Екпезто Сезлко

ЗЛЕМЕНТЯРНЫЙ УЧЕБНИКЪ

МГЕБРНИЧЕСКНГО ЯНМИЗЯ

И ИСЧИСЛЕНІЯ БЕЗКОНЕЧНО МЯЛИЦЪ
Эрнесто Чезнро

ПРОФЕССОРЪ УНИВЕРСИТЕТА ВЪ НЕАПОЛЬ

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ

АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА

И ИСЧИСЛЕНІЯ БЕЗКОНЕЧНО МАЛЫХЪ

СЪ МНОГОЧИСЛЕННЫМИ ПРИМЪРАМИ ДЛЯ УПРАЖНЕНІЯ

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Переводъ съ нѣмецкаго съ примѣчаніями и дополненіями профессора

К. 0. ПОССЕ

Одесса 1914
ОДЕССЛ

Типографія Акціонернаго Южно-Русскаго Общества Печатнаго Дѣла

(Пушкинская ул., собств. домъ № 18).
Отъ редактора русскаго перевода.

При обработкѣ второй части учебника Чезаро мы измѣнили
систему, которой придерживались въ первой части, а именно вмѣ-
сто того, чтобы выдѣлять наши примѣчанія и дополненія въ особые
отдѣлы въ концѣ каждой книги, мы помѣщаемъ здѣсь эти примѣ-
чанія и дополненія непосредственно за тѣми мѣстами текста, къ
которымъ они относятся, отмѣчая ихъ прямыми скобками [ ].

Кромѣ того, нѣкоторые §§ оригинала, въ которыхъ слиш-
комъ сжатое изложеніе могло бы повести къ недоразумѣніямъ,
изложены нами въ измѣненной и болѣе подробной редакціи. Наи-
болѣе существенному измѣненію въ этомъ отношеніи подвергся
§ 714, трактующій объ условіяхъ интегрируемости функцій, а
§§ 708а и 736а вставлены цѣликомъ для поясненія слѣдующихъ за
ними статей.

Глава о дифференціальныхъ уравненіяхъ представляетъ собою
не болѣе, какъ конспектъ, который можно разсматривать лишь
какъ введеніе къ этому важному и обширному отдѣлу анализа; для
подробнаго его изученія необходимо обратиться къ одному изъ
указанныхъ самимъ авторомъ, въ предисловіи къ первой части его
учебника, сочиненій.

Изъ авторскаго дополненія къ его учебнику (Апѣап§) мы
исключили §§ 815 — 825, въ которыхъ сообщаются нѣкоторыя
свѣдѣнія о варіаціонномъ исчисленіи, потому что краткое изложеніе
началъ этого исчисленія, данное авторомъ, мы считаемъ малодоступ-
нымъ, а развивать эти начала подробнѣе, что увеличивало бы раз-
мѣры и безъ того очень большой книги, мы не считали необходи-
мымъ, въ виду отдаленной связи этого отдѣла съ остальнымъ
содержаніемъ книги.
Въ подстрочномъ примѣчаніи къ § 815, авторъ рекомендуетъ
для подробнаго ознакомленія съ варіаціоннымъ исчисленіемъ
ПІ-й томъ ,,Соигз <і'Апаіузе", С. Логбап’а и статью НасІатагсГа
въ „Виііеііп дез зсіепсез таіЪётаіідиез еі азігопотідиез", 1901,
стр. 5, содержащую въ себѣ критику началъ варіаціоннаго исчис-
ленія. Современное изложеніе этого исчисленія читатель найдетъ въ
книгѣ О. Воіга „Ѵогіезип^еп йЬег <ііе Ѵагіаііопзгескпип^“, 1909.

X. Лоссе.
ОГЛАВЛЕНІЕ

Стр.
Отъ редактора......................................... V—VI

Книга шестая: Дифференціальное исчисленіе.

1.	Дифференцированіе..................................... 3-- 51

Функціи отъ одной независимой	перемѣнной.............. 3— 21

Функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ......................21—37

Неявныя функціи.......................................37-51

2.	Приложенія къ плоскимъ кривымъ........................52 — 138

Дифференціалъ дуги....................................52— 56

Касательная и нормаль....................................56—71

Кривизна..............................................71—92

Асимптоты.............................................92—103

Особенности плоскихъ кривыхъ .........................103 — 119

О касаніи плоскихъ кривыхъ............................. 119—125

Огибающія кривыя......................................125—138

3.	Приложеніе къ кривымъ двоякой кривизны................138 — 177

Основныя формулы.......................................138—148

О первой и второй кривизнѣ.............................148—151

Изслѣдованіе кривыхъ двоякой кривизны.................151 — 160

Касаніе кривыхъ съ поверхностями.......................160—177

4.	Приложенія къ теоріи поверхностей..................... 178 — 233

Основныя понятія.......................................178—185

Линейчатыя поверхности.................................185—192

Огибающія поверхности................................ 192 — 202

Кривизна............................................. 202—216

Опредѣленія и свойства замѣчательныхъ кривыхъ на поверхности 217—233

Книга седьмая: Интегральное исчисленіе.

1.	Интегрированіе......................................... 237—323

Основныя понятія...................................... 237—258

Правила интегрированія...............................<258—292

Кратные интегралы...................................... 292 — 323
VIII

ОГЛАВЛЕНІЕ.

2.	Приложеніе изложенныхъ пріемовъ къ нахожденію
нѣкоторыхъ замѣчательныхъ классовъ интеграловъ 323—368

Интегрированіе раціональныхъ дифференціаловъ........ 323—329

Интегрированіе ирраціональныхъ дифференціаловъ...... 330—342

Интегрированіе трансцендентныхъ дифференціаловъ .... 343—346

Замѣчательные опредѣленные интегралы................ 346—368

3.	Приложенія къ геометрическимъ измѣреніямъ . . . 368—410

Длины дугъ.......................................... 368—373

Площади плоскихъ кривыхъ ........................... 374—386

Поверхности и объемы тѣлъ вращенія................... 386— 392

Центры тяжести...................................... 392—396

Поверхности и объемы какихъ угодно тѣлъ............. 397—410

4.	Дифференціальныя уравненія..........................410—455

Уравненія съ двумя перемѣнными.......................410—424

Геометрическія приложенія........................... . 424—435

Линейныя дифференціальныя уравненія................. 435—446

Уравненія со многими перемѣнными.................... 447—455

Прибавленіе......................................... 459—480

Функція Вейерштрасса................................ 459—462

Нѣкоторыя свѣдѣнія объ исчисленіи конечныхъ раз-
ностей ............................................. 462—469

Свойства Бернулліевыхъ чиселъ....................... 469—472

Послѣдовательныя производныя функціи отъ функціи 473—475

Предметный указатель................................. 477—480
КНИГИ ШЕСТНЯ
книга шестяя.

Дифференціальное исчисленіе,

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНІЕ.

Функціи отъ одной независимой перемѣнной.

546.	Безконечно малыя и безконечно большія. Безко-
нечно большимъ или просто безконечнымъ, какъ мы уже
знаемъ, называютъ перемѣнное число, стремящееся превзойти по
абсолютной величинѣ всякую границу, какъ бы велика она ни была,
а безконечно малымъ называютъ всякое перемѣнное число, имѣю-
щее предѣломъ нуль *). Итакъ, понятіе о безконечно маломъ, равно
какъ и понятіе о безконечномъ (см. § 254, Ь), заключаетъ само
въ себѣ понятіе объ измѣняемости. Такъ, напримѣръ, объемъ
твердаго тѣла, подвергающагося таянью, можно назвать безконечно
малымъ, а объемъ неизмѣннаго атома во вселенной таковымъ на-
звать нельзя. Въ самомъ дѣлѣ, если бы мы попытались сравнивать
объемъ атома съ объемомъ вселенной, предполагая послѣдній без-
конечнымъ, то принуждены были бы принять, что единица мѣры
безпредѣльно возрастаетъ, и каждому значенію этой единицы соот-
вѣтствовало бы нѣкоторое число, служащее мѣрою объема атома
и убывающее безпредѣльно. Слѣдовательно, не самый объемъ атома,
а число, служащее для его измѣренія, было бы перемѣннымъ и
безконечно малымъ. Однако, стать на такую точку зрѣнія мы не

!) А. Коши (Саисѣу), .Алгебраическій анализъ” (1821). Въ „Ви11еііп
бе Іа сіаззе без Зсіепсез бе ГАсабётіе бе Веі^іцие" (1901, р. 549) цѣлыхъ
40 страницъ посвящены опроверженію этого, будто бы .совсѣмъ плохого
опредѣленія”. На самомъ же дѣлѣ аргументы автора этой статьи могутъ
служить, и то только отчасти, указаніемъ на недостаточность нѣкоторыхъ
общепринятыхъ опредѣленій (вѣроятностей и т. д.), восполненіе которыхъ
именно и требуетъ устраненія всякого иного толкованія термина „безко-
нечно малое".
можемъ, потому что во всякомъ вычисленіи всѣ входящія въ него
числа должны быть отнесены къ одной и той же единицѣ мѣры.
Какъ бы велика ни была эта единица, объемъ атома всегда выра-
зится опредѣленнымъ числомъ, можетъ быть, весьма малымъ, но
постояннымъ. Для яснаго пониманія исчисленія безконечно малыхъ
никогда не слѣдуетъ упускать изъ вида, что безконечно малыя и
безконечно большія числа—величины по самому существу своему
перемѣнныя, и что ихъ надо, говоря словами Ньютона, разсматри-
вать, какъ „диапііШез та^піішііпе беіегтіпаіаз, зесі со^ііа зетрег
бітіпиепсіаз зіпе 1ітііе“, т. е. какъ безпредѣльно убывающія, разу-
мѣется по абсолютной величинѣ.

547.	Двѣ безконечно малыя величины называются величинами
одного и того же порядка, если отношеніе ихъ стремится къ ко-
нечному предѣлу, отличному отъ нуля. Если же отношеніе одной
безконечно малой /? къ другой а стремится къ нулю (такъ что $
есть произведеніе а на величину также безконечно малую), то гово-
рятъ, что $ безконечно малая порядка высшаго, чѣмъ а. Въ
противоположномъ случаѣ, когда отношеніе /3 къ а безпредѣльно
возрастаетъ по абсолютной величинѣ, @ будетъ порядка низшаго,
чѣмъ а. Не всегда, однако, возможно, на основаніи этихъ опредѣ-
леній, рѣшить, будутъ ли данныя двѣ безконечно малыя одного и
того же порядка, или нѣтъ, потому что отношеніе ихъ не всегда
стремится къ опредѣленному предѣлу. Такъ, напримѣръ, число
р = а зіп —, очевидно, безконечно мало одновременно съ а, но нельзя
сказать, стремится ли къ нулю столь же быстро, какъ а, или
быстрѣе *). Тѣмъ не менѣе, если отношеніе /3 къ а постоянно ко-
леблется, по абсолютной величинѣ, между двумя положительными
границами, то принято считать /3 и а безконечно малыми одного
и того же порядка. Когда разсматриваютъ одновременно нѣ-
сколько безконечно малыхъ, то обыкновенно одну изъ нихъ,
скажемъ а, выбранную по произволу, называютъ главною без-
конечно малою, и разсматриваютъ отношенія другихъ къ а и раз-
личнымъ ея степенямъ. При этомъ называютъ безконечно малыми
порядка п (п > 0) тѣ изъ нихъ, порядокъ которыхъ равенъ по-
рядку ап **). Такъ, напримѣръ, 1о^ (1 + а), зіп а, а — без-
конечно малыя перваго порядка, если а главная безконечно
малая. Далѣе, 1 — соз а — второго, а — зіп а — третьяго,
а зіп (зіп а) — зіп 2 а — шестого, (зіп а) — зіп ({§ а)— седьмого
порядка и т. д. *). Впрочемъ, надо замѣтить, что не всегда воз-

♦) Иными словами, будетъ ли р одного порядка съ а, или высшаго,
такъ какъ отношеніе р/а ни къ какому предѣлу не стремится.

**) Иными словами, Д будетъ порядка п, если Ііт — существуетъ и
не равенъ 0.

і) См. упражненія въ „Маіѣезіз" 1898, стр. 31 и 1902, стр. 145.
можно опредѣлить порядокъ данной безконечно малой. Такъ, напри-
мѣръ, при а безконечно маломъ, е и также безконечно ма-
лыя, но въ то время, какъ отношеніе первой къ ап (§ 312, а)
стремится къ нулю, каково бы ни было число п, отношеніе второй
къ ап возрастаетъ безпредѣльно по абсолютной величинѣ, и нельзя
сказать, какъ великъ порядокъ первой и какъ малъ порядокъ вто-
рой. Безконечно малыя величины

...-----------, -------, ... , У а, 5Іп а,

1 1

1о8 108	1о8

_ _1 1

1 — соз а, а — 8іп а, . . . , е , е ,  .

расположены въ такомъ порядкѣ, что каждая изъ нихъ безконечно
мала относительно всѣхъ предыдущихъ. Поэтому, считая справа на-
лѣво, находимъ, что порядокъ безконечно малыхъ, начиная съ про-
извольно большого значенія, убываетъ и стремится къ нулю. Анало-
гично этому можно классифицировать безконечно большія величины *).

548.	Замѣтимъ здѣсь же, что несправедливо было бы считать,
что всякая безконечно малая или безконечно большая величина полу-
чаетъ опредѣленное мѣсто въ подобной скалѣ сравненія. Такъ,
напримѣръ, нельзя сказать, чему равно число п, опредѣляющее
порядокъ величины $ =	— Въ самомъ дѣлѣ, съ одной стороны,

®		9	1

ЯСНО, ЧТО п ДОЛЖНО было бы быть больше 1 (потому ЧТО -А- =
стремится къ нулю вмѣстѣ съ а), а съ другой стороны, невозможно,
чтобы п было больше 1, такъ какъ при любомъ и^>1 отношеніе
а возРастаетъ безпредѣльно съ приближеніемъ а къ О**).
Въ извѣстномъ смыслѣ (§ 169) можно, пожалуй, сказать, что въ
скалѣ сравненія, состоящей изъ послѣдовательныхъ степеней а,
число 1о^~ лежитъ справа отъ а, и что порядокъ его равенъ 1—|—0.
Точно такъ же тщетно было бы искать мѣсто, которое занимаетъ

безконечно малая /3, связанная съ а, соотношеніемъ — а2 1о^ •

Дѣйствительно, положивъ а = @і, найдемъ = /2 а = / |о§ / ’
откуда видно, что і должно возрастятъ безпредѣльно, чтобы а и /3

*) Разсмотрѣніе ихъ, однако, всегда можно замѣнить разсмотрѣніемъ
безконечно малыхъ, замѣтивъ, что при а безконечно большомъ, — безконеч-
но малое.

♦♦) Потому что при ;И>0 Ііт ад 1о§а=0,

а —О
стремились къ нулю. Замѣчая теперь, что ~^ = іп 2(1о^/)и ви’
димъ, что при п 2 это отношеніе безпредѣльно возрастаетъ, а
при п < 2 стремится къ нулю. Поэтому /? лежитъ, такъ сказать,
слѣва отъ а2, т. е. стремится къ нулю не столь быстро, какъ а2,
но быстрѣе, чѣмъ всякое ап при и<2; если угодно, можно ска-
зать, что порядокъ /9 равенъ 2 — 0. Обобщая эти замѣчанія, поло-
жимъ, что существуютъ вообще два числа гі и и", для которыхъ

3	3

Ііт——, = О, 1ІШ-Ц; = ± ОС.
ап	ап

Въ такомъ случаѣ, очевидно, можно замѣнить въ этихъ равенствахъ
всякое число п меньшимъ, а всякое п"—большимъ числомъ. Ясно
поэтому, что числа п' образуютъ ансамбль, имѣющій верхнюю гра-
ницу д (§ 172), а числа п" — ансамбль, имѣющій нижнюю границу
Л, при чемъ, очевидно, Л и. Если случится, что значенія Л и іі
совпадаютъ, и общая ихъ величина равна п, то можно сказать, что
порядокъ /9 равенъ п, когда п не принадлежитъ ни тому, ни дру-
гому ансамблю, хотя и не существуетъ предѣла для ~  Но можетъ
случиться, что и наибольшее изъ чиселъ п (т. е. принадлежитъ къ
первому ансамблю) или наименьшее изъ чиселъ п" (т. е. принадле-
житъ ко второму ансамблю); тогда навѣрно порядокъ числа /9 не
равенъ п. Его можно было бы изобразить въ первомъ случаѣ че-
резъ п-1- 0, во второмъ черезъ п — 0. Наконецъ, можетъ случиться,
что Л не = /і, и тогда исчезаетъ всякое средство измѣрить поря-
докъ числа (3 какимъ нибудь числомъ. Достаточно привести примѣръ
безконечно малой

і+- -[-]
9 = а а 1а],

для которой

а 0 въ случаѣ п < 1,
Ііт =

а" ± сс въ случаѣ п > 2.

Замѣчаемъ, что не стремится къ нулю, потому что принимаетъ
безчисленное множество разъ значеніе 1, когда а проходитъ рядъ
значеній 1,	.... Отсюда слѣдуетъ, что /*=1. Точно

3	।

также не стремится къ + <х>, потому что это отношеніе остается
< <?, когда а проходитъ рядъ значеній

1 1 ______________1___ _ 1_____

2-Д^, З-.-Ц 4-.-Ц 5-.-Ц
1о§ 2	1о§ 3	1о§ 4	1о§ 5

Слѣдовательно, Л = 2. Для всякаго значенія п между 1 и 2, отно-
шеніе ап можетъ принимать сколь угодно малыя и сколь угодно
большія значенія, и невозможно указать числа, служащаго мѣрою
порядка /?.

549.	Основная теорема. Когда говорятъ, что двѣ безко-
нечно малыя отличаются одна отъ другой на безконечно
малую высшаго порядка, или, что отношеніе ихъ стремится
къ предѣлу, равному единицѣ, то этимъ утверждаютъ два
положенія, въ сущности равносильныя, потому что каждое изъ
равенствъ

— а

1іт----= 0, Ііт - - - = 1

а	а

есть слѣдствіе другого *). Замѣтивъ сказанное выше, легко доказать
слѣдующую, основную для дифференціальнаго исчисленія, теорему:
Предѣлъ отношенія двухъ безконечно малыхъ не измѣнится,
если эти безконечно малыя замѣнить другими, имъ эквива-
лентными. Дѣйствительно, если нужно вычислить предѣлъ -- , и
извѣстно, что /Г отъ /9, а' отъ а отличаются на безконечно малыя
высшаго порядка, то достаточно вычислить предѣлъ -- , и замѣ-
тить, что

11ГП —- = 11ГП -757 . •  = 11ГП —, •
а р а а а

550.	Положимъ теперь, что дано нѣкоторое уравненіе между
двумя безконечно малыми а = @, которымъ нужно воспользоваться
съ слѣдующей цѣлью: раздѣливъ обѣ части равенства на прилично-
выбранную безконечно малую у и переходя къ предѣламъ, вывести
равенство а = Ь между двумя постоянными величинами. Обыкновенно
уравненіе а = /? имѣетъ сложный видъ, неудобный или даже недо-
ступный для примѣненія обыкновенныхъ правилъ вычисленія предѣ-
ловъ; въ такомъ случаѣ доказанная теорема и оказывается полезною
потому, что позволяетъ въ обѣихъ частяхъ равенства отбросить
слагаемыя, безконечно малыя высшаго порядка относительно тѣхъ,
которыя останутся. Такимъ образомъ получается новое уравненіе
а' = @', это уравненіе будетъ, вообще говоря, не точное, а, какъ
говорятъ, вѣрное до безконечно малыхъ высшаго порядка. Это обстоя-
тельство, однако, никакого вліянія не оказываетъ на тотъ результатъ,
который желаютъ вывести изъ даннаго уравненія. Дѣйствительно,
раздѣливъ обѣ части новаго уравненія а' = $' на у (или даже на
другую безконечно малую у', эквивалентную у) и переходя къ предѣ-

*) Безконечно малыя а и /?, удовлетворяющія такимъ равенствамъ,
называютъ эквивалентными.
ламъ, мы все таки получимъ искомое равенство а = Ъ, потому что

а' .. а	/?

Іігп —г — 11 т — , и Ііш -т- = Ііт-

7	7	7	7

Замѣтимъ, однако, что не въ этомъ состоитъ сущность дифферен-
ціальнаго исчисленія. Дифференціальное исчисленіе пользуется си-
стематическимъ примѣненіемъ нѣкотораго символа, съ помощью
котораго достигается то, что можно а ргіогі быть увѣреннымъ, что
полученное указаннымъ путемъ равенство а'-= $’ будетъ также
точнымъ, а не только вѣрнымъ до безконечно малыхъ высшаго
порядка. Такимъ образомъ оказывается, что при замѣнѣ чиселъ
а и /3 числами а' и мы отбрасываемъ въ обѣихъ частяхъ равенства
дѣйствительно равныя между собою безконечномалыя высшаго порядка,
сами того не замѣчая, и прямо получаемъ безконечно малыя а' = ау',
= Ъу'. А тогда переходъ къ предѣламъ становится уже не
нужнымъ, потому что равенство а' = непосредственно даетъ и
а = Ь. Вычисленіе предѣловъ отходитъ, слѣдовательно, на задній
планъ, чтобы уступить мѣсто дифференціальному исчисленію, кото-
рое, конечно, тѣмъ не менѣе, основывается на понятіи о предѣлѣ *).

551.	Разсматривая дифференціальное исчисленіе съ намѣченной
точки зрѣнія, можемъ сказать, что оно обязано своимъ происхо-
жденіемъ генію Лейбница. До настоящаго времени эта наука сохранила
ту самую форму, въ которой она была изобрѣтена Лейбницемъ;
сохранились тѣ же названія и тѣ же символы, изобрѣтеніе кото-
рыхъ надо приписать не столько удачно сдѣланному выбору, сколько
остроумію изобрѣтателя. Тщательность, съ которою Лейбницъ дѣ-
лалъ выборъ тѣхъ или иныхъ обозначеній, видна изъ того факта ’),
что, сравнивая свою методу съ методою Ньютона (одновременно
съ Лейбницемъ открывшаго дифференціальное исчисленіе) и защи-
щая ея преимущества передъ послѣднею, онъ говоритъ, что „спо-
собъ обозначеній есть важная, бросающаяся въ глаза, часть искусства
изобрѣтать, и намъ кажется, что наши обозначенія лучше освѣ-
щаютъ сущность дѣла“ (боппепі ріиз (Гоиѵегіиге). (Оеиѵгез шаіЬ.
і. V, р. 307). Въ недавнее время, важное значеніе номенклатуры и
обозначеній снова было выставлено на видъ Эрнестомъ Махомъ
(МасЬ), въ его „Популярно-научныхъ лекціяхъ", гдѣ онъ говоритъ, что
„способъ выраженія и цѣлесообразная система символовъ и техни-
ческихъ терминовъ представляютъ собою не только необходимое
пособіе для совмѣстной работы ученыхъ и для передачи добытыхъ
результатовъ изъ поколѣнія въ поколѣніе, но въ то же время они
представляютъ собою прежде всего единственное средство избавить
человѣческую память и человѣческій умъ отъ всякаго излишняго

*) Намѣченная здѣсь въ общихъ чертахъ мысль подробнѣе разви-
вается далѣе въ § 556.

х) См. Р. Мапзіоп „Рёзитё би Соигз б'АпаІузе" (стр. 209).
бремени и труда и такимъ образомъ сберечь ихъ для болѣе важ-
ныхъ и болѣе существенныхъ актовъ ихъ дѣятельности. Всякій, кто
занимался математическими работами, испытывалъ такое чувство,
какъ будто формулы и символы берутъ отчасти на себя трудъ
работать за него, или, употребляя слова знаменитаго Эйлера, что
„его карандашъ иногда бываетъ остроумнѣе его головы". „Какъ
бы страннымъ это ни казалось", говоритъ Махъ, „но сила матема-
тическихъ наукъ основана главнымъ образомъ на томъ, что имъ
посчастливилось устранить всякую лишнюю работу ума и довести
экономію умственныхъ силъ до крайнихъ предѣловъ. Къ этому
идеалу стремятся и естественныя науки, особенно наиболѣе разви-
тыя вѣтви ихъ“ ’).

552.	Первый дифференціалъ. Изъ опредѣленія (§ 281) про-
изводной нѣкоторой функціи у отъ х слѣдуетъ, что ду=у'дх-\-рдх
для всякаго даннаго значенія х, при чемъ р стремится къ нулю,
когда, при фиксированномъ значеніи х, будемъ приближать дх къ
нулю. Такъ какъ разность между ду и у'д х безконечно малая по-
рядка высшаго, чѣмъ дх, то при разысканіи предѣловъ можно
замѣнить ду черезъ у'д х. Мы вскорѣ убѣдимся въ большой пользѣ
такой замѣны. Величину у'д х, въ томъ предположеніи, что х неза-
висимая перемѣнная, мы будетъ обозначать черезъ сіу и называть
дифференціаломъ функціи _у. Итакъ, дифференціаломъ функ-
ціи называется произведеніе производной функціи на
безконечно малое приращеніе, произвольно приписанное
независимой перемѣнной*). Изъ этого опредѣленія тотчасъ
вытекаютъ нижеслѣдующія слѣдствія:

а)	Дифференціалъ независимаго перемѣннаго х есть не что
иное, какъ произвольное приращеніе, которое приписываютъ каждому
значенію х и разсматриваютъ, какъ перемѣнное число, стремящееся
къ нулю. Въ самомъ дѣлѣ, при у = х имѣемъ у' = 1, и, по опре-
дѣленію дифференціала (Лу=у'дх), получимъ сіх = дх.

Ь)	Равенство, опредѣляющее дифференціалъ, обращается теперь
въ сіу —у' сіх, откуда получается

Это новое обозначеніе производной и употребляется въ дифферен-
ціальномъ исчисленіи. Производныя представляются теперь уже какъ
отношенія, а не какъ предѣлы отношеній двухъ безконечно
малыхъ.

с)	Общнѣе, отношеніе дифференціаловъ двухъ функ-
цій изображаетъ производную одной функціи, взятую по

!) Изъ рецензіи С. Ѵаііаіі (Кіѵізіа ярегігпепіаіе сіі Ргепіаігіа, 1896).

*) Собственно говоря, приращеніе д х независимой перемѣнной есть
совершенно произвольное число, и лишь въ виду приложеній его обыкно-
венно разсматриваютъ, какъ безконечно малое.
другой. Въ самомъ дѣлѣ (§ 284), если у = /(и), гдѣ и функція
отъ независимой перемѣнной х, то

Лу — у'Лх = /' [и] и'Лх =	(м) Ли, Г (и) =	•

553.	Геометрическая интерпретація. На кривой линіи,
изображаемой уравненіемъ у=[(х), въ смежности съ данною непо-
движною точкою М, имѣющею

Рис. 27.

абсциссу х, разсмотримъ другую
точку М', абсцисса которой пусть
будетъ х-\-дх. Предположить дх
безконечно малымъ значитъ (§ 546)
представитъ себѣ, что точка М'
движется по кривой и стремится
совпасть съ М. Пусть Н и
будутъ точки пересѣченія орди-
наты точки М' съ двумя прямыми,
проходящими черезъ М, при чемъ

первая изъ этихъ прямыхъ параллельна оси х-овъ, а вторая — каса-
тельная къ кривой. Если х—независимая перемѣнная, то, очевидно,
будемъ имѣть (§ 293).

М Н = Л х = 6 х, Н (у — Лу, Н М' — ду.

Слѣдовательно, подставить сіу вмѣсто ду, значитъ пренебречь
отрѣзкомъ С) М/ или замѣнить точку М' точкою (у для всѣхъ по-
ложеній точки М' въ смежности съ точкою М, иначе говоря,
замѣнить кривую ея касательною въ смежности съ каждою
данною ея точкою. Впрочемъ, какова бы ни была независимая
перемѣнная, точка {х-\-сіх, у-\-<1у) всегда принадлежитъ касательной,
тогда какъ точка	у -ф бу) всегда принадлежитъ кривой.

Но при данномъ положеніи второй точки М' первая (х-\-сіх, _у + «?у)
можетъ быть въ (У, въ 0^, или въ иномъ положеніи на касательной,
смотря по тому, будетъ ли независимая перемѣнная х, у или какая
нибудь другая *).

554.	Правила дифференцированія. Чтобы дифференци-
ровать данную функцію, т. е. вычислить дифференціалъ какой-
нибудь функціи отъ х, достаточно, на основаніи опредѣленія диф-
ференціала, вычислить производную и умножить ее на сіх- Такимъ
образомъ получаемъ

Л(хп} = пхп—1Лх, Лех = ех Лх, Л 8Іп лг=со8 хЛх, Л сое х — — 8Іп хЛх.

,, Лх ,, Лх ,	, Лх

Л Іод х = - > а іе х = —=— > а агс іе х =-^—-—; >

X	СО82 X	Ь 1 + Х~

*) Т. е., смотря по тому, будетъ ли дх — Лх, или бу = Лу, или ни то,
ни другое.
<і агс зіп х = --—	и т. д.,

1	х~

хотя бы х и не было независимою перемѣнною (§ 552, с). Извѣ-
стныя правила разысканія производныхъ также легко переводятся
въ соотвѣтствующія правила дифференцированія. Такъ, напримѣръ,
чтобы дифференцировать сумму двухъ или нѣсколькихъ функцій,
надо сложить дифференціалы всѣхъ слагаемыхъ. Дифференціалъ
произведенія двухъ функцій получится, когда умножимъ каждую
функцію на дифференціалъ другой и сложимъ полученныя произве-
денія, и т. д. Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ

*	(і (и + ѵ) = (и ѵ)' <іх= (и'	Лх = и'(іх-\- ѵ' Лх= Ли

Лиѵ = (иѵ)'Лх — и ѵ'Лх ѵи'Лх = и Лѵ -\-ѵ Ли.

,и I и\',	ѵи'—иѵ',	ѵи'Лх — иѵ'Лх ѵЛи--иЛѵ

а — = — Лх =-------з----Лх =-------=----- =------5----

V \Ѵ )	V-	V6

и т. д. *).

555. Послѣдовательные дифференціалы. Прежде, чѣмъ
идти далѣе, намъ надо нѣсколько ближе заняться разсмотрѣніемъ
смысла, который имѣетъ дифференціалъ независимой перемѣнной.
При данномъ х дифференціалъ сіх есть безконечно малая величина,
которую мы предварительно предположимъ зависящею отъ нѣко-
торой другой безконечно малой а, выбранной за главную. Когда
мы переходимъ отъ одного значенія х къ другому, то нѣтъ ника-
кого основанія считать, что произвольный законъ, выражающій за-
висимость <іх отъ а, остается безъ измѣненія. Поэтому (іх можно
разсматривать какъ функцію не только отъ а, но и отъ х:

(2)	Лх = ч (х, а)

Если представимъ себѣ, что ось х-овъ можетъ деформироваться,
при чемъ всякая точка х переходитъ въ х-]-(іх, то уравненія (2)
можно разсматривать, какъ выраженіе закона, по которому точки
деформированной оси возвращаются въ первоначальныя положенія
съ приближеніемъ а къ нулю**). Произвольная функція (р подчи-
нена лишь тому условію, чтобы она стремилась къ нулю вмѣстѣ съ а
и имѣла послѣдовательныя частныя производныя (§ 368) по пере-
мѣнной х. При этихъ условіяхъ <іх, какъ функція отъ х, также

*) Однимъ словомъ, правила дифференцированія получаются изъ
правилъ разысканія производныхъ, если въ формулировкѣ послѣднихъ за-
мѣнимъ слово „производная", словомъ „дифференціалъ". На этомъ основаніи
на русскомъ языкѣ терминъ „дифференцированіе" употребляется какъ въ
смыслѣ разысканія производной, такъ и въ смыслѣ разысканія дифференціала.

**) Деформацію оси х-овъ надо себѣ представить состоящей въ томъ,
что сама ось остается неподвижною, а отдѣльныя ея точки по ней перемѣ-
щаются (іп зісЬ сіеіогтіегЬаг).
имѣетъ дифференціалъ, который называется вторымъ дифферен-
ціаломъ отъ х и обозначается знакомъ

(3)	сГ-х = сісіх — срх' (х, а) сіх = <р (х, а)  срх' (х, а).

Теперь мы установимъ одно соглашеніе, имѣющее,. первостепенное
значеніе для всего послѣдующаго. Первымъ дѣломъ мы примемъ,
что оба свойства, которыми пользуется сіх, а именно стремленіе къ
нулю вмѣстѣ съ а и зависимость отъ х, являются отдѣленными
одно отъ другого въ выраженіи (2). Для этого достаточно положить:

(4)	сіх = а%(хі),

при чемъ на минуту мы еще будемъ считать % (х) за произвольную
функцію отъ х. Такимъ образомъ, сіх является въ видѣ произведе-
нія одной безконечно малой, независящей отъ х, на функцію отъ х;
слѣдовательно, сіх будетъ безконечно малою перваго порядка, и ее
отнынѣ мы и примемъ за главную. Дифференцируя далѣе, мы най-
демъ одинъ за другомъ третій, четвертый и т. д. дифференціалы:

СІ?’Х = а3 + //'), сі^х = а4и/3 +	+ х3/"), • • •.

Дифференціалъ порядка п, т. е. результатъ п послѣдовательныхъ
дифференцированій, обозначается знакомъ &пх и будетъ безконеч-
но малою и-го порядка. Какъ видимъ, результаты послѣдовательныхъ
дифференцированій быстро усложняются, и многія преимущества
дифференціальнаго исчисленія были бы потеряны, если бы мы рѣ-
шили оставить функцію %(х) произвольною. Гораздо цѣлесообразнѣе
будетъ положить д(х) = 1, такъ какъ тогда будемъ имѣть:

(5)	=	№ = 0, № = 0,

и всѣ вычисленія, какъ скоро окажется, значительно упростятся.
Въ этомъ и состоитъ основное соглашеніе. Его можно формулиро-
вать такъ: Первый дифференціалъ независимой перемѣнной
предполагается независящимъ отъ этой перемѣнной. Теперь
легко вычислить послѣдовательные дифференціалы любой функціи
и показать, что и-тый дифференціалъ есть безконечно малая
и-го порядка:

<12у = <ІЛу = сЦу'йх) = Лу’  сіх = у” сіх • <1х — у"<іх2,

<іяу — сІсі2у = сЦу"сІх~) — сіу"  сіх2 =у"'сіх  сіх2 = у’"(1х'

и т. д. Вообще =у(пЫхп, если условимся писать <іхп вмѣсто
(й?х)и *). Такимъ образомъ, приходимъ къ соотношенію

♦) Чего не надо смѣшивать съ «'(Ѵ) =пх” ' <1х.
включающему въ себѣ и равенство (1) (при п = 1). Итакъ: произ-
водная порядка п нѣкоторой функціи, взятая по незави-
симой перемѣнной, равна отношенію п аго дифференціала
функціи къ и-ой степени дифференціала независимой пе-
ремѣнной. При этомъ (§ 552, с), при и = 1, можно опустить ого-
ворку, что перемѣнная независима, а при п > 1 этого сдѣлать
нельзя, потому что при послѣдовательныхъ дифференцированіяхъ сіу
мы пользовались формулами (5), а онѣ не будутъ имѣть мѣста,
если х не независимая перемѣнная.

556. Теперь мы въ состояніи понять то, на что въ § 550
былъ данъ только намекъ. Равенство между безконечно малыми
а' — [У (полученное черезъ устраненіе безконечно малыхъ выс-
шаго порядка изъ равенства а =/?)— будетъ навѣрно точнымъ,
если въ него не входятъ никакія другія безконечно малыя,
кромѣ такихъ, которыя получены при помощи дифферен-
цированій, предполагая, что это уравненіе (приведенное къ цѣлому
виду) сдѣлано однороднымъ, такъ что въ немъ остались только
члены наинизшаго порядка п. Въ самомъ дѣлѣ, чтобы получить
точное уравненіе надо было бы раздѣлить обѣ части на Лхп и пе-
рейти къ предѣлу. Но этотъ переходъ къ предѣлу сдѣлался уже
излишнимъ, потому что отношенія между степенями диффе-
ренціаловъ, когда эти степени будутъ безконечно малыми
одного и того же порядка, равны своимъ предѣламъ, такъ
что искомое точное равенство какъ разъ и будетъ а'/ Лхп = [У/сІхп
или а' = Р'. Въ этомъ и заключается весь секретъ дифференціальнаго
исчисленія. Кромѣ того, однородность окончательныхъ соотношеній
между дифференціалами служитъ средствомъ контроля въ практикѣ
вычисленій. Теперь понятно, насколько важно разысканіе диффе-
ренціальныхъ безконечно малыхъ, получаемыхъ отъ пренебреженія
безконечно малыми частями высшаго порядка въ тѣхъ безконечно
малыхъ, которыя являются при вычисленіяхъ. Для каждаго а суще-
ствуетъ безчисленное множество безконечно малыхъ, отличающихся
отъ а на безконечно малыя высшаго порядка, но между ними нахо-
дится только одна, равная дифференціалу нѣкоторой функціи и.
Въ самомъ дѣлѣ, если для другой функціи ѵ, разность а — Лѵ,
какъ и а — Ли, была бы безконечно малою высшаго порядка, то
было бы достаточно отброситъ эти безконечно малыя въ равенствѣ

(Іи = (іѵ + (а — (іѵ) - (а - (іи),

чтобы придти къ равенству Ли = Лѵ, навѣрное точному. Слѣдова-
тельно, дифференціальныя безконечно малыя, т. е. Ли и Лѵ, совпа-
даютъ по величинѣ, функція ѵ существенно не отличается отъ и,
потому что Л(и — г/) = 0, откуда и ~ѵ = постоянной. Въ практиче-
скомъ вычисленіи всегда стараются представить а въ формѣ прира-
щенія нѣкоторой функціи и (§ 552) и тогда единственная диффе-
ренціальная безконечно малая, которую можно подставить вмѣсто а
и будетъ именно сіи. Такимъ образомъ, съ помощью символа опе-
раціи г/, дифференціальное исчисленіе достигаетъ полной точности,
такъ какъ оно единственнымъ образомъ замѣняетъ встрѣчаемыя
при вычисленіи безконечно малыя другими, получаемыми при помощи
дифференцированія опредѣленныхъ функцій. Эти новыя безконечно
малыя связаны тѣми же соотношеніями, какія существуютъ между
тѣми безконечно малыми, которыя ими замѣняются.

[ Примѣчаніе. Разсужденія § 556 могутъ показаться не вполнѣ
ясными для лицъ, впервые знакомящихся съ дифференціальнымъ
исчисленіемъ, но съ примѣненіемъ этихъ разсужденій мы встрѣтимся
лишь въ геометрическихъ приложеніяхъ дифференціальнаго исчи-
сленія, гдѣ они и представятся въ болѣе ясномъ свѣтѣ. Здѣсь же
мы ограничимся нижеслѣдующими замѣчаніями. Всякое однородное,
въ указанномъ выше смыслѣ, соотношеніе между дифференціалами
нѣкоторыхъ функцій у, г, . . . отъ одной независимой перемѣнной х,
въ которое можетъ входить и <іх, въ сущности представляетъ со-
отношеніе между производными этихъ функцій, взятыми по х,
только переписанное съ помощью новыхъ, дифференціальныхъ
обозначеній этихъ производныхъ, указанныхъ формулою (6). Чтобы
перейти отъ соотношенія между дифференціалами къ соотношенію
между производными, стоитъ только раздѣлить всѣ члены перваго
соотношенія на одну и ту же надлежащую степень сіх. Обратно,
чтобы отъ соотношенія между производными перейти къ соотно-
шенію между дифференціалами, стоитъ только написать выраженія
производныхъ по формулѣ (6) и затѣмъ помножить всѣ члены на
одну и ту же степень Ах. Напримѣръ, соотношеніе

</г2 = <7х2 <7у2

равносильно равенству

\Лх/ ' \<іх)
или

«'2 = 1	_у'2;

соотношеніе

Лу (і-г — сіесту — Лх3

равносильно равенству

Лу Л2г Лг Л2у _

Лх сіх2 Лх Лх2
или

у<г"-з'у” = 1.

При такомъ разсмотрѣніи соотношеній между дифференціалами, во-
просъ о томъ, будутъ ли эти соотношенія точными, или только
вѣрными до безконечно малыхъ высшаго порядка, отпадаетъ самъ
собою. Соотношенія эти, будучи равносильными соотношеніямъ
между производными, т. е. соотношеніямъ по самому существу
своему точнымъ, какъ не заключающимъ въ себѣ никакихъ безко-
нечно малыхъ, будутъ, конечно, и сами точными. Вмѣстѣ съ тѣмъ
легко видѣть, что неоднородныя соотношенія между дифферен-
ціалами не имѣютъ смысла. Въ самомъ дѣлѣ, если бы такое соот-
ношеніе имѣло мѣсто, то перенеся въ одну часть равенства члены
наинизшаго порядка п, а въ другую всѣ остальные, и раздѣливъ
обѣ части на сІхп, получили бы невозможное равенство между нѣ-
которымъ опредѣленнымъ числомъ, не равнымъ нулю, съ одной
стороны, и перемѣннымъ безконечно малымъ числомъ — съ другой].

557.	Измѣненіе независимой перемѣнной. Формула (6),
при п>\, выведена въ томъ предположеніи, что перемѣнная х
независима. Поэтому, если желаютъ ввести новую независимую
перемѣнную (что часто бываетъ нужно), то прежде всего необхо-
димо вернуть этой формулѣ ея общность и потомъ только присту-
пить къ замѣнѣ прежней перемѣнной новой. Съ этой цѣлью доста-
точно повторить послѣдовательныя дифференцированія выраженія йу,
выполненныя въ § 555, но не пользоваться при этомъ формулами (5).
Такимъ путемъ найдемъ

42у = 4(у'4х'} = (іу'/ІХ -\-у'44х = у"4х2 Уу'Л-Х,
далѣе

= у"хІх2 + іу" 4х42х Уу’іі2х,

44у —уІГгіх4 + &у"' 4X2 42 X 4- Зу'г42Х2 + Ау^хсРх + у'4іХ

и т. д. Изъ перваго равенства находимъ

(7)

Точно также

(8)

„ 42у	'42 х __4 х 42у — 4у 42 х

У (і х2 У Л х2	4 х'л

„ (Рх , 4‘Ах

=	4х2~У 4^

4 х2 <Ру—3 4 х 42х 42у +3 4у 42х2—4х 4у 4лх
4хь

и т. д. Къ тѣмъ же результатамъ можно скорѣе придти, диффе-
ренцируя нѣсколько разъ подъ рядъ формулу (1), справедливую
безъ всякихъ ограниченій. Дѣйствительно, тогда получимъ

„ ,	,4у	4х42у — 4у42х

у" 4х /I ; - =----,

4х	ах2

откуда вытекаетъ формула (7). Дифференцируя (7), найдемъ

у'" 4х

4х(4х4'іу — 4у43х) — 342х(4х42у — 4у42х)
4хі	’

откуда получится (8) и т. д. Впослѣдствіи намъ иногда случится
4

разсматривать какъ символъ операціи, состоящей въ ра-

зысканіи производной, взятой по х. Сообразно вышесказан-
ному, если мы эту операцію еще разъ хотимъ повторить, не
назначая независимой перемѣнной, то должны примѣнить символъ

> между тѣмъ, какъ символъ будетъ обозначать ту же
операцію, когда за независимую перемѣнную взято х. Въ самомъ
дѣлѣ, изъ (7) мы имѣемъ

Л = А
ах ах а х2 а х2 ах

Точно такъ же изъ (8) получимъ

а а а _ аз „а'-х а2 / а2*- азх\ а

ахахах ах3 ах2ах2 ахі ах3) ах и т‘ д-

558.	Упражненія, а) Если въ нѣкоторое выраженіе, содержащее въ
себѣ производныя отъ у по х, желаемъ ввести производныя отъ у, взятыя
по другой перемѣнной і, то можно воспользоваться выведенными въ преды-
дущемъ § выраженіями у’, у", у'", . . ., если х задана, какъ функція отъ і,
(І X	X

и, слѣдовательно, извѣстны производныя	.....Дѣйствительно, та-

кимъ путемъ найдемъ

ах , ау /ах\з „ _аха2у ауа2х
аіу аі ’ \аі)у аі аі2 аі аі2

гах\д /ах\2аъу „ах а2х а2у
^і)у \/ а& аі а? а?-

ау іа2х\2 ахауа3х
' аі\аі2} аі аі а&

и т. д. Если же, наоборотъ, новая перемѣнная і задана, какъ функція отъ х,
и мы хотимъ принять і за независимую, то будемъ имѣть всегда

(10)

ау _ау аі _ ау
ах аі ах аі

Далѣе,чтобы выразить у". можно воспользоваться формулою(7), замѣтивъ пред-
варительно, что вслѣдствіе равенства «?2/ = 0 должно быть і"ах2-\-і’а2х = 0 ♦),
и слѣдовательно,

, аі	і"аі2

(11)	= 7“ > <&* =-------^3- •

Отсюда, по формулѣ (7), найдемъ

(12)	+

Это соотношеніе можно легче получить, взявъ производныя по х отъ обѣихъ
частей равенства (10). Поступая аналогично этому съ формулой (12), найдемъ

,/, (ІЗ , з ('Г \ІУ_ уп

у а?  ар- +аі

*) аі = і'ах, а2і = і"ах2-\-1'а2х = 0, такъ какъ і принято за незави-
симую перемѣнную.
§ 558

ФУНКЦІИ ОТЪ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМѢННОЙ.

17

Къ этому же результату можно придти и съ помощью формулы (8), но не
столь просто, присоединивъ къ (11) еще формулу

(13)

(73х =

ЗГ2- 1'1'"



которую получимъ, написавъ, что «?3/ = 0 или, дифференцируя вторую фор-
мулу (11), и т. д.

Ь)	Положимъ, что желаютъ принять за независимую перемѣнную самую
функцію у и вычислить производныя х', х", х'", . . . ОТЪ X, взятыя по у.
Формулы (11), (13) и т. д. дадутъ

_ 1 .у________У" ЗУ72 -у'у'"..............

У	у'Я	у'->

Ихъ можно получить проще, взявъ послѣдовательныя производныя отъ
обѣихъ частей перваго равенства х'=•—. Можно также воспользоваться
формулами (7), (8) и т. д., выразивъ равенствами с12у = 0, (ілу = О..

что у взято за независимую перемѣнную. Такимъ путемъ приходимъ къ
формуламъ

которыя отличаются отъ предыдущихъ только замѣною буквы х на у и
обратно. Впрочемъ, заранѣе было очевидно, что эти соотношенія должны
быть симметричны относительно х и у, и дѣйствительно имъ можно дать
видъ:

х'у' — 1, х"х' - -Уу"у' $ = О,

Зх"2 - 2х'х"'	З/'2 - Чу’у" _ 0

Х'3	у'Я

или другіе аналогичные, прямо получаемые дифференцированіемъ перваго
равенства х'у' = 1. Смотря по тому, примемъ ли х или у за независимую
перемѣнную при этой операціи, получимъ первое или второе изъ нижеслѣ-
дующихъ уравненій:

х'у" х"у'2 = 0, у'х" у"х'- = 0.

1 1

Умножая первое на х'^ или второе на у’\ получаемъ

х"у!'^ ~ у"х’$ = 0.

Дифференцируя же первое по у, а второе по х, найдемъ

х"’у'2 + гх"у’'У- У" х’2 = О,
и т. д.

с)	Легко показать, что сіхсру — 4ус12х выражается черезъ первыя
и вторыя производныя отъ х и у относительно какой угодно перемѣнной і
и черезъ первый дифференціалъ і. Поэтому, при вычисленіи этого выра-
женія въ различныхъ частныхъ случаяхъ, можно, для упрощенія выкладки,
принять і за независимую перемѣнную, и заранѣе быть увѣренными, что
результатъ будетъ справедливъ и тогда, когда і не будетъ независимою пе-
ремѣнною. Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ
или

Ах	А2х		Лх л Аі аі	/7	(і ѵ  т,"+-г<л
Ау	А2у		^4і  (і І	

АхА2у —

Ау А2 х =

Ах 42х	
А і А Р	
	АР
Ау А2у	
Аі АР	

'Ах 42у (іу 42х\
Аі Аі- Аі Ар)

ар.

Это замѣчаніе примѣнимо вообще ко всякому опредѣлителю я-го порядка,
въ которомъ ѵ ый столбецъ состоитъ изъ ѵ-ыхъ дифференціаловъ п функцій.
Напримѣръ *),

	Ах	А2х	ААх		Ах Аі	42х  Аі2	А3х ~АР	
	Ау	А2 у	А3у		Ау 77	А2у АР	Аау ~АР	АР.
	Аз	А2 г	Аая		гіг А і	А2е АР	АР	
Возвращаясь къ	выраженію		А х А2у		— А у	А2 х,	ПОЛОЖИМЪ, ЧТО X и у обо-	

значаютъ Декартовы координаты точки на плоскости и предложимъ себѣ
преобразовать его къ полярнымъ координатамъ г и 0. Пользуясь предыду-
щимъ замѣчаніемъ, можно, для упрощенія выкладки, принять 8 за неза-
висимую перемѣнную, и въ такомъ случаѣ изъ равенства х = г соз 8,
у = г зіп 8, находимъ

а? х = соз 8 • 4г - г зіп Ѳ • <18, Ау = зіп 8 • 4 г -ф- г соз 8  4 8,
4- х = соз  сР г 2 зіп 8 • а? г а? 6 — г соз 0 • А Ѳ2,

А2у = зіп 8 • А2 г 2 соз 8 • 4 г 4 8 — г зіп 8 • А Ѳ2.

Откуда видно, что

Ах А2 х

Ау АР у

А г А2 г — г А Э2

г А'ч 2 А г А і

соз 8 зіп 8

— зіп 8 соз 8

и окончательно

(14)	АхсРу — Ау42х — г2АЧ’> + 2 А!іАг2 — гА$42г = (г2 2 г'2 — гг") А№.

Хотя этотъ результатъ полученъ въ предположеніи <72Ѳ = 0, но онъ остается
справедливымъ независимо отъ этого, конечно, предполагая, что подъ ѵ"
сРг А Аг сРг .сРЪ

понимается не > а 51 7ѳ = Тѳ2 ” Г <7Ѳ2 ’

б)	Предложимъ себѣ преобразовать выраженіе радіуса кривизны
(§ 348, е)

„ (1+У2)1
у у”

Это выраженіе не требуетъ, чтобы непремѣнно х было независимою пере-
мѣнною, если только подъ у" будемъ подразумѣвать ея общее выраженіе (7).
Такимъ образомъ, примѣняя еще формулу (1), получимъ

(15)	«= {Ах2^Ау2^ _

У АхА-у — АуА2х

*) Это вытекаетъ изъ основныхъ свойствъ опредѣлителей (§ 17).
Въ полярныхъ координатахъ имѣемъ

Лх- + Лу2 = (соя Ѳ • Лг — г зіп Ѳ • </Ѳ)2 + (зіп Ѳ • Лг + г соз Ѳ • «?Ѳ)2

= Лг2 + г2</Ѳ2,

а потому, припоминая (14) и раздѣляя числителя и знаменателя на </Ѳ3,

(г2 + г'2)-

$ г2 + 2 г'2 — гѵ"

Этому выраженію можно дать болѣе простую форму, полезную въ прило-
женіяхъ. Мы къ ней придемъ, принимая, что уравненіе кривой дано въ видѣ
г = 1//(Ѳ) и выражая р въ функціи отъ	мы тотчасъ находимъ

П--2Г, ,.> । ^_/2+/'2. ;,2

откуда

' (/+/")/*

е) Къ другимъ замѣчательнымъ формамъ для о придемъ, если вве-
демъ новую перемѣнную я, удовлетворяющую уравненію сія2 = Лх2 + Лу2
и обозначающую, какъ увидимъ впослѣдствіи, длину дуги кривой, отсчи-
тываемую отъ нѣкоторой данной точки. Исключая Л2х или Л2у изъ фор-
мулы (15), съ помощью соотношенія

ЛзЛ2з = ЛхЛ2х -ф Лу Л2у,
получимъ формулы

ЛуЛз2	ЛхЛз2

' ЛзЛ2х — ЛхЛ2з ' ЛзЛ2у — ЛуЛ2з

которыя, на основаніи (9), можно написать такъ

Л Лх	1 Лу	Л Лу	1 Лх

Лз Лз	д Лз	Лз Лз	д Лз

Эти формулы, которыя впослѣдствіи (§ 591) окажутся очевидными, осо-
бенно полезны въ вопросахъ Механики. Возвышая ихъ въ квадратъ и скла-
дывая, найдемъ

1 IЛ Лх'\2 / Л Лу''2
д2 \Лз Лз) ~\\Л з Л з)

или, на основаніи соотношенія (9),

_1_ _ (Л2х\)2 , (Л2у\2 )Л2з\2
д2 \ Лз2) \а?я2/	\ Лз2)

559. Примѣчанія, а) Обыкновенное дифференціальное исчи-
сленіе всецѣло основано, какъ мы видѣли въ § 555, на условіи (4),
съ присоединеніемъ къ нему дальнѣйшаго: /(х) = 1. Безконечно
различныя формы, которыя можетъ принять дифференціальное исчи-
сленіе соотвѣтственно различнымъ формамъ функціи %(х), всѣ
сводятся къ одной, потому что переходъ отъ одной функціи /(х)
къ другой равносиленъ измѣненію независимой перемѣнной въ
обыкновенномъ дифференціальномъ исчисленіи. Чтобы въ этомъ
убѣдиться, надо предпослать, что (какъ будетъ показано въ началѣ
седьмой книги), въ силу необходимой непрерывности функціи %(х),
всегда существуетъ нѣкоторая функція / отъ х, производная кото-
рой равна /(х). Въ томъ дифференціальномъ исчисленіи, въ основѣ
котораго лежитъ функція /(х), дифференціалы функціи і будутъ

йі — і'Лх — —• а%(х) = а, (і-1 —	= • • • — 0,

Х(х)

т. е. свойства (5) переносятся съ х на і, и разсматриваемое диффе-
ренціальное исчисленіе не отличается отъ обыкновеннаго, въ кото-
ромъ за независимую перемѣнную взята і. Поэтому естественно съ
самаго начала приписать независимой перемѣнной свойство, состо-
ящее въ томъ, что ея дифференціалъ число постоянное. Противъ
этого соглашенія, издавна возстаетъ сонмъ метафизиковъ, не отдавая
себѣ разумѣется яснаго отчета въ смыслѣ оспариваемаго условія.
Иные понимаютъ его такъ, что полагая сіх постояннымъ, надо счи-
тать, что (іх имѣетъ одно весьма малое фиксированное значеніе;
другіе, что х скачками переходитъ въ х-\- сіх, х-\- 2 сіх, х+З^/х, ...;
третьи, что сіх остается безъ измѣненія лишь отъ одного диффе-
ренцированія до другого; наконецъ, есть и такіе, которые дѣлаютъ
видъ ’), что принимаютъ всѣ эти нелѣпыя и вздорныя интерпре-
таціи вмѣстѣ. Противъ всего этого нужно подчеркнуть слѣдующее:
смыслъ условія, что сіх—постоянное, состоитъ въ томъ, и только
въ томъ, что сіх отъ х не зависитъ. Когда говорятъ, что сіх
стремится къ нулю, то это можно себѣ представить происходящимъ
слѣдующимъ образомъ: ось х-овъ, будучи передвинута, какъ твер-
дый стержень вдоль самой себя, стремится принять прежнее
положеніе.

Ь) Однако возможность существованія такого дифференціаль-
наго исчисленія, въ которомъ не существуетъ никакой перемѣнной,
имѣющей постоянный дифференціалъ, не исключается. Для того,
чтобы дифференціалъ нѣкоторой функціи і отъ х былъ постоян-
нымъ, необходимо, чтобы і”сІхі-\-1' сРх = 0; слѣдовательно, раз-

(І^ X (I

дѣляя (3) на (2), находимъ, что	1о§ 99 (х, а) должно за-

я х	а х

СІ2Х і"

висѣть ОТЪ X И ТОЛЬКО ОТЪ X (потому ЧТО ^2 = — гдѣ/функ-
ція одного х). Отсюда вытекаетъ, что ф (х, а) = / (х) ір (а), гдѣ
ф (а) — безконечно малое при а безконечно маломъ. Ничто не мѣ-
шаетъ обозначить эту безконечно малую просто черезъ а, и мы
приходимъ опять къ формулѣ (4). Если отбросимъ это условіе
(характеристичное для дифференціальнаго исчисленія Лейбница), то

х) „Ыиоѵе сопвісіегагіопі зиііа теіаіізіса <1е1 Саісоіо іпйпііезітаіе"
(Мепюгіе деііа К- Ассасіегпіа сіеііе Зсіепхе сіеІГ Ізіііиіо <1і Воіо^па, 1895,
р. 309).
вычисленія § 557 по формѣ останутся не тронутыми, но произойдутъ
измѣненія, глубоко затрагивающія свойства послѣдовательныхъ диф-
ференціаловъ. Такъ, напримѣръ, если положимъ Лх = аеах, то
ЛУх = а'УУ'Лх = а3е2ах, Л3у = 2а4е2ахЛх = 2аіе3пх и т. д., такъ
что Лпх будетъ безконечно малою порядка 2п — 1, а не п, относи-
тельно а, и вмѣсто (6) будемъ имѣть, при п )> 1,

(я)	1-	<^1У

Уя,= Ііт , „ >

«-о Л хп

при чемъ символъ Ііт нельзя отбросить. Точно такъ же, если бы
мы положили Лх = ае а и условились, что безконечно малое число а
всегда сохраняетъ знакъ числа х, т. е. что 0, мы нашли бы,
что и-ый дифференціалъ будетъ дпазі 77-го порядка (въ смыслѣ
§ 548) относительно Лх, но равенство (6) уже не имѣло бы мѣста.
Дѣйствительно, отношеніе будетъ безконечно большимъ, по абсо-
лютной величинѣ, и вмѣсто (6) при всякомъ п будемъ имѣть

, апѵ

у = Ііт ~ >
І1=оапх

— --/х	\	_2А

такъ какъ при Лх = ае а( — > о) имѣемъ Л2х = — ае “, т/2у =

= у" Лх1 + VЛіх; >,-=—у”  а+у', Ііт ~~ = у' и т. д. По-
	а-х 	1	’ а=а‘і2х ~

добное дифференціальное исчисленіе, можетъ быть, и представляло
бы нѣкоторыя выгоды, но оно навѣрно потеряло бы тѣ, которыми
обладаетъ обыкновенное, благодаря простотѣ и однородности его
формулъ и точной оцѣнкѣ порядка безконечно малыхъ. Исчезло бы
главнымъ образомъ то обстоятельство, въ которомъ можно усмо-
трѣть (согласно сказанному въ § 556) настоящую причину суще-
ствованія дифференціальнаго исчисленія. А именно, отношенія между
такими степенями дифференціаловъ, которыя будутъ безконечно
малыми одного и того же порядка, не были бы уже равны пре-
дѣламъ этихъ отношеній, и исчисленіе предѣловъ не оказалось бы
поглощеннымъ въ этомъ новомъ исчисленіи.

Функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ.

560.	Частные дифференціалы. Положимъ, что въ функціи
/(х, у, г, ...) перемѣннымъ х, у, г, ..., которыя считаемъ неза-
висимыми, даны произвольныя приращенія дх, ду, дг, .... Раз-
сматривая данную функцію, какъ функцію одного х, одного у и т. д.
(срав. § 367), можемъ искать ея дифференціалы

=	ау=/удг,...,
называемые частными дифференціалами. Сумма ихъ называется
полнымъ дифференціаломъ и обозначается символомъ сі/. За-
мѣтимъ прежде всего, что полные дифференціалы независимыхъ
перемѣнныхъ будутъ не что иное, какъ произвольныя ихъ прира-
щенія дх, ду, дг, .... Въ самомъ дѣлѣ, полагая / = х, имѣемъ
/^ = 1, /ѵ=/'г = • • • = 0, слѣдовательно, сІх = дх, и т. д. Поэтому
формулы, опредѣляющія частные дифференціалы, дадутъ:

г = М., г =	....

х СІХ ’Ѵ (Іу >1	(І2

Такимъ образомъ, каждая частная производная представляется ,въ
видѣ отношенія двухъ безконечно малыхъ. Для упрощенія письма
можно отбросить указатели х, у, г, ... въ числителяхъ. При этомъ
нечего опасаться какого-либо недоразумѣнія, потому что каждый
«У въ числителѣ будетъ изображать частный дифференціалъ, взя-
тый по той перемѣнной, которая написана въ знаменателѣ. Впро-
чемъ, такъ какъ иногда (см. § 561) все-таки возможно смѣшеніе
частныхъ дифференціаловъ съ ихъ суммою «у то принято *) при
частныхъ дифференцированіяхъ употреблять символъ д вмѣсто <і
и писать

г=^/, /' = ^, Г = У-,
х дх	ду	да

Въ этомъ видѣ частныя производныя и будутъ изображаемы въ
дальнѣйшихъ вычисленіяхъ.

561.	Полные дифференціалы. По опредѣленію полнаго диф-
ференціала имѣемъ

(16)	«у = ~~ сіх + -~- Лу + 4^- 'Із -ф  •  >

у д х ду 6 г

когда х, у, 2, ... независимыя перемѣнныя. Но важно замѣтить,
что соотношеніе (16) остается справедливымъ и тогда,
когда перемѣнныя, въ которыхъ выражена функція /, не
независимыя перемѣнныя. Разсмотримъ, въ самомъ дѣлѣ, функ-
цію /(и, ѵ, гѵ, ...), въ которой и, ѵ, и>, ... функціи отъ какого
угодно числа другихъ перемѣнныхъ х, у, я, . . ., уже независимыхъ
одна отъ другой. Ясно, что частныя производныя функціи у по
и, ѵ, гѵ, ... всегда можно обозначать такъ:

г =	/' = !/

и ди " дѵ дт

потому что, при вычисленіи этихъ производныхъ, и, ѵ, гѵ,  . 
разсматриваются, какъ перемѣнныя независимыя. Но пока мы еще

*) По примѣру Якоби, но не всѣми авторами.
не въ правѣ утверждать, что опредѣляемый формулою (16) полный
дифференціалъ можетъ быть выраженъ и формулою

(17)	«?/=	Ли-\-у/-Лѵ-\-~- Лгѵ + • • • I

’ ди дѵ дгѵ

чтобы доказать справедливость этой формулы, замѣтимъ слѣду-
ющее. Если мы возьмемъ производныя отъ функціи / въ томъ
предположеніи, что измѣняется только х, или только у, и т. д.,
то по правилу разысканія производной сложной функціи (§ 369),
найдемъ

= ду ду Э/ д/_ дгѵ _
дх дидх^дѵдх'дгѵдх"^

д/ _ д/ ди д/ дѵ д/ дгѵ
ду ди ду'дѵду'дгѵ ду

Подставляя эти выраженія въ (16) и замѣчая, что

ди	,	ди	,	ди

(л 14 — г— (лX —I—	-г—	(л у —і— .	(12	—р • • • >

дх	ду	дя

дѵ	дѵ	,	дѵ	,

аѵ — ах + 3- Лу + з— Лг + • • • >
дх	ду	дг

мы и получимъ формулу (17). Ее надо разсматривать, какъ основ-
ную для всего дифференціальнаго исчисленія. Важное ея значеніе
зависитъ именно отъ того обстоятельства, что для составленія пол-
наго дифференціала не нужно знать ни того, какія перемѣнныя
приняты за независимыя, ни того, какъ велико число этихъ пе-
ремѣнныхъ. Если въ частномъ случаѣ^, г, ... будутъ функціи
отъ х, то и /{х,у, г, ...) будетъ функція отъ х, производную
которой получимъ, раздѣливъ обѣ части формулы (16) на <4х\

= д^ ду діу ду а г
Лх дх ' ду Лх ' дг Лх

Это замѣчаніе объясняетъ пользу введеніе символа д вмѣсто аі;
Лу	'ЧУ,.

потому что вообще не равна -у- *).
(I X	0 X

*) Иногда называютъ полною производною отъ У(х,у, г, . . .
ду

а — частною производной; при вычисленіи первой принимается во
вниманіе, что у, г, . . . функціи отъ х; при вычисленіи второй, у, г, .. .
разсматриваются, какъ постоянныя. Напримѣръ, для / = х- + ху + у2,
Й =	^ = <2х+у + Ѵу + х)1Гх-
562.	Геометрическая интерпретація. Чтобы указать гео-
метрическое значеніе полнаго дифференціала, по крайней мѣрѣ,
для случая двухъ независимыхъ перемѣнныхъ, разсмотримъ функцію,
опредѣляемую уравненіемъ г = /(х, _у). Это уравненіе изображаетъ
въ Декартовыхъ координатахъ нѣкоторую поверхность въ простран-
ствѣ. Положимъ, что нѣкоторая дуга ММ' кривой, лежащей на
поверхности, между точками М (х, у, г) и М' (х + Лх, у + сіу,
проектирована параллельно оси г-овъ на касательную пло-
скость (см. § 659, уравненіе (3)) къ поверхности въ точкѣ М, и
пусть проекція точки М' будетъ точка О. На параллелограммѣ
Р А' Р' В', лежащемъ въ плоскости (ху), у котораго точка Р
имѣетъ координаты (х, у, 0) и стороны РА' = Лх, РВ' = сіу
(Лх и сіу произвольныя приращенія х и у), построимъ паралле-
лопипедъ съ ребрами, параллельными 02, и положимъ, что эти
ребра пересѣкутъ касательную плоскость (кромѣ точекъ М и
въ которыхъ эта плоскость пересѣкается съ ребрами РМ и Р' О)
въ точкахъ А и В. На касательной плоскости получится паралле-
лограммъ МА(2В, діагонали котораго МО, и АВ пересѣкутся
въ точкѣ, лежащей на срединѣ той и другой. Поэтому будемъ
имѣть МРр ОР' = АА'ВВ'. Съ другой стороны, припоминая
сказанное въ § 553, будемъ имѣть

МР=з, АА'= г + ^-йх, ВВ' = г удМ-йу.
дх	'Ъ'

дз
дх

вами, Ля есть приращеніе НО *) ординаты касательной плоскости,
въ то время, какъ <5 г есть приращеніе НМ' ординаты самой поверх-
ности. Замѣна дг на Ля равносильна, слѣдовательно, замѣнѣ по-
верхности въ окрестности точки М касательною плоскостью въ
этой точкѣ.

563.	Послѣдовательное дифференцированіе. Если въ функ-
ціи /(х, у, я, . . .) будемъ разсматривать одну изъ перемѣнныхъ,
х — напримѣръ, какъ единственную перемѣнную, то всѣ сообра-
женія, которыми мы пользовались, когда говорили о послѣдователь-
ныхъ производныхъ функцій отъ одной перемѣнной, остаются въ
силѣ; поэтому мы можемъ изображать послѣдовательныя частныя
производныя отъ у по л: въ видѣ

д х-	г)хА дх±

условившись считать произвольныя приращенія Лх, Лу, Ля, ...
независящими отъ х, у, я, .... Далѣе, мы видѣли (§ 368), что

дя

Ля + -^-Лу = Я + Ля. Иными сло-

Слѣдовательно, ОР'=я-\-

*) Н — точка пересѣченія ординаты М’Р' съ плоскостью, параллель-
ною плоскости (ху), проходящею черезъ М.
при выполненіи извѣстныхъ условій, въ обыкновенныхъ вычисле-
ніяхъ вообще всегда имѣющихъ мѣсто, результатъ п послѣдова-
тельныхъ частныхъ дифференцированій, въ которыхъ берутъ г—разъ
производную по х, ] — разъ по у, и т. д. -|-у= и)
не зависитъ отъ порядка дѣйствій. Поэтому можно считать, что
сперва взяты і — разъ производныя по х, затѣмъ у — разъ по у
и т. д. Результатъ п послѣдовательныхъ дифференцированій усло-
вились обозначать такъ:

____дпУ______

дх‘ ду' г> У. . .

Напримѣръ, частныя производныя отъ г — функціи отъ х и у —
будутъ

дв	дз д2 з д2з	д2з Ув	д‘Аз	д^з	д^з

дх	ду дх2 дхду	ду2 дх'л	дх2ду	дхду2	ду3

Первыя пять, часто встрѣчающіяся въ теоріи поверхностей, обыкно-
венно	обозначаютъ для	краткости	просто	буквами	р, д,	г, з, і.

Переходя отъ разысканія производныхъ къ разысканію диффе-
ренціаловъ, беремъ равенство (16) и дифференцируемъ его, раз-
сматривая при этомъ сіх, сіу, сія, . . ., какъ величины, независящія
отъ х, у, 2, .... Тогда получаемъ

'  ) ' СІх + ^дхах+дІау+  • ) ’	•

= ах2 + д^сІу2 + • • • + 2 Лхйу +  • - •
дх* ду*	дхду

Такъ какъ операцію сі можно изобразить независимо отъ той
функціи, надъ которою эта операція производится, написавъ

(І- = -т— * (І X ~{— "т ' (і V "Г" -г— •	—р • • ' >

дх ду д%

то видимъ, что

^2	^2	^2

а2 = - • а х2 + -п • а у2 +   • + 2 -——  а х а у -і- • • 
дх2	ду2	дхду	1

или символически

а2 — /-Д  а х у  ау у ~  а з у •  \ 

\с)х	ду	дг	I

Дифференцируя еще разъ и продолжая такъ же далѣе, очевидно,
придемъ къ символической формулѣ:

I д	д	д	\п

ап = (У • аху-у- аууу- агу • •  ,
\дх	ду	дз	/

которая предполагаетъ (при ^>1), что х, у, г, ... независимыя
перемѣнныя. Если же, напротивъ того, имѣемъ, напримѣръ, .г==/'(х,у),
гдѣ х и у функціи отъ другихъ независимыхъ перемѣнныхъ, то
послѣдовательное дифференцированіе дастъ:

3/ , , 3/	,	/ 3	3	/ 3/	'У,?

Лг = ЛхУ~~ сіу, Л2я = ——  Лх + —  «?у /+ Л2х 4- Л2у,
дх ду 2	\дх	ду / дх	ду

Л'-'г =	• Лх + ~ • Лу\ /4-3^-Х ЛхЛ2х + 3ЛуЛ2х

\дх ду	дх2	дхду '

+ Л2х -|- Л^у -(- 3 Лу Л2ѵ 4- 3	/- ЛхЛ2у,

дх ду	ду2 ' 1 дудх

564.	Формула Тэйлора. Дифференціальное обозначеніе даетъ
возможность написать формулу Тэйлора (§ 330) въ замѣчательно
простомъ видѣ, примѣнимомъ одинаково какъ въ случаѣ одной,
такъ и въ случаѣ нѣсколькихъ перемѣнныхъ, а именно

(18)	й/=^/+і^/+і^/+Л^/+- 

Ограничиваясь для большей ясности случаемъ одной перемѣнной,
замѣтимъ, что формула (8) § 330 можетъ быть написана въ слѣ-
дующемъ видѣ:

(19)	ду(х) =/'(х)дх + іл"(х)дх2 + і/'"(х)дх^+- • ••

(полагая х — а = 6а, /(х) —/(а) = д/(а) и замѣняя затѣмъ
букву а буквою х). Если примемъ х за перемѣнную независимую,
то дх = <1х, /(^{х')дхп = (Іл/, и формула (19) принимаетъ видъ (18).
Эта послѣдняя, очевидно, справедлива вообще (т. е. когда х не
независимая перемѣнная), потому что каждый членъ формулы (18)
имѣетъ опредѣленное значеніе, не связанное съ тѣмъ или инымъ
выборомъ независимой перемѣнной. Это замѣчаніе необходимо, по-
тому что ошибочно было бы сказать, что и въ общемъ случаѣ
и-ый членъ формулы (19) равенъ • Чтобы и въ общемъ случаѣ
получить изъ формулы (19) формулу (18) надо было бы взять
выраженіе

дх — ЛхУ^Л2х 4- Л^х + /г Л^х 4- • • •

возвысивъ его во 2-ую, 3-ью и т. д. степени, написать

д/ = (Лк 4- і Л2х 4- 4 Л2х -(-•••)У'У 4 (Лх2 / ЛхЛ2х +   • ),/7/+ • • •

и собрать затѣмъ безконечно малые члены одного и того же порядка:

У'Лх = Лу,	(У' сРх уу” Лх2) — 4 </2/

I (/сРх 4- 3у” ЛхЛ2х уу'"Лх* )= -И!/, •  •

565.	Измѣненіе перемѣнныхъ независимыхъ. Если хотимъ
выразить частныя производныя функціи /(х, у, я, . . .) по х, у, %, . . .
въ новыхъ перемѣнныхъ и, ѵ, іѵ, . . ., число которыхъ равно числу
прежнихъ, то, разсматривая х, у, г, ... какъ функціи отъ и, ѵ, гѵ, ...
и измѣняя сперва одно и, затѣмъ одно ѵ и т. д., найдемъ

<Ѵ = Идусд^ду ди дх ди ду ди	д/ дг де ди
6/ = д/д_х , ѴЁ2 + дѵ дхдѵ дудѵ	д^ду^ дг дѵ
д/ =	+  дгѵ дх дгѵ ду дгѵ	дЛд_Ѣ да дгѵ

Эта система линейныхъ относительно ~ > • • • уравненій оп-
редѣлитъ эти функціи, если опредѣлитель

дх ду д г
ди ди ди

дх ду дг
д ѵ д ѵ д ѵ

д х д у д г
дгѵ д гѵ дгѵ

не равенъ нулю1). Этотъ опредѣлитель называется функціональ-
нымъ опредѣлителемъ или Якобіаномъ системы функцій х,у, г, ...
относительно перемѣнныхъ и, ѵ, іѵ, .. . и обозначается обыкно-
венно слѣдующимъ образомъ:

$ = (х, _у, х?, ,.) .

д (и, ѵ, гѵ, ...)

Рѣшая разсматриваемую систему, найдемъ:

(20)	1

дх 3 д (и, ѵ, гѵ, . ..)

и точно также

6/ = 1 д (х,/, а, ...) ( д/	1 д(х,у,/, ...) ......

ду 3 д (и, ѵ, гѵ, .. . ) дг	3 д (и, ѵ, гѵ, .. .)

Для полученія слѣдующихъ частныхъ производныхъ (2-хъ, 3-хъ
и т. д.), надо поступить съ найденными первыми такъ, какъ было
поступлено съ функціею /.

566.	Къ разсматриваемой задачѣ приводитъ вопросъ о преоб-
разованіи даннаго уравненія или выраженія, содержащаго производ-

х) Мы вскорѣ увидимъ, что условіе это будетъ выполнено, если
х, у, г, ... независимы одно отъ другого.
ныя отъ У по х, у, г, ... такимъ образомъ, чтобы въ него вошли
производныя по нѣкоторымъ другимъ перемѣннымъ. Тогда надо
д/ д/	д/ д/

выразить , у—> •   черезъ	,  • • > и если х, ѵ, г, . . .,

дхду	г д и д ѵ	’	’

заданы въ видѣ функцій отъ и, ѵ, іѵ, . . ., то вышеизложенный
процессъ предпочтительнѣе всякаго другого. Иногда случается, что,
наоборотъ, и, ѵ, іѵ, ... заданы, какъ функціи отъ х, у, 2, . . .
Тогда можно непосредственно написать:

(21)

д/_д/ди	д/дѵ	дуди)

дх дидх	дѵдх	дгѵ д х '

Аналогично этому найдутся и ~, • • • и т. д. Чтобы пока-
зать, какимъ образомъ эти формулы сводятся къ формуламъ пре-
дыдущаго параграфа, дѣлаемъ послѣдовательно ^=х, /=у,	...,

предполагая, что провѣрена (пріемомъ, который будетъ изложенъ
въ слѣдующей главѣ) возможность разсматривать и х, у, г, . . .
какъ функціи отъ и, ѵ, іѵ, . . ., имѣющія производныя. Тогда
найдемъ

_ дхди дхдѵ ^и дх' дѵ дх'	дх дгѵ дгѵ дх '
„ дуди , дудѵ , 0 = ~ —- р  дидх дѵдх	ду дгѵ дгѵ д х
_ дг ди дг дѵ ди дх "г дѵ дх	д г дгѵ дгѵ д х

Изъ этихъ уравненій находимъ

д и	_ 1 д (у, г, ...)	дѵ _____	1 д (у, г, ...)	дгѵ	_ 1 д (у, а, . ..)

д х 3 д (у, гѵ, ...)	д х	3 д (и, гѵ, ...)	д х 3 д (и, ѵ, ...)

а подставляя эти выраженія въ (21) мы и получимъ формулу (20),
въ которой, впрочемъ, заключаются и послѣднія формулы, если по
очереди положимъ у = «, у = ?/, у = гц, ....

567.	Можно и другимъ путемъ придти къ формулѣ (20). Мы
его здѣсь укажемъ, чтобы съ очевидностью обнаружить, что и част-
ная производная есть не что иное, какъ нѣкоторое отношеніе,
а именно отношеніе двухъ частныхъ дифференціаловъ. Такъ, напри-
мѣръ, чтобы получить > можно раздѣлить дифференціалы

... д/	, д/	() х	6 х	।

«/ = аиУ у— аѵ 4- •  •> ах = , аиУ -т— аѵ У  
'ди дѵ	'	ди	дѵ
§§ 567 - 568 функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ.

29

первый на второй, обративъ ихъ предварительно въ частные, при-
нимая <іу = 0, сіз = 0, .... Такимъ путемъ получимъ

\д х д и ди] \д х д ѵ д ѵ ] \д х дгѵ

\(1(Ѵ	• •  = О,

при условіи, что (іи, сіѵ,   . связаны соотношеніями

сіи + Лѵ +	<1гѵ-\- • •  = О,

ди дѵ дгѵ

да	да	д г

-т- а и 4- — а и 4- -т— а гѵ + • • • = 0,
ди	дѵ	дгѵ

(выражающими, очевидно, равенства сіу = 0, У г = 0, . . .). Исклю-
чая сіи, (іѵ, Лія, . . ., находимъ

д/ дх		фу	дг
дх ди	ди	ди	ди
ду дх	_ V	ду	да
дх дѵ	дѵ	дѵ	дѵ
д/дх		ду	да
дх дгѵ	дгѵ	дгѵ	дгѵ

откуда и получается выраженіе (20) для М •

568.	Производная по данному направленію. Чтобы имѣть
дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ, допустимъ, что дана функція
/{х, у, г) отъ трехъ независимыхъ перемѣнныхъ, т. е. величина,
значеніе которой дано для всякой точки (х, у, г) пространства.
Самый естественный способъ обобщенія понятія производной, когда
отъ функцій отъ одной перемѣнной переходятъ къ функціямъ отъ
нѣсколькихъ перемѣнныхъ, состоитъ въ нижеслѣдующемъ. Разсмат-
риваютъ приращеніе, получаемое функціею при переходѣ отъ одной
точки М къ другой М', и ищутъ предѣлъ отношенія этого прира-
щенія къ длинѣ к отрѣзка ММ', въ предположеніи, что точка М
остается неподвижною, а М' стремится къ совпаденію съ М. При
этомъ направленіе ММ' считается извѣстнымъ и опредѣляется ко-
синусами а, Р, у угловъ, образуемыхъ имъ съ положительными
направленіями осей координатъ. Этотъ предѣлъ и называется про-
изводной данной функціи по данному направленію. Въ каж-
дой точкѣ, слѣдовательно, существуетъ безчисленное множество
производныхъ, соотвѣтствующихъ различнымъ направленіямъ, но
всѣ онѣ связаны между собою простымъ и замѣчательнымъ соотно-
шеніемъ. А именно, производная по направленію (а, {3, у) равна

\іт-І(х + а/г’ У + №, * + 7й) ~*)
При этомъ частныя производныя, предполагаемыя непрерывными,
вычислены для точки М. Представимъ Себѣ теперь безконечно малую
длину <7<т, отложенную отъ точки М по прямой, проведенной че-
резъ М въ направленіи (а, /?, у). Производную по разсматривае-
мому направленію принято обозначать черезъ , такъ что

ду	д/ , од/ , д/

до	д х ду д г

Теперь фиксируемъ опредѣленное направленіе, направляющіе коси-
нусы котораго а0, /?0, у0 пропорціональны первымъ частнымъ про-
изводнымъ функціи у, такъ что

<Ѵ	дУ ду \ЛУ	\дх] \дуУ\дг]

дх ду дг

Обозначая черезъ 9 уголъ между направленіями (а, /?, у) и
(а0, /?0, у0), будемъ имѣть

= (а«0+ М + 77о) VЛ/ =	ѳ ' УДА

Если по направленію (а0, /?0, у0) отложимъ отрѣзокъ, равный
]/А/, то проекція этого отрѣзка на любое направленіе
измѣряетъ величину производной, взятой по этому напра-
вленію. Отсюда, между прочимъ, слѣдуетъ, что (а0, /90, у0) есть
то направленіе, по которому функція измѣняется всего быстрѣе.
Напротивъ того, по безчисленному множеству направленій, перпен-
дикулярныхъ къ (а0, /?0, у0), функція имѣетъ стремленіе оста-
ваться постоянною.

569.	Дифференціальные параметры. Такъ называются тѣ
выраженія, составленгіыя изъ частныхъ производныхъ функціи, кото-
рыя пользуются свойствомъ инваріантности, т. е. независимости
отъ выбора координатныхъ осей. Понятно, что подобныя выраженія
имѣютъ весьма важное значеніе въ Геометріи, Механикѣ, Физикѣ и
вообще вездѣ, гдѣ дѣло идетъ о соотношеніяхъ и свойствахъ, не
имѣющихъ никакого отношенія къ тѣмъ осямъ, которыя выбираются
за координатныя '). Такъ, первыя частныя производныя отъоче-
видно, связаны съ координатными осями и измѣняются вмѣстѣ съ
ними; а сумма ихъ квадратовъ А/ остается безъ измѣненія, и
на этомъ основаніи называется дифференціальнымъ парамет-
ромъ перваго порядка. Въ самомъ дѣлѣ, мы видѣли въ преды-

!) Въ этомъ направленіи разработано, такъ называемое, „абсолютное
дифференціальное исчисленіе" (Саісоіо <іій. аззоіиіо), изобрѣтенное О. Кіссі
(Риччи), проф. Падуанскаго Университета (Виііеііп дез зсіепсез таіѣ. е< азіг.,
1892, р. 186).
дущемъ параграфѣ, что А/ равно квадрату отъ > взятой въ на-
правленіи наибыстрѣйшаго измѣненія Это направленіе, оче-
видно, зависитъ только отъ значеній функцій у, а не отъ системы
осей, выбранной за основу вычисленій *). Точно также инваріантно
выраженіе

д х2 д у2 дя2

называемое дифференціальнымъ параметромъ 2-го порядка.
Дѣйствительно, взявъ еще разъ производную по направленію (а, /9, у),
получимъ

<Э2/	і р д/

й—2 — а	Iа тз—Н $ -—р •

до2 дх\ дх ду

д2 /'

Общее мѣсто точекъ, для которыхъ эта вторая производная
равна нулю, будетъ конусъ второго порядка:

(22)	а2	. +2а,3-Д^ +  • - = 0

о х- дуг	дхду

(а, /9, у разсматриваются, какъ координаты точекъ на конусѣ, а
х, у, г, какъ постоянныя). Ясно, что этотъ конусъ не зависитъ отъ
выбора осей. Поэтому дискриминантъ квадратичной формы (22)
(относительно а, /9, у), равный опредѣлителю Гессе функціи
будетъ инваріантомъ, и тѣмъ же свойствомъ инваріантности (§ 89)
пользуются суммы его главныхъ миноровъ перваго и второго по-
рядка, а въ частности и А2/. Функціи, для которыхъ всегда Д2/=0,
(уравненіе Лапласа) называются гармоническими функціями (см.
§401) и играютъ весьма важную роль въ приложеніяхъ. Гармониче-
скою функціею будетъ, напримѣръ, температура тѣла, находящагося
въ термическомъ равновѣсіи, потенціалы внѣ пространства, зани-
маемаго дѣйствующими массами и т. д. **).

57	0. Предыдущія соображенія бросаютъ новый свѣтъ на во-
просы изслѣдованія о тахіта и тіпіта функцій отъ нѣсколькихъ
перемѣнныхъ. Если проведемъ черезъ точку М прямую и будемъ
разсматривать только тѣ значенія функціи у, которыя она прини-

*)	Легко непосредственно провѣрить, что

(ЙМ^Н><)+Ш.

если х, у, а связяны съ х', у', г' извѣстными формулами преобразованія
прямоугольныхъ координатъ.

**	) Теорія гармоническихъ функцій и ихъ приложенія подробно раз-
виты въ сочиненіи АѴеЬег-Кіетапп, РагііеПе Війегепііа1§1еісЬип§еп бег
таіѣет. РЬузік, 5-ое изд. 1911.
маетъ въ точкахъ на этой прямой, то ясно, что функція / въ
точкѣ М — навѣрное будетъ тахітит или тіпітит, если въ этой

, д /	_ д2 /	„ „	. д/ п

точкѣ -^ = 0, а не равно 0. Такъ какъ уравненіе = 0 удо-
влетворяется для безчисленнаго множества направленій, перпенди-
кулярныхъ къ (а0, /?0, у0), то мы видимъ, что черезъ каждую
точку М въ пространствѣ можно провести безчисленное
множество прямыхъ, лежащихъ въ одной плоскости, вдоль
которыхъ функція / въ точкѣ М будетъ тахітит или
тіпітит; исключеніе могутъ представлять только нѣкоторыя пря-
мыя, а именно образующія конуса (22), на которыхъ и ^ = 0. Все
это относится къ тому предположенію, что въ точкѣ М не равны
нулю одновременно всѣ три первыя частныя производныя отъ / по
х, у, г; въ противномъ случаѣ была бы равна нулю по всякому
направленію (а, /?, у), и функція у въ такой точкѣ М была
бы тахітит или тіпітит вдоль всевозможныхъ прямыхъ,
черезъ нее проходящихъ, за исключеніемъ, можетъ быть, тѣхъ,
которыя лежатъ на поверхности конуса (22). Если этотъ конусъ
д2 /
мнимый, то такихъ исключеній не будетъ, и сохраняетъ посто-
янный знакъ для всѣхъ направленій, такъ какъ эта производная
функція непрерывная, не обращающаяся въ нуль для вещественныхъ
значеній а, /?, у. Отсюда ясно, почему функція у, имѣющая въ
точкѣ М либо всегда тахітит, либо всегда тіпітит по всякому
направленію, дѣйствительно будетъ и въ пространствѣ тахітит
или тіпітит въ точкѣ М. Если, наоборотъ, конусъ (22) веще-
ственный, то въ М не будетъ ни тахітит, ни тіпітит функціи у,

Ід2 Т \
такъ какъ вдоль нѣкоторыхъ прямыхъ у будетъ тахітит I < 01,
а вдоль другихъ тіпітит > 0^; конусъ (22) служитъ границею,
отдѣляющею область однѣхъ прямыхъ отъ области другихъ. Въ ча-
стномъ случаѣ гармоническихъ функцій, для которыхъ сумма вторыхъ
частныхъ производныхъ Л2/ равна нулю, эти производныя не мо-
гутъ имѣть всѣ три одинъ и тотъ же знакъ, а потому конусъ (22)
будетъ вещественный. Отсюда слѣдуетъ, что гармоническія функціи
нигдѣ не имѣютъ ни тахітит’а, ни тіпітит’а.

571 Упражненія, а) Предложимъ себѣ выразить дифференціальные
параметры функціи /(х, у) отъ Декартовыхъ координатъ точки на плоскости
въ полярныхъ координатахъ. Мы имѣемъ х = г соз 9, у = г зіп 9, и

д/ д/ „ , д/ . „	1 д/ д/ . „ , д/

= У- сое 9 + зіп 9, — У = —У зіп 9 + сое Ѳ.

о г дх ду	г дЪ дх ду

Слѣдовательно,

(23)	= ^соз 9 - ±Кзіп 9,	9 + 1-^соз 9.

дх дѵ	г дѵ ду дг	г дѵ
Впрочемъ, послѣднія формулы можно получить прямо (см. § 566), какъ и
первыя, замѣтивъ, что изъ равенства г2 = тѵ2 + у2 и 8 = агс , получается

а г	X	= соз 8,	а ѳ _ _	у __ зіп Ѳ
дх	г		дх	г2	г
д_г _	У-	= зіп 8,	а 8 х соз 8	
ду ~	г		ду г2	г	

Возвышая въ квадратъ и складывая выраженія (23), находимъ

Ч/ =

Примѣняя теперь формулы (23) къ и >

вмѣсто /, получимъ

'д/	.	1 д/ .

д г г а 8

„	1 д [д/	„	1 д/ .

• соз 8---— соз 8--------зіп

г дЪ \д г г аѲ

ЗІП 8,

г д 8

а2/ а /д/ . „	і	а/ \	. „ ,	і	а	/а/ . „	іа/ \

— = -V- V 81П 6 Ч-— СОЗ 8 )	• 5Ш 8 Ч-77	7" 81П 8 -4---Г7 соз 8	• соз 8 ,

а_у2 дг\о г	г	дѵ )	г	а ѳ	\а г	г а ѳ у

т. е.

Э2/ а2/

Л ’ = и ’ С°53 Ѳ

дх2 дг-

+ 2(1^

~ \г2аѳ

і

г дгд $}

зіп 8 соз 8 + /А

\г д г

1ЛА
г2 д Ѳ2/

зіп28,

ау
ду2

^зіп2Ѳ-2

О Г1

уд/
\г2 аѳ

і а2/
г а гд 8

соз 8

71У , 1^У\
\ г дѵ' г2 а Ѳ2/

соз2 8,

+

Слѣдовательно,

а г2 гдг г2 а Ѳ2 г д г\ д г/ г2 а Ѳ2

Въ случаѣ я перемѣнныхъ, если / функція одного г= У.ѵ2-іу2-і22 + • • •,
будемъ имѣть

а/ _ х // д/ у <1/ д/	г <1/

дх ѵ а г ду г Лг де	г Лг

далѣе

= ^а/іап д.

дх“ г а г	г а г \ г аг)

Слѣдовательно,

‘ІУ\,	пАІ \ га Л 1 а

Лг)	гсіг' СІГ\Г сіг] г«—1 СІг\	СІ г ]

Д/= (

Послѣдняя формула показываетъ, что если хотимъ имѣть гармоническую
функцію отъ одного г, то должны положить	постоянному числу.

Поэтому, при я=2,/должно быть вида Сіо^г+Сі, а при п 2, /=С2г2-п+Съ,
гдѣ С, Сх, С2, С3— постоянныя.
еще знать

д2 /'	/ <)2у \2

Ь) Чтобы вычислить опредѣлитель Гессе Н = —-4 -т-4; — ч, надо
дх2ду2 \дхду)

д2/
дхду

д д/ 1 д/ . А ..

=	 <- соз 9------ зіп 9 • зіп 9

д г \д г г дѵ /

, 1 д /д/ п 1 д/ . А

4-----у ~ С°8 8------81П Ѳ ) • СОЗ 9 .

г д Ѳ \о г г дЪ /

Если положимъ для сокращенія

= 1 р2/ _ 1_ I ± д_/
®	2 \а г2 г д г г2 д О2 ) г2 д 9

то найдемъ

-д /- = ср> зіп 2 9 - у соз 2 9.
дхду

1 д2/ ;

г дг д 9

Найденныя въ предыдущемъ упражненіи выраженія можно также написать
въ видѣ

й2 /	1	д2 і 1

~2 = ? Л2/-р ср соз 2 9 + ір зіп 2 9,	= % Л2/— ср соз 2 9 — зіп 2 9.

Слѣдовательно, /7 = |(^2/)2 —(<р2 + ѵ2), или

/7 =

д2/

д г2

д /1 д/\
дг \г дѲ/

±/1
дг \г до)

I д/ іа2/
г дг' г2 д Ѳ2

с) Перейдемъ теперь къ разысканію выраженій вторыхъ частныхъ
производныхъ функціи /(х, у), взятыхъ по х и у въ какихъ угодно новыхъ
перемѣнныхъ и и ѵ. Поступая, какъ въ § 565, получимъ

(24)

д/	1 !д/ду ^д/ду\ д/ _ 1 Ід/дх д/дх\

дх 3 \дидѵ ди) ду 3 \дѵ ди дидѵ)’

Затѣмъ изъ соотношеній

<^2/ а2//алЛ2 2 ^2/ дхду
ди2	дх2\ди) дхду ди ди

,^//<У\3, д/д2^	.д/&у

ду2\ди) дх ди2 дуди2

дѵ2 дх2\дѵ)

а2/ дхду а2/ /а.у\2 а/д2х
дхду дѵ дѵ ' ду2 \дѵ) дхдѵ2

а / д2у
ду дѵ2

п ^2/ д2/	а2 /

надо будетъ найти . 4,- и  Опредѣлитель
дх2 дхду ду2

этой системы будетъ

(§ 27, а)

2дх ду
ди д и

д х д х
дидѵ

д х ду а х ду
дидѵ д ѵ д и

ду ду
дидѵ

= 33,

^дх ду
дѵ дѵ
Алгебраическія дополненія
элементамъ опредѣлителя

ду
ди дѵ

его элементовъ будутъ равны гомологичнымъ

/сКг\2
ѵ )

„д х д х
ди дѵ

умноженнымъ на 3 *). Отсюда слѣдуетъ (на основаніи правила Крамера)

дѴ = [ду\2	Г9Ѵ _ Ш	ІРх	д/	^А1

д х2	\дѵ)	[ди2	\д х	д и2	ду	д и2)]

/д_у \2	Гд2/	(д/	д2 х	д/	д2у_ \ 1

\ди/	[д ѵ2	[дх	дѵ2	дудѵ2)]

„ду ду Г д2/	/д/ д2х ,д/ да_у \1

д и д ѵ \дидѵ \д х ди дѵ + д у дидѵ)] И Т‘ Д'

куда вмѣсто и надо подставить выраженія (24). Но мы
прямѣе придемъ къ цѣли, если (какъ въ первомъ упражненіи)
формулы (24) къ и ~~, вмѣсто /. Такимъ путемъ получимъ

быстрѣе и
примѣнимъ

д2/	}дуд/1ду	д/	1 ду	д/\

д х2	3дѵди\3дѵ	дгі	Зди	дѵ)

1 д у д /1 ду	д/	1 ду	д/\

3 д и д ѵ\3 д ѵ	ди	Зди	дѵ )

д*/ = _1_ Гі'Ъ’г д2/ _ 9 ду ду д2/^	/<Ъ'\2 д2/1

д х2 З2^^/ д и2 дидѵ дидѵ	\д и) д ѵ2 ]

1	[ду д	/1	ди\	ду д /	1	д_у\1	д/

+ 3	[д ѵ ди	\ 3	дѵ)	дидѵ \	3	д ѵ/]	д и

1	!<?_> д	I 1	ду\	ду д /	1	д/

~^3[дидѵ{3	ди)	дѵ д и\3	ди)]	дѵ’

и аналогично этому

_ Л ІУЛг _ 2 — —	, [дхУ д2/ I

ду2 З2 ІДб ѵ) ди2 д и д ѵ дидѵ ' \д и) дѵ2]

д_ X А д^\ _ 1 А А
'з[дѵди\3дѵ) дидѵ\3 дѵ)] ди

1 [дх д /1 дх\ д х д / 1 длАІд/
~^3[дидѵ\3 ди) д ѵ д и \3 д и)] д ѵ

*) Т. е. имѣющимъ тѣ же указатели строкъ и столбцовъ, такъ что
.	Ідх\2 /ду\2

алгебраическое дополненіе элемента I — I равно 3 и т. д.
6)	Теперь мы имѣемъ возможность выразить первый и второй диф-
ференціальные параметры / въ новыхъ перемѣнныхъ и и ѵ. Въ эти выра-
женія войдутъ, какъ мы увидимъ, функціи

д х\2 /ду\2
д и] + и)

с =

которыя являются въ преобразованіи ЛЛ2 = Лх2 у Л'-^У2 къ виду

(25)

Лз2 = а Ли2 Ц- 2 с Ли Лѵ	ЬЛѵ2.

Сперва, путемъ возвышенія въ квадратъ и сложенія, изъ формулъ (24)
получимъ

-2^2 + “
дидѵ

З2

Далѣе изъ послѣднихъ формулъ предыдущаго упражненія получается путемъ
сложенія

9 (

,д2/	„	Г>2/ ,	д2/

о — 2с .—4- + а

ди2 дидѵ (3 ѵ2

1	Г/ д Ь	д с \д/ /да	д с \ д/1

3	3 <Эг>3/<Э«”\дг>3	д и 3 / д ѵ]

или

Л2/-=_1 I 1/ААС с I А /А _ с а/\1 ;

•'	3[<Э«\3<?и	3 дѵ) дѵ\3 дѵ 3 д и/ ]

это весьма важная формула Лямэ (Ьашё). Къ этой формулѣ можно придти
также, слѣдуя пути, указанному въ § 566. Тотчасъ найдемъ

2 ? &/ л , г, д2/ /дидѵ дидѵ
Л2/= —т. Л и + 2 —	------------—

ди2 дидѵ\дх(3х Луду

Лѵ Ц-	Л2 и + —Л2ѵ.

Ли дѵ

Съ другой стороны, вслѣдствіе соотношеній

д х д и д х '> ѵ
д и д х д ѵ д х

ду ди ду д ѵ
д и д х дѵдх

д х д и	д ѵ

ди ду дѵ ду
ду ди ду д ѵ
д и ду д ѵ ду

будемъ имѣть

ди	1 ду	д ѵ	1 ду	ди	1 д х	д ѵ	1 3 х

д х	3 д ѵ	д х	3 д и	д у	3 д ѵ	ду	3 д и

откуда

, Ь дидѵ дидѵ с	а

З2 дх дх дуду З2	З2

1 / д Ь	д с\	„	1 [ д а	д с \

3 \ди 3	дѵ 3)	3 \дѵ 3	ди 3)

и т. д. Если построимъ кривыя и и ѵ .(§ 413), то значенія а, Ь, с въ каждой
точкѣ получатся прямо изъ геометрическихъ соображеній. Дѣйствительно,
изъ (25) видно, что У а • Ли и ~\^Ь  Лѵ изображаютъ Л$ соотвѣтственно для
кривыхъ г? = сопзі. и и = сопзі. *). Если а и 3 обозначаютъ углы этихъ
кривыхъ въ точкѣ М съ осью х-овъ, то

соз а =

1 д ѵ
зіп а = ,_

Уа о и

соз ,3

зіп В =

1 ду

уь дѵ ’

Г д х

1 д х
уьд ѵ ’

а уголъ <у между кривыми опредѣляется формулою

соз а> = соз (3 — а) = - С >

УаЬ

сі
а такъ какъ очевидно, З2 = аЬ — с2, то можно также написать зіп а> = —— ‘

УаЬ
Напримѣръ, полагая въ случаѣ полярныхъ координатъ и = г, ѵ — Ѳ, прямо
изъ чертежа видно, что а = 1, 6 = г2, с = 0 и формула Лямэ сейчасъ же сво-
дится къ выраженію, данному въ первомъ упражненіи. Вообще для всякой
ортогональной системы кривыхъ (т. е., когда с = 0) формула Лямэ прини-
маетъ слѣдующій, чрезвычайно простой видъ

АЧ = —- [— (V-	~ (1/^- ^11 •

7	адиУдѵ\Г Ь дѵ/]

Неявныя функціи.

572.	Если въ уравненіи /(х, у) = 0 мы будемъ разсматривать
V, какъ функцію отъ х, то правило разысканія производной слож-
ной функціи тотчасъ дастъ уравненіе

(26)_

д х ду

д/
изъ котораго при ~

такимъ образомъ, мы

^0 и находимъ значеніе

молча предполагаемъ, что

у . Но, поступая

производная у

существуетъ, между тѣмъ какъ мы еще не имѣемъ основанія
а ргіогі утверждать ни того, что у' существуетъ, ни даже того, что
вообще можно разсматривать у, какъ функцію отъ х. Однако (при
извѣстныхъ условіяхъ), эти утвержденія допустимы. Положимъ, въ

самомъ дѣлѣ, что (х0, _у0) есть нѣкоторая пара значеній х и у,
удовлетворяющихъ уравненію /\х, _у) = 0, и примемъ, что и /у
будутъ непрерывны, когда х измѣняется въ интервалѣ (хѳ — А,
х0 + /?), а у въ интервалѣ (_у0 — З'о + &)• Кромѣ того, предпо-
ложимъ, что к и к достаточно малы для того, чтобы /'ѵ сохраняла
знакъ числа /у(х0, _у0)570, въ указанныхъ интервалахъ. Такое
предположеніе возможно вслѣдствіе непрерывности /у. Далѣе ясно,
что въ силу нашихъ предположеній отношеніе /у къ не можетъ
быть какъ угодно мало по абсолютной величинѣ и потому суще-
ствуетъ такое положительное число а, для котораго \/у \ > а\/х ч

*) сіх есть дифференціалъ дуги кривой (см. § 582).
когда х и у остаются въ разсматриваемыхъ интервалахъ. Если Л,
которое можно взять сколь угодно малымъ, будетъ меньше ка, то
будемъ имѣть

к\/'х\ < Ьа\/'х \ < Ь\/у\-

Отсюда слѣдуетъ, что въ равенствѣ

/(•То + I, Л і = %/х (То + .Уо ± 0 к} ± к/'и (х0 + 0 & уГІ ± Ѳ А),

(О < 0 < 1) которое даетъ формула Тэйлора въ силу равенства
У(х0, у0) = 0, для всякаго значенія лежащаго между — Л и + Л,
первый членъ правой части будетъ меньше второго по абсолютной

величинѣ. Поэтому знакъ числа / (х0 + уа + /?) будетъ совпадать
со знакомъ числа ± к/'ѵ (х0 + Ѳ у0 + Ѳ к), а такъ какъ сохра-

няетъ постоянный знакъ, то приходимъ къ слѣдующему заключенію:

при фиксированномъ %,/(х0 + §,у)
есть функція одного у, имѣющая
разные знаки при у =у0 — к и
у — у0 + к. Но эта функція не-
прерывна, потому что имѣетъ
производную /у. Слѣдовательно
(§ 275), она обращается въ нуль
для нѣкотораго значенія у=,ц,
лежащаго въ интервалѣ (уи — к,
/0 + к)', при томъ она не можетъ
обратиться въ нуль болѣе одного
раза въ этомъ интервалѣ, потому
что производная /у сохраняетъ въ
немъ знакъ и, слѣдовательно,

У(х0 + у) либо постоянно убы-
ваетъ, либо постоянно возрастаетъ. Итакъ, справедливо, что, выбравъ

по произволу значеніе ,г' = і'о—мы найдемъ одно
и только одно такое значеніе у = у0 -|- (— к < г/ < к), что для этой
пары значеній будемъ имѣть /(х, _у) = 0. Слѣдовательно, въ ука-
занныхъ границахъ данное уравненіе, дѣйствительно, опредѣляетъ у,
какъ функцію отъ х. Функція эта притомъ непрерывна, потому что,
если въ уравненіи /(х0 + ^, _у0 +’і) = О, т- е- въ уравненіи

(*о + Д'о + ѳ 1)) + ѵ/у (-т0 + 0с, Л + 0 ч) = О

будетъ стремиться къ нулю, то и г) будетъ стремиться къ нулю,
потому что /у^О. Наконецъ, эта функція имѣетъ производную,
потому что съ приближеніемъ къ нулю, имѣемъ

/^(-то+ Ѳ?, Ѵо+0 4)

Ііт = — Ііт —7--------------------

-	4 (*о + 0 Л + 0’0

/Жго)

4'(лг0, Л>)

Такимъ образомъ, исходя изъ точки (ха, у0), мы нашли безчисленное
множество точекъ, координаты которыхъ удовлетворяютъ уравненію
/(х,у) = О, лежащихъ въ прямоугольникѣ, опредѣляемомъ вершинами
(х0 ± к, у0 ± к), и всѣ эти точки находятся въ тѣхъ же условіяхъ,
какъ и точка (х0, у0). Послѣднее вышеприведенное заключеніе по-
этому приложимо ко всѣмъ этимъ точкамъ, и формула (26) доказана.
Замѣтимъ наконецъ, что въ силу непрерывности /'х и и условія
/5)^0, функція у' также непрерывна.

573.	Можно высказать и болѣе общій результатъ. Если со-
отношеніе

(27)	/{х, у, г, . . ., и) = О

удовлетворяется значеніями х0, у0, 20, . . ., и0 перемѣнныхъ, и въ
окрестности этихъ значеній первыя частныя производныя функціи /
существуютъ и непрерывны и, кромѣ того, для этихъ значеній
то можно утверждать, что и есть функція отъ перемѣн-
ныхъ х. у, г, . . ., имѣющая непрерывныя первыя частныя произ-
водныя. Онѣ получаются, если возьмемъ частныя производныя отъ
функціи /(х, у, 2, . . ., и), разсматривая и, какъ функцію отъ
х, у, 2, . . ., и приравняемъ ихъ нулю*).

У + У	= 0 V , << д 11 = 0 д/_ , д/_

д х дидх ’ ду ди ду ’ д г д и д г

Доказательство ведется точно такъ же, какъ въ разсмотрѣнномъ
выше частномъ случаѣ.

574.	Дальнѣйшія дифференцированія дадутъ послѣдовательныя
производныя функціи^/. Напримѣръ, въ случаѣ уравненія /(х,у)=0,
надо продифференцировать сіх + сіу = 0, чтобы получить у.
А именно—мы получимъ

сіх2 + 2 —  — ііхЛу + ду2 + сРу = 0,
д X2	дхоу	ду2 • ду

откуда, послѣ подстановки значенія у', взятаго изъ (26), тотчасъ
найдемъ

_ у	У/.	2 д2У д/ . д2/ I </Л2

” \ду I	дх2\с>у)	"дхду дхду ду2\дх)

ИЛИ		
У' = 1	о  д х	ду  УУ д2/	
	дх д х2 дхду	и т. Д.
\ду )	д/ о-/  ду дудх ду2	

ь) Говоря короче, дифференцируя уравненіе (27).
Рѣшимъ еще вопросъ о вычисленіи частныхъ производныхъ р, д,
г, з, I функціи г, неявно опредѣляемой уравненіемъ /(х,уу г) = 0.
Первыя двѣ найдутся изъ уравненій

(28)

^ + ^/=0,	+

о х да	ду да

= 0,

получаемыхъ изъ уравненія / — 0, если возьмемъ частныя произ-
водныя отъ обѣихъ частей равенства по х и по у. Дифференцируя
по х первое и по у второе уравненіе, получимъ

^/+2^ + ^+^г = 0,

дх2 дхдз о з2 дз

с>у2 дуда да2 да

откуда для г и і получаются (послѣ подстановки вмѣсто р и д
ихъ значеній) слѣдующія выраженія

	0	д х	д/ 1 д г		0	д/ д у	д г
1 /ЛАЗ	д/	д2/	д2/		д/	д2/	&/
/ О/ \	д х	д х2	дхда		ду	ду2	дуда
\да)	д/ д г	дадх	д2/ д а2		д/ д 2	д2/ даду	"2/  да2

Если продифференцируемъ по у первое или по х второе изъ уравне-
ній (28), то получимъ

	0	д1. дх	д/  да
1	д/	д2/	д2/
(Л	ду	дудх	дуда
	да	д2/ да дх	д2/ да2

Замѣтимъ, что вышенаписанные три опредѣлителя получаются изъ
опредѣлителя

	0  д/	д/ дх  д2/	ду д2/	д з  д2/
	дх	дх2	дх ду	дхдг
Б =				
	V	д2/	^2/	д2/
	ду	ду дх	ду2	дуда
	д/	д2Г	д2/	д2/
	да	дздх	веду	да2
л	.	а2/	д2/ а2 г

если возьмемъ алгебраическія дополненія элементовъ , — -т—» -^4
ду2 дхду ах2
послѣдняго. Отсюда, по извѣстному свойству опредѣлителей (§ 38),
слѣдуетъ

,	2	29

Г І — 52 = — , , ,

575.	Можно доказать еще болѣе общій результатъ, а именно:
если даны т уравненій

(29)

У(х, у, г,	.	.	.,	и,	ѵ,	гѵ,	.	.	.)	=	О,

(х, у, г,	.	.	.,	и,	ѵ,	гѵ,	.	.	.)	=	О,

у(х, у, 2,	.	.	.,	и,	ѵ,	гѵ,	.	.	)	=	О,

которымъ удовлетворяютъ значенія х = л0, у = у0, ..., и =и9,
ѵ = ѵ0, . . ., то можно разсматривать т перемѣнныхъ и, ѵ, гѵ, . . .,
какъ функціи отъ п перемѣнныхъ х, у, г, . . . и эти функціи
имѣютъ первыя частныя производныя по всѣмъ перемѣннымъ. При
этомъ, однако, предполагается, что первыя частныя произ-
водныя функцій /, у, ір, ... непрерывны и, кромѣ того,
что для разсматриваемыхъ значеній перемѣнныхъ Якобіанъ

3 = д У- • • •)
д (и, ѵ, гѵ, . . .)

не равенъ нулю. При т = 1, мы имѣемъ уже извѣстную намъ
теорему § 573. Чтобы доказать общую теорему, достаточно пока-
зать, что она будетъ справедлива для т уравненій, если допустимъ
ея справедливость для т — 1 уравненій. Такъ какъ предполагается,
что въ точкѣ (х0, у0,  . ., ий, ѵ0, .  .) 3<~0, то можно быть
увѣреннымъ, что, по крайней мѣрѣ, одна изъ производныхъ

’ • • • въ этой точкѣ не равна 0. Положимъ, что
ди дѵ дгѵ	'

^^0. Тогда, принимая во вниманіе наши предположенія и тео-
рему § 573 *), мы можемъ утверждать, что и есть функція отъ
перемѣнныхъ х, у, 2, . . ., ѵ, гѵ, . . ., имѣющая непрерывныя пер-
выя частныя производныя. Если представимъ себѣ, что это выра-
женіе и подставлено въ остальныя уравненія системы (29), то
получимъ новую систему

(30)

цу(х, у, 2, . ., ѵ, гѵ, ...)= О,

Уі(х, у, 2, ..., ѵ, гѵ, ...) = О,

‘) Примѣняя ее, мы разсматриваемъ первое изъ уравненій (29).
Система (30) состоитъ изъ т—1 уравненій, связывающихъ т — 1
перемѣнныхъ ѵ, гѵ, ... съ п остальными. Первыя частныя произ-
водныя функціи </ ,, тр,, ... существуютъ и непрерывны, потому что

д <[,	дер	дер ди	д	дер	дер ди

дх	дх	дидх	ду	ду	диду

(что вытекаетъ изъ самаго происхожденія функцій ерх, ір,, . . .).
Мы сейчасъ покажемъ, что Якобіанъ системы	... относи-

тельно ѵ, и), ...

Я =	 - •)

“1 д(ѵ, гѵ, . . .)

не равенъ нулю. А тогда система (30), по предположенію, опредѣ-
ляетъ ѵ, гѵ, . . . какъ функціи отъ х, у, г, . . ., и эти функціи
имѣютъ первыя частныя производныя. Но то же самое можно ска-
зать и объ и, если представимъ себѣ, что въ его выраженіе, полу-
ченное изъ перваго уравненія системы (29), подставлены выраженія
ѵ, гѵ, . . . изъ системы (30). Такимъ образомъ и получается, система
функцій и, ѵ, іѵ, . . . , принимающихъ значенія и(), ѵ0, гѵ0, . . . при
х = х0, у=Уо>  • • и имѣющихъ въ окрестности послѣднихъ значеній
первыя частныя производныя. Все дѣло сводится, слѣдовательно, къ
тому, чтобы доказать, что 3,	0. Для этого представимъ себѣ,

что въ опредѣлителѣ 3 элементы перваго столбца по умноженіи
ихъ на прибавлены къ элементамъ второго столбца, затѣмъ

.	ди .

тѣ же элементы, по умноженіи на , прибавлены къ элементамъ
третьяго столбца и т. д. Тогда элементы новаго опредѣлителя будутъ

,	’>/д/ ди =	0,	д/ д/ ди	= 0, •
д и	дг: ди дѵ		дгѵ ди дгѵ	
дер	дер дер ди		ддер д и	=. _ Діі,
				
д и	дѵ дидѵ	д ѵ	дгѵ ди дгѵ	дгѵ
д ір	дір ду> ди	йѵі	дір дір д и	
		 				
е) и	дѵ ‘ди дѵ	е) V	дгѵ ди дгѵ	е) гѵ

и мы находимъ 3 = 3, уС. Такъ какъ величина конечная, а 3
'ди	ди

не равно нулю, то и 3, не равно нулю.

576.	Доказавъ существованіе первыхъ частныхъ производныхъ
отъ функцій, опредѣляемыхъ системою (29), мы можемъ теперь
весьма легко вычислить эти производныя. Для этого нужно только
дифференцировать по каждой изъ независимыхъ перемѣнныхъ каж-
дое изъ уравненій системы (29). Такъ, напримѣръ, взявъ производ-
ныя по х, получимъ
ди д ѵ

относительно

слѣдующую систему линейныхъ уравненій
дгѵ

д х дх	дх				
Іи ! дх дидх		д/ д ѵ дѵдх	д / д гѵ дгѵ д х	+ 	• = 0,
дер д ер дх + ди	д и д х	дер д ѵ д ѵ д х	д ер дгѵ дгѵ дх	+ •	 = 0,
дуду д х ди	д и  д х	д у дѵ дѵдх	д ір д гѵ дгѵ д х	+ •	• =о,

опредѣлитель которой 3 не равенъ нулю. Отсюда, по правилу
Крамера, получимъ

ди _	\ д(/, гр, . . .) дѵ	1 д (/, <р, . . .)

дх	3 д (х. г, ...) ’ дх	3 д {и, х, . . .) ’

577.	Упражненія, а) Вычислить уголъ между двумя плоскими кри-
выми <р = 0, у» = О, пересѣкающимися въ точкѣ (дг, у). По формулѣ (26)
угловые коэффиціенты касательныхъ къ этимъ кривымъ опредѣляются
формулами

дер	ду

д ѵ	д у

откуда

1 дер

8іп а =--- -	- >

VЛф

 а	1	д у

зіп ,8 =-- —	,

У^ѵдх

1 дер
соз а = __ .- і

дУ

Э 1 V

СОЗ ;? = - —- —• ,
У.іу 6 У

слѣдовательно (см. § 571, 6),

зіп о = зіп (8 — «) =----=

Г-1'7

д (<р, у) .
. л7 е) (х, у)

Замѣтимъ, что касаніе этихъ кривыхъ (и = 0) характеризуется тѣмъ, что
Якобіанъ системы функцій и у обращается въ нуль.

Ь)	Если плоская кривая задана уравненіемъ

/{х, у, и. ѵ, . . .) = 0,

гдѣ и, ѵ, ... опредѣляются, какъ неявныя функціи отъ координатъ х и у,
п уравненіями

ер (х, у, и, ѵ, ...) = 0, 1/' Сѵ, у, «, ѵ, . ..) = 0, ...

и требуется построить къ этой кривой касательную въ данной точкѣ, то
нѣтъ надобности исключать м, ѵ, гѵ, ... изъ « Ц- I данныхъ уравненій, съ
тѣмъ, чтобы получить уравненіе между одними .г- и у. Можно разсматривать
у, и, ѵ, гѵ, . . . какъ неявныя функціи отъ х, опредѣляемыя данными урав-
неніями, взять производныя по х, и изъ полученной системы линейныхъ
,	сіу Ли Лѵ .	,

уравненій (относительно	> • • •) исключить производныя функ-

цій и, ѵ, гѵ, . . .. Одно изъ важнѣйшихъ преимуществъ дифференціальнаго
исчисленія и состоитъ въ томъ, что оно позволяетъ избѣгать практически
невыполнимыхъ исключеній (неизвѣстныхъ изъ системы не линейныхъ и
сложныхъ уравненій). Оно всегда при помощи дифференцированія приво-
дитъ къ системѣ линейныхъ уравненій, которыя всегда можно рѣшить.
Такъ, въ разсматриваемомъ случаѣ получается формула

д(/, ср,ер, . . )

Лу _	д (х. и, ѵ, . . .)

Лх	д (/, ср. гр, . . .)

д (у, и, ѵ, . . .)

представляющая, очевидно, обобщеніе формулы (26).

с)	Подобнымъ же образомъ, положимъ, что нѣкоторая поверхность
задана двумя уравненіями съ четырьмя перемѣнными. Тогда можно пред-
ставить себѣ, что соотношеніе между тремя координатами х, у. г получается,
какъ результатъ исключенія и изъ уравненій

(х, у, г, и) — О, ер (х, у, а, и) = 0.

Положимъ, что требуется вычислить р, д, г, 5, і, т. е. первыя и вторыя част-
ныя производныя отъ а, разсматриваемой, какъ функція двухъ независимыхъ
перемѣнныхъ х и у. Взявъ производныя отъ данныхъ уравненій одинъ разъ

по х, другой		разъ по у,	получаемъ		системы				
	дер дх	да дх "і"	дер ди _ ди дх	0		д ер , ду	дер д а д а ду	+	дер ди _ о ди ду
	дер дх	дер да + д а дх^	дер ди _ ди дх	0		ду , ду	дер да да ду	+	дер ди _ д и ду

изъ которыхъ черезъ исключеніе производныхъ отъ и, находимъ

д (ср. ер)
д (х, и)
д(<р, V)
д (г, и)

д (ср, ер)
д (у, и)
д(ср. ір)
д (г, и)

Другія три производныя можно найти или непосредственно вычисляя произ-
водныя отъ р и д помощью полученныхъ ихъ выраженій, или съ помощью
рѣшеній линейныхъ уравненій, получаемыхъ черезъ дифференцированіе
уравненій вышеприведенныхъ двухъ системъ. Въ частности, если поверх-
ность задана уравненіемъ а = /(х, у, и) гдѣ и опредѣляется, какъ неявная
функція отъ х и у уравненіемъ ср (х, у, и) = 0. то тотчасъ находимъ

д/ д/ ди дер дер ди
дх + ди сіх дх дидх

слѣдовательно,

дер	д/ дер	д/ дер	д (/', ср)

д/ д/ д х	дх ди	дидх	д (х, и)

$ дх ди дер	дер	дер

ди	ди	ди
Отсюда слѣдуетъ

г =	+ 2	д^\х И ?_и ,

дх дх2 "г дхди дх 'ди2 \дх) ' ои дх2 ’

.	. ди д2и

гдѣ вмѣсто и . 2 надо подставить ихъ выраженія, получаемыя изъ

С* X о х

уравненій

д(р д<р ди __ д2(р д2<р д и д2<р (ди\2 ду д2и

дх дидх ' д х2 дхдидх ди2\дх) "^дидх2 И Т

578. Когда даны т функцій уІ, у2, . . ., ут отъ п незави-
симыхъ перемѣнныхъ х,, х2, хи, то весьма важно бываетъ
установить, что эти функціи независимы, т. е., что ни одна изъ
нихъ не будетъ функціей другихъ. Для этого достаточно изслѣдо-
вать Якобіеву матриссу системы, т. е. матриссу

дУх		&Ух	дух
			
дхг		дх$	дхп
ду2	ду2	ду2	дУа
дхх	дх2	дхг	дхп
дУт	дУт	дУ,п	дУт
д X]	д х2	<Э х?і	дхп

элементы которой предполагаются непрерывными функціями. Если
и есть рангъ этой матриссы, то данная система заклю-
чаетъ въ себѣ /г независимыхъ функцій, а остальныя т—и
будутъ функціями отъ этихъ іл. Эту важную теорему мы
теперь и докажемъ

а) Можно предположить, что Якобіанъ

3 _ Уг> •   - У?)
д (х1; Хг, .... Хи)

не равенъ нулю, потому что, по условію, Якобіева матрисса содер-
житъ въ себѣ, по крайней мѣрѣ, одинъ опредѣлитель порядка /г,
не равный нулю. Представивъ себѣ, что тѣ именно /г функцій у
и независимыхъ перемѣнныхъ х, которыя входятъ въ этотъ опредѣ-
литель, нумерованы указателями 1, 2, . . ., /г, мы и придемъ къ
тому, что 3 есть одинъ изъ опредѣлителей, не равныхъ нулю.
Пусть выраженія данныхъ функцій будетъ

Л = /і(*і- -г'а..Л-Н), _у2=/2(х1, х2, . . хп).

Положимъ

х2, .. хп. Л, у2, . .	х2, .... ,ѵя) -Уі

и разсмотримъ систему

(31)	<3р1 = 0, <р3 = 0, . . ., у,м = 0.
На основаніи сказаннаго въ § 575, эта система способна опредѣ-
лить перемѣнныя

(32)	Хі, х2, . хц, у^, . . ,,ут,

какъ неявныя функціи остальныхъ

(33)	У1, У2, ... -	^+1, ЛТфр . . , х„,

такъ какъ для этого нужно только, чтобы функціональный опре-
дѣлитель

?2.....Уд» <7д+1, Фд+2....Ут)

д (Х1г Х2, . . хц, у^, у^.,, .... ут)

не былъ равенъ нулю, а это такъ и будетъ, потому что

дхз~дхз' д~уі~ ’ ~дУі~

и разсматриваемый опредѣлитель приводится къ (—I)””-,43. Поэтому,
если Ьі, Ь2, . . ., Ьт будутъ значенія функцій у,, у2, . . ут въ
точкѣ (а1, а2, . . ., «„), въ окрестности которой мы допускаемъ
существованіе и непрерывность первыхъ частныхъ производныхъ
функцій у,, у2......./т, то система (31) опредѣляетъ величины (32),

какъ неявныя функціи отъ остальныхъ перемѣнныхъ въ окрестности
точки Ь2, , Ьц, ам+і, ацу.2, а„). Другими словами,
каждой системѣ значеній, по произволу выбранныхъ для чиселъ (33),
лишь бы эти значенія находились въ извѣстной близости къ точкѣ
(Ьх, Ьг, ..Ьц, ««+1, ««+2, • ..,«и),мы получимъ вполнѣ опредѣленныя
значенія для чиселъ (32). Слѣдовательно, если представимъ себѣ, что
первымъ /л изъ перемѣнныхъ х даны именно эти только что упомяну-
тыя значенія, а остальнымъ п—у данныя имъ первоначально значенія,
то у1, у2, упримутъ назначенныя имъ значенія, которыя можно
выбрать по произволу въ извѣстныхъ границахъ. Итакъ, первыя у
функцій у дѣйствительно независимы одна отъ другой.

Ь) Остается еще показать, что остальныя т — у будутъ
функціями первыхъ у. Изъ предыдущаго видно только, что каждая
изъ нихъ есть функція отъ _у,, у.,, . . ., у^ и х^-і, ^4-2, • . ., хп-
Слѣдовательно, достаточно показать, что если г и у больше /л, то
функціи у', не зависятъ отъ хі. Но, взявъ производныя по хі отъ ура-
вненій (31), продолжая при этомъ разсматривать величины (32),
какъ функціи отъ величины (33), получимъ

д/уд_Хі	д/удх2	д/±	охц	д/г

дх, дх,	д х.,	дх,	дх,,	дх, ' д х,	’

д/2 дхі	д/і	дх2	д/2	д/2	_

дхі дх( "I” дх2	дх{ +	+ дх^	дхі	дхі	’

д д х,	д дх.,	д Г д хп	д

дх, д х,-	д	х2 д X,'	дх,, д х,'	д х,	’

X	I,	Л	(ЛЬ	I

д х,	дх,	д х9	дх,	дх„	дх,	дх,-	д х,

х	і	&	I,	(Л	і	I	I
откуда, исключая производныя отъ х{, х2, . . х,л по х,, находимъ

		дА	
			
()х,.	дх2		дх{
	д/и	д/,	
			
дхх	СІ Л’2	д х„ №	д Хі
д/о		. д/.і	
О Х2	д х2	дхи	дхі

= 0,

д21 \

д л-. |

ду,

т. е. 3	= 0, и наконецъ, = 0 (что и показываетъ, что

ѵ X	О X

не зависитъ отъ х,, при і и у > ,и) *).

579.	Слѣдствіе. Необходимое и достаточное условіе
для того, чтобы п функцій и, ѵ, но, . . . отъ п перемѣнныхъ
х, у, г, ... были независимы между собою, состоитъ въ
томъ, чтобы

д (и, ѵ, ы, . . .)

о (х, у, а. . . .)

Здѣсь также предполагается, что разсматриваемыя функціи имѣютъ
непрерывныя первыя частныя производныя.

[Примѣчаніе. Относительно теоремъ §§ 578—579 надо за-
мѣтить слѣдующее (ср. О. Кохѵаіеіѵзку, „ЕіпйіЬшп^ іп сііе Оеіегті-
папіепі:Ьеогіе“, § 127). Рангъ матриссы Якоби (§ 578) можетъ имѣть
различныя значенія въ различныхъ точкахъ разсматриваемой области.
Напримѣръ, Якобіева матрисса функцій х^, х2 , . . ., Л',Л имѣетъ
рангъ п, когда всѣ х, отличны отъ нуля, и рангъ п—р, когда р
изъ нихъ равны нулю. Точку, въ окрестности которой рангъ
матриссы Якоби не постояненъ (сколь бы малой ни сдѣлать эту
окрестность), назовемъ особенной. Теорема §§ 578 — 579 не
имѣетъ мѣста въ окрестности особенныхъ точекъ. Такъ, напримѣръ,
функція х* и х2, очевидно, независимы въ окрестности точки
.г, = 0, х2 = 0, а функціональный опредѣлитель

। 2 Х1	0 1

ІО	1 і

равенъ нулю въ этой точкѣ и во всѣхъ точкахъ, для которыхъ хх = 0.
Точки эти особенныя, потому что въ нихъ рангъ матриссы Якоби
равенъ 1, а въ окрестности ихъ, гдѣ хі отлично отъ нуля, рангъ
равенъ 2.]

*) Другой опредѣлитель изъ тѣхъ двухъ, на которые разлагается
предыдущій, будетъ равенъ нулю, потому что его порядокъ « + 1 больше
ранга матриссы.
580.	Укажемъ въ заключеніе еще одно замѣчательное свойство
функціональныхъ опредѣлителей, которое можно разсматривать, какъ
обобщеніе правила разысканія производной функціи отъ функціи.
Положимъ, что перемѣнныя у$ выражаются функціями отъ перемѣн-
ныхъ Хі черезъ посредство другихъ функцій гіх, и2, . . ., ип. Такъ
какъ по правилу дифференцированія функціи отъ функцій

ду, _ дУі '>иі дУ] <)и2	ду, дг‘п

дхі дих дх{ ди2 ‘ ’ 1 <)ип х.

то теорема объ умноженіи опредѣлителей тотчасъ показываетъ, что
произведеніе опредѣлителей

У.......У„)	,	»2......Ип)

д (мх , «2, . . ., ия) о (хі, х2, . . ., хп)

будетъ равно функціональному опредѣлителю функцій у,- по отно-
шенію къ перемѣннымъ х,, т. е.

(34)	 • -’Уп) = ^(Уі> Ля-  -	У») .	(«і 	......и«).

Ѵ д (хг, х2............хп) д(ііг, и2, . . ., и„) д(хг, х2........хп)

Въ частности, имѣемъ

(35)	х2,	х„) д(У1, ѵ2. . .. ѵи) = 1

д(уі,у2, .....у,)	х2, .. хп)

581.	Упражненія, а) Формула (34) заключаетъ въ себѣ, другую, вы-
веденную нами раньше. Если хотимъ, напримѣръ, ввести новыя перемѣнныя
въ функцію /, то можемъ написать

Э(/ у, ;?,...) = д_(/, у, а, . . .) д (х, ѵ. г, . . .)
д (и, ѵ, гѵ, . . .) д (х, у, г, . . .) д (и, ѵ, гѵ, . . .)

а такъ какъ первый множитель въ правой части, очевидно, приводится къ
3 Г

, то будемъ имѣть снова формулу (20)

д (/, У, *.)

д/ д (и, ѵ, гѵ, . . .)
дх д (х, у. г. . . .)

д (и, ѵ, гѵ, . . .)

Аналогично этому получимъ

3 (/, <р,
д (/, <₽) __ д (/, <р, ^, . . .) _ д (и, ѵ, гѵ. . . .)
д(х, у) д (х, у, г, . . .) д (х у, г, .. .)
д [и, ѵ, гѵ, . . .)

*) Послѣдняя формула есть обобщеніе правила разысканія производ-
ной обратной функціи.
и, въ частности,

(36)

д (и, ѵ) __ д (гѵ. . . .)

д (х, у) д (х, у, г, . . .)
д (и, ѵ, гѵ, . . .)

Ь) Чтобы показать пользу этихъ форму іъ, ограничимся случаемъ
трехъ перемѣнныхъ .ѵ, у, г, заданныхъ въ видѣ явныхъ функцій отъ
и, ѵ, гѵ, и вычислимъ производныя отъ и, ѵ, гѵ по х, у, з, не выводя
предварительно явныхъ выраженій и, ѵ, гѵ черезъ х, у, г. Мы пред-
положимъ, что какъ х, у, г, такъ и и, г<, гѵ независимыя перемѣнныя, т. е.

э = Л)5=о

<9 (м, ѵ, гѵ)

Формула (20) тотчасъ дастъ

_ ди	1 д(у, а)	ди	_ 1 <)(г, х)	дѵ	_ 1 Э(ѵ, г)

()х	3 д (г1, гѵ)	ду 3 д (г1, гѵ)	дх 3 (гѵ, гі)

и задача рѣшена. Замѣтимъ, что нѣтъ надобности знать эти производныя,
чтобы вычислить функціональный опредѣлитель системы и, ѵ, гѵ относительно
х, у, г, такъ же какъ и его миноры второго порядка, потому что въ силу
формулъ (35) и (36) или формулы (37) будемъ имѣть

д(и, гі, гѵ)	1	д(ѵ. гѵ)	1 ()х	д (гѵ гѵ)	_ 1 ду

д(х.у, з)	3	д (т, з)	3 ди	д(з, х) ~3 ди

Если требуется вычислить дифференціалы функцій г/, гг>, то можно
сперва написать полные дифференціалы отъ х, у, е. Затѣмъ формулы

	, дх , дх , дх ,  Лх — — Ли У т-- Лг< 4-	Лгѵ,  ди	дѵ	дгѵ
(38)	ду ,	д у	д у ,  Лу = у^Лиу у-Лѵ У , Лгѵ, ди	дѵ	дгѵ  дг	дг	дѵг  Лг = -— Ли У	Лг> + Лгѵ  д и	д ѵ	д гѵ

дадутъ значенія

Ли =

1_ Г д(у, е) Зі~, .ѵ)

3 [<9 (ѵ, гѵ) д(ѵ, гѵ)

и т. д.

Изъ нихъ снова получаются формулы (37).

с) Въ нѣкоторыхъ приложеніяхъ примѣняютъ формулу (38) для вы-
численія суммы Лх- + Лу'1 + ЛУ, которая тотчасъ и преобразуется въ
выраженіе

аЛиЗ-уЬ Лѵ- + с Лгѵ2 у2/ЛѵЛгѵ -|- 2 & Лгѵ Ли у2 кЛиЛѵ,
гдѣ для сокращенія положено



.*).

Важно замѣтить, что когда извѣстны шесть функцій а, Ь, с, /, к, то и
функціональный опредѣлитель 3 будетъ извѣстенъ, а именно:

(ЗУ)

а к §
к Ь /
§ 7 с

Подобнымъ же образомъ найдемъ и суммы

Іди\2 у-тідгл2	\ідѵдгѵ

\ох)	' дх дх

значенія которыхъ равны соотвѣтственно минорамъ Ьс - са -^2...............

уіг — а/, . . ., раздѣленнымъ на З2 **) Особенно замѣчателенъ тотъ случай,
когда /, у, к тождественно равны нулю. Тогда на основаніи послѣднихъ замѣ-

чаній получимъ Ліі = — и т. д., и, кромѣ того, можно доказать, что

1 д 3 лч 1 д 3 ю 1 й 3

3 ди а	3 дѵ Ь	3 дгѵ с

Отсюда слѣдуетъ і см. §571, Ф), что, примѣняя операцію /I2 къ любой функ-
ціи, можно написать

,, V/ , д2 , д \	1 ѵт д 13 д \

Л2 = > Ф и • ——-; + Л2 и • -у- I = У -т— I—. -
ди2	ди] 3 ди\а ди]

или

(40)

1 Г д (1 /"Ъ с д \	д Іл7са	д \ Ф /"& \ I

у \і !)с \ди' г а ди] дѵ \г Ь	дѵ] ' дгг>\ г	с дгѵ]]

Это формула Лямэ для пространства.

ф) Если х, у, г зависятъ еще отъ одной перемѣнной I, независящей
отъ и, ѵ, гѵ, то опредѣлитель 3 будетъ вообще зависѣть отъ і, и можетъ
встрѣтиться надобность вычислить производную 3', взятую по і. Обозначая

*) Какъ здѣсь, такъ и во всемъ дальнѣйшемъ, постоянно встрѣчаются
суммы, состоящія изъ трехъ слагаемыхъ, получаемыхъ одно изъ другого
черезъ круговую подстановку осей х-въ, у-овъ и г-въ, и всѣхъ другихъ
буквъ, соотвѣтствующихъ этимъ осямъ. Въ такихъ случаяхъ, для сокращенія
письма, вводится символъ 2, подъ которымъ выписывается лишь одно изъ
трехъ слагаемыхъ. Напримѣръ, если разсматриваются три группы буквъ
{х, у, г), (и, ѵ, гѵ), (Л, у, г), то

2',дхѵх	„дхдх	,	д ѵ ду	дгдг

к “а-х- =	“х ' “Г	х2- ’х-г"	‘х— X

дѵ дгѵ	дѵ дгѵ	дгѵ ди	дидѵ

**) См. §§ 29 и 30.
знакомъ ' производныя, взятыя по і, и примѣняя правило дифференциро-
ванія опредѣлителей (§ 373). получимъ

д,___ д (х’- -ѵ-	_і_ д	у'-	_і_ д у' .

О (и, ѵ, гѵ)	д (и, ѵ, гѵ)	д (и, ѵ, гі’)

Раздѣляя на 3, получимъ формулу

....	,,	, дх' , ду' , дг'

(41)	1о§3)' =	+ -г- + ч- ’

дх ду д г

встрѣчающуюся въ Гидродинамикѣ. Мы воспользуемся ею, чтобы инымъ
путемъ вывести формулу Лямэ ’). Представимъ себѣ х, у, г, какъ функціи
отъ независимыхъ перемѣнныхъ с, ’Г), і, и производныя х', у', г', взятыя
по і, какъ извѣстныя функціи отъ х, у, г. Ясно, что и, ѵ, го, какъ функціи
отъ х, у, г. также зависятъ отъ с, ч, ( и і. Производныя ихъ по і связаны
съ .г', у', г’ соотношеніями

Если возьмемъ за х', у', г' частныя производныя нѣкоторой функціи
<р (х, у, г), то получимъ

дер , дх , ,ду , ,дв .	, ,

- = х' +у'-г------(-	,— = аи'+ Иѵ'+§гѵ', •   .

ди ди ди ди	*

Отсюда, обозначая черезъ а0, Ьо, .... кп алгебраическія дополненія элемен-
товъ а, Ь, к въ опредѣлителѣ (39). раздѣленныя на 3, выводимъ, что

, оп. , діі	да/

= аоді + ^Тѵ+*'<>дгѵ........

Установивъ это, примѣнимъ формулу (41) къ первому и третьему опредѣ-
лителю въ равенствѣ

д (х, у, г)	д (х, у, г) д (и, ѵ, гѵ)

д (д, »), 0	д (и, ѵ, гѵ) д (д, у, §

замѣтивъ предварительно, что формула (41) уже не примѣнима къ опредѣ-
лителю 3, такъ какъ гі, ѵ, гѵ зависятъ отъ і. Тогда получимъ

дх' йѵ' дг'	ди' , дѵ' дгѵ'

Т7+<7+ ТГ = (10^ +^+дѵ + д7ѵ

= і [/й(3и/) + Тѵ + /гѵ (3	’

т. е.

1 Г д / дер , , д<р д <р\ ,	1

"Р — I т ( И’п ч —Ь кг, -г— —НЛГп — I 4~    I ’

3 иди °дѵ~&одгѵ)' ]

Въ частности, когда / = = к = 0, имѣемъ

3=ѴаЬс,	Ьа=ѴТаГЬ, с0=У^ЬТс, §0= к0= О

и находимъ снова формулу (40).

х) Веіігагпі. Метогіе беіі’ Ассаб. бі Воіо^па, зегіе За, 1. I, стр. 467.
ПРИЛОЖЕНІЯ КЪ ПЛОСКИМЪ КРИВЫМЪ.

Дифференціалъ дуги.

582.	Строгое опредѣленіе длины дуги кривой линіи требуетъ
рѣшенія нѣкоторыхъ весьма трудныхъ вопросовъ’), которые здѣсь
мы постараемся обойти. Мы допустимъ, что имѣемъ уже интуитив-
ное представленіе о длинѣ дуги, по крайней мѣрѣ, для тѣхъ немно-
гихъ плоскихъ кривыхъ, которыя встрѣчаются въ приложеніяхъ.
Для этихъ кривыхъ, которыя всѣ могутъ быть изображены геоме-
трически, можно сдѣлать еще слѣдующее допущеніе: Всякая дуга
можетъ быть раздѣлена на такія части ММ', что въ то время,
когда одинъ ея конецъ М' стремится къ совпаденію съ другимъ
неподвижнымъ М, разсматриваемая дуга ММГ все время обращена
вогнутостью въ одну и ту же сторону. Длина такой дуги будетъ
тогда заключаться между длиною ея хорды ММ' и суммою
отрѣзковъ на касательныхъ въ точкахъ М и М, между точками
касанія и точкою пересѣченія касательныхъ. Предполагая произ-
водную у' отъ ординаты по 'абсциссѣ непрерывною, мы можемъ
сказать, что съ приближеніемъ точки М' къ М, прямыя С>М' и
ММ' будутъ стремиться къ совпаденію съ ОМ, а поэтому, при
безконечно маломъ ММ\ углы ОММ' и ОММ будутъ также
безконечно малы. Отсюда слѣдуетъ, что отношеніе отрѣзковъ ОМ
и ОМ' къ ихъ проекціямъ на ММ' стремится къ 1, и поэтому
(§ 549) эти отрѣзки отличаются отъ своихъ проэкцій на безконечно
малыя высшаго порядка. Поэтому и сумма ОМ-\-ОМ', а тѣмъ
болѣе и длина дуги ММ', отличается отъ хорды ММ' на безко-
нечно малую высшаго порядка и, слѣдовательно,

дуга ММ' ,

11Ш —--.	= 1.

хорда ММ'

583.	Обозначимъ теперь черезъ 5 длину дуги, у которой
одинъ конецъ помѣщается въ произвольно выбранной неподвижной
точкѣ А на кривой, а другой въ точкѣ М. Ясно, что 5 будетъ
измѣняться вмѣстѣ съ координатами х и у точки М. Когда точка М
придетъ въ точку М', координаты которой равны х-|-д.ѵ и у Аду,
то длина дуги 5 переходитъ въ	такъ чт0 будетъ равно

длинѣ дуги ММ’. Обозначая черезъ I длину хорды ММ', которая
отличается отъ <5.8, а слѣдовательно, и отъ сіз (§ 552) на безко-
нечно малыя высшаго порядка, будемъ имѣть /2 = дх2 + ду2.
Замѣняя здѣсь I, дх и ду соотвѣтственно величинами сіз, (Іх и ау,
мы пренебрегаемъ въ обѣихъ частяхъ равенства безконечно малыми
высшаго порядка. Но такъ какъ въ полученномъ такимъ образомъ
соотношеніи

(1)	(ІЯ- = (іх- + (Іу1

1) См., напр., „Соигз сГАпаІузе" раг. С. )огдап (2-е изд., 1-й томъ
стр. 90— 107).
не входятъ никакія безконечно малыя, кромѣ дифференціаловъ,
то (§ 556) можно быть увѣреннымъ, что это соотношеніе точное.

[Примѣчаніе. Если желаемъ получить формулу (1), не ссы-
лаясь на соображенія § 556, то можно поступить слѣдующимъ
образомъ: Изъ формулы /2 =	находимъ

Переходя къ предѣламъ и припоминая, что Ііт = 1, получаемъ

|<І5\2	/^Т\2

\<7х/	+

а умножая обѣ части равенства на сіх2, находимъ

6?52 = (ІХ2 + сіу2}-

Эта важная формула и служитъ для вычисленія 5. Она показываетъ,
что, разсматривая 5, какъ функціи} отъ х, получимъ для производной
отъ 5 по х выраженіе р41 -|-_у'2, а въ седьмой книгѣ будетъ пока-
зано, какъ опредѣляется функція по данной ея производной. Если х
независимая перемѣнная, то (§ 553) сіз изображаетъ длину отрѣзка
на касательной въ точкѣ М, между М и точкою .пересѣченія
касательной съ ординатою точки М'. Величина сіз лишь тогда
равна длинѣ дуги ММ', когда 5 взята за независимую перемѣнную.
Вообще же сіз есть отрѣзокъ касательной между точками (х, у) и
(х + сіх, у + &у).

[Примѣчаніе. Координаты произвольной точки М(х, у) на
всякой плоской кривой можно разсматривать, какъ функціи одного
независимаго параметра, і и задавать кривую двумя уравненіями
х = д) (/), у = ф (/). Функціи ф и ф мы всегда будемъ предполагать
непрерывными и имѣющими непрерывныя первыя производныя <р'(і)
и ф'(/). Въ частномъ случаѣ, когда за параметръ і взята абсцисса х,
получаемъ изображеніе кривой однимъ уравненіемъ^ =ф (х). Вообще
каждому значенію і соотвѣтствуетъ опредѣленная точка на кривой.
Выбравъ точку А, соотвѣтствующую нѣкоторому значенію і=і0, за
начало счета дугъ, мы выбираемъ также по произволу направленіе
возрастающихъ или положительныхъ дугъ; обыкновенно это напра-
вленіе выбирается такъ, чтобы дуга АМ возрастала, когда точка М
движется по кривой въ ту сторону, въ которую надо подвинуться,
чтобы параметръ і также возрасталъ. Подъ буквою 5 мы всегда под-
разумѣваемъ алгебраическую длину дуги АМ, т. е. я = +АМ,
когда направленіе отъ А къ М совпадаетъ съ положительнымъ
направленіемъ на кривой, и 5 = — А М въ противоположномъ случаѣ.
При такомъ условіи 5 будетъ функція отъ /, равная нулю при і = і0
(когда М совпадаетъ съ А), и принимающая какъ положительныя,
такъ и отрицательныя значенія. Формула с№ = сіррііу2 (1) остается
справедливою, какъ бы мы ни выбирали направленіе возрастающихъ
дугъ, но переходя отъ нея къ формулѣ

= 1/ 1—\2л- 1^\2
Лі V уі] + уі]'

и, въ частности (при і = х) къ формулѣ

Л 5

Лх

V1 +Уг,

мы должны взять положительное или отрицательное значеніе корня,
смотря по тому, возрастаетъ ли 5 или убываетъ при возрастаніи I
(или х). То же замѣчаніе относится и къ формулѣ

(л о

выведенной въ концѣ § 584, когда г =/(В) есть уравненіе кривой
въ полярныхъ координатахъ. ]

584.	Преобразовывая формулу (1) къ полярнымъ координа-
тамъ, получимъ (§ 558, сі)

(2)

Лз2 — Лг2 + г2Л№.

Къ этой формулѣ можно, впрочемъ, придти, какъ и къ (1), непо-

средственно изъ геометрическихъ соображеній. Отложимъ на радіусѣ-

векторѣ ОМ' длину ОМ"=ОМ—г-,
и пусть Р будетъ проекція точки М
на прямую ОМ'. Тогда будемъ имѣть
12= РМ"1 + МР. Въ этомъ равен-
ствѣ можно замѣнить I черезъ сіз,
МР=гыпд§ сперва черезъ г<5Ѳ, затѣмъ
черезъ гй?0, а РМ', черезъ М"М‘ = дг,
пренебрегая безконечно малою 2-го по-
рядка РМ"=г (1— созйВ), и оконча-
тельно черезъ сіг. Тогда и получимъ
соотношеніе (2), которое навѣрно бу-
детъ точнымъ, потому что заключаетъ
въ себѣ одни дифференціалы. Можно
также исходить изъ равенства

Р = г2 + (г + <5 г)2 - 2 г (г + 5 г) соз д Ѳ,

и можно а ргіогі быть увѣреннымъ, что
въ правой части сократятся, какъ конеч-

ные (т. е. не безконечно малые) члены, такъ и безконечно малые
перваго порядка, и что д?52 будетъ въ точности равно суммѣ без-
конечно малыхъ членовъ 2-го порядка, когда въ ней останутся одни
лишь дифференціалы. И дѣйствительно, предыдущее выраженіе све-
дется къ слѣдующему

/2= дг2-(- 4г (г 4- дг) зіп2 ~ 

Замѣняя здѣсь I черезъ Лз, дг черезъ Лг, зіп у черезъ ~ Л§ и
отбрасывая г Лг Л#*, вновь получаемъ формулу (2). Этою формулою
также пользуются для вычисленія у, замѣтивъ, что она даетъ для
производной отъ ‘5 по 9 выраженіе ]/г2+/2.

585.	Мы покажемъ теперь, что разность между безконечно
малою дугою и соотвѣтствующею хордою, вообще говоря,
будетъ безконечно малою третьяго порядка относительно
самой дуги*). Дѣйствительно, (§ 564) формула Тэйлора даетъ

(3)	5х = Лх 4- | Л-х + 4 Л'Ах 4-  • , ду = Лу 4- 4 Л2у 4- | Л^у 4- • • ,

какова бы ни была независимая перемѣнная. Если у взята за неза-
висимую перемѣнную (§ 558, е), то

(19^

Лх>- 4- <У2 = Л&, Л^ 4- </2у2 =4- ’
о

а двукратное дифференцированіе перваго изъ этихъ уравненій дастъ

ЛхЛ2х 4- ЛуЛ-у = 0, ЛхЛ’6х4- ЛуЛъу =---

Слѣдовательно,

/- = о.ѵ- 4- ('У“ = Лз- — ——г, 4-  

12 о2

12 д-

Лз*

24 (Р + '

Пренебрегая безконечно малыми высшаго порядка и замѣняя въ
частности въ равенствѣ

5 52 — Р =

дз -\~1 черезъ 2Лз, находимъ

да — I =

или въ точномъ видѣ

ММ'—хорда М М' _ 1
1т	= 24 р2 ‘

Для повѣрки этого результата въ частномъ случаѣ разсмотримъ на
окружности круга радіуса р дугу ММ'=с2(_>а. Длина хорды

*) Въ нѣкоторыхъ особенныхъ точкахъ, какъ увидимъ дальше, поря-
докъ можетъ повыситься или понизиться.
Л/Л/'= 2 р зіп а, и лѣвая часть предыдущаго равенства приводится къ

а — 8Іп а I
Ііт —-—у-, - =	

О 4 9-	24 (Г

Относительно разсматриваемаго здѣсь вопроса можно, слѣдовательно,
сказать, что въ окрестности съ точкою М кривая линія уподобляется
своему соприкасающемуся кругу (§ 348, е).

Касательная и нормаль.

586. На кривой линіи, изображаемой уравненіемъ У=у(Х)
въ прямоугольныхъ Декартовыхъ координатахъ, возьмемъ нѣкоторую
точку М, координаты которой обозначимъ черезъ х и у. Уравненіе
всякой прямой, проходящей черезъ М, будетъ У — у = т{Х — х),
и, какъ извѣстно (§ 293), для касательной т—у и, слѣдовательно,
т=-----у для нормали. Поэтому уравненіе касательной и нормали

будутъ соотвѣтственно

(4)	У—у = у' (X- х), У-у=-~(Х-х).

гдѣ у' или /' (х) есть значеніе (X) въ точкѣ М. Въ Диффе-
ренціальномъ Исчисленіи касательную разсматриваютъ съ болѣе
простой точки зрѣнія, а именно (§ 553), какъ прямую, соединяющую
точки (х, у) и (х + </х, у-рсіу). На основаніи этого замѣчанія
можно прямо написать уравненія касательной и нормали въ видѣ

(5)

(Х-х)<іх + (У- ѵ)^=',0,

отъ котораго тотчасъ можно перейти къ (4), написавъ у'йх вмѣ-
сто сіу и сокративъ на общій множитель <іх. Формулы (5) оказы-
ваются особенно удобными въ томъ случаѣ, когда кривая задана
уравненіемъ Х=д?(/), У=ф(/). Если далѣе кривая задана уравне-
ніемъ /(X, У) = 0, то для всякой ея точки имѣемъ

А х + Ау — О,
дх ду

и уравненія (5) принимаютъ видъ

(6)	(А’-х)Э/+(У-^)^=0,

ѵ ’	дх	ду	д/	ду

д х	ду

И къ этимъ уравненіямъ можно придти непосредственно. Дѣйстви-
тельно, направленіе, по которому функція /{X, У) стремится со-
хранить то значеніе, которое оно имѣетъ въ точкѣ (х, у), т. е.
значеніе, равное 0, есть направленіе касательной, а потому (§ 568)
косинусы угловъ, образуемыхъ нормалью съ осями координатъ,
пропорціональны частнымъ производнымъ функціи у, вычисленнымъ
для точки (х, у), при чемъ предполагается, что эти производныя
не равны нулю одновременно. Впрочемъ, первое изъ уравненій (6)
можно разсматривать, какъ уравненіе, къ которому приводится ура-
вненіе самой кривой, если мы отбросимъ безконечно малыя высшаго
порядка въ выраженіяхъ координатъ точекъ, смежныхъ съ (х, у), и
примемъ во вниманіе, что въ уравненіи

/(%, У) =/(х, у) + (Х — х) + (У-+ • • •
С/	(У у

7(х, у) равно нулю. Дѣйствительно, мы уже замѣтили раньше (§ 553),
что при упомянутомъ условіи, кривая, въ окрестности точки касанія,
замѣняется касательною прямою. Въ приложеніяхъ полезно запомнить
уравненіе касательной и нормали во всѣхъ трехъ формахъ (4), (5)
и (6), и примѣнять ту или другую, смотря по тому, которая будетъ
удобнѣе.

587.	Полезно также умѣть написать уравненіе касательной къ
алгебраической кривой въ однородномъ видѣ. Положимъ,
что дано уравненіе кривой /(А, У) — О въ цѣломъ раціональномъ
видѣ. Извѣстно, что для приведенія его къ однородному виду надо
оставить безъ измѣненія члены наивысшей степени п, и умножить
члены (?г1)-ой, (п— 2)-ой и т. д. степени соотвѣтственно на
X, Хг и т. д. Такимъ путемъ уравненіе приведется къ однородному
виду /{X, У, X) = 0, и стоитъ только положить X = 1, чтобы
снова получить первоначальное уравненіе. Для точки (х, у, г), ле-
жащей на кривой, имѣемъ /{х, у, з) = 0, и по теоремѣ Эйлера
(§ 372)

х Ѵх +-г +г К=п/{х’у’г)=°-

Припомнимъ теперь, что въ неоднородныхъ Декартовыхъ коорди-
натахъ уравненіе касательной было

гдѣ и обозначаютъ результатъ подстановки г = 1 въ

д /'	<) /'	Г	4.

и  Поэтому будемъ имѣть

и послѣднее уравненіе обращается въ
или, дѣлая его однороднымъ, въ

ду+ дг

588.	Уравненіями касательной и нормали пользуются тогда,
когда эти прямыя встрѣчаются въ вопросахъ Аналитической Геоме-
тріи. Если же требуется только построить касательную и нормаль
въ данной точкѣ М (х, у) на кривой, то достаточно указать еще
только одну точку, которую надо соединить съ 7И, чтобы получить
касательную или нормаль. Съ этой цѣлью часто вычисляютъ длины
нѣкоторыхъ отрѣзковъ, называемыхъ подкасательною и под-
нормалью. Если Р есть проекція точки М на ось я-овъ, а Г и У
точки пересѣченія касательной и нормали съ тою же осью, то
отрѣзокъ ТР называютъ подкасательною, РУ поднормалью. Изъ
чертежа (который читатель легко сдѣлаетъ самъ) тотчасъ находимъ

ТР—у СОІ ЧГ = ^7 ’ РХ = ,Ѵ	= уу'.

[Примѣчаніе. Для опредѣленія положенія на оси дг-овъ то-
чекъ У и Т, которыя надо соединить съ точкою М на кривой,
чтобы построить нормаль и касательную, недостаточно знать абсо-
лютныя значенія отрѣзковъ Р У и Р Т’, необходимо еще знать
направленіе, въ которомъ надо отложить длины этихъ отрѣзковъ
отъ точки Р, для полученія точекъ ;Ѵ и Г. Условимся считать
РУ ѵіІРТ положительными или отрицательными, смотря по тому,
будутъ ли направленія отъ Р къ У и отъ Р къ Т совпадать съ
положительнымъ или съ отрицательнымъ направленіемъ оси л’-овъ.
Тогда, какъ извѣстно изъ Аналитической Геометріи, всегда будемъ
имѣть РУ =	— х, РТ = & - х, гдѣ и будутъ абсциссы

точекъ А’и Д т. е. значенія X, получаемыя изъ уравненія нормали
и изъ уравненія касательной при У=0. Уравненіе нормали

даетъ при У=0,	— х = уу', а уравненіе касательной

Х-у =у' (А" - х)

при томъ же предположеніи — х = —	 Слѣдовательно, будемъ

имѣть по величинѣ и по знаку РУ — уу', РТ= Отсюда
видимъ, что, если въ точкѣ М у и у одинаковыхъ знаковъ, то
точка У лежитъ съ положительной, а точка Т съ отрицательной
стороны отъ Р; противоположное расположеніе получимъ, когда
у и у— разныхъ знаковъ. ]
При употребленіи полярныхъ координатъ, для построенія ка-
сательной, полезно знать уголъ со, образуемый касательною съ
радіусомъ векторомъ точки касанія. Въ треугольникѣ МР М',
который мы разсматривали въ § 584, имѣемъ

іе со = Ііт іи О М'М = Ііт	= Ііт .....,, = Ііт	

&	&	РМ' М'М' дг г'

Если изъ полюса О проведемъ перпендикуляръ къ радіусу вектору
и замѣтимъ точки Т и М, въ которыхъ онъ пересѣкаетъ касательную
и нормаль, то отрѣзокъ ОТ называется полярною подкасатель-
ною, а отрѣзокъ полярною поднормалью. Длины ихъ,
очевидно, выражаются формулами

О Т = г іе ’ О А = г соі ы = г'.
г

Подъ длиною нормали подразумѣваютъ абсолютную длину отрѣзка
нормали между точкою М на кривой и точкою пересѣченія нормали
съ осью абсциссъ, въ случаѣ Декартовыхъ координатъ, и съ перпен-
дикуляромъ изъ полюса къ радіусу вектору, въ случаѣ полярныхъ
координатъ. Очевидно, длина нормали равна соотвѣтственно

V р_у'2 ИЛИ 1' г- -I- г'2.

[ Примѣчаніе. Въ формулѣ со = у, подъ со подразумѣваемъ
острый или тупой уголъ, смотря по тому, будутъ ли г и г' одина-
ковыхъ или разныхъ знаковъ. Нетрудно убѣдиться, что формулы
^2

ОТ п ОЫ = г будутъ всегда справедливы, если будемъ счи-
тать О Г положительнымъ, когда направленіе отъ О къ Т соотвѣт-
ствуетъ углу Ѳ — у > а положительнымъ, когда направленіе
отъ О къ .V соотвѣтствуетъ углу Ѳ + у , и, конечно, отрицатель-
ными въ противномъ случаѣ. Для дальнѣйшаго важно замѣтить еще
слѣдующее: при изслѣдованіи кривыхъ, заданныхъ уравненіями въ
полярныхъ координатахъ, мы будемъ считать, что какъ уголъ 0,
такъ и радіусъ векторъ г могутъ принимать всевозможныя значенія
отъ — оо до 4-оо. При этомъ, если какому-нибудь значенію 0 = 0!
соотвѣтствуетъ положительное значеніе р = р,, то для построенія
точки (р4, (),) мы отложимъ длину р, отъ точки О въ томъ напра-
вленіи, которое опредѣляется угломъ 6,, а если при Ѳ=Ѳ1( значеніе
р = Рі будетъ отрицательно, то мы отложимъ длину ( — рг) по
направленію противоположному. Это соглашеніе даетъ возможность
весьма часто однимъ и тѣмъ же уравненіемъ изобразить различныя
вѣтви кривой, которыя иначе потребовали бы различныхъ уравненій
для своего изображенія. Для большихъ подробностей мы можемъ
рекомендовать читателю Вгіоі еі Воициеі „Ье^опз де Сіёотёігіе
апаіуіідие" 16-е изданіе (1897 г.), стр. 452, гдѣ приведены
многіе примѣры построенія кривыхъ, заданныхъ въ полярныхъ ко-
ординатахъ. ]

589.	Упражненія, а) Для параболы второго порядка построеніе
нормали особенно просто (см. § 294, а). А именно, если примемъ ось пара-
болы за ось абсциссъ, то най-

равныя производныя, отличаются одна отъ

Рис. 31.

демъ, что поднормаль — вели-
чина постоянная. Эго свойство,
кромѣ того, характерно для
этой кривой, потому что изъ
уравненія у у' = а слѣдуетъ
іу2 - ах-'- сопзѣ, а помѣстивъ
начало координатъ на кривой,
получимъ у2 = 2 а х.

Ь) Для какой кривой под-
касательная — величина посто-
янная ?

у

По условію -р = а, т. е про-
изводная 1<уу должна быть

„ 1 гт

равна постоянной — Припоми-

ная, что двѣ функціи, имѣющія
другой лишь постояннымъ слагае-

мымъ, находимъ

ІОёУ = ~ + сопзі.

Постоянную можно взять рав-
ною 1о§ а. выбравъ подлежа-
щимъ образомъ начало коорди-
натъ на оси л-овъ, и получаемъ
логариѳмическую кривую

у = ае"‘.

с) Одна изъ весьма интересныхъ кривыхъ

(уже разсмотрѣнная въ

§ 527, 1) изображается уравненіемъ у = а сЬ — или (§ 408)

Она называется цѣпною линіею, потому что гибкая, нерастяжимая нить,
тяжелая и однородная, какъ доказывается въ Механикѣ, принимаетъ форму
этой линіи, будучи привѣшена за оба конца. Кромѣ того, та же линія, по-
вернутая вершиною О къ верху, даетъ профиль свода безъ тренія.
Мы имѣемъ здѣсь

У= 511 ~

гдѣ ф — гиперболическая амплитуда (§ 409) отъ • Отсюда слѣдуетъ

, А'

сп — = зес <р и у соз <р = а,

т. е. проекція ординаты
на нормаль есть вели
чина постоянная. Кромѣ
того, изъ

<7.ѵ СО8 ср <і

имѣетъ (ія = асіу', откуда
= а іц (р, если дуга отсчи-
тывается отъ вершины А.
Слѣдовател ьно, дл я спря-
мленія дуги А М, надо
проектировать ординату
точки М на касательную
въ этой точкѣ.

с1) Въ Механикѣ также доказывается, что существуетъ такое распре-
дѣленіе плотности нити, при которомъ она въ каждой точкѣ представляетъ
одинаковое сопротивленіе разрыву. Но тогда нить принимаетъ иную форму,
форму кривой, носящей названіе, соотвѣтственно вышеуказанному свойству,
цѣпной линіи равнаго сопротивленія. Она изображается уравненіемъ
у = — а Іо«' соз  Она состоитъ изъ безчисленнаго множества вѣтвей,
одна изъ нихъ лежитъ между асимптотами1) х = ± а и касается оси
абсциссъ въ началѣ координатъ; другія получатся, если будемъ передвигать
эту первую вѣтвь параллельно оси абсциссъ въ обѣ стороны на величину
Іла сколько угодно разъ. Центральная вѣтвь, обращенная вершиною къ
верху даетъ профиль свода безъ перегрузки.

е) Весьма замѣчательна логариѳмическая спиралъ, т. е. кривая, пере-
сѣкающая подъ однимъ и тѣмъ же угломъ пучокъ прямыхъ, выходящихъ
изъ одной точки* *). Если уголъ с) величина постоянная, и положимъ т=соі§ а>,
к	г'

то изъ уравненія і§ <л = , получимъ — = т, откуда 1о§ г = т Ѳ + 1о§ а
и, наконецъ, г=ае'"\ гдѣ я также постоянная величина. Это и есть (знакомое
уже на основаніи сказаннаго въ § 412) уравненіе логариѳмической спирали.

]) Объ асимптотахъ, о которыхъ читатель уже знаетъ изъ Аналити-
ческой Геометріи, подробнѣе будетъ сказано въ § 596.

. .	Т''	Л'

*) Если этотъ уголъ равенъ » логариѳмическая спираль, очевидно,
обращается въ окружность круга.
Полярная поднормаль г'=тг: полярная подкасательная	> слѣдова-

тельно, и та и другая пропорціональны радіусу вектору. Далѣе, имѣемъ

<Л

= уѴ2 4- г'2 =

Г	Г	'	Л Г 'Т'

------г', 5 =-----------= М Т.

т	соз о>

Слѣдовательно, когда точка М описываетъ кривую, то длина дуги спирали,
отсчитываемая отъ полюса, въ каждый моментъ равна длинѣ отрѣзка МТ.
Изъ этого свойства непосредственно вытекаетъ другое, благодаря которому
логариѳмическою спиралью и пользуются на прак-
тикѣ, а именно: когда спираль катится безъ
скольженія по нѣкоторой прямой, то полюсъ
ея описываетъ также прямую. Наконецъ, эта

Рис. 33.

кривая даетъ случай замѣтить, что при нѣкоторыхъ,
условіяхъ отношеніе безконечно малой дуги къ ея
хордѣ (см. § 582) можетъ и не стремиться къ 1.
Дѣйствительно, когда точка М. двигаясь по спирали,
стремится къ совпаденію съ полюсомъ О, то отно-
шеніе хорды ОМ къ дугѣ ОМ остается постоянно
равнымъ соз а>. Надо, однако, замѣтить, что въ
точкѣ О не существуетъ касательной *).

і) Чтобы получить кривую, имѣющую посто-
янную полярную поднормаль, надо положить
г'= а. Отсюда, прилично выбирая положеніе по-
лярной оси, будемъ имѣть г = а 9. Кривая, изобра-
жаемая этимъ уравненіемъ, называется Архимедовой

спиралью.

стаетъ отъ

тельно, кривая касается

полярной

При возрастаніи 9 отъ 0 до со, « возра-
0 до у > такъ какъ и = Ѳ. Слѣдова-
оси въ полюсѣ, а затѣмъ пересѣкаетъ

различные радіусы векторы подъ углами, все болѣе и болѣе приближающи-
мися къ прямому, т. е. стремится сдѣлаться нормальною къ радіусу вектору.

Концы 7Ѵ полярныхъ поднормалей, очевидно,

лежатъ на окружности круга радіуса а съ
центромъ въ полюсѣ. Изъ каждой точки
окружности этого круга можно провести без-
численное множество нормалей къ кривой,
точки встрѣчи которыхъ съ кривою лежатъ
на прямой, проходящей черезъ полюсъ. Это
свойство, однако, далеко не характеризуетъ
Архимедову спираль. Тѣмъ же свойствомъ
обладаютъ, напримѣръ, кривыя, изображаемыя
уравненіемъ

9 = — + к Іо? — ’
/-Г	1	° п

къ которымъ, при к = 0, принадлежитъ и
Архимедова спираль. Другое свойство можетъ
быть прямо выведено изъ уравненія г = я 9.
Построимъ кругъ, концентрическій съ кру-

*) Собственно говоря, полюсъ О не принадлежитъ кривой, потому
что г никогда не равенъ нулю, а приближается къ нулю безпредѣльно, когда
9 стремится къ — со (при /«>0). Слѣдовательно, полюсъ есть асимптоти-
ческая точка, къ которой кривая безпредѣльно приближается, дѣлая около
нея безконечное число оборотовъ.
гомъ радіуса а, при чемъ радіусъ второго круга можно выбрать по произ-
волу, лишь бы онъ былъ больше а (фиг. 35). Продолживъ радіусы векторы
ОМ и ОМ' до встрѣчи съ окружностью этого круга въ точкахъ О и О',

проведемъ изъ этихъ точекъ касатель-
ныя ОР и О'Р' къ первому кругу.
Треугольники ОРО и ОР'О', оче-
видно, между собою равны, а потому,
уголъ РОР' равенъ углу ОО0’= 66.
Поэтому длина дуги РР' = аіО = 6 г.
Принявъ неподвижную точку А на
окружности внутренняго круга за на-
чало дугъ, будетъ имѣть

^РР' = о АР'-^АР,

дг = ОМ'- ОМ =0М- О'М',

а отсюда, складывая съ равенствомъ
РО = Р'О', получимъ

АР + РО + ОМ = о АР' + Р'О' + О'М',

т. е. сумма ^АР-\- РО + ОМ остается постоянной при движеніи М по
спирали. Поэтому эту точку М можно связять съ неподвижною точкою А
гибкою нерастяжимою нитью, которая, оставаясь всегда натянутою, должна
навертываться на окружность внутренняго круга и проходить черезъ точку О,
двигающуюся по окружности внѣшняго круга. На этомъ основано устрой-
ство простого прибора, служащаго для черченія Архимедовой спирали х).
На томъ же свойствѣ (6г = я 6 0) основано приложеніе Архимедовой спирали,
какъ профиля эксцентрика, предназначеннаго для производства равномѣрнаго
движенія.

| Примѣчаніе. Упомянутое выше свойство Архимедовой спирали,
вытекающее прямо изъ постоянства полярной поднормали, можно формули-
ровать слѣдующимъ образомъ: нормали во всѣхъ точкахъ спирали, лежащихъ
на одномъ и томъ же радіусѣ векторѣ, пересѣкаются въ одной и той же
точкѣ на окружности круга радіуса а, съ центромъ въ полюсѣ О. Анало-
гичное свойство кривой

(!)	0 = Г +

состоитъ въ томъ, что нормали во всѣхъ точкахъ кривой, лежащихъ на
одномъ и томъ же радіусѣ векторѣ, пересѣкаются въ одной и той же точкѣ
на окружности круга радіуса	съ центромъ въ полюсѣ О. Доказать

это свойство можно слѣдующимъ образомъ. Замѣтимъ сперва, что всѣ точки,
лежащія на одномъ и томъ же радіусѣ векторѣ соотвѣтствуютъ значеніямъ Ѳ,
отличающимся одно отъ другого на 2 Іл, гдѣ I цѣлое число. Вопросъ, оче-
видно, сведется къ тому, чтобы показать, что нормали въ точкахъ (/у, Ѳ,) и
(г2, 02), гдѣ 02 = Ѳ14-2/л;, пересѣкутся въ точкѣ (А’, У), гдѣ А' и У не
зависятъ отъ I и удовлетворяютъ уравненію Х2-\-У2 = <т2(1-|-^2). Обозначая
черезъ х и у Декартовы координаты любой точки (г, 6) по кривой (1), и

полагая ~	получимъ х = аі соз (/ + к 1о§ і), у = аі зіп {і + к 1о§ /). Обо-

значая черезъ \ и А значенія параметра і, соотвѣтствующія значеніямъ 0] и Ѳ2
угла Ѳ, и составляя уравненія нормалей въ этихъ точкахъ по формулѣ

(X — х) Лх + (У — у) Лу = О,

*) См. Клиффордъ „Здравый смыслъ въ точныхъ наукахъ”, перев.
Кулишера (Москва 1910), стр. 196.
найдемъ для нормали въ точкѣ (/х) уравненіе

(2)	МгѴ+ Х\Х = аі1}

гдѣ

к) СОЗ ѳх + ЗІП 0! ,

Л\ = соз Ѳх — (4 4- к) зіп Ѳ] ,
а для нормали въ точкѣ (/2) уравненіе

(3)	Х/2У+Х2Х = а/2,

гдѣ

М2 = (/2 4- соз Ѳ3 4- зіп Ѳ1,

-Ѵ2 = СО8 Ѳ) — (/2 4- к) ЗІП 0!,
такъ какъ

соз Ѳ2 = соз Ѳр зіп Ѳ2 = зіп 6Х;
замѣчаемъ, что

Мг зіп Ѳ3 4- -Ѵх соз Ѳ! = 1, М2 зіп 05 + .Ѵ2 соз 0] — 1,
и

М1Х2-М2Х1 = 24-/3.

Въ силу этихъ равенствъ, для ординатъ точки (X, У) пересѣченія нормалей
(2) и (3) получимъ выраженія

X — а (зіп Ѳ3 — к соз Ѳ1), У = а (соз Ѳ3 — к зіп 91)
и

Л’2 4- У2 = а2 (1 4- к-~),
что и требовалось показать ].

д) Разсмотримъ теперь кривую, характеризуемую свойствомъ имѣть
постоянную полярную подкасательную. Она называется гиперболиче-
скою спиралью и изображается уравненіемъ г0=в. Съ приближеніемъ
9 къ 0, г возрастаетъ безпредѣльно; слѣ-
_____________________—7_____________________ довательно, кривая имѣетъ безконечную
_----------------------------вѣтвь, постоянно приближающуюся къ

/\і	прямой, отстоящей отъ полярной оси въ

/	” /г' X	разстояніи а, потому что

---тМл	_______________________ 1ІШ Г ЗІП 0 = в.

"Г	ѳ=°

\	\	/	Наоборотъ, при безпредѣльномъ возра-

\	\ і /	станіи 0, г стремится къ нулю, постоянно

\;	убывая, т. е. кривая оборачивается во-

—	кругъ полюса безконечно большое число

разъ, никогда его не достигая. Точки Т,
Рис. 36	концы полярныхъ подкасательныхъ, оче-

видно, лежатъ на окружности круга ра-
діуса а съ центромъ въ полюсѣ. Изъ каждой точки этой окружности можно
провести безчисленное множество касательныхъ къ кривой, точки касанія
которыхъ лежатъ на прямой, проходящей черезъ полюсъ. Полная неопредѣ-
ленность касательной въ полюсѣ (условно причисляемой къ точкамъ на
кривой), становится такимъ образомъ, очевидною.

Ь) Послѣднее свойство гиперболической спирали принадлежитъ и дру-
гимъ кривымъ, и между прочимъ, такъ называемой, кохлеоидѣ (КосЫеоійе),
,	„	•	зіп 0 п. „

изображаемой уравненіемъ г = а • Дѣйствительно,

, г'	„	1	зіп (а - 0) зіп 9 г

соіц ® = — = соіц Ѳ —	> т. е. -;~ =---------------

& г ь 0	зіп а Ѳ а
Съ другой стороны (рис. 37), если проведемъ прямую 03, симметричную
съ полярною осью ОА относительно радіуса вектора ОМ, и отмѣтимъ
точку 5 пересѣченія этой прямой съ каса-
тельною въ точкѣ М, то въ треугольникѣ
ОМЗ будемъ имѣть

„ „ Г ЗІП Ы ,
03 = —------------- ? = а,

ЗІП (О) — 0)'

т. е. 5 лежитъ на окружности круга раді-
уса а съ центромъ въ полюсѣ. Слѣдовательно,
касательныя въ безчисленномъ множествѣ то-
чекъ, лежащихъ на одномъ и томъ же радіусѣ
векторѣ, встрѣчаются въ одной точкѣ 3
упомянутаго круга, подобно тому, какъ это
имѣетъ мѣсто въ гиперболической спирали.
Но въ кохлеоидѣ точка 3 симметрична съ
вершиною А (Ѳ = 0) относительно радіуса
вектора, а въ гиперболической спирали

точка 3 лежитъ на перпендикулярѣ къ радіусу вектору, проведенномъ
черезъ полюсъ.

[ Примѣчаніе. Изслѣдованіе уравненія г = а —— показываетъ, что
кохлеоида проходитъ черезъ точку А на полярной оси въ разстояніи а отъ
полюса, затѣмъ проходитъ безчисленное множество разъ черезъ полюсъ,
касаясь въ немъ полярной оси, и въ то же время постоянно и безпредѣльно
къ нему приближается. Кромѣ того, она симметрична относительно поляр-
ной оси.]

(Л 6

і) Кривая, изображаемая уравненіемъ г = —> называется квадра-

трисою (Динострата) (рис. 38). Она состоитъ изъ безчисленнаго множества

вѣтвей, изъ которыхъ одна, лежащая между
асимптотами х = + па, имѣетъ нѣкоторое
сходство съ одною изъ вѣтвей цѣпной линіи
равнаго сопротивленія. Эта кривая замѣча-
тельна по тому употребленію, которое изъ
нея дѣлали древніе въ вопросѣ о квадра-
турѣ круга1). Построеніе нормали въ
данной точкѣ основано на томъ замѣчаніи,
что проекція полярной нормали на
полярную ось есть величина постоян-
ная Дѣйствительно, изъ уравненія г зіп Ѳ=я О
получается путемъ дифференцированія

г соз Ѳ -|- г' зіп Ѳ = а.

Изъ уравненія въ Декартовыхъ координа-
тахъ ^у = хсоі§—увидимъ, пользуясь раз-
ложеніемъ въ рядъ: хсоіц — = а — ~—]-•••.

й	ОЙ

что въ окрестности вершины кривая эта уподобляется параболѣ х- — 3 ау.

!) См. „Лекціи по избраннымъ вопросамъ элементарной геометріи".
Казань 1898.
І) Если увеличимъ или уменьшимъ каждый радіусъ векторъ нѣкоторой
кривой на постоянную длину, то получимъ новую кривую, которая назы-
вается конхоидою данной кривой. Такъ какъ г' не мѣняется отъ увели-
ченія или уменьшенія г на постоянную, то тотчасъ видимъ, что нормали
всѣхъ конхоидъ данной кривой въ точкахъ, лежащихъ на одномъ
и томъ же радіусѣ векторѣ, пересѣкаются въ одной точкѣ, лежа-
щей на перпендикулярѣ къ радіусу вектору, проведенномъ че-
резъ полюсъ. Это свойство даетъ средство для построенія нормали къ
данной кривой, если извѣстно построеніе нормали къ одной изъ ея конхоидъ.

Интересно замѣтить, что всѣ конхоиды Архимедовой спирали относительно
полюса будутъ равныя между собою спирали, изображающія безчисленное
множество положеній, которыя можетъ принять данная спираль при вращеніи
ея около полюса Замѣчательна кривая — называемая просто конхоидою,
т. е. конхоидою прямой линіи. Она имѣетъ различный видъ въ зависимости
отъ того, будетъ ли постоянная длина, откладываемая по радіусамъ векто-
рамъ больше или меньше разстоянія отъ полюса до прямой. Эта кривая
была изобрѣтена древними для рѣшенія задачи о трисекціи угла х).

к)	Еще важнѣе конхоида окружности круга относительно точки, ле-
жащей на самой окружности: г = а соз Ѳ Ь (рис. 40) (я — діаметръ круга).
Она называется улиткою (ЗсЬпеске) и принимаетъ три различныя формы,
въ зависимости отъ того, будетъ ли длина Ь (считаемая всегда положитель-
ною) меньше а, или больше а, но меньше 2 а, или, наконецъ, больше 2 а.
При Ь = а получается частный случай улитки, такъ называемая кардіоида,
составляющая какъ бы границу, отдѣляющую типъ улитокъ, на которыхъ ле-
житъ полюсъ и которыя образуютъ внутреннюю петлю (6<я), и другой типъ
{Ь > я), въ которомъ полюсъ не лежитъ на кривой. Впрочемъ, чтобы узнать
лежитъ ли полюсъ на кривой и опредѣлить прямую, которой она въ этомъ
случаѣ касается въ полюсѣ, нужно только положить г = 0. Тогда находимъ
Л	,

соз Ѳ = — - ’ уравненіе, дающее для Ѳ вещественное значеніе при Ь _ а.
Чтобы узнать, пересѣкаетъ ли кривая полярную ось въ другихъ точкахъ,
надо положить 6 = т-і, и отложить отъ полюса длины

г = ( — 1)ия -|- Ь

!) См. Клейнъ „Лекціи и т. д.“. Большое число кривыхъ описаны и
проанализированы въ сочиненіи О. Ьогіа г8рехіе11е а1§еЬгаізсііе нпсі ігапк-
сепсіепіе Кпгѵеп“ (Ьеірхі§, ТеиЬпег).
въ положительномъ или отрицательномъ направленіи по полярной оси,
смотря по тому, будетъ ли « четное или нечетное. Такимъ образомъ полу-
чаются двѣ точки, въ разстояніяхъ а + Ь и Ь — а отъ полюса, и дѣлается
очевиднымъ, что при Ь > а кривая окружаетъ полюсъ со всѣхъ сторонъ.
Ниже мы увидимъ, что лишь при Ь > 2я кривая вездѣ вогнута въ сторону

9-

Рис. 40.

даннаго круга. Для построенія нормали въ данной точкѣ М доста-
точно соединить точку Л/ с ъ точкой на окружности даннаго круга,
діаметрально противоположною точкѣ пересѣченія окружности
съ радіусомъ векторомъ точки М.

1)	Если одновременно съ кривою линіею г = .ДѲ) будемъ разсматри-
вать другую кривую, опредѣляемую уравненіемъ

у/'О)
а + /(9)’

то достаточно замѣтить, что

чтобы убѣдиться, что касательныя

къ обѣимъ кривымъ, въ точкахъ, соотвѣтствующихъ одному и
тому же значенію 6, пересѣкаются на перпендикулярѣ, проведен-
номъ изъ полюса къ радіусу вектору. Между кривыми, соотвѣтствую-

р

щими прямой линіи г = --—-
г	к соз Ѳ

находится, между прочимъ, коническое

р	?	?

сѣченіе г =	’ и мы получаемъ такимъ образомъ способъ постро-

енія касательной къ коническому сѣченію, равносильный въ сущности слѣ-
дующему извѣстному свойству: если двѣ прямыя пересѣкаются подъ
прямымъ угломъ въ одномъ изъ фокусовъ коническаго сѣченія,
то каждая изъ нихъ пересѣкаетъ директрису, соотвѣтствующую

этому фокусу, въ полюсѣ другой прямой.

4)

[ Примѣчаніе. Уравненіе г = -------

п С 05 ѵ

очевидно, изображаетъ дирек-

Р

трису коническаго сѣченія г =	’ т- е- поляру фокуса Г. Прове-

демъ радіусъ векторъ ЕМ данной точки на коническомъ сѣченіи и продол-
жимъ его до встрѣчи съ директрисою въ точкѣ К-, затѣмъ проведемъ ра-
діусъ векторъ Гѣ л. ГМ и продолжимъ его до встрѣчи съ директрисою
въ точкѣ 7. Соединивъ М съ Т, получимъ касательную МТ въ точкѣ М,
потому что ГТ будетъ общая полярная подкасательная для прямой КЬ въ
точкѣ К и коническаго сѣченія въ точкѣ М. Вмѣстѣ съ тѣмъ, очевидно,
Т будетъ полюсъ прямой ГМ, а К полюсъ прямой ГС.

т)	Синусъ-спиралями (Зіпиззрігаіеп) 1) называютъ кривыя, изобра-
жаемыя уравненіемъ г™ = ат зіп т Ѳ. Такъ какъ

г'"~1 г' = ат соз т Ѳ, іц а =	т Ѳ,

то ы, какъ видимъ, измѣняется пропорціонально 8. Поэтому имѣемъ такую
теорему: когда радіусъ векторъ равномѣрно вращается около по-
люса, тогда и касательная равномѣрно вращается около точки
касанія. На этомъ основаніи синусъ
ѵ	/	спирали называются также кривыми

Х^	у	пропорціональнаго изгиба. Къ

_ __\	числу ихъ принадлежатъ нѣкоторыя

у^	/г X. извѣстныя кривыя, какъ напримѣръ,

/	і парабола (съ фокусомъ въ полюсѣ)

I	. у~у.	I при т—-- |, равносторонняя ги-

\	У Х>. у пербола (съ центромъ въ полюсѣ)

X,_____'у т 3	при т — — 2. При »г = 1 получаемъ

у ' X.	опять кардіоиду, при т = 2 другую

у	X.	замѣчательную кривую лемнискату

'	(рис. 41). Она проходитъ, какъ и

всякая синусъ-спираль, при т > 0,
* ис- 41.	черезъ полюсъ и вся помѣщается въ

конечной части плоскости. Наоборотъ,
синусъ-спирали, соотвѣтствующія отрицательнымъ т, имѣютъ безконечныя
вѣтви и не проходятъ черезъ полюсъ.

590. Основная теорема дифференціальнаго исчисленія (§ 549)
и въ геометрической формѣ имѣетъ полезныя приложенія. Положимъ,
напримѣръ, что дѣло идетъ о построеніи касательной къ кривой
линіи въ нѣкоторой точкѣ М. Въ такомъ случаѣ можно замѣнить
точку М', безконечно близкую къ М, точкою М", безконечно
близкою къ М', если только разстояніе М’М" будетъ безконечно
мало относительно ММ', т. е., если 1іт^М^- = 0. Дѣйствительно,
ММ'

если существуетъ касательная въ точкѣ М, съ которой стремится
совпасть прямая ММ', то и прямая ММ" стремится къ тому же
предѣльному положенію, потому что въ треугольникѣ М'ММ",
каковъ бы ни былъ уголъ при М", всегда имѣемъ

Іігп зіп М' ММ"-- Ііт -ч-у-тту- зіп ММ"М' = 0 .
ММ'

Приведемъ теперь же нѣсколько примѣровъ на приложеніе этого
пріема 2).

1) О свойствахъ этихъ и аналогичныхъ имъ кривыхъ см. О. Ьогіа
(1. с.) или Е Сезаго „Ѵогіезип^еп ііЬег паііігІісЬг Сіеотеітіе*. стр. 54.

2) Читатель найдетъ многочисленныя приложенія этого принципа въ
старомъ, но до сихъ поръ интересномъ сочиненіи ОиЬагпеІ „Еіёгпепіз би
Саісиі іпйпИёзітаГ (ѣ I. Ііѵге 1.) (имѣется и въ русскомъ переводѣ), а также
въ „Дифференціальномъ исчисленіи" Ж. Бертрана (русскій переводъ
Пирожкова, СПБ. 1910, глава 1).
а)	Когда кругъ катится безъ скольженія по прямой, то каждая точка
его окружности описываетъ кривую, называемую циклоидою. Пусть Л' и Лт'
будутъ тѣ точки, въ которыхъ кругъ, разсматриваемый въ двухъ различныхъ
положеніяхъ, касается прямой, а М и М' соотвѣтствующія положенія точки,
описывающей циклоиду. Чтобы осуществить переходъ изъ М въ М', оче-
видно, можно себѣ представить, что кругъ сперва вращается около своего
центра такимъ образомъ, что точка М переходитъ въ Ь, при чемъ она
отдалится отъ точки Л’ (на прямой) на длину дуги МГ, равную отрѣзку ЛГЛГ'.
Затѣмъ, кругъ передвигается параллельно прямой и этимъ переносится въ
новое положеніе, при чемъ точка М, уже находящаяся въ А, перейдетъ
въ М', описавъ отрѣзокъ ЕМ' = Л'№. На этомъ отрѣзкѣ и можно замѣнить
точку М' точкою М", для которой ЬМ" = ЬМ, потому что при этомъ мы
пренебрегаемъ разностью

ЬМ'~ЬМ'' — ^іи хорда !.М.

т. е. безконечно малою 3-го порядка. Теперь, слѣдовательно, можно разсма-
тривать нормаль къ циклоидѣ въ точкѣ М, какъ предѣльное положеніе
перпендикуляра, опущеннаго изъ точки Ь на прямую ММ". Если проведемъ
прямыя, параллельныя неподвижной прямой, черезъ точки Ь и М, и замѣ-
тимъ точки Р и О ихъ пересѣченія съ окружностью круга, то увидимъ, что
перпендикуляръ изъ Ь на ММ' раздѣлитъ дугу М.\1‘ пополамъ, потому
что треугольникъ ЬММ" равнобедренный. Слѣдовательно, нормаль въ
точкѣ М— предѣльное положеніе этого перпендикуляра —раздѣлитъ дугу МХС)
пополамъ, т. е. пройдетъ черезъ точку А7. Впослѣдствіи этотъ резуль-
татъ мы провѣримъ вычисленіемъ (§ 595, и).

Ь)	Разсмотримъ еще кривую линію, которую описываетъ вершина М
угла постоянной величины (рис. 42), стороны котораго двигаются, оставаясь
всегда касательными къ двумъ даннымъ кривымъ. Пусть Р и О будутъ
точки касанія сторонъ даннаго угла въ данномъ положеніи, Р’ и — ана-
логичныя точки для другого положенія, когда вершина угла находится въ
точкѣ М', безконечно близкой къ М. Проведемъ черезъ Р « О прямыя,
параллельныя сторонамъ угла въ новомъ его положеніи, и пусть М" будетъ
точка пересѣченія этихъ прямыхъ. Замѣтимъ теперь, что разстоянія точки М"
отъ сторонъ угла въ новомъ его положеніи будутъ безконечно малыя не
ниже 2-го порядка, потому что они соотвѣтственно равны разстояніямъ
точекъ на кривой, безконечно близкихъ къ точкѣ касанія, отъ касательной
въ этой точкѣ *). Отсюда легко заключить, что разстояніе М'М" будетъ 5 *

5) А именно, точки Р отъ касательной въ Р', и точки О отъ каса-

тельной въ О'.
также безконечно малая высшаго порядка относительно ММ'. Поэтому

искомая касательная будетъ предѣльное положеніе для прямой ММ". Но
углы при М и М" равны между собою (по условію), слѣдовательно. М"
лежитъ на окружности круга, проходящаго черезъ три точки М, Р и О. и
предѣльное положеніе прямой ММ" есть

касательная въ точкѣ М къ окружности
этого круга Поэтому, для построенія
нормали къ общему мѣсту точки М
надо соединить эту точку съ точ-
кою пересѣченія нормалей въ дан-
ныхъ кривыхъ въ точкахъ Р и О.

с)	Подэрою (Рэбаіге, Еиззрипкі-
кигѵе) данной кривой относительно точки О
называютъ общее мѣсто основаній пер-
пендикуляровъ, опущенныхъ изъ точки О
на касательныя къ данной кривой. Если М
есть точка на данной кривой, а Р про-
екція точки О на касательную въ М, то
нормаль къ подэрѣ въ точкѣ Р получимъ,
соединивъ Р съ серединою ОМ.
Это построеніе тотчасъ выводится изъ
предыдущаго, если замѣтимъ, что разсма-
триваемый случай есть частный случай
предыдущаго, а именно, соотвѣтствующій
предположенію, что данный уголъ здѣсь

прямой, и одна изъ данныхъ кривыхъ
обращается въ точку О.

[ Примѣчаніе. Дѣйствительно, если вторая кривая обращается въ
точку О, то касательная къ этой кривой въ точкѣ О, проведенная изъ
точки Р, будетъ прямая ОР, нормаль—перпендикуляръ къ ОР въ точкѣ О,
а нормаль къ данной кривой въ точкѣ М-~ прямая, параллельная ОР. Точка
пересѣченія К нормалей будетъ, слѣдовательно, вершина прямоугольника,
построеннаго на МР и ОР, а потому діагональ его РК— нормаль къ подэрѣ
въ точкѣ Р —пройдетъ черезъ середину діагонали ОМ. Въ цитированномъ
уже ..Дифференціальномъ Исчисленіи" Бертрана читатель найдетъ простое
доказательство указаннаго построенія, независимое отъ построенія въ общемъ
вопросѣ, разсмотрѣнномъ въ пунктѣ Ь). Наконецъ, полезнымъ упражненіемъ
будетъ аналитическое доказательство того же построенія, основанное на
общихъ выраженіяхъ координатъ точки Р (X, У) черезъ координаты
точки М(х, у) на данной кривой, и на разсмотрѣніи уравненія нормали къ
общему мѣсту точекъ Р. ]

Такимъ путемъ можно, напримѣръ, найти извѣстное уже (§ 589. к)
построеніе нормали къ улиткѣ. А именно, легко убѣдиться, что кривая линія
г — а соз Ѳ -|- Ь есть подэра окружности круга радіуса Ь относительно точки,
отстоящей отъ центра на разстояніи, равномъ а. Если, въ частности, имѣемъ
двѣ касающіяся взаимно окружности круговъ, изъ которыхъ одинъ окру-
жаетъ другой и имѣетъ вдвое большій радіусъ, то подэра внѣшняго круга
относительно точки касанія есть конхоида внутренняго круга, и именно
кардіоида.

6) Въ заключеніе разсмотримъ эллипсъ. Пусть М и М' двѣ безконечно
близкія точки на кривой, Е и Р" — ея фокусы, Р проекція М на М'Е и
Р' проекція М' на МР". Съ точностью до безконечно малыхъ 2 го порядка
можемъ написать:

М'Р = М'Е - МЕ, МР' = МЕ' - М'Е',
М'Р - МР' = (М'Е + М'Е') - (МЕ- МЕ') = 0.
Слѣдовательно, М' Р — МР’. Раздѣливъ -на ММ’, находимъ

соз ММ'Р = соз М'МР.

а переходя къ предѣлу /ТМГ= /_ТМЕ', т. е. касательная одинаково
наклонена къ радіусамъ векторамъ точки касанія, выходящимъ
изъ фокусовъ. Это свойство характеризуетъ эллипсъ, потому что изъ
послѣдняго равенства, идя обратнымъ путемъ, получимъ точное равенство
аМГ + аМГ' = 0, т. е. МЕ+ МР' = Сопзѣ Такимъ же образомъ ведется
доказательство аналогичнаго свойства касательной къ гиперболѣ, и еще проще
для параболы.

Кривизна.

591. Опредѣленія. Угломъ смежности называется диффе-
ренціалъ, эквивалентный (§ 556) углу между касательными въ двухъ
безконечно близкихъ точкахъ на кривой. Отношеніе угла смежности
къ дифференціалу дуги называется кривизною кривой въ разсма-
триваемой точкѣ. Ясно, что если ср есть уголъ наклоненія касатель-
ной къ нѣкоторой неподвижной прямой, то сі<р есть уголъ смеж-
ности, а кривизна, слѣдовательно, равна производной отъ ср, взятой
по дугѣ 5. Чтобы оправдать установленное здѣсь опредѣленіе кри-
визны, замѣтимъ слѣдующее. Если, кромѣ данной точки М на кривой,
возьмемъ еще точку М', достаточно близкую къ М, чтобы дуга ММ'
на всемъ своемъ протяженіи была вогнута въ одну и ту же сторону
(§ 552), то естественно будетъ принять, что при данной длинѣ
этой дуги (55, кривизна ея будетъ тѣмъ больше, чѣмъ больше уголъ
между касательными въ крайнихъ ея точкахъ М и М'. Поэтому,
естественно принять за мѣру кривизны этой дуги отношеніе >
а это отношеніе и стремится къ предѣлу > когда, при фиксиро-
ванной точкѣ М, точка М', двигаясь по кривой, стремится совпасть
съ М. Возьмемъ теперь за неподвижную прямую ось абсциссъ.
Направляющіе косинусы касательной изобразятся тогда формулами;

<ІХ	ІІ)'

, — соз ср, = зіп ®,
а з	(1 л-

откуда, взявъ производныя, находимъ

л-х . а ср а2ѵ а сі,
«л-	. <іх а х-	а х

а, слѣдовательно (§ 558, сі),

.	і	аха2у — аѵа2х	аср

<>	а Xя	а.ч
Въ частномъ случаѣ, когда разсматриваемая кривая есть окружность
круга радіуса р, формула эта выражаетъ, что кривизна во всѣхъ
точкахъ одинакова и равна -- • Поэтому, мы можемъ высказать
слѣдующее положеніе: кривизна какой угодно кривой въ
данной на ней точкѣ измѣряется кривизной соприкасаю-
щагося въ этой точкѣ круга данной кривой (§ 348, е).
На этомъ основаніи радіусъ и центръ соприкасающагося круга на-
зываютъ радіусомъ и центромъ кривизны данной кривой въ
данной точкѣ.

[Примѣчаніе. Направляющими косинусами касательной, какъ
для плоскихъ, такъ и для неплоскихъ кривыхъ, мы будемъ называть
косинусы угловъ, образуемыхъ положительнымъ направленіемъ каса-
тельной съ положительными направленіями координатныхъ осей.
За положительное направленіе на касательной всегда будемъ выби-
рать то, которое идетъ въ сторону возрастающихъ дугъ, при чемъ
послѣднее можемъ выбирать по произволу. Обозначая, въ случаѣ
плоской кривой, черезъ а и /9 направляющіе косинусы касательной,
мы—при установленномъ выше условіи — будемъ имѣть по вели-
чинѣ и по знаку

Лх , Лѵ

а=лГ і=лГ

Для доказательства, проведемъ сѣкущую черезъ разсматриваемую
точку (5) на кривой и черезъ точку (5 + (5$), расположенную на
кривой съ той стороны отъ первой точки, въ которую возрастаютъ
дуги (такъ что > 0). Если мы направимъ эту сѣкущую въ сторону
возрастанія дугъ, т. е. отъ точки (5) къ точкѣ (5 -|- дл), то ея
направляющіе косинусы выразятся такъ:

длг

+ У^бх2 + ду2

ду

+ }^дх2 + ду2

или

д х д з 5
5 5 +Удх2+ бу2

ду д 5

дя _|_ Уд.г2 ду2

Такъ какъ Й5>0, а отношеніе длины дуги къ длинѣ хорды стре-
мится къ единицѣ (§ 582), то въ предѣлѣ для направляющихъ ко-
синусовъ касательной, направленной въ сторону возрастанія дугъ,
мы и получимъ указанныя выше выраженія. Замѣтимъ еще, что въ
большинствѣ курсовъ дифференціальной Геометріи радіусъ кри-
визны р считается числомъ положительнымъ, и опредѣляется фор-
і : л (р	.

мулою = |	; въ настоящемъ же сочиненіи р опредѣляется

формулою	и можетъ быть, какъ положительнымъ, такъ и

отрицательнымъ числомъ. ]
592.	Опредѣленіе кривизны можно еще инымъ образомъ оправ-
дать, если предварительно согласиться принять за мѣру кривизны
круга обратную величину его радіуса. Такое соглашеніе совмѣстимо
съ обыденнымъ понятіемъ о кривизнѣ, по которому круги малаго
радіуса искривлены больше, чѣмъ круги большого радіуса. Осно-
вываясь на этомъ и переходя къ измѣренію кривизны любой кривой
въ данной на ней точкѣ М, разсмотримъ всѣ круги, касающіеся
этой кривой въ точкѣ М, и обращенные выпуклостью въ ту же
сторону, какъ и данная кривая въ этой точкѣ. На основаніи того
же интуитивнаго представленія, которое мы имѣемъ о кривизнѣ,
можемъ, очевидно, сказать, что кривая въ точкѣ М имѣетъ кривизну
большую, чѣмъ кривизна внѣшнихъ круговъ и меньшую, чѣмъ
кривизна внутреннихъ круговъ. Подъ внѣшними кругами пони-
маются тѣ, окружности которыхъ проходятъ между касательною и
данною кривою, а подъ внутренними тѣ, относительно которыхъ
кривая и касательная лежатъ съ одной стороны. Если покажемъ,
что соприкасающійся кругъ составляетъ границу, отдѣляющую
внѣшніе круги отъ внутреннихъ, то и придемъ къ утвержденію,
что кривизна данной кривой равна кривизнѣ соприкасающагося круга.
Чтобы доказать упомянутое свойство соприкасающагося круга, обо-
значимъ черезъ г радіусъ какого нибудь изъ круговъ, касающихся
данной кривой въ точкѣ М (х, у), а черезъ /г алгебраическую
величину разстоянія точки М' (х + <5 х, у + ду) на данной кривой
отъ окружности выбраннаго круга. Тогда имѣемъ

(2 г /г) 1і = (д х Т г зіп ф)3 4- (<5у — г соз <(У~ — г-.

[Примѣчаніе. Разстояніе точки М' отъ окружности откла-
дывается по нормали къ окружности и берется со знакомъ -|-,
если точка М’ лежитъ внѣ этой окружности, и со знакомъ — ,
если М' внутри ея. Если С есть центръ выбраннаго круга, то при
сдѣланномъ соглашеніи о знакѣ /г, на основаніи извѣстныхъ теоремъ
элементарной Геометріи, будемъ имѣть въ обоихъ случаяхъ

(2 г 4- А) А = С М'2 - !’.

Замѣчая еще, что координаты (^, у) центра разсматриваемаго круга
опредѣляются формулами

1 = х — ГЗІПф. і) = V 4- Г СОЗ ф,
гдѣ уголъ касательной къ данной кривой въ точкѣ М съ осью
х-въ, находимъ СМ"* = (дх + г зіп <р)г - г соз <р)2 и, слѣдо-
вательно,

(2 г 4- А) А = (б.ѵ 4- г зіп ф)2 4~ (Ау — г.соз ф)2 — г2.

Обозначая черезъ I длину хорды ММ' и припоминая, что
Л X . Л у

соз ср = , , зіп ср = / , найдемъ

Л Л'	7	Л 8

,,,	. ,, дхсіу — дуЛх

(2 г + 1і\к = Р 4- 2 г---4..-------->

Л 8

т. е.,

,, , ,	, ЛуЛ'-х—ЛхсРу Лу ЛяX — Лх <Ілу

2 Г П + л- = I1 4- Г -X----=--1- I Г —--------

Отбрасывая безконечно малыя выше 3-го порядка (относительно с/з~),
и припоминая сказанное въ § 585, мы можемъ замѣнить /2 черезъ
б?52, и получимъ

Л 8~ Л х (Ру — Лу Л-Х ЛхЛяѴ — Лу Лях

1	2 Г	2 Л 8	6 Л 8

Принимая теперь 5 за независимую перемѣнную, находимъ

<І8Л	1

сіх Л-у — Лу Л2х = '  Лх Ляѵ — Лу Лях = Л8яЛ —
у	’	о

и окончательно

, Лз2 /1	1 \ Лз2 Лд

й = -г(7--Т) + -б^+ • ' '

Мы видимъ, что к будетъ вообще безконечно малою 2-го порядка;
при этомъ въ смежности съ точкою М, А > О при г < о, и
к < 0 при г > р, т. е. точки М', достаточно близкія къ М, лежатъ
всѣ внѣ или всѣ внутри касательнаго круга, смотря по тому,
будетъ ли этотъ кругъ внутри или внѣ соприкасающагося
круга. Если же г = о (т. е. касательный кругъ совпадаетъ съ
соприкасающимся кругомъ), то к будетъ порядка выше второго ’и
имѣетъ знакъ, одинаковый съ </р. Отсюда
\	/ вытекаетъ слѣдующее: Положимъ, что

\\	/ въ точкѣ М непрерывна и неравна

/	\\ / нулю; представимъ себѣ, что мы пере-

\/	двигаемся по кривой въ направленіи

\	, V	возрастающихъ дугъ, т. е. что сіз < О

\	для точекъ, предшествующихъ М, и

--У	сіз ~р> 0 для точекъ, слѣдующихъ за М.
/	Если въ точкѣ М > 0, т. е. р воз-

Рис. 44.	а 3

растаетъ, а кривизна убываетъ (рис. 44),
то знакъ <7р, а, слѣдовательно, и А, переходитъ изъ -- въ -|-, и
точки, предшествующія М, будутъ внутри, а слѣдующія за нею
внѣ соприкасающагося круга. Какъ разъ противоположное будетъ
имѣть мѣсто въ случаѣ у < 0 въ точкѣ М. Итакъ, вообще

соприкасающійся кругъ пересѣкаетъ кривую въ той точкѣ,
въ которой онъ съ нею касается. Исключеніе могутъ предста-
вить лишь такія точки, въ которыхъ = 0, и для которыхъ п
безконечно малая не ниже 4-го порядка. Во всѣхъ случаяхъ безъ
исключенія соприкасающійся кругъ характеризуется тѣмъ,
что точки М', безконечно близкія къ М, на данной кривой,
отстоятъ отъ него на безконечно малыхъ разстояніяхъ не
ниже второго порядка.

593.	Пусть Н есть точка пересѣченія нормалей въ точкахъ
М и М’, легко показать, что центръ кривизны въ точкѣ М есть
предѣльное положеніе точки Н, съ которымъ она стремится совпасть,
когда точка М' стремится совпасть съ точкою М, остающеюся на
мѣстѣ. Въ самомъ дѣлѣ, если п обозначаетъ длину МН, то раз-
стояніе точки М отъ нормали М'Н, очевидно, равно изіп(дд9);
съ другой стороны, то же разстояніе равно проекціи ММ', т. е.
суммѣ проекцій дх и <5у на касательную въ точкѣ М’. Слѣдовательно,

п зіп <5ф = соз (<р -ф[дф)  дх 4- зіп (ф + <5ф) • ду.

Обозначая предѣльное значеніе п черезъ д. получаемъ отсюда

дсІ<р = соз ф • (іх 4- зіп д;  <іу = <і.ч,

т. е. о равно радіусу кривизны, а такъ какъ центръ кривизны ле-
житъ на нормали МН, то теорема и доказана. На этомъ основаніи
можемъ утверждать, что нормали Въ точкахъ, безконечно
близкихъ къ М, проходятъ въ безконечно малыхъ раз-
стояніяхъ отъ центра кривизны въ точкѣ М. Легко и вычи-
слить эти разстоянія; стоитъ только замѣтить, что, пренебрегая
безконечно малыми высшаго порядка, имѣемъ:

.	, , .	,	, , <іх • <5x4- йу • <5 у	а я , /і- я ъ

п = (соз ф • дх 4- зіп а?  ду) соі дгр =-—- = -р 4-я-т~ )

а я аф	а д 2 ад

и, наконецъ, п =	если выберемъ д за независимую

перемѣнную.

594. Формула (7) заключаетъ въ себѣ всѣ другія, служащія
для вычисленія кривизны, и зачастую превосходитъ ихъ въ смыслѣ
простоты и удобства вычисленій. Если положимъ

Ф1 = агсі§_у' или ф = 0 4-’агсі§ >

смотря по тому, Декартовы ли или полярныя координаты желаемъ
примѣнить, то, дифференцируя, найдемъ

4 Ф _ у"	(I (р	г'2 — г г"

А х 1 +д,/2 4 Ѳ	г2 4- г/2

*) Потому что соз (рду — зіп ф дх — безконечно малая высшаго порядка.
а такъ какъ (Із =	1 + у'2  сіх = |/г2 + г'2 сІ§, то снова и по-

лучимъ выраженія

Если кривая задана уравненіемъ /{х,у)=У то достаточно обра-
титься къ выведенному уже раньше (§ 574) результату, чтобы изъ
первой формулы (8) получить

О
д х д у

(9)	1 = —!—	_±_/ .

ѵ '	0	(//’)$	х	х'~	дхду

'>/	')2-1

і ду	дудя	ду2

Но и этотъ результатъ можно получить непосредственно изъ (7).
Разсматривая ср, какъ функцію отъ х и у, которыя сами суть
функціи отъ 5, имѣемъ

Л <р д (р СІ х , д <р <і у
,— = .	— 4“ 3—	— СОЗ

а 8 д х а х ду а х

д <р , .

^9П*

дуу
д 1’

слѣдовательно,

1 д .

— — - 51П а.
у дх

д

--- соз а .
ду

Съ другой стороны, извѣстно (§ 586), что косинусы угловъ нормали
съ осями Ох и Оу выражаются формулами

(10)

Поэтому

или

(И)

іа/	1 д {

— 5Ш <С --	—	- > СОЗ <Г = ——— -у— 

ѴЛ/д У

.1 = о / 1 д / 1 V \

о О.ѵ У у^удх / "Г" ду у уО]' дУ )

і _ і2./ <Ѵ _о_____і__ о/ а______

(’ ѵ* дхдх дуду у/’И/'

Это есть весьма важная формула Бонне (Воппеі). Простое вычи-
сленіе дастъ

а/ а /______д/ д і

дхдх уг//У'~ ду 3 у у

=_____1_ КГ т2, 2	а_/а/ аѵ /ат ,

(4/)2 ІАѴ	дхду дхду ду2 \а_у / ]
а такъ какъ

= 1 р3-7 + [ЖѴ+ т2],
Уд/' (д/у^*3 1>У2' іѴ*' 'д-ѵ' -I

то мы и приходимъ къ формулѣ

I________1

''	(4/Н

У2/ /Д/Ѵ 2 &/ <Ѵ с) /	д2/ /д/ \21 _

д Л'2 \ду / дхду д х ду ду'- \д х / ]

совпадающей съ (9). Что касается формулы (11), то она важна
потому, что ею обнаруживается инваріантный характеръ кривизны.
Дѣйствительно, инваріантный характеръ перваго члена уже извѣ-
стенъ (§ 569); поэтому достаточно будетъ показать, что сумма
двухъ другихъ имѣетъ геометрическое значеніе, независимое отъ по-
ложенія координатныхъ осей. Обозначая для краткости функцію у-
черезъ и проведя черезъ произвольную точку М кривую, для
всѣхъ точекъ которой § равно постоянной, легко будетъ вычи-
слить уголъ, образуемый этою кривою съ данною. А именно, при-
мѣняя формулы (10) ко второй кривой, тотчасъ найдемъ (см. § 577, а)
выраженіе

1	д('д^\

СО5 Ы =	. -----—	---- т - I •

у л/  а &'д х д х "у дУ і

и формула (11) принимаетъ видъ------ =	 соз о.

Ѳ V л/

595.	Упражненія, а) Мы поставимъ себѣ задачей построить центры
кривизны тѣхъ плоскихъ кривыхъ, которыя чаще всего встрѣчаются на
практикѣ. Начнемъ съ простѣйшей изъ нихъ послѣ окружности круга, а
именно съ логариѳмической спирали (г=ае”‘®), приводящейся къ окру-
жности круга при т = 0. Такъ какъ г' = тг, г" = тг' = т-г, то г'^—гг",
и вторая изъ формулъ (8) тотчасъ дастъ р=-Дг2--г'2 = п. Еще скорѣе при-
демъ къ этому результату съ помощью формулы (7), если замѣтимъ, что
изъ <р = Ѳ + ы слѣдуетъ (1(р = <7Ѳ (ш = сопзі.), а такъ какъ (1$ = и <7 9, то и
получимъ р=и, т. е. въ логариѳмической спирали радіусъ кри-
визны равенъ длинѣ полярной нормали. Слѣдовательно (см. § 589, е,
рис. 33), центръ кривизны находится въ точкѣ Л7. Это свойство является
очевиднымъ, если припомнимъ сказанное въ § 593, изъ котораго слѣдуетъ,
что точка пересѣченія Н нормалей въ М и М' лежитъ на окружности
круга ОММ', потому что /. ОМН = /. ОМ'Н (по опредѣленію спирали:
со = сопзі.). Когда М' приближается къ М, кругъ ОММ’ стремится сдѣ-
латься касательнымъ къ кривой въ точкѣ М, а точка Н стремится къ точкѣ Уд,
діаметрально противоположной М на предѣльномъ положеніи окружности
круга. Раньше мы замѣтили, что длина полярной касательной МТ равна
длинѣ дуги ОМ, а теперь обратимъ вниманіе на соотношеніе р = гну ко-
торое, такъ сказать, можно прочитать въ треугольникѣ У.МТ. Для всякой
плоской кривой можно аналогичнымъ образомъ разсматривать соотношеніе
между р и з\ Оно называется „натуральнымъ уравненіемъ кривой"
и вполнѣ достаточно, чтобы опредѣлить фигуру кривой г).

х) См. „МаіигіісНе Оеотеігіе", стр. 2.
[ Примѣчаніе. Допустимъ, что двѣ кривыя Сг и С2 имѣютъ одно и
то же натуральное уравненіе

и покажемъ, что онѣ конгруентны. Отличая указателями аналогичные эле-
менты обѣихъ кривыхъ, мы будемъ имѣть—при равныхъ значеніяхъ дугъ —

_1_ = 1_ ,

Рі <?2

откуда, въ силу (7),

±Т1 = П'?2.

Перенесемъ одну изъ кривыхъ такъ, чтобы совпали точки, отъ которыхъ
на Сѵ и С2 отсчитываются дуги, а затѣмъ повернемъ эту кривую такъ,
чтобы совпали и положительныя направленія касательныхъ въ этихъ точкахъ.
Тогда, при 5 = 0

(П)	хх = х.,. Уі=У‘і-

(111)	<Рі = Фз •

Изъ равенства (I), въ силу § 307, Ь, вытекаетъ, что и <р2 могутъ отли-
чаться лишь на постоянную; но, въ виду равенства (III), эта постоянная
равна нулю, такъ что равенство (III) имѣетъ мѣсто для всѣхъ значеній 5.
Въ такомъ случаѣ, для всѣхъ же значеній 5,

<1 х,	<7 х.,

—= соз ф, = соз <р., = —
а 5	Я 5

<і V,	.	<1 Ѵо

у-; = 5Ш Фі = 8|п Фа =

откуда аналогичнымъ образомъ заключаемъ, что и равенства (II) имѣютъ
мѣсто всегда, т. е. кривыя совпадаютъ. Итакъ, кривыя, имѣющія одно и
то же натуральное уравненіе, могутъ отличаться только по положенію,
видъ же ихъ этимъ уравненіемъ опредѣляется вполнѣ. На этомъ и основана
важная роль натуральныхъ уравненій ].

Ь)	Для логариѳмической кривой = рис. 31) имѣемъ

Первая изъ формулъ (8) дастъ

1	я	"	, У

О — —77—' о— —	--------о — ~ “г -

V 7 СО5!> (р 81П (р • СОЗ^ (р ЗІП ф СОЗ (р

Пусть Г и -V будутъ точки, въ которыхъ касательная и нормаль встрѣчаютъ
асимптоту. Если перпендикуляръ къ асимптотѣ, возставленный въ точкѣ 7',
встрѣтитъ нормаль въ точкѣ Н, то, на основаніи предыдущей формулы.
і,!=УН. Поэтому мы найдемъ центръ кривизны С, если отложимъ по
нормали длину НС = М'\ .

с)	Въ разносторонней гиперболѣ, отнесенной къ асимптотамъ, имѣемъ
а2	а2 у

V =----’ V = — -тг = — — •

X '	х- X
Слѣдовательно, МТО = І (рис. 45), т. е. углу между радіусомъ векторомъ
и полярной осью (осью х-овъ). Далѣе,

У"

2 а2

Чу

г-

хі

у?>

2 а-

слѣдовательно, радіусъ кривизны въ точкѣ М пропорціоналенъ
кубу діаметра, проходящаго черезъ М. Чтобы построить центръ кри-
визны, замѣтимъ, что

г3	г ., „

О = =-;; = - • • = —-ргт — М О.

2 а- 2 х у 5іп 2 Ѳ ~

Слѣдовательно, МС = МС), т. е. центръ кривизны лежитъ симме-
трично съ О относительно М. Къ тому же результату придемъ съ
помощью формулы (7), замѣтивъ, что <р = л;—Ѳ, откуда <7^ = —а?Ѳ, и р = — п
(гдѣ и—длина полярной нормали). Замѣтимъ здѣсь еще слѣдующее: если

возьмемъ еще двѣ точки М' и М" на гиперболѣ и соединимъ центръ круга
М М'М" съ ортоцентромъ треугольника ММ'М", то центръ тяжести этого
треугольника раздѣлитъ эту прямую на два отрѣзка, относящихся одинъ къ
другому, какъ 1 къ 2, а съ другой стороны, по извѣстному свойству равно-
сторонней гиперболы, ортоцентръ лежитъ на кривой (см. примѣчаніе). Когда
М' и М" приближаются къ М, то центръ тяжести треугольника стремится
къ М, а центръ описаннаго около него круга къ С (центръ соприкасающагося
круга), откуда ясно, что ортоцентръ стремится къ совпаденію съ точкою
пересѣченія Н нормали съ другою вѣтвью гиперболы, и что МН=‘2д.
Иными словами: діаметръ соприкасающагося круга въ любой
точкѣ равносторонней гиперболы равенъ отрѣзку, отсѣкаемому
самою кривою на нормали въ точкѣ М.

[ Примѣчаніе. Ортоцентромъ треугольника называется точка пере-
сѣченія его высотъ, центръ тяжести 6' — точка пересѣченія медіанъ, центръ
описаннаго круга — точка пересѣченія перпендикуляровъ къ сторонамъ,
возставленныхъ изъ ихъ серединъ. Эти три точки лежатъ на одной прямой,
и если К есть ортоцентръ, то СК — 2 СС1 (см. „Сборникъ геометрическихъ
задачъ" Пржевальскаго. Москва, 1894. Отд. III. Теорема 52 на стр. 66;
доказательство на стр. 263). Свойство равносторонней гиперболы, упомянутое
въ 595. с, читатель легко докажетъ самъ, или найдетъ въ „Апаі. беотеігіе
<1ег Ке§е1зсНпШе“ Заітоп-Ріесііег (4-е изд. 1874 г., стр. 289, § 236). Предѣль-
ное положеніе ортоцентра К находится на нормали въ точкѣ М, потому
что К на перпендикулярѣ къ М'М’’, а предѣльное положеніе М’М'" есть
касательная въ М. ]
сі) Кардіоида прежде всего замѣчательна тѣмъ, что она особенно
просто спрямляется. Изъ уравненія г = а (1 + соз Ѳ) послѣдовательно находимъ
г’ = — а зіп 0,	= 2 а соз 4“ ’ 8 = 4 а зіп•

п Ѳ	I	2

если за начало дугъ примемъ вершину А (з = 0 при Ѳ = 0). Если радіусъ
векторъ ОМ встрѣчаетъ въ точкѣ ѣ окружность круга радіуса О А = Іа
съ центромъ въ полюсѣ О, то изъ предыдущей формулы получаемъ, что
длина дуги АМ равна длинѣ прямолинейнаго отрѣзка А Ь.
Въ частности, оттуда же слѣдуютъ, что длина всей кардіоиды равна 8 а.
Кромѣ того, имѣемъ

1	2

г" = — а соз Ѳ, г'- — г?’ = а- (1 + соз О) = -х- «2. о —-5-= — и .

2	л ,	1	,•> о

+ у и-

Слѣдовательно, центръ кривизны въ точкѣ М дѣлитъ длину поляр-
ной нормали въ отношеніи 1 къ 2. Это свойство еще скорѣе выводится
изъ формулы (7), если построеніе нормали уже извѣстно. Дѣйствительно,
опишемъ кругъ діаметра, равнаго а, конхоида котораго (§ 589, к) относи-
тельно точки О на его окружности и будетъ данная кардіоида. Пусть /У
будетъ центръ этого круга, Р та точка на его окружности, которая лежитъ
на радіусѣ векторѣ ОМ, а (9-точка, діаметрально противоположная точкѣ ’Р.
Тогда МО, какъ извѣстно, будетъ нормаль къ кардіоидѣ (§ 589, к). Изъ
того что, какъ треугольникъ МРО, такъ и треугольникъ ОНР равнобед-
ренны, слѣдуетъ, что РМО = |Ѳ, а потому нормаль наклонена къ по-
лярной оси подъ угломъ |Ѳ; слѣдовательно, (і'(: = и р = Пусть М
будетъ другая точка окружности нашего круга, лежащая на МС). Такъ
какъ треугольникъ МРО равнобедренный, то точка —проекція точки Р

Рис. 46.

на МО— очевидно дѣлитъ отрѣзокъ МО пополамъ. Пусть М' будетъ точка,
симметричная съ Р относительно М. Прямая НМ' пересѣчетъ нормаль МО
въ центрѣ кривизны С. Дѣйствительно, построенная такимъ образомъ
точка С есть центръ тяжести треугольника РОМ', слѣдовательно,

МС = ММ + г Лг2 = ММ = іМ0.

Наконецъ, замѣтимъ, что натуральное уравненіе кардіоиды есть з2+Рр2=сопзѣ
Если будемъ отсчитывать дуги отъ полюса, то найдемъ, что длина дуги
ОМ равна

/ Ѳ

5 = 4 а I 1 — зіп *2
Съ другой стороны, хорда ОМ равна

г = а (1 + соз Ѳ) = 5 —	•

8 а

Къ этому соотношенію легко придти и геометрическимъ путемъ съ помощью
слѣдующаго замѣчанія: изъ уравненія кардіоиды видно, что перпендикуляръ,
опущенный изъ А на ОМ, проходитъ черезъ точку, симметричную съ ѣ
относительной/. Слѣдовательно, .4 74.-4 а  2 М Р, т. е. (4 а—5)2 = 8 а (2а — г)
и т. д. Отсюда слѣдуетъ, что съ приближеніемъ М къ О, разность между
дугою ОМ и хордою ОМ будетъ безконечно малою не 3-го порядка
(см. § 585), а только 2-го. Это объясняется тѣмъ, что въ точкѣ О кривизна
безконечна.

е) Изъ уравненія синусъ - спиралей г"‘ = а”1 зіп т Ѳ выводимъ
гт 1 г' = а"1 соз т 0; далѣе, (т — 1) гт~2 г'2 4- гт~1 г" = — тгт, т. е.
(т — 1)г/2+ гг"= — тг-, и наконецъ, г'- — гг"= »г(г24- г'2). Поэтому

(г2 - г'-')'-	п

®	(1 4 т) (г2 4- г'-)	1 4- т 1 4- ш

результатъ, очевидный по формулѣ (7), потому что <р = 0 -4 ы = (1 4- т) Ѳ .
Отсюда слѣдуетъ, что радіусъ кривизны пропорціоналенъ длинѣ
полярной нормали. При т = — 2 и т = .V снова находимъ извѣстное уже
построеніе центра кривизны въ равносторонней гиперболѣ и кардіоидѣ.
При т = 2 получается аналогичное построеніе для лемнискаты. При
т= — 4 находимъ, что въ параболѣ радіусъ кривизны дѣлится пополамъ
перпендикуляромъ, возставленнымъ изъ фокуса къ радіусу вектору, и т. д.
Если, наконецъ, положимъ т = С, то снова получаемъ извѣстное построеніе
для логариѳмической спирали. На этомъ основаніи, несмотря на то, что при
ш=0 уравненіе гт = ат зіп т 9 теряетъ смыслъ, логариѳмическую спираль
разсматриваютъ, какъ частный случай синусъ-спиралей, соотвѣтствующій
значенію указателя т = 0. Она представляетъ нѣкоторымъ образомъ границу,
отдѣляющую одинъ классъ синусъ-спиралей, не выходящихъ изъ конечной
части плоскости, отъ другого, въ которомъ спирали распространяются въ
безконечность.

і) Одинъ классъ синусъ-спиралей получается изъ другого посред-
ствомъ такъ называемаго преобразованія при помощи взаимныхъ
радіусовъ векторовъ или обращенія (Іпѵегзіоп). Подъ этимъ назва-
ніемъ понимаютъ такое геометрическое преобразованіе, въ которомъ каждой
точкѣ на плоскости соотвѣтствуетъ взаимная съ нею относительно нѣкотораго
постояннаго круга. Если г — /(0) есть уравненіе нѣкоторой кривой, то
^2

г есть уравненіе кривой, полученной ея обращеніемъ относительно
круга радіуса а съ центромъ въ полюсѣ. Такимъ образомъ, Архимедова
спираль и гиперболическая спираль, кохлеоида и квадратриса, равносторон-
няя гипербола и лемниската, парабола и кардіоида, и вообще двѣ синусъ-
спирали съ указателями, равными по величинѣ и противоположными по знаку,
представляютъ собою пару взаимнообратныхъ кривыхъ. Поэтому полезно
знать, какимъ образомъ можно построить центръ кривизны для одной изъ
взаимнообратныхъ кривыхъ, когда извѣстно построеніе для другой. Мы пре-
доставляемъ читателю доказать, что въ двухъ соотвѣтствующихъ точкахъ
взаимнообратныхъ кривыхъ касательныя антипараллельны относительно ра-
діуса вектора, и центры кривизны лежатъ на одной прямой съ
центромъ обращенія (т. е. центромъ постояннаго круга).

§) Астроидою называется кривая, уравненіе которой въ прямоуголь-
2	2	2

ныхъ Декартовыхъ координатахъ есть -Ь^3 = а3. Она симметрична
относительно координатныхъ осей и состоитъ изъ четырехъ равныхъ между
собою дугъ, касающихся координатныхъ осей въ крайнихъ своихъ точкахъ
(рис. 47). Пусть АВ будетъ одна изъ этихъ четырехъ дугъ; примемъ за

а

начало счета дугъ середину ея, т. е. точку х=у =

Мы найдемъ

изъ уравненія кривой

/1	,	5 = ~ (я*2) _ А а.

Отсюда, въ частности, вытекаетъ, что длина всей астроиды равна 6 а.
Далѣе, имѣемъ

1 / Я2 \	1

У'=Л~ , Р = 3(ал^р.

3 х \ху)

Простое вычисленіе покажетъ, что натуральное уравненіе кривой есть
4 з2 + р2 = >; я2. Различныя свойства кривой, однако, легче обнаруживаются,

если будемъ ее разсматривать,
какъ геометрическое мѣсто то-
чекъ, получаемыхъ слѣдующимъ
построеніемъ. Опишемъ около
начала координатъ радіусомъ
О А = а окружность круга и
каждую ея точку Аг спроекти-
руемъ сперва на координатныя
оси въ	а затѣмъ на Р^

въ точку М. Общее мѣсто то-
чекъ М и будетъ астроида.
Дѣйствительно, если обозначимъ
черезъ 0 уголъ М О А, то
МР — а зіп2 Ѳ, М(у = а соз2 0,
а координаты точки М будутъ

х = М С)  соз Ѳ = а соз3 Ѳ,

у = МР  зіп 9 = а зіп3 Ѳ,

и удовлетворяютъ, какъ видимъ,
Д 2	2

уравненію х3 -гУ:: = а3 . Те-

перь замѣтимъ, что

сіх — — 3 а зіп Ѳ соз2 Ѳ </Ѳ, Ау = 3 а соз Ѳ зіп2 Ѳ <7Ѳ, д(.5|= 3 а зіп Ѳ созѲ .

Слѣдовательно, угловой коэффиціентъ касательной въ М равенъ — і§Ѳ, т. е.
прямая РО и есть касательная. Отсюда тотчасъ слѣдуетъ, что отрѣзокъ,
отсѣкаемый координатными осями на касательной, постоянно
равенъ а. Далѣе, если за начало счета дугъ примемъ середину дуги АВ,
то найдемъ, что з = — 4 « соз 2 Ѳ, а поэтому

дуга М А я (1 — соз 2 Ѳ) = # я|зіп2 Ѳ = | МР.

Слѣдовательно, чтобы спрямить дуги МА и МВ, стоитъ только продолжить
каждый изъ отрѣзковъ МР и М по касательной на половину его длины.
Наконецъ, радіусъ кривизны, независимо отъ знака, будетъ

Л 5	3	.

е = Л = Тазш2Ѳ’
и мы тотчасъ видимъ, что 4 5і) 2 + д2 = а2, какъ было сказано выше. Замѣ-
чая еще, что Л/Л’ = а зіп 0 соз Ѳ, получаемъ д = 3МК. Слѣдовательно,
радіусъ кривизны равенъ утроенной длинѣ ММ. Если обозначимъ
черезъ Л" другую точку пересѣченія нормали съ окружностью круга, то
можно также сказать, что центръ кривизны С симметрично распо-
ложенъ съ .V' относительно М.

Іі) На коническомъ сѣченіи (съ центромъ) кривизна измѣняется
пропорціонально кубу разстоянія отъ центра до касательной.
Разсмотримъ для опредѣленности эллипсъ, отнесенный къ его осямъ; изъ
уравненія Ь2 х2 + а2у2 = а2 Ь2 послѣдовательно получимъ

Ь2 х + а2 у у' = О, Ь2 + а2 у'2 + а2уу"= 0, л-у:'у"-= — іѣ

Введя разстояніе отъ центра до касательной

д — У~ХУ' _	&

‘ ~ /і+у2 ~ 7/г+у2

и, выбравъ надлежащимъ образомъ знакъ р, получимъ

Другія формы для р получимъ, вводя въ разсмотрѣніе, вмѣсто Л, длину I
сопряженнаго съ ОМ полудіаметра, или длину п отрѣзка нормали М Е
между точкою на кривой и осью, проходящею черезъ фокусы. Стоитъ
только замѣтить, что Иі = аЬ и піі - Ь2, чтобы получить

1ІЛ
о = -, > д =	>

а Ь	р2

гдѣ, какъ обыкновенно, р = Ъ2:а. Послѣднее выраженіе для д весьма удобно
получается при помощи полярныхъ координатъ. Полярное уравненіе кони-
ческаго сѣченія, если полюсъ помѣщенъ въ одномъ изъ фокусовъ, а
полярная ось по оси кривой, проходящей черезъ фокусы, имѣетъ видъ
р

г = -—. и извѣстная формула (§ 558, б), въ которой надо положить

.	1 - - к соз Ѳ	к\ . „	к ,	.	1

----	/'=-‘зтО,	/=— созѲ,

тотчасъ дастъ

(№ — 2 к г2 соз Ѳ + к2 г2)^
у =	_	

Замѣтимъ вмѣстѣ съ тѣмъ, что въ треугольникѣ ЕМЕ’, въ которомъ нор-
маль МЕ дѣлитъ уголъ М пополамъ, имѣемъ

]р у	р

, = — — ’ ЕЕ = кг, гі2 = г2 — 2 кг2 соз Ѳ ф- к2 г2,
к а 2, а

припоминая, что М Е + М Е’ = Ч а, ЕЕ-уЕЕ'=2ка. Такимъ образомъ
снова получаемъ упомянутое выраженіе р.

і) Теперь мы интерпретируемъ геометрически это выраженіе и поста-

раемся построить центръ кривизны въ данной точкѣ коническаго сѣченія
(рис. 48). Прежде всего замѣчаемъ, что, проектируя ЕЕ М на ЕМ, находимъ
п соз = г — кг соз Ѳ = р ,

т. е. проекція нормали на радіусъ векторъ величина постоянная,
равная р. Замѣтивъ это, получаемъ далѣе

п

СОЗ2

Итакъ, возставимъ пер-
пендикуляръ къ нормали
въ точкѣ А и продолжимъ
его до точки встрѣчи Р съ
однимъ изъ радіусовъ век-
торовъ точки М: затѣмъ,
возставимъ въ точкѣ Р
перпендикуляръ къ радіу-
су вектору; этотъ перпен-
дикуляръ пересѣчетъ нор-
маль въ центрѣ кривизны
точки М. Къ тому же резуль-
, тэту можно придти съ помощью
нѣкоторыхъ замѣчаній, относя-
щихся къ приложенію безко-
нечно малыхъ въ Геометріи
(§ 590, б), а именйо, положивъ
МЕ = г. МЕ'=г’ и обозначая
черезъ Ѳ и Ѳ' углы при верши-
нахъ Е и Р' въ треугольникѣ
МЕ Е', можемъ написать

гсі Ѳ = — г'СІ Ѳ' = СОЗ 1/> • <7 5 .

Такъ какъ уголъ наклоненія нормали къ оси ЕЕ' измѣряется числомъ Ѳ + ѵ
или дополненіемъ до л числа Ѳ'4-ір, то для угла смежности <ігр, очевидно,
получимъ

<79Р = </Ѳ-|-<7у>,	—=	Ѳ'+ <1 ці.

Отсюда, вычитая одно равенство изъ другого и раздѣляя на о?з, находимъ

Съ другой стороны, фокусы раздѣляются гармонически касательною и нор-
малью, а потому ихъ проекціи на нормаль дѣлятъ гармонически отрѣзокъ п,
такъ что

2 = _ 1	+ I =	2

11 Г СОЗ 1/1 г'СОЗ	О СОЗ- 1/1

или д соз- ір = и ит. д. При помощи самыхъ простыхъ геометрическихъ
соображеній указанное построеніе можно превратить въ другое, не менѣе
полезное, данное Маннгеймомъ (МаппНеіт)‘) (рис. 49). Положимъ, что пер-
пендикуляръ, опущенный изъ С на ЕЕ' встрѣчаетъ РР' (перпендикуляръ
къ нормали М Е) въ точкѣ (}, а прямая, проведенная черезъ О парал-
лельно ЕРу, пересѣкаетъ МЕ и МР’ въ точкахъ С и С. Такъ какъ углы

’‘) „Сонгз бе Сёотёігіе безсгірііѵе“, р. 175.
СРС и С&0 прямые, то точки С, Р, О лежатъ на окружности
круга; а потому / СО<^) = л СР(^>. Такимъ же образомъ доказывается,
что /СС^=л СР’Ц, а такъ какъ, очевидно,	рСР^,

то и СО <р = / СО'О, т. е. треугольникъ СО О' равнобедренный и О.
слѣдовательно, дѣлитъ О & пополамъ. Отсюда слѣдуетъ, что прямая
М Р> проходитъ черезъ середину ГР, т. е. черезъ центръ кони-
ческаго сѣченія. Такимъ образомъ и получается слѣдующее построеніе

(рис. 50): изъ точки .V возставимъ перпендикуляръ къ нормали
до пересѣченія его въ точкѣ (Р съ діаметромъ, проходящимъ
черезъ М; затѣмъ изъ точки О опускаемъ перпендикуляръ на
прямую Г Р'; этотъ перпендикуляръ пересѣчетъ нормаль въ
центрѣ кривизны С.

І) Первое построеніе центра кри-
визны коническаго сѣченія даетъ намъ
средство рѣшить слѣдующую задачу:
Извѣстно построеніе центра
кривизны нѣкоторой данной кри-
вой. Требу ется построитъ центръ
кривизны въ соотвѣтствующей
точкѣ подэры данной кривой от-
носительноданной точки (рис. 51).
Положимъ, что точкѣ М на данной
кривой соотвѣтствуетъ точка Р на
подэрѣ, т. е. Р есть проекція непо-
движной данной точки О на касатель-
ную къ данной кривой въ точкѣ М.
Пусть О будетъ проекція центра кри-
визны С данной кривой на ОМ. Про-
ектируемъ на нормаль МС, и полу-
ченную точку Л соединимъ съ О.
Центръ кривизны подэры въ то-
чкѣ Р находится въ точкѣ пере-
сѣченія К прямой О.Ѵ съ норма

Рис. 51.

ью къ подэрѣ въ точкѣ Р.

Въ'самомъ дѣлѣ, пренебрегая безконечно малыми высшаго порядка, можно
замѣнить данную кривую въ смежности съ точкою М соприкасающимся ея
кругомъ (§ 592) или какою нибудь другою кривою, имѣющею тотъ же
центръ кривизны С. На мѣсто подэры данной кривой относительно точки О,
въ смежности съ точкою Р, явится тогда подэра новой кривой, но положеніе
центра кривизны К не измѣнится. Въ Аналитической Геометріи доказывается,
что подэра коническаго сѣченія относительно ея фокуса есть окружность
круга, построеннаго на большой оси коническаго сѣченія, какъ на діаметрѣ *).
Поэтому мы можемъ утверждать, что К есть центръ коническаго сѣченія,
одинъ изъ фокусовъ котораго лежитъ въ О, которое проходитъ черезъ М
и имѣетъ соотвѣтствующій центръ кривизны въ точкѣ С. Но изъ построенія
совершенно ясно, что для этого коническаго сѣченія прямая ОРУ есть ось,
проходящая черезъ его фокусы. Слѣдовательно, К лежитъ на ОРУ, что и
требовалось доказать. Полезнымъ упражненіемъ для читателя будетъ прило-
женіе доказаннаго построенія къ лемнискатѣ, разсматриваемой, какъ подэра
равносторонней гиперболы относительно ея центра и къ кардіоидѣ, какъ
подэрѣ окружности круга относительно нѣкоторой ея точки. Съ помощью
простыхъ геометрическихъ соображеній онъ найдетъ уже раньше указанныя
спеціальныя построенія.

к)	Примѣняя къ параболѣ первое построеніе центра кривизны кони-
ческаго сѣченія, легко замѣтить на основаніи равенства отмѣченныхъ угловъ,

Р

Рис. 52.

что треугольники М Р\\! и Р Р' Р рав-
нобедренны (рис. 52), откуда слѣдуетъ,
что Р дѣлитъ .о Р пополамъ. Такимъ
образомъ мы приходимъ къ найден-
ному уже построенію, на основаніи
котораго можно сказать, что парабола
есть синусъ-спираль съ полю-
сомъ въ фокусѣ. Если вмѣсто фо-
куса дана директриса,™ указанное
построеніе надо замѣнить другимъ,
которое мы выведемъ весьма просто
изъ предыдущаго. Проектируемъ М
въ О на директрису, и пусть 3 —
точка пересѣченія нормали съ дирек-
трисою. Прямоугольные треугольники
МРЬ и МСЗ равны между собою,
потому что углы при М между собою
равны, и МР = МО, по извѣстному
свойству параболы. Слѣдовательно,

гипотенузы МЬ и МЗ также между собою равны. Отсюда слѣдуетъ, что
радіусъ кривизны равенъ удвоенному отрѣзку нормали между
точкою на кривой и директрисою. Кривыя линіи, въ которыхъ радіусъ

кривизны пропорціоналенъ длинѣ нормали въ Декартовыхъ координатахъ,
называются кривыми Рибокура (КіЬансоиг) Поэтому можно сказать, что
парабола есть кривая Рибокура.

1)	Къ числу ихъ принадлежитъ, между прочимъ, цѣпная линія. Въ
самомъ дѣлѣ, мы доказали раньше (§ 589, с), что (рис. 32) въ прямоуголь-
номъ треугольникѣ МРХ проекція М^ длины МР(=у) на гипотенузу
Л/Лг(==и) равна а, такъ что у2 = ап, а изъ уравненія кривой получимъ

2 а

пл а2

= у_ѵ" = - уР

77 .

Слѣдовательно, центръ кривизны расположенъ симметрично съ .V
относительно М. Мы видѣли раньше также, что дуга *•, считаемая отъ
вершины А, равна Р^. Отсюда слѣдуетъ, что въ треугольникѣ МРУ
имѣемъ № = -бЕР А такъ какъ п = МСр + О 7Ѵ, то оказывается, что
$2
натуральное уравненіе цѣпной линіи будетъ о = а -|---•

‘) См. Заітоп-Ріесііег „Ке§еІ8сііпіНе“ (1878), стр. 252.
т)	Для цѣпной линіи равнаго сопротивленія

у = — а 1о§ соз —

имѣемъ

і і и»

у =	—

а

/1 + ѵ'з= —1- .	у"=------?---

X	п X

соз —	а соз2 —

а	а

а

соз —
а

т. е, о соз (р = а. Слѣдовательно, проекція радіуса кривизны на ось
симметріи кривой равна постоянной величинѣ а. Вычисленіе длины
дуги з не такъ легко, мы его выполнимъ въ слѣдующей книгѣ. Тогда мы
увидимъ также, что натуральное уравненіе нашей кривой есть

<"Д' +'Л

п) Еще одна весьма важная изъ кривыхъ Рибокура есть циклоида
(§ 590, а). Обращаясь къ рис. 53, замѣчаемъ, что (по опредѣленію)
О7Ѵ =	= а Ѳ, а потому координаты точки М будутъ

х = О Л’ — Р.Ѵ = л (0 - зіп 9), ѵ = РН + IIМ = а (1 - соз Ѳ).

Отсюда слѣдуетъ

Лх = а (1 — соз 0) Л 9 , Лу = а зіп Ѳ Л в,

(і у 9

а потому (уд. = со12" Съ другой стороны, уМЬХ= і-	= IѲ. Слѣ-

довательно, Мѣ — касательная, а поэтому -М'\ —нормаль къ кривой въ
точкѣ М. Возвышая въ квадратъ и складывая выраженія Лх и Лу, полу-
чаемъ Л з2, и изъ него послѣдовательно

$

Ля = 2 а зіп Л Ѳ ,

5 = 4 а 1 — соз

о

8 а зіп2 -

4

9

если условимся отсчитывать дуги отъ точки О. Длину цѣлой вѣтви
циклоиды, т. е. такой ея дуги, которую опишетъ точка катящагося круга
по совершеніи имъ полнаго оборота, получимъ, положивъ Ѳ = 2 .т. Эта длина
оказывается равною 8 а, т. е. учетверенному діаметру катящагося
круга. Далѣе, такъ какъ уголъ смежности, независимо отъ знака, равенъ | <79.

9

то тотчасъ находимъ р = 4 а зіп у, т. е. р = 2 и (и = МХ). Итакъ, центръ
кривизны расположенъ симметрично съ М относительно .V. Это
свойство почти очевидно послѣ сказаннаго въ § 593 и § 590, а * *). Наконецъ,
если перенесемъ начало счета дугъ въ вершину А, середину полной дуги
9

циклоиды, то найдемъ 5 = 4 а соз > и тотчасъ получаемъ натуральное

уравненіе циклоиды: 52 + р2 = сопзі.

о)	Всѣ кривыя линіи, описываемыя какою нибудь точкою кривой, ка-

тящейся безъ скольженія по другой неподвижной плоской кривой, называ-

ются рулеттами (Коіікіігѵеп). Всѣ рулетты
обладаютъ тѣмъ свойствомъ, которое мы
замѣтили въ циклоидѣ, а именно, что нор-
маль къ рулеттѣ всегда проходитъ
черезъ мгновенную точку касанія под-
вижной и неподвижной кривой*)*
Когда неподвижная кривая обрашается въ
прямую линію, а подвижная въ окружность
круга, то рулетта и будетъ циклоидою. Въ
обратномъ случаѣ, когда подвижная прямая
катится безъ скольженія по неподвижной
окружности круга, каждая точка прямой опи-
сываетъ кривую, которая называется эволь-
вентою круга (или разверткою круга). Если
9 есть уголъ, на который подвижная прямая
повернулась въ сторону, противоположную
движенію часовой стрѣлки, начиная съ того
момента, когда точка этой прямой, описыва-
ющая эвольвенту круга, находилась въ А ,

то координаты точки М, когда О А примемъ за ось асбциссъ, будутъ **)

х ~ а (соз 0 + Ѳ зіп 9) , у = а (зіп 9 — 5 соз 9).

Поэтому

ѵ

(іх = а Ѳ соз 9 б/9 , сіѵ = а Ѳ §іп 9 /79 ,	= і? 9 ,

'	/У V	°

/7< = а 0 /7 6, р =

(і 9

Слѣдовательно, кривая остается постоянно нормальною къ подвижной прямой,
и центръ кривизны всегда находится въ точкѣ касанія подвижной прямой
съ неподвижнымъ кругомъ. Длина дуги А М есть .>• = | а Ѳ2, а потому нату-
ральное уравненіе эвольвенты круга есть р-’ = 2аз. Изъ него мы можемъ
получить слѣдующее: Если прямая М С, соединяющая М съ точкою С',
діаметрально противоположною точкѣ С, пересѣкаетъ окружность круга въ
точкѣ Ь, то прямая С Ь отсѣчетъ на касательной отъ точки М отрѣзокъ,
равный 5.

!) ЭиНашеі: „Ёіётепіз <іи Саісиі'1, т. I, стр. 177.

*) См. Сезаго ^аіигІісНе Сеотеігіе". § 57.

**) X = проекціи О М = пр. О С у пр. С .1/ на Ох и т. д.
р)	Когда и неподвижная и подвижная кривыя будутъ окружности кру-
говъ, то рулеттами будутъ гипоциклоида или эпициклоида, смотря по
тому, будетъ ли касаніе круговъ внутреннее или внѣшнее. Мы ограничимся
здѣсь изслѣдованіемъ этихъ спеціальныхъ рулеттъ, имѣющихъ важное при-
ложеніе въ теоріи механизмовъ. Чтобы имѣть дѣло съ опредѣленнымъ слу-
чаемъ, допустимъ, что кругъ радіуса та катится безъ скольженія по другому

кругу радіуса а, при чемъ касаніе
круговъ будетъ внѣшнее (рис. 55).
Результаты, которые получимъ, бу-
дутъ относиться къ эпициклоидамъ,
если предположимъ т > 0, но тѣ
же формулы будутъ относиться къ
гипоциклоидамъ, если предположимъ
т < 0. Мы предположимъ, что под-
вижная точка М находится сперва
въ точкѣ А на окружности непо-
движнаго круга, имѣющаго центръ
въ О, и направимъ ось абсциссъ
по прямой О А. Подвижный кругъ
радіуса та, съ центромъ въ СУ,
катится безъ скольженія въ сто-
рону, противоположную движенію
часовой стрѣлки. Разсмотримъ его
въ томъ новомъ положеніи, въ ко-
торое онъ придетъ, когда линія

центровъ обоихъ круговъ повер-
нется на уголъ т Ѳ около точки О.
Пусть .V будетъ тогда точка касанія круговъ. Теперь примемъ во вниманіе,
что по условію движенія дуга Л.Ѵ=дугѣ МЛ’, а слѣдовательно, уголъ У<УМ
необходимо равенъ Ѳ. Отсюда получается, что координаты точки М будутъ

х = а <( (1 + т) соз т 0 — т соз (0 + т } •
у = а { (1 + т) зіп т Ѳ — т зіп (Ѳ + т 6) ) .

Слѣдовательно,

ѳ / ѳ \

Лх = 2 т (1 + >») а зіп - соз I + «г 0 ) 40 .

<іу = 2 т (1 4- т) а зіп у зіп	Ѳ 40

и, наконецъ,

Й (1+Н’ й"2"/(і+"г)я8іпт-

Итакъ, уголъ наклоненія касательной къ оси тѵ-овъ есть у —	-|-/и0. Если

соединимъ точку М съ точкою , діаметрально противоположною точкѣ И
на подвижномъ кругѣ, то уголъ наклоненія МЬ къ оси х-овъ будетъ равенъ
суммѣ угловъ ОЕМ — 1 0 и АО У = шѲ. Слѣдовательно, Мѣ — касательная,
а потому МУ — нормаль. Далѣе, если будемъ считать дуги отъ А, то,
очевидно, будемъ имѣть

з = 4 т (1 + т) а /1 — соз = 8 т (1 -)-/«) а 8Іп-’-$ >

и поэтому длина полной дуги эпициклоиды равна 8 т (1 + т) а.
Если, напротивъ, будемъ считать дуги отъ середины полной дуги (5 = 0
при 0 = .-т), то будемъ имѣть

ѳ

5 = — 4 т (1 + т) а соз -у<

а такъ какъ, съ другой стороны.

<7 5	2	4 т(1 4- »г)	. Ѳ

<1 (р 1 4- 2 т (і Ѳ 1 4- 2 т 2

то натуральное уравненіе эпициклоидъ и гипоциклоидъ будетъ

52 4- (1 4- 2 ли)2 О- — СОП5І.

Чтобы построить центръ кривизны, замѣтимъ, что отрѣзокъ нормали М.V
ѳ

имѣетъ длину п = 2ша5іп-^-- Другой отрѣзокъ нормали ЛЛѴ7, отсѣкаемый
неподвижнымъ кругомъ, имѣетъ длину н', которую можно вычислить съ
п' - п а	,

помощью пропорціи ------•—-----> откуда и получаемъ інп'— (1 4- "0

7'2	ТЫ

Замѣтивъ это, имѣемъ

2 (1 4- »>) я

14-2 т

2
или ---

У

_1

п'

1
п

Слѣдовательно, точка С гармонически сопряжена съ М относительно ,ѴА'',
т. е. центръ кривизны въ каждой точкѣ М лежитъ на полярѣ
этой точки относительно неподвижнаго круга. Это свойство тотчасъ
преобразуется въ другое, если примемъ во вниманіе слѣдующее замѣчаніе.
Радіусъ О2Ѵ', очевидно, параллеленъ ОМ. Если проектируемъ четыре гар-
монически сопряженныя точки М. Лг, С, У изъ О на ОМ, то проекція А"
будетъ въ безконечности, а потому проекція /V, т. е. точка О, должна
дѣлить пополамъ проекцію МС, т. е. С проектируется въ точку, симметрично
расположенную съ М относительно О. Иными словами: центръ кривизны
въ точкѣ М лежитъ на томъ изъ діаметровъ неподвижнаго
круга, который проходитъ черезъ точку Л/'. діаметрально проти-
воположную точкѣ М на окружности подвижнаго круга.

ц) Въ предѣльномъ случаѣ т = 0 , при чемъ предполагается, что съ
приближеніемъ т къ нулю, та остается постояннымъ, а слѣдовательно, а
безпредѣльно возрастаетъ, получимъ циклоиду (у = 2 и). Наоборотъ, при
>и=со, при чемъ предполагается, что пА сохраняетъ постоянное значеніе О,
снова находимъ свойства эвольвенты круга (у = п).

Ѳ	0	1

о = 2« Іігп т зіп = а &, з = 8 а Ііт т (1 4- «') зіп2 = ,ч- а 0-.

2	4	2

Впрочемъ, ясно, что въ этомъ случаѣ, вслѣдствіе совпаденія точекъ .Ѵи-Ѵ', и
точка С должна съ ними совпасть. При т = — получимъ о = -х>, т. е.
гипоциклоида обращается въ прямую линію, что можно также видѣть, вы-
полняя построеніе нормали или центра кривизны. Иными словами: если
нѣкоторый кругъ, внутренне касаясь другого, вдвое большаго
круга, катится по этому неподвижному кругу безъ скольженія,
то каждая его точка движется по діаметру неподвижнаго круга
(рис. 56) Это свойство, которое можно прямо прочесть на чертежѣ, примѣ-
няется въ нѣкоторыхъ зубчатыхъ колесахъ. Кардіоиды также принадле-
жатъ къ роду эпициклоидъ, что видно изъ общихъ формулъ, если въ нихъ
положимъ т=1. Впрочемъ, то же самое можно видѣть и на рис. 46.
Въ самомъ дѣлѣ, принимая во вниманіе, что / РНК вдвое больше угла
Р(}К и, слѣдовательно, равенъ Ѳ, мы видимъ, что прямая НК\\ОМ и
проходитъ поэтому черезъ точку К — середину ММ', такъ какъ НК дѣлитъ
Р М' пополамъ. Отсюда слѣдуетъ, что окружность круга, построеннаго
по М М', какъ на діаметрѣ, касается въ точкѣ А’ окружности неподвижнаго
круга. Съ другой стороны, очевидное равенство угловъ О Н Л’ и М К К
показываетъ, что и дуги ОЛ'и М К обоихъ круговъ равны между собою.
Итакъ, кардіоиду можно разсматривать, какъ рулетту, описыва-
емую точкою подвижнаго круга, катящагося безъ скольженія
по другому равному ему кругу. Общій пріемъ построенія центра
кривизны приведется въ нашемъ случаѣ къ указанному уже раньше спе-
ціальному построенію. Наконецъ, въ случаѣ т = - і получаемъ астроиду
(рис. 57). Чертежъ тотчасъ показываетъ, что кругъ построенный на поло-
винѣ I. К радіуса ОК, какъ на діаметрѣ, проходитъ черезъ точку М на
астроидѣ. Такъ какъ уголъ М К Л’. очевидно, вчетверо больше угла А О К,
то дуга М К внутренняго круга всегда равна дугѣ А К внѣшняго круга.

Рис. 56.	Рис. 57.

Поэтому астроиду можно разсматривать, какъ гипоциклоиду, опи-
сываемую точкою круга, катящагося (внутренно) безъ сколь-
женія по другому неподвижному вчетверо большему кругу.
Общій способъ построенія центра кривизны приводится здѣсь къ извѣстному
уже изъ предыдущаго спеціальному, потому что на основаніи извѣстнаго
соотношенія между отрѣзками, отсѣкаемыми тоансверсалью О С на сторо-
нахъ треугольника М К К, имѣемъ_

хс - » ол:  мс - т ’ - 4-'ѵс - 3

г) Первый способъ построенія центра кривизны въ эпи- и гипо-
циклоидахъ, указанный въ упражненіи р), наводитъ на мысль изслѣдовать
кривыя, опредѣляемыя слѣдующимъ свойствомъ: въ каждой точкѣ М
на кривой радіусъ кривизны пропорціоналенъ отрЬзку нормали
между точкою М и полярою точки М относительно неподвиж-
наго круга. Мы предложили бы это изслѣдованіе читателю для упражненія.
Кромѣ названныхъ выше, этимъ свойствомъ пользуется безчисленное мно-
жество другихъ кривыхъ и, между прочимъ, коническія сѣченія. Для
нихъ неподвижный кругъ есть кругъ Монжа (Моп§е), т. е. кругъ, кон-
центрическій съ коническимъ сѣченіемъ, и радіуса, равнаго \а- + ІА. Если
въ общемъ случаѣ неподвижный кругъ сведется къ точкѣ, то получимъ
снова синусъ-спирали. Если, наоборотъ, этотъ кругъ сведется къ прямой
линіи, то получимъ кривыя Рибокура. Слѣдовательно, въ числѣ кониче-
скихъ сѣченій содержится одна синусъ-спираль и одна кривая Рибокура.
Первая получится, если положимъ а2-|-52 = 0; это будетъ, слѣдовательно,
равносторонняя гипербола. Вторая получится, если будемъ увеличивать
а2 4- Ь2 до оо, или если представимъ себѣ, что центръ кривой удаляется въ
безконечность: это будетъ парабола.

Асимптоты.

596.	Представимъ себѣ двѣ точки, двигающіяся по двумъ
кривымъ и стремящіяся къ совпаденію, въ то время, какъ прямая,
ихъ соединяющая, уходитъ въ безконечность или безостановочно
вращается около неподвижной точки. Когда подобное обстоятельство
имѣетъ мѣсто (при чемъ не исключается возможность, что при нѣ-
которомъ опредѣленномъ соотвѣтствіи между разсматриваемыми
точками оно можетъ и не имѣть мѣста), то говорятъ, что кривыя
линіи будутъ асимптотами одна относительно другой, или что онѣ
расположены асимптотически одна къ другой. Представимъ себѣ,
напримѣръ, что нѣкоторая точка М удаляется въ безконечность,
двигаясь по кривой у = / (х), такъ что разстояніе ея отъ начала
координатъ возрастаетъ безпредѣльно. Тогда, по крайней мѣрѣ,
одна изъ ея Декартовыхъ координатъ будетъ также безпредѣльно
возрастать. Если только одна изъ координатъ возрастаетъ безпре-
дѣльно, то всегда можно предположить, что этою координатою
будетъ именно абсцисса, потому что другой случай всегда сведется
къ этому путемъ замѣны у на х и обратно. Предпославъ сказанное,
разсмотримъ на другой кривой, у---=ѵ(х), точку, имѣющую для
каждаго положенія М общую съ точкою М абсциссу х. Предпо-
ложимъ далѣе, что съ приближеніемъ х къ + оо, т. е. при без-
предѣльномъ возрастаніи | аг |, разность /(х) -- % (х) стремится къ
нулю. Тогда можно утверждать, что разсматриваемыя кривыя рас-
положены асимптотически одна къ другой, и то же самое можно
сказать о кривыхъ, полярныя уравненія которыхъ будутъ г = /(0)
и г = & (0). Такъ какъ при этомъ (§ 308, с) и разность /' (х) -і?'(х)
стремится къ нулю, если она вообще къ какому-нибудь предѣлу
стремится, а не колеблется постоянно, то оказывается, что обѣ
кривыя не только стремятся пройти черезъ общую точку, но, во-
обще говоря, стремятся также пріобрѣсти общую касательную,
однако, послѣднее обстоятельство необходимо всегда тщательно
изслѣдовать.

597.	Обозначимъ въ дальнѣйшемъ черезъ х и у координаты
точки М, стремящейся въ безконечность при движеніи по данной
кривой. Если удастся опредѣлить постоянныя т и Л такъ, чтобы
у - тх — А стремилось къ нулю съ приближеніемъ а; къ + оо ,
то можно будетъ сказать, что прямая У = т Xк будетъ асимп-
тотою данной кривой. Разысканіемъ этихъ прямолинейныхъ асимп-
тотъ мы и займемся подробнѣе. Изъ уравненія

Ііт (у — тх — к) = О

тотчасъ слѣдуетъ у — тх или х — т} стремится къ конечному
предѣлу к. Такъ какъ первый множитель х безпредѣльно возра-
стаетъ по абсолютной величинѣ, то второй -- --- т необходимо
долженъ стремиться къ нулю. Слѣдовательно,

У

Ііт — = т,	Ііт (;у — тх} -= //.

Х = ±'ХХ	=

Въ послѣдовательномъ примѣненіи этихъ равенствъ (геометрически
очевидныхъ) и состоитъ правило разысканія асимптотъ кривыхъ,
заданныхъ уравненіями въ Декартовыхъ координатахъ. Въ поляр-
ныхъ координатахъ асимптоту можно опредѣлить угломъ а ея накло-
ненія къ полярной оси и разстояніемъ ея д отъ полюса. Сперва
замѣтимъ, что если -і- = /'(9) есть уравненіе данной кривой, то
У(Ѳ) стремится къ нулю, когда М удаляется въ безконечность.
Слѣдовательно, если эта функція непрерывна, то углы, образуемые
полярною осью съ асимптотами будутъ корнями уравненія /(0) = 0.
Для полнаго опредѣленія асимптоты, соотвѣтствующей нѣкоторому
данному корню а этого уравненія, достаточно замѣтить, что раз-
стояніе точки М отъ асимптоты должно стремиться къ нулю, а
потому на основаніи опредѣленія (а) должны имѣть

[Примѣчаніе. Опредѣляя формулою ц = ііт г зіп (0 — а),
нужно подъ ц подразумѣвать разстояніе, взятое съ -ф или —,
смотря по тому, слѣва или справа отъ полюса О асимптота
пересѣкаетъ полярную ось, при общепринятомъ въ Аналити-
ческой Геометріи счетѣ угла б. Въ этомъ легко убѣдиться, по-
строивъ изъ О перпендикуляръ 00 къ асимптотѣ, и прямую ОК,
параллельную асимптотѣ, а черезъ точку М прямую, параллель-
ную 00, пересѣкающую ОК въ точкѣ К, а асимптоту въ точкѣ 7Ѵ.
Тогда О^ = 1ітЛ/А’ равно Ііт г  зіп (9 — а) въ первомъ случаѣ
и равно ііт г  зіп (а — б) во второмъ.]

598.	Теперь мы докажемъ слѣдующую теорему: Если съ
удаленіемъ точки М въ безконечность касательная въ
этой точкѣ стремится къ нѣкоторому предѣльному поло-
женію, то это предѣльное положеніе есть асимптота
кривой. На этомъ основаніи въ Аналитической Геометріи асимптоты
и разсматриваютъ, какъ касательныя въ точкахъ пересѣченія кривой
съ безконечно удаленною прямой. Чтобы доказать эту теорему,
сравнимъ уравненіе касательной У=у'уѴ-(-(у— ху') съ уравненіемъ
ея предѣльнаго положенія У = тг X + /г, . Допустить существованіе
этого предѣльнаго положенія значитъ предположить, что при без-
предѣльномъ возрастаніи | х | существуютъ предѣлы чиселъ у и
у — ху', такъ что

Ііту' = т±, Ііт {у — ху') =	.

Въ то же время теорема Лопиталя даетъ

у

т = Ііт - = Ііт у' ~ т, .

.ѵ 	1

и далѣе,

ѵ
----т

1і = Ііт (у — тх) = Ііт------= Ііт (у — ху') =	,

х

что и доказываетъ теорему. То же самое можно столь же просто
вывести, пользуясь полярными координатами. Въ самомъ дѣлѣ, раз-
стояніе отъ полюса до касательной, если его считать, какъ сказано
въ примѣчаніи къ предыдущему §, равно — г зіп ы [« = /? —Ѳ, при
чемъ есть уголъ между касательной и полярною осью] и можетъ
стремиться къ конечному предѣлу лишь въ томъ случаѣ, когда ы
стремится къ предѣлу пл, гдѣ п цѣлое число. Отсюда вытекаетъ
слѣдующее: если предѣльное положеніе касательной наклонено къ
полярной оси подъ угломъ т. е. если = имѣетъ предѣлъ

то существуетъ и а = ііт О =	— пл и, кромѣ того,



— Ит —= — Ііт г « = — Ііт г зіп ш =	.

599.	Упражненія, а) Кривая у = ——> очевидно, асимптотична от-
носительно каждой изъ осей координатъ Но въ то время, какъ одна изъ
асимптотъ, ось у-овъ, можетъ быть разсматриваема, какъ предѣльное поло-
женіе, съ которымъ стремится совпасть касательная въ точкѣ М при без-
предѣльномъ возрастаніи у, о другой, оси х-овъ. этого сказать нельзя, потому
что у—ху' ни къ какому предѣлу не стремится при безпредѣльномъ воз-
растаніи | х |. Иными словами, касательная постоянно колеблется, что,
впрочемъ, видно и изъ того, что касательныя къ кривой въ безчисленномъ
множествѣ точекъ пересѣченія кривой съ осью х-овъ проходятъ по очереди
черезъ точки у = 1 и у = — 1 на оси у-овъ. Итакъ, при извѣстныхъ
условіяхъ асимптота можетъ и не быть предѣльнымъ положе-
ніемъ касательной и теорема, обратная доказанной въ преды-
дущемъ не справедлива.
Ь) Въ предыдущемъ примѣрѣ касательная, хотя и не имѣетъ предѣль-
наго положенія, стремится, однако, сдѣлаться параллельною асимптотѣ.
Иное дѣло будетъ ѵ кривой

,у = 2”И(1

которую мы разсматривали раньше (§294,1). Здѣсь направленіе касательной
колеблется такъ, что она безчисленное множество разъ дѣлается перпендику-
лярною къ асимптотѣ. Для кривой ху = [х] получается опять новое обсто-
ятельство : при безконечномъ х имѣемъ 1) Ііт у = 1 , 2) Ііт у' = 0 и
[х]

3) ііт [у — ху') = 2 Ііт - = 2, т. е. касательная стремится къ пре-
дѣльному положенію (ѵ=2), но это положеніе не совпадаетъ
съ асимптотою (у = 1). Этотъ результатъ не противорѣчитъ теоремѣ,
доказанной въ предыдущемъ §; дѣйствительно, при доказательствѣ ея мы
примѣняли теорему Лопиталя, слѣдовательно, молча предполагали, что про-
изводная у'— единственна; между тѣмъ какъ въ данномъ примѣрѣ про-
изводная слѣва совсѣмъ не существуетъ для всѣхъ точекъ, абсцисса кото-

рыхъ цѣлое число. Этотъ примѣръ
показываетъ только, что надо быть
всегда осторожнымъ въ примѣненіи
теоремы, и не забывать провѣрить,
выполнены ли всѣ ограниченія, при
которыхъ она страведлива.

сі Чтобы разыскать асимп-
тоты кривой, заданной уравненіями
х соз 0=о, _у = 6(і§0 —9) (рис. 58)
(профиль развертывающагося гели-
коида), или точнѣе говоря, той вѣтви
кривой, которая соотвѣтствуетъ зна-

I л , л\
ченіямъ 0 въ интервалѣ! - —. + уі,
надо прежде всего замѣтить, что для
безпредѣльнаго возрастанія той или
другой изъ координатъ х и у необхо-
димо приближать 0 къ + у • При
этихъ условіяхъ имѣемъ

Рис. 58.

т = Ііт -- = — ііт (зіп 8 — Ѳ соз 9) = -і- — >
ха	а

..	= ' \	, 8іп0 - Осозв + 1	,	_ 1	,

Ііт | у Т - - х = Ь ііт-----------------— Ь Ііт Ѳ = + -у ло .

\у а ]	соз Ѳ	2

Слѣдовательно, искомыя асимптоты будутъ прямыя, изображаемыя уравне-
х	у	л

ніями — Ч- у- = тг '
а	о	2

б) При разысканіи асимптотъ не
до + ОС , но и до — ОО , потому что въ

различныя асимптоты. Напримѣръ, для

мится къ ± со, получаемъ

ех — е~х
т = ііт--------= ± 1,

г+ е-х

надо забывать измѣнять х не только
обоихъ случаяхъ могутъ получиться
ех — е~х

кривой у = х--------, когда х стре-

ех + е~х

к = Ііт (у + х) = + ііт

2х
хи
и кривая асимптотична къ прямымъ, дѣлящимъ пополамъ углы между осями
координатъ (рис. 59). Болѣе простой примѣръ даетъ кривая у = агс х.

Разсмотрѣніе обоихъ случаевъ необходимо и для того, чтобы знать, по
одному или по обоимъ направленіямъ кривая приближается къ асимптотѣ.

е) Кривая у = /-----\ имѣетъ въ началѣ координатъ двѣ касатель-

Ч + ех /

ныя (рис. 60), потому что (§ 282, с) слѣва отъ начала у' = 1, а справа у' -=0.

Рис. 60.

Съ приближеніемъ х къ ± со, | ѵ| возрастаетъ безпредѣльно. Но обѣ вѣтви
кривой, получаемыя такимъ образомъ, имѣютъ одну и ту же асимптоту,
потому что 1ітвт=1 , Ііт х — 1) = 1, и слѣдовательно,
і

1 1 ,
т = Ііт-------р =	’ п =

1 — е



4

при л:=+се. Поэтому уравненіе асимптоты будетъ х — ‘Іу — ^. Къ тому же
результату еще проще придемъ съ помощью разложенія^ въ безконечный рядъ

.г 1	1

-Ѵ=" 2 ~~ 4	48? +> ' "
() Разложенія въ ряды весьма полезны при изслѣдованіи безконечныхъ
л.

вѣтвей кривыхъ. Такъ, напримѣръ, для кривой у —хех достаточно замѣтить,
что у — х + 1 + 2^ + • • •. чтобы тотчасъ обнаружить асимптоту: у = х + 1.
Такъ какъ при этомъ у безпредѣльно возрастаетъ и тогда, когда х стремится
къ нулю убывая и, наоборотъ, стремится къ нулю, когда х приближается къ
нулю возрастая, то мы видимъ, что обѣ вѣтви кривой имѣютъ найденную
выше асимптоту, а кромѣ того, одна вѣтвь имѣетъ еще асимптотою ось_у-овъ,
а другая вѣтвь исходитъ изъ начала координатъ. Подобнымъ же образомъ
і

легко убѣдиться, что кривая у = х2 ех имѣетъ единственную прямолинейную
асимптоту — ось _у-овъ (для одной правой вѣтви), но зато имѣетъ еще па-
рабоіическую асимптоту у = х2 4- х + распространяющуюся внутри лѣвой
д;2

и внѣ правой вѣтви. Замѣчательна, далѣе, кривая у =-----р, весьма похо-

жая на параболу и стремящаяся по мѣрѣ удаленія въ безконечность совпасть
съ параболою у = |(2л2— х). Если мы эту параболу передвинемъ по плос-
кости такъ, чтобы вершина ея попала въ начало координатъ, то въ этой
точкѣ обѣ кривыя—данная н парабола, будутъ касаться одна другой и въ то же
время пересѣкаться, потому что справа отъ начала у <| х2, а слѣва у>^х2.

§) Примѣняя къ гиперболической спирали (гѲ = а) формулы, выве-
денныя въ концѣ § 597, получаемъ

/(0) = 1. /(Ѳ) = ~- а = 0, 7 = «,

и находимъ такимъ образомъ снова асимптоту, параллельную полярной оси,
иа которую уже указывали раньше (§ 589, §). Такимъ же образомъ для
квадратрисы (§ 589, і) получимъ

зіп 0	..... Ѳ соз Ѳ — зіп Ѳ	,

/(«) = -ѳ ’ /(е) =---------------а = пп, д = (-\)нпла.

Аналогично этому показываютъ, что синусъ-спирали (§ 589, ш) лишь при
т < — 1 имѣютъ асимптоты въ конечной части плоскости и въ этомъ
случаѣ всѣ эти асимптоты проходятъ черезъ полюсъ и образуютъ съ поляр-
ной осью углы
л	2 л	3 л

’ т	т	т

Р

Н) Для коническаго сѣченія, заданнаго уравненіемъ г =	с05 •

имѣемъ

/(0) = ---^С05- ’	/' (9) = зіп Ѳ , соз а =	• д^ ~ ? 

7 ' Р 7 Р	к /^2- 1

Лишь для гиперболы, т. е. при 1г > 1, а — вещественное; безчисленное мно-
жество угловъ, которыхъ косинусъ равенъ • опредѣляютъ всего два раз-
личныхъ направленія, антипараллельиыхъ относительно фокальной оси ги-
Ь2	Ь2

перболы. Въ этомъ случаѣ р = —к2 — 1 =	• поэтому д = ± Ь или

д = ± Ра зіп а. Слѣдовательно, обѣ асимптоты проходятъ черезъ центръ и
отстоятъ отъ полюса, т. е. отъ фокусовъ, въ разстояніи 6.
і) Если при изслѣдованіи кривыхъ въ полярныхъ координатахъ оказы-
вается, что г стремится къ предѣлу я, когда Ѳ измѣняется до + со, то можно
утверждать, что кривая имѣетъ асимптотическій кругъ радіуса а съ
центромъ въ полюсѣ. Полезно замѣтить, что обыкновенно (§ 308, с) съ
приближеніемъ г къ а, производная г' въ то же время стремится къ нулю,
такъ что ы стремится къ ~ > а слѣдовательно, кривая стремится сдѣлаться
касательною къ кругу. Въ частности, когда а = 0 получается асимптоти-
ческая точка. Этотъ случай имѣетъ мѣсто для различныхъ разсмотрѣн-
ныхъ раньше кривыхъ (§ 589, е, §, Ь). а именно для логариѳмической и
гиперболической спиралей и для кохлеоиды. Достаточно построить конхоиды
(§ 589, ]) этихъ кривыхъ относительно полюса, чтобы получить другія кри-
выя, имѣющія асимптотическіе круги. Особенно замѣчательны конхоиды ло-
гариѳмической спирали, которыя для одной и той же данной спирали всѣ
другъ другу подобны. Въ самомъ дѣлѣ, если направимъ полярную ось отъ
полюса данной спирали къ точкѣ ея пересѣченія съ асимптотическимъ кру-
гомъ одной изъ ея конхоидъ, то уравненіе конхоиды необходимо будетъ
вида г= а (ет® + 1), гдѣ только а — радіусъ асимптотическаго круга — про-
извольно. Вѣтвь, соотвѣтствующая знаку лежитъ внѣ этого круга и
обвиваетъ его безконечное число разъ. Другая вѣтвь проникаетъ внутрь
круга, проходитъ черезъ полюсъ, въ смежности съ которымъ она имѣетъ
видъ, подобный Архимедовой спирали	а затѣмъ удаляется отъ него

безконечнымъ числомъ оборотовъ, безпредѣльно приближаясь къ окруж-
ности круга.

600.	Займемся теперь подробнѣе асимптотами алгебраическихъ
кривыхъ, и начнемъ съ тѣхъ, которыя параллельны оси ^у-овъ.
Съ этой цѣлью расположимъ уравненіе кривой, которое предполо-
жимъ приведеннымъ къ цѣлой раціональной формѣ, по убывающимъ
степенямъ _у:

уп V (•*) + У”1 (*) +уп~2 % («)+•+ Ѵп О) = о .

При безконечномъ у величина х должна стремиться къ конечному
предѣлу I, къ вычисленію котораго и сводится вопросъ. При этомь
непрерывныя функціи ф (д), ф, (х), . . . будутъ стремиться къ ко-
нечнымъ предѣламъ ф (/), ф, (/), . . . Если раздѣлимъ всѣ члены
уравненія на у11 и будемъ увеличивать I у । до оо, то найдемъ, что
ф(/) = 0. Это и есть уравненіе, каждому корню I котораго соот-
вѣтствуетъ асимптота X = I. Оставляя теперь въ сторонѣ асимптоты,
параллельныя оси у-овъ, расположимъ уравненіе данной кривой по
однороднымъ группамъ членовъ одинаковой степени. Положивъ
у = /х, можемъ написать

(12)	хп <р хп 1 (I) -|- хп 2 (р2 и) +  •  <ти (0 = б •

Но т = 1іт/ и т число конечное; слѣдовательно, если раздѣлимъ
уравненіе (12) на хп, то при безконечномъ х найдемъ дг(т) = 0.
Это уравненіе надо рѣшить, чтобы найти угловые коэффиціенты
асимптотъ. Предположимъ сперва, что т простой корень уравненія
дг(т) = 0, такъ что д/(ж)^0, и постараемся найти соотвѣтству-
ющее значеніе к. Раздѣливъ уравненіе (12) на хпЛ, получаемъ

(13)	х ([ (і) 4 ті (0 + ~~ +   • — 0;

далѣе, замѣчая, что

Ііт х {I — пі) = Ііт (у — т.ѵ) = к,
и принимая во вниманіе, что ф(т) = 0, находимъ

ііт хір (?) = Ііт х — т) • Ііт ~ = кср’(т),

на основаніи опредѣленія ср'(т). Итакъ, уравненіе (13) приводится къ

(Т) і
кср’(т) + ср1 (т) = 0 и даетъ к = — )	•

Если т кратный корень <р, то д/(т) = 0, и если при этомъ (р^т)
не равно 0, то можно сказать, что асимптота удалена въ безконеч-
ность. Если при <//(т) = 0 и = 0, то предыдущее уравненіе
не опредѣляетъ Л, и надо возвратиться къ уравненію (12). Раздѣ-
ливъ его на хп~2, получимъ

(14)	^(0 + ^ (') + Ы0 -------------------------=0-

Теперь

Ііт х2 ср (?) = Ііт х2 (і- т)2  ііт



и уравненіе (14) при безконечномъ х приводится къ

(15)

4 к2 ср" (т) + к Ѵ1' (т) + ср2 (т) = 0

и даетъ два значенія для к, соотвѣтствующія двумъ (вещественнымъ
или мнимымъ) асимптотамъ (предполагая, конечно, что <р" (т) не
равно 0). Если т тройной корень функціи §9, то, вообще говоря,
одна изъ соотвѣтствующихъ асимптотъ находится въ безконечности;
обѣ будутъ въ безконечности, если и др/(ж) = 0; наконецъ, если
всѣ» коэффиціенты уравненія (15) равны нулю, то надо снова раз-
смотрѣть уравненіе (12), раздѣлить его на д-я~3 и затѣмъ перейти
къ предѣлу при безконечномъ х, что даетъ

Л3 ср'" (іи) + к2 ср" (т) + к ср2 (т) + <р3 (т) = 0

и Т. Д.

601.	Съ помощью однородныхъ координатъ разысканіе асимп-
тотъ алгебраическихъ кривыхъ можно провести проще, пользуясь
теоремою, доказанной въ § 598. Прежде всего замѣтимъ, что
результатъ, выражаемый уравненіемъ <р(?и)=0, можно формули-
ровать слѣдующимъ образомъ: если въ уравненіи кривой и-го по-
рядка откинемъ всѣ члены степеней ниже и, то полученное уравненіе
будетъ изображать систему прямыхъ, проведенныхъ черезъ начало
координатъ параллельно п асимптотамъ кривой; эти прямыя могутъ
быть вещественными или мнимыми, различными или совпадающими одна
съ другой. Это сдѣлается, такъ сказать, очевиднымъ, если положимъ

Ф (х, у, г} — хп + г/”1 9>і	Фг + •  ,

чтобы привести уравненіе кривой къ однородному виду, и замѣтимъ
потомъ, что написать уравненіе д> = 0- все равно, что положить
г — 0 въ уравненіи Ф = 0, т. е. разсмотрѣть п точекъ пересѣченія
кривой съ безконечно удаленною прямою. Теперь напишемъ урав-
неніе касательной (§ 587)

(16)	х^ + Уд^ + 2дФ- = 0

дх ду дг

и, чтобы выразить, что точка касанія уходитъ въ безконечность,
положимъ въ коэффиціентахъ этого уравненія г = 0. Получится
уравненіе, однородное относительно х и у. Изъ этого уравненія и
того, которое получится изъ Ф = 0 при г = 0, исключаемъ отно-
шеніе • Въ результатѣ и получится уравненіе, изображающее
совокупность асимптотъ. Въ сущности, эта метода не отличается
отъ изложенной выше. Въ самомъ дѣлѣ, при г = 0, имѣемъ
Ф =	т. е. Ф = 0, когда ~ принимаетъ значеніе, рав-

ное т, удовлетворящее уравненію гр(т} = 0. Кромѣ того, имѣемъ
(при г = 0)

Хдх+У ду-°- ду-х *\х) дз~х

слѣдовательно,

3Ф	п—і ,, , д Ф п_і . д Ф	я_! , ѵ

— =	= *	<р'(т),	хп

и уравненіе (16) въ неоднородныхъ координатахъ принимаетъ видъ

У=

у (т)

602.	Упражненія, а) Дана кривая х3Уу3— Заху — 0, носящая на-
званіе Декартова листа (Роіішп Саіѣезіі). Для разысканія углового коэф-
фиціента асимптоты имѣемъ уравненіе 1 4- т3 = 0, имѣющее одинъ веще-
ственный корень т = — 1; далѣе,

, со-, (т)	3 та

1г = — - )	' = -=—= — а .

<р' (т)	3 тг
Слѣдовательно, кривая имѣетъ только одну вещественную асимптоту, изобра-
жаемую уравненіемъ х + у + а = 0. Въ приложеніяхъ нѣтъ надобности
помнить формулы, выведенныя въ § 600; достаточно помнить только пріемъ,
съ помощью котораго эти формулы были выведены. Такъ, въ нашемъ при-
мѣрѣ, замѣтивъ, что х +_у единственный вещественный множитель сово-
купности членовъ наивысшей степени х3+ >’3, можно прямо написать урав-
неніе асимптоты

\л ху -р у і у — — х

а.

Къ тому же результату придемъ, пользуясь разложеніемъ у въ рядъ:

У = - х - а + з + “ з х3 +    •

Ь)	Разсмотримъ болѣе общее уравненіе

(х — у) (л:2 — 2 кху +у2) = 2 (1 + к) аху,

дающее при к — | опять Декартовъ листъ, а при к = 0 другую важную
кривую — логоциклику. При к2 < 1 существуетъ только одна вещественная
асимптота, изображаемая уравненіемъ

х + у =

' 2 (1+^) аху \

Л2- 2 кху +у2)^

— а,

такъ что всѣ кривыя, соотвѣтствующія различнымъ значеніямъ к, имѣютъ
общую асимптоту х + у + а = 0. Напротивъ' того, всѣ кривыя, для кото-
рыхъ /г2>1, имѣютъ еще двѣ другія вещественныя асимптоты, параллельныя
прямымъ

х2 — 2 кху 4-у2 — (у — тх) (у — т'х) = 0,

гдѣ т — к ± |/^2_ Уравненіе одной изъ асимптотъ есть

' 2(1 + ^) аху \	_ 2(І-|- Л) та _ та

,(^+д') (У ~ т'х)І!/ = тх'~ (1 +т)(т— т') т - 1

такъ что для изображенія обѣихъ асимптотъ получается уравненіе

Д = + 4- « ± (а +	Ѵ& - 1 .

2	\ к — 1 /

Эти асимптоты пересѣкаются въ точкѣ х — у =

1 -г

уголъ, косинусъ котораго равенъ -&• Іолько при
проходятъ черезъ одну точку и соотвѣтственно
равносторонняго треугольника.

а —	ы  2(^-1)	образуютъ
к = 2 всѣ три	асимптоты
параллельны	сторонамъ

с)	Чтобы показать примѣненіе однородныхъ координатъ, разсмотримъ
снова Декартовъ листъ и положимъ

Ф(х, у, г) — х^ +_у3 — 3 аху г,
чтобы затѣмъ приложить сказанное въ предыдущемъ §. При « = 0 имѣемъ

и уравненіе всѣхъ асимптотъ получится черезъ исключеніе изъ уравненій

л:3 + Т'3 = 0, X х2 + Уу2 — аху = 0,

или, черезъ исключеніе т изъ уравненій 1 + »г3 = 0 и х + т2у = та
(если обозначимъ текущія координаты X и У буквами х и у). Выполняя
это исключеніе, получимъ уравненіе

х3 4~Д8 + я3 = 3 аху,

которое разлагается на слѣдующія три

лг+_у4-л = 0, х ‘4- (уу + а = 0, „ѵ+ и2_у 4- ыа = 0,

гдѣ и — мнимый кубическій корень изъ 1. Слѣдовательно, Декартовъ листъ,
кромѣ вещественной асимптоты х 4- у 4- а = 0, имѣетъ еще двѣ мнимыя,
пересѣкающіяся въ точкѣ (а, а). Полученное уравненіе можно было бы
прямо написать, исходя изъ того замѣчанія, что общее уравненіе всѣхъ
асимптотъ алгебраической кривой я-го порядка должно получиться изъ урав-
ненія самой кривой, если въ немъ измѣнимъ коэффиціенты при членахъ
ниже (я--І)-го порядка такимъ образомъ, чтобы уравненіе разложилось на
п линейныхъ уравненій. Въ случаѣ Декартова листа это замѣчаніе прямо
приводитъ къ цѣли, потому что, какъ мы уже знаемъ (§ 473), достаточно
прибавить а3 къ л:3 4-_у3 — 3аху, чтобы получить значеніе циркулянта
(х, у, а), который разлагается на три линейныхъ множителя.

3) Положимъ еще

Ф(х, у, г) = ах2 4- Ьу2 4- сг2 4- 2/уг 4- 1 §зх 4- 2 кху.

Уравненіе касательной будетъ

(ах 4- ку 4- X 4- (кх 4- Ьу + /г) У 4- (§х X/у 4- сг) X = 0.

Положивъ в = 0 и 2. = 1, получаемъ

(а X 4- к У + ,§•) х 4- (к X 4- Ь У 4- /) у = 0

и надо будетъ исключить изъ этого уравненія и уравненія

ах2 4- Ьу2 4- 2 Ііху = 0.

Тогда, замѣнивъ опять X и У черезъ х и у, получимъ

а (кх 4- Ьу 4-/)2+ Ь(ах X ку 4-^)2 - 2 к (ах 4- ку 4- (кх 4- Ьу ХЛ = 0

или

а	к

к	Ь

ах X ку X X кх X Ьу X Г

ах X ку X X
кх 4- Ьу X/

0

= 0.
Вычитая изъ послѣдняго столбца первый, умноженный на х, и второй, умно-
женный на у, и поступая также со строками, находимъ

Итакъ, уравненіе совокупности

всѣхъ асимптотъ коническаго сѣченія

ал'2 + Ьу- 4- с 4- 2/у 4- 2&х -ф 2 кху = 0

получимъ, поставивъ въ правой части вмѣсто нуля —р • гдѣ 1) дискри-
минантъ формы Ф. Къ этому результату можно придти быстрѣе, пользуясь
тѣмъ же замѣчаніемъ, которое мы примѣнили въ предыдущемъ примѣрѣ;
оно приводитъ къ замѣнѣ числа с, такимъ числомъ с', чтобы уравненіе
разложилось на два линейныхъ. Для этого необходимо, чтобы новый дис-
криминантъ

ак	у, ।	а	к	%

к Ь	/ |	= !	к	Ь	/

ё / с' I ' ё / с

к Ь О

ё / с' - с

= I) 4 (аЬ — к-) (с'— с)

обратился

въ нуль, откуда и получаемъ

аЬ

а	*	ё

к	Ь	/

ё / с - '!>

а к 0

Особенности плоскихъ кривыхъ.

603.	Точки изгиба (ХѴепйерипкІе). Нѣкоторыя особенности,
проявляющіяся въ извѣстныхъ точкахъ кривой, и вліяющія на ея
форму, даютъ основаніе называть эти точки особенными (зіп^и-
Іаге Рипкіе). Такъ, напримѣръ, въ тѣхъ точкахъ, въ которыхъ у' = 0,
является та особенность, что ордината кривой, вообще говоря, бу-
детъ максимумъ или минимумъ, однако, такія точки не причисляются
къ особеннымъ, потому что достаточно измѣнить направленіе осей,
чтобы эта особенность передвинулась въ другое мѣсто. Но это уже
не относится къ такимъ точкамъ, въ которыхъ у" =0; эти точки
называются точками изгиба и будутъ особенными, потому что
въ нихъ кривизна равна нулю, т. е. онѣ обладаютъ свойствомъ,
которое нельзя уничтожить перемѣною координатныхъ осей. Впро-
чемъ, легко показать и непосредственно, что въ смежности съ
точкою М кривая не такъ расположена относительно касательной,
какъ въ смежности съ обыкновенными точками. Если перенесемъ
начало координатъ въ М и направимъ координатныя оси по каса-
тельной и по нормдли, то по опредѣленію у", какъ производной
отъ у', будемъ имѣть Ііт ~ =0*), и по теоремѣ Лопиталя Ііт = 0..
Слѣдовательно, разстояніе отъ касательной въ точкѣ М до безко-
нечно близкихъ къ М точекъ на кривой будетъ безконечно
малымъ выше 2-го порядка, такъ что можно сказать, что въ
смежности съ точкою изгиба кривая тѣснѣе примыкаетъ къ каса-
тельной, чѣмъ въ обыкновенныхъ точкахъ. Далѣе, чтобы оправдать
названіе точки изгиба, замѣтимъ, что у", обращаясь въ нуль,
вообще говоря, измѣняетъ свой знакъ, а поэтому (§ 348, <і), при
переходѣ черезъ такую точку выпуклость кривой переходитъ въ
вогнутость и наоборотъ. Слѣдовательно, здѣсь дѣйствительно про-
исходитъ изгибъ кривой въ обыкновенномъ смыслѣ слова, и каса-
тельная пересѣкаетъ кривую. Это обстоятельство, однако, не будетъ
имѣть мѣста, если у" сохраняетъ постоянный знакъ въ смежности
съ М, и когда нуль есть максимумъ или минимумъ функціи у".
Отсюда слѣдуетъ, что абсциссы точекъ, въ которыхъ касательная
пересѣкаетъ кривую, будутъ простыми корнями, или корнями
нечетной кратности функціи у" (§ 313). Это объясняется также
весьма просто тѣмъ, что эти значенія х дѣлаютъ у' максимумомъ
или минимумомъ, т. е. будутъ абсциссами тѣхъ точекъ на кривой,
въ которыхъ касательная перестаетъ вращаться въ одномъ напра-
вленіи и начинаетъ вращаться въ другомъ. Это ясно видно и изъ
формулы (7).

604.	Чтобы разыскать точки изгиба кривой у—/(х), надо
рѣшить уравненіе /”(х) = 0 или другое (§ 594), ему равносильное,
выражающее, что кривизна равна нулю. Если, напримѣръ, кривая
задана уравненіями х = §?(/), у — ф(/), то вмѣсто у" = 0 удобнѣе
взять уравненіе Лх Лгу — сіу Лгх = 0, иными словами, точки изгиба
соотвѣтствуютъ тѣмъ значеніямь і, которыя обращаютъ въ нуль
функцію д/(7)ф"(/)—-(/(О- Если же кривая задана въ полярныхъ
координатахъ, то надо пользоваться уравненіемъ г3-|-2 г'"1 — гг" = 0,
исключая корни уравненія г = 0 (очевидно, кратные), а если урав-
неніе кривой задано въ видѣ — =/(Ѳ), то надо рѣшить уравненіе
/ + /"=0.

[Примѣчаніе. По формулѣ (8) -у = 0, когда

(1)	г2 + 2 г'2 — гг" = 0,

а гг -|- г'г не равно 0; поэтому и надо
г = 0, для которыхъ при условіи (1)
уравненіе (1) обратится въ

исключить корни уравненія

и г'= 0. Если г = -К , то

при у не равномъ 0. ]

‘) Потому что при нашемъ выборѣ осей у и у' равны 0 при х = 0.
Если, наконецъ, кривая задана уравненіемъ /(.х, у) = 0 въ

Декартовыхъ координатахъ, то уравненіе, дающее точки изгиба,				
будетъ	д2/ д х2	д2/ дхду	д/ д х	
(17)	д2/ дхду	д2/  -ду2	<>/ ду	= 0
	д/ д х	ду	0	

(по формулѣ (9)], при чемъ исключаются тѣ точки, для которыхъ
и Л/ = 0. Въ случаѣ алгебраическихъ кривыхъ уравненіе (17)
можно представить въ замѣчательной формѣ, предполагая, что урав-
неніе кривой приведено къ однородному виду. Пусть п будетъ
степень уравненія; умножимъ въ написанномъ выше опредѣлителѣ
послѣдній столбецъ на п — 1, затѣмъ вычтемъ изъ него первый
столбецъ, умноженный на х, и второй, умноженный на у; потомъ
повторимъ тѣ же операціи со строками. Первые два элемента по-
слѣдняго столбца или послѣдней строки обратятся тогда (§371) въ

дх \ д х2 дхду] дхдг

. , д2/\ д2/

' ду \ дудх д у2 ] дудя

а послѣдній элементъ въ

- 1) +^}

' \ дх ду] \ дхдг дудя]

-(-о.

дг V дг	дг2 /

<)2 /

что приведется къ г2 . Разсматриваемое уравненіе приметъ, слѣдо-
вательно, видъ

д2/ дх2	д2/ дхду	д2/ дхдг	
д2/ дудх	д2/ ду2	д2/ дудх	= 0
д2/ дгдх	л2/ дгду	<)-’/ дг2	

Итакъ, чтобы опредѣлить точки изгиба алгебраической
кривой /=0, надо приравнять нулю Гессіанъ //функціи у,
приведенной къ однородному виду (см. §§378 и569). Кривая Н=0
называется кривою Гессе отъ данной кривой /=0. Точками изгиба
данной кривой будутъ, слѣдовательно, точки пересѣченія данной
кривой съ ея кривою Гессе; а такъ какъ послѣдняя порядка 3(и — 2),
то число точекъ изгиба, вообще говоря, равно Зи(и —2). Такъ
напримѣръ, коническія сѣченія совсѣмъ не имѣютъ точекъ изгиба;
кривыя 3-го порядка имѣютъ ихъ девять (изъ коихъ 6 всегда мни-
мыя) и т. д. Надо замѣтить, припоминая формулу (9), что всякая
общая точка кривыхъ / = 0 и // = 0 только тогда будетъ точкою
изгиба, когда ея координаты не обращаютъ въ нуль Д/т. е. когда
первыя производныя отъ /' не равны нулю одновременно. Условіе
Д/ = 0, одновременно съ / = 0, даетъ другія особенныя точки,
которыя также удовлетворяютъ уравненію (17) и потому лежатъ
на кривой Гессе. Объ этихъ точкахъ мы вскорѣ будемъ говорить
(§ 606); здѣсь замѣтимъ только, что ихъ существованіе уменьшаетъ
число Згг (п — 2) точекъ изгиба.

605. Упражненія, а) Для квадратрисы у = х соі§ имѣемъ

„ 2 (у — а)	.	.	, ,

у" =’ и уравненіе, опредѣляющее точки изгиба будетъ у = а,

--
а

предполагая, что .ѵ.-=0. Слѣдовательно, центральная вѣтвь не имѣетъ точекъ
изгиба, но касательная въ вершинѣ пересѣкаетъ всѣ другія вѣтви въ соот-
вѣтствующихъ точкахъ изгиба. Нормали къ кривой во всѣхъ этихъ точкахъ
проходятъ черезъ начало координатъ.

Ь)	Фигура кривой, изображаемой уравненіемъ у = х

(§ 599, 3)

обнаруживаетъ двѣ точки изгиба, симметричныя относительно оси у-овъ; и
дѣйствительно, уравненіе у"=0 приводится къ у=1 — уравненію прямой,
пересѣкающей данную кривую въ двухъ точкахъ изгиба

ч _	.> е - 1	.	,

с)	Для кривой у = .ѵ----------- уравненіе точекъ изгиба слишкомъ сло-

жно, чтобы можно было съ пользою ихъ примѣнить. Но о формѣ кривой
можно составить заключеніе, замѣтивъ, что эта кривая (рис 61) проходитъ
черезъ начало координатъ, касаясь въ немъ оси .г-овъ (см. § 294, Ь), и
уходитъ въ безконечность, имѣя асимптотою прямую у = ^х. Кромѣ того,
разложеніе

показываеіъ еще. что кривая асимптотична къ гиперболѣ х2 — 2 ху = |.
Это облегчаетъ ея приближенное вычерчиваніе и даетъ основаніе предполо-

жить, что кривая въ трехъ точкахъ, въ томъ числѣ въ началѣ координатъ,
образуетъ изгибы. Однако, должно замѣтить, что точка О не будетъ точкою
изгиба, и такимъ образомъ получае ся примѣръ кривой, которая пересѣ-

каетъ свою касательную къ точкѣ, не принадлежащей къ точкамъ
изгиба. Дѣйствительно, мы знаемъ (§ 314, і). разсматривая у", какъ произ-
водную отъ у' справа и и слѣва, что при х = 0, у"= -|- 2 или у"= — 2.

Достаточно, впрочемъ, замѣтить, что Ііт

= ± 1, чтобы увидѣть, что
точкѣ О не достаетъ существеннаго признака точекъ изгиба, а именно
разстояніе между касательной въ точкѣ О и точками, безко-

нечно близкими къ О на кривой, есть безконечно малая не выше
2-го порядка, а именно 2-го, какъ для обыкновенныхъ точекъ.

б) Чтобы убѣдиться, насколько полезно имѣть вѣрный аналитическій
признакъ точки изгиба (>’"= 0) достаточно построить кривую у = ех + зіпх,
прибавляя къ каждой ординатѣ логариѳмической кривой величину зіп х.
Грубый чертежъ привелъ бы къ заключенію, что кривая при х>0 изгибается
безконечное число разъ, между тѣмъ это несправедливо, потому что функція
у"= ех— зіп х положительныхъ корней не имѣетъ, такъ какъ при х > О
^>1 > зіп х. Наоборотъ, при х < 0 кривая имѣетъ безчисленное множество
точекъ изгиба, а именно въ точкахъ пересѣченія кривыхъ у = 6х и у = зіп х.

е) Для улитки (г = а соз б-Гбу легко найдемъ

г1 2 + 2;г'- — гг" = 2 а2 -4- Ь- + 3 а Ь соз 8.

Чтобы эта функція отъ 8 могла имѣть вещественные корни, необходимо,
чтобы 2 а2 + Ь2 были не больше 3 а Ь; слѣдовательно, Ь должно заключаться
въ интервалѣ (а, 2 а), но нижнюю границу а надо исключить, потому что
при Ь—а получаемъ Ѳ=я, а это двойной корень функціи г. Слѣдовательно,
(см. § 589, к) единственныя улитки, имѣющія точки изгиба, будутъ тѣ, для
которыхъ Ь > а и 5 2 а.

1) Изъ всѣхъ конхоидъ прямой линіи (§ 589, р разсмотримъ тѣ, ко-

торыя проходятъ черезъ полюсъ. Изъ ихъ уравненія (г—а) соз 8=я находимъ
для опредѣленія точекъ изгиба уравненіе соз3 8 -|-3 соз2 8 — 2 = 0, дающее для
соз 8 значенія — 1, — 1 +	—1 - ( "З. Первое значеніе надо отбросить,

потому что оно обращаетъ въ нуль г и г', послѣднее не даетъ веществен-
наго значенія для 4; остается второе, дающее г —	(3 + 1^3 ). Это число

есть радіусъ того круга, съ центромъ въ полюсѣ, который пересѣкаетъ
кривую въ двухъ ея точкахъ изгиба. Легко показать, что точки изгиба
всѣхъ конхоидъ одной и той же прямой относительно одного и того же
полюса лежатъ на полукубической параболѣ х1 = 4 ау2.

§) Въ заключеніе предложимъ себѣ вопросъ: могутъ ли конхоиды
логариѳмической спирали (§ 599, і) имѣть точки изгиба, хотя а ргіогі кажется,
что такихъ точекъ не должно быть? Изъ уравненія г = а ±1) выводимъ

г2 + 2 г'2 — гг" = (1 г2 + 2 т2 аг + 2 т2 а2

и видимъ, что при т2 < 8 этотъ трехчленъ для вещественныхъ г въ нуль
не обращается. Отсюда слѣдуетъ, что искомыя спирали будутъ въ числѣ
тѣхъ, которыя пересѣкаютъ радіусы векторы подъ достаточно малымъ угломъ,
а именно такимъ, синусъ котораго меньше 1/3. Каждая изъ этихъ конхоидъ
имѣетъ двѣ точки изгиба, соотвѣтствующія значеніямъ г, лежащимъ между
а и 2 а. Дуги безчисленнаго множества конхоидъ одной и той же спирали,
концы которыхъ лежатъ въ точкахъ изгиба, видны изъ полюса подъ посто-
яннымъ угломъ, который при т = 2 1-^2 равенъ нулю, и при очень боль-
шомъ т весьма малъ.

606.	Кратныя точки. Для опредѣленія касательной въ точкѣ,
лежащей на кривой /(х, у), какъ извѣстно (§ 572), имѣемъ уравненіе

(18)

д/
д у

= 0,



•	,		&/ д/

которое даетъ значеніе у въ предположеніи, что и ~ непре-
рывны и, кромѣ того, ^ '<0. Если же въ точкѣ М ~ = 0, то
нельзя уже утверждать, что въ смежности съ М у есть функція
отъ х, т. е., что каждому значенію х соотвѣтствуетъ одно и только
одно значеніе у; но вслѣдствіе предположенной непрерывности, для
точекъ въ смежности съ М это будетъ справедливо, т. е. для
точекъ М', безконечно близкихъ къ М, производная у существуетъ
и опредѣляется уравненіемъ (18). Когда М' стремится къ М,
д/	.	д/	.

стремится къ нулю, между тѣмъ, какъ ~ стремится къ предѣлу,
вообще говоря, не равному нулю, такъ что у стремится къ безко-
нечности. Отсюда слѣдуетъ, что въ точкѣ М касательная парал-

лельна оси _у-овъ, и въ этомъ никакой особенности
Но если и стремится къ нулю, то безъ особаго
значеніи у' въ точкѣ М ничего сказать нельзя,
обращается въ тождество, и надо прибѣгнуть къ
ренцированію, которое дастъ

(19)

дх2 + У дхдуУУ бу2'У бу

не заключается,
изслѣдованія о
Уравненіе (18)
новому диффе-
Допустимъ, что съ приближеніемъ М' къ М у' стремится къ ко-
нечному предѣлу и постараемся его найти. Замѣтимъ при этомъ,

что если бы у’ стремилось къ безконечности, то достаточно было
бы вмѣсто разсмотрѣть отношеніе ^у (стремящееся къ нулю),
чтобы убѣдиться, что нижеслѣдующіе результаты остаются справед-
ливыми. Теперь докажемъ прежде всего, что _/"^у не можетъ
стремиться къ предѣлу, отличному отъ нуля. Для этого воспользу-

емся теоремою Лопиталя и напишемъ

,д/

, У ду
Ііт у'= Ііт —-у =
д/
ду

I У'д/\

1іт

і, Ах ду /

Такъ какъ функція

Ахду дхду У ду2

по предположенію, конечна, то Ііт/" ^у = 0. Поэтому, при пере-
ходѣ къ предѣлу, уравненіе (19) обращается въ

(20)

02/ , „ , д2Г ,.,д2Г
д х2 У дхдуУУ ду2

= 0,

гдѣ вторыя производныя функціи у относятся къ точкѣ Л/, а у’
обозначаетъ предѣлъ, къ которому стремится у’, когда точка Мг
стремится къ М. Слѣдовательно, для у’ въ точкѣ М имѣемъ два
значенія, т. е. кривая въ точкѣ М' имѣетъ двѣ касательныя, которыя
могутъ быть вещественными и различными или совпадающими въ
одну, или мнимыми, что зависитъ отъ знака опредѣлителя

(21)

дх2

дхду

дхду
дѴ
ду2

Въ первомъ случаѣ точка М называется двойною, во второмъ
точкою возврата (КіісккеЬгрипкі или Зрііге), и въ третьемъ
уединенною или изолированной точкою, такъ какъ въ смеж-
ности съ нею нѣтъ вещественныхъ точекъ кривой (рис. 62). Дѣй-
ствительно, если опредѣлитель (21) положительное число, то, какъ
извѣстно (§ 379), функція / въ точкѣ М имѣетъ максимумъ или
минимумъ, а такъ какъ ея значеніе въ М равно нулю, то въ смеж-
ности съ М функція / постоянно меньше 0 или постоянно больше О
(изолированная точка). Если, напротивъ того, опредѣлитель (21) мень-
ше 0, то угловое пространство около М раздѣляется (см. § 570) на двѣ
области: въ одной изъ нихъ вблизи Л/у>0, въ другой /< О, и
эти области вполнѣ разграничиваются тѣми прямыми, по направленію
которыхъ / стремится сохранить значеніе нуль. Эти прямыя и будутъ
какъ разъ двѣ касательныя къ кривой у= 0 въ точкѣ М *). Пре-

Рис. 62.

дыдущее изслѣдованіе, однако, не достаточно строго. Чтобы его
провести съ полною строгостью надо было бы руководиться сообра-
женіями, аналогичными тѣмъ, которыми мы пользовались въ § 572 ')•

607.	Резюмируя изложенное выше, можемъ сказать, что при
разысканіи разсматриваемыхъ особенныхъ точекъ на кривой / = о,
надо приравнять нулю рервыя производныя отъ / похипо^,
найти всѣ рѣшенія х = «, у = Ъ этихъ уравненій и удержать тѣ
рѣшенія, которыя удовлетворяютъ и уравненію кривой. Подставляя
эти рѣшенія во вторыя частныя производныя функцій у, надо раз-
смотрѣть случай	и |^ = 0. Если ^{^0, то получается двой-

ная точка, точка возврата или изолированная точка, смотря по тому,
у Г I ^2 / \2

будетъ ли функція (21) т. е.	<0, =0 или >0.

Если, далѣе, = 0, но	0, то уравненіе (20) имѣетъ

одинъ безконечный корень, и получается двойная точка, въ которой
одна изъ касательныхъ параллельна оси у-овъ. Если въ точкѣ (а, Ь),
д2/~	д2 С	с,2/’

-у— = 0, и •( - = 0, но ==0, то уравненіе (20) имѣетъ оба
о у2	дхоу	ду2	г	'

безконечныхъ корня, и получается точка возврата съ касательною,
параллельною оси у-овъ. Наконецъ, можетъ случиться, что всѣ три
производныя 2-го порядка обратятся въ нуль въ точкѣ х —а, у = Ь.

*) Точка возврата соотвѣтствуетъ тому случаю, когда опредѣлитель
(21<) равенъ 0, и уравненіе (20) имѣетъ равные корни.

!) См. Э’Агсаіз. „Согзо сіі Саісоіо іпііпііе5іта1е“ ѵоі. 1, рр. 509—515.
Тогда уравненіе (20) обращается въ тождество и надо прибѣгнуть
къ слѣдующему

Ц2 /'	, , д'л /'

—< ц- з ѵ'------ъ_

д Л'1	' д х- ду

+ 3у':

дх ду1

ук, = 0.
ду

Это уравненіе даетъ вообще три значенія для у', такъ что полу-
чается тройная точка. Продолжая идти тѣмъ же путемъ приходимъ
къ понятію о т — кратной точкѣ или кратной точкѣ порядка т.
Она характеризуется геометрически тѣмъ, что принадлежитъ т
вѣтвямъ кривой, вещественнымъ или мнимымъ, а аналитически тѣмъ,
что въ ней обращаются въ нуль всѣ частныя производныя порядка
ниже т и, по крайней мѣрѣ, одна изъ производныхъ порядка т
не равна нулю. Если приведемъ уравненіе кривой къ однородному
виду, то проще еще можно сказать, что т — кратная точка харак-
теризуется тѣмъ, что въ ней обращаются въ нуль всѣ частныя
производныя порядка (;« —1)-го. Въ заключеніе замѣтимъ еще, что
всѣ кратныя точки, какъ и точки изгиба, лежатъ на кривой Гессе,
и можно сказать, что онѣ и для этой кривой будутъ кратными
точками.

608.	Точки возврата. Изъ двойныхъ точекъ наиболѣе замѣ-
чательны точки возврата, потому что въ смежности съ ними, какъ
и съ точками изгиба, расположеніе кривой относительно касательной
является исключительнымъ. Въ самомъ дѣлѣ, если примемъ разсма-

триваемую точку за начало координатъ и направимъ координатныя
оси по касательной и по нормали, то ясно, чтъ вмѣстѣ съ х и у
функція у и ея первыя и вторыя частныя производныя, за исклю-
ченіемъ , должны обратиться въ нуль, потому что уравненіе (20)

должно имѣть двойной корень у = 0. Далѣе, такъ какъ вообще

не равно 0 въ началѣ координатъ, то уравненіе кривой должно
принять видъ уг— кх3, если отбросимъ безконечно малыя выше
3-го порядка. Это значитъ, что въ смежности съ точкою возврата
кривая имѣетъ форму,весьма близкую къ полукубической параболѣ
(у2 = (?х3), и потому лежитъ по одну лишь сторону отъ нормали,
развѣтвляясь на двѣ вѣтви, отдѣленныя одна отъ другой касательною.
Это общій случай и, когда онъ имѣетъ мѣсто, говорятъ, что имѣемъ
точку возврата перваго рода, сохраняя названіе точки воз-
врата второго рода для исключительнаго случая, когда вѣтви
кривой не отдѣляются касательною. Этотъ случай можетъ наступить
()3 у

лишь тогда, когда и — 0 въ разсматриваемой точкѣ. Въ общемъ

случаѣ ІітІ—д = <ж>, такъ что кривая сильнѣе удаляется отъ
касательной, чѣмъ въ обыкновенной точкѣ. Отсюда заключаютъ,
что въ точкѣ возврата кривизна вообще безконечна; иными
словами, радіусъ кривизны равенъ нулю, а такъ какъ, обращаясь
въ нуль, онъ вообще мѣняетъ знакъ, то и инымъ путемъ становится
ясно, почему точки возврата 2-го рода являются, какъ исключеніе.

609.	Теперь умѣстно будетъ вернуться на минуту къ вопросу
о разысканіи точекъ изгиба кривыхъ, заданныхъ уравненіями въ
полярныхъ координатахъ. Въ § 604 мы исключили тѣ значенія 9,
которыя, обращая въ нуль функцію г2-|-2г'2 — гг", одновременно'
обращаютъ въ нуль г, потому что они обращаютъ въ нуль
и г', а слѣдовательно, и г4 -|- г'2, такъ что ничего нельзя ска-
зать о томъ, что тогда дѣлается съ кривизною. Не трудно
даже показать, что кривизна, вообще говоря, не только не стре-
мится къ нулю, а напротивъ, возрастаетъ безпредѣльно, такъ что
вмѣсто точки изгиба получается точка возврата. Итакъ, чтобы
узнать, будетъ ли полюсъ точкою изгиба, надо приравнять нулю
полное выраженіе кривизны, а не одного числителя этого выраженія,
или непосредственно изслѣдовать ходъ кривой около полюса.
Положимъ, что г = 0 при 6 = а, и разсмотримъ въ смежности съ
полюсомъ точку на кривой, имѣющую координаты х = г соз (9 — а),
у=гзіп(Ѳ —а), если координатныя оси направлены по касательной
и по нормали въ полюсѣ. Очевидно, что съ приближеніемъ Ѳ къ а,

х2 г соз2 (ѳ — а) 1 г 1 ,
о = Ііт ; = Ііт „ . Д-----у = Ііт -------=	г',

ѵ 2 у 2 зіп (8 — а) 2	8 — а 2

на основаніи опредѣленія производной г', которую надо вычислить
для 0 = а. Впрочемъ, и вторая изъ формулъ (8) приводится при
г—0, г'ЗгО, къ равенству д — Слѣдовательно, если г' обра-
щается въ нуль вмѣстѣ съ г при 9 = а, то р = 0. Чтобы получить
точку изгиба, надо было бы имѣть г' = оо.

610.	Упражненія, а) Для Декартова листа, изображаемаго уравне-
ніемъ л3 +д>8 = 3 аху, начало координатъ двойная точка, потому что-
1 д/ „	1 д/ „	,	п .

у ~ = х2— ау, —= у2— ах обращаются въ нуль при х = у = 0 (какъ

при х = у = а, но послѣднія значенія не удовлетворяютъ уравненію кривой).
іа2/-	іа2/	і <//

Далѣе, < = 2 х,	= — а, -у -уЧ = 2у. Слѣдовательно, урав -

3 дх2	3 дхоу	3 ду2

неніе (20), приводящееся здѣсь къ 0 + у'-\- 0 -у'2 = 0 имѣетъ одинъ корень,
равный 0, а другой — безконечный. Кривая, слѣдовательно, касается обѣихъ
координатныхъ осей въ началѣ координатъ (рис. 63). Впрочемъ, чтобы придти
къ этому результату, вовсе нѣтъ надобности прибѣгать къ общей методѣ.
А именно, если допустимъ, что съ приближеніемъ х къ нулю у' стремится
къ нѣкоторому конечному предѣлу, и напишемъ уравненіе кривой въ видѣ
х ) =3 Я ^х’ Т° тотчасъ же Увидимъ, что этотъ предѣлъ ^равный Ііт

равенъ нулю. Слѣдовательно, кривая касается оси х-овъ въ началѣ коор-
динатъ, а по причинѣ симметріи, она касается и оси .у-овъ. Если желаемъ
составить себѣ понятіе о фигурѣ кривой въ смежности съ началомъ коорди-

натъ, то достаточно приближать х къ нулю такъ, чтобы н — стремилось къ
нулю и отбросить въ уравненіи кривой безконечно малыя выше 3-го порядка.
Тогда увидимъ, что вѣтвь, касающаяся оси л-овъ уподобляется параболѣ
х2=3ау, а слѣдовательно, вѣтвь, касающаяся оси у-овъ— параболѣу2=3ах.

Къ подобнымъ же заключеніямъ приводитъ изслѣдованіе логоциклики и
общихъ кривыхъ, разсмотрѣнныхъ въ § 602.

Ь) Кривая х* = (х2 — у2') у (рцс. 64) имѣетъ въ началѣ координатъ
тройную точку, что можно показать съ помощью изложенной въ § 607 ме-
тоды, или проще и скорѣе, написавъ уравненіе кривой въ видѣ	)

Приближая х къ 0, получимъ уравненіе
у'— у/з=о, откуда для у' въ началѣ
координатъ получаются три значенія
О, 1 и —1. Для построенія кривой полезно
взять за независимую перемѣнную і =
и замѣнить уравненіе кривой двумя урав
неніями х = і — и у = /2 — Л На
чертежѣ указаны границы интерваловъ,
въ которыхъ измѣняется і, когда
движущаяся точка, выйдя изъ безко-
нечности, описываетъ данную кривую-
чтобы снова удалиться въ безконечность,
три раза пройдя черезъ начало коорди-
натъ (/= — 1, 0, 1).

с- У кривой х:' + у° = 5 ах2у2 находимъ въ началѣ координатъ
четырехкратную точку, происходящую отъ соединенія двухъ точекъ возврата.
Болѣе общее уравненіе

^п+1 + у2п+1 = (2 п + ахпуп
изображаетъ кривую, принадлежащую къ типу предыдущей кривой или къ
типу Декартова листа, смотря по тому, будетъ ли п число четное или
нечетное. Это находится въ связи съ положеніемъ единственной веществен-
ной асимптоты х + у = (- 1)"а.

д)	Примѣры точекъ возврата встрѣчались уже въ разсмотрѣнныхъ
раньше кривыхъ (кардіоидѣ, эвольвентѣ круга, астроидѣ, циклоидѣ и т. д.).
Читатель можетъ для упражненія провѣрить, что упомянутыя кривыя въ
смежности съ такими точками уподобляются полукубической параболѣ въ
смежности съ ея точкою возврата й показать, что во всѣхъ этихъ точкахъ
радіусъ кривизны равенъ нулю. Такъ, напримѣръ, для вертикальнаго про-
филя развертывающагося геликоида (§599, с), помѣстивъ начало координатъ
въ точку возврата, найдемъ

ііт

0=0

1

2

такъ что при безконечно маломъ 0, уравненіе кривой стремится совпасть
съ уравненіемъ 9 а3у2 = 8 62 л:3. На кривой (у — х2)2 = х5 находимъ точку
возврата второго рода (рис. 66). Чтобы у былъ вещественнымъ, очевидно,
необходимо, чтобы х былъ больше 0. Если напишемъ уравненіе такъ:

(1 ± Т'Ѵѵ), то увидимъ, что кривая состоитъ изъ двухъ вѣтвей, ка-
сающихся оси х-овъ въ началѣ координата. Но по отношенію къ касательной
въ этой точкѣ кривая имѣетъ тотъ же характеръ, какъ и въ обыкновенной
точкѣ, потому что Ит = 1, откуда слѣдуетъ, что кривизна въ этой точкѣ
измѣряется числомъ 2. Добавимъ къ этому еще, что одна вѣтвь кривой
параболически распространяется въ безконечность, а другая послѣ изгиба
/ 8 \2	.	і 4 \2

въ точкѣ х = I, имѣетъ наибольшую ординату въ точкѣ х —	,

пересѣкаетъ ось х-овъ при х = 1, и затѣмъ также параболически уходитъ
въ безконечность.
е)	Замѣчательный примѣръ кривой съ точками изгиба и точками воз-
рата представляетъ такъ называемый двурогъ (Ххѵеіііогп, соскеб Ьаі);
Я уравненіе

о2 — X2

у 2 л + у ’

Чтобы примѣнить методу § 607, надо было бы привести уравненіе къ цѣлому
раціональному виду. Но здѣсь удобнѣе будетъ оставить его въ томъ видѣ,
въ какомъ оно написано, и замѣтить, что кривая состоитъ изъ двухъ вѣтвей,
Соотвѣтствующихъ двумъ различнымъ знакамъ въ знаменателѣ. Кратными
точками, очевидно, будутъ тѣ, для которыхъ два различныя опредѣленія у
Совпадаютъ. Это будетъ при д:2=а2, гдѣ_у = 0. Чтобы вычислить значенія у'
въ этихъ точкахъ ( ± а, 0), можно и не прибѣгать къ дифференцированію,
а замѣтить, что по опредѣленію производной получается

у	у ______

у' = Ііт = + 2 а Ііт ~—5 = + 1,

Х=±ах2-а2

Т. е. у'= — 1, при х = а, и у' = 1, при х = —а. Такъ какъ въ обѣихъ
точкахъ касательная оказывается единственною, то точки эти будутъ точками
возврата. Касательныя въ этихъ точкахъ пересѣкаются въ одной изъ вершинъ

кривой <0, а) (рис. 67). Кривизна въ этой вершинѣ также вычисляется съ
помощью примѣненнаго выше пріема, а именно:

1	,. а —у	1	,. а — 1/ а2 — х2 3

=— = Ііт----=--------И Ііт------5-----= к— •

2	р	х—, х- а х=о х2	2, а

, Слѣдовательно, р = |а; поэтому, если Аг (0, | а) есть другая вершина
кривой, то соприкасающійся кругъ въ точкѣ А будетъ кругъ, построенный
на А А' какъ на діаметрѣ. Что касается точекъ изгиба, то, положивъ у" = 0,
Находимъ З^а2 — х2 ± 2 а = 0,— уравненіе, которое удовлетворяется (если
Удержимъ знакъ —) значеніемъ х=±|аУ"5, откуда _у =а. Слѣдова-
тельно, точки изгиба находятся въ пересѣченіи касательной въ вершинѣ А'
<съ кривою.

Г) Примѣняя методу § 607 къ уравненію, изображающему совокупность
двухъ кривыхъ (<р = 0 и = 0), мы получимъ, кромѣ кратныхъ точекъ, также

л У’	/

И точки ихъ пересѣченія. Въ самомъ дѣлѣ, если /= <р. у>, то и
очевидно, обратятся въ нуль вмѣстѣ. съ / всякій разъ, какъ у и ц> одно-

временно обратятся въ нуль; а такъ какъ въ			разсматриваемомъ случаѣ,
кромѣ того	<*2/	д9-/ 1	д <р	д<р 9-
			ду
	о х- дхду I	д х	
	<*2/	д2/	д чр	д у
	дхОу ду- |	д х	ду

то, какъ видимъ, точки, общія двумъ кривымъ, представляются, какъ настоящія
кратныя точки. Въ частности, когда правая часть обращается въ нуль, что
имѣетъ мѣсто (§ 577, а) когда кривыя = 0 и = 0 взаимно касаются одна
другой, исчезаетъ и лѣвая часть, и точки пересѣченія кривыхъ предста-
вляются въ видѣ точекъ возврата, хотя кривыя и располагаются по обѣ
стороны отъ нормали.

611.	Алгебраическія кривыя никакихъ другихъ особенныхъ
точекъ, кромѣ разсмотрѣнныхъ выше, не имѣютъ, если за элементъ,
образующій кривую, принимается точка. Если введемъ въ разсмо-
трѣніе тангенціальныя координаты и, вмѣсто точекъ на кривой,
будемъ разсматривать касательныя къ кривой, то, по принципу
двойственности, можно вполнѣ дуалистически повторить все выше-
изложенное изслѣдованіе. Вмѣсто двойныхъ, тройныхъ и д. т. точекъ
получаются двойныя, тройныя и т. д. касательныя. Но никакихъ
существенно новыхъ особенностей при этомъ не получается. Полу-
чаются касательныя возврата и касательныя изгиба, но
первыя будутъ не что иное, какъ касательныя въ точкахъ изгиба,
а вторыя — касательныя въ точкахъ возврата. На этомъ основаніи
число ѵ точекъ возврата и число /а точекъ изгиба соотвѣтствуютъ
другъ другу совершенно такъ же, какъ соотствѣтствуютъ другъ
другу число ѵ' двойныхъ точекъ и число /т' двойныхъ касательныхъ,
порядокъ п кривой и ея классъ т. Другое весьма важное, само
себѣ соотвѣтствующее число, есть такъ называемый родъ (ОезсЬ-
ІесЫ, §епге) кривой; оно обыкновенно обозначается буквою р.
Доказывается, что для кривой /г-го порядка, не имѣющей кратныхъ
(и —1) (и -2) п ,
точекъ, это число равно --------------- і). Извѣстно также, что при

томъ же условіи классъ т кривой равенъ п(п — 1), а число р,
точекъ изгиба (§ 604) равно Зи(и —2). Но можно показать, что
существованіе ѵ' двойныхъ точекъ и ѵ точекъ возврата уменьшаютъ
упомянутыя три числа на Зѵ-\-2ѵ' и 8^ + 6 ѵ'. На основаніи
принципа двойственности находятъ поэтому, что если изъ чиселъ
^(т— 1)(ш- 2), т(т — 1) и Зт(т— 2) вычтемъ соотвѣтственно
/г 4- //, З/т+2/т' и 8ц,	6ц', то получимъ число р, п и ѵ.

Формулы, къ которымъ такимъ образомъ приходимъ, называются
формулами Плюккера (Ріііскег). Изъ нихъ легко выводится,

і) Для подробнаго изученія теоріи плоскихъ алгебраическихъ кривыхъ
читателю рекомендуется первый томъ .Сонгз б'АпаІузе" раг. С. Іогдап.
что для кривой порядка и, класса т и рода р, числа особенныхъ
точекъ и касательныхъ будутъ

ѵ = 2 (я + р — 1) — т,	ѵ'= |(и — 1) (и — 6) + т — Зр,

и = 2 (т 4- р — 1) — п,	/л,' = 4(ш — 1) {т — 6) + и — Зр,

если не существуетъ другихъ болѣе сложныхъ особенностей. Осо-
бенно замѣчательны кривыя нулеваго рода (/>=0), имѣющія
характеризующее ихъ свойство быть уникурсальными (ипіспгзаіе);
это значитъ, что координаты ихъ точекъ х и у, выражаются раці-
ональными функціями отъ третьей перемѣнной. Къ числу ихъ
принадлежатъ, напримѣръ, коническія сѣченія и первыя три изъ
разсмотрѣнныхъ въ предыдущемъ § кривыхъ.

612.	Трансцендентныя кривыя могутъ имѣть и другія особенности,
кромѣ перечисленныхъ выше.

а)	Прежде всего легко убѣдиться, что такія кривыя могутъ имѣть
безчисленное множество особенныхъ точекъ. Это мы уже видѣли на примѣрѣ
квадратрисы (безчисленное множество изгибовъ), циклоиды (безчисленное
число точекъ возврата) и т. д. Теперь добавимъ, что кривая у2 = х віп2 х

(рис. 68) имѣетъ точку возврата въ началѣ координатъ, безконечное число
уединенныхъ и безконечное число двойныхъ точекъ на оси х-овъ. Внѣ этой
оси кривая имѣетъ безконечное множество точекъ изгиба, абсцисы которыхъ
удовлетворяютъ уравненію 1 + 4 х2 = 4 х соі§ х. Эти точки безпредѣльно
Приближаются къ оси х-овъ по мѣрѣ удаленія отъ начала координатъ по
вправленію положительныхъ х-овъ, располагаясь все ближе и ближе къ
очкамъ кривой ху2 = 1. Кромѣ того, данная кривая безконечное число разъ
касается параболы у2 = х *).

Ь)	Безконечное множество точекъ изгиба, и притомъ въ конечномъ
ВИтервалѣ, имѣетъ кривая у = х зіп — > съ асимптотою, параллельною оси
у-въ (у = 1). Такъ какъ здѣсь х1у"^ —у, то всѣ изгибы лежатъ на
СИ х-овъ. Кромѣ безчисленнаго множества касательныхъ возврата**), схо-

*) Эти замѣчанія принадлежатъ бывшему ученику Чезаро, д-ру
6. Д'Ескамаръ (V. д’Езсашагб) и помѣщены во 2-мъ изд. (1905 г.) ЕІегпепіі
№ Саісоіо іпііпйезітаіе (Е. Сезаго) въ видѣ поправки.

**) Т. е. касательныхъ въ точкахъ изгиба.
дящихся въ двухъ точкахъ на оси у-овъ), кривая имѣетъ еще двѣ особенныя
касательныя, а именно прямыя, дѣлящій пополамъ углы между координатными
осями, которыхъ она касается въ безконечномъ числѣ точекъ. Эта же кривая
замѣчательна еще слѣдующимъ свойствомъ: изъ каждой точки на оси .у-овъ,
лежащей въ интервалѣ (-1, 1), можно провести безчисленное множество
касательныхъ, точки касанія которыхь лежатъ на прямой, проходящей
черезъ начало координатъ. Аналогичными свойствами обладаетъ кривая
у = х зіп2 > имѣющая асимптотою ось я-овъ.

с)	Точкою прекращенія называютъ такую точку, въ которой вне-
запно прекращается нѣкоторая вѣтвь кривой. Такою точкою будетъ, напри-
і

мѣръ, начало координатъ для одной изъ вѣтвей кривой у = е х, имѣющей
еще точку изгиба при х = | (рис. 69) и асимптоту у = 1. Кривая

состоитъ также изъ двухъ вѣтвей, прекращающихся на оси у-овъ въ точкахъ
у = ± 1, имѣющихъ точки изгиба на прямой у = 1х, и асимптоту —
ось лг-овъ. Кривая у = х 1о§ х также даетъ очень простой примѣръ точки

прекращенія, а именно въ началѣ координатъ, гдѣ она касается оси у-овъ.
Другіе примѣры даютъ кривыя

х2	2, х

у — :—= > у = х- іое —:

Іо# X '	& у

каждая изъ нихъ имѣетъ вѣтвь, прекращающуюся въ началѣ координатъ.
Это происходитъ отъ того, что первая кривая не имѣетъ вещественныхъ
точекъ при х < 0, а вторая при х < у. Для первой кривой начало коорди-
натъ по отношенію къ касательной въ этой точкѣ играетъ роль какъ будто
точки изгиба, потому что (см. § 548)

Ііт —= 0, но при п > 2, Ііт = оо,
х-	х

а для второй—какъ будто точки возврата, потому что

11т >=оо но при и < 2, Ііт = 0 .
х2	х
Обѣ кривыя имѣютъ еще другую вѣтвь, для первой кривой съ асимптотою
х = 1, а для второй съ асимптотою х—у — 1.3’Эти вѣтви затѣмъ опять
распространяются до безконечности, при чемъ обращены выпуклостью постоянно
къ оси х-овъ, отъ которой минимальное ихъ разстояніе равно 1е.

сі) Когда двѣ различныя вѣтви встрѣчаются (подъ угломъ, не равнымъ
нулю), въ одной точкѣ М и въ ней прекращаются, то получается такъ назы-
ваемая угловая или выдающаяся точка (зргіп§епбег Рипкі, роіпі ап§и!еих
ои заіііапі). Въ точкѣ М кривыя касаются

двухъ прямыхъ, какъ и въ двойной, но каж-
дая вѣтвь лежитъ, какъ въ точкѣ возврата,
лишь по одну сторону отъ соотвѣтствующей
нормали. Угловую точку мы уже встрѣтили
(§ 599, е) у кривой у = —> а другой

1 +ех

очень простой примѣръ мы имѣемъ (§ 282, Ь)
при х = 0 у кривой у = х агсі§ — 

е) Далѣе, если изъ двухъ вѣтвей лишь
одна прекращается въ общей точкѣ, то полу-
чается такъ называемая точка соединенія
(Ѵегеіпійнпдзрипкі)1). Здѣсь кривая предста-
вляетъ какъ бы развѣтвленіе дорогъ для
точки, пробѣгающей кривую въ извѣстномъ
направленіи. Чтобы составить примѣры та-
кихъ точекъ, достаточно въ уравненіи кри-
вой, имѣющей двойную точку, напримѣръ.

-т8+>’3 — Заху = 0 прибавить къ у функцію е х

или х 1о§ х или [х]. Такимъ образомъ удается уничтожить или перемѣстить
одну изъ четырехъ вѣтвей, выходящихъ изъ двойной точки. Очевидно, такой
пріемъ позволяетъ уничтожить двѣ, три или всѣ четыре вѣтви и построить,
слѣдовательно, кривыя съ угловыми точками или точками прекращенія или
изолированными точками.

О касаніи плоскихъ кривыхъ.

613.	Порядокъ касанія. Въ смежности съ обыкновенною
точкою М, общею двумъ кривымъ, возьмемъ двѣ точки Р іл (^,
одну на одной, другую на другой кривой. Представимъ себѣ, что
Р и О одновременно приближаются къ М (оставаясь, конечно,
каждая на своей кривой), и для опредѣленности допустимъ еще
(хотя это и не необходимо), что при этомъ прямая Р<р стремится
къ нѣкоторому предѣльному положенію, которое образуетъ съ кри-
выми линіями, т. е. съ касательными къ нимъ въ точкѣ М, углы

х) Объ этихъ особенностяхъ, указанныхъ лѣтъ 30 тому назадъ бель-
гійскимъ физикомъ Плато (Ріаіеаи), см. статью Мапзіоп’а въ „МаіЬезіз*
1883 г., стр. 193.
а и отличные отъ нулями отъ я). Прежде всего, легко видѣть,
что дуги МР и М(~) будутъ безконечно малыми одного и того же
порядка. Въ самомъ дѣлѣ, предѣлъ ихъ отношенія будетъ

МР	$тМ()Р	5ш Р

І*гп ,.-7ѵ = Іип -.	.

М	зѵаМР^	зіп а

т. е. число конечное и не равное нулю, на основаніи нашего пред-
положенія. Если примемъ за главную безконечно малую МР или
М^ и обозначимъ черезъ ы уголъ, подъ которымъ кривыя пере-
сѣкаются въ М (т. е. уголъ между касательными къ кривымъ въ
этой точкѣ), то

Р О . ЗІП Р М<^> _ зіп«
іт Щ5 “ іт зігГл/Тх? ~ зіп а ’

и отсюда видно, что разстояніе Р<0 будетъ безконечно малымъ
перваго или высшаго порядка, смотря по тому, будетъ ли зіп а>
отлично отъ нуля или равно нулю, т. е. смотря по тому, пересѣ-
каются ли или касаются данныя кривыя въ точкѣ М. Итакъ, то
обстоятельство, что Р(2 будетъ порядка выше перваго характери-
зуетъ касаніе кривыхъ. Естественно теперь принять за мѣрило
болѣе или менѣе тѣснаго касанія, которое могутъ имѣть кривыя въ
точкѣ М, именно порядокъ безконечно малой Р^. Сообразно этому
мы будемъ говорить, что касаніе будетъ порядка п, если Р^
будетъ безконечно малой порядка п 1 **). Однако, прежде
чѣмъ принять такое опредѣленіе надо показать, что число п будетъ
одно и то же для безчисленнаго множества различныхъ способовъ,
которыми можно выбирать точки Р и стремящіяся къ совпаденію
съ М. Положимъ, что точку Ѳ, стремящуюся къ М, мы соединимъ
не съ Р, а съ другою точкою Р', которая тоже стремится къ М
такъ, что предѣльное положеніе РО не совпадаетъ съ касательною
въ точкѣ М къ даннымъ кривымъ. Когда Р и Р, двигаясь по данной
кривой, стремятся къ совпаденію съ одною и тою же точкою М,
то, какъ извѣстно (§ 348, с), прямая РР стремится совпасть съ ка-
сательною въ точкѣ М къ данной кривой. Поэтому

іт РЦІ = іт

зіп РР^ _ зіп а'
зіп Р'Р^ зіп а

и Р(2 будетъ безконечно малою того же порядка, что и Р(2-

*) Напоминаемъ читателю, что при вычисленіи предѣла отношенія
дугъ всегда можно замѣнить отношеніе дугъ отношеніемъ соотвѣтственныхъ
хордъ, такъ какъ отношеніе дуги къ стягивающей ее хордѣ стремится къ
единицѣ (§§ 582, 549).

**) Такъ что касаніе нулевого порядка есть простое пересѣченіе.
614.	Весьма легко найти аналитическія условія касанія и-го
порядка двухъ кривыхъ, заданныхъ уравненіями У = <р (X) и
У = чр (X) въ Декартовыхъ координатахъ. Мы предположимъ, что
кривыя имѣютъ въ точкѣ тИ общую касательную, не параллельную
оси _у-овъ, и пересѣчемъ эти кривыя въ смежности съ М прямою,
параллельною этой оси; пусть Р 'л О будутъ точки пересѣченія
этой прямой съ данными кривыми. Замѣтимъ, что если бы общая
касательная была параллельна оси ^у-овъ, то достаточно перемѣнить
оси, а, слѣдовательно, и координаты, одна на другую, чтобы имѣть
возможность остаться при сдѣланномъ предположеніи. Если теперь х
есть абсцисса точки М, а х-\-к абсцисса (общая) точекъ Р и (),
то ясно, что к будетъ безконечно малою того же порядка, какъ МР
или т. е. перваго, потому что отношеніе к къ МР или МС)_
стремится къ величинѣ косинуса угла, образуемаго касательною въ
точкѣ М съ осью х-овъ, а косинусъ этотъ, при нашемъ предполо-
женіи, не равенъ нулю. По тому же предположенію и прямая РС)
не стремится къ совпаденію съ касательною въ точкѣ М. Слѣдо-
вательно, условія касанія и-го порядка заключаются всѣ въ одномъ:
чтобы Р0_ было безконечно малою порядка п 1, а такъ какъ,
полагая / (х) = д> (х) - - ір (х), имѣемъ

РО - х (л- + к) = х (х) ѣ Л/(.ѵ) + ~ к*Х" (х) + • • • + ± кп (.ѵ) 4-

гдѣ 0 < 9 < 1, то и видно, что для выполненія вышеупомянутаго
условія необходимо и достаточно, чтобы

(22)	/(х) = 0, /(х)=0, . . ., /м(х) = 0, /,я+1)(х) 58 0.

Итакъ, чтобы данныя кривыя имѣли въ точкѣ М касаніе
порядка п, необходимо и достаточно, чтобы

<р(х) = чр(х), ф'(х) =	д"'1 (х) = ѵ(к) (х),

7,,, |1|(-П ё Ѵ(и+1)(х),

т. е., чтобы первыя п производныхъ ординаты, взятыя по абсциссѣ,
имѣли въ точкѣ М одинаковыя, а (и + 1)-ыя производныя — раз-
личныя значенія. Замѣтимъ, что первое изъ вышеприведенныхъ
равенствъ выражаетъ, что кривыя въ точкѣ М встрѣчаются, а второе,
что онѣ въ ней касаются.

*) Мы предполагаемъ здѣсь существованіе п + 1 производныхъ отъ
функцій гр и чу въ окрестности точки х и непрерывность въ этой точкѣ
(я+1)-ыхъ производныхъ. Остаточный членъ въ формулѣ Тэйлора мы беремъ
въ формѣ Лагранжа.
615.	Замѣтимъ, что въ случаѣ п нечетнаго найденныя
условія совпадаютъ съ тѣми, которыя выражаютъ (§ 313), что
функція /(X) при Х = х имѣетъ тахітит или тіпітит; а такъ
какъ эта функція при X = х равна нулю, то въ смежности съ М
она будетъ сохранять постоянно одинъ и тотъ же знакъ или —,
и, слѣдовательно, кривыя въ точкѣ М не пересѣкаются. Наобо-
ротъ, если п число четное, то /(X) при X = х не будетъ ни
максимумъ ни минимумъ, а потому <р(Х) ір(Х) по одну сторону
отъ М, и ф(Х) <ф(Х)— по другою, т. е. кривыя въ точкѣ М
касаются и пересѣкаются. Уже одинъ тотъ фактъ, что кривыя,
касаясь другъ друга, въ то же время пересѣкаются, заставляетъ
заключить, что касаніе будетъ высшаго, по крайней мѣрѣ, второго
порядка. Однако, это заключеніе подчинено необходимому предпо-
ложенію, а именно, что функціи (р и -ір имѣютъ вполнѣ опредѣ-
ленныя, единственныя, послѣдовательныя производныя въ точкѣ М.
Такъ напримѣръ, въ § 605 мы встрѣтили кривую, которая въ началѣ
координатъ пересѣкаетъ свою касательную, хотя касаніе обѣихъ
линій здѣсь простое, т. е. 1-го порядка. Аналогичный случай предста-

Х^1

вляетъ кривая у= -------, которая касается и пересѣкается съ пара-

1 + ех

болою у = \хГі въ началѣ координатъ (§ 599, I), хотя и здѣсь
будетъ простое касаніе обѣихъ кривыхъ. Далѣе, надо еще замѣтить,
что влѣво отъ начала координатъ эта кривая имѣетъ простое касаніе
съ своею касательною, а справа — нельзя сказать, какъ высокъ
будетъ порядокъ касанія.

616.	Условія (22), разсматриваемыя съ алгебраической точки
зрѣнія, выражаютъ, что уравненіе %(Х) = 0 имѣетъ (п 1) —
кратный корень Х = х, а такъ какъ это же уравненіе опредѣляетъ
абсциссы точекъ пересѣченія данныхъ кривыхъ, то можно сказать,
что въ точкѣ М соединены п 1 общихъ точекъ обѣихъ кривыхъ.
Такое представленіе геометрически оправдывается слѣдующимъ со-
ображеніемъ. Если черезъ точку М на кривой у = /(X) проведемъ
перемѣнную кривую у = <р (X), уравненіе которой содержитъ
болѣе п произвольныхъ параметровъ; если затѣмъ распорядимся
этими параметрами такъ, чтобы вторая кривая прошла черезъ и
другихъ точекъ М', М", . . . первой кривой, и наконецъ, заста-
вимъ эти п точекъ стремиться къ совпаденію съ М такъ, чтобы
при этомъ перемѣнная кривая стремилась къ опредѣленному предѣль-
ному положенію, то въ этомъ предѣльномъ положеніи вторая кривая
будетъ имѣть съ первою касаніе вообще порядка п. Положимъ, въ
самомъ дѣлѣ, что п +1 параметровъ перемѣнной кривой опредѣлены
такъ, что выполнены условія

<р(х) *=/(х),	=/(а). ..., <р(хп) =/(х„),
гдѣ х, хІУ хг, . . . абсциссы точекъ М, М', М", . . .. Тогда,
какъ извѣстно (§ 347), можно написать

Ш=/(лО + (Л'-х)/(г, х,) 4- (.V-х) [Х-х^Цх, хѵ х2) + •••

+ (Л'-х)(Х-д;1) . . . (X -х^Дх, хІУ . . хп)

+(Л_.г)(х_Х1) ... (2Г_Хн)^__іа,

при чемъ § обозначаетъ число, лежащее между наименьшимъ и наи-
большимъ изъ чиселъ X, х, хА, . . ., х„. Намъ извѣстно также,
что, когда х,, х2у . . ., хп одновременно стремятся къ х, то

ч /М(х)

1пп/(х, X,. х2, . . хѵ) = -ѵ, - 

Слѣдовательно, обозначая черезъ § число, среднее между X и х,
будемъ имѣть

(X) =/(х) + (А'-х)^г) + (X -	+  • •

+ ц-_л.,^) + (л.

Съ другой стороны, если с0 также нѣкоторое число между X и х, то

/(.Г)-/(*) +	.

+^-,)<а+^хУ.+«.

Поэтому

/СГ)-<р(Х) _ /|№+1\х)-у(м+14х) _
Х=х (Х-х)я+1	(«+!)!

Итакъ, разность /(X) — <р (X) будетъ безконечно малая порядка
выше и, и обѣ кривыя имѣютъ въ точкѣ М касаніе порядка не
ниже п. Порядокъ можно сдѣлать выше п, если еще другія точки
пересѣченія кривыхъ, кромѣ разсмотрѣнныхъ выше, также совпадутъ
съ М. Разумѣется здѣсь п всегда разсматривается, какъ цѣлое
число, между тѣмъ какъ при опредѣленіи порядка касанія нечисклю-
чается возможность дробнаго порядка касанія. Такой случай встрѣ-
чается, между прочимъ, при касаніи кривой и ея касательной изгиба
(въ точкѣ возврата), гдѣ порядокъ касанія вообще (§ 608) равенъ

617.	Соприкасаніе (Озкиіаііоп). Положимъ, что требуется
черезъ нѣкоторую точку (х, _у) на данной кривой /(X, У) = 0
провести другую кривую, имѣющую съ данною въ точкѣ (х, у)
касаніе порядка п и принадлежащую къ семейству кривыхъ, опре-
дѣляемому уравненіемъ вида <р(Х, У) = 0, содержащимъ болѣе п
произвольныхъ параметровъ. Для этого нужно будетъ дифференци-
ровать оба уравненія п разъ подъ рядъ такъ, какъ это дѣлаютъ
съ цѣлью опредѣленія послѣдовательныхъ производныхъ отъ У по X
до порядка н включительно. Затѣмъ надо будетъ выразить, что въ
обоихъ рядахъ полученныхъ уравненій эти производныя при Х = х
и У—у имѣютъ одинаковыя значенія. Такимъ образомъ получимъ
п + 1 уравненій, причисляя къ нимъ и то, которое получается, когда
въ уравненіи искомой кривой, положимъ X = х, У = у (выражая
этимъ, что она проходитъ черезъ точку (х,_у)). Эти уравненія
послужатъ для опредѣленія п + 1 параметровъ, и, вообще говоря,
только при числѣ параметровъ, превосходящемъ п, можно получить
касаніе и-го порядка. Если распорядимся всѣми параметрами такъ,
чтобы получился наивысшій возможный порядокъ касанія, тогда
говорятъ, что нашли соприкасающуюся къ данной кривой
/(X, У) = 0 въ данной точкѣ кривую даннаго вида д(Х У) = 0.
При этомъ не исключается возможность того, что вслѣдствіе какой
либо особенности, представляемой данною кривою, ожидаемый мак-
симальный порядокъ касанія повысится. Тогда говорятъ, что въ
данной точкѣ кривыя имѣютъ пересоприкасаніе (зирегозкиіаііоп).
Чтобы опредѣлить, въ какихъ точкахъ оно возможно, надо еще
разъ дифференцировать данныя уравненія и изъ нихъ исключить
всѣ параметры. Получится уравненіе между х и у, которое и опре-
дѣляетъ искомыя точки.

618.	Примѣры, а) Къ данной кривой въ данной точкѣ требуется
провести соприкасающуюся прямую. Такъ какъ въ уравненіи прямой
У = т X + к два произвольныхъ параметра, то вообще можно достигнуть
только простого касанія (перваго порядка). Примѣняя изложенную въ пре-
дыдущемъ § методу, получаемъ условія: у = тх к, у' = т, при чемъ
надо помнить, что х, у и у' относятся къ данной кривой. Отсюда для
параметровъ получаются значенія т= у', к =у — ху', и мы находимъ урав-
неніе искомой прямой (см. § 586): У= Ху'—у — ху' или У— у =у'(Х — х)
(соприкасающаяся прямая есть касательная). Для повышенія порядка касанія
необходимо условіе у" = 0, и отъ данной кривой зависитъ можетъ ли такое
повышеніе произойти. Мы видимъ, что только въ точкахъ изгиба можетъ
произойти касаніе выше 1-го порядка. Оно будетъ вообще второго порядка,
и касательная будетъ пересѣкать кривую; но, чтобы это дѣйствительно
случилось, необходимо и достаточно, кромѣ условія у" =0, еще чтобы первая
изъ послѣдовательныхъ производныхъ у'"', уТГ, ... не обращающаяся въ
нуль, была нечетнаго порядка. Геометрически можно сказать, что въ точкѣ
изгиба соединены, по крайней мѣрѣ, три общія точки кривой и касательной,
и что во всякомъ случаѣ число скопившихся въ М точекъ будетъ нечетнымъ
или четнымъ, смотря по тому, пересѣкаетъ ли или не пересѣкаетъ каса-
тельная кривую.

Ь) Кругъ съ центромъ (д, ч) и радіусомъ р изображается уравненіемъ
(X — ^)2 + (У— ч)2 = р2. Дифференцируя и подставляя Х = х, У=у и т. д.,
получаемъ

(23)	(х - д)2 + (у-ГІ)- = р2, X - д + (у-і})у' = 0.

і +У2 + Су - ч)У'= о,
откуда послѣдовательно находимъ

У -

«	”	л,"

У

Такимъ образомъ мы снова находимъ тотъ кругъ, который мы уже

і, и видимъ, что порядокъ его касанія съ

назвали

раньше
кривою
будетъ, вообще, равенъ 2. Отсюда слѣдуетъ (см. § 592), что соприкасаю-
щійся кругъ въ той точкѣ, въ которой онъ касается кривой, ее и
пересѣкаетъ. Основываясь на сказанномъ въ §616, можно также сказать,
что соприкасающійся кругъ проходитъ черезъ три смежныя точки кривой,
и полезно припомнить, что именно такимъ образомъ соприкасающій кругъ
и встрѣтился намъ въ первый разъ (§ 348, е).

с) Если желаютъ, чтобы кругъ съ данною кривою имѣлъ касаніе выше
2-го порядка, то нужно, чтобы еще удовлетворилось уравненіе, получаемое
черезъ дифференцированіе послѣдняго изъ уравненій (23), т. е.

3_уУ'+ (у - ч)У"= 0 или ЗУУ'2 = (1 + у'-}у"'.

Будетъ ли это уравненіе удовлетворяться или нѣтъ, зависитъ отъ природы
данной кривой въ той точкѣ (х, у), которую разсматриваемъ. Замѣтимъ,
что производная отъ р именно равна

(ЗХУ2 - (1 +Х2)У").

Представляя себѣ, слѣдовательно, что точка М (х, у) описываетъ данную
кривую (см. § 592), мы видимъ, что соприкасающійся кругъ тамъ бу-
детъ имѣть касаніе выше 2-го порядка съ данною кривою, гдѣ
радіусъ кривизны будетъ тахітит или тіпітит. Этимъ, однако,
не исключается возможность того, что пересоприкасаніе будетъ и тамъ,
гдѣ р не будетъ ни тахітит, ни тіпітпт.

Огибающія кривыя

(Епѵеіорреп).

619.	Опредѣленіе. Положимъ, что дано уравненіе семейства
кривыхъ /(х, у, а) = 0, при чемь каждому значенію параметра а
соотвѣтствуетъ опредѣленная кривая этого семейства. Мы предпо-
ложимъ, что /(х, у, а) непрерывна относительно а и имѣетъ не-
прерывныя первыя производныя по всѣмъ перемѣннымъ. Пусть М
есть точка пересѣченія кривыхъ (а) и (аУЛ), т. е. кривыхъ, соот-
вѣтствующихъ значеніямъ параметра а и а -\-к. Если, фиксируя а,
станемъ приближать к къ нулю, то кривая (а у А) будетъ посте-
пенно приближаться къ кривой (а) и можетъ случиться, что точка Л/,
передвигаясь по кривой (а), будетъ стремиться къ нѣкоторому пре-
дѣльному положенію А. Если кривыя (а) и (ауЛ) не пересѣка-
ются, то, несмотря на это, можетъ случиться, что на кривой (а)
существуютъ точки У, обладающія слѣдующимъ свойствомъ: если
вторая кривая (а У А) отсѣкаетъ на нормали къ первой (а) въ
точкѣ М нѣкоторый отрѣзокъ, безконечно малый при к безконечно
маломъ, то въ точкѣ А этотъ отрѣзокъ будетъ безконечно малымъ
выше перваго порядка относительно к. Такія точки наисильнѣй-
шаго безконечнаго сближенія кривыхъ (а) и (а-\-к) можно
разсматривать также какъ точки, общія двумъ кривымъ, если прене-
бречь безконечно малыми высшаго порядка. Общее мѣсто точекъ А
называютъ огибающею кривыхъ /(х, у, а) = 0.

620.	Уравненіе огибающей. Предположимъ, что А не
кратная точка кривой (а); вслѣдствіе предположенной непрерывности
первыхъ производныхъ функціи /, и въ смежности съ А — кратныхъ
точекъ не будетъ. Поэтому, если возьмемъ на кривой (а) точку М
достаточно близко къ А, то въ точкѣ М нормаль къ кривой (а)
будетъ имѣть вполнѣ опредѣленное направленіе, и косинусы угловъ,
образуемыхъ этимъ направленіемъ съ координатными осями, будутъ
безконечно мало отличаться отъ соотвѣтствующихъ косинусовъ
угловъ нормали въ точкѣ А. Обозначая черезъ а и косинусы
угловъ нормали въ точкѣ М съ осями, будемъ, слѣдовательно, имѣть

СС — —, ч	. А — —.  ~.

\л/,>х	ѴА/ву

(х и у — координаты точки А). Обозначимъ, далѣе, черезъ и г)
координаты точки Л/, стремящіяся къ х иу — координатамъ точки А,
при безконечно маломъ к. Пусть также I обозначаетъ отрѣзокъ ММ',
отсѣкаемый кривою (а-]-к) на нормали въ точкѣ М къ кривой (а).
Если М есть точка пересѣченія кривыхъ, то I надо положить рав-
нымъ нулю. Во всѣхъ случахъ координаты точки М' будутъ |-|- Іа,
г) + ІА Эти числа должны удовлетворять уравненію /(х,у, а-|-А) = 0.
Слѣдовательно,

/"(ь + Іа, ц + іу а + к) = 0.

Отсюда, принимая во вниманіе, что г), а) = 0, и отбрасывая
безконечно малыя высшаго порядка относительно к, находимъ

\ дх

+/гК=о’

о а

а потому 1 = —	Такъ какъ кратныя точки исключены (т. е.

А/ не равна 0), то, для того чтобы I было высшаго порядка,
чѣмъ к, необходимо и достаточно, чтобы было — = 0. Итакъ,
да

уравненіе огибающей получается черезъ исключеніе а изъ
уравненій

(24)	/(х, у, а) = 0, у'а(х, у, а) = О*).

*) Вообще, получаемое указаннымъ путемъ уравненіе будетъ изобра-
жать либо огибающую, либо общее мѣсто особенныхъ точекъ кривой.
См. Гурса „Курсъ Математическаго Анализа". Москва 1911, стр. 460.
621.	Характеристическое свойство огибающей. Можно
сказать, что уравненіе даннаго семейства кривыхъ, т. е. первое изъ
уравненій (24) и есть уравненіе огибающей, если въ этомъ уравненіи
/"(.г, у, а) = 0 будемъ разсматривать а, какъ функцію отъ х и _у,
опредѣляемую уравненіемъ = 0. Дифференцируя первое изъ
уравненій (24) при сдѣланномъ условіи, находимъ

(25)

д/ ,	/ । д/ Ла

з—Ь з—У~\~	= О’

дх ду да Лх

~у' = 0, т. е. къ уравненію, опредѣляющему значеніе у‘

которое, въ силу второго изъ уравненій (24), приводится къ
V
дх

для кривой (а). Слѣдовательно, огибающая касается каждой
изъ кривыхъ даннаго семейства. Въ этомъ состоитъ характе-
ристическое свойство огибающей. Дѣйствительно, какова бы ни
была кривая, которая должна касаться всѣхъ кривыхъ даннаго се-
мейства, всегда можно считать, что ея уравненіе есть уравненіе
/(х, у, а)=0, гдѣ а неизвѣстная функція, которую надо опредѣ-
лить надлежащимъ образомъ, чтобы удовлетворить поставленному
требованію. Это опредѣленіе должно быть сдѣлано такъ, чтобы
уравненіе (25) давало то же самое значеніе у', которое получается
для всякой кривой (а), каково бы а ни было. Поэтому необходимо
должно быть = 0, и искомое уравненіе совпадаетъ съ тѣмъ,
которое получается исключеніемъ а изъ уравненій (24).

622.	Уравненіе /(х, у, а) = 0 распредѣляетъ точки плоскости
по кривымъ, лежащимъ обыкновенно по одну сторону отъ огиба-
ющей, которая такимъ образомъ является границей области, запол-
ненной кривыми даннаго семейства. Разсмотримъ теперь два уравненія

(26)	/(х, у, а, Ь) = 0,	#(х, у, а, Ь) = 0.

Эти уравненія, вообще говоря, устанавливаютъ нѣкоторое соотвѣт-
ствіе между каждою парою значеній независимыхъ параметровъ и
точками (х, у) на плоскости. Вопросъ объ опредѣленіи границъ
той области, которая занята этими точками, приводитъ къ разысканію
огибающей семейства кривыхъ, изображаемаго, напримѣръ, первымъ
изъ уравненій (26), если въ немъ будемъ разсматривать а, какъ
единственный произвольный параметръ, а Ъ, какъ функцію отъ
.г, у и а, опредѣляемую вторымъ изъ уравненій (26). Поэтому
,	, д/ д/ ЛЬ п , ЛЬ ,

будемъ имѣть	= 0, гдѣ опредѣляется изъ уравненія

।	= 0.

да д Ь Ла
Отсюда слѣдуетъ, что
(27)

д (/ = 0
діа, Ь)

Исключая а и Ъ изъ уравненій (26) и (27) мы и получимъ урав-
неніе искомой кривой. Одно изъ уравненій (26) можетъ и не
содержать въ себѣ х и _у, и тогда снова приходимъ къ случаю
одного независимаго параметра, потому что другой надо разсматри-
вать какъ функцію перваго. Но уравненіе (27) остается справедли-
вымъ. Общнѣе, если имѣемъ т уравненій

/(х, у, а, Ь, с, ...) = О,

§ (х, у, а, Ь, с, . ..) = 0, . ..

съ п параметрами, связанными

п — т соотношеніями

<р (а, 6, с, ...) — 0, у) (а, Ь, с, ...) = О,

то, дифференцируя всѣ данныя уравненія (т. е. первыя и и условныя
п — ж) относительно параметровъ, и исключая сіа, <1Ь, сіс, . .
найдемъ, что функціональный опредѣлитель/, ..., <р, тр, ... относи-
тельно а, Ь, с, ... долженъ быть равенъ нулю. Исключая п пара-
метровъ изъ и-^-1 уравненій, мы и получимъ уравненіе огибающей.

623. Эволюты и эвольвенты. Эволютою плоской кривой
называютъ огибающую ея нормалей. Всякая кривая называется
эвольвентою своей эволюты. На основаніи сказаннаго въ § 593,
можемъ тотчасъ сказать, что эволюта плоской кривой есть
общее мѣсто ея центровъ кривизны. Эту теорему можно также
доказать путемъ, указаннымъ въ концѣ § 620. Примѣняя указанный
пріемъ къ уравненію нормали X-х-\-у (У—у) = 0, получаемъ

- (1+У3) + (У- у)у"— о.

Координаты точекъ касанія нормалей съ ихъ огибающей опредѣля-
ются, слѣдовательно, формулами

Съ другой стороны, какъ мы видѣли въ § 618, если § и — коор-
динаты центра кривизны, то

1+У2
У" ’

1+У3
У"

у — V = -

Итакъ, X = У= і).

624. Если напишемъ координаты центра кривизны въ видѣ

с = X — <) 8ІП гр, Г) = у+ О СОЗ ф,
то отсюда выведемъ

<7^ = Лх — рсоз <р  Л<р — зіп <р • Ло, <7/; = Лу — зіп <р • Л<р + соз <р • Л(>.

Припоминая теперь, что <1х = соз (р • (із, (1у = зіп у • и (із = д сІ(р,
находимъ (іі. = — зіп (р • (ід, сй] = соз <р • сід. Эти формулы показы-
ваютъ, что элементъ СС' дуги эволюты (рис. 71) можно разсма-
тривать, какъ лежащій на нормали къ эвольвентѣ и имѣющій длину
сіо = сі(і. Отсюда опять слѣдуетъ, что касательныя къ эволютѣ —
нормали къ эвольвентѣ. Кромѣ того, равенство ^7(о —р) = 0

показываетъ, что а— р = сопзі. Поэтому, если возьмемъ нѣкоторую
дугу С, С2 = о2 — о, на эволютѣ и положимъ, что радіусы кри-
визны данной эвольвенты въ концахъ дуги С\С2 имѣютъ значенія
р, и р2, то — р! = о2— р2, т. е. а2 -	= р2 — р,. Иными

словами

(28)	Дуга СгС2 = М2С2 — (рис. 72).

[ Примѣчаніе. Изъ формулъ <1% = — зіп (р • сід, сіг] = соз (р  сід
получаемъ	= </р2, откуда с1о= + (1д. Если при

движеніи точки М отъ Мх къ М2 о и р одновременно возрастаютъ
или убываютъ, то д?О = б?р; если же, при возрастаніи О, д убываетъ,
то <7(о-|-р) = 0, т. е. о + р = сопзѣ Заключеніе, что СіС2 равна
разности радіусовъ кривизны + (М2С2~ М1С\), справедливо въ
обоихъ случаяхъ. Если же, при движеніи М отъ Мх къ Мг,
мѣняетъ знакъ, то предыдущее равенство не справедливо. Въ этомъ
случаѣ дугу МХМ2 надо раздѣлить на части, въ которыхъ
сохраняетъ знакъ, и примѣнить доказанное равенство, съ соотвѣт-
ствующимъ знакомъ, къ каждой части отдѣльно. Напримѣръ, если
на параболѣ точки Мх и М2 лежатъ по разныя стороны отъ вер-
шины О, центръ кривизны въ которой есть точка С на оси, то

СС2=М2С2--СО, ^С1С=МіС1—СО, СіСС2=М1С1+М2С2—2 СО.]

Укажемъ нѣкоторыя замѣчательныя слѣдствія этого свойства:

а)	Если дуга Мл М2 достаточно мала для того, чтобы ея
кривизна измѣнялась отъ одного конца къ другому въ одномъ и
томъ же направленіи (т. е. или постоянно возрастала или постоянно
убывала), то окружности соприкасающихся круговъ въ точкахъ
Мх и М2 не могутъ пересѣкаться, потому что онѣ отдѣляются одна
отъ другой именно дугою Мх М2 (см. § 592). Легко, впрочемъ,
вычислить разстояніе между этими окружностями, равное разстоянію
между точками (), и (2г, лежащими на линіи центровъ СХС2
между Мх и М2 (рис. 72). Мы имѣемъ

— ^'іС2 — ((?!Сх + С} С2) = М2С2 — М1С1 — СХС2

или	луга СХС2— хорда СхС2>0. Слѣдовательно, ясно, что

окружности двухъ достаточно близкихъ соприкасающихся круговъ
пересѣкаться не могутъ. Но мы можемъ сказать еще болѣе, а именно,
что эти окружности не могутъ имѣть (§ 585) и общей
точки, и разстояніе между ними есть безконечно малая
третьяго порядка относительно разстоянія между ихъ
центрами.

Ь)	Изъ’формулы (28) вытекаетъ еще слѣдующее: представимъ
себѣ, что на нѣкоторую плоскую кривую навита нерастяжимая нить;
закрѣпивъ одинъ ея конецъ и удерживая нить всегда натянутою, бу-
демъ свивать нить съ кривой въ ея плоскости, тогда всякая точка нити
будетъ описывать эвольвенту данной кривой. Итакъ, всякая кривая
имѣетъ безконечное множество эвольвентъ, представляющихъ систему
параллельныхъ равноотстоящихъ одна отъ другой кривыхъ. Эволь-
венты данной кривой можно также разсматривать, какъ рулетты,
описываемыя точками' прямой, катящейся безъ скольженія по данной
кривой.

625.	Для полнаго изученія эволюты данной кривой остается
еще опредѣлить ея кривизну. Съ этою цѣлью замѣтимъ, что уголъ
смежности для обѣихъ кривыхъ, очевидно, одинъ и тотъ же. Отсюда
тотчасъ слѣдуетъ, что радіусъ кривизны эволюты равенъ р^*).
Поэтому, вообще каждой точкѣ эвольвенты, въ которой кривизна

*) Потому что радіусъ кривизны эволюты равенъ гдѣ

. (із
агг, — — 
в
максимумъ или минимумъ, на эволютѣ соотвѣтствуетъ точка воз-
врата, а точки возврата эвольвенты (по крайней мѣрѣ, перваго рода)
сами принадлежатъ эволютѣ, потому что при р = 0 точка М эволь-
венты и точка С эволюты совпадаютъ съ одною и тою же точкою А.
Кромѣ того, если а есть радіусъ кривизны эволюты въ точкѣ А,
Л о

то изъ уравненія 1ітр“ = а, перенеся начало счета дугъ на
эвольвентѣ въ точку А и примѣняя теорему Лопиталя, тотчасъ
получимъ

о2

Ііт — = 2 а .

5

Слѣдовательно, въ смежности съ точкою А, эвольвента имѣетъ
приблизительно форму кривой, натуральное уравненіе которой есть
р2=2аз, т. е. (см. § 595, о) форму эвольвенты круга радіуса а
въ смежности съ ея точкою возврата.

626.	Упражненія, а) Уравненіе у = (х — а)3 изображаетъ семейство
равныхъ между собою кубическихъ параболъ, огибаемыхъ осью л>овъ. Эта
прямая касается всѣхъ параболъ въ точкахъ изгиба ихъ, а потому и не
дѣлитъ плоскость на двѣ области — одну, въ которой находятся всѣ огиба-
емыя, и другую, въ которой ихъ вовсе нѣтъ, какъ это бываетъ въ большин-
ствѣ случаевъ (см. § 622). Точно такъ же огибающая параболъ у=а2(х—а)2
состоитъ изъ оси х овъ и кривой Ібу^х*. Но эта кривая касается каждой
изъ параболъ въ точкѣ х = 2а, и пересѣкаетъ каждую изъ нихъ въ двухъ
другихъ х=-2а±2а/2. Слѣдовательно, область, заполняемая данными
параболами, ограничена только осью я-овъ.

Ь)	Найдемъ огибающую подвижной прямой, которая движется по
плоскости такъ, что двѣ ея точки постоянно находятся на сторонахъ даннаго
прямого угла. Если обозначимъ черезъ I разстояніе между этими точками,
х у

то уравненіе прямой будетъ е = /, и в можно разсматривать, какъ
параметръ, каждому значенію котораго соотвѣтствуетъ опредѣленное поло-
женіе прямой. Дифференцируя по Ѳ, получимъ

X у

 - д	ИЛИ

СОЗ8 9	ЗІП3 0

лг/соз Ѳ	у/8ІП 0 _ .

СОЗ2 Ѳ	ЗІП2 Ѳ ’

слѣдовательно, х = /соз8 Ѳ, у = Iзіп3 Ѳ и х% + у% = ІУ Итакъ, огибающая
подвижной прямой есть астроида (§ 595, §).

с)	Астроида будетъ также огибающая всѣхъ эллипсовъ, описываемыхъ
каждою другою точкою той же прямой (рис. 73). Дѣйствительно, если раз-
дѣлимъ I на двѣ части а и Ь, такъ что а + Ь = I, то точка дѣленія опишетъ
эллипсъ —у +	= 1. Дифференцируя по параметрамъ а и Ь, и принимая

аг &

во вниманіе, что Да + <76 = О, получимъ

уі

у-,,- или
63

а2
а

У2
&
ь

1_
I
откуда послѣдовательно

я2 = а3//, у2 = ЪЧІ, *$+ у% = 1%.

Если же, вмѣсто этого, полуоси будутъ связаны условіемъ а2 -|- Ь2 = Р, то
подобнымъ же образомъ найдемъ, что огибающая будетъ состоять изъ че-

Рис. 73.

тырехъ прямыхъ ± х ±у = I, т. е. всѣ эллипсы, имѣющіе общія оси (по
направленію) и общій кругъ Монжа, вписаны въ одинъ и тотъ же квад-
ратъ (рис. 73).

й) Между эвольвентами цѣпной линіи особенно замѣчательна та,
которая беретъ начало въ А	...

Рис. 74.

вершинѣ кривой и носитъ названіе трактрисы
(рис. 74). Извѣстныя свойства цѣпной линіи

(§ 595,1) приводятъ тотчасъ къ установленію
нижеслѣдующихъ свойствъ трактрисы: отрѣ-
зокъ, отсѣкаемый асимптотою на каса-
тельной, считаемый отъ соотвѣтству-
ющей точки касанія — величина посто-
янная; центръ кривизны лежитъ на
перпендикулярѣ, возставленномъ къ
асимптотѣ изъ точки пересѣченія ея
съ касательною.

е) Какъ аналитически, такъ и геометри-
чески легко доказать, что эволюта циклоиды
равна своей эвольвентѣ (только сдвинутой
съ мѣста), эволюта кардіоиды есть втрое
меньшая кардіоида, эволюта астроиды вдвое
большая астроида и т. д. Общнѣе можно
доказать, что за исключеніемъ эвольвенты

круга, всѣ эпи- и гипоциклоиды подобны своимъ эволютамъ, и если т есть
отношеніе радіуса подвижного круга къ радіусу неподвижнаго, то отношеніе
подобія (постоянное отношеніе между пропорціональными длинами) эволь-
венты и эволюты равно 1 +2», т. е. равно соотвѣтственно 1, 3, | и т. д.
для циклоиды (т = 0), кардіоиды (т = 1), астроиды (т = — |) и т. д.
О Будемъ искать огибающую семейства круговъ, зная кривую, на
которой находятся центры всѣхъ круговъ, и законъ измѣненія радіуса вдоль
этой кривой. Положимъ, что ч и д — координаты центра и радіусъ, за-
данные, какъ функціи дуги о кривой — общаго мѣста центровъ, тогда надо
будетъ дифференцировать уравненіе (х — с)а + (у — ч)2 = по а, разсма-
тривая при этомъ х и у, какъ постоянныя. Мы получаемъ

0)	(х-^+(у-’?)й + ей=0’

и видимъ, что круги касаются огибающей въ точкахъ, лежащихъ на пря-
мой, параллельной нормали къ линіи центровъ, проведенной на разстояніи
— д1— отъ центра. Чтобы огибающая была вещественною, необходимо и
ап

достаточно, чтобы | <1д | была не больше \<іа\. Иными словами, огибающая
только тогда вещественна, когда скорость, съ которою движется центръ, не
меньше скорости, съ которою кругъ растягивается или сжимается. При
| <1д | < | Ла | огибающая состоитъ изъ двухъ вѣтвей, совпадающихъ въ одну,
когда сід = ± Ло. Въ этомъ случаѣ касательная къ общему мѣсту центровъ
будетъ нормальна къ огибающей, и кривая (д, ч) есть не что иное, какъ
эволюта кривой (х, у). Иными словами, условіе <ід = ± <7о, необходимость
котораго была установлена въ § 624, будетъ и достаточнымъ для того,
чтобы круги нѣкотораго семейства были соприкасающимися
кругами плоской прямой.

[Примѣчаніе. При |~| > 1, | д > д и прямая (I) не имѣетъ
общихъ точекъ съ окружностью круга радіуса д, слѣдовательно, нѣтъ и
вещественной огибающей. При |	| < 1, прямая (1) пересѣкаетъ окружность

круга въ двухъ точкахъ: одна опишетъ при измѣненіи а одну, другая другую
вѣтвь огибающей. При |^| = 1, прямая (I) касается окружности огиба-
емаго круга и точка касанія опишетъ единственную вѣтвь огибающей. Кромѣ
того, касательная къ линіи центровъ будетъ перпендикулярна къ линіи (I),
т. е будетъ нормалью къ огибаемой. ]

627.	Подэры И антиподэры. Мы уже сказали въ § 590, с,
что подэрою данной кривой относительно точки () называютъ
общее мѣсто проекцій точки @ на касательной къ данной кривой.
Если кривая (2Й) есть подэра кривой (рис. 75), то кривая (Мх)
называется антиподэрою кривой (Л/) относительно точки Ясно,
что антиподэру нѣкоторой кривой относительно точки можно раз-
сматривать, какъ огибающую перпендикуляровъ ММѴ возставлен-
ныхъ къ различнымъ прямымъ, проходящимъ черезъ С?, въ точкахъ
пересѣченія этихъ прямыхъ съ данною кривою (тИ). Это замѣчаніе
и указываетъ путь для опредѣленія антиподэры данной кривой.
Пусть М — нѣкоторая точка на данной кривой, а — соотвѣт-
ствующая ей точка на искомой антиподэрѣ. Напишемъ уравненіе
огибаемой прямой въ видѣ

X СО8 Ѳ — зіп 0 = г.
Дифференцируя его по Ѳ, находимъ

— х зіп 0 +_у соз Ѳ = г'.

Это есть уравненіе прямой, перпендикулярной къ ММХ, проходящей
черезъ конецъ М полярной поднормали данной кривой (§ 588).
Координаты точки Мх удовлетворяютъ обоимъ уравненіямъ, слѣдо-
вательно, точка Мх антиподэры данной кривой, соотвѣт-
ствующая точкѣ М, есть проекція точки М на прямую ММХ.
Изъ полученныхъ двухъ уравненій находимъ для координатъ
точки Мх выраженія

х = г соз Ѳ — г' зіп Ѳ, у = г зіп Ѳ + г' соз Ѳ.

Исключая Ѳ изъ этихъ
извѣстныя функціи отъ

двухъ уравненій, при чемъ г и г будутъ
9, опредѣляемыя полярнымъ уравненіемъ

данной кривой, мы и получимъ урав-
неніе антиподэры въ Декартовыхъ
координатахъ. Если, обратно, дана
будетъ кривая (Л/,), то изъ опредѣ-
ленія ея подэры (М) извѣстно будетъ
положеніе точки М, соотвѣтствующей
точкѣ Л/,, и вышеизложенныя сооб-
раженія даютъ возможность другимъ
путемъ придти къ построенію каса-
тельной въ точкѣ М на подэрѣ (Л/).
Въ самомъ дѣлѣ, эта касательная пер-
пендикулярна къ нормали ММ, а
прямая ММ получится, какъ прямая,
проходящая черезъ М и середину

ОЛ/,. Далѣе, если желаемъ знать радіусъ кривизны кривой (Л/,)
въ точкѣ Мх (на антиподэрѣ данной кривой (М), предполагая
извѣстнымъ радіусъ кривизны послѣдней), то замѣчаемъ, что

у-. = - (г + г") зіп Ѳ,	= (г 4- г") соз ѳ.

а о	а о

Такъ какъ г/9 есть уголъ смежности для кривой (ЛД), то ея радіусъ
кривизны о, = г Д- г" *). Итакъ, достаточно продолжить прямую МХМ
на длину МС\ = г", чтобы получить въ точкѣ Сг искомый центръ
кривизны. Этотъ результатъ обыкновенно представляютъ въ другомъ
видѣ, выражая р1 черезъ радіусъ векторъ г, = уіМ^ и радіусъ

*) Въ самомъ дѣлѣ, <7Ѳ эквивалентенъ углу между двумя перпенди-
кулярами къ двумъ безконечно близкимъ касательнымъ къ кривой (Му,
.	, Лз УЛх2 4- Лу2 „

поэтому Л6 = Лу, (ц =	—— = г 4- г 
кривизны д данной кривой (Л2). Выраженіе д получимъ по второй
изъ формулъ (8), а именно

_	(г2 + г'2)2	_ г/

® г2 2 г'2 — гг" 2 г? — г

Отсюда получается соотношеніе

(29)

_ 2	1

гх	о

которое и даетъ возможность построить С,, когда извѣстно поло-
женіе центра кривизны С данной кривой (М). (См. § 595, ()•

628.	Каустики (Каизіісае). Представимъ себѣ, что изъ нѣко-
торой точки <2 выходятъ свѣтовые лучи, падаютъ на зеркало (М)
и отъ него отражаются *) (рис. 76). Предѣльныя положенія точекъ

пересѣченія каждыхъ двухъ безконечно
близкихъ отраженныхъ лучей образуютъ
свѣтящуюся линію, называемую каусти-
кою по отраженію (катакаусти-
кою). Каустика кривой (М) относи-
тельно полюса О будетъ, слѣдовательно,
огибающей лучей, выходящихъ изъ О
и отражающихся отъ (М) по извѣстному
закону равенства угловъ паденія и отра-
женія. Лучъ, отраженный въ точкѣ М,
пройдетъ черезъ точку 2.,, симметрично
расположенную съ О относительно ка-
сательной въ точкѣ М (МЬ, = ОМ,
ОМ,—М,Ь\І- Разсматривая еще кривую
(2,) —общее мѣсто точекъ Ь, симметрич-

ныхъ съ О относительно точки М (Мѣ = МО),— легко видѣть,
что кривая (2.,) есть подэра кривой (2.) относительно полюса О.
\ООі МІМ,, касательная къ (2.) 2.2., ||ММ, ]. Поэтому (§ 627)
нормаль къ кривой (2.,) въ точкѣ 2., пройдетъ черезъ середину ОЬ,
т. е. черезъ точку М. Слѣдовательно, всѣ отраженные лучи нор-

мальны къ кривой (2.,), и огибающая ихъ есть эволюта этой кривой.

Итакъ, каустика данной кривой есть эволюта подэры кри-

вой, подобной данной, относительно свѣтящейся точки.

Отсюда слѣдуетъ, что построеніе точекъ каустики приводится къ
построенію центровъ кривизны (см. § 595, ]) подэры кривой (2.)
относительно точки О. При этомъ построеніи, какъ легко видѣть,

*) Точка О, зеркало (М) и пучекъ падающихъ лучей предполагаются
лежащими въ одной плоскости.
можно замѣнить кривую (2.) данною кривою (тИ) *). Въ томъ слу-
чаѣ, когда свѣтовые лучи параллельны (свѣтящаяся точка въ безко-
нечности) построеніе каустики особенно упрощается, потому что
тогда имѣетъ мѣсто теорема: нормали къ каустикѣ, происхо-
дящей отъ пучка параллельныхъ лучей, дѣлятъ пополамъ
радіусы кривизны зеркала въ соотвѣтствующихъ точкахъ.

[ Примѣчаніе. Теорему эту нетрудно доказать аналитически.
Направимъ ось;у-овъ параллельно лучамъ, падающимъ на зеркало (Л/),
и пусть у =/(х) данное его уравненіе. Уголъ а, образуемый нор-
малью къ зеркалу въ точкѣ М съ падающимъ лучемъ, равенъ углу,
образуемому касательною съ осью дг-овъ, такъ что а =у' =/'(х).
Уголъ между падающимъ и отраженнымъ лучемъ будетъ равенъ 2а,
а потому уголъ /?, образуемый отраженнымъ лучемъ, будетъ равенъ
2 а -|- (что прямо видно изъ чертежа); слѣдовательно,

и уравненіе отраженнаго луча будетъ

(1)1	У-Іу=1|у--1/-)(Х-х).

Если присоединимъ сюда уравненіе, полученное изъ (1) дифферен-
цированіемъ по параметру х, и изъ полученныхъ двухъ уравненій
исключимъ х, то получимъ уравненіе каустики. Это второе уравненіе
,	хл	у'	/1\	А/ ’	у'2— 1

будетъ А — г= — въ силу чего (1) даетъ У —у\= — у, •
Поэтому, обозначая черезъ (§, »]) координаты точки Р на каустикѣ,
соотвѣтствующей точкѣ М{х, у) на зеркалѣ, будемъ имѣть

-у7	л/2 — 1

(2)	| = х ---< • ч

Нормаль къ каустикѣ въ точкѣ (§, г[) перпендикулярна къ огиба-
емой (1), слѣдовательно, уравненіе этой нормали будетъ

(3)

2У(Х-Х + ^ =(1-у2)(у_-^+^3).

Самое простое вычисленіе покажетъ, что этому уравненію удовлетво-

*) Это утвержденіе не совсѣмъ точно. Точная формулировка получен-
наго результата состоитъ въ слѣдующемъ: эволюта подэры данной кривой
и ея каустики относительно одной и той же данной точки суть двѣ подобныя
и подобнымъ образомъ расположенныя кривыя, при чемъ центръ подобія
лежитъ въ данной точкѣ, а отношеніе подобія равно 1:2. (См. Е. \Ѵеуг,
„ЁІеЬег біе ІбепШаі бег Вгеппііпіеп шіі беп (Еѵоііііеп бег) Гп88рипкІ5кигѵеп“.
2еіізсѣгій іііг Маііі. ипб РНузік, 1869, ра§. 376).
ряютъ значенія X = $(у\-]-х), У=і(Уі~)~у), гдѣ хг = х —’
Ух=у	координаты центра кривизны С зеркала въ точкѣ

(х, у), что и доказываетъ теорему. Построеніе точки Р сводится

къ построенію перпендикуляра изъ середины СМ къ отраженному
отъ точки М лучу. ]

Возвращаясь къ общему случаю точки <2 на конечномъ раз-
стояніи отъ зеркала и припоминая теорему о длинѣ дуги эволюты
(§ 624), приходимъ къ слѣдующему заключенію: Если Р и Р'—
точки каустики, соотвѣтствующія точкамъ М и М' зеркала,
то РР = + {(()М-)- МР) — ((2М'+ М'Р)} . Дѣйствительно,
О М Р М Р= ЬГР т. е. радіусу кривизны кривой (Д) въ точкѣ Д,
и аналогичное значеніе-имѣетъ сумма О_М'рМ'Р', откуда и слѣ-
дуетъ вышесказанное на основаніи § 624. Полученный результатъ
можно формулировать такъ: длина дуги каустики равна разности
между длинами путей, которые свѣтъ проходитъ отъ свѣтящейся
точки до одного и другого конца дуги. Если, каковы бы ни были
точки М и М' на зеркалѣ, РР' = 0, тогда

<2М + мр = о м'р М’Р,

и получается такое слѣдствіе: если хотимъ, чтобы лучи, выходящіе
изъ точки (2, по отраженіи отъ зеркала М, сошлись въ одной
точкѣ Р, то необходимо, чтобы зеркало имѣло форму эллипса
съ фокусами въ Р и р.

629. Упражненія, а) Возвращаясь къ вопросу объ антиподэрахъ,
положимъ, что данная кривая есть улитка: г = а соз Ѳ + Ь. Изъ этого урав-
ненія вытекаетъ: г + г"= Ъ, а этого достаточно, чтобы утверждать, что
антиподэра есть кругъ радіуса Ь. Точно такъ же, если данная кривая —
спираль Архимеда: г = я9, то г'=я, г" =0; точка 7Ѵ (рис. 75) есть центръ
кривизны антиподэры (Му потому что г" = 0, и всегда остается на окру-
жности круга радіуса а, потому что г' = а. Итакъ, Архимедова спираль
есть подэра эвольвенты круга. Это свойство, которое можно считать
очевиднымъ (см. рис. 54), даетъ простой способъ построенія центра кривизны
въ данной точкѣ М на Архимедовой спирали.

| Примѣчаніе. Отложивъ на перпендикулярѣ къ радіусу вектору] 4/(9
(рис. 75) длину рР=а, строимъ прямоугольникъ М^^М1 и проводимъ
его діагонали М Р и М^Р проектируемъ А7 на рМг въ точку Н и точку Н
на 1РМХ въ точку Ъ. Центръ кривизны С будетъ точка пересѣченія прямыхъ
Ь(} и МР. Это прямо вытекаетъ изъ построенія центра кривизны подэры,
указаннаго въ § 595, ]. Полезно провѣрить это построеніе съ помощью
второй формулы (8) для р, которая въ данномъ случаѣ даетъ

МС =

(г2 + я2)^ 1

г2 + 2 а2

Ь)	Найдемъ антиподэру прямой линіи относительно данной точки О
(рис. 77). Примемъ данную прямую за ось у-овъ, а перпендикуляръ къ ней
изъ точки 0> за ось дг-овъ. Тогда уравненіе прямой ММ.± будетъ ту—-тіхр'^р,
гдѣ т обозначаетъ угловой коэффиціентъ (перемѣнный), а | р — длину от-
рѣзка О^ (постоянную). Дифференцированіе по т даетъ у=тх, а исклю-
ченіе т даетъ далѣе у-^^рх. Слѣдовательно, антиподэра прямой относительно
дани эй точки есть парабола съ фокусомъ

въ данной точкѣ, касающ.яся данной
прямой въ вершинѣ. Этотъ результатъ,
впрочемъ, можетъ быть выведенъ изъ
построенія касательной, даннаго въ § 627.
Въ самомъ дѣлѣ, это построеніе даетъ
МГИ = у. Р'МОІ, такъ что нормаль
дѣлитъ уголъ <Р>Му{ пополамъ; а съ дру-
гой стороны, на основаніи сказаннаго въ
§ 590, <1 вытекаетъ, что это свойство
принадлежитъ исключительно параболѣ.
Замѣтимъ еще, что въ настоящемъ
случаѣ формула (29) обращается въ
гр1=2г12 (р=°о). такъ какъ въ прямоуголь-
номъ треугольникѣ ѣ()М± — г32= г ЬМГ,
то точка Ь дѣлитъ радіусъ кривизны по-
поламъ. Такимъ образомъ снова получаемъ
извѣстное уже построеніе (§ 595, к).

с)	Когда свѣтовые лучи, выходящіе изъ (Р, отражаются отъ кругового
зеркала, то кривая (7.) будетъ также кругъ, а слѣдовательно, кривая (І.р—
улитка (§ 590, с). Въ частности, если точка лежитъ на окружности дан-
наго круга, то она лежитъ и на окружности круга (/.), и улитка будетъ
кардіоидою, эволюта которой будетъ другою кардіоидою, втрое меньшею
первой и обратно расположенною. Итакъ, каустика кругового зеркала,
для пучка лучей, выходящихъ изъ нѣкоторой точки самого зер-
кала, есть кардіоида, касающаяся зеркала въ свѣтящей точкѣ Р)\ точка
возврата этой кардіоиды дѣлитъ діаметръ, выходящій изъ^, въ отношеніи 2:1.
Если же лучи выходятъ изъ безконечности, то, какъ мы видѣли раньше, нормаль
къ каустикѣ въ точкѣ Р, соотвѣтствующей данной точкѣ М, на которую
падаетъ лучъ, проходитъ черезъ середину Лг радіуса ОМ. Поэтому, когда
построены окружности круга, проходящаго черезъ съ центромъ въ О, и
круга съ діаметромъ МУ, то, какъ видимъ, кривую (Р) можно разсматри-
вать какъ рулетту, описываемую точкою Р, когда второй кругъ безъ
скольженія катится по первому. Итакъ, каустика кругового зеркала
для пучка параллельныхъ лучей есть эпициклоида съ двумя
точками возврата.

ПРИЛОЖЕНІЯ КЪ КРИВЫМЪ ДВОЯКОЙ КРИВИЗНЫ*).

Основныя формулы.

630.	Касательная прямая и нормальная плоскость.
Касательною въ данной точкѣ М какой угодно плоской или не
плоской кривой называется прямая, съ которою стремится совпасть
сѣкущая ММ', когда, фиксируя точку М, заставимъ точку М'

*) Неплоская кривая называется кривою двоякой кривизны по при-
чинѣ, которая выяснится впослѣдствіи (§ 638). На нѣмецкомъ языкѣ не-
плоскія кривыя называются витыми кривыми (§е\ѵип<іепе Кигѵеп), на фран-
цузскомъ — косыми (сонгЬез ^аисѣез). На русскомъ ни то, ни другое названіе
не вошло въ употребленіе.
безпредѣльно приближаться къ М, оставаясь на данной кривой.
Мы ограничимся здѣсь изученіемъ такихъ кривыхъ, для которыхъ
имѣетъ мѣсто равенство:

,. ^ММ'

Ііт-----= 1 ,

хорда ММ'

подобно тому, какъ это имѣло мѣсто для плоскихъ кривыхъ въ
предыдущей главѣ. Такъ какъ направляющіе косинусы сѣкущей
равны разностямъ дх, ду, дг между координатами точки М' и
координатами (х,у, г) точки М, дѣленнымъ на длину отрѣзка ММ',
то, переходя къ предѣлу и замѣняя хорду ММ' дугою ММ' — дз,
найдемъ, что направляющіе косинусы касательной въ точкѣ
{х, у, г) опредѣляются формулами

Формулы эти относятся къ положительному направленію каса-
тельной, которое всегда выбираемъ идущимъ въ сторону возраста-
ющихъ дугъ 5. Возвышая равенство (1) въ квадратъ и складывая,
найдемъ

(2)	л& = лх2 + <у2 + Лг*.

Если координаты х, у, г заданы, какъ функціи нѣкотораго пара-
метра /, то сперва вычисляемъ (Із по формулѣ

Лз = У Лх2 + Лу2 + Лг2,

а затѣмъ по формуламъ'(1) находимъ и направляющіе косинусы
касательной. При этомъ беремъ положительное или отрицательное
значенія корня квадратнаго, смотря по тому, будетъ ли 5 возра-
стать или убывать при возрастаніи і. Уравненія касательной будутъ

Х—х _ У-у _2-г

Лх Лу Лг

Ихъ можно прямо писать, какъ уравненія прямой, проходящей
черезъ точки (х, у, г) и (г + <іх, у + сіу, % + йг). Полезно
замѣтить еще другую форму уравненій касательной, примѣняемую
съ удобствомъ въ томъ случаѣ, когда кривая задана двумя уравне-
ніями вида:

(х, у, г} = 0, ір (х, у, г) = 0.

*) Для вывода этихъ формулъ можно воспользоваться разсужденіями,
совершенно аналогичными тѣмъ, которыя приведены въ примѣчаніи къ § 591.
Такъ какъ Х—х, У—у, Х — г пропорціональны дифференціаламъ
сіх, сіу, сіз, которыя связаны соотношеніями

дх	ду	дг

дчр	,	,	дчр	,	дчр	,

дх	ду	дг

то будемъ имѣть

(.Г-< + (Г-^+(г-.)Й = ».

Это и будетъ уравненіе касательной. Нормальною плоскостью
въ точкѣ М называютъ общее мѣсто нормалей къ кривой въ этой
точкѣ, т. е. перпендикуляровъ, возставленныхъ изъ М къ касательной.
Уравненіе нормальной плоскости есть

(X — х) Лх + (У—у) Лу + (7, — г~) Лг = 0,

или, если кривая задана уравненіями <р = 0, 1^ = 0, то

д ср	д	чр

д х	д	х

д (р	д	чр

ду ду

д <р	д	чр

д г	д	г

631.	Бинормаль и соприкасающаяся плоскость. Главная
нормаль и спрямляющая плоскость. Когда точка М' стремится
къ совпаденію съ М, то плоскость, проходящая черезъ касательную
въ М и параллельная касательной въ М', можетъ и, вообще
говоря, будетъ стремиться къ нѣкоторому предѣльному положенію.
Это предѣльное положеніе опредѣляемой указаннымъ образомъ
плоскости называютъ соприкасающеюся плоскостью (озкиііегепсіе
ЕЬепе) въ точкѣ М. Одна изъ безчисленнаго множества нормалей
въ точкѣ М лежитъ въ этой плоскости и называется главною
нормалью, другая перпендикулярна къ этой плоскости и называется
бинормалью, потому что ее можно разсматривать, какъ перпенди-
куляръ къ двумъ безконечно близкимъ касательнымъ, т. е. какъ
предѣльное положеніе общаго перпендикуляра къ касательнымъ въ
точкахъ М и М'. Плоскость, проходящую черезъ касательную и
бинормаль, называютъ спрямляющею плоскостью (гекШігіегепсіе
ЕЬепе).
§§ 631—632

основныя ФОРМУЛЫ.

141

[ Примѣчаніе. На главной нормали и на бинормали, такъ же
какъ на касательной, и вообще на всякой прямой, выбираютъ по
произволу опредѣленное направленіе, которое называютъ положи-
тельнымъ, и когда говорятъ объ этихъ прямыхъ, то всегда подра-
зумѣваютъ это направленіе, если не сказано противоположнаго.
Вмѣстѣ съ тѣмъ различаютъ на нормальной, соприкасающейся, спря-
мляющей плоскости положительную и отрицательную сторону, при
чемъ положительною называютъ ту, которая обращена въ ту же
сторону, куда идетъ положительное направленіе перпендикуляра къ
той или другой плоскости. То же самое относится и къ координат-
нымъ плоскостямъ. ]

Три прямыя (касательная, бинормаль и главная нормаль) и три
плоскости (нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая) предста-
вляютъ собою соотвѣтственно ребра и грани трехграннаго угла,
съ вершиною въ точкѣ М, который называется фундаменталь-
нымъ или основнымъ тріэдромъ. Мы увидимъ впослѣдствіи,
что для опредѣленія относительнаго положенія основныхъ тріэдровъ
въ двухъ безконечно близкихъ точкахъ М и М' достаточно будетъ
знать двѣ безконечно малыя величины е и т?, опредѣляемыя слѣ-
дующимъ образомъ: 6 есть дифференціалъ, эквивалентный углу
между касательными въ точкахъ М и М', а —дифференціалъ,
эквивалентный углу между бинормалями въ этихъ точкахъ. Первый,
е называется угломъ смежности, второй — угломъ крученія.

632.	Теперь намъ нужно сдѣлать небольшое отступленіе.
Положимъ, что дана нѣкоторая прямая, направляющіе косинусы
(А, В, С) которой непрерывныя функціи независимой перемѣнной.
Всегда можно найти дифференціалъ, эквивалентный безконечно ма-
лому углу между направленіями (А, В, С) и (А-{-ЗА, В-^-дВ,
С + д С), т. е. направленіями, соотвѣтствующими значеніямъ / и
независимой перемѣнной. Для этого представимъ себѣ шаръ
радіуса, равнаго 1, съ центромъ въ началѣ координатъ О, и про-
ведемъ радіусы ОР и ОР, въ данныхъ направленіяхъ (А, В, С)
и (А + дЛ, В + дБ, С + д С). При измѣненіи і точка Р опишетъ
на поверхности шара нѣкоторую кривую. Уголъ между данными
направленіями измѣряется дугою большого круга РР. Ясно, что
эта дуга эквивалентна хордѣ РР', которая въ свою очередь экви-
валентна дугѣ РР' кривой линіи, описываемой точкой Р\ наконецъ,
дуга РР этой кривой эквивалентна дифференціалу дуги а той же
кривой, отсчитываемой отъ произвольно выбраннаго на кривой начала.
Замѣчая теперь, что А, В, С будутъ, очевидно, равны координатамъ
точки Р (потому что О/э=1), по формулѣ (2) найдемъ

(3)	= а А2 + ав2 + ас2.

Къ другому замѣчательному выраженію Но придемъ, замѣтивъ, что
^42+52+С2= 1, АНА-\-ВНВ-\- СНС = 0, вслѣдствіе чего (§30)

А В С 2 _ 2 А2 2 А А
сІА ЛВ ЛС	2 А Л А 2 Л А2

а потому

(4)	сіа2 = (в<іС- сав^+^са а - Аас^ + {Аав - ваА)2.

633.	Обратимся теперь къ опредѣленію направленія главной
нормали. Съ этой цѣлью замѣчаемъ слѣдующее: если направленіе
(Л, В, С) совпадаетъ съ направленіемъ касательной (а, Ъ, с) къ
данной кривой въ точкѣ М, то плоскость ОРР' будетъ параллельна
касательнымъ въ точкахъ М и М', и съ приближеніемъ М' къ М
(при чемъ и Р стремится совпасть съ Р, если а, Ь, с непрерывныя
функціи отъ /), будетъ стремиться къ совпаденію съ соприкасаю-
щеюся плоскостью. Предѣльное положеніе прямой РР' будетъ
касательная къ кривой (Р) въ точкѣ Р и потому перпендикулярно
къ ОР. Слѣдовательно, предѣльное положеніе прямой РР будетъ
параллельно не только соприкасающейся, но и нормальной плоскости,
т. е. параллельно главной нормали. Примѣняя теперь формулы (1)
къ кривой (Р) (при чемъ <7о = е, а х, _у, г надо замѣнить черезъ
а, Ь, с), находимъ для направляющихъ косинусовъ главной нормали
формулы

(5)

аь

. На

Л = —
6

Л с
ѵ = —
е

634.	Послѣ этого можно опредѣлить и направленіе бинормали.
Оставляя пока положительное направленіе бинормали у неопредѣлен-
нымъ, обозначимъ направляющіе косинусы бинормали черезъ а, /?, у.
Эти величины удовлетворяютъ условіямъ ортогональности относи-
тельно касательной и главной нормали

2аа = аа + [ІЬ -|-ус = 0, 2аЛ = а/ + З/* + 7Ѵ = 0.
Присоединимъ къ этимъ двумъ уравненіямъ еще третье — условіе
перпендикулярности касательной и главной нормали

У.а'к — а/ + Ъіу + сѵ = 0.

Эти три уравненія выражаютъ ортогональность опредѣлителя девяти
основныхъ косинусовъ
а Ъ с

а 0 7	•

Л и ѵ

Значеніе этого опредѣлителя будетъ, слѣдовательно, равно + 1.
(§ 69). Но всегда можно *) выбрать положительное направленіе
бинормали такъ, чтобы имѣло мѣсто равенство

(6)

а Ь с	
а V 7	= + 1.
Л /< ѵ	

Геометрически такой выборъ положительнаго, направленія бинормали
сводится къ слѣдующему предположенію: Если мы совмѣстимъ
основной тріэдръ съ тріэдромъ координатныхъ осей такимъ обра-
зомъ, что положительныя направленія касательной и главной
нормали (выбираемыя по произволу) совпадутъ соотвѣтственно съ
положительными направленіями осей дг-овъ и г-овъ, то положи-
тельное направленіе бинормали совпадетъ съ положительнымъ на-
правленіемъ оси ^у-овъ. Намъ извѣстно, что при вышеуказанномъ
условіи (§ 70) каждый элементъ опредѣлителя (6) равенъ
своему алгебраическому дополненію. Поэтому, пользуясь
формулами (5), найдемъ, что направляющіе косинусы бинор-
мали опредѣляются формулами

/7 \	а___.______&____________7____— к.

' 7	ЬЛс-сЛЬ сЛа — аЛс аЛЬ— ЬЛа е

Теперь мы можемъ написать и уравненіе соприкасающейся плоскости,
а именно: ^(Ъсіс—с/ІЬ) (X— х) = 0, или подробнѣе

{ЬЛс — сЛЬ)(Х — х) -\-(сЛа —аЛс)(У—у) + {аЛЬ — ЬЛа)(Х — г) = 0.

На основаніи формулъ (1) мы можемъ написать это уравненіе еще
въ слѣдующемъ видѣ:
Х — х Лх Л2х
У — у Лу Л2у = 0 .
7. - в Лг Л2в

:) Измѣняя, если понадобится, знаки чиселъ а, 0, 7.
Отсюда видимъ, что соприкасающуюся плоскость въ точкѣ (х,у, г)
можно разсматривать, какъ плоскость, проходящую черезъ касатель-
ную въ этой точкѣ и черезъ точку

(х + Лх + | Л2х, у + Лу + | Л2у, г 4- Лг + I й?2з).

[ Примѣчаніе. Для того, чтобы уравненіе соприкасающейся
плоскости могло быть представлено въ указанномъ видѣ, необходимо,
во всякомъ случаѣ, предположить, что не всѣ коэффиціенты при
Х — х, У—у, X—г, т. е. не всѣ три минора, составленные изъ
двухъ послѣднихъ столбцовъ, равны нулю. При этомъ предполо-
женіи легко доказать существованіе соприкасающейся плоскости,
которое мы выше допустили. Въ самомъ дѣлѣ, уравненіе плоско-
сти, проходящей черезъ касательную въ точкѣ (х, у, г)

(1)

X - х

Лх

У-У 2-г

Лу Лг

и параллельной касательной въ точкѣ (х-\-8х, у-\-ду, г + дг)

X — (х 4- <5Ѵ) _ У — (у у ду) _ 2 — (гудг)
ЛхудЛх ЛуудЛу ЛгудЛг

можетъ быть написана въ слѣдующемъ видѣ:

	X — х Лх ЛхудЛх		X — х Лх д Лх
(III)	У — у Лу Лу У д Лу	= 0 или	У—у Лу д Лу
	2—г Лг ЛгудЛг		2 — г Лг д Лг

= 0.

Раздѣливъ послѣдній столбецъ на <55, переходя въ лѣвой части къ
предѣлу при = 0 и вновь умноживъ послѣдній столбецъ на
<?5 = сіз, мы и придемъ къ уравненію

X — х Лх Л2х

У—у Лу Л2у

2, — г Лг Л2г

Такъ какъ, по сдѣланному предположенію, это равенство, дѣйстви-
тельно, является уравненіемъ, то существованіе соприкасающейся
плоскости доказано. ]

635.	Формулы (7) и (5) даютъ возможность вычислить на-
правляющіе косинусы бинормали и главной нормали по даннымъ
косинусамъ а, Ъ, с, опредѣляющимъ направленіе касательной, такъ
какъ уголъ смежности е можетъ быть вычисленъ по одной изъ
слѣдующихъ формулъ:

к2= Ла2у ЛЬ2 У Лс2, е2= (ЬЛс — сЛЬ)2 у (сЛа — аЛс)2 у (аЛЬ — ЬЛа)2.
При этомъ знакъ, съ которымъ беремъ отсюда а, остается произ-
вольнымъ, потому что измѣненіе этого знака въ формулѣ (7) и (5)
влечетъ за собою измѣненіе знаковъ чиселъ а, у и Л, и, ѵ,
такъ что значеніе опредѣлителя (6) не измѣняется. Если вмѣсто а, Ь, с
были бы даны а, у, то можно было бы вычислить уголъ кру-
ченія г/ по формуламъ

г/2 = Ла? + Л^ + Лу-, гр = ($Лу — уЛ/3)2 +	— аЛу)2 + (аЛВ— і-ісіар,

а затѣмъ, зная т?, съ помощью формулъ, аналогичныхъ (7) и (5),
опредѣлить направленіе двухъ другихъ реберъ основного тріэдра.
Въ самомъ дѣлѣ, дифференцируя равенства 2аа = 0, ^а2=1,
при помощи (5) найдемъ

2аЛа =— 2 аЛа = — ?2'аЛ = 0, 1’а^а = 0,

„ .	Ла ЛВ Лу	,

Слѣдовательно, -у = -^- =-- = + ??, или> выбирая надлежащимъ
образомъ знакъ у г],

. Ла ЛВ Лу

(8)	л = — ’ ці = — > ѵ =-------

Далѣе,	= (/?ѵ—7іРѵ = ат] и т. д., т. е.

/9) ______________«___=______Ь-___=_______?___= 1 •

' !	/ВЛу — уЛВ уЛа — аЛу аЛ/В—ВЛа Т)

Замѣтимъ и здѣсь, что измѣненіе знака г) или знаковъ а, 8,7
въ (8) и (9) не нарушаетъ равенства (6).

[Примѣчаніе. Обращаемъ вниманіе читателя на одну особен-
ность въ изложеніи Чезаро, отличающую его одъ принятаго въ
большинствѣ руководствъ по Дифференціальной Геометріи. Разсма-
тривая вмѣстѣ съ данною кривою (М) сферическую кривую (Р),
о которой здѣсь говорится въ §§ 632—633, или такъ называемую
сферическую указательницу, ставятъ условіемъ, что дифферен-
ціалъ ея дуги <іо берется съ тѣмъ же знакомъ, съ какимъ берется
дифференціалъ сіз дуги данной кривой, т. е. что о и 5 одновре-
менно возрастаютъ и убываютъ (см., напримѣръ, Гурса „Курсъ
математическаго Анализа", переводъ подъ ред. проф. Б. К. Млод-
, СІ $
зѣевскаго, т. I, стр. 506). Въ силу этого условія отношеніе

(І 3

или —, такъ называемый радіусъ первой кривизны (>, оказы-
вается всегда числомъ положительнымъ. Вмѣстѣ съ тѣмъ за поло-
жительное направленіе главной нормали берется положительное на-
правленіе касательной къ сферической указательницѣ, которое не
зависитъ отъ выбора положительнаго направленія на данной кривой
(см. Гурса стр. 509). Чезйро этого условія не ставитъ и разсма-
триваетъ (>, какъ алгебраическое количество, которое можетъ быть
какъ положительнымъ, такъ и отрицательнымъ, и оставляетъ выборъ
положительнаго направленія главной нормали, равно какъ и поло-
жительнаго направленія касательной произвольнымъ, опредѣляя лишь
положительное направленіе бинормали, при сдѣланномъ выборѣ
первыхъ двухъ, условіемъ (6), которое можно назвать условіемъ
конгруэнтности основного тріэдра Мі, МЬ, Мп (рис. 79) съ
тріэдромъ координатныхъ осей Ох, Оу, Оз. Подобная точка зрѣнія,
конечно, допустима и ни къ какимъ противорѣчіямъ не ведетъ, но
врядъ ли оправдывается какими нибудь особыми выгодами; нѣко-
торыя изслѣдованія (какъ напримѣръ, изслѣдованія § 643) даже
усложняются. Относительно условія (6) замѣтимъ еще слѣдующее.
Когда положительныя направленія Мі, МЬ, Мп совпадутъ съ по-
ложительными направленіями Ох, Оу, Ог (и точка М съ О), то
а=\, Ь = с = 0; /9=1, а = у = О, ѵ— 1, 2 = ^ = 0 и опредѣлитель
(6) = + 1. Это значеніе онъ сохранитъ и при всякомъ другомъ
положеніи основного тріэдра, потому что, будучи ортогональнымъ,
онъ можетъ имѣть только значенія 1 или —1, а не обращаясь
въ нуль и будучи непрерывною функціею отъ своихъ элементовъ,
не можетъ мѣнять знака.]

636.	Формулы Френё. Дифференцируя равенства За). = 0,
За). = 0 й 2Л2=1, принимая во вниманіе формулы (5) и (8),
найдемъ

2 а ЛЛ = — У, ХЛа = — е 2" л2 = — е,

У, а ЛХ = — У ХЛа = — щ УX2 = —

и 2Л(7Л=0. Слѣдовательно, <7Л, <іѵ удовлетворяютъ системѣ
уравненій

а Л X “I- Л  —|— с Л т — е
аЛХ-\-РЛ^-\-уЛѵ — —
ХЛХ-\-ілЛіь-р-ѵЛѵ — 0.

Опредѣлитель этой системы равенъ опредѣлителю (6); значеніе его
равно 1 и каждый элементъ равенъ своему алгебраическому допол-
ненію. Отсюда тотчасъ получаемъ формулы

(10)	ЛХ = — ае — ау, Ли = — Ъе — ру, Лѵ= — с е — у і/ ,

извѣстныя подъ названіемъ формулъ Френё. Въ совокупности съ
формулами (5) и (8) онѣ показываютъ, что дифференціалы
девяти фундаментальныхъ косинусовъ выражаются линей-
ными функціями самыхъ косинусовъ; коэффиціенты въ этихъ
выраженіяхъ зависятъ только отъ е и т). Если обозначимъ еще че-
резъ оз дифференціалъ, эквивалентный углу между двумя безконечно
близкими главными нормалями, то изъ формулъ (10) черезъ возвы-
шеніе ихъ въ квадратъ и сложеніе получимъ со2 = е2-|-^2. Свойство,
выражаемое этимъ равенствомъ, легко получаемое также геометри-
чески, извѣстно подъ именемъ теоремы Ланкрё (Ьапсгеі).

637.	Полезно замѣтить, что формулы, аналогичныя предыду-
щимъ, имѣютъ мѣсто для всякой системы трехъ ортогональныхъ
направленій. Разсмотримъ сперва два произвольныя перемѣнныя
направленія и назовемъ вращеніемъ перваго направленія отно-
сительно второго дифференціалъ а>, эквивалентный безконечно
малому измѣненію направленія проэкціи перваго направленія на
плоскость, параллельную обоимъ *) Предложимъ себѣ вычислить ы
по даннымъ косинусамъ (А, В, С) и {А', В', С'), опредѣляющимъ
первое и второе направленія. Проведемъ черезъ начало координатъ
четыре прямыя, параллельныя и одинаково направленныя съ(Л, В, С),
(А', В', С'), (АрдА, ВрдВ, СрдС) и проекціею послѣдняго
направленія на плоскость, параллельную первымъ двумъ**). Пусть
Р, Р', Р' будутъ точки пересѣченія первой, третьей и четвертой
прямой съ поверхностью шара радіуса, равнаго единицѣ, съ центромъ
въ началѣ координатъ. Тогда (А, В, С) будутъ координатами
точки Р, (АрдА, ВрдВ, С р Сд) координатами точки Р',
а потому дА, дВ, дС будутъ, очевидно, проекціи элемента РР’
на координатныхъ осяхъ. Элементъ РР" эквивалентенъ дифферен-
ціалу со, согласно опредѣленію послѣдняго. Этотъ элементъ можно
разсматривать какъ проекцію элемента РР' на направленіе (/, т, п)
элемента РР’, очевидно, перпендикулярное къ (А, В, С) ***).
Поэтому, удерживая однѣ лишь дифференціальныя безконечно малыя,
найдемъ

ы = 1(1 Л + тЛВ + псІС.

Далѣе, если назовемъ черезъ <р уголъ между направленіями (А, В, С)
и (А', В', С'), то, очевидно, будемъ имѣть

А' = А соз <р + I зіп (р, В' = В соз (р -|- т зіп ф, С' = С соз (р + и зіп <р ****).
Умножая послѣднія равенства соотвѣтственно на сІА, ЛВ, (ІС и
складывая, тотчасъ найдемъ

о зіп = А' (ІА + В' (I В + С' <ІС.

Это и есть та формула, которая оказывается весьма полезною въ
геометрическихъ и механическихъ приложеніяхъ. Если теперь напра-

*) Точнѣе говоря, безконечно малому углу между начальнымъ и измѣ-
неннымъ направленіемъ этой проекціи.

**) Величины дА, дВ, дС имѣютъ здѣсь то же значеніе, что и
въ § 632.

***) РР" есть проекція элемента РР' на направленіи элемента РР",
потому что Р’Р" ± плоскости ОРР", а слѣдовательно, и къ РР".

****) Проектируемъ на оси Ох, Оу, Ог стороны прямоугольнаго тре-
угольника, въ которомъ гипотенуза имѣетъ направленіе (А', В', С') и катеты
направленія {А, В, С) и (/, т, гі) и уголъ (р противолежитъ катету (/, т, п).
вленія {А', В', С') и (А", В", С") образуютъ съ направленіемъ
(А, В, С) ортогональную систему съ опредѣлителемъ, равнымъ
единицѣ, то, обозначая черезъ а>' и а>" соотвѣтственно вращенія
направленія (А, В, С) относительно (А', В', С') и (А", В", С”)
на основаніи вышеприведенной формулы будемъ имѣть

(2 А А А = 0, 2 А'а А = со', 2 А" Л А = и",

откуда выводимъ

АА = А'<о'+А"со", А В = В'<;/+ В" ѵ>", АС = С'ы' + С"ш".

Далѣе, если обозначимъ черезъ со дифференціалъ, эквивалентный
абсолютному измѣненію направленія (А, В, С) въ про*
странствѣ, то съ помощью формулы (3) § 632 и предыдущихъ
получимъ и2 = оУ2-|- со"2. Въ частности, формулы (5) и (8) пока-
зываютъ, что абсолютное измѣненіе направленія касательной приво-
дится къ вращенію е относительно главной нормали, абсолютное
измѣненіе направленія бинормали къ вращенію і] около той же
главной нормали. Формулы (10) показываютъ, напротивъ того, что
абсолютное измѣненіе направленія главной нормали со составляется
изт двухъ вращеній — 6 и — г/ этой прямой относительно пер-
выхъ двухъ.

О первой и второй кривизнѣ.

638.	Какъ для плоскихъ, такъ и для неплоскихъ кривыхъ
мѣрою первой кривизны или просто кривизны (Ріехіоп) служитъ
е Аа	и

отношеніе -т- или -г-,; аналогично этому отношеніе принимается
а в (а ф	а $

за мѣру второй кривизны или крученія (Тогзіоп) данной кривой
въ данной точкѣ. Она не встрѣчается при изученіи плоскихъ кри-
выхъ, потому что для нихъ она всегда равна нулю. Удерживая
...	, Аз

далѣе названіе радіуса кривизны для отношенія — , условились
называть радіусомъ второй кривизны или крученія отно-
(І 3

шеніе ъ = — • Введеніе опредѣленныхъ р и » во всѣ предыдущія

формулы, вмѣсто безконечно малыхъ 6 придать этимъ формуламъ болѣе точную и (10) принимаютъ видъ					И 1], форму	дѣлается съ цѣлью  Формулы (5), (8)
	А а к  Аз а	А а  А з	= А,	АХ _ А з	а  (>	а  г
(Н)	АЬ ,и  Аз о	Ар  А з	г	А[с _ А з	_ 6  9	р  $•
	А с _ ѵ  Аз ()	Ау А з	V  г	А ѵ Аз	с  Р	г
Принимая во вниманіе формулы (1), можно написать три формулы
перваго столбца иначе, а именно:

(12)

„	<7 Ах	А Ау	А Аз

Л = в -г- -г ' № = 8	' т = уг ’

Аз Аз	Аз Аз	Аз Аз

или, если угодно, такъ:

ІА^х АхА2з\ ісРу Ау А-з\ ІА2в АзАРзХ

(13)	М'= '	_ Аз Аз2) ’	ТзАА2)'

Точно такъ же, на основаніи формулъ (1), можно написать фор-
мулы (7) слѣдующимъ образомъ:

,	ІАгА^у Ау А-г\	іАхсРз АзА2х\

) а~®\АзАз2 Аз Аз2)’ & ®\Аз Аз2 Аз Аз2)’

ІАуА2х АхА2у\

® \</ 5 Аз2 А з Аз2)

639.	Вычисленіе первой кривизны. Формулы (1), (12) и (14)
даютъ выраженія девяти фундаментальныхъ косинусовъ въ первыхъ
и вторыхъ производныхъ отъ координатъ точки (х, у, г), считая
извѣстнымъ значеніе д. Это значеніе получится изъ тѣхъ же фор-
мулъ, потому что, возвышая въ квадратъ и складывая равенства (12),
получаемъ

1 _ / А Ах\2 I А Ау\2 / А АвР
02^\аз7зГ\АзАз) + \АзАзГ
или, если угодно, на основаніи (13),

1 ^хХ2 іА2уР ІА2 вР (А2^2

Если примемъ 5 за независимую перемѣнную, то послѣдній членъ
обратится въ нуль, и мы увидимъ, что и здѣсь, какъ и въ плоскихъ
кривыхъ (§ 558, е), квадратъ кривизны равенъ суммѣ квад-
ратовъ вторыхъ производныхъ отъ координатъ, взятыхъ
по дугѣ. Если возвысимъ въ квадратъ равенства (14) и сложимъ,
то получимъ другое выраженіе для д:

<16.	=± (Ах2 + Ау2 У Ав2)%

(Ау А2 г — Аз А2у)2 (Аз А2х — Ах сРз^ + (Ах сРу — Ау А?х)2

При постоянномъ г оно заключаетъ въ себѣ, какъ частный случай,
извѣстное выраженіе для д, чаще всего прилагаемое въ изслѣдованіи
плоскихъ кривыхъ. Изъ формулъ (15) тотчасъ слѣдуетъ, что прямая
есть единственная линія, имѣющая кривизну, равную нулю
(во всѣхъ точкахъ). Въ самомъ дѣлѣ, — лишь тогда постоянно
равно нулю, когда всѣ три вторыя производныя координатъ по 5
одновременно равны нулю. Тогда первыя производныя равны посто-
яннымъ а, Ь, с, а отсюда, обозначая черезъ хп, у0, г0 координаты
точки, отъ которой считаютъ дуги 5 (т. е. такой, что при х = х0,
у — уй, г = г0 и 5 = 0), найдемъ х = аз + х0, у = Ъз + 1)0,
г = с5. Исключая 5, получаемъ

х-х0 = у-у0 = г — гп '
а Ь с

уравненія прямой, проходящей черезъ (х0, у0, 20) въ направленіи
(а, Ь, с).

640.	Вычисленіе крученія. Изъ второго столбца фор-
мулъ (11), путемъ умноженія на Л, р,, ѵ и сложенія, получаемъ

1 . Ла ,	. Л у

— — & ~т~ Р' уз—г ѵ '
ъ (л 3 а 3 аз

Съ другой стороны, дифференцируя формулу (14), имѣемъ

Ла

Лз*~

и т. д.

Отсюда, принимая во вниманіе формулы (13), получаемъ

1 _ 2 ут Л?х ІЛг ЛУу ЛуЛУг\
ъ	І/ЛяТі3 Л 3 Л 53/

или

(17)

Лх	сР-х	Ліх
Л з	Тз2	Л 53
Лу	Л2у	«Ру
Л з	Л з2	Л 53
Лг	Л2г	
Л з	Тз2	Л 53

Эта важная формула даетъ величину крученія, когда извѣстна кри-
визна. Подставляя сюда выраженіе у по формулѣ (16), можемъ
также написать

1 (Лу ЛУг — Лг Л-у) ЛУх (Лг сРх — Лх Л2г) <.Ру + (Лх Л-у — Лу сРх) ЛАг
г	(Лу Л-г — Лг Лу)- + (Лг Л-х - - Лх Л-гу' + (Лх Л-у — Лу Л-х)-

Это и есть искомое выраженіе величины крученія. Изящнѣе можно
представить его въ видѣ

Лх	Лу	Лг
Л2х	Л2у	<Рг
Лгх	оРу	ЛУг
Лх	Лу	Лг I2
Л2х	ЛРу	сРг |
Для плоскихъ кривыхъ, очевидно, крученіе постоянно равно нулю,
если исключимъ прямую линію, для которой крученіе величина не-
опредѣленная, такъ какъ всякую плоскость, проходящую черезъ
данную прямую, можно разсматривать какъ соприкасающуюся пло-
скость. Полезно замѣтить, что плоскія кривыя суть единственныя,
для которыхъ крученіе постоянно равно нулю. Въ самомъ дѣлѣ,
если крученіе постоянно равно нулю, то опредѣлитель въ правой
части формулы (17) постоянно равенъ нулю, а отсюда (§ 375)
слѣдуетъ, что при надлежащемъ выборѣ трехъ постоянныхъ а, у,
сумма 2а<іх = 0, а потому Еах, т. е. ах + Ду + у г = сопзі.,
и кривая лежитъ въ плоскости. Это заключеніе, равно какъ и заклю-
ченіе, приведенное въ концѣ предыдущаго §, можно вывести также
непосредственно изъ первыхъ двухъ столбцовъ формулъ (11)*).

641.	Вычисленіе крученія можно вести также тѣмъ путемъ,
какимъ было выведено выраженіе (15) для кривизны. Дѣйствительно,
изъ формулъ (12) съ помощью дифференцированія получимъ

,	1 Iа , а\ \ Л Л Лх

1-,-------------— = т- -т- и т. д.,

«5 о	* / 0	Л 5 а з Лз

а затѣмъ, возвышая въ квадратъ и складывая, найдемъ

<7 1 у	/1	1 \ 1	/ <7 Л Лх\2	/ Л Л Лу\2	/ Л Л Лг\2

Л з д )	\р2	г2) @2 Лз,Лз/	\Лз Лз Лз) Лз Лз)

Къ этой формулѣ, которая также дастъ «, когда о извѣстно, можно
также придти, возвышая въ квадратъ равенство (17), представивъ
сперва правую часть въ болѣе общемъ видѣ

Лх	Л Лх	Л Л Лх
Л з	Лз Лз	Лз Лз Лз
Лу	<і_ Лу	Л Л Лу
Л з	Лз Лз	Лз Лз Лз
Л	Л Лз	Л Л Л г
Л з	Лз Лз	Лз Лз Лз

что всегда возможно (§ 558, с).

Изслѣдованіе кривыхъ двоякой кривизны.

642.	[Примѣчаніе. Въ дальнѣйшихъ изслѣдованіяхъ мы усло-
вимся разъ навсегда, что взаимное расположеніе координатныхъ
осей характеризуется слѣдующимъ образомъ: Представимъ себѣ
наблюдателя, стоящаго на плоскости О ху по направленію положи-
тельной оси з-овъ и смотрящаго по направленію положительной

*) Этотъ выводъ имѣлъ бы то преимущество, что не нужна была бы
ссылка на теорему Вронскаго [см. часть 1, прим. ХЕІѴ (къ § 375) на стр. 428].
оси #-овъ; мы условимся, что для этого наблюдателя положительная
ось ^у-овъ направлена вправо; иными словами, положительную ось
_у-овъ надо повернуть на уголъ въ 90° въ направленіи, противопо-
ложномъ движенію часовой стрѣлки, для того, чтобы она совпала
съ положительною осью дг-овъ. При этомъ условіи, согласно условію
конгруентности (6) § 634, расположеніе реберъ основного тріэдра
будетъ именно такое, какое изображено на рис. 79, а именно на-
блюдатель, стоящій на спрямляющей плоскости по положительному
направленію главной нормали и смотрящій въ положительномъ на-
правленіи касательной, увидитъ положительное направленіе бинормали
вправо отъ себя. Такое соглашеніе дѣлается для того, чтобы можно
было кратко и опредѣленно формулировать многіе изъ дальнѣйшихъ
результатовъ. ]

Когда извѣстны кривизна и крученіе въ данной точкѣ М на
кривой, то опредѣлится и положеніе основного тріэдра въ точкѣ М',
безконечно близкой къ М. Чтобы это показать, вычислимъ сперва
разстояніе ЗАдх отъ точки М' (х-\-дх, у ду, в + дв) до
плоскости, проходящей черезъ М и перпендикулярной данному
направленію (А, В, С). При этомъ подъ разстояніемъ М' отъ
этой плоскости понимается его алгебраическая величина, т. е. раз-
стояніе, взятое съ +, для точекъ, лежащихъ съ одной стороны
отъ плоскости и съ —, для точекъ съ другой стороны. Перемѣна
знака этого разстоянія обозначаетъ переходъ точки М' съ одной
стороны на другую. Разлагая дх, ду, дв по формулѣ Тэйлора
(§ 564), всегда можно принять за независимую перемѣнную дугу 5
данной кривой; при такомъ предположеніи формулы (11) дадутъ

а потому

.	, , А Аз2 ,/'.<7 1	/ а , а \ 1 \ <753

дх = аАз-\------— + л---------——)— Нг+ "

о 2	\ А з д \ д г, / д / о

и окончательно

,1В. ѵ ла а I ®	, I& 1	/ а. . ® \ I \ <7а3

(18) 2Адх = 0Мз\----------о-+	----------------

д 2	\ А з д \ о г / д / 6

гдѣ Я., Ж, 6 обозначаютъ косинусы угловъ направленія {А, В, С)
съ ребрами основного тріэдра, т. е.

О, 2 А а, еВ = 2 А а, © = 2 А)..

Только при а = 0 правая часть формулы (18) есть безконечно
малая второго порядка (относительно ММ' = <І8), и дѣлается без-
конечно малою выше второго порядка когда, кромѣ того, еще и
<2 = 0. Отсюда видимъ, что разстояніе точки М' отъ всякой пло-
скости, проходящей черезъ касательную въ точкѣ М, вообще
безконечно малая второго порядка относительно дуги ММ'\ лишь
одна изъ всѣхъ этихъ плоскостей отстоитъ отъ М' на безконечно
маломъ разстояніи, по крайней мѣрѣ, третьяго порядка, а именно
соприкасающаяся плоскость (при 9. —О, 6 = 0, направленіе
(/У, В, С), очевидно, параллельно бинормали). Итакъ, можемъ
сказать, что соприкасающаяся плоскость тѣснѣе всѣхъ другихъ
плоскостей примыкаетъ къ кривой въ смежности съ точкою М.

643.	Формулы (18) тотчасъ дадутъ выраженія координатъ
іі, ѵ, іѵ точки М' относительно основного тріэдра. Стоитъ только
послѣдовательно совмѣщать направленіе (А, В, С) съ касательною
(9=1, $5 = © = 0), бинормалью (® = 1, 9 = © = 0) и главною
нормалью (© = 1, 9 = = 0), чтобы получить; вѣрно до безко-
нечно малыхъ третьяго порядка (относительно <із) включительно,
координаты точки М’ относительно нормальной, соприкасающейся
и спрямляющей плоскости, а именно:

(19)

(І
и — аз —  » > ѵ =
о

6 0Ъ

Л а2

гѵ = ---------х-у-

2 о 6 о-

Эти формулы даютъ возможность изслѣдовать ходъ кривой въ
смежности съ точкою Л/. Мы предположимъ, что въ этой точкѣ
ни первая, ни вторая кривизна не равны нулю и замѣтимъ, что
знаки чиселъ и, ѵ, іѵ при достаточно маломъ сіз опредѣляются

знакомъ члена наинизшей степени. Наблюдатель, идущій по кривой
въ положительномъ направленіи касательной такъ, что положительное
направленіе главной нормали проходитъ отъ ногъ къ головѣ, очевидно,
увидитъ, что въ точкѣ М кривая поднимается или опускается,
смотря по тому, будетъ ли р > 0 или <0 (іѵ > 0 или < 0), и
закручивается влѣво или вправо, смотря по тому, будутъ ли » и р
одинаковыхъ или противоположныхъ знаковъ (ѵ < 0 или ѵ > 0).
Кромѣ того, замѣчая, что замѣна сіз на —сіз мѣняетъ знакъ ѵ,
не мѣняя ни знака іѵ, ни знака разстоянія 2Адх вообще, если
& = 0, а ® не =0, мы видимъ, что всѣ точки достаточно
малой дуги, въ смежности съ точкою М, лежатъ по одну
сторону отъ всякой плоскости, проходящей черезъ каса-
тельную, за исключеніемъ соприкасающейся плоскости,
которую кривая пересѣкаетъ. Четыре различныхъ вида, пред-
ставляемыхъ кривою въ смежности съ точкою М, въ зависимости
отъ знаковъ р и», могутъ быть изображены такъ, какъ это сдѣлано
на рис. 80, гдѣ пунктиромъ отмѣчены дуги, лежащія влѣво отъ
нашего наблюдателя. Такимъ образомъ обнаруживается, что при
г<0, наблюдатель увидитъ кривую (при касаніи съ соприкасаю-
щеюся плоскостью), переходящею съ лѣвой ея стороны на правую
поднимаясь или съ правой стороны на лѣвую опускаясь, такъ что
въ обоихъ случаяхъ кривая будетъ вправо завитою или правою
(Зехігогзит). Это значитъ, что движеніе точки, удаляющейся по
кривой въ положительномъ направленіи, представится глазу наблю-
дателя происходящимъ по направленію движенія часовой стрѣлки.
При »>0, наоборотъ, кривая будетъ влѣво завитою или лѣвою
(зіпізігогзит). Итакъ, въ смежности съ обыкновенною точкою
(гдѣ ни -і-, ни — не равны 0), кривая будетъ правою при
г<0 и лѣвою при *>0. Легко также убѣдиться, что тотъ или
другой характеръ кривой не зависитъ отъ положенія наблюдателя
въ пространствѣ. Примѣры кривыхъ съ положительнымъ или отри-
цательнымъ крученіемъ встрѣчаются въ природѣ *): хмѣль завивается
влѣво, а виноградная лоза вправо.

[ Примѣчаніе. Понятіе о правой и лѣвой кривой есть обоб-
щеніе извѣстнаго понятія о правомъ и лѣвомъ винтѣ. Обыкновенная
нарѣзка даетъ правую винтовую линію, моделью которой можетъ
служить штопоръ. Нужно замѣтить, однако, что опредѣленія правой
(Зехігогзит) и лѣвой (зіпізігогзит) кривой не установлены вполнѣ
опредѣленно въ математической литературѣ: одни называютъ правою
такую кривую, которая у другихъ называется лѣвою. Необходимо
замѣтить, что установленное въ § 643 соотвѣтствіе между знакомъ
крученія г, опредѣляемаго формулою (17), и характеромъ (правымъ
или лѣвымъ) кривой, измѣнится на противоположное (т. е. при
г>0 — правая, а при *<0—лѣвая), если измѣнимъ взаимное рас-
положеніе координатныхъ осей или способъ совмѣщенія основного
тріэдра съ координатнымъ тріэдромъ, т. е. условіе (6). (См., напр.,
Гурса „Курсъ" стр. 316). Замѣтимъ еще, что изслѣдованіе § 643
значительно упрощается, если условимся (какъ это обыкновенно и

Э Мах\ѵе11. „ЬеЬгЬисЬ Зег Еіесігісііаі ипЗ Зез Ма^пеѣзтиа': (ВЗ. I. § 25).
дѣлается) направить положительную главную нормаль въ ту сторону
отъ спрямляющей плоскости, съ которой лежатъ всѣ точки кривой,
смежныхъ съ М. Тогда то>0, а слѣдовательно, и р>0, и достаточно
разсмотрѣть верхнюю часть рис. 80, и различать два случая г < 0
и «•>(), вмѣсто четырехъ. При ® = 0 кривая плоская и не выходитъ
изъ соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости самой кривой.
При «-<0 кривая пересѣкаетъ соприкасающуюся плоскость, переходя
съ лѣвой стороны на правую для нашего наблюдателя (знакъ ѵ
переходитъ изъ — въ -ф при измѣненіи знака изъ — въ
при ъ > 0 — наоборотъ. ] .

644.	Съ помощью тѣхъ же формулъ (19) можно еще под-
робнѣе изслѣдовать кривую въ смежности съ данною точкою М-
Для этого замѣтимъ сперва, что, помѣстивъ начало координатъ въ
точку М, считая эту точку за начало счета дугъ, совмѣстивъ трі-
эдръ координатныхъ осей съ основнымъ тріэдромъ въ точкѣ М
и пренебрегая безконечно малыми выше третьяго порядка, мы мо-
жемъ дугу данной кривой ММ' разсматривать, какъ дугу кривой,
изображаемой уравненіями

53	№	_ 6-	53 іі д

Х 3	6 д- У 6@і	%	2 д 6 д- іі5

которыя получаются изъ (19) замѣною буквъ и, ѵ, гѵ буквами
х, у, 2 и сіл черезъ 5. Значенія р, « и входящія въ эти урав-
ненія, конечно, обозначаютъ частныя значенія этихъ функцій при
5 = 0, въ точкѣ М. Исключая перемѣнную 5 всѣми возможными
способами, получимъ

9	2 д . х2 х?1 <1 д	хъ

~ Тд ~ 6^2 Тз ’	У~~&^'

Изъ этихъ уравненій видно, что проекція данной кривой на нор-
мальную плоскость (Муимѣетъ въ М точку возврата, проекція
на соприкасающуюся плоскость (Мх2(—обыкновенную точку, а
проекція на спрямляющую плоскость (Муг) — точку изгиба. Далѣе,
такъ какъ направляющіе косинусы касательной въ точкѣ М' равны
производнымъ отъ л", у, 2 по 5, а эти производныя, какъ легко
.	2	У

видѣть, пропорціональны числамъ х—$-5, у, 2 —	> то коорди-

наты любой точки (^, г], д) на этой касательной можно изобразить
формулами

2

= кх-У —(1—^)5, )) = ку, = кг + (1 -к)^~-
О	О @

Отсюда находимъ, что касательная въ точкѣ М' пересѣкаетъ со-
прикасающуюся въ точкѣ М плоскость (т. е. плоскость 7] = 0)
52 \

6^

. /2
ВЪ точкѣ (у5,

, лежащей съ той же стороны отъ спрямляющей

плоскости, съ которой лежитъ М'. Спрямляющую плоскость (^=0)

эта касательная пересѣкаетъ въ разстояніи — %у отъ соприкасаю-

щейся плоскости (изъ уравн. 5 = 0 получаемъ Іг=-= — уЧ--------).

г-~
6 О

Отсюда слѣдуетъ, что касательныя въ двухъ безконечно
близкихъ точкахъ не пересѣкаются и кратчайшее разсто-
(І 5$

яніе между ними равно  Эта теорема принадлежитъ

Бонне (Воппеі).

645.	Изъ предыдущихъ формулъ также выводимъ, что

1 ,
аі “Т^-

Если замѣнимъ здѣсь дугу 5 (ММ') хордою ея, т. е. зг черезъ
г2, то . увидимъ, что эту дугу можно разсматривать, какъ
дугу, лежащую на поверхности шара, изображаемаго уравненіемъ

х2 + (у +	е)2> а2,

гдѣ сЯ2 = р2-|-	. Шаръ радіуса сй. съ центромъ въ нормальной

плоскости и въ разстоянія	ио оть соприкасающейся и спрям-

ляющей плоскости называется соприкасающимся шаромъ къ
данной кривой въ данной точкѣ М. Этотъ шаръ, по сравненію со
всѣми другими шарами въ пространствѣ, тѣснѣе всего примыкаетъ
къ данной кривой. Если бы мы отбросили и безконечно малыя
3-го порядка, то дугу ММ' можно было бы разсматривать, какъ
плоскую, лежащую въ соприкасающейся плоскости, а если отбросимъ
и безконечно малыя 2-го порядка, то дугу ММ' можно разсматри-
вать просто, какъ прямолинейный отрѣзокъ на касательной. Поэтому
въ изслѣдованіяхъ, въ которыхъ можно не обращать вниманія на
безконечно малыя высшихъ порядковъ, позволительно разсматривать
кривую, какъ ломанную ММ'М"М'".  . съ безконечно малыми
сторонами, и разсматривать касательную, какъ прямую, на которой
лежитъ одинъ элементъ ММ) соприкасающуюся плоскость, какъ
плоскость, опредѣляемую двумя послѣдовательными элементами
ММ' и М'М", или тремя точками М, М’, М", и, наконецъ, со-
прикасающійся шаръ, какъ опредѣляемый четырьмя точками М, М',
М", М'"' Такая точка зрѣнія и такой способъ выраженія, хотя и
не вполнѣ правильные, тѣмъ не менѣе могутъ быть полезны въ
тѣхъ случаяхъ, когда хотятъ интерпретировать геометрически тѣ
или другіе результаты Дифференціальнаго Исчисленія. Мы можемъ
теперь легко констатировать, что для перехода отъ положенія фун-
даментальнаго тріэдра съ вершиною въ М къ смежному, съ
вершиною въ М', надо сперва передвинуть вершину по касательной

Рис. 81.

на величину сО, а затѣмъ дать ребрамъ его такія вращенія около
вершины, чтобы косинусы ихъ направленій относительно первона-
чальныхъ і, Ь, п, получили бы слѣдующія значенія:

I' :	1	0	е

Ь' :	0	1

п':	— е	—іі	1

Это выводится изъ формулъ (5), (8) и (10), если положимъ въ
нихъ а = ^ = ѵ = 1, Ъ = с = у = а = 7. = у = 0), или еще строже съ
помощью соображеній § 637.

[ Примѣчаніе. Для поясненія сказаннаго разсмотримъ, напри-
мѣръ, главную нормаль, направляющіе косинусы которой обозначены
черезъ Л, д, ѵ. Когда совмѣстимъ основной тріэдръ точки М съ
координатнымъ тріэдромъ такъ, какъ сказано въ § 634, т. е.
Мі съ Ох, МЪ съ Оу, Мп съ Оз, то получимъ а=1, Ь=с = О;
/? = 1, а = у = 0; ѵ = 1, А = д = 0. При переходѣ отъ М къ М'
Л, /і, ѵ обратятся въ Я-|-бД,	ѵ-\-сіѵ, гдѣ сО., сіу и <іѵ

опредѣлятся по формуламъ (10), а Л, у, ѵ имѣютъ указанныя выше
начальныя значенія, слѣдовательно

Л + (I/. = 0 — 1. е — 0. ч = — е
у -|-//к = 0 — 0. е — 1.^ = — і'і
[ѵ -)- а? ѵ = 1 —)0.8 — 0.7}= — 1

Эти значенія и даны въ таблицѣ косинусовъ главной нормали гі.
Такимъ же образомъ получаются значенія косинусовъ для /' и Ъ'
изъ формулъ (5) и (8). ]
646.	Особенности. Все, сказанное въ предыдущихъ §§, спра-
ведливо лишь въ томъ предположеніи, что разсматриваемая точка
на кривой есть обыкновенная точка. Выведенныя заключенія
теряютъ силу для точекъ, координаты которыхъ удовлетворяютъ
условію

	Лх	ЛУх	Л3х	
(20)	Лу	Л~у	Л3у	= 0
	Лг	(І~ 2	Л3г	

(см. § 604). Такія точки аналогичны точкамъ изгиба плоскихъ кри-
выхъ; въ нихъ, на основаніи формулы (17), по крайней мѣрѣ, одна
изъ кривизнъ равна нулю, а потому координата ѵ будетъ безко-
нечно малою порядка, выше третьяго. Чтобы вычислить эту коорди-
нату, надо продолжить вычисленіе, начатое въ § 642. Изъ выраженія
СІЪХ

и формулъ (11) найдемъ

аіх -	і а /1 ) п	а ( х \	< і Г/2 / 1)	/А , А') АІ	.

<1О	СІ8 \ 0 )	а"	(I 8 \гр2/	\ О )	\р2	г2/ 0 ]

Отсюда, на основаніи условій

2 а а = 0,	2 Л а = 0,	2 а2 = 1,

тотчасъ находимъ

1 _	0(18?‘ , 1

вѣрно до безконечно малыхъ четвертаго порядка включительно.
Слѣдовательно, если

1 Л ,7 / А л	Л& ,7 / 1 )

— = 0, но Л —	0, то ѵ = —	<1\ — •

Ѳ	\ Р /	12г \ д /

а если

1 л .1 I 1 \ Л	Лз3 .1 I 1 \

«	\ъ	240	\ г

Изъ этихъ формулъ вытекаетъ слѣдующее заключеніе: Точки кри-
вой, смежныя съ точкою М, удовлетворяющею условію (20),
лежатъ по одну сторону отъ соприкасающейся плоскости
(ѵ не мѣняетъ знака при замѣнѣ сіз на — сіз). При этомъ,
всѣ эти точки лежатъ слѣва отъ соприкасающейся плос-
кости (для наблюдателя § 643), если та кривизна, которая
равна нулю въ точкѣ М, принимаетъ затѣмъ знакъ, оди-

*) Выраженіе ѵ можно написать и такъ:

Лз^ Л ( 1 \	сіз3 ( 1

1С-	— или ѵ = — о. ~Т~ —

12г а з \ д /	24 0 а 8 \ і.
наковый со знакомъ другой кривизны въ точкѣ М, и

справа, въ противномъ случаѣ
точкѣ М одинаковыхъ знаковъ, ѵ

,	і	а (і \

(^<0, если — и -з- — въ
ѵ	ъ	аз \ д )

> 0, въ противномъ случаѣ).

Если въ точкѣ М обѣ кривизны равны нулю, то ѵ будетъ безко-

нечно малою не ниже пятаго порядка. Дѣйствительно, дифференцируя
формулу (21), при сдѣланныхъ предположеніяхъ, легко найдемъ

1 ѵ 1 1

аа->х = —-- а —а — >

120	40 д ъ

или

Л { \ \ (1 { \ \
ѵ = — — • — — — — *

40 Л з\д] Л 8\ъ]

Отсюда видимъ, что въ данномъ случаѣ соприкасающаяся плоскость
въ точкѣ 71/ пересѣкаетъ кривую, какъ въ обыкновенной точкѣ, и
данная точка М будетъ точкою изгиба и для проекціи данной
кривой на нормальную плоскость *). Изъ всѣхъ точекъ, для кото-
рыхъ имѣетъ мѣсто условіе (20), особенно замѣчательны тѣ, для
1	о

которыхъ только первая кривизна — равна нулю. Въ нихъ проис-
ходитъ прямо противоположное тому, что имѣетъ мѣсто въ обык-
новенныхъ точкахъ, а именно: кривая пересѣкаетъ всѣ плос-
кости, проходящія черезъ точку 71/, за исключеніемъ
соприкасающейся. Это происходитъ отъ того, что въ то время,
какъ і) будетъ, какъ мы видѣли, безконечно малою четвертаго
порядка, іѵ будетъ третьяго порядка, и мѣняетъ вмѣстѣ съ и свой
знакъ при замѣнѣ сіз на —сіз. Отсюда далѣе слѣдуетъ, что
точка 71/ будетъ точкою изгиба для проекціи кривой на соприка-
сающуюся, а не на спрямляющую плоскость. Такія точки дѣйстви-
тельно, въ силу этого обстоятельства, аналогичны точкамъ изгиба
плоскихъ кривыхъ. Далѣе, точка М будетъ точкою возврата для
проекціи кривой на нормальную плоскость, какъ въ случаѣ — = 0,
такъ и въ случаѣ - = 0 (при	но въ первомъ случаѣ это

будетъ точка возврата перваго, а во второмъ —второго рода (§ 608).
Труднѣе изслѣдованіе кривыхъ въ такихъ особенныхъ точкахъ, въ
которыхъ и » обращаются въ нуль, потому что тогда теряютъ
смыслъ вышеприведенныя разложенія координатъ и, ѵ, гѵ, такъ
какъ при выводѣ ихъ мы пользовались формулами, въ которыхъ
существенную роль играетъ предположеніе, что обѣ кривизны
числа конечныя.

*) Въ этомъ легко убѣдиться, составивъ уравненіе этой проэкціи
подобно тому, какъ это было сдѣлано въ § 644.
[ Примѣчаніе. Для поясненія изложеннаго положимъ, что въ
точкѣ М -у = 0, а — > 0. Такъ какъ по условію	не равно

1	. . .

нулю, то — непремѣнно измѣняетъ знакъ при переходѣ отъ точекъ,
для которыхъ сіз < 0 къ тѣмъ, у которыхъ (іа > 0, т. е. при дви-
женіи въ положительномъ направленіи по кривой. Если знакъ --
переходитъ изъ — въ -|-, т. е. принимаетъ знакъ, одинаковый
1
съ —, то
«•

— возрастаетъ и	> 0, а тогда формула

— Ш
(1 5 \ 0 /

12 ъ

даетъ ѵ < 0, каковъ бы ни былъ знакъ сіз. Слѣдовательно, всѣ
точки, смежныя съ Л/, будутъ съ лѣвой стороны отъ соприкасаю-
щейся плоскости (со стороны отрицательнаго направленія бинормали).]

Касаніе кривыхъ съ поверхностями.

647.	Въ заключеніе сдѣлаемъ нѣкоторыя указанія по вопросу
о касаніи кривой линіи съ поверхностью, отсылая читателя для под-
робнаго ознакомленія съ вопросами о касаніи кривой линіи съ
поверхностью или съ другою кривою къ другимъ сочиненіямъ *).
Чтобы развить по возможности быстро и наглядно теорію касаній,
мы будемъ опираться на нѣкоторые результаты, полученные нами
раньше (§ 616) при изученіи касанія плоскихъ кривыхъ. Мы будемъ
сообразно этому говорить, что нѣкоторая поверхность имѣетъ съ
данною кривою въ точкѣ М касаніе п-го порядка, если эту поверх-
ность можно разсматривать, какъ предѣльное положеніе поверхности,
проходящей черезъ точку М и п другихъ точекъ той же кривой,
когда эти п точекъ (и никакія другія) стремятся къ совпаденію съ
точкою М. Если эта поверхность принадлежитъ къ числу тѣхъ,
которыя въ трехмѣрномъ пространствѣ опредѣляются п + 1 точками,
или, что сводится къ тому же, если эта поверхность принадлежитъ
къ семейству, общее уравненіе котораго заключаетъ въ себѣ и-(-1
произвольныхъ параметровъ, то порядокъ касанія вообще не можетъ
быть больше п. Когда этотъ порядокъ касанія достигнуть, то гово-
рятъ, что разсматриваемая поверхность, есть соприкасающаяся
къ данной кривой въ данной точкѣ. Чтобы получить аналитическія
условія соприкасанія поверхности съ данною кривою въ данной
точкѣ, очевидно, достаточно продифференцировать уравненіе поверх-
ности столько разъ, сколько нужно для полученія достаточнаго для

і) См., напр., Негтііе „Соигз З^АпаІузе” (р. 116).
опредѣленія параметровъ числа уравненій, и написать, что всѣ эти
уравненія удовлетворяются координатами точки М(х, у, г) и ихъ
дифференціалами. Такимъ образомъ, дѣйствительно, пользуясь обык-
новеннымъ условнымъ способомъ выраженія (§ 645), мы выражаемъ,
что поверхность проходитъ черезъ точку М и п безконечно близ-
кихъ къ ней точекъ М', М" ... на кривой.

648.	Соприкасающаяся плоскость. Общее уравненіе
плоскости

АХуВУуСХуБ = О

содержитъ въ дѣйствительности три произвольныхъ параметра, а
именно: отношенія трехъ коэффиціентовъ къ четвертому, не рав-
ному нулю. Выражая, что это уравненіе и два другихъ, получен-
ныхъ дифференцированіемъ по дугѣ 5 данной кривой, удовлетворя-
ются координатами х, у, г точки М на кривой, получаемъ

(22)	АхуВууСв УБ =0, Аа + ВЪ + Сс = 0, А).У Ву у Сѵ = У

гдѣ а, Ь, с, Л, /г, ѵ имѣютъ извѣстныя изъ предыдущихъ §§
значенія. Первое уравненіе требуетъ только того, чтобы плоскость
проходила черезъ точку М, если присоединимъ второе, то плос-
кость будетъ уже проходитъ черезъ касательную въ точкѣ М.
Поэтому всякую плоскость, проходящую черезъ эту касательную,
можно назвать касательною плоскостью, какъ имѣющую съ
кривою касаніе перваго порядка; разстояніе точки М’, безконечно
близкой къ М на кривой, отъ этой плоскости будетъ безконечно
малою 2-го порядка относительно ММ’. Если присоединимъ еще
третье изъ уравненій (22). то разсматриваемая плоскость должна
будетъ пройти и черезъ главную нормаль, т. е. совпасть съ тою,
которую мы уже раньше назвали соприкасающеюся плоскостью.
Порядокъ касанія съ кривой равенъ двумъ, но въ исключительныхъ
точкахъ можетъ быть и выше. Тогда плоскость будетъ имѣть съ
кривою пересоприкасаніе или, какъ иначе говорятъ, будетъ
стаціонарною соприкасающеюся плоскостью*).

649.	Стаціонарная соприкасающаяся плоскость получается,
очевидно, въ тѣхъ особенныхъ точкахъ, которыя характеризуются
условіемъ, получаемымъ черезъ исключеніе А, В, С изъ урав-
неній (22) съ присоединеніемъ къ нимъ того, которое найдемъ
продифференцировавъ послѣднее изъ нихъ. Но, чтобы быть увѣрен-
нымъ, что ни одинъ изъ возможныхъ случаевъ не будетъ пропущенъ,
надо сперва замѣтить, что дифференцированіе второго изъ уравненій
(22) даетъ, собственно говоря, слѣдующее уравненіе

(23)	иЛ + Вді + Сѵ)—= 0.

о

:) Гурса. „Курсъ математическаго Анализа", стр. 491.
Поэтому слѣдующее дифференцированіе дастъ (принимая во вниманіе
формулы (11) и второе изъ уравненій (22))

(24)	(А^ + В^+Сѵ)~ — = (Аа + В$+Сгі— •

а 8 §	д <[,

Если — не равно 0, то -2^42 = 0, а потому можно положить А = а,
В = Р, С = у, и условіе (24) дастъ тогда — =0. Въ противномъ

случаѣ = 0| уравненіе (23) удовлетворится при произвольныхъ
значеніяхъ А, В, С. Тогда всякая касательная плоскость будетъ
имѣть касаніе 2-го порядка съ кривою. Изъ этихъ плоскостей со-

прикасающеюся будетъ та, для которой выполнено условіе (24).

Такъ какъ это условіе вообще (т. е., если	не равно 0)

принимаетъ опять видъ 2АХ — 0, то получается опять соприкасаю-
щаяся плоскость, но касаніе будетъ, по крайней мѣрѣ, 3-го порядка.

Всегда нужно при этомъ помнить, что всѣ примѣняемыя здѣсь
формулы и выводимыя изъ нихъ заключенія только тогда справед-
ливы, когда обѣ кривизны конечны. Итакъ, стаціонарныя сопри-
касающіяся плоскости получаются въ тѣхъ точкахъ кри-

вой, въ которой, по крайней мѣрѣ, одна изъ кривизнъ
равна нулю, т. е., когда выполняется условіе (20). Впрочемъ,
если оставимъ въ сторонѣ вопросъ о различныхъ положеніяхъ кри-
вой относительно пере-соприкасающейся плоскости, то можемъ
быстрѣе получить условіе (20) при помощи дифференцированія,
написать второе изъ уравненій (22) въ видѣ 2ААх = 0 и исключая
А, В, С изъ этого уравненія и слѣдующихъ двухъ: 2АсРх = 0,
2АсРх = 0.

650.	Соприкасающійся шаръ. Исходя изъ общаго уравненія
поверхности шара

(X - ?)2 + (У— Ч)2 + (7 - & = ^2

(гдѣ т], оЯ параметры, которые надо надлежащимъ образомъ
опредѣлить), дифференцируя по дугѣ 5 данной кривой и подставляя
вмѣсто X, У, А координаты точки М(х,у, г) на кривой, найдемъ,
примѣняя извѣстныя обозначенія, слѣдующія уравненія

(25)

(х - $)2 + (У — Ч)а + («• - О2 = а2,
+ &(У~ ѵ) + с(г— =0,
+ /*(? — ч) +т(г —=-р,

а(х-& + 0(у~ѵ)	=
Изъ трехъ послѣднихъ уравненій получаемъ, припоминая сказанное

объ опредѣлителѣ (6)	х — <? = — ко +	<  аз
(26)	, а  д'-ч =	+  .	.	<1$  г —	— ѵо4-ѵі ~г~ ’  *	1	*	(1 8

откуда и находимъ координаты	$ центра шара. Подставляя

въ первое уравненіе, получимъ для величины радіуса формулу

(27)

Опредѣленный такимъ образомъ шаръ и есть тотъ, который намъ
встрѣтился въ началѣ § 645, это видно изъ того, что послѣднія
три изъ уравненій (25) выражаютъ, что центръ шара лежитъ въ
нормальной плоскости, въ разстояніи р отъ бинормали и —
отъ главной нормали. Этотъ шаръ есть предѣльное положеніе шара,
проходящаго черезъ М, М', М" и М'", когда послѣднія три
точки стремятся къ совпаденію съ первою. Предѣльное положеніе
круга ММ'М", очевидно, есть кругъ, лежащій на поверхности
предѣльнаго шара, а такъ какъ плоскость этого круга стремится
къ совпаденію съ соприкасающеюся плоскостью, то соприкасаю-
щійся кругъ есть пересѣченіе поверхности соприкасаю-
щагося шара съ соприкасающеюся плоскостью. Слѣдова-
тельно, р есть радіусъ соприкасающагося круга, и первая кривизна
«какой угодно кривой равна кривизнѣ соприкасающагося
круга, какъ и для плоской кривой. Возвращаясь къ условіямъ
(25), замѣтимъ, что первое заставляетъ шаръ пройти черезъ М,
второе — касаться кривой въ точкѣ М, третье — проходить черезъ
соприкасающійся кругъ. Четвертое же условіе изъ всѣхъ шаровъ,
касающихся кривой въ точкѣ М и тамъ же ее пересѣкаю-
щихъ, выдѣляетъ одинъ, который кривую не пересѣкаетъ,
такъ какъ имѣетъ съ нею касаніе вообще третьяго порядка; это и
есть, соприкасающійся шаръ.

651.	Чтобы узнать, лежитъ ли кривая въ смежности съ точ-
кою М внѣ или внутри соприкасающагося шара, вычислимъ раз-
стояніе к точки М отъ его поверхности. Предполагая радіусъ оЯ
конечнымъ, изъ равенства

(<ІЯ + А)2 = {х — дх)2 4- (у — + ду)2 + (а —	дг)2,

Пренебрегая безконечно малыми выше 4-го порядка, выводимъ

аЯй = 2(х — с) дх + | 2 дх2.
Обозначая опять, какъ въ § 643, черезъ и, ѵ, іѵ координаты
точки М' относительно фундаментальнаго тріэдра, имѣемъ

дх = аи + аѵ + Лш, ду = Ьи У +іуѵі, дг = сиуѵѵю,'

а принимая формулы (26) и условія ортогональности, найдемъ

ЗІ.Й = — ш р + ѵъ і (и2 + ѵ2 -|- да2).

Въ этой формулѣ, на основаніи (19), можно пренебречь числомъ ѵ*,
ограничиться первымъ членомъ въ да2, и вычислить и только до
членовъ 3-го порядка; но въ да и ѵ надо знать и члены 4-го по-
рядка, а этого легко достигнуть съ помощью формулы (21). Мы
найдемъ

Ля2

<7№ <1(>
6 о2

Л2\ СІ8"
"г2/ 24р3'

2 $

Полагая для сокращенія и =

легко находимъ

<28) =

а такъ какъ дифференцированіе формулы (27) даетъ еще

(29)



то окончательно находимъ

</54</еЯ

24

Итакъ, если исключимъ тѣ точки, въ которыхъ д(р = О, то доста-
точно малая дуга кривой, взятая въ смежности съ М, будетъ вся
внѣ или вся внутри соприкасающагося шара въ точкѣ М, смотря
по тому, будутъ ли объемъ шара и площадь соприкасающагося
круга одновременно возрастать или убывать или измѣняться въ раз-
личномъ смыслѣ.

652.	Чтобы найти условіе, при которомъ происходитъ пере-
соприкасаніе шара съ кривой, т. е. при которомъ порядокъ касанія
кривой съ ея соприкасающимся шаромъ будетъ выше третьяго,
нужно только продифференцировать послѣднюю изъ формулъ (25),
принимая во вниманіе и всѣ предыдущія. Но, чтобы не пропустить
ни одного случая, надо сызнова выполнить всѣ дифференцированія,
не мѣняя формы послѣдовательныхъ результатовъ (т. е. не сокращая
въ нихъ общихъ множителей). Выполняя сказанное, получимъ по-
слѣднія два условія (25) въ видѣ

(30)	—	= - 1,	— Ха(х-& =—

д	'	ди	д <1з

Дифференцированіе послѣдняго дастъ — = 0. Къ тому же резуль-
О ъ

тату тотчасъ приходимъ, замѣчая, что найденное условіе содержитъ
въ себѣ все то, что, на основаніи формулы (28), необходимо и
достаточно для того, чтобы к было безконечно малою выше 4-го
порядка. Такъ какъ предположеніе = 0 исключено (потому что
сЯ предполагается конечнымъ), а также и предположеніе — = 0 при
сіо 0 (на томъ же основаніи), то мы придемъ къ слѣдующему
заключенію. Кромѣ точекъ, для которыхъ х = 0, пересопри-
касаніе шара съ кривою можетъ произойти и въ другихъ
точкахъ, характеризуемыхъ тѣмъ, что въ нихъ вторая кривизна
равна нулю, хотя радіусъ соприкасающагося шара остается конеч-
нымъ. Въ этихъ послѣднихъ точкахъ второе изъ условій (30) вы-
полняется тождественно, и кривая имѣетъ касаніе 3-го порядка со
всѣми шарами, проходящими черезъ соприкасающійся кругъ. Но
лишь одинъ изъ этихъ шаровъ можетъ быть названъ соприкасаю-
щимся, а именно тотъ, который мы опредѣлили въ началѣ. Слѣдо-
вательно, условіе и = 0 достаточно, но не необходимо для пере-
соприкасанія; формула же (29) показываетъ, что во всѣхъ случаяхъ,
если сіу не равно нулю, непремѣнно равно нулю. Отсюда въ
частности такое слѣдствіе: Кривая пересѣкаетъ соприкасаю-
щійся шаръ въ томъ случаѣ, когда его радіусъ будетъ
тахітпт или тіпітит, или когда этотъ шаръ пересѣкаетъ
стаціонарную соприкасающуюся плоскость по окружности
круга, радіусъ котораго будетъ тахітит или тіпітит.
Вь этомъ послѣднемъ случаѣ происходитъ какъ разъ противопо-
ложное тому, что бываетъ въ обыкновенной точкѣ, а именно: кривая
не пересѣкаетъ ни одного изъ другихъ шаровъ, проходящихъ черезъ
соприкасающійся кругъ.

653.	Разсмотримъ теперь какую нибудь сферическую кривую,
т. е. линію, лежащую на поверхности шара радіуса 7?. Въ каждой
точкѣ ея, очевидно, не можетъ быть иного соприкасающагося или
даже пересоприкасающаго шара, кромѣ того, на поверхности котораго
она находится. Поэтому, такъ какъ въ нашемъ случаѣ <Я. = /? = соп8ѣ,
формула (29) дастъ либо и = 0, либо <7р = 0, а послѣднее требуетъ,
какъ уже было замѣчено въ § 655, чтобы — =0 (иначе 91 былъ бы
безконечнымъ). Но при сіо = 0 и — =0 необходимо и и = 0. Слѣ-
довательно, условіе и = 0 необходимо для того, чтобы кривая была
сферическая. Оно будетъ и достаточнымъ. Чтобы въ этомъ убѣ-
диться продифференцируемъ уравненіе (26). Изъ перваго, пользуясь
формулами Френё, получимъ

слѣдовательно,

(31)

<18

- -лу.

Если х = 0 для всѣхъ точекъ кривой, то изъ формулы (29) видимъ,
что Й равно нѣкоторому постоянному 7?, а изъ (31), что
также постоянныя, т. е. что всѣ точки кривой находятся въ одномъ
и томъ же разстояніи 7? отъ неподвижной точки (^, ??, ^) — и кри-
вая лежитъ на сферѣ радіуса 7?, съ центромъ въ (^,	^). Итакъ,

условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы кри-
вая была сферическою, состоитъ въ томъ, что

Ѳ . <І ( й п

-----г 3”- ® Тт” = ч
г а 8 \ а 8)

654 *). Возвращаясь къ общему случаю, замѣчаемъ, что фор-
мулы (31) выражаютъ слѣдующую теорему: касательныя къ
общему мѣсту центровъ соприкасающихся шаровъ парал-
лельны бинормалямъ данной кривой, такъ какъ

<11 гі'і'і <7
а ~ у

Возвышая въ квадратъ формулы (31) и складывая, найдемъ
<іо2 = х2 <75г, если о — дуга общаго мѣста центровъ соприкасаю-
щихся шаровъ. Отсюда сіо — +к<І8', если возьмемъ

(32)	<1о = — х <І8,

то формулы (31) дадутъ

<7 І _ <ііі _ „	<7

<7 о П’ <7 о ’	<1 о

т. е. при условіи (32) положительное направленіе касательной къ
общему мѣсту центровъ соприкасающихся шаровъ совпадаетъ съ
положительнымъ направленіемъ бинормали къ данной кривой. Раз-
смотримъ теперь зависимости между основными тріэдрами данной
кривой, которую будемъ называть первою, и общаго мѣста центровъ

*) Въ подлинникѣ въ этомъ § есть нѣкоторыя неточности, а потому
здѣсь онъ изложенъ въ другой редакціи.
соприкасающихся шаровъ, которое будемъ называть второю кривою.
Удерживая прежнія обозначенія для первой кривой, обозначимъ
соотвѣтствующіе элементы второй тѣми же буквами со значкомъ 1.
Мы уже видѣли, что, при условіи (32), а1= а, = с1 = 'у.
Теперь замѣтимъ, что главныя нормали нашихъ двухъ кривыхъ въ
соотвѣтствующихъ точкахъ параллельны между собою. Дѣйстви-
тельно, формулы (8) § 635 даютъ

А _ /г ѵ
сіа <1/3 Лу

а формулы (5) § 633, примѣненныя ко второй кривой, дадутъ въ
силу вышеупомянутыхъ равенствъ,

А] __ І^і _ Г! ,

сі а сі 0 Л у

откуда и слѣдуетъ сказанное. Какъ слѣдствіе, отсюда вытекаетъ, что
касательныя къ первой кривой параллельны бинормалямъ второй.
Итакъ, будемъ имѣть

Л] ± = А, ± = /Г,	= + V, и

а1= ± а,	,вА= ± Ъ,	= ±- с.

Знаки въ этихъ формулахъ мы можемъ выбрать по произволу, но
если поставимъ условіе, чтобы и для второй кривой имѣло мѣсто

равенство

(6')

71

Ѵ1

= + 1,

аналогичное (6), то, положивъ

— а±, Д — Д, ’д — с,,

должны взять

А] = — Л, ,<-<-1 = — /г,	— — г,

т. е. взять положительное направленіе главной нормали второй
кривой противоположнымъ положительному направленію главной
нормали первой кривой. Тогда дѣйствительно,

При условіи (6') можемъ примѣнить теперь формулы Френё (11)
какъ	къ первой, такъ и ко второй кривой. Тогда найдемъ
1)	Л	б/ б?	сі сбі	Ат	А  — = — = — X	= — х — = х • — >  О	а 3	а б
т. е.	
2)	{іо.	2*  СІб	КСІ8	У.Ъ КЪ
т. е.	Р! = х*, и наконецъ  ।	1

Особенно замѣчательны такъ называемые косые круги, т. е. кри-
выя съ постоянною первою кривизною и не равною нулю второю
^р=7?, -20^. Для нихъ всѣ соприкасающіеся шары между собою
равны (95. = р) и центры ихъ лежатъ на другомъ косомъ кругѣ
({?! = {?). Косые круги—единственныя кривыя, съ которыми
соприкасается безчисленное множество равныхъ между
собою шаровъ, потому что по формулѣ (29) при д непостоянномъ
31 не можетъ быть постояннымъ, если к не равно 0, а въ послѣд-
немъ случаѣ, какъ мы видѣли, всѣ соприкасающіеся шары совпа-
даютъ въ одинъ, на поверхности котораго и лежитъ данная кривая.
Возвращаясь къ общему случаю, замѣтимъ въ заключеніе, что съ
помощью формулъ (29) и (32) легко вычислить уголъ сі!) между
поверхностями двухъ безконечно близкихъ соприкасаю-
щихся шаровъ (т. е. между касательными къ нимъ плоскостями
въ точкахъ М и М{). Дѣйствительно, изъ очевидной формулы

а О2 = б7еК2 + ЗѴ2 сі -&2,
получаемъ

сі & _ х о 1с/ 1о§ 3?.
Л 5 Зі3 ъ <1 1о§ (>

Это отношеніе, которое Демартръ (Оетагігез) назвалъ сфериче-
скимъ крученіемъ, есть также полезный для изученія не плоскихъ
кривыхъ элементъ.

Упражненія.

655. Винтовыя линіи, а) Разсмотримъ сперва обыкновенную или
круговую винтовую линію, т. е. кривую линію, опредѣляемую свойствомъ
пересѣкать всѣ образующія прямого кругового цилиндра радіуса г подъ
постояннымъ угломъ <р. За ось гг-овъ возьмемъ ось цилиндра, а ось л>овъ
проведемъ перпендикулярно къ оси г-овъ черезъ нѣкоторую точку А на
кривой. Пусть Ѳ обозначаетъ уголъ, образуемый проекціею ОМ на пло-
скость ху съ осью х-овъ. Такъ какъ, по опредѣленію, с	число посто-

янное и равное соз<р, то будемъ имѣть г = зсозд>, если условимся отсчи-
тывать дуги отъ точки А; уголъ <р предполагается острымъ и, слѣдовательно,
5 возрастаетъ вмѣстѣ съ г. Координаты точки М будутъ х = г соз 0,
у = г зіп 9, г = з соз <р. Дифференцируя, получимъ

Лх = — г зіп 0 <70, Лу = г соз Ѳ <70, Лз = соз <рЛз,

а отсюда, возвышая въ квадратъ и складывая, находимъ <752=г2<7Ѳ2+соз2<р<752,
и далѣе

, г Л 0	г 0

аз = —----1	5 = —----•

зіп <р	зіп <р

Соотношеніе г = з соз <р уже показываетъ, что если Т есть пересѣченіе ка-
сательной МТ съ плоскостью (хѵ), то длина МТ какъ разъ равна ^АМ;
теперь же мы видимъ, что если Р есть проекція М на ту же плоскость, то
7э7'=$зіп<р = гѲ = дугѣ круга АР. Поэтому, когда М описываетъ винто-
вую линію, точка Т опишетъ эвольвенту круга. Далѣе, направляющіе коси-
нусы касательной будутъ

а = — зіп <р зіп 0, Ь = зіп <р соз 0, с = соз <р,

откуда, съ помощью дифференцированій, на основаніи перваго столбца фор-
мулъ (11), получимъ

Л зіп2® соз 0 /і зіп2<рзіп 0	_

— =--------------> — =----------------> ѵ = о,

р	г	р	г

и далѣе

Г
о =	’ А = - соз 0, а = — зіп 0, ѵ = 0.

зіп2 <р

Итакъ, главныя нормали винтовой линіи встрѣчаютъ ось цилиндра подъ
прямымъ угломъ (г = 0). Кромѣ того, замѣтимъ, что радіусъ первой кри-
визны число постоянное. Направляющіе косинусы бинормали будутъ

а = сц = — соз <р зіп Ѳ, 0 = — с/ = соз <р соз Ѳ, у = Ь). — ар, = — зіп <р,

и достаточно продифференцировать а и /?, или одинъ изъ косинусовъ глав-
ной нормали (припоминая остальныя формулы (11)), чтобы найти радіусъ

Г

крученія г = -------• Какъ видимъ, и радіусъ второй кривизны

г-*	зіп <р соз	г	11-

число постоянное. Въ данномъ случаѣ его величина число положитель-
ное, потому что (§643) разсматриваемая винтовая линія будетъ зіпізігогзит.
Впрочемъ, всѣ выведенныя формулы будутъ справедливы и для винтовой
линіи бехігогзит, если въ нихъ положимъ зіп 2 <р < 0.

Ь)	Укажемъ теперь двѣ замѣчательныя поверхности, къ которымъ
приводитъ изученіе круговой винтовой линіи. Первая есть общее мѣсто
касательныхъ винтовой линіи, и называется развертывающимся гели-
коидомъ. Мы уже видѣли, что плоскія сѣченія этой поверхности, перпен-
дикулярныя къ оси цилиндра, всѣ равны одной и той же эвольвентѣ круга
радіуса г. ' Чтобы отдать себѣ отчетъ о видѣ поверхности, полезно знать
также ея профиль, т. е. сѣченіе поверхности плоскостью, проходящею черезъ
ось. Уравненія касательной будутъ

х — г соз Ѳ _ у — г зіп Ѳ г —7?Ѳ
— зіп 0 соз Ѳ соі <р

если обозначимъ черезъ У? постоянное число г соі§ <р. Полагая у=0, получимъ

х = г--1 & = К (Ѳ — іа Ѳ).
соз 0	6 7

Это уравненія, въ плоскости (хз), уже извѣстной кривой (§ 599, с). Глав-
ны я нормали винтовой линіи образуютъ другой геликоидъ, называемый
косымъ, или геликоидомъ съ направляющею плоскостью, такъ
какъ всѣ образующія его параллельны одной и той же плоскости. Уравненія
главной нормали: у — з = К^-, исключая Ѳ, получаемъ уравненіе
, з
косого геликоида: у = х •

с)	Вычисленія перваго упражненія можно обобщить на случай г,
равнаго какой нибудь функціи отъ Ѳ, т. е. на случай любой цилиндрической
винтовой линіи, начерченной на поверхности какого угодно (не кругового)
цилиндра и встрѣчающей всѣ образующія подъ постояннымъ угломъ <р.
Вмѣсто того, чтобы повторять всѣ вычисленія, мы можемъ, идя болѣе крат-
кимъ путемъ, вывести то, что нужно для раскрытія одного важнаго и харак-
теристичнаго для этихъ кривыхъ свойства. Напомнимъ формулы

<1 с	ѵ	Лу	ѵ	Л ѵ	с	у

Лз	о	Лз	ъ	Лз	о	«

и замѣтимъ, что при с постоянномъ получается изъ первой формулы ті = 0,
послѣ чего вторая дастъ у = сопзѣ Такъ какъ всегда с2 + у2 + ѵ2 = 1, то
при с = соз<р, можно положить

зіп.ір,
Уголъ ср мы отсчитываемъ въ спрямляющей плоскости отъ касательной въ
такомъ направленіи, которое для наблюдателя, находящагося на положитель-
ной главной нормали, совпадало бы съ направленіемъ, противоположнымъ
движенію часовой стрѣлки. Условившись въ этомъ, изъ третьей изъ преды-
дущихъ формулъ, получаемъ і^ср = — , и видимъ, что отношеніе двухъ
&

кривизнъ число постоянное. Обратно, положимъ, что для нѣкоторой
кривой отношеніе кривизнъ число постоянное. Проведемъ черезъ точку М въ
спрямляющей плоскости прямую, опредѣляемую косинусами /=а соз<р-а зіп<р,
т = Ь соз ср — 0 зіп ср, т =с соз ср — у зіп ср, при чемъ постоянный уголъ ср

опредѣляется формулою = — • На основаніи формулъ (11) найдемъ тогда
0

411, 4т I	4пІ	соз® зіп®

, 1'=------------г = 0,

аз	аз /	аз/ у г

Слѣдовательно, /, т и и числа постоянныя, а кривая будетъ цилиндриче-
скою винтовою линіею, потому что она начерчена на цилиндрѣ * **)) и встрѣ-
чаетъ всѣ его образующія подъ постояннымъ угломъ ср. Итакъ, для того,
чтобы кривая была цилиндрическою винтовою линіею, необхо-
димо и достаточно, чтобы отношеніе ея двухъ кривизнъ было
числомъ постояннымъ. Если далѣе каждая изъ кривизнъ число постоян-

ное, то винтовая линія необходимо будетъ круговою: она будетъ лежатъ на
,	.	О &

круговомъ цилиндръ, радіусъ котораго равенъ 2	9 Мы предоставляемъ

читателю трудъ доказать эту теорему, найденную Пюизэ (Риізеих).

сі) Коническою винтовою линіею называютъ такую, которая пере-
сѣкаетъ подъ постояннымъ (но не прямымъ) угломъ ср всѣ образующія
конуса. Если конусъ круговой, то винтовая линія пересѣкаетъ, очевидно,
также подъ постояннымъ угломъ ср образующія цилиндра, проектирующаго ее
параллельно оси (притомъ, если / есть уголъ наклоненія образующихъ конуса
къ оси, то соз ср = соз ср соз /). Поэтому винтовая линія будетъ въ то же
время и цилиндрическою, а потому и называется цилиндро-коническою
винтовою линіею. Это, можно сказать, логариѳмическая спираль .про-
странства. Если возьмемъ вершину конуса за начала координатъ, а ось его
за ось г-овъ, и обозначимъ черезъ К разстояніе точки М отъ вершины,
то должны имѣть

х 4х , у 4 у , г 4г
соз ср = ут —г-р -=• -у- -уу -у— ’

К 4 з К 4 8	К 4 8

4К

или соз ір = -^-- Такъ какъ, по предположенію, соз не равно 0 (иначе
имѣли бы К = сопзі., и кривая лежала бы на поверхности шара), то
К = з соз ср, если считать дуги з отъ вершины. Съ другой стороны
г = К зіп / *), слѣдовательно, г = шззіпу>, гдѣ для сокращенія положено
т = зіп / соідуу. Вмѣстѣ съ тѣмъ, координаты точки М будутъ х = г соз Ѳ,
у = г зіп Ѳ, г = г соі§ /; поэтому имѣемъ

4г2 = т2 зіп2 ср (4г2 -|- г2 4 Ѳ2 + <7в2) = соз2 ср 4г2 + т2 г2 зіп2 ср 4 Ѳ2,

откуда 4г = тг4§, 1о§ г = тѲ + сопзі. Итакъ, прямое сѣченіе того ци-

*) Образующія цилиндра параллельны направленію (/, т, п), а коси-
нусъ угла между касательною (а, Ь, с) и образующими (/, т, и) равенъ
аі + Ь т -|-сп = соз ср.

**) г “ разстояніе проекціи точки М на плоскость (ху) отъ начала
координатъ (вершины конуса).
линдра, на которомъ данная линія есть винтовая, есть логариѳмическая спи-
раль. Если теперь замѣтимъ, что

<іг ,	</0	1 Л г зіп ы 1

-ѵ = т зіп іи, - - =-----— —------- = — >

а 5 тга 5 г тз

то легко найдемъ направляющіе косинусы касательной:

а = (т соз Ѳ — зіп 0) зіп ,	5 = («гзіпѲ-|- соз 0) зіп ір,	с = соя <р,

а, дифференцируя еще разъ, найдемъ и косинусы главной нормали

і	о	О зіп	„ о зіп ѵ> .

л = — (соз Ѳ ф- т зіп 0)--- и = — (зіп 9 — т соэ Ѳ) --- ’ ѵ = 0.

т з	т з

Итакъ, главныя нормали перпендикулярны къ оси конуса, но ее не пересѣ-
каютъ: онѣ нормальны къ поверхности цилиндра, а не конуса.
Возвышая въ квадратъ и складывая послѣднія формулы, и замѣчая еще,
, ,	„ 8ІП-ф

что 1 4-^= 5іп2^,’* получимъ значеніе р, а изъ него тотчасъ и ® = д у,
а именно:

т з	т з

(> “ ---- ’ ъ =------•

ЗІП Ф	СОЗ ф

Слѣдовательно, радіусы первой и второй кривизны цилиндро-кони-
ческой винтовой линіи пропорціональны дугѣ, отсчитываемой
отъ вершины конуса. Можно доказать, что, обратно, имѣетъ мѣсто слѣ-
дующая теорема: если для нѣкоторой кривой р = кз, ъ = к'з, гдѣ к и к’
постоянныя, то эта кривая необходимо должна быть цилиндро-коническою
винтовою линіею, лежащею на круговомъ конусѣ, въ которомъ уголъ /
между осью и образующими опредѣляется формулою

X = № іѴіА + к^ + 1^к'\

656.	Представимъ себѣ плоскость въ видѣ гибкой, но нерастяжимой
матеріальной поверхности и дадимъ ей при помощи сгибанія, не мѣняющаго
длины линій, на ней начерченныхъ, форму какой нибудь цилиндрической
поверхности. Прямыя линіи нѣкотораго опредѣленнаго направленія обратятся
тогда въ образующія цилиндра, всѣ другія въ цилиндрическія винтовыя
линіи. Отрѣзокъ всякой такой линіи будетъ давать кратчайшее раз-
стояніе между двумя достаточно .близкими точками на поверхности цилиндра.
Такъ же, какъ отрѣзокъ прямой, которая послѣ сгибанія обратилась въ
винтовую, давалъ кратчайшее разстояніе между двумя точками на плоскости.
Въ силу этого свойства цилиндрическую винтовую линію называютъ геоде-
зическою линіею на поверхности цилиндра. Впослѣдствіи мы разсмотримъ
геодезическія линіи, съ другой точки зрѣнія и обобщимъ ихъ опредѣленіе
для какой угодно поверхности. Но и теперь уже мы можемъ изслѣдовать
геодезическія линіи на поверхности конуса, т. е. тѣ линіи, въ которыя обра-
щаются прямыя линіи на плоскости, когда при помощи одного сгибанія мы
дадимъ этой плоскости коническую форму. Замѣтимъ тотчасъ же. что кони-
ческія винтовыя линіи ни въ какомъ случаѣ не будутъ геодезическими,
потому что, какъ мы уже знаемъ изъ предыдущаго онѣ происходятъ изъ
логариѳмическихъіспиралей съ полюсомъ въ вершинѣ конуса. Ограничиваясь
случаемъ прямого кругового конуса, положимъ, что А есть проекція вершины
конуса О на ту прямую, которая при сгибаніи плоскости обращается въ
геодезическую линію, I длина отрѣзка О А и Л- разстояніе отъ точки О
до какой нибудь (перемѣнной) точки М по той же прямой. Тогда К2=82-\-Р,
если условимся считать дугу геодезической кривой отъ точки А, потому что
длина отрѣзка АМ при сгибаніи не мѣняется. Далѣе, если обозначимъ
черезъ (р уголъ ОМА (въ пространствѣ это будетъ уголъ между образую-
щей конуса, проходящей черезъ М, и касательной къ кривой въ точкѣ М),
то, очевидно, будемъ имѣть

лк 5	. і

=	= со8 <р , 5Ш ? = 4? ’

я? <р
(і 8

ЗІП <р
р

Выбравъ теперь координатныя оси такъ же, какъ въ предыдущемъ § 655, б,
получимъ для координатъ точки М выраженія л = гсоз 8, _у = гзіпѲ, г = гсоі§/,
гдѣ /_ уголъ между образующими конуса и его осью, г и 8 полярныя коор-
динаты проекціи точки М на плоскости О ху. При этомъ, очевидно, будемъ
имѣть г = 7? зіп/. Дифференцируя выраженія х. у, г, найдемъ

Л х = соз Ѳ Дг — г зіп 8 <7 8, Ду = зіп 8 Дг -|- г соз О Д 8, Лг = со(§ / Лг и

Л 8- -— Л И- -У г-а Ѳ2.

Откуда, далѣе, — = -—, если 5 и 8 одновременно возрастаютъ, что всегда
можно предположитъ. Изъ тѣхъ же выраженій для Лх, Лу, Лг легко най-
демъ направляющіе косинусы касательной, а именно

а = — зіп <р зіп 8 Д- соз <р соз 0 зіп /, & = зіп гр соз 8 + соз <р зіп 8 зіп /,
с = соз ср соз /.

Дифференцируя еще разъ, получимъ направляющіе косинусы главной нормали

Л=-----ЗІП2ф СОІ X. С08 / соз 8 , (I — — ЗІП2® СОІ X. СОЗ X ЗІП 8,

Л	'	77

о . 9

г = зіп2® соз /
к

или

Л= — соз/соз 8, /і = — соз/зіп О, г = зіп/,

если замѣтимъ (возвышая предыдущія формулы въ квадратъ и складывая), что

1 зіп2® , Р

7 = со1/ = к-, со1^-

Главныя нормали, слѣдовательно, перпендикулярны къ образующимъ и пере-
сѣкаютъ ось конуса: онѣ нормальны къ поверхности конуса*). Напра-
вляющіе косинусы бинормали будутъ

а = — соз <р зіп 8 - зіп <р соз 8 зіп /,	= соз <р соз 6 — зіп <р зіп 6 зіп /,

7 = — зіп <р соз /.

*) Мы увидимъ впослѣдствіи, что это есть характеристическое свой-
ство геодезическихъ линій на всякой поверхности.
Достаточно продифференцировать послѣднее уравненіе, чтобы найти вели-
чину крученія

1 ЗІП ® СОЗ (р	/5

7= л сои ’^соіг.

Замѣтимъ соотношеніе 5® = /р. Можно доказать, что тоже соотношеніе
справедливо для геодезической линіи на любой конической поверхности и
не справедливо для другихъ линій на той же поверхности. Итакъ, геоде-
зическія линіи на поверхности конуса характеризуются тѣмъ,
что отношеніе первой кривизны ко второй измѣняется обратно
пропорціонально длинѣ дуги.

657.	Изслѣдуемъ еще кривую, заданную уравненіями

х = 4^- (г® + соз Ѳ, у = Ц- еТ®) зіп Ѳ, г = 7? Ѳ.

Прежде всего замѣтимъ, что, въ силу равенствъ у =	« = 7?Ѳ, кривая

лежитъ на косомъ геликоидѣ (§ 655, Ь). Съ другой стороны, проекція кривой
на плоскости (ху) есть спираль, изображаемая въ полярныхъ координатахъ
уравненіемъ

г = ~	,

а такъ какъ г = 7?Ѳ, то кривая лежитъ также на поверхности вращенія

К ( % -Л
г = -у" Iек + е " ) •

Эта поверхность есть катеноидъ, образуемый вращеніемъ цѣпной линіи

х = -у- \ еяе I

около оси г-овъ (ея директрисы). Разсматриваемая кривая, слѣдовательно, есть
пересѣченіе косого геликоида съ катеноидомъ. Дифференцируя выраженія
координатъ, находимъ

1 (е® — соз Ѳ — (г® + е-®) 5Іп Ѳ],

1(«° ~ е-й) «и » + («® 4- е~®) соз В],	= К,

отсюда

полагая, что 5 = 0 при 9 = 0. Поэтому направляющіе косинусы касательной
будутъ

а = —(к соз 0 - зіп 0), Ь = —(к зіп Ѳ + соз Ѳ), с = „	’

]Л2	У 2	еѳ + «Г ®

е9 -

если обозначимъ для сокращенія к = —--------  Такъ какъ

ев -|- е ”

— а зіп Ѳ + Ь соз 0 = —
/2
то находимъ, что кривая пересѣкаетъ параллели катеноида подъ
Ліг

угломъ въ 45°. Замѣчая, далѣе, что ^=1— и дифференцируя еще
разъ, получимъ .

к , . . , ,	ЛЬ к	.

=-----— (зіп 0 + к соз Ѳ), 5-т = —— (соз 9 — к зіп в),

4 с _ _ кѴ~2

ЛЬ е9 _|_е-9

Отсюда, возвышая въ квадратъ и складывая, получимъ е = к<і9, а потому

1	7? И + е“6)2	2 А2

Р - к а Ѳ “ у 2	- е-ѳ ~ * + 5

и	_

1	1	Ѵч

Л =-----— (зіп 9 4- к соз 9), и = (соз 0 — к зіп 9), ѵ = — -.--г •

У 2	V 2	е9 + <Г'Ѳ

Наконецъ, получимъ еще

2 соз 9	2 зіп 9	е9 — е~9

а~ е9 + е-9’	=	7~~Т+е-9'

Такъ какъ	9, то бинормаль, очевидно, пересѣкаетъ ось «-овъ, и

слѣдовательно, нормальна къ поверхности катеноида*). Для вычис-
ленія второй кривизны достаточно теперь взять одну изъ формулъ (11),
.	4 7 ѵ

напримѣръ, = — , и изъ нея получить
(л 8

г=-4-(гѲ + ^0)2 = 7? +А’

Легко показать, что ъ равно отрѣзку бинормали между кривою и
осью «-о въ. Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи извѣстныхъ свойствъ цѣпной
®2

линіи (§ 589, с), этотъ отрѣзокъ какъ разъ равенъ -= т. е. Замѣтимъ,
Наконецъ, что отношеніе первой кривизны ко второй измѣняется
прямо пропорціонально длинѣ дуги (обратное тому, что было сказано
для геодезическихъ линій на конусѣ въ § 656).

658. Кривыя Бертрана, а) Предложимъ себѣ рѣшить вопросъ:
могутъ ли главныя нормали одной кривой (Л/) быть въ то же время глав-
ными нормалями другой кривой (Л^)?**). Каждой точкѣ М(х, у, г) данной
кривой соотвѣтствуетъ точка Мг на другой кривой, координаты которой
будутъ

(I)	= х + кр, Уі = у + и,р, г. =^+ ѵр.

*) Это частный случай общаго свойства поверхностей вращенія:
нормаль къ поверхности пересѣкаетъ ось вращенія.

**) Для плоскихъ кривыхъ, очевидно, нормали къ одной кривой будутъ
нормалями ко всѣмъ кривымъ, ей параллельнымъ; для кривыхъ не плоскихъ,
какъ увидимъ, данная кривая должна удовлетворять извѣстнымъ условіямъ,
чтобы ея главныя нормали были общими съ другою кривою.
гдѣ р обозначаетъ разстояніе ММ±, а 2, ѵ — направляющіе косинусы
общей для двухъ кривыхъ главной нормали. Положительныя направленія
касательной Мі въ точкѣ М къ кривой (М) и касательной М^ въ точкѣ Мг
къ кривой (Л/]) будутъ перпендикулярны къ направленію Мп — общей
главной нормали, но, вообще говоря, не будутъ совпадать. Обозначимъ че-
резъ ір уголъ, на который надо повернуть полупрямую около точки М±,
чтобы М1і1 сдѣлалась параллельною Мі, при чемъ вращеніе происходитъ
въ томъ же направленіи, въ которомъ надо повернуть Мі на уголъ въ 90°,
чтобы Мі совпало съ положительнымъ направленіемъ бинормали МЬ. При
такомъ условіи о счетѣ угла ір, какъ фегко убѣдиться, направляющіе коси-
нусы касательной МХР выразятся формулами

(II)	<г1 = а соз ір — а зіп у>, Ь1 = Ь соз ір — зіп ір, с1 = с ссз ір — у зіпір,

Съ другой стороны, имѣемъ, по формуламъ (1) и (11) § 638,

Л л,

—г- = а ~

Лз

и т. д.

Лх, .	„	. Лх, Лз

и	, гдѣ дуга кривой (Л/]). Отождествляя выраженіе

съ тѣмъ, которое даютъ формулы (11), т.

при а, при
получимъ

а, и независимые отъ

е. приравнивая коэффиціенты
члены въ обоихъ выраженіяхъ, .

(33)

аз

і-А
е

Лз

СОЗ V,

Лз, .

ЯП Ш,
<ІЗ

а и а

Р

такъ что

(34)

р = сопзѣ,

СОІ

е

1^

Р

Полученныя формулы выражаютъ только то, что главныя нормали кривой (М)
будутъ нѣкоторыми нормалями кривой (Л/’1); чтобы онѣ были именно
главными нормалями и для второй кривой, необходимы еще условія

Лах	Л	Л Ьг	/,і	Л	ѵ

<і	Р]	Л5,	<),	Л	5,	р.

Замѣчая, что

Ла,	/соз -ш	зіп ір\	,	,	.	,	,	Л ю

—1 =	 -------- Л -	(а	зіп у> + а соз ш)	-г- и т. д.,

«з\р г )	Л з

находимъ

.	Л ір	1 Лзг_ соз ір зіпір

Лз3, ~Лз ~ ““ё	’

т. е. уі = сопзі.; а это показываетъ, что основные тріэдры обѣихъ
кривыхъ должны быть неподвижно связаны между собою (т. е-
относительныя положенія реберъ этихъ тріэдровъ не измѣняются при пере-
ходѣ отъ одной точки на кривой къ другой). Кромѣ того, на основаніи фор-
мулы (34), между обѣими кривизнами данной кривой (М) должно
существовать линейное соотношеніе съ постоянными коэффи-
ціентами. Мы видимъ, такимъ образомъ, что кривая (Л4) не произвольна:
она должна быть кривою Бертрана: такъ называются кривыя, между
кривизнами которыхъ существуетъ соотношеніе вида

(36)	А = і

О г

гдѣ р и д — постоянныя.
Ь) Нужно замѣтить, что и обратно, если дана кривая Бертрана (М),
то всѣ найденныя выше условія выполняются, такъ что существуетъ другая
кривая (Л/х), имѣющая съ данною общія главныя нормали въ соотвѣтству-
ющихъ точкахъ. Эти двѣ кривыя опредѣляютъ на общихъ главныхъ норма-
ляхъ отрѣзки равной длины р, а касательныя въ концахъ каждаго отрѣзка

образуютъ между собою постоянный уголъ = агсі§ — • Очевидно, вторая
кривая будетъ также кривою Бертрана, удовлетворяющею уравненію, полу-
чаемому изъ (36) замѣною р на — р. Это обстоятельство позволяетъ весьма
просто вычислить обѣ кривизны кривой такъ какъ формула (33) даетъ

= V/2 + д2

СІ 5	®	’

=^24-^ т>

сіз ѴР2-\-д2
=----------—, откуда

кривизнъ въ соотвѣт-

а

также аналогично этому
произведеніе вторыхъ

ствующихъ точкахъ обѣихъ кривыхъ — величина постоянная.
Примѣняя далѣе формулу (36) къ кривой (Л^), получимъ

Р_ _ х _ і = д* _,	, ^-рд}р >

ѳі «і Р2 + д2 (,Р^ + д2)ѳ (р2 + д2)ѳ

т. е.

(37)

1 = дъ-Рв
01	(/2 + ?2) р ’

что можно также получить изъ второй формулы (35). Наконецъ, замѣтимъ,
что отвѣтъ, полученный нами на поставленный вопросъ, теряетъ смыслъ
при р — 0, т. е. для кривыхъ съ постояннымъ (не равнымъ нулю) крученіемъ
и перемѣнною первою кривизною. Въ этомъ случаѣ кривыя М и (Л/х) сов-
падаютъ. Это заключеніе не распространяется на кривыя съ крученіемъ,
равнымъ нулю (т. е. плоскія кривыя); въ этомъ случаѣ имѣемъ ір = 0, и
формулы (33) и (35) приводятся кь извѣстнымъ результатамъ:

.	,	(1^	р

р = сопзѣ, = 1 — — >
аз	р

01 = Ѳ - Р ,

относящимся къ системѣ параллельныхъ кривыхъ (§ 624, Ь). Полученный
результатъ не имѣетъ мѣста и въ томъ случаѣ, когда обѣ кривизны посто-
янны, потому что тогда уравненіе (36) удовлетворяется безчисленнымъ мно-
жествомъ паръ значеній р и д. Это значитъ, что круговую винтовую
линію можно безчисленнымъ множествомъ способовъ разсматри-
вать, какъ кривую Бертрана. Мы видимъ, что круговыя винтовыя
линіи, отъ всѣхъ другихъ линій двоякой кривизны, отличаются тѣмъ, что,
подобно плоскимъ кривымъ, имѣютъ общія главныя нормали съ безчислен-
нымъ множествомъ другихъ кривыхъ. Эти другія кривыя, разумѣется, тоже
круговыя винтовыя и между ними одна должна приводиться къ прямой.
Она соотвѣтствуетъ тѣмъ значеніямъ р и д, которыя удовлетворяютъ урав-
неніямъ (36) и (37) при р1 = оо, т. е.

р»2

72 і 2 *

&	1 Ъ

«р2

д =

и есть не что иное, какъ общая ось всѣхъ цилиндровъ, на которыхъ лежатъ
круговыя винтовыя линіи.
ПРИЛОЖЕНІЯ КЪ ТЕОРІИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Основныя понятія.

659. Касательная плоскость. Ко всѣмъ кривымъ, проходя-
щимъ черезъ точку М на поверхности, проведемъ касательныя
прямыя: онѣ называются касательными къ поверхности. Напра-
вленіе каждой изъ нихъ опредѣляется косинусами, которые (§ 630)
пропорціональны дифференціаламъ координатъ х, у, з точки М,
если представимъ себѣ, что эта точка передвигается по одной изъ
кривыхъ на поверхности. Если поверхность задана уравненіемъ
/(А , У, 2) = 0, то упомянутые дифференціалы связаны уравненіемъ

(1)	(іх + ~С- (іу +	(іа = 0.

'	дх ду ' дс

Это уравненіе выражаетъ, что всякая касательная, къ какой бы
кривой на поверхности черезъ точку М она ни была проведена,
перпендикулярна къ прямой, направленіе которой опредѣляется
косинусами

2 =	д/- > 0Е = -к- У-, 9с - -1 = •

уд/бд:	Ъ.Т/'Ъ’

Слѣдовательно, всѣ касательныя въ точкѣ М лежатъ въ одной
плоскости. Она называется касательной плоскостью къ по-
верхности въ точкѣ М, а прямая, къ ней перпендикулярная, воз-
ставленная изъ той же точки М— нормалью къ поверхности.
Касательная плоскость изображается, слѣдовательно, уравненіемъ

Если хотимъ ввести въ вычисленіе частныя производныя отъ х по
х и по у, обозначаемыя буквами р и «у то косинусы направленія
нормали выразятся формулами

2 =-----------> 01Г =-----ИІ-----,	=_____1____... *),

а уравненіе касательной плоскости приметъ видъ

(3)	7. - г р (А _ х) + 7 (У—у).

*) вытекающими изъ уравненій р'х -\р Ц = 0, /' + /7 = 0 .
Сближая сказанное въ § 568 съ настоящими выводами, мы видимъ,
что нормаль къ поверхности у" = 0 въ точкѣ М и есть та прямая,
вдоль которой функція у стремится измѣняться всего быстрѣе,
между тѣмъ, какъ вдоль касательныхъ эта функція стремится со-
хранить значеніе 0; дѣйствительно, въ точкахъ М', лежащихъ въ
касательной плоскости, функція / имѣетъ значенія, безконечно малыя
второго порядка относительно ММ'.

660.	Полезно имѣть также формулы для непосредственнаго
вычисленія косинусовъ 2, ©17, 97 въ томъ случаѣ, когда поверх-
ность задана уравненіями

X = </. (и, V), у = / (и, ѵ), В = V' («, ѵ).

При этомъ параметры и и ѵ измѣняются независимо одинъ отъ
другого. Чтобы эти три уравненія изображали поверхность, необхо-
димо, чтобы двѣ изъ функцій х, у, г были независимы, а слѣдо-
довательно (§ 578), чтобы въ матриссѣ

д х д у д в

ди ди ди

д х д у д в

д ѵ д ѵ д ѵ і

не всѣ миноры второго порядка равнялись нулю. Если теперь ѵ
остается постояннымъ, то данныя три уравненія изображаютъ кривую

д X д V д 3 _

линію на поверхности;	н будутъ пропорціональны на-

правляющимъ косинусамъ касательной къ этой кривой въ разсма-
триваемой точкѣ; точно такъ же	будутъ пропорці-

ональны косинусамъ касательной къ другой кривой, которую
получимъ, разсматривая и, какъ постоянное. Условія перпендикуляр-
ности нормали къ обѣимъ касательнымъ даютъ

Изъ нихъ вытекаетъ, что 2, ©17, 97 пропорціональны вышеупомя-
нутымъ минорамъ, а такъ какь сумма квадратовъ этихъ миноровъ
равна квадрату матриссы, т. е. ас — Ь2, гдѣ

то,'очевидно, будемъ имѣть

2	( г. -)

УаЬ- У ѵ;

©17 = -

1

1

а Ь — с2 ѵі

1 д (х, у)
уг7Гь~-72 д (’<• г’)
661.	Упражненія. Найдемъ уравненіе конуса, описаннаго около-
поверхности /(X, У, У) = 0 съ вершиною въ данной точкѣ <2(1;, >;, ,),
т. е. того конуса, образующія котораго будутъ касательными къ поверх-

ности, проведенными изъ точки <2- Уравненія, вы-
ражающія, что точка М (х, у, -г) лежитъ на поверх-
ности, и что касательная плоскость въ точкѣ 'М
проходитъ черезъ <2, будутъ

(4)	/(х, у, г) = О,

Х) К +	57 +	6 г = °-

Если въ этихъ уравненіяхъ будемъ разсматривать
х, у, 2, какъ перемѣнныя (текущія) координаты, то
эти уравненія изобразятъ кривую касанія ко-
нуса съ поверхностью. Такимъ образомъ въ прило-
женіяхъ опредѣляется, такъ называемый, видимый

контуръ поверхности для наблюдателя, смотрящаго
на нее изъ точки 2, т. е. кривую, отдѣляющую видимую изъ точки
часть поверхности отъ невидимой или линію, отдѣляющую свѣтъ отъ тѣни
иа поверхности, погруженной въ пучекъ свѣтовыхъ лучей, исходящихъ изъ
точки 2. Если хотимъ опредѣлить тѣнь, бросаемую данною поверхностью
на другую, то должны къ уравненію этой поверхности присоединить урав-
неніе описаннаго конуса, чтобы получить контуръ, ограничивающій эту тѣнь.
Уравненіе этого конуса получимъ, если исключимъ х, у, г изъ уравненій (4)
и уравненій образующей <2М конуса

= У-т; _ У-7

X - ё у - ѵ ~ 2 - $

Въ частномъ случаѣ, когда О находится на безконечности, черезъ исклю-
ченіе х, у, 2 изъ уравненій

/(х,у,г)~0, А^ + В

<Ѵ , г = о х~ х _ у — .У = 2 - *
ду^ дг ’ А В С

получимъ уравненіе цилиндра, описаннаго около поверхности съ
образующими, параллельными направленію (А, В, С). Возвращаясь къ об-
щему случаю (конуса), замѣтимъ, что исключеніе х, у, г можно произвести
весьма просто, разсматривая функцію

X (0 =/($ + і (X — ^), і] -|- I (У—^))

и замѣчая, что второе изъ уравненій (4) обращается въ Е'(і) = 0. Слѣдова-
тельно, уравненіе описаннаго конуса получится черезъ исклю-
ченіе і изъ уравненій X (і) = 0 и = 0-

662.	Особенности. Во всемъ предыдущемъ подразумѣвалось,
что въ точкѣ М(х, у, 2) не всѣ первыя производныя отъ у по
х, у и 2 равны нулю. Иначе условіе (1) обращалось бы въ тож-
дество и не давало бы никакой связи между Лх, Лу, Л2. Если

(5)

^ = 0, |^ = 0,
д х	д у

д_/
да

= 0,
то М будетъ особенная точка, въ томъ отношеніи, что всѣ каса-
тельныя къ поверхности въ точкѣ М, вмѣсто того, чтобы лежать
въ одной плоскости, образуютъ коническую поверхность. Это можно
тотчасъ увидѣть, если напишемъ уравненіе поверхности для точекъ
(X, У, X), безконечно близкихъ къ М, въ видѣ (§ 376)
„д/'д/д/	, ,

если	'	-> вычисленныя для точки м, не равны нулю

о х д у д г	.

одновременно, то, отбрасывая безконечно малыя высшаго порядка,
видимъ, что въ смежности съ М поверхность уподобляется плос-
кости (2); такимъ путемъ можно прямо получить уравненіе каса-
тельной плоскости. Если же, наоборотъ, координаты .точки М
удовлетворяютъ уравненіямъ (5), то, пренебрегая безконечно малыми
выше 2-го порядка, можно разсматривать точки поверхности, смеж-
ныя съ М, какъ лежащія на поверхности конуса второго
порядка.

(^-л-)^ + (У-у)2у{+ ... 4- 2(^-л-)(У-у)/^-+ • • • =0
6 х-	ду’	дхду

и т. д. Разысканіе особенныхъ точекъ поверхности (которыя назы-
ваются также коническими, или двойными, тройными и т. д.
точками) производится путемъ, аналогичнымъ тому, которому мы
слѣдовали при изученіи плоскихъ кривыхъ (§ 607); характеръ
особенной точки опредѣляется- разсмотрѣніемъ плоскихъ сѣченій
поверхности въ смежности съ разсматриваемой точкою. Надо замѣ-
тить, что на поверхности особенныя точки могутъ примыкать одна
къ другой непрерывно и образовать особенныя линіи. Если, на-
примѣръ, будемъ проектировать какую нибудь плоскую кривую изъ
точки, нележащей въ ея плоскости, то получимъ коническую поверх-
ность, на которой кратными линіями будутъ всѣ тѣ образующія,
которыя проходятъ черезъ кратную точку разсматриваемой кривой;
точно также кратными линіями поверхности вращенія будутъ всѣ
параллели, образуемыя кратными точками меридіана и т. д. Другого
рода особенности, аналогичныя точкамъ изгиба плоскихъ кривыхъ,
вскорѣ намъ встрѣтятся.

663.	Соприкасающіяся прямыя. Возвращаясь къ обыкно-
веннымъ точкамъ, изучимъ форму поверхности въ смежности съ
такою точкою. Возьмемъ уравненіе касательной плоскости въ
формѣ (3) и вычислимъ алгебраическое разстояніе к отъ этой
плоскости до безконечно близкой къ М точки на поверхности.
Это разстояніе выражается такъ

_ д г — рд х — <7 ду
у 1 + у + у-

(гдѣ ёх, <5_у, ёя разности между координатами М' и 717). Мы
имѣемъ, далѣе,

<?«=/> дх + 'I ду + 4 (у дх- + 2 5 дх ду + I <5_у2) + •  •,

гдѣ р, д, г, з, і имѣютъ извѣстныя (§ 563) значенія и вычисляются
для точки М. Отбрасывая безконечно малыя выше 2-го порядка,
имѣемъ, слѣдовательно,

/сх	Г Лх3 + 2 А' Л X сіу + і сіу3

(о)	П —	:--- *

2 Ѣ 1 + Р’ + У

Всякая пара значеній сіх и сіу, съ соотвѣтствующимъ ей значеніемъ
СІ2 = р сіх д сіу опредѣляетъ направленіе прямой — касательной
къ одной изъ безчисленнаго множества кривыхъ, проходящихъ че-
резъ М по поверхности, и точку М’ всегда можно предположить
лежащею на одной изъ этихъ кривыхъ. Вращая касательную въ
касательной плоскости въ точкѣ М, мы можемъ достигнуть того,
чтобы точка М' приняла любое положеніе внутри нѣкоторой,
достаточно малой части д поверхности, составляющей окрестность
точки М. Во время полнаго оборота касательной она два раза
приметъ такое положеніе, при которомъ к сдѣлается безконечно
малою выше второго порядка. Это будутъ тѣ направленія, для
которыхъ числитель выраженія (6) обращается въ нуль. Такимъ
образомъ, между безчисленнымъ множествомъ касательныхъ, прохо-
дящихъ черезъ точку М, можно отличить двѣ прямыя, которыя
называются соприкасающимися прямыми, потому что изъ всѣхъ
прямыхъ, проходящихъ черезъ М, онѣ тѣснѣе всего примыкаютъ къ
поверхности въ смежности съ М. Эти прямыя будутъ мнимыми
или вещественными, смотря по тому, будетъ ли гі — № > О
или < 0 *). Въ первомъ случаѣ точка М называется эллиптиче-
скою, во второмъ гиперболическою. При гі -- 52 = 0 сопри-
касающіяся прямыя совпадаютъ, и точка М называется параболи-
ческою. Если М эллиптическая точка, то к сохраняетъ опредѣ-
ленный знакъ для всѣхъ направленій, и вся часть д поверхности
лежитъ съ одной стороны отъ касательной плоскости.
Можно поэтому сказать, что М изолированная точка для линіи
пересѣченія поверхности съ касательною плоскостью. Если же М

*) Условія мнимости или вещественности тѣхъ значеній при ко-
торыхъ г Лх3 + 2 5 Лх сіу у і Лу3 = 0.
гиперболическая точка, то вещественныя соприкасающіяся прямыя
опредѣляютъ на касательной плоскости такія двѣ области, что въ
одной изъ нихъ Л>0, а въ другой Л<0; слѣдовательно, въ этомъ
случаѣ касательная плоскость пересѣкаетъ 5. Далѣе, если М'
лежитъ въ этой плоскости, или общнѣе, если она лежитъ на кривой,
для которой касательная плоскость въ М будетъ соприкасающеюся
плоскостью, то разстояніе к будетъ либо нуль, либо безконечно
малою не ниже 3-го порядка, а потому числитель въ выраженіи (6)
долженъ обратиться въ нуль. Отсюда вытекаетъ, что соприкасаю-
щіяся прямыя будутъ касательными къ тѣмъ кривымъ, для которыхъ
соприкасающаяся плоскость совпадаетъ съ касательною плоскостью
къ поверхности *). Въ частности, пересѣченіе поверхности съ каса-
тельною плоскостью имѣетъ двѣ вѣтви, проходящія черезъ М и
касающіяся .въ ней соприкасающихся прямыхъ. Слѣдовательно,
М будетъ двойною точкою для этой кривой. Обратно, какъ только
нѣкоторая кривая на поверхности касается въ точкѣ М соприкасаю-
щейся прямой, к дѣлается безконечно малою выше 2-го порядка, и
касательная плоскость будетъ соприкасающеюся плоскостью для
такой кривой, или (§ 646) первая кривизна кривой въ этой точкѣ
равна 0. Наконецъ, замѣтимъ еще, что если функція гі — зг непре-
рывна, то эллиптическія и гиперболическія точки заполняютъ такія
области на поверхности, которыя разграничиваются линіями, обра-
зованными параболическими точками. Эти линіи будутъ линіями
пересѣченія данной поверхности съ поверхностью гі — 52 = 0
(ср. съ § 604).

664.	Указательница (индикатриса) Дюпена (СЬ. Пиріп).
Чтобы ближе разсмотрѣть, что происходитъ въ окрестности съ точ-
ками двухъ различныхъ родовъ, помѣстимъ начало координатъ въ
точку М, а ось з-овъ направимъ по нормали къ поверхности.
Знакъ выраженія гі — 52 при этомъ не измѣнится, потому что, какъ
мы видѣли, этотъ знакъ характеризуетъ такія геометрическія свой-
ства поверхности, которыя отъ выбора координатныхъ осей, оче-
видно, не зависятъ. При сдѣланномъ выборѣ мы будемъ имѣть
р = Ъ и </ = 0 (§ 659) и въ смежности съ точкою М данная поверх-
ность уподобляется параболоиду з = | (гх2 + 25ху + /у2), эллип-
тическому при гі — 52 > 0, гиперболическому при гі — 52 < 0.
Соприкасающіяся прямыя будутъ тѣ именно, мнимыя или веществен-
ныя, прямолинейныя образующія параболоида, которыя лежатъ въ
плоскости з = 0. Если гі — 52=0, то М — параболическая точка
и параболоидъ обращается въ параболическій цилиндръ. Пересѣчемъ
теперь поверхность двумя плоскостями з = + I, параллельными ка-
сательной плоскости (з = 0) и безконечно къ ней близкими. Урав-
ненія сѣченій будутъ

Г X2 + 25 ху + іу2

') См. дальше § 665.
и изображаютъ либо пару эллипсовъ (одинъ вещественный, другой
мнимый), либо пару дополнительныхъ гиперболъ, смотря по тому,
будетъ ли точка М эллиптическая или гиперболическая. Проекти-
руемъ эти сѣченія на касательную плоскость и представимъ себѣ
ихъ растянутыми по направленію изъ центра, такъ, чтобы ихъ
уравненіе обратилось въ уравненіе гя?2-|- 2зху -(-/уг = + 1. Веще-
ственная часть этой пары коническихъ сѣченій называется указа-
тельницею или индикатрисою Дюпена *). Она пересѣкается
каждымъ діаметромъ въ двухъ вещественныхъ точкахъ и ея асимп-
тоты— вещественныя или мнимыя — совпадаютъ съ соприкасающи-
мися прямыми къ поверхности.

665.	Замѣчательныя кривыя на поверхности. Изъ всѣхъ
линій, которыя можно провести на поверхности, особенно замѣча-
тельны асимптотическія линіи. Это тѣ кривыя, которыя въ
каждой свой точкѣ касаются соприкасающейся прямой, т. е. асимп-
тотъ индикатрисы. Асимптотическую линію можно себѣ представить
произведенною движеніемъ точки М, которая двигается по сопри-
касающейся прямой въ М до точки М', затѣмъ по соприкасающейся
прямой въ М’ до точки М" и т. д. Если наша точка М, вмѣсто
того, чтобы двигаться послѣдовательно по соприкасающимся пря-
мымъ, т. е. постоянно тангенціально къ асимптотамъ индикатрисы,
двигалась бы постоянно тангенціально къ осямъ индикатрисы, то
описываемая ею линія была бы такъ называемая линія кривизны.
Всякая поверхность, слѣдовательно, покрыта сѣтью двухъ системъ
линій кривизны, которыя всегда вещественны. Черезъ каждую точку
поверхности проходятъ одна линія одной и одна линія другой си-
стемы, пересѣкаясь притомъ ортогонально. Черезъ каждую точку
поверхности проходятъ также двѣ асимптотическія линіи (веще-
ственныя или мнимыя), одинаково наклоненныя къ обѣимъ линіямь
кривизны (какъ асимптоты гиперболы къ ея осямъ), и образують
между собою, вообще, не прямой уголъ. По сдѣланному въ § 663
замѣчанію соприкасающіяся плоскости асимптотической линіи будуть
касательными плоскостями поверхности, если только не постоянно
— = 0; въ послѣднемъ случаѣ линія будетъ прямою (§ 639), отно-
сительно которой касательная плоскость всегда можетъ быть раз-
сматриваема, какъ соприкасающаяся къ ней (§ 646). Слѣдовательно,
для асимптотическихъ линій главная нормаль всегда ле
житъ въ касательной плоскости къ поверхности. Съ другой
стороны, черезъ каждую точку поверхности проходитъ безчисленное
множество кривыхъ, такъ называемыхъ геодезическихъ линій,
для которыхъ главная нормаль есть нормаль къ поверхности.
Мы увидимъ впослѣдствіи, что кратчайшій путь по поверхности
между двумя ея точками (если разстояніе между ними не превос-

*) Французскій геометръ, ученикъ знаменитаго Монжа.
ходитъ извѣстнаго предѣла) есть именно дуга геодезической линіи,
черезъ нихъ проходящей. Очевидно, прямая линія есть и геодези-
ческая и асимптотическая на всякой поверхности, потому что каждая
ея нормаль можетъ быть разсматриваема, какъ главная.

Линейчатыя поверхности.

666.	Когда прямая линія, двигаясь въ пространствѣ, послѣдо-
вательно занимаетъ простую безконечность (оо *) различныхъ поло-
женій, то она образуетъ такъ называемую линейчатую поверхность.

[ Мы говоримъ, что прямая занимаетъ <х>1 положеній, когда
коэффиціенты въ ея уравненіяхъ зависятъ лишь отъ одного неза-
висимаго параметра. Если бы эти коэффиціенты зависѣли отъ двухъ
независимыхъ параметровъ, то мы сказали бы, что она занимаетъ
<ж>2 различныхъ положеній и образуетъ конгруенцію прямыхъ,
а не линейчатую поверхность. ]

Фиксируя образующую прямую въ нѣкоторомъ положеніи д,
разсмотримъ другое ея положеніе д', безконечно близкое къ д.
Общій перпендикуляръ къ прямымъ д и д' встрѣчаетъ прямую д въ
нѣкоторой точкѣ, которая передвигается при движеніи д' и стре-
мится къ нѣкоторому предѣльному положенію съ которымъ и
совпадетъ при совпаденіи прямой д' съ д (рис. 84). Эта точка (}

называется центральною точкою образующей. Если кратчайшее
разстояніе к между двумя безконечно близкими образующими бу-
детъ безконечно малою перваго порядка относительно дуги
кривой (0) — общаго мѣста центральныхъ точекъ, то поверхность
называется косою (хѵіпсізсНіеі) (это и будетъ въ общемъ случаѣ),
а кривая (О) — ея горловою или стрикціонною линіею (8ігік-
ііопвііпіе). Если же, наоборотъ, к безконечно малая высшаго порядка,
то поверхность называется развертывающеюся (аЬхѵіскеіЬаг), а
кривая () ея ребромъ возврата (ВДсккеѣгкапіе).

667.	Положимъ, что (а, Ь, с) обозначаютъ направляющіе,
косинусы образующей, а (х,у, 2) координаты какой нибудь точки
на ней лежащей. Изъ Аналитической Геометріи извѣстно, что
уголъ ср между прямыми д и д' опредѣляется по формулѣ

зіп- ф = 2 (6дс — сдЬ]~ = (1>дс - сдЬ)- + (еда - а<5с)2 4- (лд Ь — Ьда)2.

гдѣ символъ д обозначаетъ приращенія входящихъ сюда величинъ
при переходѣ отъ д къ д'. Но Л есть проекція отрѣзка между
точками (х, у, з) и (х + дх, _у + <5у, з -ф на общій къ пря-
мымъ д и д' перпендикуляръ, а направляющіе косинусы этого пер-
пендикуляра пропорціональны числамъ Ьдс — сдЬ, еда — адс>
адЬ — Ьда, поэтому /г опредѣляется формулою

		а	<5 а	<5 х
	ѵ-, Ь д с — с д Ь	1	Ь		д ѵ
	11	/	.	О то • - ".'			
	8111 (р	81Пф			
		С	дс	дх
или короче	іі зіп ср = [а, да,	<5.ѵ],		

гдѣ

	а	д а	дх
[л, да, 6,г-| =	Ь	дЬ	ду
	с	дс	дз

Пренебрегая въ обѣихъ частяхъ равенства безконечно малыми выше
третьяго порядка, получимъ

Іі ср = [л, сіх] + 4- [а, сіа, сі-х] ф 4 [а, сРа, сіх] ф •  • .

Для того, чтобы Л было безконечно малою выше перваго порядка,
необходимо и достаточно, чтобы [«, сіа, сіх] = 0. Это равенство
и выражаетъ условіе, необходимое и достаточное, чтобы
поверхность, образуемая прямою

х-х _ у у

а Ь с

гдѣ (а, Ь, с) и (х, у, з) функціи отъ одной независимой
перемѣнной, была развертывающеюся. Слѣдуетъ замѣтить,
что это условіе не измѣнится, если замѣнимъ косинусы а, Ь, с
какими угодно пропорціональными имъ числами. Замѣтимъ еще, что
при выполненіи этого условія въ выраженіи И(р пропадутъ и члены
третьяго порядка, потому что

[а, сіа, (72.т] + [а, сРа, сіх\ = <і[а, сіа, сіх].

Слѣдовательно, въ развертывающейся поверхности кратчай-
шее разстояніе между двумя безконечно близкими обра-
зующими есть безконечно малая не ниже третьяго порядка
относительно дуги ребра возврата.
668.	Теорія кривыхъ двоякой кривизны тотчасъ дастъ намъ
примѣръ развертывающихся поверхностей. А именно, ясно, что
общее мѣсто касательныхъ къ кривой двоякой кривизны есть раз-
вертывающаяся поверхность, для которой данная кривая служитъ
ребромъ возврата, потому что если (х, у, з) есть точка на кривой,
то элементы третьяго столбца въ опредѣлителѣ [а, Ла, Лх] про-
порціональны элементамъ перваго (§ 630) и опредѣлитель равенъ
пулю. Обратно, если опредѣлитель [а, (іа, Лх] = 0, то всегда
можно на поверхности, образуемой прямою

X - х У — у 7. — г
а Ь с

найти такую кривую, касательныя которой будутъ образующими
поверхности. Дѣйствительно, координаты любой точки на образующей
можно представить формулами

X = х + аѵ, У = у -г Ьѵ, X = я -Ь сѵ,

гдѣ ѵ алгебраическая длина отрѣзка между разсматриваемою точкою
и точкою (х, у, г). Разсматривая ѵ, какъ функцію отъ той же
независимой перемѣнной, отъ которой зависятъ числа х, у, г, а, Ь, с,
мы можемъ разсматривать X, У, 2 какъ координаты точекъ нѣко-
торой кривой на данной поверхности. Направляющіе косинусы
касательной въ этой кривой въ точкѣ (X, У, 2) пропорціональны
числамъ ЛХ = Лх + ѵ Ла + аЛѵ, ЛУ = Лу ѵ ЛЬ + Ь Лѵ,
Л 2 = Лз ѵ Лс -У сЛѵ. Чтобы касательная совпала съ образующей,
необходимо и достаточно, чтобы можно было опредѣлить ѵ такъ,
чтобы эти числа были пропорціональны числамъ а, Ь, с, т. е.
чтобы было

Лх-уѵсіа Лу-\-ѵйЬ ЛзуѵЛс
а	Ъ	с

А при условіи [а, Ла, Лх] = 0 это всегда возможно, потому что
оно есть не что иное, какъ условіе совмѣстности написанныхъ двухъ
уравненій съ одною неизвѣстною ѵ. Итакъ, всякую разверты-
вающуюся поверхность можно разсматривать, какъ общее
мѣсто касательныхъ къ кривой двоякой кривизны.

[ Примѣчаніе. Въ частномъ случаѣ, эта кривая можетъ обра-
титься въ точку, черезъ которую тогда и проходятъ всѣ образую-
щія, такъ что получается коническая поверхность; эта въ свою
очередь превращается въ цилиндрическую, когда вершина конуса
удаляется въ безконечность и образующія дѣлаются параллельными
между собою.

Можно отдать себѣ отчетъ въ этомъ свойствѣ, замѣтивъ слѣ-
дующее. Если мы проведемъ черезъ д плоскость, параллельную д',
то разстояніе точки О? отъ этой плоскости будетъ равно к, а такъ-
какъ к третьяго порядка, то, вообще говоря, проведенная нами
плоскость совпадетъ съ соприкасающеюся плоскостью къ ребру
возврата въ точкѣ @ (§ 642). Чтобы доказать, что д — касательная
къ ребру возврата достаточно показать, что разстояніе между д и
проекціею точки О? на соприкасающуюся плоскость будетъ безко-
нечно малою выше перваго порядка. А такъ какъ это разстояніе
равно произведенію на безконечно малый уголъ, то теорема
и доказана.

669.	Положимъ теперь, что х, у, г обозначаютъ координаты
центральной точки и поставимъ себѣ задачей опредѣлить касательную
плоскость въ какой нибудь точкѣ М линейчатой поверхности.
Образующая д опредѣляется координатами х,у, 2 и направляющими
косинусами а, Ь, с. Всѣ эти величины, какъ уже было сказано,
будутъ функціями отъ одной независимой перемѣнной и, за которую
можно принять дугу ребра возврата или стрикціонной линіи, отсчи-
тываемую отъ произвольной начальной точки А на кривой. Точка М
на данной образующей опредѣлится тогда ея разстояніемъ ѵ отъ
центральной точки. Слѣдовательно, координаты точки М выражаются
въ двухъ параметрахъ и и ѵ формулами

X = х + аѵ, У=у + Ьѵ, 2 = г + сѵ.

Кромѣ того,

дХ	Лх	, Ла	дУ	Лу	Лѵ	д2	Лз	, Л с

•(7)	= ѵ ,	= у ѵ — ,	= у. ѵ ,

ди	Ли Ли	ди	Ли	Ли	ди	Ли Ли

„	Лх Ла Л

Если поверхность развертывающаяся, то ^ = я- = — и т- Д-,
а послѣднія формулы обращаются въ

д X ѵ ?. дУ , ѵ ц д 2 ѵі’
ди	у ди о ди	@

Вмѣстѣ съ тѣмъ направляющіе косинусу 2, 0ГС, ёѴ. нормали къ
поверхности (§ 660) будутъ пропорціональны опредѣлителямъ

д(У, 2) , д(2, X) , д(Х. У)
д (и, ѵ) д (и, ѵ) д (и, ѵ)

которые сами пропорціональны опредѣлителямъ матриссы

\ а Ь с |
л ц ѵ |

т. е. косинусамъ а, /?, у бинормали. Какъ видимъ, 2, ©Е, ©I не
зависятъ отъ ѵ. Слѣдовательно, касательная плоскость въ
точкѣ развертывающейся поверхности касается поверх-
ности вдоль всей образующей, проходящей черезъ эту
точку, иными словами, во всѣхъ точкахъ данной образующей каса-
тельныя плоскости совпадаютъ въ одну.

670.	Въ случаѣ косой линейчатой поверхности 2, 917, 97,
на основаніи тѣхъ же формулъ § 660, будутъ пропорціональны
числамъ

Ь Ріг + ѵ(Іс) — с {<Іу ^ѵ(ІЪ) = {Ь<І2 — сЛу) ѵ (Ъйс — сЛЬ) и т. д.

Въ то же время, обозначая черезъ а, /?, у направляющіе косинусы
общаго перпендикуляра къ д и д7, имѣемъ

Ьйс — сЛЬ с^а — аЛс асіЬ -ЬНа

и аналогично, обозначая черезъ 2, ѵ направляющіе косинусы
общаго перпендикуляра къ д и (2(2', также имѣемъ

Ъ<іг — ссіу сЛх—аЛг асІу — ЬсІх к

Поэтому, положивъ к = Кср, находимъ, что 2, 917, 97 пропорці-
ональны числамъ	рс-\- -^р, ѵ -)--^у и совпадаютъ съ

Л, /л, ѵ при ѵ — 0. На основаніи сказаннаго, нормали къ поверх-
ности, соотвѣтствующія значеніямъ 0 и ѵ параметра ѵ, составляютъ
между собою уголъ ф, опредѣляемый формулами

соз = 27. + 917/;. + &1ѵ, зіп = 2а + 917/? 4-97;'.

Изъ равенствъ

2	017	97	2 7. + 017/1-1-97 т

	=	= 	 = 	-1-= соз 1/
, I V-----------------------------------------. ѵ о , ѵ-1

7- 4- а ,« 4- і < ѵ 4-	7

(потому что Л2 + д2 + ѵ2 — 1,	+	+	= 0), найдемъ

2 = р. 4- -д, а} соз ѵ, 017=	соз у, 97 = (т + созі/?,

а умножая на а, /?, у и складывая, получимъ

V

т. е.

* ѵ

Эта формула, найденная Шалемъ (СЬазІез) показываетъ нижеслѣ-
дующее. Когда точка касанія, выйдя изъ начальнаго положенія на
горловой линіи, описываетъ образующую косой линейчатой поверх-
ности, то касательная плоскость поворачивается на уголъ, тангенсъ
котораго пропорціоналенъ пройденному пути. Для опредѣленія по-
ложеній безчисленнаго множества касательныхъ плоскостей въ раз-
личныхъ точкахъ одной и той же образующей достаточно знать
число 7?, которое поэтому и называется параметромъ распре-
дѣленія касательныхъ плоскостей. Чтобы интерпретировать геоме-
трическій характеръ теоремы Шаля, примемъ за ось х-овъ прямую д,
за ось ^у-овъ предѣльное положеніе общаго перпендикуляра къ пря-
мымъ д и д'; тогда уравненія нормали въ точкѣ М примутъ видъ

X = г', У— X ід чр

и формула Шаля дастъ ХХ,=КТ. Слѣдовательно, нормали къ
косой линейчатой поверхности вдоль одной и той же обра-
зующей лежатъ на поверхности гиперболическаго пара-
болоида.

671.	Обращаемся снова къ развертывающимся поверхностямъ
и замѣтимъ слѣдующее. Если кривая (М), координаты точекъ кото-
рой X, У, А опредѣляются формулами

X =- .ѵ + аѵ, У = _у-\-1)Ѵ, X — с + сѵ,

пересѣкаетъ всѣ образующія подъ прямымъ угломъ, или, какъ го-
ворятъ, будетъ ортогональною траекторіей образующихъ, то
по условію ортогональности будемъ имѣть

<7<1 X Ь(іХс<і X — Xа іі X = 0.

Но по формуламъ (7), имѣемъ

(IX =	4- --1 с! и 4- а Лѵ и т. д.

такъ что 2аііХ = сЦи -ф- ?) и условіе 2асІХ = 0 даетъ и -фг/ = сопзѣ,
т. е. <^А^-\-^М = сопзі. Отсюда слѣдуетъ, что всякая ортого-
нальная траекторія отсѣкаетъ на любыхъ двухъ образующихъ
отрѣзки, разность которыхъ равна длинѣ дуги ребра возврата
между точками касанія этихъ образующихъ*). Поэтому, если имѣемъ
гибкую нерастяжимую нить, закрѣпленную въ точкѣ А и натянутую
по ребру возврата, и будемъ постепенно свивать эту нить, удер-
живая ее постоянно натянутою, то каждая ея точка будетъ описы-
вать нѣкоторую ортогональную траекторію (Л7). На этомъ основаніи
кривыя (Л/) называютъ эвольвентами (развертками) ребра возврата,
которымъ можетъ быть какая угодно кривая.

672.	Обратно, ребро возврата называется эволютою каждой
изъ кривыхъ (717), потому что (какъ и въ плоскихъ кривыхъ) ея

*) ^лр4-С?Ш = ^АО’- О'М',	00' ^ ОМ - О'М'.
касательныя будутъ нормали кривыхъ (Л/). Изслѣдуемъ теперь,
относя все къ основному тріэдру одной изъ кривыхъ (4/), какому
условію должны удовлетворять нормали этой кривой, для того,
чтобы онѣ могли образовать развертывающуюся поверхность. Раз-
сматривая одну изъ этихъ нормалей, обозначимъ, черезъ до уголъ,
образуемый ею съ главною нормалью, тогда направляющіе косинусы
разсматриваемой нормали опредѣлятся формулами

I = а зіп ч 4 Л Соз д , т = зіп <р + ,и соз 7, « = ;• зіп <р + р соз ір,

а формулы

Г — а соз ф — / зіп <р, іи' = /У соз ір — зіп у , и'= ~р с<хгр‘ — '' 8>п ір

опредѣлятъ косинусы другой нормали, которая вмѣстѣ съ первою
и съ касательною образуетъ ортогональный тріэдръ, удовлетво-
ряющій условію

а	V	/	|

!	Ь	т'	т	= 1 .

!

;	с	и	п	і

Но мы уже видѣли (§ 667), что разсматриваемая нормаль, при
передвиженіи точки М по кривой (Л/) образуетъ развертывающуюся
поверхность тогда и только тогда, когда [/, <•//, л] = 0. Замѣчая,
что сіі = (а соз (р — Лзіп до) сі(р 4- зіп (р ііа 4 соз і/ Нк и пользуясь
формулами Френе (§§ 635, 636)	= Л?;, сГ/, = — <76 — аг), найдемъ

41= Г (<і(р — 4 — ж соз ір и т. д.

Поэтому опредѣлитель [/, сіі, а] приведется къ [/, а] (сіір — г/),
т. е. къ т/ — 4до, такъ какъ [I, Г, л] = — 1. Вышеупомянутое
условіе приведется, слѣдовательно, къ Т] = сіір или

Геометрическое значеніе этого условія можно обнаружить, введя
въ разсмотрѣніе величину вращенія са разсматриваемой нормали
относительно главной. Согласно опредѣленію этой величины, данному
въ § 637, мы имѣемъ

а зіп ір, = 2). <11- = Ріц. ~ У) ~ Г = (ч — ір) зіп ср ,

откуда и = 77 — (1<р, что очевидно само по себѣ. Поэтому наше
условіе требуетъ, чтобы со было равно нулю, а это значитъ, что

*) Отсюда, между прочимъ, слѣдуетъ, что (р не равно постоянному,
если кривая не плоская, а потому ни главныя нормали, ни бинормали не
могутъ образовать развертывающейся поверхности.
въ то время, какъ нѣкоторая точка движется по кривой двоякой
кривизны, развертывающіяся поверхности описываетъ всякая ея нор-
маль, двигающаяся въ нормальной плоскости (въ которой фиксиро-
вана главная нормаль) такъ, что въ пространствѣ она передви-
гается перпендикулярно къ этой плоскости.

673.	Въ заключеніе докажемъ еще двѣ теоремы, непосред-
ственно вытекающія изъ предыдущаго:

- а) Изъ послѣдняго замѣчанія слѣдуетъ, что движеніе образую-
щей происходитъ такимъ образомъ, что соприкасающаяся плоскость
къ ребру возврата (О) всегда остается перпендикулярною къ нор-
мальной плоскости кривой (М) *). Иными словами, нормальная
плоскость къ эвольвентѣ совпадаетъ со спрямляющею
плоскостью эволюты.

Ь) Найдя одну функцію (р, удовлетворяющую условію (8),
мы получимъ безчисленное множество другихъ, удовлетворяющихъ
тому же условію, прибавивъ къ найденной функціи произвольную
постоянную. Отсюда вытекаетъ, что образующія развертываю-
щейся поверхности не перестаютъ быть таковыми, если
повернемъ ихъ всѣ на произвольный уголъ около одной
изъ ихъ ортогональныхъ траекторій. Ребра возврата полу-
чаемыхъ такимъ образомъ развертывающихся поверхностей пред-
ставляютъ безчисленное множество эволютъ данныхъ кривыхъ.

[ Примѣчаніе. Аналитическую теорію эволютъ и эвольвентъ
(развертывающихъ и развертокъ) читатель можетъ найти у Гурса
„Курсъ математическаго анализа", стр. 520, § 231, т. I.].

Огибающія поверхности.

674.	Разсмотримъ семейство поверхностей, изображаемое урав-
неніемъ у(л:, у, з, а) = 0, гдѣ а независимый перемѣнный параметръ.
Любая изъ поверхностей семейства, соотвѣтствующая данному зна-
ченію а, вообще говоря, пересѣкается съ другою, соотвѣтствующею
значенію а + к того же параметра, по нѣкоторой кривой. Эта
кривая, съ приближеніемъ к къ нулю, можетъ стремиться къ нѣко-
торому предѣльному положенію на первой поверхности. Въ этомъ
предѣльномъ положеніи она называется характеристикою данной
поверхности разсматриваемаго семейства. Общее мѣсто характери-
стикъ всѣхъ поверхностей даннаго семейства называется огибающею

*) Потому что соприкасающуюся плоскость къ кривой (()) въ точкѣ
можно разсматривать, какъ плоскость, проходящую черезъ образующую 0 Л/
и безконечно близкую точку
(Епѵеіорре) всѣхъ этихъ поверхностей. Можетъ также случиться,
что поверхности (а) и (а-\-к) не пересѣкаются, какъ бы мало к
ни было, но на поверхности (а) могутъ быть точки наибольшаго
сближенія съ поверхностью (а-\-к) (ср. съ § 619), т. е. точки,
которыя можно разсматривать, пренебрегая безконечно малыми по-
рядка, высшаго чѣмъ к, какъ точки, общія обѣимъ поверхностямъ.
Въ этихъ случаѣ характеристика поверхности (а) есть предѣльное
положеніе общаго мѣста этихъ точекъ при безконечно маломъ к.
' Съ помощью соображеній, аналогичныхъ тѣмъ, которыми мы поль-
зовались при разысканіи огибающей плоскихъ кривыхъ, тотчасъ
доказывается, что уравненіе огибающей поверхности полу-
чается черезъ исключеніе параметра а изъ уравненій /=0
и ^- = 0. Легко также доказать, что всякая поверхность се-
да

мейства касается огибающей вдоль всей своей характери-
стики. Для этого стоитъ только замѣтить, что уравненіе огиба-
ющей есть не что иное, какъ уравненіе самого семейства поверхностей
/(х,у, г, а) = 0, если въ немъ а разсматривается, какъ функція
д / п г-г

отъ координатъ, удовлетворяющая условію -^ = 0. Первыя произ-
водныя лѣвой части уравненія огибающей будутъ, слѣдовательно,

д/ ,	Ф/,	</, д/да

дх'дадх ду даду де да де

д/ д/ д/	,

и приводятся къ ” > ду ’	’ какъ и въ случаѣ а постояннаго *).

675.	Примѣры. Замѣчательный примѣръ огибающей даетъ семейство
плоскостей. Характеристика плоскости, очевидно, прямая линія, слѣдовательно,
огибающая будетъ линейчатою поверхностью, а на основаніи послѣдней тео-
ремы, она касается каждой изъ плоскостей семейства вдоль всей образу-
ющей, а потому она будетъ развертывающеюся поверхностью. Обратно, на
основаніи сказаннаго въ § 669, всякая развертывающаяся поверхность есть
огибающая соприкасающихся плоскостей нѣкоторой кривой (ребра возврата).
Исходя изъ этого, легко вывести важный аналитическій характеристическій
признакъ развертывающихся поверхностей. Уравненіе касательной плоскости
къ любой поверхности есть

/ = /А’ + ?У+ (« -.М “ ду).

Чтобы поверхность была развертывающеюся, необходимо и достаточно,
чтобы р, д, е — рх — ду были функціями одного независимаго параметра.
А для этого .необходимо и достаточно (§ 578), чтобы Якобіева матрисса
этихъ трехъ функцій имѣла всѣ миноры второго порядка, равные нулю.
Такъ какъ

др	дд	д ,	,

= г, -і = 5,	(е — рх — ду) = — (гх + яѵ),

дх	дх	дх

= й = /’ і^-м-^) = -(5* + О'),

*) Откуда и слѣдуетъ, что въ любой точкѣ характеристики касательныя
ПЛОСКОСТИ къ огибающей и огибаемой совпадаютъ.
то эта матрисса приводится къ

Г 5 Г X	I

и эквивалентна къ

5 І ЗХ + Іу |

Г	5	0 1

5	І	0 |

Чтобы всѣ миноры второго порядка были нулями, необходимо и достаточно,
чтобы гі — 52 было равно 0. Итакъ, развертывающіяся поверхности
характеризуются тѣмъ, что для нихъ гі — з2 = 0. Иными словами,
это единственныя поверхности, всѣ точки которыхъ параболическія (§ 663).
Замѣтимъ, что для косыхъ линейчатыхъ поверхностей всегда гі — 52 < 0,
потому что черезъ каждую точку ихъ всегда проходитъ вещественная асимп-
тотическая линія, а именно, прямолинейная образующая. На развертыва-
ющейся поверхности оба семейства асимптотическихъ линій совпадаютъ въ
одно — семейство прямолинейныхъ образующихъ; но, кромѣ того, существуетъ
еще одна изолированная асимптотическая линія - ребро возврата. Это не
противорѣчить ранѣе сказанному, такъ какъ легко показать (см. § 693, Ь),
что на ребрѣ возврата г, з и і обращаются въ безконечность.

676.	Положимъ теперь, что разсматривается дважды безконечная
система поверхностей, изображаемыхъ уравненіемъ /{х^у, г, а, Ь) — 0
для всевозможныхъ паръ значеній независимыхъ параметровъ а и Ь.
Фиксируемъ одну изъ этихъ поверхностей 5, соотвѣтствующую
данной парѣ значеній (а0, ?>()) параметровъ, и, выбравъ произвольно
нѣкоторую функцію (р, положимъ

Ъ = 50 + ф(я) - (р (о0).

Такимъ образомъ разсматриваемый случай сведется къ разсмотрѣн-
ному въ предыдущемъ §, и на поверхности 5 получится нѣкоторая
характеристика, сооотвѣтствующая выбранной функціи <р. Безчи-
сленному множеству функцій <р соотвѣтствуетъ безчисленное мно-
жество характеристикъ; всѣ эти характеристики проходятъ черезъ
нѣкоторыя опредѣленныя точки на поверхности 5. Дѣй-
ствительно, характеристика, соотвѣтствующая нѣкоторой функціи до,
удовлетворяетъ условію

^+^И = 0,
да д о

„	л.	с	6 /	_ д р л „

и на ней лежатъ тѣ точки .5, для которыхъ = 0, ~ = 0. Эти
точки, какъ видимъ, не зависятъ отъ выбора функцій до. Въ нашемъ
случаѣ, въ противоположность первому, на поверхности 5 не суще-
ствуетъ линіи, образующей, при переходѣ отъ 5 къ другой поверх-
ности системы, огибающую, и лишь отдѣльныя точки, общее
мѣсто которыхъ при томъ же переходѣ и будетъ огибающею
поверхностью данной системы *). Уравненіе этой огибающей полу-
чается черезъ исключеніе параметровъ а и Ь изъ уравненій

/=0,

^- = 0,
да

<>ь

= 0.

*) Ее называютъ огибающею второго рода.
И въ этомъ случаѣ огибающая касается всѣхъ огибаемыхъ.
Въ частности каждую поверхность можно разсматривать, какъ оги-
бающую ея касательныхъ плоскостей.

677.	Иногда система поверхностей задается уравненіемъ

2,	а, Ь, с, ...) = 0, при чемъ между п параметрами а, Ь, с,...
существуетъ ѵ соотношеній, гдѣ ѵ = п — 1 или п — 2, смотря по
тому, имѣемъ ли дѣло съ семействомъ поверхностей, зависящихъ
отъ одного произвольнаго параметра, или съ системою, зависящею
отъ двухъ такихъ параметровъ, или, какъ говорятъ, съ простою
или двойною безконечностью поверхностей. Чтобы и здѣсь получить
уравненіе огибающей, надо выразить, что въ матриссѣ

д.г	д±	'V
да	дЬ	д с
д<р	дір	д(р
да	дЬ	д с
ду	ду	ду
д а	дЬ	д с

всѣ миноры порядка ѵ +1 равны нулю. Такимъ образомъ получа-
ются п—ѵ уравненій и искомое уравненіе получится черезъ исклю-
ченіе п параметровъ изъ уравненія поверхности, данныхъ ѵ соот-
ношеній между параметрами, и п — ѵ полученныхъ уравненій.
Можетъ также случиться, что въ уравненіе системы или семейства
поверхностей параметры и координаты входятъ неявно, т. е. что
уравненіе это имѣетъ видъ /{и, ѵ, ію, . . .) = 0, гдѣ и, ѵ, гѵ, . . .
функціи отъ х, у, г и параметровъ; но въ этомъ случаѣ ясно, что
частныя производныя по параметру а получатся по формуламъ

<)/’	д /ди д / дѵ	д /' д гѵ

у- = ~у-~—р -у- -- + -у- -г—ь •  • и т. д.
да	ди да д ѵ да	дгѵ да

678- Упражненія, а) Найдемъ огибающую всѣхъ поверхностей, го-
мотетическихъ съ данною поверхностью /(х, у, г} = 0 относительно нѣко-
тораго центра О. Для этого сперва замѣтимъ, что если С будутъ
координаты точки С), и положимъ

^'(0=/(? + / ѵ + і(у— V),

то уравненіе Р(1) = 0 при всякомъ і изображаетъ одну изъ разсматриваемыхъ
поверхностей, и въ частности при /=1 данную поверхность. Такъ какъ
уравненіе искомой огибающей получается черезъ исключеніе і изъ уравненій
Т" (Г) = 0 и Е'(і) = 0, то оказывается, что (§ 661) эта огибающая будетъ
конусъ, описанный изъ данной точки около данной поверхности. Если дан-
ная поверхность будетъ, напримѣръ, поверхность эллипсоида, отнесенная къ
его осямъ, то, полагая

/-‘ + 2’3'	+
находимъ /'(/) = (/ 4-/о — 2/х) /2 — 2 (/0 —	/ +/0; достаточно приравнять

нулю дискриминантъ //0 — /г2 этого уравненія, чтобы получить уравненіе
описаннаго около эллипсоида конуса

б2^ с2 / V»2 й2 с2 /	\а2+^2 + с-’	)

Ь) Каналомъ называютъ поверхность, огибающую семейство шаровъ
одного и того же радіуса, центры которыхъ находятся на данной кривой.
Взявъ уравненіе поверхности шара

(X - х? + (У - у)2 + (X - г)* = Т?2,

въ которыхъ координаты центра х, у, г можно разсматривать, какъ функціи
одного параметра, а именно длины дуги линіи центровъ, и, дифференцируя
его по этому параметру, получимъ уравненіе

(9)

а (X — х) 4- Ь (У— у) 4- с(2 — 2) = О,

и видимъ, что характеристика лежитъ въ нормальной плоскости
линіи центровъ. Отсюда слѣдуетъ, что каналъ можно разсматривать, какъ
поверхность, образуемую окружностью постояннаго круга, двигающагося
въ каждое мгновеніе по направленію, перпендикулярному къ плоскости этого
круга. Уравненіе канала получимъ, исключая параметръ 5 изъ уравненія шара и
уравненія (9), въ которыхъ х,у, г, а,Ъ,с - функціи отъ 5. Аналогичнымъ обра-
зомъ поступаютъ при разысканіи огибающей любого семейства шаровъ (т. е.
системы шаровъ, въ уравненіи которыхъ всѣ коэффиціенты функціи одного
независимаго параметра). Въ правой части уравненія (9) надо будетъ поставить
вмѣсто нуля выраженіе — К . Въ общемъ случаѣ характеристика уже
не будетъ большимъ кругомъ шара и тогда только будетъ вещественною,
„	<77?	, „

когда абсолютная величина не > 1 ). Иными словами, не существуетъ
вещественной огибающей, когда увеличеніе или уменьшеніе объема шара идетъ
быстрѣе, чѣмъ передвиженіе его центра. Въ частности, когда 7? = .<? + сопзі.,
ак I

-^•=11, огибающая обращается въ кривую линію — эвольвенту линіи
центровъ (§ 671), и огибаемые шары будутъ аналогичны соприкасающимся
кругамъ плоской кривой (срав. § 626, 1). Напротивъ того, соприкасающіеся
шары кривой двоякой кривизны всегда имѣютъ огибающую поверхность,
а именно- общее мѣсто соприкасающихся круговъ данной кривой.

с Предложимъ себѣ найти огибающую (2-го рода) плоскостей
ах 4- ,8у 4- = 7, предполагая, что разстояніе I отъ начала координатъ
связано съ косинусами а, у соотношеніемъ

Р-а^ +

—?-----1____---= о .

/2 _ //2 X ;2 _ СЧ

Здѣсь а, у, / — параметры, удовлетворяющіе соотношенію (10) и слѣдую-

) Изслѣдованіе здѣсь аналогично изслѣдованію въ § 626, I.
щему: а2 у #2+ 72 = 1. Поэтому намъ нужно (§ 677) разсмотрѣть матриссу

а	$	у	О

х	у	г	1

а	іЗ	у

Р а2	Р- Ь2 Р - .с2	0

гдѣ для сокращенія положено

(/2-Я2)2-|- (/2_62)2І (/2_С2)2

При помощи извѣстныхъ преобразованій эту матриссу можно представить
въ видѣ

х 1 у 1г 1 п
а° I2 — а2 (3 ° Р-Ъ2 у° Р-с2

1	1	1	0 •

1	1	1

/2_Я2	Р—Ь2	Р — С2	0

Для того, чтобы всѣ ея миноры 3-го порядка обратились въ нуль, мы
должны имѣть

X _	1 у	1	2	1

у 0 - /2 _ й2 = 7 0 ~	= Р-Р'

Общую величину этихъ трехъ чиселъ получимъ, умножая первое на а2,
второе на /Э2, третье на у2, и складывая. Принимая во вниманіе равенство (10)
получимъ такимъ образомъ, что искомая величина есть Іа, такъ что

,	.	1 а	7 О і 1	7	,	1	7

х=1а + -^---5-—> у = 1>3 + ----Ей'—’ е=іу + -=----г,-—'

Р—а2 а	Р - Ь2 а	Р — Р а

Возвышеніемъ въ квадратъ и сложеніемъ найдемъ еще

+і 2^ - г-+А 

Поэтому можно написать

^ = ^7(/2-я2 + ^=^2 {х2+у2 + 22-а2) и т. д„

слѣдовательно,

х _ Іа	у____________ 1/3

х2 +.У2 + г2 — а2 ~Р — а2 х2 + у2 Д- г2 — № Р — Ь2’

2	Іу

х2+,у2-|- г2 — с2 I2 — с2

Умножая еще на х, у, г и складывая, находимъ уравненіе

2 х2 + у2 + г2 — а2

Іах

/2 - а2 =
которое легко приводится къ болѣе простому виду

___________________।________ьЬу________,_________с2г2 =

№ +_у2 + г2 — а2 х2 +_у2 -(- з2 — Ь2 х2 +_у2 — -г2 — с2

Искомая огибающая есть, слѣдовательно, поверхность волны (§ 384, <і).

679 *). Мы получимъ полезное приложеніе изложенной выше
теоріи, тѣмъ болѣе важное, что въ немъ заключается дополненіе
къ теоріи кривыхъ, занявшись разысканіемъ поверхностей,
огибающихъ грани основного тріэдра какой нибудь данной
кривой. Возьмемъ три уравненія

2а(Х-х) = 0, 2а(Х- х) = 0, 2Л(Х-х) = 0,

изображающія соотвѣтственно плоскости: нормальную, соприка-
сающуюся и спрямляющую. Величины х, у, . . ., /і, ѵ, въ нихъ
входящія, будутъ функціи дуги 5, удовлетворяющія извѣстнымъ
соотношеніямъ (§ 638)

Лх	Ла	2.	Ла	2.	Л2.	а	а

= а, -т' = — ’	= —' -т' =----------ит. д.

Л 8	Л 8	у	Л з	г.	Л 8	о	г

Дифференцируя по 5 уравненія разсматриваемыхъ плоскостей, полу-
чимъ соотвѣтственно

(11)	- х) = р, 2л6Ѵ-л-) = 0, 21'(Х — х)^0,

гдѣ въ послѣднемъ уравненіи положено

(12)	/' = а зіп ср 4- а соз <р, т' = Ь зіп <р + ,3 соз <у, п'= с зіп <р -|- у соз <р,

при чемъ	Разсматривая эти уравненія, приходимъ къ слѣ-

дующимъ заключеніямъ:

а)	Огибающая соприкасающихся плоскостей, какъ и слѣдовало
ожидать, есть такъ называемая развертывающаяся касательныхъ,
т. е. такая развертывающаяся поверхность, ребро возврата которой
есть данная кривая. Дѣйствительно, уравненія образующей (харак-
теристики) въ данномъ случаѣ будутъ:

2 « (V — .ѵ) = 0, 5 (V — х) = о.

Ихъ можно написать въ видѣ

.V х	У—у	2, — г

,3 т —/і у ул — ѵа а^ — 2.3

или, по формуламъ

а = Дѵ —,ау, 5 = уЛ —ѵа, с^а/^ — 2.3,

*) Этотъ § изложенъ здѣсь подробнѣе, чѣмъ въ оригиналѣ.
вытекающимъ изъ формулы (6) § 634,

X — х У - у /. г
а Ъ с

Слѣдовательно, образующія будутъ касательными къ данной кривой,
что и надо было показать

Ь)	Огибающая нормальныхъ плоскостей называется полярною
поверхностью (РоІагдеѵеІорраЫе); ея образующія суть оси со-
прикасающихся круговъ, т. е. прямыя, проходящія черезъ
центръ кривизны *) перпендикулярно къ соприкасающейся плоскости;
ихъ называютъ также полярными прямыми. Дѣйствительно, въ
данномъ случаѣ, уравненія образующей будутъ

2 а (X — х) = 0,	2 /. (X — .ѵ) = о

и, очевидно, изображаютъ прямую, перпендикулярную къ касатель-
ной (а, Ь, с) и главной нормали (Л, у, ѵ), т. е. къ соприкасаю-
щейся плоскости; кромѣ того, эта прямая проходитъ черезъ точку
х,= х + Лр, ух=у-\- г1 =	т. е. черезъ центръ кривизны

данной кривой въ точкѣ (х, у, г), такъ какъ оба уравненія ея
удовлетворяются значеніями Х — хг, У=уі, 2 = гі. Мы видѣли
(§ 673), что существуетъ безчисленное множество нормалей къ
кривой, образующихъ развертывающіяся поверхности, у которыхъ
ребрами возврата будутъ эволюты данной кривой. Нетрудно видѣть,
что всякая такая нормаль можетъ касаться ребра возврата образу-
емой ею поверхности только на полярной прямой, а отсюда тотчасъ
слѣдуетъ, что полярная поверхность будетъ также общимъ мѣ-
стомъ всѣхъ эволютъ данной кривой. Дѣйствительно, точку
касанія нормали къ эвольвентѣ можно разсматривать (пренебрегая
безконечно малыми высшаго порядка), какъ точку пересѣченія двухъ
безконечно близкихъ нормалей, очевидно, лежащую на прямой, по
которой пересѣкаются двѣ безконечно близкія нормальныя плоско-
сти, а предѣльное положеніе этой прямой и есть полярная прямая.
Впрочемъ, это заключеніе можно провѣрить и вычисленіемъ.

[Примѣчаніе. Пусть М(х,у, У) есть данная точка на данной
кривой, ММ' нормаль, образующая развертывающуюся поверх-
ность и составляющая уголъ (р съ главною нормалью Мп, точка
М' (^, г), ^) точка касанія этой нормали съ эволютою и М'Р —
перпендикуляръ къ Мп, проектирующій М' на главную нормаль.
Ясно, что М’Р параллельна бинормали МЬ, потому что лежитъ
въ нормальной плоскости и перпендикулярна главной нормали.
Надо показать, что М'Р есть полярная прямая, т. е., что Р —

*) т. е. черезъ центръ соприкасающагося круга, представляющаго,
какъ извѣстно (§ 650), пересѣченіе соприкасающагося шара съ соприкасаю-
щеюся плоскостью.
центръ кривизны, т. е., что отрѣзокъ МР = р*). Такъ какъ ММ'
есть касательная къ эволютѣ, то

І — Х ч —у~ —г
или

(I)	сІс = к($ — х), <іт] = к(у)—у), <іС^-к(С—з).

Съ другой стороны, проектируя ММ'Р на координатныя оси,
найдемъ

— х у к л у к і/ а

(И)	ч =у + к^-\- кі%<р $

= в -|- к ѵ 4- к ір у

Дифференцируя эти равенства,пользуясь формуламиФрене (§638,(11)),
и подставляя въ формулы (I), получимъ

а ----Лз + Л [гік 4-	— кк^ 4- а (Л <р) —— <1з кк 0

и два подобныхъ же уравненія, получаемыхъ отсюда замѣною
а, 2, а на Ъ, /і, Д и с, ѵ, у. Такъ какъ опредѣлитель этой системы
уравненій

| а л а
Ь ы. ;9

I с т 7

по условію (6) § 634 не равенъ нулю, то изъ этой системы получаемъ

к п ,, кІУт , ,	„

1-----= 0, 4/г +-----— (і 5 — кк = 0.

0	г

к
сі(кІ%ф)-----ііз — кк <р = 0 .

Первое уравненіе даетъ А = р, что и требовалось показать. Исклю*
чая к изъ другихъ двухъ, легко найдемъ = ------------извѣстный уже

раньше результатъ. ]

Пользуясь замѣчаніемъ, сдѣланнымъ выше (§ 673, а), можемъ
еще утверждать, что эволюты данной кривой будутъ геодезиче*
скими линіями полярной поверхности. Дѣйствительно, нормальная
плоскость эвольвенты (данной кривой) совпадаетъ съ спрямляющею
плоскостью эволюты, слѣдовательно, бинормаль послѣдней лежитъ
въ нормальной плоскости данной кривой, а потому главная нормаль
эволюты, перпендикулярная къ ММ', перпендикулярна къ этой пло«
скости, т. е. къ плоскости, касательной къ полярной поверхности.

•) См. Гурса (русскій переводъ, стр. 521).
Иными словами, главная нормаль эволюты совпадаетъ съ нормалью
къ полярной поверхности, что и требовалось показать. Составимъ,
наконецъ, уравненія ребра возврата полярной поверхности. Для
этого, какъ извѣстно, надо къ уравненіямъ образующей присоеди-
нить еще третье уравненіе, получаемое дифференцированіемъ второго.
Въ этомъ состоитъ общій способъ вывода уравненій ребра возврата,
вытекающій изъ самаго опредѣленія его, какъ кривой, къ которой
всѣ образующія будутъ касательными. Мы получимъ, такимъ обра-
зомъ, уравненія

2а(Х-х) = 0,	=	2а(Х-х) = -ъ^-

которыя даютъ для X, У, 7 значенія (^, г/, центра соприка-
сающагося шара (§ 650). Итакъ, ребро возврата полярной
поверхности есть общее мѣсто центровъ соприкасающихся
шаровъ.

с) Разсмотримъ, наконецъ, огибающую спрямляющихъ плоско-
стей. Данная кривая, очевидно, лежитъ на этой поверхности, потому
что значенія Х = х, Т—у, 7 = 2 удовлетворяютъ уравненіямъ
образующихъ 2Л(Х — .к) = 0, 21'(Х—х) = 0. На этой поверх-
ности данная кривая есть, очевидно, геодезическая линія, потому
что ея главная нормаль перпендикулярна къ спрямляющей плоскости
кривой, т. е. къ касательной плоскости разсматриваемой поверхности.
Данная кривая пересѣкаетъ образующія подъ угломъ, вообще
говоря, перемѣннымъ, но зависящимъ лишь отъ отношенія двухъ
кривизнъ у, которымъ опредѣляется уголъ <р. Если хотимъ опре-
дѣлить ребро возврата этой огибающей поверхности, то можемъ
это сдѣлать, опредѣливъ алгебраическую величину отрѣзка I,
отсѣкаемаго данною кривою на образующей, считая этотъ отрѣзокъ
отъ точки на ребрѣ возврата. Для этого замѣтимъ сперва, что изъ
уравненій образующей тотчасъ получаемъ направляющіе косинусы
ея, представивъ ея уравненія въ видѣ

X - х _ У—у 2 -з

I т п
и получаемъ

I = а соз <р — а зіп гр, т = Ь соз гр. — /9 зіп , п = с соз <р — у зіп <р.

Уравненія ребра возврата будутъ

(ИІ) 2'-(Х-х} = Ъ, ^1'(Х-х) = 0, 2<іІ'(Х-х)-2аІ'=Ѵ.

Изъ выраженій Г, т', гі имѣемъ

,,,	,,	, .	,	,	, ,	, . Гзіп <Р С08ФІ ,

аі = Іа<р зіп <раа -|~соз (р(1а = Іііср У /У —— Ч-— сіз.

I Р ь ]
,	,	,	. І51П<р СОЗф ,	, ,	,	, ІЗІПф , СОЗ 7	,

ат —та<р-\~і.і\------1-----аз, аи'—иа<р-\-ѵ —	-----I сЛѵ.

I С 1 1	I 0 г 1

а

2 а V = зіп <р.

Поэтому послѣднее изъ уравненій (III) даетъ

21(Х-Ж) = ЗІП<р,
или
/ . й?</> = зіп <р сі-ч.

Такъ какъ аі + Ьт + сп = соз <р, то д> — агс ~ и будетъ уголъ,
подъ которымъ данная кривая пересѣкаетъ образующія. Изъ ска-
заннаго, между прочимъ, ясно, что только для цилиндрическихъ вин-
товыхъ линій (§ 655, с) огибающая спрямляющихъ плоскостей есть
цилиндрическая поверхность. Дѣйствительно, для этихъ линій
д>— постоянная, не равная нулю, I, т, п — также постоянныя, какъ
было показано въ § 655, с, и образующія параллельны между
собою, а ребро возврата будетъ точка въ безконечности. Обратно,
чтобы і=ж, необходимо, чтобы = 0, т. е. т = сопзі.

Кривизна.

680.	Теорема Менье (Меизпіег). Приступимъ теперь къ изу-
ченію кривизны линій на данной поверхности. Разсмотримъ кривую,
проходящую черезъ данную точку М на поверхности; пусть (а, Ъ, с)
будутъ направляющіе косинусы касательной къ этой кривой, и
<р — уголъ, образуемый ея главною нормалью съ нормалью къ по-
верхности. Возьмемъ точку М на той же кривой, безконечно
близкую къ М, и пусть Р есть проекція М' на касательную пло-
скость въ точкѣ М, а —проекція М' на касательную прямую.
Пренебрегая безконечно малыми выше 2-го порядка, мы можемъ
разсматривать М', какъ лежащую въ соприкасающейся плоскости
(§ 645), такъ что М'0 будетъ параллельна главной нормали (рис. 85),
а М'Р-, очевидно, параллельна нормали къ поверхности въ точкѣ М.
Слѣдовательно, въ треугольникѣ М'Р(^ уголъ при М' равенъ <ру
сторона М'Р имѣетъ длину (§ 663)

2/1 +/>2 +^2

а сторона М'О равна (см. § 643, выраженіе о>), если (іо обо-
2 О
значаетъ дифференціалъ, эквивалентный дугѣ ММ'. Подставляя
эти величины въ соотношеніе М'Р =	 соз (р, получаемъ

(13)

соз <р _ га2 4- 2 5 аЬ + іЬ2

Разсмотримъ теперь всѣ кривыя на поверхности, имѣющія общую
касательную въ точкѣ М, и между ними отличимъ ту, которая
лежитъ въ плоскости, опредѣляемой общею касательною (а, Ъ, с)

Рис. 85.

и нормалью къ поверхности. Эта кривая называется нормальнымъ
сѣченіемъ поверхности въ данной точкѣ М. Для всѣхъ этихъ
кривыхъ правая часть равенства (13) имѣетъ одно и то же значеніе,
поэтому то же самое можно сказать и о лѣвой. Слѣдовательно,
если ра — радіусъ кривизны нормальнаго сѣченія (ф = 0), то будемъ
имѣть
соз <р 1
----------------------= — > т. е. о = соз

Ѳ Ѳо

предполагая р0 конечнымъ. Итакъ, центръ кривизны какой
угодно кривой на поверхности въ данной точкѣ М есть
проекція на соприкасающуюся плоскость этой кривой
центра кривизны нормальнаго сѣченія поверхности, касаю-
щагося данной кривой въ точкѣ М.

681-	Примѣры, а) На шарѣ нормальныя сѣченія большіе круги и
общій ихъ центръ кривизны есть центръ шара. Отсюда, на основаніи теоремы
Менье, слѣдуетъ, что центръ кривизны всякой сферической кривой
въ данной точкѣ есть проекція центра шара на соприкасающуюся
къ данной кривой плоскость въ данной точкѣ. Это слѣдуетъ также
изъ того (§ 650), что для всякой кривой соприкасающійся кругъ есть пере-
сѣченіе соприкасающагося шара съ соприкасающейся плоскостью.
Ь) На поверхности вращенія параллельные круги будутъ, вообще,
наклонными (а не нормальными) сѣченіями. Центры ихъ кривизны лежать
на оси вращенія, а такъ какъ ихъ плоскости перпендикулярны къ этой оси,
то и центры кривизны нормальныхъ сѣченій, касающихся параллелей, будутъ
также лежать на оси. Замѣчая, что сѣченіе поверхности плоскостью, про-
веденною черезъ данную на поверхности точку М перпендикулярно къ ка-
сательной къ меридіану въ точкѣ М, будетъ, очевидно, нормальнымъ сѣче-
ніемъ, касающимся параллели въ точкѣ М, заключаемъ, что центръ кри-
визны плоскаго сѣченія поверхности вращенія, проведеннаго
перпендикулярно къ меридіану черезъ точку М, соотвѣтствую-
щій этой точкѣ, лежитъ на оси вращенія.

682.	Для асимптотической кривой, равно какъ и для всякой
кривой, касающейся ея въ точкѣ М, правая часть равенства (13)
соз ® п „

равна нулю, а потому и ----- = 0. Это соотношеніе удовлетвори-

о

ется въ каждой точкѣ асимптотической линіи, такъ какъ въ ней ф = у
(главная нормаль кривой перпендикулярна нормали къ поверхности),
а у вообще не равно нулю. Напротивъ того, для всякой кривой,
касающейся въ точкѣ М съ соприкасающеюся прямою, но имѣющей
соприкасающуюся плоскость, не совпадающую съ касательною пло-
скостью къ поверхности, до, вообще говоря, не равно нулю, а
1	л	л.

потому — должно быть равно нулю, какъ мы это уже видѣли въ
§ 613, на основаніи другихъ соображеній. Такъ, напримѣръ, всякое
сѣченіе поверхности плоскостью, проходящею черезъ одну лишь
изъ соприкасающихся прямыхъ въ точкѣ М, будетъ имѣть въ этой
точкѣ кривизну, равную нулю. Если же разсмотримъ, наоборотъ,
сѣченіе поверхности касательною плоскостью въ точкѣ М (гипер-
болической), то окажется, что каждая вѣтвь этого сѣченія бу-
детъ имѣть въ точкѣ М кривизну, равную % кривизны
асимптотической линіи, касающейся разсматриваемой вѣтви
въ точкѣ М. Эту интересную теорему Бельтрами г) мы докажемъ
въ § 704. Мы видимъ изъ сказаннаго, что теорема Менье не при-
мѣнима къ кривымъ, касательнымъ къ соприкасающимся прямымъ,
потому ли, что тогда вышеприведенное геометрическое построеніе
оказывается не выполнимымъ, или потому, что безчисленное мно-
жество кривыхъ, взаимно касающихся и имѣющихъ соприкасающуюся
плоскость, совпадающую въ данной точкѣ съ касательною пло-
скостью къ поверхности, имѣютъ различную кривизну* *).

х) „ІЧоиѵеІІез Аппаіез сіе МайіёгпаНдиез" 1865, стр. 258. См. также
«Цаііігіісііе Сеотеігіе" Е. Сезаго, стр. 223.

*) Теорема Бельтрами даетъ примѣръ такихъ кривыхъ, а именно
плоской кривой, по которой поверхность пересѣкается касательною пло-
скостью въ гиперболической точкѣ М и асимптотической линіи, касающейся
этой кривой въ той же точкѣ.
683.	Нормальная кривизна и геодезическая кривизна.
Величина , дающая кривизну нормальнаго сѣченія, касающагося
данной кривой въ данной точкѣ, называется нормальною кри-
„	„	„	,	зіп ®

визною данной кривой въ данной точкѣ, а величина - ея гео-
дезическою кривизною. Ось соприкасающагося круга (полярная

прямая) пересѣкаетъ плоскость нормальнаго
сѣченія въ нѣкоторой точкѣ Со (рис. 86), а
касательную плоскость въ нѣкоторой точкѣ С,.
Кривизны, нормальная и геодезическая, оче-
видно, измѣряются обратными величинами
отрѣзковъ МС0 и МСХ. Точки Со и Сх на-
зываются соотвѣтственно центрами, а прямыя
МСй и МСг — радіусами нормальной и
геодезической кривизны. Замѣтимъ, что гео-
дезическая кривизна есть не что иное, какъ
кривизна проекціи данной кривой на каса-
тельную плоскость. Дѣйствительно, по тео-
ремѣ Менье, на цилиндрѣ, проектирующемъ
данную кривую на касательной плоскости,
кривизна нормальнаго сѣченія, касающагося
данной кривой (равнаго проекціи данной кривой

ч	зіп <р

плоскость) равна именно , потому что нормаль
этого цилиндра перпендикулярна къ образующимъ

на касательную
къ поверхности
цилиндра, т. е.

къ нормали данной поверхности. Къ понятію о нормальной и геоде-
зической кривизнѣ всего естественнѣе приводитъ изученіе измѣненія

направленія
нормали къ

касательной. Величина ея вращенія (§ 637) относительно
поверхности равна

<и = 22<1а = е22/. = есозср.

А' величина

вращенія касательной относительно перпендикуляра къ

ней, лежащаго въ касательной плоскости и опредѣляемаго косинусами
2', ©ГС7, 2ГС7 будетъ

<,/ = 22' <1а = с 22' Л — с зіп </,.

Поэтому измѣненіе направленія касательной въ пространствѣ, т. е. е,
можно разсматривать, какъ равнодѣйствующую вращеній со и со',
отношенія которыхъ къ

а> соз <р а' зіп (р
іі з р <1 з д

и равны нормальной и геодезической кривизнѣ. Первая, слѣдова-
тельно, служитъ мѣрою болѣе или менѣе сильнаго изгибанія кривой
въ сторону отъ поверхности, а вторая—-мѣрою ея изгибанія
на поверхности. Важно замѣтить, что въ каждой точкѣ геоде-
зической линіи (<р=0) геодезическая кривизна равна нулю, а
въ каждой точкѣ асимптотической	то же самое можно

сказать о нормальной кривизнѣ. Иными словами, когда точка
движется по геодезической линіи, то можно сказать, что касательная
передвигается всегда нормально къ поверхности, а когда точка
движется по асимптотической линіи, то касательная движется тан-
генціально къ поверхности.

684.	Кривизна нормальнаго сѣченія выражается формулою

1	г а2 -4- 2 5 а Ъ -к іЬ'1

(14)		------

Чтобы получить геометрическое представленіе объ измѣненіи р,
когда сѣченіе вращается около точки М, перенесемъ начало коор-
динатъ въ точку М и направимъ ось я-овъ по нормали къ поверх-
ности; тогда р = д = с = 0. Если положимъ а = созѲ, а поэтому
/> = зіпѲ, то формула (14) приметъ видъ

(15)	— = Г СОЗ2 6 + 2 5 СОЗ 9 ЗІП 9 + I ЗІП2 9.

Отложимъ теперь на каждой касательной отъ точки М, отрѣзокъ,
равный корню квадратному изъ абсолютной величины соотвѣтствую-
щаго радіуса кривизны. Конецъ такого отрѣзка имѣетъ въ каса-
тельной плоскости координаты

х = У ± р • соз 9, у = У ± д • зіп 9,
которыя, въ силу (15), удовлетворяютъ уравненію

Г х- + 2 5 ху -|- іу1 = + 1 .

Слѣдовательно (§ 664), въ каждой данной точкѣ, при пере-
ходѣ отъ одного нормальнаго сѣченія къ другому, кривизна
измѣняется обратно пропорціонально квадрату соотвѣт-
ственнаго діаметра индикатрисы Дюпена. Въ частности, она
равна нулю для сѣченій, опредѣляемыхъ соприкасающимися прямыми,
и достигаетъ наименьшаго или наибольшаго значенія для сѣченій,
соотвѣтствующихъ осямъ индикатрисы. Эти послѣднія сѣченія назы-
1 1

ваются главными; ихъ кривизны — и ——главными кривизнами.

685.	Теорема Эйлера. Если примемъ за координатныя оси
х-овъ и у-овъ оси индикатрисы, то въ уравненіи (15) пропадетъ
членъ соз0 зіп6, а такъ какъ при 0=0 должно быть п = (у
я	1	1

а для Ѳ = —д = то будемъ имѣть — = г, — = і и, слѣдо-
2	@1	@2

вательно,

1	СО82 Ѳ 5ІП2 Ѳ

9	91	92
Въ этомъ состоитъ теорема Эйлера. Если напишемъ предыдущее
уравненіе въ одномъ изъ слѣдующихъ видовъ

. 1 1

и допустимъ для опредѣленности, что — < —, то тотчасъ увидимъ,
что всегда

1	1	1

< — 
91	О	«2

Въ эллиптическихъ точкахъ и р2 числа одинаковыхъ знаковъ,
т. е. главные центры кривизны и С2 лежатъ по одну сторону
отъ касательной плоскости. А такъ какъ, въ силу вышеупомянутаго
ограниченія р всегда должно заключаться между р, и р2, то ока-
зывается, что центры кривизны всѣхъ нормальныхъ сѣченій
лежатъ на отрѣзкѣ СіСг- Напротивъ того, въ гиперболической
точкѣ касательная плоскость отдѣляетъ Сг отъ С2, и р можетъ
быть положительнымъ и отрицательнымъ. Въ первомъ случаѣ
р >	> о, во второмъ р р, <7 0, такъ что центры кривизны

всѣхъ нормальныхъ сѣченій лежатъ внѣ отрѣзка Сг С'2-

686.	Теоремы Эйлера и Менье показываютъ, что достаточно
знать обѣ главныя кривизны для того, чтобы опредѣлить
кривизну въ точкѣ М для любой кривой, проведенной по
данной поверхности черезъ эту точку, предполагая, что соприка-
сающаяся плоскость къ этой кривой не совпадаетъ съ касательною
плоскостью къ поверхности въ точкѣ М. Поэтому весьма важно
умѣть опредѣлить главные радіусы кривизны въ данной
точкѣ на поверхности. На основаніи формулы (14) вопросъ
приводится къ нахожденію минимума и максимума трехчлена
га* + 2 заЬ 4- іЬ*. При этомъ между перемѣнными а и Ь суще-
ствуетъ соотношеніе

(16)

(1+^)я2 + 2/>?в6 + (1+^) 52= 1[,

получаемое черезъ исключеніе с изъ а* 4- Ьг + с1 = 1 и изъ условія
©ртогональности ра 4~ цЬ — с = 0. Повторяя изложенное уже при
болѣе общихъ условіяхъ вычисленіе (§ 384, с), мы видимъ, что
НВДО положить

| га +- зЬ = А[(1 Л-р^а+рцЬ],

і за 4- іЬ — к [рда -|-(1 4-у2) Ь].

Исключая /г, получаемъ еще одно уравненіе между а и Ь, которое
мѣстѣ съ (16), и служитъ для опредѣленія направленій осей инди-
трисы, а слѣдовательно, и главныхъ сѣченій. Если, наоборотъ,
исключимъ а и Ь, то получимъ уравненіе

Г - 5(1 +/>2) 5— кру
8— кру І— 5(1-|-^2)
т. е.

(18)	г/_52_[(1+?2)г_2^5 + (1+/2)^Л + (1+/2 + ?2)Л2 = 0.

Съ другой стороны, умножая первое изъ уравненій (17) на а,
второе на Ъ, и складывая получаемъ

га2 + 2заЬ += А[(1 +/2) а2 + 2/^ аб+ (1+?2) 6-'] = к.

Итакъ, число к, раздѣленное на	и будетъ наимень-

шимъ или наибольшимъ значеніемъ кривизны ~; а такъ какъ корни
кх и кг уравненія (18) связаны соотношеніями

а । * _ (1+?2)>'-2/'^5 + (1+і>2)7	, , _ ГІ-32

1	+ 2	1 +/>2 + <?2	121 +/’2+ Я2 ’

то будемъ имѣть

(19)	1	_|_ 1	= С1 + ?2) г ~2/’^5 + (1 +/>2) і '	1	= гі-з2	_

01	02	(1 _|_^>2_|_^2)І	0102	(1 + Р~ + ?2)2

Это и будутъ формулы, служащія для опредѣленія главныхъ кри-
визнъ. Полагая

2 =__—---------;	=_________ — >

У\+р2+д2	/1 + Р2 +

съ помощью легкаго вычисленія увидимъ, что формулы (19) можно
писать и въ болѣе краткомъ видѣ

(20)

а2 а ж;	= д (2,01Г)

д х ду	д (х, у)

если обозначимъ, какъ это принято, черезъ Н сумму, а черезъ К
произведеніе главныхъ кривизнъ.

687.	Остановимся на минуту на формулахъ (20) и замѣтимъ,
что въ частныхъ производныхъ, входящихъ въ эти формулы, х и у
считаются перемѣнными независимыми. Очевидно, число Н, напри-
мѣръ, можно представить также въ одной изъ слѣдующихъ формъ

аэіг д&яу а эг а 2.

ду дв дв дх

Но въ трехъ различныхъ видахъ выраженія Н частныя производныя
по одной и той же перемѣнной имѣютъ различныя значенія. Если,
напримѣръ, вмѣсто того, чтобы разсматривать г, какъ функцію отъ
х и у, хотимъ разсматривать у, какъ функцію отъ х и г, принимая
послѣднія за независимыя, и отличая скобками производныя, взятыя
въ этомъ предположеніи, то будемъ имѣть

а поэтому

л? + ^7 = Ы + р +11 ѵтт)= Ы + \дТ)'

Точно такъ же имѣемъ

а (2, 07) = а «2, 07)) _

<>(,х,У) Г> д (О, г))

Исключая производныя отъ 017 съ помощью соотношеній

32	3 017 = д&І,	32	3 017 _ 3 07 _

дх дх дх ?ду'1 ду ду

найдемъ

3(2, 017) = X 3(2, 07) = 3((2, 07)).

3(.ѵ,_у) (і д(х,у) д((х,^))

688.	Средняя кривизна. Понятіемъ о средней кривизнѣ мы
обязаны Софи Жерменъ (8орИіе Сегшаіп). Среднею кривизною на-
зывается ариѳметическое среднее \Н главныхъ кривизнъ. Чтобы
оправдать такое названіе, замѣтимъ сперва слѣдующее: если и /
обозначаютъ радіусы кривизны какихъ нибудь двухъ взаимно пер-
пендикулярныхъ нормальныхъ сѣченій, то формула Эйлера дастъ

]_
е

СО83 Ѳ । ЗІП2 Ѳ 1

01	02	0

ЗІП2 9 і СОЗ2 9
(’1	-*2

откуда путемъ сложенія получаемъ

Разсмотримъ теперь 2н касательныхъ, равномѣрно распредѣленныхъ
вокругъ точки М. Стоитъ только представить себѣ, что всѣ онѣ
раздѣлены на п паръ взаимно перпендикулярныхъ касательныхъ,
чтобы убѣдиться, что и при возрастаніи п до безконечности,
ариѳметическое среднее нормальныхъ кривизнъ всегда оста-
ется равнымъ величинѣ Н въ точкѣ М.

689.	Поверхности съ постоянною среднею кривизною играютъ
важную роль въ явленіяхъ капиллярности и были получены опыт-
нымъ путемъ физикомъ Плато (Ріаіеаи)* 1). Особенно замѣчательны

Ч См., напримѣръ, „Соигз <1е РНузідие" Латіп (3-е изд., томъ 1,
стр. 225) или 4-ю главу „Ье?опз зиг Іа саріііагііё" Н. Роіпсагё. См. также

Е. Сезаго „\аійг1ісііе Сеотеігіе", стр. 233.
поверхности, для которыхъ средняя кривизна равна нулю, т. е.
поверхности, у которыхъ въ каждой точкѣ главные радіусы кривизны
равны между собою по абсолютной величинѣ и противоположны
по знаку. Это свойство равносильно тому, что индикатриса Дюпена
приводится къ системѣ двухъ дополнительныхъ равностороннихъ
гиперболъ, что влечетъ за собою нижеслѣдующее характеристическое
свойство разсматриваемыхъ поверхностей: асимптотическія линіи
въ каждой точкѣ пересѣкаются подъ прямымъ угломъ.
Аналитически эти поверхности, на основаніи первой изъ формулъ (19),
характеризуются слѣдующимъ дифференціальнымъ уравненіемъ

(I +	+ (1 + р^і = 0.

Ихъ называютъ минимальными поверхностями вслѣдствіе того,
что всякая сомкнутая кривая, проведенная по такой поверхности,
выдѣляетъ часть поверхности, меньшую чѣмъ та, которую та же
кривая выдѣлитъ на другой поверхности, проходящей черезъ ту же
кривую. Доказательство этого свойства относится къ варіаціонному
исчисленію.

690.	Примѣры, а) Примѣръ минимальной поверхности мы тотчасъ
найдемъ между поверхностями вращенія. Мы очень скоро увидимъ, что на
этихъ поверхностяхъ одно изъ главныхъ сѣченій есть меридіанъ, а другое
касается параллели въ данной точкѣ М. Главными радіусами кривизны бу-
дутъ, слѣдовательно, радіусъ кривизны меридіана и (§ 681, Ь) отрѣзокъ,
отсѣкаемый осью вращенія на нормали къ поверхности, считаемый отъ
точки М. Для минимальной поверхности эти радіусы должны быть противо-
положны по направленію, а потому меридіанъ долженъ быть обращенъ вы-
пуклостью къ оси вращенія. Кромѣ того, онъ долженъ обладать свойствомъ,
что его центръ кривизны симметрично расположенъ относи-
тельно данной точки съ точкою пересѣченія нормали съ непо-
движною прямою. Раньше мы видѣли (§ 595,1), что такимъ свойствомъ
обладаетъ цѣпная линія, а впослѣдствіи мы увидимъ, что другія кривыя
этимъ свойствомъ обладать не могутъ. Слѣдовательно, катеноидъ есть
единственная минимальная поверхность вращенія.

Ь) Геликоидъ съ направляющею плоскостью (косой) (§ 655, Ь)
также минимальная поверхность. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ образующія
косого геликоида суть главныя нормали круговой винтовой линіи и без-
численнаго множества другихъ винтовыхъ линій, лежащихъ на концентриче-
скихъ цилиндрахъ (§ 658, Ь), то ясно, что эти винтовыя линіи изображаютъ
собою одну изъ системъ асимптотическихъ линій. Другая система изобража-
ется, какъ на всякой линейчатой поверхности, самими образующими. Убѣ-
дившись, такимъ образомъ, въ ортогональности двухъ системъ асимптотиче-
скихъ линій, мы доказали этимъ самымъ, что косой геликоидъ минимальная
поверхность. Обратно, на каждой минимальной линейчатой поверхности одна
изъ системъ асимптотическихъ линій изображается ортогональными траекто-
ріями образующихъ, и поэтому эти кривыя имѣютъ главныя нормали,
совпадающія съ образующими поверхности. Отсюда слѣдуетъ (§ 658, Ь),
что каждая изъ этихъ кривыхъ имѣетъ главныя нормали, общія съ безконеч-
нымъ множествомъ другихъ кривыхъ, и потому будетъ круговою винтовою
линіею. Слѣдовательно, поверхность (образуемая, какъ видимъ, главными
нормалями круговой винтовой линіи) есть косой геликоидъ Такимъ образомъ
получается теорема, найденная Каталаномъ: Косой геликоидъ есть един-
ственная минимальная линейчатая поверхность.
691.	Полная кривизна. Понятіемъ о полной кривизнѣ мы
обязаны Гауссу. Полною кривизною называется произведеніе глав-
ныхъ кривизнъ

Аналогія между полною кривизною поверхности и кривизною пло-
скихъ кривыхъ обнаруживается, если возьмемъ уравненіе поверхности
въ видѣ у(х, у, г) = 0 и выразимъ К черезъ частныя производныя
отъ у. А именно, на основаніи извѣстныхъ формулъ (§ 574),
находимъ

	о	д/	<>/	д/
		д х	д у	д г
	д/	З2/	32/	З2/
1	д х	д х-	дхд у	З.ѵЗ^
('22)	(17?		д2	32/	д-/
	ду	дудх	ЗУ	дудг
	д/	32/	З2/	З2/
		дгдх	дгду	З^2

Параболическія точки поверхности (§ 663) оказываются аналогич-
ными точкамъ изгиба плоскихъ кривыхъ; различіе между эллипти-
ческими и гиперболическими точками основывается исключительно
на томъ, будетъ ли К > или < 0. Слѣдуетъ упомянуть еще, что
Казорати (Сазогаіі) предложилъ еще третью мѣру кривизны по-
верхности

которая какъ будто ближе передаетъ обыкновенное понятіе о кри-
визнѣ. Не слѣдуетъ, однако, придавать слишкомъ большого значенія
разсужденіямъ о наиболѣе цѣлесообразномъ выборѣ выраженій для
мѣры кривизны. Важно въ концѣ концовъ опредѣленіе главныхъ
радіусовъ кривизны и о2, или установленіе двухъ независимыхъ
одна отъ другой функцій этихъ величинъ; и функціи (19), являю-
щіяся аналитически наиболѣе простымъ и естественнымъ путемъ,
встрѣчаются и въ важнѣйшихъ вопросахъ Геометріи и Механики.
Допустимъ, напримѣръ, что дана нѣкоторая поверхность, на которую
требуется наложить другую, безъ разрывовъ и складокъ, какъ
весьма тонкую, гибкую, но не растяжимую ткань. Гауссъ доказалъ 1)
(въ знаменитомъ мемуарѣ „Піздиізіііопез §епега1ез сігса зирегіісіаз
сигѵаз“), что необходимое условіе для возможности такого нало-
женія состоитъ въ слѣдующемъ: въ соотвѣтствующихъ точкахъ
двухъ поверхностей (т. е. въ такихъ, которыя при наложеніи должны

х) См., напримѣръ, „Саісиі сіійёгепііеі“, Воиззіпейд (стр. 298'.
совпасть) полная кривизна обѣихъ поверхностей должна
быть одинакова. Слѣдовательно, полная кривизна поверхности
въ каждой ея точкѣ представляетъ нѣчто такое, что остается неиз-
мѣннымъ при деформированіи поверхности помощью одного сгибанія.
Изъ теоремы Гаусса слѣдуетъ также, что единственныя поверхности,
на которыхъ (какъ на плоскости или на шаровой поверхности)
можно произвольную фигуру передвигать съ одного мѣста на другое,
не измѣняя ея формы, суть поверхности съ постоянною полною
кривизною. Эти поверхности называютъ кратко поверхностями
постоянной кривизны. Предыдущее замѣчаніе имѣетъ огромное
значеніе въ вопросѣ объ основныхъ аксіомахъ Геометріи.

692.	Примѣры, а) Замѣчательные примѣры поверхностей постоянной
кривизны даютъ нѣкоторыя поверхности вращенія. На шарѣ радіуса а

1 ,,

кривизна вездѣ равна . Но существуетъ безчисленное множество другихъ

поверхностей вращенія, имѣющихъ постоянную (положительную или отри-
цательную) кривизну1) Псевдосфера, т. е. поверхность, образуемая
вращеніемъ трактрисы (§ 626, С) около ея асимптоты, имѣетъ въ каждой
точкѣ кривизну, равную—^5, гдѣ а обозначаетъ постоянную длину отрѣзка

касательной между точкою касанія и асимптотою. Въ самомъ дѣлѣ, мы
знаемъ, что проекція центра кривизны на ось вращенія совпадаетъ съ
точкою пересѣченія Т касательной съ осью, между тѣмъ, какъ другой центръ
кривизны С2 лежитъ на самой оси. Но въ прямоугольномъ треугольникѣ
Т С\С2 имѣемъ

МС±  МС2 - МР, т. і йр2 = - а?.

Ь) Поверхности, которыя могутъ быть наложены на плоскость при
помощи одного сгибанія, должны имѣть кривизну, равную нулю, т. е. для
каждой точки ихъ должно быть гі — з2 = 0. Эти поверхности суть, слѣдова-
тельно, разсмотрѣнныя выше развертывающіяся поверхности (§ 675).
По Казорати единственною поверхностью съ кривизною, равною нулю, была
бы плоскость, а круговой цилиндръ имѣлъ бы кривизну, равную половинѣ
кривизны поверхности шара того же радіуса. Возвратимся, однако, къ Гаус-
сову опредѣленію кривизны и замѣтимъ, что очень важно, что геодезическія
линіи, когда онѣ представляютъ кратчайшій путь между двумя точками на
поверхности, остаются геодезическими и послѣ наложенія данной поверхности
на другую. Слѣдовательно, при развертываніи поверхности на плоскость
геодезическія линіи обращаются въ прямыя. Въ частности, всякая кривая
обращается въ прямую линіи при наложеніи ея спрямляющей развер-
тывающейся поверхности (§ 679, с) на плоскость, иными словами,
черезъ всякую кривую можно провести такую развертывающуюся поверх-
ность, при наложеніи которой на плоскость кривая обратится въ прямую.
Наоборотъ, эволюты кривой (§ 679, Ь) обращаются въ прямыя при наложеніи
полярной развертывающейся поверхности на плоскость. Замѣтимъ здѣсь
еще, что полярная поверхность плоской кривой всегда будетъ цилиндръ
и,слѣдовательно, эволюты плоской кривой суть круговыя вин-
товыя линіи.

693.	Упражненія, а) Для поверхности второго порядка съ центромъ,
отнесенной къ ея осямъ, можно вычислить полную кривизну съ помощью
формулы (22), положивъ

!) „НаііігІісЬе Сеопіеігіе", стр. 229.
Сперва замѣтимъ, что уравненіе касательной плоскости будетъ	= 1,

а разстояніе к этой плоскости отъ центра поверхности опредѣляется изъ
уравненія

± =

й2 а4 + Ъ* + сі у'

Формула (22) дастъ тогда

ІО	х у	г

_ _	к4 .г	а2	О	О	_ к4

~~	у	О	Ь2	0	~~ а2Ь2с2

г	0	0	с2

Итакъ, имѣемъ слѣдующую теорему (срав. § 595, Ь): Въ поверхностяхъ
второго порядка съ центромъ полная кривизна измѣняется про-
порціонально четвертой степени разстоянія отъ касательной
плоскости до центра.

Ь) Предложимъ себѣ теперь вычислить главныя кривизны въ любой
точкѣ М на развертывающейся поверхности. Координаты точки М можно
изобразить формулами

Х = х-\-аѵ, "У — уу-Ъѵ, 2, = е + сѵ,

въ которыхъ а, Ь, с изображаютъ направляющіе косинусы образующей,
а х, у, г координаты точки О, въ которой образующая касается ребра
возврата. Эти шесть величинъ зависятъ исключительно отъ длины дуги и
ребра возврата, а ѵ обозначаетъ длину отрѣзка ОМ. Какъ извѣстно (§ 669),
направляющіе косинусы нормали къ поверхности совпадаютъ съ косинусами
«, 3, -/ бинормали кривой (()), поэтому тотчасъ находимъ, что = —— >

д = —— , откуда слѣдуетъ

Зр _дд ор	Ь	дд _ а

дѵ дѵ ’ ди	ъу2 ди ъу2

т. е.

га 4- зЪ = за 4- іЬ = 0, г). 4- зи =-----зІ и, —>

1	г-ѵу2	ъѵу2

а слѣдовательно,
рЬ2	оаЬ * ра2

г =-------5 =----------„  і = —------,, 

ъѵу4	ъѴ'р	ъѵул

Формула (21) даетъ ЛГ = О. Этого и слѣдовало ожидать, такъ какъ мы уже
видѣли (§ 675), что въ каждой точкѣ развертывающейся поверхности гі—5г=0.
Къ тому же заключенію приводитъ также замѣчаніе, что совпаденіе обѣихъ
системъ асимптотическихъ линій въ одну систему образующихъ показываетъ,
что одно изъ главныхъ сѣченій, проходящихъ черезъ любую точку М есть
образующая, проведенная черезъ эту точку, потому что касательныя къ
этимъ сѣченіямъ должны вѣдь дѣлить пополамъ углы между соприкасаю-
щимися прямыми. Слѣдовательно, одна изъ главныхъ кривизнъ равна нулю.
Другая дается первою изъ формулъ (19) и имѣетъ значеніе

4т = — [(1 — д'-іа'2-- 2 а 3 аІ>-\- (1 - а-)//2]-= — (1 — г2 г2)	= — — •

Л 14	‘ '	1	12	‘ 'ъѵу2	ъѵу2 іи
Отсюда видно, что К = — ѵ ср, гдѣ <р есть уголъ, на который касательная
къ ребру возврата должна повернуться въ опредѣленномъ уже раньше на-
правленіи (§ 679), чтобы совпасть съ образующею развертывающейся поверх-
ности, огибающей спрямляющія плоскости. Такъ какъ длина 7? откладывается
по положительному направленію бинормали, то мы видимъ, что центры
нормальной кривизны всѣхъ ортогональныхъ траекторій обра-
зующихъ развертывающейся поверхности лежатъ на поверхно-
сти, огибающей спрямляющія плоскости ребра возврата. Къ тому
же заключенію приводитъ и замѣчаніе, что образующая огибающей спрям-
ляющія плоскости ребра возврата есть въ то же время (§§ 673, а; 679, Ь, с)
ось соприкасающихся круговъ всѣхъ ортогональныхъ траекторій. Отсюда,
принимая во вниманіе теорему Менье, мы видимъ, что упомянутая образу-
ющая встрѣчаетъ плоскости, перпендикулярныя къ образующимъ первой
поверхности, въ центрахъ кривизны соотвѣтствующихъ сѣченій вдоль этихъ
образующихъ.

694. Въ заключеніе мы обобщимъ формулы (19) такимъ
образомъ, чтобы сдѣлать ихъ непосредственно примѣнимыми къ
тому случаю, когда х, у, г даны въ видѣ функцій отъ двухъ неза-
висимыхъ перемѣнныхъ и и ѵ. Напомнимъ, что въ концѣ § 660
были даны формулы

(93) 2=_____1___ж .	1	1	3(.г,ѵ);

УаЬ-?ідУ>	УаЬ-Уйід1,	УаЬ-сід^ ѵ)

въ которыхъ

ут д х д X
дидѵ

Такъ какъ

3(2.011) = 3(2,0ТС). д (и, ѵ) =___1______1_ 3(2,0ТГ)

д(х,у) д(и,ѵ) д(х,у) УнЬ- с- д(и,ѵ)

то по второй изъ формулъ (20) получимъ

• К	= 1	= 1 3(2,011),

2 3(7/, ѵ) 0ТС д{и,ѵ) ©7 3(и, ѵ)

Умножая эти три выраженія соотвѣтственно на Й2, 0172, 0с.2 (сумма
которыхъ равна 1) и складывая, получимъ

(24)
д (и, ѵ)	д(и,ѵ)

ИЛИ

	2	32  3 и	3 2  3 ѵ
		3 917  3 и	3 017  3 ѵ
ѴаЬ-<*-К =	017		
	9с	3 97  3 и	3 07 д ѵ
Формулу (24) можно преобразовать еще такимъ образомъ, что въ
выраженіе К войдутъ явно первыя и вторыя производныя отъ
х, у, г, по и и по ѵ. Написавъ эту формулу въ видѣ

д (у, г) д (0ГС, 91)
д (и, ѵ) д (и, ѵ)

(а Ь — с2) К =

тотчасъ	увидимъ		(§ 29), что		правая	часть	равна
матриссъ		дх	д у	1	[ д2	д&К	д91
		д и	ди	д и 1	! ди	д и	ди
		дх	ду	дг	Э2		д91
		д ѵ	д ѵ	д ѵ	| д ѵ	дѵ	дѵ

произведенію

Съ другой стороны, выполняя умноженіе и принимая во вниманіе
уравненія, получаемыя дифференцированіемъ по и и по ѵ условій

ортогональности

находимъ, что элементы опредѣлителя, равнаго произведенію упо-
мянутыхъ матриссъ, будутъ

д и д и

<а

д и2

ут д х д О

——' дидѵ

е

дидѵ

е

д ѵ д и  ут д х д 2 д ѵ д ѵ		V  —• — X		дѵд  ' д2х д ѵ2		И	У аЬ — с2	
							]/ аЬ- с2	
При этомъ, для сокращенія, положено								
д .ѵ	д х	д-	х !			<) X	д х	д2 х
| д г/	д ѵ	д				<) и	д г>	О V-
а =	д у	д-	V '				ду	ду	д2 у
і д и	д ѵ	д				д и	д ѵ	д ѵ2
дг	д г	д-	г			дг	д г	д2 г
\ д и	д ѵ	д и- і				д и	д ѵ	д ѵ2
			д х	д х	д2х			
			д и	д ѵ	дидѵ ,			
	/0		д у	Э.ѵ	с	Ъ’		
	0: _		д и	д ѵ	дидѵ			
			дг	дг	д2г			
			д и	д ѵ	дидѵ '			
Слѣдовательно,
(25)

аж- е2.
(а Ь — с2)2



695. Подобнымъ же образомъ поступимъ для вычисленія Н,
исходя изъ первой формулы (20), при чемъ измѣнимъ знаки правыхъ
частей на противогіоложные для того, чтобы косинусы 2, взяты
были съ тѣми знаками, какіе для нихъ получаются изъ формулы (23)
при и=х, ѵ—у. Очевидно, имѣемъ

62 60ТГ = 6(2,.у) 6(01?;,*) =_1____1 Г6(2. у) 6(0ТГ,*)1 ит

дх + ду ~ д(х,у)	д(х.у) ~~ у аЬ-Гс? 0Е.[б(и.іО	д (и. ѵ) ] и т- д'

Слѣдовательно, ]^аЬ — с2. Н можетъ быть представлено каждою
изъ трехъ разностей

6(0^2) _ 6(0К,г) _ 6(2, V) _ 6 (01.x) ( 6(0К, х) _ 6(2,Д’),
д(и,ѵ) д(и,ѵ) ’ 6(и,г’) 6 (и, г>) 6(и, ѵ) д(и,ѵ)

дѣленныхъ соотвѣтственно на 2, 0ГСІ, умножая ихъ соотвѣт-
ственно на 22, 0ГСа, 9с2 и складывая, получимъ

ѴаЬ-с2 -Н=Уі

г	[ д(и,ѵ) д(и,ѵ)]

ИЛИ

ууу^. н = У [йг	- (эіг - эг чЯ 

л—і |у дѵ дѵ) ди \ ди ди/де]

Между тѣмъ, при помощи легкаго вычисленія найдемъ еще

™6« д у 1	! дх , д х\

°ЯС -г— — 01 у - =	с -т--Ь — 

о ѵ дѵ УаЬ—с2\^ѵ " и'

„ ду 1	( дх дх\

0ТС 3---©С у- = - ——— л з-----с Ь

ди д и У а Ь— с2 \ о ѵ 6 г//

Слѣдовательно,

/ і, і-г V’Г ,6* 62	6*32	/6* 62 , 6* 62\]

(аЬ-с2)Н= У —6 —з----------ал—л—Ьс -<-з /	~

4	[ д и д и д ѵ д г> \д и д ѵ д ѵ ди/]

и, наконецъ,
(26)

аб +	— 2 е*

(а о — с2у

Н =

Легко провѣрить, что формулы (25) и (26) приводятся къ форму-
ламъ (19), когда положимъ и=х, ѵ=у, потому что при этихъ
предположеніяхъ функціи а, Ь, с, а, Ж, (2 обращаются въ 1 —
] + ^2, Г, / И 5.
Опредѣленія и свойства замѣчательныхъ
кривыхъ на поверхности.

696.	Линіи кривизны и точки закругленія. Для опредѣ-
ленія линій кривизны (§ 665) на данной поверхности, мы имѣемъ
слѣдующее уравненіе, получаемое черезъ исключеніе к изъ урав-
неній (17) § 686, съ замѣною а и Ь на Лх и Лу

(27)

т. е.

(28)

(1 +/>2) Лх + рц Лу _р<] Лх + (1 + Лу
гЛх + 5Лу	8Лх— іЛу

/г	5 \ Лх2	II г \ ЛхЛѵ

\1+/>2 /7/ 1 + Г2 Ѵ + <7‘- 1+/>-’/ Р<1

+ и.	=о,

\Р<1 І + у/1+р-

потому что въ уравненіяхъ (17) а и Ь обозначаютъ косинусы
угловъ осей индикатрисы съ координатными осями х и у, а оси
индикатрисы въ каждой точкѣ касаются линіи кривизны. Представляя
себѣ, что />, с], г, 8, і выражены въ независимыхъ перемѣнныхъ
х и у, получаемъ изъ уравненій (28) два уравненія

(29)



Изъ этихъ уравненій, разсматриваемыхъ одно отдѣльно отъ другого,
при помощи пріема, который будетъ разъясненъ въ концѣ этого
учебника, приходимъ къ уравненіямъ двухъ системъ цилиндриче-
скихъ поверхностей, параллельныхъ оси е-овъ, пересѣкающихъ по-
верхность по линіямъ кривизны. Замѣтимъ, что уравненія (28)
удовлетворяются тождественно тогда и только тогда, когда коорди-
наты х, у, г точки М на поверхности удовлетворяютъ еще двумъ
нижеслѣдующимъ уравненіямъ

(30)

г 3 _

Г+/’2

Черезъ такую точку М проходитъ, слѣдовательно, безчисленное
множество линій кривизны. Такія точки называются точками за-
кругленія (НаЬеІрипкіе, отЬіІісв). Число ихъ, вообще говоря,
конечно. Но возможны случаи, когда онѣ заполняютъ цѣлую линію
на поверхности; это будетъ тогда, когда два уравненія (30) при-
водятся къ одному. Неопредѣленность направленій касательныхъ къ
линіямъ кривизны въ точкѣ закругленія можетъ проистекать только
изъ неопредѣленности направленій осей индикатрисы Дюпена, т. е.
изъ того, что эта индикатриса будетъ кругъ. Отсюда слѣдуетъ
(§ 664), что поверхность въ смежности съ точкою закругленія упо-
добляется шару, потому что, если передвинемъ безконечно мало
касательную плоскость въ такой точкѣ такимъ образомъ, чтобы
эта плоскость осталась перпендикулярною къ нормали, то на по-
верхности опредѣлится безконечно малое круглое сѣченіе. Это обсто-
ятельство позволяетъ тотчасъ заключить, что на эллипсоидѣ, напри-
мѣръ, находятся четыре вещественныхъ точки закругленія. Эти
точки будутъ именно точки пересѣченія поверхности съ діаметрами,
сопряженными съ двумя системами круговыхъ сѣченій эллипсоида.
Впрочемъ, можно непосредственно провѣрить, что условія (30)
равносильны условію = Дѣйствительно, изъ уравненій (19),
съ помощью простого вычисленія, получаемъ

(1+^)(1+72)
(1+/2 + ^)3

(ЬЯ

[(1+/2 + 72)	- ||) ]

откуда и видимъ, что дли существованія равенства =©2 условія (30)
необходимы и достаточны.

697.	Нормали къ поверхности, проведенныя черезъ различныя
точки нѣкоторой кривой, лежащей на этой поверхности, или, какъ
говорятъ, нормали вдоль нѣкоторой кривой, вообще, образуютъ
косую линейчатую поверхность, носящую названіе нормальной
поверхности или нормаліи (поппаііе). Спрашивается, нѣтъ ли
между безчисленнымъ множествомъ нормалій, проходящихъ черезъ
данную точку на поверхности, развертывающихся поверхностей?
Условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы нормаль въ
точкѣ М образовала развертывающуюся поверхность при движеніи
точки М на поверхности (§ 667) есть

р <ір Лх )

7 А <і.У |=С

- I 0 Лг \

Этотъ опредѣлитель равенъ

р Лр Лх 4- рЛ а
д Лц Лу + (]Лг

-10	0

Лх-^рЛг Лр |
і Лу + і]Лз Лд |

Слѣдовательно, должно

существовать уравненіе

(31)

Лх -ѴрЛг Лу~РдЛг.

Лр	Лд
но это уравненіе совпадаетъ съ уравненіемъ (27), въ чемъ тотчасъ
убѣждаемся, замѣчая, что

йв = рЛх + (] сіу, сір = г Лхз<іу, (1<; = 8(1х + і(1у.

Итакъ, черезъ каждую точку поверхности проходятъ двѣ разверты-
вающіяся нормаліи, слѣды которыхъ на данной поверхности будутъ
не что иное, какъ ея линіи кривизны. Ребра возврата всѣхъ этихъ
нормалій образуютъ поверхность съ двумя полами, которую можно
разсматривать, какъ общее мѣсто всѣхъ главныхъ центровъ
кривизны. Эта вторая поверхность представляетъ относительно пер-
вой до нѣкоторой степени аналогію съ тѣмъ, что представляетъ
эволюта кривой относительно самой кривой 1). Общее мѣсто глав-
ныхъ центровъ кривизны называется эволютою данной поверхности
и состоитъ изъ двухъ полъ: одна образуется однимъ, другая дру-
гимъ главнымъ центромъ кривизны. Данная поверхность, по отно-
шенію къ своей эволютѣ, называется эвольвентою, по аналогіи съ
кривыми линіями. Указанное выше характеристическое свойство линіи
кривизны можно формулировать слѣдующимъ образомъ: Всякая
линія кривизны есть ортогональная траекторія образую-
щихъ развертывающейся поверхности, состоящей изъ нор-
малей къ поверхности, и этимъ свойствомъ не обладаетъ никакая
другая кривая на поверхности. Отсюда не трудно вывести, если
припомнимъ одну раньше доказанную теорему (§ 673, Ь), слѣдующее
предложеніе: Если нѣкоторая линія есть линія кривизны на нѣко-
торой поверхности, то она сохранитъ тотъ же характеръ на всѣхъ
поверхностяхъ, пересѣкающихъ первую поверхность подъ постоян-
нымъ угломъ вдоль всей данной линіи. Отсюда въ частности слѣ-
дуетъ, что если нѣкоторая плоскость пересѣкаетъ данную
поверхность подъ постояннымъ угломъ, то линія пересѣ-
ченія непремѣнно будетъ линіею кривизны; и обратно,
если линія кривизны—линія плоская, то ея плоскость пе-
ресѣкаетъ поверхность подъ постояннымъ угломъ. То же
самое можно общнѣе утверждать о сферическихъ кривыхъ, потому
что на сферѣ всякая линія есть линія кривизны.

698. Формулы Родрига. Условіе, необходимое и достаточное
для того, чтобы нѣкоторая точка (х, у, г) данной поверхности
описывала линію кривизны, можно прямо написать, выражая, что
нормальная плоскость разсматриваемой кривой совпадаетъ со спрям-
ляющею плоскостью эволюты этой кривой (§ 673, а), касательныя
которой будутъ нормали къ поверхности. Слѣдовательно, мы должны
имѣть

(321	11Х '1' -	

1 >	(іі аясс лэі

і) О свойствахъ эволютъ поверхностей см. „Маійгіісѣе Оеотеігіе“,
стр. 217.
Эти формулы называются формулами Родрига. Два уравненія, ими
выражаемыя, приводятся къ одному, если примемъ во вниманіе
условіе ортогональности

С Лх + ©ГС Лу + ©Г Ле = 0.

Обратно, если условія (32) выполнены, то

Й Л2 Лх	
©ГС <7 ©ГС Лу	= о,
©г <7©с Лг	

т. е. (§ 667) нормаль къ поверхности образуетъ развертывающуюся
поверхность, и точка (х, у, г) описываетъ, слѣдовательно, линію
кривизны. Можно, впрочемъ, вывести также формулы (32) изъ по-
слѣдняго условія, потому что вызвышая предыдущее уравненіе въ
квадратъ, легко приведемъ его къ виду

(Л<ус Лу - Л?УС Лй^+ (<72 Лг - Л<УІ Лхр + (а? ©ГС Лх - Л% Лу)- = 0,

а послѣднее равенство, очевидно, разбивается на два равенства (32).
Далѣе, легко видѣть, что общая величина отношеній (32) равна,
независимо отъ знака, длинѣ соотвѣтствующаго главнаго радіуса
кривизны. Наконецъ, отъ формулъ Родрига можно придти и къ
формулѣ (31), дифференцируя равенства 2 = — ©ЕД ©ГС = —01^,
и замѣчая, что + рсі^с, (І&КдсІЖ-, а слѣдовательно, и
сІх-^рЛг и сіудйя пропорціональны сір и сід.

699. Примѣры, а) На поверхностяхъ вращенія линіями кривизны
будутъ меридіаны и параллели. Дѣйствительно, нормали къ поверхности
вдоль меридіана лежатъ въ плоскости меридіана, а нормали вдоль параллели
пересѣкаются всѣ на оси вращенія и образуютъ коническую поверхность’
Еще проще убѣдимся въ сказанномъ, замѣчая, что плоскости каждаго мери-
діана и каждой параллели пересѣкаютъ поверхность подъ постояннымъ
угломъ. Впрочемъ, найдя одну изъ системъ линій кривизны, можно опредѣ-
лить другую изъ условія ортогональности обѣихъ системъ. Двѣ системы
линій кривизны соотвѣтствуютъ двумъ поламъ эволюты поверхности. Одна
изъ нихъ образуется вращеніемъ эволюты меридіана около оси поверхности,
другая сводится (§ 681, Ь) къ самой оси. Напримѣръ, катеноидъ въ сово-
купности съ осью вращенія образуетъ эволюту псевдосферы.

Ь)	На развертывающейся поверхности каждая образующая есть
линія кривизны, потому что нормали къ поверхности вдоль образующей
лежатъ въ одной плоскости. Если повернемъ образующія на прямой уголъ
около одной изъ ихъ ортогональныхъ траекторій, то онѣ сдѣлаются нор-
малями къ поверхности, а съ другой стороны остаются образующими раз-
вертывающейся поверхности (§ 673, Ь). Такимъ образомъ прямо получаемъ,
что ортогональныя траекторіи образующихъ представляютъ вторую систему
линій кривизны. Эволюта поверхности имѣетъ одну полу на безконечности,
а другая (§ 693, Ь) есть спрямляющая развертывающаяся поверхность ребра
возврата.

с)	На огибающей семейства шаровъ (т. е. системы шаровъ, въ урав-
неніяхъ которыхъ коэффиціенты — функціи одного независимаго параметра)
линіями кривизны будутъ характеристики, потому что (§ 674) вдоль
каждой изъ нихъ нормали къ поверхности будутъ радіусы огибаемыхъ
шаровъ, пересѣкающіеся въ центрѣ Сх. Отсюда слѣдуетъ, что одинъ изъ
главныхъ центровъ кривизны есть точка Сг

(рис. 87). Второй главный центръ кривизны, для
того случая, когда имѣемъ дѣло съ поверхностью
канала (§ 678, Ь), опредѣлится изъ того замѣ-
чанія, что онъ находится на ребрѣ возврата раз-
вертывающейся поверхности, образуемой нор-
малью къ линіи центровъ, и слѣдовательно,
долженъ находится (§ 679, Ь; на оси соприка-
сающагося круга этой кривой. Поэтому главные
радіусы кривизны будутъ

о,= 7?, р,= 7? — —'	>

СОЗ ([:

что, впрочемъ, легко получить и при помощи
вычисленія, пользуясь формулами (19) и полагая
2 л (27 — х) = соя <р, или еще проще, положивъ

и = 5, і' = <р, и примѣняя формулы (25} и (26).

Замѣтимъ, наконецъ, что эволюта канала состоитъ изъ полярной поверх-

ности линіи центровъ и самой этой кривой.

700.	Геодезическое крученіе. Найденное въ § 697 харак-
теристическое свойство линіи кривизны находится въ тѣсной связи
съ понятіемъ о геодезическомъ крученіи. Это понятіе введено
было Бертраномъ съ цѣлью дать мѣру вращательной составляющей

въ движеніи касательной плоскости, при перемѣщеніи точки касанія
по направленію касательной. Естественно принять за мѣру этого
вращенія отношеніе угла, на который повернется проекція нормали
къ поверхности на нормальную плоскость, къ г/о (дифференціалу
дуги кривой). Мы уже видѣли (въ § 672), что этотъ уголъ равенъ
сіу. Вышеупомянутое отношеніе

_ 1	А <г

1 г	<І <
и называется геодезическимъ крученіемъ. Ясно, что характеристиче-
ское свойство линій кривизны, о которомъ идетъ рѣчь, можетъ
быть выражено тѣмъ, что для линіи кривизны геодезическое крученіе
во всякой ея точкѣ равно нулю (см. § 672). Слѣдовательно, геоде-
зическое крученіе имѣетъ для линій кривизны то же значеніе, какое
нормальная кривизна (§ 683) имѣетъ для асимптотическихъ линій,
при этомъ, какъ нормальная кривизна, такъ и геодезическое крученіе
будутъ имѣтъ одинаковое значеніе въ данной точкѣ на всѣхъ кривыхъ,
имѣющихъ общую касательную, между тѣмъ какъ геодезическая кри-
визна для такихъ кривыхъ мѣняется при измѣненіи соприкасающейся
плоскости. Мы увидимъ также далѣе, что существуютъ извѣстныя
аналогіи между законами измѣненія нормальной кривизны и геоде-
зическаго крученія при переходѣ отъ одной изъ безчисленнаго
множества кривыхъ, проводимыхъ по поверхности черезъ данную
точку въ различныхъ направленіяхъ, къ другой. А именно, и то и
другое выражаются однородными квадратичными функціями отъ
косинусовъ, опредѣляющихъ эти направленія.

701.	Положимъ, что (а, Ъ, с) обозначаютъ направляющіе
косинусы данной касательной къ поверхности въ данной точкѣ М,
(а', Ь', с') — направляющіе косинусы другой, перпендикулярной къ
первой. Нормаль (Я, 017, 07) къ поверхности въ точкѣ М и прямая
(а , Ь', с'), очевидно, будутъ лежать въ нормальной плоскости къ
кривой, имѣющей касательную (а, Ь, с), такъ какъ въ этой пло-
скости лежатъ всѣ перпендикуляры къ (а, Ь, с). Поэтому, разсма-
тривая прямоугольный треугольникъ, у котораго гипотенуза равна
единицѣ и направлена по нормали къ поверхности въ точкѣ М,
а катеты по главной нормали Мп(к, ц, ѵ) и бинормали (а, /?, у)
къ данной кривой, и проектируя стороны этого треугольника на
координатныя оси, получимъ

2 = а ЗІП ф + Л С05 ф, ©17 = 7 ЗІП ф + ,и СОЗ ф, = 7 ЗІП ф + V СОЗ ф

(у — обозначаетъ, какъ и выше, уголъ между нормалью къ поверх-
ности и главною нормалью кривой, т. е. уголъ нашего треугольника,
прилегающій къ главной нормали). Точно также, замѣнивъ напра-
вленіе (2, 017, 07) направленіемъ (а', Ь', с'), очевидно, ему перпен-
дикулярнымъ, получимъ

а'= а соз ф — л зіп </, Ь'=,3со5<р— /ізіпф, с'= у соз ф — і> зіп ф.

Дифференцируя эти формулы по о, пользуясь формулами (11) и
выраженіемъ г, тотчасъ получимъ

,,,,<72 а	, д01с Ь .. дЭі с	.

=------соз ф — а г, —т— —--------соз ф — о г, =-----------соз ф — с т.

а о р	до о	д о і>
Это, такъ сказать, формулы Френе для ортогональной системы
трехъ направленій, опредѣляемыхъ ортогональнымъ опредѣлителемъ

а

Ь

с

а' 2

Ъ' 017

с'

Умножая формулы (33) сперва
получимъ путемъ сложенія

на а, Ь, с, затѣмъ на а', Ь', с',

СОЗ (Г Ѵ-Т А^.	.«? 2

------------------ = — У а — < 'г - - > а - 
о--------Аа	Ао

А такъ какъ 2 = — 97	017 = — 97^, то, принимая во вниманіе

условія ортогональности />«-|-— с = 0 и ра'цЬ'— с = Ъ,
получимъ изъ предыдущихъ формулъ слѣдующія:

соз о? / . <707 . ~~ Ар\ , , / <707 । -^А/р А&Х, I Ар , ,
---— —а \р—г + 07-^- +& ?ѵ-+0і: -у2 — с—т— = 97 \а-у~ + Ь	
у \ Аа Ао/ \ Ап Ао] Ап \ Ап Ап/

А А&І Ар. ] АрА. Аг/\	дѵѵ/ ,Ар , ,,Ад\

т = а I р~ Ѣ07-+ +6'	—+97-,- -с-, =9с ау~+Ь'-р\ 

Ао Аа] \ Аа Аа] Аа \ Аа Ао]

Первая формула есть не что иное, какъ извѣстная уже формула (13),
для которой, слѣдовательно, мы получили здѣсь новое доказатель-
Ар др Ах . др Ау . ,
ство, потому что	, -= аг +/>5 и т. д., вторая

•’ Ао дх Аа ду Аа
даетъ

гаа'^- 5(«6/+ Ьа'} + ІЬЬ'

(34)	т =-------—--------------

У1 +/“+<+

Это равенство можно привести къ формѣ, аналогичной формулѣ (13),
замѣчая, что по свойству опредѣлителя П, имѣемъ

а'= 017с-076 = -97 (6 + <]с) = - 97 [/•<? л-(-(1 + <72) 6],

67= 07л — 2с= 97(«+/>с)= 97 |(1+/>-) а +

Отсюда получаемъ

_ — (гя + а-6) [рда + (1 + <р)Ь] + (ял + /6) | (1 + р2) а+рдІ>]

Т ~ 1 + />2 +

и снова находимъ характеристичное для линій кривизны условіе (27),
приравнивая т нулю.

702.	Если желаемъ изучить свойства геодезическаго крученія,
то удобнѣе всего будетъ пользоваться выраженіемъ (34).

а)	Первое свойство получается тотчасъ при помощи слѣдую-
щаго замѣчанія. Замѣняя направленіе (а, Ъ, с) направленіемъ (а', Ъ', с'),
мы должны послѣднее замѣнить на (—а, — Ь, — с) для того,
чтобы Д не измѣнило своего значенія, а тогда т измѣнитъ лишь
свой знакъ. Слѣдовательно, двѣ кривыя, пересѣкающіяся подъ
прямыйъ угломъ, имѣютъ геодезическія крученія, равныя по абсо-
лютной величинѣ, но противоположныя по знаку.

Ь)	Если (а,,	с4) и (л2, 62, с2) будутъ направленія линій

кривизны, то, вслѣдствіе ихъ ортогональности, всегда можно положить

а = ах соз Ѳ +«3 зіп Ѳ, а' = — а± зіп 0 + а3 соз 0,
Ь = соз Ѳ + Ь2 зіп Ѳ, Ь'— — зіп Ѳ + Ъ3 соз 0.

Замѣчая еще, что

гаѵа2 + з (а162 +	4- іЬгЬ3 = О

(изъ формулы (34) при іг=0), и подставляя вышенаписанныя выра-
женія въ (34), получимъ формулу

(35)	г =	----—зіп 0 соз 0,

гдѣ р, и о., главные радіусы кривизны, ясно показывающую, какъ
измѣняется т при вращеніи кривой около данной точки.

, 1 1

с) Обозначимъ теперь черезъ — и — кривизны нормальныхъ
сѣченій, касающихся прямыхъ (а, Ь, с) и (а', 1/, с), т. е. нор-
мальныя кривизны первой и второй разсматриваемыхъ нами кривыхъ.
„ 1 1 ,
Величины — и выразятся, какъ извѣстно, формулами

— = (г а2 ф 2 заЬ + I //-) Эс 2,

~ = (га'2+ 2 за'Ь' + іЬ'2) 9с3.

Замѣтимъ еще, что аЪ' — а'Ь, очевидно, равно 0^, потому что
аЬ’—а’Ь есть косинусъ угла, образуемаго перпендикуляромъ къ
(«, Ъ, с) и (а', Ь', с'), т. е. нормалью къ поверхности, съ осью
г-овъ, и, какъ легко провѣрить,

(га2 + 2 заЪ + іЬ2) (га'1-}- 2 за'Ь'-}- іЬ'2) — (гаах4- з (а Ѵ+ Ьа') + іЬ Ъ')2

тождественно равно {гі — з2) (аЪ'— а'Ь), т. е. (г/— 52) 0б2. Тогда
найдемь слѣдующую важную формулу

Эгу формулу можно вывести также изъ выраженія (35) для ѵ
и формулы Эйлера. Дѣйствительно, написавъ послѣднюю въ тѣхъ
двухъ видахъ, которые указаны были въ § 685, путемъ умноженія
тотчасъ найдемъ

и 1 , 1

такъ какъ Н =-------—

о е

703.	Асимптотическія линіи. Теорема Эннепера. Разыс-
каніе асимптотическихъ линій основывается на уравненіи

(37)	г Лх2 + 2 5 Лх Лу 4- і Лу2 = 0.

Оно выражаетъ, что нормальная кривизна этихъ линій въ каждой
ихъ точкѣ равна нулю. Уравненіе (37) выражаетъ также перпенди-
кулярность главной нормали кривой и нормали къ поверхности,
потому что лѣвая его часть тождественно равна выраженію
— рНгх —	+ а?2г. Уравненіе (37) можно поэтому написать и

въ слѣдующемъ болѣе общемъ видѣ

2 Л2х + 0ТГ <Ру + 6У7 Л2г = 0.

Если х, у, г заданы, какъ функціи двухъ независимыхъ перемѣн-
ныхъ и, ѵ, и замѣтимъ, что

(Т2# = Л и2 -|- 2 & * Ли Лѵ 4- Лѵ2 и т. д.,
ди2	дидѵ	дѵ2

то послѣднее уравненіе приметъ видъ

(38)	€1 Ли2 4- 2 О Ли Лѵ 4- сВ Лѵ2 = 0

гдѣ <3, сВ, 6 имѣютъ установленныя въ концѣ § 694 значенія.
Впослѣдствіи мы увидимъ, что уравненіе (37), какъ и (28), имѣющее
тотъ же видъ, характеризуетъ два семейства (съ однимъ независи-
мымъ параметромъ) поверхностей, пересѣкающихъ данную поверх-
ность по асимптотическимъ линіямъ. Впрочемъ, для изученія асимп-
тотическихъ линій на данной поверхности не неизбѣжно знать ихъ
уравненія. А именно, если извѣстны главныя кривизны, то можно,
съ помощью нѣкоторыхъ формулъ найти и кривизны асимптотиче-
скихъ линій. Не выходя за предѣлы, поставленные для настоящаго
учебника, мы не можемъ дать здѣсь доказательство одной формулы
Бонне *), выражающей первую кривизну асимптотическихъ линій
черезъ р, и о2. Относительно же крученія легко доказать слѣдую-
щую теорему Эннепера: Крученіе асимптотическихъ линій
равно корню квадратному изъ полной кривизны, взятой
съ обратнымъ знакомъ. Дѣйствительно, для асимтотическихъ

') „Моиѵеііез Аппаіез де Маіѣётаі^иез" 1865, стр. 268.
линій, какъ и вообще для всѣхъ кривыхъ, главныя нормали кото-
рыхъ вездѣ одинаково наклонены къ нормали поверхности, т. е.
для которыхъ <р = сопзѣ (что имѣетъ мѣсто и для геодезическихъ
линій) геодезическое крученіе равно абсолютному крученію. Поэтому,
такъ какъ — = -г, а — = 0, то формула (36) и даетъ

704.	Теорема Бельтрами. Въ заключеніе докажемъ теорему
Бельтрами, упомянутую въ § 682. Помѣстимъ начало координатъ
въ любой точкѣ М на поверхности; затѣмъ въ касательной пло-
скости примемъ за ось х-овъ касательную къ асимптотической линіи,
за ось д!-овъ ея главную нормаль, а ось г-овъ (нормаль къ поверх-
ности) направимъ въ отрицательную сторону по бинормали. Выве-
денныя въ § 643 формулы (19) примѣнимы ко всякой кривой,
которая касается асимптотической линіи и для которой соприкасаю-
щаяся плоскость въ точкѣ М совпадаетъ съ касательною плоскостью
на поверхности. Слѣдовательно, если (х, у, г) будутъ координаты
(и, гѵ, — ѵ) точки М', безконечно близкой къ М, на разсматри-
ваемой кривой, то

у 1	я 1

Ііт = тг— > Ііт —= = т----

х2 2. о	хл о у.

Въ частности, эти формулы справедливы для асимптотической линіи,
если въ нихъ замѣнимъ о и'« соотвѣтствующими значеніями р0 и »0,
въ точкѣ М на асимптотической линіи. Съ другой стороны, урав-
неніе поверхности въ смежности съ точкою М можно написать въ
видѣ (до членовъ 3-го порядка включительно)

г = гх2 -Н 2 аху + іу2) + кх- + • • • .

Такъ какъ, по предположенію, одна изъ соприкасающихся прямыхъ
есть ось х-овъ, то г = 0. Кромѣ того, формула (34) даетъ $ = —х).
“о
Слѣдовательно, при безпредѣльномъ приближеніи М' къ М получимъ

, е 1 у 1/1	1 \

к = Ііт —-----Ііт '-у = — -7-----

X6 Од ,Ѵ- I О \ О Ъ Сд )

Въ частности, когда М' приближается къ М по асимптотической

линіи, находимъ к = —	— • Изъ сравненія двухъ выраженій к

3 20^0

находимъ интересную формулу Бонне

которая заключаетъ въ себѣ, какъ частный случай (при оо),
теорему Бельтрами.

х) Эти значенія г и 5 даютъ новое доказательство теоремы Эннепера,
потому ЧТО К=ГІ— 52 = —І'%2.
705.	Геодезическія линіи; формулы Вейнгартена. Опре-
дѣленіе геодезическихъ линій на поверхности (главная нормаль сов-
падаетъ съ нормалью къ поверхности) (§ 665) выражается уравненіями

(39)

ах . 2 = а Оу .	=_^ а г .

а 5 а з	а з а 8' а з а з'

гдѣ 5 обозначаетъ длину дуги кривой. Надо замѣтить, что эти
уравненія, въ сущности, приводятся къ одному, потому что

а ах _ о ул ах
а з а з а з	’	' а а

откуда

а а а а а а а з аз аз а з аз а з а з

а а аз

а г а аг
аз аз аз

0с

а аг

аз аз
07

а &
а а

такъ что второе уравненіе есть слѣдствіе перваго. Впрочемъ, можно
прямо придти къ одному единственному уравненію, если, вмѣсто
того, чтобы выражать, что главная нормаль совпадаетъ съ нормалью
къ поверхности, выразимъ, что бинормаль лежитъ въ касательной
плоскости, т. е. перпендикулярна нормали къ поверхности, что прямо
даетъ уравненіе

2 2 (ау а2 г — а г а2у)—о.

Въ очень рѣдкихъ случаяхъ удается перейти отъ дифференціальныхъ
уравненій (39) къ уравненіямъ между х, у, г и двумя произволь-
ными постоянными (см. интегрированіе дифференціальныхъ уравненій),
которыя вмѣстѣ съ уравненіемъ поверхности изображаютъ дважды
безконечную систему геодезическихъ линій. Несмотря на это, можно
изучать геодезическія линіи, не зная ихъ уравненій въ конечномъ
видѣ. Для приложеній особенно важно знать ходъ геодезическихъ
линій въ весьма малой части поверхности. Помѣстимъ начало коор-
динатъ въ точку М и направимъ оси г-овъ и у-овъ по касатель-
нымъ къ линіямъ кривизны, проходящимъ черезъ М. Ось г-овъ
будетъ направлена по нормали къ поверхности, совпадающей съ глав-
ною нормалью геодезической линіи, а плоскости гМх и зМу совпа-
дутъ съ главными нормальными сѣченіями поверхности въ точкѣ М.
Разсмотримъ затѣмъ (рис. 89) дугу ММ' = о геодезической линіи,
опредѣляемую угломъ 0, образуемымъ касательною къ ней въ
точкѣ М съ осью Мх. Если, кромѣ того, проведемъ нормальное
сѣченіе, проходящее черезъ М и точку М', то получится еще дуга
другой кривой ММ'=о-\-6. Плоскость этого нормальнаго сѣченія
на практикѣ принимаютъ за соприкасающуюся плоскость геодезиче-
ской линіи въ точкѣ М, хотя, конечно, для того, чтобы эта пло-
скость дѣйствительно была таковою (т. е. совпала съ плоскостью,
проходящею черезъ Мп и касательную къ геодезической линіи),
ее нужно повернуть на нѣкоторый уголъ е, Отсчитывая этотъ уголъ
въ направленіи движенія часовой стрѣлки для наблюдателя, стоящаго
по оси г-овъ (главной нормали) легко найдемъ его величину, замѣ-
тивъ, что 1§е =— гдѣ и и ѵ (§ 643) обозначаютъ разстоянія
точки М' отъ нормальной и отъ соприкасающейся плоскости.
Прилагая формулы (19) § 643, съ замѣною въ нихъ сіз на о,
а2	,

тотчасъ найдемъ е ==	, т. е. уголъ вращенія е безконечно

малая второго порядка относительно а. Это заключеніе, столь
простое, которое, впрочемъ, можно было предвидѣть, составляетъ
тѣмъ не менѣе, одну изъ основныхъ теоремъ Геодезіи. Въ практикѣ

принято также, и съ еще большимъ правомъ, пренебрегать числомъ <5,
т. е. считать дугу ММ’ нормальнаго сѣченія за дугу геодезической
линіи. Это оправдывается доказательствомъ того, что б = ае2,
такъ что разность между обѣими дугами оказывается без-
конечно малою пятаго порядка относительно о. Этотъ и
другіе важные результаты могуть быть выведены изъ формулъ
Вейнгартена, выражающихъ координаты х, у, г точки М' въ
зависимости отъ о и 0. По вышеупомянутымъ формуламъ (19)
§ 643 мы имѣемъ для координатъ этой точки М' относительно
реберъ основного тріэдра выраженія

о3	о3	о2 о3 <1 1 .

М = <7“6? + "'’ г,= _б0; + '"’	6
а отсюда тотчасъ получаемъ г = гѵ, и

.	. .	„ О8 /С08 8 8ІП 8 \

X = и СОЗ Ѳ — V 81П 8 = О СО8 8 — —-----------+  • ' ,

о о \ о	ъ /

. „	.	. . о3	/ зіп Ѳ соз Ѳ\ ,

у = и зіп 8 4-	ѵ соз 9	= в 8іп 9	— —---------+	• •  

6 0 \ д	г. /

Съ другой стороны, замѣчая, что для геодезической линіи <р = 0,
X	.11

слѣдовательно, геодезическое крученіе т равно —, а — равно кри-
визнѣ нормальнаго сѣченія, касающагося геодезической линіи въ
точкѣ М, съ помощью формулы (35) и теоремы Эйлера (§ 685)

1 _ соз3 0 зіп2 8

Р (?! р2
тотчасъ находимъ

соз 0 зіп 8 соз 8 зіп 8 । соз 8 _ зіп 8
р ъ рг д ъ д2

Слѣдовательно, получимъ

/	0$	\	/	\	0“

х = о — -------Ь • • • соз 9, у = а — х-----|- • • • зіп 9, в = =-Ь • • •

\ Ь р р, /	\	6 р р2 /	2. р

— формулы Вейнгартена *).

706.	Приложеніе къ поверхностямъ вращенія, а) Чтобы найти
асимптотическія линіи, выберемъ ось вращенія за ось г'-овъ и пусть г=/(х)
есть уравненіе меридіана въ плоскости (хе). Уравненіе поверхности будетъ
тогда г =/(/?), гдѣ К = Ух2 + у2. Отсюда находимъ

р =	= х<р(В). д = ^/'(7?) =у(р (Ву,

г =<Р (/?) + д (В), 5	7' (А>),	= <7 (7?) + ^- </ (7?).

Уравненіе (37) въ настоящемъ случаѣ дастъ

{Лх2 + Лу2) ср (П) 4- (х <іх + у Лу)2	= О

или, вводя въ плоскости (ху) полярныя координаты,

(ЛВ2 + В2ЛЧ2) (р (В) -|- Вср'(В) ЛВ2 = О,
а потому
гип	 лГ^/чвт

(40)	;і лв ѵ в/'{В)'

♦) Статью Вейнгартена, въ которой даны эти формулы и различныя
слѣдствія, выводимыя изъ нихъ, можно найти въ сочиненіи Зогбап’а
.НапбЬисН бег Ѵегтеззип§зкипбе“ II Тѣеіі, § 76 (изд. 1878 г.).
Проще еще получимъ это уравненіе изъ (38), такъ какъ, полагая и = К,
ѵ = 0, легко найдемъ

& = К/" (А), Ж = 7?2//(Т?), е = о.

Въ интегральномъ исчисленіи узнаемъ, что изъ уравненія (40) получается
уравненіе въ конечномъ видѣ

+ (Ѳ-Ѳ0) = А'(А),
изображающее два семейства кривыхъ, а именно проекціи асимптотическихъ
линій на плоскость (ху). Всѣ эти кривыя могутъ быть получены изъ одной
Ѳ = Г(К) при помощи зеркальнаго изображенія относительно полярной оси
и вращенія около полюса.

Ь) Лишь въ совершенно исключительныхъ случаяхъ возможно полное
опредѣленіе геодезическихъ линій. Тѣмъ не менѣе въ самомъ общемъ
случаѣ изъ уравненій (39) можно вывести замѣчательную теорему, значи-
тельно облегчающую разысканіе геодезическихъ линій на поверхности вра-
щенія и позволяющую прослѣдить ихъ ходъ. Дѣйствительно, для этихъ
линій должны имѣть мѣсто равенства

Л Лх (1 Лу	Л Лу Л Лх .

тг : х = -уг -у- ' У или х уз~ ~уг ~ У уг ~уг =
«5 «5 Лз Лз	ЛзЛз Лз Лз

слѣдовательно,

Л / Лу Лх\	. Лу	Лх

-у- .ѵ - у -у- = 0, ху----------у-;т-=с,

Лз \ Лз ~ Лз/	Лз	Л з

гдѣ с произвольная постоянная. Пусть теперь у обозначаетъ уголъ, обра-
зуемый геодезическою линіею съ меридіаномъ, и замѣтимъ, что —зіп Ѳ,
соз Ѳ, 0 будутъ направляющіе косинусы касательной къ параллели, а
Лх Лу Лз	.	„	..

-т— > -г- > -т- направляющіе косинусы касательной геодезической линіи.
Л з Л з Л з

Тогда будемъ имѣть

Лх

зіп іу = — зіп Ѳ 	+ соз Ѳ

Лз

Лу	\ ( Лу	Лх\

Л з К\Лз	Лз)

т. е. 7?зіпу)=с. Геодезическія линіи на поверхности вращенія пе-
ресѣкаютъ меридіаны подъ угломъ, синусъ котораго измѣняется
пропорціонально кривизнѣ параллели. Эта теорема, найденная Клеро,
весьма полезна въ Геодезіи. Она устанавливаетъ границы для тѣхъ областей,
которыя могутъ быть заполнены геодезическими линіями, соотвѣтствующими
данному (не равному нулю) значенію с. Дѣйствительно, К не можетъ быть
меньше с по абсолютной величинѣ. Поэтому, если будемъ передвигаться по
геодезической линіи въ томъ направленіи, въ которомъ параллельные круги
становятся все меньше и меньше, то геодезическая линія будетъ все болѣе
и болѣе уклоняться отъ меридіана и приближаться къ параллели, чтобы въ
концѣ концовъ сдѣлаться касательною къ параллели радіуса с и не имѣть
возможности за нее перейти.

707. Упражненія, а) Асимптотическія линіи косого геликоида
(§ 690, Ь) намъ уже извѣстны, но мы укажемъ здѣсь другой способъ ихъ
опредѣленія, а именно способъ, основанный на пріемѣ, изложенномъ въ § 703.

Уравненіе поверхности есть з = аѲ, гдѣ 0 = агсі§ — > сложенному съ про-
извольнымъ кратнымъ числа п. Отсюда слѣдуетъ, что

(41)

д г ау	д г ах

* дх х- + у2	д у х2 Ц-у2

Взявъ еще разъ производныя, найдемъ, что г, з, і пропорціональны соот-
вѣтственно числамъ — 2.ѵу, х-— у2, 2ху, такъ что уравненіе (37) приво-
дится къ

— ху Лх2 + (.ѵ2— у2) Лх Лу + ху Лу2 = 0.

Оно разбивается на два слѣдующихъ:

у Лх — хЛу = 0, х Лх 4 у Лу = 0.

Первое даетъ образующія (у = кх}, а второе даетъ х2 — У2 = сопаѣ Двѣ
системы асимптотическихъ линій, слѣдовательно, ортогональны, и поэтому
разсматриваемая поверхность принадлежитъ къ числу минимальныхъ, какъ
мы уже и раньше видѣли. Можно быстрѣе придти къ цѣли, положивъ и = К,
г» = Ѳ, и примѣняя уравненіе (38), которое приведется къ ЛКЛЪ=0, потому
что ДиЖ = 0, @ = -а. Слѣдовательно, асимтотическія линіи будутъ
К = сопаѣ (винтовыя линіи) и 9 = сопаѣ (образующія).

Ь)	Предложимъ себѣ найти линіи кривизны на той же поверхности.
Онѣ, очевидно, пересѣкаютъ образующія подъ угломъ въ 45°. Чтобы опре-
дѣлить ихъ аналитически, подставляемъ значенія (41) или

а . ,	а

р = — зш 9,	</ = соз 9

въ уравненіе (31). Оно приводится къ

ЛК „ I
соз 9 —

А	'

Л К .

зіп 0 Л 9

9 — соз 9 Л 9

ЛК	а2\	„ „

8Ш 5 4 1 4 соз 9 Л 9

К	\	К-/

<77?	.

соз 9 + зш 9 <79

и даетъ

<79 _	1

± лк~ у я? + аз

или 4 Л 9 = — >
зш ѵ

если положимъ К — а со(§ у. Правая часть есть дифференціалъ отъ
Іо" -ту~ (§ 292, Ь). Слѣдовательно, получимъ

вНѲ-9„) = V. , К =	(е4(Ѳ-60) _в+(9-Ѳ„))_

Всѣ эти кривыя, проекціи линій кривизны на направляющую плоскость,
можно получить, вращая спираль К = ~ (е® — е~~®) около полюса. Эта спи-
раль выходитъ изъ полюса, какъ Архимедова спираль, и имѣетъ стремленіе
обратиться на безконечности въ двѣ логариѳмическія спирали, встрѣчающія
радіусы векторы подъ угломъ въ 45°.

с)	Для опредѣленія асимптотическихъ линій катеноида, воспользуемся
формулою (40) и замѣтимъ, что функція г = /(/?) въ данномъ случаѣ неявно
опредѣляется уравненіемъ меридіана К =	(<?“ 4- е . Изъ него, взявъ

два раза производныя по К, получаемъ

1 1

/'(*) ~ 2

/'*(/?)	2 а '	+	> а*

такъ что формула (40) переходитъ въ

(IѲ Іг (7?)

-~АК= а ' °ткуда ± а (Ѳ ~ Ѳо) =/(Л)-

Отсюда видимъ, что проекціи асимптотическихъ линій на плоскость горлового
круга (КеЫкгеіз), въ полярныхъ координатахъ, изображаются уравненіемъ,
получаемымъ путемъ замѣны г черезъ + а (Ѳ — 0о) въ уравненіи меридіана

К =	(е+(9-0„) + е+ГѲ-Ѵ).

Всѣ эти кривыя получаются вращеніемъ спирали

7? = -у	,

около полюса. Слѣдовательно, достаточно знать одну асимптотическую линію,
чтобы знать всѣ. Уравненія

х = (гѳ + е~ ®) соз Ѳ, у = -у (в® + е~ ®) зіп Ѳ, г = аѲ,
изображаютъ одну изъ асимптотическихъ линій, и мы ее уже изслѣдовали въ
§ 657. Свойство этой кривой, состоящее въ томъ, что оно встрѣчаетъ па-
раллели катеноида подъ угломъ въ 45°, становится теперь очевиднымъ
Дѣйствительно, такъ какъ катеноидъ минимальная поверхность (§ 690, а),
то его асимптотическія линіи должны встрѣчать его линіи кривизны, т. е.
меридіаны и параллели подъ угломъ въ 45°. Другое свойсіво нашей кривой,
относящееся къ ея радіусу крученія, есть непосредственное слѣдствіе тео-
ремы Эннепера. Въ самомъ дѣлѣ, если обозначимъ черезъ п отрѣзокъ нор-
мали къ поверхности между точкою на поверхности и пересѣченіемъ нормали
съ осью вращенія, то главные радіусы кривизны будутъ о, = н, = -п.
Формула, данная въ концѣ § 703, тотчасъ и дастъ * = ±п.

сі) Слѣдуетъ замѣтить еще асимптотическія линіи псевдосферы
(§ 693, а). Обозначимъ черезъ у> уголъ между касательною и осью вра-
щенія, такъ что будемъ имѣть Д = азіп^, /' (К) = — соі§ у>, а потому
/"(7?) =--------------Формула (40) дастъ + = -4^- > откуда

а соз у> зіп2 у> -1	'	зіп у>

+ (Ѳ - 90) = 1о§

и, слѣдовательно,

д = __________2 "________

Й + <Ѳ-ѲО) у	— о0»

Это уравненіе изображаетъ безчисленное множество положеній, принимаемыхъ
спиралью Пуансо (Роіпзоі) К = 2 а/(е® 4- при вращеніи около полюса.
И здѣсь, для изученія всѣхъ асимптотическихъ линій псевдосферы достаточно
изслѣдовать одну изъ нихъ. Разсмотримъ ту, которая соотвѣтствуетъ урав-
ненію — Ѳ = І02	. и замѣтимъ, что

(Іг

Лх	соз2;,;

= а соз ѵ = — а —-—-
ак	зш?р

—-------Р а зіп ш.

81П Ір

Отсюда, а = — а |1о§	+ соз • Асимптотическая линія, которую мы

желаемъ разсмотрѣть, изобразится уравненіемъ

2а созѲ	2«зіп 0	/	$ —

г®-|-е~®	е®-|-	®	\	с®-]-;’”®/

Поступая такъ, какъ въ § 657, легко найдемъ з = яѲ. Итакъ, всякая (не
слишкомъ большая) дуга асимптотической линіи равна дугѣ, отсѣкаемой
меридіанами въ крайнихъ точкахъ на наибольшей параллели. Обозначимъ
теперь черезъ I, т, п направляющіе косинусы оси вращенія относительно
фундаментальнаго тріэдра кривой. Дифференцируя г, получимъ

Съ другой стороны (§ 638), имѣемъ

ЛІ _ п <7 т п

3 р	б7 5	~

а значенія ши» намъ уже извѣстны. Дѣйствительно, т = — зіп ір есть
косинусъ угла, образуемаго бинормалью (нормалью къ поверхности) съ
осью г-овъ. Кромѣ того, изъ теоремы Эннепера имѣемъ тотчасъ »=±«.
Положимъ » = а (влѣво завитая асимптотическая линія) и замѣтимъ, что
изъ второй формулы (42) вытекаетъ

Л т сі т

п = а — = —у— = соз ю зіп т.

Лз б7Ѳ ѵ ч

Отсюда, подставляя въ первую формулу (42), находимъ

а

@	2 зіп



Замѣтимъ, что въ точкѣ касанія асимптотической линіи съ наибольшею па-
раллелью радіусъ кривизны равенъ между тѣмъ, какъ по теоремѣ
Бельтрами, онъ долженъ былъ бы быть равнымъ Это несогласіе объяс-
няется тѣмъ, что вышеупомянутая параллель (общее мѣсто точекъ возврата
меридіана) есть особенная линія поверхности *).

*) Для болѣе подробнаго изученія теоріи поверхностей можно указать
на русскомъ языкѣ переводъ Дифференціальнаго исчисленія Ж. Берт-
рана, книга III, а на нѣмецкомъ переводъ сочиненія ВіапсНі. ПШегепНаІ.
Оеотеігіе. 1911 годъ.

КНИГИ ГЕДЬМЯЯ

КНИГИ СЕДЬМНЯ.

Интегральное Исчисленіе.

ИНТЕГРИРОВАНІЕ.

Основныя понятія.

708. Всякая функція, дифференціалъ которой равенъ /(х)сіх,
называется интеграломъ отъ /(х)сіх и обозначается символомъ
х. Иными словами, когда пишутъ^/(х)сіх = Е(х), то этимъ
утверждаютъ, что сі Е(х) =/(х) сіх. Такъ какъ изъ этихъ двухъ
равенствъ, исключая тотъ или другой изъ символовъ у или Е,
получаемъ

/(х)Лх = Л{ гіР(х\ = Е(х),

то видимъ, что знаки сі и § взаимно уничтожаются. Поэтому,
называя интегрированіемъ операцію, изображаемую знакомъ §
и дающую Е по данному у, можемъ сказать, что интегрированіе
есть операція, обратная дифференцированію. Намъ уже
извѣстно (§ 307, Ь), что если Е(х) есть нѣкоторая функція, имѣющая
дифференціалъ, равный/(х)сІх, то всѣ другія функціи, имѣющія тотъ
же дифференціалъ изобразятся формулою	гдѣ С произ-

вольная постоянная. Если же составимъ разность значеній, при-
нимаемыхъ на границахъ нѣкотораго интервала (а, Ь) интеграломъ
^/(х)сіх, соотвѣтствующимъ какому угодно данному значенію С,
то получимъ вполнѣ опредѣленное число, потому что при соста-
вленіи этой разности С сокращается. Эту разность (въ которой
уменьшаемое соотвѣтствуетъ верхней границѣ Ь, а вычитаемое ниж-
ней а) обозначаютъ символомъ І/(х)с1.х и называютъ опредѣ-
леннымъ интеграломъ (взятымъ въ предѣлахъ а и Ъ), въ
отличіе отъ неопредѣленнаго интеграла §/(х'уіх. Итакъ, имѣемъ

ъ

/(х) Лх = Е(х) + С, ?(х) <Ях — Л'(й) — /'"(«)•

а

Эти опредѣленія, однако, неудовлетворительны, потому что ничего
не говорятъ ни о существованіи интеграла, ни о способахъ его
вычисленія. Ихъ можно разсматривать лишь, какъ объясненія симво-
ловъ, а потому мы постараемся преобразовать ихъ въ другія, слу-
жащія опредѣленіемъ самой операціи, изображаемой этими символами.

708а. Чтобы избѣжать въ дальнѣйшихъ разсужденіяхъ различ-
ныхъ отступленій, сдѣлаемъ сперва нѣкоторыя замѣчанія о такъ
называемомъ разложеніи интервала (а, Ь) на безконечно боль-
шое число безконечно малыхъ частей, съ которыми намъ
придется имѣть дѣло. Положимъ, для опредѣленности, что а <.Ь,
и разложимъ интервалъ {а, Ь) на частные интервалы

(1)	(«, Ху), (*!, Х2), (х2, х3), . . . , (*„_!, Ь)

гдѣ числа Ху, х2......... подчинены единственному условію

(Л Л Х2 X. Лд • • • X,,__•

Числа к1 = х1 — а, к2 = х2 — Ху, кп=Ь — хп-і, положительныя
при сдѣланномъ условіи, называются длинами интерваловъ (1). Сумма
ихъ, каково бы ни было число и, всегда равна Ь—а, т. е. длинѣ
даннаго интервала {а, Б). Мы будемъ говорить, что намъ дано
разложеніе

(I)	(«, Ху, х2, .... хп_у, Ь) иіи (ку, к2,	, йи)

интервала (а, Ь) на частные интервалы ку, к2, . . . , кп- Замѣняя
рядъ чиселъ Ху, хг, . . ., хп-у какимъ нибудь другимъ рядомъ чиселъ
Ху , х2, . . ., х'п'—і, также расположенныхъ по порядку ихъ вели-
чинъ, получимъ другое разложеніе того же интервала (а, Б)

(II)	(а, Ху, х2 ,  .  , х'п,_у. Ь) или ку, к2, .... ки,

на частные интервалы ку , к2 , . . ., кп<', гдѣ кІ = х(—Хі—у при
/ = 1, 2, . . . , гі (л’/= а, х'п = Б). Продолжая такимъ образомъ, мы
получимъ нѣкоторую послѣдовательность

(1), (И). (ІИ), • . .

разложеній интервала (а, Б). Мы будемъ разсматривать лишь
такія послѣдовательности разложеній, въ которыхъ длины всѣхъ
частныхъ интерваловъ, или, какъ будемъ говорить для сокращенія
рѣчи, всѣ частные интервалы безпредѣльно убываютъ, т. е. стре-
мятся къ нулю, при чемъ, очевидно, число ихъ должно возрастать
безпредѣльно, потому что сумма ихъ всегда остается равною Ь—а.
Переходъ отъ одного разложенія такой послѣдовательности къ дру-
гому, отъ него къ третьему и т. д. и называютъ разложеніемъ
интервала (а, Ъ) на безконечно большое число безконечно
малыхъ частей. Ясно, что существуетъ безчисленное множество
различныхъ послѣдовательностей, удовлетворяющихъ поставленному
условію; это и выражаютъ, когда говорятъ, что интервалъ (а, Ь)
можно разложить на безконечно большое число безконечно малыхъ
частей безчисленнымъ множествомъ способовъ. Разсматривая числа
а и Ь, какъ абсциссы начала и конца нѣкотораго прямолинейнаго
отрѣзка АВ, мы видимъ, что л2, . . . , хя—і будутъ абсци-
сами точекъ, лежащихъ между А и В. Каждому разложенію интер-
вала {а, Ь) на частные интервалы соотвѣтствуетъ раздѣленіе отрѣзка
АВ на частные отрѣзки. Числа х2, . . . , хи_і мы будемъ назы-
вать, для краткости, точками дѣленія интервала или отрѣзка.
Разсматривая два послѣдовательныхъ разложенія, мы будемъ гово-
рить, что второе разложеніе есть продолженіе перваго, если всѣ
точки дѣленія перваго разложенія входятъ въ составъ второго, иными
словами, если второе разложеніе получается черезъ подраздѣленіе
интерваловъ (отрѣзковъ) перваго на болѣе мелкія части. Когда
даны какія нибудь два разложенія

(л, х/, х2', . • • ,	, Ь) и (а, х/', х2',  .  , х"п„__х, Ъ),

то изъ нихъ всегда можно составить такое третье

(л, л'і, х2, .... хп—Ь),

которое будетъ продолженіемъ какъ перваго, такъ и второго, под-
раздѣливъ интервалы (отрѣзки) перваго точками дѣленія второго,
или интервалы второго точками дѣленія перваго, при чемъ, оче-
видно, получается одно и то же разложеніе. Числа

Л’1, Х2,	, Хп г

будутъ не. что иное, какъ числа

•У1Л х‘>'•  • • • Х'п‘ - 1 >	Х‘і'’ • • • і х п"—1 '

расположенныя по порядку ихъ величинъ, при чемъ, конечно, если
х( = Хк", то эти два числа дадутъ только одно число хе. Ясно, что
всякій интервалъ перваго разложенія к' равенъ либо одному изъ
интерваловъ к,, либо суммѣ нѣсколькихъ интерваловъ третьяго
разложенія, и то же самое можно сказать и о каждомъ интервалѣ
второго разложенія.

709.	Перейдемъ теперь къ выясненію понятія объ опредѣлен-
ь

номъ интегралѣ ^(х)(іх, который, по опредѣленію, данному въ
а
§ 708, есть разность Е(Ь)—Е(а), если Е'(х) =/(х). Возьмемъ
какое нибудь разложеніе интервала (а, Ъ) на п частныхъ интерва-
ловъ А,, Л2, . . ., кп, гдѣ }ц=Хі — Хі—і, г'=1, 2...п, х0 = а,

хп = Ь, примѣнимъ къ каждому изъ нихъ теорему Лагранжа (§ 306).
Обозначая черезъ а,- нѣкоторое опредѣленное число, лежащее
въ интервалѣ (лг*—і, X/), получимъ (принимая во вниманіе, что
Е'(х) =/(х))

... , Л6)-7г(лги_1)=Ля/(ая);

складывая эти равенства и полагая

о = к^/іа^ + Л2/(а2) 4-   • + кп/(а„) =	,

і

получимъ

Е(Ь) - Г(а) = о.

Формула эта еще не даетъ, сама по себѣ, способа для вычисленія
разности Е(Ь) — Е(а), потому что числа аі намъ неизвѣстны. Но съ
ея помощью, мы получимъ весьма важный результатъ. Сравнимъ
сумму о съ другою суммою
п

Т = ^Ж) + к2Д у + • •  + ЛЯДЗИ) -Ж’
і

гдѣ Д обозначаетъ любое число въ интервалѣ (г, хі), и можетъ
быть выбираемо нами по произволу. Предположимъ теперь, что
функція /"(х) непрерывна въ интервалѣ (а, Ь). На основаніи теоремы
Кантора (§ 279) извѣстно, что всякому, сколько угодно малому,
положительному числу е соотвѣтствуетъ другое положительное
число г}, такое, что когда всѣ /г,, Л2, ... , кп будутъ меньше г/, то
|— /(а») I будетъ меньше е для 7=1, 2, . . . , п. Поэтому

і і = 21г‘	[ < 6'=

і	і

Замѣчая, что число е((> — а) можно сдѣлать меньшимъ любого по-
ложительнаго числа е', взявъ е<у~’ приходимъ къ слѣдующему
заключенію: Послѣдовательность значеній суммы ѵ

гі- г2.....г,„, ....

соотвѣтствующихъ любой послѣдовательности разложеній
интервала (а, Ь) на частные интервалы, стремящіеся одно-
временно къ нулю, стремится къ предѣлу, равному о, т. е.
опредѣленному интегралу

/>

Г/(х) (ІХ.
Этотъ результатъ можно формулировать болѣе кратко, не опасаясь
недоразумѣнія, послѣ всего сказаннаго выше, а именно такъ: сумма

п	Ь

т =	стремится къ предѣлу, равному ^/{х)(іх,

когда всѣ интервалы Д стремятся къ нулю, и записать этотъ
результатъ въ слѣдующемъ видѣ

И	/>

Ііт	^Дх) Лх.

Всѣ наши разсужденія основаны были на томъ: 1) что существуетъ
первообразная функція Е(х) отъ Д(х) и 2) что Дх) непрерывна
въ интервалѣ. Теперь мы отрѣшимся отъ этихъ предположеній и
ограничимъ функцію Дх) только условіемъ конечности ея въ интер-
валѣ (а, Ь).

710.	Опредѣленіе интеграла. Руководствуясь вышеизложен-
ными соображеніями, мы можемъ теперь установить нижеслѣдующее
опредѣленіе интеграла: „Разложимъ интервалъ (а, А) какимъ угодно
способомъ на частные интервалы Д, Д, ..., Д, стремящіеся
одновременно къ нулю, при чемъ число ихъ безпредѣльно возра-
стаетъ; обозначимъ черезъ Д, Д, . . . , Д какія угодно числа,
лежащія между нижнею и верхнею границами функціи Д(х) въ со-
отвѣтствующихъ интервалахъ (или совпадающія съ этими границами),
и составимъ сумму
п

Т = !і1/1 + Д./з Ѣ ' ' ' Ѣ ДЛ, = Л. ЕД

Если эта сумма всегда стремится къ одному и тому же предѣлу,
то этотъ предѣлъ называютъ опредѣленнымъ интеграломъ отъ
8

Д(х)</л', взятымъ отъ а до Ь, и обозначаютъ знакомъ Дх)сІх“.

а

Число а называютъ нижнимъ, а А верхнимъ предѣломъ интеграла.
Разсматривая затѣмъ верхній предѣлъ А, какъ число перемѣнное, и
обозначая его буквою х, получимъ опредѣленіе неопредѣленнаго
интеграла Е(х) *). Какъ въ томъ, такъ и въ другомъ случаѣ
Дх)Лх называютъ элементомъ интеграла и говорятъ, что инте-
гралъ есть сумма безконечно большого числа безконечно малыхъ
элементовъ.

[ Примѣчаніе. Точный смыслъ установленнаго здѣсь опредѣ-
ленія ^/(х)сіх, какъ видно изъ разъясненій, сдѣланныхъ въ

*) Такая терминологія не всѣми принята; неопредѣленнымъ интегра-
ломъ отъ Дх)Лх называютъ обыкновенно общее выраженіе	всѣхъ

функцій, дифференціалъ которыхъ есть Дх)Лх.
§§ 708а и 709, состоитъ въ слѣдующемъ: Если всѣ послѣдова-
тельности

(т)	т2, т3, ...

значеній суммы г, соотвѣтствующія всевозможнымъ послѣдова-
тельностямъ разложеній интервала (а, Ь), для которыхъ всѣ Л,-
стремятся къ нулю, имѣютъ одинъ и тотъ же предѣлъ, неза-
висимо отъ выбора чиселъ	въ указанныхъ границахъ, то этотъ

ь

предѣлъ и будетъ, по опредѣленію, Уу(л) Если существуетъ
упомянутый предѣлъ, то говорятъ, что функція /(х) интегрируема
въ интервалѣ (а, Ь). При выводѣ условій интегрируемости (§ 714)
и нужно имѣть въ виду вышеприведенное толкованіе опредѣленія
интеграла. ]

711.	Прежде чѣмъ перейдемъ къ выводу условій интегри-
руемости функціи /(х), замѣтимъ теперь же нѣкоторыя свойства
интеграла, вытекающія непосредственно изъ его опредѣленія, а именно:

Л	ъ

1г/(х)<іх = к ^/(х)сіх при к постоянномъ,
а	а

послѣднее равенство, очевидно, справедливо при любомъ, но конеч-
номъ, числѣ функцій и, ѵ, .... Для доказательства стоитъ только
перейти къ предѣламъ въ равенствахъ

п	п	п	п	п

^Ф!+Ѵі+   •)=	’

111 11

предполагая, конечно, что интегралы отъ /сіх, исіх, ѵсіх,  
существуютъ. Далѣе, умѣстно будетъ избавиться отъ нѣкоторыхъ
ограниченій, заключающихся въ установленномъ выше понятіи объ
интегралѣ.

а)	Чтобы избавиться отъ необходимости считать а<_Ь, усло-
вимся полагать

Это условіе вполнѣ естественно, потому что, если считать интер-
валъ Ъ—а числомъ отрицательнымъ, то и всѣ интервалы кх, кг, ... ,кп
надо считать отрицательными, между тѣмъ какъ числа /,/г, • • • >/п
остаются безъ измѣненія. Иными словами, каждый элементъ /’(х) ах
имѣетъ знакъ, одинаковый съ /(х), или противоположный, смотря
по тому, будетъ ли сіх положительнымъ или отрицательнымъ при
измѣненіи х отъ нижняго предѣла а до верхняго Ь. Теперь легко
показать, что всегда будемъ имѣть

(2)

Это свойство, очевидно, когда с лежитъ между а и Ь *); въ про-
тивномъ же случаѣ, если, напримѣръ, а<й<с, тотчасъ найдемъ,
пользуясь равенствомъ (1),

ъ

Ь)	Опредѣленіе §/(х) Лх требуетъ, чтобы /"(л) оставалась
конечною въ интервалѣ {а, &). Но это ограниченіе отпадаетъ въ
случаѣ, если /(х) = оо при х = с, съ помощью соглашенія

с)	Часто приходится также разсматривать интегралы, распро
страненные на безконечные интервалы; но ихъ надо разсма-
тривать, какъ предѣлы другихъ, распространенныхъ на конечные
интервалы. А именно, въ видѣ опредѣленій полагаютъ

Легко убѣдиться, что вышеизложенныя свойства интеграловъ при
конечномъ интервалѣ распространяются и на случай безконечнаго
интервала.

♦) Въ самомъ дѣлѣ, если интегралъ существуетъ, то мы мо-
жемъ выбирать точки дѣленія интервала («, Ь) по нашему произволу, а
поэтому можемъ сперва разложить его на два интервала (а, с) и (с, о) и
затѣмъ разлагать далѣе каждый изъ нихъ.
б) На основаніи предыдущихъ опредѣленій, нельзя, вообще
говоря, разсматривать интегралъ, распространенный на безконечный
интервалъ, какъ предѣлъ, къ которому стремится сумма безконеч-
наго ряда

^і/і + ^2/2 + ^з/з + •   >

когда всѣ Іи стремятся къ нулю. Но мы укажемъ здѣсь же одинъ
весьма общій случай, когда такое разсмотрѣніе законно. Положимъ,
что интервалъ (а, сю) разбитъ на безконечное число частныхъ
интерваловъ А,, Л2, Л3, . . . , стремящихся одновременно къ нулю,
и для каждаго интервала кі выбрано значеніе /і, лежащее между
нижнею и верхнею границами функціи /(.г) въ этомъ интервалѣ.
Положимъ, что рядъ

^171 + ^2./з + *з/з +   

сходящійся и сумма его стремится къ опредѣленному предѣлу,
когда всѣ кі стремятся къ нулю; обозначимъ этотъ предѣлъ че-
резъ р(а), такъ что

о (й) = Ііт {	+ /<2/2 +

Если о(.ѵ), составленная по тому же закону, стремится къ нулю
при возрастаніи х до оо, то можно утверждать, что

(\х) Лх = о(а).

а

Дѣйствительно, полагая кх--хх-а, кг=хі — х\, . . . , Л( = х —

и т. д., мы можемъ написать, что

0 (л) = 1ІГП ' (.?! - (7)/і + (х2 - Х^/2 + •   +	)

+ Ііт {(.г-,+1 - - л-)/і+1 + (л-і+2 - -ѵг+1)/,+2 -I-}

X

т. е. о (а) = Дх) Лх + () (л).

а

Увеличивая х до , и замѣчая, что 1ітр(.г') = 0 по условію, нахо-
димъ	ж==°

<х

1> («) = Лх.

(см. примѣръ е) въ § 721).

712.	Изъ безчисленнаго множества способовъ разложенія
интервала (а, к) на безконечно малые интервалы Л,, к2, к3, . . .,
самымъ простымъ, безъ сомнѣнія, будетъ разложеніе на равныя
между собою части; въ такомъ случаѣ будемъ имѣть

= А(Л +Л + • •  +/.) = (* - д Л±А±_-^+Л
и, слѣдовательно, такъ какъ Ііт	= Ііт -—- = О,

п

ь

Ііт + ~ ' • +Л = 1	/ дд /іх .

Я=!В п	о-<у

а

На этомъ основаніи правую часть равенства называютъ среднимъ
значеніемъ функціи ф(х) въ интервалѣ (а, Ь). Такъ какъ всѣ
числа уі лежатъ между нижнею границею Л и верхнею границею /і,
функціи /(х) въ интервалѣ (а, Ь~), то въ тѣхъ же границахъ ле-
житъ среднее ариѳметическое этихъ чиселъ, а потому и среднее
значеніе ф(х) въ интервалѣ (а, Ь) лежитъ между Л и /х. Разсмот-
римъ теперь функцію

X

Г(х) = §р(х)(іх,

а,

дадимъ верхнему предѣлу х приращеніе А и, припоминая свой-
ство (2), получимъ

Л+Л

Е (Х + /г) _ Е{х} = I дх) ,іх = А/о)

X

гдѣ ф0 есть среднее значеніе ф(х) въ (х, х-\-к), остающееся ко-
нечнымъ при приближеніи Л къ нулю. Отсюда видимъ, что

Ііт Е(х -р Л) — Е(х),

т. е. функція Е(х) непрерывна.

713.	Если интегрируемая функція Дх) непрерывна, то можно
сказать еше больше, потому что тогда Л и /л будутъ частными
значеніями функціи /(х) въ интервалѣ (а, Ъ) (§ 278), и функція /(х)
при переходѣ отъ одного къ другому, по крайней мѣрѣ, одинъ
разъ сдѣлается равною своему среднему значенію въ (а, Ь} (§ 276).
Поэтому, для нѣкотораго, надлежащимъ образомъ выбраннаго,
числа § между а и Ь, будемъ имѣть

(3)

(ІХ = (6- а)/@.

Теперь легко понять, что данное въ § 710 опредѣленіе интеграла
совпадаетъ съ первоначально высказаннымъ въ § 708, а именно, что
производная отъ /'(х) есть Дх). Дѣйствительно, примѣняя фор-
мулу (3) къ интервалу (х, х + Л), получимъ	— Е(х) =
гдѣ | лежитъ между х и х-\-к, а поэтому стремится къ предѣлу х,
когда А стремится къ нулю. Отсюда вытекаетъ

= 1іпЛ(* * + /*>.~	= 1іт/(Й = /(х).

Изъ вышеизложеннаго ясно, что формула (3) есть не что иное,
какъ формула Лагранжа, примѣненная къ опредѣленному интегралу.
Только въ томъ случаѣ, когда Дх) разрывна, прежнее и новое
опредѣленіе интеграла могутъ быть не равносильными, и дѣйстви-
тельно, можно доказать І), что существуютъ случаи, когда Дх)
имѣетъ первообразную функцію, а интеграла отъ /[х)(1х, какъ
предѣла суммы, не существуетъ, т. е. функція не интегрируема въ
смыслѣ § 710. И наоборотъ, легко построить функцію, имѣющую
интегралъ по новому опредѣленію, и не имѣющую первообразной
функціи (для этого достаточно, напримѣръ, измѣнить значенія не-
прерывной функціи въ конечномъ числѣ точекъ). Во всякомъ случаѣ,
изъ § 709 ясно, что если существуютъ интегралы, согласно обоимъ
опредѣленіямъ, то они совпадаютъ, такъ что опредѣленія не про-
тиворѣчивы.

Интегрируемость.

714.	Условіе интегрируемости функціи дается слѣдующею
теоремою:

ь

Теорема. Для существованія ^/(х)аІх необходимо и
а

достаточно, чтобы существовала такая послѣдовательность
разложеній интервала (а, Ь) на безконечно малые интер-
валы А,, Аг, ..., А„, для которой сумма

ып — ^1*91 +	+  • • +АПѲ„,

гдѣ Ѳі обозначаетъ колебаніе*) функціи Дх) въ интер-
валѣ А», стремится къ нулю, когда всѣ А, стремятся къ нулю,
а число ихъ возрастаетъ безпредѣльно.

Доказательство, а) Если интегралъ существуетъ, то это
п

значитъ, что сумма т = Д АД стремится къ одному и тому же
і

предѣлу, независимо отъ выбора чиселъ въ соотвѣтствующихъ

і) ѴоИегга (Сіотпаіе сіі МаіЬетаіісЬе, 1881, стр. 334).

*) Напомнимъ, что колебаніемъ функціи въ нѣкоторомъ интервалѣ
называется разность между верхнею и нижнею границами функціи въ этомъ
интёрвалѣ. Число Ь можно считать большимъ а, т. е. всѣ Іг, > 0.
интервалахъ. Полагая одинъ разъ А равными верхнимъ, а другой
разъ нижнимъ границамъ функціи у въ соотвѣтствующихъ интерва-
лахъ, и вычитая второе изъ полученныхъ выраженій т изъ перваго,
получимъ (переходя къ предѣламъ) Ііт со = 0, какова бы ни была
послѣдовательность разложеній интервала (а, Ь) на безконечно малые
элементы. Слѣдовательно, условіе, высказанное въ теоремѣ, необхо-
димо. Достаточность его будетъ вытекать изъ слѣдующихъ трехъ
вспомогательныхъ теоремъ.

Ь)	Если Ііт ы = 0 для любой послѣдовательности разложеній
(а, Ь) на безконечно малые элементы (а не для одной только, какъ
того требуетъ теорема), то суммы

п'	п"

и т"= 21’
і	і

соотвѣтствующія двумъ различнымъ послѣдовательностямъ разло-
женій интервала (а, Ъ), не могутъ стремиться къ различнымъ
предѣламъ. Дѣйствительно, возьмемъ какое нибудь разложеніе
(/г/, Л/, . . . , к'п') изъ первой послѣдовательности и какое нибудь
разложеніе (Л,", /г2", . . . , кп«") изъ второй, и составимъ изъ нихъ
третье (Л1; кг, . . . , /г„), указаннымъ въ § 708а 'путемъ, такъ что
третье разложеніе будетъ продолженіемъ какъ перваго, такъ и
второго. Всякій интервалъ к'і будетъ состоять изъ одного или нѣ-
сколькихъ интерваловъ Лг; то же самое можно сказать о каждомъ
интервалѣ кі". Положимъ, напримѣръ, что А/ =кг-ігі-\-кг-ігг-\--\-к„.

Выберемъ для каждаго новаго интервала кі любое значеніе
между нижнею и верхнею границею функціи /\х) въ этомъ интер-
валѣ. Мы можемъ тогда написать выраженіе к 'въ видѣ

= /гг+1/н-1 + /гг-нЛ+2 + •  • +

+ кг-\л (Л —	(Л “Л4-2) +    + кх (кі “Л)-

Вторая часть этой суммы (написанная во второй строкѣ) не пре-
взойдетъ произведенія <9/ на к,-.і	кг-\-2 + • • • + кв, т. е. числа

Складывая всѣ такія равенства, соотвѣтствующія значеніямъ

п

г = 1, 2, . . . , п', обозначая кі /) черезъ г, и замѣчая, что все
і

сказанное выше примѣнимо и къ интерваламъ к”, получимъ

і'— V + (>',	т"= Т +

гдѣ

а со' и со" значенія со для первой и второй послѣдовательности.
Отсюда слѣдуетъ, что

г'— т"= о' — (У',

т'— т” | й (і)' + со".
По условію со' и со" стремятся къ нулю, когда всѣ А/ и к" стре-
мятся къ нулю, поэтому тогда и ] т' — т" | стремится къ нулю, а
потому т/ не можетъ стремиться къ какому нибудь предѣлу, если
г" не стремится къ тому же предѣлу.

с)	Разсмотримъ теперь какую нибудь опредѣленную послѣдо-
вательность разложеній и соотвѣтствующія ей послѣдовательности
значеній т

(т)	Гі, т2, . . . , г,,,, . . .

и значеній м

(о)	«1, ОМ. . . . , 61,„, ....

Мы докажемъ, что, если послѣдовательность (и) имѣетъ предѣломъ
нуль, т. е. Ііт сат = 0, то послѣдовательность (т) имѣетъ опредѣ-
т со

ленный и конечный предѣлъ. Для этого намъ достаточно (§ 139)
показать, что, каково бы ни было напередъ заданное положительное
число е, существуетъ такое число к, что

1 Т,„' ~	| < е.

если гт> и тт’’ — любые два члена послѣдовательности (т), для
которыхъ указатели т' и т" оба больше к. Предполагая, что е
дано, мы возьмемъ такое число к, чтобы для всякаго т > к
выполнялось неравенство

<ѣ„ <

это сдѣлать можно въ виду допущенія, что Ііт со,,, = 0. Возьмемъ
VI сс

теперь два произвольныхъ цѣлыхъ числа т и т", большихъ к.
Ясно, что къ суммамъ гт> и тт" можно примѣнить все сказанное
въ пунктѣ Ь) о суммахъ г и х", такъ что мы получаемъ

| *,и' - 'Ѵ>" I й со,,,, + мт„ < е [ т', т” > к I ,

что и надо было доказать.

сі) Для доказательства основной теоремы этого параграфа
остается еще доказать, что, если со стремится къ нулю при
какой нибудь одной послѣдовательности разложеній интер-
вала (а, Ь) на безконечно малыя части, то оно будетъ
стремиться къ нулю и при всякой другой послѣдователь-
ности. -Положимъ, что дана нѣкоторая послѣдовательность разло-
женій, для которой Ііт со = 0, и пусть к\, къ, . • . , к'п’, система
интерваловъ въ одномъ изъ разложеній этой послѣдовательности.
Каково бы ни было число е>0, можно считать, что со', т. е. зна-
ченіе со, соотвѣтствующее этой системѣ, уже меньше е. Далѣе,
относительно интерваловъ кі, к’і, .   , к’,," какого нибудь разло-
женія, принадлежащаго другой послѣдовательности, можно предпо-
ложить, что всѣ к'і' уже меньше гдѣ г)—другое, сколь угодно
малое, положительное число, потому что Ііт к" также равенъ
нулю. Замѣтивъ это, разсмотримъ опять, какъ въ пунктѣ Ь), разло-
женіе съ интервалами Л,, Л2, . . ., кп, составляющее продолженіе
какъ перваго, такъ и второго разложенія. Подобно тому, что было
получено въ пунктѣ Ь), здѣсь будемъ имѣть

<9; =	<9,._-|-1 +	“1“ О/  3 +    + Ф»

+ л,.+1 (<э; - <9,.+1) + л,.+2	+ •• + //„ (©; - о..)

или, замѣчая, что	• • •, не превосходятъ <9[, находимъ

1‘;	> Лг+1 <9,.+і + Лг+2 (Э,+2 4---Ь л, <9,. ,

а суммируя по значку і, получимъ, что ы. Разсмотримъ, съ
другой стороны, число со", соотвѣтствующее разложенію на интер-
валы /гі', к'г, ../г„". Въ выраженіе этого со” входятъ всѣ тѣ члены
суммы со (соотвѣтствующей разложенію на к2, ... , кп), которые
относятся къ такимъ интерваламъ к'-, внутри которыхъ нѣтъ точекъ
дѣленія перваго разложенія на /гі, /гі, . . . , к'п< (потому что такіе
интервалы к" будутъ въ то же время интервалами /г,); кромѣ этихъ
членовъ, въ со" входятъ и другіе, число которыхъ навѣрно меньше гі,
потому что они относятся къ тѣмъ изъ интерваловъ /гі', внутри
которыхъ находится, по крайней мѣрѣ, одна изъ точекъ перваго
разложенія, а число всѣхъ такихъ точекъ равно и'—1. Замѣчая,
что каждый изъ этихъ послѣднихъ членовъ меньше, чѣмъ произве-
деніе на колебаніе функціи, навѣрно не превышающее полнаго
колебанія Ѳ въ цѣломъ интервалѣ (а, к), мы видимъ, что сумма
всѣхъ этихъ членовъ меньше т) Ѳ. Слѣдовательно,

со" < со + ч<9, а такъ какъ аі' й и, то со'' < со'-у іі<3 < е + »?<9 •

При дальнѣйшемъ уменьшеніи интерваловъ к'і послѣднее неравенство
сохраняетъ свою силу, и о" остается меньше числа е + ^0, которое
можно сдѣлать сколь угодно малымъ, распоряжаясь числами е и г/.
Иначе говоря, Ито”— 0, и теорема доказана.

715. Изъ доказаннаго критеріума интегрируемости мы выве-
демъ нѣкоторыя полезныя слѣдствія.

а)	Если существуетъ интегралъ отъ /(х) Ах, то существуетъ
и интегралъ отъ іУ(х)|г/х. Въ самомъ дѣлѣ, если функція У(х)
не мѣняетъ знака въ интервалѣ, то колебаніе <9і функціи |/(х) |,
очевидно, равно колебанію <Э4 функціи /(х) въ томъ же интервалѣ,
а если /'(х) мѣняетъ знакъ, то <9,; < <9г. Отсюда всегда <9І	,
слѣдовательно, а>, и если Ііт со = 0, то и Ііт (о'= 0. Замѣ-
тимъ, кромѣ того, что вслѣдствіе неравенства

въ предѣлѣ получаемъ

Ь)	Сумма двухъ и вообще конечнаго числа интегри-
руемыхъ функцій интегрируема. Эта теорема, которую мы
выше указали (§ 711), какъ непосредственное слѣдствіе опредѣленія
интеграла, можетъ быть также выведена изъ условія интегрируемости.
Нужно только замѣтить, что колебаніе суммы нѣсколькихъ функцій
въ данномъ интервалѣ не больше суммы колебаній слагаемыхъ въ
томъ же интервалѣ. Дѣйствительно, если Л' и іі'— границы функціи и,
X" и (О,''—границы функціи ѵ, то Я'-|- А"== и -|- ѵ =д'+	Слѣдо-

вательно, нижняя граница Л функціи и ѵ не меньше Л'+ Л",
а верхняя /і не больше ц", такъ что колебаніе <9 функціи (» + гі)
удовлетворяетъ неравенству С —/у, -	Примѣняя это не-
равенство къ каждому интервалу и складывая, получимъ	а>",

откуда Ііт м = 0, если Ііт с/ = Ііт со" = 0.

с)	Произведеніе двухъ или нѣсколькихъ интегриру-
емыхъ функцій (при конечномъ числѣ сомножителей) интегри-
руемо. Въ самомъ дѣлѣ*), обозначая черезъ с число, не меньшее,
чѣмъ наибольшее изъ чиселъ 0, - Л’, имѣемъ

(/?+ с) (/.с) й (и + с) (у + с) й (,н/+ с) (цс),

откуда,

а потому

к’к" — с(<9/ + <9") й иѵ й и/»."--- е(0'4- <9"),

0 ё іДк7— //л"+ 2 с (Э'+ <9'0 = ц'01' + л"0'+ 2 с (<9'+ 0’'),

и наконецъ, <9 < к (<9'-|- 0''), гдѣ к обозначаетъ число, большее
/л'—|- 2 <7 и Л"-|-2с. Это заключеніе распространяется на всякій
интервалъ Л,, при чемъ значенія с и к остаются неизмѣнными,
такъ какъ	/л”. Отсюда выводится

<9,- < к (<9; + О;'), далѣе, ы < к (оі’Ц- оі"), и потому Ііт ш = 0, если
1ітоі'=0 и 1ітоі"=0.

*) Читатель пойметъ, безъ дальнѣйшихъ объясненій, смыслъ вводимыхъ
здѣсь и дальше обозначеній.
б) Если /(х) интегрируема, то и —— интегрируема,
1

при условіи, что д— остается конечною въ разсматрива-
емомъ интервалѣ. Если, напримѣръ, /(х) остается постоянно
большею, чѣмъ данное положительное число, то ея нижняя граница
Л > 0, и границы ду) будутъ Л' = —, іл' =	. Отсюда слѣду-

етъ, что

<9'=4-

А /і = Л2

Итакъ, въ каждомъ интервалѣ Л,- будемъ имѣть 9; “5	, поэтому и

и, наконецъ, Ііт а/= 0, если 1ітгэ = 0.

е) Частное отъ дѣленія одной интегрируемой функціи
на другую такую же есть интегрируемая функція, при
условіи, что она остается конечной въ интервалѣ интегрированія.
Дѣйствительно, если функціи и и ѵ, по предположенію конечныя,

1

интегрируемы, то и — , то же конечная, по условію, интегрируема.
Слѣдовательно и функція какъ произведеніе и на ^-.инте-
грируема.

1) Укажемъ здѣсь еще одно непосредственное слѣдствіе условія
интегрируемости, чтобы имѣть возможность вскорѣ на него сослаться,
а именно, что всякая конечная монотонная, т. е. измѣняющаяся посто-
янно въ одномъ направленіи функція — интегрируема. При этомъ не
исключаются и функціи съ разрывами непрерывности (по необходи-
мости обыкновенными) въ предѣлахъ интегрированія. Для такихъ
функцій колебанія 9,, 94, . . . , &п равны абсолютнымъ величинамъ
разностей

/(^і)-/(«). /Ы-/Ы. • • •> /(!>) -/(хя_і),

которые всѣ имѣютъ одинъ и тотъ же знакъ. Сумма ихъ поэтому
равна полному колебанію ‘ <9 функціи у(х) въ интервалѣ (а, Ь),
т. е. абсолютной величинѣ разности / (Ь) — /(а). Поэтому, если
х{, х2, . . . , Хп-і дѣлятъ интервалъ (а, Ь) на равныя части, то

п

а> = кі Ѳі = Л <9, Ііт е> = 0.

1

Отсюда слѣдуетъ также интегрируемость всякой конечной функціи
съ конечнымъ числомъ максимумовъ и минимумовъ въ интервалѣ
интегрированія; стоитъ только разбить интервалъ на такія части, въ
которыхъ функція монотонна, чтобы убѣдиться въ сказанномъ.
716.	Остановимся здѣсь на минуту, чтобы доказать двѣ те-
оремы, весьма полезныя при изслѣдованіи опредѣленныхъ инте-
граловъ.

а)	Понятіе о среднемъ значеніи (§ 712) интегрируемой функ-
ціи можно обобщить, снабжая интервалъ (а, Ь) въ каждой его
точкѣ х плотностью <р(х), которая по условію будетъ всегда
положительнымъ числомъ, или замѣняя Ах черезъ <р(х)Ах, т. е.
считая, что величина каждаго частнаго интервала равна не Л,:, а кі(рі.
Такъ какъ Л ±= и, то будемъ имѣть

п	п	п

ЛІр У Л Фі = Л/ Фі ’

1	1	1

потому что <р,> 0. Поэтому, предполагая, что (р (х) интегрируема,
откуда (§ 715, с) слѣдуетъ и интегрируемость /(х)(р(х), будемъ
имѣть

ъ	ь	ъ

<( (л) Лх < §/(х) <р (х) Лх й ц (( <.Х) Лх,

а	а	а

ИЛИ

Ь	Ъ

/(*) Ч (х) Лх =/0 У <г (х) Лх,
а	а

гдѣ /0 число, среднее между Л и і.і. Полученный результатъ извѣ-
стенъ подъ именемъ первой теоремы о среднемъ значеніи.

Ь)	Далѣе, положимъ, что /(х) монотонная, а (р (х) — какая
угодно интегрируемая функція. Мы можемъ написать, что

К

!іі /і <Р, = (/і -Л) Л194 + (/2-/з) (^іФі + Л2 Та) + ' ' '
1

+ (/„_! -/„) (Аі<Гі Ч-+ к„-Х +/п (йіФі Ч-----------Н А<ГЯ)-

Такъ какъ разности /) —Д, /з, ••• вс^ одного знака, то
можно далѣе написать

П	П

кі Л Х (Л “А) +Л^’ кі Л; ,
1	1

гдѣ х число, среднее между суммами

Й1?Ѵ к1Ч'1 + к2'р2< < кіЧ1 + І!2гР->+    + кп^1<Рп-1 

Замѣчая (§ 715, I, с), что функція У(х)д9(.ѵ) интегрируема, видимъ,
что, при безпредѣльномъ одновременномъ убываніи всѣхъ А,,
к должно стремиться къ нѣкоторому предѣлу к, такъ что преды-
дущее равенство обращается въ слѣдующее:

ь	ъ

<[ (х) ах = 1г [/(л) -/(&)] +/(6) [ Ф (х) ах.

Число очевидно, имѣетъ значеніе, лежащее между значеніями,
X

принимаемыми интеграломъ гр (х) сіх при измѣненіи х отъ а до Ь.
А такъ какъ этотъ интегралъ непрерывная функція отъ х (§ 712),
то въ интервалѣ (а, Ь) найдется такое число что к = <р(х)сІх.
Съ другой стороны, въ силу свойства (2) можно написать

<7.ѵ.

Слѣдовательно,

<р (х) а х

і>

+ /(*)	<р(х)(1х.

[ Примѣчаніе. То обстоятельство, что число к содержится
между нижней границей I и верхней границей т значеній интеграла
X

'^(р(х)сІх, нуждается еще въ доказательствѣ. Если обозначимъ
а

черезъ Лі, соотвѣтственно нижную и верхнюю границы значеній
дс(л) въ интервалѣ (х; і, Хі) съ длиною кі, то —при ѵ = 1, 2, ... , п —

(1)

Въ силу же § 712

V (х) /іх Ігі

откуда, суммируя по значку г отъ 1 до ѵ, получаемъ

(II)

У і.і ё у <р (л-) а.ѵ ь У
Іа	1

Изъ соотношеній (I) и (II) заключаемъ, что — при ѵ=1, 2, ...,и —

р	ѵ

/іі&і <»

1	1
п

гдѣ «) = кі&і- Отсюда

і

и а Іогііогі

0)

ѵ

I — (а й 5 ^ кі(рі й т + а> [ѵ= 1, 2.................п].

і

Эти же соотношенія должны быть справедливы и для средняго
значенія я:

I — и й ѵ. й т 4- о;

переходя къ предѣлу и имѣя въ виду, что Ііт іо = 0, получаемъ
окончательно

I й к й т. ]

Это вторая теорема о среднемъ значеніи, данная Боннё.
Замѣтимъ, что если /(х) была бы разрывною на границахъ а и Ь,
то надо было бы вмѣсто /(а) и /(/о) писать соотвѣтственно
Дд-|-0) и /(Ь—0), потому что послѣднія два числа и будутъ пре-
дѣлами Д и Д.

717. Приложенія, а) Чтобы узнать, существуетъ ли интегралъ отъ.
/{х) Лх, распространенный на интервалъ (а, Ъ\ когда /(х} обращается въ
безконечность въ нѣкоторой точкѣ с, лежащей между а и Ь, надо изслѣдо-
вать (§ 711, Ь), стремятся ли интегралы

с ~е	Ъ

^/Іх) Лх.	У/(х) Лх

а	с-}-??

къ опредѣленнымъ предѣламъ съ приближеніемъ е и г] къ нулю. Для опре-
дѣленности разсмотримъ первый изъ этихъ интеграловъ *). Чтобы этотъ
интегралъ стремился къ опредѣленному предѣлу, необходимо и достаточно
(§ 264), чтобы
с—а	с—$	с—а

а	а	с—?

стремился къ нулю, когда а и Д, одно независимо отъ другого, стремятся
къ нулю. Чтобы узнать, выполнено ли это условіе, можно воспользоваться
первою теоремою о среднемъ значеніи. Положимъ, напримѣръ, что /(х)
обращается въ оо такимъ образомъ, что /,г(х) = (с — х)г/(х) стремится къ
конечному предѣлу Л - 0. съ приближеніемъ х къ с, т. е., какъ говорятъ,
что /(х) обращается въ со порядка г при х = с. Тогда

с —а	с—а	с—а

У/(х)Лх = і (с —х) ^{х)Лх = (с-х\~гЛх<

*) Заключеніе, къ которому придемъ, не измѣнится и при разсмот-
рѣніи второго.
потому что (с—х)~г слѣва отъ с знака не мѣняетъ, и функція § (л), стремя-
щаяся къ предѣлу к, и интегрируемая (какъ произведеніе двухъ интегри-
руемыхъ функцій), навѣрно имѣетъ среднее значеніе стремящееся къ
тому же предѣлу к, когда а и /? стремятся къ 0. Замѣчаемъ теперь, что
при г 1 функція (с - х}~г имѣетъ первообразную функцію Е(х)=-—-—,
а при г = 1 первообразная функція отъ (с—х)—і будетъ — 1о§ (с— х). Поэтому

С, X , 7	«	- ^~Г

I (с — х)~> ах =--------і. при г й 1

с—

— 1°8 “ > при г = I.

Вопросъ сводится къ тому, чтобы узнать, при какомъ г а' ’—,?1~’ стремится
къ 0, когда а и ,7 стремятся къ 0; это, очевидно, будетъ при г < 1;

при г = 1, 1о§ — ни къ какому предѣлу не стремится. Итакъ, разсматри-
ваемый интегралъ имѣетъ смыслъ лишь тогда, когда /{х) обра-
щается въ сс порядка, меньшаго единицы.

Ь)	Поставимъ аналогичный вопросъ, когда интегралъ отъ /(х)сіх,
распространенный на безконечный интервалъ (§ 711, с), имѣетъ смыслъ?

ъ

Чтобы существовалъ предѣлъУ/(х)<7х при Ь безконечномъ, необходимо и
достаточно, чтобы
а	а

а	а	[}

стремился къ нулю, когда а и одно независимо отъ другого, стремятся
къ со. Допустимъ, что при безпредѣльномъ возрастаніи х, Ііт хг/(х) = к а: 0.
Тогда	’ =»

гдѣ имѣетъ предѣломъ к. Слѣдовательно, а1 г — г должно стремиться
къ 0 при безпредѣльномъ возрастаніи а и <?, а для этого должно быть г>1.

СО

Поэтому интегралъ^Дх) <7х только тогда имѣетъ смыслъ, когда
/(х) при х безконечномъ будетъ безконечно малымъ порядка,
большаго единицы.

[ Примѣчаніе. Надо замѣтить, что въ пунктахъ а) и Ь) разсмотрѣны
только такіе случаи, когда существуютъ Ііт (с—х)г/(х) и Ііт х1 /(х), а потому

Х—С	X

и заключенія относятся только къ такимъ случаямъ. ]

с)	Интегралъ отъ /(х)<іх, распространенный на безконечный интер-
валъ не имѣетъ смысла, если функція §(х) = х/іх) стремится къ предѣлу,
отличному отъ нуля, при х безконечномъ, но интегралъ этотъ можетъ суще-
ствовать въ иныхъ случаяхъ, когда §(х~) ни къ какому предѣлу не
стремится, и даже навѣрно существуетъ, если интегралъ отъ этой функціи
^(л;), распространенный на любой интервалъ (т. е. взятый отъ нижней до
верхней границы любого конечнаго интервала) будетъ по абсолютной вели-
чинѣ меньше нѣкотораго числа к. Дѣйствительно, примѣняя вторую теорему
о среднемъ значеніи, имѣемъ

і)	і	<>

^/(х)гіх =	§(х)Лх + у&(х)(/х,

а слѣдовательно,

<іх । < к	: Ііт /’(.ѵ) <іх = О,

а	а

при безпредѣльномъ возрастаніи а и ,3.

718. Критеріумъ Риманна. Риманнъ указалъ весьма простое
средство для испытанія интегрируемости функціи /(х), на основаніи
теоремы, доказанной въ § 714, доказавъ, что „для интегрируе-
мости функціи необходимо и достаточно, чтобы для каж-
дой пары сколь угодно малыхъ положительныхъ чиселъ
е и г/ можно было указать такое разложеніе интервала
интегрированія на частные интервалы, въ которыхъ сумма
тѣхъ интерваловъ, гдѣ колебаніе функціи больше или
равно е, была бы меньше щ “ *). Прежде всего замѣтимъ, что
условіе, установленное въ § 714, очевидно, равносильно слѣдующему:
Каково бы ни было данное, сколь угодно малое положи-
тельное число а, всегда найдется такое разложеніе интер-
вала (а, Ь) на частные интервалы, для котораго ы будетъ
меньше а. Дѣйствительно, взявъ произвольную послѣдовательность
безпредѣльно убывающихъ положительныхъ чиселъ

аг, «2, а8, ...

и опредѣляя соотвѣтствующую ей послѣдовательность разложеній
интервала (а, Ь) на частные интервалы, мы и получимъ такую по-
слѣдовательность разложеній, для которой Ііт м = 0. Замѣтивъ это,
обозначимъ черезъ I сумму тѣхъ интерваловъ въ нѣкоторомъ раз-
ложеніи (Л,, Л2, • •	А»), для которыхъ	Тогда, очевидно,

для этого разложенія будемъ имѣть

(1)	м = А] Ѳ] ++•   + АЯѲИ & І8-

Отсюда прямо вытекаетъ необходимость доказываемаго условія.
Въ самомъ дѣлѣ, если интегралъ существуетъ, то мы можемъ взять
® < г)[. каковы бы ни были числа е и ц, а тогда изъ (1) най-
демъ	Достаточность этого условія получится изъ другого

♦) Ср. Таппегу, Іпігойисііоп а Іа ІНёогіе сіез Іопсііопз «і’ипе ѵагіаЫе
(2-те ѳсШіоп (1910), ѣ 2, р. 10).
неравенства, которое вытекаетъ изъ слѣдующаго разсужденія:
Такъ какъ ни одно изъ чиселъ не превосходитъ Ѳ (полнаго
колебанія функціи / въ интервалѣ (а, /))), а сумма интерваловъ, въ
которыхъ колебаніе меньше е, равна Ь — а — 1, то

(2)	о 01 _|_ \Ь — а — I) е	01 + (Ъ — а) г..

Поэтому, если для разсматриваемаго разложенія I Сг/, то для того
же разложенія ® Ѳт) -ф (/) — а) 6, гдѣ вторая часть, вслѣдствіе про-
извольности чиселъ г/ и е можетъ быть сдѣлана меньше любого
положительнаго числа а. Слѣдовательно, существуетъ такое разло-
женіе интервала (а, Ь), для котораго ® < а, а этого и достаточно
для существованія интеграла.

719.	Если, напримѣръ, /(х) непрерывна, то по теоремѣ Кан-
тора (§ 279), при данномъ е можно взять интервалы /г,, Л2, ..., }іп
достаточно малыми, чтобы колебаніе функціи /(х) въ каждомъ
изъ нихъ было меньше е. Слѣдовательно, здѣсь I = 0, а потому
всякая непрерывная функція интегрируема. Однако, въ то
же время ясно, и намъ уже извѣстно (§ 715, 1), что и разрывныя
функціи могутъ быть интегрируемы. Таковы, напримѣръ, конечныя
функціи, съ конечнымъ числомъ разрывовъ (§ 272, а), потому
что ихъ точки разрыва, являющіяся въ конечномъ числѣ, могутъ быть
заключены въ сколь угодно малые промежутки. Интегрируемы также
конечныя функціи съ безконечнымъ числомъ точекъ раз-
рыва, если только число точекъ, въ смежности съ которыми нахо-
дится безконечное множество разрывовъ, будетъ конечнымъ.
Изолируя сперва эти точки сколь угодно малыми интервалами, мы
получимъ въ остальной части даннаго интервала лишь конечное
число точекъ разрыва, которыя въ свою очередь могутъ быть за-
ключены въ сколь угодно малые интервалы, и сумма I всѣхъ этихъ
интерваловъ, первыхъ и вторыхъ (единственныхъ, которые могутъ
войти въ составъ I), будетъ сколь угодно мала. Во многихъ дру-
гихъ случаяхъ 4) функціи могутъ быть интегрируемы, несмотря на
безчисленное множество разрывовъ въ интервалѣ интегрированія;
и легко доказать1), что только вполнѣ разрывныя функціи
(§ 272, с) никогда не бываютъ интегрируемы. Во всякомъ
случаѣ, мы видимъ, что непрерывность функціи достаточное,
но не необходимое условіе ея интегрируемости. Напротивъ
того, какъ мы уже знаемъ (§ 282, е, 1), непрерывность функціи
есть необходимое, но не достаточное условіе для суще-
ствованія ея производной. Совокупность интегрируемыхъ функцій
заключаетъ въ себѣ поэтому всѣ функціи, имѣющія производныя,
но гораздо обширнѣе совокупности послѣднихъ. Тѣмъ не менѣе
практически операція интегрированія гораздо труднѣе дифференци-

’) Віпі. „Ропсіатепіі е(с.“, стр. 245—249.
рованія, и въ то время какъ мы имѣемъ общія правила дифферен-
цированія, для интегрированія мы имѣетъ лишь нѣсколько вспомо-
гательныхъ средствъ. Эти средства, впрочемъ, достаточны для
выполненія интегрированій, съ которыми встрѣчаемся на практикѣ,
да и въ высшей Математикѣ искусное ихъ примѣненіе ведетъ къ
весьма важнымъ результатамъ.

Правила интегрированія.

720.	Прямое интегрированіе (суммированіе). Первое правило,
которое представляется для вычисленій интеграловъ, вытекаетъ не-
посредственно изъ опредѣленія интеграла, какъ предѣла суммы;
самый естественный способъ его примѣненія состоитъ въ томъ, что
интервалъ интегрированія разлагается на п частей, равныхъ к (такъ
что пк — Ь — а), и въ каждомъ интервалѣ берется значеніе функціи
на одной изъ его границъ

ь

(4)	Гк(х) (Іх = Ііт Л {Да + Л) +Да+2 к) Н---1- Да + пк)}.

к~0
а

Но возможно прибѣгать и къ другимъ способамъ раздѣленія Ь-— а
на части, иной разъ болѣе выгоднымъ. Если, напримѣръ, а > 0, то
можно положить Ъ=адп*), гдѣ Д> 1 и стремится къ предѣлу 1
при безконечномъ п', тогда будемъ имѣть

ъ

(5)	СДх)<1х = \\та(д— 1) {/(я) + ?/(о?) + ?2Дп?2) +•   + ?и-1/(«<7"“1) }•
.1	?=і

а

По тому же закону можно дѣлить интервалъ интегрированія и въ
томъ случаѣ, когда одна изъ границъ интервала лежитъ въ точкѣ 0;
тогда надо начинать съ другой границы, но надо помнить, что этотъ
пріемъ (срав. съ § 711, б) не строгъ. Обозначая черезъ д число,
стремящееся къ 1, постоянно возрастая, находимъ

а

(6)	Дх)<7л; = 1іш«(1-^) {Да) + ?/(«?) + ?2Д«?2) + ДДаД) Н---}•

6

*) И вообще к^ад1— ад' г = ад1 г{д — 1), « = 1, 2.п.
721. Примѣры, а) Если /(х) — ех, то по формулѣ (4) получимъ

X

I ех сіх = Ііт к (/' + е2Л +  •  + еи/‘) =	— 1) Ііт — = е'~ 1.

./	л—'і	л=о е1 — 1

о

Неопредѣленный интегралъ / ехс!х = ех + С.

Ь)	Теперь возьмемъ примѣръ, гдѣ полезнѣе будетъ формула (5)

—* = Ііт п (д — 1) = ііт п (1/	— 1) = Іо;* — 

X ^=1	я—х) \ г Л /	СІ

Аналогично этому найдемъ

х	?

11о§ х ііх = Ііт у* — а у11) 1о§ («</’)

а	У 1 1

= х Іоц х - - а 1о§ а — (х - а) Ііт -	= х (Іо^ х — 1) — а (Іо§ а — 1).

?=1 У — 1

Бъ неопредѣленномъ видѣ

У^1о(5 х сіх = х (108 х — 1) 4- С.

Нужно, однако, замѣтить, что во всѣхъ этихъ результатахъ подразумѣвается
условіе а'> 0, потому что въ области вещественныхъ чиселъ функція 1о§ л
для х і, 0 не существуетъ. Такъ, напримѣръ, первообразная функція отъ —
при д'-'О будетъ 1о(т( —х), а не Іо^х.

с)	Вышеприведенное вычисленіе не примѣнимо, когда а = 0. Но изъ
полученнаго результата, припоминая, что интегралъ необходимо непрерывная
функція, тотчасъ найдемъ

X

I Іо^т х /іх = х (іо§х— 1) - Ііт а (1о§ а — 1) = х (1о§ х— 1).

О

Къ тому же результату легко придти съ помощью формулы (6)

X

I 1о§х <7х=х Ііт ^1о§ х +	= х(І08х — 1)

6

или болѣе строгимъ путемъ, прилагая одну изъ выведенныхъ раньше (§ 335, с)
формулъ

X

/1о§ х сіх ~ Ііт к 1о§ (и! кп)
о

= Ііт -Х- (п 1о$ п — п +  • • + п 1о§ — ] = л1 (1о§ х — 1).
п=х М \	М /
2

<і) Очень легко вычислить / 1о§ зіп х Лх, если (§ 459) извѣстна формула
6

П . 2 Л . 3 п . (п—1) я

81П	81П -81П ---- • •  81П-5-

2 и 2п 2 п	2 м

Въ самомъ дѣлѣ, положивъ пк = ~ , тотчасъ найдемъ

Г, 	,	, V« л , м2п п , „

I Іое 8іп х Лх = Ііт к 1о§---- = -=- Ііт 1о§--г = — = • Іоц 2.

./	л=о 2’1	2 п=ъ і — 2	2

о	2 п

е) Для вычисленія интеграла Пуассона*) / е~х' Лх, разложимъ интер-

6

валъ (х, =) на равные интервалы, величину которыхъ обозначимъ черезъ к,
и станемъ искать предѣлъ р(х) суммы

к	+ е—(*+2Ѵ_|_ е—М-ЗЛ)’-)- . . .)

при убываніи к до нуля. Полагая е~Л'=^, легко найдемъ р(0), съ помощью
формулы (§ 342, с)

Ііт	#9+ • • .)У1 —? = .Д/'.-с.

?=1

Дѣйствительно, мы имѣемъ

р(0) = Ііт к (у 4- + 79 4----) = Ііт -—А.—- = ~ /я.

Л=0	2 Л=хО 7/2 е—Л-	2

Такъ какъ е~< е~х'  е~'іг то, очевидно,

0 < о (х) < 2 (0) <’ V ііт 2 (х) = 0;

и на основаніи замѣчанія, сдѣланнаго въ § 711, 3, можно утверждать, что

1) Точно такъ же, чтобы вычислить интегралъ Дирихлед —^-Лх,
о
достаточно знать, что

зіп к 4- і зіп 2 к 4- 4 зіп 3 к 4- •  • = | (п—к),

*) Пуассону принадлежитъ одинъ изъ выводовъ значенія этого инте-
грала, но другимъ путемъ онъ уже былъ найденъ Эйлеромъ.
при условіи 0 < к < 2л. Отсюда тотчасъ слѣдуетъ
СО

/ зіп х , л — к л

/ —;— Лх = 1™	= ту’

А /<=о 2	2

о

Къ тому же результату пришелъ Фурье г) подобнымъ же пріемомъ, однако,
совершенно не строгимъ, исходя изъ формулы

Р1

зіп к 4- зіп ЗА + у зіп 5 к + •  • = І (— 1) “ ,

вытекающей непосредственно изъ вышеприведенной. Раздѣляя интервалъ
{О, оо) на безконечное число интерваловъ, изъ которыхъ первый равенъ к,
а всѣ другіе вдвое больше, найдемъ, что разсматриваемый интегралъ равенъ

Ііт (зіп к 4- зіп Зк 4-	зіп 5к 4- • • Л = -5— Ііт зіп к =	•

л=о \	3	о	/2	7г—о	2

Замѣтимъ, что такимъ же образомъ

/ —— Лх = Ііт -у (зіп2 к 4- |'зіп2 2к 4- ' зіп2 ЗА 4~  • •)
х- л=о «

о

= Ііт (зіп 2 А 4- | зіп 47г 4- 4- зіп 6Л 4- • • •),
/1=0

а слѣдовательно,

СЮ

/ зіп2 х ,	л—2/г л

/ —Лх = Ііт —-— = — 
у л- 7і=о 2	2

о

такъ что оба интеграла

СО	Со

/'зіп х , I зіп2л; ,

/----ах и / —= ах

1	х	/ х~

о	о

,	л

имѣютъ одну и ту же величину — -, хотя элементы второго интеграла
меньше соотвѣтствующихъ элементовъ перваго. Это объясняется тѣмъ, что
всѣ элементы второго и: теграла положительны, между тѣмъ, какъ элементы
перваго по очереди положительны и отрицательны въ интервалахъ (0, л),
(л, 2л), (2л, Зл) и т. д.

і

§) Вычисляя у 1о§ (—1о§ х)по формулѣ (6), приходимъ къ разыс-
о

канію предѣла

(1-?){1о2( -1О8?) + ?1О8(-21ое^) + (721о2(-31о2<7)4- • • •)

= 1о8 (- Ю§ ?) 4-	= 1о8 ’Д * - % Г -1°8	)

і) „Оеиѵгез". Т. 1, стр. 402.
съ приближеніемъ у < 1 къ единицѣ. На основаніи теоремы Абеля (§ 3-40)
будемъ имѣть

'т102 (4~108 =І Іі"108 "«*)=1іт (//-'Іо§ 7/)-
—0^^	\}і	п I	\ІІ	'I I п—уі

Мы знаемъ (§ 183), что предѣлъ этотъ существуетъ и равенъ Эйлеровой
постоянной. Такимъ путемъ находимъ полученное Маскерони значеніе

і

I 1О8(-1О8х) ах------0.577215664.. ..

б

Н) Предложимъ себѣ теперь найти значеніе весьма важнаго интеграла

00

х^-1  е~х ах, (^>0)

б

носящаго названіе Эйлерова интеграла второго вида. Его значеніе равно
предѣлу суммы

Л" (Р”1 е~к + 2м-1 е'к + 3" 1 е~'ік +  • •)

при безконечно маломъ Іг, полагая е~к = д и припоминая одинъ изъ ранѣе
найденныхъ результатовъ (§ 342, і), находимъ, что искомый предѣлъ равенъ

Ііт й" (I*4- 1 д + 2" ~' у2 + 3"1 у:1 3-) = Г(д) Ііт (- Л

л=о\1 — е~'Ч

Слѣдовательно,

I х"-1 е~хаХ - Г(,«). 
б

і) На основаніи извѣстнаго свойства (§ 464, е) Г(х) Г(1—.ѵ)=	—>

8Ш Л X
припоминая еще выведенную въ § 459 формулу, получимъ

п--1

гШ Г П . . . Г _______________________._^====_ _ (іта'Г1 ,

\я / \п /	\ 11 )	1/ . л . 2л . (я—1)л:	-і/,,

I/ ЗІП — ЗІП • • • ЗІП  -—	г "

Г II п	п

что, впрочемъ, легко получить и изъ самаго опредѣленія функціи Г. Замѣ-
тивъ вышесказанное, будемъ имѣть

Ііт к Іо;* Г(к) Г(2к) ... Г(пк') = Ііт — ( (я — 1) Іое 1/2 л — 1ое]/я )

Л—0	п—'х. « 1	>

и отсюда

1

1о§ 7'(.-ѵ) ах = 108]/2 л.

б

Теперь можно еще, слѣдуя Лершу (Ьегсѣ), найти общнѣе значеніе того же
интеграла въ предѣлахъ отъ /л до /г +1, при всякомъ іі > 0. Обозначая
искомое значеніе черезъ /(/л) и замѣчая, что

А'

/(,«) = / “ / ’ 1'	= 1081 + 1) — 1о€	= Іо8

б о

найдемъ съ помощью выведеннаго раньше результата
/(10 = (ІО8 !< -1) +/(0),
и придемъ къ формулѣ Раабе
,«4"!

1о(5 Г(х} Лх = /т 1о§ ц — ц + 1о§ )/2 л.

л

722. Непосредственное интегрированіе. Изложенная и раз-
витая въ предыдущихъ параграфахъ метода въ большинствѣ случаевъ
практически не выполнима, такъ какъ мы наталкиваемся при этомъ
на трудности (вычисленіе предѣловъ суммъ), для преодолѣнія кото-
рыхъ нужно (§ 357) знать первообразную функцію Е отъ интегри-
руемой функціи /. Выгоды, какъ будто представляемыя двойнымъ
произволомъ въ выборѣ закона раздѣленія интервала интегрированія
па части и въ выборѣ значеній функціи въ каждомъ интервалѣ —
въ сущности ничего не даютъ. Каковъ бы ни былъ законъ подраз-
дѣленія даннаго интервала на части, наилучшій выборъ значеній
очевидно, состоялъ бы въ томъ, чтобы въ каждомъ интервалѣ было
взято такое значеніе /, произведеніе котораго на величину интервала
равнялось бы приращенію функціи Е при переходѣ отъ одного
конца интервала къ другому*). Дѣйствительно, въ такомъ случаѣ
сумма, предѣлъ которой мы ищемъ, была бы непосредственно
равна (§ 709) значенію интеграла. Отсюда и видно, что изложенная
метода, при всей своей огромной общности, не даетъ намъ вѣрнаго
средства для преодолѣнія трудности, происходящей отъ неизвѣстности
первообразной функціи. Поэтому предпочтительнѣе будетъ избрать
другой путь, а именно воспользоваться тѣми результатами, кото-
рые намъ дало разысканіе производныхъ извѣстныхъ функцій
(§§ 288 — 291) и, на основаніи доказанной въ § 713 теоремы, непо-
средственно написать нижеслѣдующія основныя формулы

С п ,	.тп+1	,,	['Лх	. । , г Г ,г а*

I	хп Лх = —— + С ,	/ —	= 1о§ х , + С, /	а Лх = -------Ь С,

I	п +1	/ X	/	1о§ а

і	I	г

/ соз х Лх — зіп х 4- С, / зіп х Лх = — соз х + С, / —5— = іцх +• С,
I	I	/ СО82 х

/ Л х ,	/ Лх	.	. 

/ ,----= = агс Щ х 4- С,	/ -,___.= = агс зіп х ф- С.

./ 1	./ фі-.г2

*) Для этого требовалось бы знать число 5, среднее между значеніями х
на границахъ интервала, входящее въ формулу Лагранжа, а опредѣлить
это число никакихъ средствъ мы не имѣемъ.
Эти формулы надо удержать въ памяти и стараться прилично выбира-
емыми искусственными пріемами сводить къ нимъ по возможности всѣ
другіе интегралы, съ которыми приходится встрѣчаться на практикѣ.

723. Примѣры, а) Часто встрѣчаются интегралы вида

/ СОЗ X ЛX

I ЗІП X + СОЗ X

1	/ СОЗ X + ЗІП X

2 / зіп х -р соз х

соз X — зіп X
зіп х + соз X

Лх

— | \ X + І0(Т | ЗІП X + С08Х | } + С.

Ь) Вычисленіе интеграла /---------------

а зіп х + о соз х
положимъ

легко производится, если

а   Ъ
соз а	зіп а

Тогда интегралъ обращается въ

- 2__= / -——- = —----Іое I ір і (х + а) I + С.

У(е-+Ь\] зш(л: + а) і/я2+§2

Замѣнивъ а его значеніемъ агс іе — , найдемъ

Л х ___________	1	| Ъ зіп х — а соз х + ]л- 4- №

а зіп х + 1> соз х	ув2 _|_	। а зіп х + Ь соз х

с) Весьма часто также встрѣчаются интегралы вида

+ С.

и + С.
Напримѣръ —

/1-л2 + С.

= агс зіп х + У1 — х2 + С.

/' «2

Такимъ же образомъ получимъ, замѣчая, что I и Ли =	непосред-

ственно слѣдующіе интегралы

агс зіп х
уТ-Х2

Лх (агс зіп х)~ + С,

асг х

1 + х2

Лх = | (агс х)2 + С.

6) Еще примѣры для упражненія

I Лх	Г8ІП2Х-|-СО82Х ,	/ Лх ( 'Лх ,	, , „

/	----9	= /	----Ъ--Лх= /------5--р /	- = І^Х—СО(х(С,

/ 5Ш2 X СОЗ2 X / яп-хсоп2х	/ С032Х	/ 31П2Х

С082хаіх = ^у (1+соз 2х) Лх — х + і ^соз2х Лх — (х+зіпхсозх) + С.

Общнѣе, можно вычислить всякій интегралъ видасозах.соз^х.созух.. .Лх,
основываясь на извѣстной формулѣ Тригонометріи

соз тх соз пх [соз (т — и) х + соз (т + я) х].

Если, напримѣръ, предложено найти интегралъ отъ созх • соз 2х • соз Зх  Лх,
то пишемъ сперва

соз х соз 2х = | (соз х -|- соз Зх),
далѣе

соз х соз 2х соз Зх = | (1 + соз 2х -|- соз х4 + соз 6х)

и, наконецъ,

соз х соз 2х соз Зх • Лх = |(х + | зіп 2х + | зіп 4х + т зіп 6х) + С.

е) Другіе интегралы приводятся къ виду

Г^ = _± + С.

Іи2 и

Положимъ, напримѣръ, что требуется найти интегралъ, предложенный
Эрмитомъ х)

С	х2 Л х

I	(х СОЗ X — зіп х)2

і)	С. Негтііе „Сонгз б’АпаІузе сіе 1’ЕсоІе роіуіесйпідие', стр. 260.
Слѣдуя весьма простому пути, указанному \Ѵ. \Ѵ. Ветап’омъ, замѣчаемъ
сперва, что

X СОЗ X — ЗІП Л' = .V ЗІП Л’ I СОІ X-I = СОЗ X (х — ф х)

и разлагаемъ подъинтегральную функцію на слагаемыя

Такъ какъ имѣемъ

Л соі х----------

\	X

—------ -----д---1

зіп- х	л- соз- х

(соіх-±)2+

- -----Ь Дг'і Лх, <7 (х — і2 х) = (1--------4—) Лх,

зш2.ѵ Л‘2/	\ соз2хІ

то первообразная функція будетъ

1	1 л: зіп .ѵ + соз х 6 х

------------1----------= --------!-------= ,--------,
,	1 .ѵ — (2 х х соз х — зіп .ѵ , Ісх

соіх------	6	1 - -6—

X	X

и окончательно

/ х' Лх	I	1 \

/ /--------------я = Ф И + агс	— + С .

I (х соз х — зіп х)2	\	X /

724.	Интегрированіе путемъ подстановки. Для вычисленія
интеграла и =	часто бываетъ полезно ввести новую пере-

мѣнную і = ср(х). Если изъ этого уравненія получается выраженіе
д: = ір(/), такъ что сіх = 'ір'(і)с1і, то, очевидно будемъ имѣть

Ли = /(.ѵ) Лх = /(у»(0) ѵ' (і)Лі,

такъ что

« = Нх) Лх = Д Ѵ (і)) у' (?) Лі

и можетъ случиться, что въ новой формѣ вычисленіе интеграла
легче произвести; а тогда стоитъ лишь подставить вмѣсто і функ-
цію ср (л), чтобы получить выраженіе искомаго интеграла и черезъ
перемѣнную х. Если первое интегрированіе производится между
предѣлами а и Ь, то второе, очевидно, надо произвести въ предѣ-
лахъ отъ ср (а) до у (6), предполагая, что въ этихъ предѣлахъ пере-
мѣнная і измѣняется постоянно въ одномъ направленіи*) и притомъ
непрерывна. Въ этомъ случаѣ можемъ писать

(7)

I Дх) Лх = ^&(Г)Л/,
а	гріа)

*) Иначе перемѣнная х не была бы однозначною функціею отъ і.
гдѣ для краткости обозначаетъ функцію /(ф(/))ф'(/). Если же,
напротивъ того, при измѣненіи х въ одномъ и томъ же направленіи
отъ а до Ъ, перемѣнная і сперва измѣняется въ одномъ направленіи
до х = сг, потомъ въ другомъ до х = с2 и т. д., то второй инте-
гралъ надо разбить на два или на нѣсколько другихъ, удовлетворя-
ющихъ условію, что между предѣлами каждаго изъ нихъ і измѣняется
постоянно въ одномъ направленіи; въ этомъ случаѣ будемъ имѣть

{/\х) Лх = У

а	<Р(сі)

здѣсь (/) обозначаетъ выраженіе вычисленное на основаніи
выраженія Ѵ’іСО перемѣнной х въ интервалѣ (а, с,), выра-
женіе (і), вычисленное для х = 'ірі(/) въ интервалы (/\, с.2) и т. д.
(Въ разныхъ интервалахъ выраженіе х = ф(0 можетъ быть различно).
Если, напримѣръ, при измѣненіи х отъ а до Ь, перемѣнная і,
исходя изъ значенія «==</;(«), снова возвращается къ тому же зна-
ченію а=(р{Ь\ переходя черезъ максимумъ или минимумъ /? = ф(с),
то ясно, что значенія х въ интервалѣ (а, с) изображаются нѣкоторой
функціею чрД/ѣ а въ интервалѣ (с, Ь}— другою ф.2(/), такъ какъ
каждому значенію і, лежащему между а и Д должны соотвѣтство-
вать два различныхъ значенія х. Отсюда слѣдуетъ, что

Ъ	р	а

а	а	р	а

Если бы мы не приняли во вниманіе этого замѣчанія, то впали бы
въ грубую ошибку, заключивъ, что нашъ интегралъ равенъ нулю,
а

потому чтоУ= 0. Все это показываетъ, что при установленіи пре-
а

дѣловъ интегрированія по новой перемѣнной, необходимо обращать
вниманіе на то, какимъ образомъ измѣняется эта перемѣнная. Если
далѣе, эта перемѣнная разрывна и имѣетъ, напримѣръ, обыкновенный,
разрывъ при х = с, то, очевидно, надо было бы писать

Ь	у(с—0;	ф(Ъ)	ф(Ъ)	ф(<Н-0)

IЛх)Лх = I # (/) Лі + I Лі = I Лі -

а	ф(а)	гр(е-рО)	ф(а)	ф(с—0)

То же	самое случится,	если <р(х)	при х = с	обращается	въ безко-

нечность и мѣняетъ знакъ; въ этомъ случаѣ имѣемъ

Ъ	+“

!/(х)Лх = І^І/іЛі + I §•(/)<//.

Такимъ образомъ получается, вообще, значеніе интеграла, отличное
отъ того, которое получилось бы при грубомъ приложеніи фор-
мулы (7), а именно значеніе, отличающееся отъ него на величину
С(± оо) — С(+ оо), гдѣ С(/) есть первообразная функція отъ
725.	Примѣры, а) Подставляя по очереди х = аі, х=—, х = а(1 —(),
найдемъ

Г Лх 1 С Лі 1	1 х г

I ~9~, > = --!	-й = —агсіе/+С= -агсіе---кс.

/ а3-\-х2 а / 1 + 7- а 61 а & а

С Лх	1	Г Лі	1	\	а

/	=° + 77 /	—з = ± 77ЭГССО8/+С= ±—агссоз — Н-С

I ху х3 — а3	а	/ у 1 -- і3	а	а	х

4 агс соз і 4 С = 4 агс соз --------4- С.

а '

Въ послѣднемъ примѣрѣ надо взять верхній знакъ при а > 0, а нижній
при а < 0. Точно такъ же въ предпослѣднемъ примѣрѣ надо взять верхній
или нижній знакъ, смотря по тому, на положительныя или отрицательныя
значенія х желаютъ распространить интегрированіе; отъ одного случая къ
другому, впрочемъ, можно перейти, замѣчая, что

агс соз (— х) = л — агс соз х.

Двойной знакъ получается отъ того, что подъ знакомъ интеграла находится
корень квадратный, который по предположенію всегда берется со зна-
комъ +, такъ что имѣемъ

Усх3 = ’ х | Ус, а не Усх2'= хУс.

Ъ) Съ помощью подстановки х = соз 9 вычисляютъ слѣдующіе другіе
интегралы

- Лх =

]__~4х = — 2 / зіп2 у 45 ™ - (6 - - зіп 0) — С'=агс зіп х 4-У1 —.г-4 С7

— х24х = — / зіп2 9 49 = — 4(9 — зіп 9 соз 9) + С

= | (агс зіп х + хУ 1 — х2) + С',

соз2 0 49 = — (Ѳ + зіп 9 соз Ѳ) 4- С

= (агс зіп х — х У1 — X") + С.

Если же хотимъ вычислить / —-, то лучше будетъ положить х = 001^9,
. / У 1 + X3

при условіи зіп 9 >0, чѣмъ не ограничивается измѣняемость х. Данный
интегралъ обращается въ

9	1 + соз 9

= іор 001-^4-4= іор —4 —
6	2	6 зіп 9

Поэтому

= 1о§ (х + У1 + X2) 4- с.
с) Предложимъ себѣ вычислить

Умножая числителя и знаменателя на УУ,-.»2 — У1 — х-, приводимъ дан-
ный интегралъ къ слѣдующему

(У 1 +х2 — У1 — Х-) —
Л'“

1 / Лх

2	х2У 1 + х-

1 / Лх I I Лх _

2 ./ ^У-хЛ 2./ УУг.т2

1 і Лх

2 У У 1—х2'

Изъ этихъ четырехъ интеграловъ первый и второй преобразуются помощью
1

подстановки х = — въ слѣдующіе

іЛі

іЛі

у/2ТЛ

= - УР — 1 + с".

I і~ + 1 + СГ,

Третій вычисленъ уже раньше, а четвертый равенъ агс 8іп х + с"’. Итакъ

Л х

У1 + X2 + У1 — х-

у-	1	_____ I

 7^^=.—-----------+ -у 1о§ (х + У1 + х2) + -у агс зіп х + С.

У 1+л'2 4* У 1 —л*2	2	2

п	У* <іх	р-

й) Для вычисленія / 9	—сперва предположимъ (] > и

у х~—|— р х 4" Ц

положимъ х + ~	, такъ что Лх ="|/^4и

x2+рx + ^ (х + ?т />)- -|-((7 - |/>2) = (? — ^-/>2)(1 -н2)

Тотчасъ получаемъ

/’ Лх	1	х-У^р г

I --------;— = —  агс ір —	С.

_у Л'“+/-т + (7 Уд-^хР2 Уд — іР2

Если, напротивъ то г., /] < ~
интегралъ преобразуется въ

Р
то полагаемъ х +	=

у^ 4 - данный

і

дѣленный на У Т/2—д. Поэтому будемъ имѣть
(ІХ
х2-}-рх-±д

= 102
Ч

х + г? + VІР2~~Ч і

Впрочемъ, обѣ формулы эквивалентны, въ силу соотношеній

х	1 ,

агс * = 27

1о§ х = 2 і агс

легко получаемыхъ изъ извѣстной формулы Эйлера (§§ 406, 411).

е) Безъ
градовъ

всякаго, такъ сказать, вычисленія находимъ значеніе инте-

2

2

5ІП2 X Лх,

С082 X Лх

О

О

если замѣтимъ,

что

на мѣсто х, и

что

одинъ преобразуется въ другой подстановкою -------------л-

Л
~2
/	7	Я	у—X

сумма ихъ равна ах = —. Общая величина данныхъ

интеграловъ равна,
найдемъ

слѣдовательно, • Точно такъ же, замѣняя х на л—х,

1 Х81ПХ ,	/ (я—АІ81П# 7

/	----о— сіх = I ------5—ах =

/ 1 + СОЗ2 X	I 1 + СОЗ2 X

о	о

1 / 8ІП х ,іх
2/ 1 + соз2л-

О

Я /

= 2 (агс Ш соз х)л

і) Совершенно аналогичнымъ путемъ, найдемъ»1о§ зіп хЛх, вычи-

О

сленный уже раньше иначе (§ 721, сі). Мы имѣемъ

ЗІП X

2

СОЗ А- СІХ = | У 1о§ (зіп X соз х) сіх,
й

т. е.. замѣняя въ послѣднемъ интегралѣ х черезъ \х,

ЗІП X сіх =

7	Я і (л » І

Лх = — -4- 1о§2 +

зіп х сіх.

2

О

о

о

о
Если, далѣе, замѣнимъ х черезъ л — х и замѣтимъ, что

Л

1о§ 8ІП х Лх

л

ЗІП X СІХУ

іо можемъ также написать

2

у^ІО^ ЗІПХ (ІХ =
о

откуда и получаемъ

2

1о§ зіп х <іх = — -у 1о§ 2.
с

§) Подобнымъ же образомъ, замѣною х на 1 - т, найдемъ

і	і	і

^\оёГ(х)Лх = I 102 Г (1-х) «7 л; = у / 1о8^7^'г'

б	о	б

1

= Ѵ1о2.т— 11о§ зіп.тх^л'

О

Послѣдній интегралъ подстановкою лх = Ѳ обращается въ

2

2 /

зіп Ѳ <УѲ = - - / 1о<* зіп Ѳ =— 1о§ 2.
я./ '

о

Слѣдовательно (срав. съ § 721, і),

І0(* Г(х) Лх = \о§ ]/2.т
о

И) Положимъ, что

предложено вычислить

Лх. Приа=О

о

этотъ интегралъ приводится къ интегралу Пуассона (§ 721, е). Положимъ
теперь а = 0 и замѣнимъ х на — 1 данный интегралъ преобразуется въ
Г -р+-“7) / а \

I е 4 х 'Л\х ) п будетъ, слѣдовательно, равенъ
о

о	о

Полагая ,ѵ---— = Л замѣчаемъ, что при измѣненіи х отъ 0 до со, посто-

X

янно возрастаетъ отъ — со до 4-°°> когда х возрастаетъ отъ 0 до со, замѣ-
няя букву і опять буквою х, найдемъ

Оэ	,	со

Г ~ (®‘+ іО 1	/ -х'ѵ Л

/ е ’	—/ е Лх = ~^-

6	— <х

,,	_	/ 8ІП“ .V <ІХ . . , .	, Л

і) Чтобы вычислить /	 гдѣ !Г & 1, разобьемъ интервалъ

о

интегрированія на двѣ равныя части и въ правой половинѣ замѣнимъ х на
л— х. Интегралъ преобразуется въ

Л	л	л

С зіп2 х /іх ,	Г ьтРхсІх _2 / 8Іп-.г(/х

I 1 - к соз х ' / 1 + соз х I 1 — к2 С082.г

О	О	I)

Полагая, і^х = і, преобразуемъ полученный интегралъ въ

= (агс Ш і - Гі- агс	(' -Гі -,

такъ что

8ІП2.Г</Л'	л

I 1 - к соз.г ” і + у 1177,2
б

І) Чтобы показать на примѣрѣ, какъ осторожно нужно поступать при
опредѣленіи предѣловъ новой перемѣнной, вводимой взамѣнъ прежней,
замѣтимъ слѣдующее. Если будемъ обращать вниманіе только на начальное
и крайнее значенія новой перемѣнной, то можемъ подвергаться опасности
получить нелѣпые результаты, въ родѣ слѣдующаго
Между тѣмъ ясно, что интегралъ равенъ агс (+1) — агс (— 1) =	’

Ошибка произошла отъ того, что интервалъ (—1. +1) при замѣнѣ х на —
х
преобразовывается не самъ въ себя, а въ сумму интерваловъ (—1, —со)+(оо, 1),
а потому имѣемъ

а замѣнивъ въ первомъ изъ этихъ интеграловъ х на — х, получимъ

к)	Если встрѣтится интегралъ вида

(8)

/ср' (лг) сіх

1 + 'Г2 (.х) ’

то естественно приходимъ къ тому, чтобы взять за новую перемѣнную
/=<р(х). Такимъ образомъ, при условіи, что <р(х) остается конечною и непре-
рывною въ интервалѣ (а, 1>), тотчасъ получаемъ значеніе интеграла

/ утртт = агс Ф — агс <7 («)•
т(«)

Но если ср(х) претерпѣваетъ разрывы въ интервалѣ (а, Ь), то надо припом-
нить замѣчанія, сдѣланныя въ концѣ предыдущаго параграфа. Если, напри-
мѣръ ср(х) только въ одной точкѣ с между а и Ь мѣняетъ знакъ, обращаясь
въ безконечность, то предложенный интегралъ разбивается на два и будетъ
равенъ

Л агс і +

ф (а)

'і агс і = ( ± -у — агс ід + ['агс <р(6) ±
= агс Ч> (6) — агс ср (а) ± я.

Общнѣе, если при непрерывномъ измѣненіи х отъ а до Ъ функція ср (х)
к разъ обращается въ безконечность, пёреходя отъ + къ —, и к'-разъ,
переходя отъ — къ +, то получимъ

Ср' (х) (1X

1 + V2 м

= агс і^ср(Ь) — агс ід <р(а) + (к~ к') я.
/ йх

1)	Къ тцму же типу (8) можно причислить интегралъ / ----------------—5 >

а / 1 +(*’ — [X] У

о

потому что функція х—[х] имѣетъ производную 1, для нецѣлыхъ значеній х
и справа отъ цѣлыхъ значеній х, слѣва же отъ нихъ претерпѣваетъ разрывы.
Вслѣдствіе этихъ разрывовъ и оказывается, что для хйі значеніе интеграла
не равно агс (х — [х]). Въ этомъ легко убѣдиться, написавъ

УЛх

1 +(х-[х])2
О

=	-1	Ѵ-]-1	У

<І X	I сіх

1 + (х — г)2	1 + (х — [х] )3

ѵ—0 ѵ	[.г]

= агс (х - [х]) ф -А- л [х].

Общнѣе имѣемъ

X	1	X--[#]

У*Л-ѵ - И) Лх = [х] у"/-(X) ах+ IДх) ах.

О	0	0

х ах

т) Интегралъ
помощью подстановки
его къ / <7Ѳ, такъ что

Ѵ(Д—а’) (Ь2—х2) непосРеДственно вычисляется, съ
х2 = а2 соз2 0 + Ь2 зіп2 Ѳ, которая преобразовываетъ

Точно такъ же, чтобы вычислить

Л/х — а
----------хііх, положимъ
Ь-х

х =а соз2 — + Ь зіп2 — >

откуда слѣдуетъ

Ѳ	5	1

х — а = (Ь — а) зіп2 — , Ь — х= (6 — а) соз2 > </х = — (Л — д) зіп Ѳ </5.

2	2,	2,

Предложенный интегралъ обращается въ

8 Я(а — Зй — 4& соз Ѳ + (6 — а) соз2Ѳ)в?Ѳ

= Я ((а + 3 Ъ) Ѳ — 4 Ь зіп Ѳ + (й — а) зіп Ѳ соз 0) + С,
слѣдовательно,

У	хах= (й - а) (а + 3 Ь) агс

+ | (а — 3 Ь — 2 х) У(х — а) (Ь —х) + С.
Въ частности,

ъ

8 (Ь-а) (а + 36).

п) Ту же подстановку можно приложить къ вычисленію интеграла

ъ

[(.г—а) (6 — +)]	2 е

который встрѣтился Бельтрами въ одномъ вопросѣ о распространеніи тепла ])
Но здѣсь мы изберемъ другой путь, указанный самимъ Бельтрами, взявъ
за новую перемѣнную

при положительныхъ а и /?. Такъ какъ

х — а Ь — х Ь — а
ае1	іи1 +	1

то тотчасъ находимъ

2 <іі_____1____।___1 _	У.

сіх х — а ' 1> — х а (Ь - а)

•откуда

“ гС+Г-+дІ(е-' + е-^

3= ^.-рЬ — а)2 I е	г' "	' (ае1 + е ')сі/,

Стоитъ только замѣнить і на — і и взять ариѳметическое среднее обоихъ
выраженій, чтобы найти

. 0	-Л‘ гл а,? ( ,	__,,

3 = -^(6-я) -е ь	‘ }

| а ,'7	./

Теперь естественно взять за новую перемѣнную Ѳ ="|/а ~е У К0Т0‘
рая измѣняется отъ —со до постоянно возрастая; тогда, припоминая
значеніе интеграла Пуассона (§ 721, е), мы и найдемъ

„2	<«+•?)- Д	„3 _(+т’Т

« И +	, 2 Ь—а I _ г , /- а + сі , ,	, 2 <і

3 = —Ч^(о — а)	е	ея ач = у л — ++ (Ь — а) е

ар	/	ар

—оо

!) Метогіе сІеІГ Асадетіа бі Воіо§па (4® зегіе, і. VIII).
о) Весьма легко представить Кронеккерову функцію з§п (§ 254, е)
въ видѣ опредѣленнаго интеграла. Если въ интегралѣ Дирихле (§ 721, I)
замѣнимъ х на + кх. смотря по тому, будетъ ли к > 0 или < 0, то получимъ

п

~2

Лх,

а такъ какъ при к = 0 второй интегралъ равенъ нулю, то мы и видимъ, что

О)

Ах.

Аналогичнымъ образомъ можно доказать, что

(Ю)

. , .	2	зіп2^л; ,

Ш = —	---Ах.

п хг
о

Изъ этихъ результатовъ легко получаются другіе, нѣсколько болѣе общіе.
Предложимъ себѣ, напримѣръ, вычислить интегралы

СО	оо

(11)	/ зіп ах • соз вх •	, / зіп а.ѵ  зіп .З.т 	,

/	X ]	х&

о	о

которые соотвѣтственно при и при /? = а приводятся къ (9) и (10).

Первый тотчасъ разбивается на два

со	со

і	і Г^^ах

/	X	/	X

о	о

и по формулѣ (9) получается

оо

зіп ах • соз [іх •	(	(« + 3) + з§п (а — ,с?)}.

о

Иными словами, разсматриваемый интегралъ равенъ соотвѣтственно ~ з§п а,
з§па, 0, смотря по тому, будетъ ли | (і меньше, равно, или больше | <х | -

Такъ же второй интегралъ (11) разбивается на

Х‘
и по формулѣ (10) имѣетъ значеніе (| а+/? | — I а—Иными словами,
если а есть наименьшее по абсолютной величинѣ изъ чиселъ а, 0, то

. ,, (I х 1

зіп ах  зіп ііх 	= -у яа з^п

о

Съ помощью формулъ Тригонометріи изъ найденныхъ здѣсь интеграловъ
можно вывести безчисленное множество другихъ. Напримѣръ, если возвы-
симъ (§ 407) въ и-ую степень 2 7 зіп х = егх — ето при нечетномъ п
получимъ
п—1



Зіп ПХ----р зіп(и — 2) X-|----——1 зіп (« — 4)х--------+ •  • зіп А-

Умножая обѣ части равенства на зіп х 	, интегрируя въ предѣлахъ отъ О

до оо, и пользуясь при этомъ выведеннымъ въ концѣ § 332 тождествомъ
п п(п — 1)	п(п—1) • • • (и— ѵ + І)	, («—1) (я — 2)  • • (и—ѵ)

~ іч 2	'	ПТ.Т7 ~ =	1Т2Т3777;	'

получимъ,	замѣнивъ	еще	п на 2 м —1 и х	на ~ ’

_ 1  3 • 5 • • • (2«-3)

' Х ~ 2 • 4 • 6 • • • (2я-2)

л

2

При возрастаніи п до о° интегралъ стремится къ 0, и притомъ асимптотически
1 1 / п

съ 2 У п '

726.	Интегрированіе по частямъ. Пусть и и ѵ двѣ функціи
отъ х. Изъ формулы іІ(иѵ) = гі (іѵ + ѵЛи интегрированіемъ
выводимъ

(12)	/ исіѵ — иѵ— I ѵііи.

Эта формула позволяетъ найти исіѵ, если извѣстенъ ѵЛи *).
Такое вычисленіе называютъ интегрированіемъ по частямъ.
Когда предложено найти нѣкоторый интегралъ, то подъинтегральную
функцію /(х) можно безчисленнымъ множествомъ способовъ пред-

*) Примѣнительно къ опредѣленнымъ интеграламъ эта формула
принимаетъ видъ
ъ	ъ

ийѵ = (иг/)д — ѵйи.

а	а
ставить въ видѣ /(х) = <р (х) ір (х), и притомъ такъ, что ір(х)сіх
будетъ дифференціаломъ извѣстной функціи ѵ, но при выборѣ функ-
ціи ір(х) надо руководиться тѣмъ, чтобы интегрированіе ѵср'(х)сіх
было проще, чѣмъ интегрированіе /(ххЛх. Мы видимъ, слѣдова-
тельно, что интегрированіе по частямъ, такъ же какъ и съ помощью
подстановки, есть не болѣе, какъ пріемъ, имѣющій цѣлью облегчить
интегрированіе, подготовляя его къ непосредственному. Нерѣдко
встрѣчается и такой случай, когда интегралъ, предложенный для
вычисленія, самъ появляется въ правой части формулы (12) съ
коэффиціентомъ, не равнымъ единицѣ; въ этихъ случаяхъ интегри-
рованіе по частямъ дѣлается настоящею методой интегрированія,
потому что формула (12) дастъ тогда безъ новыхъ вычисленій зна-
ченіе искомаго интеграла.

727.	Примѣры, а) Значеніе У'Кі —V- • Лх тотчасъ получимъ, написавъ

У	У 1 - №	= х У1 — х2 +	;

второй интегралъ разбивается на

Г Лх У \-х2	.	---

I --- - — / —,_________ах = агс зіп х — / уі — х2ах.

.1 У \ — Х2 У1 —х2

Слѣдовательно (срав. съ § 725, Ь),

У1	— х2 (іх = | (.ѵ У1 — х2 + агс зіп х) + С.

Ь)	Чтобы найти интегралы отъ зіпіо^л'ч'.ѵ и соз 1о§ х Лх, замѣчаемъ,
что интегрированіе по частямъ, примѣненное къ обоимъ, даетъ

У зіп Іо2 х • Ах — х зіп Іо§ х — соз 1о^ х  Лх,
соз 1о§ х • Лх = х соз 1о§ х + у зіп 1о§ х • Лх.

Отсюда выходитъ, что

зіп 1о§ х  Лх = (зіп 1о§ х — соз І0§ х) + С,

у соз 1о§ X • Ах = (зіп 1о§ X + соз 1о§ л) + С.

Такимъ же образомъ, примѣняя интегрированіе по частямъ къ ех зіп х Лх и
ех соз х Лх, находимъ

У ех зіп х Лх = — ех соз х + ех соз х Лх,
У е‘~ соз.ѵ Лх = ех зіп х — ех зіп х Лх,
откуда

е' зіп х Лх — 4 ех (зіп х — соз л) -4- С,

У ех соз х Лх = 1- ех (зіп х + соз лг) + С.

Впрочемъ, эти интегралы не отличаются существенно отъ предыдущихъ,
къ которымъ они и приводятся подстановкою х = 1о§ і.

с)	Аналогично будемъ имѣть

Х^ЗІПЛ'СОЗХ-

соз2л;«(^= 4 (л.'-|'8іп.ѵсо8.ѵ)+С,

X СОЗ X

X Л зіп X = X зіп X

X = X ЗІП X + СОЗ X + С,

X2 зіп X

х- Л (— соз .г) = — X2 соз X

X СОЗ X Лх

= 2 х зіп х + (2 — х2) соз х 4- С,

Хп СОЗ X Лх = Xя ЗІП X - П I х" 1 зіп X Лх

= лге8Іп л: +	1 соз .ѵ п (и — 1)хлі <х>а х Л х

= (хл- я(л— Г)х" 2-|----------)зіп.г--|-(;г.г-”“1 — п(п — 1) (л — 2) х” 3-|---------) соз.г'4 С,

I агс х Лх = х агс

х- ( л = х агс х ~ 1о811 —-т2 + С,

У 1о§ (дт + 'К 1+х2) Лх = х\о% (х + 11—л-) — У1-4 л- 4- С,
1о§(У1 — х4-У 14-лг)б/л;= л;1о§(1/1 — х-і-У 14-л?) 4- і (агс зіп х — х) 4- С,

ГГ ехлуу~ 1 = 2ехУех~ 1 - 2 Г ехУех- 1 Лх

7 Vех-1 ,1	У

= 2вѴ?^И-2 ГУ^У + 2 Г^-^іУ^ = 1-(ех + 2)УУ^+С.

/ 1/г'—1 у Уех— 1

х Лх
(ех+ е~х)2

,~х	і

—-іо8 (г+г—) +с.

> х	і

Отсюда, въ частности,

х Лх

О

±108 2.
Наконецъ, подстановкою агс — - = Ѳ, откуда х = соі§ 0, и интегрирова-
ніемъ по частямъ получимъ

2

сіх = Ііт Ѳ2 соі§ Ѳ + 2 / Ѳ соід Ѳ

5'^0	.]

о

а слѣдовательно (§ 725, I),

(Послѣдніе два примѣра взяты изъ итальянскаго изданія 1905 года).

1 -4- зіп х

<1) Чтобы взять интегралъ отъ с----------е”х х) примѣняемъ интегри-

рованіе по частямъ

1 4- ЗІП X ,	1 4- зіп X х

------ех Лх = у-4-------<?

1	+ СОЗ X	1 + СОЗ X

1 4- СОЗ X 4- ЗІП X х ,

—е Лх,
(1 + соз х)г

и пишемъ послѣдній дифференціалъ въ видѣ

с:1'-іі ѵ , АііпхЛх Аех , х ,	1	, ех

е	_(____________________—______________________)_ р (і__________________ = а, ________________

1 | СОЗ X К (1 + СОЗ 1 + СОЗ х	1 + СОЗ X 1 + СОЗ Л-

Отсюда слѣдуетъ, что

і Г+ зіп х
I 1 + СОЗ А'

ех Ах = ехіё~+ С.

Можно было бы избѣжать интегрированія по частямъ, умножая числителя
и знаменателя на 1 — соз х и разбивая полученный дифференціалъ слѣду-
ющимъ образомъ

^ + о_

\зіп-х зіп х/	\8іп х

соз х 1

ЗІП2 X,

ех Ах = — А (ех соі х) 4- А ----------

' зіп х

е) Если требуется найти интегралъ отъ х”‘ 1о§и х Ах, при т > — 1
и п — цѣломъ положительномъ, то съ помощью интегрированія по частямъ,
и повторнаго приложенія перваго получаемаго результата, найдемъ

'пх-Ах=——- Іое" х——,г-—г I .ѵт іой" 1 х  Ах
'	т +1 ° т + 1 /	°

«	, і

т -|- 1 \

іі (п — 1),
(»»+1)2,08

п!

” - 1):

х) Этотъ примѣръ заимствованъ изъ „СНаз^оіѵ ІЧпіѵегзііу Са1епбаг“
(1901—02), гдѣ читатель найдетъ много другихъ полезныхъ примѣровъ.
Такъ какъ при всякомъ т > О и т> —1, функція хт^1о^ѵх, равная нулю
при х = 1, стремится къ нулю справа отъ 0 (§ 312, а), то въ частности
будемъ имѣть
і

(13)

,ѵ”! іоч’1 л; • <7л-=

(« + !)’

Аналогично этому находимъ

хп е~х Лх ——х'1 ч ^ — п л”1 е~х Лх

= — (хп + пхп ”*+«(« — 1) х“'' +•••+«!) е~х + С ,
и въ частности, замѣчая, что, при всякомъ ѵ >0, (л-”с—*)” = 0 *),

(14)	I хп Лх Лх — п\ (е—іг) » = и1.

о

Если этотъ результатъ извѣстенъ, то можно легко имъ воспользоваться
__ і
чтобы изъ него вывести (13): стоитъ только сдѣлать подстановку х=е т+1.
Дѣйствительно, тогда
і

хт 1 х Лх
б

(Ш + 1)и+1

Впрочемъ, формула (14) есть частный случай другой раньше доказанной
(§ 721, Ь), потому что и! есть значеніе Г(и-|-1) для цѣлаго п.

і) Интегрированіе по частямъ, примѣненное къ интеграламъ

ап = у хп е 'созхЛх.
о

с хътхЛх,

о

даетъ

ац = (хг‘ е х зіп х

I (нх
о

зіп .г- Лх,

1}п = (*” « ' соз.г^ +

О

соз х Лх,

т. е.

=	Ь„ = -яи + ««п_1-

Эти соотношенія можно соединить въ одно: сп= |(1 4-г) псп_р положивъ

*) Символъ (/(л))* обозначаетъ разность /(6) — /(«)•
<п = ап + И>п, при і2 — — 1, Замѣчая, что с0 - А (1 + /). выводимъ отсюда
. . л «+і

с'л "’Ь I ХѴТ/ - ”+1

2 2
Слѣдовательно,

2 -	2 2

Общнѣе, при сова > 0, имѣемъ

00

есоз (х зіп а) сіх = п \ соя (и 4- I) а,
о
х

Хті ^,С'ОН,( зіп (.Г 5ІЛ Гі) (ІХ =- »! 5ІП 4" 1)
о

Изъ этихъ формулъ получаются предыдущія при а ----- и замѣнѣ х на
л-УІ.

У

Вычислимъ^5Іпяхг?х при п цѣломъ положительномъ. Интегриро-
о
ваніс по частямъ даетъ
„Т	.Т

5іпп X ІІХ — / 5іпй 1 X  СІ (— СОЙ х) (?? — 1 } У 5Іп"”2 X СО52 X СІХ

О	V	б

2	2

(« — 1)^У 5ІПН" “Л-  ^Х — (и — 1) у 8ІПЯ А' сІХ,

О	б

откуда
л	л	л

Г . н , а — 1 / * . л_3	.	(«— 1) (м — 3) / . п_з ,

/ 8Н1 Х(ІХ^------I 5!Л ^хсіх — -------т--	7 / 51ПП .Г СІХ = •   ,

I	и I	(и — 2) г

0	0	б

такъ что, въ концѣ концовъ, приходимъ къ одному изъ двухъ интеграловъ.

/ = ’ I 5*п л 1 *

о

о
смотря по тому, будетъ ли я четное или нечетное. Итакъ,

(15)

1  3  5    (я — 1)

2 • 4 • 6 • • • я 2

2  4  (і - - - (я-1)

3  5 • 7 • • • «

при п четномъ,
при п нечетномъ.

Отсюда легко вывести формулу Валлиса

(§ 464, а), исходя изъ неравенствъ

которыя теперь обращаются въ слѣдующія

2  4  6    2 п 1  3  5    (2 >і — 1) .т 2  4  6    (2я -2)
ІПГТ- “ (2я + 1) '' ~2~. 4~6~ 2я ' 2" 3  5 • 7 7 77(2~Г) ’

Отсюда слѣдуетъ

2	2	4^ 4_ 2п ?іі_ , л „_2 _2	± ± 2п

1 ' 3" ' 3 ' 5 ‘	' 2 и- 1	' 2я+1 < 2 < Г ' 3	3 ' 5	' ’ ' 2и- 1	'

Поэтому, замѣчая, что отношеніе =----7

2 п + 1
безконечномъ, мы и находимъ

стремится къ предѣлу

1 при Н

= 2	2 4 4 6 6 .8

2	1 ' 3 ' 3 ‘ 5’ ’ 5 ’ 7 ' 7

Отсюда же легко заключить (§ 337, с), что, при

нія (15) стремятся принять

форму

, такъ

возрастаніи п, оба выраже-
что

іітУ я і  ііх

П—Х 1
6

-Ѵг

ао

Ь) Интегралъ	х™ е~х іі.ѵ при и = 0 намъ уже извѣстенъ

о

(§ 721, е), а при п = 1 легко вычисляется, потому что

Зі = і I е І\/(^) = И^П = |.
о

Впрочемъ, замѣна х на У л-даетъ, при всякомъ и,	. Но по.

ложимъ, что это соотношеніе неизвѣстно; тогда при всякомъ цѣломъ поло-
жительномъ и интегралъ Зп вычисляется
частямъ слѣдующимъ образомъ:



2

о

съ помощью интегрированія по

*!і'і

и — 1

,5 .	11 - 1 „

	= —у- Зп

X

о

1 • 3  5 • •  (я—1) „
-------------- '3№. при

четномъ

и

(16)

3,^-

2а

2  4 - 6 •   (я—1)

-------------- ПР"

нечетномъ

Чтобы

вычислять

теперь и Зп, замѣтимъ1), что выраженіе

3.

для всѣхъ вещественныхъ значеній

холимо 3,, , 3.

з Т. е.

ч положительно, и

что для

этого необ-

—, между тѣмъ,

какъ 'тг-
СІ.

Зп

3'~'_

у

3„	3,

2

»—1

о

п

е

2

и

Слѣдовательно,

3.

п

Л

а поэтому послѣдовательно

Іігп

= лГ-2 ,

.. з2„у »

ІПП ----- = 1 .

Остается подставить выраженія
чить (§ 337, с)

(16)

въ послѣднее равенство, чтобы полу-

1	2-4-6---2я	1	1

- -у інп уу 5 . . (2я	~ ~2

Далѣе легко установить, что выраженія (16) при безпредѣльномъ возрастаніи н
стремятся принять асимптотическую форму



х) ЙІіеІІіез. „Коиѵеііез Аппаіез Маіѣёта^иеь" (1890, стр. 479).
і) Предложимъ себѣ вычислить

* п * о ,
агс — агс Лх

при а и Ь положительныхъ, слѣдуя пути, указанному Лершемъ (Ьегсіі,
Оіогпаіе сіі МаНіеніаіісГіе, мартъ 1903 г.). Значеніе этого интеграла при
й = уже извѣстно (см. § 727, с) и мы вскорѣ снова найдемъ, что это
значеніе # = я!о^2. Затѣмъ, при а =Ь, интегралъ равенъ что прямо
получается замѣною х на ах. Отсюда слѣдуетъ, что

2 3 + <Цо + і>) — I (агс 1$ Д- + агс | <7д-.
о

Замѣчая теперь, что (§ 254, 4)

агс

•+ агс — = агс 1^

(а 4- Л) л-	I -т при л- < У а 1>

х^-аЪ	, о ПрИ х > у я

получимъ

о

00

(ст 4-лѣа у । Гі *	+ А) -т\'- ,

2—У I Лх + / агс ^2----уі (іх

а Ь х2 ]	1 \	—

V ай

а 5	®

г п /	, (о4-Ь] X, / I	(а—6)х\2

=	1 аЬ - 2 I агс іе Лх + у (агс і8 х2~_—Лх.

О	о

Для вычисленія послѣдняго

л.	а &

интеграла, замѣнимъ .г на — и замѣтимъ, что

о

а Ь

а замѣняя теперь .г---— черезъ а.-, найдемъ, что искомый интегралъ при-

водится къ

У (агс

Лх = I (агс ід ~~~= * («-г^).

— <30

О
Слѣдовательно,

а Л

3 = у -т2 У а Ь — л, ) агс ід	ііх

о

Теперь можно было бы прямо примѣнить интегрированіе по частямъ, но
проще разбить интегралъ во второй части на два

I ' йк	I' «Л

С X Г X

I агсі^ сіх 4- I агс I"
о	о

и интегрированіемъ по частямъ получимъ

/	* А' л -* '--Г . 1 Г Ь л Ч + ь

/ агсі^-—о6агсСя|/ — — 3 І05 — — .

6

откуда

/лй

Г . («+&)л- .	1	1, («+ЛУ+6

I агс Ія —т--ё г/лг= — яфлй — 1о§---------у—

6 аЬ~х* 2 '	2 ° „-//

о

и окончательно

[Этотъ примѣръ взятъ изъ итальянскаго изданія 1905 г.].

I) Въ заключеніе покажемъ, что второй интегралъ въ формулахъ (11)
получается изъ перваго интегрированіемъ по частямъ. Такъ какъ

зіп ах  зіп Зх\п , зіп ах ,,	,

------- ; •	- I — 11ГП ---------ЗШ ,7Л’ — П 11П1 81І1 рЛ" =

Х	I 05	Т—’і	X	х_г,

0.

то

/ 	 э <іх

I зіп ал'  зіп 7л’ „

о

(;? зіп пх соз + а зіп Зх соя ах)

= іліЗ{веп(а+Л + 88П ("—і я>а{8$п (,3 + «) + з§п(;3 — а)}

— | я(а4-,3)88п і-т (<т —/?)з§п (а— 'З) = І л{ | а+іі | — | а—,3 ]}.
728.	Интегрированіе при помощи рядовъ. Если въ нѣ-
которомъ интервалѣ (а, Ь') рядъ

/(х) иі(л) + «й(-т) + «з(.т) +   ,

члены котораго непрерывныя функціи, равномѣрно сходя-
щійся, то будемъ имѣть

Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ, что 322) при данныхъ условіяхъ/(х),
такъ же, какъ и л,-(х), непрерывная, а потому и интегрируемая
{§ 719) функція. Слѣдовательно, если 7?в(.г) обозначаетъ остатокъ
даннаго ряда, то можно написать

Если теперь в по произволу заданное сколь угодно малое поло-
жительное число, то, какъ мы знаемъ, можно указать такое число,
что для всѣхъ значеній п большихъ этого числа, и для любого
значенія г въ интервалѣ (а, і), будемъ имѣть | <р„ (л) ' < е.
Поэтому
!.	Ь

У Фп (Л)	-7 У । <І>,. ІЛ'! I < (Й-Д)

({	[ о

а потому

л	Ь	Ъ	Ъ

Ііт у <Их = 0,у/(.ѵ) ііх = щ (х) <іх — у «2 (л-)	+  • .

<г	«	а	«

Замѣтимъ, что, въ частности, всякій степенной рядъ допускаетъ
почленное интегрированіе.

729.	Примѣры, а) Интегрированіе при помощи рядовъ можетъ слу-
жить для разложенія функціи въ степенной рядъ, если извѣстно разложеніе
производной. Такъ, напримѣръ (§ 233, е).

2

/ ііх	1	.Г'1	1-3

агс зіп х = / —	- = л'  -п- +

,/ /і-л-2	2	3	2-4

С

1  3.5 22 +

5 ^2-4-6 1

1 .г1 , 1  3 ,гя	1.3.5 л’’

2'3 + 24 5	2 : 4 • 6 ' 7 +
при Условіи, что въ правой части а.-3 не > 1. На основаніи извѣстныхъ
потому пРнведенныхъ выше (§ '25, б) оба разложенія эквивалентны,.

атс іх = агс і§-	— •= -Дт іор^——- — і Іое (.ѵ + Ѵ1 І х2)-

ѴН л-2	2; к у 1+л-з + х

. Интегрированіе при помощи рядовъ часто полезно для вычисленія
Нѣкотор,ыхъ опредѣленныхъ интеграловъ. Такъ напримѣръ, весьма быстро
вычисляется интегралъ отъ х*(1х въ предѣлахъ 0 и 1 при помощи разложенія

іоз *	. , --с Іо® х л*-1о82 х № 1оея Л'

Х	1 +^1—+ -і7 2~ + —Г7Т~	' ’•

Дѣйств нтельно, интегрируя и припоминая формулу (13), тотчасъ находимъ

Общн^е ИНѣемъ

1ой*!.ѵ <іх

(»+!)»	(»+!)(»+2) а-

П(;?Т-2)К^2+ 2ф+3)м+3

Въ часчтности, замѣтимъ, что

1
(о'-І)'41

(' 1 ~ I ДА*" ѵ
------  —— въ

1 А ( А’
ііредьл[ахъ о и оо можно воспользоваться разложеніемъ подъинтегральной
ФУнкц іи въ степенной рядъ. Но необходимо замѣтить, что въ интервалѣ,
отъ ѵ д0 і ее иад0 разложить по восходящимъ степенямъ х, а въ интервалѣ
отъ 1 до со по восходящимъ степенямъ —. Однако, можно избѣжать этого
х

второе^ разложенія, ограничивъ интегрированіе интерваломъ отъ 0 до 1.
Достат^.очно разбить данный интегралъ на два

1	ос

„ / , і + х	Г х +1 а х

\] 1оет^- т +

о	і
и замѣтить, что второй интегралъ при подстановкѣ — на мѣсто х, обра-
тится въ

і

Поэтому данный интегралъ имѣетъ значеніе, равное (§ 219)

і	і

о	о'

т. е. равенъ суммѣ ряда (§ 365, а)

умноженной на 8, такъ что

б) Обратно, можно воспользоваться интегрированіемъ съ помощью
рядовъ для суммированія нѣкоторыхъ рядовъ, изображая члены этихъ ря-
довъ опредѣленными интегралами. Такъ, напримѣръ, чтобы найги сумму
ряда 1 — 1	— і) + )+'  ’ • достаточно замѣтить, что ея значеніе равно

опредѣленному интегралу (§ 725, гі)

Слѣдовательно,

о 2.7

/’З [ 3

1 "2	4	5 + 1 + 8	10	11 + 13

2 л.

3]/3

Точно такъ же сумма ряда |

  равна интегралу

о

о

= (1о« У 1 |-.г +

—— агс	’

УЗ УЗ /о
а потому имѣемъ

1	1	,	1	1	,	1	1,1	1,	, лА-

2	3 + 5	6^8	9 + 11	12 + ' ' '	°83

е) Первый изъ полученныхъ нъ пунктѣ (1) результатовъ заключается,
какъ частный случай, при а =	, въ извѣстной формулѣ (§ 363)

(17) «іпс; + -1 5Іц2« + ііпЗ/і +    =	+ |у-1 п.

которая сама можетъ быть получена такимъ же путемъ, т. е. при помощи
интегрированія ряда

віп а + л* зіп 2 а — х2 зіп 3 а |  .г-: зіп 4 и ф • • •

между предѣлами 0 и 1. Такъ какъ зіп (в — 1) « + кіп («-(-1) а = 2 зіпи асозп,
то имѣемъ тождественно

(1 )- х-)	1 зіп о - зіп а + 2 а- соз а 'У~' х'~ ’зіпяя,

1 1

откуда вытекаетъ

(18)

зіп » а =

зіп а

1 — 2 л- соз « Ь А2

Поэтому сумма ряда (17), при условіи, что исключаются тѣ значенія, при
которыхъ зіп « = 0, можетъ быть выражена гакъ

г

Уюпаі/д- /	, х— созаіі	,

1 —2х созсЦ^ѵ2 = ГГС 18  зіп—)Г аГС |18 2 ) + ЭГС 18 (СО1

О

Слѣдовательно, искомая сумма (§254,6) равна агс 1^ (соі§ потому что
соіу; < 1- Полученное выраженіе равно выраженію (17) и изображаетъ
сумму ряда и при «, равномъ нечетному кратному отъ п, Но оно теряетъ
смыслъ при а, равномъ четному кратному отъ л, когда, какъ мы знаемъ, и
формула (17) не имѣетъ мѣста.

Г) Къ другимъ замѣчательнымъ результатамъ приводимъ интегриро-
ваніе выраженія (18) по а въ предѣлахъ отъ 0 до какого нибудь а, при
чемъ х остается постояннымъ и лежащимъ между 0 и 1. При этомъ пред-
положеніи, какъ извѣстно (§ 320, Ь), рядъ (18) равномѣрно сходящійся.
Съ помощью интегрированія тотчасъ находимъ

Ѵт,х- ,,

(1-созиа) =

</ ( -.1' соз гі)

1 — 2х соз а-і-х-

1 ,	1 — 2х соз а 4-х2

т'°«—

с
т. е., замѣняя а на 2а,

 ѵ ,1 , . ч „	,1 „ . „ „	,	1,	1 — 2.т со? 2а -.г-

х ?ш- а — х- зіп- 2 « 4" "2“ -ѵ3 зіп2 3 а    =-^- Іод —	------

Замѣчая далѣе, что зіп а зіп 3 = зіп- [ -у2- ) — зіп- 2 П(МУчаемъ еще
х зіп а зіп ,3 4- і л'2зіп 'Іа зіп 23 4- а х' зіп За зіп 3,3 4- - • 

_ 1 .	1 —2.г- соз (а -|-;3) — л--

4 °-’ 1 —2 ѵ сос (а — ,4) — „ѵ-

Отсюда, на основаніи теоремы Абеля (§ 340), слѣдуетъ

зіп а зіп $ -г- -і- зіп 2 а зіп 2,3

зіп 3 а зіп 3 ,?-[-    = -і І°И
о	2

. а 4-5
зіп 2

. а — ,3
зіп — -

Эта формула даетъ намъ возможность вычислитъ ешс другой интеграл ь,
аналогичный интегралу (11)- Съ помощью не вполнѣ строгаго пріема, уже
примѣненнаго раньше (§721, е, і, іт), легко найдемъ

.	// ,ѵ

5111 а.с 5111 4.г------------

1*1^1

д) Вычислимъ, наконецъ, еще интегралъ Дирихле (§ 721, Г), собирая
всѣ элементы, соотвѣтствующіе одной и той же абсолютной величинѣ зіпл-.
При этомъ, когда .т имѣетъ значеніе, лежащее между 0 и дуги .г, п — х,
2л-\-х, З.ч; — х, 4я4-.г' и т, д. будутъ имѣть одно и то же значеніе синуса,
а дуги л-{-х, 2 л—,с, Зл—х, 4 л —х и т. д. — то же значеніе съ обратнымъ
с»

.	Г 5ІП х ,	.

знакомъ. Отсюда слѣдуетъ, чтод	— ах можетъ быть представленъ слѣ-

дующимъ образомъ

Между тѣмъ (§ 464, с) рядъ въ скобкахъ имѣетъ значеніе

- 2нл ^х — (2я+ 1).т

1	Ч , х

х)  - ия	2 \	2

2	1 г - и л

_1_

ЗІП X
Слѣдовательно,

Это вычисленіе легко сдѣлать совершенно строгимъ х).

Кратные интегралы.

730. Неопредѣленное интегрированіе. Изъ предыдущихъ
изслѣдованій ясно, что задача простого интегрированія въ сущности
состоитъ въ разысканіи функціи ѵ, когда извѣстна ея производная
ІІ у

= /(х). Не будетъ существенно новою задачею вопросъ о ра-
зысканіи неизвѣстной функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ по
данной частной ея производной, взятой по одной изъ перемѣнныхъ.
Напримѣръ, если требуется найти функціи г отъ д- и у, когда дана
с(.г

= У(.г’, _у), при составленіи которой у разсматривается, какъ
постоянная, то такъ же на нее надо смотрѣть при интегрированіи,
такъ что = У/Хл-'і	Но такъ какъ при этомъ у считается

постояннымъ, то подъ произвольной постоянной, являющейся при
этомъ интегрированіи, надо понимать независящую отъ _ѵ величину.
Она можетъ зависѣть отъ у и будетъ въ сущности произвольной
функціей отъ у. Точно такъ же не новыми, по существу дѣла,
будутъ вопросы о нахожденіи функціи у по данной — /(.г),

,,2 в

или г по данной =./'(.т, _у), и вообще по данной производной
какого угодно порядка, но взятой по одной лишь перемѣнной.
Нѣсколько послѣдовательныхъ интегрированій по этой перемѣнной,
при чемъ другая разсматривается, какъ постоянная, всегда приведутъ
къ цѣли, не требуя какихъ либо добавленій къ сказанному раньше.
Новый вопросъ является лишь тогда, когда требуется найти функ-
цію з, удовлетворяющую уравненію

ОЭ)

гдѣ у данная функція отъ независимыхъ перемѣнныхъ х и у.
Допуская а ргіогі существованіе такой функціи г, замѣчаемъ, что

х) См. „Саісоіо іпіе^гаіе” Агсаіз (стр. 198).
лѣвая часть равенства (19) есть частная производная отъ

д г

<Ъ' ’

по х, при составленіи которой у разсматривается,

взятая

какъ

постоянная, поэтому

г.

д у.

У) <іх.

Интегрируя теперь по у, въ предположеніи, что х остается
постояннымъ, получимъ

® = I { У /(х, у /!х}<іу,

или, какъ иначе пишутъ,

~	/ (ІУ [/(-т, .У) (іх.

Ясно, что можно разсматривать лѣвую часть равенства (19), наобо-
д е

ротъ, какъ производную отъ —, взятую по _у, и тогда аналогич-
нымъ путемъ найдемъ

- = х у Дх, г)

Общій результатъ двухъ послѣдовательныхъ интегрированій (если
онъ существуетъ), по различнымъ, одна отъ другой независимымъ
перемѣннымъ называется двойнымъ интеграломъ и изображается
слѣдующимъ образомъ

(20)	г = / Гдх, у) <іх ду.

Надо замѣтить, что если существуетъ одна функція ц —	у),

удовлетворяющая уравненію (19), то существуетъ и безчисленное
множество функцій, ему удовлетворяющихъ, и общее ихъ выраженіе
будетъ

г — Г (х, у) + <р (х) + ѵСу),

гдѣ <р(.ѵ) произвольная функція одного х, а ф(т) произвольная
функція одного у. Къ этому результату можно придти, выписывая
при послѣдовательныхъ интегрированіяхъ произвольныя постоянныя
(которыя въ данномъ случаѣ будутъ произвольными функціями отъ
той перемѣнной, которая разсматривается, какъ постоянная при
интегрированіи), но еще проще сдѣлать повѣрку предыдущаго
равенства, которая дасть

о;	д К	д~з	сРЕ

	 =	- -Г <Г М И - - -	!
г) х---------------------------<> х	охду дхду

т. е. ууД -/(х,у), по условію.
731. Опредѣленный двойной интегралъ. Когда мы ищемъ
простой опредѣленный интегралъ отъ /(х) <іх въ интервалѣ (а, Л),
гдѣ а<_Ь, то ограниченіе, налагаемое нами на перемѣнную х,
можно выразить неравенствомъ (х—а)(х— Ь)^=0, такъ какъ этому
неравенству удовлетворяютъ всѣ значенія х, лежащія въ интервалѣ
(а, 6) и только эти значенія. Общнѣе, всякое неравенство /. (,г)^0
изображаетъ одинъ или нѣсколько интерваловъ, совокупность кото-
рыхъ составляетъ область интегрированія. Обращаясь къ двой-
ному интегралу (20), положимъ, что перемѣнныя х и у, оставаясь
одна отъ другой независимыми, должны удовлетворятъ нѣкоторому
неравенству
(21)

Допустимъ еще, чтобы имѣть дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ,
что изъ этого неравенства, при данномъ значеніи х, вытекаютъ
неравенства

(21а)	а (х) д' Ь (х),

гдѣ <т(х) и Ь{х) нѣкоторыя функціи отъ у, и что значенія у,
такимъ образомъ ограниченныя, существуютъ для всѣхъ значеній х,
ограниченныхъ неравенствами

(21Ь)	а й х < іЛ

гдѣ а и $—постоянныя; обыкновенно эти числа будутъ корнями
уравненія а (х) = Ь(х). Интегрируя функцію /\х, у) по у въ пре-
дѣлахъ отъу = а(х) до у = 6(х), разсматривая, конечно, при этомъ х,
какъ постоянную, получимъ результатъ, зависящій, воообще говоря,
отъ х

(л)

фк) = ^/<х,у)Ну.

Теперь возьмемъ интегралъ отъ <р(х)г/х въ предѣлахъ отъ а до [1.
Полученное при этомъ число

д	л (у

(22)	'	/ Х

а

называется опредѣленнымъ двойнымъ интеграломъ, распро-
страненнымъ на область, опредѣляемую неравенствомъ (21), или
равносильными ему неравенствами (21а) и (21Ь). Если Н(х,у), при
х постоянномъ, есть первообразная функція отъ /(х,у), то фор-
мула (22) дастъ для # значеніе

_ = I [Г(.г, 6(х)) — Н.ѵ, а (.г))) і7.г.

ІІ
[ Примѣчаніе. Если изъ того же неравенства (21) вытекаютъ
неравенства
(21с)	с (_у) .ѵ < !.і ( г),

ограничивающія значенія х при данномъ у для всѣхъ значеній у,
удовлетворяющихъ неравенствамъ

(214)

то двойной интегралъ

(22Ьіз)	/	с?л ’

; ’•(»)

отличающійся отъ (22) порядкомъ интегрированій и предѣлами для
перемѣнныхъ, также называется двойнымъ интеграломъ, распростра-
неннымъ на ту же облаетъ (21). Изложенныя до сихъ поръ сооб-
раженія не даютъ возможности доказать, что формулы (22) и (22 Ьіз)
даютъ для 2 одно и то же число, т. е. что значеніе двойного
интеграла отъ /(.г, <іх сі у вполнѣ опредѣляется, когда дана область
интегрированія; результатъ этотъ вытекаетъ непосредственно изъ
новаго опредѣленія опредѣленнаго интеграла, которое будетъ дано
ниже (§ 735). Если будемъ разсматривать .г- и _у, какъ Декартовы
координаты точки на плоскости, то область, опредѣляемую нера-
венствомъ (21), можно разсматривать, какъ часть плоскости, всѣ
точки которой удовлетворяютъ неравенству

/Дѵ. /і іг- 0.

Наше предположеніе, состоящее въ томъ, что неравенство (21)
равносильно неравенствамт, «(.г) с= у й А(х) и «. Д ==/3, обозна-
чаетъ, что часть плоскости ограничена двумя кривыми

у-л(.ѵ). у — Ъ{х).

и двумя прямыми, параллельными оси у-овъ: л' = а, х = [3, при чемъ
а{х) < й(д'),	Предположеніе, что неравенство Г, (х, у) ;= О

равносильно также неравенствамъ

с(у) х </(у), у < у д

обозначаетъ, что ту же часть плоскости можно разсматривать, какъ
ограниченную двумя кривыми

-Ѵ = С(у), .V — (7(у),

и двумя прямыми, параллельными оси л’-о'въ: у=у, у = д, при чемъ
с(_у)<і/(у), у<<5. Если та часть плоскости, на которую распро-
страняется интегрированіе, ограничена сомкнутою кривою линіею,
/. (х, у) = 0, которая пересѣкается прямыми линіями, параллельными
осямъ, не болѣе, какъ въ двухъ точкахъ, то рѣшая уравненіе
Л (а", у) —0 относительно у, найдемъ два значенія при данномъ х",
у — л(л'), у = />(л); а и /У — предѣлы для д-—будутъ абсциссы
точекъ касанія кривой съ прямыми, параллельными оси у-овъ, такъ
какъ эти абсциссы и будутъ наименьшимъ и наибольшимъ значе-
ніями X въ данной области. Рѣшая то же уравненіе относительно х,
получимъ X — с(_у), Л' = <7(_у), а числа у и 6 — предѣлы для у—
будутъ ординаты точекъ касанія кривой съ прямыми, параллельными
оси .ѵ-овъ. Въ разсматриваемомъ случаѣ, какъ видимъ, неравенство
2. (а, у) = 0 равносильно какъ неравенствамъ (21а) и (21Ь), такъ
и неравенствамъ (21с) и (216), и двойной интегралъ, распростра-
ненный на данную область, можно представлять въ формѣ (22)
или въ формѣ (22Ьіз). Наконецъ, замѣтимъ, что если разсматри-
ваемая область интегрированія, выражаемая неравенствомъ Ь[х, у)^0,
не можетъ быть выражена неравенствами вида (21а) и (21Ь), то мы
разбиваемъ ее на части, для каждой изъ которыхъ это требованіе
выполняется, и подъ интеграломъ, распространеннымъ на всю
область, понимаемъ сумму интеграловъ, распространенныхъ на
каждую часть отдѣльно. ]

732. Примѣры- Если область интегрированід задана неравенствомъ
х2 + у2 < 2,ѵ. то изъ него вытекаетъ

— у 2 л- — № й.і’ і  У 2 т — ,г-,
и у будетъ вещественнымъ только при 0 .т < 2. Слѣдовательно, двойной
интегралъ, распространенный на эту область, выразится формулою

2	+1

- — х У /{х  ,ѵ) гі„ѵ-

*>	- ГѢГГТѴ

Но изъ даннаго неравенства, также вытекаетъ, что

1 - у2 < Л- а 1 + ТЛІ -дй
- 1 — & + 1,

поэтому интегралъ, распространенный на данную область, можно предста-
вить и такъ:

4 і	+ г і -

а •= I сіу /(.ѵ. г) '7 ѵ,
1	і -Іі—V

перемѣнивъ порядокъ интегрированій. Отсюда вытекаетъ, что если ср (х,у)
есть первообразная функція отъ /(х,у) при ,ѵ постоянномъ, а »р(.ѵ.ѵ)
первообразная функція отъ /(.ѵ, у) при у постоянномъ, то двойной инте-
гралъ	/(а, у) сіх сіу, распространенный на данную область, можетъ

быть представленъ въ одномъ изъ слѣдующихъ двухъ видовъ
2

і'(/, у 2 і - /9 - ({.. (л у"2 ( - гД ] Лі,
О

1

/| у (1 + у і —	/) - ѵ’ (1   У 1   ^2, /) ]

-1

[ Такъ какъ тождественность этихъ выраженій пока вообще не доказана,
то мы можемъ здѣсь лишь провѣрить ее на частномъ примѣрѣ. Положивъ,
напримѣръ, /іх, у) = ху, легко найдемъ для того и другого интеграла
значеніе, равное нулю. |

733.	Двойной интегралъ разсматривался нами, какъ результатъ
интегрированія простого интеграла. Является вопросъ, какъ
производится дифференцированіе простого интеграла по пере-
мѣнной, независящей отъ перемѣнной интегрированія, или, какъ
говорятъ, но параметру, отъ котораго зависитъ подъинтегральная
функція, и который при интегрированіи разсматривается, какъ по-
стоянная, Разсмотримъ функцію

іі

'I {х) - С/(х, у)гіу, (а<Ь)

и положимъ сперва, что а и Ь отъ л: пезависятъ. [Докажемъ слѣ-
дующую теорему: Если функція / (х, у) непрерывна относи-
тельно х и у для всѣхъ значеній х и у, удовлетворяющихъ
неравенствамъ а^у^Ь, с^х^=д, то функція Ф (.ѵ) будетъ
непрерывна въ интервалѣ (с, <і). Возьмемъ произвольное зна-
ченіе х = а въ интервалѣ (с, д) и покажемъ, что <р(х) непрерывна
для этого значенія, Мы имѣемъ

(А)	| (.Г)	</:((!) I X- /(х, _у) - Да , У) \ /ІУ,

/I

(см. §715, а). Вслѣдствіе непрерывности функціи Дх, у), каждому
данному положительному числу е соотвѣтствуетъ такое число <5, что

ІД.г. у) /(«,>)[< г,

если | х — а < <5, а потому изъ предыдущаго неравенства получаемъ
л/

ф(х) — </(«) | < (й — а) е, а положивъ к — & ’ а , гдѣ е' сколь угод-
но малое положительное число, мы находимъ, что при х —а <д,
(р(х) — <р(и) | < /, что и доказываетъ непрерывность ф (х) при
х = а, а слѣдовательно, и во всемъ интервалѣ (с, Э). потому что
значеніе х —о выбрано было по произволу.
Полученный результатъ можно обобщить на тотъ случай,
когда у\х, _у), оставаясь лишь конечною имѣетъ конечное число
разрывовъ для нѣкоторыхъ или даже для всѣхъ значеній л‘ въ интер-
валѣ (с, д) и различныхъ^ въ интервалѣ (а, />).]* **) ***)).

Перейдемъ теперь въ разысканію производной отъ гр (х).
Мы имѣемъ

(*+&) - ц, (,г) = Гр[х + Л, у) —/(* у) ѵ
/г	/	й

і,

= / /у,х >5 /г, ѵ) сіу, гдѣ 0 < 6 < 1.

Положимъ, что каждому, сколь угодно малому, положительному
числу е, соотвѣтствуетъ такое положительное числи д, что, при
|/і ,<()', всегда будемъ имѣть при 1 А' < <5,

ІЛН	У) | < г,

каково бы ни было значеніе у въ интервалѣ (а, 6). Тогда ясно,
что будемъ имѣть

і

I Т (-Т — Л) -

а отсюда

!>

,, , ѵ іг (х + Л>-	/

' --------------------- Ъ-------------= /

Полезно замѣтить, что поставленное выше условіе относительно /'х
всегда выполняется, если производная Д4 отъ существуетъ и
конечна. Дѣйствительно, если /^ । будетъ при	а^уі: Ь

всегда меньше нѣкотораго даннаго числа /, то достаточно взять
' 1г ! < у , чтобы имѣть

! .4 {х Л, у) —(л, у) | <	/У'. (Л- + О І!, у)1 <

I	* I	I



*) См- Роиззіп, бе Іа Ѵаііёе, Соигв (ГАпаІуве іпйпійы'таіе, т. II,
2-е нзд. 1912, стр. 4.

**) Формула эта выражаетъ такъ называемое правило Лейбница.

***) Очевидно, также, что для выполненія упомянутаго условія доста-
точно, чтобы /, (лг, у) была непрерывною въ данной области, какъ функція
отъ двухъ перемѣнныхъ.
Итакъ, производная интеграла, взятая по параметру, при предѣ-
лахъ, отъ него независящихъ, равна интегралу отъ произ-
водной иодъинтегральной функціи, взятой по этому пара-
метру. На этомъ основаніи формула
а

называется также формулою дифференцированія подъ зна-
комъ интеграла *). Если а и 1> не постоянныя, а функціи отъ х,
то производную ф'(.ѵ) получимъ, разсматривая ф(т), какъ сложную
функцію (§ 369), и припоминая, что производная интеграла по
одному изъ его предѣловъ равна значенію подъинтсгральной функціи
(§ 713) на этомъ предѣлѣ, взятому со знакомъ или — (§ 711, а),
смотря по тому, будетъ ли эта производная по верхнему или по
нижнему предѣлу **). Примѣняя сказанное, получимъ

ъ

ч' (-Н = /(.ѵ. Ь) Ъ' - /\х, а) а'+ I /), (л-, у) <іу.
а-

734.	Возвратимся теперь къ интегрированію интеграла и бу-
демъ опять считать а и Ь постоянными. Предложимъ себѣ интегри-

ровать интегралъ уЦт) = ((х.у)сіѵ въ предѣлахъ отъ а до

Если положимъ

х	г,

ѵ(х, у)= у/(.г-, у) гіх, Г(х} — У ѵ(.ѵ, у)4у,
а	*

то, очевидно, будемъ имѣть

*) Правило это выведено только для случая конечныхъ предѣловъ
интеграловъ, Дальше встрѣчаются, однако, приложенія его въ случаѣ безконеч-
ныхъ предѣловъ. Объ условіяхъ, когда такое распространеніе законно, можно
прочесть, напр., у Гурса „Курсъ математическаго Анализа" (т. I, стр. 395).

**) Примѣняя это правило § 713, мы должны предположить непрерыв-
ность подъинтсгральной функціи по у, по крайней мѣрѣ, при у = а и у .
Итакъ, чтобы интегрировать интегралъ но параметру (т. е.
по перемѣнной, независящей отъ перемѣнной интегрированія въ
данномъ интегралѣ), достаточно интегрировать [іо этому пара-
метру подъинтегральную функцію. Иными словами, подставляя
•вмѣсто <р (х) ея выраженіе, получимъ

? л	і а

сі х !/{х, у. Лу сіу }/(.Г, у) СІХ.
а	а	ч	ц

[ Примѣчаніе. Эта формула показываетъ, что значеніе двой-
ного интеграла, когда предѣлы интегрированія по обѣимъ перемѣн-
нымъ постоянны, не зависитъ отъ порядка интегрированій. Формула
эта выведена при помощи формулы дифференцированія и можетъ
считаться доказанною только въ случаѣ конечныхъ предѣловъ и
непрерывности подъинтегральной функціи. Дѣйствительно, въ этомъ
предположеніи, Дх, у) будетъ интегрируема и по ,ѵ, и по у.
Далѣе (см, § 733), функціи <р(х) и ф(.ѵ, у) будутъ непрерывны
(а слѣдовательно, и интегрируемы), первая по х, вторая по у.
Кромѣ того, изъ непрерывности /(х, _у)) по х вытекаетъ (§ 713),
что 'Фг (х, _у) — _/ (х, у), а непрерывность Дх, _у) по обѣимъ пе-
ремѣннымъ даетъ право (см. примѣчаніе ***) на стр. 298) примѣнить
кь интегралу у-ф(х,_у)б/у правило, изложенное въ § 733. О рас-
пространеніи формулы на безконечные предѣлы см. Гурса, 1, с. ]

Случай, когда предѣлы а и Ь не постоянныя числа, а функціи
отъ л-, можетъ быть сведенъ къ случаю постоянныхъ предѣловъ
помощью введенія повой перемѣнной. Достаточно, при интегриро-
ваніи по у, положитъ у = а -\-{Ь — сі) і', тогда I будетъ измѣняться
отъ 0 до 1, при измѣненіи у отъ а до Ь.

735.	Новое опредѣленіе двойного интеграла. Приведенное
выше опредѣленіе двойного интеграла страдаетъ тѣми же недостат-
ками, какъ данное въ началѣ этой книгѣ опредѣленіе простого
интеграла. Поэтому нужно его видоизмѣнить такъ, чтобы оно давало
возможность установить условія существованія интеграла и, кромѣ
того, указывало путь для вычисленія его значенія (пе предполагая
извѣстными, ни даже существующими первообразныя функціи ср и тр,
о которыхъ говорилось въ § 732). Мы предположимъ, что область
интегрированія конечна, т. е. что можно указать два конечныхъ
интервала (а, и (у, <5), въ которыхъ должны заключаться соот-
вѣтственно значенія перемѣнныхъ х и у, удовлетворяющихъ нера-
венству А(х, у) й 0, опредѣляющему область интегрированія.
Функцію /'(х, у) мы предположимъ конечною въ области инте-
грированія и условимся, что /\х,у) равно нулю для всѣхъ значеній
х и у, лежащихъ внѣ области интегрированія.
[ Примѣчаніе. Подъ а и (? понимаются наименьшее и наи-
большее значеніе х въ области интегрированія, подъ у и д —
наименьшее и наибольшее значеніе у въ той же области. Пользуясь
геометрической интерпретаціей, можемъ сказать, что та часть пло-
скости, которая изображаетъ область интегрированія, лежитъ вся
внутри прямоугольника, ограниченнаго прямыми х = а, х = /?,
У = 7, V = '?• 1

Разложимъ интервалъ (а, на частные интервалы /г,, /г,, ../г„.,
а (у, д) на интервалы /?,, А,, .	Положимъ, что какъ тѣ,

такъ и другіе, стремятся къ нулю (при чемъ, конечно, числа т и п
должны безпредѣльно возрастать), не будучи связаны никакою
зависимостью. Когда х и у измѣняются соотвѣтственно въ интерва-
лахъ А,: и Д-, независимо одно отъ другого, значенія функціи /(х, у)
остаются между нѣкоторою пижнею и нѣкоторою верхнею грани-
цами; выберемъ по произволу число Д,-, содержащееся между этими
границами, и разсмотримъ двойную сумму

,Х	~ Д ^'і/н + Щ 'ч'/іа + ^2	+  ’  И"	

О

Если эта сумма всегда стремится къ одному и тому же предѣлу,
когда всѣ А, и всѣ /г,- стремятся къ 0, при чемъ т и и безпре-
дѣльно возрастаютъ, независимо отъ закона разложенія интерваловъ
(п, (?) и (у, (5) на части, и независимо отъ выбора чиселъ {і}- въ
соотвѣтствующихъ границахъ, то этотъ предѣлъ и называется
опредѣленнымъ двойнымъ интеграломъ отъ }\х, у) въ данной
области, и обозначается знакомъ

I у/(.ѵ, ъ) л'.ѵліу.

Выраженіе Дх, у)(іха!у называется элементомъ интеграла, а инте-
гралъ есть сумма безконечно большого числа безконечно малыхъ
элементовъ. Это опредѣленіе вполнѣ аналогично опредѣленію про-
стого интеграла, данному въ § 710. Положивъ его въ основаніе,
можно изъ него вывести слѣдствія, аналогичныя тѣмъ, которыя были
выведены изъ опредѣленіи простого интеграла, и въ частности изъ
него можно вывести необходимое и достаточное условіе существо-
ванія интеграла или, иначе говоря, условіе интегрируемости функціи
въ данной области (вполнѣ аналогичное условію интегри-
руемости функціи отъ одной перемѣнной въ данной области).
Здѣсь мы ограничимся формулировкою опредѣленія и для всего
прочаго отсылаемъ читателя къ подробныхъ курсамъ интегральнаго
исчисленія *).

*) См., напримѣръ, Гурса. «Курсъ математическаго анализа". Вопросъ
объ интегрируемости функцій отъ одной или отъ двухъ независимыхъ пе-
ремѣнныхъ трактуется у Гурса и въ большинствѣ французскихъ руководствъ
съ нѣсколько иной точки зрѣнія, съ которою полезно ознакомиться,
736.	Намъ остается только показать, что если интегралъ (но
новому опредѣленію) существуетъ, то значеніе его получается
изложеннымъ въ § 731 способомъ, т. е. получается при помощи
двухъ простыхъ интегрированій. Предположимъ, какъ и въ § 731,
что область интегрированія, опредѣляемая неравенствомъ і(.г, ѵ)™0,
совпадаетъ съ областью, опредѣляемою неравенствами

а (х) ѵ Ь (.г),	« < ё' ІІ

Если интегралъ, какъ предѣлъ суммы, существуетъ, то мы можемъ
распоряжаться послѣдовательностями разложеній по произволу, на-
примѣръ, сперва взять опредѣленное разложеніе интервала (а, /1)
на частные интервалы (Л1; Л3, Ля), т. е. считать всѣ А,- и
число п постояннымъ, и измѣнять разложеніе интервала (у, б) па
частные, безпредѣльно убывающіе интервалы (А,,	, /г,я), при

чемъ т будетъ безпредѣльно возрастать; число между нижнею
и верхнею границами значеній, которыя принимаетъ /{х, _у), когда х
остается неподвижнымъ въ начальной точкѣ элемента а у измѣ-
няется въ интервалѣ Л/, можемъ выбирать также по произволу.
Тогда вышенаписанная двойная сумма разложится на п простыхъ
суммъ, изъ которыхъ одна, соотвѣтствующая данному і, будетъ

(А)

Аі- {+ Аг/4а +    +	}•

Прилично выбирая числа мы можемъ сказать, что эта сумма
равна

Дѣйствительно, разлагая интервалъ (у, 6) на интервалы (г1, кі}..., к,„
мы можемъ представить интегралъ въ видѣ

‘(л-, -ѵ) і/у



гдѣ есть нѣкоторое опредѣленное число, лежащее между грани-
цами функціи / въ интервалѣ к}. Взявъ въ суммѣ (А) числа
равными этимъ что мы въ правѣ сдѣлать, мы убѣдимся въ спра-
ведливости сказаннаго. Далѣе, такъ какъ, по условію, Дх, у) равна
нулю внѣ области интегрированія, то можемъ написать, что
потому что интервалы {'/, а(х)) и (6(а), д) лежатъ внѣ области
интегрированія. Полагая

г(х) - I Л-х> у) 'Ъ’

*(х)

и обозначая черезъ Д значеніе /?(х) для х, лежащаго въ началѣ
интервала К,, находимъ, что наша двойная сумма равна

а предѣлъ ея, когда всѣ К, стремя іся къ 0, а п возрастаетъ без-
предѣльно, равенъ

І У	0 Ь (аН

/•' (.ѵ) СІХ = {І X ^/{х, у) сіу,
а	па (-г)

т. е. выраженію (22) въ § 731.

[Примѣчаніе. Если та же самая область интегрированія
Ь(х,у)-х=0 можетъ быть изображена неравенствами

с (у) х у сі (у), т -у у 5 і>,
то совершенно такъ же убѣдимся, измѣнивъ порядокъ суммированія,
что двойной интегралъ, т. е. предѣлъ двойной суммы, распростра-
ненный на область /. (а:, у) == 0, будетъ равенъ

й (?(»)

(22 Ьів)	Гу/(х, у) сіх,

? ё(у’і

Отсюда и видно, что

А	б <ИУ)

I СІХК(х, у)<1у	і'/ (х,у')сіх,

<х	г Сіу)

если неравенства

| « (А-) йу 2 і(-ѵ) |	[ с(у) < .г у сі(у) |

опредѣляютъ одну и ту же область интегрированія Ь(х,у)^,0,
потому что эти интегралы равны одному и тому же опредѣленному
числу, а именно двойному интегралу

У* >') сіх сіу,
распространенному на эту область. Если область интегрированія
опредѣлена неравенствами

а й х й /і, у < у у б,
гдѣ «, /?, у, г5 числа постоянныя (т. е. изображается прямоуголь-
никомъ съ вершинами '(а, у), (а, 6), (*?, у) и ($, <5)), то найдемъ,
что /\х, у)бІхі1у, распространенный на эту область, можетъ
быть представленъ въ слѣдующихъ двухъ видахъ

3 в.	'5

/(х, у) <(х	-= I (Іх I Ня, у) сіу -= ^<іу I/(х,у)ііх,

ау	у а

такъ что снова получается формула § 734, выражающая теорему
объ измѣненіи порядка интегрированій. Необходимо только замѣтить,
что выводъ ея, сдѣланный здѣсь, нельзя считать строгимъ, потому
что онъ основанъ на предположеніи о существованіи двойного'
интеграла

а условія этого существованія не были разсмотрѣны. На основаніи
§ 734, мы въ правѣ лишь утверждать, что теорема эта вѣрна,
когда /(у, у) непрерывна ].

Перемѣна порядка интегрированій, какъ мы увидимъ дальше,,
есть весьма цѣнное средство для разныхъ изслѣдованій. Не нужно
только забывать, что примѣненіе его можетъ иногда вести къ не-
вѣрнымъ результатамъ, вслѣдствіе несоблюденія функціею /(х, у)-
ограничивающихъ ее условій, напримѣръ, когда эта функція раз-
рывна въ области интегрированія, или когда эта область безконечна.

736а. Подъ двойнымъ интеграломъ, распространеннымъ на
безконечную область, напримѣръ, на всю полу-плоскость, лежащую
со стороны положительныхъ ординатъ, опредѣляемую неравенствомъ
0 й V < + оо, — оо < х < 4- оо, понимаютъ предѣлъ, къ которому
стремится интегралъ, распространенный на конечную область, когда
ея граница удаляется въ безконечность, если такой предѣлъ суще-
ствуетъ. Напримѣръ, для вышеупомянутой области вычисляютъ
интегралъ, распространенный на площадь прямоугольника, ограни-
ченнаго прямыми у — 0, у — <5, х= —а, х=а и затѣмъ ищутъ его
предѣлъ при возрастаніи й и к до 'Х>. Разсматривая функцію отъ
трехъ независимыхъ перемѣнныхъ /7.г, у, г), можно установить
понятіе о тройномъ опредѣленномъ интегралѣ, аналогичномъ понятію
о двойномъ, а затѣмъ и о п — кратномъ интегралѣ функціи отъ п
перемѣнныхъ независимыхъ. Отсылая читателя для подробностей
къ подробнымъ курсамъ интегральнаго исчисленія, цитированнымъ
выше, мы ограничимся здѣсь нѣсколькими замѣчаніями о тройныхъ
интегралахъ. Для наглядности мы воспользуемся геометрическими
соображеніями, разсматривая х, у, г, какъ прямоугольныя коорди-
наты точки въ пространствѣ. Мы предположимъ, что точка (г, у, з)
должна всегда оставаться внутри или на границѣ нѣкотораго объема,
который весь заключается внутри параллелепипеда, ограниченнаго
тремя парами плоскостей, соотвѣтственно параллельныхъ координат-
нымъ плоскостямъ

(1)	л'-лу, х = Л’>.г0; .у-у0. у-У»'й: е = «0, з = 2>«0.

Представимъ себѣ затѣмъ, что мы разбили этотъ параллелепипедъ
на элементарные параллелепипеды тремя системами плоскостей, со-
отвѣтственно параллельныхъ координатнымъ плоскостямъ. Мы пред-
положимъ затѣмъ, что разстоянія между каждыми двумя смежными
плоскостями каждой изъ трехъ системъ стремятся къ нулю, такъ
что всѣ три ребра каждаго элементарнаго параллелепипеда стремятся
къ нулю. Обозначая черезъ	Ід ребра одного изъ элементар-

ныхъ параллелепипедовъ, а черезъ произвольно выбранное
число, лежащее между границами значеній функціи у, соотвѣтству-
ющими точкамъ внутри или на границахъ того же параллелепипеда,
разсмотримъ тройную сумму

(2)	Аъ ’

распространенную на всѣ комбинаціи значковъ г, у, соотвѣтству-
ющія всѣмъ элементарнымъ параллелепипедамъ, на которые разло-
женъ данный параллелепипедъ, ограниченный плоскостями (1).
Условимся, наконецъ, считать функцію /{х, _у, а) равною нулю во
всѣхъ точкахъ внѣ данной области. Предѣлъ, къ которому стремится
сумма (2), когда всѣ	Ід стремятся къ нулю, при чемъ число

ихъ, конечно, возрастаетъ безпредѣльно (если такой предѣлъ суще-
ствуетъ)—называется тройнымъ интеграломъ отъ у’(,ѵ, у, г), распро-
страненнымъ по данному объему или по данной области, и обозна-
чается знакомъ

У У У/'(.ѵ,у,	(Iх < у (із.

Символы сі.г, сіу, сіа обозначаютъ длины реберъ элементарныхъ
параллелепипедовъ, и, какъ таковыя, всегда будутъ безконечно ма-
лыми положительными числами. Затѣмъ легко показать (аналогично
тому, что было показано для двойного интеграла), что вычисленіе
тройного интеграла приводится къ тремъ простымъ интегрированіямъ.
Какова бы ни была область интегрированія, мы можемъ ее разбить
на нѣсколько частей, ограниченныхъ слѣдующимъ образомъ: двумя
плоскостями, параллельными плоскости гу, .г = х0, _г=Ат>х0; двумя
цилиндрическими поверхностями, съ образующими, параллельными
оси с-овъ, у—<р(х), у = ір(л’)>ф(х); и двумя поверхностями
г = Е(х, у) и з = Ф(х, Т) > Е(х, у). При этомъ послѣднія двѣ
поверхности таковы, что прямыя, параллельныя оси .г-овъ, встрѣ
чаютъ каждую изъ нихъ только въ одной точкѣ, а кривыя у — ср(х\
и_у = чр(л:) въ плоскости ху таковы, что каждая изъ нихъ встрѣ-
чается съ прямою, параллельною оси у-овъ, только въ одной точкѣ.
Тогда легко показать, что тройной интегралъ, распространенный на
объемъ, ограниченный такимъ образомъ, вычислится по формулѣ

I	х <?у &

X. Ѵ’,эг) у)

іі х сіу р(х,у, з) сія,
д>(х) ІХх, у)

гдѣ послѣдовательныя интегрированія надо вести по порядку отъ
правой руки къ лѣвой.

737.	Введеніе новыхъ перемѣнныхъ. Положимъ, что въ
интегралѣ §/(х, у) сіх сіу дѣлается подстановка х — ср (и, ѵ),
у = чр(и, ѵ), гдѣ и и ѵ новыя (независимыя) перемѣнныя интегри-
рованія. Независимость функцій х и у требуетъ (§ 579), чтобы
опредѣлитель

I 3 х д х

ф = дкѵ,_22_ р»

(«, ѵ) । ду д у ।

| д и д ѵ |

не былъ равенъ нулю. Предполагая

условіе выполненнымъ, по-

это

ложимъ, что ^(м, т') есть та функція отъ и и ѵ, которая получится,
когда въу(х,у) замѣнимъ х ну ихъ выраженіями въ новыхъ пере-
мѣнныхъ, и напишемъ данный интегралъ въ (Іу^^х, у) сіх-
Кромѣ того, чтобы имѣть дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ, пред-
положимъ, что при отдѣльныхъ интегрированіяхъ соотвѣтствующая
перемѣнная постоянно возрастаетъ, такъ что дифференціалы пере-
мѣнныхъ всегда разсматриваются, какъ положительныя числа. Сначала
перейдемъ отъ перемѣнныхъ х и у къ перемѣннымъ и и у; при
этомъ мы подъ ѵ разумѣемъ ту функцію отъ у и и, которая, при
условіи (§ 572) ^ 2 0, опредѣляется изъ уравненія у = ір(«, т')-
При интегрированіи по х, у должно оставаться постояннымъ, т. е.
должно быть

3 у, , 3 у ,

— - а и У —— а ѵ = О,
о и аѵ

а слѣдовательно,

/ д-у 1

,	д х , , д х. I а х	о х О и	I ,	© ,

ах	-— /Іи 4- -— аѵ	= I —-,—	| а и	= —— а и.

а и г) ѵ I д и аѵдуі	о у

дѵ I дѵ

Поэтому интегралъ обращается въ

* I © 1
г (и, ѵ) —— сіи =

И.ѵ і

ау-
I д ѵ
(при чемъ, если понадобится, предѣлы интегрированія по а пере-
ставимъ *)). Теперь перейдемъ отъ перемѣнныхъ и и у къ пере-
мѣннымъ и и ѵ. При интегрированіи по у, и должно оставаться
постояннымъ, поэтому

ау =	аѵ--. аѵ.

ди д р о ѵ

Послѣдній интегралъ обращается въ	ѵ) | ф I сіѵ (при

чемъ опять, если понадобится, переставимъ предѣлы интегрированія
по г1). Итакъ, будемъ имѣть

/ (*. >’) X ііу =

(23)

у (я’і ® і ѵ

Общнѣе можно доказать, что

738.	Если будемъ разсматривать х и у, какъ Декартовы ко-
ординаты точки на плоскости, то переходъ къ новымъ перемѣннымъ
можно геометрически интерпретировать, какъ переходъ къ криво-
линейнымъ координатамъ (§ 413), при чемъ область интегрированія
инымъ манеромъ разбивается на безконечно малые элементы кри-
выми и и кривыми ѵ. Въ самомъ дѣлѣ, формула (23) показываетъ,
что вмѣсто того, чтобы разбивать область интегрированія на прямо-
угольники ііхііу, какъ того требуетъ опредѣленіе, можно ту же
область разбить вышеупомянутыми кривыми на другіе элементы.
Каждый изъ этихъ элементовъ (если пренебрежемъ безконечно ма-
лыми высшаго порядка) можно разсматривать, какъ параллелограммъ
со сторонами <іг> и ііт, составляющими между собою уголь со,
синусъ котораго, по извѣстной формулѣ (§ 571, 3), равенъ частному
отъ дѣленія на	площадь такого параллелограмма равна,

слѣдовательно, абсолютной величинѣ выраженія зіп га . <іа

Итакъ, формула (23) выражаетъ интегралъ, какъ сумму безконечно
большого числа безконечно малыхъ элементовъ, равныхъ произве-
деніямъ площади каждаго параллелограмма на число уу среднее
между значеніями интегрируемой функціи для различныхъ точекъ
этого параллелограмма. Такимъ образомъ получается обобщеніе
опредѣленія, даннаго въ § 735.

‘) Съ тою цѣлью, чтобы сіи было больше 0.
739.	Примѣры, а) Геометрическое изображеніе области интегриро-
ванія значительно облегчаетъ разысканіе предѣловъ, въ которыхъ надо про-
изводить отдѣльныя простыя интегрированія, какъ при перемѣнѣ порядка
интегрированія, такъ и при введеніи новыхъ перемѣнныхъ. Такъ, въ примѣрѣ
§ 732 все становится очевиднымъ, если замѣтимъ, что область интегрированія
есть кругъ радіуса, равнаго единицѣ, касающійся оси Оу въ началѣ коорди-
натъ. Для друіого примѣра положимъ, что надо вычислить интегралъ отъ
/ <іх ііу, распространенный на площадь треугольника, ограниченнаго прямыми
х = 1, у = «х, у — ііх. Тотчасъ же видимъ, что

Ь)	Геометрическая интерпретація формулы (23) во многихъ случаяхъ
избавляетъ отъ необходимости вычислять опредѣлитель у) Напримѣръ, при
переходѣ отъ Декартовыхъ координатъ на плоскости къ полярнымъ, имѣемъ
Л' —Г СОЗ О, _ѵ = гзіпѲ, и

Э (х, у) _ 1 СО5 Ѳ — Г ЯІП 5 _ _

" (''	, 5ІП 6 Г СОЗ 6

Поэтому

(24)	У) & х <ІУ	^/{гсобі, гиті)гігЛ.

Къ тому же результату приходимъ геометрически, замѣчая, что линіи г и
линіи 0 дѣлятъ плоскость на безконечно малые элементы, которые можно
разсматривать какъ прямоугольники; стороны этихъ прямоугольниковъ бу-
дутъ; отрѣзокъ </с, отсѣкаемый кругами радіусовъ г и г на всякой
прямой, проходящей черезъ начало координатъ, и дуга г <75, отсѣкаемая
прямыми, образующими углы 9 и Ѳ -|-в?6 съ полярною осью, на окружности
круга радіуса г. Площадь этого прямоугольника равна, слѣдовательно,
г /і 5 - <і г.

с)	Подобно этому, въ пространствѣ, обозначая черезъ г< долготу,
а черезъ у» широту, будемъ имѣть

,ѵ=г СОЗ ір СОЯ V, у = Г ЗІП Г(. соя у, г — Г НІИ У',

а отсюда

Соз <( соз у

ГІ (.т, у. 3)	, I

;-:Г- — ЗШ </ СОЗ У1

о (г. гр, ѵ)

— СОЗ Г/ зіп р

Слѣдовательно.

5іп у соя іу	яіп	|

СОЯ ф СС5 »,>	0	]	= Г- СОЗ	<;І.

— ЗІП у Зіп ѵ	СО5 У’	I

Л‘,_у, г) /Іх <іу —

‘С05<у: сояѵ.

ГЯІПф СОЗу, Г8ІІ1 V1) Г- I СОЯ »,'.’ і
Къ тому же результату приходимъ съ помощью слѣдующаго замѣчанія;
Если одно г измѣнится безконечно мало, то точка М(.г, у, а) опишетъ пря-
молинейный элементъ ММ'Дг\ если одно <р возрастетъ безконечно мало,
то точка М опишетъ элементарную дугу круга ММ"-= г | соя | й?<р, въ
плоскости, перпендикулярной къ Оя; наконецъ, если одно у? возрастаетъ на Ду,
то точка М опишетъ дугу круга ММ"’=гД>р, въ плоскости, опредѣляемой
угломъ (р, Эти три элемента можно разсматривать, какъ ребра прямоуголь-
наго параллелепипеда ММ'М"М"', эквивалентнаго тому тѣлу, которое
ограничено поверхностями шаровъ съ радіусами г и г — ііг. плоскостями у
и </> -1- гѴ9? и конусами ѵ и у + Объемъ этого тѣла, если пренебре-
жемъ безконечно малыми высшаго порядка, будетъ, слѣдовательно, равенъ
г ; соз у | сіу, • г сіу  <іг.

740. Упражненія, а) Чтобы видѣть, какимъ образомъ перемѣна
порядка интегрированій можетъ вліять на результатъ, вычислимъ слѣдующіе
интегралы

іі	і	іт	г

/, С х-у , і‘ Дх 1 Г Г х-у , Г Ду 1

<ІЛ\} (х+уГ^-д (Нх)*~Ч’	(1уг] (х+у^Х~	(1-У)2- 2’

О О	О	0	0	о

11	1	11	1

С і Г х~-~> Г дх <‘1,1	-У2 > I ду Л=

) <**]	ауПУ=-4-

0	0	0	0	0	о

Замѣтимъ, что въ обоихъ случаяхъ лодъинтегральная функція обращается въ
безконечность въ точкѣ (0, 0). Несмотря па это, неопредѣленные интегралы
существуютъ, а именно

|	__ іі	д*

— —$ (*) 4- ?/.• 0’), агс ІЕ — 4- <р (х) + V (Л

А +_у	у

но въ точкѣ [0, 0) они разрывны, потому что въ смежности съ нею могутъ
принимать любое значеніе.

Ъ)	Если оказывается удобнымъ при вычисленіи интеграла ввести
вмѣсто у, напримѣръ, новую перемѣнную & = ху, то для примѣненія фор-
мулы (23) надо замѣтить, что

<) (;г, г}	д я	1

О (Л‘, у)	ду	X

Напримѣръ,
іі	ііі	і

(ху}^ДхДу = I	=	«^=0,7»3....

0 0	о' г	6	0

Это преобразованіе сводится къ тому, чтобы разбить плоскость равносто-
ронними гиперболами, ху = сопзѣ, на полосы безконечно малой ширины.

с)	Можетъ случиться, что кривыя и и кривыя ѵ составятъ одно
семейство кривыхъ. Положимъ, напримѣръ, что разсматривается часть
плоскости, лежащая между осью Ох и равиодѣлящею угла уОх. Для
изображенія точекъ этой области можно приравнять х и у ариѳметическому
и геометрическому среднему новыхъ перемѣнныхъ и и ѵ, т е. положить

Ин-т'),	= Тогда будемъ имѣть

4 у я ѵ

Чтобы одна изъ новыхъ перемѣнныхъ оставалась равною нѣкоторому посто-
янному а, между х и у необходимо должно существовать нѣкоторое соот-
ношеніе, которое и получимъ, исключая другую перемѣнную изъ выраженій
х и.? черезъ и и -г. Это соотношеніе будетъ, слѣдовательно: _ѵ2= 2 их — а2.
Оно и изображаетъ единственное семейство кривыхъ и и кривыхъ ѵ, и
состоитъ, какъ мы видимъ, изъ всѣхъ параболъ, имѣющихъ осью Ох, а
директрисою Оу. Значенія и и ѵ въ каждой точкѣ даются формулою
х ± У'ж8—>8. Если условимся положить и = х -|- Ул2—у2, а слѣдовательно,
7.' = л-—у2, то на параболѣ съ параметромъ а будемъ имѣть

и =|х + I х — а

х — х— а\ ,

откуда м=а при хуа и ѵ==іх при хУа, Поэтому, если раздѣлимъ въ данномъ
углѣ между Ох и прямою у=х параболу на конечную дугу между верши-
ною и точкою касанія съ прямою у — х, и на другую безконечную, отъ
послѣдней точки до безконечности, то на первой дугѣ и равно постоянному,
а ѵ = 2х— а измѣняется отъ 0 до «; на второй ѵ остается постояннымъ,
а и = 2х—а измѣняетя отъ а до г», Если положимъ, напримѣръ, что область
интегрированія ограничена осью Ох и параболами съ параметрами а и Ь,
то интегралъ отъ ] '<1х Ау можетъ быть представленъ одною изъ слѣдующихъ
двухъ формулъ

Если же примемъ и и ѵ за перемѣнныя интегрированія, то онъ представится
проще, а именно такъ:

^/(4 (и + ѵ), У и ѵ) (и- — ѵ) (IУи іі У ѵ .

а ГС

4) При помощи весьма обыкновеннаго пріема, не вполнѣ строгаго, но
который можно сдѣлать строгимъ1), можно вычислить интегралъ Дирихле
(§ 729, §), замѣчая, что при х > 0

т) См., напримѣръ, „Саіспіо іпіе^гаі11 Оогпег-Теіхеіга (1-я часть,
стр. 94) или „Тгаііё б’Апаіузе" Е. Рісатб (т. I, стр, 34).
а слѣдовательно,

Такъ какъ при у > О

(а ‘и соз .г)ц -= - 1, (е зіп х)“' = 0,

то интегрированіе по частямъ даетъ

откуда

Поэтому

е) Подобнымъ же образомъ для вычисленія интеграла

Впрочемъ, предложенный интегралъ легко вычислить и въ неопредѣленномъ
видѣ съ помощью интегрированія по частямъ

/ зіп х • Іод зіп х (іх = — соз х 1о§ зіп а- 4- Іод ід + соз х + С.

Отсюда слѣдуетъ (§ 312, Ь)

3	- 1 -|- Ііт (соз х  Іод зіп х — іод ід = — 1 + Іод 2.
I) Чтобы вычислить интегралъ Пуассона 3 (§ 721, е), разсмотримъ
двойной интегралъ

(25)

и постараемся вычислить его иначе. Напишемъ

□П	<Хз

и замѣнимъ при первомъ интегрированіи (по гі р новою перемѣнною I,
опредѣляемою равенствомъ у — іх Тогда получимъ

Теперь тотчасъ найдемъ

е (і-н1)*1
“2(1Т^Г

' Х!ІХ - 2 (і+/2)'

Замѣчая, что 3 должно быть больше 0, окончательно получимъ

Къ тому же результату можно придти, преобразовавъ сперва
интегралъ (25) по формулѣ (24), а потомъ уже вычисляя его. Принимая во

вниманіе, что г

измѣняется отъ 0 до оа, а 6 отъ 0 до

когда х и у

2 ’

независимо одно отъ другого принимаютъ всѣ положительныя значенія, тот-
часъ находимъ

Впрочемъ, этотъ не строгій пріемъ1) не отличается существенно отъ преды-
дущаго, что сейчасъ увидимъ, замѣтивъ, что і =	9. И въ томъ и другомъ

необходимо еще доказать существованіе 3, а это получается тотчасъ
(§ 717, Ьі изъ того обстоятельства, что функція .тп е~* стремится къ О
при х безконечномъ, каково бы ни было п.

1) Этотъ пріемъ данъ былъ Пуассономъ и исправленъ Кейли (Сауісу)
„(^иагіегіу Лоікпа] о( МаіЬетаіісз* (1872, стр, 120). См. „Мёіапдез таіііёта-
Іідие8“ Мапзіоп (стр. 15) и „Тгаііё б’АпаІуве" РісапІ (т. 1, стр. 103).
Ь) Дифференцированіе (§ 733) по перемѣнной, не зависящей отъ пере-
мѣнной интегрированія (по параметру, какъ говорятъ), часто бываетъ
полезно при вычисленіи опредѣленныхъ интеграловъ. Такъ, напримѣръ, изъ
второго интеграла (11) тотчасъ получается первый черезъ дифференциро-
ваніе по (?, если принять во вниманіе, что производная отъ | х | равна здп.ѵ.
Точно такъ же изъ опредѣленнаго интеграла Г(а) дифференцированіемъ по а
тотчасъ получимъ (314, і)

) Г(«).

Въ частности, будемъ имѣть

X

х гіх = — С,
о

□с

е~х іо§ х<іх = - \ )Лт (С + Іов 4).

о

Если въ первомъ интегралѣ замѣнимъ х на — Іо^.ѵ, то снова найдемъ
интегралъ Маскерони (§ 721, §). Дифференцируя еще разъ и полагая затѣмъ
а = 1, а = і и т- д., найдемъ

ГГ	Сю

е 2І0К2.ѴЛ Ѵ^С2-|- С	е~* ,08"л'= 1)'л 1 (С — 1°И 4)2 + и т. д.

і) Интегралъ

(26)

I	/I х	:т

I а2 зіп2 х + 6й соя2 х 2иІ/
о

весьма легко вычисляется съ помощью подстановки —7, если усло-
вимся подъ а и Ь понимать положительные квадратные корни изъ «2 и 7А
Дифференцируя одинъ разъ по а, другой ло 1>, получимъ интегралы

/ зіп2 я1 «(.г	,т і со&2х/іх	п

I («2 зіп2 х -ф Ь- соз2 .ѵ)2 4яаЛ / (а2 зіп2 х + Л2 соз2 Д')2	4 л А1

о	с

сумма которыхъ равна

Т

/	сі х	л2 — Л2

у (я2 зіп2 х + Ь2 соз2 х)2  Я 4 а3і3

Продолжай такимъ же образомъ и обозначая для сокращенія

1.3.5.. .(2г?— I)
- 4  6  ' •’ 2 п
найдемъ въ концѣ концовъ

<1 х

,/ (Я2 ЗІП2 Х ~ Ь2 С08“ х)”г1

У'2'1 + М„_1	~ + Мв-а +   • +

2(«6)2”+1

Обратнымъ путемъ (т. е. интегрированіемъ) можно вывести изъ интеграла
(26) безчисленное множество другихъ. Сперва замѣтимъ, что тождество
(я2 — Ь2') зіп3лг = (а2 зіп2 а; 4- 62соа2л-) -- № даетъ

/	/ зіп2,г-і/л'	л; л. 1>

(а- - о-} I	-2 ~ 1/г ’

о

откуда получается

Л
т

/	2 т^іп-'.т г/.ѵ	,т

а- зіп2 х + & соз2 х а Ь
0

Отсюда интегрированіемъ по а въ предѣлахъ Ъ и а, и замѣною а на
іу~Т —X'2 получаемъ

а

1о§ ]/ 1 -  к2 ЗІП2 .Г (1X = -І- У Я- 10^

о

1 + уі- к2
2

Для провѣрки замѣтимъ, что послѣдній интегралъ при к = 0 обращается
въ 0. а при к = 1 равенъ - ! я 1о$ 2, что уже раньше было найдено другимъ
путемъ (§ 725, і).

І) Интегрированіемъ по частямъ интегралы

е '“соз Ьх  /іх,

п

(а > 0)

приводятся одинъ къ другому. Въ самомъ дѣлѣ, имѣемъ

оз	се	х

Ъ С е^пх созйзг  <іх = (е~"гзіп + а ( е~ялзіп6з;  /іх = а е^'гх ііпЬх  (іх.

5	<15

да	X	«

д У е~яат8іп Ьх - (іх = йіГсо5-а	сѵъЬх  (іх=1—а	е'^сюЬх - (іх,

о	об
откуда

ос

(27)	/ е~ соз Ъх - <іх =

/	а’4-02

о

/ е ах зіп Ь х  Лт =	

I	‘ а- -|- Ъ1

о

Интегрируя первый по Ъ въ предѣлахъ 0 и Ь, или второй по а въ предѣ-
лахъ отъ « до со, получимъ

ЗІП Ь X ,	, Ъ

е ----------/іх = агс ід-------

х	° а

о

Съ приближеніемъ а къ нулю, въ предѣлѣ получаемъ опять формулу (9),
такъ какъ предѣлъ правой части равенъ І-тадпА.

к)	Съ цѣлью провѣрки нѣкоторыхъ полученныхъ раньше результа-
товъ, укажемъ еще иной путь для нахожденія интеграла Дирихле. Сперва,
однако, нужно доказать непосредственно существованіе этого интеграла.
Этого мы весьма быстро достигнемъ, опираясь на одинъ изъ прежде добы-
тыхъ результатовъ (§ 717, с) и замѣчая, что

$

У зіп х Лх
а

<= | соз а — соз рI й 2.

Но. для упражненія, мы пойдемъ здѣсь другимъ путемъ. Очевидно, суще-
ствуетъ интегралъ

Н ,1	л

„ I I ЗІП X I ,	/ ЗІП X <іх

п I х	I X + (и — 1) іт

(и—Цл	о

2	2	?

и значеніе его лежитъ между ------------ и ----т—, потому что / зіп хсіх — 2.

н ."Г	|}

Отсюда слѣдуетъ

о

5Г„ > — > 3„ . 5, Ііт 3,; = 0,
" И.Т ’ І1 и "

а потому (§ 195) рядъ 3) — 324- 38—   - сходящійся. Въ тоже время,
если и наибольшее цѣлое число, не превышающее — , то будемъ имѣть

/зіп х ,	_	,, , „	, „ _ . ,

—х —	— <4 2	сГ,. — * * ' ±	+ ЭсТ,

о

гдѣ Ѳ лежитъ между 0 и 1. Итакъ, если будемъ увеличивать а, а слѣдова-
тельно, и и безпредѣльно, то будетъ существовать

/ иляах = д _ $ +
I V	I	> о

0.

о
Установивъ вышесказанное, находимъ (§ 729, і, с)

и, такъ какъ Э>0, З-^л.

00

1)	Положимъ, что требуется вычислить интегралъ 3=У соз2ах - <іх,
о

приводящійся при к = 0 къ интегралу Пуассона 30 = |}/;т. Дифференци-
руемъ по а и интегрируемъ по частямъ полученный результатъ, тогда
найдемъ

і зіп2 ах  /і (е х') = -- 2 а у е х'*со8 2 ах • Лх = — 2 аЗ.
о	5

Отсюда слѣдуетъ 1о§ 31 = — аа+ Іоц Д,, откуда 3 = 3ас а\ т. е.

ОС

.	е~'^ соз 2 ал: Лх = |	е~,1?

о

1°) Вычислимъ еще, слѣдуя Пе Іа Ѵаііее-Роцзкаіп, интегралъ, пред-
ложенный Мезап^ег'омъ въ Іпіегтёйіаіге сіез гпаіііётаіісепя, 1903, стр.
207, 293:

3 =

ІОФ~

при | А | й 1- Положимъ для удобства письма к = - и замѣнивъ подъ инте-
граломъ х на кх. увидимъ, что интегралъ приведется къ #г/(а). гдѣ
или

гдѣ

/'(«) = а '<₽(<?) - <], (0) >,

Положивъ х -=8ІпО. ^ьіпо, находимъ

Іод 1 5ІПИ ѳ — 5іп- О і Л 5

Іод । яіп (3 + г-і) і
о

I “

ІОЕ 8ІП 5 I

і зіп 3 , <76

а

д 1 5ІП 9 1 ІІ6

СУ

। ыл (в - ы) । <70

и 1 яіп 0 !

ИЛИ

Производная этой функціи отъ ы ($ 733) равна

Іод 8іп (ы | -3^-| | - Іод । зіп

= Іод । соз го | — Іод | — сов сі , — 0.

Откуда послѣдовательно получимъ

ч'Цг\ = 0, <г (.^ = у (0),	//і<;)=0, /(<і) =/(1).

Но, полагая .ѵ —- зіп 0 или .ѵ = С05 3, получимъ для / (1) то или другое изъ
выраженій

44	-4

/	2

2 у со8“ 0 Іод соід С /іі ,	2 зіп-' Ѳ Іод Тд 5 </С,

о	о

изъ которыхъ, при помощи сложенія и интегрированія по частямъ, найдемъ

/(1) = У соз 2 В Іод соді 5 і/і

II

5іп 2 0 1о§ соі^
о
Слѣдовательно.

3 = я Л2.

X

тп) Вычислимъ еще интегралъ1)> разсматривая его, какъ
о

производную функціи

и
/ зіп ах

о
и замѣчая, что

со

44 ,	\	Гзіп а.?	1

/(«)—/(«)= /	—	= уязепа-

СІ

Такъ какъ —	а(/—/Л/) есть производная функціи	приводящей-
ся при а = 0 къ /г (0) = агс со =	, то будемъ имѣть

а

«““(/+/') -	е-аз^па4а = ~ (е~а - 1)з§па,

V
откуда получается

/(«) +/' (ч) -	+ у (1 - еа) 8§П а,

а замѣняя а на — а

-/(«) +/' (“) = '2	- 2	- е-О) 58 П а’

Складывая эти равенства, находимъ

/' (а) -	{ (і — 5еп «) е<і + О + 8еп е~а } 

Выраженіе въ скобкахъ приводится при а > 0 къ 2 е~", при а < 0 къ 2 еа,
и къ 2 при г:=0, гакъ что оно всегда равно 2е “I"1. Итакъ,

Лх = у“

п) Послѣдній результатъ вмѣстѣ съ безчисленнымъ множествомъ
другихъ, заключается, какъ частный случай, въ одной важной формулѣ

т)	Этотъ примѣръ заимствованъ изъ „ТгаНаіо йі Саісоіо" ТойЬипіег'а,
который цитируетъ „Тгапзасііопз о! іЬе Коуаі Ігізѣ Асасіету1 (т. XIX, стр. 227).
Фурье1), позволяющей всякую дифференцируемую2) (т. е. имѣющую про-
изводную) функцію /(а), стремящуюся къ нулю при а = изобразить
въ видѣ опредѣленнаго интеграла. Сперва замѣтимъ, что

05	<2	ф

УЛ (0) 8ёп (а - 0) г/о = у/' (5) М - {’/' (5)	= 2/(а).

—х>	—а

Отсюда, по формулѣ (9)

Интегрированіе по частямъ даетъ

/' (9) 5<П (а — Ѳ) х  <7Ѳ = ,ѵ у"/(9) соз (а—0) ѵ  Лх.
— со	—X

Слѣдовательно,

/(«) =

Если теперь положимъ

<х	<хз

(28)	у |.г') — у /’(Ѳ) соз С х  Л0, ір (х) = ^/(6) зіп Ох  (ІЧ,
---------------------СО	-- СВ

то получимъ

(29)	«) = -і- у { ф(х) соз ал'+ѵ (л')зіп <:х} Лх.

і>

Это и есть формула Фурье, Въ томъ случаѣ, когда /(—а)=/(а), фор-
мулы (28) дадутъ

(х) = 2^/(0) СОЗ (ІХ • г76, у (х) - - 0 ,
о

и потому формула (29) дастъ

/(«) -

Въ частности, для /(а) — е 1°'
2

<Р (х) = [ и приходимъ

, припоминая первый интегралъ (27), имѣемъ
къ результату предыдущаго упражненія3).

Ч .Тііёогіе апаіуііцие де Іа сітаіеиг”, т. 1, стр. 408.

2) Это условіе слишкомъ узко. См., напримѣръ, Роіпсагё „Тѣёогіе
апаіуіідие де іа ргора^аіііп де Іа сЬаІеиг* (стр. 102).

3) Гоигіег, 1. с. стр. 395.
Замѣтимъ, наконецъ, что вышеприведенное доказательство формулы Фурье
не измѣнится, если въ формулахъ (2$) предѣлами интегрированія будутъ
два корня функціи _/\Ѳ). Тогда правая часть формулы (29) будетъ изображать
/(а) для значеній а, лежащихъ между этими корнями, и приводится къ 0
въ противномъ случаѣ. Такимъ образомъ, для /(6) = соя 5, обозная черезъ 8
корень этой функціи, найдемъ, что интегралъ

(который, очевидно, не имѣетъ смысла, когда соз а и соз ;3 оба отличны отъ

нуля) равенъ 2? соз а | зіп ,8 | или соя 3 зіп 3 |

или 0, смотря по тому,

будетъ ли ] «| <, или > [ ,8 I. Къ тому же результату, впрочемъ, придемъ,
приводя этотъ интегралъ (при помощи весьма простого преобразованія) къ
первому изъ интеграловъ (11).

[ Примѣчаніе. Преобразованіе интеграла

къ первому изъ интеграловъ (11) § 725. о получается слѣдующимъ путемъ.
Замѣчая, что

1 = 1 /1__________1\

1 — х2 2 -у 1 х	1 /

имѣемъ

а.г-соз 19.г ,
~~ а.

I) соз ,8 ( =

Разбивая интервалъ (1, гх>) на (0, г--') — (0, 1), а (—1, ») на ( — 1. 0) + (0, к).
тотчасъ увидимъ, что интегралы, распространенные на интервалы (0, 1) и
(— 1, 0) сохранятся и потому

1 СС8 а (с — I ] СОЗ (I - 1) -- СОЗ Г! (- 1 ) СОЗ 8 (;	1) .

п

Замѣчая, что по условію соз 8 = 0. имѣемъ

соз 8 (;- !) = зіп Зі зіп а, соз 8 + I) = - зіп Зі зіп .8,
тотчасъ найдемъ

да

„ ,	.	/ зіп со$ а; ,

3 4- СС5 а 8111 I	-----I;

0

я, подставляя значенія интеграла, указанныя въ § 725, о (перемѣстивъ
буквы а и /?), мы и получимъ данныя выше значенія 3. |

741. Интегрированіе полныхъ дифференціаловъ. Задача
кратнаго интегрированія является естественнымъ распространеніемъ
указанной въ началѣ (§ 708) задачи, когда поставимъ вопросъ
о разысканіи функціи отъ нѣсколькихъ перемѣнныхъ неза-
висимыхъ по данному ея полному дифференціалу. Разсмо-
тримъ сперва простѣйшій случай, когда дано дифференціальное
выраженіе вида

и (х, у) (Іх 4- ѵ (.ѵ, у) /іу,

и спрашивается будетъ ли оно, какъ говорятъ, точнымъ дифферен-
ціаломъ, т. е. существуетъ ли такая функція г отъ двухъ независи-
мыхъ перемѣнныхъ х и у, полный дифференціалъ которой равенъ
ланному выраженію? Вопросъ сводится къ другому — существуетъ ли
функція з, для которой

(30)	‘У- = и(л:,у),	^ = г.-(х,.у).

Мы видимъ тотчасъ, что для существованія такой функціи необхо-
димо условіе:

(31)	/х ѵ(х‘-ѵ^

(§ 368), по крайней мѣрѣ для того случая, которымъ мы и огра-
ничимся, когда функціи и и ѵ и ихъ первыя производныя непре-
рывны. При дѣйствительномъ разысканіи функціи г необходимость
этого условія сама собою обнаружится, но мы въ то же время
увидимъ, что оно и достаточно для существованія г. Интегрируя
(§ 730) второе изъ уравненій (30), получаемъ 2 — / ѵгіу -ф Ф (-г) •
Взявъ производную по д и принимая во вниманіе первое уравне-
ніе (30), найдемъ, что, кромѣ того, должно быть

/д 'У
------аѵ.

Чтобы правая часть этого равенства не зависѣла отъ у, какъ не
зависитъ отъ него лѣвая, необходимо, чтобы производная

<) I I* д г' , \ ди гі -

ч— I « — /	“ ѵ = Л------I

с) і' I I гі х	д у д х
обращалась въ нуль, т. е. чтобы
тою же функціею /(х, _у). Если это
имѣть

д г1 „

и изображались одною и
условіе выполнено, то будемъ

результатъ, который легко приводится въ виду (20). Итакъ, имѣемъ
теорему: Для того, чтобы и (іх ф- ѵ гіѵ было точнымъ дифференці-
аломъ, необходимо и достаточно, чтобы	. Точно такъ же

ду д .т

для существованія функціи Ф отъ трехъ независимыхъ перемѣнныхъ,
имѣющей полный дифференціалъ

4Ф = и<іх ф- ѵііу 4-

необходимы и достаточны условія

(32)

д и1 _ д ѵ д и _ а гч д ѵ д и
д у д г 4 г д х 4 .ѵ ду

Въ самомъ дѣлѣ, исходя изъ равенства — гн, интегрированіемъ
его (при х и у постоянныхъ) получимъ

4-5	<; |.ѵ, 1'1.

Вмѣстѣ съ тѣмъ будемъ имѣть

4 у
Тх

„	д и. д у

Іакъ какъ ~ и -г-2- независимы

4 ;Г ду

что должно быть

отъ ъ, то видимъ тотчасъ же,

такъ что первыя два условія (32) должны быть выполнены. Далѣе,
чтобы существовала функція д- (х, _у), на основаніи того, что мы
видѣли въ случаѣ двухъ перемѣнныхъ, должно выполняться условіе

т. е. какъ разъ третье условіе (31). Аналогичнымъ путемъ доказы-
вается слѣдующая общая теорема: Если даны » функцій
н,,	, и„ отъ п независимыхъ перемѣ нныхъ , ,га, ..., хп

то п (и — 1) условій

гі и- д п:

’• = . —	(/,/^1.2, . . . , н)

гі X: () .г,	'

необходимы и достаточны для того, чтобы щ(іхх+  

•+ ип.сіхц было точными дифференціаломъ.

ПРИЛОЖЕНІЕ ИЗЛОЖЕННЫМЪ ПРІЕМОВЪ КЪ ИЗМО-
ЖДЕНІЮ НЪКОТОРЫМЪ ЗАМѢЧАТЕЛЬНЫМЪ КЛАССОВЪ
ИНТЕГРАЛОВЪ.

Интегрированіе раціональныхъ дифференціаловъ.

742.	Если иодъинтегралыіая функція раціональна, то она

всегда можетъ быть приведена къ виду ••

гдѣ/(у) и &(х) цѣлыя

функціи, не имѣющія общаго дѣлителя. Если а, М, у, . . . обозна-

чаютъ корни функціи г, 5, /, ... соотвѣтственно показатели
кратности ихъ, <р(х) цѣлая функція, называемая частнымъ отъ дѣленія

/'(Ъ) на то, какъ извѣстно 460), дробь разлагается
слѣдующимъ образомъ на частныя дроби

Слѣдовательно,

« первый интегралъ въ правой части разлагается тотчасъ на другіе,
которые умѣемъ вычислять. Итакъ, интегралы отъ раціональ-
ныхъ дифференціаловъ всегда выражаются въ алгебраи-
чески -логариѳмическом ь видѣ, т. е. черезъ конечное число
знаковъ алгебраическихъ и логариѳмическихъ функцій.

743.	Если не всѣ корни вещественны, то правая часть пред-
ставляется въ мнимомъ видѣ, хотя она и вещественна, если коэффи-
ціенты даннаго дифференціала вещественны. Можно было бы
перейти отъ мнимой формы къ вещественной, примѣнили извѣстныя
соотношенія (§ 725, сі) между агс і§ и Іо^; но предпочитаютъ
совсѣмъ обойтись безъ мнимыхъ членовъ, припоминая, что (§ 461)
соотвѣтствующіе парѣ мнимыхъ корней о(х) члены даютъ въ раз-
 А*)	,

ложеніи — ~ сумму слѣдующаго вида:

__и, х 4- А ___*' + ^з  _ц	а,.х + Ьг
х^-у'рх ч (.ѵ-+	' ІА- І-Аѵ-мД.

Дѣло сводится къ вычисленію интеграла

п х -( !>

При п — I его значеніе извѣстно, потому что тогда онъ разла-
гается на

/ (х + 4А ііх

а / А- 4- рх -г і] 1

1

2 а

такъ что

(§ 725, б) будемъ имѣть

(ах

—	= а Іо8 р ,г

Ь — ^ар

-агс Ій

ѵ - V

' ч — ІР-

При «>1 можно аналогично написать

(л х Ь) <іх

а

2{п - І)(.А -,-рх + </)’

I

—- а

такъ что остается вычислить интегралъ

3,

гі х

іх^+рх \~ч>

Примѣняя интегрированіе по частямъ къ Э,

получимъ

3,

Л (х 4- 4 А
іх2+рх '~ч)‘

(х-^рх + ч>‘

принявъ во вниманіе тождество

- (7 - >. Л ,

(X + ІА)- -Ѵ-РАГ -І-'? - ('/ - ‘ А2)-

Отсюда слѣдуетъ

= 2	і(2	+ аЙ-

Такимъ образомъ изъ получается 32, оттуда З3 и т. д.
744.	Упражненія, а) Чтобы вычислить интегралъ отъ , пола-
гаемъ

такъ что тождественно должно быть с (.г-2 ~ х 1) — {ах Т і) (.ѵ + 1) = 1.
Достаточно положить х=  1, чтобы получить с — . Замѣнивъ с его зна-
ченіемъ, получимъ ах + Ъ = — । (л1 — 2). Слѣдовательно, предложенный
интегралъ разложится такъ

1	/ (2 я — 1) сіх . 1 і ііх

й--г1 + 2 / х2-х~] '

и мы найдемъ

Ь)	Интегралъ отъ
первый равенъ 4л'--^-С;

во второмъ удобно положить х- = С Тогда

Г х<іх 1 С сіі 1 Гі 1	1 \ і . I і - 1 і ,

] ?=Т-2-] —Г г] (г-~Т - 7+1	108 ІтІ1

Слѣдовательно,
Г х‘’ііх і , 1 .	/х- -  1\-

)	1о8|^І +С-

с)	Весьма легко вычисляется интегралъ

/* № — х + 1	_ /* сіх	/ сіх_______/\2.г-+ 1) сіх

-Т'І 1>- Л" Х--І-Т-І I (Л^І-Л'+І)2 .У (.г^+^ + Г)2

Третій интегралъ правой части прямо берется; второй приводится къ первому
интегрированіемъ послѣдняго по частямъ

и предложенный интегралъ дѣлается равнымъ

2 (-ѵ+2)	2

3 (.г- — .г |1]	3

сіх

х- 4 х + ]
и окончательно

Къ полученному результату можно придти быстрѣе, производя упомянутое
интегрированіе по частямъ слѣдующимъ образомъ:

(іX	_ .V С Г(,ѵ 4- г;) [2 .ѵ -г 1)

А' + .Ѵ-І-І X2 — Л'+і 1	/	(.V- -.V— 14 л

Теперь опредѣлимъ с такъ, чтобы для прилично выбранныхъ я и & имѣть:

(,ѵ — гі (2 л- + 1) « (а 2 + х р 1) - Ь (х2 — х — 1).

Оказывается, что надо взять 2 = с = а 4- />, 2с — 1 = л — Ь, т. е. с = 2
ч - і. Ь — — 4. Поэтому будемъ имѣть

/ сіх	_	л-4-2	7 С <іх	3 / .с- -а 4-1	.

у .г2-рх + 1 х2 4-4-1	'2 У таѢЛ'+1	2 ^У (л--,ѵ + I)2 ( Лч

откуда и получается вышеприведенное значеніе интеграла.

(1) Для вычисленія интеграла отъ -----;-,—

(.? + 1)(л-+ 14
опредѣлить постоянныя с, а, Ъ, а', У такъ, чтобы

нужно прежде всего

X	>	14 іА- | <-/ «к .V —іг

йТи (Л--тту = г+і+ р’+Т + (,ѵ2 +I)2 

т. е. с (а2 — 1 )3(ллЧ- &) (х2 г I! (л- + I) 4- (а'.ѵ — 6') (.г — 1) = 1.

При х2= — 1 находимъ

,	,, I .V - 1	1 ,

и равенство между первымъ и послѣднимъ членами, справедливое при мни-
момъ .г, должно быть справедливо при всякомъ х, потому что а' и Ъ' —
вещественны. Вслѣдствіе этого вышенаписанное тождество обращается въ

«(л24- 1) + (".V І-Ж.т + П = Ь

а при .ѵ2~- 1 даетъ ах 4- б = А (п'х4- У). Поэтому получимъ с = что,
впрочемъ, слѣдуетъ и изъ первоначальнаго тождества, если положимъ а = — I.
Послѣ этого тотчасъ видимъ, что предложенный интегралъ имѣетъ то же
значеніе, что и
Вмѣстѣ съ тѣмъ имѣемъ

откуда слѣдуетъ

Итакъ,

и+1) (л-і- !)

НШ+,оез^+2а,сН+с

е) Чтобы вычислить интегралъ отъ

л4+ I

прежде всего замѣчаемъ, что

- I =	+ 1 - (,ѵ у' 2 Г — (+-' + X іП 4-1)	- х V 2 + 1);

и полагаемъ

_1

л4+ і

Д -ѵ + А_________

х--{- х У 2 + I х-

д'.ѵ + Ь'

—.ѵ/2 + 1

Такъ какъ замѣна х на —х не мѣняетъ лѣпой части, а въ правой замѣ-
няетъ знаменатель одной дроби знаменателемъ другой, то то же самое
должно произойти и съ числителями, потому что разложеніе дроби на
частныя единственное. Отсюда слѣдуетъ: — ах у Ь= а'х-^-Ь', такъ что
должно быть тождественно

1 = {ах 4- 6) (х~— хУ 2 - 1) — {ах ~ 1>) (.і- х у 2 + 1) =- 2 (Ь — а У 2).г3 + 26,

откуда Ь = а/2	4. Слѣдовательно,

1	/ и + У 2) (іх

2У2.] х3+.ѵ/2 + 1

1 і (,х~У 2)/Лг
2/2,/ л’3-л-/2 + 1

Полагая р = + У 2, видимъ, что достаточно вычислить одинъ интегралъ

/ ( Ѵ~І Р) ___Г {2х+руіх

у х2урх±-\ 2 х~+рх х 1

+ 2'Р/{Х^2рУ \-і

= 1о& /х3 р х + 1--------агс

и замѣтить, что (§ 254, й)

агс (.г /2 + 1) - Ягс У'2— 1) - - агс дЕІІ?. । с

Л’3 — 1

чтобы получить окончательно

(ІХ _	1

лл+1 2/2

|о§-|/.ѵ3|.а/2+і

Г Л-3-Л-У2 + 1

— агс ід

Л‘ “ - I Г
I)	Еще легче вычисленіе интеграла

Л'-'+ 1	_ 1 С <1х	1 С* ІІХ

*Ч-1	2	№+.г/2+1+ 2 У Л’2-.Г/2-1-1

=-------агс іе 3Я. + С.

/2	л-2 - 1

Если интегрированіе производится отъ 0 до 1, то, такъ какъ

..	. лг/2 1

Л

для значенія опредѣленнаго интеграла получается ——• . Разлагая подъин-
тегральную функцію въ степенной рядъ, получаемъ такимъ путемъ формулу

14 I - і - 4 + і + А--------=	-

которую можно также вывести изъ формулы (17) предыдущей главы (§ 729. е)
при а =	•

1

§) Если предложено вычислить интегралъ отъ  ііх, то можно
начать съ замѣчанія, что

.V— 1	1/2 х + I \

Й+ І	3 \д; + 1	х* — х - 1 /

Если замѣнимъ х на хг и замѣтимъ, что

д4 — х2 + 1 = (V2 4-1)2 - (.ѵф З ~ (Ѵ— х~у 3 4-1) (*- — ху 3+1),
то найдемъ

.ѴЧ-1	3 (л- -I- 1) ~ б д-1/"3-|_ 1	Д-2-Д-/3-

Въ то же время при / = — /3 имѣемъ

Г ~ Г = С1-------------л Г —Г “ 2 агс ій <2 л- - />) + С.

Слѣдоватсльно, предложенный интегралъ равенъ

$ агс х + 4 агс (2 х + /3) +4 агс (2 х - /3) — С
или окончательно

Г *44-1 .	1	* 3;ѵ(.+ ^ 1)

] а+й ах = - 3' ЭГС 41 -й лйй + С'
Разложеніе подъинтегральной функціи въ степенной рядъ показываетъ, что
опредѣленный интегралъ въ предѣлахъ 0 и 1 равенъ суммѣ ряда

1 і --А-+  " 

которую, съ другой стороны, мы можемъ вывести изъ цитированной въ
предыдущемъ примѣрѣ формулы. Дѣйствительно, упомянутая формула при
п,
а = даетъ
о

откуда выводимъ (§ 729, ф

о 7	11 г13 17

5 я у'з 2-'_ _	? = А л

б’ 2 ' зуз	34 3

Между тѣмъ кажется, какъ будто, вышснайдепное выраженіе опредѣленнаго
интеграла дастъ для опредѣленнаго интеграла между 0 и 1 значеніе, равное О
(нелѣпый результатъ); но надо принять во вниманіе (§ 725, к), что въ интер-

валѣ (0, 1) функція
слѣва отъ с будетъ

З.ГІ.Т2— 1)

—43?+1 °®Ращается въ :
< 0, а справа > 0. Поэтому

при л‘ = с = (/2 —Уз, и

(* л4+ 1

У .Д;'1

ІІХ =

агс ій

Зл-(а- — 1) у
.Г1 -4.Ѵ-+1/0

З.г(л’- - 1

і4 - 4л'2 —

1

3

2
з



і

Згѵ(л-4-])_у+0 =
г1—4.ѵ2+ 1/<—о

I
у я.

Точно такъ же, если интегралъ ваяли бы въ предѣлахъ отъ 0 до то надо
было бы обратить вниманіе на другой положительный корень с'= V2-||" 3
функціи а4 — 4.іі 1. Для значенія интеграла нашли бы

1

т (агсіе

3&(д-- - - 1) Ѵ'+'і
і4- 4.г- Ь I А' о

2_

3

Съ цѣлью провѣрки замѣтимъ слѣдующее: если разложимъ интервалъ (0, м)
на (0, 1) + (1, со), и замѣнимъ въ интегралѣ, распространенномъ на интер-

валъ <1, по), х на —, то прямо получимъ

Д4+і ,	ГА-Ц-1	_ 2

] х^+ 1 Й?А ' У дѣ+ 1 а 3 я'

о	5
Интегрированіе ирраціональныхъ дифферен-
ціаловъ.

745. Если ирраціональность подъинтегральнаго дифференціала
происходитъ исключительно отъ присутствія въ немъ степеней пере-
мѣнной интегрированія х съ дробными показателями, то эту ирра-
ціональность можно тотчасъ устранить подстановкою х — гдѣ т.
наименьшее кратное знаменателей показателей, и интегралъ вычисля-
ется затѣмъ въ новомъ видѣ такъ, какъ было показано. Въ случаѣ
ирраціональностей болѣе сложнаго характера въ большинствѣ слу-
чаевъ интегрированіе практически не выполнимо въ томъ смыслѣ,
что не существуетъ такой комбинаціи конечнаго числа алгебраиче-
скихъ и логариѳмическихъ функцій, которая изображала бы данный
интегралъ. Но существуютъ нѣкоторые классы интеграловъ, соста-
вляющіе исключеніе, и вычисляемые при помощи простыхъ искус-
ственныхъ пріемовъ. Разсмотримъ здѣсь важнѣйшіе случаи этого рода.

, „	.	<ІХ

а)	Для вычисленія интеграла отъ —-----------приравняемъ радикалъ

у ,ѵ- 4- р х д

выраженію і—х, тогда будемъ имѣть

2 ір'	21 т р ’

<И.

Интегралъ приводится къ

Ь)	Чтобы вычислить интегралъ	, замѣчаемъ, что

У -х'-рх + д

--х^рх	{.г - д -

(гдѣ д -у р должно быть положительнымъ, если желаемъ оставаться въ
области вещественныхъ чиселъ), и полагаемъ

р -] у і	і \

-г ~ “2" = 7 у ? + такъ что -	+	+ ? =

Предложенный интегралъ приводится къ /	, поэтому имѣемъ

./ У 1 -б*
= агс зіп —.. С .
У у -г ! У

с) Интегрированіе по частямъ даетъ (сравн. § 727, а)

Л	і '	с	42 т) /?х

/ У 1 -ѵ2 + />.ѵ + Ц <іх - (л- ± у/’ІУ'іУ+М + <1 - /	= 

'	2 '	,} У -лР-рх + д

Правая часть, въ силу тождества

± (а- 1	- ± '" + рх + д ъ

преобразовывается въ

(а+4 )У ±-т2+М+? - / / = *3+Аг--уг7і;+(і7:р1^) / -	----

\ 21	Л	'	4 М Ѵ+хЧрх И

Слѣдовательно,

2^V	^+^+{іу:Г1^у (	—

а потому

У г ------------ ] / р \ ,__________-

V хР-рхуд сіх = —|.ѵ 4- -?-) у ,ѵ2+ рх-д

-	~ Р2 ' 106 । А' -і-	+ Г -ѵ2- Рх + і] I - С,

У - Х'і+рх д ііх = [х — У — X* 4- / X 4 д

X - Д

+ -7Г Ь? + -і ?2 агс 8ІП ~т=—    + с-

2 ,	I Уд -р I р-

746.	Положимъ, переходя къ болѣе общему случаю, что /(лг, у)
есть раціональная функція отъ х и у. и разсмотримъ интегралъ
отъ /(х, V + хізгрх 4- (]~)Рх. Какъ бы сложно ни было подъин-
тегральное выраженіе, легко можно показать, что оно можетъ быть
приведено къ раціональному виду прилично выбранною под-
становкою, и поэтому такой интегралъ всегда выражается въ
алгебраически-логариѳмическомъ видѣ. Дѣйствительно, стоитъ
только ввести новую перемѣнную і —	№ + рх-рд, чтобы на осно-

ваніи формулы (1) уничтожить ирраціональность въ р(х, у)(1х, когда
у — ] ,г’*+/’Л'+ (]. Это не справедливо при у — У — х^рх-і-ц,
но въ этомъ случаѣ можно примѣнить другую подстановку, пригодную
и въ первомъ случаѣ, если корни функціи х2-\-рх-\-(] вещественны;
во второмъ случаѣ эти корни навѣрно вещественны, иначе у былъ
бы мнимымъ при всякомъ значеніи х. Обозначая черезъ а и ,5 эти
корни, положимъ

~ с/2

(2)	х ~і "7777” ‘

и тогда найдемъ (выбравъ і съ приличнымъ знакомь)



іі х —

2 (,?-») Г/7/

± (1=^ '

откуда и видно, что /'(г, у) <іх принимаетъ видъ	гдѣ ф(/)

раціональна и вещественна.

747.	Впрочемъ, вышеупомянутыя подстановки служатъ глав-
нымъ образомъ для того, чтобы показать возможность привести,
въ разсматриваемомъ исключительномъ случаѣ, ирраціональный диф-
ференціалъ къ раціональному виду. На практикѣ всегда лучше будетъ
предварительно извѣстнымъ образомъ упростить выраженіе /’(.%, ѵ).
Раціональную отъ х и у функцію у всегда можно представить въ
видѣ отношенія двухъ цѣлыхъ функцій. Расположивъ эти функціи
по степенямъ у и замѣнивъ уія черезъ (+ № + рх -ф- д}“, а
черезъ (± .'Ѵ4+/>л--Н7)”_у, приведемъ данное выраженіе къ виду

/(*• .г)

?.і ѢО +>’ сч (*)
Чі <х) + _г V? (-у)

гдѣ д?,, ($1, чр.>— цѣлыя функціи отъ х. Умножая числителя и

знаменателя на	и снова подставляя

_т2= г А-- — рх + у,

находимъ

/ (,ѵ. у) = <Г (.г) — —’

гдѣ (р и чр— раціональныя функціи отъ х. Разлагая затѣмъ ф(л-)
на частныя дроби (сравн. § 742), увидимъ, что помимо инте-
граловъ отъ раціональныхъ дифференціаловъ, вычисленіе даннаго
интеграла приводится къ вычисленію одного или нѣсколькихъ инте-
граловъ слѣдующихъ типовъ:

Г—

/ (л - <?)" Т ± х~ 4- рх + <1

гдѣ п цѣлое положительное число, и а вещественная или мнимая
постоянная. Подстановкою х — а + интегралы второго типа при-
водятся къ интеграламъ перваго типа, а эти послѣдніе, какъ
легко видѣть, приводятся къ единственному I —, который вы-
численъ въ § 745. Дѣйствительно,

а потому, подставляя въ предыдущее уравненіе, получимъ

Изъ этой формулы приведенія послѣдовательно находимъ при
п = 1, 2, 3, ...

748.	Аналогичнымъ пріемомъ можно упростить интегрированіе
дифференціала /’(л,	ирраціональность котораго зависитъ

исключительно отъ присутствія корня квадратнаго

.)'  Г ,7 , Х"‘ + Я1 V" -1 -I-	  ’ +	-

Замѣтимъ сперва, что при т — четномъ можно свести степень под-
коренного полинома къ т— I; этого достигнемъ съ помощью под-
становки х —о.— - - , гдѣ а корень этого полинома. Возвращаясь,
напримѣръ, къ случаю ѵ = |/ _І_ х* + рх -ф д и обозначая черезъ р
другой корень подкоренного полинома, получимь уг -Д/ 4- (р'-а).з ± 1.
Принимая новый радикалъ за новую перемѣнную интегрированія,
мы и придемъ къ подстановкѣ (2). Точно такъ же случай т — 4
сводится къ случаю т = 3; но тщетно было бы пытаться свести
послѣдній къ случаю т = 2. А именно, болѣе глубокое изученіе
этихъ интеграловъ (при т = 4 и т = 3), называемыхъ эллипти-
ческими, дастъ возможность доказать, что ихъ нельзя, вообше
говоря, выразить въ конечномъ видѣ алгебраически - лога-
риѳмическими функціями, и что попытка привести ихъ къ инте-
граламъ отъ раціональныхъ дифференціаловъ можетъ быть сравни-
ваема съ попыткою придать поверхности кольца сферическую форму
путемъ непрерывной деформаціи 1). При помощи вычисленія, подоб-
наго изложенному въ предыдущемъ §, удается лишь доказать, что
эллиптическіе интегралы приводятся къ слѣдующимъ:

которые называются интегралами перваго, второго и третьяго
вида; далѣе при помощи извѣстныхъ подстановокъ приходимъ къ
тому, чтобы принять интегралы

ЗІП2 г/' ііір

Ѵ1 -Л28ІП29

за типы интеграловъ перваго и второго вида. Первый изъ этихъ
интеграловъ, взятый въ предѣлалъ отъ 0 до до, обозначаютъ обык-
новенно черезъ /' (7г, (р), а второй, взятый въ тѣхъ же предѣлахъ,
можно написать такъ

1 /*1 - (1 — к- 5ІП2 </) ,

у) - Е (А т)}.

условившись обозначать черезъ Е {1г, <р) интегралъ

'с

У 1 - /г2 аігі.'17 <7 г/.

о

Значеніе (р на верхнемъ предѣлѣ называютъ амплитудою, а число /г
модулемъ интеграловъ. Въ механическихъ и геометрическихъ
приложеніяхъ особенно важны значенія интеграловъ Р и Е при
амплитудѣ (р = ~ . Ихъ называютъ полными эллиптическими инте-
гралами и обозначаютъ такъ

I - . - ЯІЛ2 <!

ГІ С(

Е (к) = у 1 — /.- 8іи2 гр гігр.

о

’) См., для «т>4, „Сопгб (ГАппаІузе сіе ГЁсоіе роіуіесііпіаие" раг.
С. Негпіііе (стр. 291—297).
749.	Займемся теперь тѣми подстановками, о которыхъ упо-
мянули въ предыдущемъ §, и постараемся составить ихъ такъ,
чтобы избѣжать введенія мнимыхъ чиселъ. Сперва предположимъ
вещественными корни а, рі, у функціи г = У л 3 —+ Ьх -г с.
Пусть а означаетъ наименьшій изъ нихъ, когда при лГІ стоитъ
знакъ -ф, и наибольшій въ противномъ случаѣ, /? — пусть будетъ
средній изъ корней; черезъ />- обозначимъ отношеніе "•
всегда лежащее между 0 и 1. Подстановки х — а + (/7 —а) зіп*<р
дастъ

+ л-"' -ф ах‘- і і>х — с = ;1 — а — а)- (і - к2 зіп3 зіп1’ у. соз2 ;

поэтому, независимо отъ вещественнаго постояннаго множителя,
радикалъ у преобразуется въ произведеніе У 1 к* зіп1 д° на
еіп досо&до и поэтому

<7	,	а </

будетъ пропорціонально —	  ------

-V	]1- І25ІП2<Е

Къ тому же результату приходимъ, когда не всѣ корни вещественны.
При этомъ предположеніи, считая всегда коэффиціенты веществен-
ными, можно представить у7 въ видѣ — (д- а) і'.ѵ2 -ф />.т -ф 7) сь
вещественными а, р и <7. Положимъ

.ѵ = ч±] а- р а — <7 і»-	•

Простое вычисленіе дастъ

ц	з

= (А- а) [х2 + рх + <1) — (|(2 ф рп У У'у (1 — к- яііі - <(•]-

008* =

гдѣ число

/	Р \

2 \	— у/

всегда лежитъ между 0 и I, потому что

а-Урч-Уу = [аі + (у/ - А’і > [а4-	

Итакъ, въ обоихъ случаяхъ преобразуется въ І'У/г, гр); что
же касается интеграла	> т° онъ приведется къ тому или
другому изъ интеграловъ

5ІП- 9" <///
у 1  к- 8ІП2 (/

[А — к- яіп2 ч

смотря по тому, будутъ ли всѣ корни у вещественны или нѣтъ.
Мы уже видѣли, что‘ первый выражается черезъ интегралы Е и Е-
Чтобы показать, что то же самое имѣетъ мѣсто и для второго,
замѣтимъ, что

Л у  И" 1 -	) = (у (1 ~ у ) ~ к' 8іп2 '<

'7 ч. _____

У1 - к2 $іп2 у

откуда, интегрируя, получимъ

-1—о- - -=^1 <р) — 2Е(Е гр) + 2ід ^-  У1 - к2 8Іп2 Ч;.

Далѣе, если уѣ полиномъ 4-ой степени, то, какъ уже сказано, под-
становкою х =гдѣ а одинъ изъ корней этого полинома,
сведемъ этотъ случай къ предыдущему. Но, если этотъ полиномъ
не имѣетъ вещественнаго корня, то, не желая вводить мнимыхъ
чиселъ, прибѣгаемъ къ другой подстановкѣ, которую мы здѣсь
только укажемъ, не останавливаясь на ведущемъ къ ней изслѣдо-
ваніи ’) Положимъ, что у® = (л2 рл + д) (х'1 + р'х + ц’) и пред-
положимъ, что каждый множитель правой части остается всегда
положительнымъ. Полагая

(/>-/) л = 7 - А -У(с/ - У)2 — (р - р')	- др').

<Р Л И = <! - ']'+ Р'(<7~ <]'р ѣ ।^7'-
находимъ искомую подстановку въ видѣ

Л — II Ш. ІД {[
і +'«ѣ

гдѣ т наименьшее изъ двухъ чиселъ

1/к- ~рл + 7; і /А - У2 + <Г _

г ц2— р^+ у’ У У-рУЕ-ір

Ч См. ЗсЫоетіІсЬ. „Сотрешішт <1ег ѣоѣегеп Апаіуъія'1 3-е изд
т. II, стр. 290 и слѣд.
750.	Возможность выразить интегралъ отъ /{х,у)4х при
_уг = ± а'2-г/'.ѵ-| д въ алгебраически-логариѳмическомъ видѣ объяс-
няется тѣмъ, что предыдущее уравненіе есть уравненіе коническаго
сѣченія, т, е. уни кур саль ной кривой (§611) или кривой нулевого
рода. Если, въ болѣе общемъ случаѣ, предположимъ, что въ /\х,у)
перемѣнная у связана съ х уравненіемъ р (х, у) = 0 какой нибудь
уникурсальной кривой, то /"(х, ѵ)(іх, очевидно, можно привести
къ раціональному виду, принявъ за новую перемѣнную тотъ пара-
метръ /, въ которомъ х и у могутъ быть въ данномъ случаѣ
раціонально выражены. Такимъ образомъ и оказывается, что безчи-
сленное множество дифференціаловъ, несравненно болѣе сложной
формы, чѣмъ эллиптическіе, приводятся къ раціональному виду и
интегрируются въ алгсбраически-логариѳмическихъ функціяхъ. Гораздо
труднѣе доказать обратную теорему. Если р (х, у) — О не уни-
курсальпа, тоуУ(х, у)<У.ѵ не выражается въ конечномъ видѣ
въ алгебраическихъ и логариѳмическихъ функціяхъ.

[ Примѣчаніе. Это теорема справедлива лить въ томъ смыслѣ,
что если р — () не уникурсальная кривая, то //(х, у)й?х при
всякой раціональной функціи / отъ х и у не выражается въ упо-
мянутой формѣ (см. И. Нтапіицкій „Общія предложенія объ
интегрированіи въ конечномъ видѣ абелевыхъ дифференціаловъ".
Матем, Сборникъ Т. XXI), Но нельзя сказать, что никакой инте-
гралъ вида ) /(х, у) гУх не выражается въ этой формѣ, если Р = 0
не уникурсальпа (см, Е. Золотаревъ, „Теорія цѣлыхъ комплекс-
ныхъ чиселъ" (СГІБ. 1874), стр. 107.]

Это выясняетъ истинную причину невозможности, вообще го-
воря, выразить въ такой формѣ эллиптическій интегралъ, потому что
кривая Зго порядка

.у2 п п0.ѵа +	[- а2.ѵ + «а.

не имѣющая, вообще говоря, двойной точки, будетъ рода 1; она
тогда лишь уникурсальна, когда она имѣетъ двойную точку, для
чего необходимо, чтобы одинъ изъ трехъ корней функціи у быль
двойнымъ (а = (7), и тогда достаточно положить х=у-|-/2, чтобы
сдѣлать подъинтегралішый дифференціалъ раціональнымъ. Нѣсколько
болѣе общій результатъ заключается въ слѣдующемъ: Всякій разъ,
когда х и у связаны уравненіемъ вида

«уи + Ъху"^ + с хіу"'~'г у <  = а'у”-1 4- {>’ хуп~2 -|- с'х3.у'1	+  • 

стоитъ только положить у = чтобы получить

=	- Ъ^‘ "2п----,	, _	-I- Ь'іп~1 4- уу

Л' а С +	 1 + -•  '	~ аРу ір-1 + • • -

и такимъ образомъ преобразовать _/ (.ѵ, у) Рх въ у (/)<//, гдѣ
ф (Л — раціональная функція отъ /.
751.	Биноміальные дифференціалы. Подъ этимъ названіемъ
понимаютъ дифференціалы вида л*(а ф- Ь.х^^х. Мы обозначимъ
интегралъ отъ даннаго дифференціала черезъ 3 (р, у) и замѣтимъ,
что подстановка а-\-Ьхт=і' приводить его къ виду

л +1

Интегралъ выражается въ конечномъ видѣ, если цѣлое число.
Интегрированіе выполняется непосредственно, если это число цѣлое
и положительное; въ противномъ случаѣ достаточно сдѣлать под-
становку / = и выбрать цѣлое число п такъ, чтобы и ну было
цѣлымъ, благодаря чему данный дифференціалъ приводится къ
раціональному виду. Далѣе, если напишемъ хр (а-рЪхп‘УІ въ видѣ
то, примѣняя къ новому выраженію предыдущее
условіе, видимъ, что интегрированіе выполняется тотчасъ же (при
помощи подстановки Ь-\-ах~ІЯ = і), если число +1 —цѣлое.

'	т

Итакъ, данный интегралъ приводится къ интегралу отъ раціональ-
наго дифференціала тогда, когда одно изъ чиселъ

?+д+,,.

т т 1

цѣлое или нуль. Эти условія называются условіями интегрируе-
мости биноміальныхъ дифференціаловъ. Замѣтимъ еще, что числа
р, т, у предполагаются всегда раціональными, иначе дифференціалъ
былъ бы трансцендентнымъ. Чебышевъ *) доказалъ, что упо-
мянутые случаи единственные, въ которыхъ интегралъ отъ
биноміальнаго дифференціала выражается въ конечномъ
видѣ (черезъ алгебраически-логариѳмическія функціи). Здѣсь, ко-
нечно, подразумѣвается, что дифференціалъ самъ по себѣ не раціо-
наленъ (и, слѣдовательно, р, у, т не всѣ равны цѣлымъ числамъ),
и еще, что онъ не приводится къ раціональному виду подстановкою
л-=/”, что имѣло бы мѣсто при р и т — дробныхъ и у цѣломъ.
За исключеніемъ этихъ случаевъ, слѣдовательно, предполагается, что
р и т-—цѣлыя, а у — дробное; кромѣ того, можно предположить

потому что подстановкою х — - тотчасъ сведемъ къ этому
случаю случай яг <0.

752.	Для вычисленія или упрощенія интеграла отъ биноміаль-
наго дифференціала стараются выразить его черезъ другіе, подобные
ему, болѣе простые интегралы. При этомъ прежде всего замѣтимъ,

1) Доигпаі ііе Ѣіоиѵі11е“ (1853, стр. 108).
что д всегда можно считать лежащимъ между 0 и 1. Въ самомъ
дѣлѣ, предполагая />+1^0, интегрированіе по частямъ даетъ

/	Р + 1 Р + і	Р + I

Съ другой стороны имѣемъ тождество

Іі3 (р + іп, д — 1) = 3 (р, д) — а3 (р, д - 1).

Слѣдовательно,

(3)	(р ф тд + 1) 3 (р, д) -= т- ' * 1 (а + Ь.х'" )4 + т д а 3 (р, д -  ] I.

Изъ этой формулы беремъ Э(/>, (/) или 3(/’, у— 1), смотря по тому,
будетъ ли </>0 или <0. Повторнымъ примѣненіемъ этого пре-
образованія можно отъ <у> О отнять, или къ <;<0 прибавить сколько
угодно единицъ. Замѣтимъ при этомъ, что какъ только одинъ изъ
коэффиціентовъ при 3 (/>, д) или при 3(Д д - 1) окажется нулемъ,
такъ будемъ имѣть дѣло съ однимъ изъ случаевъ интегрируемости
(въ конечномъ видѣ), и формула (3) сама дастъ значеніе 3 (/>, д -1)
или 3(/і, д]. Точно такъ же можно достигнуть того, что р будетъ
заключаться между 0 и т. Дѣйствительно, интегрированіе ио
частямъ, произведенное при д -фІз^О, ластъ

„(,-т+І (" — ІУ”)’-1'’ Р~ ’п -і- 1

= х' ~і~	,----,—;  г 3 ір т, (7—1).

(д -т 1) т /1	(</ + ।) >"Ь

Съ другой стороны, имѣемъ

3{р-т, д -|- 1) = лЛ(/’->»• <]}А-Ъ3(р, д),
слѣдовательно,

(4)	(Р~ѵ тд + 1) &Э (р, ді^~ .ѵ2'-"'+1(л+ 7(.г’"У/+1  ір — >п ф 1) «3 (р — т, д).

Изъ этого соотношенія беремъ 3 (р. д) или 3 (р — пі, д}, смотря по
тому, будетъ ли р >0 или <0. Итакъ, мы видимъ, что съ помощью
формулъ (3) и (4) вычисленіе интеграла отъ всякаго биноміальнаго
дифференціала всегда приводится къ случаямъ, въ которыхъ

р и т — цѣлыя, т > 0, 0 < д < 1, 0 <р < т.

___________гі х

V л--’ + 2.ѵ—1 —, полагаемъ
х

у	- I = ( — X, оікуда

л. *ЧД	ѵ—9-Го------і .	/Ч2/-1	,	/2-2/- 1

А = 2 (/+1) ’ > --- + 2а - I = / - л: = -27^ - > е/х =
Предложенный интегралъ преобразуется въ

1 / (44-2 Г- 1)3 4Л	{ I I

2 / ‘(/+1)2^4-1)	] 1,2'

/-І * (/1-1)4

Аі.

Легкое вычисленіе дастъ окончательно для значенія интеграла выраженіе

- |-2л-—1 Іод (.г | 1 — V -Ѵ4 2л — І) - 2 агс (.ѵЦ-р\а + 2л - і) + С.

Быстрѣе мы достигли бы цѣли, разложивъ интегралъ на

і (,ѵ -Н1) А х

Ѵх2 -г 2 л' - I

и замѣтивъ, что

ф	1

агс зіп '—~ + С,
я-]/ 2

гдѣ (сравн. съ § 725, а) надо взять верхній или нижній знакъ, смотря по
тому, будетъ ли *• > 0 или < 0. Первоначально полученное выраженіе потому
и предпочтительнѣе, что въ немъ нѣтъ двойсівеппости знака. Эквивалентность
обѣихъ формъ вытекаетъ изъ тождества

,	 х — 1

± агс зіп - —

ХУ 2

2 агсІх(л'4-УѴ + 2'.ѵ- 1) - (1 4-2)	

4

Ь)	Аналогичнымъ путемъ вычисляется у — 1 —. Но можно этотъ
интегралъ разсматривать, какъ интегралъ отъ биноміальнаго дифференціала,
въ которомъ р — - 1, т-- '2, ц = %. Слѣдовательно, —	- = 0 и первое усло-

віе интегрируемости выполнено (что всегда имѣемъ мѣсто при р = - 1,
каково бы ни было <-0). Поэтому полагаемъ .-г3— 1=/- и получаемъ

/ фЛѵ3- І <іх = / * ’У- = і - агс і 4- С =- у V — I 4- агс зіп — -и С.
/	л" у с- і	л’

, г,	4 .V

с)	если желаемъ вычислить интегралъ отъ	, разсматривая

ато выраженіе, какъ биноміальный дифференціалъ, то замѣтимъ сперва, что
/- -— 3. т = 1, <? = —А, первое условіе интегрируемости выполнено (какъ
это всегда бываетъ при и-±1 и р цѣломъ),' и достаточно положиіь
х— I = і-. чтобы сдѣлать дифференціалъ раціональнымъ и съ помощью весьма
легкаго интегрированія найти

Ах

№ Ух — 1

3	13 - ѵ 4~ 2 7-- .

-г- агс соз —— 4-, л— У х — 1 -4- С.

4	т х 4 .г-
уі $ х

й) Въ интегралѣ отъ------'—имѣемъ р = 4, т = 2, <? ~	4;

(1	Л'2)	1 — Л-2

р + 1

второе условіе интегрируемости выполнено, такъ какъ	—1-(? = 1. Слѣ-

довательно, надо положить .ѵ“" } = !', т. е.

7	,	<1 і

.ѵ = ——	> а х =----------

(1 гу

Но въ данномъ случаѣ скорѣе придемъ къ цѣли, если сперва произведемъ
интегрированіе по частямъ

/Л’СЛ.Ѵ I	х'і - і лаіі.ѵ

3 I X* (7(1 — Л3) Т -= ~7 ----:	° I	Л т>

(1-.1Ѵ	1 1-Л'2	./ уі-х-

3 .г — л°*	3	.	„

— — г-^^=. —гг агс 8іп л- 4- (. .

2рі-.ѵ2	2

Это сводится къ примѣненію формулы (4),

е) Въ интегралѣ отъ  —2——<7л- имѣемъ.^ = —т = |.

У х

* д. 1

—— — 2 — первое условіе интегрируемости выполнено. Поэтому можно
т

быть увѣреннымъ, что подстановка і -- 1 |- р'.ѵ приведетъ къ цѣли. Мы
получимъ

4 (/- 1) А(7/ = а (4 і - 7) А + С,

слѣдовательно,

/ V 1 + Т'л-	3 , — у— л/

I------р.--  -Т'.г	7 (П X + ул- - 3) I' 1 +У Л- + с.

Г) Если требуется вычислить

С л ” с/х

.1 У І^Л3 ’
то, замѣчая, что

/4-1	«4-1 р -і-1 п

~1РГ = ' '2 ’ т~

мы видимъ, что приведеніе къ интегралу отъ раціональной функціи воз-
можно лишь при п - цѣломъ Смотря по тому, будетъ ли п нечетное или
четное, интегралъ приведется къ
подстановкою х = У1 — № или х = —	- Впрочемъ, интегрированіе по

У I + /2
частямъ даетъ формулу

которая позволяетъ свести данный интегралъ къ

— У I — х1 + С,

Г ^х 	। /'

/   агс зіп х 4- С ,

7 г і-*-

смотря по тому, будетъ ли п нечетное или четное. Если интегралъ берется
отъ 0 до 1, то приходимъ къ извѣстнымъ уже результатамъ (§ 727, §),
что легко видѣть, положивъ .ѵ = яіп 0.

у Если желаемъ вычислить интегралъ ')

(V а3 л34-.гв 4-Т лга — У л*'—л7 еіх:

то стоитъ только замѣтить, что коэффиціентъ при (іх. на основаніи формулы
Тарталіа (§ 528), есть корень уравненія ді3 + 3	— 2хя — 0; припоминая

замѣчаніе, сдѣланное въ концѣ § 750, тотчасъ приходимъ къ подстановкѣ

3/	,о /’(1 + /8) /2 <1і

.г = 2—, которая приводитъ данный интегралъ къ 18 I ——
а полагая еще 2 • • Iя = 3 0, къ

1-2 8
62

і-с-	+ с.

Въ тоже время имѣемъ ху- 2_у2— 2 л4— Зл-у--2уі^ (а3— 2у) (2х2--у).
Поэтому предложенный интегралъ равенъ

3____________3 ________ _

.ѵ3 (У л-а + у^Ч~ѵ® + У л-8 - У^)_ -2.3 , с
3_______________з__________ 

(У.ѵ3- Ул-з нГёв _|_	_ ууі-у дѣ) + 2 х2

Предыдущее вычисленіе можно нѣсколько сократить, если замѣтимъ, что

.г3 (іі = .г (іу —у <іх, откуда слѣдуетъ

.= “ *) + С~ С и т' д’
у т х

9 НегшИе. #Сонга сі'АпаІузе*, стр 242.
Интегрированіе трансцендентныхъ диффе
ренціаловъ.

754.	Случаи интегрируемости въ конечномъ видѣ трансцен-
дентныхъ дифференціаловъ, т. е. случаи, когда эти интегралы
выражаются въ извѣстныхъ элементарныхъ функціяхъ, весьма рѣдки.
Въ простѣйшихъ случаяхъ, когда такое выраженіе возможно, обык-
новенно примѣняютъ болѣе или менѣе искусственные пріемы, а не
какіе нибудь общія правила. Нѣкоторыя изъ этихъ общихъ правилъ
надо, однако, замѣтить. Если / есть символъ раціональной функціи,
то интегралы

Iііх.	.ѵ) гіх, /(&ІПХ, СОІХ) (ІХ

всегда могутъ быть найдены съ помощью соотвѣтственныхъ под-
становокъ і — сг, / =	/=і^7-гдѣЛ—новая перемѣнная инте-

грированія. Такимъ образомъ получаютъ

/ /(с ) <7 .ѵ	.	//№-*)

Г... 	С / 7	1 " '2<і1

] 1	*С05 ах = / 7 7	’ Г+7/ Т+~і2 ’

и преобразованные интегралы вычисляются, какъ интегралы отъ
раціональныхъ дифференціаловъ. Тѣ же подстановки бываютъ часто
полезны и тогда, когда / не раціональная функція.

755.	Упражненія, а) Интегралъ отъ -	- берется съ помощью

ех + е *

подстановки і—ех, и получается

Ь)	Чтобы найти интегралъ отъ ——, возьмемъ за новую пере-
а + о соз х	"

мѣнную і — ф . Получаемъ, смотря по тому, будетъ ли а- больше или
меньше 6-,

/	<7 *	2	, /1/7 — 5 х \	„

7 а + * со5 А' “ Т«2 - 52 агс к \ У а -р ь	' 2~) +

=	1	]0„ &+ «СОЗ	Д2  ЗІП Л- і I С

У 62 — а2	а Ь соз х	|
гдѣ — означаетъ (а + 5), Отъ одного выраженія къ другому легко
перейти на основаніи соотношенія между агс и 1о§,

с)	Точно такъ же вычисленіе^

Гйі	, *

• ——2 при помощи подстановки і= ід.ѵ.

1 “Г

приводится къ вычисленію

Но при п — цѣломъ положи-

тельномъ можно иначе поступить, повторно примѣняя слѣдующую формулу

= Г(с5і_ -1)	_^г_ * - /V

Такимъ образомъ въ концѣ концовъ придемъ къ одному изъ интеграловъ

хі1х = — 1о<т | соя х 1 + С

</х = х + С,

смотря по тому, будетъ ли и—нечетное или четное. Можно такъ же посту-
пать при я — отрицательномъ, но въ этомъ случаѣ удобнѣе замѣтить, что

и т. д.

соін Ѵѵ
п — 1

у* соГ ^хсіх

сі) Чтобы вычислить интегралъ отъ , положимъ х = /2;

V

Г

интегралъ приведется къ 2 і — интегралу, который мы уже вычи-
сляли (§ 744, с). Мы получимъ окончательно

. -= Іое ! 8Іпд: + созл1 Ь1'/*5Іп2л' ' і--агс зіп (зіпд-— соз.ѵ)— С-

уТёл- уі е	|-2

е) При вычисленіи интеграла вида //(зіп х, соах')сІх часто можно

обойтись безъ примѣненія указанной въ § 754 подстановки -= /, при-
мѣняя интегрированіе по частямъ и различные искусственные пріемы, къ ко-
торымъ (сравн. съ § 723, 4) принадлежитъ умноженіе дифференціала на
со<- /г + зіп2 .ѵ = 1. Напримѣръ, съ помощью упомянутой подстановки можно
найти

Г (IX

I 5ІП5 X

СОІл: / 1

4 \йіпа х

+ ж) + т1оф'2 +с-

Но удобнѣе свести данный интегралъ (ср. съ § 723, а) къ одному изъ
слѣдующихъ

і (і х
/ зіп2 х

= — соі .т 4- С,

С <7.1-

I 8ІП X

Іой [ + с,
,	*	я. Г

что всегда возможно, когда дѣло идетъ объ интегралѣ / ---------- при п ць-

,/ зіп" л-

ломъ положительномъ. Дѣйствительно, мы имѣемъ

ЕІП3ЛГ +• СОЗ2# ,
--------------- Л.Х---

зіп" X

а слѣдовательно, съ помощью интегрированія по частямъ

1 со 5 ..ѵ

« зіі? ’ л-

Аналогично этому трактуется

I) Подстановка і = і^ _д даетъ

____<ІІ____
/Ф +?

Слѣдовательно, мы имѣемъ передъ собою эллиптическій интегралъ, который
можно разсматривать и какъ интегралъ отъ биноміальнаго дифференціала,
въ которомъ

Поэтому (§§ 749, 751) тщетно надѣяться какимъ либо путемъ выразить этотъ
интегралъ въ конечномъ видѣ.

Для вычисленія интеграловъ нъ родѣ зігг'лчАг, со^хсіх и т. д.
также нѣтъ надобности прибѣгать къ подстановкѣ. Тригонометрія (сравн. сь
§ 725, о) даетъ соотношенія

зіп3 л- — | віп х — | зіп 3 #, соз4 .ѵ = г соз 4 х 4 • | соз 2 # д- $,
откуда тотчасъ получаемъ

зіп8 .г сіх = — і,1 соз .ѵ + ,'» соз 3 л- + <7,

соз4 х сіх = 4а зіп 4 х + зіп 2 х + | х С.

Точно такъ же, для вычисленія $зіп3х сов4 # Лх можемъ взять тѣ же два
соотношенія и, перемножая ихъ, вывести (ср, съ § 723, сі) слѣдующее

32 зіп3.ѵ соз1# = 1, (3 зіп х 4- 3 зіп 3 .г - зіп 5 х — зіп 7 #),

откуда интегрированіемъ получимъ

соз4.# сіх = -,.1, ( — 3 соз# — соз 3 х + ѣ соз 5 х + 1 соз 7 #) — С.
Аналогичнымъ способомъ вычисляютъ всѣ интегралы вида8Іп™х созях сіл\
Но можно также воспользоваться формулою приведенія, которая получается
интегрированіемъ но частямъ, а именно

/ зіп'"л-соз"л — зіп'''1* соя”	1) і зін’^соа" ''.ю/.г-ит. д.

Ь) Иногда одного интегрированія по частямъ достаточно, чтобы изба-
виться отъ нѣкоторыхъ трансцендентныхъ функцій подъ знакомъ интеграла.
Такъ, напримѣръ, для всякой пары раціональныхъ функцій / и & имѣемъ

(*) Іоя/М <іх = ^(.т) Іо§ /{х)

/(*)А Ѵ ) ’

и послѣдній интегралъ выражается въ извѣстныхъ функціяхъ. Напримѣръ,
(ср. съ § 744, Ь)

X іо§ (л4 — 1) д?.г =

1	. ,, Г

= (л2 - 1) іое У л- — 1 + (л2 + 1) 1о2Т х2 1 — х2 ф- С.

Замѣчательные опредѣленные интегралы.

756, Эллиптическіе интегралы. Полный эллиптическій инте-
гралъ (§ 748) перваго вида Р(к) легко вычисляется съ помощью
ряда, такъ какъ (§ 233, е) имѣемъ

і

Р(Р) = / (1	+ 4- А28іп'2<р т-	А—у	А*зпР д	№ ып15 <р +  - • 'і	г/ір.

/\ а	2*4	2-4'0	/

о

Отсюда, пользуясь формулою (15) § 727, найдемъ

» Г(Ч- І{1 + (фФ ь («3ф. ф. .}.

Легко прослѣдить, какъ измѣняется Р(к) при возрастаніи к отъ
О до 1. Ясно, что Р (Р) постоянно возрастаетъ отъ 7Г(О) = до

Г

} Г <і<р ... 1 +

] / —— = Ііт 1о2-------------- —

у С08,р
Справа отъ к = 0 функція Е возрастаетъ медленно, такъ какъ
изображающая ее кривая уподобляется здѣсь параболѣ у — ~ х*
9

въ смежности съ ея вершиною; а подъ
конецъ она возрастаетъ весьма быстро,
такъ что кривая становится асимптотиче-
скою къ прямой к — 1 (рис. 90). Чтобы
увидать, какъ измѣняется функція Е(к)
въ смежности съ к = 1, замѣтимъ, что
коэффиціентъ при к-11 въ разложеніи этой
функціи аснмптотиченъ къ (§ 337, с).
откуда слѣдуетъ, что (§ 339) слѣва отъ
к — 1 имѣетъ мѣсто асимптотическое

равенство

(6)

Г 1 —

757.	Такимъ же образомъ вычисля-
ется полный эллиптическій интегралъ вто-
рого вида Е(к), для котораго имѣетъ

2

Е (7г) = I 1 —~ Ѣ- ЧгЧ <р —	7г15ііг* <р

о

1 -3

2-4-6

№ зіп6 <р —  

интегрируя почленно, получимъ

(7)



1 /1-3-5

5 \2-4-6

При возрастаній к отъ 0 до 1, Е(к} постоянно убываетъ отъ - до

Л-(1)= /
о

соя д /і(р — I.

Справа отъ ф = 0 кривая, изображающая функцію, уподобляется пара-
болѣ ѵ = — 1 л.г?-' и при к = 1 кривая касается прямой к — 1
(рис. 90). Чтобы въ этомъ убѣдиться, стоитъ только вычислить
производную

₽т--4-{(

2



и замѣтить, что

4’ Е' (к) = Е (&) — Е(к),
откуда и слѣдуетъ, что Ііт Е'(к) = — ио. Чтобы ближе изслѣдовать
л=і -п

ходъ функціи слѣва отъ ^=1. замѣтимъ, что для /?, стремящагося
къ предѣлу 1, теорема Лопиталя дастъ

1-А’(*)	1 ..	Е'(*)	1	Е'(к)	1

Ііт-----------= -тт 1™ —~~ ——	— -гг >ті----- -  =

(I	1-А2	2 1оКуі	2	]о§/1 _/2	2

Слѣдовательно, имѣемъ асимптотическое равенство

(8)

^)=1+Ц±І1од
х } 1 -

758.	Ряды (5) и (7) весьма полезны для вычисленія значеній
Е(к) и Е(1?) при весьма малыхъ значеніяхъ /г, но при 1г недоста-
точно маломъ они становятся непригодными вслѣдствіе крайне мед-
ленной сходимости. Если /г близко къ единицѣ, то асимптотическія
выраженія (6) и (8) даютъ понятіе объ общемъ ходѣ этихъ функцій,
но если мы хотимъ дѣйствительно вычислить значенія функцій, то надо
эти формулы дополнить, чтобы получить сколько нибудь достаточное
приближеніе. Мы ограничимся здѣсь тѣмъ, что покажемъ какимъ
образомъ вычисленіе интеграловъ Е и Е можетъ быть приведено
къ вычисленію подобныхъ же интеграловъ, но съ модулемъ, сколь
угодно малымъ. Этой цѣли можно достигнуть съ помощью такъ
называемаго преобразованія Ландена (Ьапсіеіі)

(9)

8ІП </.'

(1 + ,(<) БІП

1 /I 5ІП- у

гдѣ постоянная /г (лежащая между 0 и 1) опредѣляется уравненіемъ
], —	. Легкое вычисленіе даетъ

1 Ч-,«

У 1 — к- ®іпй </,

1 — ц 8І112 у

1 + ,и ЗІП2 ?;.

1' і	М-" 5ІЛ- У' соч ті

СОЗ !Г = -Ц	‘---Г о------ С0Ь V 

1 + ,Н 81П3 I/'

Изъ (9) дифференцированіемъ получаемъ теперь

и, наконецъ,
(10)

ІІ <)	___ (1 т .") лЧ,'

У 1 — А3 зіп2 ]Л1 —ц’аіп-ід

Л(*)-(1 + ц)/'(/<),

если примемъ во вниманіе, что при постоянномъ возрастаніи отъ
О до Е- первоначальная перемѣнная дѣлаетъ то же самое. Анало-
гичное вычисленіе, которое мы, для сокращенія, здѣсь опускаемъ,
даетъ вторую важную формулу, а именно

9

(11)	А(')	,— /?(,«)— (1 - ,к) ^(н).
Ясно, что обѣ выше приведенныя формулы остаются справедливыми
и для неполныхъ интеграловъ; амплитуды ср и ір имѣютъ тогда
различныя значенія, связанныя формулою (9). Уравненіе (11) рас-
крываетъ слѣдующее важное обстоятельство: Всякій эллиптиче-
скій интегралъ перваго вида можетъ быть выраженъ черезъ
два интеграла второго вида.

759.	Возвратимся къ полнымъ интеграламъ и покажемъ, какимъ
образомъ можно воспользоваться формулою (10), чтобы вычислитъ
р(/?) при к близкомъ къ 1. Начиная съ /г, составимъ такой рядъ
чиселъ к, кл, к^, . . ., чтобы

ъ _ У '^1 /, = ІХЪ ъ = У'А

"	‘1 1-Н Х’2' I + Х’з ’

Тогда будемъ имѣть вообще

_ 1 - ѴТ-і ... (і _
"+1 і + |/-га7;і+(1-М " ‘п’

Числа — положительныя и постоянно убывающія при возрастаніи гр
должны стремиться къ нѣкоторому предѣлу I. Этотъ предѣлъ дол-
. ,	2 рТ _ е

женъ удовлетворять уравненію [. — г, . Освободивъ это урав-
неніе отъ корня / — 0 и отбросивъ недопустимый корень I — 1,
приведемъ его къ 2 -ф ]/ I-1 = 0, которое не имѣетъ веществен-
ныхъ корней. Поэтому / — 0. Повторное примѣненіе формулы (10)
даетъ

У (/.) - (1 - (і +	(] +	... (1 -и кп) Г(кп),

гдѣ кп будетъ сколь угодно мало. При безконечно боль-
шомъ п можно, такимъ образомъ, съ помощью (о) вычислитъ Р(к„'},
а затѣмъ и Р(к). При возрастаніи п до >э имѣемъ

Ііт Г (Ль) = Л'(0) = ~ ’

а слѣдовательно,

^(7’) -Ул(1-НП(1-^)(І-М3) -   .

Построивъ таблицу значеній р, съ помощью формулы (11) анало-
гичнымъ образомъ можно вычислитъ и значенія Е. Такія, весьма
полезныя для приложеній, таблицы составлены Лежандромъ (и для
неполныхъ интеграловъ) и называются эллиптическими табли-
цами *). Приведемъ изъ нихъ здѣсь нѣсколько чиселъ
/Ц.) = 1,617.. , гЦ-| = 1.685..	-^ = 1,854...,	156.

^(1) = 1,526 ...,Е (1^ 1.467 . ., Е (|,35°. .., Е (	) = 1,211...,

1) ѣе^епсіге. „Тгаііѳ сіен Іопсііопя сШрііцие5;‘, т. II.
760.	Упражненія, а) При вычисленіи интеграла отъ -4^—, которое мы
у ЗІП А’

предприняли въ § 755, і съ помощью подстановки ~ =/, предпочтитель-

нѣе примѣнить болѣе простую подстановку ьіп.ѵ--/. Тогда съ помощью даль-
нѣйшей подстановки / — соя-'/1 (на которую наводятъ соображенія § 749),
приходимъ къ слѣдующему нормальному виду даннаго интеграла

Ь) Подобнымъ же образомъ вычислимъ интегралы

положивъ х = соз Они преобразуются соотвѣтственно въ

1	гі ср	1 Г гі	—л

I -___=У-----' --- I —	-----У 2 / У 1 — 4

Ѵ2'}	- 1 ЯІП2 ф У 2 7 У1-ріпЗ(Г 7

Въ частности, будемъ имѣть

с) Нѣсколько сложнѣе будетъ вычисленіе интеграловъ

<7 х

УТТа?

Примѣняя къ первому подстановку

г-

,ѵ = — 1 4- у 3	, получимъ
Ко второму, на основаніи сказаннаго въ концѣ § 749, надо примѣнить
подстановку

ѵ <8 У -0+Г2).

Тогда онъ преобразуется въ

(2 + /2)^

/зіп1 /р -т 6 (3 -3- 2 У 2) яіп2 ф соз2 <р + (3 + 2 ] 2 )2 соз4 гр

Выраженіе подъ знакомъ корня получается отъ умноженіи

зіп3 <р + (3 2 У 2 )“ соз3 ір - (3 2|" 2)“ (1------------зіп3 іу

X 3 + 2 у 2

на зіп2 <р. + соз2 у = 1. Поэтому

/’___/ѵ____= /*_______ (2 - У'2) <і(р

/ /1 + А'і / 1/	4 У 2	.

У 1-------------- Зіп3 <г

'	3 4- 2 у 2

Принимая, далѣе, во вниманіе, что

4 У'2
при к- —  ---

3 + 2У 2

1 - /1 - У 1

1 - /1 - к- /2

б) Когда предложено найти интегралъ

зіп2 у сі <р

У І — 4’ соз <р

о

который напоминаетъ другой, уже вычисленный въ § 725, і, то можно начать
съ интегрированія по частямъ, которое дастъ

/аіп2 <р іігр 2

/1 — А соз у ж
о

зіп у <7	1 — к соз у — —

2 / г---------------

I I 1 — к С05(р • СО8^ <1<р

О

2 Г ~ Со8 — (і<р 2 / зіп3 у - — — і ~ С03 у (Іч

/1 — к соя <р	У 1 — к соз гр	УІ — ксо&гр

о	о	о
Послѣдній интегралъ при замѣнѣ у на л — 2 ср. приметъ видъ

а

С X’ |-соз 2 ир .

2 /	-* - сіср

У 1 |- соз 2 ср

6

2	2

/ У 1 + к соя 2 <р сіср. —1-(1— к2) Г —	—=

у 1 + * соя 2 ((.

о	о

или, если еще напишемъ 1 у к  2 к яігг ср вмѣсто 1 |- к соя 2 ср,

Іто + Лру'і2+А) (і _ ч г (у АА) |.

Слѣдовательно.

зіп2 ср. сі <р
У 1 — к соз ср

е) Могутъ встрѣтиться эллиптическіе интегралы съ модулемъ к > 1,
но ихъ всегда можно привести къ другимъ съ модулемъ, лежащимъ
между 0 и I. Разсмотримъ, напримѣръ, интегралы

ф	у

(* Лср	г______________

I ѴУ -дг= ’ / У 1 - & 8ІП- <Р сіСр,
р 1 — к2 811г ср

б	о

въ которыхъ верхній предѣлъ ср не достигаетъ значенія , а можетъ до-

стигать лишь максимальнаго значенія а, опредѣляемаго
зіп а —	. Когда ср измѣняется отъ 0 до в, то перемѣнная

съ ср уравненіемъ 8іп чр — к ь.іті ср измѣняется отъ 0 до , а

уравненіемъ

у, связанная

такъ какъ

</ ср ____ іі ір____

У1 - к2 яіп- ср	У"Ла — яі о2

то будемъ имѣть

Г—Л* = = 1 Кр-Ѵ

У1 Л25іп2^	\ & I

/	- ]- г(А) + с {г (4) - г( У)}.

О

Напримѣръ,

4	Т

/ “	5~—~ ~ — 1/311 .... I _ 2 зіп2 г/? /Ар 0,599. . ..

/ У 1 — 2 8іп2	7

о

о
і) Въ Механикѣ доказывается, что время полнаго колебанія простого
маятника, съ длиною I и амплитудою колебанія 2 а, измѣряется величиною
интеграла

а

0

гдѣ & обозначаетъ ускореніе силы тяжести въ мѣстѣ наблюденія. Этою
важною формулою пользуются для опредѣленія & въ различныхъ мѣстахъ
земной поверхности, съ тѣмъ, чтобы изъ результатовъ многихъ наблюденій
составить себѣ понятіе о формѣ этой поверхности. Если положимъ /г = зіп У

 6

И 51П -у = К ЗІП <р, то получимъ

соя О — соз а = 2 (зіп- — зіп-

= 2 соз- .

Принимая далѣе во вниманіе, что при измѣненіи В отъ 0 до а, <р постоянно
возрастаетъ отъ 0 до '-, , найдемъ

г= 1 -	(1 -г I 5і”2І+ 61*іп1 т + 5чі"';; 2 +-)•

Если а очень мало, то можно ограничиться въ выраженіи Т первымъ чле-
номъ, который отъ а не зависитъ, и такимъ образомъ получить дока-
зательство изохронизма малыхъ колебаній. Если хотимъ достигнуть бблыпей
точности, то удерживаемъ еще одинъ членъ въ разложеніи. Можно также
примѣнить формулу (10), замѣтивъ, что въ данномъ случаѣ м =	і

и написать

Другой замѣчательный интегралъ, встрѣчающійся въ теоріи дви-
женія волчка, изображается такъ

_ а Ь /' _________________соз 6 <70_______

“ 2 .4 / У' а2 + Ь- 4 <"2 — 2 а Ь соз Ѳ
о

Сведемъ сперва интервалъ интегрированія къ (0, .ѵ), замѣчая, что интегралъ,
распространенный на другую часть (л, 2 л), приводится къ первому замѣною
Ѳ на 2 л —9. Далѣе можно считать, что аЬ > 0, потому что при пЬ < О
замѣною 9 на .л —0 сведемъ этотъ случай къ первому. Съ другой стороны,
замѣтимъ, что

а2— Ъ2 4- '-'2 - 2 а Ь соз 9 —	— 7)- — <?-

. ,	,6	4«&/,	, 6

•1 по соз2 = -р- II — а2 соз-
если положимъ

>, _	4 а Ь

1(7	Ь')2 + С2

Поэтому, принимая за перемѣнную интегрированія <р = ^(л — 5), получимъ

•т
л	2

</>_-=	_ * уу Г

./ 1/ і-^со34 Л ./ 11
О Р	2	п

Накисавъ еще I — 2 $іп2 «р вмѣсто со$2<р, находимъ

(12)	-I А (<)

у п Ь

Затѣмъ формулы (5) и (7) дадутъ ра.чложеніе Ф по степенямъ X’:

Болѣе простое	выраженіе получимъ, если отъ модуля .<	перейдемъ	къ	модулю

|(	1 — Т 1 - V	ТГ((7-і-//)2 I- /-_• _) (а_кууу	,

1	+ Т 1 — X’2	У — I- с- -|- I (а	^)- И с2

пользуясь	формулами (10) и (11).	Въ самомъ дѣлѣ, принимая во	вниманіе, что

преобразуемъ (Г2) въ

Иными словами, предложенный интегралъ приводится къ типическому эллип-
тическому интегралу второго вида (§ 748):

.	2р.,..---у /' ьйі-ф(7<р

Ф - Г р аі/ I - —	

71	./ ф 1 - II2 кіи2у

6

Разлагая правую часть формулы (13) въ рядъ, получимъ

Ф — і У/‘ <іЪ (И — * У -I У У ---).

Если к весьма мало, то послѣднее разложеніе цѣлесообразнѣе разложенія,
выведеннаго изъ формулы (12); если же к близко къ 1, то лучше прямо
примѣнить асимптотическую формулу (6) къ выраженію (12).
И') При помощи
ственныхъ затрудненій.

довольно длиннаго, но не представляющаго
вычисленія ’), приходимъ къ формулѣ

суще-

/ ІОИ віп у

/ Г 1 — /.2 5ІП- <|
о‘

-.у / («! ІоКХ - -‘
Л	4

гдѣ Л''	|.1 - и отсюда получаются при А весьма близкомъ къ 1 т 1,

формулы, на которыя мы указывали въ началѣ § 758- Мы ограничимся
здѣсь слѣдующимъ замѣчаніемъ. Напишемъ правую часть предыдущей фор-
мулы въ слѣдующемъ видѣ:

“ Т 7 (/г) “ 1ой * " Т + к'Х *

припомнимъ, что (§ 7’21. <1)

2 !°82'

И что

1ІП1 |	| іор X' — О,

какъ то слѣдуетъ изъ разложенія /’(Х') въ рядь по степенямъ / (§ 756, (5))
и перейдемъ къ предѣлу при А- ь'1: тогда, замѣнивъ еще к па X’' и обратно,
получимъ

Ііпі [ /’(/’) + іо^ 1 — X’2 I -- Іод 4.

I-—I ’	'

Эта формула не только заключаетъ въ себѣ формулу (6). но позволяетъ
внести въ эту формулу и въ формулу (8) еще маленькую поправку, состоя-
щую въ тома., что разность между лѣвою и правою частью формулы (6)
будетъ не нуль, а Іо^4:

У7 (4’1 = іоч—-—— — •
’ /1	А-2



і) Чтобы дать читателямъ понятіе о болѣе трудныхъ вопросахъ, кото-
рые могутъ быть рѣшены при помощи эллиптическихъ интеграловъ, мы
приведемъ здѣсь двѣ интересныя формулы съ тѣмъ, чтобы вывести изъ
нихъ нѣкоторыя заключенія. Когда / измѣняется отъ 0 до 1, то интегралы
Е(А) и У'(А') измѣняются такъ, что отношеніе второго къ первому измѣ-
няется ось 0 до и притомъ постоянно возрастаетъ. Поэтому, если х

-1-) ЗсНІОтіІсІт. „Сотпрсші. <1іт ІшНегеп Апаіувіз", т. 2, стр. 322, и въ
„Вііісііп сіе ПагЬоих" (1897, стр. 109).
будетъ какое нибудь данное число, лежащее между 0 и 1, то будетъ суще-
ствовать одно и только одно значеніе к, для котораго

Въ то же время можно доказать, что

1 + 2.т+ 2х»-2лЧ2д“+   	Е(к') .

гдѣ к функція отъ х, опредѣляемая предыдущимъ уравненіемъ*). Въ частно-
сти, когда .ѵ безпредѣльно приближается къ 1, будемъ имѣть все съ ббль-
піимъ и большимъ приближеніемъ Е (к) =---- •, и потому сумма ряда

21о« 1г

будетъ стремиться (сравн. § 342, с) совпасть съ

Точно такъ же имѣемъ

1 - 2 х + 2 л4 - 2 л'я + 2л-«-=]/ 2 к' Е(к),

а поэтому (сравн. § 342, (Г), припоминая формулу (6), получимъ

Ііт (х — л4 .-Vя а411 +•)= у

о	і.	1

Напротивъ того, при к = —, когда

1 + 2	+ 2 е і:' + 2 (Г9л +  •

1 - 2	2	- 2 с-®’’4 + • 

1 , 1А,і 1	1

- ~ Ііт I/ ^1о§ —г = —- 

У‘2	*	2

,, 1

и	= й , откуда

АТ7А-іда""

 =1/121 Е I -М = 0,913 ....

’ зі \ р 21

Если хотимъ теперь переставить /’ и к', то надо будетъ замѣнить х дру-
1 1 ,

гимъ числомъ х', связаннымъ съ х соотношеніемъ 1о§ — Іо§ ~ лъ а такъ
какъ съ другой стороны имѣемъ

(1 + 2 ,ѵ +’ 2 л4 + 2 .т!| (іоИ -1) А у 1 Р(к) Е(Е),

Это извѣстная формула изъ теоріи эллиптическихъ функцій. См.,
напримѣръ, ЗсЫОіпіІсЬ „Сошрепбіипі сіег ЬоЬегеп Апаіузіа“. 2-й томъ
второго изданія 1874 г-, стр. 439, формула (105).
то видимъ, что лѣвая часть, какъ и правая, не измѣняется отъ замѣны х
на х' и обратно. Такимъ образомъ получается доказательство одного раннѣе
даннаго соотношенія (§ 342, с). Наконецъ, замѣтимъ, что переходя, при

помощи преобразованія Ландена, отъ модуля к къ модулю

V

съ

1 + к’

помощью того же преобразованія, примѣненнаго въ обратномъ смыслѣ, перехо-

димъ отъ Ѵ къ г: = У 1 — х2.
этому имѣть

На основаніи формулы (10) будемъ но

/"(х) - (1 + /.’) к’{к), Г(%') — I (1 +^) Г(к'),

при чемъ значеніе і перемѣнной х, соотвѣтствующее модулю будетъ
таково, что

1 ,	1	1 Г(к'}_ 1 ,	1

л °8 / “ Г (и)	2 Г(4-) -2л 108 х‘

т. с- с—У*-. Поэтому имѣемъ

1 + 2У^ф 2 |^ + 2 УТ® + •   =|/~ (1 + Е(к) ,

1 - 2 У? -Н 2 У?- 2 У’і« +  • • =|/ ~ (1 - к) Г (к).

Переходя опять отъ к къ и, получимъ

1 + 2 У х - 2 У л4 * + 2 Ул* + • -  = (1 I- У Ь)]/к (*) .

4 __ і	і ___

1 - 2 У х + 2 Ул4 — 2 У*'9 +

- =(1-У^’)р/Л| Г&),

откуда получается

2 У~х + 2 У У'1 + 2 У.г® 4----

1 - 2 л- + 2 х4 + 2 х9 у •  

Съ другой стороны.

1 —2.ѵ - 2л4~ 2,ѵа +
1-|-2х + 2х4-|-2х9 +

V#-

Возвышая оба равенства въ 4-ую степень и складывая, находимъ тождество

(2 У’х + 2 У^® -г 2 Ул25 +   -)1 + (1 - 2 х + 2 а4 — 2 хя + • - -)1
= (1 -г2.ѵ + 2хі4-2х9+  - -)ѣ

Изъ него, путемъ сравненія коэффиціентовъ при одинаковыхъ степеняхъ х
въ лѣвой и правой части, получается слѣдующая ариѳметическая теорема;
Число всевозможныхъ разложеній нечетнаго числа на четыре
квадрата въ восемь разъ больше числа всевозможныхъ разло-
женій учетвереннаго числа на четыре квадрата нечетныхъ чиселъ.
761. Эйлеровы интегралы,
маютъ интегралы

Подъ этимъ названіемъ попи-

Первый называется Эйлеровымъ интеграломъ перваго вида. Это
функція отъ двухъ положительныхъ перемѣнныхъ ц и ѵ, и притомъ
симметрическая (что тотчасъ обнаруживается при замѣнѣ .г на I - х).
Второй интегралъ — функція отъ одной положительной перемѣн-
ной ц, называется Эйлеровымъ интеграломъ второго вида. Мы
уже видѣли, что второй интегралъ равенъ	этотъ результатъ

мы снова подтвердимъ, вычисляя первый при цѣломъ положитель-
номъ ѵ. Предполагая еще и > 1, при помощи интегрированія по
частямъ находимъ

а повторнымъ примѣненіемъ этой формулы найдемъ



ц— ѵ— 1 ц |	2

-1)!

о

I

п

Замѣнивъ ,ѵ

на

-, получимъ

у/йГ = -	_______1 .....

,(((ц 4-1) {'< -I- 2)

о

а увеличивая ѵ до безконечности и припоминая опредѣленіе функціи Г
(§ 252, с), находимъ

'''« Г(к).
ь
Замѣтимъ еще формулу,

получаемую отсюда замѣною ,т па

пх

(14)

важную по

ея многочисленный ь приложеніямъ.

762.

.ража ются

Докажемъ теперь, что интегралы
черезъ функцію Г. Подстановка

перваі о

вида

даетъ

вы-

(1

<7 ѵ

Второй части можно придать видъ двойного интеграла, пользуясь

формулою (14), послѣ замѣны въ ней іл на /т -|- тл п ;; на 1 -ф у

Но на основаніи той же формулы (14) имѣемъ

(15)

Слѣдовательно,

* г/.ѵ~ Г(;<} Г(ѵ).

Итакъ,

(16)

і, Г(иП'(і-)

1 А ~ /'(/<+ И

Такимъ образомъ можно вычислить всякій интегралъ перваго вида
съ помощью таблицъ для Іоц Г (х) (съ 20 десятичными знаками),
составленныхъ по настоянію Гаусса1).

1) (іаияк \Ѵегке, т. 111. См. также упомянутый уже ,Тгаі(е“ ѣе^еп-
сі г е, т. II.
763.	Формулу (16), весьма полезную
пишутъ въ видѣ

(17)

2

В  сое"”—19 • <7 Ѳ =

0

въ приложеніяхъ, часто

Пц) Г( ѵ) _
Г(мі-і')

который она принимаетъ, когда положимъ я = 5іпаѲ- Между про-
чимъ, изъ нея можно получить,при ^і = ѵ, доказательство формулы
Лежандра (§ 252, й), если припомнимъ, что Г(^) —]/ я. Дѣйстви-*
тельно, мы имѣемъ

а	а

1	— 2 / (кіп В со» 5)2"~і й?В	—Д-	Гзіп2

Г{2ц)	)	2<1'-'2Д

о	о

Х2Э -<79

Л

л	V

-=	Аіп2"-1 5 - <75 = Сзіп2'' 1 0  <іі - -I—, Г С"* .

О	*І

откуда получается

г/и+ и ги.-Ол

1 V 2 I 22" 1 ГІ!»

На этомъ основаніи, при всякомъ ,«>0, получаемъ

а	л

Т	~3

I зіп2"-1 9  <7Ѳ = / соз3ч-1 0.^0 = 23'1-2 1Г7~±

-/	ГІИ»

о	о

а это есть обобщеніе одного изъ прежде полученныхъ результа-
товъ (§ 727, §).

764.	Упражненія, а) Интегралъ отъ ііх въ предѣлахъ отъ
О до можетъ быть вычисленъ съ помощью (17), если положимъ 1=??,
2т— 1= — п; тогда, вслѣдствіе того, что ;«4-г —1, найдемъ

8

/ - Я	—п	1 Т-| і 1 4” ч) <1/1

/ 81П X СОЙ А- (ІХ 2 г I - 2 I і I—-

г>
Пользуясь формулою (§ 464, е)

(19)

Г(/і) г(1 - и) =

' ’ ЫП II я

видимъ, что при I я | < 1

(20)

2соз 2-

Въ частности, получимъ

что можно получить и изъ ранѣе сдѣланнаго примѣра (§ 755, сі). Ограни-
ченіе |я|< 1 получается, независимо отъ границъ приложимости формулы (.17),
также и изъ прежнихъ замѣчаній (§ 717, а), потому что обращается
въ оо порядка |и| при х — -2- или при л' —0, смотря по тому, будетъ ли
п > или < 0. Слѣдовательно, а ргіогі можно было утверждать, что интегралъ
не существуетъ при | н | і I.

Ъ)	Чтобы вычислить

і



замѣнимъ х на хп. Интегралъ приведется къ

о

Отсюда слѣдуетъ по формулѣ (19)

і

при условіи н > 1. Впрочемъ, и неопредѣленный интегралъ можно найти въ
алгебраически-логариемическихъ функціяхъ, потому что подъинтегральное
выраженіе есть биноміальный дифференціалъ, въ которомъ выполнено второе
условіе интегрируемости (§ 751). Для приведенія этого дифференціала къ
раціональному виду стоитъ только положить х — к- - -

УГ+Ѵ”
с)	Для вычисленія /	— примѣняемъ формулу (18), которая

/ ] ЗІП .т

6

тотчасъ даетъ

іі X

Сравненіе этого результата съ полученнымъ въ § 760, даетъ ниже-
слѣдующее выраженіе одного Эйлерова интеграла черезъ эллип-
тическій:

/'0 = 4/г-/	гб2ѵ...

Далѣе, изъ (19) слѣдуетъ

.ѵ" (/ ѵ

б) Интегралъ отъ	—— въ предѣлахъ отъ 0 до I также четко

У 1 -.Г1

приводится къ Эйлерову интегралу 1-го вида. Стоитъ только взять за новую
перемѣнную / = л4, чтобы получить, на основаніи формулы (16)

] у’/ ‘‘о

О ’г// =

\ 4 .

Г(Ѵ

4 ’

или. по формулѣ Лежандра,

Напримѣръ,

о

1 Л I 1	/* :ѵ~ і/ х____л_

Г2 Цч'Ѵ ./ Г'- .ѵ' л ' /. ( •'

"	']<2

Сравненіе послѣдняго результата съ прежде полученнымъ (§ 760, Ь) даетъ
слѣдующее сооотношеніе между значеніями Е и Е съ модулемъ - 7 :
е) Другой интегралъ, легко приводящійся кь функціямъ Г. есть
слѣдующій

й Г 5Й1" ’ 7 ‘{'Г .

I (1 -- /г соз і/і"

о

Всегда можно предположить 7 > 0, потому что случай к < 0 сводится къ
первому замѣною ф на ,-т —ф. Замѣтимъ, далѣе, что при » - 0 подъиите-
гральная функція обращается на предѣлахъ интеграла въ безконечность
порядка 1	Отсюда слѣдуетъ, что интегралъ можетъ суиіе.сівовать

только при н 0 (§ 717, а); и онъ дѣйствительно существуетъ, если
еще 4- < 1, потому что тогда подъинтегралыіая функція конечна и непре-
рывка въ интервалѣ интегрированіи. При і-1, напротивъ того, интегралъ
не существуетъ, потому что тогда подъинтегральная функція на верхнемъ
предѣлѣ обращается въ безконечность порядка и + 1 > I. Если к > 1. то
подъиптегра.іьная функція обращается въ безконечность порядка и при
у—и., гдѣ еоаа— • Слѣдовательно, интегралъ существуетъ и при
к -1, если при этомъ и < 1. Чтобы вычислить его въ первомъ случаѣ,
когда 0 /- к < 1, п >0, стоить только примѣнить подстановку

Г 1 + к 1

которою часто пользуются въ Астрономіи, такъ какъ она примѣняется во
многихъ вопросахъ, касающихся эллипса. Къ этой подстановкѣ приходимъ
всего естественнѣе, если хотимъ перейти отъ эксцентрической аномаліи </ ,
опредѣляющей положеніе точки на эллипсѣ, къ полярнымъ координатамъ г и О,
принимая одинъ фикусъ за полюсъ и направляя полярную ось къ другому'
фокусу. Очевидно, /-будетъ гипотенуза прямоуіольнаго треугольника, катеты
котораго равны ка ф а сов </. и Ь зіп 7 , такь что

г- —	| (к \ соз </.)2 + (1 — 7:‘і ып- ф ] = а- (1 -- к соз г/г’)2,

т. е. г = /7(1 к соз слѣдовательно,

зіп (і =

]•' 1 — №  зіп 7?

1 к соя <і

откуда, дифференцируя, получимъ

5 ,, У 1 “	, т. е. сФ0=Л//ф.

1 + к соз ф

Изъ тѣхъ же уравненій, кромѣ того, выводимъ

18-

$іп 5

1 —соя 9

>' 1 — к- зіп ф	1 /1 — 7 'к

(1 |- 7)11 + соз ф)	V 1 к ': 2

Такъ какъ 0 возрастаетъ отъ 0 до л когда 7. возрастаетъ отъ 0 до .-г, то.
очевидно, будемъ имѣть

. и —1	.

51117' I	1*Ч'

Н- к соз г/./	1 + к' епз
или, по формулѣ (18)

(1-А2)3 Г(и)

Переходя ко второму случаю {к > 1, 0 < п < 1), возьмемъ за интервалъ инте-
грированія только часть (0, а), чтобы подъинтегральная функція не могла

,	п	, В	П Г & —

сдѣлаться мнимою. Примѣняя подстановку 1^ у = у к	у <и замѣ-

чая, что Ѳ возрастаетъ отъ 0 до ~, когда измѣняется отъ Одой, при
помощи вычисленія, совершенно аналогичнаго предыдущему, получимъ

а

5Іп" ' ; у Л<[ _

(1 + А СО8 ?)” ~

й

зіп'

6 СОЗ "6 Л1І =

7?

2Кл(^- I)2

I) Покажемъ здѣсь еще пріемъ, уже примѣненный нами въ одномъ
спеціальномъ случаѣ (§ 740, (1), для вычисленія интеграловъ

при чемъ обозначаетъ положительное число, меньшее 1 въ первомъ и
меньшее 2 во второмъ интегралѣ. Что интегралы наши не существуютъ
при другихъ значеніяхъ д. видно, на основаніи замѣчанія § 717, а, изъ
того, что при л = 0 подъинтегральная функція обращается въ безконечность
порядка р. въ первомъ, и порядка ,и—1 во второмъ интегралѣ. Установивъ
сказанное, преобразуемъ наши интегралы въ двойные, съ помощью фор-
мулы (15), тогда получимъ

е"^зіпх Лх сіу.

Припоминая значенія интеграловъ

е~”;Усоя х Лх = ь ,
1 +У

03

у"1 Г ’ 5І11 X Лх =

О

1

1 -I У3 ’

найденныхъ въ одномъ изъ предыдущихъ упражненій (§ 740, )), приводимъ
вышенаписанные двойные интегралы къ'

сс

___] _ Гу" Лу ,
ГІ/')./ 1 4- у3
о

1	Гу»~1 Лу

і І-.У2

О
Между тѣмъ, принимая во вниманіе формулу (20), съ помощью подстановки
у = (§ б, находимъ

о «п

2 соя 2

( I < и < 1).

Слѣдовательно,

„	. н л'

2 Г()і) сов -

Л

2 Г Ы «іи

Въ частности,

765. Въ заключеніе докажемъ одну весьма важную формулу,
дозволяющую вычислить съ большою точностью значеніе Г(,ѵ) при
.ѵ весьма большомъ, За исходную точку возьмемъ формулу, опре-
дѣляющую функцію Г (§ 252, а)

Г(.ѵ

1 -I 
п

и напишемъ, логариѳмируя обѣ части равенства:

іоі; /’(.г) — — 1о§ х +	; х 1о$ (п -г 1) — (х — 1) Іод п — іой (лг + я)

г

Избавимся отъ логариѳмовъ въ правой части съ помощью формулы:

о
Интегрируя затѣмъ по .г въ предѣлахъ отъ д- до .гф-1 и примѣняя
формулу Раабе (§ 721, і) находимъ

.ѵіо§л---.ѵ - Іод-1;2 л = у I |.ѵ

6

1 1

'2	1-с'1}	1 ) '

Правую часть можно разложить на

Формула (21) приметъ тогда видъ

1ой/Ѵ,) = (.г -у)1окл--л--1ой И 2л +

О

і 2 ) I

-) Докажемъ теперь слѣдующія неравенства:

(22)

О <--------

1 — е

12

Разсмотримъ функцію

1 ,	1 - .ѵ , V

О— I-------------= 1

2 ,ѵ 1 -- х 3

2л- 1

и составимъ произведеніе (.ѵ) по правилу умноженія рядовъ.
Общій членъ въ этомъ произведеніи будетъ 5‘и.г2к-2, гдѣ

5	-----1 - - • 	-1-- --- . _і_ . . . _і_	.. _	_.	1_

» 2я —1 1 3 2и-3Г 5	3 Іи-’і 2« 1

<ю

и /3(*) = 1 + У.'5пх2,і~'.2

П—2

♦) Конецъ этого § изложенъ на основаніи замѣчанія бывшаго ученика
Чезаро, Г. Эскамара, въ итальянскомъ изданіи „Еіетепіі* 1905, стр. 526.
Въ нѣмецкомъ и итальянскомъ оригиналахъ въ выводѣ результата была
ошибка.
Легко показать, что	;. Дѣйствительно, замѣчая, что

2 п — 1

__I - 1 (.’.

1 (2 и - I) 2 И 1

—1-Г

3 (2 п - 3)	2 и \ 3

1	_ 1_ і 1

5 ( 2 н 5)	2 и ' 5

Путемъ сложенія получимъ

ч-	= м 11 1	+ і. и і і]_	. _з .

п) 'з '	\ і: 2п-1] 2”-ЕІ

Поэтому

1 2\" + 1"’’' ‘-І-р+7«Ч---

Съ другой стороны,

Слѣдовательно,

(23)	/На) >-^ (/СП - 1).

Положивъ

и неравенство (23) вмѣстѣ съ этимъ дастъ

откуда

1 . _1_

і "" 2

и, наконецъ,

О ' [ _ р~ *	/	2 ' Т2
что и требовалось доказать. Поэтому можно написать

ОС	ОС

гдѣ 0 < Ѳ < 1. Слѣдовательно,

Іов г |л‘) = (л' - у) 1о8 х - г 4 Іо8 -т + 12у ’

Переходя отъ логариѳмовъ къ числамъ, окончательно получимъ
_ л—1 _ж+ Ъ .

Г І я') — Ъ'2 .т . х 5 е	12 ,г

Отсюда, въ частности, получается формула Стирлинга (§ 221),
когда х равно цѣлому числу п, такъ какъ и! — пГ(п).

ПРИЛОЖЕНІЯ КЪ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМЪ ИЗМѢРЕНІЯМЪ.

Длины дугъ.

766.	Такъ какъ мы умѣемъ найти дифференціалъ, а слѣдова-
тельно, и производную, длины дуги 5 данной кривой по нѣкоторой
перемѣнной / (§§ 583, 630), то мы можемъ теперь вычислить и
длину самой дуги, какъ функцію отъ і:

-/ѴГй’ЪГГЖ'Г-"-

Въ частности, для плоскихъ кривыхъ, заданныхъ въ Декартовыхъ
или полярныхъ координатахъ, можно принять соотвѣтственно л- или
О за перемѣнную интегрированія, и написать

=' У р7 ' Т № гЛѵ ИЛИ .V у р ' ' +	

і 2.	'2.

767.	Примѣры, а) Для астроиды, заданной уравненіемъл,3+у = я3,
имѣемъ у' = -	_уа _	, Если начало дети помѣщено въ

точкѣ (0, ), то

I /	. I	12

5 -- <Т7 / X (І X = $ а* аЛ
Въ частности, | а будетъ діина дуги, заключенной въ углѣ положительныхъ
,ѵ и у, а потому длина всей астроиды есть 6 и.

Ь) Логариѳмическую кривую = можно изобразить урав-
неніями .г- <? 1 о? I? у, )' = /і і§ ч. Отсюда получимъ (интегрированіемъ по
частямъ пли съ помощью умноженія на зіп2 у | соз- у — 1)

-и [несу |1о?і?	4

сопзі,);

отсчитывая дугу к,

( ѵ а  7 2 ), получимъ

напримѣръ, отъ вершины или точки наибольшей кривизны

х — а I аес -

Ш-

1 ІО? -	2

1 3	]

с) Для цѣпной линіи
*
уравненіемъ ѵ = а Іо? соз

равнаго сопротивленія, изображаемой

имѣемъ ѵ'—і? слѣдовательно,
° а

<1 іо? соі

Теперь мы можемъ найти и натуральное уравненіе кривой (§ 59-5. пі).
Стоитъ только сложить уравненія

8	8

и припомнить, что о соз

(1) Длина дуги параболы у2 — 2 ах, раздѣляемой вершиной пополамъ,
равна (§ 745, с)

у

2 I	V	о , , Т I Т т2 I а-

5 = - / V т- — а- а ѵ - — )•' ѵ2 + и2 - а Іо? - 	’• —— 

а I '	‘	 а -	4 * & а

Напримѣръ, дуга, хорда которой дѣлится пополамъ въ фокусѣ, имѣетъ
длину — 1,147... длины хорды.

е) Длина лемнискаты (сравн. съ §§ 589. іп; 760, а) г = У^іп 2 9
равна

,7

’Г	7

4 /	=-2 Г- 2Ѵ'2 /•'(- М = 5,244. . . .

л/ | йіп 2 5 л/ У 5Іп 6	і } 2/

<і	(Г
Точно такъ же находимъ длину дуги синусоиды между двумя послѣдова-
тельными точками перегиба

а	а ________ ___

2 У 1 ~г со$2л‘ ііх = 21'^2	|/ 1 — і 8іп3х<7л’ = ТУ 2<Е^~7-,^~3,820 ....

о	о

() Вся длина эллипса съ полуосями а и />=« у' 1 — к2 или съ большою
полуосью а и эксцентриситетомъ к выражается формулою

У а2 сов2 <7 -4- Л2 аіп- <7 я’т = 4 а

У 1 к2 81 п2 <у <7<р — 4 а Е (к).

Если обозначимъ черезъ К радіусъ круга, у котораго длина окружности
равна всей длинѣ эллипса, то будемъ имѣть

о 2« г/п I, & Зі4	175	567 і||:	\

Т~ 64“ 256	16384 ~ "65536------)’

Извѣстны различныя приближенныя выраженія К-, но простѣйшія соста-
вляются при помощи чиселъ

а'—!, (/1-1 Ь), Ь' — уУаЬ. а''= у(а' |-6')і 5" = У"<?' Ъ'

и т. д. Если к очень мало, то, пренебрегая всѣми степенями к выше второй,
можно ограничиться значеніемъ Л’ = гг'; но это значеніе не достаточно близко
къ истинному. Если удержимъ въ разложеніи 7? всѣ степени к до 6 ой, то
придемъ къ значеніямъ 7? = 3//'- ІЬ' или Е = |(3я/— />'), которыя уже
потому предпочтительнѣе а', что одно изъ нихъ больше, а другое меньше
истиннаго. Впрочемъ, первое можно замѣнить ариѳметическимъ среднимъ
обоихъ, т. е. взять Л-ЦЗс/—5 5'4 6 5"), разложеніе котораго по степе-
нямъ к совпадаетъ до 10-хъ степеней съ Ы и т. д. Такъ, напримѣръ, при
/1=1, Ь = У, получимъ

3

4

п' =

Ь’ - 4-

У 2

| (3 а' - 5 Ь1 -Ь 6 5") = 0,7709 ....

Эллиптическія таблицы (§ 759) даютъ

= 0,7709....

Вся длина (§ 589, к) улитки	равна

2 I у а2 4 Ь2 -4- 2 аЬ соа $ г/ 5 - 4 / у (а -г Ь)2	4 аЬ зіп2 ір а<у.


Если с обозначаетъ наибольшее, а рьс наименьшее изъ чиселъ а и 6, то
формула (И) § 758 даетъ возможность написать послѣднее выраженіе такъ:

8

Напримѣръ, длина улитки съ двумя совпадающими точками изгиба (і = 2л)
равна отрѣзку, отсѣкаемому кривою на оси симметріи, умноженному на

Ь) Требуется вычислить длину дуги гиперболы *2 — -^-=1 между
•вершиною (а, 0) и какою нибудь точкою _ѵ) съ положительными коор-
динатами. Замѣчая, что

,/х = а ѵ =	]/<іу,

„	№ іе <г

Приходимъ КЪ тому, чтобы ПОЛОЖИТЬ З1 = Л и НаХ°ДНМЪ

5 _Г<і ч-,	,

+ Аа_/ со?2У 1 — /,’2 яіи3 </..

о

;гдѣ А ------------, т. е. эксцентриситетъ равенъ -г. Умножая предыдущій

У а- Ь-	Л

интегралъ на 1 с2 — (1 к2 зіп2 ср) — к2со^(р, разобьемъ его на два
другихъ

соз2 ч ] 1 — № зі п2

</

о

Между тѣмъ интегрированіе по частямъ даетъ

<(1) у I I к- яіп-у = Ш <Г  V 1 — »ІП2^ +	</;} — Е(к, гр).

-Слѣдовательно,

Ч- = — —----?'(/’, ч) - У а2 | Ь2 Е (к, <р) + <р  У а’2 соз2 ір + й2.

1' п2 + к-

Вычисленіе я въ каждомъ частномъ случаѣ требуетъ употребленія таблицъ
Лежандра (съ двойнымъ входомъ). Замѣтимъ, что возрастаніе я до безко-
нечности съ приближеніемъ къ > зависитъ исключительно отъ третьяго
члена, который изображаетъ разстояніе отъ центра до нормали въ
концѣ дуги.

і) Разсмотримъ логоциклику (§ 602, Ь) изображаемую уравненіемъ

<2)	(х + .1') (х2 \ у-) - 2аху.
а сон 2 О

или въ полярныхъ координатахъ уравненіемъ г=	если примемъ

Т 2 ^-9$ і

ось симметріи за полярную ось. Длина любой дуги, считаемой отъ вер-
шины, равна
в

з ~ / Vсоз2 2 і) -Г 2 зіп- 2 0  -	>

У 2./	соз2 5

о

а потому вся длина петли, образуемой кривой, будетъ

I Ъ / т'- -ТП - ~і л  •>	<70	/ г 1 — 4 5ІП2 </. ,

«Г 2 / у соя2 2	- 2 зіп2 2 і-------2 а / — —— --------------- <і о-

I 	СОЗ2 0	/	1 + 81П ([

2 а I (( — зіп <г)Ѵ 1	1 зіп-п? 

,/	г і сояч/.

о

Между тѣмъ изъ (1) по'іѵчасмъ

И	4 5ІП2*+ Н'(р'•>

о

а интегрированіе ікі частямъ даетъ

‘зіп Д/“ 1 5Іпаф"

Г 2 соз-і/- \ со»<р 'и у2\/ У'14СО82Ф

<!	О

у 1 — { 8ІПа 9?
СОЗ ф



СО5 <р  1 I I + СОЯ2 ф
Г+ѵ'Т’

Слѣдовательно,

(і-яіпчіУі-і^ф-^-

I

, 1 •

1 - у ЗІП- </

- 1

1	, СОЗО'-РѴ 1 — СОЗ2 ІГ, , „/ 1

Іо$ ---------7=----- + .Г { ..

у 2	І Ѵ2	ц- 2

гН(тН

Полагая, наконецъ,
лики равна

'г=^-

находимъ, что вся длина

петли логоцик-

2 Л1 + - г - ’ОЙ (1'2 - 1) - Г (-Х) -- Е і ’-Л ) ;

I	Г2	\|'2і	2>І
эта величина въ 2,489.. . разъ больше длины отрѣзка, отсѣкаемаго кривою
на ея оси симметріи. Свойство имѣть дуги, длины которыхъ выражаются
эллиптическими интегралами первыхъ двухъ видовъ, т. е. дугами кониче-
скихъ сѣченій, принадлежитъ безчисленному множеству унику реальныхъ
кривыхъ 3-го порядка. Онѣ, вмѣстѣ съ логоцикликою, образуютъ такъ на-
зываемый классъ циркулярныхъ кривыхъ 3-го порядка1). ВсЬ эти
кривыя могутъ быть изображены уравненіемъ (2), къ правой части котораго
надо прибавить членъ вида (л- + у) і/і.т	а/К'2 какь и прежде обозна-

чаетъ разстояніе двойной точки отъ асимптоты.

І) Разсмотримъ еще кривую Вивіани (Ѵіѵіапі), т. е. пересѣченіе
шара съ цилиндромъ, основаніе котораго есть кругъ, построенный на ра-
діусѣ шара, какъ на діаметрѣ. Изъ уравненій кривой

я2 | у2 з2 = «а,	.т2 + г- •= ах

получаемъ

г2 = ,-ѵ(а — я), л- — а (л — я),

и полагаемъ ,ѵ - а соз- у . Ограничиваясь тою четвертью 1 кривой, которая
лежитъ въ углѣ положительныхъ координатъ, будемъ имѣть у = и зіпг/. соз</.,
г = азіпу:. Послѣднее уравненіе показываетъ, что >'( есть широта точки
(я, у, г), а изъ выраженія х вытекаетъ, что <р есть и долгота той же точки.
Слѣдовательно, кривую Вивіани можно опредѣлить, какъ сферическую
кривую, въ каждой точкѣ которой широта равна долготѣ. Замѣ-
тивъ это, будемъ далѣе имѣть

гіх = — а 8іп2 у: (і<р, <іу = и соя 2 </ у, (Із = а со.чгр ііі/:,

откуда, возвышая въ квадратъ и складывая, получимъ /іх- = <т- (1 ^соз2</;і іі<р2.
Итакъ, вся длина кривой равна

4 а I Г 1 + соз2 </ <1 ц- ~ 4 у 2  Е

о

Иными словами, длина кривой Вивіани на шарѣ радіуса а равна длинѣ
эллипса съ полуосями а и 2, т. е. равна длинѣ окружности большого
круга, умноженной на 1,216 .... Къ тому же результату можно еще проще
придти на основаніи слѣдующаго замѣчанія1, если развернемъ цилиндръ
на плоскости, то кривая превратится въ двѣ полныя дуги синусоиды.
Обратно, чтобы построить кривую Вивіани, надо начертить пару синусоидъ
у = а зіп и вырѣзать изъ бумаги тотъ кусокъ, который лежитъ между
двумя дугами, ограниченными однѣми и тѣми же точками перегиба. Если
согнемъ этотъ кусокъ такъ, чтобы общая хорда обѣихъ дугъ сдѣлалась
окружностью круга, то край бумаги превратится въ кривую Вивіани, при-
надлежащую шару радіуса а.

1) Ваітоп-Еіесііег, Апаіуіізсііс-беоіпеігіе Вег ііОКегсп сЬепео Кигѵеп,

стр. 221 и слѣд.
Площади плоскихъ кривыхъ.

768. Чтобы вычислить площадь, ограниченную кривою _у—/(л),
осью лг-овъ и двумя ординатами, соотвѣтствующими абсциссамъ
а и Ь, раздѣлимъ (а, Ъ) на интервалы	!ік и замѣтимъ

слѣдующее: полоса, ограниченная ординатами, соотвѣтствующими
концамъ интервала й,, можетъ быть замѣнена прямоугольникомъ съ
основаніемъ Л, и высотою у,, заключающеюся между наименьшимъ
и наибольшимъ изъ значеній въ интервалѣИскомая площадь А,
ч>

слѣдовательно, всегда будетъ изображаться суммою \ Л,- іу, при

1

чемъ интервалы /г, будутъ стремиться къ нулю, а число н увеличи-
ватЕ.ся безпредѣльно; а такъ какъ при этихъ условіяхъ упомянутая
сумма стремится къ предѣлу, равному интегралу отъ уНх, взятому
!•

отъ а до Ь, то необходимо А = ^учіх. Подобнымъ же образомъ
доказывается, что площадь, ограниченная кривою г — /(0) и двумя
*

радіусами векторами, выражается формулою А = I г'г </(), гдѣ
а и Ь - крайнія значенія 0. Если, далѣе, дѣло идетъ о вычисленіи
плошади, ограниченной сомкнутою кривою и, въ простѣйшемъ слу-
чаѣ, пересѣкающеюся съ прямыми параллельными оси у-овъ, или
прямыми, выходящими изъ полюса, не болѣе, какъ въ двухъ точкахъ,
то будемъ имѣть

ъ	ь

(3)	.4 = у ( •? - гі) <іх. А — і I (Т2 - а-}	.

а	і?

При этомъ а и 4 обозначаютъ наименьшее и наибольшее изъ двухъ
значеній у (или г во второй формулѣ), соотвѣтствущихъ одному и
тому же х (или 0), а а и Ь крайнія значенія перемѣнной интегри-
рованія (обыкновенно корни уравненія —ге = О), Къ этимъ форму-
ламъ мы пришли, разлагая площадь на безконечно малые элементы
перваго порядка. Но мея можемъ ее разбивать и на безконечно
малые элементы второго порядка. Въ случаѣ Декартовыхъ коор-
динатъ такими элементами будутъ прямоугольники, построенные
на сторонахъ сіх и <іу\ въ случаѣ полярныхъ координать прямо-
угольники со сторонами Нг и гг/І)- Тогда, на основаніи опредѣленія
двойного интеграла, получается га или друідя изъ формулъ

А = / / с/лчіѵ или А= / I ггіічіЪ.
Послѣднія формулы заключаютъ въ себѣ формулы (3), что дѣлается
очевиднымъ, если напишемъ

Онѣ общнѣе первыхъ, потому что могутъ служить для вычисленія
площадей, ограниченныхъ какою угодно кривой. Впрочемъ, для
системы какихъ угодно криволинейныхъ координатъ (§ 738) имѣемъ
формулы

(4)

У <(н.іѵ.



при чемъ интегрированіе надо распространить на всю измѣряемую
площадь и условиться выполнять отдѣльныя интегрированія вь
томъ направленіи, въ которомъ соотвѣтствующія перемѣнныя воз-
растаютъ *).

769. Другія формулы полезны особенно въ томъ случаѣ, когда
координаты ,ѵ и ѵ точекъ ограничивающей кривой заданы какъ

функціи одного параметра і. Мы будемъ измѣнять этотъ параметръ
такимъ образомъ, чтобы при этом ь соотвѣтствующая точка, опи-
сывая кривую, оставляла влѣво отъ себя ограниченную пло-
щадь (рис. 91). За элементъ площади возьмемъ четырехугольникъ
ММ'ѢЕ.', лежащій между двумя безконечно близкими прямыми,
выходящими изъ начала координатъ. Замѣчая, что

ММ'Г’І. - ОМЫ’- ОКУ— ОММ' |- ОУК,

*) Т. е. такъ, чтобы ііи и <іѵ всегда обозначали положительныя числа.
мы можемъ принять за положительный или отрицательный
элементъ треугольникъ ОММ', взятый съ принадлежащимъ ему
знакомъ (ср. съ § 348, 6):

	1	1	1	1 ,
ОММ'^ 2	0	,-Ѵ	1  .Г I (ІХ -= - (х (Іу — у /іх)
	0		У +	1

Это значеніе мы получимъ также, взявъ половину произведенія
основанія на высоту х кіп до -усоз(р. ГТодразумѣвая подъ
д.' и у всегда ихъ выраженія, какъ функцій отъ независимой пере-
мѣнной 7, получимъ

(5)	А = I і'.т /і у —у /іх).

Замѣчая еще, что значеніе интеграла отъ х<іу -\-у (Іх, распростра-
неннаго на какую угодно дугу кривой, равно, очевидно, разности
значеній .ѵу въ концахъ дуги, видимъ, что (хсіу -|- у /іх) — 0,
если интегрированіе распространено на всю кривую.' Отсюда слѣ-
дуетъ, что А можно представить также въ одной изъ слѣдующихъ
формъ:

(6)	А = у х /іу,	Л — - ^у /іх.

Въ томъ же самомъ, впрочемъ, можно также убѣдиться, производя
надлежащимъ образомъ интегрированія въ выраженіи ^'сіхсі-у.
Наконецъ, если въ формулѣ (о) за перемѣнную интегрированія
примемъ і = ~~, то получимъ

(7)	А-і І^/И.

Эту формулу надо предпочесть формуламъ (6), потому что она не
требуетъ, какъ тѣ, дифференцированія .г и у по /, и, подобно (5),
примѣнима ко всякой площади, ограниченной двумя радіусами век-
торами, Что же касается формулъ (6), то, чтобы примѣнить ихъ къ
случаю какой угодно дуги, надо прибавить къ А или отнять отъ
него разность значеній въ концахъ дуги. Такимъ образомъ
мы снова придемъ къ той формулѣ, которую указали въ началѣ
для площади между дугою кривой, прямою (осью) и перпенди-
кулярами, опущенными изъ концовъ дуги на эту ось. Впрочемъ,
формула (7) не отличается существенно отъ формулы (3), въ кото-
рую она и переходитъ, если сдѣлаемъ подстановку / =
770. Примѣры, а) Вся площадь, ограниченная лемнискатою
а- сой 2 -3 равна

а-

Она равна площади треугольника, составленнаго касательною въ вершинѣ
и двумя касательными въ двойной точкѣ. Подобно этому найдемъ для
улитки г — а соя 0 — Ь

Л	37.

.-7 = У г-<7С — у (А а- х 1>- 4 2 піі со» 5 4- .1 а- соя 2 0) <7 0	,т. (.1, а- + /»-).

о	о

Этотъ результатъ справедливъ при /іі-а, и, въ частности, для кардіоиды
.7 = іі ла2. При Ь < а найденное выраженіе изображаетъ сумму двухъ
площадей, ограниченныхъ двумя петлями, внѣшнею и внутреннею; величины
каждой изъ этихъ площадей выражаются формулами
.	. и іа.***ичіак-ьѵслц»,яѵ,<..г,,-; .

I (4" I 1 Іо ^'1	(4-П аіе яіп — ] 

2)2	I I 2	12	I а I

Ь) Для параболы у- —2пл- имѣемъ

//

Поэтому площадь параболическаго сегмепта ОМР равна - площади тре
угольника ТА/РСрис. 92). Отсюда легко вывести, что площадь, лежащая
между дугою параболы и ея хордою, равна ®

площади треугольника, ограниченнаго хордою
и касательными въ концахъ дуги. Впрочемъ,
къ этому результату можно и прямо придти,
повторяя приведенное въ началѣ вычисленіе,
принявъ за ось т-овъ касательную, парал-
лельную хордѣ, а за начало координатъ
точку касанія. За элементъ площади можно
тогда принять произведеніе у Лх на синусъ
угла между координатными осями.

с) Для цѣпной линіи (§ 589, с) съ
параметромъ а площадь, заключающаяся
между дугою кривой, директрисою и двумя

крайними ординатами, равна площади прямо-

угольника, стороны котораго равны а и длинѣ дуги. Въ самомъ дѣлѣ, если
начало дуги въ вершинѣ, то
Слѣдовательно, для любой дуги МАР

А = а (з'~ я) — а • дуга АіАР.

ф Положимъ, что движущаяся точка описываетъ логариѳмическую
спираль (§ 589, е) и возвращается на тотъ же радіусъ векторъ, съ котораго
она начала двигаться. Этотъ радіусъ векторъ и описанная точкою дуга
ограничиваютъ площадь, величину которой легко выразить въ функціи отъ
разстояній а и Ь отъ полюса до концовъ дуги. Дѣйствительно, если поло-
жимъ Ъ=аёітл, то уравненіе спирали будетъ г = пе'пв и

2-г



гт0 № = <

4 »і

1)

Ь- — а?

7 &

Если перпендикуляръ, возставленный къ хордѣ изъ ея середины, встрѣ-
чаетъ касательныя въ концахъ дуги въ точкахъ Р и 0>, то площадь (равно-
бедреннаго) треугольника	какъ разъ равна А. Полагая, что і»

стремится къ нулю, а А, слѣдовательно, къ а, найдемъ величину площади
круга радіуса

, .. Ь-га Ь- а А"‘;‘- 1

А = 1)т- А--  — - сНІнп —  — л (А.
2 2т	2 т

Замѣтимъ еще, что длина Р(^> имѣетъ предѣломъ длину окружности этого
круга.

е) Предложимъ себѣ вычислить площадь, лежащую между цѣлою
дугою циклоиды (§ 595, п) и ся хордою (рис. 93). Помѣстимъ начало коор-

Рис. 93,

динатъ въ вершину и примемъ касательную въ ней за ось ,ѵ-овь. Пусть.
ѣ и Н будутъ проекціи точки возврата Р на координатныя оси, а Р и О
проекціи любой точки А/ циклоиды на тѣ же оси. Кругъ, построенный на
О И. какъ на діаметрѣ, встрѣтитъ отрѣзокъ МС) въ нѣкоторой точкѣ Р.
Извѣстно, что касательная къ циклоидѣ въ точкѣ М параллельна О А’, такъ

что ~ = і^ РОх

<іх к

У
рд-

*	у

Слѣдовательно, площадь ОРМ =
о о

т. е. площади половины кругового сегмента ОРО. Изъ этого уже легко
видѣть, что половина искомой площади получится, если отнимемъ 1 лаг отъ
площади прямоугольника ОІА?Н; послѣдняя равна Ок- ОН — :і'і  2/і-^2ла2.
Слѣдовательно.

.7 — 2 (2 п. а'2 — У . г. а®) — А :т а-,

т. е. искомая площадь равна тремъ площадямъ образующаго
круга.

Г) Вычислимъ площадь, ограниченную осью д'-овъ и дугою квадра-
трисы ѵ = ,тсоі(г г . заключающеюся между двумя ближайшими къ началу

Рис. 94.

координа тъ точками пересѣченія кривой съ осью .ѵ-овъ (рис. 94). Мы будемъ
имѣть, очевидно,

і ;і и-

А '2 / .ѵ соі у - гі х — 2 гі-

(I соі 5 гі 0

2 гі- (0яіп 0)® л  2 па / Іой зіп 0 <-/0.

На основаніи теоремы Лопиталя, съ приближеніемъ 5 къ О,

6^

Ііт (і іое зіп — — Ііт . ,	0.

’	зіп О

Слѣдовательно, (§ 721, іі)

А = — 2 гі- Іоу яіп 0 гі 5 = лл- 1о|т 2.

Гі

}і) Вся площадь эллипса, съ полуосями п и Ь. равна

1 - - “ гіх 4 <і Іі / У Г— /2 г? С
Вычисленіе этого интеграла очень просто (§ 727, а), но мы и его можемъ
избѣжать, замѣтивъ, что при 1> — а должно быть А = я.«2. Слѣдовательно,

I /1 — РНІ = ія,

А = л а 6.

Нѣсколько сложнѣе будетъ вычисленіе съ полярными координатами, когда
полюсь помѣщенъ въ одномъ изъ фокусовъ. Уравненіе эллипса при этомъ
предположеніи будетъ

______ІА

а (I А соз 6)

Но мы быстро достигнемъ цѣли, если припомнимъ (§ 764, е), что въ силу
соотношенія между г, 5 и эксцентрической аномаліей л, имѣемъ гіІА
г = а (1 + А соз <р). О гс юла

і - і г- ііЪ — а Іі і (1 -- к соз у) (1 <р — ,т а 1>.

Н) Положимъ, что эллипсъ заданъ общимъ уравненіемъ

ах'-+/іу- \-с + ?/у I 2^’л: I 2 кху = 0,

въ которомъ всегда можно предположить, что а и Ъ положительны и.
кромѣ того,

п !і — іі- ’  0.	].) =

Л !

Ь У < 0.

/ е I

Если напишемъ данное уравненіе въ видѣ

/<у24-2 (ііх + у - «V 4- 2,$л- + с —- 0,

то замѣтимъ, что каждому значенію л' соотвѣтствуетъ два значенія для ѵ,
которыя совпадаютъ въ одно при значеніяхъ х = а и л- = /7>а, удовлетво-
ряющихъ уравненію Іі(ах- |- 2^х + с) — (кх /)2 = 0, Это уравненіе
можно написать въ видѣ с'х- — 2^'х -т а' 0, если обозначимъ черезъ
а', і/, с', . ., іі' алгебраическія дополненія элементовъ а, Ь, с, .. . , к въ I).
Разность между двумя упомянутыми значеніями будетъ равна

2у'х — а'-- 2~- |/(-і — ч) (7 - х).

Слѣдовательно,. если положимъ х = а |- (Я—а)/, то первая изъ формулъ (3)
дастъ

л=Цгу 1 - 

Значеніе послѣдняго интеграла тотчасъ получимъ, безъ всякаго вычисленія,
замѣтивъ, что онъ изображаетъ половину площади круга у----ж (1 — а'Г.
величина его, слѣдовательно, равна ;.т,
а а'с'—.у"2, какъ извѣстно (§ 38),
мента Ь' въ опредѣлителѣ, взаимномъ

Съ другой стороны, ,3	а'с',

есть алгебраическое дополненіе эле
съ 1), и потому «’і’' ;-'---А Й Итакъ

О Ь — Л2)-

Легко, впрочемъ, убѣдиться (§ 384, с), что множитель при л въ этомъ вы-
раженіи ,/ равенъ произведенію полуосей эллипса.

і) Площадь, ограниченную днурогомъ
примѣняя первую изъ формулъ (3):

(§ 610, е) тотчасъ найдемъ

Л-2

/ /	аа—л’3

/ \2 а — | /А - х2

а2 — .ѵ-

2 а ]• га’ — ,ѵ

а

Послѣдній интегралъ разлагается на слѣдующія слагаемыя

вычисляя интеграль

С Ах	1	2.Т	„

/ —	---7—-	• — агс зіп ...	С,

/ (.3 а2 + л-2) 1 а2- х2 2 а2 1 3	] 3 а2- х2

найдемъ окончательно .4 — (16 — Итакъ, площадь А равна

V 3

площади наибольшаго вписаннаго круга, умноженной на 2,13843..,.

І)	Площадь, ограниченная астроидою х:':—у-' — а\ равна
а	8	1

А — 4^ (а:< — хя)г2.ѵ — і\а2^ /*(1- /)'!г//.
б	б

.Замѣняя / на 1 — /, находимъ

1	і	і

I (1 - <7/ - у Д (1 - /р' гі/ = I V/(1 - /) <і / =	

о	о	о

Слѣдовательно, -4 ==-| .т.д-. Впрочемъ, можно общнѣе вычислите» площадь
между кривою :ѵ" + у — а" и положительными осями координатъ, при
помощи функціи Г:

/'•	1	„ / 1_і	1 а- Г21 - I

Л - І (д"	У)" в'л- - і Г‘ (1 - /)” <і/ =  - ъ 

•7	и 7	2йГ )

о	о	\ц !

Всякій разъ, когда положительное число « равно дроби съ четнымъ числи-
телемъ и нечетнымъ знаменателемъ, кривая будетъ сомкнутая (аналогичная
астроидѣ или кругу, смотря по тому, будетъ ли и с. 1 или > 1). Она огра-
ничиваетъ площадь, вчетверо большую предыдущей. Въ частности, при п = 2
и п = ‘і получаемъ А-.іа2 и А—^яа2.

к) Чтобы вычислить площадь, ограниченную одною изъ петель кривой
.ѵ4 = (х‘~ — У)„ѵ (§ 610, Ь), примѣнимъ формулу (7). Мы тотчасъ найдемъ

1

А-=і I (І--Ѵ)2 4і = 1 а - і + I) = і о.т 
О

Точно такъ же площадь петли Декартова листа №+_у3— 3 аху — 0. равна
і

А ~ 9й ,/ (1 + ^г ’ 3 а Ѵ-Д 2
б

Отсюда видно, что Декартовъ листъ дѣлить на днѣ равновеликія
части треугольникъ, образуемый касательными въ вершинѣ и
въ двойной точкѣ. Общнѣе найдемъ для кривой

У «+1 у Н-1 - (2 п — 1) ах" у", что А — (и + 1) а2.

і) Для вычисленія площадей, ограниченныхъ обѣими петлями кривой
(д^+У — «у)-- 2 а?ху удобнѣе прилагается вторая формула (3). Она тре-
буетъ, чтобы уравненіе кривой было паписано въ полярныхъ координатахъ
г = а (зіп 5 + р\ііі 2 в). Всякому значенію 5 между 0 и « - агс іх 1— 63°2б/...
соотвѣтствуютъ двѣ точки, Одна изъ нихъ описываетъ цѣлую петлю въ
области отрицательныхъ х и у (и притомъ наименьшую), а другая описы-
ваетъ только нѣкоторую дугу наибольшей петли. Эта дуга дополняется дру-
гою (когда Ѳ измѣняется отъ а до 7-), которая касается оси у-овъ въ
точкѣ а, и прямой у = 2 .г въ началѣ координатъ. Отсюда слѣдуетъ, что
площадь, ограниченная этою (большею) петлею, равпа

$ л	і л

А = а2 { (зіп і — У зіп 2 О У	— іа2 (зіп 9	|' зіп 2 Ё) г/9,

а площадь другой петли равна

(I

А' — 4-а2 (зіп 6 — 1- зіп 2 0)“ (75.

&
Поэтому

Іт

А — А' = Іа- у зіп С У зіп 2 О <і 6 = ла-.

Далѣе.

“ |т

А У А'—а- у (віп2 5 + йіп 2 0) <ІІ |- 2 а2 зіп 8 Ѣ’зіп 2 5 (ІЧ.

О	и

Первый интегралъ берется безъ затрудненія. Чтобы вычислить второй,
беремъ за новую перемѣнную интегрированія / = і§в. Такимъ образомъ
найдемъ

А' -= і а2 (1 — } Іо§ 5 - агс !) —а2  0,06682 ....

и затѣмъ А — А'+^ла1 = а- - 1,63762    > 24 А',

пі) Разсмотримъ тѣ изъ кривыхъ (§ 602, Ь)

(8)	(.ѵ 4 .У) (*- — 2 А ху і-ѵа) •= 2 (1 4- а ху,

которыя имѣютъ только одну асимптоту (А2 < 1), и предложимъ себѣ вычи-
слить плошадь, ограниченную петлею каждой изъ нихъ. Поступая такъ же,
какъ въ случаѣ Декартова листа = 4), получимъ

г

А = 4 (1 4- *)2«2

і2<і(

За новую перемѣнную удобно будетъ

принять

и написать

(і - ав

-к ]- (14-*>

,,	г . і + />

Замѣняя г на —т=, гдѣ т = ,— , , найдемъ

У»і	1 - *

Ѣ т

[ (7—
2/™./ и-г«“/

б

I пі	V т-

- Уг, 7"'  2(”,+"У +1”+"'У» +*’>•! 
о	о

Замѣчая, наконецъ, что

V «г	I іи

^2-агсі^™.	) ц +	[I’

О

о
получаемъ

-1 = < ііі — 3 +

(и?4-1)(7„ — 3)	, I а-

- , --------^агсіеу т\-

]-• т	.1 'ь

Въ частности, въ случаѣ Декартова листа (>п ~ 3) и логоциклики 1),
имѣемъ

А ••= | а-, .4 — (1 — } л) а-.

п) Къ полученному результату можно придти и съ помощью первой
формулы, выведенной въ § 768, если сперва повернемъ координатныя оси
л:

на уголъ около начала координатъ. Уравненіе (8) приметъ простой видъ:

и легкое вычисленіе дастъ і§ 725. іп)

,ѵ 4х =- - * ({т + 3)	- л- V 2 |/ (аул-уг 2 ) (я х У 21

і з ।	1И?';

У т

чтобы найти вышеприведенное

Стоитъ только

положитъ

выра-

женіе для Л. Если же положимъ л- -- — «] 2, то получимъ величину пло-
щади А' между кривою и ея асимптотою:

(т + 1) (т — 3)
8Тг/я

Для т—-3, А'—А, т. е. площадь петли Декартова листа равна пло-
щади между кривою и асимптотою ея: послѣдняя дѣлится на три
равныя части касательными въ двойной точкѣ. При т = 1 получаемъ
А'=(1 і |л) я2, откуда А \-Л-'^2а2, т. е. вся площадь, ограниченная
логрцикликою и ея асимптотою равна учетверенной площади тре-
угольника. образуемаго асимптотою и касательными въ двойной
точкѣ. Наконецъ, при безконечномъ т имѣемъ слѣдующее: Іітп .Д =><,
1 іпі А'| а2. Петля стремится развернуться въ параболическую форму,
т. е. стремится разложиться на двѣ безконечныя вѣтви, асимптотически рас-
положенныя относительно параболы -у2 = У а (х |' 2 — л). Площадь, лежа-
щая между кривого и ея прямолинейною асимптотою, наоборотъ, остается
конечною.

о) Предложимъ себѣ вычислить часть площади эллипса, заключа-
ющуюся между двумя вѣтвями однофокусной съ нимъ равносторонней гипер-
болы. Уравненіе

(9)

изображаетъ безконечное множество однофокуснъіхъ коническихъ сѣченій.
Между ними содержится и данный эллипсъ (при А-0). При А < Ь- урав-
неніе (9) изображаетъ безчисленное множество эллипсовъ, лежащихъ внутри
или внѣ даннаго, смотря по тому, будетъ ли Л>0 или <0. При А > Ъ2
то же уравненіе изображаетъ безчисленное множество гиперболъ, стремя-
щихся совпасть съ осью у-овъ съ приближеніемъ А къ и'2. Одна изъ этихъ
гиперболъ равносторонняя: опа соотвѣтствуетъ значенію А = (л3 + й3).
Мы обозначимъ черезъ р, тѣ значенія А. при которыхъ уравненіе (9) изоб-
ражаетъ гиперболу. Черезъ каждую точку (.г, ѵ) разсматриваемой площади
проходятъ два коническихъ сѣченія (9), а именно, одинъ эллипсъ и одна
гипербола Первый характеризуется нѣкоторымъ значеніемъ А между 0 и /г,
другая нѣкоторымъ значеніемъ между 4 (а2 + 62) и а2. Оба эти значенія
будутъ корнями уравненія (9) (при данныхъ х и _у), т. е. уравненія

(А а2) (X Ь2) + (А — йа) .ѵ3 + (А- а2)у2 = 0,

Поэтому для этихъ значеній А и (Н. имѣемъ

А 4- ц = а2 -|- Ь2 х2 - у2,	= а~62 — а-у2 — //-.г2,

откуда слѣдуетъ

(й2 .. А) (62.. ,,}
а2 - Ь2

и далѣе

<) (а- . ѵ) I ___________________________________I (р - А)____________________________________

ГІ !') I у — (а2  А) іі3 - А) (а3 — /і) (й2 - ^,)

Слѣдовательно, примѣняя формулу (4), получимъ

6=

АХ	С (у- — л) Ар.

У~(а2 - А) (Р- X}*] V- (а2 ^(Ь2-'р)

Чтобы выполнить первое интегрированіе, положимъ = а2 соз2 6 -ф й2 зіп2 9,

при

чемъ 0 измѣняется отъ У
4

до 0. Тогда тотчасъ найдемъ значеніе этого

интеграла:

2 У (а2 соѣ3 0 4- й3 віп2 0 — А) л; { 4 («3 + й2) — А } + ^ (а2 — й2),
о

вслѣдствіе чего



ь1

А д

А) (й2—А)
и наконецъ (§ 723, с; § 745, а)



Поверхности и объемы тѣлъ вращенія.

771.	Положимъ, что въ плоскости дана нѣкоторая дуга кривой;
заставимъ эту дугу вращаться около прямой, лежащей въ той же
плоскости. За элементъ образуемой при этомъ поверхности можно
принять полосу, заключающуюся между нѣкоторымъ параллельнымъ
кругомъ радіуса Р и другимъ параллельнымъ кругомъ радіуса
Р-\-ЛР. Эту полосу можно разсматривать, какъ поверхность усѣ-
ченнаго конуса, образуемаго прямолинейнымъ элементомъ Лз (эле-
ментомъ дуги данной кривой). Эта элементарная поверхность измѣ-
ряется произведеніемъ образующей Лз на среднее ариѳметическое
окружностей основаній усѣченнаго конуса, т. е, на 2 л; (А1 + <7
или просто на 2лЛ’ (отбрасывая безконечно малое слагаемое лЛК).
Слѣдовательно, отбрасывая безконечно малыя высшаго порядка въ
выраженіи элемента, что не измѣняетъ значенія интеграла, мы видимъ,
что поверхность тѣла вращенія равна А = 2 л§РЛз, гдѣ знакъ
7? всегда надо брать одинаковымъ со знакомъ Ля. Точно
такъ же, принимая за элементъ объема слой, лежащій между пло-.
скостями тѣхъ же двухъ параллелей и элементомъ поверхности,
можемъ его разсматривать, какъ цилиндръ съ основаніемъ лЛ'1 и
высотою Лг (проекціею Лз на ось вращенія). Поэтому объемъ тѣла
вращенія, ограниченнаго образуемою поверхностью и плоскостями
двухъ крайнихъ параллелей будетъ равенъ V =	К2 Лг. При опре-

дѣленіи предѣловъ интегрированій надо при-
нимать во вниманіе характеръ измѣненія
перемѣнной интегрированія вдоль образую-
щей дуги РО (рис. 95) и на знакъ диффе-
ренціала. При вычисленіи А перемѣнная д
по существу своему постоянно возрастаетъ
(могла бы, если угодно, постоянно убы
вать) отъ одного конца дуги Р до дру-
гого но если потребуется для выпол-
ненія интегрированія ввести новую пере-
мѣнную, то можетъ случиться, что интегралъ
надо будетъ разбить на нѣсколько другихъ,
согласно замѣчаніямъ, которыя были сдѣ-
ланы раннѣе объ измѣненіи перемѣнной
Положимъ, напримѣръ, что Р^ есть часть

нѣкоторой сомкнутой кривой, и что перемѣнная г (которую вво-
димъ вмѣсто д) сперва возрастаетъ отъ а до с, а потомъ убываетъ

Рис. 95.

интегрированія (§ 724).
отъ с до Ь. Если примемъ з за новую перемѣнную интегрированія,
то интегралъ 2 л- IК сіх, взятый въ предѣлахъ отъ а до Ь пере-
і	’’ сіз \

мѣнной г т. с. 2	далъ бы только часть поверх-

'	(і.	/

ности вращенія, соотвѣтствующую дугѣ РН, части дуги Р(Э,
а искомая поверхность равна

(гдѣ 7? подъ знакомъ перваго и Р подъ знакомъ второго интеграла
имѣютъ различныя значенія). Первое слагаемое даетъ величину по-
верхности, образуемой дугою РР, второе — величину поверхности,
образуемой дугою РО\ оба слагаемыя положительныя. Точно такъ
же для объема V будемъ имѣть

У



но здѣсь второе слагаемое отрицательно, какъ и должно быть,
потому что объемъ тѣла, образуемаго вращеніемъ дуги ір надо
вычесть изъ объема, образуемаго дугою РР, чтобы получить
объемъ тѣла, образуемаго всею дугою Р1^.

772.	Примѣры, а) Поверхность, образуемая вращеніемъ астроиды
около одной изъ ея касательныхъ въ точкахъ перегиба, равна

а

т. е. вся поверхность равна ? поверхности описаннаго шара. Объемъ того
же тѣла вращенія (§ 762)

«	1

Г = 2 «у хУі у - 3 л а* У (1 - /) (і/^Злаі^	•

о	о

Ь) Поверхность катеноида, между горловымъ кругомъ и произволь-
ною параллелью радіуса у (припоминая равенство у сіх — а равна
Слѣдовательно, она пропорціональна отрѣзку на оси вращенія между нор-
малью и плоскостью горлового круга Отсюда слѣдуетъ, что нормальные
къ катеноиду конусы, вершины которыхъ лежатъ въ концахъ какого угодно
отрѣзка длины Ь на оси, отграничиваютъ на поверхности полосу, площадь
которой А — паЬ. Объемъ тѣла, ограниченнаго этою полосою и плоскостями
крайнихъ параллелей, равенъ

У — я. г- <і х = а А = ! я <АЬ,

с) При рѣшеніи вопросовъ, относящихся къ циклоидѣ, полезно
припомнить слѣдующее (§ 770, е): если за координатныя оси возьмемъ ка-
сательную и- нормаль въ вершинѣ, то угловой коэффиціентъ касательной
въ данной точкѣ (л-, ѵ) будетъ ==	--	----, откуда

**	У у (2 Й - .у)

СІX	сіу /I 5

У'2а-у	У у У 2а

Если, напримѣръ, цѣлая дуга циклоиды вращается около касательной въ
вершинѣ, то величина образуемой поверхности будетъ

4 а	2.7

Л = 4 п у а5 = 4 л У' 2 а	у'у сіу я а2,

і>	о

т. е. приблизительно въ 11 разъ больше площади образующаго (циклоиду)
круіа. Объемъ тѣла, ограниченнаго этою поверхностью и плоскостями
крайнихъ параллелей, равенъ (ср. съ § 770, і)

ли-	2 а	1

У — 2 лу2сіх — 2 я^у- (2 а — у)'- сіу = 16 :іа!іУ (1 --іу* сіі — л- а3.
0	0	о

Если же дуга циклоиды вращается около директрисы (основанія), то полу-
чимъ вдвое большую поверхность

4гг	4 а

А = 4 д у (2 а — у)	« 32 л - 4 яу гіз = л а2,

б	о

а объемъ 4х будетъ въ 5 разъ больше предыдущаго. Дѣйствительно, при-
поминая результаты

у СІХ = | Я  0  тотчасъ находимъ  .т {»  Ѵ^2л / (2л-;	у2 іі.к = .( я сА, 0  у)2 сіх = 5 ,т2 л3.
Если, наконецъ, дуга вращается около пормали въ вершинѣ, то прежде
всего замѣтимъ, что длина всякой дуги, одинъ конецъ которой находится
въ вершинѣ, равна

у

5 = ]•' 2 а / -^]= ~ 2 1^2 а

.} Ѵу

о

Такъ какъ, далѣе, вь точкѣ возврата з—іа. х-:гл, то интегрированіемъ

по частямъ находимъ

4 <\	л а.	2 к

,ѵ (із = 4 л я3 — з сіх = 4 ла'2 - 2|г2 а ]/ 2 а — у  сіу = 4 <та (л  ъ).

оо	о

Слѣдовательно, величина образуемой поверхности равна 8лв!(л-|).

іі) Найдемъ теперь всю поверхность сфероида (эллипсоида вра-
щенія). Изъ уравненія меридіана имѣемъ

а -.гіъ--і	'(<& —&)ѵ‘ г

поэтому
ь

Если сфероидъ сжатый (я > і), то. положивъ г —	, получаемъ

Уа~ — Іі2

Ь7=у
(.

4 л а ІА 1 г	2 л а Ь~ а + ]' я3 — Іі2

.4 = ——== / 1 1 + /3 Ні = 2 ла2 4---------Іо?----

Уа2-1і2]	°	<>

іі

Если эксцентриситетъ меридіана малъ (какъ это имѣетъ мѣсто, напримѣръ,
для земли), то приближенно можно взять А — 4 ла'2 (1 — ( А3). Въ случаѣ
растянутаго сфероида, послѣ того какъ замѣнимъ а на 1> и наоборотъ,
чтобы опять обозначи ть черезъ 2 а фокальную ось, найдемъ

и, полагая у =

я3 і

) а'2 — Ь'2

4 л 5
а2

о

!•' а4— (а2	Ь2) /- сіу,

, получимъ

!Х

1'уТ^(и = 2лЬ'2 +
у а2 - Іі2,]

О

Ь

а

2 л г?2 Ь

———— агс соз
уга^-Ь^
При маломъ эксцентриситетѣ получимъ приблизительно Л — іиі)2(1 + ІЯ.
Итакъ, поверхность слабо эксцентричнаго сфероида приблизительно равна
поверхности тара, касающагося сфероида вдоль экватора, умно-
женной на 1 Т і Я смотря по тому, будетъ ли сфероидъ сжатый или рас-
тянутый,

е) Вычислимъ теперь поверхность и объемъ тора, т. с. кольца, обра-
зуемаго вращеніемъ круга около прямой, лежащей въ его плоскости. Если 6-
есть разстояніе отъ центра круга до оси вращенія, и радіусъ круга а < Ь,
то радіусъ параллели К = Ь -\- а соз !*) и а1.*,- = а (іі, слѣдовательно,

л

.4 = 4 л (Ь | а соз 0) (І'з — 4 аЬ.
о

Поверхность имѣетъ двѣ особенныя касательныя плоскости, которыя ка-
саются поверхности вдоль параллелей и раздѣляютъ ее на внутреннюю
и внѣшнюю часть. Чтобы опредѣлить поверхности каждой изъ этихъ частей,
достаточно знать ихъ разность:

з

А’— А” = 8 .та3 / соз Е) «Ч - 8 ла-.

О

Точно такъ же, цилиндръ, опредѣляемый упомянутыми двумя параллелями
раздѣляетъ кольцо на двѣ части, объемы которыхъ будутъ

У — 2 ла(Ь | а соз 9/ соз С іі'і — 2 л а ІА,
о

К''— 2 .та (!) + а соз О)2 соз 9 гіі 2 л а ІА,

такъ что объемъ всего кольца будетъ

л	:г

V— 2 ла ( (Ь а соз О)3 соз і Л’і —4 л (і- Ьсозй9 аЧ)— 2 л2агЬ.

о	о

Кромѣ того, имѣемъ

д1

У - У"— 4 ла I (і2 ф~ а2 соз3і) соз 6 Л — 4 л а 1>2 — 4 л а3 / созй6 Л 8 м\

К	о

Замѣтимъ, что половины разностей А'— А" и V' V” равны соотвѣт-
ственно поверхности и объему шара радіуса а, поэтому онѣ не измѣняются,
когда кольцо будетъ постоянно расширяться, оставаясь всегда заключеннымъ
между особенными касательными плоскостями, предполагая послѣднія непо-

*) 3 — уголъ, образуемый радіусомъ круга, проведеннымъ черезъ какую
нибудь точку М на окружности, съ перпендикуляромъ къ оси вращенія.
движными. Объясненіе этого факта вскорѣ (§ 774) будетъ дано. Если, нако-
нецъ, і < а, то кругъ пересѣкаетъ ось крашенія и видимая поверхность
будетъ

агс <‘-і6

Л--4лв (6-|-л соя Ѳ) (76 = 4 л’о і агс соз (—-|- 4 л а уУ — №,

о

а объемъ ограничиваемаго ею тѣла

“(-4)

//	д \	2	_

(&+« соз Ѳ)2 соз 0	а2/? агс соз-1 • [- — л(2а2+^2)р

\	Й /	о

о

Въ частномъ случаѣ, при 6 — 0, получаемъ шаръ и Л--4л«2, 7'—і лѵгѣ

і) Положимъ, что кардіоида г— 2 а соз3 (йу) вращается около своей
оси симметріи. Радіусъ параллели, соотвѣтствующей данному значенію О,
б

будетъ Л — г зіп 3, элементъ дуги кардіоиды = 2 а соз — а 9, поэтому,
такъ какъ Ѳ измѣняется вдоль кривой постоянію въ одномъ направленіи,
получимъ

Л — 16 .ѵ.я2

о

,	0	. 6	32	„

соз1	зіп -=	</0 =	— ла-.

2.	Л	О

Чтобы вычислить весь объемъ тѣла, ограниченнаго данною поверхностью,
удобно принять г за перемѣнную интегрированія, такъ какъ г постоянно
возрастаетъ при движеніи отъ точки возврата кривой до вершины. Такъ какъ

г — а

а

соз 3

И — г 5Іп Ѳ =	У'2 а г — г2 ,

а

то тотчасъ получимъ

г8 (2 а — г) (2 г

, 8

<г ; о г - - л аЛ.
О

Для провѣрки полезно сравнить эти результаты съ тѣми, которые полу-
чаются если разсмотримъ, напримѣръ, наименьшій описанный шаръ. Чтобы

опредѣлить радіусъ Л наименьшаго изъ круговъ, съ центромъ на оси сим-

метріи, касающихся кардіоиды, достаточно замѣтить, что по условію мини-
мума должно быть К ІК = 0, а потому хорда касанія должна быть нормальна

къ кардіоидѣ. Отсюда слѣдуетъ, что радіусъ параллели касанія, совпадающій
съ радіусомъ Р. искомаго круга, равенъ максимуму гзіпѲ. Это будетъ при

3

4

3

2

такъ что г =

и искомый радіусъ Іі -- -

аУ 3.

Теперь легко

констатировать, что шаръ радіуса Іі будетъ имѣть объемъ, нѣсколько боль-
шій объема разсматриваемаго тѣла, и то же самое справедливо и для по-
верхностей, хотя я ргіогі въ этомъ нельзя было быть увѣреннымъ. Читатель
можетъ подобнымъ же образомъ вычислить объемъ тѣла, образуемаго
любою улиткою г = а соз С 4-6 безъ двойной точки (6>аі, при вращеніи
кривой около оси симметріи. Онъ найдетъ 7'=л:6 (<іг—/>-). Въ случаѣ
Ь < а это число изображаетъ величину объема, заключеннаго между по-
верхностями, образуемыми двумя петлями кривой; но каждая изъ этихъ
петель, внутренняя и внѣшняя, ограничиваетъ тѣла, объемы которыхъ равны
соотвѣтственно

Д (а — А)4 и («-+ Ж

6й	6л'

Къ этимъ результатамъ приходимъ почти безъ вычисленія съ помощью
другой формулы, которая будетъ выведена въ концѣ § 779.

Центры тяжести.

773.	Разсмотримъ въ пространствѣ ансамбль точекъ, состоящій
изъ точекъ куска 5 нѣкоторой линіи, поверхности или самого трех-
мѣрнаго пространства. Центромъ тяжести такого куска 5 назы-
ваютъ точку С, координаты которой равны среднимъ значеніямъ
(§ 712) координатъ точекъ самого Если, чтобы имѣть дѣло съ
опредѣленнымъ случаемъ, 5 обозначаетъ дугу нѣкоторой линіи, то
координаты 5, г/, точки О опредѣляются слѣдующими уравненіями

х <іг, і) $ = I у <із,	г .

Такъ какъ всякое линейное преобразованіе, произведенное надъ коорци-*
натами х, у, г точекъ 5, повторится тождественно и надъ і],
то ясно, что положеніе центра тяжести отъ выбора коорди-
натныхъ осей не зависитъ. Замѣтимъ здѣсь же, что если нѣко-
торая фигура имѣетъ плоскость симметріи, то центръ тяжести ея
будетъ лежать въ этой плоскости. Дѣйствительно, если примемъ
эту плоскость за плоскость Оху, то каждый элементъ зсія инте-
грала, выражающаго уничтожиться съ другимъ элементомъ — зсіз,
и § будетъ равно 0. Въ частности замѣтимъ, что центръ тяжести
всякой плоской фигуры лежитъ въ плоскости самой фигуры и что
центръ тяжести фигуры, имѣющей центръ симметріи, непремѣнно
совпадаетъ съ этимъ центромъ. Наконецъ замѣтимъ еще слѣдующее:
если фигура состоитъ изъ двухъ частей 5і и з2, центры тяжести
которыхъ 6’, и Сэ извѣстны, то центръ тяжести всей фигуры дѣ-
литъ отрѣзокъ прямой Ох въ отношеніи, обратномъ отношенію
.?! къ л'г. Это вытекаетъ тотчасъ изъ очевидныхъ равенствъ

$ 5 —	.*4 4" ^2 $2» - - • •

774.	Теорема Гульдёна. Возьмемъ снова формулы, выведен-
ныя въ § 771, для поверхности или объема, образуемыхъ враще-
ніемъ плоской дуги х или площади а около прямой, лежащей въ
ихъ плоскости. Если эту прямую примемъ за ось лг-овъ, то упомя-
нутыя формулы можно будетъ написать такъ:

I у <із = 2 л:Г) -5,	у'-ііх = 2 п }	у ах <1у — 2 лу  о .

Слѣдовательно, поверхность и объемъ разсматриваемаго тѣла
получимъ, если умножимъ соотвѣтственно длину или пло-
щадь образующей фигуры на окружность крута, описы-
ваемаго ихъ центромъ тяжести. Если желаемъ получить не
всю поверхность или весг> объемъ, а только ту часть ихъ, которая
лежитъ между двумя меридіанальными плоскостями, то, очевидно, надо
будетъ вмѣсто всей окружности круга взять только ту ея дугу,
которая на ней ограничивается упомянутыми плоскостями. Устано-
вивъ вышесказанное, разсмотримъ теперь общнѣе дугу .•> или пло-
щадь о въ плоскости, движущейся въ пространствѣ такъ, что она
остается постоянно нормальною къ траекторіямъ ея точекъ. При
этихъ условіяхъ, очевидно, можно разсматривать безконечно малое
перемѣщеніе, плоскости, какъ вращеніе ея около ея характеристики
(§ 674). Поэтому можно и элементарную поверхность или элемен-
тарный объемъ, образуемый дугой л или, соотвѣтственно, пло-
щадью о, пренебрегая безконечно малыми высшихъ порядковъ, изоб-
разить произведеніями длины з или площади о на перемѣщеніи Л
ихъ центра тяжести. Для конечнаго движенія такого рода будемъ
поэтому имѣть

л = І'з аі - I аі, ѵ' о сіі — сі/,

т. е. поверхность и объемъ тѣла, образуемаго разсматри-
ваемою фигурою, получимъ, умножая з или о на длину
пути, пройденнаго соотвѣтствующимъ центромъ тяжести.
Эти теоремы полезны при вычисленіи нѣкоторыхъ поверхностей и
объемовъ, но могутъ быть приложены также и къ нахожденію по-
ложенія центровъ тяжести извѣстныхъ фигуръ.

775 Примѣры, а) Центръ тяжести дуги цѣпной линіи, симметрич-
ной относительно нормали въ вершинѣ, лежитъ на этой нормали; разстояніе
его ч отъ директрисы вычисляется (ср, § 772, Ъ) изъ равенства 2 :у . 2 з =

_	.	,	аЪ 1 ,	,

= 2даіо; слѣдовательно, г; = ту =2 со^ё Итакъ, центръ тяжести (г лежитъ
въ серединѣ отрѣзка, образуемаго крайними нормалями иа нормали въ вер-
шинѣ, считаемаго отъ директрисы. Для опредѣленія центра тяжести & пло-
щади, ограниченной кривою, директрисою и крайними нормалями, имѣемъ
формулу 2 .т 7}. 2<яв = па-Ь. Поэтому ч = у Ь соі§ <р, такъ что & лежитъ
въ серединѣ О О.

Ь)	Центръ тяжести полной дуги циклоиды лежитъ на нормали въ
вершинѣ, въ разстояніи отъ этой вершины, равномъ

•' =Га /= 2^ /	= 3 я

О

Слѣдовательно, (ср. съ § 772, с) величина поверхности, образуемой враше-
4	32

кіемъ дуги около основанія, равна г ял. 8« ='х-.ча-. Слѣдуя обратному
«5	о

пути, и считая извѣстнымъ, что объемъ тѣла, образуемаго вращеніемъ пло-
щади, лежащей между кривою и ея основаніемъ, равенъ 2>л.2а'і, найдемъ
положеніе центра тяжести этой площади слѣдующимъ образомъ: центръ тя-
жести лежитъ, очевидно, на нормали въ вершинѣ въ разстояніи »/ отъ
основанія, которое получимъ, приравнивая 5л2«н произведенію 2%ч на
З./л2. Находимъ

с)	На окружности круга радіуса а возьмемъ нѣкоторую дугу ЬМ\
обозначимъ черезъ г и 0 координаты центра тяжести О дуги ЬМ, прини-
мая центръ круга О за полюсъ и прямую ОЬ за полярную ось. По сдѣ-
ланному въ § 773 замѣчанію мы знаемъ, что С лежитъ на прямой, дѣлящей
уголъ ЬОМ пополамъ. Далѣе, изъ опредѣленія центра тяжести находимъ

5

/,	,>>,<	ыпО

асо8(г . аа<р = 2 а2 зіті 0, т. е. г =а — •

о

Отсюда видно, что (§ 589, Ь) общее мѣсто центровъ тяжести дугъ
круга, имѣющихъ общее начало въ точкѣ Ь, будетъ кохлеоида,
вершины которой въ Ь, а полюсъ въ центрѣ круга. Этимъ свой-
ствомъ кохлеоиды пользуются при черченіи построеній сводовъ (въ Архи-
тектурѣ)*). Принимая во вниманіе то. какимъ образомъ передвигается С,
когда М описываетъ окружность круга, двигаясь постоянно въ одномъ на-
правленіи можно отдать себѣ отчетъ въ свойствахъ кохлеоиды. Далѣе, для
опредѣленія центра тяжести С' кругового сектора ЬОМ, имѣемъ

а О

<І2|').Г— 2 /СО5'Р 7 сі I Л((, = |-а25ІпО, т. с. г
Іі о

2 зіп О
звТ;

Слѣдовательно, С дѣлитъ отрѣзокъ ОС въ отношеніи 2 къ 1.

3) Чтобы быстро найти центръ тяжести полуокружности круга радіуса
а, стоитъ только замѣтить слѣдующее, Центръ тяжести, очевидно, лежитъ на ра-
діусѣ, перпендикулярномъ къ хордѣ полуокружности. Разстояніе его т/ отъ
центра круга получимъ, замѣчая, что произведеніе 2яч на -ла (длину полу-
окружности) должно быть равно 4ла- (поверхности шара радіуса а). От-
2гг

сюда >? = —-. Подобнымъ же образомъ опредѣлимъ центръ тяжести пло-

4

щади полукругал приравнивая объемъ У = ,улглн произведенію 2тг->; и
о

(величину площади полукруга), мы получимъ у = Общнѣе, можно
такимъ же путемъ найти результаты предыдущаго примѣра, если припом-
нимъ изъ элементарной Геометріи выраженія поверхности шарового пояса,

*) См. напр. яСоигв бе Сопзігисііоп" Ы. бе Ѵоз (т. 1, стр 276).
и объема шарового сектора, образуемыхъ вращеніемъ дуги РМ и площади
2

РОМ около ОР, а именно Іпаіі и	гдѣ А обозначаетъ высоту

а (1 -  СОБІІ0).

с) Величина поверхности тора (ср. съ § 772, е), опредѣляемаго ра-
діусомъ а образующаго круга и разстояніемъ Л(>а) центра круга отъ оси
вращенія, равна 2ла.2лЬ = 4 л-аіг, объемъ равенъ .2ді - 2.7-а-'У
Общнѣе, величина поверхности и объемъ канала (ТиЬия) (§ 678,Ъ) между
двумя плоскостями, перпендикулярными къ линіи центровъ, равны 2ч>л/ и
ла-1, гдѣ /—длина дуги линіи центровъ между упомянутыми плоскостями.
Еще общнѣе, величина боковой поверхности и объемъ первоначально цилин-
дрическаго стержня, деформируемаго (измѣненіемъ кривизны и крученія ли-
ній центровъ тяжести) такъ, что площадь поперечнаго сѣченія сохраняется,
остаются неизмѣнными при всѣхъ формахъ, принимаемыхъ стержнемъ, до
тѣхъ поръ, пока онъ не приметъ, напр., форму кольца при совмѣщеніи
основаній.

і) Разсмотримъ въ заключеніе клотоиду, интересную кривую, приду-
манную для изученія явленій диффракціи1) (рис. 96). Координаты точки на
этой кривой изображаются интегралами Френеля

значенія которыхъ не выражаются въ ко-
нечномъ видѣ при произвольномъ <[., но
извѣстны намъ при <р = =«, а именно а- =

у — с =4, а]Лг/.- Тотчасъ видимъ, что

(?У і	е.

— = щъ, такъ что <і> обозначаетъ уголъ
наклоненія касательной кь оси лг-овъ.
Поэтому, когда о? измѣняется отъ
О до то кривая выходитъ изъ начала
координатъ, касаясь въ немъ оси .г-овъ,
чтобы затѣмъ асимптотически обвиваться

около точки {с, При этомъ кривизна ея возрастаетъ пропорціо-
нально длинѣ дуги.

5 а



,г<і

<7 з

3

а*

Форма кривой ясно показываетъ, что х и у стремятся къ предѣлу с, по-
стоянно колеблясь около него. Но для того, чтобы видѣть расположеніе то-
чекъ клотоиды относительно асимптотической точки О, необходимо нужно
вычислять приближенно интегралы Френеля2). Такъ, напр., если раздѣлить
дугу 00 на безконечное число дугъ ОР±, Р1Р2, Р2Р^,---, общая длина

') Согни „Лоигпаі сіе РЬузіфііе" (1874, стр. 9).

’2) Таблица значеній этихъ интеграловъ помѣщена въ „Оеиѵгев Согпр-
]ёіез“ ЕгезпеГя (т. 1. стр. 319). См. также мемуары АЬтіа о диффраціи
свѣта въ „Іоигпаі <1с Ыопѵі1[е“ (1849, стр. 248). Что касается различныхъ мето-
довъ вычисленія этихъ интеграловъ, то читатель можетъ объ этомъ прочесть
въ „Ъе^оп сГОрНдие рііуяідие'1 Ѵегсіеі (т. 1, стр. 328).
которыхъ равна 2с, то, принявъ с за единицу, для координатъ точекъ Рѵ, Р2.
Р9.....найдемъ числа:

я = 1,560..., 0,977. ., 1.212.	0,997...

у = 0,875. . , 0.686..0,991. . ., 0,84С... .

Замѣтимъ, что Рх есть наиболѣе удаленная отъ оси _уонъ точка, что і\ на
дугѣ Р^О нанближе къ Ох лежащая точка и т. д.

Займемся теперь опредѣленіемъ центра тяжести дуги ОМ клотоиды.
Координаты искомаго центра тяжести, по опредѣленію, будутъ

о о

Понимая подъ / любой изъ
у = /,0 и выполнивъ интегрированіе

двухъ символомъ аіп или соз, полагая
по 9, найдемъ

і

- /) / '

Принимая далѣе/ф за перемѣнную интегрированія и интегрируя по частямъ,
получимъ

а	С/’(0)	(Ф),	/'Х0'-/'(г) , «

о тЛ О / і 1,1--------------а і ’о +-1Л-Г

2 у I ] у | ф	] 2<у	] '2

о

Подставляя, наконецъ, вмѣсто / по очереди соз и зіп. находимъ

7 = х — д зіп <р, і) = У — (? (I — соз </)

Итакъ, центръ тяжести дуги ОМ лежитъ на соприкасающемся кругѣ
въ М, и притомъ на нижнемъ концѣ діаметра, перпендикулярнаго къ каса-
тельной въ О. Положимъ теперь, что и центры тяжести дугъ О.М} и
ОМ2 и замѣтимъ, что на основаніи замѣчанія, сдѣланнаго въ концѣ § 773,
центръ тяжести С дуги	находится въ такой точкѣ на прямой О{О2,

для которой имѣетъ мѣсто пропорція



1,~2— V
V

ИЛИ

СС\

оо2

Итакъ, центръ тяжести какой угодно дуги клотоиды есть
прямой центръ подобія соприкасающихся круговъ въ концахъ
дуги, Въ заключеніе сдѣлаемъ слѣдующее замѣчаніе: если копцы дуги соот-
вѣтствуютъ значеніямъ гр, кратнымъ отъ 2ъ, то центръ тяжести дуги
будетъ находиться на ея хордѣ и въ частности, если одинъ изъ кон-
цовъ дуги есть начало координатъ, то центръ тяжести совпадетъ съ другимъ
концомъ.
Поверхности и объемы какихъ угодно тѣлъ.

776, Поверхности. Ограничиваясь обыкновенными (встрѣчаю-
щимися на практикѣ) поверхностями, мы примемъ за очевидное, что
всякая безконечно малая часть поверхности можетъ быть разсматри-
ваема, какъ лежащая въ касательной плоскости къ поверхности въ-
одной изъ точекъ разсматриваемой части. Всякій элементъ ііхАу въ
плоскости Оху будетъ тогда ортогональною проекціею безконечно1
малой часта поверхности, принимаемой за элементъ поверхности.
Этотъ элементъ измѣряется, слѣдовательно, отношеніемъ (іх(іу кь
косинусу угла, образуемаго касательною плоскостью въ точкѣ ~(.г,_у)
съ плоскостью Оху. Поэтому величина конечной части поверхности
будетъ (§ 659)

(Ю)

Интегрированіе распространяется на всѣ нары значеній х и у, при-
надлежащія координатамъ точекъ измѣряемой части поверхности. Въ
этой формулѣ заключается, какъ частный случай, выведенная въ
§ 771 формула для поверхностей вращенія. Дѣйствительно, въ этомъ
случаѣ, полагая у х2 ДУ2 ~	3 = /"(7?), имѣемъ

Р - д/Ш. 7 -	+ О =гг (/?)

Переходя (въ плоскости отъ Декартовыхъ координатъ къ по-
лярнымъ получимъ





КіІ$СІЗ = ‘2.П ЮІЗ.

Однако, если хотимъ имѣть часть поверхности,ограниченную нѣкоторою
сомкнутою кривою, то надо остаться при формулѣ А = К(ЩсІЗ\
это значитъ, что за элементъ въ А мы беремъ величину той части

поверхности, которая ограничена меридіанами 0 и 0 -|- й’Ѳ и парал-
лелями /? и г//?. Этотъ элементъ поверхности може тъ быть

разсматриваемъ, какъ прямоугольникъ, сторонами котораго будутъ
элементы ііз и Л</0 меридіана и параллели, откуда и слѣдуетъ на-

писанная выше формула.

777. Примѣры, а) Для вычисленія величины части поверхности
шара л'3 +.Ѵ2 +-з2 = а2, по Формулѣ (10) получимъ А =	гдѣ

остается еще опредѣлить предѣлы интегрированій по даннымъ границамъ
вычисляемой части поверхности. Если хотимъ получить всю поверхность
шара, то замѣчая, что въ углѣ положительныхъ х и ѵ заключается восьмая
ея часть, найдемъ

а V и1 — л2	а

Въ дѣйствительности, въ приложеніи къ шару предпочтительнѣе послѣдняя
формула предыдущаго о, которая здѣсь приводится къ

А — <7-

соз <;! і/ 7' А ір.

Ее можно вывести также прямо изъ формулы, данной въ началѣ, поль-
зуясь выраженіями

х = а со.ч <р сову, у =- а зіп <р соз у. з — а зіп ір,

въ силу которыхъ получимъ

л Г Са а И Г Сдіх.уУАуАу 1 Г Г . .

А I I — Ах а у = /	/ тт ;----- = «- і I соз і,' А<р Ау,

.) .у е	У .У	8‘ПѴ

необходимо только имѣть въ виду., что элементъ интеграла долженъ быть
всегда положительнымъ. Напримѣръ, при вычисленіи всей поверхности шара,
надо мѣнять перемѣнную у только въ предѣлахъ отъ 0 до и писать

Зд:	И	2 .т

А = 2 а'2 А у I соз у Ау = 2 а- } Ау = 4 :< а-.
о о	о

Если бы мы пожелали измѣнить ір отъ 0 до .-г, то достаточно было бы измѣ-
нять <р отъ 0 до .т., и написать

51	,7	Л

А = 2 л2 іі <р | соз у ] Ау = 4 о2 і А
об	о

Г>) Предложимъ себѣ теперь измѣрить величину части поверхности
того же шара, лежащей внутри кривой Вивіани 767,)). Эта часть поверх-
ности проектируется на плоскость Оху по кругу / = .ѵ(« — а-) и симме-
трична относительно плоскости Охв \ слѣдовательно

й.

а
Обозначая черезъ Э тотъ агспз, который находится подъ знакомъ интеграла,
имѣемъ .ѵ = а 1^- 0 и интегрированіе по частямъ (§ 723. <І) дастъ

Іуу 3 еіі = —(6 - кіп 8 соз 9).
а соз2 О	’

Такъ какъ 6 измѣняется отъ 0 до , когда х измѣняется отъ 0 до а, то
4

получится А — (,т -2)«2. Гораздо скорѣе придемъ къ этому результату,
примѣняя полярныя координаты

1 ,	I т,

Л	I

1	/ соз ір Л >і; = 2 а2 У (1 зіп ч) а ч	(л — 2) «2.

ч	о

с) Попытаемся вычислить величину всей поверхности эллипсоида. Изъ

уравненія ,Ѵ + -р + - — 1. находимъ

<і-	№	€

гдѣ с и ч обозначаютъ эксцентриситеты сѣченій поверхности эллипсоида
плоскостями Оха и Оуз. Формула (10) дастъ

гдѣ интегрированіе распространяется на всѣ пары значеній х и у, удовле-
.	х2 у2 _

творнющія неравенству < 1. Обозначая черезъ / стоящій подъ зна-

комъ интеграла радикалъ, легко находимъ

5 І =-1 

что наводить на мысль положить

гдѣ й измѣняется отъ 0 до а I отъ 1 до я--. Принимая Ѳ и і за новыя
перемѣнныя интегрированія, преобразуемъ предыдущій интегралъ (§ 737) въ
слѣдующій

.7 । і

1 о
Въ то же время замѣтимъ, что если <р (/) и ір (/) обозначаютъ радикалы,
входящіе въ выраженія х и _у, то

о1 Л1	д ѵ

—- = а <р' 17) соз 0,	= Ьъ/ (і) аіп 0,

оі	’ ’	6і ѵ'

дх	д ѵ

уд = - гг<р(/)8ІпС.	Ьу (/) соз 0.

Поэтому

и «

.4 = 8дй { ір/ (/) ір (/) соза 5 4-ф (/) ѵ1'(0 8іп- 0 } I <іі <і'л,

і о

если замѣтимъ, что у.-(/) и >;.'(/) функціи возрастающія, а потому имѣютъ по-
ложительныя производныя. Такъ какъ интегралы отъ соз29бМ и зіп2 Ѳ г/9 въ

предѣлахъ 0 и ~ равны ( §725, е), то будемъ имѣть

.4 = 2 л л і у { у'(і) ѵ (Г) 4- <р (г) і/(Л } I <П,
1

и наконецъ
да	®

,	С	, Г (1--і?а)^/	|

и (/3-^)К(/г-е2Х^ V2) .} ((2-Ч3)1'(/2-е2)^-Цг)І
1 1

Дальше въ общемъ случаѣ мы идти не можемъ, потому что имѣемъ здѣсь
эллиптическіе интегралы. Но, при с = ч, и при у = 0, мы пришли бы снова
къ формуламъ (§ 772, б),-относящимся къ сжатому и растянутому сфероиду.
Наконецъ, если эксцентриситеты е и у очень малы, то разложеніе въ рядъ
даетъ

А = 4 я а Ь { 1 - ’. (с-4- ч2) 4-    } ,

и такъ какъ с2 = а Ь (1 — |(ьа 4- і/’) 4- . . . ), то получается ') приближенная
формула

Д - 4 .т «А = 4 п (/айс)®.

б) Чтобы вычислить величину поверхности эллипсоида съ достаточною
точностью, надо пользоваться таблицами Лежандра (съ двойнымъ входомъ),
а для этого надо сперва выразить А въ типическихъ интегралахъ Г и Е.
Если положимъ 6 == зіп а, у — /е зіп а, такъ что

а 1 / Ь- — с2	с

«=-,-[/ -5----5 < 1, а = агс СО8 — ’

п Г да • - с2	а

х) О приближенномъ вычисленіи поверхности эллипсоида см. „Саісиі
іпіёцгаі" Воизвіпезд'а (стр. 78) и замѣтку Реапо въ „Кепбісопіі беі Еіпссі“
(1890, стр. 317).
то подстановкою I = преобразуемъ полученное выше выраженіе .4 въ
слѣдующее

д 2 д а Ъ

/іі ₽

„у сой2 <р У 1 — к2 зіп2 <р
о

4- (I - # зіп2 а) /---------------

(1 — /2 ЗІП2 <р) Ѵ1 — ЗІП2 <р |

О

Мы уже имѣемъ (§ 767, 1Т) значеніе перваго интеграла

Г__________іі у ______~~ Е(к У) у) - *8 'У' V 1 - ' 2 5іпаф

,_/ соз2?/;}2 I —/2зіп-’<р	1’

Интегрированіе по частямъ даетъ слѣдующеее выраженіе того же интеграла;

_^_Ч^= + Г(, ,Г)_ / --------  

У 1 — к- 5ІП2»/	„у (1 — 5ІПЭ *г) И 1 - № ЯІПаОП

о

откуда выводимъ

I)

<7 с/,
к2 ЗІП2 гр) уТ — /,2 ЗІП2 <р

*' {к, <г)

1 - к2

к2 ЗІП ф СОЙ <р

(1 -- і2) У^І — к2 8ІП2ір

Слѣдовательно,

А — - (соз2 а  Г (к. а) + зіп2а  Е (к,а) У зіп а соз а У 1 — к2 зіп2 а} .

3)П «I		'

Подставляя, наконецъ, вмѣсто к и и ихъ выраженія въ а, 1>, с, мы и при-
демъ къ формулѣ Лежандра

2 л Ь
Л = 2 лі'Ч-, .'^=
У а2 — с2

*2- с2

-ѵ,--5, агс соз

а2 — с2

+ (іі~

!>’ - с2	с \

-----5, агс соз —

«2 - с-	а

Предлагаемъ читателю, для упражненія, доказать, что при д2—&2-|-са, вели-
чина поверхности измѣряется числомъ л«а+ л.Ь2 Е -Л-Г, гдѣ Е и Е
полные эллиптическіе интегралы съ модулемъ1 -	. Такъ, напри-

мѣръ, при л2; д2 с2 = 3 : 2 : 1, найдемъ А = ла2  2,52620923 ....
е) Формулою (10) можно воспользоваться, чтобы доказать1), что для
поверхностей имѣетъ мѣсто нѣчто подобное тому, что мы замѣтили у
плоскихъ -кривыхъ въ § 591. А именно, если выдѣлимъ около нѣкоторой
точки М на поверхности нѣкоторую часть с, то полная кривизна К въ
точкѣ М есть предѣлъ отношенія величины тѣлеснаго угла а, образуемаго
нормалями къ поверхности, проведенными въ точкахъ границы 5, къ вели-
чинѣ А поверхности самой с, когда эта послѣдняя стремится обратиться въ
точку М. Положимъ, что кривизна, предполагаемая непрерывною, будетъ
положительна (чтобы имѣть дѣло съ опредѣленнымъ случаемъ), и выберемъ
е столь малою, чтобы и во всѣхъ ея точкахъ К было больше нуля. Пере-
мѣнныя х и у въ формулѣ (10) можно замѣнить перемѣнными/» и у, которыя
независимы, потому что (§§ 579, 691)

Замѣтивъ это, находимъ, что формула (10) дастъ (§ 737)

А = Г Г_______= ± Г С________________іра!і._,

7 .7	х Л 7 (і

гдѣ ѵ. обозначаетъ число, среднее между значеніями К къ точкахъ
Съ другой стороны, построимъ конусъ, производящія котораго параллельны
нормалямъ къ поверхности, проведеннымъ вдоль границы с. По оиредѣ
ленію, тѣлесный уголъ, заключенный между этими нормалями, измѣряется
величиною поверхности со, которую этотъ конусъ выдѣляетъ на піарѣ ра-
діуса 1, съ центромъ въ вершинѣ конуса; а такъ какъ кривизна поверхности
этого шара вездѣ равна 1, го предыдущая формула, примѣненная къ шару,
дастъ

ЯіІрЛд
(1 +^+^)4

при тѣхъ же предѣлахъ интегрированія. Отсюда и слѣдуетъ, что А = ~ •
Поэтому, когда д стремится совпасть съ точкою М, то для этой точки
получимъ

К = Ііт и — Ііт —•
А

778. Объемы. Если требуется вычислить объемъ тѣла, огра-
ниченнаго частью данной поверхности, прямымъ цилиндромъ, про-
ектирующимъ границу этой части на плоскость Оху, и самою этою
плоскостью, то можно (ср. съ § 768) принять за элементъ объема V
подобный же объемъ, соотвѣтствующій элементу данной поверх-
ности. Такой элементъ объема измѣряется произведеніемъ основанія
сіхсіу на высоту г. Слѣдовательно, будемъ имѣть

(11)	г ііх Лу,

х) См. также „Н’аійгіісѣе Сеотеігіе" автора, стр. 214,
гдѣ г функція отъ х и у, опредѣляемая уравненіемъ данной по-
верхности. Общнѣе: можно разбить какое угодно тѣло на элементы
третьяго порядка (іхсіусіз и, опираясь на опредѣленіе тройного

интеграла, написать
(12)

’/Я

(7л ііу (іі-.

V

При этомъ предѣлы послѣдовательныхъ интегрированій опредѣляются
въ каждомъ случаѣ на основаніи формы разсматриваемаго тѣла.
Если, напримѣръ, тѣло имѣетъ описанную въ началѣ этого § форму,
то можно сперва при постоянномъ х и у выполнить интегриро-
ваніе откуда и получается значеніе г на данной поверх-
ности и приходимъ снова къ формулѣ (11). Можетъ также случиться,
что при постоянномъ г извѣстенъ будетъ результатъ а (г) интегри-
рованія (іх(іу, т. е. что извѣстна площадь сѣченія, произведеннаго
въ разсматриваемомъ тѣлѣ плоскостью, параллельною плоскости Ол у
въ разстояніи з отъ нея. Въ этомъ случаѣ вычисленіе И сводится
къ простому интегрированію

(13)

Такое вычисленіе сводится къ раздѣленію тѣла на элементы перваго
порядка, такъ какъ о (г) (7г изображаетъ объемъ слоя даннаго тѣла,
лежащаго между плоскостями я и я-^сіг, Такъ мы и дѣлали въ
частномъ случаѣ тѣль вращенія, въ которомъ о(^) = 'л/-?1. Суще-
ствуетъ безчисленное множество другихъ способовъ разбиванія
тѣла на безконечно малые элементы третьяго порядка. Изъ нихъ
особенно надо замѣтить тотъ (§ 739, Ь), который получается при
примѣненіи полярныхъ координатъ. Поверхности шаровъ, опредѣ-
ляемыхъ радіусами г и г-}-(7 г, плоскости, опредѣляемыя долготами
у и </ + и поверхности конусовъ, опредѣляемыя широтами
V и	ограничиваютъ безконечно малое тѣло, которое

можно разсматривать, какъ прямоугольный параллелепипедъ съ реб-
рами (7 г, г | соз '<р\ іі<р и г сіір, пренебрегая безконечно малыми
высшихъ порядковъ. Такимъ образомъ приходимъ къ формулѣ

(14)	I-7 =	г2}	\ (іг ііір (ііі),

которую можно вывести и аналитически изъ формулы (12) (§ 737),

779.	Къ другому разложенію тѣлъ на элементы второго по-
рядка (ср. съ § 769) приходимъ, когда дѣло идетъ о вычисленіи
объема тѣла, ограниченнаго частью данной поверхности и конусомъ,
образующія котораго соединяютъ точки границы этой части поверх
ности съ данной точкой. Если помѣстимъ начало координатъ въ
вершину конуса, то естественно взять за элементъ объема объемъ
того конуса, основаніемъ котораго служитъ элементъ поверхности
У 1 +/>а+ <}'- сіх (іу (§ 776). Такъ какъ объемъ этого конуса ра-
венъ олной трети произведенія площади основанія на высоту,
равную разстоянію начала координатъ отъ касательной плоскости,
то мы получимъ

(15)	И = ) Г Г (у —рх -- ду) а.х ііу.

при чемъ, если понадобится, измѣняютъ знакъ элемента. Если, на-
примѣръ, требуется вычислить объемъ тѣла между поверхностью
вращенія и конусами, проектирующими два параллельныхъ круга
изъ точки, лежащей на оси вращенія, то получится (§ 776) формула.

Іі(Іі сіе—г (ІК). Эта формула приметъ особенно простой
видъ въ полярныхъ координатахъ, если полярная ось направлена
по оси вращенія, а именно Р = 4 :сг3</соа0, которую можно вывести
и изъ формулы (14). Впрочемъ, эта формула не отличается суще-
ственно отъ выведенной въ § 771 и сводится къ послѣдней, если
къ обѣимъ ея частямъ прибавимъ объемъ конуса, основаніемъ
котораго служитъ перемѣнный параллельный кругъ радіуса 2?, а
вершиною — полюсъ:

Т'* -1- । л Я2 г = я і № іія.

780 Примѣры, а) Весь объемъ эллипсоида

равенъ

т. е. если выпишемъ предѣлы отдѣльныхъ интегрированій

«•	а

о о

Полагая _ѵ — (Уа2  - х-, приведемъ внутренній интегралъ въ правой части къ

1

Т'"
Сл ѣдователыю,

гг

Къ этому результату приводитъ и формула (15)

Тѣмъ или другимъ путемъ, а также (ср. съ § 770,]і вычисляя сперва п (а),
и примѣняя затѣмъ формулу (13), при всякомъ положительномъ числѣ и,
равномъ отношенію четнаго числа къ нечетному, общнѣе найдемъ, что объ-
емъ тѣла, ограниченнаго поверхностью

Въ частности, для объема,

ограниченнаго тѣлесною астроидою

-	-> у. 2

_ѵі _і_ гз 4- в» = а',

4 ;і

значеніе	т. с. немного больше т'т части объема описаннаго

<□<5

шара-

Ь) Когда эллипсоидъ заданъ общимъ уравненіемъ

а х- + ку- -ф с г- + 2/у з + 2 г х 2 7 ху = 1 .

то удобнѣе прилагается формула (131, потому что плоское сѣченіе, параллельное
плоскости Оху на разстояніи г отъ нея, имѣетъ уравненіе вида

<(' л- — Ь'у- + <7/ -| 2/'у + 2 !>'х + 2 ІГ .ѵ ) -= 0

и площадь его, какъ мы знаемъ (§ 770. Ь) равна гу(г) = —	— к"-)'’-.

При постоянномъ а. изъ сравненія уравненія кривой съ уравненіемъ поверх-
ности получается

а'^- <т, I/ = Ь, к' = іі, {'=/з,	с'— с®2 — I.
Слѣдовательно.

Іі

В'^

— к3'

а

к

Ь

Я

и потому

^в

Уг/ік--к2\ иЬ-1:2,

ліс) /Іа =

ЗугаІГ-

,1

1 + '3	'

Предѣлы интегрированія въ

т. е.

— №

& -. Итакъ,

I7 равны, очевидно, корнямъ уравненія о(^)=^О
г=-4л_.

зу в

с) Предложимъ себѣ
круговыхъ цилиндровъ,

вычислить объемъ общей части двухъ

оси которыхъ взаимно перпендикулярны. Пусть
а будетъ радіусъ наибольшаго изъ двухъ цилиндровъ, ка— радіусъ дру-
гого. За оси _у-овъ и .а-овъ возьмемъ оси обоихъ цилиндровъ. Уравненія
цилиндровъ будутъ .г-3 — с2 - а2, х2 + у~= к2 а2. Искомый объемъ будетъ

ки, I7 А2 !!* — &

Уа2-
ё о

йг а

х2) (Xй а2 — х-) /іх.

или, полагая х = ^явіл ц,

Ѵ= 8 к2 У У 1 — к2 8ігі2 др  соз2 (р <1(р,
о

Интегрированіе по частямъ даетъ

УI — № 8ІП2 <р  соз <р зіп /(, +

зіп2 <р  соз2 <р =

--77Г-Г--	к2 соя2 ф	\ , „
— Л- 81П2ф 4-  	:— -		| 8Ш2 ф «ф .

У1-^5ІП3ф/	'

Выраженіе подъ знакомъ послѣдняго интеграла легко преобразуется въ

— 2 У і. — Л1- зіп‘-<р  соз- /р ]-

Т^уі - №4

к'

Слѣдовательно,

/г2 Уі - ^г5Іп2<г

2 я

о

о

— /2 зіпг<р  соз2 (р /I<р =

с

о

2

У1 — к- яіп2ф 7- —

- к2 зіп2 <р

о
и наконецъ

V- |в»{(14-А2)2?(Л) -  (1

Въ частности, когда цилиндры равны между собой, получимъ Г = ; (2дг)3.
Въ общемъ случаѣ (§§ 756, 757) имѣемъ

О	і

Поэтому, когда к стремится къ нулю, V (какъ и слѣдовало ожидать) съ
возрастающимъ приближеніемъ будетъ измѣряться произведеніемъ площади
сѣченія ті № а2 меньшаго цилиндра на длину 2 л отрѣзка, отсѣкаемаго дру-
гимъ цилиндромъ на его оси. Наоборотъ, при к, близкомъ кь 1, объемъ V
приблизительно равенъ і(2 а)8.

б) Даны двѣ взаимно перпендикулярныя, но не пересѣкающіяся прямыя;
разсмотримъ движеніе отрѣзка постоянной длины, опирающагося своими кон-
цами на данныя прямыя. Обозначимъ черезъ 2 а разстояніе между данными
прямыми, а черезъ « уголъ (постоянный) между двигающимся отрѣзкомъ и
общимъ перпендикуляромъ къ даннымъ прямымъ; тогда длина отрѣзка бу.

2 а л	„

детъ —-—. Помѣстимъ начало координатъ на общій перпендикуляръ къ
даннымъ прямымъ въ одинаковомъ отъ нихъ разстояніи, а оси я-овъ и у-овъ
возьмемъ соотвѣтственно параллельными этимъ прямымъ. При такомъ вы-
борѣ осей уравненіе поверхности, образуемой движущимся отрѣзкомъ будетъ

,	.Г2	_ X

(а- г)^+(а + ^

Поэтому сѣченіе плоскостью, перпендикулярною къ оси #-овъ, будетъ эллипсъ,
который при з — 0 обращается въ кругъ, а при г = ± а стремится обра-
титься въ прямолинейный отрѣзокъ, лежащій на той или другой изъ дан-
ныхъ прямыхъ. Концы обоихъ отрѣзковъ—особенныя точки поверхности.
При данномъ между — а и — а значеніи а соотвѣтствующій эллипсъ имѣетъ
полуоси (л — ?){§'.; и (а + г)ідгг. Такъ какъ сумма ихъ величина постоян-
ная, то (§ 626, с) изъ этого слѣдуетъ, что огибающая проекцій всѣхъ эллип-
совъ, соотвѣтствующихъ различнымъ значеніямъ 2,на плоскость Оху будетъ
астроида. Иными словами, образуемая подвижнымъ отрѣзкомъ поверхность
будетъ вся заключаться въ цилиндрѣ съ высотою 2 а, прямое сѣченіе котораго
есть астроида. Четыре дуги, по которымъ эта поверхность касается боковой по-
верхности цилиндра, вмѣстѣ съ прямолинейными отрѣзками на данныхъ пря-
мыхъ, образуютъ нѣчто въ родѣ тетраэдра, схематически изображающаго
форму образуемаго тѣла. Такъ какъ площадь эллипса (§ 770, §), соотвѣтству-
ющаго данному я, равна п (2?) = тх (а2 — г3) і§2 а, то для объема названнаго
тѣла получимъ

7’=- 2 л ід2 а С(«и —- г5;	| я а3 і^3 а,

V

т. е. $ объема цилиндра, потому что этотъ послѣдній измѣряется произведе-
ніемъ высоты 2 а на площадь (§ 770, ]) прямого сѣченія і)л;(2 а і$? п)3, рав-
нымъ 3 ,т аА і§3 «.]

е) Разсмотримъ общее мѣсто точекъ, для которыхъ сумма об-
ратныхъ величинъ разстояній отъ четырехъ боковыхъ граней
правильнаго тетраэдра число постоянное. Пусть (?0, 0и С*», <Уз
обозначаютъ вершины тетраэдра, а /н разстояніе какой угодно точки отъ
грани, противолежащей вершинѣ 1^. Это разстояніе считается положитель-
нымъ или отрицательнымъ, смотря по тому, лежитъ ли разсматриваемая
точка отъ разсматриваемой грани съ той же стороны, что и тетраэдръ, или
съ противоположной. Уравненіе поверхности будетъ

но ни одна изъ выведенныхъ выше формулъ не примѣнима къ такимъ ко-
ординатамъ. Поэтому перейдемъ къ Декартовымъ координатамъ, при чемъ
удобно будетъ выбрать координатныя оси слѣдующимъ образомъ: за оси
.х-овъ, .у-овъ, г онъ мы возьмемъ прямыя, соединяющія середины
20 в і > во С* 2' &і соотвѣтственно съ серединами

Обозначая черезъ 2а разстояніе между двумя противолежащими ребрами,
видимъ, что координаты точекъ (?0,	О:1, Рз будутъ соотвѣтственно

- а, —а. —а), ( —а, а, а] (а, —а, а), (й, а, - а'>, а поэтому

70У"3 =* — х — у — з + а,	д2Уз х — у 4- г -Ь п,

УіѴ'З —А--г>'4- з + п,	ф. ^3--- ,т '-у - 2 |-а,

Уравненіе (16) преобразуется въ

17)

.ѵ і'; + И (.ѵ-' - I- у- 4- У- -- п-) = О.

Мы имѣемъ, слѣдовательно, поверхность третьяго порядка. Она имѣетъ че-
тыре двойныя точки въ углахъ тетраэдра, и видъ, такъ сказать, раздутаго
тетраэдра: она касается граней куба, описаннаго около тетраэдра вдоль ре-
беръ, и пересѣкается діагональными плоскостями этого куба по шести пара-
боламъ Плоское сѣченіе, параллельное плоскости Оху въ разстояніи з отъ
нея, есть эллипсъ, изображаемый уравненіемъ

2 г

д-- + у2 4- •- х ѵ = а2 — г-,
и

т. е. эллипсъ, оси котораго параллельны сторонамъ ,С?о С?а, 0і Ра । а вершины
лежатъ на двухъ изъ шести параболъ. Полуоси этого эллипса равны

У а (л — <') и У а (а -- г);

изъ того обстоятельства, что сумма ихъ квадратовъ величина постоянная
можно заключить (§ 626, с), что при измѣненіи з эллипсъ передвигается и
деформируется, оставаясь всегда касательнымъ къ четыремъ гранямъ куба:
точки касанія описываютъ четыре ребра тетраэдра. Для того, чтобы вычи-
слить объемъ тѣла, ограниченнаго нашею поверхностью, достаточно замѣтить,
что площадь эллипса а(д) = х;п У а2—з2, и формула (13) дастъ

2 ;г,я у У»2 - з2 Ле = !,	= л3  4.У348022 . . ..

о
Это и есть величина всего объема, заключающаяся, очевидно, между объ-
емомъ р3 вписаннаго тетраэдра и объемомъ 8я3 описаннаго куба. Замѣ-
тимъ, что уравненіе (17} можно также написать въ видѣ

(18)

. -ѵ	. ѵ	. г 1

агс віп •— агс зіп ' + агс 8ін— = тг-',
п	а	а 2

Такъ что .т. у. г, п обозначаютъ стороны четырехугольника, вписаннаго въ
кругъ діаметра а.

1) Мы рекомендуемъ читателю изучить болѣе общій вопросъ о поверх-
ностяхъ, изображаемыхъ уравненіемъ (18), когда въ правой части будетъ
какая угодно постоянная. Здѣсь мы ограничимся разсмотрѣніемъ той изъ
этихъ поверхностей, которая соотвѣтствуетъ значенію ."т- этой постоянной,
т. е. представляетъ собою общее мѣсто точекъ, разстоянія которыхъ
отъ трехъ плоскостей прямоугольной системы координатъ равны
сторонамъ треугольника, вписаннаго въ кругъ діаметра а. Урав-
неніе этой поверхности въ алгебраическомъ видк будетъ

+ । „а (_г-г । ?,і +	_2 уіуі - 2	 2 х2у2) = (1,

Въ смежности съ началомъ координатъ, гдѣ членомъ шестой степени можно
пренебречь по отношенію къ членамъ четвертой степени, эта поверхность
уподобляется системѣ четырехъ плоскостей

- л-1 —у1 - ... -]-2 лгт2 = (.г — .1' I	(х -.У4--) (.ѵ-1-.у - а) = 0.

пересѣкающимся по тремъ парамъ перпендикулярныхъ прямыхъ, лежащихъ
на поверхности. У этой поверхности четырехкратная точка въ началѣ коор
дипатъ и шесть двойныхъ прямыхъ. Вся по-

верхность заключена внутри куба съ реб-
ромъ 2 а, грани котораго касаются этой
поверхности по вписаннымъ въ эти грани
«ругамъ. Она ограничиваетъ тѣло, имѣющее
видъ закругленнаго на углахъ и ребрахъ
куба съ гранями, воронкообразно выдолблен-
ными до центра. Чтобы вычислить объемъ
такого тѣла, вычислимъ сперва площадь
сѣченія плоскостью, параллельною одной изъ
граней куба. Это сѣченіе состоитъ, какъ мы
увидимъ (рис. 97). изъ двухъ равныхъ эллип-
совъ съ общими осями. Эги эллипсы совпа-
даютъ въ одинъ кругъ, когда плоскость сов-
падаетъ съ гранью куба и превращаются въ

одну изъ трехъ паръ ортогональныхъ отрѣз-

ковъ, принадлежащихъ поверхности, когда плоскость сѣченія проходитъ че-
резъ центръ куба. Достаточно написать уравненіе поверхности въ видѣ

= 4^ г (1 -	,

чтобы выдѣлить уравненія обоихъ эллипсовъ. Въ полярныхъ координатахъ,
послѣ того какъ положимъ г — а соз у, можемъ написать уравненія ихъ
такъ

, о- соя’2 <і	а2 соз- <і

/'І — ---- ------------,	=-----—----- --------•

1 -)- ЗІП ЗІП 2 3	1 - 8ІП у йіп 2 3
Отсюда, примѣняя вторую изъ формулъ (3)к находимъ, что площадь сѣченія,
перпендикулярнаго къ оси л овъ и проведеннаговъ разстояніи я отъ начала
координатъ, будетъ

•] л

. .	_ „	„ С зіп <р яіп 2Ѳ (7Э

а <з)	8 а2 соѴ <р / .

'	/ 1 ~ 81П2ф 51П- 2 6

О

Принявъ за перемѣнную интегрированія / — і" соя 2 5, найдемъ

4 а'~ гр соз у.

Такъ какъ <р должно измѣняться отъ 0

Теперь формула (13) даетъ

;т
до

2

то навѣрно агс ід (ід у) = <р.

и наконецъ, съ помощью интегрированія по частямъ

Т’ о9 (<р соз <р — зіп = л; а3.

Этотъ объемъ не составляетъ и | объема наименьшаго шара, заключаю-
щаго въ себѣ всю поверхность тѣла, шара, очевидно, концентрическаго съ
этою поверхностью и касающагося ея въ 8 точкахъ, которыя будутъ точ-
ками закругленія поверхности. Подобнымъ же вычисленіемъ найдемъ, что
объемъ каждой изъ вышеупомянутыхъ воронокъ равенъ Поэтому
объемъ тѣла, похожаго на игральную кость, которое получится, когда запол-
нимъ и 6 этихъ воронокъ, равенъ |лй3. Легко повѣряется, что то, что надо
удалить на углахъ куба, чтобы получить разсматриваемое тѣло, составляетъ
ничтожную часть всего объема куба, а именно 0,00228 ....

ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНЫЯ УРАВНЕНІЯ.

Уравненія съ двумя перемѣнными.

781.	Задача интегрированія въ томъ видѣ, какъ мы ее до
сихъ поръ разсматривали, есть лишь частный случай задачи, въ
которой разыскиваются функціи отъ одной или нѣсколь-
кихъ перемѣнныхъ, связанныхъ съ перемѣнными и произ-
водкыми искомыхъ функцій однимъ или нѣсколькими
соотношеніями. Такія соотношенія называются дифференціаль-
ными уравненіями и разысканіе неизвѣстныхъ функцій
есть также задача интегральнаго исчисленія. Такъ, напри-
мѣръ, въ простѣйшемъ случаѣ, которымъ мы сперва и займемся,
дано дифференціальное уравненіе / (х, _у, у', у",	= О и тре-

буется найти всѣ функціи у, которыя тождественно удовлетворяютъ
этому уравненію. Такія уравненія называются обыкновенными
дифференціальными уравненіями, въ отличіе отъ уравненій въ.
частныхъ производныхъ, въ которыя входятъ двѣ или болѣе
независимыхъ перемѣнныхъ и частныя производныя неизвѣстныхъ
функцій по различнымъ перемѣннымъ. Какъ въ томъ, такъ и въ
другомъ случаѣ порядкомъ уравненія называютъ наивысіпій поря-
докъ производныхъ, въ него входящихъ. Мы почти исключительно
будемъ заниматься здѣсь уравненіями перваго порядка.

782.	Общій интегралъ и частные интегралы. Предполо-
жимъ, что уравненіе у(х, у, у')	0 способно опредѣлить у , какъ

непрерывную функцію отъ х и у. Представимъ себѣ, что черезъ
каждую точку (х, у) проведена прямая, угловой коэффиціентъ ко-
торой равенъ соотвѣтствующему значенію у . Положимъ далѣе, что
подвижная точка М, выйдя изъ нѣкотораго произвольнаго поло-
женія Мц проходитъ безконечно малый путь по прямой, проведенной
черезъ МСі упомянутымъ способомъ, до точки Мх, затѣмъ изъ Мх
по прямой, проведенной черезъ Мх, до точки М-і и т. д. до без-
конечности; ясно, что вдоль всей описываемой такимъ образомъ,
кривой данное уравненіе удовлетворяется. Если гдѣ нибудь внѣ
этой кривой возьмемъ другую начальную точку, то подобнымъ же
образомъ можемъ построитъ другую кривую съ тѣмъ же свой-
ствомъ, и слѣдовательно, выходя изъ безчисленнаго множества
начальныхъ точекъ, можемъ построить безчисленное множество та-
кихъ кривыхъ, составляющихъ семейство у, л) = 0. Это урав-
неніе, изображающее безчисленное множество кривыхъ, удовле-
творяющихъ данному дифференціальному уравненію, называется
общимъ интеграломъ этого уравненія, и заключаетъ въ себѣ
безконечное множество частныхъ интеграловъ, соотвѣтствующихъ
различнымъ значеніямъ постоянной а. Итакъ, даннымъ дифферен-
ціальнымъ уравненіемъ [(х, у, у') =0 точки на плоскости распре-
дѣляются на нѣкоторыя опредѣленныя совокупности, но въ сущ-
ности,^ не связывается съ х, потому что значеніемъ постоянной а
въ общемъ интегралѣ можно такъ распорядиться, чтобы при данномъ
по произволу значеніи х перемѣнная у приняла также произвольно
заданное значеніе. Поэтому, если желаемъ опредѣлить нѣкоторую-
функцію у съ помощью дифференціальнаго уравненія перваго по-
рядка, то должны еще добавить условіе, въ силу котораго, для1
нѣкотораго даннаго значенія .г, у долженъ принять заданное зна-
ченіе, Иными словами, если .г0 и у0 заданы по произволу, то
существуетъ такая функція х отъ у, которая удовлетво-
ряетъ уравненію /(х, у, у') — 0 и принимаетъ значеніе ѵ0
при х = х0- Однако, для того, чтобы эта теорема имѣла мѣсто,
необходимы извѣстныя ограниченія, которыя не вытекаютъ изъ
наложенныхъ выше разсужденій. Эти разсужденія даютъ намъ воз-
можность отдать себѣ отчетъ въ существованіи и геометрическомъ
значеніи общаго интеграла, но никоимъ образомъ не могутъ насъ
избавить отъ строгаго аналитическаго доказательства существованія
интеграла1). Здѣсь мы ограничимся только указаніемъ на един-
ственность общаго интеграла, т. е. на невозможность существованія
двухъ независимыхъ функцій и и ѵ, которыя, будучи приравнены
произвольной постоянной, изображали бы общій интегралъ одного
и того же дифференціальнаго уравненія перваго порядка. Въ самомъ
дѣлѣ, такъ какъ изъ уравненій «=сопзі. и <і=соп5і. должно полу-
читься одно и то же значеніе у'.(совпадающее съ тѣмъ, которое
получается изъ даннаго уравненія /(х, у, _у')=0), то должно также

быть = 0, а слѣдовательно (§ 579), между и и ѵ должно

существовать соотношеніе, въ силу котораго приравнять и или -ѵ
постоянному равносильно одно другому * *).

783, Особенный интегралъ. Общій интегралъ «) =0
удовлетворяетъ уравненію _/(х, ѵ, /) = 0 и тогда, когда а не по-
стоянная, а функція отъ х и у, неявно опредѣляемая уравненіемъ
/Діх, у, а) = 0; дѣйствительно (ср. съ § 621), получаемое изъ него
значеніе у’’ во второмъ предположеніи совпадаетъ съ тѣмъ, которое
получится и при а постоянномъ. Особеннымъ интеграломъ и
называется тотъ, который получается черезъ исключеніе а изъ
уравненій Е(х, у, аі—О и Е'а(х, у, а)=0. Геометрически это
выражается слѣдующимъ образомъ: Данное дифференціальное урав-
неніе удовлетворяется не только безчисленнымъ множествомъ кри-
выхъ, изображаемыхъ общимъ интеграломъ, но и огибающею этихъ
кривыхъ, изображаемой особенный!, интеграломъ. Поэтому обыкно-
венно и говорятъ, что особенный интегралъ есть огибающая
безчисленнаго множества частныхъ интеграловъ. Благодаря
•существованію особеннаго интеграла точка, двигающаяся непрерывно
такъ, что она постоянно удовлетворяетъ данному дифференціальному
уравненію, не осуждена непремѣнно оставаться на опредѣленной

1) По этому вопросу надо обратиться либо къ ДеІігЬисІ) бег Апаіузіі'
Бірзс 11 і(га (стр. 500), либо къ „Тгаііё сГАііаІузе" РісагіГа (т. 3, стр. 292),
замѣткѣ Реапо въ ,АЙі <іеІГ Ассабетіа сіі Тогіпо" (1885—86. стр. 677),
замѣткамъ Агхеіа въ „Мептогіс. ііеІГ Ассайегпіа сіі Во1о^пая (1895, стр 257;
1896, стр. 131). Реапо даетъ доказательство существованія интеграла подъ
однимъ только условіемъ, указаннымъ въ началѣ этого параграфа.

*) Т. е. если и = сопзі., то и ѵ — у (гі) — сопяі.
частной кривой, а, наоборотъ, можетъ, пройдя нѣкоторую дугу
огибающей, сойти затѣмъ на всякую другую частную кривую *).

784.	Слѣдуетъ замѣтимъ, что особенный интегралъ можно
получить, не выполняя какого либо интегрированія. Если лѣвая
часть уравненія /(х, у,у') = О есть непрерывная функція съ непре-
рывными первыми производными, то особенный интегралъ по-

лучится черезъ исключеніе _у' изъ уравненій у—О



= 0.

и

Въ самомъ дѣлѣ, фиксируемъ одну изъ безчисленнаго множества
кривыхъ, изображаемыхъ общимъ интеграломъ, и положимъ, что
она касается въ точкѣ А той кривой линіи, которая изображается
особеннымъ интеграломъ. Разсмотримъ другую частную кривую
(изображаемую другимъ частнымъ интеграломъ), безконечно близкую
къ первой, и пусть А' будетъ безконечно близкая къ А точка ея
касанія съ особенною кривою (огибающею). Ясно, что обѣ частныя
кривыя имѣютъ общую точку М, безконечно близкую къ А,
координаты | и і; которой стремятся къ предѣламъ .т и у — коор-
динатамъ точки А, когда А' стремится къ А. Пусть і)' и /л
будутъ угловые коэффиціенты касательныхъ въ точкѣ М къ двумъ
частнымъ кривымъ, пересѣкающимся въ М. Ясно, что съ прибли-
женіемъ А' къ А эти касательныя въ М стремятся совпасть съ
касательною въ А къ особенной кривой. Слѣдовательно, одновре-
менно будемъ имѣть 1іш| = л’, Ііт — у, 1ітг/=_у', Ііт Л — 0.
Такъ какъ точка М принадлежитъ двумъ кривымъ, удовлетворя-
ющимъ данному дифференціальному уравненію, то должно быть
_/’(с, т/, •>/) — (), /(^, А) = 0. Второе уравненіе, будучи рас-
положено по степенямъ к, обратится въ ру (^, ?), ?/) —0, если
отбросимъ всѣ члены съ степенями Л, начиная со второй. Слѣдо-
вательно, въ предѣлѣ (т. е. на особенной кривой) имѣемъ
/(*, .>’> У) = 0 и (-ѵ, у, У) = 0 *).

785.	Что касается интегрированія дифференціальныхъ уравне-
ній, то не существуетъ методы, примѣнимой ко всѣмъ уравненіямъ,
и намъ приходится ограничиться указаніемъ нѣкоторыхъ отдѣльныхъ-

х) Этимъ замѣчаніемъ, столь очевиднымъ, что указывать на него ка-
жется даже излишнимъ, очень искусно воспользовался Воііззіпезд для
„Сопсіііаііоп би ѵёгйаЫе бёіеттпіпізте тпёсапідие аѵес Гехізіепсе бе іа ѵіе
еі бе Іа ІіЬегІе тогаіе” (Рагіа, Смиііііет-Ѵіііагз, 1878). Смотри также этюды
того же автора .Зиг біѵегз роіпЕ бе Іа рІіііоворЬіе беа асіепсеа', стр. 82

*) Изъ разсужденія § 784 явствуетъ, что если особенный интегралъ
существуетъ, то онъ можетъ быть полученъ указаннымъ путемъ; въ про-
тивномъ случаѣ исключеніе у' изъ уравненій /{х, у,у’у—Ц и	У)= 0

можетъ привести къ частному интегралу и даже къ функціи, вовсе не
удовлетворяющей дифференціальному уравненію.
случаевъ, въ которыхъ можно помощью частныхъ пріемовъ найти
общій интегралъ.

а)	Если мы выведемъ изъ даннаго уравненія одно изъ воз-
можныхъ значеній у и подставимъ вмѣсто ді , то придемъ къ
разсмотрѣнію уравненій вида	ѵсіу = 0, гдѣ и и ѵ данныя

функціи отъ х и у. Интегрированіе выполняется непосредственно
я даетъ

и <іх + г' Лу = сопзі.

въ томъ случаѣ, когда и функція одногох, а ѵ функція одного^.
Тогда говорятъ, что перемѣнныя отдѣлены. Отдѣленія перемѣнныхъ
всегда можно достигнуть, когда » и ?і равны произведеніямъ
функцій одного .г па функціи одного _у. А именно, стоитъ только
раздѣлить все уравненіе на ту функцію отъ у, которая входитъ
множителемъ въ и, и па ту функцію отъ ж, которая входитъ въ ѵ.

Ь)	Перемѣнныя всегда можно отдѣлить, когда и и ѵ одно-
родныя функціи одной и той же степени. Дѣйствительно, полагая
_у = 7ж, находимъ и = Хмф(/), ѵ —	и уравненіе принимаетъ

видъ

ір (/) Лх л - (/') (іЛх У хЛі) = 0.

Раздѣляя на .г и на ф + Мр и интегрируя, получимъ

/ V (/)Лі	,

—...	—пг = СОП.ЧІ.

<р (/I + іір (/)

с)	Очень просто интегрируется уравненіе /(ж, у, у')=0,
если въ него не входитъ ж или у. Мы предположимъ, что уравне-
ніе не можемъ или не желаемъ рѣшать относительно^' Иначе, изъ
у' = ф(х), или у’ = <Р (у) тотчасъ получили бы

<7 .г, или

Но зато мы предположимъ, что уравненіе можно рѣшить относи-
тельно х или у. Если, напримѣръ, ж= <у(у'), то, положивъ у’ = і,
имѣемъ у = у/гУ д-=У ф'(/)Исключеніе і изъ уравненій
х — ф(/) и_у = /ф(/}—	даетъ искомое уравненіе между

х, у и с. Точно также изъ у = ср ( у'), положивъ у' = (, получимъ

У (/) і
7

и т. д.
ф Уравненіе второго порядка, не содержащее х или у,
легко сводится къ уравненію перваго порядка. А именно, если не
входитъ у, то можно разсматривать у' какъ неизвѣстную функцію,
относительно которой уравненіе будетъ уже перваго порядка; ин-
тегрированіе его, которое предполагаемъ возможнымъ, приведетъ
къ уравненію Р{х,у', а) — 0, гдѣ а произвольная постоянная. Ин-
тегрируя это уравненіе, придемъ къ искомому уравненію между
х и у, которое будетъ содержать уже двѣ произвольныя постоян-
ныя а и Ь. Если въ данное уравненіе не входитъ ж, то стоить
только принять у за независимую перемѣнную, разсматривать ѵ',
какъ неизвѣстную функцію отъ нея и замѣтить, что

Такимъ образомъ получается уравненіе перваго порядка, интегри-
рованіе котораго дастъ уравненіе Р ( у, у', а) — 0 и т, л.

е) Если выраженіе у', выведенное изъ даннаго уравненія, бу-
детъ первой степени относительно у, то уравненіе называется
линейнымъ, и его интегрированіе всегда возможно. Дѣйствительно,
положивъ у = и і>, гдѣ и и ѵ функціи отъ д;, преобразуемъ урав-
неніе у' -фу ф (д-) — _/’(х) въ и' ѵ (</ -ф ѵ ф) и = /", и сведемъ его
къ и'ѵ=І, принявъ за р какую нибудь функцію, удовлетворя-
ющую условію г<р = 0. Съ помощью отдѣленія перемѣнныхъ и

— / Д <І X	І Г/- І?.Г

интегрированія найдемъ ѵ = е . Слѣдовательно, и' = { с'	и

наконецъ

Итакъ, нужно выполнить, какъ говорятъ, двѣ квадратуры, т. е.
два простыхъ интегрированія, чтобы получить общій интегралъ ли-
нейнаго дифференціальнаго уравненія перваго порядка.

і) Уравненіе Бернулли у -ф у ер (,х) =_у*/ (х) тотчасъ при-
водится къ линейному, стоитъ только раздѣлить его на у*1 и при-
нять у~ "г‘ за неизвѣстную функцію.

§) Интересно уравненіе Клеро у = ху' +/(/). Дифферен-
цируя его, получимъ +/' (_у') }_у” = 0. Поэтому послѣдова-
тельно получаемъ у" =0, у' — а, у — ах -ф /(я)—это общій ин-
тегралъ. Если у” не равно 0, то должно быть х -фу* (у1) — 0 ,
исключая у' изъ этого и изъ даннаго уравненія, получимъ особен-
чый интегралъ; путь, которымъ мы его здѣсь наіпли, и есть тотъ,
который мы указали въ § 784.
1і) Уравненіе у = х<р (у') -ф ф ( у'), если оно не уравненіе
Клеро, приводится къ линейному; дифференцируя его, получимъ

'7 .у _і_х у'Су') + ѵ' (у"> = 0
О'

(линейное относительно х). Интегрируя его, принявъ х за неизвѣ-
стную функцію отъ независимой перемѣнной у', получимъ уравне-
ніе вида Е{х,у', а) — С), а исключая у1 изъ этого и изъ даннаго
уравненія, получимъ общій интегралъ. Общнѣе, когда дано урав-
неніе у = /(х,у’), дифференцированіемъ изъ него выводимъ

Если мы умѣемъ интегрировать это уравненіе (перваго порядка от-
носительно^')) то, исключая у' изъ его общаго интеграла Е (х, у', а) =0
и даннаго уравненія, получимъ искомое соотношеніе между х, т и/і.

і) Если выраженіе у', выведенное изъ даннаго уравненія пер-
ваго порядка, будетъ второй степени относительно у, то инте-
грированіе выполняется лишь въ совершенію исключительныхъ слу-
чаяхъ, которыми мы займемся въ слѣдующемъ параграфѣ. Здѣсь же
ограничимся указаніемъ нѣкоторыхъ замѣчательныхъ свойствъ та-
кихъ уравненій. Эти уравненія имѣютъ видъ

У = У2 гр (х) + у / (х) + ѵ (х)

и называются уравненіями Риккати (Кіссаіі). Если какимъ ни-
будь путемъ найдено одно частное рѣшеніе н, то полное интегри-
рованіе выполняется при помоши двухъ квадратуръ. Полагая.

1

х = и — приведемъ уравненіе къ линейному

г' 4- (2 и у. + /) г =) ф,

и, слѣдовательно, общій интегралъ будетъ

/ (а + хі л *

(1)	У = гі--Г-----------------

] г	ф ах

Если извѣстны два частныхъ рѣшенія и и ц, то интегрированіе
сводится къ одной квадратурѣ. Дѣйствительно, вычитая изъ дан-
наго уравненія тождества

и' = и- ф 4- и % 4- ір, ѵ’ — г<2 ф 4- ѵ % 4-

получимъ уравненіе

іод - «) = (.ѵ 4- «)ф + х, 1о§ (У — Д - (у - "И - і-
Вычитая одно изъ этихъ уравненій изъ другого и интегрируя, най-
демъ

(2)

у - V

Если далѣе извѣстны три частныхъ рѣшенія и, ѵ, то интегри-
рованіе выполняется безъ помощи квадратуръ, потому что изъ
предыдущаго соотношенія тотчасъ выводимъ

у — и
у - - ѵ

СОПЙІ,

Итакъ, ангармоническое отношеніе какихъ угодно четырехъ
частныхъ рѣшеній уравненія Риккати есть число постоян-
ное. Въ заключеніе укажемъ еще крайне простую форму, къ ко-
торой всегда можно привести уравненіе Риккати. Полагая

и принимая / за независимую перемѣнную, а 5—за неизвѣстную
функцію, находимъ

= .т

и уравненіе принимаетъ видъ

786. Примѣры, а) Чтобы проинтегрировать уравненія

(3 № - -у-)у<іх — {.г3 — 3 у2) .г сіу = 0, (х‘‘ — 3у3) д. сі х + (3 х~ уг)у сіу = 0.

достаточно (§ 785, Ъ) положить у — і х и тѣмъ преобразовать данныя урав-
ненія въ слѣдующія :

ііх (1 ЗГ2)гіі /іх (3 У)!сіГ

х 2 Г(1 + і'3)	’ х 1

интегрированіемъ найдемъ

аѴ 2 / аІ~ 1 — I2
х=~\уі2’

т. е. л3 +.га = а у 2 .г у. л- + у2 = а у ,ѵ3 — у2,

или въ полярныхъ координатахъ г — а уЛзіп 2 0, г = а соз 2 Ѳ. Интегралы
перваго и второго уравненія изображаютъ, слѣдовательно (§ 589, т), без-
конечное множество лемнискатъ, касающихся въ полюсѣ осей или прямыхъ,
дѣлящихъ пополамъ углы между осями. Замѣтимъ, что двѣ лемнискаты, по
произволу выбранныя одна въ одномъ, другая въ другомъ семействѣ, пе-
ресѣкаются внѣ полюса подъ прямымъ угломъ. Легко даже провѣрить, что
оба данныя дифференціальныя уравненія выражаютъ общее свойство каса-
тельной и нормали, а именно -свойство составлять съ радіусомъ векторомъ
уголъ, равный удвоенному углу наклоненія радіуса вектора къ неподвижной
примой. Эта прямая есть касательная въ полюсѣ или нормальная ось сим-
метріи. смотря по тому, о свойствѣ касательной или о свойствѣ нормали
идетъ рѣчь. Если мы такую задачу выразимъ уравненіемъ, примѣняя по-
лярные координаты, то получимъ уравненія г' = г соі^2Ѳ. г = - г 1'4 2 Ѳ, и
интегрированіе дѣлается особенно простымъ.

Ь)	Чтобы проинтегрировать уравненіе

{а х + іі у } с) гі х 4- (;?' х + /У у -|- с') гіу — О,

можемъ принять за новыя перемѣнныя

с - а .ѵ 4- Ьу + с, і) = а' х 4- Ь'у+ с’.

если а Ь' — Ь а' не равно 0 (иначе между с и ц существовало бы соотноше-
ніе). Уравненіе обращается въ

— а'‘і)) еі ; —	— а )/) гі >) -= О,

и для интегрированія полагаемъ /і и т. д. Если а 1У = Ь а' и въ то же
время ас'—са',то уравненіе, освобожденное отъ дѣлителя ах Ьу 4-с, дастъ
ах -(- а’у — сопаі. Если же ас'ууа’, то можно написать

[а х 4- і у) гі (а х 4- а'у) 4- а <і (с ж гіу) = О,

такъ что, полагая У — а х + а’у, і] — сх у гіу и принимая е и >] за новыя
перемѣнныя, получимъ уравненіе вида

(<і 5 ; гі% 4-	= <>

Для отдѣленія перемѣнныхъ достаточно ввести новую перемѣнную в =	4- Яц

вмѣсто <)', тогда получимъ

(9 з — я <і) <7 | 4- а іів~ — О
и т. д.

с)	Уравненіе ѵ зіп х 4-у' соз .г = 1 — линейное; чтобы его интегриро-
вать. достаточно (§ 765, е) опредѣлить какую нибудь функцію ѵ, удовлетво-
ряющую уравненію ѵ зіп х 4- ѵ' соз х = 0, затѣмъ положить у = гі ѵ и найти
всѣ функціи, удовлетворяющія уравненію ин'созл-= 1. Такимъ образомъ
найдемъ ѵ = соз х, » = і%х 4- а и у -  зіп х а соз х.

<і) Если предложено уравненіе (у — ху’) соз у1 = 1 —х зіп у', то сперва
рѣшаемъ его относительно _у (§ 785, Н), а затѣмъ дифференцируемъ

Разсматривая теперь х, какъ неизвѣстную функцію отъ у’, находимъ

х = 5іп_уг 4- а соз д*'
и выводимъ отсюда

(1 + о2)8ІП_у'= х а У" 1 — а2 — л*, (1 + «-’) сой ?' = а х —	1 + л2 — А'2.

Подставляя эти результаты въ данное дифференціальное уравненіе, найдемъ
общій интегралъ

, л ± -т 1Г 1 —	— г"а , г- ,	<

у + .ѵ агс щ--—	- „-------- у 1 + а- — л-2 = 0.

1	— х-

е) Аналогично интегрируется уравненіе у — ху' хс2/(у'}, диффе-
ренцируя которое, найдемъ

ѴХН .1 =0
О'^2/(У) + 2/(г')
, . С ііх

откуда, положивъ ір (л) -= I _____, получимъ

./ У Дх)

* = - - і (/і	( У')

Исключая у' изъ этого н изъ даннаго уравненія, получимъ общій интегралъ.

/) Чтобы проинтегрировать уравненіе

(а- — х-’) сіу2 -|- 2.ѵ ѵ а? х сіу (і2 —.у-’) сі х- О,
рѣшаемъ уравненіе относительно у и замѣчаемъ, что полученное уравненіе
У = ху' + У а2у'2 — Ъ- есть уравненіе Клеро {§ 785, ^). Слѣдовательно,
общій интегралъ даннаго уравненія есть

у — с х У уга - У \ Ь2, или с2 (и2 — .т2) + 2 е ху у- (У2 —у'2) -0.

а особенный интегралъ будетъ у-1, = 1-

ё) для уравненія у2 -|-Д; + 2у’ = 0 тотчасъ видимъ частное рѣшеніе

_і’=р а потому достаточно въ формулѣ (1) положить и — - , <р = —г=0,
чтобы найти общій интегралъ

Нѣсколько общнѣе, если дано уравненіе у2 -|—^ + 2 к у' = 0, то, пробуя удо-

влетворить ему выраженіемъ у =  найдемъ, что т должно удовлетворять
условію т2 — 2 к т + 1 =0; при к2 1 получимъ такимъ образомъ два
частныхъ рѣшенія

к -Ь Ѵ'Р - 1 к - У~Т2 - I

« —  !—--------, V — -----------

Л’

X
а затѣмъ по формулѣ (2) и общій' интегралъ

1-	—“і

, . -і'ТЪ “Л *	—а

ху = к + V к“ -	—-----.

I7* - 1
.ѵ *	+ а

При А2 < 1, цѣлесообразнѣе преобразовать его къ слѣдующему виду:

л- ѵ -к- ѵ	-т) 

Къ тому же результату (см. § 725, 4) можно придти съ помощью подста-
новки ху — з, которая ведетъ къ отдѣленію перемѣнныхъ

гі .ѵ 2 /<• гі а

' х + гі2 — 2 ЪТТ

!і) Разсмотримъ теперь вообще уравненіе Риккати, которое мы уже
привели къ виду у' + «У2 =/(х) (§ 785, і). Мы укажемъ безчисленное мно-
жество случаевъ, въ которыхъ интегралъ этого уравненія выражается въ
алгебраически-.югариѳмическомъ видѣ. Эти случаи относятся къ предполо-
женію, что /(х) пропорціональна степени а:; пусть /(х'}~Ъхп. Положивъ
у = из получимъ уравненіе

и гі -|- (г' + а ѵ2) + («'	2 а и ѵ} а п и2 У- = Ь л">

которое приведется просто къ г' + а и г1 =	ссли м и ѵ выберемъ такъ,

чтобы онѣ удовлетворяли условіямъ ѵ' + а	= 0, и’ + 2 а и ѵ = 0. Этимъ

1	1 г- 4.

условіямъ удовлетворимъ, положивъ ѵ = - -и затѣмъ и -—у.	Слѣдова-

тельно, преобразованное уравненіе будетъ в'-|- а = Ъ х " + \ и приводится
къ первоначальной формѣ, если положимъ « = —, х ^х{. Въ самомъ дѣлѣ,
„	,гі

мы тогда будемъ имѣть

+ Ѵ Ьу2 Х^ = Щ7ГѴГ(Ѵ+1\

(.1 Л і

и стоитъ только взять

ѵ =	-с, чтобы уравненіе приняло первоначальный

!1 о

гіу, ,	, і п .	Ь	а	«4-4

видъ, т. е. а^угі- — О, х< ', гдѣ а, ------------------- , о, = —- - , я, ------

гіх-і	і н | 3	1	« + 3	1	»4-3

Представимъ себѣ теперь, что указанное преобразованіе повторяется нѣ-
сколько разъ. Мы получимъ тогда рядъ уравненій Риккати, въ которыхъ

показатель я замѣняется послѣдовательно показателями п1: я2, я3, . . ., ко-
торые связаны соотношеніемъ

+ 4

»і+і = - - +3 , при чемъ и0= я .
Прибавляя число 2 къ обѣимъ частямъ равенства, получимъ

", 1- 2	__ _	1	_	1

+ 2 (я,- 4-2,' + 1 ’ *' Ь яг-+1 4-2	+ 2

Замѣняя і черезъ /—1.7 2, . . , 2. 1, 0 и складывая, находимъ

яг-(- 2 п + 2

Въ предложенномъ уравненіи перемѣнныя непосредственно отдѣляются при
>і = 0. Поэтому мы можемъ утверждать, что уравненіе интегрируется,
если въ рядѣ чиселъ н3, п.2, п3, ... встрѣтится число, равное
нулю. Слѣдовательно, оно интегрируется, если

4 - ЯІ1-27ГЬ4=ЦѢ-1ОМУ ЧИСЛУ'

н

Собственно говоря, нужно, чтобы

(число (') было цѣлымъ и поло-

жительнымъ, но въ случаѣ отрицательнаго цѣлаго числа, мы справляемся

слѣдующимъ образомъ. Въ данномъ уравненіи дѣлаемъ у = --
Л

Тогда уравненіе принимаетъ видъ 4- а^у-у = /у хх*\ гдѣ
(і Л*-|

.г= .г-т+С

!>

‘'1 ~ и + Т ’

, а	п	м,	п1

Ь, = —г ,і «і -=-----—г> такъ 410 ----тт = — х----- Сели, нако-

п + 1	* я 1 ’	24- 4	2 н + 4

нецъ, это цѣлое число не было бы конечнымъ, то потребовалось бы без-

конечное число преобразованій; но этотъ случай, соотвѣтствующій значенію

>і = — 2, былъ только что разобранъ (см. §) инымъ путемъ.

</_у 4- {ау- — I» Лх = 0 будетъ х 4- С =

[Примѣчаніе. При « —- О, интегралъ уравненія у' 4- а у2 =Ь или

Лу

, , и выражается въ лога-
гг у- 4- о

риѳмахъ. Замѣчая, что всѣ послѣдовательныя преобразованія алгебраическія,

мы видимъ, что въ разсматриваемомъ случаѣ, т. е.

7/

когда ---------г цѣлое число,

2 к — 4

уравненіе Риккати интегрируется въ алгебраическихъ и логариѳмическихъ
функціяхъ ] .

Итакъ, резюмируя, можемъ
интегрируется при

=0 1 , 2_._з , 4 ,

•1	’ 3	5	7	9

сказать, что уравненіе і>' -|- ау2 Ах"

I	О 4	3	2	1 -і:,

2“ ’ ' ’ ' ’ 9 ’ Т 5 ' “3 ’	'

*) Условіе —-----= і = цѣлому числу, даетъ

—д — п полагая 7=0, — 1,	2, •   1 »,  •  4, 3, 2, 1,

4	/7—1

и получимъ написанныя значенія.
і) Уравненіе второго порядка у"—/(х) всегда можно (§ 785, (1)
трактовать, какъ уравненіе перваго порядка, принявъ X за неизвѣстную
функцію: у'—^/(х) Лх съ произвольною постоянною а, содержащеюся въ
выраженіи интеграла. Далѣе имѣемъ у =^у'гі х ху'—.^ х Лу', т. е.
,У = х]/<х) Лх —

жащеюся во второмъ интегралѣ, такъ что произвольная часть въ выраженіи
у будетъ ал'-Н Ь, какъ и слѣдовало ожидать. Уравненіе у" =-/(у) также
сводится тотчасъ къ уравненію перваго порядка (§ 785, <і), если напишемъ
у’Лу’ вмѣсто у" Лу, такъ что послѣдовательно найдемъ

I х/\ л') Лх со второю произвольною постоянною, содер-

уУ2 = /(у)Лу.

Лу____

V ‘2]7(У)<Іу

И здѣсь имѣются двѣ произвольныя постоянныя, появляющіяся при послѣ-
довательныхъ интегрированіяхъ.

І) Чтобы проинтегрировать уравненіе уг' созу +у'2 зіп у —.у', умно-
жимъ все на гіу и замѣнимъ у" Ау черезъ у'Ау'. Тогда получимъ, освобо-
дивъ уравненіе отъ очевиднаго интеграла у = С, уравненіе перваго порядка

А у7

СО5у 4-_у' 5ІП_У= 1 ,

которое, какъ мы уже видѣли, имѣетъ общій интегралъ у'= зіпу 4- щ а со? и.
Слѣдовательно,

зіп у — ір с соз у

соз а Лу , ,хУ +
ііп-Ц^Г)”а + СО8«1О8^"2

гдѣ а и а произвольныя постоянныя.

к) Подобнымъ же образомъ можно привести уравненіе у" (1 +.Г.У'')
= У' (1 + у'Ъ, къ ВИДУ

гіу _ 1 -‘-уу'

Лу' I +_у'2

и интегрировать (§ 785, е), принявъ у' за независимую перемѣнную. Можно
также сперва привести уравненіе къ виду

(1 +у'2) (Лу — гіу') (1 Ь.ѵу') Лу’ — (1 -.у'®) Лу' = (у - у'Лу',

и затѣмъ послѣдовательно вывести

далѣе,

Л(ѵ-у')	у'' Лу'

~~у' ~~ 1 +у7і ’

у =-.у'-І~ /г У 1 —у'1,

Г у-|-/гѴУ+'1

/ У8 —4г®

Лу,

и наконецъ,

х а 4- к Іое (>' + ѴУ +1 - -И І08(у — к 1<у2+ 1 — А®),
гдѣ г; и А произвольныя постоянныя. Въ частности при к = 1, если передъ
тѣмъ положимъ а — — Іо^ (1 — А2), получимъ совсѣмъ простой интегралъ

Д' -= /’1 + е'г.

1)
мѣнную
тегралъ

Уравненіе уу'у’' = уГІ+у'12 приводится, если примемъ у за перс-
ту т ѵ' і'^Уг с
независимую, къ уравненію Клеро у =	I у ) » °бішіі ин‘

даннаго уравненія найдемъ, слѣдовательно, интегрируя уравненіе

у'-=ау — а-1 а именно у а -г- Ьеаг, гдѣ а и Ь произвольныя постоянныя.
Но особенный интегралъ уравненія Клеро 4 у' —_у2 обнаруживаетъ еще без-
численное множество интеграловъ даннаго уравненія, а именно (а - я?) ѵ=4,
не заключающихся въ общемъ интегралѣ.

т) Въ заключеніе покажемъ па примѣрѣ, какимъ образомъ интегри-
рованіе дифференціальныхъ уравненій можетъ служить къ разысканію замѣ-
чательныхъ свойствъ функцій. Разсмотримъ уравненіе

У 1 -- 74 ЗІП2 <р У 1 — /4 8ІП2У>
очевидно имѣющее общій интегралъ

(4)	Гі'7. <р)+Л'(Л, ір) = сопзі.

Попытаемся теперь иначе придти къ интегралу тою же уравненія. Функціи
и = еіп <р, ѵ — зіпр, разсматриваемыя, какъ функціи отъ независимой пере-
мѣнной .г- = Р{к, или .-ѵ —уі, очевидно, имѣютъ производныя

н'= соз <р  У"1 - зіп2 <р,	— соз ѵ -	Т^зіп2?/;

и, слѣдовательно, удовлетворяютъ уравненіямъ

_ѵ/3= {1 — у2) (1 - №у2).	У'=- (1 I- 7’2) у [ 2 74 у».

Отсюда слѣдуетъ

ѵ2п'2 — и2г/2 — — (н2 — ѵ2) (і - 7й»2 г4),
ѵк"— пѵ‘'= 2 74 иѵ (и2 — ѵ-’’,
а потому

ѵи"— я?" 2к2иѵ{иѵ)' ѵи’—иѵ’

---7--- •	---і----... .—	’ т	= сопзі.

?а --И7 і 74(нг>)2	1 — А2:/-?’2

Послѣднее уравненіе, если подставимъ въ него вмѣсто и, ѵ, и', ѵ' ихъ
выраженія черезъ <р и принимаетъ видъ

(5)

ЗІП (р СОЗ ѵд • V 1 — '2 ЗІП2 у.' 1- ЗІП уі СОЗ ф • У1 — 74 ЗІП2 (р
1 — 42 зіп- (р зіп2 гр

сопзі.

Это уравненіе есть лишь другая форма общаго интеграла уравненія (3).
Поэтому, если обозначимъ черезъ зіп о ту функцію отъ <р и ?р, которая
написана въ лѣвой части уравненія (5), то, въ силу замѣчанія, сдѣланнаго
въ концѣ § 782, можемъ утверждать, что лѣвая часть уравненія (4) есть
функція отъ п, которую обозначимъ черезъ /(а). Такъ какъ, далѣе, при у.---О,
п — у (на основаніи уравненія (5)), то р(ѣ, <р\ — /($) Итакъ, получается
слѣдующая теорема: Если

I''\У, <р) У Р (У тр) = /г'(7’, о),
то о, <р, у связаны уравненіемъ

(1 — к1 2 ЗІП2ф 5ІП2Д>) зіп о -= зіп <р СОЯ — А2 ЗІП2+ 5ІП V СОЗ /ру"і — к2 БІП2 Гр.

Въ этомъ состоитъ весьма важная, открытая Эйлеромъ, теорема сложенія
эллиптическихъ интеграловъ перваго вида’)- Полезно замѣтить, что послѣд-
нее соотношеніе можетъ быть написано еще въ слѣдующихъ формахъ:

соз о — соз <р соз чр — зіп <р зіп 1^1	№ зіпйо,

Іеп= _Юг12“ 81 П~^' + У — к:- зіп2 ф

1 <Р ІЙ ’/’ К( 1 — к2 зіп2 ф) 11 — к- зіп- у)

Въ частности, при к = 0 находимъ извѣстныя формулы Тригонометріи, даю-
щія выраженія зіп (гр-рі/і), соз іф ір), і^(ф І у'і. Замѣтимъ еще, что при

о =	, полагая можно найти амплитуду ф, для которой /' (к, гр)^=Р~\ к'),

а именно <р — агссоіТ 1 — к2. Такимъ образомъ дѣлается возможнымъ рѣ-
шеніе одной, поставленной раньше (§ 777, й) задачи.

Геометрическія приложенія.

787, Плоскія кривыя, а) Положимъ, что ищется кривая, для кото-
рой отрѣзокъ, образуемый касательною на данной прямой, отсчитываемый
отъ данной точки, есть данная функція угла между касательною и тою же
прямою; условіе задачи выражается, какъ легко видѣть, уравненіемъ Клсро.
Искомая кривая изображается особеннымъ интеграломъ, а
общій интегралъ даетъ совокупность всѣхъ касательныхъ прямыхъ. Если,
напримѣръ, желаютъ, чтобы упомянутый отрѣзокъ па оси .с-овъ, считаемый
отъ начала координатъ, былъ пропорціоналенъ _у/— предположеніе, къ ко-
торому приводитъ вопросъ о разысканіи антиподэры (§ 627) прямой относи-
тельно данной точки — то надо будетъ интегрировать уравненіе у=ху' — ау'2.
Отсюда дифференцированіемъ находимъ: либо у"= 0, откуда у' = к и далѣе
у=кх — к~а, что даетъ семейство касательныхъ къ параболѣ .г-4ог,
либо х = 2 ау', и затѣмъ л-   4 ау. Подобнымъ же образомъ, если ищется
кривая, въ которой всѣ отрѣзки, образуемые координатными осями на каса-
тельныхъ, имѣютъ одну и ту "же длину, то получается дифференціальное
уравненіе у — ху'-\- ау'іУЛ +.г/а. и достаточно будетъ найти (§ 784) осо-
4	~ з,

бенный интегралъ: х:і --у3 = а3. Исключеніе, которое надо произвести,
чтобы придти къ этому результату, въ сущности не отличается отъ того,
которое надо было бы выполнить (§ 620), рѣшая эту задачу съ точки зрѣнія
теоріи огибающихъ.

Ь) Аналогичнымъ образомъ поступаютъ, когда вмѣсто касательной
разсматривается нормаль, и дифференціальное уравненіе имѣетъ видь
х+уу' — /(у'). Это уравненіе можно тотчасъ рѣшить относительно у
(см. § 785, Іі). Но можно начать и съ дифференцированія этого уравненія,

1) Объ интегралахъ (эллиптическихъ) другихъ видовъ см. Зсйіотпіісіі,

Сотр бег ЬбЬ, Апаіузіз, Томъ 11, стр, 339 и слѣд.
и затѣмъ исключить у изъ полученнаго уравненія I +У2+лУ=/' (У) У'
и изъ даннаго. Такимъ путемъ придемъ къ линейному уравненію

У/'(У)-/(У)
ау' І+уа^ 1 І-у'2

которое умѣемъ интегрировать. Если Г(х,у', а) = 0 будетъ общій инте-
гралъ этого уравненія, то, исключая у' изъ даннаго уравненія и уравненія
/У, у', а) — О, получимъ общій интегралъ даннаго. Если, напримѣръ,
желаемъ найти кривую, для которой всѣ отрѣзки, образуемые осями коор-
динатъ на нормаляхъ, имѣютъ одну и ту же длину а, то придемъ къ урав-
ненію х -Ууу'^ ау'!У\4У'2 и находимъ общій интегралъ черезъ исклю-
ченіе у' изъ уравненій

2Гі+у2Ѵ

нЫ'

Впрочемъ, достаточно знать одну кривую, удовлетворяющую поставленному
условію, чтобы знать всѣ такія кривыя, и мы можемъ ограничиться,
напримѣръ, значеніемъ — У. Тогда предыдущія уравненія обратятся въ
слѣдующія

х- —-—=? < (і і-уу - (іу?}, у=—-—?{(Ж'Т+а-уу1 >,
8(1+УТ	8(14УТ

и исключеніемъ у’ найдемъ

а	-2	/ а

+ (л- У = (—) 

Слѣдовательно, искомыя кривыя — кривыя параллельныя астроидѣ,
вершины которой лежатъ на осяхъ; это будутъ поэтому (§ 626, е),
какъ и надо было ожидать, всѣ безчисленныя эвольвенты астроиды

2	2	1

.г7 4	— й8.

с) Положимъ, что ищется кривая, обладающая слѣдующимъ свой-
ствомъ. Въ каждой точкѣ кривой отрѣзокъ нормали между точкою па кривой
и одной изъ координатныхъ осей равенъ данной функціи отрѣзка, считаемаго
отъ неподвижной точки, образуемаго нормалью на той же оси. Получаемъ
уравненіе у/і-і-/г-/(з‘+Д'У)- Дифференцируя его, получимъ уравненіе,
которое разбивается на два

(6)

1+У2 +_>/'= О,

~гу---=/’ (*++У).

V і уу’-

Исключая у' изъ послѣдняго и изъ даннаго уравненія, находимъ особенный
интегралъ, который и изображаетъ искомую кривую. Если же проинтегри-
руемъ первое уравненіе (6), то получится уравненіе х Ууу' — а, и подставляя
выраженіе у', взятое отсюда, въ данное уравненіе, найдемъ і.г й)24У=/2(«)-
Это уравненіе семейства круговъ, касающихся полученной выше кривой.

сі) Если хотимъ найти плоскую кривую, для кОторой радіусъ кри-
визны въ каждой точкѣ есть данная функція отъ абсциссы точки.то должны
интегрировать уравненіе (1 + і,г;р — у"/(х). Здѣсь перемѣнныя тотчасъ от-
у ^- ит.д. Напримѣръ,для.А-ѵ) -

У
дѣляются. и получается —— =
V і -і-у*
получаемъ кривую упругости (еІазІізсЬс Кигѵе), изображаемую уравне-

•	I А* Лх .	,	,

иіемъ у = I —---------. Эта кривая есть профиль упругаго клинка (Квпде),.

./ 1 «4- У
прикрѣпленнаго однимъ концомъ и растягиваемаго нѣкоторою силою за
другой копенъ.

е) Найти плоскую кривую, для которой радіусъ кривизны равенъ
длинѣ нормали (т. е. отрѣзку нормали между точкою на кривой и непо-
движною прямою). Уравненіе, выражающее условіе вопроса, есть

= + .УТ 1+>

Если возьмемъ знакъ — , то это уравненіе совпадаетъ съ первымъ изъ
уравненій (6), и поэтому круги (съ центрами на данной прямой) принадле-
жатъ къ числу искомыхъ кривыхъ. При знакѣ 4-, получимъ 1 -у"2 = у у"
или, умножая на Лу и замѣняя у"Лу черезъ у' Лу',

О

у' Л у'

І +У'2 ’



Выбравъ начало координатъ такъ, чтобы при .ѵ—О было у = а, найдемъ

х = а Іод — ----------,

«11 + е " )

Это уравненіе цѣпной линіи.

I) Общнѣе будетъ уравненіе кривыхъ Рибокура (§595. к)

--—= Х’у У"1а, т. е. I +.У"2 =

Для интегрированія замѣнимъ опять у"Лу черезъ у’Лу’ и получимъ
Это общее уравненіе кривыхъ Рибокура. Оно приводится къ логариемически-
алгебраической формѣ только при или —— цѣломъ (§ 751), т. е. когда
к цѣлое число. При к = — I и к  1 получаемъ опять кругъ и цѣпную
линію, при к = — 2 циклоиду, при к = 2 параболу и т. д.

а) Еще болѣе общею будетъ задача о разысканіи кривыхъ, для кото-
рыхъ радіусъ кривизны есть данная функція отъ длины нормали. Эта задача
всегда рѣшается при помощи двухъ квадратуръ. Дѣйствительно, длина нор-
мали я=	— уголъ касательной съ осью .г-свъ). Кривизна (§ 591),

СОЯ у

1	іі гр іі	4	у	1	, г <1 н

	 = -т2- =-Г СОЯ ір = — -5— — = — -------р - .5 ,	
р------------------------------------------------------аз	ау	ау	п	п а ѵ

Уравненіе р =/(«) преобразуется въ

(I у <1 п /I и

У п	я + Ди)

и даетъ

Л - не

= V («)

Слѣдовательно,

У !І- — у 2 , И )
ч і")

іу (и) сіп

—------и

у и2 — ЧР2 (и)

Къ этой задачѣ приводится вопросъ о разысканіи поверхностей вращенія,
опредѣляемыхъ даннымъ соотношеніемъ между главными радіусами кривизны.

788. Траекторіи. Задача о траекторіяхъ состоитъ въ разысканіи
кривыхъ, пересѣкающихъ полъ постояннымъ угломъ а> всѣ кривыя даннаго
семейства у. я) = 0. Условія задачи выражаются тѣмъ, что при всякомъ
значеніи параметра а должно быть

П)

<7 г

/і х

о ч- .	, 0 <р

-Т-2- 8111 О 4- СОЯ 01

о ,ѵ	а у

гі а>	д <[• .

СОЯ 14----------ЯІП о

Подставляя вмѣсто а его выраженіе, которое получается изъ уравненія.
<?; = 0, находимъ дифференціальное уравненіе перваго порядка, интегриро-
ваніе котораго даетъ уравненіе >у(х, у. к) — 0 другого семейства, всѣ
кривыя котораго обладаютъ требуемымъ свойствомъ. Въ частности, вопросъ
объ ортогональныхъ траекторіяхъ На — кривыхъ </ -0 рѣшается
интегрированіемъ дифференціальнаго уравненія, получаемаго исключеніемъ а
изъ уравненія г/. -= О и

д<р	д ( ,

<іх :	 = с/ ѵ :

о х " і) ѵ

Приведемъ нѣсколько примѣровъ.

а) Найти ортогональныя траекторіи крутивъ радіуса а съ центрами
па данной прямой (которую цѣлесообразно будетъ принять за ось а-овъ)
Для этого надо исключить Ь изъ уравненій

<	1	9	'1 'ІХ У

І Д- — М3 4- V2 — в-,	— ~т =  

'	х — Ь у

Положивъ у — а зіп 0 и условившись, что при О

л

Т'

А' — 0, получимъ

^соз 6 + 1о§ ІЙ •

т, е. траекторіи (очевидно, трактрисы) получаются передвиженіемъ кривой,
опредѣляемой уравненіями

/	9 '

л- — а I соз Ѳ — іод у , У — а зіп С,
параллельно отъ .г-о въ. Легко провѣрить, что эволюта этой кривой — цѣпная
линія. При произвольномъ углѣ и, мы нашли бы другія эвольвенты
цѣпной линіи.

Ь)	Пучекъ круговъ л*2 |- .ѵ2 — а3 = 2 ц можно изобразить также
его дифференціальнымъ уравненіемъ 2 ху ііх = (.г2 -у2- а2) гіу. которое
получается черезъ исключеніе у изъ первоначальнаго уравненія и получае-

, ,	-> .	<1 У гі х

маго изъ него дифференцированіемъ. Замѣна на — дастъ диффе-
ренціальное уравненіе ортогональныхъ траекторій круговъ даннаго пучка,
а такъ какъ получаемое такимъ образомъ уравненіе 2 а,-у <іу — (у2—х2+а2) (іх
отличается отъ дифференціальнаго уравненія даннаго пучка только замѣною
х на у и а- на —а2, то безъ всякаго интегрированія находимъ, что искомыя
ортогональныя траекторіи составляютъ другой пучекъ круговъ л3-г,р2+«і— 2л<т.г.
Оба пучка составляютъ основаніе такъ называемыхъ диполярныхъ коор-

Л - 1

, ѵ = агс соі л.

лф 1

с)	Опредѣленіе ортогональныхъ траекторій какого угодно семейства
круговъ приводится къ интегрированію уравненія Риккати. Положимъ, что
координаты ц центра и радіусъ « нѣкотораго круга будутъ три извѣст-
ныя функціи отъ дуги 5 линіи центровъ. Обозначимъ черезъ <р уголь
между касательною къ этой линіи и осью .ѵ-овъ, а черезъ 5 уголъ между
нормалью къ этой же линіи и касательною къ траекторіи въ точкѣ (лг, ѵ)
встрѣчи ея съ упомянутымъ кругомъ. Мы имѣемъ

дииатъ (§ 413) « =-9-

л* = с — а зіп (5 + гр), у -= і/ + а соз (0 -|- <р)
и, слѣдовательно,

<	#.г	іі а	/<7С

-	=созу.- -5іп(0 + ф) а[ Н-•— соз (О Ч-т),
</.'<	а.ч	у/

<	ІѴ .	. <і а , ч /<7 6 , 1\ .	.

' = зпіу> + -у- соз (О +у) - а ( - -|-5іл(0 + у)'

«5	і! л	\ и А у /

Такъ какъ — должно быть равно і§'(8 Д- у), то видимъ, что неизвѣстная
а ѵ

функція 3 должна удовлетворять дифференціальному уравненію

іі 9	I	соя О

(і 8	р <і

въ которыхъ у, радіусъ кривизны линій центровъ есть извѣстная функція
отъ 5. Теперь достаточно будетъ принять за неизвѣстную функцію і—Ід >
чтобы придти къ уравненію Риккати

1 Ь + 1 (1--И _0

і/з 2 р а] 2 а]

Впрочемъ, для изученія свойствъ траекторіи знаніе общаго интеграла не
необходимо. Воспользовавшись дифференціальнымъ уравненіемъ постольку,
поскольку оно даетъ выраженіе производной V отъ 6 по 5 черезъ извѣст-

.	. Л х Л у

ныи функціи, мы можемъ предыдущія выраженія и написать такъ:

— (зіп Э - «Э яіп (9 + ф),	= — (зіп 5 — а') соя (0	<р).

Слѣдовательно, дифференціалъ дуги траекторіи = (зіп 0 — а')іІ8, а такъ
какъ уголъ смежности, очевидно, равенъ аі --, то видно, что радіусъ

кривизны опредѣляется формулою соз 6 - а (зіп 6 — а’). Въ частности, при
ц'-0 (а — постоянная) находимъ обобщеніе извѣстнаго свойства трактрисы,
а именно: радіусъ кривизны въ каждой точкѣ ортогональной
траекторіи семейства круговъ постояннаго радіуса лежитъ на
соотвѣтствующей нормали къ линіи центровъ. Далѣе, легко видѣть,
что какъ только будетъ извѣстно выраженіе 0, какъ функціи отъ д, нату-
ральное уравненіе траекторіи получится черезъ исключеніе 5 изъ уравненій

5і =- I н‘п 0 ^я>	!?і ~ 0 Чі ®-

Наконецъ (§ 626, 1) при а'-- 1 находимъ, что центръ кривизны въ каж-
дой точкѣ ортогональной траекторіи соприкасающихся круговъ
данной кривой лежитъ на касательной къ этой кривой.

<1) Чтобы найти ортогональныя траекторіи семейства однофокусныхъ
коническихъ сѣченій

__х~ .|----" = ]

«г-;. 1 а2 — /	•
составимъ сперва съ помощью дифференцированія и исключенія параметра /,
дифференціальное уравненіе этого семейства

(_) ііх — х сіу) (л- сіх 4- у Лу) 4- (л‘- -- />-) Лх Лу -- 0.

. Л у	Л х

Іакъ какъ замѣна на —,  этого уравненія не мѣняетъ, то отсюда
Л х	ау

•можно заключить, что искомыя траекторіи будутъ тѣ же коническія сѣченія.
Это становится яснымъ, если замѣтимъ, что при данныхъ л- и _ѵ изъ перваго
уравненія получаются два значенія для л. Одно изь нихъ меньше А'-' и
соотвѣтствуетъ эллипсу, другое, лежащее между Ь- и А- — гиперболѣ. Слѣ-
довательно, черезъ каждую точку на плоскости проходятъ, пересѣкаясь
ортогонально, эллипсъ и гипербола, фокусы которыхъ лежатъ въ данныхъ
точкахъ, и тѣ значенія а, которыя характеризуютъ этотъ эллипсъ и эту
гиперболу среди всего семейства коническихъ сѣченій съ тѣми же фокусами,
будутъ эллиптическія координаты точки (см. § 770, о).

789. Поверхности, а) При изображеніи ограниченныхъ частей зем-

ной поверхности приходится разсматривать, такъ называемыя линіи уровня

(Міѵеаиііпіеп), т. е. сѣченія поверхности горизонтальными плоскостями Урав-
неніе поверхности 1'(х, у, ;) = 0 при всякомъ данномъ з изображаетъ

проекцію линіи уровня на горизонтальную плоскость Оху. Исключеніе г
изъ уравненій Ь'~ 0 и сіх +	= 0 даетъ дифференціальное урав-

неніе проекцій всѣхъ линій уровня. Ихъ огибающая — особенный интегралъ
этого уравненія—даетъ такъ называемую линію тѣни (см. § 661), отбра-

сываемой поверхностью на горизонтальную плоскость для вертикальнаго
пучка свѣтовыхъ лучей. Если, далѣе, замѣнимъ въ дифференціальномъ урав-
неніи линій уровня у' на — то общій интегралъ новаго дифференціаль-
наго уравненія представитъ линіи наибольшаго паденія--ортогональ-
ныя траекторіи линій уровня х).

Ь)	Опредѣленіе ортогональныхъ траекторій прямолинейныхъ
образующихъ линейчатой поверхности всегда можетъ быть получено
при помощи одной квадратуры, Мы допустимъ, что положеніе точки на
линейчатой поверхности опредѣляется общепринятыми (§ 669) координатами
и и ѵ, такъ что

А' = х 4- а ѵ.	У— у Е Ьѵ,	\-с:с

гдѣ х, у, в, а, Ь, с зависятъ только отъ и. Обозначая черезъ х’. у’,
производныя этихъ функцій, имѣемъ г/А' •= (л-'+ а'ѵ) Ли 4- а іі ѵ, и т. д. и
условіе ортогональности У аЛ X =0 обращается въ

(ах' Ьу' -і сЛ) сіи -)- Лѵ = 0.

Отсюда тотчасъ находимъ интегрированіемъ ѵ = — §(йа' 4- Ьу' 4- со') Ли.
Найдя одну траекторію ѵ ---/(и). найдемъ, что всѣ другія изображаются
уравненіемъ ѵ = /(и) ф- сопзѣ и, слѣдовательно, двѣ какія угодно траекторіи
опредѣляютъ на всѣхъ образующихъ одинаковые отрѣзки.’

с)	Для опредѣленія асимптотическихъ линій линейчатой поверх-
ности беремъ уравненіе (§ 703)

(7)

Я Ли2 4- 35 <іѵ~ 4- 2 ір >1 гі Ли = О,

і)	Объ изслѣдованіи этихъ и другихъ замѣчательныхъ линій см „Саі-
сці біИбгепііеІ” Воиз5Іпе5Ч',а, стр. 229 243.
въ которомъ

	г) Л'	дх	д2 .г 1		дх	д х	<)2 X
	г) и	д ѵ	д и- |		г) и	д ѵ	<) г“2
а =	д и	д у д ѵ	й2 т 1  —-	і ,  д іі'	Ж -	ду д и	д у д и	о2 у  д V2
	д ѵ	д г				дз	с)- 3
	д и	д ѵ	д я‘- 1		д и	дѵ	д і’2

і	<) ;Ѵ	д .V	4“ Л'	I

|	а и	дѵ	д іі д ѵ	і

ду	ду	<>-у	|

ди	дѵ	дидѵ

д г	д .г	д2г

ди	дѵ	д гі д г>	!

Здѣсь надо подставить вмѣсто х, ѵ, а выраженія А' — х -и ап. У'— у + Ьѵ,
X = г + еѵ, такъ что

и	а'	х'

® = о, е -	і>	іх	у'

г	е	х	'

между тѣмъ, какъ Д будетъ квадратичною функціею отъ ѵ, съ коэффи-
ціентами, вообще, зависящими отъ и. Если поверхность развертыва-
ющаяся, то (§ 6й7) й = 0, и уравненіе (7) приводится къ <7ц-'={), т. с. оба
семейства асимптотическихъ линій совпадаютъ въ одно, составляемое обра-
зующими (и = сопзѣ). Если поверхность не развертывающаяся, то С
не равно 0, и уравненіе (7) распадается на два: ііи — д — уравненіе обра-
зующихъ — и

(8)	'' - г>2 ц, (а) +	(") -I- Ч> (»') 

Слѣдовательно, опредѣленіе асимптотическихъ линій косой линей-
чатой поверхности приводится къ интегрированію уравненія
Риккати. Отсюда слѣдуетъ (§ 785, і), что четыре какія угодно
асимптотическія линіи пересѣкаютъ образующія въ четырехъ
точкахъ, ангармоническое отношеніе которыхъ для всѣхъ обра-
зующихъ одно и то ж'е1). Далѣе, достаточно знать двѣ асимптотическія
линіи, чтобы найти всѣ другія съ помощью одной квадратуры, или одну —
чтобы всѣ другія опредѣлились съ помощью двухъ квадратуръ.

сі) Приведеніе вопроса къ двумъ квадратурамъ возможно всегда для
линейчатыхъ поверхностей съ направляющею плоскостью, потому что

а

2 е ?. (Н) = | ь

а' а"

Ь’ Ъ”

х) Геометрическое доказательство этой теоремы далъ А. Оетопііп,
въ журналѣ .Маіѣезіз" (1899, стр. 159).
обращается въ нуль тождественно и уравненіе (8) приводится къ линейному,
которое интегрируется съ помощью двухъ квадратуръ {§ 785, е). Съ другой
стороны, чтобы выіпенаписанный опредѣлитель обратился въ нуль, доста-
точно, чтобы существовали три постоянныя (не равныя 0 одновременно)
I, т, н, для которыхъ Іа -|- тЬ 4- пс = 0 тождественно, т. е. чтобы всѣ
образующія были параллельны одной неподвижной плоскости. Можно также
предвидѣть возможность интегрированія (8) съ помощью двухъ квадратуръ
въ томъ случаѣ, когда дѣло идетъ о нахожденіи асимптотическихъ линій
новерхности, образуемой главными нормалями нѣкоторой кривой,
потому что эта кривая и есть одна изъ искомыхъ кривыхъ. Подставляя
вмѣсто л*, у, в выраженія X -= .г + лу, У— у ф- /л1, X — в гѵ и прини-
мая во вниманіе формулы Френе (§ 636), найдемъ

ѵ / іі с	г/ г \

О і' --------------------1— .

ъ- \	а и р	« Іі!

, 1

(5 = --

Вмѣстѣ съ тѣмъ уравненіе (8) принимаетъ крайне простой видъ

2-^Р ЛУ- к

если оставимъ въ сторонѣ извѣстный а ргіогі интегралъ ѵ = 0. Отсюда слѣ-

дуетъ ѵ - 2

, при чемъ подъ знакомъ корня условлено

считать ъ положительнымъ. Въ частности, если обозначимъ черезъ У? произ-
вольную постоянную длину, для кривыхъ съ постояннымъ крученіемъ

2 о	,,, ~	,

получимъ ѵ =	, для цилиндрическихъ винтовыхъ линій (§ 655, с>

= и общнѣе для всякой кривой Бертрапа (§ 658) съ перемѣн-
11	X

нымъ крученіемъ —-------= сопзі. Эта постоянная не произвольна, а

зависитъ отъ разсматриваемой кривой и для косого круга равна первой
кривизнѣ его.

е) Чтобы опредѣлить геодезическія линіи косого геликоида
(§ 655, Ъ), примѣнимъ второй изъ указанныхъ въ § 705 пріемовъ. Такъ
какъ косинусы направленія нормали къ поверхности пропорціональны чис-
ламъ ау, — ах, х24-у'2, то должны имѣть

яу (Лу а2в а/ в а2у", — ах (Лв Л2х — сіх Л2в) 4- (сіх Л2у — Лу п-.ѵ'і = О,

т. е.

(9)	а (х Лх 4-у Лу) Л2в — а (хЛ2х -|-_ѵсАи) Лв 4- (л- | _г2) (Лх<Ру — Лу а2х'\ = 0

Между тѣмъ изъ равенства .г2 + у2 = г2, припоминая соотношеніе

Лх2 + «У = Лг2 — г2 Л&,
выводимъ

х Лх 4- У Лу = г Лг, хЛ-ху Л2у — г Л->‘~ Л2 Лі-
и, кромѣ того, какъ мы знаемъ (§ 558, с), имѣютъ мѣсто равенства

Лх Ру — Лу <і“.г = (г2 Л№ + 2 Лг2 — гЛ2г)Л$.

Слѣдовательно, уравненіе (9) преобразуется въ
если оставимъ въ сторонѣ интегралъ 0= сопзі., изображающій прямолиней-

<Іг'

пыя образующія. Лѣвую часть можно написать въ видѣ г' & , но есте-
ственнѣе взять за неизвѣстную функцію и-=г'2, Тогда получимъ уравненіе

/I и 4 г и , _

и извѣстно (§ 785, е), что это уравненіе можно интегрировать, полагая

/4 г 4 г
г1 +	. о ?

и ѵе	= (Н -|- а^У ѵ,

гдѣ новая неизвѣстная функція ѵ должна удовлетворять уравненію
йѵ 2 г ~
- - = - ,---Отсюда вытекаетъ

(і г	(г- 4- а-р

съ произвольною постоянною />. Наконецъ, получимъ

Ь <і г

/Р + (Г Д

Правая часть — эллиптическій интегралъ — вообще не выражается въ алге-
браически-логариемическомъ видѣ. Но при 4=0 находимъ образующія
(9|=соп8ѣ), а при Ъ—-а другое интересное семейство геодезическихъ линій,
которое легко выводится изъ уравненій линій кривизны (§ 707, Ь), такъ
какъ тогда

а <і г

г Уг- -р а2

у г‘і __ а

— Іо5 -----------— ~

и наконецъ

2а

(ѳ—ѳЛ' ~ +(б-о<>>
е — е

і) Въ заключеніе найдемъ асимптотическія линіи и линіи кри-
визны поверхности Шерка (Зсііегк)1)

.3	X	у

ЗІП -	~= 8ІІ— ЗЬ — ’

а	а	а

Легкое вычисленіе даетъ

. я г л* ѵ	#	, л- < ѵ

р СОЗ -	= СП---5Л — - ,	<7 СОБ-= 8І1 -- СП — '

а а а	а а а

1 + /^ + 73  соз = сН — сН -Ѵ- -
г 3 а а а

х) СгеІІез 5оигпа1. 1834» стр. 200. Эту поверхность О. ѵап бег Мепя-
Ьги^&Ье (Виііеііп бе ГАсабёпііс бе Веі^ие. 2-ая серія» томъ XXI, стр, 552)
изслѣдовалъ и построилъ опытнымъ путемъ.
Если введемъ гиперболическія амплитуды ; и >; отъ ~ и , такъ что
(§ 409)

8І1 — =1г«> СЬ — = 1/СО8с, 1Ь — = 8ІПс И Т. Д„
а 6	а	' а

то получимъ Й —зіпіу, ®ТК = зіП5, т. е. $ и л измѣряютъ углы наклоненія
осей _у-онъ и (соотвѣтственно) ж-овъ къ касательной плоскости. Если теперь
еще примемъ во вниманіе, что

то, на основаніи извѣстныхъ формулъ (§ 686), получимъ

Н — 0,	К~.----СО52 С СО8~ п .

аі

Слѣдовательно, разсматриваемая поверхность принадлежитъ къ минималь-
нымъ поверхностямъ, и абсолютныя величины главныхъ радіусовъ

кривизны равны асіі- сіі1 . Для опредѣленія линій кривизны удобно

будетъ воспользоваться формулами Родрига (§ 698) и

сі х <1 у
написать	,

т е. = <ігр. откуда 4 ,|- 7/--соп5І. Для опредѣленія асимптотическихъ
л иній нужно прежде всего вычислить г, у, ?. Изъ выраженій р и д тотчасъ
выводимъ, дифференцируя первое по л', второе по у

а & а

а а

Припоминая, что Н = 0, находимъ

(1 + ?а) г + (1+/2)/ = 1 + і?_- г = I -I-/2 {
‘ірд	рд рд

Между тѣмъ имѣемъ

1+/^

СО5- с

РЧ = 1+ .

ЗІП І. ЗІП 1) СОЗ2 Г)

и поэтому дифференціальное уравненіе асимптотическихъ линій будетъ (§ 703)

иѴ2 + 2 со) і’соі д сіц -ф й?ч2 = 0.

Это уравненіе легко приводится къ уже разсмотрѣнному раньше (§ 786, і).
Достаточно положить « = соз ч, ѵ = соз чтобы найти

(1 —яа) <іг>2 + 2 иѵ сіи сіѵ + (1 — ц2) <1и2 = 0.

Общій интегралъ, слѣдовательно, будетъ

(1 — и2} соз3 а — 2 и ѵ зіп а соз а -р (1 — ѵ-) зіп3 а = 0,

т. е.

зіп а соз % + соз а соз ч = 1,
гдѣ а — произвольная постоянная. Особенный интегралъ соз (? ± ») ~ 0
изображаетъ одну изъ линій кривизны, которая въ проекціи на плоскость (ту)
касается всѣхъ асимптотическихъ линій. Это линія касанія поверхности съ
описаннымъ цилиндромъ, параллельнымъ Ох. Она состоитъ изъ безчислен-
наго множества ранныхъ кривыхъ, лежащихъ въ плоскостяхъ соз -= 0.
Всякая изъ этихъ кривыхъ (какъ и всякая другая, полученная въ сѣченіи
плоскостью, перпендикулярною къ оси с-овъ) похожа на равностороннюю
гиперболу. Такъ какъ въ данномъ случаѣ 2 = ± соз 5, зіп д, то
очевидно, есть уголъ смежности; но по одной изъ раньше выведенныхъ
формулъ, радіусъ кривизны равенъ

о •=	- = аіір д + соі д),

зіп $ спя д ь	1

такъ что для выраженія дуги имѣемъ з = о (ІІ — а Іо^ ф а слѣдова-
тельно, р = а (е “ е " Итакъ, натуральное уравненіе разсматриваемой
кривой подобно уравненію цѣпной линіи равнаго сопротивленія
(§ 767, с).

Линейныя дифференціальныя уравненія.

790.	Продолжаемъ теперь разсмотрѣніе дифференціальныхъ
уравненій съ двумя перемѣнными и займемся спеціально такими, въ
которыя неизвѣстная функція и ея производныя входятъ линейно,
т. е. уравненіями вида

(10)	Уй1 +У”'Ѵ (*)  ѵ:"- 2УЛ.П + -   -г.у7в_1 (г) у/п (.ѵ) =/(хт

Онѣ называются линейными дифференціальными уравненіями.
Если /(.г) = 0, то уравненіе называютъ неполнымъ (или также
уравненіемъ безъ послѣдняго члена):

(11)	/«) + /«-і>у; (,Ѵ) +	(т) |......('')	+//« (*} = 0-

Это уравненіе (11), очевидно, обладаетъ тѣмъ свойствомъ, что
всякое его рѣшеніе, т. е. всякая функція у, ему удовлетво-
ряющая, будетъ ему удовлетворять и тогда, когда мы умно-
жимъ это рѣшеніе на постоянное число, а также и тѣмъ, что
ему удовлетворяетъ сумма конечнаго числа частныхъ рѣ-
шеній, умноженныхъ на постоянныя числа. Предпославъ вы-
шесказанное, легко теперь доказать слѣдующую теорему: Если
у1!, у2', . . ., _уп будутъ п линейно независимыхъ частныхъ
рѣшеній неполнаго линейнаго уравненія м-го порядка, то
общій интегралъ этого уравненія будетъ

(12)	г = «1.У1Т

гдѣ а(, аг, . . ап произвольныя постоянныя.
[ Примѣчаніе. Общій интегралъ линейнаго уравненія заклю-
чаетъ въ себѣ всѣ рѣшенія уравненія, чего нельзя сказать объ
уравненіяхъ пе-линейныхъ, могущихъ имѣть особенныя рѣшенія.
Доказательство этой теоремы можно найти также, напримѣръ, въ
„Курсѣ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій" К. Поссе,
3-е изд. 1912, стр, 610 ].

Ограничимся для большей ясности случаемъ и — 3 и положимъ,
что «, н, то будутъ три линейно независимыя функціи, удо-
влетворяющія уравненію

(13)	у'” -1-у" <Р (х) +у'х (а-) - ь у ’ (.V) = о

Это значитъ, что имѣемъ три тождества

иш-|-н'0ъ4 н'/фау = ѵ''’-\-‘і/'ір-,-г>'х-\-ѵір — 0,	Ы'Ѵ ~ 0-

Положимъ, что у есть какое нибудь другое, отличное отъ и, ѵ, то
рѣшеніе уравненія (13). Чтобы всѣ четыре соотношенія могли
существовать одновременно, необходимо, чтобы эта функція у была
связана съ и, ѵ и гѵ соотношеніемъ

|	У	у'	у"	у"’	I

и	гі'	и"	гі"	I

|	............і -°-

|	ѵ	ѵ	ѵ	ѵ	|

!	г:1'	ітѵУ"	|

а это требуетъ (§ 375), чтобы между четырьмя этими функціями
существовало линейное соотношеніе. Въ это соотношеніе между
у, и, ѵ, гѵ необходимо долженъ входить у, иначе, вопреки пред-
положенію, и, ѵ, то не были бы линейно независимы. Слѣдовательно,
у = аи -ф Ьѵ -)- сто, гдѣ а, Ь, с—постоянныя и притомъ про-
извольныя, такъ какъ по сдѣланному въ началѣ § замѣчанію напи-
санное выраженіе у удовлетворитъ уравненію (11), каковы бы ни
были значенія постоянныхъ а, Ь, с.

[ Примѣчаніе, Ссылка на теорему § 375 въ данномъ случаѣ
достаточна, потому что. если функціи у, н, ѵ, то будутъ рѣшеніями
линейнаго однороднаго дифференціальнаго уравненія съ непрерыв-
ными коэффиціентами, то указанный въ примѣчаніи ХЫѴ (1 часть,
стр. 428) къ § 375 исключительный случай не можетъ имѣть мѣста.
Для подробностей отсылаемъ читателя къ одному изъ тѣхъ курсовъ
интегральнаго исчисленія, которые авторъ называетъ въ предисловіи
къ своему курсу (I часть, стр. VII). Краткая глава, посвященная
авторомъ дифференціальнымъ уравненіямъ никоимъ образомъ не
можетъ считаться исчерпывающею этотъ обширный отдѣлъ инте-
гральнаго исчисленія.]
791.	Когда общій интегралъ уравненія (11) извѣстенъ, то
общій интегралъ полнаго уравненія (10) можетъ быть выраженъ
черезъ п квадратурь, съ помощью пріема, который по Лагранжу
называется измѣненіемъ произвольныхъ постоянныхъ, Попы-
таемся удовлетворить уравненію (10) тѣмъ же выраженіемъ (12),
въ которомъ подъ аі, л2.......аи будемъ понимать прилично вы-

бранныя функціи отъ х. Возьмемъ опять для простоты уравненіе
3-го порядка

(14)	у"'+у"<Р (т) + .т(.г) 4- у ѵ (х) = /(х),

и положимъ, что извѣстны три независимыя частныя рѣшенія ѵ, №
соотвѣтствующаго неполнаго уравненія (13). Попробуемъ удовлетво-
рить уравненію (14) выраженіемъ у — а« + Ьѵ + сгѵ. гдѣ а, Ь, с
три неизвѣстныя функціи отъ х. Мы всегда можемъ подчинить
ихъ двумъ условіямъ

а'и Уѵ + ѵ'іі} = 0, а’и' і'о'4-	0.

Подставимъ теперь выраженія у и его производныхъ

у' — нил-|- Ьѵ'-\- си/, у" =	Ъѵ''+

У!Г = а У"-|- Ь ѵ"' Н	Уѵ"-\- с'У.

въ уравненіе (14); тогда найдемъ третье условге, которому должны
удовлетворять а, !>, с, чтобы уравненіе (14) удовлетворялось,
а именно:

а'и" | Ь'ѵ" + У У— /(х);

Слѣдовательно, а', Ъ', с опредѣляются изъ системы уравненій

а'и + Уѵ л- с'ги =0,
а'іг — Уѵ' ; с'іУ = 0,
аг и" У У У + с'ы" /\х).

Эта система имѣетъ одно опредѣленное рѣшеніе, потому что г/, ѵ, гг’
независимы, а слѣдовательно, опредѣлитель системы

! и	г/ и" |

7?	у”

I ге и>' т"

не равенъ пулю. Опредѣливь такимъ образомъ а, Ь', с', мы най-
демъ и а, Ь, с съ помощью простыхъ квадратуръ, а затѣмъ и у —
общій интегралъ съ тремя произвольными постоянными (которыя
входятъ въ квадратуры, выражающія а, Ь, с). Въ общемъ случаѣ,
каждый изь коэффиціентовъ аі замѣнится нѣкоторою опредѣленною
функціею отъ х, сложенною съ произвольною постоянною. Мы
видимъ, слѣдовательно, что общій интегралъ уравненія (10) имѣетъ
видъ

(15)	у = у0 +	Н------«»,

гдѣ а,,	ап — произвольныя постоянныя, а _у0— нѣкоторая

функція отъ .г (очевидно, удовлетворяющая уравненію (10) при
л1 =	  - = 0). Можетъ случится, что будетъ извѣстно какое

нибудь частное рѣшеніе у0 полнаго уравненія (10). Тогда доста-
точно знать н независимыхъ частныхъ рѣшеній у,, _у2, у„
неполнаго уравненія, чтобы получить общій интегралъ (15) пол-
наго уравненія, не прибѣгая къ методѣ Лагранжа. Дѣйствительно,
если въ уравненіи (10) положимъ у = у0-|-.з, то тотчасъ увидимъ,
что г должно удовлетворять уравненію (11).

792.	Теорема. Если извѣстны т линейно независи-
мыхъ, частныхъ рѣшеній неполнаго линейнаго диффе-
ренціальнаго уравненія м-го порядка, то интегрированіе
соотвѣтствующаго полнаго уравненія сводится къ инте-
грированію линейнаго уравненія (и —ш)-го порядка и къ ш
слѣдующимъ затѣмъ квадратурамъ.

Дѣйствительно, пусть _уѵ у,, . . ., ут будутъ рѣшенія урав-
ненія (11) и
ѵ, ѵ' ѵ"	ѵ

-Ъ >1	•   >1

..	(«г—Гі

а=	->* ->а  • 	0

I..........................

і у	у	V . .	у

1 . //і. Л ш		Л ш

ихъ опредѣлитель Вронскаго. Попытаемся, какъ и въ предыдущемъ §,
удовлетворить уравненію (10) выраженіемъ у = (7ку,+«2у.3Н----,

подчинивъ производныя а'і, а-г, . .., а’т условію быть пропорціо-
нальными алгебраическимъ дополненіямъ послѣдняго столбца въ
опредѣлителѣ а, такъ что, обозначая черезъ з коэффиціентъ
пропорціональности, будемъ имѣть

т	нг	?Д.

п'у'”1= 0(ѵ - 1, 2, ..., ш-21,
іі	і

Легко видѣть, что тогда производныя отъ у опредѣляются слѣдую-
щими формулами

У*)	(для і'<щ), у("‘* -	+ аз,

і	і

т

У”’ =^УЧУ’') +	---+ П„_ЯЛ1 ѵ (для V > №).

1
Подставивъ эти выраженія въ (10) придемъ къ уравненію вида

~Гп - ші ।	_(м— мі— 1) і > „	- //.д

Если будетъ извѣстенъ общій интегралъ этого линейнаго уравненія
(и - ш)-го порядка, то будутъ также извѣстны и т функцій а/,
откуда затѣмъ съ помощью т квадратуръ опредѣлятся и функціи а,.
Предыдущее доказательство есть естественное обобщеніе разсу-
жденія въ § 791, соотвѣтствующаго предположенію щ. — и. При
т = и — 1, припоминая сказанное о линейныхъ уравненіяхъ перваго
порядка, получаемъ слѣдующій результатъ: Интегрированіе ли-
нейнаго уравненія и-го порядка, если извѣстны п— 1 ли-
нейно независимыхъ рѣшеній соотвѣтствующаго неполнаго
уравненія, приводится къ «~|-1 квадратурамъ.

793. Примѣры, а) Линейное уравненіе перваго порядка у/+,угр(л')
= Д.т) всегда интегрируется въ квадратурахъ, потому что извѣстенъ общій

— I ф гіх

интегралъ неполнаго уравненія у'+у І.ѵ) = 0, а именно у = ае

— I унія

Метода Лагранжа даетъ а'е *	/(л-), слѣдовательно,

Ь)	Уравненіе второго порядка _у"-у'ф +уѵ "/ интегрируется съ
помощью трехъ квадратуръ, если извѣстна функція и, удовлетворяющая
уравненію н" і гі'(р -у и= 0. Дѣйствительно, полагая у = аи, приходимъ
къ уравненію а'и + а' (2 «’ф <р) = /. Это уравненіе перваго порядка относи-
тельно и а' получается изъ него съ помощью двухъ квадратуръ, а

затѣмъ находимъ

с)	Полезно замѣтить, что интегрированіе каждаго неполнаго линей-
наго уравненія второго порядка приводится къ интегрированію уравненія
Риккати и одной слѣдующей затѣмъ квадратурѣ. Дѣйствительно, подстановка

/X ІІХ

приводитъ уравненіе

у"-\-у'ср +Уі! = 0 въ $'+	|- з<р + == 0.

Вслѣдствіе этого, свойства линейныхъ уравненій бросаютъ свѣтъ на урав-
неніе Риккати и обратно.

б) Съ помощью четырехъ квадратуръ интегрируется уравненіе (14),
когда извѣстны двѣ независимыя функціи и и ѵ, удовлетворяющія уравне-
нію (13). Дѣйствительно, полагая у = а и-\-Ьг>, а'= — ѵх;, Ь'=иг, а—иѵ'—ѵиг,
получимъ

у'— аи'у- Ъѵ’, у,!= аи"-\- Ьѵ"-\- а.%, у"!= а гг!— Ьѵ"!-\- аа1— 2 а'в.
Данное уравненіе преобразуется въ гіг'+ (2 а'а<р) я = /,
двухъ квадратуръ даетъ

и съ помощью

Затѣмъ съ помощью двухъ другихъ квадратуръ получимъ и общій инте-
гралъ даннаго уравненія у = иг <іх — и^ѵв <1 х.

794. Уравненія съ постоянными коэффиціентами. Если
коэффиціенты при неизвѣстной функціи и ея производныхъ въ
уравненіи (10) числа постоянныя, то легко можно найти п линейно
независимыхъ рѣшеній неполнаго уравненія (11), а затѣмъ, извѣст-
нымъ путемъ, съ помощью п квадратуръ составить и общій инте-
гралъ полнаго уравненія. Дѣйствительно, попробуемъ удовлетворить
уравненію (11) выраженіемъ	это уравненіе обращается (по

сокращеніи на е1'*) въ условное уравненіе, опредѣляющее к — такъ
называемое характеристическое уравненіе:

ф (<б) = кп +	+  • • + к/п. і +Л = о-

Если всѣ корни к1, к.іл ..., кп уравненія </(к) = 0 различны, то
функціи г*|Г,	, Л* будутъ линейно независимыя рѣшенія

уравненія (11), потому что ихъ опредѣлитель Вронскаго равенъ
произведенію е~х^ на (§ 27, д)

1	V •	. к* 1
1		 к/-1
1 к„	ѣ 2	. »—1 • Кп

1

= <1(^-1

/=1

Ш+Ж---ия

Итакъ, общій интегралъ неполнаго уравненія выражается
формулою

(16)	у —	1 4"    “Ѣ е п *

гдѣ д.,, а4, . . ., ая—произвольныя постоянныя. Теперь пола-
гаемъ, что «!, а2, ..., ап такія функціи отъ х, производныя
которыхъ «/, а^, . . ., а» опредѣляются системою

+ V ++ <гп' =

0 при т — 0, 1,2, .... и — 2,

/(.г) при ѵ = н — 1 ,

и, слѣдовательно, выражаются формулами

ф' {кг}
Тогда метода Лагранжа даетъ общій интегралъ полнаго уравненія,
въ видѣ

Далѣе, если характеристическое уравненіе имѣетъ кратные корни,
ТО число различныхъ частныхъ рѣшеній е'1’4’ будетъ меньше порядка
уравненія, и формула (16) уже не изображаетъ общаго интеграла
неполнаго уравненія. Попробуемъ тогда удовлетворить этому
уравненію выраженіемъ у=л-^е*:г. Лѣвая его часть приведется къ
произведенію е** на

(^) + щѵ'"1 ^(к) +	л'"“2(*)

Если а будетъ г — кратный корень, т. е. (§ 4о0, с) если

д (а) — 0, у/ (а) = О,

%'г 1') (а) -= 0,

то предыдущее выраженіе обращается тождественно въ нуль при
к = <і и для всякаго изъ значеній 0, 1, 2, (г -1) числа д.
Поэтому, если характеристическое уравненіе имѣетъ корни а, /9, , . .
соотвѣтственно кратности г, л, то общій интегралъ не-
полнаго уравненія имѣетъ форму

>’ = (й'(г‘-«і-т   '	+	+ й, *+    +*, ! .Vй"1)	--,

гдѣ п постоянныхъ а0, аА, . . ., /у,, Ь^, ... произвольны. Въ за-
ключеніе упомянемъ, чго обыкновенно коэффиціенты дифферен-
ціальнаго уравненія вещественны. Такъ какъ при этомъ желательно,
чтобы и у представленъ былъ въ вещественномъ видѣ, то отъ мнимой
формы стараются избавиться, замѣчая, что сумма «4" і
происходящая отъ каждой пары мнимыхъ сопряженныхъ корней
(§ 447) можетъ быть представлена въ вещественномъ видѣ
(Л соз Зх + /9зіп /Тг) еп1‘, гдѣ постоянныя А--а \ Ь и 25 = /(<ч —/;)
будутъ также вещественны.

795. Примѣры, а) Требуется проинтегрировать уравненіе у''-{-у =/(У).
Здѣсь характеристическое уравненіе 7-+ 1 — 0, поэтому с’1 и е~і:' — частныя
рѣшенія неполнаго уравненія. Ихъ можно замѣнить, какъ было сказано,
рѣшеніями зіп л: и соз х. Общій интегралъ уравненія у"+у = 0 будетъ
у = а зіп х -|- Ь соз .г. Измѣненіе произвольныхъ постоянныхъ даетъ уравненіе

я'зіп.ѵ Т і'созд' = 0, л'соз.ѵ - Ь' зіп .ѵ — /(х),

изъ которыхъ выводимъ а'=/(х) соз х, I)'— —/(х) зіп х, н слѣдовательно,

V -- ЗІП X I /(.г) СОЗ X (ІХ — соз X I /(.т) ЗІП ,Ѵ (ІХ.
Ь)	Интегрировать уравненіе у'”=/іх}. Характеристическое уравненіе
имѣетъ тройной корень 0, и общій интегралъ уравненія у’"^ 0 будетъ
у = а/-Ъх У-сх2, что можно было предвидѣть. Измѣненіе произвольныхъ
постоянныхъ дастъ систему

«'4- Ь'х + с'х2 = 0, й'+Зс'л' = 0,	2 с' = /{х),

изъ которой находимъ а' = А х2/{х), Ь'= - х/(х), с'= У/{х), Общій инте-
гралъ уравненія у'"—/{х) будетъ

_У = і У X2/ (Л‘) ІІХ — V У X Д,г) СІХ + -1 х- /Ух) (ІХ.

Впрочемъ, этотъ результатъ почти очевиденъ, потому что, полагая

^/(х) сіх (х), .ДМ Ух =/2{х),	у^/а!» <іх -/3(Л'),

интегрированіемъ по частямъ получимъ

у1 х/(х) ах = Аі/і(.г-) -/г(лі),	^х2/(х) ах = А-3/!(х) — 2 х/2(х) 4- 2/3(.ѵ).

и выраженіе общаго интеграла будетъ у = //х\

с)	Интегрировать уравненіе _ѵ1Ѵ 4- 2у"'у-2" _+ 2у'—у =/(х). Корни
характеристическаго уравненія будутъ — 1, — 1, і, — і. Общій интегралъ
неполнаго уравненія будетъ поэтому’ т — (« 4- Ьх) е~'х + а соз х -|- іі зіп х.
По медодѣ Лагранжа вычисляется затѣмъ общій интегралъ даннаго уравненія

у = 4 (1 + л) е~~г ^*ех/(х) Ух - У е~х х <У/(х) сіх

— 4 зіп X /(,',) зіп X ах - 4 СОЗ Л" У / (я) СОЗ X ах.

Когда Дх) задано и квадратуры выполнены, то интегралъ обыкновенно
приводятъ къ виду (15), т. е. обнаруживаютъ частное рѣшеніе уГ|, которое
можно привести къ простѣйшему виду, отнимая отъ него всѣ слагаемыя,
удовлетворяющія неполному уравненію. Напримѣръ, для Дх) — ё~* найдемъ
Уо = I х2 е^х.

б) Интегрировать уравненіе у = ху'-I-х2у". Пробуя удовлетворить
этому уравненію выраженіемъ у хп, найдемъ, что » должно удовлетво-
рять уравненію 1 = н 4- п (п - - І\ т. е. и = + 1. Слѣдовательно, общій инте-
гралъ будетъ ѵ ах Н---------. Далѣе, если предложено уравненіе у — ху'Д-

,ѵ2_/'+/іх), то метода Лагранжа даетъ

У = у х I /(.г) а

^ + 2І’ /

е) Чтобы проинтегрировать уравненіе у + ху' -)-л'2у''= х, положимъ,
какъ въ предыдущемъ примѣрѣ, въ неполномъ уравненіи у=х", и найдемъ
н = ± і; а такъ какъ

д;±‘ = е± ' ,0?ж = СОЗ ІО§ X а: І ЗІП ІО§ X,
то соз Іо# л: и зініод.ѵ будутъ частныя рѣшенія неполнаго уравненія. Далѣе,
частное рѣшеніе полнаго уравненія очевидно, а именно іг.'с. Поэтому общій
интегралъ даннаго уравненія будетъ

.У - р' і ° ЗІП ІО§ Л’ + Ь СОЗ ІО{Г х

і)	Аналогичнымъ образомъ можно интегрировать уравненіе х-у" —
—(2 /і — 1) ху'у и? у -- 0. Полагая у — хп найдемъ для « одно только значеніе
п = ц.; но одного частнаго рѣшенія х" достаточно (§ 793, Ъ) для составленія
общаго интеграла. Полагая = х!'л, для опредѣленія е получимъ уравненіе
хз"-уз'= 0, и отсюда найдемъ г=а-\-Ь Іоу л-. Слѣдовательно,^—а;).
Къ тому же результату можно придти, измѣняя независимую перемѣнную.
Положимъ х = г*. Такъ какъ (§ 558, а)

.	— і <7 ѵ

>' - е -7і
аі

<7Д

ѵ7 — е

(ІР

то уравненіе обращается въ

<Ру

<і і-

2 <уу -Г У У = 0.

Здѣсь коэффиціенты постоянные и характеристическое уравненіе имѣетъ
двойной корень р; слѣдовательно, общій интегралъ будетъ вида
и для даннаго уравненія получимъ _і^ха(л + Ь Іоц ж).

2)	Подобнымъ же образомъ для интегрированія уравненія (1—л:2)./'—
ху' \ ѵ =- 0 полагаемъ ,г = сс8/, такъ что

1 (і.У

5І11 І СІІ

соі а <7 у 1 Ру
зіп8 і Лі +	/а^-

Данное уравненіе преобразуется въ ^уг+т=О и имѣемъ частныя рѣшенія
соз і = л', 5Іп / = 1^1 — .г2. Слѣдовательно,общій интегралъ.у—ахУУ 1 —ла .

Н) Замѣну одной независимой перемѣнной другою часто дѣлаютъ съ
цѣлью достигнуть того или другого упрощенія даннаго уравненія. Такъ
напримѣръ, уравненіе (1 + .ѵ-).у"+ ху'-— /Ру обращается, при замѣнѣ х новою
перемѣнною / (пока произвольною), въ уравненіе

(1 + Л-2) І'П- ’ (1 + Л-3) Г' +ХІ' }	= /Ру.

Здѣсь можно уничтожить членъ съ ^у, выбравъ і такъ, чтобы -р- +

= 0.

т. е. взявъ і’——— - и слѣдовательно,/—

^ = 108 (д’+У'І-г-*-2)

При такой подстановкѣ данное уравненіе обращается въ

Ру •>	X

—X, — II,-у И имѣ-
с/Р '

етъ общій интегралъ у = аси1-I-6 с “1. Замѣчая, что е1 = х + У1 -|- .ѵ2,
е~1 = — х + 3^1 -ф х- , найдемъ, что общій интегралъ даннаго уравненія
будетъ

у ~ а (.г-+ У1 + л'2Г ’ Ъ (- х + Уі + х?У
і) Чтобы интегрировать уравненіе, разсматриваемое Лежандромъ,
у = IУ'-\-ху", положимъ х — і2 и замѣтимъ, что

1 Л у ,,	1 сіу 1 сі2у

2/ Л ’ у “' 47з 77+4 /, 772

Уравненіе принимаетъ видъ

д?/3

= 4у и даетъ общій интегралъ

у = а г 4- Ь е 2І ж.

Лепэжъ (Ьераще) замѣтилъ, что болѣе общее уравненіе у— ту'уху"
интегрируется при безчисленномъ множествѣ значеній т. Дѣйствительно,

подстановкою у =	(§ 793, с) это уравненіе можно привести къ урав-

ненію Риккати: х (л'-)-л-) + >п: — 1. Полагая —:гѵ и опредѣляя г, такъ.

чтобы хѵ'Утѵ=0 (чего и достигнемъ, взявъ гі —| найдемъ, что и
должно удовлетворять уравненію хѵ (й'-|- ѵи2) — 1, т. е.	т = х"‘~\

Подстановка .* = /•“ преобразуетъ послѣднее уравненіе въ слѣдующее:

<7 и

А і



= Іі;'1”-1

далѣе (предполагая	и полагая и = -—1—V получаемъ такое уравненіе

\	'	1 — іп)

сіи и2 _ 7я

іі / + 1 - т 1 — т "

1—2т	п	1

гдѣ п =----, а потому т------—- = т „ 

1 — т	2 и + 4	2

Слѣдовательно, данное уравненіе интегрируется (§ 786, п) при значеніяхъ

т + С 1 4- гс 4,

і) Попытаемся интегрировать уравненіе не линейное

у"+ ЗУ-|- 2 (у —_уа) = О,

слѣдуя пути, указанному Манзіономъ (Мапзіоп). Положимъ у'+.ѵ = «,
что преобразуетъ данное уравненіе въ л'-р 2 з = 2 У1. Пользуясь методой
измѣненія произвольныхъ постоянныхъ, полагаемъ у — ие~х, г = ѵе~~\
гдѣ и и ѵ должны удовлетворять условіямъ и'ѵе~х, ѵ' = 2 и3 е~х. Исклю-
чая х, получимъ ѵ <іѵ — 2 и3 сіи, откуда ѵ2 = и1 — я2 (« — произвольная
постоянная). Подставляя затѣмъ въ и’=--ѵе~х вмѣсто -с его выраженіе и
интегрируя, находимъ

—г / сіи
е = Т- /

Въ правой части эллиптическій интегралъ. Если бы мы умѣли выразить «,
какъ функцію отъ х, то получили бы и общій интегралъ у — ие7 *. Во вся-
комъ случаѣ мы можемъ найти безчисленное множество частныхъ рѣшеній,
взявъ а = 0. Тогда получается

1

е — с ± — ,
и

± і

1 — сег
Аналогичнымъ образомъ можно трактовать болѣе общее уравненіе

,ѵ" +(» + ])./ 4- п (ѵ --„у2"'-1) = О

и найти его общій интегралъ въ явной, конечной формѣ, при всякомъ цѣ-
ломъ значеніи — . Напримѣръ, общій интегралъ уравненія ѵ4—'у у" - - 1
(= — 1) будетъ

У =	У~1 4- 4 аЛ.

Это можно получить и другимъ путемъ (§ 785, <1).

к)	Приложеніе рядовъ весьма полезно при интегрированіи нѣкоторыхъ •
4

дифференціальныхъ уравненій. Напримѣръ, уравненіе У + у'У»2у = О,
встрѣчающееся въ Механикѣ, интегрируется съ помощью ряда

/М = 1______+__________________________________. д. ...

'	2Ь>^1У2.4-(Н1)О'+3)	2  4  6 • (і'4-1) (і'4-З) (т-Нб)

Дѣйствительно, замѣчая, что /ѵ (.*)+ Ѵ~/'ѵ	+/»-(*) = 0 и полагая въ пред-

ложенномъ уравненіи у л’"/г (нх). находимъ

Это уравненіе можетъ совпадать съ предыдущимъ только при <л(р,-|-3)=- О,
•г = 2 ц + 4. Поэтому должно быть либо а = 0, і| = 4, либо р=-3, ).' =  2.
Слѣдовательно, искомый общій интегралъ будетъ у — а/і(»л') у іх~ 2(пх).
Впрочемъ, функція /_2 и Д очень просто могутъ быть выражены въ конеч-
номъ видѣ. Для этого замѣтимъ, что р (л-) = - -	( ѵ). Между тѣмъ

(§ 332, а) мы видимъ, что

/ОИ=1-Й !	---=СО5Л‘-

Откуда слѣдуетъ

/ 2 (х) - 1 со® -ѵ = х З‘т1 Л‘ + с05 А'.
и

далѣе

„ , ,	1 ,•, , зіп .г , . ,	3 /	3 зіп х

Л(-ѵ) =	~т~- л.^)=---Лк) = -4,-

Зсоя.г

х-

Окончательно общій интегралъ можно написать въ слѣдующемъ видѣ:

 " - (зіп 11X — ЦД'СОЗ пх) 4---г- (соз >1 X -ь- 11X 5ІП »х).

.V'	л-1
1)	Весьма важную роль играетъ гипергеометрическій рядъ1)

Г (а '1 < +і-1 +а ’	1 аП+д) • і?(1+,?).,> а(1+«)(2-|-а) ,?(]-гДн2+;9) = ,

1+і	і.2.7(]+т)-л +	! ,2.3.7(1+7) (У-?) ’ *+•’

удовлетворяющій, какъ легко провѣрить, Гауссову дифференціальному
уравненію

(.ѵ .+) у" + { у — (1 + « + ;?) .г аіЗу.

Пробуя удовлетворить этому уравненію болѣе общимъ выраженіемъ
(+, у7, л.-'), найдемъ, что либо должно быть /гі — 0, а'а, ;і' = ;3,
у' либо /4=1 — у, а,=1+а—7, •+= 1 +;1 — у, /'-=2-у. Слѣдовательно,
общій интегралъ будетъ

_у = я/(<і,Д, у, х) + 6х1' ’’/(! + П — у, 1+/?-7, 2-у, А-).

Полезно знать, что гинергеометрическій рядъ заключаетъ въ себѣ, какъ
частные случаи, многія извѣстныя разложенія. Такъ, напримѣръ, при ° — у
или с-’/=1, или а = 3 = 1 и 7 = 2, находимъ разложенія функціи (1 —х)

— % іо§ (1 — .ѵ). Замѣтимъ въ заключеніе, что найденныя выше два
частныхъ рѣшенія совпадутъ въ одно при у = 1; ко извѣстно, что достаточно
знать одно рѣшеніе, чтобы найти и общій интегралъ. Такъ, напримѣръ,
при ,3 = 1 уравненіе будетъ

(.ѵ — х2)у" 1(1— (2 + гг) а* }у'-• ау,

и допускаетъ частное рѣшеніе (1 — х)~ 1~. Простое вычисленіе (§ 793, Ъ)
покажетъ, что общій интегралъ будетъ

'	\ а 1 + а 2 -1 а 3 — а )

предполагая, конечно, что правая часть имѣетъ смыслъ.

[Примѣчаніе (Г. Эскамара. изъ итальянскаго изданія 1905 года).
Въ противномъ случаѣ, т. е. при «= — н, гдѣ п= 1. 2, 3, . .., получимъ

>Ч1-*)”^ І-Ио8]_^ +^(1 +" '+ ^ (1--х)"-2+--

При а = 0, у = а + Ь Іо* •

Впрочемъ, затрудненія, встрѣтившагося при у = 1, можно избѣжать, замѣ-
тикъ, что предложенное уравненіе не измѣнитъ своего вида при замѣнѣ у
на 1-|-а [-/? •-?, если при этомъ замѣнимъ л- на 1- .ѵ. Отсюда слѣдуетъ, что
у можно писать также въ видѣ:

Ѵ = «(1  +);'~а—^/(у — іЗ, у —а, 1 — а — + у. 1 — .г-) +

+ Ь/(а, /1, 1 + а + ;3 — у, I — .ѵ),

а въ частномъ случаѣ 3 = у = 1

у = <?( 1 —	+ Ь/\а, 1, 1 + а, 1 - л')].

х) См. Ыоѵі „АІ^еРга віірегіоге“ стр. 286 или Іогйап „Сотѣ сі'Апа-
1узе“ т. 1, стр. 154.
Уравненія со многими перемѣнными.

796. Уравненія съ полными дифференціалами (Тоіаіе ЭИ-
1егепііа1^Іеіс1шп§еп). Положимъ, что вмѣсто уравненія шіх + Ѵ(1у = О
(разсмотрѣннаго выше), дано уравненіе

(17)

и <іх + у <7ѵ + ге О,

въ которомъ и, т, да извѣстныя функціи отъ х, у, г- Если одну
изъ трехъ перемѣнныхъ, напримѣръ г, будемъ разсматривать, какъ '
функцію отъ двухъ другихъ (независимыхъ), то уравненіе (17),
очевидно, разлагается на слѣдующія два:

(іо)	— -------->	.— =--------

Л х № а у гѵ

откуда уже видно, что функціи и, ѵ, П’ не вполнѣ произ-
вольны. Дѣйствительно, такъ какъ

Э2д	и і> д и й-.г

д х Оу ду и; се д з	сід' Л.г

д ѵ н д ѵ
д х го ' гѵ д г гѵ

т. е.

д2$
дхду

д2 ~
ду

1 ди	и д ге г ди и и д гѵ

гѵ д г гѵ2 ду го- Э г «і3 д г

1 д г> , ѵ да и д ѵ и г1 д гѵ
гѵ д ,ѵ т «з д х 1 гѵ2 д д ге»”' <) з

то приравнивая одно другому эти выраженія (§ 368), найдемъ

Эго необходимое условіе для существованія зависимости между
тремя перемѣнными .ѵ, у, гѵ, полные дифференціалы которыхъ свя-
заны соотношеніемъ (17). Чтобы показать, что условіе (19) въ
то же время достаточно, мы покажемъ, что если оно выполнено,
то интегрированіе уравненія (17) или равносильныхъ ему уравненій (18)
возможно. Второе уравненіе (18) можно разсматривать, какъ обык-
новенное дифференціальное уравненіе перваго порядка съ двумя
перемѣнными у и г (принимая х за постоянную). Обозначая черезъ
</'(.г) произвольную функцію отъ одного х, можно написать общій
интегралъ этого уравненія въ видѣ

(20)	/(х, у, а) = <у{х),

такъ какъ, хотя х и разсматривается, какъ постоянная, но функціи
и и -ѵ отъ него зависятъ, что и надо обозначить. Замѣтимъ теперь,
что дифференцируя
должны получить то

котораго получилось

б г)

женія

сі_у/

уравненіе (20) (при постоянномъ х), мы снова
дифференціальное уравненіе, интегрированіемъ
(20). Отсюда получимъ ^сравнивая два выра-

I д/ 1 д/

— — •-= -	= 11,

ѵ о у гѵ сі а

гдѣ /л прилично выбранная функція отъ х, у, в. Если хотимъ,
чтобы и первое уравненіе (18) удовлетворилось, то должны выбрать
функцію (.г) такъ, чтобы при дифференцированіи (20) по х (при
постоянномъ у) получилось бы

(21)

й/	д / г) е	д/

-г . — т- =	-и и.

дх	д е дх	дх

А для этого необходимо (и достаточно), чтобы -/т« была функ-
ціею одного х. Весь вопросъ сводится къ тому, чтобы показать,
что при выполненіи условія (19), производная по у отъ Ди
равна нулю, при чемъ г разсматривается, какъ функція отъ х и у,
опредѣляемая уравненіемъ (20). Иными словами должно быть

д

ду



Но мы имѣетъ также

д Ід /'	\	ді.і.ѵ

- -------/'« = -< 

сф'\ч-Т	I	ГІХ

д іі и
с ѵ

д ід Г \ дчгѵ
— I — ии і = ' —
дя і/Цѵ ' / дх

д і.і и

Поэтому, если прибавимъ еще членъ

о н га д ,н. ѵ _ сР/ сіа /
ду д с деду ду де

умноженный на и, то послѣднее условіе приметъ видъ

и

Ицці сЪ.ід\ Ід/.си д/лгѵ\ . ід/іѵ
ду д е /	1 \ с) г ч х / ' ™ ( б х

^1=0.

ду !

А это равенство тотчасъ приводится къ (19), потому что лѣвая
его часть равна произведенію /л на лѣвую часть (19), сложенному
съ выраженіемъ

Если условіе (19) выполнено, то можно утверждать, что уравне-
ніе (20), въ которомъ <р(х) получается съ помощью квадратуры
изъ (21), будетъ интеграломъ уравненія (17). Замѣтимъ въ заклю-
ченіе, что лѣвая часть уравненія (17), когда оно интегрируемо,
дѣлается точнымъ дифференціаломъ (§ 741) по умноженіи на вы-
бранную надлежащимъ образомъ функцію отъ х, у, г. А именно,
если напишемъ уравненіе (20) въ видѣ Ф(л\ _у, я) = сопзі
(перенося всѣ не постоянные члены въ лѣвую часть), то бу-
демъ имѣть

откуда и (и (іх-\- ѵ /іу + го = ііФ. Геометрически разсмотрѣнный
вопросъ сводится къ слѣдующему: дана нѣкоторая совокупность
безконечнаго числа плоскостей (уравненія которыхъ получаются изъ
одного при безчисленномъ множествѣ значеній одного независимаго
параметра) (см. § 782) и требуется найти систему поверхностей,
касающихся этихъ плоскостей въ назначенныхъ точкахъ. Изъ пре-
дыдущихъ изслѣдованій видно, что рѣшеніе этой задачи вообще
невозможно. Причина этой невозможности заключается въ томъ,
что ищутся поверхности (которыя могутъ и не существовать).
Замѣтимъ, что, напротивъ того, существуетъ безчисленное множество
кривыхъ линій, удовлетворяющихъ этимъ условіямъ, даже тогда,
когда условіе (19) не выполнено. Дѣйствительно, исключеніе г изъ
уравненій (17) и произвольной зависимости <р(д:, у, г) = 0 при-
водитъ къ дифференціальному уравненію перваго порядка съ двумя
перемѣнными, которое всегда имѣетъ безконечное множество рѣ-
шеній, получаемыхъ изъ одного при безчисленномъ множествѣ зна-
ченій одного параметра (произвольной постоянной).

797.	Обыкновенныя совокупныя дифференціальныя урав-
ненія. Поставимъ теперь вопросъ, каковы должны быть соотношенія
между тремя перемѣнными г для того, чтобы дифференціалы
ихъ были пропорціональны извѣстнымъ функціямъ и, ѵ, щ.' отъ
.г, у, г:

(22)	ах =

и ѵ іѵ

Геометрически это значитъ во всѣхъ точкахъ пространства а ргіогі
назначить направленія касательныхъ къ неизвѣстнымъ кривымъ. Исходя
изъ этой точки зрѣнія, не трудно усмотрѣть (см. § 782), что суще-
ствуетъ оо* такихъ кривыхъ. Слѣдовательно, уравненія, составля-
ющія интегральную систему уравненій (22), должны быть вида

(23)	ѵ, з, а, 6) = 0, у, з, а, &) О,

гдѣ а и Ь произвольныя постоянныя. И въ самомъ дѣлѣ, уравненія
(22) представляютъ не что иное, какъ два обыкновенныя диффе-
ренціальныя уравненія перваго порядка, которыя въ болѣе общей
формѣ могутъ быть написаны слѣдующимъ образомъ:

(24)	/\х, у, г, у\ г'} = 0,	^(л,у, в, у', в') = 0.

Рѣшимъ эти уравненія относительно г и У: з = ф (х, _у. _/)•
з/=ір(х, у, У). Приравнивая второе выраженіе производной пер-
ваго, получимъ соотношеніе между х, у, у , и _у", т. е, дифферен-
ціальное уравненіе 2-го порядка между двумя перемѣнными х и у.
Интегрируя это уравненіе, получимъ выраженіе у черезъ х и двѣ
произвольныя постоянныя а и Ь. Подставляя выраженія у и у' въ
г = <р(х, у, у'), получимъ и выраженіе з черезъ х, а- и Ь- Такимъ
образомъ и будутъ проинтегрированы уравненія (24) или (22).
Замѣтимъ далѣе, что уравненія (24) могутъ быть представлены въ
. ,_	,	пу ііг,, .

видѣ (22), если рѣшимъ первыя относительно -у и , Подобнымъ
же образомъ обстоитъ дѣло, когда предложены три обыкновен-
ныхъ дифференціальныхъ уравненія перваго порядка съ 4-мя пере-
мѣнными х, у, .з, і. Представимъ себѣ эти уравненія рѣшенными
относительно производныхъ х, у, з по і: х'—и,у'=ѵ, з'—гѵ,
гдѣ и, ѵ, гѵ будутъ извѣстныя функціи отъ х, у, г, I. Выведемъ
изъ перваго у = </, (/, х, в, .У) и подставимъ выраженія у и у' въ
остальныя два; эти послѣднія примутъ видъ:

/(/, х, в, х', в', х") = 0,	& (I, х, в, .<	- 0.

Отсюда выведемъ выраженія з = !/>(/, х, х', х") и г'— х, У, х"')
и приравняемъ второе производной перваго. Полученное такимъ пу-
темъ соотношеніе между і, х, х' х", х'" будетъ обыкновенное диф-
ференціальное уравненіе 3-го порядка, интегрированіемъ котораго
найдемъ выраженіе х черезъ і и три произвольныя постоянныя.
Подставляя найденное выраженіе х и его производныхъ въ
з=ф(/, х, х', х"), а затѣмъ выраженіе х и з въ у —ф(/, х, з, х'),
получимъ и выраженія г и у въ і и тѣхъ же трехъ произвольныхъ
постоянныхъ. Вообще, если дана система и обыкновенныхъ диффе-
ренціальныхъ уравненій перваго порядка съ п + 1 перемѣнными:

Лх_'1х[	ііхі 	__^хп

и щ	н2	»и

то интегрированіе этой системы, путемъ исключенія п — 1 перемѣн-
ныхъ приводится къ интегрированію одного дифференціальнаго
уравненія /г-го порядка съ двумя перемѣнными, и такимъ образомъ
система совокупныхъ интегральныхъ уравненій получается въ видѣ

И, (х, х1( х2...хп, «2, ..., й„) = 0 (г = 1, 2, 3, ..., и),

куда входятъ и произвольныхъ постоянныхъ. Благодаря присутствію
этихъ постоянныхъ систему п функцій отъ одной независимой
перемѣнной, которыя должны принимать заранѣе данныя
значенія для даннаго значенія независимой перемѣнной
можно опредѣлять системою п совокупныхъ дифферен-
ціальныхъ уравненій перваго порядка.

798.	Уравненія въ частныхъ производныхъ. Простѣйшее
уравненіе въ частныхъ производныхъ (§ 781) есть то, которое
связываетъ частныя производныя р> и <] неизвѣстной функціи з отъ
двухъ независимыхъ перемѣнныхъ х и у съ этою функціею и
независимыми перемѣнными. Мы остановимся здѣсь главнымъ обра-
зомъ на такихъ уравненіяхъ, въ которыя р 'л і[ входятъ линейно,
и которыя поэтому и называются линейными. Ихъ общій видъ есть

(25)	ир — ѵц = г.1,

гдѣ гі, ѵ, ш извѣстныя функціи отъ х, у, г. Вопросъ о разысканіи
всѣхъ функцій з, удовлетворяющихъ такому уравненію, геометри-
чески сводится къ разысканію всѣхъ поверхностей, которыя въ
каждой точкѣ (х, у, з) касаются прямой, проведенной черезъ эту
точку въ направленіи (и, ѵ, а1), потому что уравненіе (25) можно
разсматривать, какъ условіе перпендикулярности прямой даннаго
направленія (и, г>, гѵ) съ нормалью (р, ц, — 1) къ искомой поверх-
ности (§ 659). Разсматривая вопросъ съ этой точки зрѣнія, не
трудно видѣть, что всякая такая поверхность будетъ общимъ мѣ-
стомъ кривыхъ нѣкотораго семейства, принадлежащаго къ дважды
безконечной системѣ кривыхъ (23). Совокупность всѣхъ этихъ
поверхностей должна, слѣдовательно, получиться, если установимъ
нѣкоторую произвольную зависимость между постоянными а и Ь
въ уравненіяхъ (23). Уравненіе всякой поверхности, удовлетворяющей
уравненію (25) должно поэтому получиться черезъ исключеніе а и Ь
изъ уравненій (23) и произвольнаго соотношенія со (а, Ь) = 0.
Этотъ предугаданный результатъ тотчасъ подтвердится вычисленіемъ.
Положимъ, что р\х, ѵ, д) = 0 есть такое соотношеніе, которое
опредѣляетъ г, какъ функцію отъ х и у, удовлетворяющую урав-
гг	Л ду ідУ	др /ду

ненію (25), Полагая въ (25) р = — -^1	=	, при-

водимъ уравненіе (25) къ виду

(26)	Сі 1 С( + '“К-°-

линейнаго и однороднаго уравненія, которое тотчасъ можно
проинтегрировать, если извѣстна система интегральныхъ уравненій
системы (22). Дѣйствительно, представимъ себѣ, что уравненія (23)
рѣшены относительно постоянныхъ:

(27)

(Г (,г, _ѵ, л) = а,	1;' (х,у, г) — Ь,
Замѣтимъ, что функціи і/> и ір независимы одна отъ другой; иначе,
задавъ опредѣленное значеніе для а мы не могли бы выбрать Ь
по произволу. Теперь оказывается, что уравненіе (26) удовлетво-
ряется, какъ при у = (р, такъ и при ір, потому что, дифферен-
цируя уравненія (27) и замѣняя сіх, сіу, сіе пропорціональными
имъ и, ѵ, и>, получаемъ

,по, гі ч> ,	, гі Ф п іі ѵ , гі ѵ , д >і>

(28)	«утѵ-	н — у ѵ	- = 0.

і	д х ду де	дх ду О з

Понимая теперь подъ / какую угодно функцію, удовлетворяющую
условію (26), замѣчаемъ, что совмѣстность этого условія съ (28)
требуетъ, чтобы

іі (/ У', у) = 0
д (ѵ, у, е'\

Слѣдовательно (§579), между/", </ и тр должно существовать сооот-
ношеніе. Оно непремѣнно содержитъ въ себѣ /", иначе ср и ір не
были бы независимыми. Итакъ, / = &> (<р, ЦІ). Что касается со, то
это символъ совершенно произвольной функціи. Какъ бы мы пи
выбирали со, всегда будемъ имѣть

д/ _ гі ы д <;	д ы д ѵ	д/ _ д ы д гр	д <і> д	д/	д ы д <р	да> дір

дх д <( '> х	д /р гі .г	ду гі ір ду	гі у гі у	де	гі </ гі г	дір гіе

откуда

и уравненіе (26) удовлетворяется. Теперь мы и видимъ, что доста-
точно положить со (</, ір) = 0, чтобы удовлетворить урав-
ненію (25). Общнѣе, интегрированіе линейнаго уравненія съ н
независимыми перемѣнными

/от	гі X . гі X ,	, гі .Г

(29)	«, -т— 4- іь, з-----------ѣ  -  +»„ т— ” ».

ѵ '	1 гі.т, гіл'а	гі.ѵл

сводится къ интегрированію линейнаго и однороднаго уравненія

съ п+1 независимыми перемѣнными

(30)	-ѣ и2 уу +    + “„4^ + « 44 = 0.

гі .г, гі Л'.,	гі.ѵ„ дх

а для интегрированія послѣдняго нужно интегрировать систему
обыкновенныхъ совокупныхъ уравненій

(І х	<7 Л4 _ Л Х-, _	_ <іх„

и ~	и2	па
и представитъ интегральную систему въ видѣ

у^х, хг, х2, ..,, л’н) сопві. (/ — 1, 2, 3, ..я).

Самое общее рѣшеніе уравненія (30) будетъ(уі, у2, ,у.„), а
уравненіе (29) удовлетворится самымъ общимъ образомъ, если по-
ложимъ ш(</,, у2,	=0, гдѣ тѵ есть символъ произволь-

ной функціи.

799.	Полезно замѣтить, что, зная одно частное рѣшеніе /= у
уравненія (26), можно упростить интегрированіе, сводя число неза-
висимыхъ перемѣнныхъ съ трехъ на двѣ. Такъ какъ у заключаетъ
въ себѣ по крайней мѣрѣ одну изъ перемѣнныхъ, то всегда можно
предположить, что у зависитъ отъ з, измѣняя, если понадобится,
обозначеніе перемѣнныхъ; слѣдовательно, можно принять у вмѣсто г
за независимую перемѣнную. Заключая въ скобки частныя произ-
водныя, взятыя по новой системѣ независимыхъ перемѣнныхъ
х, у, у, получимъ

V /д/\ ,	, РА А, д/ ід/\д<і

дх \д х] ~*\д ср! д х ду \ду) \дуІду дг \д/р’дг

и уравненіе (26) приведется къ + *' (|~) = 0- Вопросъ при-
водится, слѣдовательно, къ интегрированію обыкновеннаго диффе-
ренціальнаго уравненія съ двумя перемѣнными: _у' = /(.т, у, у),
въ которомъ у трактуется, какъ постоянная. Общнѣе, если извѣстны
ѵ независимыхъ частныхъ рѣшеній уравненія (30), т. е. ѵ функцій
Фр ф-л   ., удовлетворяющихъ уравненію (30), при чемъ ни одна
изъ нихъ не есть функція другихъ, то можемъ преобразовать
уравненіе (30) въ другое, подобное ему, съ п — г-фі независи-
мыми перемѣнными. Къ этому послѣднему приходимъ, принявъ за
новыя независимыя перемѣнныя функціи у2, . . ., взамѣнъ нѣ-
которыхъ ѵ прежнихъ.

800.	Чтобы интегрировать, слѣдуя Лагранжу, какое угодно
уравненіе въ частныхъ производныхъ перваго порядка съ двумя
независимыми перемѣнными

(31)	/(х, у, а, д 7) = 0,

ищемъ еще одно соотношеніе іг(л', ѵ, а, р, <]} = 0, чтобы изъ
него и даннаго (31) выразить р и <] въ функціяхъ отъ х, у, з, и
затѣмъ найти з интегрированіемъ уравненія А = р <іх -ф цеіу съ
полными дифференціалами. Взявъ частныя производныя по х, у, з
отъ _/’= 0 и & = 0 получимъ

А ।	= о А ,	=

дх	др дх	дд дх	’ д	д р ду' дд д у	1 дг	дрдг	дддг

і. > АГ<)'/=О	= а

<1.ѵ	<1 р дх	дддх	’ д у	др д у 1 д д ду дг	дрдг	дд д.г
„	др да	,

Исключимъ отсюда и ~ , и полученныя затѣмъ выраженія осталь-
ныхъ четырехъ производныхъ подставимъ въ уравненіе

4. а = 1? _1_ /, °1,
0 у " д г д х ' ™д з

выражающее (§ 741) необходимое и достаточное условіе интегри-
руемости уравненія сія — рЛх-\і; сіу. Тогда получимъ уравненіе

дрдх ддду \ др $ дд) о~ (дх дз) др \ду^$дг]дд

Это линейное однородное уравненіе въ частныхъ производныхъ
перваго порядка съ пятью независимыми перемѣнными (у, у, з, р, у).
Его интегрированіе приводится, какъ мы видѣли (§ 798) къ инте-
грированію системы четырехъ обыкновенныхъ совокупныхъ уравненій
перваго порядка. Впрочемъ, по важному замѣчанію Шарпитта (СЬагріі)
достачно знать одинъ лишь интегралъ (рѣшеніе) уравне-
нія (32) съ одной произвольной постоянной, чтобы затѣмъ,
съ помощью интегрированія уравненія Лг = р Лх + Ч Лу, получить
самое общее выраженіе функціи г = ІУх, у, а, Ь), удовлетво-
ряющее уравненію (31). При этомъ а и Ь разсматриваются, какъ
постоянныя или какъ перемѣнныя, подчиненныя извѣстнымъ усло-
віямъ, Положимъ, для большой ясности -), что уравненіе (31) при-
ведено къ виду: .5 — Ф (х,у, р, у); пусть С(х,у) какая нибудь
функція, ему удовлетворяющая, такъ что тождественно будемъ
имѣть С = ф(х, _у,	. Съ другой стороны, опредѣлимъ а и Ь

изъ уравненій

/очі	дГ _дС

' '	дх дх ду ду

Принимая во вниманіе, что предложенное уравненіе должно удов-
летворяться независимо отъ а и Ь, когда положимъ г = Е(х,у, а, й),
мы видимъ тотчасъ, что

I др дЕ\ I д(і дС\ „

Е (х, у. а, &) = Ф |.г. у. _, —) , Ф (.г; у, _ ,	6 (х, у).

Слѣдовательно, р\х,у, а, іі) заключаетъ въ себѣ всѣ возможныя
функціи г, удовлетворяющія данному уравненію, и на этомъ осно-
ваніи называется полнымъ интеграломъ этого уравненія. Между
тѣмъ, взявъ частныя производныя отъ тождества /’=С, и прини-
мая во вниманіе уравненіе (33), видимъ, что должно быть

(•34)

дР'да дРдЬ дРда дРдІ)
да дх дЬ дх ’ да ду' дЬ ду

*) Считая пока а и Іі постоянными.
Эти соотношенія, удовлетворяющіяся тождественно при а н Ь посто-
янныхъ, остаются справедливыми и въ томъ случаѣ, когда а и Ь бу-

дутъ надлежащимъ образомъ выбранныя функціи отъ X и у. Эти
функціи будутъ либо независимы, либо въ произвольной зависимости
„	,	<) (а, Іі)

одна отъ другой. Въ первомъ случаѣ опредѣлитель	не равенъ

д і' п дГ п	,

нулю, а потому должно быть = 0, -^ = 0, откуда для а и о получа-

ются двѣ различныя функціи, подстановка которыхъ въ 2 = /?(д,,_у, а, 6)
даетъ такъ называемый особенный интегралъ. Во второмъ слу-
чаѣ, когда Ъ = а> (а), гдѣ ш произвольная функція, уравненія (34)
дГ ,, $!•’	,

приводятся къ одному -ф (і) (а)'5^ = О, и Для ано получимъ

выраженія, въ составъ которыхъ входитъ символъ произвольной
функціи. Подставляя ихъ въ г = Г[х,у, а, 1>) получимъ такъ назы-
ваемый общій интегралъ даннаго уравненія1).

4) Читателю, желающему ознакомиться подробнѣе съ этою важною
теоріей и найти по ней упражненія, мы рекомендуемъ спеціальныя сочи-
ненія Рогзуііі'а и Ооигэаѣ

ПРИБАВЛЕНІЕ

ПРИБАВЛЕНІЕ

Функція Вейерштрасса.

801. Функція, на которую мы указали въ концѣ § 282, имѣетъ
слѣдующее выраженіе:

/(х) — сой л- х -с Ь соя .7 а х — соз л а2 л -|- й3 соз ц а* дг-|- • • 

при нѣкоторыхъ, надлежащимъ образомъ выбранныхъ, а и Ь.
Извѣстно, что при ! й!< 1 этотъ рядъ равномѣрно сходящійся (§ 319)
и, слѣдовательно, его сумма — непрерывная функція отъ х (§ 322).
Мы покажемъ теперь, что, несмотря на непрерывность, /(х) ни
при какомъ значеніи х не имѣетъ производной. Сперва, фик-
сируя значеніе д-, составимъ послѣдовательность такихъ цѣлыхъ
(положительныхъ или отрицательныхъ) чиселъ «0, а,, а2,
чтобы всѣ разности

-ѵ — с0, ах — «н й2.г — «о, л3.ѵ - «3, ...

были больше и не больше 4; для этого достаточно взять
— «» = [д — а"х]. Положимъ теперь

г = «« ~ 1 • = ,
а“ ’ и а»

такъ что

і < а” (х — х*) -х, і ая(х’я-х) <

Если «>3, то будемъ имѣть

-ѵ-*в+1 "

и поэтому

.г0 < .г-1 < № < ,ѵ3 < •  , Ііт х№ = х.
Точно также

{	/ г	г

хъ >	> х2 > х3 > •  - , 11Ш хп = л\

Теперь разсмотримъ два отношеній приращеній

/(*)-/(*„)
х - -41

/СО —/(*).
< - *

Первое будетъ лѣвостороннее, второе правостороннее. Лѣвостороннее
отношеніе приращеній

Лл'} - /(хы)	уі у соз (я а"х) - соз (л аѵ х„)

х~ хп х--	х - хл

о

разлагается на слагаемыя

соз (л й1’х)—соз (я аха)
аѵ (х - ,тя)

V соз (.т о" ~ѵх) — соз (л а'

о

Относительно первой суммы замѣтимъ, что

• / ѵ X -
соз (л а х) — соз (;г а х„}	. / х 4- л’\	|	2

---1--------------------5- = -п51П ля 	2 ------------
а''(х-хп)	\-2	! п а* х

Такъ какъ абсолютный величины зіп.г и не больше 1, то

X

абсолютная величина послѣдняго выраженія не больше я. Отсюда
слѣдуетъ, если предположимъ А>0, что первая изъ суммъ въ (1)
о о абсолютной величинѣ будетъ меньше, чѣмъ

л—і

Л &У =

о

(«а_)в -2
аЬ — I

С , («й)я.

аЬ — 1

7Т Ѳ

Слѣдовательно, ее можно представить въ видѣ —(а 1>)и, гдѣ 9
содержится между — 1 и 1. Что касается второй суммы въ фор-
мулѣ (1), то замѣтимъ, что

соз (л «’*+’' х) - соз (л ап~^’ хя)

= - СОЗ (л	{1 —соз (ян" Н’ (.Г — Л'„) ) } - зіп (яЗІП (л <7М+1'(х—хп)).

Предполагая теперь, что а нечетное цѣлое число, мы видимъ,
что дуга

Л в”'1"’’*-» = Лв’- Я" ХП -Т <і"	1)

есть кратное отъ л и при томъ четное или нечетное, смотря по
тому, будетъ ли аа нечетное или четное число. Отсюда слѣ-
дуетъ, что

соь і .т л,1~г"л-г() = — (— 1)“«, 8іп (л ггк ‘’.т„) = О,
со® (ял” । ГЛ7) — соз (л а'1—” .г’я) = ( — 1)я» { 1  соз (л:ая+г’ (_ѵ — ,Ти)) }.

Поэтому разсматриваемая сумма приводится къ

Д,	1 — СОЗ (.ЛЯ1'"*-1' |>— А'І )

(2)	(-Г|%М)ВУѴ-	-- - —

Всѣ члены подъ знакомъ суммы положительны или равны нулю.
Первый членъ равенъ

I — соз {я а” (.ѵ - ,тя))
ая (*-*„'

Дуга таа"(йг-л-и)>^лгг и й ® л;. Ея косинусъ, слѣдовательно,
меньше нуля или равенъ нулю, поэтому разсматриваемый членъ, въ
которомъ числитель не меньше 1, а знаменатель не больше |,
будетъ не меньше $. А вся сумма въ формулѣ (2) поэтому на-
вѣрно больше . Отсюда заключаемъ, что выраженіе (2) можно
представить въ видѣ (	1/'»  | /с (а/?)", гдѣ ^>1. Итакъ, будемъ

имѣть

Выраженіе въ скобкахъ всегда больше, чѣмъ

и будетъ поэтому положительнымъ при аЬ 1	Съ другой

стороны, извѣстно, что (аЬ')п съ возрастаніемъ п превзойдетъ вся-
кое данное число. Итакъ, лѣвостороннеее отношеніе приращеній
возрастаетъ безпредѣльно, когда независимая перемѣнная стремится
къ предѣлу х проходя послѣдовательность значеній .т(|, хг. хг.

Совершенно подобное же вычисленіе даетъ

/(•»») /(*)	<	. ,.Л/2А’ , л9' 1

( } Ь“ + ^ТГ

гдѣ 1, а 0' лежитъ между — 1 и + 1. Поэтому правосторон-
нее отношеніе тоже безпредѣльно растетъ по абсолютной величинѣ,
но при всякомъ значеніи п имѣемъ знакъ, противоположный знаку
лѣвосторонняго отношенія, когда независимая перемѣнная стремится
къ тому же предѣлу л, проходя послѣдовательность значеній
А’о , -Гі , Я 2 , ....
Кромѣ того Винеръ (ХѴіепег) 1) доказалъ, что можно составить
и другія послѣдовательности, для которыхъ отношенія приращеній
будутъ стремиться къ произвольно заданнымъ предѣламъ. Викеръ
воспользовался также функціей Вейерштрасса, чтобы показать
(см. § 692, Ь), что поверхность, не будучи линейчатой, можетъ
быть развертывающеюся. Разумѣется, матеріально такую поверх-
ность нельзя осуществить, потому что у нея нѣтъ касательной
плоскости ни въ одной точкѣ®).

Нѣкоторыя свѣдѣнія объ исчисленіи конечныхъ
разностей.

802.	Когда дана нѣкоторая послѣдовательность чиселъ
и„, и,,	. . ., то конечною разностью или просто разностью

какого нибудь члена называютъ то число, которое надо съ нимъ
сложить, чтобы получить слѣдующій членъ. Составленіе разностей
членовъ нѣкоторой послѣдовательности есть операція, обозначаемая
символомъ 4:

«н-і“ іір-

Простой переходъ отъ одного члена къ слѣдующему (замѣна одного
другимъ) можетъ быть также разсматриваема, какъ нѣкоторая опе-
раціи V такого рода, что

Р 11р =	•

Правая часть есть не что иное, какъ иѵ Дия и потому можно
сказать, что операціи Л и V7 находятся между собою въ символи-
ческой зависимости Г = 1 -(- Д. Если же въ выраженіи Л и? замѣ-
нимъ черезъ то получимъ 4 = 7 — 1.

803.	Мы покажемъ теперь, что знаки операціи 4 и 7 под-
чиняются алгебраическому вычисленію, по правиламъ, изложеннымъ
въ § 350. Сперва замѣтимъ, что какъ р — кратное примѣненіе
операціи Д надъ такъ и д  кратное ея примѣненіе къ иѵ,
даютъ гі^, такъ что имѣемъ

7) „СгеПе’з 1оагпа1“, 1881. Стр. 221.

2) „ЬеЬгЬисІі сіег «іагвіеііешіеп Оеотпеігіе“. Томъ II, Стр. 33.,
или, подставляя Ѵѵи0 вмѣсто иѵ,

[7‘‘ . рЯ = р* . р? = р'р^<! .

Далѣе, замѣтимъ, что операціи Д и V могутъ быть переставляемы,
потому что ѴЛир изображаетъ членъ, слѣдующій за Дир въ послѣ-
довательности Ди0, Диіг Дщ, , . ,, т. е. Д ир.^і, вмѣсто котораго,
очевидно, можно писать ДѴир. Итакъ, ГД = /ІР. Отсюда слѣ-
дуетъ, что рядъ операцій /1 и V, можно производить въ какомъ
угодно порядкѣ. Далѣе, такъ какъ разность суммы, очевидно, равна
суммѣ разностей слагаемыхъ членовъ, то

= Д^ - 1) = л Р - Л - і ъ/ - Д
= Г(Г - 1) —(^- 1) = Г- I)2.

Общнѣе, допустивъ, что

= (Г — 1)Л

получимъ

2/Н-1 _	(Р-

1)? = У7 - 1)РЛ = (? - І)^1,

такъ что вышеуказанная формула справедлива при всякомъ р. Отсюда
вытекаетъ, что для выраженія /і-ой разности перваго члена послѣ-
довательности и0, и,, и2, ..., имѣемъ

(1)	,21)и71-=------± ио•

Для любого другого члена имѣемъ

/Р «„ =	- іу и0,

т. е,
- г "^-1 +	'“^-2-------±иѵ-

Если, наоборотъ, желаемъ возстановить самую послѣдовательность,
зная послѣдовательныя разности перваго члена, то надо примѣнить
формулу р" = (1 -|- Л/, которая даетъ

(2)	- е/0+	2 Л3я0+ ' ‘ ' +^«а-

804.	Разности отъ (Р. Такъ называютъ для краткости послѣ-
довательныя разности перваго члена послѣдовательности чиселъ
0у, 1*, 2’, Зг, .... На основаніи формулы (1) имѣемъ

(3)	,2/------±р.
Составляя, напримѣръ, разности кубовъ, получаемъ слѣдующую
таблицу чиселъ:

0 1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000	. . .

1 7 19 37 61	91	127	169	217	271 ...

6	12	18	24	30	36	42	48	54	. . .

6666	6	6	6	6...

Какъ видимъ, четвертыя разности всѣхъ членовъ послѣдовательности
равны нулю. Мы вскорѣ увидимъ, что это лишь частный случай
одной общей теоремы, которая даетъ возможность обратно возста-
новить первоначальную послѣдовательность путемъ простого сло-
женія *). Это полезно на практикѣ при составленіи таблицъ квад-
ратовъ и кубовъ. Возвратимся къ формулѣ (3) и выведемъ изъ
нея простой способъ быстро вычистятъ разности отъ 0'>. Замѣнивъ
р на р - 1 и складывая получаемую формулу съ (3), найдемъ

о?+	{р - 1)?+	~2) (р- 2)?----у- і.

Между тѣмъ правая часть, умноженная на р, даетъ

/-!. .А 1	+ > - г> _ 2)?+г . . .	=

Слѣдовательно, имѣемъ

(4)	0’ в  р 0" +	1 0*).

Примѣняя эту формулу, весьма легко составить слѣдующую таблицу:

	А	А2	Л3	4*	А-	Л8	А7	З8
О1	1							
оа	1	2						
о3	1	6	6					
о4	1	14	36	24				
о5	1	30	150	240	120			
о6	1	62	540	1560	1800	720		
о7	1	126	1806	8400	16800	15120	5040	
о9	1	254	5796	40824	126000	191520	141120	40320

а) См. формулу (5) § 806, гдѣ = 0 при г = р, р 4- 1, Р + 2,
если у — дѣлая функція степени < р.
Элементы второго столбца получаются слѣдующимъ образомъ:
начиная съ 2, прибавивъ это число къ 1 и удвоивъ сумму, полу-
чаемъ 6; прибавивъ 6 къ 1 и удвоивъ сумму, получимъ 14;
(14 + 1)2 = 30 и т. д, Для составленія 3-го столбца поступаемъ
аналогично, а именно: прибавляемъ первое число столбца къ сто-
ящему отъ него слѣва числу предыдущаго столбца и сумму утраива-
емъ и т. л. Такъ, напримѣръ, начиная съ 6, получаемъ (64-6)  3 = 36;
далѣе (36 Д-14)  3 = 150 и т. д. *) Таблицу, составленную такимъ
образомъ, полезно имѣть передъ собою, когда надо вычислять раз-
ности отъ 0?, что встрѣчается во многихъ интересныхъ вопросахъ
Анализа.

805.	Полезно также замѣтить нѣкоторыя свойства, которыя
легко выводятся изъ (4). Прежде всего, 4-^СР —0, когда />><7.
Дѣйствительно, допуская, что это справедливо для нѣкотораго зна-
ченія д (а это очевидно при ^=1), изъ формулы (4) тотчасъ
увидимъ, что это будетъ справедливо и при замѣнѣ д на д'Д'і-
Изъ той же формулы вытекаетъ, если положимъ д — р - 1, что
№№—р\ Наконецъ, замѣтимъ, что Лі’Оч всегда дѣлится на р\
Въ самомъ дѣлѣ, напишемъ формулу (4) слѣдующимъ образомъ:

Ар 0" - р о’-1 + р А? 0?-1

и примѣнимъ эту формулу нѣсколько разъ ко второму члену правой
части. Тогда получимъ

о'2 - />4’ 1 О’"'1 ]-	05'-'2 +---Н рч р 11 А»-' О7' \

Слѣдовательно, 4 г О1? дѣлится на р\ а такъ какъ во второй части
входятъ только (/> 1)-ыя разности, то можно сказать, что 4*10^ дѣлится
на р (р — !) Отсюда слѣдуетъ, что каждый членъ второй части дѣлится
на р (р — 1)(/> — 2), а потому и 4^0? дѣлится на р( р — 1) (р —- 2)
и т. д. Такимъ путемъ съ помощью цѣпи послѣдовательныхъ заклю-
ченій ясно увидимъ, что 4^0’ дѣлится на р\, каково бы ни было д.

806.	Разности функцій. Положимъ теперь, что составлена
послѣдовательность значеній р'(х'),	... нѣко-

торой функціи у. Разность р-го порядка (/»-ая разность) перваго
числа, по формулѣ (1), будетъ

-/(.ѵ+М) - у/(А- + (Р -1) Л) +	А)----1ЛА

Если разложимъ каждый членъ правой части по формулѣ Тэйлора,
то найдемъ, что коэффиціентъ при к" будетъ

4г (- т - 1)" + " ьі1 	2>"----М = )'? °г-

*) 1 Іервое число каждаго столбца равно первому числу предыдущаго,
умноженному на р, гдѣ р номеръ столбца.
напримѣръ, имѣть ^107, то нужно замѣтить, что разложенія 7 на четыре
цѣлыя слагамыя будутъ

1 + 1+ 1 + 4,	1+1+ 2 + 3, 1+2 + 2 + 2.

Первое и третье считается по четыре раза, а второе 12 разъ. Слѣдовательно.

/4	12	4	\

Д*07 = 7!(	4——— 4-----------—) -= 8400.

‘.4! г 2!3'. г 2! 2! 2\)

Ь)	Для функціи .у = получаемъ

і 1 ,	1	А

Д ѵ —--------Ь	—т — • -	,—.--тт 1

Л' Х-^-П	К\Х->-к}

_ Іі____________к____________________2 Аа______)

У ~ х (.г +А) ІХ+ А) (.г 4- 2 Л) ' ,ѵ (д- + к) (л- + 2 к)

и вообще

______.

х (,г + к) (л- + 2 А) -  • (л- | />Л)

Положивъ А = — 1 и замѣнивъ ,ѵ на - въ формулѣ (5), получимъ

--------—1----------------- = . *.	+ ѵ +"0;,+1 4-

,ѵ++0'‘Ь2 + •.).

Разлагая каждый множитель лѣвой части въ рядъ (геометрическую прог-
рессію) и представляя себѣ умноженіе выполненнымъ, легко найдемъ, что

----- равна

суммѣ всѣхъ произведеній изъ 7 цѣлыхъ положи-

тельныхъ чиселъ, равныхъ или неравныхъ, не превосходящихъ /л
Такимъ образомъ становится очевиднымъ доказанное въ концѣ § 805
свойство.

с)	Объясненное въ § 802 обозначеніе позволяетъ воспользоваться
символическимъ вычисленіемъ (§ 350). такъ что различные результаты полу-
чаются весьма легко. Замѣтимъ, что

»о — их х +	.ѵ- +    = (I + х Г + х- і а + •  ) «о

и преобразуемъ выраженіе въ скобкахъ въ

	I____1	_ 1	. л~Д + 4^
1_____________________(1-.г)-.ѵГ	1 А'(1 л+ + (1 -

Тогда тотчасъ получится

2

и хѵ

X1 х''

о
Если, напримѣръ, данъ рядъ

/(.ѵ) = И Л- -I- 2'7 № + 3« л-з + 4? .т4 - •   ,

то легко найти его сумму

„ х д-Л0'; , ,ѵ2^ог ,	.

/(х)	(1 _ ;г)2 + (1 _ л-)3 + Г(і-Ау+і‘

Мы видимъ, что /(х) есть частное отъ дѣленія полинома степени ц на
(1  ,г)(г+1.

(1) Подобнымъ же образомъ, когда данъ рядъ

,, . Г’.ѵ , 2’ № ,	, 4^1 ,

/<-г) - (।' + 2! + 3: ' 4!	’

получимъ

.А*) =	. г1 = г (/ІО" -	.;/2 ОС + ... + от).

Итакъ, сумма даннаго ряда есть произведеніе е* на полиномъ степени у съ
цѣлыми коэффиціентами. Отсюда слѣдуетъ, что сумма ряда

И 2? д_ 3? _ 1! д_
1! + 2! + ЗГ 1 4І + ’ ' '

рав а цѣлому кратному отъ е. Напримѣръ, имѣемъ

1	4 , 9 , о	1 , 8 , 27 ,	,

П~2!+3! + ” 2*’ ІТ + 2!+3! + ' ’ ' =5е'

808. Исчисленіе конечныхъ разностей имѣетъ много полез-
ныхъ приложеній въ Алгебрѣ, о чемъ читатель можетъ узнать въ
другихъ сочиненіяхъ1)*). Здѣсь мы ограничимся указаніемъ на то,
какимъ образомъ оно можетъ служить для рѣшенія задачи интер-
полированія (§ 343), т. е. для составленія цѣлой функціи _у,
принимающей заранѣе заданныя значенія р0,_Уі,уг,  -
при данныхъ значеніяхъ л"п, дг,, хЛ, . . . независимой пере-
мѣнной. Представимъ себѣ еще третью перемѣнную і, которая'
соотвѣтственно парамъ (.г0, _уи), (л^, у,), („г,, у2) ... перемѣнныхъ
х и у принимаетъ значенія 0, 1, 2, ... Перемѣнныя х и раз-
сматриваемыя, какъ функціи отъ і, должны, слѣдовательно, при I = р
принимать значенія хр и у?, и такъ какъ вообще И/. — (1 -ф-ИУ';иа,.
то мы можемъ написать

(6)	х = (1 -р ,тп, у — (1 +	т0.

і) Вегігапб. „АІ^ёЬге”. 2-ая часть, стр. 239, 249 и др.

*) Для ознакомленія съ теоріею конечныхъ разностей и разнообраз-
ными ея приложеніями рекомендуемъ читателю сочиненіе академика А. Мар-
кова .Исчисленіе конечныхъ разностей”. 2-ое изданіе „Маіѣезіз”. 1910.
Исключеніе / изъ этихъ уравненій въ каждомъ данномъ случаѣ и
дастъ искомое соотношеніе между х и у. Положимъ, напримѣръ,
что й-о, л',, х2, - х,і взяты черезъ равные промежутки А въ
интервалѣ (д?0, д-н). Въ этомъ случаѣ Л ,т0 = /і, Д~х0 = 0, /Ра,,— 0 ...
и, слѣдовательно,

.1’ — Л',-, + / /.г,, -|- —- • дрА'і) ~Р    = х0 • /:І,

что, впрочемъ, можно было предвидѣть. Значеніе /, получаемое
отсюда, подставимъ во второе уравненіе (6). Оно обратится тогда
въ Ньютонову формулу ’)

л' — .гн Д.Уі, г’_2Г_-то Р А'о______________________і \	?’о 

" к 1 А \ А ! 1 '2

Свойства Бернулліевыхъ чиселъ.

809.	Бернулліевы числа (§ 351) очень просто выражаются
въ разностяхъ отъ (К. Дѣйствительно, разсмотримъ послѣдователь-
ность чиселъ, первый членъ которой г/о = О, а остальные опредѣ-
ляются формулою

= о? _н ]? + 2* + • . - + (р - іу<

Послѣдовательность первыхъ разностей и будетъ 0’, 1?, 2?, . . ..
Слѣдовательно, Д^и0— Д?_ 10< Отсюда вытекаетъ, если приложимъ
формулу (2) § 803 и возьмемъ р > р, что

г + г? + ... о-і)?зо* +    +	о7-

1 ' Л	1	’ 1 ’ 1,^ | 1 I

Если разложимъ правую часть по степенямъ р, то коэффиціентъ
при р будетъ

- !, Л О'7 4- 1	0/; - 4-	()'/ -У ... .

Въ лѣвой части при 7 > 1 коэффиціентъ при р будетъ тотъ же,
что въ 1? + 2? + • -  +/*, т. е. (§ 358, а) В,г При д = 1, онъ
равенъ В, I -—В{. При всякомъ другомъ нечетномъ д,ВГі=а,
поэтому можно сказать, что коэффиціентъ при р въ и-ѵ всегда ра-
венъ ( — \'р В<г Итакъ, имѣемъ

(1)	--	/РОМ-і

х) Интересное приложеніе этой формулы къ отдѣленію корней
даетъ теорема Сііочвеі и Маігоі (Маіѣеяіа, 1891, стр 218).
Эта формула послужитъ намъ для доказательства одной интересной
теоремы.

810.	Теорема Штаудта и Кліузена (8іашіі шій Сіапзеп).
Всякое Бернулліево число Вік равно цѣлому числу безъ
суммы обратныхъ величинъ тѣхъ простыхъ чиселъ, кото-
рыя дѣлаются дѣлителями 2«, когда ихъ уменьшимъ на
единицу 2).

а)	Докажемъ сперва слѣдующую лемму: Всякое составное
число р, большее 4, есть дѣлитель числа (/>—1)! Дѣйстви-
тельно, число р, если оно не простое и не квадратъ простого, можетъ
быть разложено на два множителя, не равныхъ между собою и не
равныхъ 1. Эти числа входятъ въ составъ произведенія 2-3-• (р — 1),
слѣдовательно (р—1)! дѣлится на р. Если р квадратъ простого
числа то произведеніе 2-3---(р—1) содержитъ въ себѣ множи-
телей д и 2 у и потому дѣлится на 2 «Л а слѣдовательно, и на р,
если 2у,<ір, т. е. /*>2. Слѣдовательно, между числами р, не
простыми, только 2г составляетъ исключеніе.

Ь)	Посмотримъ теперь когда ! дѣлится на р. По дока-
занной леммѣ оно дѣлится на р при всякомъ составномъ р, которое
больше 4, потому что такое число р дѣлитъ (р — 1)!, которое
само есть дѣлитель 1О? (§ 805). Но и при р — 4 будетъ то же
самое, если д число четное; дѣйствительно, въ этомъ случаѣ
прямо видно, что число

і _р О'? = :і (3''"1 + 1) - 3 • 2'7“2

есть число цѣлое, потому что З6"1 —1 дѣлится на 4. Остается раз-
смотрѣть случай р простого.

с)	Раздѣлимъ д на 1, и пусть д = к (р — 1) + г. Такъ
какъ г<'_р	1, то 10' —0. Поэтому, если въ извѣстной фор-

мулѣ (§ 804)

1 0* = (/. - 1)" -	_ 2)'' +	(/. - ЗУ7--±0-1)

вмѣсто д поставимъ г, то получимъ

о = (р _ „ Ц2.(р _2/ +	2) {р _зу----1^-1),

при условіи, что г не равно 0, въ какомъ случаѣ въ правой части
надо еще прибавить +1. Поэтому, Дѵ-10? выражается также
формулою:

г) Приводимое здѣсь доказательство, принадлежитъ Катііске (Радике).
См. „Моиѵеііе Соггеяропбапсе Маіѣёгпаіідие", 1880, стр. 503.


іу } _	 {р _2у/ _ {р _ 2/} + - - -

+ "Р/д 2) & - 2') + у

гдѣ, вообще, @ = 0, а при г —О имѣемъ о = (	I)'1, Между тѣмъ,

по теоремѣ Фермата простое число />, не дѣлящее а, дѣлитъ
—I. Иными словами, есть кратное отъ Д увеличенное
на 1, и то же самое, очевидно, можно сказать и объ а*<т-Д
Отсюда слѣдуетъ, что разность

а? — й' — а1' [ ДГі'—— I )

дѣлится на р. Итакъ, 2Р-1О7' = р (піоб />).

<1) Изъ предыдущаго изслѣдованія вытекаетъ слѣдующее:
1 0? не дѣлится на р только при р простомъ и г/ дѣля-
щемся на р—1. Въ послѣднемъ случаѣ остатокъ отъ дѣленія 4°—И)*
на р равенъ (—1/, т. е. равенъ —1 (или при р = 2 сравнимъ съ
— 1 (тосі />)), Поэтому, если въ формулѣ (1) положимъ ц = 2п
и обозначимъ черезъ а, /?, у, , . . всѣ простыя числа, обладающія
тѣмъ свойствомъ, что 2 п дѣлится на а — 1, [3 — 1, у — 1, то
получимъ

Н2л ~ цѣлое ЧИСЛО —	+ ^ + -Н • '	’

что и выражаетъ теорему. Эта теорема облегчаетъ составленіе таб-
лицъ Бернулліевыхъ чиселъ. Только съ ея помощью Адамсъ2)
могъ довести вычисленіе этихъ чиселъ, начатое Омомъ (ОЬт), до Вѵі4.
Кромѣ того, она до извѣстной степени раскрываетъ связь между
теоріей Бернулліевыхъ чиселъ и нѣкоторыми трудными вопросами
теоріи чиселъ. Такъ, напримѣръ, Куммеръ 3) доказалъ знаменитую
теорему Фермата о невозможности рѣшить въ цѣлыхъ числахъ
уравненіе .ѵ"-)- уп= гп при н>2, для всѣхъ простыхъ чиселъ, кото-
рыя не дѣлятъ числителей Бернулліевыхъ чиселъ В.1У В4,	Вп—3.

811. Въ § 361 было показано, что Бернулліевы числа съ
четнымъ показателемъ имѣютъ но очередно знаки -|- и —; теперь
мы покажемъ, слѣдуя Липшицу (Ьірзсііііг) 4), что, начиная съ нѣко-

1) Ваііхет, .Еіетпепіе <Іег МаіЬстаіік" (2-ая часть, § 13) или Чебы-
шевъ, „Теорія сравненій", стр. 31—32.

-) „Сгсііе’з Зонгпаі" (1878, стр. 269). Чтобы составить себѣ понятіе о
механическихъ затрудненіяхъ этого вычисленія, достаточно указать на то, что,
начиная съ В1оо, въ числителѣ будетъ болѣе 80 цифръ.

8) „Сгеііе'я Зонгпаі” (1850, стр. 130).

’) „Внііеііп без зсіепсе» таіѣётаііднез сі аБІгопотідиея (1886, стр. 142).
тораго мѣста, то же самое справедливо относительно цѣлыхъ ча-
стей этихъ чиселъ ’)• Дѣйствительно, мы имѣемъ

«3 = 1	- (4 + і)	Дів —	— 6 — (1 + А + + + -Л)
X “1	 • (4 + 4 + 4)	Ь’ІН =	56 - (4 + 4 + 4 + А)
Д; = 1	— (а + я + т)	^20 =	- 528 -(4 + 44- 5 + -Д)
Ъ = 1	— (а 4“ 4 + 5)		6193 -(> + '+ зЬ)
В1о = 1	— (4 + 4 ++г)	В34 =	— 86579 — (Л + 1 + 4 + !+тМ
В13= 1	-(4 + 4 + 4-Н + Л)	=	1425518 - (4 + 4)
Зц = 2	— (4 + з)	У, =	- 27298230  (4 44 + 1 + Л)

Такъ какъ Вір > 0 при р нечетномъ, то тѣмъ болѣе цѣлая его
часть будетъ >0, и надо поэтому доказать, что при р четномъ,
не меньшемъ 8, цѣлая часть въ Ві}1 будетъ < 1. Положивъ р — 2 я,
найдемъ на основаніи формулы (2), что цѣлая часть навѣрно
меньше, чѣмъ

+ "2Г 4~ з +  '  + 4;7+~І <	+ 1о2 (4 «+ 1)>

такъ какъ (§ 183) Нп — Іод и <	- 1о§ (я — 1) <   • < У — 1о§ 1 = 1.

Между тѣмъ, припоминая формулу Стирлинга, имѣемъ (§ 365, а)

Слѣдовательно, цѣлая часть въ Ві» меньше, чѣмъ

10$ (4 « + 1) — 4 ;Т У е

и теорема Липшица будетъ доказана, если удастся найти такое
значеніе н, при которомъ послѣднее выраженіе < 0, потому что
тогда для всякого п, большаго найденнаго, оно также будетъ < 0.
Для этой цѣли достаточно опредѣлить п такъ, чтобы одновременно
было

2 п > л ?, Іод (4 я + 1) < 4 я У е

и тотчасъ видно, что эти неравенства выполняются при м = 5.

1) Объ этихъ цѣлыхъ частяхъ трактуется въ нѣкоторыхъ изслѣдова-
ніяхъ Эрмита (Негтѣе) въ „Сгеііеѣ ЛоигпаГ1 (1876, стр. 93).
Послѣдовательныя производныя функціи
отъ функціи.

812. Положимъ, что послѣдовательныя производныя нѣкоторой
функціи ы извѣстны, и составимъ сумму (§ 467)

1 іУ*
•

я°->

Такъ какъ производная функціи е,. = р- равна к,. — (г 4- 1) €г_|_і,
то производная члена а,.,	. ь,* (гг + ^ +  •  + = р) въ суммѣ

і будетъ равна

і _2?'

11)	+	\ Су;і  ѵ

1'_:1

Чтобы одинъ изъ этихъ членовъ совпалъ съ даннымъ членомъ

(2)	<:о. '*, !ѵ,.  •  %.	(«і- !?2 + «я + •• 4- (?,:=/+ 1)

суммы і, должно быть

П - Оі, .... »•„_! = е„_ѵ г„ = &1. -1,	- О1+1. .... Г. = (>,.

и, слѣдовательно, > 1. Если это такъ, то членъ (2) встрѣтится
о,, разъ въ (1). Итакъ, вышеназванный членъ заключается въ ,
столько разъ, сколько единицъ въ суммѣ тѣхъ р, которые больше 1,
т. е. (р^-1—т) разъ, гдѣ т есть число тѣхъ д, которые равны 1.
Разсмотримъ теперь члены

П, «г. Ч •  • !>,._!	(''1 - 1'2 + 7'3 Т    + Г, х =

суммы С'ф ;_і, и умножимъ каждый изъ нихъ на а,, помѣщая этотъ
новый множитель послѣдовательно на каждое изъ і мѣстъ, которыя
онъ можетъ занимать

і’

Такимъ образомъ мы построимъ схему, въ которой членъ (2) будетъ
заключаться т разъ, въ то время, какъ число всѣхъ членовъ схемы,
очевидно, будетъ равно г&х	Слѣдовательно, членъ (2) будетъ

заключаться (р ф-1 — т) -ф т = р ф- 1 разъ въ >. ф- і б, 11^	,

и потому будемъ имѣть

(3)	^,( = ^+і)^+^-г'г/с;,7-
Эта формула выражаетъ основное свойство алгориѳма 77, Она
будетъ справедлива безъ ограниченій, если условимся полагать
й1)> і = 0, когда / > /> или і < 1.

813.	Теперь мы имѣемъ возможность найти общее выраженіе
/>-ой производной функціи / (я;) = ф (ф (х)), если послѣдовательныя
производныя функціи ф и ф извѣстны. Для простоты положимъ
у — р{х), и = такъ что у = ф(«), и докажемъ, что

(4	У”’ </(и) ѵ <Г(«) и ч>"'^ и .

Взявъ производную по х, пользуясь при этомъ формулою (3),
увидимъ, что полученное выраженіе будетъ отличаться отъ (4)
только замѣною р на р 4- 1; а такъ какъ формула (4), очевидно,
справедлива при р = 1, то она справедлива и вообще.

814.	Приложенія, а) Производная порядка^ отъ у —<[{<?} можетъ
быть выражена съ помощью алгориѳма (§ 807, а)

р	р	2

Формула (4) дастъ

(5)	=	+	+

1	1 • 2	1 • 2 • о

Ь) Полагая, въ частности,

. .	2 .ѵ	(1) /	1 V 1 ... ,, -т

такъ что	5іп(/-1)-р

получимъ, какъ извѣстно (§ 354), у =е/'"с. Формула (5) дастъ тогда при г - 0
слѣдующее выраженіе	Эйлерова числа	Е черезъ разности отъ	О*1:

-=	-	(2 & 0? -	2 # О21 + 44 02‘)

4-	42 <2 л<і 0#	2 ',т Оі“ * °Р)

-	(2 Э>° 0? -	2 /Лі 0" + ды О'-1) + • •	•	.

с) При = А формула (4) дастъ

< •>} 1=р

1 І—І

Полагая послѣдовательно

« = у (I — *), « (ех Ф
и полагая въ послѣдней формулѣ х = 0, получимъ слѣдующія выраженія
Бернулліевыхъ и Эйлеровыхъ чиселъ:

ѵ((	____I I, Е2р- = у/(_1у

— I +	(2Л)і	' 5(2г)!І

сі) Полагая, наконецъ,

У (1 + а.ѵ) (1	(1 + у.ѵ)    =

обозначимъ черезъ з\, и сг суммы г-ыхъ степеней чиселъ а, .с/,	... и

произведеній ихъ по г. При х = 0, имѣемъ, очевидно,

/2 _ с = У .

г'. г’ г! г

Если въ формулѣ (4) положимъ послѣдовательно у. (л-) =- ех, <і (х) — Іоу х.
и л- = 0, то снова найдемъ формулы Варинга (§ 467)
ЗАМѢЧЕННЫЯ ОПЕЧАТКИ.

Стран.	Строка	Напечатано	Нужно читать
21	3 св.	аеах	лах ае
65	2 си.	Пропущено имя автора	статьи: Клейнъ
		д<(:	
71	9 сн.		—
		д 5	ІІ я
229	16 сн.	706	706
и	10 сн.	•у 2  -^-Ф(Я)	-^-«7'(Я)
238	9 сн.	• ^2« * ' * '	(лі, л;,.... л;,)

	Въ первой части книги замѣчены еще слѣдующія опечатки:		
427	4 св.	253	353
,1	9 св'.	положивъ » = 2/>	положивъ п^'ір, Л’
	13 св.	363	362
Предметный указатель.

(Числа обозначаютъ страницы книги).

Антиподэра. 133.

Асимптотическія линіи на по-
верхности. 184 (въ частности, на пов.
вращенія. 229). Теорема Бельтрами
относительно кривизны асимпт. линій.
204, 226. Теорема Эннепера относи- ;
тельно крученія асимпт. линій. 225.

Асимптоты плоской кривой- 33.
Ас. алгебраической кривой. 98.

Астроида. 81, 131. Астроида, какъ
гипоциклоида. 91.

Безконечно малая величина. 3.
Предѣлъ отношенія двухъ безконечно
малыхъ. 7.

Бернулли. Дифференціальное урав-
неніе Бернулли. 415.

Бернулліевы числа. Теорема |
Штаудта и Клаузена. 470.	|

Бертрановы кривыя. 175.	I

Биноміальные дифференціалы.
338.

Бинормаль къ кривой двоякой
кривизны. 140.

Вейерштрассова функція (не-
прер. функція безъ производной). 459.

Вивіани. Кривая Вивіани. 373.	।

Винтовая линія, цилиндрическая.
170. Отношеніе кривизны постоянно.
171. Круговая винтовая линія. 168.
Обѣ кривизны постоянны. 170. Кони-
ческая и цилиндро-коническая винто-
вая линія. 171.

і'амма (функція). Формула Ле-
жандра для Г(.г+|). 360- Формула
Раабе. 263. Формулы для вычисленія
Г (.ѵ). 365. Таблицы для Іоц Г (.г). 359.

Геликоидъ, развертывающійся.
170. Гел. съ направляющей плоскостью.
170. Онъ является единств. минималь-
ной линейчатой поверхностью. 210.

Геодезическая кривизна кри-
вой на поверхности. 205. Геод. кри-
визна обращается въ нуль на геодезич.
линіяхъ. 206.

Геодезическія линіи на поверх-
ности. 184. Формулы Вейнгартена. 229.
Гсо дез. линіи на конусѣ. 173. Геодез.
линіи на пов. вращенія. 230.

Геодезическое крученіе кри-
вой на поверхности. 221- Геод. кру-
ченіе обращается въ нуль вдоль линій
кривизны. 222.

Гиперболическія точки поверх-
ности. 182.

Гипергсометрическій рядъ.

446. Диффср. уравненіе Гаусса. 446.

Главные радіусы кривизны
пов. въ какой либо точкѣ ея. 207.

Главная нормаль къ кривой,
двоякой кривизны. 140.

Горловая (стрикціонная) линія ли-
нейчатой пов. 185.

Двойной интегралъ. 293, 300..

Введеніе новыхъ перемѣнныхъ. 306.

Двойныя касательныя плоской
кривой. 116.

Двойныя точки плоской кривой,.
109.

Двурогъ. 115.

Декартовъ листъ. 100, 112.
Дифференціалъ функціи отъ од-
ной перемѣнной. 9. Геом. значеніе диф-
ференціала. 10. и-ый дифференціалъ.
11. Измѣненіе независимой перемѣн-
ной. 15. Частный дифференціалъ функ-
ціи отъ многихъ перемѣнныхъ. 21.
Полный дифференціалъ. 2'2. Его гео-
метрическое значеніе. 24. Послѣдова-
тельное дифференцированіе. 24.

Дифференціальное уравненіе
(обыкновенное и въ частныхъ произ-
водныхъ). 410. Обыкн. ди ф. уравненія,
которыя можно проинтегрировать. 414.
Линейныя диф. уравненія. 435 (съ пост,
коэффиціентами. 440). Обыкн. сово-
купныя диф. уравненія. 449. Диф.
уравненія съ полными дифференціа-
лами. 447. Линейныя уравненія въ част-
ныхъ производныхъ. 451.

Дифференціальные параметры.
30.

Ду га. Дифференціалъ дуги плоской
кривой. 52. Диф. дуги кривой двоякой
кривизны. 139. Длина дуги кривой.
368.

Измѣненіе произвольныхъ по-
стоянныхъ (метода интегр. линейныхъ
диф. уравненій). 437.

Изолированныя точки кривой.
109-

Индикатриса (указательница) Дю-
пена. 183.

Интегралъ (неопредѣленный и
опредѣленный). 237, Другое опредѣ-
леніе. 241. Условія интегрируемости.
246. Критсріумъ Римана. 256. Двойной
интегралъ. 293, 300.

Интегралы обыкн. диф. урав-
неній; общій инт. 411; частя, инт. 411.
особенный инт. 412.

Интегрированіе функціи путемъ
подстановки. 266. Интегр. по частямъ.
277. Инт. путемъ разложенія въ рядъ.
287. Кратное интегр. 292. Инт. раціо-
нальныхъ дифференціаловъ, 323, ирра-
ціональныхъ, 330, биноміальныхъ, 338,
трасцендентныхъ 343, полныхъ диффе-
ренціаловъ, 321.

Исчисленіе конечныхъ разно-
стей. 462.

Каналъ (поверхность). 196.

Кардіоида. 66. К., какъ эпици-
клоида, 90, какъ каустика круга, 138.
Построеніе центровъ кривизны. 80.

Касаніе «-го порядка между пло-
скими кривыми. 120, Касаніе между
поверхностями и кривыми. 160.

Касательная къ плоской кривой.
56. Кас. къ алгебраической кривой. 57.
Кас. къ неплоск. кривой. 138. Кратчайшее
разст. между двумя безконечно близ-
кими касат. (теорема Бонне). 156.

Касательныя возврата къ пло-
ской кривой. 116.

Касательныя изгиба къ плоской
кривой. 116.

Касательныя и касательная
плоскость къ поверхности.. 178.

Катеноидъ. 174. Кат. — единств.
минимальная пов. вращенія. 210. Его
асимптотическія линіи. 231.

Каустика плоской кривой отно-
сительно точки. 135.

Квадратриса. 65.

Классъ алгебраич. кривой. 116.

Клеро. Диф. уравненіе Клеро. 415.

Клотоида. 395.

Коническое сѣченіе. Различныя
построенія центровъ кривизны. 83 и
слѣд.

Конхоиды плоской кривой. 66.

Косыя круги. 168.

Кохлеоида. 64.

Кратныя точки плоской кривой.
108. Связь съ формой Гессе въ случаѣ
алгебраической кривой. 111.

Кривизна плоской кривой, ра-
діусъ кривизны, центръ кривизны. 72,
Формулы для радіуса кривизны. 76.

Кривизна (первая) нсплоской
кривой, радіусъ кривизны. 148. Геом.
значеніе знака кривизны. 153. Прямыя —
единств. кривыя, у кот. кривизна всегда
равна нулю. 149. Вторая кривизна
неплоской кривой (см. крученіе).

Кривизна кривыхъ на поверх-
ности. 202. Теорема Менье. 203. Тео-
рема Эйлера относительно кривизнъ
нормальныхъ сѣченій. 206-

Кривизна поверхности, сред-
няя, 209, полная (Гауссова), 211. Не-
измѣняемость полной кривизны при
сгибаніи. 212. Поверхности съ посто-
янной средней кривизной; минималь-
ныя поі. 210. Пов. съ пост, полной
кривизной. 212.
Кривыя, плоскія 52, двоякой кри-
визны, 138.

Крученіе, радіусъ крученія кри-
вой. 148, 150. Плоскія кривыя явля-
ются единств., у кот. крученіе всегда
равно нулю. 151. І’еом. значеніе знака
крученія. 154.

Линейчатыя поверхности (ко-
сыя и развертывающіяся). 185. Условіе,
характеризующее развертывающуюся
пов. 186. Нормали къ косой линейча-
той пов. вдоль образующей. 190.
Опредѣленіе асимнтотич. линій на косой
линейч. пов. зависитъ отъ уравненія
Риккатти. 431.

Линіи кривизны на пов. 184.
217. Формулы Родрига.219. Теорема о
линіяхъ кривизны, которыя являются
плоскими или сферич. кривыми. 219.

Логариѳмическая кривая. 60.
Центры кривизны. 78.

Логоцикл ика. 101-

Минимальныя поверхности. 210.
Миним. пов. Шерка. 433. См. также
геликоидъ съ напр. плоскостью и
катеноидъ.

Монотонныя функціи. Ихъ ин-
тегрируемость. 251.

Неявная функція. 37 и слѣд.

Нормаль къ плоской кривой. 56.
Норм. къ поверхности. 178,

Нормальная плоскость къ кри-
вой двоякой кривизны. 140

Нормальная кривизна кривой
на поверхности. 205. Она обращается
въ нуль па асимптотическихъ линіяхъ.
206.

Объемы тѣлъ вращенія. 386. Объ-
емы произвольныхъ тѣлъ. 397.

Огибающая семейства кривыхъ.
126. Огибающая поверхностей, 192,
поверхностей, 194.

Описанный около поверхности
конусъ и цилиндъ. 180.

Особенности плоскихъ кривыхъ
въ координатахъ точки, 103 и слѣд,.
въ тангенціальныхъ координатахъ, 116.

Особенныя точки и линіи на
поверхности. 180.

Параболическія точки поверх-
ности. 182.

Пересоприкасаніе (см. сопри-
касаніе).

Площади плоскихъ кривыхъ. 374.

Плюккеровы формулы (относя-
щіяся къ особенностямъ алг. кривыхъ).
116.

Поверхности. 178 и слѣд. Пов.
2-го порядка; ихъ полная кривизна. 212,
Поверхности тѣлъ вращенія. 386.
Поверхности произвольныхъ тѣлъ. 397.

Подкасательная плоской кривой.
; 58. Полярная подкасательная. 59.

Поднормаль плоской кривой. 58.

Полярная поднормаль. 59.

Подэра. 70. Построеніе центра
। кривизны. 85.

I Полярная поверхность кривой
: двоякой кривизны. 199 Эволюты кри-
। вой служатъ геодез. линіями на полярн.

пов. 200. Ребро возврата есть общее
і мѣсто центровъ соприкас. шаровъ. 201.

Порядокъ алгебр. кривой. 116.

Производная. Произв. функціи
/ (.V, д', .г) въ данномъ направленіи. 29-
Производныя высшихъ порядковъ
функціи отъ функціи. 473-

Псевдосфера. 212. Асимптотиче-
скія линіи. 232.

Развертывающіяся поверх-
ности. 185, 212. Ихъ дифференціаль-
ное уравненіе. 194. Главныя кривизны.
213.

Рибокуръ. Кривыя Рибокура. 86.
92.

Риккати. Диф. уравненіе Риккати.
416.

Родъ алгебраич. кривой. 116. Кри-
выя нулевого рода (уникурсальныя).

Рулетты. 88.

Ряды функцій. Почленное инте-
грированіе. 287.

Синусъ-спирали. 68, 92. Радіусъ
кривизны, 81.

Соприкасаніе въ случаѣ плос-
кихъ кривыхъ. 123. Соприкасающійся
кругъ; онъ вообще пересѣкаетъ кри-
вую. 74. Если его радіусъ достигаетъ
гпах. или шіп., то имѣетъ мѣсто пере-
соприкасаніе. 125.

Соприкасающій кругъ къ кри-
вой двоякой кривизны. 163.
Соприкасающіяся поверхно-
сти къ кривой двоякой кривизны. 160.
Соприкас. плоскость. 140, 161. Стаціо-
нарная соприкас. плоскость. 161. Кри-
вая вообще пересѣкаетъ соприк. пло-
скость. 154. Исключенія. 159. Соприкас.
шаръ. 156, 162. Кривая вообще не
пересѣкаетъ его. 163. Пере-соприкас.
шаръ. 164. Общее мѣсто центровъ
соприкас. шаровъ. 166.

Соприкасающіяся прямыя къ
поверхности. 181.

Спираль, архимедова. 62. Архим.
спираль, какъ подэра эвольвенты кру-
га. 137. Гиперболическая спираль. 64.
Логариѳмическая спираль. 61.

Спрямляющія плоскости кри-
вой двоякой кривизны. 140. Ихъ оги-
бающая. 201.

Стрикціонная (горловая) линія
линейчатой поверхности. 185.

Сферическія кривыя. 165. Ихъ
центры кривизны. 203.

Сферическое крученіе кривой
двоякой кривизны. 168.

Теоремы о среднемъ значеніи
(первая и вторая). 252.

Точки возврата плоской кривой.
109, 111.

Точки закругленія поверхности.
217.

Точки изгиба плоской кривой.
103. Связь съ формой Гессе въ случаѣ
алгебраич. кривыхъ. 105.

Траекторіи семейства кривыхъ
на плоскости. 427-

Трактриса. 132.

Уголъ крученія. 141.

Уголъ смежности,, въ случаѣ
плоской кривой, 71, въ случаѣ кривой
двоякой кривизны, 141.

Указательница (индикатриса)
Дюпена. 183.

Улитка. 66.

I Уникурсальныя кривыя (нуле-
і вого рода). 117.

I Френе. Формулы Френе для диф-
ференціаловъ фундаментальныхъ ко-
синусовъ кривой двоякой кривизны.
146.

Френель. Интегралъ Френеля. 395.

Функціональный опредѣли-
тель (Якобіанъ). 27.

Центры тяжести. 392. Теорема
Гульдена. 392.

Циклоида. 69. Длина дуги и кри-
визна, натур. уравненіе. 87, 88. Эво-
лютой циклоиды является также цикло-
ида. 132.

I Цѣпная линія 60. Центры кри-
I визны, натур. уравненіе. 86.

Цѣпная линія равнаго сопро-
тивленія. 61. Центры кривизны, натур.
уравненіе. 87.

Эвольвента круга. Натур. урав-
неніе. 88.

Эволюта и эвольвенты плоской
, кривой. 128. Радіусъ кривизны эво-
люты. 130. Эволюты и эвольвенты кри-
вой двоякой кривизны. 190.

Эйлеровы интегралы. 262, 358.

Эллиптическіе интегралы (1.,
2., 3. вида). 334. Полные интегр. 1. и
2. вида. 346. Преобразованіе Ландена.
348. Каждый эллипт. интегр. 1. вида
. выражается черезъ два эллипт. интегр.
I 2. вида. 349. Теорема сложенія для
эллипт. интегр. 1. вида. 424.

Эллиптическія таблицы Лежан-
дра. 349.

Эллиптическія точки поверх-
ности. 182.

Эпи- и гипо-циклоиды. 89, Онѣ
подобны своимъ эволютамъ, 132.

Якобіанъ (функціональный опре-
дѣлитель). 27.

Якоби. Матрисса Якоби системы
функцій, ея значеніе въ вопросѣ о
независимости функцій. 45.
Энтскі Н.’И»о
и»иип а»«»оял* •» мжъа

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ УЧЕБНИКЪ
АЛГЕБРАИЧЕСКАГО АНАЛИЗА
и исчисленія Безконечно малымъ

ЧІГП »то»пи

а«і<с"
1914