^ФГОС
ГЕОМЕТРИЯ
КЛАССЫ
Учебник
для общеобразовательных
организаций
с приложением
на электронном носителе
3-е издание
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
Москва «Просвещение” 2014

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
Г36
А в то р ы: Л. С. Атанасян,В. Ф. Бутузов,С. Б. Кадомцев,Э. Г. Позняк,
И. И. Юдина
Издание подготовлено под научным руководством академика
A. II. Тихонова
Учебник имеет положительные экспертные заключения по результатам
научной (заключение РАН № 10106-5215/583 от 14.10.11),
педагогической (заключение РАО № 304 от 29.01.14)
и общественной (заключение РКС № 327 от 07.02.14) экспертиз.
Геометрия. 7 9 классы : учеб, для общеобразоват. орга-
Г36 низаций с прил. на электрон, носителе / |Л. С. Атанасян,
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. — 3-е изд. — М. :
Просвещение, 2014.	383 с.: ил. ISBN 978-5-09-033352-8.
Содержание учебника позволяет достичь планируемых результатов обучения,
предусмотренных ФГОС основного общего образования. Учебник включает
трёхступенчатую систему задач, а также исследовательские задачи, темы
рефератов, список рекомендуемой литературы, что позволит учащимся расширить
и углубить свои знания по геометрии.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151Я72
ISBN 078-5-00-033352-8
С Издательство «Просвещенив», 2013
О Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2013
Все права защищены

Дорогие семиклассники!
Вы начинаете изучать новый предмет — гео¬
метрию и будете заниматься ею пять лет. Что это
такое — геометрия?
Геометрия одна из самых древних наук,
она возникла очень давно, ещё до нашей эры.
В переводе с греческого слово «геометрия» озна¬
чает «землемерие» («гео» — по-гречески земля, а
♦ метрео» мерить). Такое название объясняется
тем, что зарождение геометрии было связано с
различными измерительными работами, которые
приходилось выполнять при разметке земель¬
ных участков, проведении дорог, строительстве
зданий и других сооружений. В результате этой
деятельности появились и постепенно накаплива¬
лись различные правила, связанные с геометри¬
ческими измерениями и построениями. Таким
образом, геометрия возникла на основе практиче¬
ской деятельности людей, а в дальнейшем сфор¬
мировалась как самостоятельная наука, занима¬
ющаяся изученном геометрических фигур.
На уроках математики вы познакомились с
некоторыми геометрическими фигурами и пред¬
ставляете себе, что такое точка, прямая, отрезок,
луч, угол (рис. 1), как они могут быть расположе¬
ны относительно друг друга. Вы знакомы с таки¬
ми фигурами, как треугольник, прямоугольник,
окружность, круг и др. (рис. 2); знаете, как из¬
меряются отрезки с помощью линейки с милли¬
метровыми делениями и как измеряются углы с
помощью транспортира. Но всё это лишь самые
первые геометрические сведения. Теперь вам пред¬
стоит расширить и углубить ваши знания о 1'еомет-
рических фигурах. Вы познакомитесь с новыми
фигурами и со многими важными и интересными
свойствами уже известных вам фигур. Вы узнаете
о том, как используются свойства геометрических
фи1*ур в практической деятельности. Во всём этом
вам поможет учебник и, конечно, учитель.
Треугольник
Окружность
Прямоугольник
Круг
Рис . 2
3

Школьный курс геометрии делится на
планиметрию и стереометрию. В планиметрии
рассматриваются свойства фигур на плоскости.
Примерами таких фигур являются отрезки, тре¬
угольники, прямоугольники. В стереометрии
изучаются свойства фигур в пространстве, таких,
как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3). Мы
начнём изучение геометрии с планиметрии.
В процессе изучения геометрии вы буде¬
те доказывать теоремы и решать задачи. Что
такое «теорема» и что значит «доказать теоре¬
му» — об этом вы скоро узнаете. Пу а что такое
задача — вам известно, на уроках математики вы
решали разные задачи.
В нашем учебнике геометрии много задач:
есть задачи и практические задания к каждому
параграфу, дополнительные задачи к каждой гла¬
ве и, наконец, задачи повышенной трудности.
Основными являются задачи к параграфу. Более
трудные задачи отмечены звёздочкой. Задачи, от¬
меченные знаком □, имеют электронную версию’.
В конце книги к задачам даны ответы и указания.
Всем, кто проявит интерес к геометрии,
кому понравится решать задачи и доказывать
теоремы, мы советуем порешать не только обя¬
зательные задачи, но и задачи со звёздочкой,
дополнительные задачи и задачи повышенной
трудности. Решать такие задачи непросто, но ин¬
тересно. Не всегда удаётся сразу найти решение.
В таком случае не унывайте, а проявите терпение
и настойчивость. Радость от решения трудной за¬
дачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь
заглядывать вперёд, читать те параграфы, кото¬
рые ещё не проходили в классе. Задавайте вопро¬
сы учителю, товарищам, родителям.
Доброго вам пути, ребята!
Прямоугольны и
параллелепипед
Шар
Цилиндр
Рис. 3
• Единая коллекция ЦОР. Набор ЦОР к учебнику «Гео¬
метрия. 7—9 классы» авторов Л. С. Атанасяна и др.
Электронный адрес school-collection.edu.ru.
4

)
Глава I
Начальные геометрические
сведения
Ватой главе речь пойдёт о простейших геометрических фи¬
гурах — точках, прямых, отрезках, лучах, углах. С ними вы
познакомились на уроках математики в 5 и 6 классах. К тому,
что вы знаете об этих фигурах, мы добавим новые сведения,
и они послужат нам опорой для изучения в следующих главах
свойств более сложных фигур. Ещё мы расскажем о практиче¬
ских приложениях геометрии — о том, как геометрия помогает
прокладывать прямолинейные дороги и как проводится измере¬
ние углов на местности.
Прямая и отрезок
1	Точки, прямые, отрезки
Вспомним, что нам известно о точках и
прямых. Мы знаем, что для изображения пря¬
мых на чертеже пользуются линейкой (рис. 4),
но при этом можно изобразить лишь часть пря¬
мой, а всю прямую мы представляем себе прости¬
рающейся бесконечно в обе стороны.
Обычно прямые обозначают малыми латин¬
скими буквами, а точки — большими латински¬
ми буквами. На рисунке 5 изображены прямая а
и точки А, В, С и D. Точки А и В лежат на пря¬
мой а, а точки С и I) не лежат на этой прямой.
Можно сказать, что прямая а проходит через
точки А и В, но не проходит через точки С и D.
Отметим, что через точки А и В нельзя провести
другую прямую, не совпадающую с прямой а.
Вообще,
Прямом и точки
Рис. 5
через любые две точки можно провести прямую,
и притом только одну* 1.
1	Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точ
ки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти
точки, прямые различны.
Начальные
леюлытрические
сведения

Рассмотрим теперь две прямые. Если они
имею!’ общую точку, то говорят, что эти прямые
пересекаются. На рисунке 6 прямые а и Ь пере¬
секаются в точке О, а прямые р и q не пересека¬
ются. Две прямые не могут иметь двух и более
общих точек. В самом деле, если бы две прямые
имели две общие точки, то каждая из прямых
проходила бы через эти точки. Но через две точ¬
ки проходит только одна прямая. Таким образом,
можно сделать вывод: две прямые либо имеют
только одну общую точку, либо не имеют общих
точек.
Прямую, на которой отмечены две точки,
например А и В, иногда обозначают двумя бук¬
вами: АВ или В А. Для краткости вместо слов
«точка А лежит па прямой а» используют запись
А е а, а вместо слов «точка В не лежит на пря¬
мой а» — запись Въа.
На рисунке 7, а выделена часть прямой,
ограниченная двумя точками. Такая часть пря¬
мой называется отрезком. Точки, ограничиваю¬
щие отрезок, называются его концами. На ри¬
сунке 7, б изображён отрезок с концами Л и В.
Такой отрезок обозначается АВ или В А. Отрезок
АВ содержит точки А и В и все точки прямой
АВ, лежащие между А и В.
а
Р
<7
Рис. 6
а)
Л.	,В
Отрезок ЛИ
б)
Рис. 7
2	Провешивание прямой
на местности
Решим такую задачу: с помощью данной ли¬
нейки построить отрезок более длинный, чем сама
линейка. С этой целью приложим к листу бумаги
линейку, отметим точки Л и В и какую-нибудь
точку С, лежащую между А и В (рис. 8, а). Затем
Рис. 8
б)
6 Глава I

передвинем линейку вправо так, чтобы
её левый конец оказался около точки С,
и отметим точку D около правого конца
линейки (рис. 8, б). Точки А, В, С и D ле¬
жат на одной прямой. Если мы проведём
теперь отрезок АВ, а затем отрезок BD,
то получим отрезок АР, более длинный,
чем линейка.
Аналогичный приём используется
для ♦проведения» длинных отрезков пря¬
мых на местности. Этот приём заключа¬
ется в следующем. Сначала отмечают ка¬
кие-нибудь точки А и В. Для этой цели
используют две вехи — шесты длиной
около 2 м, заострённые на одном конце
для того, чтобы их можно было воткнуть
в землю. Третью веху ставят так, чтобы
вехи, стоящие в точках А и В, закры¬
вали её от наблюдателя, находящегося в
точке А (точка С на рисунке 9). Следую¬
щую веху ставят так, чтобы её закрыва¬
ли вехи, стоящие в точках В и С, и т. д.
Описанный приём называется про¬
вешиванием прямой (от слова ♦веха»).
Он широко используется на практике,
например при рубке лесных просек, при
прокладывании шоссейных или желез¬
ных дорог, линий высоковольтных пере¬
дач и т. д.
Практические задания
1	Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки
А и В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и В, не лежа¬
щие на ней. Опишите взаимное расположение точек А, В, Р,
Q, йи прямой а, используя символы е и
2	□ Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной пря¬
мой, и проведите прямые АВ, ВС и СА.
3	Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересека¬
лись. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько
получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Начальные
/ геометрические
сведения

4	Отметьте точки Л, В, С, D так, чтобы точки Л, В, С лежа¬
ли на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через
каждые две точки проведите прямую. Сколько получилось
прямых?
5	Проведите прямую а и отметьте на ней точки Л и В. Отметь¬
те: а) точки М nN, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q,
лежащие на прямой а, но не лежащие на отрезке АВ; в) точ¬
ки В и Я, не лежащие на прямой а.
6	Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько от¬
резков получилось на прямой?
7	[_] На рисунке 10 изображена прямая, на
ней отмечены точки А, В, С и I). Назовите	—2—►	li-
все отрезки: а) на которых лежит точка С;
б) на которых не лежит точка В.	Рис- 10
§2
Луч и угол
3	Луч
Проведём прямую а и отметим на ней точ- а	О

ку О (рис. 11). Эта точка разделяет прямую на
Точка О разделяет
две части, каждая из которых называется лучом, прямою надва пуча
исходящим из точки О (на рисунке 11 один из
лучей выделен цветной линией). Точка О назы- Рис- 11
вается началом каждого из лучей. Обычно луч
обозначают либо малой латинской буквой (на¬
пример, луч h на рисунке 12, а), либо двумя
большими латинскими буквами, первая из кото¬
рых обозначает начало луча, а вторая — какую-
нибудь точку на луче (например, луч О А на ри¬
сунке 12, б).
Луч h
4	УГОЛ	а)
Напомним, что угол — это геометрическая q л
фигура, которая состоит из точки и двух лучей, °	•
исходящих из этой точки. Лучи называются сто-	ЛучОА
ронами угла, а их общее начало — вершиной	6)
угла.	Рис.12
8 Глава I

На рисунке 13 изображён угол с вершиной
О и сторонами h и k. На сторонах отмечены точ¬
ки А и В. Этот угол обозначают так: Z.hky или
ZAOB, или ZO.
Угол называется развёрнутым, если обе его
стороны лежат на одной прямой. Можно сказать,
что каждая сторона развёрнутого угла является
продолжением другой стороны. На рисунке 14
изображён развёрнутый угол с вершиной С и сто¬
ронами р и q.
Любой угол разделяет плоскость на две ча¬
сти. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей
называется внутренней, а другая — внешней об¬
ластью этого угла (рис. 15, а). На рисунке 15,6
изображён неразвёрнутый угол. Точки А, В, С
лежат внутри этого угла (т. е. во внутренней об¬
ласти угла), точки D и Е — на сторонах угла,
а точки Р и Q — вне угла (т. е. во внешней об¬
ласти угла).
Если угол развёрнутый, то любую из двух
частей, па которые он разделяет плоскость, мож¬
но считать внутренней областью угла.
Фигуру, состоящую из угла и его внутрен¬
ней области, также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвёрну¬
того угла и проходит внутри угла, то он делит
этот угол на два угла. На рисунке 16, а луч ОС
делит угол ЛОВ па два угла: ДОС и СОЕ. Если
угол АОВ развёрнутый, то любой луч ОС, не со¬
впадающий с лучами О А и ОВ, делит этот угол
на два угла: ДОС и СОВ (рис. 16, 6).
о	д
Угол
Рис. 13
р£
Развернутый угол
Рис. 14
• Q Е
О
Рис. 15
Рис. 16
В
Луч ОС делит угол
АОВ на два угла:
£АОС и 2 СОВ
Л Начальные
У геометрические
сведения

Практические задания
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Проведите прямую, отметьте на ней точки Л и В и на отрезке
ЛВ отметьте точку С. а) Среди лучей Л В, ВС, СЛ, ЛС и ВЛ
назовите совпадающие лучи; б) назовите луч, который являет¬
ся продолжением луча СЛ.
Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так:
ZAOB, ZAfe, ZM.
Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами.
Начертите три луча Л, k и I с общим нача¬
лом. Назовите все углы, образованные дан¬
ными лучами.
Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте
две точки внутри этого утла, две точки вне
этого угла и две точки на сторонах угла.
Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте
точки А, Bf М и N так, чтобы все точки
отрезка АВ лежали внутри угла, а все точ¬
ки отрезка MN лежали вне угла.
Начертите неразвёрнутый угол АОВ и про¬
ведите: а) луч ОС, который делит угол ЛОВ
на два угла; б) луч OD, который не делит
угол ЛОС па два угла.
1-1 Сколько неразвёрнутых углов образуется
при пересечении двух прямых?
□ Какие из точек, изображённых на рисун¬
ке 17, лежат внутри угла hkt а какие — вне
этого угла?
Какие из лучей, изображённых на рисун¬
ке 18, делят угол ЛОВ на два угла?
83
Сравнение отрезков и углов
5	Равенство геометрических фигур
Среди окружающих нас предметов встреча¬
ются такие, которые имеют одинаковую форму и
одинаковые размеры. Например, два одинаковых
листа бумаги, две одинаковые книги, два оди¬
наковых автомобиля. В геометрии две фигуры,
имеющие одинаковую форму и одинаковые раз¬
меры, называют равными.
10 Глава I

На рисунке 19 изображены фигуры
Ф) и Ф2. Чтобы установить, равны они
или нет, поступим так. Скопируем фи¬
гуру Ф, на кальку. Передвигая кальку
и накладывая её на фигуру Ф2 той или
другой стороной, попытаемся совместить
копию фигуры Ф! с фигурой Ф2. Если они
совместятся, то фигура Ф! равна фигуре Ф2.
Мы можем представить себе, что на фи¬
гуру Ф2 накладывается не копия фигуры Фп
равная этой фигуре, а сама фигура ФР Поэто¬
му в дальнейшем будем говорить о наложении
самой фигуры (а не копии) на другую фигуру.
Итак, две геометрические фигуры называются
равными, если их можно совместить наложе¬
нием.
Рис.19
6	Сравнение отрезков и углов
На рисунке 20, а изображены два отрез¬
ка. Чтобы установить, равны они или нет, на¬
ложим один отрезок на другой так, чтобы конец
одного отрезка совместился с концом другого
(рис. 20, б). Если при этом два других конца так¬
же совместятся, то отрезки полностью совместят¬
ся и, значит, они равны. Если же два других
конца не совместятся, то меньшим считается тот
отрезок, который составляет часть другого. На
рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрез¬
ка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ
(пишут так: АС< АВ).
Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на
два равных отрезка, называется серединой отрез¬
ка. На рисунке 21 точка С — середина отрезка АВ.
На рисунке 22, а изображены неразвёрну¬
тые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они
или нет, наложим один угол на другой так, что¬
бы сторона одного угла совместилась со стороной
другого, а две другие оказались по одну сторону
от совместившихся сторон (рис. 22, б).
11
б)
А	С В
АС < АВ
в)
Рис. 20
А С В
ЛС = СВ
Точка С- середина
отрезка АВ
Рис.21
Начальные
геометрические
сведения

Рис.23
Рис. 22
Неразвёрнутый угол СОВ
составляет часть
развёрнутого угла АОВ
О	k
£hl = Z_lk
Луч I - биссектриса
угла hk
Рис.24
Если две другие стороны также совместят¬
ся, то углы полностью совместятся и, значит, они
равны. Если же эти стороны не совместятся, то
меньшим считается тот угол, который составляет
часть другого. На рисунке 22, б угол 1 составляет
часть угла 2, поэтому Z1 <Z2.
Неразвёрнутый угол составляет часть раз¬
вёрнутого угла (рис. 23), поэтому развёрнутый
угол больше неразвёрнутого угла. Любые два
развёрнутых угла, очевидно, равны.
Луч, исходящий из вершины угла и деля¬
щий его на два равных угла, называется биссек¬
трисой угла. На рисунке 24 луч I — биссектриса
угла hk.
Задачи
18	На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точ¬
ка В лежит между точками О и Д, а точка А — между точка¬
ми О и С. Сравните отрезки О В и ОД, ОС и ОД, О В и ОС.
19	Точка О является серединой отрезка АВ.
Можно ли совместить наложением отрезки:
а) О А и ОВ; б) ОД и ДВ?
20	t-l На рисунке 25 отрезки ДВ, ВС, CD и DE
равны. Укажите: а) середины отрезков ДС,
А Д С В £
Рис.25
12 Глава I

ЛЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого
является точка D; в) отрезки, серединой
которых является точка С.
21	Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Срав¬
ните углы ЛОВ и ЛОС.
22	□ Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли
наложением совместить углы: a) hl и Ik;
б) hl и hkl
23	□ На рисунке 26 углы, обозначенные циф¬
рами, равны. Укажите: а) биссектрису каж¬
дого из углов АОС, BOF, ЛОЕ; б) все углы,
биссектрисой которых является луч ОС.
§4
Измерение отрезков
7	Длина отрезка
На практике часто приходится измерять
отрезки, т. е. находить их длины. Измерение от¬
резков основано на сравнении их с некоторым
отрезком, принятым за единицу измерения (его
называют также масштабным отрезком). Если,
например, за единицу измерения принят санти¬
метр, то для определения длины отрезка узнают,
сколько раз в этом отрезке укладывается санти¬
метр. На рисунке 27 в отрезке Л В сантиметр укла¬
дывается ровно два раза. Это означает, что длина
отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко:
♦Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться так, что отрезок, при¬
нятый за единицу измерения, не укладывается
целое число раз в измеряемом отрезке — полу¬
чается остаток. Тогда единицу измерения делят
на равные части, обычно на 10 равных частей, и
определяют, сколько раз одна такая часть укла¬
дывается в остатке. Например, па рисунке 27 в
отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в
остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая
часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина от¬
резка АС равна 3,4 см.
13
Рис.26
АВ - 2 см. АС = 3.4 см.
AD * 3.8 см
Рис. 27
Начальные
геометрические
сведения
в

Возможно, однако, что и взятая часть еди¬
ницы измерения (в данном случае миллиметр) не
укладывается в остатке целое число раз, и полу¬
чается новый остаток. Так будет, например, с от¬
резком AD на рисунке 27, в котором сантиметр
укладывается три раза с остатком, а в остатке
миллиметр укладывается восемь раз вновь с
остатком. В таком случае говорят, что длина от¬
резка AD приближённо равна 3,8 см.
Для более точного измерения этого отрез¬
ка указанную часть единицы измерения (милли¬
метр) можно разделить на 10 равных частей и
продолжить процесс измерения. Мысленно этот
процесс можно продолжать и дальше, измеряя
длину отрезка со всё большей точностью. На
практике, однако, пользуются приближёнными
значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать
не только сантиметр, но и любой другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить
любой отрезок, т. е. выразить его длину некото¬
рым положительным числом. Это число показы¬
вает, сколько раз единица измерения и её части
укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица изме¬
рения и её части укладываются в этих отрезках
одинаковое число раз, т. е. равные отрезки име¬
ют равные длины. Если же один отрезок мень¬
ше другого, то единица измерения (или её часть)
укладывается в этом отрезке меньшее число раз,
чем в другом, т. е. мепыпий отрезок имеет мень¬
шую длину.
На рисунке 28 изображён отрезок АВ. Точ¬
ка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы
видим, что АС = Зсм, СВ = 2,7 см, АВ = 5,7 см.
Рис.28
~|Т111111Н| II П|Ш I |НИ11Ш| I Н1| 11 Н|Н 11|Ш I |1111| ПП|11Н| I ГП|-
0	1	2	3	4	5	6	7
АС + СВ = АВ
14 Глава 1

Таким образом, ЛС + СВ= ЛВ. Ясно, что и во
всех других случаях, когда точка делит отрезок
на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме
длин этих двух отрезков.
Если длина отрезка CD в k раз больше дли¬
ны отрезка Л В, то пишут CD = kA В.
Длина отрезка называется также расстоя¬
нием между концами этого отрезка.
8	Единицы измерения.
Измерительные инструменты
Для измерения отрезков и нахождения рас¬
стояний на практике используют различные еди¬
ницы измерения. Стандартной международной
единицей измерения отрезков выбран метр — от¬
резок, приближённо равный 40 * части
земного меридиана. Эталон метра в виде специ¬
ального металлического бруска хранится в Меж¬
дународном бюро мер и весов во Франции. Копии
эталона хранятся в других странах, в том числе
и в России. Один метр содержит сто сантиметров.
В одном сантиметре десять миллиметров.
При измерении небольших расстояний, на¬
пример расстояния между точками, изображён¬
ными на листе бумаги, за единицу измерения
принимают сантиметр или миллиметр. Расстоя¬
ние между отдельными предметами в комнате из¬
меряют в метрах, расстояние между населённы¬
ми пунктами — в километрах. Используются и
другие единицы измерения, например дециметр,
морская миля (1 миля равна 1,852 км). В астро¬
номии для измерения очень больших расстояний
за единицу измерения принимают световой год,
т. е. путь, который свет проходит в течение од¬
ного года.
Мы назвали единицы измерения расстоя¬
ний, которые используются на практике в наше
время. В старину в разных странах существовали
15
Начальные
геометри чес кие
сведения

свои единицы измерения. Так, на Руси использо¬
вались аршин (0,7112 м), сажень (2,13.36 м) и др.
На практике для измерения расстояний
пользуются различными инструментами. На¬
пример, в техническом черчении употребляется
масштабная миллиметровая линейка. Для изме¬
рения диаметра трубки используют штангенцир¬
куль (рис. 29). С его помощью можно измерять
расстояния с точностью до 0,1 мм. Для измере¬
ния расстояний на местности пользуются рулет¬
кой, которая представляет собой ленту с нанесён¬
ными на ней делениями (рис. 30).
Практические задания
С

		iF
Р» > « «<?
*—'В
K^L
Рис. 31
масштабной ли-
24	Измерьте ширину и длину учебника гео¬
метрии и выразите их в сантиметрах и в
миллиметрах.
25	Измерив толщину учебника геометрии без
обложки, найдите толщину одного листа.
26	Ц Найдите длины всех отрезков, изобра¬
жённых на рисунке 31, если за единицу из¬
мерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
27	□ Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуяс
нейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины ко¬
торых равны 2АВ, АВ и \ АВ.
28	Начертите прямую и отметьте на ней точки А и В. С по¬
мощью масштабной линейки отметьте точки С и Г) так, чтобы
точка В была серединой отрезка АС, а точка I) — серединой
отрезка ВС.
29	Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки от¬
метьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько
таких точек можно отметить на прямой АВ?
16 Глава I

Задачи
30	□ Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину
отрезка АС, если АВ =7,8 см, ВС = 25 мм.
31	□ Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину
отрезка ВС, если:
а)	АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см;
б)	АВ = 4 мм, АС = 4 см.
32	Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ =
= 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
33	□ Точки В, I) и М лежат на одной прямой. Известно, что
BD= 7 см, MD- 16 см. Каким может быть расстояние ВЛ/?
34	Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче С А
отмечена точка D так, что СВ=15см. Найдите длины отрез¬
ков BD и DA.
35	Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км.
Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в
170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и
С.-Петербургом, считая, что все три города расположены па
одной прямой.
36	Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС = 5 см,
АВ = Зсм, ВС = 4см?
Решение
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из
отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию
больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма
двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не
лежат па одной прямой.
37	Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка
АС. Найдите:
а)	АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см;
б)	АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
38	□ На прямой отмечены точки О, А и В так, что О А = 12 см,
ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков
ОА и ОВ, если точка О:
а)	лежит на отрезке АВ;
б)	не лежит на отрезке АВ.
39	Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной точ¬
кой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами
этих отрезков.
40	□ Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка.
Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Най¬
дите длину среднего отрезка.
_ Начальные
17 геометрические
сведения

s5
Измерение углов
9	Градусная мера угла
Измерение углов аналогично измерению от¬
резков — оно основано на сравнении их с углом,
принятым за единицу измерения. Обычно за еди¬
ницу измерения углов принимают градус — угол,
„ 1 ~
равный —— части развернутого угла. Эта едини-
180
ца измерения углов была введена много веков
назад, ещё до нашей эры.
Положительное число, которое показывает,
сколько раз градус и его части укладываются в
данном угле, называется градусной мерой угла.
Для измерения углов используется транспортир
(рис. 32).
На рисунке 33, а изображён угол АОВУ гра¬
дусная мера которого равна 150°. Обычно гово¬
рят кратко: «Угол АОВ равен 150°» —и пишут:
ААОВ = 150°. На рисунке 33, б угол hk равен 40°
(ZA/? = 40°). Определённые части градуса носят
1
специальные названия: — часть градуса называ-
I 60
ется минутой, — часть минуты называется
60
секундой. Минуты обозначают знаком «'», а се¬
кунды — знаком «"». Например, угол в 60 граду¬
сов, 32 минуты и 17 секунд обозначается так:
60°32'17".
Если два угла равны, то градус и его ча¬
сти укладываются в этих углах одинаковое число
раз, т. е. равные углы имеют равные градусные
меры.
Если же один угол меньше другого, то в
нём градус (или его часть) укладывается мень¬
шее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший
угол имеет меньшую градусную меру.
Так как градус составляет часть раз-
180
вёрнутого угла, то он укладывается в развёрну-
Транспортир
Рис. 32
б)
Рис.33
18 Глава 1

том угле ровно 180 раз, т. е. развёрнутый
угол равен 180°.
Неразвёрнутый угол меньше раз¬
вёрнутого угла, поэтому иеразвёриутый
угол меньше 180".
На рисунке 34 изображены лучи
с началом в точке О. Луч ОС делит
угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы
видим, что ХАОС = 40°, ХСОВ = 120°,
ХАОВ = 160°. Таким образом,
Рис. 34
ХАОС + ХСОВ = ХАОВ.
Ясно, что и во всех других случаях, когда
луч делит угол на два угла, градусная мера всего
угла равна сумме градусных мер этих углов.
Угол называется прямым, если он равен
90° (рис. 35, а), острым, если он меньше 90°, т. е.
меньше прямого угла (рис. 35, б), тупым, если он
больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямо¬
го, но меньше развёрнутого угла (рис. 35, в).
□

Прямой угол
Рис. 35 а)
Прямые углы мы видим в окружающей нас
обстановке: прямой угол образуют линии пересе¬
чения стен и потолка в комнате, два края стола
прямоугольной формы и т. д.
10	Измерение углов на местности
Измерение углов на местности прово¬
дится с помощью специальных приборов. Про¬
стейшим из них является астролябия (рис. 36).
Она состоит из двух частей: диска, разделённо¬
го на градусы, и вращающейся вокруг центра
19
Рис. 36
Начальное
геометрические
сведения

диска линейки (алидады). На концах алида¬
ды находятся два узких окошечка, которые ис¬
пользуются для установки её в определённом направ¬
лении.
Для того чтобы измерить угол АОВ на
местности, треножник с астролябией ставят
так, чтобы отвес, подвешенный к центру дис¬
ка, находился точно над точкой О. Затем уста¬
навливают алидаду вдоль одной из сторон О А
или ОВ и отмечают деление, против которо¬
го находится указатель алидады. Далее пово¬
рачивают алидаду, направляя её вдоль другой
стороны измеряемого угла, и отмечают деле¬
ние, против которого окажется указатель али¬
дады. Разность отсчёта и даёт градусную меру
угла АОВ.
Измерения углов проводятся в различных
исследованиях, например в астрономии при опре¬
делении положения небесных тел. Очень важ¬
но с достаточной точностью измерять углы при
определении положения искусственных спут¬
ников на орбитах. Для этой цели конструиру¬
ют специальные приборы. Данные, полученные
с помощью этих приборов, обрабатываются на
электронно-вычислительных машинах (компью¬
терах).
Практические задания
41	Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол
и обозначьте их так: ZAOB, XCDE, Xhk и ZMNP. С помощью
транспортира измерьте углы и запишите результаты измере¬
ний.
42	Начертите луч О А и с помощью транспортира отложите от
луча О А углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы ХАОВ = 23°,
ХАОС = 67°, XAOD= 138°.
43	Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира про¬
ведите его биссектрису.
44	Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите
луч ОС так, чтобы луч О А являлся биссектрисой угла ВОС.
Всегда ли это выполнимо?
20 Глава I

Задачи
45
46
47
48
49
50
51
52
53
□	Градусные меры двух углов рав¬
ны. Равны ли сами углы?
На рисунке 37 изображены лучи с
общим началом О.
а)	Найдите градусные меры углов
ЛОХ, BOX, ЛОВ, СОВ, BOX;
б)	назовите углы, равные 20°;
в)	назовите равные углы;
г)	назовите все углы со сторо¬
ной О А и найдите их градусные
меры.
□Я Луч ОЕ делит угол ЛОВ на два
угла. Найдите ХЛОВ, если:
а)	ZAOE = 44°, ZEOB = 77°;
б)	ZAOE = 12°37', ZEOB = 108°25'.
Луч ОС делит угол ЛОВ на два
угла. Найдите угол СОВ, если
ХЛОВ =78°, а угол ЛОС на 18°
меньше угла ВОС.
Луч ОС делит угол АОВ на два
угла. Найдите угол ЛОС, если
ХЛОВ =155°, а угол ЛОС на 15°
больше угла СОВ.
□	Угол ЛОВ является частью угла
ЛОС. Известно, что X Л ОС =108°,
ХЛОВ = ЗХВОС. Найдите угол
ЛОВ.
□	На рисунке 38 угол AOD пря¬
мой, ZAOB = ZBOC = ZCOD. Най¬
дите угол, образованный биссек¬
трисами углов ЛОВ и COD.
На рисунке 39 луч OV явля¬
ется биссектрисой угла ХОУ,
а луч OU — биссектрисой угла
ХОУ. Найдите угол ХОХ, если
XL*rOl/ = 80°.
Луч I является биссектрисой
неразвёрнутого угла hk. Может ли
угол hl быть прямым или тупым?
Рис. 38
Начальные
21 геометрические
сведения

§6
Перпендикулярные прямые
11	Смежные и вертикальные углы
Два угла, у которых одна сторона общая,
а две другие являются продолжениями одна дру¬
гой, называются смежными.
На рисунке 40 углы ЛОВ и ВОС смежные.
Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый
угол, то
ХАОВ + ХВОС = ХАОС = 180°.
Таким образом, сумма смежных углов рав¬
на 180°.
Два угла называются вертикальными, если
стороны одного угла являются продолжениями
сторон другого.
На рисунке 41 углы 1 и 3, а также углы
2 и 4 — вертикальные.
Угол 2 является смежным как с углом 1,
так и с углом 3. По свойству смежных углов
Х1+Х2= 180° и Х3+Х2= 180°. Отсюда получаем:
Zl = 180°-Z2, Z3 = 180°-Z2. Таким образом,
градусные меры углов 1 и 3 равны. Отсюда сле¬
дует, что и сами углы равны.
Итак, вертикальные углы равны.
12	Перпендикулярные прямые
Рассмотрим две пересекающиеся пря¬
мые (рис. 42). Они образуют четыре неразвёрну¬
тых угла. Если один из них прямой (угол 1), то
остальные углы также прямые (объясните по¬
чему).
Две пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными (или взаимно перпендику¬
лярными), если они образуют четыре прямых
угла.
Перпендикулярность прямых АС и BD обо¬
значается так: ACA.BD (читается: «Прямая АС
перпендикулярна к прямой BD*).
Рис.42
22 Глава 1

Отметим, что две прямые, перпендикуляр¬
ные к третьей, не пересекаются (рис. 43, а).
В самом деле, рассмотрим прямые ААХ и
ВВ,, перпендикулярные к прямой PQ (рис. 43, б).
Мысленно перегнём рисунок по прямой PQ так,
чтобы верхняя часть рисунка наложилась на
нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то
луч РА наложится на луч РАХ. Аналогично, луч
QB наложится на луч QBX.
Поэтому, если предположить, что прямые
ААХ и ВВ| пересекаются в точке М, то эта точка
наложится на некоторую точку Mt, также лежа¬
щую на этих прямых (рис. 43, в), и мы получим,
что через точки М и Мх проходят две прямые:
ААХ и ВВр Но это невозможно.
Следовательно, наше предположение невер¬
но и, значит, прямые ААХ и ВВ> не пересекаются.
Для проведения перпендикулярных пря¬
мых используют чертёжный угольник и линейку
(рис. 44).
13	Построение прямых углов
на местности
Для построения прямых углов на местно¬
сти применяют специальные приборы, простей¬
шим из которых является экер.
Экер представляет собой два бруска, распо¬
ложенных под прямым углом и укреплённых на
треножнике (рис. 45). На концах брусков вбиты
гвозди так, что прямые, проходящие через них,
взаимно перпендикулярны.
Чтобы построить па местности прямой угол
с заданной стороной О А, устанавливают тренож¬
ник с экером так, чтобы отвес находился точно
над точкой О, а направление одного бруска со¬
впало с направлением луча О А. Совмещение
этих направлений можно осуществить с помо¬
щью вехи, поставленной на луче.
23
Рис. 44
Начальные
геометрические
сведения

Затем провешивают прямую линию
по направлению другого бруска (прямая
ОВ на рисунке 45). Получается прямой
угол АОВ.
В геодезии для построения прямых
углов используют более совершенные
приборы, например теодолит.
Практические задания
54	Начертите острый угол АОВ и на
продолжении луча ОВ отметьте
точку D. Сравните углы АОВ и
AOD.
Рис. 45
55	Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из
них начертите смежный угол.
56	Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол hxkx так,
чтобы углы hk и hxkx были вертикальными.
57	Начертите неразвёрнутый угол MON и отметьте точку Р внут¬
ри угла и точку Q — вне его. С помощью чертежного угольни¬
ка и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпенди¬
кулярные к прямым ОМ и ON.
Задачи
58	□ Найдите угол, смежный с углом ЛВС, если:
а) ХАВС= ИГ; б) ZABC = 90°; в) ZABC= 15°.
59	□ Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым,
тупым) является другой угол?
60	[_] Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они
прямые?
61	Найдите смежные углы hk и kly если:
а)	Z.hk меньше Z.kl на 40°;
б)	Z/hk больше Z&Z на 120°;
в)	/Jik больше ZfcZ на 47°18';
г)	ZM? = 3Z&Z;
д)	ZM?:Z*Z = 5:4.
62	На рисунке 46 углы BOD и COD равны.
Найдите угол AOD, если АСОВ = 148°.
63	Даны два равных угла. Равны ли смежные
с ними углы?
64	Ы Найдите изображённые па рисунке 41
углы:
а)	1, 3, 4, если Z2=117°;
б)	1, 2, 4, если Z3 = 48°27'.
D
А	О В
Рис. 46
24 Глава I

65
66
67
68
69
70
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
□	Найдите неразвёрпутые углы, образован¬
ные при пересечении двух прямых, если:
а)	сумма двух из них равна 114°;
б)	сумма трёх углов равна 220°.
□	На рисунке 41 найдите углы 1, 2, 3, 4,
если:
а)	Z2 + Z4 = 220°;
б)	3(Z1+Z3) = Z2 + Z4;
в)	Z2-Zl = 30°.
3 На рисунке 47 изображены три прямые,
пересекающиеся в точке О. Найдите сумму
углов: Z1 + Z2 + Z3.
На рисунке 48 ZAOB = 50°, ZFOE = 70°.
Найдите углы ДОС, BOD, СОЕ и COD.
Л Прямая а пересекает стороны угла А в
точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и
AQ быть перпендикулярными к прямой а?
Рис. 47
Е
Рис. 48
Л Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три
прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней
мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
Вопросы для повторения к главе I
Сколько прямых можно провести через две точки?
Сколько общих точек могут иметь две прямые?
Объясните, что такое отрезок.
Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вер¬
шина и стороны угла.
Какой угол называется развёрнутым?
Какие фигуры называются равными?
Объясните, как сравнить два отрезка.
Какая точка называется серединой отрезка?
Объясните, как сравнить два угла.
Какой луч называется биссектрисой угла?
Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длину
отрезка АВ, если известны длины отрезков АС и СВ?
Какими инструментами пользуются для измерения расстоя¬
ний?
Что такое градусная мера угла?
Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную
меру угла АОВ, если известны градусные меры углов ЛОС и
СОВ?
Начальные
25 геометрические
сведения

16
17
18
19
20
21
71
72
73
74
75
76
77
78
Какой угол называется острым? прямым? тупым?
Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смеж¬
ных углов?
Какие углы называются вертикальными? Каким свойством
обладают вертикальные углы?
Какие прямые называются перпендикулярными?
Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей,
не пересекаются.
Какие приборы применяют для построения прямых углов на
местности?
Дополнительные задачи
Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на
одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую.
Сколько получилось прямых?
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекают¬
ся. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через
каждую точку пересечения проходят только две прямые?
Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении
трёх прямых, проходящих через одну точку?
Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками
М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два
раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите рас¬
стояние:
а)	между точками ЛГ и Р;
б)	между точками N и М.
Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см,
LM = 10 см. Каким может быть расстояние КШ Для каждого
из возможных случаев сделайте чертёж.
Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка
АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ 2QB. Найдите расстояние
между:
а)	точкой А и серединой отрезка QB;
б)	серединами отрезков АР и QB.
Отрезок длины т разделён:
а)	на три равные части;
б)	на пять равных частей.
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу
части. Расстояние между серединами крайних частей рав¬
но 30 см. Найдите расстояние между серединами средних
частей.
26 Глава I

79* 2 Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки Ми?/ —
середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN.
80	Известно, что ХЛОВ = 35°, ХВОС = 50°. Найдите угол ЛОС.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помо¬
щью линейки и транспортира.
81	Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150". Найдите угол km.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
82	Найдите смежные углы, если:
а)	один из них на 45° больше другого;
б)	их разность равна 35".
83	Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных
углов.
84	Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
85* Л Докажите, что если биссектрисы углов ЛВС и CBD перпен¬
дикулярны, то точки А, В и /) лежат на одной прямой.
86	Л Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не ле¬
жащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые
т и п так, что т±а, пА.Ь. Докажите, что прямые т и п не
совпадают.

стятся, т. е. попарно совместятся их вершины и
стороны. Ясно, что при этом совместятся попар¬
но и углы этих треугольников.
Таким образом, если два треугольника рав¬
ны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного
треугольника соответственно равны элементам
другого треугольника.
Отметим, что в равных треугольниках про¬
тив соответственно равных сторон (т. е. совмеща¬
ющихся при наложении) лежат равные углы, и
Рис. 50
обратно: против соответственно равных углов ле¬
жат равные стороны. Так, например, в равных
треугольниках АВС и А^С^ изображённых на
рисунке 50, против соответственно равных сто¬
рон АВ и AjBi лежат равные углы С и
Равенство треугольников АВС и
обозначается так: ДАВС= AAjBjCj. Оказы¬
вается, что равенство двух треугольников
можно установить, не накладывая один тре¬
угольник на другой, а сравнивая только не¬
которые их элементы. Как это сделать, мы
обсудим в следующих пунктах.
Такая возможность — установить равенство
двух фигур, не производя наложения одной на
другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые
элементы этих фигур, важна для практики, на¬
пример для сравнения двух земельных участков,
которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.
15	Первый признак
равенства треугольников
В математике каждое утверждение, спра¬
ведливость которого устанавливается путём рас-
суждений, называется теоремой, а сами рассуж¬
дения называются доказательством теоремы.
Фактически мы уже имели дело с теоремами и их
доказательствами. Так, утверждение о равенстве
вертикальных углов является теоремой, а рас¬
суждения, которые мы провели, чтобы установить
29
Треугольники

равенство вертикальных углов, и есть доказатель¬
ство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем
одну из теорем о равенстве треугольников.
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторо¬
нам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и
у которых AB = AlBi, AC=AlCl, углы А и Ах
равны (рис. 51). Докажем, что ЛАВС =
Так как ZA=ZAn то треугольник АВС
можно наложить на треугольник A^Cj так, что
вершина А совместится с вершиной At, а сторо¬
ны АВ и АС наложатся соответственно на лучи
АгВг и AjCj. Поскольку ЛВ=Л1В1, ЛС=Л1С1, то
сторона АВ совместится со стороной А^, а сто¬
рона АС — со стороной AjCi; в частности, со¬
вместятся точки В и В,, С и Ср Следовательно,
совместятся стороны ВС и В^. Итак, треуголь¬
ники АВС и AjBjCi полностью совместятся, зна¬
чит, они равны. Теорема доказана.
Доказанная теорема выражает признак (ра¬
венство у треугольников двух сторон и угла меж¬
ду ними), по которому можно сделать вывод о
равенстве треугольников. Он называется первым
признаком равенства треугольников.
Рис. 51
Практические задания
87	Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами Л/,
N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с по¬
мощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите пе¬
риметр треугольника.
88	Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым.
Назовите: а) стороны, лежащие против углов В, Е, F; б) углы,
лежащие против сторон РЕ, EF, FD; в) углы, прилежащие к
сторонам DE, EF, FD.
30 Глава II

89	С помощью транспортира и масштабной линейки начерти¬
те треугольник АВС, в котором: а) АВ = 4,3 см, АС = 2,3 см,
ZA 23°; б) ВС = 9 см, В А = 6,2 см, ZB = 122°; в) СЛ = 3 см,
СВ = 4 см, ZC = 90°.
Задачи
90	,_] Сторона АВ треугольника ЛВС равна 17 см, сторона АС
вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше сто¬
роны АС. Найдите периметр треугольника ЛВС.
91	ZZI Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон рав¬
на 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность рав¬
на 4,6 см.
92	й! Периметр одного треугольника больше периметра другого.
Могут ли быть равными эти треугольники?
93	,_] Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся се¬
рединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники ЛВС
и EBD равны; б) найдите углы Л и С треугольника ЛВС, если
в треугольнике BDE ZD~47°, ZE = 42°.
94	2 На рисунке 52 АВ= AC, Z1 = Z2. а) Докажите, что тре¬
угольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если
АС = 15 см, DC = 5 см.
95	JHa рисунке 53 BC = AD, Z1 = Z2. а) Докажите, что тре¬
угольники ЛВС и CDA равны; б) найдите АВ и ВС, если
AD- 17 см, DC = 14 см.
96	□ На рисунке 54 OA = OD, ОВ = ОС, Zl = 74°, Z2 = 36°. а) До-
ZACtT’ ЧТ° треугольники ЛОВ и 1Я)С Равны; б) найдите
97	□ Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. До¬
кажите, что /\АВС = &CDA.
98	JB треугольниках ЛВС и АХВХСХ АВ = АХВХ, АС=АХСХ,
ZA=ZAr На сторонах АВ и АХВХ отмечены точки В и В, так,
что АВ = А1В1. Докажите, что /\ВРС = АВХРХСХ.
99	□ На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точ¬
ка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, при¬
чём AC = AD и АВ = АЕ. Докажите, что Z.CBD = ADEC.
Треугольника

s2
Медианы, биссектрисы и высоты
треугольника
16	Перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку А, не лежа¬
щую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку
Л отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН
называется перпендикуляром, проведённым из
точки А к прямой а, если прямые ЛН и а пер¬
пендикулярны. Точка Н называется основанием
перпендикуляра.
Теорема
А
Н
Отрезок АН -
перпендикуляр
к прямой а
Рис. 55
■-	-
Из точки, не лежащей на прямой, можно про¬
вести перпендикуляр к этой прямой, и притом
только одип.
Доказательство
Пусть А — точка, не лежащая на прямой
ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точ¬
ки Л можно провести перпендикуляр к пря¬
мой ВС.
Отложим от луча ВС угол МВС, равный
углу АВС, как показано на рисунке 56, а. Так
как углы АВС и МВС равны, то первый из них
можно наложить на второй так, что стороны ВЛ
и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ
и ВС второго угла. Наглядно это наложение мож¬
но представить себе как перегибание рисунка по
прямой ВС. При этом точка А наложится на не¬
которую точку А, луча ВМ (рис. 56, <0- Обозна¬
чим буквой II точку пересечения прямых ДА, и
ВС. Отрезок ЛН и есть искомый перпендикуляр
к прямой ВС. В самом деле, при указанном нало¬
жении (перегибании рисунка) луч НА совмеща¬
ется с лучом //Ai, поэтому угол 1 совмещается
с углом 2. Следовательно, Z1 = Z2. Но углы 1 и
2 — смежные, значит, каждый из них прямой.
Итак, АН 1 ВС.
Рис. 56
32 Глава II

Рис.57
AM-медиана
треугольника
Рис.58
Докажем теперь, что из точки А мож¬
но провести только один перпендикуляр к пря¬
мой ВС.
Если предположить, что через точку А
можно провести ещё один перпендикуляр AHf к
прямой ВС, то получим, что две прямые АН и
АН lf перпендикулярные к прямой ВС, пересека¬
ются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это
невозможно. Итак, из точки А можно провести
только один перпендикуляр к прямой ВС. Теоре¬
ма доказана.
Для проведения на чертеже перпендику¬
ляра из точки к прямой используют чертёжный
угольник (рис. 58).
а)
Д
AMV ВМ2, СМ3~
медианы треугольника
АВС
б)
Рис. 59
17	Медианы, биссектрисы
и высоты треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треуголь¬
ника с серединой противоположной стороны, на¬
зывается медианой треугольника (рис. 59, а).
Любой треугольник имеет три медианы. На
рисунке 59,6 отрезки ЛМи ВМ2, СМ3 — медиа¬
ны треугольника АВС.
Отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны, называется биссек¬
трисой треугольника (рис. 60, а).
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
На рисунке 60, б отрезки СС\, DI\ и ЕЕХ — бис¬
сектрисы треугольника CDE.
CC,.DDX.EE}-
биссектрисы
треугольника CDE
б)
Рис.60
33 Треугольники

Перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к прямой, содержащей противопо¬
ложную сторону, называется высотой треуголь¬
ника (рис. 61).
Любой треугольник имеет три высоты. На
рисунках 62, а, б, в отрезки АНХ, ВН2, СН3 — вы¬
соты треугольника АВС.
Медианы, биссектрисы и высоты треуголь¬
ника обладают замечательными свойствами:
Медианы треугольника пересекаются в одной
точке (рис. 59, б);
биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке (рис. 60, б);
высоты треугольника или их продолжения так¬
же пересекаются в одной точке (рис. 62, а, б, в).
Эти утверждения мы докажем в 8 классе.
18	Свойства равнобедренного
треугольника
Треугольник называется равнобедренным,
если две его стороны равны. Равные стороны на¬
зываются боковыми сторонами, а третья сторо¬
на — основанием равнобедренного треугольника
(рис. 63, а).
Треугольник, все стороны которого равны,
называется равносторонним (рис. 63, б).
Докажем две теоремы о свойствах равно¬
бедренного треугольника.
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренный треугольник
АВС с основанием ВС и докажем, что ZB = ZC.
34
А
В Н С
АН- высота
треугольника АВС
РИС. 61
А
В Нх С
в)
анх. внг. сн3-
высоты Д АВС
Рис. 62
Глава II

Пусть Л D — биссектриса треугольника ЛВС
(рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны
по первому признаку равенства треугольни¬
ков (АВ = АС по условию, AD — общая сторо¬
на, Z1 = Z2, так как AD—биссектриса). В рав¬
ных треугольниках против равных сторон лежат
равные углы, поэтому ZB = ZC. Теорема дока¬
зана.
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведённая к основанию, является медианой и
высотой.
Доказательство
Обратимся снова к рисунку 64, на котором
ЛАВС — равнобедренный треугольник с основа¬
нием ВС, AD — его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD	б)
следует, что BD = DC и Z3 = Z4. Равенство p^c 63
BD = DC означает, что точка D — середина сто¬
роны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника
ЛВС. Так как утлы 3 и 4 — смежные и равны
друг другу, то они прямые. Следовательно, от¬
резок AD является также высотой треугольника
АВС. Теорема доказана.
Мы установили, что биссектриса, медиана
и высота равнобедренного треугольника, прове¬
дённые к основанию, совпадают. Поэтому спра¬
ведливы также утверждения:
1.	Высота равнобедренного треугольника, про¬
ведённая к основанию, является медианой и бис¬
сектрисой.
2.	Медиана равнобедренного треугольника, про¬
ведённая к основанию, является высотой и
Равнобедренный
треугольник
Равносторонний
треугольник
Рис. 64
биссектрисой.
35 Треугольники

1(H)
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
Практические задания
Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по
разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольни¬
ка проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
1-1 Начертите треугольник. С помощью масштабной линей¬
ки отметьте середины сторон и проведите медианы треуголь¬
ника.
Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки
проведите его биссектрисы.
Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и тре¬
угольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чер¬
тёжного угольника проведите высоты каждого треуголь¬
ника.
Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол,
лежащий против основания, был:
а) острым; б) прямым; в) тупым.
Задачи
□	Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпенди¬
куляры АВ и CD к прямой а равны.
а)	Докажите, что ZABD = ZCDB;
б)	найдите ZABC, если ZADB = 44°.
□	Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на
отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
а)	Докажите, что A ABD = &ECD-,
б)	найдите ZACE, если ZACD= 56°, ZABD = 40°.
□	В равнобедренном треугольнике основание в два раза мень¬
ше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите сторо¬
ны треугольника.
1-1 Периметр равнобедренного треугольника
АВС с основанием ВС равен 40 см, а пери-	А
метр равностороннего треугольника BCD ра-	А
вен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.	/ \
□	В равнобедренном треугольнике АВС с / \
основанием ВС проведена медиана AM. /	\
Найдите медиану AM, если периметр тре- / ~ \
угольника АВС равен 32см, а периметр / /\ \
треугольника АВМ равен 24 см.	/
1-1 Докажите, что если медиана треуголь- 	—>
ника является его высотой, то треугольник	л
равнобедренный.
□	На рисунке 65 CD = BD, Z1 = Z2. Докажи- Рис. 65
те, что треугольник АВС равнобедренный.
36 Глава II

112
113
114
115
116
117
118
119
120
Д На рисунке 66 АВ - ВС, Z1 = 130°. Найдите
Z2.
Точки М и Р лежат по одну сторону от пря¬
мой Ь. Перпендикуляры MN и PQ, проведён¬
ные к прямой Ь, равны. Точка О — середина
отрезка NQ.
а)	Докажите, что АОМР = /.ОРМ-
б)	найдите г/NOM, если ЛМОР = 105°.
Л Докажите, что в равных треугольниках меди¬
аны, проведённые к равным сторонам, равны.
Медиана AM треугольника АВС равна от¬
резку ВМ. Докажите, что один из углов тре¬
угольника АВС равен сумме двух других
углов.
Л Докажите, что в равностороннем тре¬
угольнике все углы равны.
-1 На рисунке 67 АВ = ВС, CD = DE. Докажи¬
те, что АВАС = Z.CEI).
Л На основании ВС равнобедренного треу¬
гольника АВС отмечены точки М и N так,
что BM = CN. Докажите, что:
а)	АВ AM = ДСА7У;
б)	треугольник AMN равнобедренный.
Д В равнобедренном треугольнике DEK с ос¬
нованием DK = 16 см отрезок EF — биссектри¬
са, Z.DEF = 43°. Найдите KF, Z.DEK, ZEFD.
Рис. 66
Рис. 67
□ В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены со¬
ответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что:
a) ABDE = ABDF', б) ДЛОЕ = ACDF.
§3
Второй и третий признаки
равенства треугольников
19 Второй признак
равенства треугольников
Теорема
Если сторона и два прилежащих к ней угла од¬
ного треугольника соответственно равны сторо¬
не и двум прилежащим к ней углам другого тре¬
угольника, то такие треугольники равны.
37
Треугольника

Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС н АгВхСи у
которых АВ = АХВХ, ZA=ZAn ZB = ZBX (рис. 68).
Докажем, что &АВС = ААХВХСХ.
Наложим треугольник АВС на треуголь¬
ник AjBjCj так, чтобы вершина А совместилась
с вершиной сторона АВ — с равной ей сторо¬
ной АХВХ, и вершины С и Сх оказались по одну
сторону от прямой AjBj.
Так как ZA = ZAj и ZB = ZB1} то сторона АС
наложится на луч АХСЪ а сторона ВС — на луч
BjCp Поэтому вершина С — общая точка сторон
АС и ВС — окажется лежащей как на луче АХСХ,
так и на луче В,С> и, следовательно, совместится
с общей точкой этих лучей — вершиной Сх. Зна¬
чит, совместятся стороны АС и AxClt ВС и ВХСХ.
Итак, треугольники АВС и АХВХСХ полно¬
стью совместятся, поэтому они равны. Теорема
доказана.
Рис. 68
20	Третий признак
равенства треугольников
Теорема
Если три стороны одного треугольника соответ¬
ственно равны трём сторонам другого треуголь¬
ника, то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и АХВХСХ,
у которых АВ = АХВХ, ВС=ВХСХ, СА = СХАХ
(рис. 69). Докажем, что ААВС = ДАХВХСХ. При¬
ложим треугольник АВС к треугольнику АХВХСХ
так, чтобы вершина А совместилась с верши¬
ной Ах, вершина В — с вершиной Ви а верши¬
ны С и Сх оказались по разные стороны от пря¬
мой АХВХ (рис. 70).
Возможны три случая: луч СХС проходит
внутри угла AjCiBj (рис. 70, а); луч СХС совпада-
38 Глава II

с
ет с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч
CjC проходит вне угла A/JjBj (рис. 70, в). Рас¬
смотрим первый случай (остальные случаи рас¬
смотрите самостоятельно).
Так как по условию теоремы стороны АС и
ArCif ВС и В1С1 равны, то треугольники А^С^С и
ВгСгС — равнобедренные (см. рис. 70, а). По тео¬
реме о свойстве углов равнобедренного треуголь¬
ника Z1 = Z2, Z3 = Z4, поэтому ЛАХСВХ = ХАуС^.
Итак, АС=А1С1, ВС = В1С1, ZC = ZCB.
Следовательно, треугольники АВС и AjBjCj
равны по первому признаку равенства треуголь¬
ников. Теорема доказана.
Из третьего признака равенства треуголь¬
ников следует, что треугольник — жёсткая фигу¬
ра. Поясним, что это означает.
Представим себе две рейки, у которых два
конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая кон¬
струкция не является жёсткой: сдвигая или раз¬
двигая свободные концы реек, мы можем менять
угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рей¬
ку и скрепим её концы со свободными концами
первых двух реек (рис. 71, б).
Полученная конструкция — треугольник —
будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или
раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя
изменить ни один угол. Действительно, если бы
это удалось, то мы получили бы новый треуголь¬
ник, не равный исходному. Но это невозможно,
так как новый треугольник должен быть равен
39 Треугольника

исходному по третьему признаку равенства тре¬
угольников.
Это свойство — жёсткость треугольника —
широко используется на практике. Так, чтобы
закрепить столб в вертикальном положении,
к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же
принцип используется при установке кронштей¬
на (рис. 72, б).
Задачи
121	□ Отрезки АВ и CD пересекаются в середи¬
не О отрезка АВ, ZOAD = ZOBC.
а)	Докажите, что ДСТВО = АРАО;
б)	найдите ВС и СО, если CD = 26 см,
AD= 15 см.
122	U На рисунке 53 (см. с. 31) Zl = Z2, Z3 = Z4.
а)	Докажите, что ААВС= ACDA;
б)	найдите АВ и ВС, если AD = 19 см,
CD=U см.
123
Рис. 72
□ На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого
угла — точки В и С такие, что ZADB = ZADC. Докажите, что
124	Ц По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ZP-Z.T.
125	Ы На рисунке 74 ZDAC-ZDBC, АО=ВО. Докажите что
ZC = ZDhAC = BD.
126	□ На рисунке 74 ZDAB=ZCBA, ZCAB = ZDBA, AC =13 см.
Найдите BD.
127	В треугольниках АВС и AjBjCj АВ = АХВХ, ВС = ВХСХ,
ZB-ZBX. На сторонах АВ и АХВХ отмечены точки D и D. так^
что ZACD = ZAXCXDX. Докажите, что ABCD= /\BXCXDX.
128	Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, прове¬
дённые к соответственно равным сторонам, равны.
Рис. 74
40 Глава II

129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
%у)КИ/плл nD пеРесекаются в середине О отрезка До
ZBCO = ZDAO. Докажите, что ДВОА = AZ1OC.
В треугольниках АВС и А.В.С. отрезки СО и С.О. - Ме.
ГдасоСЛВ^а И ZC=ZCi* Докажите’ что:
6)	ДВСО = ДВ1С1О1.
В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF = MP и Z.F = Z_P
Биссектрисы углов Е и Г) пересекаются в точке О, а биссектри¬
сы углов М и N в точке К. Докажите, что Z.DOE = Z.MKN.
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла Л, пересекает
стороны утла в точках М и N. Докажите, что треугольник
AMN — равнобедренный.
Докажите, что если биссектриса треугольника является его
высотой, то треугольник — равнобедренный.
Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если ос¬
нование и прилежащий к нему угол одного треугольника со¬
ответственно равны основанию и прилежащему к нему углу
другого треугольника.
Докажите, что если сторона одного равностороннего треуголь¬
ника равна стороне другого равностороннего треугольника, то
треугольники равны.
□ На рисунке 52 (см. с. 31) АВ = АС, BD = DC и АВАС = 50°.
Найдите ZCAD.
На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что
ZB = ZD.
На рисунке 75 AB = CD и BD = AC. Докажите, что:
a) ZCAD = ZADB; б) ZBAC = ZCDB.
На рисунке 76 АВ = С£>, AD = BC, BE — биссектриса угла
ЛВС, a DF — биссектриса угла A DC. Докажите, что:
а)	ZABE = ZADF;
б)	ДЛВЕ = ДС7Ж
В треугольниках АВС и АуВ^у медианы ВМ и B^Mi равны,
ЛВ = Л1В1, AC = A,Ct. Докажите, что ААВС = АА^В^.
41
Треугольника

141	В треугольниках АВС и АХВХСХ отрезки AD и AXDX— бис¬
сектрисы, АВ = АХВХ, BD = BXDX и AD= AXDX. Докажите, что
ДАВС = ЛАХВХСХ.
142	Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее ос¬
нование DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О.
Докажите, что: a) ZADB = ZACB; б) 1Ю = ОС.
§4
Задачи на построение
21	Окружность
Предложение, в котором разъясняется
смысл того или иного выражения или названия,
называется определением. Мы уже встречались с
определениями, например с определением угла,
смежных углов, равнобедренного треугольника
и т. д. Дадим определение ещё одной геометриче¬
ской фигуры — окружности.
Определение
Окружностью называется геометрическая фигура,
состоящая из всех точек плоскости, расположен¬
ных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окруж¬
ности, а отрезок, соединяющий центр с какой-ли¬
бо точкой окружности, — радиусом окружности
(рис. 77). Из определения окружности следует,
что все радиусы имеют одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружно¬
сти, называется её хордой. Хорда, проходящая че¬
рез центр окружности, называется её диаметром.
На рисунке 78 отрезки АВ и EF — хорды
окружности, отрезок CD — диаметр окружности.
Очевидно, диаметр окружности в два раза боль¬
ше её радиуса. Центр окружности является сере¬
диной любого диаметра.
Любые две точки окружности делят её
на две части. Каждая из этих частей называ¬
ется дугой окружности. На рисунке 79 ALB и
АМВ — дуги, ограниченные точками А и В.
Окружность радиуса г
с центром О
Рис. 77
АВ и EF—хорды.
CD—диаметр
Рис. 78
ALB и АМВ -
дуги окружности,
ограниченные
точками А и В
Рис. 79
42 Глава II

Для изображения окружности на чертеже
пользуются циркулем (рис. 80). Чтобы провести
окружность на местности, можно воспользовать¬
ся верёвкой (рис. 81).
Часть плоскости, ограниченная окружно¬
стью, называется кругом (рис. 82).
22	Построения циркулем и линейкой
Мы уже имели дело с геометрическими
построениями: проводили прямые, отклады¬
вали отрезки, равные данным, чертили углы,
треугольники и другие фигуры. При этом мы
пользовались масштабной линейкой, циркулем,
транспортиром, чертёжным угольником.
Оказывается, что многие построения можно
выполнить с помощью только циркуля и линей¬
ки без масштабных делений. Поэтому в геомет¬
рии специально выделяют те задачи на построе¬
ние, которые решаются с помощью только этих
двух инструментов.
Что можно делать с их помощью? Ясно,
что линейка позволяет провести произвольную
прямую, а также построить прямую, проходя¬
щую через две данные точки. С помощью цир¬
куля можно провести окружность произвольного
радиуса, а также окружность с центром в дан¬
ной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Выполняя эти несложные операции, мы сможем
решить много интересных задач на построение:
построить угол, равный данному;
через данную точку провести прямую, пер¬
пендикулярную к данной прямой;
разделить данный отрезок пополам
и другие задачи.
Начнём с простой задачи.
Задача
На данном луче от его начала отложить от¬
резок, равный данному.
43
Построение
окружности
с помощью циркуля
Рис.80
Построение
окружности
с помощью верёвки
Рис. 81
Рис.82
Треугольника

Решение
Изобразим фигуры, данные в условии за¬
дачи: луч ОС и отрезок Л В (рис. 83, а). Затем
циркулем построим окружность радиуса АВ с
центром О (рис. 83, б). Эта окружность пересечёт
луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD — ис¬
комый.
23	Примеры задач на построение
Построение угла, равного данному
Задача
Отложить от данного луча угол, равный
данному.
Решение
Данный угол с вершиной А и луч ОМ изо¬
бражены на рисунке 84. Требуется построить
угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сто¬
рон совпала с лучом ОМ.
Проведём окружность произвольного ради¬
уса с центром в вершине А данного угла. Эта
окружность пересекает стороны угла в точках В
и С (рис. 85, а). Затем проведём окружность того
же радиуса с центром в начале данного луча ОМ.
Она пересекает луч в точке D (рис. 85, б). После
этого построим окружность с центром D, ради¬
ус которой равен ВС. Окружности с центрами
О и D пересекаются в двух точках. Одну из этих
точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол
МОЕ — искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ODE. От¬
резки АВ и АС являются радиусами окружности
с центром А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами
окружности с центром О (см. рис. 85, б). Так как
по построению эти окружности имеют равные ра¬
диусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построе¬
нию ВС = DE.
Следовательно, Д.АВС= £\ODE по трём сто¬
ронам. Поэтому ZDOE- ABACt т. е. построенный
угол МОЕ равен данному углу А.
44 Глава II

То же построение можно выполнить и на
местности, если вместо циркуля воспользоваться
верёвкой.
Построение биссектрисы угла
Задача
Построить биссектрису данного угла.
Решение
Данный угол ВАС изображён на рисун¬
ке 86. Проведём окружность произвольного ра¬
диуса с центром в вершине А. Она пересечёт сто¬
роны угла в точках В и С.
Затем проведём две окружности одинако¬
вого радиуса ВС с центрами в точках В и С (на
рисунке изображены лишь части этих окружно¬
стей). Они пересекутся в двух точках, из кото¬
рых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим
её буквой Е. Докажем, что луч АЕ является бис¬
сектрисой данного угла ВАС.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они
равны по трём сторонам. В самом деле, АЕ — об¬
щая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной
и той же окружности; СЕ = ВЕ по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ
следует, что АСАЕ = Z.BAE, т. е. луч АЕ — бис¬
сектриса данного угла ВАС.
Замечание
Можно ли с помощью циркуля и линей¬
ки разделить данный угол на два равных угла?
Ясно, что можно, — для этого нужно провести
биссектрису этого угла.
Данный угол можно разделить также па
четыре равных угла. Для этого нужно разделить
его пополам, а затем каждую половину разделить
ещё раз пополам.
А можно ли с помощью циркуля и линей¬
ки разделить данный угол на три равных угла?
Эта задача, получившая название задачи о три¬
секции угла, в течение многих веков привлекала
45
Рис. 86
Треугольники

внимание математиков. Лишь в XIX веке было
доказано, что для произвольного угла такое по¬
строение невозможно.
Построение перпендикулярных прямых
Задача
Даны прямая и точка на ней. Построить
прямую, проходящую через данную точку и пер¬
пендикулярную к данной прямой.
Решение
Данная прямая а и данная точка М, при¬
надлежащая этой прямой, изображены на рисун¬
ке 87.
На лучах прямой а, исходящих из точки
М, отложим равные отрезки МА и МВ. Затем
построим две окружности с центрами А и В ради¬
уса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.
Проведём прямую через точку М и одну из
этих точек, например прямую МР (см. рис. 87),
и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что
она перпендикулярна к данной прямой а.
В самом деле, так как медиана РМ равно¬
бедренного треугольника РАВ является также
высотой, то РМ ± а.
Построение середины отрезка
Задача
Построить середину данного отрезка.
Решение
Пусть АВ — данный отрезок. Построим
две окружности с центрами А и В радиуса АВ
(рис. 88). Они пересекаются в точках Р и Q. Про¬
ведём прямую PQ. Точка О пересечения этой
прямой с отрезком АВ и есть искомая середина
отрезка АВ.
В самом деле, треугольники APQ и BPQ рав¬
ны по трём сторонам, поэтому Z1 = Z2 (рис. 89).
Следовательно, отрезок РО — биссектриса
равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и
медиана, т. е. точка О — середина отрезка АВ.
46
Рис. 87
Рис. 88
Рис. 89
Глава II

143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
Рис.
Задачи
□ Какие из отрезков, изображённых
на рисунке 90, являются: а) хордами
окружности; б) диаметрами окружно¬
сти; в) радиусами окружности?
Отрезки АВ и CD — диаметры окруж¬
ности. Докажите, что: а) хорды BD и
АС равны; б) хорды AD и ВС равны;
в) ZBAD ZBCD.
Рис. 90
□	Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и
РК — равные хорды этой окружности. Найдите ZPOM.
□	Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О.
Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что
СВ= 13 см, АВ =16 см.
На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что
угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности.
Докажите, что хорды АВ и АС равны.
□	На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча
В А отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2 АВ.
□	Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ.
Постройте точку М на прямой а так, чтобы BM = PQ. Всегда
ли задача имеет решение?
Д Даны окружность, точка Л, не лежащая на ней, и от¬
резок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы
AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
□	Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так,
чтобы ZYXZ=2ZBAC.
Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА
и ХОВ были равными тупыми углами.
□ Даны прямая а и точка Af, не лежащая на ней. Постройте
прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к
прямой а.
91
Решение
Построим окружность с центром
в данной точке М, пересекающую
данную прямую а в двух точках,
которые обозначим буквами Л и В
(рис. 91). Затем построим две окруж¬
ности с центрами А и В, проходя¬
щие через точку М. Эти окружности
пересекаются в точке М и ещё в од¬
ной точке, которую обозначим бук¬
вой N. Проведём прямую MN и до-
47 Треугольника

154
155
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
кажем, что эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна
к прямой а.
В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трём
сторонам, поэтому Z1=Z2. Отсюда следует, что отрезок МС
(С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектри¬
сой равнобедренного треугольника АМВ, а значит, и высотой.
Таким образом, MN ± АВ, т. е. MN ± а.
□	Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК',
б) медиану ВМ\ в) высоту СН треугольника.
□	С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:
а) 45°; б) 22°30'.
Вопросы для повторения к главе II
Объясните, какая фигура называется треугольником. Начер¬
тите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.
Что такое периметр треугольника?
Какие треугольники называются равными?
Что такое теорема и доказательство теоремы?
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый
признак равенства треугольников.
Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, про¬
ведённым из данной точки к данной прямой.
Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, про¬
ведённом из данной точки к данной прямой.
Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько
медиан имеет треугольник?
Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь¬
ко биссектрис имеет треугольник?
Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько
высот имеет треугольник?
Какой треугольник называется равнобедренным? Как назы¬
ваются его стороны?
Какой треугольник называется равносторонним?
Докажите, что углы при основании равнобедренного треуголь¬
ника равны.
Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобед¬
ренного треугольника.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй
признак равенства треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий
признак равенства треугольников.
48 Глава II

16
17
18
19
20
21
156
157
158
159
160
161
162
163
Что такое определение? Дайте определение окружности. Что
такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
Объясните, как отложить на данном луче от его начала отре¬
зок, равный данному.
Объясните, как отложить от данного луча угол, равный дан¬
ному.
Объясните, как построить биссектрису данного угла.
Объясните, как построить прямую, проходящую через данную
точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к
этой прямой.
Объясните, как построить середину данного отрезка.
Дополнительные задачи
□ Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС боль¬
ше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на
1 см. Найдите стороны треугольника.
Л В равнобедренном треугольнике основание больше боковой
стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см.
Найдите стороны треугольника.
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Меди¬
ана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник
на два треугольника так, что периметр одного треугольника
на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону
данного треугольника.
Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если
боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного
треугольника соответственно равны боковой стороне и углу,
противолежащему основанию, другого треугольника.
Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендику¬
лярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равно¬
удалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от
точек А и В, лежит на прямой а,
В треугольниках АВС и AiBjC, медианы AM
nAjAfj равны, ВС = В1С1 и ZAMB = ZAIMlBj.	А
Докажите, что ААВС = ЛА^С^	/7
На рисунке 92 треугольник ADE равнобед- /	\\
ренный, DE — основание. Докажите, что:	//	\\
а) если BD = CE, то ZCAD = ZBAE и АВ =	/	\\
= АС; б) если ZCAZ> = ZBAE, то BD = CE и	//	\ \
лп=АС-	//	\\
Докажите, что середины сторон равнобед-	Л—Т	£—
репного треугольника являются вершина¬
ми другого равнобедренного треугольника. Рис. 92
49 Треугольники

164	На сторонах равностороннего треугольника
АВС отложены равные отрезки AD, BE и
CF, как показано на рисунке 93. Точки О,
Е, F соединены отрезками. Докажите, что
треугольник DEF — равносторонний.
165	Отрезки А В и CD пересекаются в их общей
середине О. На отрезках АС и BD отмечены
точки К и так, что АК = ВКу. Докажите,
что: а) ОК = ОК у, б) точка О лежит на пря¬
мой ККу.
166	Отрезки АВ и CD пересекаются в их об¬
щей середине О. Точки М и N — середи¬
ны отрезков АС и BD. Докажите, что точ¬
ка О — середина отрезка MN.
167	Стороны равностороннего треугольника
АВС продолжены, как показано на рисун¬
ке 94, на равные отрезки AD, СЕ, BF. До¬
кажите, что треугольник DEF — равносто¬
ронний.
168	В треугольнике ABC ZA = 38°, ZB =110°,
ZC = 32п. На стороне АС отмечены точки D
и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ,
BD=DA, ВЕ = ЕС. Найдите угол DBE.
169	На рисунке 95 OC-OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что AB = EF.
Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на
рисунке 95), основанный на этой задаче.
170	Докажите, что треугольники АВС и A1B1C\ равны, если
АВ = АуВу, Z4 ~Z.Ay, AD— AyD,, где AD и AtDy — биссектри¬
сы треугольников.
171	В треугольниках АВС и A DC стороны ВС и AD равны и пере¬
секаются в точке О, ZOAC = Z.OCA. Докажите, что треуголь¬
ники АВО и С DO равны.
172	На рисунке 96 AC = AD, АВ LCD. Докажите, что BC = BD и
ZACB = ZADB.
50 Глава II

173*
174*
175*
176*
177*
178*
179*
180
181
182
183
184
185
Докажите, что угол, смежный с углом тре¬
угольника, больше каждого из двух других
углов треугольника.
Докажите, что &АВС = ДА.В.С., если
ZA=ZAn ZB = ZB>, ВС=В1С1.
На сторонах угла XOY отмечены точки
А, В, С и D так, что ОА = ОВ, АС = ВВ
(рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в
точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссек¬
триса угла XOY. Опишите способ построе¬
ния биссектрисы угла, основанный на этом
факте.
Докажите, что треугольники АВС и АХВХСХ
равны, если АВ = АХВХУ АС = АХСХ> АМ = АХМХ, где AM и
АХМj — медианы треугольников.
Даны два треугольника: АВС и АХВХСХ. Известно, что
АВ = А1В1, AC = AxCXt ZA = ZAX. На сторонах АС и ВС тре¬
угольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на
сторонах AjCj и ВХСХ треугольника АХВХСХ — точки Кх и Lx
так, что АК = АХКХ> LC = LXCX. Докажите, что: a) KL = KxLc,
6)AL = AXLX.
Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точ¬
ка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней
мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг другу.
На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольни¬
ка АВС отмечены точки Р и Q так, что ZPXB = ZQXC, где
X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
данную точку, с центром на данной прямой.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
две данные точки.
Даны прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте тре¬
угольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и
AC = PQ.
Даны окружность, точки А, В и отрезок PQ. Постройте тре¬
угольник АВС так, чтобы вершина С лежала па данной
окружности и AC = PQ.
На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноуда¬
лённую от вершин А и С.
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на
четыре равные части.
Треугольники

Глава III
Параллельные прямые
Зта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так на¬
зываются две прямые на плоскости, которые не пересека¬
ются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей
обстановке — это два края прямоугольного стола, два края об¬
ложки книги, две ипанги троллейбуса и т. д. Параллельные пря¬
мые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы
узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит
аксиома параллельных прямых — одна из самых известных ак¬
сиом геометрии.
Признаки параллельности двух прямых
24	Определение параллельных
прямых	с
	т
В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо
имеют одну общую точку, т. е. пересекаются,
либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не 	1
пересекаются.
Л	Рис. 98
Определение
Две прямые на плоскости называются парал¬
лельными, если они не пересекаются.
Параллельность прямых а и b обозначают
так: а || Ь.
На рисунке 98 изображены прямые а и Ь,
перпендикулярные к прямой с. В п. 12 мы уста¬
новили, что такие прямые а и Ь не пересекаются,
т. е. они параллельны.
Наряду с параллельными прямыми
часто рассматривают параллельные отрез¬
ки. Два отрезка называются параллель¬
ными, если они лежат на параллельных
прямых. На рисунке 99, а отрезки АВ
и CD параллельны (АВ || CD), а отрезки
MN и CD не параллельны. Аналогично
52 Глава III

определяется параллельность отрезка и прямой
(рис. 99, б), луча и прямой, отрезка и луча, двух
лучей (рис. 99, в).
25	Признаки параллельности
двух прямых
Прямая с называется секущей по отно¬
шению к прямым а и Ь, если она пересекает их
в двух точках (рис. 100). При пересечении пря¬
мых а и b секущей с образуется восемь углов,
которые на рисунке 100 обозначены цифрами.
Некоторые пары этих углов имеют специальные
названия:
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и
6, 3 и 7.
Рассмотрим три признака параллельности
двух прямых, связанные с этими парами углов.
Рис. 100
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые па¬
раллельны.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b секу¬
щей АВ накрест лежащие углы равны: Z1=Z2
(рис. 101, а).
Параллельные
прямые
53

Докажем, что а || Ь. Если углы 1 и 2 прямые
(рис. 101,6), то прямые а и b перпендикулярны
к прямой АВ и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не
прямые.
Из середины О отрезка АВ проведём пер¬
пендикуляр ОН к прямой а (рис. 101, в). На пря¬
мой b от точки В отложим отрезок ВНХУ равный
отрезку АНУ как показано на рисунке 101, в,
и проведём отрезок ОНХ. Треугольники ОНА
и ОНХВ равны по двум сторонам и углу меж¬
ду ними (АО = ВО, АН = ВПХУ Z1 = Z2), поэтому
Z3 = Z4 и Z5 = Z6. Из равенства Z3 = Z4 следует,
что точка Нх лежит на продолжении луча ОНУ
т. е. точки Н, О и Нх лежат на одной прямой,
а из равенства Z5 = Z6 следует, что угол 6 — пря¬
мой (так как угол 5 — прямой). Итак, прямые
а и b перпендикулярны к прямой ННХУ поэтому
они параллельны. Теорема доказана.
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей со¬
ответственные углы равны, то прямые парал¬
лельны.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b се¬
кущей с соответственные углы равны, например
Z1 = Z2 (рис. 102).
Так как углы 2 и 3 — вертикальные,
то Z2 = Z3. Из этих двух равенств следует,
что Z1 = Z3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие,
поэтому прямые а и b параллельны. Теорема
доказана.
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 180°, то пря¬
мые параллельны.
54 Глава III

Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и Ъ се¬
кущей с сумма односторонних углов равна 180°,
например Zl + Z4 = 180° (см. рис. 102).
Так как углы 3 и 4 — смежные, то
Z3 + Z4 = 180°. Из этих двух равенств следу¬
ет, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны,
поэтому прямые а и Ь параллельны. Теорема
доказана.
26	Практические способы построения
параллельных прямых
Признаки параллельности прямых лежат
в основе способов построения параллельных
прямых с помощью различных инструментов,
используемых на практике. Рассмотрим, на¬
пример, способ построения параллельных пря¬
мых с помощью чертёжного угольника и ли¬
нейки.
Чтобы построить прямую, проходящую че¬
рез точку М и параллельную данной прямой а,
приложим чертёжный угольник к прямой а,
а к нему линейку так, как показано на рисун¬
ке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линей¬
ки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась на
стороне угольника, и проведём прямую Ь. Пря¬
мые а и b параллельны, так как соответственные
углы, обозначенные на рисунке 103 буквами а и
р, равны.
На рисунке 104 показан способ постро¬
ения параллельных прямых при помощи рейс¬
шины. Этим способом пользуются в чертёжной
практике.
Аналогичный способ применяется при вы¬
полнении столярных работ, где для разметки
параллельных прямых используется малка (две
деревянные планки, скреплённые шарниром,
рис. 105).
55
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 105
Параллгльн ые
прямые

Задачи
186	На рисунке 106 прямые а и h пересечены
прямой с. Докажите, что а || д, если:
а)	Z1 = 37°, Z7 = 143°;
б)	Z1=Z6;
в)	-^1 = 45°, а угол 7 в три раза больше
угла 3.
187	По данным рисунка 107 докажите, что
AB\\DE.
188	Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей
середине. Докажите, что прямые АС и BD
параллельны.
189	Используя данные рисунка 108, докажите,
что ВС || AD.
190	На рисунке 109 АВ = ВС, AD = DE, Z.C = 70°,
ZEAC = 35°. Докажите, что DE || АС.
191	Отрезок ВК — биссектриса треугольника
АВС. Через точку К проведена прямая,
пересекающая сторону ВС в точке М так,
что ВМ = МК. Докажите, что прямые КМ
и АВ параллельны.
192	В треугольнике АВС угол А равен 40°,
а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен
80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ
параллельна прямой АВ.
193	□ В треугольнике ABC ZA = 40°, ZB =70°.
Через вершину В проведена прямая BD так,
что луч ВС — биссектриса угла ABD. Дока¬
жите, что прямые АС и BD параллельны.
194	Начертите треугольник. Через каждую вер¬
шину этого треугольника с помощью чер¬
тёжного угольника и линейки проведите
прямую, параллельную противоположной
стороне.
195	Начертите треугольник АВС и отметьте
точку D на стороне АС. Через точку D с
помощью чертёжного угольника и линейки
проведите прямые, параллельные двум дру¬
гим сторонам треугольника.
Рис. 106
Рис. 107
Рис. 109
56 Глава III

§2
Аксиома параллельных прямых
27	Об аксиомах геометрии
Изучая свойства геометрических фигур, мы
доказали ряд теорем. При этом мы опирались,
как правило, на доказанные ранее теоремы. А на
чём основаны доказательства самых первых тео¬
рем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: неко¬
торые утверждения о свойствах геометрических
фигур принимаются в качестве исходных поло¬
жений, на основе которых доказываются далее
теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие
исходные положения называются аксиомами.
Некоторые аксиомы были сформулированы
ещё в первой главе (хотя они и не назывались
там аксиомами). Например, аксиомой является
утверждение о том, что
через любые две точки проходит прямая, и при¬
том только одна.
Многие другие аксиомы, хотя и не были
выделены особо, но фактически использовались в
наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрез¬
ков мы проводили с помощью наложения одного
отрезка на другой. Возможность такого наложе¬
ния вытекает из следующей аксиомы:
па любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
Сравнение двух углов основано на анало¬
гичной аксиоме:
от любого луча в заданную сторону можно от¬
ложить угол, равный данному неразвёрнутому
углу, и притом только один.
Все эти аксиомы являются наглядно оче¬
видными и не вызывают сомнений. Само слово
♦аксиома» происходит от греческого ♦аксиос»,
— _ Параллельные
прямые

что означает «ценный, достойный». Полный спи¬
сок аксиом планиметрии, принятых в нашем
курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.
Такой подход к построению геометрии,
когда сначала формулируются исходные поло¬
жения — аксиомы, а затем на их основе путём
логических рассуждений доказываются другие
утверждения, зародился ещё в глубокой древ¬
ности и был изложен в знаменитом сочинении
«Начала» древнегреческого учёного Евклида.
Некоторые из аксиом Евклида (часть из них
он называл постулатами) и сейчас используют¬
ся в курсах геометрии, а сама геометрия, из¬
ложенная в «Началах», называется евклидовой
геометрией. В следующем пункте мы познако¬
мимся с одной из самых известных аксиом гео-
метрии.
28	Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую а и точ¬
ку Л/, не лежащую на ней (рис. 110, а). Докажем,
что через точку М можно провести прямую, па¬
раллельную прямой а. Для этого проведём через
точку М две прямые: сначала прямую с перпен¬
дикулярно к прямой а, а затем прямую b пер¬
пендикулярно к прямой с (рис. 110,6). Так как
прямые а и Ь перпендикулярны к прямой с, то
они параллельны.
Итак, через точку М проходит прямая Ь,
параллельная прямой а. Возникает следующий
вопрос: можно ли через точку М провести ещё
одну прямую, параллельную прямой а?
Нам представляется, что если прямую Ь
«повернуть» даже на очень малый угол вокруг
точки Му то она пересечёт прямую а (прямая Ь'
па рисунке 110,6). Иными словами, нам кажет¬
ся, что через точку М нельзя провести другую
прямую (отличную от 6), параллельную пря¬
мой а. А можно ли это утверждение доказать?
Евклид
(Ш в. до в. э.)
а)
Рис. 110
М
а
58 Глава III

Этот вопрос имеет большую историю.
В «Началах» Евклида содержится постулат (пя¬
тый постулат Евклида), из которого следует, что
через точку, не лежащую на данной прямой,
можно провести только одну прямую, парал¬
лельную данной. Многие математики, начиная с
древних времён, предпринимали попытки дока¬
зать пятый постулат Евклида, т. е. вывести его
из других аксиом. Однако эти попытки каждый
раз оказывались неудачными. И лишь в прошлом
веке было окончательно выяснено, что утвержде¬
ние о единственности прямой, проходящей через
данную точку параллельно данной прямой, не
может быть доказано на основе остальных акси¬
ом Евклида, а само является аксиомой.
Огромную роль в решении этого непростого
вопроса сыграл великий русский математик Ни¬
колай Иванович Лобачевский (1792—1856).
Итак, в качестве ещё одного из исходных
положений мы принимаем аксиому параллель¬
ных прямых.
Н. И. Лобачевский
(1792—1856)
Через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит только одна прямая, параллельная
данной.
Утверждения, которые выводятся непо¬
средственно из аксиом или теорем, называют¬
ся следствиями. Например, утверждения 1 и 2
(см. с. 35) являются следствиями из теоремы о
биссектрисе равнобедренного треугольника.
Рассмотрим некоторые следствия из аксио¬
мы параллельных прямых.
1°. Если прямая пересекает одну из двух парал¬
лельных прямых, то она пересекает и другую.
Действительно, пусть прямые а и Ь па¬
раллельны и прямая с пересекает прямую а в
точке М (рис. 111, а). Докажем, что прямая с
пересекает и прямую Ь. Если бы прямая с не пе¬
б)
Рис. 111
Параллельные
59 прямые

ресекала прямую 6, то через точку М проходи¬
ли бы две прямые (прямые а и с), параллельные
прямой b (рис. 111,6). Но это противоречит акси¬
оме параллельных прямых, и, значит, прямая с
пересекает прямую Ь.
2°. Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.
Действительно, пусть прямые а и Ь па¬
раллельны прямой с (рис. 112, а). Докажем,
что а || Ь. Допустим, что прямые а и b не парал¬
лельны, т. е. пересекаются в некоторой точке М
(рис. 112, 6). Тогда через точку М проходят две
прямые (прямые а и 6), параллельные прямой с.
Но это противоречит аксиоме параллель¬
ных прямых. Поэтому наше предположение
неверно, а значит, прямые а и Ь параллельны.
29	Теоремы об углах, образованных
двумя параллельными прямыми
и секущей
Во всякой теореме различают две части:
условие и заключение. Условие теоремы — это
1Х), что дано, а заключение — то, что требуется
доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражаю¬
щую признак параллельности двух прямых: если
при пересечении двух прямых секущей накрест
лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть
утверждения: «при пересечении двух прямых се¬
кущей накрест лежащие углы равны» (это дано),
а заключением — вторая часть: «прямые парал¬
лельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной, называет¬
ся такая теорема, в которой условием является
заключение данной теоремы, а заключением —
условие данной теоремы. Докажем теоремы,
обратные трём теоремам п. 25.
б)
Рис.112
60 Глава III

Теорема
Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересе¬
чены секущей MN. Докажем, что накрест лежа¬
щие углы, например 1 и 2, равны (рис. 113).
Допустим, что углы 1 и 2 не равны. От¬
ложим от луча MN угол PMN, равный углу 2,
так, чтобы Z.PMN и Z2 были накрест лежащими
углами при пересечении прямых МР и Ъ секу¬
щей MN. По построению эти накрест лежащие
углы равны, поэтому МР || Ь. Мы получили, что
через точку М проходят две прямые (прямые а и
МР), параллельные прямой Ь. Но это противо¬
речит аксиоме параллельных прямых. Значит,
наше допущение неверно и Z1=Z2. Теорема
доказана.
Замечание
При доказательстве этой теоремы мы ис¬
пользовали способ рассуждений, который назы¬
вается методом доказательства от противного.
Мы предположили, что при пересечении
параллельных прямых а и b секущей MN на¬
крест лежащие углы 1 и 2 не равны, т. е. пред¬
положили противоположное тому, что нужно до¬
казать. Исходя из этого предположения, путём
рассуждений мы пришли к противоречию с ак¬
сиомой параллельных прямых. Это означает, что
паше предположение неверно и, следовательно,
Z1 = Z2.
Такой способ рассуждений часто использу¬
ется в математике. Мы им пользовались и ранее,
например в п. 12 при доказательстве того, что
две прямые, перпендикулярные к третьей, не пе¬
ресекаются. Этим же методом мы пользовались
в п. 28 при доказательстве следствий 1° и 2° из
аксиомы параллельных прямых.
61
Рис. 113
Параллельные
прямые

Следствие
Если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то опа перпендикулярна
и к другой.
Действительно, пусть а || by с 1а, т. е. 	I	2.
Zl = 90° (рис. 114). Прямая с пересекает пря-
мую а, поэтому она пересекает также прямую b.	ь
При пересечении параллельных прямых а и b 	~

секущей с образуются равные накрест лежащие
углы: Z1 = Z2. Так как Zl = 90°, то и Z2 = 90°, Рис. 114
т. е. с 1Ь, что и требовалось доказать.
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересе¬
чены секущей с. Докажем, что соответственные
углы, например 1 и 2, равны (см. рис. 102). Так
как а || Ь, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.
Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств
Z1 = Z3 и Z2 = Z3 следует, что Z1=Z2. Теорема
доказана.
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены секу¬
щей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и Ъ пересече¬
ны секущей с (см. рис. 102). Докажем, например,
что Zl + Z4 = 180°. Так как а || Ь, то соответственные
углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому
Z2 + Z4 = 180n. Из равенств Z1 = Z2 и Z2 + Z4 = 180°
следует, что Zl +Z4= 180°. Теорема доказана.
Замечание
Если доказана некоторая теорема, то от¬
сюда ещё не следует справедливость обратного
62	Глава III

Задачи
196	Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных сторо¬
не АВ, можно провести через вершину С?
197	Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре
прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рас¬
смотрите все возможные случаи.
198	Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пере¬
секает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую Ь?
199	Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Дока¬
жите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
200	L-1 На рисунке 117 АО||р и PQ\\BC. Докажите, что прямая р
пересекает прямые АВ, АВ, АС, ВС и PQ.
201	L1 Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух
параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти
углы.
202	□ На рисунке 118 прямые а, Ъ и с пересечены прямой d,
Zl=42°, Z2 = 140°, Z3 = 138°. Какие из прямых а, b и с
параллельны?
203	□ Найдите все углы, образованные при пересечении двух
параллельных прямых а и b секущей с, если:
а)	один из углов равен 150°;
б)	один из углов на 70° больше другого.
204	—1 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а
и Ь. Прямая, проходящая через середину О этого отрез¬
ка, пересекает прямые а и b в точках С и В. Докажите, что
CO = OD.
205	_1 По данным рисунка 119 найдите Z1.
206	^ZABC = 70°, a Z.BCD= 110°. Могут ли прямые АВ и CD
быть:
а)	параллельными;
б)	пересекающимися?
207	□Ответьте на вопросы задачи 206, если ZABC = 65°, а
ЛВС1) = 105°.
Рис. 118
Рис. 117
Рис. 119
Параллельные
прямые

208
209
210
211
212
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U Разность двух односторонних углов при
пересечении двух параллельных прямых се¬
кущей равна 50°. Найдите эти углы.
□	На рисунке 120 а || b, с || d, Z4 = 45°. Най¬
дите углы 1, 2 и 3.
Два тела Рх и Р2 подвешены на концах нити,
перекинутой через блоки Л и В (рис. 121).
Третье тело Р3 подвешено к той же нити
в точке С и уравновешивает тела Рх и Р2.
(При этом АРХ || ВР21| СР3.) Докажите, что
Z АС В = ХСАРх + АСВРг.
□	Две параллельные прямые пересече¬
ны секущей. Докажите, что: а) биссектри¬
сы накрест лежащих углов параллельны;
б) биссектрисы односторонних углов пер¬
пендикулярны.
Прямые, содержащие высоты ААХ и ВВХ
треугольника АВС, пересекаются в точ¬
ке Я, угол В — тупой, ZC = 20°. Найдите
угол АНВ.
Рис.120
Рис. 121
Вопросы для повторения к главе III
Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка
называются параллельными?
Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите
пары углов, которые образуются при пересечении двух пря¬
мых секущей.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 180°, то прямые парал¬
лельны.
Расскажите о практических способах проведения параллель¬
ных прямых.
Объясните, какие утверждения называются аксиомами. При¬
ведите примеры аксиом.
Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной.
Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
Какое утверждение называется следствием? Докажите, что
прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых,
пересекает и другую.
66 Глава III

11
12
13
14
15
16
17
213
214
215
216
217
218
219*
Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны.
Какая теорема называется обратной данной теореме? Приве¬
дите примеры теорем, обратных данным.
Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей накрест лежащие углы равны.
Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей:
а)	соответственные углы равны;
б)	сумма односторонних углов равна 180°.
Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно
параллельными сторонами.
Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно
перпендикулярными сторонами.
Дополнительные задачи
□	На рисунке 122 CE = EI), BE = EF и
КЕ || AD. Докажите, что КЕ || ВС.
□	Прямая, проходящая через середи¬
ну биссектрисы AD треугольника АВС
и перпендикулярная к AI), пересекает
сторону АС в точке М. Докажите, что
MI) || АВ.
□	По данным рисунка 123 найдите
угол 1.
□	На рисунке 124 DE — биссектриса
угла ADF. По данным рисунка найдите
углы треугольника ADE.
□	Прямые а и b параллельны прямой
с. Докажите, что любая прямая, пере¬
секающая прямую а, пересекает также
и прямую Ь.
Прямые а и b пересекаются. Можно ли
провести такую прямую, которая пере¬
секает прямую а и параллельна пря¬
мой Ь? Ответ обоснуйте.
□	Даны две прямые а и Ь. Докажите,
что если любая прямая, пересекающая
прямую а, пересекает и прямую 6, то
прямые а и b параллельны.
A	D F
Рис.122
Рис. 123
Рис. 124
Параллельные
прямые
67

220	Ц Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b
секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и Ъ
пересекаются.
221	□ Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина
отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина от¬
резка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М,
N и А лежат на одной прямой.
222	Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью
циркуля и линейки через точку А проведите прямую, парал¬
лельную прямой а.

El
Глава IV
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем
обсуждать различные их свойства, при этом большое вни¬
мание уделим прямоугольным треугольникам, т. е. таким тре¬
угольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства
прямоугольных треугольников находят практическое примене¬
ние, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые
широко используются в различных устройствах— от велосипе¬
дов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано
в данной главе.
Сумма углов треугольника
31	Теорема о сумме углов
треугольника
Докажем одну из важнейших теорем гео¬
метрии — теорему о сумме углов треугольника.
Теорема
Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС и докажем, что
ZA + ZB + ZC = 180°.
Проведём через вершину В прямую а, па¬
раллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4
являются накрест лежащими углами при пере¬
сечении параллельных прямых а и АС секущей
АВУ а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами
при пересечении тех же параллельных прямых
секущей ВС. Поэтому
Z4 = Z1,Z5 = Z3.	(1)
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 рав¬
на развёрнутому углу с вершиной В, т. е.
б)
Рис. 125
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
69

Z4 + Z2 + Z5 = 180°. Отсюда, учитывая равен¬
ства (1), получаем: Zl + Z2 + Z3 = 180°, или
ZA + ZB + ZC = 180n. Теорема доказана.
Внешним углом треугольника называет¬
ся угол, смежный с каким-нибудь углом этого
треугольника. Докажем, что внешний угол тре¬
угольника равен сумме двух углов треугольника,
не смежных с ним.
Обратимся к рисунку 125,0, на котором
угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного
треугольника. Так как Z4 + Z3 = 180°, а по теореме
о сумме углов треугольника (Zl + Z2) + Z3 = 180°,
то Z4 = Z1 +Z2, что и требовалось доказать.
32	Остроугольный, прямоугольный
и тупоугольный треугольники
Из теоремы о сумме углов треугольника
следует, что если в треугольнике один из углов
прямой или тупой, 14) сумма двух других углов
не превосходит 90°, и поэтому каждый из них
острый. Таким образом, в любом треугольнике
либо все углы острые, либо два угла острые,
а третий тупой или прямой.
Если все три угла треугольника ост¬
рые, то треугольник называется остроугольным
(рис. 126, а). Если один из углов треугольника
тупой, то треугольник называется тупоугольным
(рис. 126, б). Если один из углов треугольника
прямой, то треугольник называется прямоуголь¬
ным. Сторона прямоугольного треугольника, ле¬
жащая против прямого угла, называется гипо¬
тенузой, а две другие стороны — катетами. На
рисунке 126, в изображён прямоугольный тре¬
угольник АВС с прямым углом С.
Ост роугольны й
треугольник
а)
Тупоугольный
треугольник
Прямоугольный
треугольник
в)
Рис. 126
Задачи
223	U Найдите угол С треугольника АВС, если:
a)	ZA = 65°, ZB = 57°; б) А А = 24°, ZB = 130°; в) ZA = a, ZB = 2а-
г) Z А = 60° + а, ZB = 60° - а.
70 Глава IV

224	□ Найдите углы треугольника ЛВС, если ZЛ:ZB:ZC=
= 2:3:4.
225	Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника
равен 60".
226	Докажите, что углы при основании равнобедренного треуголь¬
ника острые.
227	Z1 Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол
при основании в два раза больше угла, противолежащего ос¬
нованию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего
угла, смежного с ним.
228	,_1 Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из
его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
229	—1 В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием Л С про¬
ведена биссектриса AD. Найдите ZЛDC, если ZC = 50°.
230	—1 Биссектрисы углов Л и В треугольника ЛВС пересекаются
в точке М. Найдите ZЛЛfB, если ZЛ = 58O, ZB = 96°.
231	_1 Медиана ЛМ треугольника ЛВС равна половине стороны
ВС. Докажите, что треугольник ЛВС прямоугольный.
232	Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то
один из его внешних углов в два раза больше угла треуголь¬
ника, не смежного с этим внешним углом?
233	j] Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника, противолежащей основанию,
параллельна основанию.
234	_] Один из внешних углов равнобедренного треугольника ра¬
вен 115°. Найдите углы треугольника.
235	Л В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием АС про¬
ведена биссектриса AI). Найдите углы этого треугольника,
если AADB= 110°.
s2
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
33	Теорема о соотношениях между
сторонами и углами треугольника
Теорема
В треугольнике: 1) против большей стороны ле¬
жит больший угол; 2) обратно, против большего
угла лежит большая сторона.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника

Доказательство
1)	Пусть в треугольнике АВС сторона АВ
больше стороны АС (рис. 127, а). Докажем, что
ZC>ZB.
Отложим на стороне АВ отрезок AD, рав¬
ный стороне АС (рис. 127,0). Так как А1)<АВ,
то точка D лежит между точками А и В. Сле¬
довательно, угол 1 является частью угла С, и,
значит, ZC>Z1. Угол 2 — внешний угол тре¬
угольника BDC, поэтому Z2>ZB. Углы 1 и 2
равны как углы при основании равнобедренного
треугольника ADC. Таким образом, ZC>Z1,
Z1=Z2, Z2>ZB. Отсюда следует, что ZC>ZB.
2)	Пусть в треугольнике ABC ZC>ZB.
Докажем, что АВ>АС.
Предположим, что это не так. Тогда либо
АВ = АС, либо АВ<АС. В первом случае тре¬
угольник ЛВС — равнобедренный, и, значит,
ZC = ZB. Во втором случае ZB > ZC (против боль¬
шей стороны лежит больший угол). И то и дру¬
гое противоречит условию: ZC>ZB. Поэтому
наше предположение неверно, и, следовательно,
АВ>АС. Теорема доказана.
Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза боль¬
ше катета.
В самом деле, гипотенуза лежит против
прямого угла, а катет — против острого. Так как
прямой угол больше острого, то гипотенуза боль¬
ше катета.
Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то треуголь¬
ник равнобедренный (признак равнобедренного
треугольника).
Докажем этот признак. Пусть в треуголь¬
нике два угла равны. Тогда равны и стороны, ле¬
жащие против этих углов. Действительно, если
72
А
В а)
А
В б)
Рис. 127
Глава IV

предположить, что одна из указанных сторон
больше другой, то угол, лежащий против неё, бу¬
дет больше угла, лежащего против другой сторо¬
ны, а это противоречит условию (тому, что дан¬
ные углы равны).
Итак, в треугольнике две стороны равны,
т. е. треугольник — равнобедренный.
34	Неравенство треугольника
Теорема
Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
Доказател ьство
Рассмотрим произвольный треугольник
ЛВС и докажем, что АВ < АС + СВ. Отложим на
продолжении стороны АС отрезок СР, равный
стороне СВ (рис. 128). В равнобедренном тре¬
угольнике BCD Z1 = Z2, а в треугольнике ABD
ZABD>Zl и, значит, ZABD>Z2.
Так как в треугольнике против большего
угла лежит большая сторона, то AB<AD. Но
AD= AC + CD = АС + СВ, поэтому АВ< AC + СВ.
Теорема доказана.
Рис. 128
Следствие
Для любых трех точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ< АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС<ВА+АС.
Каждое из этих неравенств называется
неравенством треугольника.
Задачи
236	Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть
угол А тупым, если: а) АВ>ВС> АС', б) АВ = АС < ВС.
237	Сравните стороны треугольника АВС. если: a) ZA > ZB > zr«
m /а /R- /С1	'	’
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
73

238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
[=] Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, со¬
единяющий любую точку основания, отличную от вершины, с
противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Ы Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты,
проведённой из той же вершины.
□ В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием ЛС бис¬
сектрисы углов Л и С пересекаются в точке О. Докажите, что
треугольник ЛОС — равнобедренный.
Ы Прямая, параллельная основанию равнобедренного треуголь¬
ника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и
N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
□	Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольни¬
ка параллельна стороне треугольника, то треугольник равно¬
бедренный.
□	Через вершину С треугольника ЛВС проведена прямая, па¬
раллельная его биссектрисе AAj и пересекающая прямую Л В
в точке D. Докажите, что АС = AD.
□ Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку
D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторо¬
ну АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равно¬
бедренный.
□ Через точку пересечения биссектрис
ВВХ и CCj треугольника ЛВС проведе¬
на прямая, параллельная прямой ВС и
пересекающая стороны ЛВ и ЛС соответ¬
ственно в точках М и N. Докажите, что
MN = BM + CN.
1-1 На рисунке 129 лучи ВО и СО — бис¬
сектрисы углов В и С треугольника АВС,
ОЕ || ЛВ, OD || АС. Докажите, что пери¬
метр AEDO равеп длине отрезка ВС.
LI На рисунке 130 ЛВ= AC, AP = AQ.
Докажите, что:
а)	треугольник ВОС — равнобедренный;
б)	прямая ОЛ проходит через середину ос¬
нования ВС и перпендикулярна к нему.
Существует ли треугольник со сторонами:
а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
В равнобедреппом треугольнике одна сто¬
рона равна 25 см, а другая равна 10 см.
Какая из них является основанием?
[_] Найдите сторону равнобедренного
треугольника, если две другие сторо¬
ны равны: а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см;
в)	10 см и 5 см.
Рис.130
74 Глава IV

251	□ Докажите, что каждая сторона треугольника больше разно¬
сти двух других сторон.
Решение
Докажем, например, что в треугольнике АВС АВ > АС - ВС.
Так как АВ + ВС > АС, то АВ > АС — ВС.
252	□ Два внешних угла треугольника при разных вершинах рав¬
ны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон рав¬
на 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
253	L1 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см,
разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних
углов — острый. Найдите стороны треугольника.
§3
Прямоугольные треугольники
35	Некоторые свойства
прямоугольных треугольников
Рассмотрим свойства прямоугольных тре¬
угольников, которые устанавливаются с помо¬
щью теоремы о сумме углов треугольника.
1°. Сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.
В самом деле, сумма углов треугольника
равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому
сумма двух острых углов прямоугольного тре¬
угольника равна 90°.
2°. Катет прямоугольного треугольника, лежа¬
щий против угла в 30°, равен половине гипоте¬
нузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС, в котором угол А — прямой, ZB = 30° и,
значит, ZC = 60" (рис. 131, а). Докажем, что
АС = ±ВС.
Приложим к треугольнику АВС равный
ему треугольник ABD так, как показано на
рисунке 131,6. Получим треугольник BCD,
в котором ZB = ZZ)=60°, поэтому DC=BC. Но
75
а)
б)
Рис. 131
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника

AC = ±rDC. Следовательно, AC = — ВС, что и тре-
2
бовалось доказать.
3°. Если катет прямоугольного треугольника
равен половине гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС, у которого катет АС равен половине гипоте¬
нузы ВС (рис. 132, а). Докажем, что ХАВС = 30°.
Приложим к треугольнику АВС равный ему
треугольник ABD так, как показано на рисун¬
ке 132, б. Получим равносторонний треугольник
BCD. Углы равностороннего треугольника равны
друг другу (объясните почему), поэтому каждый
из них равен 60°. В частности, ZDBC= 60°. Но
ZDBC=2ZABC. Следовательно, ЛАВС = 30°, что
и требовалось доказать.
36	Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Так как в прямоугольном треугольнике
угол между двумя катетами прямой, а любые два
прямых угла равны, то из первого признака ра¬
венства треугольников следует:
Если катеты одного прямоугольного треуголь¬
ника соответственно равны катетам другого, то
такие треугольники равны.
Далее, из второго признака равенства тре¬
угольников следует:
Если катет и прилежащий к нему острый угол
одного прямоугольного треугольника соответ¬
ственно равны катету и прилежащему к нему
острому углу другого, то такие треугольники
равны.
Рассмотрим ещё два признака равенства
прямоугольных треугольников.
А ' С
а)
В
D А С
б)
Рис. 132
76 Глава IV

Теорема
Если гипотенуза и острый угол одного прямо¬
угольного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу другого, то такие тре¬
угольники равны.
Доказательство
Из свойства 1° п. 35 следует, что в таких
треугольниках два других острых угла также
равны, поэтому треугольники равны по второ¬
му признаку равенства треугольников, т. е. по
стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней
углам. Теорема доказана.
Теорема
Если гипотенуза и катет одного прямоуголь¬
ного треугольника соответственно равны гипо¬
тенузе и катету другого, то такие треугольники
равны.
Доказател ьство
Рассмотрим треугольники АВС и АХВХСХ,
у которых углы С и Сх — прямые, АВ = АХВХ,
ВС = ВХСХ (рис. 133, а, б). Докажем, что ДАВС =
= ДА1В1С1.
Так как ZC=ZCn то треугольник АВС
можно наложить на треугольник АХВХСХ так, что
вершина С совместится с вершиной Сх, а стороны
СА и СВ наложатся соответственно на лучи СХАХ
и СХВХ. Поскольку СВ-СХВХ, то вершина В со¬
вместится с вершиной Вх. Но тогда вершины А и
Ах также совместятся. В самом деле, если пред¬
положить, что точка А совместится с некоторой
другой точкой А2 луча СХАХ, то получим равно¬
бедренный треугольник АХВХА2, в котором углы
при основании АхАг не равны (па рисунке 133, б
ZA2— острый, a ZA, — тупой как смежный с
острым углом ВХАХСХ). Но это невозможно, по¬
этому вершины А и Ах совместятся.
77
а)
Рис. 133
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника

Следовательно, полностью совместятся тре¬
угольники АВС и AjBjCi, т. е. они равны. Теоре¬
ма доказана.
37* Уголковый отражатель
Мы знаем, что сумма двух острых углов
прямоугольного треугольника равна 90". Это
свойство лежит в основе конструкции простейше¬
го уголкового отражателя. Прежде чем описать
его устройство, рассмотрим следующую задачу.
Задача
Угол между зеркалами О А и ОВ равен 90°.
Луч света, падающий на зеркало О А под углом а,
отражается от него, а затем отражается от зерка¬
ла ОВ (рис. 134). Доказать, что падающий и от¬
ражённый лучи параллельны.
Решение
По закону отражения света падающий
луч SM и луч MN составляют с прямой ОА
равные углы а. Так как треугольник MON
прямоугольный, то угол MNO равен 90°-а.
Применяя опять закон отражения света, по¬
лучаем, что луч MN и отражённый луч NT
составляют с прямой ОВ равные углы. Об¬
ращаясь к рисунку 134, мы видим, что
ASMN = 180° - 2а, ZMNT = 180° - 2 (90° - а) = 2а,
поэтому Z.SMN + /.MNT = 180°.
Следовательно, падающий луч SM и отра¬
жённый луч NT параллельны, что и требовалось
доказать.
Простейший уголковый отражатель пред¬
ставляет собой несколько зеркал, составленных
так, что соседние зеркала образуют угол в 90°.
На рисунке 135 в виде ломаной линии схемати¬
чески изображён такой отражатель. Представим
О N В
Рис.134
Рис. 135
* Здесь и в дальнейшем пункты, отмеченные звёздоч¬
кой, не являются обязательными.
78 Глава IV

себе, что на этот отражатель падает пучок па¬
раллельных лучей (на рисунке эти лучи изобра¬
жены чёрными линиями со стрелками). Тогда
отражённые лучи будут параллельны падающим
лучам (эти лучи изображены цветными линия¬
ми со стрелками). Таким образом, уголковый от¬
ражатель «возвращает назад* падающий на него
пучок параллельных лучей при любом располо¬
жении отражателя по отношению к падающему
пучку лучей.
Это свойство уголкового отражателя ис¬
пользуется в технике. Так, уголковый отража¬
тель устанавливается на заднем крыле велоси¬
педа для того, чтобы «возвращать назад* свет
автомобильных фар. Это даёт возможность води¬
телю автомобиля видеть ночью идущий впереди
велосипед. Отметим, что уголковый отражатель,
используемый на практике, устроен более слож¬
но, чем описанный простейший, но принцип его
действия тот же, что и у простейшего уголкового
отражателя.
Уголковый отражатель был уста¬
новлен на одной из отечественных ав¬
томатических станций, запущенных
на Луну. С поверхности Земли участок
Луны, на котором находилась автома¬
тическая станция с уголковым отража¬
телем, был освещён лучом лазера. Луч
♦вернулся» в то же место, где находился
лазер. Измерив точное время от момента
включения лазера до момента возвраще¬
ния сигнала, удалось с весьма высокой
точностью найти расстояние от поверх¬
ности Земли до поверхности Луны.
Задачи
254	Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
255	В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ про¬
ведена высота CF. Найдите Z.ECF, если ZD = 54°.
_ Соотношения между
79 сторонами и углами
треугольника

256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
□	Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°,
а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см.
Найдите гипотенузу треугольника.
□	В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С
внешний угол при вершине А равен 120°, АС+АВ= 18 см.
Найдите АС и АВ.
1-1 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольни¬
ка АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите
AM, если АВ =12 см.
□	Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре¬
угольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой сторо¬
не, равна 9 см. Найдите основание треугольника.
1-1 Высота, проведённая к основанию равнобедренного тре¬
угольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника рав¬
на 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, про¬
ведённые из вершин основания, равны.
В треугольниках АВС и A^Cj углы Л и Л, - прямые, BD
и BjZ>i — биссектрисы. Докажите, что ЛАВС = ЛА.В.С., если
ZB = ZB, и BD = BlDl.
Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остро¬
угольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются
в точке М. Найдите углы треугольника, если ZBMC= 140°.
Высоты AAj и ВВХ треугольника АВС пересекаются в точ¬
ке М. Найдите ZAAfB, если ZA = 55°, ZB = 67°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про¬
ведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треуголь¬
ника AHF, если ZB = 112°.
На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА = ОВ.
Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сто¬
ронам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч
ОС — биссектриса угла О.
Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если
сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, од¬
ного треугольника соответственно равны стороне и высотам,
проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.
Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равен¬
ства прямоугольных треугольников по катету и противолежа¬
щему углу.
Докажите, что &АВС= &АХВХСХ, если ZA=ZAn ZB = ZB, и
ВН = В1Н1, где ВН и В^Ц — высоты ДАВС и ДА^Ср
Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую
через точку А и отсекающую на сторонах угла равные от¬
резки.
80 Глава IV

А
Построение треугольника
по трём элементам
38	Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными
прямыми
Расстоянием между двумя точками мы на¬
звали длину отрезка, соединяющего эти точки.
Введём теперь понятия расстояния от точки до
прямой и расстояния между параллельными
прямыми.
Пусть отрезок АН — перпендикуляр, про¬
ведённый из точки А к прямой а, М — любая
точка прямой а, отличная от Н (рис. 136). Отре¬
зок AM называется наклонной, проведённой из
точки А к прямой а. В прямоугольном треуголь¬
нике АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.
Следовательно, перпендикуляр, проведён¬
ный из точки к прямой, меньше любой на¬
клонной, проведённой из той же точки к этой
прямой.
Длина перпендикуляра, проведённого из
точки к прямой, называется расстоянием от этой
точки до прямой.
Отметим, что расстояние от точки до пря¬
мой равно наименьшему из расстояний от этой
точки до точек прямой.
На рисунке 137 расстояние от точки В rq
прямой р равно 3 см, а расстояние от точки С до
этой прямой равно 5 см.
Прежде чем ввести понятие расстояния
между параллельными прямыми, рассмотрим
одно из важнейших свойств параллельных
прямых.
Теорема
Отрезок AM —
наклонная к прялюй а
Рис. 136
Все точки каждой из двух параллельных пря¬
мых равноудалены от другой прямой.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
81

Доказательство
Рассмотрим параллельные прямые а и Ь.
Отметим на прямой а точку А и проведём из этой
точки перпендикуляр АВ к прямой b (рис. 138).
Докажем, что расстояние от любой точки X пря¬
мой а до прямой Ь равно АВ.
Проведём из точки X перпендикуляр XY
к прямой Ь. Так как ХУ 1 &, то ХУ 1 а. Прямо¬
угольные треугольники ABY и YXA равны по
гипотенузе и острому углу (Л У — общая гипоте¬
нуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие
углы при пересечении параллельных прямых а и
b секущей Л У). Следовательно, ХУ=ЛВ.
Итак, любая точка X прямой а находится
на расстоянии АВ от прямой Ъ. Очевидно, все
точки прямой b находятся на таком же расстоя-
Рис. 138
нии от прямой а. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы
следует, что точка, движущаяся
по одной из параллельных пря¬
мых, всё время находится на од¬
ном и том же расстоянии от дру¬
гой прямой.
Расстояние от произволь¬
ной точки одной из параллель¬
ных прямых до другой прямой
называется расстоянием между
этими прямыми.
Отметим, что расстояние между параллель¬
ными прямыми равно наименьшему из расстояний
от точек одной прямой до точек другой прямой.
Замечание 1
Справедливо утверждение, обратное до¬
казанной теореме: все точки плоскости, распо¬
ложенные по одну сторону от данной прямой и
равноудалённые от неё, лежат на прямой, парал¬
лельной данной. (Докажите это самостоятельно.)
Замечание 2
Из доказанной теоремы и ей обратной сле¬
дует, что множество всех точек плоскости, на¬
82 Глава ГУ

ходящихся па данном расстоянии от данной
прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть
прямая, параллельная данной прямой.
В самом деле, пусть а — данная пря¬
мая, d — данное расстояние. Отметим на пря¬
мой а произвольную точку Л и проведём
отрезок АВ длины d, перпендикулярный к пря¬
мой а; через точку В проведём прямую Ъу па¬
раллельную прямой а (сделайте соответству¬
ющий рисунок). По доказанной теореме все
точки прямой Ъ находятся на расстоянии d от
прямой а, т. е. все они принадлежат искомо¬
му множеству. В силу обратной теоремы любая
точка искомого множества лежит на прямой Ь.
Таким образом, искомым множеством является
прямая Ъ.
Множество всех точек, удовлетворяющих
какому-либо условию, иногда называют гео¬
метрическим местом точек, удовлетворяющих
этому условию. Можно сказать тем самым, что
геометрическое место точек плоскости, находя¬
щихся на данном расстоянии от данной прямой
и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая,
параллельная данной прямой.
На этом факте основано устройство ин¬
струмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а).
Рейсмус используется в столярном деле для раз¬
метки па поверхности деревянного бруска пря¬
мой, параллельной краю бруска. При передвиже¬
нии рейсмуса вдоль края бруска металлическая
игла прочерчивает отрезок прямой, параллель¬
ный краю бруска (рис. 139, б).
б)
Рис. 139
39	Построение треугольника
по трём элементам
Задача 1
Построить треугольник по двум сторонам и
углу между ними.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
83

Решение
Прежде всего уточним, как нужно пони¬
мать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно
построить.
Даны отрезки PxQlt P2Q2 и угол hk
(рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и
линейки (без масштабных делений) построить та¬
кой треугольник АВС, у которого две стороны,
скажем АВ и АС, равны данным отрезкам jPjQi
и PZQ2, а угол А между этими сторонами равен
данному углу hk.
Проведём прямую а и на ней с помощью
циркуля отложим отрезок ЛВ, равный от¬
резку (рис. 140, б). Затем построим угол
ВАМ, равный данному углу hk (как это сде¬
лать, мы знаем). На луче AM отложим от¬
резок АС, равный отрезку P2Q2, и проведём
отрезок ВС. Построенный треугольник АВС —
искомый.
В самом деле, по построению АВ = PlQl,
AC = P2Q2, ZA = Zhk.
Описанный ход построения показыва¬
ет, что при любых данных отрезках PXQX, P2Q2
и данном неразвёрнутом угле hk искомый тре¬
угольник построить можно. Так как прямую а
и точку А на ней можно выбрать произвольно,
то существует бесконечно много треугольников,
удовлетворяющих условиям задачи. Все эти тре¬
угольники равны друг другу (по первому призна¬
ку равенства треугольников), поэтому принято
говорить, что данная задача имеет единственное
решение.
Задача 2
Построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к ней углам.
Решите эту задачу самостоятельно.
б)
Построение тре¬
угольника по двум
сторонам и углу
между ними
Рис. 140
Задача 3
Построить треугольник по трём его сто¬
ронам.
84 Глава IV

Решение
Пусть даны отрезки PXQX, PjQz и P3Q3
(рис. 141, а). Требуется построить треугольник
АВС, в котором AB = PiQi, BC = P2Q2, CA = P3Q3.
Проведём прямую и на ней с помощью
циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку
P\Q\ (рис. 141,6). Затем построим две окруж¬
ности: одну — с центром А и радиусом P3Q3,
а другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть
точка С — одна из точек пересечения этих окруж¬
ностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим ис¬
комый треугольник АВС.
В самом деле, по построению AB = P1Q1,
BC = P2Q2, CA = P3Q3, т. е. стороны треугольника
АВС равны данным отрезкам.
Задача 3 не всегда имеет решение. Действи¬
тельно, во всяком треугольнике сумма любых
двух сторон больше третьей стороны, поэтому
если какой-нибудь из данных отрезков больше
или равен сумме двух других, то нельзя постро¬
ить треугольник, стороны которого равнялись бы
данным отрезкам.
Л|	и	1<?>
P2i	*	|(?г
РР' ■» IQ,
Построение
треугольника
по трём сторонам
Рис. 141
Задачи
271	□ Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная,
сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см.
Найдите расстояние от точки до прямой.
272	□ В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектри¬
са AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Най¬
дите расстояние от вершины А до прямой ВС.
273	Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного тре¬
угольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найди¬
те расстояние от вершины С до прямой DE.
274	Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина осно¬
вания равноудалена от боковых сторон.
275	На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята
точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что
СМ — высота треугольника АВС.
276	□ Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что
концы отрезка равноудалены от этой прямой.
Соотношения между
85 сторонами и углами
треугольника

277	Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см,
а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите
расстояние между прямыми b и с.
278	|_| Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние
между этими прямыми, если ZADC- 30°, AD = 6 см.
279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну
сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на
прямой, параллельной данной.
280	Даны неразвёрнутый угол АВС и отрезок PQ. Что представля¬
ет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла
и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?
281	Что представляет собой множество всех точек плоскости, рав¬
ноудалённых от двух данных параллельных прямых?
282	Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех от¬
резков XY, где X е а, У е &, лежат на прямой, параллельной
прямым а и b и равноудалённой от этих прямых.
283	Что представляет собой множество всех точек плоскости, на¬
ходящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Задачи на построение
284	□ Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте прямую р, парал¬
лельную прямой а, так, чтобы расстояние между прямыми
аир было равно АВ.
Решение
Отметим на прямой а какую-нибудь точ¬
ку С и проведём через точку С прямую 6,
перпендикулярную к прямой а (рис. 142).
Затем па одном из лучей прямой &, исхо¬
дящих из точки С, отложим отрезок CD,
равный отрезку АВ. Через точку D прове¬
дём прямую р, перпендикулярную к пря¬
мой Ь. Прямая р — искомая (объясните по¬
чему).
Как видно из построения, для любой дан¬
ной прямой а и любого данного отрезка АВ
искомую прямую можно построить, причём
задача имеет два решения (прямые р и р( на
рисунке 143).
285	□ Даны пересекающиеся прямые а и Ь и
отрезок PQ. На прямой а постройте точку,
удалённую от прямой b на расстояние PQ.
286	Постройте треугольник по стороне, приле¬
жащему к пей углу и биссектрисе треуголь¬
ника, проведённой из вершины этого угла.
А В
D
b
	Р_
	Е
а
(
Рис. 142
D
>
b
Р
С
а
d\
Ру
Рис. 142
1
86 Глава IV

287
288
289
290
291
292
293
□	Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к
одной из двух других сторон, и углу между данными стороной
и медианой.
□	Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС
так, чтобы:
а)	AB = PQ, ZABC = Zhk, ZB AC = |z/iAr,
б)	AB=PQ, ZABC = Zhk, ZB AC = ±Zhk.
4
Даны два угла hk и hxkx и отрезок PQ. Постройте треугольник
АВС так, чтобы AB = PQ, ZA = Zhk, ZB = jzhfa.
□	Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум кате¬
там; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
□	Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой сто¬
роне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и
углу при основании; в) по боковой стороне и углу при осно¬
вании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и
медиане, проведённой к основанию.
□	Даны отрезки PXQX1 P?Qz и Постройте треугольник
АВС так, чтобы:
а)	АВ = PXQX, ВС = P2Q2, С А = 2P3Q3-
о
б)	AB = 2PXQX, BC = P2Q2, С А = jP3Q3.
Всегда ли задача имеет решение?
□	Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней
углу и высоте, проведённой к этой стороне.
Решение
Даны отрезки PXQX и P2Q2 и угол hk (рис. 144, а). Требует¬
ся построить треугольник ЛВС, у которого одна из сторон,
скажем АВ, равна отрезку PXQX, один из прилежащих к ней
углов, например угол Л, равен данному углу hk, а высота СН,
проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2.
Построим угол ХА У, равный данному углу hk, и отложим на
луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку PXQX (рис. 144, б).
Л. ; Q.
Рг,

Рис. 144 а)
б)
__ Соотношения между
О/ сторонами и углами
треугольника

294
295
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что
расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться P2Q2.
Множеством всех точек плоскости, находящихся на рассто¬
янии P2Q2 от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от
прямой АВ, что и точка У, является прямая р, параллельная
прямой АВ и находящаяся на расстоянии P2Q2 от прямой АВ.
Следовательно, искомая точка С есть точка пересечения пря¬
мой р и луча AY. Построение прямой р описано в решении за¬
дачи 284. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем ус¬
ловиям задачи: AB = P,Q„ CH = P2Q2, ZA = Zhk.
1-1 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, прове¬
дённой к одной из этих сторон.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, прове¬
дённой к одной из этих сторон.
Вопросы для повторения к главе IV
Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треуголь¬
ника.
Какой угол называется внешним углом треугольника? Дока¬
жите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним.
Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые,
либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Какой треугольник называется остроугольным? Какой тре¬
угольник называется тупоугольным?
Какой треугольник называется прямоугольным? Как называ¬
ются стороны прямоугольного треугольника?
Докажите, что в треугольнике:
1)	против большей стороны лежит больший угол;
2)	обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
Докажите, что если два угла треугольника равны, то тре¬
угольник равнобедренный.
Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?
Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного тре¬
угольника равна 90°.
Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в «30°, равен половине гипотенузы. Сформулируй¬
те и докажите обратное утверждение.
Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства
прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу.
88 Глава IV

13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
296
297
298
299
.300
Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равен¬
ства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведён¬
ной из данной точки к данной прямой.
Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к пря¬
мой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки
к этой прямой.
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Докажите, что все точки каждой из двух параллельных пря¬
мых равноудалены от другой прямой.
Что называется расстоянием между двумя параллельными
прямыми?
Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся
на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну
сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.
Что такое геометрическое место точек? Приведите пример.
Объясните, как построить треугольник:
а)	по двум сторонам и углу между ними;
б)	по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Объясните, как построить треугольник по трём сторонам
Всегда ли эта задача имеет решение?
Дополнительные задачи
□ В равнобедренном треугольнике АВС
биссектрисы равных углов В и С пере¬
секаются в точке О. Докажите, что угол
ВОС равен внешнему углу треугольника
при вершине В.
На стороне AD треугольника ADC отме¬
чена точка В так, что BC = BD. Докажите,
что прямая DC параллельна биссектрисе
угла АВС.
На рисунке 145 AD\\BE, AC=AD и
ВС = BE. Докажите, что угол DCE — пря¬
мой.
На рисунке 146 АВ = АС, АР = PQ = QR =
= НВ = ВС. Найдите угол А.
Докажите, что в тупоугольном треуголь¬
нике основание высоты, проведённой из
вершины тупого угла, лежит на стороне
треугольника, а основания высот, про¬
ведённых из вершин острых углов, — па
продолжениях сторон.
89
D
Рис. 145
Рис. 146
Соотношения
сторонами и
треугольника
Ме*0у
Углами

301
302
303*
304*
305
306
307
308
309
310
311
312
313*
314
315
Из точки Л к прямой а проведены перпендикуляр ЛН и на¬
клонные АМХ и АМ2. Докажите, что:
а)	если НМу=НМ2, то AMt = ЛМ2;
б)	если НМ| < НМ2, то AM, < ДМ2.
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН
и наклонные ЛМХ и ЛМ2. Докажите, что:
а)	если АМ| = ЛМ2, то НМ у = НМ2;
б)	если AM у < АМ2у то HMt < НМг.
Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше по¬
лусуммы сторон ЛВ и АС.
Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника
АВС, то МВ + МС<АВ + АС.
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей
внутри треугольника, до его вершин меньше периметра тре¬
угольника.
Докажите, что если ЛВ = ЛС + СВ, то точки Л, В и С лежат на
одной прямой.
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины
прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два обра¬
зовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
В равнобедренном треугольнике ЛВС с основанием Л С, рав¬
ным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите
расстояние от вершины С до прямой Л В.
В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены
высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен
полуразности углов В и С.
Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые
к равным сторонам, равны.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, каж¬
дая из которых равноудалена от двух данных пересекающих¬
ся прямых?
Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей
на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок
меньше большей из двух других сторон.
□ Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, про¬
ведённой к третьей стороне.
Постройте прямоугольный треугольник по:
а)	гипотенузе и острому углу;
б)	катету и противолежащему углу;
в)	гипотенузе и катету.
С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:
а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°;
и) 105°.
90 Глава IV

316* □ Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к
ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
317	□Дан треугольник ЛВС. Постройте отрезок DE, параллель¬
ный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах
ЛВ и ВС и DE = AD + СЕ.
318	Дан равносторонний треугольник АВС и точка на сторо¬
не ЛС. На сторонах ВС и ЛВ постройте точки Aj и Cj так,
чтобы треугольник AjBjCi был равносторонним.
319* Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, прове¬
дённым из вершины этого угла.
320* Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, прове¬
дённым к этой стороне.
321* Дан треугольник ЛВС с прямым углом Л. На стороне Л В
постройте точку Л/, находящуюся на расстоянии AM от пря¬
мой ВС.

322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе I
Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при едини¬
це измерения CD, а b — число, выражающее длину отрезка
CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой
числа а и Ь?
Длина отрезка ЛВ при единице измерения EXFX выражается
числом т, а при единице измерения Z?2F2 — числом п. Каким
числом выражается длина отрезка EXFX при единице измере¬
ния F^Fi*!
Пусть Zhk — меньший из двух смежных \ \	/
углов hk и hl. Докажите, что	\\	/'
Zhk = 90° - -^(ZhZ - ZAA),		-—
Zhl = 90° + 1 (ZAZ - ZAA).	// Vk
□ Пять прямых пересекаются в одной точ- '	\ \
ке (рис. 147). Найдите сумму углов 1, 2,	.
3, 4 и 5.	Рис- 147
Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что
через точку пересечения любых двух прямых проходит по
крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все
эти прямые проходят через одну точку.
Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая че¬
рез любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из
данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной
прямой.
Задачи к главе II
Точки Сх и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и рас¬
положены так, что АСХ = ВС? и ZBACx = ZABCz. Докажите,
что прямая СХС2 проходит через середину отрезка АВ.
Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сум¬
ма двух других сторон одного треугольника соответственно
равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других
сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то сто¬
роне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треуголь¬
ники быть неравными?
Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум
сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти тре¬
угольники быть неравными?
_ Задачи повышенной
92 трудности

332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
Отрезки ЛВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что
ОС = OI), если АС = АО = ВО = BI).
Задачи к главам III и IV
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при верши¬
нах В и С треугольника ЛВС, пересекаются в точке О. Найди¬
те угол ВОС, если угол А равен а.
Через каждую вершину данного треугольника проведена
прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, ис¬
ходящей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со
сторонами данного треугольника образуют три треугольни¬
ка. Докажите, что углы этих треугольников соответственно
равны.
В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:
а)	сумма любых двух углов больше 90°;
б)	каждый угол меньше суммы двух других углов.
Докажите, что угол треугольника является острым, прямым
или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого
угла, соответственно больше, равна или меньше половины
противоположной стороны.
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС
взята такая точка М, что ЛМВС = 30°, Z.MCB = 10°. Найдите
угол АМС, если ЛВАС = 80".
Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах
треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
Отрезок ВВХ — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что
ВА>ВХА и ВС>ВХС.
Внутри треугольника АВС взята такая точка D, что AD = AB.
Докажите, что АС>АВ.
В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок
AD — биссектриса. Докажите, что ZADB> ZADC и BD>CD.
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является
медианой, то треугольник равнобедренный.
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите,
что медиана, проведённая из их общей вершины, составляет с
меньшей из сторон больший угол.
В треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, отрезок
AM соединяет вершину А с произвольной точкой М стороны
ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг
другу.
Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, пер¬
пендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В про¬
ведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что
_ _ Задачи повышенной
93 трудности

периметр треугольника ВСН больше периметра треугольни¬
ка АВС.
346	В треугольнике ЛВС, где АВ<АС, отрезок AD— биссектри¬
са, отрезок АН — высота. Докажите, что точка 11 лежит на
луче DB.
347	Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание
биссектрисы треугольника лежит между основаниями медиа¬
ны и высоты, проведённых из этой же вершины.
348	Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными
катетами биссектриса прямого угла делит угол между высо¬
той и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
349	Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вер¬
шины угла треугольника, делят этот угол на три равные ча¬
сти. Докажите, что треугольник прямоугольный.
350	В треугольнике АВС высота АЛ, не меньше стороны ВС, а вы¬
сота ВВХ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник
АВС — равнобедренный и прямоугольный.
Задачи па построение
Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на по¬
строение циркулем и линейкой. Она состоит из четырёх частей:
1) Отыскание способа решения задачи путём установления
связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть
называется анализом задачи. Анализ даёт возможность составить
план решения задачи на построение.
2)	Выполнение построения по намеченному плану.
3)	Доказательство того, что построенная фигура удовлетворя¬
ет условиям задачи.
4) Исследование задачи, т. е. выяснение
вопроса о том, при любых ли данных задача
имеет решение, и если имеет, то сколько реше¬
ний. В тех случаях, когда задача достаточно про¬
стая, отдельные части, например анализ или ис¬
следование, опускаются. Так мы поступали при
решении простейших задач на построение. Рас¬
смотрим теперь более сложные задачи.
351	Постройте треугольник по двум сторонам и
высоте к третьей стороне.
Решение
Даны три отрезка	M2N2, M3N3
(рис. 148, а). Требуется построить такой
треугольник АВС, у которого две стороны,
скажем АВ и ЛС, равны соответственно
данным отрезкам MiNl и M2N2, а высота
АН равна отрезку M3N3. Проведём реше¬
ние задачи по описанной схеме.
Задачи повышенной
трудности
94

Анализ
Допустим, что искомый треугольник АВС построен
(рис. 148, б). Мы видим, что сторона АВ и высота АН являют¬
ся гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника ABI1.
Поэтому построение треугольника АВС можно провести по та¬
кому плану: сначала построить прямоугольный треугольник
АВН, а затем достроить его до всего треугольника АВС.
Построение
Строим прямоугольный треугольник АВН, у которого гипо¬
тенуза АВ равна отрезку MXNX, а катет АН равен данному
отрезку M3N3. Как это сделать, мы знаем (задача 314, в). На
рисунке 149, а изображён построенный треугольник АВН. За¬
тем проводим окружность радиуса M2N2 с центром в точке А.
Одну из точек пересечения этой окружности с прямой ВН
обозначим буквой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим ис¬
комый треугольник АВС (рис. 149, б).
Доказательство
Треугольник АВС действительно искомый, так как по постро¬
ению сторона АВ равна AfjWj, сторона АС равна M2N2, а вы¬
сота АН равна M3N3, т. е. треугольник АВС удовлетворяет
всем условиям задачи.
Исследование
Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при лю¬
бых данных отрезках	M2N2, M3N3. В самом деле,
если хотя бы один из отрезков MXNX и M2N2 меньше M3N3,
то задача не имеет решения, так как наклонные АВ и АС
не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет

352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
решения и в том случае, когда MXNX = M2N2 = M3N3 (объясни¬
те почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если
MXNX> M3N3, a M2N2-M3N3> то задача имеет единственное
решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и
искомый треугольник является прямоугольным (рис. 149, в).
Если MXNX>M3N3, a M2N2 = МXNX, то задача также име¬
ет единственное решение: в этом случае треугольник АВС
равнобедренный (рис. 149, г). И наконец, если MXNX>M3N3,
M2N2> M3N3 и MxNx^M2N2, то задача имеет два реше¬
ния — треугольники АВС и АВСХ на рисунке 149, д.
Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти
точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от то¬
чек А и В. Всегда ли задача имеет решение?
U Постройте точку, лежащую на данной окружности и равно¬
удалённую от концов данного отрезка. Сколько решений мо¬
жет иметь задача?
□	Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли
задача имеет решение?
□	Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Построй¬
те точку М прямой а так, чтобы сумма АМ+МВ имела наи¬
меньшее значение, т. е. была бы меньше суммы АХ + ХВ, где
X — любая точка прямой а, отличная от М.
□	Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны
острый угол В и биссектриса BD.
□	На данной окружности постройте точку, равноудалённую
от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений
может иметь задача?
1-1 Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие
через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих
прямых. Сколько решений имеет задача?
□	Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите
через точку А прямую, пересекающую окружность в точках
В и С таких, что АВ = ВС.
|-| Постройте треугольник по периметру, одному из углов и
высоте, проведённой из вершины другого угла.
|_| Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой
стороне и сумме двух других сторон.

Глава V
Четырёхугольники
До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из
многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать
более сложные многоугольники, в основном различные виды че¬
тырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квад¬
рат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии гео¬
метрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников.
Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и
искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы
видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узо¬
ры на коврах и тканях, листья деревьев.
Я Многоугольники
40	Многоугольник
Рассмотрим фигуру, составленную из отрез¬
ков АВ, ВС, СВ, ..., EF, FG так, что смежные от¬
резки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и
FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура
называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). От¬
резки, из которых составлена ломаная, называ¬
ются её звеньями, а концы этих отрезков — вер¬
шинами ломаной. Сумма длин всех звеньев
называется длиной ломаной. Концы ломаной
ABCD... FG, т. е. точки А и G, могут быть раз¬
личными, а могут совпадать (рис. 150,6). В по¬
следнем случае ломаная называется замкнутой, и
её звенья FG и АВ также считаются смежными.
Если несмежные звенья замкнутой ломаной не
имеют общих точек, то эта ломаная называется
многоугольником, её звенья называются сторо¬
нами многоугольника, а длина ломаной называ¬
ется периметром многоугольника.
Многоугольник с п вершинами называет¬
ся а-угольником; он имеет п сторон. Примером
многоугольника является треугольник. На ри¬
сунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и
б)
Рис. 150
97
Четырёхугольника

Рис.151
С,
Рис. 152
шестиугольник AtA-zA^A^A^A^ Фигура, изобра¬
жённая на рисунке 152, не является многоуголь¬
ником, так как несмежные отрезки СуС6 и С2С3
(а также С3С4 и CjC5) имеют общую точку.
Две вершины многоугольника, принадле¬
жащие одной стороне, называются соседними.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние
вершины, называется диагональю многоуголь¬
ника.
Любой многоугольник разделяет плоскость
на две части, одна из которых называется внут¬
ренней, а другая — внешней областью много¬
угольника.
На рисунке 153 внутренние области много¬
угольников закрашены. Фигуру, состоящую из
сторон многоугольника и его внутренней обла¬
сти, также называют многоугольником.
41	Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если
он лежит по одну сторону от каждой прямой,
проходящей через две его соседние вершины.
На рисунке 154 многоугольник является
выпуклым, а многоугольник F2 — невыпуклым.
Рассмотрим выпуклый п-угольник, изо¬
бражённый на рисунке 155, а. Углы ЛЛЛ1Л2.,
AiA2A3t ..., An_iAnAi называются углами этого
многоугольника. Найдём их сумму.
Для этого соединим диагоналями верши¬
ну Аг с другими вершинами. В результате полу-
98
Рис. 153
Рис. 154
Глава V

чим п-2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов
которых равна сумме углов n-угольника. Сумма
углов каждого треугольника равна 180°, поэто¬
му сумма углов многоугольника А,А2 ••• Ап равна
(п -2) 180°.
Итак, сумма углов выпуклого п-угольника
равна (п-2)’ 180°.
Внешним углом выпуклого многоугольника
называется угол, смежный с углом многоуголь¬
ника. Если при каждой вершине выпуклого мно¬
гоугольника А,А2... Л„ взять по одному внешне¬
му углу, то сумма этих внешних углов окажется
равной
180° - Аг + 180° - А2 + ... + 180° - Ап =
= п • 180° — (Aj + А2 + ... + А„)=
= п-180°-(л-2) - 180° = 360°.
Таким образом, сумма внешних углов
выпуклого многоугольника равна 360".
42	Четырёхугольник
Каждый четырёхугольник имеет четы¬
ре вершины, четыре стороны и две диагонали
(рис. 156). Две несмежные стороны четырёх¬
угольника называются противоположными. Две
вершины, не являющиеся соседними, также на¬
зываются противоположными.
Четырёхугольники бывают выпуклые и
невыпуклые. На рисунке 156, а изображён вы¬
пуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б —
невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырёх¬
угольника разделяет его на два треугольника.
Одна из диагоналей невыпуклого четырёхуголь¬
ника также разделяет его па два треугольника
(см. рис. 156, б).
Так как сумма углов выпуклого п-угольпика
равна (п-2)-180°, то сумма углов выпуклого
четырёхугольника равна 360".
99
А, А,
А, Ап
а)
А2 А3
А А.
б)
Рис. 155
а)
б)
Рис. 156
Четырёхугольники

Задачи
363	Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каж¬
дом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все
диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые
диагонали каждый многоугольник?
364	Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шести¬
угольника; в) десятиугольника.
365	Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый
угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
366	Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен
8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответ¬
ственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
367	Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен
66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько
же меньше третьей стороны, а четвёртая — в три раза больше
второй.
368	Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны
друг другу.
369	Найдите углы Л, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD,
если ZA = ZB = ZC, a ZD = 135°.
370	Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропор¬
циональны числам 1, 2, 4, 5.
§2
Параллелограмм и трапеция
43	Параллелограмм
Определение
Параллелограммом называется четырёхуголь¬
ник, у которого противоположные стороны по¬
парно параллельны.
На рисунке 157 изображён параллелограмм
ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм яв¬
ляется выпуклым четырёхугольником (см. зада¬
чу 378).
Рассмотрим некоторые свойства параллело¬
грамма.
1°. В параллелограмме противоположные сторо¬
ны равны и противоположные углы равны.
Рис.157
100 Глава V

сторонам и углу между ними (АС — общая сто¬
рона, AB = CD по условию, Z1=Z2 как накрест
лежащие углы при пересечении параллельных
прямых АВ и CD секущей АС), поэтому Z3 = Z4.
Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении
прямых AD и ВС секущей АС, следовательно,
AD || ВС,
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD
противоположные стороны попарно параллель¬
ны, а значит, четырёхугольник ABCD — парал¬
лелограмм.
2°. Если в четырёхугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырёхуголь¬
ник — параллелограмм.
Проведём диагональ АС данного четырёх¬
угольника ABCD, разделяющую его на тре¬
угольники АВС и CD А (см. рис. 158). Эти тре¬
угольники равны по трём сторонам (АС — общая
сторона, AB = CD и BC=DA по условию), по¬
этому Z1=Z2. Отсюда следует, что AB||CD. Так
как AB = CD и АВ || CD, то по признаку 1° четы¬
рёхугольник ABCD — параллелограмм.
3°. Если в четырёхугольнике диагонали пересе¬
каются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в ко¬
тором диагонали АС и BD пересекаются в точке О
и делятся этой точкой пополам (см. рис. 159).
Треугольники АОВ и COD равны по первому
признаку равенства треугольников (ЛО = ОС,
BO = OD по условию, ZAOB=ZCOD как верти¬
кальные углы), поэтому AB = CD и Z1 = Z2. Из
равенства углов 1 и 2 следует, что АВ || CD.
Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны
АВ и CD равны и параллельны, значит, по при¬
знаку 1° четырёхугольник ABCD — параллело¬
грамм.
102 Глава V

45	Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник,
у которого две стороны параллельны, а две дру¬
гие стороны не параллельны. Параллельные
стороны трапеции называются её основаниями,
а две другие стороны — боковыми сторонами
(рис. 161).
Трапеция называется равнобедренной, если
её боковые стороны равны (рис. 162, а).
Трапеция, один из углов которой прямой,
называется прямоугольной (рис. 162, б).
Задачи
371	□ Докажите, что выпуклый четырёхуголь¬
ник ABCD является параллелограммом,
если: a) ZBAC=ZACD и ZBCA = ZDAC;
б) АВ || СП, ZA = ZC.
372	Периметр параллелограмма равен 48 см.
Найдите стороны параллелограмма, если:
а)	одна сторона на 3 см больше другой;
б)	разность двух сторон равна 7 см;
в)	одна из сторон в два раза больше другой.
373	Периметр параллелограмма ABCD равен
50 см, ZC = 30", а перпендикуляр ВН к
прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны
параллелограмма.
Основание
Основание
РИС. 161
Равнобедренная
трапеция
а)
Прямоугольная
трапеция
б)
Рис. 162
374	Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторо¬
ну ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма,
если ВК = 15см, КС = 9 см.
375	Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного
из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и
14 см.
376	Найдите углы параллелограмма ABCD, если:
a) ZA = 84"; б) ZA-ZB = 55°; в) ZA + ZC= 142"; г) ZA = 2ZB;
д) ZCAD = 16°, ZACD = 37°.
377	В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к
прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Най¬
дите стороны и углы параллелограмма, если известно, что
МН = 3 см, HQ = 5 см, ZMNH = 30°.
378	Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёх¬
угольником.
103 Четырёхугольники

379
380
381
382
383
384
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем,
что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей
через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую
ЛВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой ЛВ, так как
АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от пря¬
мой ЛВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону
от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит
по одну сторону от прямой АВ.
□ Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которо¬
го АВ* ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры
ВК и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник
BMDK — параллелограмм.
На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD от¬
мечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что ЛМ = СР,
BN = DQ, BM-DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и
MNPQ — параллелограммы.
На рисунке 163 изображены два
одинаковых колеса тепловоза.
Радиусы О,А и О2В равны. Стер¬
жень АВ, длина которого равна
расстоянию ОХО2 между центрами
колёс, передаёт движение от одного
колеса к другому. Докажите, что
отрезки АВ и ОХО2 либо параллель¬
ны, либо лежат на одной прямой.
Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке О. Докажи¬
те, что четырёхугольник AXBXCXDX,
вершинами которого являются се¬
редины отрезков О А, ОВ, ОС и
OD, — параллелограмм.
На диагонали BD параллелограм¬
ма ABCD отмечены две точки Р и
Q так, что PB = QD. Докажите, что
четырёхугольник APCQ — парал-
Рис. 163
лелограмм.
Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена
прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сто¬
рону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.
Решение
Через точку С проведём прямую, параллельную прямой АВ,
и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с пря¬
мой MN (рис. 164). Так как AM = МВ по условию, а МВ = CD
как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то
AM = DC. Треугольники AMN и CDN равны по второму при-
104 Глава V

Рис. 165
знаку равенства треугольников (AM = CD, Z1 = Z2 и Z3 = Z4
как накрест лежащие углы при пересечении параллельных
прямых АВ и CD секущими АС и MD), поэтому AN = NC.
385	Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых
отложить последовательно несколько равных отрезков и через
их концы провести параллельные прямые, пересекающие вто¬
рую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между
собой отрезки.
Решение
Пусть на прямой 1Х отложены равные отрезки AjA2, А2А3,
АЯА4, ... и через их концы проведены параллельные прямые,
которые пересекают прямую 12 в точках Bn В2, В3, В4, ...
(рис. 165). Требуется доказать, что отрезки BtB2, В2В3, В3В4, ...
равны друг другу. Докажем, например, что В1В2=В2В3.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые Z, и 12 параллельны
(рис. 165, а). Тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противопо¬
ложные стороны параллелограммов АХВХВ2А2 и А2В2ВЯАЯ. Так
как А1А2 = А2А3, то и ВхВ2 = В2В3. Если прямые 1Х и 12 не па¬
раллельны, то через точку Вх проведём прямую Z, параллель¬
ную прямой Z, (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А2В2 и А3В3
в некоторых точках Си/). Так как АХА2 = А2А3, то по дока¬
занному BXC = CD. Отсюда получаем: ВХВ2 = ВгВя (задача 384).
Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т. д.
386	Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сто¬
рон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
«‘187 Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС,
если Z.A — 36°, ZC = 117°.
388 Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каж¬
дом основании равны; б) диагонали равны.
«*189 Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при
основании равны; б) диагонали трапеции равны.
1	Фалес Милетский — древнегреческий учёный
(ок. 625—547 гг. до н. э.).
705 Четырёхугольники

390	Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите
остальные углы трапеции.
391	Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму рав¬
нобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью по¬
крывающий любую часть плоскости.
392	□ Основания прямоугольной трапеции равны а и ft, один из
углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапе¬
ции, если а = 4см, ft = 7cM, а = 60°; б) меньшую боковую сто¬
рону трапеции, если а =10 см, ft = 15 см, а = 45°.
393	□ Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам
и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между
ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их кон¬
цы диагонали.
Решение
в)	Даны три отрезка MXNX, M2N2, M3N3 (рис. 166, а). Требу¬
ется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные
стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам
MXNX и MZNZ, а диагональ BD равна отрезку M3N3. Проведём
решение задачи по схеме, описанной на с. 94.
Анализ
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен
(рис. 166,6)- Мы видим, что стороны треугольника ABD рав¬
ны данным отрезкам MXNX, MZNZ и M^N3. Это обстоятельство
подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нуж¬
но построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем до¬
строить его до параллелограмма ABCD.
Построение
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и
BD равнялись соответственно отрезкам MXNX, M2N2 и M3N3
(как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем постро¬
им прямую, проходящую через точку В параллельно AD,
и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно
АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точ¬
ку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в).
Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
м2 n2
а)
Рис. 166
106 Глава V

Доказательство
По построению AB\\CD и ВС Ц AD, поэтому ABCD — парал¬
лелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по по¬
строению равны отрезкам MXNX и M2N2, а диагональ BD рав¬
на отрезку Л/3Л/з, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.
Исследование
Ясно, что если по трём данным отрезкам MXNX, M2N2 и
можно построить треугольник ABD, стороны которого равны
этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD.
Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-
то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух
других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм
ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно дока¬
зать, что если задача имеет решение, то это решение един¬
ственно (см. п. 39).
394	Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. По¬
стройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпа¬
дали с данными точками. Сколько таких параллелограммов
можно построить?
395	Даны острый угол hk и два отрезка PXQX и P2Q2. Постройте
параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между парал¬
лельными прямыми АВ и DC равнялось PXQX, AB~P2Q2 и
Z.A = Z. hk.
396	Разделите данный отрезок АВ на п равных
Решение
Проведём луч АХ, не лежащий на прямой
АВ, и на нём от точки А отложим последо¬
вательно п равных отрезков ААП АХА2,
Ал1А„ (рис. 167), т. е. столько равных от¬
резков, на сколько равных частей нужно
разделить данный отрезок АВ (на рисун¬
ке 167 я = 5). Проведём прямую А„В (точка
А„ — конец последнего отрезка) и постро¬
им прямые, проходящие через точки А>,
А2, ...» А„_! и параллельные прямой АпВ.
Эти прямые пересекают отрезок АВ в точ¬
ках Вп В2, Вп_и которые по теореме
Фалеса (задача 385) делят отрезок АВ на
п равных частей.
397	□ Постройте равнобедренную трапецию ABCD’.
а)	по основанию АВ, углу А и боковой стороне АВ;
б)	по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
398	L-1 Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям
и боковой стороне АВ, перпендикулярной к основаниям.
частей.
107 Четырёхугольники

| Прямоугольник, ромб, квадрат
46	Прямоугольник
Прямоугольником называется паралле¬
лограмм, у которого все углы прямые. Так как
прямоугольник является параллелограммом, то
он обладает всеми свойствами параллелограмма:
в прямоугольнике противоположные стороны
равны, а диагонали точкой пересечения делятся
пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоуголь¬
ника.
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся к рисунку 168,
па котором изображён прямоугольник ABCD Г”-

с диагоналями АС и BD. Прямоугольные тре-
угольники ACD и DBA равны по двум катетам
(CD-В A, AD — общий катет). Отсюда следует,

что гипотенузы этих треугольников равны, т. е.
AC — BDy что и требовалось доказать.	Рис. 168
Докажем обратное утверждение (признак
прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то
этот параллелограмм — прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диагона¬
ли АС и BD равны (см. рис. 168). Треугольники
ABD и DC А равны по трём сторонам (АВ = DC,
BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда сле¬
дует, что ZA = ZD. Так как в параллелограм¬
ме противоположные углы равны, то Z.A—Z.C
и ^B = ^D. Таким образом, ZA = ЛВ = АС = AD.
Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник,
поэтому ZA + ZB + ZC + ZD = 360°. Следователь¬
но, ZA = ZB = ZC = ZD = 90°, т. е. параллелограмм
ABCD является прямоугольником.
108
Глава V

47	Ромб и квадрат
Ромбом называется параллелограмм, у
которого все стороны равны.
Так как ромб является параллелограммом,
то он обладает всеми свойствами параллелограм¬
ма. Наряду с ними ромб обладает особым свой¬
ством. Рассмотрим его.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и
делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 169). Требует¬
ся доказать, что его диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны и каждая диагональ делит со¬
ответствующие углы ромба пополам. Докажем,
например, что ZBAC = ZDAC.
По определению ромба все его стороны рав¬
ны, в частности АВ = AD, поэтому треугольник
BAD равнобедренный. Так как ромб является
параллелограммом, то его диагонали точкой О
пересечения делятся пополам. Следовательно, от¬
резок АО — медиана равнобедренного треуголь¬
ника BAD, проведённая к основанию, а значит,
высота и биссектриса этого треугольника. Поэто¬
му AC ± BD и ZBAC = ZDAC, что и требовалось
доказать.
Квадратом называется прямоугольник, у
которого все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограм¬
мом, поэтому и квадрат является параллелограм¬
мом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом.
Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свой¬
ствами прямоугольника и ромба. Сформулируем
основные свойства квадрата.
1.	Все углы квадрата прямые (рис. 170, а).
2.	Диагонали квадрата равны, взаимно перпен¬
дикулярны, точкой пересечения делятся попо¬
лам и делят утлы квадрата пополам (рис. 170, б).
Рис. 169
□—*—С
□	1	с
а)
б)
Свойства квадрата
Рис. 170
109 Четырёхугольники

48	Осевая и центральная симметрии
Две точки А и называются симметрич¬
ными относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка AAt и перпен¬
дикулярна к нему (рис. 171, а). Каждая точка
прямой а считается симметричной самой себе.
На рисунке 171, б точки М и Мх, N и Nx симмет¬
ричны относительно прямой Ь, а точка Р симмет¬
рична самой себе относительно этой прямой.
Фигура называется симметричной относи¬
тельно прямой а, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно прямой а
также принадлежит этой фигуре. Прямая а на¬
зывается осью симметрии фигуры. Говорят так¬
же, что фигура обладает осевой симметрией.
Приведём примеры фигур, обладающих осе¬
вой симметрией (рис. 172). У неразвёрнутого угла
одна ось симметрии — прямая, на которой распо¬
ложена биссектриса угла. Равнобедренный (но не
равносторонний) треугольник имеет также одну ось
симметрии, а равносторонний треугольник — три
оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не явля¬
ющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии,
а квадрат — четыре оси симметрии. У окружности
их бесконечно много — любая прямая, проходя¬
щая через её центр, является осью симметрии.
Имеются фигуры, у которых нет ни одной
оси симметрии. К таким фигурам относятся па¬
раллелограмм, отличный от прямоугольника и
ромба, разносторонний треугольник.
Две точки А и At называются симметрич¬
ными относительно точки О, если О — середи¬
на отрезка AAt (рис. 173, а). Точка О считается
симметричной самой себе. На рисунке 173, б точ¬
ки Л/ и Afj, N и 7V\ симметричны относительно
точки О, а точки Р и Q не симметричны относи¬
тельно этой точки.
Фигура называется симметричной относи¬
тельно точки О, если для каждой точки фигу¬
110
А
о	L —
Л
о)
б)
Рис. 171
Фигуры, обладающие
осевой симметрией
Рис. 172
Глава V

ры симметричная ей точка относительно точки
О также принадлежит этой фигуре. Точка О на¬
зывается центром симметрии фигуры. Говорят
также, что фигура обладает центральной симмет¬
рией.
Примерами фигур, обладающих централь¬
ной симметрией, являются окружность и па¬
раллелограмм (рис. 174). Центром симметрии
окружности является центр окружности, а цент¬
ром симметрии параллелограмма — точка пере¬
сечения его диагоналей. Прямая также обладает
центральной симметрией, однако в отличие от
окружности и параллелограмма, которые имеют
только один центр симметрии (точка О на рисун¬
ке 174), у прямой их бесконечно много — любая
точка прямой является её центром симметрии.
Примером фигуры, не имеющей центра симмет¬
рии, является произвольный треугольник.
Изображения на плоскости многих предме¬
тов окружающего нас мира имеют ось симметрии
или центр симметрии. Многие листья деревьев
и лепестки цветов симметричны относительно
среднего стебля (рис. 175).
С симметрией мы часто встречаемся в ис¬
кусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фаса¬
ды многих зданий обладают осевой симметрией
(рис. 176). В большинстве случаев симметричны
относительно оси или центра узоры на коврах,
тканях, комнатных обоях. Симметричны многие
детали механизмов, например зубчатые колёса.
Q
б)
Рис. 173
Фигуры, обладающие
центральной
симметрией
Рис. 174
Рис. 176
111 Четырёхугольники

399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
Задачи
□	Докажите, что параллелограмм, один из углов которого
прямой, является прямоугольником.
□	Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые,
то четырёхугольник — прямоугольник.
Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса
угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см;
б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.
1-1 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О.
Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника АОВ, если Z.CAD = 30°,
АС= 12 см.
□	Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, про¬
ведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
□	В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы
ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сто¬
ронами.
Найдите периметр ромба ABCD, в котором ZB = 60°,
АС= 10,5 см.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторо¬
нами, если один из углов ромба равен 45°.
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его
диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его
угол пополам.
1-1 Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, являет¬
ся квадратом.
1-1 Является ли четырёхугольник квадратом, если его диаго¬
нали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно пер¬
пендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно
перпендикулярны и имеют общую середину?
|_| В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса пря¬
мого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипо¬
тенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажи¬
те, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС
с прямым углом С, катетом АС = 12 см и квадрат CDEF, та¬
кой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на
гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
□	Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам;
б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между
диагоналями.
1-1 Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и
углу.
7 72 Глава V

415
416
417
418
419
420
421
422
423
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2] Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
—1 Даны две точки Л и В, симметричные относительно неко¬
торой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную
точке М относительно той же прямой.
Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е,
О, F?
21 Докажите, что прямая, проходящая через середины проти¬
воположных сторон прямоугольника, является его осью сим¬
метрии.
2] Докажите, что прямая, содержащая биссектрису равнобед¬
ренного треугольника, проведённую к основанию, является
осью симметрии треугольника.
21 Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную
точке М относительно середины отрезка АВ.
Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пере¬
секающихся прямых; г) квадрат?
Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, О, М,
X, К?
Вопросы для повторения к главе V
Объясните, какая фигура называется ломаной. Что такое звенья,
вершины и длина ломаной?
Объясните, какая ломаная называется многоугольником. Что
такое вершины, стороны, периметр и диагонали многоуголь¬
ника?
Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните,
какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого
я-угольника.
Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоуголь¬
ника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, про¬
тивоположные стороны и противоположные вершины.
Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?
Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело¬
грамм выпуклым четырёхугольником?
Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны
равны и противоположные углы равны.
Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересече¬
ния делятся пополам.
Сформулируйте и докажите утверждения о признаках парал¬
лелограмма.
Четырёхугольники

12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
424
425
426
427
428
429
Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называ¬
ются стороны трапеции?
Какая трапеция называется равнобедренной? прямоугольной?
Какой четырёхугольник называется прямоугольником? Дока¬
жите, что диагонали прямоугольника равны.
Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то
параллелограмм является прямоугольником.
Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что
диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы
пополам.
Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите
основные свойства квадрата.
Какие две точки называются симметричными относительно
данной прямой?
Какая фигура называется симметричной относительно данной
прямой?
Какие две точки называются симметричными относительно
данной точки?
Какая фигура называется симметричной относительно данной
точки?
Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметри¬
ей; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной
симметрией.
Дополнительные задачи
Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника
равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ=14см.
Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса
угла Л? Найдите отрезки, которые образуются при этом пере¬
сечении.
Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы
двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противо¬
положную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Через произвольную точку основания равнобедренного тре¬
угольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам
треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёх¬
угольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны,
проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересе¬
чении образуется прямоугольник.
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является паралле¬
лограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух
смежных сторон, равна 180°.
114 Глава V

430
431
432
433
434
435
436
437
438
439*
440*
441
442
443
444*
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является паралле¬
лограммом, если его противоположные углы попарно равны.
Точка К —середина медианы ЛМ треугольника ЛВС. Пря¬
мая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что
AD = ^ЛС.
Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма
ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD
на три равные части.
Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и
ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является бис¬
сектрисой угла КВМ.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноуда¬
лена от его сторон.
Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину тре¬
угольника с любой точкой противоположной стороны, лежит
на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, про¬
ходящая через точку Л и перпендикулярная к прямой ЛС,
пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N.
Найдите MN.
На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что
ЛМ = ЛВ. Через точку М проведена прямая, перпендикуляр¬
ная к прямой АС и пересекающая ВС в точке П. Докажите,
что ВН = НМ=МС.
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС
перпендикулярна к боковой стороне CD, ZBAC = ZCAD. Най¬
дите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a ZD = 60°.
□ Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, равен их полуразности.
_] На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты.
Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов,
выходящих из одной вершины треугольника, в два раза боль¬
ше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, явля¬
ются его осями симметрии.
Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограм¬
ма является его центром симметрии.
Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?
Л Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпенди¬
кулярные оси симметрии, то точка их пересечения является
центром симметрии фигуры.
Четырёхугольники

Глава VI
Площадь
Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в
комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому.
В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоуголь¬
ников и будут выведены формулы, по которым можно вычис¬
лить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника,
трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в
практической деятельности. Кроме того, используя формулы
площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых
теорем геометрии — теорему Пифагора.
Я Площадь многоугольника
49	Понятие площади
многоугольника
Понятие площади нам известно из повсе¬
дневного опыта. Каждый понимает смысл слов:
площадь комнаты равна шестнадцати квадрат¬
ным метрам, площадь садового участка — восьми
соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим во¬
прос о площадях многоугольников.
Можно сказать, что площадь многоугольни¬
ка — это величина той части плоскости, которую
занимает многоугольник. Измерение площадей
проводится с помощью выбранной единицы изме¬
рения аналогично измерению длин отрезков. За
единицу измерения площадей принимают квад¬
рат, сторона которого равна единице измерения
отрезков. Так, если за единицу измерения отрез¬
ков принят сантиметр, то за единицу измерения
площадей принимают квадрат
со стороной 1 см. Такой квад¬
рат называется квадратным
сантиметром и обозначается
см2. Аналогично определяется
квадратный метр (м2), квадрат¬
ный миллиметр (мм2) и т. д.
116 Глава VI

При выбранной единице измерения пло¬
щадей площадь каждого многоугольника выра¬
жается положительным числом. Это число по¬
казывает, сколько раз единица измерения и её
части укладываются в данном многоугольнике.
Рассмотрим примеры. На рисунке 177, а изобра¬
жён прямоугольник, в котором квадратный сан¬
тиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает,
что площадь прямоугольника равна 6 см2.
В трапеции ABCD, изображённой на рисун¬
ке 177, б, квадратный сантиметр укладывается
два раза и остаётся часть трапеции — треуголь¬
ник CDE, в котором квадратный сантиметр не
укладывается целиком. Для измерения площа¬
ди этого треугольника нужно использовать доли
квадратного сантиметра, например квадратный
миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратно¬
го сантиметра. Это показано на рисунке 177, в,
где квадратный сантиметр разбит на 100 квад¬
ратных миллиметров (этот рисунок, а также ри¬
сунок 177, г для большей наглядности даны в
увеличенном масштабе).
На рисунке 177, г видно, что квадратный
миллиметр укладывается в треугольнике CDE
14 раз, и остаётся часть этого треугольника (она
закрашена на рисунке), в которой квадратный
миллиметр не укладывается целиком. Поэтому
можно сказать, что площадь трапеции ABCD
приближённо равна 2,14 см2.
Оставшуюся часть треугольника CDE мож¬
но измерить с помощью более мелкой доли квад¬
ратного сантиметра и получить более точное зна¬
чение площади трапеции.
Описанный процесс измерения можно про¬
должить далее, однако на практике он неудобен.
Обычно измеряют лишь некоторые связан¬
ные с многоугольником отрезки, а затем вычис¬
ляют площадь по определённым формулам.
Вывод этих формул основан на свойствах
площадей, которые мы сейчас рассмотрим.
Д с.и |
1 cat
L—

S = 6 с.и2
а)
б)
С
Рис. 177
г)
117 Площадь

Прежде всего отметим, что если два мно¬
гоугольника равны, то единица измерения пло¬
щадей и её части укладываются в таких много¬
угольниках одинаковое число раз, т. е. имеет
место следующее свойство:
1°. Равные многоугольники имеют равные пло¬
щади.
Далее, пусть многоугольник составлен из
нескольких многоугольников так, что внутренние
области любых двух из этих многоугольников не
имеют общих точек, как показано на рисунке 178.
Очевидно, величина части плоскости, занимаемой
всем многоугольником, является суммой величин
тех частей плоскости, которые занимают состав¬
ляющие его многоугольники. Итак:
2°. Если многоугольник составлен из нескольких
многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
Свойства 1° и 2° называют основными свой¬
ствами площадей. Напомним, что аналогичными
свойствами обладают длины отрезков.
Наряду с этими свойствами нам понадобит¬
ся ещё одно свойство площадей.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его сто¬
роны.
Краткую формулировку этого свойства сле¬
дует понимать так: если сторона квадрата при
выбранной единице измерения отрезков выража¬
ется числом а, то площадь этого квадрата выра¬
жается числом а2.
На рисунке 179 изображён квадрат, сторо¬
на которого равна 2,1 см. Он состоит из четырёх
квадратных сантиметров и сорока одного квад¬
ратного миллиметра. Таким образом, площадь
квадрата равна 4,41 см2, что равно квадрату его
стороны: 4,41= (2,1)2. Доказательство утвержде¬
ния 3° приведено в следующем пункте.
Рис. 178
S = (2,l см)2=4.41 сл2
Рис. 179
7 18 Глава VI

Если площади двух многоугольников рав¬
ны, то эти многоугольники называются равно¬
великими. Если один многоугольник разрезан на
несколько многоугольников и из них составлен
другой многоугольник, то такие многоугольни¬
ки называются равносоставленпыми. Например,
прямоугольник со сторонами, равными 2 см и
Зсм (см. рис. 177, а), равносоставлен с прямо¬
угольником со сторонами, равными 1 см и 6 см.
Ясно, что любые два равносоставленных много¬
угольника равновеликие (см. основные свойства
площадей). Оказывается, что верно и обратное ут¬
верждение: если два многоугольника равновели¬
кие, то они равносоставленные. Это утверждение
называется теоремой Бойяи — Гервина. Венгер¬
ский математик Ф. Бойяи доказал эту теорему в
1832 г., а немецкий математик-любитель П. Гер¬
вин независимо от Ф. Бойяи доказал её в 1833 г.
50* Площадь квадрата
Докажем, что площадь S квадрата со сто¬
роной а равна а2.
Начнём с того случая, когда а = —, где п —
п
целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и
разобьём его на п2 равных квадратов так, как
показано на рисунке 180, а (на этом рисунке
п = 5). Так как площадь большого квадрата рав¬
на 1, то площадь каждого маленького квадрата
равна —. Сторона каждого маленького квадрата рав-
1 п
на —, т. е. равна а. Итак,
п
s=M»)2=a2-	(1)
Пусть теперь число а представляет собой
конечную десятичную дробь, содержащую п зна¬
ков после запятой (в частности, число а может
быть целым, и тогда п = 0). Тогда число т = а • 10"
целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на
119
=4
а)
«и
*)
Рис. 180
Площадь
а

т2 * * * равных квадратов так, как показано на ри¬
сунке 180, б (на этом рисунке т = 7).
При этом каждая сторона данного квадрата
разобьётся на т равных частей, и, значит, сторо¬
на любого маленького квадрата равна
а _ а _ 1
т ~ а. 10* “ 10" ‘
По формуле (1) площадь маленького квад-
( 1 \2
рата равна 	 . Следовательно, площадь ■$
к 10" 7
данного квадрата равна
t 10" ) I, 10” ) I 10" )
Наконец, пусть число а представляет собой
бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим чис¬
ло а„, получаемое из а отбрасыванием всех де¬
сятичных знаков после запятой, начиная с
(п+1)-го. Так как число а отличается от ап не
более чем на	, то а < а < а + ——, откуда
10"	"	10"
+ (2)
Ясно, что площадь S данного квадрата за¬
ключена между площадью квадрата со сторо¬
ной ап и площадью квадрата со стороной ап
1
(рис. 180, в), т. е. между а2 и \ ап
10"
+ —f •
+ 10" )
в«<5<(а-+1^г)г-	(3)
Будем неограниченно увеличивать число п.
Тогда число —— будет становиться
10"
малым, и,
значит, число ( а + —1—
V "	10"
сколь угодно
2
будет сколь
угодно мало отличаться от числа а2. Поэтому из не¬
равенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно
120 Глава VI

мало отличается от числа а2. Следовательно, эти
числа равны: S = а2, что и требовалось доказать.
51	Площадь прямоугольника
Теорема
Площадь прямоугольника равна произведению
его смежных сторон.
Доказател ьство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а,
Ъ и площадью S (рис. 181, а). Докажем, что S = ab.
Достроим прямоугольник до квадрата со
стороной а + Ьу как показано на рисунке 181, б. По
свойству «3° площадь этого квадрата равна (а + Ь)2.
С другой стороны, этот квадрат составлен
из данного прямоугольника с площадью S, равно¬
го ему прямоугольника с площадью S (свойство
1° площадей) и двух квадратов с площадями а2 и
Ь2 (свойство .3° площадей). По свойству 2° имеем:
(а + by = S + 8 + а2 + Ь2, или
a2 + 2ab + b2 = 2S + az + b2.
Отсюда получаем: 8 = ab. Теорема доказана.
b S
а
о)
а	b
2
а
S
S
ь2
а b
б)
Рис. 181
Задачи
445	□ Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треуголь¬
ника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник;
б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямо¬
угольника. Сравните площади полученных фигур.
446	□ Начертите квадрат и примите его за единицу измерения
площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого вы¬
ражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата,
площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, пло¬
щадь которого выражается числом 2.
447	Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку Af, сим¬
метричную точке D относительно точки С. Докажите, что
8 ЛИСИ = & AMD*
448	На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник
ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС
в точках А4 и ./V, причём точка М — середина отрезка АЕ.
Докажите, что SAncn = SADE.
121 Площадь

449	Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см;
б) — дм; в) 3\/2 м.
4
450	Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2;
б) 2,25 дм2; в) 12 м2.
451	Площадь квадрата равна 24 см2. Выразите площадь этого
квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных де¬
циметрах.
452	Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, a S — его
площадь. Вычислите: a) S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см;
б) S, если а = 2х/2 см, b = 3 см; в) Ь, если а = 32 см, S = 684,8 см2;
г) а, если Ь = 4,5см, 8 = 12,15см2.
453	|_| Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну
пару противоположных сторон увеличить в два раза; б) каж¬
дую сторону увеличить в два раза; в) одну пару противопо¬
ложных сторон увеличить в два раза, а другую — уменьшить
в два раза?
454	Q Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь
равна 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его
площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.
455	Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами
5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы.
Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина —
5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола?
456	Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со
стороной 15 см, чтобы облицевать ими степу, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?
457	Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади
прямоугольника со смежными сторонами 8 м и 18 м.
458	Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины.
Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами
220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь како¬
го участка больше и на сколько?
§2
Площади параллелограмма,
треугольника и трапеции
52	Площадь параллелограмма
Условимся одну из сторон параллелограмма
называть основанием, а перпендикуляр, прове¬
дённый из любой точки противоположной сторо¬
122 Глава VI

ны к прямой, содержащей основание, — высотой
параллелограмма.
Теорема
Площадь параллелограмма равна произведению
его основания па высоту.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм ABCD с пло¬
щадью S. Примем сторону AD за основание и
проведём высоты ВН и СК (рис. 182). Докажем,
что S=ADBH.
Докажем сначала, что площадь прямо¬
угольника НВСК также равна S. Трапеция
АВСК составлена из параллелограмма ABCD и
треугольника DC К. С другой стороны, она со¬
ставлена из прямоугольника НВСК и треуголь¬
ника АВН. Но прямоугольные треугольники
DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу
(их гипотенузы АВ и CD равны как противопо¬
ложные стороны параллелограмма, а углы 1 и
2 равны как соответственные углы при пересе¬
чении параллельных прямых АВ и CD секущей
AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма
ABCD и прямоугольника НВСК также равны, т. е.
площадь прямоугольника НВСК равна S. По тео¬
реме о площади прямоугольника S = ВС • ВН, а так
как ВС= AD, то S = AD • ВН. Теорема доказана.
Рис. 182
53	Площадь треугольника
Одну из сторон треугольника часто называ¬
ют его основанием. Если основание выбрано, то
под словом «высота» подразумевают высоту тре¬
угольника, проведённую к основанию.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произ¬
ведения его основания на высоту.
Площадь

Доказательство
Пусть Я — площадь треугольника АВС
(рис. 183). Примем сторону Л В за основание тре¬
угольника и проведём высоту СН. Докажем, что
S = ±ABCH.
2
Достроим треугольник АВС до параллело¬
грамма ABDC так, как показано на рисунке 183.
Треугольники АВС и DCB равны по трём сторо¬
нам (ВС — их общая сторона, AB = CD и АС= BD
как противоположные стороны параллелограмма
ABDC), поэтому их площади равны. Следова¬
тельно, площадь Я треугольника АВС равна по¬
ловине площади параллелограмма ABDC, т. е.
Я = АВ ■ СН. Теорема доказана.
Следствие 1
Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
Следствие 2
Если высоты двух треугольников равны, то и
площади относятся как основания.
Воспользуемся следствием 2 для доказа¬
тельства теоремы об отношении площадей тре¬
угольников, имеющих по равному углу.
Теорема
С	D
АН в
Рис. 183
Рис. 184
Если угол одного треугольника равен углу дру¬
гого треугольника, то площади этих треугольни¬
ков относятся как произведения сторон, заклю¬
чающих равные углы.
Доказательство
Пусть Я и Ях — площади треугольников
АВС и АУВХСХ, у которых Z.A = Z.AX (рис. 184, а).
Докажем, что
724 Глава VI

S = AB AC
Sr AXBX- A^ *
Наложим треугольник A1B1CI на треуголь¬
ник ABC так, чтобы вершина Ах совместилась с
вершиной Л, а стороны АХВХ и АХСХ наложились
соответственно на лучи АВ и АС (рис. 184, б).
Треугольники АВС и АВХС имеют общую высоту
СПу поэтому ——— = Треугольники АВХС и
SAUlC АВ1
АВХСХ
этому
также имеют общую высоту — BxIIXt по-
®ллс АС _
	— =	. Перемножая полученные ра-
^лв,С| ACi
венства, находим:
S	АВ AC Я АВ АС
		=	—, или	=	.
ABi * АСХ Sj АХВХ ■ АХСХ
Теорема доказана.
54	Площадь трапеции
Для вычисления площади произвольного
многоугольника обычно поступают так: разби¬
вают многоугольник на треугольники и находят
площадь каждого треугольника. Сумма площа¬
дей этих треугольников равна площади данно¬
го многоугольника (рис. 185, а). Используя этот
приём, выведем формулу для вычисления пло¬
щади трапеции. Условимся называть высотой
трапеции перпендикуляр, проведённый из любой
точки одного из оснований к прямой, содержа¬
щей другое основание. На рисунке 185, б отрезок
ВН (а также отрезок DHX) — высота трапеции
ABCD.
а)
Рис. 185
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полу¬
суммы её оснований на высоту.
125 Площадь

Доказательство
Рассмотрим трапецию ABCD с основания¬
ми AD и ВС, высотой ВН и площадью S (см.
рис. 185, б).
Докажем, что
S = |(А0 + ВС) • ВН.
Диагональ BD разделяет трапецию на два
треугольника ABD и BCD, поэтому В = SAHl) + SMD.
Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту
треугольника ABD, а отрезки ВС и DHX за осно¬
вание и высоту треугольника BCD. Тогда
«Л.О = ^AD - ВН, S„,B = ±ВС- DH,.
Так как DHX = ВН, то = ±ВС • ВН.
Таким образом,
S =	• ВН + ±ВС - ВН = 1(ЛО + ВС) ■ ВН.
&	Сл	Ct
Теорема доказана.
Задачи
459	Пусть а — основание, h — высота, aS — площадь параллело¬
грамма. Найдите: а) В, если а = 15 см, Л =12 см; б) а, если
В = 34 см2, h = 8,5 см; в) а, если В = 162 см2, h = ±а; г) й, если
Л = 3а, В =27.
460	Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна
к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь
параллелограмма.
461	Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его
острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
462	Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найди¬
те площадь ромба.
463	Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная
14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллело¬
грамма.
464	U Пусть а и Ъ — смежные стороны параллелограмма, В — пло¬
щадь, а Л] и Л2 —его высоты. Найдите: a) h2, если а = 18 см,
Ь = 30 см, Л1 = 6см, h2> hx; б) hx, если а = 10 см, й=15см,
Л2 = 6 см, hz> hx; в) hx и h2, если В = 54 см2, а = 4,5 см, b = 6 см.
126 Глава VI

465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведён¬
ные из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите пло¬
щадь параллелограмма.
Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите
площадь параллелограмма, если большая его сторона равна
15,2 см, а один из его углов 45°.
Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинако¬
вые периметры. Сравните площади этих фигур.
Пусть а — основание, h — высота, aS — площадь треугольни¬
ка. Найдите: a) S, если а = 7 см, h = 11 см; б) S, если а = 2<3 см,
h = 5 см; в) Л, если S = 37,8 см2, а = 14 см; г) а, если S = 12 см2,
А = 3>/2 см.
Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно
16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна
11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.
Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, про¬
ведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту,
проведённую к меньшей из данных сторон.
Д Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его
катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найди-
7
те его катеты, если отношение их длин равно —.
Через вершину С треугольника АВС проведена прямая т, па¬
раллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с
вершинами на прямой т и основанием АВ имеют равные пло¬
щади.
Сравните площади двух треугольников, на которые разделяет¬
ся данный треугольник его медианой.
□ Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите
две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на
три треугольника, имеющие равные площади.
Докажите, что площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагона¬
ли равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше
другой, а площадь ромба равна 27 см2.
В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпенди¬
кулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна
половине произведения его диагоналей.
Точки I) и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника
АВС. Найдите: a) SADK, если АВ = 5 см, АС = 6 см, АП = Зсм,
АЕ = 2 см, 5двс=10см2; б) AD, если АВ = 8 см, АС = Зсм,
АЕ = 2 см, SAlfC =10 см2, SAr)E = 2 см2.
127 Площадь

480	Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD,
если:
а)	АВ = 21 см, CD = 17 см, высота ВИ равна 7 см;
б)	Z£>=30°, АВ = 2 см, CD= 10 см, РА = 8 см;
в)	ВС±АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD =13 см.
481	Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две
меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
482	Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота,
проведённая из вершины этого угла, делит большее основание
на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Теорема Пифагора
55	Теорема Пифагора
Пользуясь свойствами площадей много¬
угольников, мы установим теперь замечательное
соотношение между гипотенузой и катетами пря¬
моугольного треугольника.
Теорема, которую мы докажем, называет¬
ся теоремой Пифагора. Она является важнейшей
теоремой геометрии.
Теорема
В прямоугольном треугольнике квадрат гипоте¬
нузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник с
катетами а, b и гипотенузой с (рис. 186, а). До¬
кажем, что с2 = а2 + Ь2.
Достроим треугольник до квадрата со сто¬
роной а + Ь так, как показано на рисунке 186,6.
Площадь 8 этого квадрата равна (а + Ъ)2. С дру¬
гой стороны, этот квадрат составлен из четырёх
(а + Ъ)г= 4(^ад)+с“
б)
Рис. 186
равных прямоугольных треугольников, площадь
1 .
каждого из которых равна — аб, и квадрата со
стороной с, поэтому
8 = 4- ^аЬ + с2 = 2аЬ + с2.
728	Глава VI

Таким образом, (а + b)2 = 2аЬ + с2, откуда
с2 = а2 + Ъ2.
Теорема доказана.
Интересна история теоремы Пифагора.
Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа¬
гора, она была известна задолго до него. В ва¬
вилонских текстах эта теорема встречается за
1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё
не знали её доказательства, а само соотношение
между гипотенузой и катетами было установлено
опытным путем па основе измерений. Пифагор,
по-видимому, нашёл доказательство этого соот¬
ношения. Сохранилось древнее предание, что в
честь своего открытия Пифагор принёс в жертву
богам быка, по другим свидетельствам — даже сто
быков. На протяжении последующих веков были
найдены различные другие доказательства теоре¬
мы Пифагора. В настоящее время их насчитыва¬
ется более ста. С одним из них мы уже познако¬
мились, ещё с одним познакомимся в следующей
главе (задача 578). Многие известные мыслители
и писатели прошлого обращались к этой замеча¬
тельной теореме и посвятили ей свои строки.
Пифагор —
Древнегреческий
учёный
(VI в. до н. а.)
56	Теорема, обратная
теореме Пифагора
Теорема
Если квадрат одной стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный.
Доказательство
Пусть в треугольнике ЛВС Л В2 = АС2 + ВС2.
Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим пря¬
моугольный треугольник	с прямым
углом С,, у которого А1С1 = АС и В|С\ = ВС. По
теореме Пифагора AtBl = AtCf + ByCf, и, значит,
129 Площадь

ЛjBf — ЛС2 + ВС2. Но ЛС2 + ВС2 = ЛВ2 по усло¬
вию теоремы. Следовательно, АхВ1 = АВгу откуда
АХВХ = АВ.
Треугольники АВС и A,B,C, равны по трём
сторонам, поэтому Z-C — Z_CXy т. е. треугольник
АВС прямоугольный с прямым углом С. Теоре¬
ма доказана.
По теореме, обратной теореме Пифагора,
треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является пря¬
моугольным: 52=32 + 42. Прямоугольными явля¬
ются также треугольники со сторонами 5, 12, 13;
8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).
Прямоугольные треугольники, у кото¬
рых длины сторон выражаются целыми числа¬
ми, называются пифагоровыми треугольниками.
Можно доказать, что катеты ау b и гипотену¬
за с таких треугольников выражаются формула¬
ми a=2k-m-n, b = k(m2 — n2), c = k(m2 + n2), где
ft, пг и п — любые натуральные числа, такие, что
т > п.
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто на¬
зывают египетским треугольником, так как он
был известен ещё древним египтянам. Для по¬
строения прямых углов египтяне поступали так:
на верёвке делали метки, делящие её на 12 рав¬
ных частей, связывали концы верёвки и растяги¬
вали на земле с помощью кольев в виде треуголь¬
ника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между
сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.
57	Формула Герона
Теорема
Площадь S треугольника со сторонами a, Ь, с вы¬
ражается формулой S = р(р - а)(р - Ь)(Р "
где р = — (а + b + с) — полупериметр треуголь-
2
ника.
130 Глава VI

Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором
ЛВ = су ВС = а, АС = Ь. В любом треугольнике по
крайней мере два угла острые. Пусть А и
В — острые углы треугольника АВС. Тогда осно¬
вание Н высоты СН треугольника лежит на сто¬
роне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у,
НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора
а2 ~ X2 = № -	_ у2^ откуда у2 -хг-Ъ2- а2, или
(У ~ х) (у + х) = Ь2 - а2. Так как у + х = с, то
У ~ х = 1(б2 _ аг). Сложив два последних равен¬
ства и разделив на 2, получим:
Ь2+с2-а2
У = —2^—
Поэтому
h2=b2-y2 = (b + y) (b-y) =
Рис. 187
_ (Ь + с)2—а2 а2-(Ь-с)2 _
2с	2с
_ (Ь + с + а)(Ь + с- а) (а -Ь + с)(а + Ь-с) =
4с2
_ 2р(2р - 2а)(2р - 2d) (2р - 2с) =
4с2	'
_ 4р(р - а)(р - Ь)(р - с)
с2

„	. 2Jp(p-<MP-bMP-c)
Следовательно, Л = ——

Но S = т^с, откуда и получаем:
S = ^p(jp-d)Cp-b)(p-^-
Теорема доказана.
Выведенную нами формулу обычно называ¬
ют формулой Герона, по имени древнегреческого
математика Герона Александрийского, жившего
предположительно в I в. н. э.
131 Площадь

Задачи
483
4S4
485
486
487
488
489
490
491
492
□ Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по дан¬
ным катетам а и d:
а)	а = 6, Ъ= 8;
б)	а = 5, d = 6;
в)	а = Ь = у;
7	7
г)	а = 8, d = 8>/3.
В прямоугольном треугольнике а и d — катеты, с — гипотену¬
за. Найдите d, если:
а)	а = 12, с =13;
б)	а = 7, с = 9;
в)	а= 12, с- 2d;
г)	а = 2х/з, с = 2d;
д)	а = 3d, с = 2х/10.
Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий про¬
тив угла 60°, если гипотенуза равна с.
В прямоугольнике ABCD найдите:
а)	А£>, если АВ =5, АС =13;
б)	ВС, если CD= 1,5, АС- 2,5;
в)	С£>, если В1)= 17, ВС = 15.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см,
а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к ос¬
нованию.
Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его
сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника,
если его высота равна 4 см.
Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычис¬
ляется по формуле В =
a243
	, где а — сторона треугольника.
4
Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сто¬
рона равна:
а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2^2 дм.
Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре¬
угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён¬
ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол,
противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря¬
моугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.
1-1 По данным катетам а и d прямоугольного треугольника
найдите высоту, проведённую к гипотенузе:
а)	а = 5, d = 12; б) а =12, d=16.
Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.
132 Глава VI

493
494
495
496
497
498
499
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны
10 см и 24 см.
Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна
10 см, а другая диагональ — 12 см.
Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD,
если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) =	=
= 60°, АВ = ВС = 8см; в) ZC = ZZ) = 45°, АВ = 6см, ВС = $42 см.
Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне
АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = >/з.
Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой.
Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма ра¬
вен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его
стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12,
15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каж¬
дом случае ответ обоснуйте.
Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равны¬
ми: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.
Вопросы для повторения к главе VI
Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.
Какие многоугольники называются равновеликими и какие
равносоставленными?
Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
прямоугольника.
Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
параллелограмма.
Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного тре¬
угольника по его катетам?
Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
двух треугольников, имеющих по равному углу.
Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
трапеции.
Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифа¬
гора.
Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите
примеры пифагоровых треугольников.
Какая формула площади треугольника называется формулой
Герона? Выведите эту формулу.
Площадь

500
501
502
503
504
505
506
507*
508*
509
510*
511
512*
Дополнительные задачи
Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете
равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше
площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к ги¬
потенузе.
Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь
этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных
километрах.
Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен
42 см. Найдите площадь параллелограмма.
Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна
24 см2, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на
2 см и Зсм.
Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендику¬
ляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к боль¬
шей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Най¬
дите площадь параллелограмма.
Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона
равна а, а другая — Ъ, наибольшую площадь имеет тот, у ко¬
торого эти стороны перпендикулярны.
IJ Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы
разделить его на три фигуры, площади которых равны?
Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны
другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь пер¬
вого треугольника больше площади второго треугольника?
1-1 Докажите, что сумма расстояний от точки на основании
равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит
от положения этой точки.
Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри
равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от по¬
ложения этой точки.
Через точку О, лежащую па стороне ВС треугольника ЛВС,
проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пе¬
ресекающие стороны ЛВ и ЛС соответственно в точках Е и F.
Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.
В трапеции Л BCD с боковыми сторонами ЛВ и CD диагонали
пересекаются в точке О.
а)	Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б)	Сравните площади треугольников Л ВО и СIX).
в)	Докажите, что выполняется равенство ОЛ • ОВ = ОС ■ OD.
Основания трапеции равны а и Ъ. Отрезок с концами на боко¬
вых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделя¬
ет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину
этого отрезка.
134 Глава VI

513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба
и расстояние между параллельными сторонами.
Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна
4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
до стороны ромба.
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) бо¬
ковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°;
б)	высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и обра¬
зует с основанием угол в 45°.
В треугольнике АВС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, прове¬
дённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на
отрезки AW = 25cm и NC= 15 см. Найдите площадь треуголь¬
ника АВС.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором
АВ = 5 см, ВС =13 см, CD = 9 см, РА = 15 см, АС= 12 см.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её мень¬
шее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол ра¬
вен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали
взаимно перпендикулярны.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота
равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикуляр¬
ны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD вза¬
имно перпендикулярны, то AD* + BCZ= AB'^ + CD2.
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD= 17 см,
ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В про¬
ведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекаю¬
щая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольни¬
ка BDM.
Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, при¬
чём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Най¬
дите площадь общей части этих квадратов.
Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите
площадь этого треугольника.
Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС,
до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Най¬
дите расстояние от точки Af до прямой ВС, если АВ= 13 см,
ВС =14 см, АС= 15 см.
В ромбе высота, равная см, составляет — большей диаго-
о	3
нал и. Найдите площадь ромба.
135 Площадь

527	В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота
равна 6 см. Найдите площадь трапеции.
528	В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Най¬
дите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD
трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD
равно 5 см.
529	Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересека¬
ются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхуголь¬
ника.
530	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высо¬
та AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника АВС, если
медиана DM треугольника AZX7 равна 8 см.
531	Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответ¬
ственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С
и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD
в точке М, а диагональ BD — в точке К. Найдите площадь
четырёхугольника АВКМ.
532	В треугольнике АВС проведена высота ВН. Докажите, что
если:
а)	угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 - 2 АС - АН;
б)	угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС • АН. ’

Глава VII
Подобные треугольники
Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую
форму, но разные размеры. Самый простой пример — боль¬
шой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы
называются подобными. Данная глава посвящена изучению по¬
добных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки
широко используются в геометрии, в частности с их помощью
будет доказано утверждение, сформулированное ещё при
изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пере¬
секаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об ис¬
пользовании свойств подобных треугольников при проведении
измерительных работ на местности.
О Определение
подобных треугольников
58	Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков АВ и CD называется
отношение их длин, т. е.
Говорят, что отрезки ЛВ и CD пропорцио¬
нальны отрезкам АХВХ и CXDU если	,
Л|В, CjD|
Например, отрезки АВ и CD, длины которых
равны 2 см и 1см, пропорциональны отрезкам
АХВХ и CXDX, длины которых равны 3 см и 1,5 см.
В самом деле,
АВ _ СР 2
АХВХ ~ СХРХ ~ 3’
Понятие пропорциональности вводится и
для большего числа отрезков. Так, например,
три отрезка Л В, CD и EF пропорциональны трём
отрезкам AjBj, CXDX и EXFX, если справедливо ра¬
венство
АВ _ CD = EF
AiBj схрх ад ’
Подобные
137 треугольника

59 Определение
подобных треугольников
В повседневной жизни встречаются
предметы одинаковой формы, но разных
размеров, например футбольный и тен¬
нисный мячи, круглая тарелка и боль¬
шое круглое блюдо. В геометрии фигуры одина¬
ковой формы принято называть подобными. Так,
подобными являются любые два квадрата, любые
два круга.
Введём понятие подобных треугольников.
Пусть у двух треугольников АВС и АХВХСХ
углы соответственно равны: ZA = ZAlt ZB=ZBn
ZC = ZC,. В этом случае стороны АВ и АХВХ, ВС
и ВхСи С А и СХАХ называются сходственными
(рис. 188).
Определение
Два треугольника называются подобными, если
их углы соответственно равны и стороны одно¬
го треугольника пропорциональны сходственным
сторонам другого треугольника.
Другими словами, два треугольника по¬
добны, если для них можно ввести обозначения
АВС и AjB^! так, что
ZА = ZАх, Z.B = ZBO ZC = Сь	(1)
_АВ_ = ВС_ = СА_ =
А,В, ВХСХ СХАХ '	1 '
Число k, равное отношению сходственных
сторон подобных треугольников, называется
коэффициентом подобия.
Подобие треугольников АВС и АХВХСХ обо¬
значается так: ДА ВС AAjBjCj. На рисунке 188
изображены подобные треугольники.
Оказывается, что подобие треугольников
можно установить, проверив только некоторые из
равенств (1) и (2). В следующем параграфе мы
рассмотрим три признака подобия треугольников.
Ах	С,
АВ и АХВХ. ВС и ВХСХ.
СА и САх -
сходственные стороны
Рис. 188
138 Глава VII

60	Отношение площадей
подобных треугольников
Теорема
Отношение площадей двух подобных треуголь¬
ников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство
Пусть треугольники ЛВС и ЛХВХСХ подоб¬
ны, причём коэффициент подобия равен k. Обо¬
значим буквами S и Sx площади этих треуголь¬
ников. Так как ZA = ZA., то — = АВ АС >
тереме об отношении площадей треугольников,
имеющих по равному углу, п. 53). По формулам
(2) имеем:	= Л, = k, поэтому — = k2.
А |	iS j
Теорема доказана.
Задачи
533	2 Найдите отношение отрезков ЛВ и CD, если их длины рав¬
ны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отноше¬
ние, если длины отрезков выразить в миллиметрах?
534	Пропорциональны ли изображённые на рисунке 189 отрезки:
а)	AC, CD и МХМ2, ММХ, б) АВ, ВС, CD и ММ2, ММХ, МХМ2,
в)	ЛВ, BD и ММХ, МХМ2?
535	Докажите, что биссектриса треугольника делит противопо¬
ложную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Решение
Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что
= -^7 (рис. 190). Треугольники ABD и ACD имеют общую
Рис. 189
А ВС




М М.,
ЛА
Подобные
139 треугольники

536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
высоту АН, поэтому л,п = ——. С другой стороны, эти же
bAC.D CI)
треугольники имеют по равному углу (Z1=Z2), поэтому
^лпп	АВ-AD	АВ
"с	~ л,, *	Из Двух равенств для отношения пло-
&ЛСП	АС ‘-Агу	АС
щадей получаем = -777, или	что и требовалось
AC	AR AC
доказать.
[_] Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС.
а)	Найдите АВ, если ВС = 9 см, AD=7,5cm, DC = 4,5 см.
б)	Найдите DC, если АВ = 30, АО =20, ВС =16.
L-1 Отрезок AD является биссектрисой треугольника АВС.
Найдите BD и DC, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.
□	Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на
отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см.
Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен
42 см.
LJ В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что верши¬
ны D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и
МК. Найдите отрезки NE и ЕК, если MN = 7 см, NK = 6 см,
ME = 5 см.
Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник
вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соот¬
ветственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и
DE, если CF = 8 см, EF =12 см.
Подобны ли треугольники АВС и DEF, если ZA = 106°,
ZB = 34°, ZE=106", ZE = 40", АС = 4,4см, АВ = 5,2см, ВС =
= 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, ЕЕ = 13,2 см?
□	В подобных треугольниках АВС и KMN стороны АВ и КМ,
ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треуголь¬
ника KMN, если АВ = 4 см, ВС =5 см, СА = 7 см, = 2,1.
АВ
Докажите, что отношение сходственных сторон подобных тре¬
угольников равно отношению высот, проведённых к этим сто¬
ронам.
□	Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и
300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Най¬
дите сходственную ей сторону первого треугольника.
□	Треугольники АВС и AjBjCj подобны, и их сходственные
стороны относятся как 6:5. Площадь треугольника АВС
больше площади треугольника AjB/J, на 77 см2. Найдите пло¬
щади треугольников.
140 Глава VII

«546 □ План земельного участка имеет форму треугольника. Пло¬
щадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см2.
Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в
масштабе 1 : 100 000.
«547 Докажите, что отношение периметров двух подобных тре¬
угольников равно коэффициенту подобия.
548	_1 Треугольники АВС и А1ВХС1 подобны. Сходственные сто¬
роны ВС и BtCt соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите
отношение периметров треугольников АВС и AjBjCj.
549	□ Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см.
Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его
периметр равен 26 см.
§2
Признаки подобия треугольников
61	Первый признак
подобия треугольников
Теорема
Если два угла одного треугольника соответ¬
ственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.
Доказательство
Пусть ДАВС и ДА^В^ — два треуголь¬
ника, у которых ZA = ZAX, ZB = ZBX (рис. 191).
Докажем, что ДА ВС <\>
По теореме о сумме углов треугольника
ZC = 180° - ZA - ZB, ZCX = 180° - ZAX - ZBn и,
значит, ZC = ZCP Таким образом, углы треуголь¬
ника АВС соответственно равны углам треуголь¬
ника AjBiCj.
Докажем, что стороны треугольника АВС
пропорциональны сходственным сторонам тре¬
угольника AjBA. Так как ZA = ZAX и ZC = ZC1,
то —лвс = _АВАС и 8Лнс _ САСВ
МИА «л.я.е,	(СМ’
п. 53).
Рис. 191
Подобные
треугольники
141

63	Третий признак
подобия треугольников
Теорема
Если три стороны одного треугольника пропор¬
циональны трём сторонам другого, то такие тре¬
угольники подобны.
Доказательство
Пусть стороны треугольников АВС и
AiB1Cl пропорциональны:
АВ = ВС _ СА
АХВХ ВХСХ CiAi'	( }
Докажем, что ДАВС cv AAjBjCp Для этого,
учитывая второй признак подобия треугольни¬
ков, достаточно доказать, что ZA=ZAP Рассмот¬
рим треугольник АВС2, у которого Zl=ZAn
Z2 = ZBj (см. рис. 192,6). Треугольники АВС2 и
AiBjC, подобны по первому признаку подобия
треугольников, поэтому	—	.
’ АХВХ ВХСХ СХАХ
Сравнивая эти равенства с равенствами
(1), получаем: ВС = ВС2, СА = СгА. Треугольни¬
ки АВС и АВСг равны по трём сторонам. Отсю¬
да следует, что ZA = Z1, а так как Zl=ZAn то
ZA =ZAj. Теорема доказана.
Задачи
550	□ По данным рисунка 193 найдите х и у.
551	На стороне CD параллелограмма ABCD от¬
мечена точка В. Прямые АЕ и ВС пересека¬
ются в точке F. Найдите: a) EF и FC, если
DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ= 10 см;
б) DE и ЕС, если АВ = 8 см, AD = 5 см,
CF = 2 см.
552	Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересека¬
ются в точке О. Найдите: а) АВ, если ОВ = 4 см, ОВ=Юсм,
DC = 25 см; б) и если АВ = а, DC = b; в) АО, если
АВ = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.
Подобные
треугольники

«562 В треугольнике ЛВС сторона ЛВ равна а, а высота СИ рав¬
на h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник
ЛВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на сторо¬
не АВ, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.
«563 «_] Через точку Л/, взятую на медиане AD треугольника ЛВС,
и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в
точке К. Найдите отношение -^77, если: а) М— середина от-
л С
резка AD; 6)
§3
Применение подобия к доказательству
теорем и решению задач
64	Средняя линия треугольника
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его сто¬
рон. Докажем теорему о средней линии треуголь¬
ника.
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство
Пусть МN — средняя линия треугольни¬
ка АВС (рис. 195). Докажем, что 2VfJV || АС и
MN = ±АС.
Треугольники BMN и ВАС подобны по вто¬
рому признаку подобия треугольников (ZB — об-
щий’ 1т = If = иоэтомуZ1=z2 “ If = f •
Из равенства Zl = Z2 следует, что MN || АС (объ¬
ясните почему), а из второго равенства — что
MN = — АС. Теорема доказана.
Пользуясь этой теоремой, решим следую¬
щую задачу:
Рис. 195
Подобные
145 треугольники

Задача 1
Доказать, что медианы треугольника пере¬
секаются в одной точке, которая делит каждую
медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС. Обозначим буквой О точку пересечения
его медиан ААХ и ВВХ и проведём среднюю ли¬
нию A|Bt этого треугольника (рис. 196). Отрезок
AjBi параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и
2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежа¬
щие углы при пересечении параллельных пря¬
мых АВ и AiBi секущими ААХ и ВВР Следова¬
тельно, треугольники АОВ и А,ОВ| подобны по
двум углам, и, значит, их стороны пропорцио¬
нальны:
АО _ ВО = АВ
АХО ВХО ~ АХВХ ’
Но АВ = 2А|ВН поэтому АО=2А|О и ВО =
= 2ВХО. Таким образом, точка О пересечения ме¬
диан ААХ и ВВХ делит каждую из них в отноше¬
нии 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пере¬
сечения медиан BBt и ССХ делит каждую из них
в отношении 2:1, считая от вершины, и, следо¬
вательно, совпадает с точкой О.
Итак, все три медианы треугольника АВС
пересекаются в точке О и делятся ею в отноше¬
нии 2:1, считая от вершины.
65	Пропорциональные отрезки
в прямоугольном треугольнике
Задача 2
Доказать, что высота прямоугольного тре¬
угольника, проведённая из вершины прямого
угла, разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из кото¬
рых подобен данному треугольнику.
746
с
Рис. 196
Глава VII

Решение
Пусть ААВС — прямоугольный треуголь¬
ник с прямым углом С, CD — высота, проведён¬
ная из вершины С к гипотенузе АВ (рис. 197).
Докажем, что AABC<vAAC£>, ААВС <v ACBD,
A ACD АСВР.
Треугольники АВС и ACD подобны по пер¬
вому признаку подобия треугольников (ZA — об¬
щий, ZACB = ZADC = 90°). Точно так же подоб¬
ны треугольники АВС и CBD (ZB — общий и
ЛАСВ = ABDC = 90°), поэтому ZA = ZBCZ>. Нако¬
нец, треугольники ACD и CBD также подобны
по первому признаку подобия (в этих треуголь¬
никах углы с вершиной D прямые и Z.A = Z.BCD),
что и требовалось доказать.
Отрезок XY называется средним пропорцио¬
нальным (или средним геометрическим) для от¬
резков ЛВ и CD, если
XY = х/АВ CD,
Исходя из задачи 2, докажем следующие
утверждения:
1°. Высота прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное для отрезков, на ко¬
торые делится гипотенуза этой высотой.
Действительно, AADC ™ ACBD (см. рис. 197),
поэтому -^77 =откуда CD2 = AD • DB, следо-
CZ? DB
вательно,
CD = JAD • DB,
2°. Катет прямоугольного треугольника
есть среднее пропорциональное для гипотенузы
и отрезка гипотенузы, заключённого между ка¬
тетом и высотой, проведённой из вершины пря¬
мого угла.
В самом деле, ААВС ДАСТ) (см. рис. 197),
поэтому 44 = -44» и, следовательно,
AC AD
АС = y/ABAD.
147
с
A	D В
Рис. 197
Подобные
треугольники

66	Практические приложения
подобия треугольников
Задачи на построение
При решении многих задач на построение
треугольников применяют так называемый метод
подобия. Он состоит в том, что сначала на осно¬
вании некоторых данных строят треугольник, по¬
добный искомому, а затем, используя остальные
данные, строят искомый треугольник.
Рассмотрим пример.
Задача 3
Построить треугольник по данным двум
углам и биссектрисе при вершине третьего утла.
Решение
На рисунке 198, а изображены два дан¬
ных угла и данный отрезок. Требуется построить
треугольник, у которого два угла соответствен¬
но равны двум данным углам, а биссектриса при
вершине третьего угла равна данному отрезку.
Сначала построим какой-нибудь треуголь¬
ник, подобный искомому. Для этого начертим
произвольный отрезок АХВХ и построим треуголь¬
ник АХВХС, у которого углы Ах и Вх соответствен¬
но равны данным углам (рис. 198, б).
Далее построим биссектрису угла С и от¬
ложим на ней отрезок СО, равный данному от¬
резку. Через точку D проведём прямую, парал¬
лельную ЛХВХ. Она пересекает стороны угла С в
некоторых точках А и В (см. рис. 198, б). Тре¬
угольник АВС искомый.
В самом деле, так как АВ || АХВХ, то ZA = ZA,,
ZB = ZBn и, следовательно, два угла треугольника
АВС соответственно равны данным углам. По по¬
строению биссектриса CD треугольника АВС рав¬
на данному отрезку. Итак, треугольник АВС удов¬
летворяет всем условиям задачи.
Очевидно, задача имеет решение, если
сумма двух данных углов меньше 180°. Так
148 Глава VII

как отрезок AjBj можно выбрать произвольно,
то существует бесконечно много треугольников,
удовлетворяющих условию задачи. Все эти тре¬
угольники равны друг другу (объясните почему),
поэтому задача имеет единственное решение.
Измерительные работы на местности
Свойства подобных треугольников могут
быть использованы при проведении различных
измерительных работ на местности. Мы рассмот¬
рим две задачи: определение высоты предмета и
расстояния до недоступной точки.
Определение высоты предмета. Предполо¬
жим, что нам нужно определить высоту какого-
нибудь предмета, например высоту телеграфного
столба А1СИ изображённого на рисунке 199. Для
этого поставим на некотором расстоянии от стол¬
ба шест АС с вращающейся планкой и направим
планку на верхнюю точку А. столба, как показа¬
но на рисунке. Отметим на поверхности земли
точку В, в которой прямая А. А пересекается с
поверхностью земли. Прямоугольные треуголь¬
ники А,С,В и АС В подобны по первому призна¬
ку подобия треугольников (ZC, = ZC = 90", ZB —
общий). Из подобия треугольников следует:
А .С. ВС.
—*7? = “БтЬ откуда
АС ВС
_ АС - ВС.
11 ВС ’
Измерив расстояния ВС. и ВС и зная длину
АС шеста, по полученной формуле определяем
высоту А .С. телеграфного столба. Если, напри¬
мер, ВС. = 6,3 м, ВС = 2,1м, АС = 1,7 м, то
.	1,7 6,3 г,
А,С, =	21	= 5,1 м.
Определение расстояния до недоступной
точки. Предположим, что нам нужно найти рас¬
стояние от пункта А до недоступного пункта В
(рис. 200). Для этого на местности выбираем точ¬
ку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его.
149
Рис. 199
Рис. 200
Подобные
треугольники

Затем с помощью астролябии измеря¬
ем углы А и С. На листе бумаги стро¬
им какой-нибудь треугольник АХВХСХ,
у которого ZAj = ZA, ZC, = ZC, и
измеряем длины сторон АХВХ и АХСХ
этого треугольника. Так как треуголь¬
ники АВС и ЛХВХСХ подобны (по пер¬
вому признаку подобия треугольни-
. АВ АС
ков), то —	= ——, откуда получаем
АХВХ АХСХ
АВ = —С	. Эта формула позволя-
А.С.
ет по известным расстояниям АС, АХСХ и АХВХ
найти расстояние АВ.
Для упрощения вычислений удобно постро¬
ить треугольник АХВХСХ таким образом, чтобы
АХСХ: АС= 1 : 1000. Например, если АС= 130 м,
то расстояние АХСХ возьмём равным 130 мм.
В этом случае АВ = -^- • АХВХ = 1000 • АХВХ, по¬
этому, измерив расстояние АХВХ в миллиметрах,
мы сразу получим расстояние АВ в метрах.
Пример
Пусть АС = 130 м, ZA = 73°, ZC= 58° (см.
рис. 200). На бумаге строим треугольник АХВХСХ
так, чтобы ZAj = 73°, ZCX = 58°, АХСХ= 130 мм,
и измеряем отрезок АХВХ. Он равен 153 мм, по¬
этому искомое расстояние равно 153 м.
67	О подобии произвольных фигур
Понятие подобия можно ввести не только
для треугольников, но и для произвольных фи¬
гур. Фигуры F и Fx называются подобными, если
каждой точке фигуры F можно сопоставить точ¬
ку фигуры Fx так, что для любых двух точек М и
N фигуры F и сопоставленных им точек Мх и Nx
фигуры выполняется равенство
MXNX
= k, где
150 Глава VII

k — одно и то же положительное число для всех
точек. При этом предполагается, что каждая точ¬
ка фигуры оказывается сопоставленной какой-
то точке фигуры F. Число k называется ко.эффи-
циентом подобия фигур F и Fx.
Сопоставление точек подобных фигур хо¬
рошо знакомо нам из повседневного опыта. Так,
при проектировании киноленты на экран каждой
точке изображения на кинокадре сопоставляется
точка на экране, причём все расстояния увеличи¬
ваются в одинаковое число раз.
На рисунке 201 представлен способ постро¬
ения фигуры Fxt подобной данной фигуре F.
Каждой точке М фигуры F сопоставляется точ¬
ка Мj плоскости так, что точки М и Мх лежат на
луче с началом в некоторой фиксированной точ¬
ке О, причём ОМ = k - ОМХ (на рисунке 201 k = -^).
о
В результате такого сопоставления получается
фигура Fi, подобная фигуре F. В этом случае фи¬
гуры F и Fx называются центрально-подобными,
а само описанное сопоставление называется
центральным подобием или гомотетией.
Можно доказать, что для треугольников
общее определение подобия равносильно опреде¬
лению, данному в п. 59.
Примерами подобных четырёхугольников
являются любые два квадрата (рис. 202, а), а так¬
же два прямоугольника, у которых две смежные
стороны одного пропорциональны двум смежным
сторонам другого (рис. 202, б). Примерами подоб¬
ных фигур произвольной формы являются две
географические карты одного и того же района,
выполненные в разных масштабах, а также фото¬
графии одного и того же предмета, сделанные в
разных увеличениях.
«Замечание
В п. 60 мы доказали, что отношение пло¬
щадей двух подобных треугольников равно квад¬
рату коэффициента подобия. Из этого следует,
151
Ft
Рис. 201
а)
а.
а а.
ъ~ъ\ L_
б)
Рис.202
Подобные
треугольники

что такое же утверждение справедливо для двух
подобных многоугольников (чтобы доказать это,
можно разбить многоугольник на треугольники).
Задачи
564	□ Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см.
Найдите периметр треугольника, вершинами которого явля¬
ются середины сторон данного треугольника.
565	Ц Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоуголь¬
ника до прямой, содержащей его большую сторону, равно
2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
566	□ Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника
АВС. Найдите периметр треугольника ЛВС, если периметр
треугольника APQ равен 21 см.
567	Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь¬
ника являются вершинами параллелограмма.
568	Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами
являются середины сторон:
а)	прямоугольника;
б)	равнобедренной трапеции.
569	|_| Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности ос¬
нований.
570	□ Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середи¬
на М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки,
на которые делится диагональ АС отрезком DM.
571	1-1 В треугольнике АВС медианы AAt и BBj пересекаются в
точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь
треугольника АВО равна S.
В задачах 572—574 использованы следующие обозначения
для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и
высотой СН: ВС = а, СА = Ъ, АВ = с, CH = ht АН = Ье, НВ = ае.
572	Найдите: a) h, а и д, если дг=25, а,. = 16; б) Л, а и Ь, если
6^=36, аг=64; в) а, с и аг, если Ь=12, Ьс = 6; г) Ъ, с и Ьг, если
а = 8, аг = 4; д) Л, д, а, и Ьг, если а = 6, с = 9.
573	Выразите аг и Ьг через а, Ь и с.
574	□ Докажите, что: a) h = —; б) — = —.
с ае Ьг
575	□ Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4,
а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые ги¬
потенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого
угла.
152 Глава VII

576	□ Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вер¬
шины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из
которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если
катеты треугольника относятся как 6:5.
577	ЗВ треугольнике, стороны которого равны 5см, 12см и
13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите от¬
резки, на которые высота делит эту сторону.
578	Используя утверждение 2°, п. 65, докажите теорему Пифаго¬
ра: в прямоугольном треугольнике ЛВС с прямым углом С
выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2.
Решение
Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На осно¬
вании утверждения 2°, п. 65, имеем АС = JAD • АВ, или
АС2 = AD • АВ. Аналогично ВС2 = BD • АВ. Складывая эти ра¬
венства почленно и учитывая, что AD + BD = АВ, получаем:
АС2 + ВС2 = AD- АВ + BD • AB = (AD + BD) • АВ = АВ2.
579	Для определения высоты столба AXCX, изображённого на рисун¬
ке 199, использован шест с вращающейся планкой. Чему рав¬
на высота столба, если BCj = 6,3m, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?
580	Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост
которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.
581	Для определения высоты дерева можно использовать зеркало
так, как показано на рисунке 203. Луч света FD, отража¬
ясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку
В). Определите высоту дерева, если АС= 165 см, ВС= 12 см,
AD = 120 см, DE = 4,8 м, Zl = Z2.
582	Для определения расстояния от точки А до недоступной точ¬
ки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС,
углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник
AiB|Cj, подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если
АС = 42 м, AiC! = 6,3cm, AtBj = 7,2 см.
583	На рисунке 204 показано, как можно определить ширину ВВХ
реки, рассматривая два подобных треугольника АВС и АВХСХ.
Определите ВВХ, если АС- 100 м, ЛСХ = 32 м, АВ, = 34 м.
Рис. 203
Рис. 204
Подобные
треугольники
153

Задачи па построение
Л <?,
584	□ Разделите данный отрезок АВ на два от- ft t ft М
резка ЛХ и ХВ, пропорциональные данным
отрезкам PVQX и P2Q2.
Решение	\
Проведём какой-нибудь луч AM, не лежа- «<	\\
щий на прямой АВ, и на этом луче отло- А	5X4
жим последовательно отрезки АС и CD, рмс 2П5
равные отрезкам P1Q1 и P2Q2 (рис. 205). За¬
тем проведём прямую BD и прямую, проходящую через точку
С параллельно прямой ВТ). Опа пересечёт отрезок АВ в иско¬
мой точке X (см. задачу 556).
585	Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2:5;
б) 3 : 7; в) 4 : 3.
586	Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, прове¬
дённой из вершины меньшего из данных углов.
587	Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой
из вершины третьего угла.
588	□ Постройте треугольник АВС по углу А и медиане АЛ/, если
известно, что АВ : АС = 2:3.
589	Постройте треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если из¬
вестно, что АВ : АС = 2:1.
590	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отно¬
шению катетов, равному отношению двух данных отрезков.
Соотношения между сторонами и
углами прямоугольного треугольника
68
Синус, косинус и тангенс острого
угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС с прямым углом С (рис. 206). Катет ВС это¬
го треугольника является противолежащим углу
А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
А
Рис.206
Синусом острого угла прямоугольного тре¬
угольника называется отношение противолежа¬
щего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение прилежа¬
щего катета к гипотенузе.
154
Глава VII

Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение противоле¬
жащего катета к прилежащему катету.
Синус, косинус и тангенс угла, равного а,
обозначаются символами sin a, cos а и tg а (чита¬
ется: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс
альфа»). На рисунке 206
А ВС
sin А = ——,
АВ
(1)
. АС
cos А =	,
ЛВ
. Л	ВС
tgA=AC-
Из формул (1)	и	(2)
sin А	ВС АВ	ВС „
	а =	=	Сравнивая с
cos А	АВ АС	АС
(3), находим:
.	sin А
tg А =

СО8 А
(2)
(3)
получаем:
формулой
(4)
т. е.
тангенс угла равен отношению
синуса к
косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного пря¬
моугольного треугольника равен острому углу
другого прямоугольного треугольника, то синусы
этих углов равны, косинусы этих углов равны и
тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и AjBjC,— два
прямоугольных треугольника с прямыми угла¬
ми С и и равными острыми углами А и Ах.
Треугольники АВС и Л^С, подобны по первому
признаку подобия треугольников, поэтому
ЛН _ ВС _ ЛС
А\ВХ ~ ВХСХ ~ АХСХ *
Из этих равенств следует, что
АС А С
т. е. sin A = sin А.. Аналогично 	= ——т. е.
1	ЛВ ЛХВХ ’
cos A = cos Ах, и	т. е. tg A = tg Ах.
155
Подобные
треугольники

Докажем теперь справедливость равенства
sin2 А + cos2 А = 1.	(5)
Из формул (1) и (2) получаем
sin2 A + cos2 А = «4 +	= _ВС2.АС2
АВ2 АВ2 АВ2 ’
По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2
поэтому sin2 А + cos2 А = 1.
Равенство (5) называется основным триго¬
нометрическим тождеством1.
69	Значения синуса, косинуса
и тангенса для углов 30°, 45° и 60°
Найдём сначала значения синуса, косинуса
и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рас¬
смотрим прямоугольный треугольник АВС
с прямым углом С, у которого ZA = 30°, ZB = 60°
(рис. 207). Так как катет, лежащий против
угла в 30°, равен половине гипотенузы, то
= 1. Но = sin А = sin 30°. С другой сторо-
/1 / >	£• /1 />
ны, —— = cos В = cos 60°. Итак,
sin 30° = 1 cos 60° = —.
2	2
Из основного тригонометрического тожде¬
ства получаем:
cos 30° = 71-sin2 30° = ^1 -1
sin 60" = 71-cos2 60° = Jl -1 =
По формуле (4) находим:
tg 30° =
sin 30°
cos 30°
tg 60° =
sin 60°
cos60°
1	Слово «тригонометрия» в переводе с греческого
языка означает «измерение треугольников».
156 Глава VII

Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для
этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный
треугольник АВС с прямым углом С (рис. 208).
В этом треугольнике АС = ВС, ZA = ZB = 45°. По
теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2 = 2 АС2 = 2ВС2,
откуда АС = ВС =
V2
Следовательно,
sin 45° = sin А = — = -L = 4L
АВ	42	2 *
cos 45° = cos А =	= _L_ -
АВ	42	2
tg45° = tgA = 4^ = l.
Рис. 208
Составим таблицу значений sin a, cos а,
tg а для углов а, равных 30°, 45°, 60":
a
30°
45°
60°
sin a
j_
2
V2
2
4a
2
cos a
4з
2
42
2
2
tga
^3
3
1
7з
Задачи
591
592
593
Найдите синус, косинус и тангенс углов Л и В треугольника
АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ =17; б) ВС = 21,
ЛС=20; в) ВС= 1, ЛС = 2; г) АС = 24, АВ = 25.
Постройте угол а, если: a) tga = i; б) tga = -j; в) cos a = 0,2;
2	1
г) cos a =—; д) sin a =—; e) sin a = 0,4.
3	Z
Найдите: a) sin a и tg a, если cosa = |; 6) sin a и tg a, если
cosa = -^; в) cos a и tga, если sina = -^-; r) cos a и tga, если
3	ЛЛ
sin a =—.
4
Подобные
треугольники

594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
1
2
3
4
5
6
1-1 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен &,
а противолежащий угол равен 0. а) Выразите другой катет,
противолежащий ему угол и гипотенузу через b и 0. б) Найди¬
те их значения, если Ь= 10 см, 0 = 50°.
|_| В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь,
а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет,
прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через Ь и а.
б) Иайдите их значения, если Ь = 12 см, а = 42°.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из
острых углов равен а. Выразите второй острый угол и катеты
через с и а и найдите их значения, если с= 24 см, а а= 35°.
Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Выразите
через а и Ь гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника
и найдите их значения при а = 12, Ь= 15.
Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а
при основании, если: а) боковая сторона равна 6; б) основание
равно а.
Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями
2 см и 6 см, если угол при большем основании равен а.
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней
части ширину 60 м. Какова ширина насыпи
в нижней её части, если угол наклона отко¬
сов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м
(рис. 209)?
□ Найдите углы ромба с диагоналями 2>/3
и 2.	Рис. 209
UI Стороны прямоугольника равны Зсм и см. Найдите углы,
которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
|_| В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол
BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если
его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.
Вопросы для повторения к главе VII
Что называется отношением двух отрезков?
В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональ¬
ны отрезкам А^ и C^i?
Дайте определение подобных треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
подобных треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый
признак подобия треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй
признак подобия треугольников.
60 л?
12 .я
д во» во°д
158 Глава VII

7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
604
605
606
607
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий
признак подобия треугольников.
Какой отрезок называется средней линией треугольника?
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре¬
угольника.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, счи¬
тая от вершины.
Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота
прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря¬
мого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.
Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональ¬
ных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Приведите пример решения задачи на построение методом
подобия.
Расскажите, как определить на местности высоту предмета и
расстояние до недоступной точки.
Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что
такое коэффициент подобия фигур?
Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника?
Докажите, что если острый угол одного прямоугольного тре¬
угольника равен острому углу другого прямоугольного тре¬
угольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов
равны и тангенсы этих углов равны.
Какое равенство называют основным тригонометрическим
тождеством?
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов
30°, 45°, 60п? Ответ обоснуйте.
Дополнительные задачи
^-1 Треугольники ЛВС и АХВХСХ подобны, ЛВ = 6см, ВС = 9 см,
СЛ = 10см. Наибольшая сторона треугольника АуВ^С^ равна
7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника
Диагональ АС трапеции ABCD целит её на два подобных тре¬
угольника. Докажите, что АС2 = аЬ, где а и b— основания
трапеции.
—1 Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекают¬
ся в точке О. Найдите отношение ОК : ON, если MN =5 см,
NP = 3 см, Л/Р = 7 см.
Основание равнобедренного треугольника относится к бо¬
ковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию,
Подобные
треугольника

608
609
610
611
612
613
614
615*
616
617
равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит
биссектриса угла при основании.
На продолжении боковой стороны ОН равнобедренного тре¬
угольника АОВ с основанием АВ взята точка С так, что точ¬
ка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает
биссектрису угла ЛОВ в точке М. Докажите, что AM <МС.
На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что
• Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС.
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит
сторону ЛС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Най¬
дите стороны отсечённого треугольника, если АВ -10 см,
ВС =18 см, СЛ = 21,6см.
Докажите, что медиана ЛМ треугольника АВС делит пополам
любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого ле¬
жат на сторонах АВ и АС.
Два шеста ЛВ и CD разной длины а и b
установлены вертикально на некотором
расстоянии друг от друга так, как показано
на рисунке 210. Концы А и В, В и С соеди¬
нены верёвками, которые пересекаются в
точке О. По данным рисунка докажите,
что: а) = | и	б) - + £ = 1.
a b da а b
Найдите х и докажите, что х не зависит от
расстояния d между шестами АВ и CD.
Рис.210
Докажите, что треугольники ЛВС и АХВХСХ подобны, если:
V ЛВ АС ВМ	....	„
а) . .. = —— = -	, где ВМ и ВХМХ — медианы треуголь-
Л.В. Л.С. В.М.	1	г
ников; б) /.А-/.АХ, -	=	, где ВН и ВХНХ— высоты
л1с1 ВХНХ
треугольников ЛВС и Л^С,.
□ Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым
углом Л взаимно перпендикулярны. Основание Л В равно
6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите ВС, DB и СВ.
Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен
её основаниям и проходит через точку пересечения диагона¬
лей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции
равны а и Ь.
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от пря¬
мой, содержащей его среднюю линию.
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами
прямоугольника.
160 Глава VII

618
619
620
621
622
623
624
625
626*
627
628
629
630
Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD
и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и
AN делят диагональ BD на три равные части.
□	Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольни¬
ка АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что
BD _ DC
АВ АС'
В треугольнике АВС (АВ* АС) через середину стороны ВС
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая
пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е.
Докажите, что BD = CE.
В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований
равна Ь, диагональ АС равна а, ZACB = a. Найдите площадь
трапеции.
<=] На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К
так, что АК = ^KD. Диагональ АС и отрезок ВК пересекают-
4
ся в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если
площадь треугольника АРК равна 1 см2.
Д В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС
ZA = ZB = 90°, ZACD = 90п, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите
углы С и D трапеции.
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть
треугольников, площади которых попарно равны.
<=] Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз
больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС
в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите
площадь трапеции ABCD.
Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, если
АВ AC AI)	лтл л тл
л „ = ■■■■■■■ , где AD и А .О. — биссектрисы треутоль-
ников.
Задачи на построение
Дан треугольник АВС. Постройте треугольник АХВХСХ, подоб¬
ный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше
площади треугольника АВС.
Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b
и с. Постройте отрезок, длина которого равна —.
с
□	Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
□	Постройте треугольник по стороне и медианам, проведён¬
ным к двум другим сторонам.
_ Подобные
161 треугольника

71	Касательная к окружности
Мы доказали, что ирямая и окружность мо¬
гут иметь одну или две общие точки и могут не
иметь ни одной общей точки.
Прямая, имеющая с окружностью
только одну общую точку, называется
касательной к окружности, а их общая
точка называется точкой касания пря¬
мой и окружности. На рисунке 212 пря¬
мая р — касательная к окружности с цен¬
тром Оу Л — точка касания.
Докажем теорему о свойстве каса¬
тельной к окружности.
Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна к
радиусу, проведённому в точку касания.
Доказательство
Пусть р — касательная к окружности с
центром Оу А—точка касания (см. рис. 212).
Докажем, что касательная р перпендикулярна к
радиусу О А.
Предположим, что это не так. Тогда ради¬
ус О А является наклонной к прямой р. Так как
перпендикуляр, проведённый из точки О к пря¬
мой ру меньше наклонной ОД, то расстояние от
центра О окружности до прямой р меньше радиу¬
са. Следовательно, прямая р и окружность имеют
две общие точки. Но это противоречит условию:
прямая р — касательная.
Таким образом, прямая р перпендикулярна
к радиусу О А. Теорема доказана.
Рассмотрим две касательные к окружности
с центром Оу проходящие через точку А и каса¬
ющиеся окружности в точках В и С (рис. 213).
Отрезки АВ и АС назовём отрезками касатель¬
ных, проведёнными из точки А. Они обладают
следующим свойством:
Рис. 213
164 Глава VIII

Отрезки касательных к окружности, проведён¬
ные из одной точки, равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через эту точку и
центр окружности.
Для доказательства этого утверждения об¬
ратимся к рисунку 213. По теореме о свойстве
касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому тре¬
угольники АВО и АСО прямоугольные. Они рав¬
ны, так как имеют общую гипотенузу О А и рав¬
ные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и
Z3 = Z4, что и требовалось доказать.
Докажем теперь теорему, обратную теореме
о свойстве касательной (признак касательной).
Теорема
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и перпендикулярна
к этому радиусу, то опа является касательной.
Доказател ьство
Из условия теоремы следует, что данный
радиус является перпендикуляром, проведённым
из центра окружности к данной прямой. Поэтому
расстояние от центра окружности до прямой рав¬
но радиусу, и, следовательно, прямая и окруж¬
ность имеют только одну общую точку. Но это и
означает, что данная прямая является касатель¬
ной к окружности. Теорема доказана.
На этой теореме основано решение задач на
построение касательной. Решим одну из таких
задач.
Задача
Через данную точку А окружности с цент¬
ром О провести касательную к этой окружности.
Решение
Проведём прямую ОА, а затем построим
прямую р, проходящую через точку А перпенди¬
кулярно к прямой О А. По признаку касательной
прямая р является искомой касательной.
Окружность

631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
Задачи
Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса г до пря¬
мой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности,
если: а) г= 16 см, d = 12 см; б) г= 5 см, d = 4,2 см; в) г = 7,2 дм,
d = 3,7 дм; г) г= 8 см, d= 1,2 дм; д) г= 5 см, d = 50 мм?
□	Расстояние от точки А до центра окружности меньше ради¬
уса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая
через точку А, является секущей по отношению к данной
окружности.
Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окруж¬
ность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых
ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой
окружности?
□	Радиус ОА/ окружности с центром О делит хорду АВ попо¬
лам. Докажите, что касательная, проведённая через точку Л/,
параллельна хорде АВ.
[_] Через точку А окружности проведены касательная и хорда,
равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
[_] Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, про¬
ведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите
угол АСВ.
□	Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через
точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в
точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
1—1 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в
точке В. Найдите АВ, если ОА = 2 см, а г=1,5см.
1-1 Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в
точке В. Найдите АВ, если ZAOB = W, а г=12см.
Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через
точку А проведены две касательные к окружности. Найдите
угол между ними, если ОА = 9 см.
□	Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к
окружности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите
угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
□	На рисунке 213 ОВ = Зсм, ОА = 6 см. Найдите АВ, AC, Z3
и Z4.
□	Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точ¬
ках В и С. Найдите ВС, если ZOAB = 30°, АВ = 5 см.
□	Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в
точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно
точки В. Докажите, что ZAMC = 3ZBMC.
Из концов диаметра АВ данной окружности проведены пер¬
пендикуляры AAi и ВВ, к касательной, которая не перпенди¬
166 Глава VIII

Угол с вершиной в центре окружности на¬
зывается её центральных'! углом. Пусть стороны
центрального угла окружности с центром О пере¬
секают её в точках А и В. Центральному углу
АОВ соответствуют две дуги с концами А и В
(рис. 215). Если ZAOB развёрнутый, то ему со¬
ответствуют две полуокружности (рис. 215, а).
Если ZAOB неразвёрнутый, то говорят, что дуга
АВУ расположенная внутри этого угла, меньше
полуокружности. На рисунке 215, б эта дуга вы¬
делена цветом. Про другую дугу с концами А и
В говорят, что она больше полуокружности (дуга
ALB на рисунке 215, в).
Дугу окружности можно измерять в гра¬
дусах. Если дуга АВ окружности с центром
О меньше полуокружности или является полу¬
окружностью, то её градусная мера считается
равной градусной мере центрального угла АОВ
(см. рис. 215, а, б). Если же дуга АВ больше по¬
луокружности, то её градусная мера считается
равной 360°-ZAOB (см. рис. 215, в).
Отсюда следует, что сумма градусных мер
двух дуг окружности с общими концами равна
360°.
Градусная мера дуги АВ (дуги ALB),
как и сама дуга, обозначается символом оАВ
(ч>АВВ). На рисунке 216 градусная мера дуги
С АВ равна 145°. Обычно говорят кратко: «Дуга
С АВ равна 145°» и пишут: <Л)АВ= 145°. На
этом же рисунке чуАВВ = 360° -115° = 245°,
<уСВВ = 360 -145° =215°, <Л>В = 180°.
73	Теорема о вписанном угле
Угол, вершина которого лежит на окруж¬
ности, а стороны пересекают окружность, назы¬
вается вписанным утлом.
На рисунке 217 угол АВС вписанный, дуга
АМС расположена внутри этого угла. В таком
случае говорят, что вписанный угол АВС опира¬
Рис.216
В
м
Рис.217
168 Глава VIII

ется на дугу АМС. Докажем теорему о вписан¬
ном угле.
Теорема
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на
которую он опирается.
Доказательство
Пусть ААВС — вписанный угол окружно¬
сти с центром О, опирающийся на дугу АС
(рис. 218). Докажем, что ААОС=^ <уАС. Рассмот¬
рим три возможных случая расположения
луча ВО относительно угла АВС.
1)	Луч ВО совпадает с одной из сггорон
угла АВС, например со стороной ВС (рис. 218, а).
В этом случае дуга АС меньше полуокружности,
поэтому ААОС = ^АС. Так как угол АОС — внеш¬
ний угол равнобедренного треугольника А ВО,
а углы 1 и 2 при основании равнобедренного тре¬
угольника равны, то
ZAOC = Z1 + Z2 = 2Z1.
Отсюда следует, что
2А1=^уАС или ААВС = А1=-^АС.
2
2)	Луч ВО делит угол АВС на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в не¬
которой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет
дугу АС на две дуги: ^А1) и <Л)С. По доказанно¬
му в п. 1) ААВВ = ^^А1) и ADBC = —^DC. Скла-
2	2
дывая эти равенства, получаем:
ZABD + ADBC = 1 ^AD + i ^DC,
2	2
или ААВС = AC.
3)	Луч ВО не делит угол АВС на два угла
и не совпадает со стороной этого угла. Для этого
случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите до¬
казательство самостоятельно.
169 Окружность

Следствие 1
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
ДУГУ» равны (рис. 219).
Следствие 2
Вписанный угол, опирающийся на полуокруж¬
ность, — прямой (рис. 220).
Используя следствие 1, докажем теорему о
произведении отрезков пересекающихся хорд.
Рис. 219
Теорема
Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно про¬
изведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точ¬
ке Е (рис. 221). Докажем, что
AEBE = CEDE.
Рассмотрим треугольники ADE и С BE.
В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как
они вписанные и опираются на одну и ту же дугу
BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По
первому признаку подобия треугольников
AADE АСВЕ. Отсюда следует, что
СЕ ЕЕ
или АЕ • ВЕ = СЕ • DE. Теорема доказана.
Задачи
649	□ Начертите окружность с центром О и
точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) ZAOB = 60°;
б) ZAOB = 90°; в) ZAOB = 120°; г) ZAOB =180°.
650	|_| Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду
АВ, если: a) ZAOB 60 ; б) ZAOB 90 ; в) ZAOB = 180°.
651	Хорды АВ и CD окружности с центром О равны.
а)	Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно
равны двум дугам с концами С и D.
б)	Найдите дуги с концами Си/), если ZAOB= 112°.
отметьте на ней
170 Глава VIII

Рис.
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
,_] На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что
ч>АС = 37°, ч/ВЙ = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окруж¬
ности равен 15см.
Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он
опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.
□	По данным рисунка 222 найдите х.
□	Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла,
опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
□	Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу
в 43°. Найдите угол ВАС.
Точки Л и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из
которых равна 140°, а большая точкой М делится в отноше¬
нии 6:5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
Через точку А к данной окружности проведены касательная
АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через
центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и В).
Найдите ZBAD и AADB, если <jBD = 110°20'.
Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключён¬
ных между параллельными хордами, равны.
□	Через точку, лежащую вне окружности, проведены две се¬
кущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, за¬
ключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите
меньшую дугу.
□	Найдите острый угол, образованный двумя секущими, про¬
ведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги,
заключённые между секущими, равны 140° и 52°.
—1 Хорды ЛВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Най¬
дите угол ВЕС, если ч>А£>= 54°, ^ВС= 70°.
Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — каса¬
тельная, угол МАВ острый. Докажите, что ZMAB = ZACB.
Прямая ЛМ — касательная к окружности, АВ — хорда этой
окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной
дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.
Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажи¬
те, что если АВ — диаметр окружности, то ZC> ZA и ZC> ZB.
171 Окружность

666
667
668
669
670
671
672
673
Хорды ЛВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:
а) ЛЕ = 5, BE = 2, СЕ = 2,5; б) ЛЕ =16, BE = 9, CE = ED;
в) ЛЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4.
□ Диаметр ЛАХ окружности перпендикулярен к хорде ВВХ
и пересекает её в точке С. Найдите ВВП если АС = 4 см,
СЛ1 = 8 см.
Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь
точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональ¬
ное для отрезков, на которые основание перпендикуляра де¬
лит диаметр.
Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668,
постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для
двух данных отрезков.
Через точку Л проведены касательная ЛВ (В — точка каса¬
ния) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и
Q. Докажите, что ЛВ2 = АР • AQ.
Ы Через точку Л проведены касательная АВ (В — точка ка¬
сания) и секущая, которая пересекает окружность в точках
С и D. Найдите CD, если: а) ЛВ = 4 см, АС = 2 см; б) ЛВ = 5 см,
AD = 10 см.
Через точку Л, лежащую вне окружности, проведены две
секущие, одна из которых пересекает окружность в точ¬
ках Вх и Сп а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что
ЛВ1 • А(\ = ЛВ2 • АС2.
1-1 К данной окружности постройте касательную, проходящую
через данную точку вне окружности.
Решение
Пусть даны окружность с центром О и точка Л вне этой
окружности. Допустим, что задача решена и Л В — искомая
касательная (рис. 223). Так как прямая ЛВ перпендикулярна
к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки
В окружности, для которой ZABO прямой. Эту точку можно
построить следующим образом: проводим отрезок О А и стро¬
им его середину Ох. Затем проводим
в точке С>! радиуса О,Л. Эта окруж¬
ность пересекает данную окружность
в двух точках: В и ВР Прямые ЛВ и
A Bi — искомые касательные, так
как ЛВ±ОВ и ЛВ1±ОВ1. Действи¬
тельно, углы АВО и АВХО, вписан¬
ные в окружность с центром Ох, опи¬
раются на полуокружности, поэтому
они прямые. Очевидно, задача имеет
два решения.
окружность с центром
172 Глава VIII

§3
Четыре замечательные точки
треугольника

74	Свойства биссектрисы угла
Докажем сначала теорему о биссектрисе
угла.
Теорема
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого
угла равноудалена от его сторон* 1.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла
и равноудалённая от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.
Доказательство
1)	Возьмём произвольную точку М на бис¬
сектрисе угла ВАС, проведём перпендикуляры
МК и ML к прямым АВ и АС и докажем, что
МК = ML (рис. 224). Рассмотрим прямоугольные
треугольники АМК и AML. Они равны по гипо¬
тенузе и острому углу (АМ — общая гипотенуза,
Zl = Z2 по условию). Следовательно, МК - ML.
2)	Пусть точка М лежит внутри угла ВАС
и равноудалена от его сторон АВ и АС. Дока¬
жем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см.
рис. 224). Проведём перпендикуляры МК и ML
к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольни¬
ки АМК и AML равны по гипотенузе и катету
(AM — общая гипотенуза, МК = ML по условию).
Следовательно, Zl =Z2. Но это и означает, что луч
AM — биссектриса угла ВАС. Теорема доказана.
Рис. 224
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, лежа¬
щих внутри перазвёрпутого угла и равноудалён¬
ных от сторон угла, является биссектриса этого
угла.
1	То есть равноудалена от прямых, содержащих сторо¬
ны угла.
173 Окружность

Следствие 2
Биссектрисы треугольника пересекаются в од¬
ной точке.
В самом деле, обозначим буквой О точку
пересечения биссектрис AAj и ВВХ треугольни¬
ка АВС и проведём из этой точки перпендику¬
ляры ОКУ OL и ОМ соответственно к прямым
АВ, ВС и СА (рис. 225). По доказанной теореме
ОК = ОМ и ОК = OL. Поэтому ОМ = OL, т. е. точ¬
ка О равноудалена от сторон угла АСВ и, значит,
лежит на биссектрисе ССХ этого угла. Следова¬
тельно, все три биссектрисы треугольника АВС
пересекаются в точке О, что и требовалось до¬
казать.
75	Свойства серединного
перпендикуляра к отрезку
Серединным перпендикуляром к отрезку
называется прямая, проходящая через середину
данного отрезка и перпендикулярная к нему.
На рисунке 226 прямая а — серединный
перпендикуляр к отрезку АВ.
Докажем теорему о серединном перпенди¬
куляре к отрезку.
Рис. 225
Рис. 226
Теорема
Каждая точка серединного перпендикуляра к от¬
резку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудалённая от кон¬
цов отрезка, лежит на серединном перпендику¬
ляре к нему.
Доказательство
Пусть прямая т — серединный перпенди¬
куляр к отрезку АВ, точка О — середина этого
отрезка (рис. 227, а).
1) Рассмотрим произвольную точку М
прямой т и докажем, что АМ = ВМ. Если точ¬
174 Глава VIII

ка М совпадает с точкой О, то это равенство
верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть
М и О — различные точки. Прямоугольные
треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум ка¬
тетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет), поэтому
AM ВМ.
2) Рассмотрим произвольную точку /V,
равноудалённую от концов отрезка Л В, и до¬
кажем, что точка N лежит на прямой т. Если
N — точка прямой АВ, то она совпадает с се¬
рединой О отрезка ЛВ и потому лежит на пря¬
мой т. Если же точка N не лежит на прямой
ЛВ, то треугольник ANB равнобедренный, так
как AN = BN (рис. 227, б}. Отрезок NO — медиа¬
на этого треугольника, а значит, и высота. Та¬
ким образом, NO 1 ЛВ, поэтому прямые ON и т
совпадают, т. е. N — точка прямой т. Теорема
доказана.
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, равно¬
удалённых от концов отрезка, является середин¬
ный перпендикуляр к этому отрезку.
Следствие 2
Серединные перпендикуляры к сторонам тре¬
угольника пересекаются в одной точке.
Для доказательства этого утверждения рас¬
смотрим серединные перпендикуляры т и п к
сторонам ЛВ и ВС треугольника АВС (рис. 228).
Эти прямые пересекаются в некоторой точке О.
В самом деле, если предположить противное, т. е.
что т || л, то прямая ВЛ, будучи перпендикуляр¬
ной к прямой лг, была бы перпендикулярна и к
параллельной ей прямой л, а тогда через точку В
проходили бы две прямые ВЛ и ВС, перпендику¬
лярные к прямой л, что невозможно.
По доказанной теореме ОВ = О А и ОВ = ОС.
Поэтому О А = ОС, т. е. точка О равноудалена от
175
м
а)
б)
Рис. 227
В
Рис. 228
Окружность

концов отрезка ЛС и, значит, лежит на середин¬
ном перпендикуляре р к этому отрезку. Следо¬
вательно, все три серединных перпендикуляра
т, п и р к сторонам треугольника ЛВС пересека¬
ются в точке О.
76	Теорема о пересечении
высот треугольника
Мы доказали, что биссектрисы треуголь¬
ника пересекаются в одной точке, серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника пере¬
секаются в одной точке. Ранее было доказано,
что медианы треугольника пересекаются в одной
точке (п. 64). Оказывается, аналогичным свой¬
ством обладают и высоты треугольника.
Теорема
Высоты треугольника (или их продолжения)
пересекаются в одной точке.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треуголь¬
ник ЛВС и докажем, что прямые AAlf
BBj и CClt содержащие его высоты, пере¬
секаются в одной точке (рис. 229).
Проведём через каждую вершину д\ В, /С
треугольника АВС прямую, параллельную \	/
противоположной стороне. Получим тре- \/
угольник Л2В2С2. Точки Л, В и С являются
серединами сторон этого треугольника. Дей¬
ствительно, ЛВ = Л2С и ЛВ = СВ2 как противо¬
положные стороны параллелограммов ЛВЛ2С
и ЛВСВ2, поэтому Л2С = СВ2. Аналогично
С2Л-ЛВ2 и С2В = ВЛ2. Кроме того, как сле¬
дует из построения, CCt±A2B2, АА^В^ и
BBj±A2C2. Таким образом, прямые AAlt ВВХ и
CCj являются серединными перпендикулярами
к сторонам треугольника Л2В2С2. Следовательно,
Рис. 229
176 Глава VIII

они пересекаются в одной точке. Теорема дока¬
зана.
Итак, с каждым треугольником связаны
четыре точки: точка пересечения медиан, точка
пересечения биссектрис, точка пересечения се¬
рединных перпендикуляров к сторонам и точка
пересечения высот (или их продолжений). Эти
четыре точки называются замечательными точ¬
ками треугольника.
Задачи
674	Из точки М биссектрисы неразвёрнутого угла О проведены
перпендикуляры МЛ и МВ к сторонам этого угла. Докажите,
что АВ 1 ОМ.
675	Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, име¬
ющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры
этих окружностей лежат на прямой О А.
676	□ Стороны угла А касаются окружности с центром О ра¬
диуса г. Найдите: а) ОА, если г=5см, ZA = 60°; б) г, если
ОА = 14 дм, ZA = 90.
677	Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольни¬
ка АВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О явля¬
ется центром окружности, касающейся прямых АВ, ВС, АС.
678	□ Биссектрисы А А, и ВВ, треугольника АВС пересекаются в
точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) ЛАМВ= 136°;
б) ZАМВ =111°.
679	Л Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольни¬
ка АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите: a) AD
и СВ, если BD = 5 см, АС = 8,5 см; б) АС, если ВВ=11,4см,
АВ = 3,2 см.
680	Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и АС треуголь¬
ника АВС пересекаются в точке В стороны ВС. Докажите,
что: а) точка В — середина стороны ВС; б) ZA = ZB + ZC.
681	Л Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного
треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите
основание АС, если периметр треугольника ЛЕС равен 27 см,
а АВ= 18см.
682	Равнобедренные треугольники ЛВС и ABD имеют общее осно¬
вание АВ. Докажите, что прямая СВ проходит через середину
отрезка АВ.
683	Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не
равны, то медиана AM треугольника не является высотой.
177 Окружность

684
685
686
687
688
Биссектрисы углов при основании ЛВ равнобедренного тре¬
угольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что пря¬
мая СМ перпендикулярна к прямой Л В.
Высоты AAt и ВВу равнобедренного треугольника АВС, про¬
ведённые к боковым сторонам, пересекаются в точке М. До¬
кажите, что прямая МС — серединный перпендикуляр к от¬
резку АВ.
□	Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение
Пусть Л В — данный отрезок.
Построим две окружности с
центрами в точках А и В ради¬
уса АВ (рис. 230). Эти окруж¬
ности пересекаются в двух точ¬
ках Мх и М2. Отрезки АМХ,
AM2, BMlf ВМ2 равны друг
другу как радиусы этих окруж¬
ностей.
Проведём прямую AfjAf2. Она
является искомым серединным
Л В. В самом деле, точки Mt и
отрезка АВ, поэтому они лежат на серединном перпендикуля¬
ре к этому отрезку. Значит, прямая МХМ2 и есть серединный
перпендикуляр к отрезку АВ.
1-1 Даны прямая а и две точки А и В, лежащие по одну сто¬
рону от этой прямой. На прямой а постройте точку М, равно¬
удалённую от точек А и В.
□	Даны угол и отрезок. Постройте точку, лежащую внутри
данного угла, равноудалённую от его сторон и равноудалён¬
ную от концов данного отрезка.
Рис. 230
перпендикуляром к отрезку
М? равноудалены от концов
Вписанная и описанная окружности
77 Вписанная окружность
Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписан¬
ной в многоугольник, а многоугольник — опи¬
санным около этой окружности. На рисунке 231
четырёхугольник EFMN описан около окружно¬
сти с центром О, а четырёхугольник DKMN не
является описанным около этой окружности, так
как сторона DK не касается окружности. На ри-
178 Глава VIII

сунке 232 треугольник ЛВС описан около окруж¬
ности с центром О.
Докажем теорему об окружности, вписан¬
ной в треугольник.
Теорема
В любой треугольник можно вписать окруж
ность.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС и обозначим буквой О точку пересечения
его биссектрис. Проведём из точки О перпенди¬
куляры OK, OL и ОМ соответственно к сторо¬
нам АВ, ВС и СА (см. рис. 232). Так как точка О
равноудалена от сторон треугольника АВС, то
OK = OL = OM. Поэтому окружность с центром О
радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Сто¬
роны треугольника АВС касаются этой окруж¬
ности в точках К, L, М, так как они перпен¬
дикулярны к радиусам OK, OL и ОМ. Значит,
окружность с центром О радиуса ОК является
вписанной в треугольник АВС. Теорема дока¬
зана.
Замечание 1
Отметим, что в треугольник можно вписать
только одну окружность.
В самом деле, допустим, что в треуголь¬
ник можно вписать две окружности. Тогда центр
каждой окружности равноудалён от сторон тре¬
угольника и, значит, совпадает с точкой О пере¬
сечения биссектрис треугольника, а радиус равен
расстоянию от точки О до сторон треугольника.
Следовательно, эти окружности совпадают.
Замечание 2
Обратимся к рисунку 232. Мы видим,
что треугольник АВС составлен из трёх тре¬
угольников: Л ВО, ВСО и С АО. Если в каждом
из этих треугольников принять за основание сто¬
рону треугольника АВС, то высотой окажется
Рис. 232
179 Окружность

радиус г окружности, вписанной в треугольник
АИС. Поэтому площадь S треугольника АВС вы¬
ражается формулой
S = | АВ • г +	• г + \СА • г =
ООО
ЛВ+ВС+СЛ
2	Г‘
Таким образом,
площадь треугольника равна произведению
его полупериметра на радиус вписанной в него
окружности.
Замечание 3
В отличие от треугольника не во всякий
четырёхугольник можно вписать окружность.
Рассмотрим, например, прямоугольник, у
которого смежные стороны не равны, т. е. прямо¬
угольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в
такой прямоугольник можно «поместить» окруж¬
ность, касающуюся трёх его сторон (рис. 233, а),
но нельзя «поместить» окружность так, что¬
бы она касалась всех четырёх его сторон, т. е.
нельзя вписать окружность. Если же в четырёх¬
угольник можно вписать окружность, то его сто¬
роны обладают следующим замечательным свой¬
ством:
В любом описанном четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны.
Это свойство легко установить, исполь¬
зуя рисунок 233, б, на котором одними и теми
же буквами обозначены равные отрезки каса¬
тельных. В самом деле, AB + CD = a + b + c + d,
ВС + AD = a + b + c + d, поэтому АВ + CD = ВС + AD.
Оказывается, верно и обратное утверждение:
Если суммы противоположных сторон выпукло¬
го четырёхугольника равны, то в него можно
вписать окружность (см. задачу 724).
а)
A a d D
б)
Рис. 233
180 Глава VIII

78	Описанная окружность
Если все вершины многоугольника ле¬
жат на окружности, то окружность называет¬
ся описанной около многоугольника, а много¬
угольник — вписанным в эту окружность. На
рисунке 234 четырёхугольник ABCD вписан в
окружность с центром О, а четырёхугольник
AECD не является вписанным в эту окружность,
так как вершина Е не лежит на окружности.
Треугольник АВС на рисунке 235 является впи¬
санным в окружность с центром О.
Докажем теорему об окружности, описан¬
ной около треугольника.
Теорема
Около любого треугольника можно описать
окружность.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник АВС.
Обозначим буквой О точку пересечения середин¬
ных перпендикуляров к его сторонам и проведём
отрезки О А, О В и ОС (рис. 235). Так как точка О
равноудалена от вершин треугольника АВС, то
О А = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О
радиуса О А проходит через все три вершины тре¬
угольника и, значит, является описанной около
треугольника АВС. Теорема доказана.
Замечание 1
Отметим, что около треугольника можно
описать только одну окружность.
В самом деле, допустим, что около
треугольника можно описать две окружности.
Тогда центр каждой из них равноудалён от его
вершин и поэтому совпадает с точкой О пересе¬
чения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника, а радиус равен расстоянию от точ¬
ки О до вершин треугольника. Следовательно,
эти окружности совпадают.
С
Рис. 235
181
Окружность

693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
□	В прямоугольный треугольник вписана окружность ради¬
уса г. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза
равна 26 см, г=4см; б) точка касания делит гипотенузу на
отрезки, равные 5 см и 12 см.
Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма
катетов равна пг.
□	Сумма двух противоположных сторон описанного четырёх¬
угольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхуголь¬
ника.
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж¬
ность, то этот параллелограмм — ромб.
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна
половине произведения его периметра на радиус вписанной
окружности.
3 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёх¬
угольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности
равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.
Л Сумма двух противоположных сторон описанного четырёх¬
угольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите ради¬
ус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
□	Начертите три треугольника: остроугольный, прямоуголь¬
ный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.
□	В окружность вписан треугольник ЛВС так, что АВ — диа¬
метр окружности. Найдите углы треугольника, если:
а)	^ВС= 134°; б) ^АС= 70°.
В окружность вписан равнобедренный треугольник ЛВС с ос¬
нованием ВС. Найдите углы треугольника, если <уВС = 102°.
Окружность с центром О описана около прямоугольного тре¬
угольника. а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы.
б)	Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности
равен d, а один из острых углов треугольника равен а.
Л Около прямоугольного треугольника А ВС с прямым углом С
описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если:
а) АС =8 см, ВС = 6 см; б) АС-18 см, ХВ = 30°.
□	Найдите сторону равностороннего треугольника, если ради¬
ус описанной около него окружности равен 10 см.
□	Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре¬
угольника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна
8 см. Найдите диаметр окружности, описанной около этого
треугольника.
183 Окружность

708
709
710
711
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Докажите, что можно описать окружность: а) около любого
прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
Докажите, что если около параллелограмма можно описать
окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Докажите, что если около трапеции можно описать окруж¬
ность, то эта трапеция равнобедренная.
□ Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоуголь¬
ный и равносторонний. Для каждого из них постройте опи¬
санную окружность.
Вопросы для повторения к главе VIII
Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в
зависимости от соотношения между радиусом окружности и
расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте получен¬
ные выводы.
Какая прямая называется секущей по отношению к окруж¬
ности?
Какая прямая называется касательной к окружности? Какая
точка называется точкой касания прямой и окружности?
Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведён¬
ные из одной точки, равны и составляют равные углы с пря¬
мой, проходящей через эту точку и центр окружности.
Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свой¬
стве касательной.
Объясните, как через данную точку окружности провести ка¬
сательную к этой окружности.
Какой угол называется центральным углом окружности?
Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая
дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокруж¬
ности.
Как определяется градусная мера дуги? Как она обознача¬
ется?
Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и дока¬
жите теорему о вписанном угле.
Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту
же дугу, равны.
Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокруж¬
ность, — прямой.
Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекаю¬
щихся хорд.
184 Глава VIII

15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
712
713
714*
Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в
одной точке.
Какая прямая называется серединным перпендикуляром к
отрезку?
Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпенди¬
куляре к отрезку.
Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке.
Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот
треугольника.
Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным около окруж¬
ности?
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписан¬
ной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в
данный треугольник?
Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, опи¬
санного около окружности?
Какая окружность называется описанной около многоуголь¬
ника? Какой многоугольник называется вписанным в окруж¬
ность?
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан¬
ной около треугольника. Сколько окружностей можно опи¬
сать около данного треугольника?
Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписан¬
ного в окружность?
Дополнительные задачи
Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды,
не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Прямые АВ и АС — касательные к окружности с центром О,
В и С — точки касания. Через произвольную точку X, взятую
на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пере¬
секающая отрезки ЛВ и ЛС в точках М и N. Докажите, что
периметр треугольника AMN и величина угла MON не зави¬
сят от выбора точки X на дуге ВС.
Две окружности имеют общую точку М и общую касательную
в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точ¬
ке Л, а другой — в точке В. Докажите, что точка М лежит на
окружности с диаметром АВ.
Окружность

715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
Диаметр ААХ окружности перпендикулярен к хорде ВВ,.
Докажите, что градусные меры дуг АВ и ЛВ,, меньших полу¬
окружности, равны.
Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если
оЛВ = ^СВ, то AB = CD.
Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды ВС и AD
параллельны. Докажите, что хорда CD является диаметром.
По данным рисунка 237 докажите, что
ЛАМ В = | (^CLD + ^АКВ).
Решение
Проведём хорду ВС. Так как ЛАМ В внеш¬
ний угол треугольника ВМС, то ЛАМВ-
= Z1 + Z2. По теореме о вписанном угле Z1 =
= ±^CLD, Л2 = ^^АКВ, поэтому ЛАМВ =
= ±(<;CLD + ^AKB).
Рис.237
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секу¬
щие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразно¬
стью дуг, заключённых внутри угла.
Может ли вершина разностороннего треугольника лежать
на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ
обоснуйте.
Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окруж¬
ность, то этот прямоугольник — квадрат.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г.
Известно, что АВ : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2:1. Найдите стороны
четырёхугольника, если его площадь равна S.
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапе¬
ции, касаются окружности, то прямая, проходящая через се¬
редины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой
окружности.
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник
можно вписать окружность.
Решение
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD
AB + CD = BC + AD.	(1)
Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от
сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с
центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а).
Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и,
значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD.
186 Глава VIII

Предположим, что это не так. Тогда пря¬
мая CD либо не имеет общих точек с
окружностью, либо является секущей.
Рассмотрим первый случай (рис. 238, б).
Проведём касательную CD', параллельную
стороне CD (С и D' — точки пересечения
касательной со сторонами ВС и AD). Так
как ABCD' — описанный четырёхуголь¬
ник, то по свойству его сторон
АВ + C’D' = ВС' + AD'.	(2)
Но ВС' = ВС-С'С, AD’-AD-D'D, поэтому
из равенства (2) получаем:
C’D' + С'С + D'D = ВС + AD - АВ.
Правая часть этого равенства в силу (1)
равна CD. Таким образом, приходим к ра¬
венству
Рис. 238
C'D' + C'C + D'D = CD,
т. е. в четырёхугольнике CCDD' одна сторона равна сумме
трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше
предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что
прямая CD не может быть секущей окружности. Следова¬
тельно, окружность касается стороны CD, что и требовалось
доказать.
725
726
727
728
729*
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию с основаниями а и Ь.
Центр описанной около треугольника окружности лежит на
медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедрен¬
ный, либо прямоугольный.
В равнобедренный треугольник вписана окружность с цент¬
ром О, и около него описана окружность с центром Ог. Дока¬
жите, что точки О, и О2 лежат па серединном перпендикуляре
к основанию треугольника.
Докажите, что если около ромба можно описать окружность,
то этот ромб — квадрат.
Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противопо¬
ложных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника
можно описать окружность.
Решение
Пусть в четырёхугольнике ABCD
ZA+ZC= 180°.	(1)
Проведём окружность через три вершины четырёхугольника:
А, В и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также
через вершину С, т. е. является описанной около четырёх-
187
Окружность

D
а)
В
б)
Рис.239
угольника ABCD. Предположим, что это
не так. Тогда вершина С лежит либо внут¬
ри круга, либо вне его. Рассмотрим первый
случай (рис. 239, б). В этом случае ZC =
(v/)AB + ^EF) (см. задачу 718), и, сле¬
довательно, ХС> ±<Л)АВ. Так как ZA =
=|члВЕД то ZA+ZC>±(^BED + ^DAB) =
= | -360° = 180°.
Итак, мы получили, что ZA +ZC> 180°. Но
это противоречит условию (1), и, значит,
паше предположение ошибочно. Анало¬
гично можно доказать (опираясь на задачу
719), что вершина С не может лежать вне
круга. Следовательно, вершина С лежит на
окружности, что и требовалось доказать.
730	Через точки Л и В проведены прямые, пер¬
пендикулярные к сторонам угла АОВ и
пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около
четырёхугольника АС ВО можно описать окружность.
731	Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образо¬
ванного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно
описать окружность.
732	В прямоугольном треугольнике АВС из точки М стороны АС
проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите,
что углы МНС и МВС равны.
733	□ Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник
окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
734	Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж¬
ность и можно описать около него окружность, то этот парал¬
лелограмм — квадрат.
735	В трапецию с основаниями а и Ь можно вписать окружность
и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите
радиус вписанной окружности.
736	□ Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точ¬
ка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходя¬
щую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
737	Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на
одной из них. Постройте окружность, проходящую через дан¬
ную точку и касающуюся данных прямых.
188 Глава VIII

Глава IX
Векторы
Зта глава посвящена разработке векторного аппарата гео¬
метрии. С помощью векторов можно доказывать теоремы
и решать геометрические задачи. Примеры такого применения
векторов приведены в данной главе. Но изучение векторов по¬
лезно ещё и потому, что они широко используются в физике для
описания различных физических величин, таких, например, как
скорость, ускорение, сила.
Понятие вектора
79	Понятие вектора
Многие физические величины, например
сила, перемещение материальной точки, скорость,
характеризуются не только своим числовым зна¬
чением, но и направлением в пространстве. Такие
физические величины называются векторными
величинами (или коротко векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действу¬
ет сила в 8 Н. На рисунке силу изображают от¬
резком со стрелкой (рис. 240). Стрелка указывает
направление силы, а длина отрезка соответству¬
ет в выбранном масштабе числовому значению
силы. Так, на рисунке 240 сила в 1 Н изображе¬
на отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8 Н
изображена отрезком длиной 4,8 см.
Отвлекаясь от конкретных свойств физиче¬
ских векторных величин, мы приходим к геомет¬
рическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. Его
концы называются также граничными точками
отрезка.
На отрезке можно указать два направле¬
ния: от одной граничной точки к другой и наобо¬
рот (рис. 241).
Чтобы выбрать одно из этих направлений,
одну граничную точку отрезка назовём началом
Рис. 240
Рис. 241
189 Векторы

отрезка, а другую — концом отрезка и будем счи¬
тать, что отрезок направлен от начала к концу.
Определение
Отрезок, для которого указано, какая из его гра¬
ничных точек считается началом, а какая — кон¬
цом, называется направленным отрезком или
вектором.
На рисунках вектор изображается отрезком
со стрелкой, показывающей направление вектора.
Векторы обозначают двумя заглавными латин¬
скими буквами со стрелкой над ними, например
АВ. Первая буква обозначает начало вектора, вто¬
рая — конец (рис. 242). На рисунке 243, а изобра¬
жены векторы АВ, CD, EF; точки А, С, Е — нача¬
ла этих векторов, а В, D, F — их концы. Векторы
часто обозначают и одной строчной латинской
буквой со стрелкой над ней: а, Ь, с (рис. 243, б).
Для дальнейшего целесообразно условить¬
ся, что любая точка плоскости также являет¬
ся вектором. В этом случае вектор называется
нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с
его концом. На рисунке такой вектор изображает¬
ся одной точкой. Если, например, точка, изобра¬
жающая нулевой вектор, обозначена буквой М,
то данный нулевой вектор можно обозначить так:
ММ (рис. 243, а). Нулевой вектор обозначается
также символом О. На рисунке 243 векторы АВ,
CD, EF ненулевые, а вектор ММ нулевой.
Длиной или модулем ненулевого вектора
АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора
АВ (вектора а) обозначается так: | АВ | (| а |). Длина
нулевого вектора считается равной нулю: 101 = О.
Длины векторов, изображённых на рисун¬
ках 243, а и 243,6, таковы: | АВ | = 6, |С15|=5,
|Ё?| = 2,5, | ММ | = 0, |а| = Лз, |Ь| = 4,5, |с| = 3
(каждая клетка на рисунке 243 имеет сторону,
равную единице измерения отрезков).
Конец
/ вектора
.7
А*
Начало вектора
Рис.242
Рис. 243
790 Глава IX

80	Равенство векторов
Прежде чем дать определение равных век¬
торов, обратимся к примеру. Рассмотрим движе¬
ние тела, при котором все его точки движутся с
одной и той же скоростью и в одном и том же
направлении.
Скорость каждой точки М тела является
векторной величиной, поэтому её можно изобра¬
зить направленным отрезком, начало которого
совпадает с точкой М (рис. 244). Так как все точ¬
ки тела движутся с одной и той же скоростью, то
все направленные отрезки, изображающие скоро¬
сти этих точек, имеют одно и то же направление
и длины их равны.
Этот пример подсказывает нам, как опреде¬
лить равенство векторов.
Предварительно введём понятие коллине¬
арных векторов.
Ненулевые векторы называются коллине¬
арными, если они лежат либо на одной прямой,
либо на параллельных прямых; нулевой вектор
считается коллинеарным любому вектору.
На рисунке 245 векторы а, 5, АВ, CD, ММ
(вектор ММ нулевой) коллинеарны, а векторы
АВ и EF, а также CD и EF не коллинеарны.
Если два ненулевых вектора а и b коллине¬
арны, то они могут быть направлены либо оди¬
наково, либо противоположно. В первом случае
векторы а и Ь называются сонаправленными,
а во втором — противоположно направленными*.
Сонаправленность векторов а и b обозначается
Е	F
Рис. 245
Нетрудно дать и точное определение этих понятий.
Например, два ненулевых вектора, лежащие на па¬
раллельных прямых, называются сонаправленными
(противоположно направленными), если их концы
лежат по одну сторону (по разные стороны) от пря¬
мой, проходящей через начала. Как «формулировать
аналогичное определение для ненулевых векторов,
лежащих на одной прямой?
191 Векторы

следующим образом: a tt b. Если же векторы а и
b противоположно направлены, то это обознача¬
ют так: a tl b. На рисунке 245 изображены как
сонаправленпые, так и противоположно направ¬
ленные векторы: a tt 6, a tt CD, a tl АВ, b tt CD,
b tl AB, AB tl CD.
Начало нулевого вектора совпадает с его
концом, поэтому нулевой вектор не имеет како¬
го-либо определённого направления. Иначе гово¬
ря, любое направление можно считать направ¬
лением нулевого вектора. Условимся считать,
что нулевой вектор сонаправлен с любым векто¬
ром. Таким образом, на рисунке 245 ММ tt АВ,
ММ tt а и т. д.
Ненулевые коллинеарные векторы облада¬
ют свойствами, которые проиллюстрированы на
рисунке 246, а — в.
Дадим теперь определение равных векторов.
Определение
Векторы называются равными, если они сона-
правлены и их длины равны.
Таким образом, векторы а и b равны, если
a tt 5 и | а |=| д |. Равенство векторов а и Ь обозна¬
чается так: а = Ь.
81	Откладывание вектора
от данной точки
Если точка А — начало вектора я, то гово¬
рят, что вектор а отложен от точки А (рис. 247).
Докажем следующее утверждение:
от любой точки М можно отложить век¬
тор, равный данному вектору а, и притом только
один.
В самом деле, если а — нулевой вектор,
то искомым вектором является вектор ММ.
Если аЦ* ГЦ*
то
б)
Если « Цс Ml с
то аЦ b
в)
Рис. 246
Рис. 247
Вектор а отложен
от точки А
192 Глава IX

Допустим, что вектор а ненулевой, а точки А и
В — его начало и конец. Проведём через точку
М прямую р, параллельную АВ (рис. 248; если
М — точка прямой АВ, то в качестве прямой р
возьмём саму прямую АВ). На прямой р отло¬
жим отрезки MN и MN', равные отрезку АВ,
и выберем из векторов MN и MN' тот, который
сонаправлен с вектором а (на рисунке 248 век¬
тор MN). Этот вектор и является искомым век¬
тором, равным вектору а. Из построения следует,
что такой вектор только один.
Замечание
Равные векторы, отложенные от разных то¬
чек, часто обозначают одной и той же буквой.
Так обозначены, например, равные векторы ско¬
рости различных точек на рисунке 244. Иногда
про такие векторы говорят, что это один и тот же
вектор, но отложенный от разных точек.
Рис.248
Практические задания
738	Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. На¬
чертите все ненулевые векторы, начало и конец которых со¬
впадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все по¬
лученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
739	Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изобража¬
ющие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до
В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начер¬
тите вектор АС, который изображает перемещение из началь¬
ной точки в конечную.
740	Начертите векторы АВ, CD и EF так, чтобы:
а)	АВ, CD и EF были коллинеарны и | АВ | = 1 см, | CD | = 2,5 см,
| EF| = 4,5 см;
б)	АВ и EF были коллинеарны, АВ и CD были не коллинеар¬
ны и | АВ | = 3 см, | CD | = 1,5 см, | EF | = 1 см.
741	Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь. Изобразите не¬
сколько векторов: а) сонаправленных с вектором а; б) сона-
правленных с вектором Ь; в) противоположно направленных
вектору Ь; г) противоположно направленных вектору а.
193 Векторы

742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и некол¬
линеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные;
в)	имеющие равные длины и противоположно направленные.
В каком случае полученные векторы равны?
Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три
точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, рав¬
ные а.
Задачи
Какие из следующих величин являются векторными: скорость,
масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?
В прямоугольнике ABCD АВ = Зсм, ВС = 4 см, М — середина
стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, DC, МС, МА,
СВ, АС.
Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым
углом А равно 12 см, АВ = 5 см, ZD = 45°. Найдите длины век¬
торов BD, CD и АС.
Выпишите пары коллинеарных векторов, которые опреде¬
ляются сторонами: а) параллелограмма MNPQ', б) трапеции
ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника FGII.
Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно
направленных векторов.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Равны ли векторы: а) АВ и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС;
г)	АС и BD? Ответ обоснуйте.
□ Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN
и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы:
a) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) ТВ и КМ; д) TL
и КТ?
Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины от¬
резков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение:
если середины отрезков AD и ВС совпадают, то AB = CD.
Определите вид четырёхугольника ABCD, если: a) AB = DC
и | АВ | = | ВС |; б) АВ tt ВС, а векторы AD и ВС не колли¬
неарны.
Верно ли утверждение: а) если а = Ъ, то a tt b; б) если а = Ь, то
а и b коллинеарны; в) если а = Ь, то a tlfe; г) если a tt Ь, то
а = Ь; д) если а = б, то a tt b?
194 Глава IX

s2
Сложение и вычитание векторов
82	Сумма двух векторов
Рассмотрим пример. Пусть материальная
точка переместилась из точки А в точку В, а за¬
тем из точки В в точку С (рис. 249). В результате
этих двух перемещений, которые можно предста¬
вить векторами АВ и ВС, материальная точка
переместилась из точки А в точку С. Поэтому ре¬
зультирующее перемещение можно представить
вектором АС. Поскольку перемещение из точки
А в точку С складывается из перемещения из
Л в В и перемещения из В в С, то вектор АС
естественно назвать суммой векторов ЛВ и ВС:
АС = АВ + ВС.
Рассмотренный пример приводит нас к по¬
нятию суммы двух векторов.
Пусть а и b — два вектора. Отметим произ¬
вольную точку А и отложим от этой точки век¬
тор АВ, равный а (рис. 250). Затем от точки В
отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС назы¬
вается суммой векторов а и Ь.
Такое правило сложения векторов называ¬
ется правилом треугольника. Рисунок 250 пояс¬
няет это название.
Докажем, что если при сложении векторов
а и Ь точку А, от которой откладывается век¬
тор ЛВ = а, заменить другой точкой Ао то век¬
тор АС заменится равным ему вектором AjQ.
Иными словами, докажем, что если AB = A,B, и
ВС = ВХСХУ то АС = АХСХ (рис. 251).
Допустим, что точки Л, В, Л„ точки В, С,
В, и точки А, С, Aj не лежат на одной прямой
(остальные случаи рассмотрите самостоятельно).
Из равенства АВ = АХВХ следует, что стороны
ЛВ и АХВХ четырёхугольника АВВХАХ равны и
параллельны, поэтому этот четырёхугольник —
А
Рис. 250
Рис. 251
195 Векторы

параллелограмм. Следовательно,	Ана¬
логично из равенства ВС = ВХСХ следует, что че¬
тырёхугольник ВССХВХ — параллелограмм. По¬
этому ВВХ = ССХ. На основе полученных равенств
заключаем, что ААХ = ССХ. Поэтому ААХСХС —
параллелограмм, и, значит, АС = АХСХ, что и
требовалось доказать. _
Сумма векторов а и Ь обозначается так:
а + Ь.
Складывая по правилу треугольника произ¬
вольный вектор а с нулевым вектором, получаем,
что для любого вектора а справедливо равенство
а + 0 = а.
Правило треугольника можно сформу¬
лировать также следующим образом: если А,
В и С — произвольные точки, то АВ + ВС = АС.
Подчеркнём, что это равенство справедливо для
произвольных точек Л, В и С, в частности, в
том случае, когда две из них или даже все три
совпадают.
83	Законы сложения векторов.
Правило параллелограмма
Теорема
Для любых векторов а, Ь и с справедливы ра¬
венства:
1°. а + Ъ = Ъ + а (переместительный закон).
2°. (а + Ъ) + с = а + (Ь + с) (сочетательный закон).
Доказательство
1°. Рассмотрим случай, когда векторы а и
h не коллинеарны (случай коллинеарных векто¬
ров а и b рассмотрите самостоятельно). От про¬
извольной точки А отложим векторы АВ = а и
AD = b и на этих векторах построим параллело¬
196 Глава IX

грамм ABCD, как показано на рисунке 252. По
правилу треугольника АС - АВ + ВС = а + Ь. Ана¬
логично АС = AD + DC = Ъ + а. Отсюда следует,
что а + b = Ь + а.
2°. От произвольной точки А отложим век¬
тор АВ = а, от точки В — вектор ВС = Ь, а от точ¬
ки С — вектор CD = c (рис. 253). Применяя пра¬
вило треугольника, получим:
(а + Ь) + с = (АВ + ВС) + CD = АС + CD = AD,
а + (b+ с) = АВ + (ВС + CD) = АВ + BD= AD.
Отсюда следует, что (а + Ь) + с = а + (6 + с).
Теорема доказана.
При доказательстве утверждения 1° мы
обосновали так называемое правило паралле¬
лограмма сложения неколлинеарных векторов:
чтобы сложить неколлинеарные векторы а и Ь,
нужно отложить от какой-нибудь точки А век¬
торы АВ = а и AD = b и построить параллело¬
грамм ABCD (см. рис. 252). Тогда вектор АС
равен а + b. Правило параллелограмма часто ис¬
пользуется в физике, например при сложении
двух сил.
84	Сумма нескольких векторов
Сложение нескольких векторов производит¬
ся следующим образом: первый вектор складыва¬
ется со вторым, затем их сумма складывается с
третьим вектором и т. д. Из законов сложения
векторов следует, что сумма нескольких век¬
торов не зависит от того, в каком порядке они
складываются. На рисунке 253 показано постро¬
ение суммы векторов а, Ь, с: от произвольной
точки А отложен вектор АВ = а, затем от точки
В отложен вектор ВС = Ь и, наконец, от точки С
отложен вектор CD = с. В результате получается
вектор AD = а + Ь + с.
Рис. 252
197 Векторы

сти двух векторов можно решить и другим спо¬
собом. Прежде чем указать этот способ, введём
понятие вектора, противоположного данному.
Пусть а — произвольный ненулевой век¬
тор. Вектор а, называется противоположным
вектору а, если векторы а и at имеют равные
длины и противоположно направлены. На ри¬
сунке 257 вектор ах = ВА является противопо¬
ложным вектору а = АВ. Вектором, противопо¬
ложным нулевому вектору, считается нулевой
вектор.
Вектор, противоположный вектору а, обо¬
значается так: -а. Очевидно, а + (-а) = О.
ЛВ + ВЛ =АА = 0
Рис. 257
Докажем теперь теорему о разности двух
векторов.
Теорема
Для любых векторов а и h справедливо равен¬
ство а - b = а + (-Ь).
Доказательство
По определению разности векторов (а-6) +
+ b = а. Прибавив к обеим частям этого равенства
вектор (-£), получим:
(а - b) + b + ( Ь) = а + ( Ь),
или (а - b) I 0 = а + (-&),
откуда a-b = a + (-b). Теорема доказана.
Приведём теперь другое решение зада¬
чи о построении разности векторов а и Ь. Отме¬
тим на плоскости произвольную точку О и от¬
ложим от этой точки вектор О А = а. (рис. 258).
Затем от точки А отложим вектор АВ = —Ь.
По теореме о разности векторов а - Ь = а + (-Л),
поэтому а - Ь = О А + АВ = ОВ, т. е. вектор ОВ
искомый.
Рис. 258
199 Векторы

753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
Практические задания
Турист прошёл 20 км на восток из города А в город В а по¬
том 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб,
начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ + ВС и
АС?
Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и по¬
стройте векторы х + у, х + zf z + y.
Начертите попарно неколлинеарные векторы а, 5, ? J, е
и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор
a + b + c + d + e.
Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и по¬
стройте векторы х - у, z -у, x-z, -ху -уу -г.
Начертите векторы х, у и z так, чтобы х tt уу х tl г. Постройте
векторы х + у у у-Zy x + z.
Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и Ъ так
чтобы | а | * | b |. Постройте векторы: а) а - &; б) b-а; в) -а + Ъ.
Выполните ещё раз построение для случая, когда | а | = | Ъ |.
Задачи
Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что:
a)	MN + NQ = MP + PQy б) MN + NP = MQ + QP.
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и
у справедливо неравенство | х + у | < | х | +1 у |.
Докажите, что если А, В, С, и D — произвольные точки, то
ab + bc + cd+da=o.
Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Най¬
дите: а) |АВ + ВС|; б) |АВ + АС|; в) |АВ + СВ|; г) |ВА-ВС|;
д) | АВ-АС|.
□ В треугольнике АВС ЛВ = ву ВС = 8, ZB = 90°. Найдите:
а)	|ВА|-|ВС| и_|ВА-ВС|; б) |АВ[ + |ВС| и |ЛВ + ВС|;
в) |ВА| + |ВС| и |ВА + ВС|; г) |АВ|-|ВС| и |АВ-ВС|.
[_] Пользуясь правилом многоугольника, упростите выраже¬
ние:^) (АВ + ВС - МС) + (МD - KD);
б)	(СВ +АС + BD)-(MK + KD).
200 Глава IX

765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
Пусть X, Y и Z — произвольные точки.
Докажите, что векторы p = XY + ZX + YZy	>
q = (XY-XZ) + YZ и r=(ZY-XY)-ZX ну- S	\г
левые.	X \	\
<=] На рисунке 259 изображены векторы а,
bt Су dy XY. Представьте вектор XY в виде
суммы остальных или им противополож-	Y
ных векторов.	Рис 25д
Дан треугольник ЛВС. Выразите через
векторы а = АВ и Ь = АС следующие векторы: а) ВА; б) СВ;
в)	СВ + ВА.
Решение
а)	Векторы В А и АВ — противоположные, поэтому В А --АВ,
или ВЛ = -а.
б)	По правилу треугольника СВ = СА + АВ. Но CA = -ACt по¬
этому СВ = ЛВ + (-АС) = ЛВ - АС = а-Ь.
<J Точки М и N — середины сторон ЛВ и ЛС треугольника
ЛВС. Выразите векторы ВМУ NCf MN, BN через векторы
а = ЛМ и b- AN.
3 Отрезок ВВу — медиана треугольника АВС. Выразите век¬
торы ВгСу ВВи ВАу ВС через х = ЛВх и у = ЛВ.
□ Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через век¬
торы а и b, если: а) а-АВ, b-ВС; б) а = СВ, b = CD; в) а = ЛВ,
b = DA.
«=] Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Выразите через векторы а = АВ и b = AD векторы: DC + CB,
ВО + ОСу ВО-ОС, BA-DA.
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ХА + ХС = ХВ + ХЙ,
где X — произвольная точка плоскости.
Докажите, что для любых двух векторов хну справедливо
неравенство |х-у|<|х| + |у|. В каком случае |x-j/| = |x| + |i/|?
Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом
ветра его начинает относить в сторону со скоростью зДз м/с.
Под каким углом к вертикали спускается парашютист?
201
Векторы

.3
Умножение вектора на число.
Применение векторов к решению задач
86	Произведение вектора на число
Прежде чем ввести ещё одно действие —
умножение вектора на число, обратимся к при¬
меру. Представим себе, что один автомобиль дви¬
жется прямолинейно с постоянной скоростью,
второй автомобиль движется в том же направле¬
нии со скоростью, вдвое большей,
а третий автомобиль движется им
навстречу, т. е. в противоположном
направлении, и величина его скоро¬
сти такая же, как у второго автомо¬
биля. Если мы изобразим скорость
первого автомобиля вектором v
(рис. 260, а), то естественно изобра¬
зить скорость второго автомобиля
вектором, у которого направление
такое же, как у вектора г, а длина
в два раза больше, и обозначить этот вектор 2и.
Скорость третьего автомобиля изобразится векто¬
ром, противоположным вектору 2о, т. е. вектором
-2t> (см. рис. 260, а). Естественно считать, что век¬
тор 2и получается умножением вектора и на число
2, а вектор -2и получается умножением вектора v
на число -2. Этот пример подсказывает, каким об¬
разом следует ввести умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора а на
число k называется такой вектор Ь, длина кото¬
рого равна | k | • | а |, причём векторы а и b сона-
правлены при k^O и противоположно направле¬
ны при k < 0. Произведением нулевого вектора на
любое число считается нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозна¬
чается так: ka. На рисунке 260, б изображены
вектор а и векторы За, -1,5а, V2a.
v 2и
Рис. 260
202 Глава IX

Из определения произведения вектора на
число непосредственно следует, что:
1)	произведение любого вектора на число
нуль есть нулевой вектор;
2)	для любого числа k и любого вектора а
векторы а и ka коллинеарны.
Умножение вектора па число обладает сле¬
дующими основными свойствами:
Для любых чисел fe, I и любых векто¬
ров а, Ь справедливы равенства:
1°. (kl) a k (la) (сочетательный закон).
2°. (k +1) а = ka + la (первый распределительный
закон).
3°. k (а + Ь) = ka + kb (второй распределительный
закон).
Рисунок 261 иллюстрирует сочетательный
закон. На этом рисунке представлен случай, ко¬
гда k = 2, 1 = 3.
Рисунок 262 иллюстрирует первый распре¬
делительный закон. Этот рисунок соответствует
случаю, когда Л = 3, 1 = 2.
Рисунок 263 иллюстрирует второй распре¬
делительный закон. На этом рисунке треугольни¬
ки О АВ и OAiBi подобны с коэффициентом по¬
добия /г, поэтому О A = ka, АВ = kb, О В = k (а + Ь).
С другой стороны, ОВ = О А + АВ = ka + kb. Таким
образом, k (а + b) = ka + kb.
6' ' '
OB = 2Q4=2(3a)
013 = 6*=(2-3)а
Рис. 261
О
ОА = 1га; AI3 = 1а
013 = (k+l)a = Ла+/а
Рис. 262
° в
OB = k(a+b)=ka+kb
Рис. 263
Замечание
Рассмотренные нами свойства действий над
векторами позволяют в выражениях, содержа¬
щих суммы, разности векторов и произведения
векторов на числа, выполнять преобразования по
тем же правилам, что и в числовых выражени¬
ях. Например, выражение р = 2(а-Ь) + (с +а)-
- 3 (Ь - с + а) можно преобразовать так:
р = 2а - 2Ь + с + а - ЗЬ + Зс - За = -5Ь + 4с.
203 Векторы

87	Применение векторов
к решению задач
Векторы могут использоваться для ре¬
шения геометрических задач и доказательства
теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала
вспомогательную задачу.
Задача 1
Точка С — середина отрезка Л В, а О — про¬
извольная точка плоскости (рис. 264). Доказать,
что ОС = |(ОА + ОВ).
Решение
По правилу треугольника ОС = О А + АС,
ОС = ОВ + ВС. Складывая эти равенства, полу¬
чаем: 2ОС = О А + 013 + (АС + ВС). Так как точ¬
ка С — середина отрезка АВ, то АС + ВС = О.
Таким образом, 2ОС - О А + ОВ, или
ОС = ±(ОА + ОВ).
Задача 2
Доказать, что прямая, проведённая через
середины оснований трапеции, проходит через
точку пересечения продолжений боковых сторон.
Решение
Пусть ABCD — данная трапеция, М и
А — середины оснований ВС и AZ), а О — точка
пересечения прямых АВ и CD (рис. 265). Дока¬
жем, что точка О лежит на прямой MN.
Треугольники OAD и ОВС подобны по пер¬
вому признаку подобия треугольников (докажите
ч	ОА OD .
это), поэтому — = — = k.
Так как ОВ tt О А и ОС tt OD, то
OA = k ОВ, OD=k ОС.	(1)
Точка М — середина отрезка ВС, поэтому
ОМ = 1 (ОВ + ОС). Аналогично ON = ^(ОА +OD).
204
Рис. 265
Глава IX

Подставив в это равенство выражения (1)
для О А и OD, получим:
ON-k- (ОВ + ОС) = k-OM.
Отсюда следует, что векторы ON и ОМ
коллинеарны, и, значит, точка О лежит на пря¬
мой MN.
88	Средняя линия трапеции
Средней линией трапеции называется отре¬
зок, соединяющий середины её боковых сторон.
Докажем теорему о средней линии трапеции.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основа¬
ниям и равна их полусумме.
Доказательство
Пусть MN — средняя линия трапеции
ABCD (рис. 266). Докажем, что MN || AD и
.ZA, AD + BC
По правилу многоугольника
+ ВС + CN и MN = МА + AD + DN. Сложив эти ра¬
венства, получим:
2MN = (МВ + МА) + (ВС + AD) + (CN + DN).
Но М и N — середины сторон АВ и CDy по¬
этому МВ + МА = О и CN + DN = О. Следователь¬
но, 2MN = AD + ВС, откуда
MW = 1(AD + BC).
2
Так как векторы Л/5 и ВС сонаправлены,
то векторы MN и AD также сонаправлены,
а длина вектора (AD + BC) равна AD + BC. От¬
сюда следует, что MN\\AD и MN = AD + BC.
Теорема доказана.
Рис. 266
205 Векторы

Практические задания
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых
не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О
отложите векторы, равные 2р и ±q.
Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте век¬
торы: а) x + 2i/; б) + в) Зх + ±у; г) 11х-3у; д) Ох + 4у;
е) -2х + Оу. Выполните задания а) — е) для двух коллинеар¬
ных ненулевых векторов х и у.
Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых
не совпадают. Постройте векторы т = 2р -
1 -
2«>
n=p + 3q,
Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и с.
Постройте векторы: а) 2а + ЗЛ-4с; б) — а -Ь + — с.
Задачи
□ Дан вектор р=3а, где а* О. Как направлен каждый из век¬
торов а, -а,
1
— а, -2а, 6а по отношению к
2
длины этих векторов через | р |.
вектору р? Выразите
Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства:
а)1а = а; б)(-1)а = -а.
Ы Пусть х = т + п, у = т-п. Выразите через тип векторы:
а) 2х — 2t/; б) 2х + ±у; в)-х-±у.
□	В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD,
точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЁС и AG
через векторы DC = а и ВС = Ь.
□	Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD,
причём ВМ : МС-3 : 1. Выразите векторы А М и MD через
векторы а = AD и Ь = АВ.
□	В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точ¬
ке О, а М — такая точка на стороне AD, что AM - — МD.
206 Глава IX

Выразите,через векторы x AD, у = АВ следующие векторы:
а)	АС, АО,СО,DO, AD + BC, AD + CO, СО + ОА;
б)	AM, МС, ВМ, ОМ.
785	Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхуголь¬
ника ABCD. Докажите, что
MN = |(AD + CB).
786	<_] Отрезки ААП ВВХ и ССХ — медианы треугольника АВС. Вы¬
разите векторы AAi, ВВХ, ССХ через векторы а = АС и Ъ = АВ.
787	□ Точка О — середина медианы EG треугольника DEF. Выра¬
зите вектор DO через векторы а = ED и b = EF.
788
789
Применение векторов к решению задач
Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что суще¬
ствует треугольник, стороны которого соответственно парал¬
лельны и равны медианам треугольника АВС.
Решение
Пусть AAi, BBi, ССХ — медианы треугольника АВС. Тогда
Лл\ = ^(АВ\АС), ВВ1 = ^(ВС + ВА),СС1 = ^(СА + СВ) (см. за¬
дачу 1, п. 87). Сложив эти равенства, получим А А! + ВВХ + ССХ =
= |((АВ + ВА) + (АС + СА) + (СВ + ВС)) = О.
Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов ААЬ
ВВХ, CCi по правилу многоугольника (п. 84), то получим тре¬
угольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник
MNP на рисунке 267).
На сторонах треугольника АВС построены параллелограм¬
мы АВВХА2, ВССхВ2, АСС2АХ. Докажите, что существует тре¬
угольник, стороны которого соответственно параллельны и
равны отрезкам АХА2, ВХВ2 и СХС2.
MN-АЛ,.
NP = BB},
РМ = СС,
207 Векторы

790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
1
2
3
4
5
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен её основаниям и равен полу разности
оснований.
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противопо¬
ложных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пе¬
ресечения делятся пополам.
Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
Средняя линия трапеции
1-1 Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр
равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.
1-1 Сторона ЛВ треугольника ЛВС разделена на четыре равные
части и через точки деления проведены прямые, параллель¬
ные стороне ВС. Стороны ЛВ и ЛС треугольника отсекают
на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из
которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.
□	Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от
некоторой касательной на 18 см и 12см.
□	Из концов диаметра CD данной окружности проведены пер¬
пендикуляры ССХ и DDX к касательной, не перпендикулярной
к диаметру CD. Найдите DDX, если ССХ = 11 см, a CD = 27 см.
Докажите, что средняя линия трапеции проходит через сере¬
дины диагоналей.
1-1 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см,
а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные
11 см и 35 см. Найдите углы трапеции.
□	Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр,
проведённый из вершины В к большему основанию Л£>, делит
это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см.
Найдите среднюю линию трапеции.
Вопросы для повторения к главе IX
Приведите примеры векторных величин, известных вам из
курса физики.
Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называ¬
ется нулевым.
Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна дли¬
на нулевого вектора?
Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на
рисунке сонаправленные векторы а и Ъ и противоположно на¬
правленные векторы cud.
Дайте определение равных векторов.
208 Глава IX

6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
800
801
802
Объясните смысл выражения: «Вектор а отложен от точ¬
ки Л». Докажите, что от любой точки можно отложить век¬
тор, равный данному, и притом только один.
Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов.
В чём заключается правило треугольника сложения двух век¬
торов?
Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство
а + 0 = а.
Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения век¬
торов.
В чём заключается правило параллелограмма сложения двух
неколлинеарных векторов?
В чём заключается правило многоугольника сложения не¬
скольких векторов?
Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте
разность двух данных векторов.
Какой вектор называется противоположным данному? Сфор¬
мулируйте и докажите теорему о разности векторов.
Какой вектор называется произведением данного вектора на
данное число?
Чему равно произведение ka, если: а) а = 0; б) Л = 0?
Могут ли векторы а и ka быть неколлинеарными?
Сформулируйте основные свойства умножения вектора на
число.
Приведите пример применения векторов к решению геометри¬
ческих задач.
Какой отрезок называется средней линией трапеции?
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тра¬
пеции.
Дополнительные задачи
Докажите, что если векторы т и п сонаправлены, то
|m + n| = |zn| + |n|, а если тип противоположно направлены,
причём |/п|>|п|, то|т + п| = |т|-|л|.
Докажите, что для любых векторов х и у справедливы нера¬
венства |x|-|i/|C|x + y|<|x| + |y|.
На стороне ВС треугольника ЛВС отмечена точка N так, что
BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и £=ВС.
209 Векторы

803	На сторонах MN и NP треугольника MNP отмечены соответ¬
ственно точки X и Y так, что = 77 и V7T = Выразите
Л 2 V	&	Y1	£
векторы XY и МР через векторы а = NM и b = NP.
804	Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основа¬
ния ВС. На стороне AD отмечена такая точка К, что
АК = ^AD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы
а = ВА и ?=CD.
805	Три точки Л, В и С расположены так, что ВС = ±АВ.
Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
ОВ=-ОА + -ОС.
3	3
806	Точка С делит отрезок ЛВ в отношении т : п, считая от точ¬
ки А. Докажите, что для любой точки О справедливо ра¬
венство
ОС = —— ОА + —— ОВ.
т + п т + п
807	Отрезки AAlt BBt и CCt — медианы треугольника АВС,
О — произвольная точка. Докажите, что
ОА + ОВ + ОС = оХ +	+ OCi-
808* Точки Л и С — середины противоположных сторон произ¬
вольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух
других его сторон. Докажите, что для любой точки О верно
равенство
О А + ОС = О В + OD.
809	Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите
её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боко¬
вая сторона трапеции равны а.
810	Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами
двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит
на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе V
Дан выпуклый шестиугольник А1А2А3А4А3Ав, все углы кото¬
рого равны. Докажите, что
AjA2 — Л4Л5 = Л5Лв — А2А3 - А3Л4 — ЛвЛр
Положительные числа alt a2, <h> аь и ав удовлетворяют
условиям Oj - а4 = а5 - а2 = а3 - а6. Докажите, что существу¬
ет выпуклый шестиугольник А1А2А3А4А3А3, все углы кото¬
рого равны, причём AlA2 = alt А2А3 = а2, А3А4 = а3, А4Ай = а4,
A5y4e = а5 и AftAj = tie.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму про¬
извольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать пар¬
кет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пере¬
секаются.
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две про¬
тивоположные вершины лежат по разные стороны от прямой,
проходящей через две другие вершины.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про¬
ведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D
перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е.
Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из
точек В и I) к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше пе¬
риметра, но больше половины периметра.
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на
четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите,
что этот четырёхугольник — ромб.
Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих дан¬
ную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей
через эту точку.
Докажите, что прямая, проходящая через середины основа¬
ний равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основани¬
ям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника обра¬
зовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхуголь¬
ник — квадрат.
На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов
являются вершинами квадрата.
Задачи повышенной
трудности

834
835
836
837
838
839
840
841
842
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересека¬
ются в точке О. Г1лощади треугольников ВОС и AOD равны
Я, и S2. Найдите площадь трапеции.
Через концы меньшего основания трапеции проведены две
параллельные прямые, пересекающие большее основание.
Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь
треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь
пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников,
прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию тра¬
пеции.
Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD
четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точ¬
ках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и
АКВ равны.
Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В
на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на от¬
резок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. До¬
кажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК
равны.
Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух проти¬
воположных сторон выпуклого четырёхугольника на три рав¬
ные части. Докажите, что площадь той части четырёхуголь¬
ника, которая заключена между этими отрезками, в три раза
меньше площади самого четырёхугольника.
Середины К и М сторон АВ и IX? выпуклого четырёхуголь¬
ника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и МВ соот¬
ветственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёх¬
угольника, заключённого между этими отрезками, равна
сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторо¬
нам AD и ВС.
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки
А до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние от точки А
до вершины угла.
Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма
ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите
площадь этого параллелограмма, если площади треугольни¬
ков КВС и CDM равны соответственно 5^ и S2-
Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и
отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К
параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т,
а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку
CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые
BE и СТ параллельны.
л • Задачи повышенной
213 трудности

853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
Из точки М внутренней области угла АОВ проведены перпен¬
дикуляры МР и MQ к его сторонам О А и ОВ. Из точек Р и Q
проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОВ и
О А. Докажите, что RSLOM.
В равнобедренном треугольнике АВС из середины D осно¬
вания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть
М — середина отрезка DII. Докажите, что ВМ ± АН.
Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольни¬
ка АВС проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точ¬
ки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Дока¬
жите, что:
а)	CD* = АВ-АЕ-BF;
б)	AE2 + BF2 + 3CD2 = АВ2;
в)	У АЕ2 + HBF2 = У АВ2.
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются
в точке Р. Известно, что ZADP = - ZPDC, ZADP = — ZPAD и
2	3
AD = BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника, б) До¬
кажите, что АВ2 = ВР • BD.
Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны паралле¬
лограмма ABCD. Докажите, что существуют точки W, Р и Q,
расположенные так, что Л, В, С и D являются соответственно
серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.
Докажите, что если противоположные стороны выпуклого
четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше
отрезка, соединяющего середины двух других противополож¬
ных сторон.
Докажите, что если сумма расстояний между серединами про¬
тивоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна по¬
ловине его периметра, то этот четырёхугольник — параллело¬
грамм.
Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, ра¬
вен полусумме двух других сторон, то этот четырёхуголь¬
ник — трапеция или параллелограмм.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Тре¬
угольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции,
равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами
которого являются середины отрезков О A, OD и ВС, равносторон¬
ний.
Из вершины А треугольника АВС проведены перпендикуля¬
ры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треуголь¬
ника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен
половине периметра треугольника АВС.
_ Задачи повышенной
215 трудности

863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
Отрезки AAlf ВВХ и ССХ соединяют вершины треугольника
АВС с внутренними точками противоположных сторон. Дока¬
жите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Середины трёх высот треугольника лежат на одной прямой.
Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
В треугольнике АВС, сторона АС которого в два раза больше
стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внеш¬
него угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точ¬
ке К. Докажите, что
— JL Q — Q 1 Q
^псм - 2 лс.м — ^лпс ~ ~2'эс.мк'
Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам
S 3
треугольника ЛВС. Докажите, что gFO = —.
^лвс 4
В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А и
делящая медиану ВМ в отношении 1:2, считая от вершины,
пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площа¬
дей треугольников АВК и АВС.
Через вершину Л параллелограмма ABCD проведена прямая,
пересекающая прямые В 71, CD и ВС соответственно в точках
М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним про¬
порциональным между MN и МР.
Постройте точку, принадлежащую большему основанию рав¬
нобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой сторо¬
ны в л раз дальше, чем от другой (л = 2, 3, 4).
Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой
АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы -А2. =
ли задача имеет решение?	СВ
Всегда
Постройте равнобедренный треугольник по углу между боко¬
выми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к
основанию.
Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла
между ними.
Постройте треугольник АВС, если даны ZA, ZC и отрезок,
равный сумме стороны АС и высоты ВН.
Постройте треугольник по трём высотам.
Постройте трапецию по боковой стороне, большему основа¬
нию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата,
если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно
отношению данных отрезков.
Задачи повышенной
трудности
216

Задачи к главе VIII
877	Две окружности имеют единственную общую точку М. Через
эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окруж¬
ность в точках А и Л„ а другую — в точках В и В,. Докажи¬
те, что AAt || ВВР
878	Прямая АС — касательная к окружности с центром О,, а пря¬
мая BD — касательная к окружности с центром Ог (рис. 270).
Докажите, что:
а)	AD || ВС;
б)	ЛВ2=Л7) ВС;
в)	BD2: AC2=AD:BC.
879	Точки Вх и Су — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите,
что AM = AN.
880	Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются
в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажи¬
те, что расстояния от точки пересечения этих прямых до кон¬
цов той и другой хорды соответственно равны между собой.
881	Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величи-
АВ2 ...	'
на ———, где AD расстояние от точки А др касательной в
ЛВ
точке В, имеет одно и то же значение.
882	Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в
точках Oi и О2 проведена прямая, пересекающая одну окруж¬
ность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отре¬
зок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой
О,О2.
883	Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На
каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отре¬
зок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой
АВ. Найдите множество концов построенных таким образом
отрезков.
884	Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята
точка М так, что ZBMC = 30°, Z.BMA = 17°. Найдите углы
В А М и ВСМ.
Рис. 271
Задачи повышенной
трудности
217

885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
Через каждую вершину треугольника АВС проведена прямая,
перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой
вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый
треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника ле¬
жат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника АВС.
Пусть II — точка пересечения прямых, содержащих высоты
треугольника АВС, а Л', В', С — точки, симметричные точ¬
ке Н относительно прямых ВС, С А, АВ. Докажите, что точ¬
ки А', В', С лежат на окружности, описанной около треуголь¬
ника АВС.
Отрезок BD— биссектриса треугольника АВС. Докажите, что
BD2 = AB BC-AI) DC.
Из вершины В треугольника АВС проведены высота ВН и
биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную
около треугольника окружность с центром О. Докажите, что
луч BE является биссектрисой угла ОВН.
Произвольная точка X окружности, описанной около равно¬
стороннего треугольника АВС, соединена отрезками с его вер¬
шинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен
сумме двух других отрезков.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольни¬
ка перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных
сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной
окружности.
В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссект¬
рисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне
CD. Докажите, что CD = BC + AD.
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной
около окружности, равна произведению её оснований.
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в
окружность, произведение диагоналей равно сумме произведе¬
ний противоположных сторон (теорема Птолемея).
Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной
окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние
d между центрами этих окружностей связаны равенством
d2 = R2- 2Rr (формула Эйлера).
Для неравностороннего треугольника АВС точка О являет¬
ся центром описанной окружности, II — точка пересечения
прямых, содержащих высоты АА1У ВВХ и СС1У точки А2, В2,
С2 — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки А3, В3, С3 — се¬
редины сторон треугольника АВС. Докажите, что точки At,
Clt А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на одной окружности
(окружность Эйлера).
о в Задачи повышенной
218 трудности

896	Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из
произвольной точки окружности, описанной около треуголь¬
ника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника,
лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
897	Постройте общую касательную к двум данным окружностям.
898	Даны окружность с центром О, точка М и отрезки PXQX и
P2Q2. Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на
ней хорду, равную PXQX1 и расстояние от точки М до прямой р
равнялось P2Q2.
899	Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходя¬
щую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из
всех хорд, проходящих через эту точку.
900	Постройте треугольник:
а)	по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой
к данной стороне;
б)	по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и
периметру.
901	Постройте треугольник, если дана описанная окружность и
на ней точки А, В и Л/, через которые проходят прямые, со¬
держащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, про¬
ведённые из одной вершины.
902	Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте
треугольник, для которого эти точки являются основаниями
высот. Сколько решений имеет задача?
Задачи к главе IX
903	Докажите утверждения об основных свойствах умножения
вектора на число (п. 86).
Решение
1.	Докажем, что для любых чисел А, I и любого вектора а
справедливо равенство (kl) а = k (la). Если а = 0, то справедли¬
вость этого равенства очевидна. Пусть а -/ О. Имеем: | (kl) а | =
= | kl 11 а | = | k 11111 а | = | k 11la | = | k (la) |.
Далее, если то (kl)a\\a и fc(Za)tta; если же kl<Qy то
(kl) a tl а и k (la) tl а. И в том и в другом случае (kl) a tt k (la).
Следовательно, (kl) a = k (la).
2.	Докажем, что для любого числа k и любых векто¬
ров а и b справедливо равенство k (а + b) = ka + kb. Если
Л = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть
k*0.
о _ Л Задачи повышенной
219 трудности

904
905
Рис.
А
Рассмотрим случай, когда векторы а и ft не коллинеарны
(случай а || b рассмотрите самостоятельно). Отложим от ка¬
кой-нибудь точки О векторы ОАх = а и OA = ka, а от точек
Ах и А — векторы АХВХ = Ь и AB = kb (рис. 272, а, б). Тре¬
угольники ОАХВХ и ОАВ подобны с коэффициентом подобия
|ft|. Следовательно, ОВ kOBx = k (а + b). С другой стороны,
ОВ - О А + АВ = ka + kb. Итак, k (а + ft) = ka + kb.
3.	Докажем, что для любых чисел ft, I и любого вектора а
справедливо равенство (k + /) а = ka + la. Если ft = Z = О, то спра¬
ведливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из
чисел ft, I отлично от нуля. Для определённости будем счи¬
тать, что | ft | > 111, и, следовательно, ft Ф 0 и |у | < 1.
Рассмотрим вектор а + — а. Очевидно, (а + — a) tt а. Далее,
ft	ft
I а + |а| = | а | + || а | =(1 + -Ц |£|.
ft	ft \ ft у
Следовательно, согласно определению произведения вектора
на число, a + -j- а =(1 + а. Умножая обе части этого равен¬
ства на ft, получим, что справедливо равенство ka + la = (ft + Z) a.
Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет
собой данный четырёхугольник, если ON -ОМ = ОР -OQ?
Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки В, F, G и И
симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС,
CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёх¬
угольник EFGIPI
Задачи повышенной
трудности
220

906	Дан треугольник АВС. Докажите, что вектор + АС на-
|АВ| |АС|
правлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор	— вдоль
|АВ| |АС|
биссектрисы внешнего угла при вершине А.
907	Докажите следующее утверждение: три точки Л, В и С ле¬
жат на одной прямой тогда и только тогда, когда существу¬
ют числа Л, I и /п, одновременно не равные пулю, такие, что
k + 1 + т = 0 и для произвольной точки О выполняется равен¬
ство kb А + 1ОВ + тОС = О.
908	Используя векторы, докажите, что середины диагоналей че¬
тырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
909	Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при вершинах
А, В и С пересекают прямые ВС, С А и АВ соответственно в
точках Л1, Вх и С>. Используя векторы, докажите, что точки
Ai, By и Ci лежат на одной прямой.
910	Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты
неравностороннего треугольника АВС, а О — центр описанной
около этого треугольника окружности. Используя векторы,
докажите, что точка G пересечения медиан треугольника при¬
надлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1,
считая от точки Н, т. е. - 2.
GO

Глава X
Метод координат
С понятием декартовой прямоугольной системы координат вы
знакомы по курсу алгебры. Введение системы координат по¬
зволяет описывать геометрические фигуры, в частности окруж¬
ности и прямые, с помощью уравнений, что даёт возможность
применять в геометрии алгебраические методы. Так, например,
написав уравнения двух данных окружностей, можно с их по¬
мощью исследовать взаимное расположение этих окружностей.
Наряду с координатами точек будут введены координаты векто¬
ров и тем самым будет расширен координатно-векторный аппа¬
рат геометрии.
Я Координаты вектора
89	Разложение вектора по двум			—
неколлинеарным векторам	•
Докажем сначала	лемму1	о коллинеарных	_
векторах.	ka
Лемма	1б|
,	.	=|«-|
Если векторы а и b коллинеарны и а/О, то
существует такое число k, что b = ka.
7
Доказательство
Возможны два случая: a tt b и a 11 Ъ. Рас- а
смотрим эти случаи в отдельности.	_
■* *	1ъ1	-
1) a tt Ь. Возьмём число k = -Щ. Так как '
_ |а|	|Г|
Л^О, то векторы ka и b сонаправлены	к =—~
(рис. 273, а). Кроме того, их длины равны:	|«|
| fca | = |Л|• |а | = -Щ -|а| = |д|. Поэтому b-ka.	б>
,а|	Рис. 273
1 Леммой называется вспомогательная теорема, с по¬
мощью которой доказывается следующая теорема
или несколько теорем.
222 Глава X

точку пересечения этой прямой с прямой О А.
По правилу треугольника р = ОАх + АХР. Но век¬
торы ОД, и А,Р коллинеарны соответственно
векторам а и Ь, поэтому существуют такие чис¬
ла и у, что ОА, = ха, AiP = xd. Следователь¬
но, р = ха + yby т. е. вектор р разложен по векто¬
рам а и Ь.
Докажем теперь, что коэффициенты х и у
разложения определяются единственным обра¬
зом. Допустим, что наряду с разложением
p = xa^yb имеет место другое разложение
Р-хха + ухЬ. Вычитая второе равенство из перво¬
го и используя правила действий над векторами,
получаем О = (х - х,) а + (у - </,) Ь. Это равенство
может выполняться только в том случае, когда
коэффициенты х-хх и у-ух равны нулю. В са¬
мом деле, если предположить, например, что
х-х^о, то из полученного равенства найдём
д = * Z а значит, векторы а и b коллинеарны.
Но это противоречит условию теоремы. Следова¬
тельно, х-х, = О и у -ух = О, откуда х = х, и у = ух.
Это и означает, что коэффициенты разложения
вектора р определяются единственным образом.
Теорема доказана.
90	Координаты вектора
Понятие прямоугольной системы коорди¬
нат (или, как иногда говорят, декартовой систе¬
мы координат) нам известно из курса алгебры.
Напомним, что для задания прямоуголь¬
ной системы координат нужно провести две вза¬
имно перпендикулярные прямые, на каждой
из них выбрать направление (оно обозначается
стрелкой) и выбрать единицу измерения отрез¬
ков. При выбранной единице измерения отрезков
длина каждого отрезка выражается положитель¬
ным числом.
224 Глава X

В дальнейшем под длиной отрезка мы бу¬
дем понимать это число.
Отложим от начала координат О единичные
векторы (т. е. векторы, длины которых равны
единице) i и j так, чтобы направление вектора i
совпало с направлением оси Ох, а направление
вектора j — с направлением оси Оу (рис. 275).
Векторы i и j назовём координатными векто¬
рами.
Координатные векторы не коллинеар¬
ны, поэтому любой вектор р можно разложить
по координатным векторам, т. е. представить
в виде p = xi + yjy причём коэффициенты разло¬
жения (числа х и у) определяются единствен¬
ным образом. Коэффициенты разложения век¬
тора р по координатным векторам называются
координатами вектора р в данной системе ко¬
ординат. Координаты вектора будем записы¬
вать в фигурных скобках после обозначения
вектора: р{х\у}. На рисунке 275 ОА {2; 1} и
Ь{3;—2}.
Так как нулевой вектор можно предста¬
вить в виде 0 = О • I + О • /, то его координаты рав¬
ны нулю: 0 {О; О}. Если векторы a = xxi + yj и
b = x2i + y?j равны, то х, = х2 и ух = у2. Таким обра¬
зом, координаты равных векторов соответствен¬
но равны.
Рассмотрим правила, позволяющие по ко¬
ординатам векторов находить координаты их
суммы, разности и произведения вектора на
число.
1°. Каждая координата суммы двух или более
векторов равна сумме соответствующих коорди¬
нат этих векторов.
Докажем это утверждение для двух век¬
торов. Рассмотрим векторы а {х,; ух} и b {х2; уг}.
Так как а = xxi + yxj и b = x2i + yj, то, пользуясь
225
о Г
Рис. 275
Метод координат

свойствами сложения векторов и умножения век¬
тора на число, получим:
а + b = x(i + у J+ x2Z+ yj= (xt + х2) 7+ (yt + у2) j.
Отсюда следует, что координаты вектора
а + b равны {хг + х2; ух + у2}.
Аналогично доказывается следующее утверж¬
дение:
2°. Каждая координата разности двух векто¬
ров равна разности соответствующих координат
этих векторов.
Иными словами, если a {xt; t/J и Ь {х2; у2} —
данные векторы, то вектор а-b имеет коорди¬
наты {х, -х2; ух - у2]. Проведите доказательство
самостоятельно.
3°. Каждая координата произведения вектора
на число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
В самом деле, пусть вектор а имеет коор¬
динаты {х\у}. Найдём координаты вектора ka,
где k — произвольное число. Так как а - xi + yj,
то ka = kxi + kyj. Отсюда следует, что координаты
вектора ka равны {kx; ky}.
Рассмотренные правила позволяют опреде¬
лить координаты любого вектора, представленно¬
го в виде алгебраической суммы данных векто¬
ров с известными координатами. Пусть,
например, требуется найти координаты вектора
р = 2а-^£+с, если известно, что а{1;-2},
b {О; 3}, с {—2; 3}.
По правилу 3° вектор 2а имеет координаты
{2; -4}, а вектор Ь координаты {О; -1}. Так как
р = (2а) + (-— Ь) + с, то координаты вектора р мож-
3
но найти по правилу 1°: {2 + О - 2;-4 - 1 + 3}.
Итак, вектор р имеет координаты {О; -2}.
226 Глава X

Задачи
911
912
913
914
915
916
917
918
□ Найдите такое число Аг, чтобы выполнялось равенство
n = km, если известно, что: а) векторы пг и п противоположно
направлены и |/п| = 0,5см, |п| = 2см; б) векторы тип сона¬
правлены и | т | = 12 см, | п | = 24 дм; в) векторы тип противо¬
положно направлены и |т| = 400мм, | лг | = 4 дм; г) векторы
тип сонаправлены и | т | = 42 см, | п | = ТбО см.
Л Диагонали параллелограмма ABCD пере¬
секаются в точке О, М — середина отрез¬
ка АО. Найдите, если это возможно, та¬
кое число /г, чтобы выполнялось равенство:
a) AC = kAO; б) BO = kBD; в) OC = kCA;
г) AB = kDC; д) BC = kDA; е) AM = kCA;
ж) MC = kAM- з) AC = kCM; и) AO = kBD.
«=] Векторы а и b коллинеарны. Коллинеар¬
ны ли векторы: а) а + 36 и а; б) Ь-2а и а?
Ответ обоснуйте.
Докажите, что если векторы а и 6 не кол¬
линеарны, то: а) векторы а + b и а-b не
коллинеарны; б) векторы 2а - Ъ и а + 6 не
коллинеарны; в) векторы а + 6 и а + 36 не
коллинеарны.
Точка М лежит на диагонали АС параллело¬
грамма ABCD, причём AM : МС = 4 : 1. Разло¬
жите вектор AM по векторам а = АВ и 6 = AD.
Векторы а и 6 не коллинеарны. Найди¬
те числа х и у, удовлетворяющие равенст¬
ву: a) 3a-x6 = i/a + 6; б) 4<z-xa + 56 + j/6 = 0;
в) ха + 36 - yb = О; г) а + 6 - 2уа + хЬ = О.
Начертите прямоугольную систему коорди¬
нат Оху и координатные векторы i и J. По¬
стройте векторы с началом в точке О, задан¬
ные координатами а {3; О}, 6 {2; -1}, с {О; -3},
d{l; 1}, e{2;V2}.
Разложите векторы а, 6, с, d, е и jf, изобра¬
жённые на рисунке 276, а, б, в, по координат¬
ным векторам I и j и найдите их координаты.
в)
Рис.276
227
Метод координат

919	□ Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, Ь=——Г+2/,
c = Si, 3=i-J, ?=-2j, f=-i.
920	□ Запишите разложение по координатным векторам i и j
вектора: а) х{-3;1}; б)	в) ?{-1;0}; г) и {О; 3};
Д) v {0; 1}.
921	□ Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: a) xi + </?=
= 5i - 2j; б) -3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj = -4?; r) xi + yj= 0.
922	□ Найдите координаты вектора a + b, если: a) a{3; 2}, b {2; 5};
6)	a {3; -4}, b {1; 5}; в) a {-4; -2}, b {5; 3}; r) a {2; 7}, b {-3; -7}.
923	□ Найдите координаты вектора a -b, если: a) a {5; 3}, b {2; 1};
б)	a{3; 2}, b{-3; 2}; в) a{3;6}, d{4;-3}; r) a {-5; -6}, b {2; -4}.
924	□ Найдите координаты векторов 2a, За, -а, -За, если а {3; 2}.
925	Даны векторы а {2; 4}, &{-2;0}, с {О; О}, d {-2; -3}, е(2;-3},
f {О, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных дан¬
ным.
926	□ Найдите координаты вектора и, если: а) и = За - 3d, а {2; -5},
5{-5; 2}; б) v = 2a-3d + 4c, a {4; 1}, d{l; 2}, с (2; 7);
в)	p=3a-2d-|c, a{-7;-l}, d{-l;7}, с {4;-6};
г)	a = a-d-c, a{7;-2}, d{2; 5}, c{-3;3}.
927	Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты
одного вектора пропорциональны координатам другого. Сфор¬
мулируйте и докажите обратное утверждение.
928	□Даны векторы a{3;7}, b{-2; 1}, с(6; 14}, d{2;-l}, е{2;4}.
Укажите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.
§2
Простейшие задачи в координатах
91	Связь между координатами
вектора и координатами
его начала и конца
Рассмотрим прямоугольную систему коор¬
динат и какую-нибудь точку М с координатами
(х; у). Напомним, как определяются числа х и у.
22В Глава X

О В и О А. Но ОВ и О А — радиус-векторы точек
В и Л, и, значит, О В имеет координаты {х2; yz},
а ОА имеет координаты {хх; ух}.
Следовательно, вектор АВ имеет координа¬
ты {xz-x^yz-yx}.
Таким образом, каждая координата векто¬
ра равна разности соответствующих координат
его конца и начала.
На рисунке 275 точки В и С имеют коор¬
динаты (1; 4) и (4; 2), поэтому координаты векто¬
ра ВС равны {3; -2}.
92	Простейшие задачи в координатах
Введение системы координат даёт возмож¬
ность изучать геометрические фигуры и их свой¬
ства с помощью уравнений и неравенств и, таким
образом, использовать в геометрии методы алгеб¬
ры. Такой подход к изучению свойств геометри¬
ческих фигур называется методом координат.
Решим три вспомогательные задачи а) — в).
а)	Координаты середины отрезка. Пусть в
системе координат Оху точка А имеет координа¬
ты (хх; ух}, а точка В — координаты (x2;t/2). Вы¬
разим координаты (х; у) середины С отрезка АВ
через координаты его концов.
Так как точка С — середина отрезка ЛВ, то
ОС = ±(ОА + ОВ).	(1)
(Это равенство было доказано в п. 87.)
Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны
соответствующим координатам точек С, А и В:
ОС {х; у}, ОА {хх; ух}, ОВ {х2; уг}- Записывая ра¬
венство (1) в координатах, получим:
_ хх + х2 _ ух + уг
2	’ У 2	’
Таким образом, каждая координата сере¬
дины отрезка равна полусумме соответствующих
координат его концов.
230 Глава X

Рис. 280
б)	Вычисление длины вектора по его коор¬
динатам. Докажем, что длина вектора а {х; у}
вычисляется по формуле
\£\=4^р.
Отложим от начала координат вектор
О А = а и проведём через точку А перпендикуля¬
ры ААХ и АА2 к осям Ох и Оу (рис. 280). Коор¬
динаты точки А равны координатам вектора ОА,
т. е. (х; у). Поэтому OAt = | х|, ААх = ОА2 = \у | (мы
рассматриваем случаи, когда х^О и у*0; другие
случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме
Пифагора
О Л =	- 4^7-
Но |а| = |ОА| = ОЛ, поэтому | а | = 7*2 + if2,
что и требовалось доказать.
в)	Расстояние между двумя точками. Пусть
точка Мх имеет координаты (хх',ух), а точка
Мг — координаты (х2; у2). Выразим расстояние d
между точками М, и Л/2 через их координаты.
Рассмотрим вектор МХМ2. Его координаты
равны {x2-Xj, У2-У1}. Следовательно, длина это¬
го вектора может быть найдена по формуле
I I = 7(Ж«-*|)* + (»,-У|)г-
Но \MxM2\ = d. Таким образом, расстояние
d между точками Мt (Х1; ух) и М2 (х2; у2) выража¬
ется формулой
d = >1(х2-х1)г + (у2-ух)2.
Задачи
929	<_] Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точ¬
на # — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты
вершин треугольника АВО, если: а) ОА = 5, ОВ = 3; б) ОА = а,
OB = b.	’	’
930	□ Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В —
на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин
прямоугольника ОАСВ, если: а) ОА = 6,5, ОВ = 3; б) ОА = а,
Метод координат

931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вер-	Я
шина Р имела координаты (-3; 3), а диаго-	Д
пали квадрата пересекались в начале ко-
ординат. Найдите координаты точек М, N / \
HQ.	/	\
Найдите координаты вершин равнобедрен- —f►
ного треугольника АВС, изображённого на л
рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО рис 281
равна h.
□	Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD,
если А (0; 0), В (5; 0), С (12; -3.).
□	Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его
начала и конца: а) Л (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27);
в)	А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0).
□	Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и
найдите х и у:
Л
(0; 0)
(х; -3)
(а; 6)
О ', 2)
в
(1; 1)
(2;-7)
(3; 1)
АВ
{5-, У}
{-3; --}
2
{c;d}
{0; 0}
□ Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для
вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните
пустые клетки:
л
(2;-3)
(0;1)
(0; 0)
(е; d)
(3; 5)
(3* + 5; 7)
(1;3)
в
(-3; 1)
(4; 7)
(-3; 7)
(3; 8)
0+ 7; -7)
м
(-3;-2)
(3;-5)
(а; Ь)
(0; 0)
□	Даны точки А (0; 1) и В(5;-3). Найдите координаты точек
С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС,
а точка I) — середина отрезка ВС.
□	Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4};
в) с (-10; -10}; г) d{10; 17}; д) е (11; -11}; е) /{10; 0}.
□	Найдите расстояние от точки М (3;-2): а) до оси абсцисс;
б) до оси ординат; в) до начала координат.
□	Найдите расстояние между точками Л и В, если:
а) Л (2; 7), В (-2; 7); б) Л (-5; 1), В (-5;-7); в) Л (-3; 0),
В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0).
□	Найдите периметр треугольника MNP, если М(4;0к
N(12;-2), Р(5;-9).
232 Глава X

942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
□ Найдите медиану AM треугольника ЛВС, вершины которо¬
го имеют координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2).
Точки В и С лежат соответственно на положительных полу¬
осях Ох и О</, а точка А лежит па отрицательной полуоси Ох,
причём ОА = а, OB = b, OC=h. Найдите стороны АС и ВС тре¬
угольника ЛВС.
Вершина Л параллелограмма ОАСВ лежит на положитель¬
ной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (Ь; с), а ОА = а.
Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону ЛС и диаго¬
наль СО.
Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с осно¬
ваниями О А = а и ВС = d, если точка Л лежит на положитель¬
ной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (ft; с).
Найдите х, если: а) расстояние между точками Л (2; 3) и
В(х;1) равно 2; б) расстояние между точками Afj(-l;x) и
М2 (2х; 3) равно 7.
Докажите, что треугольник ЛВС равнобедренный, и найдите
его площадь, если вершины треугольника имеют координаты:
а) Л (0; 1), В(1;-4), С (5; 2); б) Л (-4; 1), В (-2; 4), С(0; 1).
На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек:
а) Л (-3; 5) и В (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).
На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек:
а) Л(1;2) и В(-3; 4); б) С(1; 1) и Р(3;5).
Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллело¬
граммом, и найдите его диагонали, если:
а)	М (1; 1), 2V(6; 1), Р(7;4), Q(2;4);
б)	М (-5; 1), ЛЦ-4;4), Р(-1; 5), Q(-2;2).
Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголь¬
ником, и найдите его площадь, если:
а)	Л(-3;-1), В(1;-1), C(l;-3),	(-3;-3);
б)	Л (4; 1), В (3; 5), С(-1;4), В(0;0).
Применение метода координат к решению задач
Формулы координат середины отрезка и расстояния меж¬
ду двумя точками можно использовать для решения более
сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести
прямоугольную систему координат и записать условие задачи
в координатах. После этого решение задачи проводится с по¬
мощью алгебраических вычислений.
Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треуголь¬
ника равноудалена от всех его вершин.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым
углом С. Обозначим буквой М середину гипотенузы Л В.
Метод координат

Введём прямоугольную систему коорди¬
нат так, как показано на рисунке 282.
Если ВС = а, ЛС = ЬУ то вершины тре¬
угольника имеют координаты С (О; О),
В (а; О), А(О;д). По формулам координат
я
С(0;0) В(а;О) *
Рис. 282
середины отрезка находим координаты
точки М:
Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, най¬
дём длины отрезков МС и МЛ:
Таким образом, МА = МВ = МС, что и требовалось доказать.
953
954
955
956
Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма
равна сумме квадратов его диагоналей.
Решение
Пусть ABCD — данный параллелограмм.
Введём прямоугольную систему координат
так, как показано на рисунке 283. Если
AD = BC = a, а точка В имеет координаты
(&; с), то точка D имеет координаты (а; О),
а точка С — координаты (а + Ь; с). Исполь¬
зуя формулу расстояния между двумя точ¬
ками, находим:
.у
В(Ь,с) С(а+Ь:с)
Л(0;0) D(a:O) *
Рис. 283
АВ2 = b2 + с2, AD2 = а2, АС2 = (а + b)2 + с2, BD2 = (а-ЪУ + с2.
Отсюда получаем:
АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = 2 (АВ2 + АР2) = 2 (а2 + Ь2 + с2),
АС2 + BD2 = (а + Ь)2 + с2 + (а — Ь)2 + с2 = 2 (а2 + Ь2 + с2).
Таким образом,
АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = AC2 + BP2,
что и требовалось доказать.
Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треуголь¬
ника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см.
Найдите две другие медианы этого треугольника.
Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два
отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую
к меньшей из двух других сторон.
Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
234 Глава X

957	Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то
параллелограмм является прямоугольником.
958	Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной
точки М плоскости справедливо равенство
AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.
§3
Уравнения окружности и прямой
93	Уравнение линии на плоскости
При изучении алгебры мы строили графи¬
ки некоторых функций в прямоугольной систе¬
ме координат, например график функции у-х.
Известно, что графиком этой функции явля¬
ется прямая, проходящая через точки О (О; О)
и Л(1;1) (рис. 284). Координаты любой точки
Af (х> у), лежащей на прямой ОА, удовлетворяют
уравнению у = х (так как ММт = ММ2), а коорди¬
наты любой точки, не лежащей на прямой ОА,
этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что
уравнение у - х является уравнением прямой О А.
Введём теперь понятие уравнения произвольной
линии.
Пусть на плоскости задана прямоугольная
система координат Оху и дана некоторая ли¬
ния L (рис. 285). Уравнение с двумя переменны¬
ми х и у называется уравнением линии L, если
этому уравнению удовлетворяют координаты лю¬
бой точки линии L и не удовлетворяют коорди¬
наты никакой точки, не лежащей на этой линии.
При изучении линий методом координат
возникают две задачи: 1) по геометрическим
свойствам данной линии найти её уравнение;
2)	обратная задача: по заданному уравнению
линии исследовать её геометрические свойства.
В следующем пункте мы рассмотрим первую из
этих задач применительно к окружности. Вторая
задача рассматривалась в курсе алгебры при по¬
строении графиков функций.
Рис. 284
Рис. 285
235
Метод координат

94	Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности радиуса г с
центром С в заданной прямоугольной системе ко¬
ординат. Пусть точка С имеет координаты (х0; у0)
(рис. 286). Расстояние от произвольной точки
Л/ (х; у)до точки С вычисляется по формуле
МС = yj(x - х0)2 + 0/ - У о)2- Если точка М лежит
на данной окружности, то MC = r, MC2 = fiy т. е.
координаты точки М удовлетворяют уравнению
(х - х0)2 + (у - у0У = г2.	(1)
Если же точка М (х; у) не лежит на данной
окружности, то МС2/г^, и, значит, координаты
точки М не удовлетворяют уравнению (1). Сле¬
довательно, в прямоугольной системе координат
уравнение окружности радиуса г с центром в
точке С (х0; у0) имеет вид:
(х-х1)2 + (у-у0)а = г2-
В частности, уравнение окружности радиу¬
са г с центром в начале координат имеет вид:
х2 + у2 = г2.
Задача
Найти уравнение окружности с центром в
точке (-3; 4), проходящей через начало координат.
Решение
Центр окружности имеет координаты
(-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности
можно записать в виде (х + 3)2 + (<у-4)2 = г2, где
г — пока неизвестный радиус окружности. Най¬
дём его. Для этого воспользуемся тем, что окруж¬
ность проходит через начало координат, т. е.
координаты точки О (О; О) удовлетворяют этому
уравнению: (0 + З)2 + (О - 4)2 = г2. Отсюда г2 =25,
и, значит, г=5. Итак, искомое уравнение окруж¬
ности имеет вид (х + З)2 + (</ - 4)2 = 25.
Если раскрыть скобки и привести подоб¬
ные члены, то получится уравнение х2 + у2 +
+ 6x-8i/ = 0, которое также является уравнением
данной окружности.
О
рис. 286
236 Глава X

95	Уравнение прямой
Выведем уравнение данной прямой I в за¬
данной прямоугольной системе координат. От¬
метим две точки A (xt; ух) и В (х2; у2) так, чтобы
прямая I была серединным перпендикуляром к
отрезку АВ (рис. 287, а). Если точка М (х; у) ле¬
жит на прямой Z, то AM = ВМ, или AM2 = ВМ2,
т. е. координаты точки М удовлетворяют урав¬
нению
(х - х,)2 + (у - у,)2 = (х - х2)2 + (у - у2у.	(2)
Если же точка М (х; у) не лежит па прямой
I, то AM2 * ВМ2, и, значит, координаты точки М
не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно,
уравнение (2) является уравнением прямой I в
заданной системе координат. После возведения
выражений в скобках в квадрат и приведения
подобных членов уравнение (2) принимает вид
ах + by + с = О,	(3)
где л = 2(х1-х2), Ь = 2(ух-у2), с = х2 + у2-xf-у*.
Так как А (хх; ух) и В (х2; у2) — различные точки,
то хотя бы одна из разностей (х, - х2) и (ух — у2) не
равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов
а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение
прямой в прямоугольной системе координат яв¬
ляется уравнением первой степени.
Если в уравнении (3) коэффициент b отли¬
чен от нуля, то это уравнение можно записать
так:
у = kx + d,
Жх,;^)
В(х2;у2)
а)
I
	 Л7(>0;у0)
о| [х^
б)
Рис. 287
где k = d = Число k называется угловым
Ь b
коэффициентом прямой, заданной этим уравне¬
нием. Докажите самостоятельно, что:
две параллельные прямые, не параллельные оси
Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты;
если две прямые имеют одинаковые угловые ко¬
эффициенты, то эти прямые параллельны.
237
Метод координат

Выведем уравнение прямой I, проходя¬
щей через точку Af0 (xoJ .Vo) и параллельной оси
Оу (рис. 287, б). Абсцисса любой точки М (х; у)
прямой / равна х0, т. е. координаты любой точ¬
ки М (х; у) прямой I удовлетворяют уравнению
х = х0. В то же время координаты любой точки,
не лежащей на прямой Z, этому уравнению не
удовлетворяют. Следовательно, уравнение х = х0
является уравнением прямой Z.
Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = 0,
а ось Оу — уравнение х = О.
96	Взаимное расположение
двух окружностей
Исследуем взаимное расположение двух
окружностей в зависимости от их радиусов г, R
и расстояния d между их центрами. Для опреде¬
лённости будем считать, что r^R.
Если центры окружностей совпадают, т. е.
d = 0, то окружности называются концентриче¬
скими, и окружность радиуса г лежит внутри
круга радиуса R (рис. 288, а).
Пусть d>0. Введём прямоугольную систе¬
му координат Оху так, чтобы точка О была цент¬
ром первой окружности, а точка с координата¬
ми (d; О) — центром второй окружности. В этой
системе координат уравнения первой и второй
окружностей имеют вид
x* + y2 = R2, (x-d)2 + y2 = f2.	(4)
Если система уравнений (4) имеет решени¬
ем пару чисел х = х0, у = у0, то точка Мо (х0; у0)
является общей точкой данных окружностей
(рис. 288, б), и обратно: если Мо (х0; у0) — общая
точка данных окружностей, то пара чисел х = х0,
у = у0 является решением системы уравнений (4).
Пусть система (4) имеет решением пару чи¬
сел х = х0, у = Уо, т. е. справедливы числовые ра¬
венства
238 Глава X

xo + yo = R2, (х0-ау+у§=^,	(5)
Вычитая из первого равенства второе по¬
лучаем равенство 2xod - d2 = R2 - г2, откуда
*0 = ^(Я2 + <*г-Г2).	(6)
а)
Заметим, что х0 > О, поскольку R г и d > О.
Кроме^гого^как следует из первого равенства (5),
xo = V^2-t/o < т. е. для величин R, г и d
должно выполняться неравенство—(7?2 + d2 - г2) < R
или R2 + d2 - г2 < 2dR. Последнее неравенство за¬
VI
б)
пишем в виде (d - R)2 < г2. Отсюда следует, что
-r^d~ R^.ry или
R-r^d^R + r.	(7)
Отметим, что x0 = R, если d = R-r или
d = R + г, и х0 < R, если R - г < d < R + г.
Итак, если система уравнений (4) имеет
решение, то величина d удовлетворяет неравен¬
ствам (7). Поэтому, если не выполнено какое-то
из неравенств (7), то система (4) не имеет реше¬
ний и, следовательно, данные окружности не
имеют общих точек. Так будет в двух случаях:
1)	d<R-r, т. е. d + r<R (рис. 288, в).
В этом случае окружность радиуса г лежит внут¬
ри круга радиуса R. Говорят также, что одна
окружность лежит внутри другой.
2)	d> R + г (рис. 288, г). В этом случае гово¬
рят, что одна окружность лежит вне другой.
Если неравенства (7) выполнены, то воз¬
У1
d<R-r
в)
,V|
d>A + r
г)
можны три случая:
3)	d = R - г, при этом R>r, поскольку d > О.
Как уже было отмечено, в этом случае х0 = Л,
поэтому из первого из равенств (5) следует, что
t/o = O. Непосредственной проверкой можно убе¬
диться в том, что пара чисел х = Я, ^ = 0 есть ре¬
шение системы (4). Таким образом, в данном слу¬
чае окружности имеют ровно одну общую точку,
и их взаимное расположение изображено на ри¬
сунке 288, д. Говорят, что окружности касаются
(	(Я:(И
d = R~r
д)
V|
+ г
е)
изнутри.
239
Рис.288
Метод координат

4)	d=R +г. В этом случае также х0= R,
поэтому Уо = О, и непосредственно проверяется,
что пара чисел x = R, у = 0 есть решение систе¬
мы (4). Таким образом, в данном случае, как и
в случае 3, окружности имеют ровно одну об¬
щую точку, но их взаимное расположение иное
(рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются
извне.
5)	R- r< d< R+ г. Как уже было отмечено,
в этом случае число х0, определённое равенством
(6), удовлетворяет неравенству х0 < R, поэтому из
первого равенства (5) получаем два значения у0:
У о =	“ хо и У о = ~xjR2 - xj. Нетрудно убе¬
диться в том, что система (4) имеет в данном слу¬
чае два решения: х = х0, у0 = Jr2 - х2 и х = х0,
У = ~>1 R2 ~ хо- Следовательно, окружности пере¬
секаются в двух точках (см. рис. 288, б).
Таким образом, если d^O, то возмож¬
ны пять случаев взаимного расположения двух
окружностей (см. рис. 288, б—е).
Задачи
959	Начертите окружность, заданную уравнением:
а)	х2 + у2 = 9; б) (х - I)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + 5)2 + (t/- 3)2 = 25;
г) (х — 1)2 + у2 = 4; д) х2 + (у + 2)2 = 2.
960	Ы Какие из точек А (3; -4), В (1; О), С (О; 5), D (О; О) и Е (О; 1)
лежат на окружности, заданной уравнением:
а) хг + ^ = 25;б) (х- 1)г + (у + 3)2 = 9; в) (х-|)-у2 = 1?
961	Ы Окружность задана уравнением (х + 5)2 + (у - 1)2= 16. Не
пользуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4),
В (-5; -3), С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:
а)	внутри круга, ограниченного данной окружностью;
б)	на окружности;
в)	вне круга, ограниченного данной окружностью.
962	Даны окружность x2+i/2 = 25 и две точки А (3; 4) и В(4;-3).
Докажите, что АВ — хорда данной окружности.
963	На окружности, заданной уравнением хг + уг = 25, найдите
точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.
240 Глава X

975	Найдите координаты точек пересечения прямой Зх - 4# + 12 - О
с осями координат. Начертите эту прямую.
976	1-1 Найдите координаты точки пересечения прямых 4х + Зу - 6 = О
и 2х + у-4 = 0.
977	Г-1 Напишите уравнения прямых, проходящих через точку
М (2; 5) и параллельных осям координат.
978	Начертите прямую, заданную уравнением: а) у = 3; б) х = -2;
в) у = -4; г) х= 7.
979	U Найдите ординату точки Л/, лежащей па прямой ЛВ, если
известно, что Л (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М равна 5.
980	Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба,
диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известно, что его
диагонали лежат на осях координат.
Использование уравнений окружности и прямой
при решении задач
981
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для
каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше
расстояния от точки В.
Решение
Введём прямоугольную систе¬
му координат так, как показано
па рисунке 289, а. Тогда точки
Л и В имеют координаты Л (О; О),
В (а; О), где а = ЛВ.
Найдём расстояния от произволь¬
ной точки М (х; у) до точек Л и В:
AM = V»2 + у2,
ИМ =	- а)2 + у2.
Если точка М (х; у) принадлежит
искомому множеству, то
ЛМ = 2ВМ, или ЛМ2 = 4ВМ2.
Поэтому её координаты удовлетво¬
ряют уравнению
х2 + у2 = 4 ((х - а)2 + у2). (8)
Если же точка М не принадлежит
искомому множеству, то её коор¬
динаты не удовлетворяют этому
уравнению.
Следовательно, уравнение (8) и
есть уравнение искомого множе¬
ства точек в выбранной системе
Рис. 289
242 Глава X

координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соот¬
ветствующим образом, приводим уравнение (8) к виду
(х-{аУ+»2=(1а)г-
Таким образом, искомым множеством точек является окруж-
2
ность радиуса —а с центром в точке
изображена на рисунке 289, б.
|. Эта окружность
Замечание
Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М,
удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное поло¬
жительное число, не равное единице, является окружность
I»Sg	( 1л
радиуса —	? с центром в точке ——; О .
|А -1|	\ Л -1	)
Эти окружности, соответствующие различным значениям
называют окружностями Аполлония, поскольку они
рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполло¬
нием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.
Если А?= 1, то задача сводится к известной нам задаче о на¬
хождении множества всех точек, равноудалённых от точек
А и В. Таким множеством, как мы знаем, является середин¬
ный перпендикуляр к отрезку АВ.
982
983
984
Точка В — середина отрезка Л С, длина которого равна 2.
Найдите множество всех точек Af, для каждой из которых:
а)	AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + ЗСМ2 = 4.
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек Л/, для
каждой из которых ЛМ2 + ВМ2 = k2, где k — данное число.
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для
каждой из которых AM2- BM2-k, где k — данное число.
Решение
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А
была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0),
где а = АВ. Найдём расстояния от произвольной точки М (х; у)
до точек А и В: AM = ^х2 + у2, ВМ = yj(x - а)2 + у2.
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то
AM2 - ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют
уравнению х2 + у2 - (х - а)2 - у2 = k, или 2ах a2-k = 0.
Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то
её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, по¬
лученное уравнение является уравнением искомого множе¬
ства точек. Но этим уравнением определяется прямая, парал¬
лельная оси Оу, если а2 + k * 0, и сама ось Оу, если а2 + k = 0.
Таким образом, искомым множеством точек является прямая,
перпендикулярная к прямой АВ.
Метод координат

985	Даны две точки Л и В. Найдите множество всех точек М, для
каждой из которых ВМ2 - AM2 = 2АВ2.
986	Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых
(AM2 + DM2) - (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2.
987* Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ь. Найдите
множество всех точек М, для каждой из которых
AM2 + DM2 = ВМ2 + СМ2.
Вопросы для повторения к главе X
1	Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2	Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
3	Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по
двум неколлинеарным векторам.
4	Объясните, как вводится прямоугольная система координат.
5	Что такое координатные векторы?
6	Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произ¬
вольного вектора по координатным векторам.
7	Что такое координаты вектора? Чему равны координаты
координатных векторов? Как связаны между собой координа¬
ты равных векторов?
8	Сформулируйте и докажите правила нахождения координат
суммы и разности векторов, а также произведения вектора на
число по заданным координатам векторов.
9	Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты
точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
10	Выведите формулы для вычисления координат вектора по
координатам его начала и конца.
11	Выведите формулы для вычисления координат середины
отрезка по координатам его концов.
12	Выведите формулу для вычисления длины вектора по его
координатам.
13	Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя
точками по их координатам.
14	Приведите пример решения геометрической задачи с приме¬
нением метода координат.
15	Какое уравнение называется уравнением данной линии?
Приведите пример.
16	Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в
данной точке.
244 Глава X

17
18
19
20
21
22
23
24
988
989
990
991
Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром
в начале координат.
Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе
координат.
Что такое угловой коэффициент прямой?
Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные
оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две
прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти
прямые параллельны.
Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точ¬
ку Мо (х0; у0) и параллельных осям координат.
Напишите уравнения осей координат.
Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в
зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами.
Сформулируйте полученные выводы.
Приведите примеры использования уравнений окружности и
прямой при решении геометрических задач.
Дополнительные задачи
Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если
это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны:
а)	р = 2а - b, q = a + xb;
б)	р = ха - b, q = a + xb;
в)	р = а + xb, q = a- 2Ь;
г)	р = 2а + b, q = xa + b.
Найдите координаты вектора р и его длину, если:
а)	р = 7а-3д, а{1;-1}, ?{5;-2};
б)	р = 4а - 2Ь, а {6; 3), b {5; 4);
в)	р = 5а - 4b, а j, b {6; -1};
г)	р = 3 (-2а-4b), а (1; 5}, Ь {—1;—1}.
Даны векторы а {3; 4}, b {6; -8}, с {1; 5}.
а)	Найдите координаты векторов р = a+ b, q = b +с, г=2а-1) + с,
8 = а-b -с.
б)	Найдите | а |, | b |, | р |, | q |.
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками
Мх (х,; О) и М2(х2;0) оси абсцисс вычисляется по формуле
d = |X1-x2|.
Метод координат

992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
Докажите, что треугольник ЛВС, вершины которого имеют
координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедрен¬
ным, но не равносторонним.
Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если
Л (-5; 6), В (3;-9) и С (-12;-17).
Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:
а)	Р(1; 1), А (5; 4), В (4;-3), С (-2; 5);
б)	D(l;0), А (7;-8), В (-5; 8), С (9; 6).
На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек
Afj (-2; 4) и Mz(6; 8).
Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13),
В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин сторон
треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) сред¬
ние линии треугольника.
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А (3; 2), В (О; 5), С (-3; 2), D (О; -1), явля¬
ется квадратом.
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А (-2;-3), В(1;4), С (8; 7), В (5; О), явля¬
ется ромбом. Найдите его площадь.
Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма
по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и
(-1; 5). Сколько решений имеет задача?
Выясните, какие из данных уравнений являются уравнения¬
ми окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой
окружности:
а)	(х-I)2 + (у + 2)2 = 25;
б)	х2 + (у+7)2=1;
в)	хг + уг + 8х - 4 г/ + 40 = 0;
г)	х2 + уг - 2х + 4у - 20 = О;
д)	x2 + y2-4x-2i/+1 = 0.
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
А (3; О) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.
Напишите уравнение окружности, проходящей через три дан¬
ные точки:
а)	А(1;-4), В (4; 5), С(3;-2);
б)	А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).
Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5),
В(3;-1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпен¬
дикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и С А;
в)	прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
Докажите, что прямые, заданные уравнениями Зх- 1,5у + 1=0
и 2х - у - 3 = О, параллельны.
246 Глава X

1005	Докажите, что точки Л, В и С лежат на одной прямой, если:
а) А (-2; О), в(з; 2-0, С (6; 4); б) А (3; 10), В(3; 12), С(3;-6);
в)	А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).
Применение метода координат к решению задач
1006	Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, про¬
ведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы
треугольника.
1007	Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, равен полуразности оснований.
1008	Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М
величина (ЛМ2 + СМ2) - (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же зна¬
чение.
1009	Докажите, что медиану А А, треугольника ЛВС можно вычис¬
лить по формуле ААХ = i\/2AC2 + 2АВ2 - ВС2. Используя эту
формулу, докажите, что если две медианы треугольника рав¬
ны, то треугольник равнобедренный.
1010	Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для
каждой из которых:
а) 2 AM2 - ВМ2 = 2АВ2; б) 2AM2 + 2ВМ2 = 6АВ2.

Глава XI
Соотношения между сторонами
и углами треугольника. Скалярное
произведение векторов
В этой главе получит дальнейшее развитие тригонометрический
аппарат геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс бу¬
дут определены для углов от 0° до 180°. Это даст возможность
вывести формулы, связывающие между собой стороны и углы
произвольного треугольника. Утверждения об этих формулах на¬
зываются теоремой синусов и теоремой косинусов. Они широко
используются как в самой геометрии, так и в её приложениях, в
частности при проведении измерительных работ на местности.
Кроме того, в этой главе вводится ещё одно действие над век¬
торами — скалярное умножение векгоров. С одной стороны, оно
расширяет наши возможности в применении координатно-век¬
торного метода при решении геометрических задач, а с дру¬
гой — используется в физике для описания физических величин.
Синус, косинус, тангенс,
котангенс угла
97	Синус, косинус, тангенс,
котангенс
Введём прямоугольную систему ко¬
ординат Оху и построим полуокружность
радиуса 1 с центром в начале координат,
расположенную в первом и втором квад¬
рантах (рис. 290). Назовём её единичной
полуокружностью. Из точки О проведём
луч Л, пересекающий единичную полуокруж¬
ность в точке М (х; у). Обозначим буквой а угол
между лучом h и положительной полуосью абс¬
цисс (если луч h совпадает с положительной по¬
луосью абсцисс, то будем считать, что а = 0°).
Если угол а острый, то из прямоугольного
треугольника DOM (см. рис. 290) имеем
М/)
sin а = ——
ОМ
OD
cos а = ——
О М
248 Глава XI

Из первых двух равенств получаем:
^afcsin С = -6с sin А, откуда -Л— = -Л77. Точно
2	2	sin A sin С
так же из второго и третьего равенств следует,
а _ Ь
sin Л sin В
Итак, —-— = ■ ,Ь - = С Теорема дока-
sin А sin В sin С
зана.
Замечание
Можно доказать (см. задачу 1033), что от¬
ношение стороны треугольника к синусу про¬
тиволежащего угла равно диаметру описанной
окружности. Следовательно, для любого тре¬
угольника ЛВС со сторонами АВ = с, ВС-а и
С А = b имеют место равенства
-г1- = -4— = —= 2/?,
sin A sin В sin С
где II — радиус описанной окружности.
102	Теорема косинусов
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон, умноженное на коси¬
нус угла между ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а,
СА = Ь. Докажем, например, что
a2 = b2 + ca-26ccos A.	(1)
Введём систему координат с началом в точ¬
ке Л так, как показано на рисунке 293. Тогда
точка В будет иметь координаты (с; 0), а точ¬
ка С — координаты (6 cos A; 6 sin А). По формуле
расстояния между двумя точками получаем:
ВС2 = a2 = (b cos А - с)2 + b2 sin2 Л =
= Ъ2 cos2 А + Ь2 sin2 А - 2Ъс cos А + с2 =
= 62 + с2 - 2bc cos А.
Теорема доказана.
ClbcosA; 6sinA)
Рис. 293
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
253

Теорему косинусов называют иногда обоб¬
щённой теоремой Пифагора. Такое название объ¬
ясняется тем, что в теореме косинусов содержится
как частный случай теорема Пифагора. В самом
деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то
cos А - cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем
а2 = Ъ2 + с2,
т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
103	Решение треугольников
Решением треугольника называется нахож¬
дение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон
и трёх углов) по каким-нибудь трём данным эле¬
ментам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение тре¬
угольника. При этом будем пользоваться такими
обозначениями для сторон треугольника АВС:
АВ = С, ВС = а, СА = Ь.
Задача 1
Решение треугольника по двум сторонам и
углу между ними
Дано: a, b, ZC. Найти: с, ZAt ZB.
Решение
1.	По теореме косинусов находим с:
с - yja2 + b2 - 2аЬ cos С.
2.	Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
Угол А находим с помощью микрокальку¬
лятора или по таблице.
3.	ZB = 180°-ZA-ZC.
Задача 2
Решение треугольника по стороне и приле¬
жащим к ней углам
Дано: в, ZB, ZC. Найти: ZA, Ъ, с.
254 Глава XI

Решение
1.	ZA = 180°-ZB-ZC.
2.	С помощью теоремы синусов вычисляем
b и с:
b = а^-В t с = в«п£
sin A sin Л
Задача 3
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: a, b и с. Найти: ZA, ZB и ZC.
Решение
1.	По теореме косинусов получаем:
. Ь2 + с2 — а2
cos А =	—.
2Ьс
Угол А находим с помощью микрокаль¬
кулятора или по таблице.
2.	Аналогично находим угол В.
3.	ZC= 180°-ZA-ZB.
Пример
Футбольный мяч находится в точке А фут¬
больного поля на расстояниях 23 м и 24 м от ос¬
нований В и С стоек ворот (рис. 294). Футболист
направляет мяч в ворота. Найдите угол а попа¬
дания мяча в ворота, если ширина ворот рав¬
на 7 м.
Решение
Рассмотрим треугольник АВС, вершина¬
ми которого являются точка А расположения
мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот.
По условию задачи с = АВ = 23 м, Ь = АС = 24 м и
а = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить тре¬
угольник АВС и найти угол а, равный углу А
(см. задачу 3). С помощью теоремы косинусов
определяем cos А:
л Ь2 + сг-а2 242+232-72
cos А =	=

2Ьс	2-24-23
Угол а находим по таблице: а~ 16°57'.
Рис. 294
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
255

104	Измерительные работы
Тригонометрические формулы используют¬
ся при проведении различных измерительных
работ на местности.
Измерение высоты предмета. Предполо¬
жим, что требуется определить высоту АН
какого-то предмета (рис. 295). Для этого отметим
точку В на определённом расстоянии а от основа¬
ния II предмета и измерим угол АВН: ААВН = <х.
По этим данным из прямоугольного треугольни¬
ка АН В находим высоту предмета: АН = a tg а.
Если основание предмета недоступно, то
можно поступить так: на прямой, проходящей
через основание Н предмета, отметим две точ¬
ки В и С на определённом расстоянии а друг от
друга и измерим углы АВН и АСВ: ХАВН = а
и ZACB=p (см. рис. 295). Эти данные позволя¬
ют определить все элементы треугольника ЛВС,
в частности АВ. В самом деле, Z.ABH — внеш¬
ний угол треугольника ЛВС, поэтому ZA=a-p.
Используя теорему синусов, находим ЛВ:
АВ= a8int> .
sin (a - Р)
Из прямоугольного треугольника АВН на¬
ходим высоту АН предмета:
АН - АВ • sin a.
Итак, АН = asinasinfi.
sin(a-P)
Измерение расстояния до недоступной точ¬
ки. Предположим, что нам надо найти рассто¬
яние d от пункта Л до недоступного пункта С
(рис. 296). Напомним, что эту задачу мы уже ре¬
шали в 8 классе с помощью признаков подобия
треугольников. Рассмотрим теперь другой способ
решения задачи — с использованием формул три¬
гонометрии.
На местности выберем точку В и измерим
длину с отрезка ЛВ. Затем измерим, например
А
Н а
Рис. 295
256 Глава XI

1028	□ В параллелограмме ABCD AD = 7^- м, BD-4,4 м, Z.A = 22°30'.
Найдите Z.BDC и ADBC.	3
1029	Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон
равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны а и 0.
1030	Смежные стороны параллелограмма равны а и Ь, а один из
его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и
угол между ними.
1031	|_| Выясните, является ли треугольник остроугольным, пря¬
моугольным или тупоугольным, если его стороны равны:
а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
1032	|_| Две равные по величине силы приложены к одной точке
под углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если
величина их равнодействующей равна 120 кг.
1033	Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу про¬
тиволежащего угла равно диаметру описанной окружности.
Решение
Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольни¬
ка АВС. Докажем, что = 2В, или ВС = 2R sin А.
sin А
Проведём диаметр ВАХ (рис. 297) и рассмотрим треугольник
АХВС (случай, когда точки А, и С совпадают, рассмотрите
самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому
ВС = ВАХ • sin Л,. Но sin A^sin А. Действительно, если точка
А) лежит на дуге ВАС (рис. 297, а), то ZA, = ZA, а если на
дуге BDC (рис. 297,6), то ZA, = 180°-ZA.
И в том, и в другом случае sinA( = sinA.
Следовательно,
ВС = ВАХ • sin А, или ВС = 2R sin А.
1034	□ В равнобедренной трапеции меньшее ос¬
нование равно боковой стороне, большее ос¬
нование равно 10 см, а угол при основании
равен 70°. Найдите периметр трапеции.
1035	В окружности проведены хорды АВ и CD,
пересекающиеся в точке Е. Найдите острый
угол между этими хордами, если
АВ = 13 см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстоя¬
ние между точками В и D равно 4\/з см.
1036	|_| Наблюдатель находится на расстоянии
50 м от башни, высоту которой хочет опре¬
делить (рис. 298). Основание башни он
видит под углом 2° к горизонту, а верши¬
ну — под углом 45° к горизонту. Какова
высота башни?
258 Глава XI

Рис. 298
1037	□ Для определения ширины реки отметили два пункта А и В
на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили
углы С АВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу
у кромки воды. Оказалось, что ХСАВ= 12°30', ZЛBC = 72O42'.
Найдите ширину реки.
1038	□ На горе находится башня, высота которой равна 100 м
(рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюда¬
ют сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту,
а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту II
горы.
зЗ
Скалярное произведение векторов
105	Угол между векторами
Пусть а и Ь — два данных вектора. Отло¬
жим от произвольной точки О векторы О А-а
и ОВ = Ь. Если векторы а и Ь не являются сона¬
правленными, то лучи О А и О В образуют угол
АОВ (рис. 300). Градусную меру этого угла обо¬
значим буквой а и будем говорить, что угол меж¬
ду векторами а и h равен а. Ясно, что а не зави¬
сит от выбора точки О, от которой откладываются
векторы а и Ь (пользуясь рисунком 300, докажите
это). Если векторы а и b сонаправлены, в част¬
ности один из них или оба нулевые, то будем
считать, что угол между векторами а и b равен
259
Рис. 300
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов

0°. Угол между векторами а и Ь обозначается
так: ab.
На рисунке 301 углы между векторами рав¬
ны соответственно: а b = 30", а с = 120°, Ь с = 90°,
d/=0°, de =180°.
Два вектора называются перпендикуляр¬
ными, если угол между ними равен 90°. На ри¬
сунке 301 b 1 с, b 1 d, b 1 f.
Рис.301
106	Скалярное произведение векторов
Мы знаем, как выполняется сложение век¬
торов и умножение вектора на число. Введём ещё
одно действие над векторами — скалярное умно¬
жение векторов.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин па косинус
угла между ними.
Скалярное произведение векторов а и b
обозначается так: а • Ъ или ab.
По определению
а • 6 = | а | • | b | cos (ab).	(1)
Если векторы а и Ь перпендикулярны,
т. е. а Ь = 90°, то cos (а д) = 0, и поэтому а • b = 0.
Обратно: если а • Ь = 0 и векторы а и Ь ненулевые,
то из равенства (1) получаем cos(ad) = 0, и, сле¬
довательно, а b = 90°, т. е. векторы а и b перпен¬
дикулярны.
Таким образом, скалярное произведение
ненулевых векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Из формулы (1) также следует, что скаляр¬
ное произведение ненулевых векторов а и b по¬
ложительно (отрицательно) тогда и только тогда,
когда а b < 90° (а b > 90°).
260 Глава XI

На рисунке 302 ab= 35°, ас= 90°,
b с = 125°, поэтому а -Ь>0, а • с = 0, b • с<0.
Если a tt b, то по формуле (1) получаем
а • Ь = | а | • | Ь |. В частности,
а • а = | а |2.
Скалярное произведение а • а называется
скалярным квадратом вектора а и обозначается
аг. Таким образом, скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
Скалярное произведение векторов широ¬
ко используется в физике. Например, из курса
механики известно, что работа А постоянной
силы F при перемещении тела из точки М в точ¬
ку 7V (рис. 303) равна произведению длин векто¬
ров силы F и перемещения MN на косинус угла
между ними:
A = |F|-|MN|.cos <р.
Правая часть этого равенства представля¬
ет собой скалярное произведение векторов F и
MN, т. е. работа А силы F равна скалярному
произведению векторов силы и перемещения:
A=F’MN.
Рис. 302
Рис. 303
107	Скалярное произведение
в координатах
Скалярное произведение двух векторов мож¬
но вычислить, зная координаты этих векторов.
Теорема
В прямоугольной системе координат ска¬
лярное произведение векторов {xt; ух} и
Ь{х2;у2} выражается формулой
		(2)
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
261

Следствие 2
Косинус угла а между ненулевыми векторами
а 1*4; У\} и Ь {х2; у2} выражается формулой
cos а =
x,x2 + yty2
+v, ■ JxFtvZ’
(5)
В самом деле, так как а • b = | а 11 b | cos а, то
Подставив сюда выражения для а • b, | а | и
I b | через координаты векторов а и Ь, получим
формулу (5).
108	Свойства скалярного
произведения векторов
Скалярное произведение векторов обладает
следующими свойствами:
Для любых векторов a, fe, с и любого числа k
справедливы соотношения:
1°. а 2 > 0, причём а 2 > 0 при а t 0.
2°. а • Ъ = b • а (переместительный закон).
3°. (а + Ь) • с = а • с + Ь • с (распределительный
закон).
4°. (ka) b = k(a • Ь) (сочетательный закон).
Утверждение 1° непосредственно следует
из формулы а • а = | а |2, а утверждение 2° — из
определения скалярного произведения. Докажем
утверждения 3° и 4°.
Введём прямоугольную систему координат
и обозначим координаты векторов а, b и с так:
а </ih b (х2; y2}t с {х3; у3}.
Используя формулу (2), получаем
(а + Ь) • с = (х, + х2) х3 + (i/i +j/2) у3=
= (*1*з + УхУ3) + (х2х3 + У2у3) = ас + Ь’С.
Утверждение 3° доказано.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. С. калярное
произведение векторов
263

Докажем теперь утверждение 4°. Вектор
ka имеет координаты {kxx; kyt}, поэтому (ka)’b =
= (&*,) х2 + (fey,) у2 = fe (х,х2 + уху2) = k(a- b).
Замечание
Ясно, что распределительный закон имеет
место для любого числа слагаемых. Например,
(а + b + с) ‘ d = а ■ d + b • d + c • d.
Задачи
1039	□ Диагонали квадрата ABCD*пересекаются в точке О. Найдите
угол между векторами^ a) АВп АС\ б) АВ и ВА; в) ОА и ОВ;
г)	АО и ОВ; д) О А и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
1040	□ Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диа¬
гональ BD равна стороне ромба. Найдите угол между век¬
торами: а) АВ иАО; б) АВ и DA; в) ВА и AD; г) ОС и OD;
д)	АВ и DA; е) АВ и CD.
1041	□ Вычислите скалярное произведение векторов а и fe, если
| а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
1042	[_] В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведе¬
на высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
а)	АВ • АС; б) АС • СВ; в) АС • ВО; г) АС • АС.
1043	□ К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действу¬
ющие под углом 120° друг к другу, причём | Р | = 8, |Q|=15.
Найдите величину равнодействующей силы R.
1044	□ Вычислите скалярное произведение векторов а и fe, если:
а)	а||; -1|, fe{2; 3}; б) а {-5; 6}, fe{6;5};
в) а {1,5; 2}, b {4; -0,5}.
1045	Докажите, что ненулевые векторы а {х; у} и b {-у; х} перпен¬
дикулярны.
1046	Докажите, что векторы i + j и i-j перпендикулярны, если i и
j — координатные векторы.
1047	□ При каком значении х векторы а и fe перпендикулярны,
если: а) а {4; 5}, fe{x;-6}; б) п{х;-1}, fe{3;2}; в) а{0;-3},
fe{5; х}?
264 Глава XI

1048	_1 Найдите косинусы углов треугольника с вершинами Л (2; 8),
В(-1;5), С(3;1).
1049	□ Найдите углы треугольника с вершинами А (-1; >/3),
В(1;-л/8)ис(|;7з1
1050	LJ Вычислите | а + 61 и | а - 61, если | а | = 5, | b | = 8, ab = 60°.
1051	<_] Известно, что ас = 6с = 60°, |а|=1, |д| = |с| = 2. Вычислите
(а + Ь) • с.
1052	<_] Вычислите скалярное произведение векторов р = а — Ъ — с и
<7 = а-6 + с, если |а| = 5, |д| = 2, |с| = 4 и а 1 Ь.
1053	._] Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если
a = 3p-2q и Ь=р + 4<у, где р и q — единичные взаимно перпен¬
дикулярные векторы.
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
1054	□ Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то
4AM2 = АВ2 + АС2 + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой форму¬
лой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника,
проведённые к боковым сторонам, равны.
Решение
1055
Точка М — середина отрезка ВС, поэтому
Отсюда получаем
(2ЛМ) • (2AM) = (АВ + АС) (АВ + АС) =
= АВ • АВ + 2 АВ-АС + АС>АС =
= АВ2 + 2АВ • АС • cos А + АС2,
или 4АМ2 = АВ2 + АС2 + 2АВ ■ АС • cos А.
Второе утверждение задачи докажите само¬
стоятельно.
Найдите угол, лежащий против основания
равнобедренного треугольника, если медиа¬
ны, проведённые к боковым сторонам, вза¬
имно перпендикулярны.
Решение
2 AM = АВ + АС.
Рис.305
Пусть АВС — равнобедренный треугольник
с основанием АВ и ААЬ ВВ, — его медианы, проведённые к
боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения CAt = a,
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
265

1056
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
CBi = btCAr = CBX = а. Тогда AAr = CAX -CA = a-2b, BBX=CBV -CB=
= b-2a, поэтому
AAi ■ BBt = (a - 2b) (b - 2a) = 5a • b - 2a a - 2b b. (6)
По условию задачи AA^BBi и, следовательно, AAt- ВВ^О.
Далее, a • Ь = аг cos С, a • a = a2, b • b = a2, поэтому равенство (6)
принимает вид О = 5a2 cos С - 4az. Отсюда получаем cosC = y,
ZC~ 36°52'.
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Вопросы для повторения к главе XI
Начертите оси координат и постройте единичную полуокруж¬
ность.
Объясните, что такое синус и косинус утла а из промежутка
0°<а<180°.
Что называется тангенсом утла а? Для какого значения a
тангенс не определён и почему?
Что называется котангенсом угла а? Для каких значений a
котангенс не определён и почему?
Докажите основное тригонометрическое тождество.
Напишите формулы приведения.
Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неот¬
рицательной ординатой через длину отрезка О А и угол между
лучом О А и положительной полуосью Ох.
Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника
(вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу
между ними).
Сформулируйте и докажите теорему синусов.
Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте
три основные задачи на решение треугольника и объясните,
как они решаются.
Объясните, как определить высоту предмета, основание кото¬
рого недоступно.
Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.
Объясните, что означают слова «угол между векторами а и
b равен а». В каком случае угол между векторами считается
равным 0°?
Какие два вектора называются перпендикулярными?
266 Глава XI

16
17
18
19
20
21
22
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
Что такое скалярное произведение двух векторов?
В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов:
а) равно О; б) больше О; в) меньше О?
Выведите формулу, выражающую скалярное произведение
векторов через их координаты.
Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых век¬
торов с координатами {х,; уг} и {х2; у2}.
Выведите формулу, выражающую косинус утла между нену¬
левыми векторами через их координаты.
Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скаляр¬
ного произведения векторов.
Приведите пример использования скалярного произведения
векторов при решении геометрических задач.
Дополнительные задачи
В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ZA = 30°.
Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
□	Найдите площадь треугольника АВС, если:
а)	ВС = 4,125 м, ZB = 44°, ZC= 72°;
б)	ВС = 4100м, ZA = 32°, ZC=120°.
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна
половине произведения его диагоналей на синус угла между
ними.
<=] Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если:
а)	АВ = 8 см, ZA = 30°, ZB = 45°;
б)	ЛВ = 5 см, ZB = 45°, ZC = 60°;
в)	АВ = Зсм, ВС = 3,3 см, ZA = 48°30';
г)	АС = 10,4 см, ВС = 5,2 см, ZB = 62°48'.
□	Используя теорему косинусов, решите треугольник ЛВС,
если:
а)	ЛВ = 5 см, ЛС = 7,5 см, ZA = 135°;
б)	ЛВ = 2>/2дм, ВС = Здм, ZB = 45°;
в)	ЛС = 0,6 м, ВС = -у- дм, ZC = 150°.
JB треугольнике DEF DE = 4,5j\m, ВВ=9,9дм, DF=70cm.
Найдите углы треугольника.
Найдите биссектрису AD треугольника ЛВС, если ХА = а,
АВ = с, АС = Ь.
Чтобы определить расстояние между точками Л и В, которое
нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны
точки Л и В. Измерив угол АС В и расстояния ЛС и СВ, нахо¬
дят расстояние ЛВ. Найдите ЛВ, если AC = b, СВ = а, ZACB = a.
Соотношения между
267	сторонами и углами
" треугольника. Скалярное
произведение векторов

1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
U Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В(1; 5) и
С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
□	Найдите длину вектора a = 3i- 4j, где i и j — координатные
векторы.
□	Найдите диагонали параллелограмма, построенного^ на век¬
торах а = 5р + 2q и b=p-3q, если |р | = 2\^2, |q | = 3 и рд = 45°.
□	При каком значении х векторы р = ха + 17Ь и q = 3a-b
перпендикулярны, если | а | = 2, | б | = 5 и ab = 120°?
□	В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены
медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол меж¬
ду этими медианами.
□	В трапеции ABCD с основаниями АО = 16 см и ВС = 8 см
боковая сторона равна 4 >/7 см, a Z.ADC = 60". Через вершину
С проведена прямая Z, делящая трапецию на два многоуголь¬
ника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и
длину отрезка прямой Z, заключённого внутри трапеции.
□	В треугольнике АВС, площадь которого равна ЗТЗ, угол А
острый, АВ = 4х/3, АС=3. Найдите радиус окружности, опи¬
санной около треугольника.
□	Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника
MPQ, ZNMQ = 4a, FQ = a. Найдите площадь данного ромба.
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
Четырёхугольник ABCD задан координатами своих вер¬
шин: Л(-1;2), В(1;-2), С (2; О), 0(1; 6). Докажите, что
ABCD — трапеция, и найдите её площадь.
Решение
Векторы АI) и ВС имеют координаты: AD {2; 4}, ВС {1; 2}. Эти
векторы коллинеарны, так как их координаты пропорцио¬
нальны. По координатам векторов АО и ВС находим их дли¬
ны: АО = <20, ВС = Тб. Таким образом, AD\\BC и AD>BC,
следовательно, ABCD — трапеция с основаниями АО
и ВС. Пусть В — площадь трапеции ABCD. Согласно утверж¬
дению задачи 1059, S = АС • BD • sin а, где а — угол между
АС и BD. По формуле (5) § 3 найдём сначала cos (АСВО^Так
как АС {3;-2}, BD {О; 8}, то АС = 713, ВО = 8 и cos (АС ВО) =
268 Глава XI

3-0-16	2 л	.3
= —т= = —р=. Отсюда следует, что sin а = ———. Таким
<13-8	<13	<13
образом, S = Д • <Тз • 8 • -jL- = 12.
2	<13
1074	Точка Af лежит на стороне ВС треугольника АВС и ВМ = kMC.
Докажите, что
(1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2,
где b = AC, c=AB.
Решение
По условию задачи М лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC,
поэтому ВМ = kMC или ВМ = k (ВС - ВМ). Следовательно,
ВМ = -А_ ВС = -!?— (АС - АВ).
1+Л	7
По правилу треугольника сложения векторов ЛМ = АВ + ВМ,
или АМ = АВ + -^—(АС-АВ)=—^—АВ + —^—АС.	Таким
1+Л	1+Л	1+Л
образом,
(1+Л) AM = AB + kAC.
Отсюда получаем:
(1 + k)2 (ЛМ • AM) = (АВ + kAC) (АВ + kAC) =
= АВ • АВ + 2k АВ • АС + k2AC • АС.
Так как
ЛМ ■ ЛМ = ЛМ2, АВ -АВ = с2,
AC-AC = b2, АВ- AC = bc cos А,
то полученная формула совпадает с искомой формулой.
1075	В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса, AM — меди¬
ана, Ь= ЛС, с= ЛВ. Докажите, что:
а)	AD =
fe + cV 2
б)	AM =	+ с2 + 2bc cos A.
1076	Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.
Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
1077	Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треуголь¬
ников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных
около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
269

Глава XII
Длина окружности
и площадь круга
Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади
многоугольников. Вам известны формулы, по которым мож¬
но вычислить площади треугольника и некоторых четырёхуголь¬
ников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если
известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой
главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми
геометрическими фигурами — правильными многоугольниками,
вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью
мы получим формулы длины окружности и площади круга.
61 Правильные многоугольники
109	Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все углы
равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольников
являются равносторонний треугольник и квад¬
рат. На рисунке 306 изображены правильные пя¬
тиугольник, семиугольник и восьмиугольник.
Выведем формулу для вычисления угла а„
правильного n-угольника. Сумма всех углов та¬
кого n-угольника равна (п-2) - 180°, причём все
его углы равны, поэтому
а = —- • 180°.
" п
110	Окружность, описанная около
правильного многоугольника
Напомним, что окружность называется
описанной около многоугольника, если все вер¬
шины многоугольника лежат на этой окружно¬
сти. Докажем теорему об окружности, описанной
около правильного многоугольника.
270 Глава XII

Теорема
Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность, и притом только
одну.
Доказательство
Пусть AiA2A3...A„ — правильный много¬
угольник, О — точка пересечения биссектрис
углов Л, и Л2 (рис. 307).
Соединим точку О отрезками с осталь¬
ными вершинами многоугольника и докажем,
что OAj = ОА2=... = ОАп. Так как ZAX = ZA2, то
Z1 = Z3, поэтому треугольник AtA2O равнобед¬
ренный: в нём ОАХ = ОА2. Треугольники АХА2О
и АгА3О равны по двум сторонам и углу меж¬
ду ними (AхАг = Л3Л2, А2О — общая сторона и
Z3 = Z4), следовательно, ОА9-ОАХ. Точно так
же можно доказать, что ОЛ4 = ОЛ2, ОА5 = ОА3
и т. д.
Итак, ОАХ = ОА2 =... = ОАп, т. е. точка О
равноудалена от всех вершин многоугольни¬
ка. Поэтому окружность с центром О и радиу¬
сом ОАХ является описанной около многоуголь¬
ника.
Докажем теперь, что описанная окружность
только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вер¬
шины многоугольника, например Аи А2, А3. Так
как через эти точки проходит только одна окруж¬
ность, то около многоугольника А|А2А3...АП
можно описать только одну окружность. Теорема
доказана.
Рис.307
111	Окружность, вписанная
в правильный многоугольник
Напомним, что окружность называет¬
ся вписанной в многоугольник, если все сторо¬
ны многоугольника касаются этой окружности.
Длина окружности
и площадь круга
271

Докажем теорему об окружности, вписанной в
правильный многоугольник.
Теорема
В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство
Пусть АХА2...А„ — правильный многоуголь¬
ник, О — центр описанной окружности (рис. 308).
В ходе доказательства предыдущей теоремы мы
установили, что ДОД |Д2 = ДОД2Д3 =... = &ОА„АХ,
поэтому высоты этих треугольников, проведён¬
ные из вершины О, также будут равны:
ОНХ = ОН2=... = ОНп. Отсюда следует, что окруж¬
ность с центром О и радиусом ОНХ проходит
через точки Я„ Я2, ..., Нп и касается сторон
многоугольника в этих точках, т. е. эта окруж¬
ность вписана в данный правильный много¬
угольник.
Докажем теперь, что вписанная окруж¬
ность только одна.
Предположим, что наряду с окружно¬
стью с центром О и радиусом ОНХ есть и дру¬
гая окружность, вписанная в многоугольник
АхА2...Ап. Тогда её центр Ох равноудалён от
сторон многоугольника, т. е. точка О, лежит на
каждой из биссектрис углов многоугольника и,
следовательно, совпадает с точкой О пересече¬
ния этих биссектрис. Радиус этой окружности
равен расстоянию от точки О до сторон много¬
угольника, т. е. равен ОНХ. Таким образом, вто¬
рая окружность совпадает с первой. Теорема
доказана.
Следствие 1
Окружность, вписанная в правильный много¬
угольник, касается сторон многоугольника в их
серединах.
Рис. 308
272 Глава XII

Следствие 2
Центр окружности, описанной около правильно¬
го многоугольника, совпадает с центром окруж¬
ности, вписанной в тот же многоугольник.
Эта точка называется центром правильного
многоугольника.
112	Формулы для вычисления
площади правильного
многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности
Пусть S — площадь правильного л-уголь-
ника, ап — его сторона, Р — периметр, аги
R — радиусы соответственно вписанной и опи¬
санной окружностей. Докажем сначала, что
S = Apr.	(1)
Соединим центр данного многоугольника с
его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоуголь¬
ник разобьётся па п равных треугольников, пло¬
щадь каждого из которых будет равна — апг. Сле¬
довательно,
S = П‘	г - ^-Рг.
Выведем далее формулы:
«г» -	180°
ап = 2R sin	,	(2)
1 ШУ-
r = Rcos±2L.	(3)
п
Для вывода этих формул воспользуемся ри¬
сунком 308. В прямоугольном треугольнике АХНХО
ZA. = ^2- = 2—^ • 180° = 90° - 1^22.
1	2 2л	п
Следовательно,
ап = 2АХНХ = 2R cos (90° -	) = 2flsin-^,
Длина окружности
и площадь круга

Г = ОН. = R sin ^90°= rtcos-*^.
Полагая в формуле (2) л = 3, 4 и 6, получим
выражения для сторон правильного треугольни¬
ка, квадрата и правильного шестиугольника:
а3 = 2R sin	= 2R sin 60° = 2R ~ = Rх/З,
а4 = 2R sin	= 2R sin 45° = 2R ~ = R^2,
а6 = 2R sin = 2R sin 30° = 2R • - = R. (4)
113	Построение правильных
многоугольников
Рассмотрим способы построения некоторых
правильных многоугольников с помощью циркуля
и линейки. Построения правильного треугольника
и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата,
рассматривались ранее. Для построения правиль¬
ных л-угольников при л >4 обычно использу¬
ется окружность, описанная около многоуголь¬
ника.
Задача 1
Построить правильный шестиугольник,
сторона которого равна данному отрезку.
Решение
Для решения задачи воспользуемся форму¬
лой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим
окружность радиуса PQ и отметим на ней про¬
извольную точку А, (рис. 309). Затем, не меняя
раствора циркуля, построим на этой окружности
точки А2, лз> ^4, ^5, А6 так, чтобы выполня¬
лись равенства АрАг = АгА3 = А3А4 = А4АЬ = АьАв.
Соединяя последовательно построенные точки от¬
резками, получим искомый правильный шести¬
угольник
Для построения правильных многоугольни¬
ков часто используется следующая задача:
Рис. 309
274 Глава XII

Задача 2
Дан правильный n-угольник. Построить
правильный 2л-угольник.
Решение
Пусть А1Аг...Ап — данный правильный
л-угольник. Опишем около него окружность.
Для этого построим биссектрисы углов А, и А2 и
обозначим буквой О точку их пересечения. Затем
проведём окружность с центром О радиуса ОА,
(см. рис. 307).
Для решения задачи достаточно разде¬
лить дуги АХА2, А2А3, ..., ArtAj пополам и каж¬
дую из точек деления Вх, В2, ...» В„ соединить
отрезками с концами соответствующей дуги
(рис. 310, на этом рисунке п = 6). Для построе¬
ния точек Вх, В2, ...» Вл можно воспользовать¬
ся серединными перпендикулярами к сторонам
данного n-угольника. На рисунке 310 таким спо¬
собом построен правильный двенадцатиугольник
АХВХА 2В2... АбВб.
Применяя указанный способ, можно с по¬
мощью циркуля и линейки построить целый ряд
правильных многоугольников, если построен
один из них. Например, построив правильный че¬
тырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь резуль¬
татом задачи 2, можно построит!» правильный
восьмиугольник, затем правильный шестнадцати¬
угольник и вообще правильный 2*-угольник, где
k — любое целое число, большее двух.
Замечание
Рассмотренные примеры показывают, что
многие правильные многоугольники могут быть
построены с помощью циркуля и линейки. Ока¬
зывается, однако, что не все правильные много¬
угольники допускают такое построение. Дока¬
зано, например, что правильный семиугольник
не может быть построен при помощи циркуля и
линейки. Любопытно, что с помощью этих инст¬
рументов можно построить правильный семна¬
дцатиугольник .
275
Рис. 310
Длина окружности
и площадь круга

Задачи
Рис. 311
1078	Верно ли утверждение: а) любой правильный многоуголь¬
ник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник
является правильным? Ответ обоснуйте.
1079	Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник
является правильным, если он выпуклый и все его стороны
равны; б) треугольник является правильным, если все его
углы равны; в) любой равносторонний треугольник является
правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами
является правильным? Ответ обоснуйте.
1080	Докажите, что любой правильный четырёхугольник является
квадратом.
1081	1-1 Найдите углы правильного n-угольника, если: а) п = 3;
б) п = 5; в) п = 6; г) п = 10; д) п = 18.
1082	Чему равна сумма внешних углов правильного л-угольника,
если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?
1083	|-1 Сколько сторон имеет правильный много¬
угольник, если каждый его угол равен: а) 60°;
б) 90°; в) 135°; г) 150°?
1084	□ Сколько сторон имеет правильный впи¬
санный многоугольник, если дуга описанной
окружности, которую стягивает его сторона,
равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?
1085	Докажите, что серединные перпендикуляры
к любым двум сторонам правильного много¬
угольника либо пересекаются, либо совпадают.
1086	Докажите, что прямые, содержащие бис¬
сектрисы любых двух углов правильного
многоугольника, либо пересекаются, либо со¬
впадают.
1087	□ На рисунке 311, а изображён квадрат, впи¬
санный в окружность радиуса R. Перечертите
таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки
(а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадра¬
та, S — его площадь, г — радиус вписанной
окружности).
N
R
г
Р
S
1
6
2
2
3
4
4
28
5
16
276 Глава XII

1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
109.5
1096
1097
1098
□ На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник,
вписанный в окружность радиуса II. Перечертите таблицу в
тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольни¬
ка, Р — периметр треугольника, S — его площадь, г — радиус
вписанной окружности).
N
R
г
Р
S
1
3
2
10
3
2
4
5
5
6
□	Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж¬
ность, равен 18см. Найдите сторону квадрата, вписанного в
ту же окружность.
□	Сечение головки газового вентиля имеет форму правильно¬
го треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен
быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из
которого изготовляют вентиль?
□	Поперечное сечение деревянного бруска является квадра¬
том со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого
стержня, который можно выточить из этого бруска.
□	Около окружности описаны квадрат и правильный шести¬
угольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шести¬
угольника равен 48 см.
□	Около правильного треугольника описана окружность ра¬
диуса R. Докажите, что Л=2г, где г радиус окружности,
вписанной в этот треугольник.
□	Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) п = 4,
Л = 3>/2 см; б) п = 3, Р = 24см; в) п = 6, г=9см; г) п = 8,
г = 5\,'3 см.
□	Расстояние между параллельными гранями шестигранной
головки болта, основание которого имеет форму правильного
шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.
□	Стороны правильного треугольника, квадрата и правиль¬
ного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения
площадей этих многоугольников.
□	Найдите отношение площадей двух правильных шести¬
угольников — вписанного в окружность и описанного около
неё.
Л Выразите сторону, периметр и площадь правильного тре¬
угольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через
радиус описанной окружности.
Длина окружности
и площадь круга

1099	Правильный восьмиугольник AiA2...A3 вписан в окружность
радиуса 11. Докажите, что четырёхугольник А9А4А7А3 являет¬
ся прямоугольником, и выразите его площадь через R.
1100	□ С помощью циркуля и линейки в данную окружность впи¬
шите: а) правильный шестиугольник; б) правильный тре¬
угольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
§2
Длина окружности и площадь круга
114	Длина окружности
Чтобы получить наглядное представление о
длине окружности, представим себе, что окруж¬
ность сделана из тонкой нерастяжимой нити.
Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А
и распрямим её, то получим отрезок AAlt длина
которого и есть длина окружности (рис. 312).
Периметр любого правильного вписанно¬
го в окружность многоугольника является при¬
ближённым значением длины окружности. Чем
больше число сторон такого многоугольника, тем
точнее это приближённое значение, так как мно¬
гоугольник при увеличении числа сторон всё бли¬
же и ближе «прилегает» к окружности (рис. 313).
Точное значение длины окружности — это пре¬
дел, к которому стремится периметр правиль¬
ного вписанного в окружность многоугольни¬
ка при неограниченном увеличении числа его
сторон.
Выведем формулу, выражающую длину
окружности через её радиус. Пусть С и С' — дли¬
ны окружностей радиусов R и IV. Впишем в каж¬
дую из них правильный л-угольник и обозна¬
чим через Рп и Р„' их периметры, а через ап и
— их стороны. Используя формулу (2) из §1,
получаем:
P = na„ = n-2Psin-^,
п
Р;=п-^ = п-2К^^.
278 Глава XII

Следовательно,
С. _ 2К
2В'’
Это равенство справедливо при любом зна¬
чении п. Будем теперь неограниченно увеличи¬
вать число п. Так как Рп ->С, Р'п~* С при я —► со,
Рп	с
то предел отношения равен —. С другой
Д,	С
(1)
сто-
27?
2R''
сле-
роны, в силу равенства (1) этот предел равен
С 2R
Таким образом, — = ——. Из этого равенства
С 2R
С С
дует, что — = т. е. отношение длины окруж¬
ности к её диаметру есть одно и то же число для
всех окружностей. Это число принято обозначать
греческой буквой л (читается «пи»).
Из равенства — = л получаем формулу для
вычисления длины окружности радиуса R\
C = 2kR.
Доказано, что л является бесконечной не¬
периодической десятичной дробью, т. е. иррацио-
22
нальным числом. Рациональное число — являет-
7
ся приближённым значением числа л с точностью
до 0,002. Это приближённое значение было най¬
дено ещё в III в. до н. э. великим греческим учё¬
ным Архимедом. При решении задач обычно
пользуются приближённым значением л с точно¬
стью до 0,01: л=3,14.
Выведем теперь формулу для вычисления
длины I дуги окружности с градусной мерой а.
Так как длина всей окружности равна 2лЛ, то
- о	2лЯ лЛ тт
длина дуги в 1° равна —— =	. Поэтому дли-
360	180
на I выражается формулой
,	л/?
Z = l80“-
Длина окружности
и площадь круга
279

115	Площадь круга
Напомним, что кругом называется часть
плоскости, ограниченная окружностью. Круг ра¬
диуса II с центром О содержит точку О и все точ¬
ки плоскости, находящиеся от точки О на рас¬
стоянии, не большем R.
Выведем формулу для вычисления площа¬
ди круга радиуса II. Для этого рассмотрим пра¬
вильный п-угольник A^Az^.A,,, вписанный в
окружность, ограничивающую круг (рис. 314).
Очевидно, площадь S данного круга больше пло¬
щади Sn многоугольника А^А^.-А,,, так как этот
многоугольник целиком содержится в данном
круге. С другой стороны, площадь -S' круга, впи¬
санного в многоугольник, меньше £„, так как
этот круг целиком содержится в многоугольнике.
Итак,
S'<S„<S.	(2)
Будем теперь неограниченно увеличивать
число сторон многоугольника. По формуле (3) § 1
г> 180°
имеем гп = II cos , где гп — радиус вписанной
в многоугольник окружности. При л —► оо
cos	► 1, поэтому —* к. Иными словами,
при неограниченном увеличении числа сторон
многоугольника вписанная в него окружность
«стремится* к описанной окружности, поэтому
S„ -► S при л -> оо. Отсюда и из неравенств (2)
следует, что Sn -*■ S при п —► оо.
По формуле (1) § 1 Sn = ±Р„гя, где Р„ — пе¬
риметр многоугольника Л1Л2...Л„. Учитывая,
что г„ -> II, Рп -+ 2лЛ, Sn -* S при п -> оо, полу¬
чаем S = ^ 2п!1-11 = nil2. Итак, для вычисления
площади S круга радиуса II мы получили фор¬
мулу
S = nR2.
А
Рис. 314
280
Глава XII

Замечание
В течение веков усилия многих математи¬
ков были направлены на решение задачи, полу¬
чившей название задача о квадратуре круга: по¬
строить при помощи циркуля и линейки квадрат,
площадь которого равпа площади данного круга.
Только в конце XIX века было доказано,
что такое построение невозможно.
116	Площадь кругового сектора
Круговым сектором или просто секто¬
ром называется часть круга, ограниченная ду¬
гой и двумя радиусами, соединяющими концы
дуги с центром круга. Дуга, которая ограни¬
чивает сектор, называется дугой сектора. На
рисунке 315, а изображены два сектора с ду¬
гами ALB и АМВ. Первый из этих секторов за¬
крашен.
Выведем формулу для вычисления площа¬
ди S кругового сектора радиуса Л, ограниченного
дугой с градусной мерой а.
Так как площадь всего круга равна л!С2, то
площадь кругового сектора, ограниченного дугой
тс!?2
в 1°, равна ——-. Поэтому площадь S выражается
360
формулой
е TtR2
s= 360'a-
Круговым сегментом или просто сегмен¬
том называется часть круга, ограниченная дугой
окружности и хордой, соединяющей концы этой
дуги (рис. 315, б).
Если градусная мера дуги меньше 180°,
то площадь сегмента можно найти, вычитая из
площади сектора площадь равнобедренного тре¬
угольника, сторонами которого являются два ра¬
диуса и хорда сегмента.
м
а)
б)
Рис. 315
Длина окружности
и площадь круга
281

Задачи
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
□ Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окруж¬
ности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Восполь¬
зуйтесь значением л = 3,14.
С
82
18л
6,28
2у[2
R
4
3
0,7
101,5
м
СО|«-
□ Как изменится длина окружности, если радиус окружно¬
сти: а) увеличить в три раза; б) уменьшить в два раза; в) уве¬
личить в k раз; г) уменьшить в k раз?
Как изменится радиус окружности, если длину окружности:
а)	увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
|_| Найдите длину окружности, описанной около: а) правильно¬
го треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника
с катетами а и Ь; в) равнобедренного треугольника с основани¬
ем а и боковой стороной д; г) прямоугольника с меньшей сто¬
роной а и острым углом а между диагоналями; д) правильного
шестиугольника, площадь которого равна 24>/з см2.
□	Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со сто¬
роной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с
гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотену¬
зой с и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с
углом при основании а и высотой Л, проведённой к основанию.
1-1 Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомо¬
биля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.
□	Метр составляет приближённо 	!	 часть земного
40 (ИМ) ООО
экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что
Земля имеет форму шара.
□	Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутни¬
ка Земли, если спутник вращается па расстоянии 320 км от
поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
□	Найдите длину дуги окружности радиуса
6 см, если её градусная мера равна: а) 30°;	//"	Тч.
б)	45°; в) 60°; г) 90°.	/ /	/ X
□	Расстояние между серединами зубьев зубча- I [	Ац7° |
того колеса, измеренное по дуге окружности, И	'Х I
равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. \\
Сколько зубьев имеет колесо?
□	Шлифовальный камень, имеющий фор¬
му диска, находится в защитном кожухе Рис.316
(рис. 316). Диаметр камня равен 58 см, дуга
282 Глава XII

1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги
незащищённой части камня.
Д Найдите длину маятника стенных часов, если угол его
колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает
конец маятника, равна 24 см.
□ Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен
5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная
мера дуги закругления?
□ Перечертите таблицу и, используя формулу для площади
S круга радиуса Л, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь
значением те = 3,14.
S
9
49я
6,25
R
2
5
2
7
54,3
7з
Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить
в Л раз; б) уменьшить в k раз?
Л Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольни¬
ка со сторонами а и Ъ; б) прямоугольного треугольника с кате¬
том а и противолежащим углом а; в) равнобедренного треуголь¬
ника с основанием а и высотой Л, проведённой к основанию.
□	Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний
треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник
с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в рав¬
нобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а,
противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с
большим основанием а и острым углом а.
□	Диаметр основания царь-колокола, находящегося в Москов¬
ском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания коло¬
кола.
□	Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите
диаметр и площадь арены.
□	Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружно¬
стями с общим центром и радиусами Лх и Л2, Нх<112. Вычис¬
лите площадь кольца, если Лх = 1,5 см, 1^ = 2,5 см.
□	Какой толщины слой нужно снять с круглой медной прово¬
локи, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы она проходи¬
ла сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
□	Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проло¬
жена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы по¬
сыпать дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
U1 Из круга радиуса г вырезан квадрат, вписанный в окруж¬
ность, которая ограничивает круг. Найдите площадь остав¬
шейся части круга.
Длина окружности
и площадь круга

1124
1125
1126
1127
1128
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
|_l На мишени имеются четыре окружности с общим центром,
радиусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наимень¬
шего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.
На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах
построены три полукруга. Докажите, что площадь полукруга,
построенного на гипотенузе, равна сумме пло¬
щадей полукругов, построенных на катетах.
□ Из круга, радиус которого 10 см, вырезан
сектор с дугой в 60°. Найдите площадь остав¬
шейся части круга.
|_| Площадь сектора с центральным углом 72°
равна S. Найдите радиус сектора.
|_| Сторона квадрата, изображённого на рисун¬
ке 317, равна а. Вычислите площадь закра¬
шенной фигуры.
Рис. 317
Вопросы для повторения к главе XII
Какой многоугольник называется правильным? Приведите
примеры правильных многоугольников.
Выведите формулу для вычисления угла правильного
л-угольника.
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан¬
ной около правильного многоугольника.
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписан¬
ной в правильный многоугольник.
Выведите формулу для вычисления площади правильно¬
го многоугольника через его периметр и радиус вписанной
окружности.
Выведите формулы для вычисления стороны правильного
n-угольника и радиуса вписанной в него окружности через
радиус описанной окружности.
Как выражаются стороны правильного треугольника, квадра¬
та и правильного шестиугольника через радиус описанной
окружности?
Выведите формулу для вычисления длины окружности.
Объясните, какое число обозначается буквой л и чему равно
его приближённое значение.
Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности.
Выведите формулу для вычисления площади круга.
Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисле¬
ния площади кругового сектора.
Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить
его площадь.
284 Глава XII

Дополнительные задачи
1129 1—fl Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из
внешних углов которого равен: а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60°?
ИЗО Lil На стороне правильного треугольника, вписанного в окруж¬
ность радиуса Здм, построен квадрат. Найдите радиус окруж¬
ности, описанной около квадрата.
1131	□ Найдите периметр правильного шестиугольника
АХА2А3А4А3А6, если АХА4 = 2,24 см.
1132	□ Найдите отношение периметров правильного треуголь¬
ника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность;
б) описанных около одной и той же окружности.
1133	Диагонали АхАб и А2А9 правильного двенадцатиугольника пе¬
ресекаются в точке В (рис. 318). Докажите, что: а) треуголь¬
ники АХА2В и АьА9В равносторонние; б) АхА6 = 2г, где г — ра¬
диус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
1134	Диагонали АХА4 и А2А7 правильного десятиугольника
АХА2...АХО, вписанного в окружность радиуса R, пересека¬
ются в точке В (рис. 319). Докажите, что: а) А2А7 = 2Л;
б) ДАХА2В и /\ВА4О— подобные равнобедренные треуголь¬
ники; в) А1А4-А1А2 = Л.
1135	ДВ круг, площадь которого равна 36лсм2, вписан правиль¬
ный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника
и его площадь.
1136	□ Квадрат АХА2А3А4 вписан в окружность радиуса R
(рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что
АХВj— А2В2 — А3В3 — А4В4 — AjCzj у42С/2 = -^з^з = ^4^'4= Дока¬
жите, что восьмиугольник ВХС3В2С4В3СХВ4С2 правильный, и
выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.
1137	<=] За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космиче¬
ский корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над
поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли
равен 6370 км?
Рис. 318
Рис. 319
Рис.320
Длина окружности
285 и площадь круга

1138	LJ Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:
а)	диагонали ромба равны 6 см и 8 см;
б)	сторона ромба равна а и острый угол равен а.
1139	□ Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот уча¬
сток по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить на
45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру.
Найдите длину опушки данного участка.
1140	В правильный многоугольник вписана окружность. Докажи¬
те, что отношение площади круга, ограниченного этой окруж¬
ностью, к площади многоугольника равно отношению длины
окружности к периметру многоугольника.
1141	□ Фигура ограничена большими дугами двух окружностей,
имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для од¬
ной окружности эта хорда является стороной вписанного ква¬
драта, для другой — стороной правильного вписанного шести¬
угольника. Найдите сумму длин этих дуг.
1142	|_| Основания трапеции, около которой можно описать окруж¬
ность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых сторон равна
13 см. Найдите длину описанной окружности.
1143	Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипоте¬
нузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника
(см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окруж¬
ностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту
подобия этих треугольников.
Задачи на построение
1144*0 Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого
равна данному отрезку.
1145*0 Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна
сумме площадей данных кругов.
1146	Q Около данной окружности опишите: а) правильный тре¬
угольник; б) правильный шестиугольник.
1147	Q Около данной окружности опишите: а) правильный четы¬
рёхугольник; б) правильный восьмиугольник.

Глава XIII
Движения
Слово «движение» вам знакомо. Но в геометрии оно имеет
особый смысл. Какой именно, об этом вы узнаете из данной
главы. А пока отметим, что с помощью движений удаётся нахо¬
дить красивые решения многих геометрических задач. Примеры
таких решений вы найдёте в этой главе.
Понятие движения
117	Отображение плоскости на себя
Представим себе, что каждой точке пло¬
скости сопоставляется (ставится в соответствие)
какая-то точка этой же плоскости, причём любая
точка плоскости оказывается сопоставленной не¬
которой точке. Тогда говорят, что дано отобра¬
жение плоскости на себя.
Фактически мы уже встречались с отобра¬
жениями плоскости на себя — вспомним осевую
симметрию (см. п. 48). Она даёт нам пример та¬
кого отображения. В самом деле, пусть а — ось
симметрии (рис. 321). Возьмём произвольную
точку 7W, не лежащую на прямой а, и построим
симметричную ей точку Мх относительно пря¬
мой а. Для этого нужно провести перпендикуляр
МР к прямой а и отложить на прямой МР отре¬
зок РМХ, равный отрезку МР, так, как показано
на рисунке 321. Точка Мх и будет искомой. Если
же точка М лежит на прямой а, то симметрич¬
ная ей точка Мх совпадает с точкой М. Мы ви¬
дим, что с помощью осевой симметрии каждой
точке М плоскости сопоставляется точка Мj этой
же плоскости. При этом любая точка Мх оказы¬
вается сопоставленной некоторой точке М. Это
ясно из рисунка 321.
Итак, осевая симметрия представляет со¬
бой отображение плоскости на себя.
287
м
р м}
J ' •
а
Рис. 321
Движения

Рассмотрим теперь центральную симмет¬
рию плоскости (см. п. 48). Пусть О — центр
симметрии. Каждой точке М плоскости сопо¬
ставляется точка Afj, симметричная точке М от¬
носительно точки О (рис. 322). Попытайтесь са¬
мостоятельно убедиться в том, что центральная
симметрия плоскости также представляет собой
отображение плоскости на себя.
118	Понятие движения
Осевая симметрия обладает следующим
важным свойством — это отображение плоскости
на себя, которое сохраняет расстояния между
точками.
Поясним, что это значит. Пусть М и
N — какие-либо точки, а Мj и Nx — симметрич¬
ные им точки относительно прямой а (рис. 323).
Из точек N и Nx проведём перпендикуляры NP
и NiP1 к прямой ММ,. Прямоугольные тре¬
угольники MNP и MlNlPl равны по двум кате¬
там: МР = МХРХ и NP = NXPX (объясните, почему
эти катеты равны). Поэтому гипотенузы MN и
MXNX также равны. Следовательно, расстояние
между точками М и N равно расстоянию между
симметричными им точками Мх и ЛГ,. Другие
случаи расположения точек Му N и Мх, Nx рас¬
смотрите самостоятельно и убедитесь в том, что и
в этих случаях MN= MXNX (рис. 324). Таким об-
М О
Рис. 322
288 Глава XIII

разом, осевая симметрия является отображением,
которое сохраняет расстояния между точками.
Любое отображение, обладающее этим свойством,
называется движением (или перемещением).
Итак, движение плоскости — это отображе¬
ние плоскости на себя, сохраняющее расстояния.
Почему отображение, сохраняющее рассто¬
яния, называют движением (или перемещением),
можно пояснить на примере осевой симметрии.
Её можно представить как поворот плоскости
в пространстве на 180° вокруг оси а. Иа рисун¬
ке 325 показано, каким образом происходит та¬
кой поворот.
Отметим, что центральная симметрия плос¬
кости также является движением (пользуясь ри¬
сунком 326, убедитесь в этом самостоятельно).
Докажем следующую теорему:
Рис. 326
Теорема
При движении отрезок отображается на отрезок.
Доказательство
Пусть при заданном движении плоскости
концы М и N отрезка MN отображаются в точ¬
ки Му и W, (рис. 327). Докажем, что весь отре¬
зок MN отображается на отрезок AfjN,. Пусть
Р — произвольная точка отрезка MN, Рх — точ¬
ка, в которую отображается точка Р. Тогда
МР + PN = MN. Так как при движении расстоя¬
ния сохраняются, то
МXNX = MN, МХРХ = МР и = NP. (1)
Из равенств (1) получаем, что МХРХ + PXNX =
= MXNX, и, значит, точка Рх лежит на отрезке
МiN, (если предположить, что это не так, то будет
выполняться неравенство МХРХ + PXNX > МXNX).
Итак, точки отрезка MN отображаются в точки
отрезка MXNX.
Нужно ещё доказать, что в каждую точку
Рх отрезка MXNX отображается какая-нибудь точ-
М
Рис. 327
289 Движения

ка Р отрезка МN. Докажем это. Пусть Р, — про¬
извольная точка отрезка	и точка Р при
заданном движении отображается в точку Ри Из
соотношений (1) и равенства М^ = MtPt + PtNt
следует, что МР + PN = MN, и, значит, точка Р
лежит на отрезке MN. Теорема доказана.
Следствие
При движении треугольник отображается на
равный ему треугольник.
В самом деле, в силу доказанной теоремы
при движении каждая сторона треугольника ото¬
бражается на равный ей отрезок, поэтому и тре¬
угольник отображается на треугольник с соот¬
ветственно равными сторонами, т. е. на равный
треугольник.
Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно
убедиться в том, что при движении прямая ото¬
бражается на прямую, луч — на луч, а угол — на
равный ему угол.
119* Наложения и движения
Напомним, что в нашем курсе геометрии
равенство фигур определяется с помощью нало¬
жений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигу¬
ре Фп если фигуру Ф можно
совместить наложением с фи¬
гурой Ф|. Понятие наложения
в нашем курсе относится к ос¬
новным понятиям геометрии,
поэтому определение наложе¬
ния не даётся. Под наложением
фигуры Ф на фигуру Ф] мы по¬
нимаем некоторое отображение
фигуры Ф на фигуру Фи Более
того, мы считаем, что при этом
не только точки фигуры Ф, но
и любая точка плоскости ото¬
бражается в определённую точ-
290 Глава XIII

ку плоскости, т. е. наложение — это отображе¬
ние плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоско¬
сти на себя мы называем наложением. Наложе¬
ния — это такие отображения плоскости на себя,
которые обладают свойствами, выраженными в
аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13).
Эти аксиомы позволяют доказать все те свой¬
ства наложений, которые мы себе представляем
наглядно и которыми пользуемся при доказа¬
тельстве теорем и решении задач. Докажем, на¬
пример, что при наложении различные точки
отображаются в различные точки.
В самом деле, предположим, что это не так,
т. е. при некотором наложении какие-то две точ¬
ки Л и В отображаются в одну и ту же точку С.
Тогда фигура Фр состоящая из точек А и В, рав¬
на фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. От¬
сюда следует, что Ф2 = Ф, (аксиома 12), т. е. при
некотором наложении фигура Ф2 отображается в
фигуру Ф(. Но это невозможно, так как наложе¬
ние — это отображение, а при любом отображе¬
нии точке С ставится в соответствие только одна
точка плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что
при наложении отрезок отображается на равный
ему отрезок. Действительно, пусть при наложе¬
нии концы Л и В отрезка Л В отображаются в
точки Ai и Вр Тогда отрезок АВ отображается
на отрезок AjB, (аксиома 7), и, следовательно,
отрезок АВ равеп отрезку Л,Вр Так как рав¬
ные отрезки имеют равные длины, то наложение
является отображением плоскости на себя, со¬
храняющим расстояния, т. е. любое наложение
является движением плоскости.
Докажем, что верно и обратное утверждение.
Теорема
Любое движение является наложением.
291 Движения

С
Рис. 328
Доказательство
Рассмотрим произвольное движение (обо¬
значим его буквой g) и докажем, что оно явля¬
ется наложением. Возьмём какой-нибудь тре¬
угольник АВС. При движении g он отображается
на равный ему треугольник А,В|СР По определе¬
нию равных треугольников существует наложе¬
ние Д при котором точки А, В и С отображаются
соответственно в точки В, и
Докажем, что движение g совпадает с на¬
ложением f. Предположим, что это не так. Тогда
на плоскости найдётся хотя бы одна такая точ¬
ка М, которая при движении g отображается в
точку Мх, а при наложении f—в другую точку
М2. Так как при отображениях f и g сохраняются
расстояния, то AM = АХМХ, AM = AxM2t поэтому
АХМХ = АхМг, т. е. точка Ах равноудалена от то¬
чек М| и М2 (рис. 328). Аналогично доказывает¬
ся, что точки Вх и Сх равноудалены от точек М, и
М2. Отсюда следует, что точки Ах, Вх и Сх лежат
на серединном перпендикуляре к отрезку МХМ2.
Но это невозможно, так как вершины треугольни¬
ка Л|В|С, не лежат на одной прямой. Таким об¬
разом, отображения f и g совпадают, т. е. движе¬
ние g является наложением. Теорема доказана.
Следствие
При движении любая фигура отображается на
равную ей фигуру.
Задачи
1148	Докажите, что при осевой симметрии плоскости:
а)	прямая, параллельная оси симметрии, отображается на
прямую, параллельную оси симметрии;
б)	прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается
на себя.
1149	Докажите, что при центральной симметрии плоскости:
а)	прямая, не проходящая через центр симметрии, отобража¬
ется на параллельную ей прямую;
б)	прямая, проходящая через центр симметрии, отображается
на себя.
292 Глава XIII

1150	Докажите, что при движении угол отображается на равный
ему угол.
Решение
Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол
AxOxBXt причём точки А, О, В отображаются соответственно
в точки An О„ Вх. Так как при движении сохраняются рас¬
стояния, то ОА=ОХАХ, ОВ = ОХВХ. Если угол АОВ неразвёрну¬
тый, то треугольники АОВ и АХОХВХ равны по трём сторонам,
и, следовательно, ХАОВ = ХАхОхВх. Если угол АОВ развёрну¬
тый, то и угол АХОХВХ развёрнутый (докажите это), поэтому
эти углы равны.
1151	Докажите, что при движении параллельные прямые отобра¬
жаются на параллельные прямые.
1152	Докажите, что при движении: а) параллелограмм отобража¬
ется на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапе¬
цию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отобра¬
жается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
1153	Докажите, что при движении окружность отображается на
окружность того же радиуса.
1154	Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая
точка отображается на себя, является наложением.
1155	АВС и АХВХСХ — произвольные треугольники. Докажите, что
существует пе более одного движения, при котором точки
А, В и С отображаются в точки Ах, Вх, Сх.
1156	В треугольниках АВС и А^С, АВ = АХВХ, AC=AxClt ВС =
= ВХСХ. Докажите, что существует движение, при котором точ¬
ки А, В и С отображаются в точки Ах, Вх и Сх, и притом толь¬
ко одно.
Решение
По условию задачи треугольники АВС и АХВХСХ равны по трём
сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движе¬
ние, при котором точки А, В и С отображаются соответствен¬
но в точки А,, Вх и С,. Это движение является единственным
движением, при котором точки А, В и С отображаются соот¬
ветственно в точки At, В, и Сх (задача 1155).
1157	Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные
стороны и угол между ними одного параллелограмма соответ¬
ственно равны смежным сторонам и углу между ними другого
параллелограмма.
1158	Даны две прямые а и Ь. Постройте прямую, на которую ото¬
бражается прямая b при осевой симметрии с осью а.
1159	_1 Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигу¬
ру Fy на которую отображается данный четырёхугольник при
осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F?
293 Движения

1160	U Даны точка О и прямая Ь. Постройте прямую, на которую
отображается прямая Ь при центральной симметрии с цент¬
ром О.
1161	□ Даны точка О и треугольник АВС. Постройте фигуру
на которую отображается треугольник ЛВС при центральной
симметрии с центром О. Что представляет собой фигура /*’?
Параллельный перенос и
поворот
120	Параллельный перенос
Пусть а — данный вектор. Параллельным
переносом на вектор а называется отображение
плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку что вектор MMj
равен вектору а (рис. 329).
Параллельный перенос является движени¬
ем, т. е. отображением плоскости на себя, сохра¬
няющим расстояния. Докажем это. Пусть при
параллельном переносе на вектор а точки М и
N отображаются в точки Мх и Nx (см. рис. 329).
Так как ММХ = а,	= а, то ММ, = AW,. Отсюда
следует, что MMX\\NNX и MMX = NNX, поэтому
четырёхугольник MMXNXN — параллелограмм.
Следовательно, MN = MXNX1 т. е. расстояние меж¬
ду точками М и N равно расстоянию между точ¬
ками Мх и (случаи, когда точки М и N рас¬
положены на прямой, параллельной вектору а,
рассмотрите самостоятельно). Таким образом, па¬
раллельный перенос сохраняет расстояния меж¬
ду точками и поэтому представляет собой движе¬
ние. Наглядно это движение можно представить
себе как сдвиг всей плоскости в паправлении
данного вектора а на его длину.
N
Рис. 329
121	Поворот
Отметим на плоскости точку О (центр по¬
ворота) и зададим угол а (угол поворота). Пово¬
ротом плоскости вокруг точки О на угол а на¬
294 Глава XIII

зывается отображение плоскости на себя, при
котором каждая точка М отображается в такую
точку Мх, что ОМ = ()М1 и угол М()МХ равен а
(рис. 330). При этом точка О остаётся на месте,
т. е. отображается сама в себя, а все остальные
точки поворачиваются вокруг точки О в одном
и том же направлении — по часовой стрелке или
против часовой стрелки. На рисунке 330 изобра¬
жён поворот против часовой стрелки.
Поворот является движением, т. е. отобра¬
жением плоскости па себя, сохраняющим рассто¬
яния.
Докажем это. Пусть О — центр поворота,
а — угол поворота против часовой стрелки (слу¬
чай поворота по часовой стрелке рассматрива¬
ется аналогично). Допустим, что при этом пово¬
роте точки М и N отображаются в точки Мх и
Nx (рис. 331). Треугольники OMN и OMXNX
равны по двум сторонам и углу между ними:
ОМ = ОМХ, ON = ONX и AMON = ZMXONX (для
случая, изображённого на рисунке 331, каждый
из этих углов равен сумме угла а и угла MXON).
Из равенства этих треугольников следует, что
MN = MxNXy т. е. расстояние между точками
М и N равно расстоянию между точками Мх и
Nt (случай, когда точки О, М и N расположены
на одной прямой, рассмотрите самостоятельно).
Итак, поворот сохраняет расстояния между точ¬
ками и поэтому представляет собой движение.
Это движение можно представить себе как по¬
ворот всей плоскости вокруг данной точки О на
данный угол а.
Рис. 331
Задачи
1162	Начертите отрезок АВ и вектор ММХ. Постройте отрезок
АХВХ, который получается из отрезка АВ параллельным пере¬
носом на вектор ММ,.
1163	□ Начертите треугольник АВС, вектор ММ„ который не па¬
раллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, парал¬
295 Движения

лельный стороне ЛС. Постройте треугольник AjBjCj, который
получается из треугольника АВС параллельным переносом:
а) па вектор MMt; б) на вектор а.
1164	□ Даны равнобедренный треугольник АВС с основанием АС
и такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке
AD. а) Постройте отрезок BrDy который получается из отрезка
ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что
четырёхугольник ABBXD — равнобедренная трапеция.
1165	Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигу¬
ры, которые получаются из этих фигур параллельным пере¬
носом на данный вектор а.
1166	□ Постройте отрезок АгВи который получается из данно¬
го отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на
120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки;
в)	на 180°.
1167	Постройте треугольник, который получается из данного тре¬
угольника АВС поворотом вокруг точки А на угол 150° про¬
тив часовой стрелки.
1168	Точка D является точкой пересечения биссектрис равносто¬
роннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте во¬
круг точки D на угол 120° треугольник АВС отображается на
себя.
1169	Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересе¬
чения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на
себя.
1170	|_| Постройте окружность, которая получается из данной
окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол
60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпада¬
ют; б) точки О и С совпадают.
1171	□ Постройте прямую а1У которая получается из данной пря¬
мой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрел¬
ке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит
через точку О.
Решение
а) Построим окружность с центром О, которая касается пря¬
мой а (объясните, как это сделать). Пусть М — точка каса¬
ния. При повороте вокруг точки О эта окружность отобра¬
жается на себя, а касательная а отображается на некоторую
касательную а, (объясните почему). Для построения пря¬
мой ах построим сначала точку МХУ в которую отображается
точка М при повороте вокруг точки О на угол 60° по часо¬
вой стрелке, а затем проведём касательную ах к окружности в
точке М р
296 Глава XIII

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1172
1173
1174
1175
Вопросы для повторения к главе XIII
Объясните, что такое отображение плоскости на себя.
Какое отображение плоскости называется: а) осевой симмет¬
рией; б) центральной симметрией?
Докажите, что осевая симметрия является отображением пло¬
скости на себя.
Что такое движение (или перемещение) плоскости?
Докажите, что осевая симметрия является движением.
Является ли центральная симметрия движением?
Докажите, что при движении отрезок отображается на отре¬
зок.
Докажите, что при движении треугольник отображается на
равный ему треугольник.
Объясните, что такое наложение.
Докажите, что при наложении различные точки отображают¬
ся в различные точки.
Докажите, что наложение является движением плоскости.
Докажите, что любое движение является наложением.
Верно ли утверждение, что при движении любая фигура ото¬
бражается па равную ей фигуру?
Какое отображение плоскости называется параллельным пере¬
носом на данный вектор?
Докажите, что параллельный перенос является движением.
Какое отображение плоскости называется поворотом?
Докажите, что поворот является движением.
Дополнительные задачи
При данном движении каждая из двух точек А и В отобража¬
ется на себя. Докажите, что любая точка прямой АВ отобра¬
жается на себя.
При данном движении каждая из вершин треугольника АВС
отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости
отображается на себя.
Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные
стороны одного прямоугольника соответственно равны смеж¬
ным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямо¬
угольника соответственно равны стороне и диагонали другого.
2 Даны прямая а и точки М и W, лежащие по одну сторону
от неё. Докажите, что на прямой а существует единственная
точка X, такая, что сумма расстояний MX + XN имеет наи¬
меньшее значение.
297 Движения

1176
1177
UI Даны острый угол ЛВС и точка D внутри него. Используя
осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие
точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший пери¬
метр.
Медианы ААи ВВХ и СС, треугольника АВС пересекают¬
ся в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответствен¬
но серединами отрезков ЛЛ1, ВМ и СМ. Докажите, что
ДА1В1С1 = ДА2В2С2.
Решение
Так как М — точка пересечения медиан треугольника ЛВС,
то AM = 2MAt. Отсюда, учитывая, что точка Л2— середина
отрезка AM, получаем МАх = МАг, т. е. точки А, и Л2 сим¬
метричны относительно точки М. Аналогично точки Bt и В2,
а также точки и С2 симметричны относительно точки М.
Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М.
При этой симметрии точки Ап Вх, отображаются в точ-
“	~	отображается на
Рис.332
1178
ки Л2, В2, С2, поэтому треугольник A|B,Ci
треугольник Л2В2С2, и, следовательно,
ДЛ2В2С2 = ДЛ.В.Ср
На сторонах АВ и CD параллелограмма
ABCD построены квадраты так, как пока¬
зано на рисунке 332. Используя параллель¬
ный перенос, докажите, что отрезок, соеди¬
няющий центры этих квадратов, равен и
параллелен стороне AD.
1179*На стороне АВ прямоугольника ABCD по¬
строен треугольник ABS так, как показано
на рисунке 333: CCr 1 AS, DDt 1 BS. Ис¬
пользуя параллельный перенос, докажите,
что прямые SK и АВ взаимно перпендику¬
лярны.
1180	В окружность с центром О вписаны два равносторонних тре¬
угольника АВС и A^Ci, причём вершины обозначены так,
что направление обхода по дуге АВС от точки А к точке С
совпадает с направлением обхода по дуге AlBlCl от точки At
к точке С\. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что
прямые AAt, ВВ) и СС, либо проходят через точку О, либо,
пересекаясь, образуют равносторонний тре¬
угольник.
1181	U Даны две пересекающиеся прямые и точ¬
ка О, не лежащая ни на одной из них. Ис¬
пользуя центральную симметрию, построй¬
те прямую, проходящую через точку О,
так, чтобы отрезок этой прямой, отсекае¬
мый данными прямыми, делился точкой О
пополам.
298
Глава XIII

1182	Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её
основаниям и диагоналям.
1183	L1 Даны параллельные прямые b и с и точка Л, не лежащая
ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник
ЛВС так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на
прямых b и с. Сколько решений имеет задача?
Решение
Допустим, что задача решена и искомый треугольник АВС по¬
строен (рис. 334, а). При повороте плоскости вокруг точки Л
на 60° по часовой стрелке вершина В отображается в вершину
С, поэтому прямая b отображается на прямую bt, проходящую
через точку С. Прямую легко построить, не пользуясь точ¬
ками В и С (см. задачу 1171). Построив прямую находим
точку С, в которой прямая bt пересекается с прямой с. Затем,
построив окружность с центром А радиуса АС, находим точ¬
ку В. На рисунке 334, а выполнено построение.
Задача имеет два решения, одно из которых получается при
повороте плоскости вокруг точки Л на 60° по часовой стрелке
(ААВС на рисунке 334, а), а другое — при повороте плоско¬
сти на угол 60° против часовой стрелки (АЛВ'С' на рисун¬
ке 334, б).
Рис.334

Глава XIV
Начальные сведения
из стереометрии
Последняя глава является введением в стереометрию — это
тот раздел геометрии, в котором изучаются свойства фи¬
гур в пространстве. Более основательно вы будете заниматься
стереометрией в старших классах, а здесь мы познакомим вас
с некоторыми пространственными фигурами и формулами для
вычисления их объемов и площадей поверхностей.
Многогранники
122	Предмет стереометрии
До сих пор мы занимались планиметри¬
ей — изучали свойства плоских геометрических
фигур, т. е. фигур, целиком расположенных в не¬
которой плоскости. Но окружающие нас предме¬
ты в большинстве своём не являются плоскими,
они расположены в пространстве и не умещают¬
ся в какой-то одной плоскости. Любой реальный
предмет занимает какую-то часть пространства.
Раздел гчюметрии, в котором изучают¬
ся свойства фигур в пространстве, называется
стереометрией. Это слово происходит от грече¬
ских слов «стерео* объёмный, пространствен¬
ный и «метрео» — измерять.
В стереометрии наряду с простейшими фи¬
гурами точками, прямыми и плоскостями рас¬
сматриваются геометрические тела и их поверх¬
ности. Представление о геометрических телах
дают окружающие нас предметы. Так, например,
кристаллы имеют форму геометрических тел, по¬
верхности которых составлены из многоугольни¬
ков. Такие поверхности называются многогран¬
никами. Одним из простейших многогранников
является куб (рис. 335, а). Он составлен из шести
равных квадратов. Капли жидкости в невесомо-
Рис. 335
300 Глава XIV

сти принимают форму геометрического тела, на¬
зываемого шаром (рис. 335, б). Такую же форму
имеет футбольный мяч. Консервная банка име¬
ет форму геометрического тела, называемого
цилиндром (рис. 335, в).
В отличие от реальных предметов геомет¬
рические тела, как и всякие геометрические фи¬
гуры, являются воображаемыми объектами. Мы
представляем геометрическое тело как часть про¬
странства, отделённую от остальной части про¬
странства поверхностью — границей этого тела.
Так, например, граница шара есть сфера, а гра¬
ница цилиндра состоит из двух кругов — основа¬
ний цилиндра и боковой поверхности.
Плоскость, по обе стороны от которой име¬
ются точки данного тела, называется секущей
плоскостью этого тела. Фигура, которая образу¬
ется при пересечении тела с секущей плоскостью
(т. е. общая часть тела и секущей плоскости), на¬
зывается сечением тела. Так, например, сечени¬
ем шара является круг (рис. 336).
При изучении пространственных фигур, в
частности геометрических тел, пользуются их
изображениями на чертеже. Как правило, изо¬
бражением пространственной фигуры служит
её проекция па ту или иную плоскость. Одна и
та же фигура допускает различные изображе¬
ния. Обычно выбирают то из них, которое созда¬
ёт правильное представление о форме фигуры и
наиболее удобно для исследования её свойств. На
рисунках 337, а, б изображены два многогранни¬
ка — параллелепипед и пирамида, а на рисун¬
ке 337, в — конус. Невидимые части фигур изо¬
бражены штриховыми линиями.
В этой главе мы рассмотрим некоторые
виды многогранников и тела вращения — ци¬
линдр, конус, шар, приведём формулы, по кото¬
рым вычисляются их объёмы и площади поверх¬
ностей. При этом мы будем опираться в основном
на наглядные представления. Более полное обое-
301
Заштрихованный
круг - сечение шара
плоскостью <1
Рис. 336
(t) Параллелепипед
б) Пирамида
в) Конус
Рис. 337
Начальные сведения
из стереометрии

нование описанных фактов и формул будет дано
в систематическом курсе стереометрии, изучае¬
мом в 10—И классах.
123	Многогранник
Напомним, что в планиметрии при изу¬
чении многоугольников мы рассматривали
многоугольник либо как замкнутую линию, со¬
ставленную из отрезков и не имеющую самопере¬
сечений (рис. 338, а), либо как часть плоскости,
ограниченную этой линией, включая её саму
(рис. 338, б). При изучении многогранников мы
будем пользоваться вторым толкованием много¬
угольника.
С одним из самых простых многогранни¬
ков — прямоугольным параллелепипедом — вы
знакомы давно. Этот многогранник составлен
из шести прямоугольников (рис. 339, а). Фор¬
му прямоугольного параллелепипеда имеют ко¬
робки, комнаты и многие другие предметы. На
рисунках 339, б, а, г изображены другие много¬
гранники: куб (это прямоугольный параллелепи¬
пед, составленный из шести равных квадратов),
тетраэдр, октаэдр.
Можно сказать, что многогранник - это
поверхность, составленная из многоугольников и
ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Это тело также называется многогранником.
Многоугольник
ABCDE - фигура,
составленная
из отрезков
О)
Многоугольник
ABCDE— часть
плоскости,
ограниченная линией
ABCDE
б)
Рис. 338
Прямоугольный	Куб
параллелепипед
Рис. 339 о)	б)
302 Глава XIV

Тетраэдр и октаэдр (рис. 339, в, г) состав¬
лены соответственно из четырёх и восьми тре¬
угольников, что отражено в названии этих мно¬
гогранников: по-гречески «тетра» — четыре, а
«окто» восемь.
Многоугольники, из которых составлен
многогранник, называются его гранями. При
этом предполагается, что никакие две соседние
грани многогранника не лежат в одной плоско¬
сти. Гранями прямоугольного параллелепипеда
являются прямоугольники, а гранями тетраэдра
и октаэдра — треугольники. Стороны граней на¬
зываются ребрами, а концы рёбер— вершина¬
ми многогранника. Отрезок, соединяющий две
вершины, не принадлежащие одной грани, на¬
зывается диагональю многогранника. На рисун¬
ке 339, а отрезок MN — диагональ прямоуголь¬
ного параллелепипеда.
Многогранники бывают выпуклыми и
невыпуклыми. Выпуклый многогранник харак¬
теризуется тем, что он расположен по одну сторо¬
ну от плоскости каждой своей грани. На рисун¬
ке 339 изображены выпуклые многогранники,
а на рисунке 340 — невыпуклый многогран¬
ник.
Невыпуклыи много
/ранних, составленный
из квадратов
Плоскость /рани,
указанной стрелкой,
разрезает
зтот многогранник -
он расположен
по разные стороны
от зтой плоскости
Рис. 340
124	Призма
Многогранник, называемый призмой, мож¬
но построить следующим образом. Рассмотрим
параллельные плоскости а и р, т. е. такие пло¬
скости, которые не имеют общих точек. В пло¬
скости а возьмём какой-нибудь многоугольник
а в плоскости Р— равный ему много¬
угольник ВД..Д, причём так, чтобы равные
стороны Л|Л2 и В(В2, А2А2 и	ЛЯЛ( и
этих многоугольников были параллель¬
ными сторонами четырёхугольников Л(А2В27?|,
А2А2В2В2	ДДДД (рис. 341).
303
Накальные сведения
из стереометрии

Рис. 341
Высота
Боковая
Боковое ребра
Ilpuj.ea А^А^-АВ.В,^. В
Основания —
многоугольники
Основания AAt-A. и B,Bt... В..
Боковые грани -
параллелограмм ы
A^A JiJi,..^ .A^\tB,B,.
Поясним, что понимается под параллельно¬
стью прямых в пространстве. Две прямые в про¬
странстве называются параллельными, если они
лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Указанные четырёхугольники являются
параллелограммами. В самом деле, например, в
четырёхугольнике A|A2B2Bt противоположные
стороны AtAi и по построению равны и
параллельны, поэтому этот четырёхугольник
параллелограмм.
л-уголыюй призмой называется многогран¬
ник А|А2...АЯВ|В2...ВЯ, составленный из двух рав¬
ных л-угольников AtA2...A„ и В|/?2...ВЛ— основа¬
ний призмы и л параллелограммов А|А2В2В(, ...
..., АЯА|В|ВЙ боковых граней призмы.
Отрезки А|В|, ...» А„ВН называются боковыми
рёбрами призмы. Все они равны и параллельны
друг другу-
Призмы бывают прямыми и наклонными.
Чтобы дать определение прямой призмы, вве¬
дём понятие перпендикулярности прямой и пло¬
скости. Прямая а, пересекающая плоскость а
в некоторой точке Н (рис. 342), называется
перпендикулярной к этой плоскости, если она
перпендикулярна к любой прямой, лежащей
в плоскости а и проходящей через точку //.
Перпендикулярность прямой а и плоскости а
обозначается так: old.
Рис. 342
304 Глава XTV

Прямая пятиугольная
призма
а)
Если все боковые рёбра
призмы перпендикулярны к
плоскостям её оснований, то
призма называется прямой
(рис. 343, а); в противном
случае призма называется
наклонной (рис. 343,6). Пря¬
мая призма, основаниями ко¬
торой являются правильные
многоугольники, называется
правильной (рис. 343, в).
Выберем произвольную точку А одного из
оснований и проведём через неё прямую, перпен¬
дикулярную к плоскости другого основания и
пересекающую её в точке В (рис. 344). Отрезок
АВ называется высотой призмы. В курсе стерео¬
метрии 10—11 классов доказывается, что все вы¬
соты призмы равны и параллельны друг другу.
125	Параллелепипед
Четырехугольная призма, основаниями ко¬
торой являются параллелограммы, называется
параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней
параллелепипеда параллелограммы.
Если параллелепипед прямой, т. е. его бо¬
ковые рёбра перпендикулярны к плоскостям ос¬
нований, то боковые грани прямоугольники.
Если же и основаниями прямого параллелепипе¬
да служат прямоугольники, то этот параллелепи¬
пед — прямоугольный.
Мы знаем, что диагонали параллелограмма
пересекаются и точкой пересечения делятся по¬
полам. Оказывается, что аналогичным свойством
обладают диагонали параллелепипеда:
Четыре диагонали параллелепипеда пересекают¬
ся в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство этого утверждения основа¬
но на следующем факте: если две прямые в про-
305
Наклонная
четырёхугольная
призма
6)
Пролильная
шестиугольная приаЛа
«)
Рис. 343
Рис. 344
На***Мы>

етранстве параллельны третьей прямой, то они
параллельны. В том случае, когда все три пря¬
мые лежат в одной плоскости, это утверждение
было доказано в и. 28. В общем случае оно будет
доказано в курсе стереометрии 10 11 классов.
Обратимся к рисунку 346, а, па котором
изображён параллелепипед ЛВС£М|В|С11)|. По¬
скольку грани ЛВС!) к ADDtAt — параллелограм¬
мы, то ВС || Л/Л ВС = А1), Л./ЛИЛ/Л Л|/Л = ЛР.
Из этого следует, что BC = A|D, и ВС||Л|В(,
поэтому четырёхугольник A|DtCB параллело¬
грамм, а значит, его диагонали А(С и Z)tB, яв¬
ляющиеся также диагоналями параллелепипеда,
пересекаются в некоторой точке О и делятся этой
точкой пополам.
Аналогично доказывается, что четырёх¬
угольник А/?|С|В — параллелограмм (рис. 346, б),
и, следовательно, его диагонали ЛС| и Z),B пере¬
секаются и точкой пересечения делятся пополам.
Но серединой диагонали I)tB является точка О.
Таким образом, диагонали А(С, !)tB и ACt па¬
раллелепипеда пересекаются в точке О и делятся
этой точкой пополам.
Наконец, рассматривая четырёхугольник
AtBtCD (рис. 346, а), точно так же устанавлива¬
ем, что и четвёртая диагональ I)Bt проходит че¬
рез точку О и делится ею пополам.
1)
A.t
л\
L
Si
/
А
в
а)
D
С,
Аи
L
1
А
в
6)
Dy
С,
А.
Г‘
Л
L
V
А
в
в)
Рис. 346
126	Объём тела
Понятие объема тела вводится по аналогии
с понятием площади плоской фигуры. Как мы
помним, каждый многоугольник имеет площадь,
которая измеряется с помощью выбранной еди¬
ницы измерения площадей. В качестве единицы
измерения площадей обычно берут квадрат, сто¬
рона которого равна единице измерения отрезков.
Аналогично будем считать, что каждое из
рассматриваемых нами тел имеет объём, который
можно измерить с помощью выбранной единицы
306
Глааа XIV

измерения объёмов. Зв единицу измерения обз»ё-
мов примем куб, ребро которого равно единице
измерения отрезков. Куб с реб|х>м 1 см называ¬
ется кубическим сантиметром и обозначается
так: 1 см3. Аналогично определяются кубический
метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д.
Процедура измерения объёмов аналогична
процедуре измерения площадей. При выбранной
единице измерения объём тела выражается поло¬
жительным числом, которое показывает, сколько
единиц измерения объемов и сё частей укладыва¬
ются в этом теле. Ясно, что число, выражающее
объём тела, зависит от выбора единицы измере¬
ния объёмов. Поэтому единица измерения объё¬
мов указывается после этого числа.
Например, если в качестве единицы измере¬
ния объёмов взят 1 см3, и при этом объём V некото¬
рою тела оказался равным 2, то пишут: У=2см3.
Если два тела равны, то каждое из них со¬
держит столько же единиц измерения объёмов и
её частей, сколько и другое тело. Таким образом,
1°. Равные тела имеют равные объемы.
Рассмотрим тело, составленное из несколь¬
ких тел так, что внутренние области этих тел не
имеют общих точек (рис. 347). Ясно, что объём
всею тела складывается из объёмов составляю¬
щих его тел. Итак,
2°. Если тело составлено из нескольких тел, то
его объем равен сумме объемов этих тел.
Свойства 1° и 2° называются основными
свойствами объёмов. Напомним, что аналогич¬
ными свойствами обладают длины отрезков и
площади многоугольников.
Для нахождения объёмов тел в ряде слу¬
чаев удобно пользоваться теоремой, получившей
название принцип Кавальери1. Поясним, в чём
Рис. 347
1 Кавальери Бонавентура (1598—1647)— итальянский
математик.
Начальные сведения
307 ил стереометрии

состоит этот принцип. Рассмотрим два тела, за¬
ключённые между двумя параллельными пло¬
скостями а, и dj (рис. 348). Допустим, что любая
плоскость, расположенная между плоскостями
(Х| и Оя и параллельная им, пересекает оба тела
так, что площадь сечения первого тела в k раз
больше площади сечения второго тела, причём
число k — одно и то же для любой такой секу¬
щей плоскости. В этом случае, согласно принци¬
пу Кавальери, объём первого тела в k раз больше
объёма второго тела.
Доказательство теоремы, выражающей
принцип Кавальери, основано на понятии опре¬
делённого интеграла, которое будет введено в
11 классе в курсе алгебры и начал математиче¬
ского анализа. Мы примем эту теорему без до¬
казательства.
127	Свойства прямоугольного
параллелепипеда
Когда мы говорим о размерах комнаты,
имеющей форму прямоугольного параллелепипе¬
да, то обычно употребляем слова «длина», «ши¬
рина» и «высота», имея в виду длины трёх рёбер
с общей вершиной. В геометрии эти три величи¬
ны объединяются общим названием: измерения
прямоугольного параллелепипеда. Так, у прямо¬
угольного параллелепипеда, изображённого на
308 Глава XIV

рисунке 349, в качестве измерений можно взять
длины рёбер АВ, AD и AAt.
У прямоугольника два измерения — длина
и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диа¬
гонали прямоугольника равен сумме квадратов
двух его измерений.
Оказывается, что аналогичным свойством
обладает и прямоугольный параллелепипед:
квадрат диагонали прямоугольного паралле¬
лепипеда равен сумме квадратов трех его изме¬
рений.
В самом деле, обратимся к рисунку 349, на
котором изображён прямоугольный параллелепи¬
пед ABC7M|B|C|D|, и докажем, что
АС^ = АВ*+AZ>*-|-АА|.
Ребро CCt перпендикулярно к плоскости
грани ABCD, т. е. перпендикулярно к любой пря¬
мой, лежащей в плоскости этой грани и проходя¬
щей через точку С. Поэтому угол ACCt — пря¬
мой. Из прямоугольного треугольника ACCt по
теореме Пифагора получаем: ЛС] = АС2 + СС].
Но ЛС — диагональ прямоугольника ABCD,
поэтому АС2 = АВ2 + AD2. Кроме того, CCt — ВВХ =
= AAt. Следовательно, АС] = АВ2 + ADi + А А|,
что и требовалось доказать.
Остановимся ещё на одном свойстве, иллю¬
стрирующем аналогию между прямоугольником
и прямоугольным параллелен и педом. Мы знаем,
что площадь прямоугольника равна произведе¬
нию его измерений.
Оказывается, что аналогичное утверждение
справедливо и для прямоугольного параллелепи¬
педа: объем прямоугольного параллелепипеда
равен произведению трёх его измерений.
Для доказательства этого утверждения вос¬
пользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим
сначала прямоугольный параллелепипед с изме¬
рениями a, b, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» па
плоскости а (рис. 350, а). Этот куб является еди-
309
в л
Прямоугольный
параллелепипед
Рис. 349
Начальные сведения
из стереометрии

ницей измерения объёмов, т. е. его объём равен 1.
Любая секущая плоскость, параллельная плоско¬
сти а, даёт в качестве сечения куба квадрат пло¬
щади 1, а в качестве сечения рассматриваемого
параллелепипеда — прямоугольник площади ab
(см. рис. 350, а). Следовательно, согласно прин¬
ципу Кавальери, объём этого параллелепипеда в
ab раз больше объёма куба, т. е. равен ab.
Рассмотрим теперь два прямоугольных
параллелепипеда: один с измерениями u, б, 1,
а другой —с измерениями а, Ь, с, ♦стоящие» на
плоскости а так, как показано на рисунке 350, б.
Объём первого параллелепипеда, как было дока¬
зано, равен ab. Докажем, что объём второго па¬
раллелепипеда равен abc.
Любая секущая плоскость, параллельная
плоскости а, даёт в качестве сечения первого па¬
раллелепипеда прямоугольник площади а, а в ка¬
честве сечения второго — прямоугольник площа¬
ди ас (см. рис. 350,6). Поэтому объём V второго
Рис. 350
310 Глава XIV

параллелепипеда в с раз больше объёма первого
и, следовательно, равен V=abc, что и требова¬
лось доказать.
В прямоугольном параллелепипеде с изме¬
рениями а, Ь, с, изображённом на рисунке 350, б,
площадь S основания равна ас, а высота h равна
боковому ребру: h = b. Поэтому формулу V=abc
можно записать в виде V=Sh, т. е. объём прямо¬
угольного параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту.
Оказывается, что в точности такая же
формула имеет место для любой призмы: объём
призмы равен произведению площади основа¬
ния на высоту.
Это утверждение нетрудно доказать с помо¬
щью принципа Кавальери (см. задачу 1198).
128	Пирамида
Рассмотрим многоугольник
А1Аг...Ап и точку Р, не лежащую
в плоскости этого многоугольни¬
ка. Соединив точку Р отрезка¬
ми с вершинами многоугольника
(рис. 351), получим п треугольни¬
ков PAXA2, РА2А3, ..., PA„Aj. Много¬
гранник, составленный из л-угольника
А1Аг...Лп и этих треугольников, называется
пугольная
пирамида
Рис. 351
Начальные сведения
из стереометрии

пирамидой. Многоугольник AiA2...A„
называется основанием пирамиды, а ука¬
занные треугольники — боковыми граня¬
ми пирамиды. Точка Р называется вер¬
шиной пирамиды, а отрезки РАЬ РА2, ...»
РА„— ее боковыми рёбрами. Пирамиду с
вершиной Р и основанием AtA2...Aa назы¬
вают л-угольной пирамидой и обозначают
так: PAiA2...Aa. На рисунке 352 изобра¬
жены четырёхугольная и шестиугольная
пирамиды. Треугольную пирамиду часто
называют тетраэдром.
Отрезок, соединяющий вершину
пирамиды с плоскостью её основания и
перпендикулярный к этой плоскости, на¬
зывается высотой пирамиды. На рисун¬
ке 351 отрезок PH — высота пирамиды.
Пирамида называется правильной,
если её основание — правильный много¬
угольник, а отрезок, соединяющий вер¬
шину пирамиды с центром основания, яв¬
ляется сё высотой. Высота боковой грани
правильной пирамиды, проведённая из
её вершины, называется апофемой. На
рисунке 353 отрезок РЕ — одна из апо¬
фем. Можно доказать, что все апофемы
правильной пирамиды равны друг другу
(задача 1205).
Рассмотрим куб со стороной а и
проведём его диагонали (рис. 354).
В результате куб окажется разбитым на
шесть равных друг другу правильных
четырёхугольных пирамид с общей вер¬
шиной в точке пересечения диагоналей
куба. У каждой из этих пирамид основа¬
нием является квадрат со стороной а, вы¬
сота равна а объём в шесть раз мень-
а2
ше об1»сма куба, т. с. равен —Но
Рис. 354
312 Глава XIV

а2	1	9 а	1 о.	со
• а • -- = —Sh, где S = a* площадь осно-
6	3	2 3
вания пирамиды, — & высота. Таким об¬
разом, объём правильной четырёхугольной пира¬
миды со стороной основания а и высотой А равен
одной трети произведения площади основания
на высоту. Основываясь на этом факте, можно
доказать (см. задачу 1210), что аналогичное
утверждение справедливо и для произвольной
пирамиды: объем пирамиды равен одной трети
произведения площади основания на высоту.
Задачи
1184	Сколько граней, рёбер и вершин имеет: а) прямоугольный
параллелепипед; б) тетраэдр; в) октаэдр?
1185	Докажите, что число вершин любой призмы чётно, а число
рёбер кратно 3.
1186	Докажите, что площадь боковой поверхности прямой призмы
(т. е. сумма площадей её боковых граней) равна произведению
периметра основания на боковое ребро.
1187	Существует ли параллелепипед, у кото¬
рого: а) только одна грань — прямоуголь¬
ник; б) только две смежные грани ром¬
бы; в) все углы граней острые; г) все углы
граней прямые; д) число всех острых углов
граней не равно числу всех тупых углов
граней?
1188	На трёх рёбрах параллелепипеда даны точ¬
ки Л, Л и С. Постройте сечение параллеле¬
пипеда плоскостью, проходящей через эти
точки.
Решение
При построении сечений параллелепипеда
нужно руководствовался следующим пра¬
вилом (оно будет обосновано в курсе стерео¬
метрии в 10 классе): отрезки, но которым
секущая плоскость пересекает две противо¬
положные грани параллелепипеда, парал¬
лельны.
1) Рассмотрим сначала случай расположе¬
ния точек Л, В и С, изображённый на ри¬
сунке 355, а. Проведём отрезки АВ и ВС.
Е
б)
Рис. 355
Начальные сведения
из стереометрии
313

Далее, руководствуясь указанным прави¬
лом, через точку А проведём в плоскости
♦передней» грани прямую, параллель¬
ную ВС, а через точку С в плоскости бо¬
ковой грани проведём прямую, парал¬
лельную АВ. Пересечения этих прямых
с рёбрами нижней грани дают точки Е и
D (рис. 355, б). Остаётся провести отрезок
DE, и искомое сечение — пятиугольник
A BCDE — построено.
2) Обратимся теперь к случаю, представ¬
ленному на рисунке 356,а. Этот случай
более трудный, чем предыдущий. Можно
провести отрезки АВ и ВС (см. рис. 356, а),
но что делать дальше? Поступим так. Сна¬
чала построим прямую, по которой секу¬
щая плоскость пересекается с плоскостью
нижнего основания параллелепипеда.
С этой целью продолжим отрезок АВ и
нижнее ребро, лежащее в той же грани,
что и отрезок АВ, до пересечения в точ¬
ке М (рис. 356, б). Далее, через точку М
проведём в плоскости нижнего основания
прямую, параллельную ВС. Это и есть та Рис. 356
прямая, по которой секущая плоскость
пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая
пересекается с рёбрами нижнего основания в точках Е и F.
Затем через точку Е проведём прямую, параллельную пря¬
мой АВ, и получим точку D. Наконец, проведём отрезки
AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF —
построено.
1189	Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его
сечение плоскостью1: а) АВСХ; б) АССХ. Докажите, что по¬
строенные сечения — параллелограммы.
1190	Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и отметьте точки
М и N соответственно на рёбрах ВВХ и ССХ. Постройте точ¬
ку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой
AM с плоскостью АХВХСХ.
1191	Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его
сечение плоскостью, проходящей через точки Вх, Dx и сере¬
дину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — тра¬
пеция.
Для краткости записи плоскость, проходящую через
точки Л, В и Сх, мы называем плоскостью АВСХ;
аналогичные обозначения плоскостей используются
и в других задачах.
314 Глава XIV

1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
Изобразите параллелепипед 4BCDAIBIC|D. и постройте его
сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соот¬
ветственно на рёбрах: a) RBX, ААХ, AD; б) CCXt AD, BBX.
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если
его измерения равны а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) V39, 7, 9.
Ребро куба равно а. Найдите диагональ этого куба.
Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объёмы
Vt и Vt. Выразите объём V тела R через Ух и если:
а)	тела Р и Q не имеют общих внутренних точек;
б)	тела Р и Q имеют общую часть, обз»ём которой равен —
3
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см,
12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен
объему этого параллелепипеда.
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX,
если АС| = 13 см, BD = 12 см и ВСХ =11 см.
Докажите, что объём призмы равен произведению площади
основания на высоту.
Решение
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим призму и
прямоугольный параллелепипед с площадями оснований, рав¬
ными S, и высотами, равными Л, «стоящие» на одной плоско¬
сти (рис. 357).
Докажем, что объём призмы равен Sh. Любая секущая пло¬
скость, параллельная плоскости оснований, даёт в качестве
сечения призмы равный её основанию многоугольник пло¬
щади S, а в качестве сечения прямоугольного параллелепи¬
педа прямоугольник площади S. Следовательно, объём
призмы равен объёму параллелепипеда. Но объём прямоу¬
гольного параллелепипеда равен произведению площади ос¬
нования на высоту, т. е. равен Sh. Поэтому и объём призмы
равен Sh.
Рис. 357
Начальные сведения
из стереометрии

1199	Найдите объём прямой призмы АВСАХВХСХУ если ZBAC = 120°,
АВ = 5 см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых гра¬
ней равна 35 см2.
1200	Найдите объём правильной л-угольной призмы, все рёбра ко¬
торой равны а, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6; г) п = 8.
1201	Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней —
прямые?
1202	Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте
соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересече¬
ния: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и пло¬
скости ABD.
1203	Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетра¬
эдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А
ребра MN.
1204	Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точки М и N на рёбрах
BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сече¬
ние тетраэдра плоскостью MNK.
1205	Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг
другу.
1206	Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пи¬
рамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна поло¬
вине произведения периметра основания на апофему.
1207	Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна
5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра
пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 7 см.
1208	Найдите площадь боковой поверхности правильной шести¬
угольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а пло¬
щадь боковой грани равна площади сечения, проведённого
через вершину пирамиды и большую диагональ основания.
120$)* Через точку Нх высоты PH пирамиды РАхА2...Ап проведена
секущая плоскость р, параллельная плоскости а её основания.
Докажите, что площадь полученного сечения равна
где S — площадь основания пирамиды.
Решение
Докажем это утверждение сначала для треугольной пирами¬
ды, а затем — для произвольной пирамиды.
Рассмотрим треугольную пирамиду PAXAZA3 и докажем, что
рассматриваемое сечение представляет собой треугольник
ВХВ2В3, подобный треугольнику AXA2A3 с коэффициентом
PH
подобия k = - (рис. 358, а). Прямоугольные треугольники
РНАХ и РНХВХ подобны по двум углам (угол Р — общий;
ZPHXBX = ZPHAX = 90°, так как в противном случае прямые
PH I
316 Глава XIV

б)
Рис. 358
НАХ и НХВХУ а значит, и плоскости аир пересекались бы, что
РВ PH
противоречит условию), поэтому ——- =	!- = k. Аналогично
РА, PH рв	рн
из подобия треугольников PHЛг и РНХВ2 находим: ——- -	*.
РВ РВ.	РЛг	РП
Таким образом, 	- =		 = ky откуда следует, что треуголь-
РА) РА2
ники РВХВ2 и РАхА2 подобны по второму признаку подобия
TI	BiBy > m
треугольников. Поэтому ——= k. Точно так же доказывает-
AjA2
В2В3 . В,В. , m
ся, что = k и ?	= k. Таким образом, треугольники
А2А3	А3Ах	рц
ВХВ2В3 и АХА2А3 подобны с коэффициентом подобия k =	',
и, следовательно, площадь треугольника ВХВ2В3 равна
Рассмотрим теперь произвольную пирамиду. Её можно раз¬
бить на треугольные пирамиды с общей высотой PH (на ри¬
сунке 358, б показано разбиение выпуклой пятиугольной пи¬
рамиды). Поэтому площадь сечения равна
I ри \
2
I S.
••+ 5Л|ЛЯ ил)
1210	Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведе¬
ния площади основания на высоту.
Решение
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пира¬
миды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирами-
_ _ _ Начальные сведения
317 из стереометрии

ду с площадью основания S и высотой PH = h и правильную
четырёхугольную пирамиду с высотой QO -hvi стороной осно¬
вания 2h (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём вто¬
рой пирамиды равен -^(2Л)2 • h = -^Л3. Требуется доказать, что
объём V первой пирамиды равен ±-Sh.
3
Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости осно¬
ваний пирамид и пересекающую высоты PH и QO в точках Нх
и Oj соответственно. Площадь сечения первой пирамиды рав¬
на () • S, а площадь сечения второй — ( j • 4Л2 (см. за¬
дачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также,
что PH, = QOj (аккуратное доказательство этого факта будет
дано в курсе стереометрии 10—11 классов).
о
Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в —=■ раз
4Лг
больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её объ¬
ём V в раз больше, т. е. V =	'^h2- h = ^Sh, что и тре
4Л	4Л ' 3	3
бовалось доказать.
1211	Найдите объём пирамиды с высотой Л, если: а) Л = 2м, а ос¬
нованием является квадрат со стороной 3 м; б) h= 2,2 м, а ос¬
нованием является треугольник АВС, в котором АВ = 20 см,
ВС=13,5см, ZABC = 30°.
1212	Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если
сторона её основания равна т, а плоский угол (т. е. угол гра¬
ни) при вершине равен а.
318 Глава XIV

Тела и поверхности вращения
129	Цилиндр
Возьмём прямоугольник ABCD и будем
вращать его вокруг одной из сторон, например
вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате по¬
лучится тело, которое называется цилиндром.
Прямая АВ называется осью цилиндра, а от¬
резок АВ — его высотой. При вращении сторон
AD и ВС образуются два равных круга — они на¬
зываются основаниями цилиндра, а их радиус
называется радиусом цилиндра. При вращении
стороны CD образуется поверхность, состоящая
из отрезков, параллельных оси цилиндра. Её на¬
зывают цилиндрической поверхностью или боко¬
вой поверхностью цилиндра, а отрезки, из кото¬
рых она составлена, — образующими цилиндра.
Таким образом, цилиндр — это тело, ограничен¬
ное двумя равными кругами и цилиндрической
поверхностью.
Пользуясь принципом Кавальери, можно до¬
казать (см. задачу 1218), что объём цилиндра ра¬
вен произведению площади основания на высоту.
На рисунке 361, а изображён цилиндр с ра¬
диусом г и высотой А. Представим себе, что его
боковую поверхность разрезали по образующей
Ось цилиндра
Радиус цилиндра
Основание
цилиндра
Образующие
цилиндра
параллельны
друг другу
Основание
цилиндра
Боковая
поверхность
цилиндра
получена
вращением
стороны CD
Цилиндр получен
вращением
прямоугольника ABCD
вокруг стороны АВ
Рис. 360
Начальные сведения
из стереометрии
319

Рис. 361 а>
АВ и развернули таким образом, что получился
прямоугольник АВВ'А', стороны АВ и А'В' ко¬
торого являются двумя краями разреза боковой
поверхности цилиндра (рис. 361,6). Этот прямо¬
угольник называется развёрткой боковой поверх¬
ности цилиндра. Сторона А А' прямоугольника
равна длине окружности основания, а сторона АВ
равна высоте цилиндра, т. е. АА'=2лг, АВ = А.
Площадь S^K боковой поверхности цилинд¬
ра равна площади её развёртки, т. е. = 2лгЛ.
130	Конус
Возьмём прямоугольный треугольник АВС
и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362).
В результате получится тело, которое называет¬
ся конусом. Прямая АВ называется осью конуса,
а отрезок АВ — его высотой. При вращении кате¬
та ВС образуется круг, он называется основанием
конуса. При вращении гипотенузы АС образуется
OmpejOK AR-
высота конуса
Образующие
конуса
Боковая поверхность
конуса получена
вращением гипотенузы
Ось конуса
Вершина конуса
Основание конуса
получено вращением
катета ВС
Конус получен
вращением
п рямоугол ьного
треугольника АВС
вокруг катета АВ
Рис. 362
320 Глава XIV

поверхность, состоящая из отрезков с общим кон¬
цом А. Её называют конической поверхностью
или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из
которых она составлена, — образующими конуса.
Таким образом, конус — это тело, ограниченное
кругом и конической поверхностью.
Пользуясь принципом Кавальери, можно
доказать (см. задачу 1219), что объём конуса ра¬
вен одной трети произведения площади основа¬
ния на высоту.
Иначе говоря, объём V конуса выражается
формулой V = -^лг2А, где г—радиус основания
3
конуса, h — его высота.
Рассмотрим теперь конус, у которого ра¬
диус основания равен г, а образующая равна Z
(рис. 363, а). Его боковую поверхность можно
развернуть на плоскость, разрезав её по одной
из образующих. Развёртка боковой поверхно¬
сти конуса представляет собой круговой сектор
(рис. 363, б). Радиус этого сектора равен образу¬
ющей конуса, т. е. равен /, а длина дуги сектора
равна длине окружности основания конуса, т. е.
равна 2пг.
Площадь SCt0tl боковой поверхности конуса
равна площади её развёртки, т. е.
„ Яр
S«“=360a’
где a — градусная мера дуги сектора (см.
рис. 363, б). Длина дуги окружности с градусной
,	я/a „
мерой а и радиусом I равна С другой сторо-
180
ны, длина этой дуги равна 2лг, т. е. = 2лг,
180
с я/a	I	о	I	.
поэтому S6oK = —	- =	2nr	- =	nrl.
1 oU	Z	Z
Итак, площадь боковой поверхности конуса
с образующей I и радиусом основания г выража¬
ется формулой:
8^ = nrl.
б)
Рис.363
Начальные сведения
из стереометрии
321

131	Сфера и шар
Сферой называется поверхность, состоящая
из всех точек пространства, расположенных на
данном расстоянии от данной точки (рис. 364).
Данная точка называется центром сферы (точ¬
ка О на рисунке 364), а данное расстояние —
радиусом сферы (на рисунке 364 радиус сферы
обозначен буквой R). Любой отрезок, соединяю¬
щий центр сферы с какой-либо её точкой, также
называется радиусом сферы.
Отрезок, соединяющий две точки сферы и
проходящий через её центр, называется диамет¬
ром сферы. Ясно, что диаметр сферы радиуса R
равен 2R.
Тело, ограниченное сферой, называется
шаром. Центр, радиус и диаметр сферы назы¬
ваются также центром, радиусом и диаметром
шара. Ясно, что шар радиуса R с центром О со¬
держит все точки пространства, расположенные
от точки О на расстоянии, не превышающем R
(включая и саму точку О), и не содержит других
точек. Отметим также, что шар может быть по¬
лучен вращением полукруга вокруг его диаметра
(рис. 365). При этом сфера образуется в результа¬
те вращения полуокружности.
Пользуясь принципом Кавальери, можно
Рис.364
iA
Шар получен враще
нием полукруга АСВ
вокруг диаметра АВ
Рис. 365
доказать, что объём шара радиуса R равен
(см. задачу 1224).
В отличие от боковых поверхностей цилинд¬
ра и конуса сферу нельзя развернуть так, чтобы
получилась плоская фигура. Поэтому для сферы
непригоден способ вычисления площади с помо¬
щью развёртки. Вопрос о том, что понимать под
площадью сферы и как её вычислить, будет рас¬
смотрен в курсе стереометрии в 11 классе. Здесь
же отметим, что для площади S сферы радиуса R
получается формула:
5 = 4лЯ2.
322 Глава XIV

Один из возможных способов получения
этой формулы даёт задача 1225.
Задачи
1213	Докажите, что объём цилиндра равен произведению площади
основания па высоту.
Решение
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим цилиндр
и призму с площадями оснований, равными S, и высотами,
равными Л, «стоящие» на одной плоскости (рис. 366). Любая
секущая плоскость, параллельная этой плоскости, даёт в ка¬
честве сечения цилиндра круг площади S, а в качестве се¬
чения призмы — многоугольник площади <$. Значит, объём
цилиндра равен объёму призмы. Но объём призмы равен Sh.
Поэтому и объём цилиндра равен Sh.
1214	Пусть V, г и Л — соответственно объём, радиус и высота ци¬
линдра. Найдите: а) V, если г = 2V2 см, Л = 3см; б) г, если
V= 120 см3, h = 3,6 см; в) А, если r= Л, V- 8л см3.
1215	В цилиндр вписана правильная n-угольная призма (т. е. осно¬
вания призмы вписаны в основания цилиндра). Найдите от¬
ношение объёмов призмы и цилиндра, если: а) п = 3; б) п = 4;
в) п = 6; г) п = 8; д) п — произвольное натуральное число.
1216	Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра рав¬
на длине окружности основания. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
1217	Сколько квадратных метров листовой жести пойдёт на изго¬
товление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы
необходимо добавить 2,5% площади её боковой поверхности?
1218	Один цилиндр получен вращением прямоугольника ABCD
вокруг прямой Л В, а другой цилиндр — вращением этого же
прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади
боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите
Рис.366
Начальные сведения
из стереометрии

отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров,
если АВ = а, ВС = Ь.
1219*Докажите, что объём конуса равен одной трети произведения
площади основания на высоту.
Решение
Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим конус и
пирамиду с площадями оснований S и высотами PII = h и
QO = h соответственно, «стоящие» на одной плоскости а
(рис. 367). Докажем, что объём конуса равен —Sh.
3
Проведём секущую плоскость р, параллельную плоскости а и
пересекающую высоты РП и QO в точках II j и Ох соответ¬
ственно. В сечении конуса плоскостью р получится круг ради¬
уса НХАХ. Треугольники РНХАХ и РИА подобны по двум углам
(ZP — общий, ZPHXAX = ZPHА = 90°, так как в противном
случае прямые НА и НХАХ, а значит, и плоскости а и Р пере-
Л	ч „ IIXAX РНХ
секались бы, что противоречит условию). Поэтому —1—- =	1,
ЧА ’ Ч
откуда НХАХ = -pjj-' НА, и площадь сечения конуса равна
= f V-
(GO А4
I • Я (см. задачу
1209). По условию РП = QO = h. Интуитивно ясно также, что
РПХ = QOX (аккуратное доказательство этого факта будет дано
в курсе стереометрии 10—11 классов).
Следовательно, площадь сечения конуса равна площади сече¬
ния пирамиды. Поэтому и его объём равен объёму пирамиды,
т. е. равен —Sh, что и требовалось доказать.
324 Глава XIV

1220	Пусть hy г и V — соответственно высота, радиус основа¬
ния и объём конуса. Найдите: а) К, если Л = 3см, г= 1,5 см;
б) hy если г = 4см, У=48лсм3; в) г, если Л=/п, V=p.
1221	Найдите объём конуса, если площадь его основания равна Q,
а площадь боковой поверхности равна Р.
1222	Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм2. Развёртка
боковой поверхности конуса представляет собой круговой сек¬
тор с дугой в 60°. Найдите объём конуса.
1223	Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается
вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и пол¬
ной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
1224*Докажите, что объём шара радиуса R равен ^-яЛ8.
Решение
Рассмотрим два тела: половину шара радиуса R и тело Г,
представляющее собой цилиндр радиуса R с высотой Я, из
которого вырезан конус с радиусом основания и высотой R.
Представим себе, что оба тела «стоят» на плоскости а так,
как показано на рисунке 368. Проведём секущую плоскость 0,
параллельную плоскости а и пересекающую радиус шара О А,
перпендикулярный к плоскости а, в точке Л,, а высоту ВН
конуса — в точке
Сечение половины шара представляет собой круг радиуса
JR2 - О А2 (см. рис. 368). Поэтому площадь этого круга равна
л(Л2-ОЛ2).
Сечение тела Т представляет собой кольцо, площадь которо¬
го равна разности площадей двух кругов: круга радиуса R и
круга радиуса ВХВ2 (см. рис. 368), т. е. равна n(R2 - ВХВ\). Но
ВхВг = ВВх (объясните почему) и, кроме того, ВВХ = ОАХ (дока¬
зательство этого наглядно очевидного факта будет приведено в
курсе стереометрии 10—11 классов).
Таким образом, площадь сечения половины шара равна пло¬
щади сечения тела 7’. Поэтому и объём половины шара равен

объёму этого тела. В свою очередь, объём V тела Т можно вы¬
числить как разность объёмов цилиндра и конуса:
V = nRz • R -—itR2 • R = -л/?3.
3	3
о
объём половины шара равен — itR3 и, следовательно,
А	3
4 _ 1,3
- '	3

радиуса R покрасили слоем краски толщины d. Сло-
1225
Итак,
объём всего шара равен -^л/?3.
Сферу
ем такой же толщины покрасили многоугольник и затрати¬
ли при этом такое же количество краски. Найдите площадь
многоугольника.
Решение
Если толщина слоя краски равна с/, то объём краски, затра¬
ченной на покраску сферы, равен разности объёмов двух ша¬
ров: шара радиуса R + d и шара радиуса R, т. е. равен
^n(R + d)3 - 1 nR3 = nd (3R2 + 3Rd + d2).
При покраске многоугольника площади S слоем толщины d
объём затраченной краски равен Sd, поскольку объём призмы
равен произведению площади основания па высоту.
Приравнивая эти два объёма и сокращая на d, находим S:
S = -n(3R2 + 3Rd + dz),
Замечание	3
Если толщина d слоя краски очень мала по сравнению с ра¬
диусом R сферы, то величина S приблизительно равна
•^•л-37?2 = ^nR2. Основываясь на проведённых рассуждениях,
3	3
естественно принять за площадь сферы величину 4л/?2.
1226	Пусть V — объём шара радиуса /?, S — площадь его по¬
верхности. Найдите: a) S и V, если /? = 4см; б) R и S, если
V= 113,04 см3; в) R и V, если 8 = 64л см2.
1227	Диаметр Луны составляет (приближённо) четвёртую часть ди¬
аметра Земли. Сравните объёмы Луны и Земли, считая их
шарами.
1228	Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину
12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положи¬
ли две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см.
Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
1229	Сколько кожи пойдёт на покрышку футбольного мяча радиу¬
са 10 см (на швы добавить 8% от площади поверхности мяча)?
1230	Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверх¬
ности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диа¬
метр основания равен образующей конуса.
326 Глава XIV

1231
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Отношение объёмов двух шаров равно 8. Как относятся пло¬
щади их поверхностей?
Вопросы для повторения к главе XIV
Объясните, что такое многогранник; что такое грани, рёбра,
вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры
многогранников.
Объясните, как построить многогранник, называемый
n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, бо¬
ковые рёбра и высота призмы.
Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?
Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники
являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого паралле¬
лепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.
Докажите, что четыре диагонали параллелепипеда пересека¬
ются в одной точке и делятся ею пополам.
Объясните, как измеряются объёмы тел; что показывает чис¬
ло, выражающее объём тела при выбранной единице измере¬
ния объёмов.
Сформулируйте основные свойства объёмов.
Объясните, в чём заключается принцип Кавальери.
Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?
Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллеле¬
пипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
Докажите, что объём прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трёх его измерений.
Какой формулой выражается объём призмы?
Объясните, какой многогранник называется п-угольпой пира¬
мидой; что такое основания, боковые грани, вершина, боко¬
вые рёбра и высота пирамиды.
Объясните, какая пирамида называется правильной; что такое
апофема правильной пирамиды.
Какой формулой выражается объём пирамиды?
Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось,
высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие
цилиндра.
Какой формулой выражается объём цилиндра?
Объясните, как получается и что представляет собой развёрт¬
ка боковой поверхности цилиндра.
Какой формулой выражается площадь боковой поверхности
цилиндра?
Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, вы¬
сота, основания, боковая поверхность, образующие конуса.
Начальные сведения
32/ из стереометрии

20
21
22
23
24
25
26
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
Какой формулой выражается объём конуса?
Объясните, как получается и что представляет собой развёрт¬
ка боковой поверхности конуса.
Какой формулой выражается площадь боковой поверхности
конуса?
Что называется сферой и что такое её центр, радиус и диа¬
метр?
Какое тело называется шаром и что такое его центр, радиус и
диаметр?
Какой формулой выражается объём шара?
Какой формулой выражается площадь сферы?
Дополнительные задачи
Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы
трёх рёбер, имеющих общую вершину.
Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей паралле¬
лепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.
Изобразите параллелепипед ABCDAlBlClDl и постройте:
а)	его сечения плоскостями АВСХ и DCBU а также отрезок, по
которому эти сечения пересекаются;
б)	его сечение плоскостью, проходящей через ребро ССХ и точ¬
ку пересечения диагоналей грани A A XDXD.
Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его
сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра ААХ, a L —
середина ребра ССХ. Докажите, что построенное сечение — па¬
раллелограмм.
Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипе¬
да, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его рёбра про¬
порциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллеле¬
пипеда.
Найдите объём куба ABCDAXBXCXDX, если: а) ЛС=12см;
б) А(\ = 3\ 2; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.
Найдите объём прямой призмы АВСАХВХСХ, если АВ = ВС= т,
ZABC = <p и BBy = BD, где BD — высота треугольника АВС.
Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы
равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите
объём призмы.
Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и
точки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетра¬
эдра плоскостью MNK.
Основанием пирамиды является параллелограмм со сторона¬
ми 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды
328 Глава XIV

1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
проходит через точку пересечения диагоналей основания и
равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сум¬
му площадей всех её граней.
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота
которой равпа 12 см, а сторона основания равна 13 см.
В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при верши¬
не равен а, а сторона основания равпа а. Найдите объём пира¬
миды.
Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг.
Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см3).
Свинцовая труба (плотность свинца равпа 11,4 г/см3) с тол¬
щиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова
масса трубы, если её длина равна 25 м?
Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь пол¬
ной поверхности равна 288л см2. Найдите радиус основания и
высоту цилиндра.
Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая по¬
верхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.
Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины
его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите
объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса
равен 24 см3.
Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324л см3. Най¬
дите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.
Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрт¬
кой его боковой поверхности является сектор, радиус которо¬
го равен 9 см, а дута равна 120°.
Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого рав¬
на т, а угол при основании равен ф, вращается вокруг осно¬
вания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при
этом вращении.
Шар и цилиндр имеют равные объёмы, а диаметр шара равен
диаметру цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус
шара.
В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную
водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металличе¬
ских шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень
воды в мензурке?
3
4
Вода покрывает приблизительно
земной
поверхности.
Сколько квадратных километров земной поверхности занима¬
ет суша (радиус Земли считать равным 6375 км)?
В каком отношении находятся объёмы двух шаров, если пло¬
щади их поверхностей относятся как т2: п2?
329
Начальные сведения
из стереометрии

Задачи повышенной трудности
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
Задачи к главе X
Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты
АСхв^), B(x2;i/2), C(x3;i/3) и В(х4;#4). Докажите, что этот
четырёхугольник является параллелограммом тогда и только
тогда, когда х, + х3 = х2 + х4 и ух + у3 = у2 + у4.
Даны две точки А (хх; ух) и В(х2; уг). Докажите, что коорди¬
наты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении X
(т. е. = X), выражаются формулами х =	^*2 , у =	* ^2 .
Из физики известно, что центр тяжести однородной треуголь¬
ной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найди¬
те координаты центра тяжести такой пластинки, если коорди¬
наты её вершин равны: (х>; ух), (х2; у2), (х3; у3).
Вершины, треугольника АВС имеют координаты А (-3; О),
В (О; 4), С (3; О). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в
точке D. Найдите координаты точки D.
В треугольнике АВС АС = Ясы, ВС= 12 см. Медианы AM и
BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс тъ
т2 и т3, сосредоточенных соответственно в точках Ах (хх; t/j,
Аг Уг)> А3 (х3; i/з).
В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точ¬
ку Му для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет
наименьшее значение:
а)	А (2; 3), В (4;-5);
б)	А (-2; 4), В (3; 1).
Докажите, что:
а)	уравнение Ах + Ву + С = О, где А и В одновременно не равны
нулю, является уравнением прямой;
б)	уравнение х2 - ху - 2 = О не является уравнением окружности.
Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных
уравнениями (х - I)2 + (у - 2)2 = 4 и х2 + у2 = 1, и вычислите
длину их общей хорды.
Даны три точки Л, В, С и три числа а, р, у. Найдите мно¬
жество всех точек М, для каждой из которых сумма
аАМ2 + $ВМ2 + уСМг имеет постоянное значение, если:
а)	а + р + у^О;
б)	а + Р + у=О.
Даны прямая а и точка Л, не лежащая на ней. Для каждой
точки Мх прямой а на луче АМХ взята такая точка М, что
АМХ - AM = ky где k — данное положительное число. Найдите
множество всех точек М.
— — — Задачи повышенной
330 трудности

1276	В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD
равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к осно¬
ваниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол СВЕ
равен а. Найдите площадь трапеции ABCD.
1277	В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ больше сто¬
роны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точ¬
ка О — центр описанной окружности. Угол АВС равен р, а пло¬
щадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.
1278	В треугольнике АВС проведены высота АН длиной Л, меди¬
ана АМ длиной /, биссектриса AN. Точка N — середина от¬
резка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пере¬
сечения высот треугольника АВС.
Задачи к главе XII
1279	На рисунке 370 изображён правильный десятиугольник, впи¬
санный в окружность радиуса R, АС — биссектриса угла О АВ.
Докажите, что: а) ДЛВСоэДОЛВ; б) АВ= АС = ОС = R-
1280	Докажите, что отрезок АК, изображённый па рисунке 371,
равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в
окружность с центром О.
1281	Около правильного пятиугольника	описана
окружность с центром О. Вершинами треугольника АВС яв¬
ляются середины сторон АрА2, А2А3 и А3А4 пятиугольника.
Докажите, что центр О данной окружности и центр О, окруж¬
ности, вписанной в треугольник АВС, симметричны относи¬
тельно прямой АС.
1282*В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
1283	В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
1284	В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
1285	Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правиль¬
ного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров,
проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны
n-угольника, равна пг, где г— радиус вписанной окружности.
— Задачи повышенной
332 трудности

1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
Углы треугольника образуют геометриче¬
скую прогрессию со знаменателем 2. Дока¬
жите, что середины сторон и основания вы¬
сот этого треугольника являются шестью
вершинами правильного семиугольника.
Пусть ABCD — квадрат, a AlBiCl — пра¬
вильный треугольник, вписанные в окруж¬
ность радиуса R. Докажите, что сумма
AB + AjBj равна длине полуокружности с
точностью до 0,01 Я.
По данным рисунка 372 докажите, что
длина отрезка АС равна длине окружно¬
сти с центром О радиуса R с точностью до
0,001Я.
На рисунке 373 изображены четыре полу¬
окружности: АЕВ, АКСу CFD, DLB, при¬
чём АС = DB. Докажите, что площадь за¬
крашенной фигуры равна площади круга,
построенного на отрезке EF как на диа¬
метре.
Постройте границу круга, площадь кото¬
рого равна:
а)	площади кольца между двумя данными
концентрическими окружностями;
б)	площади данного полукруга;
в)	площади данного кругового сектора,
ограниченного дугой в 60°.
Задачи к главе XIII
Рис. 372
При данном движении g точка А отображается в точку В,
а точка В — в точку А. Докажите, что g — центральная сим¬
метрия или осевая симметрия.
Даны два равных отрезка АВ и AtBi. Докажите, что существу¬
ют два и только два движения, при которых точки А и В ото¬
бражаются соответственно в точки А! и ВР
Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и
угол между ними одного параллелограмма соответственно рав¬
ны диагоналям и углу между ними другого.
Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые
стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и
боковым сторонам другой.
Докажите, что два треугольника равны, если две неравные
стороны и разность противолежащих им углов одного тре¬
угольника соответственно равны двум сторонам и разности
противолежащих им углов другого.
Задачи повышенной
трудности

Исследовательские задачи
Предлагаемые задачи ориентированы на проведение исследо¬
ваний, связанных как с решением некоторых задач из учебника,
так и с постановкой новых задач.
7	класс
1	Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, ис¬
пользуя не только стороны и углы, но также медианы, бис¬
сектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков
дают задачи 161, 176, 329.
Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся:
создать банк признаков равенства треугольников; может ис¬
пользоваться как предмет интеллектуального соревнования
между двумя или несколькими группами учащихся.
2	Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треуголь¬
ников.
3	Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треуголь¬
ников.
4	Для каждого из новых признаков равенства треугольников рас¬
смотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля
и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют
в признаке.
8	класс
1	Задача 813 и её обобщение на случай невыпуклого четырёх¬
угольника. (Предложите способ решения, применимый для лю¬
бого четырёхугольника.)
2	Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (задачи
852, 889, 893, 1286). Предложите свои задачи на применение
этой теоремы.
3	Окружность Эйлера (задача 895). Дополнительно исследуй¬
те, сколько точек, указанных в задаче 895, могут быть раз¬
личными.
4	Прямая Симеона (задача 896). Исследуйте все возможные
случаи.
5	Прямая Эйлера: докажите, что в любом неравностороннем тре¬
угольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот
(или их продолжений), центр описанной около треугольника
окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной пря¬
мой. Установите, в каком отношении эти точки разделяют от¬
резок с концами в крайних точках.
_ _ _ Исследовательские
335 задачи

9	класс
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Проведите полное исследование задачи на построение тре¬
угольника ЛВС по углу Л и сторонам ЛВ и ВС. При каких ус¬
ловиях задача:
а)	имеет решение;
б)	имеет единственное решение;
в)	имеет не единственное решение (и сколько решений);
г)	не имеет решений?
Окружности Аполлония и их свойства (задачи 981, 1286).
Использование движений в задачах на доказательство (задачи
1178—1180, 1291—1296).
Использование движений в задачах на построение (задачи
1181—1183, 1297—1303).
Темы рефератов
Характеристическое свойство фигуры. Характеристические
свойства прямоугольника, ромба, квадрата, окружности.
Формулы площадей различных четырёхугольников.
Многоугольники на решётке. Формула Пика.
Изопериметрические задачи.
Теоремы Чевы и Менелая.
Прямая и окружность Эйлера.
Различные средние для нескольких отрезков.
Методы решения задач на построение (метод подобия, метод
геометрических мест точек, использование движений).
Радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трёх
окружностей.
Вневписанные окружности.
Теорема Морли.
Использование движений при решении задач.
Центральное подобие и его применения (теорема Наполеона,
прямая и окружность Эйлера, прямая Симеона).
Инверсия и её применения (теорема Птолемея и обратная ей,
формула Эйлера для квадрата расстояния между центрами
вписанной и описанной окружностей треугольника, теорема
Фейербаха, задача Аполлония).
Темы рефератов

Приложения
И Об аксиомах планиметрии
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. На¬
помним, что аксиомами называются те основные положения гео¬
метрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с
так называемыми основными понятиями они образуют фунда¬
мент для построения геометрии. Первыми основными понятия¬
ми, с которыми мы познакомились, были понятия точки и пря¬
мой. Определения основных понятий не даются, а их свойства
выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксио¬
мы, мы даём определения новых понятий, формулируем и доказы¬
ваем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических
фигур.
Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения
планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения из¬
ложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и поль¬
зовались. Здесь мы приведём все аксиомы планиметрии.
Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение
точек и прямых.
1.	Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки1.
2.	Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой.
3.	Через любые две точки проходит прямая, и притом только
одна.
Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали по¬
нятие «лежать между*, которое относим к основным понятиям гео¬
метрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме:
4.	Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
Подчеркнём, что, говоря «точка В лежит между точками Л и
С», мы имеем в виду, что Л, В, С — различные точки прямой и
точка В лежит также между С и А. Иногда вместо этих слов мы
говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точки С (ана¬
логично точки В и С лежат по одну сторону от точки А) или точки
Л и С лежат по разные стороны от точки В.
Такие понятия, как «принадлежать*, «множество», «число* и
т. д., относятся не только к геометрии, но и к другим разделам
математики. Поэтому мы считаем их известными и не относим к
числу основных понятий планиметрии.
Приложения

5.	Каждая точка О прямой разделяет её на две части (два
луча) так, что любые две точки одного и того же луча ле¬
жат по одну сторону от точки О, а любые две точки раз¬
ных лучей лежат по разные стороны от точки О.
При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных
лучей.
Напомним, что отрезком Л В называется геометрическая
фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, ле¬
жащих между Л и В. Коротко можно сказать так: отрезок — это
часть прямой, ограниченная двумя точками. Если отрезок АВ не
имеет общих точек с прямой а, то говорят, что точки А и В ле¬
жат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересека¬
ется с прямой а (в некоторой точке С, лежащей между А и В),
то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от пря¬
мой а.
6.	Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две
полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же
полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а лю¬
бые две точки разных полуплоскостей лежат по разные
стороны от прямой а.
Прямая а называется границей каждой из указанных полу¬
плоскостей; её точки не принадлежат ни одной из этих полупло¬
скостей.
Следующие аксиомы связаны с понятиями наложения и ра¬
венства фигур. Понятие наложения относится в нашем курсе к ос¬
новным понятиям геометрии. В главе I мы определили равенство
геометрических фигур, используя понятие наложения. Мы опира¬
лись на наглядные представления о наложении фигур и допускали,
что всякая геометрическая фигура может перемещаться как единое
целое, наподобие того как перемещаются материальные тела. Но
геометрические фигуры — не материальные тела, а воображаемые
объекты, поэтому наложение геометрических фигур следует пони¬
мать в особом смысле.
Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фи¬
гуры Ф на равную ей фигуру Ф„ как мы представляем его нагляд¬
но, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку
фигуры ФР Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется
некоторой точке фигуры Фг Но мы можем со¬
поставить каждую точку фигуры Ф некоторой
А
ф
точке фигуры Ф! и без непосредственного нало¬
жения Ф на Ф, (рис. 374). Такое сопоставление
bL_
/м
называется отображением фигуры Ф на фигуру	Цг—"
Ф, (при этом подразумевается, что каждая точ¬
ка фигуры Ф! оказывается сопоставленной не- Рис. 374
ф1.
338
Приложения

которой точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру
Ф! мы понимаем отображение Ф на ФР Более того, мы считаем,
что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоско¬
сти отображается на определённую точку плоскости, т. е. наложе¬
ние — это отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называ¬
ем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на
себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см.
ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём
понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф, — две фигуры. Если суще¬
ствует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру
Фп то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с
фигурой Фр или фигура Ф равна фигуре ФР Сформулируем теперь
аксиомы о свойствах наложений.
7.	Если при наложении совмещаются концы двух отрезков,
то совмещаются и сами отрезки.
8.	На любом луче от его начала можно отложить отрезок,
равный данному, и притом только один.
Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то
луч А с началом в точке О, то на луче h существует, и притом толь¬
ко одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.
9.	От любого луча в данную полуплоскость можно отложить
угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом
только одип.
Это означает, что если даны какой-то луч О А и какой-то не¬
развёрнутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с гра¬
ницей О А существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что
угол CDE равен углу АОВ.
10.	Любой угол hk можно совместить наложением с равным
ему углом hxkx двумя способами: 1) так, что луч h совме¬
стится с лучом а луч k — с лучом kx, 2) так, что луч h
совместится с лучом klf а луч k — с лучом hx.
11.	Любая фигура равна самой себе.
12.	Если фигура Ф равна фигуре Фи то фигура Ф1 равна фи¬
гуре Ф.
13.	Если фигура Ф! равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фи¬
гуре Ф3, то фигура Фи равна фигуре Ф3.
Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим
наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и по¬
этому не вызывают сомнений.
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Пре¬
жде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки.
339 Приложения

Пусть Л В — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица изме¬
рения отрезков. На луче АВ отложим отрезок AAi = PQ, на луче
Л1В — отрезок АхА2= PQ и т. д. до тех пор, пока точка Л„ не со¬
впадёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между Ап и
А„ + 1. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице
измерения PQ выражается числом п (или что отрезок PQ укла¬
дывается в отрезке АВ п раз). Во втором случае можно сказать,
что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо
выражается числом п. Для более точного измерения отрезок PQ
делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помо¬
щью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток
АпВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается це¬
лое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 рав¬
ных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем,
что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выра¬
зить его длину при данной единице измерения конечной или бес¬
конечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформули¬
руем так:
14.	При выбранной единице измерения отрезков длина каж¬
дого отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка
данной длины.
15.	При выбранной единице измерения отрезков для любого
положительного числа существует отрезок, длина которо¬
го выражается этим числом.
Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллель¬
ных прямых.
16.	Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной.
Отметим, что для построения геометрии можно использовать
различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы параллель¬
ных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о
том, что сумма углов треугольника равна 180°. Тогда утверждение
♦ Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной* можно доказать как теорему
(попробуйте провести такое доказательство самостоятельно). От раз¬
личных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были эквива¬
лентны, т. е. приводили бы к одним и тем же выводам.
Иногда стремятся к тому, чтобы аксиомы были независимы,
т. е. ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Мы не ста¬
вили перед собой такой цели. Например, утверждение аксиомы 5
340 Приложения

может быть доказано на основе остальных аксиом, т. е. фактиче¬
ски это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Однако для
упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы.
В заключение рассмотрим одну из самых первых теорем на¬
шего курса — теорему, выражающую первый признак равенства
треугольников (п. 15). Её доказательство опиралось на наглядные
представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы
тогда ещё не было введено. Напомним это доказательство и рассмот¬
рим его с точки зрения принятых нами аксиом.
Нужно было доказать, что если ЛВ = А1В1, ДС=А1С1 и
ZA=ZAn то треугольники АВС и АуВ^ равны. С этой це¬
лью мы рассматривали такое наложение, при котором верши¬
на А совмещается с вершиной а стороны АВ и АС треуголь¬
ника АВС накладываются соответственно на лучи AtCt и AjB,.
При этом мы опирались на наглядно очевидный факт, что такое
наложение существует, поскольку углы А и Л, равны. Теперь
можно сказать, что существование такого наложения следует из
аксиомы 10.
Далее мы рассуждали так: поскольку AB = AiBlf AC = A1Ci,
то сторона АВ совместится со стороной АуВ^ а сторона АС — со
стороной А/-,, в частности совместятся точки В и В„ С и Как
обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто.
По аксиоме 8 на луче AtBi от точки At можно отложить
только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы
АВ = AyBlt поэтому при нашем наложении точка В совместится с
точкой В,. Аналогично точка С совместится с точкой С,. Остаётся
сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона
ВС совместится со стороной ВХСХ. Теперь можно сделать вывод, что
треугольники АВС и AjBjC, полностью совместились и, значит, они
равны.
Как видим, само доказательство теоремы о первом признаке
равенства треугольников, по существу, не изменилось, только те¬
перь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на ак¬
сиомы, в которых эти факты выражены.
В Некоторые сведения о развитии геометрии
Первое сочинение, содержащее простейшие геометрические
сведения, дошло до нас из Древнего Египта. Оно относится к XVII в.
до н. э. В нём содержатся правила вычисления площадей и объёмов
некоторых фигур и тел. Эти правила были получены практическим
путем, без какого-либо логического доказательства их справедли¬
вости.
Становление геометрии как математической науки произошло
позднее и связано с именами греческих учёных Фалеса (ок. 625—
547 гг. до н. э.), Пифагора (ок. 580—500 гг. до н. э.), Демокрита
(ок. 460—370 гг. до н. э.), Евклида (III в. до н. э.) и др.
341 Приложения

В знаменитом сочинении Евклида «Начала» были системати¬
зированы основные известные в то время геометрические сведения.
Главное же — в «Началах» был развит аксиоматический подход к
построению геометрии, который состоит в том, что сначала фор¬
мулируются основные положения (аксиомы), а затем на их осно¬
ве посредством рассуждений доказываются другие утверждения
(теоремы)1.
Полученные результаты используются как на практике, так и
в дальнейших научных исследованиях. Некоторые из аксиом, пред¬
ложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии.
Часть из них в современной формулировке имеется в нашем курсе.
Например: «Через любые две точки проходит прямая, и притом
только одна».
Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопро¬
сов геометрии внесли Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.), Аполло¬
ний (III в. до н. э.) и другие древнегреческие учёные.
Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь
много веков спустя — в XVII в. н. э. — и был связан с накопленны¬
ми к этому времени достижениями алгебры. Выдающийся француз¬
ский математик и философ Р. Декарт (1596—1650) предложил но¬
вый подход к решению геометрических задач. В своей «Геометрии»
(1637) он ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что
позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими
методами.
В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая
в «Началах» Евклида называлась пятым постулатом. Формулиров¬
ка пятого постулата у Евклида весьма сложна2. Поэтому обычно
его заменяют эквивалентной ему аксиомой параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.
Много веков усилия большого числа учёных были направлены
на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число
аксиом стремились свести к минимуму. Учёные думали, что пя¬
тый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные
аксиомы.
В конце XVIII в. у некоторых геометров возникла мысль о
невозможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса
было найдено великим русским математиком Николаем Иванови¬
чем Лобачевским (1792—i856).
1	На возможность такого подхода впервые указал древнегреческий
учёный Аристотель (ок. «384—«322 гг. до и. э.).
2	Пятый постулат: «И если прямая, падающая на две прямые,
образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых,
то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той
стороны, где углы меньше двух прямых*.
342 Приложения

Вся творческая жизнь нашего выдающегося соотечественни¬
ка была связана с Казанским университетом, где он учился, затем
был профессором, а с 1827 г. — ректором университета. Его очень
рано заинтересовала геометрия, и он, как и многие его предше¬
ственники, пытался доказать пятый постулат Евклида. Лобачев¬
ский предпринял попытку доказать пятый постулат от противного:
он предположил, что через данную точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести несколько прямых, не пересекающих дан¬
ную. Исходя из этого, он попытался получить утверждение, кото¬
рое противоречило бы аксиомам или полученным из них теоремам.
Если бы такое утверждение удалось получить, то это означало бы,
что предположение неверно, а верно противоположное утвержде¬
ние: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
только одну прямую, не пересекающую данную. Тем самым пятый
постулат Евклида был бы доказан.
Но Лобачевский не получил противоречивых утверждений.
На основании этого им был сделан замечательный вывод: можно по¬
строить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. Такая
геометрия им была построена. Её называют теперь геометрией Ло¬
бачевского. Сообщение об открытии новой геометрии было сделано
Лобачевским в 1826 г.
К аналогичным выводам пришёл венгерский математик
Я. Бойяи (1802—1860), но он свои результаты опубликовал не¬
сколько позже, в 1832 г. В рукописях великого немецкого мате¬
матика К. Ф. Гаусса (1777—1855) высказывались идеи, близкие к
идеям Лобачевского и Бойяи. Однако он, опасаясь критики, не ре¬
шился их обнародовать.
Открытие нашим великим соотечественником новой гео¬
метрии оказало огромное влияние па развитие науки. Геометрия
Лобачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо
влияние новой геометрии на развитие самой геометрии. Наиболее
ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представле¬
ний о пространстве: ведь до Лобачевского казалось, что геометрией
окружающего нас пространства может быть только евклидова гео¬
метрия. Но так как возможна другая геометрия, то истинность той
или иной геометрии может быть проверена лишь опытным путём.
Современной наукой установлено, что евклидова геометрия лишь
приближённо, хотя и с весьма большой точностью, описывает окру¬
жающее нас пространство, а в космических масштабах она имеет
заметное отличие от геометрии реального пространства.
Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замеча¬
тельных открытий в геометрии. Так, выдающимся немецким мате¬
матиком Б. Риманом (1826—1866) была создана новая геометрия,
обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.
Читатель вправе спросить: а являются ли геометрия Евклида
и геометрия Лобачевского непротиворечивыми? Не может ли так
случиться, что при дальнейшем развитии как той, так и другой гео¬
метрии получатся противоречивые выводы? Уже в конце XIX века
343 Приложения

было доказано, что если непротиворечива геометрия Евклида, то
непротиворечива и геометрия Лобачевского. Непротиворечивость
той или иной геометрии доказывается с помощью какой-либо ин¬
терпретации (модели) её основных понятий и аксиом. Например,
одной из известных интерпретаций евклидовой геометрии является
арифметическая модель, в которой точка есть пара чисел (х; у), за¬
писанная в определённом порядке, а прямая есть множество то¬
чек, удовлетворяющих линейному уравнению ах + Ьх + с = 0, где а и
Ь — некоторые числа (a2 + dz^0). С помощью этой модели вопрос
о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о
непротиворечивости арифметики, имеющей дело с вещественными
числами. О моделях, реализующих систему аксиом геометрии Ло¬
бачевского, можно прочитать в различных книгах, например в кни¬
ге В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, С. А. Шестакова,
И. И. Юдиной «Планиметрия. Пособие для углублённого изучения
математики» (М.: Физматлит, 2005).
Вопрос о непротиворечивости той или иной системы аксиом
связан с важными проблемами непротиворечивости, полноты и не¬
зависимости систем аксиом, определяющих ту или иную геомет¬
рию. Перечисленные проблемы относятся к предмету, называемому
«Основания геометрии». Крупнейший вклад в решение этих про¬
блем внёс великий немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943).
Отметим, что в настоящее время геометрия широко использу¬
ется в самых разнообразных разделах естествознания: в физике, хи¬
мии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках:
в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии ши¬
роко применяются практически во всех разделах науки и техники
и, конечно же, в самой математике.

Ответы и указания
Глава I
3. Три точки или одна точка. 4. Четыре прямые. 6. Три отрезка. 15. Че¬
тыре угла. 17. Л и /. 18. ОВ<ОА; ОС>ОА; ОВ<ОС. 19. а) Да; б) нет.
21. ЛАОС <ЛАОВ. 22. а) Да; б) нет. 29. Две точки. 30. 10,3 см.
31. а) 3,5 см; б) 36 мм. 32. 25,5 см или 1,5 см. 33. 9 см или 23 см.
34. ВВ = 47см, ВА = 17см.	35. 480 км. 37. а) АС= 1см, СВ= 1см,
ЛО = 0,5см, ОВ= 1,5 см; б) АВ = 6,4 м, АС = 3,2м, АО= 1,6 м, ОВ = 4,8м.
38. а) 10,5 см; б) 1,5 см. 39. —.40. 4 см. 44. Нет. Построение выполнимо,
когда ЛАОВ острый или прямой. 45. Да. 47. а) 121°; б) 121°2'. 48. 48°.
49. 85°. 50. 81°. 51. 60°. 52. 160°. 53. Пет. 58. а) 69°; б) 90°; в) 165°.
59. Прямой. 60. Да. 61. а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39' и 66°2Г;
г) 135° и 45°; д) 100° и 80°. 62. 106°. 63. Да. 64. a) Z1=Z3 = 63°,
Z4=117°; б) Zl=43°27', Z2 = Z4 = 136°33'. 65. a) 57°, 57°, 123°, 123°;
6)	40°, 40°, 140°, 140°. 66. a) Z2 = Z4=110°, Zl=Z3 = 70°;6) Z1=Z3 = 45°,
Z2 = Z4 = 135°; в) Z1=Z3 = 75°, Z2 = Z4 = 105°. 67. 180°. 68. ZAOC=120°,
ZBOD= 130°, ЛСОЕ = 110°, ZCOP = 60°. 69. Пет. 71. Шесть прямых.
72. Шесть точек. 73. Двенадцать углов. 74. а) 8 см; б) 16 см. 75. 16 см
7	г	2d
или 4см. 76. а) -а; б) ^а. 77. а) б) -т. 78. 12см. 79. Указание,
о	8	3	5
Рассмотреть два возможных случая: точки В и С лежат по разные стороны
или по одну сторону от точки Л. 80. 85° или 15°. 81. 30° или 90°.
82. а) 67°30' и 112°30'; б) 72°30' и 107°30'. 83. 90°. 85. Указание.
Доказать, что угол ABD развёрнутый. 86. Указание. Предположить, что
прямые т и п совпадают, и воспользоваться утверждением п. 12.
Глава II
90. 75 см. 91. 12,7 см и 17,3 см. 92. Нет. 93. б) 42°, 47°. 94. б) BD= 5 см,
АВ= 15 см. 95. б) АВ= 14 см, ВС = 17 см. 96. б) 110°. 105. б) 46°.
106. б) 96°. 107. 10 см, 20 см и 20 см. 108. АВ =12,5 см и ВС = 15 см.
109. 8 см. 112. 50°. 113. б) 37°30'. 115. ZA = ZB + ZC. 119. KF=8cm,
ЛОЕК = 86°, AEFD = 90°. 121. б) ВС = 15 см, СО= 13 см. 122. б) АВ=11см,
ВС=19см. 126. 13см. 136. 25°. 142. Указание. Рассмотреть два слу¬
чая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО. 145. 90°.
146. 29 см. 149. Нет. 150. Нет. 152. Указание. Сначала построить бис¬
сектрису угла АОВ. 155. Указание. Сначала построить прямой угол.
156. АВ = 4 см, АС-5 см, ВС = 6 см. 157. 7 см, 5 см и 5 см. 158. 10 см или
6 см. 160. б) Указание. Пусть М — точка, равноудалённая от точек А и
В и не лежащая на прямой АВ. Воспользоваться утверждением: медиана
равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является вы¬
сотой. 165. б) Указание. Сначала доказать, что ЛАОК = ZBOKt.
166. У казан и е. Воспользоваться задачей 165. 167. У к а з а н и е. Сначала
доказать равенство треугольников DBF., FCE и EAD. 168. 40°. 169. Ука¬
зание. Доказать, что /\АВО = &FEO. 170. Указание. Сначала доказать
_ _ _ Ответы
345 и указания

равенство треугольников ABD и A{BxDy. 171. Указание. Сначала дока¬
зать равенство треугольников АВС и ADC. 172. Указание. Сначала до¬
казать равенство треугольников АВС и ABD. 173. Указание. Пусть угол
BAD смежный с углом А треугольника АВС. Для доказательства нера¬
венства ZBAD> ZB отметить середину О стороны АВ и на продолжении
отрезка СО отложить отрезок ОЕ, равный СО. Затем доказать, что угол
ВАЕ равен углу В треугольника АВС и воспользоваться неравенством
ZBAD>ZBAE. 174. Указание. Наложить треугольник АВС на тре¬
угольник	так, чтобы сторона ВС совместилась со стороной В(С|,
а сторона В А наложилась на луч BAt. Для доказател!»ства того, что точ¬
ка А совместится с точкой воспользоваться задачей 173. 175. Указа¬
ние. Сначала доказать, что /\AOD= ЛВОС, а затем, что /\EBD= /\ЕАС.
176. Указание. Рассмотреть треугольники ABD и A^B^D^ где точки D и
Л>! такие, что М и М{ — середины отрезков AD и A|Dt. 178. Указание.
Пусть точка В лежит на отрезке АС. Предположить, что AD-BD = CD. Ис¬
пользуя свойство углов при основании равнобедренного треугольника, сна¬
чала доказать, что Z.ABD = ZCBD=90'\ 179. Указание. Сначала дока¬
зать, что BP = CQ. 184. Указание. Воспользоваться задачей 160.
Глава III
196. Одну прямую. 197. Три или четыре. 198. Да. 201. 105°, 105°.
202. а || с. 203. б) Четыре угла по 55", четыре других угла по 125°.
205. 92°. 206. а) Да; б) да. 207. а) Пет; б) да. 208. 115° и 65°. 209. Z1 =
= 135°, Z2 = 45", Z3=135". 210. Указание. Рассмотреть продолжение
луча СРЛ. 215. 59°. Указание. Сначала доказать, что а || Ь. 216. 48°,
66°, 66°. 218. Да. 219. Указание. Доказать методом от противного.
220. Указание. Доказать методом от противного. 221. Указание. Сна¬
чала доказать, что AM || ВС и AN || ВС.
Глава IV
223. а) 58°; б) 26°; в) 180°-За; г) 60°. 224. ZA = 40", ZB = 60°, ZC = 80".
227. а) 36°, 72" и 72"; б) 45", 45° и 90°. 228. а) 40", 40" и 100" или 40",
70" и 70°; б) 60", 60" и 60"; в) 100", 40" и 40". 229. 105". 230. 103".
231. Указание. Воспользоваться свойством углов при основании равно¬
бедренного треугольника. 232. Да. 233. Указание. Учесть, что внешний
угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основа¬
нию, в два раза больше угла при основании. 234. 57"30', 57"30', 65" или
65°, 65°, 50". 235. 73°20', 73°20' и 33°20'. 248. а) Нет; б) нет. 249. Сторо¬
на, равная 10 см. 250. а) 7 см; б) 8 см; в) 10 см. 252. 29 см и 29 см.
253. 7 см, 7 см и 11см. 254. 45°, 45" и 90°. 255. 27°. 256. 17,6 см.
257. АС = 6см, АВ= 12см. 258. 9см. 259. 18см. 260. 30", 30" и 120".
261. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 36. 262. Указа¬
ние. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольни¬
ков. 263. 70°, 70° и 40°. 264. 122°. 265. 90°, 39" и 51°. 267. Указание.
Сначала доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных тре¬
угольников, равны. 269. Указание. Воспользоваться задачей 268.
Ответы
346 и указания

270. У казаки е. Сначала провести биссектрису угла и воспользоваться
задачей 133. 271. 8см. 272. 12см. 273. 14см. 276. Указание. Сначала
доказать, что СМ — медиана треугольника АВС. 277. 2 см или 8 см.
278. Зсм. 279. Указание. Через одну из точек, удовлетворяющих усло¬
вию задачи, провести прямую, параллельную данной, и доказать, что лю¬
бая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на этой пря¬
мой. 280. Луч с началом на стороне ВАУ параллельный стороне ВС.
Указание. Воспользоваться задачей 279. 281. Прямая, параллельная
данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них. 282. Ука¬
зание. Воспользоваться задачей 281. 283. Две прямые, параллельные
данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные сторо¬
ны от неё. 285. Указание. Воспользоваться задачей 284. 299. 20°.
300. Указание. Доказательство провести методом от противного.
302. Указание, а) Допустить, что НМ^НМ^ и воспользоваться зада¬
чей 301; б) допустить, что НМ(>НМ.2 или НМ\ = НМ.2у и воспользоваться
задачей 301. 303. Указание. Продолжить медиану AM за точку М на
отрезок MDy равный ЛМ, и рассмотреть треугольник ABD. 304. Указа¬
ние. Пусть N — точка пересечения прямой ВМ и отрезка АС. Применить
теорему о неравенстве треугольника к треугольникам ABN и MNC.
305. У казаки е. Воспользоваться предыдущей задачей. 306. Указание.
Доказать методом от противного. 308. 18,5 см. 311. Две прямые, содержа¬
щие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых.
312. У к а за н ие. Пусть в треугольнике АВС АС > АВУ а AM данный от¬
резок. Учесть, что в треугольнике АСМ АС<£М. 313. Указание. Пусть
ЛАВС — искомый, ВМ — его данная медиана. Сначала построить /\BBtCy
в котором точка М —середина стороны BBt. 314. б) Указание. Постро¬
ить угол, равный данному, а затем воспользоваться задачей 284.
315.	а) Указание. Воспользоваться свойством 3 п. 35 и задачей 314, в.
316.	Указание. Воспользоваться задачей 282. 317. Указание. Вос¬
пользоваться задачей 245. 318. Указание. Па сторонах ВС и АВ постро¬
ить точки А| и С|, так, чтобы BAt = ACt = CBt. 319. Указание. Если дан¬
ные отрезки не равны друг другу, то сначала построить прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого равна данной биссектрисе, а катет — дан¬
ной высоте. 320. Указание. Сначала построить прямоугольный тре¬
угольник, гипотенуза которого равна данной медиане, а катет — данной
высоте. 321. У Казани е. Сначала построить биссектрису угла С.
Задачи повышенной трудности
322. а/>=1. 323. —. 324. Указание. Воспользоваться свойством смеж-
т
пых углов: Z.hk + Z.hl = 180°. 325. 180°. 326. Указание. Пусть три из
данных прямых проходят через точку А. Используя метод от противного,
доказать, что каждая из оставшихся трёх прямых проходит через эту точ¬
ку. 327. Указание. Пусть три из данных точек лежат на прямой d. Ис¬
пользуя метод от противного, доказать, что каждая из оставшихся четырёх
точек лежит на прямой d. 328. Указание. Сначала доказать, что
_ _ _ Ответы,
347 и указания

ДАОС, — ЛВОС.,, где О — середина отрезка ЛВ. 329. Указание. Пусть в
треугольниках АВС и А|В|С| ZA=ZAn АС = А|С1 и ЛВ + ВС = AtBt + ВА-
Продолжить стороны ЛВ и А|В| на отрезки BD = BC и BxDx = ByC} и рас¬
смотреть треугольники AZX? и AxDiCx. 330. Могут. Например, равнобед¬
ренный треугольник АВС с основанием АВ и треугольник ABD, где
D такая точка на стороне ВС, что AB = AD. 331. Могут. Рассмотрим,
например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим
какую-нибудь точку D па продолжении стороны ЛВ. Тогда треугольники
ADC и DBC обладают указанным свойством, но не являются равными.
332. Указание. Воспользоваться задачей 174. 333. 90° -	. 335. а) Остро¬
угольный; б) остроугольный. 336. Указание. Воспользоваться соотноше¬
ниями между сторонами и углами треу1ч>льника и теоремой о сумме углов
треугольника. 337. 70°. Указание. Пусть О — точка пересечения биссек¬
трисы угла А и прямой ВМ. Сначала доказать равенство треугольников
ЛОС и МОС. 338. Указание. Соединить один из концов отрезка с вер¬
шиной треугольника и воспользоваться задачей 312. 339. Указание.
Воспользоваться задачей 173, а также соотношениями между сторонами и
углами треугольника. 340. Указание. Продолжить отрезок AD до пере¬
сечения с ВС и воспользоваться задачей 312. 341. Указание. Отметить
на стороне АВ такую точку Ct, что ACt = AC, и рассмотреть треугольник
BCtD. 342. Указание. Доказать методом от противного. 343. Указа¬
ние. Пусть АВС данный треугольник, АВ>ВС, ВМ медиана. Отме¬
тить такую точку Е, что М является серединой отрезка BE, и рассмотреть
треугольник АВЕ. 344. Указание. Воспользоваться задачей 173.
345. Указание. Продолжить отрезок В А на отрезок AD = AC и, рассмот¬
рев Ы)НВ, воспользоваться неравенством треугольника. 346. Указа¬
ние. Воспользоваться задачей 341. 347. Указание. Воспользоваться за¬
дачами 343 и 346. 349. Указание. Пусть в треугольнике АВС медиана
AM и высота АН делят угол А на три равных угла ВАН, НАМ и МАС.
Провести перпендикуляр MD к стороне ЛС и доказать сначала, что
MD = ±МС. 350. Указание. Учесть, что в прямоугольном треугольнике
гипотенуза больше катета. 352. Нет. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 160. 353. Два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться за¬
дачей 160. 354. Задача имеет одно решение, если данные точки не лежат
на одной прямой, и не имеет решения, если эти точки лежат на одной пря¬
мой. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 160. 355. У к а з а п и с. Сначала
построить такую точку Ао что прямая а проходит через середину отрезка
ЛА{ перпендикулярно к нему, а затем провести отрезок АХВ. 357. Четыре,
три, два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться задачей 311.
358. Четыре. Указание. Воспользоваться задачей 311. 359. Указание.
Сначала построить треугольник OAD, в котором AD = R и 0D=2R, где
R — радиус данной окружности. 360. Указание. Пусть даны острый
угол А, высота ВН искомого треугольника АВС и отрезок PQ, равный его
периметру. Построить сначала £\АВН, а затем такую точку D на луче ЛН,
что AD + ЛВ = PQ. 361. Указание. Построить сначала треугольник, у ко¬
торого сторона равна данному периметру, а углы, прилежащие к ней,
Ответы
и указания

равны половинам данных углов. 362. Указание. Пусть ВС, АС + АВ,
Z.C данные элементы искомого треугольника АВС. На продолжении
стороны СА за точку А отложить отрезок ААЪ равный отрезку АВ.
Построить сначала ДСВА(.
Глава V
364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°. 365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.
366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм. 367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см. 368. 90°.
369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°. 372. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см,
15,5 см; в) 8 см, 16 см. 373. 13 см, 12 см, 13 см, 12 см. 374. 78 см.
375. 56 см или 70 см. 376. a) ZB = ZD= 96% ZC = 84% б) ZA = ZC = 117°30';
ZB = ZD = 62°30'; в) ZA = ZC= 71% ZB = ZD =109°; r) ZA = ZC= 120% ZB ’
= ZD = 60% д) ZA = ZC = 53% ZB = ZD =127% 377. MA = PQ = 6cm, NP
= QA/ = 8cm, ZAf = ZP = 60°, ZW = ZQ=120Q. 379. Указание. Сначала до¬
казать, что BK = DM. 380. Указание. Воспользоваться признаком 2°,
п. 44. 382. Указание. Воспользоваться признаком 3°, п. 44. 383. Ука¬
зание. Воспользоваться признаком 2°, п. 44. 386. Указание. Через се¬
редину боковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и
воспользоваться задачей 385. 387. ZB= 144% ZD = 63% *388. Указание.
а)	Через один из концов меньшего основания провести прямую, параллель¬
ную боковой стороне. 389. Указание, а) Воспользоваться указанием к
задаче 388, а; б) через один из концов меньшего основания провести пря¬
мую, параллельную диагонали. 390. 68% 112°, 112% Указание. Восполь¬
зоваться задачей 388, а. 391. У каза н ие. Приложить плитки друг к другу
так, чтобы боковые стороны совпали, меныпес основание одной плитки ле¬
жало на одной прямой с большим основанием другой плитки. 392. а) 6 см;
б)	5 см. 394. Три. 395. Указание. Воспользоваться задачей 284.
401. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,4 дм или 19,8 дм. 403. 18 см.
404. Указание. Пусть ВМ — медиана прямоугольного треугольника
АВС, проведённая к гипотенузе АС. Рассмотреть четырёхугольник ABCD,
где D —точка, симметричная точке В относительно точки М. 405. а) 60°
и 120°; б) 30° и 60°. 406. 42 см. 407. 22°30' и 67°30'. 410. а) Нет; б) нет;
в)	да. 412. 24 см. 417. а) Две; б) бесконечное множество: любая прямая,
перпендикулярная к данной, а также сама прямая; в) одну. 418. А, Е, О.
422. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 423. О и X. 425. Пересекает сторону CD;
9 см и 5 см. 426. Зсм, 4 см, Зсм. 428. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 400. 430. У казание. Воспользоваться теоремой о сумме углов выпук¬
лого четырёхугольника и задачей 429. 431. Указание. Через точку М
провести прямую, параллельную ВК, и воспользоваться задачей 385.
432. Указание. Воспользоваться задачей 385. 433. Указание. Сначала
доказать, что /S.BKD—ABMD. 435. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 384. 436. 36,8 см. Указание. Использовать диагональ BD. 437. Ука¬
зание. Сначала доказать, что ААВН = &АМН. 438. 8см. Указание.
Воспользоваться задачей 389, а. 439. У казание. Через середину меньше¬
го основания провести прямые, параллельные боковым сторонам, и вос¬
пользоваться задачей 404. 440. Указание. Пусть EF — отрезок, соединя¬
ющий концы сторон квадратов, выходящих из вершины А треугольника
Ответы
349 и указания
II II

АВС. Рассмотреть точку D, симметричную точке А относительно середины
стороны ВС, и доказать, что £\ABD = AEAF. 441. Указание. Воспользо¬
ваться задачей 420. 443. Бесконечное множество. 444. Указание. Пусть
а и b взаимно перпендикулярные оси симметрии фигуры и О точка их
пересечения. Сначала доказать, что если точки М и Mt симметричны от¬
носительно прямой a, a Mt и М2 симметричны относительно прямой 6, то
М и Л/2 симметричны относительно точки О.
Глава VI
447. У казание. Пусть О — точка пересечения отрезков AM и ВС. Снача¬
ла доказать равенство треугольников АВО и МСО. 448. У казан и е. Про¬
вести перпендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство тре-
о
угольников АВМ и EFM, DCN и EFN. 449. а) 1,44 см2; б) — дм2;
16
в)	18 м2. 450. а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2х/3 м. 451. а) 2400 мм2; б) 0,24 дм2.
452. а) 27,2 см8; б) 6>/2 см8; в) 21,4 см; г) 2,7 см. 453. а) Увеличится в
два раза; б) увеличится в четыре раза; в) не изменится. 454. а) 25 см и
10 см; б) каждая сторона равна 3 м. 455. 2200. 456. 360. 457. 12 м.
458. Площадь участка квадратной формы больше на 900 м2. 459. а) 180 см2;
б)	4 см; в) 18 см; г) 9.460. 156 см2. 461. 84 см8. 462. 18 см8. 463. 56,7 см2.
464. а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см. 465. 12 см2. 466. 115,52 см2.
467. Площадь квадрата больше. 468. а) 38,5 см2; б) 5-Уз см8; в) 5,4 см;
г)	4х/2 см. 469. 8 см. 470. 5,625 см. 471. а) 22 см2; б) 1,8 дм2. 472. 14 см и
24 см. 473. Указание. Воспользоваться теоремой п. 38. 474. Площади
треугольников равны. 475. Указание. Сначала разделить сторону ВС на
три равные части. 476. а) 224см2; б) 4,6дм2. Указание. Учесть, что
диагонали ромба взаимно перпендикулярны. 477. 6 см и 9 см. 479. а) 2 см2;
б)	2,4см. Указание. Воспользоваться второй теоремой п. 53.
480. а) 133 см2; б) 24 см2; в) 72 см2. 481. 54 см2. 482. 4,76 см2. 483. а) 10;
б)	ч 61; в) |; г) 16. 484. а) 5; б) 4^2; в) 4>/3; г) 2; д) 2. 485.
486. а) 12; б) 2; в) 8.487. 15 см. 488. а) З73см;б) ^-см. 489. а) см2;
3	4
б)	0,36^3 см2; в) 2^3 дм2. 490. а) 10 см и 48 см2; б) 6>/3 см и 27^3 см2;
в)	7V2 см и 49 см2. 491. а) 4—; б) 9,6. 492. 8 см, 9,6 см, 9,6 см. 493. 13 см
и 120 см2. 494. 96 см2 и 16 см. 495. а) 180 см2; б) 48>/3 см2; в) 135 см2.
496. \/7. 497. 5 см. 498. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; яс) да.
499. а) 6,72 см; б) 7уу см. 501. а) 270 000 м2; б) 0,27 км2. 502. 46^ см2.
503. 20 см. 504. 900 см2. 505. Указание. Воспользоваться тем, что пер¬
пендикуляр меньше наклонной. 506. На сторонах ВС и DC квадрата ABCD
2	2
нужно взять точки М и N так, чтобы ВМ = — ВС, DN = —DC, и провести
Ответы
350 и указания

прямые AM и AN. 507. Нет. Указание. Сравнить, например, площади
треугольников со сторонами 13, 13, 24 и 12, 12, 12. 508. Указание.
Соединить точку на основании с вершиной, противолежащей основанию, и
воспользоваться тем, что сумма площадей двух получившихся треугольни¬
ков равна площади данного треугольника. 509. Указание. Задача реша¬
ется аналогично задаче 508. 510. Указание. Доказать, что площадь каж¬
дого треугольника равна половине площади параллелограмма AEDF.
511. а) и б) Площади треугольников равны, в) Указание. Воспользо-
I&2 |
ваться задачей б) и второй теоремой п. 53. 512. ^1—-—. 513. 60 м, 14,4 м.
514. ю|усм. 515. а) !()()< 3 см*; б) 18 см*. 516. 320 см*. 517. 84 см*.
Указание. Доказать, что ААВС и AACD— прямоугольные треуголь¬
ники. 518. а) 243 см*; б) 529 см*. 519. Л».	520. а*.	522.	48 см*.
523. (>/2-1)а2.	524. 30 см*. 525. — см. 526. см*. 527. 48 см*.
7	9
528. 30 см*. 529. 80 см*. 530. 64>/3 см*. 531. 19,14 см*. 532. Указание.
Воспользоваться теоремой Пифагора.
Глава VII
3	2
533. нет. 534. а) Да; б) да; в) нет. 536. а) 15 см; б) 10^. 537. BD =
= 8 см, DC =12 см. 538. АВ =18 см, АС = 6 см. 539. МБ = 3,5 см, Е# = 2,5 см.
540. CD= 14 см, DE = 21 см. 541. Да. 542. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см.
544. 4,5 м. 545. 175 см* и 252 см*. 546. 87,5 км*. 548. 2,5. 549. 6 см, 8 см,
12см. 550. х = 9, 1/ = 21. 551. a) EF = 5cm, FC = 3,5cm; б) DE = 5yCM,
ЕС = 2^ см. 552. а) 10 см; б) -7^77 = 7^77 = в) 12 см. 553. а) Не всегда;
7	ОС О1) b
б)	да; в) да. 554. 6 см и 6,5 см. 555. а) 5 см, 5 см, 7,5 см, 7,5 см; б) все
четыре стороны равны 	-. 557. а) 17,5см; б) BD= 5 см, DE = 6cm;
а + Ь
в)	8 см. 558. Указание. Если прямые а и b не параллельны, то через
точку А провести прямую, параллельную прямой Ь. 559. Да. 560. а) Да;
б) да. 562.	■ Указание. Воспользоваться задачей 543. 563. а) —;
а + h	2
б) —. Указание. Через точку D провести прямую, параллельную ВК.
4
564. 10 см. 565. 5 см. 566. 42 см. 567. Указание. Провести диагональ
данного четырёхугольника. 568. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 567. 569. Указание. Сначала доказать, что середина боковой сторо¬
ны трапеции лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей.
570. 6 см и 12 см. 571. ЗВ. 572. а) Л =20, а = 4V41, 6 = 5ч/41; б) Л = 48,
а = 80, 6 = 60; в)а = 12л/з, с = 24, аг= 18; г) 6 = 8х/3, с=16, Ьс = 12;
Ответы
351 и указания

a2 b2
д)	h = 2^5, 6 = 3^5, ae=4, de=5. 573. <», = —» ^ = —• 574* Указа,,ио-
а)	Воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника.
б)	Воспользоваться задачей 573.	575. 32 мм, 18 мм. 576. 61 см.
577. 112 см, П—см. 579. 3,15 м. 580. 6,936 м. 581. 6,12 м. 582. 48 м.
13	13
583. 72,25м. 586. Указание. Сначала построить треугольник, подобный
искомому. 587. Указание. См. указание к задаче 586. 588. Указание.
См. указание к задаче 586. 589. Указание. См. указание к задаче 586.
590. Указание. См. указание к задаче 586. 593. а) и V3; б) и
Д в) i и Л; г) и 4^-. 594. а) 90» - ₽, б) « 8,39 см, 40’,
2	2	4	15	tgP	sinP
» 13,05 см. 595. a) b tg а, 90° - а, ——; б) ~ 11 см, 48°, « 16 см. 596. 90° - а,
соя а
с sin а, с соя а; 55°, «14 см, «20 см. 597. Ja2+ б2, tga=^-, tgP = —; «19,
b	а
«38°39',	«51°2Г.	598. а) б2 sin a cos a; 6)^-a2tga.	599. 8 tga см2.
600. «74 м. 601. 60°, 120°, 60° и 120°. 602. 60° и 30°. 603. «72 см2.
7
604. Л1В1 = 4,5см, BtCt = 6,75см. 606. —. 607. 18см, 12см. 608. Указа-
8
ние. Воспользоваться задачей 535. 609. Указание. Воспользоваться за¬
дачей 535. 610. 16,8см, 14см, 7— см. 612. х =	. 613. Указание.
9	а + b
Сначала доказать, что: а) ЛЛВМ ™ AAfB|Af(; б) /\ЛВН ЛА|В|Н|.
614. DC = 2— см, ВВ = 2л/13 см, СВ = —у'61 см. Указание. Сначала дока-
3	3
зать, что A A DC™ ABAD. 615.	619. Указание.
а + Ь
Пусть точка В
лежит между С и D. К треугольникам ABD и ACD дважды применить
следствие 2 из первой теоремы п. 53. 620. Указание. Воспользовать¬
ся задачей 535. 621. ^sina. 622. 60 см2. 623. ZC-150°, ZD = 30°.
625. 18см2. 626. Указание. Воспользоваться задачей 535. 630. Указа¬
ние. Воспользоваться задачей 1, п. 64.
Глава VIII
633. О А и АС. 635. 30°. 636. 120°. 637. Указание. Сначала доказать,
Г-
что ZADC = 30°. 638. ^-см. 639. 12V3 см. 640. 60°. 641. 60°. 642. 3\/3 см;
ЗчЗсм; 30°, 30°. 643. 5см. 647. а) Да; б) нет; в) да. 648. а) Указание.
Сначала построить прямую, проходящую через центр окружности и пер-
ОСО Ответы
и указания

пендикулярную к данной прямой. 650. а) 16; б) 16>/2; в) 32. 651. 112° и
248°. 652. 15х/3см. 654. а) 64°; б) 175°; в) 34°; г) 105°. 655. 60° и 30°
или 140° и 110°. 656. 101° или 36°. 657. 50°. 658. 20°20', 34°50'. 660. 36°.
661. 44°. 662. 62°. 664. Указание. Воспользоваться задачей 663.
666. а) 4; б) 12; в) 0,25. 667. 8/2 см. 670. Указание. Сначала дока¬
зать, что AABPcvAAQB. 671. а) 6см; б) 7,5см. 672. Указание. Вос-
пол ьзоваться задачей 670. 674. Указание. Сначала доказать, что тре¬
угольник ЛОВ равнобедренный. 676. а) 10 см; б) 7/2 дм. 678. а) 46° и
46°; б) 21° и 21°. 679. а) АР = 3,5 см, СР = 5 см; б) АС =14,6 см. 681. 9 см.
683. Указание. Воспользоваться методом доказательства от противного.
687. Указание. Воспользоваться теоремой п. 75. 688. Указание.
Учесть, что искомая точка лежит на биссектрисе данного угла. 689. 3-^ см.
690. 50 см. 691. 20 см. 692. АР=1,5см, РВ = 8,5 см, В<? = 8,5см,
QC = 3,5cm, СЯ=3,5см, ВА = 1,5 см. 693. а) 60 см; б) 40 см. 694. т-с.
695. 30 см. 698. 60 см2. 699. 1,2 см. 702. a) ZA = 67°, ZB = 23°, ZC = 90°;
б) ZA = 55°, ZB = 35°, ZC = 90°. 703. ZA = 51°, ZB = ZC = 64°30' или
ZA = 129°, ZB = ZC = 25°30'. 704. 6) d, dsina, dcosa. 705. a) 5 cm;
6) 18 см. Указание. Воспользоваться задачей 704. 706. Юч'З см.
707. 16см. 709. Указание. Воспользоваться свойством углов вписанного
четырёхугольника. 710. Указание. Воспользоваться задачей 659.
712. Указание. Воспользоваться задачей 664. 713. Указание. Учесть,
что ВМ = МХ и CN = NX. 714. Указание. Пусть К — точка пересечения
общей касательной, проходящей через точку М, и прямой АВ. Сначала
доказать, что КЛ = КМ = КВ. 720. Нет. 722. —, —, —, —. 725.
5г Зг 5г Зг а + Ь
726. Указание. Использовать серединный перпендикуляр к той стороне,
к которой проведена медиана. 728. Указание. Воспользоваться свой¬
ством углов вписанного четырёхугольника. 730. Указание. Воспользо¬
ваться задачей 729. 731. Указание. Воспользоваться задачей 729.
732. Указание. Сначала доказать, что около четырёхугольника МНВС
можно описать окружность. 733. 5 см. 734. Указание. Воспользоваться
задачами 709 и 721. 735. -	. 736. Указание. Использовать середин¬
ный перпендикуляр к отрезку АВ. 737. Указание. Воспользоваться
задачей 281.
Глава IX
742. В случае б). 744. Скорость, сила. 745. |а| = 3см, | ВС | = 4 см,
|РС| = Зсм, |МС | = / 18,25 см, |Л4А|=1,5см, |СВ| = 4см, |АС| = 5см.
746. |ВР|=13см, | СР | = 5v'2 см, | АС |= 74 см. 748. а) Да; б) нет; в) да;
г)	нет. 749. а) Нет; б) да; в) пет; г) пет; д) да. 751. а) Ромб; б) трапе¬
ция. 752. а) Да; б) да; в) нет; г) нет; д) да. 753. Да. 760. Указание.
Воспользоваться неравенством треугольника. 762. а) а; б) а/3; в) а/3;
Ответы
и указания
353

AG =
у, ОМ =
г)	щд) «• 763. а) -2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) -2 и 10. 764. а) ЛК;
766. XY = -а + (-6) + J +	767.	в) -Ь.	768. ВЛГ = -а\ JVC = 6,
MN=b-a,,BN = (b-а)-а. 76<Л BCt = x, BBt = x-y, ВА = -у, ВС = х-у + х.
770. a) AC = g + fe; б) л^ = ~а~^ в) АС = а-Ь. 771. DC + CB = a-b,
ВО + ОС = Ь, ВО - ОС = -а, В А - DA = -а + ь. 773. Равенство |х-|/| = |х| + |у|
справедливо, если xtli/ или хотя бы один из векторов х и у нулевой.
774. 60°. 781. а) 4п; б) |/п+^п; в)	782. ЕС = а--Ь,
2	2	3	2	2
= а--6. 783. ЛЛ? = уа+Ь, MD^~a~b. 784. а) ЛС = х + и, AO = -lx + iA,
Z	44	2	'
СО = ~|(* + У). ^ = |(у-х), AD + BC=2x, AD + CO-^(x-y), СО+ОА=
= -х-у;б) AM = jx, МС = ^х + у, /Ш = ±х-у\ ОМ = -±х-±у. 786. AAt =
= ~(a + ^h BB\ = —<L~b, СС\^—а + —Ь. 787.	+	790. Указание.
Воспользоваться задачей 785. 793. 10 см. 794. 6,8 см и 10,2 см. 795. 30 см.
796. 16 см. 798. 60°, 60°, 120°, 120°. 799. 7 см. 801. Указание. Если
векторы х и у не коллинеарны, то воспользоваться правилом треугольника
сложения векторов, и если они коллинеарны — задачей 800. 802. -а + —Ь.
3
803. XY = -^a + ±b, МР = -а + Ь. 804. СК = а, KD = b-a, ВС = -Ь--а.
3-»	5	5	22
809. —а. 810. У казание. Воспользоваться теоремой п. 74.
4
Задачи повышенной трудности
811. Указание. Продолжив через одну стороны данного шестиугольни¬
ка, получить равносторонний треугольник. 812. Указание. Сначала до¬
казать, что a1 + a2 + a3 = a3 + a4 + as = a5 + ae + a|. Затем построить равносто¬
ронний треугольник, сторона которого равна Д|+а2 + а3, и воспользоваться
задачей 811. 814. Указание. Пусть ABCD — выпуклый четырёхуголь¬
ник. Учесть, что вершина С лежит внутри угла BAD, поэтому луч АС про¬
ходит внутри этого угла и, следовательно, пересекает отрезок BD. Анало¬
гично рассмотреть луч BD и угол АВС. 815. Указание. Если данный
четырёхугольник ABCD выпуклый, то воспользоваться задачей 814. Если
ABCD — невыпуклый четырёхугольник и, например, прямая АВ пересека¬
ет сторону CD в точке М, то рассмотреть два случая: А — точка отрезка
МВ и В — точка отрезка AM. 816. —. Указание. Пусть Р — точка пере-
4
сечения прямых DE и АВ, DO\\AC и Ое АВ. Сначала доказать, что АРЕ,
AOD и POD — равнобедренные треугольники. 817. Указание. Сначала
доказать неравенства та<^^с и та> —-Ц?——» где а, Ь, с стороны
2	2
_ Ответы
354 и указания

треугольника, та—медиана, проведённая к стороне а. 818. Указание.
Сначала доказать, что диагонали данного четырёхугольника точкой пере¬
сечения делятся пополам. 819. Прямая, параллельная данной прямой.
820. Указание. Воспользоваться задачами 388, а и 389, а. 821. Указа¬
ние. Воспользоваться задачей 428. 822. Указание. Пусть О(, Оа, О3,
точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах
АВ, ВС, CD и DA данного параллелограмма ABCD. Сначала доказать ра¬
венство треугольников AOtO4, ВО{О2, СО2О3, DO3O4. 823. Указание. На
луче АВ отложить отрезок AN, равный отрезку AM, провести отрезок MN
и провести высоту NS треугольника AMN. Затем доказать, что
AANS=/\MAD и &AKB = /\NMS. 824. 90°. Указание. Пусть Dt точ¬
ка, симметричная точке D относительно точки Е. Сначала доказать, что
AACDj — равнобедренный прямоугольный треугольник. 825. 30°. Указа¬
ние. На луче AM отложить отрезок АК = АВ и, рассмотрев Л.ВКС, дока¬
зать, что точка К совпадает с точкой М. 826. Указание. Сначала дока¬
зать, что ЛВКР = ДАВС = &CQT. 827. У казание. Сначала построить
равнобедренный треугольник, основание которого равно сумме оснований
трапеции, а боковая сторона равна диагонали трапеции. 828. а) Указа¬
ние. Сначала доказать, что ось симметрии пересекает одну из сторон тре¬
угольника. 829. Указание. Воспользоваться равенством треугольников
АВС и ADC, АРМ и ATM, MQC и MRC. Для доказательства обратного
утверждения предположить, что точка М не лежит на АС, и доказать, что
оол SiSj» (В, 4- Во)(В, + Ва)
тогда площади параллелограммов не равны. 830. - 1 v 1 2	2	dl.
Указание. Воспользоваться следствием 2, п. 53. 831. (^/s^ + ^fs^)3. Ука¬
зание. Воспользоваться второй теоремой п. 53. 832. —. 833. Указание.
5
Пусть АВ боковая сторона, а М — середина другой боковой стороны тра¬
пеции ABCD. Сначала доказать, что 5АПм =
Указание. Сначала доказать, что ВЛО/{ =	= JslS2. 835. Указание.
Сначала доказать, что площадь параллелограмма, стороной которого явля¬
ется мепыпее основание трапеции, равна сумме площадей двух треугольни¬
ков, прилежащих к этому основанию и к боковым сторонам трапеции.
836.	Указание. Сначала доказать, что ВЛКАГ = ВСМК и Srku = SDmK.
837.	Указание. Сначала доказать, что SARf) = SKfX; и SRI)K = ScnK. 838. Ука¬
зание. В каждом из трёх получившихся четырёхугольников провести диа¬
гонали так, чтобы никакие две диагонали не имели общего конца, и дока¬
зать, что площадь каждого из двух средних треугольников равна полусумме
площадей соответствующих крайних треугольников. 839. Указание.
, ' а2 + ab + b2
У
Сначала доказать, что SAMR = SAI)K + SKCR.
840. 2,
Указание.
3
Пусть АВ и AD — перпендикуляры, проведённые к прямым, содержащим
стороны данного угла О, а С — точка пересечения
прямых АВ и OD.
Рассмотреть прямоугольные треугольники ADC и ОВС. 841.	.
Ответы
и указания

Указание. Учесть, что треугольники ВКС и MCD имеют по равному
углу, и воспользоваться второй теоремой п. 53. 842. Указание. Сначала
доказать, что площади треугольников ВТС и ЕТС равны. 843. —. Указа¬
ние. Сначала доказать, что площади треугольников DCK и DCM равны,
а затем доказать, что КМ || DC. 844. ^а2 + с2 -Ь2. Указание. Через точ¬
ку М провести прямые, параллельные сторонам прямоугольника, и рассмо¬
треть образовавшиеся прямоугольные треугольники. 845. Указание.
Пусть АВ = с, ВС = а, BD = h. Используя теорему Пифагора, доказать, что
МВ = а2 + с2 - h2 и КВ = yja2 + с2 - h2. 846. Указание. Провести пер¬
пендикуляры ОМ
ON = ^AC. Далее
и ON к сторонам АС и СВ и доказать,
что ОМ = ±СВ,
воспользоваться теоремой Пифагора для треугольников
ЛОМ, BON и СОМ. 847. б) Указание. Сначала доказать, что DF = DE и
AF—FE. Затем воспользоваться подобием треугольников AED и AFE.
848. Указание. Пусть ЛК — биссектриса треугольника ЛВС и, напри¬
мер, АС>АВ. Пользуясь задачей 535, сначала доказать, что точка М ле¬
жит между точками К и С. Затем воспол!»зоват1»ся задачей 556. 849. У ка¬
зание. Воспользоваться утверждением: отрезок, соединяющий основания
двух высот остроугольного треугольника, отсекает от пего треугольник, по¬
добный этому треугольнику. 850. Указание. Сначала доказать, что
Д.МВС /\MFK и AAf AC tv АМЕК, где М — точка пересечения прямых
СК и АВ. 851. -^-а. Указание. Пусть АВС — данный треугольник,
a D — точка пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе
ВС. Па продолжении луча С А отметить точку Е так, чтобы Z.CDE = Z.ADB.
Сначала доказать, что /\ABD= /\ECD. 852. Указание. Пусть BD и
СЕ — биссектрисы треугольника АВС. Сначала доказать, что ZC=2ZB,
ZB=2ZA, а затем доказать, что ААВС ~ f\BDC и ЛЛВС ~ /\ЛСЕ.
853. Указание. Пусть Е и F — точки пересечения МР и MQ с О В и О А.
Воспользоваться подобием треугольников OPR и OFQ, OQS и ОЕР для до¬
казательства того, что треугольники OEF и ORS подобны. 854. Указа¬
ние. Воспользоваться тем, что АН — медиана треугольника, подобного
треугольнику BDII. 855. Указание, а) Рассматривая подобные треуголь¬
ники, сначала доказать, что А£>2 = АС-АЕ, DB* = BC-BF и CD2= AD • DB.
б) Применить теорему Пифагора к треугольникам AED и DFB. в) Вос¬
пользоваться подобием треугольников AED и АСВ. 856. a) ZA = 75°,
ZB =135°, ZC = 60°, ZZ)=90°. б) Указание. Учесть, что треугольники
АВР и DAB подобны. 857. Указание. Воспользоваться задачей 567.
858. Указание. Пусть MN отрезок, соединяющий середины сторон
AD и ВС данного четырёхугольника ABCD. Отметить точку симмет¬
ричную точке D относительно точки N, и рассмотреть AABDt. 859. Ука¬
зание. Воспользоваться задачей 858. 860. Указание. Воспользоваться
задачей 858. 861. У казание. Воспользовался теоремой о средней линии
треугольника и задачами 404 и 820. 862. Указание. Продолжить
перпендикуляры ЛМ и ЛК до пересечения с прямой ВС в точках D и Е и
Ответы
и указания
356

сначала доказать, что МК — средняя линия треугольника DAE.
863. Указание. Воспользоваться задачей 435. 864. Указание. Вос¬
пользоваться задачей 863. 865. Указание. Пусть точка N — середина
АС. Доказать сначала, что треугольники МВС и MNC равны и BN сред¬
няя линия треугольника АКС. Далее воспользоваться следствием 2, п. 53.
866.	Указание. Через концы одной из медиан треугольника АВС прове¬
сти прямые, параллельные двум другим медианам, и воспользоваться тем,
что образовавшийся при этом треугольник равен треугольнику EFG.
867.	—. 868. Указание. Воспользоваться подобием треугольников MND
5
и МАВ, MAD и МРВ. 869. Указание. Пусть ABCD равнобедренная
трапеция, X искомая точка большего основания AD, а АВ данная бо-
хч	АХ
ковая сторона. Сначала доказать, что 	= п, и воспользоваться зада-
X 1J
чей 584. 870. Решение. На произвольном луче с началом в точке А от¬
кладываем отрезок ACt, равный отрезку АС, и на луче CtA от точки
С| — отрезок С|ВЬ равный отрезку СВ (сделайте рисунок). Убедитесь в том,
что прямая, проходящая через точку Ct, и параллельная прямой BBt, пере¬
секает прямую АВ в искомой точке D. Задача не имеет решения, если
С — середина отрезка АВ. 871. Указание. Сначала построить какой-ни¬
будь равнобедренный треугольник по данному углу. 872. Указание.
Пусть АВС—искомый треугольник, у которого даны стороны АВ, АС и
биссектриса AD. Па прямой AD отметить точку Е так, чтобы BE || АС. Вос¬
пользовавшись подобием треугольников ADC и EDB и задачей 535, постро¬
ить сначала отрезок DE, а затем треугольник АВЕ по трём сторонам.
873. Указание. Сначала построить какой-нибудь треугольник, подобный
искомому треугольнику АВС. 874. Указание. Пусть ha, hb и he данные
высоты. Воспользоваться тем, что стороны а, b и с искомого треугольника
пропорциональны отрезкам hb, ha и ♦ 875. Указание. Пусть
ABCD — искомая трапеция, у которой известны ZA, боковая сторона АВ и
большее основание AD. Сначала построить ЛЛВЛ, а затем f\BCD по
углу В, стороне BD и отношению двух других сторон. 876. Указание.
Сначала выразить диагонали искомого ромба через сторону данного ква¬
драта и данные отрезки. 877. Указание. Использовать общую касатель¬
ную к данным окружностям. 878. Указание. Сначала доказать, что
ААВС /\BAD. 879. Указание. Воспользоваться задачей 718.
880. Указание. Рассмотреть два случая: точка пересечения прямых ле¬
жит внутри круга и вне круга. В первом случае воспользоваться теоремой
о произведении отрезков пересекающихся хорд. 881. Указание. Дока¬
зать, что эта величина равна диаметру данной окружности. 882. Указа-
н ие. Из точек Ot и О2 провести перпендикуляры О|Н| и к примой ВС
и сравнить расстояние между параллельными прямыми и О.2Н2 с дли¬
ной отрезка О(О2. 883. Пусть CD является диаметром, перпендикулярным
к диаметру АВ данной окружности. Искомое множество точек состоит из
двух окружностей, построенных на отрезках ОС и OD как на диаметрах.
884. 146° и 107°. Указание. Сначала доказать, что точка М лежит па
о__ Ответы
357 и указания

окружности с центром А радиуса АВ. 885. Указание. Сначала доказать,
что проведённые прямые, которые образуют новый треугольник, являются
биссектрисами внешних углов треугольника, и воспользоваться теоремой о
биссектрисе угла (п. 74). 886. Указание. Для того чтобы доказать, что
А' лежит на описанной окружности, сначала надо установить равенство
ZA’CB = ZBAA'. 887. Указание. Пусть Е— точка пересечения луча BD
с окружностью, описанной около треугольника АВС. Воспользоваться по¬
добием треугольников АВЕ и BCD. 888. Указание. Сначала доказать,
что ОЕ — серединный перпендикуляр к отрезку АС. 889. Указание.
Пусть ХС>ХА и ХС>ХВ. Отложить на отрезке ХС отрезок XD, равный
отрезку ХА, учесть, что ZAXC- 60°, и доказать равенство треугольников
АХВ и ADC. 890. Указание. Пусть ABCD — данный четырёхугольник.
Провести диаметр BBt и сначала доказать, что AB\ = CD. 891. Указание.
Через точку пересечения указанных биссектрис провести прямую, парал¬
лельную АВ, до пересечения с прямыми AD и ВС в точках Е и F и дока¬
зать, что EF = DC. 892. Указание. Пусть ABCD данная трапеция, опи¬
санная около окружности радиуса г, a AD = a, ВС = Ь — её основания.
Сначала доказать, что г = ■■	_ . 893. Указание. В четырёхугольнике
а + Ь
ABCD на диагонали АС взять такую точку К, что Z.ABK = Z.CBD, и далее
использовать подобие треугольников АВК и DBC, ВСК и ABD. 894. Ука¬
зание. Через центр М вписанной окружности провести диаметр PQ опи¬
санной окружности и сначала доказать, что РМ • MQ = 2Rr. 895. Указа¬
ние. Доказать, что точки Л,, В(, С(, Л2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат на
окружности с центром в середине отрезка ОН радиуса где R радиус
окружности, описанной около треугольника АВС. 896. У казание. Пусть
АВС данный треугольник, а II, К и М основания перпендикуляров,
проведённых из точки D описанной окружности к прямым АВ, АС и ВС.
Допустим, что луч DK лежит внутри угла И DM. Сначала доказать, что
ЛАКИ = /.ADII = XMDC = ЛМКС. 897. Указание. Пусть Ot и О2 цен¬
тры данных окружностей, а г, и г2 — их радиусы, причём Г|>г2. Построить
две окружности с центрами Of и О2 радиусов соответственно - r2, rt + г2 и
воспользоваться решением задачи 673. 898. Указание. Сначала постро¬
ить две окружности радиуса P2Q2 с центром М и радиуса ОА с центром О,
где А—середина какой-нибудь хорды данной окружности, равной отрезку
PtQt. Затем воспользоваться задачей 897. 899. Указание. Сначала дока¬
зать, что наименьшей будет хорда, перпендикулярная к диаметру, прохо¬
дящему через данную точку. 900. а) Указание. Сначала построить ка¬
кой-нибудь треугольник по данной стороне и противолежащему углу, затем
описать около него окружность и воспользоваться следствием 1, п. 73.
б) Указание. Пусть АВС искомый треугольник, ZB данный угол.
Па продолжении луча АС отложить отрезок AAt = АВ, а на продолжении
луча С А — отрезок CBt-BC. Пользуясь задачей 900, а, сначала построить
901. Указание. Пусть PQR—искомый треугольник, Р вер¬
шина, из которой проведены высота, биссектриса и медиана треугольника,
а О — центр описанной около треугольника окружности. Учесть, что
Ответы
и указания
358

4)	B(a + c;6 + d); 5) B(l;2). 936. 1)	2) А(-10;-11); 3) В (6;-11);
4) М (-1,5; 3,5); 5) В(2a-с; 2b-d); 6) Af(3;6,5); 7) M(2f + 6;0); 8) B(-l;-3).
937. С (10;-7), В (7,5;-5). 938. а) Лёб; б) 5; в) 10Л; г) < 389; д) 11J2;
е)	10.939. а) 2; б) 3; в) Лз.940. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5.941. V82 + 2ч^17 + 7х/2.
Я42. Лз. 943. ЛС^аЧр, RC = Jb^h*. 944. а) С (а+ 6; с); 6) ЛС
=	СО = 7(а + Ь)2+с2. 945. АС = /((>+</-а)2+с2, ОС = v'(ft + d)2+c2.
946. a) 2; б) 3 или -2,6. 947. а) 13; б) 6. 948. а) (О;-9); б) (О; 5).
949. а) (-2,5; 0); б) (8; О). 950. а) ЛО> = 3>/5, NQ = 5; б)МР = 4Л,
NQ — 2v 2. 951. У казание. Доказать, что отрезки АС и ВВ равны и их
середины совпадают, а) 8; б) 17. 954. 100см, 100см. Указание. Систе¬
му координат выбрать так, как показано на рисунке 281. 955. 13 см. Ука¬
зание. Систему координат выбрать так, чтобы основание треугольника ле¬
жало на оси Ох, а высота на оси Оу. 956. Указание. Систему
координат выбрать так, чтобы одно из оснований трапеции лежало на оси
Ох, а его концы были симметричны относительно начала координат.
957. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисун¬
ке 283, и доказать, что 6 = 0. 958. Указание. Систему координат вы¬
брать так, чтобы лучи АВ и AD были положительными полуосями.
960. а) А и С; б) В; в) В и В. 961. а) С; б) В; в) А и В. 963. а) (-4;-3),
(-4; 3); б) (4; 3), (-4; 3). 964. а) (3; 0), (3; 10); б) (-2; 5), (8; 5). 965. 1) х*+^=9;
2) х2 + </2 = 2; 3) х2 + уг=^. 966. а) х2 + (у- 5)2 = 9; б) (х+1)2 + (у-2)2=4;
в)	(x + 3)2 + (y+7)2 = -i-;	г) (х-4)2 + (£/ + 3)2= 100.	967. х2+п2=1О.
4
968. х2 + (у-6)2 = 25.	969. а) (х-2)2 + (</-1)2= 41; б) (х-ЗУ + (у- 1)2 = 5.
970. (х - б)2 + у2 = 25, (х + З)2 + у2 = 25; две окружности. 971. x^ + (y - 4)2= 25.
972. б) х + у-7 = 0; в) 3x-2f/ + 2 = 0. 973. 7x-z/ + 3 = 0. 974. а) х-у = 0
У-1=0; б) Зх-5у + 5 = 0. 975. (-4; 0) и (0; 3). 976. (3;-2). 977. х = 2 и
i/ = 5. 979. 7. 980. 5х + 2у-10 = 0, 5х-2у-10 = 0, 5х + 2</+10 = 0,
5х-2</+10 = 0 или 2х + 5//-10 = 0, 2х-5</-10 = 0, 2х + 5</+10 = 0,
2х-5//+10 = 0. 982. а) Окружность радиуса 4 с центром В; б) окружность
1
радиуса —
983. Окружность с центром в точке О радиуса
с центром В, лежащим на отрезке ВС, причём ВВ = —.
А2-2а2	3
	-	, если k2>2a2, и
точка О, если k2=2a2, где О — середина отрезка АВ и а =	• Если k2< 2а2,
то точек, удовлетворяющих условию задачи, не существует. 985. Середин¬
ный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точки, симметричные от¬
носительно точки А. 986. Прямая ВС. Указание. Выбрать прямоуголь¬
ную систему координат так, чтобы точки А и В лежали на оси Ох и были
симметричны относительно оси Оу. 987. Прямая, проходящая через точку
пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.
988. а) х = _^ б) не существует; в) х = -2; г) х=2. 989. а) {-8;-1}, 7б5;
лхл Ответы
JOU и указания

б) {14; 4), 2>/53; в) {-21; 5}, х466; г) {6;-18}, бЛО. 990. а) {9;-4}, {7;-3},
{1; 21}, {-4; 7}; 6)5, 10, V97, V58. 991. У ка за н ие^ Ввести вектор
AfjAf2 {x2-xt; О}, отложить от начала координат вектор ОА, равный MtM2,
и воспользоваться тем, что абсцисса точки А равна x2-xt. 993. Указа¬
ние. Сначала доказать, что АВ = ВС. 995. (5; 9). 996. а) (-1;9), (0; 2),
(-4; 6); б) 5^2; в) зЛ, 4 Л, 5^2. 998. 40. 999. (0; 8) или (-2; 2) или (-8; 0);
три решения. 1000. Окружности: а),	б),	г),	д).	1001. (х-3)2 +
+ (#-5)»=25. 1002. а) (* + |)	б) (х-3)» + (» + 2)»=25.
1003. а) 5х-3t/+16 = 0, X + 2у- 6 = 0,	6х-^+10 = 0; б) Зх + 5//-4 = 0,
2x-j/-7»0, х +6^-23 = О; в) Зх + 5у-17 = 0, 2x-z/ + 6 = 0, х + б#- 10 = 0.
1006. 19,5 см, Лб1 см, —^29 см или 12,5 см, V709 см, 4 см.
1008. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на ри¬
сунке 283. 1009. Указание. На продолжении отрезка AAt отложить от¬
резок А{А2, равный АА|. Далее воспользоваться задачей 953.
1010. а) Окружность радиуса 2ЛВ с центром в точке В', симметричной
точке В относительно точки А; б) окружность радиуса — АВ с центром в
3
точке С, лежащей на отрезке АВ, причём АС = -АВ.
3
Глава XI
1013. а) -у-; б) -у-; в) 0. 1014. а) ±1; б)	в) ±1. 1015. а) 0;
л	л	2	4
б) —в) 1; г) 1016. —, -1, -Тз-	_р 1
3	4	2	2	’ 2 *	2 ’	* 2’	2 ’	3 ‘
1018. a) x = f/ = ^-; б) х = 0, у =1,5; в) х = -^, у = 2,5; г) х = -1, ^ = 0;
д)	х = Л, у=1. 1019. а) 45°; б) 90°; в) 150°; г) 135°. 1020. а) 12>/б см2;
б)
27 см2; в) «36 см2. 1022. 16 см
A2-sin0
2sina sin(a + Р)~ а) ZC-80'
4,5, а «2,3; в) ZB« 37,989° «
6 ~ 19,2, с «25,5; д) ZB« 37,317°
ZA = ZB = 63°; ж) a « 53,84, ZB ■
= 42,833° « 42°50', ZB « 60,941° «
~54°52', ZB « 84,270° «84°16', ZC
1027. AC = 6 м, AB «Зм, BC
«17°08'. 1029. _a8ina
sin | a+ —I s:
б)
1023. 25 см2. 1024. а) - ь ' h'-;
2 si па
a «12,3, b «9,1; 6) ZB = 75°,
37°59', ZC«62°0Г, c«14; r) ZA = 65°,
«37°19', ZC«82°41', c«ll; e)c«5,7,
« 36,296° «36°18', ZC « 56°42'; з) ZA =
60°57', ZC« 76°13'; и) ZA « 54,883° «
«40°52'. 1026. AB « 15 см, Влдс« 87 cm2.
4 n. 1028. «39°38\ « 117°52' или « 140°22',
esinp asinasinP	a-B
,(B+aV^-(a + P)eos7-w1r = — TC”«
Ответы
и указания

а>р. и 7 = ^“, если р>а_ юзо.	_
а2 - Ь2
ч/(а2 + fe2)2 - 4a2fc2cos2a	У >Л междУ диагоналями паралле¬
лограмма. 1031. а) Остроугольный; б) прямоугольный- нЪ т,„.
1032. «74,2 кг. 1034. «28 см. 1035. 60° или «47 112^47' П7- У;*°У,ХМ1ЬНЫИ-
1037. «14,5 м. 1038. 50 м. 1039. а) 45°; б) 90"- в) .Vq1^ ~52 М‘
е)	90-ж) з) 1(М0 fl) 60о. б) д)	}«£’
г)	а2. 1043. 13.
1041. а) Зх/2; б) 0; в) -ЗТ2. 1042. а) |а2; б) -1а2; в) 0;
1044. а) -2,5; б) О; в) 5. 1047. а) х=7,5;б) х = в) х = 0.
cosB = 0, cosC = —. 1049. ZA = 60°, ZB«21°47', ZC~98° 13'
1048. cos A = —,
1050. 7129 и 7.
1051. 3. 1052. 13. 1053. -5. 1057. BB = —, АВ = ^72 + 7з, АЕ = - Ъ
				2	2	*	2 ’
EC ~ "2 & ~ ВС = \/2 - 7з.	1058. a) «6,254 m2;	6) «6 449 073 m2.
1060. a) ZC=105°, АС«6см, BC« 4 cm; 6) ZA « 75’, BC«6cm AC«4cm-
b) ZC « 42’55', ZB « 88’35', AC « 4 см; r) ZA « 26’22',	ZC « 90’50';
AB «11,7 cm. 1061. a) BC« 12 cm, ZC« 17’45', ZB «27’15'; 6) AC =75 дм
ZA« 71’34', ZC« 63’26'; в) AB «6,4 дм, ZA«2’, ZB «28°. 1062. ZZ)«
2bc cos —
«117’10', ZE«38’59', ZF«23’51'. 1063. —	2 указание> Восполь_
b + с
зоваться формулой площади треугольника (п. 100). 1064. ч/а2 + b2 - 2ab cos а.
1065. — *** . 1066. 5. 1067. 15 и «24,4. 1068. х = 40. 1069. 36°5Г.
<54
1070. 7273 см2; 12см. 1071. 721. Указание. Воспользоваться зада-
a2sin23asin4a	,,
1еи 1033. 1072. ——— ± 	. 1075. Указание, а) Воспользоваться
задачами 535 и 1074; б) воспользоваться задачей 1074. 1077. Указание,
а) Воспользоваться задачей 1033; б) пусть AjBjCj и А^В2С3 — данные по¬
добные треугольники, а О, и О2— центры вписанных окружностей. Снача¬
ла доказать, что ДА|О,В| <\> ЛА^О.^В^.
Глава XII
1078. а) Да; б) пет. 1079. б), в). 1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°;
д) 160°. 1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12. 1084. а) 6; б) 12; в) 4;
г)	Ю; д) 20; е) 5. 1085. Указание. Воспользоваться тем, что середин¬
ный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника прохо¬
дит через центр описанной окружности. 1086. У казание. Воспользовать¬
ся тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит
Ответы
362 и указания

через центр вписанной окружности. 1087. 1) R =3^2, r=3, Р = 24, S = 36;
2) Я = 2>/2, а< = 4, Р=16, S=16; 3) г = 2^2, а4= 4у/2, Р = 16^2, S = 32;
4) Я = 3,5^2, г =3,5, а4 = 7, S = 49; 5) Я = 2^2, г=2, а4 = 4, P=16.
1088.	1) r= 1,5, а3 = зУз, Р = 9у/3,	2) Я = |>/10Уз, г = |х/10у/3,
а3 =	Р = 6^^3^; 3) Я=4, а3 = 4у/з, Р = 12у/3, S = 12у/3;
..	5>/3	5у^3 р_|к q . 25>/3 . р_ 2-Уз _ у13	о_ /о
4) Я — , Г —	, I — -lo, о —	, «>) It — —— у г	, д., — о — у о.
2	о	4	3	3
1089.	2-Уб см. 1090. 2>/3 см. 1091.6 см. 1092. 32^3 см. 1094. а) 36 см2;
б)	Къ/З см2; в) 162-Уз см2; г) -248,52 см2. 1095. см2. 1096. S3:S4:S6 =
= ТЗ:4:6у(3. 1097.3:4. 1098. а) 2х/3г, б/Зг, 3>/3г2; б) УЗЯ, Зу/ЗЯ,
R2. 1099. \2Я2. 1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2,
п.ПЗ. 1101. 1) 25,12; 2) 18,84; 3) 13,06; 4) 9; 5) 4,40; 6) 1; 7) 637,42;
8) 14,65; 9) 0,45. 1102. а) Увеличится в три раза; б) уменьшится
в два раза; в) увеличится в k раз; г) уменьшится в k раз. 1103. а) Увели¬
чится в k раз; б) уменьшится в k раз. 1104. а) 2я<^3 . ц^а2 + Ь2;
в)	: г) —Д ;д) 8л. 1105. а) па; б) пс(у2 - 1);в) пс (sin а + сое а - 1);
У462-а2 sin^-
г)	2nh tg^etga. 1106.63 см. 1107.^12 739 км. 1108. М2013 км.
2	3
1109. а) п см; б) -п см; в) 2я см; г) Зя см. 1110. 30. 1111. -59,2 см.
1112. -36,2 см. 1113. ~4°35'. 1114. 1) 12,56; 2) 78,5; 3) 1,69; 4) 0,26;
5)	7; 6) 9258,26; 7) 9,42; 8) 1,41. 1115. а) Увеличится в Л2 раз;
. Я(а2+ 4Л2)
64Л2
. па2 А 2 а
г) 	tg2 —.
4 8 2
1121. 0,75 мм.
наименьшего
б) уменьшится в /г2 раз. 1116. а)	1-; б) ——;
4	4 sin2 a
Ла2. «у Ka2sin2a	ч Ka2sin2a
1117.	а) ——-,	б) -	;	—— •	в) 	-;
12	(cos a + sina +1)2	( aV
4 1 + sin— I
k 2/
1118.	— 34,2 m2. 1119. D—13,06 m, S~ 133,84 m2. 1120. 4ясм2.
1122. 5,6ядм3~ 17,6 дм3. 1123. г2 (л-2).	1124. Площадь
круга равна Я, а площади колец равны Зя, 5я, 7я. 1126. -262 см2.
1127.	1128. ^-~а2. 1129. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6. ИЗО. дм.
1131. 6,72 см. 1132. а) б) 1135. 6 см; 54у/3 см2. 1137. 330 км.
8	4
1138. а)-15,1 см; б) па sin a. 1139.-4,4 км. 1141. ^(20 + 9>/2) см.
Ответы
и указания

1142. к см. 1144. У казание. Пусть ABCDEFGH — искомый восьми-
4
угольник, а О —центр описанной окружности. Сначала построить равнобед¬
ренный треугольник АНО. 1145. Указание. Использовать теорему Пи¬
фагора. 1146. Указание. Сначала вписать в окружность правильный
треугольник и правильный шестиугольник.
Глава XIII
1151. Указание. Доказать методом от противного. 1154. Указание.
Воспользоваться теоремой п. 119. 1155. Указание. Доказательство про¬
вести методом от противного (см. доказательство теоремы п. 119).
1157. Указание. Воспользоваться задачами 1156 и 1051. 1158. Указа¬
ние. Сначала построить образы каких-нибудь двух точек прямой Ь.
1159. F — четырёхугольник. 1160. Указание. Задача решается анало¬
гично задаче 1158. 1161. F треугольник. 1172. Указание. Пусть
М— произвольная точка прямой АВ, а Af'— её образ. Используя равен¬
ства AM-AM', ВМ = ВМ', доказать, что точки М и М' совпадают.
1173. Указание. Воспользоваться задачей 1155. 1174. а) Указание.
Воспользоваться задачей 1157. 1175. Указание. Использовать симмет¬
рию относительно прямой а. 1176. Указание. Использовать точки Dt и
Z)2> симметричные точке D относительно прямых АВ и ВС. 1178. Указа¬
ние. Использовать параллельный перенос на вектор AD. 1179. Указа¬
ние. Учесть, что высоты треугольника, на который отображается треуголь¬
ник ABS при параллельном переносе на вектор ВС, пересекаются в одной
точке. 1180. У казание. Использовать поворот вокруг точки О на угол в
120°. 1181. Указание. Сначала построить прямую, симметричную одной
из данных прямых относительно точки О. 1182. Указание. Пусть
ABCD — искомая трапеция с основаниями AD и ВС. Сначала построить
треугольник ACDt, где Dt — точка, в которую отображается точка D при
параллельном переносе на вектор ВС.
Глава XIV
1184. а) 6, 12, 8; б) 4, 6, 4; в) 8, 12, 6. 1187. а) Пет; б) нет; в) нет; г) да;
д)	пет. 1189. а) Параллелограмм ABCiDt; б) параллелограмм ЛСС|Л|.
1190. Искомой точкой является точка пересечения прямых: a) MN и ВС;
б)	AM и 4tB|. 1191. У казание. Сначала через середину ребра CD прове¬
сти прямую, параллельную В^. 1192. Указание, а) Сначала через точ¬
ку М провести прямую, параллельную NK, и далее рассмотреть отдельно
случаи, когда эта прямая пересекается с ребром ВС и когда она пересекает¬
ся с ребром СС(; б) сначала через точку N провести прямую а, параллель¬
ную МК, и далее рассмотреть отдельно три случая: прямая а пересекает
ребро AAt; прямая а пересекает ребро DDt; прямая а совпадает с AD.
1193. а) Тб; б) 17; в) 13. 1194. ау'З. 1195. a) V=VI + V2; б) И=^У,+У2.
3
1196. 12 см. 1197. 240/2 см3. 1199. ^5-см3. 1200. а) ^-а3; б) а3;
4	4
_ _ _ Ответы
364 и указания

r> 2a3«tg22°30'. 1201. Нет. 1207.758 см, 758 см, <65 см,
Тб5 см. 1208. За2. 1211. а) 6м3; б) 4950 см3. 1212. -^m3./ctg2^ -1.
6	V 2
1214. а) 24ясм3; б) —см; в) 2см. 1215. а) ; б) —; в) ; г) ———;
73я	4 я	я 2я я
д)	-£-sin^-. 1216. я2 м2. 1217. -2,58 м2. 1218. б) —. 1220. а) 2,25ясм3;
2я п			 а
б) 9см; в) 1221. 1 |.9<p2~Q!). 1222. —ядм3. 1223. S^K = 80ясм2,
V ят	3 V я	7
<8КО1| = 144ясм2. 1226. а) 64ясм2, Я см3; б) —Зсм, —ЗбЯ см2; в) 4 см,
256
—3 я см3. 1227. Объём Земли в 64 раза больше объёма Луны. 1228. Нет.
1229. 432я см2— 1357 см2. 1231. 4:1. 1232. Указание. Воспользоваться
неравенством треугольника. 1233. Указание. Воспользоваться тем, что
сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон. 1234. б) Указание. Сначала построить отрезок, по которому
секущая плоскость пересекает грань AAtDtD. 1235. Параллелограмм
BKDXL. 1236. 27122 дм. 1237. а) 43272 см3; б) бТб; в) 0,3275 см3.
1238. lm3sin(pcos^. 1239. 72см3. 1241. (2>/34 + 22) м2. 1242. 16972 см3.
1243.	1244. - 208 м. 1245. =61 кг.
24 п V 2	п
1246. бТ2 см, 18 см. 1247. —. 1248. 375 см3. 1249. 216°. 1250. 9ясм2,
8я
6 см. 1251. 2Я/н2вп1ф. 1252. 7/ = -^К, где Н — высота цилиндра, R— ради¬
ус шара. 1253. Уровень воды повысится на
— 1,28- 10» км2. 1255. /п3: а3.
32
см. 1254. 6375^ км2 —
Задачи повышенной трудности
1256. Указание. Использовать координаты середин диагоналей АС и
ВО. 1257. У казание. Воспользоваться тем, что отношение соответствую¬
щих координат векторов АС и СВ равно X. 1258.	+*3;
Указание. Воспользоваться задачей 1257. 1259. О	Ука¬
зание. Воспользоваться задачами 535 и 1257.	1260. зТ5 см.
Указание. Припять за оси координат прямые ЛМ и
BN. 1261.	У^+Угт^у^Л 1262 д)
к т1 + т2 + т3 ’ т1 + тг + т3 )	\ 4 /
Ответы
и указания

б) М (2; О). Указами е. Воспользоваться тем, что если две точки лежат по
разные стороны от оси абсцисс, то искомая точка является точкой пересе¬
чения отрезка с концами в этих точках и оси абсцисс. 1263. Указание.
а)	Пусть L — линия, заданная данным уравнением, а М0(х0; t/0) — некото¬
рая её точка. Написать уравнение серединного перпендикуляра к отрезку
МХМ^ где Мt (х0- А; у0- В), М2(х0 + А; у0 + В), и убедиться в том, что оно
совпадает с данным уравнением, б) Учесть, что уравнение любой окруж¬
ности не содержит членов вида kxy, где k — число, /г*О. 1264. (1;0),
(-0,6; 0,8),	. 1265. а) Окружность, точка или пустое множество.
5
б)	Прямая, вся плоскость или пустое множество. Указание. Вывести
уравнение искомого множества точек. 1266. Окружность без одной точки.
Указание. Вывести уравнение искомого множества точек, задав систему
координат так, чтобы прямая а совпала с одной из осей координат, а точ¬
ка А лежала па другой оси. 1267. Окружность радиуса kR, где R— радиус
данной окружности. Указание. Ввести систему координат с нача¬
лом О и вывести уравнение искомого множества. 1268. б) Указание.
Воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. 1269. Указание.
Положив MN=a, сначала найти площадь треугольника АМВ и стороны
AM и ВМ. 1270. Указание. Доказать, что в любом выпуклом четырёх¬
угольнике ABCD имеет место равенство Sol)c ■ SOAIf -	• SOai> — точка
пересечения диагоналей). 1271. Указание. Доказать утверждение снача¬
ла для выпуклого четырёхугольника. Для этого провести диагональ, соеди¬
няющую общий конец сторон а и d с общим концом сторон b и с, и найти
площади получившихся треугольников. 1272. Указание. Воспользо-
_	_	„	[агЬс + d2bc + b2ad + c2ad
ваться тем, что	л	1273. J		—		,
’	ЛпС AAyi AAjC	\|	а J + ьс
I c2ab + d2ab + a2 de + b2de	.	,
I	, где а, by Су d — стороны вписанного четырех-
\	ab + de
угольника. 1274. Указание. Пользуясь теоремой косинусов, доказать,
что синус угла, заключённого между сторонами а и Ьу равен
2J(p - я)(Р ~ b)(p - с)(р - d)	,о__,
——	—		L t ГдС р — полупериметр. 1275. Указание.
ab + cd
Доказать сначала, что прямая, проходящая через центры вписанной и опи¬
санной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис тогда и толь¬
ко тогда, когда вписанная окружность касается одной из сторон треуголь¬
ника в точке, равноудалённой от середины этой стороны и основания высоты,
		 		 1г - h2
проведённой к этой стороне. 1276. 72 sin a cos5». 1277. 2^'Stgp. 1278. ———.
2л
1279. Указание. Сначала найти и сравнить углы ВАС и АОВ. 1280. Ука¬
зали е. Воспользоват1.ся задачей 1279. 1281. Указание. Пусть М — сере¬
дина отрезка А^А^. Доказать, что треугольник AAtM равнобедренный, и,
пользуясь этим, установить, что центр описанной около пятиугольника
окружности совпадает с центром окруяспости, вписанной в треугольник
АСМ. 1282. Указание. Воспользоваться задачей 1280. 1283. Указание.
Ответы
и указания
366

Воспользоваться задачей 1282. 1284. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 1283. 1285. Указание. Соединить точку М отрезками с вершинами
многоугольника и представить площадь многоугольника в виде суммы пло¬
щадей полученных треугольников. 1286. Указание. Воспользоваться зада¬
чей 895. 1291. Указание. Воспользоваться задачей 1155. 1292. Указа¬
ние. Построить равные равнобедренные треугольники АВС и A|BtC(
с прямыми углами А и А| и воспользоваться задачей 1156. 1294. Указа¬
ние. Пусть ABCD и A^jCjDj — данные трапеции с большими основаниями
АВ и A|Bj. Па лучах АВ и AtBt отложить отрезки AE = DC и А^ЕХ = DXCX и к
треугольникам ВСЕ и ВХС{Е{ применить утверясдение задачи 1156.
1295.	Указание. Пусть АВС и А,В,СХ —данные треугольники, AB = AtBt,
АС=А|С|, ZB - ZC= ZBX - ZC|. Рассмотреть две осевые симметрии относи¬
тельно прямых, содержащих высоты АН и АХНХ данных треугольников.
1296.	Указание. Использовать центральную симметрию относительно точ¬
ки пересечения диагоналей одного из параллелограммов. 1297. Указание.
Использовать осевую симметрию относительно данной прямой. 1298. Ука¬
зание. Если точка М лежит на стороне ОВ, то сначала построить прямую,
симметричную прямой АО относительно точки М. 1300. Указание. Пусть
О точка пересечения медиан искомого треугольника ABC, a Ot точка,
симметричная точке О относительно середины стороны АС. Сначала постро¬
ить AAOOt. 1301. Указание. Пусть ABCD искомая трапеция с основа¬
ниями АВ и CD.	Использовать	параллельный перенос	на вектор	АВ.
1302.	Указание.	Использовать	параллельный перенос	на вектор	АВ.
1303.	Указание.	Использовать	поворот вокруг точки	А на угол	90°.
1304.	Указание. Пользуясь теоремой о площади треугольника (п. 100) и
теоремой косинусов, выразить квадрат площади треугольника АВС через
квадраты его сторон, а затем воспользоваться теоремой Пифагора. 1306. Ука¬
зание. Разрезать куб по некоторым рёбрам и развернуть его таким образом,
чтобы получилась плоская фигура. 1307. Указание. Взять в качестве оси
отверстия диагональ куба и сначала доказать, что проекцией куба на пло¬
скость, перпендикулярную к этой оси, является правильный шестиугольник
со стороной	гДе а—длина ребра куба. 1308.
1309. Указание. Доказать, что полученные две части являются тетраэдра¬
ми с общим основанием и равными высотами. 1310. -^-яо3 ctg2—| 2 + tg2—1.
13	2 v 2/

Предметный указатель
А
Абсцисса точки 229
Аксиома 57
—	параллельных прямых 59
Аксиомы планиметрии 337
Апофема 312
Астролябия 19
Б
Биссектриса треугольника 33
угла 12
Боковая поверхность конуса 321
цилиндра 319
Боковая сторона равнобедренного
треугольника 34
—	— трапеции 103
Боковые грани пирамиды 312
призмы 304
Боковые рёбра пирамиды 312
призмы 304
В
Вектор 190
—	нулевой 190
—, противоположный данному 199
Векторы коллинеарные 191
противоположно
направленные 191
сонвправленные 191
Вершина угла 8
- пирамиды 312
Вершины ломаной 97
—	многогранника 303
многоугольника 97
—	треугольника 28
четырёхугольника 99
—	четырёхугольника,
противоположные 99
Взаимное расположение двух
окружностей 238
- прямой и окружности 162
Внешний угол треугольника 70
выпуклого
многоугольника 99
Внешняя (внутренняя) область
многоугольника 98
—	— — угла 9
Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу 170
- полуокружность 170
Вписанный треугольник 181
—	угол 168
Выпуклый многоугольник 98
—	четырёхугольник 99
Высота конуса 320
—	параллелограмма 122
—	пирамиды 312
—	призмы 305
—	трапеции 125
—	треугольника 34
—	цилиндра 319
Вычитание векторов 198
Г
Геометрическое место точек 83
—	тело 300
Гипотенуза прямоугольного
треугольника 70
Гомотетия 151
Градус 18
Градусная мера дуги
окружности 167
угла 18
Граница тела 301
Грань 303
д
Движение 289
Деление отрезка в данном
отношении 154
Дециметр 15
Диагональ многогранника 303
—	многоугольника 98
Диаметр окружности 42
—	сферы 322
Длина (модуль) вектора 190
дуги окружности 279
—	ломаной 97
Предметный
ЗОО указатель

Длина окружности 279
—	отрезка 13
Доказательство теоремы 29
методом от противного 61
Дуга, большая
полуокружности 168
—, меньшая полуокружности 168
—	окружности 42
Е
Евклидова геометрия 58
Единица измерения отрезков 13
—	— площадей 116
3
Задача о квадратуре круга 281
Задачи на построение 44
Законы сложения векторов 196
—	умножения вектора на
число 203
И
Измерение высоты предмета 256
отрезков 13
—	расстояния до недоступной
точки 256
—	углов 18
Измерения прямоугольного
параллелепипеда 308
Измерительные работы на
местности 149
К
Касательная к окружности 164
Катет прямоугольного
треугольника 70
Квадрат 109
Километр 15
Концы отрезка 6
Координатные векторы 225
Координаты вектора 225
—	середины отрезка 230
—	точки 229
Коническая поверхность 321
Конус 301, 320
Косинус угла 249
Котангенс угла 249
Коэффициент подобия
треугольников 138
Круг 43
Круговой сегмент 281
—	сектор 281
Куб 300
Кубический метр 307
—	миллиметр 307
—	сантиметр 307
Л
Лемма 222
о коллинеарных векторах 222
Ломаная 97
замкнутая 97
Луч 8
—	делит угол на два угла 9
м
Малка 55
Медиана треугольника 33
Метод координат 230
подобия при решении задач на
построение 148
Метр 15
Миллиметр 15
Минута 18
Многогранник 302
выпуклый 303
—	невыпуклый 303
Многоугольник 97
, вписанный в окружность 181
—	выпуклый 98
—, описанный около
окружности 181
—	правильный 270
Многоугольники равновеликие 119
равносоставлениые 119
И
Наклонная 81
Наложение 291
Начало вектора 190
—	луча 8
Неравенство треугольника 73
О
Обратная теорема 60
Образующие конуса 321
—	цилиндра 319
л Предметный
369 указатель

Объём конуса 321
пирамиды 313
- призмы 311
прямоугольного
параллелепипеда 309, 311
—	цилиндра 319
—	шара 322
Окружность 42
Аполлония 243
—, вписанная в многоугольник
178
—, описанная около
многоугольника 181
Октаэдр 302
Описанный треугольник 179
Определение 42
Ордината точки 229
Осевая симметрия ПО
Основание конуса 320
параллелограмма 122
—	перпендикуляра 32
—	пирамиды 312
—	равнобедренного
треугольника 34
Основания призмы 304
—	трапеции 103
цилиндра 319
Основное тригонометрическое
тождество 156, 250
Ось симметрии фигуры ПО
Откладывание вектора от данной
точки 192
Отношение отрезков 137
Отображение плоскости на
себя 287
Отрезки параллельные 52
Отрезок 6
—, отложенный на луче от его
начала 57
п
Параллелограмм 100
Параллелепипед 301, 305
—	прямой 305
прямоугольный 305
Параллельные плоскости 303
прямые в пространстве 303
Параллельный перенос 294
Периметр многоугольника 97
треугольника 28
Перпендикуляр, проведённый из
точки к прямой 32
Перпендикулярные прямые 22
Пирамида 301, 312
—	правильная 312
—	п-угольная 312
Планиметрия 4
Площадь боковой поверхности
конуса 321
—	— — цилиндра 320
Площадь квадрата 119
—	круга 280
—	кругового сектора 281
—	многоугольника 116
—	—, основные свойства 118
параллелограмма 123
—	прямоугольника 121
прямоугольного
треугольника 124
—	трапеции 125
—	треугольника 123
Поверхность 300
Поворот 294
Подобие произвольных фигур 150
Подобные треугольники 138
Полуокружность 167
единичная 248
Построение биссектрисы угла 45
—	касательной к окружности 165,
172
—	отрезка, равного данному 43
—	параллельных прямых 55
—	перпендикулярных прямых 46
правильного многоугольника
274
прямой, перпендикулярной
к данной 46
—	прямых углов на местности 23
—	разности векторов 198
—	середины отрезка 46
—	точек, делящих отрезок
в данном отношении 154
точек, делящих отрезок на
п равных частей 105
треугольника по двум сторонам
и углу между ними 84
Предметный
370 указатель

Построение треугольника по стороне
и прилежащим к ней углам 84
— трём сторонам 85
угла, равного данному 44
Построения циркулем и
линейкой 43
Правило многоугольника
сложения векторов 198
параллелограмма сложения
неколлинеарных векторов 197
треугольника сложения
векторов 195
Практические приложения
подобия треугольников 148
- способы построения отрезков
параллельных прямых 55
Призма 303
наклонная 305
—	правильная 305
—	прямая 305
—	л-угольная 304
Признак касательной 165
прямоугольника 108
Признаки параллелограмма 101,
102
параллельности двух прямых
53, 54
подобия треугольников 141,
142, 143
—	равенства треугольников 29,
37, 38
—	— прямоугольных
треугольников 76, 77
Применение векторов к решению
задач 204
метода координат к решению
задач 233
Принцип Кавальери 307
Провешивание прямой на
местности 7
Произведение вектора на
число 202
Пропорциональные отрезки 137
- в прямоугольном
треугольнике 146
Прямая 5
Прямоугольная система
координат 224
Прямоугольник 108
Прямые не пересекаются 6
—	параллельные 52
пересекаются 6
Р
Равные векторы 192
—	отрезки 11
—	углы 12
—	фигуры 11
Радиус-вектор точки 229
Радиус окружности 42
—	сферы 322
цилиндра 319
Развёртка боковой поверхности
конуса 321
—	— — цилиндра 320
Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам 222
Разность векторов 198
Расстояние между двумя
точками 231
параллельными прямыми 82
—	от точки до прямой 81
Рёбра многогранника 303
Рейсмус 83
Рейсшина 55
Решение треугольников 254
Ромб 109
Рулетка 16
С
Сантиметр 15
Свойства квадрата 109
—	параллелограмма 100, 101
параллельных прямых 61, 62
—	прямоугольника 108
прямоугольных
треугольников 75, 76
—	ромба 109
Свойство описанного
четырёхугольника 180
—	отрезков касательных,
проведённых из одной
точки 165
- углов вписанного
четырёхугольника 182
—	углов равнобедренного
треугольника 34
Предметный
371 указатель

Секунда 18
Секущая 53
—	плоскость 301
Середина отрезка 11
Серединный перпендикуляр
к отрезку 174
Сечение 301
Симметричные точки ПО
фигуры ПО
Симметрия фигур ПО
Синус угла 249
Скалярное произведение
векторов 260
Следствие 59
Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного
треугольника 155
треугольника 71
Сравнение отрезков 11
—	углов 12
Средняя линия трапеции 205
—	— треугольника 145
Стереометрия 300
Стороны многоугольника 97
—	треу1Ч>льника 28
—	угла 8
четырёхугольника 99
—	—, противоположные 99
Сумма двух векторов 195
нескольких векторов 197
—	углов выпуклого
многоугольника 99
—	— треугольника 69
Сфера 322
т
Тангенс угла 249
Теодолит 24
Теорема 29
—	косинусов 253
—	об отношении площадей
подобных треугольников 139
—	— — треугольников, имеющих
по равному углу 124
окружности, вписанной в
треугольник 179
—, описанной около
треугольника 181
Теорема об углах равнобедренного
треугольника 34
—	о биссектрисе равнобедренного
треугольника 35
—	— — угла 173
—	— вписанном угле 168
—	— пересечении высот
треугольника 176
перпендикуляре
к прямой 32
произведении отрезков
пересекающихся хорд 170
расстоянии между
параллельными прямыми 81
- свойстве касательной 164
—	— серединном перпендикуляре
к отрезку 174
соотношениях между
сторонами и углами
треугольника 71
средней линии трапеции 205
— треугольника 145
—	— сумме углов треугольника 69
—, обратная теореме о свойстве
касательной 165
—	Пифагора 128
, обратная теореме Пифагора 129
—	синусов 252
Фалеса 105
Теоремы об углах, образованных
двумя параллельными прямыми
и секущей 61, 62
Тстраздр 302, 312
Точка 5
—	касания 164
пересечения биссектрис
треугольника 174
медиан треугольника 146
серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника 175
Транспортир 18
Трапеция 103
—	прямоугольная 103
—	равнобедренная 103
Треугольник 28
—	египетский 130
остроугольный 70
—	прямоугольный 70
Предметный
указатель
372

Треугольник равнобедренный 34
равносторонний 34
—	тупоугольный 70
Треугольники пифагоровы 130
У
Угловой коэффициент прямой 237
Углы вертикальные 22
—	накрест лежащие 53
—	односторонние 53
—	смежные 22
соответственные 53
—	с соответственно
параллельными сторонами 63
- — перпендикулярными
сторонами 64
—	треугольника 28
Угол 8
выпуклого многоугольника 98
—	между векторами 259
неразвёрнутый 9
—	острый 19
прямой 19
—	развёрнутый 9
—	тупой 19
—	центральный 168
Уголковый отражатель 78
Умножение вектора
на число 202
Уравнение линии
на плоскости 235
—	окружности 236
—	прямой 237
Ф
Формула Герона 130
—	для вычисления угла
правильного n-yixvibHHKa 270
Формулы для вычисления
координат точки 250
—	— — стороны правильного
многоугольника и радиуса
вписанной окружности 273
X
Хорда окружности 42
ц
Центр окружности 42
—	правильного многоугольника 273
—	симметрии фигуры 111
—	сферы 322
Центральная симметрия 111
Центрально-подобные фигуры 151
Цилиндр 319
Цилиндрическая поверхность 319
ч
Четыре замечательные точки
треугольника 177
Четырехугольник 99
ш
Шар 322
Штангенциркуль 16
э
Экер 23
Элементы треугольника 29

Список литературы
1	Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г.,
Шестаков С. А., Юдина И. И. Планиметрия.
Пособие для углублённого изучения математики. —
М.: Физматлит, 2005.
2	Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С. Б.,
Шестаков С. А., Юдина И. И. Геометрия.
Дополнительные главы к учебнику 8кл. — М.:
Вита — Пресс, 2006.
3	Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б.,
Юдина И. И. Геометрия. Дополнительные главы
к учебнику 9 кл. — М.: Вита — Пресс, 2002.
Список
литературы

Оглавление
Дорогие семиклассники!	 3
Глава I
Начальные геометрические сведения	 5
§ 1. Прямая и отрезок	 —
1.	Точки, прямые, отрезки	 —
2.	Провешивание прямой на местности	 6
Практические задания	 7
§ 2. Луч и угол	 8
3.	Луч	 —
4.	Угол	 —
Практические задания	 10
§ 3. Сравнение отрезков и углов	 —
5.	Равенство геометрических фигур	 —
6.	Сравнение отрезков и углов 	 11
Задачи	 12
§4. Измерение отрезков	 13
7.	Длина отрезка	 —
8.	Единицы измерения. Измерительные инструменты	 15
Практические задания	 16
Задачи	 17
§ 5. Измерение углов	 18
9.	Градусная мера угла	 —
10.	Измерение углов на местности	 19
Практические задания	 20
Задачи	 21
§ 6. Перпендикулярные прямые	 22
11.	Смежные и вертикальные углы	 —
12.	Перпендикулярные прямые	 —
13.	Построение прямых углов на местности	 23
Практические задания	 24
Задачи	 —
Вопросы для повторения к главе I	 25
Дополнительные задачи	 26
375 Оглавление

Глава II
Треугольники	 28
§ 1. Первый признак равенства треугольников	 —
14.	Треугольник	 —
15.	Первый признак равенства треугольников	 29
Практические задания	 30
Задачи	 31
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника	 32
16.	Перпендикуляр к прямой	 —
17.	Медианы, биссектрисы и высоты треугольника	 33
18.	Свойства равнобедренного треугольника	 34
Практические задания	 36
Задачи	 —
§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников	 37
19.	Второй признак равенства треугольников	 —
20.	Третий признак равенства треугольников	 38
Задачи	 40
§4. Задачи на построение	 42
21.	Окружность	 —
22.	Построения циркулем и линейкой	 43
23.	Примеры задач па построение	 44
Задачи	 47
Вопросы для повторения к главе II	 48
Дополнительные задачи	 49
Глава III
Параллельные прямые	 52
§ 1. Признаки параллельности двух прямых	 —
24.	Определение параллельных прямых	 —
25.	Признаки параллельности двух прямых	 53
26.	Практические способы построения параллельных
прямых	 55
Задачи	 56
§ 2. Аксиома параллельных прямых	 57
27.	Об аксиомах геометрии	 —
28.	Аксиома параллельных прямых	 58
29.	Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей	 60
30.	Углы с соответственно параллельными или
перпендикулярными сторонами	 63
Задачи	 65
376 Оглавление

Вопросы для повторения к главе III	 66
Дополнительные задачи	 67
Глава IV
Соотношения между сторонами и углами треугольника	 69
§ 1. Сумма углов треугольника	 —
31.	Теорема о сумме углов треугольника	 —
32.	Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный
треугольники	 70
Задачи	 —
§ 2. Соотношения между сторонами и углами
треугольника	 71
33.	Теорема о соотношениях между сторонами
и углами треугольника	 —
34.	Неравенство треугольника	 73
Задачи	 —
§ 3. Прямоугольные треугольники	 75
35.	Некоторые свойства прямоугольных
треугольников	 —
36.	Признаки равенства прямоугольных
треугольников	 76
37*. Уголковый отражатель	 78
Задачи	 79
§ 4. Построение треугольника	по трём элементам	 81
38.	Расстояние от точки до прямой. Расстояние
между параллельными прямыми	 —
39.	Построение треугольника по трём элементам	 83
Задачи	 85
Вопросы для повторения к главе IV	 88
Дополнительные задачи	 89
Задачи повышенной трудности	 92
Задачи к главе I	 —
Задачи к главе II	 —
Задачи к главам III и IV	 93
Глава V
Четырёхугольники	 97
§ 1. Многоугольники	 —
40.	Многоугольник	 —
41.	Выпуклый многоугольник	 98
377 Оглавление

42.	Четырёхугольник	 99
Задачи	100
§ 2.	Параллелограмм и трапеция	 —
43.	Параллелограмм	 —
44.	Признаки параллелограмма	101
45.	Трапеция	103
Задачи	 —
§ 3.	Прямоугольник, ромб, квадрат	108
46.	Прямоугольник	 —
47.	Ромб и квадрат	109
48.	Осевая и центральная симметрии	110
Задачи	112
Вопросы для повторения к главе V	113
Дополнительные задачи	114
Глава VI
Площадь	 116
§ 1. Площадь многоугольника	 —
49.	Понятие площади многоугольника	 —
50*. Площадь квадрата	119
51.	Площадь прямоугольника	121
Задачи	 —
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции .... 122
52.	Площадь параллелограмма	 —
53.	Площадь треугольника	123
54.	Площадь трапеции	125
Задачи	126
§ 3. Теорема Пифагора	128
55.	Теорема Пифагора	 —
56.	Теорема, обратная теореме Пифагора	129
57.	Формула Герона	130
Задачи	132
Вопросы для повторения к главе VI	133
Дополнительные задачи	134
Глава VII
Подобные треугольники	 137
§ 1. Определение подобных треугольников	 —
58.	Пропорциональные отрезки	 —
59.	Определение подобных треугольников	138
378 Оглавление

60.	Отношение площадей подобных треугольников	139
Задачи	 —
§2. Признаки подобия треугольников	141
61.	Первый признак подобия треугольников	 —
62.	Второй признак подобия треугольников	142
63.	Третий признак подобия треугольников	143
Задачи	 —
§ 3. Применение подобия к доказательству теорем
и решению задач	145
64.	Средняя линия треугольника	 —
65.	Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике	146
66.	Практические приложения подобия треугольников . . . 148
67.	О подобии произвольных фигур	150
Задачи	152
§ 4. Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника	154
68.	Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника	 —
69.	Значения синуса, косинуса и тангенса
для углов 30°, 45° и 60°	156
Задачи	157
Вопросы для повторения к	главе VII	158
Дополнительные задачи	159
Глава VIII
Окружность	 162
§ 1. Касательная к окружности	 —
70.	Взаимное расположение прямой и окружности	 —
71.	Касательная к окружности	164
Задачи	166
§ 2. Центральные и вписанные углы	167
72.	Градусная мера дуги окружности	 —
73.	Теорема о вписанном угле	168
Задачи	170
§ 3. Четыре замечательные точки треугольника	173
74.	Свойства биссектрисы угла	 —
75.	Свойства серединного перпендикуляра к отрезку	174
76.	Теорема о пересечении высот треугольника	176
Задачи	177
379 Оглавление

§4. Вписанная и описанная окружности	178
77.	Вписанная окружность	 —
78.	Описанная окружность	181
Задачи	182
Вопросы для повторения к главе VIII	184
Дополнительные задачи	185
Глава IX
Векторы	 189
§ 1. Понятие вектора	 —
79.	Понятие вектора	 —
80.	Равенство векторов	191
81.	Откладывание вектора от данной точки	192
Практические задания	193
Задачи	194
§ 2. Сложение и вычитание векторов	195
82.	Сумма двух векторов	 —
83.	Законы сложения векторов. Правило
параллелограмма	196
84.	Сумма нескольких векторов	197
85.	Вычитание векторов	198
Практические задания	200
Задачи	 —
§ 3. Умножение вектора на число. Применение векторов
к решению задач	202
86.	Произведение вектора на число	 —
87.	Применение векторов к решению задач	204
88.	Средняя линия трапеции	205
Практические задания	206
Задачи 	 —
Вопросы для повторения к главе IX	208
Дополнительные задачи	209
Задачи повышенной трудности	211
Задачи к главе	V	 —
Задачи к главе	VI	212
Задачи к главе	VII	214
Задачи к главе	VIII	217
Задачи к главе	IX	219
380 Оглавление

Глава X
Метод координат	222
§ 1. Координаты вектора	 —
89.	Разложение вектора по двум неколлинеарным
векторам	 —
90.	Координаты	вектора	224
Задачи	227
§ 2. Простейшие задачи в	координатах	228
91.	Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца	 —
92.	Простейшие задачи в координатах	230
Задачи	231
§ 3. Уравнения окружности и прямой	235
93.	Уравнение линии на плоскости	 —
94.	Уравнение окружности	236
95.	Уравнение прямой	237
96.	Взаимное расположение	двух	окружностей	238
Задачи	240
Вопросы для повторения к главе X	244
Дополнительные задачи	245
Глава XI
Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов	248
§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла 	 —
97.	Синус, косинус, тангенс, котангенс 	 —
98.	Основное тригонометрическое тождество. Формулы
приведения	250
99.	Формулы для вычисления координат точки	 —
Задачи	251
§ 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника ... 252
100.	Теорема о площади треугольника	 —
101.	Теорема синусов	 —
102.	Теорема косинусов	253
103.	Решение треугольников	254
104.	Измерительные работы	256
Задачи	257
§ 3. Скалярное произведение векторов	259
105.	Угол между векторами	 —
106.	Скалярное произведение векторов	260
381 Оглавление

107.	Скалярное произведение в координатах	261
108.	Свойства скалярного произведения векторов	263
Задачи	264
Вопросы для повторения к главе XI	266
Дополнительные задачи 	267
Глава XII
Длина окружности и площадь круга	270
§ 1. Правильные многоугольники	 —
109.	Правильный многоугольник	 —
110.	Окружность, описанная около правильного
многоугольника	 —
111.	Окружность, вписанная в правильный
многоугольник	271
112.	Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны и радиуса вписанной
окружности	273
113.	Построение правильных многоугольников	274
Задачи	276
§ 2. Длина окружности и площадь круга	278
114.	Длина окружности	 —
115.	Площадь круга	280
116.	Площадь кругового сектора	281
Задачи	282
Вопросы для повторения к главе XII	284
Дополнительные задачи	285
Глава ХШ
Движения	287
§ 1. Понятие движения	 —
117.	Отображение плоскости на себя	 —
118.	Понятие движения	288
119*. Наложения и движения	290
Задачи	292
§ 2. Параллельный перенос и поворот	294
120.	Параллельный перенос	 —
121.	Поворот	 —
Задачи	295
Вопросы для повторения к главе XIII	297
Дополнительные задачи	 —
382 Оглавление

Глава XIV
Начальные сведения из стереометрии	300
§ 1. Многогранники	 —
122.	Предмет стереометрии	 —
123.	Многогранник	302
124.	Призма	303
125.	Параллелепипед	305
126.	Объём тела	306
127.	Свойства прямоугольного параллелепипеда	308
128.	Пирамида	311
Задачи	313
§ 2. Тела и поверхности вращения	319
129.	Цилиндр	 —
130.	Конус	320
131.	Сфера и шар	322
Задачи	323
Вопросы для повторения к главе XIV	327
Дополнительные задачи	328
Задачи повышенной трудности	330
Задачи к главе X	 —
Задачи к главе XI	331
Задачи к главе XII	332
Задачи к главе XIII	333
Задачи к главе XIV	334
Исследовательские задачи	335
Темы рефератов	336
Приложения
1.	Об аксиомах	планиметрии	337
2.	Некоторые сведения	о развитии геометрии	341
Ответы и указания	345
Предметный указатель	368
Список литературы	374

Учебное издание
Атанасян Левон Сергеевич
Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Сергей Борисович
Позняк Эдуард Генрихович
Юдина Ирина Игоревна
ГЕОМЕТРИЯ
7—9 классы
Учебник для общеобразовательных организаций
с приложением на электронном носителе
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, Е. В. Трошко
Художники В. Е. Валериус, О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика: С. А. Крутиков, А. С. Пивнёв
Компьютерная верстка Н. В. Лукиной
Корректор И. П. Ткаченко
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в почать 07.05.14.
Формат 70x90 '/и- Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 21,02 + 0,42 форз. Доп. тираж 50 000 экз. Заказ №
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в филиале «Смоленский полиграфический комбинат»
ОАО «Издательство «Высшая школа».
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Тел.: +7(4812)31-11-96. Факс: +7(4812)31-31-70.
E-mail: spk@smolpk.ru http://www.smolpk.ru

ПРОСВЕЩЕНИЕ