/
Text
Г. В. РЫКОВ, А. М.СКОБЕЕВ
Измерение
напряжений в грунтах
при кратковременных
нагрузках
ИЗДАТЕЛЬСТВО -НАУКА*
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
Г. В. РЫКОВ, А. М. СКОБЕЕВ
ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ
' В ГРУНТАХ
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ
НАГРУЗКАХ
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА, 1978
УДК 624.131
Рыков Г. В., |С к о б е е в А. М.| Измерение напряжений в грунтах при
кратковременных нагрузках. М., «Наука», 1978, с. 168
В книге на базе точных и приближенных решений краевых задач теории
упругости и пластичности рассматриваются основы теории приборов для из-
мерения напряжений в грунтах при кратковременных динамических нагруз-
ках. Результаты теоретических расчетов подтверждаются данными опытов.
Предлагается также некоторая феноменологическая модель грунта,
учитывающая его вязкопластические свойства. Приводится методика и ре-
зультаты фактического определения соответствующих механических харак-
теристик для песчаных и глинистых грунтов, полученные на основе факти-
ческих измерений нестационарных полей напряжений.
Рассчитана на научных работников, аспирантов и инженеров, занимаю-
щихся теоретическими и экспериментальными вопросами механики грунтов,
а также инженерной сейсмологии.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
профессор Н. В. ЗВОЛИНСКИЙ
Герман Васильевич Рыков,
[лексапдр Маркович Скобеев
ИЗМЕРЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
Утверждено к печати Институтом проблем механики АН СССР
Редактор В. А. Климов. Редактор издательства Ю- А- Юдина
Художник Н. В. Таланова. Художественный редактор Н. Н. Власик
Технический редактор О. Г. Ульянова. Корректоры И. А. Талалай, В. С. Федечкина
ИВ № 7314
Сдано в набор 23.12.77. Подписано к печати 24.04.78. Т-09212. Формат 60Х90Ч1».
Бумага № 2.Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 10,5.
Уч.-изд. л. 10,9. Тираж 1(00 акз. Тип. зак. 66. Цена 1 р, 60 коп.
Издательство «Наука». 117485, Месива, В-485, Профсоюзная ул., 94а
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
„ 20305—193
Р 055(02)—78 863—78
© Издательство «Наука», 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние два-три десятилетия в механике грунтов боль-’
шое значение приобрели динамические задачи — задачи распро-
странения волн напряжений и их взаимодействия с препятствиями
разного рода. Для описания подобных явлений необходимо пред-
полагать некоторую модель грунта, задавая ее системой определя-
ющих уравнений. Такой подход делает механику грунтов одним из.
разделов механики сплошной среды. Более старые, традицион-
ные задачи механики грунтов, такие, как, например, задачи расче-
та оснований при возведении сооружений, устойчивости откосов,,
консолидации, тоже требовали, конечно, определенных модельных
представлений. Однако, будучи статическими, эти задачи опира-
лись на меньший диапазон свойств грунта.
Актуальные динамические задачи поставили со всей остротой
проблему создания модели грунта — задачу исключительно слож-
ную, которая в настоящее время еще не имеет окончательного ре-
шения. Трудность задачи зависит и от разнообразия реальных
свойств конкретных грунтов, и от трудности экспериментирова-
ния. При этом одна из основных задач эксперимента состоите
измерении напряжений, развивающихся в том или другом динами-
ческом процессе. Не умея измерять напряжения в грунте, мы
были бы лишены возможности фактически проверять справедли-
вость предлагаемой модели.
Между тем измерение напряжений в сплошной среде вообще воз-
можно только косвенным путем: мы измеряем напряжения но тем
или другим проявлениям напряженного состояния, обычно по де-
формациям, которые напряженное состояние вызывают в конкрет-
ном, предварительно проградуированном, измерительном уст-
ройстве. Такой экспериментальный подход всегда сопровождается
погрешностями измерений, связанными с недостаточностью сведе-
ний о взаимодействии измерительного устройства со средой. Всякая
серьезная попытка создания модели грунта должна опираться
на возможность экспериментального определения напряжений в
грунте и притом в условиях динамического процесса (так как за-
ранее неясно, можно ли свойства грунта описать достаточно полно
в результате только статического эксперимента).
Предлагаемая вниманию читателей книга подводит итог иссле-
дований, которые в течение примерно последнего десятилетия про-
водились в Отделе динамики неупругих сред (или при участии сот-
рудников Отдела) Института проблем механики АН СССР по изу-
3
чению законов деформирования грунтов. Цель этих исследований
именно и состояла в создании некоторой рабочей модели грунта,
которая могла бы быть положена в основу расчетов инженерной
сейсмологии.
Основное внимание в книге уделено измерению напряжений
в грунте. При этом исследования велись в двух направлениях:
в экспериментальном, которое заключалось в создании измеритель-
ных устройств и разработке методики экспериментов, и в теоретиче-
ском. Предметом последнего было изучение некоторых важнейших
погрешностей измерений, зависящих как раз от взаимодействия
измерительного прибора со средой. Эти последние исследования
проводились в основном А. М. Скобеевым, совместно с которым
и была задумана подготовка настоящей монографии.
Работы А.М.Скобеева по взаимодействию элементов измеритель-
ного устройства с деформируемой средой были опубликованы ра-
нее. На основе этих работ им были написаны в 1970—1971 гг. § 1 гла-
вы II, а также главы III и IV.
В настоящей книге предлагается также некоторая феномено-
логическая модель грунта, выработанная на основании много-
численных опытов, проводившихся как в лабораторных, так и по-
левых условиях. Эта модель предложена Г. В. Рыковым и пред-
ставляет собой дальнейшее развитие известной модели С. С. Гри-
горяна. Г. В. Рыков па основании проведенных им экспериментов
пришел к выводу, что на объемное деформирование грунтов вооб-
ще влияет скорость деформирования. Для описания этого по-
следнего эффекта он использовал схему, аналогичную схеме Соко-
ловского—Малверна — Кристеску. Тщательной обработкой опы-
тов Г. В. Рыков обосновывает предложенную им модель.
При обработке результатов экспериментов Г. В. Рыков приме-
нил методы математической статистики, благодаря чему резуль-
таты измеренных напряжений и деформаций снабжены вероят-
ностной количественной характеристикой надежности.
Однако вопрос о модели грунта нельзя считать исчерпанным.
Прежде всего надо уточнить самый вопрос. Выбор модели сплошной
среды всегда связан с определенным кругом задач, определенными
условиями (по диапазону напряжений, скоростей деформирования,
по требованиям детальности описания и т. п.). Поэтому модель, при-
юдная для одних условий, может оказаться неприемлемой в дру-
гих случаях. Следует также учитывать, что мы располагаем пока
очень небольшим объемом эксперимента по динамическим дефор-
мациям грунта. Это определяется не малым количеством опытов,
а малым разнообразием условий опыта. Приходится ограничивать-
ся симметричным состоянием деформаций и напряжений, срав-
нительно небольшим диапазоном изменения напряжений и ско-
ростей деформаций. Для описания этого объема эксперимента мож-
но, по-видимому, применять несколько различающиеся модели.
До сих пор поиск моделей грунтов был основан главным обра-
зом на феноменологическом подходе. Более оправданным, с фи-
ir «ой точки зрения, был бы подход, основанный на изучении
j .структуры грунта и сложного взаимодействия составляющих
тементов — твердого скелета, воды и воздуха. Но пока еще
в сделано на этом пути в смысле вывода таким образом опре-
д иыощнх уравнений.
Основному содержанию монографии предпослана небольшая
•дная часть (глава I, § 1), имеющая справочный характер. В ней
юны общпе сведения из механики сплошной среды, на кото-
рые так или иначе опирается дальнейшее изложение. Она долж-
^эмочь читателю в случае надобности ориентироваться в том или
жвом вопросе, не обращаясь к поискам соответствующих сведений
.нчных учебниках. Некоторые сведения даны «с избытком»,
"ак. например, хотя в книге нигде не используются большие дефор-
. ш, они помещены в вводной части, поскольку установившая-
ся традиция пользоваться при решении конкретных задач ме-
I аики грунтов теорией малых деформаций вряд ли может быть во
еех случаях оправдана.
Необходимо сказать несколько слов об обозначениях. В меха-
нике сплошной среды общепринято считать положительными растя-
гивающие напряжения. Этого правила придерживаются авторы
г первом разделе книги, в котором рассматриваются общетеоре-
тические вопросы. Когда речь идет о мягких грунтах, которые не
выдерживают значительных растягивающих напряжений, а ра-
ботают преимущественно на сжатие, удобнее положительными
считать сжимающие напряжения. В связи с этим во втором раз-
деле книги правило знаков меняется — положительными считают-
ся сжимающие напряжения (и соответственно деформации сжатия).
Предлагаемая вниманию читателей книга полезна и для зани-
мающихся теоретическими вопросами механики грунтов, и для
инженеров, ведущих конкретные теоретические расчеты.
Н. Зволинский
ВВЕДЕНИЕ
В последние годы в отечественной и зарубежной литературе
опубликован ряд исследований, теоретических и эксперименталь-
ных, посвященных движению и деформированию грунтов при крат-
ковременных динамических нагрузках. Обзор этих исследований
можно найти, например, в [1]. Существенно отметить, что главным
направлением исследований в области динамики грунтов являются
в настоящее время попытки дать, исходя из общих положений ме-
ханики сплошных сред, математическую формулировку основных
уравнений, определяющих поведение грунтов при кратковремен-
ных нагрузках значительной интенсивности, и определить требо-
вания к экспериментам, необходимым для проверки предлагаемых
гипотез [2, 31.
Одной из основных проблем, связанных с экспериментальным
определением механических характеристик грунтов, как следует,
в частности, из 12], является проблема измерений напряжений в
грунтах при кратковременных динамических нагрузках значитель-
ной интенсивности.
Несмотря па то, что экспериментальные исследования, связан-
ные с такого рода измерениями, проводятся в настоящее время ДО’
вольно широко [4—9], вопросы теории приборов для измерения
напряжений в грунтах разработаны недостаточно. Это в свою оче-
редь не дает возможности оценить надежность имеющихся экспе-
риментальных результатов. Последнее особенно важно при опреде-
лении механических характеристик грунтов.
Кажется вполне очевидным, что всякий измерительный прибор,
помещенный в среду, вносит искажения в окружающее поле нап-
ряжений. Очевидно также, что погрешность, возникающая при
взаимодействии волн напряжений в грунте с датчиком, существен-
но зависит от свойств измеряемой среды. Последние обычно изве-
стны весьма неполно, особенно если целью измерений является
получение сведений о самой среде. Поэтому желательно иметь
верхнюю оценку для погрешностей измерений. Ниже будет пока-
зано, что при определенных условиях влияние прибора будет мак-
симальным для упругой среды. Именно в этом приближении
рассматривается далее теория приборов.
Следует отметить, что вопросы принципиальной возможности из-
мерений в грунтах напряжений и оценка их точности давно привле-
кали внимание исследователей в области механики грунтов [10,11].
В [11], в частности, содержится довольно подробный обзор иссле-
6
цований, отечественных и зарубежных, связанных с оценкой по-
грешностей измерений напряжений в грунтах при статических
нагрузках интенсивностью от 0,5 — 1,0 до 5 — 10 кг/см2. Теорети-
ческие расчеты в рассмотренных в [11] работах в большинстве
случаев на содержат более или менее строгой постановки соответст-
вующих математических задач. В связи с этим получающиеся
количественные оценки иногда являются слишком грубыми.
Применительно к условиям измерений напряжений в среде при’
кратковременных динамических нагрузках никаких теоретических
исследований в настоящее время авторам не известно. В связи с
этим представляется целесообразным изложить теорию приборов,
предназначенных для проведения таких измерений, и дать на этой
основе оценки их погрешностей.
Естественно, что решение вопроса о количественной оценке по-
грешностей при измерениях полей напряжений в грунтах было бы
неполным без экспериментальной проверки теоретических расче-
тов. В свою очередь проведение расчетов применительно к конк-
ретным грунтам невозможно без данных об их механических харак-
теристиках, полученных путем независимых экспериментов.
Последний вопрос, кроме того, представляет самостоятельный
интерес и, как уже отмечалось, является по существу основной целью
проведения таких измерений. Надежность определения механи-
ческих характеристик грунтов, помимо необходимости соблюдения
условий о минимальных величинах систематических ошибок,
вносимых в измерения приборами, включает также необходимость
обработки полученных результатов опытов с учетом требований ма-
тематической статистики.
Все перечисленные вопросы определяют содержание настоя-
щей монографии. Она состоит из двух разделов. В первом (главы
I—IV) излагаются применительно к грунтам основные положения
механики сплошных сред, формулируются определяющие урав-
нения, пригодные для описания процессов деформирования грун-
тов при кратковременных динамических нагрузках. Далее рассмат-
риваются основы теории приборов для измерений напряжений
в грунтах при статических и динамических нагрузках. Эти вопро-
сы даются на базе решений точных и приближенных краевых задач
теории упругости и пластичности. Показано, что оценки систе-
матических погрешностей измерений напряжений, полученные
в предположении упругости среды, в ряде случаев являются макси-
мальными, а наличие пластических деформаций приводит к умень-
шению этих погрешностей. Приводятся формулы для оценок систе-
матических погрешностей измерений напряжений.
Во втором разделе излагаются результаты экспериментов по
фактическому измерению напряжений и деформаций в грунтах при
статических и кратковременных динамических нагрузках. Приво-
дится сопоставление теоретических расчетов по оценке системати-
ческих погрешностей измерений напряжений с результатами спе-
циально поставленных опытов. Дается методика определения
7
механических характеристик грунтов с учетом их вязкопластиче-
ских свойств при кратковременных динамических нагрузках, приво-
дятся соответствующие количественные данные для песков различ-
ной влажности, суглинков и глин.
Основная часть исследований выполнялась в Институте проб-
лем механики АН СССР.
Внезапная смерть в расцвете творческих сил А. М. Скобеева,
последовавшая 25 марта 1971 г., в значительной степени затруднила
завершение работ по написанию монографии.
Большую помощь в подготовке монографии к печати оказали
сотрудники Отдела динамики пеупругих сред ИПМ АН СССР кан-
дидаты физико-математических наук Л. М. Флитман и А. Н. Ков-
шов.
В подготовке и проведении экспериментальных исследова-
ний в различные периоды с 1960 по 1972 г. принимали участие
кандидаты технических наук В. Д. Алексеенко, А. Ф. Новгородов
и 3. В. Нарожная. В лабораторных экспериментальных исследо-
ваниях участвовали также инженеры А. И. Котов и Ю. М. Глу-
хов.
Необходимо отметить внимание и неизменный интерес к рас-
сматриваемым проблемам со стороны доктора физико-математиче-
ских наук, профессора С. С. Григоряна, совместная работа с ко-
торым во многом способствовала подготовке монографии.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
Общие положения механики сплошных
сред и определяющие уравнения динами-
ки грунтов. Основы теории приборов для
измерения напряжений в грунтах при
кратковременных динамических нагруз-
ках
Наскальные грунты типа песков, суглинков, глины представ-
ляют собой весьма сложные дисперсные среды, состоящие из твер-
дой, жидкой и газообразной фаз [10].
Твердые минеральные частицы (кварц, полевой шпат и т. п.)
образуют пористый скелет, находящийся в определенном устой-
чивом состоянии за счет взаимных контактов, трения или цемен-
тирующих связей между ними. Пустоты между частицами запол-
нены жидкой и газообразной фазами. Газообразная фаза содержит
воздух и водяные пары, сообщающиеся или несообщающиеся с ат-
мосферой. Жидкая фаза представлена главным образом водой, ко-
торая возможна в грунте в двух основных формах — капиллярной
и пленочной.
Капиллярная вода концентрируется около точек взаимного
контакта частиц. Ее масса будет ограничена криволинейными по-
верхностями частиц и менисков. Вследствие влияния веса воды и
поверхностного натяжения возникают силы, стягивающие части-
цы. Таким образом, в грунте будут возникать силы сцепления час-
тиц за счет капиллярной влаги. Они будут тем больше, чем меньше
размеры частиц и чем меньше расстояния между ними.
Пленочная вода обволакивает всю поверхность частиц слоем
толщиной в среднем в несколько десятков молекулярных диамет-
ров [101. В связи с этим необходимо отметить, что в условиях при-
родного залегания непосредственный контакт твердых частиц друг
с другом никогда не осуществляется. Частицы всегда разделяются
некоторой тонкой прослойкой молекулярной воды, частично уже
утратившей свои жидкие свойства.
В зависимости от размеров и формы твердых частиц число то-
чек их взаимных' контактов, приходящихся на единицу поверхно-
сти поперечного сечення элементарной частицы грунта, будет раз-
личным. Чем крупнее частицы, тем число точек контакта будет
меньше и тем значительнее силы, действующие на каждый контакт.
При значительных силах роль капиллярности будет, очевидно,
незначительной. В такой системе основные механические свойства
9
будут определяться взаимным расположением частиц, их формой,
внешним трением и сцеплением в точках контактов. При этом сле-
дует заметить, что внешнее трение здесь может обладать не толь-
ко свойствами сухого трения Кулона, но вязкими свойствами,
обусловленными вязкостью пленочной воды. Чем мельче частицы
и чем больше, следовательно, число точек контактов, тем больше
должны быть силы сопротивления, обусловленные вязкостью. При
уменьшении количества воды прежде всего будет исчезать капил-
лярная вода, а затем и пленочная (при высушивании грунта).
Все отмеченные явления наиболее ярко выражены в мелкодис-
персных глинистых грунтах. В них особенно велики силы электро-
молекулярного взаимодействия на границах контакта частиц и пле-
ночной воды, что обусловливает особые свойства самой пленочной
воды — повышенную плотность, вязкость и т. д.
Таким образом, внутренняя структура грунтов является весь-
ма сложной и зависит от состава частиц, количества воды, наличия
цементирующих связей, глубины залегания, предыстории форми-
рования структуры и т. п.
В ряде отечественных и зарубежных исследований делались
попытки описать реальные свойства грунтов, исходя из особен-
ностей их внутренней структуры. В частности, в [12—14] грунт рас-
сматривался как некоторая зернистая среда, состоящая из совокуп-
ности твердых частиц, связи между которыми осуществляются
путем сжатия и трения в местах их взаимных контактов. Однако
результаты этих работ подтверждаются экспериментально главным
образом в опытах с сухими песчаными грунтами [13], а также гра-
нулированными материалами типа стеклянных шаров, дроби [12],
дисков из фотоупругих материалов [14].
При решении практических задач механики грунтов [10, 15],
а также задач динамики грунтов, связанных с распространением
в грунтах взрывных волн [1—3], преобладает феноменологический
подход к определению механических характеристик грунтов, при
котором последние рассматриваются как сплошные среды, в оп-
ределенном смысле однородные и лишенные внутренней структуры.
Дальнейшее изложение основных положений в рассматривае-
мой области механики базируется на этом предположении.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДИНАМИКИ ГРУНТОВ
§ 1
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И НЕРАЗРЫВНОСТИ
1. Напряжения. Введение понятия напряжение в сплошной
среде предполагает некоторую идеализацию, а именно — ее не-
прерывность, допускающую предельный переход к бесконечно ма-
лым (элементарным) объемам и площадкам. Напряжение вво-
дится методом сечений и предельного перехода. Метод сечений пред-
полагает возможность отсечь одну часть сплошного тела, заменить
силовое воздействие отсеченной части на оставшуюся системой
сил, распределенных по сечению.
Рассмотрим точку М, принадлежащую сечению, и окрестность
ее ДД(ЛГ), также принадлежащую сечению (ДА — размер окрест-
ности). Пусть Ps — равнодействующая сил, приложенных к об-
ласти Д5(М), п — вектор нормали к поверхности ДА в точке М.
Напряжением в точке М, связанным с направлением нормали
п, называется предел
Предполагается, что предел существует, не зависит от вида по-
верхности 5, но зависит лишь от направления нормали. Определен-
ный таким образом вектор о„ задает в каждой точке сплошной сре-
ды тензор напряжений. Действительно, из условий равновесия
элементарного тетраэдра, у которого три грани соответственно
перпендикулярны трем координатным осям (в декартовой системе
координат), получим соотношение [16]
on = oT1cos(n, &1) + crT2cos(n, х2) o.V3cos (и, т3). (1-1)
Это соотношение показывает, что вектор напряжений на площад-
ке с нормалью п есть линейный вектор-функция относительно на-
правляющих косинусов пг, п2, и3. Тем самым определен тензор вто-
рого ранга с компонен ами <цу, i, j = 1,2,3,
/ 5n Sl2 313 \
(аи) =
(1.2)
^31 ^32 ^33 '
и
Каждая компонента имеет два индекса, первый из которых ука-
зывает направление нормали к площадке, второй — наименование
оси, к которой относится компонента.
Из уравнений моментов [16] следует симметричность тензора
напряжений
Ou — O21, O23 — О’зг» °1з — °з1-
Этот вывод предполагает, однако, что момент массовых сил, дей-
ствующих на элементарный объем, имеет порядок малости более
высокий, чем квадрат диаметра элементарного объема.
Для симметричного тензора второго ранга существуют три вза-
имно перпендикулярные главные оси. Если их принять за коор-
динатные, то тензор напряжений запишется в виде
/ щ О О \
| 0 <з2 0 ). (1-3>
\ О 0 cj
Это обозначает, что на главных площадках действуют лишь нор-
мальные напряжения, а касательные равны нулю. В каждой точ-
ке сжатой среды существует, вообще говоря, по крайней мере
одна тройка главных осей (главных направлений). Главные нап-
ряжения Оц g2, <js являются корнями уравнения третьей степени
о3 — Цс2 + Z2a — 13 = О,
где А — <Тц + ог22 + <?2з!
т I G11 c12 I I °22 323 I I 333 С31 j
г 2 = L- _ + _ _ Т L. _ > Г3 =
I °21 с22 I I с32 ->33 I I с13 °11
71, Z2, 73 — скаляры, не зависящие от выбора
нат. Эти коэффициенты называются инвариантами тензора напря-
жений.
р напряжений можно разложить на шаровой тензор и
с12 с13 \ О 0 \ / Оп — G С12 З13 \
622 с23 I = I б <5 О I “Ь I С21 322 — 6 6-2з 1 , (1-5)
632 633 О О G / \ С32 G33 — с /
где о = 1/3 (Оц + о22 + °зз) — среднее напряжение.
Девиатор напряжений можно рассматривать как частный слу-
чай тензора напряжений, у которого первый инвариант = 0.
Второй и третий инварианты девиатора тензора напряжений имеют
ВИД
= = г,/ = 1,2,3, (1.6)
(1.4)
311 с12 с13
321 с22 с23
°31 с32 с33
системы коорди-
девиатор
/
С31
где Sи — вц ¥>ij —
1, i = j
0, i^j
— символ Кронекера. Здесь и
12
далее повторяющиеся индексы i, j, к обозначают, как обычно
[17, 18], суммирование. Второй инвариант девиатора тензора на-
пряжений //2 может быть представлен также в виде [16, 17]
./г — 1 в [(^ы — ^гг)2 (gji °зз)2 (*^22 °зз)21 ' 1" °12 4“
+ снз + <?гз- (1 -6а)
Через этот инвариант выражается интенсивность касательных
напряжений
Го = /^, (1-7)
которая характеризует касательные напряжения по так называ-
емым октаэдрическим площадкам.
Пусть далее дана площадка с нормалью п (п1; п2, п3). Проекция
вектора о„ на нормаль — нормальная компонента напряжений
<зпп — вычисляется с учетом (1.1) по формуле
0» ~ ^11^1 "4~ ^22^2 СГЗЗ^З 2Gj2^1^2 ^^13^1^3 + 2<723^2^в-
(1-8)
Касательная составляющая равна
Ощ = ]А?п — Опп- (1-9)
Если в качестве координатных принять главные оси, по октаэд-
рической площадке с направляющими косинусами (1//3,1/]/3,
1/3) из (1.1), (1-8) будем иметь
On = Х/3 (<Tj + of + of), Опп = x/e (Oj + о2 + <т3)2.
Тогда из (1-9) получим величину касательных напряжений по ок-
таэдрической площадке
Ont = j/“ [(oi — о2)2 + (О] — Оз)2 -]- (о2 — о3)2]= у70-
(1.9а)
2. Деформации. Представление о деформации возникает при
сопоставлении некоторого начального положения частиц среды с
последующим. Будем относить положение частиц к фиксирован-
ной системе координат.
Пусть начальное положение частицы среды определяется век-
тором h = (/i1; h2, h3), где hA, h„, h3 — координаты частицы
до деформации. В результате деформирования частицы перейдут
в новое положение, которое определяется вектором х =
= (ajj, х3). Векторное поле
u= х - h (1.10)
называется полем смещений.
На поведение частицы при деформировании можно смотреть
двояко. Можно рассматривать положение частицы в зависимости
13
от ее текущего положения (координаты Эйлера)
h = h (ж1; ж2, х3, t).
Можно также рассматривать текущее положение частицы как функ-
цию начального положения (координаты Лагранжа)
х = х (Лп Л2, h3, Z).
В зависимости от выбора одной из этих точек зрения находится
и описание поля смещений:
в координатах Эйлера
Ui = Xi — hi (xr, x2, x3, t), i = 1, 2, 3; (1.11)
в координатах Лагранжа
ui = Xi (ht, h2, h3, t) — hi. (1.12)
Поле смещений полностью определяет положение частиц сре-
ды после деформации. Однако физические законы деформирова-
ния зависят от дифференциальных свойств поля смещений. Это
побуждает рассматривать и описывать деформацию малой ок-
рестности каждой точки сплошной среды, иначе говоря, побужда-
ет ввести некоторую локальную меру деформации.
Мера деформации может быть определена различными путями.
Рассмотрим следующий подход. Пусть М, Р2 и Р2 — три близкие
точки в начальном состоянии. Координаты их обозначим так:
М (hr, h2, h3), Pi (hx + dhi, h., + dh2, h3 + dh3), P2 (ht + б/гх,
/i2 Л h3 -f- f>h3).
Символы d и б имеют одинаковый смысл дифференцирования. В ре-
зультате деформации эти три точки переходят в новое положение
М -> М', Pi -> Р[, Р2 -+ Р2
с координатами
М' (хъ х2, х3), Pi (xr dxi, х2 -j- dx2, х3 + dx3),
Р2 (^i + х2 + 6ж2, х3 + бх3).
Если окрестность точки М, содержащая Рх и Р2, совершает
движение, слагающееся из поступательного перемещения и вра-
щения (жесткое смещение), то эта окрестность не испытывает де-
формации. При этом, в частности, скалярное произведение век-
торов (МР1г МР2) сохраняет свое значение, т. е. (МРХ, МРг) =
= (Л'Ру, М'Р^. Это замечание позволяет величину dxbx —
— dltdh положить в основу определения меры деформации. В ко-
ординатах Эйлера получим
dh. dh.
: = —-dx:. i, у, A = 1,2,3. (1.13)
I
*
Предполагается суммирование по повторяющимся индексам i. j, к.
С учетом (1.13) получим
/ dli... dh-ь \
с/эсбэс — dhbh = dx-t dxj I — ------г— . (1.14)
Шесть величин
Sij— $L = 2ew £ji = ew i,/,7с = 1,2, 3 (1.15)
можно принять за совокупность величин, описывающих дефор-
мацию в точке М. Если ввести компоненты смещения ut =
= Xi — hi, i = 1, 2, 3, то для компонент деформации получим
2
ди dll;
д-2- + -г2
дх- ох.
дик д“к
дхг дх.
i, j, к = 1,2, 3. (1.16)
Производя круговую перестановку индексов, из (1.16) получим
диг 7 dUl \2 1 ди-г \2 ( ди3 ул]
Ь11 дхг 2 1 Д дху ] 1 [дху ) ( dxt j J
I / ди± диг дих diii диг du2 ди3 ди3 \
612 2 х дх% дхх дХ! дх., дх, дх, дх, дх2 j П
В координатах Лагранжа для деформаций ёг?- получим
2^ = ^^L-6i;; ёя = ёо-, f,/, 4 = 1,2,3, (1.17)
а выражения ёг, через смещения будут иметь вид
1 / ди- ди- ди, ди \
е<.==4-[_Л.+^.+—, i, i, /с = 1,2, 3. (1.18)
J 2 I dhj 1 dll* 1 dh^ dhj I ' '
Каждая из совокупностей компонент деформации б;>- образует
симметричный тензор второго ранга.
Если производные от компонент смещений по координатам ма-
лы (по сравнению с единицей), т. е. если
ди.
г
дх-
dui
dhj
1,
i, j, к — 1, 2, 3,
то компоненты деформаций (1.16), (1.17) выражаются формулами
i, 7 = 1, 2, 3
(1.19)
и различие между представлениями Эйлера и Лаграпжа исчезает.
Это положение, в частности, справедливо в классической линейной
теории упругости. Приведем для этого случая выражения дефор-
маций в цилиндрической и сферической системах координат.
15
В цилиндрической системе координат г, 6, z имеем
а?! = г cos 0, х2 = г sin 0, xs = z;
Г = Уxl + xl, tg 0 — x2lxr, sin 0 = X2lr
и из (1.19) получим
1 / д (ие\ , 1 диг\
е' 0 = е«1' J ~~д0~)
1 ( 1 диг , д,1о\
е02 — е20 — 2 r ае , dz у ,
_ _ 1 (диг , дит\
ezr — еГ2 — 2 дг -t- dz у .
В сферических координатах г, 0, ср имеем
хг = г sin ср cos 0, х2 — г sin ср sin 0, a;3 = rcos0;
Г = + + coscp = ^-, tg0=-J-, Sin0=p^
и из (1.19) получим
duT 1 ( i див , . , \
бгг = -^-; еее = —(j—-^ + ^с^сР + пгр
(1.19a)
1 / 1 / д"т _ \ ди9 \
_ Т\~\ Эф ич) + дг / ’
e<fe=4'(iv^+p^'+uecLg(p); (1Л9б)
1/1/1 диг \ , дие\
£б' ~ 2 \ г \ sin Ф Э6 Ue) + дг )
Найдем выражение для изменения элементарного объема. Вы-
делим произвольную область D в начальном состоянии среды.
Ее объем выразится интегралом
У0 = Щ^1^2^з- (1-20)
Ь"1
В результате деформирования объем, состоящий из тех же мате-
риальных частиц, представится следующим образом:
Е = dxt dx2dx3, D—>D'. (1.21)
16
Выполняя преобразование переменных xt = х-, (hx, h2, hs, t),
найдем
(I-22)
d
где J — якобиан,
дхх дхх дхг
д/г-2
7 = дх2 dhx дх^ dh2 дХ2
дхг дхз дха
dhx dh2 dhs
Отсюда найдем выражение для относительного изменения объема
(У — Уо)/Уо = — ^3‘
'Vo ' / Vo
Следовательно, для бесконечно малого объема, учитывая, что
Xt = + и11 получим
1 dxt дих дх2 дих
е = lim v„-.o V- V,, 7- 1 = ди2 1 4- ди- ди.г
Со дхг диа 1 ' дх2 дия дх3
диг L Й"2 Д. дч3 । дхг дх2 1 + дха
дхк 1 дх2 1
(1-24)
В случае малых деформаций имеем с точностью до величин
второго порядка малости
diii . ди.2 д»3
<)х1 ' дх2 "Г дх3
(1.25)
Для тензора деформации
/ 8ц еГ> 813 \
(®ij) ~ I ®21 &22 е23 I
' ^31 ез2 езз '
существуют три взаимно перпендикулярные главные оси. Это
означает, что, если координатные оси выбраны параллельно глав-
ным осям, тензор принимает вид
/ ех 0 0 ч
(е;,) = О е2 0 I (1-2(’)
\ 0 0 е3 /
17
Геометрическое истолкование компонент деформации показы-
вает, что материальные частицы, принадлежащие главным осям,
и до деформации лежали на трех взаимно перпендикулярных
прямых. Эти три направления не претерпели сдвига в результа-
те деформации.
Результат деформации малой окрестности точки можно ин-
терпретировать как результат переноса, вращения и растяжения!
(сжатия) частицы в трех взаимно перпендикулярных направле-
ниях.
Главные значения е1( е2, е3 суть корни уравнения третьей
степени
8ц — ® е12 е13
е21 е22 —6 е23 = О’
831 е32 е33 —6
или в развернутом виде
Все сказанное выше о главных осях, инвариантах, разложении
на шаровой тензор и девиатор относится к тензорам деформаций
как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа. Естественно, что
соответствующие понятия и свойства справедливы и для тензора
малой деформации, в которой оба подхода совпадают.
В механике сплошной среды существенную роль играет тен-
зор скоростей деформации. Так называется тензор второго ранга
с компонентами
4 / дт- dv \
= = L + , г,7 = 1,2,3, (1.32)
гу 2 1 дх- 1 dxi I 7 ' '
где Vi (xt, х2, х3, t) — компоненты вектора скорости частицы. Оче-
видно, что
Vi = duildt. (1.33)
е3 - Ле2 + /2е - Г3 = 0, (1.27)
где = е„ + е22 + е33;
^12 ^13
, I 8ц е12 I 8-22 8-2з I , I е33 831 I ,
/2 = + + ; /3 = 8-21 &22 е23 •
I 821 е22 | е32 833 I I 813 8ц I
8з1 832 833
Уравнение (1.27) имеет три вещественных корня. Его коэф-
фициенты Гг, Г2, Г3 являются инвариантами тензора деформаций.
Тензор деформаций, как и тензор напряжений, можно предста-
вить в виде шарового тензора и девиатора
/ Ч& О 0 \ /8ц —Х/38 би 813 X
(ei.i) = I О х/38 О I “Ь I е21 822 — Vs8 8-23 I ’ (1-28
\ 0 0 1/з8 / \ Ез1 8з2 8зз—Х/з8/
где е = еп + е22 + е33 — объемная деформация.
Если координатные оси совпадают с главными осями, то де-
виатор тензора деформаций будет иметь вид
8ц — Х/зе
О
о
о
822 — V38
О
О
о
833 — х/ 38
Второй инвариант девиатора тензора деформаций
(72 = (е11 - 1/зе) (е22-’/зе) + (е22 - Х/зб) (е33 — Х/Зе) 4-
+ (езз — 1/3е) (бц — ’/зе).
2 .—7 термодинамических.
е = у (1.31 Энергия в среде разделяется при условии, если коэффициент
х 3 плового расширения среды равен нулю [19]. Если этот коэффи-
называется интенсивностью деформаций сдвига. Эта инвариант- -^епт мал, то разделение энергии имеет место приближенно. По-
пая величина характеризует деформацию формоизменения час кольку грунт состоит (по массе) в основном из твердых минераль-
тицы.
18
Можно интерпретировать величины vtj следующим образом. При-
няв мгновенное состояние среды за начальное, рассмотрим сме-
щение, которое наступит через промежуток времени Д/. Относи-
тельные смещения будут равны Vi&l. Компоненты деформации,
отсчитанные от мгновенного состояния, можно считать малыми
и вычислять по формуле (1.19). После деления обеих частей ра-
венств на М и перехода к пределу получим в результате (1.32).
Следует заметить, что компоненты тензора скоростей деформа-
ций не совпадают вообще со скоростями изменения компонент eZj-.
В определении поля деформаций всегда участвуют два состо-
яния — начальное и конечное. В обоих указанных случаях эти
остояния разные. Существо этого различия между тензорами
ц и de,ij!dt можно пояснить следующим примером.
Рассмотрим плоскую кривую, хорду А М и касательную к кри-
вой в точке М. Здесь хорда AM соответствует компонентам тен-
зора d^ldt, связанным с начальным и конечным состоянием сре-
•ды, а касательная в точке М — мгновенному состоянию, опреде-
яемому тензором vi}. Угловая скорость вращения касательной
|не равна угловой скорости вращения хорды.
3. Термодинамика деформирования. Во многих работах по
еханике сплошной среды вопросы термодинамики игнорируются,
^то может быть оправдано тем, что в определенных условиях за-
ачи механики отделяют от задач термодинамики. Так происхо-
ит в средах с «разделяющейся энергией», т. е. тогда, когда внут-
нпяя энергия является суммой двух слагаемых, из которых
(1.30 ервое зависит только от механических параметров, а второе —
гых частиц и воды, а у минералов и воды коэффициент теплового
сширения мал (по сравнению с газами), то будет малым и сум-
19
мирный коэффициент теплового расширения грунта. Следователь- Приведем уравнения неразрывности и движения в цилиндри-
но, допущение о возможности разделения энергии в грунте можно ческой ц сферической системах координат. В цилиндрической сис-
принимать в качестве достаточно хорошего приближения к дей- теме координат г, в, z получим
ствительности.
В связи с изложенным вопросы термодинамики далее в моно-
графии не рассматриваются.
4. Уравнение неразрывности и движения. Уравнения нераз-
рывности и движения, являющиеся общими уравнениями для лю-
бых сплошных сред, выражают законы сохранения массы и коли-
чества движения [18]. В общем случае они имеют следующий вид:
чг+р^г = °’ (L34>
д£ Лк dv
+ = (1-35>В
d In р . dt 1 * * * * 1 r - dr (TO' )+- 1 dve , dvz _ 0. ao ”r dz
Зс dr 1 3cer 1 r 1 ao 5aee - + + M KI П О) о Ki + + 1 ^'r (o’rr c*ee) pFr p , O dva — oer+ pFe= p—; (1.35a)
dr 1 r 30 dz
zr . 1 5sze + dczz + 1 ^vz — Gzr + pAz — P -
dr + r ae dz
сферической системе координат г, 6, <р
где I, j = 1, 2, 3, р = р (л?!, х2, xs, t) — плотность среды, Ft —
массовые силы, отнесенные к единице массы.
В правой части (1.35) стоит полная (субстанциальная) произ-
водная
dv- dvi dv.- dtr dv-
dt dt ' Vl dx1 + dx2 Vs dxg
4+w =°;
d^rr 1 a°r<p 1 9gr6 ,
dr ‘ r 5<p ' r sin (f Л) '
-]—— (2urr — Gee— ~b ^r<p cig fp) + pFr = p ,
В случаях, допускающих линеаризацию, нелинейные (конвек-
тивные) члены в правой части этого равенства опускаются. Тогда
в (1.35) dvjdt = dvi/dt.
Возможность линеаризации зависит от сравнительной раз-
ности изменения скорости v по координатам и времени, а также
от амплитуды этой скорости. Отношение производной скорости
по времени к градиенту есть величина, имеющая размерность ско-
рости V}. Тогда можно положить
Эг>. I
-^-/|grad щ| = Гг-
Возможность пренебрегать конвективными членами обеспе-
чивается неравенствами
I Vi/Vt К 1, i = 1, 2, 3.
Уменьшение амплитуды скорости vt (при прочих равных ус-
ловиях) уменьшает вклад конвективных членов. Этим оправды-
вается утверждение, что конвективные члены можно опускать,
если скорость частиц мала. Однако точный смысл это утвержде-
ние приобретает только при введении характерной скорости Vt.
Аналогично решается вопрос о возможности пренебрегать кон-
вективными членами при линеаризации уравнения неразрывно-
сти (1.34).
dr г dtp г sin cp rit)
+ ~(3<5er + 2oe<J,ctg<p) + pFe = p ; (1.356)
। 1 ^stptp _i 1 ।
dr r dtp r sin tp 30
1 dr
+ — °ee) ctg <p + 3a4r) + pFv = p-^~-
Уравнения (1.34), (1.35) не зависят от конкретной физической
грироды среды. Конкретные свойства среды отражаются в так
азываемых определяющих уравнениях, или уравнениях состо-
{ния. Определяющие уравнения могут быть получены на основе
пециально поставленных опытов. Получение этих уравнений
является одной из основных задач физической механики сплош-
ных сред.
Методологический подход к выбору определяющих уравнений
модели среды) состоит обычно в том, что вначале делаются не-
i-’Горые предположения об основных свойствах этой среды, ко-
грые затем проверяются экспериментально. Далее рассматрива-
гея некоторые вопросы такого рода применительно главным об-
изом к специфическим особенностям задач динамики грунтов.
§ 2
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГРУНТОВ
1. Определяющие уравнения для грунтов как для упругих и
упруго-вязких сред. Формулировка модели среды дается, как
правило, применительно к определенному классу рассматривае-
мых задач, что позволяет ограничить количество параметров,
подлежащих экспериментальному определению.
При небольших нагрузках прочность скелета грунта оказыва-
ется достаточной для сопротивления этим нагрузкам. Роль раз-
личных форм неупругого сопротивления оказывается в этих слу-
чаях несущественной. Поэтому грунт ведет себя упруго, и для опи-
сания его движения и деформирования может быть использована;
модель линейно-упругого тела (закон Гука).
Соотношения между напряжениями и деформациями для уп-|
ругой среды в этом случае имеют вид
о = Ке, Sij = 2G(ei} — 1/.i8iiE), ei; = */2 ,
/,7 = 1,2, 3. (1.36)
Здесь К, G — модули объемного сжатия и сдвига соответственно;
К = А + 2/3|а; р, = G; X, р, — коэффициенты Ламе. Из (1.36)
получим
ао- = 2G&ij + 6г; (К - 2/3G)e,
или, выражая К и G через коэффициенты Ламе,
= 2рег> + 7.6 о-е. (1-37)
Системы уравнений (1.35), (1.37) и (1.19) образуют замкнутую
систему из пятнадцати уравнений с пятнадцатью неизвестными
функциями Gij, e.ij, Ut, i, у = 1, 2, 3. Целесообразно путем исклю-
чения уменьшить число уравнений и неизвестных, подлежащих
определению. В динамической теории обычно решают задачи в
«перемещениях». Это значит, что за основные искомые функции
принимают перемещения, для которых получаются три дифферен-
циальных уравнения. Выражая компоненты деформаций ег?- в
(1.37) через компоненты перемещений и, согласно (1.19) и подстав-
ляя затем компоненты напряжений в (1.35), получим
+ 1 = 1,2,3. (1.38)
Здесь Дпг = 32пг/&1+ d^ujdxl. + d-ujdx^ — оператор Лапласа.
В (1.38) учтено, что для малых деформаций dujldt = du-Jdt.
Модель линейно-упругого тела нашла широкое применение
для решения ряда задач механики грунтов, связанных со стати-
ческим деформированием неводоиасыщенпых грунтов при на-
грузках до 3—5 кг/см2 [10, 15], а также с действием вибранион-
22
ных нагрузок, вызванных колебаниями фундаментов машин [20].
Для решения задач уплотнения водонасыщенных грунтов (те-
ория фильтрации, теория консолидации) использовалась так на-
зываемая модель «грунтовой массы», предложенная в [21] и раз-
витая затем в [22, 23].
В механике грунтов рассматриваются также задачи, связанные
с эффектами ползучести, последействия и наследственности. В
этих случаях используются различного рода линейные реологи-
ческие модели типа Максвелла, Кельвина — Фойгта, а также
модели линейной наследственной теории ползучести Больцмана —
Вольтерра [24, 25].
Простейшая линейная упруго-запаздывающая среда, извест-
ная под названием тела Кельвина-—Фойгта, представляет собой
тело с линейной зависимостью девиатора тензора напряжений от
скорости сдвига [18]
б = TTte,
Зц = 2Gejj -|- 2т]еёц — 2G (e,j -f- теё^), (1.39)
^/збцб, Cjj = 8,j
где це — коэффициент вязкости при сдвиге, те = t\e/G — время
релаксации деформаций или время запаздывания. Из (1.39) по-
лучим
= 2G (£ij + теё«) + б« [(К - 2/3G) е - 2/3Стее]. (1.40)
Простейшая среда с линейной релаксацией напряжений, из-
вестная под названием тела Максвелла, характеризуется следу-
ющими соотношениями:
о = Ке,
2бёу = 5у4——— , — т]а/6, (1.41)
TG
где — коэффициент вязкости при сдвиге, то — время релакса-
ции напряжений.
Из (1.41) получим
Фi + ТаЧj = 2Gei} + бъ [ЯтЛ + (К - 2/3G) ё]. (1.42)
Характерное поведение упруго-вязких тел можно проследить, ес-
ли проинтегрировать соотношения (1.39), (1.41) при условии не-
сжимаемости этих сред (е = 0) для некоторых простых случаев.
В частности из (1.39), (1.41) при ei} = ё°- = const получим
^ij ~ (еН /л zg\
= 3°це-*,х° + 2Стоё°, (1 - е-//т°). Г '
Отсюда следует, что при ё® ->0 тело Кельвина—Фойгта прибли-
жается к упругой среде; тело Максвелла — с уменьшающейся
23
скоростью = Sl-T^e *т° к состоянию, свободному от на-
пряжений. При ёйц -*• оо тело Кельвина—Фойгта становится жест-
ким, а тело Максвелла — упругим. Постоянное значение девиа-
тора напряжений вызывает в теле Кельвина—Фойгта запаз-
дывающую деформацию
= d-44)
которая асимптотически приближается к упругой с уменьшающей-
ся скоростью ёц = Sij/2f]ee~t,w.
В теле Максвелла постоянная величина вызывает ползучесть
с постоянной скоростью ё1} = 5?,/2т]о.
В более общем случае объемное сжатие в соотношениях (1.39),
(1.41) также может зависеть от скорости деформирования
о = Кг + т)оё> (1.45)
где г|0 — коэффициент объемной вязкости.
При необходимости учета характеристик типа «наследствен-
ности» используются обобщенные линейные модели Больцмана—
Вольтерра [18]:
i t
(0 = 2G \ М (t -1) ® dt + 5 N (t - 5) е © (1-46)
О о
1 Гг б- '
® м'« ~ ® - ~1С \N' f1-47)
° о
Здесь функции М, N представляют собой сопротивление единич-
ному импульсу деформаций, выраженное через скорость релак-
сации напряжений, а функции М', N’—сопротивление единичному
импульсу напряжений, выраженное через скорость ползучести.
Эти функции называются «функциями памяти» напряжения и
деформации.
Уравнения (1.46), (1.47) с помощью «функций памяти» выража-
ют принцип линейного наложения остаточных напряжений и
деформаций. «Функции памяти» являются характеристиками сред,
обладающих «наследственностью», и определяются эксперимен-
тально.
Рассмотренные выше простейшие модели Кельвина—Фойгта
(1.40) и Максвелла (1.42) могут быть получены из (1.46), (1.47)
как частные случаи при некоторых специальных видах «функций
памяти».
При повышении нагрузок скелет грунта постепенно разруша-
ется, минеральные частицы располагаются более плотно вслед-
ствие уменьшения пористости грунта. Все большая доля на-
грузки воспринимается воздухом и водой. При дальнейшем повы-
шении нагрузки разрушаются уже не только цементирующие
24
связи, но сами минеральные частицы. В этих случаях модель Гу-
ка оказывается неприемлемой, поскольку преобладающей стано-
вится роль различных форм неупругого сопротивления.
Основными моделями, описывающими неупругое сопротивле-
ние для мягких грунтов, будут являться уравнения необратимо
деформируемой сплошной среды, выраженные через компоненты
тензоров напряжений, деформаций и их производных по времени.
2. Определяющие уравнения для грунтов как для пласти-
чески деформируемых сред. В теории пластичности металлов
[17, 18, 26] для описания поведения материалов формулируются
следующие соотношения:
— соотношение между напряжениями и деформациями в уп-
ругой области;
— условие пластичности, которое указывает, где пластичес-
кое течение развивается (при нагружении) и где прекращается
(при разгрузке);
— соотношение между напряжениями и деформациями для
пластической области.
Для упругой области принимается, как и ранее, справедливым
закон Гука (1.36). В несколько измененной форме закон можно
также принять для описания процессов разгрузки. Такой изме-
ненной формой закона Гука является зависимость между скорос-
тями напряжений и деформаций, заменяющая связь между на-
пряжениями и деформациями (1.36) Это видоизменение необходимо
потому, что в начале процесса разгрузки напряжения и деформа-
ции не удовлетворяют закону Гука, если имело место пластичес-
кое течение.
Так же как и упругие постоянные (модули сдвига и объемной
деформации), условие пластичности и вид зависимости между на-
пряжениями и деформациями в пластической области должны
основываться на результатах соответствующих эксперименталь-
ных исследований.
Математическая теория дает некоторые общие указания отно-
сительно характера условия пластичности и зависимости между
напряжениями и деформациями в пластической области. Только
эксперименты могут служить основным критерием правильности
любой подобной теории.
Представляется далее целесообразным, прежде чем излагать
общие положения математической теории неупругих сред, отме-
тить основные особенности деформирования грунтов, которые не-
посредственно вытекают из имеющихся экспериментальных фак-
тов и являются существенными для формулировки основных со-
отношений для этих сред.
Прежде всего необходимо учесть, что на объемное деформиро-
вание грунтов вследствие их большой пористости в отличие от
металлов существенное влияние оказывает среднее напряжение о.
Причем в то время как при увеличении деформаций плотность
малого элемента грунта вследствие переупаковки частиц и их
2Е
дробления может заметно возрастать, при уменьшении деформа-
ций, ввиду необратимости указанных процессов, плотность сни-
жается незначительно.
Таким образом, грунты являются средами, обладающими двой-
ной пластичностью — по объемному сжатию (в условиях всесто-
роннего давления р = —о) и по сдвигу. Условие пластичности в
такого рода средах, в отличие от металлов, также нельзя считать
не зависящим от среднего напряжения.
Следует, кроме того, обратить внимание на тот факт, что в
разрушенном скелете грунта связи между частицами в основном
сводятся к их взаимным контактам, а силовое взаимодействие
осуществляется путем взаимного сжатия и трения в местах кон-
тактов. Поэтому сама величина конечного взаимного перемещения
частиц при сдвиге не может влиять на возникающие напряжения.
Последние должны быть связаны с деформацией текущего состо-
яния, т. е. с тензором скоростей деформаций [2].
В связи с последним обстоятельством дальнейшее изложение
базируется на основных положениях теории пластического те-
чения [17, 18], устанавливающей зависимость при сдвиге между
девиатором тензора напряжений и девиатором тензора скоростей
деформаций в отличие от деформационных теорий пластичности
[261, где девиатор напряжений связан непосредственно с девиато-
ром деформаций.
Таким образом, полная модель среды, дающая возможность
решать пространственные задачи динамики грунтов, должна вклю-
чать в себя в общем случае закон деформирования при объемном
сжатии (в условиях равномерного давления), условие пластичнос-
ти и соотношения, характеризующие закон деформирования при
сдвиге.
Закон деформирования прп объемном сжатии устанавливает
связь между средним напряжением о = 1/3 (сп + о
22 + °зз) и
объемной деформацией е — е11 - еа2 + е33 в следующем виде:
о = f (е, е *), (1-^8)
причем предполагается, что эта зависимость может являться не-
однозначной при нагружении (da'dt 0) и разгрузке (do dt 0)
[2]. Переход от первой ветви (da/dt 0) ко второй (dcldt 0)
определяется параметром в*, соответствующим величине макси-
мальной деформации, достигнутой при нагружении. Предполага-
ется также, что при малых напряжениях о щ, где щ — предел
упругости по объемному сжатию, соотношение (1.48) сводится к
закону Гука (первое из соотношений (1.36), где К = (д//дв)Е=0).
Таким образом условие о о5 обозначает, что грунт дефор-
мируется пластически по объемному сжатию. Повторное нагруже-
ние при о о*, где о* = / (в*), происходит по линии предыду-
щей разгрузки, а затем при о о* — согласно (1.48).
Полная деформация сдвига в;, в пластической области в тео-
рии пластичности [17, 18] представляется в виде суммы упругой
26
Еу и пластической Еу составляющих. Под последней понимается
деформация, которая наблюдается после полной разгрузки рас-
сматриваемого элементарного объема, тогда как упругая дефор-
мация представляет собой уменьшение деформации при этой раз-
грузке. Объемную деформацию е и девиатор деформации подобным
же образом можно разложить на упругую и пластическую части.
Таким образом, имеем
ei7- = Eij + е = е' + е", etj = е'ц + е‘ц. (1-49)
Аналогично для компонент тензора скоростей деформаций получим
6ц = вц + Eij, Е = Е + Е , e.LJ = + бу. (1.50)
Напряженное состояние среды по сдвигу в пластической области
должно подчиняться так называемому условию пластичности. Так
как для упругой области предполагается справедливым закон
Гука, то в момент возникновения пластических деформаций по
сдвигу они будут однозначно определяться напряжениями в этот
момент времени. Поэтому любое соотношение между напряжения-
ми и деформациями, которое является физическим условием для
развития в материале пластических деформаций, математически
может быть сформулировано в компонентах только тензора напря-
жений. Таким образом, условие пластичности может быть записано
в виде
(сц) — 0, г, у = 1, 2, 3. (1.51)
В упругой области, а следовательно, и в начальной стадии
пластического течения, материал предполагается изотропным.
Поэтому соотношения (1.36), выражающие закон Гука, не должны
зависеть от ориентации осей координат. Эта изотропность налагает
на функцию F (вц) определенные ограничения, состоящие в том,
что ее значения не должны изменяться при параллельном переносе
и повороте прямоугольной системы координат. Другими словами,
левая часть (1.51) должна быть функцией инвариантов тензора
напряжений
F (Ц, 12, 13) = 0. (1.52)
Поскольку Д = 3 о. a 7, и Is могут быть выражены через
инварианты девпатора тензора напряжений .72, то (1-52)
может быть представлено также в виде
А (о, Л, J3) = 0. (1.53)
В теории пластичности [17, 18] обычно принимают, что соотно-
шение (1.53) не зависит от о и ,У3
У 2 - Fo = 0, Fo = /42, (1.53а)
где ks — предел текучести при чистом сдвиге.
27
Физическая интерпретация условия (1.53a) состоит в следую-Пр0ИСХ0ДИТ- Таким образом, в соотношениях (1.49), (1.50) необхо-
щем: пластическое течение в среде по сдвигу наступает тогда, когдаД1ШО ПОЛОжить е" = е" = 0.
касательные напряжения по октаэдрическим площадкам превысят Кроме того, предполагается, что для пластического течения
некоторую критическую величину — предел текучести по сдвигу ks. тензор скоростей пластических деформаций сдвига пропорционален
Геометрически соотношение (1.53а) определяет в плоскости ----------~
главных напряжений о1; а2, о3 некоторую поверхность. Так как
пластическое течение не зависит от среднего напряжения, то очевид-
но, что эта поверхность представляет собой прямой цилиндр с
образующей, перпендикулярной к октаэдрической плоскости
ai + °2 + °з — 9, которая имеет нормаль с направляющими
косинусами (1/|/3, 1/|/”3, 1/|/”3).
Часть среды, для которой 32 <С (внутренние точки цилинд-
ра), находится в стадии упругого деформирования. Точки, лежащие
на поверхности цилиндра, соответствуют пластическим деформа-
циям. Точек среды, лежащих вне поверхности цилиндра (<72
Г’о), быть не может.
В более общем случае, который имеет существенное значение
для грунтов, предполагается независимость соотношения (1.53)
только от ,73. Тогда (1.51) может быть записано в виде
X-Е(о) = 0.| (1.536)
В таком виде условие пластичности (1.536), носящее название
условия пластичности Мизеса — Шлейхера, было использовано
при описании пластического деформирования грунта при сдвиге в
[2]. В этом случае при физической интерпретации условия пластич-
ности критическая величина допустимых касательных напряжений
по октаэдрическим площадкам оказывается зависящей от среднего
напряжения.
Геометрически соотношение (1.536) в плоскости главных напря-
жений от, а2, °з определяет некоторую коническую поверхность
ось которой совпадает с направлением среднего напряжения в
направлена по нормали к октаэдрической плоскости ах -|- о2 -f-
+ о3 = 0.
В случае, когда F (о) может быть представлено в виде F (о) =
= Ч6 (/to + 5)2, образующая конуса является прямой линией
Т = ко -|- Ъ, Т = ]/ 6.72. Точки среды, лежащие внутри кониче-
ской поверхности, находятся в упругой стадии. Точки, лежащие
на поверхности 72 = F (°), находятся в стадии пластических
деформаций по сдвигу. Состояний, характеризуемых неравенством
.72 > F (о), как и в случае (1.53а), быть не может.
Условия пластичности самого по себе недостаточно для описа-
ния поведения пластического материала при сдвиге. Его необходи
мо дополнить соотношениями между напряжениями и деформация-
ми в пластической области. Здесь, в п. 2, эти соотношения буду
мгновенному девиатору напряжений.
Для пластических деформаций получим тогда следующее соот-
ношение:
₽” — V
13 — '2С~°г3’
где Х,о — некоторая положительная величина, которая, как будет
показано ниже, может быть исключена из системы определяющих
уравнений с помощью условия пластичности (1.536).
Рассмотрим далее упругую часть деформаций сдвига е^. Для
перехода к скоростям упругих деформаций необходимо продиффе-
ренцировать по времени соотношение (1.36) *
1 А -, 1 dSa
ец 3 oi}s — 2G dt
Подставляя далее (1.54), (1.55) в последнее из соотношений
;1.50) и учитывая, что е" = 0, получим следующее выражение для
закона деформирования при сдвиге [2]
. . Й-S’ . •
2G (fiij — 1/зб^е) — ~ л ~
(1.54)
(1.55)
(1.56)
Соотношение (1.56) применимо только для пластического тече-
ния, когда выполняется соотношение (1.51) и 7i0 > 0. Если эти
условия не выполняются, то Хо == 0. В последнем случае соотноше-
ние (1.56) переходит в закон Гука (1.36).
Величина Хо, как уже отмечалось, может быть исключена из
□отношения (1.56) с помощью условия пластичности (1.51).
•’множая (1.56) на StJ и суммируя, получим
dS;i
2GW0 = 2GSjj (ejj -— Чзб^е) = 2С5цёц =
(1-57)
Учитывая далее, что
dS;; _ i d^SJ _
13 dt 2 dt dt ’
. (1.57) и (1.58) с учетом (1.51) получим
. _ 2GWn — J-'(3)ds/dt
0 ~ 2/ (s)
шлем теперь полную систему уравнений, которая описывает
(1.58)
(1.59)
рассматриваться в соответствии с теорией пластического течение
Прандтля — Рейсса [17, 2], в которой предполагается, чт
пластических изменений объема среды при деформациях сдвига в.
лее точное определение скорости изменения во времени девиатора тен-
ра напряжений с использованием производной по Яуману можно найти
27, 2].
28
29
движение среды с определяющими уравнениями (1.48), (1.536),
(1.56)
dp._ о±£ = 0- dt + Р dxi ’ (1.60)
2L i_ pF. = p±i_. dX: дх РГг Р dt ’ (1.61)
dS.- 2в(ец- i/36ije) = -^+ X05ij; (1.62)
х/2 S^Stj - F (о) = 0; о = / (е, е*), i, i = 1, 2, 3. (1.63) (1.64)
Учитывая соотношения между скоростями vt и компонентами
тензора скоростей деформаций е,,-, получим, что соотношения
(1.60) — (1.64) для определения одиннадцати неизвестных (р, vit
ст, Ао и Sij) дают одиннадцать независимых соотношений. Эти
уравнения описывают пластическое течение при условии, что
функция Хо Д> 0, выполнение которого необходимо проверять.
В областях, где это условие не выполняется, надо пользоваться
системой уравнений, получающейся из (1.62) при Ао = 0 и описы-
вающей упругие деформации.
Приведем далее необходимый для дальнейшего частный вид.
системы (1.60) — (1.64) для случая сферической симметрии. Если
рассматривать случай малых деформаций е 1, то можно считать
р—’Pj (но, конечно, dp/dt 0). Тогда вместо (1.60), (1.64)
можно получить уравнение
Для случая сферической симметрии получим из (1.60) — (1.65)
dS / dr v \
_гг + х05г.г==^6'^-^);
-sr = -tA-ar + -r)-
dr dr + г ^х dt '
Srr -J- 2Soq = 0; «Ьг© = — ^е<р — 0.
Здесь г, 0, <р — сферические координаты.
Если исключить Ао и учесть, что в этом случае два первых
уравнения будут зависимы, получим следующую систему:
* - 4/,Р («); -г- = - /«(-t + Т-);
dSrr , да ^Srr _ Л dr-2
dr + dr ”Г ~ г ~ ^х dt '
(1,66а)
30
Для случая статической задачи из (1.66а) имеем
|огг-аее| = УЗ^(а); о = - f'e ]- ;
®Crr | 9 °гг Сее п. „ I 9 _ о _
——Ь 2-------------— 0, огг + 2оее = За.
(1.666)
Заметим следующее. Хотя условие пластичности зависит от
первого инварианта тензора напряжений Д = За, рассмотренные
выше определяющие уравнения не описывают дилатансию — до-
полнительное изменение объемных деформаций в результате сдви-
га. В настоящее время в механике грунтов предложен ряд моделей,
в которых учитывается эффект дилатансии [28—30], а также имеет-
ся ряд экспериментальных фактов, свидетельствующих о сущест-
вовании такого рода эффектов в гранулированных материалах
(31, 32] и в воздушно-сухих песках при сравнительно небольших
статических нагрузках [31—33]. Подробный анализ различных
моделей, учитывающих эффекты дилатансии, содержится в [28].
3. Определяющие уравнения для грунтов с учетом их вязко-
пластических свойств. Будем предполагать, что на объемную
сжимаемость грунта существенное влияние оказывают производ-
ные по времени от напряжений и деформаций не выше первого
порядка, т. е. о = do/dt и е = de,/dt. Будем также предполагать,
как это делается обычно в теории пластичности [18], что скорость
деформирования е может быть представлена в виде суммы упругой
ё' и пластической е" составляющих
ё=ё'4-ё", (1.67)
где
Здесь g (Z) > 0 при 0 и g(Z) s 0 при Z 0; Z = о — / (е),
f (е) — статическая диаграмма объемного сжатия; Е (е) — функ-
ция, характеризующая объемное сжатие среды при мгновенном
нагружении.
Из (1.66), (1.67) получим закон деформирования при объемном
сжатии
+ (1.68)
Соотношение типа (1.68) было предложено для описания дефор-
мирования металлов при одноосном растяжении в [34]. При Е =
= const (1.68) совпадает с [35, 36]. Применительно к распростране-
нию волн напряжений в грунтах такого вида соотношение исполь-
зовалось в [37].
Из (1.68), интегрируя по времени, получим
t 6
a = <₽(e)-^(e)g(a-/(e))dC <р (е) = $ Е (|) (1-69)
о о
3J
При мгновенном приложении нагрузки из (1.69) в момент времени
t = 0 имеем
о = <Р (е).
(1.69а)
Соотношение (1.69) определяет предельную динамическую
диаграмму сжатия среды, соответствующую мгновенному нагруже-
нию. Другим предельным соотношением, не содержащим производ-
ных от напряжений и деформаций по времени, является статиче-
ская диаграмма сжатия
о = /(е). (1.70)
Заметим, что статическая диаграмма сжатия здесь понимается в
предельном смысле, т. е. при достаточно малых ё —> 0. В дальней-
шем будет рассматриваться также несколько более общий закон
деформирования следующего вида [38]:
~ = g(o-/(e)) +
I да да .
Е (е) dt ’ dt ’
1 да да
Е* (а, е) dt * 1 dt <
(1.71)
где Е* (о, е) — некоторая функция, характеризующая деформи-
рование среды при разгрузке (da/dt 0).
Относительно закона деформирования при сдвиге могут быть
сделаны различные предположения. В частности, если влияние
скорости деформирования на сдвиг не существенно, то для описа-
ния сдвига в среде, для которой закон деформирования при
объемном сжатии имеет вид (1.68), (1.71), могут быть использованы
соотношения (1.51), (1.56).
Для учета влияния скорости деформирования на сдвиг
можно сформулировать две принципиально различные модели [18].
В первом случае предполагается, что вплоть до достижения в
частице некоторых напряжений существует упругий участок, не
зависящий от скорости деформирования. Тогда на упругом участке
для производной девиатора тензора напряжений получим
У
1 dSa
2>G dt
(1.72)
На участке пластического течения девиатор тензора напряже-
ний будет складываться из двух частей, одна из которых Ец
соответствует пластической составляющей, а другая Ец — вязкой.
Тогда
Eij = Ejj ; Eij
где
(1.73)
Eij — ®У» Ец —
32
Предполагая далее, что девиатор тензора скоростей деформаций
ёц складывается из упругой ёц и пластической ё“3 составляющих
= ёц 4“ (!• ^)
с учетом (1-72), (1.73) получим следующее соотношение:
2G(su-‘W) = ^a + ^-5u. Ч.'-Ч.(1 + «у. (1.75)
При этом для условия пластичности (1.536) имеем
& = S'ijS'ij = F (о). (1.76)
Тогда из (1.73) следует, что
= V2 > F (о). (1.77)
В этом случае, таким образом, наличие в экспериментах равенства
= F (а) (1.78)
свидетельствует об отсутствии влияния вязкости на сдвиг.
Другая модель исходит из предположения о том, что на участке
неупругого деформирования девиатор скорости деформации ёц
складывается из девиаторов скорости пластических и вязких дефор-
маций, каждый из которых пропорционален девиатору напряже-
ний
ёц = (2Ь0 4- V2tlo)^-. (1-79)
Тогда из (1.79), (1.72) и (1.74) получим
2G (ёц - Чз^ё) = ^г + М-А Ч = Ml + */М)- (1 -80)
В последнем случае соотношение (1.80) имеет место при выполнении
равенства
.72 = SiSSi} = F (а). (1.81)
В обоих случаях имеем
2G (ёц - Чзйцё) = ^ + СХ°^ц, (1.82)
где X» = 1/п2 - для (1.65); = ^ - для (1.80).
Для одномерных движений (плоская, сферическая и цилиндри-
ческая симметрии) уравнения (1.82) удовлетворяются тождествен-
но, и состояние вязко-пластической среды полностью характери-
зуется законом объемного сжатия и условием пластичности.
2
Г. В. Рыков, А. М. Скобеев
33
Введя функцию пластичности $ (а) = /бГ(о), запишем усло-
вие пластичности (1.536) в следующем виде:
Т = F (а), Т = /бУ2. (1.83)
Рассмотрим далее частный случай линейной функции (о) =
= Л(о)+Ь, где к и Ъ — коэффициенты, характеризующие внутрен-
нее трение и сцепление в среде.
Для плоской деформации и для условий сферической симметрии
получим тогда из (1.83)
(1 Ч—з~ &
Ь, Gz —
_ с2 _ (3 /2 — к) а/Ъ — 1
~ — °1 — (3 /2 + 2/с) а/b + 2
1 , \ 1 ,
—к) о--------— Ь ;
3/2 / 3/2
(1-84)
(1.85)
При g/Ь ->оо из (1.85) получим асимптотическое значение £
(3 /2 - 70/(3 V2 + 2к), (1.86)
которое в механике грунтов обычно называют коэффициентом бо-
кового давления [10]. Таким образом, при Ъ 0 коэффициент
бокового давления £ в пластической области является величиной
переменной.
В упругой области для случая одноосного сжатия в условиях
плоской деформации величина коэффициента бокового давления £s
постоянна и равна = v/(l — -v), о os, где Gs — предел упру-
гости по объемному сжатию.
Соотношение (1.84) позволяет достаточно просто переходить от
объемного сжатия к одноосному в условиях плоской деформации.
Из (1.68), (1.71) и (1.84) получим законы деформирования для
одноосного сжатия:
де , , , , 1 <Эс,
ДГ ~ — Л\(е) ~dt
дг
Hi
gi(Oi — А(е)) +
1 dax
^i(e) dt
dav
dt
0;
1
(Si. e)
(1-87)
(1.88)
дщ dsx Q
dt ’ dt
где Е^) = Е(г)(л + ^kY, A(e) = /(e)(l + b;
/1, e) = E* (°. e) (1 + . В (1.87), (1.88) учтено, что для
одноосного сжатия еи = е.
34
§ 3
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВЗРЫВНЫХ ВОЛН В ГРУНТАХ
С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ
И ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
В сплошных средах при определенных условиях возможно
возникновение сильных разрывов (разрывов функций — напряже-
ний, деформаций, скоростей частиц) при рассмотрении волн
напряжений. Рассмотрим эти условия, а также законы сохранения
массы и количества движения на поверхности разрыва. Заметим,
что законы сохранения массы и количества движения не зависят
от конкретных свойств сплошной среды, и поэтому получающиеся
на их основе соотношения на фронте сильного разрыва имеют место
как для пластических, так и для вязко-пластических сред.
Обозначим знаком «+» состояние среды перед поверхностью
разрыва, а знаком «—» — за поверхностью разрыва. Будем рас-
сматривать движение среды в координатах, движущихся вместе с
фронтом волны. Относительно такой системы координат скорость
среды перед фронтом равна (D* — v+), а за фронтом — (D* — v~).
Здесь и далее D* — скорость распространения поверхности разры-
ва (фронта волны), v = vr — скорость частиц среды в волне, р —
плотность среды. Поток вещества через поверхность, бесконечно
близкую к поверхности разрыва справа, равен р+ (D* — v+),
слева — р_ (И* — v~).
Приравнивая эти величины, получим следующее соотношение,
характеризующее закон сохранения массы:
р+ (О* - н+) = р_ (О* - V-). (1.89)
Потоки количества движения через поверхности, бесконечно
близкие к поверхности разрыва справа и слева, соответственно
равны р+ (О* — п+)2 и р_ (О* — к-) 2. Для закона сохранения
количества движения в этом случае получим
р+ (О* — 1?+) 2 — р_ (Л* — V-) 2 = oj — af. (1.90)
Подставляя выражение для (О*— v+) из (1.89) в (1-90), получим
закон сохранения количества движения
р^ (Л* — v~) (v~ — v+) = at — а;. (1.90а)
При решении задач о распространении одномерных взрывных
волн в грунтах удобно пользоваться координатами Лагранжа,
связанными с движущимися частицами среды. Связь координат
Эйлера и координат Лагранжа для случая одномерных движений
запишется согласно (1.12) в виде
х (h, t) = h + и (h, t). (1.91)
Преобразуем далее соотношения (1.89), (1.90), используя коор-
динаты Лагранжа. Для этого необходимо прежде всего получить
2*
35
уравнение неразрывности в координатах Лагранжа. Рассмотрим
массу вещества тх, заключенную в момент t = 0 между сечениями
х (0, 0) и х (h, 0). Эта масса при начальной плотности рг вычисля-
ется по формуле
x(h,0)
тх — § pidfc. (1-92)
«(0,0)
В момент времени t эта масса не должна измениться. Плотность
вещества будет равна р (м(/г, £)), а сечения х (0, 0) и ж (h, 0) займут
соответственно положением (0, t) и х (h, t). Для массы тх теперь
получим
«(М)
тх = р(ц, t)dr\. (1.93)
«(0,0
Приравнивая (1.92), (1.93) на основе закона сохранения массы,
имеем
K(h,0) «(h,0
§ ^dh= р(т], t)d-r\. (1.94)
«(0,0) «(0,0
Дифференцируя (1.94) по h, получим
.<, = ₽<* (1.95)
Из (1-91), однако, видно, что
>1 =1+^-1 =1,
dh |t=o d/i|l=o
так как в начальный момент времени (t = 0) смещение частиц
отсутствует. Тогда из (1.95) окончательно получим уравнение
неразрывности в следующем виде:
dx/dh = рх/р (h, t). (1.96)
Из (1.91) для скорости фронта ударной волны получим
Т) = ^х* — I ди dh* I _____________(л । du \ dh* . q_
L* dt dt + dh dt + dt — V ' dh) dt + V‘ ^’У')
Здесь dh*/dt = h* — скорость распространения фронта ударной
волны по движущимся частицам; v = du/dt — скорость частиц
среды (заметим, что D* — скорость фронта ударной волны отно-
сительно неподвижных частиц); знак «*» обозначает, что данная
величина относится к фронту ударной волны.
Учитывая, что на фронте ударной волны смещение равно нулю,
т. е. и (h*, t) = 0, из (1.91) получим
м* = h*.
Из (1.91), дифференцируя по h, найдем
du/dh — dx/dh — 1 = pj/p — 1 = в. (1.98)
36
Из (1.97) теперь получим
D* — v = (1 + е) h*- (1-99)
Закон сохранения массы (1.89) можно записать тогда в виде
тН#* - V) = (D* - v ) + (v — v+),
Р+
или
(D*-v 1)==г ~г+’
(1.100)
Из (1.100) и (1.90а) с учетом (1.99) получим окончательно
v — р+ = — (е — e+)h*,
= р! (е~ — е+) h^,
(1.101)
где е-|- = Р1/р+ — 1, е- = рх/р_ — 1 — деформации соответственно
перед фронтом и за фронтом ударной волны.
Из (1.101) получим формулу для определения скорости распро-
странения фронта ударной волны по частицам
1 gi~gi
Pi е- — е+
(1.102)
Заметим, что в случае невозмущенной среды перед фронтом при
о| = 0 и е+ = 0 эта скорость совпадает со скоростью распростра-
нения фронта относительно неподвижных частиц D*.
Рассмотрим распространение плос-
ких волн напряжений в среде с диаг-
раммой одноосного сжатия сц =
=/х(е, е*), рис. 1.1 [40, 41]. Направим
координату х в глубь полупростран-
ства.
Уравнение движения в координа-
тах Эйлера имеет в рассматриваемом
случае вид
-аГ-PdT^0’ =
v = v(x, t). (1.103)
Запишем (1.103) в координатах Лаг-
ранжа. Умножая (1.103) на dx/dh
и учитывая, что в координатах
Рис. 1.1. Общий вид диаграммы одно-
осного сжатия пластической среды
37
Лагранжа dv/dt = dv/dt, получим
>-Рг^- = О. (1.104)
Аналитическое выражение для диаграммы одноосного сжатия
( /г (е), d&Jdt 0;
oi = , (1.105)
I /1*(е> е ). d<h/dt<0. ’
Подставляя (1.105) в (1.104), получим для нагрузки и для разгруз-
ки следующие уравнения:
& _ 1 / /Р\ d°i о / /„ч _ (е) .
dt ~ Р1 dt* ’ dt > ’ ------’
dv 1 J dfi* [е. В* (Л)] дги Э/1Л [е, е* (Л)) »ае* (Л) ] дО1
dt Р1 \ Эе dt* де* dh J’ dt <- ‘
(1.106)
Каждое из уравнений (1.106) является гиперболическим относи-
тельно и (h, t). Согласно общей теории таких уравнений коэффи-
циент, стоящий перед dhi/dt2, определяет квадрат скорости рас-
пространения слабого разрыва (разрыва производных функций) в
сжатой среде [39]. Отсюда следует, что скорость распространения
слабых разрывов при нагружении в среде, в которой имеется
деформация е = du/dh, равна
(1.107)
Скорость распространения слабых разрывов при разгрузке в
среде, в которой имеется деформация е, а в конце предшествующей
нагрузки была достигнута деформация е*, определяется соотно-
шением
С* Iе’ 6* = ]/ 7Г * де~--------- (1л08)
Таким образом, квадрат скорости распространения слабых
разрывов в сжатой среде с деформацией е = du/dh пропорционален
тангенсу угла наклона касательной к соответствующей кривой
нагрузки или разгрузки в точке, где е = du/dh.
Подчеркиваем еще раз то обстоятельство, что все сказанное о
скоростях распространения волн напряжений относится к коорди-
натам Лагранжа h, t. Скорости распространения разрывов в
координатах Эйлера х, t будут отличаться от рассмотренных. Это
связано с тем, что закон движения некоторого возмущения в
координатах Эйлера связан с координатами Лагранжа соотноше-
нием (1.91). В связи с этим скорость распространения ударных
волн в координатах Эйлера определяется соотношением (1.97), а
скорости малых возмущений при нагружении — соответственно
38
выражением
с'(е) - < “ £(« + %) + ^- = '(=)<» +'> + ’• <1109>
Соотношения (1.107), (1.108) характеризуют связь скоростей
распространения малых возмущений с диаграммой сжатия (1.105)
в области полупространства, где волны имеют вид непрерывных
волн сжатия с постепенным нарастанием напряжений до макси-
мального значения.
Характер изменения фронта при распространении волн напря-
жений в упруго-пластической среде с диаграммой сжатия щ =
=Д (е, 8*), рис. 1.1, можно описать теперь следующим образом [40,
41]. Пусть к границе ненапряженного и недеформированного полу-
пространства приложена мгновенно убывающая во времени нагруз-
ка P0(t). Если при этом максимальная нагрузка Ро (0) такова, что
[щ (0, 0)| = Ро (0) | <т1С | (С — точка пересечения диаграммы
щ = Д (е) с касательной, проведенной к ней из точки 0), то по
среде распространяется ударная волна со скоростью, определяемой
соотношением (1.102) при сг[ = 0, е+ = 0. Эта скорость превышает
скорость распространения упругих волн в невозмущенной среде
Ci = с (0).
При | Щ | <1 | о1С | по невозмущенной среде идет вначале
непрерывная волна сжатия, в которой напряжения при удалении
от переднего фронта возмущения растут непрерывно от | cf1s | до
некоторого значения | |, соответствующего на диаграмме
сжатия точке F, где прямая EF совпадает с касательной. Затем
напряжения в волне возрастают скачком до значения | ще |, и
образовавшаяся ударная волна идет за волной сжатия со скоро-
стью, определяемой соотношением (1.102). Скорость распростра-
нения переднего фронта возмущений равна скорости распростра-
нения упругих волн в невозмущенной среде сг.
Следует отметить, что скорость распространения фронта,удар-
ной волны в этом случае меньше скорости распространения упру-
гих волн q и оказывается равной скорости распространения малых
возмущений по среде перед ним, так как в точке F наклон секущей
EF равен наклону касательной к кривой щ = Д (е) в точке F.
При стремлении величины приложенной нагрузки к щ = щв
сверху скорость ударной волны приближается к минимально воз-
можной, соответствующей случаю, когда прямая EF совпадает
с касательной, проведенной в точке перегиба диаграммы В. Удар-
ная волна в этот момент исчезает (ще — Ще — 0). При этом
непрерывная волна сжатия будет наиболее развитой. Ей соответ-
ствует максимальный участок ОАВ и максимальные размеры
пластической волны.
При | а1А | <С | Hi | <С | Щв | непрерывная пластическая волна
сжатия уменьшается, но скорость распространения ее заднего
фронта, соответствующего максимальному напряжению, больше,
чем в предыдущем случае (т. е. при щ = (Цв)-
39
При сгг = <тхА пластическая деформация исчезает, волна сжатия
становится чисто упругой. Если при этом начальный участок
диаграммы огх = /х (е) линейный, то упругая волна начинается
скачком, распространяющимся со скоростью сх = const, а его
интенсивность будет постоянной и равной либо ихА — o0s (если
участок ОА — линейный), либо о1А, — o0s (если он линеен до
точки Ах А). Здесь o0s — бытовые напряжения в грунте.
При стремлении напряжения <тх к бытовому давлению движение
замедляется и при ох = o0s сохраняется равновесие. Если влияние
бытовых напряжений не учитывать, то плоская упругая волна в
среде распространяется без затухания.
В случае, если для диаграммы сжатия ох = /х (е) при нагруже-
нии выполняется условие /х (е) = d2/x (e)/de2 > 0, то в такой среде
распространяется только ударная волна. При /х (е) = А2/, (е)/
/de2 0 в среде распространяются только непрерывные волны
сжатия.
Представляет интерес рассмотреть вопрос об особенностях
распространения волн напряжений в вязко-пластической среде с
уравнением состояния типа (1.87), (1.88). Будем предполагать при
этом, что функции фх (е) и /х (е) удовлетворяют условиям
Ф1 (е) О, /х (е) 0. Прежде всего следует отметить, что в такой
среде, если в качестве граничного условия задана мгновенно
приложенная нагрузка, вначале, как и в пластической среде,
возникает ударная волна, на фронте которой выполняются законы
сохранения массы и количества движения (1.101) [37].
Однако в отличие от упруго-пластической среды за фронтом
ударной волны здесь возможно возникновение догружения, когда
максимальные напряжения будут больше, чем напряжения на
фронте ударной волны [37]. При этом в зависимости от характерис-
тик вязко-пластической среды ударная волна может исчезать
вблизи от источника возмущения, и затем волна напряжений будет
иметь вид непрерывной волны сжатия.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИБОРОВ
ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
ПРИ СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
§ 1
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПРИБОРОВ (ДАТЧИКОВ)
ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
КАК ПЛАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Приборы для измерений напряжений в грунтах в больнгинстве
случаев представляют собой достаточно жесткий цилиндр, в одно
из оснований которого заделывается чувствительный элемент,
способный реагировать на прикладываемую нагрузку. В качестве
чувствительных элементов могут использоваться либо различного
рода пьезокристаллы, способные создавать электрическое возму-
щение, пропорциональное приложенной нагрузке, либо металли-
ческие стержни или пластинки (мембраны) с наклеенными па них
тензосопротивлениями. Предварительная градуировка датчиков
позволяет расшифровывать их показания при измерении напря-
жений в массиве грунта или в образцах.
При измерениях в неограниченном пространстве прибор дол-
жен быть помещен в среду. При контактных измерениях нагру-
зок на конструкцию он располагается так, чтобы па границе кон-
такта находился лишь чувствительный элемент.
В первом случае на поле напряжений влияют как сам корпус
прибора, так и прогиб его измерительной пластинки (для тензо-
метрических датчиков). Во втором случае влияние самого прибора
исключается. Как уже отмечалось, возникающие при этом ошиб-
ки измерений существенно зависят от свойств измеряемой среды.
Учитывая, что в дальнейшем ошибки измерений оцениваются
на основе решения соответствующих краевых задач динамической
теории упругости, необходимо выяснить вопрос о влиянии не-
упругих, пластических свойств грунтов на эти оценки.
В связи с этим ниже рассматривается модельная статическая
задача о взаимодействии измерительного прибора, представляю-
щего собой упругую сферу, с бесконечной упруго-пластической
средой [43]. На бесконечности среда находится в состоянии равно-
мерного всестороннего сжатия.
Возникающая в связи с этим математическая задача близка к
известным задачам о сферической полости в упругой или упруго-
пластической среде [44, 45] и решается аналогично. В дальнейшем
41
используются сферические координаты и предполагается, что все
величины зависят только от радиуса.
Введем следующие обозначения: г, 6, <р — сферические коор-
динаты, выбранные так, что внешний радиус сферы равен единице;
trrr, Gee, ow — соответствующие компоненты тензора напряже-
ний; о — среднее напряжение; ит — смещение в радиальном на-
правлении; К, р. = G — как и ранее, модуль объемного сжатия
и модуль сдвига для среды соответственно; v0 — коэффициент Пу-
ассона; Jo — жесткость сферы, — безразмерная толщина;
Ео — модуль Юнга для сферы.
Условие пластичности для среды принимается согласно (1.16)
и экспериментальным данным глав 7, 8 в виде
(втг - Сее)2 = 1/2Т2; Т = -ко + Ь,
° = 1/з (Grr + 2°ее), оот = Оее-
Величины на бесконечности отмечаются индексом оо. Вводятся
также следующие вспомогательные обозначения:
crr (1) = < s0 = sign (оее — orr), кх = к, Ъг = ^-Ь,
__ л । 3 Л' „ _____ . 6л Ззвку г
a-1 + ~~G’ = •/o==T^Vo‘
Предполагается, что пластическое изменение объема в среде от-
сутствует, т. е. напряжение линейно зависит от объемного сжатия.
Касательные напряжения ограничены условием (огг—Оее)2^
J/2 ?'2 и удовлетворяют закону Гука, если (огт — <тее)2 < г/2 Т2.
В сферически симметричном случае эти условия полностью опре-
деляют среду.
Далее рассмотрим краевую задачу с условиями на бесконечно-
сти
о (оо) = (Too, огт = = ст<р<р — <т.
Обозначим через гх границу упругой и упруго-пластической об-
ластей. Очевидно, что на бесконечности среда находится в упру-
гом состоянии. Предполагается, что при 1 < г т\ среда находит-
ся в упруго-пластическом состоянии, при г — в упругом.
Допускается, что пластической области может и не существовать.
В этом случае гх = 1.
Из условия на бесконечности следует, что упругая область обя-
зательно существует, т. е. т\ < оо. При г = гх напряжения и сме-
щения непрерывны.
При 1 < г < Г! условие пластичности дает
^тт —
1
±угЬ*° + 6)-
Знак в этом равенстве зависит от соотношения между Jo, К и
и определяется в процессе решения. Уравнения равновесия и свя-
зи между о и иг выполняются во всей области г 1. Таким обра-
42
зом, возникает математическая задача отыскания решения систе-
мы уравнений
-^ + |(аГг-Обб) = 0; о = Я^+2^); (2.1)
стгг + 2оее = За, s0 = sign(nee —огг), г>1;
о„ — оее= — v^-sor, 1у<г<г1; (2.2)
Г *
/ ди и \
Orr — Оее = -----—j, r^r±
с граничными условиями огг, Оее-^о, о —*• щ», г—>-оо; игг =
— Jъиг, г = 1 и условиями непрерывности пгг, аее и иг при
г = гх. Условие непрерывности оее при г = т\ является следстви-
ем предположения о непрерывности условия пластичности при
г = Гх.
Решения (2.1) и (2.2) легко находятся согласно [44, 45] и имеют
вид
при 1 < г <2 т\
ОГГ - - (4 4- 4г" *о) т + i; т = Т^-
и - ь г, Г(1+^> г- (2 3'
' т ~~ г'- 1 ЗкК ЗкК ’
при г гг
Оуг Оее== ~ ^G ,
иг = — + г’ ° = а°°- (2-4)
Здесь Cj, С2, Т° — постоянные, которые должны находиться из
условий при г = 1 и г = г±.
Условия на бесконечности учтены в (2.4).
Условия непрерывности при г — гх дадут
(2-5)
Система уравнений для определения постоянных С i, С2, Т° и
неизвестной границы гх замыкается при г = 1
J° (C1 + i
1 +s<Ai
ЗкК
(2.6)
В уравнения (2.5), (2.6) входит еще неизвестная величина
s0 sign (<Jee — огг). Оказывается, что условия гх ;> 1 достаточ-
но, чтобы определить sb. Действительно, путем несложных преоб-
43
разований из (2.5), (2.6) можно исключить С1; С2 и Т° и получить
уравнение
k^asoTооГi бРо^г/ — (1 + sofcj) РоАо = 0. (2. /)
Легко проверить, что левая часть этого уравнения монотонна
по т\ и, следовательно, чтобы оно имело корень г} 1, левая часть
должна быть больше правой при т\ = 1, если sB = — 1, и меньше,
если s0 = 1. Соответствующие условия можно записать в виде
(1 — fc) G + ft,
А < Л = 12А-С T4c+8tlf<-,- „^|А- ; (2.8)
Т = U+fcl)°oo—Ь1
° J 2 — 1G (4G — 3/tjA') + 3bj К
(2-9)
Очевидно, если выполнено условие (2.8), s0 = — 1, если (2.9),
$о = 1. Если выполнено хотя бы одно из этих неравенств, то 1
и пластическая область существует. Если J\ < Jo < J2, то плас-
тическая область отсутствует. Очевидно, если | ото | < Ьх/(1 —
— Aj), неравенство (2.8) не может выполняться. Можно показать,
что если | (Too | < ЗА61/(461 — ЗкхК), (2.9) также не выполня-
ется . Это соответствует тому очевидному факту, что при достаточно
малых напряжениях среда будет находиться в упругом состоянии
независимо от жесткости сферы. Следует также заметить, что всег-
да J1 ЗА J 2-
В рассматриваемой задаче основной интерес представляет на-
пряжение при г = 1, так как прибор измеряет именно его, а дол-
жен измерять ато.
Для crj получаются следующие выражения:
о0 = а
1 (а — Ро) =оо
при
о® = (^1<Тоо — fei) при J0<Ji, А>А>
Р<А
s0 — — 1 при Jo < J1T sc = 1 при Jo > J2-
(2.10)
(2.11)
Здесь — корень уравнения (2.7), А, А определены (2.8) и (2.9).
В дальнейшем представляет интерес только относительная
ошибка измерения, которая определяется выражением До =
= (<т? — Ооо)/сг?- При достаточно малых [о^ |, как уже отмечалось,
(2.8) и (2.9) не могут выполняться. При этом Дв = р0/сх, т. е. ошиб-
ка не зависит от Очевидно, что До < 0 при А < ЗА, До оо
при А —* 0; До 0 при Jo > ЗА, До ->• Va при Jo —> °о.
При достаточно больших уравнения (2.8) и (2.9) уп-
рощаются и принимают вид
<— оА(1 — fcj), ро > оА/(1 + М- (2.12)
Соответственно упрощается и уравнение (2.7), а выражение
для относительной ошибки принимает вид
До = 1
Sofci
(1 +sefci)1+s"fcl I I
(2.13)
Легко показать, что До 0 при Jo J2, До < 0 при /0 < А-
Можно показать также, что До монотонно зависит от Дейст-
вительно, из (2.8) и (2.11) получается (Jo <Z Ji или Jo }> /2)
dA0 ____ 1 ris>
Уб0со(°?)2 4*+3-₽0/а
(2.14)
Так как для П > 1 % > О при Jй < А и Si <1 0 при Jй > J2,
то из (2.14) следует, что До убывает, если Jй~^> Jи Да возрастает,
если JQ < Jr. Если учесть знак До, то получится, что | До | не воз-
растает по ((Too |.
Отсюда с учетом (2.12), (2.13) получается оценка для До
| р0/а | > | До | > Ml - fcj.
(2.15)
Неравенство справедливо, если выполнено (2.12); если (2.12)
не выполнено, то До = ро/а. Следует заметить, что Ло sO лишь
при ₽о = 0 или Jo = ЗК, т. е. датчики точно измеряют напряже-
ние лишь при специальном соотношении между параметрами среды
и датчика. При малых Jo Ро и До велики, поэтому,если параметры
среды известны плохо, следует пользоваться возможно более жест-
кими датчиками.
Рис. 2.1. Зависимость погрешности изме-
рений напряжений До (kJ в упруго-
пластической среде при K/G = 5/3 (кри-
вые 1—6) и K/G = 20/3 (кривые 7, 8) для
датчиков, выполненных в виде гибкой
сферы при различных жесткостях:
7, 7 — р„ = ЦО; 2 — ₽„ = 0,5; 3 — р0 = 0,1;
4 — ₽0= —0,1; 3 — ₽о= — 0,5; в, 8 — ₽„=
= —1,0
Рис. 2.2. Зависимость погрешности
До(| |/ 61) для ₽о = 1 я K/G= 5/3
45
Если J0 = оо, то формулы упрощаются только в том смысле,
что в них исчезает один параметр. На рис. 2.1 показаны зависи-
мости погрешности измерений напряжений Д 0(/сх) при различных
жесткостях сферы.
Кривая 1 (Jo = оо, р0 = 1) характеризует наличие области
пластических деформаций в среде при ее взаимодействии с датчи-
ком при всех значениях к± < 1. При = 1 в среде не возникает
пластических деформаций, а погрешность До(1) является макси-
мальной и составляет 0,445.
Участки прямых линий, параллельных оси абсцисс, для кривых
2—8 (До = const) соответствуют отсутствию в среде пластиче-
ских деформаций при данных значениях кх. Из анализа данных
рис. 2.1 следует, что во всех рассмотренных случаях пластические
деформации среды приводят к уменьшению относительной погреш-
ности измерения напряжений.
Рассмотренные на рисунке случаи охватывают достаточно ши-
рокий диапазон значений К/G и кА применительно к свойствам ре-
альных грунтов. В частности, из соотношений [16] Кг = К +
+4/3 G, G/K = 2 (1 - v)/(l - 2v), v = g„/(l + g0), где
Кх — модуль деформаций среды в условиях одноосного сжатия,
v — коэффициент Пуассона, g0 — коэффициент бокового давле-
ния 110], получим = i—^G/Kj,. Тогда при K/G — 5/3 и 20/3
получим go = 0,33 и 0,75, что практически охватывает весь диа-
пазон коэффициентов бокового давления для песчаных и глинис-
тых грунтов (неводонасыщенных).
Величина ки как будет показано далее (раздел II), меняется
в неводонасыщенных грунтах в пределах 0 кх 1,0. Так как
различие между упругостью и пластичностью особенно выражено
для малых к1г то заслуживает внимания случай кл = 0. В (2.7)
нельзя положить ку = 0, однако предельным переходом можно
получить
ctTj = In г’( Ц-1 -|- | Ооо | /Ьу.
Это уравнение легко решается методом последовательных прибли-
жений. На рис. 2.2 изображена погрешность До в зависимости от
In (| Ок, | Ibx) для ро = 1,0 и KIG = 5/3. Отсюда следует, что при
увеличении напряжений в пластической среде погрешность До убы-
вает. Этот процесс наиболее сильно выражен при напряжениях,
сопоставимых с величинами Ь, характеризующими сцепление в
среде (раздел II).
Из проведенного анализа следует, что для упругой среды, по
крайней мере в рамках рассмотренной задачи, мы получаем верх-
нюю оценку погрешности измерений напряжений, связанных с
концентрацией напряжений вокруг датчиков различной жестко-
сти. Влияние пластических свойств среды в данном случае будет
приводить к уменьшению этих погрешностей.
46
§ 2
ВЛИЯНИЕ ПРОГИБА ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА НА ИЗМЕРЯЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В УПРУГОЙ СРЕДЕ
1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные
условия. Как уже отмечалось, тензометрический датчик, измери-
тельным элементом которого является тонкая пластинка, защемлен-
ная по контуру в жестком корпусе, градуируется в жидкости ста-
тическим давлением. В этом случае прогиб пластинки не вносит ис-
кажений в поле давлений, и в результате измеренное давление со-
ответствует в принципе реально существующему.
Но если аналогичные измерения производить в упругой среде
при статическом нагружении, прогиб пластинки вызовет перерас-
пределение напряжений, наиболее существенное вблизи пластин-
ки. Измеренное напряжение в этом случае будет отличаться от
Рис. 2.3. К выбору системы
координат для решения задачи
о прогибе чувствительного эле-
мента тензометрического дат-
чика
Z
7777777?
существовавшего до внесения датчика в среду, и прогиб самой
пластинки будет иным, чем в жидкости.
Ниже рассматривается влияние прогиба чувствительного эле-
мента тензометрического датчика-пластинки, защемленной по кон-
туру, на измеряемые напряжения в упругой среде. Влияние жест-
кого корпуса датчика исключается.
Таким образом, рассматривается следующая математическая
задача. Упругое полупространство нагружено на бесконечности
статическим сжимающим напряжением. Граница полупрост-
ранства жестко закреплена (нормальные смешения отсутствуют)
всюду, кроме отверстия, закрытого круглой пластинкой радиуса
г — с, жестко закрепленной на контуре. На границе при г а
ставятся два условия. Первое условие состоит в непрерывности
нормальных смещений. Для второго условия рассматриваются два
варианта: либо касательные напряжения равны нулю (условие
«проскальзывания»), либо радиальные смещения равны нулю (ус-
ловие «прилипания»).
Введем цилиндрическую систему координат г, 6, z таким обра-
зом, чтобы на контуре пластинки г = 1. Начало координат поме-
стим в центре пластинки (рис. 2.3). Ось z направим в глубь среды.
Компоненты поля смещений, как и ранее, обозначим иг = иг
(г, z), uz==uz(r, z), а поля напряжений—orr=o,r(r, z),
°ее = Рее (г, z), ozz = gzz (г, z), о r2 = orz (г, z). Поля смещений и на-
пряжений в силу цилиндрической симметрии не зависят от угла 0.
47
В этом случае уравнения равновесия в цилиндрических коорди-
натах согласно (1.35а) имеют вид
датг , дсгг , сгг-°ее п
Г ? ~ <216>
+ — Ozr = О, ozr - ог2.
or dz г г' zr rz
Соотношения между компонентами тензора напряжений и век-
тора смещений в упругой среде при наличии осевой симметрии
запишутся согласно (1-37), (1.19а) как
orr = [(X + 2ц) А + + X -А ;
°ве - "аГ Н ~г—)иг + ;
°zz = К + т)Ur + ~дГ;
(2-17)
Коэффициенты Ламе к, ц связаны с модулем Юнга Ко и коэф-
фициентом Пуассона v соотношениями
Ь = v^0/(l - 2v) (1 + v), ц = К0/2 (1 + v).
Граничные условия для системы уравнений (2.16), (2.17) в рас-
сматриваемой задаче имеют вид о22 (г, оо) = — о0; ( — w (г), * г < 1 “<Г’(Н о, г>1; (2.18) (2-19)
°rz (г, 0) = 0 (условие «проскальзывания»); (2.20)
J Ww (г) = — о22 (г, 0). (2.21)
Здесь А = 4-у-^—оператор Лапласа; J=Ead^0!i2 (1—v20) —
цилиндрическая жесткость пластинки; d0 — толщина,
Ео — модуль Юнга, v0 — коэффициент Пуассона пластинки.
Для случая «прилипания» (2.20) заменяется условием
(г, 0) = 0. (2.21а)
Если бы в рассматриваемой задаче не было гибкой пластинки,
наибольшие нормальные напряжения в среде о22 (г, z) были бы
постоянными и равными заданной на бесконечности нагрузке — о0.
Наличие пластинки, как уже говорилось, приводит к иска-
жению этого поля напряжений (и смещений). Представим напряже-
48
яия о22 (г, z), действующие в среде в последнем случае, в виде
о22 (Л z) = cr;2 (г, z) + ст22 (г, z),
где о22 (г, z) — искажение поля напряжений по сравнению со слу-
чаем, когда вся граница z = О является абсолютно жесткой. Ана-
логичные соотношения можно записать для остальных компонент
полей напряжений и смещений. Подставляя далее эти соотноше-
ния в (2.16), (2.17) и учитывая, что поля напряжений и смещений
в сжатой среде при отсутствии пластинки не зависят от коорди-
нат, получил! для искажений полей напряжений и смещений
о22 (г, z), o"r (г, z), Оее (г, z), °rz (г, z), u'r (r, z)> u'z (r, z) уравнения,
аналогичные (2.16), (2.17).
Учитывая, что интерес представляют только эти искажения,
в дальнейшем мы не будем делать различия между о22 и ст22,
u'z и и- и т. д. С учетом этого замечания компоненты полей напря-
жений и смещений должны стремиться к нулю при удалении от
пластинки. Тогда граничные условия (2.18), (2.21) запишутся в
следующем виде:
(Т22 (г, оо) = 0, (2.22)
/АДш(г) = о0 — о22(г, 0). (2.22а)
Остальные уравнения и условия остаются без изменений.
Правая часть уравнения (2.22а) отражает тот факт, что на про-
гиб пластинки влияет полное напряжение при z = 0, состоящее
из иевозмущенного напряженного состояния ст0 и добавки
о_г (г, 0), соответствующей влиянию на напряженное состояние
среды прогиба пластинки.
Как отмечалось выше, предполагается, что пластинка жестко
защемлена по контуру. Соответствующие условия имеют вид
и> (г) — dw (г)/dr = 0, г = 1. (2.23)
В основу дальнейшего изложения (§ 2,3) положены материалы
работы, выполненной в Институте проблем механики АН СССР
в 1969—1970 гг. дипломником МФТИ Е. Б. Сретенским.
Введем функцию Ф, удовлетворяющую бигармоническому
уравнению
ДАФ = 0. (2.23а)
В (2.23а) и далее в (2.24), (2.25) Д = ^+1| + ^- опе-
ратор Лапласа.
Если смещения иг, иг выражаются через Ф следующим образом:
Х + 2р. Аф_2^1ф (2.241
р ц
49
где Ф„= д2Ф/дгдг, Ф22=д2Ф/дг2, то с учетом (2.17) уравнения (2.16)
будут удовлетворены, а напряжения выразятся соотношениями,
полученными из (2.17), (2.24)
сгг = *ДФ2 — 2 (Л + р) Фгг2,
нее = ^ДФ2 - | (^ + И) Ф2Г,
о22 = (32. + 4р)ДФ2 ~ 2 (Z + р)Ф222, (2.25)
Ф2 = (X + 2р) ДФ - 2 (X + р) Ф22г.
2. Построение решения. Далее при помощи преобразования
Ханкеля строится решение уравнений теории упругости, удовлет-
воряющее условиям на бесконечности и одному из условий на
границе (оГ2 (г, 0) = 0 или иг (г, 0) = 0). В результате оказывает-
ся, что поля смещений и напряжений выражаются через прогиб
пластинки w (г), который должен определяться из уравнения
(2.22а). Последняя задача решается приближенно вариационным
методом Ритца.
Бигармоническое уравнение (2.23а) при помощи преобразова-
ния Ханкеля |46| сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению
(т&-^2<2 = 0’ <2-26>
оо
где Q (£) = гФ(t,r) dr — трансформанта Ханкеля, Jo (t,r) —
о
функция Бесселя.
Решение (2.26) можно записать в виде
Q = (А + Bz)e~& + (С + Dz)e&, (2.27)
где А, В, С, D — произвольные функции параметра £, определяе-
мые из граничных условий.
Для дальнейшего полезно получить выражения для смещений
и напряжений через функцию Q [46]
оо
= ^212. (£•) (2.28)
о
со
== S ("S- “ Ц?- (?г) (2-29)
о
оо
а22 = U I (X + 2р) - (32, -|-4р) £2 -g-1 Л (И dC; (2.30)
о
со
ф2 = jj С2 [* + (Ь + 2р) Ji (?r) dt (2.31)
о
5(1
Удовлетворяя условиям на бесконечности а22—>0 при z —>-оо,
положим в (2.27) С = D — 0. Тогда
Q = (Л + Bz)e~&. (2.32)
Чтобы удовлетворить граничному условию (2.20), достаточно
положить
(2-33>
Тогда из (2.29) и (2.30) получим
оо
uz (Г, 0) = — -Ц-^- С .70 (£r) dt, (2.34)
Г J
о
оо
о22 (г, 0) = 2 (X +ц) 5 (&) dt- (2.35)
о
Используя граничное условие (2.19), получим выражение для
напряжения о22 при z > 0 в виде
оо
°- = -2(1=^ 11 + W ® е~^ (2'36)
О
где
пчс)=$п,(г)лкг)л-, у .
о
Построенные выражения для напряжений и смещений удовлетво-
ряют всем условиям задачи, кроме (2.22а).
Функцию w (г), удовлетворяющую этим условиям, будем ис-
кать далее приближенно методом Ритца. Условие (2.22а) удобно
записать в виде
Lkw (г) + р,Р (w) = 1, (2.37)
где рг = K<fl3l2J (1 —v2) — безразмерный параметр, а— раз-
мерный радиус пластинки, Р (w) = ozz(r, 0) 2(1—v2)/K0.
Здесь учитывается, что в силу линейности (2.22а) его решение
пропорционально coazIJ, и поэтому правую часть (2.37) можно
принять равной 1. Можно показать далее, что функция ш (г),
удовлетворяющая уравнению (2.37) и граничным условиям (2.22а),
минимизирует функционал
F (w) = (Lw, w) — 2 (w, f) =
= \\ w (Lw — 2f) dS = 2a\jw (Lw — 2/) rdr, (2.38)
s о
где Lw = LAw + Pi-P (w), f = 1. Примем координатные функции
в виде (г) = (1 — г2)'1, к = 2, 3, . . ., п и построим линейную
51
комбинацию первых п функций
п
W(n) (г) -- 2 Ctfc (1 — Г2)к.
fc=2
(2.39)
Подставим гР(„) (г) вместо w в функционал (2.38). Это превра-
тит функционал F (w) в функцию п независимых переменных
а2, • • <»п
F (ш(п)) = ( S akLwk, ct/М) — 2 ( aftirfe, /). (2.40)
4=2 K=2 ' 4=2 '
(2-42)
n.
Выберем коэффициенты ak так, чтобы функционал (2.40) принял
минимальное значение [16]
dF (wm)/dak = 0, к = 2, 3, . . ., п. (2.41)
Это условие приводит к системе линейных алгебраических уравне-
ний (системе Ритца)
п
3 (Рил, wk) = (/, Wi), 2 = 2,3,
k=2
В данном случае имеем
(Lwi, wk) = (A&wt + PiP (w\), wk) = aik +Pibi/f,
(/, ™i) = (1, = coi,
где
(2.43)
(AAiz^) wkds = 2л Aw^Aiz^rdr,
s о
^ifc "—
Ц P (w}) wkds = 2л J (£) Wk (£) d£,
s 0
c0i —
Wids = 2л w^dr.
s 0
Производя интегрирование, для a.ik> bik, cOi получим
= LG + A: — 3) (i + fc — 2) (i + A: — 1) ~
। £ (?' -p — 3) (i -f- к — 2) i —|- к — 3 j, (2-44)
, _ 9тт г (i + 1) г (A + 1) Г (Z + А) г m гк Г(А + 1/2)Г(^+:,/2)Г(А+А + 3/2) ’ Л (2.45)
Сиг к +1 ’
где Г (к) — гамма-функция [47]. Обозначив dik = aik + Pi6ifc, запишем систему Ритца в виде
2,3,..., 7?. Zf=2 (2.46)
52
В силу определения система симметрична, т. е. dik = Для
первого приближения имеем
2.2 64 , 64 64
и® = w2 = (1 — г2)2, «22= л -у, da2 = ___,
(2-47)
с°2 - Т •
Система Ритца сводится к одному уравнению а2 («22 + =
= с02, откуда
п ___ С02 _ 1 1_____ /о /Ох
2 + 64 1 Pi/46,35 •
Тогда прогиб в центре пластинки
ю = ЛЙТ- 1 + Pi/46,35 ' (2.49)
Учитывая, что прогиб пластины в центре под действием равно-
мерной нагрузки По (в жидкости) w0 — из (2.49) получим
и>(0) _ 1
w0 1 + 6,/46,35
Полученное решение (2.50), как уже отмечалось, относится к
случаю «проскальзывания». В случае «прилипания» решение зада-
чи отличается только выражениями для и Р (ш)
₽! = 2tf0(l - v)«3/(3 - 4v)(l + v)J,
P (w) = crzz (r, 0)(3 — 4v)(l + v)/2K0 (1 — v).
§ 3
РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ.
СВЯЗАННОЙ С ВЛИЯНИЕМ ПРОГИБА ЧУВСТВИТЕЛЬНОГОДЛЕМЕНТА
ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА НА ИЗМЕРЯЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
Учитывая приближенный характер решения задачи, представ-
ляет интерес рассмотреть влияние различных форм изгиба (пара-
метра к) на величины напряжений <jzz (г, 0), (г, 0), а также
1
на среднее напряжение (<л2)0 = 2 \ ozz (г, 0) rdr при г 1.
о
Подставляя значение wk (г), 1, к = 2, 3,. . п в выра-
жение для РР(£), получим
М) = 2'Т (к + 1) Г<*+1^+10-
(2.51)
Нормальные напряжения a*z (г, 0), соответствующие смеще-
нию (г), из (2.36) равны
Ко Г C/s) Г (к +1) р ( 3
2(1—v2) Г(й + ’/2) °\2 ’
1 1р(3_
(1 — -V») 2 (А + 1) г» ° V 2 ’
, 1,г2), г^1;
"2 > 2, 1.
(2.52)
<’« (г, 0) =
53
Рис. 2.4. Изменение безразмерных нормальных напряжений ozz (г, 0) вдоль
оси г при к = 2 (кривая 1) и к = 3 (кривая 2)
Рис. 2.5. Изменение безразмерных нормальных напряжений ozz (0, z) вдоль
оси z при к = 2 (кривая 1) и к = 3 (кривая 2)
где Fo (а, р, у) — гипериометрическая функция Гаусса, которая
определяется следующим образом [47]:
с /„ R -л л V а(а+1).--(« + « — !)₽(₽ . « —J)
Ро (а, р, т) = 1 + > , --------1)...^ /г — I)--------------- •
и=1
(2.53)
На рис. 2.4 представлены графики изменения безразмерного
напряжения ozz (г, 0) = ozz (г, 0) 2 (1 — т2)/Л0 в зависимости от
г при к = 2,3. Из графика видно, что нормальное напряжение
меняет знак в точке, где г < 1. Затем оно достигает минимума и
далее изменяется согласно (2.52) примерно как 1/г8. С ростом к
величина ozz (0, 0) возрастает; точка, где напряжение меняет
знак, смещается к центру, абсолютная величина отрицательного
напряжения возрастает.
Рис. 2.6. Изменение отно-
шения w (0)/w0 (кривые 1—3)
и средних напряжений
о®г/о0 (кривые 4—6) в за-
висимости от параметра Pi
для первого (кривые 1, 4),
второго (кривые 2, 5) и
пятого (кривые 3, 6) при-
ближений
54
Для среднего напряжения (о2г)0 с учетом (2.52) получим
, к Кв 2ге/2)Г(Л-]-1)С /3 2fc-l . 4,
(О«)о- r(fc + ’/2) г*4 2’ 2 Л,г/гйг_
__Ло________r(fc)-l2 (2.54)
— 2(1—v2) 27с Ч-1 [ Г(Л +*/2) J V '
Определим, согласно (2.36), напряжение o2z (г, z) при г = 0:
<4(0. Ч - •та-{(> + 1)(‘1+^Ь (4 *• * + 2. тЬ) +
+ ir^42’'‘-T.4 + 2'Tch< <2S5>
На рис. 2.5 представлены графики изменения безразмерных
нормальных напряжений oZ2 (0, z) = ozz (0, z)2 (1 —
вдоль оси z при к = 2,3. Они характеризуют по существу рас-
пределение напряжений по оси симметрии так называемого в ин-
женерной практике «свода давлений». Уже при z = 1,4—1,5 на-
пряжения в среде составляют ~10% напряжений на пластинке
при z = 0. Таким образом, размер «свода» составляет (1,5—2)а.
Решение для условий «прилипания» (2.21а) находится аналогич-
ным образом.
Отпуская промежуточные выкладки, выпишем окончательные
формулы для этого случая
Ozz (г, 0) =
оо
о
(2.56)
2Kq(1-v) Г (V2) Г (7с + 1)
(Ц-у)(3-4у) Г (7с +1/2)
2КП(1 —у)_1
(1у) (3 — 4v) 2 (/£ -,-1) г3
n/3 3 , Q 1 \ \ Л
x F°V2 ’ T’2’r>1;
(2-57)
Л = 2g0(l—У) 27c [- Г (7г) 12.
3 — 4у 2/c + l [ Г(/г+1) J ’
(2.58)
ст2\ (Z, 0)= J---------k'k + 2’ ГХ~2>) +
' ' (14-v)(3 — 4v) ( (Л ij (j _|_ г2)3/2[ d\2’ 1+z2/ 1
+ т^Ч2'4-т.* + 2.-пЬ> (2'59>
2, r2),
<£ (г, 0) = *
*o(l-2v) 2
2 (1 + v) (3 — 4v) г3Г (0) Г (fc + 1)
XF,(2, 1, A-+ 2, X), r>l.
(2.60)
В (2.56) — (2.59) множитель
2У0 (1 -v) = Ko 4(1 — у)2
(1 + v)(3 — 4v) 2 (1 — v2) 3 — 4v ‘
Из (2.57) и (2.52) следует, что для создания одних и тех же сме-
щений w (г) в случае «прилипания» (ит (г, 0) = 0) требуются боль-
шие нормальные напряжения (г, 0), чем в случае «проскальзы-
вания» (ог, (г, 0)=0). Для v=0 добавочный множитель максимален
и равен 4/з, а для v = х/г — различия в напряжениях между слу-
чаями «прилипания» и «проскальзывания» нет.
Из (2.60) видно, что касательные напряжения па границе
аг. (г, 0) = 0 для г > 1, т. е. за пределами круга г 1, в котором
есть нормальные смещения, трение отсутствует.
Рис. 2.6 (кривые 1—3 ) иллюстрирует зависимость отношения
w (0)/ш0 от параметра р1; рассчитанную по формуле (2.50) для пер-
вого (кривая 7), второго (кривая 2) и пятого (кривая 3) приближе-
ний. Из сопоставления этих графиков видно, что первое прибли-
жение дает достаточно хорошую точность при определении w (0)
для не слишком гибких пластинок.
Для дальнейшего удобно представить (2.50) в несколько ином
виде. Введем безразмерную жесткость пластинки
7° = Ла?КА,
(2-61)
где КА = Ко (1 — v)/(l + v)(l — 2v) = А 4- 2р — модуль сжатия
среды при одноосной деформации. Тогда получим
Pi = 2[I (1 — й)/7°, ц = ц/Лг. (2.62)
Учитывая далее, что напряжения для упругой пластинки про-
порциональны прогибу ее центра, из (2.50), (2.62) получим
1? = 1-й(1 -р)/23,2/о • (2’63)
Здесь — напряжение, измеряемое датчиком в упругой среде,
<т0 — напряжение, измеряемое датчиком в жидкости, или «истин-
ное» напряжение в среде. Формула (2.63) позволяет, таким обра-
зом, оценивать погрешность измерений напряжений в упругой
среде, связанную с влиянием прогиба чувствительного элемента
тензометрического датчика.
В частном случае измерения напряжений в жидкости р = 0
и Oi'oo = 1, т. е. никаких искажений в измерении напряжений не
возникает. Для жесткого датчика при J° оо отношение cfJ/cf0 ->
—> 1, и возникающие погрешности измерения будут малыми.
56
Для среднего нормального напряжения на пластинке согласно
(2.54) получим
/рЛ \ _ 4 Г Г (2) ~|з
(Рг2)° 2 (1 — v2) / 5 [ Г (6/2) J 2' (2.64)
Здесь учтено, что величина (о22)0, определяемая соотношением
(2.54), была нормирована на множитель <30a?U и, кроме того, со-
ответствует только координатной функции wk (г) (без учета мно-
жителя afe). Из (2.64) с учетом (2.62) получим далее относительную
погрешность измерения напряжений в случае осреднения напря-
жений
(°zz)o _ 0,328' _ 0,328 р_
— 1 + 46,35^ ~ 1 +23,2jozp(l р) ’ (Z.65)
Для полного среднего напряжения, действующего на пластинку
о22, будем иметь
Ozz = -Оо + (Ozz)o, (2.66)
а с учетом (2.65)
°zz _ 0,672 +46,35/₽! _ 0,672 +23,2J«+(1 — р)
с0 — 1+4б,35/₽! 1 + 23,2/°/р (1 — р) ‘
На рис. 2.6 представлены графики изменения безразмерных
средних напряжений o°zz/o0 в зависимости от параметра =
= 2р (1 — Р)Л7° при первом (кривая 4), втором (кривая 5) и треть-
ем (кривая 6) приближениях. Видно, что первое приближение дает
достаточно хорошую точность в определении средних напряжений.
Из (2.65) видно, что для жестких датчиков (J° —> оо) (о22)0 —> 0,
ошибки измерений малы и осреднение напряжений при оценке по-
грешностей не приводит к дополнительным погрешностям. Одна-
ко при малой жесткости J° — > 0 из (2.67) следует, что о22/о0 =
= —0,672, и, таким образом, оценка погрешностей измерений
в этом случае сама может содержать существенную ошибку.
В связи с этим нельзя признать приемлемым использование
подобного способа осреднения для теоретических оценок погреш-
ностей измерения напряжений (см., например, [11]).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ
С ГИБКОЙ ПЛАСТИНКОЙ
ТЕНЗОМЕТРИЧЕСКОГО ДАТЧИКА,
РАСПОЛАГАЮЩЕГОСЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
§ 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В главе 2 был рассмотрен вопрос о влиянии прогиба чувстви-
тельного элемента тензометрического датчика на измеряемые на-
пряжения в упругой среде при статических нагрузках и получена
формула, позволяющая количественно оценить возникающую при
этом погрешность.
Ниже в аналогичной постановке рассматривается динамиче-
ская задача о взаимодействии волны напряжений с гибкой плас-
тинкой тензометрического датчика, располагающегося в упругой
среде [48, 49]. Следует отметить, что при динамическом нагруже-
нии датчика, помимо указанного выше, в главе 2, источника оши-
бок, существует еще один, связанный с быстрым изменением на-
грузки в среде, точнее — связанный с инерционностью пластинки
и среды. Далее, как и в главе 2, используются цилиндрические
координаты г, 0, z, время обозначается t. Основные обозначения:
иг = ur (t, г, z), и2 = uz (t, г, z), как и ранее, смещения по г и
z; orr, ozz, orz — компоненты тензора напряжений, р — гидроста-
тическое давление, ц — модуль сдвига. Единицы измерения вы-
браны так, чтобы плотность среды, скорость распространения про-
дольной волны и характерный линейный размер задачи равнялись
единице. Учитывается, что в силу осевой симметрии поля смеще-
ний и напряжений пе зависят от угла 0.
В этих переменных уравнения движения (1.35а) с учетом (1.19а),
(1.37) можно записать в виде
о22 = u2,z + (1 — 2ц)(н1,г + щ/r), (3.1)
ог2 = р (к^,2 4“ п2,г),
и1, и — 4~ Ur,TT + (1 — И) м2, тг +
к2, и = M2,zz 4~ ри-2,гг 4* Рм2, rlr 4~ (1 —г) (Ki, rz 4- ui,г/г)- (3-2)
В (3.1), (3.2) ulttt = d2u1/dt2, ultZZ = d2u1!dz2^ uliZ — dujdz и т. д.
Уравнения (3.1), (3.2) записаны в безразмерных переменных.
Связь между безразмерными и размерными переменными задается
выражениями
z = z/e, r = ria, йг = u-Ja, й2 = щ/а,
t = tc-Ja, Gij = Gij/(k + 2p), p = p/(X + 2ц), (3.3)
где Gi} — соответствующие компоненты тензора напряжений,
а — радиус пластинки, сг — скорость распространения продоль-
ных волн. Черточки над безразмерными величинами в (3.1), (3.2)
и далее в главах 3, 4 опущены.
Рис. 3.1. Область решения задачи о взаимодействии волны напряжений с
гибкой пластинкой
Рис. 3.2. Падающая (1) и отраженные (2, 3) волны от плоской границы раз-
дела двух сред
Вначале (§ 2) задача рассматривается в акустическом прибли-
жении, т. е. предполагается р = 0. Это позволяет ввести потен-
циал V, удовлетворяющий волновому уравнению
V(( = ¥« + ¥гг + Тг/г, (3.4)
где ¥„ = Я7Г, Yzz = 52Wz2, Trr = 0W, = дЧ!дг. Сме-
щения и давление связаны с V соотношениями
иг = ¥г, п2 = тг, р = (3.5)
В § 3 рассматривается взаимодействие упругой волны с плас-
тинкой. Начальные условия для уравнений (3.2) соответствуют
плоской волне, падающей из z = + оо. Граничные условия в
§ 2, 3 ставятся при z = 0, г Лои г = 7?0, z 0, причем допус-
кается Ro = ос (рис. 3.1). Возникающие при этом задачи решают-
ся численно. Так как во всех случаях решение ищется в неограни-
ченной области, то вводятся дополнительные границы Гг. В § 2, 3
Гх состоит из плоскости z = ±z0, г #o, если 2?о конечно; плос-
кости z = ±z0, й и цилиндра г = R, | z | z0, если RB
бесконечно (рис. 3.1).
Предполагается, что на введенной границе движение, вызван-
ное взаимодействием прибора с падающей волной, близко к одно-
мерному. Чтобы записать граничные условия на Гт в единообраз-
ной форме, вводятся обозначения: и — внешняя нормаль к Гг,
п(1) — нормальная, п<2) — касательная к Гх компоненты смеще-
59
ния. Одномерные уравнения упругости можно записать в виде
И<?’ = СЫ£, а = 1,2. (3.6)
В (3.6) нет суммирования по а, индекс п означает производную
по нормали, сх = 1, с2 = ]/\i.
Предполагается, что на введенной границе выполняются урав-
нения (3.6), в которых п<а> есть разность между полным решением
задачи и решением без учета взаимодействия волны с прибором.
Общее решение любого из уравнений (3.6) состоит из суммы
двух произвольных функций, одна из которых описывает уходя-
щую в бесконечность волну, другая — приходящую из бесконеч-
ности. Так как возмущенное движение содержит только волны
первого типа, то граничные условия должны описывать волны
второго типа. Такими граничными условиями является следую-
щий аналог принципа излучения Зоммерфельда (суммирования
по а нет):
4а) = Саи^ = 0, а = 1,2. (3.7)
Полученные граничные условия дадут точное решение задачи
лишь в одномерном случае; в неодномерном случае они внесут
погрешности в решение. Рассмотрим косое падение плоской вол-
ны на плоскую границу. Пусть в плоскости х = х\, у = х2 задана
плоская продольная волна, падающая из у = —оо под углом
на границу у = 0 (рис. 3.2),
“i = —/ (liJsini^, иг = / (gj cosipj при у < 0, (3.8)
где / — некая функция аргумента = c±t — у cosip! + xsinipx,
иг и и2 — смещения по х и у.
Пусть при у = 0 заданы условия (3.7)
+ С1“2,у = 0, ult ( + c2w1>w = 0, (3.9)
где, как и ранее, с± = 1, с2 = jAp.
Движение при у < 0 состоит из суперпозиции падающей про-
дольной волны и отраженных продольных и поперечных волн.
На рис. 3.2 прямые 1—3 изображают фронты падающей, отражен-
ной продольной и отраженной поперечной волн. Смещения в отра-
женных волнах определяются с точностью до коэффициентов от-
ражения А± и Аг:
= —AJ (g2) sin ip!, u2 = —Xi/ (g2) cosipi,
£2 = t + у cos ipi + x sin ipi
на продольной,
“i = (g3) cos ip2, u2 = — AJ (g3) sin ip2,
= t + y/c2 cos ip2 + xlc2 sin ip!, sin ip2 = c2 sin ipx
на поперечной отраженной волне.
60
Коэффициенты отражения А, и Л2 определяются из (3.9). Для
малых ф1 они имеют вид
= с1ф?/4, А2 = (1 - с2) фД2. (3.10)
Если при у = 0 граница отсутствует, то отраженных волн не
будет, и, следовательно, отраженные волны представляют собой
погрешность, внесенную в решение условиями (2.7). Из (3.10)
видно, что эта погрешность имеет порядок ф1. Аналогичные ре-
зультаты получаются, если рассмотреть падение поперечной вол-
ны, что позволяет считать (3.7) приемлемым приближением. Разу-
меется, было бы желательно получить более строгое обоснование
этой гипотезы.
Численное решение задачи строится по обычной схеме. Об-
ласть, в которой ищется решение, разбивается на квадраты прямы-
ми, параллельными осям координат. Считается, что искомые
функции определены лишь в узлах полученной сетки и для диск-
ретных значений времени. Шаг по координатам обозначается h0,
по времени t0. Решение в момент t называется средним слоем, в мо-
мент t + t0 — верхним, t — t0 — нижним слоем. Производные
заменяются конечно-разностными соотношениями. Чтобы раз-
ностные аналоги уравнений и граничных условий можно было за-
писать в достаточно компактной форме, вводятся разностные опе-
раторы б с верхними и нижними индексами. Если обозначить
f (£) произвольную функцию, то разностные операторы первого по-
рядка определяются равенствами
& = О + V2) - f (? - g0/2)]/g0,
= [6|'7 (g + g0/2) + 6jz7 (g - g0/2)]/2, (3.11)
6g = [3/ Ш - 4/ (g - g0) + f - 2U1/2£O.
В (3.11) следует положить g0 = h0, если g = г или g = z, £0 =
— —h0, если £ = n, и g0 = t0, если £ = t. Из разности операто-
ров первого порядка комбинируются операторы второго порядка
бГ5 = б^‘, 6rz = бгбг.
Легко видеть, что введенные разностные операторы аппроксими-
руют соответствующие производные со вторым порядком точности.
Разностный аналог уравнения (3.2) имеет вид
SttUl = P-6zzul + 6^1^ + (1 — р)б„и2 +
+ (6rux)/r — ujr- + 0 (Ло),
б((п2 = 6zzu2 + рбггн2 + р, (бгн2)/г +
+ (1 - p)6rzM1 + (1 - p)(6zM1)/r + 0 (7$. (3.12)
Полученные уравнения определены во внутренних точках сет-
ки и на среднем слое по времени; они описывают явную схему вто-
рого порядка точности. Для устойчивости этой схемы необходимо,
чтобы выполнялся критерий Куранта [50], поэтому в дальнейшем
полагается t0 = h0/2.
61
§ 2
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АКУСТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
С УПРУГОЙ ПЛАСТИНКОЙ
Движение в среде предполагается потенциальным, потенциал
не зависит от 6 и удовлетворяет волновому уравнению
Т„ = Wzz + АТ при z > 0, г < В, (3.13)
где АЧ; = Wrr + ЧД/г. Смещения иг, и2 и давление р связаны с Ч'
выражениями zzx = Чгг, и2 — Чг2, р = —Чгп. Прогиб пластинки
обозначается w. Имеет место условие непрерывности смещений
w = 4rz при z = 0, i>0, г 1.
Граничные условия принимаются в виде
Чгг = 0 при г = В и z > 0, 4rz = 0 при z = 0 и 1 < г < Я;
ЧггП + п1ДДЧг2. — «2Чгг( = 0 при z = 0 и г < 1;
4rz = 0, Чг2Г = 0 при z = 0 и г = 1. (3.14)
В размерных переменных
аг = Eodo/12 (1 — Vo)poa2ct а2 = pralpodo,
где а — радиус, d0 — толщина, р0 — плотность, Ео — модуль
Юнга, v0 — коэффициент Пуассона пластинки; рх, сх — плотность
и скорость звука в среде.
Начальные условия при t = 0
Чг = —z2/2, Чг( = —z при z > 0 и г < 7?;
(u.lo)
Tz = Чг2( = 0 при Z = 0., г < 1.
Такие начальные условия соответствуют единичной ступеньке
давления, падающей из бесконечности. Сформулированная матема-
тическая задача достаточно сложна, и получить для нее замкну-
тое аналитическое решение не удается. Обычно такие задачи сво-
дятся к интегральным уравнениям, решать которые приходится
приближенно или численно [51]. В данной работе задача решает-
ся прямым численным счетом. Так как фактические расчеты мо-
гут быть проведены лишь для конечного, причем небольшого чис-
ла комбинаций параметров, то задача нуждается в предваритель-
ном исследовании.
Заметим, что в задаче основной интерес представляет прогиб
центра пластинки во времени, так как именно эта величина и из-
меряется в реальном эксперименте, и по ней судят о давлении
в среде.
Рассмотрим вначале решения системы (3.13), (3.14)) вида
У = Yq (г, z) exp (i©t), То > 0, То -^-0 при z ->оо. (3.16)
Существование решения типа (3.16) означает, что пластинка мо-
жет совершать незатухающие колебания, даже если давление на
62
бесконечности равно нулю и, следовательно, по смещению плас-
тинки нельзя судить о давлении на бесконечности. Далее показы-
вается, что система (3.13), (3.14) не может иметь решений вида
(3.16). Это обстоятельство кажется довольно очевидным, однако
при других граничных условиях такие решения существуют.
Интерес к таким колебаниям объясняется тем, что при наличии
их нельзя рассчитывать, что решение основной задачи будет
стремиться к решению соответствующей статической задачи при
£ —>- оо. В терминах измерения это будет означать, что при задан-
ном на бесконечности давлении прогиб пластинки может быть
каким угодно и по нему нельзя судить о давлении.
Введем функцию /0 (z), определенную равенством
к
70(z) =§ T*0(r, z)rdr. (3-17)
О
Из уравнения (3.13) и условия — 0 при г — R для Io (z)
получается уравнение
7q,zz(z) 4- (z) = 0. (3.18)
Очевидно, что это уравнение не имеет нетривиальных убываю-
щих на бесконечности решений, поэтому 10 = 0. Так как 4% > 0,
то из (3.17) следует, что Io (z) = 0, лишь если То (г, z) = 0 для
всех г < R. Таким образом, система (3.13), (3.14) не имеет нетри-
виальных решений вида (3.16).
Рассмотрим граничные условия, которые отличаются от (3.14)
тем, что Y = 0 при г = R, Т2 = ДЧГ2 — 0 при z = 0 и г = 1.
Построим частное решение в предположении R = 1. Будем искать
решение в виде
¥ = Jo (Л1Г) exp(icot — £2z), (3.19)
где J0 (£хг) — функции Бесселя, £х — первый корень уравнения
Jo (£) — 0, 11 ® следует выбирать так. чтобы выполнялось урав-
нение (3.13) и граничные условия.
Ясно, что, если £2 0, (3.19) удовлетворяет условиям (3.16).
Если (3.19) подставить в (3.13) и (3.14), то получаются два урав-
нения для со и £2
со2 + Й - Й = о, й (®2 - щЙ) + «2®2 = 0. (3.20)
Покажем, что (3.20) всегда имеет решение. Действительно,
если учесть условие £2 0, то из (3.20) можно получить уравнение
для со
со2 — а2Й + а2а2/УЙ - и2 = 0. (3.21)
Очевидно, что при 0 < со < левая часть этого уравнения есть
монотонная функция со, причем при со = 0 она меньше нуля, при
со —> — больше нуля и, следовательно, на интервале (0, £х)
(3.21) имеет единственное решение. Таким образом, (3.19) есть ре-
63
шение типа (3.16), если со и С, выбрать так, чтобы выполнялось
(3.20).
Далее строится приближенное решение краевой задачи (3.13)—
(3.15) при дополнительном предположении R = 1. Это решение
описывает прогиб пластинки во времени и не содержит информа-
ции о поле давления. Вводится функция Io (t, г), определенная
равенством, аналогичным (3.17),
1
Io (t, z) = 2 § Т (Z, г, z) rdr. (3.22)
о
Интегрируя по г уравнения (3.13), можно получить уравнение
для Io (t, z):
I о, it(t, z) = I0,zZ(t, z). (3.23)
Здесь существенно использование условия Yr = 0 при г = 1
и z>0. Интегрированием (3.15) можно получить начальные ус-
ловия для (3.23)
70 (0, z) = —z2/2, 10,t (0, z) = —z, z > 0. (3-24)
Упрощающее предположение состоит в том, что прогиб пластинки
ищется в виде
w = Qo (t)(l - r2)2/32, (3.25)
где <20 (t) — неизвестная функция.
Зависимость w от г выбрана так, чтобы равенство (3.25) правиль
но описывало статический прогиб пластинки. Из (3.25) и (3.22)
получается граничное условие для (3.23) I0,z (t, 0) = Qo (f)/96.
Это условие совместно с (3.24) определяет решение (3.23)
t-z
Io (t, z) = - \ A. Qo (£) - А (3.26)
о
Так как зависимость w от г зафиксирована, то удовлетворить
условия (3.14) невозможно. Потребуем, чтобы они выполнялись
в среднем по г. Это даст уравнение для Qo (t)
Qo Ч- a?Qu Ч- Эбщ^о — —192a,. (3.2/)
Начальные условия для (3.27) получаются из (3.15) и имеют вид
<20 (0) = Qo (0) = 0. Уравнение (3.27) есть классическое уравнение
затухающих колебаний: свойства его решений хорошо известны,
и здесь их можно не обсуждать. Результаты фактического по-
строения решения изображены на рис. 3.3—3.7 (кривые 1). При по-
лучении (3.27) свойства симметрии задачи по существу не исполь-
зовались, поэтому все рассуждения проходят, если пластинка
имеет произвольную, достаточно гладкую форму. Нужно только
потребовать, чтобы она занимала все основание цилиндра, но при
этом коэффициенты в (3.27) будут другими.
64
Рис. 3.3. Зависимости w (t) для приближенного (7) и точного (2, 3) решений
при = 1,0; а2 ~ 2,5 (Сд = 0,08)
Рис. 3.4. Зависимости w (t) для приближенного (7) и точного (2, 3) решений
при = 0,25; о2 = 5,0 (Сд = 0,015)
Рис. 3.5. Зависимости w (z) для приближенного (7) и точного (2, 3) решений
при = 0,0625; а2 = Ю (Сд = 0,004)
Рис. 3.6. Зависимости w (t) для приближенного (7) и точного (2, 3) решении
при ах = 0,1; а2 = 2,5 (Сд = 0,013)
Рис. 3.7. Зависимости w (Z)
для приближенного (7) и точ-
ного (2, 3) решении при aL =
= 0,025; а2 = 5,0 (Сд = 0,004)
3 Г. В. Рыков, А. М. Скобеев
Перейдем к описанию численного метода решения основной за-
дачи и результатов фактических расчетов. Для частного случая
R = 1 проведем сравнение с приближенным решением. Численное
решение задачи проводится по обычной схеме, т. е. все производ-
ные заменяются разностными отношениями, а полученная система
линейных алгебраических уравнений решается на ЭВМ. Уравне-
ние (3.13) с условиями (3.14), (3.15) не удобны для численного ре-
шения, так как решение ищется в полубесконечной области,
а начальные значения негладкие, поэтому задача подвергалась
предварительной обработке. Особенность в начальных условиях
легко выделяется. Для этого решение представляется в виде V =
= + V2, где = (1 — z)2/2 для z t, = 0 для z < t.
Из линейности задачи ясно, что удовлетворяет (3.13), (3.14)"
с начальными условиями Yj = —z2, = 0 при t = 0. Кро-
ме того, — V при z < t, в частности при z — 0, t 0. Посколь-
ку основной интерес представляет зависимость прогиба пластинки
от времени, то в дальнейшем не делается различия между Т" и Чг1.
Так как граничные условия содержат дифференциальное урав-
нение для Tz, то оказалось удобным перейти к переменным w (t,
г) = Tz (t, г, 0), р (t, г, z) = (f, г, z).
Для р получается уравнение
Ри = Pzz + Др, Др = Ргг + Рг/г (3.28)
с условиями
pr (t, 0, z) = рт (t, R, z) = 0, pz (t, г, 0) = — wtl;
р (0, г, z) = 2, pt (0, г, z) = 0. (3.29)
При 1 г R w (t, г) — 0, при г < 1 для w выполняется
уравнение
wtt + йхДДш + а2р = 0 (3.30)
с условиями
wr (t, 0) = wrrr (t, 0) = 0;
w (t, 1) = wr (t, 1) = 0, w (0, r) = wt (0, r) = 0. (3.31)
В граничные условия (3.29) и (3.31) входит условие при г = 0,
которое выбирается из соображений симметрии и сводится к тому,
что если р и w не зависят от 6, то они должны быть четными функ-
циями г. Соотношения (3.28) — (3.31) полностью эквивалентны ис-
ходной задаче для z < t. Так как численное решение фактически
может быть построено только в ограниченной области, то в задачу
следует ввести дополнительные граничные условия. Полубесконеч-
ный цилиндр обрезается при z = z0, и на полученной границе ста-
вится условие, аналогичное (3.7),
Pt + Pz — 0 ПРИ z = z0. (3.32)
Смысл этого условия выясняется, если рассмотреть косое па-
дение плоской волны на плоскую границу, на которой выполняет-
66
ся (3.32). Пусть в плоскости х, z при z = О задано условие (3.32)
и при z < 0 задана падающая волна р — f (t — z cos ф3 —
— x sin ф3). Тогда отраженная волна получится в виде
Р = cos £ + z cos ф3 — a: sin ф3). (3.33)
Если при z = 0 граница отсутствует, то никакой отраженной
волны не будет. Из (3.33) видно, что коэффициент отражения ра-
вен нулю при нормальном падении (ф3 = 0) и имеет порядок ф3
при малых ф3. Так как можно ожидать, что при достаточно боль-
ших z движение будет близко к одномерному, условие (3.32) пред-
ставляется оправданным. По г область ограничена, однако возмож-
на ситуация В 1; тогда полагалось В = 3 и при г = 3 ставилось
условие pt Т рг = 0 при г = 3.
Таким образом, возникает задача численного решения системы
(3.28)—(3.32) в области 0 <1 г <1 В, 0 z zc, Z 0. Уравне-
ние (3.23) во внутренних точках области аппроксимируется явной
схемой второго порядка, причем шаги по времени и координатам
выбираются так, чтобы выполнялось условие Куранта. Уравне-
ние (3.30) решалось по неявной схеме. Такой выбор объясняет-
ся тем, что машинное время в основном тратится на вычисление
р во внутренних точках, поэтому желательно избежать дополни-
тельных ограничений па шаг по времени, которые возникают, ес-
ли для (3.30) применяется явная схема.
Используются введенные в § 1 обозначения: h0 — шаг по коор-
динате, t0 = h0'2 — шаг по времени, бг, б((, 62г, бгг — централь-
ные, 6*, 67 — односторонние разностные операторы. Для аппрок-
симации оператора А вводится оператор Агг = 6rr -I- бг/г. Исполь-
зуется также односторонний оператор второго порядка б», опре-
деленный равенством
6«/ = 12/ (0 - 5/ (t - t0) + 4f(t- 2i0) -f(t- 3t0)]/t20,
где / — произвольная функция.
Во внутренних точках области (3.28) аппроксимируется по
трехслойной явной схеме второго порядка точности
£>иР = £>zzP + &гтР-
Граничные условия принимаются в виде
б<р + бгР ~ 0 при Z = z0;
6пР =0, п = —г при г — 0;
6/ р = 0, если г<"3, б? р -J- 6/ р = 0, если г = 3 при
Условия (3.35) принимаются па верхнем слое.
Условия при z=0 аппроксимируются на среднем слое
бгр + SttW = 0 при z = 0.
(3.34)
(3.35)
г = В
(3.36)
3*
67
Соотношения (3.36) содержат лежащие вне области точки; эти
точки исключаются с использованием (3.35). Уравнение (3.36)
преобразуется с учетом условия pz + wlt = О к виду
(1 + a2h0)wlt + щДДш 4- a2ph° + 0 (h%) = 0, (3.37)
где р}° = р (t, г, 1г0). Полученное уравнение аппроксимируется на
верхнем слое по четырехслойной неявной схеме
(1 + a2h0)8nw + щДггДггш a2pha = 0. (3.38)
Смысл этого не вполне очевидного преобразования можно разъ-
яснить на примере одномерного уравнения ptt = pzz с граничными
условиями 1Оц = а2р, pz + wlt = 0 при z — 0 и начальными
w = wt — 0, р = pi = 0 при t = 0.
Если положить h0 = t0 и обозначить р* = р (kt0, jh0), то по
аналогии с (3.34) получится
Pj+1 = Pj+l + --- Pl 0 7 ОО, А" > 0; ggj
P71==pJ=l, — * С/'-
Условие при / = 0 вводится по аналогии с (3.36)
Р-г = р* + 2howtt. (3.40)
Рассмотрим два способа аппроксимации (3.40). Первый соот-
ветствует уравнению (3.30) и имеет вид wlt + — 0, второй
соответствует уравнению (3.38) и принимается в виде
(1 -j- a2h<y) Wu + агР1 ~ О-
Из (3.39) можно усмотреть, что р|+/ — р* = 0 при j 0,
к 0. Отсюда получается уравнение для рв, которое для первого
способа аппроксимации граничного условия имеет вид
Ро^ + г^оРо-Ро’^О, (3.41)
а для второго —
S+1 |1 — -JC-1 _ А
Ро - Г+-а21ГвР° -и-
(3.42)
Легко видеть, что (3.42) устойчиво при любых h0 0; (3.41)
не устойчиво для всех h0 0.
Граничные условия для (3.30) при г = 1 имеют вид w = 0,
wr = 0. Шаг по г выбран так, чтобы г = 1 было точкой сетки,
поэтому первое условие выполнено точно- Вводится фиктивная
точка г = 1 + hB и второе условие заменяется на w (i, 1 + h0) =
= w (t, 1 — h0). Для аппроксимации условий при г = 0 вводятся
фиктивные точки г = —h0 и г = —2/г0 и условия приобретают вид
W-х = Ш1, Ш-2 = w2, где Wt — w (t, ih0). Уравнение (3.38) предпо-
лагается справедливым при 0 г 1 — ha. Однако при г = 0
(3.30) содержит особенность, поэтому (3.38) при г = 0, ha должно
быть видоизменено.
Путем сравнительно несложных вычислений можно показать,
что
АДш = 16 (ш2 — + 3iro)/37io + 0 (7iq) при г = 0, (3.43)
ДДш = (2ш3 — 20/3и>2 + 26/з«;1 — 4h70)//iq + 0 (hl) при г = hQ.
Поэтому при г — 0, hD выражение ДггДггш в (3.38) следует за-
менить на правые части (3.43).
Начальные условия для t = 0, —10, —2t0 принимаются в виде
р = 1, w = 0. Уравнение (3.38) принадлежит к пятидиагонально-
му типу, для него существует эффективный метод прогонки [50],
который и использовался.
Система конечно-разностных уравнений (3.35) — (3.38) ап-
проксимирует исходную систему; необходимо оценить возни-
кающую при этом ошибку, так как от нее зависит достоверность
полученных результатов. В дальнейшем под решением будем по-
нимать функцию w (t) = w (t, 0).
Рассмотрим статическую задачу, соответствующую (3.28) —
(3.31). Эта задача получится, если в (3.28) — (3.31) положить
d/dt = 0 и выбросить начальные условия. Эта задача имеет оче-
видное решение
р = 2, W (г) = - (г2 - I)2. (3.44)
Конечно-разностная аппроксимация этой задачи получится,
если в (3.35) — (3.38) положить Ь}р — 8tlp — 0. Полученная
система уравнений также имеет простое решение
р = 2, «,i = __g-(l-^)(l+2/720-i2A2). (3.45)
Из (3.44), (3.45) получается выражение для ошибки аппрок-
симации
(iv — iv (0))/ш (0) = 2hl (3.46)
Так как из физических соображений кажется вероятным, что
решение (3.28) — (3.31) при оо будет стремиться к статиче-
скому, то (3.46) можно рассматривать как оценку снизу для
максимальной ошибки.
Эти рассуждения касаются погрешности аппроксимации про-
изводных по координатам и существенно используют то обстоятель-
ство, что исключение зависимости от времени резко упрощает
ситуацию. Аналогичным образом можно поступить и с производ-
ными по времени. Так как найти подходящий частный случай не
удается, то использовалась модельная задача. Рассматривалась од-
номерная задача для уравнения (3.23) с граничными условиями
(3.25), (3.27). Эта задача имеет точное решение, которое можно по-
лучить из (3.27). Уравнение (3.23), граничные и начальные ус-
69
ловил заменялись конечно-разностными уравнениями, аналогич-
ными (3.35) — (3.38). Эти уравнения решались на интервале О
t 10, и вычислялось среднее квадратичное отклонение Сд.
полученного решения от точного. Численное значение этой вели-
чины для соответствующих значений параметров аъ с2 приведено-
на рис. 3.3—3.7. Кривые 2 на этих фигурах изображают w (t) для
7? =. 1; z0 = 3, h0 — 0,1, кривые 3 соответствуют R = 3,0, z0 =
==3,0, h0 = 0,1; кривые 1 — решению (3.27). Масштаб по w выб-
ран так, чтобы w —> 1 при z -> оо. Ясно, что одной и той же ком-
бинации «j и а2 могут соответствовать разные значения размерных
параметров. Например, можно считать, что на рис. 3.3—3.5 все
параметры одинаковы, кроме толщины пластинки, которая
уменьшается при переходе к следующему рисунку в два раза,
а рис. 3.6, 3,7 отличаются от 3.3—3.5 только модулем Юнга,
который для них в 10 раз меньше. Видно, что для достаточно жест-
ких пластинок все кривые близки друг к другу, в частности ца
рис. 3.3 кривые 2,3 совпадают в пределах точности графика.
Окончательно можно сделать вывод, что для достаточно же-
стких пластинок (3.27) дает удовлетворительное количественное,
а в остальных случаях качественное согласие с точным решением.
§ з
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УПРУГОЙ ВОЛНЫ
С УПРУГОЙ ПЛАСТИНКОЙ
Здесь рассматривается та же задача, что и в § 2, но без пред-
положения р = 0- Решение соответствующей статической задачи
уже не может быть найдено путем элементарных рассуждений
(глава 2). Результаты главы 2 и § 2 главы 3 используются для кон-
троля численного решения, которое будет далее описано.
Рассматривается краевая задача для уравнений (3.2) с началь-
ными условиями при t = 0, соответствующими плоской продоль-
ной волне, падающей из z = оо,
ui — ui,t = 0, и2 — z/2, u2,t = при z > 0, г < R (ЗА!)
и граничными условиями для z 0
иг = 0, и2,т = 0 при г — 0 и г = R. (3.48)
Эти граничные условия для г = 0 возникают из соображений
симметрии. Для г = R они эквивалентны предположению, что
при г = R находится жесткая гладкая стейка. При z = 0 ставят-
ся два условия. Первое из них эквивалентно (3.30) и имеет вид
р°шп + — ст., = 0 при г < 1,
(3.49)
w = w (г, t) — и2 (t, г, 0);
и2 = 0 при 1 г R. и2,т — 0 'при г = 1.
70
Эти условия отличаются от (3.30) только обозначениями. В обоз-
начениях § 2 р° = 1/а2, J0 = aja2. Знак минус перед azz выбран
потому, что положительными считаются растягивающие напря-
жения; azz определяется из (3.1).
Для уравнений (3.49) ставятся начальные условия
w = ivt — 0 при z = 0, t = 0. (3.50)
Второе граничное условие при z = 0 ставилось в двух вариантах;
Ui = 0 при z = Ои = 0 при z = 0. (3.51)
Первый вариант, как и ранее в главе 2, называется условиями
«прилипания», второй — «проскальзывания».
Если ввести параметр к0, который может принимать только два
значения 0 и 1, то условия (3.51) можно записать в виде
k0Ui 4- (1 — k0)oTZ = 0 при z = 0, 0 г < /?. (3.52)
Легко видеть, что при к0 = 0 (3.52) переходит в условие «про-
скальзывания», при к0 = 1 — в условие «прилипания». Постав-
ленные начальные и граничные условия полностью определяют за-
дачу, однако для удобства численного решения они преобра-
зуются так же, как и в § 2.
В начальных условиях существует особенность — разрыв
и2, t при z = 0. Эта особенность выделяется представлением иг
в виде
и2 — и'г + / (t — z), (3.53)
где / = 0 при t z, f = t — z при t > z.
Видно, что и2 совпадает с и2 при z t. По изложенным в § 2
причинам в дальнейшем не делается различия между и2 и и2.
Используя (3.53), можно представить начальные условия для
и2 в виде
и2 - 2z, и2Л = 0 при z > 0, t - 0. (3.54)
Условия (3.54) не содержат особенности при z 0.
Вводятся также дополнительные граничные условия при z —
z0, если R конечно, иг z0, г 7?0 и z<^ z0, г — Яо, если R бес-
конечно. На введенной границе ставятся условия (3.7), которые
в данном случае имеют вид (с2 = У^г)
Hl, t ~Н r2iZj( z ^2, t 4~ ^2, z — При Z = Zp, (3.55)
Uj, t 4“ ^1, т = 0, U2, t 4~ С21/2, г = 0 при Г = Rq-
Теперь задача подготовлена для численного решения.
Численное решение строится по схеме, изоженной в § 1. Во
внутренних точках области для уравнений (3.2) используется
трехслойная явная схема второго порядка, определенная на
71
среднем слое соотношениями (3.12). Граничные условия при г — О
и г = R (если R конечно) принимаются в виде
uL = 0, 6«и2 = 0, (3.56)
где берется на верхнем слое, п — г при г = R, п = —? при
г = 0.
Условия (3.52) аппроксимируются [на верхнем слое
koui 4~ Ц (1 — М (^z Ui 4~ 6гмг) = 0. (3.5/)'
Граничные условия (3.49) при z^ 1 превращаются просто в и2 = 0-
При г < 1 они преобразуются с использованием уравнения,
движения
w2,(( = + у (3’58)|
К виду
(Р° I- Ло) wtt ! = 02z 4~ ho —j- — бг~У (3.59)
Здесь и далее индексом h0 отмечаются величины при z = h0.
Из (3.52) можно усмотреть, что orz = kotyrz. Это позволяет
записать (3.59) в виде
(р° + ha) wtt + J°Ww — ko\\ho&w =
= 4- (1 — 2ц) (Ui°r 4- Hi7r) H (ui,zr —~—)- (3.60)
Заметим далее, что справедливы формулы
kjhou±z = koiti° 4” 0 (ho), kjhoui,zr — kou^°r 4~ 0 (ho)- (3.61)
Действительно, при k0 = 0 они вырождаются в тривиальные
тождества, при к0 = 1 они следуют из того, что на границе щ —
= 0 при к0 = 1.
Разностный аналог (3.60) принимается с использованием (3.61)
и обозначений § 2 в виде
(р° 4- h0) 6\ w 4- /°ДггДггш — кокоЦ&тЮ =
= bzwh« 4- (1—2|Л 4- k0[i) (8rUi° 4- Wj7r). (3.62)
Выражение (3.62) принимается на верхнем слое и дает для
(3.49) неявную четырехслойную схему второго порядка. Система
уравнений (3.62) полностью аналогична (3.38), и для нее приме-
нялся тот же метод прогонки.
Условия (3.55) аппроксимировались с использованием цент-
ральных разностных соотношений на среднем слое в виде
4"ca6nW(a) = 0, а = 1,2, (3.63)
где использованы те же обозначения, что и в (3.7).
В данном случае uS1) — и2 — 2z, iz<2> = иг на верхней границе
z = z0; u<x> = иг, u<2> = иг на боковой границе г = R 0. Так как в (3.63)
используются центральные разностные отношения, то в (3.63)
входит точка, лежащая вне области. Чтобы исключить эту точку,
используется то обстоятельство, что и^> и и(2) на введенной гра-
нице удовлетворяют также уравнениям (3.6).
Разностная аппроксимация этих уравнений на среднем слое
принимается в виде
= ca6nnw(“>. (3.64)
Полученные уравнения содержат ту же лежащую вне области
точку, что и (3.63). Поэтому эту точку можно исключить из (3.63)
с использованием (3.64) и получить разностный аналог (3.55) в ви-
де
2са(btuw + ca8nu^)/h0 4- - с2а8ппи™ 0. (3.65)
Изложенная схема была реализована в виде программы на
языке АЛГОЛ-60. Фактические расчеты проводились на ЭВМ
БЭСМ-ЗМ. Максимальное количество точек сетки составляло
Рис. 3.8. Влияние параметра
к0 на зависимость д'‘ (?) при
р = 0,3; р° = 0,1; 7° = 0,02;
Ло = 0,1; Ло = Zo = 3,0;
1 — k„ = 0;
2 — k„ = 1
2500. Так как в каждой точке нужно было хранить четыре вели-
чины, то массивы смещений не помещались в оперативной памяти
и их приходилось хранить на барабане. Обмен с барабаном зани-
мал примерно половину времени счета. Время, необходимое для
счета решения от 0 до t, составляло примерно 2 W~iz(T>d!hi мин.
Целью расчетов была оценка влияния параметров задачи на
прогиб пластинки. При интерпретации результатов измерения
предполагается, что прогиб центра пластинки пропорционален
напряжению в среде. Если через (?) обозначить измеряемое
напряжение, то из решения соответствующей гидростатической
задачи легко находится выражением для о? (t) через смещение
центра пластинки
о“ (?) = (t, 0, 0). (3.66)
Если не учитывать влияние прогиба пластинки на поле напря-
жений, то в отраженной волне azz = 1 при t 0, следовательно,
ог (?) равно отношению измеряемого напряжения к истинному.
В задачу входят пять физических параметров — р,, 4-0, р°,
J°, R и три параметра, характеризующие выбранную схему —
73
Рис. 3.9. Влияние параметра р° на
зависимость о® (/) при р, = 0,3; J0 =
=0,1; кв = 0; h0 = 0,1; Ro = 3,0;
z0 = 3,0;
1 — р° = 0,01; 2 — р“ = 0,1; 3 — р° = 0,5
Рис. 3.10. Влияние боковых стенок па
зависимость a® (i) при р, = 0,3; кв = 0;
р° = 0,1; J° = 0,01; hB = 0,1; z0 = 3,0;
1 — В-» оо; 2 — R = 3,0; 3 — R — 1,1
Рис. 3.11. Кривые а® (<) при J° = 1;
к0 = 0; h0= 0,05; z0 = RB = 2,5 при
различных р. и р°:
1 — В = 0,3; р° = 0,5; 2 — р. = 0,5; р° =
— 0,1
hB, z, RB. Параметры схемы
влияют только на точность
результатов, физические же
параметры влияют на д° (/)
по существу. Так как оце-
пить одновременное влияние
всех параметров при числен-
ном счете невозможно, то
влияние каждого параметра
исследуется отдельно. Чтобы
не выписывать одинаковые
комбинации параметров, в
дальнейшем полагается ц =
= 0,3, кп = 0, р® = 0,1,
J° — 0,02, R = оо, hB — 0,1,
z0 = 3,0, 7?о = 3,0 и огова-
риваются только отличия па-
раметров от перечисленных
значений.
Проще всего исследовать»
влияние ки, так как оно
принимает только два значе-
ния 0 и 1. Было обнаружено,
что о? (£) слабо зависит от кв.
На рис. 3.8 кривая/соответ-
ствует и® (/) для к0 = 0, кри-
вая 2 соответствует решению
с кв = 1 при J® = 0,02. Ана-
логичные результаты полу-
чились и для/® = 0,01, 0,04,
0,08. Следовательно, можно
считать, что к0 влияет на
d? (t) в пределах нескольких
процентов. Это обстоятельст
во кажется важным, так как
относительно реальных усло-
вий контакта обычно извест-
но только то, что они лежат
где-то между условиями
«прилипания» (fc0 = 1) и
полного «проскальзывания»
(fco = 0).
Безразмерная плотность
р® в принципе может быть
любой, однако для реальных
датчиков она порядка 0,1
[64]. Так как решение стати-
74
ческой задачи не Зависит от р°, то р° влияет только на пере-
ходный процесс. Из рис. 3.9 видно, что при малых p°dj (t) слабо
зависит от р°, а длительность переходного процесса растет с ростом
р°, т. е. более тяжелые пластинки имеют худшие динамические
характеристики.
Исследовалось также влияние боковых стенок. Как и следо-
вало ожидать, оно оказалось максимальным для малых /°, но и в
этом случае оно все равно мало. Из рис. 3.10 следует, что уже
при R = 3 кривая d° (t) практически совпадает с соответствую-
щей кривой для R = оо.
Наиболее существенна зависимость о® (i) от р и J°. Влияние
•этих параметров исследовалось в [51], где было построено числен-
ное решение статической задачи для R = оо и fc0 = 0. Эта же за-
дача решалась другим методом Е. Б. Сретенским, которым было
получено выражение
о? = [1 + 0,0431ц (1 - ц)//0]-1, (3.67)
где 6® соответствует сц (оо). Следует заметить, что численные ре-
зультаты [52] хорошо описываются формулой (3.67).
В настоящей работе оценивались пределы применимости (3.67).
Для этого решение выполнялось до тех пор, пока d° (t) не стано-
вилось постоянным. Полученная постоянная dj* сравнивалась
•с d" из (3.67). Результаты приведены ниже.
р, — 0,3
J0 0,01 0,04 0,08 0,10 1,00
0° 0,52 0,82 0,90 0,92 0,99
~о а1. 0,53 0,83 0,91 0,93 1,01
р.= 0,02
J® 0,00 0,10 0,30 0,50
1,00 0,84 0,69 0,65
~О 1,01 0,86 0,69 0,65
Контрольные расчеты с повышенной точностью показали, что
различие между д° и d°. в приведенных данных объясняется ско-
рее ошибками численного счета, нежели погрешностью (3.67).
Таким образом, можно считать, что при /° > 0,01 и любых р
(3.67) дает по крайней мере два верных знака после запятой.
Из (3.67) можно усмотреть, что влиние р существенно при ма-
лых J° и падает с ростом J°. Аналогично обстоит дело и в динами-
ке. На рис. 3.11 изображено о? (t) для J0 = 1, hc = 0,05, z0 =
= 7?О=2,5, причем кривая 1 соответствует р = 0,3, р°=0,5, кри-
вая 2 — р = 0,5, р° = 0,1. Расчет для р — 0,01 дал совпадение
с кривыми 1 и 2 с ошибкой меньше 0,01. Это означает, что для до-
статочно жестких пластинок движение близко к одномерному.
75
Проводился контроль точности результатов варьирования
параметров hB, zB, Нв- Выяснилось, что замена бесконечной обла-
сти конечной с условиями (3.7) дает незначительный вклад в общую
ошибку, которая для рассмотренных вариантов не превышала
0,05.
Анализ результатов расчетов показал, что установление ква-
зистатического состояния наблюдается практически при tBB —
= (4—5) а/с1. Образовавшееся распределение напряжений вокруг
пластинки характеризует «свод давлений». Интересно отметить,
что его размеры по оси z в рассматриваемые моменты времени не-
сколько меньше статического (см. главу 2) и составляют (1,2 -4-
-г-1,25) радиуса пластинки.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ
С АБСОЛЮТНО ЖЕСТКИМ КОРПУСОМ ДАТЧИКА
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ,
РАСПОЛОЖЕННОГО В УПРУГОЙ СРЕДЕ
§ 1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В главах 2 и 3 был рассмотрен вопрос о влиянии прогиба чув
ствительного элемента датчика на измеряемые напряжения при
статических и динамических нагрузках. При этом соответствую-
щие задачи рассматривались в такой постановке, чтобы исклю-
чить влияние на напряженное состояние среды эффектов концен-
трации напряжений вокруг жесткого корпуса датчика. В данной
главе рассматривается именно последний случай, причем предпо-
лагается, что датчик абсолютно жесткий, т. е. исключается как
влияние прогиба чувствительного элемента датчиков, так и влия-
ние деформации самого корпуса. Последнее допущение достаточно
точно отражает действительность, так как модуль Юнга для ма-
териала датчика (дюралюминий, сталь) имеет порядок Ео ~
—106 кг/см2 и практически много больше максимальной величины
модуля деформаций Кх, характерного для грунтов при нагрузках
порядка нескольких сотен килограммов на квадратный сантиметр.
Математическая постановка данного вопроса связана здесь
с решением осесимметричной задачи о дифракции плоской про-
дольной волны на жестком цилиндре конечной толщины. Цилиндр
заключен в неограниченную упругую среду. Касательные напря-
жения на поверхности контакта цилиндра со средой ограничены
некоторой константой. Падающая волна движется вдоль оси ци-
линдра и имеет вид полубесконечной размытой ступеньки. Попут-
но получается решение соответствующей статической задачи.
Исследуется зависимость поля напряжений и скорости движе-
ния цилиндра от параметров задачи. В частности, показано, что
условия контакта существенно влияют на поле напряжений лишь
вблизи боковой поверхности.
Используются цилиндрические координаты г, 6, z; ось z сов-
падает с осью цилиндра, который занимает область —Нй!2 z
<ГГ/0/2, 1 (рис. 4.1). Внешнюю область цилиндра заполняет
упругая среда. Единицы измерения выбраны так, чтобы радиус
цилиндра, плотность среды и скорость распространения продоль-
ных волн в ней равнялись единице. В дальнейшем учитывается,
что в силу осевой симметрии поля напряжений и смещений не за-
висят от угла 0.
77
Основные обозначения: р0 — плотность, V (t) — скорость,
W (t) — смещение цилиндра, Г — контур цилиндра в координа-
тах г, z; — смещение цилиндра по нормали и касатель-
ной к Г; = О, С7<2> = W — на боковой поверхности; UW —
= W, Я(2) = 0 — на основаниях; п(2) — смещения в среде
на границе с цилиндром, — но нормали к Г, п<2> — по каса-
тельной.
Вне цилиндра для и и2 выполняются динамические уравне-
ния теории упругости (3.2).
Уравнение движения цилиндра принимается в виде
Я„ d2W 1‘ , , ,
Ро ~ ~d&~ = J °zzrdr -j- Grzdz. (4.1)
г
Для уравнений (3.2) ставится краевая задача с начальными
условиями при t = 0 и граничными на контуре цилиндра Г.
Рис. 4.1. Область решения
задачи о дифракции упругой
волны на жестком цилиндре
Начальные условия описывают плоскую продольную волну,
падающую из бесконечности на верхнее основание цилиндра. Пе-
ред передним фронтом волны среда покоится и не нагружена, за
задним фронтом находится в состоянии однооспой деформации
с Gzz = 1. Эти условия имеют вид
W (0) 0; V (0) = 0; иг (0, г, z) = и1л (0, г, z) = 0;
u2,z (0, г, z) = и2Л (0, г, z) = / ((Яо + ДУ - 2г)/Д7’), (4.2)
где
/ (g) = 0 при g > 1, / (g) = 1 при g < — 1,
/(£)=(! + £ sign £)/2 - g при -1 < g < 1. (4.3)
Входящий в (4.2) параметр Д71 характеризует степень размытия
волны.
На поверхности цилиндра ставились два граничных условия.
Первое из них возникает из предположения о том, что цилиндр
жесткий. Оно имеет вид = U(1> на контуре цилиндра Г. Вто-
78
рое соответствует упрощенному закону сухого трения
н((2) = если | огг | < Ло> (4.4)
огг = кв sign (щ(2) — J7;2)), если | orz | = к0.
Эти условия отличаются от закона Кулона тем, что введенная
в (4.4) величина к0, характеризующая сцепление среды с поверх-
ностью, не зависит от нормального напряжения.
Следует отметить, что если кв = 0, то из (4.4) следует orz = О,
что соответствует условиям «проскальзывания». При достаточно'
больших кв получается iz<2> = U^\ т. е. условия «прилипания».
В этих важных частных случаях задача становится линейной.
Сформулированная задача естественно возникает при изуче-
нии действия ударной нагрузки на тело, содержащее жесткое ци-
линдрическое включение.
В дальнейшем предполагается, как уже отмечалось, что цилиндр
представляет собой датчик напряжений, включенный в неограни-
ченную упругую среду. Чувствительный элемент занимает неко-
торую часть верхнего основания цилиндра и не влияет на поле
напряжения. Предполагается, что измеряемое напряжение ле-
жит между максимальным и минимальным нормальным напря-
жением, действующим на чувствительный элемент. Целью изме-
рения, очевидно, является получение информации о напряжении
в волне, основной интерес представляет отличие измеряемого нап-
ряжения от напряжения в падающей волне. Поэтому в дальней-
шем основное внимание уделяется изучению влияния параметров
задачи на распределение нормальных напряжений на верхнем
основании цилиндра.
§ 2
ОПИСАНИЕ ЧИСЛЕННОЙ СХЕМЫ
Сформулированная задача решалась численно. Уравнения
движения и граничные условия заменялись конечно-разностны-
ми соотношениями, и полученная система уравнений решалась на
ЭВМ БЭСМ-ЗМ. Ясно, что при этом решение может быть получено
лишь в конечной области. Возмущение, вызванное движением
цилиндра, для конечных t распространяется на конечную область,
вне которой решение имеет вид
иг = 0, и2 = / (t — z + Яо/2). (4.5)
Были введены дополнительные граничные условия при z =
= ±z0 иО^ й, г = Н и —zn z z0. Введенная граница
обозначается 1\- Для нормальных и касательных к новой границе
смещений возмущенного движения используется прежнее обоз-
начение и(1) и п(2), нормаль к границе обозначается п. На введен-
ной границе принимаются условия (3.7), в которых следует по-
ложить
79
w(1) = u2 — f (t — z + Яо/2), u<2> = ur — на верхнем и ниж-
пем участках границы; (4.6)
и™ = ult w<2> = и2 — f (t — z + Но/2) — на боковом участке.
Уравнение (4.1) при р0 = 0 вырождается. Поэтому оно пре-
образуется с использованием (4.2) к виду
7/(, d?W СС , , г
Ро—g----+ u2,urdrciz — \ н2, zrar + p,w2, rrdr
D, rs
+ (1 P-) (1 ~г ^о/2) (wxn — Mit>), (4.7)
где h0 — шаг по z и г; Г2 — контур, состоящий из прямых —
(.Но Н- ^о)/2 z (Но + ^о)/2, г = 1 + h0/2, и z = ± (Но +
+ h0)/2, 0 1 + h0/2-, Dx — область, заключенная между
Г и Г2; Uia и Щь — значения щ в верхнем и нижнем углах Г2.
В цилиндрической системе координат возникают условия при
г = 0, которые из соображений симметрии принимаются в виде
Uj = 0, и.21Г = 0. Начальные условия ставятся не при t = 0,
а при t = Н0/2 — z0 < 0. Они сводятся к тому, что искомые
функции и их производные равны нулю при t = Н0/2 — z0 и
z z0. Таким образом, решается система уравнений (3.2) с гра-
ничными условиями (4.4), (4.7), (3.7) и нулевыми начальными
условиями. Как обычно, область, заключенная между Г и Гх,
разбивается прямыми, параллельными осям координат, на квад-
раты со стороной h0. Все функции вычисляются лишь в узлах
полученной сетки и для дискретных значений времени. Предпо-
лагается, что Г и Г2 проходят через узлы сетки. Это означает,
что l/h0, Hjh0, zolho, R!h0 — целые.
Решение вычисляется для последовательных значений t с ша-
гом t0, начиная с t = Я0/2 — z0 + t0.
В дальнейшем аргументы у функции не выписываются, реше-
ние для момента времени t называется средним слоем, для
t — t0 — нижним, для t + t0 — верхним.
Для основных уравнений (3.2) принимается явная схема вто-
рого порядка (3.12), причем по-прежнему t0 = h0/2.
Начальные условия сводятся к тому, что все функции равны
нулю при t — Н0/2 — z0 — t0 и t = Н^2 — z0. Условия на внеш-
ней границе аппроксимируются так, как это сделано в предыду-
щем разделе. Таким образом, на Гх принимаются условия (3.65),
причем входящие в них величины u(a> определены выражениями
(4.6). Граничное условие (4.7) аппроксимировалось также с ис-
пользованием центральных разностных отношений. Входящий
в левую часть интеграл имеет порядок /г0 и его можно преобра-
зовать
и2, ttrdrdz = -г -у- "2, ii^z + 0 (hl), (4.8)
и\ г,
где Г3 — отрезок г = 1, — Н0/2 <z <. HOI2.
80
Интегралы по Г2 и Г3 вычислялись методом трапеции, значе-
ния подынтегральных функций брались в точках пересечения
Г2 и Г3 с прямыми сетками. Для соответствующих интегральных
сумм употребляется символ S. Так как Г2 не проходит через уз-
лы сетки, то для аппроксимации первых производных использо-
вались операторы б'/2 и б^2, которые не содержат точек, лежащих
на Г2.
Разностный аналог (4.7) имеет вид
Ро bttw = £ г (б’?н2 + ибУч) + 4 Е 6»М2 +
гГ гг
+ (1 — И-) Н—1М1 (t, 1 + *o, Н0/2 + /г0) —
- М1 (#, 1 + h0, - Но/2 - h0)] + 0 (/£), (4.9)
где б((н2 вычисляется на нижнем слое.
При получении (4.9) использовано то обстоятельство, что и1и,
ulb и левая часть (4.8) имеют порядок h0 и для них пригодна аппрок-
симация первого порядка.
Условие при г — 0 можно выписать сразу:
ut = 0, 6rU.2 = 0 при г = 0.
Что касается условий на границе цилиндра, то условие
гД1) = Z7W остается без изменений, а условие (4.4) принимает
вид (п — нормаль к Г)
б^(н(2)-С7(2>)= 0, если |6U(2)|<-4
, / (4.10)
6,\w(2) = — sign б?(u(2) — Z7(2)), если | б„г/2) | — —.
р р
Полученные условия представляют собой систему нелиней-
ных уравнений для определения па Г. В каждое из уравне-
ний входит только одна неизвестная, поэтому эта система легко
решается. Решение единственно и имеет вид
м(2) = _ У11 если | у г + у21 < 2h0 4 :
9hk к <4Л1>
u(2) = у2 _ sign _j_ у2^ если ] У1 -]_ у21 > 2ho ,
Г г
где ух — 2h0$ (и2 — С7<2>)/3 — w<2>, у, = 2/i06*u<2)/3 + и(-2Уиу1,у2
не содержат на Г.
Таким образом, решение на верхнем слое полностью опре-
делено. Переходя от слоя к слою, можно построить решение для
любых t.
81
§ 3
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
НА ЭВМ
Изложенная схема была реализована в виде программы с несу-
щественными изменениями. Расчет проводился до выхода на ста-
тику и занимал от 20 до 60 мин, при этом Но менялось от 0,5 до
2,0, р от 0,1 до 0,5, к0 отО до 1, р0 от 0,5 до 4, ДР от 0,5 до 1, г0от
2,5 до 5, R от 3 до 6, h0 от 0,1 до 0,2.
Таким образом, остался неисследованным только случай боль-
ших Но. Этот пробел объясняется тем, что при постоянном шаге по
г и z для больших Но требуется слишком много точек сетки.
В результате расчетов выяснилось, что наиболее стабильной
характеристикой процесса является скорость цилиндра V (t),
которая практически не зависит от ц и к0 и слабо зависит от р0 и
II0. На рис. 4.2 представлены кривые, характеризующие влияние
на V (t) этих параметров.
Проводились также расчеты и для промежуточных случаев
р, = 0,2; 0,3; 0,4 и к0 = 0, различие получалось еще меньшим.
Аналогичные результаты получились и для Но = 0,5; 0,8; 1,0;
1,6.
Так как в теории упругости р. <^0,5, а при к0 = 1.,0 проскаль-
зывания не наблюдалось, то можно считать, что для Но 2 и
р0 ~ 1 скорость движения цилиндра практически не зависит от
(л и к0. На рис. 4.3 и 4.4 показана зависимость V (I) от Но и р0.
Видно, что зависимость скорости от Но ир0 проявляется отчетлив»
и соответствует интуитивным представлениям. Зависимость поля
напряжений от параметров задачи проявляется значительно более
отчетливо. Существенный интерес представляет <yzz на поверх-
ности цилиндра. На рис. 4.5 и 4.6 изображено ozz (tlt г, Н0/2),
причем 7, выбрано так, чтобы наступила статика. В качестве важ-
ного обстоятельства следует отметить, что ozz на основаниях ци-
линдра практически не зависит от к0, в то время как ozz сильно
зависит от к0 на боковой поверхности. Зависимость ozz в центре
верхнего основания цилиндра от к0 для р = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;
0,5 и II0 = 2,0, t оо приведена в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Во в = ОД 0,20 0,30 0,40 0,50
0,0 1,14 1,27 1,36 1,44 1,51
1,0 1,14 1,25 1,34 1,42 1,48
§2
Рис. 4.2. Изменение .ско-
рости датчика V (/) во вре-
мени для Но = 2,0; Ро =
= 1,0; АТ = 0,25; h0 =
= 0,2; z0 = 2,5; R = 8,0
при различных р и к0:
1 — V. — 0,1;
А» = 0;
2 — М- — 0,5;
*о = 1,0;
3 — |1 =20,5;
= 0
Рис. 4.3. Изменение скорости датчика V (1) во времени для р0 = 1,0; р =
= 0,3; Ло = 0; ДГ = 0,5 при различных /70:
1 — Н„ = 0,5; 2 — II „ = 1,0
Рис. 4.4. Изменение скорости датчика V (/) во времени для Но = 1,0; р =
= 0,3; к0 = 0; АТ = 0,5 при различных р0:
1 — Рэ = 0,5; 2 — р0 — 1,0; 3 — р0 = 2,0; 4 — ро = 4,0
Рис. 4.5. Кривые czz {ti, г,
HJ2) на поверхности цилинд-
ра для р = 0,3; Ро = 1,0;
к0 = О при различных Нв;
1 — И. = 2,0;
2 — = 1,0;
3 — Н„ - 0,5
Рис. 4.6. Кривые o2Z (115 г,
Но12) на поверхности цилин-
дра' для р0 = 1,0; кв = 0;
Нд = 2,0 при различных р:
1 — р. = 0,5;
2 — |1 — 0,1
Рис. 4.7. Кривые о2г (Zn 1, г) на боковой поверхности цилиндра при [1 =
= 0,3; Но ~ 2,0; Ро = 1,0 при различных fr0:
1 — fe0 = 0,1; г — k0 = о,з; а — = i,o
Рис. 4.8. Зависимость о2г (Z,, 0, Н0/2) в центре верхнего основания при
Не = 2,0; р0 = 1,0; ЛТ = 0,25 при ц = 0,1 (7) и р, = 0,5 (2)
Таблица 4.2
Но и = 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 .
0,5 1,03 1,08 1,10 1,12 1,14
0,8 1,03 1,09 1,13 1,16 1,22
1,0 1,05 1,09 1,15 1,21 1,25
1,6 1,10 1,20 1,29 1,35 1,41
2,0 1,14 1,27 1,36 1,44 1,51
На рис. 4.7 изображена зависимость сг22 от z/H0 на боковой
поверхности цилиндра. Зависимость <J22 в центре верхнего осно-
вания цилиндра от р и Но изображена в табл. 4.2 при к0— 0,
р0 = 1, 0, t = ОО.
На рис. 4.8 приводится зависимость crZ2 в центре верхнего
основания цилиндра для различных р.
Из анализа результатов расчетов следует, что в период неуста-
новившегося движения (i = 0,5—1,0) эффекты концентраций на-
пряжений в средней части верхней и нижней поверхностей ци-
линдра 0 г 0,5 0,6 несколько меньше (ст22 = 1,05_при
р = 0,3, к0 = 1,0, р0 = 1,0), чем после установления квазиста-
тического состояния (t = 4—5), сь, = 1,1. Это различие, однако,
невелико и находится в пределах 0,05. Период установления так-
же мал и составляет t= 4—5. Для реальных датчиков это соот-
ветствует времени t00 = 0,4—0,5-10-3 с (при сг = 300 м/с).
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
Экспериментальные исследования по из-
мерению напряжений и деформаций в
грунтах и определению их механических
характеристик при кратковременных ди-
намических нагрузках
Для экспериментального определения механических харак-
теристик грунтов при кратковременных динамических нагрузках
необходимо измерение всех компонент полей напряжений и де-
формаций. Поэтому целесообразно создавать такие условия эк-
сперимента, которые позволяли бы это сделать наиболее просто.
В лабораторных опытах наиболее простым является измере-
ние главных напряжений и деформаций при одноосном сжатии
в условиях плоской деформации. В полевых опытах при измере-
ниях в массиве ненарушенного грунта наиболее просто могут
быть исследованы параметры полей напряжений при распро-
странении плоских, цилиндрических и сферических волн [4—6].
Естественно, что при такой постановке экспериментов остает-
ся открытым ряд вопросов, в частности вопрос о влиянии девиа-
торов напряжений на объемное сжатие среды. Такие эффекты от-
мечались при проведении исследований при статических на-
грузках малой интенсивности (в диапазоне напряжений от 1 до
5—10 кг/см2) [31—33]. Однако исследование этих вопросов при
кратковременных динамических нагрузках представляет собой
самостоятельную проблему и выходит за рамки настоящей моно-
графии.
ГЛАВА ПЯТАЯ
МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ СЖИМАЕМОСТИ ГРУНТОВ
И УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
§ 1
УСТАНОВКИ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ТИПА «УДН-150», «УДН-100»
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СЖИМАЕМОСТИ ОБРАЗЦОВ ГРУНТОВ
И УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
Для исследования сжимаемости грунтов и условия пластич-
ности при кратковременных динамических нагрузках были скон-
струированы специальные установки квазистатического типа
«УДН-150» и «УДН-100», позволяющие производить измерения
главных напряжений и деформаций в образцах грунтов нарушен-
ной и ненарушенной структуры при действии кратковременных
динамических и статических нагрузок интенсивностью до 200—
300кг/см2 («УДН-150») и до 800-1000 кг/см2 («УДН-100»)[54-56].
Аналогичного рода установки — компрессионные приборы.—
широко применяются в механике грунтов при статических иссле-
дованиях в диапазоне напряжений до 5—10 кг/см2 [10, 15].
На рис. 5.1 изображена схема установки «УДН-150». Она
состоит из цилиндрического корпуса 1, па котором в специаль-
ном кольце 2 размещается образец грунта. Кольцо имеет внут-
ренний диаметр Dr = 150 мм при высоте = 30 мм. Снизу об-
разец опирается на плиту 3 нижнего поршня 4 гидравлической
системы предварительного поджатия. Верхний поршень 5, рас-
полагающийся в направляющем цилиндре 6, предназначен для
передачи ударной нагрузки на образец грунта. Направляющий
цилиндр 6 соединен с корпусом 1 тремя клиновидными замками.
В дне поршня 5, в центре и в крае плиты нижнего поршня вмон-
тированы тензометрические датчики 7, 8 для измерения больших
главных напряжений (f) в образце. В боковой поверхности
кольца 2 размещаются тензодатчики 9 для измерения меньших
главных напряжений о2 (t). Контактная поверхность этих датчи-
ков имеет кривизну, равную кривизне кольца. Диапазон макси-
мальных напряжений, измерявшихся этими датчиками, о* 100—
150 кг/см2.
С помощью тензометрического стакана, устанавливаемого на
крышку поршня 10, измеряется также общая величина нагрузки,
передаваемая па образец грунта.
Перемещение поршня 5 под воздействием приложенной на-
грузки измеряется с помощью трех прогибомеров 11. Рабочей
86
Рис. 5.1. Установка «УДН-150»
Частью прогибомера является шток 12 с клиновидным наконеч-
ником 13, который при движении изгибает две консольные балоч-
ки 14 с наклеенными на них тензосопротивлениями.
Гидравлическая система предварительного поджатия образца
предназначается для имитации давления вышележащих слоев
грунта при испытаниях образцов, взятых с некоторой глубины.
В предположении квазистатического режима деформирования
деформация образца определяется по формуле
е (Z) = и0 (1)/1г, и0 (t) = и (t),
где и0 (t) — перемещение поршня 5.
Геометрические размеры обоймы (LJDy = 0,2) выбраны таким
образом, что влиянием сил трения при испытаниях образцов
можно пренебрегать (73, 76].
Исключением времени t из записей щ (Z) и о2 (Z) строилась
зависимость щ (е), соответствующая некоторому данному режи-
му деформирования [54].
Одновременное измерение напряжений щ (Z) и о2 (Z), как сле-
дует из (1.83), позволяет построить условие пластичности и оп-
ределить соответствующие константы.
Установка «УДН-100» имеет диаметр кольца Dx = 100 мм
и высоту = 20 мм и по конструкции практически не отличает-
ся от «УДН-150». Однако в этой установке с помощью электро-
магнитных датчиков вместо перемещений поршня u0 (t) измеря-
ется скорость его перемещения й0 (t). Перемещения и0 (Z) опреде-
ляются затем путем интегрирования скоростей.
Как уже было отмечено выше, принцип работы установок
«УДН-150», «УДН-100» — квазистатический. Это означает: что
результаты измерений являются достаточно точными только при
условиях, когда волновыми явлениями в образце грунта можно
пренебречь. Определим эти условия.
Рассмотрим теоретическую схему работы установки для двух
случаев: а — удар падающего груза наносится непосредственно
по поршню установки и б — через упругую прокладку. Условия
квазистатичности для этих случаев будут существенно разными.
1. Жесткий удар по поршню установки. Будем предполагать,
что все измеряемые на установке УДН-150 величины зависят
только от времени t и одной пространственной координаты х.
Ось х направим вверх. Грунт будет занимать интервал (0, ZJ,
поршень — [Zj, + Z2], Далее обозначим: напряжение — (х, Z),
деформация — е (х, t), скорость — v (х, Z), смещение — и (х, t),
плотность — р (х, Z) = рх при 0<^х Zx, р (х, Z) = р2 при Z5
х Zj + Z2; рх, р2 — const; щ = Еое при Zx х \ + Z2,
т — масса груза на единицу поверхности образца, п0 — модуль
скорости груза в момент удара. Положительными считаются сжи-
мающие напряжения и деформация.
В квазистатическом приближении предполагается, что
dajdx = 0, дь/дх = 0. Для этого нужно потребовать, чтобы
88
напряжение во всех точках образца мало отличалось от напря-
жения в какой-нибудь одной точке, например х = + 12. Далее
будем проверять более мягкое условие
t t
5? = | [ох (g, К + Z2) - ox (g, 0)] dg | < 5» = | $ ax (g, Zx + l2) dl- I..
о 0
(5.1>
Уравнения движения для среды и груза имеют вид
(5.2}
Из этих уравнений следует
ii+is
<SX = j р (t, х) v (Z, х) dx |, = l2) — v0\. (5.3)
о
Естественно предположить, что | v (t, х) | v0. Тогда 5Х <
< (pZx + p2Z2) vo и условие (5.1) сводится к условию
РзЛ + P2Z2 <С m [1 — | г (Z, Zx + Z2) I lv0], (5.4}
pxZx + p2Z2 = S°m [1 — I v (Z, Zx + Z2) I /v0], (6° — мало). (5.5)
Из (5.4), во-первых, следует, что параметры установки во-
всяком случае должны удовлетворять условию
pxZx -J- p2Z2<^/n, (5-6)
т. е. масса груза должна быть много больше массы грунта и
поршня. В дальнейшем предполагается, что условие (5.6) выпол-
няется. Во-вторых, очевидно, что при t = 0 условие (5.4) не вы-
полняется (правая часть равна нулю), но с течением времени
v (Z, Zx+ 12) убывает до нуля (грунт тормозится). Следовательно,
существует интервал времени [0, Z], в котором процесс не являет-
ся квазистатическим.
Рассмотрим теперь уравнения, описывающие процесс на ква-
зистатическом участке. Далее всюду используются сокращенные
обозначения: — v(t, Zx) = v^\ — v(t, Zj -} Z2)— i/1) = v<2>, e(Z, Zx) =
= e(1), e (Z, Zx + Z2) = e<2), <0 = + т12Е^)-',г.
Из условия квазистатичности следует е<х> = i?W/Zx, ё<2> =i/2'/Z2.
Отсюда второе из уравнений (5.2) можно записать (с учетом
ох = 2?ое(2)) в виде
ml1eSr> + mZ2£'o1ax = — ох. (5.7)
Это уравнение замыкается уравнением состояния грунта (кото-
рое заранее неизвестно) и граничными условиями
е (0) = 0, ох (0) = 0, ZjeW (0) + Z2Eolcx (0) = v0. (5.8)
8ь
Последнее из этих условий получается из определения ё(1> и
е(2) и заменой ё<2) на Разумеется, из (5.7), (5.8) невозможно
определить щ (t) и е (Z), так как уравнение состояния неизвестно.
Однако можно сделать некоторые оценки.
Предположим, что уравнение состояния имеет вид (глава 1)
е = -jU th + gi (Oj — /i (e)), gx > 0, gx (0) = 0. (5.9)
Подставив (5.9) в (5.7) и учтя, что со2 = + Z^^1),
получим
Gx = —(о2о-х — <d2mZ1g1, gx = dgjdt, (5.10)
или
i
сц = сГ' о, (0) sin coZ — § co^mZxgx sin io (Z — g) dg =
0
(
= 6)-1Ox (0) sin at — azmlx cos co (t — g) gx d£. (5.11)
о
Из (5.11) следует, что Oj (t) < co’1^ (0), или с учетом (5.8),
(5.9)
or? < v0 + Z2£x))'/2. (5-12)
Для времени нарастания нагрузки до максимального значе-
ния Z+ получим оценку
+ (5.13)
+ \ -Ь<Л1 /
Неравенства (5.12), (5.13) позволяют заранее оценить вели-
чины о? и tv, если известна величина Ех, или так называемая
предельная динамическая диаграмма. Из (5.13) видно, что оцен-
ка для t+ не содержит н0. Это означает, по-видимому, что время
нарастания мало зависит от скорости удара.
Наконец, можно получить оценку для t„0 — момента времени,
начиная с которого процесс можно считать квазистатическим.
Пусть уравнение состояния имеет вид = ^1е- Тогда из (5.7),
(5.8) и (5.2) следует
v — v0 cos at, t+ = лсо_1/2, (5-14)
и (5.5) дает следующие оценки для t00 и t00/t+:
6° (1 — cos coZ00) = т (Pih + P2Z2), (5.15)
Zoo/Z+ = arccos [1 — (pxZx + p2Z2)/(m6°)J. (5.16)
Здесь 6° — то же, что и в (5.5), и характеризует допустимую
погрешность. Естественно потребовать, чтобы выполнялось ус-
ловие t00/t <^1, т. е. время установления квазистатичности про-
90
цесса было мало по сравнению с его характерной длительностью
t+. Тогда из (5.16) получим
t00/t+ = ^У2{р111 + р212)/(8°т),
(5-17)
или
т8° >» РЛ + p2Z2> (5.18)
что сильнее, чем (5.6).
Из (5.16) видно, что tuo/t+ не зависит ни от v0, пи от Elt т. е.
для упругой среды не зависит от уравнения состояния.
Следовательно, £00/Z+ вообще мало зависит от уравнения со-
стояния образца. Поэтому (5.16) может использоваться для пред-
варительной оценки i00/t+ в неизвестном образце.
Для того, чтобы получить информацию о поведении грунта
по данным опытов с использованием рассматриваемой установки,,
используются обычно два способа. Первый состоит в том, что стро-
ится семейство кривых о\ (е) при постоянных ё и предполагается,
что это в некотором смысле может заменить точное уравнение
состояния. Условие применимости этого способа в данном слу-
чае можно записать в виде
|ёг+|<^|ё|, или | ё£+/ё | < 60, (5.19)
где б0 — заданная точность опытов (б0 — мало). Это означает,
что ё не должно существенно меняться за характерное время
процесса. Кроме того, критерий точность б0 разумно выбирать
равным 6°.
Для упругого образца (щ = Еге) условие (5.19) переходит
в условие-y-tgcot6°, т. е. (5.18) выполняется лишь при
где t* = о-1 arctg (2б°/л). Таким образом, ё можно считать по-
стоянным при t00 < f т. е. необходимо, чтобы выполнялось
условие t* t0o. Если использовать (5.15), то это неравенство
можно переписать (t00 должно быть мало) в виде
(б0)3
3x2 Р16 ~Ь Р-2^2
2 т
(5.20)
Это очень жесткое условие, осуществление которого возможно
только при большой массе падающего груза.
Второй способ состоит в том, что предполагается некоторое
уравнение состояния грунта и ставится серия опытов для про-
верки этого предположения. В этом случае оценки являются
менее жесткими. Из (5.18), в частности, следует, что для достиже-
ния в квазистатическом приближении точности 6° — 0,1 необ-
ходимо, чтобы соотношение веса поршня (с грунтом) и груза со-
ставляло (pjZj + p3Z2) т ~ 0,01. При этом участок квазистатич-
ности будет составлять t00/t+ ~ 1/3.
2. Удар по поршню установки при наличии упругой проклад-
ки. Расчетная схема установки выглядит в этом случае следую-
91
щим образом. Грунт и поршень, как и ранее, занимают интерва-
лы [0, Zrl и [1г, Z, + 12] соответственно. Упругая прокладка
занимает интервал [Zx + Z2, + Z2 + Z3] и имеет плотность
р3 = const. Груз с массой на единицу поверхности образца т
имеет в момент удара начальную скорость р0. Поршень рассмат-
ривается как абсолютно жесткое тело с массой т0 = p2Z2.
Процесс предполагается квазистатическим, т. е. напряжение
в прокладке CFj3> и напряжение в образце грунта зависят толь-
ко от времени. В [56] показано, что условие наступления квази-
статичности слабо зависит от модели среды. Поэтому оценку пре-
делов применимости квазистатического приближения будем далее
производить в предположении упругой модели среды. За кри-
терий наступления квазистатического режима деформирования
примем условие выполнения неравенства Wk < Wo, где Wo,
Wk — упругая и кинетическая энергии образца грунта.
Уравнения движения рассматриваемой системы с двумя сте-
пенями свободы, а также связи между скоростями изменения на-
пряжений и скоростями частиц для прокладки и грунта, полу-
ченные из закона Гука, имеют вид
mdv^Vdt = cTi3)(Z); modv^!dt — ox(Z) — ox3) (Z), (5.21)
^. = ^(1)-^)), = (5.22)
CLL tg d-l/ £p
где z/2) = p(1) (£) — скорость смещения поршня, определяющего
деформацию образца грунта; п<3> = iX3> (Z) — скорость груза т;
Е3 — модули одноосного сжатия грунта и прокладки соот-
ветственно. Знаки в (5.22) определяются тем, что сжимающие
напряжения приняты положительными и ось х направлена вверх,
а начальная скорость — отрицательная.
Начальные условия для (5.21), (5.22) имеют вид
г(3) (0) = - v0, p(‘> (0) = 0, о<3> (0) = аг (0) = 0. (5.23)
Это означает, что в начальный момент система прокладка —
поршень — грунт находится в покое и в ней отсутствуют напря-
жения.
Из (5.21), (5.22) получим уравнения для напряжений:
^3) К о _ (_£ , J_\a(3)
dt2 l3mB 1 l3 (mB ~r m j 1 ’
<^1 = Л /„(3) _ x
dt2 1 1 '
Начальные условия для (5.24) получаются из (5.23) и (5.22^
в виде
-^1—= Уо, -^- = 0, сц = <43) = 0 при Z = 0. (5.25)
92
Решение (5.24) с учетом (5.25) можно найти в виде
о® (£) = qx sin coji + q2 sin co2 t, (5.26)
°i (0 — Pi sin + Pz sin co21-
Если подставить (5.26) в (5.24) и потребовать, чтобы коэффи-
циенты при sintOji и sinco2t обращались в нуль, то для qlt pt
получится система однородных уравнений с параметром coj.
Чтобы эта система имела решение, необходимо, чтобы ее опреде-
литель обращался в нуль. Очевидно, что для q2, р2 получится
точно такая же система с параметром со2. Система уравнений для
определения qx и р3 имеет вид
( Е3 т Ч тп ,\ Ез Г; л
( Z3 тт3 Ч 91 <з'«о Р1 ’ /5 27)
Е3 . / Е, 2\ „ 1 ’
~ ТУГ + 77»---------“1 А = °-
Так как для q2 и р2 получается точно такая же система уравне-
ний, то со? и со2 будут являться корнями одного и того же квад-
ратного уравнения. Если договориться, что со? — меньший ко-
рень, то для со? и со? получим
со? = <21 - Qz, со? = <?i + Qz, (5.28)
где <2i = 1/2[E3/l3m + (Е31г + Е^/^тд],
Q2 = V Q\ —EyEg/lylgmmo. Из (5.28) следует, что со? и со? — ве-
2 2
< СО! < С02.
Предположим, что т т0, Е3/13 < E^l^. Тогда для соп со2
получим
_ | / Е3 Ei/<i . _ "I / EiPi + Ез/<з /к 2О\
I l3m EJlt + E^h' 2 ' т0 ’ (Ь'2У)
Из (5.27), (5.26) получим выражение для сц (Z)
«Ч(0 = Щ 1/т (sin“iz — 7Гsin) • (5-30)
г <1<3 (C-l/'l + Ез/(3) \ СО-2 /
Таким образом, cr1(Z) состоит из низкочастотной составляю-
щей (со? — меньший корень уравнения) и малой высокочастот-
ной добавки.
В условиях квазистатичпости для кинетической энергии
W/( и упругой энергии 170 выполняются соотношения
Wk = рЛ-f^ , VE0 = , (5.31)
где Qyly — масса грунта на единицу площади поперечного сече-
ния образца. Условие квазистатичности Wo Wk можно запи-
93
сать в виде
/ . , со. . ,Л2-\ Pi^wi
sinыЛ —— sin (i>2t । „
\ 1 <02 I
(cos СЩ/ — COS И2£)2.
(5.32))
При t = 0 условие (5.32) не выполняется. Определим момент
времени, при котором условие (5.32) выполняется. Обозначим
через fmin наименьший корень уравнения
sin <o1t = 2<b1/<b2-
Тогда, если £1П,ц < t < n/2<Bx, имеем
^sin сох£
со. .
— Sill CDof
со2
(5.33).
(5.34).
Если далее тв р1/1, то из (5.34) следует (5.32) и, следова-
тельно, за время наступления квазистатичности ZOo можно взять
too — £mtn- Так как время нарастания нагрузок Z+ = n/2<0j, то
для малых значений ojj/co.j получим
> /х ___ 4 -| f nip
00 + — я V пг (Еу13 + Е31^ ‘
(5.35),
Необходимо заметить, что в соотношение (5.35) не входит
погрешность измерений б°. Этот факт существенно связан со-
сделанным выше предположением т0 тг, т. е. с предположе-
нием о том, что масса поршня установки всегда много больше мас-
сы образца. Это предположение для установок рассматриваемого-
типа всегда выполняется и, таким образом, при соблюдении усло-
вия (5.35) квазистатический подход к анализу экспериментальных
результатов является точным. В частности, при тв!т — 0,1,
Е3,'ЕУ = 0,5 и l3/lr — 1 из (5.35) получим оценку условий квази-
статичности t00/t+ = 0,18. При уменьшении соотношения Е3/Е±
величина будет уменьшаться.
§ 2
МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ В ГРУНТАХ
Ниже на основе общих положений математической статисти-
ки [58, 59] рассматриваются методы статистической обработки
результатов измерений напряжений и деформаций в образцах
грунтов при ударных нагрузках, а также полей напряжений
параметров одномерных (плоских, сферических, цилиндрических)1
взрывных волн, распространяющихся в массиве грунта при взры-
вах зарядов химических ВВ.
Регистрируемые в описываемых опытах в установках
«УДН-150», «УДН-100» главные нормальные напряжения в образ-
цах грунтов о1; (£), o2i (£) и деформации е(- (Z), t — 1. 2, . . ., I,
где I — количество измерений в серии опытов, представляют
94
собой некоторые реализации случайных процессов. При обработке
совокупность этих реализаций при фиксированных моментах вре-
мени tj, j — 1, 2, . . п рассматривается как система случайных
величин. Здесь п — количество равных интервалов Ai, на которые
разбивается весь процесс для каждого из датчиков в опытах дан-
ной серии. Для каждого из моментов t}, j = 1, 2, . . ., п в серии
опытов производилась проверка гипотезы о нормальном распре-
делении напряжений сц (ij), о2 (G) и деформаций е (£у) с помощью
ГИ-критерия Уилка [61].
При использовании 1¥-критерия для случайной выборки объе-
мом п 50 с наблюдаемыми значениями Хг, Х2, . . ., Хп вычис-
лялись следующие величины [61]:
п п
* * = £ - <Х»2, <Х> = 4 £ Хь (5.36)
2=1 2=1
Bw = -<4w, п{Хп — Xi) -[- Aw, п-j {Xn-i —• Х2) -]-...
к
- • • Aw, п-к+1 (Хп-к+1 — ^-к) ~ 3 Aw,n-i+i(Xn-i+i—• Xf), (5.37)
1=1
где к = п/2, если п — четное, и к = (п — 1 )/2, если п — нечет-
ное, а значения -<4v/,n-i+1 (i = 1, 2, . . ., к) берутся из таблицы
J61 ] для 3 п 50. Затем вычислялся критерий
W = B"wl^ (5.38)
и вычисленные значения W сравнивались с процентилями рас-
пределения этого критерия, приведенными в виде таблицы в [61].
Таблица дает минимальные значения W, которые получились
бы для вероятностей 0,01; 0,02; 0,05; 0,10 и 0,50 при различных
значениях п, если бы экспериментальные данные действительно
имели нормальное распределение.
Если вычисленное значение W-критерия оказывалось меньше
5% критического значения, принятого по таблице для данной
выборки, то вероятность того, что выборка взята из совокупно-
сти, распределенной по нормальному закону, не превышала 0,05.
В этих случаях гипотеза о нормальном распределении, вообще
говоря, должна быть отвергнута.
Воспользовавшись, однако, представлениями закона распре-
деления случайной величины рядом Грама — Шарлье [60, 61],
можно показать, что в случае малой асимметрии (Ло 0,5—0,8)
распределение можно приближенно принимать нормальным.
При Ло 0,5—0,8 распределение значительно отличается от нор-
мального. При обработке опытов в качестве критического прини-
малось Ао = 0,7.
Следует, впрочем, отметить, что последнее обстоятельство
является существенным только при оценке точности определения
дисперсии. Оценка математического ожидания в данных опытах
во всех случаях может быть с достаточной точностью произведена
на основе закона о нормальном распределении среднего арифме-
тического в связи с достаточным объемом выборки [59, 60].
Числовыми характеристиками нормального закона, подлежа-
щими оценке, являются, как известно, математическое ожида-
ние <Х7> и дисперсия <sj>.
Оценка этих параметров производилась по формулам
i
<Х^ = ^^ХЛ^ Л-1,2,..., и,
i=\ (5.39)
1=1
Для определения точности оценок <Хд и <s2) использовался
метод доверительных интервалов /р, границы которых вычисля-
лись по формулам [59, 60]:
для <Х,>
<Х;>+^|/ -ф)’ (5Л0>
Для <«!>
/₽ = —------- ; -----2------ ’
\ Х1 X2 /
(5.41)
где fp — коэффициент Стыодента. принимаемый по таблице в за-
висимости от доверительной вероятности [3 и количества измере-
ний I— 1; Xi, Хг — значения, определяемые с помощью х2-распре-
деления в зависимости от [3 и I — 1.
Параметры линейной регрессии для Y = кХ + Ь определялись
по формулам [59, 60]
к = ( S XtYt - п <Х> <У>) / (Д X?- п <Х>2) ,
fe = <K>-/f<X>, (5.42)
п п
г=1 г=1
а доверительный интервал для линейной регрессии — по формуле
h (П = (<У> - <У> + *₽
i==l
96
Х,у
Оценка коэффициента корреляции гХЛ1 системы двух случай-
ных величин X, Y производилась по формуле
= ( 3 (Х< - <Х» X
1—1
X (Уг- <У») /J/ Д (X,- - <Х»2 Д (Yt - <У»2 . (5.43)
Границы доверительных интервалов для коэффициента корре-
ляции в случае небольшого числа наблюдений (п 50) и нормаль-
но распределенной системы случайных величин (X, У) опреде-
лялись с использованием преобразования Фишера по формуле
где to связано с доверительной вероятностью р
0 = X£jjexp(-m-
о
(5.44)
соотношением
(5.45)
При распространении одномерных взрывных волн — плоских,
сферических, цилиндрических — измерялись главные напряже-
ния стх (t), ст2 (t), O3 (t), времена прихода фронта волны t0 (Rj)
и максимальных напряжений (7?х) в данную точку с координа-
той Статистическая обработка этих параметров производи-
лась аналогично описанному выше.
Для дальнейшего целесообразно иметь эмпирические формулы
для ст* (7?х), ст* (7?х), ст* (7?х), D* (7?х) = dRy/dt^. Здесь индекс *
соответствует максимальному значению величины. Эти зависимо-
сти при практическом определении с достаточной точностью
в песчаных и глинистых грунтах описывались степенными функ-
циями вида
У = Bffi, i = 1, 2, 3, (5.46)
где Bt, |лг — параметры, определяемые из экспериментов анало-
гично формуле (5.42), которой необходимо положить
* = Hf; b = \gBi, <У> = 431ёУь
(5.47)
i=l
Описанная выше методика была реализована в виде программы
на ЭВМ «Минск-32».
4 Г. В. Рыков, А. М. Скобеев
97
§ 3
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРЕДЕЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИАГРАММ СЖАТИЯ,
ФУНКЦИИ ПЛАСТИЧНОСТИ jr(a) И ФУНКЦИИ g, (О!—fx (в))
Метод определения предельных динамических диаграмм сжа-
тия <р (е) по данным о параметрах волн напряжений основан на
использовании законов сохранения массы и количества движения
на фронте ударной волны, которые имеют вид (глава 1 § 3)
<h* (R1) = РЛ (*!>£* (^1). (*i) = D* (Ri)e* (*i), (5-48)
где рх = y/g, у = То (1 + wy) — объемный вес грунта, То — объем-
ный вес скелета грунта, wv — весовая влажность; v* — массовая
скорость частиц; D* — скорость распространения фронта удар-
ной волны; в* = 1 — Pi/p* — объемная деформация грунта.
Из (5.48) получим для объемной деформации
s* (7?i) = (/?,). (5.49)
Имея далее из результатов измерений данные о главных нор-
мальных напряжениях, получим для среднего напряжения
a* (R) = Vs К* (RJ + а2* (RJ + (ВД (5.50)
где для случая плоских и сферических волн <г2й. (Z?t) = Og* (Rj).
Исключая из (5.49), (5.50) расстояние Rlt получим предельную
динамическую диаграмму объемного сжатия, соответствующую
мгновенному нагружению
о* = <р (е*)- (5-51)
Следует отметить, что рассмотренный способ не позволяет
определить начальный участок диаграммы <р (е), соответствую-
щий условиям, при которых в грунтах уже не существует ударных
волн (глава 1). Кроме того, изложенный метод имеет малую точ-
ность в связи с недостаточно высокой точностью измерения пара-
метров волн напряжений в массиве грунта.
Более точным является способ определения предельных дина-
мических диаграмм сжатия для грунтов в лабораторных условиях,
основанный на связи этих диаграмм со скоростью распростране-
ния слабых разрывов в сжатой вязко-пластической среде, предло-
женный в [70].
Следует отметить, что для упругих и упруго-пластических сред
с нелинейными диаграммами одноосного сжатия (растяжения)
известна их связь со скоростью распространения слабых разры-
вов [40]. В [62] эта связь была использована для определения
динамической диаграммы растяжения резины, которая оказалась
отличной от статической. Рассмотрим этот вопрос применительно
к испытаниям образцов грунта в установке «УДН-150». Будем
предполагать, что свойства грунта описываются определяющими
уравнениями типа (1.87), (1.88). Пусть далее образец грунта
98
ндгружен статически осевой силой до напряжения Щ = н1г = const.
Этому напряжению соответствует деформация е,, причем
Р1г = /1(8|), 1=1,2......П.
Затем на это напряженное состояние наложим дополнительное
динамическое возмущение, имеющее фронт слабого разрыва.
Дополнительное возмущение описывается функциями
0ц = + ОД, V = Щ, S = £г + е).
Для элементов дополнительного движения с учетом определяю-
щего уравнения (1.87) получим
Эб'х dv'i г, Svi
—Л- + р1-^- = 0, -^- + -^ = 0,
й dt дх (552)
Эе,- а да.-
~дГ = ——! '(----------di-(°1г + е’^'
Предполагая возмущение малым, можно в последнем уравне-
нии принять Ег (s;- + Ei) ~ Ег (ег). На фронте слабого разрыва
функции сд, v’i, Ei непрерывны. Для слабых разрывов (разрывов
производных) этих функций выполняются следующие уравнения:
Г Эои ] Г dv[ "I Г 9ei 1 Г дг'г
Нг] + р1НН = 0; Гэг] ' ["эТ
Г дег 1 = -1 Г д°ц 1
[ dt J /?] (ер [ dt I '
Здесь квадратными скобками обозначены скачки соответствующих
производных. Эти скачки, как доказывается в математической
физике, выражаются через функцию, задающую уравнение фрон-
та разрыва в плоскости (х, t). Пусть уравнение линии фронта
L имеет вид
Й (х, £) = 0.| (5.54)
= 0;
(5.53)
Вдоль этой линии функции о'ц (х, t), v’j (х, t), Ei (х, t) непрерыв-
ны. Тогда, в частности, для напряжений о1г (ж, t) имеем вдоль
линии L
doii = + (“яГ") = (~aU ) + (—аг-) (5.55)
\ дх Д \ dt Е \ дх J2 \ dt Е
Индексами 1,2 обозначены значения производных с той и другой
стороны линии разрыва. Отсюда получим
Г dsu 1 Г Эс,'- 1
- da:-)- — df = 0 вдоль линии £!(#, £) = 0. (5.56)
На основании (5.54) заключаем, что вдоль L выполняется также
соотношение
^<Ь + ^-Л=0. (5.57)
4*
99
Следовательно, скачки производных [да^дх], [doii/dt] должны
быть пропорциональны производным dQ/dx, dQ/dt соответствен-
но, т. е.
I I j. SQ
[ дх J ° дх ’
где ко — коэффициент пропорциональности, вообще непрерывный
вдоль L.
Для функций v'i и ej получим
(5.58)
£"|<§ ¥ 1 1 1 1 1 ь dQ \-^~дГ' | | , д£2 = , | дх [ agi] 1 st J Г de'i 1 [ dt J — к
1 B dt I — к | Ae dt • (5.59)
Подставляя (5.58), (5.59) г i (5.53), найдем
i , 0Q ОХ . 7. + Р1А> dt — o, dt +A« dx -u’ (5.60)
к ка дП
dt (ег) dt = u.
Так как (dQ/dxy + (oa/dty- 1 0, то из первых двух уравнений
— 'v — 0,
(5.61)
(5.60) следует
ка рЛ
kv ке
а из последнего (так как dQ/dt #= 0, иначе не будет разрыва)
Аа = *е£1(М- (5-62)
Из (5.61), (5.62) найдем
fco^/p^te). (5.63)
Подставляя (5.63) в первое из уравнений системы (5.60) и сокра-
щая на kv (ке 0), получим
0Q___д
dt
(5.64)
11/ Р1
дх £1(еД
Сопоставляя (5.64) и (5.57), видим, что
dxjdt ='|АЕ1 (е,)/Р1- (5.65)
Отсюда следует, что величина с (е) = ]/£i (е)/рх является ско-
ростью распространения фронта слабого разрыва вдоль оси х
(вдоль оси образца).
Таким образом, измеряя скорость распространения фронта
слабого разрыва при различном предварительном сжатии образ-
ца ег, i = 1, 2, . . ., п, можно найти функцию Ег (е).
100
Предельная динамическая диаграмма сжатия <рх (е) определится
тогда из соотношения
е
Ф1(е) = 5р1с2(Ю^- (5.66)
о
Предельная динамическая диаграмма при нагружении в слу-
чае определяемого уравнения (1.88) находится из аналогичного,
соотношения. Скорость распространения слабых разрывов при
разгрузке (dajdt <0) в зтом случае (при Еы = (е) опреде-
ляется соотношением с* (е) = Y(Е)/Рп а диаграмма <p1S! (е, е*)
при (е) — соотношением
е
Ф1. (е, е*) = о** + Р1с2 © (5.67)
е*
В (5.67) of*, е* — напряжение и деформация, достигнутые в об-
разце к моменту начала разгрузки, определяемому условием
ог = /х (е). Таким образом, зная из эксперимента зависимости
с (e)i с* (е), можно согласно (5.66), (5.67) построить предельную
динамическую диаграмму при нагружении <рг (е) и диаграмму
сжатия при разгрузке (е, е*).
Необходимо, однако, отметить одно обстоятельство. В [42]
было показано, что для закона деформирования типа (1.87) воз-
можна ситуация, когда слабые разрывы не распространяются
со скоростью характеристик (случай движения, близкого к авто-
модельному). В то же время из [42] следует, что всегда можно
найти такое конечное расстояние что при х слабые
возмущения будут распространяться со скоростью с (е). Таким
образом, при достаточно малой высоте образца 1г скорость рас-
пространения слабых возмущений всегда будет равна характери-
стической. Отсюда следует также, что для длинных стержней из
материалов, обладающих вязкими свойствами, например [62],
такой метод может оказаться непригодным.
Рассмотрим далее методику определения зависимости с (е)
в лабораторных условиях. Образец грунта в установке «УДН-150»
подвергается статическому нагружению нагрузкой о1г, изменяе-
мой ступенями (г = 1, 2, . . ., п). При этом измеряется статиче-
ская деформация ег, а также соответствующее ей время = t (е,)
пробега волной слабого разрыва расстояния, равного высоте
образца после нагружения 1ц = (ег). При достаточно малой
высоте образца скорость распространения слабых возмущений
определяется как средняя
с (ег) = lyi/tt, i = 1, 2, . . ., п. (5.68)
Определение предельных' статических диаграмм сжатия / (е),
£ = 0 каких-либо затруднений не вызывает. Отметим только, что
101
практически они определяются при некоторых конечных, но до-
статочно малых скоростях деформирования ё = 1 • 10~5—1 • 10-7 с-1.
Метод определения функции пластичности (ст) в полевых
условиях сводится к следующему [2, 4—6]. При подрыве заряда
взрывчатого вещества в массиве изучаемого грунта создается
движение, обладающее центральной или осевой симметрией или
являющееся плоским. В силу симметрии ориентация главных
площадок поля напряжений известна и возможно измерение
главных напряжений в различных точках движущейся среды при
помощи специальных датчиков напряжений, конструкция кото-
рых рассматривается ниже. При этом, естественно, измерения
необходимо производить в области, где напряжения не являются
малыми и среда находится в пластическом состоянии.
В результате измерений можно получить тензор напряжений
как функцию времени и расстояния R от центра или оси симмет-
рии. Затем из измеренных компонент тензора напряжений состав-
ляются выражения Д2 и о, фигурирующие в соотношении (1.536).
Эти выражения будут функциями времени и расстояния R. Ис-
ключив далее из них время t, можно получить для каждого R
значения функции F (о). Если построенная таким образом функ-
ция F (ст) будет одной и той же для всех расстояний при различ-
ных геометрических условиях, а также при различных скоростях
деформирования, то это будет свидетельствовать о том, что в среде
действительно выполняется условие пластичности (1.536). Обо-
значив, как и ранее, & (о) = 6F (о), условие пластичности
(1.536) можно записать в следующем виде:
Т = F (<0, (5.69)
где Т = 2 (ох — <т2), ст — У3 (<т1 + 2сг2) — для плоских и сфериче-
ских волн;
Т — ^(сц — е>2)2 + (<т2 — ст3)2 -|- (щ — ст3)2 — для цилиндрических
волн:
Т = 1^(0! — <т2)2 + (ст2 — ст3)2 + (ст1 — ст3)2 + 6<Т12— для случая
осевой симметрии (при контактном взрыве).
Как будет показано далее, в различных грунтах функция
пластичности $ (о) может быть с достаточной точностью аппрок-
симирована линейным законом
& (ст) = Лет + Ъ, (5.70)
где к, Ъ — коэффициенты, характеризующие внутреннее трение
и сцепление в грунте и определяемые на основе результатов
экспериментов по формулам (5.42), где необходимо положить
У = Т, X = ст.
Функция пластичности $ (ст) может быть также определена по
результатам испытаний образцов грунта в установках квазистати-
ческого типа «УДН-150», «УДН-100» путем исключения времени t
102
из записей главных напряжений о1 (f), ст2 (t). При этом Т и о
определяются теми же соотношениями, что и для плоских волн.
Проведение опытов при различных режимах деформирования
дает возможность оценить влияние скорости деформирования на
условие пластичности.
При определении функции g1 (сц — /х (е)) предполагалось, что
последняя может быть представлена в виде
Si = П1 (<*1 — А (е))к‘, (5-71)
где xv ГЦ — неизвестные параметры модели, подлежащие экспе-
риментальному определению. Метод определения этих параме-
тров основывался на минимизации некоторой квадратичной
функции
г* п
De (хъ щ) = 2 S [ец (Х1, -щ) — <£ц>]2 (5.72)
г =15 =3о
по неизвестным параметрам xv т)1.
i
В (5.72)<8ц> = -±- eim (tj) — среднее значение деформаций
171=1
для каждого из моментов времени t = tj по результатам серии
испытаний, соответствующей определенному режиму деформиро-
вания; I — количество измерений в серии; п — количество интер-
валов Д< в данной серии; /0 — номер интервала, соответствующий
моменту установления режима квазистатического деформирова-
ния; i* — количество повторных нагружений для одного и того
же образца в данной серии; Ei} (хх, г]г) — значение деформаций
для данного tj, рассчитанное в соответствии с принятым законом
деформирования (1.87) или (1.88) при заданных для данного грун-
та функциях gx цг), Ег (е), Еи , /г (е) и при заданной на основе
i
эксперимента нагрузке ст1£ (t) = — o1£m (t).
т»г=1
Предполагается, что искомыми параметрами модели хг, тц
будут те, которые соответствуют минимуму функции De, т. е.
обеспечивают минимум дисперсии средних экспериментальных
значений деформаций относительно теоретической кривой 8(f)
для данной серии экспериментов.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ
§ 1
ДАТЧИКИ И АППАРАТУРА
ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
Для измерений полей напряжений в грунтах при распростра-
нении плоских, сферических и цилиндрических взрывных волн,
а также для измерений главных напряжений в образцах грунтов
в установках квазистатического типа применялись тензометриче-
ские датчики.
В данной главе рассматриваются конструктивные особенности
этих датчиков, а также приводятся результаты специально постав-
ленных экспериментальных исследований, имевших целью про-
верить теоретические формулы для оценки систематических по-
грешностей, полученные в главах 2—4.
На рис. 6.1, схематически изображены датчики, применяв-
шиеся в опытах, а также при исследованиях вопросов оценки си-
стематических погрешностей измерений, изложенных ниже.
Корпус стандартного датчика имеет цилиндрическую или
«чечевицеобразную» форму (рис. 6.1, а, б). Чувствительным эле-
ментом датчика является тонкая пластинка * 1 с наклоечным на
нее тензосопротивлением 2. Кроме того, на внутреннюю боковую
поверхность корпуса датчика наклеивается компенсационное
тензосопротивление 3. Сопротивления 2 и 3 образуют полумост.
Второй полумост размещается в тензометрическом усилителе.
В датчиках типа 6.1, а применяются тензосопротивления круглой
формы, содержащие и рабочее, и компенсационное сопротивле-
ния. Принцип работы таких датчиков основывается на разбалансе
моста при воздействии на чувствительный элемент датчика дина-
мической нагрузки.
Основные геометрические размеры датчиков, применявшихся
в описываемых в монографии опытах, приведены в табл. 6.1.
Здесь строки 1 -е- 10 соответствуют датчикам рис. 6.1, а строки
11, 12 — рис. 6.2, где представлены схемы датчиков, применяв-
* Часто употребляемый термин «мембранный» по отношению к такому датчи-
ку не точен с точки зрения терминологии, принятой в механике.
104
Рис. 6.1. Датчики для измерений нормальных напряжений в массиве грунта
« — Биформе «чечевицы»; б — в форме цилиндра; в шаровой датчик, 1 чувстви
тельный элемент датчика; 2, 3 — рабочее и компенсационные тензосопротивления, 4 —
кабель; 5 — крышка датчика
105
Рис. 6.2. Датчики для измерения нормальных напряжений в образце грунта
в установке «УДН-150»:
а — для измерения вертикальных напряжений б — для измерения горизонталь-
ных напряжений o2(t); обозначения 1—5 — те же, что на рис. 6.1
шихся для измерений главных нормальных напряжений or (t)
и о2 (0 в образцах грунтов в установке «УДН-150».
Датчики были изготовлены из дюралюминия марки В95Т.
Модуль упругости материала Ео = 7,4-105 кг/см2, коэффициент
Пуассона v0 = 0,33, предел прочности о = 6000 кг/см2, предель-
ная деформативность е = 0,12. Предел упругости для такого рода
материалов сг3 ~ 0,5; предел текучести от = 5500 кг/см2. Преоб-
разующим элементом датчиков являлись тензосопротивления
типа ПКБ-5-50, ПКБ-10-120, Ф1Ш-5-50, ФКП-10-120.
Градуировка датчиков производилась статически в масляной
камере, давление в которой контролировалось с помощью образ-
цового манометра. Градуировочный график в диапазоне измеряв-
шихся напряжений был линейным. Коэффициент вариации при
градуировке датчиков составлял Cv = ±(0,02—0,03).
Таблица 6.1
№№ пп До, ММ Но, мм d = 2а, мм do, мм Ла3, кг/см2
1 60 10 22 1,5 175
2 60 10 22 3,0 1400
3 60 20 22 3,0 1400
4 60 30 22 3,0 1400
5 60 60 22 3,0 1400
6 60 30 45 1,0 6
7 60 30 35 2,° 103
8 60 30 45 4,0 384
9 60 25 18 I,5 320
10 60 25 18 2,5 1490
11 25 15 18 з,о 2560
12 25 15 18 4,0 6050
106
При измерениях больших главных напряжений интенсивно-
стью до 400—800 кг/см2 в установке «УДН-100» применялись
стержневые датчики, чувствительным элементом которых является
стержень из титанового сплава ВТ-12 диаметром d = 5,0 мм с на-
клеенным на него тензосопротивлением [56]. Сплав ВТ-12 имеет
о = 165 кг/мм2, Ео = 2,4-105 кг/см2, е = 0,15.
Датчики подвергались градуировке до 600 кг/см2 при тридца-
тикратном нагружении с последующей разгрузкой. Коэффициент.
вариации при различных ступенях нагружения не превышал
Cv = 0,013—0,017.
Для измерения меньших главных напряжений применялись
аналогичные датчики, располагавшиеся в боковой поверхности
кольца. Контактная поверхность такого датчика имела кривиз-
ну, равную кривизне кольца.
Эти датчики при указанных нагрузках практически не имеют
систематических погрешностей, связанных с деформацией чув-
ствительного элемента (стержня).
Сигналы тензодатчиков через усилители типа УТС1-ВТ-12/35
регистрировались на шлейфовых осциллографах Н-105, Н-115.
Усилители УТС1-ВТ-12/35 представляют собой двенадцати-
канальные установки с несущей частотой /0 — 35 кГц. Линейный
участок частотной характеристики Д = 7 000 Гц, амплитудной
характеристики—до ±120 мА.
Двенадцатиканальные шлейфовые осциллографы Н-105, Н-115
имеют набор гальванометров с собственными частотами от
/0 = 100 Гц до /о = 7 000 Гц. В описываемых ниже опытах при-
менялись гальванометры с /0 = 1200, 2500, 3500 и 7000 Гц.
При подборе аппаратуры для проведения динамических испы-
таний необходимо производить проверку амплитудно-частотных
характеристик шлейфов, а также их чувствительности по току.
Рабочий диапазон частот гальванометров ниже их собственной
частоты. Для определения рабочего диапазона частот снимаются
частотные характеристики гальванометров по стандартной схеме.
На гальванометр подается напряжение от звукового генератора
и измеряется частота от 0,1 до 2 /0. Напряжение на выходе под-
держивается постоянным. Выход генератора контролируется с по-
мощью электронного осциллографа. Для согласования выходного
сопротивления генератора с сопротивлением гальванометра по-
следовательно с ним включается сопротивление Qo- В описывае-
мых ниже измерениях Qo = 1 кОм. При изменении частоты гене-
ратора изменяется отклонение луча на экране осциллографа.
Частота, при которой отклонение луча отличается от отклонения
при частоте 0,1 /0 на ±10 %, называется граничной, а диапазон
частот от нуля до граничной частоты — рабочим диапазоном.
На рис. 6.3 приведены амплитудно-частотные характеристики
для гальванометров при /0 = 3500 (Z), 2500 (2) и 1200 (3) Гц.
Видно, что рабочая полоса для этих шлейфов Д ниже собственной
частоты примерно в 2 раза.
107
Чувствительность гальванометров по току определяет диапазон
линейности характеристик на определенных каналах тензостан-
ции при различных коэффициентах усиления. При работе ампли-
туды тока не должны выходить за полученные при проверке
пределы.
При проведении экспериментальных исследований тип галь-
ванометра определялся из условия t+ ty, где t+ — время на-
растания напряжения (деформации) в среде до максимального
значения; ty — 0,42/f* — время установления для измерительно-
го комплекса; — рабочая полоса пропускания измерительного
комплекса, определяемая соотношением [63].
I/Л = (1/7? + 1/^ + 1/$*Л,
где Д — рабочая полоса пропускания шлейфа; Д — усилителя;
/з — частота колебаний пластинки тензодатчика.
Рассмотрим методику проведения экспериментальных иссле-
дований по оценке погрешностей, связанных с влиянием прогиба
чувствительного элемента тензометрического датчика, а также
с влиянием эффектов концентрации напряжений вокруг жесткого
корпуса датчика, располагающегося в массиве грунта.
Опыты проводились в мелкозернистом нарушенном песчаном
грунте с объемным весом скелета у0 = 1,4—1,5 г/см3 и влажно-
стью wv = 5—7%. Часть опытов проводилась в ненарушенном
песчаном грунте той же влажности при у0 = 1,50—1,52 г/см3.
Методика установки датчиков в грунте не отличалась от описанной
ранее в [4—6].
При исследовании влияния на измеряемые напряжения про-
гиба чувствительного элемента датчики с различными отношения-
ми d0/2a (см. табл. 6.1) устанавливались в центральной части
массивной бетонной плиты размером в плане 2 X 2 м. Поверхно-
сти датчика и плиты располагались на одном уровне. Сверху
насыпался с послойным трамбованием песок. Высота слоя грунта
над плитой составляла 0,5 м.
При исследовании влияния на записываемые напряжения эф-
фектов концентрации напряжений вокруг датчика как инород-
ного включения использовались датчики различных геометри-
ческих форм (рис. 6.1) и постоянной жесткости (d0 = 3,0 мм,
d = 22 мм и d0 = 2,5 мм, й=18мм). Эти датчики устанавли-
108
вались в массиве грунта на определенном относительном рас-
стоянии от источника взрыва 7?! = г/г0, где г — расстояние от
источника взрыва в метрах; г0 = а0С — радиус заряда в метрах;
ас — некоторый размерный коэффициент, принимаемый в даль-
нейшем для удобства равным 1; С — вес заряда в кг/м®. Для ис-
ключения инерционных погрешностей (глава 4) датчики конструи-
ровались таким образом, чтобы приведенные объемные веса их
у1 = Po/V° (Ро — вес датчика, V0 — его объем) изменялись в до-.
статочно узких пределах = 2,2—2,65 г/см3). Таким образом,
отношения 1’1/у, где у = (1 + изменялись в пределах
1,37-1,65.
Кроме того, проводились опыты, имевшие целью эксперимен-
тально получить характер распределения напряжений по поверх-
ности жесткого цилиндрического блока малого диаметра при
его взаимодействии с падающей волной и сравнить полученные
результаты с расчетными данными главы 4. Этот блок, изготов-
ленный из дюралюминия, имел диаметр /)0 = 150 мм при соотно-
шении Ho/Do = 1/3. В верхней поверхности блока по оси симме-
трии и на расстояниях 30 и 60 мм от оси были вмонтированы три
датчика с одинаковыми геометрическими характеристиками, их
жесткость соответствовала строке 10 табл. 6.1. Приведенный
объемный вес блока Yj составлял 2,85 г/см3, а отношение
Т1/Т = !>78-
Волны напряжений в грунте создавались подрывом плоского
заряда ВВ.
В данных опытах при оценке погрешностей, вносимых измери-
тельным прибором, расположенным в массиве грунта, сущест-
венным являлся вопрос об исключении временных погрешностей,
связанных с ограниченной полосой пропускания измерительного
тракта. С этой целью в каждой из серий опытов устанавливались
гальванометры только одного типа (/0 — 1200 или 2500 Гц).
Поэтому временная погрешность для всех датчиков в серии была
одинакова и не влияла на оценку других систематических по-
грешностей.
В дальнейшем под «истинным» напряжением в среде понимается
напряжение без поправки на временную погрешность.
§ 2
ВЛИЯНИЕ ПРОГИБА ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА
НА ИЗМЕРЯЕМОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
На рис. 6.4 представлены результаты испытаний датчиков
различной жесткости, установленных на плите. По оси ординат
отложены записанные датчиками максимальные напряжения о*,
по оси абсцисс — безразмерная величина d„/2a, характеризую-
щая жесткость чувствительного элемента. Точки 1—3 соответ-
ствуют датчикам, установленным на различных расстояниях.
109
Рис. 6.4. Влияние жесткости чувствительного элемента тензометрического
датчика на записываемые максимальные напряжения о* при отражении
взрывных волн от неподвижной преграды. Точки 1—3 и кривые 1—3 соот-
ветствуют расположению преграды и датчиков на различных относительных
расстояниях В1 от источника взрыва:
Г — Я, = 1,0; 2 — Я, = 2,0; 3 — Rt = 4,0; а — зависимости сг^ (<f0/2a); 6 — зависи-
мость Oj/cTj g от (d0/2a)
Средние (для различных d0/2a) относительные доверительные
интервалы для опытных точек при = 1, 2 и 4 с доверительной
вероятностью р = 0,95 составляют соответственно 6° = ±0,17;
±0,13; ±0,23.
Кривые 1—3 рис. 6.4, а построены по формуле (2.63):
* г ________ ____ —
= | 4 1 Н1~±) Д^3]-1 л,
с0 L ’Г 23,2 J J
Величина Е± при этом принималась равной Е± = Е^ (о*),
где Ell>: (а*) — некоторая функция, характеризующая одноосное
деформирование грунта при разгрузке, определенная для дан-
ного грунта в результате независимых экспериментов в главе 8.
Здесь учитывалось, что в рассматриваемых опытах в диапазоне
измеряемых напряжений о* — 5—40 кг/см2 в песчаном грунте
распространялись волны напряжений с ударным фронтом (гла-
ва 7). Поэтому грунт при взаимодействии с датчиком находился
в основном в состоянии разгрузки (dctldt < 0). Значение р при-
нималось равны 1/3.
Необходимо учесть, что в формулу (6.1) входит неизвестная
величина истинных напряжений о0- Поэтому для проверки прием-
лемости (6.1) для оценки погрешностей напряжений необходимо
о0 исключить из рассмотрения. Для этого все теоретические зна-
110
чения о* были разделены на вели-
чину
0*о = 0о (1 4
Й(1-Й) Е1а3
23,2 J’ ) ’
(6-2)
где J' — жесткость датчика с do/2a =
= 0,136, а экспериментальные — на
среднеарифметические значения из
показаний аналогичных датчиков для
каждого из значений = 1,0; 2,0;
4,0.
Кривые о* (do/2a)/0£0 и соответ-
ствующие экспериментальные данные
приведены на рис. 6.4, б. Для срав-
нения здесь же даны кривые 7', 2',
3', построенные по данным [52] для
тех же условий опытов, что и кривые
Рис. 6.5. Кривые для опреде-
ления геометрических харак-
теристик датчиков d0/2a в за-
висимости от модуля деформа-
ций Ех при заданной погреш-
ности измерения Д_:
7, 2, 3. Как видно, теоретические
кривые о* (^</2а)/о*0, построенные
по формуле (6.2), достаточно хорошо
описывают эксперимент. По этим
результатам и значениям о0, вычис-
1 — 0,01;
2 — 0,03;
3 — 0,05;
4 — 0,07
ленным согласно (6.2), были построе-
ны кривые 1—3 рис. 6.4, а.
Величины о о оказались для кри-
вых 1—3 равными: о01 = 43,0; о02 =
— 21,8; Ооз = 1,15 кг/см2.
Формулу для определения максимальной (по модулю) погреш-
ности А_ = (о* — о0)/о0 получим из (6.1) в следующем виде:
Д_= — [1 + _ 23,2_ - —] 1 - (6.3)
| р. (1 — р) Е^3 J
Как показывают приведенные на рис. 6.4 результаты сопос-
тавления теоретических расчетов с экспериментальными, р в
(6.1), (6.3) может с достаточной для практики точностью прини-
маться равной (1—2v)/2 (1 —v) = (сг/щ)2 и при напряжениях,
значительно превышающих предел упругости грунта.
Данные по величинам Ci/c2, v для основных видов грунтов
по результатам сейсмических исследований [65] приведены в
табл. 6.2. Как видно, для необводненных песчаных и глинистых
грунтов при щ = 200—600 м/с выражение (щ/сД2 — 3,0, что соот-
ветствует р = 1/3. Из (6.3) получим тогда удобную для практи-
ческих оценок формулу
д_ = _ (1 + Ю5
(6-4)
Формула (6.4) может использоваться для предварительного
выбора геометрических характеристик тензодатчиков для изме-
111
рения напряжений в грунтах при заданной погрешности Д_ и
при известных модулях деформации грунта Ег.
На рис. 6.5 приведены графики для определения отношения
dJ2a в зависимости от Ег при заданных погрешностях А_, по-
строенные по формуле (6.4). Если под Ег понимать значение
Ei* (°г), соответствующее максимальному измеряемому напря-
жению о*, то полученные оценки | Д_ | будут максимальными по
сравнению с погрешностью измерений напряжений сц (t) для лю-
бого другого момента времени.
Практически для измерения напряжений в грунтах при кратко-
временных нагрузках принимать погрешность измерений | Д_ |
менее 0,03—0,05 нецелесообразно, так как случайные погрешности
измерений, как правило, превышают эти величины в 2—3 раза.
Таблица 6.2
Название пород с1, М'С Глубина за- легания, км С1 С3
Гранит 5500—5800 0,1—0,2 1,70—1,73 0,24—0,25
Гнейс 3500 0 1,75—1,94 0,26—0,32
Плотный известняк 5900—7000 0,7—1,0 1,95 0,32
Лед 3700—3800 0,1 2,00 0,33
Известняк 2500—3000 0 2,7—3,5 0,42—0,45
Глинистые сланцы 2500 0—0,027 2,5 0,40
Плотные глины 2400 0,04—0,06 5,3 0,48
Глины 1200—2500 0 2,8—8,5 0,35—0,48
Глины 500 0—0,10 1,7—1,8 0,23—0,28
Суглинки 600— 900 0 4,5—5,0 0,47—0,48
Суглинки 300— 600 0—0,015 1,55—1,70 0,14—0,24
Глины и суглинки сухие 380 0—0,010 1,70 0,236
Песок 600—1800 0,015 3,0—3,5 0,44—0,456
Песок 700 0 1,89 0,30
Песок мелкозернистый влажный 200— 260 0 1,7—1,8 0,23—0,28
Песок мелкозернистый 170 0 2,0 0,33
Таблица 6.3
пп do'2а
0,0220 0,0570 0,089 0,136 0,166 0,222
1 2 3 4 5 6 7
1 0,790 0,380 0,150 0,05 0,025 0,012
2 0,690 0,285 0,115 0,035 0,022 0,0093
3 0,450 0,085 0,020 0,010 0,0042 0,0015
112
В табл. 6.3 (графы 2—5) приводятся погрешности датчиков
(строки 1—3), соответствующие кривым 1—3 рис. 6.4, вычислен-
ные по формуле (6.4) с учетом Ег* (о*). Из таблицы видно, что
датчики с d0!2a = 0,022 и 0,057 имеют при напряжениях о* =
= 20—40 кг/см2 большие погрешности и для измерений непри-
годны. Поэтому при проведении экспериментальных исследований
в рассматриваемом диапазоне напряжений применяются обычно
более жесткие датчики с dJ2a = 0,089—0,136 (главы 7, 8).
Данные граф 6, 7 табл. 6.3 относятся к датчикам, применяв-
шимся в установке «УДН-150» (глава 8).
Модули деформаций (сг*) были приняты при расчетах
теми же, что и для строк 1—3 в графах 2—5.
Погрешности датчиков, как следует из (6.3), рис. 6.5 и опыт-
ных данных о величине Ег* (ох), могут несколько возрастать для
одного и того же грунта при повторных нагружениях.
§ з
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ,
СВЯЗАННЫЕ С КОНЦЕНТРАЦИЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ
ВОКРУГ КОРПУСА ЖЕСТКОГО ДАТЧИКА,
РАСПОЛОЖЕННОГО В МАССИВЕ ГРУНТА
При измерениях напряжений в массиве грунта, как уже от-
мечалось, помимо рассмотренной в § 2 систематической погреш-
ности отрицательного знака Д_ < 0, возникает также система-
тическая погрешность А+ 0, связанная с концентрацией на-
пряжений вокруг жесткого корпуса датчика.
При оценке этой погрешности, как следует из результатов
главы 4, существенное значение имеет характер распределения
напряжений по поверхности датчика, включающей его чувстви-
тельный элемент. Было установлено, в частности, что при HJDq <
< 1 и dJ2a 0,5 распределение напряжений по верхнему осно-
ванию датчика близко к равномерному.
На рис. 6.6 представлены результаты экспериментов, харак-
теризующие распределение напряжений по поверхности жестко-
го цилиндрического блока (О0 = 150 мм, H0ID0 = 1/3) при его
взаимодействии с плоской взрывной волной в различные моменты
времени. Кривые 1—3 построены на основе теоретических рас-
четов главы 4 при fi = х/3 для кьазистатической стадии процесса
взаимодействия. За «истинное» напряжение при этом принималось
среднеарифметическое значение из показаний датчиков в центре
блока (г = 0) для соответствующего момента времени с поправ-
кой на концентрацию напряжений по результатам главы 4.
Погрешности измерения А_ для применявшихся здесь датчи-
ков (2а = 18 мм, d0 = 2,5 мм) при о* — 60—80 кг/см2 состав-
ляли согласно (6.4) при Ег = 7400 кг/см2 (глава 8) Д_ — 0,05.
113
Рис. 6.6. Распределение напряжений
по поверхности жесткого блока при
HfjD0 = 1/3 при его взаимодействии
с плоской волной в песчаном грунте
с у0 = 1,50 г/см2, w.; = 0,05 у- 0,07
Блок располагался на глубине Н° = 0,3 м
от поверхности грунта; вес заряда С —
— 0,5 кг/м2. Точки и кривые 1—s соот-
ветствуют распределению напряжений в
различные моменты времени t: Г — 1, =
= (0,5 — 0,7>-10-3 с; 2 — Ц = 2,5-10-’ с;
3 — fa = 5,0-10-’ с
Из данных главы 4 следует, в частности, что при HB/DB <1,0
в центральной части датчика при 2а < 0,5 DB распределение
напряжений близко к равномерному, концентрация напряжений
минимальная и определяется по формуле
~Л+ = pHB/DB, HB/DB < 1,0, (6.5>
где А+ = (п* — о0)/о0, о* — напряжения, регистрируемые дат-
чиком; о0 — напряжения в падающей волне.
Теоретические выводы о постоянстве напряжений на жестком
блоке при 2а/D0 0,5 подтверждаются экспериментальными ре-
зультатами рис. 6.6.
Рис. 6.7. Изменение напряжений
Gt (t) во времени в песчаном грунте
для тех же условий опыта, что и на
рис. 6.6, регистрируемых стандарт-
ным датчиком с Ha/DB = 0,166
(точки I), датчиком в центре г = О
(точки 2) и на краю г = 0,4£>о (точ-
ки 3) блока
114
Выводы об уменьшении эффектов концентрации напряжений
для датчиков при уменьшении отношения 2a!D(1 от 1,0 до 0,3—0,5
высказывались ранее в [66].
Формула (6.5), как следует из результатов главы 4, относится
к моментам времени, когда устанавливается квазистатический ре-
жим движения датчика, т. е. когда дифракционными процессами
вокруг него можно пренебречь. Для датчиков этот момент t00
наступает достаточно быстро и при уг/у = 1,5—2,0 составляет
(2,0—2,5) DJcx. Для рассматриваемых стандартных датчиков
при y-Jy = 1,3—1,5 и Ро = 60 мм iOo составляет 0,5 -10~3 с. Для
блока рис. 6.6 £00 = 1,2-10~3.
На рис. 6.7 приведены опытные данные об изменении во вре-
мени напряжений на поверхности блока рис. 6.6. Точки 1 соот-
ветствуют показаниям стандартного датчика, располагавшегося
на том же расстоянии от источника взрыва, с HalD0 = 0,166
(2а — 22 мм, d0 = 3,0 мм, Д_= —0,05), точки 2 — показаниям
датчика в центральной части, а точки 3 — на краю блока
(2а — 18 мм, d0 = 2,5 мм, А_ = —0,04). Из данных рис. 6.7
видно, что показания датчиков 1 и 2 совпадают в центре блока.
Это свидетельствует об установлении квазистатического режима
для стандартного датчика и блока к моменту времени #00 —0,5х
-10~R с. Фактическое время установления t0B для блока оказалось,
таким образом, почти в 2 раза меньше, чем теоретическое. Это
связано, по-видимому, с тем, что волна разгрузки в данном грунте
распространяется со скоростью, превышающей скорость звука
в 2—2,5 раза (глава 8).
Показания датчика 3 в течение всего процесса на 25—30%
превышают показания датчиков 7, 2. Это подтверждает выводы
[53], о том, что концентрация напряжений для датчиков носит
квазистатический характер.
На рис. 6.8 представлены результаты измерений напряжений
в массиве песчаного грунта датчиками одинаковой жесткости
(tZ0/2a = 0,136, 2alDB = 1/3) и при различных соотношениях
H0IDB. По оси ординат отложены максимальные напряжения
<т*, регистрируемые датчиками, по оси абсцисс — безразмерные
отношения Ho/Do. Точки 1—3 рис. 6.8, а соответствуют датчикам
цилиндрической формы, установленным на различных расстоя-
ниях 7?! от источника взрыва.
Относительный доверительный интервал 6е для совокупностей
точек 1—3 с надежностью р = 0,95 составляют соответственно
= 0,19; 0,09 и 0,22.
Из результатов опытов следует, что зависимость g*(HJD0)
с достаточной точностью может быть аппроксимирована линей-
ным законом
of = <r0 + (6-6)
где о0 и т° — экспериментальные коэффициенты, определяемые
методом наименьших квадратов (табл. 6.4)
115
Рис. 6.8. Зависимости максимальных напряжений о* (Яо/Ро), регистрируй-
мых датчиками в песчаном грунте с у0 = 1,50 г/см3, — 0,05—0,07 при рас-
пространении плоских волн на различных расстояниях от источника взрыва:
а — 0 < Но/Ро < 1, кривая и точки 1 соответствуют Л, = 0,5; й — В, = 1,0; 3 — В, =»
= 1,5; точки 4 соответствуют показаниям датчика шаровой формы при Bj = 0,5>
б — 0 < Но/Ро < 2,5, В, = 1,0
Для погрешности Д+ = (о* — о0)/о0 из (6.6) получим форму-
лу, аналогичную (6.5), но с различными величинами р' для кривых
1—3 (см. табл. 6.4). Из табл. 6.4 видно, что для кривой 3 р/ прак-
тически точно совпадает с теоретическим значением р, == ’/з-
Тенденция к уменьшению ц' при увеличении напряжений может
быть объяснена увеличением роли пластических деформаций
грунта и качественно согласуется с выводами главы 2 (§ 1).
Погрешности Д+ = +0,40 для датчиков шаровой формы (точ-
ки 4 рис. 6.8, а) также достаточно хорошо согласуются с резуль-
татами теоретических расчетов (рис. 2.2).
Данные рис. 6.8, б соответствуют расстоянию = 1,0 и сви-
детельствуют о резком возрастании погрешности Д4. при H<JD0
1. Так при Ho/Do = 2,5 показания датчиков о* почти в 2 раза
превышали о* при HJD0 = 1,0.
Таблица 6.4
Номер кривой о0, кг,см2 mfi, кг/см2 ц'
1 28,5 6,3 0,22
2 22,0 5,9 0,27
3 14,0 4,5 0,32
116
Таблица 6.5
Ho'Do = 0,166 0.33 0,50 1.0
0,055 0,110 0,165 0,330
0,083 0,165 0,250 0,500
В табл. 6.5 приведены значения погрешностей Д+, определен-
ные для рассмотренных выше датчиков цилиндрической формы
при различных HJD0 по формуле (6.5) при ft = Vs (строка 1)
и р. = 1/2 (строка 2).
Представляет интерес сравнить полученные результаты с ре-
зультатами статических исследований [66, 67]. В опытах [66]
определялись коэффициенты концентрации р' с помощью «мем-
бранных» датчиков цилиндрической формы, изготовленных из
бронзы (Ео = 7,2-105 кг/см, v0 = 0,30) и имевших следующие-
геометрические характеристики: Do = 75 мм, Но = 15,7 мм,
2а = 50 мм, d0 — 1,62 мм = 0,21, 2а/Е0 = 0,67, d0/2a =
= 0,0325). При напряжениях в пределах 1—4 кг/см2 были полу-
чены следующие значения коэффициентов концентрации: для плот-
ного песка ц' = 0,60—0,65; для глины при = 0,13—0,16
р' = 0,39—0,45, при wy = 0,18 р' = 0,15. Погрешности изме-
рений Л_ для этих датчиков согласно (6.4) составляют —0,12.
Одновременно в [66] отмечается, что из теоретических расчетов
для упругой среды следует, что при изменении отношения 2а/Do.
от 0,8 до 0,1 коэффициент концентрации р' убывает в 1,5 раза.
Эксперименты, проведенные авторами [66] при различных от-
ношениях 2а/Do, равных ’/3, г/2, 2/3, 5/6 и 1, подтвердили качест-
венно наличие такой зависимости. Эти выводы полностью согла-
суются с полученными выше результатами для датчиков при
кратковременных динамических нагрузках.
Рассмотрим далее результаты исследований [67], имевших
целью определить «перегрузку» датчиков (отношение ст*/о0),
испытываемую датчиками различных типов в плотных песчаных
грунтах при статических и динамических нагрузках. Результаты
этих опытов представлены в табл. 6.6. Здесь графы с цифрами I—
Таблица 6.6
Тип песка Датчики
стержневые «мембранные»
I И ш I И III
«Оттава» 1,54 1,94 — 1,04 1,68 —
Алебастровый 1,66 1,10 1,22 1,12 0,88 0,80
117
Ill относятся к статическим (I), лабораторным динамическим (II)
и полевым (III) опытам. Статические исследования производились
в цилиндрической камере диаметром 305 мм, заполненной песком
с объемным весом у() '= 1,68 г/см3. В камере создавалось давление
до 70 кг/см2. Динамические лабораторные опыты осуществлялись
в трубе диаметром 600 мм, заполненной тем же песком, полевые
опыты — в том же песке, а нагрузка создавалась путем подрыва
.заряда из детонирующего шнура. Опыты проводились в стандарт-
ном песке типа «Оттава» и в алебастровом песке одинаковой плот-
ности. Для измерения напряжений применялись два основных
типа датчиков — стержневые и «мембранные». Измерительным
элементом стержневых датчиков являлся металлический стержень
•с наклеенным на него полупроводниковым тензорезистором. Дат-
чики имели следующие размеры: стержневые — Do = 2а = 28 мм,
Нв — 38,1 мм (H0/DB = 1,35); «мембранные» —Do = 38,1 мм,
Но = 5,6 мм (HJD0 = 0,147) и Do = 50,8 мм, Но = 5,6 мм
<Яо'£>о = 0,11).
Анализ данных табл. 6.6 показывает, что для жестких стерж-
невых датчиков с HJDB = 1,35 коэффициент концентрации р'
оказывается равным для статических опытов 0,41—0,49; для ди-
намических опытов для песка «Оттава» 0,70; для алебастрового
песка 0,074—0,163.
Величины «перегрузок» для «мембранных» датчиков согла-
суются, за исключением данных строки 1 графы II, с результата-
ми опытов, описанных выше. Данные графы II строки 1 для стерж-
невых и «мембранных» датчиков дают завышенные по сравнению
со статическими величины перегрузок. Этот факт связан, по-ви-
.димому, со значительными разбросами, имевшими место в этих
опытах.
В заключение рассмотрим вопрос о возможной суммарной
систематической погрешности измерений напряжений в массиве
грунта с помощью тензодатчиков с гибким чувствительным эле-
ментом. Все рассуждения, как и ранее в главах 2—4, будем про-
водить в предположении упругости среды. Тогда напряжение о*,
регистрируемое датчиком, располагающимся в массиве грунта,
с достаточной для практических расчетов точностью может быть
записано в виде суммы
о* = о0 + ДСТ1+) + До<-), (6.7)
где о0 — истинное напряжение в грунте; До( ]— добавочное
напряжение, связанное с концентрацией напряжений вокруг аб-
солютно жесткого корпуса датчика; ДО1-) — добавочное напря-
жение (отрицательного знака), связанное с влиянием прогиба
чувствительного элемента датчика. Заметим, что приближенность
соотношения (6.7) связана с неравномерностью распределения
напряжений по поверхности чувствительного элемента (датчика).
118
Обозначая далее суммарную погрешность через Ао = (о* —
— п0)/о0, получим из (6.7)
а; = д+ + А- (6-8)
Таким образом, в предположении упругости среды суммарная
погрешность измерения напряжений Ао равна арифметической
сумме погрешностей А+, А_. Естественно, что в случае, когда
грунт нельзя рассматривать как упругую среду, соотношение
(6.8) можно рассматривать лишь как весьма ориентировочное.
Однако важно, что для абсолютного значения суммарной погреш-
ности всегда будет выполняться условие
| Ао | < max (А+, | Д_ |). (6.9)
Это позволяет в качестве оценки точности измерений напряжений
принимать величину
До = шах (А+, | А_ |). (6.10)
Проведенные исследования свидетельствуют, таким образом,
о том, что при соблюдении некоторых достаточно простых требо-
ваний к геометрическим характеристикам тензодатчиков (ffo/Do^
1/6—1 /6, 2a!D 0 % V2) и жесткости их чувствительных эле-
ментов (ЛЕ^ 1/8) систематические погрешности измерений
напряжений в грунтах при кратковременных нагрузках не будут
превышать Ао = + (3—7) %. Эти величины, как будет показано
в главах 7, 8, значительно (до 2—3 раз) меньше случайных по-
грешностей измерений напряжений при кратковременных на-
грузках .
В связи с этим нельзя согласиться с предложениями [11, 67]
о необходимости градуировки датчиков в грунте. Следует ожи-
дать, что в этом случае случайные погрешности, связанные, на-
пример, с неравномерностью укладки грунта в градуировочной
камере и другими случайными причинами, окажутся значительна
больше систематических погрешностей самих датчиков и, таким
образом, будут снижать точность всего эксперимента.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ ПОЛЕЙ
НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВЗРЫВНЫХ ВОЛН
§ 1
МЕТОДИКА И УСЛОВИЯ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Ниже излагаются результаты измерений напряжений при рас-
пространении в грунтах одномерных — плоских, сферических
и цилиндрических — взрывных волн, распространявшихся в не-
нарушенном массиве грунта. В этих случаях проводились изме-
рения нормальных напряжений по главным площадкам.
При распространении плоских и сферических волн таких на-
пряжений два: радиальное отт — сц (t) и окружное Oge = =
= В случае цилиндрической симметрии — радиальное
агг = оц (i), осевое о2г = о3 (t) и окружное (fee = Gz (^)-
Вполне осуществим с точки зрения измерений более сложный
случай осевой симметрии, когда необходимо измерять четыре нор-
мальных напряжения [5, 9].
Для измерения полей напряжений при распространении плос-
ких, сферических и цилиндрических волн применялись стандарт-
ные тензометрические датчики, описанные в главе 6. Датчики
устанавливались на различных относительных расстояниях
7?! = г/г0 от источника взрыва и на одной и той же глубине Н° =
= h/r0 от поверхности (для случаев сферических и цилиндриче-
ских волн).. Здесь г и /1 — абсолютные расстояния (в метрах) от
источника взрыва и от поверхности соответственно, г0 —- радиус
заряда тротила, для сосредоточенного заряда г0 = 0,054 р'Д м
(С — вес заряда тротила в кг), для цилиндрического заряда
г0 = 0,014 ]ЛС м (С — вес заряда в кг/п.м), для плоского заря-
да, как и ранее, принимается г0 = С (С — в кг/№). Схемы уста-
новки датчиков приведены на рис. 7.1.
Датчики в ненарушенном грунте устанавливались в скважины
диаметром 100—150 мм и ориентировались соответствующим об-
разом относительно источника взрыва. Для измерения радиаль-
ных напряжений o1(i) датчик ориентировался так, чтобы чувстви-
тельный элемент его располагался перпендикулярно к направ-
лению распространения фронта волны, а для измерения окружных
напряжений о2 (0 — параллельно.
При измерении осевых напряжений в случае распространения
цилиндрических волн чувствительный элемент датчика распола-
гался перпендикулярно оси заряда.
120
Рис. 7.1. Схемы установки датчиков при распространении плоских (а), сфе-
рических (б) и цилиндрических (в) волн
I — заряд ВВ; 2 — датчики для измерения радиальных напряжений 0,(4); з — датчики
для измерения окружных напряжений t — датчики для измерения осевых напря-
жений с3(4)
После ориентации датчиков скважины засыпались ранее вы-
нутым из них грунтом с послойным трамбованием. Отбор проб
грунта на плотность из скважины показал, что плотность утрам-
бованного грунта практически не отличалась от плотности не-
нарушенного грунта в массиве. Это свидетельствует о том, чти
существенного искажения параметров взрывных волн из-за разли-
чия плотностей ненарушенного и нарушенного грунтов быть ни
могло.
121
Рис. 7.2. Осциллограммы записей напряжении cjt) в песчаном грунте с
Yo = 1,50—1,52 г/см3, и>у = 0,10—0,12 при взрыве заряда весом С =
= 1,6 кг па глубине h = 2,0 м (35 г0) на различных расстояниях от цен-
тра взрыва:
1, 10 — 20; 2 — 25; 3 — 30; 4 — 35; 5 — 40; 6 — 45; 7 — 50; 8 — 60; 9 — 70
Вес сосредоточенных зарядов тротила изменялся в пределах
от 0,2 до 200 кг. Расстояния, на которых устанавливались датчи-
ки, менялись в пределах 5 50 при изменениях глубины
их установки в пределах 5 < Н° <1 40. Погонный вес цилиндри-
ческих зарядов составлял С — 1—2 кг/п.м при длине зарядов
5—Ю м. Датчики в этих случаях устанавливались на расстояниях
7Д = 90-140.
Как показывает анализ осциллограмм записей напряжений в
различных грунтах, взрывные волны на близких расстояниях от
источника взрыва имеют ударный фронт, где напряжения возрас-
тают скачком. На более далеких расстояниях происходит процесс
постепенного вырождения ударных волн в непрерывные с. посте-
пенным нарастанием напряжения до максимального значения
[4-6].
122
Рис. 7.3. Осциллограммы за-
писей напряжений (t), о2 (1)
в ненарушенной глине с
-у0 = 1,70 — 1,75 г/см3,
п>у = 0,20— 0,22 при взрыве
заряда С = 1,6 кг на глубине
h =1,26 м (20 г0)па различных
расстояниях от центра взры-
ва jRv
1,2 — 30; 3,4,— 40; 5, 6 — 50;
7,8 — 60.
Нечетные цифры соответствуют за-
писям бблылих главных напряже-
ний a,(t), четные—меньших a2(i)
Рис. 7.4. Зависимость времени
нарастания t+ от расстояния
при взрывах зарядов различ-
ного веса С:
1 — 0,2; й — 1,6; 3 — 200 кг
На рис. 7.2 представлены осциллограммы записей напряжений
в ненарушенном песчаном грунте, а на рис. 7.3 — в ненарушен-
ной глине. Период колебаний отметчика времени на осциллограм-
мах (за исключением 3-й осциллограммы рис. 7.2) — 0,002 с.
3-я осциллограмма рис. 7.2 соответствует напряжению оу (/)
на расстоянии = 20, записанному с помощью пьезодатчика
на катодном осциллографе. Аппаратура, примененная в последнем
случае является практически безынерционной, в то время как
при записи на шлейфовом осциллографе имеется некоторое конеч-
ное время установления ty, обусловливающее возможность «за-
вала» фронта ударной волны [63]. Скачкообразное изменение на-
пряжений на 3-й осциллограмме рис. 7.2 свидетельствует о том, что
некоторый «завал фронта» на расстояниях /Д 20—25 на 1-й
осциллограмме рис. 7.2 является следствием инерционности
применявшейся аппаратуры. Другой иллюстрацией этого факта
123
Таблица 7.1
Вид грунта Содержание
Размеры
2—1 1-0,5 0,5—0,25 0,25-0,10 0,10—0,05
Песок 0,13 3,78 73,64 2,30 19,65
Лессовидный суглинок — — 0,20 6, 70
Суглинок — •— 26,70 36,46
Плотная глина - — 0,39 0,45 1,99
являются опытные данные рис. 7.4, где приведены результаты,
характеризующие зависимость времени нарастания t+ напряже-
ния в тех же опытах до максимального значения на различных
расстояниях от центра взрыва для сосредоточенных зарядов раз-
личного веса (С = 0,2—200 кг). Из рис. 7.4 видно, что при
20—25 средняя величина = (0,7—0,8) -10-3 с и не зависит от
расстояния и веса заряда, а при 25 эта зависимость стано-
вится очевидной. Последнее свидетельствует о том, что при
20—25 фактическое время нарастания либо близко к нулю,
либо, во всяком случае, значительно меньше (0,7—0,8) -10-3 с.
Время установления iy для данных опытов согласно [63] состав-
ляла 0,84-Ю-3 с.
Таким образом, «завал фронта» при 20—25 в опытах
рис. 7.2, 7.4 был обусловлен ограниченной полосой пропускания
аппаратуры и составлял (0,7—0,8) -10-3 с, что соответствует вре-
мени установления ty.
Это не означает, вообще говоря, что ударная волна в грун-
те имеет идеальный ударный фронт (#+ — 0). В действительности,
по-видимому, нарастание напряжений до максимального значения
происходит за конечное, но достаточно малое время. Экспери-
ментально вопрос о толщине фронта ударной волны в грунте до
настоящего времени не исследован.
Измерения параметров полей напряжений производились в
песчаных и лессовидных грунтах, суглинках и плотных глинах
естественного залегания. В табл. 7.1 приводятся данные о гра-
нулометрическом составе, плотности и влажности этих грунтов.
Строка 1 относится к песчаному грунту, 2 — лессовидному суг-
линку, 3 — суглинку, строка 4 — к плотной глине.
Ряд опытов проводился также в нарушенных песчаных грун-
тах с гранулометрическим составом, соответствующим строке 1
табл. 7.1 при у0 = 1,25— 1,30 и 1,35—1,40 г/см3 и wv — 0,10 —
-0,12.
124
фракций, % Объемный вес скелета и влаж- ность
частиц, мм
0.05-0.01 0,01—0,005 0.005—0,001 менее 0.С01 Vo. г/см» Wy, %
0,32 0,18 1,50—1,52 5—6 7—8 10—12
45,50 13,45 34,15 1,35—1,47 12—14
26,6 1,27 8,97 1,60—1,65 10—15
49,37 18,70 17,10 12,0 1,70—1,75 20—23
§ 2
ПАРАМЕТРЫ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
ПРИ ВЗРЫВАХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ, ПЛОСКИХ
И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ
На рис. 7.5, 7.6 приводятся результаты измерений макси-
мальных главных нормальных напряжений — радиальных а*
и тангенциальных о* (^i) — в ненарушенном песчаном грунте,
ненарушенной глине и в ненарушенном лессовидном суглинке
Таблица 7.2
Вид грунта в, И, в, Иг в3 !-Ь ат V
Песок ненарушенный 11,5-Ю3 4,85 0,0235 17,50
То = 1,50— 1,52 г/см®, wy = 10 — 12 % i 2,36 1,53 1,52 0,52
То = 1,50 — 1,52, wy = 7 — 8 15,8-lQ3 2,56 — 0,0270 1,57 —
нарушенный 19,1-103 1,72 0,0248 2,50
То = 1,35 — 1,40, wy = 10 — 12 3,00 1,32 1,90 2,50
То = 1,25—1,30, wv = 10 —12 19,1-lQ3 3,00 1,72 1,32 0,0292 2,00 2,50 2,50
Ненарушенный лессовидный су- 8,0-103 10,40 0,1915 8,00
ГЛИНОК То = 1,34—1.38, ^? = 12 — 14 2,41 1,78 1,17 0,26
Ненарушенный суглинок То = 1,60 — 1,65, u?v = 10 —15 48,0-103 2,85 — 0,0174 1,85 5,00 0,30
Ненарушенная плотная глина 28,0-iO5 525,0 0,586-Ю-3 9,00
То = 1,70 — 1,75, wy = 20 — 22 3,45 2,73 2,45 0,08
125
Рис. 7.5. Экспериментальные данные изменения максимальных напряжений
°i (-R1) (кривая 1, точки 1—4), a* (7?j) (кривая 2, точки 1а — 4а) с увеличе-
нием расстояния Вг при взрывах сосредоточенных зарядов различного веса
в песчаном грунте ненарушенной структуры с у0= 1,50—1,52 г/см3, w„ =
= 0,10—0,12 па глубинах h = (8—40) г0. Обозначения соответствуют взры-
вам зарядов разного веса С:
1,1а — 0,2; 2, га — 1,6; 3, За — 25; 4,4а—200 кг
Рис. 7.6. Экспериментальные данные изменения максимальных напряжений
Oj (7/j) (кривые 1, 3, точки 1—4), о'., (jRJ (кривые 2, 4, точки 1а — 4а) с уве-
личением расстояния при взрывах сосредоточенных зарядов различного
веса в ненарушенных плотных глинах с у0 — 1,70—1,75 г/см3, wy = 0,20—
0,22 (кривые 1, 2) и в ненарушенных лессовидных суглинках с у0 = 1,34—
1,38; = 0,12—0,14 (кривые 3, 4). Обозначения соответствуют взрывам
зарядов разного веса С:
1,1а — 0,2; 2,2а—1,6; 3, За — 25; 4, 4а— 200 кг
при взрывах сосредоточенных зарядов различного веса и глуби-
нах Н° = 8-40-
Приведенные на рис. 7.5, 7.6 результаты достаточно хорошо
аппроксимируются степенными зависимостями
о* (RJ = В^', а* (7?!) = В^В?', кг/см2, (7.1)
где пределы изменения составляли 5—15 40—50;
В1г Иг — эмпирические коэффициенты (табл. 7.2). Средний коэф-
фициент вариации для данных измерений колеблется в пределах
Ccvl С°‘ — ± (0,20—0,25) (табл. 7.3). Величины б^в табл. 7.3 —
относительные доверительные интервалы, определенные с надеж-
ностью р = 0,90 для случаев, в которых количество измере-
ний было не менее пяти.
126
О ... 1 ю - о ст:
См о 1 со 0 о- с^^
о ьЬ* 1 °- 1 О со I со 1
О о D О о
со
II о-О' О
^S- 1 5 1 1 о- чТ1 —< -ч СО о
gf е 2? О э
оЛ о ю
«о . со ~ со 1 -О L-O
—• -ч -ч )
•ч •*
1 Q о о о о s> о
а
о О о
5 ю со
3 1 1 1 •г-н
Г i 1 1 1 1
о о
О н СО
ю со 1
Т-- со 1
1 нЬ. 1 1 1
о О о о
о’
II
о~ f Г") •л со о со со СО [-ч.
э «о со- со со 00 СО £—
ек^ | со —• со ’ГН Т-Ч С ~1 - t C ~j
1,65 6 о о о О —' о о о
1 о-? со со
— ю £-4, LO Ю . со —1 —i
о\ 1 СО —г со со —i со —н
11 *.
о О о о о о о о о
X
о
—1 о О Ю со ю
*о . Ю , со
ЕЗ со 1 со 1 со 1
и О о о
о н ОС ю со о о Ю LO- го го
ОС СО СО СО
о со чн СО -—ч —• -ч СО 1
Q ГО о о о о < О с j с О с J
• о
СО со Г^- СО о о со 00 со со
‘С. СО <О 00 ш с— п о о СГ2 LO СО х^н
—< С\ — со — - * с - с**з С (* )
1 ° е о о о о о о о о о О
S-O
-г-.
II со о со
о II <о 1 ю с—
I с L 3 С о
к со о о о а
8
CD
С
о О ю с о- С
о со S- с О- 1С о- а ОС
г -4 L о С\ о •*- тг- 1 °" |
Юн* *> И-.
о с с о с с
н
с о Ю) о о < ~ )
«т-f со со NT
127
Рис. 7.7. Эксперименталь-
ные данные изменения
максимальных напряже-
ний 0 (RJ (точки I),
Og (-R1) (точки 2), о2 (Rj>
(точки 3) с увеличением
расстояния 7?! при взры-
вах цилиндрических заря-
дов весом С — 1—2 кг/п.м
в ненарушенных плотных
глинах с То = 1,70—
1,75 г/см3, w.. = 0,20—0,22
(кривые 1—3) и в ненару-
шенных суглинках с у0 =
= 1,60—1,65 г/см3, Wy =
= 0,10—0,15 (кривые 4—6)
Рис. 7.8. Эксперименталь-
ные данные изменения мак-
симальных напряжений
о* (R^ (точки 1) и о* (RJ
(точки 2) с увеличением
расстояния Rj при взрывах
плоских зарядов в ненару-
шенных плотных глинах с
у0 — 1,70—1,75 г/см3, w.. =
= 0,20—0,22 (кривые 1),
песках с То — 1,50 г/см3,
wy = 0,05—0,06 (кривая 2)
и суглинках с То =
— 1,60—1,65 г/см3, wy =
= 0,10—0,15 (кривые 3)
В формулах (7.1) нижние пределы применимости соответствуют:
Р>л = 5 — для песчаных грунтов, R± = 10 — для суглинков,
7?х = 15 — для плотных глин.
Коэффициент Вх может быть при некоторых условиях (при не
слишком малых напряжениях о*) с достаточной точностью опре-
делен по формуле
X = (7-2>
где £* — коэффициент бокового давления (§ 3).
Аналогичные формулы были получены для максимальных на-
пряжений при взрывах плоских и цилиндрических зарядов.
В последнем случае имеем
of (RJ = i = 1,2, 3, кг/см2 (7.3>
Соответствующие результаты опытов в песках, плотных гли-
нах и суглинках приведены на рис. 7.7, 7,8, а значения коэффи-
128
Таблица 7.4
Вид грунта Плоские волны
Bi М-1 Вз Вз м С1’Т
Песок уо=1,50 г/см3, »т=5—6% 22,0 1,16 3,5.10-3 1,30 250
Песок уо=1,5О—1,52, и>т=8—10 38,0 1,2 — 300
Ненарушенный суглинок Уо—1,60—1,68, w?=10—15 13,0 1,0 14,0-10-з 1,25 350
Ненарушенная плотная глина Т0=1,70—1,76, w =20—23 1,2.10s 2,50 1,2-10-3 1,30 1280
Вид грунта Цилиндрические волны
в<’> 777 в<2> 1 1-11,2 В<’> 1 Ml,8 м С1’-
Песок у0—1,50 г/см3, «^=5—6% — — — —
Песок уо=1,50—1,52, и’т=8—10 — — — —
Ненарушенный суглинок 8,3-10’ 2,1-10’ 0,5-10’ 330
То=1>60- 1,68, 1^=10—15 2,1 1,9 1,7
Ненарушенная плотная глина 4,56-1011 2,29-Ю11 1,38-Ю1» 1320
уо=1,7О—1,75, k>v=20—23 5,0 4,95 4,45
циентов В[, р£, а также скоростей распространения упругих
воли Ci — в табл. 7.4.
Пределы применимости формулы (7.3) при взрывах цилинд-
рических зарядов — 35 <1 <1 110 для плотных глин и 110
190 для суглинков *.
Пределы применимости формулы (7.1) для плоских волн со-
ставляют 0,4 5—7 для песка и суглинка, 4 <1 Вг 8 —
для плотных глин.
Степенные формулы для максимальных напряжений о* (7?г)
при подземных взрывах и взрывах плоских зарядов были полу-
чены также ранее в [68, 69].
Измерение напряжений сц (Ях, t), о2 (Bi, t) во времени на
различных расстояниях от центра взрыва сосредоточенных заря-
* Опытные данные для суглинков получены авторами совместно с сотрудни-
ками сектора взрыва Института проблем материаловедения АН УССР в
1966—1967 гг. по методике [2, 4—6].
1/25 Г. В. Рыков, А. М. Скобеев
129
Рис. 7.9. Экспериментальные данные изменения удельных импульсов
^о,1 (7?i) (кРпвые 1, 3), ZX® 2 (7?,) (кривые 2, 4) с увеличением расстояния К
в ненарушенных плотных глинах с у0 = 1,70—1,75 г/см3, = 0,20—0,22
(кривые 1,2) vi в ненарушенных песчаных грунтах с у0 = 1,50—1,52 г/см3,
wy — 0,10—0,12 (кривые 3, 4) при взрывах сосредоточенных зарядов весом
С = 0,2 кг (обозначения 1) и С = 1,6 кг (обозначения 2) на глубинах h =
— 30—40 г0
дов позволило определить удельные импульсы радиальных и ок-
ружных напряжений:
t(Ri) T(R.)
Jo,i(#i) = § (jRii t) dt, Jo,2(jRi) — § о2 (7?i,/) с//, (7.4)
о о
где т (7?1) — время действия волны.
Соответствующие эмпирические формулы для различных грун-
тов имеют вид
J?,i (Ях) = B2R^, JU^i) = t Лол (ЯД (7-5)
где
У°ол (tfj) = j0> x (Rj/ f/c; J?,2 (7?i) = Jo, 2 (ЯД Ус;
I* — коэффициент бокового давления (§ 3); значения В2 и р,2
приведены в табл. 7.2.
На рис. 7.9 показаны опытные импульсы для песчаных грун-
тов и глин, а на рис. 7.10— для времени действия т° = т/уС
напряжений на различных расстояниях от центра взрыва зарядов
различного веса.
Эмпирическая формула для времени действия т° (/?!.) во всех
случаях может быть представлена в виде линейного закона 16]
т° (ДО = (ат + Ьт7?1)10-3 с/кг’А. (7.6)
130
Рис. 7.10. Экспериментальные данные изменения полного времени действия
напряжений т° = т/у/'С с увеличением расстояния Rt в песчаных нарушенных
грунтах с у0 = 1,25—1,40 г/см3, wy = 0,10—0,12. (кривая 1) и ненарушенных
с Уо = 1,50—1,52 г/см3, wy= 0,10—0,12 (кривая 2), в лессовидных суглинках
с То ~ 1,38—1,44 г/см3, wy — 0,12—0,14 (кривая 3) и в плотных глинах с
То = 1,70—1,75 г/см3, wy = 0,20—0,22 (кривая 4) при подземных взрывах за-
рядов весом С = 0,2 кг (обозначения 1—4) и С — 1,6 кг (обозначения 5—7)
на глубинах h = 30—40 ru
Рис. 7.11. Изменение показателя п0 (7?j) в грунтах при подземных взрывах
сосредоточенных зарядов
1 — плотная глина с То = 1,70 — 1,75 г/см3, = 0,20—0,22; 2 — ненарушенный песок
с у» = 1,50 — 1,52 г/см3; wy = 0,10—0,12; 3 — нарушенный песок с у, = 1,25 —
— 1,40 г/см8, юу = 0,10 — 0,12; 4 — лессовидный суглинок с ь = 1,38 — 1,44 г/см8,
= 0,12 — 0,14
Значения экспериментальных коэффициентов ах, Ьх для сфе-
рических волн приведены в табл. 7.2, а коэффициентов вариации
Сх и относительных доверительных интервалов 6°— в табл. 7.3.
Формулы (7.1), (7.5), (7.6) позволяют описать закономерности
изменения напряжений за фронтом ударной волны на различных
расстояниях (в пределах области существования ударных волн)
от центра взрыва в следующем виде:
Ор (/?!, t) = О* (2?1)(1 - t/т
5*
(7.9)
n0 =
При этом величина nD определяется из (7.4), (7.7) в виде
По = п* (7?х)т (/?!)/17011 (7?х) - 1, (7.8)
или с учетом (7.1), (7.5), (7.6)
Е, («т+ ^7?,)-IO-*
В2
Соответствующие кривые пе (7?i) для исследованных грунтов
приведены на рис. 7.11.
На рис. 7.12, 7.13 представлены экспериментальные резуль-
таты по траекториям движения в плоскости (Д, R^) фронта упру-
гих волн и максимальных напряжений при взрывах сосредоточен-
ных зарядов различного веса на глубинах Н° = 8—40 в песча-
ных и глинистых грунтах. Траектории движения максимальных
напряжений аппроксимируются эмпирической формулой
= В3 (7?^ - 1) -IO-3 с/кг1/», (7.10)
где = tjfrС, Zi — время прихода максимальных напряжений
в данную точку с координатой Rx; Б3, ц3 — экспериментальные
коэффициенты (табл. 7.2).
Средний коэффициент вариации Су для данных опытов состав-
ляет (0,15—0,20), а относительный доверительный интервал 6”, =
= ±(0,10-0,15).
Дифференцируя (7.10) по и учитывая, что rn = 0,054j AC,
получим следующую формулу для определения скорости распро-
странения максимальных напряжений при взрывах сосредоточен-
ных зарядов:
D* = 54/р,37?37?'11з~1 м/с. (7.11)
Пределы применимости формул (7.10), (7.11) — те же, что
для формул (7.1)
Для плоских волн скорость распространения максимальных
напряжений определяется по формуле
D* = 1000/р3В3/?к;3-1 м/с. (7.12)
Значение коэффициентов 7?3 и ц3 приведены в табл. 7.4. Пре-
делы применимости (7.12) — те же, что и (7.1), (7.10) для случая
плоских волн.
Все приведенные эмпирические формулы были получепы в фор-
ме, удовлетворяющей закону геометрического подобия. Необхо-
димо, однако, отметить, что вес заряда в рассматриваемых опы-
тах во всех случаях изменялся в пределах от С — 0,2 до С =
= 200 кг, т. е. изменение масштаба моделирования не превышало
одного порядка. Некоторые экспериментальные факты, например
[75], свидетельствуют о том, что при более значительных измене-
ниях масштаба моделирования условия геометрического подобия
не соблюдаются.
40,9
Рис. 7.12. Эксперименталь-
ные данные траектории
движения в плоскости (£,
Д1) фронта упругих волн
и максимальных напряже-
ний в песчаных нарушен-
ных грунтах с у0 = 1,25—
1,30 г/см3 (кривые 7), у0 =
= 1,35—1,40 г/см3 (кри-
вые 2) и ненарушенных с
у0 = 1,50—1,52 г/см3 (кри-
вые 3); = 0,10—0,12
при взрывах зарядов раз-
личного веса С:
1, 1а — 0,2;
2, 2а — 1,6;
3, Sa — 25;
4, 4а — 200 кг.
Обозначения 1—4 относятся
к максимальным напряжениям,
1а—4а — упругим волнам
Рис. 7.13. Эксперименталь-
ные данные траекторий дви-
жения в плоскости («, Rj)
фронта упругих волн и
максимальных напряже-
ний в лессовидных грун-
тах с у0 = 1,38—1,44 г/см3,
wv — 0,12—0,14 (кривые 7)
и в плотных глинах с у0 =
= 1,70—1,75 г/см3, wr =
= 0,20—0,22] (кривые 2) при
взрывах зарядов различ-
ного веса:
1, 1а — С = 0,2; 2, 2а — 1,6;
3, За — 25; 4, 4а — 200 кг. Обо-
значения 1—4 ОТНОСЯТСЯ к
максимальным напряжениям,
1з—4а — к упругим волнам
В рассмотренных выше опытах также были получены факты,
свидетельствующие о нарушении геометрического подобия за
фронтом волны. В частности, для песчаного грунта с у0 =
= 1,50 — 1,52 г/см3, wv = 0,10—0,12 при изменении веса заряда
от С = 0,2 до С = 200 кг по полным импульсам /Уо>1 и вре-
менам действия волн т (Т?^ условия геометрического подобия не
соблюдались *. Изменение этих величин при переходе от одного
веса заряда к другому (при С = 0,2—200 кг) было пропорцио-
нально (при одних и тех же расстояниях 7?i). В то же время
при небольших изменениях масштаба моделирования (С = 0,2 и
1,6 кг) геометрическое подобие по импульсам и временам действия
приближенно выполняется (рис. 7.9, кривые 3,4; рис. 7.10, кри-
вая 5). Эти факты, как будет показано далее, могут быть объясне-
ны при учете влияния вязко-пластических свойств грунтов на
распространение в них взрывных волн.
§ з
СЖИМАЕМОСТЬ ГРУНТОВ И УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ
ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ
Описанные выше результаты опытов позволили проверить при-
емлемость для грунтов условия пластичности (1.83) и определить
функцию (о).
Проверкой приемлемости условия пластичности (1.83) в дан-
ных опытах, как уже отмечалось в главе 5, являлось существо-
вание одной и той же (для данного грунта) функции £ (о), не за-
висящей от условий проведения опытов, в частности от условий
симметрии, веса зарядов ВВ, скорости деформирования и т. д.
Такого рода экспериментальные результаты, полученные при
взрывах плоских, сферических и цилиндрических зарядов, пред-
ставлены на рис. 7.14, 7.15. Аналогичные результаты для случая
контактных взрывов сосредоточенных зарядов на поверхности
грунта (осевая симметрия) приведены в [5, 9]. Во всех случаях
была получена универсальная зависимость вида (1.83), причем
функция <Г(о) в измеренном диапазоне напряжений оказалось
линейной
^(а) = ко + Ъ, (7.13)
где к, Ъ — экспериментальные коэффициенты, характеризующие
внутреннее трение и сцепление в грунте (табл. 7.5). Строки табл.
7.5 соответствуют строкам табл. 7.2.
Из табл. 7.5 и рис. 7.14, 7.15 видно, что максимальные значе-
ния коэффициентов к = 1,80—1,95 имеют место в ненарушенных
* Для тех же грунтов по максимальным напряжениям и временам прихода
фронтов упругих волн и максимальных напряжений условия геометриче-
ского подобия соблюдались (рис. 7.5, 7.12).
134
Рис. 7.14. Зависимость Т (и) при взрывах зарядов ВВ в ненарушенном песча-
ном грунте с т0 = 1,50—1,52 г/см3, wy — 0,07—0,08 в условиях сферической
(точки 1) и цилиндрической (точки 2) симметрии
Рис. 7.15. Зависимость Т (и) при взрывах зарядов различного веса в песча-
ных ненарушенных грунтах с у0 = 1,50—1,52 г/см3, Wy = 0,10—0,12 (кри-
вая 1; точки 1 — С = 0,2 кг; 2 — 1,6; 3 — 25; 4 — 200 кг) и в плотных гли-
нах с Т’о = 1,70—1,75 г/см3, Wy = 0,20—0,22 в условиях сферической сим-
метрии (точки 5), плоской деформации (точки 6) и цилиндрической симметрии
(точки 7)
песчаных грунтах. Коэффициенты к в суглинках и плотных гли-
нах в 2 раза меньше, чем в ненарушенных песчаных грунтах.
Таким образом, роль касательных напряжений, а следова-
тельно, и всех эффектов связанных с ними (в частности, эффектов
концентрации напряжений), должна проявляться в наибольшей
степени именно в ненарушенных песчаных грунтах. В нарушен-
ных песчаных грунтах коэффициенты к несколько ниже, чем в
ненарушенных, но выше, чем в суглинках и глинах. Максималь-
ные значения коэффициентов Ъ, характеризующих сцепление в
грунтах, были получены в плотных глинах и лёссовидных суглин-
ках. Абсолютные величины их, однако, не превышали Ъ — 1,70—
2,0 кг/см2. В ненарушенных песчаных грунтах величины сцепления
составляли 0,40—0,50 кг/см2, а в нарушенных были равны нулю.
Представляет интерес сравнить полученные результаты с кне-
Рис. 7.10. Диаграммы объемного сжатия а (е) для песчаных ненарушенных
(1—2) и нарушенных (3—4) грунтов:
1 — v0 = 1,50 — 1,52 г/см3, Wv = 0,10 — 0,12;
2 — Vo = 1.50 — 1,52 г/см3, Wy = 0,07 — 0,08;
3 — Vo = 1,35 — 1,40 г/сма, Wv = 0,10 — 0,12;
4 — v« = 1,25 — 1,30 г/см3, w-y — 0,10 — 0,12
Рис. 7.17. Диаграмма объемного сжатия о (е) для ненарушенных грунтов:
1 — плотная- глина Vo = 1,70 — 1,75 г/с№,"
= 0,20 — 0,22; 2 — песок Vo = 1,50 — 1,52 г/с№,
Wp = 0,10 — 0,12; 3 — суглинок Vo = 1,60 — 1,65 г/см3,
Юр — 0,10 — 0,15; 4 — лессовидный суглинок
Vo = 1,38 — 1,44 г/см3, Wp — 0,12 — 0,14
ющимися в механике грунтов коэффициентами бокового давления
£0. В табл. 7.5 приведены значения £*, полученные по формуле
(1.86) (в предположении b/о — 0), а также величины £0 по резуль-
татам статических испытаний [10, 15, 23]. Сопоставление ве-
личин и £0 показывает, что для песков и суглинков в диапазо-
не напряжений, при которых 6/о<^1, они близки между собой,
Таблица 7.5
в* к Ь, кг/см1 6. Ео
50-103 1,79 1,90—1,95 0,50 0,28
21.1-103 1,80 1,80—1,85 0,40 0,29 и,оо
15,1-iO8 2,50 1,23—1,25 0,00 0,45
3,7-103 3,00 1,23—1,25 0,00 0,45 •
0.35-103 1,16 1,70—1,80 1,50— 0,31—
1,70 0,33 —
42,6-Ю3 2,47 1,00 1,00 0,52 0,50—0,60
5,6-Ю’2 6,28 0,95 2,00 0,54 0,55—0,70
а для глины несколько меньше Таким образом, даже при пе-
реходе от мгновенного нагружения на фронте ударной волны к
статическим условиям нагружения в песчаных и глинистых грун-
тах не наблюдается существенного влияния скорости деформиро-
вания на условие пластичности.
Для исследованных грунтов, исходя из соотношений для фрон-
та ударной волны (5.48), были получены предельные динамиче-
ские диаграммы объемного сжатия (5.51) в следующем виде (рис-
7.16, 7.17):
ф(е)=^е'., (7.14)
где В* = 1+32^ V, = (1 - 2 (Из - 1)/И1)~\
В, ! U3B3 \2 В, / 1Л3В3 \2 Y
61. = ~р-'qfjooj —для плоских волн, £1ф = —__ для сфе-
рических волн. Значения коэффициентов В* и -v* для исследо-
ванных грунтов приведены в табл. 7.5.
Сопоставление данных рис. 7.16 и табл. 7.5 показывает, что
наиболее существенно влияние на сжимаемость неводонасыщенных
песчаных грунтов оказывает начальный объемный вес их скелета.
При изменении объемного веса скелета песчаного грунта от у0 =
= 1,25—1,30 до у0 = 1,50—1,52 г/см3 при wv = 0,10—0,12, т. е.
на 15—18%, деформации при одних и тех же напряжениях ст =
= 4—12 кг/см2 уменьшились в 10—12 раз (рис. 7.16).
В ненарушенных глинах с у0 ~ 1,70—1,75 г/см3, wy = 0,20—
0,22 деформации также значительно меньше, чем в песчаном грун-
те с у0 = 1,50—1,52 г/см3, wy = 0,10—0,12 при одних и тех же
напряжениях.
Для лессовидного суглинка с у0 = 1,38—1,44 г/см3, =
= 0,12—0,14 деформации близки к деформациям песчаного грунта
с аналогичными значениями у0 и шу (кривые 3 рис. 7.16 и 4 рис-
7.17).
Таким образом, влияние начального объемного веса у на сжи-
маемость глинистых грунтов также существенно.
6 Г. В. Рыков, А. М. Скобее»
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
СЖИМАЕМОСТИ И УСЛОВИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ
ПЕСЧАНЫХ И ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ
В УСТАНОВКАХ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ТИПА.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРУНТОВ
С УЧЕТОМ ИХ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
§ 1
РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗМЕРЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
И ДЕФОРМАЦИЙ ПЕСЧАНЫХ И ГЛИНИСТЫХ ГРУНТОВ
В УСТАНОВКАХ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО ТИПА
В установках квазистатического типа осуществлялись экспе-
риментальные исследования тех же грунтов — песчаных различ-
ной влажности, лессовидных суглинков, суглинков и глин, в ко-
торых проводились исследования по распространению взрывных
волн. Данные о гранулометрическом составе, объемном весе ске-
лета и влажности для этих грунтов были приведены в главе 7
(табл. 7.1).
Подготовка установки «УДН-150» к эксперименту проводи-
лась следующим образом. При испытании образцов нарушенного
грунта навеска последнего, соответствующая заданной плотности
и влажности, укладывалась в кольцо 2, предварительно вставлен-
ное в корпус 1 установки рис. 5.1. После этого устанавливался
направляющий цилиндр 6 с поршнем 5. Направляющий цилиндр
жестко соединялся с корпусом 1 с помощью клиновых замков.
Ненарушенный грунт (глины, суглинок) доставлялся в лаборато-
рию в виде запарафинированпых монолитов кубической формы с
ребром, равным 20 см. Кольцо 2 с установленным в нем датчиками
9 соединялось с разъемным цилиндрическим ножом и врезалось
в монолит грунта с одновременной подрезкой лишнего грунта по
внешней поверхности кольца. После заполнения кольца поверх-
ность образца зачищалась, отделялся нож и производилась за-
чистка образца снизу. Затем производилось взвешивание кольца
с образцом и определялся объемный вес грунта. Одновременно из
монолита брались пробы на влажность. Подготовленное к испы-
таниям кольцо с образцом грунта помещалось в корпус 7, а затем
производилась сборка установки.
В каждой из серии опытов испытывалось 5 образцов, причем
каждый образец подвергался трехкратному нагружению. Серия
опытов соответствовала определенному типу грунта и режиму
деформирования. При этом под режимом деформирования пони-
мался некоторый произвольный, но одинаковый во всех опытах
138
Рис. 8.1. Осциллограммы записей напряжений о, (4), о2 (t) и смещений поршня
и0 (t) для образцов песчаного грунта су0 = 1,50 г/см3, wy = 0,15 при сбра-
сывании груза весом Р, = 50 кг с высотой Н, = 13 см и при наличии про-
кладки 13 = 0,55 см
°1(9 1 —тензометрический стакан, 2 — поршневой датчик, з, 4, 5 — центральный и бо-
ковые донные датчики; a2(i); 6,7 — боковые датчики в кольце; u0(i): 6, 9, 10 — датчики
перемещений; 0 — отметка единого времени
серии, закон изменения деформаций e(Z) и напряжений сц (Z) во
времени (с точностью до случайных ошибок измерений). Практичес-
ки постоянство режима деформирования в опытах обеспечивалось
путем сохранения постоянным веса падающего груза Ру, высоты
его сбрасывания /Д, а также толщины амортизирующей прокладки
13, располагавшейся на поршне установки. Для характеристики
режима вводилось понятие средней скорости деформирования
Ё° = E*/t+, где е* — максимальная деформация в опытах серии,
Д “ время, Эа которое эта деформация Достигается.
Характерные осциллограммы записей напряжений сц (/), о2 (Z)
и смещений поршнй и0 (Z) при испытаниях образца песчаного
грунта с у0 = 1,50 г/см8, wv = 0,15 в установке «УДЫ-150»
представлен на рис. 8.1. Здесь вес груза Ру= 50 кг, высота сброса
Ну — 13 см, толщина прокладки 13 = 0,55 см.
На рис. 8.2—8.6 представлены результаты испытаний образ-
цов песчаных грунтов с у0 = 1,50 г/см3 при различной влажности
wy и трехкратном нагружении.
Каждый из исследуемых в опытах процессов (Z), о2 (Z), е (Z)
регистрировался одновременно несколькими датчиками: (Z) —
пятью, <т2 (Z) — двумя, б (I) — тремя.
Анализ показаний датчиков, установленных в центре поршня,
в центре и на краю плиты нижнего поршня, свидетельствует об
их совпадении с точностью до случайных погрешностей измерений.
Аналогичный вывод был сделан относительно данных о напряже-
ниях щ Д), полученных путем измерения общего усилия, переда-
ваемого на образец при ударе. Поэтому в дальнейшем все датчики
для измерения напряжений сц (Z) обрабатывались как эквивалент-
ные . Тем самым предполагалось, что напряжения (и деформации)
6s 13В
ei 6, > о
2700
- so
0,00 - 00
0,02 -20Y
О
О
o,oo
-so
60
0,00
- so
0,02
- 20 V
0,006 t,c 0
ODO
0,08
101 7
° ° 0,002
Рис. 8.2. Зависимости ot (i), o2 (i), e (t) — точки 1, 2,3 на рис. 8.2, а, б,в при
трех последовательных нагружениях (а — в) образцов песчаного грунта с
у0 — 1,50 г/см3, wy = 0,003 и кривые сц (е) (кривые 1—3 рис. 8.2, г; точки
Т^- нагружение, 2 — разгрузка). Вес груза Рх = 50 кг, высота сброса Нх —
— 16,0 см, толщина прокладки Z3 = 0,40 см
по высоте образца и его диаметру распределены равномерно. Та-
ким образом, каждая из экспериментальных точек для (/) на
рис. 8.2—8.6 — средняя по 20—25 измерениям с доверительным
интервалом, определенным с надежностью |3 = 0,9.
Проверка с помощью PF-критерия Уилка гипотезы о нормаль-
ном распределении напряжений и деформаций показала, что
последняя не может быть отвергнута для основной части процесса
для всех исследованных грунтов при различных режимах дефор-
мирования. Исключение в ряде случаев составляют начальные
и конечные моменты времени, где точность измерений мала.
В табл. 8.1 приведены коэффициенты вариации Су, Су, Су,
а также относительные доверительные интервалы 6®„ б°2, б'’ для
максимальных напряжений и деформаций рассматриваемых пес-
чаных грунтов с у0 = 1,50 г/см3, wy = 0,003; 0,05 и 0,15 при
140
aos
ООО
0,02
О,ОБ
0,00
ZO2
О'- О
- so
- 00^
- 20 -
L О
- SO -
- оо-
-20
Ei6f’&z
20
0002
0,0b
0,000 t.c О 0,02
HB
0
Рис. 8.3. Кривые сц (t), о2 (t),e (t), соответственно точки 1—3 на рис. 8.3, а — в,
при трех последовательных нагружениях (а — в) образцов песчаного грун-
та с у0 = 1,50 г/см3, wy = 0,05 и кривые <ц (е) (1—3 рис. 8.3, г; точки 1 —
нагружение, 2 — разгрузка). Рг = 50 кг, Нх = 13,0 см, 13 = 0,55 см. Пунк-
тирная кривая рис. 8.3, г соответствует <рг (е); кривая 4 — /х (е) при е =
= 0,5-10 1/с
трехкратном нагружении (N — номер нагружения). Кроме того,
приведены значения относительного доверительного интервала
для деформации б0, осредненного по всем моментам времени, за
исключением моментов t t00, где t00 — время установления
квазистатичности, определяемое по формуле (5.35). Применитель-
но к условиям рассматриваемых опытов t00 = 0,2 t+ = 0,001 с,
где t+ — время нарастания.
Из данных табл. 8.1 видно, что коэффициент вариации в опы-
тах для максимальных напряжений и деформаций находится в
пределах Cv — 0,20—0,27, а относительный доверительный ин-
тервал — в пределах 6° = 0,05—0,14. Средний относительный до-
верительный интервал 60 (с надежностью р = 0,90) для деформа-
ций при wy — 0,05 и 0,15 не превышает 0,10—0,15.
Из табл. 8.1 видно также, что при повторных нагружениях
точность измерений, как правило, выше, чем при первом.
Анализ результатов рис. 8-2—8.6 показывает, что кривые
(е) при повторных нагружениях, как правило, не совпадают с
141
кг/см
ДОв
0,00
ООО
- 00\~
0,02
- 20Y
О,/
0,08
0,08
ООО
0,02
£’6i,6z
Г во
- оо
О'- О
f.c
-J00
- 80
~ 80
- 40 \-
- 20-
4'- о
0,05
0,002
0,008 t,c О 002
Рис. 8.4. Кривые о, (/), а2 (t), е (г), соответственно точки 1—3 на рис. 8.4, а— в,
при трех последовательных нагружениях (а—в) образцов песчаного грунта
с То = 1,50 г/см3, wy = 0,05 и кривые <ц (е) (1—3 рис. 8.4, г; точки 1 —
нагружение, 2 — разгрузка). Рг = 100 кг, Нг — 15,0 см, Z3 = 0,55 см
кг/см 2
/00
60 -
20 -
!oj 2
ВО ~
W -
<?г (е) при предыдущей разгрузке. Величины деформаций при од-
них и тех же напряжениях при повторных нагружениях возраста-
ют, а доля остаточных деформаций е0 по отношению к максималь-
ным е* убывает и составляет:
при wy= 0,003 для 1-го нагружения е0/.е* = 0,65, для 2-и 3-го
нагружений eJf* = 0,15—0,37;
142
Рис. 8.5. Кривые сц (/), о2 («), е (<), соответственно точки 1, 2,3 рис. 8.5, а — в,
при трех последовательных нагружениях (я — в) образцов песчаного грунта
с То = 1,50 г/см3, w„. = 0,15 и кривые о, (е) (1—3 рис. 8.5, г). — 50 кг.
= 10,5 см, 13 = 0,55 см. Пунктирная кривая фиг. 8.5, г соответствует
<j>! (е); кривая. 1— /х (е) при ёо = 0,5-10~6—1/с
Рис. 8.6. Кривые Ох (/), п2 (/), е (t), соответственно точки 1, 2, 3 (рис. 8.6, а)
при нагружении образца песчаного грунта с у0 = 1,50 г/см3, wy = 0,15 и
кривая Ох (е) (рис. 8.6, б). Рг = 50 кг, = 27,5 см, 13 = 2,0 см
Таблица 8.1
О2 е
cv 01 ро2 6° 02 Ьу 6о
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0,20 0,10 0,20 0,12 0,25 0,14 0,17
0,003 2 0,20 0,07 0,17 0,10 0,17 0,09 0,12
3 0,19 0,07 0,13 0,10 0,17 0,11 0,24
1 0,21 0,12 0,17 0,11 0,39 0,11 0,14
0,05 2 0.25 0,07 0,13 0,09 0,14 0,05 '0,14
3 0,20 0,07 0,13 0,09 0,13 0,03 0,091
1 0,25 0,09 0,25 0,15 0,27 0,12 0,143
0,15 9 0,22 0,08 0,25 0,10 0,18 0,04 0,047
3 0,20 0,07 0,24 0,09 0,08 0,03 0,034
при Wy = 0,05 для трех последовательных нагружений
е0/е* = 0,72, 0,44, и 0,25 соответственно;
при Wy = 0,15 аналогично е0/е* = 0,65, 0,37 и 0,24.
Результаты экспериментальных исследований сжимаемости
песчаного грунта Wy = 0,05 и 0,15 при кратковременных дина-
мических нагрузках (рис. 8.3—8.5) и сопоставление этих резуль-
татов с данными статических испытаний, а также с предельными
динамическими диаграммами для тех же грунтов свидетельству-
ют о существенном различии деформаций при ё = оо и ё 0
при одинаковых ст*. Для песка с Wy = 0,05 различие в деформа-
циях при <т* = 20—60 кг/см2 при ё = оо и ё = 0,5 -10“5 с-1 со-
ставляет около 200%, для Wy = 0,15—300%. Для воздушно-су-
хого грунта при Wy = 0,003 в диапазоне измеренных средних
скоростей е° = 1,0 -10~3 (17 20) с-1. Эффектов влияния ско-
рости деформирования на сжимаемость обнаружить не удалось.
Следует отметить, что аналогичный вывод для воздушно-сухих
песчаных грунтов был получен в [76].
При увеличении длительности действия нагрузок были от-
мечены факты существенного возрастания деформаций при раз-
грузке по напряжениям (da-Jdt < 0). В частности, на рис. 8.6,
а, б представлены кривые сц (£), о2 (t) и е (t) для песчаного грун-
та с Wy = 0,15 при высоте сброса груза Нг = 27,5 см и толщине
прокладки 13 = 2,0 см, что привело к существенному увеличению
времени действия нагрузки и заметному росту деформаций при
dcjdt < 0. При меньшей длительности процесса для аналогич-
ного грунта (см. рис. 8.5) такого эффекта при первом нагружении
не наблюдалось.
144
Максимальные средние скорости изменения напряжений в
песчаных грунтах при первом нагружении щ и разгрузке | б* |
при о* = 50—100 кг/см2 составляли:
s | о* | = (12—30) -103 кг/(см2-с), а соответствующие сред-
ние скорости деформирования при нагружении е° = 10—15 с-1,
при разгрузке — | е* | = 4—6 с-1.
Таким образом, в исследованных грунтах даже при весьма
больших скоростях изменения напряжений (| 6* ] = (12 —
30)-103 кг/(см2/с) | ё* | изменялись в весьма небольших пре-
делах и не могли оказывать существенного влияния на кривые
(сгг, е) при разгрузке (dujdt < 0).
Представляет интерес, однако, сопоставить влияние деформа-
ций е на функцию Еи. (о15 е) при одних и тех же напряжениях
о, (при do,/dt < 0) при повторных нагружениях одних и тех же
образцов грунта. Эти данные можно получить из анализа резуль-
татов рис. 8.7, а, б, в.
Для этого обработка первичного экспериментального матери-
ала производилась следующим образом [64]. Осциллограммы
записей ((ц (t) и е (t) при < 0 разбивались на п равных интер-
валов длительностью Д£ = 0,25 -10~3 с, а затем определялись
Рис. 8.7. Зависимость Ei* (сц)
при разгрузке для песчаного
грунта с уо = 1,50 г/см3, w- =
= 0,05 при первом (а), втором
(б) и третьем (в) нагружениях
145
•J0 Г. В. Рыков, А. М. Скобеев
средние модули Elttj по формуле
ЕЪ = X (£<а^- R - ^--Д.г)) / £К - ef_./2, fc, (8-1)
К=1 Л=1
7 = 1, 2, . . ., п, р = 1, 2, . . ро,
которые ставились в соответствие напряжениям
Ri
= 2кг У| (а&+,/!’ к + аЦ-’Д, к)- (8-2)
1 К=1
Здесь кх, к2 — число измерений напряжений и деформаций в
каждом из опытов; pD — число опытов в серии.
Зависимость Ei* (ох), соответствующая кривым!—3 рис. 8.3, г,
представлена на рис. 8.7.
Начальный участок кривой 1 рис. 8.7, а при 4^ Ох 20 кг/см2
с достаточной точностью аппроксимируется линейным законом
Ех* = йсОх — ко, (8.3)
где а0 = rEuO1 <^>/<s|>; Ъа = (Е^) — ко'О]у,
Ро П
ГЕ*’O1 = <91>1<S2> У, У, - пР» <Е^> <°1»
Р=1 j=l
— коэффициент корреляции;
П ро П ро
j=l Р=1 j=l Р=1
п р0
и*-«wr.
J=1 Р=1
™ Ро
>=£ £ ^—<°i»2
3=1 Р=1
— дисперсии Elit. и Ох-
Искомые параметры (8.3) Ьс — 400 кг/см2, ас = 300. Коэф-
фициент корреляции гЕ,.о, = 0,79.
Пунктир на рис. 8.7, а соответствует доверительному интер-
валу, определенному с надежностью (5 = 0,95. Эти оценки дают
представление о точности определения модулей Ег* (Ох). Отно-
сительная погрешность определения Ех* при указанных пределах
Ох = “4—20 кг/см2 составляет от 40 до 16%. Заметим, что на участ-
ке 4 Ох 20 кг/см2 величины E1SI. для второго и третьего на-
гружений практически не отличаются от первого.
Сопоставление величины Eljj; при одних и тех же значениях
ot 20 кг/см2, но при различных е, соответствующих первому
146
Таблица 8.2
I II III IV
С1, кг/см2 е JEi„ кг/см! е •Ei*> кг/см2 е Еи, кг/см2 е кг/см2
20 0,043 5400 0,057 5600 0,064 6000 0,076 6700
40 0,046 7000 0,061 9500 0,067 11800 0,078 10000
50 0,047 7200 0,062 10400 0,068 12800 0,080 12000
80 0,070 7300 0,082 12000 0,088 13200 — —
(I), второму (II) и третьему (III), а также статическому (IV) на-
гружениям, представлены в табл. 8.2.
Из этих данных видно, что Elit. при разгрузке при одних и тех
же напряжениях crt = 20—80 кг/см2 возрастают с увеличением е.
При 20 Hi 50 кг/см2 возрастание составляет 20—40%, что
находится, вообще говоря, в пределах точности определения этих
величин по результатам экспериментов. При больших величинах
нагрузок это различие становится более заметным.
Результаты экспериментальных исследований сжимаемости
лессовидных суглинков приводятся на рис. 8.8—8.10, суглин-
ков — на рис. 8.11, плотных глин — на рис. 8.12.
Экспериментальные точки на рис. 8.8—8.11 — средние по
результатам 3—5 измерений, на рис. 8.12 точки для сг1 (t) — сред-
ние по результатам 15—25 измерений, для сг2 (t) и в (7) — средние
по результатам 10 измерений с соответствующими доверительны-
ми интервалами при [5 = 0,90.
Коэффициент вариации для основной части процесса для не-
нарушенных глинистых грунтов находится в пределах Су =
= 0,25—0,30. Средний относительный доверительный интервал
для глин 6о = 0,15—0,20.
Из рис. 8.8—8.12 видно, что влияние скорости деформирова-
ния на сжимаемость лессовидных и глинистых грунтов еще более
существенно, чем для песчаных. В частности, различия в дефор-
мациях при ё — оо п ё —> 0 при <?* = 30—50 кг/см2 достигают
в этих грунтах 3—4 раз. При этом в лессовидном суглинке даже
при достаточно коротких нагрузках, длительностью 0,008—0,010 с,
наблюдаются эффекты запаздывания максимальных деформаций
по отношению к максимальным напряжениям до 0,001 с. Зависи-
мость ot (е) на начальном участке при повторном нагружении су-
щественно не совпадает с линией предыдущей разгрузки.
Для лессовидных суглинков, как видно из рис. 8.10, замет-
ны также эффекты последействия — убывание остаточных дефор-
маций при щ = 0. Однако их величина составляет около 10%
от максимальных деформаций, что находится в пределах точности
измерений.
147
Рис. 8.8. Кривые (I) (точки 2, 3) и в (z) (точки 2а, За) для образцов лессовид-
ного суглинка с уо = 1,43—1,47 г/см3, wy — 0,12—0,13 (а) и соответствую-
щие кривые ох (в) при средних скоростях деформирования (б)
1 — в, = оо; 2 — в® — 33; 3 — в® — 30; 4 — в0 ~ 110-’ 1/с
Средние скорости деформаций при разгрузке составляют для
суглинков и глин | ё* | = 1—2,5 с-1, а скорости разгрузки | о* | =
= (7—10)-103 кг/(см2-с). В то же время при близких величинах
di при нагружении средние скорости деформаций е® достигали
15-35 с-1.
Таким образом, представленные выше результаты эксперимен-
тальных исследований с достаточной надежностью подтверждают
Рис. 8.9. Кривые Oj (г), в (Z) (точки 1—3 — о, (z); 1а, 2а, За — в (г)) для об-
разцов лессовидного суглинка с ув = 1,43—1,47^ г/см3, ыу = 0,034—0,035 (а)
и соответствующие кривые ог (в.) при различных средних скоростях деформи-
рования (б):
1 — в® = 15,7; 2 — в.® = 14,0; 3 — в® = 4,1; 4 — в® = 1-10-’ 1/е
148
o,02 o,ov o,oe o.os £
полученные в [54, 71] данные о существенном влиянии скорости
деформирования на сжимаемость песчаных грунтов естественной
влажности, суглинков и глин при кратковременных динамических
нагрузках.
При этом можно предполагать, что на формирование этих эффек-
тов в песчаных грунтах существенное влияние оказывает их влаж-
ность. Для воздушно-сухого грунта влияние этих факторов на
Рис. 8.11. Кривые О] (<) (точки 2, 3) и е(<) (точки 2а, За) для обрал т-
линков с Vo = 1,60—1,65 г/см3, wy = 0,10—0,15 (а) и соответству ’ гг
вые ох (е) при различных средних скоростях деформирования
Т _ С1 = ос; 2 — ё® = 16,5; 3 —ёд = 6,2; 4 —ё® = 1.10-» 1с
МВ
Рис. 8.12. Кривые Oj (<) (точ-
ки 7) и е (£) (точки 2) для об-
разцов глин с То = 1,70—
1,75 г/см3, = 0,20—0,22 при
первом (а) и втором (б) нагру-
жении, а также соответствую-
щие кривые Oj (е) (кривые 1, 2)
(в)
Р,= 100 кг, И, = 25см, г, = 2,0 см.
Пунктирная кривая (в) соответству-
ет <₽1(е); кривая з — статическая
диаграмма сжатия Л (е),е°=1 -10-Б1/с
сжимаемость при о* 50 кг/см2 минимально. С увеличением
влажности до wy — 0,05—0,15 оно возрастает.
Экспериментальные результаты, свидетельствующие о влия-
нии скорости деформирования на сжимаемость песчаных грун-
тов при одноосном сжатии, были получены также в [8, 73, 74].
В наибольшей степени влияние эффектов скорости деформи-
рования на сжимаемость проявляется в лёссовидных суглинках
и глинах. В этих грунтах различия в деформациях при е = оо и
ё-> 0 при одних и тех же напряжениях о* = 50—100 кг/см2
достигают 300—400%.
150
§ 2
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ДИАГРАММЫ СЖАТИЯ
И УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ
Рассмотрим некоторые результаты определения предельных
динамических и статических диаграмм сжатия, а также условия
пластичности для песчаных и глинистых грунтов в установке
«УДН-150».
В главе 5 был описан метод определения предельных динами-
ческих диаграмм в лабораторных условиях. Для этих целей ис-
пользовалась установка «УДН-150->, в конструкцию которой были
внесены некоторые изменения [70].
Для измерения времени пробега волны t (ег) вместо поршне-
вого и центрального донного тензодатчиков были установлены
пьезодатчики на базе керамики ЦТС-19, сигналы которых регист-
рировались на электронном осциллографе С1-33. При этом порш-
невой датчик был выполнен в виде подвижного блока, который
имел возможность смещаться при ударе по нему, генерируя вол-
ну слабого разрыва в образце. Это слабое возмущение создавалось
для каждого из значений ег- за счет удара по блоку с датчиком
шарика весом 100 г, падающего в поршне установки. Вес подвиж-
ного блока с датчиком так же составлял 100 г. Высота сброса ша-
рика — 1—2 см.
На рис. 8.13 представлены осциллограммы сигналов, регист-
рируемые поршневым (Z) и донным (2) датчиками при испытании
образца песчаного грунта с -у0 = 1,50 г/см3, wy = 0,003. Здесь
цена деления на осциллограммах 75 • 10-6 с (рис. 8.13, а) и 30-10~6 с
(рис. 8.13, б).
Соответствующие величины времени пробега t и скорости с (е)
при сг1;0 = 0 (рис. 8.13, а) равны: t (0) = 139-10-6 с, с (0) = сх =
= 215 м/с; при о1г = 283 кг/см2 (рис. 8.13, б) t (в) = 16,5-10~6 с,
с (е) = 1810 м/с.
На рис. 8.14 представлены соответствующие эксперименталь-
ные результаты для этого грунта. Точки и кривые 2 соответствуют
с (е), 3 — статической диаграмме сжатия, полученной при ё =
= 2,5-10~4 с-1. Точки 4 соответствуют скоростям с* (е) при
04 < А (е)-
Зависимости с (е) и /\ (е) аппроксимировались следующими
формулами:
с (е)/сх = 1 + тхи, 0 е 0,02;
с (e)/cj = [1 + тА (е — Е1)]1'2, 0,02 < е 0,12; (8.4)
Д (е) = К! (е + m2s'12), 0 е 0,13.
(8.5)
В (8.4), (8.5) Ci = 200 м/с; mj = 37; с] — с (ej = 350 м/с;
т1 — 364; gj = 0,02; Кг = 550 кг/см2; т2 = 155; v2 = 3,0.
151
Рис. 8.13. Осциллограммы сиг-
налов, регистрируемые порш-
невым (7) и донным (2) дат-
чиками
Предельная динамическая диаграмма для этого грунта была
получена в виде [701
<Pi (е) =
—^[(l+^e)3—1], 0<е<0,02
3/»^
<h,o + ^1,1 [е — ei + (е — Ei)''* 1], 0,02 0,12,
(8.6)
где Ех,0 = 608 кг/см2 * 4, тх = 182; Vj = 2,0; Е1Л = 1880 кг/см2;
<Г1,о = 23,2 кг/см2. Интересно отметить, что скорости с (е) в дан-
ном грунте возрастают с увеличением е, а для срх (е) имеет место
условие 0.
Отличие скоростей распространения слабых разрывов с* (е)
при разгрузке от с (е) при нагружении при одних и тех же значе-
ниях деформаций е (точки 4 рис. 8.14) свидетельствует о том,
что в законе деформирования типа (1.88) Elst =/= Ех (е). При испы-
Р.'с. 8.14. Результаты опре-
деления предельной динамиче-
ской диаграммы в установке
«УДН-150» для песчаного грун-
та с То — 1,50 г/см3, w,f =
= 0,003
1 — предельная динамическая диа-
грамма <р-(е); 2 — точки и кривая,
соответствующие с(е) при нагруже-
нии; з — статическая диаграмма
сжатия при е° — 2,5-10—1 с-1;
4 — точки, соответствующие с„(е)
j яри разгрузке
152
таниях песчаных грунтов различной влажности w — 0,05—0,15
и глин по этой же методике было получено, что диаграммы <рг (е)
для них также удовлетворяют условию (р" (е) 0 и могут быть
аппроксимированы соотношением
<рх (в) = Ех (е + т^') (8.7)
во всем диапазоне измеренных деформаций. Статические диаграм-
мы во всех случаях были получены в виде (8.5). Соответствующие
значения коэффициентов £'„ m,, -Vj, Кх, т2, v2 для исследованных
грунтов приведены в табл. 8.3. Следует отметить, что данные по
предельным динамическим диаграммам в табл. 8.3 приведены па ос-
нове результатов полевых опытов главы 7. При этом начальный
модуль упругости Еа = epi (0) для песчаного грунта определялся
из соотношения = рхсх, где сх — скорость распространения
упругих волн в данном грунте по результатам полевых опытов.
Для суглинков и глин (строки 4,5 табл. 8.3) величины Ег приняты
приближенно и не соответствуют скоростям упругих волн сг
в этих грунтах. Далее кривые <рх (*?,) подбирались в виде (8.7)
из условия максимального приближения к степенным диаграммам,
полученным в главе 7.
Модуль деформаций при разгрузке определялся в следую-
щем виде:
г’С2)
^1* 7
Е
(8-8)
где Е™ Е™, п?* — величины для исследованных в табл. 8.3 грун-
тов.
В главе 7 были изложены результаты исследований условия
пластичности для различных грунтов при распространении в них
взрывных волн. При этом было получено, что функция ff’ (а)
не зависит от скорости деформирования и с достаточной точностью
может быть аппроксимирована линейным законом. Аналогичные
результаты были получены при испытаниях образцов песчаных
и глинистых грунтов в установках квазистатического типа.
На рис. 8.15 представлены результаты определения функции
£ (о) для песчаного грунта при трех последовательных нагруже-
ниях. По оси ординат отложена величина Т — ]/2 (ох — о2),
по оси абсцисс — среднее напряжение о = г/3 (ох + 2о2). Соот-
ветствующие количественные результаты определения коэффи-
циентов k, g, а также гт о и доверительных интервалов для коэф-
фициентов корреляции гт\а приведены в табл. 8.4.
Сплошная линия на рис. 8.15 — линия линейной регрессии
Т — кз + Ь, пунктир соответствует доверительному интервалу для
линейной регрессии с надежностью р = 0,9.
Аналогичные результаты были получены для образцов с =
= 0,003 и = 0,15.
153
154
Рис. 8.15. Зависимость Т (о) для песчаного грунта с 70 = 1,50 г/см3,
wy = 0,05 при трех последовательных нагружениях (а — е) по данным,
соответствующим рис. 8.3
'Si’ll Г — 18in»n 1 с, 2— разгрузка
Рис. 8.16. Зависимость Т (о) для лессовидного суглинка с у0 = 1,43—
1,47 г/см3, = 0,034—0,035 при различных скоростях деформирования
согласно данным рис. 8.9:
Точки 1 — eJ — 15,7 1/с; 2 — е^ = 4,1 1/с
Точки 1,2 — нагружение, 1а, 2а — назгрузка
Рис. 8.17. Зависимость Т (о) для лессовидного суглинка с 1’о = 1,50 г/см8,
wy = 0,10, соответствующая результатам рис. 8.10
Точки 1,2 — первое и второе нагружение;
1а, 2а — разгрузка
155
Таблица 8.4
U?v N к 5 ТТ а J*) гТ,с
1 2 3 4 5 6 7
1 0,893 0,550 0,664 —0,106 0,912
0,003 2 1,183 0,461 0,881 0,421 0,970
3 1,200 0,455 0,567 —0,799 0,975
1 1,493 0,375 0,972 0,831 0,992
0,05 2 1,595 0,352 0,942 0,674 0,986
3 1,649 0,344 0,979 0,869 0,995
1 1,659 0,340 0,914 0,549 0,979
0,15 2 1,763 0,320 0,960 0,761 0,990
3 1 .782 Q.315 0,945 0,790 0,991
Данные табл. 8.4 соответствуют идентичным условиям нагру-
жения при различных wy (N — помер нагружения). Величины Ъ
во всех случаях с точностью до случайных погрешностей измере-
ния равны нулю.
Из табл. 8.4 видно, что с увеличением влажности с wv = 0,003
до wv = 0,15 коэффициенты к увеличиваются (соответственно
коэффициенты £, убывают) в 1,4—1,7 раза. Заметим, что получен-
ные результаты близки к полученным при испытаниях аналогич-
ных грунтов в полевых условиях (см. табл. 7.5).
Следует отметить, что для грунта с wv = 0,003 имеет место
существенно более широкий, чем для wy = 0,05 и wy = 0,15, до-
верительный интервал для коэффициента корреляции. Анализ
результатов опытов показывает, что этот факт связан с заметным
различием зависимости $ (<т) для воздушно-сухого грунта (ш? =
= 0,003) при нагружении и разгрузке. Для влажных грунтов ус-
ловие пластичности (величины к) в пределах точности опытов не
зависит от условий нагружения или нагрузки.
Для условий статического нагружения песчаного грунта с
wy 0,05 коэффициент А- оказался равным 1,459, что также близ-
ко к данным табл. 8.4 для первого нагружения.
При повторных нагружениях к несколько возрастает. При этом
для Wy = 0,003 это возрастание при трех последовательных на-
гружениях составляет 35%, а для влажных — не превышает 7—
14%. Последние величины находятся в пределах точности изме-
рений. Поэтому можно считать, что для песчаных грунтов есте-
ственной влажности {wy — 0,05—0,15) к не изменяется при по-
вторны х нагружениях.
На рис. 8.16, 8.17 приведены результаты исследования функ-
ции $ (о) для лессовидных суглинков при различных режимах
деформирования (рис. 8.16), а также при повторных нагружениях
156
(рис. 8.17). Из этих данных видно, что в лёссовидных грунтах ско-
рость деформирования также не оказывает существенного влия-
ния на условие пластичности.
Анализ всех описанных выше результатов позволяет сделать
вывод о том, что скорость деформирования в песчаных и глини-
стых грунтах не оказывает существенного влияния па условие плас-
тичности как при первом, так и при повторных нагружениях.
§ з
РЕЗУЛЬТАТЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ gj (щ — /,(е))
Наличие количественных данных о предельных динамических
и статических диаграммах сжатия, а также оценка точности ре-
зультатов динамических испытаний образцов в установках квази-
статического типа позволяют перейти к определению функции gL
методом, изложенным в главе 1.
При практической реализации этого метода функция gL при-
нималась в виде (5.71):
gi = *li (<h — А (е))И1-1
В связи с недостаточной изученностью поверхности отклика
De минимизация производилась путем перебора, который был
реализован в виде программы на ЭВМ «Минск-32».
Рассматривались две модели вязко-пластической среды, оп-
ределяемые соотношением (1.87) (модель I) и (1.88) (модель II).
Поиск значений тц), при которых соотношения (1.87), (1.88)
наилучшим образом описывают эксперимент, производился в сле-
дующем порядке. В плоскости (xj, т)1) в узлах сетки определялись
значения функции Dz (хь цг) согласно (5.72). При этом было ус-
тановлено, что во всех случаях искомые величины Xj находятся
в пределах 0 < хх < 1, а тц — в пределах 0 < гц < 5. В этих
пределах изменения Xj и вначале производился грубый поиск,
при котором рассматривалась сетка размером 10 X 10. Далее
для отдельных областей возможного расположения минимальных
значений DE (х,, t)j) производились расчеты с более мелким шагом
по х1, Цх- Затем с использованием интерполяции находились линии
уровня, соответствующие равным значениям функции De (Xj, гц).
При этом было получено, что во всех случаях линии уровня для
данного режима имеют характер, близкий к эллиптическому.
В частности, на рис. 8.18 представлены результаты определения
линий уровня для песчаного грунта с = 1,50 г/см3, wy = 0,15.
Цифры в узлах сетки соответствуют величинам DE (xi, тц), а циф-
ры на линиях уровня — относительным погрешностям
157
Рис. 8.18. Линии уровня для поверхности отклика РЕ (хъ ц,) при трех после-
довательных нагружениях образцов песчаного грунта с т0 = 1,50 г/см3,
Wy = 0,15 (по данным, соответствующим рис. 8.5)
Рис. 8.19. Области значений (х17 T]i) для суглинка с у0 = 1,60—1,65 г/см3,
гиу = 0,10—0,15
где (е) — среднее значение деформации, равное
<8-9’
1=1 j=»0
Величина б* здесь характеризует в среднем точность, с которой
расчетная кривая е (£) приближается к экспериментальной. Кри-
терием достаточной точности этого приближения можно считать
такую ситуацию, когда рассчитанная согласно выражению (1.87)
или (1.88) кривая е (/) при определенных значениях (хг, тц) не
выходит за доверительные интервалы для экспериментальных
значений <е (^)) для данного режима. Для этого величина 6*,
во всяком случае, не должна превышать среднего значения дове-
рительного интервала б0. Для рассматриваемого песчаного грунта
с = 0,05—0,15 величина б0 = 0,05—0,14. Поэтому можно по-
лагать, что для этих случаев величина б., лежащая в пределах
0,05 б* 0,10, будет обеспечивать требуемую точность.
Из приведенных расчетов, например данных рис. 8.18, следует,
что заданной точности б* = 0,10 соответствует некоторая область
значений пар (хп гц). В табл. 8.5 указаны координаты, соответ-
ствующие примерно центру такой области, и даны отклонения, со-
ответствующие ее крайним точкам.
158
Таблица 8.5
«О 0,10 0,10 0,06 0,20 0,12
й ф Ct о о 1+ со о £ со~ см 2,0 (+0,30) 2,8 (+0,60) 1,4 (+0,10)
X CQ О +J LO О 0,22 (±0,20) 0,40 (±0,10) 0,25 (±0,05) о J о о
* 0,10 О о 0,10 0,20 0,20
Модель I Г’ 1,0 (+0,30) 1,8 (+0,30) (os‘o±)s‘e 2,6 (+0,40) 2,0 (+0,10)
X o' **“Н 5 о 0,4 (±0,05) 0,45 (±0,05) 0,35 (±0,05) 0,10 (±0,05)
<< О -0,15 -0,22
я fc£ S и Песок Yo=1,5O г/см3, w?=0,05 Песок у0=1,50 г/см3, «>т=0,12—0,15 1 СМ тМ О II « о >+ S s К О ° t- н и'* ° _ о || о к R £ 1 о -Г-Н о II 'u-i е ю CD и 1 о о а О о £ 1 о см о 1! со ^3 Со о- IT с
159
Как следует из рис. 8.18, уменьшая требования к точности экс-
перимента, можно получить сколь угодно большую область зна-
чений пар (zi, гц), удовлетворяющих заданной точности. При от-
сутствии данных о точности эксперимента вопрос об определении
характеристик грунта, описывающих его вязко-пластические
свойства, вообще теряет всякий практический смысл, поскольку
-область поиска значений (хъ Th) будет неопределенной.
Наличие экспериментальных результатов, соответствующих
различным режимам деформирования для одного и того же грун-
та, позволяет существенно сузить область искомых значений (хт,
i]j), поскольку области, ограниченные линиями уровня, соответ-
ствующими равным De, при различных режимах деформирова-
ния должны пересекаться.
Отсутствие общих точек у таких областей свидетельствует,
вообще говоря, о том, что принятая модель при заданной точности
не дает достаточно точного отображения эксперимента и, следо-
вательно, должна быть отвергнута.
На рис. 8.19 представлены результаты определения коэффи-
циентов Xj, 1]! для суглинка при различных режимах деформи-
рования (кривые 1, 2). Цифры па линиях уровня соответствуют
средней точности б*. Область значений хп т]1? являющихся общи-
ми для различных режимов деформирования при заданной точ-
ности б* = 0,20, заштрихована.
Кривые 1 (рис. 8.19), соответствуют режиму со средней скоро-
стью деформирования в2 = 16,5 1/с, кривые 2 — ё3 = 6,2 1/с.
Соответствующие искомые величины х1? для различных грунтов
(исследованных в опытах), определенные описанным выше спосо-
бом, приведены в табл. 8.5.
Из анализа этих результатов видно, что на основе сравнений
точности б* с точностью эксперимента оказывается возможно вы-
брать модель, которая наилучшим образом описывает эксперимент
(строки 3,5). В этих случаях дальнейшее повышение точности
(уменьшение величины б*) для модели I оказалось невозможным.
В остальных случаях (строки 1, 2, 4) выяснилось, что модели I,
II могут описывать эксперимент с одинаковой точностью.
Следует отметить, однако, что при кратковременных нагрузках,
как показали расчеты по распространению волн напряжений в вяз-
ко-пластической среде [37, 77] и их сопоставление с результатами
экспериментальных исследований по затуханию взрывных волн
в грунтах [4—6], модель I хуже описывает такого рода процессы,
чем модель II.
Представляет далее интерес теоретически рассчитать кривые
о1 (t), е (t) применительно к условиям эксперимента с учетом дан-
ных по характеристикам из табл. 8.3, 8.5 и сравнить их с соот-
ветствующими экспериментальными кривыми.
Система уравнений, описывающая работу установки квази-
статического типа в предположении упругой модели грунта и уп-
ругой прокладки, была рассмотрена в главе 5.
160
fac. 8.20. Теоретические кривые al (/), e (/) применительно к условиям
эксперимента для песчаного грунта с у0 = 1,50 г/см3, = 0,05
Точки 1 — экспериментальные значения;
кривые 2,3 — теоретические
В более общем случае для уравнения состояния (1.88) будем
иметь следующую систему уравнений:
mdv^/dt = a0oi3) (/), mdiW/dt =о1 (Z) — ci0°i3> (/), 0®= /э (е<3>),
doi/dt = — Er [vM + gi (ог— h (e<D))J, щ = duV/dt, 1()
р(з) = did'^/dt, e<3) = (u^ — bW= u(1)/Zi,
( Ei da^dt 0;
= I Ei. (o1; ей)), dOi/dt<Z0.
Здесь /3 (8<3>) — диаграмма"; сжатия прокладки; a0 =
S\'\ SqJ) — площади поперечных сечений образца и прокладки
соответственно; остальные обозначения те же, что и в главе 5 (§ 1).
Начальными условиями для системы (8.10) являются:
при первом нагружении
р<з) (0) = — г0, yd) (0) = Ojl (0) = о{3)(0) = 0,
nW (0) = н<3> (0) = 0, (8.11)
при повторных нагружениях
н<з) (0) = — v0; v<^ (0) = Ci (0) = ор) (0) = 0;
W(D (0) =-- u<3) (0) = uo.i-r, (8.12)
где u0,i-i — остаточное смещение, полученное образцом грунта
при предыдущем нагружении.
Система уравнений (8.10) решалась численно на ЭВМ
«Минск-32».
161
Диаграмма сжатия прокладки (вакуумной резины) была полу-
чена путем статических испытаний в следующем виде:
J 125е(3> кг/см2, е(3> 0,4
/з (е<3>) = | 673 + 3900 (б(3))2 _ 3120б(3) кг/см2, 6<3) > 0,4. (8ЛЗ)
На рис. 8.20 представлены результаты расчета для песка при-
менительно к условиям эксперимента на рис. 8.3 Кривые 2 на
рис. 8.20, а, б соответствуют расчету при хх = 0,5; 1]х =
= 0,6 см/кг’^-с, кривые 3 соответствуют пластической модели,
характеризуемой статической диаграммой сжатия (е) при на-
гружении. Разгрузка при этом принималась аналогично вязко-
пластической модели при б1<^/г(в).
Как видно из рис 8.20, теоретические кривые crx (£) в обоих слу-
чаях лежат в пределах доверительных интервалов для экспери-
мента только в отдельных точках. При этом максимальные на-
пряжения для кривой 2 (хх = 0,5 и цх = 0,5 см/кг1/2-с) практи-
чески совпадают с экспериментальным, а для кривой 3 на 15—
20% меньше. В целом следует отметить, что кривые <зг (t) мало
чувствительны к изменениям параметров модели хх, Цх. Именно
в связи с этим обстоятельством минимизация функции De (хх, Цх)
при определении величин хх, цх производилась по деформациям.
Из рис. 8.20, б видно, что теоретическая кривая для деформа-
ций 2 при t t+, где t — время нарастания деформаций до мак-
симального значения, лежит в пределах доверительных интер-
валов для экспериментальных точек (в (£х)>. Кривая 5, получен-
ная при расчетах по упруго-пластической модели (без учета вяз-
кости), существенно выходит за доверительные интервалы для
всех моментов времени <х. Это свидетельствует, вообще говоря,
о непригодности упруго-пластической модели для описания дефор-
мирования грунта при кратковременных динамических нагруз-
ках.
Вывод о несущественности влияния скорости деформирования
на условие пластичности (1.83), а также результаты фактического
определения функции пластичности & (о) в виде линейного соот-
ношения (7.12) позволяют на основе результатов определения
функции gx (ох — /х (е)) при одноосном сжатии определить соот-
ветствующие характеристики для законов деформирования (1.83),
(1.84) при объемном сжатии:!
g = 11 (о — / (e))Z1; Ц = (1 + “V" k
f (8) = (а (8) - ь) / (1 + ; (8.14)
£(е)=£х (е)/(1 +-¥-*)
162
В заключение представляется целесообразным рассмотреть
вопрос о влиянии эффектов вязкости на законы подобия при рас-
пространении взрывных волн в грунтах.
Для рассматриваемой вязко-пластической модели типа (1.88)
в случае распространения одномерных волн помимо системы без-
размерных параметров, определяющих движение упруго-пласти-
ческой среды [2], добавится еще один параметр, связанный со
скоростью развития процесса деформирования — ЦрЕ^'т, где
т — характерная длительность процесса; Еу = (0); i]x —
параметры модели, определенные выше. При этом геометрическое
моделирование, требующее, чтобы, в частности, выполнялось
постоянство отношений RJR2 = tx/t2 = const, где Rr, т3 и Т?2,
т2 — величины расстояний и характерных времен для двух раз-
личных масштабов моделирования в опытах, оказывается, во-
обще говоря, невозможным для одной и той же среды при постоян-
ных значениях и Ех. Однако при малых характерных време-
нах т величина т]х будет также малой, и из (1.88) следует, что
процесс распространения волн напряжений будет определяться
главным образом предельной динамической диаграммой сжатия
<рх (в). Теоретические расчеты [77], проведенные применительно
к исследованным песчаным грунтам, рассматриваемым как вязко-
пластическая среда с нелинейными характеристиками, определяе-
мыми соотношениями (1.88), (8.7), (8.8), (5.71), действительно по-
казали, что затухание максимальных напряжений в такой среде
при малых Th близко к соответствующим данным для пластической
среды с диаграммой сжатия (в). Заметим, что аналогичные ре-
зультаты применительно к распространению волн напряжений
в стержнях были получены в [78].
В связи с указанным обстоятельством при малых характерных
временах т условия геометрического подобия при изменении мас-
штаба моделирования в некоторых ограниченных пределах мо-
гут приближенно выполняться (в пределах точности эксперимен-
та), что и имело место в опытах с песчаными грунтами, описанны-
ми в главе 7.
IB то же время для лессовидных суглинков, в которых эффек-.
ты вязкости более существенны, чем в песчаных грунтах, обнару-
живается тенденция к уменьшению максимальных напряжений
при фиксированных геометрически подобных расстояниях Rr
при увеличении веса заряда ВВ [79], рис. 7.6, кривые 3, 4. Прове-
денные для этих грунтов теоретические расчеты [37] по затуханию
сферических волн достаточно хорошо согласуются с результатами
соответствующих экспериментов [79]. При этом оказывается, что
значительный «разброс» экспериментальных точек для лессовид-
ных суглинков в действительности является следствием обработ-г
ки результатов опытов в терминах геометрического подобия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Зволинский Н. В., Малышев Б. М., Шапиро Г. С. Динамика пласти-
ческих сред.— МТТ, 1966, с. 387—411.
2. Григорян С.С. Об основных представлениях динамики грунтов.— ПММ,
1960, XXIV, № 6, с. 1057—1072.
3. Алексеев Я. А., Сагомонян А. Я., Рахматулин X. А. Об основных урав-
нениях динамики грунтов.— ПМТФ, 1963, № 2.
4. Алексеенко В. Д., Григорян С. С., Новгородов А. Д., Рыков Г. В. Некото-
рые экспериментальные исследования по динамике мягких грунтов.—
Докл. АН СССР, 1960, 133. № 6.
5. Алексеенко В. Д., Григорян С. С., Кошелев Л. И., Новгородов А. Д., Ры-
ков Г. В. Измерение волн напряжений в мягких грунтах.— ПМТФ,
1963, № 2, с. 135—141.
6. Рыков Г. В. Экспериментальные исследования поля напряжений при
взрыве в песчаном грунте.— ПМТФ, 1964, № 1, с. 85—89.
7. Ляхов Г. М., Полякова Н. И. Волны в плотных средах и нагрузки на
сооружения. М., «Недра», 1967.
8. Kennedy Т. Е., Hendron А. Т. Jr. The dynamic stress-strain relation for
a sand as deduced by studying its shockware propagation characteristics
in a laboratory device. Proc. Army Sci. Conf. West Point, 2, N. Y., 1964,
Washington, 1965. (Рус. пер.: Получение динамической диаграммы нап-
ряжения-деформации для песка путем изучения параметров распростра-
няющейся ударной волны в лабораторной установке.— Механика. Со.
пер. и обз. иностр, лит., 1967, .№ 6 (106).)
9. Алексеенко В. Д. Экспериментальное исследование динамического поля
напряж. в мягком грунте при контактном взрыве.— ПМТФ, 1963, № 5.
10. Цытпович Н. А. Механика грунтов. М., Госстройиздат, 1963.
11. Варанов Д. С. Выбор основных параметров грунтовых мессдоз из ус-
ловий наименьшего искажения измеряемых давлений.—Труды ЦНИИСК,
вып. 14. М., 1962, с. 40—84.
12. Дерисевич Г. Механика зернистой среды.— В кн.: Проблемы механики,
вып. III. М., ИЛ, 1961, с. 91—152.
13. Кандауров И. И. Механика зернистых сред и ее применение в строитель-
стве. М., Стройиздат, 1966.
14. Дрешер А., Ж. де Поселен де Ионг. Проверка механической модели те-
чения гранулированного материала методами фотоупругости.— В кн.:
Повое в зарубежной науке. Механика, вып. 2. Определяющие законы ме-
ханики грунтов. М., «Мир», 1975, с. 144—156.
15. Терцаги Т. Теория механики грунтов. М., Промстройиздат, 1961.
16. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.— Л., Гостехиздат, 1947.
17. Прагер В., Ходж Ф. Г. Теория идеально-пластич. тел. М., ИЛ, 1956.
18. Фрейденталъ А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплош-
ной среды. М., Физматгиз, 1962.
19. Григорян С. С. О некоторых специальных вопросах термодинамики
сплошных сред.— ПММ, 1960, XXIV, вып. 4.
20. Баркан Д. Д. Динамика оснований и фундаментов. М., Машстройиздат,
1948.
21. Герсеванов Н. М. Основы динамики грунтовой массы. М., Машстройиздат,
1937.
22. Герсеванов Н. М., Полъшин Д. Е. Теоретические основы механики грун-
тов и их практические приложения. М., Госстройиздат, 1948.
23. Флорик В. А. Основы механики грунтов. Т. II. М.— Л., Госстройиздат,
1961.
24. Орнатский Н. В. Механика грунтов. МГУ, 1962.
25. Шукле Л. Реологические проблемы механики грунтов. Пер. с англ. 2-е
изд. М., Стройиздат, 1976.
164
26. Ильюшин А. А. Пластичность. М., Гостехиздат, 1948.
27. Седов Л. И. Понятия разных скоростей изменения тензоров.— ПММ, 1960,
XXIV, вып. 3.
28. Николаевский В. Н. Механические свойства грунтов и теория пластич-
ности. Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел,
т. 6. М„ 1972.
29. Николаевский В. Н. О связи объемных и сдвиговых пластических дефор-
маций и об ударных волнах в мягких грунтах.— Докл. АН СССР,
1967, 177, № 3.
30. Дидух Б. И., Иоселевич В. А. О построении теории пластического упроч-
нения грунта.— МТТ, 1970, № 2, с. 155—158.
31. Бишоп А. У. Параметры прочности при сдвиге ненарушенных и перемя-
тых образцов грунта.— В кн.: Новое в зарубежной науке. Механика,
вып. 2. Определяющие законы механики грунтов. М., «Мир», 1975.
32. Роу П. Теоретический смысл и наблюдаемые величины деформационных
параметров грунта. Там же, с. 76—143.
33. Вопросы прочности и деформативности грунтов. Материалы научного
семинара 3—5 ноября 1965 г. Баку, Азерб. Гос. изд-во, 1966.
34. Кристеску Н. О распространении продольных волн в тонких упруго-
вязко-пластических стержнях.— Механика. Сб. пер., 1966, № 3.
35. Соколовский В. В. Распространение упруго-вязко-пластических волн в
стержнях.— ПММ, 1948, XII, вып. 3.
36. Малверн Л. Распространение пластических волн с учетом влияния ско-
рости деформирования.— Механика. Сб. пер., 1952, № 1.
37. Зубкова А. Н., Рыков Г. В. Распространение одномерных волн напряже-
ний в вязко-пластической среде.— Материалы V Всесоюзного симпозиу-
ма по распространению упругих и упруго-пластических волн, 4—7 ок-
тября 1971 г. Алма-Ата, «Наука», 1973, с. 165—173.
38. Lubliner Т. A general theory of strain-rate dependent plastic wave pro-
pagation in bars.— J. Meeh. Phys. Solids, 1964, 12, p. 59—65.
39. Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.,
Гос. изд. техн.-теор. лит., 1953.
40. Баренблатт Г. И. О распространении возмущений в среде с нелинейной
зависимостью напряжений от деформаций.— ПММ, 1953, XVII, вып. 4.
41. Григорян С. С., Кошелев Л. И., Рыков Г. В. Некоторые вопросы динамики
грунтов при интенсивных кратковременных нагрузках.— В кн.: Расчет
сооружений на деформируемом основании и в деформируемой среде.
(Труды МИСИ им. В. В. Куйбышева, № 79) М., 1971, с. 75—91.
42. Скобеев А. М. Волна нагружения в вязко-пластической среде.— МТТ,
1967, № 2, с. 139—142.
43. Скобеев А. М. О влиянии измерительного прибора на напряжения в грун-
те,— МТТ, 1970, № 7, с. 131—134.
44. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М., Физматгиз, 1965.
45. Соколовский В. В. Теория пластичности. М., «Высшая школа», 1965.
46. Снеддон И. Преобразования Фурье. М., ИЛ, 1955.
47. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций. М., Физматгиз, 1959.
48. Скобеев А. М. Взаимодействие акустической волны с пластинкой.—
ПМТФ, 1972, № 1, с. 84—91.
49. Скобеев А. М. Взаимодействие упругой волны с пластинкой.— ПМТФ,
1972, № 2, с. 74—85.
50. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных. М., ИЛ., 1963.
51. Афанасьев Е. Ф. Отражение волны давления от плоскости с деформируе-
мой частью в виде мембраны,— Инж. журн., 1961, 1, вып. 2.
52. Askegaord Vagn. Measurement of pressure between a rigid wall and a com-
pressible medium by means of pressure cells.— Acta Polttechn. Scandina-
vica, Civ, Eng. and Build. Constr. Ser., 1961, N 11, p. 1—35.
53. Скобеев A. M. Дифракция упругой волны на диске.— ПМТФ, 1972, №3.
54. Рыков Г. В. Влияние скорости деформирования на сжимаемость и сдвиг
165
песчаных и глинистых грунтов при кратковременных нагрузках.—
ПМТФ, 1969, № 3, с. 155—160.
55. Котов А. И., Нарожная 3. В., Рыков Г. В., Сутырин В. П. Эксперимен-
тальные исследования сжимаемости песчаных грунтов н условия плас-
тичности при кратковременных динамических нагрузках.— ПМТФ,
1976, № 5, с. 1-40—146.
56. Кулинич Ю. В., Нарожная 3. В., Рыков Г. В. Механические характерис-
тики песчаных и глинистых грунтов с учетом их вязко-пластических
свойств при кратковременных динамических нагрузках.— Препринт
№ 69, Ин-т пробл. мех., 1976.
57. Скобеев А. М. Об измерении сжимаемости грунта.— ПМТФ, 1970, № 1,
с. 111—113.
58. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М., «Наука», 1969.
59. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями.
М., ИЛ, 1956.
60. Кендал М., Стюарт А. Теория распределений. М., «Наука», 1966.
61. Шапиро С., Хант Т. Статистические модели в инженерных задачах.
М., «Мир», 1969.
62. Ильюшин А. И., Лекский В. С. Сопротивление материалов. М., Физ-
матгйз, 1959, с. 277.
63. Новгородов А. Ф. Оценка погрешностей измерения максимальных напря-
жений в грунте при взрыве.— Прикл. мех. (Киев), 1968, IV, вып. 12.
64. Нарожная 3. В., Рыков Г. В. О погрешностях измерений напряжений в
грунтах при кратковременных нагрузках.— ПМТФ, 1972, № 4.
65. Молотова Л. В., Васильев Ю. И. О величине отношения скоростей про-
дольных и поперечных волн в горных породах, вып. II.— Изв. АН СССР.
Сер. геофиз., 1960, № 8, с. 1097—1116.
66. Peattie К. В., Sparrow В. W. The fundamental action of Eearth pressure'
cells.— J. Meeh, and Phys. Solids, 1954, 2, N 3, p. 141—155.
67. Simmons К. B. Byiiatnic evaluation of soil gages.— Advances Test Measu-
rem. Instrument. Soc. Amer. (Pittsburgh), 1968, 5, p. 579/1—579/10.
(Рус. пер.: Динамические характеристики датчиков напряжения в грун-
те.— Экспр.-информ. ВИНИТИ «Испыт. приборы и стенды», 1970, № 8).
68. Ляхов Г. М. Основы динамики взрыва в грунтах и жидких средах. М.,
«Недра», 1964.
69. Лемпсон К. Подземные взрывы.— В кн.: Действие атомного оружия.
М., ИЛ, 1954.
70. Котов А. И., Рыков Г. В. О методе определения предельных динамиче-
ских диаграмм сжатия для грунтов и пористых сред, чувствительных к
скорости деформирования.— ПМТФ, 1977, № 2.
71. Мельников В. В., Рыков Г. В. О влиянии скорости деформирования на
сжимаемость лессовых грунтов.— ПМТФ, 1965, № 2.
72. Рыков Г. В. Экспериментальные исследования сжимаемости глинистых
грунтов при подземных взрывах.— ПМТФ. 1968, № 2.
73. Heierli W. One-dimensional inelastic wave propagation in solids: experi-
mental and theoretical investigations.— Sympos. stress waves in inelastic
solids, Brown Univ.. 1963: Berlin, Springer-Verlag, 1964.
74. Ляхов Г. M. Определение вязких свойств грунта.— ПМТФ, 1968, Ле 4.
75. Родионов В. Н., Адушкин В. В., Костюченко В. Н. и др. Механический
эффект подземного взрыва.— М-, «Недра», 1971, с. 103—106.
76. Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики
грунтов. М.,изд. МГУ, 1964, с. 17—32.
77. Нещеретов И. И., Рыков Г. В. Распространение плоскпх одномерных
волн напряжений в неоднородной вязко-пластической среде с нелиней-
ными характеристиками.— Изв. АН СССР. МТТ, 1978, № 3.
78. Рахматулин ХА., Демьянов Ю. А. Прочность прп интенсивных кратко-
временных нагрузках. М., Физматгиз. 1961.
79. Григорян С. С., Ляхов Г. М., Мельников В. В., Рыков Г. В. Взрывные
волны в лессовидном грунте.— ПМТФ, 1963, с. 35—39.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................-.............. 3
Введение.......................................................... 6
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
Общие положения механики сплошных сред и определяющие урав-
нения динамики грунтов. Основы теории приборов для измере-
ния напряжении в грунтах при кратковременных динамиче-
ских нагрузках 9
Глава первая
Основные уравнения динамики грунтов............................... 11
§ 1. Напряжения и деформации в сплошной среде.
Уравнения движения и неразрывности........................... 11
§ 2. Определяющие уравнения динамики грунтов...................... 22
§ 3. О распространении взрывных волн в грунтах с учетом пластиче-
ских и вязко-пластических свойств................................. 35
Глава вторая
Основы теории приборов для измерения напряжений в грунтах при
статических нагрузках........................................ 41
§ 1. Некоторые вопросы теории приборов (датчиков) для измерения
напряжении в грунтах как пластических средах...................... 41
§ 2. Влияние прогиба чувствительного элемента тензометрического
датчика на измеряемые напряжения в упругой среде.................. 47
§ 3. Расчетные формулы для оценки погрешности, связанной с влиянием
прогиба чувствительного элемента тензометрического датчика
на измеряемые напряжения.......................................... 53
Глава третья
Взаимодействие волны напряжений с гибкой пластинкой тензометри-
ческого датчика, располагающегося в упругой среде................. 58
§ 1. Постановка задачи. Основные уравнения........................ 58
§ 2. Взаимодействие акустической волны с упругой пластинкой . . 62
§ 3. Взаимодействие упругой волны с упругой пластинкой .... 70
Глава четвертая
Взаимодействие волн напряжений с абсолютно жестким корпусом
датчика цилиндрической формы, расположенного в упругой среде . . 77
§ 1. Постановка задачи............................................ 77
§ 2. Описание численной схемы..................................... 79
§ 3. Обсуждение результатов расчетов на ЭВМ....................... 82
167
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
Экспериментальные исследования по измерению напряжений и
деформаций в грунтах и определению их механических характе-
ристик при кратковременных динамических нагрузках 85
Глава пятая
Методы экспериментальных исследований сжимаемости грунтов и ус-
ловия пластичности при кратковременных динамических нагрузках 86
§ 1. Установки квазистатического типа «УДН-150» и «УДН-100» для
исследования сжимаемости образцов грунтов и условия пластич-
ности ........................................................... 86
§ 2. Методы статистической обработки результатов измерений напря-
жений и деформаций в грунтах..................................... 94
§ 3. Методы определения предельных динамических диаграмм сжа-
тия, функции пластичности & (о) и функции gj (Ci — h (е)) 98
Глава шестая
Экспериментальные исследования систематических погрешностей
измерения напряжений в грунтах при кратковременных нагрузках . 104
§ 1. Датчики и аппаратура для экспериментальных исследований.
Методика исследования систематических погрешностей измерения
напряжений...................................................... 104
§ 2. Влияние прогиба чувствительного элемента датчика на измеряе-
мое напряжение.................................................. 109
§ 3. Погрешности измерений, связанные с концентрацией напряжений
вокруг корпуса жесткого датчика, расположенного в массиве
грунта.......................................................... 113
Глава седьмая
Результаты измерений полей напряжений в грунтах при распростра-
нении взрывных волн.............................................. 120
§ 1. Методика и условия проведения экспериментов................. 120
§ 2. Параметры полей напряжений в грунтах при взрывах сосредо-
точенных, плоских и цилиндрических зарядов...................... 125
§ 3. Сжимаемость грунтов и условие пластичности при распростра-
нении волн напряжений........................................... 134
Глава восьмая
Экспериментальные исследования сжимаемости и условия пластичности
песчаных и глинистых грунтов в установках квазистатического типа.
Механические характеристики грунтов с учетом их вязко-пластиче-
ских свойств..........................................•.......... 138
§ 1. Результаты измерений напряжений и деформаций песчаных и
глинистых грунтов в установках квазистатического типа . . . 138
§ 2. Предельные диаграммы сжатия и условие пластичности .... 151
§ 3. Результаты определения функции gt (Oj — Д (е)) ..««• 157
Литература . ,................................................... 164
СПИСОК ОПЕЧАТОК И ИСПРАВЛЕНИЙ
Страница Строка Напечатано Должно быть
до
20 (1.35) dxi + dxi
58 5 си. U1, иит/г — и Jr2',
61 6 св. (2.7) (3-7)
106 И св. J»0,5 л0,5о
111 (6.2) Оо Оо/
161 7 св. mdv1 modv1
Г. В. Рыков, А. М. Скобеев