счетный поднабор {рап} со следующим свойством: для каждого
а найдутся такие число Са и индекс п = п{а), что выполнено нера-
венство ра < Са(ра, Н +ра„)-
Доказательство. Если топология пространства Е порождена
счетным набором полунорм рп, то положим
оо
d(x,y) := ^2_nmin(pn(a:-y),l).
71=1

474
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Легко проверить, что d — метрика. Покажем, что d задает тополо¬
гию, порождаемую полунормами {рп}. Для этого достаточно прове¬
рить, что всякий шар К (а, г) := {х: d(x, а) < г} содержит окрест¬
ность вида (8.1.1), а всякая такая окрестность содержит некоторый
шар K(a,rf). Найдем такое N, что 2~N < г/2. Положим е = г/2. Тогда
UPlt,„yPNje(a) С К(а,г). Обратно, окрестность (8.1.1), заданная полу¬
нормами pi,... ,рп, содержит шар К (а, г') радиуса г' := 2~п~1е.
Предположим теперь, что локально выпуклая топология Е метри-
зуема метрикой d. Тогда каждый шар радиуса 1/к с центром в нуле
содержит окрестность вида (8.1.1) с а = 0 и некоторыми п, е и а*. Тем
самым для каждого к выделен конечный набор полунорм. Обозначим
через {Рап} счетное семейство, являющееся объединением всех этих
конечных наборов. Порождаемые рап множества вида (8.1.1) представ¬
ляют собой часть всех таких множеств. Чтобы убедиться в совпадении
соответствующих топологий (т.е. объединений множеств такого вида),
достаточно установить, что всякое множество вида (8.1.1) для исход¬
ного набора содержит множество такого же вида для счетного набо-
ра {Рап}- В свою очередь, для этого достаточно проверить последнее
утверждение доказываемого предложения. Итак, пусть а фиксирова¬
но. По условию открытое множество U := {х: ра(х) < 1} содержит
некоторый шар V радиуса 1/к по метрике d с центром в нуле. По по¬
строению в этом шаре есть множество вида (8.1.1) с а* из выбранного
нами счетного множества. Пусть С = £~г. Тогда условие Cpai (х) < 1
при всех г = 1,..., п дает включение х £ V С С/, т.е. оценку ра(х) < 1.
Это означает, что ра < С(ра1 Н ЬРап)*	О
Метризуемость топологического векторного пространства равно¬
сильна наличию счетной базы окрестностей нуля. Если при этом про¬
странство сепарабельно, то имеется и счетная база всей топологии.
8.6.2.	Теорема. Топологическое векторное пространство X со
счетной базой окрестностей нуля можно наделить инвариантной
относительно сдвигов метрикой d (т.е. d(x,y) = d(x + z,y + z)), зада¬
ющей ту же самую топологию, причем такой, что шары с центром
в нуле уравновешены. В частности, это верно, если X метризуемо.
Доказательство. Из сказанного в §8.1 ясно, что найдется ба¬
за окрестностей нуля {V^} со следующими свойствами: множества Vn
уравновешены и Vn+\ + Vn+\ С Vn. Пусть D — множество всех двоично¬
рациональных чисел из [0,1). Такое число г можно единственным об¬
разом записать в виде конечной суммы г = ci(r)2_1 Н Ь Сп(г)2_п,
где Ci(r) £ {0,1}. При г £ D положим A(r) := Ci(r)Vi Н Ь Cn(r)Vn]
пусть A(r) = X при г > 1. Наконец, положим
f(x) := inf {г: х £ A(r)}, d(x,y) := f(x-y), х,у £ X.

8.6. Дополнения и задачи
475
Покажем, что выполнено следующее соотношение:
А(г) -h A(s) С A(r + s), г, s G D.	(8.6.1)
По индукции проверим, что если г, s € D таковы, что г 4- s < 1
и Сп(г) = Cn(s) = 0 при n > iV, то (8.6.1) верно. Для ЛГ = 1 это так.
Пусть наше утверждение верно для N — 1, где N > 1, и пусть r,sED,
r + s < 1 и Cn(r) = Cn(s) = 0 при п > N. Тогда г = г' + cjv(r)2“N,
S = s' + cN(s)2“n, т.е. A(r) = А(г')+сту(г*)У/у, A(s) = A(s')+cat(s)V/v*
По предположению индукции A(r') 4- Л(s') С A(r' 4- s'). Поэтому
i4(r)+-A(s) С A(r' + s') +cn(v)Vn +cn(s)Vn- Если cN(r) = Cat(s) = 0,
to (8.6.1) верно по предположению индукции. Поэтому достаточно рас¬
смотреть случаи с#(г) = 0, cn(s) = 1 и cn(v) = cn(s) = 1. В первом из
них A(r' 4- s') 4- cn(v)Vn + cn(s)Vn = A(r' 4- s' 4- 2~N) = A(r 4- s), что
дает (8.6.1). Во втором случае предположение индукции дает
A(r' 4- s') 4- cn(t)Vn 4- cm(s)Vn С A(r' 4- s') 4- Vn-i =
= A(r' + s') 4- A{2~n+1) С A(r' + s' + 2~N+1) = A(r + s),
т.е. выполнено (8.6.1). Из (8.6.1) следует неравенство
f(x + y) ^f(x) + f(y).
В самом деле, так как / < 1, то можно считать, что f(x) 4- f(y) < 1.
Для каждого е > 0 найдутся такие r,s G Д что f(x) < г, f(y) < s,
г 4- s < f(x) 4- f(y) 4- s. Из (8.6.1) имеем х 4- у € А(г 4- s), откуда
f(x 4- у) < г 4- s < f(x) 4- f(y) 4- е. Отметим также, что f(x) = f(—x)
ввиду уравновешенности А(г), /(0) = 0 и f(x) > 0 при х ф 0, по¬
скольку при х £ Vn = А(2Гп) имеем f(x) > 2~п. Следовательно, функ¬
ция d есть метрика, инвариантная относительно сдвигов. Множества
В(0, 5) = {х: f(x) < 5} = Ur<5^(r) открыты и уравновешены. При
этом В (5,0) С Vn, если 8 < 2~п. Значит, шары В(5,0) образуют базу
окрестностей нуля, что завершает доказательство.	□
Естественно возникает вопрос о нормируемости локально выпук¬
лого пространства, т.е. о существовании одной нормы, задающей его
топологию* Из сказанного выше легко усмотреть, что таким условием
является существование среди ра такой нормы рао, что всякая другая
полунорма данного семейства оценивается через нее в виде ра ^ Сарао •
А.Н. Колмогоров указал следующий критерий нормируемости.
8.6.3.	Теорема. Локально выпуклое пространство нормируемо в
точности тогда, когда оно имеет ограниченную окрестность нуля.
Доказательство. Необходимость указанного условия очевидна,
ибо шары по норме обладают нужным свойством. Если же такая окрест¬
ность есть, то в ней можно найти выпуклую уравновешенную окрест¬
ность нуля W. Функционал Минковского pw дает искомую норму. □

476
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6(ii). Топология Макки
Здесь мы выясним, что локально выпуклые топологии — это топо¬
логии равномерной сходимости на множествах, рассмотрим топологию
Макки и докажем теорему Макки-Аренса, характеризующие тополо¬
гии, согласующиеся с данной двойственностью.
Сначала опишем общую конструкцию топологии равномерной схо¬
димости на классе множеств. Пусть дана дуальная пара (X,Y). Пред¬
положим также, что К — некоторый класс <т(У, Х)-ограниченных мно¬
жеств в Y (т.е. supjeK \f(x)\ < оо для всяких К £ /С и х £ X), причем
объединение всех множеств из /С разделяет точки в X, т.е. при х ^ у
найдется функционал I из этого объединения с 1(х) ф 1(у). Тогда сово¬
купность полунорм
Рк{х) := sup |/(ж)|, К £ К,
fек
задает локально выпуклую топологию на X. Сходимость направленно¬
стей в этой топологии — это равномерная сходимость на каждом мно¬
жестве из /С. Полученная локально выпуклая топология называется
топологией равномерной сходимости на множествах из /С. Если класс
/С допускает умножение на скаляры и объединение двух множеств из
/С содержится в множестве из /С, то поляры множеств из /С образуют
базис замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля в X.
Особую роль играет топология Макки гм (X, Y) — топология рав¬
номерной сходимости на а (У, X)-компактных выпуклых уравновешен¬
ных множествах из У.
8.6.4. Определение. Множество Т линейных отображений из
локально выпуклого пространства X в локально выпуклое простран¬
ство Y называется равностепенно непрерывным, если для всякой
окрестности нуля V С Y найдется такая окрестность нуля U С X,
что T(U) С V для всех Т £ Т.
В частности, множество Т С X* равностепенно непрерывно, ес¬
ли для всякого е > 0 найдется такая окрестность нуля U С X, что
|/(х)| < е для всех f £ Т и х £U.
8.6.5. Теорема. Каждая локально выпуклая топология есть то-
пология равномерной сходимости на равностепенно непрерывных под¬
множествах сопряженного пространства.
Доказательство. Мы знаем, что всякое локально выпуклое про¬
странство X обладает базисом нуля, состоящим из замкнутых выпук¬
лых уравновешенных множеств. Поляра U° каждого такого множества
U равностепенно непрерывна. Кроме того, U°° = U по теореме о бипо¬
ляре, что и доказывает теорему.	□
Докажем теперь следующую теорему Макки-Аренса.

8.6. Дополнения и задачи
477
8.6.6* Теорема. Пусть (X, У) — дуальная пара. Локально вы¬
пуклая топология г на X согласуется с данной двойственностью,
т.е. (Х,т)* = Y, в точности тогда, когда сг(Х, У) < т < тм(Х,У).
При этом г является топологией равномерной сходимости на неко¬
торой совокупности a(Y, X)-компактных выпуклых уравновешенных
множеств в Y.
Доказательство. Если (Х,т)* = У, то т есть топология равно¬
мерной сходимости на полярах окрестностей нуля в X. Каждая та¬
кая поляра выпукла, уравновешенна и сг(У,Х)-компактна по теореме
Банаха-Алаоглу-Бурбаки. Поэтому т < тм(Х, Y). Ясно также, что
a(X, У) < т, ибо сг(Х,У) — слабейшая локально выпуклая тополо¬
гия, согласующаяся с двойственностью. Теперь покажем, что топология
Макки согласуется с данной двойственностью. Очевидно включение
Y С (X,тм(Х, У))*. Докажем обратное включение. Пусть / — элемент
F := (X, тдДХ, К))*. По определению топологии Макки найдется такое
а (У, Х)-компактное выпуклое уравновешенное множество S С Y, что
S° GV:={xeX: \f(x)\ < 1}.
Тогда V° С 5°°, где поляра V берется в F, а поляра множества S°
берется в X. Компактное в топологии сг(У, X) множество S компактно
и в топологии a{F, X), ибо Y С F. В силу теоремы о биполяре S = S°°.
Итак, мы имеем / £ V° С S С У, т.е. F — Y.	□
Локально выпуклое пространство называется пространством Мак¬
ки, если его топология есть топология Макки.
Отметим, что встречаются естественные топологии равномерной
сходимости, более сильные, чем топология Макки (т.е. не обязательно
согласующиеся с двойственностью). Таким свойством может обладать
так называемая сильная топология /?(Х, У), определяемая как топо¬
логия равномерной сходимости на всех сг(У, Х)-ограниченных множе¬
ствах. Например, пусть Х = £1иУ = сос естественной двойственно¬
стью (х, у) = 53^=1 хпУп• Тогда сг(У, Х)-ограниченные множества в У —
это множества, ограниченные по обычной норме пространства со- По¬
этому сопряженным к X с топологией /3(Х, У) является /°°, а не У.
Топологии сходимости на множествах используются для топологи-
зации пространства линейных отображений. Если X и У — локально
выпуклые пространства, то для всякого класса /С ограниченных мно¬
жеств в X на пространстве £(Х, У) непрерывных линейных отображе¬
ний можно ввести полунормы
РкАТ) -=supx€Kp0(Tx),
где {рр} — система полунорм, задающая топологию У. Полученная
локально выпуклая топология на £(Х, У) называется топологией рав¬
номерной сходимости на множествах из 1C. Например, если в качестве

478
Глава 8. Локально выпуклые пространства
класса К взять класс всех конечных множеств, то получаем топологию
поточечной сходимости.
По аналогии со случаем нормированных пространств, множество А
в топологическом векторном пространстве называется вполне ограни¬
ченным, если для всякой окрестности нуля U найдется конечное мно¬
жество точек а\,..., ап € А с А С (JlLi + а0*
8.6.7. Теорема. Пусть Т — равностепенно непрерывное семей¬
ство линейных отображений между локально выпуклыми простран¬
ствами X и Y. Тогда на Т совпадают следующие топологии:
(i) поточечной сходимости на всюду плотном множестве,
(ii) поточечной сходимости,
(iii) равномерной сходимости на классе всех вполне ограниченных
множеств.
Доказательство. Достаточно проверить, что на Т топология (i)
не слабее топологии (iii). Пусть А — всюду плотное множество в X, на¬
правленность элементов Та еТ сходится к элементу Т £ Т на каждом
а € А и С — вполне ограниченное множество в X. Покажем, что схо¬
димость равномерна на С, т.е. для всякой выпуклой уравновешенной
окрестности нуля V в Y найдется такой индекс ао, что (Та—Т)(С) С V
при всех а > ао- По условию найдется такая окрестность нуля U С X,
что ТаШ) с V/4 и T(U) С V/4 при всех а. Поскольку А всюду плот¬
но, a С вполне ограничено, то найдется такое конечное множество
а\,..., ап € А, что С С	+ 17). Ввиду поточечной сходимости
на Л есть такой индекс ао, что (Та — T)(ai) С V/2 при всех а ^ ао
и г < п. Тогда (Та — Т)(а* + С/) С V, откуда (Та — Т)(С) С F при всех
индексах а ^ ао.	□
Теорема Макки-Аренса подсказывает, как построить пополнение
локально выпуклого пространства по аналогии с пополнением норми¬
рованного пространства.
8.6.8. Определение. Множество А в топологическом вектор¬
ном пространстве Е называется полным, если в нем имеет предел
всякая фундаментальная направленность элементов А, т.е. такая
направленность {#<*}> что для всякой окрестности нуля V найдется
индекс ао с ха — хр £ V при а,(3 ^ ао-
Если в А сходится всякая фундаментальная счетная последова¬
тельность, то А называется секвенциально полным.
Если Е линейно гомеоморфно плотному линейному подпростран¬
ству в полном топологическом векторном пространстве Е, то Е на¬
зывается пополнением Е.
8.6.9. Теорема. Всякое локально выпуклое пространство Е име¬
ет пополнение, причем пополнение единственно с точностью до ли¬
нейного гомеоморфизма.

8.6. Дополнения и задачи
479
Доказательство можно прочитать в книге Робертсон, Робертсон
[185, гл. 6]. Отметим лишь, что если с помощью теоремы Макки-
Аренса мы представили X как пространство функционалов на X* с то¬
пологией равномерной сходимости на некотором семействе А выпуклых
уравновешенных сг(Х*, Х)-компактных множеств, то в качестве попол¬
нения можно взять подпространство
Ё := р|(Я + А°)
АСА
пространства (Е*)' (алгебраически сопряженного к Е*), где поляры
берутся в (Е*У, причем Е наделяется топологией равномерной сходи¬
мости на множествах из А.
8.6(iii). Индуктивные и проективные пределы
Пусть даны линейное пространство X и семейство локально вы¬
пуклых пространств Ха с линейными отображениями fa: Ха —* X,
причем X = (Ja fa(Xa). Тогда на X есть сильнейшая локально выпук¬
лая топология, относительно которой все отображения fa непрерывны.
Базис окрестностей нуля в этой топологии состоит из таких выпуклых
уравновешенных множеств U, что f^iP) есть окрестность нуля в Ха
при всех а. Пространство X с указанной топологией называется индук¬
тивным пределом пространств Ха.
Наиболее важным специальным случаем является ситуация, когда
дана последовательность локально выпуклых пространств Хп с топо¬
логиями тп, причем Хп — линейное подпространство Хп+\ и сужение
тп+1 на Хп совпадает с тп. Пространство X = (J^Li Хп с топологией
индуктивного предела пространств Хп с естественными вложениями
/п: Хп —> X называется строгим индуктивным пределом Хп. Спра¬
ведливы следующие утверждения (доказательства можно найти в кни¬
гах [185], [236]).
8.6.10. Теорема. Сужение индуктивной топологии из X на Хп
есть тп. При этом линейное отображение из X в локально выпуклое
пространство Y непрерывно в точности тогда, когда непрерывны его
сужения на все Хп.
8.6.11. Теорема. Пусть X — строгий индуктивный предел по¬
следовательности пространств Хп, причем Хп замкнуто в Хп+\.
Множество в X ограничено в точности тогда, когда оно содержится
и ограничено в одном из Хп.
8.6.12. Пример. Пространство X>(IRn) является строгим индук¬
тивным пределом пространств Vm (обоснование — задача 8.6.74).
Следует иметь в виду, что для открытости или замкнутости мно¬
жества А в строгом индуктивном пределе пространств Хп недостаточ¬
но, чтобы все пересечения А П Хп были соответственно открыты или

480
Глава 8. Локально выпуклые пространства
замкнуты (см. задачу 8.6.40). В пространстве X^IR1) есть даже неза¬
мкнутое линейное подпространство, пересечения которого со всеми Т>ш
замкнуты (задача 8.6.76).
Пусть теперь вместо отображений fa: Ха —> X даны линейные
отображения да : X —> Ха, причем Па 0а *(0) = 0- Проективной то¬
пологией на X называется слабейшая локально выпуклая топология,
относительно которой все да непрерывны; при этом X называется про¬
ективным пределом Ха. Если топология Ха задана полунормами ра,/з?
то топология X задается полунормами ра,/з°9а-
8.6.13. Пример. Пространство 5(ИП) — проективный предел по¬
следовательности пространств к раз непрерывно дифференцируемых
функций, для которых конечны нормы Pk,k из примера 8.1.3(iii).
8.6(iv). Бочечные и борнологические пространства
Пусть X — локально выпуклое пространство. Множество А С X
называется поглощающим, если для всякого х £ X существует такое
число А ^ 0, что fix £ А при р ^ Л. Бочкой в X называется поглощаю¬
щее замкнутое выпуклое уравновешенное множество.
Пространство X называется бочечным, если всякая бочка в X со¬
держит окрестность нуля.
8.6.14. Пример. Всякое бэровское локально выпуклое простран¬
ство (т.е. не являющееся множеством первой категории) бочечно. На¬
пример, бочечны банаховы пространства и полные метризуемые ло¬
кально выпуклые пространства. В самом деле, если А — бочка, то X
есть объединение замкнутых множеств пА. Значит, некоторое пА име¬
ет внутренние точки, откуда ввиду выпуклости и уравновешенности А
следует, что А содержит окрестность нуля.
8.6.15. Предложение. Пусть X — бочечное локально выпук¬
лое пространство и {ра} ~ такое семейство непрерывных полунорм
на X, что р(х) := supapa(x) < оо для всех х £ X. Тогда р — непре¬
рывная полунорма.
Доказательство. Множество {х: р(х) ^ 1} =	Р<*(х)	^	1}?
как легко видеть, замкнуто, выпукло и уравновешено. Кроме того, оно
является поглощающим и потому содержит окрестность нуля. Это дает
непрерывность р (задача 8.6.37).	□
8.6.16. Следствие. Пусть X — бочечное пространство, /п £ X*
и для каждого х существует конечный предел f(x) = lim fn(x). Тогда
П—+00
функционал / непрерывен.
Пространство X бочечно в точности тогда, когда для всякого про¬
странства Фреше Y всякое линейное отображение из X в Y с замкну¬
тым графиком непрерывно (см. [236, с. 212]).

8.6» Дополнения и задачи
481
Рассмотрим теперь борнологические пространства. Этот класс со¬
стоит из локально выпуклых пространств, в которых всякое выпуклое
уравновешенное множество А с тем свойством, что для каждого огра¬
ниченного множества В найдется такое число А > 0 с В С А А, содержит
окрестность нуля. Пространство X борнологично в точности тогда, ко¬
гда непрерывность полунормы на X равносильна ее ограниченности на
ограниченных множествах.
8.6.17. Пример. Всякое метризуемое локально выпуклое прост¬
ранство борнологично. В самом деле, пусть полунорма р ограничена
на ограниченных множествах. Если р разрывна, то найдется такая по¬
следовательность хп —> 0, что р(хп) —> +оо. Это невозможно ввиду
ограниченности {хп}.
8.6.18. Предложение. Пусть X — борнологическое простран¬
ство. Линейная функция f на X непрерывна в точности тогда, когда
f{xn) 0 при хп —► 0.
Доказательство. Надо проверить непрерывность всякой секвен¬
циально непрерывной линейной функции /. Если функция / разрывна,
то разрывна и полунорма р = |/|. Значит, эта полунорма неограничена
на некотором ограниченном множестве В. Значит, найдутся хп £ В та¬
кие, что Сп := \ f(xn)\ —► оо. Тогда с^1^2хп —► 0, откуда f{c^l^2xn) -> 0
вопреки равенству \f(c^1^2xn)\ = cj/2.	,	□
8.6.19. Предложение. Пусть X — индуктивный предел локаль¬
но выпуклых пространств Ха. Если все Ха бочечны, то бочечно и X,
а если все Ха борнологичны, то таково и X.
Доказательство отнесено в задачу 8.6.69.
8.6.20. Пример. Пространство Т)(Шп) бочечно и борнологично.
8.6(v). Банаховы пространства, порожденные
функционалами Минковского
В теореме 6.3.6 мы видели, что выпуклое уравновешенное множе¬
ство V порождает полунорму ру (функционал Минковского множе¬
ства V), если нуль входит в его алгебраическое ядро (определенное
перед указанной теоремой). Последнее условие всегда выполнено на ли¬
нейном подпространстве Еу, т.е. на множестве IJnLi п^щ Действитель¬
но, алгебраическим ядром V в этом подпространстве является множе¬
ство U = Ua€[o,i) и^° ДО51 каждого и £ U и всякого v £ Еу найдется
такое е > 0, что и + tv £ V при \t\ < е. В качестве е можно взять число
n-1( 1 — А), где п и А £ [0,1) таковы, что и = Xvo, v = nvi, vq, v\ £ V.
Кроме того, если предположить, что V не содержит прямых, то ру ока¬
зывается даже нормой на Еу. Здесь мы приведем несколько полезных
результатов о свойствах пространств (Еу,ру).

482
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.21. Теорема. Пусть V — ограниченное выпуклое уравнове¬
шенное множество в хаусдорфовом топологическом векторном про¬
странстве Е, причем V секвенциально полно. Тогда пространство Еу
с нормой ру банахово, множество V — замкнутый единичный шар
в нем и топология нормы на Еу сильнее исходной топологии.
Доказательство. Из сказанного выше явствует, что ру — дей¬
ствительно норма на Еу, ибо в отделимом топологическом векторном
пространстве ограниченное множество не содержит прямых. Покажем,
что V = Ui := {х £ Еу: ру(х) < 1}. Ясно, что V С U\. Пусть
Pv(u) = 1. Тогда существуют такие rn £ (0,1/п), что и £ (1 + rn)V,
т.е. rn(rn + 1)~1и £ V. Ввиду секвенциальной замкнутости V (вытека¬
ющей из секвенциальной полноты с учетом хаусдорфовости) получаем
и £ V. Поэтому U\ С V. Из этого следует также, что топология нормы
в Еу сильнее исходной. Докажем полноту Еу. Пусть {хп} — после¬
довательность Коши в Еу. Тогда supnp(xn) = к < оо, т.е. хп £ kV
для всех п. Множество kV также секвенциально полно. Поскольку то¬
пология нормы сильнее исходной, то последовательность {жп} фунда¬
ментальна и в топологии Е и потому сходится к некоторому элементу
х £ kV. Мы имеем ещт := ру(хп — хт) —> 0 при n,m —► оо. Тогда
(хп ~ хт)/ещт £ V. Положим еп := п*1 + lim supm^OG en,m. Тогда
еп —> 0. Покажем, что (х — хп)/еп £ V. В самом деле, при фикси¬
рованном п из ограниченной последовательности чисел ещт выделим
подпоследовательность en,mj, сходящуюся к некоторому 5п < еп. Если
8п > 0, то элементы (хп - xmj)(5n + £п,т.,)_1 также входят в V и схо¬
дятся в исходной топологии к (хп — х)(п~г +8п). Ввиду секвенциальной
замкнутости V получаем (хп— х)(п~г -f 5n) £ V. Тогда (х — хп)/еп £ V,
так как еп ^ n-1 + 8п. Итак, ру(х — хп) < еп, т.е. хп —> х в Еу. □
Характерный пример множества V, удовлетворяющего условиям
доказанной теоремы, — всякий выпуклый уравновешенный компакт.
Топология нормы на V обычно строго сильнее исходной топологии. На¬
пример, если V компактно в Е, то компактным в Еу оно будет лишь
тогда, когда Еу конечномерно. Бывает полезно иметь более широкое
нормированное пространство pw> которое индуцирует на V исходную
топологию. Это оказывается возможным в метризуемых локально вы¬
пуклых пространствах.
8.6.22. Теорема. Пусть V — ограниченное множество в метри-
зуемом локально выпуклом пространстве Е. Тогда в X найдется та¬
кое ограниченное замкнутое выпуклое уравновешенное множество W,
содержащее V, что норма pw индуцирует на V ту же топологию,
что и Е. В частности, если множество V компактно, то оно ком¬
пактно и в нормированном пространстве Ецг. Если Е полно и V ком¬
пактно, то W можно выбрать также компактным.

8.6. Дополнения и задачи
483
Доказательство. В силу метризуемости Е имеется такая после¬
довательность выпуклых уравновешенных окрестностей нуля Un в Е,
что всякая окрестность нуля содержит хотя бы одно из множеств Un.
Можно считать, что V выпукло и уравновешенно, ибо выпуклая урав¬
новешенная оболочка V ограничена. Ввиду ограниченности V найдутся
такие числа ап > п, что V с anUn• Положим W := H^Li nanUn- Яс-
S, что получено уравновешенное выпуклое замкнутое множество. Это
ожество ограничено, ибо для каждого п мы имеем W С nanUn. Для
всякого е > 0 найдется такое п\, что е < 1 /п\. Поэтому V С enanUn при
п ^ 7ii. Кроме того, при некотором га мы имеем Um С Hfeli zhakUk-
Следовательно, VC\Um С enanUn при всех п, т.е. V(MJm с eW. Из этого
следует, что всякая окрестность всякой точки v £ V в топологии нормы
Pw содержит окрестность этой точки в топологии, индуцированной в V
исходной топологией Е. Действительно, пусть v £ V. Для всякого е > О
найдем такое ш, что VП?7т С eW/2. Тогда (ж-f Um)nV С (x+eW)nV.
Это видно из того, что если и € Um и v + и £ V, то и £ V — V С 2V
ввиду выпуклости и уравновешенности V. Тогда и/2 £ V nUm С eW/2,
т.е. и £ eW. Тем самым обе топологии совпадают на V.
Если V компактно, то оно компактно и в Е\у. Покажем, что если Е
полно, то W можно выбрать компактным. Перейдя к Ew, мы сводим
это утверждение к случаю банахова пространства Е. Согласно пред¬
ложению 5.5.7, компакт V содержится в замкнутой выпуклой оболоч¬
ке некоторой сходящейся к нулю последовательности {хп}. Положим
ап := 1 + ||#п||-1/2, если хп ф 0, ап = 0, если хп = 0. Последова¬
тельность {апхп} также стремится к нулю. Пусть В — ее замкнутая
уравновешенная выпуклая оболочка. Ясно, что В — компакт и V С В.
Покажем, что V компактно в банаховом пространстве (Ев,Рв)- Мы
имеем рв(хп) —* 0? ибо рв(апхп) < 1. Поэтому замкнутая выпуклая
оболочка С последовательности {хп} в пространстве Ев компактна.
Тогда С компактно ив Е, откуда следует равенство С = V, ибо мно¬
жество С содержит выпуклую оболочку {хп}, которая плотна в V. □
Даже если V — выпуклый уравновешенный компакт в гильбер¬
товом пространстве, банахово пространство (Еу,ру) не всегда сепа¬
рабельно. Например, возьмем множество V — {(#n)* supn|xn| < 1}
в весовом гильбертовом пространстве
Е={х= (хп): ||а:||2 ~ n2xl < оо}.
В этом случае Еу совпадает с 1°°. Однако справедливо следующее
утверждение.
8.6.23.	Теорема. Пусть Е — полное метризуемое локально вы¬
пуклое пространство и К — компактное множество в Е. Тогда суще¬
ствует такое выпуклое уравновешенное компактное множество V,
содержащее К, что банахово пространство (Еу,ру) сепарабельно,
а К компактно в нем.

484
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. С учетом полноты пространства Е и двух пре¬
дыдущих теорем найдется такое уравновешенное выпуклое компактное
множество Wo, содержащее К, что К компактно как подмножество ба¬
нахова пространства Ew0 • Тогда линейная оболочка К в Ew0 сепара¬
бельна по норме pwo • Замыкание Eq этой линейной оболочки по норме
Pw0 в EWq дает нужное сепарабельное банахово пространство Ew, еди¬
ничным шаром которого является множество W := Wo П Ео.	□
Можно пойти еще дальше и получить следующее полезное утвер¬
ждение — теорему Дэвиса-Фигеля-Джонсона-Пелчинского.
8.6.24.	Теорема. Пусть X — банахово пространство и К — вы¬
пуклое уравновешенное слабо компактное множество в X. Тогда су¬
ществует такое ограниченное замкнутое уравновешенное выпуклое
множество W, содержащее К, что банахово пространство (Ew,Pw)
рефлексивно. Если К компактно, то W можно выбрать также ком¬
пактным, a Ew сделать сепарабельным.
Доказательство. Отметим, что множество К ограничено и за¬
мкнуто, будучи слабо компактным и выпуклым. Для каждого п £ 1N
положим Un := 2пК -f 2~nU, где U — замкнутый единичный шар в X.
Нетрудно проверить, что множества Un замкнуты. Каждая из норм рип
эквивалентна норме в X. С помощью этих норм строится pw• Пусть
W:={xeX: £~=1Ргл»2<1}-
Легко видеть, что W замкнуто. Поэтому пространство (Ew,Pw) полно.
Ясно, что Pw(x)2 = Yln=\PuSx)2 ■
Пусть v £ К. Тогда 2nv £ 2пК и потому (2п + e)v £ Un при всех
достаточно малых е > 0 (если К С U, то при е < 2~п). Поэтому
Pun{v) < 2~п, откудаpw(v) < 1, т.е. v £ W. Ясно, что W — ограничен¬
ное множество в X, поэтому естественное вложение j: (Ew,Pw) —> X
непрерывно.
Покажем, что отображение j**: Е^ —> X** является инъектив¬
ным и (j**)-1(X) = Ew- В самом деле, положим Хп := (Еип,рип)
и рассмотрим £2-сумму пространств Хп, т.е. банахово пространство по¬
следовательностей
z := (£„©*«):= {* = (*»): zn € X, £~ , \\zn\\2x < 00}
с нормой \\z\\z = (Z^Li lkn||x)1/2- Имеется очевидная линейная изо¬
метрия ф между Ew и замкнутым подпространством в Z, задаваемая
формулой ф(х) = (х,х,...). Нетрудно заметить, что отображение
ф**: E%-+Z**
переводит F £ Ев элемент	...)	£	(]ГП	0Х**)/2.	Посколь¬
ку отображение ф сохраняет норму, то таково и ф**. Из этого следует

8.6. Дополнения и задачи
485
(
инъективность j**. Кроме того, (<0**)-1 (ip(Ew)) = Ew, то дает равен-
ство (j**)-i(X) = Ew.
Проверим рефлексивность Ew- Обозначим через В замкнутый еди¬
ничный шар в Еуу- Заметим, что сг(Х**,Х*)-замыкание множества W
в Ец£ совпадает с j**(B). Действительно, множество В компактно в то¬
пологии а(Еуу,Еуу), a W плотно в В в этой топологии. Отображе¬
ние j**: Efy —> X** непрерывно относительно топологий a(E^,E^)
и а(Х**,Х*). Значит, j**(B) — компакт в топологии сг(Х**,Х*). Так
как j**(W) = ТУ, то W также плотно в компакте j**(B) в тополо¬
гии а(Х**,Х*), т.е. j**(B) есть замыкание W в указанной топологии.
Все множества 2пК+2~пВ в X** замкнуты в топологии а(Х**, X*)
в силу компактности К в топологии <т(Х,Х*). При этом каждое из
них содержит W, что ясно из определения pw- Следовательно, каж¬
дое из этих множеств содержит сг(Х**,Х*)-замыкание W, т.е. множе¬
ство j**(B). Итак,
j**(B) С Пп=Л2Пк + 2-пв) С Г\п=Лх + 2~пв) =
Согласно доказанному выше, получаем Е^у С (j**)_1(X) С Ew, что
показывает рефлексивность (Ew,Pw)-
Если К компактно, то сначала по предыдущей теореме найдем про¬
межуточное банахово пространство Ewx> в котором К компактно и за¬
мкнутый единичный шар W\ которого компактен в Е. Повторив это
построение для Wi, находим непрерьшно вложенное в X банахово про¬
странство Ew2 9 в котором W\ компактно и единичный шар W2 которо¬
го компактен в X. Теперь применим доказанное выше к компакту W\
в Ецг2 и найдем непрерьшно вложенное в Ew2 рефлексивное банахово
пространство Ew, в котором W\ ограничено. Тогда К — компакт в Ew-
Замкнутый единичный шар ТУ пространства Ew содержится в множе¬
стве W2, которое компактно в X. Значит, множество ТУ вполне огра¬
ничено. При этом оно замкнуто, ибо выпукло и слабо компактно ввиду
слабой компактности замкнутых шаров в рефлексивном пространстве
и слабой непрерывности вложения Ew в X (см. теорему 6.6.8). На¬
конец, пространство Ew можно сделать сепарабельным, заменив его
замыканием линейной оболочки К по норме pw-	□
8.6.25.	Следствие. В ситуации теоремы 8.6.23 банахово про¬
странство (Ev,pv) можно выбрать сепарабельным рефлексивным.
Доказательство. По теореме 8.6.23 найдем сепарабельное про¬
странство Еу, в котором К компактно, затем по предыдущей теореме
выберем рефлексивное банахово пространство Ew, непрерывно вло¬
женное в Еу, в котором К также компактно. Замыкание линейной обо¬
лочки К является искомым сепарабельным рефлексивным простран¬
ством (на самом деле пространство Ew сразу оказывается сепарабель¬
ным ввиду задачи 6.10.163).	□

486
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Можно ли пойти еще дальше и получить в качестве Ew гильберто¬
во пространство или пространство с базисом Шаудера? Ответ оказы¬
вается отрицательным (см. [598]).
В случае компактного множества V топология пространства Еу
много сильнее исходной топологии Е. Тем не менее, как показывает
следующий результат, на Еу есть достаточно много линейных функци¬
оналов, непрерывных относительно этой исходной топологии.
8.6.26. Предложение. Пусть V — компактное выпуклое уравно¬
вешенное множество в локально выпуклом пространстве Е. Пусть
В* — единичный шар в сопряженном к банахову пространству Еу.
Тогда множество всех функционалов в В*, непрерывных относитель¬
но топологии, индуцированной из Е, плотно в В* в топологии равно¬
мерной сходимости на компактах из Еу.
Доказательство. Согласно теореме 8.6.7, достаточно проверить
плотность указанного множества F в топологии поточечной сходимо¬
сти. Пусть f € В*, и пусть даны е > 0 и конечный набор элементов
t7i,..., vn £ V. Надо найти такой функционал g £ Е*, что q\ev £ В*
и I f(vi) ~ 9(vt) | < £ при всех г = 1,..., п. Будем считать, что f(vi) Ф О
(если f(vi) = 0 для всех г, то берем g = 0). Обозначим через L линейное
подпространство, порожденное vi,...,vn. Рассмотрим замкнутое аф¬
финное подпространство Н = L П /_1(1 + е) в L. Оно замкнуто и в Еу
ибо L конечномерно. В силу компактности V найдется такое открытое
выпуклое множество U в Е, что V С U и U П Н = 0. По теореме
Хана-Банаха найдется замкнутая гиперплоскость Н\ в Е с Н с Н\
и Н\ П U = 0. Эта гиперплоскость имеет вид Н\ = <?-1, где g £ Е*.
Поскольку V П Н\ = 0, то |^(v)| < 1 при v £ V, т.е. g\Ev £ В*. Кроме
того, Н\ П L = Я, ибо Н — гиперплоскость в L, Н С Hi и Н\ П L
отлично от L из-за того, что Vi ф Н\. Следовательно, при х £ L мы
имеем f(x) = (1 + e)g(x), откуда \f(vi) - g(vi)| < e\g(vi)| < е, так как
мы имеем Vi € V, g\Ev £ В*.	□
Выпуклая оболочка компакта может быть некомпактной даже в
гильбертовом пространстве, если оно бесконечномерно (компактность
выпуклой оболочки компакта в конечномерном пространстве — пред¬
мет задачи 5.6.30). Так обстоит дело со сходящейся к нулю последова¬
тельностью {п_1еп}, где {еп} — ортонормированный базис, к которой
добавлен ее предел 0. Однако справедливо следующее полезное утвер¬
ждение.
8.6.27. Предложение. Пусть дан конечный набор выпуклых ком¬
пактов в топологическом векторном пространстве X. Тогда выпук¬
лая оболочка и выпуклая уравновешенная оболочка их объединения
компактны. В частности, выпуклая уравновешенная оболочка выпук¬
лого компакта также компактна.

8.6. Дополнения и задачи
487
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать наше утвержде¬
ние для двух множеств. Множество V := K1XK2XS, где
S := |(£1, £2) £	• £г ^ 0,£1 4“ £2 = l})
компактно. Компактен и его образ W при непрерывном отображении
{х\, Х2ч £15 £2) £i#i + £2#2. Ясно, что VF С conv (Jfi U/^2)- Для доказа¬
тельства обратного включения достаточно проверить выпуклость W.
Пусть w,vgWhO<A<1. Тогда и = t\X\ + £2^2, v = s\y\ + «22/2, где
XiiVi £ Kii UjSi ^ 0, £1+^2 = -si+52 = 1. Покажем, что An+(1—A)t; £ W.
Если хотя бы одно из чисел £1 +5i или £2+52 равно нулю, то это очевид¬
но. Если же оба числа отличны от нуля, то Ап+(1 — A)v = rz\ + (1 —r)z2,
где Z\ = A*i (Aii + (1 - A)si)_1xi + (1 - A)si(Ati + (1 - A)si)“V € Ki,
Z2 = A*2 (A^2 + (1 — А)вг) 1X2 + (1 —A)s2(Ati + (l —A)si) 1 y% & K2 л т =
A£i + (1 — A)si. Это ясно из равенства A£i + (1 — A)$i +А£г + (1 — A)s2 = 1.
Случай выпуклой уравновешенной оболочки аналогичен.	□
Пусть К — компакт в локально выпуклом пространстве X и ц —
ограниченная мера на сг-алгебре в К, порожденной всеми функциона¬
лами I £ X*. Тогда формула
j(a*)(0:= [ l(x)n(dx)
JK
задает функционал на X*. Если существует £ X с l(h)(p) = JT(/x)(Z),
то вектор кц называют интегралом Петтиса или средним меры j±.
8.6.28.	Лемма. Если X секвенциально полно, а компакт К мет-
ризуем, то всякая борелевская мера на К имеет среднее в X, т.е.
существует интеграл Петтиса /(//). При этом 1(р) входит в за¬
мкнутую выпуклую оболочку К.
Доказательство. Ввиду задачи 1.9.63 найдутся такие Ij £ X*,
что топология К задается метрикой d(x, у) := YjjLi	Возь¬
мем измельчающиеся конечные разбиения К на борелевские части Кп^
г < iVn, диаметра менее 2”п (по метрике d). Выберем хп^ £ Кп^ и поло¬
жим In := xn,iP'(Xn^). Покажем, что векторы 1п сходятся; тогда
их предел и будет средним ц. По условию, достаточно проверить фун¬
даментальность {/п}* Пусть р — непрерывная полунорма на X и е > 0.
Из компактности К следует, что найдется такое 5 > 0, что р(х — у) < в,
если х,у £ К и d(x,y) ^ 5. Пусть 2~По < 8. Пусть т > п ^ по- Тогда
In И 1т можно записать как 1п = an<ip,{Ei), 1т =	ат,ф(Е*),
где {Ei} — разбиение, полученное измельчением двух разбиений {Кп^}
и	^	Так	как	С?(пП)2,	^	ТО	p(an,i	am,i)	^	£•
Поэтому p(In - Im) < £*=1 p(an,i - aTO>i)|ju(^i)| < eHC*0-	□

488
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.29. Теорема. Замкнутая абсолютно выпуклая оболочка А
метризуемого компакта К в локально выпуклом пространстве X
метризуема, а если X секвенциально полно, то она и компактна.
Доказательство. Первое утверждение следует из второго, ибо
X имеет пополнение (которое, конечно, секвенциально полно). Пусть
X секвенциально полно. По теореме Рисса С(К)* есть пространство
борелевских мер на К. Замкнутый единичный шар U в С (К)* компак¬
тен в *-слабой топологии. Так как С (К) сепарабельно (задача 1.9.64),
то U — метризуемый компакт в слабой топологии (задача 6.10.23). Рас¬
смотрим отображение I: U —> X из предыдущей леммы. Легко видеть,
что это отображение непрерывно, если U рассматривается со *-слабой
топологией, а X — со слабой. Поэтому абсолютно выпуклое множество
I(U) слабо компактно в X. Ввиду метризуемости U это множество мет-
ризуемо (задача 6.10.120). Ясно, что А С /(£/), ибо К С I(U) ввиду
равенства к = /(£&), гДе ~ вероятностная мера в точке к. Поэтому
А — метризуемый компакт как замкнутое подмножество метризуемого
компакта (на самом деле, как легко проверить, I(U) совпадает с А).	□
С интегральными представлениями рассмотренного вида связана
важная теорема Шоке, которая дает представление точек выпуклого
компакта через средние вероятностных мер на множестве крайних то¬
чек. Об этой теореме и ее обобщениях см. Акилов, Кутателадзе [3],
Фелпс [217], Alfsen [252], а крайние точки обсуждаются в следующем
разделе.
8.6(vi). Теорема Крейна—Мильмана
Точка v множества V в линейном пространстве Е называется край¬
ней точкой V, если ее нельзя представить в виде ta+ (l—t)b, где а, & £V
и t £ (0,1). Иначе говоря, точка v не является внутренней точкой ни¬
какого отрезка с концами в V.
Опорным замкнутым аффинным подпространством к выпуклому
множеству V называют всякое множество М, имеющее вид М = L + v,
где veV,L- замкнутое линейное подпространство в X, причем если
точки а, 6 G V таковы, что ta + (1 — t)b G М при некотором t £ (0,1),
то весь отрезок [а, Ь] входит в М. Если L имеет коразмерность 1, то мы
приходим к введенному ранее понятию опорной гиперплоскости.
8.6.30. Теорема. (Теорема Крейна-Мильмана) Всякий непу¬
стой выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве являет¬
ся замкнутой выпуклой оболочкой своих крайних точек.
Доказательство. Можно считать пространство вещественным,
ибо при овеществлении рассматриваемые в теореме свойства не ме¬
няются. Мы докажем следующее интересное и само по себе вспомога¬
тельное утверждение:

8.6. Дополнения и задачи
489
всякая замкнутая гиперплоскость, опорная к выпуклому компак¬
ту С в вещественном локально выпуклом пространстве, содержит
хотя бы одну крайнюю точку.
Для доказательства возьмем какую-либо опорную замкнутую ги¬
перплоскость Н к С, существующую согласно следствию 8.3.9. Рас¬
смотрим множество Л4 всех опорных замкнутых аффинных подпро¬
странств, содержащихся в Н и частично упорядоченных по обратному
включению, т.е. Mi < М2, если Mi 3 Мг- Пусть {Ма} — некоторая
цепь в М. Множество М := f]Q Ма непусто, ибо непусто пересечение
компактов Ма П V ввиду компактности V и того факта, что всякое
конечное подсемейство Ма П V содержит один из элементов этого под¬
семейства по определению цепи. Легко видеть, что множество М яв¬
ляется опорным замкнутым аффинным подпространством. При этом
Ма ^ М для всех сх, т.е. М мажоранта данной цепи. По лемме Цорна
в Л4 есть максимальный элемент Мо (с точки зрения прямого включе¬
ния этот элемент минимален). Покажем, что Мо состоит из одной точ¬
ки. Тогда из определения опорного аффинного подпространства сле¬
дует, что эта точка — крайняя. Пусть Мо не одноточечно. Множество
Со := СП Мо является непустым выпуклым компактом в аффинном
подпространстве Мо. Поскольку Мо по крайней мере одномерно, то
в Мо есть замкнутая гиперплоскость Mi, опорная к Со. Покажем, что
Mi с Л4. Действительно, если а, Ь £ С и at + (1 — t)b £ Mi при неко¬
тором t £ (0,1), то at + (1 — t)b £ Мо, откуда [а, Ъ] С Мо, т.е. [а, 6] С Со
и потому [а, Ь] С Mi. Итак, Mi С М вопреки выбору Мо- Полученное
противоречие доказывает наше вспомогательное утверждение.
Перейдем к основному утверждению. Обозначим через D замкну¬
тую выпуклую оболочку множества крайних точек данного выпуклого
компакта С. Ясно, что D С С. Предположим, что существует точ¬
ка 2 £ C\D. По следствию теоремы Хана-Банаха существуют такие
непрерывный линейный функционал / на X и число а, что f(z) > а
и f(x) ^ а ПРИ всех х £ D. Пусть 0 := maххес f(x). Так как z £ С
и D С С, то 0 > а. Значит, гиперплоскость Н := f~l{0) не пересе¬
кается с D. Это ведет к противоречию, так как согласно доказанному
вспомогательному утверждению в Н имеется крайняя точка С, ибо Н
является опорной гиперплоскостью: в С есть точка х с f(x) = 0.	□
Компактность V нельзя заменить на замкнутость и ограничен¬
ность даже в случае банахова пространства. Например, в банаховом
пространстве со замкнутый единичный шар не имеет крайних точек.
Интересен также следующий результат Д.П. Мильмана.
8.6.31.	Теорема. Пусть К — такое компактное множество в
локально выпуклом пространстве X, что его замкнутая выпуклая
оболочка С компактна (что автоматически имеет место, если X
полно). Тогда всякая крайняя точка множества С входит в К.

490
Глава 8. Локально выпуклые пространства
Доказательство. Пусть х — крайняя точка С и U — выпуклая
окрестность нуля. Найдутся точки х\,..., хп в К с К С
Пусть Vi — замкнутая выпуклая оболочка К П (xi + U). Множества Vi
входят в С и потому компактны. Значит, выпуклая оболочка их объ¬
единения также компактна (см. предложение 8.6.27) и потому равна С.
Итак, х = £Г=1 А**;*, где Vi € Ц, А* ^ 0 и i = 1* Так как х —
крайняя точка С, то х = Vi при некотором г, откуда х £ Xi + U С К + U.
Ввиду произвольности U и замкнутости К получаем х £ К.	□
8.6(vii). Теорема об измеримом графике
Здесь мы приведем без доказательства интересное обобщение тео¬
ремы о замкнутом графике. Суслинское множество — это образ полно¬
го сепарабельного метрического пространства при непрерывном отоб¬
ражении. Всякое борелевское множество в полном сепарабельном мет¬
рическом пространстве является суслинским (см. [26], т. 2, гл. 6).
8.6.32. Теорема, (i) Пусть X uY — сепарабельные полные мет-
ризуемые топологические векторные пространства и А: X —» Y —
линейное отображение. Если график А является суслинским множе¬
ством (например, борелевским множеством), то А непрерывно.
(ii)	Если Z — суслинское (например, борелевское) линейное под¬
пространство в сепарабельном полном метризуемом топологическом
векторном пространстве X, причем коразмерность Z конечна или
счетна, то Z замкнуто и имеет конечную коразмерность.
Доказательство см. в [308, гл. 5]. Из этой теоремы следует, что
ядра разрывных линейных функционалов на банаховых пространствах
не могут быть борелевскими или суслинскими множествами.
Задачи
8.6.33.° Доказать, что множество внутренних точек выпуклого множе¬
ства в топологическом векторном пространстве выпукло, а множество вну¬
тренних точек уравновешенного множества уравновешено.
8.6.34? Доказать, что замыкание окрестности f7ai,...,an;e(0) вида (8.1.1)
ВХОДИТ В С/а!,...,^;^) При 6 > £.
8.6.35? Доказать теорему 8.2.3.
8.6.36.° Пусть X и У — топологические векторные пространства,
Т: X —> Y — линейное отображение, переводящее некоторую окрестность
нуля в ограниченное множество. Доказать, что Т непрерывно.
8.6.37? Пусть полунорма р на локально выпуклом пространстве огра¬
ничена на некотором непустом открытом множестве. Доказать непрерыв¬
ность р.
8.6.38? Доказать, что замыкание линейного подпространства в тополо¬
гическом векторном пространстве является линейным подпространством.

8.6. Дополнения и задачи
491
8.6.39. Доказать, что линейное отображение А из локально выпуклого
пространства в IRn непрерывно, если его ядро Кег А замкнуто.
8.6.40. (i) Доказать, что введенная в тексте топология т на простран¬
стве Т>(Ш1) строго слабее топологии п на X^IR1), в которой открытыми счи¬
таются все те множества, которые дают открытые пересечения со всеми Т>п.
Для этого показать, что квадратичная функция F(ip) =	У>(п)У^пЧ0)
разрывна в топологии т, но непрерывна в п.
(ii) Доказать, что топология т строго сильнее топологии тг на Х^И1),
порожденной нормами Рф(<р) = sup \'ф(х)^гп\х)\, где берутся всевозможные
целые неотрицательные m и положительные локально ограниченные функ¬
ции ф. Для этого проверить, что линейная функция F((p) =
непрерывна в топологии т, но разрывна в топологии тг.
8.6.41. Доказать, что топологию пространств <S(IRn), H(U) и C°°(U) из
примера 8.1.3 нельзя задать нормой.
8.6.42. (i) Пусть X — нормированное пространство иг — некоторая ло¬
кально выпуклая топология на X, промежуточная между слабой топологией
и топологией нормы. Показать, что если линейное отображение А: X —► X
непрерывно как отображение из (Х,т) в (X, т), то оно является ограничен¬
ным оператором.
(ii)	Показать, что обратное к (i) утверждение не всегда верно, построив
унитарный оператор А в гильбертовом пространстве Я, который разрывен
как отображение из (Я, т) в (Я, т) для некоторой локально выпуклой топо¬
логии на Я, промежуточной между слабой топологией и топологией нормы.
Указание: (i) следует из доказательства теоремы 6.6.8. В (ii) можно
взять Я = L2(IR1) и преобразование Фурье в качестве А (см. §9.2), за¬
дав топологию т посредством добавления к полунормам слабой топологии
х I—► \{х,у)\ еще одной полунормы р(х) := |[/[0)1]я||. На подпространстве Яо
функций с носителем и{0,1] ни при каких С > 0 и yi,...,уп € Ь2(Ш}) не мо¬
жет быть оценки р{Ах) ^ С\р(х) +1(ж, у\)| Н Ь |(я, уп)|], поскольку р(х) = О
на Яо, р(Ах) > 0 для ненулевых х € Яо, ибо Ах — аналитическая функция,
причем в качестве х можно взять функцию, ортогональную ..., уп.
8.6.43. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Показать,
что X со слабой топологией и X* со *-слабой топологией не являются полны¬
ми, т.е. при указанных топологиях имеют фундаментальные направленности,
которые не сходятся.
8.6.44. Доказать, что произведение пробной функции на обобщенную
(для пар (S,S') и (Х>,Х>7)) нельзя продолжить до произведения любых обоб¬
щенных функций так, чтобы иметь (fg)h — f(gh) для всех обобщенных
функций и fg = gf совпадало с уже введенным умножением, если / или
д задается гладкой функцией.
Указание: рассмотреть произведение <5, х и У.Р.ж-1.
8.6.45.° Найти три первые производные в ТУ следующей функции F:
F(x) = —х при х < 0, F(x) = х2 при х ^ 0.
8.6.46? Доказать, что производная 1п|ж| в V' есть V.P.-.

492
Глава 8. Локально выпуклые пространства
8.6.47° Доказать, что формула
1*1 J\x\<l 1*1	J\х\^1 1*1
задает обобщенную функцию из классов ^'(Ш,1) и ^'(Н1).
8.6.48? Пусть G £ Х>'(Ш*), у € P(IRnxIRfe) и ф(х) := G (#>(*, •)), ж € ЯГ.
Доказать, что ф € 2>(ЯГ) и F<g)G € £>'(Hn+fc), где F(g>G(<p) := F(^>).
8.6.49. Выяснить, существует ли при t —> +оо предел в ^'(Н1) обоб¬
щенных функций егх*(х + гО)-1.
8.6.50? Доказать, что если \ск\ ^ akr +/3, то ряд Y^kLiСк s*nkx сходится
в D'pR1).
8.6.51. (i) Положим /(х) = х при х £ [0,27т) и продолжим / на прямую
с периодом 27г. Представить / в виде / =	Ск^кх в
ТУ и найти Ск.
(ii)	Доказать равенство YJkez е%кх ~ 2к^2кеz^2fe7r в ТУ•
8.6.52.° (i) Найти первые и вторые производные в ТУ функций sin |х|
и |sinx|. (ii) Доказать равенство | sinx|" + | sinx| = 2 ^2keZSk^.
8.6.53? Без использования общих теорем доказать, что всякое решение
в Т>' уравнения F” — Ff F — 0 задается гладкой функцией.
8.6.54? Решить в V' следующие уравнения: (i) xF = 0,	(ii)	xnF	=	О,
(iii)	(sinx)F = 0, (iv) xF' = 1, (v) F" = 6, (vi) F" - F = S.
8.6.55. Пусть F € ^'(IR,1). Доказать, что найдутся такие Fj € X^IR1),
что Fj —> F в ^'(Н1), т.е. Fj(ip) —> F(ip) для всех ip € X^IR1).
8.6.56. Пусть F € Vf(JRd) и F(ip) ^ 0, если ip € X>(ffld) и ip ^ 0.	Доказать,
что F задается неотрицательной локально ограниченной борелевской мерой.
8.6.57. Пусть /л ^ 0 — локально ограниченная борелевская мера на Eld,
F(ip) — интеграл от (р € Т> по мере ц. Доказать, что F продолжается до
элемента S' в точности тогда, когда ц(х: ||х|| ^ R) ^ С + CRk, где С, А; > 0.
8.6.58. Доказать, что локально выпуклое пространство секвенциально
полно в точности тогда, когда в нем сходятся все последовательности, фун¬
даментальные по каждой полунорме, из некоторого набора, задающего топо¬
логию. Это равносильно также сходимости всех последовательностей, фун¬
даментальных по каждой непрерывной полунорме.
8.6.59. Показать, что С[0,1], со и L1 [0,1] не являются линейно гомео-
морфными никаким пространствам, сопряженным нормированным.
Указание: в противном случае их замкнутые единичные шары были бы
выпуклыми компактами в соответствующей *-слабой топологии и по теореме
Крейна-Мильмана обладали бы достаточными запасами крайних точек.
8.6.60. Пусть В — непустое замкнутое выпуклое множество в локально
выпуклом пространстве X, К С X — непустой компакт и А С X таково, что
А + К С В + К. Доказать, что А С В. В частности, если А также непусто,
замкнуто и выпукло и А + К = В + К, то А = В.

8.6. Дополнения и задачи
493
Указание: достаточно рассмотреть случай А = {0}; тогда можно взять
ki £ К и по индукции найти такие кп € К и Ьп € В, что кп = Ъп + кп+1;
заметить, что n_1(6i Н + 6n) = n~1(ki — A;n+i) —► 0, откуда 0 е В ввиду
выпуклости и замкнутости В.
8.6.61. Доказать, что выпуклый компакт в метризуемом локально вы¬
пуклом пространстве является замыканием выпуклой оболочки некоторой
последовательности, стремящейся к нулю.
8.6.62. Пусть А — выпуклый компакт и В — замкнутое ограниченное
выпуклое множество в локально выпуклом пространстве. Доказать, что вы¬
пуклая оболочка AU В замкнута.
8.6.63. Доказать, что в топологическом векторном пространстве всякое
конечномерное линейное подпространство замкнуто.
8.6.64. Доказать, что топологическое векторное пространство конечно¬
мерно, если в нем есть окрестность нуля с компактным замыканием.
Указание: пусть V — окрестность нуля с компактным замыканием V;
найдутся такие xi,..., хп € V, что V С (xi + V/2) U • • • U (хп + V/2). Пусть
L — линейная оболочка ®i,..., xn- Тогда V С L + V/2, что по индукции дает
V С L + 2~kV для всех к. Для всякой окрестности нуля U найдется такое п,
что V С nU. Значит, V С L = L, откуда X — L.
8.6.65. Возьмем компактный эллипсоид К := {(#n):	у/пхп ^ 1}
в I2 и точку а е К, где ап = сп~г и с > 0 таково, что Y^=i c2n_3^2 = 1.
Доказать, что а — крайняя точка К, но через а не проходит никакая опорная
гиперплоскость к К.
Указание: если опорная гиперплоскость задается уравнением (ж, у) = 1,
ТО уп = Су/пап, откуда	Уп	=	ОО.
8.6.66. Пусть К — выпуклый компакт в вещественном локально вы¬
пуклом пространстве. Доказать, что всякий непрерывный линейный функ¬
ционал принимает минимальное и максимальное значение на К в некоторых
крайних точках К.
8.6.67. Доказать, что на IR°° нет непрерывных норм. (Согласно теореме
Бессаги-Пелчинского, всякое полное метризуемое локально выпуклое про¬
странство, на котором нет непрерывных норм, содержит подпространство,
изоморфное 1R°°.)
8.6.68. Пусть X — нормированное пространство. Рассмотрим связан¬
ную с теоремой 6.10.26 топологию bw* на X*, которая задается так: множе¬
ство bw*-замкнуто в X*, если его пересечение с каждым замкнутым шаром
замкнуто в *-слабой топологии.
(i) Доказать, что топология bw* задается базой множеств вида
В(/о, К}) = {/ € X* : |(/ - /0)(а„)| < IVn € 1N},
где {ап} С X и ||ап|| —► 0. В частности, эта топология локально выпукла.
(ii) Доказать, что если X бесконечномерно, то топология bw* строго силь¬
нее топологии а(Х*, X) и строго слабее топологии нормы. Доказать, что если
пространство X полно, то bw* не задается метрикой.

494
Глава 8. Локально выпуклые пространства
(iii)	Привести пример такой локально выпуклой топологии т на X*, что
она не мажорирует <т(Х*,Х), но на всех ограниченных множествах индуци¬
рует ту же топологию, что и а(Х*,Х) (значит, ту же, что и bw*)\ для этого
рассмотреть с£ с топологией ст(со,£), где L — пространство финитных по¬
следовательностей. (iv) Пусть X, Y — банаховы пространства, Т € C(X,Y).
Доказать, что оператор Т компактен в точности тогда, когда оператор Т*
непрерывен из топологии bw* на У* в топологию нормы на X*.
Указание: см. [448, §2.7, §3.4].
8.6.69. Доказать предложение 8.6.19.
8.6.70. (Теорема Шварца о ядре) Пусть Т: D(JRn) —> D'(IRn) — непре¬
рывное линейное отображение. Тогда существует такая обобщенная функция
Ф € D'(JRn xIRn), что {Т<р,ф) = Ф(<р(&ф) для всех р,ф € D(JRn).
8.6.71. (Теорема Петре) Доказать, что всякое линейное отображение
L: С00 (ЮЛ) —► C°°(IRn) с suppLf С supp / есть дифференциальный опера¬
тор локально конечного порядка с гладкими коэффициентами.
8.6.72. Локально выпуклое пространство X называется пространством
Монтеля, если в нем замкнутые ограниченные множества компактны. Дока¬
зать, что IR°°, £>(ЮП), <S(IRn) и пространство Н(U) голоморфных функций
в открытом множестве U С С1 с топологией равномерной сходимости на
компактах являются пространствами Монтеля.
8.6.73. Доказать, что всякое локально выпуклое пространство вполне
регулярно.
8.6.74. Доказать, что D(Bln) является строгим индуктивным пределом
пространств £>т, и всякое ограниченное множество лежит в некотором 2>т.
8.6.75. Пусть Fj £ D'fH1) и Fj(p) —> 0 для всякого р £	Дока¬
зать, что найдется полунорма Р{ак} вида (8.1.2) и числа Ej —► 0, для которых
выполнены неравенства \Fj(p)\ ^ £jP{ak}(p) при всех j.
8.6.76Г* (i) Доказать, что. в пространстве Х^Ю1) есть незамкнутое счет¬
ное множество, пересечение которого с каждым подпространством Т>т за¬
мкнуто. (ii) Доказать, что в пространстве Х^Ю1) есть незамкнутое линейное
подпространство, пересечение которого с каждым Т>ш замкнуто.
Указание: см. [583].
8.6.77? Пусть L — линейное подпространство в Х^Ю1) конечной кораз¬
мерности и все пересечения L П Х>т замкнуты. Доказать, что L замкнуто.
8.6.78? Пусть / — такая измеримая функция на IR1, что линейное под¬
пространство L := {<р £ X^IR1): f<p £ L1(IR1)} имеет конечную коразмер¬
ность. Доказать, что существует обобщенная функция F £ ^'(Ю1), действие
которой на ip £ L есть интеграл от fp.
Указание: рассматривая отдельно /+ и /”, можно считать, что / ^ 0;
пусть fn = min(/,7i) и Е — множество всех ip £ Х^Ю1), для которых су¬
ществует конечный предел 1(р) интегралов от fnp при п —> оо; тогда Е —
линейное подпространство конечной коразмерности, ибо L С Е, Заметить,
что пересечения Е П Dm являются борелевскими множествами в Dm; приме¬
нить к ним теорему 8.6.32, что даст их замкнутость и непрерывность I.

Глава 9
Преобразование Фурье
и пространства Соболева
В этой главе обсуждается один из самых классических объек¬
тов анализа — преобразование Фурье, а также дается элементар¬
ное введение в теорию пространств С.Л. Соболева, которая иг¬
рает важнейшую роль в современном анализе в самом широком
смысле этого понятия. Не будет преувеличением сказать, что про-;
странства Соболева применяются всюду, где используются про¬
изводная и интеграл. Наряду с интегралом Лебега и простран¬
ствами Банаха пространства Соболева относятся к крупнейшим
достижениям математического анализа XX столетия, определяю¬
щим его современный облик. Естественно, это введение не может
претендовать на роль хотя бы краткого курса теории пространств
Соболева. Фактически оно содержит лишь обсуждение основных
определений и примеров. Как мы увидим, теория пространств
Соболева тесно связана с теорией преобразования Фурье, и обе
они имеют непосредственное отношение как к теории операторов,
так и к теории обобщенных функций.
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование Фурье фун¬
кций: один из важнейших инструментов анализа.
9.1.1.	Определение. Преобразованием Фурье функции f из
£1(ИП) (возможно, комплексной) называется комплексная фун¬
кция
Преобразованием Фурье элемента / Е L1(IRn) называется функ¬
ция / для любого представителя класса эквивалентности /.
9.1.	Преобразование Фурье в L1

496
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Необходимость проведения различия между версиями инте¬
грируемой функции при рассмотрении преобразования Фурье бу¬
дет ясна из дальнейшего, когда пойдет речь о восстановлении
значений / в отдельных точках по функции /. При выбранном
нами множителе преобразование Фурье функций задает унитар¬
ный оператор в L2(IRn). Наконец, выбор знака минус в экспоненте
связан лишь с тем, что такова традиция. Как мы увидим ниже,
замена минуса на плюс дает определение обратного преобразова¬
ния Фурье.
В некоторых случаях удается явно вычислить преобразование
Фурье. Рассмотрим один из важнейших примеров.
9.1.2. Пример. Пусть а > 0. Тогда
Доказательство. Вычисление этого интеграла по теореме
Фубини сводится к одномерному случаю, причем после очевид¬
ной замены переменной достаточно рассмотреть случай а = 1/2.
В этом случае обе части доказываемого равенство являются ана¬
литическими функциями у, совпадающими при у = it, t 6 IR,
что известно из курса анализа (читателю полезно воспроизвести
детали). Поэтому эти функции совпадают и при всех у Е JR. □
9.1.3. Предложение. Пусть / € ^(И71). Тогда функция f
равномерно непрерывна, причем
1/(у)1 < (27г)_тг/2||/||х,1 и lim f(y) = 0.	(9.1.1)
lvl-юо
Доказательство. Первое соотношение в (9.1.1) очевидно.
Если / — индикатор куба с ребрами, параллельными коорди¬
натным осям, то / легко вычислить явно с помощью теоремы
Фубини (задача 9.10.12) и убедиться в справедливости второго
соотношения. Поэтому оно остается в силе для линейных ком¬
бинаций индикаторов таких кубов. Теперь остается взять после¬
довательность fj указанных линейных комбинаций, сходящуюся
к / в L1(IRn), и заметить, что функции fj равномерно сходятся
к функции / ввиду первого соотношения в (9.1.1).	□
Рассмотрим еще несколько полезных свойств преобразования
Фурье.

9.1. Преобразование Фурье в L1
497
9.1.4. Предложение, (i) Если непрерывно дифференцируе¬
мая и интегрируемая функция / обладает интегрируемой част¬
ной производной dXjf, то
= iyjf(y).
В одномерном случае f (у) = iyf(y).
(ii)	Если функция / G £1(]Rn) такова, что при некотором
j €	п}	функция	gji	у н-* yjf(y) интегрируема, то функ¬
ция / непрерывно дифференцируема и
dXjf{x) = —щ(х).
В одномерном случае f '(х) = —iyf{y){x).
Доказательство, (i) Если / имеет ограниченный носитель,
то доказываемое равенство следует из формулы интегрирования
по частям. Чтобы свести к этому общий случай, достаточно взять
последовательность гладких функций на JRn со следующими
свойствами: 0 <	^ 1, sup*. \dXjCk\ ^ С, 0к(ж) = 1 при \х\ < к.
Тогда функции (kf сходятся в L^IR71) к /, а функции dXj((kf)
сходятся к dXjf, ибо fdXj£k -^Ов L1(Hn) в силу теоремы Лебега
о мажорируемой сходимости. На самом деле утверждение верно
и без непрерывности dXjf. Утверждение (ii) следует из теоремы
о дифференцируемости интеграла по параметру, которая приме¬
нима ввиду соотношения \dXj exp[i(x,y)] f(y)\ - \yjf(y)\.	□
Комплексификацию <S(IRn) обозначим тем же символом и бу¬
дем иметь с ней дело при рассмотрении преобразования Фурье.
9.1.5. Следствие. Если f Е <S(IRn), то f Е ^(IR/1).
Доказательство. По доказанному, для всех j = 1 ,...,п
и к е 1N функция dk.f = (-i)khj<k, где hjtk(y) = ykf(y), убы-
вает на бесконечности быстрее \х\~т при всех т.	□
Ниже мы покажем, что преобразование Фурье — изоморфизм
пространства <S(IRn). Затем мы продолжим преобразование Фу¬
рье на L2 и получим унитарный оператор.
Естественно возникает вопрос, как восстановить функцию /
по ее преобразованию Фурье, определяющему эту функцию с точ¬
ностью до модификации. Для этой цели используется обратное
преобразование Фурье. Для интегрируемой функции / обратное

498
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
преобразование Фурье задается формулой
fix) = (2тг)-”/2 / e^f(y)dy.
J TRn
IR1
Мы увидим, что если прямое преобразование Фурье / интегриру¬
емо, то его обратное преобразование дает исходную функцию /.
На самом деле это верно и без предположения об интегрируемо¬
сти /, если определить обратное преобразование Фурье для обоб¬
щенных функций. Пока мы отложим этот вопрос, однако приве¬
дем одно достаточное условие восстановления функции в фикси¬
рованной точке по ее преобразованию Фурье, а затем докажем
равенство Парсеваля, служащее основой определения преобразо¬
вания Фурье обобщенных функций.
9.1.6.	Теорема. Пусть функция f интегрируема на прямой,
причем в некоторой точке х она удовлетворяет условию Дини:
функция t [f(x+t)—2f(x) + f(x — t)]/t интегрируема в окрест¬
ности нуля. Тогда справедлива следующая формула обращения:
В частности, (9.1.2) верно во всех точках дифференцируемости
функции /.
Доказательство. Положим
r
f(x) = lim
eixyf(v)dy.	(9.1.2)
где R > 0. По теореме Фубини получаем
Из анализа известно, что

9.1. Преобразование Фурье в L1
499
Пусть е > 0. Поскольку интеграл от sin(Rt)/t по [—Т, Т] равен
интегралу от sint/i по [—RT,RT], то существует такое Ti > 0,
что при всех Т > Т\ и R > 1 верно неравенство
rT sin(Rt)
_rp t
В силу интегрируемости / найдется такое Т2 > Т\, что
\f(x + t) + f(x-t)\
М [т
* J-7
dt
< £.
/
J\t\
dt <е.
'\t\^T2	1*1
По условию теоремы функция [f(x + t) — 2/(х) + f(x — t)]/t ин¬
тегрируема по t на [—Т2, Т2]. Согласно (9.1.1) существует такое
число Ri > 1, что при всех R > Ri выполнена оценка
р /(ж +1) - 2/(ж) + /(ж -1)
С учетом трех произведенных выше оценок при R > Ri получаем
\jR~f(x)\ ^
< £.
Jr
f{x) fT2 sin (Rt)	i /(ж) fT2 sin (Rt)
/(*) f 2
* J—T2
+
Vf-
T2
t
dt - /(ж)
^ \Jr
f(x) fT2 sin (Rt)
_M г
7Г J—T2
dt
+ 6 —
sin (.Rt)
-00
fT2
= ^1J JH^tHHx-t))3111^ dt-2J J(x)
n (Rt)
sin (Rt)
dt
dt
[/(ж +1) + /(ж - t)]sin-(/fe-l dt
Щ>т2	*
+ £ < 3e.
Отметим, что есть функция / £ jC1, для которой предел в (9.1.2)
не существует ни в одной точке (пример Колмогорова), но для
/б£2 теорема Карлесона дает (9.1.2) почти всюду (см. [369]).	□
9.1.7.	Следствие. Пусть f е <S(IRn). Тогда
f(x) = (2тг)-”/2 [ e*>*)f(y) dy.	(9.1.3)
JjRn

500
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Доказательство. Мы уже знаем, что / Е <S(IRn). Поэтому
в случае п = 1 равенство (9.1.3) следует из (9.1.2). По теореме
Фубини это равенство переносится на функции на IR71. Будем
считать наше утверждение уже доказанным для п — 1 вместо п.
Для векторов и = (tti,..., ип) положим й = (щ,..., ип-1). Тогда
/(ж) = _^=/	eWnZng(x,yn)dyn,
\/27Г У-оо
где уп ^ дФтУп) ~ преобразование Фурье функции одного пере¬
менного хп f(x,xn). При любом фиксированном уп функция
х д(х,уп) входит в <S(IRn_1), что легко проверить. Поэтому
9(х,Уп) = ( 27г)_(п_1) /" ег(х>У) f e~^z,y^g(z, уп) dz dy.
JlRn-1	JJR'1-1
Подставляя
1	f+°°	■
9(ZiVn) = -j=l	etynZnf(z, zn) dzn,
V27T 7-00
приходим к формуле (9.1.3).	□
9.1.8. Следствие. Преобразование Фурье — линейный гомео¬
морфизм <S(IRn).
Доказательство. Выше было показано, что / е <S(IRn) при
/ Е <S(lRn) и что /(— •) есть преобразование Фурье функции /.
Значит, преобразование Фурье — линейный изоморфизм 5(IRn).
Проверим непрерывность Т в <S(IRn). Для этого воспользуемся
соотношением
у2 mflk)(y) = (~г)ку]тГ(х^)(У) = (-i)k+2mT[d^f)](y).
Функция d%™(xkf) — конечная сумма функций вида х^д^.,/. При
этом их L1-нормы не превосходят Сп supa.(l + \x\2)n+l\drx . f (х)\, где
Сп — интеграл (1 + |а;|2)-п по И”. Согласно теореме 8.2.3 отобра¬
жение Т непрерывно в <S(IR”).	□
Следующий простой факт часто применяется.
9.1.9. Теорема. Для всех <р,ф € L1(IRn) верны равенства
I (рф<1х = I ynpdx, I (рф<1х = I уф dx. (9.1.4)
J\Rn	Jm.n	JjRn	Jmn

9.1. Преобразование Фурье в L1
501
Доказательство. Применив теорему Фубини к равенству
[ ф(х)ф(х) dx =	*	[	f	e~l^(p(y)rp(x)dydx,
J]Rn	(27T)n'z	J]Rn	J\Rn
получим первую формулу, а вторая следует из нее ввиду тожде¬
ства ф = ф.	□
Применив комплексное сопряжение ко второму равенству, по¬
лучим еще одну полезную формулу:
I фТрйх — I ф(р(1х.
JjRn Jnn
Следующий факт — один из важнейших в этой главе.
9.1.10. Следствие. Пусть ч> € L1(IRп). Тогда для всякой
функции ф Е S(TRn) справедливо равенство Парсеваля
/ (р(х)ф(х)дх= / ф{у)ф{у)ду.	(9.1.5)
J\Rn	J\Rn
Доказательство. Функция / := ф входит в <S(IRn). Остает¬
ся применить формулу обращения ф = /.	□
9.1.11. Следствие. Пусть f Е ^(И71) и f Е /^(IR71). Тогда
функция f имеет непрерывную модификацию fo, причем
/о(ж) = (2тг)-п/2 [ e^f(y) dy Уже Шп.
Jnn
В частности, если / = 0; то f(x) = 0 почти всюду.
Доказательство. По условию функция g := / интегриру¬
ема. Поэтому ее обратное преобразование Фурье /о непрерывно.
Проверим, что / = /о почти всюду. Для этого достаточно пока¬
зать, что для всякой гладкой вещественной функции (р с ограни¬
ченным носителем выполнено равенство
/ fipdx= / fopdx.
J\Rn	Jwc1
В силу равенства Парсеваля имеем J fipdx = J f (pdx. С другой
стороны, У g(pdx = J fop dx, откуда вытекает доказываемое. □

502
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Применим преобразование Фурье для доказательства полно¬
ты системы функций Эрмита (см. пример 5.4.12(iv)).
9.1.12. Теорема. Предположим, чтпо функция f £ /^(IR1)
такова, что
/+оо
tkf(t) ехр(—t2/2) dt — 0 для всех к = 0,1,
-оо
Тогда f(t) = 0 п.в.
Доказательство. Функция
/+оо
f(t) exp (itz — t2/2) dt
-OO
определена и аналитична в комплексной плоскости, ибо для каж¬
дого R > 0 функция /(£) exp(i?|t|—t2/2) интегрируема ввиду того,
что функция ехр(Д|£| — t2/2) входит в	Из условия сле¬
дует, что все производные g в нуле равны нулю (включая значе¬
ние g в нуле). Значит, g(z) = 0. Поэтому интегрируемая функция
f(t) ехр(—£2/2) имеет нулевое преобразование Фурье и потому по¬
чти всюду равна нулю.	□
9.2.	Преобразование Фурье в L2
С помощью равенства Парсеваля для интегралов Фурье пре¬
образование Фурье распространяется на функции из L2(IRn).
9.2.1.	Определение. Преобразованием Фурье в L2(IRn) на¬
зывается унитарный оператор в L2(IRn), который с помощью
равенства (9.1.5) и леммы 7.6.6 продолжает преобразование Фу¬
рье с <S(IRn). Преобразование Фурье элемента / £ L2(IRn) обо¬
значается через Tf или /.
Отметим, что указанная лемма применима, поскольку про¬
странство <S(IRn) плотно в L2(IRn) и переходит в себя под дей¬
ствием преобразования Фурье, причем последнее на ^(IR/1) со¬
храняет скалярное произведение в силу равенства (9.1.5). Данное
определение означает, что для нахождения преобразования Фу¬
рье элемента / £ L2(IRn) мы берем последовательность функций
fj £ <S(IRn), сходящуюся к / в L2(IRn), и полагаем / := lim fj,

9.2. Преобразование Фурье в L2
503
где имеется в виду предел в L2 (который существует ввиду фун¬
даментальности {fj} в L2 и равенства \\fj - /*Ц2 = \\fj - fih)-
Из определения ясно, что на <S(IRn) оператор J7 задается
обычным преобразованием Фурье. Однако если функция / из
L2(IR") не входит в L1(]Rn), то функцию Тf уже нельзя задать
как лебеговский интеграл от (27г)_п/2ехр[—г(ж, y)]f(y). С другой
стороны, для всех f £ L2 П L1 данное определение согласовано
с имеющимся для интегрируемых функций.
9.2.2.	Лемма. Если / е L2(IRn)nL1(lRn), то преобразование
Фурье функции / в L2(IRn) задается ее преобразованием Фурье
Тв Ll{IR").
Доказательство. Пусть Ff — преобразование Фурье фун¬
кции / в L2(IRn) и / — ее преобразованием Фурье в L1(IRn).
Покажем, что Тf = / п.в. Достаточно проверить, что для всякой
вещественной функции <р £ 2? (И”) функции (J- f)tp и fip имеют
равные интегралы. Пусть ф — обратное преобразование Фурье (р.
Тогда ф £	(III71)	и	ф	=	ip.	В силу равенства Парсеваля имеем
/ f(x)ip(x) dx = I }{х)ф{х) dx.
JiRn	J ]Rn
С другой стороны, взяв сходящуюся к / в L2(IRn) последователь¬
ность функций fj £ <S(IRn), получаем
I Ff{x)<p{x)dx = lim I Tfj(x)(p(x)dx =
Jwc1	j-*oo Jjfrn
= lim I fj(x)ip(x) dx = lim / fj(x^(x)dx =
j-ЮО Jjftn	j-+0О Jjhn
- [ f(х)ф(х) dx,
J\Rn
что доказывает наше утверждение.	□
Отметим, что преобразования Фурье функций из L1 не имеют
конструктивного описания (см., например, задачу 9.10.31).
Теперь легко доказать следующую теорему Планшереля, ко¬
торую часто используют (особенно в старых учебниках) как спо¬
соб задать преобразование Фурье в L2.

504
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.2.3.	Теорема. Пусть / Е L2(IRn). Тогда функции
Яя:=(2^1ШяеХ,,{-г{Х'У))т,‘У
сходятся в L2(]Rn) при R —► +оо к определенному выше преоб¬
разованию Фурье функции / в L2(IRn).
Доказательство. Пусть fR := fI{\x\^R}- Ясно, что /д -> /
в L2(lRn) при R —► +оо. Поэтому ТfR —* Ff в L2(lRn). Наконец,
в силу доказанной выше леммы FfR — fn — gR.	□
Таким образом,
в смысле сходимости в L2. Возникает вопрос о сходимости почти
всюду. Разумеется, сходимость в L? позволяет найти последова¬
тельность дщ с Rj —> оо, сходящуюся почти всюду. При п = 1
известно, что сходимость имеет место почти всюду, но доказа¬
тельство этого факта весьма трудно (см. Grafakos [369, гл. 10]).
При п > 1 вопрос открыт (если шары заменить на кубы [—Я, R]71,
то и здесь ответ положительный). Дополнительные сведения
о преобразовании Фурье есть в книгах Бохнер [30], Винер [42],
Титчмарш [203], Duoandikoetxea [334], Grafakos [369], Katznelson
[410], Petersen [479], Pinsky [483 , Stein [524], Strichartz [527].
9.3.	Преобразование Фурье в «S'
Равенство Парсеваля, использованное выше для определения
преобразования Фурье в L2, а также формула (9.1.4) подсказы¬
вают, как продолжить его и на обобщенные функции.
9.3.1.	Определение. Пусть F £ <S'(IRn). Положим
FF(p) := F{tp) := F{(p), где <р £ <S(HT),
и назовем функционал FF = F на S(TRn) преобразованием Фурье
обобщенной функции F.
Поскольку отображение (р (р — линейный гомеоморфизм
пространства <S(IRn), то F £ <S'(IRn), причем преобразование Фу¬
рье оказывается взаимно однозначным линейным оператором на
пространстве <S'(IRn).

9.3. Преобразование Фурье в S'
505
Если обобщенная функция F задана посредством обычной ин¬
тегрируемой функции Fq, т.е.
F((p)= [ F0(x)<p(x) dx,
JiRn
то F задается обычной функцией Fq, ибо по формуле (9.1.4) для
всех (р Е <S(IRn) имеем
F(<p) = F((p) = [ F0{x)(p(x)dx = I F0(x)(p(x) dx.
J\Rn	JWC1
Отметим, что если действие обычной функции как обобщенной
задавать через скалярное произведение в L2, т.е. в интеграле ста¬
вить Тр вместо то для согласованности обобщенного и обычного
преобразований Фурье на интегрируемых функциях следует по¬
ложить FF((p) = FiT^tp).
Вычислим преобразования Фурье некоторых типичных обоб¬
щенных функций.
9.3.2.	Пример, (i) Справедливы равенства
1 = (2тг)п/2<5,	8	=	(27г)-п/2.
Действительно, для всякой функции ip Е <S(IRn) имеем
1{(р) — f (p(x)dx = (27г)п/2^(0) = (27г)п/2й(^).
JJRn
Из этой же формулы для <р вместо <р получаем второе равенство,
ибо Т2р{х) = <р(—х).
(ii)	Для функции Хевисайда \ := *^[о,+оо) на прямой имеем
*(ж) = 1 1
Jzirx-iO'
Для ЭТОГО ПОЛОЖИМ Хе := e~€XI[0,+oo)i 6 > 0* Д7151 всех ^ ^ ^(И1)
имеем %(</?) — lim Хе(9^)- Так как хДж) = (27г)_1/2(ж —	то
£->0
указанное равенство верно по определению (х — гО)-1.
(iii)	Пусть /х — ограниченная борелевская мера на Ип. Тогда
Д(ж) = (2тг)“п/2 [ exp[-i(x,y)]/j,(dy).
Jnn

506
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
В самом деле, для всех <р 6 <S(lRn) с помощью теоремы Фубини
получаем
Кч>) = / ${v) V(dy) =
JjRn
= (2тг)_п/2 [ ([ <p(x)exp[-i(x,y)]dx\/x(dy) =
JjRn \J}Rn	J
= (2тг)~n/2 f (p(x)( f exp[-i(x,y)}n(dy)]dx,
Jwc1	\JlRn	/
что доказывает наше утверждение.
(iv)	Для функции f(x) = ехр(—а|ж|) на прямой, где а > 0,
непосредственным вычислением находим
?() = 1 ( 1 +	1	^ а
^	\/2п	\a — iy a + iy)	л./кур + а2
Поэтому для функции д(у) = (у2 + а2)-1 получаем
9М - ^ ф|-
Если в случае (iii) взять в качестве /л меру Дирака 5а в точке а,
то получаем равенство
<5а(ж) = (27г)_п^2 ехр[—г(ж, а)].
Это же равенство можно получить непосредственно аналогично
случаю (i). Кроме того, для функции еа(х) = ехр[г(ж,а)] имеем
еа = {2ж)~п1Ча.
С помощью этого равенства легко найти преобразования Фурье
обобщенных функций, задаваемых функциями sin х и cos х. По¬
средством дифференцирования и умножения на многочлены за¬
пас явно вычисляемых преобразований Фурье можно расширить,
поскольку для всех F 6 «S^IR1) мы имеем
dyjF = ixjF, dXjF = -iyjF	(9.3.1)
ввиду аналогичных соотношений для функций из ^(IR1).
9.3.3.	Пример. Пусть функционал F Е <S'(IRn) продолжает¬
ся до элемента £'(IRn), т.е. непрерывного функционала на про¬
странстве £ (Ип) всех бесконечно дифференцируемых функций

9.4. Свертка
507
с топологией равномерной сходимости всех производных на огра¬
ниченных множествах. Тогда F задается гладкой функцией ф,
где ф(х) = F(ex), ех(у) := ехр[-г(ж,у)].
Доказательство. Для упрощения выкладок разберем слу¬
чай п = 1. Пусть ч> е ^(IR1) имеет носитель в [а, 6]. Надо пока¬
зать, что F(p) есть интеграл от рф. Нетрудно убедиться в глад¬
кости ф. Например, непрерывность ф ясна из того, что eXj —► ех
в 8 (IR1) при Xj —► х. Интеграл от рф есть предел римановских
сумм Y^j=i	Aj, соответствующих разбиениям [а, Ъ] на 2к
равных промежутков. Такая сумма есть результат применения
F к функции дк(у) :=	^(ij)et;,.(y)Aj.	Как нетрудно прове-
рить, функции дь сходятся в ^(IR1) к р. Например, сходимость
9к(у) —> Ф{у) есть просто сходимость римановских сумм к инте¬
гралу (надо еще заметить, что она равномерна по у из всякого
отрезка, причем аналогичное верно и для производных). Следо¬
вательно, F(gk) —> F(p) = F(p).	□
Имеются другие классы обобщенных функций, для которых
можно определить преобразование Фурье. Например, в рамках Sf
не определено преобразование Фурье функции F(x) = exp ж2. Ес¬
ли взять в качестве пространства пробных функций совокупность
преобразований Фурье функций из Р, то равенство F(p) := F(p)
позволяет задать F как функционал на этом пространстве. Та¬
кая схема приводит уже не к паре пространств «основные функ¬
ции и обобщенные функции», а к четверке пространств: класс
V пробных функций, класс TV преобразований Фурье пробных
функций и пространства функционалов Vf и (TV)* на этих клас¬
сах. Тогда преобразование Фурье элемента F Е V* есть элемент
F € (TV)f, задаваемый формулой F(p) = F(p).
Преобразование Фурье обобщенных функций играет важную
роль в теории уравнений с частными производными.
9.4.	Свертка
В этом параграфе известная нам из §3.11 свертка интегриру¬
емых функций будет распространена на случай, когда одна из
двух функций — обобщенная. Свертка связана с преобразова¬
нием Фурье; она имеет многочисленные применения в анализе,
алгебре, дифференциальных уравнениях.

508
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.4.1. Теорема. Если f,g Е	то
/ * я(у) = (2тг )n/2f{y)g{y).	(9.4.1)
Доказательство. Мы знаем, что f*g е L1(IR”). По теореме
Фубини имеем
(2тг)-п/2 [	( e-*b*>f(x - z)g(z) dzdx =
JMn J]En
= (2тг)-п/2/ f e-i^e~i^f(u)g(z)dzdu,
JTRn JjRn
что дает (9.4.1). См. также задачу 9.10.17.	□
9.4.2. Пример. (Теорема Титчмарша) Пусть f,g Е £1(IR1)
равны нулю на луче (—оо,0] и / * д = 0. Тогда либо / = 0 п.в.,
либо д = 0 п.в. В самом деле, fug продолжаются голоморфно
в нижнюю полуплоскость П, ограничены на ней и непрерывны на
вещественной оси. Так как fg = 0 на IR1, то fg = 0 в П, откуда
либо / = 0, либо д = 0 в П, что дает требуемое.
Обсудим теперь свертку f * F обычной и обобщенной функ¬
ций. Мы рассмотрим лишь два случая: / G D(lRn), F е Т>'(Шп)
и / Е <S(]Rn), F е <S'(IRn). Наша цель — так определить сверт¬
ку / * F, чтобы она совпадала с классической для обобщенных
функций F, задаваемых интегрируемыми функциями. Для это¬
го запишем действие свертки интегрируемых функций / и F на
функцию (р Е <S(IRn) следующим образом:
/	/ *F(x)ip(x)dx= /	/ f(x — y)F(y)ip(x) dy dx =
J Шп	JJRn J IR"
= / I f(x-y)<p(x)F(y)dxdy = f f(--)*<p(y)F(y)dy,
JMn JTRn	JMn
где /(— •) обозначает функцию ж »—» /(—ж).
Это подсказывает такое определение. Пусть либо / Е Х>(Ш,П)
и F Е P'(IRn), либо / Е <S(IRn) и F Е <S'(lRn). Положим
/*F(ip) :=F(f(--)*<p).
Заметим, что в первом случае /(— •) *(р Е D(IRn) при ip Е P(IRn),
а во втором случае f(--)*<pE <S(IRn) при <р Е <S(IRn). Последнее
легко усмотреть из того, что преобразование Фурье сверки двух
функций из <S(IRn) есть произведение двух элементов из <S(IRn),

9.4. Свертка
509
причем преобразование Фурье переводит <S(IRn) в <S(IRn). Таким
образом, нами корректно определена свертка с нужным свой¬
ством согласованности. Оказывается, она задается гладкой функ¬
цией. Ниже указаны другие случаи существования свертки.
9.4.3.	Предложение. Если либо / € T>(JRn) и F € V'(JRn),
либо / 6 <S(IRn) и F G S'(JRn), то / * F задается бесконечно
дифференцируемой функцией.
Доказательство. Руководствуясь выписанным выше выра¬
жением для действия свертки, положим
g(x) = F(fx), fx(y) := f(x - у).
Определение корректно, ибо fx входит в тот же класс, что и /.
Покажем, что д — искомая функция.
Проверим, что функция д имеет частные производные, при¬
чем dXjg = F((dXjf)x). Из этого по индукции будет следовать
бесконечная дифференцируемость д. Зафиксируем точку х. Вви¬
ду непрерывности F достаточно проверить, что разностные от¬
ношения	—	fx) сходятся при t —► 0 к (dXjf)x в смыс¬
ле сходимости пространства £>(IRn) или <S(IRn) соответственно.
В случае V ясно, что эти разностные отношения равны нулю вне
некоторого общего куба и сходятся равномерно ввиду теоремы
о среднем. Аналогично проверяется равномерная сходимость их
производных любого порядка. Рассмотрим случай S. Заметим,
ЧТО ^(fx+te^-fxiy)] = t-1(exp(-%j)-l)/x(y). Правая часть
сходится в S к —iyjfxiy) = ~dVjfx{y) = (9Xjf)x(y) ввиду оценки
\exp(-ityj) -1\ < \tyj\. Следовательно, £-1(/x+tej - /*) -> {dXjf)x
в S при t —► 0. Покажем, что д задает действие f * F. Нам надо
проверить, что
[ g(xMx)dx = F(f{--)*<p),	(9.4.2)
J\Rn
т.е. что F можно поменять местами с интегралом. Если <р имеет
носитель в кубе Q, то интеграл от gtp равен пределу римановских
сумм вида IX,! g(xk)<p(xk)\n(Qk) = 5X=i F(fXk)<p(xk)\n(Qk),
что можно записать как F(^2™=1 fxkVix^KiiQk)), соответствую-
щих измельчающимся разбиениям куба Q на кубы Qfc. Заметим,
что суммы Фт(у) := ZT=i fxk(y)<fi(xk)K{Qk) при каждом фик¬
сированном у стремятся к интегралу функции х и-» f(x — у)(р(х)

510
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
по Q, т.е. к функции /(— • )*<£>(у). Более того, эта сходимость име¬
ет место в V или в S при соответствующем /. В самом деле, при
/ ЕТ> есть равномерная сходимость Фш, причем производные Фш
имеют похожий вид (равны аналогичным суммам с производны¬
ми от / вместо /). Случай / Е S аналогичен, ибо преобразова-
ние Фурье от Фш есть f(--)(y)Y^=1exp[-i(xk,y)\ipixk)K(Qk),
где правая часть сходится в <5 к функции (27г)п/2/(— • )(р. Ввиду
непрерывности F приходим к равенству (9.4.2) для р с носите¬
лем в Q. В случае f Е S функция д растет не быстрее некоторой
функции С( 1 + |ж|2)т. В самом деле, ввиду непрерывности F су¬
ществуют такие числа С, т и /с, что имеет место оценка
|F(y>)| < Csupy(l + \у\2)т(\<р(у)\ + \d^(p(y)\ + • • • + \д*пч>(у)\).
Если подставить <р(у) = (1 + М2)-ш/ж(у)> то правая часть оце-
нится через С' supy [(1 + \х\2)~т(1 + \х — у\2)~т(1 + |у|2)т], где С'
не зависит от х. Получаем равномерно ограниченное по х Е Ип
выражение. Следовательно, функция (1 + \x\2)~m\F(fx)\ ограни¬
чена. Теперь для обоснования (9.4.2) при <р Е S достаточно взять
последовательность из £>, сходящуюся к р в <S.	□
Отметим легко проверяемое равенство
dXi(f*F) = (QXif)*F = f*{QXiF).
Имеются и другие случаи, когда определена свертка обычной
и обобщенной функции или даже двух обобщенных функций (см.
Владимиров [44]). Например, если F, G EVf и G имеет компакт¬
ный носитель, то свертка G*D определена: как и выше, положим
F*G{<p) :=G(F(--)*¥>),
где F(— •) * р(х) = F(p( • — ж)) — гладкая функция, как показано
выше. Если функция F Е Sf такова, что ее преобразование Фурье
F есть обычная функция, причем Fp Е S при всех р Е <S, то для
каждой обобщенной функции G Е Sr можно задать обобщенную
функцию F • G Е «S', что с помощью обратного преобразования
Фурье позволяет определить F * G. Можно также применить те¬
орему 8.5.5: если	то	положим
F*G := д^т • • • 9£^т(Ф*Ф), если свертка F*G имеет смысл в Vf
(например, если G имеет компактный носитель). Однако свертку
/*F на SxSf нельзя продолжить до коммутативной ассоциатив¬
ной свертки на SfxSf (см. задачу 8.6.44).

9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
511
9.5.	Спектр преобразования Фурье и свертки
Поскольку преобразование Фурье является унитарным опе¬
ратором в L2, то возникает вопрос о его спектре. Заметим, что
квадрат преобразования Фурье есть оператор замены аргумента
на противоположный, т.е. Р2/(х) = f(—x). Это равенство сле¬
дует из формулы обращения при / Е <S(lRn) и потому остается
справедливым для всех / Е L2(JRn). Значит, — единичный опе¬
ратор. Поэтому при возведении спектра Т в четвертую степень
получается число 1. Это сразу показывает, что Т имеет конечный
спектр, входящий в множество {1, —1, г, —г}, причем все числа из
спектра — собственные. В частности, оператор Т имеет собствен¬
ный базис. Но как найти собственные функции и выяснить, какие
именно точки указанного множества входят в спектр и с какой
кратностью? Пусть п = 1. Пока мы знаем лишь одну собственную
функцию оператора Т\ гауссовская функция ехр(—1#|2/2) совпа¬
дает со своим преобразованием Фурье. Оказывается, отправляясь
от этой собственной функции, можно указать целый собствен¬
ный базис. Для этого заметим, что линейная оболочка функций
ехр(—|ж|2/2),жехр(—\х\2/2),... ,хк ехр(—\х\2/2) переводится опе¬
ратором Т в себя. В самом деле, пусть /о(х) = ехр(—|я|2/2),
fm(x) = жтехр(—|ж|2/2). Тогда
jт
Ffm(x) = ^^МХ) = Рт{х)е 0(х),
где Рш — многочлен степени га. Более внимательное рассмотре¬
ние этой формулы приводит к выводу, что инвариантной являет¬
ся линейная оболочка Lk четырех функций /4^, /4fc+i> /4fc+2> f4k+3
при любом к = 0,1,..., что ввиду взаимной ортогональности
собственных функций унитарного оператора подсказывает взять
вторую собственную функцию в виде е\(х) = жео(ж), ибо е\ J_ ео-
При этом Те\ = —%е\. Затем находим собственную функцию
в2 вида е2(х) = (х2 — с)е о (ж), где с выбрано так, что б2 1 ео.
Ясно, что 62 1 ei и Рв2 = —в2- Наконец, ез находим в виде
е%(х) = (х3 — ах)ео(х), подобрав а так, что ез J_ е\. При этом
^ез = гез. Отметим, что с = 1/2, а = 3/2. Итак, каждое из
указанных выше четырех чисел является собственным. Если до¬
гадаться искать собственные функции среди функций Эрмита
Ek{t) = cfcexp(t2/2)^exp(-<2),

512
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
образующих базис в L2(IR1) ввиду примера 5.4.12(iv) при подхо¬
дящем выборе нормирующих множителей с&, то сначала нужно
получить соотношение
Для обоснования формулы (9.5.1) воспользуемся индукцией по к.
При к = 0 эта формула верна. Пусть она верна для некоторого
натурального к > 0. Легко убедиться, что функции G* имеют
вид Gk(t) = Pk(t)fo{t), где Рк — многочлен степени причем для
нечетного к этот многочлен включает только нечетные степени £,
а для четного к — только четные. Кроме того, коэффициент при
tk в Pk(t) равен 2к. Чтобы осуществить шаг индукции, следует
проверить, что функция Gk+i ортогональна всем Gj с j ^ к.
Ввиду формулы интегрирования по частям имеем
Если j < к — 1, то правая часть написанного выше соотношения
равна нулю в силу предположения индукции. Если j = к — 1, то
в правой части стоит интеграл функции Gk(t)[2tGk-i(t) — Gk(t)],
который также равен нулю в силу предположения индукции, ибо
2tGk-i(t) — Gk(t) = QOO/o(£)> гДв Q — многочлен степени к — 1.
Наконец, функция Gk+iGk нечетна и потому имеет нулевой ин¬
теграл. Это дает равенство (Gfc+i,Gfc)x,2 = 0.
Изложим теперь другой способ нахождения спектра Р (см.
Дирак [74, с. 50]). Этот способ основан на следующих очевидных
(9.5.1)
которое после применения преобразования Фурье дает
TEk{s) = ak{i^ ~ *s) ^7о(а) = (-*)fcc*fc(s - ^) fo(s)
= (-i)kEk(s).
/ tGk(t)Gj(t)dt+ / Gfc(t)Gj(t)<tt =
j	2 tGk(t)Gj(t) dt- j Gk(t)[tGj(t) - G'jit)} dt

9.5. Спектр преобразования Фурье и свертки
513
алгебраических соотношениях:
т* = ?~1,
Введем операторы
Р0 := ^(/ + Р + Р2+Р3),
P2:=^(/-P + JF2-JF3),
Общая формула такова:
pi:=	j	=0,1,2,3.
к—0
Отметим также, что указанные четыре оператора получаются пе¬
ремножением каких-либо трех из четырех операторов F—J, T+I,
Т — П, Т + г/. Мы не будем обсуждать, как можно догадаться
использовать эти операторы. Прямая проверка показывает, что
Pj = Pj, Pj = Pj, PPj = PPj, PjPk = о при j Ф k.
Итак, Pj — проекторы на попарно ортогональные подпростран¬
ства, на которых Т действует как умножение на V. При этом
P0 + Pi + P2 + P3 = !•
Положим Hj := Pj(H), где Н = L^IR1). Тогда Н оказывает¬
ся прямой суммой попарно ортогональных замкнутых подпро¬
странств Hj, и Тщ есть умножение на V. В каждом подпро¬
странстве Hj любой ортогональный базис является собственным
для Т. Конечно, для полноты картины еще следует проверить,
что подпространства Hj бесконечномерны.
В случае п > 1 собственный базис Т образован произведе¬
ниями функций Эрмита по разным переменным, т.е. функциями
вида
^ki,..nkn0^1»* * • ? ^п) • -^fci(^l) * * *	hi	^	О*
Функции Эрмита вводят и на бесконечномерных пространствах.
Вычислим теперь спектр оператора свертки
Бф(р(х) = г/> * (р(х)
__ jym
Рх :=-(I-iP-P2 + iP%
Pz :=	+
4

514
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
в L2(IRn), где 'ф Е L^IR71). Мы знаем (см. теорему 3.12.42), что
ф*(р Е Ь2(Шп). Положим / = Тф. После применения преобразо¬
вания Фурье получаем (см. теорему 9.4.1 и задачу 9.10.17)
TS+ip = (2тг)nl2Ti> ■ Tip,
т.е. имеет место равенство
ТвфТ-1 = (2тг )n'2Af,
где Af — оператор умножения на ограниченную непрерывную
функцию /. Спектр последнего оператора нам известен: это мно¬
жество существенных значений /, т.е. замыкание множества зна¬
чений / ввиду непрерывности /. Если функция / вещественна, то
спектр Бф — отрезок вещественной прямой. Обратим внимание на
то, что оператор свертки некомпактен (в отличие от интеграль¬
ных операторов из примера 6.9.4 в I? на отрезке).
9.6.	Преобразование Лапласа
Еще одно важное интегральное преобразование, близкое пре¬
образованию Фурье, называется преобразованием Лапласа. Оно
также определяется на разных классах функций. Положим
£/0*0 := -7= / e~xyf(y)dy,	(9.6.1)
V71- Jo
если указанный интеграл существует в смысле Лебега. Отметим,
что если при некоторых постоянных С и 7 мы имеем
\f(y)\ ^ Сехр(7у) для всех у > О,
то функция Cf определена и аналитична в полосе Re х > 7 ком¬
плексной плоскости.
Преобразование Лапласа можно задать и на Ь2[0, +оо).
9.6.1. Определение. Преобразование Лапласа комплексной
функции / Е L2[0,+оо) определяется формулой
1 /*°°
£/(*):=— / e~atf(t)dt, s > 0.
V* Jo
9.6.2. Теорема. Функция Cf входит в L2[0,+оо), причем
справедливо неравенство ||£/||2 ^ ||/||2-
Доказательство. Отметим, что в отличие от случая пре¬
образования Фурье указанный интеграл существует в обычном
смысле при каждом фиксированном s > 0, ибо функции

9.6. Преобразование Лапласа
515
и t ь-> e~st входят в L2[0,+оо). Предположим сначала, что / об¬
ращается в нуль в некоторой окрестности нуля. По неравенству
Коши-Буняковского имеем
1 гоо	гоо
|£/(s)|2<-/	e-^fit^t1/2 dt e~stt-V2 dt =
7Г Jo	Jo
= Г e-Mtm\v/2dt.
7Г V s JO
Интегрируя это неравенство no s на [0, +оо), меняя порядок ин¬
тегрирования и используя то, что интеграл от e~sitl/2s~ll2 по 5
равен 7г, получаем	^ ll/lli- Общий случай следует с по¬
мощью приближения / функциями указанного вида. Действи¬
тельно, если функции fj сходятся к / в L2[0,+оо), причем каж¬
дая из них обращается в нуль на некотором отрезке [0, а^], то
в силу уже доказанного последовательность функций Cfj фунда¬
ментальна в L2[0,+оо) и потому сходится к некоторой функции
h Е L2[0, +оо). При каждом фиксированном s > 0 последователь¬
ность Cfj(s) сходится к Cf(s). Следовательно, Cf(s) = h(s) п.в.
При этом \\Cfj\\2 ^ \\fj||2? откуда \\h\\2 ^ ||/||2*	□
Норма преобразования Лапласа С в L2[0, +оо) равна в точно¬
сти 1 (задача 9.10.22). Кроме того, Кег£ = 0 (задача 9.10.21), но
0 Е сг(£), ибо С не сюръективно, так как \Cf(t)\ 2 < (2тг) 1||/j|2*
Преобразование Лапласа можно определить и для некоторых
обобщенных функций. Пусть ТУ+а — класс таких обобщенных
функций F Е ТУ (Ш1), что suppF С [0, +оо) и имеет место вклю¬
чение Fa := exp(—ax)F Е ^'(Н1) при всез£ а > <т, причем Fa за¬
дается обычной функцией. Преобразование Лапласа обобщенной
функции F определяется как обычная функция CF в полуплос¬
кости Rez > сг, заданная формулой
CF(p + iq) := V2Fp(q).
Ясно, что если обобщенные функции Fa задаются интегрируемы¬
ми функциями, то приходим к формуле типа (9.6.1). Преобразо¬
вание Лапласа определено для некоторых таких функций (обыч¬
ных или обобщенных), что для них не определено преобразование
Фурье. Как объяснено в следующем параграфе, это оказывает¬
ся весьма полезным при решении линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.

516
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.7.	Применения к дифференциальным уравнениям
В этом разделе кратко обсуждается использование преобра¬
зований Фурье и Лапласа, а также свертки для решения диф¬
ференциальных уравнений. Мы рассмотрим лишь общую схему
и несколько характерных примеров.
Пусть L — дифференциальный оператор с постоянными ко¬
эффициентами	ji	= 1,..., п, к = 0,..., га, на lRn вида
LF —	ah^ -,3k^xh * * • ®xjkF-
Заметим, что как для функций F из <S(IRn), так и для обобщен¬
ных функций F из <S'(IRn) справедливо равенство
J2 ah,-Jk ■(ixj1)---(ixjk)F.
jli — yjk
Многочлен
p(x) = J2 an,-Jk ■ {ixh)"-(ixjk)
называется символом дифференциального оператора L\ часто пи¬
шут L = Р(—iD). Таким образом, задача решения уравнения
LF = G
в классе <S'(lRn) (можно рассматривать его и в других классах)
сводится к задаче решения уравнения
PF = G.
Формально решение дается выражением T~X{^TG). Конечно,
здесь возникает вопрос о корректности произведенных операций.
Имеется простой, но важный случай, когда никаких проблем не
возникает: это случай, когда Р(х) ^ с > 0. Тогда для всякого
элемента G Е S' имеем TG Е «S', откуда -рTG Е S' и потому
существует P-1(pPG) € S'.
9.7.1.	Пример. Пусть LF = AF — F. Уравнение LF = G от¬
носительно F однозначно разрешимо в «S'(К71) для любой правой
части G Е <S'(IRn), причем решение дается формулой
F = F~1[(1 + \x\2)-1FG].
Если G Е L2(Hn), то Fe L2(lRn).

9.7. Применения к дифференциальным уравнениям
517
Фундаментальным решением (фундаментальной функцией)
для дифференциального оператора L называют решение Ф урав¬
нения ЬФ = S в соответствующем классе обобщенных функций
(например, в Vf или S!). В случае Sf преобразование Фурье сво¬
дит это уравнение к алгебраическому тождеству PF = (27г)_п/2,
т.е. мы приходим к задаче о делении на ненулевой многочлен.
В этом направлении есть следующие два важных результата.
9.7.2.	Теорема. Пусть L — дифференциальный оператор
с постоянными коэффициентами и символом Р ф 0 в IRn.
(i)	(Теорема Мальгранжа-Эренпрайса) Для всякого
G £ T>'(JRn) уравнение LF = G имеет решение в Vf(JRn). В част¬
ности, оператор L имеет фундаментальное решение в ТУ(Шп).
(и) (Теорема Хёрмандера-Лоясевича) Для всякого
G £ <S'(IRn) уравнение LF = G имеет решение в <S'(IRn). В част¬
ности, оператор L имеет фундаментальное решение в «S;(IRn).
Еще один близкий результат — задача 9.10.45. Отметим, что
уравнение LF = G может иметь решения bD;, не входящие в S'.
Например, уравнение Fr — F = 0 имеет лишь нулевое решение
в «S', но имеет решение ех в V1. Если £ — фундаментальное реше¬
ние в V' или Sf и G £ ТУ имеет компактный носитель, то свертка
F := £ *G определена и дает решение уравнения LF = G.
Если всякое решение в ТУ уравнения LF = G при G £ С°°
также задается функцией класса С°°, то оператор L называется
гипоэллиптическим. Это условие равносильно тому, что
singsuppLF = singsuppF для всех F £ 1У(Ип).
Последнее равенство принимается в качестве определения гипо¬
эллиптичности для общих дифференциальных операторов; оно
означает, что если F £ ТУ таково, что LF в некоторой обла¬
сти U задается функцией класса C°°(U), то и F в U задается
функцией этого класса. Для операторов с постоянными коэффи¬
циентами Хёрмандером найден следующий алгебраический кри¬
терий гипоэллиптичности: равенство lim^_^001VP(y)/P(y) = 0;
другое равносильное условие: lim\у\-*ооР{У + v)/Р(у) = 1 при
всех v £ IRn. Например, оператор Лапласа Д гипоэллиптичен,
»«г, — нет. Для операторов с постоянными коэффициентами ги¬
поэллиптичность равносильна существованию фундаментально¬
го решения Ф, задаваемого функцией класса C°°(IRn\0) (при этом
все фундаментальные решения таковы). Эти вопросы подробно
изложены в книгах Трев [207, §§18-20], Шилов [238, гл. 3].

518
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Отметим, что для Р ф const уравнение LF = 0 в T>f всегда
имеет ненулевое решение ехр(г(ж, £)), где £ Е С71 и Р(£) = 0.
Выше мы обсуждали уравнения на всем пространстве, но
в приложениях часто приходится иметь дело с краевыми задача¬
ми, когда заданы еще и граничные значения. Например, можно
решать уравнение с постоянными коэффициентами
/(п) + Ci/(n_1) н 1-Cnf = д
на [0, +оо) с начальными условиями = ак, к = 0,..., п — 1.
Преобразование Фурье непосредственно здесь применить нельзя
по двум причинам: решения определены лишь на полуоси и могут
не входить в Sf даже при доопределении нулем на (—оо, 0) (напри¬
мер, для уравнения /' — / = 0, /(0) = 1, с решением f(x) = ех).
Здесь и оказывается полезным преобразование Лапласа. Сначала
рассмотрим случай п = 1. Считая, что д Е Z^fO,+оо), применим
к уравнению преобразование Лапласа и с помощью интегрирова¬
ния по частям найдем
ж£/(ж) + -т=/(0) + ciCf(x) = Сд(х).
V7I-
Значит, Cf{х) = (ж + ci)~l{Cg(x) — щ/\рп). Отсюда в принципе
можно найти / с помощью обратного преобразования Лапласа.
Для этого надо продолжить Cf на мнимую ось и найти по ней
интеграл от (2я~1^2i)~1estCf(s), см. [76], [132], [547], где обсу¬
ждаются формулы обращения преобразования Лапласа. В общем
случае п > 1 аналогичным образом приходим к уравнению
п
ф(ж) + ^2 Cn-kXkCf(x) = Сд( ж),
к=о
где Ф — многочлен, появившийся после п интегрирований по
частям (коэффициенты Ф находятся по числам ак). Теперь ре¬
шение дается обратным преобразованием Лапласа от функции
[Сд(х) — Ф(#)](ХХ=о Сп-кхк) Мы не будем обсуждать техни¬
ческие условия, при которых это возможно. Поясним лишь связь
найденного ответа с тем, который получится применением преоб¬
разования Фурье к функции /, продолженной нулем на (—оо,0),
если / Е ^'(IR1). Тогда начальное значение исчезнет, но само
уравнение изменится из-за искусственно возникшего скачка ре¬
шения в нуле. Например, при п = 1 мы получим уравнение
/ + /(0)5 + С1/ = 5.

9.7. Применения к дифференциальным уравнениям
519
Преобразование Фурье дает ixF f(x)+ao/y/2n+ciF f(x) = Fg(x).
Так как формально Cf(x) = \fiTf{ix), то имеется полное согла¬
сие между полученными соотношениями. Этим формальным ма¬
нипуляциям можно придать строгий смысл, продолжив преобра¬
зования Фурье и Лапласа в комплексную область. Аналогичная
картина имеется для уравнений n-го порядка. Эти соображения
лежат в основе так называемого операционного исчисления, более
подробно обсуждаемого в [76], [132, гл. VI].
Рассмотрение преобразования Фурье оказывается полезным
и для уравнений с переменными коэффициентами, хотя для них
нет таких явных формул для решений. Если дана функция а на
пространстве IRnxIR71, то положим
LF(x) :=T-l\a{x,-)FF(-)](x),
т.е. при фиксированном х преобразование Фурье F (как функ¬
ция аргумента у) умножается на функцию <х(х, у), а затем берется
значение обратного преобразования Фурье в точке х. Оператор L
называется псевдодифференциальным оператором с символом а.
При соответствующих предположениях относительно F и а (ко¬
торые мы не будем уточнять) можно записать
LF{x) = (27г)-п J j el(x,y~z}(j(x,y)F(z)dzdy.
Если сг(ж, у) = а(у) есть многочлен от у, то получаем дифферен¬
циальный оператор с постоянными коэффициентами. Если
*(*»у)= aiu~jh(x)*Vji "'Ш’
ib-iife
то
LF(x)=	ah,-Jk(x)dxh"-9xjkF(x).
jlvJfc
Аналогично можно рассмотреть задачу Коши для эволюционного
уравнения
f=lf
с начальным условием F(0,x) = Fq(x), где L — дифференци¬
альный оператор с постоянными коэффициентами. Применение
преобразования Фурье сводит это уравнение к обыкновенному

520
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
дифференциальному уравнению
= рыщу)
для Ф(£, у) = [,TF(t, *)](у)? гДе преобразование Фурье берется по
второму аргументу. Решение этого уравнения с начальным усло¬
вием Ф0(у) = FFo(y) дается формулой
Фо(у)ехр(*Р(у)).
Поэтому формальное выражение
Р-1 [Ф0ехр(«Р(у))] (t,ж) = (2тг)_п/2Р0 * F~l [exp(tP(y))] (t, ж)
дает «решение» исходного уравнения. Конечно, как и выше, воз¬
никает вопрос об условиях, при которых можно обосновать эти
формальные манипуляции (например, при Р < о и р0 е L2).
9.7.3.	Пример. Пусть L = А. Тогда Р(у) = — |у|2. Положим
Gt( х) = (4тг*)-п/2ехр[-(4*)-1|ж|2]-
Для каждого Ро € L2(IRn) функция
F(t, ж) = Р0 * Gt(x) = (4тг£)_п/2 [ ехр[-(4*)_1|у|2]Р0(ж - у) dy
J\Rn
является решением задачи Коши
= AF(t, у), Р( 0, ж) = Р0(ж)
в следующем смысле (помимо поточечного равенства): для каж¬
дой функции <р Е <S(IRn) при всех t ^ 0 выполняется равенство
/ F(t,x)(p(x)dx = /	F0(x)(p(x)	dx	+
JJRn	JjRn
+ I j F(s, x)A(p(x)dxdt. (9.7.1)
J0 J\Rn
Действительно, пусть г/> =	и	пусть	у	Ф(s,y) — преобра¬
зование Фурье функции а; F(t,x). Ввиду равенства Парсеваля
и соотношения А<р(х) = АТф(х) = F[—\ • \2гр](х) левая часть
доказываемого равенства (9.7.1) совпадает с
/ $(*, уЖу) dy,
J\Rn

9.8. Пространства Соболева Wp,k
521
а правая часть равна
/	Ф(0,y)tp(y)dy- ( [ ${s,y)\y\2xl){y)dydt.
JjRn	JO	JlRn
Поскольку Ф(s,j/) = Ф(0, у) exp(—i|y|2), то рассматриваемые ча¬
сти равны. Аналогичное представление решения задачи Коши
остается в силе и в классе S! для начального условия Fo 6 «S',
если свертку Fq * Gt понимать в смысле обобщенных функций.
Для задачи Коши
d^Qt ^ = Lf(t, х) + g(t, х),	/(О, х) = fo(x)
с краевым условий М/ = 0 в области П С IRn, где L и М —
дифференциальные операторы на fi и (Ю, применяется преобра¬
зование Лапласа, но на этот раз по переменной t. На формальном
уровне это дает такое уравнение для	= CF(- ,x)(s), где
взято преобразование Лапласа по первому аргументу:
5ф(5, х) + /(0, х) = LV(s, х) + Сд( •, z)(s).
При этом МФ(з, х) = 0 на d£t. Таким образом, при каждом s надо
решить краевую задачу на П с оператором si — L. Такая задача
может оказаться проще исходной начально-краевой задачи.
Найденные явные формулы для решений эллиптических и па¬
раболических уравнений с оператором Лапласа оказываются
чрезвычайно полезными при анализе общих эллиптических и па¬
раболических уравнений с переменными коэффициентами.
9.8.	Пространства Соболева Wp,k
Здесь мы приступаем к обсуждению одного из важнейших
в функциональном анализе классов пространств — пространств
С.Л. Соболева.
Пусть П — открытое множество в IRn, р Е [ 1, +оо), к Е 1N.
9.8.1.	Определение. Обозначим через WPjk(Q) класс всех
таких функций / Е LP(U), что для всякого т ^ к и каждого
мультииндекса ii,..., гт с ij Е {1,..., п} обобщенная производ¬
ная dXil ---dXirnf является функцией из 1^(0,). Класс Wp,k(tt)
наделяется соболевской нормой
ll/lkt := II/IU* + Е Е

522
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
Как и в случае пространств IP(U), почти всюду равные функ¬
ции считаются одним и тем же элементом, т.е. Wp,k(Q) есть про¬
странство классов эквивалентности. Можно также сказать, что
Wp'k(Q) есть подпространство в IP(U), состоящее из элементов
с конечной нормой || • \\рЯсно, что Wp,k(JRn) — линейное под¬
пространство в IP (fi).
9.8.2.	Пример. Функция / входит в класс W'1,1(1R1) в точ¬
ности тогда, когда она интегрируема и имеет абсолютно непре¬
рывную версию с интегрируемой на IR1 производной.
Доказательство. Если / интегрируема и абсолютно непре¬
рывна, причем /' Е L1(IR1), то формула интегрирования по ча¬
стям для абсолютно непрерывных функций показывает, что f
служит обобщенной производной. Обратно, пусть / имеет обоб¬
щенную производную д Е L1(IR1). Положим
/X
g(t) dt.
-ОО
Для всякой функции (р Е Cq^IR1) имеем
/+оо	/*+оо	/»+оо
ip'(t)f(t)dt = -	<p(t)g(t)	dt	= I (p'(t)f0(t)dt.
-oo	J—00	J—oo
Как показано в §8.5, из этого следует, что функция / — /о почти
всюду равна некоторой постоянной С. Эта постоянная равна ну¬
лю, ибо д(х) —► 0 при х —► —оо и ввиду интегрируемости / можно
выбрать хп —> —оо с f(xn) = /о(жп) + С так, что f(xn) —> 0.	□
9.8.3. Лемма. Пространство WPjk(Q.) полно относительно
указанной нормы.
Доказательство. Если последовательность {fj} фундамен¬
тальна по норме || • ||то все частные производные функций fj
до порядка к включительно образуют фундаментальные после¬
довательности и потому сходятся в IP(U). Легко видеть, что по¬
лученные пределы являются обобщенными частными производ¬
ными соответствующего порядка для предела {fj} в IP(U).	□
9.8.4. Лемма. Пусть / Е Wp,k(Sl) и £ Е C^°(fl). Тогда име-
ем £/ 6 Wp,k(Q), причем обобщенные частные производные £/
до порядка к вычисляются формальным применением правила
Лейбница. Например, dXi(Cf) = 0Xif + fdXiС-

9.8. Пространства Соболева Wp,k
523
Доказательство. Произведение гладкой функции на обоб¬
щенную дифференцируется по правилу Лейбница. При этом со¬
ответствующие производные оказываются элементами	□
Следующий результат дает характеризацию Wp,k(JRn) через
пополнение по соболевской норме.
9.8.5.	Теорема. Пространство Wp,k(JRn) совпадает с по¬
полнением Co°(IRn) по соболевской норме || • ||р^.
Доказательство. Ввиду полноты Wp,k(TRn) упомянутое по¬
полнение входит в Wp,k(TRn). Покажем, что всякая функция /
из Wp’k(JRn) приближается гладкими финитными функциями по
соболевской норме. Заметим, что / приближается в WPik(JRn)
функциями с ограниченными носителями. Для этого достаточно
взять последовательность гладких функций Cj(x) = C(x/j)i гДе
С е С£°(ЕГ), о < С < С(я) = 1 ПРИ \х\ <	С(®)	=	0	при	\х\	>	2.
Тогда по лемме Е Wp'k(TRn) и производные вычисляются по
правилу Лейбница. При этом
д,ч • • • а,,„ Kjf) - 8,,, •••«*./ в щи),
что следует из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и то¬
го факта, что Cj(#) = 1 и dXiCj(x) = 0 при \х\ < j. Например,
в равенстве
dxiiCjf) = (dxiCj)f + Gj&Xif
первое слагаемое стремится к нулю, а второе — к dXif.
В случае, когда / имеет носитель в шаре радиуса R с центром
в нуле, в качестве приближений берем свертки fj := / * где
сpj{x) = jd<p(jx) и (р — гладкая вероятностная плотность с носи¬
телем в единичном шаре. Ясно, что fj Е Со°(Шп). Заметим, что
dXifj = дх. / * (fj. Для этого достаточно проверить, что функции
fdXifj и tpdxJ * (pj имеют равные интегралы для всякой функ¬
ции ф Е Co°(IRn). По определению обобщенной производной для
каждого фиксированного х имеем
/ 9yif(y)(pj(x - у) dy = - / f(y)dyi<pj(x - у) dy.
J}Rn	JWC1
Умножив обе части этого равенства на ф(х) и проинтегрировав
по ж, с учетом теоремы Фубини и равенства
dyi<pj{x - у) = -dXi<pj(x - у)

524
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
получаем следующие соотношения:
И" J И"
/	f(y)dXl <Pj (ж - уЩх) dx dy =
:nJ\Rn
= - / / f{v)4>j (x - y)dxii>(x) dx dy =
JjRnJjRn
= - f * щ(х)дХгФ(х) dx = / dXi(f * <Pj)(x)rl>(x) dx.
7lRn	7lRn
По индукции получаем 5®^ • • • dXim	=	dXil	•	•	•	dXimf*(pj	для
всех m < & и ij < n. Ввиду следствия 3.11.12 это дает сходимость
Приведем еще один полезный близкий результат.
9.8.6. Теорема. Пусть 1 < р < оо. Пусть последователь¬
ность {fj} С Wp,fe(lRn) ограничена по Соболевской норме || •
Тогда некоторая ее подпоследовательность {fjt} слабо сходится
в LP{IRn) к функции из Wp'k(JRn), причем обобщенные частные
производные функций fjt до порядка к слабо сходятся в IP{IR'Л)
к соответствующим частным производным предельной функ¬
ции.
Доказательство. Достаточно с помощью теоремы 6.7.4 вы¬
делить из {fj} такую слабо сходящуюся в Lp(IRn) подпоследова¬
тельность, что ее обобщенные частные производные до порядка
к также слабо сходятся в Lp(IRn).	□
Для р = 1 доказанное утверждение теряет силу. Например,
к индикатору [—1,1] сходится в L1 ограниченная в W1,1 последо¬
вательность функций /j, где fj(t) = 1 при t 6 [—1,1], fj(t) = О
при |t| > 1 + 1 fj и fj линейна на [—1 — 1 /j, —1] и [1,1 + l/j\.
9.8.7. Теорема. Пусть / е И^Р,1(МП) и функция ф на пря¬
мой удовлетворяет условию Липшица, причем ф(0) = 0. Тогда
ф(ф) £ И^-ДИ”).
Доказательство. Сначала предположим, что ф e C°°(lRn).
Возьмем функции fj £ Cq°(JRh), сходящиеся к / в Wp,1(IRn). За¬
метим, что ф{}]) £ Со°(Ш.п). При этом |Ф(/])-ф(/)\ < C\fj - /|,
/ * <pj к / по соболевской норме.
□

9.8. Пространства Соболева Wp,k
525
где С — постоянная Липшица функции ф. Поэтому tp(fj) —*■ ф(/)
в Lp(IRn). Кроме того, dXitp(fj) = 'ip'{fj)dXifj. Перейдя к под¬
последовательности, можно считать, что fj —► / почти всюду.
Тогда, как легко видеть, ф?(fj)dxJ —► ^'{f)dxJ в LP(lRn). По¬
скольку Ф'{fj)dXifj — Ф'{fj)dXif —> 0 в Lp(IRn) из-за равномерной
ограниченности ф', получаем сходимость ф(^) к ф{$) в VFp,1(IRn).
В общем случае можно найти последовательность гладких
функций ф^ с фу(0) = 0, сходящихся поточечно к ф и равномерно
липшицевых. Тогда ф}(/) —*• Ф(/) в L^IR”), ибо
\Фз(л-Ф(/)\^т
с некоторой постоянной С и |— Ф(/)\ —+ 0 поточечно. Если
р > 1, то ввиду соотношений \dXi^j(f)\ = Wj(f)dXif\ < C\dxJ\
мы получаем включение / £ Wp,l(JRn) в силу теоремы 9.8.6. Слу¬
чай р — 1 отнесен в задачу 9.10.37.	□
При п — 1 всякая функция из класса Соболева Wp'1 имеет
непрерывную модификацию. При п > 1 это уже не так.
9.8.8. Пример, (i) Функция f(x) = р(х)]п\х\ на IR2, где
р £ Co°(IR2) имеет носитель в единичном круге, р > 0 и р = 1
в окрестности нуля, входит в WP,1(TR2) при 1 ^ р < 2, но не
имеет ограниченной модификации. Действительно, / £ I^(1R2)
при всех р < оо. Функции
§*/(*) = <P(x)Xi\x\~2 + dXi<fi(x) In \х\
определены вне нуля и входят в LP(IR2) при р < 2. С помощью
формулы интегрирования по частям непосредственно проверяет¬
ся, что они служат обобщенными частными производными /.
(ii) Аналогично f(x) = р(х) ln(— In \х\) входит в W2,1 (IR2).
(iii) Функция f(x) = р(х)\х\~1 на IR2, где <р £ Cq°(IR2) и р = 1
в окрестности нуля, входит в И^’^К2) при 1 < р < 3/2, но не
имеет ограниченной модификации. Это проверяется аналогично.
(iv) С помощью указанных функций / строится функция вида
д{х) = ]Cjli 2~J/(# “ Xj), где {xj} — всюду плотное множество.
Эта функция входит в соответствующее VFp,1(IRn), но не имеет
модификации, ограниченной хотя бы в некоторой окрестности.
Несмотря на наличие таких примеров, имеются важные поло¬
жительные результаты о дополнительной регулярности Соболев¬
ских функций. Краткое обсуждение см. в §9.10(ii).

526
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.9.	Описание W2'k через преобразование Фурье
В случае р = 2 пространства Соболева Wp,k оказываются
гильбертовыми, что при рассмотрении многих вопросов приводит
к заметным упрощениям. В качестве примера мы дадим описание
классов W2,k через преобразование Фурье.
9.9.1. Теорема. Пространство W2jk(JRn) состоит из всех
таких f Е L2(JRn), что функция у н-* \y\kf(y) входит в L2(JRn).
Доказательство. Пусть / Е W2’k(IRn). Тогда для обобщен¬
ных производных имеем dkJ Е L2(IRn), что дает квадратич¬
ную интегрируемость функций ykf(y). Поэтому входит в L2(IRn)
и функция \y\kf(y). Обратно, пусть функции / и \y\kf(y) квадра-
тично-интегрируемы. Тогда для всяких неотрицательных целых
чисел fci,..., кп с к\ + ... + кп = т ^ к функция
g^kniy) ~ (i)myki ••■ytf(у)
входит в L2(IRn). Обозначим через /fclv..,fcn обратное преобразо¬
вание Фурье функции	Покажем, что /fcb...,fcn является
обобщенной производной дк\ • • • dk”f. Для этого зафиксируем ве¬
щественную функцию (р Е T>(JRn) и обозначим через ф ее преоб¬
разование Фурье. В силу равенства Парсеваля имеем
/ f(x)^ \'"S^y{x)dx= [ hvK-^Vi1 •■■Упп'Ф(у)аУ =
J]Rn	J\Rn
= (—!)m f 9ки...,кп(уЖу)<1у = (-l)m f fk1,...jtn(x)(p(x)dx,
J\Rn	JJRn
что доказывает наше утверждение.	□
9.9.2. Пример. Для всякой функции g Е L2(IRn) существует
единственное решение / е W2,2(IR.n) уравнения Д/ — f — д. Это
решение определяется равенством f(y) = (1 + \у\2)~1д(у)-
Из доказанной теоремы вытекает следующий частный случай
теоремы вложения (общий случай см. в §9.10(H)).
9.9.3. Пример. Пусть / € W2,fc(]Rn), где к > п/2. Тогда /
имеет ограниченную непрерывную версию.
Доказательство. Верно даже более сильное утверждение:
/ € L1(IRn). В самом деле, по предыдущей теореме функция

9.10. Дополнения и задачи
527
9(У) = М*7(у) входит в L2(IRn). Имеем |/(у)| < \д(у)\ \у\ к. Пра¬
вая часть интегрируема по множеству \у\ ^ 1 в силу неравен¬
ства Коши-Буняковского, ибо по этому множеству интегрируемы
функции |у(у)|2 и |y|_2fe при 2к > п, что очевидно в полярных ко¬
ординатах. По множеству |у| ^ 1 функция / тоже интегрируема,
так как она входит в L2(IRn).	□
9.9.4.	Замечание. Из сказанного вытекает, что при 2к > п
существует такое число С(к,п), что
ll/llx,00 ^ Ci(fc) п) ll/ll не¬
действительно, левая часть не превосходит (27т)-”'/21|/||^,1, что
оценивается через С\(к, п) Н^/Нх2; нетрудно усмотреть
из обоснований теоремы и примера. Если к = 2т четно, то имеет
место оценка
II/IU-<<*(*, П)||(/-ДГ/Ь.
С помощью преобразования Фурье можно ввести и дробные
классы Соболева H2’r(SRn) с г 6 (—оо,+оо), состоящие из таких
обобщенных функций / € <S'(IRn), что (1 + \y\r)f(y) 6 L2(Hn).
В приложениях оказываются полезны и дробные классы WPyT,
а также другие обобщения или аналоги классов Соболева (на¬
пример, классы Бесова). Этим вопросам посвящены книги [24],
[142], [196], [197], [198], [242], [250], [567].
9.10.	Дополнения и задачи
(i)	Сингулярные интегралы (527). (ii) Теоремы вложения (531).
(iii)	Теоремы Бохнера и Пэли-Винера (534). Задачи (535).
9.10(i). Сингулярные интегралы
Термин «сингулярные интегралы» традиционно прилагается к кру¬
гу вопросов на стыке действительного анализа, гармонического анали¬
за, теории операторов и теории интегральных уравнений, использую¬
щих объекты следующих двух типов.
1.	Последовательности интегральных ядер Фп(х, у), задающих ин¬
тегральные операторы
Tnf(x) ■■= J f{y)$„{x,y)dy,
которые в каком-либо смысле сходятся (например, по мере или в Lp)
к оператору Т/, например, к Т/ = /.

528
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
2.	Интегральные ядра Ф(х,у), задающие операторы вида
Tf(x) = J f(y)b{x,y)dy,
где, однако, интеграл не существует в обычном смысле, а требует для
своего определения каких-то дополнительных приемов (регуляризация,
сходимость в смысле главного значения и т.д.). В приложениях часто
возникают ядра вида Ф(х,у) = Ф(х — г/), где функция Ф не обязатель¬
но является интегрируемой. Ниже мы рассмотрим важный пример —
преобразование Гильберта, в котором Ф(г) = 1/z.
Нередко интегралы второго вида появляются посредством интегра¬
лов первого вида, поэтому разграничение двух случаев весьма услов¬
но. Характеристика «сингулярный» подчеркивает наличие особенности
(«сингулярности») ядра Ф, не позволяющей во втором случае непосред¬
ственно задать интегральный оператор, а в первом случае указывает
на то, что предельный объект может уже не задаваться в интеграль¬
ном виде (как, например, происходит с оператором Т = J). Сам термин
не является формализуемым. Скажем, глава X книги Натансона [162],
посвященная сингулярным интегралам, имеет дело с первым случаем,
а в главе II книги Стейна [197] изучается второй случай. Цель этого
раздела — привести несколько характерных результатов о сингуляр¬
ных интегралах. На самом деле весьма содержательные примеры (во
многом послужившие источником возникновения современной теории)
уже встречались у нас: это преобразование Фурье в L2(lRn), задаваемое
как сингулярный интегральный оператор с ядром (2тт)~п/2 ехр г(х, у),
и приближение функций тригонометрическими многочленами с помо¬
щью сумм Фурье и Фейера, что приводит к интегральным операторам
с ядрами Дирихле Dn и ядрами Фейера Фп.
9.10.1.	Пример, (i) Пусть д € £1(IR1) имеет интеграл 1 по прямой.
Положим дп{х) = а~1д(х/<тп), где ап > 0 и lim ап = 0. Тогда для
всякой ограниченной непрерывной функции / на прямой имеем
f{x) - f(y)Qn(x — y)dy = f(x) - f(x - u)gn(u) du =
= f(x) ~ f(x - <ТпУ)д{у) dy =	[f{x)	-	f(x	-	<Tny)My)	dy.
Интеграл в правой части стремится к нулю при п —> оо согласно теоре¬
ме Лебега о мажорируемой сходимости, ибо величины f(x) — f(x — апу)
равномерно ограничены и стремятся к нулю.
Действительно, по формуле замены переменных имеем

9.10. Дополнения и задачи
529
(ii) Если / — ограниченная измеримая функция и д локально огра¬
ничена, то доказанное равенство выполняется в каждой точке Лебега
функции / (см. [26, теорема 5.8.4]).
(iii) Если / £ L^IR1), где 1 < р < оо, то / *	—► /	в L^IR1), что
выводится из (i) с помощью приближения непрерывными функциями
и неравенства Гёльдера.
Аналогичные вопросы возникают и для более общих ядер.
Характерным примером другого типа является преобразование
Гильберта, задаваемое сингулярным интегралом
G(z) = 1 jz. Пусть sign у = 1 при у > 0 и sign у = —1 при у < 0.
9.10.2.	Теорема. Преобразование Гильберта (9.10.1) в L2(JR}),
существует и является ограниченным оператором. При этом опе¬
ратор Н унитарно эквивалентен оператору умножения на функцию
€(у) sign У и потому сам является унитарным оператором.
Доказательство. Положим в£ := /jRi\[-e>e]* Оператор Не име¬
ет вид свертки f * h£, где функция he(y) = (тгу)~1в£(у) квадратично-
интегрируема. Вычислим ее преобразование Фурье. Достаточно най¬
ти преобразование Фурье в смысле обобщенных функций. Поскольку
тгyh£(y) = 6£(у), то m(Fh£)' = TQe. Преобразование Фурье функции в£
в ^'(ГО,1) легко вычислить явно, ибо в£ = 1 — /[-е,ф где Т\ — у/2п5,
Т1[-£у£](х) = y/Sftx-'smiex). Таким образом,
m(!Fhey = у/2тг8 - \/2/пх~1 sin(ex) = i/7r/2(signх)' — \j2jixx~x sin(ex).
Следовательно, найдется такая постоянная Се, что
Так как h£(—х) = — h£(x), то Th£ — нечетная функция, откуда С£ = 0.
Функция
для функций из L^IR1). Здесь в качестве ядра выступает функция
понимаемое как предел в L2(JR}) интегральных операторов
о У

530
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
равномерно ограничена по х и е, ибо
fR sin и . fR cos и _ cos R n
/ 	an— I —an  —h cos R.
J i	и Ji и2 R
При этом lim 'фе(х) = 0 для каждого х. Следовательно, для каждого
£—>0
Ч> £ Z/^IR1) имеем (л/^гFhe)(p —> —i(signx)<p в Z/^IR1). Итак, преобра¬
зование Фурье осуществляет унитарный изоморфизм между операто¬
ром Не и оператором умножения на ограниченную измеримую функ¬
цию y/2nFhe(x) = —гsignх — 2т~1,фе(х). Ввиду унитарности преобра¬
зования Фурье получаем сходимость H£f к F~lA^Ff в L2{IR1), где
— оператор умножения на £(х) = —г sign х.	□
9.10.3. Замечание. Возможно и другое обоснование существова¬
ния преобразования Гильберта. Для этого рассмотрим свертки
Функция д£(у) := (л)~гу(у2 + £2)-1 входит в l/^IR1). Ее преобразова¬
ние Фурье имеет вид Fg£\x) — %[FG£{x)]\ где G£(y) = (п)~г (у2 + е2)~г.
Ввиду равенства FGe(x) = (27г)”1/2е:”1е”е1ж1 (см. пример 9.3.2(iv)) по¬
лучаем
\/27гFge(x) = —ie~e№ signx.
Ограниченные операторы умножения на эти функции сходятся на каж¬
дом элементе из L2(IR1) к оператору умножения на —г sign х.
Более тонкий анализ показывает, что преобразование Гильберта
Н продолжается до ограниченного оператора в каждом пространстве
L^IR1) при 1 < р < оо, причем H£f —> Hf при е —> 0 по норме L^IR1)
и почти всюду для каждой функции / £ L^IR1). Изложим принадле¬
жащее М. Риссу доказательство ограниченности Н в L^IR1).
9.10.4. Теорема. Для всякого р £ (1,оо) существует такое чис¬
ло Ср, что ЦНгхЦр < СрЦиЦр для всех и £
Доказательство. Мы можем ограничиться случаем р = 2&, где
к £ 3N, ибо ввиду интерполяционной теоремы 6.10.77 это охватит все
р > 2, а затем, с учетом равенства Н* = —W, и веер £ (1,2). Достаточно
найти общее Ср для всех вещественных и £ Cq^IR1). Положим
/ r4dt’ **z>0-
ш J TR t ~ Z
Функция / аналитична в верхней полуплоскости и оценивается через
C{u)\z\~l вне некоторого круга. Используя ограниченность отношения

9.10. Дополнения и задачи
531
\u(t) — u(£)\/\t — £| на прямой и финитность и, нетрудно проверить,
что функция / ограничена и при приближении к вещественной оси
стремится к и + iv, где v = Ни. Функция f2k аналитична в верхней
полуплоскости и имеет нулевой интеграл по контуру, состоящему из
отрезка [—Д, R] + ге и полуокружности радиуса R над отрезком. При
R —► оо интеграл по полуокружности стремится к нулю ввиду оценки
\f(z)\2k ^ C(u)2k\z\~2k. При е —> 0 получаем, что интеграл от функции
(и + iv)2k по IR1 равен нулю. Так как для всякого 8 > 0 верно нера¬
венство ulv2k~l < 8v2k + 8~2ки2к, 1 < I ^ 2к — 1, то интеграл от v2k
оценивается через интеграл от 2k8v2k -f MkU2k, где М& зависит лишь
от к. При 8 = (4fc)-1 это дает нужную оценку с Сг* = (2Мк)1^2^-	□
Если / € L1(IR1), то конечный предел lim Hef(x) существует почти
е—>0
всюду, но он уже не обязан входить в L1(IR1) (достаточно найти Hf для
/ = ^[а,ь])* Заметим, что оператор Q в Ь2[0, +оо) с ядром {t + s)-1 тоже
непрерывен, ибо Q = С2, где £ — преобразование Лапласа. О более
общих ядрах с особенностями см. Стейн [197] и Torchinsky [536].
9.10(ii). Теоремы вложения
В теории пространств Соболева и в ее приложениях важную роль
играют так называемые теоремы вложения, которые утверждают, что
при определенных условиях нар, к и п пространство Wp,k(lRn) состоит
из непрерывных функций и вложено в некоторое Lq(lRn). Простейший
пример: пространство W'1,1^1) вложено в пространство ограниченных
непрерывных функций. В многомерном случае положение более слож¬
ное, но тем более замечательно, что и здесь имеются просто формули¬
руемые теоремы вложения. Мы ограничимся доказательством самого
характерного и важного результата и формулировками других.
9.10.5.	Теорема, (i) Если р > п или р = п = 1, то имеет место
вложение Wp,1(lRn) С Сь(Шп) = C(IRn) П L°°(IRn). При этом суще¬
ствует такое число С(р, п) > 0, что
ll/IU-di») < С(р,п)WfWw^, f € W^IR").	(9.10.2)
(ii) Если p e [l,n), то Wp,1(]Rn) С Lnp/(n_p^(IRn). При этом су¬
ществует такое число С(р, п) > 0, что
||/||£-р/(.-.)(и»)<С7(р,п)||/||иг..1,	/ е Wp,1(IRn). (9.10.3)
Доказательство. Случай р = п = 1 тривиален. Пусть р > п > 1.
Достаточно установить оценку
sup|yj(x)| < C{p,n)\\<p\\Wr,i, <Р е Cg°(]Rn).

532
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
В свою очередь, достаточно показать, что |<р(0)| < C(p,n)\\(p\\WPA при
всех ср е Co°(IRn). Это будет сделано, если мы найдем такое число С,
что |<р(0)| <	для всех (р с носителем в единичном шаре U.
Действительно, возьмем функцию £ £ C°°(IRn) с £(0) = 1 и носителем
в U. Тогда для всех и £ Co°(IRn) получим
|<(0М0)| < C||V(C^)||lp < C[max[|C(a;)| + |VC(®)|] 1Мк*д-
X
Для всякого единичного вектора и формула Ньютона-Лейбница дает
—<£>(0) = [ (yp(tu),u) dt.
Jo
Проинтегрируем это равенство по единичной сфере S по стандартной
поверхностной мере сг7Х_1 и получим
-<р(0) = <ТП(5)_1 / / (V<p(tu),u)dtcrn-i(du).
Js Jo
В правой части легко узнать записанный в сферических координатах
интеграл по U. По формуле замены переменных находим
-¥>(0) = <т„(5)-1 [ |ж|1-п(Уу>(ж), |ж|-1ж) dx.
Ju
По неравенству Гёльдера получаем
а\ (p-i)/p
r	dx)	=	С(п,р)IIV^IUp,
ибо интеграл от |х|р(1-п)/(р-1) по U конечен. Это проверяется возвра¬
том к сферическим координатам, что с точностью до множителя при¬
водит к степени интеграла от ta по [0,1], где а = (1 — п)/(р — 1) > —1.
(ii)	Достаточно установить оценку (9.10.3) для (р G Со°(Шп). Для
каждого j ^ п из формулы Ньютона-Лейбница находим
/+оо
\dyMxi,...,yj,...,xn)\dyj.
-ОО
Функцию под интегралом обозначим через \dVjip\. Тогда
П / /*+оо	\	1/(п—1)
Ых)\п/{п-1) < П(>/_оо \ъмdVi)
Проинтегрируем это неравенство последовательно по xi,..., хп, приме¬
няя после каждого интегрирования обобщенное неравенство Гёльдера
11^1 * "'Фп-Ль1 ^ 11^1 \\ьп~' * ’ * ll^n—1 ||ьп-1 •

9.10. Дополнения и задачи
533
Это даст оценку
1 /п
^ \dyi4>\dxj < <?(«)!! V<p|U»-
Итак, получено неравенство (9.10.3) при р— 1. Ясно, что оно остается
в силе и для \<р\а, где а = (п — 1)р/(п — р) > 1 в случае р > 1. Значит,
IIIvle IL./(«-i) < c(nHI IИ“-11'v<p\IIl» ^ ^("Ч! Ma_1l||is || I||ьр•
Остается заметить, что ап/(п — 1) =пр/(п— р) и (а — 1)рг = пр/(п — р),
откуда
IImiu-., - iMfcKrw, ||м“-чц„. = ии1й;,1Лг”.
что завершает доказательство.	□
При р = 1 неравенство (9.10.3) называется неравенством Гальярдо-
Ниренберга; оно показывает, что интегрируемая функция на Жп с ин¬
тегрируемым градиентом на самом деле входит в Ln/(n_1)(IRn).
Функция из Wn,1(]Rn) не обязана быть локально ограниченной (см.
пример 9.8.8(ii)), но на каждом шаре U она входит во все Lr(U).
Из доказанного можно вывести следующие утверждения.
9.10.6. Следствие. Имеют место следующие вложения.
(i) Если кр < п, то Wp'k(lRn) С Ьпр^п~кр\Жп).
(и) Если кр > п, то Wp>k(lRn) С C(IRn) П L°°(lRn).
(Ш) \Уг'п(Шп) С C(JRn) Г) L°°(JRn).
Аналогичные утверждения верны и для областей с достаточно ре¬
гулярными границами, но постоянные будут зависеть и от областей.
В отличие от всего пространства, для ограниченной области ft име¬
ются включения Lp(ft) С Lr(ft) при р> г. Это приводит к более широ¬
кому спектру теорем вложения. Сформулируем основные результаты
для шара ft = В(а, г) С IRn. Положим Wq,° := Lq.
9.10.7. Теорема, (i) Если кр < п, п - кр < п, то
Wpj+k(Sl) С	j = 0,1,..., q <
(ii) Если кр = п, то Wp'j+k(ft) С Wq'3(ft), j = 0,1,..., q < оо.
Если при этом р — 1, то W^n,1(ft) С Cb(Q).
(iii) Если кр > п, то Wp'i+k(ft) С C3b{ft), j — 0,1,...
Кроме того, эти вложения, кроме случая (i) с q = пр/(п — кр),
являются компактными операторами.
При k = 1 соболевские функции можно описать через поведение на
прямых следующим образом.

534
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.8. Теорема. Функция / £ Lp(lRn) входит в Wp,1(lRn) в точ¬
ности тогда, когда она имеет такую модификацию g, что при фик¬
сированном г для почти всякого (j/i,..., г/г—i ? 2/iH-i ? * * * >Уп) € IRn_1
функция Xi <7(2/1,...,г/г-ь #г> 2/i+i, • • • , 2/п) абсолютно непрерывна на
всех отрезках, а функция dXig (существующая почти всюду) входит
в класс Lp(IRn).
Доказательство. Для упрощения формул рассмотрим случай
п = 2, р = 1. Если такая версия g есть, то с помощью одномерной фор¬
мулы интегрирования по частям легко убедиться, что функции dXig
служат обобщенными частными производными /. Пусть / £ Wrl,1(lR2).
Возьмем функции (fj £ Cq0 (IR2), сходящиеся к / в W1,1(IR2). Перейдя
к подпоследовательности, можно считать, что ||^>j+i — PjWw1*1 ^ 2-J,
причем {pj} сходится почти всюду. Зададим версию g функции / как
предел {pj(x)}, где он существует. При фиксированном положим
hj{x2) = /	[|<Pj+i(xbx2)	- <pj(xьх2)| +
УН1
~b |дЖ1^+1(Х1,Х2)	Pj	(X\, X2) |] <&Ti.
Тогда ряд из интегралов от hj сходится, т.е. Y^jLi hj (х2) < оо при по¬
чти всех Х2. Кроме того, при почти каждом есть точка х\, в которой
СХОДЯТСЯ функции фХ2yjl t	pj(t,X2). Поэтому ДЛЯ ПОЧТИ ВСЯКОГО Х2
последовательность функций фХ2^ сходится в некоторой точке и фун¬
даментальна в	По	формуле Ньютона-Лейбница это влечет ее
сходимость на всей прямой к локально абсолютно непрерывной функ¬
ции из W1,1(IR1). Итак, функция g обладает нужным свойством по х\.
Ясно, что так же обстоит дело и с Х2•	□
Отметим, что не всегда можно найти версию, непрерывную по каж¬
дой переменной отдельно (задача 9.10.38).
9.10(iii). Теоремы Бохнера и Пэли-Винера
Здесь мы приведем теорему Бохнера, описывающую преобразова¬
ния Фурье неотрицательных мер, и две теоремы Пэли-Винера, харак¬
теризующие преобразования Фурье основных и обобщенных функций
с компактными носителями. Функция р: IRn —» С называется положи¬
тельно определенной, если 1 <чс^р{хг — Xj) ^ О для всех к £ JN,
С\, . . . , Cfc £ С, Х\, . . . , Xfa £ 1R •
9.10.9. Теорема. Функция р: IRn —> С является преобразовани¬
ем Фурье неотрицательной борелевской меры на Нп в точности то¬
гда, когда она непрерывна и положительно определена.
Доказательство см. в [26, §3.10(v), §7.13].

9.10. Дополнения и задачи
535
9.10.10. Теорема. Преобразование Фурье функции f из Т>(Жп)
с носителем в шаре Br = {х: |х| < R} продолжается до целой ана¬
литической функции g на Сп, для которой при каждом N > 0 суще¬
ствует такое число См, что
|з(г)| < CN{ 1 + |2|)-ivехр(Д|1тz|),	2	€	Сп.
Обратно, всякая целая функция g на Сп, удовлетворяющая указан¬
ному условию, является голоморфным продолжением преобразования
Фурье функции из Т>(Шп) с носителем в шаре Br.
9.10.11. Теорема. Преобразование Фурье обобщенной функции F
из S'(lRn) с носителем в шаре Br = {х: |х| < R} продолжается до
целой аналитической функции G на Сп, для которой при некоторых
числах C,N ^ 0 выполнено неравенство
\G(z)\ < С( 1 + |^|)Nexp(U|Im^|), z £ Cn.
Обратно, всякая целая функция G на Сп, удовлетворяющая указан¬
ному условию, является голоморфным продолжением преобразования
Фурье обобщенной функции из 5'(тп) с носителем в шаре Br.
Доказательства см. в Рид, Саймон [180, §1Х.З], Рудин [188, гл. 7].
Задачи
9.10.12? Вычислить преобразование Фурье индикатора параллелограм¬
ма [ai, bi] х • • • х [an, bn] С IRn.
9.10.13? Привести пример функции / £ L^IR1), преобразование Фурье
которой не входит ни в L1(IR1), ни в L2(1R1), а также пример функции g
из L2(H1), преобразование Фурье которой не входит в L1(1R1).
9.10.14.° Найти преобразование Фурье следующих обобщенных функ¬
ций класса ^'(IR1): (i) sign ж, (ii) V.P. x-1, (iii) (ж + гО)”1, (iv) 0(aj)sinaj, где
9 = l[o,+oo) — функция Хевисайда, (v) |ж|, (vi) F(x) = —x при x < 0, F(x) = x2
при x ^ 0, (vii) F(x) = 0 при x < 0, F(x) = sin ж при x ^ 0, (viii) F(x) = x
при x < 0, F(x) = sin ж при x ^ 0, (ix) F(x) = sin(a:2), (x) F(x) = x~x sin ж.
9.10.15? Доказать, что ,F(V.P.|aj|_1)(2/) = с\ + С2 In \у\, где ci, Съ — числа,
а обобщенная функция У.Р.|ж|_1 задана в задаче 8.6.47. С помощью этого
равенства вычислить преобразование Фурье In |ж| в ^'(IR1).
9.10.16? Доказать, что уравнение F* = F не имеет ненулевых решений
в S'OR1).
9.10.17° Из теоремы 9.4.1 вывести равенство f * g = (2ж)n^2fg, если
/ € £2(ПГ) и g £ С2{Жп) шшд£ Сг(Шп).
9.10.18.	С помощью преобразования Лапласа решить дифференциаль¬
ное уравнение f"(x) + f(x) = х с начальными условиями /(0) = 1, /;(0) = 0.

536
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.19.° Пусть / £ £1(Н1) и / = 0. Доказать, что / = 0 п.в. так:
/(• + t) = 0, откуда Fh = 0, где Fh(y) — интеграл f(y -f1) по t е [0, h], h > 0.
9.10.20. Пусть / € £1(IR1) и / ^ 0. Доказать, что / € L^IR1), причем
для всякой точки Лебега х функции / верно равенство
г+оо
/(ж) = (2-7г)—1/2 / etxvf(y) dy.
J — ОО
9.10.21. Пусть /,<7 6 £*[0,-foo) продолжены нулем на (—оо,0). (i) До¬
казать, что £(/ * д) = л/пCf • £</, где С — преобразование Лапласа.
(ii) Пусть / G С1 [0, -foo) и Cf = 0. Доказать, что / = 0 п.в.
(iii) Доказать утверждения (i) и (ii) для функций из £2[0, -foo).
9.10.22. (i) Проверить, что оператор С2 в L2[0, -foo), где С — преобра¬
зование Лапласа, задается ядром /С(£, s) = 7г_1(£ -f s)_1.
(ii)	Доказать, что норма преобразования Лапласа в L2[0, -foo) равна 1.
Указание: (ii) показать, что С2 имеет норму 1, рассмотрев функции
Фа,ь(1) = *”1/2J[a,b], где а -+ 0, b —у -foo.
9.10.23. Пусть де(х) = ехр(—е\х\2) или де(х) = ехр(—£г|а:|), где е > 0.
Доказать, что для всякой функции / € £1(IR1) функции
Г+оо	^
/.(*) = (2х)-1/2 / е^тШ dy
J — ОО
сходятся к / в L1(IR1) при £ —► 0.
9.10.24. Пусть F(x) = sech(x^/7r/2), где sech(x) = 2(ех + е-х)-1. Дока¬
зать, что F = F.
9.10.25. Доказать формулу суммирования Пуассона:
(2тг)п/2 Efeez- /(2^) = £fc6Z„ /(*). / е 5(R").
9.10.26. Пусть £'(IRd) — пространство обобщенных функций с компакт¬
ными носителями. Оно является алгеброй относительно свертки. Доказать,
что эта алгебра не имеет ненулевых делителей нуля, т.е. если F *G = 0, где
F,G е £'(IRd), то хотя бы один из элементов F или G равен нулю.
9.10.27. Пусть / 6	Доказать	неравенство Гейзенберга:
/ /*+°о	\	2	Г+оо	г+оо
(/	1/(ж)|2<&)	<4/	x2\f(x)\2dx У \f(y)\2dy.
J — оо	J—ОО	J	—оо
Указание: для / € Со° (И1) имеем
i/(^)i2= Г f(t)W)dt+ Г mmdt,
J — оо	«/ — оо
что с помощью интегрирования по частям дает
/+00		 Г+ОО
xf'(x)f(x)dx + / xf{x)f'(x)dx.
-оо	J—оо

9.10. Дополнения и задачи
537
Применить к правой части неравенство Коши-Буняковского и заметить, что
интеграл от |/'(ж)|2 равен интегралу от |/'(у)|2, а последний есть интеграл от
\yf(y)\2. Другой способ: положить Df = if' и Af(x) = xf(x), использовать
равенство (AD — DA)f = if и симметричность А и D.
9.10.28. Пусть д — абсолютно непрерывная вероятностная плотность
на IR1. Доказать неравенство
1.
J-oo	J-oo в(х)
Интеграл от функции х2д(х) называется вторым моментом р, а интеграл от
\д' (х)\2 / д(х) называется информационным количеством Фишера д.
9.10.29. (i) Доказать, что <р есть преобразование Фурье функции из
L1(IRn) в точности тогда, когда (р = ф\ * где фг,ф2 € L2(IRn). (ii) Дока¬
зать, что комплексная функция <р равна преобразованию Фурье неотрица¬
тельной абсолютно непрерывной меры в точности тогда, когда существует
такая комплексная функция ф € L2(IRn), что
ср(х) = / ф(х + у)ф(у) dy.
JlR71
9.10.30. Доказать, что при 1 < р < 2 преобразование Фурье продолжа¬
ется до непрерывного оператора из Lp(IRn) в L9(IRn), где 1/р + 1/q = 1.
Указание: применить теорему 6.10.77.
9.10.31. Доказать, что существует равномерно непрерывная функция /
на И1, которая удовлетворяет условию Ит^^оо f(x) = 0, однако не является
преобразованием Фурье никакой функции из L1(IR1).
Указание: в противном случае преобразование Фурье Т было бы биек¬
цией между L1 (IR1) и пространством Е ограниченных равномерно непрерыв¬
ных комплексных функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Так как
Е банахово с sup-нормой, а Т непрерывно со значениями в^с этой нормой,
то по теореме Банаха об обратном операторе отображение Т~х тоже было
бы непрерывно. Однако это неверно: можно взять четные гладкие функции
fj с носителем в [—1,1] и 0 ^ fj ^ 1 так, что fj(x) —► f(x) = I[-i,i](x) пото¬
чечно. Последовательность функций gj = fj не ограничена в L1, ибо / 0 L1.
При этом gj = E~xfj, где последовательность {fj} ограничена в Е.
9.10.32. Доказать, что пространство И^^О, 27т] всех абсолютно непре¬
рывных комплексных функций / на [0,27т] с /' € Ь2[0,27т] и /(0) = /(27т)
есть образ оператора В в L2[0,27т], имеющего собственные функции exp(ikt)
с собственными числами /Зо = 1, (Зк = кг1 при к ф 0.
Указание: если / е	27т] и f(t) = ]СьП-оо с*= ехр(Ш), то /40 =
i Ylt^-oo	exp (ikt)] обратно, если для коэффициентов Фурье Ск функции
/ ряд из \кск\2 сходится, то легко проверить, что / € И^1 [0,27г].
9.10.33. Доказать, что при некотором С > 0 для всякой нечетной функ¬
ции / G /^(IR1) имеем | J s-1/(s)ds|^ СЦ/Ц^! при t ^ 0.

538
Глава 9. Преобразование Фурье и пространства Соболева
9.10.34. Пусть / £ £1(Н1). Доказать, что / восстанавливается по /
с помощью суммирования по Чезаро в следующем смысле:
Пх)=[f_teixvKy)dydt
для почти всех х, включая все точки непрерывности функции /.
9.10.35. Пусть / £ £1(Н1). Доказать, что для всех £ верно равенство
f*	1	fT е^у	—	1 ~
/ f(x)dx = -= lim /	—;	/Ы%
Уо	т—*+оогу
9.10.36. Пусть / £ VT1,1(IRn). Доказать, что / обращается в нуль почти
всюду на множестве {х: V/(a?) = 0}.
9.10.37.	Доказать теорему 9.8.7 при р = 1.
9.10.38.	Привести пример функции / £ VT1,1(IR2),	не имеющей моди¬
фикации, непрерывной по каждому переменному отдельно.
9.10.39. Пусть U — полупространство {х: a?i > 0} в Нп. Доказать, что
каждой функции / £ WP,1(U) можно сопоставить функцию Т/ £ VTp,1(IRn)
так, что оператор Т линеен и непрерывен, причем Т/ = /, если / есть суже¬
ние на U гладкой функции, четной относительно переменной х\.
9.10.40. Выяснить, компактно ли вложение W'1,1((0,1)) в С(0,1).
9.10.41. (С.Н. Бернштейн) Для всякого мультииндекса а = (ai,..., ап)
есть такое <7(n, а) > 0, что если / £ £°°(IRn) и / в смысле <S'(IRn) является
функцией с носителем в единичном шаре, то ||0^/1к°° ^ С(п,а)\\/\\ь°° •
Указание: / = / * у, где д £ 5(lRn), д имеет носитель в шаре радиуса 2
и равняется (27г)~П//2 на единичном шаре.
9.10.42? (Харди и Литтлвуд) (i) Если измеримая функция / на прямой
такова, что функция \f(x)\q\x\q~2> где q > 2, входит в /^(Н1), то / £ /^(Н1)
и / £ СЯ(Ш}). (ii) Если / £ ^(И1), где 1 < р < 2, то функция \x\p~2\f(x)\p
входит в ^(IR1).
9.10.43? (Титчмарш) Пусть 0<а^1и/£ ^(IR1), где 1 < р ^ 2. Если
ll/( * + h) - f\\Lp = 0(ha) при -► 0, то / £ Lr( IR1) при -p+*p~zi <r^^.
9.10.44? Обобщенная функция F £ T>'(JRn) называется однородной сте¬
пени d, если (F, <p(A*)) = Лd(F, (р) для всех (р £ 2>(IRn) и Л > 0. Доказать, что
в этом случае F £ <S'(IRn).
9.10.45? Пусть Р ф 0 — многочлен на IRn и L — порожденный им диф¬
ференциальный оператор. Пусть П — ограниченная область в Нп. Доказать
неравенство Хёрмандера ||/||ь2(п) ^ С(Р, H)||L/||i,2(n), / £ L2(Q). Вывести
из него, что для всякого G £ L2(Q) найдется F £ Ь2(С1) с LF = G в смысле
обобщенных функций.
Указание: см. [44, с. 207].

Глава 10
Неограниченные операторы и теория
полугрупп
Эта глава посвящена основам спектральной теории неограни-
ченных самосопряженных операторов и элементам теории опе¬
раторных полугрупп. Главные приложения этих теорий связа¬
ны с дифференциальными уравнениями в частных производных
и математической физикой, в частности, квантовой механикой,
но имеются важные применения и во многих других областях
математики, например, в теории случайных процессов и геомет¬
рии. Рассматриваемые в этой главе пространства считаются ком¬
плексными, если не оговорено противное.
10.1.	Графики и сопряженные
Как мы уже знаем, на всяком бесконечномерном нормиро¬
ванном пространстве существуют разрывные линейные функци¬
оналы. Однако теория неограниченных самосопряженных опера¬
торов имеет дело с неограниченностью другого рода: характе¬
ристической чертой этих операторов является то, что их область
определения не совпадает со всем пространством. Типичный при¬
мер — дифференциальный оператор, считающийся оператором
на пространстве L2, хотя его область определения меньше.
10.1.1.	Определение. Пусть X uY — банаховы простран¬
ства. Линейное отображение Т из плотного линейного подпро¬
странства Э(Т) С X, называемого областью определения Т,
в пространство Y называется плотно определенным линейным
оператором в X.
Оператор Т с областью определения 2)(Т) называется за¬
мкнутым, если в XxY замкнут его график
Г(Т) := {{х,Тх} € XxY: х G 2)(Т)}.

540
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Отметим, что ядро КегТ замкнутого оператора Т всегда за¬
мкнуто, несмотря на возможную незамкнутость 2)(Т). Действи¬
тельно, если хп € 3)(Т), хп —> х и Тхп = 0, то х € 2)(Т) и Тх = 0.
Множество значений линейного отображения Т, заданного на
линейной области определения 2), обозначим через RanT, т.е.
RanT:=T(2>).
Согласно теореме о замкнутом графике всякий замкнутый
оператор, заданный на всем банаховом пространстве, ограничен.
Поэтому всякий неограниченный всюду определенный оператор
служит примером плотно определенного незамкнутого линейного
оператора. Приведем пример неограниченного плотно определен¬
ного замкнутого оператора. Далее до §10.4 включительно в целях
упрощения изложения мы будем обсуждать только операторы в
гильбертовых пространствах. Лишь в §§10.5-10.6 в связи с полу¬
группами мы вернемся к общим банаховым пространствам.
10.1.2. Пример. Пусть Н = I2. Положим
оо
3)(Т) = е I2: £п24<оо}, Тх = (х\,2х2,Зхз, ...).
71=1
Если векторы хк = (хк) сходятся к х, а векторы Тхк сходятся
к у, то ясно, что х 6 2)(Г) и Тх = у.
10.1.3. Определение. Говорят, что оператор (5,2)(£)) яв¬
ляется продолжением оператора (Г, 2)(Г)); если
2>(Г)С2)(5) и 5Ь(г)=Г.
Обозначение: Т С 5.
Для неограниченных операторов область определения явля¬
ется не менее важной характеристикой, чем сам способ задания
оператора на этой области. Операторы, заданные одним и тем
же выражением на разных областях, являются различными опе¬
раторами и, как мы увидим ниже, могут обладать совершенно
разными свойствами.
10.1.4. Определение. Плотно определенный линейный опе¬
ратор Т называется замыкаемым, если он имеет замкнутое
продолжение.
Если оператор Т замыкаем, то замыкание 2)(Т) его графика
является графиком оператора, называемого замыканием Т и обо¬
значаемого символом Т.

10.1. Графики и сопряженные
541
Область определения 2)(Т) оператора Т в гильбертовом про¬
странстве Н можно наделить скалярным произведением
(х,у)т := (х,у) + (Тх,Ту).
Полученное евклидово пространство обозначим через Дг• Норма
II^IIt :== у/0е» х)т
оказывается эквивалентной норме, индуцированной из Н, только
в том случае, когда оператор Т ограничен.
10.1.5. Лемма. Плотно определенный оператор Т замкнут
в точности тогда, когда пространство Dt гильбертово.
Доказательство. Отображение х н-* {х,Тх} — изометрия
пространств Dt и Г (Г).	□
Приведем пример оператора, у которого нет замыкания.
10.1.6. Пример. Пусть Н = Ь2[0,1], 2)(Т) = С[0,1],
Tx(t) = ж(1) • l(t),
где 1 — функция, тождественно равная 1. Оператор Т не имеет
замыкания. Действительно, пусть xn(t) = tn. Тогда хп 6 3)(Т),
хп —> 0 в Я, но Тжп = 1.
Для рассмотрения графиков операторов в гильбертовом про¬
странстве Н введем в Н х Н унитарные операторы
U: ЯхЯ^ЯхЯ, U{x,y} = {y,x},
V: ЯхЯ^ЯхЯ, Чж,у} = {-|/,ж}.
Операторы 17 и У удовлетворяют равенствам
?/2 =	V2	=	jyy	=	_уг7
Отметим следующее соотношение, справедливое для всякого мно¬
жества Е С ЯхЯ:
(УЕ)Х = V^) =	(10.1.1)
Первое равенство следует из того, что унитарный оператор пере¬
становочен с ортогональным проектированием, а второе вытекает
из равенств V2 = —I и Е1- = —Е^.
10.1.7. Предложение. Пусть плотно определенный опера¬
тор Т в гильбертовом пространстве Н имеет плотный образ
и КегТ = {0}. Тогда замкнутость Т равносильна замкнутости
оператора Т~1 с областью определения 2)(Т-1) = Ran Т.
Доказательство. Надо заметить, что Г(Т-1) = UT(T). □

542
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.1.8. Определение. Пусть оператор Т в гильбертовом
пространстве Н имеет плотную область определения 2)(Т). За¬
дадим оператор Г* следующим образом: у Е 2)(Т*), если найдет¬
ся такой элемент Т*у := z Е Н, что
(Тх,у) = (х, z) для всех х Е 2)(Т).
По теореме Рисса вектор у входит в 5)(Т*) в точности тогда,
когда функционал х н-* (Тх, у) на 2)(Т) непрерывен относительно
нормы из Н.
График Т* связан с графиком Т следующим образом.
10.1.9. Предложение. Пусть Т — плотно определенный
оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
Г(Г*) = [VT(T)]X,
где ортогональное дополнение берется в Н х Н. В частности,
оператор Т* замкнут.
Доказательство. По определению {у, z) е Г(Т*) в точно¬
сти тогда, когда (Тх,у) = (х, z) для всех х Е 2)(Т), что можно
записать как ортогональность {—Тх, х} и {у, z) в НхН. Послед¬
нее и есть ортогональность {у, z} подпространству УГ(Т). □
10.1.10. Следствие. Если Т — замкнутый плотно опреде¬
ленный оператор в Н, то НхН является ортогональной суммой
замкнутых подпространств VT(Т) и Г(Т*), т.е.
tfxtf = УГ(Т)©Г(Г*).
В частности, для всякой пары векторов х,у Е Н существует
единственная пара векторов и Е 2)(Т), v Е 2)(Т*), удовлетворя¬
ющая равенствам
х = —Ти + v, у = и + T*v,
fell2 + fell2 = fell2 + ||Ти|р + fell2 + ||T*vp.
Ясно, что О Е Я)(Т*) для всякого плотно определенного опе¬
ратора Т. Однако может случиться, что JD(T*) не содержит нену¬
левых элементов.
10.1.11. Пример. Достаточно построить оператор в Н = I2,
график которого всюду плотен в Н®Н. Для этого возьмем линей¬
но независимое всюду плотное счетное множество В\ = {Ь*} в JT,
добавим к нему всюду плотное счетное множество B<i = {b%},
линейно независимое с В\, и продолжим по индукции. Получим

10.1. Графики и сопряженные
543
счетный набор всюду плотных счетных множеств = {Ь^}, ко¬
торые в совокупности линейно независимы. Дополним построен¬
ное счетное линейно независимое множество до базиса Гамеля
и положим ль* = н, а на добавленных векторах базиса опре¬
делим А нулем. По линейности распространим А на Н. График
А всюду плотен в Н х Н: ввиду линейности графика достаточно
проверить, что всякий вектор вида	входит	в	замыкание
графика, а для этого надо взять последовательность Ъ* —> Ь^.
10.1.12. Предложение. Пусть Т — оператор с плотной
областью определения 2)(Т) в гильбертовом пространстве Н.
Тогда
(i) (Г + ву = Т* + В* для всех В Е_С(Н),
(ii) (AT)* = АТ* и (Т + XI)* = Г* + А/ для всех A G С.
Доказательство . (i) Очевидны равенства 2) (Т+В)=2) (Т),
©(Г* + В*) = Ф(Т*). При у Е ©(Г*), х Е ©(Г) имеем
(Г* + В®, у) = (*, Т*у) + (*, В*у) = (®, Т*у + В*у),
т.е. Т* + В* С (Т+В)*. Применяя доказанное к операторам Т+В
и —В, получаем обратное включение.
(ii)	Первое равенство очевидно, а второе следует из (i).	□
Между образом оператора и ядром сопряженного имеется та¬
кая же связь, как и для ограниченных операторов.
10.1.13. Предложение. Пусть Т — линейный опера¬
тор с плотной областью определения ©(Т) в гильбертовом
пространстве Н. Тогда замкнутые подпространства RanT
и КегТ* взаимно ортогональны, причем Н = RanTф КегТ*.
Кроме того, для всякого А 6 С имеем
Н = Ran (Т — XI) ф Кег (Т* - XI).
Доказательство. Подпространство КегТ* замкнуто ввиду
замкнутости Т*. Включение у Е КегТ* равносильно тому, что
(Тх,у) = 0 для всех х Е ©(Т). Последнее есть в точности усло¬
вие у J_ RanT. Следовательно, для всякого и Е Н мы получаем
элемент v в RanT, являющийся ортогональной проекцией и на
это замкнутое подпространство, а также элемент w := и —v, ор¬
тогональный RanT, т.е. входящий в КегТ* согласно сказанному
выше. Последнее утверждение предложения следует из первого
применительно к оператору Т — А/.	□

544
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.1.14.	Предложение, (i) Если оператор Т допускает за¬
мыкание, то (Т)* = Т*.
(ii) Пусть оператор Т плотно определен. Оператор Т*
плотно определен в точности тогда, когда Т замыкаем. При
этом Т** = Т.
(iii) Пусть Т — такой оператор, что множества D(T)
и RanT плотны и КегТ = {0}. Тогда оператор (Т*)-1 плотно
определен, причем (Г*)-1 = (Т-1)*, где 2)(Г-1) = RanT.
Доказательство, (i) Мы имеем Г(Т*) = [VT(T)]-1-. Если Г
замыкаем, то Г(Т) = Г(Т), поэтому
[VTCT)]-1- = [ЕГ(Т)]Х = Г(Т*).
(ii) Пусть Т плотно определен и замыкаем. Согласно (i) мы
имеем Т* = (Т)*. Поэтому можно считать, что Т замкнут. Если
у _L 2)(Т*), то {у, 0} -L Г(Т*), что ввиду следствия 10.1.10 дает
включение {у, 0} € Г(Т). Значит, у = 0.
Обратно, пусть оператор Т* плотно определен. Оператор Т**
замкнут. При этом Т С Т**, что дает замыкаемость Т и включе¬
ние Т С Т**. Покажем, что на самом деле здесь равенство. Ясно,
что достаточно установить равенство Т = Т** для замкнутого
оператора Т. Это равенство следует из соотношений
Г(Т**) = [УГ(Г*)]\ Г (Г) = V~l([IXT*)]-1)
и равенства (10.1.1).
(iii) Плотность образа Т дает равенство Кег Г* = 0. Поэто¬
му оператор (Г*)-1 определен на образе Т*. Сравним графики
операторов (Г*)-1 и (Т-1)*. Имеют место равенства
Г((Т*)-1) = Е/Г(Т*) = [/([УГ(Г)]-1),
Г((Т-1)*) = [^(Г-1)]^ = [У[/Г(Г)]Х.
Их правые части совпадают, ибо операторы U и V перестановоч¬
ны с ортогональным проектированием и UV = —VU.	□
Для неограниченных операторов также полезно ввести поня¬
тие регулярной точки. Пусть Т — замкнутый оператор. Число
Л € С называется регулярным для Т, если Т — XI имеет ограни¬
ченный обратный на области Ran(T — Л/), т.е. для некоторого
с > 0 выполнено неравенство
||(г-АОД^с|И|, ®еФ(Т).
(10.1.2)

10.2. Симметричные и самосопряженные операторы
545
Положим dr(A) := dim (Ran (Т — Л/))±, Л 6 С. Число dr(A)
называется дефектом оператора Т — А/.
10.1.15.	Предложение. Пусть Т — замкнутый оператор в
гильбертовом пространстве и А — его регулярная тонка. Тогда
существует открытый круг с центром в X, состоящий из ре¬
гулярных точек, причем функция dr постоянна на этом круге.
Доказательство. Если дано (10.1.2) и |А - р\ < с, то
||(Г - ц1)хII > (с - |А - /л\)\\х\\, х е Ф(Г).
Оператор Т — XI замкнут, ибо если
хп € 2)(Т), хп—>х и Тхп — Ххп —► у,
то Тхп —* Ах+у, откуда х € 2>(Т) и Тж = Ах+у, т.е. (Т—Х1)х = у.
Поэтому можно считать, что А = 0. Тогда из (10.1.2) следует, что
образы Т и Т — ц1 замкнуты. Покажем, что dr(0) ^ с?х(д). Если
Фг(0) > ^т(д)> то := (Ran (Т —	конечномерно,	причем
найдется ненулевой элемент г е (RanT)-1-, ортогональный Е^.
Значит, z Е Ran (Т — /х1), т.е. z = (Т — /л1)у, у € 2)(Т), у ^ 0. Так
как г J_ RanT, то (z,Ty) = 0. Поэтому
{Ту,Ту) = д(у,Ту) < д||у|| ||Ту||,
откуда ||Ту|| < м1Н1- Следовательно, у = 0 — противоречие. По¬
этому dr(0) < drip)- Аналогично dr{0) ^ drO-O*	D
10.2.	Симметричные и самосопряженные
операторы
Весьма важный для приложений класс операторов составля¬
ют неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве.
10.2.1. Определение. Оператор А с плотной областью
определения в гильбертовом пространстве называется самосо¬
пряженным, если А* = А.
Равенство операторов подразумевает, конечно, и равенство их
областей определения. Поэтому для неограниченных операторов
самосопряженность сильнее, чем симметричность.
10.2.2. Определение. Оператор А с плотной областью
определения 2) (А) в гильбертовом пространстве называется
симметричным, если
(Ах,у) = (х, Ау) для всех х,у € 2)(А).

546
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
В примере 6.8.8 мы видели, что всюду определенный сим¬
метричный оператор в гильбертовом пространстве обязательно
непрерывен. Поэтому неограниченный симметричный оператор
не может быть продолжен на все пространство с сохранением
симметричности. Следующий пример оператора дифференциро¬
вания является классическим в теории операторов во многих от¬
ношениях. В частности, он дает простой пример симметричного
оператора, не являющегося самосопряженным. Пусть АС[0,1] —
класс всех абсолютно непрерывных функций на [0,1].
10.2.3.	Пример. (Оператор дифференцирования) (i) Пусть
Н = L2[0,1]. На множестве Э(Л) = Со°(0,1) всех бесконечно
дифференцируемых комплексных функций с носителем в откры¬
том интервале (0,1) зададим оператор А формулой
Au(t) = iv!(t).
Этот оператор плотно определен. Для всех и, v £ 'З(А) имеем
(Аи, v) = г f v!(t)v(t) dt = [ u(t)iv'(t) dt = (u, Av)
Jo	Jo
по формуле интегрирования по частям. Итак, оператор А симмет¬
ричен. Однако он не является самосопряженным, ибо не является
замкнутым. Действительно,, пусть и — непрерывно дифференци¬
руемая, но не бесконечно дифференцируемая функция на [0,1]
с гл(0) = и(1) = 0. Легко видеть, что найдется такая последова¬
тельность функций ип £ Со°(0,1)? что ип —> и и ufn —» v! в L2[0,1].
(ii)	Покажем, что
Э(Л*) = {и е АС[0,1]: и! £ L2[0,1]}, А*и = iv!.
То, что всякая абсолютно непрерывная функция и с v! £ £2[0,1]
входит в Э(Л*) и А*и — iuf, ясно из приведенной выше формулы
интегрирования по частям с г; € Со°(0,1)* Это также показывает,
что 2)(Д*) не совпадает с 2)(А). Пусть и £ Э(А*), т.е. существует
такая функция w £ L2[0,1], что для всех v £ Со°(0,1) имеем
f w(t)v(t)dt = (w,v) = (А*и, v) = (u,Av) = f u(t)iv'(t) dt.
Jo	t	Jo
Положим uo(t) = —i w(s)ds. Для вещественных v £ Cq°(0, 1)
Jo
формула интегрирования по частям и равенство выше дают
j uo(t)v(t) dt = г j w(t)v(t)dt= f u(t)v'(t) dt.
Jo	Jo	Jo

10.2. Симметричные и самосопряженные операторы
547
Для всякой функции h из L2[0,1] с нулевым интегралом мож¬
но найти такую последовательность функций vn Е Cq°(0,1), что
vfn-^ h в L2[0,1]. Поэтому функция и — щ ортогональна всем та¬
ким h. Значит, она почти всюду равна константе — своему инте¬
гралу. Таким образом, вместе с щ абсолютно непрерывной функ¬
цией с квадратичной производной является и и. Наконец, ясно,
что А*и = iv!. Отметим, что оператор А* не является симмет¬
ричным.
(iii) Опишем теперь замыкание А. Покажем, что
Э(4**) = {u€AC[0, 1]: и' € L2[0, l],ti(0) = «(1) = 0}, А**и = ш'.
Указанная в качестве ответа область очевидным образом входит
в 2)(Д**) ввиду формулы интегрирования по частям. Как и выше,
основное — доказать обратное включение. Пусть и Е 2)(Д**). Из
уже доказанного следует, что и — абсолютно непрерывная функ¬
ция с и' Е L2[0,1], причем А**и = iv!. Теперь, однако, в нашем
распоряжении все гладкие функции v на [0,1], а не только с но¬
сителем в (0,1). Поэтому равенство
f iv!{t)v(t)dt = (A**u,v) = (u,A*v) = —г f u(t)vf(t)dt
Jo	Jo
для гладких вещественных функций v дает новое соотношение
гх(1)г;(1) = гх(0)г;(0), откуда и(0) = и(1) = 0. Оператор А** за¬
мкнут, как всякий сопряженный. Ввиду утверждения (ii) предло¬
жения 10.1.14 оператор А** совпадает с замыканием А. В част¬
ности, А** оказывается симметричным замкнутым, но не самосо¬
пряженным оператором, ведь (Л**)* = А = А* отличен от А**.
(iv) Оператор А имеет самосопряженные расширения (являю¬
щиеся также расширениями Л), причем все эти расширения име¬
ют вид Aq, где
Ъ(Ав) = {иеАС[0,1]: ti,eL2[0,l],ti(l)=H0)}» И = 1>
А$и = iu'.
Действительно, если Л — самосопряженное расширение Л, то
Л = Л* С А*, т.е. 2) (Л) С 2)(А*) и Аи = iv!. Условие симмет¬
ричности Л приводит к требованию ti(0)v(0) = u(l)v(l) для всех
и, v Е 3)(Л). Поскольку Л не является самосопряженным, то 2) (Л)
шире 2)(Л), т.е. найдется функция и Е 2)(А), для непрерывной
версии которой имеем и(0) Ф 0. Можно считать, что и(0) = 1.

548
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Тогда положим в = и(1) и при v = и получим \в\2 = 1. При этом
но, оператор Aq на 5)(Л^) симметричен и расширяет А. Поэтому
Ад С Л*, т.е. для всех и Е %)(Ад) имеем и Е АС[0,1] и uf Е L2[0,1].
Поэтому для всех и Е ®(Ад), v Е	получаем
что приводит к условию гх(О)0г;(1) = гл(1)г>(1). Поскольку мож¬
но взять v с v(l) = 1, то гл(0) = ви( 1). Итак, *!0(Ад) = ©(Л#),
а оператор Aq самосопряжен.
Следующий пример также важен для общей теории. Ниже мы
установим, что к такому виду приводится всякий самосопряжен¬
ный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве.
10.2.4.	Пример. Пусть ц — конечная неотрицательная мера
на измеримом пространстве (f2, В), и пусть <р — вещественная
/х-измеримая функция (не обязательно ограниченная). Зададим
оператор А^ на области
х Е L2(fi) оно содержит все xlnn, где Пп := {uj: |^(о;)| ^ п}.
Оператор А<р симметричен на этой области. Пусть и Е £)(Л*).
Тогда найдется w Е L2(fjb) с
для всех вещественных v Е 2)(Л^). Беря в качестве v индикато¬
ры измеримых подмножеств множеств Пп, получаем для /i-п.в. а;,
что ю(ш) =	).	Итак,	2)(Л*) = Э(Л^), а оператор А^ са¬
мосопряжен.
10.2.5.	Пример. Пусть Н — гильбертово пространство и П —
для всех v Е 5)(А) получим v(0) = 6v( 1), т.е. v(0) = 0v(l). Обрат-
u(u;)(p(uj)v(u>) n(du>) = w(uj)v(uj) /i(duj)
проекторная мера на ^(ГО,1) со значениями в С(Н). Положим

10.3. Спектральная теорема
549
где интеграл понимается как предел в Н интегралов по отрез¬
кам [—п, п] (существующих, как мы видели в §7.9). Тогда опера¬
тор А самосопряжен. В самом деле, легко видеть, что 2) (А) —
линейное пространство. Оно плотно, ибо для всякого х Е Н век¬
торы хп := П([ —п, п])х, сходящиеся к ж, входят в 2)(Л). При этом
Ах^ — Апх == I АсЯХя(А),
«/[—п,п]
где ограниченный самосопряженный оператор Ап задается суже¬
нием проекторной меры П на [—га, га] (см. §7.9). Если к > га, то
||Апж —	= {^Ап — Ак) х, ж) = f А2 сП1ж^(А),
Jn<\X\^.k
откуда следует фундаментальность {Ахп} по норме и существо¬
вание Ах = lim Апх. Покажем, что А* = А. Пусть у Е 2)(А*).
П—+00
Значит, \(Ах,у)\ < ||^4*2/|| ||#|| при х Е 2)(А). Из этого следует, что
у Е ©(A), ибо иначе := ||Апу|| —> оо, что невозможно ввиду
соотношения
1ИпУ|| = с~1(Апу,Апу) = с~1(АпАпу,у) = с~1(ААпу,у) < ||А*у||,
вытекающего из оценки ||c“L Апу|| ^ 1. Так как оператор А сим¬
метричен и 3)(j4*) = Т)(А), то А* = А.
10.3.	Спектральная теорема
Здесь мы установим, что неограниченные самосопряженные
операторы также приводятся к виду умножения на функцию, т.е.
предыдущий пример имеет универсальный характер. Сначала пе¬
ренесем преобразование Кэли на неограниченные самосопряжен¬
ные операторы.
10.3.1.	Лемма. Пусть А — самосопряженный оператор
в гильбертовом пространстве Н ф 0. Тогда операторы А + П
и А —И инъективны, а их образы совпадают с Н. Кроме того,
оператор U = {А — И)(А + г/)-1 является унитарным.
Доказательство. Имеем Кег (А —И) = Кег (А—И) = 0, ибо
если Ах = ix, то (Ах, х) = i(x,x) и х = 0, так как (Ах, х) € ГО,1.
Аналогично для А+iI. Образ А+И плотен, ибо если у G Н таков,
что (Ах + ix, у) = 0 для всех х € ®(А), то у Е Т)(А*) = ®(А),
откуда (х, Ay — iy) = 0, т.е. Ay = iy и у = 0. Заметим, что
\\Ах + гж||2 = ||Аж||2 + ||ж||2 = \\Ах - гх\\2 Уж € 2>(А),

550
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
так как (Ах,гх) = — г(Аж,ж) = —г(ж, Аж). Поэтому существует
линейная изометрия U между всюду плотными линейными под¬
пространствами (A + iI)(H) и (A — iI)(H), задаваемая формулой
U(Ах + ix) = Ах — гж, х £ 3)(А).
Ввиду инъективности А + И оператор U на (А + И)(Н) можно
записать в виде U = (А — И)(А + г/)-1. Этот оператор един¬
ственным образом продолжается до унитарного оператора, обо¬
значаемого также через U. Покажем, что (А + г/) (0(A)) = Н.
Пусть у £ Н. Найдем хп £ 35(B), для которых Ахп + гхп —> у.
Тогда Ахп — ixn = U(Axn + ixn) —► Uy, что дает сходимость
{хп} к некоторому х £ В. Ввиду замкнутости А мы получаем
х £ 0 (А) и Ах = у. Аналогично (А — И) (35(A)) = В.	□
Унитарный оператор U из этой леммы назовем преобразова¬
нием Кэли оператора А.
10.3.2. Лемма. Предположим, что самосопряженные опе¬
раторы А и В в Н обладают равными преобразованиями Кэли.
Тогда А = В. Кроме того, если U — преобразование Кэли А, то
оператор U — I иньективен и выполнены соотношения
0(A) = (U - /)(#), Ах = i(I + U)(I - U)~lx.
Доказательство. Пусть у £ В. По доказанному найдется
х £ 35(A) с у = Ах + гж. Тогда Uy, = Ах — гх и у — С/у = 2гж.
Поэтому Ker(B — I) = 0. Кроме того, (С/ — /)(В) = ©(А), ибо
для любого ж £ 0(A) можно взять у = Аж + гж. Следовательно,
если В есть общее преобразование Кэли операторов А и В, то
0(A) = 0(B) и для всякого ж из этой общей области получаем
Аж = г(1 + U)(I - U)~1x = Вж,
что завершает доказательство.	□
10.3.3. Теорема. Всякий самосопряженный оператор А в се¬
парабельном гильбертовом пространстве Н ф 0 унитарно экви¬
валентен некоторому оператору А^ умножения на функцию р
из примера 10.2.4 с некоторой вероятностной мерой р.
Доказательство. Пусть U — преобразование Кэли опера¬
тора А. Согласно следствию 7.10.9 можно считать, что U есть опе¬
ратор умножения в Ь2(р) на //-измеримую функцию ф с \ф\ = 1,
где р — некоторая вероятностная мера на пространстве Cl. Так
как U — преобразование Кэли А, то оператор U — I инъективен,

10.3. Спектральная теорема
551
т.е. ф 1 для //-п.в. ш. Положим <р = г(1 + ф)(1 — ^)-1. Непо¬
средственно проверяется, что преобразование Кэли оператора
есть оператор Аф = U. По предыдущей лемме А = А^.	□
В качестве // здесь можно взять некоторую вероятностную бо-
релевскую меру на прямой, а в качестве — некоторую борелев-
скую функцию. С помощью замечания 7.8.7 эту теорему можно
распространить на несепарабельные пространства. Есть и аналог
теоремы 7.10.11, в котором перестановочность неограниченных
операторов означает перестановочность их проекторных мер.
Как и для ограниченных операторов, с помощью функцио¬
нальной модели легко определять борелевские функции от са¬
мосопряженных операторов и строить проекторные меры. Пусть
А — самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом
пространстве и / — комплексная борелевская функция на пря¬
мой. Зададим оператор f(A) так: приведем А к виду умножения
на //-измеримую вещественную функцию (р и положим
® if(A)) '■= ix е l2(m) : (folP) • * е £2М}> f(A)x '■= (f°H>) •х•
Если функция / вещественна, то оператор f(A) самосопряжен.
Если функция / ограничена, то ограничен и оператор f(A). Ес¬
ли / — индикаторная функция борелевского множества JB, то
П(В) := 1в(А) является ортогональным проектором, а отображе¬
ние В I-* П(В) представляет собой проекторную меру. Эта мера
порождает комплексные скалярные меры VLx^y{B) = (П(В),#,у).
Аналогично теореме 7.9.6 имеют место следующие соотношения;
их можно получить как следствие упомянутой теоремы и приме¬
ра 10.2.5, если представить А как прямую сумму счетного набора
ограниченных операторов умножения на функции <pl{k^(p<k+1}*
10.3.4.	Теорема. Справедливо равенство
А= j А<Ш(А), где'Э(А) = <х: [ А2сПЗЖ)Ж(А) < оо 1,
Ja(A)	I Ja(A)	J
понимаемое как тождество
(Ах,у) = / XUx>y(dX), X еТ>(А),у е н.
Jc(A)
Кроме того, для всякой борелевской функции / выполнено ана¬
логично понимаемое равенство
f(A)= f f(X)dn(X).

552
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.4. Унитарные инварианты самосопряженных
операторов
В гл. 7 уже отмечалось, что построенные там представления
самосопряженных операторов не дают способа установить экви¬
валентность или неэквивалентность двух таких операторов. Ко¬
нечно, в некоторых случаях неэквивалентность можно усмотреть
непосредственно по таким характеристикам, как спектр или на¬
личие и отсутствие циклических векторов. Но даже для опера¬
торов с циклическими векторами равенство спектров не влечет
эквивалентность операторов. В конечномерном случае собствен¬
ные числа и их кратности определяют оператор с точностью до
унитарной эквивалентности. Что может служить аналогом это¬
го в бесконечномерном случае? Ясно, что надо как-то различать
меры, использованные в наших представлениях. Первым шагом
в этом направлении является следующий результат.
10.4.1.	Теорема. Пусть /лиг/ — две неотрицательные боре-
левские меры на отрезке I и и Av — операторы умножения
на аргумент в Ь2(р) и LV) соответственно. Эти операторы
унитарно эквивалентны в точности тогда, когда эквивалентны
меры р и г/.
Доказательство. Пусть р и v эквивалентны и g = du/dp.
Напомним (см. гл. 3), что эквивалентные меры обладают одина¬
ковыми запасами измеримых функций, причем измеримая функ¬
ция (р интегрируема относительно и в точности тогда, когда функ¬
ция <рд интегрируема относительно р. При этом
J ip(t) v(dt) =	<p(t)Q(t)	fi(dt).
Зададим оператор U: L2{y) —► L2{p) равенством
uf(t) = \Ze(i)f{t).
Тогда
\\Vf\\hM = jf	=	jf	|/(()|2	v(dt)	=	||/|li.M,
т.е. U — изометрия. При этом оператор U сюръективен, ибо для
всякой функции g Е L2(p) функция g~l^2g входит в L2(y). Нако¬
нец,
A^Ufit) =	=	y/o(?jtf{t)	=	UAvf(t).

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
553
Предположим теперь, что операторы Ам и Аи унитарно эк¬
вивалентны и U: Ь2{у) —►	— соответствующая изометрия.
Положим ф := U1 и Pfc(£) := Тогда
Upk{t) = UAvpk_i{t) = tUpk-i(t),
что дает равенство Upk{t) = tkip(t). Для всякого многочлена /
получаем U f(t) = f(t)ip(t). Ввиду унитарности U имеем
jT |/(i)|21'(dt) = J^ |V>(*)|2|/(*)|2 м(<Й)-
Пусть теперь В — борелевское множество в /. Обращаясь к мере
/л + г/, находим такую равномерно ограниченную последователь¬
ность многочленов /п, что /п(£) —» 1в(Ъ) для почти всех t отно¬
сительно обеих мер. По теореме Лебега предыдущее соотношение
дает равенство
v(B)= [ \ip(t)\2p,(dt),
Jb
означающее, что г/<//и dv/dfA = \ф\2. Ввиду симметричности
ролей обеих мер они оказываются эквивалентными.	□
В случае разложения на подпространства с циклическими
векторами ситуация усложняется. Например, оператор умноже¬
ния на аргумент в L2[0,1] можно разложить в сумму операто¬
ров умножения на аргумент на промежутках [0,1/2] и (1/2,1].
Как избежать появления таких «лишних» слагаемых? С другой
стороны, надо как-то учитывать кратности в суммах нескольких
экземпляров оператора умножения на аргумент. В конечномер¬
ном случае это сводится к тому, что мы учитываем кратность
каждого собственного значения, но собственные значения берем
различными (например, собственное значение кратности 2 мы не
рассматриваем как два собственных значения кратности 1). При
этом в случае кратности 1 соответствующее подпространство ока¬
зывается одномерным, и его уже нельзя как-то разложить да¬
лее. В бесконечномерном случае аналогом оператора с простым
спектром является оператор с циклическим вектором, но, как по¬
казывает приведенный выше пример, такой оператор может не
иметь какого-то «минимального» канонического разложения. По
этой причине для получения унитарно инвариантных представ¬
лений в бесконечномерном пространстве приходится отказаться
от конечномерной картины Сп = Н = Н\1 ф Н\2 ® • • • ф Н\к, где

554
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Ai,..., А*; — все различные собственные числа А и H\i — отвеча¬
ющие им п^-мерные собственные подпространства. Этой картине
соответствует жорданова форма
^Ailni
А/Дп*.у
Здесь Xjinj означает блок, состоящий из nj-мерной единичной
матрицы, умноженной на Aj. Вместо этого рассматривается дру¬
гая картина, полученная некоторой перестройкой предыдущей.
В ней собственные числа упорядочиваются по возрастанию крат¬
ности: п\ < П2 ^	^ Пк. Пусть оказалось N различных крат¬
ностей mi < m2 < • • • < mjv- Тогда создаются такие блоки:
(М	\	/Ах	\
_	М	^2
В\=	.	,	где	Ах	=
V ' М)	\	V
число Л; — последнее кратности mi и А\ берется mi раз, затем
(М
В2 =
А2
Аг+i
где А2=
\
\	Аъ/	\	Лр/
причем блок А2 берется m2 раза (он использует числа A j, у кото¬
рых кратности равны m2, т.е. А2 появляется в нем только в слу¬
чае П2 > ni), и далее появляются блоки Лз,..., Ajy возрастающей
кратности. Эта процедура представляет оператор А в виде пря¬
мой суммы N блоков £?!,..., 5дг, где каждый Bj является пря¬
мой суммой mj копий оператора Aj с простым спектром (спек¬
тры Aj дизъюнктны). Таким образом, алгоритм следующий: бе¬
рем собственное число наименьшей кратности т\ и отщипываем
часть стандартной жордановой формы, составленную из блоков
Ailmi ? • • • > А/1Ш1, что исключает собственное число наименьшей
кратности (или несколько собственных чисел равной с ним крат¬
ности). Затем проделываем то же самое с оставшейся частью.
10.4.2.	Определение. Самосопряженный оператор называ¬
ется оператором однородной кратности т, где m 6 IN U {оо},
если он унитарно эквивалентен прямой сумме т экземпляров

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
555
оператора умножения на аргумент в пространстве Ь2{р) для
некоторой неотрицательной а-конечной борелевской меры р на
прямой.
Понятно, что ограниченные операторы однородной кратности
соответствуют мерам с ограниченными носителями.
В описанном выше конечномерном примере операторы Bj яв¬
ляются операторами однородной кратности. Оказывается, такая
форма представления уже имеет разумный бесконечномерный
аналог. В окончательной классификации используются понятия
эквивалентности и взаимной сингулярности мер. Напомним, что
меры р и v эквивалентны (р ~ is), если они задаются плотно¬
стями относительно друг друга; меры р иг/ взаимно сингуляр¬
ны (р ± г/), если они сосредоточены на непересекающихся мно¬
жествах. Эти понятия распространяются и на классы мер: два
класса мер М и L эквивалентны, если р ~ А для всех р е М
и Л Е I; два класса мер М и L взаимно сингулярны, если р _L Л
для всех р € М и Л Е L. Пусть (р) — класс эквивалентности р.
Сначала покажем, что для операторов однородной кратности
т полным унитарным инвариантом является тип меры.
10.4.3.	Теорема, (i) Пусть р — неотрицательная а-конеч-
ная борелевская мера на прямой, не равная тождественно нулю.
Если прямая сумма т экземпляров оператора умножения на
аргумент в пространстве L2(p) унитарно эквивалентна прямой
сумме п экземпляров этого оператора, где га, п Е [1,..., оо], то
имеем га = п.
(ii)	Два оператора с однородными кратностями тип уни¬
тарно эквивалентны в точности тогда, когда га = п и эквива¬
лентны меры, пороэюдающие эти операторы.
Доказательство, (i) Пусть U: (12(/л))т —> (Ь2(ц))п — уни-
тарный изоморфизм рассматриваемых операторов Ап и Ат, при¬
чем п < га < оо. Изоморфизм операторов дает равенство
lB(An)U = UIB(Am)
для всех борелевских множеств В. Проекторы 1в(Ап) и 1в(Ат)
представляют собой операторы умножения на 1в- Возьмем боре¬
левское множество Е с 0 < р{Е) < оо и рассмотрим п+1 векторов
¥>ъ • • • j <£n+i из прямой суммы га копий Ь2(р), заданных так: ком¬
понента с номером j элемента (pj есть /#, а остальные компоненты
равны нулю. Положим
Фз '■= U(pj = (Фз,1. • • • >Vy,n)-

556
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Для каждого борелевского множества В С Е мы имеем
г п ^
I	v(dt)-
В к=1
Левая часть равна p(B)Sij. Поскольку это верно при всех В С Е,
то для фиксированных i,j получаем
п
У	=	Sij при ц-п.в. t <5 Е.
к=1
Тогда это равенство верно /z-почти всюду на Е сразу для всех
индексов i,j = 1,... ,n + 1. Поэтому найдется точка t, в которой
указанное равенство выполнено при всех i,j = 1,... ,га + 1. Это
ведет к противоречию, ибо дает п+1 линейно независимый вектор
в n-мерном пространстве.
(ii) Пусть операторы А^п и А^т с однородными кратностя¬
ми п и га, порожденные мерами //иг/, оказались унитарно эк¬
вивалентны. Тогда // ~ г/, ибо проекторы	и -Гв(-А|/,т)
также унитарно эквивалентны, причем 1в(А^п) = 0 в точности
тогда, когда fi(B) = 0, и аналогично для второго оператора. Со¬
гласно предыдущей теореме операторы А^п и эквивалентны.
Утверждение (i) дает равенство п — т.	□
Пусть /7 — сепарабельное гильбертово пространство. Помимо
идеи рассматривать операторы однородной кратности, в доказа¬
тельстве структурной спектральной теоремы используется ана¬
лиз мер /хж, хеН, задаваемых формулой
№х{В>) = П х,х{В) = (П(В)ж, ж),
где П — проекторная мера, порожденная оператором А.
Будем говорить, что х £ Н — вектор максимального типа
в /7, если fly fix для всех у Е Н. Естественным образом опре¬
деляется вектор максимального типа в подпространстве Нг С Н.
Пусть Нх — замыкание линейной оболочки векторов П(В)х,
где В £ ^(IR1). Для ограниченного оператора А подпростран¬
ство Нх равно замыканию линейной оболочки последовательно¬
сти {ж, Ах, А2х,...}; см. задачу 10.7.34.
10.4.4.	Лемма, (i) Если у £ Нх, то fiy<^fix-
(ii) Если fix J- fiy, mo Hx -L Ну и fix+y = fix + /V
(iii) Существуют векторы максимального типа. Более того,
для всякого v £ Н существует такой вектор х максимального
типа, что v £ Нх.
(1в(Ат)(рищ) = (iBiAntyi^j)

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
557
Доказательство, (i) Пусть борелевское множество В тако¬
во, что Цх(В) = 0, т.е. (П(П)а:, П(П)ж) = (П(П)ж,ж) = 0. Тогда
Yl(B)z = 0 для всякого вектора z вида z = Т1(Е)х, где Е е
ибо П(Д)П(15)а; = П(£?)П(Д)ж. Равенство Tl(B)z = 0 остается
в силе для всех z из замыкания линейной оболочки векторов
П(Е)х, т.е. для г € Нх. Итак, П(В)у = 0, цу(В) = (П(В)у,у) = 0
при у е Нх. Так как (П(В)х, у) = 0, то fix+y = Их + /ху.
(ii) Найдутся такие борелевские множества S\ и $2, что
S1nS2 = 0, SiUS2 = TR\ fxx(S2) = 0,	/xy(5i)	= 0.
Для всякого В е ^(И1) имеем П(В П S2)x = П(В П Si)y = 0, ибо
П(Вп52) ^ Щ82) и ||П(52)ж|| = 0, и аналогично для 11(В П Si)y.
Тогда для всяких В^В2 £ В(Ш}) получаем
ЩВ^х = П(Bi П S^x +П(Вг П S2)x = П(Bi П Si)x е U(Si)(H)
и ЩВ2)у = ЩВ2 П S2)y € H(S2)(H). Так как S\ Г) S2 = 0, то
H(Si)(H) 1_ H(S2)(H) (см. свойства проекторных мер).
(iii) Достаточно рассмотреть единичный вектор v. Возьмем
множество 9Я, элементы которого — всевозможные семейства мер
Их с х ф 0, которые попарно ортогональны друг другу (в преде¬
лах каждого семейства) и мере Ну- Оно частично упорядочено по
включению. Лемма Цорна дает максимальное семейство, которое
ввиду сепарабельности Н состоит из некоторого счетного набора
меР Иуп (для каждого семейства соответствующие подпростран¬
ства Нх взаимно ортогональны ввиду утверждения (ii)). В каче¬
стве искомого вектора возьмем х = vq + SJJLi где vo = v,
Си := n~2||vn||_1. Поскольку меры Иуп и Ну взаимно сингул5фны,
существуют такие попарно непересекающиеся борелевские мно¬
жества jBn, п = 0,1,..., что каждая из мер Иуп сосредоточена
на Вп. Действительно, для каждой пары разных чисел пук най¬
дем борелевские множества Вп^ с Hvk{Bnik) = Mvn(^1\^n,fc) = 0,
а затем положим Вп := ПкфпВп,к- Это доказывает включение
vq = U(Bo)vo = И(Во)х € Нх. Проверим, что х — вектор макси¬
мального типа. Если это не так, то найдется такой вектор и € Н,
что мера Ии не является абсолютно непрерывной относительно Их-
Это означает, что для некоторого борелевского множества В мы
имеем Их{В) = 0 и Ии{В) > 0. Положим г := ЩВ)и. Тогда
Hz{B) = Ии(В) > 0 и ИгОВ}\В) = {П(Ш}\В)ЩВ)щ z) — 0, ибо
ЩШ}\В)П(В) - 0. Так как Их = 1М) +	<4мг>„>	то	/лг ± (м,п
при всех п ^ 0 вопреки максимальности взятого семейства. □

558
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
10.4.5. Лемма. Пусть х Е Н и мера \хх представлена в виде
суммы (хх — YlnLi^n попарно взаимно сингулярных неотрица¬
тельных борелевских мер. Тогда найдутся такие попарно орто¬
гональные векторы хп Е Нх, что
оо	оо
x = Y^xn, Цхп = А*П, Нх = ф НХп.
71= 1	71=1
Если мера v ^ 0 такова, что v <С Пх,х, то v — Пу,у, где у Е Нх.
Доказательство. Как и в предыдущей лемме, разобьем
прямую на такие попарно непересекающиеся борелевские мно¬
жества Вп, что /хп сосредоточена на Вп. Пусть хп := П(Вп)х.
Поскольку мера \х сосредоточена на объединении Вп, имеем
оо	оо
х=n(U Вп)х ~ YlXn-
71=1	71=1
Векторы хп попарно ортогональны из-за дизъюнктности Вп. По
этой же причине при каждом п мера рьХп сосредоточена на Вп.
Кроме того, fiXn = /хп, ибо для каждого В Е ^(И1) ввиду равен¬
ства П(В П Вп) = ЩВ)ЩВп) = П(ВП)П(В) имеем
оо	оо
1лх(В) = (П(В)х,х) =J2(n(BnBn)x’x)=J2(n(BWB^x’x) =
71=1	71=1
ОО	ОО
= ^(ЩВ)и(Вп)х,П(Вп)х) =	п(В).
71=1	71=1
Далее, по предыдущей лемме НХп JL НХк при пфк. Для всякого
В Е В(Ш}) имеем П(В)хп — П(В)П(Вп)х = Р(В П Вп)х Е Нх,
т.е. НХп С Нх. С другой стороны, Tl(B)x = ЩВПВп)х вхо¬
дит в 0£Li Нп. Итак,	Нп	= Нх. Наконец, пусть v < UXjX,
\\х\\ = 1 и А — самосопряженный оператор в Нх, порожденный П.
Приведем А к виду умножения на аргумент в L2(/x), /i = UXjX. То¬
гда !/ = /•//, f Е Ll(p), т.е. можно взять у = /*/2 Е L2(/jl).	□
Следующий фундаментальный результат дает полную клас¬
сификацию самосопряженных операторов.
10.4.6. Теорема. Для всякого самосопряженного оператора
А в сепарабельном гильбертовом пространстве Н существует
разложение Н в прямую сумму Н = Hi ф Нъ ® • • • Ф #оо взаимно
ортогональных замкнутых подпространств Нт (некоторые из
них могут отсутствовать) со следующими свойствами:

10.4. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
559
(i) А(Нт) С Нш и оператор А|#т является оператором од¬
нородной кратности т при всех т € [1,2,..., оо];
(ii) классы мер (рт), отвечающие операторам А\нт, взаимно
сингулярны при разных т.
При этом классы эквивалентности мер рт образуют пол¬
ный набор унитарных инвариантов оператора, т.е. операторы
с одинаковыми наборами унитарно эквивалентны.
Доказательство. Фактически мы найдем унитарные инва¬
рианты проекторной меры оператора, а по ним получим нуж¬
ные инварианты оператора. Установим существование разложе¬
ния указанного вида. Сначала покажем, что найдется такое ко¬
нечное или счетное множество единичных векторов vn, что
Н — HVn 5 Mvn+l ^ №vn •
П
Естественно взять единичный вектор v\ максимального типа, за¬
тем в ортогональном дополнении Н^ подпространства HVl взять
единичный вектор v<i максимального типа для этого дополнения
и т.д.: на n-ом шаге берем единичный вектор vn максимального
типа в ортогональном дополнении HVl®- • •®HVn_1. Заметим, что
HV2 JL HVlJ ибо для всяких В, С Е ^(И1) мы имеем
(U(B)V1,U(C)V2) = (ВДЩВ)!*,!*) = (П(СПВ)«!,«2) =0,
так как П(С П B)vi Е HVl. Поэтому получаем взаимно ортогона¬
льные подпространства HVn в конечном или счетном числе (на¬
пример, если вектор v\ оказался циклическим, то HVl = Н). Хо¬
телось бы получить в виде суммы HVn все Н, но это не всегда так.
Например, если А — тождественный оператор и {еп} — ортонор¬
мированный базис в Н, то можно в результате нашего построения
получить ei, ез, вб и т.д. Чтобы избежать такой неприятности, на¬
до несколько модифицировать построение. Взяв базис {еп}, мы
возьмем v\ так, что е\ Е HVl, что возможно по лемме. Если оказа¬
лось, что в2 имеет ненулевую проекцию <р2 на К , то V2 выбираем
так, что (f2 Е Hv2. Поэтому в\, в2 Е HVl ®HV2. На n-ом шаге берем
vn Е Hv 1 ® • • • ® Ну^г так, что в HVn попадает проекция еп на
ортогональное дополнение HVl ф* • *ф HVn_1. В результате прямая
сумма Нп содержит все еп и потому совпадает с Н.
Теперь перестроим полученное разложение. Для каждого п
мера pVn имеет вид pVn = gn • pVl, где gn — борелевская плот¬
ность Радона-Никодима меры pVn относительно pVl. Ввиду со¬
отношений /xVn+1 руП) эти плотности можно выбрать так, что

560
Глава 10: Неограниченные операторы и теория полугрупп
множества Sn := {£: Qn(t) > 0} будут убывать. Убывание не обя¬
зано быть строгим, так как Sn может совпадать с Sn+i, если iaVti+1
и \1уп эквивалентны. Сужение меры /zVl на Sn-i\Sn, где So := И1,
обозначим через /in, а сужение fiVl на Sqq := HnLi &п обозначим
через /Хоо. Ясно, что полученные меры попарно ортогональны и
в сумме дают [iVl. Для каждого п мера /лУп эквивалентна мере
/Хп © /Хп-fl © * * ’ © Моо*
Предположим теперь, что оператор А ограничен. Тогда vn —
циклический вектор ограничения А на HVn, причем это ограни¬
чение унитарно эквивалентно умножению на аргумент в L2 отно¬
сительно меры (/хп ф /xn+i ф • • • ф //оо), что можно записать как
прямую сумму операторов умножения на аргумент в простран¬
ствах L2(/xn), L2(/xn+i),... ,L2(/Xoo). Ясно, что получено искомое
разложение.
Если оператор А не является ограниченным, то мы снача¬
ла представим его в виде прямой суммы ограниченных операто¬
ров Ak, каждый из которых уже разложен в сумму однородных
степени п операторов с помощью мер Цк,т сосредоточенных на
некотором ограниченном борелевском множестве Bk, где Bk по¬
парно не пересекаются. Можно считать, что fXk^nO^1) ^ 2~п~к.
Затем для каждого т возьмем меру цт :=	/Xfc,m*
Перейдем к доказательству унитарной инвариантности най¬
денных объектов: присутствующих кратностей п и типов мер /хп*
Из теоремы 10.4.1 ясно, что два разложения указанного вида
с /хп ~ унитарно эквивалентны. Предположим, что два опе¬
ратора А\ и А2 такого вида, соответствующие наборам мер {/хп}
и {z/n}, унитарно эквивалентны. Допустим, что при некотором
п € IN U {оо} меры /хп и vn не эквивалентны. Можно считать, что
имеется борелевское множество В с /хп(В) = 0 и 0 < vn(B) < 00.
Попарно ортогональные меры щ сосредоточены на некоторых
дизъюнктных борелёвскйх множествах Bk- Тогда ип(ВПВп) > 0
и Uk(BnBn) = 0 при кфп. Значит, оператор	пред¬
ставляющий собой прямую сумму п экземпляров оператора умно¬
жения на аргумент в пространстве Ь2(1/п\вПвп), отличен от нуля и
имеет однородную кратность п. Это противоречит теореме 10.4.3,
ибо операторы AilBnBn(Ai) и ^2^впвп(^2) унитарно эквивалент¬
ны, причем по нашему построению А\1впвп{А{) = 0.	□
Поясним, как эта теорема исключает появление «лишних»
компонент типа упомянутого выше разложения L2 [0,1] в прямую

10.5. Полугруппы операторов
561
сумму L2[0,1/2] ф L2(l/2,1] при рассмотрении оператора умно¬
жения на аргумент. В этой сумме оба слагаемых хоть и порожде¬
ны взаимно сингулярными мерами, но имеют одинаковую крат¬
ность 1, что запрещено в теореме.
Отметим еще, что даже в случае операторов с простым спек¬
тром эквивалентность порождающих мер нельзя в общем случае
усмотреть из равенства спектров. Например, оператор умноже¬
ния на аргумент в L2(X) с мерой Лебега Л имеет такой же спектр
[0,1], как и оператор умножения на аргумент в Ь2(/л) с любой
сингулярной мерой /х, для которой отрезок [0,1] является мини¬
мальным замкнутым множеством меры 1 (т.е. положительной на
всех интервалах в (0,1)).
10.5.	Полугруппы операторов
Пусть X — вещественное или комплексное банахово простран¬
ство. В этом параграфе изучаются семейства операторов, кото¬
рым в конечномерном случае соответствуют полугруппы вида
exp (tA). Основной особенностью бесконечномерного случая яв¬
ляется то, что в качестве А обычно не может фигурировать огра¬
ниченный оператор. Поэтому, как и в предыдущих параграфах,
здесь возникают операторы, области определения которых не сов¬
падают со всем пространством. Генераторы полугрупп — одни из
наиболее характерных примеров неограниченных операторов.
10.5.1.	Определение. Семейство ограниченных операторов
{Tt}t^о в X называется непрерывной операторной полугруппой
(или Со-полугруппой), если
(i) Г0 = J, Tt+S = TtTs, t9s> 0,
(ii) lim ||Ttx — x\\ = 0, x € X.
Из определения следует непрерывность всех отображений
11—► TfX^ х £ X,
на всей полуоси (а не только в нуле), так как выполнено неравен-
ство IITt+Sx - TtxII < ||3t|| \\Tsx - ж||.
Положим
®(L) :={*£*: ЭШп^},
Lx := lim	, х € 10(L).
0 t

562
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Оператор L с указанной областью определения 2)(L) называются
генератором или производящим оператором полугруппы (Tt)t^o-
Из теоремы Банаха-Штейнгауза следует равномерная огра¬
ниченность операторов Tt с t £ [0,1], т.е. suptG[0?1] ||Т4|| ^ С < оо.
Поскольку Тп = и Tt = ТэдТг, где [£] — целая часть £, а г —
дробная часть £, то приходим к оценке
непрерывную полугруппу, но равномерно ограничены. При этом
генератор полугруппы {St}t^о равен L — /?/, где L — генератор
полугруппы {Ttjt^o-
Полученная оценка позволяет рассмотреть операторы R\, за¬
данные при Rе\> /3 формулой
Указанный интеграл существует как предел по норме интегралов
по [0, N] при N —> оо, а интегралы по отрезкам существуют как
римановские интегралы от непрерывной векторнозначной функ¬
ции (т.е. как пределы обычных римановских сумм).
10.5.2.	Пример. Пусть L — ограниченный оператор и
Тогда указанный ряд сходится по операторной норме и задает
сильно непрерывную полугруппу, генератор которой совпадает
с оператором L.
Доказательство. Сходимость ряда по норме ясна из оцен¬
ки \\Ln\\ < И^И71. Перемножив ряды для exp(tL) и exp(sL), нетруд¬
но убедиться, что при Lm стоит коэффициент (t + s)m/m\, ибо
так обстоит дело для числовых разложений. Наконец, равенство
lim £_1[exp(£L) — I] = L следует из равенства
HTtlKCIITjfUCe*	(10.5.1)
(10.5.1)
где /3 — некоторая постоянная.
Заметим, что операторы St = eT^Tt также образуют сильно
(10.5.2)
оо
Tt = exp (tL) := ^inL”/n!.
71=0
ОО
t 1 [exp(tL) — I] — L = ^ tn 1Ln/n\
n—2
и сходимости ряда с общим членом ||L||n/n!.
□

10.5. Полугруппы операторов
563
10.5.3. Пример. Пусть А — самосопряженный (возможно,
неограниченный) оператор в гильбертовом пространстве Н. То¬
гда унитарные операторы exp (it A), t £ IR1, образуют сильно
непрерывную группу с генератором гА.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай сепара¬
бельного Н. Можно считать, что А есть оператор умножения
в Ь2(ц) на вещественную измеримую функцию р и
Э(А) = {х £ Ь2(р): <р • х £ Ь2{р)}.
Тогда ехр(г£Л) — оператор умножения на exp(itp). Ясно, что
получена сильно непрерывная группа. Пусть L — ее генератор.
Тогда 2)(Ь) С	и	Lx	=	ip • х при х £	ибо	из	схо¬
димости £_1[ехр(г£<^)ж — х] —► Lx в L2(p) следует сходимость
t~l [exp(itn(p(uj))x(uj) — x(uj)] —► Lx(uj) /i-п.в. для некоторой по¬
следовательности tn —► 0, а левая часть сходится к гр(и)х(ш).
С другой стороны, для всякого х £ 2)(А) имеет место сходимость
t~1[exp(itp)x — х] —►	в Т2(/х). Это следует из теоремы Лебе¬
га о мажорируемой сходимости, ибо есть поточечная сходимость
и оценка
|t-1 [exp(itp(uj))x(uj) — ж М]| < 2|y>(w)*(w)|.
Итак, L = г А В частности, Э(Ь) = ®(А)-	□
Аналогично обосновывается следующий пример.
10.5.4. Пример. Пусть А — самосопряженный (возможно,
неограниченный) оператор в гильбертовом пространстве Н, при¬
чем А ^ 0. Тогда операторы ехр(—tA), t > 0, образуют сильно
непрерывную полугруппу с генератором —А.
Для определенности будем рассматривать ниже комплексные
пространства, но все результаты этого параграфа остаются в силе
и для вещественных пространств. Пусть /3 удовлетворяет (10.5.1).
10.5.5. Предложение. Для всякого А с Re Л > /3 имеем
ЯДА) С ®(L), (XI — L)R\ = I,
причем
lim \R\x = x для всех х £ X.
А—►оо

564
Глава 10, Неограниченные операторы и теория полугрупп
Доказательство. Заметим, что
роо	роо
— I)R\x = t~l / e~XsTtTsx ds — t~x I e~XsTsxds =
Jo	Jo
poo	poo
= Г1 / e~XsTt+sx ds - t-1 / e~XsTsxds =
Jo	Jo
/»oo	/*00
= <_1eAt I e~XsTsx ds — t~x I e~XsTsxds.
Jt	Jo
Правую часть можно представить в виде
/оо	/*£
e~XsTsx ds — t_1 J e~XsTsx ds =
= t-1(eAt —	— J e~XsTsxds'j — £_1 J e~XsTsxds.
В силу непрерывности функции s e~XsTsx заключаем, что при
t —► 0+ полученное выражение стремится к \R\x — х. Итак, мы
установили, что Яд# € ©(£) и ЯЯд# = АДдя — ж- Для доказа¬
тельства второго утверждения заметим, что
роо
AR\x — х = X I e~Xs(Tsx — x)ds.
Jo
Кроме того,
poo	poo
A I e~Xs\\Tsx — ж|| ds ^ A I e~Xs(Ce?s + 1)||ж|| ds,
J /3+1	J	/3+1
что стремится к нулю при А —► оо. Так как ||Т8х — дг|| —> 0 при
s —> 0, то для всякого е > 0 найдется такое S > 0, что
рб	роо
A I e_As||Tsa; — х|| ds ^ еХ / e_As ds — е
Jo	Jo
для всех А > /?. Наконец, интеграл от Ae-As||Tsa; — ж|| по [5, /3+1]
при А —► оо стремится к нулю по теореме Лебега, ибо Ae_As —► 0
при s > 0, причем Ae-As ^ Xe~sx.	□
10.5.6.	Теорема. Для всякой непрерывной полугруппы опе¬
раторов {Tt}t^o справедливы следующие утверждения:
(i)	оператор L — генератор полугруппы — является плотно
определенным и замкнутым;

10.5. Полугруппы операторов
565
(ii) для всякого х Е 2)(Ь) верны равенства
37 Ttx = LTtx — TtLx\
at
(iii) для всякого x E X верно равенство
Ttx = lim exp(t——-\x,
o \ e /
причем сходимость равномерна на отрезках в [0,+оо).
Доказательство, (i) Положим Ае := е~1(Т£ — I). Тогда
°° +П'Т
exp(tAs) = exp(-t/e) exp(te_1Te) = exp(-t/e) Y —
6 Til
n=0
поскольку операторы T% ограничены. Из непрерывности отобра¬
жения t н-* Ttx следует существование векторного интеграла
1 г1
Btx := - I Tsxds, t> 0.
t Jo
Заметим, что из (10.5.1) следует оценка
ИД*!I « jt(e* - !)•
Поэтому при каждом t оператор Bt ограничен. Покажем, что
справедливо тождество
АеВг = AtBe, е > 0, t > 0.	(10.5.3)
Действительно, справедливы соотношения
stAeBtx= [ (T£ — I)Tsxds = f (Ts+£ — Ts)xds =
Jo	Jo
/t-he	r£
Tsx ds — J Tsx ds,
etAtBsx= [ (Tt — I)Tsxds = f (Ts+t - Ts)xds =
Jo	Jo
Tsx ds — J Tsx ds.

566
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Далее, из непрерывности Ttx по t следует, что Btx —► х при t —► 0.
В силу (10.5.3) это дает равенства
lim AeBtX = At lim B£x — AtX.
e—►О	£—>0
Отсюда следует, что Btx Е S(L) при всех t > 0 и что LBtx = Да;.
Множество элементов вида Btx всюду плотно в X, ибо мы имеем
lim BfX = х для всякого х € X.
t—►о
Покажем теперь, что оператор L замкнут. Пусть {хп} С 2)(L),
жп^хи La;n —> у в X при п —> оо. Поскольку операторы Tt и Ts
коммутируют, то операторы Д и Bt тоже коммутируют. Поэтому
из (10.5.3) следуют равенства
BtLu = В* lim Дп = lim BeAtu = Ди, w 6 35(L), е > 0, t > 0.
>0	►о
Значит, Дхп = BtLxn, откуда Да; = Bty. Так как lim Bty = у, то
ж 6 2)(L) и Lx = у. Итак, оператор L замкнут.
(ii) Пусть х Е V(L). При t > 0 имеем
lim AeTtx = lim TtAex = TtLx.
£-»0	£—►o
Значит, Ttx € 2)(L) и
LJJa; = TtLx.
Доказанное выше равенство = Да; можно записать в виде
f TsLx ds = Ttx — а;.
Jo
Ввиду непрерывности подынтегральной функции это завершает
доказательство (ii).
(iii) Пусть сначала х Е S(L). Согласно утверждению (ii) при
0 < s < t имеем
^ |exp((i - s)A£)Tsx| = exp((t - s)As)Ts{Lx - Asx),
что после интегрирования по s по отрезку [0, t\ дает равенство
Ttx — exp(tA£)x = I exp((£ — s)A£)Ts(Lx — A€x) ds.
Jo

10.5. Полугруппы операторов
567
Из (10.5.1) вытекает следующая оценка:
00 fn
|| ехр(£А£)|| ^ exp(-t/e) Y у||^«е|| ^
Л с 71*
71=0
ОО ,yi	I
< Cexp(-t/e) Y exp(^en) = С exp (-(f - 1)),
71=0
где 7 := e^. При 0 < e < 1 получаем
||exp(C4£)|| < Ce7t.
В результате приходим к оценке
||Т(Ж — ехр(С4£)ж|| < С2\\Ьх — .А£ж|| [ e1^t'~s>>e^s ds ^
Jo
< Cie^HL®- Л£ж||,	(10.5.4)
где Сх — некоторая постоянная. Зафиксируем теперь ж о € X,
отрезок [0,т] и S > 0. Положим М Се@т + Сеут. Выберем
х G ©(Ь) с ||ж — жо|| ^ 8/М. С помощью (10.5.4) при t € [0,т]
получаем
||Г(Ж0 - ехр(С1£)ж0|| <
< || ж - ехр(гЛ£)ж|| + ||2) - ехр(*А£)|| ||ж0 - ж|| <
^ Схе7Т||£ж - Аех\\ + 8.
При всех достаточно малых е правая часть оценивается через 2<5,
ибо ||£ж — А£ж|| —► 0 при е —* 0.	□
10.5.7.	Следствие. При Re А > (3, где /3 удовлетворяет нера¬
венству (10.5.1), оператор R\ является обратным к оператору
XI — L и отображает X взаимно однозначно на D(L).
Доказательство. Согласно предложению 10.5.5 имеет ме¬
сто равенство (XI — L)R\ = I. Покажем, что R\(XI — L)ж = ж при
ж G S(L). Полугруппа St = e~xtTt имеет генератор L — XI. Это
дает равенство
e~xtTtx — ж = Г e~XsTa(L-XI)xds, t^0.
Jo
При t —► +оо получаем e~XtTtx —> 0, ибо ||e-AtTf|| ^ Се^~х^ь, где
Re ((3 — Л) < 0. Итак, R\(L — XI)ж = —ж.	□

568
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Таким образом, имеет место следующее представление при
всех Л с достаточно большой вещественной частью (если ||Т^|| < 1,
то для всех Л с Re Л > 0):
гоо
(A I-L)~1x= / e~XsTsxds.	(10.5.5)
Jo
Это представление лежит в основе многих дальнейших ре¬
зультатов теории операторных полугрупп. Приведем без доказа¬
тельства (которое можно найти в [94, с. 622] или [476, с. 85])
следующую теорему Троттера.
10.5.8. Теорема. Пусть L и Ln, где n £ IN, — генераторы
сильно непрерывных полугрупп (Tt)t^о и (T^)t^о на банаховом
пространстве X, причем существуют такие числа С, а; £ IR1,
что ||т/п^|| < Сешг, ||Tt|| ^ Сешг. Предположим, что при неко¬
тором А с Re А > ш имеем lim (А/ — Ln)~xx = (АI — L)~1x для
п—►ОО
каждого х £ X. Тогда это верно для всех X с Re Л > и и при
п —► оо для каждого х £ X имеем Т^х —► Т%х равномерно по t
из всякого отрезка.
Обратно, если Т^х —> Т%х для всех х £ X и t ^ 0, то при
каждом X с Re Л > и имеем (XI — Ln)~lx —► (XI — L)~lx для всех
хеХ.
Имеется также условие сходимости полугрупп в терминах са¬
мих генераторов (см. [476, с. 88]).
10.5.9. Теорема. Поточечная сходимость полугрупп в си¬
туации предыдущей теоремы имеет место, если вместо схо¬
димости резольвент наложено следующее условие: существу¬
ют плотное линейное подпространство в пересечении областей
определения L и Ьп и X с Re Л > ш такие, что Lnx —> Lx при
всех х £ D и (XI — L)(D) плотно в X.
10.6.	Генераторы полугрупп
Здесь мы докажем важную теорему Стоуна о генераторах
унитарных групп в гильбертовых пространствах, а также теоре¬
му Хилле-Иосиды, дающую описание всех генераторов. Сначала
заметим, что генератор однозначно определяет полугруппу.
10.6.1.	Предложение. Пусть сильно непрерывные полу¬
группы операторов (Tt)t^o и (St)t^o в банаховом пространстве
имеют равные генераторы. Тогда Tt — St при всех t ^ 0.

10.6. Генераторы полугрупп
569
Доказательство. Пусть L — общий генератор данных по¬
лугрупп. Тогда ввиду доказанного выше равенства (A—L)~l = R\
для всякого А с достаточно большой вещественной частью имеем
гоо	роо
I e~xtTtx dt = I e~xtStX dt.
Jo	Jo
Пусть I E X* , (p(t) = e^HTtx), V’Ct) =	где	г] := Re Л.
Предыдущее равенство означает, что <р и ф имеют равные пре¬
образования Фурье ((р = ф = 0 на (—оо, 0)). Значит, <p(t) = ip(t),
что ввиду произвольности I дает равенство Т^х = SfX.	□
Докажем теперь следующую теорему Стоуна.
10.6.2.	Теорема. Пусть {Ut}teTR — сильно непрерывная
группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве Н.
Тогда ее генератор L имеет вид L = iA с некоторым самосопря¬
женным оператором А и Щ = ехр(г£Д).
Доказательство. При / е Cq°(IR1) и (р е Н положим
/-+-00
f(t)Ut(pdt,
-оо
где интеграл понимается в смысле Римана. Пусть D — множе¬
ство конечных линейных комбинаций элементов срр с / 6 Со°(И1)
и ср Е Н. Линейное подпространство D плотно в Н, ибо для вся¬
кого р 6 Н можно взять элементы <ро£ с 0e(t) = e~l9(t/e), где в —
гладкая вероятностная плотность с носителем в [0,1]. Тогда при
£ —► 0 имеем
/+оо
es(t)[Ut<p -ip]dt < sup \\Ut<p - ч>\\ -> 0
■oo	t£[0,£]
ввиду сильной непрерывности полугруппы. При s —► 0 находим
/+оо
f(t)[Ut+s - Ut\ipdt =
-оо
= r+0° liz- sy-J(T)UripdT ^ _ f+0° f^u^dr = <р_г,
J —оо	s	J—оо
поскольку разностные отношения 5_1[/(т — s) — f(r)] сходятся
к —f'(r) равномерно на некотором отрезке, вне которого они рав¬
ны нулю. Положим
Atpf —ip-ft — —Him s_1 (Us — I)pf-

570
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
Тем самым оператор А задан на D. Заметим, что Ut(D) С .D,
A(D) С D и UtАф = АЩф при ф Е D, что проверяется на векто¬
рах ф = iff. Кроме того, если /,р G Cq^IR1) и (р,ф Е i?, то
(А<рг,фд) =	-	<р/,фд) = lim С/_8г/>9 - г/>9)
S ZS	S	►U ifS
=	=	{<fif,Aipg).
Итак, А — симметричный оператор на D. Покажем, что он суще¬
ственно самосопряжен. Предположим, что и Е 2)(А*) и А*-и = ш.
Тогда для всякого (р Е D имеем
^(Ut<p,u) = (zAC/t</?, u) = —i(Ut<p, А*и) = -i(Ut<p}iu) = (Utp,u).
Итак, комплексная функция £(£) = (Utp^u) удовлетворяет урав¬
нению £'(t) = £, т.е. £(t) = сег. Поскольку |£(t)| < ||<^|| ||и||, то
с = 0, т.е. (<р,и) = 0. Ввиду плотности D получаем, что и = 0.
Аналогично проверяем, что если и Е 2)(А*) и А*гл = —ш, то и = 0.
По доказываемому ниже следствию 10.7.11 замыкание А операто¬
ра А самосопряжено. Пусть Vt = ехр(г£А). Остается показать, что
Ut = Vt. Достаточно проверить, что Utp = Vtp для всех <р Е D
ввиду плотности D. Итак, пусть р Е D. Поскольку D С 2)(А),
то согласно примеру 10.5.3 и теореме 10.5.6 имеем Vtp € 2)(А)
и О^У = iAVtp. С другой стороны, Щр Е D и (Utp)f = iAUtp>
ибо (Utp)f = Ut(Usp) \s=o = iUtAp. Положим w(t) := [/*<£> — Vt<£.
Тогда
ti/(t) = iAUtp — iAVtp = zAzt;(t).
Следовательно,
w(t),w(t)) = -z(Aw(£),u>(£)) + г(ги(£), Aw(t)) = 0.
Поскольку гу(0) = 0, то w(t) = 0 при всех t, что и требовалось. □
10.6.3.	Теорема. Пусть {Tt}t^o ~ сильно непрерывная по¬
лугруппа самосопряженных операторов в гильбертовом про¬
странстве Н, причем ||Т*|| < 1. Тогда ее генератор L является
самосопряженным оператором, причем L < 0.
Обратно, если оператор L самосопряжен и L ^ 0, то опе¬
раторы Tt = exp(tL) образуют сильно непрерывную полугруппу
самосопряженных операторов с генератором L и ||Т*|| ^ 1.

10.6. Генераторы полугрупп
571
Доказательство. Оператор L замкнут и симметричен. Для
всякого х Е 2)(Ь) имеем
jt(Ttx,Ttx) = 2(TtLx,Ttx).
При этом (Ttx,Ttx) < (#, х) и (То#, То#) = (#,#)• Следователь¬
но, (L#,#) ^ 0, ибо иначе при достаточно малых t ^ 0 мы бы
имели 2(TtLx^Ttx) > 0 и тогда (Т*#,Т*#) > (#,#). Как показано
в §10.7(ii), L обладает неположительным самосопряженным рас¬
ширением G. Это расширение на самом деле совпадает с L, ибо
оба оператора L — I и G — I имеют ограниченные обратные.
Обратное утверждение ясно из того, что в сепарабельном слу¬
чае L можно привести к виду умножения на неположительную
функцию, что позволяет непосредственно проверить наше утвер¬
ждение. Несепарабельный случай сводится к сепарабельному пу¬
тем разложения Н в прямую сумму инвариантных относительно
L сепарабельных подпространств.	□
Теперь мы докажем общую теорему Хилле-Иосиды о генера¬
торах сжимающих полугрупп, т.е. полугрупп	с ||2t|| < 1.
10.6.4.	Теорема, (i) Пусть L — генератор сильно непре¬
рывной сжимающей полугруппы {Tt}t^o в банаховом простран¬
стве X. Тогда всякое вещественное число А > 0 входит в ре¬
зольвентное множество L, причем
ЦЯл|| = IKAJ-- £)-Ч| < i.	(10.6.1)
(ii)	Обратно, пусть L — линейный оператор с плотной об¬
ластью определения T)(L), причем для всякого вещественного
числа Л > 0 оператор XI — L имеет ограниченный обратный
R\: X —► D(X), удовлетворяющий условию (10.6.1). Тогда L яв¬
ляется генератором сильно непрерывной сжимающей полугруп-
пы {Tt}tj>o в X.
Доказательство. Следствие 10.5.7 и равенство (10.5.5) да¬
ют (i), где (10.6.1) следует из того, что интеграл от е-Л* по (0, +оо)
есть Л-1. Для доказательства (ii) положим
Ln := n2Rn — nl, п € IN.
Поскольку LRn = nRn — /, то Ln = nLRn. Идея состоит в том,
чтобы приблизить L операторами Ln. Поскольку оператор Ln

572
Глава 10. Неограниченные операторы и теория полугрупп
ограничен, то с помощью обычной экспоненты он порождает по-
лугруппу Tf(n) := exp(tLn). Покажем, что
lim nRnX = ж, х Е X.	(10.6.2)
п—>оо
Если х Е ®(Ь), то это верно ввиду соотношений nRnX-х = RnLx
и ЦЯпЬжЦ ^ п-1||Ьж||. Так как ©(b) плотно в X и ЦпДпЦ ^ 1, то
(10.6.2)	верно для всех х Е X. Поскольку при х Е ©(b) мы имеем
Lnx = nLRnX = nRnLx, то из (10.6.2) следует равенство
lim Lnx — Lx, х Е ©(b).	(10.6.3)
п—>оо
Из определения Ln получаем
оо -
11*1 II = «®ф№.)11 = е-”‘||ехр(п2Я„)|| < е-"‘£ й(гА)*|«||
к=О
Итак, построенные полугруппы — сжимающие.
Покажем теперь, что эти полугруппы сходятся. Для этого оце¬
ним величину ||Т^х — Т^х\\ при х Е ©(b). Легко видеть, что
оператор Ln коммутирует с . Из этого следует соотношение
jT^tTik)x = TinJtTlk)[Lk - Ln]x.
Ввиду оценки ||Т$П^|| ^ 1 норма правой части не превосходит
ЦЬ^х — Lnx||. Следовательно,
||Tt(n)a; - Т$к)х\\ < t\\Lnx - Lkx\\.
Вместе с (10.6.3) это показывает существование предела
Ttx := lim T,(n)z, х G S(L),
п—кэо
причем равномерно на каждом отрезке. Из равномерной ограни¬
ченности получаем существование предела для всех х Е X.
Ясно также, что {Tt} — непрерывная полугруппа и ||Т*|| ^ 1.

10.6. Генераторы полугрупп
573
Осталось показать, что L совпадает с генератором {!*}. Пе¬
реходя к пределу в равенстве
Tt(n)x-x = f T^Lnxds
Jo
при п —► оо, для всякого х Е 35(b) с учетом (10.6.3) находим
Ttx — х — f TsLx ds.
Jo
Обозначим генератор {Т*} через G. Предыдущее равенство пока¬
зывает (после деления на t и устремления t к нулю), что 35(b)
входит в 35(G) и Lx — Gx при х Е 35 (Ь). Итак, G расширяет Ь.
Однако это расширение не может быть собственным, ибо опера¬
торы L — I и G — I имеют ограниченные обратные (первый —
по условию, а второй — как генератор сжимающей полугруппы).
Поэтому L = G.	□
10.6.5.	Следствие. Замкнутый плотно определенный опе¬
ратор L в банаховом пространстве X является генератором
сильно непрерывной полугруппы операторов в точности тогда,
когда найдутся такие числа С ^ 0 и (3 Е К1, что всякое веще¬
ственное число А > /3 входит в резольвентное множество L,
причем при всех пЕ IN выполнено неравенство
||(AJ-£.)-™|| <	(10-6-4)
Доказательство. Если L является генератором непрерыв¬
ной полугруппы, то имеет место оценка (10.5.1). Сначала пред¬
положим, что (3 = 0. Тогда можно ввести новую норму
IMIo := sup IITtzll,
0
которая эквивалентна старой: \\х\\ ^ ||ж||о ^ C1MI- Нормы опе¬
раторов на X, соответствующие новой норме, также будем обо¬
значать через || • 11 о * Относительно новой нормы операторы Т%
удовлетворяют оценке \\Tt\\o ^ 1. Значит, точки Л с положитель¬
ными вещественными частями регулярны и ||(А/—Ь)-1||о ^
Поэтому ||(АI — L)~n||o ^ |А|~П, откуда следует нужная оценка,
ибо р||о ^ С\\А\\ для всех А Е С(Х). В общем случае рассмот¬
рим полугруппу операторов St •= e~b^Tt с генератором L — (31.

574
Глава 10. Неограниченные операторы й теория полугрупп
Для нее ||5*|| ^ С, поэтому в силу уже доказанного получаем
регулярность чисел Л с Re Л > (3 и выполнение оценки (10.6.4).
Обратно, пусть L удовлетворяет указанным условиям. Опять
сначала рассмотрим случай /3 = 0. При /х > 0 положим
11*11/* := sup{||/*n(/x/ — L)~n\\: n = 0,1,2,...}.
Эта норма эквивалентна исходной, ибо ||ж|| < \\х\\^ < СЦ#||- Для
соответствующей операторной нормы имеем ||/х(/х/ — L)~x ||м ^ 1.
Более того, справедливо следующее неравенство:
IKAJ-L)-1!^!	0	<	А	^	(10.6.5)
Для доказательства из тождества R\ — R^, = (/х — X)R\Rfl для
резольвент получаем
м. <	+но* - чдадл < z+^идди*.
/X	/X
что дает А||Яд||м ^ 1, как и требовалось. Теперь для всякого
п Е IN ввиду (10.6.5) при 0 < А ^ ц получаем
||Л"(А/-Ц-“х|| « ||А»(А/-£)-"х||„ < ||A(A/-i)-‘||;||x|U < М.-
Следовательно, ||ж||л ^ ||#||^ при 0 < А ^ /х. Теперь введем норму
||ж||о := sup||a:||M = lim ||ж||м.
м>0	/*—>оо
Ясно, что \\х\\ < ||а:||о < С||*||- Так как в силу (10.6.5) мы имеем
||(AJ - ЬГ'хЦ» ^ Л 1\\x\\fl при 0 < А < /х, то при /х —> оо по¬
лучаем ||(Л/ — Ь)_1ж||о ^ Л^И^Ио, т.е. ||(Л/ — L)_1||0 < Л-1. По
теореме Хилле-Иосиды оператор L является генератором неко¬
торой непрерывной полугруппы {Т*} с ||Т^ ||о ^ 1- Тогда имеют
место неравенства \\Ttx\\ < \\Ttx\\o < ||я||о ^ С\\х\\, т.е. ||Т*|| ^ С.
В случае произвольного (3 применим доказанное к оператору
Lo = L — /31. Он является генератором некоторой непрерывной
полугруппы {St}t^о* Полугруппа операторов Т* := e^St имеет
генератор L.	□
Есть еще одно полезное описание генераторов сжимающих
полугрупп. Плотно определенный оператор (L, 35(L)) в банахо¬
вом пространстве X называют диссипативным, если для всяко¬
го и 6 Э(Ь) с ||гх|| = 1 найдется такой I £ X* с ||/|| = 1, что
l(u) = 1 и Rel(Lu) ^ 0. Если X гильбертово, то это означает,

10.7. Дополнения и задачи
575
что Re (г/, Lu) < 0. Диссипативность равносильна тому, что для
всех Л > 0 и и € 'D(L) мы имеем \\Хи — Lu\\ ^ Х\\и\\ (см. за¬
дачу 10.7.41). Значит, генератор сжимающей полугруппы дисси¬
пативен. С учетом теоремы Хилле-Иосиды это дает следующий
результат Люмера-Филлипса.
10.6.6.	Теорема. Пусть (L,2)(L)) — диссипативный опера¬
тор в банаховом пространстве. Его замыкание является генера¬
тором сильно непрерывной сжимающей полугруппы в точности
тогда, когда множество (XI — L)(p(L)) плотно для некоторого
(а тогда и для всякого) X > 0.
10.7.	Дополнения и задачи
(i)	Расширения симметричных операторов (575). (ii) Полуограни-
ченные формы и операторы (582). (iii) Теоремы Чернова и Трот¬
тера (586). (iv) Математическая модель квантовой механики (588).
Задачи (596).
10.7(i). Расширения симметричных операторов
В этом разделе мы подробнее обсудим вопрос о симметричных и са¬
мосопряженных расширениях симметричных операторов.
В примере 10.2.3 мы видели, что замкнутый симметричный опера¬
тор может не быть самосопряженным, но иметь при этом самосопря¬
женные расширения. Рассмотрим пример замкнутого симметричного
оператора, у которого нет самосопряженных расширений.
10.7.1.	Пример. Пусть Н — L2[0, +оо). Положим
D(A0) = С£°(0, +оо), Aqu — ги',
Оператор Aq симметричен, его замыкание А является замкнутым
и симметричным оператором, но не имеет самосопряженных расши¬
рений. Действительно, аналогично примеру 10.2.3 доказывается, что
множество 5)(Aq) = 2)(Л*) состоит из таких функций и £ L2[0,-foo),
что и абсолютно непрерывна на конечных отрезках и и1 £ L2[0,+oo).
При этом AqU = iu. Отметим, что непрерывная версия всякой функции
и £ £>(А5) имеет нулевой предел на бесконечности. В самом деле,
|и(*)|2 = |м(0)|2 + [ [H'(s)t^s) + tt(s)u'(s)] ds.
Jo
Правая часть имеет предел на бесконечности ввиду квадратичной ин¬
тегрируемости и и и'. Ясно, что этот предел может быть лишь нулевым.

576
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Из включения Ао С -Aq следует, что -Aq* С -Aq. Тогда для всех
и € D(-Aq*) и v е D(^4o) имеем
что ввиду формулы интегрирования по частям и стремления и и v
к нулю на бесконечности дает соотношение w(0)v(0) = 0. Следователь¬
но, w(0) = 0. Обратно, если и € ©(Aq) и и(0) = 0, то имеем и € £)(-Aq*)
и Aq*u = ш. Итак, S)(-Aq*) состоит из таких и G ©(-Ао), чт0 w(0) = 0.
Заметим, что -Aq* = А = -Ао, ибо оператор -Aq* замкнут, а его график
содержит замыкание графика -Ао.
Пусть теперь В — самосопряженный оператор с А С. В. Тогда
А С В = В* с -А*. Однако ®(А) имеет коразмерность 1 в D(-A*), т.е.
множество 53(B) должно совпадать с 53 (Л) или 53(А*), что невозможно,
ибо А не является самосопряженным.
Какова причина того, что внешне весьма похожие симметричные
операторы столь различны по отношению к существованию самосопря¬
женных расширений? Оказывается, дело здесь в различных индексах
дефекта, возникающих в случае конечного и бесконечного промежут¬
ков.
10.7.2.	Определение. Пусть Т — замкнутый симметрич¬
ный оператор в гильбертовом пространстве Я. Размерности П-(Т)
и п+(Т) (возможнот бесконечные) ортогональных дополнений подпро¬
странств Ran (Т -h И) = Кег (Т* — И) и Ran (Т — И) = Кег (Т* + И)
называются индексами дефекта оператора Т.
В терминах введенного в конце §10.1 дефекта dr(X) можно записать
Введем преобразование Кэли плотно определенного симметричного
оператора Т. Как и для самосопряженного оператора, операторы Т+г/
и Т — iI инъективны. Однако теперь их образы не обязаны быть всюду
плотными.
10.7.3.	Предложение. Пусть Т — плотно определенный сим¬
метричный оператор в гильбертовом пространстве Н. Тогда
(i)	имеет место тождество
(ii) Оператор Т замкнут в точности тогда, когда подпростран¬
ства Ran (Т + И) и Ran (Т — И) замкнуты.
(iii) Существует линейная изометрия U между линейными под¬
пространствами Ran (Т + И) и Ran (Т — И), задаваемая формулой
Отображение U называется преобразованием Кэли оператора Т.
п-(Т) = дт(—г), n+(T) = dr(i).
||Тх + гх||2 = ||Тж||2 + ||ж||2 = \\Тх - гж||2, х <Е Э(Т).
U(Tx + ix) = Тх —ix, I G Э(Т).

10.7. Дополнения и задачи
577
Доказательство. Утверждение (i) проверяется непосредственно.
(ii)	Пусть Т замкнут, хп £ 2)(Т) и Тхп 4- гхп —> у. Из (i) следует
фундаментальность {хп}. Значит, хп —> х £ Н. Тогда последователь¬
ность {Тхп} сходится к некоторому z £ X. Ввиду замкнутости Т имеем
х £ £)(Т) и z = Тх, откуда у = Тх -f ix. Аналогично получаем замкну¬
тость Ran (Т — И).
Обратно, пусть подпространство Ran (Т + И) замкнуто. Предполо¬
жим, что хп £ D(T), хп —> х и Тхп —> у. Тогда Тхп + гхп —> у + ix.
Замкнутость Ran (Т + И) дает и £ 33 (Т) с у -f ix = Tw -f ш. Поэтому
Т(хп — м) + г(хп — и) —> 0, что согласно (i) дает сходимость хп — и —> 0.
Итак, х = и £ 2)(Т) и г/ = Тх. Утверждение (iii) следует из (i).	□
10.7.4. Следствие. Плотно определенный симметричный опера¬
тор Т обладает замкнутым симметричным расширением.
Доказательство. Из (i) следует, что оператор Т замыкаем. Его
замыкание Т симметрично, так как для всяких х, у £ 33 (Т) по опреде¬
лению найдутся две такие последовательности векторов хп,уп £ Э(Т),
что Тхп —> Тх и Туп —> Ту. Поэтому
{Тх,у) = lim (Тхп,у„) = lim (хп,Туп) - (х,Ту).
п—>оо	п—*оо
По построению оператор Т замкнут (см. предложение 10.1.9).	□
10.7.5. Следствие. Пусть Т — замкнутый симметричный опе¬
ратор. Для всякого А € € с ImA ^ 0 имеет место ортогональное
разложение
Н = Ran (Т - XI) 0 Кег (Г* - XI).
Доказательство. Следует из предложения 10.1.13 в силу замкну¬
тости Ran (Т — XI).	□
10.7.6. Теорема. Преобразование Кэли устанавливает взаимно¬
однозначное соответствие между симметричными операторами Т
в Н и изометрическими операторами V, для которых 2) (У) — линей¬
ное подпространство в Н и Ran (V — I) — Н. При этом замкнутость
Т равносильна тому, что 2) (У) — замкнутое подпространство.
Доказательство. Мы уже знаем, что если оператор Т симметри¬
чен, то его преобразование Кэли V изометрично отображает линейное
подпространство Ran (Т -f И) на подпространство Ran (Т — г/), причем
замкнутость Т равносильна замкнутости указанных подпространств.
Покажем, что образ V — I плотен в Н. Действительно, пусть элемент
у £ Н таков, что
(Vz — z,y)= 0, z = (T + iI)x, х £ 2)(Т).

578
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Так как V(T + il)x = (Т — il)x, то это означает, что (ж, у) = 0 для всех
х £ ©(Т), т.е. у = 0. Обратно, пусть оператор V обладает указанными
свойствами. Заметим, что отображение V—I инъективно. Действитель¬
но, пусть Vx—x = 0 для некоторого х £ ©(V). Тогда для всех у £ ©(F)
имеем
{Vx, (7 - V)y) = (Vx, у) - (Vx, Vy) = (Vx, у) - (x, у) = 0,
что дает равенство х = 0, ибо образ V — I плотен. Теперь положим
Э(Г) := Ran (V - /), Ту = -i(V + 1)х при у = (V - /)ж.
Оператор Т плотно определен. При этом
(Ту, у) = -i(Vx + x,Vx- х)
— —i[(Vx>х) “ (Vx, х) + (х, Vx) — (х, ж)] = —2Re (Vж, ж),
что показывает вещественность формы (Тж,ж). Итак, оператор Т сим¬
метричен. Поскольку
Ту + iy = — iVx — ix + iVx — ix — —2ix,
to Ran(T -f ii) = 2) (У). Замкнутость этого подпространства дает за¬
мкнутость Т. Наконец, преобразование Кэли U оператора Т совпадает
с V, ибо Ran (Т + И) = Q(V), т.е. ©(17) = Tt(V), причем
U (Ту + iy) — Ту — iy = —2iVx, U (Ту + iy) = U (—2ix) = —2iUx
для всех ж £ %)(V).	□
Преобразование Кэли сводит задачу расширения симметричного
оператора к задаче продолжения линейной изометрии, которая легко
решается.
10.7.7.	Предложение. Если симметричный оператор Т являет¬
ся расширением симметричного оператора Т, то преобразование Кэли
оператора Т — расширение преобразования Кэли оператора Т.
Обратно, если Т — симметричный оператор с преобразованием
Кэли V и V — изометрический оператор, расширяющий V, то V
является преобразованием Кэли некоторого симметричного операто¬
ра Т, который расширяет Т.
Доказательство. Первое утверждение очевидно из включения
Ran (Т+г/) С Ran (Т+г/). Второе утверждение следует из предыдущей
теоремы, которая дает симметричный оператор Т с преобразованием
Кэли V. При этом
©(Г) = Ran (V — I) С Ran (V -1) = ©(f)
и на ©(Т) операторы Т и Т равны, что ясно из формулы, задающей Т
по V (см. предыдущее доказательство).	□

10.7. Дополнения и задачи
579
10.7.8. Лемма. Пусть Н\ и Нъ — замкнутые линейные подпро¬
странства в гильбертовом пространстве Н ф 0 и U: Н\ —> Щ —
линейная изометрия с U(Hi) = #2* Отображение U можно продол¬
жить до изометрии на всем Н со значениями в Н в точности тогда,
когда dimНф < dimH^ . В случае равенства этих двух размерностей
U продолжается до унитарного оператора.
Доказательство. При выполнении указанного условия мы мо¬
жем взять линейное изометрическое вложение V: Нф —» Нф (которое
в случае равенства размерностей этих подпространство можно сделать
сюръективным) и положить
U(x + и) = Ux + Vu, х G Hi,и € Нф.
Обратно, если U имеет изометрическое расширение U на Л, то полу¬
чаем U {Hi) С #2”, ибо U сохраняет ортогональность.	□
10.7.9. Теорема. Пусть Т — замкнутый симметричный опера¬
тор и п-.(Т), п+(Т) — его индексы дефекта. Тогда
(i) самосопряженность оператора Т равносильна равенству
п-(Т) = п+(Т) = 0;
(ii) существование самосопряженных расширений Т равносильно
равенству п-(Т) = п+(Т);
(iii) отсутствие собственных симметричных расширений Т рав¬
носильно равенству нулю хотя бы одного из индексов дефекта;
(iv) если п-(Т) — n+(T) = оо, mo Т имеет симметричные расши¬
рения с наперед заданной парой индексов дефекта.
Доказательство. Утверждения теоремы вытекают из установ¬
ленного выше соответствия между симметричными операторами Т и их
преобразованиями Кэли V с учетом того обстоятельства, что индексы
дефекта п_(Т) и п+(Т) совпадают с размерностями ne(V) и щ(У) ор¬
тогональных дополнений подпространств Но = ®{V) и Н\ = Ran V.
Если ne(V) ф щ(У), то V нельзя продолжить до унитарного операто¬
ра, а если ne(V) = п*(У), то можно. Если ne(V) = щ(У) = оо, то для
заданной пары чисел п, тп из {0,1,..., оо} можно взять в Нф и Bt за¬
мкнутые бесконечномерные подпространства ^ и Ei, имеющие в Нф
и Нф коразмерности пит соответственно. Теперь можно расширить
оператор V с помощью изометрии, отображающей Е\ на	□
10.7.10. Следствие. Все симметричные расширения замкнуто¬
го симметричного оператора Т с индексами дефекта n+ = n_ = 1
являются самосопряженными.
Эти расширения описываются комплексным параметром в с |0| = 1
следующим образом: единичный вектор и одномерного пространства

580
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
D(Vr)J_ переводится изометрическим расширением V в вектор Qv, где
v — единичный вектор одномерного пространства (Ran V)L.
Из доказанного вытекает следующий критерий того, что замыкание
симметричного оператора А является самосопряженным оператором.
Такой оператор А называется существенно самосопряженным.
10.7.11. Следствие. Плотно определенный симметричный опе¬
ратор А является существенно самосопряженным, т.е. имеет само¬
сопряженное замыкание, в точности тогда, когда уравнения A*u — iu
и А*и = —ги имеют только нулевые решения в Э(А*).
Приведем более точное описание симметричных расширений.
10.7.12. Теорема. Пусть оператор Т замкнут и симметричен.
(i) Для всякого А с Im А ф 0 имеет место равенство
Э(Г*) = ©(Г) + Кег (Т* - XI) + Кег (Г* - А/),
где стоит прямая алгебраическая сумма.
(ii) Пусть Do С Кег (Г* — XI) и До С Кег (Т* — XI) — замкнутые
линейные подпространства одинаковой размерности щ (возможно,
оба бесконечномерные), и пусть Vo — некоторая изометрия Do на До-
Тогда формулой
©(f) := ©(Г) + (V0 - I)(D0)	(Ю.7.1)
задается область определения некоторого замкнутого симметрично¬
го расширения Т оператора Т, где Т(х + Vo^o “ жо) — Тх — ix о — iVoXo
при х £ ©(Т), хо £ Do. Обратно, всякое замкнутое симметричное
расширение Т имеет указанный вид.
Доказательство, (i) Ввиду симметричности оператора Т правая
часть доказываемого равенства содержится в левой. Пусть у £ Э(Т*).
Так как
Н = Ran (Т - XI) 0 Кег (Т* - XI)
согласно следствию 10.7.5, то получаем представление
Т*у — Ху = (Т — X 1)х + (А — А)и, где х £ ©(Г), и £ Кег (Г* - XI).
С учетом равенства Т*х = Тх это дает (Т*у — X 1)(у — х — и) = 0,
т.е. у — х — и £ Кег(Т* — XI). Проверим, что сумма трех указанных
пространств является прямой. Пусть х + и + v = 0, где и £ ©(Т),
(Т* — X 1)и = 0 и (Т* — AI)v — 0. Применяя Т* — XI и учитывая, что
Т*х = Тх, получаем (Т* — X 1)х + (А — А)г; = 0. Еще раз используя
ортогональность Ran (Т — XI) и Кег (Т* — XI), получаем х = 0 и v = 0.
(ii) Из утверждения (i) следует, что (Vo — I)(Do) П ©(Т) = {0},
ибо Vo (А)) С До С Кег(Т* — XI), Do С Кег(Т* — XI). Без ущерба
для общности можно считать, что А = г. Пусть V — преобразование

10.7. Дополнения и задачи
581
Кэли Т; Н является ортогональной суммой замкнутых подпространств
Ran(T + И) = ^)(V) и Кег(Т* + г/). Поэтому Do входит в ортого¬
нальное дополнение i)(F). Аналогично До входит в ортогональное до¬
полнение Ran (Т — И) = Ran V. Итак, с помощью Vo получаем изо¬
метрическое продолжение V оператора V. Выше было показано, что
Э(Т) = Ran (V—I). Поэтому V соответствует симметричному расшире¬
нию Т оператора Т, удовлетворяющему (10.7.1). При этом ТСТ* СТ*,
значит, Тх = гх и TVo# = —iVox при х £ Do. Так как симметрич¬
ные расширения Т получаются указанным способом из изометрических
расширений V, то мы описали все замкнутые симметричные расшире¬
ния Т.	□
При рассмотрении расширений полезно включить индексы дефекта
в параметрическое семейство дт(А) (см. конец §10.1). Как мы знаем из
предложения 10.1.15, функция dr локально постоянна на множестве
регулярных точек. Применительно к симметричным операторам это
приводит к следующим выводам.
10.7.13. Предложение. Пусть Т — замкнутый симметричный
оператор. Если ImA ф 0, то оператор Т — XI имеет ограниченный
обратный на области Ran (Т — XI), т.е. А — регулярное значение.
Кроме того, число dr( А) постоянно в каждой из полуплоскостей
ImA > 0 и ImA < 0.
Доказательство. Положим А = а + i/З. Ввиду вещественности
(Тх,х) при х £ 2)(Т) получаем
||(Т - Х1)х\\2 = ||(Г — а/)х||2 + /?2||ж||2 + 2Re ((А - al)x,i(3x) =
= \\(Т-а1)х\\2 + /3\\х\\2>р2\\хГ,
что доказывает первое утверждение. Второе утверждение очевидно из
предложения 10.1.15.	□
10.7.14. Следствие. Если у замкнутого симметричного опера¬
тора Т есть вещественная регулярная точка, то его индексы дефекта
равны. Значит, Т имеет самосопряженные расширения.
10.7.15. Следствие. Пусть Т — такой замкнутый симметрич¬
ный оператор, что при некотором т £ ГО,1
(Тх,х) ^ т(х,х) Уж £ D(T).
Тогда луч (—оо, т) входит в множество регулярных точек и индексы
дефекта Т равны. Значит, Т имеет самосопряженные расширения.
В следующем разделе мы подробнее обсудим ситуацию из этого
следствия и увидим, что есть расширения с такой же оценкой.

582
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
lO.T(ii). Полуограниченные формы и операторы
В этом разделе изучаются симметричные операторы, квадратич¬
ные формы которых оцениваются снизу через const ||х||2. Такие опе¬
раторы часто возникают в приложениях (особенно важны операто¬
ры с неотрицательными формами). Они обладают максимальными
(в уточняемом ниже смысле) ограниченными снизу самосопряженными
расширениями: так называемыми расширениями по Фридрихсу.
Пусть в комплексном гильбертовом пространстве Н заданы плот¬
ное линейное подпространство ©(Q) и функция
которая линейна по первому аргументу и сопряженно-линейна по вто¬
рому. Ей соответствует квадратичная форма х > <2(х,х) на 2)(<2). Эта
форма называется полуограниченной снизу, если существует такое ве¬
щественное число га, что
Если га можно взять неотрицательным, то форма называется неотри¬
цательной, а если т можно взять строго положительным, то форма на¬
зывается положительно определенной или положительной. Наиболь¬
шее возможное т называется точной нижней границей формы Q.
Мы будем рассматривать формы, порожденные симметричными
операторами по формуле
Введенная терминология переносится с форм на операторы. В част¬
ности, симметричный оператор называется полуограниченным снизу,
если такова его квадратичная форма; если форма неотрицательна или
положительна, то и оператор называется неотрицательным (соответ¬
ственно положительным). В приложениях часто первичным объектом
выступают как раз квадратичные формы, а по ним строят порожда¬
ющие их операторы, исследуют их области определения, самосопря¬
женность и т.д. Вот типичный пример: по заданной неотрицательной
борелевской мере fi на IRn в пространстве L2(p) вводится форма Ди-
Возникает вопрос: можно ли эту форму задать самосопряженным опе¬
ратором? Скажем, если ц — мера Лебега, то форма £ порождается
оператором Лапласа Д. Уже в этом примере видно, что порожденная
оператором форма может иметь естественную область определения,
более широкую, чем область определения порождающего ее операто¬
ра. Например, естественная область определения оператора Лапласа
Д в L2(lRn) — класс Соболева W2,2(IRn), в то время как порождаемая
Q: 3>(Q)x ©(<?)-> С,
Q(x,х) > га(ж,х), х е Э(<2).
<2(х,х) := (Ах,х), х £ D(A).
рихле
£(<р> v) =	(Vy>(x),	v<p(x))	fi(dx),	<р	G	Co°(]Rn).

10.7. Дополнения и задачи
583
им градиентная форма Дирихле естественно определена на более ши¬
роком классе Соболева W2,1(lRn). Как мы увидим, это явление весьма
типично.
Предположим сначала, что форма Q положительно определена. То¬
гда Э(<2) можно наделить скалярным произведением
(х, y)Q := Q(x, у), x,yeD(Q).
Если 2)(<2) гильбертово относительно (•, • )Q, то форма Q называется
замкнутой.
10.7.16.	Теорема, (i) Пусть А — положительный самосопря¬
женный оператор. Тогда он порождает замкнутую форму
Qa(x,x) := (yfAx, у/Ах), ®(Qa) •= 2>(VA).
При этом Qa — единственная положительная форма Q, удовлетво¬
ряющая условиям
Э(Л) С Э(<2), {Ах, у) = Q(x,y) для всех х £ Э(А),г/ £ S(Q). (10.7.2)
(ii) Обратно, всякая плотно определенная замкнутая положите¬
льная форма Q получается из некоторого положительного самосо¬
пряженного оператора указанным способом, причем такой оператор
только один.
Доказательство, (i) Замкнутость формы Qа следует из замкну¬
тости самосопряженного оператора у/А. Далее, пусть положительная
форма Q удовлетворяет условиям (10.7.2). Тогда <2а(#,у) = Q{x,у)
при х,у £ Э(А). Для доказательства равенства форм Qa и Q прове¬
рим, что ^){А) плотно в гильбертовых пространствах D{Qa) и D(Q)
с их нормами || • \\Qa и || • ||Q. Если у £ S(Q) и Q{x,y) = 0 для всех
х £ %)(А), то ввиду (10.7.2) вектор у ортогонален в Н множеству Ran А,
которое плотно, ибо А самосопряжен. Поэтому у = 0. Это доказывает
плотность D(A) в S)(Q). Такое же рассуждение применимо и к 2)(Qa).
(ii)	Для и £ Н рассмотрим на гильбертовом пространстве S3(Q) со
скалярным произведением (•, • )Q функционал 1и{у) •= {щу)* Тогда
IWKIN ll!/ll<m-1/2IMI IML-
По теореме Рисса существует единственный элемент v £ Э(<2), для ко¬
торого lu{y) = Q{viV) ПРИ вс^х у £	Ясно, что элемент v линейно
зависит от и. Положим В и := v. Тогда
Q(Bu, у) = (и, у), у € S(Q).
Так как ||-В«||2 = (и,Ви) < ||и|| ||Вм|| < m-1/2||u|| ||-Bu||Q, то получаем
||Bu||Q < m_1/2||«||, т.е. В — непрерывный оператор из Н в 2)(Q) с нор-
мой || • ||Q. Поэтому В непрерывен из Н в Н. Поскольку при у = Ви
мы имеем {и, Ви) = Q{Bu,Bu), то В самосопряжен. Этот оператор

584
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
инъективен. В самом деле, пусть Ви = 0. Тогда (у,и) = 0 для всех
у £ 53(Q), откуда и — 0. Поэтому определен самосопряженный опера¬
тор А := В~г на области D(A) := Ran В С 5)(Q). Получен искомый
оператор. В самом деле, при и = Ах, х £ 53(Л), имеем
(Ас, у) = Q(x, г/), ж £ ©(А), 2/ € 53(Q).
Согласно доказанному в (i) форма Q а совпадает с Q. Проверим един¬
ственность А. Предположим, что имеется еще один самосопряженный
оператор Ai, порождающий форму Q. Тогда
2)(д) = Э(ч/А)=ЗЭ(УЗГ).
Поэтому для всякого у £ 53 (Ai) имеем
(ж, Aiy) — Q(x, у) = (у/Ах, у/Ау), X € D{Q).
Это равенство означает, что
л/2уеЗ>((ч/Я)*) =©(л/А) и (VA)*VAy = Aiy,
т.е. у £ 53(A) и Ay = А12/. Итак, Ai С А. Аналогично А С Ai.	□
Пусть теперь Т — полуограниченный снизу симметричный опера¬
тор. Как мы знаем, он имеет замыкание, являющееся замкнутым сим¬
метричным оператором. Это замыкание тоже оказывается полуограни-
ченным снизу оператором, ибо для всякого х £ 53 (Т) найдется такая
последовательность {хп} С 2)(Т), что хп —> х и Тхп —► Тх. Поэтому
из оценки (Тхп,хп) ^ т(хп,хп) следует оценка (Тх,х) ^ т(ж,ж). Зна¬
чит, оператор Т имеет самосопряженные расширения. Описанная выше
связь с квадратичными формами позволяет построить полуограничен-
ное снизу самосопряженное расширение. Для этого будем иметь дело
с замыканием Т и заменим Т положительным оператором То := Т + XI
для какого-нибудь А > га. Рассмотрим положительно определенную
форму Q(x) = (Т0х,х).
10.7.17.	Лемма. Пусть Q — положительно определенная квад¬
ратичная форма на плотном линейном подпространстве D(Q) в Н.
Предположим, что выполнено следующее условие:
(С) если последовательность {жп} С ®(Q) фундаментальна по
норме || • ||Q и ||жп|| —> 0, то Q(xn,y) —► 0 при всех у £ 53(Q).
Тогда форма Q замыкаема обследующем смысле: имеется_такая
замкнутая квадратичная форма Q с областью определения 5)(<2) в Н,
что 53(Q) есть пополнение 53(Q) по норме || • ||Q и Q|s)(Q) = Q-
Доказательство. Пусть последовательность {хп} из 53 (Q) фун¬
даментальна по норме || • ||Q. Тогда она фундаментальна в if и потому
сходится в if к некоторому х £ if. Пусть 53 (Q) состоит из всех так полу¬
ченных элементов в if. Положим Q(x,x) = lim Q(xn,xn). Покажем,

10.7. Дополнения и задачи
585
что ®(Q) можно отождествить с пополнением ©(Q). Для этого надо
убедиться в следующем: если две фундаментальные последовательно¬
сти {хп} и {уп} из ©(Q) сходятся в пополнении к разным элементам,
тоивЯих пределы различны. Если бы оказалось, что у них общий
предел х в Н, то мы бы получили фундаментальную по норме || • ||Q
последовательность zn := хп — уп, которая сходится к нулю в Н. По
условию (С) имеем Q(zn,y) —> 0 для всех у G ®(Q). Ввиду плотно¬
сти ©(Q) в пополнении, это означает, что {zn} сходится в пополнении
к нулю, вопреки тому, что мы предположили {хп} и {уп} сходящи¬
мися к разным элементам пополнения. Нетрудно видеть, что получено
искомое замыкание.	□
Итак, форму Q можно замкнуть. При этом замыкание тоже будет
положительно определенным. Согласно доказанному, существует поло¬
жительный самосопряженный оператор То, порождающий замыкание
нашей формы. Этот оператор называется расширением Фридрихса опе¬
ратора Т + А/, а оператор То — XI называют расширением Фридрихса
оператора Т.
10.7.18. Пример. Пусть оператор А = —dPfdt2 задан на области
2>(А) = С8°(0,1). Тогда
{Ар, ф) = [ \ф(Ь)\2 dt > 0.
Jo
Пополнение Э(Л) по норме ({Ар, р) + {р, <р))	совпадает с простран¬
ством Соболева И^’1 [0,1] всех абсолютно непрерывных функций р
с у?(0) = р{ 1) = 0 и ф £ L2[0,1]. Расширение Фридрихса операто¬
ра А есть неотрицательный самосопряженный оператор А = —dP/dt2
на области ©о = {ф € W2,2[0,1]: у?(0) = р{1) = 0}. Однако А имеет
и другие неотрицательные самосопряженные расширения: например,
А\ = —dP/dt2 на области ©i = {</?€ W2,2[0,1]: ^(0) = р'{ 1) = 0}.
Кроме того, есть и самосопряженные расширения оператора А, не
являющиеся неотрицательными: например, А2 = —dP/dt2 на области
©1 = {р £ W2y2[0,1]: <£>'(0) = р{0),ф{1) = ¥>(1)}* Отметим, что опера¬
тор А не является существенно самосопряженным (его замыкание опре¬
делено на функциях (р £ W2'2[0,1] с v?(0) = у>(1) = ф(0) = ф{ 1) = 0),
благодаря чему имеются различные ограниченные снизу самосопря¬
женные расширения (задача 10.7.32).
Доказательство следующего утверждения о свойствах расширения
Фридрихса — задача 10.7.35.
10.7.19. Теорема. Предположим, что А — ограниченный снизу
плотно определенный симметричный оператор с расширением Фри¬
дрихса А и ©Q — область определения замыкания формы, порожден¬
ной оператором А.

586
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
(i) Пусть А\ — такое самосопряженное расширение А, что
D(Ai) С DQ. Тогда А\ = А.
(ii) Пусть А\ — ограниченное снизу самосопряженное расшире¬
ние А и Qi — соответствующая форма. Тогда Dq С DQi и Q\—Q
на Dq.
Как видно из предыдущего примера, расширение Фридрихса может
быть не единственным самосопряженным расширением, ограниченным
снизу. Описание ограниченных снизу расширений см. в [14, §109].
10.7(iii). Теоремы Чернова и Троттера
Здесь мы приведем два интересных результата, связанных с при¬
ближением операторных полугрупп. Первый — теорема Чернова — на
самом деле был получен позже теоремы Троттера, которую мы по¬
лучим ниже как следствие. Сначала установим один вспомогательный
результат.
10.7.20. Лемма. Пусть L и Ьп, где п £ IN, — генераторы силь¬
но непрерывных сжимающих полугрупп в банаховом пространстве X
и D С D(L) П(Пп^1 ®0Ьп)) ~ такое линейное подпространство, что
(XI — L)(D) плотно в X. Предположим, что Lnx —> Lx при п —> оо
для всякого х £ D. Тогда для всякого х £ X при Re А > 0 имеем
(XI - ЬпУ'х (XI - L)~lx.
Доказательство. Пусть ф = (XI — Ь)р, (р £ D. Напомним, что
\\(Х1 — Ln)_1|| < |А|-1. Поэтому
||(А/- I^-V - (А/-L)-VII =
= ||(А/ -	- Ln)<p - (XI - Ln)~\Ln - L)<p - <р\\ =
= ||(А/ - Ln)~\Ln - L)<p\| < !A|—1Ц(£г„ - L)<p||.
Итак, лемма верна для всех ф из плотного множества. С учетом оценок
|| (XI — Ln)-1!! ^ 1 и || (XI — Ь)~г || < 1 это дает требуемое.	□
10.7.21. Теорема. Пусть X — банахово пространство, отобра¬
жение F: [0,+оо) —> С(Х) непрерывно на каждом векторе, F(0) = I,
||F(t)|| < eat с некоторой постоянной а £ И1, причем есть такое
плотное линейное подпространство D С X, что при всех х £ D
существует предел Ff(0)x := limt“1[F(t)x — х]. Предположим, что
Ff(0) на D обладает замыканием С, являющимся генератором силь¬
но непрерывной полугруппы (Tt)t^o- Тогда для всякого х £ X имеем
F(t/n)nx —> Ttx при п —> оо равномерно по t из всякого отрезка.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда а — 0 и
(Tt)t^o — сжимающая полугруппа (умножив F(t) на е~ьС с достаточно

10.7. Дополнения и задачи
587
большим С > 0). Отметим следующий факт: если Т £ С(Х) и ||Т|| < 1,
то операторы exp(t(T — /)) образуют сжимающую полугруппу, причем
|| [exp(n(T -1)) - Т"]*|| < п^2\\(Т - />||.
В самом деле, ||exp(i(T — /))|| < e_t ]Сь=о ж Ill’ll* ^ Кроме того,
00 к
[ехр(п(Г - /)) - Т”]х| = |е-п £ ^(Тк ~ Т»)*|| <
\b — n\nk
T ii(T-J)*n> •
0 *	k=0
что оценивается через n1/2 ||(T — /)ж||, ибо
оо	оо	1/2	1/2
53 |fc - n|nfe/fc! < (53 |fc - n|V/fc!) (53 п*/м)	<	(nen)1/2en/2
fc=0	fc=0	fc=0
ввиду легко проверяемого равенства ]CfcLo 1^ —	=	^еп. Зафик¬
сируем т > 0 и положим Т := F(r/n), Ln := nr-1 (F(r/n)—/). Согласно
доказанному выше утверждению оператор Т — I порождает сжимаю¬
щую полугруппу ехр[£(Т — /)]. Поэтому оператор Ьп также порождает
сжимающую полугруппу exp(£Ln). Согласно нашим условиям и теоре¬
ме 10.5.8 имеет место поточечная сходимость последовательности опе¬
раторов exp[n(F(r/n) — /)] = ехр(т£п) к Тт. Пусть х £ D. Еще раз
применив упомянутое утверждение, при п —► оо получаем
|| ехр(т£п) - Г(т/п)пх\\ < n1/2\\(F(T/n) - /)ж|| =
= ^772	-	7И1 -*■
Таким образом, при х £ D имеем F(r/n)nx —> Ттх. Тогда это же оста¬
ется в силе для всех х £ X, ибо D плотно и ||F(r/n)|| < 1 в рассмат¬
риваемом случае. Анализ доказательства показывает, что сходимость
равномерна по т из каждого отрезка.	□
10.7.22.	Следствие. Пусть А и В — генераторы сильно непре¬
рывных сжимающих полугрупп ехр(£А) и exp(tB) в X, множество
'З(А) П %)(В) плотно, причем оператор А + В на нем обладает замы¬
канием С, являющимся генератором сильно непрерывной сжимающей
полугруппы ехр(£С). Тогда exp(tC)x = lim (ехр(£А/п) ехр(Ш/п)) х
п—юо
для всякого х £ X равномерно not из каждого отрезка.

588
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
Доказательство. Достаточно положить F(t) = exp(tA)exp(tB).
Тогда
10.7.23. Пример. Пусть (Tt)t^o — сильно непрерывная сжимаю¬
щая полугруппа с генератором L на банаховом пространстве X. Тогда
и заметим, что F'(0) = L на 35(L).
Отметим, что в теореме Чернова оператор F'(0) автоматически за¬
мыкаем, если он плотно определен. Для этого достаточно рассмотреть
случай а = 0; в этом случае оператор F'(0) очевидным образом дисси¬
пативен (ибо l(F(t)x) ^ 1 при ||/|| = ||я|| = /), следовательно, замыкаем,
см. задачу 10.7.42. Поэтому основное условие состоит в том, что мно¬
жество (/ — Ff(0))(D) плотно. Оно не вытекает из диссипативности:
достаточно взять неположительный симметричный оператор, не явля¬
ющийся существенно самосопряженным.
10.7(iv). Математическая модель квантовой механики
Используемая в настоящее время математическая модель кванто¬
вой механики описывается набором аксиом, сформулированных на язы¬
ке теории операторов в гильбертовом пространстве в книге фон Нейма¬
на [163], вышедшей на немецком языке в 1932 году. Фактически эта мо¬
дель фон Неймана является формализацией модели, введенной в книге
Дирака [74], первое английское издание которой вышло в 1930 году.
Стоит отметить, что через год после выхода книги фон Неймана была
опубликована (также сначала на немецком языке) книга А.Н. Колмо¬
горова «Основные понятия теории вероятностей». Можно считать, что
книги фон Неймана и Колмогорова вместе дают решение шестой про¬
блемы Гильберта (одной из 23 проблем, поставленных в его докладе
на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900
году) об аксиоматическом построении теории вероятностей и механи¬
ки. Основные математические объекты, используемые при построении
описываемой модели, — комплексное сепарабельное гильбертово про¬
странство и самосопряженные операторы в нем. Основные физические
объекты — квантовая система (исследуемый физический объект, на¬
пример, элементарная частица, семейство таких частиц или квантовый
компьютер), ее наблюдаемые (физические величины, которые можно
при х Е 35(A) П 3)(В), что позволяет применить теорему.
□
lim (I — tn гЬ) пх = Ttx, х € X.
п—юо
Для ЭТОГО положим

10-7. Дополнения и задачи
589
измерять) и состояния. Состояния бывают чистые и смешанные. Со¬
стояние квантовой системы называется чистым, если оно не является
вероятностной смесью отличных от него состояний. Всякое смешанное
состояние совпадает с вероятностной смесью чистых состояний.
Теперь приведем аксиомы и комментарии к ним.
Аксиомы. 1. Каждой квантовой системе сопоставлено комплекс¬
ное сепарабельное гильбертово пространство Я, назьюаемое ее про¬
странством состояний. Наблюдаемым сопоставляются самосопряжен¬
ные операторы в Я (которые в рамках рассматриваемой модели часто
сами называются наблюдаемыми). Чистым состояниям сопоставляют¬
ся ортогональные проекторы на одномерные подпространства в Я. Так
как проектор можно отождествить с его образом, то можно сказать,
что чистые состояния задаются одномерными подпространствами в Я
(т.е. элементами проективного гильбертова пространства). Кроме того,
чистые состояния бывает удобно представлять векторами, порождаю¬
щими соответствующие одномерные подпространства (их можно счи¬
тать нормированными). Эти векторы называются векторами состоя¬
ний квантовой системы; именно поэтому Я называется пространством
состояний. Если всякий вектор из пространства Я задает некоторое
(чистое) состояние, то говорят, что в квантовой системе нет правил
суперотбора (правила суперотбора обсуждаются в комментарии 9).
Аксиомы. 2. Временная эволюция вектора состояния квантовой
системы описывается однопараметрической группой унитарных опера¬
торов U(t). Это означает, что если ф{1\) — вектор состояния кванто¬
вой системы в момент то ее вектор состояния в момент опреде¬
ляется равенством ф^) = Ufa — t\)ф(Ь\). Согласно теореме Стоуна,
U(t) = ехр(—г^Я), где Й постоянная Планка, а Я — самосопряжен¬
ный оператор, называемый гамильтонианом системы; он соответству¬
ет (^является) наблюдаемой, называемой энергией. При этом обычно
предполагается, что оператор Я — неотрицательно определенный или
хотя бы полуограниченный (снизу), так как считается, что энергия фи¬
зической системы не может уменьшаться неограниченно.
Комментарии. 1. Справедливо равенство {Нф'(Ь) = Нф{Ь), называ¬
емое уравнением Шредингера.
Аксиомы. 3. Если Ai, А2,..., Ап — попарно коммутирующие на¬
блюдаемые, то существует эксперимент, позволяющий одновременно
измерить эти наблюдаемые, каково бы ни было состояние системы.
При этом, если ф — вектор, задающий состояние квантовой системы
и UjJ = 1,2,... ,п, — проекторные меры для Aj (см. §§7.9, 7.10(й)),
то вероятность того, что измеренные значения наблюдаемых Aj будут
содержаться в борелевских множествах Bj с IR при j = 1,..., га, равна
величине ||IIi(Bi) • • • Пп(Вп)^||2/||^||2-

590
Глава 10, Неограниченные операторы и полугруппы
Комментарии. 2. Математическое ожидание результатов измере¬
ния наблюдаемой А в чистом состоянии, задаваемом вектором ф, равно
(Аф,ф)/1|-0112 (если правая часть определена). Аксиома 3 в свою оче¬
редь может быть выведена (при некоторых естественных предположе¬
ниях) из этого утверждения.
Аксиомы. 4. Эксперимент по измерению наблюдаемой А с дис¬
кретным спектром можно провести таким образом, что если исходное
состояние было чистым и представлялось вектором ip, причем в ка¬
честве результата измерения было получено число А, то сразу после
измерения система окажется в чистом состоянии, представляющем со¬
бой проекцию вектора ip на собственное подпространство, отвечающее
собственному значению А. Переход от вектора р> к его проекции назы¬
вается редукцией вектора состояния.
Комментарии. 3. Эта аксиома — усиление первоначальной аксио¬
мы фон Неймана (по которой размерность соответствующего собствен¬
ного подпространства равна единице), называемое иногда постулатом
Людерса; до сих пор в литературе обсуждается правомерность приня¬
тия этого постулата. Отметим еще, что в известном учебнике Ландау
и Лифшица отрицается и первоначальная аксиома фон Неймана.
Комментарии. 4. Чтобы распространить аксиому о редукции век¬
тора состояния на случай наблюдаемых с непрерывным спектром, надо
расширить описываемую модель, воспользовавшись теорией обобщен¬
ных функций. Фактически это сделал еще сам Дирак (до появления
аксиоматики фон Неймана), но на эвристическом уровне строгости.
Комментарии. 5. Таким образом, существуют два типа эволюции
квантовых систем: описываемая аксиомой 2 (она называется унитар¬
ной или гамильтоновой) и описываемая аксиомой 4 редукция вектора
состояния. В первом случае будущее состояние системы однозначно
определяется ее начальным состоянием; во втором случае будущее со¬
стояние зависит от начального только вероятностным образом. До сих
пор активно обсуждается вопрос о том, в какой мере второй тип эволю¬
ции можно свести к первому. Стоит подчеркнуть, что эволюция первого
типа происходит в изолированной системе (такие системы называются
замкнутыми); эволюция второго типа является результатом взаимодей¬
ствия системы с другой системой — измерительным аппаратом.
Аксиомы. 5. Если квантовая система с гильбертовым простран¬
ством Н состоит из двух подсистем с гильбертовыми пространства¬
ми Н\ и Н.2 соответственно, то предполагается, что Н можно отожде¬
ствить с гильбертовым тензорным произведением пространств Н\ и Щ
(см. §7.10(vi); здесь гильбертово тензорное произведение мы будем обо¬
значать символом Я10Я2) или с одним из его подпространств: с замы¬
канием подпространства симметричных тензоров или замыканием про¬
странства антисимметричных тензоров (первый вариант используется
при описании частиц, называемых бозонами, а второй — при описании

10.7. Дополнения и задачи
591
частиц, называемых фермионами). Предполагается, что если кванто¬
вые системы Hi и Н% находятся в чистых состояниях, представляемых
векторами х\ и соответственно, то состояние объединенной системы
также является чистым и представляется вектором Xi0X2- Кроме того,
если А\ и А2 — наблюдаемые соответствующих подсистем, то их изме¬
рение — это то же самое, что измерение наблюдаемых A1&I2 и /10А2
в объединенной системе; здесь и далее 1\, /2 — тождественные отобра¬
жения соответствующих пространств. Квантовые системы с гильбер¬
товыми пространствами Н\ и #2, рассматриваемые как подсистемы их
объединения, называются открытыми.
Комментарии. 6. Верна следующая теорема. Пусть объединенная
система находится в чистом состоянии, представленном вектором
ip £ Н = #i®#2. Тогда существует такой неотрицательный ядер¬
ный оператор Т* в Н\ с trT* = 1, что для каждого ограниченного
самосопряженного оператора А в Н\ имеем tr (АТ*) = (А0/2<£, ip)H.
В самом деле, пусть {е^} — ортонормированный базис в тогда
соотношение (Т*х,г)И1 = M\~2YSL1(x®el,<p)H(z®e%,<p)H, x,z€ Нъ
однозначно задает Т*.
Оператор Т* называется оператором плотности (порождаемым со¬
стоянием <р объединенной системы); говорят, что он определяет сме¬
шанное состояние системы с гильбертовым пространством Hi (поро¬
ждаемое чистым состоянием объединенной системы). Можно показать
(упражнение), что каждый неотрицательный ядерный оператор с еди¬
ничным следом может быть получен таким образом. Конечно, все ска¬
занное верно и для системы с гильбертовым пространством #2-
Комментарии. 7. В рамках рассматриваемой модели оператором
плотности в гильбертовом пространстве К называется произвольный
неотрицательный ядерный оператор со следом 1. Пусть Lf(K) — мно¬
жество таких операторов. Говорят, что оператор Т Е Lf(K) задает
смешанное состояние; если система находится в таком состоянии, то
среднее значение результатов измерений наблюдаемой А равно tr АТ
(если выражение справа определено; например, это верно для ограни¬
ченных А). Чистые состояния являются частным случаем смешанных;
а именно: чистое состояние, задаваемое нормированным вектором ip,
задается также оператором плотности р 0 ip (который действует по
формуле <^0<^: х i—► <p(x,ip)). Если состояние объединенной системы
с гильбертовым пространством Н = Н\ 0Я2 само является смешанным
и задается оператором плотности 5, то существуют оператор плотности
Tg в Н\ и оператор плотности Т| в Н% такие, что для всех ограничен¬
ных наблюдаемых А\ в Н\ и А2 в Щ имеем tr(AiT|) = tr[(Ai 0/г)5]
и tr (A2TJ) = tr [(/10^2)5]. Состояния Tg и Tg называются редукция¬
ми состояния 5; говорят также, что Tg — частичный след оператора S

592
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
относительно Н2, а Т| — частичный след оператора S относительно Н\;
эти частичные следы обозначаются символами tr#2S и tXHxS соответ¬
ственно; так же обозначаются и обычные следы в тех же пространствах.
Таким образом, tiH1(tTH2S) = tr S = tr#2(tr#i£)-
Подчеркнем, что по состояниям TJ и Т| подсистем, являющимся
редукциями состояния 5 объединенной системы, это последнее можно
восстановить только в случае, когда оба состояния TJ и Т| — чистые
(тогда S =	<8>Т|). Однако в общем случае это равенство может не
выполняться. Так будет, если состояние S — чистое, а Т| и т| — сме¬
шанные. Таким образом, в квантовой механике, в отличие от механи¬
ки классической, состояния подсистем могут не определять состояние
объединенной системы (но, как только что было показано, состояние
объединенной системы определяет состояния подсистем).
Однопараметрическая группа U (t) унитарных операторов из акси¬
омы 2 определяет однопараметрические сильно непрерывные группы
(называемые также динамическими) F(t) и G(t) непрерывных отоб¬
ражений, соответственно, банахова пространства ядерных операторов
в себя и банахова пространства ограниченных наблюдаемых в себя сле¬
дующим образом:
F(t)T = U(t)TU(t)*, G(t)A = U(t)*AU(t).
Для каждого t отображение F(t) является продолжением по непре¬
рывности отображения конечных линейных комбинаций чистых состо¬
яний, являющегося в свою очередь продолжением по линейности отоб¬
ражения U(t). Каждое из отображений G(t) является сопряженным к
соответствующему отображению F(t); при определении сопряженного
отображения используется теорема 7.10.40, по которой пространство
всех непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве
можно отождествить с сопряженным к пространству всех ядерных опе¬
раторов (непрерывный линейный оператор А отождествляется с функ¬
ционалом Т i-> tr АТ). При этом функции t 1-»- F(t)T и t и G(t)A
являются решениями задачи Коши для уравнений
/'(*) = i[H, f(t)]/K, g'(t) - г[5(*), Н\/П
с начальными условиями Т й А соответственно. Обычно эти уравнения
называются уравнениями Гейзенберга, хотя первое из них называет¬
ся иногда уравнением Шредингера, а второе — уравнением Лиувилля.
Говорят, что каждая из групп U(t), F(t) и G(t), а также каждое из
уравнений Гейзенберга и уравнение Шредингера определяет гамильто¬
нову динамику квантовой системы. Если £/#(£) — однопараметрическая
группа унитарных преобразований Я, определяющая динамику кван¬
товой системы, то, каково бы ни было состояние Т объединенной систе¬
мы, функция JF, задаваемая равенством T(t) — trH2U(t)TU(t)*, опре¬
деляет динамику первой подсистемы, порождаемую динамикой этой

10.7. Дополнения и задачи
593
объединенной системы. Разумеется, функция Т не обязана быть даже
однопараметрической полугруппой. Уравнение, которому она удовле¬
творяет, называется управляющим (в английской литературе — master
equation). Тем не менее, для опйсания так называемой марковской ап¬
проксимации динамики квантовых систем, взаимодействующих с кван¬
товыми полями, оказывается полезным использовать пределы некото¬
рых семейств функций типа функции Т, зависящих от параметра, ха¬
рактеризующего взаимодействие (см. Accardi, Lu, Volovich [249]). Эти
предельные функции уже оказываются однопараметрическими полу¬
группами и удовлетворяют уравнениям, аналогичным обратному урав¬
нению Колмогорова из теории диффузионных процессов.
Комментарии. 8. По аналогии с проекторными мерами вводятся
более общие борелевские меры £ на Е со значениями в множестве
неотрицательных ограниченных операторов в Я с Е(Ж) = I. По теоре¬
ме Наймарка (см. [14, §110]), такая мера есть композиция проекции на
Н с проекторной мерой со значениями в некотором большем гильбер¬
товом пространстве, подпространством которого является Н. Поэтому
такие более общие разложения единицы также описывают некоторые
физически реализуемые эксперименты, которые полезны, в частности,
тогда, когда требуется получить максимально возможную информа¬
цию о состоянии системы (см. Холево [232]). Оказывается, что иногда
измерения над большей системой могут доставить больше информа¬
ции о состоянии подсистемы, чем эксперименты над одной этой под¬
системой (для неквантовых систем такая ситуация невозможна). Для
описания результатов такого эксперимента проекторную меру в объ¬
емлющем пространстве можно явно не использовать: оказывается, что,
если состояние первоначальной (под)системы представлено оператором
плотности 5, то вероятность того, что в эксперименте, описываемом
таким разложением единицы Е, значение измеряемой величины будет
принадлежать борелевскому множеству Я, равно 1г[Я(Я)5].
Комментарии. 9. Правила суперотбора (если они есть) задаются
некоторой проекторной мерой П. При этом считается, что физически
допустимыми являются лишь наблюдаемые, коммутирующие с каж¬
дым из операторов П(Я). Если мера П сосредоточена на конечном или
счетном множестве, то аналогично предыдущему физически допусти¬
мыми являются лишь состояния, представляемые операторами плотно¬
сти, коммутирующими с каждым из операторов П(В). При этом мно¬
жество векторов, представляющих физически допустимые чистые со¬
стояния, совпадает с объединением образов всех проекторов П({^}),
j = 1,2,... Если в квантовой системе нет правил суперотбора, то
всякая линейная комбинация векторов, представляющих (чистые) со¬
стояния, снова является вектором, представляющим некоторое чистое
состояние; этот факт, именуемый принципом суперпозиции, отражает
так называемые волновые свойства квантовых систем. Именно принцип

594
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
суперпозиции определяет фундаментальное отличие квантовых систем
от классических.
Комментарии. 10. Всякое смешанное состояние может быть полу¬
чено как вероятностная смесь чистых. А именно: пусть v — такая ве¬
роятностная мера на К, что ^({0}) = 0. Тогда математическое ожида¬
ние результатов измерений ограниченной наблюдаемой А в предполо¬
жении, что эта мера определяет вероятностное распределение чистых
состояний, равно I (Az,z)K\\z\\~2v(dz). Из теоремы 7.10.40 вытека-
JK
ет, что на К существует такой ядерный положительно определенный
оператор S, что для каждой ограниченной наблюдаемой А справедли¬
во равенство / (Az, z)K ||г||“2 v(dz) = tr (AS) (теорема дает равенство
J к
сначала на компактных операторах, но затем оно распространяется на
все операторы поточечным приближением). Из этого равенства в свою
очередь следует, что в качестве меры и (которая определяется им от¬
нюдь не однозначно) может быть взята мера, являющаяся произведе¬
нием функции z ь-► || z ||2 и другой вероятностной меры fi. Это означает,
что I (Az,z)K p(dz) = tr (AS), так что в качестве р подходит любая
J к
вероятностная мера с нулевым средним и с корреляционным операто¬
ром S (среди таких мер существует ровно одна гауссовская мера).
Таким образом, каждое смешанное состояние можно получить дву¬
мя принципиально различными способами: как вероятностную смесь
чистых состояний и как состояние, порождаемое чистым состоянием
некоторой бблыпей системы.
Комментарии. 11. Приведенная система аксиом, конечно, не яв¬
ляется полной, так как существуют неизоморфные квантовые систе¬
мы. Хотя согласно известной теореме Гёделя все достаточно богатые
аксиоматические системы неполны, это утверждение не является бес¬
содержательным: как принято в разделах математики, не связанных
с математической логикой, эта система аксиом была введена в рам¬
ках и на языке теории множеств, и под полнотой так введенной си¬
стемы аксиом понимается существование единственной ее реализации
именно в рамках теории множеств. Однако различные модели самой
теории множеств нельзя различить, оставаясь внутри нее, т.е. пользу¬
ясь только ее аксиомами (именно благодаря этому можно построить
так называемый нестандартный анализ). Большой класс систем полу¬
чается путем применения процедуры квантования к гамильтоновым
системам классической механики. Напомним, что симплектическое ло¬
кально выпуклое пространство — это пара (Е, /), где Е — веществен¬
ное локально выпуклое пространство и I — линейное отображение в Е
сопряженного к Е пространства Е*, наделенного топологией, согласу¬
ющейся с двойственностью между Е* и Е, такое, что I* = —I. Если

10.7. Дополнения и задачи
595
/ид — числовые (комплексные или вещественные) функции на Е, то
их скобкой Пуассона называется функция на Я, обозначаемая симво¬
лом {/,#} и определяемая равенством {/,д}(х) = /'(х)(1(д'(х))). Далее
предполагается, что Е = QxP(= <2®Р), где Q — локально выпуклое
пространство, Р — его сопряженное, наделенное топологией, согласу¬
ющейся с двойственностью между Р и Q. При этом пространство Е
отождествляется с пространством линейных функционалов на нем с по¬
мощью отображения, сопоставляющего элементу (q,p) £ Е линейный
функционал на Е, обозначаемый символом (р,д) и заданный форму¬
лой ((p,g), {q',p')) = q(p') + q'(p)- Отображение I определяется так:
1(Р>0) = (<7>“Р)* Линейное пространство гладких числовых функций
на Е с операцией умножения, задаваемой скобкой Пуассона, образу¬
ет алгебру Ли Ре; ее подалгебра Рс, порождаемая линейными функ¬
циями, является центральным расширением коммутативной алгебры
Ли, представляющей собой локально выпуклое пространство Е*(= Е)
с тривиальным умножением (алгебра Рс называется алгеброй Гейзен¬
берга, порожденной Е). Отображение алгебры Ли Рс в множество са¬
мосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Н, такое, что
для всяких к,д £ Рс, а, 6 G IR справедливы равенства F(ak -+* Ъд) =
aF(k)+bF(g) и iF({k,g}) = [F(k),F{g)] (= F(k)F(g) - F(g)F(k)), на-
зывается представлением в Я канонических коммутационных соотно¬
шений (ККС) в форме Гейзенберга; унитарное представление централь¬
ного расширения Ес коммутативной группы, являющейся аддитивной
группой Е — Е* (это расширение называют группой Гейзенберга или
группой Вейля), называется представлением ККС в форме Вейля.
Гамильтоновой системой называется набор (Я,/, Я), где (Я, I) —
симплектическое локально выпуклое пространство, называемое фазо¬
вым пространством, и Н — вещественная функция на Е, назьюаемая
функцией Гамильтона. Уравнение Гамильтона — это следующее урав¬
нение относительно функции / вещественного аргумента, интерпрети¬
руемого как время, принимающей значения в фазовом пространстве:
т=1{щ№).
Если пространство Q конечномерно, то это уравнение совпадает со
стандартной системой уравнений Гамильтона. Примером бесконечно¬
мерного уравнения Гамильтона является уравнение Шредингера (в слу¬
чае бесконечномерного пространства Н квантовой системы). Действи¬
тельно, пусть Е — овеществление Я, I — оператор в Я, порожден¬
ный умножением на мнимую единицу в Я и Н(х) = — i^(Hx,x). Тогда
(Е, J, Н) — гамильтонова система, причем соответствующее ей уравне¬
ние Гамильтона совпадает с уравнением Шредингера.
Проквантовать гамильтонову систему означает определить опера¬
тор H(F(p),F(q)) в Я, где F — представление ККС в форме Гейзен¬
берга. Так как операторы F(q) и F(p) не коммутируют, не существует

596
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
единственного «естественного» определения оператора H(F(q),F(p));
к тому же в бесконечномерном случае и представление ККС не явля¬
ется единственным. Если пространство Q конечномерно, то привиле¬
гированную роль играет так называемое представление Шредингера.
Для каждого р £ Р обозначим через F(p) действующий в пространстве
L2(Q) оператор умножения на линейный функционал q i—► p(q); для
каждого q £ Q через F(q) обозначим действующий в том же простран¬
стве оператор д i—> —ihg'q] F(q) — оператор импульса в направлении q.
Если при этом H(q,p) = V(q) + |(£р,р), где В — линейный опера¬
тор в Q, то в результате применения только что описанного метода
квантования получится стандартное уравнение Шредингера (с потен¬
циалом V и «анизотропной массой», характеризуемой оператором В).
Именно такой вид имеет гамильтониан введенной выше гамильтоно¬
вой системы, для которой в качестве уравнения Гамильтона получает¬
ся уравнение Шредингера. Квантование этой гамильтоновой системы
называется вторичным квантованием; такое название объясняется тем,
что в типичной ситуации исходное уравнение Шредингера также полу¬
чается с помощью квантования. При этом, если пространство Е беско¬
нечномерно, то на нем нет разумного аналога меры Лебега (на беско¬
нечномерном локально выпуклом пространстве нет ненулевых инвари¬
антных относительно сдвигов ст-конечных локально конечных счетно¬
аддитивных борелевских мер); однако вместо нее можно использовать
подходящую гауссовскую меру (пространство функций на Q, квадра¬
тично интегрируемых по этой мере, называют пространством Винера-
Сигала-Фока).
Задачи
10.7.24? Пусть Т — плотно определенный оператор в гильбертовом про¬
странстве Н, причем Т* плотно определен и непрерывен. Доказать, что Т
также непрерывен и продолжается до ограниченного оператора на Н.
10.7.25? Пусть S и Т — плотно определенные операторы в гильбертовом
пространстве Н, причем S С Т. Доказать, что Т* С S*.
10.7.26? Пусть S и Т — плотно определенные операторы в гильбертовом
пространстве if, причем S С Т. Доказать, что если оператор Т замыкаем, то
S тоже замыкаем, причем S С Т.
10.7.27. Пусть S и Т — плотно определенные замкнутые операторы в
гильбертовом пространстве Н, причем множество D D(S) П 2)(Т) плотно.
(i) Верно ли, что оператор S 4- Т на D замыкаем?
(ii) Если S + Т замыкаем на D, то верно ли, что (S -f Т)* = S* +Т* на
®(S*) П 2)(Т*)? Верно ли, что 2>(S* + Т*) =	П	Ъ(Т*)?
10.7.28. Пусть То — замкнутый оператор в гильбертовом пространстве
Н и Т — такой оператор, что То С Т, причем 5)(То) имеет конечную кораз¬
мерность в 2)(Т). Доказать, что Т замкнут.

10.7. Дополнения и задачи
597
10.7.29. Исследовать самосопряженные расширения оператора ip ► iip
на области определения, состоящей из гладких финитных функций в про¬
странствах L^IR1) и Ь2[0, +оо).
10.7.30. Исследовать самосопряженные расширения оператора ip »—> ip”
на области определения, состоящей из гладких финитных функций в про¬
странствах Ь2(Щ}) и Ь2[0, +оо).
10.7.31. (i) Пусть ограниченный снизу симметричный оператор А имеет
конечные индексы дефекта. Доказать, что всякое самосопряженное расши¬
рение А ограничено снизу (возможно, величиной, меньшей исходной нижней
границы), (ii) Построить пример ограниченного снизу симметричного опе¬
ратора, имеющего самосопряженное расширение, не являющееся ограничен¬
ным снизу.
10.7.32. Пусть ограниченный снизу симметричный оператор А не явля¬
ется существенно самосопряженным. Доказать, что А имеет ограниченные
снизу самосопряженные расширения, отличные от расширения Фридрихса.
10.7.33Г Пусть А — замкнутый плотно определенный оператор. Поло¬
жим
Я(А*А) := {х € Т>(А): Ах € ЩА*)}, А*Ах := А*(Ах).
Доказать, что А* А самосопряжен.
10.7.34. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор в сепара¬
бельном гильбертовом пространстве Н, х € Н и Нх — замыкание линейной
оболочки векторов П(В)х, где В € ^(IR1). Доказать, что Нх равно замыка¬
нию линейной оболочки последовательности {х, Ах, А2х,...}.
Указание: для А = А<р в Ь2(р) замкнутые подпространства, порожден¬
ные функциями 1в°р и функциями foip, где / — многочлены, равны.
10.7.35. Доказать теорему 10.7.19.
10.7.36? Построить пример самосопряженного оператора в сепарабель¬
ном гильбертовом пространстве, не являющегося генератором никакой силь¬
но непрерывной полугруппы.
10.7.37.° Построить пример двух различных сильно непрерывных по-
лугрупп на сепарабельном гильбертовом пространстве, генераторы которых
совпадают на плотном подпространстве.
10.7.38* Пусть А — генератор сильно непрерывной сжимающей полу¬
группы (T<)t^о в гильбертовом пространстве Н и D С 2)(А) — такое плотное
в Н линейное подпространство, что Tt(D) С D при всех t. Доказать, что
оператор А на D существенно самосопряжен, т.е. А есть замыкание A\d-
10.7.39. Пусть А — плотно определенный симметричный оператор
в гильбертовом пространстве и В — ограниченный самосопряженный опе¬
ратор. Доказать, что индексы дефектов операторов А и A -f В равны.
Указание: см. [14, с. 352].
10.7.40. Пусть Ttip(x) = ip(x + t), ip € ЬР(Щ}), 1 ^ p < oo. (i) Дока¬
зать, что получена сильно непрерывная полугруппа, (ii) Доказать, что при
р = 1 полугруппа операторов Т* в L°°(1R1) = (L1(1R1))* не является сильно
непрерывной.

598
Глава 10. Неограниченные операторы и полугруппы
10.7.41. (i) Доказать, что оператор А на 5) (Л) диссипативен в точности
тогда, когда ||Аж — Ах|| ^ ||ж|| при всех х Е 2)(Л) и А > 0.
(ii)	Пусть А — диссипативный оператор в банаховом пространстве X.
Доказать, что неравенство Kel(Ax) ^ 0 выполнено при всех х Е £)(Л) и всех
I Е X* таких, что 1(х) = ||ж[|2 = ||/||2 (а не только при некотором I с таким
свойством).
Указание: (i) если А диссипативен, х Е ©(^4), ||ж|| = 1 и I — соответ¬
ствующий функционал, то ||Аж—Ах\\ ^ Re 1(Хх—Ах) ^ А при А > 0. Обратно,
пусть выполнено (ii), ||ж|| = 1, l\ Е X*, 1\(Хх — Ах) = ||/л||2 = \\Хх — Ах||2.
Пусть Д = Za/IMI- Тогда Re/л (Ас) ^ 0, ибо
А||я|| ^ ||Аж - Ах|| = f\(Xx - Ах) = XRef\(x) - Ref\(Ax) ^
^ А||ж|| - Refx(Ax).
Кроме того, Re/л(ж) ^ |[ж|| + A-1 Re fn(Ax). Ввиду *-слабой компактности
шара в X* последовательность /п имеет предельную точку /. Ясно, что
Ref (Ах) О и Re f(x) ^ ||ж||, откуда f(x) = ||#|| = 1. (ii) Используя сжи¬
мающую полугруппу Tt, порожденную А, находим \l(Ttx)\ ^ ||Z|| ||ж|| = ||ж||2,
откуда Rel(Ttx — х) = Rel(Ttx) — ||ж||2 ^ 0. Деля на t и устремляя t к нулю,
получаем Rel(Ax) ^ 0.
10.7.42. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор в ба¬
наховом пространстве. Доказать, что А замыкаем, причем его замыкание
также диссипативно.
Указание: пусть хп £ Ф(-4.)> жп ->0и Ахп —► у. Для всякого вектора
г Е %)(А) при А > 0 имеем ||жп4-Ая|| ^ \\xn + Xz — А(жп + Аг)||, что дает оценку
II-Ml ^ IIMz ~ у) ^2Аг||, откуда ||z|| ^ ||z —у — XAz\\. При А —> 0 получаем
INI ^ \\z УII* Взяв zn £ ^(А) с Zn —* 2j/, находим у = 0, т.е. оператор А
имеет замыкание. Диссипативность А ясна из задачи 10.7.41.
10.7.43. Пусть А — диссипативный оператор в банаховом простран¬
стве X. (i) Доказать, что замкнутость А равносильна замкнутости образа
XI — А при некотором А > 0 (тогда и при всех А > 0). (И) Доказать, что если
образ XI — А есть X при некотором А > 0, то это верно при всех А > 0.
Указание: см. [100, §3.3].
10.7.44. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор
в банаховом пространстве X. Доказать равносильность следующих свойств,
(i) Оператор А* в X* диссипативен; (ii) оператор А* в X* т-диссипативен
(т.е. диссипативен, причем при А > 0 операторы А* — XI сюръективны);
(iii)	оператор А тп-диссипативен; (iv) образ XI—А плотен при некотором А > 0
(а тогда и при всех А > 0).
Указание: см. [100, §3.3].
10.7.45. Пусть А — плотно определенный диссипативный оператор в ба¬
наховом пространстве X. Доказать, что А является генератором непрерыв¬
ной сжимающей полугруппы в точности тогда, когда Кег (XI — А*) = 0 для
некоторого А > 0 (а тогда и для всякого А > 0).

Глава 11
Банаховы алгебры
В этой главе дается краткое введение в теорию банаховых ал¬
гебр. Как и теория операторов, эта теория имеет важные прило¬
жения в физике. Одна из важнейших банаховых алгебр — алгебра
операторов. Рассмотрения этой главы проливают новый свет на
некоторые уже встречавшиеся нам объекты, а также дополняют
полученные ранее результаты.
11.1.	Основные определения
Сначала мы рассмотрим чисто алгебраические понятия, свя¬
занные с банаховыми алгебрами. В этой главе мы будем иметь
дело с комплексными пространствами.
11.1.1.	Определение. Линейное пространство А Ф 0 на¬
зывается алгеброй, если оно наделено ассоциативным умноже¬
нием, согласованным с линейной структурой, т.е. каждой паре
элементов (а, Ь) Е Ах А сопоставлено их произведение ab Е А,
причем (ab)c — а(Ьс), (а + Ь)с = ас + Ьс, а(Ь + с) = ab + ас,
(A a)b = A (ab) = а(ХЬ) для всех а, Ь, с Е А и всех скаляров А.
Алгебра А называется унитальной, если она обладает еди¬
ницей, т.е. таким элементом 1, что 1а = а1 = а для всех
элементов а Е А.
Легко видеть, что в алгебре может быть лишь одна едини¬
ца. Простой и важный пример алгебры — алгебра многочленов
V[t] с комплексными коэффициентами от формальной перемен¬
ной t. Для функционального анализа особо интересны и важны
алгебра Сь(Т) ограниченных непрерывных комплексных функ¬
ций на топологическом пространстве Г, наделенная естественной
операцией умножения fg(t) = f(t)g(t), а также алгебра С(Х) всех
ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве X

600
Глава 11. Банаховы алгебры
(традиционно обозначаемая также символом В(Х)) с операцией
обычного умножения операторов. Все эти алгебры унитальны.
Характерный пример алгебры без единицы — алгебра непрерыв¬
ных функций на прямой, стремящихся к нулю на бесконечности.
Ниже в примере 11.1.8 перечислены типичные банаховы алгебры.
Алгебра А называется коммутативной, если аЪ — Ъа для всех
элементов a, b £ А.
Ясно, что V[t] и Сь(Т) коммутативны, а £(Х) — нет, если X —
банахово пространство с dimX > 1.
Элементы унитальной алгебры можно подставлять в много¬
члены с комплексными переменными: для произвольных а £ А
И p(z) = CnZn + Cn-\zn~x Н Ь C\Z + со положим
р(а) = Спап + Cn-ia71*1 Н Ь с\а + col
и будем называть р(а) многочленом от а. Вводимые ниже бана¬
ховы алгебры позволяют подставлять их элементы и во многие
другие функции.
Для функционального анализа особо важны алгебры, наде¬
ленные топологиями, согласованными с алгебраическими струк¬
турами. Важный частный случай — банаховы алгебры.
11.1.2. Определение. Банаховой алгеброй называется ал¬
гебра А, наделенная нормой, относительно которой она полна
и удовлетворяет неравенству
ИИ < И \\ъ\\, а,Ье А.
Примерами банаховых алгебр являются коммутативные ал¬
гебры С (К) и L1( IRn) (с операцией свертки) и некоммутативные
алгебра С(Х) ограниченных операторов в банаховом простран¬
стве X и алгебра Х(Х) компактных операторов в X, наделенные
операторной нормой.
Поскольку алгебры дополнительно к линейной структуре об¬
ладают еще и умножением, то естественные отображения между
ними — это мультипликативные операторы.
11.1.3. Определение. Линейный оператор р: А —► В меж¬
ду двумя алгебрами называется гомоморфизмом, если
(p(ab) = <р(а)(р(Ь) для всех a, b £ А.
Если при этом обе алгебры унитальны и <р(1л) = 1 В, то ф на~
зывается унитальным гомоморфизмом.
Гомоморфизм <р: А —> С называется характером алгебры А.
Изоморфизмом банаховых алгебр А и В называется взаимно
однозначный непрерывный гомоморфизм А на В.

11.1. Основные определения
601
Если алгебра А имеет единицу 1, то для всякого ненулевого
характера х имеем х(1) = 1> ибо для а £ А с х{°) Ф б получаем
Х(о) = х(1)х(с*)-
Читатель, уже привыкший к тому, что в бесконечномерном
случае всегда приходится оговаривать непрерывность линейных
функционалов, будет приятно удивлен тем, что характеры бана¬
ховых алгебр автоматически непрерывны.
11.1.4.	Предложение. Всякий характер х банаховой алге¬
бры А непрерывен, причем | х\
ницу 1 единичной нормы и \х\
^ 1. Если алгебра А имеет еди-
> 0, то llxll = 1.
Доказательство. В противном случае найдется такой эле¬
мент а €Е А, что х(о) = 1 и ||а|| < 1. Ввиду оценки ||ап|| < ||а||п
и полноты А ряд ап сходится к некоторому Ъ € А. Из непре¬
рывности умножения следует, что a + ab = а+ lim аУ'^=1 ак = Ъ.
га—>00
Тогда 1 + х(Ь) = х(а + об) = х(б), что невозможно.
Если х Ф 0, то найдется а €Е А с х(°) — 1- Тогда получаем
равенство х(1) = х(!)х(о) = х(°) = 1, откуда ||х|| > 1.	□
Имеется стандартная конструкция расширения алгебры А без
единицы до алгебры А\ с единицей. В качестве Л\ возьмем ли¬
нейное пространство Д®С с операцией умножения
(а, а)(Ъ,(3) := (ab + ab + (За, а(3).
Непосредственно проверяется, что получена алгебра с единицей
(0,1) (коммутативная, если таковой была А), причем отображе¬
ние о (а,0) является изоморфизмом между А и подалгеброй
в Л\ коразмерности 1. Если А — банахова алгебра, то Ai также
оказывается банаховой алгеброй с естественной нормой
(а, а) н* ||а|| + |а|,
причем образ А при указанном выше изоморфизме замкнут в А\,
а единица в А\ имеет единичную норму.
Мультипликативное неравенство для нормы в банаховой ал¬
гебре вводится для удобства и может быть получено надлежащей
перенормировкой, как показывает следуюпщй результат.
11.1.5.	Предложение. Пусть А — банахово пространство,
являющееся алгеброй с единицей, отличной от нуля, причем
отображения х ► ах и х ха непрерывны. Тогда на А су¬
ществует эквивалентная норма, относительно которой А яв¬
ляется банаховой алгеброй, а единица имеет единичную норму.

602
Глава 11. Банаховы алгебры
Доказательство. Рассмотрим представление алгебры А
непрерывными линейными операторами на А по формуле
Та(х) — ах, аеА,хЕА.
Ясно, что отображение а ■-+ Та линейно и Таь = ТаТь. Введем
новую норму по формуле ||о||о := ||Та||, где справа стоит норма
оператора. Для исходной нормы || • || выполнена оценка
||a|H||al|K||Ta||||l|| = ||a||0||l||.
С другой стороны, отображение (о, х) ах раздельно непрерыв¬
но. Поэтому оно непрерывно по совокупности переменных и име¬
ет место оценка ||аж|| ^ М||а|| ||ж|| с некоторой постоянной М
(см. §12.5). Это означает, что ||Т0|| ^ М||а||. Итак, новая норма
эквивалентна старой. Ясно, что Т\ — единичный оператор, по¬
этому ||1||0 = 1 (именно для этого нужно условие А Ф 0). Ясно,
что |Н|о = Ы = ||ГаТ6|| ^ ||а||о||6||0.	□
Это предложение позволяет переходить к случаю единицы
с единичной нормой (что иногда включается в определение).
Некоторые банаховы алгебры (называемые инволютивными)
обладают еще одной очень важной операцией — инволюцией. Так
называется операция а »-> а* со следующими свойствами:
(i) (а + b)* = а* + Ь* для всех а, b £ Л,
(ii) (Аа)* = Аа* для всех А £ С и всех а £ Л,
(iii) (ab)* = Ь*а* для всех а, b £ Л,
(iv) (а*)* = а для всех а £ Л.
Элемент а называется эрмитовым или самосопряженным, ес¬
ли а* = а. Если а*а = аа*, то элемент а называется нормальным.
11.1.6.	Предложение. Пусть Л — алгебра с инволюцией,
ае Л. Тогда
(i) элементы а*а, а + а* и г(а* — а) эрмитовы,
(ii) существуют и единственны такие эрмитовы элементы
u,v £ Л, что а = а + гг;;
(iii) если Л унитальна, то ее единица эрмитова.
Доказательство. Утверждение (i) очевидно и дает иско¬
мые элементы и и v по формуле и = (а + а*)/2, v = г(а* — а)/2.
Если и* иг/ — эрмитовы и а = и* + гг/, то положим w = г/ — v.
Тогда w и iw эрмитовы, откуда iw = (iw)* = —iw* — —iw. Зна¬
чит, w = 0, т.е. v = vf и и = uf. Утверждение (iii) следует из (i),
ибо 1* = 1*1 — эрмитов элемент и потому 1* = (1*)* = 1.	□

11.1. Основные определения
603
11.1.7. Определение, (i) Банахова алгебра А с инволюцией
называется звездной алгеброй, если ||о*|| = ||а|| для всех а € А.
(ii)	Звездная банахова алгебра А называется С*-алгеброй, ес¬
ли ||а*а|| — ||а||2 для всех аеЛ
Из равенства (ii) следует равенство (i), ибо ||а*а|| < ||а*|| ||а||,
откуда ||а|| < ||а*||, причем ||а*|| < ||(а*)*|| = ||а||.
Важнейшими примерами С*-алгебр являются коммутативная
алгебра С(К) непрерывных комплексных функций на компакте
К с естественной операцией сопряжения и некоммутативная ал¬
гебра В (if) непрерывных линейных операторов на гильбертовом
пространстве Н с операцией инволюции А «—► А*. Как мы увидим
ниже, эти два примера в некотором смысле универсальны.
Приведем теперь ряд модельных примеров.
11.1.8. Пример, (i) Алгебра Сь{Т) ограниченных непрерыв¬
ных комплексных функций на топологическом пространстве Т,
наделенная обычной sup-нормой и естественной операцией пото¬
чечного умножения fg(t) = f(t)g(t), является коммутативной ба¬
наховой С*-алгеброй с единицей.
(ii) Алгебра С(Х) = В(Х) всех ограниченных линейных опе¬
раторов на банаховом пространстве X с операторной нормой
и операцией обычного умножения операторов — некоммутатив¬
ная банахова алгебра с единицей. Если X гильбертово, то сопря¬
жение А н* А* превращает ее в С*-алгебру.
(iii) Важный пример алгебры без единицы — комплексное
пространство L1(IRn) классов эквивалентности интегрируемых
функций, в котором произведение / и g есть свертка / * д. Эта
алгебра коммутативна, а обычное комплексное сопряжение явля¬
ется инволюцией.
(iv) Дискретный аналог L1(1R1) — алгебра 11{Ъ) двусторонних
последовательностей z = (zn)ne% с ее естественной ^-нормой
INI = Enez \zn\ и произведением
(х * у)п := ^2 ХкУп-k, X = (ж„), у = (уп)-
кеъ
Непосредственно проверяется, что 11{Ъ) — коммутативная бана¬
хова алгебра. Она имеет единицу — элемент (...,0,0,1,0,0,...),
у которого 1 стоит на месте с номером 0. Инволюцию можно за¬
дать как (я*)п := или как (х*)п := х

604
Глава 11. Банаховы алгебры
(v)	Алгебру последовательностей 1г(Z) можно отождествить
с алгеброй W всех 27г-периодических непрерывных комплексных
функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье, т.е. W состоит
из функций / вида
/(s) = X)f)e‘ns’	<	°°»
tiGZ	7lGZ
где
1 г2п
Сп(/) = 2^Уо fVe~mtdt-
Умножение в VT — обычное поточечное умножение функций. Ко-
нечно, здесь надо проверить неравенство ||/з||ц, ^ ll/IUblliv-
Ввиду абсолютной сходимости рядов Фурье для / и д мы имеем
Cn(fg) = 2~ jQ /(*Ж*)в_т* dt =
= к Г(Y.4U)e>u)(Ytci(9)em)e-*',& =
Jo	kez	lez
1	/*27Г
= £ Чк(Лч(^)5г /	=
да	27Г ^
51	ck{f)ci{g) = ^/Ck(f)cn-k(g)-
h,l€z%i i	n	fcGZ
Таким образом,
£ M/s)l МЛ1 Iе»-» Ml =
7lGZ	7iGZ fcGZ
=	1с*(/)1	K-fc(»)i = £
fcGZ rtGZ	fcGZ	iiGZ
что и требовалось. Ясно, что отображение / н-► (сп(/))^=1 явля¬
ется линейной изометрией между ГГ и Z^Z), сохраняющей про¬
изведения, т.е. оказывается изоморфизмом этих двух алгебр.
Не всякая звездная банахова алгебра является С*-алгеброй.
Например, алгебра С1 [0,1] комплексных непрерывно дифферен¬
цируемых функций на [0,1] с поточечным умножением, нормой
IMkoo •- max |®(t)| + max |x'(£)|

11.2. Идеалы
605
и инволюцией х* = х является звездной банаховой алгеброй (что
легко проверяется). Однако она не может быть топологически
изоморфной какой-либо С*-алгебре, ибо обладает последователь¬
ностью элементов хп = ж* с ||жп|| ^ 1 и \\х*\\ —> 0 (достаточно
взять хп с 0 < xn(t) < 1/п, х'п(0) = 1, \x'n(t)\ < С).
11.2.	Идеалы
В теории алгебр важную роль играют идеалы.
11.2.1. Определение. Пусть А — алгебра. Линейное под¬
пространство В в А называется подалгеброй, если аЪ Е В для
всех а,Ь Е В.
Подалгебра 1 в А называется идеалом (точнее, двусторон¬
ним идеалом); если ab El uba El для всех а Е А и b El.
11.2.2. Пример, (i) В алгебре С(Сп) линейных операторов
на Сп класс всех операторов вида XI — подалгебра, но не идеал
при п > 1 (здесь нет нетривиальных идеалов — задача 11.7.15).
(ii) В алгебре Сь(Т) подпространство всех функций, равных
нулю на заданном множестве То С Т, является идеалом.
(iii) Пусть X — банахово пространство. Класс К(Х) всех ком¬
пактных операторов в X является идеалом в С{Х). Кроме того,
является подалгеброй (но не обязательно идеалом) класс Т всех
операторов вида XI + К, где К Е К{Х). Уже долго остается от¬
крытым вопрос, для всех ли бесконечномерных пространств Т
строго меньше, чем С{Х).
(iv) Если А — коммутативная алгебра с единицей 1 и ао £ А —
фиксированный элемент, то ао • А := {аоа: а Е А} — идеал.
Всякий идеал 1 в алгебре А порождает фактор-пространство
Л/Х, состоящее из классов смежности a + Z, а Е X. Два элемента
попадают в один класс, если их разность входит в X. Это фактор-
пространство можно превратить в алгебру (линейным простран¬
ством оно является как фактор-пространство линейного прост¬
ранства по его подпространству), положив (а+Х)(Ь+Х) := ab+1.
Это определение корректно, ибо X — идеал. Если алгебра X имеет
единицу 1, то 1 + X оказывается единицей в Л/Х.
Приведем пример классической банаховой алгебры, в которой
мало замкнутых идеалов.

606
Глава 11. Банаховы алгебры
11.2.3. Теорема. Пусть Н — сепарабельное гильбертово
пространство. В алгебре ограниченных операторов С(Н) един¬
ственным замкнутым идеалом, отличным от нуля и С(Н), яв¬
ляется алгебра компактных операторов.
Доказательство. Пусть X — нетривиальный идеал в С(Н)
и А е X — ненулевой элемент. Покажем, что в X входят все одно¬
мерные операторы вида Ра,ьх = о)Ъ. Для этого возьмем такой
вектор иеН, что v := Аи ф 0. Можно считать, что (v,v) = 1.
Тогда
PVybAPaiUx = (x,a)PVybAu = (x,a)PVybv = (x,a)b = Ра,ъх-
Так как X — двусторонний идеал, то Ра^ е X. Значит, в X вхо¬
дят все ограниченные конечномерные операторы, а тогда ввиду
замкнутости X и все компактные операторы.
Предположим, что X содержит некомпактный оператор А.
Пусть А = U\A\ — полярное разложение А. Тогда \А\ = U*A е X.
Оператор \А\ самосопряжен, неотрицателен и не компактен. Из
теоремы 7.8.6 следует, что найдется такое замкнутое бесконеч¬
номерное подпространство Яо в Н, что \А\(Но) = Hq и верно
неравенство || \A\h\\ ^ б:||/г|| при некотором е > 0 и всех h е Hq.
Например, если оператор \ А\ приведен к виду умножения на огра¬
ниченную неотрицательную функцию (р в Х2(/х), то в качестве Яо
можно взять подпространство функций, равных нулю вне множе¬
ства {t: <p(t) ^ е} при достаточно малом е. Существует линейная
изометрия V всего Я на Яо (ибо оба подпространства являют¬
ся бесконечномерными сепарабельными гильбертовыми). Ввиду
предложения 7.6.7 оператор V* изометрично отображает Яо на Я
и обращается в нуль на ортогональном дополнении Яо- Поэтому
V*\A\V{H) = V*\A\(H0) = V*(H0) = Я.
Кроме того,
\\V\A\Vx\\ = || \A\Vx\\ > e||Var|| = ф||, же#.
Итак, оператор	€ X обратим. Поэтому / 6 X, откуда вы¬
текает равенство X = С(Н).	□
Рассмотрим пример банаховой алгебры, в которой много за¬
мкнутых идеалов.
11.2.4. Пример. Пусть К — непустой компакт и С(К) — ал¬
гебра непрерывных комплексных функций на К. Тогда для вся¬
кого множества S С К (его можно считать замкнутым) класс Xs

11.3. Спектры
607
всех функций из С (К), равных нулю на 5, является замкнутым
идеалом. Обратно, всякий замкнутый идеал в С (К) имеет вид Is
с некоторым замкнутым множеством S. Всякий замкнутый идеал
коразмерности 1 имеет вид {х: х(к) = 0} при некотором к £ К.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Предпо¬
ложим, что I — замкнутый идеал. Положим
S:={k£K: х(к) = OVxel}.
Тогда множество S замкнуто и I С Is• Пусть х £ Is- Покажем,
что х £ I. Ввиду замкнутости I достаточно проверить, что для
всякого е > 0 найдется хе £ I с \\х — х€\\ < е. Заметим, что
для всякого к £ К найдется Хк £ I с Хк(к) = х(к). Действи¬
тельно, если к £ 5, то берем Хк = 0. Если к ф. S, то найдется
щ £ I с Uk(k) ф 0, поэтому есть и нужный элемент Хк- Поло¬
жим Uk := {t: |x(t) — Xk(t)| < e}. Это дает открытое покрытие
компакта К. Выберем конечное подпокрытие £7)^, - - -, Ukn- Возь¬
мем подчиненное ему разбиение единицы (см. теорему 1.9.16),
т.е. функции fi £ С(К), г = 1,...,п, для которых 0 < /< < 1,
Е"=1 fi = 1 и fiit) = 0 при t g Ukt. Тогда х£ := E"=i hxki € J,
ибо I — идеал. Остается заметить, что
п	п
\xe(t) - a?(t)| < ^2fi(t)\xki(t) - x(t)| ^ ^2fi(t)e = £,
i=1	г=1
ибо число /*(<)[#**(£) — x(i)| есть 0 при t ф. и не превосходит
e/<(t) при t£Uki-
Если замкнутый идеал I имеет коразмерность 1, то соответ¬
ствующее множество S не может содержать разных точек. □
Ниже мы увидим, что в коммутативной банаховой алгебре
имеется взаимно однозначное соответствие между ненулевыми
характерами и идеалами коразмерности 1, причем на С*-алгебрах
есть богатый запас характеров. В некоммутативном случае харак¬
теры не играют такой роли; их может и не быть вообще (напри¬
мер, для С(Сп) и £(/2), см. задачу 11.7.16).
11.3.	Спектры
Особую роль играют обратимые элементы унитальной алге¬
бры — аналоги обратимых операторов. С помощью них определя¬
ются спектры любых элементов, что важно для построения функ¬
ционального исчисления.

608
Глава 11. Банаховы алгебры
Говорят, что элемент а унитальной алгебры А имеет левый
обратный аг-1 Е А, если ajla = 1. Аналогично, элемент а~1 на¬
зывают правым обратным для а, если аа~1 = 1.
Если а имеет левый обратный а^1 и правый обратный а"1, то
они совпадают, ибо
аТ1 = аТ1(ааг1) = (аГ1а)аг 1 = ar
В этом случае элемент аг-1 = а"1 называется обратным к а и обо¬
значается символом а-1, а сам элемент а называется обратимым.
Например, в алгебре Сь(Т) единицей является функция, тож¬
дественно равная 1, а обратимые элементы — это функции /
с infteT\f(t)\ > 0. В алгебре операторов £(Х) единица — это
тождественный оператор, а обратимые элементы — это обрати¬
мые операторы. Заметим, что если X бесконечномерно, то опе¬
ратор А может иметь левый обратный (или даже много левых
обратных), но не иметь правого обратного и потому не быть обра¬
тимым. В алгебре V[t] обратимы лишь ненулевые скаляры.
Произведение двух обратимых элементов обратимо: очевид¬
но, что b~la~l является обратным к ab для всех обратимых эле¬
ментов а и Ь. Следовательно, произведение обратимых элементов
ai,... ,an всегда обратимо. Как мы видели на примере операто¬
ров, произведение необратимых элементов может быть единицей,
т.е. обратимым элементом. Однако если элементы ai,..., ап пере¬
становочны и их произведение обратимо, то каждый из элементов
ai,..., ап обратим. В самом деле, положив b = (а\ • • • an)_1, полу¬
чаем, что элемент ai имеет левый обратный Ъа\ • • • ai-iai+i • • • ап
и правый обратный а\ • • • ai-iai+i • • • anb, что очевидно из пере¬
становочности ai,..., ап.
Заметим, что если А имеет единицу, то никакой собственный
идеал I в Л не содержит единицу (иначе X = А) и потому не
имеет обратимых элементов.
11.3.1.	Определение. Пусть А — унитальная алгебра.
Комплексное число X называется регулярной точкой элемента
а Е А, если элемент а — XI обратим. В противном случае X
называется сингулярной точкой а.
Множество сингулярных точек элемента а называется его
спектром и обозначается символом а(а).
В случае А = С(Х) эти понятия сводятся к введенным ранее
для операторов.

11.3. Спектры
609
11.3.2. Пример, (i) Спектр элемента / Е Сь(Т) совпадает
с замыканием f(T) в С. В частности, все точки Л, для которых
|А| > supteT\f(t)\, регулярны.
(ii)	Рассмотрим алгебру Сх всех комплексных функций на
непустом множестве X, наделив ее поточечным умножением. То¬
гда спектр элемента / есть множество значений /.
Следующие свойства спектров уже встречались нам в опера¬
торном случае.
11.3.3. Теорема. Пусть Л — унитальная алгебра, a, b Е А
up — многочлен с комплексными коэффициентами.
(i) Если а(а) ф 0, то
а{р{а)) = p(cr(a)) := {p(z): г е <т(а)}.
(ii) Если элемент а обратим, то
ст{а~1) = (Л Е С: Л-1 Е а{а)}.
Кроме того, для всякого b Е А имеем
a(ab) = а(Ьа).
Доказательство, (i) Применимо то же рассуждение, что и
в случае операторов. Будем считать, что р не является постоян¬
ной, ибо иначе наше утверждение тривиально (но здесь важно,
что спектр а непуст). Пусть Л Е С. Многочлен р — А имеет корни
Ai,..., Ап и записывается в виде p{z) — А = c(z — Ai) • • • (z — An),
где сф 0. Легко проверить, что тогда
р(а) — А1 = с(а — Ail) • • • (а — Ап1).
Как отмечалось выше, ввиду перестановочности а — АД элемент
р{а) — А1 обратим в точности тогда, когда обратимы все а — АД.
Значит, включение А Е а(р(а)) равносильно тому, что А* Е а(а)
хотя бы для одного Это выполнено тогда и только тогда, когда
А Е р(сг(а)), ибо р(А*) = А и других корней нет.
(ii)	Очевидно, что спектры а и а~г не содержат нуля. Заме¬
тим, что при А ф 0 выполнено равенство
оГ1 — А1 = —А а~1{а — А-11),
из которого вытекает первое утверждение. Для доказательства
последнего утверждения заметим, что Ъа—AI = a~1(ab— А1)а.	□

610
Глава 11. Банаховы алгебры
Отметим еще ряд важных свойств, связанных с обратимостью
в банаховых алгебрах. Эти свойства также встречались при изу¬
чении операторов.
11.3.4.	Теорема. Пусть А — унитальная банахова алгебра.
Тогда верны следующие утверждения.
(i) Для каждого а е А с ||а|| < 1 элемент 1 — а обратим,
причем
оо
(1 - о)-1 = 1 + У~^ап.
71=1
(ii) Множество Inv А всех обратимых элементов А откры¬
то, а отображение а а-1 является его гомеоморфизмом.
(iii) Спектр всякого элемента а е А — непустой компакт
в С, лежащий в круге {z: \z\ < \\а\\}-
Доказательство, (i) Ряд в правой части указанного равен¬
ства сходится по норме, ибо || «"II « IMI п. Обозначим его сумму
через b. Непосредственно проверяется, что
(1 — a)b = b( 1 — а) = 1,
что и доказывает наше утверждение.
(ii) Пусть а е Inv Л, be А и ||Ь|| < ||а-1||-1. Тогда ||а“1Ь|| < 1.
Согласно (i) элемент 1 + а~1Ъ обратим. Отсюда следует обра¬
тимость а + b = а(1 + а_1Ь). Итак, Inv Л — открытое множе¬
ство. Проверим непрерывность отображения h: а	а-1 на Inv Л.
Непрерывность в единице следует из утверждения (i), так как при
||а|| < 1 имеем
||l-(l-a)-1||<f;i|ar = i-!ML.
Отсюда получаем непрерывность во всякой точке а е Inv Л, ибо
(а — Ь)-1 — а-1 = (1 — а_1Ь)“1а“1 — а-1
при всех достаточно малых по норме Ь е А.
(iii) Замкнутость <т(а) следует из того, что для всякого регу¬
лярного числа достаточно близкие к нему числа также регуляр¬
ны ввиду открытости Inv Л. Если |А| > ||а||, то элемент а — А1 =
А(А-1а — 1) обратим в силу оценки ||A“1a|| < 1. Менее очевидна
непустота спектра. Но и здесь рассуждение не отличается от того,

11.3. Спектры
611
которое было дано в случае операторов. А именно: для регуляр¬
ного значения Л положим Д(А) ~ (а — А1)-1. Тогда для любых
регулярных значений А и /х справедливо следующее тождество
Гильберта:
Д(А) - Д(/х) = (А - /х)адД(А).
Для доказательства достаточно заметить, что при умножении
обеих частей слева на а — /л1 и справа на а — А1 получаем (А — /л)1.
Из тождества Гильберта следует, что для всякого ограниченного
линейного функционала <р: А —> С функция /^: А ► <p(R(А))
голоморфна на множестве регулярных значений. Действительно,
при А ф /х имеем
А — /X
что при /л —► А стремится к tp(R(А)2). Если бы спектр а был
пуст, то все функции были бы целыми. Поскольку функция
ftp ограничена ввиду оценки
1|(“ - А1)-1|| < |ЛГ1||(А-1а — 1)-1||
и стремления ||(А-1а — 1)-1|| к ||1|| при |А| —> оо, то все эти
функции тождественно равны нулю по теореме Лиувилля. Зна¬
чит, R(А) = 0, что невозможно, ибо 1 ф 0 в силу условия А Ф 0.
Полученное противоречие доказывает непустоту спектра. □
Как и в случае операторов, последнее утверждение можно
уточнить, введя спектральный радиус элемента а банаховой уни-
тальной алгебры по формуле
r(o) :=inf{||an||1/n: п G IN}.
Те же рассуждения, что и в предложении 7.1.7, приводят к сле¬
дующему.
11.3.5.	Предложение. Справедливо равенство
г (а) = lim ЖН1/".
п—> ОО
Кроме того,
r(a) = max{|z|: z € <т(а)}.
Из доказанного получаем следующую теорему Гельфанда-
Мазура.

612
Глава 11. Банаховы алгебры
11.3.6. Теорема. Униталъная банахова алгебра, в которой
все ненулевые элементы обратимы, изоморфна как алгебра по¬
лю С.
Доказательство. По предыдущей теореме для всякого эле¬
мента а £ А найдется такой скаляр Л £ С, что элемент а — XI
необратим. Тогда а — А1 = 0, т.е. а = А1. Значит, имеет место
равенство А = {А1: А £ С}, откуда следует доказываемое. □
Для инволютивных алгебр имеется полезная связь спектра
с инволюцией.
11.3.7. Предложение. Пусть А — инволютивная банахова
алгебра с единицей. Тогда
а(а*) = <т(а), а	£ А.
Кроме того, если А — С*-алгебра и а	= а*, то <т(а)	С IR1.
Доказательство. Напомним, что 1* = 1. Поэтому элемент
Ь = а — А1 обратим тогда и только тогда, когда обратим элемент
b* = а* — А1. Обратным к Ь* является (Ь-1)*.
Пусть а* = а и А = а + г/3 £ сг(а), где а,/3 £ Ж1. Покажем,
что /3 = 0. Для всякого 7 £ 1R1 имеем а + г(/3 + 7) £ а(а + г71).
Поэтому |о' + г(/3 + 7)| ^ ||а + г71||. Следовательно,
a2 + (0 + j)2 ^ ||a + *7l||2 = ||(e + *7l)*(a +*7l)|| = ||a2+72l||,
что не превосходит ||a2|| + j2, откуда	а2 + /З2	+	2/?7	<	||а2||	при
всех 7 £ 1R1. Это возможно лишь при	/3 = 0.	□
Приведем еще один полезный для дальнейшего результат, свя¬
занный со спектрами. Подмножество М инволютивной алгебры
называется нормальным, если
а* £ М и ab = Ьа при всех a, b £ М.
11.3.8. Предложение. Пусть А — инволютивная банахова
алгебра с единицей и В — нормальное подмножество, не содер¬
жащееся в других нормальных множествах, отличных от А.
Тогда В является замкнутой коммутативной подалгеброй в А,
причем спектр всякого элемента Ь £ В не зависит от того,
рассматривается ли b как элемент А или В.
Доказательство. Заметим, что В содержит всякий такой
элемент х £ А, что хх* = х*х и ху = ух при всех у £ В. В са¬
мом деле, в этом случае ввиду нормальности В имеем ху* = у*х

11.4. Функциональное исчисление
613
и х*у = ух* для всех у £ В. Поэтому Ви{х, х*} также нормально,
что в силу максимальности В доказывает сказанное.
Из доказанного следует, что суммы и произведения элементов
В входят в В, т.е. В — коммутативная подалгебра. Пусть теперь
Ьп £ В и Ьп —> 6. Так как Ъпх = хЬп при всех х £ В и умножение
непрерывно, то bx = хЪ. Поэтому Ь*х — (х*Ъ)* = (Ьх*)* = хЪ* при
х £ В. В частности, 6*6П = 6П6*, откуда 6*6 = 66*. Значит, 6 € В,
что доказывает замкнутость В. Отметим, что мы не предполагали
непрерывность инволюции.
Из сказанного следует также, что В содержит единицу. Пока¬
жем, что если элемент 6 £ В обратим в А, то он обратим и в В.
Элемент 6* обратим в А, причем (6*)-1 = (6-1)*. Из этого следует
нормальность 6”1. Кроме того, Ъ~1х = хЬ~г для всех х € В, ибо
хЪ = Ьх. Следовательно, 6-1 £ Б, т.е. элемент 6 обратим вВ. □
В общем случае спектр элемента в подалгебре не всегда равен
его спектру во всей алгебре (задача 11.7.12).
11.4.	Функциональное исчисление
Выше уже говорилось, что элементы банаховой алгебры с еди¬
ницей можно подставлять в многочлены. Более общим образом,
если Q — такая рациональная функция на С, что ее полюса не
входят в спектр а(а) элемента а унитальной банаховой алгебры Д,
то мы можем записать
Q(X) = Р(А) + ci (А — а\) kl + Ь ^(Л — ап) кп,
где Р — многочлен и щ $ сг(а), что позволяет задать элемент
Q(a) := Р(а) + а£*} + ••• + CnR^ € Л,
где R\ = (а — Л1)-1. Здесь мы пойдем еще дальше и определим
действие на а функций, аналитических в окрестности а(а). Это
будет сделано с помощью теоремы Коши. Если 7 — кривая в С,
параметризуемая точками отрезка с помощью кусочно-гладкого
отображения, и F — непрерывное на 7 отображение со значени¬
ями в А, то интеграл
[ F(z)dz
определяется так же, как и для комплексных функций. Он сов¬
падает с интегралом Бохнера, кратко обсуждавшимся в §6.10(vi),
но для целей этого раздела достаточно римановского интеграла;
если 7 задается кусочно-гладким отображением а : [0,1] —> С, то

614
Глава 11. Банаховы алгебры
указанный интеграл можно определить как римановский инте¬
грал от F(a(t))af(t) по [0,1], что совпадает с интегралом от F
относительно меры, равной образу меры a'(t)dt при отображе¬
нии а. Для всякого непрерывного линейного функционала I на
Л результат применения I к интегралу от F есть интеграл непре¬
рывной комплексной функции loF по контуру 7. Идея построения
функционального исчисления видна из следующей леммы.
Будем говорить, что кусочно-гладкий контур 7, лежащий
в области f2, охватывает компакт К, если в каждой компоненте
связности f2 контур 7 ограничивает связную область, содержа¬
щую замыкание пересечения К с рассматриваемой компонентой.
Напомним, что отображение z	(zl — а)~1	непрерывно на
дополнении спектра а. Поэтому можно интегрировать такие отоб¬
ражения, умноженные на непрерывные функции.
11.4.1.	Лемма. Пусть рациональная функция Q голоморфна
в области Q, содержащей а(а), и пусть кусочно-гладкий контур
7 С f2 охватывает а(а) в указанном смысле. Тогда
Q(fl) = j Q(z)(zl - a)-1 dz.
В частности, при а £ а (а) имеем
— а)п =	[	(а	—	z)n(zl	—	а)-1	dz,	п е Z,
2т J1
если контур 7 в С\{а} охватывает сг(а).
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать последнее
утверждение. Пусть п = 0. Покажем, что
[(zl — a)-1 dz = 1.
2тгi //	'
Если 7о — окружность радиуса г > ||а||, то ряд
оо
(zl — а)-1 = ^2 z~k~xak
fc=о
сходится на 70 по норме. Интегрируя этот ряд по 70, получаем
интеграл от z~l 1, т.е. 27гг1. По теореме Коши интеграл не изме¬
нится при замене 70 на 7 (здесь достаточно теоремы Коши для
скалярных функций, ибо к рассматриваемым интегралам можно

11.4. Функциональное исчисление
615
применять произвольные непрерывные линейные функционалы
на Л),
Если пф 0, то обозначим интеграл в правой части доказывае¬
мого равенства через Jn. Покажем, что имеет место соотношение
Jn+l = (fill — €L)Jn.
Тогда общий случай сведется к случаю п = 0. Заметим, что
(zl — а)~1 = (al — а)-1 + (а — z)(a 1 — а)_1(^1 — а)-1.
Умножив на (а — z)n и проинтегрировав по 7, мы получим ука¬
занное выше соотношение, ибо интеграл от (о: — z)n по 7 равен
нулю из-за того, что а находится вне области, ограниченной кон¬
туром 7.	□
Теперь для заданной области fi С С рассмотрим алгебру
if (fi) всех функций, голоморфных в fi, и семейство элементов
Ап := {а е А: а (а) С fi}.
Пусть / Е if(fi). Для каждого а Е Ап возьмем кусочно-гладкий
контур 7 С fi, охватывающий а (а), и положим
/(“) := 2”• / f(z)(zl ~ “Г1
Интеграл существует ввиду непрерывности на 7 отображения
z I—> /(z)(zl — а)-1. Это определение не зависит от выбора кон¬
тура с указанными свойствами. Обозначим через Н(О) совокуп¬
ность всех Д-значных отображений / на Ап вида
/: аи /(а), где а € Ап и / € Я(О).
11.4.2.	Теорема. Отображение /*-»•/ есть изоморфизм ал¬
гебры Н(О) на алгебру Н(0). Если последовательность функций
fn € Д(Г2) сходится к функции / равномерно на компактах в fi,
то
lim fn(a) = /(а), а € Лп.
71—►ОО
Кроме того, если /(г) = z и g(z) = 1 в fi, то /(а) — а и g(a) = 1
при а Е
Доказательство. Последнее утверждение вытекает из лем¬
мы. Ясно, что отображение / «—► / линейно. Если последователь¬
ность {/п} С if (fi) сходится к / равномерно на компактах в fi, то
для всякого а Е Ап можно взять общий для всех /п и / контур 7,

616
Глава 11. Банаховы алгебры
охватывающий а(а) в fi. Ввиду ограниченности на 7 функции
г \\(zl — а)-11| получаем сходимость fn(a) к /(а).
Покажем теперь, что если /,р G Н(fi) и h = /3, то при всех
а Е мы имеем h{a) = f(a)g(a). Для рациональных функций
это следует из леммы. В общем случае можно применить теорему
Рунге из комплексного анализа, согласно которой найдутся две
последовательности рациональных функций /п и gn, голоморф¬
ных в fi и сходящихся соответственно к / и д равномерно на
компактах в fi. Тогда рациональные функции fngn сходятся к h
равномерно на компактах в fi, что завершает доказательство вви¬
ду установленной выше непрерывности соответствия /	/.	□
11.4.3.	Предложение. Пусть Л — унитальная банахова
алгебра с непрерывной инволюцией и а Е А — такой эрмитов
элемент, что его спектр не содержит (—оо,0]. Тогда существу¬
ет такой эрмитов элемент Ь, что Ь2 = а.
Доказательство. Пусть fi — дополнение в С к лучу (—оо, 0]
вещественной оси и / — ветвь квадратного корня в fi с /(1) = 1.
Найдется последовательность многочленов Рп от г, сходящаяся
к / равномерно на компактах в fi. Такие многочлены можно вы¬
брать с вещественными коэффициентами: взяв какие-нибудь мно¬
гочлены Qni сходящиеся к / равномерно на компактах в fi (что
возможно по теореме Рунге), и заметив, что f(z) = f(z), перей¬
дем к многочленам Pn(z) = [Qn(z) + Qn(z)]/2. Положим теперь
Ьп := Рп(а). Элементы Ьп эрмитовы. По доказанной выше теореме
они сходятся по норме к некоторому элементу b = f (а). Посколь¬
ку мы предполагаем непрерывность инволюции, то предельный
элемент эрмитов. Наконец, b^ = Рп(а)Рп(а) = Р^(а) —► а, ибо
Pn(z) —► z равномерно на компактах в fi. Значит, Ь2 = а.	□
Отметим, что можно и не предполагать непрерывность ин¬
волюции, но тогда доказательство становится несколько длиннее
(см. теоремы 11.20 и 11.26 в Рудин [188]). Ниже в предложении
11.6.5 этот результат уточнен для случая С*-алгебр.
11.5. Коммутативные банаховы алгебры
Здесь мы обсудим преобразование Гельфанда, позволяющее
отождествить коммутативные С*-алгебры с алгебрами непрерыв¬
ных комплексных функций на компактах.

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
617
Пусть Д — множество всех ненулевых характеров коммута¬
тивной банаховой алгебры А (напомним, что все характеры не¬
прерывны). Далее мы увидим, что Д ф 0. Формула
о(х) := х(«)> X € А,
сопоставляет каждому элементу а £ А функцию а: Д —> С.
Эта функция называется преобразованием Гельфанда элемента а.
Пусть А — множество всех таких функций а при а £ А. Тополо¬
гией Гельфанда на Д называется слабейшая топология, относи¬
тельно которой все функции из А непрерывны.
Идеал алгебры называется собственным, если он отличен от
самой алгебры.
11.5.1.	Предложение. Пусть А — коммутативная бана¬
хова алгебра с единицей и Т — замкнутый собственный идеал
в ней. Тогда банахово фактор-пространство А/Т имеет есте¬
ственную структуру банаховой алгебры с единицей, а фактор-
отображение 7г: А —> А/Т является непрерывным гомоморфиз¬
мом алгебр.
Доказательство. Умножение на А/Т вводится формулой
7г(а)7г(Ь) := 7г(аЬ), а, Ъ £ А.
Это определение корректно, ибо при а — а; G I и 6 - bf £ Т мы
имеем о!Ь — ab = (а7 — а)У + а(Ъ* — Ь), откуда а'Ь7 — ab £ Т. Легко
убедиться, что А/Т становится алгеброй, а 7г оказывается непре¬
рывным гомоморфизмом (заметим, что ||7г(а)|| < |М|). Покажем,
что
||7г(а)тг(Ь)|| < ||тг(а)|| ||тг(Ь)||.
Пусть е > 0. По определению фактор-нормы банахова простран¬
ства А/Т (см. §5.1) найдутся такие и, v £ I, что
||а + «|| < ||тг(а)|| + е, \\Ь + v|| ^ ||тг(Ь)|| + е.
Ъж как (о + «){& + и) — ab € X, то
|Мо»)|| < ||(о+«)(М-1>)|| < ||а-|-«|| Ц6-М.Ц < (||к(а)||+£)(||7г((>)||+е),
откуда ввиду произвольности е вытекает нужное неравенство.
Ясно, что 7г(1) есть единица фактор-алгебры.	□
Максимальным идеалом называется собственный идеал, не
содержащийся ни в каком большем собственном идеале. Важную
роль играет следующая теорема, связывающая характеры с мак¬
симальными идеалами.

618
Глава 11. Банаховы алгебры
11.5.2. Теорема. Пусть Л — коммутативная банахова ал¬
гебра с единицей и А — множество всех ненулевых характе¬
ров Л. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Каждый идеал в Л содержится хотя бы в одном макси¬
мальном идеале.
(ii) Всякий максимальный идеал замкнут.
(iii) Всякий максимальный идеал есть ядро некоторого ха¬
рактера из А, а ядро всякого характера из А есть максималь¬
ный идеал.
Доказательство, (i) Семейство Ш всех собственных идеа¬
лов, содержащих данный, частично упорядочено по включению.
Всякая цепь в нем имеет мажоранту: объединение всех элемен¬
тов этой цепи (которое, как легко видеть, также входит в Ш). По
лемме Цорна в Ш есть максимальный элемент.
(ii) Пусть М — максимальный идеал иМ - его замыкание.
Без труда проверяется, что М — идеал. Так как М С М и М —
максимальный идеал, то достаточно проверить, что М не сов¬
падает с Л. Поскольку М не содержит обратимых элементов,
а множество Ы обратимых элементов открыто, то и замыкание
М лежит в дополнении к Ы, что завершает доказательство.
(iii) Пусть М — максимальный идеал. По доказанному он за¬
мкнут. Поэтому фактор-алгебра А/М является банаховой. Вы¬
берем элемент а £ М. Тогда
3 {ab + с: b £ Л, с £ Л4}
является идеалом, строго содержащим М (ибо содержит а). Зна¬
чит, имеем J = А. Поэтому существуют такие Ъ £ Л и с £ Л4,
что ab+c = 1. Для фактор-отображения п: Л —> Л/М получаем
7г(а)7г(Ь) = 7г(1). Это означает, что все ненулевые элементы алге¬
бры Л/М обратимы. По теореме Гельфанда-Мазура существует
изоморфизм h: Л/М —► С. Положим х := h о п. Тогда х £ А
и М — ядро х-
Обратно, если х £ то х_1(0) — идеал в Л коразмерности 1,
т.е. максимальный идеал.	□
11.5.3. Пример, (i) Пусть Л = С(К), где К — компакт.
Из примера 11.2.4 и доказанной выше теоремы следует, что все
характеры Л имеют вид х »-> x(fc), где к £ К.
(и) Пусть Л = 1Х{Ъ) (см. пример 11.1.8(iv)). Для всякого z £ С
с \z\ = 1 положим <pz(x) ~ Z)nezхп%п- Это дает гомоморфизм,

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
619
ибо справедливы следующие равенства:
V>z (х * у) = (х * y)nzn = '52'52,xkyn-kzn =
TlGZ	7lGZ fcGZ
=	2*2* ]jP yn-kZH~k = <pz(x)<fiz(y).
С другой стороны, если дан мультипликативный функционал ср
на /1(Z), то он задается некоторой ограниченной последователь¬
ностью чисел вп = </>(еп), где еп — элемент с 1 на месте п и 0 на
остальных местах. Положим z := #i. Если <р ф 0, то \\(р\\ = 1, как
показано выше. Так как еп * е& = en+fc, то получаем вп = zn. При
этом
И = lv»(ei)| < ||ei|| = 1,	|z_1|	=	\<p(e-i)\	< ||e_i|| = 1,
что дает \z\ = 1, т.е. <£ =
(iii) Из предыдущего пункта и примера 11.1.8(v) следует, что
ненулевые характеры алгебры W абсолютно сходящихся рядов
Фурье имеют вид /	/(£), t £ [0,27г].
(iv) Можно показать (задача 11.7.24), что ненулевые характе¬
ры сверточной алгебры L1(1R1) имеют вид
/ «—► f e~ltsf(s) ds, t £ И1.
Ун1
(v) Если Л — коммутативная банахова алгебра и ао ф 0 —
необратимый элемент (по теореме 11.3.6 такие элементы имеются,
если dim Л > 1), причем существует а £ Л с аоа Ф 0, то ао • Л —
нетривиальный идеал. Значит, этот идеал входит в некоторый
максимальный идеал, т.е. найдется ненулевой характер, равный
нулю на ао • Л. Для общих банаховых алгебр может случиться,
что нет ненулевых идеалов: например, пусть Л = £(С71). Такого
не может случиться для коммутативных С*-алгебр.
Спектр элемента можно связать с его преобразованием Гель-
фанда.
11.5.4.	Предложение. Пусть Л — коммутативная бана¬
хова алгебра с единицей и Д — пространство ее максимальных
идеалов. Тогда справедливы следующие утверждения.
(i)	Элемент а £ Л обратим в точности тогда, когда функ¬
ция а не имеет нулей. Это равносильно также тому, что а не
содержится ни в каком собственном идеале.

620
Глава 11. Банаховы алгебры
(ii) Точка А входит в а{а) в точности тогда, когда суще¬
ствует такой характер х £ Д, что х(«) = А, т.е. а(а) = а(Д).
При этом
max |а(х)| = г(а) ^ ||а||,
хеД
где г (а) — спектральный радиус а.
Доказательство, (i) Если элемент о обратим, то
x(a)x(a_1) = х(1) = 1.
Поэтому х(а) Ф 0* Если же а не является обратимым, то мно¬
жество 1 := {аЪ: Ь Е А} представляет собой идеал, не содер¬
жащий единицу. Поэтому 1 содержится в некотором максималь¬
ном идеале и потому входит в ядро некоторого характера х> т.е.
а(х) = х(а) = 0- Остается вспомнить, что обратимый элемент не
может содержаться в собственном идеале.
(ii) Достаточно применить (i) к а—А1 и воспользоваться пред¬
ложением 11.3.5.	□
11.5.5.	Теорема. Пусть А — коммутативная банахова ал¬
гебра с единицей и Д — пространство ее максимальных идеалов.
Тогда справедливы следующие утверждения.
(i) Пространство Д хаусдорфово и компактно.
(ii) Преобразование Гельфанда есть гомоморфизм из А на
подалгебру А алгебры С(Д), причем его ядро совпадает с пересе¬
чением всех максимальных идеалов А.
Доказательство, (i) Пусть К — замкнутый единичный
шар пространства А*, сопряженного к банахову пространству А.
По теореме Банаха-Алаоглу-Бурбаки множество К компактно
в *-слабой топологии. Так как ||х|| < 1, то Д С К. Топология
Гельфанда представляет собой сужение на Д топологии а (А*, А).
Поэтому достаточно проверить замкнутость Д в К в *-слабой то¬
пологии. Пусть элемент хо € К входит в замыкание К в указан¬
ной топологии. Нам надо проверить, что хо — ненулевой мульти¬
пликативный функционал, т.е.
Хо(ab) = Хо(а)хо(Ь) при a,b е А и хо(1) = 1-
Имеется сходящаяся к хо направленность элементов Ха £ Д- По¬
скольку для них указанные соотношения верны, то они верны
и для хо- Утверждение (ii) проверяется непосредственно. □

11.5. Коммутативные банаховы алгебры
621
11.5.6. Замечание. Если ||а2|| = ||а||2 для всех а € Л, то
преобразование Гельфанда оказывается изометрией. Это видно
из проверяемого по индукции соотношения ||a2fc|| = ||a||2#c, даю¬
щего равенство ЦаЦоо = г (а) = ||а||.
Теперь мы можем доказать следующий важный результат.
11.5.7. Теорема. (Теорема Гельфанда-Наймарка)
Пусть А — коммутативная С*-алгебра с единицей 1 единич¬
ной нормы и А — пространство ее максимальных идеалов.
Тогда преобразование Гельфанда является изометрическим
изоморфизмом между А и С (А), причем а* = а.
Доказательство. Пусть а £ А — такой элемент, что а* = а.
Покажем, что функция а вещественна, т.е. х(а) £ IR1 для всякого
элемента х € А. Для вещественных t положим z = a+itl. Записав
х(о) = ос + i(3, где а, /3 £ И1, получаем
X(z) = a + i(/3 +1), zz* = a2 +121,
откуда находим
a2 + (0 + tf= |*MP « |M2 = ||«1 < ||a||2 + i2,
что возможно лишь при /3 = 0.
Каждый элемент а £ А можно представить в виде а = u + iv,
где и = и*, v = v*, положив и := (а + а*)/2. При этом имеем
а* = и — iv. По доказанному функции й и v вещественны, что
дает соотношение а* = а.
Таким образом, алгебра А замкнута относительно комплекс¬
ного сопряжения. По теореме Стоуна-Вейерштрасса она плотна
в С(Д). Осталось показать, что она замкнута и что преобразо¬
вание Гельфанда — изометрия. Достаточно проверить лишь по¬
следнее. Пусть а £ А и b = аа*. Тогда b* = Ь, откуда ||Ь2|| = ||Ь||2.
Как указано в замечании 11.5.6, это дает ||Ь||с(д) = Г(Ь) = ||Ь||.
Из доказанного выше следует, что b = |а|2, откуда
И1о(д) = 1ЙС(Д) = И = lloa'II = INI2-
Итак, получена изометрия.	□
Рассмотрим три простых случая, в которых преобразование
Гельфанда описывается явно.

622
Глава 11. Банаховы алгебры
11.5.8.	Пример, (i) Пусть К — компакт и Л = С(К). Мы
знаем, что ненулевые характеры Л имеют вид х х(к), где
к £ К. Поэтому пространство Гельфанда Д естественно отож¬
дествляется с К.
(ii) Все ненулевые характеры алгебры Л = 11(Ъ) имеют вид
<рг'- (хп) Enez хп*п, где z € С и \z\ — 1. Поэтому здесь Д
можно отождествить с единичной окружностью в С: отображение
z I—у ipz является гомеоморфизмом, ибо оно непрерывно и взаимно
однозначно.
(iii) На сверточной алгебре L1(IR1) без единицы характеры
имеют вид /	\/2тт/(£), где / — преобразование Фурье функ¬
ции / и t Е IR1 (задача 11.7.24). Поэтому преобразование Гель¬
фанда элемента / можно отождествить с у/2п/.
Как мы видели, банахову алгебру без единицы можно пред¬
ставить как замкнутую подалгебру коразмерности 1 (являющую¬
ся двусторонним идеалом) в банаховой алгебре с единицей, при¬
чем если исходная алгебра была коммутативной или С*-алгеброй,
то и расширение наследует эти свойства (в случае С*-алгебры
нужно еще правильно выбрать норму на расширении, см. зада¬
чу 11.7.19). Поэтому всякая коммутативная С*-алгебра реализу¬
ется как замкнутый двусторонний идеал коразмерности 1 в алге¬
бре С(Д), где Д — компакт. Как показано в примере 11.2.4, такой
идеал имеет вид {х: х(6) = 0} для некоторой точки 5 Е Д.
Из доказанного выше следует, что алгеброй непрерывных
функций является такая коммутативная С*-алгебра, как L°°(/i),
где /х — вероятностная мера на измеримом пространстве (fi, В).
Этот пример кажется особенно удивительным, ведь на fi во¬
обще нет никакой топологии. Даже в случае меры Лебега Л
на отрезке соответствующее пространство Д довольно сложно
устроено; например, оно неметризуемо, ибо пространство L°°(А)
несепарабельно. При изоморфизме алгебр £°°(/х) и С(Л) класс
эквивалентности индикатора измеримого множества Е переходит
в некоторую непрерывную функцию (р&, удовлетворяющую тож¬
деству ip\ = <ре- Поэтому эта функция принимает лишь два зна¬
чения 0 и 1, т.е. является индикатором некоторого множества Е.
Ввиду непрерывности ip оба множества <£-1(0) и p~l{ 1) оказы¬
ваются одновременно открытыми и замкнутыми. Значит, множе¬
ство Е открыто. Поскольку линейные комбинации простых функ¬
ций плотны в L°°(/x), то в С (А) плотны линейные комбинации
j

11.6. Структура С*-алгебр
623
функций с конечным множеством значений. Из этого следует,
что в fi есть база топологии, состоящая из открыто-замкнутых
множеств. См. также §11.7(i).
Основной результат этого параграфа характеризует униталь-
ные С*-алгебры как подалгебры в алгебрах ограниченных опе¬
раторов на гильбертовых пространствах. Важную роль в до¬
казательстве играют положительные функционалы. Линейный
функционал / на банаховой алгебре А с инволюцией называется
положительным, если
11.6.1.	Пример. Пусть fi — непустой компакт. Линейный
функционал / на комплексной или вещественной банаховой ал¬
гебре C(fi) положителен в смысле банаховых алгебр в точности
тогда, когда он задается неотрицательной радоновской мерой /х
на fi по формуле
Доказательство. Так как х*х(и) = |я(а;)|2 ^ 0, то мера
/х ^ 0 задает положительный функционал. Обратно, если функ¬
ционал / положителен в смысле банаховых алгебр, то, как пока¬
зано ниже, он непрерывен. По теореме Рисса этот функционал
задается мерой Радона /х, которая неотрицательна, ибо принима¬
ет неотрицательные значения на всех неотрицательных функци¬
ях ср £ C(fi), что ясно из равенства <р = (р1!2^1!2, где (р1!2 £ С(fi)
Заметим также, что для всякого топологического простран¬
ства Т положительность линейного функционала на веществен¬
ном пространстве Сь(Т) в смысле положительности на квадратах
элементов равносильна его положительности в смысле упорядо¬
ченных векторных пространств.
Отметим ряд простых свойств положительных функциона¬
лов.
11.6.2.	Предложение. Пусть f — положительный функ¬
ционал на унитальной банаховой алгебре с непрерывной инволю¬
цией. Тогда
(i)	f(x*) = f(x) для всех х £ А]
11.6.	Структура С*-алгебр
f(xx*)^ 0 Ухе А.
и (ip1/2)* = ip1!2.
□

624
Глава 11. Банаховы алгебры
(ii) \f(xy*)\% < f(xx*)f(yy*) для всех х,у £ А;
(iii) |/(ж)|2 ^ f (l)f(xx*) ^ /(1)2г(жж*) для всех х Е А;
(iv) функционал / непрерывен.
Доказательство. При х,у е А положим
a = f(xx*), P = f(yy*),	7	= /(®У*)»	$	=	f{yx*)-
Поскольку f((x + Aу){х* + Ay*)) ^ 0 при всех А € С, то
ос -f- А^у -(- XS + |А|2/3 ^ 0.
Из этого соотношения с А = 1 и Л = i следует, что оба числа
7 + 8 и i(8 — 7) вещественны. Значит, 8 = 7. При у = 1 получаем
утверждение (i). Возьмем такое в Е Ю,1, что ег9^ = |7|. Пусть
Л = £е“**, где t Е IR1. Тогда £2/? + 2|т|£ + а ^ 0, что дает (ii).
Первое из неравенств в (iii) есть (ii) с у = 1. Для доказательства
второго зафиксируем t > г(хх*). Тогда a(tl — хх*) содержится
в открытой правой полуплоскости. В силу предложения 11.4.3
существует такой эрмитов элемент Ъ Е Л, что b2 = 11 — хх*.
Поэтому
*/(1) - fixx*) = f(b2) ^ 0,
откуда получаем f(xx*) < f(l)r(xx*). Поскольку мы предполо¬
жили, что инволюция непрерывна, то существует такая постоян¬
ная С, что ||ж*|| ^ СЦжЦ. Поэтому г(хх*) ^ ||жж* II < C'lkf, что
показывает непрерывность /.	□
Отметим, что доказанное предложение справедливо и без
предположения о непрерывности инволюции (см. теорему 11.31
в Рудин [188]).
11.6.3.	Теорема. Для всякого элемента z в С*-алгебре Л
с единицей единичной нормы существует такой положитель¬
ный функционал f на Л, что
/(**♦) НИ2, =
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а = zz*. Элемент а эрмитов. Рас¬
смотрим замкнутую подалгебру Ло С Л, порожденную элемента¬
ми а и 1. Ясно, что эта подалгебра коммутативна и замкнута отно¬
сительно инволюции. По теореме Гельфанда-Наймарка преобра¬
зование Гельфанда устанавливает изометрический изоморфизм
между алгеброй Ло и алгеброй С(Д) непрерывных комплексных
функций на компактном пространстве Д максимальных идеа¬
лов Ло- Пусть £ Е Д — такая точка, что |а(£)| = ||а||с(д) = 11а11*

11.6. Структура С*-алгебр
625
Ясно, что функционал /о: х х(£) является положительным,
переводит 1 в 1 и равен ||а|| на а. Заметим, что ||/о|| = 1. По тео¬
реме Хана-Банаха этот функционал можно продолжить с сохра¬
нением нормы на всю алгебру А. Обозначим продолжение через /
и покажем, что f(xx*) > 0 для всякого х £ А. Зафиксируем хеЛ
и положим Ъ := хх*. Как и выше, имеется замкнутая подалгебра
Л\ в Д, порожденная элементами b и 1 и замкнутая относительно
инволюции. По теореме Гельфанда-Наймарка она изометрически
изоморфна алгебре C(Ai) непрерывных комплексных функций
на компакте Ai — пространстве максимальных идеалов Ai, при¬
чем положительным функционалам соответствуют положитель¬
ные функционалы (ввиду равенства а* = а в теореме 11.5.7). По¬
этому достаточно проверить, что всякий функционал д на С(Аi)
с единичной нормой и д( 1) = 1 положителен. Как указано в при¬
мере 11.6.1, нужно проверить неотрицательность д на неотрица¬
тельных функциях. Пусть <р £ C(Ai) и 0 < ip < 1. Положим
д(<р) = a+ifi. Тогда \д(у)\ < 1 и \l-g(<p)\ = \д(1-<р)\ % 1, что дает
а ^ 0. Кроме того, при всех вещественных t имеем |g(ettlp)\ ^ 1.
Это возможно лишь при /3 = 0, ибо g(ettlp) = 1 + itg(<p) + o(t).	□
11.6.4.	Теорема. (Теорема Гельфанда-Наймарка)
Пусть А — С*-алгебра с единицей единичной нормы. Тогда
существуют гильбертово пространство Н и изометрический
изоморфизм j алгебры А на замкнутую подалгебру в С(Н), для
которого j(a*) = j(a)*.
Доказательство. Сначала покажем, что для всякого нену¬
левого h £ А найдутся такие гильбертово пространство Hh и го¬
моморфизм Т^: A—* C(Hh), что для всех х £ А имеем
ГЛ(1) = /,	||2ЦЛ)|| = \\h\\, Th(x*) = (Th(x))*, пади ||х||.
В предыдущей теореме показано, что существует такой положи¬
тельный функционал / на А, что /(1) = 1 и f(hh*) = \\h\\2. С по¬
мощью этого функционала мы зададим скалярное произведение.
Для этого введем линейное пространство
L := {у £ A: f{xy) = 0 при всех х £ А}.
Из непрерывности / следует замкнутость L. На фактор-прост¬
ранстве А/L зададим скалярное произведение формулой
(а, Ь) := f(b*а),

626
Глава 11. Банаховы алгебры
где а и b — произвольные представители классов эквивалентности
аиЬ. Определение корректно, т.е. не зависит от выбора предста¬
вителей классов, ибо f(b*a) = 0, если хотя бы один из элементов
а или Ъ входит в L. Если a G I, то это ясно из определения L,
а если b £ L, то в силу утверждения (i) предложения 11.6.2 имеем
/(Ь*а) = f(a*b) = 0. Линейность (а, Ь) по первому аргументу оче¬
видна (по второму аргументу эта функция сопряженно-линейна).
Наконец, f(a*a) ^ 0, причем в силу утверждения (ii) упомяну¬
того предложения равенство /(а*а) = 0 означает, что a £ L.
В качестве Н возьмем пополнение пространства А/L с введен¬
ным скалярным произведением. Искомый оператор зададим на
А/L равенством
Т(х)у := ху.
Вектор h фиксирован, поэтому зависимость Т от h не указыва¬
ется. Нетрудно проверить, что это определение корректно (не за¬
висит от выбора представителя класса). Ясно также, что отоб¬
ражение Т линейно, переводит единицу в единичный оператор
и Т(х±х2) = Т{х\)Т{х2). Покажем, что
||Т(*Ж|М|, хеЛ
Из этой оценки будет вытекать, что Т единственным образом про¬
должается до непрерывного оператора на Ц с нужными свойства¬
ми. Мы имеем
\\Т(х)у\\2 = (ху,ху) = f(y*x*xy).
При фиксированном у функционал <р: х «—► f(y*xy) положителен.
Согласно утверждению (iii) предложения 11.6.2 имеем
« v(i)INI2 = llvflNI2,
т.е. ||Г(:г)у||2 < ||у||2||х||2. Итак, ||Г(ж)|| < ||ж||. Так как
||1||2 = /(1*1) = /(1) = 1,
то при этом имеем
IWI2 = Hh'h) = ||T(ft)l||2 « ||T(ft)||2,
что дает равенство ||Т(Л)|| = ||/г||. Наконец, соотношения
(Т(х*)а,Ь) = (x*a,b) = f(b*x*a) = f((xb)*a) = (a,xb) =
= (a,T(x)b) = (T(x)*a,b)

11.6. Структура С*-алгебр
627
показывают, что Т(х*)а = Т(х)*а при всех а £ А/L. Поскольку
А/L плотно в Я, то доказанное равенство переносится на все
элементы Я.
Теперь для каждого ненулевого элемента h £ А мы возь¬
мем соответствующие гильбертово пространство Яд и оператор
Тд на Яд. В качестве Я возьмем прямую сумму всех таких про¬
странств Яд, т.е. пространство всех таких наборов v = {vh}heA\{0}
с Vh G Яд, что не более чем счетное число г;д отлично от нуля и
1И2 ~ Е IKIlk < °°-
h
Линейная структура вводится покомпонентно, скалярное произ¬
ведение задается формулой
(u,v)H :=
h
Каждому элементу а £ А сопоставим оператор В(а) £ С(Н) по
формуле
(B(a)v)h :=Th(a)vh,
где Th — построенный выше оператор на Н^. Описанная кон¬
струкция называется ГНС- конструкцией по именам Гельфанда,
Наймарка и Сигала. Поскольку ||2\(а)|| < ||а|| = ||Та(а)||, то
||В(а)|| = sup||Tfc(o)|| = ||а||,
h
что завершает доказательство.	□
Вложение (7*-алгебры в алгебру операторов имеет не только
принципиальное общетеоретическое значение, но и бывает полез¬
но для доказательства многих технических утверждений, кото¬
рые могут быть доказаны и непосредственно, но более длинно.
Приведем пример, дополняющий предложение 11.4.3.
11.6.5.	Предложение. Пусть А — С*-алгебра с единицей.
Пусть а Е А — эрмитов элемент со спектром в [0,+оо). Тогда
существует такой эрмитов элемент Ь со спектром в [0,+оо),
что b2 = а. Кроме того, для всякого и £ А элемент и*и эрмитов
со спектром в [0,+оо).
Наконец, элемент и £ А является эрмитовым с неотрица¬
тельным спектром в точности тогда, когда 1{и) > 0 для всякого
неотрицательного функционала I.

628
Глава 11. Банаховы алгебры
Доказательство. В случае алгебры операторов на гильбер¬
товом пространстве Н эти утверждения очевидны, ибо в каче¬
стве Ь можно взять у/а, а оператор и*и неотрицателен. Послед¬
нее утверждение о характеризации неотрицательных операторов
следует из того, что для всякого вектора h £ Н функционал
А (Ah, h) является неотрицательным, причем если (Th, h) ^ О
при всех h, то оператор Т является неотрицательным самосопря¬
женным. Ясно, что при инволютивном изоморфизме рассматри¬
ваемые свойства сохраняются.	□
11.6.6.	Замечание. Построенный выше элемент Ъ можно
взять в качестве определения у/а. Затем для всякого а £ А мож¬
но положить |а| := у/а/а по аналогии со случаем операторов. То¬
гда изоморфизм j из предыдущей теоремы сохраняет абсолютные
значения, т.е. j(\a\) = \j(a)\, где \j(a)\ = y/j(o)*j(a). Действитель¬
но, j(a*a) = j(a)*j(a) на основании установленных свойств j. По
нашему определению \а\ есть как раз j-1 (y/j(a)*j(a)). В случае
алгебр L°°(/li) и Сь(Т) такой модуль совпадает с поточечно опре¬
деляемым модулем функции.
Отметим, что сепарабельную С*-алгебру можно вложить
в алгебру операторов С(12) (задача 11.7.18). Однако фактор-ал¬
гебра С(12) = £(/2)//С(/2), называемая алгеброй Калкина, этим
свойством не обладает (задача 11.7.25).
11.7.	Дополнения и задачи
(i) Алгебры С (К) и L°° (628). (ii) Алгебры фон Неймана (630). За¬
дачи (631).
11.7(i). Алгебры С(К) и L°°
Пусть (ft,*4,//) — вероятностное пространство и Ь°°(р) — ком¬
плексное банахово пространство классов эквивалентности ограничен¬
ных //-измеримых функций. Это пространство с естественным умноже¬
нием, соответствующим поточечному умножению представителей клас¬
сов, является коммутативной С*-алгеброй с единицей (роль которой
выполняет функция 1). По теореме Гельфанда-Наймарка преобразова¬
ние Гельфанда — изометрический изоморфизм между L°°(p) и С(Д),
где Д — пространство максимальных идеалов, являющееся компактом
в топологии Гельфанда. Обозначим преобразование Гельфанда / •-> /
через j. Поскольку j(f) = j(f), то при / ^ О имеем j(f) ^ 0 в том

11.7. Дополнения и задачи
629
смысле, что в классе эквивалентности j(f) есть поточечно неотрица¬
тельный представитель. Это видно из того, что j(f) имеет веществен¬
ного представителя и j(f) = j(/1^2)j(/1^2). Кроме того, если ip ^ 0, то
j~1(<p) ^ 0. Изоморфизм j позволяет также перенести меру \i на А.
11.7.1.	Предложение. На а-алгебре в Д, порожденной С(А), су¬
ществует единственная вероятностная мера v, для которой выпол¬
нено равенство
[ /(и)9(ы)К<1и)= [	Vf,g 6 £°°(м).	(11.7.1)
Ja	Ja
где под интегралом стоит какая-нибудь версия элемента j~l(ip). Яс¬
но, что этот функционал непрерывен и по теореме Рисса (см. теоре¬
му 6.10.76) представляется в виде интеграла ip по некоторой неотри¬
цательной мере v на а-алгебре в Д, порожденной С(Д). Заметим, что
Л(1) = 1 и A(ip) ^ 0 при ip ^ 0. Поэтому мера v оказывается веро¬
ятностной. Ясно, что равенство (11.7.1) выполнено при / = д. Ввиду
линейности j оно выполнено для всех f,g £ С°°(/л). Поскольку L°°(/i)
плотно в L2(/i) и С (А) плотно в Ь2{у), то j однозначно продолжается по
непрерывности до изометрии ХЛпространств. Единственность v следу¬
ет из того, что преобразование Гельфанда отображает Ь°°(р) на С (А),
а мера на а-алгебре, порожденной С(Д), однозначно определяется ин¬
тегралами от элементов С (А).	□
11.7.2. Замечание. Меру v можно однозначно продолжить до
регулярной борелевской меры, т.е. меры, удовлетворяющей равенству
v(B) = sup{i/(A'): К С В компактно} для всех борелевских В. В этом
случае С (А) также плотно в соответствующем L2 (задача 3.12.44).
Для zz-измеримых функций оказывается справедливой следующая
усиленная версия теоремы Лузина, не имеющая места для большинства
борелевских мер на метрических пространствах.
11.7.3. Следствие. Пусть v — мера из предыдущей теоремы. То¬
гда всякая ограниченная и-измеримая функция v-n.e. равна некоторой
непрерывной функции.
Доказательство. Достаточно рассмотреть вещественные функ¬
ции. Пусть / G С°°(и) и — М < f(s) < М для г/-п.в. s. Найдется последо¬
вательность {/п} С С(Д), сходящаяся к / в L2(v). Перейдя к подпосле¬
довательности, можно считать, что /n(s) —* f(s) для г/-п.в. s. Возьмем
При этом пространства Ь2{р) и L2(v) изометричны.
Доказательство. Рассмотрим функционал

630
Глава 11. Банаховы алгебры
функцию в: JR1 —> [—М, М], для которой Q(t) — t при |£| < М, 0{t) = М
при t > М, 6(t) = —М при t < —М. Тогда 0ofn —► / г/-п.в. По теоре¬
ме Лебега получаем и сходимость в L2(v). Значит, ^г(9о/п) —»
в L2(p). При этом последовательность функций j~1(9ofn) ограниче¬
на по норме L°°(p) числом М, ибо |0o/n(s)| ^ М. Следовательно,
9 •= 3~г0) е	что дает равенство j(g) = / в L2(fi), т.е. j(g) = /
iA-п.в. Остается вспомнить, что j(g) € С(Д).	□
Приведем пример использования изоморфизма j: Ь°°(р) —> С(Д).
11.7.4. Пример. Пусть последовательность {/п} слабо сходится
к нулю в	Тогда	{|/п|} также слабо сходится к нулю.
Доказательство. В обозначениях из предыдущих рассуждений
мы имеем j(\f\) = \j(f)\ при / Е Ь°°(р) (см. замечание 11.6.6). По¬
скольку j — линейная изометрия, то слабая сходимость элементов <рп
в i°°(/i) равносильна слабой сходимости элементов	в	С	(А). Из
сказанного явствует, что теперь достаточно проверить, что из слабой
сходимости элементов xpn Е С (А) к нулю следует слабая сходимость
\^n\ к нулю. Нужная импликация очевидна из того, что слабая сходи¬
мость в С(А) равносильна поточечной сходимости в сочетании с рав¬
номерной ограниченностью (см. пример 6.6.6, остающийся в силе для
любых компактов).	□
11.7(H). Алгебры фон Неймана
Пусть Л — инволютивная алгебра и М — ее подмножество. Мно¬
жество
М':={аеА: ab = baVbtM}
называется коммутантом М. Ясно, что М' — подалгебра в Л. Если М
замкнуто относительно инволюции, то М' оказывается инволютивной
алгеброй (а если Л — С*-алгебра, то такова и алгебра М'). Алгебру
Мп — (М'У называют бикоммутантом М. Инволютивная подалге¬
бра М алгебры С(Н) всех ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве Н называется алгеброй фон Неймана, если М = М".
Например, вся алгебра С{Н) является алгеброй фон Неймана, ибо
ее коммутант состоит из операторов вида XI. Идеал JC(H) компактных
операторов не является алгеброй фон Неймана в случае бесконечно¬
мерного Н, так как tC(H)' = С(Н)'.
Приведем следующую теорему Сакаи.
11.7.5. Теорема. С*-алгебра Л является *-изоморфной некото¬
рой алгебре фон Неймана в точности тогда, когда банахово простран¬
ство Л является сопряженным к некоторому банахову простран¬
ству.

11.7. Дополнения и задачи
631
Коммутативные алгебры фон Неймана описываются следующей
его теоремой.
11.7.6.	Теорема. Всякая коммутативная алгебра фон Неймана
изометрически *-изоморфна L°°(p) для некоторой меры р.
Алгебру фон Неймана М называют фактором, если МПМ' состоит
только из операторов XI. Факторы играют важную роль при изучении
алгебр фон Неймана и являются интересным объектом исследования.
Задачи
11.7.7? Пусть Л — банахова алгебра с единицей. Доказать равенство
cr(ab)\{0} = о(Ьа)\{0}, а, Ъ Е А.
11.7.8? Пусть А — банахова алгебра и a, b Е А. Показать, что ab и Ьа
имеют равные спектральные радиусы.
11.7.9? Комплексное пространство 1Р с 1 ^ р < оо наделим покоординат¬
ным умножением (ху)п = хпуп• Показать, что получена банахова алгебра.
11.7.10? Пусть А — С^-алгебра. Показать, что ||а|| = ||а*|| и ||аа*|| = ||а||2
при всех об А
11.7.11? Пусть Л1(НП) — пространство всех комплексных борелевских
мер на IRn ограниченной вариации с нормой \\р\\ — |/х|(Нп) и сверткой в ка¬
честве умножения:
р * и(В) := [ [ 1в(х + у) p(dx) p(dy), В е B(JRn).
JjRn JjRn
Показать, что Ai(lRn) — коммутативная банахова алгебра с единицей, роль
которой выполняет вероятностная мера, сосредоточенная в нуле.
11.7.12. Рассмотрим сверточную алгебру Л = Z2(Z) и ее подалгебру
В := {(хп) Е Л: хп = 0 при п < 0}. Показать, что элемент ei имеет разные
спектры в Л и В.
11.7.13? Пусть Л = C(U) — алгебра непрерывных комплексных функ¬
ций на единичном круге U в С с нормой / »—► таxz^u |/(^)|? поточечным
умножением и инволюцией f*(z) := f(z). Показать, что ||/*|| = ||/||, но А не
является С*-алгеброй.
11.7.14. Показать, что сверточные алгебры L1(lRn), Ai(lRn) и /1(Z)
не являются (7*-алгебрами относительно инволюции, заданной либо как
x*(t) := x(—t), либо как х* := ж, хотя ||ж*|| = ||ж|[.
11.7.15? Доказать, что в C{Vri) нет нетривиальных идеалов.
11.7.16? (i) Доказать, что на	нет ненулевых характеров, (и) До¬
казать, что на С(12) нет ненулевых характеров, (iii) Доказать, что на алгебре
операторов вида XI + К, где К Е /C(Z2), есть ненулевые характеры.

632
Глава 11. Банаховы алгебры
11.7.17? Пусть А — С*-алгебра и h: А —► С — гомоморфизм. Показать,
что (i) h(a) G 1R1 при a = a*, (ii) h(a*) = h(a) и h(a*a) ^ 0 при всех a G A.
11.7.18.° Пусть А — сепарабельная С*-алгебра с единицей. Показать,
что существует изометрический ♦-гомоморфизм из А в С(12).
11.7.19. Пусть А — С*-алгебра без единицы и А — ее стандартное рас¬
ширение до алгебры с единицей, состоящее из пар вида (а, а), где а £ А
и a G С, с умножением (а,а)(Ь,0) := (ab -f- ab + 0а, а0). Показать, что на
А есть единственная норма, превращающая А в С*-алгебру и совпадающая
с исходной нормой на алгебре А, рассматриваемой как подпространство в А.
Указание: для z = (а,а) положить ||z|| := ||L*||, где оператор Lz на А
задан формулой Lzx := ах -f- ах, х G А.
11.7.20. Доказать, что ненулевые характеры алгебры A(U) всех функ¬
ций, голоморфных в единичном круге U С С и непрерывных на U, наделен¬
ной sup-нормой, имеют вид <р <p(z), где z G U. При этом А с топологией
Гельфанда гомеоморфно U.
11.7.21. Доказать, что пространство Соболева Wp,1(]Rn) с р > п явля¬
ется банаховой алгеброй относительно поточечного умножения.
Указание: использовать вложение Wp,1(JRn) С L°°(IRn).
11.7.22. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство. Превра¬
тим его в банахову алгебру, положив ху = 0. Пусть {г;«} — базис Гаме¬
ля в X, {г;п} — его счетная часть и ||vn|| = 1. Зададим инволюцию j так:
j(v2n—l) = n~1V2n, j(v2n) = nv2n-l, j(va) = Va ДЛЯ ОСтаЛЬНЫХ ИНДвКСОВ,
а затем продолжим j по линейности. Показать, что получена разрывная ин¬
волюция.
11.7.23. Доказать, что алгебра L1(lRn) с операцией свертки не имеет
единицы.
Указание: использовать преобразование Фурье.
11.7.24. Доказать, что все ненулевые характеры сверточной алгебры
L1(1R1) имеют вид
[ e~iuf(s)ds, t eR1.
JjR1
11.7.25. Рассмотрим алгебру Калкина С(12) = С{12)/К(12). Пусть Е —
некоторое гильбертово пространство и 7г: С(12) —► С(Е) — изометрический
♦-гомоморфизм. Доказать, что Е несепарабельно.
11.7.26. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что единичный
оператор — крайняя точка единичного шара в С(Х). Вывести из этого, что
единица банаховой алгебры А — крайняя точка единичного шара в А.
Указание: пусть ||I - Г|| ^ 1 и ||I + Т\\ ^ 1, где Т G С(Х). Тогда
||/ - Т*|| < 1 и ||/ + Т*|| ^ 1, откуда ||/ - T*l\\ ^ 1, ||/ + ТЧЦ ^ 1 при I G Хт,
||/|| ^ 1, что дает Т* = I, если I — крайняя точка единичного шара в X*. Из
♦-компактности шара в X* и теоремы Крейна-Мильмана получаем Т* = О,
т.е. Т — 0.

Глава 12
Бесконечномерный анализ
В этой главе обсуждаются основы дифференциального ис¬
числения в бесконечномерных пространствах и некоторые близ¬
кие вопросы. В конечномерном случае есть два различных ти¬
па дифференцируемости: дифференцируемость в точке, основан¬
ная на рассмотрении приращений функции, а также глобальная
дифференцируемость, основанная на рассмотрении производной
как некоторого самостоятельного объекта (как это делается в те¬
ории обобщенных функций и в теории пространств Соболева).
Похожая, но более сложная картина наблюдается и в бесконеч¬
номерном случае. Здесь мы рассмотрим лишь первый тип диф¬
ференцируемости, хотя в последние годы второй играет все более
заметную роль в исследованиях и приложениях. В настоящее вре¬
мя основы дифференциального исчисления в бесконечномерных
пространствах обычно не входят в курс функционального анали¬
за, а изучаются в курсе оптимального управления или вариаци¬
онного исчисления. Однако мы решили включить этот короткий
раздел как для более полного представления об основных направ¬
лениях функционального анализа, так и из-за его идейных связей
с линейной теорией.
12.1.	Дифференцируемость и производные
Аналогично случаю функции двух вещественных переменных
можно рассматривать частные производные функции на линей¬
ном пространстве, а можно задавать производную в духе класси¬
ческой «главной линейной части приращения функции». Начнем
с дифференцируемости по направлениям. Пусть даны веществен¬
ные линейные пространства X и Y и отображение F: X —■> Y.

634
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Предположим, что У наделено некоторой сходимостью (напри¬
мер, является локально выпуклым пространством, как это и бу¬
дет всюду ниже).
Пусть хо £ X и h £ X. Будем говорить, что F имеет частную
производную вдоль h (или по направлению h), если в У существу¬
ет предел
Wxa) :=Цщ Н*о + Щ-Р(*о)_
Даже если для каждого h £ X частная производная dhF(xо) су¬
ществует, отображение h dhF(xо) может не быть линейным
(см. пример ниже). Часто бывает полезна не только линейность
этого отображения, но возможность приблизить им F «с точно¬
стью до малых более высокого порядка».
Различные типы дифференцируемости могут быть описаны
следующей простой схемой дифференцируемости относительно
класса множеств АЛ. Пусть X, У — локально выпуклые простран¬
ства и АЛ — некоторый класс непустых подмножеств X.
12.1.1.	Определение. Отображение F: X —> У называет¬
ся дифференцируемым относительно АЛ в точке х, если суще¬
ствует такое секвенциально непрерывное линейное отображе¬
ние из X в У, обозначаемое через DF(x) или F'(x) и называемое
производной F в точке х, что равномерно по h из каждого фик¬
сированного множества М £ АЛ имеем
lim f (ж +th) ~ F(x) _ Dp{x)h.	(12.1.1)
Взяв в качестве АЛ совокупность всех конечных множеств,
получаем дифференцируемость по Гато.
Таким образом, дифференцируемость по Гато отличается от
наличия частных производных dhF(x) тем, что дополнительно
требуется линейность отображения h	dhF(x), а также его се¬
квенциальная непрерывность.
Если АЛ — класс всех компактных подмножеств, приходим
к дифференцируемости по системе компактных множеств, ко¬
торая для нормированных пространств называется дифференци¬
руемостью по Адамару. Используют также дифференцируемость
по системе секвенциально компактных множеств (для норми¬
рованных пространств она совпадает с дифференцируемостью по
Адамару).

12.1. Дифференцируемость и производные
635
Наконец, если X, Y — нормированные пространства и М,
состоит из всех ограниченных множеств, то получаем опреде¬
ление дифференцируемости по Фреше (конечно, такое опреде¬
ление можно рассматривать и в случае локально выпуклых
пространств; тогда полученная дифференцируемость называет¬
ся ограниченной дифференцируемостью).
Основная идея дифференцируемости — локальное приближе¬
ние отображения F линейным отображением, т.е. представление
F(x + h) = F(x) + DF(x)h + г(ж, h),
где отображение h «—► r(x,h) является в определенном смысле
«малым более высокого порядка» по сравнению с h. В случае нор¬
мированных пространств дифференцируемость по Фреше прида¬
ет следующий смысл этому понятию малости:
lim “ФШ = 0.
Символически это обозначают как г (ж, К) = o(h). В более общем
случае дифференцируемости относительно М. малость означает
равномерное по h из каждого фиксированного М £ М соотноше¬
ние
aKx1tt)=0	(1212)
о t
lim
t
Нетрудно заметить, что это равносильно (12.1.1), если положить
г(ж, h) := F(x + h) — F(x) — DF(x)h. Конечно, понятию малости
можно придать какой-нибудь иной смысл, что приведет к друго¬
му виду дифференцируемости. Таким образом, как и для функ¬
ций на прямой, производная выполняет роль некоторого каса¬
тельного отображения.
12.1.2. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
f(x) = (х,х). Тогда f'(x) = 2х. Действительно,
(х + Л, х + h) — (ж, х) = 2(ж, h) + (Л, К) и (Л, h) = o(h).
Ясно, что для отображений прямой дифференцируемости Га-
то, Адамара и Фреше совпадают. В пространстве lRn с п > 1
определение Адамара эквивалентно определению Фреше и стро¬
го сильнее, чем определение Гато.
12.1.3. Пример, (i) Пусть функция /: IR2 —> IR1 задана
формулой
f(x) = г cos 3</?, х = (г cos <р, г sin </?), /(0) = 0

636
Глава 12. Бесконечномерный анализ
в полярных координатах. В точке xq = 0 частные производные
dhf(xо) = lim t~xf{th) — Л cos За
t—►О
существуют при всех h = (Л cos а, Л sin а) Е И2, однако отобра¬
жение h dhf(xо) не является линейным. Для этого достаточно
взять векторы (1,0) и (0,1).
(ii)	Зададим функцию /: И2 —► JR1 следующим образом:
ч fl, если х = (a?i,ягг), где Х2 = х\ и х± > 0,
' '	\0	в остальных случаях.
В точке х = 0 производная Гато существует и равна нулю, ибо
для всякого h Е И2 мы имеем lim t~xf(th) = 0 из-за того, что
f(th) = 0 при |t| < S(h), где 6(h) > 0. Дифференцируемости по
Фреше в нуле нет, так как f(h) = 1 при h = (t,t2).
Для локально липшицевых (т.е. липшицевых в окрестности
всякой точки) отображений нормированных пространств диффе¬
ренцируемости Гато и Адамара совпадают.
12.1.4.	Теорема. Пусть X uY — нормированные простран¬
ства и отображение F : X —■> Y локально липшицево. Если
отображение F в точке х дифференцируемо по Гато, то в этой
точке F дифференцируемо и по Адамару, причем соответству¬
ющие производные равны.
Доказательство. Пусть К — компакт в X и е > 0. Пусть F
удовлетворяет условию Липшица с постоянной L в шаре В (ж, г)
с г > 0, К содержится в шаре 5(0, й)иМ:= max(L, R, ||5F(:r)||).
Найдем конечную г-сеть hi,..., hm в К. Существует такое число
5 Е (0, r/R), что при |£| < 6 для каждого г = 1,..., т мы имеем
||F(z + thi) - F(x) - tDF(x)(hi)\\ < ф|-
Тогда при \t\ < 5 для всякого h Е К получаем
||F(x + th) — F(x) — tDF(x)(h)\\ < s\t\ + 2Me\t\,
ибо найдется hi с \\h — h{\\ < e, откуда
||F(x + th) — F(x + thi)|| < M\\th — thi\\ < Me\t\
и \\tDF(x)h — tDF(x)hi\\ < Me\t\. Итак, F дифференцируемо в x
по Адамару. Ясно, что производная Адамара служит и производ¬
ной Гато, ибо последняя единственна.	□

12.1. Дифференцируемость и производные
637
В бесконечномерных банаховых пространствах дифференци¬
руемость по Фреше строго сильнее дифференцируемости по Ада-
мару.
12.1.5. Пример. Функция
всюду дифференцируема по Адамару, но нигде не дифференци¬
руема по Фреше. То же самое справедливо для отображения
Доказательство. При доказательстве дифференцируемос¬
ти отображения часто бывает полезно найти кандидата на произ¬
водную, что делается путем вычисления частных производных.
Для функции / имеем следующее равенство:
f(x + th) = f sin[:r(s) + th(s)] ds.
Jo
Его можно продифференцировать no t с помощью теоремы Ле¬
бега о мажорируемой сходимости, что дает
9hf(x) = / h(s) cos ж($) ds.
Jo
Ясно, что производная Гато существует и дается функционалом
Поскольку ||£>/(ж)|| ^ 1, то с помощью теоремы о среднем для
функций на прямой заключаем, что функция / липшицева (ко¬
нечно, это можно проверить непосредственно). По теореме 12.1.4
получаем дифференцируемость по Адамару. Для отображения
F рассуждения аналогичны. Здесь мы имеем операторы DF(x)
в Ь2[0,1], причем
Выясним, дифференцируемы ли / и F по Фреше. Пусть х = 0.
Тогда f(x) = 0. Нам надо посмотреть, верно ли соотношение
/(/г) — Df(0)h = o(||/i||). Левая часть равна
(12.1.3)
F: Ь2[0,1] —> Ь2[0,1], F(x)(s) = sinx(s).	(12.1.4)
(DF(x)h)(s) = (cos x(s))h(s).

638
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Поскольку тейлоровское разложение sin h(s) — h(s) начинается
с h3 , а наше пространство — L1, то возникает предположение, что
дифференцируемости Фреше здесь нет. Чтобы убедиться в пра¬
вильности этого предположения, начинаем брать в качестве h та¬
кие элементы единичного шара, на которых f(th) — tDf(0)h не
будет равномерно o(t). А именно: пусть hk(s) = к при 0 ^ s ^ 1/к
и hk(s) = 0 при s > 1/к. Тогда
f(thk) — tDf(0)hk = к~г sin kt - t.
Эта величина не является о(£) равномерно по к: достаточно по¬
ложить t = fc-1, что даст £(sinl — 1). Для произвольной точки х
рассуждение аналогично. Зафиксируем версию х. Рассматриваем
выражение
sin(:r(s) + th(s)) — sinx(s) — th(s) cosx(s)^ ds.
Функции cosx(s) и sinx(s) имеют обшую точку Лебега so € (0,1).
Для всякого е эта точка является точкой Лебега и для функции
sin(x(s) + е) — sinx(s) — ecosx(s). Выберем е е (0,1) так, что
sin(#(so) + е) — sinx(so) — £cos:r(so) ф 0. Положим hk = к1вк, где
Ек — (so — s0 + fc_1). При t = ek~x получаем величину
sin(:r(s) + г) — sin x(s) — scos я($)^ ds
порядка малости Ьк~г = L~lt, где L ф 0 — некоторое число,
ибо предел этой величины, умноженной на fc/2, при к —> оо равен
sin(x(so)+s)—sinx(so)—ecosx(so) ф 0. Похожие оценки работают
и в случае F.	□
Интересно отметить, что если функцию / рассматривать не
на L\ а на L2, то она станет дифференцируемой по Фреше.
12.1.6.	Пример. Функция /, заданная формулой (12.1.3) на
пространстве L2[0,1], всюду дифференцируема по Фреше. Отоб¬
ражение F, заданное формулой (12.1.4) на С[0,1], всюду диффе¬
ренцируемо по Фреше.
Доказательство. Нюанс, различающий свойства / на L1
и L2, состоит в том, что величина \f(x + h) — f(x) — Df(x)h\ с по¬
мощью неравенства | sin(a; + h) — sin ж — /icosx| ^ h2 оценивается

12.1. Дифференцируемость и производные
через интеграл от h2, который равен квадрату £2-нормы (беско¬
нечной для некоторых h из L1).
Аналогичное рассуждение применимо к отображению F на
пространстве С[0,1]. Здесь ||F{x + К) — F(pc) — DF(x)h\\ оцени¬
вается через \\h\\2 в случае sup-нормы, но не в случае £2-нормы,
когда указанная оценка приводит уже к интегралу от Л,4.	□
Рассмотрим еще один поучительный бесконечномерный при¬
мер. В нем используется нередко встречающаяся в приложениях
функция — расстояние до множества.
12.1.7.	Пример. Пусть X — бесконечномерное нормирован¬
ное пространство и К — компактное множество. Положим
f(x) = dist(ar, К) = inf{||a; - у||: уе К}.
Тогда функция / удовлетворяет условию Липшица, но не диф¬
ференцируема по Фреше в точках К.
Если при этом К таково, что аК С К при |а| < 1, а множе¬
ство U£Li пК всюду плотно в X, то / имеет нулевую производ¬
ную Гато в точке О Е К. Например, в качестве К можно взять
эллипсоид
Г	00
к = ■{ (ж„) Gl2: ^2	<	1
п=1
в гильбертовом пространстве Z2.
Доказательство. Пусть х е К. Тогда f(x) = 0. Предполо¬
жим, что в х существует производная Фреше ff(x). Эта произ¬
водная может быть лишь нулевой, ибо для каждого ненулевого
вектора h функция t f(x + th) имеет минимум при t = 0. Мы
приведем наше предположение к противоречию, если покажем,
что f (x+h)—f(x)—f(x)h = f(x+h) не представляет собой o(||/i||).
Для каждого n Е IN мы найдем такой вектор hn, что \\hn\\ < 1 /п
и шар радиуса ||/in||/4 с центром в x+hn не пересекается с К. Это
даст оценку f(x+hn) ^ ||/гп||/4. Компактное множество К покры¬
вается конечным числом шаров радиуса (4гг)-1 с центрами в точ¬
ках од,..., од. Пусть L — конечномерное линейное пространство,
порожденное этими центрами. Найдется вектор hn с \\hn\\ = 1/п
и dist (hn, L) = 1/п. Этот вектор — искомый. В самом деле, если
бы существовал вектор у Е KC\B(x+hn^ Ц/^Ц/4), то мы получили
бы следующее разложение: х = и + h, у = v + h, где Zi,Z2 G

640
Глава 12. Бесконечномерный анализ
||г*|| < (4п) х, ||г;|| < (4п) 1 и \\x + hn —у\\ < ||Лп||/4. Следователь¬
но, справедливо неравенство
\\К - (h -h) + u- v\\ < (4n)_1,
и потому ||hn — (/2 — ii)|| ^ 3(4n)_1 вопреки выбору /in, так как
мы имеем I2 — h G L.
Предположим теперь, что К удовлетворяет указанным допол¬
нительным условиям. Покажем, что в точке 0 G К производная
Гато существует и равна нулю. Для этого надо проверить, что
при фиксированном h G X выполнено равенство \\mt~lf(th) = 0.
t—►о
Пусть е > 0. По условию найдется такой вектор v G пК, что
||h — г;|| ^ е. Поскольку tv G К при \t\ ^ п-1 ввиду условия,
то f(tv) = 0 для таких t. Значит, |t_1/(t/i)| < г ввиду оценки
| f(th) — f(tv)I < ||th — tv|| < |t|6:, имеющей место в силу липшице-
вости /.	□
В задаче 12.5.18 предлагается проверить, что если множество
К еще и выпукло, то / имеет нулевую производную Гато во всех
точках Uo<t<itK-
Для нормированных пространств можно рассмотреть стро¬
гую дифференцируемость, еще более сильную, чем дифференци¬
руемость Фреше.
12.1.8.	Определение. Пусть X uY — нормированные про¬
странства, U — окрестность точки xq G X и отображение
/: U —> Y дифференцируемо в хо по Фреше. Если для вся¬
кого £ > 0 найдется такое 5 > 0, что при \\х\ — жо||х ^ б
и \\х2 — яо||х ^ S имеем
||/(xi) - f(x2) - f'{xо)(®1 - ж2)||у < е||®1 - х2\\х,
то f называется строго дифференцируемым в точке х$.
Заметим, что строго дифференцируемое в хо отображение
непрерывно не только в самой точке xq, но и в некотором шаре
с центром в xq, ибо из определения и неравенства треугольника
следует, что в шаре радиуса 5 с центром в хо отображение / удо¬
влетворяет условию Липшица с постоянной \\f(x0) || +е. Поэтому
даже для числовых функций на прямой строгая дифференциру¬
емость не сводится к дифференцируемости по Фреше.
Если Е — линейное подпространство в X, наделенное неко¬
торой более сильной локально выпуклой топологией, то можно
определить дифференцируемость вдоль Е (в соответствующем

12.2. Свойства дифференцируемых отображений
641
смысле) в точке х как дифференцируемость в h = 0 отображения
h F(x + К) из Е в Y в соответствующем смысле. Производная
вдоль Е обозначается символом DEF. Когда Е одномерно, это
дает обычную частную производную dhF.
12.2.	Свойства дифференцируемых отображений
К важнейшим свойствам дифференцируемых отображений
относятся теоремы о среднем и цепное правило, т.е. правило диф¬
ференцирования композиции. Основную роль в получении много¬
мерных или бесконечномерных версий классических результатов
играют соответствующие утверждения для прямой. Однако есть
здесь и ряд тонкостей, особенно в бесконечномерном случае, тре¬
бующих некоторой осторожности.
Сначала мы обсудим дифференцируемость композиции.
Предположим, что X,Y и Z — локально выпуклые пространства,
а отображения
F: X-+Y и G: YZ
дифференцируемы в каком-то смысле. Будет ли отображение
G о F: X —> Z дифференцируемым в том же смысле? Ответ зави¬
сит от вида дифференцируемости. Например, композиция диф¬
ференцируемых по Гато отображений не обязана быть диффе¬
ренцируемой по Гато.
12.2.1. Пример. Зададим отображение д: И2 —> И2 фор¬
мулой д: (xi,X2) »-» (xi,#!). Возьмем функцию /: И2 —> IR1 из
примера 12.1.3(ii). Тогда композиция fog: 1R2 —► 1R1 не диф¬
ференцируема по Гато в точке х = 0. Более того, эта компози¬
ция не имеет в нуле частных производных по направлениям (1,1)
и (1, —1). В самом деле,
/few) =	(i'	есш 11 = ы > °’
v v })	(0	в остальных случаях.
Отметим, что в этом примере внутренняя функция даже диф¬
ференцируема по Фреше. Оказывается, если внешняя функция
дифференцируема по Фреше (или по Адамару), то положение
становится лучше.
12.2.2. Теорема. Пусть X, Y и Z — нормированные про¬
странства, отображение Ф: X —> Z является	композицией
отображений F: X	Y и	G: Y Z, xq Е X и уо	=	F(xо).

642
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Предположим, что отображение G дифференцируемо по Адама¬
ру в точке уо. Если отображение F дифференцируемо в точке xq
либо по Гато, либо по Адамару, то отображение Ф дифферен¬
цируемо в хо в таком же смысле, причем
Ф'(*0) = G'{yo)F'{xo).	(12.2.1)
Если же в точке xq отображение F дифференцируемо по Фреше,
a G дифференцируемо в уо тоже по Фреше, то и Ф дифференци¬
руемо в xq по Фреше, причем выполнено (12.2.1).
Доказательство. Заметим сначала, что если F имеет част¬
ную производную dhF в xq, то существует и частная производная
^ф(ято) = G'{yo)dhF{x о).
В самом деле,
F{xq + th) = F(x0) + tdhF(x о) + r(t) = yo + tdhF(x0) + r(t),
где ||r(t)/t|| —► 0 при t —> 0. Кроме того,
G(yo + u) — G(yo) = G\yo)u + 5(1/),
где lim t~ls(tu) = 0 равномерно по и из всякого фиксированного
компакта. Поэтому
Ф(ж0 + th) - Ф(ж0) = G'(yo)[tdhF(xo) + r(t)] + s(tdhF(xo) + r(t)),
где
lim*-1 |G'(y0)r(t) + s(tdhF(x0) + r(*))] = 0
в смысле сходимости по норме в Z.
Из доказанного вытекает дифференцируемость по Гато отоб¬
ражения Ф в случае дифференцируемого по Гато отображения F.
Пусть отображение F дифференцируемо по Адамару в xq,
а отображение G дифференцируемо по Адамару в уо- Для каж¬
дого фиксированного компакта К С X имеем
F(x0 + h) = F(x о) + F'{x o)h + r(h),
где lim sup |[t-1r(t/i)|| = 0. Следовательно,
heK
Ф(ж0 + h) — Ф(ж0) ~ G>(yo)F'(xo)h =
= G'(yo)[F'(xo)h + r(h)\ - G'(yo)F'(xo)h + s(F'(xo)h + r(h)) =
= G\yo)r(h) + s(F,(x0)h + r(h)),

12.2. Свойства дифференцируемых отображений
643
где lim sup ||i 1G'(yo)r(t/i)|| = 0и выполнено равенство
t_>0 кек
lim sup||i-1s(tF'(xo)fr + r(th)) || = 0.
Последнее равенство вытекает из того, что для всякой последова¬
тельности tn —* 0 и всякой последовательности {hn} С К последо¬
вательность векторов F'(xo)hn+t~1r(tnhn) содержится в компак¬
те F'(x0)(K) + ({*йМ*пЛп)}и{0}) ввиду того, что t^ritnhn) -► 0
по определению дифференцируемости по Адамару.
Наконец, в случае дифференцируемости по Фреше применимо
это же рассуждение с шаром вместо компакта.	□
Анализ доказательства позволяет модифицировать его для
отображений локально выпуклых пространств.
12.2.3.	Теорема. Пусть X, Y и Z — локально выпуклые
пространства, отображение Ф: X —> Z является композицией
отображений F: X —■> Y и G: Y —■> Z, xq G X и уо = F(xq).
Предположим, что отображения F и G дифференцируемы по
системе компактных множеств в точках хо и уо соответ¬
ственно, причем оператор F'(xо) переводит компакты в ком¬
пакты. Тогда Ф дифференцируемо в хо по системе компактных
множеств, причем
Ф'Ого) = G'(yo)F'(x0).
Аналогичное утверждение верно, если оба отображения диф¬
ференцируемы по системе ограниченных множеств, а оператор
F (хо) переводит ограниченные множества в ограниченные.
Наконец, если отображение F дифференцируемо в xq по Га-
то, а отображение G дифференцируемо в уо по системе ком¬
пактных множеств, то Ф дифференцируемо в хо по Гато, при¬
чем справедлива указанная выше формула для Ф'^о)-
Доказательство. Рассуждения аналогичны приведенным
выше. Поясним лишь роль тех дополнительных ограничений на
отображение Ff(xо), которые автоматически выполнены в случае
нормированных пространств. Мы имеем следующее представле¬
ние:
Ф(ж0 + h) - Ф(ж0) - G'(y0)F'(x0)h =
= G'{yo)r(h) -(- s{F'(x0)h + r(ft)),

644
Глава 12. Бесконечномерный анализ
и нужно показать, что для каждого фиксированного множества
К из того класса, относительно которого дифференцируемо F,
для всякой последовательности {hn} С К и всякой последова¬
тельности чисел in —* 0 мы имеем
lim tn G (yo)r(tnhn) + tn s(tnF (xo)hn + tntn ^(inAn)) ~ 0*
n—►oo
Поэтому нам надо обеспечить принадлежность последовательно¬
сти F'(xo)hn + t~lr(tnhn) к некоторому множеству из того клас¬
са /С, относительно которого дифференцируемо внешнее отобра¬
жение G. Для этого последовательность векторов F^x^hn долж¬
на входить в класс /С, ибо последовательность t~lr(tnhn) сходится
к нулю и добавление ее не влияет на принадлежность к классам
ограниченных или компактных множеств.	□
Аналогичное утверждение верно в случае дифференцируемо¬
сти по системе секвенциально компактных множеств, поскольку
F'(xq) секвенциально непрерывно (здесь не требуется, чтобы опе¬
ратор F'(xо) переводил компакты в компакты).
12.2.4. Пример. Пусть отображение F: X —» Y нормиро¬
ванных пространств дифференцируемо в точке xq либо по Гато,
либо по Адамару, либо по Фреше, и пусть G: Y Z — непре¬
рывный линейный оператор со значениями в нормированном про¬
странстве Z. Тогда композиция G о F дифференцируема в точ¬
ке жо в том же смысле, что и F.
Аналогично обстоит дело для дифференцируемости отобра¬
жений локально выпуклых пространств по Гато, системе ком¬
пактных множеств, системе секвенциально компактных множеств
или системе ограниченных множеств, если оператор G линеен
и секвенциально непрерывен.
С теоремой о производной композиции связана следующая
теорема, характеризующая дифференцируемость по Адамару.
12.2.5. Теорема. Отображение F: X —> Y нормированных
пространств дифференцируемо в xq £ X по Адамару в точности
тогда, когда существует такое непрерывное линейное отобра¬
жение L : X —■> Y, что для всякого дифференцируемого в нуле
отображения : IR1 —> X с <р(0) = xq композиция Fop: И1 —> Y
дифференцируема в точке 0 и (F о (р)'(0) = L<pf(0).
Доказательство. Если F дифференцируемо, то по дока¬
занному дифференцируема и композиция. Предположим, что да¬
ны числа tn —> 0 и векторы hn —■> h. Отображение (р: JR1 —> X

12.2. Свойства дифференцируемых отображений
645
зададим так: <p(tn) = xq + hntn и <p(t) = xq+th при t {tn}. Тогда
</з(0) = xq и	— <p(0)] —» h при t —* 0, ибо это разностное
отношение равно hn при t = tn и равно h при прочих t. При этом
F(x0 + tnhn)-F(xo) = F(<p(tn)) - F(<p(0)) ^	=	Lh
in	in
при n —> сю, что доказывает дифференцируемость F по Адамару
в точке хо.	□
Отметим, что если F и G дифференцируемы в ж по Гато, Ада¬
мару или Фреше, то, как легко видеть, F + G дифференцируемо
вхв том же смысле, причем (F + G)(x) = Ff(x) + G'(x).
Перейдем к теоремам о среднем. Напомним, что если функ¬
ция / дифференцируема в окрестности отрезка [а,Ь], то
f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)
для некоторой точки с £ (а, Ь). На многомерные отображения
(даже на отображения из IR1 в 1R2) это утверждение в таком виде
не распространяется. Например, пусть
f(x) — (sin#,cos#), х £ IR1.
Тогда f(2ir) = /(0), хотя производная / не обращается в нуль ни
в одной точке. Правильный многомерный аналог теоремы о сред¬
нем дается переходом либо к неравенствам, либо к выпуклым
оболочкам множеств значений. Напомним, что символы conv А
и conv А обозначают соответственно выпуклую оболочку и за¬
мкнутую выпуклую оболочку множества А в локально выпуклом
пространстве. Символом [а, Ь] будем обозначать отрезок с конца¬
ми в точках а и ft линейного пространства, т.е. множество всех
векторов вида а + t(b — a), t £ [0,1]. Аналогично определяется
интервал (а, Ь).
12.2.6.	Теорема. Пусть X и Y — локально выпуклые про¬
странства, U — открытое выпуклое множество в X, а отоб¬
ражение F : U —>Y дифференцируемо по Гато в каждой точке
из U. Тогда для всяких a,b £ £/ имеет место включение
F(b) — F(a) £ conv {Ff(c)(a — b): c£(a,b)}.	(12.2.2)
Доказательство. Обозначим через E множество в правой
части. Пусть / £ У*. Функция (р: t► l[F{a + tb — ta)) определена

646
Глава 12. Бесконечномерный анализ
в окрестности [0,1] согласно условию. Кроме того, она дифферен¬
цируема в окрестности [0,1]. По классической теореме о среднем
найдется такая точка t € (0,1), что
l(F(b)) - l{F(a)) = у>(1) - ¥>(0) = (/(t) = l(F'(c)(b - a)) <
< sup \l(y)I,
yeE
где с = a + t(b - a) € U. По следствию теоремы Хана-Банаха
заключаем, что F(b) — F(a) € Е.	□
Приведем ряд важных следствий.
12.2.7. Следствие. Пусть в ситуации доказанной теоре¬
мы задано секвенциально непрерывное линейное отображение
А : X —> Y (например, А = F'{a)). Тогда для всяких a,b € U
имеет место включение
F(b)-F(a)-A(b-a) € conv{[F'(c)—Л](а—6): с€(а,Ь)}. (12.2.3)
Доказательство. Достаточно применить доказанную тео¬
рему к отображению F — А.	□
12.2.8. Следствие. Пусть X и Y — нормированные про¬
странства, U — открытое выпуклое множество в X, а отоб¬
ражение F: U —►У дифференцируемо по Гато в каждой точке
из U. Тогда для всяких a,b £ U справедливо неравенство
||F(b) - F(a)|| < sup ||F'(c)|| ||a - Ь||.	(12.2.4)
cG(a,6)
Доказательство. Для каждого c€U мы имеем
|Щс)(Ь-а)И|тс)|| ||&-а||,
что ввиду (12.2.2) дает (12.2.4).	□
12.2.9. Следствие. Пусть в ситуации предыдущего след¬
ствия задано непрерывное линейное отображение A: X —► У.
Тогда для всяких a,beU справедливо неравенство
\\F(b) - F(a) - А(Ь - а)\\ ^ sup ||F'(c) - А|| ||a - Ь||.	(12.2.5)
c€(a,b)
12.2.10. Следствие. Пусть X и Y — нормированные про¬
странства, U — открытое выпуклое множество в X, а отоб¬
ражение F : U —>Y дифференцируемо по Гато в каждой точке

12.3. Обратные и неявные функции
647
из U. Предположим, что отображение х ► F\x) из U в про¬
странство операторов £(Х,У) с операторной нормой непрерыв¬
но в некоторой точке xq £ U. Тогда отображение F дифферен¬
цируемо в точке хо по Фреше. Более того, F строго дифферен¬
цируемо в хо-
Доказательство. Пусть е > 0 таково, что В{хо,е) с С/. По
доказанному для всех h с ||/i|| < е имеем
||F(x0 + h) - F{xо) - F'(x0)(h)\\ < sup ||F'(c) - F'(x0)|| \\h\\.
сеВ(хо,е)
В силу непрерывности Ff в х0 имеем
lim sup ||F'(c) - F'(z0)|| = 0,
ceB(x o,e)
что дает дифференцируемость по Фреше. Строгая дифференци¬
руемость следует из (12.2.5).	□
Если производная отображения F непрерывна по оператор¬
ной норме в области fi, то F называется Сг1-отображением в fi.
12.3.	Обратные и неявные функции
В этом параграфе речь идет о локальной обратимости нели¬
нейных отображений и о существовании функциональной зависи¬
мости у = у(х) между решениями уравнений типа F(x, у) = 0. Та¬
кого рода результаты называются соответственно теоремами об
обратной функции и неявной функции. В настоящее время суще¬
ствует весьма развитая теория, охватывающая подобные задачи,
но мы ограничимся здесь простейшими бесконечномерными ана¬
логами известных из конечномерного анализа фактов. Впрочем,
даже эти простейшие теоремы имеют немало интересных и важ¬
ных приложений. Все приводимые здесь результаты не исполь¬
зуют никакой изысканной техники и представляют собой при¬
менения теоремы о сжимающем отображении или аналогичных
соображений. Однако способ применения элегантен и поучите¬
лен. Его идея состоит в том, что заданное отображение локально
приближается более простым (в каком-то смысле) отображением.
В качестве более простого в этом параграфе фигурируют тожде¬
ственное отображение и линейные обратимые операторы.
Начнем с рассмотрения липшицевых гомеоморфизмов.

648
Глава 12. Бесконечномерный анализ
12.3.1.	Теорема. Пусть U = В(а,г) — открытый шар ра¬
диуса г > 0 с центром в точке а в банаховом пространстве X
и F : U —> X — такое отображение, что
||F(*)-F(y)||<A||z-y|| Vx,yeU,
где A G [0,1) — постоянная. Тогда существует такая открытая
окрестность V точки а, что отображение Ф: х х + F(x) —
гомеоморфизм V и открытого шара W := 1?(Ф(а),г(1 —А)). При
этом обратное отображение Ф-1: W —> V удовлетворяет усло¬
вию Липшица с постоянной (1 — А)-1.
Если, кроме того, ||.Е(а)|| < r( 1 — А)/2; то Ф является го¬
меоморфизмом некоторой окрестности точки а и открытого
шара В(а,г( 1 — А)/2).
Доказательство. Заменив отображение F на F — F(a) + а,
можно считать, что F(a) = а. Применим теорему 1.4.4 к про¬
странству Т = W и отображению (w, х) w — F(x) из W х U
в X. Все необходимые условия выполнены. В частности, имеем
||u; — F(a) — а\\ = ||го — Ф(а)|| < r( 1 — А) при w € W. Значит,
существует такое непрерывное отображение f:W—>U, что мы
имеем f(w) = w — F(f(w)) для всех w G W, т.е. Ф(/(к;)) = w.
Покажем, что / есть гомеоморфизм W на f(W). Ясно, что
/ — инъективное отображение. Отображение Ф на U также инъ-
ективно, ибо из равенства Ф('их) = Ф(г&2) следует, что
||«1 - «all = ||^(«i) - ^ЮН < А||«1 - г*2||.
Последнее возможно лишь при щ = «г- Таким образом, отобра¬
жение Ф есть гомеоморфизм множества V f(W) на W, обрат¬
ный /. При этом множество V = Ф-1(И^) открыто в силу непре¬
рывности Ф. Кроме того, a EV, ибо Ф(а) — центр W.
Липшицевость / с постоянной (1 — А)-1 ясна из равенства
f(w) - /(го') = w-w' + F(f(v/)) -F(f(w)),
которое дает оценку ||/(w)-/(n>')|| < ||w — гг/||	А||/(гу) — /(«/)||,
те- ||/(w) - /Ю11 < (1 - A)-1||w - к/||.
Если дополнительно дано, что ||F(a)|| < г(1 — А)/2, то шар
B(a,r( 1 — А)/2) входит в W.	□
Теперь мы применим доказанное к дифференцируемым
отображениям. Сначала выясним условие дифференцируемости
обратного отображения к дифференцируемому гомеоморфизму.

12.3. Обратные и неявные функции
649
12.3.2. Предложение. Пусть X uY — банаховы простран¬
ства, U С X и V С Y — открытые множества и F: U —>V —
гомеоморфизм, дифференцируемый по Фреше в некоторой точ¬
ке а £ U. Для дифференцируемости по Фреше отображения
G = F~l: V —> U в точке b = F(a) необходимо и достаточно,
чтобы оператор Ff(a) отображал X взаимно однозначно на Y.
Доказательство. Если отображение G дифференцируемо
по Фреше в точке Ь, то по правилу дифференцирования произве¬
дения имеем Gf(b)F'(a) — Ix и F\a)G,{b) = /у.
Предположим теперь, что оператор А := Ff{a) обратим. Пе¬
рейдя к отображению A_1F, мы сводим утверждение к случаю
X = Y и F'(a) = J. Кроме того,	можно	считать, что	а	=	О
и F(a) = 0. Нам надо показать, что	G'(0) =	I, т.е. что
G(y) -У = о(||у||) при IIуII -» 0.
Мы имеем
F(x) = х + ||ж||</?(х), lim ||#>(а?)|| = 0.	(12.3.1)
1МН0
Поскольку F — гомеоморфизм, то у = F(x), где х — G(y), для
всех у в некоторой окрестности нуля, причем для соответствую¬
щих х выполнено (12.3.1). Итак,
G(y) = х = у- ||ж||</?(я).
Нам надо показать, что ||х||у>(ж) = о(||у||). Найдем такую окрест-
ность нуля Uq, что ||<£(#)|| <1/2 при х £ С/о- Тогда ||ж|| ^ 2\\у\\ для
таких х и у = F{x), т.е. ||я|| ||^(ж)|| ^ 2||у|| ||(^(ж)||. Остается заме¬
тить, что при Hj/Ц —■> 0 мы имеем ||#|| —■> 0 ввиду непрерывности
отображения G и потому <р(х) -> 0.	□
12.3.3. Теорема. Пусть F —	непрерывно дифференцируе¬
мое отображение открытого шара U = В(хъ,г) в банаховом
пространстве X в банахово пространство У. Предположим,
что оператор А := F*{xо) взаимно однозначно отображает X
на все Y. Тогда F взаимно однозначно отображает некоторую
окрестность V точки хо на некоторую окрестность W точ¬
ки F(xq), причем отображение G := F-1: W —► V непрерывно
дифференцируемо и выполнено равенство
С {у) = [F'(F_1(y))] \ yeW.

650
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Доказательство. Утверждение сводится к случаю У = X
и F'(xо) = если перейти к отображению Л_1F. Кроме того,
можно считать, что хо = 0 и Р(хо) = 0. Имея в виду приме¬
нить теорему 12.3.1, запишем F в виде F(x) = х + Fq(x), где
Fq(x) = F{x) — х. В силу непрерывности производной в #о, най¬
дется такой шар В(0, г), что ||F'(:r) —/Цдх) ^ 1/2 при ж Е В(0, г).
По теореме о среднем отображение Fo на В(0, г) липшицево с по¬
стоянной 1/2 (нам подошла бы липшицевость с любой постоян¬
ной, меньшей 1). При этом Fo(0) = 0. По упомянутой теореме
в шаре W = В(0, г/2) задано обратное к F непрерывное отобра¬
жение G, переводящее этот шар в некоторую окрестность нуля V.
Из предложения 12.3.2 следует дифференцируемость G в нуле
по Фреше и равенство G'(0) = I- Отметим, что пока была ис¬
пользована лишь непрерывность производной в нуле. Поскольку
мы предположили непрерывность производной во всех точках U,
то в окрестности хо эта производная обратима, что показыва¬
ет дифференцируемость обратного отображения в окрестности
точки F(#o)- Наконец, непрерывность отображения у »-> G*{y)
в этой окрестности следует из формулы G\y) = [F'(G(?/))] \
непрерывности G и непрерывности отображения А А~1 на
множестве обратимых операторов.	□
Получим теперь критерий диффеоморфности.
12.3.4.	Следствие. Пусть F — С1-отображение открыто¬
го множества U в банаховом пространстве X в банахово про¬
странство У. Для того, чтобы F было С1-диффеоморфизмом
множества U на открытое множество в Y, необходимо и до¬
статочно, чтобы F было инъективно и производная Ff(x) при
всех х Е U была обратимым оператором из X на У.
Доказательство. Необходимость этих условий ясна. Дока¬
жем их достаточность. Мы уже знаем, что каждая точка х из
U обладает такой окрестностью Ux С £/, что F является С1-
диффеоморфизмом Ux на некоторый открытый шар Vx с центром
в F(x). Поэтому множество F(U) = []хец Vx открыто. Из сказан¬
ного ясно, что обратное отображение F-1: V —► U непрерывно
дифференцируемо.	□
Мы уже обращали внимание на то, что в теореме 12.3.3 су¬
ществование и дифференцируемость G в нуле нами фактически
получены при более слабых условиях. А именно: нам нужно было,

12.3. Обратные и неявные функции
651
чтобы (в предположении, что х$ = 0 и F(a?o) =* 0) вспомогатель¬
ное отображение ^о(ж) = Ff(0)~1F(x) — х было сжимающим
в окрестности нуля. Это условие, конечно, слабее непрерывности
производной в нуле, и оно очевидным образом вытекает из стро¬
гой дифференцируемости F в нуле, которая даст представление
F'(0)-xF(x) - F'(0)-lF(y) -х + у= \\х - уЩх,у)
с lim ф(х, у) — 0, означающее липшицевость Fo со сколь угодно
ж,у—►О
малой постоянной в подходящей окрестности нуля. Сформулиру¬
ем полученное утверждение.
12.3.5. Теорема. Пусть отображение F открытого шара
U = В(хо,г) в банаховом пространстве X в банахово простран¬
ство Y строго дифференцируемо в точке х$, причем оператор
D := Ff(xо) взаимно однозначно отображает X на все Y. Тогда
F гомеоморфно отображает некоторую окрестность V точки
хо на некоторую окрестность W точки F(xо), причем отобра¬
жение G := F~l: W —> V дифференцируемо по Фреше в точке
Уо = F(xo) и G'(yo) = D~l.
12.3.6. Пример. Пусть X — гильбертово пространство,
F(x) = Ах + В(х, х), где А — обратимый линейный оператор в X
и В: X х X -+ X — непрерывное отображение, линейное по
каждому аргументу. Тогда F'(x)h = Ah + B(x,h) + B(h,x), ибо
< C|/i|2, что легко вывести из ограниченности В на
некотором шаре с центром в нуле. Значит, F'(0) = А. Следо¬
вательно, F диффеоморфно отображает некоторую окрестность
нуля на окрестность нуля.
Перейдем к теореме о неявной функции. Пусть даны три ба¬
наховых пространства X,Y и Z, и пусть дано непрерывно диффе¬
ренцируемое отображение F из открытого множества U С X х Y
в Z. Предположим, что для некоторой точки (a, b) £ U мы име¬
ем F{a, Ь) = 0. Нас интересуют другие решения (ж, у) уравнения
F(xiV) = 0? достаточно близкие к (а, Ь). При этом мы хотели бы
представить (локально) множество решений в виде поверхности
у = f{x). Оказывается, для этого нужно лишь одно условие.
12.3.7. Теорема. Предположим, что в описанной выше си¬
туации производная Fy(a, Ь) отображения F вдоль Y в точке
(a, b) является линейным изоморфизмом Y и Z. Тогда найдут¬
ся окрестность Va точки а в X, окрестность Wb точки b в Y

652
Глава 12. Бесконечномерный анализ
и непрерывно дифференцируемое отображение /: Va-*Y со сле¬
дующими свойствами: Va х W& С U и условия
(х,у) eVaxWb и F(x,у) = О
равносильны условиям
XEVa и у = f(x).
В частности, /(а) = Ъ. Таким образом, в области VaxWb реше¬
ния уравнения F(x,y) = 0 задаются формулой у ~ f(x).
Доказательство. Мы сведем эту теорему к теореме об об¬
ратной функции. Для этого рассмотрим вспомогательное отобра¬
жение
Fi: U -+ X х Z, {х,у)ь^ (х, F(x, у)).
Легко видеть, что это отображение непрерывно дифференцируе¬
мо, причем
F{(x,y)(u,v) = (u,Fx(x,y)u + Fy(x,y)v), и € X,v € Y.
Поскольку Fy(a, b) — линейный изоморфизм Y и Z, то F{(a, b) —
изоморфизм XxY и XxZ. В самом деле, для заданных h £ X
и k £ Z однозначно находятся и = h и затем
v=[F{r(a,b)]-1(k-F'x(a,b)ti)
с F[(a, b)(u,v) = (Л, к). По доказанному ранее найдется окрест¬
ность Uq точки (а, Ь), которую F\ диффеоморфно отображает на
некоторую окрестность W точки (a, F(a, Ь)) = (а,0). В Щ можно
взять меньшую окрестность вида VaxWb, где Va — окрестность а
и Wb — окрестность Ь. Пусть Wo = Fi(VaxWb). Обратный к Fi
диффеоморфизм имеет вид (#, z) 1—► (#, <£(#, i)), где отображение
(#, г) <£>(#, z) со значениями в Y определено в окрестности точ¬
ки (а?0) в XxZ. Положим f(x) = (р(х, 0) и покажем, что получе¬
но искомое отображение. Действительно, это отображение непре¬
рывно дифференцируемо. Кроме того, условия (я, у) £ Va х Wb
и F{x,y) = 0 равносильны условиям (я,0) £ Wo и <£>(#, 0) = у
ввиду взаимной однозначности отображения F\ на Va х Wb- Мно¬
жество Vq := {х: (#,0) £ Wo} является открытой окрестностью
точки а. Заменив Va меньшей окрестностью Va П мы получим
нужные свойства /. Фактически мы доказали даже больше: для
всех г в некоторой окрестности нуля решения (ж, у) уравнения
F(x,y) = г, попадающие в достаточно малую окрестность (а, Ь),
имеют параметрическое представление у = (р(х, z).	□

12.3. Обратные и неявные функции
653
Дифференцируя тождество F(x,f(x)) = 0, находим
f'{x) = ~[F{r (x,f(x))]~1Ffx(x,f(x))
в окрестности а. В частности,
f\a) = -[Fir(a,b)r1F'x(a,b).
Из доказательства ясно, что полученное представление охва¬
тывает все решения (х, у) из достаточно малой окрестности (а, Ь).
Но это утверждение не следует понимать в том смысле, что в до¬
статочно малой окрестности а нет других дифференцируемых
отображений / с F(x, f{pc)) = 0: речь идет лишь о таких /, что
у — f(x) попадают в малую окрестность Ь. Например, для урав¬
нения х2 + у2 = 1 на плоскости в любой окрестности точки а — 0
на прямой есть две дифференцируемые функции fi(x) = y/l — х2
и /2(#) = —y/l — х2, ДЛЯ которых X2 + fl(x)2 = 1 И X2 + f2{x)2 = 1.
При этом fi однозначно задает решения из окрестности точки
(0,1), а /2 однозначно описывает решения из окрестности точ¬
ки (0, —1).
Из сказанного явствует, что отображение / единственно в сле¬
дующем смысле: если отображение /о из окрестности точки а
в множество Wь удовлетворяет равенству F(#,/о(#)) = 0, то /о
совпадает с / в некоторой окрестности точки а.
Если сравнить доказанную нами теорему о неявной функции
с теоремами об обратной функции, то легко заметить, что она со¬
ответствует теореме 12.3.3, но не теореме 12.3.5. Можно получить
и аналог последней.
12.3.8.	Теорема. Пусть дано отображение F из окрестно¬
сти U С XxY точки (а, b) в пространство Z, причем F(a, b) — 0
и lim F(#, b) = 0. Предположим, что F дифференцируемо вдоль
х—>а
пространства Y в (а, Ь) и для всякого е > 0 есть такое 8 > 0,
что
\\F(x,yi)-F(x,y2) - F{r(a,b)(yx - у2)\\ < £\\У1~У2\\
при \\х - а|| < 8, ||У1 - 6|| ^ 8, \\у2 - Ь|| ^ 8 (например, производ¬
ная Fy существует и непрерывна в U). Пусть оператор Fy(a, Ъ)
из Y на Z обратим. Тогда существует отображение / со значе¬
ниями в Z, заданное в некоторой окрестности Va точки а и об¬
ладающее следующими свойствами: /(а) = b и F(x,f(x)) = 0
для всех х £ Va.

654
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Доказательство. Без ущерба для общности мы можем счи¬
тать, что а = 0 и b = 0. Перейдя к отображению Fy (а, b)~xFy мож¬
но также считать, что Z = Y и Fy (a, b) = I. Найдем такое г о > 0,
что U содержит шар радиуса го с центром в нуле. Для каждо¬
го х £ 5(0,го) рассмотрим отображение Фж: у у — F(x,у).
По условию найдется такое г £ (0,го), что при yi,j/2 £ -В(0,г),
х £ 5(0, г) выполнено неравенство
1№,ш) -F{x,y2) - (У1 — 2/2)11 ^ зЫ — Уг||-
Значит, при х € 5(0, г) отображение на шаре 5(0, г) удовле¬
творяет условию Липшица с постоянной 1/2. По условию найдет¬
ся такое 8 € (0,г), что ||5(ж,0)|| < г/2 при ||ж|| < 8. При таких х
имеем ||Ф*(0)|| = ||5(ж,0)|| < г/2. Таким образом, мы оказываем¬
ся в условиях теоремы 1.4.4, дающей отображение /: 5(0,8)—>Y
с f(x) = /(ж) — F(x,/(ж)) при всех х € 5(0,8). Итак, для таких
точек ж имеем F(x,f{ж)) =0.	□
12.3.9.	Замечание. Если в ситуации доказанной теоремы
отображение F дифференцируемо по Фреше и его производная
непрерывна в точке (а, Ь), то построенное выше отображение /
дифференцируемо в точке о, причем
f'(a) = -№(a,b)]-1Fx(a,b).
Это доказывается так же, как и в теореме 12.3.7.
12.4.	Производные высших порядков
Если отображение F: X —> Y между локально выпуклыми
пространствами дифференцируемо, то возникает новое отобра¬
жение а: и Fr{x) со значениями в пространстве линейных
отображений из X в Y. Наделяя это пространство какой-либо
локально выпуклой топологией, можно ставить вопрос о диффе¬
ренцируемости F* и его производную (в соответствующем смыс¬
ле) обозначать через
Применительно к случаю дифференцируемости по Фреше
в нормированных пространствах это приводит к рассмотрению
производной F*: X —> С(Х, У), х Ff(x), дифференцируе¬
мого по Фреше отображения F: X —■> Y нормированных про¬
странств. Пространство операторов С(Х, Y) является нормиро¬
ванным с операторной нормой, поэтому Ff оказывается отобра¬
жением в нормированное пространство и можно говорить о его

12.4. Производные высших порядков
655
дифференцируемости по Фреше в точке х. Если Ff имеет произ¬
водную Фреше в я, то она обозначается через F,f(x) или D2F(x).
При этом F"(x) е £(Х,£(Х,У)).
Напомним (см. обсуждение в §12.5), что пространство опе¬
раторов £(Х, С(Х, У)) можно канонически отождествить с про¬
странством C2(X,X,Y) билинейных непрерывных отображений
из ХхХ в У. Для этого каждому оператору Л £ С{Х,С(Х,У))
сопоставляется билинейное непрерывное отображение Л по фор¬
муле
Л (u,v) = [A(u)](v).
Если Л = F”(x), то значение Л на паре (u,v) вычисляется по
формуле
Л (гг, г;) = dvduF(x).
Обратно, каждому непрерывному билинейному отображению В
из X хХ в У сопоставляется линейное отображение Л из X в про¬
странство линейных отображений из X в У по формуле
[A(«)](t>) := B(u,v).
При этом Л € £(Х, £(Х, Y)) и Л = В.
12.4.1. Пример. Пусть X — гильбертово пространство. По¬
ложим f(x) = (я, ж). Тогда f(x) = 2х и ff(x) = 2J.
Дифференцируемость высших порядков определяется по ин¬
дукции: отображение F в точке xq имеет производную порядка
к > 1, если в некоторой окрестности xq существуют производ¬
ные DF(x),... ,Dk~1F(x)^ причем отображение х \-> Dk~xF(x)
дифференцируемо в xq.
Производную Фреше DkF(xо) порядка к удобно отождествить
с непрерывным к-линейным отображением из пространства Хк
в У (см. §12.5(ii)), т.е. считать, что DkF{xо) € Ck(Xk,Y).
12.4.2. Пример. Пусть X и У — нормированные простран¬
ства и ф: X —> У — непрерывный однородный многочлен степе¬
ни fc, порожденный непрерывным симметрическим fc-линейным
отображением Ф&. Тогда отображение ф бесконечно дифферен¬
цируемо по Фреше, причем
D^(x)h = кЧ?к(х,..., ж, /г).

656
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Для доказательства распишем Ф&(:г + /&,..., х + К) — Ф&(ж,..., ж),
используя аддитивность Ф& по каждому аргументу. Получим сла¬
гаемое &Ф&(:г,..., ж, К) и сумму слагаемых, в которые h входит ар¬
гументом в Ф& хотя бы дважды. Поэтому эта сумма есть о(||/г||),
что доказывает сказанное.
12.4.3. Теорема. Пусть отображение F между нормиро¬
ванными пространствами X uY имеет производную порядка к
в точке хо. Тогда полилинейное отображение DkF(xо) является
симметрическим. В частности, при к = 2 имеем
D2F{xo)(u,v) = D2F(xo)(Vju).
Доказательство. Достаточно проверить это утверждение
для числовых функций, рассматривая композиции I о F, где I —
элемент Y*. При этом все сводится к известному из курса анализа
случаю X = ГО*. Например, при к = 2 нужно взять функцию
•= F(x0 + t\u + t2v) на ГО,2. Тогда
*2) = DF(x о + hu + t2v)(u),
откуда D2F(xq)(u,v) = ^^-/|tl=t2=o- Аналогичное равенство
с переставленными частными производными по t\ и 12 верно для
величины D2F(xq)(v,u).	□
12.4.4. Теорема. (Формула Тейлора) Пусть U — откры¬
тое множество в нормированном пространстве X и отображе¬
ние F: X —> Y со значениями в нормированном пространстве Y
имеет в U производные Фреше до порядка п — 1.
(i) Если в точке xq Е U существует производная Фреше
DnF(x0), то при ||/i|| —> 0 имеем
\\F(xQ+h)-F(x0)-DF(xo)h	±DnF(x0)(h,..., А)|| =о(||Л||“).
(ii) Если в U существует производная Фреше DnF(x), при¬
чем ||DTOF(a:)|| < М, то для всякого х Е U и всякого h Е X
такого, что отрезок с концами в х и х + h лежит в U, имеем
F(x + h) = F(x) + DF{x)h + • • • +	*	..., Л)+
1	Г1
+ 7 -г / (1 -t)n-1DnF(x + th)(h,...,h)dt.	(12.4.1)
(n - 1)! J о

12.4. Производные высших порядков
657
При этом справедливо следующее соотношение:
(|F(x + h)~ F(x) - DF(x)h
“ (^LTjIP'“lF<l)('!' • ■ • • 411 « мИС.
Доказательство, (i) Применим индукцию по п. При п = 1
наше утверждение верно по определению производной Фреше.
Пусть оно верно при некотором п — к. Если отображение F имеет
в хо производную Dk+1F(xо), то отображение
G:	F(xо + К) — F(xo) — DF{xo)h —
дифференцируемо в окрестности нуля. Согласно примеру 12.4.2
находим
DG(h)v = DF{xq + K)v-DF{xq)v	^Dk+1F(x0)(h,
что может быть записано как
DG(h) = Ф(ж0 + Л)-Ф(*0)-DV(x0)v -jjDkV(x0)(h
где Ф(ж) := DF(x). Применяя предположение индукции к отоб¬
ражению Ф, получаем, что ||DG(/i)|| = o(||/i||fc). Так как G(0) — О,
то ||<ЭД|| ^ supo^^i \\DG(th)\\ • ||/г|| = o(||/i||fc+1) ввиду теоремы
о среднем, что доказывает наше утверждение при п = к + 1.
(ii)	При доказательстве (12.4.1) можно считать, что простран¬
ство У сепарабельно, ибо на отрезке с концами в х и х + h отоб¬
ражение F непрерывно и потому принимает значения в сепара¬
бельном подпространстве У. Кроме того, можно перейти к попол¬
нению пространства Y и считать его банаховым (тогда интеграл
в (12.4.1) окажется элементом исходного пространства). При этом
У-значное отображение t (1 — t)n~1DnF(x + th)(h,..., h) изме¬
римо и ограничено по условию и потому интегрируемо по Лебегу
(см. пример 6.10.66). Достаточно проверить совпадение обеих ча¬
стей рассматриваемого равенства при действии на них элементов
из У*. Это сводит наше утверждение к скалярным функциям на
отрезке, если перейти к отображению <p(t) = F(x + th). Второе
утверждение в (ii) является простым следствием первого. □

658
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Как и в случае числовых функций на прямой, в приложени¬
ях наиболее полезны и употребительны первые две производные.
С этими производными связано поведение функции в окрестно¬
сти точки локального экстремума.
12.4.5.	Теорема. Пусть U — открытое множество в нор¬
мированном пространстве X и /: X —■> IR1 — дифференцируе¬
мая по Гато функция.
(i) Если / имеет минимум в точке xq Е U, то Df(xо) = 0.
(ii) Если функция / дважды дифференцируема по Фреше
в точке хо Е U и имеет в ней минимум, то D2f(xo)(h,h) > 0
при всех h Е X.
(iii) Пусть функция f дважды дифференцируема по Фреше
в U, а хо £ U — такая точка, что Df{xо) = 0 и при некотором
А > 0 имеем D2f(xo)(h,h) ^ А||Л||2 при всех h Е X. Тогда хо
является точкой строгого локального минимума.
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) следуют из одно¬
мерного случая применительно к функции t f(x + th), а утвер¬
ждение (iii) следует из части (i) предыдущей теоремы, дающей
оценку f(xо + К) — f(xo) ^ A||/i||2/2 при малых \\h\\.	□
Условие D2f(xo)(h, К) > 0 V/г ф 0 здесь недостаточно. Напри¬
мер, для f(x) = ]CnLi(П~3хп~хп) на ПРИ хо = 0 оно выполнено,
но хо не является точкой локального минимума.
12.5.	Дополнения и задачи
(i)	Метод Ньютона (658). (ii) Полилинейные отображения (659).
(iii) Субдифференциалы и монотонные отображения (663).
(iv) Приближения в банаховых пространствах (665). (v) Накры¬
вающие отображения (666). Задачи (668).
12.5(i). Метод Ньютона
Известный метод Ньютона решения уравнения f(x) = Ос глад¬
кой функций / на отрезке [а, 6] состоит в использовании рекуррент¬
ных приближений xn+i := хп — f(xn)/f(xn), xq = а. Можно показать,
что если f'(x) ф 0 на [а, Ь] и х* — единственный корень этого урав¬
нения, то хп —» х*. В бесконечномерном случае имеется модифициро¬
ванный метод Ньютона — метод Ньютона-Канторовича, разработан¬
ный Л.В. Канторовичем. Мы приведем один характерный результат,
отсылая за подробным обсуждением к [91, гл. XVD3]. Пусть X, Y —
банаховы пространства и отображение F : X —* Y дифференцируемо

12.5. Дополнения и задачи
659
по Фреше в шаре В = В(хо, г), причем его производная F' удовлетво¬
ряет условию Липшица с показателем L, т.е. ||F'(x) —	< L\\x—у\\.
Предположим, что оператор F'(xо) обратим. Тогда можно положить
ж„+1 := хп - [F'(a;o)]_1 [-F(x„)].
Эти модифицированные приближения обладают худшими свойствами
сходимости, но зато используют производную только в точке Хо. Пусть
М := И^'ЫП, к :=||[^'(гго)]-1 (-^(^о))||? h := MkL и to — меньший
корень уравнения ht2 — t + 1 = 0.
12.5.1.	Теорема. Если ft < 1/4, то в шаре {ж: ||х — хо|| ^ kto}
уравнение F(x) = 0 имеет единственный корень х*, х* = lim хп,
п—юо
причем \\х* - хп\\ < kqn/( 1 — g), где q = ht0 < 1/2.
Доказательство. Перейдя к отображению [F'(xo)]~1F, можно
считать, что X = У, F'(xо) = /, М = 1. Кроме того, можно считать,
что xq = 0. Положим Ф(х) = х — F(x). Так как производная отображе¬
ния х I-»- х — F(x) н- F(0) равна I — F'(x), то по теореме о среднем
IIФ(х)II = \\х - F(x) + F{0) - F(0)|| < \\х - F{x) + F(0)|| + k^
< sup ||/ - F'(y)\\ ||x|| + k < L||x||2 + k < Lk2tl + k = kt0
ЫКЫ
при ||x|| ^ kto, т.е. Ф переводит шар В = {x: ||x|| < kto} в него же.
В этом шаре Ф — сжатие, ибо
||Ф'(х)|| = || I - F'(x)|| < L||x|| < Lkto = (1 - \Zl"-~4ft)/2 = q< 1/2
ввиду равенств ft = Lk и £о = (2ft)-1 (1 — \/l — 4ft) в нашем случае.
Остается заметить, что xn+i = Ф(хп), и применить теорему 1.4.1 с по¬
лученной в ней оценкой скорости сходимости.	□
12.5(ii). Полилинейные отображения
Напомним, что к-линейным называется такое отображение
Ф: Хх x-..xXfe-*y
из произведения линейных пространств Xi в линейное пространство У,
что при фиксированных к — 1 аргументах Ф линейно по оставшемуся
аргументу. Полилинейным назьюают отображение, которое fc-линейно
при некотором к. Если Х\ = • • • = Хъ = X, то такое отображение
порождает отображение ^(х) := Ф(х,...,х) из X в У, называемое
однородным степени к. Ясно, что фь порождается также к-линейным
отображением, полученным из Ф произвольной перестановкой перемен¬
ных. Поэтому разные ft-линейные отображения могут задавать одно
и то же однородное отображение. Однако если Ф симметрично, т.е. ин¬
вариантно относительно перестановок аргументов, то оно однозначно

660
Глава 12. Бесконечномерный анализ
восстанавливается по фк, что будет показано ниже. Симметризацией
отображения Ф на Хк называется отображение
ф: х,~> h Y ф(ж<7(1 )»• ••»*»(*))>
<r£Sk
где суммирование ведется по всем перестановкам а набора {1,..., к}.
Ясно, что симметризация к-линейного отображения Ф на Хк порожда¬
ет то же самое однородное степени к отображение, что и Ф. Таким
образом, однородное отображение всегда можно задать симметричным
полилинейным.
Отображение ф: X-^Y называют многочленом (полиномом), если
ф{х) = фп(х) +	1-	ф\{х) + фо,
где фо — постоянный элемент Y ифк~ однородное степени к отображе¬
ние из X в Yу 1 ^ к ^ п. Иначе говоря, существуют такие к-линейные
отображения Ф^, что ф(х) = Фп (ж, ...,#) Н Ь ФДя) -+* фо. Будем го¬
ворить, что ф имеет степень не выше п, а точной степенью ф будем
называть наименьшее к, для которого ф имеет степень не выше к. Од¬
нородные многочлены фк называются однородными компонентами ф.
Следующий результат показывает, что однородные компоненты од¬
нозначно определяются по многочлену, а однородный многочлен од¬
нозначно задает симметрическое полилинейное отображение, его поро¬
ждающее. Для произвольного отображения р: X —> Y и всякого h £ X
зададим отображение А^р: X —> Y формулой
(Ahp)(x) := р(х + h)~ р(х).
Если hi,h,2 £ X, то положим Д^Д^ср := Д/12(Д/11у?). Так как
Ah2Ahlp(x) = р(х + hi + h2) - р(х + hi) - р(х + h2) + р{х),
то Дь2 Дьх<р = А^А^р. По индукции положим
ДлпДлп-! ••• Длх<р := Afc»(Afc»-i Длх^)-
Можно заметить, что Д/1пД/1п_1 • • • А^р является суммой 2П функций
вида х i-> (—1)п~рр(х Н- Н Ь Л*р), где ii < • • • < гр — индексы из
{0,..., п}, причем при ip = 0 полагаем hip = 0. По индукции легко про¬
верить, что AhnAhn_1 • • • Д/ij р{х) является симметрической функцией
аргументов h\,..., hn.
12.5.2.	Теорема. Пусть ф = фп Н Ь-фг +Фо'- X —> Y — мно¬
гочлен степени не выше п. Пусть Фп — п-линейное симметрическое
отображение с Фп(#, • • • ,х) = фп{х), п ^ 1. Тогда
(i)	для всякого h £ X отображение А^ф — многочлен степени
не выше п — 1; (ii) при фиксированных /ii,...,/in £ X отображение
Ahn • • * Д/цФ есть постоянная, равная п!Фте(/&1,..., /in).
Доказательство отнесено в задачу 12.5.22.

12.5. Дополнения и задачи
661
12.5.3. Следствие. Однородные компоненты многочлена ф опре¬
делены однозначно. Если ф — однородный многочлен степени к, то по¬
рождающее его симметрическое k-линейное отображение однознач¬
но определяется соотношением Ф&(хь... ,£&) = ^ ДЖ1 ■ • • АХкф(а), где
правая часть постоянна по а.
Теперь мы рассмотрим полиномиальные отображения нормирован¬
ных пространств. Как и в случае линейных отображений, здесь особо
важны непрерывные многочлены. Следующее утверждение показывает
равносильность нескольких естественных условий непрерывности. Ни¬
же произведение Х\ х • • • хХк нормированных пространств наделяется
нормой (XI,...,хк) •-> H^iL, + ••• + INII**-
Доказательства следующих двух теорем — задача 12.5.23.
12.5.4. Теорема. Пусть X uY — нормированные пространства
и ф = фп 	-+*	фо	—	полиномиальное отображение, где однородная
компонента фк порождается симметрическим к-линейным отобра¬
жением Фк• Следующие условия равносильны: (i) все Ф& непрерыв¬
ны; (и) все однородные компоненты фк непрерывны; (iii) ф непрерывно,
(iv)	ф непрерывно в некоторой точке; (v) ф ограничено на некотором
шаре положительного радиуса; (vi) ф ограничено на всяком шаре.
12.5.5. Теорема. Пусть Х\, ...,Х*;,У — нормированные прост¬
ранства и Ф: Х\Х • • -хХ/с —» Y — k-линейное отображение. Следующие
условия равносильны: (i) Ф непрерывно; (ii) Ф непрерывно в некоторой
точке; (iii) Ф ограничено в окрестности некоторой точки; (iv) Ф огра¬
ничено на каждом ограниченном множестве в Х\ х • • -хХ^; (v) есть
такое 0, что ||Ф(£Ь... ,xfc)|| <M||rri||Xl
Оценка (v) подсказывает введение нормы непрерывного полилиней¬
ного отображения Ф по формуле
||Ф|| :=8ир{||Ф(*1,...,а?*)||: 1Ы1х4 < !}•
Линейное пространство £*(Хь...,Х*,У) всех непрерьгоных к-линей¬
ных отображений из Х\ х • • • х Хк в У является нормированным про¬
странством с указанной нормой (банаховым, если банахово У).
Непрерывные полилинейные отображения можно отождествить
с операторами следующим образом. Если Ф — билинейное непрерывное
отображение из Xi х Х2 в У, то сопоставим ему оператор
Лф £ £(X2,£(Xi,y)), Лф(хг)(х1) := Ф(х1,£2)-
Нетрудно проверить, что ||Лф|| = ||Ф||. Обратно, каждый оператор
Лф из класса £(Хг,£(Xi,У)) по указанной формуле порождает эле¬
мент £г(Х1,Х2,У). Описанное соответствие взаимно однозначно и яв¬
ляется линейной изометрией. Аналогичным образом каждому элементу

662
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Ф G Ск(Х 1,...,Xfc, У) сопоставляется оператор
Лф G :=	1)),	((Лф(х*))	•	•	-^(xi)	:=	Ф(хь... ,х*),
Оно было использовано нами в §12.4 при обсуждении кратно диффе¬
ренцируемых отображений.
Полиномиальные отображения банаховых пространств обладают
дополнительными свойствами.
12.5.6.	Теорема. Если пространства Xi,...,Xk банаховы, то
непрерывность полилинейного отображения Ф: Хгх • • -хХк —* У рав¬
носильна раздельной непрерывности по каждому аргументу.
Доказательство. Для каждого х\ G Х\ с ||xi||x < 1 рассмот¬
рим полилинейное отображение ФЖ1: Х2х • • - хХ*. —► У, заданное фор¬
мулой ФЖ1(х2,... ,£*) = Ф(х1,х2,... ,Xfc). Если к ^ 2, то по индук¬
ции можно считать, что уже известна непрерьюность каждого отобра¬
жения ФЖ1. Семейство этих отображений поточечно ограничено: если
х2,... ,Xfc фиксированы, то величина 8ир{||ФЖ1(:г2,... ,х*)||: ||xi|| ^ 1}
конечна в силу непрерывности и линейности по х\. Поэтому достаточ¬
но иметь такой аналог теоремы Банаха-Штейнгауза для полилинейных
отображений: если Х\,..., Xk, У — банаховы пространства и семейство
непрерывных полилинейных отображений Та : Х\ х • • • х Хк —* У по¬
точечно ограничено, то оно равномерно ограничено на произведении
единичных шаров. Но этот аналог сразу следует из описанного выше
изометрического отождествления полилинейных отображений и опера¬
торов (а также просто доказывается тем же рассуждением, что и для
операторов).	□
Для неполных пространств эта теорема может оказаться неверной.
Например, если пространство X всех многочленов на [0,1] наделить
нормой из Ll[0,1], то билинейная функция
разрывна, хотя и непрерывна по каждому аргументу раздельно.
Выше мы определили многочлены с помощью однородных компо¬
нент. Ясно, что сужение такого многочлена на каждую прямую явля¬
ется обычным многочленом, т.е. для всяких a,b G X числовое отобра¬
жение фа.ь' 11-> ф(а + tb) есть многочлен от t вида Cntn Н	Ь со, где
Ск G У. Это дает еще один способ определения многочлена.
где С1 := C(X\,Y). Это соответствие является линейной изометрией,
т.е. справедливо равенство
||Лф|| = sup ||Ф(ж1,...,а*)||.
llanlKl.-.JIar/blKl

12.5. Дополнения и задачи
663
12.5.7. Теорема, (i) Пусть отображение ф: X —► Y между ли¬
нейными пространствами таково, что для всяких а, Ь е X отобра¬
жение фа,ь вещественного переменного является многочленом сте¬
пени не выше п. Тогда ф — многочлен степени не выше п.
j	(ii) Пусть X и Y — банаховы пространства и ф: X —> Y — та¬
кое непрерывное отображение, что для всяких а, Ь € X отображение
фа,ь есть многочлен. Тогда степени таких многочленов ограничены
в совокупности, значит, ф —многочлен.
Доказательство — задача 12.5.24 (утверждение (И) нетривиально!).
12.5.8. Следствие. Отображение ф: X —* Y между линейными
пространствами является многочленом степени не выше п в точ-
,	ности тогда, когда для всякой линейной функции I на Y композиция
I о ф — многочлен степени не выше п. Если Y — нормированное про¬
странство, то достаточно брать непрерывные линейные функции I.
12.5.9. Следствие. Пусть X и Y — банаховы пространства
и ф: X —> Y — такое непрерывное отображение, что для всяких эле-
I	ментов a,b £ X и всякого непрерывного линейного функционала I на Y
функция I о фа Ь есть многочлен. Тогда ф —многочлен.
Доказательство. Из предыдущей теоремы ясно, что функция
(х,/) «—► 1(ф(х)) — многочлен на X х Y*, поэтому степени многочле¬
нов I о ф равномерно ограничены.	□
Нетрудно убедиться, что без предположения о непрерывности ф
теорема теряет силу: достаточно взять базис Гамеля {г?а} в X, вы¬
делить в нем счетную часть {г?ап} и положить ф(х) =	хп> ГДе
х = 5^nxnt;an -f ]Cag{an} x<*va- Она может не выполняться и в слу¬
чае неполного пространства, хотя, как видно из доказательства, вме¬
сто полноты достаточно потребовать бэровость X. На неполном про-
}	странстве всех финитных последовательностей х = (xi,...,хп,0,0,...)
с нормой из 12 функция ф(х) =	хп непрерывна, является мно¬
гочленом на каждом конечномерном подпространстве, но не является
многочленом на всем пространстве.
12.5(iii). Субдифференциалы и монотонные отображения
Геометрическая интерпретация производной функции как касатель-
’	ной к графику приводит к очень важному понятию субдифференци¬
ала выпуклой функции. Пусть Е — вещественное локально выпук¬
лое пространство, U С Е — непустое открытое выпуклое множество
и /: U —> Ж1 — непрерывная выпуклая функция. Линейный функци¬
онал I £ X* называется субградиентом функции / в точке хо £ U,
'	если
f(x)~ f(x0) ^ 1{х-хо)

664
Глава 12. Бесконечномерный анализ
для всех х € U. Субдифференциалом / в хо называется множество
df(xо) всех субградиентов / в xq.
Ясно, что множество df(xо) выпукло. Покажем, что, кроме того,
оно непусто. Действительно, ввиду выпуклости и открытости надгра-
фика Gf := {(ж, t): t > f(x)} точку (#о>/(#о)) можно отделить от Gf
замкнутой гиперплоскостью в Е х IR1 вида
{{x,t): l(x)+at = c}, I € Е*,а,с elR1.
При этом а^О, поэтому можно считать, что а = 1 и что 1(х) -+* с < t
при (xyt) £ Gf, т.е. 1(хо) -f t > 1(х) -+* f(xо) при всех t > /(х), от¬
куда 1(хо) + f(x) ^ l(x) -f f(xо), что и требуется. Если функция /
дифференцируема в хо по Гато, то производная Гато будет единствен¬
ным элементом df(xо). Из важнейших результатов о субдифференциа¬
лах следует в первую очередь упомянуть теоремы Моро-Рокафеллара
и Дубовицкого-Милютина. Для непрерывных выпуклых функций пер¬
вая из них дает равенство d(f -+* g)(x) = df(x) + dg(x), а вторая —
равенство 9max(f,g)(x) = conv (df(x) Udg(x)). Для упрощения техни¬
ческих деталей мы привели эти определения и результаты не в самой
большей общности.
Субдифференциал выпуклой функции доставляет важнейший при¬
мер многозначного монотонного отображения. Чтобы не выходить за
рамки однозначных отображений, мы сформулируем частный случай
общего определения. Пусть X — локально выпуклое пространство.
Отображение F: X —> X* называется монотонным, если
(F(x) -F(y),x-y) ^ 0 Ух,уеХ.
Например, если выпуклая функция / дифференцируема по Гато, то
отображение х i—► fr(x) монотонно.
Монотонные отображения играют важную роль в приложениях.
Математические модели многих реальных явлений приводят к диффе¬
ренциальным и интегральным уравнениям с монотонными отображе¬
ниями. Из наиболее известных результатов о монотонных отображени¬
ях приведем следующие два.
12.5.10.	Теорема. Пусть монотонное отображение F: Н —> Н
в гильбертовом пространстве Н непрерывно на конечномерных под¬
пространствах, причем lim ||F(x)|| = оо. Тогда F(H) = Н.
||*||-юо
Заметим, что для всякого монотонного отображения F: Н —* Н,
которое непрерывно на конечномерных подпространствах, отображе¬
ние F 4- XI при А > 0 удовлетворяет условиям сформулированной тео¬
ремы и потому сюръективно. В самом деле,
11ВД + А*|| ^ IIF(x) - F(0) + Аж|| - ||F(0)|| >
^ (F(x) - F(0) + А*,*!!*!!-1) - ПЭДЦ ^ А||*|| - ||F(0)||.

12.5. Дополнения и задачи
665
При этом F -+* XI еще и инъективно ввиду неравенства
{F(x) - F(y) + Хх-Ху,х-у)^ А(|ж - у\\2.
Таким образом, всюду определены обратные отображения
J\ := (F + A/)"1.
Отображения F\ := А_1(/ — J\) называются приближениями Иосиды
отображения F.
12.5.11. Теорема. Пусть F: Н —* Н — монотонное отображе¬
ние, непрерывное на конечномерных подпространствах. Отображения
F\ обладают следующими свойствами:
(i) F\ монотонно и липшицево с постоянной А-1;
(ii) при всех А,// > 0 имеем (Fx)^ = Fa+^;
(iii) при всех х при А —* 0 имеем
||FA(x)|| Т №)||	«	\\Fx(x)-F(x)\\->0.
Доказательство несколько более общей теоремы можно прочитать
в книге Brezis [292, гл. 2]. Отметим еще следующий факт.
12.5.12. Теорема. Пусть отображение F: Н —> Н гильберто¬
ва пространства Н непрерывно на конечномерных подпространствах.
Следующие условия равносильны: (i) F монотонно, (ii) F монотонно
и (F + I)(H) = Н, (iii) для всякого А > 0 отображение I + X~xF явля¬
ется биекцией Н и (I -+* A-1 F)-1 — сжатие.
12.5(iv). Приближения в банаховых пространствах
Сделаем несколько замечаний о приближении дифференцируемы¬
ми отображениями в бесконечномерных пространствах. Пусть X — се¬
парабельное банахово пространство с замкнутым единичным шаром U.
Всякая равномерно непрерывная вещественная функция / на U
равномерно приближается липшицевыми функциями, дифференциру¬
емыми по Адамару. Однако на пространстве С[0,1] даже норма не
приближается равномерно на U функциями, дифференцируемыми по
Фреше. На гильбертовом пространстве равномерно непрерывная функ¬
ция приближается равномерно функциями с ограниченными и непре¬
рывными вторыми производными Фреше, однако на 12 есть липшице-
ва функция, которая не приближается равномерно на U функциями
с равномерно непрерывными вторыми производными. Таким образом,
даже в случае гильбертова пространства граница между положитель¬
ными и отрицательными результатами проходит, между непрерывно¬
стью и равномерной непрерывностью ограниченных вторых производ¬
ных приближающих функций.
Положение с приближением бесконечномерных отображений еще
более сложное. Существуют равномерно непрерывные отображения из

666
Глава 12. Бесконечномерный анализ
сепарабельных банаховых пространств в /2, которые нельзя равномер¬
но приблизить липшицевыми отображениями. Однако равномерно не¬
прерывные отображения между гильбертовыми пространствами обла¬
дают равномерными липшицевыми приближениями с ограниченными
производными Фреше. Задачи построения различных приближений бы¬
вают связаны с существованием гладких функций с ограниченными
носителями. Упомянем несколько любопытных фактов.
12.5.13. Теорема, (i) На С[0,1] нет ненулевых дифференцируе¬
мых по Фреше функций с ограниченными носителями.
(ii) Если на банаховом пространстве X и на его сопряженном
есть ненулевые функции с ограниченными носителями и локально
липшицевыми производными, то X гильбертово.
(iii) Существование ненулевых функций с ограниченными носите¬
лями и липшицевыми производными равносильно существованию эк¬
вивалентной нормы с липшицевой производной на единичной сфере.
(iv) На со есть ненулевая С°°-функция с ограниченным носителем
(на со есть даже эквивалентная норма, вещественно-аналитическая
вне нуля).
(v) Если X обладает ненулевой Ск-функцией с ограниченным но¬
сителем, то X содержит изоморфную копию либо со, либо lk.
Более подробно с этим направлением можно познакомиться по кни¬
гам Benyamini, Lindenstrauss [278], Deville, Godefroy, Zizler [324] и ста¬
тьям Немировский, Семенов [581], Царьков [586], Bogachev [590].
12.5(v). Накрывающие отображения
Здесь мы обсудим ряд интересных понятий и результатов, относя¬
щихся к таким элементарным объектам, как липшицево отображение
и неподвижная точка, но открытых совсем недавно. Эти понятия и ре¬
зультаты могли быть обсуждены еще в самых первых параграфах пер¬
вой главы, но мы приберегли их для завершения наших рассмотрений,
полагая, что, как и нам, читателю будет приятно узнать напоследок,
что и сейчас в самых базовых вещах удается открыть нечто простое
и яркое. Главным объектом является введенное А.А. Милютиным по¬
нятие а-накрывающего отображения. Основные результаты были по¬
лучены в работах Левитин, Милютин, Осмоловский [579], Дмитрук,
Милютин, Осмоловский [577] и эффектно усилены в недавней рабо¬
те Арутюнов [574], которой мы и следуем. Шары в метрических про¬
странствах X и У будем обозначать символами Вх (ж, г) и BY (ж, г); при
X = Y указание пространства будем опускать.
12.5.14. Определение. Пусть X иУ — метрические простран¬
ства. Отображение Ф: X —> Y называется накрывающим с посто¬
янной а > 0 или а-накрывающим, если для всякого шара Вх (ж, г) С X
мы имеем (Ф(ж),от) С Ф(Вх(х,г)).

12.5. Дополнения и задачи
667
Отметим, что а-накрывающее отображение сюръективно, ибо объ¬
единение шаров BY (Ф(хо), ап) с фиксированным хо есть все Y.
Основным результатом этого раздела является следующая замеча¬
тельная теорема из [574].
12.5.15. Теорема. Пусть Ф: X —► Y непрерывно и является
а-накрывающим с некоторым а > О, а Ф: X —> Y удовлетворяет
условию Липшица с постоянной /3 < а. Предположим, что X полно.
Тогда существует такая точка f 6 X, что Ф(£) = Ф(£). Более того,
для всякого хо Е X найдется такая точка £ = £(хо)> что Ф(£) = Ф(£)
и dx (х0,£) < (а - 0)~ldY (Ф(*0), Ф(жо)) •
Доказательство. Заменив dY на dY/а, можно перейти к случаю
/3 < а = 1. Найдется точка х\ £ X с Ф(хх) = Ф(хо) и
dx (xq, xi) < dY (Ф(х0), Ф(х0)).
По индукции можно построить такие хп, что
Ф(*п) = Ф(^п—l)» dx (xn, хп—i) ^	(xn—ii xn—2)'	(12.5.1)
В самом деле, если хо,..'., хп уже найдены, то имеется точка xn+i, для
которой Ф(хп+1) = Ф(хп_1) и
dx{xn+i,x„) < dY (Ф(хп), Ф(хп)) = dY (Ф(хп_1),Ф(хп)) ^
^ /З^х (*^тг— 1 j *^п)*
Из (12.5.1) и формулы для суммы прогрессии легко получить оцен¬
ку dx(xn,xo) ^ (1 —/3)_1йг(Ф(хо),Ф(хо)). Полнота X дает предел £
последовательности {хп}, удовлетворяющий нужным условиям. □
Покажем, как из этой теоремы можно получить некоторые извест¬
ные результаты.
12.5.16. Пример, (i) Пусть X = Y полно, /(х) = х и g — сжима¬
ющее отображение. Тогда получаем неподвижную точку <?, взяв а = 1
и /3 < 1 — постоянную Липшица для д.
(ii)	(Теорема Милютина) Пусть X — полное метрическое простран¬
ство, Y — нормированное пространство, Ф: X —> Y — а-накрывающее
непрерывное отображение и Ф: X —> Y удовлетворяет условию Лип¬
шица с показателем /3 < а. Тогда Ф+Ф является (а—/3)-накрьгоающим.
В самом деле, надо показать, что если хо Е X и уо Е У, то найдется
£ € Xcdx(x0,Z) < (а-/?)-1||уо|| и Ф(£)+Ф(£) = Ф(жо)+Ф(жо)+2/о. Для
этого положим Фо{х) := Ф(хо) + Ф(#о) + Уо — Ф(х). Ясно, что Фо липши-
цево с постоянной /3. Доказанная теорема дает точку £ с Ф(£) = Фо(£)>
что и требовалось.
Из этой теоремы легко получить и теорему 12.3.1.

668
Глава 12. Бесконечномерный анализ
Задачи
12.5.17? Пусть
F(x)(t) = [	ds, где Ф Е C£(IR,3).
Jo
Доказать, что отображение F из L2[0,1] в С[0,1] дифференцируемо по Фре¬
ше, и вычислить его производную.
12.5.18.	Пусть в ситуации примера 12.1.7 множество К компактно, вы¬
пукло и уравновешено, причем U^=iпК плотно в X. Показать, что / имеет
нулевую производную Гато во всех точках Uo^tci
12.5.19? Пусть А — банахова алгебра (например, алгебра всех ограни¬
ченных операторов на банаховом пространстве). Доказать, что отображение
а •—► еа, А-+А дифференцируемо по Фреше, и найти его производную в нуле.
12.5.20? Пусть Н — гильбертово пространство I2 двусторонних последо¬
вательностей х = (жп), п Е Z, {еп} — его естественный базис и Т — изометрия
с Теп = en-i- Рассмотрим полиномиальное второго порядка отображение
f(x) = Т(х + е(1 - (х,я))е0), е Е (0,1/2).
Показать, что / переводит замкнутый единичный шар U в U и является диф¬
феоморфизмом (т.е. / — диффеоморфизм некоторых окрестностей U и го¬
меоморфизм U), но не имеет неподвижных точек.
12.5.21.	Доказать, что функция ф на JRd является многочленом, если
ф — многочлен по каждому аргументу.
Указание: применим индукцию по d. Для этого допустим, что d > 1
и что для размерности d — 1 утверждение верно. Элементы lRd будем писать
в виде (ж, у), где х Е JRd_1 и у Е 1R1. Для каждого х Е ПГ*-1 функция
у I—► ф(х, у) — многочлен некоторой степени. По теореме Бэра найдутся такие
п Е 1N и множество М С ПГ*-1, плотное в некотором шаре Б, что для каждого
х Е М и всех у имеем ф(х,у) = ап(х)уп + ••• + а\(х)у + ао(х), где a,j —
некоторые функции на lRd_1. Подставим у = 0,1,2,... ,п, что даст п + 1
многочленов ф(х, к), к = 0,1,..., гг, на Ш/*-1. При каждом х Е М мы имеем
п+ 1 равенство ф(х,к) = an(^)A;n Н Ь ai(a;)fc + ao(tf). Найдутся числа Cij,
где i,j = 0,1,..., п, не зависящие от ж, для которых
afe(x) = ск0ф(х, 0) + Cfei^(x, 1) + Ь скпф(х, п),
ибо определитель указанной системы относительно а&(х) (определитель Ван-
дермонда) отличен от нуля. Рассмотрим многочлены рк(х) := ]Cj*=o С^Ф(Х>3)
и многочлен <р(х,у) := Yjk=oPk(x)yk•	х £ М функции у «-» ф(х,у)
и у »-> <р(ж, у) являются многочленами степени 72 и совпадают в тг -Ь 1 точке
2/ = 0,1,..., 7г. Значит, они совпадают при всех 2/. Таким образом, функция ф
совпадает с многочленом на множестве МхН1, т.е. ф — (р = 0 на этом множе¬
стве. По предположению индукции при всяком фиксированном у функция
х •-» ф(х,у) — <р(х,у) — многочлен. Поскольку этот многочлен равен нулю
на множестве М, плотном в шаре, то он тождественно равен нулю. Значит,
ф(х,у) = <р(х,у) при всех (ж,у).

12.5. Дополнения и задачи
669
12.5.22. Доказать теорему 12.5.2 индукцией по п.
12.5.23. Доказать теоремы 12.5.4 и 12.5.5.
Указание: каждое из утверждений (i)—(iv) влечет следующее, а из (vi)
следует (v). Покажем, что из (v) следует (i) (а тогда и (vi)) индукцией по п.
При п — 1 это верно, ибо ф\ = Ф1 — линейное отображение. Пусть рассмат¬
риваемая импликация верна при некотором п — 1 ^ 1. По условию имеется
шар В(а,г) с г > 0, на котором ||^(ж)|| не превосходит некоторого М. Мы
знаем, что п!Фп(^1, • - -, hn) =	• • • Анпф(а) есть сумма 2П слагаемых вида
(—1)п~рф(а+Ы1 Н l-foip), гДе *1 < • * * < *р — индексы из {1,... ,п} и = О
при р = 0. Если при этом брать Ы с ||/ii|| ^ т*/п, то а + /1*! Н Ь/ц, € В{а, г).
Поэтому ||Фп(Л1,...,Лп)|| ^ 2ПМ при ||/ii|| ^ г/п. Отсюда следует оценка
||Фп(х1,... ,£п)|| ^ 2nM(nR/r)n при \\хг|| ^ Я, которая дает непрерывность
Фп в нуле. Ввиду аддитивности Фп по каждому аргументу получаем непре¬
рывность Фп всюду. Доказательство теоремы 12.5.5 аналогично.
12.5.24. Доказать теорему 12.5.7 и следствие 12.5.8.
Указание: (i) Если X = lRfe, то утверждение легко проверяется индук¬
цией по к с помощью того факта, что ф является многочленом по каждому пе¬
ременному. Значит, ограничение ф на всякое конечномерное пространство —
многочлен степени не выше п. Отсюда по ранее доказанному следует, что
отображение Фп: (a?i,..., хп)»—5► АХ1 • • • АХпф(0) полилинейно, причем суже¬
ние отображения ф(х) — Фп(ж,..., х) на всякую прямую есть многочлен степе¬
ни не выше п— 1. Используя индукцию по го, получаем доказываемое. (И) По¬
кажем, что степени многочленов фа,ь ограничены в совокупности. В случае
lRd это верно даже без предположения о непрерывности фу что можно выве¬
сти из теоремы Бэра (задача 12.5.21). В бесконечномерном случае мы тоже
воспользуемся теоремой Бэра, но по-другому. Для каждого п Е 1N введем
множество
Мп := {(a,b) Е ХхХ: фа,ъ имеет степень не выше го}.
По условию, объединение всех Мп есть ХхХ. По теореме Бэра какое-то
МП1 плотно в некотором шаре U радиуса г > Ос центром в (xio,vo). Тогда
U С Мщ. Действительно, пусть (un,vn) —► (u,v) в U, причем (un,vn) € МП1.
Ввиду непрерывности ф для всех t Е 1R1 имеем ф(и + tv) = lim ф(ип + tvn)-
Ti—юо
Нетрудно проверить, что поточечный предел многочленов степени не выше
п\ на вещественной прямой также является многочленом степени не выше щ.
Итак, (u,v) Е МП1. Перейдя к функции х »—► ф(х — а), можно считать, что
а = 0. Итак, при \\и\\ ^ г и ||v — vo|| ^ г все функции фи,у — многочлены
степени не выше d. Из этого следует, что таким свойством обладают вообще
все функции фи,ь■ В самом деле, пусть даны u\,v\. Рассмотрим сужение ф на
трехмерное пространство Е, порожденное ш, Ш и vo. Можно считать, что
Е = IR3, vi = ei, и\ = ег, vo — ез, где е* — векторы стандартного базиса
(если вектор vq попал в двумерное пространство, порожденное щ и ш, то
задача еще проще). Нам дана функция ф, являющаяся многочленом на каж¬
дой прямой, причем при и из шара с центром в нуле и г; из шара с центром
в ез многочлены фи,у имеют степень не выше п. Мы уже знаем, что такая
функция есть многочлен. Поэтому ясно, что его степень не выше п. Для дока¬
зательства следствия 12.5.8 заметим, что если для всякой линейной функции

670
Глава 12. Бесконечномерный анализ
I композиция I оф есть многочлен степени не выше п, то для всяких a,b € X
имеем 1(ф(а + tb)) = Сп(а, 6, l)tn + • • • + со (а, 6,I), где функции I »-> Cfe(a, 6,1)
линейны. Поэтому существуют такие элементы Vk(a,b) из второго алгебра¬
ического сопряженного к У, что ф(а + tb) = vn(a,b)tn -f • •• + vo(a,b) при
всех t Е 1R1. Подставляя t = 0,1,..., га, получаем, что элементы Vk(a, b) явля¬
ются линейными комбинациями элементов ф(а -f kb) Е У, ибо определитель
соответствующей линейной системы отличен от нуля (это так называемый
определитель Вандермонда). Итак, г;*(а, b) Е У, поэтому применима дока¬
занная выше теорема. Ясно, что в случае нормированного пространства У
это же рассуждение проходит с непрерывными функционалами на У.
12.5*25. Пусть /х — неотрицательная мера и р Е (1,+оо). Доказать,
что отображение F: х »—► \х\р из Lp{(i) в Ь1(д) дифференцируемо по Фреше
nDF(x)h = p\x\p~1h.
12.5.26. Доказать, что норма на 11 нигде не дифференцируема.
12.5.27. Пусть Н — гильбертово пространство и F: Н —> Н. Доказать,
что отображение F монотонно в точности тогда, когда для всякого Л > 0
и всех Ху у Е Н выполнено неравенство \\x-y\\^\\x-y + XF(x)-XF(y)\\.
12.5.28. Пусть Н — гильбертово пространство и F: Н —► Н — монотон¬
ное отображение, непрерывное на конечномерных подпространствах. Дока¬
зать, что для всякого v Е Н функция х »—► (F(x),v) непрерывна. Привести
пример, когда само F не является непрерывным.
12.5.29. Пусть X — гильбертово пространство и {Tt} — однопараметри¬
ческая группа линейных операторов в X с ||Tt|| = 1, причем для некоторого
h Е X выполнена оценка \\Tth — /i|| ^ C\t\ при t Е [—1,1]- Доказать, что
отображение F: t ь-► Tth непрерывно дифференцируемо на IR1 и липшицево
с постоянной ||F'(0)|| ^ С.
12.5.30. Пусть X,Y — метрические пространства, X полно, F: X —► У
непрерывно и для всякого е > 0 есть такое 8 > 0, что замыкание F(U(х,е))
содержит U(F(x)j8) для всех х Е X, где U(a,r) — открытый шар радиуса г
с центром а. Доказать, что F переводит открытые множества в открытые.
Указание: см. [449, с. 17, лемма 3.9].
12.5.31. (J. Vanderwerff) Пусть X — бесконечномерное банахово про¬
странство. Показать, что на X есть непрерывная выпуклая функция, не яв¬
ляющаяся ограниченной на замкнутом единичном шаре.
Указание: взять *-слабо сходящиеся к нулю /п Е X* с ||/n|| = 1 и поло¬
жить / =	<Pn(/n), ГДе — четные непрерывные выпуклые функции
на прямой с ipn(t) = 0 при t Е [0,1/2] и (рп( 1) = п.
12.5.32Г Доказать, что на I2 существует бесконечно дифференцируемая
по Фреше функция /, которая ограничена на замкнутом единичном шаре,
но не достигает на нем максимума.
12.5.33Г Доказать, что на 12 есть такая бесконечно дифференцируемая
по Фреше функция /, что f(x) = 0 при ||ж|| ^ 1, но f(x) Ф 0 при ||ж|| < 1.

Комментарии
Функциональный анализ — сравнительно молодой учебный пред¬
мет университетского курса математики. Моложе его лишь некоторые
дисциплины прикладной или компьютерной направленности. Как са¬
мостоятельное направление функциональный анализ оформился со¬
всем незадолго до введения его в университетскую программу: такое
выделение в отдельную область принято связывать с публикацией мо¬
нографии Стефана Банаха [18], появившейся в начале тридцатых го¬
дов сначала на польском, затем на французском, а вскоре и на ан¬
глийском языках (русский перевод по каким-то причинам задержал¬
ся на 70 лет; правда, в 1948 году вышел украинский перевод [17]).
Даже беглый взгляд на оглавление этого выдающегося труда показы¬
вает, сколь близок он современному учебнику, точнее, сколь большая
часть современного курса взята из книги Банаха (о жизни Банаха см.
Kahiza [407]). Несмотря на это, следует сказать, что на самом деле
функциональный анализ как анализ в пространствах функций, кри¬
вых и т.п. (причем нелинейный анализ!) возник гораздо раньше в за¬
дачах вариационного исчисления: Ньютон, Эйлер, Бернулли, а позже
и другие классики имели дело с кривыми как самостоятельными объ¬
ектами и изучали функции на множествах кривых в связи с весьма
нетривиальными прикладными задачами. Этот нелинейный функци¬
ональный анализ, возникший даже раньше линейного, стал одним из
важнейших источников современного функционального анализа, хотя
многие его составляющие теперь ушли в самостоятельные науки: ва¬
риационное исчисление, оптимальное управление. Впрочем, элементы
вариационного исчисления и ныне нередко включаются в универси¬
тетские курсы функционального анализа. Среди тех, кто внес суще¬
ственный вклад в становление нелинейного функционального анализа,
следует упомянуть А. Пуанкаре, Д. Гильберта, Ж. Адамара, В. Воль-
терра, М. Фреше. Вторым важным источником возникновения функци¬
онального анализа явились теория интегральных уравнений и теория
дифференциальных уравнений с частными производными. Особо надо
выделить первую четверть XX века, когда одновременно с развитием

672
Комментарии
общей (и уже в большой мере абстрактной) теории происходило накоп¬
ление важных частных примеров и конкретных результатов, имевших
происхождение в математической физике и заставлявших двигать впе¬
ред теорию. Здесь можно назвать имена тех же А. Пуанкаре и Д. Гиль¬
берта, а также Ф. Рисса, Г. Вейля, Э. Шмидта, А. Лебега, И. Радона,
Т. Карлемана, И. Фредгольма. Конец этого периода был ознаменован
появлением квантовой механики и попытками создания адекватного
математического аппарата на базе теории теперь уже неограниченных
линейных операторов. Особую роль сыграли работы И. фон Неймана,
М. Стоуна и Ф. Рисса. Параллельно с прогрессом в теории операторов с
двадцатых годов XX века шло развитие линейной теории пространств,
в которых действуют эти операторы, а вместе с тем и абстрактных про¬
странств. В первую очередь в этой связи надо назвать уже упомянутого
С. Банаха, но нельзя не отметить и значительного вклада других ис¬
следователей (Г. Хана, Э. Хелли, С. Мазура, Ю. Шаудера, Н. Винера).
Заметную роль сыграла знаменитая Львовская школа. Конечно, более
пристальное рассмотрение вопроса выявляет важные поднаправления
в этом мощном потоке исследований, например, зарождение линейно¬
го и выпуклого анализа (Г. Минковский, Г. Хан, Э. Хелли, С. Банах),
общая теория меры и интеграла (заложенная Лебегом в начале века и
развитая И. Радоном, Ф. Риссом, М. Фреше, К. Каратеодори, Н.Н. Лу¬
зиным, П. Даниэлем, Н. Винером, О. Никодимом, А.Н. Колмогоровым,
И. фон Нейманом, А.Д. Александровым, Ю.В. Прохоровым). Тогда же
начался новый этап развития нелинейного функционального анализа
(Н.Н. Боголюбов, Н.М. Крылов, Ю. Шаудер, А.Н. Тихонов, Ж. Ле¬
ре). Нельзя забыть и о таких близких областях, как общая топология
(Ф. Хаусдорф, П.С. Александров, П.С. Урысон, А.Н. Тихонов) и тео¬
рия экстремальных задач (Л.В. Канторович, Л.С. Понтрягин). Тесным
переплетением всех этих направлений и стал современный функцио¬
нальный анализ. Идеи, заложенные в первые годы его становления,
привели к созданию совершенно новых направлений уже в ближайшее
время. Например, теория пространств Соболева, возникшая в основ¬
ном в результате работ C.JI. Соболева в 30-х годах, и дополнившая
ее после исследований Л. Шварца в конце 40-х-начале 50-х теория
обобщенных функций стали одним из мощнейших средств современ¬
ной теории дифференциальных уравнений с частными производными
и математической и теоретической физики. Другой пример — теория
банаховых алгебр, заложенная И.М. Гельфандом и развивавшаяся ис¬
следователями многих стран (упомянем лишь М. А. Наймарка, Г.Е. Ши¬
лова и И. Сигала). Укажем еще теорию упорядоченных пространств
и векторных решеток (ф. Рисс, Л.В. Канторович, М.Г. Крейн). Мно¬
гие мотивы первых лет бурного развития функционального анализа
20-30-х годов XX века вдохновляли и продолжают вдохновлять по¬
коления исследователей. Один из таких мотивов — геометрия и то¬
пология банаховых пространств. Многие фундаментальные открытия

Комментарии
673
в этом направлении были сделаны уже Банахом и другими представи¬
телями Львовской школы в 30-е годы XX века. В последующие годы
заметный вклад внесли М.Г. Крейн, Д.П. Мильман, В.Л. Шмульян,
Б.Дж. Петтис, Н. Данфорд, Р.С. Филлипс, У.Ф. Эберлейн, А.А. Ми¬
лютин, А. Гротендик, М.И. Кадец, А. Пелчинский, Й. Линденштраус,
П. Энфло, У. Гауэре. Конечно, этот список можно расширить, упомя¬
нув ряд авторов решений долго стоявших проблем и особо известных
примеров и контрпримеров (многие из которых упоминаются в тек¬
сте). Под влиянием теории банаховых пространств и теории обобщен¬
ных функций приобрела большую популярность теория локально вы¬
пуклых пространств. Отдельные важные результаты были получены
еще до войны А.Н. Колмогоровым, А.Н. Тихоновым, И. фон Нейма¬
ном, Ж. Лере, но как ярко выраженное самостоятельное направление
она оформилась в 50-е годы. Среди внесших большой вклад в эту те¬
орию — Л. Шварц, Ж. Дьедонне, Дж. Макки, Р.Ф. Аренс, А. Гротен¬
дик, Г. Шоке. Некоторое время теория локально выпуклых пространств
была одним из самых модных направлений функционального анали¬
за; обширные ее разделы включались в учебники (в этой книге тоже
отдана ей дань). Моды проходят, но популярность этой теории была
небеспочвенной, и сейчас основные ее положения по-прежнему имеют
значение как для общего функционального анализа, так и для разнооб¬
разных приложений. Теория банаховых пространств и теория локаль¬
но выпуклых пространств включают изучение линейных операторов
в таких пространствах, но под теорией линейных операторов принято
подразумевать другую крупную составляющую современного функци¬
онального анализа, выросшую из упоминавшихся выше исследований
по интегральным уравнениям и дифференциальным операторам. Ха¬
рактерными чертами этого направления, отличающими его от пробле¬
матики геометрии и топологии абстрактных банаховых или локально
выпуклых пространств, являются интерес к конкретным операторам,
конкретным уравнениям и особая роль неограниченных операторов.
Разумеется, четкого разграничения провести нельзя, ибо перечислен¬
ные области активно взаимодействуют. Наконец, следует сказать, что
многие из этих «линейных» направлений имеют «нелинейные» ответв¬
ления. Нелинейные пространства, нелинейные операторы, нелинейные
уравнения являются настолько всеобъемлющими и характерными объ¬
ектами естествознания, что само выделение подраздела «нелинейный
анализ» в общем функциональном анализе наряду с перечисленными
«линейными» направлениями, вполне подходящими на роль специаль¬
ных частей нелинейной науки, может вызывать сомнения.
Можно много говорить о значении функционального анализа для
приложений. Ограничимся лишь одним примером. Когда при созда¬
нии ядерного оружия в 40-х годах XX века понадобилось решать
совершенно новые и весьма трудные задачи, связанные с расчетом
и моделированием сложных процессов, в помощь физикам к делу были

674
Комментарии
привлечены крупные специалисты по нелинейному анализу, в частно¬
сти, в США это были И. (Дж.) фон Нейман и С. Улам, а в нашей
стране, поначалу отстававшей в этой области, — А.Н. Тихонов, C.JI. Со¬
болев, И.Г. Петровский, И.М. Гельфанд, JI.B. Канторович, Н.Н. Бого¬
любов, М.В. Келдыш и многие другие (см., например, Тихонова, Тихо¬
нов [206]). В результате героических усилий больших научных коллек¬
тивов, среди которых математики играли заметную роль, отставание
было ликвидировано и была создана система обороны, благодаря ко¬
торой Москву пока не постигла участь Белграда и Багдада. Однако
важную прикладную задачу нельзя решить раз и навсегда, в отличие
от какой-либо чисто математической проблемы. Поэтому остается весь¬
ма актуальным дело подготовки новых поколений квалифицированных
математиков, которым будут по плечу вызовы времени.
Как уже отмечалось, книга Банаха [18] стала первым учебником
по функциональному анализу и моделью для многих последующих
учебников вплоть до настоящего времени. Правда, некоторые элемен¬
ты современного курса, связанные с гильбертовыми пространствами,
излагались в книге Vitali [542]. Примерно одновременно с книгой Ба¬
наха вышла монография Стоуна [525], также весьма существенно по¬
влиявшая на вхождение новой дисциплины в учебные программы и
на формирование ее современного облика. На русском языке первое
основательное изложение функционального анализа дано В.И. Смир¬
новым [192]; эта книга, написанная на основе свежих работ первоот¬
крывателей и хорошо передающая дух зарождающейся области, до
сих пор остается в списках рекомендованной литературы для аспи¬
рантов, хотя в техническом отношении изложение в ней многих во¬
просов уже устарело. Наконец, упомянем классический учебник Рисс,
Секефальви-Надь [183], выдержавший более чем за полвека много из¬
даний на разных языках. Весьма удачным оказалось первое на рус¬
ском языке учебное пособие по функциональному анализу для сту¬
дентов, написанное Колмогоровым и Фоминым [105] и расширенное
в последующих изданиях. Это пособие выросло из лекций А.Н. Кол¬
могорова [104] на механико-математическом факультете Московского
университета, а также лекций С.В. Фомина на физическом факуль¬
тете. Основанный Колмогоровым курс «Анализ-III» (ныне «Функци¬
ональный анализ») впоследствии читали И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов
и другие известные специалисты. По нашему мнению, эта книга явля¬
ется одним из лучших университетских учебников функционального
анализа для студентов (несмотря на отсутствие подробного изложе¬
ния спектральной теории); она остается самым популярным пособием.
Прежде чем перечислять другие учебники, отметим три книги энцик¬
лопедического характера и большого объема: Данфорд, Шварц [68],
Канторович, Акилов [91] и Эдвардс [243] (обзор результатов есть так¬
же в справочнике Крейн [118]). Возвращаясь к книгам учебного ха¬
рактера, укажем известные пособия для углубленного изучения Рид,

Комментарии
675
Саймон [179] и Рудин [188], а также гораздо более элементарные ввод¬
ные курсы Люстерник, Соболев [140], [141], [194] и краткое изложение
Босс [29] (в последнем не следует читать раздел о теории интегриро¬
вания). Имеются сотни курсов на разных языках, ориентированные на
разные составы слушателей и весьма разнящиеся глубиной содержания,
объемом, стилем и методикой изложения. Мы приведем обширный спи¬
сок (впрочем, не претендующий на абсолютную полноту) тех книг на
русском, английском, французском и немецком языках (и небольшого
числа на испанском и итальянском языках), которые нам встретились
в библиотеках более чем ста университетов и математических институ¬
тов по всему миру. Не повторяя уже указанных книг, начнем с более
полных курсов:
Антоневич, Радыно [9], Березанский, Ус, Шефтель [21], Дани¬
лин [67], Иосида [87], Кадец [88], Князев [101], Кованько, Соколов
[102], Кутателадзе [128], Лаврентьев, Савельев [131], Морен [157],
Наймарк, Мартынов [161], Порошкин [175], Пугачев [177], Садовни¬
чий [189], Треногин [209], Федоров [215], Хелемский [228], Alt [257],
Amann, Escher [258], Appell, Vath [261], Avanissian [269], Bachman,
Narici [270], Baggett [271], Bass [273], Berberian [279], Bertrandias [281],
Br6zis [293], Brown, Page [295], Brown, Pearcy [296], Cheney [303],
Choudhary, Nanda
[325], DiBenedetto
[342], Folland [349
307], Conway [311], Cotlar, Cignoli [315], DeVito
326], Eidelman, Milirian, Tsolomitis [339], Epstein
Fuchssteiner, Laugwitz [352], Garnir, De Wilde,
Schmets [353], Gofbnan, Pedrick [360], GrifFel [371], Grossmann [373
Ha [376], Heine [379], Heuser [383], Hille [385], Hirsch, Lacombe 386
Hirzebruch, Scharlau [387], Jain, Ahuja, Ahmad [392], Kantorovitz [408
Komornik [416], Korevaar [418], Kreyszig [422], Krishnan [423], Lahiri
[430], Lang [431], Larsen [432], Lax [433], Lelong [434], Limaye [437],
Losch [439], Maddox [442], Mathieu [445], Meise, Vogt [449], Miranda
[454], Mukherjea, Pothoven [462], Nair [465], Naylor, Sell [467], Oden,
Demkowicz [470], Pedersen [477], Pflaumann, Unger [480], Pryce [490],
ilao [491], Reddy [493], Roman [498], Ruckle [500], Rynne, Youngson
502], ЭатиёЫёз, Touzillier [504], Schechter [508], Schroder [510], Siddiqi
515 , Somasundaram [522], Storch, Wiebe [526], §uhubi [529], Sunder
530 , Swartz [531], Taylor [534], Triebel [540], Werner [546], Wilansky
548], Wloka [550], Wouk [553].
Отдельно перечислим пособия, содержащие элементы курса функ¬
ционального анализа (например, в виде краткого курса или части кур¬
са математического анализа): Вайнберг [38], Вейц [41], Вулих [48],
Дьедонне [79], Ефимов, Золотарев, Терпигорева [81], Заманский [83],
Кудрявцев [120], Кузнецова, Кузнецов [122], Макаров [144], Решетняк
[178], Свиридюк, Якупов [191], Терпугов [202], Фаге [214], Халилов
[221], Шерстнев [235], Шилов [2Й7], [239], Amerio [259], Aii^miadis

676
Комментарии
264], Bobrowski [285], Boccara [286], Bollob&s [287], Bonic [288], Bridges
294], Burg, Haf, Wille [298], Davis [319], Egle [338], Fichera [346], Giles
358 , Gopfert, Riedrich [367], Gostiaux [368], Groetsch [372], Hansen
377], Hengartner, Lambert, Reischer [381], Hunter, Nachtergaele [390],
jantscher [394], Jost [400], Kubrusly [424], Kiihner, Lesky [427], Marie,
Pilibossian [443], Michel, Herget [451], Mlak [456], Maurin [447], Moore
[458], Nachbin [464], Orlicz [473], Packel [474], Panzone [475], Phillips
[482], Ponnusamy [489], Ray [492], Royden [499], Saxe [506], Segal,
Kunze [513], SkandaJis [520], Simmons [516], Sohrab [521], Sonntag [523],
Torchinsky [537], Tricomi [539], Wagschal [543], Wong [552], Young
[554], Zaanen [555], Zaidman [556], Zimmer [568].
Мы намеренно не стали проводить какую-либо более мелкую клас¬
сификацию перечисленных пособий, ибо это привело бы к слишком ши¬
рокому спектру с размытыми границами переходов. Даже по объему
некоторые из этих книг отличаются более чем в десять раз. Непросто
было бы разбить весь список на группы и по соответствию универси¬
тетской программе: некоторые краткие пособия охватывают широкую
программу, хотя и без подробностей, а другие при существенно боль¬
шем объеме и более глубоком изложении выпускают некоторые разде¬
лы стандартной программы. В ряде пособий рассматриваются только
гильбертовы пространства и операторы в них. Зарубежные учебники
вообще не ориентируются на какие-либо установленные стандарты про¬
сто ввиду их отсутствия. Однако нам представляется, что для разра¬
ботки своей программы всякому серьезному лектору чрезвычайно по¬
лезно ознакомиться с большим числом совершенно разных пособий. Да¬
же дефекты изложения, имеющиеся во многих из них, бывают весьма
поучительны. Кроме того, важен и опыт изложения, ориентированного
на какие-либо специальные категории слушателей, например, физиков,
механиков, инженеров, экономистов, специалистов по вычислительной
математике и т.д. Для этого нами и представлена собранная за долгие
годы библиография. Интересно отметить, что наличие современных
электронных баз данных и изощренных поисковых систем не делает
задачу составления такой библиографии тривиальной, хотя и помогает
ее решению. Многие из книг этого списка имеют не очень характер¬
ные названия и не улавливаются при электронном поиске; некоторые
книги, видимо, вообще пока не попали в общедоступные базы данных.
Многие из перечисленных книг содержат обширные подборки задач
и упражнений, но имеются и собственно задачники (по всему курсу или
его разделам): Абросимов и др. [1], Андреев, Андреева, Шурыгин [7],
Антоневич, Князев, Радыно [8], Березин и др. [22], Владимиров [45],
Гельбаум, Олмстед [51], Глазман, Любич [58], Городецкий, Нагнибида,
Настасиев [61], Грибанов [65], Гуревич, Зеленко [66], Дерр [72], До-
роговцев [77], Кириллов, Гвишиани [98], Кудрявцев и др. [121], Леон¬
тьева, Панферов, Серов [135], Люлько, Максимова, Ляпидевский [138],
Макаров и др. [145], Мартиросян [147], Очан [168], [169], Теляковский

Комментарии
677
[201], Треногин, Писаревский, Соболева [210], Ульянов и др. [213],
Фет [218], Халмош [223], Ширяев [240], Abramovich, Aliprantis [248],
Aliprantis, Burkinshaw [256], Ansel, Ducel [260], Arino, Delode, Genet
[263], Benoist, Salinier [277], Bouyssel [290], Capinski, Zastawniak 299],
Costara, Popa [314], Gelbaum [356], George [357], Gonnord, Tosel 366],
Kaczor, Nowak [401], Kubrusly [425], Lacombe, Massat [429], Letac [435],
ЭатиёЫёз, Touzillier [505], Sonntag [523], Wagschal [543], Zuily [569].
Мы не приводим библиографии по теории меры и интеграла (курс
действительного анализа), поскольку она также весьма обширна и хо¬
рошо представлена в [26] (где только книг более 300 наименований).
Отметим лишь следующие хорошо известные книги: Натансон [162],
Сакс [190], Халмош [222], Bruckner, Bruckner, Thomson [297], Dudley
[332], Hewitt, Stromberg [384], Royden [499], Stromberg [528].
Разнообразная дополнительная информация по геометрии банахо¬
вых пространств представлена в следующих книгах: Вахания, Тарие-
ладзе, Чобанян [40], Дистель [75], Дэй [80], Кадец, Кадец [89], Мушта-
ри [158], [159], Одинец, Якубсон [167], Пич [172], Albiac, Kalton [251],
Beauzamy [274], Benyamini, Lindenstrauss [278], Bessaga, Pelczynski
[282], Carothers [301], Casazza, Shura [302], Defant, Floret [321], Deville,
Godefroy, Zizler [324], Diestel [327], Diestel, Uhl [328], van Dulst [333],
ffros, Ruan [337], Fabian и др. [343], Guerre-Delabrfere [375], Morrison
460], Pel ant, Zizler [343], Fleming, Jamison [348], Johnson, Lindenstrauss
396], Lacey [428], Li, QuelMec [436], Lindenstrauss, Tzafriri [438],
Marti [444], Megginson [448] (удачное современное введение), Milman,
Schechtman [453], Pietsch [485], Pietsch, Wenzel [486], Pisier [487], 488],
Ryan [501], Semadeni [514], Singer [518], Tomczak-Jaegermann 535],
Wojtaszczyk [551]. Различным специальным пространствам и операто¬
рам в них посвящены книги Гофман [62], Красносельский, Рутицкий
[не], Кусис [125], Duren, Schuster [335], Fetter, Gamboa de Buen [345],
Hedenmalm, Korenblum, Zhu [378], Nikolski [468].
По теории операторов и спектральной теории имеется богатая ли¬
тература, на которую можно выйти по электронным базам данных и
через следующие книги: Ахиезер, Глазман [14], Бирман, Соломяк [25],
Гохберг, Крейн [63], [64], Данфорд, Шварц [68]—[70], Като [94], Крейн
[117], Маслов [148], Пич [172], Плеснер [173], Рид, Саймон [180]-[182],
Фридрихе [220], Abramovich, Aliprantis [247], Arveson [265], Aupetit
[268], Brown, Pearcy [296], Carl, Stephani [300], Conway [312], [313],
Davies [318], Dowson [331], Gohberg, Goldberg [361], Gohberg, Goldberg,
Kaashoek [362
Helmberg [380
Vasilescu [541
[363], Gohberg, Goldberg, Krupnik [364], Goldberg [365],
, Istra$escu [391], Muller [463], Ringrose [495], Stone [525],
, Weidmann [545], Zhu [566].
Приведем ориентировочную библиографию еще по ряду разделов.

678
Комментарии
Интегральные операторы и интегральные уравнения: Бухвалов и
др. [35], Забрейко и др. [82], Коротков [107], Краснов [108], Краснов,
Киселев, Макаренко [109], Красносельский и др. [П4], Михлин [153],
[154], Михлин, Морозов, Паукшто [156], Прёсдорф [176], Edmunds,
Kokilashvili, Meskhi [336], Fenyo, Stolle [344], Jorgens [398], Kress [421],
Mikhlin, Prossdorf [452], Okikiolu [471].
Полугруппы операторов: Голдстейн [59], Клемент и др. [100], Рид,
Саймон [180], Хилл [230], Хилле, Филлипс [231], Brezis [292], Davies
[317], Engel, Nagel [340], [341], Pazy [476].
Банаховы и операторные алгебры: Браттели, Робинсон [31], [291],
Гамелин [50], Гельфанд, Райков, Шилов [53], Диксмье [73], Луго¬
вая, Шерстнев [136], Мёрфи [149], Наймарк [160], Хелемский [227],
Blackadar [283], Blecher, Le Merdy [284], Bonsall, Duncan [289], Connes
310], Douglas [330], Effros, Ruan [337], Fillmore [347], Gillman, Jerison
359], Kadison, Ringrose [402]-[405], Rickart [494], Sakai [503], Takesaki
533 , Zelazko [564].
Топологические векторные пространства: Бурбаки [33], Канто¬
рович, Акилов [90], Пич [171], Робертсон, Робертсон [185], Шефер
[236], Эдвардс [243], Choquet [305], Garsoux [355], Grothendieck [374],
Horvath [389], Jarchow [395], Kalton, Peck, Roberts [406], Kelley,
Namioka [411], Kote [419], Narici, Beckenstein [466], Рёгег Carreras,
Bonet [478], Rolewicz [497], Trёves [538].
Обобщенные функции: Агранович [2], Антосик и др. [10], Бремер-
ман [32], Владимиров [43], [44], Гельфанд, Виленкин [52], Гельфанд,
Шилов [55], [56], Дрожжинов, Завьялов [78], Земанян [84], Кеч, Тео¬
дореску [97], Микусинский, Сикорский [151], Шварц [233], [234], Ши¬
лов [238], Barros-Neto [272], Choquet-Bruhat [306], Friedlander [351],
Garsoux [355], Не^ё [382], Jantscher [393], Kanwal [409], Mitrovic, Zub-
rini6 [455], Schwartz [512], Strichartz [527], Walter [544], Zemanian [565].
Пространства Соболева: Бесов, Ильин, Никольский [24], Гольд¬
штейн, Решетняк [60], Мазья [142], Мазья, Шапошникова [143], Мих¬
лин [155], Никольский [164], Соболев [195], [196], Стейн [197], Стейн,
Вейс [198], Трибель [211], [212], Эванс, Гариепи [242], Adams [250],
Mitrovid, Zubrini<6 [455], Ziemer [567].
Материал по обобщенным функциям и пространствам Соболева
есть и во многих книгах по уравнениям с частными производными
и псевдодифференциальным операторам, см. Мизохата [150], Тейлор
[200], Трев [207], [208], Хёрмаддер [229], Шубин [241], Petersen [479].
Упорядоченные векторные пространства, векторные решетки, по¬
ложительные линейные и нелинейные операторы: Акилов, Кутате-
ладзе [3], Бухвалов и др. [35], Вулих [47], Канторович, Вулих, Пин-
скер [92], Кусраев [126], Шефер [236], Aliprantis, Burkinshaw [254],
Luxemburg, Zaanen [441], Meyer-Nieberg [450], Schaefer [507].

Комментарии
679
Нелинейный анализ, выпуклый анализ и функциональные аспекты
теории экстремальных задач: Авербух, Смолянов [570], [571], Алек¬
сеев, Тихомиров, Фомин [в], Ахмеров и др. [15], Богачев [27], Вайн-
берг [36], [37], Галеев [49], Гирсанов [57], Канторович, Акилов [91],
Картан [93], Кларк [99], Красносельский [110], [111], Красносельский
и др. [112], Красносельский, Забрейко [113], Красносельский, Лиф-
шиц, Соболев [115], Кусраев, Кутателадзе [127], Кутателадзе, Руби¬
нов [129], Левин [134], Мисюркеев [152], Ниренберг [165], Обен, Эк-
ланд [lee], Половинкин, Балашов [174], Рокафеллар [186], Смолянов
[193], Экланд, Темам [245], Aliprantis, Border [253], Berger [280], Brezis
[292], Cioranescu [309], Deimling [322], Denkowski, Migdrski, Papageorgi-
ou [323], Deville, Godefroy, Zizler [324], Granas, Dugundji [370], Holmes
[388], Joshi, Bose [399], Kesavan [413], Khatskevich, Shoiykhet [414]
Kirk, Sims [415], Mordukhovich [459], Phelps [481], Schirotzek [509],
Schwartz [511], Singh, Watson, Srivastava [519], Takahashi [532], Zeidler
[557]-[561]. Из классических курсов вариационного исчисления отме¬
тим Гельфанд, Фомин [54], Лаврентьев, Люстерник [139].
Функциональный анализ в теории приближений: Ахиезер [13], Да-
угавет [71], Коровкин [106], Тихомиров [204], Singer [518].
Различные приложения (конечно, приложениям уделено внима¬
ние и во многих указанных выше книгах): Балакришнан [16], Варга
[39], Ворович, Лебедев [46], Коллатц [103], Кшевецкий [130], Лебе-
дев [133], Тихонов, Арсенин [205], Хатсон, Пим [226], Atkinson, Han
[266], Aubin [267], Cryer [316], Debnath, Mikusinski [320], Kesavan [412],
Mordukhovich [459], Nowinski [469], Rolewicz [496], Zeidler [557]-[563].
Идеи и методы функционального анализа стали неотъемлемой ча¬
стью математической физики, см. Березин, Шубин [23], Боголюбов и
др. [28], Владимиров [43], [44], Макки [146], Михлин [155], Нейман
[163], Рид, Саймон [182], Рихтмайер [184], Шварц [233], [234].
Общая топология: Александров [4], Александрии, Мирзаханян [5],
Архангельский, Пономарев [11], Бурбаки [34], Келли [96], Куратовский
[123], Федорчук, Филиппов [216], Энгелькинг [246], Simmons [516],
Wilansky [549].
По истории развития функционального анализа см. Данфорд,
Шварц [68], Birkhoff, Kreyszig [589], Dieudonnd [329], Liitzen [440],
Mauldin [446], Monna [457], Narici [603], Pietsch [485]. Кроме того, раз¬
нообразные исторические, биографические и библиографические све¬
дения приведены во многих из перечисленных выше книг, в частности,
в Рид, Саймон [180]—[182], Эдвардс [243], Saxe [506], Werner [546].
Отметим, что в книге нет ссылок на оригинальные статьи, резуль¬
таты которых уже вошли в книги; упоминаются лишь избранные ста¬
тьи, использованные в дополнительных разделах или задачах.

680
Экзаменационные программы
Экзаменационные программы
Программа курса «Действительный анализ», 4 семестр
1. Кольца, алгебры и сг-алгебры множеств; существование сг-алгебры,
порожденной классом множеств. Структура открытых множеств на
прямой. Борелевская сг-алгебра. §2.2.
2. Функции, измеримые относительно <т-алгебры. Свойства измеримых
функций. §3.1.
3. Аддитивные и счетно-аддитивные меры. Свойство счетной полуад-
дитивности. Критерий счетной аддитивности. §2.3.
4. Компактные классы. Счетная аддитивность меры, имеющей прибли¬
жающий компактный класс. §2.3.
5. Внешняя мера. Определение измеримого множества. Теорема Лебега
о счетной аддитивности внешней меры на сг-алгебре измеримых мно¬
жеств. Единственность продолжения. §2.4.
6. Построение меры Лебега на прямой и в Rn. Основные свойства меры
Лебега. §2.5.
7. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова. §3.2.
8. Сходимость по мере и ее связь со сходимостью почти всюду. Фунда¬
ментальность по мере. Теорема Рисса. §3.2.
9. Теорема Лузина. §3.2.
10. Интеграл Лебега: определение и основные свойства (линейность,
монотонность). §3.3.
11. Неравенство Чебьпнёва. Абсолютная непрерывность интеграла Ле¬
бега. §3.3.
12. Предельный переход в интеграле Лебега: теорема Лебега-Б. Леви
о монотонной сходимости, теорема Фату, теорема Лебега о мажориру¬
емой сходимости. §3.4.
13. Непрерывность и дифференцируемость интеграла Лебега по пара¬
метру. §3.4.
14. Признаки интегрируемости по Лебегу. §3.6.
15. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана (собственным и несоб¬
ственным). §3.7.
16. Неравенство Гёльдера. Неравенство Минковского. §3.8.
17. Пространства Lp(fj>) и их полнота. Связь различных видов сходи¬
мости измеримых функций. §§3.5, 3.8.
18. Теорема Радона-Никодима. §3.9.
19. Произведение пространств с мерами. Теорема Фубини. §§3.10, 3.11.
20. Свертка интегрируемых функций. §3.11.
21. Функции ограниченной вариации. Абсолютно непрерывные функ¬
ции. Абсолютная непрерывность неопределенного интеграла. Связь аб¬
солютно непрерывных функций с неопределенными интегралами инте¬
грируемых функций (без доказательства). Формула Ньютона-Лейбни¬
ца и формула интегрирования по частям для абсолютно непрерывных
функций. §§4.1-4.4.

Экзаменационные программы
681
Программа курса «Функциональный анализ», 5 семестр
1. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Полнота и
сепарабельность. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. §§1.2,1.3.
2. Нормированные пространства. Примеры: пространства непрерыв¬
ных функций, интегрируемых функций и пространства последователь¬
ностей. Изометричность метрического пространства М части банахова
пространства В(М) и существование пополнения М. §§5.1, 5.2, 1.2.
3. Топологические пространства. Компактные множества и их свой¬
ства. §§1.4, 1.5.
4. Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности
в терминах фундаментальных последовательностей. §§1.5, 1.6.
5. Равносильность различных определений компакта в метрическом
пространстве. §§1.5, 1.6.
6. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Некомпакт-
ность шара в бесконечномерном нормированном пространстве. §5.3.
7. Критерий компактности в В(М). Теорема Арцела. §1.6.
8. Теоремы о неподвижных точках: теорема о сжимающих отображе¬
ниях и теорема Шаудера. §1.3, 5.5.
9. Евклидовы и гильбертовы пространства. Ортонормированные систе¬
мы и базисы. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля. §§5.1,5.2, 5.4.
10. Существование ортогональной проекции и ортогонального разло¬
жения в гильбертовом пространстве. §5.1, 5.2, 5.4.
11. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном евкли¬
довом пространстве. Примеры базисов. Теорема Рисса-Фишера. Изо¬
морфизм сепарабельных гильбертовых пространств. §5.4.
12. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора
и непрерывность оператора. §6.1.
13. Теорема Банаха-Штейнгауза. §6.1.
14. Теорема об открытом отображении. §6.2.
15. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом гра¬
фике. §6.2.
16. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Сопряженное пространство.
Отделение выпуклых множеств (без доказательства). §§6.3, 6.4.
17. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функциона¬
ла на гильбертовом пространстве. Явный вид сопряженных к конкрет¬
ным пространствам (без доказательства). §6.5.
18. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе
сопряженное. Ограниченность слабо ограниченных множеств. §6.4.
19. Топология а(Е, F) и равенство (Е, cr(J57, F))* = F. Слабая и *-слабая
топологии. §6.6.
20. Теорема о *-слабой компактности шара в сопряженном простран¬
стве (без доказательства). Выделение *-слабо сходящейся подпосле¬
довательности из ограниченной последовательности функционалов на
сепарабельном нормированном пространстве. Слабая сходимость и сла¬
бая компактность в гильбертовом пространстве. §6.7.

682
Экзаменационные программы
21.	Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных
и некомпактных операторов. §6.9.
Программа курса «Функциональный анализ», 6 семестр
1. Спектр оператора. Открытость множества обратимых операторов.
Замкнутость спектра. §7.1.
2. Теорема об отображении спектров для многочленов и общих опера¬
торов. §7.1.
3. Спектр компактного оператора. §7.3.
4. Альтернатива Фредгольма (Кег(7—К) = 0 <£=> (I—K)X = X). §7.4.
5. Норма и спектр оператора умножения на функцию. Циклические
векторы. §§7.1, 7.8.
6. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Самосопря¬
женный оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и веще¬
ственность спектра самосопряженного оператора. §7.2.
7. Равенства
||А|| = sup{|(Ar,:r)|: \\х\\ ^ 1} = sup{|A|: А - точка спектра А}.	§7.2.
8. Теорема Гильберта-Шмидта. §7.5.
9. Непрерывные функции от самосопряженных операторов и равенство
||/(Л)|| = suptg^) |/(01- §7-7.
10. Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов.
Эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения
на функцию (случай оператора с циклическим вектором и общий слу¬
чай). §§7.6, 7.8.
11. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопря¬
женного оператора в виде интеграла по проекторнозначной мере. Яв¬
ное вычисление спектральной меры для оператора умножения на ар¬
гумент и для проектора. §7.9.
12. Понятие о локально выпуклом пространстве. Примеры. Простран¬
ства Т> и S и сходимость в них. Плотность V в L^R1). §8.1.
13. Обобщенные функции классов Р' и S'. Производная обобщенной
функции. Носитель и сингулярный носитель. §8.4.
14. Преобразование Фурье интегрируемых функций и его свойства.
Формула обращения. §9.1.
15. Преобразование Фурье в S и его непрерывность. §9.1.
16. Равенство Парееваля для интегралов Фурье. Полнота системы
функций Эрмита. Преобразование Фурье в «S'. §§9.1, 9.3.
17. Преобразование Фурье в L2(R1) и теорема Планшереля. §9.2.
18. Свертка интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной
функций. Использование преобразования Фурье и свертки для реше¬
ния дифференциальных уравнений. §§9.4, 9.7.
19. Спектр оператора преобразования Фурье и спектр оператора сверт¬
ки. §9.5.

Экзаменационные программы
683
20.	Пространства C.JI. Соболева Wp,k и их характеризация через по¬
полнение по соболевской норме. Описание W2,k через преобразование
Фурье. Теоремы вложения в Lq и С (без доказательства). §§9.8, 9.9.
Программа-минимум кандидатского экзамена
по специальности 01.01.01 «Математический анализ»
(действительный анализ и функциональный анализ)
Меры, измеримые функции, интеграл. Аддитивные функции
множества (меры), счетная аддитивность мер. Конструкция лебегов-
ского продолжения. Измеримые функции. Сходимость функций по ме¬
ре и почти всюду. Теоремы Егорова и Лузина. Интеграл Лебега. Пре¬
дельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов Лебега
и Римана. Прямые произведения мер. Теорема Фубини. Гл. 2, 3.
Неопределенный интеграл Лебега и теория дифферен¬
цирования. Дифференцируемость монотонной функции почти всю¬
ду. Функции с ограниченным изменением (вариацией). Производная
неопределенного интеграла Лебега. Задача восстановления функции по
ее производной. Абсолютно непрерывные функции. Теорема Радона-
Никодима. Интеграл Стилтьеса. Гл. 3, 4.
Пространства суммируемых функций и ортогональные ря¬
ды. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства Lp, их пол¬
нота. Полные и замкнутые системы функций. Ортонормированные си¬
стемы в L2 и равенство Парсеваля. Ряды по ортогональным системам;
стремление к нулю коэффициентов Фурье суммируемой функции в слу¬
чае равномерно ограниченной ортонормированной системы. Гл. 3, 5.
Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье. Усло¬
вие сходимости ряда Фурье. Представление функции сингулярными
интегралами. Единственность разложения функции в тригонометри¬
ческий ряд. Преобразование Фурье интегрируемых и квадратично-ин-
тегрируемых функций. Свойство единственности для преобразования
Фурье. Теорема Планшереля. Преобразование Лапласа. Преобразова¬
ние Фурье-Стилтьеса. Гл. 4, 5, 9.
Метрические и топологические пространства. Сходимость
последовательностей в метрических пространствах. Полнота и пополне¬
ние метрических пространств. Сепарабельность. Принцип сжимающих
отображений. Компактность множеств в метрических и топологиче¬
ских пространствах. Гл. 1.
Нормированные и топологические линейные пространства.
Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функцио¬
налы, теорема Хана-Банаха. Отделимость выпуклых множеств. Нор¬
мированные пространства. Критерии компактности в пространствах С
и Lp. Евклидовы пространства. Топологические линейные простран¬
ства. Гл. 5, 8.

684
Экзаменационные программы
Линейные функционалы и линейные операторы. Непре¬
рывные линейные функционалы. Общий вид линейных ограниченных
функционалов на основных функциональных пространствах. Сопря¬
женное пространство. Слабая топология и слабая сходимость. Линей¬
ные операторы и сопряженные к ним. Пространство линейных ограни¬
ченных операторов. Спектр и резольвента. Компактные (вполне непре¬
рывные) операторы. Теоремы Фредгольма. Гл. 6, 7.
Гильбертовы пространства и линейные операторы в них.
Изоморфизм сепарабельных бесконечномерных гильбертовых про¬
странств. Спектральная теория ограниченных операторов в гильбер¬
товых пространствах. Функциональное исчисление для самосопряжен¬
ных операторов и спектральная теорема. Диагонализация компактных
самосопряженных операторов. Неограниченные операторы. Гл. 5, 7, 10.
Дифференциальное исчисление в линейных простран¬
ствах. Дифференцирование в линейных пространствах. Сильный
и слабый дифференциалы. Производные и дифференциалы высших по¬
рядков. Экстремальные задачи для дифференцируемых функций. Ме¬
тод Ньютона. Гл. 12.
Обобщенные функции. Регулярные и сингулярные обобщенные
функции. Дифференцирование, прямое произведение и свертка обоб¬
щенных функций. Обобщенные функции медленного роста; их преобра¬
зование Фурье. Преобразование Лапласа обобщенных функций (опера¬
ционное исчисление). Структура обобщенных функций с компактным
носителем. Гл. 8, 9.

Литература
[1] Абросимов А.В., Калягин В.А., Рябинин А.А., Филиппов В.Н. Упраж¬
нения по функциональному анализу. Изд-во Нижегородского гос. ун¬
та, Нижний Новгород, 1992; 78 с.
[2] Агранович М.С. Обобщенные функции. МЦНМО, М., 2008; 128 с.
[3] Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные простран¬
ства. Наука, Новосибирск, 1978; 368 с.
[4] Александров П.С. Введение в общую топологию и теорию множеств.
Наука, М., 1977; 368 с.
[5] Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. Высш. шк.,
М., 1979; 336 с.
[6] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управле¬
ние. Наука, М., 1979; 432 с.
[7] Андреев В.И., Андреева Т.В., Шурыгин В.К. Сборник задач по функ¬
циональному анализу. Ч. 2: Последовательности в метрических про¬
странствах. Норма линейного оператора. РГУ им. И. Канта, Калинин¬
град, 2006; 188 с.
[8] Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по
функциональному анализу. Высш. шк., Минск, 1978; 205 с.
[9] Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интеграль¬
ные уравнения. БГУ, Минск, 2003; 431 с.
[10] Антосик П., Минусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функ¬
ций. Секвенциальный подход. Мир, М., 1976.
[11] Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в за¬
дачах и упражнениях. Наука, М., 1974; 423 с.
[12] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по матема¬
тическому анализу. Высш. шк., М., 2000; 696 с.
[13] Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Наука, М., 1965; 406 с.
[14] Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбер¬
товом пространстве. 2-е изд. Наука, М., 1966; 544 с.
[15] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садов¬
ский В.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Наука,
Новосибирск, 1986; 265 с.
[16] Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. Наука, М.,
1980; 384 с.
[17] Банах С. Курс функцюнального анал1зу. Ряд. шк., Киев, 1948; 216 с.

686
Литература
[18] Банах С. Теория линейных операций. НИЦ «Регулярная и хаотиче¬
ская динамика», Ижевск, 2001; 262 с. (1-е фр. изд.: Warszawa, 1932).
[19] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, М., 1961; 936 с.
[20] Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение.
Мир, М., 1980; 264 с.
[21] Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ.
Выща школа, Киев, 1990; 600 с.
[22] Березин Ф.А., Гвишиани А.Д., Горин Е.А., Кириллов А.А. Сборник
задач по функциональному анализу. Изд-во Моск. ун-та, М., 1977; 99 с.
[23] Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. Изд-во Моск. ун¬
та, М., 1983; 392 с.
[24] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представле¬
ния функций и теоремы вложения. Наука, М., 1975; 480 с.
[25] Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных
операторов в гильбертовом пространстве. Изд-во ЛГУ, Л., 1980; 264 с.
[26] Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1, 2. 2-е изд. РХД, Москва -
Ижевск, 2006; 584 с., 680 с.
[27] Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна.
РХД, Москва - Ижевск, 2008; 544 с.
[28] Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие прин¬
ципы квантовой теории поля. Наука, М., 1987; 616 с.
[29] Босс В. Лекции по математике. Т. 5. Функциональный анализ. УРСС,
М., 2005; 214 с.
[30] Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. ГИФМЛ, М., 1962; 360 с.
[31] Браттели У, Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая стати¬
стическая механика. Мир, М., 1982; 512 с.
[32] Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразо¬
вания Фурье. Мир, М., 1968; 276 с.
[33] Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. ИЛ, М., 1959;
410 с.
[34] Бурбаки Н. Общая топология. Вып. 3. Наука, М., 1975; 408 с.
[35] Бухвалов А.В., Коротков В.Б., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С., Ма¬
каров Б.М. Векторные решетки и интегральные операторы. Наука,
Новосибирск, 1992; 215 с.
[36] Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных опе¬
раторов. ГИТТЛ, М., 1956; 344 с.
[37] Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов.
Наука, М., 1972; 416 с.
[38] Вайнберг М.М. Функциональный анализ. Просвещение, М., 1979;
128 с.
[39] Варга Р.С. Функциональный анализ и теория аппроксимации в вычис¬
лительном анализе. Мир, М., 1974; 126 с.
[40] Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распре¬
деления в банаховых пространствах. Наука, М., 1984; 368 с.
[41] Вейц Б.Е. Избранные вопросы функционального анализа. Мурман¬
ский гос. педагог, ун-т, Мурманск, 1992; 106 с.
[42] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. ГИФМЛ, М.,
1963; 256 с.
[43] Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 4-е изд. Наука,
М., 1981; 512 с.

Литература
687
[44] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. 2-е
изд. Наука, М., 1979; 320 с.
[45] Владимиров B.C. (ред.) Сборник задач по уравнениям математиче¬
ской физики. 3-е изд. Физматлит, М., 2001; 288 с.
[46] Ворович И.И., Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложе¬
ния к механике сплошной среды. Вуз. кн., М., 2000; 316 с.
[47] Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.
ГИФМЛ, М., 1961; 408 с.
[48] Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. Наука, М., 1967;
416 с.
[49] Галеев Э.М. Оптимизация. Теория. Примеры. Задачи. УРСС, М., 2002;
302 с.
[50] Гамелин Т. Равномерные алгебры. Мир, М., 1973; 334 с.
[51] Гельбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Мир, М., 1967;
252 с.
[52] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. В. 4. Некото¬
рые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства. ГИФМЛ, М., 1961; 465 с.
[53] Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормиро¬
ванные кольца. Физматлит, М., 1960; 316 с.
[54] Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное.исчисление. Физматгиз,
М., 1961; 228 с.
[55] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над
ними. В. 1. 2-е изд. ГИФМЛ, М., 1959; 472 с.
[56] Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над
ними. В. 2. Пространства основных и обобщенных функций. ГИФМЛ,
М., 1958; 308 с.
[57] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных за¬
дач. йзд-во МГУ, М., 1970; 119 с.
[58] Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. Наука,
М., 1969; 475 с.
[59] Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения.
Вища школа, Киев, 1989; 348 с.
[60] Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обоб¬
щенными производными и квазиконформные отображения. Наука, М.,
1983; 285 с.
[61] Городецкий В.В., Нагнибида Н.И., Настасиев П.П. Методы решения
задач по функциональному анализу. Выща школа, Киев, 1990; 479 с.
[62] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. ИЛ, М.,
1963; 312 с.
[63] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопря¬
женных операторов. Наука, М., 1965; 448 с.
[64] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Теория вольтерровых операторов в гильбер¬
товом пространстве и ее приложения. Наука, М., 1967; 508 с.
[65] Грибанов Ю.И. Функциональный анализ в упражнениях и задачах.
Ч.	I. Метрические пространства. Казанский гор. у-т, Казань, 1970; 54 с.
[66] Гуревич А.П., Зеленко Л.Б. Сборник задачдо функциональному анаг
лизу. Изд-во Саратовского гос. ун-та, Саратов, 1987; 108 с.
[67] Данилин А.Р. Функциональный анализ. Изд-во Уральского ун-та, Ека¬
теринбург, 2007; 187 с.

688
Литература
[68] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория. ИЛ,
М., 1962; 896 с.
[69] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. II. Спектральная те¬
ория. Мир, М., 1966; 1063 с.
[70] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. III. Спектральные опе¬
раторы. Мир, М., 1974; 663 с.
[71] Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Изд-во ЛГУ,
Л., 1977; 184 с.
[72] Дерр В.Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и
упражнения. Высш. шк., М., 2008; 384 с.
73] Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. Наука, М., 1974; 400 с.
74] Дирак П. Принципы квантовой механики. Наука, М., 1979; 480 с.
75] Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Вища школа, Киев,
1980; 216 с.
[76] Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. 2-е изд.
Высш. шк., М., 1975; 408 с.
[77] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Сборник задач. Вища шко¬
ла, Киев, 1987; 408 с.
[78] Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Введение в теорию обобщенных
функций. Лекционные курсы НОЦ. Матем. Ин-т РАН им. В.А. Стек-
лова, М., 2006; 162 с.
[79] Дьедонне Ж. Основы современного анализа. Мир, М., 1964; 431 с.
[80] Дэй М.М. Нормированные линейные пространства. ИЛ, М., 1961;
233 с.
[81] Ефимов А.В., Золотарев Ю.Г., Терпигорева В.М. Математический
анализ (специальные разделы). Ч. 2: Применение некоторых методов
математического и функционального анализа. Высш. шк., М., 1980;
295 с.
[82] Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г.,
Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. (Справочная
математическая библиотека.) Наука, М., 1968; 448 с.
[83] Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. Наука, М.,
1974; 487 с.
[84] Земанян А.Г. Интегральные преобразования обобщенных функций.
Наука, М., 1974; 400 с.
[85] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1, 2. Мир, М., 1965; 616 с.,
538 с.
[86] Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1, 2. Наука, М., 1981, 1984;
544 с., 640 с.
[87] Иосида К. Функциональный анализ. Мир, М., 1967; 624 с.
[88] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьковский нац. ун-т,
Харьков, 2006; 608 с.
[89] Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха.
Тартуский гос. ун-т, Тарту, 1988; 196 с. (англ. пер.: Birkhauser, 1997).
[90] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормиро¬
ванных пространствах. Физматгиз, М., 1959; 684 с.
[91] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, М.,
1977; 744 с.
[92] Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ
в полу упорядоченных пространствах. Гостехиздат, М.-Л., 1950; 548 с.

Литература
689
[93]	Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные фор¬
мы. Мир, М., 1971; 392 с.
94] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Мир, М., 1972;740 с.
95] Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. Наука, М., 1984; 496 с.
96] Келли Дж.Л. Общая топология. Наука, М., 1968; 384 с.
97] Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с при¬
ложениями в технике. Мир, М., 1978; 520 с.
[98] Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. Наука, М., 1979; 384 с.
[99] Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. Наука, М., 1988; 280 с.
[100] Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С., Дуйт К. ван, Пахтер Б. де.
Однопараметрические полугруппы. Мир, М., 1992; 352 с.
[101] Князев П.Н. Функциональный анализ. 2-е изд. Едиториал УРСС, М.,
2003; 208 с.
[102] Кованько А.С., Соколов И.Г. Теория функций действительного пере¬
менного и основы функционального анализа. Изд. Львовского ун-та,
Львов, 1961; 404 с.
[103] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика.
Мир, М., 1969; 447 с.
[104] Колмогоров А.Н. Лекции по курсу «Анализ-III». МГУ, М., 1946-1947.
[105] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функци¬
онального анализа. 4-е изд. Наука, М., 1976; 544 с.
[106] Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. ГИФМЛ,
М., 1959; 212 с.
[107] Коротков В.Б. Интегральные операторы. Наука, Новосибирск, 1983;
224 с.
[108] Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. 2-е изд.
КомКнига, М., 2006; 304 с.
[109] Краснов М. Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравне¬
ния. Задачи и примеры с подробными решениями. 4-е изд. КомКнига,
М., 2007; 192 с.
[110] Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных
интегральных уравнений. ГИТТЛ, М., 1956; 392 с.
[111] Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравне¬
ний. ГИФМЛ, М., 1962; 396 с.
[112] Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б.,
Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. Нау¬
ка, М., 1969; 456 с.
[113] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нели¬
нейного анализа. Наука, М., 1975; 512 с.
[114] Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболев¬
ский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых
функций. Наука, М., 1966; 500 с.
[115] Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные ли¬
нейные системы: метод положительных операторов. Наука, М., 1985;
256 с.
[116] Красносельский М.А., Рутицкий М.А. Выпуклые функции и про¬
странства Орлича. ГИФМЛ, М., 1958; 272 с.
[117] Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. Наука,
М., 1971; 104 с.

690
Литература
[118] Крейн С.Г. (ред.) Функциональный анализ. (Справочная математиче¬
ская библиотека.) 2-е изд. Наука, Физматлит, М., 1972; 544 с.
[119] Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных
операторов. Наука, М., 1978; 400 с.
[120] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 3: Гармонический
анализ. Элементы функционального анализа. 5-е изд. Дрофа, М.,
2006; 351 с.
[121] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких пере¬
менных. 2-е изд. Физматлит, М., 2003; 469 с.
[122] Кузнецова Т.А., Кузнецов В.Н. Функциональный анализ и полугруп¬
пы операторов. Саратов, гос. техн. ун-т, Саратов, 2001; 143 с.
123] Куратовский К. Топология. Т. 1. Мир, М., 1966; 595 с.
124] Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд. Наука, М., 1973; 400 с.
125] Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказа¬
тельства Волффа теоремы о короне. Мир, М., 1984; 364 с.
126] Кусраев А.Г. Мажорируемые операторы. Наука, М., 2003; 620 с.
127] Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Су бдиф ференциальное исчисление.
Теория и приложения. Наука, М., 2005; 529 с.
[128] Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа. 5-е изд. Изд-во
Ин-та математики, Новосибирск, 2006; xii+356 с.
[129] Кутателадзе С.С., Рубинов А.М. Двойственность Минковского и ее
приложения. Наука, Новосибирск, 1976; 256 с.
[130] Кшевецкий С.П. Численные методы и введение в функциональный
анализ. Изд-во Рос. гос. ун-та нм. И. Канта, Калининград, 2007; 209 с.
[131] Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные
задачи. Ин-т математики СО РАН, Новосибирск, 1999; 702 с.
[132] Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. 5-е изд. Наука, М., 1987; 688 с.
[133] Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.
4-е изд. Наука. Физматлит, М., 2005; 296 с.
[134] Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций
и его применение в математике и экономике. Наука, М., 1985; 352 с.
[135] Леонтьева Т.А., Панферов B.C., Серов B.C. Задачи по теории функ¬
ций действительного переменного. Изд-во МГУ, М., 1997; 208 с.
[136] Луговая Г.Д., Шерстнев А.Н. Функциональный анализ: специальные
курсы. Изд-во ЛКИ, М., 2008; 256 с.
[137] Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, сум¬
мируемых с квадратом. Изд-во МГУ, М., 1978; 111 с.
[138] Люлько Н.А., Максимова О.Д., Ляпидевский В.Ю. Функциональный
анализ. Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2005; 136 с.
[139] Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления.
2-е изд., перераб. Гостехиздат, М.-Л., 1950; 296 с.
[140] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.
2-е изд. Наука, М., 1965; 520 с.
[141] Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального ана¬
лиза. Высш. шк., М., 1982; 272 с.
[142] Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Изд-во ЛГУ, Л., 1985; 416 с.
[143] Мазья В.Г., Шапошникова Т. Мультипликаторы в пространствах Со¬
болева. Изд-во ЛГУ, Л., 1986; 404 с.

Литература
691
44] Макаров А.П. Введение в функциональный анализ. Череповец, гос.
ун-т, Череповец, 2005; 116 с.
45] Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А., Подкорытов А.Н. Избран¬
ные задачи по вещественному анализу. Наука, М., 1992; 432 с. (2-е изд.:
Невский диалект, С-Петербург, 2004; 624 с.).
46] Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики.
Мир, М., 1965; 222 с.
47] Мартиросян P.M. Дополнительные главы математического анализа.
Элементы функционального анализа в задачах. Ч. I, П. Изд-во Ере¬
ванского ун-та, Ереван, 1980, 1983; 155 с., 296 с.
48] Маслов В.П. Операторные методы. Наука, М., 1973; 544 с.
49] Мёрфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. Факториал, М., 1997;
336 с.
50] Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Мир, М.,
1977; 504 с.
51] Минусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных
функций. Вып. I, П. ИЛ, М., 1959, 1963; 79 с., 69 с.
52] Мисюркеев И.В. Введение в нелинейный функциональный анализ.
Пермский гос. ун-т, Пермь, 1968; 308 с.
53] Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. Физ-
матгиз, М., 1959; 232 с.
54] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения. Физматгиз, М.-Л., 1962; 256 с.
55] Михлин С.Г. Курс математической физики. Наука, М., 1968; 576 с.
56] Михлин С.Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения
в теории упругости. Изд-во С.-Петербургского ун-та, С.-Петербург,
1994; 272 с.
57] Морен К. Методы гильбертова пространства. Мир, М., 1965; 571 с.
58] Муштари Д.Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах.
Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1989; 152 с.
59] Муштари Д.Х. Избранные теоремы теории банаховых пространств.
Казанское матем. об-во, Казань, 2002; 100 с.
60] Наймарк М.А. Нормированные кольца. 2-е изд. Наука, М., 1968; 664 с.
61] Наймарк М.А., Мартынов В.В. Функциональный анализ: лекции для
студентов 3 курса. МФТИ, Долгопрудный, 1970; 268 с.
62] Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. ГТТИ,
М.-Л., 1950; 399 с. (3-е изд.: Наука, М., 1974; 480 с.)
63] Нейман И. фон. Математические основы квантовой механики. Наука,
М., 1964; 368 с.
64] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и тео¬
ремы вложения. Наука, М., 1977; 456 с.
65] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу.
Мир, М., 1977; 232 с.
66] Обэн Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. Мир, М.,
1988; 510 с.
67] Одинец В.П., Якубсон М.Я. Проекторы и базисы в нормированных
пространствах. 2-е изд. УРСС, М., 2004; 152 с.
68] Очан Ю.С. Сборник задач и теорем по теории функций действитель¬
ного переменного. Просвещение, М., 1965; 231 с.

692
Литература
[169] Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. Просвещение,
М., 1981; 271 с.
[170] Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их
применения к линейной топологической классификации пространств
непрерывных функций. Мир, М., 1970; 144 с.
[171] Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. Мир, М., 1967;
266 с.
[172] Пич А. Операторные идеалы. Мир, М., 1982; 536 с.
[173] Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. Наука, М.,
1965; 624 с.
[174] Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно вы¬
пуклого анализа. Физматлит, М., 2004; 416 с.
[175] Порошкин А.Г. Функциональный анализ. 2-е изд. Вуз. книга, М., 2007;
432 с.
[176] Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Мир, М.,
1979; 495 с.
[177] Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. Изд-во МАИ, М.,
1996; 744 с.
[178] Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч. И. Кн. 2. Изд-во
Ин-та матем. им. С.Л. Соболева, Новосибирск, 2001; 444 с.
[179] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1.
Функциональный анализ. Мир, М., 1977; 359 с.
[180] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2.
Гармонический анализ. Самосопряженность. Мир, М., 1978; 396 с.
[181] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3.
Теория рассеяния. Мир, М., 1982; 445 с.
[182] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4.
Анализ операторов. Мир, М., 1982; 430 с.
[183] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу.
М., 1954 (2-е изд.: Мир, М., 1979; 589 с.; 1-е франц. изд.: Budapest,
1952).
[184] Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 1.
Мир, М., 1982; 486 с.
[185] Робертсон А.П., Робертсон В.Дж. Топологические векторные про¬
странства. Мир, М., 1967; 258 с.
186] Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Мир, М., 1973; 470 с.
187] Рудин У. Основы математического анализа. Мир, М., 1976; 320 с.
188] Рудин У. Функциональный анализ. Мир, М., 1975; 445 с.
189 Садовничий В.А. Теория операторов. Высш. шк., М., 1999; 368 с.
190 Сакс С. Теория интеграла. ИЛ, М., 1949; 495 с.
191] Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Дополнительные главы функционально¬
го анализа. Ч. I. Магнитогорский гос. ун-т, Магнитогорск, 2002; 78 с.
[192] Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 5. Гостехиздат, М.-Л.,
1947; 584 с. (2-е изд. М., 1959).
[193] С мол янов О. Г. Анализ на топологических линейных пространствах и
его приложения. МГУ, М., 1979; 86 с.
[194] Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического
анализа. Наука, М., 1968; 288 с.
[195] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в ма¬
тематической физике. Изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962; 255 с.

Литература
693
[196] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. Наука, М., 1974;
808 с.
[197] Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства
функций. Мир, М., 1973; 344 с.
[198] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых
пространствах. Мир, М., 1974; 332 с.
[199] Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. Наука, М.,
1976; 328 с.
[200] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. Мир, М., 1985; 472 с.
[201] Теляковский С. А. Сборник задач по теории функций действительного
переменного. Наука, М., 1980; 112 с.
[202] Терпугов А.Ф. Функциональный анализ. Томский гос. ун-т, Томск,
1982; 167 с.
[203] Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. ГИТТЛ, М.-Л.,
1948; 479 с.
[204] Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. Изд-во
МГУ, М., 1976; 306 с.
[205] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.
3-е изд. Наука, М., 1986; 288 с.
[206] Тихонова А.А., Тихонов Н.А. Андрей Николаевич Тихонов. Собрание,
М., 2006; 240 с.
[207] Трев Ф. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с
постоянными коэффициентами. Мир, М., 1965; 296 с.
[208] Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и
интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2. Мир, М., 1984; 360 с., 400 с.
[209] Треногин В.А. Функциональный анализ. 3-е изд., Физматлит, М., 2002;
488 с.
[210] Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражне¬
ния по функциональному анализу. Наука, М., 1984; 256 с.
[211] Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,
дифференциальные операторы. Мир, М., 1980; 664 с.
[212] Трибель X. Теория функциональных пространств. Мир, М., 1986;
448 с.
[213] Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И., Казарян К.С., Сифуэн-
тес П. Действительный анализ в задачах. Физматлит, М., 2005; 416 с.
[214] Фаге М.К. Теория линейных операторов. Изд-во Новосиб. гос. ун-та,
Новосибирск, 1972; 184 с.
[215] Федоров В.М. Курс функционального анализа. Лань, СПб., 2005;
352 с.
[216] Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструк¬
ции. Изд-во МГУ, М., 1988; 252 с.
[217] Фелпс P.P. Лекции о теоремах Шоке. Мир, М., 1968; 112 с.
[218] Фет А.И. Задачи по функциональному анализу. Изд-во НГУ, Новоси¬
бирск, 1968; 34 с.
[219] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчис¬
ления. Т. 1-3. 7-е изд. Наука, М., 1970.
[220] Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом про¬
странстве. Мир, М., 1969; 232 с.
[221] Халилов З.И. Основы функционального анализа. Изд. Азерб. гос. ун¬
та, Баку, 1949; 169 с.

694
Литература
222] Халмош П. Теория меры. ИЛ, М., 1954; 292 с.
223] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. Мир, М., 1970; 352 с.
224 Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в про¬
странствах I?. Наука, М., 1985; 159 с.
[225] Харди Г.Г., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. Физматтиз, М., 1959; 156 с.
[226] Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории
операторов. Мир, М., 1983; 432 с.
[227] Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая те¬
ория, представления, гомологии. Наука, М., 1989; 464 с.
[228] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. МЦНМО, М.,
2004; 552 с.
[229] Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Т. 1-4. Мир, М., 1986-1988; 464 с., 456 с.,
696 с., 448 с.
[230] Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ, М., 1951; 635 с.
[231] Хилле Э., Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ,
М., 1962; 829 с.
[232] Холево А.С. Статистическая структура квантовой теории. РХД, Моск¬
ва - Ижевск, 2003; 192 с.
[233] Шварц Л. Применение обобщенных функций к изучению элементарых
частиц в релятивистской квантовой механике. Мир, М., 1964; 181 с.
[234] Шварц Л. Математические методы для физических наук. Мир, М.,
1965; 412 с.
[235] Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу. Уни¬
пресс & Казанское матем. об-во, Казань, 1998; 489 с.
[236] Шефер X. Топологические векторные пространства. Мир, М., 1975;
359 с.
[237] Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. Физматлит,
М., 1961; 436 с.
[238] Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. Нау¬
ка, М., 1965; 328 с.
[239] Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного.
Ч. 3. Наука, М., 1970; 352 с.
[240] Ширяев А.Н. Задачи по теории вероятностей. МЦНМО, М., 2006;
416 с.
[241] Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная те¬
ория. Наука, М., 1978; 280 с.
[242] Эванс Л.К., Гариепи Р.Ф. Теория меры и тонкие свойства функций.
Науч. книга, Новосибирск, 2002; 206 с.
[243] Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Мир, М.,
1969; 1071 с.
[244] Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1, 2. Мир, М.,
1985; 262 с., 400 с.
[245] Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.
Мир, М., 1979; 400 с.
[246] Энгелькинг Р. Общая топология. Мир, М., 1986; 752 с.
[247] Abramovich Y.A., Aliprantis C.D. An invitation to operator theory. Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2002; xiv-|-530 p.
[248] Abramovich Y.A., Aliprantis C.D. Problems in operator theory. Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2002; xii+386 p.

Литература
695
[249] Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum theory and its stochastic
limit. Springer, New York, 2002; 493 p.
[250] Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press, New York, 1975; 268 p.
(2nd ed.: Adams R.A., Fournier J.J.F. Academic Press, New York, 2003;
xiii+305 p.)
[251] Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach space theory. Springer, New
York, 2006; xii+373 p.
[252] Alfeen E.M. Compact convex sets and boundary integrals. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1971; 210 p.
[253] Aliprantis C.D., Border K.C. Infinite-dimensional analysis. A hitchhiker’s
guide. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 1999; xx+672 p.
[254] Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Locally solid Riesz spaces with
applications to economics. 2nd ed. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode
Island, 2003; xii+344 p.
[255] Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Positive operators. Academic Press,
Orlando, Florida, 1985; xvi+367 p.
[256] Aliprantis C.D., Burkinshaw O. Problems in real analysis. A workbook
with solutions. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999;
viii+403 p.
[257] Alt H.W. Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte
Einfiihrung. 5e Aufl. Springer, Berlin, 2006; xiv+431 S.
[258] Amann H., Escher J. Analysis III. Birkhauser, Basel - Boston - Berlin,
2001; 480 S.
[259] Amerio L. Analisi matematica con elementi di analisi funzionale. V. III.
Methodi matematici e applicazioni. Parte I. Unione Tipografico - Editrice
Torinese, Turin, 1981; viii-b418 p.
[260] Ansel J.-P., Ducel Y. Exercices corrig6s en th6orie de la mesure et de
Pintegration. Ellipses, Paris, 1995; 126 p.
[261] Appell J., Vath M. Elemente der Funktionalanalysis. Vektorraume,
Operatoren und Fixpunktsatze. Vieweg, Wiesbaden, 2005; xvi+349 S.
[262] Arias de Reyna J. Pointwise convergence of Fourier series. Lecture Notes
in Math. V. 1785. Springer-Verlag, Berlin, 2002; xviii+175 p.
[263] Arino O., Delode C., Genet J. Mesure et integration exercices et probRmes
avec solutions. Vuibert, Paris, 1976; 239 p.
[264] Artemiadis N.K. Real analysis. Southern Illinois University Press, Car-
bondale; Feffer к Simons, London - Amsterdam, 1976; xii+581 p.
[265] Arveson W. A short course on spectral theory. Springer-Verlag, New York,
2002; x+135 p.
[266] Atkinson K., Han W. Theoretical numerical analysis. A functional analysis
framework. 2nd ed. Springer, New York, 2005; xviii4-576 p.
[267] Aubin J.-P. Applied functional analysis. With exercises by Bernard Cornet
and Jean-Michel Lasry. 2nd ed. Wiley-Interscience, New York, 2000;
xviii-|-495 p.	*
[268] Aupetit B. A primer on spectral theory. Springer-Verlag, New York, 1991;
xii+193 p.	^
[269] Avanissian V. Initiation к l’analyse fonctionnelle. Presses Universitaires
de France, Paris, 1996; xiv+546 p.	^
[270] Bachman G., Narici L. Functional analysis. Academic Press, New York -
London, 1966; xiv+530 p.

696
Литература
[271] Baggett L.W. Functional analysis. A primer. Marcel Dekker, New York,
1992; xii+267 p.
[272] Barros-Neto J. An introduction to the theory of distributions. Marcel
Dekker, New York, 1973; ix+221 p.
[273] Bass J. Cours de math£matiques. Т. Ill: Topologie, integration, distri¬
butions, equations integrates, analyse harmonique. Masson et Cie, Paris,
1971; 405 p.
[274] Beauzamy B. Introduction to Banach spaces and their geometry. 2nd ed.
North-Holland, Amsterdam, 1985; xv+338 p.
[275] Beauzamy B. Introduction to operator theory and invariant subspaces.
North-Holland, Amsterdam, 1988; xiv+358 p.
[276] Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Academic Press,
Boston, 1988; xiv-f469 p.
[277] Benoist J., Salinier A. Exercices de calcul integral: avec rappels de cours.
Masson, Paris, 1997; ix+212 p.
[278] Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analysis.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2000; 488 p.
[279] Berberian S.K. Lectures in functional analysis and operator theory.
Springer-Verlag, New York - Heidelberg, 1974; ix+345 p.
[280] Berger M.S. Nonlinearity and functional analysis. Lectures on nonlinear
problems in mathematical analysis. Academic Press, New York - San
Francisco - London, 1977; xix+417 p.
[281] Bertrandias J.-P. Math£matiques pour Г informat ique. 1:	Analyse
fonctionnelle. Librairie Armand Colin, Paris, 1970; 230 p.
[282] Bessaga C., Pelczyiiski A. Selected topics in infinite-dimensional topology.
Polish Scientific Publ., Warszawa, 1975; 353 p.
[283] Blackadar B. Operator algebras. Theory of C*-algebras and von Neumann
algebras. Springer-Verlag, Berlin, 2006; xx+517 p.
[284] Blecher D.P., Le Merdy C. Operator algebras and their modules — an
operator space approach. Oxford Science Publications, The Clarendon
Press, Oxford University Press, Oxford, 2004; x+387 p.
[285] Bobrowski A. Functional analysis for probability and stochastic
processes. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge, 2005;
xii+393 p.
[286] Boccara N. Functional analysis. An introduction for physicists. Academic
Press, Boston, 1990; xiv+327 p.
[287] Bollob£s B. Linear analysis. An introductory course. 2nd ed. Cambridge
University Press, Cambridge, 1999; xii+240 p.
[288] Bonic R.A. Linear functional analysis. Gordon and Breach Science Publ.,
New York - London - Paris, 1969; xiv+124 p.
[28Q] Bonsall F.F., Duncan J. Complete normed algebras. Springer-Verlag, New
f York - Heidelberg, 1973; x+301 p.
[290] Bouyssel M. Integrate de Lebesgue. Mesure et integration. Exercices avec
* solutions et rappels de cours. Cepadues-editions, Toulouse, 1997; 383 p.
[291] Bratteli O., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical
£ mechanics. V. 2. 2nd ed. Springer, Berlin, 1997; xiv+519 p.
[2f92] Br£zis H. Op£rateurs maximaux monotones et semi-groupes de
contractions dans les espaces de Hilbert. North-Holland, Amsterdam-
London; American Elsevier, New York, 1973; vi+183 p.

Литература
697
[293] Br£zis Н. Analyse fonctionnelle. ТЬёопе et applications. Masson, Paris,
1983; xiv+234 p.
[294] Bridges D.S. Foundations of real and abstract analysis. Springer-Verlag,
New York, 1998; xiv+322 p.
[295] Brown A.L., Page A. Elements of functional analysis. Van Nostrand
Reinhold, London - New York - Toronto, 1970; xi+394 p.
[296] Brown A., Pearcy C. Introduction to operator theory. I. Elements of
functional analysis. Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg,
1977; xiv+474 p.
[297] Bruckner A.M., Bruckner J.B., Thomson B.S. Real analysis. Prentice-Hall,
1997; 713 p.
[298] Burg K., Haf H., Wille F. Hohere Mathematik fur Ingenieure. В. V:
Funktionalanalysis und partielle Differentialgleichungen. B.G. Teubner,
Stuttgart, 1991; xviii-l-446 S.
[299] Capinski М., Zastawniak T. Probability through problems. Springer-Ver-
lag, New York, 2001; viii-l-257 p.
[300] Carl B., Stephani I. Entropy, compactness and the approximation of
operators. Cambridge University Press, Cambridge, 1990; x+277 p.
[301] Carothers N.L. A short course on Banach space theory. Cambridge
University Press, Cambridge, 2005; xii+184 p.
[302] Casazza P.G., Shura T.J; TsirePson’s space. Lecture Notes in Math.
V. 1363. Springer-Verlag, Berlin, 1989; viii+204 p.
[303] Cheney W. Analysis for applied mathematics. Springer-Verlag, New York,
2001; viii-|-444 p.
[304] Chernoff P.R. Product formulas, nonlinear semigroups, and addition of
unbounded operators. Mem. Amer. Math. Soc., N 140. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 1974; v+121 p.
[305] Choquet G. Lectures on analysis. V. I: Integration and topological vector
spaces. W.A. Benjamin, New York - Amsterdam, 1969; xx-f360-fxxi p.
[306] Choquet-Bruhat Y. Distributions. Masson et Cie, Paris, 1973; x+232 p.
[307] Choudhary B., Nanda S. Functional analysis with applications. John
Wiley & Sons, New York, 1989; xii-f344 p.
[308] Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland,
Amsterdam - London, Amer. Elsevier, New York, 1974; 133 p.
[309] Cioranescu I. Geometry of Banach spaces, duality mappings and nonlinear
problems. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1990; xiv+260 p.
[310] Connes A. Noncommutative geometry. Academic Press, London, 1994;
xiv+661 p.
[311] Conway J.B. A course in functional analysis. 2nd ed. Springer-Verlag, New
York, 1990; xvi+399 p.
[312] Conway J.B. The theory of subnormal operators. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 1991; xvi-|-436 p.
[313] Conway J.B. A course in operator theory. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 2000; xvi+372 p.
[314] Costara C., Popa D. Exercises in functional analysis. Kluwer Academic
Publ., Dordrecht, 2003; x-l-451 p.
[315] Cotlar М., Cignoli R. An introduction to functional analysis. North-
Holland, Amsterdam - London; 1974; xiv+585 p.
[316] Cryer C.W. Numerical functional analysis. The Clarendon Press, Oxford
University Press, New York, 1982; iv+417+151 p.

698
Литература
[317] Davies Е.В. One-parameter semigroups. Academic Press, London - New
York, 1980; viii-f-230 p.
[318] Davies E.B. Linear operators and their spectra. Cambridge University
Press, Cambridge, 2007; xii+451 p.
[319] Davis M. A first course in functional analysis. Gordon and Breach, New
York - London - Paris, 1966; xii+110 p.
[320] Debnath L., Mikusinski P. Introduction to Hilbert spaces with applicati¬
ons. 2nd ed. Academic Press, San Diego, California, 1999; xx+551 p.
[321] Defant A., Floret K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland,
Amsterdam, 1993; xii+566 p.
[322] Deimling K. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985;
xiv+450 p.
[323] Denkowski Z., Migdrski S., Papageorgiou N.S. An introduction to nonli¬
near analysis: theory. Kluwer Academic Publ., Boston, 2003; xvi-1-689 p.
[324] Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach
spaces. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley & Sons, New
York, 1993; xii-l-376 p.
[325] DeVito C.L. Functional analysis and linear operator theory. Addison-
Wesley Publishing Company, Redwood City, CA, 1990; x+358 p.
[326] DiBenedetto E. Real analysis. Birkhauser, Boston, 2002; xxiv+485 p.
[327] Diestel J. Sequences and series in Banach spaces. Springer, Berlin - New
York, 1984; xi+261 p.
[328] Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Amer. Math. Soc., Providence, 1977;
xiii+322 p.
[329] Dieudonnd J. History of functional analysis. North-Holland, Amsterdam
- New York, 1981; vi+312 p.
[330] Douglas R.G. Banach algebra techniques in operator theory. 2nd ed.
Springer-Verlag, New York, 1998; xvi+194 p.
[331] Dowson H.R. Spectral theory of linear operators. Academic Press, London
- New York, 1978; xii+422 p.
[332] Dudley R.M. Real analysis and probability. Wadsworth & Brooks, Pacific
Grove, California, 1989; xii+436 p.
[333] Dulst D. van. Reflexive and superreflexive Banach spaces. Mathematisch
Centrum, Amsterdam, 1978; v+273 p.
[334] Duoandikoetxea J. Fourier analysis. American Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 2001; xviii+222 p.
[335] Duren P., Schuster A. Bergman spaces. Amer. Math. Soc., Providence,
Rhode Island, 2004; x+318 p.
[336] Edmunds D.E., Kokilashvili V., Meskhi A. Bounded and compact integral
operators. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2002; xvi+643 p.
[337] Effros E.G., Ruan Z.-J. Operator spaces. Clarendon Press, Oxford, 2000;
xvi-l-363 p.
[338] Egle K. Elemente der Funktionalanalysis. Verlag Anton Hain, Konigstein,
1980; 187 S.
[339] Eidelman Y., Milman V., Tsolomitis A. Functional analysis. An introduc¬
tion. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2004; xvi+323 p.
[340] Engel K.-J., Nagel R. A short course on operator semigroups. Springer,
New York, 2006; x+247 p.
[341] Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution
equations. Springer-Verlag, New York, 2000; xxii-|-586 p.

Литература
699
[342] Epstein В. Linear functional analysis. Introduction to Lebesgue integrar
tion and infinite-dimensional problems. W.B. Saunders, Philadelphia -
London - Toronto, 1970; x+229 p.
[343] Fabian М., Habala P., H&jek P., Montesinos Santalucfa V., Pelant J.,
Zizler V. Functional analysis and infinite-dimensional geometry. Springer-
Verlag, New York, 2001; x+451 p.
[344] Fenyo S., Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen.
B.	1-4. Birkhauser, Basel, 1982-1984; 328 S., 376 S., 548 S., 708 S.
[345] Fetter H., Gamboa de Buen B. The James forest. With a foreword
by Robert Сt James and a prologue by Bernard Beauzamy. Cambridge
University Press, Cambridge, 1997; xii+255 p.
[346] Fichera G. Lezioni sulle trasformazioni lineari. V. I. Introduzione alPanalisi
lineare. Istituto Matematico, University, Trieste, 1954; xvii+502-Hv p.
[347] Fillmore P.A. A user’s guide to operator algebras. John Wiley & Sons,
New York, 1996; xiv+223 p.
[348] Fleming R.J., Jamison J.E. Isometries on Banach spaces: function spaces.
Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2003; x+197 p.
[349] Folland G.B. Real analysis: modern techniques and their applications. 2nd
ed. Wiley, New York, 1999; xiv+386 p.
[350] Fremlin D. Measure theory. V. 1-5. University of Essex, Colchester, 2003.
[351] Friedlander F.G. Introduction to the theory of distributions. Cambridge
University Press, Cambridge, 1982; vii+157 p.
[352] Fuchssteiner B., Laugwitz D. Funktionalanalysis. Bibliographisches Insti-
tut, Mannheim - Vienna - Zurich, 1974; 219 S.
[353] Garnir H.G., De Wilde М., Schmets J. Analyse fonctionnelle. Т. I—III.
Birkhauser Verlag, Basel-Stuttgart, 1968,1972,1973; 562 p., 287 p., 375 p.
[354] Garsia A.M. Topics in almost everywhere convergence. Markham Publ.,
Chicago, 1970; x+154 p.
[355] Garsoux J. Espaces vectoriels topologiques et distributions. Dunod, Paris,
1963; xiii+324 p.
[356] Gelbaum B. Problems in real and complex analysis. Springer, New York,
1992; x+488 p.
[357] George C. Exercises in integration. Springer-Verlag, Berlin - New York,
1984; 550 p.
[358] Giles J.R. Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge
University Press, Cambridge, 2000; xiv+280 p.
[359] Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. Van Nostrand,
Princeton - New York, 1960; ix+300 p.
[360] Goffman C., Pedrick G. First course in functional analysis. Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, 1965; xi+282 p.
[361] Gohberg I., Goldberg S. Basic operator theory. Birkhauser, Boston, 1981;
xiii+285 p.
[362] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M.A. Basic classes of linear operators.
Birkhauser Verlag, Basel, 2003; xviii+423 p.
[363] Gohberg I., Goldberg S., Kaashoek M.A. Classes of linear operators. V. I,
II.	Birkhauser Verlag, Basel, 1990, 1993; xiv+468 p., x+552 p.
[364] Gohberg I., Goldberg S., Krupnik N. Traces and determinants of linear
operators. Birkhauser Verlag, Basel, 2000; x+258 p.
[365] Goldberg S. Unbounded linear operators: Theory and applications.
McGraw-Hill, New York - Toronto - London, 1966; viii+199 p.

700
Литература
[366] Gonnord S., Tosel N. Topologie et analyse fonctionnelle. Thames d’analyse
pour l’agr^gation. Ellipses, Paris, 1996; 160 p.
[367] Gopfert A., Riedrich Th. Funktionalanalysis. 4e Aufl. B. G. Teubner
Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1994; 136 S.
[368] Gostiaux B. Cours de math£matiques sp£ciales. Tome 3: Analyse
fonctionnelle et calcul differentiel. Presses Universitaires de France, Paris,
1993; viii+443 p.
[369] Grafakos L. Classical and modern Fourier analysis. Pearson/Prentice Hall,
2004; 859 p.-happendices.
[370] Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. Springer, New York, 2003;
xv-|-690 p.
[371] Griffel D.H. Applied functional analysis. Rev. repr. of the 1985 ed. Dover
Publications, Mineola, New York, 2002; 390 p.
[372] Groetsch Ch.W. Elements of applicable functional analysis. Marcel
Dekker, New York, 1980; x+300 p.
[373] Grossmann S. Funktionalanalysis. В. I,II: Im Hinblick auf Anwendungen
in der Physik. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main, 1970;
xv+158 S., xi+157 S.
[374] Grothendieck A. Topological vector spaces. Gordon and Breach, New York
- London - Paris, 1973; x+245 p.
[375] Guerre-Delabrifcre S. Classical sequences in Banach spaces. Marcel Dekker,
New York, 1992; xvi+207 p.
[376] Ha D.M. Functional analysis. V. 1: a gentle introduction. Matrix Editions,
Ithaca, New York, 2006; xvi+640 p.
[377] Hansen V.L. Functional analysis. Entering Hilbert space. World Scientific
Publ., Hackensack, New Jersey, 2006; x+136 p.
[378] Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces.
Springer-Verlag, New York, 2000; x+286 p.
[379] Heine J. Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten
Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, Miinchen, 2002; x+745 S.
[380] Helmberg G. Introduction to spectral theory in Hilbert space. North-
Holland, Amsterdam - London; John Wiley & Sons, New York, 1969;
xiii+346 p.
[381] Hengartner W., Lambert М., Reischer C. Introduction к l’analyse
fonctionnelle. Presses de l’Universit£ du Quebec, Montreal, 1981; v+538 p.
[382] Непгё M. Transformation de Fourier et distributions. Presses Universi¬
taires de France, Paris, 1986; 182 p.
[383] Heuser H. Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3e Aufl., B.G.
Teubner, Stuttgart, 1992; 696 S.; англ. пер.: Functional analysis. John
Wiley & Sons, Chichester, 1982; xv+408 p.
[384] Hewitt E., Stromberg K. Real and abstract analysis. Englewood Springer,
Berlin - New York, 1975; x+476 p.
[385] Hille E. Methods in classical and functional analysis. Addison-Wesley,
Reading, 1972; ix+486 p.
[386] Hirsch F., Lacombe G. Elements d’analyse fonctionnelle. Masson, Paris,
1997; x+340 p.; англ. пер.: Elements of functional analysis. Springer-
Verlag, New York, 1999; xiv+393 p.
[387] Hirzebruch F., Scharlau W. Einfuhrung in die Funktionalanalysis. Reprint
of the 1971 original. B.I.-Hochschultaschenbiicher Bibliographisches
Institut, Mannheim, 1991; 178 S.

Литература
701
[388] Holmes R.B. Geometric functional analysis and its applications. Springer-
Verlag, New York - Heidelberg, 1975; x-t-246 p.
[389] Horvath J. Topological vector spaces and distributions. V. I. Addison-
Wesley, Reading - London - Don Mills, 1966; xii+449 p.
[390] Hunter J.K., Nachtergaele B. Applied analysis. World Scientific Publ.,
River Edge, New Jersey, 2001; xiv+439 p.
[391] Istrajescu V.I. Introduction to linear operator theory. Marcel Dekker, New
York, 1981; xii+579 p.
[392] Jain P.K., Ahuja O.P., Ahmad Kh. Functional analysis. New Age
International, New Delhi, 1995; x+326 p.
[393] Jantscher L. Distributionen. Walter de Gruyter, Berlin - New York, 1971;
367 S.
[394] Jantscher L. Hilbertraume. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden,
1977; 294 S.
[395] Jarchow H. Locally convex spaces. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981; 548 p.
[396] Johnson W.B., Lindenstrauss J. (ed.) Handbook of the geometry of Banach
spaces. V. I, II. North-Holland, Amsterdam, 2001, 2003; x+1005 p.,
xii+1007-1866 p.
[397] J0rboe O.G., Mejlbro L. The Carleson-Hunt theorem on Fourier series.
Lecture Notes in Math. V. 911. Springer, Berlin - New York, 1982; 123 p.
[398] Jorgens K. Linear integral operators. Pitman, Boston - London, 1982;
x+379 p.
[399] Joshi M.C., Bose R.K. Some topics in nonlinear functional analysis. Wiley
Eastern, New Delhi, 1985; 311 p.
[400] Jost J. Postmodern analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1998; xviii-f-353 p.
[401] Kaczor W.J., Nowak M.T. Problems in mathematical analysis III:
integration. Amer. Math.	Soc.,	Providence, Rhode Island, 2003;	356 p.
[402]	Kadison	R.V.,	Ringrose	J.R.	Fundamentals of the theory	of	operator
algebras. V. I. Elementary theory. Reprint of the 1983 original. Amer.
Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1997; xvi+398 p.
[403] Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. Vol. II. Advanced theory. Corrected reprint of the 1986 original.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1997; i-xxii+676 p.
[404]	Kadison	R.V.,	Ringrose	J.R.	Fundamentals of the theory	of	operator
algebras.	Vol.	III. Special topics. Elementary theory -	an	exercise
approach. Birkhauser Boston, Boston, 1991; xiv+273 p.
[405] Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the theory of operator
algebras. Vol. IV. Special topics. Advanced theory - an exercise approach.
Birkhauser Boston, Boston, 1992; i-xv+586 p.
[406] Kalton N.J., Peck N.T., Roberts J.W. An F-space sampler. Cambridge
University Press, Cambridge, 1984; xii+240 p.
[407] Kahiza R. The life of Stefan Banach. Through a reporter’s eyes. Birkhauser
Boston, Boston, 1996; x+137 p.
[408] Kantorovitz S. Introduction to modern analysis. Oxford University Press,
New York, 2003; xii-|-434 p.
[409] Kanwal R.P. Generalized functions. Theory and applications. 3d ed.
Birkhauser Boston, Boston, 2004; xviii+476 p.
[410] Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis. 2nd ed. Dover Publ.,
New York, 1976; xiv+264 p.
[411] Kelley J.L., Namioka I. Linear topological spaces. 2nd ed. Springer-Verlag,
New York - Heidelberg, 1976; xv+256 p.

702
Литература
[412] Kesavan S. Topics in functional analysis and applications. John Wiley &
Sons, New York, 1989; xii+267 p.
[413] Kesavan S. Nonlinear functional analysis. A first course. Hindustan Book
Agency, New Delhi, 2004; x+176 p.
[414] Khatskevich V., Shoiykhet D. Differentiable operators and nonlinear
equations. Birkhauser, Basel, 1994; x+280 p.
[415] Kirk W.A., Sims B. (eds.) Handbook of metric fixed point theory. Kluwer
Academic Publ., Dordrecht, 2001; xiv+703 p.
[416] Komornik V. Precis d’analyse r£elle. T. 2: Analyse fonctionnelle, integrate
de Lebesgue, espaces fonctionnels. Ellipses, Paris, 2002; viiiH-248 p.
[417] Konig H. Eigenvalue distribution of compact operators. Birkhauser Verlag,
Basel, 1986; 262 p.
[418] Korevaar J. Mathematical methods. V. I: linear algebra, normed spaces,
distributions, integration. Academic Press, London, 1968; x+505 p.
[419] Kothe G. Topological vector spaces. V. I, II. Springer-Verlag, New York,
1969, 1979; xv+456 p., xii+331 p.
[420] Krengel U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin - New York,
1985; 357 p.
[421] Kress R. Linear integral equations. 2nd ed. Springer, New York, 1999;
xiv+365 p.
[422] Kreyszig E. Introductory functional analysis with applications. John Wiley
& Sons, New York, 1989; xvi+688 p.
[423] Krishnan V.K. Textbook of functional analysis. A problem-oriented
approach. Prentice-Hall of India, New Delhi, 2001; x+394 p.
[424] Kubrusly C.S. Elements of operator theory. Birkhauser Boston, Boston,
2001; xiv+527 p.
[425] Kubrusly C.S. Hilbert space operators. A problem solving approach.
Birkhauser Boston, Boston, 2003; xvi+149 p.
[426] Kufher A., Kadlec J. Fourier series. Iliffe Books, London, 1971; 13-1-358 p.
[427] Kiihner E., Lesky P. Grundlagen der Funktionalanalysis und Approxima-
tionstheorie. Vandenhoeck & Ruprecht, Gottingen, 1977; 216 S.
[428] Lacey H.E. The isometric theory of classical Banach spaces. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1974; x+270 p.
[429] Lacombe G., Massat P. Analyse fonctionnelle. Exercices corrig£s. Dunod,
Paris, 1999; 356 p.
[430] Lahiri B.K. Elements of functional analysis. 6th ed. World Press, Calcutta,
2005; xvi+559 p.
[431] Lang S. Real and functional analysis. 3d ed. Springer, New York, 1993;
xiv+580 p.
[432] Larsen R. Functional analysis: an introduction. Marcel Dekker, New York,
1973; xii+497 p.
[433] Lax P.D. Functional analysis. John Wiley & Sons, New York, 2002;
xx+580 p.
[434] Lelong P. Introduction к 1’analyse fonctionnelle. I: Espaces vectoriels
topologiques. Les cours de Sorbonne. Centre de Documentation
Universitaire, Paris, 1971; ii+230 p.
[435] Letac G. Exercises and solutions manual for “Integration and probability”
by Paul Malliavin. Springer-Verlag, New York, 1995; viii-hl42 p.
[436] Li D., Queffelec H. Introduction к l’£tude des espaces de Banach. Soc.
Math, de France, Paris, 2004; xxiv+627 p.

Литература
703
[437] Limaye B.V. Functional analysis. 2nd ed. New Age International Publ.,
New Delhi, 1996; x-1-612 p.
[438] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. I,II. Springer,
Berlin - New York, 1977, 1979; xiii-l-190 p., x-f243 p.
[439] Losch F. Hohere Mathematik: eine Einfuhrung fur Studierende und
zum Selbststudium (von H. Mangoldt, К. Knopp). B. 4: Mengenlehre,
Lebesguesches Mafi und Integral, Topologische Raume, Vektorraume,
Funktionalanalysis, Integralgleichungen. 4e Aufl. S. Hirzel Verlag,
Stuttgart, 1990; xv+612 S.
[440] Liitzen J. The prehistory of the theory of distributions. Springer-Verlag,
New York - Berlin, 1982; viii+232 p.
[441] Luxemburg W.A.J., Zaanen A.C. Riesz spaces. V. I, П. North-Holland,
Amsterdam - London; American Elsevier, New York, 1971, 1983;
xi+514 p., xi+720 p.
[442] Maddox I.J. Elements of functional analysis. 2nd ed. Cambridge
University Press, Cambridge, 1988; xii+242 p.
[443] Marie Ch.-М., Pilibossian Ph. Analyse fonctionnelle. Ellipses, Paris, 2004;
134 p.
[444] Marti J.T. Introduction to the theory of bases. Springer-Verlag, New York,
1969; xii-fl49 p.
[445] Mathieu M. Funktionalanalysis: ein Arbeitsbuch. Spektrum, Akad. Verl.,
Heidelberg, 1998; vii+393 S.
[446] Mauldin R.D. (ed.) The Scottish Book. Mathematics from the Scottish
Cafe. Birkhauser, Boston, 1981; xiiiH-268 p.
[447] Maurin K. Analysis. Part П. Integration, distributions, holomorphic func¬
tions, tensor and harmonic analysis. Reidel, Dordrecht, 1980; xvii+829 p.
[448] Megginson R.E. An introduction to Banach space theory. Springer-Verlag,
New York, 1998; xx+596 p.
[449] Meise R., Vogt D. Einfuhrung in die Funktionalanalysis. Friedr. Vieweg
& Sohn, Braunschweig, 1992; x+416 S.; англ. пер.: Introduction to
functional analysis. The Clarendon Press, Oxford University Press, New
York, 1997; x+437 p.
[450] Meyer-Nieberg P. Banach lattices. Springer-Verlag, Berlin, 1991;
xvi+395 p.
[451] Michel A.N., Herget Ch.J. Applied algebra and functional analysis. Corr.
repr. of the 1981 original. Dover Publ., New York, 1993; x+484 p.
[452] Mikhlin S.G., Prossdorf S. Singular integral operators. Springer-Verlag,
Berlin, 1986; 528 p.
[453] Milman V.D., Schechtman G. Asymptotic theory of finite dimensional
normed spaces. With an appendix by M. Gromov: Isoperimetric
inequalities in Riemannian manifolds. Lecture Notes in Math. V. 1200.
Springer-Verlag, Berlin - New York, 1986; viii+156 p.
[454] Miranda C. Istituzioni di analisi funzionale lineare. V- I,IL Pitagora
Editrice, Bologna, 1978, 1979; iii+596 p., 748 p.
[455] Mitrovid D., 2ubrini£ D. Fundamentals of applied functional analysis.
Distributions - Sobolev spaces - nonlinear elliptic equations. Longman,
Harlow, 1998; x+399 p.
[456] Mlak W. Hilbert spaces and operator theory. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht; PWN - Polish Scientific Publ., Warsaw, 1991; xii+290 p.

704
Литература
[457] Monna A.F. Functional analysis in historical perspective. John Wiley &
Sons, New York - Toronto, 1973; viii+167 p.
[458] Moore R.E. Computational functional analysis. Ellis Horwood, Chichester;
Halsted Press [John Wiley & Sons], New York, 1985; 156 p.
[459] Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation. I.
Basic theory. II, Applications. Springer-Verlag, Berlin, 2006; xxii-b579 p.,
xxii+610 p.
[460] Morrison T.J. Functional analysis. An introduction to Banach space
theory. John Wiley & Sons, New York, 2001; xiv+359 p.
[461] Mozzochi C.J. On the pointwise convergence of Fourier series. Lecture
Notes in Math. V. 199. Springer-Verlag, Berlin, 1971; vii+87 p.
[462] Mukherjea A., Pothoven K. Real and functional analysis. Plenum Press,
New York, 1978; x+529 pi
[463] Muller V. Spectral theory of linear operators and spectral systems in
Banach algebras. Birkhauser, Basel, 2003; x+381 p.
[464] Nachbin L. Introduction to functional analysis: Banach spaces and
differential calculus. Marcel Dekker, New York, 1981; ix+166 p.
[465] Nair M.T. Functional analysis. A first course. Prentice-Hall of India, New
Delhi, 2005; 448 p.
[466] Narici L., Beckenstein E. Topological vector spaces. Marcel Dekker, New
York, 1985; xii-l-408 p.
[467] Naylor A., Sell G. Linear operator theory in engineering and science. 2nd
ed. Springer-Verlag, New York - Berlin, 1982; xv-f-624 p.
[468] Nikolski N.K. Operators, functions, and systems: an easy reading. V. 1,2.
Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2002; xiv-f461 p., xiv-|-439 p.
[469] Nowinski J.L. Applications of functional analysis in engineering. Plenum
Press, New York, 1981; xv+304 p.
[470] Oden J.T., Demkowicz L.F. Applied functional analyis. CRC Press, Boca
Raton, Florida, 1996; xiv+653 p.
[471] Okikiolu G.O. Aspects of the theory of bounded integral operators in Lp-
spaces. Academic Press, London - New York, 1971; ix-f522 p.
[472] Olevskii A.M. Fourier series with respect to general orthogonal systems.
Springer-Verlag, New York - Heidelberg, 1975; viii+136 p.
[473] Orlicz W. Linear functional analysis. World Scientific Publ., River Edge,
New Jersey, 1992; xvi+246 p.
[474] Packel E.W. Functional analysis. A short course. Corrected reprint of
the 1974 original. Robert E. Krieger Publ., Huntington, New York, 1980;
xvii+172 p.
[475] Panzone R. Lecciones preliminares de an&lisis funcional. Universidad
Nacional del Sur, Instituto de Matem&tica, Bahia Blanca, 1983; v-l-196 p.
[476] Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial
differential equations. Springer-Verlag, New York, 1983; viii+279 p.
[477] Pedersen M. Functional analysis in applied mathematics and engineering.
Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 2000; x+298 p.
[478] Рёгег Carreras P., Bonet J. Barrelled locally convex spaces. North-
Holland, Amsterdam, 1987; xvi-|-512 p.
[479] Petersen B.E. Introduction to the Fourier transform & pseudodifferential
operators. Pitman, Boston, 1983; xi+356 p.

Литература
705
[480] Pflaumann Е., Unger Н. Funktionalanalysis. I, П. Bibliographisches
Institut, Mannheim - Vienna - Zurich, 1968, 1974; 240 S., 338 S.
[481] Phelps R.R. Convex functions, monotone operators and differentiability.
2nd ed. Lecture Notes in Math. V. 1364. Springer-Verlag, Berlin, 1993;
xii+117 p.
[482] Phillips E.R. An introduction to analysis and integration theory. Dover
Publications, New York, 1984; xxviii-f-452 p.
[483] Pinsky M.A. Introduction to Fourier analysis and wavelets. Pacific Grove,
Brooks/Cole, California, 2002; xviii+376 p.
[484] Pietsch A. Eigenvalues and s-numbers. Cambridge University Press,
Cambridge, 1987; 360 p.
[485] Pietsch A. History of Banach spaces and linear operators. Birkhauser
Boston, Boston, 2007; xxiv+855 p.
[486] Pietsch A., Wenzel J. Orthonormal systems and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1998; x+553 p.
[487] Pisier G. The volume of convex bodies and Banach space geometry.
Cambridge University Press, Cambridge, 1999; xv+250 p.
|488] Pisier G. Introduction to operator space theory. Cambridge University
Press, Cambridge, 2003; vii+478 p.
[489] Ponnusamy S. Foundations of functional analysis. Alpha Science
International, Pangbourne, 2002; xvi+457 p.
[490] Pryce J.D» Basic methods of linear functional analysis. Hutchinson,
London, 1973; 320 p.
[491] Rao K.-C. Functional analysis. 2nd ed. Narosa, New Delhi, 2006; 282 p.
[492] Ray W.O. Real analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1988; xii+307 p.
[493] Reddy B.D. Introductory functional analysis. With applications to
boundary value problems and finite elements. Springer-Verlag, New York,
1998; xiv+471 p.
[494] Rickart Ch.E. General theory of Banach algebras. Van Nostrand,
Princeton - New York, 1960; xi+394 p.
[495] Ringrose J.R. Compact non-self-adjoint operators. Van Nostrand
Reinhold, London, 1971; vi+238 p.
[496] Rolewicz S. Functional analysis and control theory. Linear systems.
Reidel, Dordrecht; PWN - Polish Sci. Publ., Warsaw, 1987; xvi+524 p.
[497] Rolewicz S. Metric linear spaces. 2nd ed. Reidel, Dordrecht; PWN - Polish
Sci. Publ., Warsaw, 1985; xii+459 p.
[498] Roman P. Some modern mathematics for physicists and other outsiders.
An introduction to algebra, topology, and functional analysis. V. 2: Func¬
tional analysis with applications. Pergamon Press, New York, 1975; 288 p.
[499] Royden H.L. Real analysis. 3d ed., Prentice Hall, Englewood Cliffs, New
Jersey, 1988; 444 p. (1st ed.: Macmillan, 1963).
[500] Ruckle W.H. Modern analysis. Measure theory and functional analysis
with applications. PWS-Kent Publ., Boston, 1991; xv+265 p.
[501] Ryan R.A. Introduction to tensor products of Banach spaces. Springer-
Verlag London, London, 2002; xiv+225 p.
[502] Rynne B.P., Youngson M.A. Linear functional analysis. 2nd ed. Springer-
Verlag London, London, 2008; x+324 p.
[503] Sakai S. C*-a!gebras and W*-algebras. Springer, Berlin, 1971; xii+253 p.

706
Литература
[504] Samu&idfcs М., Touzillier L. Analyse fonctionnelle. Collection La Che-
veche, Сёраёиёв fiditions, Toulouse, 1989; iv+289 p.
[505] Samu£lidfcs М., Touzillier L. Problfcmes d’analyse fonctionnelle et d’ana¬
lyse harmonique. Collection La Che veche, C£padufcs Editions, Toulouse,
1993; vi+392 p.
[506] Saxe K. Beginning functional analysis. Springer-Verlag, New York, 2002;
xii+197 p.
[507] Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators. Springer-Verlag,
New York - Heidelberg, 1974; xi+376 p.
[508] Schechter M. Principles of functional analysis. 2nd ed. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 2002; xxii+425 p.
[509] Schirotzek W. Nonsmooth analysis. Springer, Berlin, 2007; xii+373 p.
[510] Schroder H. Funktionalanalysis. 2e Aufl., Verlag Harri Deutsch, Thun,
2000; viii+384 S.
[511] Schwartz J.T. Nonlinear functional analysis. Notes by H. Fattorini, R.
Nirenberg and H. Porta. With an additional chapter by Hermann Karcher.
Gordon and Breach Sci. Publ., New York - London - Paris, 1969; 236 p.
[512] Schwartz L. ТЬёопе des distributions. Т. I,II. Hermann & Cie, Paris, 1950,
1951; 148 p., 169 p. (2e ed.: Hermann, Paris, 1966; xiii+420 p.)
[513] Segal I., Kunze R.A. Integrals and operators. 2nd ed. Springer, Berlin -
New York, 1978; xiv+371 p.
[514] Semadeni Z. Banach spaces of continuous functions. V. I. Polish Sci. Publ.,
Warszawa, 1971; 584 p.
[515] Siddiqi A.H. Functional analysis with applications. Tata McGraw-Hill,
New Delhi, 1986; xv+308 p.
[516] Simmons G.F. Introduction to topology and modern analysis. McGraw-
Hill, New York - London, 1963; xv+372 p.
[517] Simon B. Trace ideals and their applications. 2nd ed. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 2005; viii+150 p.
[518] Singer I. Bases in Banach spaces. I, II. Springer-Verlag, New York - Berlin,
1970, 1981; viii+668 p., viii+880 p.
[519] Singh S., Watson B., Srivastava P. Fixed point theory and best
approximation: The KKM-map principle. Kluwer Academic Publ.,
Dordrecht, 1997; x+220 p.
[520] Skandalis G. Topologie et analyse fonctionnelle: math£matiques pour la
licence. Cours et exercices avec solutions. Dunod, Paris, 2000; xi+323 p.
[521] Sohrab H.H. Basic real analysis. Birkhauser Boston, Boston, 2003;
xiv+559 p.
[522] Somasundaram D. First course in functional analysis. Narosa, New Delhi,
2006; ix+399 p.
[523] Sonntag Y. Topologie et analyse fonctionnelle. Cours de licence avec 240
exercices et 30 problfcmes соп^ёв. Ellipses, Paris, 1998; 512 p.
[524] Stein E.M. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and
oscillatory integrals. Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
1993; xiii-l-695 p.
[525] Stone M.H. Linear transformations in Hilbert space and their applications
to analysis. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., V. 15, New York, 1932;
viii+622 p.; Reprint: Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1990.

Литература
707
[526] Storch U., Wiebe Н. Lehrbuch der Mathematik. В. 4: Analysis auf
Mannigfaltigkeiten, Funktionentheorie, Funktionalanalysis. Spektrum
Akademischer Verlag, Heidelberg, 2001; 889 S.
[527] Strichartz R.S. A guide to distribution theory and Fourier transforms.
CRC Press, Boca Raton, Florida, 1994; x+213 p.
[528] Stromberg K. An introduction to classical real analysis. Wadsworth,
Belmont, 1981; ix+575 p.
[529] §uhubi E.S. Functional analysis. Kluwer Academic Publ., Dordrecht,
2003; xii+691 p.
[530] Sunder V.S. Functional analysis. Spectral theory. Birkhauser, Basel, 1997;
x+241 p.
[531] Swartz Ch. An introduction to functional analysis. Marcel Dekker, New
York, 1992; xiv-МЮО p.
[532] Takahashi W. Nonlinear functional analysis. Fixed point theory and its
applications. Yokohama Publ., Yokohama, 2000; iv+276 p.
[533] Takesaki M. Theory of operator algebras. V. I—III- Springer-Verlag, Berlin,
1979, 2003; vii+415 p., xxii+518 p., xxii+548 p.
[534] Taylor A.E. Introduction to functional analysis. John Wiley & Sons, New
York; Chapman & Hall, London, 1958; xvi4-423 p.
[535] Tomczak-Jaegermann N. Banach-Mazur distances and finite-dimensional
operator ideals. Longman Scientific & Technical, Harlow; John Wiley &
Sons, New York, 1989; xii+395 p.
[536] Torchinsky A. Real variable methods in harmonic analysis. Academic
Press, New York, 1986; 462 p.
[537] Torchinsky A. Real variables. Addison-Wesley, New York, 1988; 403 p.
[538] Trfcves F. Topological vector spaces, distributions and kernels. Academic
Press, New York - London, 1967; xvi+624 p.
[539] Tricomi F.G. Istituzioni di analisi superiore (metodi matematici della
fisica). 2 ed. CEDAM, Padua, 1970; ix+472 pp.
[540] Triebel H. Hohere Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,
Berlin, 1972; 704 S.; англ. пер.: Higher analysis. Johann Ambrosius Barth
Verlag, Leipzig, 1992; 473 p.
[541] Vasilescu F.H. Analytic functional calculus and spectral decompositions.
Reidel, Dordrecht, 1982; xiv+378 p.
[542] Vitali G. Geometria nello spazio Hilbertiano. N. Zanichelli, Bologna, 1929;
283 p.
[543] Wagschal C. Topologie et analyse fonctionnelle. Exercices corrig^s.
Hermann, Paris, 2003; iv-f526 p.
[544] Walter W. Einfuhrung in die Theorie der Distributionen. 3e Aufl. Bibliogr.
Inst., Mannheim, 1994; xiv+240 S.
[545] Weidmann J. Linear operators in Hilbert spaces. Springer, New York,
1980; xiii+402 p.
[546] Werner D. Funktionalanalysis. 4e Aufl. Springer-Verlag, Berlin, 2002;
xiii+503 S.
[547] Widder D.V. The Laplace transform. Princeton Univ. Press, New Jersey,
1946; x+406 p.
[548] Wilansky A. Functional analysis. Blaisdell - Ginn, New York - Toronto
- London, 1964; xvi+293 p.

708
Литература
[549] Wilansky A. Topology for analysis. Ginn, Waltham - Toronto - London,
1970; xiii+383 p.
[550] Wloka J. Funktionalanalysis und Anwendungen. Walter de Gruyter,
Berlin - New York, 1971; 291 p.
[551] Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge University Press,
Cambridge, 1991; xiv+382 p.
[552] Wong Y.-C. Some topics in functional analysis and operator theory.
Science Press, Beijing, 1993; vi+327 p.
[553] Wouk A. A course of applied functional analysis. John Wiley & Sons, New
York, 1979; xvii+443 p.
[554] Young N. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press,
Cambridge, 1988; x+239 p.
[555] Zaanen A.C. Linear analysis. Measure and integral, Banach and Hilbert
space, linear integral equations. Interscience, New York; North-Holland,
Amsterdam; Noordhoff, Groningen, 1953; vii-|-601 p.
[556] Zaidman S. Functional analysis and differential equations in abstract
spaces. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, 1999; vi-|-226 p.
[557] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. I. Fixed-point
theorems. Springer-Verlag, New York, 1986; xxi+897 p.
[558] Zeidler E. Nonlinear functional analysis and its applications. II/A. Linear
monotone operators. Springer-Verlag, New York, 1990; xviii-f467 p.
[559]	Zeidler	E.	Nonlinear	functional	analysis and its applications. II/B.
Nonlinear monotone operators. Springer-Verlag, New York, 1990;
xvi+734 p.
[560]	Zeidler	E.	Nonlinear functional	analysis and	its applications. III.
Variational methods and optimization. Springer-Verlag, New York, 1985;
xxii+662 p.
[561]	Zeidler	E.	Nonlinear	functional	analysis and	its applications. IV.
Applications to mathematical physics. Springer-Verlag, New York, 1988;
xxiv+975 p.
[562]	Zeidler	E.	Applied functional analysis. Main	principles and their
applications. Springer-Verlag, New York, 1995; xvi-|-404 p.
[563] Zeidler E. Applied functional analysis. Applications to mathematical
physics. Springer-Verlag, New York, 1995; xxx+479 p.
[564] Zelazko W. Banach algebras. Elsevier, Amsterdam - London - New York;
PWN-Polish Scientific Publ., Warsaw, 1973; xi-|-182 p.
[565] Zemanian A.H. Distribution theory and transform analysis. An
introduction to generalized functions, with applications. 2nd ed. Dover,
New York, 1987; xii+371 p.
[566] Zhu K. Operator theory in function spaces. 2nd ed. Amer. Math. Soc.,
Providence, Rhode Island, 2007; xvi+348 p.
[567] Ziemer W. Weakly differentiable functions. Springer-Verlag, New York -
Berlin, 1989; xvi+308 p.
[568] Zimmer R. J. Essential results of functional analysis. University of Chicago
Press, Chicago, 1990; x+157 p.
[569] Zuily C. Distributions et £quations aux d£riv£es partielles. Exercices
corrig£s. Hermann, Paris, 1986; 245 p.

Литература
709
Статьи:
[570] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных
топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968. Т. 22, №6.
С. 200-260.
[571] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Различные определения производной в
линейных топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968.
Т. 23, т. С. 67-116.
[572] Алехно Е.А. Некоторые свойства слабой топологии в пространстве
Loo- Изв. Нац. АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. 2006. №3. С. 31-37.
[573] Алехно Е.А., Забрейко П.П. О слабой непрерывности оператора су¬
перпозиции в пространстве Loo. Известия Нац. АН Беларуси. Сер.
физ.-матем. наук. 2005. №2. С. 17-23.
[574] Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических простран¬
ствах и неподвижные точки. Докл. РАН. 2007. Т. 416, №2. С. 151-155.
[575] Богачев В.И., Смолянов О.Г., Шахермайер В. Непрерывные сужения
линейных отображений. В сб. «Математика сегодня’92», с. 115-126.
Киев, Вища школа, 1992.
[576] Гурарий В.И. Счетно линейно-независимые последовательности в
банаховых пространствах. Успехи матем. наук. 1981. Т. 36, №5.
С. 171-172.
[577] Дмитрук А.В., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерни-
ка и теория экстремума. Успехи матем. наук. 1980. Т. 35, №6. С. 11-
46.
[578] Забрейко П.П. Об одной теореме для полуаддитивных функционалов.
Функц. анал. и прил. 1969. Т. 3, №1. С. 86-88.
[579] Левитин Е.С., Милютин А.А., Осмоловский Н.П. Условия высших по¬
рядков локального минимума. Успехи матем. наук. 1978. Т. 33, №6.
С. 85-148.
[580] Лифшиц Е.А. Идеально выпуклые множества. Функц. анал. и прил.
1970. Т. 4, Ш. С. 76-77.
[581] Немировский А.С., Семенов С.М. О полиномиальной аппроксимации
функций на гильбертовом пространстве. Матем. сб. 1973. Т. 92, №2.
С.	257-281.
[582] Никольская Л.Н. Строение точечных спектров линейных операто¬
ров. Матем. заметки. 1974. Т. 15, №1. С. 149-158.
[583] Смолянов О.Г. Почти замкнутые подмножества счетных произве¬
дений локально выпуклых пространств. Труды Моск. матем. об-ва.
1975. Т. 32. С. 61-76.
[584] Смолянов О.Г., Шкарин С.А. О структре спектров операторов в ба¬
наховых пространствах. Матем. сб. 2001. Т. 192, №4. С. 99-114.
[585] Судаков В.Н. К вопросу о критериях компактности в функциональ¬
ных пространствах. Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, №3. С. 221-224.
[586] Царьков И.Г. Сглаживание гильбертово-значных равномерно непре¬
рывных отображений. Изв. РАН. 2005. Т. 69, №4. С. 149-160.
[587] Abramovich Y.A., Aliprantis C.D., Burkinshow О. The invariant subspace
problem: some recent advances. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 1998. №29.
P. 3-79.

710
Литература
[588] Arias de Reyna J. Dense hyperplanes of first category. Math. Ann. 1980.
B.	249, №2. S. 111-114.
[589] Birkhoff G., Kreyszig E. The establishment of functional analysis. Historia
Math. 1984. V. 11, №3. P. 258-321.
[590] Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and
approximations in infinite dimensional spaces. Acta Math. Univ.
Carolinae, Math, et Phys. 1990. V. 31, №2. P. 9-23.
[591] Bogachev V.I., Kirchheim B., Schachermayer W. On continuous
restrictions of linear mappings between Banach spaces. Acta Math. Univ.
Carolinae, Math, et Phys. 1989. V. 30, №2. P. 5-9.
[592] Chernoff P.R. Note on product formulas for operator semigroups. J.
Funct. Anal. 1968. V. 2, №. P. 238-242.
[593] Dixmier J. Sur les varietes J d’un espace de Hilbert. J. Math. Pures
Appl. (9). 1949. V. 28. P. 321-358.
[594] Dixmier J. Etude sur les varieUs et les operateurs de Julia, avec quelques
applications. Bull. Soc. Math. France. 1949. V. 77. P. 11-101.
[595] Dixmier J., Foias C. Sur le spectre ponctuel d’un operateur. Hilbert
Space Operators Operator Algebras (Proc. Internat. Conf., Tihany,
1970). Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai 5, pp. 127-133. North-Holland,
Amsterdam, 1972.
[596] Douglas R.G. On majorization, factorization, and range inclusion of
operators on Hilbert space. Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17. P. 413-
415.
[597] Fillmore P.A., Williams J.P. On operator ranges. Advances in Math. 1971.
V. 7. P. 254-281.
[598] Fonf V.P., Johnson W.B., Pisier G., Preiss D. Stochastic approximation
properties in Banach spaces. Studia Math. 2003. V. 159, №1. P. 103-119.
[599] Gowers W.T. A solution to Banach’s hyperplane problem. Bull. London
Math. Soc. 1994. V. 26. P. 523-530.
[600] Kalisch G.K. On operators on separable Banach spaces with arbitrary
prescribed point spectrum. Proc. Amer. Math. 1972. V. 34, №. P. 207-
208.
[601] Kaufman R. Representation of Souslin sets by operators. Integral Equat.
Oper. Theory. 1984. V. 7, №. P. 808-814.
[602] Lacey M.T. Carleson’s theorem: proof, complements, variations. Publ.
Mat. 2004. V. 48, №2. P. 251-307.
[603] Narici L. On the Hahn-Banach theorem. Advanced courses of
mathematical analysis. II, 87-122, World Sci. Publ., Hackensack, New
Jersey, 2007 (http://at.yorku.ca/p/a/a/o/58.htm).
[604] Odell E., Schlumprecht Th. A universal reflexive space for the class of
uniformly convex Banach spaces. Math. Ann. 2006. B. 335, №4. S. 901-
916.
[605] Shevchik V.V. On subspaces of a Banach space that coincide with the
ranges of continuous linear operators. Rev. Roumaine Math. Pures Appl.
1986. V. 31, №1. P. 65-71.
[606] Shkarin S.A. Continuous restrictions of linear operators. Infm. Dimens.
Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2001. V. 4, №1. P. 121-136.

1
Предметный указатель
Обозначения
АС[а,Ь], 188
А, 20, 34
И|, 245
А, 86
Л^ос, 94
А® А, 155
а jL Ь, 212
absconv V, 230
absconv V, 230
B(Q), 18, 21, 216
B(X,Y), 26
B(E), 74
B(IRn), 74
BA, 76
C(X,Y), 36
C[a,b], 18, 217
C1, 647
Cb(X), 26
Cb(X,Y), 26
conv V, 230
conv V, 230
Co, 216
£>(]Rn), 451
V'(JRn), 465
X>m(lRn), 451
diamA, 18
du/dp, 151
£(]Rn), 469
£'(]Rn), 469
esssup, 147
f(A), 13
ГЧА), 74
Г Чу), 13
/+, Г, П6
/Is, 13
/ * g, 163
Ia, 115
Ker A 257, 356
K,(X, Y), 292
L°(m), 120
£°(m), 119, 237
L1^), 140
£V), 140
1}{Х,ц), 140
L2(jt), 213
LP{E), 147
147, 217
£PM, 147
147
147
Z2, 18, 21, 212
Z2(T), 228
Zp, 217
Z°°, 18, 216
Mx, 223
Rx(A), 355
RanT, 246, 540
г(Л), 358
<S(]Rn), 450
<S'(lRn), 465
singsupp, 467
supp,467
Wp’k, 521
Kb(f), 182
V.P. 1, 466
vraisup, 147
X+,X~, 103, 104
X*, 246
XxY, 13
215
x V y, x A y, 237
(x +10)-1, (x — *0)~l, 466
9Яш, 106
0X, 58
Sa, 81
H+, Ц-, 104
(i*, 85
M*, 93
Ma, 94
m|a, 94
Mi XM2> 156
pof-1, 167
V < /i} 151
v _L /i) 151
i/ ~ /Xi 152
<r(A), 355

712
Предметный указатель
tr(JF), 72
o(E,F), 278
а(Х,Х*), 280
<r(X*,X), 280
П(ет-^*> 44
V-F, 237
IHI, 105
/а /(*) Mdx), 129
&/<&*, 129
/а /0е) <&> I29
И/НьЧм). 141
II/IUpOx), 147
II/IU-Ы. 447
ll/IU 147
А
Адамара производная, 634
Асколи-Арцела теорема, 45, 67
Ауэрбаха система, 319
абсолютная непрерывность
- интеграла Лебега, 133
- мер, 151
- функций, 188
абсолютно непрерывная
функция, 188
абсолютно суммирующий
оператор, 416
аддитивная функция
множества, 78
аддитивность конечная, 78
аддитивность счетная, 78
аксиома выбора, 14
алгебра, 599
- С*-, 603
- банахова, 600
- звездная, 603
- инволютивная, 602
- Калкина, 628
- коммутативная, 600
- множеств, 71
- порожденная классом
множеств, 72
- унитальная, 599
- фон Неймана, 630
- функций, 59
алгебраическая сумма
множеств, 221
алгебраически независимая
система, 16
алгебраически сопряженное, 246
алгебраический базис, 16
алгебраическое тензорное
произведение, 430
алгебраическое ядро, 261
альтернатива Фредгольма, 369
аннулятор, 371
атом меры, 114
Б
Банах С., 212
Банаха теорема
- об обратном операторе, 255
- о замкнутом графике, 255
Банаха-Алаоглу-Бурбаки
теорема, 284
Банаха-Дьедонне теорема, 311
Банаха-Сакса свойство, 312
Банаха-Шаудера теорема об
открытом отображении, 254
Банаха-Штейнгауза теорема, 249,
456, 457
Беппо Леви теорема, 136
Бергмана пространство, 173, 217
Бесселя неравенство, 222
Боля-Брауэра теорема, 178, 231
Бохнера интеграл, 329, 330
Бохнера теорема, 534
база топологии, 33
базис
- Гамеля, 16
- Маркушевича, 318
- Шаудера, 314
- алгебраический, 16
- ортонормированный, 221
- топологический, 314
банахова алгебра, 600
банахова решетка, 239
банахово пространство, 212
банахово тензорное
произведение, 430
безатомическая мера, 114
биекция, 13
бикоммутант, 630
билинейная форма оператора, 362
биортогональная система, 318
биполяра, 464
борелевская ст-алгебра, 74
борелевская функция, 116

Предметный указатель
713
борелевское множество, 74
борелевское отображение, 116
борнологическое
пространство, 481
бочечное пространство, 480
бочка, 480
бэровское пространство, 32
В
Валле-Пуссена признак, 202
Валле-Пуссена теорема, 171
Вигнера теорема, 445
Витали пример, 100
Вольтерра оператор, 295
вариационный принцип
- Куранта, 376
- Фишера, 376
вариация меры, 105
вариация функции, 182
вероятностная мера, 78
версия функции, 120
верхняя грань, 15, 237
взаимная сингулярность мер, 151
внутренность множества, 20
внутренняя мера, 93
внутренняя точка, 20
внешняя мера, 85, 106
- Каратеодори, 106
- регулярная, 108
вполне ограниченное
множество, 40
вполне ограниченный
оператор, 292
вполне регулярное
пространство, 58
вполне упорядоченное
множество, 15
всюду плотное множество, 21, 34
выпуклая оболочка, 230
выпуклая функция, 258
Г
Гальярдо-Ниренберга
неравенство, 533
Гамеля базис, 16
Гато производная, 634
Гёльдера неравенство, 148
Гельфанда
- преобразование, 617
- топология, 617
Гельфанда-Мазура теорема, 612
Гельфанда-Наймарка
теорема, 621, 625
Гильберт Д., 212
Гильберта преобразование, 529
Гильберта тождество, 356, 611
Гильберта-Шмидта теорема, 374
Глисона теорема, 445
ГНС-конструкция, 627
Голдстайна теорема, 286
Грамма-Шмидта
ортогонализация, 226
гильбертово пространство, 212
гильбертово тензорное
произведение, 431
гиперплоскость, 261, 459
- опорная, 460
гипоэллиптический оператор, 517
гомеоморфизм, 37
гомеоморфные пространства, 37
гомоморфизм, 600
график отображения, 255, 539
д
5-кольцо множеств, 76
5-функция Дирака, 466
Даниэля интеграл, 332
Даугавета теорема, 298
Дворецкий А., 234
Джеймса пространство, 353
Джона эллипсоид, 235
Дини
- теорема, 42
- условие, 202, 498
Дирака 5-функция, 466
Дирака (дираковская) мера, 81
Дэвиса-Фигеля-Джонсона-
Пелчинского теорема, 484
декартово произведение, 13
дефект оператора» 545
диагональный оператор, 249
диаметр множества, 18
дифференцируемость, 634
- по Адамару, 634
- по Гато, 634
- по Фреше, 635
- по системе множеств, 634
- порядка к, 655
дуальная пара, 463
Е
£-сеть, 40

714
Предметный указатель
Егорова теорема, 122
евклидово пространство, 211
единица алгебры, 599
единица алгебры множеств, 71
единичная сфера, 213
единичный оператор, 245
единичный шар, 213
Ж
Жордана
- измеримость, 69
- мера, 69, 101
- признак, 203
- разложение, 105
Жордана-Хана разложение, 105
3
Забрейко теорема, 456
замена переменных, 196
замкнутая выпуклая оболочка, 230
замкнутая линейная оболочка, 214
замкнутая система, 226
замкнутое множество, 19, 33
замкнутый шар, 18
замыкание, 20, 34
- оператора, 540
звездная алгебра, 603
знакопеременная мера, 103
И
Иосиды приближение, 665
идеал, 605
- максимальный, 617
идеально выпуклое
множество, 346
измеримая оболочка, 108, 110
измеримая функция
- относительно меры, 119
- относительно <7-алгебры, 115
измеримое множество, 86
- по Каратеодори, 106
- по Лебегу, 86
измеримое отображение, 116
— по Борелю, 116
— относительно /х, 86
измеримое пространство, 72
измеримость
- Каратеодори, 106
- Лебега, 70
- Жордана, 69, 101
- критерий, 93
измеримый прямоугольник, 155
изолированная точка, 19, 34
изометрия,22
инвариант унитарный, 378
инволютивная алгебра, 602
инволюция, 602
индикатор множества, 115
индикаторная функция, 115
индуктивный предел, 479
- строгий, 479
индуцированная топология, 33
интеграл
- Бохнера, 329, 330
- Даниэля, 332
- Лебега, 129
- Лебега-Стилтьеса, 134
- Петтиса, 331
- комплексной функции, 134
- неопределенный, 190
- отображения в lRn, 134
интегрирование по частям, 196
- в интеграле Стилтьеса, 198
интегрируемая функция, 129
интегрируемость по Риману, 166
интерполяционная теорема, 339
инъекция, 13
й
Йордана-фон Неймана
теорема, 213
К
Кадец М.М., 235
Калкина алгебра, 628
Кантор Г., 62
Кантора
- множество, 62, 98
- функция, 121
Каратеодори
- внешняя мера, 106
- измеримость, 106
- теорема, 107
Карлесон Л., 200
Колмогоров А.Н., 200, 475
Коши-Буняковского
неравенство, 148, 212
Крейна-Мильмана теорема, 488
Крейна-Шмульяна теорема, 306
Куранта вариационный
принцип, 376

Предметный указатель
715
канторовская функция, 121
канторовское множество, 62, 98
квадратичная форма
оператора, 362
класс монотонный, 77
колебание функции, 65
кольцо множеств, 76
коммутант, 630
коммутативная алгебра, 600
компакт, 38
компактификация
Стоуна-Чеха, 58
компактное пространство, 38
компактность, 38
- в С[а,Ь], 45
- в Lp, 243
- в I2, 43
- секвенциальная, 50
- счетная, 50
компактный оператор, 292
комплексификация, 215, 289
конечно-аддитивная функция, 78
конус положительный, 236
коэффициент Фурье, 199, 222
крайняя точка, 234
критерий
- измеримости, 93
- интегрируемости по
Риману, 166
- нормируемости, 475
Л
Лакса-Мильграма лемма, 291
Лапласа преобразование, 514
Лебега
- мера, 83, 90, 95
- измеримое множество, 86, 95
- измеримость, 86
- интеграл, 129
- разложение, 154
— монотонной функции, 197
- теорема о мажорированной
сходимости, 138
- теорема, 191
- точка, 195
Лебега-Витали теорема, 170
Лебега-Стилтьеса интеграл, 134
Лебега-Стилтьеса мера, 103
Лежандра многочлен, 228
Линделёфа свойство, 24
Липшица условие, 26
Лоясевича теорема, 517
Лузина теорема, 127
лебеговское пополнение меры, 92
лебеговское продолжение меры, 92
лексикографический порядок, 15
лемма
- Лакса-Мильграма, 291
- Цорна, 15
линейная независимость, 16
линейная оболочка, 214
линейная упорядоченность, 15
линейно упорядоченное
множество, 15
линейный оператор, 245
линейный порядок, 15
линейный функционал, 245
- разрывный, 247
липшицево отображение, 26
лифтинг, 173
локально выпуклое
пространство, 448
- полное, 478
- секвенциально полное, 478
локально измеримое
множество, 94
М
/i-измеримая функция, 119
/х-измеримое множество, 86
/i-измеримость, 86
/i-интегрируемая функция, 129
/i-почти всюду, 122
/i- п.в., 122
Макки
- пространство, 477
- топология, 476
Макки-Аренса теорема, 477
Мальгранжа-Эренпрайса
теорема, 517
Маркушевича базис, 318
Милютин А.А., 235
Минковского
- неравенство, 148
- функционал, 261
Монтеля пространство, 494
Моро-Рокафеллара теорема, 664
максимальный элемент, 15
мажоранта, 15, 237
максимальный идеал, 617

716
Предметный указатель
мера
- <т-конечная, 78
- Дирака (дираковская), 81
- Жордана, 69, 101
- Лебега, 83, 90, 95
- Лебега-Стилтьеса, 103
- Пеано-Жордана, 69, 101
- абсолютно непрерывная, 151
- безатомическая, 114
- борелевская, 78
- вероятностная, 78
- внешняя, 85, 106
— Каратеодори, 106
— регулярная, 108
- внутренняя, 93
- знакопеременная, 103
- полная, 92
- сингулярная, 151
- счетно-аддитивная, 78
меры вариация, 105
меры полная вариация, 105
метризуемое топологическое
пространство, 33
метрика, 17
- Хаусдорфа, 67
метрическая энтропия, 40
метрическое пространство, 17
- полное, 21
миноранта, 15, 237
многочлен, 660
- Лежандра, 228
- Чебышёва-Эрмита, 228
множество
- /х-измеримое, 86
- Кантора, 62, 98
- борелевское, 74
- вполне ограниченное, 40
- вполне упорядоченное, 15
- всюду Ьлотноё, 21} 14
- второй категории, 32
- замкнутое, 19, 33
- идеально выпуклое, 346
- измеримое, 86
— по Жордану, 69, 101
— по Каратеодори, 106
— по Лебегу, 70, 86, 95
- канторовское, 62, 98
- компактное, 38
- линейно упорядоченное, 15
- локально измеримое, 94
- направленное, 46
- неизмеримое, 100
- нигде не плотное, 21
- ограниченное, 18, 453
- открытое, 19, 33
- относительно компактное, 39
- первой категории, 32
- поглощающее, 480
- предкомпактное, 40
- пренебрежимое, 92
- равномерно
интегрируемое, 169
- резольвентное, 355
- слабо ограниченное, 265
- совершенное, 63
- существенных значений, 360
- частично
упорядоченное, 14, 237
- упорядоченное, 14, 15, 237
- уравновешенное, 230
модификация, 120
монотонное отображение, 664
монотонный класс, 77
Н
Неймана фон
- алгебра, 630
- теорема, 411, 420
Никольского теорема, 432
Ньютона-Лейбница формула, 196
направленное множество, 46
направленность, 46
- сходящаяся, 46
независимость алгебраическая, 16
независимость линейная, 16
неизмеримое множество, 100
неопределенный интеграл, 190
неотрицательный оператор, 365
непрерывное отображение, 25, 36
непрерывность меры в нуле, 80
непрерывный спектр, 401
неравенство
- Бесселя, 222
- Гальярдо-Ниренберга, 533
- Гёльдера, 148
- Коши-Буняковского, 148, 212
- Минковского, 148
- Чебышёва, 130
- Юнга, 177
- треугольника, 17, 211

Предметный указатель
717
нигде не плотное множество, 21
нижняя грань, 15, 237
норма, 211
- оператора, 245
нормальное пространство, 53
нормальный оператор, 403
нормированное пространство, 211
носитель
- обобщенной функции, 467
— сингулярный, 467
О
область определения
оператора, 539
обобщенная производная, 470
обобщенная функция, 465
- умеренного роста, 465
оболочка
- выпуклая, 230
- замкнутая выпуклая, 230
- замкнутая линейная, 214
- замкнутая уравновешенная
выпуклая, 230
- измеримая, 108, 110
- линейная, 214
- уравновешенная
выпуклая, 230
образ меры, 167
образ оператора, 246, 540
обратимый оператор, 355
обратимый элемент, 608
обратный оператор, 255, 458
обратный элемент, 608
ограничение меры, 94
ограниченное множество, 18, 453
ограниченное отображение, 18
ограниченность слабая, 265
ограниченный оператор, 245
однородно-выпуклая
функция, 258
оператор
- Вольтерра, 295
- абсолютно суммирующий, 416
- вполне ограниченный, 292
- гипоэллиптический, 517
- диагональный, 249
- единичный, 245
- компактный, 292
- линейный, 245
- неотрицательный, 365
- нормальный, 403
- обратимый, 355
- обратный, 255, 458
- ограниченный, 245
- ортогонального
проектирования, 225
- самосопряженный, 289, 545
- симметричный, 545
- сопряженный, 287
— в гильбертовом
пространстве, 288
- унитарный, 377
- эрмитов, 289
оператора
- график, 255, 539
- квадратичная форма, 362
- норма, 245
- область определения, 539
- образ, 246, 540
- собственное число, 356
- собственный вектор, 356
- спектр, 355,
- ядро, 257
опорная гиперплоскость, 460
ортогонализация
Грамма-Шмидта, 226
ортогональная Сумма, 386
ортогональное дополнение, 223
ортогональность векторов, 212
ортогональный проектор, 225
ортонормированная система, 221
- замкнутая, 226
- полная, 222
- тотальная, 226
ортонормированный базис, 221
остаточный спектр, 401
отделимое пространство, 34
открытое множество, 19, 33
открытый шар, 18
относительно компактное
множество, 39
отношение эквивалентности, 14
отображение
- а-накрывающее, 666
- борелевское, 116
- дифференцируемое, 634
— по Адамару, 634
— по Гато, 634
— по Фреше, 635
— по системе множеств, 634

718
Предметный указатель
- измеримое, 116
— по Борелю, 116
- липшицево, 26
- монотонное, 664
- ограниченное, 18
- полилинейное, 328
- непрерывное, 25, 36
- равномерно непрерывное, 25
- сжимающее, 28
- строго
дифференцируемое, 640
П
Парсеваля равенство, 222, 501
Пеано-Жордана
- измеримость, 69, 101
- мера, 69
Петре теорема, 494
Петтиса интеграл, 331
Пича теорема, 419
Планшереля теорема, 504
Пуассона формула, 536
паракомпактное пространство, 57
плотность Радона-Никодима, 151
поглощающее множество, 480
подалгебра, 605
поднаправленность, 46
полилинейное отображение, 328
полином, 660
полная <7-алгебра, 92
полная вариация меры, 105
полная мера, 92
полная решетка, 237
полная система, 222
полное локально выпуклое
пространство, 478
полное метрическое
пространство, 21, 26, 141, 149
положительный
- конус, 236
- функционал, 321, 623
полуадцитивность, 79
полуалгебра множеств, 76
полукольцо множеств, 76
полупространство, 261
поляра, 464
пополнение сг-алгебры, 92
пополнение евклидова
пространства, 214, 271
пополнение локально выпуклого
пространства, 478
пополнение меры, 92
пополнение метрического
пространства, 23
пополнение нормированного
пространства, 214, 214, 266
порожденная <т-алгебра, 72
порожденная алгебра, 72
порядок
- лексикографический, 15
- линейный, 15
- частичный, 14
последовательность
- сходящаяся, 19, 34
— по мере, 123
— почти всюду, 122
- фундаментальная, 19
— по мере, 123
— в L1, 140
— в среднем, 140
полунорма, 216, 258
почти всюду, 122
предел индуктивный, 479
- строгий, 479
предел последовательности, 19
предел проективный, 480
предельная точка, 19, 33
предкомпактное множество, 40
предметрика, 17
пренебрежимое множество, 92
преобразование
- Гельфанда, 617
- Гильберта, 529
- Лапласа, 514
- Фурье
— вЬ\ 495
— - в L2, 502
— в «S', 504
приближение Иосиды, 665
признак Валле-Пуссена, 202
признак Дини, 202
признак Жордана, 203
пример Витали, 100
принцип
- Куранта вариационный, 376
- Фишера вариационный, 376
- равномерной
ограниченности, 32, 249
- сжимающих отображений, 28

Предметный указатель
719
- сгущения особенностей, 251
пробная функция, 466
продолжение меры, 92
проективный предел, 480
проектор ортогональный, 225
произведение сг-алгебр, 155
произведение декартово, 13
произведение мер, 156
производная, 179, 634
- Адамара, 634
- Гато, 634
- Радона-Никодима, 151
- Фрепге, 635
- обобщенной функции, 470
- обобщенная, 470
- по системе множеств, 634
- порядка к, 655
промежуток, 69
простая функция, 116
пространство
- С[а,Ь], 18, 217
- СЬ(Х), 26
- £>(lRn), 451
- £>'(IRn), 465
- Vm(Нп), 451
- £(lRn), 469
- £'(ПГ), 469
- Lp, 147, 217
- Р\ 217
- S(mn), 450
- S'(IRn), 465
- Wp’k, 521
- Бергмана, 173, 217
- Джеймса, 353
- Макки, 477
- Монтеля, 494
- Рисса, 237
- Соболева, 521
- Фреше, 453
- банахово, 212
- борнологическое, 481
- бочечное, 480
- бэровское, 32
- векторное упорядоченное, 236
- вполне регулярное, 58
- гильбертово, 212
- евклидово, 211
- измеримое, 72
- компактное, 38
- локально выпуклое, 448
— полное, 478
— секвенциально полное, 478
- метрическое, 17
— полное, 21, 26, 141, 149
- нормальное, 53
- нормированное, 211
- отделимое, 34
- паракомпактное, 57
- равномерно выпуклое, 312
- рефлексивное, 265
- сепарабельное, 21, 34
- слабо секвенциально
полное, 310
- сопряженное, 246
— алгебраически, 246
- тихоновское, 58
- топологическое, 33
- топологическое векторное, 452
- финитно представимое, 234
- хаусдорфово, 34
прямая сумма пространств, 215
прямоугольник измеримый, 155
п.в., 122
Р
Радона-Никодима
- теорема, 152, 271
- плотность, 151
- производная, 151
Римана-Лебега теорема, 201
Рисса теорема, 125, 270, 273, 338
Рисса пространство, 237
Рисса-Фишера теорема, 227
Рисса М. и Торина теорема, 339
равенство Парсеваля, 222, 501
равенство параллелограмма, 213
равномерная сходимость, 25
равномерно
- выпуклое пространство, 312
- интегрируемое множество, 169
- непрерывное отображение, 25
радиус спектральный, 358, 611
разделяющее точки семейство
функций, 59
разделение множеств, 261, 459
разделяющая линейная
функция, 261
разложение
- Жордана, 105

 	   ни	I	in	nil	и	il	I	n	llllll	I	llllll	111И11111 Ii I
720	Предметный	указатель
- Жордана-Хана, 105
- Лебега, 154
— монотонной функции, 197
- Хана, 103, 104
- единицы, 398
разрывный линейный
функционал, 247
регулярная внешняя мера, 108
регулярное число, 355, 544
резольвента, 355
резольвентное множество, 355
рефлексивное пространство, 265
решетка, 237
- сг-полная, 237
- банахова, 239
ряд в нормированном
пространстве, 213
ряд тригонометрический, 199
ряд Фурье, 199
С
С*-алгебра, 603
(т-аддитивная функция, 78
<7-алгебра, 72
- борелевская, 74
- полная относительно р, 92
- порожденная классом
множеств, 72
(7-кольцо множеств, 76
(7-конечная мера, 78
<7-полная решетка, 237
♦-слабая топология, 280
Соболева пространство, 521
Стоуна теорема, 57, 569
Стоуна условие, 337
Стоуна-Вейерштрасса теорема, 59
Стоуна-Чеха
компактификация, 58
самосопряженный
- оператор, 289, 545
- элемент, 602
свертка
- интегрируемых функций, 163
- обобщенных функций, 508
свойство
- Банаха-Сакса, 312
. - Линделёфа, 24
- аппроксимации, 316
секвенциальная компактность, 50
секвенциально полное
пространство, 478
семейство функций
- разделяющее точки, 59
- центрированное, 49
сепарабельное пространство, 21, 34
сжатие, 28
сжимающее отображение, 28
сильная операторная
топология, 283
сильная топология, 477
симметричный оператор, 545
сингулярная мера, 151
сингулярная функция, 198
сингулярный носитель, 467
система
- Ауэрбаха, 319
- алгебраически
независимая, 16
- биортогональная, 318
- линейно независимая, 16
- ортонормированная, 221
— замкнутая, 226
- полная, 222
- тотальная, 226
скалярное произведение, 212
слабая операторная
топология, 283
слабая топология, 280
слабо ограниченное
множество, 265
слабо секвенциально полное
пространство, 310
собственное число, 356
собственный вектор, 356
совершенное множество, 63
сопряженное пространство, 246
- алгебраически, 246
- топологически, 246
сопряженно-линейное
отображение, 212
сопряженный оператор, 287
- в гильбертовом
пространстве, 288
спектр, 355, 608
- непрерывный, 401
- остаточный, 401
- точечный, 401
спектральная теорема, 388, 435, 550
спектральное разложение, 397
спектральный радиус, 358, 611

Предметный указатель
721
строго дифференцируемое
отображение, 640
субаддитивность, 79
- счетная, 81
субградиент, 658
субдифференциал, 658
сужение меры, 94, 114
сумма Фейера, 206
сумма множеств
алгебраическая, 221
сумма пространств прямая, 215
- ортогональная, 386
существенно ограниченная
функция, 147
существенное значение, 360
сходимость
- ^u-почти всюду, 122
-в2), 451
- в L\ 140
- в среднем, 140
- обобщенных функций, 467
- по мере, 123
сходящаяся
- направленность, 46
- последовательность, 19, 34
счетная аддитивность, 78
счетная компактность, 50
счетная субаддитивность, 81
счетно-аддитивная мера, 78
счетно-аддитивная функция, 78
сюръекция, 13
Т
Тейлора формула, 656
Титчмарша теорема, 508
Тихонова теорема, 49
Тонелли теорема, 161
тензорное произведение
- алгебраическое, 430
- банахово, 430
- гильбертово, 431
теорема
- Асколи-Арцела, 45, 67
- Банаха-Алаоглу-Бурбаки, 284
- Б анаха-Дьедонне, 311
- Банаха-Шаудера, 254, 456, 457
- Банаха-Штейнгауза, 249, 457
- Беппо Леви, 136
- Боля-Брауэра, 178, 231
- Бохнера, 534
- Бэра о категории, 31
- Валле-Пуссена, 171
- Вигнера, 445
- Гельфанда-Мазура, 612
- Гельфанда-Наймарка, 621, 625
- Гильберта-Шмидта, 374
- Глисона, 445
- Голдстайна, 286
- Даугавета, 298
- Дворецкого, 234
- Дини, 42
- Дубовицкого-Милютина, 664
- Дэвиса-Фигеля-Джонсона-
Пелчинского, 484
- Егорова, 122
- Забрейко, 456
- Йордана-фон Неймана, 213
- Кадеца, 235
- Каратеодори, 107
- Карлесона, 200
- Крейна-Мильмана, 488
- Крейна-Шмульяна, 306
- Лебега, 191
- Лебега о мажорированной
сходимости, 138
- Лебега-Витали, 170
- Лузина, 127
- Макки-Аренса, 477
- Мальгранжа-Эренпрайса, 517
- Милютина, 235
- Моро-Рокафеллара, 664
- фон Неймана, 411, 420
- Никольского, 432
- Петре, 494
- Пича, 419
- Планшереля, 504
- Радона-Никодима, 152, 271
- Римана-Лебега, 201
- Рисса, 125, 270, 273, 338
- Рисса-Фишера, 227
- Рисса М. и Торина, 339
- Стоуна, 57, 569
- Стоуна-Вейерштрасса, 59
- Титчмарша, 508
- Тихонова, 49
- Тонелли, 161
- Урысона, 54
- Фату, 136
- Фубини, 160

722
Предметный указатель
- Хана-Банаха, 258
- Ханта, 200
- Хёрмандера-Лоясевича, 517
- Хольмгрена, 346
- Цермело, 15
- Шаудера, 231
- Шварца о ядре, 494
- интерполяционная, 339
- о биполяре, 464
- о вложенных шарах, 31
- о замкнутом графике, 255,
456, 458, 480
- о монотонных классах, 77
- о неподвижных точках для
сжимающих отображений, 28
- о неявной функции, 651
- об обратной функции, 649
- об обратном
операторе, 255, 458
- об открытом
отображении, 254, 456, 457
- об отображении спектров, 359
- спектральная, 388, 435, 550
тихоновское пространство, 58
тождество Гильберта, 356, 611
топологически сопряженное, 246
топологический базис, 314
топологическое векторное
пространство, 452
топологическое пространство, 33
- метризуемое, 33
топология, 33
- *-слабая, 280
- Гельфанда, 617
- Макки, 476
- индуцированная, 33
- порожденная метрикой, 33
- поточечной сходимости, 35
- произведения, 37
- сильная, 477
- сильная операторная, 283
- слабая, 280
- слабая операторная, 283
тотальная система, 226
точечный спектр, 401
точка
- Лебега, 195
- внутренняя, 20
- изолированная, 19, 34
- конденсации, 19, 34
- крайняя, 234
- предельная, 19, 33
- прикосновения, 19, 34
- сгущения, 19, 34
У
Урысона теорема, 54
унитарный инвариант, 378
унитарный оператор, 377
упорядоченное
- векторное пространство, 236
- множество, 14, 15, 237
уравновешенная выпуклая
оболочка, 230
уравновешенное множество, 230
условие Дини, 202, 498
условие Липшица, 26
условие Стоуна, 337
Ф
Фату теорема (лемма), 136
Фейера сумма, 206
Фишера вариационный
принцип, 376
Фредгольма альтернатива, 369
Фреше производная, 635
Фреше пространство, 453
Фубини теорема, 160
Фурье
- коэффициент, 199, 222
- преобразование
- в L1, 495
- - в L2, 502
- - в <S', 504
- ряд, 199
факторизация по ядру, 257
финитная представимость, 234
форма билинейная оператора, 362
форма квадратичная
оператора, 362
формула
- Ньютона-Лейбница, 196
- Пуассона, 536
- Тейлора, 656
- замены переменных, 167, 169,
196
- интегрирования по частям, 196
фундаментальная
последовательность, 19
фундаментальность

Предметный указатель
723
- в L1, 140
- в среднем, 140
- по мере, 123
функции эквивалентные, 120, 140
функционал
- Минковского, 261
- линейный, 245
- положительный, 623, 321
функция
- 5 Дирака, 466
- /i-интегрируемая, 129
- Кантора, 121
- Хевисайда, 470, 505
- абсолютно непрерывная, 188
- борелевская, 116
- выпуклая, 258
- измеримая
— относительно меры, 119
— относительно
сг-алгебры, 115
— по Борелю, 116
- индикаторная, 115
- интегрируемая по Лебегу, 129
- канторовская, 121
- ограниченной вариации, 182
- однородно-выпуклая, 258
- обобщенная, 465
- пробная, 466
- простая, 116
- распределения, 102
- сингулярная, 198
- скачков, 198
- со значениями в [0, -boo], 118
- существенно
ограниченная, 147
- характеристическая
множества, 115
- числовая, 78
функция множества
- сг-аддитивная, 78
- аддитивная, 78
- конечно-аддитивная, 78
- полу аддитивная, 79
- счетно-аддитивная, 78
- счетно-субаддитивная, 81
- субаддитивная, 79
X
Хана разложение, 103, 104
Хана-Банаха теорема, 258
Ханта теорема, 200
Хаусдорф Ф., 34
Хаусдорфа метрика, 67
Хевисайда функция, 470, 505
Хёрмандера-Лоясевича
теорема, 517
Хольмгрена теорема, 346
характер, 600
характеристическая функция, 115
хаусдорфово пространство, 34
ц
Цермело теорема, 15
Цорна лемма, 15
центрированное семейство, 49
цепь, 15
Ч
Чебышёва неравенство, 130
Чебышёва-Эрмита многочлен, 228
частичный порядок, 14
число регулярное, 355, 544
число собственное, 356
числовая функция, 78
Ш
Шаудера
- базис, 314
- теорема, 231
Шварца теорема о ядре, 494
шар замкнутый, 18
шар открытый, 18
Э
эквивалентности отношение, 14
эквивалентность мер, 151
эквивалентность функций, 120, 140
эквивалентные меры, 151
эквивалентные нормы, 219
элемент максимальный, 15
эллипсоид Джона, 235
энтропия метрическая, 40
эрмитов оператор, 289
эрмитов элемент, 602
Ю
Юнга неравенство, 177
Я
ядро Фейера, 206
ядро алгебраическое, 261
ядро оператора, 257

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. (499) 135-54-37
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Богачев Владимир Игоревич
Смоляное Олег Георгиевич
Действительный
И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ:
УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС
Технический редактор А. В. Широбоков
Корректор Г. Г. Тетерина
Подписано в печать 27.04.2009. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл.печ.л. 42,08. Уч.-изд.л. 43,12.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1. Заказ №22.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Переплет выполнен в ГУЛ УР «Ижевский полиграфический комбинат»
426039, г. Ижевск, Боткинское шоссе, 180.