/
Author: Фултон У.
Tags: алгебра комбинаторный анализ теория графов теория вероятностей математическая статистика математика линейная алгебра геометрия естественные науки комбинаторика
ISBN: 5-94057-165-4
Year: 2006
Text
London Mathematical Society Student Texts 35
Young Tableaux
With Application to Representation Theory
and Geometry
William Fulton
Department of Mathematics
University of Chicago
Cambridge
UNIVERSITY PRESS
У. ФУЛТОН
ТАБЛИЦЫ ЮНГА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
И ГЕОМЕТРИИ
Перевод с английского М.Д. Горбульского,
С.В.Добрынина и П.П.Никитина
под редакцией А.М.Вершика
Москва
Издательство МЦНМО
2006
УДК 512.7+519.1 Издание осуществлено
ББК 22.147+22.176 при поддержке РФФИ
Ф94
Рс§>И
Фултон У.
Ф94 Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и
геометрии / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2006. — 328 с: ил.
ISBN 5-94057-165-4
Книга посвящена комбинаторным свойствам таблиц Юнга и их приложениям.
Первая часть книги содержит замкнутое изложение основ комбинаторики
таблиц Юнга, включая соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута, а также также
приложения этих результатов к алгебре симметрических функций. Далее
рассматриваются приложения этих результатов к теории представлений симметрической
и общей линейной группы, а также геометрии грассманианов и многообразий флагов,
включая подмногообразия Шуберта и связанные с ними полиномы Шуберта.
Для студентов, аспирантов и научных сотрудников физико-математических
специальностей.
ББК 22.147+22.176
Translation from the English language edition: William Fulton. Young Tableaux With
Application to Representation Theory and Geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 1977.
© Cambridge University Press, 1997.
ISBN 0-521-56144-2 (англ.) All rights reserved.
ISBN 5-94057-165-4 (рус.) © МЦНМО, перевод на рус. язык, 2006.
Оглавление
Предисловие редактора перевода 8
Предисловие 13
Основные понятия и обозначения 16
Часть I. Исчисление таблиц 21
Глава 1. Вставка и перемещение 23
§1.1. Строчная вставка 23
§ 1.2. Перемещения: игра в пятнадцать 28
Глава 2. Слова. Плактический моноид 33
§2.1. Слова и элементарные преобразования 33
§ 2.2. Многочлены Шура 40
§ 2.3. Столбцовые слова 43
Глава 3. Возрастающие последовательности. Доказательства 46
§3.1. Возрастающие последовательности в словах 46
§3.2. Доказательство основной теоремы 49
Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута 52
§4.1. Соответствие 52
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция 57
§4.3. Приложения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута . 64
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона 72
§5.1. Соответствия между косыми таблицами 72
§ 5.2. Обратные решеточные слова 77
§5.3. Другие формулы для чисел Литтлвуда—Ричардсона 81
Глава 6. Симметрические многочлены 85
§6.1. Еще о симметрических многочленах 85
§6.2. Кольцо симметрических функций 90
6 Оглавление
Часть II. Теория представлений 93
Глава 7. Представления симметрической группы 97
§7.1. Действие группы S„ на таблицах 97
§ 7.2. Модули Шпехта 99
§7.3. Кольцо представлений и симметрические функции 104
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 108
Глава 8. Представления полной линейной группы 119
§8.1. Конструкция из линейной алгебры 119
§8.2. Представления группы GL(?) 127
§8.3. Характеры и кольцо представлений 131
§8.4. Идеал квадратичных соотношений 139
Часть III. Геометрия 143
Глава 9. Многообразия флагов 148
§9.1. Проективные вложения многообразий флагов J 48
§9.2. Теория инвариантов 155
§9.3. Представления и линейные расслоения 158
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах 164
Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта 172
§ 10.1. Неподвижные точки действия тора 172
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях флагов 175
§ 10.3. Соотношения между классами Шуберта 182
§ 10.4. Многочлены Шуберта 188
§ 10.5. Порядок Брюа 192
§ 10.6. Применение к многообразиям Грассмана 196
Приложение А. Вариации на комбинаторные темы 202
§А.1. Двойственные алфавиты и таблицы 202
§ А.2. Столбцовая вставка 205
§ А.З. Изменения формы и соответствие Литтлвуда—Ричардсона 208
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия 217
§А.5. Ключи 228
Приложение В. О топологии алгебраических многообразий 231
§ В. 1. Основные факты 232
Оглавление 7
§ В.2. Гомологии Бореля—Мура 235
§В.З. Фундаментальный класс подмногообразия 239
§ В.4. Классы Черна 242
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки .... 246
Литература 269
Добавление. Новый подход к теории представлений
симметрических групп (А. М.Вершик, А. Ю. Окуньков) 278
Введение 280
§ 1. Алгебра и базис Гельфанда—Цетлина 285
§2. Простота ветвления и элементы Юнга (Y-элементы) 288
§3. Действие образующих и алгебра НB) 295
§4. Неприводимые представления алгебры ЯB) 297
§ 5. Основные теоремы 299
§ 6. Формулы Юнга 305
§7. Комментарии и следствия 307
§8. Характеры симметрических групп 310
Литература 314
Указатель обозначений 318
Предметный указатель 322
Предисловие редактора перевода
Диаграмма Юнга есть конечное подмножество двумерного
целочисленного положительного квадранта, которое содержит вместе с данной
точкой целочисленной решетки все меньшие ее в смысле частичного
порядка1*, иначе говоря, конечный идеал в частично упорядоченном множестве
Z+ х Z+:
Таблица Юнга — это диаграмма, заполненная числами по тем или
иным правилам, например, стандартная таблица Юнга с диаграммой из
п клеток заполнена натуральными числами от I до п так, что они идут
в возрастающем порядке слева направо и сверху вниз:
I
2
5
3
4
7
6
10
15
8
11
9
13
12
14
Каких-нибудь десять-пятнадцать лет назад было бы трудно
представить себе книгу, главный предмет которой—диаграммы (и таблицы) Юнга,
поскольку это понятие, важность которого в то время была очевидна лишь
небольшому кругу математиков, по общему мнению носило чисто
технический, вспомогательный характер. Более ста лет назад один из создателей
теории представлений симметрических групп, имя которого носят
диаграммы и таблицы, священник и математик из Уэльса Альфред Юнг предложил
использовать их в своих пространных и трудно понимаемых до сих пор
статьях. С тех пор почти каждую новинку в этой теории современные
авторы находят в том или ином виде в его работах.
Но, с другой стороны, простота и естественность этого понятия
способствовала тому, что диаграммы Юнга, или — иногда употребляемое почти
эквивалентное понятие — диаграммы Ферре (разница в том, что диаграмма
^Этот способ рисовать диаграммы считается общепринятым в теории представлений, есть
и другой, более привычный в комбинаторике (Макдональд в своей книге (Macdonald [1979])
называет его французским): расположить диаграмму в первом квадранте, т.е. повернуть
рисунок на 90°; а позже в связи с асимптотическими задачами появился еще один полезный
и симметричный по отношению к строкам и столбцам диаграммы способ рисовать ее —
повернуть рисунок на 135° (см. рис. 2 на с. 301).
Предисловие редактора перевода
9
Юнга состоит из клеток, а диаграмма Ферре из точек — центров клеток),
появились и утвердились в комбинаторике вне зависимости от связей
между представлениями и диаграммами, обнаруженных Юнгом и другими,
хотя и не без влияния этих связей. Более того, многие нетривиальные
комбинаторные факты о диаграммах Юнга могли бы появиться задолго
до открытия их роли в алгебре.
Диаграмму Юнга, двумерный комбинаторный объект, можно
рассматривать как
а) геометрическую форму разбиения натурального числа на
натуральные слагаемые, упорядоченные по убыванию — их рассматривал еще
Л. Эйлер;
б) геометрическую форму подстановки, разбитой на циклы;
в) комбинаторную интерпретацию так называемых клеток Шуберта,
разбивающих многообразия флагов на клетки;
д) параметр неприводимого представления симметрической группы
подстановок Sn (диаграмма с числом клеток п);
е) параметр неприводимого конечномерного полиномиального
представления полной линейной группы GL(/2, С) (диаграмма с числом строк
не более п).
Этот список можно продолжить, но уже и из перечисленного ясно, что
это нехитрое понятие должно таить в себе значительную глубину.
Серьезная переоценка роли диаграмм Юнга в алгебре и комбинаторике
произошла в 70-х годах в связи с появлением развитой техники работы
с диаграммами и таблицами Юнга и их приложений в комбинаторике
и теории представлений. Она была подготовлена исходными работами
Юнга—Литтлвуда—Ричардсона—Робинсона, а в новейшие времена — Шен-
стеда и в особенности Кнута. Среди достижений комбинаторики диаграмм
и таблиц Юнга наиболее значительным событием стал знаменитый
алгоритм Робинсона—Шенстеда—Кнута (RSK), сопоставляющий
подстановке— элементу симметрической группы — пару стандартных таблиц Юнга,
и, более общо, сопоставляющий положительной целочисленной матрице
пару полустандартных таблиц Юнга. Как увидит читатель книги У. Фулто-
на, этот алгоритм есть отправной пункт для нового развития всей теории
и ее приложений.
Удивительным свойством комбинаторного RSK-соответствия является
его несводимость ни к какой чисто алгебраической схеме, вопреки
естественному предположению. Среди многих его свойств отметим, что это
соответствие переводит равномерное распределение на симметрической
группе в так называемую меру Планшереля на таблицах и диаграммах
Юнга и потому аналогично преобразованию Фурье для симметрической
группы.
10
Предисловие редактора перевода
Детальный анализ наиболее глубоких фактов теории представлений
симметрической группы, например, правила Литтлвуда—Ричардсона для
определения кратностей неприводимых представлений в разложении
произведения представлений, привел к весьма сложным операциям над
диаграммами Юнга. Недавно стало ясно, что это правило играет ключевую
роль в теории спектров матриц (соотношения между спектрами двух
симметрических матриц и их спектром их суммы), в теории симметрических
функций и пр.
Книга У. Фултона — по-видимому, первая из монографий, посвященных
специально диаграммам Юнга. Обилие тем и связей, затрагиваемых
в ней, также иллюстрирует широту распространения теории диаграмм
Юнга, и уже этим она должна заинтересовать читателя.
Любопытно, что книга написана математиком, более известным своими
работами по алгебраической геометрии и топологии алгебраических
многообразий. Автор старался сделать книгу полностью понятной новичку.
В книге очень ясно и довольно подробно изложены начала
современной теории диаграмм Юнга, RSK-алгоритм и его приложения, что
может служить хорошим введением к дальнейшему изучению
огромного пласта применений этой комбинаторики к теории симметрических
функций, к вероятностным задачам, и, конечно, к теории представлений
групп. Кроме того, комбинаторика диаграмм является источником
эффективных биективных доказательств тождеств, как классических, так
и новых.
Удачным является разбиение книги на части, в каждой из которых
основной объект — таблицы Юнга — рассматривается по-своему: с
комбинаторно-вычислительной (часть I), с представленческой (часть II) и с
геометрической (часть III) точек зрения. В результате у читателя сложится
сравнительно полная картина различных аспектов теории. Она далеко не
исчерпывает предмет, но это и не входило в планы автора, хотя бы еще
и потому, что теория диаграмм Юнга и их приложений стремительно
развивается в настоящее время.
Не так давно был опубликован второй том фундаментальной
монографии Р.Стенли «Перечислительная комбинаторика» '\ где также
большая часть посвящена и диаграммам Юнга и соответствующим
алгоритмам. Однако, обе книги хорошо дополняют друг друга: книга У. Фултона
более нацелена на теорию представлений и алгебраическую геометрию,
а книга Р.Стенли — на комбинаторику и теорию симметрических функций
(как и замечательная монография Макдональда «Симметрические функции
и многочлены Холла».
Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 2. М.: Мир, 2005.
Предисловие редактора перевода
11
В добавлении редактора к этой книге с любезного согласия ее автора
приведен расширенный и дополненный русский перевод статьи А.М.Вер-
шика и А. Ю. Окунькова «Новое изложение теории представлений
симметрических групп», первоначально опубликованной в журнале «Selecta
Mathematica» A996, vol. 2). Здесь необходимо сказать несколько слов
о том, в чем слабое место традиционного изложения теории
представлений симметрических групп, повторявшегося, так или иначе, во всех без
исключения руководствах, монографиях и учебниках по теории
представлений на протяжении XX века. Как часто бывает, интуитивное и
даже подкрепленное точными леммами ощущение связей между
понятиями еще не объясняет полностью, почему же должен возникнуть
данный объект в данной ситуации. Неудовлетворенность, которую, видимо,
ощущает почти каждый, кто изучал эту теорию, связана именно с
появлением в этой теории диаграмм Юнга. Почему нужно рассматривать
диаграммы Юнга, когда заходит речь о представлениях симметрической
группы Sn и полной линейной группы GL(/z)? Технические и
комбинаторные трюки лишь разжигают любопытство, но не отвечают на этот
вопрос. Конечно, когда вся теория построена и доказана теорема ветвления
(о разложении ограничения неприводимого представления группы Sn на
подгруппу S„_i), мы узнаем, что граф ветвления представлений и есть
граф диаграмм Юнга. Но это апостериорное объяснение также
оставляет ощущение запоздалого оправдания. Оказывается, можно так подойти
к вопросу, что таблицы и диаграммы Юнга законно и естественно
появляются с самого начала, и это позволяет найти новые простые
доказательства всех нетривиальных фактов теории представлений
симметрических групп. Для этого нужно учесть, что группа Sn является
группой Кокстера, использовать кокстеровские образующие и так
называемую вырожденную алгебру Гекке. Строить теорию следует индуктивно,
используя обобщение понятия базиса Гельфанда—Цетлина. Этот
подход реализуется в прилагаемой статье, он применим и к другим
группам. Мы предлагаем сравнить этот метод с традиционным, излагаемым
в книге.
Замечу, что отмеченная автором в его предисловии неполнота
библиографических ссылок в книге особенно ощутима по отношению к
российским работам последних лет; отчасти этот недостаток исправлен при
переводе.
Читатель оценит большой диапазон выбора материала книги У. Фул-
тона. Книга будет полезна и специалистам, и начинающим изучение этой
классической, но продолжающей быстро развиваться области.
Перевод первой части и приложения А выполнен С.В.Добрыниным,
вторая и третья части переведены П.П.Никитиным, М.Д. Горбульский
12 Предисловие редактора перевода
перевел приложение В. В подготовке издания также приняли деятельное
участие О.Н.Попов и В.В.Шувалов. Автор книги любезно прислал мне
небольшие комментарии, которые помогли исправить отдельные места.
A.M. Вершик
С.-Петербург, 2004
Предисловие
Цель этой книги — изложить комбинаторную теорию таблиц Юнга
и показать их роль в изучении алгебры симметрических функций,
представлений симметрической и полной линейной групп, геометрии многообразий
флагов. В книге три части: первая посвящена основам комбинаторной
теории таблиц Юнга, во второй рассмотрены ее приложения к теории
представлений, а в третьей результаты двух первых частей применяются
к геометрическим задачам.
Первая часть — комбинаторное исследование нескольких
замечательных конструкций, каждая из которых позволяет ввести на множестве
таблиц Юнга структуру ассоциативного моноида. Эти конструкции —
алгоритм строчной вставки (row insertion) или «выбивания» (bumping) Шен-
стеда и алгоритм перемещения (sliding) Шютценберже, а также отношение
на множестве слов, введенное Кнутом, Ласку и Шютценберже, и
соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута между матрицами с
неотрицательными целыми элементами и парами таблиц Юнга, имеющих одинаковую
форму. Все эти конструкции используются для введения комбинаторного
аналога правила Литтлвуда—Ричардсона и для подсчета числа таблиц
различных типов.
Одна из тем второй и третьей частей — определенный тип
квадратичных уравнений, возникающий как в конструкциях представлений групп
Sn и GLm(C),TaK и в качестве уравнений, задающих грассманианы и
многообразия флагов. Стоящие за этим факты из линейной алгебры,
справедливые над любым коммутативным кольцом, объясняются в главе 8. В третьей
части кроме обычного исчисления Шуберта на грассманиане описывается
(в последней главе) исчисление Шуберта на многообразиях флагов, причем
геометрия многообразия флагов используется для построения многочленов
Ласку и Шютценберже.
В книге имеется два приложения. Приложение А содержит некоторые
вариации комбинаторных методов первой части, которые не играют роли
в оставшейся части книги. Приложение В содержит топологические факты,
необходимые для того, чтобы сопоставить классы когомологий
подмногообразиям неособого проективного многообразия и доказать основные
свойства этой конструкции, нужные для изучения многообразий флагов
и их подмногообразий Шуберта.
В книге содержится большое количество упражнений. В конце книги
мы приводим ответы, указания или ссылки на литературу для большинства
14
Предисловие
упражнений, за исключением некоторых простых вычислительных
примеров.
Наша основная цель заключалась в том, чтобы сделать основные
подходы к теории таблиц Юнга и их приложениям доступными для
неспециалистов в этой области. В частности, мы надеялись популяризовать важные
результаты Ласку и Шютценберже. Мы постарались изложить
комбинаторные идеи на интуитивном и геометрическом языке, избегая обычного
формального стиля и распространенного в литературе языка
компьютерных программ. Хотя ссылки на литературу встречаются в книге (в
основном в разделе «Ответы и указания к упражнениям. Библиографические
ссылки»), мы не ставили перед собой задачу дать подробный обзор1'.
Хотя большая часть материала известна в том или ином виде, в ней
имеются несколько нововведений. Одно из них — наша «матрично-ящико-
вая» конструкция (matrix-ball construction) — алгоритм, применяемый для
построения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута, который
кажется нам более понятным и эффективным, чем большинство известных, и
который выявляет лежащую в основе симметрию. Эта конструкция обобщает
алгоритм Вьенно для перестановок; аналогичный алгоритм был независимо
разработан Стенли, Фоминым и Роби. В приложении А мы приводим
алгоритмы, аналогичные матрично-ящиковой конструкции и применимые
к различным вариантам соответствия. Кроме того, это приложение
содержит описание соответствий между косыми таблицами Юнга, связанных
с правилом Литтлвуда—Ричардсона и обобщающих недавние работы Хай-
мана.
Наше доказательство правила Литтлвуда—Ричардсона кажется нам
более простым по сравнению с опубликованными ранее версиями.
Конструкция модуля Шура или Вейля Ех (по модулю Е над
коммутативным кольцом и разбиению X), описанная в главе 8, заслуживает
большей известности. В отличие от большинства комбинаторных текстов, мы
предпочли излагать теорию для общих таблиц Юнга, а не только для
таблиц Юнга, все элементы которых различны, даже в тех случаях, когда
общий результат можно получить из результата для специального класса
таблиц. В приложении В мы показываем, как построить гомологический
класс алгебраического многообразия, используя только свойства
сингулярных гомологии и когомологий, описанные в стандартных учебниках
топологии.
"Сделать такой обзор в области, где многие идеи переоткрываются и находят новую
интерпретацию снова и снова, было бы труднейшей задачей. Поэтому ссылки на литературу,
встречающиеся в книге, направлены на то, чтобы указать читателю источник для более
подробного ознакомления с той или иной темой, но не на то, чтобы сослаться на авторов
или найти оригинальный источник.
Предисловие
15
В главах, посвященных комбинаторике, изложение практически
замкнуто. Остальные главы направлены на использование результатов
комбинаторной теории в теории представлений и геометрии. Здесь стиль
замкнутого изложения вступает в противоречие с неизбежно неполным обзором
других затронутых областей. Хотя мы постарались сделать эти части книги
доступными для читателей, имеющих только начальные познания в теории
представлений, алгебраической геометрии и топологии, степень ясности
некоторых разделов зависит от подготовки читателя или, по крайней
мере, от его готовности принять на веру основные факты из этих областей
математики.
Чтобы узнать больше о содержании книги и необходимой подготовке,
прочтите раздел «Обозначения» и введения ко всем трем частям.
Наверное, нужно сказать несколько слов о том, чего в книге нет. Большая
часть теории, описываемой в этой книге, имеет аналоги для произвольных
полупростых групп или хотя бы для других классических групп, причем
объем литературы, касающейся этих вопросов, постоянно растет. В книге
мы не затрагивали это направление, хотя и постарались развить аппарат
для общей линейной группы, чтобы несколько подготовить читателя ко
встрече с общим случаем. Мы не обсуждаем такие понятия, связанные
с таблицами Юнга, как битаблицы или сдвинутые таблицы, которые
используются в основном при исследовании представлений других групп.
Хотя некоторые конструкции вводятся для целых чисел или для случая
произвольного кольца—а мы используем такие конструкции, где только
возможно, — мы не вдаемся в детали, касающиеся случая положительной
характеристики. И, наконец, мы не представляем комбинаторные
алгоритмы в виде компьютерных программ; мы поступаем так не для того,
чтобы оградить читателя от написания подобных программ, а в надежде,
что интуитивный и геометрический подход окажется привлекательным для
тех, кто не является специалистом в комбинаторике.
Текст этой книги основан на курсах, прочитанных в Университете
Чикаго в 1990, 1991 и 1993 годах. Я благодарен Дж.Алперину, С.Билли,
М. Бриону, П. Диаконису, Н. Фахруддину, Ф. Фангу, М. Хайману, Дж. Хар-
рису, Р. Котвитцу,Д. Лаксову, А. Ласку, П.Мёрфи, У. Перссону, П.Прагачу,
М. Шимозоно, Ф. Соттилю, Т. Стигеру, Б. Тотаро и Дж. Тауберу за
вдохновение, советы, исправления и предложения.
Я посвящаю эту книгу памяти Биргера Иверсена.
У. Фултон
февраль 1996 г.
Основные понятия и обозначения
Диаграмма Юнга — это набор ячеек или клеток, составленных в
строки, выравненные по левому краю, число клеток в которых (нестрого)
убывает. Подсчет клеток в строках дает разбиение числа п — общего числа
клеток диаграммы. И наоборот, каждое разбиение числа п
соответствует некоторой диаграмме Юнга. Например, разбиение числа 16 в сумму
6 + 4 + 44-2 соответствует диаграмме
J I
Обычно мы будем обозначать разбиение строчной греческой буквой,
например, X. Разбиение задается нестрого убывающей последовательностью
положительных целых чисел, и иногда мы будем использовать для
обозначения такой последовательности запись X = (Х| Хт); часто бывает
удобно рассматривать также последовательности, содержащие один или
несколько нулей на конце, и отождествлять последовательности,
отличающиеся только такими нулями. В некоторых случаях пишут \ — (da{\ ..., d^s),
имея в виду, что последовательность содержит а,- экземпляров числа d\
при 1 < / ^ 5. Запись X Ь п означает, что X является разбиением числа п,
а через |Х| мы обозначим число, разбиением которого является X. Будем
отождествлять разбиение X и соответствующую диаграмму Юнга и
говорить, например, о второй строке или третьем столбце X.
Конечно, причиной использования диаграмм Юнга вместо разбиений
является возможность заполнения чем-либо их клеток. Любой вариант
заполнения целыми положительными числами всех клеток диаграммы
Юнга называется нумерацией или заполнением диаграммы, причем обычно
мы используем термин «нумерация», когда все числа в клетках различны,
и термин «заполнение», когда такое условие не налагается.
Таблица Юнга (или просто таблица) — это заполнение,
A) нестрого возрастающее по строкам,
B) строго возрастающее по столбцам.
При этом мы говорим, что эта таблица является таблицей на
диаграмме X, или что X — это форма данной таблицы. Стандартной таблицей
называется таблица, в которой расставлены числа от 1 до п, причем каждое
Основные понятия и обозначения
17
появляется ровно один раз. Вот примеры таблиц для разбиения F, 4, 4, 2)
числа 16:
J 2 2 3 3 5
2 3 5 5
4 4 I 6 6
5 ~61
И
1
2
4
6
3
5
8
9
7
J0
"
12
14
,6
13
15
таблица
стандартная таблица
Таблицы могут быть заполнены элементами из любого алфавита (вполне
упорядоченного множества), но мы обычно будем использовать
положительные целые числа.
Расположение таких комбинаторных объектов на плоскости
подсказывает простые, но важные геометрические конструкции. Например,
отражение диаграммы относительно главной диагонали1* дает сопряженную
диаграмму; разбиение, сопряженное к X, будет обозначаться X. Как
разбиение оно задается длинами столбцов диаграммы. Сопряженным разбиением
к разбиению из приведенных выше примеров является D, 4, 3, 3, 1, 1):
х
X
Любая нумерация Т диаграммы определяет нумерацию сопряженной к ней.
Мы будем называть такую нумерацию транспонированной и обозначать
через Тх. Транспонированная к стандартной таблице является стандартной
таблицей, но, вообще говоря, результат транспонирования таблицы может
не быть таблицей в смысле нашего определения.
Возможно, пришло время сказать об огромном числе несоответствий
в терминологии, которая встречаются в литературе. Диаграммы Юнга
также известны как диаграммы Ферре или каркасы; иногда вместо клеток
используются точки, а иногда, особенно во Франции, чтобы не обидеть
Декарта, они записываются вверх тормашками2). То, что мы называем
таблицей, называют также полустандартной таблицей, или строгой по столбцам
"Условно говоря, прямой у = —х. — Прим. ред.
2Kаметим, что диаграммы Ферре составлены из центров всех клеток, входящих в
диаграмму Юнга. — Прим. ред.
2* Таблицы Юнга
18
Основные понятия и обозначения
таблицей, или обобщенной таблицей Юнга (при этом наши стандартные
таблицы называются просто таблицами). Специалисты по комбинаторике
называют их также строгими по столбцам обратными плоскими
разбиениями, где слово «обратные» указывает на противопоставление диаграммам
с убыванием по строкам и столбцам, которые изучались исходно (и могли
содержать нули); см. Стенли (Stanley [1971]).
С каждым разбиением X, содержащим не более т частей (строк),
связан симметрический многочлен S\(x\, ..., хт)—многочлен Шура. Эти
многочлены легко определить при помощи таблиц. Нумерации Т
диаграммы Юнга мы сопоставим одночлен1* хт, являющийся произведением
переменных jc/, тем /, которые входят в Т. Для таблицы из первого примера
этим одночленом является ххх^х^х^х^х^. Иначе говоря,
m
Х^ = ТТ(*ЛЧИСЛ0 вхождений ' в 7"
Многочлен Шура S\(x\, ...txm) — это сумма одночленов, берущаяся по
всем таблицам формы X, содержащим числа от 1 до ш:
s\(x{ Xm) = ^2xT.
Хотя это и не очевидно из определения, такие многочлены являются
симметрическими многочленами от переменных х\ хт и образуют
аддитивный базис в кольце симметрических многочленов. Мы докажем эти
утверждения позже.
Диаграмма Юнга Х = (п) состоит из п клеток, которые стоят в одной
строке:
Многочлен Шура для такого разбиения есть п-и полный симметрический
многочлен, являющийся суммой всех возможных одночленов степени п
от переменных х\, ..., хт\ он обычно обозначается через hn(x\, ..., хт).
В другом крайнем случае, для разбиения п = 1 + 1 + ... + 1, т. е. для
Х = A"), диаграмма Юнга имеет вид
Соответствующий многочлен Шура — это /2-й элементарный
симметрический многочлен, являющийся суммой одночленов вида x-h •... • xln для
^Степени п, где X1- п. — Прим. перев.
Основные понятия и обозначения
19
всех строго возрастающих наборов 1 ^ i\ < ... < in ^ т\ он обозначается
через efl(x[t ..., хт).
Косой диаграммой (или косой формой) называется диаграмма,
полученная вырезанием меньшей диаграммы Юнга из большей,
содержащей ее". Если две диаграммы соответствуют разбиениям Х = (Х], X?, ...)
и [i = ([ii, \i2, ...), мы пишем [iCX, если диаграмма [а содержится в
диаграмме X, или, что тоже самое, если ц/ ^Х/ для всех /. Полученная из них косая
форма обозначается через Х/ji. Косая таблица — это заполнение клеток
косой диаграммы положительными целыми числами, нестрого
возрастающими по строкам и строго возрастающими по столбцам, а сама диаграмма
называется формой косой таблицы. Например, если X = E, 5, 4, 3, 2),
а [1 = D, 4, 1), то косая диаграмма \/\х и косая таблица на X/Vu выглядят
следующим образом:
Множество {1 т}7 состоящее из первых т положительных целых
чисел, будем обозначать через [т].
''Говоря алгебраическим языком, косой формой называется набор клеток,
удовлетворяющий следующему .условию: если он содержит клетки (/, у) и (/', /') и / ^ /' и / ^ у', то он
содержит все клетки с номерами (/", у") при / ^ /" ^ /' и / ^ у" ^ /'.
Часть I
Исчисление таблиц
На таблицах Юнгах рассматриваются две фундаментальные операции,
с помощью которых можно вывести большинство комбинаторных свойств
таблиц: операция вставки (bumping или insertion) Шенстеда и алгоритм
перемещения (sliding) Шютценберже. Многократное повторение первой
операции приводит к соответствию Робинсона—Шенстеда—Кнута, а
второй— к понятию «игры в 15» (jeu de taquin). В действительности эти
операции близки и каждая из них позволяет определить умножение на
множестве таблиц, превращая его в ассоциативный моноид. Это
умножение лежит в основе нашего подхода к правилу Литтлвуда—Ричардсона.
В главе 1 мы определим эти операции и сформулируем их основные
свойства. Доказательства утверждений используют некоторые отношения
на словах, ассоциированных с таблицами, и даны в следующих двух
главах. Главы 4 и 5 содержат приложения соответствия
Робинсона—Шенстеда—Кнута и правила Литтлвуда—Ричардсона. В приложении А
приводятся некоторые из возможных вариаций на эти темы.
Глава 1
Вставка и перемещение
§ 1.1. Строчная вставка
Первый алгоритм называется строчной вставкой или строчным
выбиванием (row bumpingI*; по таблице Т и положительному целому
числу х он строит новую таблицу, которая обозначается Т <— х. Эта
таблица содержит на одну клетку больше, чем 7\ а множество ее элементов
содержит те же элементы, что и в таблице 7\ а также элемент х, причем
они расставлены в клетках таблицы при помощи следующего алгоритма:
если х больше либо равен каждого элемента из первой строки, то просто
ставим его в новую клетку в конце первой строки. В противном случае
находим самый левый элемент первой строки, строго превосходящий х.
«Выбиваем» этот элемент из клетки и ставим х на его место. С выбитым
элементом повторяем те же действия по отношению ко второй строке.
Продолжаем действовать аналогично, пока очередной выбитый элемент
не оказывается в конце очередной строки или не выбивается из последней
строки — в этом случае образуем новую строку из одного элемента.
Рассмотрим в качестве примера строчную вставку числа 2 в таблицу
12 2 3
2 3 5 5
4 4 6
5 6
''Хотя RSK-алгоритм, полностью описанный далее в главе 4, известен давно и
изучался в отечественных работах, русская терминология лишь формируется. В переводе книги
Р. Стенли «Перечислительная комбинаторика» (М.: Мир, 2005) и в этой книге мы используем
следующие термины. В названии алгоритма сохранена аббревиатура RSK по именам
авторов Робинсона—Шенстеда—Кнута, предложивших и усовершенствовавших его. Термины
«insert» или «insertion», «row-insertion», «row bumping» переведены как «вставка» или
«строчная вставка». Термины «sliding» и «jeu de taquin» переведены как «перемещение»
и «игра в пятнадцать». Кроме того, вместо термина «delete», который использовался в
первоначальных работах, автор этой книги использует термин «reverse bumping» {обратная
вставка). Дальнейшие комментарии, касающиеся перевода терминологии, будут даны в следующих
примечаниях. —Прим. ред.
24
Плава 1. Вставка и перемещение
Двойка выбивает число 3 из первой строки, которое в свою очередь
выбивает первую из пятерок второй строки, которая выбивает число 6 из
третьей строки, и его можно поставить в новую клетку в конце четвертой
строки:
1
2
4
5
2
3
4
6
¦>
ш
6
2
5
I
2
4
5
2
3
4
6
2
5
6
5
1
2
4
5
2
3
4
6
2
3
5
6
2
5
1
2
4
5
2
3
4
6
2
3
S444
2
5
Из построения очевидно, что в результате всегда получится таблица.
Действительно, по построению элементы в каждой строке нестрого
возрастают, а когда какой-то элемент у выбивает z из клетки в данной строке,
элемент, стоящий в клетке под ней (если она есть), строго превосходит z
(по определению таблицы), а значит, z либо остается в том же столбце,
либо смещается влево, и тогда элемент, стоящий над его новой позицией,
не будет превосходить у, а значит, будет строго меньшим, чем 2.
Описанная операция обратима в следующем смысле. Если дана
таблица Т <— х и указано, какая клетка была добавлена к диаграмме, то
можно восстановить исходную таблицу Т и вставленный элемент х. Для
этого нужно просто провести алгоритм в обратном направлении. Пусть
в добавленной клетке стоит элемент у. Найдем, откуда он мог попасть
в эту клетку из предыдущей строки. Для этого найдем самый правый
элемент этой строки, строго меньший, чем у. Поставим на его место у,
а для выбитого элемента найдем клетку в предыдущей строке. Продолжим
процесс, пока очередной элемент не будет выбит из первой строки. Такая
обратная вставка может быть произведена с любой таблицей, в которой
отмечен любой внешний угол, т.е. клетка диаграммы, ниже и правее
которой нет клеток диаграммы. Например, возьмем таблицу с отмеченным
заштрихованным углом:
1
2
4
5
2
3
4
6
2
3
5
2
5
§1.1. Строчная вставка
25
Число 6 выбивает 5 в третьей строке. Из второй строки оказывается
выбитой правая из троек, которая выбивает правую из двоек в первой строке.
Видно, что мы имеем один за другим обращенные шаги первого примера.
Простая лемма позволяет связать позиции новых клеток,
возникающих при двух последовательных вставках, с величинами вставляемых
элементов. Строчная вставка Т <— х определяет набор R, состоящий из
клеток диаграммы, из которых в процессе вставки оказываются выбитыми
элементы. Клетку, куда в итоге попадает последний выбитый элемент, мы
также включим в набор R. Будем называть этот набор траекторией
выбивания, а клетку, содержащую последний выбитый элемент — новой
клеткой вставки. В нашем примере траектория выбивания состоит из
клеток, которые заштрихованы на этом рисунке, причем новая клетка
содержит число 6:
1
2
4
5
2
3
4
6
2
SS44
-3S
СчЧч'чЧ
СЧччЧ
^
^
5
Траектория выбивания содержит не более чем по одной клетке в каждой
из нескольких последовательных строк, начиная с первой. Будем говорить,
что траектория R лежит строго (нестрого) левее траектории R\ если
в каждой строке, которая содержит клетку из R\ лежит клетка из /?,
причем левее ее (соответственно левее ее или совпадает с ней).
Аналогичную терминологию строгого/нестрогого отношения мы будем использовать
для описания положения «выше» или «ниже» данной клетки или строки.
Лемма 1 (лемма о строчной вставке). Рассмотрим две
последовательные строчные вставки: элемента х в таблицу Т и элемента
х* в таблицу Т <—х. Пусть соответствующие траектории
выбивания — это R и R\ а новые клетки — В и Bf.
1) Если х ^ х\ то R лежит строго левее /?', а В лежит строго
левее и нестрого ниже В*.
2) Если х > х\ то /?' лежит нестрого левее /?, а В1 лежит
нестрого левее и строго ниже В.
х > х'
В' здесь
В
х ^х'
В' здесь
26
Глава 1. Вставка и перемещение
Доказательство. Проследим, что происходит, когда процесс
выбивания пересекает какую-либо строку. Пусть х ^ х' и х выбивает
элемент у из первой строки. Элемент у', выбиваемый из этой же строки
элементом х\ обязательно лежит строго правее клетки, в которую попадает х.
Действительно, элементы в той клетке и клетках слева от нее не
превосходят х. В частности, у ^ у\ и мы можем применить то же рассуждение
к следующим строкам. Заметим, что траектория R не может оборваться
раньше, чем /?', и если R' оборвется раньше, то, поскольку траектория R
не может двигаться вправо, В окажется строго левее и нестрого ниже,
чем В*.
С другой стороны, если х > х' и х и х' выбивают из первой строки
элементы уму1 соответственно, то клетка, в которую попадает х\ находится
левее или совпадает с клеткой, куда до этого попал элемент х. В любом
случае у > у', а значит, можно применить те же аргументы к последующим
строкам. На этот раз траектория /?' закончится хотя бы на одну строку
ниже, чем R. ?
Эта лемма имеет следующее важное следствие.
Предложение. Пусть Т — таблица формы X, и пусть
U = ((Т <- X]) <- Х2) +-... — Хр
для некоторых Х\, ..., хр. Пусть \х — форма U. Если х\ ^ хч ^ ... ^хр
(х\ > x<i > ... > хр)у то никакие две клетки диаграммы \i/X не
лежат в одном столбце (соответственно строке). Обратно, пред-
положим, что [i — форма U, а \ — диаграмма Юнга,
содержащаяся в ней, причем \х/\ содержит р клеток. Если никакие две
из них не лежат в одном столбце (строке), то найдется
единственная таблица Т формы X и единственный набор элементов
х\ ^ Х2 ^ ... < Хр (соответственно х\ > х<± > • • > хр), таких, что
и = ((Т^х{)+-х2)^...<-хр.
§1.1. Строчная вставка
27
Доказательство. Первая часть предложения непосредственно
следует из леммы. Для доказательства обратного утверждения в случае,
когда никакие две клетки диаграммы ji/X не лежат в одном столбце,
проведем с U последовательные обратные строчные вставки, используя при этом
в качестве начальных клетки косой диаграммы ja/X, начиная с самой правой
и двигаясь налево. В итоге получится таблица Т и последовательность
выбитых элементов хр, ..., х\. Из леммы о строчной вставке следует, что
эта последовательность удовлетворяет условию х\ ^ ... ^ хр. Аналогично,
если никакие две клетки из \i/\ не лежат в одной строке, проделаем
р обратных строчных вставок, начиная каждый раз с самой нижней клетки
диаграммы [i/X (и считая ее начальной) и двигаясь наверх. Снова лемма
о строчной вставке позволяет заключить, что выбитые элементы хрч ..., х\
удовлетворяют условию Х\ > ... > хр. ?
Описанная на с. 23 операция, введенная Шенстедом, имеет множество
замечательных свойств. В частности, она может быть использована для
определения произведения Т ¦ U таблиц Т и U. Число клеток
произведения является суммой чисел клеток множителей, а множество
элементов— объединением множеств элементов сомножителей. Если U состоит
из одной клетки, содержащей элемент л:, произведение Т • U есть просто
результат строчной вставки Т <— х. В общем случае произведение строится
так: возьмем самый левый элемент последней строки таблицы U и строчно
вставим его в Г. В результат вставим следующий элемент из последней
строки U, и так далее, пока все элементы последней строки не будут
использованы. Затем в том же порядке слева направо вставим элементы
предпоследней строки, и так далее, пока все элементы U не будут
вставлены в Т. Другими словами, если записать элементы U в порядке слева
направо и снизу вверх в виде последовательности х\, х%, ...xSt то
T.U = ((...((T*-x{)^x2)+-...)*-Xs-i)<-xs.
Например,
1
2
4
5
2
3
4
6
2
5
6
3
5
1
2
4
5
2
3
4
6
2
3
5
6
2
5
1
2
3
1
2
3
4
5
1
2
4
6
2
3
5
6
2
5
3
28
Глава 1. Вставка и перемещение
Одно из свойств введенной операции произведения, которое вовсе не так
легко вывести из определения, — это ассоциативность.
Утверждение 1. Операция произведения превращает множество
таблиц в ассоциативный моноид. Пустая таблица является
единичным элементом этого моноида: 0 ¦ Т = Т ¦ 0 = Т.
§ 1.2. Перемещения: игра в пятнадцать
Существует другой замечательный способ определить операцию
произведения, используя косые таблицы. Любая косая диаграмма Х/и, не
являющаяся диаграммой Юнга, имеет один или несколько внутренних
углов. Внутренним углом косой диаграммы Х/и мы будем называть клетку
меньшей (удаляемой) диаграммы и, обе соседние с которой снизу и справа
клетки не принадлежат и. Например, в косой таблице
внутренними углами являются четвертая клетка во второй строке и первая
клетка в третьей строке. Внешним углом диаграммы X будем называть
такую клетку диаграммы, ниже и правее которой нет клеток диаграммы.
В рассматриваемом примере такими являются последние клетки во второй,
третьей, четвертой и пятой строках. Заметим кстати, что косая диаграмма
может иметь два различных представления в виде Х/и. В этом случае
могут возникнуть внутренние углы, являющиеся одновременно и
внешними:
C.1.1)/B. I)
C.2.1)/B.2)
Сейчас мы опишем базовую операцию, которая была введена Шют-
ценберже и известна как перемещение (sliding) или рытье норы (digging
a hole). Рассмотрим косую таблицу 5 и зафиксируем один из ее внутренних
углов, который мы можем представлять себе как «нору» (hole) или пустую
клетку. Переместим в эту пустую клетку меньшего из ее соседей снизу
§ 1.2. Перемещения: игра в пятнадцать
29
и справа. Если только один из этих двух соседей лежит в S, переместим
его; если два элемента в соседних клетках равны, выбираем соседа снизу]).
Таким образом в косой таблице возникает новая «нора», т. е. пустая клетка.
Продолжаем процесс с ней, перемещая в нее один из соседних
элементов по тем же правилам. Алгоритм продолжается, пока мы не «выроем
нору» до внешнего угла, т.е. пока у перемещаемой пустой клетки есть
хотя бы один из соседей справа либо снизу. Если обе соседних клетки не
принадлежат диаграмме, то мы удаляем пустую клетку из S, и процесс
останавливается.
В качестве примера рассмотрим операцию перемещения над косой
диаграммой, приведенной выше, начиная с внутреннего угла из третьей
строки:
Нетрудно видеть, что в результате действия алгоритма перемещения снова
получается косая таблица. Действительно, так как к начальной таблице
добавляется клетка, которая является ее внутренним углом, а удаляется
внешний угол, форма остается косой диаграммой. Чтобы удостовериться,
что результат окажется таблицей, достаточно проверить, что на каждом
шаге (вертикальном или горизонтальном перемещении элемента в пустую
''Полезное общее правило: если два элемента таблицы равны, считать меньшим тот.
который стоит левее.
30
Глава 1. Вставка и перемещение
клетку) элементы остаются нестрого возрастающими по строкам и строго
возрастающими по столбцам. Вот возможные варианты:
¦
и
Ь
¦
X
V
'
х^у (-> Л х>у
а
и
Ь
У
X
V
ш
а
и
b
X
V
У
Здесь некоторые из отмеченных клеток могут быть пустыми. В первом
случае нам нужно проверить, что а ^х ^ у. Известно, что х < у, и, так
как изначально мы имеем дело с таблицей, а < и < х, откуда и следует
требуемое неравенство. Аналогично, во втором случае требуемое
неравенство Ь < у < х, следует из того, что у < х и Ь ^и < у. Заметим, что
правила, по которым происходят перемещения, введены специально
таким образом, чтобы свойства таблицы сохранялись на каждом шаге
алгоритма.
Как и алгоритм строчной вставки Шенстеда, перемещение Шютцен-
берже обратимо: если дана итоговая косая таблица и известно, какая
клетка была удалена из нее, можно провести процедуру в обратном
направлении и получить в результате исходную косую таблицу и
отмеченный внутренний угол. Пустая клетка при этом перемещается вверх
и влево, меняясь местами с той из соседних клеток, которая содержит
больший элемент, — если они обе не пусты, — и с той, которая стоит
выше, если элементы в них совпадают. Обратный алгоритм останавливается,
когда пустая клетка становится внутренним углом косой таблицы. Чтобы
понять, что этот процесс действительно является обратным к
исходному, достаточно взглянуть на предыдущий рисунок: в первом случае, когда
х ^ у, имеем и ^ х, а значит, в обратном процессе произойдет
вертикальное перемещение, что соответствует прямому процессу; во втором случае
имеем v < у, поэтому в обратном процессе произойдет горизонтальный
сдвиг, как и требуется. Описанный обратный процесс мы будем называть
обратным перемещением.
Для данной косой таблицы S мы можем провести перемещение,
начиная с любого внутреннего угла. Более того, мы можем взять один из
внутренних углов результата перемещения и продолжать процедуру,
пока косая таблица не перестанет содержать внутренних углов, т.е. пока
§ 1.2. Перемещения: игра в пятнадцать
31
она не превратится в обычную таблицу. Будем называть эту таблицу
выпрямлением таблицы S, а весь процесс — игрой в пятнадцать (jeu
de taquin1*). Его можно представлять себе как игру, в которой ход
игрока заключается в выборе одного из внутренних углов. Как и во
многих других математических играх, окончательная позиция не зависит от
партии:
Утверждение 2. Для фиксированной косой таблицы любой
порядок выбора внутренних углов приводит к одной и той же
выпрямленной таблице.
Обозначим выпрямление S через Rect(S). Как ни странно, игра в
пятнадцать тесно связана с процедурой Шенстеда. Она также может быть
использована для определения произведения таблиц. Пусть даны таблицы
Юнга Т и U. Построим косую таблицу Т * U следующим образом: возьмем
прямоугольник из пустых клеток с тем же числом столбцов, что у Г, и тем
же числом строк, что у (У, и поместим таблицу Т под ним, a U справа от
него, как показано на рисунке:
т * и
Второе определение произведения таблиц таково: Т • U есть выпрямление
косой диаграммы Т * U, т. е. Т • U = Rect(r * U). Определение корректно
согласно утверждению 2.
Утверждение 3. Два определения произведения таблиц
эквивалентны.
Упражнение 1. Вычислите произведение таблиц
Т =
12 2 3
2 3 5 5
4 4 6
5 6
U =
I 3
2
^Это французское название той же игры, часто используемое в англоязычной
литературе. — Прим. перев..
32
Глава 1. Вставка и перемещение
выпрямляя косую таблицу
Упражнение 2. Покажите, что ассоциативность умножения таблиц
(утверждение 1) следует из утверждений 2 и 3. Для этого из трех данных
таблиц Т, U и V постройте подходящую косую таблицу Т * U * V.
Доказательства всех трех утверждений будут даны в следующих двух
главах.
Глава 2
Слова. Плактический моноид
В этой главе мы займемся изучением ассоциированных с таблицами
слов — слов, задающих таблицы в виде последовательностей целых чисел.
Этот подход не столь нагляден, как изучение самих таблиц, но будет играть
важную роль при доказательстве фундаментальных фактов. Отметим, что
исторически развитие шло в обратном порядке: операции Шенстеда были
введены именно для изучения последовательностей целых чисел. В этой
главе мы проанализируем, как изменяются слова таблиц при действии
алгоритмов строчной вставки и перемещения.
§2.1. Слова и элементарные преобразования
Словом мы будем называть последовательность символов
некоторого алфавита (в нашем случае — положительных целых чисел). Результат
конкатенации (склеивания, приписывания) слов w и w' будем записывать
в виде w • w' или wwr.
Для данной таблицы или косой таблицы Т определим слово
(строчное слово) таблицы Т как последовательность элементов 7\ записанных
в порядке прочтения слева направо и снизу вверх, т.е. сначала
записываются слева направо все элементы из последней строки таблицы, потом
из предпоследней строки и так далее до первой. Будем обозначать слово
таблицы Т через w(T) или wrow(T). По слову таблицы можно
восстановить саму таблицу: для этого достаточно разбить слово в тех местах,
где элемент строго превосходит следующий за ним, и из полученных
кусков составить таблицу, начиная с последней строки. Например, слово
5644 62355 1223 разбивается таким образом: E6)D 4 6)B355)A 223),
т.е. задает таблицу, которая встречалась нам в примерах предыдущей
главы. Конечно, не каждое слово может быть получено как слово
какой-либо таблицы: чтобы составленная диаграмма оказалась диаграммой
Юнга, длины кусков должны нестрого возрастать, кроме того, элементы
в столбцах сложенной таблицы должны возрастать строго. Несколько
косых таблиц могут задавать одно и то же слово, и каждое слово может быть
получено как слово некоторой косой таблицы. Чтобы построить такую
таблицу, можно, например, разбить данное слово на возрастающие части
3' Таблицы Юнга
34
Глава 2. Слова. Практический моноид
и сложить из них косую таблицу, помещая каждую следующую строку
выше и строго правее предыдущей.
Наша первая задача — понять, что происходит со словом таблицы
в процессе строчной вставки. Это поможет нам выяснить, как связано
слово произведения двух таблиц со словами таблиц-множителей. Пусть
элемент х строчно вставляется в некоторую строку. Разложим слово
исходной строки в произведение и • х' ¦ и, где и, v — слова, ах' — число,
причем каждое из чисел в и не превосходит х и х' строго больше х.
Согласно алгоритму Шенстеда, заменяем х' на х, тем самым слово строки
и • х' • v превращается в и • х * v, а х' оказывается выбитым в следующую
строку. Получающаяся таблица имеет слово х1 ¦ и • х • v. Таким образом,
в словарной форме базовый шаг алгоритма выглядит следующим образом:
(и • х' - v) • х -~ х' • и • х • v, если и ^ х < х' ^ v. A)
Здесь и н v нестрого возрастают, а неравенство вида и ^ v означает, что
каждый элемент из и не превосходит каждого элемента из v. В этой форме
записи строчная вставка числа 2 в таблицу со словом 564462355 1223
выглядит так:
E6)D46)B355)A223)-2^E6)D4 6)B355)-3-A222)ь->
н-E6)D4 6)-5B335)A222)~
н^E6)-6-D4 5)B335)A222)^E66)D4 5)B335)A222).
Дональду Кнуту принадлежит идея разбить алгоритм Шенстеда на
элементарные шаги и представить его в виде компьютерной программы. Этот
подход вскрывает внутреннюю структуру алгоритма и является ключом
к доказательствам утверждений из главы 1. Допустим, мы хотим строчно
вставить элемент х в таблицу Т. Сначала попытаемся поставить его в
конец первой строки, сравнивая с последним ее элементом. Если х не меньше
этого числа, мы ставим его в конец первой строки. Если же последнее
число первой строки z оказывается больше х и предпоследний элемент у
также превосходит его, сдвигаем х на одну позицию влево и повторяем
процесс. Шаги процесса и правила, которыми они управляются, можно
записать следующим образом:
UX9 V\ . . . Vq X •-»¦ UXf V\ . . . Vg^\ XVq (x < Vq-\ ^ Vq)
^UX'V\ ...Vq-2XVq-\ Vq (X <Vq~2 ^Vq-\)
*-* UX1 V\ XV2 . . .Vq-\ Vq (X < V\ < V2)
t-+ UXf XV[ . . .Vg-\ Vq (X < x' < V\).
Каждое из этих преобразований оперирует с тремя последовательными
элементами, последние два из которых меняются местами при условии,
§2.1. Слова и элементарные преобразования
35
что первый строго превосходит третий и не превосходит второго. Другими
словами, базовое преобразование на каждом шаге выглядит так:
(К') у гхм у х г, если х < у ^ г.
Продолжим процесс: х выбивает х\ и х' последовательно двигается
влево:
и\ . ..ир-\ ирх'xv\-^ U\ . ..up-\ x'Up xv (up ^x <xr)
i-+ U\ . . .x' Up-\ Up XV (Up„\ ^ Up <x')
i-> U\ X' «2 • • • Up X V (W2 < «3 < *')
»-* л:' «| W2 ... W/? X V (U\ ^ W2 < *')
Каждое из этих преобразований определяется правилом:
{К") хгу*-+гхул если х ^у <z.
Действие приведенных элементарных преобразований легко запомнить
при помощи простой иллюстрации:
X Z
yZX^yXZ (X <у ^2),
xzyv->zxy (x^y <Z).
Правила (/С') и (/(") и обратные к ним позволяют менять местами два
соседних элемента с одной стороны от у, если один из них меньше уу
а другой больше у, а также если один из соседних элементов равен у, а у
находится с подходящей от него стороны (что, как и раньше, определяется
правилом: из двух равных элементов считать меньшим тот, который стоит
левее).
Элементарным преобразованием Кнута данного слова
называется применение одного из преобразований (/(')> (/С") или обратных к ним
к трем подряд стоящим элементам этого слова. Будем называть два
слова эквивалентными по Кнуту, если их можно перевести друг в друга
последовательностью элементарных преобразований Кнута. Если слова
w% wf эквивалентны по Кнуту, будем писать w = w'. Проведенные выше
рассуждения доказывают следующее
Предложение 1. Для любой таблицы Т и любого положительного
целого числа х слова w(T <— х) и w(T) • х эквивалентны, т. е.
w(T 4-х) ~w(T) х.
36
Глава 2. Слова. Плактический моноид
Поскольку первая конструкция произведения Т ¦ U таблиц Т и U
строилась при помощи последовательных строчных вставок элементов слова
таблицы U в таблицу Г, имеем
Следствие. Пусть Т • U — произведение таблиц Т и U,
построенное при помощи строчной вставки слова U в Т. Тогда
w(T -U) = w(T)-w(U).
Несколько менее очевидным фактом является то, что процедура
перемещения Шютценберже сохраняет эквивалентность Кнута для слов косых
таблиц. Правда» в простейших случаях снова возникают элементарные
преобразования Кнута:
yzx^yxz (x<y^z),
ш
У
Ш
Ж
г
X
ш
У
X
Z
х г
У
х У
z
xzy^zxy {х ^у <z).
Покажем, что класс эквивалентности слова не изменяется на каждом
шаге перемещения. Заметим, что на отдельном шаге алгоритма
конфигурация может не быть правильной косой диаграммой, так как будет
содержать внутри себя «нору» (пустую клетку). Словом такой конфигурации
мы будем, как и в случае обычных таблиц, называть последовательность
элементов, записанных в порядке прочтения слева направо и снизу вверх.
Утверждение очевидно для перемещения по горизонтали; в этом случае
слово вообще не изменяется. В случае перемещения по вертикали
необходимо внимательно проследить за процессом. Для начала рассмотрим
пример:
и
V
X
У
Z
—
и
V
X
У
Z
Здесь и <v ^ х ^ у < z и слово преобразуется из vxzuy в vzuxу.
Нетрудно представить это перемещение в виде последовательности
элементарных преобразований Кнута:
V xz и у =v х uz у (и < у <z)
— vuxzy (и <V 4:Х)
= vuzxy (x ^y <z)
= vzux у (и < x <z).
§2.1. Слова и элементарные преобразования
37
В общем случае вместо клеток, стоящих на рисунке в четырех углах, могут
быть строки:
V\
Up
vp
¦
X
.
г\
Уя
*ч
«1
V\
tip
„
X
ш
У\
«.
Уя
2q
причем выполнены следующие условия: последовательности щ, у,-, yt и Zj
(нестрого) возрастают; щ < v-t и yj < Zj для всех / и у; ир ^ х ^ у\. Пусть
U = U\...Up, V = V\...Vp% у =У\ ...*/„, Z = Z\...Zg.
Мы должны показать, что
v xzuy = vz их у. B)
Будем вести индукцию по р. При р = 0 уравнение B) превращается
в лгг// = zxyy или
AT2i ... ?<,</! ••¦^=2i ...ZqXy\ ...yq. C)
Если вставить //| в строку со словом xz\ ...zq, то элемент z\ окажется
выбитым. Согласно предложению 1 строчная вставка сохраняет
эквивалентность Кнута, поэтому xz\ ...zqу\ =z\ хy\z2 ...zqy а значит,
{XZ\...Zq ух){у2 •¦¦yq) = (Z\XyiZ2... Zq)(y2 -.-Уд).
Далее, строчная вставка у2 в строку со словом хy\Z2...zq выбивает z2,
что дает эквивалентность х y\ z2...zq у2 = z2x у\ y2z$.. .zq, а
следовательно,
(z{xy{z2...zq)(y2...yq) = (z]z2xy]y2Z3..-zq){ys...yq).
Продолжая аналогичные действия для k = 3, ..., qy вставляем уь в строку
со словом х у\ ... yk-\ Zk... zq, при этом Zk оказывается выбитым на
позицию слева от ху что при k = q приводит к требуемой эквивалентности B).
Пусть теперь р ^ 1 и B) выполнено для всех чисел, меньших р.
Обозначим
и! = и2...ир, v' = v2...vp.
Начнем со слова vxzuy = v\ v' xzu\ и' у. Строчная вставка и\ встро-
ку со словом V\v'xz выбивает v\, что, согласно предложению I, дает
v\ v*xz и\ =v\ u\ и' xzf так что
vxzuy = v\ v'xzu\ и!у = v\ u\ vfxzu!y.
38
Глава 2. Слова. Практический моноид
Согласно предположению индукции для р — 1, t/'xzu1 y = v' zu'x у, а
значит,
V\ U\ v1 xzu' у = V\ U\ vf z u' x y.
Наконец, строчная вставка u\ в строку со словом v\ v'z выбивает v\t что
дает эквивалентность v\ v* zu\ =v\ u\ vf z. Отсюда заключаем, что
V\ U\Vf ZU* X у = V\Vf ZU\ и' x у = v zux у.
Последовательность этих эквивалентностей доказывает B).
Случай произвольного вертикального перемещения немедленно
следует из только что рассмотренного, как показано на следующей диаграмме:
"I
о\
У\
г\
У*
В принятых выше обозначениях рассмотренный случай позволяет
заключить, что vxzuy — vzuxу. Требуемая эквивалентность получается из
этой добавлением в начало и конец обеих частей равенства подходящих
слов, соответствующих нижней левой и верхней правой частям диаграммы.
Таким образом, доказано следующее
Предложение 2. Если одна косая таблица может быть получена
из другой последовательностью перемещений, то их слова
эквивалентны по Кнуту.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему, из которой
следуют недоказанные утверждения предыдущей главы.
Теорема. Каждое слово эквивалентно по Кнуту слову некоторой
таблицы Юнга, причем такая таблица единственна.
Утверждение, что каждое слово эквивалентно слову некоторой
таблицы, является простым следствием предложения 1. Действительно, пусть
w ~Х\ ...хг — произвольное слово. Из предложения 1 следует, что это
слово эквивалентно слову таблицы
((..-((
*2> <- *3) <-...) <~ *г-[) <- ХГ
Мы будем называть такую процедуру построения таблицы со словом,
эквивалентным данному, канонической, а саму таблицу будем обозначать
через P(w). Утверждение теоремы, касающееся единственности, на данном
этапе далеко от очевидности и потребует использования новых идей; мы
§2.1. Слова и элементарные преобразования 39
докажем его в следующей главе. Теперь выведем несколько следствий из
основной теоремы, в том числе и три утверждения из главы 1.
Из теоремы и предложения 2 получаем
Следствие 1. Выпрямление косой таблицы S является
единственной таблицей, слово которой эквивалентно по Кнуту слову S. Если
S и S' — косые таблицы, то Rect(S) = Rect(S') тогда и только тогда,
когда w(S) = w(S/).
Теорема дает третий путь определения произведения Т • U двух таблиц.
Определим Т • U как таблицу, слово которой эквивалентно по Кнуту слову
w(T) • w(U), где произведение слов есть их конкатенация, т.е.
приписывание одного слова к другому.
Следствие 2. Три определения произведения таблиц
эквивалентны.
Доказательство. Достаточно показать, что каждая из двух
конструкций, введенных в предыдущей главе, задает произведение Т ¦ U,
обладающее свойством w(T ¦ U) = w(T) - w(U). Для первой конструкции,
определяющей произведение как последовательную строчную вставку
элементов таблицы U в Т, это является следствием предложения 1. Для
второй конструкции, которая определяет произведение на Т * U при помощи
игры в 15, это следует из предложения 2. ?
Теперь, учитывая что нам осталось завершить доказательство
единственности в теореме, все три утверждения главы 1 будем считать
полностью доказанными. Саму теорему можно красиво сформулировать,
следуя (с точностью до обозначений) Кнуту, Ласку и Шютценберже. Пусть
М = Мп — множество классов эквивалентности по Кнуту слов в
алфавите [т] —{\ т). Конкатенация корректно задает на этом множестве
операцию произведения, так как если w = wl и v = vf, то по
определению w • v = w' • и = wf * vf. Таким образом, М оказывается
ассоциативным моноидом, его единицей является пустое слово 0. Говоря более
формально, слова образуют свободный моноид F с операцией
конкатенации и пустым словом 0 в качестве единицы. Отображение из F в М,
переводящее слово в его класс эквивалентности, является гомоморфизмом
моноидов; M — F/R, где R— отношение эквивалентности, порожденное
соотношениями Кнута (/С') и {К"). Ласку и Шютценберже называют М
плактинеским моноидом. Наши рассуждения показывают, что моноид
таблиц изоморфен плактическому моноиду М = F/R. Отсюда, в частности,
очевидна ассоциативность произведения таблиц. В дальнейшем мы обычно
будем рассматривать этот моноид как множество таблиц с введенным выше
умножением.
Рассматриваемый нами моноид, как и любой другой, имеет
ассоциированное групповое кольцо. Обозначим через R\m] кольцо, соответствую-
40
Глава 2. Слова. Плактический моноид
щее моноиду таблиц с элементами из [га], и будем называть его кольцом
таблиц. Оно является свободным Z-модулем, базис которого состоит из
таблиц с элементами из алфавита [га], а умножение определяется
умножением на таблицах. Это кольцо ассоциативно, но не коммутативно. Имеется
канонический гомоморфизм из /?jmj на кольцо многочленов Z[x\, ..., хт],
который отображает таблицу Т в одночлен хт, являющийся произведением
переменных *,, каждая из которых входит в него в степени, равной числу
появлений i среди элементов таблицы.
§2.2. Многочлены Шура
Определим S\ = S\\m] как элемент кольца /?[ОТ], равный сумме всех
таблиц данной формы X с элементами из [га]. Образ S\ в кольце
многочленов называется многочленом Шура S\{x\y ..., xm). В пятой главе
мы дадим общую формулу для произведения двух многочленов Шура. Два
частных случая этой формулы являются простыми следствиями леммы
о строчной вставке. Их часто называют формулами Пьери, так как они
совпадают с формулами, выведенными Пьери для умножения многообразий
Шуберта в кольце пересечений когомологий грассманиана. Для (р) и AР),
т. е. диаграмм Юнга, состоящих из одной строчки длины р и одного столбца
высоты р соответственно, эти формулы выглядят следующим образом:
и-
где сумма берется по всем диаграммам [i, получающимся из X добавлением
р клеток, не стоящих попарно в одном столбце, и
5х -5{|Р) = ^5ц, E)
где суммирование ведется по всем ц, получающимся из X добавлением
р клеток, не стоящих попарно в одной строке. Эти формулы являются
переформулировкой предложения из § 1.1, утверждающего, что результат
умножения таблицы Т на таблицу U', имеющую форму строки (столбца),
имеет форму, описанную в D) (соответственно в E)), и что любая
таблица такой формы может быть единственным образом представлена как
соответствующее произведение.
Упражнение I. Пусть X = (Х| ^ ... ^ X* ^ 0). Проверьте, что условия
на [i в D) могут быть сформулированы в алгебраической форме таким
образом:
Hi > Xj ^ у.2 ^ *2 > • • ¦ > Н* ^ ** ^ Иа+1 > На+2 = 0
и YlV-i — Z)^' + Р- Найдите подобные выражения для E).
§2.2. Многочлены Шура
41
Применяя к формулам D) и E) гомоморфизм Т \-+ хт, отображающий
R[m] в кольцо многочленов, получаем:
s\(x[t ..., xm) ¦ hp(xu ..-> xm) = ^2sv(xi* •¦¦' *'«)»
F)
где hp(x\, ..., xm) — полный симметрический многочлен степени р и
суммирование ведется по всем диаграммам, получаемым из jj добавлением
р клеток, не стоящих попарно в одном столбце;
S\(X\, ..., xm) • ер(х\ xm) = 2_^s\i(xi* • ¦ • • xm)>
G)
где ep(x\y ..., xm) — элементарный симметрический многочлен степени р
и суммирование ведется по всем диаграммам, получаемым из \i
добавлением р клеток, не стоящих попарно в одной строке.
Будем говорить, что таблица Т имеет состав {тип или вес) \t — (\x\, ...
..., [i/), если набор ее элементов состоит из \i\ единиц, ^2 двоек и т.д. Для
данного разбиения X и данного набора \х = (\х\, ..., (i/) неотрицательных
целых чисел обозначим через К\^ число таблиц формы X и состава р.
К\и можно также определить как число последовательностей разбиений
\(i) с \B) с с ^(/) _ ^ где косая диаграмма Х(',/Х(/_1) имеет ц,- клеток,
никакие две из которых не лежат в одном столбце:
I
2
3
4
1
3
2
4
3
4
ш
^
ш
^
Ш
^
ш
^
ш
ж
ш
Числа К\и называют числами Костки, по крайней мере в том случае, когда
[i является разбиением.
Из F) следует формула
h[n • ЛМ2 -... • hUl = 2_^ Kx^sx,
(8)
где сумма берется по всем разбиениям X, a hp есть р-й полный
симметрический многочлен от переменных Х\, ..., хт. В кольце R\m\ выполняется
аналогичная формула:
5(Ц|) -S(M2) *... •5(ti/) = 2j/CxM5x,
которую можно интерпретировать следующим образом: для любой
последовательности ХA) С ... С Х(/) = X описанного выше типа любая таблица
42
Глава 2. Слова. Плактический моноид
формы X может быть единственным образом представлена в виде
произведения U\ • ... • U(, где Uj —таблица, имеющая форму строки длины ji/.
Это легко проверить, применяя индукцию по / и предложение из §1.1.
Аналогичная формула
«и» * *w • • • • ¦ е* = Л Ki^ = Y1 **5Х (9)
X X
выполняется для элементарных симметрических многочленов, где X
обозначает разбиение, сопряженное к X. Действительно, заметим, что если
последовательность ХA) с ХB) с ... С Х(/) = X такова, что косые диаграммы
Х(/)/Х('~1> содержат [ц клеток, никакие две из которых не лежат в одной
строке, то X переводится транспонированием в аналогичную
последовательность для X, в которой соответствующие косые диаграммы не содержат
клеток, лежащих в одних и тех же столбцах. Согласно предложению из
§1.1 любая таблица формы X может быть единственным образом
записана в виде произведения U\ ¦... • ?//, где И\ —таблица, имеющая форму
столбца длины щ.
Кроме отношения включения \х с X, на множестве таблиц можно ввести
еще два важных частичных порядка. Первый из них —
лексикографический порядок, который обозначается \х ^ X и означает, что для
наименьшего натурального /, для которого [i, ^Х, (если такое / существует),
выполнено [it <Х/. Второй — отношение доминирования, которое
обозначается |j < X и означает, что
Hi + ... + [i/ ^ Xi + ... + X,- для всех /;
в этом случае мы будем говорить, что X доминирует над \х1). Заметим, что
[i с X =» (i < X => [i ^ X, но ни одна из импликаций не может быть обращена.
Например, B, 2) < C, 1), но B, 2) ? C, 1); C,3)^D, 1), но C, 3) g D, 1).
Лексикографический порядок превращает множество разбиений во вполне
упорядоченное множество, но это не имеет места для отношения
доминирования: B, 2, 2) и C, 1, 1, 1) не сравнимы относительно доминирования.
Из определений немедленно вытекает, что для двух разбиений у. и X
число Костки К\и равно 1, если ji = X, и равно 0, если не выполнено
Упражнение 2. Пусть X и [х — разбиения одного и того же целого
числа. Покажите, что /Схц ф 0 тогда и только тогда, когда \х < X.
Если разбиения упорядочить лексикографически, то матрица (/(хц)
будет нижней треугольной с единицами на главной диагонали. Отсюда
следует, что уравнения (8) и (9) могут быть разрешены и многочлены Шура могут
,JB дальнейшем также будет рассматриваться отношение строгого доминирования: ц < X,
если уц + ... + ц,- < Х| + ... + X,- для всех /. — Прим. перев.
§2.3. Столбцовые слова
43
быть выражены через полные или элементарные симметрические функции.
(Мы дадим явные решения этих уравнений в главе 6.) Отсюда, в частности,
следует, что многочлены Шура— симметрические многочлены.
Из уравнения (8) и из того, что многочлены Шура линейно независимы
(см. §6.1), следует, что число Костки К\^ таблиц формы X с [Х\ единицами,
^2 двойками и т.д. не зависит от порядка, в котором идут числа [ib ..., ^i/.
Мы дадим прямое доказательство этого факта в главе 4.
§2.3. Столбцовые слова
Хотя для изучения свойств таблиц достаточно рассмотрения строчных
слов, иногда удобно использовать «двойственную» форму записи слова
таблицы или косой таблицы Т. Будем называть столбцовым словом
таблицы Т последовательность ее элементов, записанных в порядке прочтения
снизу вверх вдоль каждого столбца, начиная с крайнего левого и до
крайнего правого. Будем обозначать такое слово wC0\(T).
Мы утверждаем, что
wcol(T) = wroAT) = w(T). A0)
Это утверждение можно доказать индукцией по числу столбцов, опираясь
на следующий более общий факт:
Лемма 1. Пусть косая таблица Т разрезана вдоль вертикальной
или горизонтальной линии на две косые таблицы Т и Т". Тогда
Доказательство. Для горизонтального разреза результат
мгновенно следует из рассмотрения строчных слов. В случае вертикального
разреза построим новую косую таблицу Т' * Г", сдвигая V вниз, пока ее
верхняя строка не окажется под нижней строкой Г".
г * т"
4 2
6
5
3 1
44
Плава 2. Слова. Плактический моноид
Очевидно, что wr0w(T/ * Т") = Wrow(T') • Wrow(T"). Таблицу Т можно
получить из Г' * Г" последовательными перемещениями, выбирая всякий раз
внутренние углы, находящиеся непосредственно над Т в порядке справа
налево, как в нумерации на рисунке. Теперь из предложения 2 § 2.1 следует,
что wr0w(T) = wrow(T/ * Т"). П
Имеет место и более сильный факт, хотя понадобится он нам только
в приложении А. Назовем К1 -эквивалентностью и обозначим через ='
отношение эквивалентности, которое получается только из преобразований
типа (К'), т.е. отношение эквивалентности, порождаемое условием
u-y-x-z-v^u-y-z-x-v при х <у ^2.
Лемма 2. Пусть Т — произвольная косая таблица. Тогда
Доказательство. Пусть у — число, стоящее в нижнем левом углу
таблицы Т. Пусть X— столбец, стоящий над у, a Z— строка, стоящая
правее у (и X, и Z могут быть пустыми), и пусть S — косая таблица,
получающаяся из Т при удалении первого столбца и последней строки:
s
х
У Z
Предположим, что лемма выполнена для всех меньших косых таблиц,
в частности, для X US и Z US, которые получаются из Т после удаления
нижней строки и самого левого столбца соответственно. Имеем
и>ы(Т) = у • w(X) • wC0](Z U S) =' у • w(X) • wrow(Z U S) =
= у • w(X) • w(Z) • wrow{S) =' у • w(X) • w(Z) • a;COiE),
wTQW(T) = у • w(Z) • wrow{X U S) =' у • w(Z) ¦ wc0\(X и S) =
= y-w{Z)-w(X)-wC0\(S).
Таким образом, достаточно показать, что у • w(X) • w(Z) = у * w(Z) • w(X).
Если w(X) ~Х\.. .хр, a w(Z) = 2|.. .z9, то
§2.3. Столбцовые слова
45
и теперь мы должны показать, что
_/
у Х\ . . . Хр Z\ . . . Zq =' у Z\ . . • Zq Х{ . . . Хр.
Так как хр < хр-\ ^ z\y то элементы хр и z\ в слове слева можно поменять
местами. Затем, так как хр < Z\ ^ 22, то можно переставить хр и 22 и так
далее, пока хр не минует все 2/, т. е.
уХ\ .. .Х^2|
• zq= ух\
. Xр—\ 2] . . . Zq Xр,
Используя то же рассуждение, можно передвинуть хр„\ через все 2/, и так
далее для всех ху, пока мы не придем к требуемому равенству. ?
Упражнение 3. Покажите, используя отношение эквивалентности =",
соответствующее преобразованию (К"), что wQ0\{T) ="' wmw(T) для любой
косой таблицы 7\
Есть много других способов построения слова, эквивалентного по
Кнуту слову данной косой таблицы Т. Из леммы 1 следует, что если
последовательно разделить Т на косые таблицы разрезанием вдоль вертикальных
и горизонтальных линий на куски, то w(T) окажется эквивалентным по
Кнуту произведению слов этих частей, взятых в подходящем порядке.
Например, если Т выглядит так:
т2
7в
г9
7-6
h
\Ть
П
то в обозначениях ш,- =шG}) имеем
W(T) 5 (W\W2)(((W3W4)W5)(WeW7)(W8W$))>
где скобки стоят в соответствии с разрезами. В качестве частного
случая можно рассмотреть разбиение Т в набор Т\, .... Ts строк или
столбцов (пронумерованных снизу вверх или слева направо соответственно).
В этом случае w(T) = w(T\) • ... • w(Ts). Точно так же можно выделять
строки и столбцы таблицы, начиная с конца соответствующего ей слова.
Как и раньше, эти равенства остаются в силе для К'- и УС-эквивалент-
ностей.
Глава 3
Возрастающие
последовательности.
Доказательства
§3.1. Возрастающие последовательности в словах
Шенстед разработал свой алгоритм для изучения возрастающих
последовательностей, которые могут быть выделены в словах. Пусть w =
= х\Х2 .. .хг — слово (как обычно, в алфавите [т] = {1, ..., т}).
Обозначим через L(wt 1) длину самой длинной (нестрого) возрастающей
последовательности, которая может быть выделена из ш, т.е. наибольшее /, для
которого существуют такие индексы i\ < i<i < ... < it, что
Например, рассмотрим слово
ш = 134234122332.
В этом случае L(w, 1) = 6, что соответствует одной из следующих двух
последовательностей:
® 3 4 © 3 4 1 ©@®® 2
©34234 ®@®@® 2
Для произвольного положительного целого числа к обозначим через
L(w, k) наибольшее число, которое может быть представлено как сумма
длин k непересекающихся возрастающих последовательностей,
выделенных из w. Вот значения L(w, k) для слова из рассмотренного примера
(k ^ 2) и некоторые из возможных наборов последовательностей, позво-
§3.1. Возрастающие последовательности в словах
47
ляющие их вычислить:
L(w,2) = 9:
©И 4 ®[J
© 3 4 П2
1©@®®2
Ш©@®®®2
© з 4 @® 4 mas®®!!
Z.(*.3) = 12: ©ДА@©АШ@йC)©а
©©©ИШвАААШША
Далее, при /г ^ 3, /Дш, k) = 12 (мы допускаем пустые последовательности).
Максимальную суммарную длину могут давать не только различные
наборы из к возрастающих последовательностей; число элементов в отдельных
последовательностях может быть разным. Кроме того, может оказаться
невозможным дополнение набора одного уровня до набора следующего
уровня. В случае нашего примера нельзя отыскать набор из трех
непересекающихся последовательностей, состоящих из 6, 3 и 3 букв.
Рассмотрим другой пример — слово, состоящее из тех же букв, что
и ш, входящих с теми же кратностями, но в другом порядке:
йу' = 3442331 12223.
Числа L(w\ k) этого слова совпадают с числами из предыдущего примера,
но соответствующие максимальные последовательности можно составить
из блоков идущих подряд букв слова:
/V, 1) = 6: 3 4 4 2 3 3 ®®©©©@
Ца/',2) = 9:
3 4 4 2
L(tt>',3) = 12: ДДД0[з][з]® ® © © © ©
Заметим, что wf является строчным словом таблицы
1
2
3
1
3
4
2
3
4
2
2
3
Читатель может самостоятельно проверить, что эта таблица получается из
слова w посредством процедуры, описание которой дано после теоремы
в предыдущей главе. Скоро мы покажем, что это не случайно: если www'
эквивалентны по Кнуту, то L(w> k) — L(wf, k) для любого k.
48 Глава 3. Возрастающие последовательности. Доказательства
Для слова ш, являющегося словом некоторой таблицы, числа L(w, к)
вычислить очень легко. Действительно, если выделить из w какую-либо
возрастающую последовательность, то составляющие ее числа стоят в
таблице в том же порядке слева направо, причем каждое следующее число
находится не ниже предыдущего. Так как элементы последовательности
стоят в разных столбцах, L(w, 1) равно количеству столбцов таблицы,
т. е. числу клеток в первой строке. Аналогично, L(wt к) совпадает с общим
числом клеток в первых к строках таблицы. Действительно, эту сумму
можно реализовать, взяв первые к строк в качестве
последовательностей. С другой стороны, любое несвязное объединение к наборов клеток
диаграммы Юнга, каждый из которых содержит не более одной клетки
в столбце, не может иметь больше клеток, чем содержится в первых к
строках. Действительно, если даны к таких множеств, то можно найти
к множеств с тем же свойством и содержащих то же количество клеток,
но лежащих целиком в первых к строках диаграммы: достаточно заменить
каждую из клеток этих наборов на клетку, лежащую в том же столбце, но
насколько возможно выше. Таким образом, доказана
Лемма 1. Пусть w — слово таблицы Т формы X, где X = (Х| >
^ Хг ^ ... ^ X/ ^ X/+i = ... = 0). Тогда для всех к > 1
L(w, А) = Х, +Х2 + -.. + Х*.
Теперь мы покажем, что числа L(w, k) одинаковы для эквивалентных
по Кнуту слов.
Лемма 2. Если слова w и wf эквивалентны по Кнуту, то
L(w, k) = L(w\ k)
для всех k.
Доказательство. Достаточно внимательно проследить, что
происходит, когда w и ш'—левая и правая части соотношения, описывающего
элементарные преобразования:
(i) и • yxz -v = u- yzx -v (х < у ^ z)
(ii) и - xzy -v = u- zxy -v (x ^ у < z),
где и и v — произвольные слова, а х, у и z — числа. Неравенство L(wy k) ^
^ L(w*', k) очевидно, так как любой набор из k непересекающихся
возрастающих последовательностей, выделенных из ш\ определяет такой же
набор последовательностей в w. Обратное неравенство доказать сложнее.
Предположим, что имеется k непересекающихся возрастающих
последовательностей, выделенных из слова w. Достаточно построить
аналогичный набор последовательностей вш'с тем же общим числом элементов.
В большинстве случаев набор последовательностей в w определяет тот же
§3.2. Доказательство основной теоремы
49
набор в ш'. Фактически, нам остается исследовать случай, когда одна из
последовательностей в w содержит и х, и z, тогда та же
последовательность в wl не будет возрастать. Пусть эта последовательность имеет вид
и\ ¦ xz • с/1, где U) и V\ —(возможно, пустые) последовательности,
выделенные в и и и. Если в наборе, выделенном в ш, нет последовательности,
содержащей у, то в качестве соответствующей последовательности в wf
мы можем использовать и\ ¦ yz • V\ в случае (i) или U\ • ху • v\ в
случае (ii). Остается случай, когда в w также выделена последовательность
вида U2 • у - V2. Заменим тогда эти две последовательности на U2 • yz • V\
и и\ - х • V2 в случае (i) и на и\ • ху • V2 и «2 * г • v\ в случае (ii). И в том,
и в другом случае обе последовательности возрастают содержат
одинаковые элементы. Оставляя остальные последовательности набора,
выделенного в w, неизменными, получаем набор последовательностей в w1 той же
общей длины. Лемма доказана. ?
§3.2. Доказательство основной теоремы
Леммы 1 и 2 позволяют указать форму таблицы, слово которой
эквивалентно по Кнуту данному слову. Нужно еще немного, чтобы
полностью восстановить таблицу, исследуя возрастающие последовательности
в слове. Для начала попытаемся определить, в какую клетку диаграммы
попадает наибольший элемент слова. Рассмотрим пример из предыдущего
параграфа. Удалим из слова w второй элемент 4 и найдем диаграмму,
соответствующую оставшемуся слову. Она содержит на одну клетку меньше,
чем исходная, и получается из исходной удалением клетки, содержащей 4.
Таким образом, мы нашли клетку диаграммы, в которую попадает 4. Далее,
удалим из слова обе четверки и построим соответствующую диаграмму,
которая будет содержать на две клетки меньше. Это даст возможность
определить, куда попадет другая четверка. Продолжая этот процесс, мы
можем восстановить всю таблицу.
Чтобы применить эту процедуру в общем случае, нужно проверить,
что при удалении наибольших элементов из эквивалентных по Кнуту слов
получаются эквивалентные по Кнуту слова. Как обычно, когда элементы
равны, мы будем считать большими те, что стоят правее, так что самые
правые из равных удаляются первыми. Дадим общую формулировку:
Лемма 3. Пусть w и wf — эквивалентные по Кнуту слова, a w0
и w'Q — слова, получающиеся из w и wf при удалении р наибольших
и q наименьших элементов из каждого. Тогда ш0 = w'0 для любых
р uq.
Доказательство. Для применения индукции достаточно
проверить, что эквивалентными по Кнуту окажутся слова, получающиеся при
4* Таблицы Юнга
50 Глава 3. Возрастающие последовательности. Доказательства
удалении из w и ш' наибольших или наименьших элементов. Рассмотрим
случай удаления наибольших элементов, другой случай аналогичен. Как
и при доказательстве леммы 2, будем считать, что www' находятся в левой
и правой частях соотношений (i) или (ii), описывающих элементарные
преобразования. Если наибольшим элементом не является ни одно из чисел
х, у или 2, эквивалентность по Кнуту результирующих слов очевидна.
В противном случае удаленным элементом может быть только z, но тогда
полученные слова совпадают. ?
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы из главы 2 (и
таким образом будут полностью доказаны все утверждения первых двух
глав), показав, что если слово w эквивалентно по Кнуту слову w(T)
некоторой таблицы 7\ то Г можно восстановить по w однозначно. Будем вести
индукцию по длине слова ш, т.е. по числу клеток таблицы. Утверждение
очевидно для слов длины 1. Согласно леммам 1 и 2 форма X таблицы Т
определяется словом w:
\k = L{w,k)-L{w4k-l).
Пусть х — наибольший элемент слова w и wQ—слово, получающееся из w
при удалении самого правого х из w. Пусть Т0 —таблица, получающаяся
из Т при удалении самой правой из содержащих х клеток таблицы Т
(если таких клеток несколько). Заметим, что w(TQ) = w(T)Q. По лемме 3
w0 = w(T0). Согласно предположению индукции, Т0—единственная
таблица, слово которой эквивалентно wQ. Так как нам известны формы таблиц
Т и Т0, то Т может быть получена из Т0 единственным образом:
помещением х в оставшуюся пустой клетку. Теорема доказана.
Хотя описанная процедура дает алгоритм построения таблицы со
словом, эквивалентным данному, на практике используется обратный
алгоритм: при помощи строчной вставки строится таблица, исходя из формы
которой вычисляются числа L(w, k).
Упражнение 1. Пусть w — слово, эквивалентное по Кнуту слову
таблицы Т. Покажите, что число строк Т равно числу элементов в самой
длинной строго убывающей последовательности, которую можно выделить
в w. Покажите, что общее число клеток в первых k столбцах Т равно
максимальной сумме длин k непересекающихся строго убывающих
последовательностей, которые можно выделить в w.
Упражнение 2. Из упражнения 1 выведите результат Эрдёша и Секе-
реш: любое слово длины, большей я2, содержит либо возрастающую, либо
строго убывающую последовательность длины, большей п. Покажите, что
результат является точным. Докажите более общую теорему: любое слово
длины, большей m • л, содержит возрастающую последовательность
длины, большей л, или убывающую последовательность длины, большей пг.
§3.2. Доказательство основной теоремы
51
Упражнение 3. Найдите слово w длины 6 с L(w% 1) = 4, L(w, 2) = 6
и не содержащее двух непересекающихся возрастающих
последовательностей длин 4 и 2.!)
Утверждения, доказанные в этой главе, являются частными случаями
более общих результатов Грина (Greene [1976]). Для любого
конечного частично упорядоченного множества W определим число L(W, k) как
наибольшее число элементов в объединении k непересекающихся
возрастающих подпоследовательностей W. Обозначим через Хь Хг, ...
последовательные разности этих чисел. Аналогично, вычисляя количества
элементов в несвязных объединениях антицепей (подмножеств W, никакие
два элемента которых не сравнимы) и беря их разности, можно
определить последовательность [i\y [i2, ... Теорема Грина гласит, что эти числа
всегда являются количествами строк и столбцов некоторой диаграммы
Юнга, т.е. являются сопряженными разбиениями.2* В дальнейшем нам не
понадобятся эти общие результаты.
''Задачи о возрастающих подпоследовательностях в заданной последовательности
начались с упомянутой элементарной теоремы Эрдёша—Секереш и обобщались в нескольких
направлениях. Их решения привели к впечатляющим результатам последних лет; основной
интерес вызвали асимптотические задачи. Решение знаменитой проблемы Улама об
асимптотике максимальной длины монотонно возрастающей подпоследовательности в типичной
подстановке в группе S/i относительно равномерной меры при л, стремящемся к бесконечности,
после долгих попыток разных авторов было получено в работах Вершика и Керова (Вершик
и Керов [1977; 1981]) как следствие гораздо более общего факта — теоремы о предельной
форме типичной по мере Планшереля диаграммы Юнга (несколько менее полный результат
доказан другим способом в работе Логана и Шеппа (Logan, Shepp [1977])). В самое
последнее время было найдено распределение флуктуации (Raik, Deift, Johansson [1999]) и открыта
замечательная связь с теорией спектров случайных матриц, интегрируемыми задачами и т. п.
(см. книгу под редакцией Вершика (Vershik [2003])). — Прим. ред.
2*Этот более общий результат был независимо получен в 1976 г. С.Фоминым
(Фомин [1978]), когда он был еще студентом. — Прим. ред.
Глава 4
Соответствие
Робинсона—Шенстеда—Кнута
Алгоритм строчной вставки позволяет построить замечательное
взаимно однозначное соответствие между матрицами с неотрицательными
целыми элементами и парами таблиц одинаковой формы. Это соответствие
известно как соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута. Во втором
параграфе мы дадим другую конструкцию, из которой будет очевидно
следовать теорема симметрии — транспонированной матрице соответствует пара
из тех же таблиц в другом порядке. Вариации на эту тему см. в
приложении А.4.
§4.1. Соответствие
Для данного слова w обозначим через P(w) (единственную) таблицу,
слово которой эквивалентно w по Кнуту. Различные, но эквивалентные
по Кнуту слова определяют одну и ту же таблицу. Если слово имеет вид
w = Х\Х2 .. -хГу то P(w) может быть построена при помощи канонической
процедуры:
Я(ш) = ((...<( *, -х2)«-х3)<-...)-*,_|)
Как было показано, алгоритм Шенстеда строчной вставки обратим, если
известно, какая именно клетка добавлена к диаграмме. Это означает, что
слово w можно восстановить по таблице P(w) вместе с нумерацией
клеток, возникающей в процессе канонического построения P(w). Это можно
формализовать следующим образом: одновременно с построением P(w)
будем строить еще одну таблицу Q{w) той же формы, которую будем
называть таблицей записи (или таблицей вставок) и элементами
которой будут числа 1, 2, ..., г. Таблица Q(w) строится так: число k ставится
в клетку, которая добавляется к диаграмме на k-м шаге построения P(w).
Таким образом, 1 попадет в верхний левый угол, и если обозначить через Я*
таблицу
Pk = ((...(( х\ <-л:2)<-хз) <-...)<-**-!)¦-**,
§4.1. Соответствие
53
то к окажется в той клетке таблицы Я*, которой не было в таблице Р&-\.
Так как новая клетка всегда является внешним углом, очередной элемент
таблицы Q(w) превосходит элементы, стоящие выше или левее его. Пусть
Qit — таблица, возникающая на k-м шаге построения Q(w). Рассмотрим
в качестве примера слово ш = 54823417531. Последовательные пары
(Pk, Qk) выглядят так:
ИИ
4
5
1
2
4
5
8
I
2
3
2
4
5
8
1
2
4
3
2
4
5
3
8
1 3
2 5
4
2
4
5
3
8
4
1 3 6
2 5
4
I
2
4
5
3
8
4
1
2
4
7
3
5
6
I
2
4
5
1
2
4
5
3
8
3
4
7
8
4
3
7
5
1
2
4
7
3
5
6
8
1
2
4
5
3
7
8
4
5
I
2
4
7
3
5
9
6
8
1
2
4
7
3
5
9
10
6
8
1
2
4
5
8
1
3
4
7
3
5
1
2
4
7
11
3
5
9
10
6
8
Обращая шаги алгоритма Шенстеда, по паре (Я, Q) можно
восстановить исходное слово. Чтобы перейти от (Я^, Qk) к (/V-i. <?ft-i)> нужно
взять клетку таблицы Qk, содержащую наибольший элемент, и
произвести с этой клеткой в Pk обратный алгоритм строчной вставки. Получится
таблица Я*_|, а выбитый из верхней строки таблицы Pk элемент будет k-м
элементом слова ш. Удаляя k из Qk, получаем Qk~\-
На самом деле любая пара (Я, Q) таблиц одной и той же формы,
где Q — стандартная, может быть получена таким образом: всегда можно
провести процедуру из § 3.2 (см. с. 49). Пусть в таблицах Р и Q по г клеток.
Построим последовательность пар:
(Я, Q) = (Pr% Qrl (Л-1. Qr-\) (Ри Qi).
54 Плава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
Таблицы каждой из этих пар имеют одинаковую форму, причем все
таблицы Qk стандартны. При этом элемент х^ входящий в Pk на один раз
больше, чем в Ръ-1, является й-м элементом слова w и Р = P(w), Q = Q(w).
Заметим, что выбор стандартной таблицы данной формы — это то же, что
и выбор нумерации клеток диаграммы, при которой клетки, содержащие
числа от 1 до &, также образуют диаграмму Юнга для каждого k ^ г. Это
следует из того, что наибольший элемент стандартной таблицы всегда стоит
во внешнем углу.
Таким образом, построено взаимно однозначное соответствие между
множеством слов w длины г в алфавите [л] и множеством (упорядоченных)
пар таблиц (Я, Q) одинаковой формы с г клетками, причем элементы Р
берутся из алфавита [л], a Q — стандартна. Это соответствие носит
название соответствие Робинсона—Шенстеда. В случае г = л и при
условии, что каждое из чисел 1 я встречается в w ровно один раз,
т.е. когда w является подстановкой на [п] (отображающей число i в i-ю
букву ш), Р также оказывается стандартной таблицей. Верно и обратное
утверждение. Именно это соответствие между подстановками и парами
стандартных таблиц было предложено Робинсоном и независимо
переоткрыто Шенстедом. Мы будем называть этот частный случай
соответствием Робинсона.
Кнут рассмотрел более общий случай: он задался вопросом, что
соответствует упорядоченной паре произвольных (т.е. с необязательно
стандартной Q) таблиц одинаковой формы, где элементы Р берутся из
множества [л], a Q из [т]. В этой ситуации мы также можем произвести
описанный выше обратный процесс и получить последовательность пар
таблиц
(Я, Q) = {Pn <?,), (Л-1, <?r-i) (Я,. <?,),
где таблицы в каждой паре имеют одинаковую форму и каждая следующая
таблица содержит на одну клетку меньше, чем предыдущая. Чтобы
построить (Я*_ь Q*-i) из {Pk, Qk)y находим клетку <?*, содержащую наибольший
элемент, и удаляем ее из Qk- Если таких клеток несколько, выбрасываем
самую правую. Тогда Pk-\ получается как результат обратной строчной
вставки выброшенной из Qk клетки в Я*. Обозначим через Uk элемент,
удаленный из Qk, и через у*— элемент, выбитый из верхней строки Я*.
Получаем двухстрочный массив ( l 2 j. Заметим, что если табли-
п /I 2 ... г\
ца и стандартна, то этот массив имеет вид , и полностью
\V\ v<i ... vr/
определяется словом w = V\V2 ... vr. Будем называть двухстрочный массив
словом, если его верхняя строка есть 1... г. Если, кроме того, нижняя
строка массива содержит все числа от 1 до г, то этот массив — обычный
§4.1. Соответствие
55
способ записи подстановки: она переводит число / в стоящее под ним
число Vj\ мы будем называть такой массив подстановкой.
Какие двухстрочные массивы могут получиться таким образом? Во-
первых, согласно конструкции, последовательность щ нестрого
возрастает:
U\ ^ и2^ ...< иг. A)
Мы утверждаем, что для последовательности vt выполнено следующее:
vk-\ ^ и*, если wft_i = uk. B)
Это следует из леммы о строчной вставке из главы 1, которая описывает
пути выбивания для последовательных процессов строчной вставки. Если
Uk-\ = Uk> то клетка В\ которую мы удаляем из Я*, лежит строго правее
клетки В, которая будет удалена из Pk-\ на следующем шаге. Это значит,
что мы находимся в условиях первой части леммы о строчной вставке,
а тогда Vk-\ < t/*, что и требовалось.
Будем говорить, что массив ( ' 2 Ч является
лексикографически упорядоченным, если выполняются условия A) и B). Это
упорядочение определяется порядком на парах ( ], в котором верхний элемент
имеет преимущество: f ) < ( ,), если и < и' или если « = м'иу^'.
По данному лексикографически упорядоченному массиву
( { 2 '1 можно построить пару таблиц одинаковой формы (Я, Q).
Пара (Я, Q) получается как последняя пара в последовательности (Я*, (?*),
которая строится почти так же, как и раньше. Начнем с Р\ —
v
и Q\ — и\ , и будем строить (Я*, Qk) из (Я*_ь Q*-i), строчно вставляя у*
в Pk-\ и добавляя в Qk~\ на место, в котором появляется новая клетка
в Рь-\, клетку, содержащую w*. Ясно, что Pk является таблицей — мы
проверили это раньше. Чтобы доказать по индукции, что каждая из Qk
является таблицей, достаточно проверить, что если элемент Uk попадает
в Qk-\ под элемент щ, то м* строго превосходит щ. Пусть это не
выполнено, тогда Uk = Ы/, а значит у,- ^ Vi+\ < ... < и*. Но тогда, согласно
лемме о строчной вставке, все клетки, добавляемые к Я,- для построения Я*,
должны находиться в разных столбцах, что невозможно.
,, . 0 /1 1 1 2 2 3 3 3 3\
Упражнение 1. Покажите, что массиву (i о 2 1 2 1 1 1 27
ветствует пара (Я, Q), где
соот-
Я =
I
2
1
2
1
2
1
1
2
<? =
1
2
I
3
1
3
2
3
3
56 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
Очевидно, что описанные выше процессы обратны друг к другу.
Обозначим через (Я(со), Q((l>)) пару таблиц, соответствующую массиву 6).
Подводя итог вышесказанному, сформулируем теорему."
Теорема Робинсона—Шенстеда—Кнута (RSK). Вышеописанные
операции устанавливают взаимно однозначное соответствие б> <->
«-¦ (Рч Q) между множествами двухстрочных лексикографически
упорядоченных массивов о и (упорядоченных) пар таблиц
одинаковой формы. При этом:
(i) со содержит по г элементов в каждой строке <=> таблицы Р и Q
состоят из г клеток каждая. Элементы таблицы Р стоят в нижней
строке со, а элементы таблицы Q — в верхней строке со.
(ii) со является словом <&¦ Q — стандартная таблица
(iii) со является подстановкой & Р и Q являются стандартными
таблицами.
Переставляя столбцы, можно превратить любой двухстрочный массив
в лексикографически упорядоченный. Будем отождествлять массивы,
состоящие с учетом кратностей из одних и тех же столбцов, т. е. не будем
отличать массивы, из которых можно получить один и тот же
лексикографически упорядоченный массив. Таким образом, мы ассоциируем пару
таблиц с произвольным двухстрочным массивом.
Хотя может показаться, что при построении таблиц Р и Q по данному
массиву мы используем его строки совершенно по-разному — элементы
нижней строки используются для выбивания, а элементы верхней просто
помещаются в новые клетки таблицы — это всего лишь иллюзия. В
действительности имеет место следующая теорема, принадлежащая Шютцен-
берже и обобщенная Кнутом:
г™ п (U\ Uo ... ur\
Теорема симметрии. Если массив ( ) соответствует
паре таблиц (Л Q), то массив Г1 V2 Vrj соответствует паре
(О, Я). VWl 2 "¦ г/
Упражнение 2. Пусть Р и Q те же, что и в предыдущем упражнении.
/1 2 2 1 2 1 1 I 2\ /1 I 1 1 I 2 2 2 2\
Проверьте, что массив ^ , j 2 2 3 3 3 ЗУ = ll 2 3 3 3 1 1 2 з)
соответствует паре ((?, Р).
Следствие. Если со — подстановка, то Я(со-1) = <?(со) и <?(б)-1) =
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, переведем наши
рассуждения на язык матриц. Класс эквивалентности двухстрочных массивов
можно идентифицировать с набором пар (/, /), / Е [т], / € [л], которые
'*Соответствие, устанавливаемое в этой теореме, далее будет называться соответствием
Робинсона—Шенстеда—Кнута или RSK-соответствием. — Прим. ред.
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция
57
могут входить с кратностями. Этот набор задает (т х л)-матрицу Л, в
которой на месте (/, /) стоит кратность пары (V Например, для массива
(\ 1 1 2 2 3 3 3 3\ 1
f]22i211l2J С00ТветствУютая матрица выглядит так:
Г1 2"
1 1 .
3 1_
Таким образом, RSK-соответствие является соответствием между
матрицами А с неотрицательными целыми элементами и упорядоченными
парами (Я, Q) таблиц одинаковой формы. Если А — (т х /*)-матрица, то
таблица Р будет содержать элементы из множества [/z], a Q — из [/га]. Сумма
элементов /-й строки матрицы есть число появлений / в верхней строке
массива, что совпадает с числом появлений / среди элементов Q.
Аналогично, сумма элементов /'-го столбца А есть число появлений / в Р.
Матрица соответствует слову, если в каждой ее строке находится ровно одна
единица, а остальные элементы — нули, и соответствует подстановке, если
она является матрицей подстановки, т. е. содержит в каждой строке и
каждом столбце ровно по одной единице, а все остальные элементы — нули.
Перестановка строк массива соответствует взятию транспонированной
матрицы. Таким образом, теорема симметрии утверждает, что если паре
(Ру Q) соответствует матрица А, то паре ((?, Р) соответствует
транспонированная матрица Az. В частности, симметрические матрицы
соответствуют парам вида (Р, Р). Отсюда следует, что любой инволюции в
симметрической группе Sn соответствует пара (Р, Р), где Р — стандартная
таблица из п клеток, так что имеется взаимно однозначное соответствие
между множеством инволюций и множеством стандартных таблиц. Было
бы интересно понять, каким операциям над таблицами соответствуют
другие естественные матричные операции, и наоборот.1*
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция
Теперь мы опишем более геометрическую конструкцию, позволяющую
прямо переходить от матриц или массивов к упорядоченным парам таблиц.
Для большинства массивов эта конструкция ускоряет построение таблиц,
так как в отличие от метода, использующего строчную вставку, исключает
последовательный многошаговый пересчет. Более того, благодаря новой
конструкции станет очевидной теорема симметрии. Мы опишем способ
сопоставления матрице А пары таблиц (Р, Q) — (Р(А), Q(A))t который
назовем «матрично-ящиковой» конструкцией.
'*В статье Бендера и Кнута (Bender, Knuth [1972]) сделан следующий важный шаг —
дана биекция между массивами и плоскими разбиениями. — Прим. ред.
58 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
Для описания относительного положения двух клеток в диаграмме или
элементов в матрице введем следующие термины. Будем говорить, что
клетка В' лежит Западнее клетки В, если столбец, в котором находится
В\ лежит строго левее столбца Ву и будем говорить, что В' лежит запад-
нее б, если столбец В1 лежит левее или совпадает со столбцом В.
Аналогичные термины будем использовать для остальных направлений,
комбинируя прописные и строчные буквы для обозначения строгих и нестрогих
неравенств. Например, будем говорить, что В' лежит ceeepo-Западнее Ву
если строка В' лежит выше или совпадает со строкой В, а столбец В'
лежит строго левее столбца В.
Возьмем (т х я)-матрицу А = (а(/, /)) с неотрицательными целыми
элементами. Вообразим, что каждая ячейка матрицы представляет
собой ящик. Для всех / € [т], /' ? [п] поместим в (/, /)-й ящик
матрицы а(/, /) шаров, причем внутри ящиков шары расставим по диагонали
с Северо-Запада на Юго-Восток. Будем говорить, что один шар лежит
северо-западнее другого, если они лежат либо в одной клетке и находятся
в этом отношении внутри нее, либо в разных клетках и клетка первого
шара находится северо-западнее клетки второго (т.е. строка и столбец,
содержащие ее, находятся выше и левее соответственно строки и столбца,
содержащих вторую клетку, причем хотя бы одно из неравенств строгое).
Пронумеруем все шары в матрице следующим образом: каждый очередной
шар помечаем наименьшим числом, превосходящим номера шаров,
лежащих северо-западнее. Таким образом, каждый шар в матрице нумеруется
положительным целым числом, причем шары, лежащие в одной клетке,
пронумерованы последовательными числами. Шар имеет номер 1, если
нет шаров, лежащих северо-западнее него. Шар имеет номер k> если либо
предыдущий шар в той же клетке имеет номер k - 1, либо он в своей
клетке является первым, a k — 1 —наибольший номер среди всех,
встречающихся в клетках к северо-западу от данной. Удобнее всего
нумеровать шары, начиная с первой строчки и первого столбца, затем переходя
к оставшимся клеткам второй строчки и второго столбца и так далее.
Обозначим конфигурацию пронумерованных шаров в матрице А через ЛA).
Например,
©
©
@©
%
©
©
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция
59
Первая строка таблицы Р = Р(А) получается отсюда перечислением
самых левых столбцов, в которых появляется очередной номер на шаре,
а в первой строке таблицы Q = Q(A) перечисляются самые верхние
строки, в которых появляется очередной номер. То есть /-й элемент первой
строки Р — номер самого левого столбца, в котором появляется шар с
номером /, а /-й элемент первой строки Q—номер самой верхней строки,
в которой встречается шар с номером /. В нашем примере первая строка
Р(А) имеет вид A, 1, 1, 1, 1, 2), а первая строка Q(A) — A, 1, 1, 2, 3, 3).
Чтобы вычислить следующие строки, построим новую матрицу шаров.
Пусть в матрице у4A) есть / > 1 шаров, имеющих номер к. Поместим
в новую матрицу / — I шар по следующему правилу: / шаров с
одинаковыми номерами k в матрице ЛA) вытянуты в цепочку с Юго-Запада
на Северо-Восток, т.е. никакой из них не лежит северо-западнее
другого. Для каждого из этих шаров, кроме последнего, отметим пересечение
содержащей его строки со столбцом, содержащим следующий шар:
®
®
Ь
®
®о
о
На соответствующие места в новую матрицу и поместим / - 1 шар.
Проделаем эту операцию для всех k. Пронумеруем шары в новой матрице так
же, как и в /4(,\ и обозначим полученную матрицу нумерованных шаров
через ЛB). Определим Аь — производную матрицу от А — как матрицу,
в которой на месте (/, /") стоит число шаров в (/, /)-м ящике матрицы А^2К
В нашем примере
Аь =
0
0
0"
1
2
л<2> =
©
®
Теперь можно составить вторые строки Р(А) и Q(A) по тому же принципу,
но оперируя с А{2). В примере ими окажутся B, 2, 2) у Р и B, 3, 3) у Q.
Продолжим процедуру, вычисляя ЛC) по ЛB\ и так далее, пока на
очередном шаге все шары в А{р) не будут иметь различные номера. Несложно
вычислить, что в нашем примере получатся те же таблицы Р(А) и Q(A), что
60 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
и Я, Q в упражнении 1. Мы должны показать, что и в общем случае мат-
рично-ящиковая конструкция согласуется с описанной выше процедурой,
использующей двухстрочные массивы.
Предложение 1. Если матрица А соответствует двухстрочному
массиву со, то (Р(А), Q(A)) = (/>(<о), <Э(<о)).
Будем вести индукцию по сумме элементов матрицы Л, которая
совпадает с числом столбцов соответствующего массива и с числом шаров в ЛA*.
Предложение очевидно, когда это число равно 0 или J. Будем называть
ячейку (х, у) матрицы А последней, если она стоит в последней
ненулевой строке и является самой правой в этой строке ячейкой, содержащей
ненулевое значение. Вычтем из элемента а(х, у) единицу и обозначим
полученную матрицу через А0. Если со = ( 1 2 J)
—лексикографически упорядоченный массив, соответствующий /1, то ( ) = ( ') и массив
бH = (U{ '" Ur~lj соответствует/10. Согласно предположению индукции,
Р(А0) получается как результат строчной вставки v\ +- ...<- vr-\, a Q(AQ)
можно получить, помещая и\, ..., wr_i в новые клетки. Таким образом, для
доказательства предложения достаточно доказать следующее
Утверждение. Р(А) =/>(/?0) <-#, a <p(AJ /юлрчается us (р(/10)
помещением х в клетку, которая содержится в Р(А), но не содержится
в Р(А0).
Матрица Ail) содержит на один шар больше, чем А{0 }. Предположим,
этот шар имеет номер k — наибольший среди номеров шаров, находящихся
в ячейке (х, у) матрицы А AК Допустим сначала, что в этой матрице больше
нет шаров с номером k. В этом случае Аь = (А0)ь, а тогда все строки Р(А)
и Р(А0) (а также Q(A) и Q(A0))> за исключением верхних, совпадают.
Матрица ЛA> не содержит шаров с номерами, большими k, так как такой шар
должен был бы лежать к юго-востоку от ящика (х, у), что невозможно, так
как этот ящик является последним. Значит, первая строка Р{А) получается
из первой строки Р(А0) добавлением в его конец элемента у, а первая
строка Q(A) из первой строки Q(A0) —добавлением х. Так как i-и элемент
первой строки Р(А) является номером самого левого столбца матрицы,
содержащего шар с номером /, то первые k — I элементов этой строки не
превосходят у, а значит, Р(А) = Р(А0) <— у, и утверждение доказано.
Теперь предположим, что в матрице А{{) есть и другие шары с
номерами k. Все они лежат к Северо-Востоку от данного, так как последующие
строки не содержат ненулевых элементов. Пусть ближайший из этих шаров
находится в строке с номером х' и столбце с номером у' (т. е. значение
х1 < х минимально, а у' > у максимально среди соответствующих значений
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция 61
для всех шаров с номерами k):
У у'
©
®
®
То, что первая строка таблицы Р(А) совпадает с первой строкой
таблицы Р{А0) <— у, является следствием такого утверждения.
Вспомогательное утверждение I. Если элемент у стройно
вставить в первую строку Р(А0)> то элемент у' окажется выбитым из
k-u клетки.
Доказательство. Действительно, первые k - 1 элементов первой
строки Р(А0) являются номерами самых левых столбцов А@ \ содержащих
шары с номерами 1, 2, ..., т.е. не превосходят у, тогда как в k-й клетке
стоит у\ строго превосходящий у, а значит, он оказывается выбитым. D
Часть Р(А), лежащая ниже первой строки, является по определению
Р(АЬ), а часть Р(А0), лежащая ниже ее первой строки—Р(Ио)ь)-
Таким образом, для доказательства утверждения достаточно показать, что
Р(АЬ) = Р((А0)Ь) <— у/ и что новая клетка, возникающая в процессе этой
строчной вставки, содержится в Q(Ab), но не содержится в Q((A0)b). Это
следует из предположения индукции для А0, если установлено
Вспомогательное утверждение 2. Последней ячейкой Аь является
(хч у% и (АьH = (А0)\
Доказательство. Из построения видно, что элемент, стоящий
в ячейке (х, у') матрицы Аь, положителен и что Аь не содержит ненулевых
элементов, лежащих ниже строки с номером х. Любой другой ненулевой
элемент строки х матрицы Аь происходит из двух шаров матрицы ЛA)
с номерами / < k, один из которых находится в строке с номером х,
а другой — ближайший на Северо-Восток от него. Так как для шара
с номером 6, лежащего в ячейке (х\ у'), должен существовать шар с
номером /, лежащий северо-западнее него, второй шар не может лежать
в колонке с номером, превосходящим у'. Таким образом, значение в
строке х матрицы Ль, возникающее из рассматриваемых двух шаров, лежит
западнее ячейки (х, у'). Это доказывает, что ячейка (х, yf) — последняя
в Ль, и равенство (АьH = (AQ)b становится очевидным. ?
Теперь доказательство предложения 1 завершено. Из него легко
следует теорема симметрии: матрично-ящиковая конструкция симметрична
по отношению к строкам и столбцам матрицы А. В случае подстановок
62 Плава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
{А является матрицей подстановки) наша матрично-ящиковая конструкция
превращается в «теневую» конструкцию Вьенно («shadow» construction of
Viennot), см. (Viennot [1977]).
Упражнение 3. Используя этот алгоритм, вычислите пару таблиц,
соответствующую матрице
П 2 Г
2 2 0.
Матрица А является симметрической тогда и только тогда, когда Р = Q,
так что имеется взаимно однозначное соответствие между
симметрическими матрицами и таблицами.
Упражнение 4. Пусть симметрическая матрица А соответствует
таблице Р. Покажите, что
tr(i4) + \г(Аь) =длина первой строки таблицы Р.
Выведите отсюда, что след матрицы А совпадает с числом нечетных
столбцов диаграммы Юнга Р. В частности, если инволюция соответствует
стандартной таблице Юнга, то число неподвижных точек инволюции равно
числу нечетных столбцов таблицы.
В заключение параграфа покажем, как можно напрямую перейти от
пары диаграмм одинаковой формы (Р, Q) к соответствующей матрице,
минуя длительные процессы обратного строчного выбивания. Более того,
используя алгоритм, который мы собираемся привести, можно установить
RSK-соответствие без единого строчного выбивания. Это не понадобится
в дальнейшем, поэтому мы ограничимся только кратким описанием. В
качестве основного шага мы сопоставляли матрице А пару строк одинаковой
длины (первые строки таблиц Р и Q) и матрицу В = АЬ. Если эти строки
имеют вид (v\, ..., vr) и (и\, ..., ur), то матрица В обладает следующим
свойством: если ее элементы заменить на шары и пронумеровать их с
северо-запада на юго-восток, как описано выше, то все шары, имеющие
номер А, окажутся Юго-Восточнее ящика, стоящего на пересечении и*-й
строки и у*-го столбца. Наша задача — восстановить А по двум строкам
(«1, ..., иг) и (v\ vr) и матрице 5, обладающей данным свойством.
Для этого пронумеруем шары матрицы В другим способом,
возможно, используя номера большие, чем в предыдущей нумерации, и двигаясь
с юго-востока на северо-запад. Шар, для которого нет шаров, лежащих
южнее или восточнее его, пометим номером k — наибольшим из чисел,
для которых ячейка, стоящая в ы*-й строке и и*-м столбце, лежит
строго Северо-Западнее шара. Если все шары, лежащие к юго-востоку от
данного, уже пронумерованы, пометим его наибольшим номером 6, для
которого все шары к югу и к востоку имеют номера, большие, чем ?,
§4.2. Матрично-ящиковая конструкция
63
и ячейка, стоящая в и*-й строке и Vk-м столбце, лежит строго Северо-За-
паднее него. В качестве примера рассмотрим строки (I, I, 1, 1, 2, 3, 3, 4)
и A, 1,2,2,2,2,3,3) и матрицу
fi =
Заменим элементы матрицы В на шары и запишем в клетки с номерами
(«ь Vk) значения k — это поможет нумерации шаров:
0
0 0
0 1
0 2
0
1
1
1
°1
0
3
2
1
2
3
4
5
0
%
6®
7©
©
\
%
Матрица распадается в объединение нескольких конфигураций вида
®
®
®
содержащих / - 1 шар с номером k. Чтобы получить матрицу шаров А,
достаточно заменить шары в каждой такой конфигурации на / других таким
образом:
А-
О
О
<Ь
о
¦®
о
¦®
64 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
В случае / = 1 просто помещаем один шар в ячейку (u*, vk). После замены
шаров в конфигурации снова нумеруем каждый из них числом k. В
результате получаем матрицу, содержащую шары, пронумерованные в
нормальном порядке с северо-запада на юго-восток. Нетрудно видеть, что эта
матрица А порождает исходную пару строк и что Ль = В. В нашем примере
получаем
%
%
ф
%
®
%
©
%
X
%
откуда матрица А имеет вид
'0 0 2 0'
0 10 4
2 2 1 2 *
_2 I 2 0_
Упражнение 5. Используйте этот алгоритм для построения матрицы,
соответствующей паре таблиц
1
2
3
I
3
4
2
3
4
2
3
4
2
3
2
4
3
4
3
1
2
3
1
2
3
1
2
4
1
3
4
2
4
3
4
3
4
4
§4.3. Приложения соответствия
Робинсона—Шенстеда—Кнута
В этом параграфе мы рассмотрим несколько приложений соответствия
Робинсона—Шенстеда—Кнута к комбинаторным задачам. Они не играют
роли при дальнейшем изучении свойств таблиц, но будут использоваться
во второй части книги. Начнем с того, что RSK-соответствие дает прямое
доказательство следующего важного результата, который уже встречался
нам в §2.2:
Предложение 2. Число таблиц данной формы X с т\ единицами,
ni2 двойками, ..., тп элементами, равными л, совпадает с числом
§4.3. Приложения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута
65
таблиц формы X с т0(\) единицами, та^) двойками, ..., т^»
элементами, равными п, для любой подстановки o€Sn.
Доказательство. Случай таблиц, содержащих только два
различных элемента, может быть рассмотрен непосредственно:
а
Здесь X = (г + s + /, г), т\ = г -f 5, т<± — г + t, где г, 5 и t —
неотрицательные целые числа.
Зафиксируем теперь таблицу Р произвольной формы X. Благодаря
RSK-соответствию наше утверждение эквивалентно следующему:
множества
{А: Р(А) = Р и суммы элементов в строках А равны /Я|, ..., тп)
и
{А: Р(А) = Р и суммы элементов в строках А равны m0(i)... m0(„)}
имеют одинаковую мощность. Так как множество транспозиций
порождает Srt, достаточно доказать утверждение в случае, когда о является
транспозицией k и k + 1 для некоторого 1 ^ k < п. Пусть матрица А лежит
в первом множестве. Представим ее в виде
А =
где В состоит из первых k - 1 строк матрицы Л, С — из следующих двух
строк, a D — из остальных.
Из построения таблицы Р(А) методом строчной вставки по
соответствующему массиву пар мгновенно следует, что
P(A) = P(B)P(C)P(D).
Рассмотренный в начале доказательства случай таблиц с двумя
различными элементами можно перевести на язык матриц так: между
множеством матриц С, имеющих суммы элементов в строках, равные т* и /п*+ь
и множеством матриц С, имеющих суммы элементов в строках, равные
5* Таблицы Юнга
66 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
ntk+\ и rrik, причем Р(С) — Р(С) = Р, имеется взаимно однозначное
соответствие. Теперь мы можем поставить матрице А в соответствие матрицу
лежащую во втором множестве. ?
Так как таблице Т соответствует одночлен хт = х™' •... ¦ х™", получаем
новое доказательство одного из основных фактов;
Следствие. Многочлены Шура s\(x\, ..., хп) являются
симметрическими.
Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута позволяет дать прямое
доказательство формулы Коши—Литтлвуда (Кнут [1970]):
n m
НИ \ -XU =12Sx^Xl xn)S\(y\ t/mh C)
/=1/=1 1У} \
где сумма берется по всем разбиениям Л. Действительно, в правой части
равенства стоит сумма членов вида хру® по всем парам (Я, Q) таблиц
одинаковой формы с элементами из [п] и из [т] соответственно. В левой
части стоит сумма произведений вида (xjyi)a{,t^ по всем (т х /г)-матрицам
А — (a(i, /)) неотрицательных целых чисел. Если А соответствует паре
(Л <?), то такое произведение имеет вид xpyQ.
Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута позволяет также
доказать множество важных комбинаторных тождеств. Обозначим число
стандартных таблиц формы X через /\ а число таблиц формы А с элементами
из множества [т] через d\(m). Так как число подстановок п элементов
равно /г!, RSK-соответствие дает1*
п\ = ?(/хJ. D)
Число слов длины п в алфавите [т] равно тп, и RSK-соответствие дает
/ия-?</х(/п).Д E)
Xhn
Из теоремы симметрии следует, что пара (Р, P)f где Р — стандартная
таблица с п клетками, соответствует подстановке п элементов, которая
совпадает со своей обратной.
''В свою очередь равенство D) — формула Бернсайда — определяет важнейшую меру
на диаграммах — меру Планшереля р{\) = f^nl, см. статью Вершика и Керова (Вершик,
Керов [1977]). — Прим. ред.
§4.3. Приложения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута 67
Упражнение 6. Покажите, что число инволюций в Sn равно
["/21
?
п\
k=o х '
Отсюда следует формула
t"/2} f
2^* ^ 2^ (n-2k)\-2kk\' ^
Далее, из соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута следует, что
число (ш х /г)-матриц с неотрицательными целыми элементами и с суммой
элементов г равно сумме произведений d\{m) • d\{n) по всем разбиениям X
числа г.
Упражнение 7. Покажите, что число упорядоченных наборов k
неотрицательных целых чисел (Л|,...,а*) с суммой, равной k, есть
(Г--,')-ГГ)-
Отсюда следует формула
Упражнение 8. Пусть г = (rj, ..., rm) и с = (с\, ..., сп).
Покажите, что число (ш х /г)-матриц с неотрицательными целыми элементами,
с суммами элементов в строках, равными о, ..., rmi и суммами элементов
в столбцах, равными с\, ..., сл, равно ^К\ГК\С> гяе суммирование ведется
по всем разбиениям X числа ?л; = ?с/ и А\г» К\с —числа Костки.
Покажите, что число симметрических (п х я)-матриц с суммами элементов
в строках, равными г\ч ..., г„, равно ^Г,К\Г* где сумма берется по всем
разбиениям X числа ?/*,.
Для чисел /х и fi?x(w) имеется несколько замечательных формул,
выражаемых в терминах «длин крюков» соответствующей диаграммы. Хотя
мы и будем время от времени обращаться к ним и хотя они несомненно
удобны при вычислениях, эти формулы не будут играть существенной роли
в оставшейся части книги. Пусть X — некоторая диаграмма Юнга. Любая
ее клетка определяет крюк — набор клеток X, состоящий из этой клетки
и всех клеток, лежащих в той же строке правее ее и в том же столбце
ниже ее:
68 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
Длиной крюка данной клетки называется количество клеток в этом крюке;
длину крюка клетки (/, /) будем обозначать через А(/, /'). Если, например,
в каждую клетку рассматриваемой таблицы поставить значение длины ее
крюка, получится такая таблица:
9
7
6
3
8
6
5
2
7
5
4
1
5
3
2
4
2
1
1
Формула крюков (Фрэйм, Робинсон, Тролл). Пусть X— диаграмма
Юнга, состоящая из п клеток. Тогда число fx стандартных таблиц
формы X равно произведению 1 • 2 •... • л, деленному на произведение
длин крюков всех клеток диаграммы.
Для диаграмм, состоящих из небольшого числа клеток или имеющих
простую форму, это утверждение легко проверяется непосредственно.
Например, f(n) = 1 для всех л, а /B, {) = 2, что видно из рассмотрения таблиц
1
2
3
1
3
2
Для таблицы из примера формула крюков дает:
^F,5,5,3) = 19,/9.8-7-5-4-1-7-6-5-3-2-6-5-4-2-1-3-2-1 =
= 1917-16-I3-11-9 = 6651216.
Есть простой и наглядный способ запомнить эту замечательную
формулу. Рассмотрим п\ способов расставить в п клетках диаграммы целые
числа от 1 до п. Такая расстановка окажется таблицей тогда только тогда,
когда угловая клетка каждого крюка содержит наименьшее значение среди
всех его клеток. Вероятность этого события равна 1/А, где h—длина
крюка. Если бы такие события были независимы (конечно, они такими не
являются), доля таблиц среди всех расстановок равнялась бы отношению 1
к произведению длин всех крюков, что и доказывало бы утверждение. Грин,
Нейенхёйс и Вильф (Greene, Nijenhuis, Wilf [1979]) дали короткое
вероятностное доказательство формулы крюков, которое использует близкий
к только что изложенному аргумент; это доказательство также было дано
в работе Сагана (Sagan [1991]).
Формула, эквивалентная формуле крюков, приведена в следующем
упражнении.
§4.3. Приложения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута 69
Упражнение 9. Пусть X = (к\ ^ ... ^ X* ^ 0). Обозначим /,- = X,- 4-
+ k — /, так что
/, = Xi + k - 1 > k = X2 + k - 2 > ... > k = X* ^ 0.
Покажите, что формула крюков эквивалентна формуле
п\ • П (// - lj)
г=
/Е! - /2! - --- -/*!"
В дальнейшем мы увидим, что формула из этого упражнения (а значит,
и формула крюков) является следствием формулы характеров Фробениуса,
которая будет доказана в главе 7. Также имеется прямое доказательство
по индукции. Числа /х связаны очевидной индуктивной формулой: указать
стандартную таблицу из п клеток — это то же самое, что указать
стандартную таблицу из п - 1 клетки, отмечая куда поставить п-ю клетку. Другими
словами,
к
f(h х») _ у^ *(х, х,-1 х*)^ (8)
/=i
где /(Х| х,~1 х*> считается равным нулю, если последовательность в
показателе не является нестрого убывающей, т.е. если X, =Х,-+|.
Упражнение 10. Докажите формулу крюков по индукции. Для этого
покажите, что если обозначить через F(l\, ...,/*) правую часть формулы
из упражнения 9, то
k
F(h /*) = $>(/! /*-1 /*)•
Покажите, что это эквивалентно формуле
к
л-Д(Л /*) = ]Г/,.д(/ь...,/,-1, ...,4),
где Д(/|, ..., Ik) обозначает П(А ~ '/)• Выведите эту формулу из равен-
ства
Y^XiA(X\ Xi + t, .... Xk)= (xi + ...+XA + B)^) ¦ Д(*|, .... Jf*).
1=1
Докажите это равенство.
70 Глава 4. Соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута
Для d\(m) также имеется формула крюков, доказанная Стенли (Stanley
[1971]). Эта формула является частным случаем формулы характеров Вей-
ля:
ЬМ= П ?жтг = ^П С" + У-0. (9)
где в обоих случаях произведение ведется по всем клеткам в /-й строке
и /'-м столбце диаграммы X. Заметим, что значения в числителе
получаются, если поместить число т во все клетки диагонали диаграммы Юнга,
а т± р — в клетки, находящиеся на р шагов выше или ниже диагонали
соответственно. Для диаграммы, которую мы использовали в примерах
выше, при т = 5 расстановка выглядит таким образом:
5
4
3
2
6
5
4
3
7
6
5
4
8
7
6
9
8
7
10
а значит,
^хE)=10.9-82-73.63-53-43-32-2/9.8-7-5.4.1-7.6.5-3.2-6'5-4-2.1.3-2-1 =
= 10 -8- 7 -6 -4/2 -2 = 3360.
Мы докажем формулу (9) в главе 6.
Последние упражнения содержат еще несколько приложений
изложенных идей.
Упражнение 11. Покажите, что для любого k ^ 2
П«/-'/>2
^/!!2-/2!2-...'/*!2
где сумма берется по всем наборам (/ь ..., /*) неотрицательных целых
чисел с суммой, равной (k + 1)&/2.
Упражнение 12. (а) Покажите, что число подстановок в S„,
наибольшие возрастающие подпоследовательности которых имеют длину /, а
наибольшие убывающие — длину k, есть ?](/хJ, где сумма ведется по всем
разбиениям X числа л, имеющим k строк и / столбцов. (Ь) Найдите
количество подстановок чисел от 1 до 21, наибольшая возрастающая
подпоследовательность которых имеет длину 15, а наибольшая убывающая—длину 4.
Упражнение 13. Пусть т и п — положительные целые числа, причем
т ^ п ^ 2т. Покажите, что число последовательностей длины л, состоя-
§4.3. Приложения соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута 71
щих из единиц и двоек и имеющих наибольшую неубывающую
подпоследовательность длины т, есть
я!-B/я-я+ IJ
(т+ 1)!- (n-m)V
Упражнение 14. Докажите формулу Шура:
т
ДA-*,¦)-'. Ц A-*.-*/)"'=]T>x(*i,...*»).
Упражнение 15. Покажите, что число таблиц с элементами из данного
множества S положительных целых чисел, сумма всех элементов которых
равна данному k, есть коэффициент, стоящий при /* в разложении в ряд
произведения
По-*'")-1- П<,-/,'+у>-
ies ijes
Упражнение 16. Пусть Т—таблица формы X. Покажите, что слову
w(T) эквивалентны по Кнуту ровно /х слов.
Упражнение 17. Каждой подстановке u> — V\ ...vn можно приписать
последовательность «спусков-подъемов», имеющую длину п — 1 и
состоящую из знаков «+» и «—»: на ее /-м месте стоит +, если у/ < y,+i, и -, если
Vi > y/+j. Покажите, что <?(d>) однозначно определяет последовательность
спусков-подъемов 6).
Глава 5
Правило Литтлвуда—Ричардсона
В этой главе мы построим некоторые соответствия между
таблицами, которые впоследствии позволят доказать результаты,
известные как правила Литтлвуда—Ричардсона для представлений и
симметрических многочленов. На языке таблиц, основной задачей является
поиск формул для вычисления числа представлений данной таблицы
в виде произведения двух таблиц данных форм и для числа косых
таблиц данной формы, имеющих данное выпрямление. Эти вопросы
будут обсуждаться в первом параграфе главы, формулы будут даны
во втором, а в третьем приводятся некоторые вариации этих
формул. (Другие вариации на эту тему можно найти в §А.З
приложения А.)
§ 5.1. Соответствия между косыми таблицами
Ключевым фактом, на котором основывается правило Литтлвуда—
Ричардсона, является следующее утверждение.
Предложение I. Пусть \х " Um) — лексикографически упоря-
\V\ ... Vm/
доченный массив, RSK-соответствующий паре таблиц (Р, Q). Пусть
Т — произвольная таблица. Произведем последовательность
строчных вставок
(...((T<-Vl)<-v2)<-...)+-v
т
и будем, при этом формировать из возникающих новых клеток косую
диаграмму S, которую в соответствующем порядке заполним
элементами Mi, ..., ит. Тогда Rect(S) = Q.
1 12 2 3
/I 1 2 2 3\
Например, если массив имел вид B 2 i i i Ь а таблица
то вставляя элементы из нижней строки массива в Г и помещая элементы
§5.1. Соответствия между косыми таблицами
73
верхней строки в возникающие новые клетки, имеем:
2
3
2
3
2 2 2
3 3
1
1
2
!
2
3
!
2
3
2
2
1
2
1
1
2
3
1
2
3
1
2
2
1
2
1
3
а значит, 5 =
hi
1
2
j
3
. Отсюда мы можем заключить, что массив
/1 1 2 2 3\
\2 2 1 1 1/ соответствУет паре таблиц (Р, Q), где Р =
a Q
1
2
1
2
3
. Теорема утверждает, что выпрямление 5 есть Q, что
в данном случае очевидно.
Доказательство. Возьмем произвольную таблицу 7^, имеющую
ту же форму, что и Г, и содержащую элементы из алфавита, все буквы
которого строго меньше элементов щ таблицы S (если нужно, используя
отрицательные целые числа). Пара G\ 7^) соответствует некоторому
лексикографически упорядоченному массиву ( ' '" "V Тогда
лексикографически упорядоченный массив D{ '" 4п l т) соответствует паре
(Т ¦ Р, К), где Т - Р есть результат последовательных строчных вставок
элементов v\t ..., vm в таблицу 7\ и тем самым V есть таблица, элементы
которой S|, ..., sn составляют Т0у a wj, ..., um составляют S.
Теперь поменяем в массиве местами верхнюю и нижнюю строки и
лексикографически упорядочим результат. По определению
лексикографического порядка, пары ( ; ) будут стоять в новом массиве в
лексикографическом порядке, перемежаясь с парами ( ! ] (также стоящими в
лексикографическом порядке). По теореме о симметрии новый массив соответствует
паре (V, Т • Я), а если удалить из него столбцы вида ( l \ то оставшаяся
часть соответствует (ф, Р). Таким образом, слово, стоящее в нижней
строке этого массива, эквивалентно по Кнуту слову wrow(V), и если удалить
74
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
из этого слова элементы sy, оставшаяся часть будет эквивалентна слову
^row(Q). При этом, если мы удалим т наименьших элементов из www{V),
останется как раз слово tyrowE). Согласно лемме 3 из §3.2, удаление
одинакового количества наименьших элементов из двух эквивалентных по
Кнуту слов сохраняет эквивалентность. Таким образом, слово wrow(S)
эквивалентно wrow(Q), а значит, Q есть выпрямление S. ?
Зафиксируем три разбиения (диаграммы Юнга) X, \х и v, содержащие
гг, т и г клеток соответственно. Мы хотим узнать, сколькими способами
можно представить данную таблицу V формы v в виде произведения Т • U
таблицы Т формы X и таблицы U формы \i. (Ясно, что если это число
не нуль, тог = /г + /гг и v содержит X.) Отдельные случаи, когда ^
состоит из одной строки или одного столбца, по существу являются другим
выражением алгоритма сточной вставки и уже были разобраны в главе 2.
Общий случай не столь очевиден, но один из фактов, который был очевиден
в этих примерах, можно обобщить: число способов представить данную
таблицу в виде произведения двух других зависит только от их форм, но
не от самой таблицы. Если вспомнить одну из конструкций, при помощи
которой мы вводили понятие умножения таблиц, становится понятно, что
число способов представить таблицу V в виде произведения совпадает
с числом косых таблиц формы
выпрямление которых есть V. Обозначим эту косую форму через X * \х.
Стоит отметить, что интересующее нас число выражает также количество
косых таблиц формы v/X, выпрямление которых есть данная таблица
формы \х.
Пусть таблица UQ имеет форму \х. Рассмотрим множество
c^(v/X, U0) = {косые таблицы S формы vД: Rect(S) = UQ)
Пусть таблица К, имеет форму v. Положим1*
<^(Х, ц, V0) = {[7\ U): Т — таблица на X, U — таблица на ji и Т • U = VQ}.
'*Так как мы уже использовали обозначение {Р, Q) для пар таблиц одинаковой формы,
рассматривая соответствие Робинсона—Шенстеда—Кнута, здесь мы используем
обозначение [7*, U].
§5.1. Соответствия между косыми таблицами 75
Предложение 2. Для любых таблиц U0 на \х и VQ на v имеется
естественное взаимно однозначное соответствие
&(\,\1,Уо)*—+У(»/Х,ио).
Доказательство. Фиксируем пару [Г, U] из ^(Х, \х, V0) и
рассмотрим лексикографически упорядоченный массив, соответствующий
паре ((/, (/о):
<"•"•>-С;::::;)
Последовательно строчно вставим элементы v\, ..., vm в таблицу Т и
обозначим через S косую таблицу, получающуюся при помещении в новые
клетки элементов аь ..., ит. Так как Т • U = Т <— v\ <— v% <— ... ¦— vm = V0
имеет форму v, утверждение эквивалентно тому, что 5 принадлежит
^(v/X, U0).
Построим обратное соответствие. Возьмем элемент S из У{у/\ Uq)
и рассмотрим произвольную таблицу Т0 формы X, такую, что элементы
алфавита, встречающиеся в Го, строго меньше элементов, встречающихся
в S. Обозначим через (T0)s таблицу формы v, состоящую из Т0 на X и S на
vД. Согласно RSK-соответствию, пара A4, (T0)s) формы v соответствует
однозначно определенному лексикографически упорядоченному массиву
<*.<г„ы~ С;::: ?;; :::?)• (,)
Рассмотрим табличные пары, соответствующие двум частям этого массива.
Мы утверждаем, что для некоторых таблиц Т и U форм X и (а
соответственно, для которых Т • U = K0f выполнено
С, :::i:)~^ B)
и
G :::?) —<"•"•> <3>
Действительно, то, что Г • L/ = К>, следует из конструкции произведения
таблиц при помощи строчной вставки, как и то, что вторая таблица в
соответствии B) есть Т0. Тот факт, что вторая таблица в соответствии C)
есть U0y следует из предложения 1. Таким образом мы получаем пару
[7\ U] из множества <^"(Х, (i, К0), и ясно, что две конструкции взаимно
обратны. ?
76
Плава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
Так как ни одно из множеств соответствия не содержит информации
о таблице, по которой строилось другое множество, мы получаем
Следствие 1. Мощности множеств У{ч/\ U0) и ^"(Х, у, 14) не
зависят от выбора таблиц UD и 14, а зависят только от форм X, [х и v.
Мощность, о которой идет речь в этом следствии, мы будем обозначать
через с^ и называть числом Литтлвуда—Ричардсона.
Следствие 2. Следующие множества также имеют мощности,
равные с?ц:
(i) ^(v/ji, То) для любой таблицы TQ на X;
(ii) ЗГ{\1, X, 14) для любой таблицы V0 на v;
(iii) У{\/\, U0) для любой таблицы 0о на сопряженной
диаграмме р;
(iv) ^"(Х, р, V0) для любой таблицы VQ на сопряженной
диаграмме v;
(v) У (К * ц, 14) для любой таблицы VQ на v.
Доказательство. Из рассуждений, которые приведены перед
утверждением, следует, что У (к * ji, 14) соответствует ^*(Х, ц, 14), откуда
вытекает утверждение пункта (v). Если в качестве U0 взять стандартную
таблицу формы [i, легко видеть, что транспонирование порождает биекцию
между «^(v/X, U0) и У(у/\у Щ), а значит, множество (iii) имеет мощность
с?ц. Множества (iii) и (iv) имеют одинаковую мощность согласно
предложению. Сопряженная диаграмма к X * \х — это диаграмма р * X, а поэтому
мощность множества ^(р * X, V0) равна с% для любой таблицы V0 на v.
Применяя эти рассуждения к диаграммам р и X, получаем, что ту же
мощность имеют множества ^(р, X, 14) и «^([i, X, 14), откуда мощность
множества (ii) также равна с?. Остается заметить, что множества (i) и (ii)
равномощны согласно предложению. ?
В частности, с*х = с|_ = с^. Заметим, что с^ = О, если не
выполнено хотя бы одно из двух условий: |Х| + \\i\ = |v| и v содержит X и [х.
Следствие 2 можно также использовать, чтобы определить, что
некоторые из чисел Литтлвуда—Ричардсона равны нулю. Так, например, если
X = B, 2), [i = C, 2) и v = C, 3, 3), то форма v выступает за границу X * ji,
и с\у. ~ 0 согласно пункту (v) следствия.
Отсюда легко вывести формулу для умножения элементов S\ =
— S\[m] табличного кольца R[m\, представляющих собой суммы всех
таблиц формы X:
Следствие 3. Пусть с% —определенные выше числа. Тогда в
табличном кольце R[m\ выполнено следующее тождество:
S\ • 5Ц = у ^c%uSy.
§5.2. Обратные решеточные слова
11
Это утверждение в точности означает, что любая таблица V формы v
может быть представлена в виде произведения таблиц форм X и \i ровно
с?м способами. Из тождества с% = с*х следует, что подкольцо кольца R[m\,
порожденное элементами Sx, где X пробегает множество разбиений,
является коммутативным. Аналогично определим S^/\~Sv/\[m] как элемент
кольца /?[,„], равный сумме Rect(r) по всем косым таблицам Т формы
v/X в алфавите [/л]. То, что каждая таблица формы \х получается как
выпрямление косой таблицы формы v/X ровно сХц раз, дает нам возможность
сформулировать следующее следствие. (Соответствующие тождества для
многочленов Шура мы обсудим в следующем параграфе.)
Следствие 4. В табличном кольце R[m] выполнено следующее
тождество:
§5.2. Обратные решеточные слова
Слово w = х\ .. .хг будем называть обратным решеточным словом
или словом Яманучи, если при прочтении его начиная от конца до
любого символа (справа налево) последовательность хг, xr_i, ..., xs содержит
единиц не меньше, чем двоек, двоек не меньше, чем троек, и так далее для
всех натуральных чисел. Например, слово 2132121 является обратным
решеточным, а 1232121 таковым не является, так как последние шесть
символов этого слова содержат больше двоек, чем единиц. Будем называть
косую таблицу Т косой таблицей Литтлвуда—Ричардсона, если слово
Wr<w(T) этой таблицы является обратным решеточным словом. Например,
прямым вычислением можно показать, что на рисунке ниже приведены
все косые таблицы Литтлвуда—Ричардсона, которые можно построить на
косой диаграмме E, 4, 3, 2)/C, 3, 1):
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
I
1
1
1
1
2
3
1
2
1
2
2
1
3
1
1
2
1
1
78
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
1
2
4
3
1
2
1
1
I
4
3
I
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
1
3
2
1
2
I
Будем говорить, что косая таблица имеет состав [х = ([i\, ..., ^/), если
множество ее элементов состоит из fii единиц, jj2 двоек и так далее до
(i/ экземпляров /. Набор у. также называют типом или весом таблицы.
Обычно [1 является разбиением.
Предложение 3. Число с^ совпадает с количеством косых
таблиц Литтлвуда—Ричардсона формы v/X и состава \х.
В приведенном выше примере v = E, 4, 3, 2), X = C, 3, 1)
фиксированы и числа с% вычисляются в зависимости от \х следующим
образом:
1 для у = E, 2), E, 1, 1), D, 1, 1, 1)иB,2,2, 1);
2 для ц = D,3), C, 2, 1, 1), C, 3, 1) и C,2, 2);
3 для ц = D, 2, 1);
О для всех остальных \х.
Таким образом, мы имеем имеем разложение:
5E.4,3.2)/C.3. I) =5E,2) + 5E,|,1) +5D,1,1,1) + 5B,2.2.1) +
+ 2SD,3) + 2SC,2. и) + 2SC,3. о + 2SC,2.2) + 3SDi2, i>.
Смысл предложения становится ясным, если вычислить выпрямления
этих косых таблиц «Литтлвуда—Ричардсона: во всех случаях это окажется
таблица Юнга формы \х, в /-й строке которой будут стоять только
элементы /. Пусть ji — произвольное разбиение, обозначим через U([i) таблицу
формы [а, /"-я строка которой целиком заполнена числом / для всех /.
U([il М = D, 4,3,2),
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
2
§5.2. Обратные решеточные слова
79
Предложение 3 доказывается при помощи предложения 2 и следующей
леммы:
Лемма 1. Косая таблица S является косой таблицей Литтлву-
да—Ричардсона состава \i тогда и только тогда, когда ее
выпрямление есть U([i).
Доказательство. Сначала рассмотрим простейший случай, когда
косая таблица сама является таблицей Юнга. В этом случае утверждение
леммы сводится к тому, что единственная таблица на данной диаграмме
Юнга, слово которой является обратным решеточным словом, — это та,
первая строка которой состоит из единиц, вторая — из двоек, и так
далее. Это утверждение легко поддается прямой проверке. Действительно,
если слово является обратным решеточным словом, то на последнем месте
в пер- вой строке соответствующей таблицы должна стоять единица, а для
того чтобы выполнялось табличное условие, все элементы в первой строке
должны быть единицами. Последним элементом второй строки должно быть
число 2: этот элемент больше 1 в силу табличного условия возрастания по
столбцам и не больше 2 в силу условия на обратное решеточное слово. Как
и на предыдущем шаге, мы можем утверждать, что все элементы, стоящие
во второй строке, являются двойками, и так далее для остальных строк.
Чтобы закончить доказательство, достаточно показать, что косая
таблица является косой таблицей Литтлвуда—Ричардсона тогда и только
тогда, когда ее выпрямление есть таблица Литтлвуда—Ричардсона. Так как
процесс выпрямления сохраняет эквивалентность слов по Кнуту, это
утверждение легко следует из следующей леммы. ?
Лемма 2. Если слова w и wf эквивалентны по Кнуту, то w
является обратным решеточным словом тогда и только тогда, когда
wl является обратным решеточным словом.
Доказательство. Эта лемма также доказывается прямой
проверкой. Рассмотрим элементарное преобразование Кнута:
w = uxzyv*-> uzx yv — w/ при x^y<z.
Рассмотрим все возможные варианты изменения количества
последовательных вхождений в эти слова двух целых чисел k и k + 1 при прочтении
слов справа налево. Если х < у < г, то таких изменений нет. Остается
рассмотреть вариант, когда х = у = kwz — k+ I. И для того чтобы w было
обратным решеточным словом, и для того чтобы это имело место для слова
ш\ необходимо, чтобы количество вхождений числа k в слово и было
не меньше количества вхождений k + 1 в и. Но тогда оба слова xzyv
и zxyv являются обратными решеточными словами, а значит, случай
этого преобразования разобран. Рассмотрим второй тип:
w = uyxzv*-+uyzxv = wf при x<y^z.
80
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
Опять достаточно рассмотреть единственный нетривиальный случай, когда
х = k w у — z = k -\- \. На этот раз ни одно из слов не будет являться
обратным решеточным словом, если число вхождений ft в у не окажется
превосходящим числа вхождений к + 1, а тогда слова yxzv и yzxv
включают по крайней мере столько же чисел ky сколько и чисел k+l. О
Из леммы 2 и результатов §2.3 следует, что в определении косых
таблиц Литтлвуда—Ричардсона вместо строчных слов можно использовать
столбцовые слова.
Упражнение 1. Покажите, что с? есть число обратных решеточных
слов, содержащих по vi единиц, V2 двоек и т.д. и имеющих форму / • w, где
/ и и — слова таблиц форм X и \х соответственно.
Упражнение 2. Пусть X и \х — два разбиения. Пусть v,- = Х,- +^i; для
всех i. Покажите, что с^ = 1.
Упражнение 3. Покажите, что с?м есть число таких таблиц Т формы X,
4toT'U([x) = U(v).
Применяя гомоморфизм, отображающий табличное кольцо /?[*] в
кольцо многочленов Z[x\, ...,**), и используя следствие 3, можно вывести
следующее тождество:
S\(XU ...,Xft)-5^(X|, ..., X*) = $^ХцМ*1 хк). D)
v
Используя это тождество и правило Литтлвуда—Ричардсона, можно,
например, вычислить
5B,1) *5B,1) =5D,2) +SD,U)+SC,3) + 2SC,2, •> + 50,1.1.1) + 5B,2.2) + 5{2,2, 1,1).
Определим sy/x(x\, ..., Xk) как образ Sv/x[?] П°Д действием того же
гомоморфизма. Из следствия 4 вытекает формула
s*/\(xu ¦••>**) = ][^хиМ*ь •••>**)•
Упражнение 4. Покажите, что для переменных х\, ..., jc*, у\, ..., yi
и для произвольного разбиения v
sy{x\, ...,**, 0i yi) = YlSx(X{ хкК/\(у\, ...,yi) =
XCv
= l^CXnSx(^N •••,Xk)S»(y\ yi).
Из того, что в табличном кольце выполняется тождество S\ • S^ =
= 53cxn^vt следует, что линейная оболочка элементов S\ образует под-
v
кольцо табличного кольца, причем гомоморфизм Т *-* хт изоморфно отоб-
§5,3. Другие формулы для чисел Литтлвуда—Ричардсона 81
ражает это подкольцо на кольцо симметрических многочленов. (Здесь мы
используем тот факт, что многочлены Шура образуют базис в кольце
симметрических многочленов. Это утверждение мы докажем далее в §6.1.)
Упражнение 5. Покажите, что число косых таблиц состава A, ..., 1)
и формы v/X есть 53схц/ц-
Упражнение 6. Пусть дана последовательность 5, состоящая из п — 1
знака плюс или минус. Построим косую диаграмму v(s)/X(s),
являющуюся связной цепочкой из п клеток, которая начинается в первом столбце,
заканчивается в первой строке, причем каждому знаку «+» соответствует
сдвиг вправо, а каждому знаку «-» — сдвиг вверх. Так, например,
последовательности + + — + - + + соответствует косая диаграмма
( I | |
, | 1—i
i
(a) Покажите, что число подстановок, имеющих данную
последовательность спусков-подъемов s, совпадает с числом косых таблиц состава
A 1) и формы v(s)A(s), т.е. с числом 53^)^*
(b) Покажите, что число подстановок, имеющих данную
последовательность спусков-подъемов s и таких, что обратные к ним имеют
последовательность спусков-подъемов /, есть 53cx{s)^cx(')V
и
(c) С помощью пунктов (а) и (Ь) покажите, что количество
подстановок, имеющих последовательность спусков-подъемов —Ь -\ ( Ь
равно 917, причем у 16 из них обратные имеют последовательность
спусков-подъемов Н 1 1—.
§5.3. Другие формулы для чисел
Литтлвуда—Ри чардсона
Существует несколько других описаний чисел
Литтлвуда—Ричардсона. Они не понадобятся в оставшейся части книги, но мы приводим
их, так как они могут легко быть получены из предыдущих
рассуждений. Для начала заметим, что имеется каноническое взаимно
однозначное соответствие между обратными решеточными словами и
стандартными таблицами. Действительно, пусть дано обратное решеточное слово
w = хг.. .х\. Поместим число р в хр~ю строку стандартной таблицы для
р — 1, ..., г. Обозначим полученную таблицу через U(w). Так,
например, обратному решеточному слову 1 123121 соответствует стандартная
6' Таблицы Юнга
82
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
таблица
!
2
4
3
5
6
7
U(w), w = \ 123121
Тот факт, что данное слово является обратным решеточным, на языке
таблиц означает, что для каждого 5 клетки, содержащие первые s чисел,
образуют диаграмму Юнга. Форма этой стандартной таблицы есть \xt где
[Ik — количество вхождений в слово числа k.
Пусть дана косая диаграмма v/X. Пронумеруем ее клетки справа
налево в каждой строке, двигаясь сверху вниз. Такую нумерацию будем
называть обратной нумерацией косой диаграммы. Например, обратная
нумерация косой диаграммы E, 4, 3, 2)/C, 3, 1) такова:
7
5
6
4
2
3
1
Реммель и Уитни (Remmel, Whitney [1984]) дали следующее описание
чисел Литтлвуда—Ричардсона:
Предложение 4. Число с%и равно числу стандартных таблиц U
формы ц, удовлетворяющих двум условиям:
(i) Если числа k — 1 и k встречаются в обратной нумерации
диаграммы v/X в одной строке, то k стоит нестрого выше и строго
правее числа k - 1 в таблице U.
(и) Если в обратной нумерации косой диаграммы v/X число k
стоит непосредственно под числом /, то в таблице U число k стоит
строго ниже и нестрого левее числа /'.
В обратной нумерации
косой диаграммы
В таблице U
k
1
k
k-\
ft-1
и
§5.3. Другие формулы для чисел Литтлвуда—Ричардсона
83
Доказательство. Каждой косой таблице
Литтлвуда—Ричардсона S формы v/X мы можем сопоставить некоторое обратное решеточное
слово w(S) = хг.. .Х|, а вместе с ним и стандартную таблицу U(w(S)).
Тот факт, что 5 является косой таблицей, в точности означает выполнение
условий (i) и (ii) для U(w(S)). Действительно, если к - 1 и k стоят в одной
строке обратной нумерации, то табличное условие на S дает Xk ^Xk~\,
откуда следует, что в таблице U элемент к стоит не ниже элемента к — 1.
Так как к появляется в U позже, чем k - 1, то из того, что он стоит
нестрого выше к — 1, автоматически следует, что он стоит строго правее
него. Аналогично, если / стоит в обратной нумерации непосредственно
над ky по определению таблицы имеем х} < лг*, откуда к стоит строго ниже
(а значит, и нестрого левее) элемента /' в U. ?
Для данной косой диаграммы можно по индукции построить все
таблицы, удовлетворяющие свойствам (i), (ii). Для этого начнем с числа 1,
стоящего в верхнем левом углу и, используя эти свойства, будем
вписывать в клетки диаграммы последующие числа. Например, для косой
диаграммы v/X = E, 4, 3, 2)/C, 3, 1) двойка должна стоять справа от
единицы, а 3 под двойкой, таким образом первые три элемента каждой из
таблиц, удовлетворяющих свойствам (i), (ii), должны образовывать
таблицу
. Далее, число 4 может стоять на одной из следующих трех
позиции:
) 2
з
4
I 2
3 4
I 2 4
3
Число 5 должно стоять справа от 4, и так далее.
Упражнение 7. Продолжите этот процесс и вычислите все 15
возможных таблиц, удовлетворяющих свойствам (i), (ii) предложения 4.
Комбинируя это рассуждение со следствием 2(v) из §6.1, получаем
еще одно описание чисел Литтлвуда—Ричардсона, принадлежащее Ченю,
Гарсиа и Реммелю (Chen, Garsia, Remmel [1984]): число с^ есть число
стандартных таблиц формы v, элементы которых удовлетворяют условиям
предложения 4 по отношению к косой диаграмме X * \х.
Зелевинский (Zelevinsky [1981]) ввел понятие изображения (picture)
между двумя косыми диаграммами. Изображением между двумя косыми
диаграммами называется такая биекция между клетками этих диаграмм,
что если клетка А стоит нестрого выше и нестрого левее клетки В в одной
из диаграмм, то соответствующая клетке А клетка А' второй диаграммы
84
Глава 5. Правило Литтлвуда—Ричардсона
стоит раньше по отношению к обратной нумерации, чем клетка ?',
соответствующая В.1*
Следствие 5. Число с? равно числу изображений между
диаграммами ji и v/X.
Доказательство. Биекция определяется такой нумерацией
клеток [а, которой соответствует обратная нумерация клеток v/X. Условие, что
порядок «из верхнего левого угла в правый нижний» переходит в обратную
нумерацию, позволяет заключить, что эта нумерация клеток \х определяет
на [i стандартную таблицу Юнга. Те же условия, но в применении к
обратному отображению из v/X в ji, означают, что эта стандартная таблица
удовлетворяет условиям (i), (ii) предложения 4. ?
Упражнение 8. Покажите, что количество последовательностей v\, ...
* • •, Щп, для которых слово V\... V2n есть обратное решеточное слово,
содержащее п единиц и п двоек, равно числу /(л,п\т. е. равно Bп)\/(п + \)\п\.
(Что равно числу двоичных деревьев с п вершинами.)
Упражнение 9. Пусть Т — стандартная таблица формы (л, п). Пусть
Р — ее подтаблица, состоящая из п наименьших элементов, a S — косая
таблица, состоящая из остальных клеток. Развернем косую таблицу S
на 180° и заменим элементы вида п + i на п + I - /. Полученную
стандартную таблицу обозначим через Q. Покажите, что любая пара (Р, Q) таблиц
такого вида может быть единственным образом получена как результат
подобного процесса. Выведите отсюда, что число подстановок о € Sni не
содержащих убывающих подпоследовательностей длины 3 (о(/) > ст(/) > a(k)
для i < j < k), есть Bп)\/(п + 1)! л!.
Упражнение 10. (а) Даны X < v и г — (г\, ..., гр). Покажите, что
число косых таблиц формы v/X и состава г равно *52 К^гС^. В частности,
м
это число не зависит от порядка г\;..., гр.
(Ь) Для г = (гь ..., гр) и 5 = EЬ ..., sq) покажите, что /fv(riS) =
= ?КхЛд5с^, где (г, 5) = (ги ..., rp,s]y ...,sq).
Упражнение 11. Пусть &/> $ — два алфавита, причем все буквы
алфавита srf меньше букв алфавита ?ё. Будем называть слово w алфавита
я/ U ?ё тасовкой (shuffle) слов и алфавита stf и v алфавита ?ё, если
слово и (слово v) получается из w после удаления всех букв алфавита ЗВ
(соответственно stf). Пусть и0 и v0 — фиксированные слова в алфавитах
?& и &. Покажите, что число слов, которые являются словами таблиц
формы v и которые являются тасовками слов и и и, где и = u0, v = v0t
равно c?u/\ где X и yt — формы Р(и0) и P(vQ) соответственно.
'См. также работу Керова (Kerov [1984]). — Прим. ред.
Глава 6
Симметрические многочлены
Первый параграф этой главы содержит сведения о симметрических
многочленах, которые будут использованы при изучении представлений
симметрических групп. В частности, будут даны формулы, выражающие
многочлены Шура через другие естественные базисы симметрических
многочленов. Будет представлен набросок доказательства формулы Якоби—
Труди для многочленов Шура. Во втором параграфе мы устремим
число переменных к бесконечности, и формулы превратятся в тождества на
кольце «симметрических функций». Для более подробного ознакомления
с теорией симметрических функций см. Макдональд (Macdonald [1979]).
§6.1. Еще о симметрических многочленах
Фиксируем положительное целое т и рассмотрим многочлены f(x) —
= f(x\, ..., хт) от т переменных. Для каждого разбиения X = (Xi ^.. .^Х*)
мы ввели многочлены Шура S\(x) — s\(x\, ..., хт) и многочлены
АхМ = Ах, (*)-...-Ах, 00 Aа)
ex(x) = eh(x)-...-exb{x)t (lb)
где hp(x) и ер(х) — соответственно р-н полный и р-й элементарный
симметрические многочлены от переменных х\, ..., хт. Кроме того, мы
будем использовать мономиальный симметрический многочлен т\(х),
являющийся суммой всех различных одночленов, получающихся из х*1 •... • jc*m
перестановкой переменных. (Мы считаем, что X/ = 0 при / > т.)
Как мы уже показали, многочлены Шура являются
симметрическими многочленами. Теперь мы покажем, что если X пробегает множество
всех разбиений числа п не более чем на т частей, то соответствующие
многочлены Шура образуют базис (над Z) в пространстве симметрических
многочленов степени п от переменных х\9 ..., хт.
Предложение 1. Следующие множества образуют базис над Z
в аддитивной группе однородных симметрических многочленов
степени п от т переменных:
(i) {/77x00: X есть разбиение п, содержащее не более т строк};
(ii) {sxOO: X есть разбиение пу содержащее не более т строк};
86
Плава 6. Симметрические многочлены
(iii) {е\(х): X есть разбиение п, содержащее не более т столбцов}',
(iv) {h\(x)\ X есть разбиение л, содержащее не более т столбцов}-,
(v) {h\(x): X есть разбиение я, содержащее не более т строк}.
Доказательство. Доказательство пункта (i) является
стандартной проверкой. Рассмотрим произвольный симметрический многочлен.
Предположим, что одночлен хх = х\* • ... • х$? входит в него с
ненулевым коэффициентом а, причем X = (Х| Xm) — максимальный в
отношении лексикографического порядка набор. Из соображений симметрии
этот набор является разбиением. Если вычесть из исходного многочлена
многочлен вида а • т\(х), получим меньший по отношению к этому порядку
симметрический многочлен. Теперь предположим, что для некоторых
коэффициентов выполнено ?axWx(x) = 0, и пусть X — максимальное
разбиение, для которого а\ ф 0. Тогда коэффициент, стоящий при л:х в J2 d\m\(x)y
есть а\, что приводит нас к противоречию.
Поскольку множества, описанные в пунктах (i)—(v), имеют
одинаковую мощность, достаточно показать, что каждое из них порождает абелеву
группу однородных симметрических многочленов степени п от т
переменных. Для множества многочленов вида s\(x) из пункта (и) доказательство
аналогично доказательству для т\, так как старшим одночленом в
записи S\ также является хх. Аналогичным образом доказательство пункта (iii)
следует из того факта, что старшим одночленом в е\(х) является хм, где
\х = X — разбиение, сопряженное к X.
Чтобы показать, что множества из пунктов (iii) и (iv) имеют одинаковую
линейную оболочку над Z, достаточно проверить, 4toZ[/zi(jc), ..., hm(x)] =
— Z[e\ (х), ..., ет(х)\. Это следует из тождеств
hk(x) - ex(x)hk-\(x) + e2(x)hk-2(x) - ... 4- (-\)kek(x) = 0,
которые являются следствием тождества
т т
То, что оболочка множества из пункта (v) совпадает с оболочкой
множества из пункта (ii), следует из формулы E), которая будет приведена ниже.
?
Кольцо Z в этом предложении можно заменить на любое
коммутативное кольцо, при этом формулировка и доказательство остаются
прежними. Если разрешены рациональные коэффициенты, можно ввести еще
один базис, который особенно удобно использовать при вычислениях. Его
элементы имеют вид
Р\{х) = Р\1{х)-...-рхк(х), B)
где рг(х) = х\ + ... 4- хгт — степенные суммы Ньютона.
§6.1. Еще о симметрических многочленах 87
В дальнейшем нам понадобится результат, который мы сформулируем
в качестве упражнения:
Упражнение 1. Докажите следующие тождества:
пеп(х) - р[(х)еп-](х) + р2еп^{х) - ... + (~1)прп{х) = 0;
nh»(x) - p\{x)hn-\(x) - P2Art-2(x) - ... - />„(*) = 0.
Определим для произвольного разбиения X целое число г(Х)
посредством формулы
2(Х) = ЦЛ./пЛ C)
г
где тг есть число появлений г в разбиении X.
Лемма 1. Для произвольных положительных целых чисел тип
M*i Xm^YljaSP^Xi Хт^
Доказательство. Утверждение леммы следует из следующих
тождеств для формальных степенных рядов:
оо mm
? hn(x)tn = J] j-L^ = J] exp(- log( 1 - x,.0) =
i=\ \r=l / Wl r=l
r=l /n,«0 X
m I j
Предложение 2. Степенной ряд \[ П i равен каждому из
следующих выражений, суммирование в которых ведется по всем
разбиениям X:
(О ^Ax(*i, ...%хт)т\(уи •-.,*/);
х
А
О») 5^5x(Jfi xm)sx((/b ..-.У/).
88
Глава 6. Симметрические многочлены
Доказательство. Данный степенной ряд равен ряду
П (J2hn(x)yrj V откуда и следует равенство (i). Второе равенство следует
из леммы, примененной к ml переменным Х\уг Третье равенство следует
из формулы Коши (см. формулу C) §4.3). ?
Как нам известно из результатов §2.2, полные и элементарные
симметрические многочлены могут быть разложены по многочленам Шура
посредством формул
М*) = 51 Кхц*х(*). вц(х) = ]Г K^sx{x). D)
X X
Здесь в роли коэффициентов выступают числа Костки, поэтому матрица
перехода является верхней треугольной, так что многочлены Шура могут
быть выражены через другие базисные многочлены. Эти выражения можно
кратко записать в виде определителей: если X = (Х| > ... ^ Х^ ^ 0), то
5Х(х) = det(Ax,+/w(*))i </./«*- E)
В этой формуле стоит определитель матрицы с диагональными
элементами h\x(x), ..., h\k(x)y где слева (справа) от диагонали индексы убывают
(соответственно возрастают) в зависимости от расстояния до диагонали
по горизонтали (при этом hp(x) — 0, если р < 0). Двойственная формула
выглядит таким образом:
5Х(х) = det(eUi+j^(x)){^itKh F)
где [х = (ji| ^ ... ^ [i/ ^ 0) — разбиение, сопряженное к X.
Следующая формула Якоби—Труди (Jacobi—Trudi) изначально
использовалась в качестве определения многочленов Шура:
sx (х 1 хт) = ' , ¦ G)
det(Xy )| <!./<«
В знаменателе правой части стоит определитель Вандермонда
П (xi - Xj). Якоби показал, что правая часть уравнения G) равна
правой части уравнения E).
У трех приведенных формул имеются доказательства, использующие
теорию таблиц Юнга, см. Саган (Sagan [1991]), Проктор (Proctor [1989]),
а также список литературы в конце книги. В последующих упражнениях
мы дадим набросок коротких алгебраических доказательств, которые
принадлежат Макдональду (Macdonald [1979]). Формулы полезны при
вычислениях, но не существенны для чтения остальной части этой книги.
§6.1. Еще о симметрических многочленах
89
Упражнение 2. Обозначим через t\ правую часть тождества G).
Выведите тождество G) из того факта, что функции t\ удовлетворяют
«формуле Пьери» (Pieri formula)
V
где сумма берется по всем разбиениям v, получаемым из X
добавлением р клеток, никакие две из которых не стоят в одном столбце. Пусть
/]>...> 1т ^ 0. Положим аA\ lm) — det(xj'). Покажите, что
формула (8) эквивалентна формуле
т
a(l\ lm)-]J(l-Xi) ' =5^о(Л|, ..., пт), (9)
( =
где последняя сумма берется по всем п\ ^ l\ > n<i ^ /г > ... > пт > 1т.
Докажите (9) при помощи индукции по т, раскладывая определитель
а(/|, ..., 1т) по верхней строке.
Следующее утверждение позволяет легко доказать формулу E) (следуя
Макдональду (Macdonald [1979], §1.3)), при этом нужно использовать
тождества ?йя(*)*я = П0 -*/')"' и ?е„(х)*л = ПA + *0-
Упражнение 3. Пусть р — целое число, лежащее между 1 и т. Обо-
(р)
значим через еу г-н симметрический многочлен от переменных х\, ...
..., х,,_|, хр+\, ..., хт. Покажите, что
($>(*)/'') ¦ ($><'»(-/)') =(l -xpt)~l.
Выведите отсюда формулу J2 ^+/-mW(-Om~'eif-/ — (xp)q> из которой
следует матричное тождество
(К+мШъкт • (МГ-'#1/I<А„<т = (^+m_/)i</.p<«-
Выведите отсюда формулу E).
Упражнение 4. Покажите, что формула E) эквивалентна формуле
/] Sgn(a)/(v(x1+0(i)_i ^+e(m)-m) = "
oesm
и выведите отсюда формулу F).
Упражнение 5. Покажите, что
1, eanHv = X,
О в противном случае,
sxd,x,x* хт-*) = хгЦх хМ_{
90
Глава 6. Симметрические многочлены
где г = Хг -f- 2Хз + ... = ?(/ "~ ОХ/, а произведение берется по всем 1 ^ / <
< / < /и.
Упражнение 6. Покажите, что
*<¦ ')=П^^-
<¦</
Выведите отсюда формулу (9) из §4.3.
Упражнение 7. Докажите следующие обобщения формул для косых
диаграмм:
О) s\/v(x) = det(/2xi-_M>+/-/(x))i^.ya
(") 5х/м(х) = det(^l_iiy+/-/(^))i^/.y^/
где X и р — сопряженные разбиения, a fe и / — числа строк и столбцов X
соответственно.
Упражнение 8. Для произвольных переменных х\, ..., xmj у\, ... , у„
и произвольного разбиения X определим «супермногочлены Шура»
посредством формулы
s\(x\ хт\ у\, ..., ^) = det(cxi+/-/)i<j./<|x|.
где Ck есть коэффициент при /* в разложении ПС —^О ПО + #/0-
Покажите, что '-1 /=!
s\(x\ хт\у\ yn)=sz(y\ уп\хх хт).
§6.2. Кольцо симметрических функций
В большинстве случаев количество переменных в многочленах,
которые мы будем использовать, не имеет значения. Это в основном связано
с общим свойством, которым обладают многочлены Шура и другие
многочлены, о которых шла речь выше: при / < т
р(х\ х/, 0, .... 0) = р(Х| xt).
При этом иногда существенно, чтобы число переменных было достаточно
велико: например, многочлены Шура тождественно равны нулю при числе
переменных, меньшем, чем число строк разбиения. Из этих
соображений удобно ввести понятие симметрической функции степени п как
набора симметрических многочленов р(х\, ..., хт) степени п по одному
для каждого т, удовлетворяющих приведенному свойству для всех / < т.
Пусть Лл — Z-модуль всех таких функций с целыми коэффициентами. Для
каждого разбиения X числа п обозначим через s\t h\, е\у т\ и р\ соот-
§6.2. Кольцо симметрических функций
91
ветствующие симметрические функции. Первые четыре из них образуют
базис Л„ при X, пробегающем множество всех разбиений числа я, а
степенные суммы образуют Q-базис соответствующих многочленов Ап ® Q
с рациональными коэффициентами. Рассмотрим
оо
/?=0
— градуированное кольцо симметрических функций. Кольцо Л можно
отождествить с кольцом многочленов от переменных Л|, Ag, ... или с
кольцом многочленов от переменных е\> ег> ... Тождества, доказанные в случае
конечного числа переменных, сохраняются и для Л, так как они
согласованы с подстановкой нуля вместо каких-либо переменных. Например,
формула D) дает
Ли = Щ ^5x' *и = ? %s* = Ц **ц5Х' A0)
X XX
и формула Литтлвуда—Ричардсона превращается в формулу S\ • sM =
V
На Л„ можно ввести симметричное скалярное произведение ( , ),
потребовав, чтобы функции Шура s\ образовывали ортонормированный
базис, т. е. чтобы было выполнено (s\, s\) = \ и (s\, s^) — О при \х ф X.
Предложение 3. A) (Ах, т\) — 1 и (Ах, т^) = 0 при \ф\к\
B) (рх, рх) = г(Х) и (pXj pj) = 0приХф[х.
Доказательство. Запишем Ах = ?axv$v и тх = X]^Xv^v
Равенство выражений (i) и (iii) из предложения 2 позволяет заметить, что (a\v)
и (&Xv) — взаимно обратные матрицы, откуда и следует утверждение A).
Аналогично, приравнивая выражения (ii) и (iii), получаем B). ?
Пусть X и (i — разбиения одного и того же целого числа. Определим
числа х? и ?* посредством формул
Рн=ЦХм5х и рм = ?фпх. A1)
X X
Согласно предложению 3, верны равносильные формулы
s*=Ei?)X^ и h^ = E^W <12>
Зададим инволюцию to: Л —* Л как аддитивный гомоморфизм,
переводящий Sx в Sx> где X — сопряженное разбиение к X. В частности, если взять
X = (/?), то o>(hp) = ep.
92
Глава 6. Симметрические многочлены
Следствие 1.A) Инволюция со является гомоморфизмом колец
и изометрией;
B) о)(Ах) - ех и ь>(рц) = M)*><-l>/v
Доказательство. Построенное отображение является изометри-
ей, так как оно переводит ортонормированныи базис в ортонормированныи
базис. Утверждение, что со(Лх) = е\> следует из формул A0) и показывает,
что ы сохраняет умножение, а значит, является гомоморфизмом колец.
Таким образом, для доказательства последнего утверждения достаточно
проверить, что со переводит рг в (— \)Г~ХрГ, а это непосредственно следует
из упражнения 1. ?
Часть II
Теория представлений
В этой части мы описываем применение таблиц к изучению
представлений симметрической группы Sn и полной линейной группы GLm(C). Мы
увидим, что по каждому разбиению X числа п можно построить
неприводимое представление Sx симметрической группы S„ (называемое модулем
Шпехта) и неприводимое представление ?х группы GL(?), где ?—
комплексное конечномерное векторное пространство (такое представление
называется модулем Шура или модулем Вейля). Пространство Sx будет
иметь базис из элементов vt, где Т пробегает множество всех стандартных
таблиц формы X. Если е\, ..., ет — базис ?, то ?х будет иметь базис из
элементов ej, где Т пробегает множество всех (полустандартных) таблиц
формы X, элементы которых принадлежат [пг]. Эти базисные векторы ет
будут собственными векторами для диагональной матрицы с элементами
х\ хт на диагонали, отвечающими собственному числу хТ\ характером
представления будет многочлен Шура S\(x\, ..., xm).
Два предельных случая этих построений наверняка знакомы читателю
в каком-либо виде; они отвечают двум экстремальным разбиениям X = (п)
и Х = (Iя). Мы описываем их здесь как для того, чтобы ввести
некоторые обозначения, так и для того, чтобы облегчить понимание основного
случая.
Для X = (п) представление Sx группы Sn — это одномерное
тривиальное представление 1Л, т.е. векторное пространство С с действием
о • z = z для всех а € Sn и всех z е С. Модуль Шура ?(rt) — это л-я
симметрическая степень Sym"(?), которая определяется как фактор-
пространство тензорного произведения ?®л пространства Е на себя п раз
по подпространству, порожденному разностями v\ 0 ... 0 vn - va(\) 0 ...
¦ • • 0 va{n) для всех vt € Е и а € Sn. Образ v\ 0 ... 0 vn в Symn(?)
обозначается через v\ • ... ¦ vn. Отображение Ехп —> Symrt(?) полилинейно
и симметрично. Векторное пространство Symrt(?) определяется
следующим свойством универсальности: для любого векторного пространства F
и любого полилинейного и симметрического отображения ср: Ехп —> F
существует единственное линейное отображение ср: Symrt(?) —*• ?, такое, что
ф(У| х ... х vn) = ф(^1 • - -. * vn). Отметим, что GL(?) действует на Sym"(?)
по формуле g • (v\ *... ¦ vn) = (g ¦ v\) •... • (g - vn), поэтому
симметрическая степень пространства ? является пространством представления
группы GL(?). Если е\, ..., ет — базис ?,то все произведения е1к •... • ?,„,
индексы которых образуют неубывающую последовательность 1 ^ /| ^ /2 ^ • • •
... ^ /л ^ т, образуют базис пространства Symrt(?).
Теория представлений
95
Для другого крайнего случая X = Aп) представление 5х группы Sn —
это одномерное знакопеременное представление Un, т. е. векторное
пространство С с действием а • z = sgn(c)z для всех а G Sn и всех геС;
здесь sgn(a) равно +1, если подстановка а четная, и — 1, если нечетная.
В этом случае представление ?х— это л-я внешняя степень Л"?,
которая есть факторпространство Е®п по подпространству, порожденному
всеми произведениями v\ ® ... ® ия, у которых у,- = u/+j для
какого-нибудь /. (В случае характеристики нуль, который обычно и будет
рассматриваться, это подпространство порождается разностями v\ <Э ... ® vn -
- sgn(a)yCT(i) ®... g> у0(Я) для всех у,- € ? и a € S„.) Образ c/j ® ... ® и„
в Л"? обозначается через U| Л ... Л vn. Отображение Ехп -+ Л"Е
полилинейно и антисимметрично, и f\nE определяется соответствующим
свойством универсальности. Если е\, ..., ет—базис ?, тогда /\пЕ имеет базис
из элементов вида е-1{ Л ... Л е-,п для всех строго возрастающих
последовательностей 1 < /| < /г < • ¦ • < 'я ^ /П.
Хотя общий случай и будет рассмотрен дальше, может оказаться
полезным разобрать сейчас первый случай, не совпадающий с двумя
экстремальными, именно, когда X = B, 1). В этом случае представление SB,1)
группы S3 — это «стандартное» действие S3 на гиперплоскости z\ + z% +
+ 23 = 0 в пространстве С3:
a* (zi, z2, z3) = (Z0-i(i), za-iB), z0-iC)).
Пространство ?B,I) может быть представлено как факторпространство
пространства Л2?<8>? по подпространству W, порожденному всеми
векторами вида!)
(и Av)®w — (w Av)<& и — {и Aw)<g>v.
Упражнение, (а) Покажите, что если е\, ..., ет — базис ?, то образы
векторов (et Л е,) <8> е* для всех / < / и i < k образуют базис в ?B, '*.
Обратите внимание на то, что эти (/, /, k) соответствуют таблицам формы B, 1).
(Ь) Постройте изоморфизмы
?®2 2 Sym2(?) © Л2?; Л2? ® ? = Л3? 0 ?B' °;
Sym2(?) <g> ? 2 Sym3(?) 0 ?B' ">;
?®3 * Л3? 0 Sym3(?) 0 ?B'!) 0 ?B'Х).
^Симметричная форма {и Л v) <g> ш + (у Л ш) ® w ¦+• (ш Л ы) ® v = 0 этих соотношений
отождествляет модуль ?"B|) с третьей компонентой градуированной свободной алгебры Ли,
порожденной пространством Е. Однако только эта форма обобщается на случай
представлений Ех общего вида. (Эта формула есть тождество Якоби. — Прим. ред.)
96
Теория представлений
В этой книге, хотя мы и работаем в первую очередь с полем
комплексных чисел, особое значение придается методам, применимым для кольца
целых чисел или в положительной характеристике; при этом, однако, не
рассматриваются специфические для положительной характеристики
особенности. Кроме того, мы отдаем предпочтение конструкциям,
отражающим внутреннюю природу, т.е. не зависящим от выбора фиксированной
стандартной таблицы данной формы.
В этой части нам понадобится понятие обмена. Обмен зависит от
выбора двух столбцов в диаграмме Юнга X и от выбора двух равных по
мощности множеств клеток в каждом из столбцов. Для любого
заполнения Т диаграммы X элементами из любого множества соответствующий
обмен — это заполнение 5, полученное из Т обменом элементов двух
выбранных наборов клеток с сохранением вертикального порядка в каждом
из наборов; содержимое клеток, не входящих в эти множества, остается
нетронутым. Например, если X = D, 3, 3, 2) и выбранные клетки — это две
верхние клетки из третьего столбца и вторая и четвертая клетки из второго
столбца, то обмен переводит
1
1
2
3
5
2
4
4
3
5
5
1
1
I
2
3
5
3
4
5
2
4
5
1
Глава 7
Представления
симметрической группы
Первый параграф описывает действие симметрической группы Sn на
нумерациях диаграмм Юнга числами 1, 2, ..., п без повторений. Доказана
основная комбинаторная лемма, которая будет использоваться в
дальнейшем. Во втором параграфе вводятся модули Шпехта. Показано, что они
задают все неприводимые представления группы Sn и что каждый модуль
обладает базисом, индексируемым стандартными таблицами с п
клетками. В третьем параграфе используется аппарат симметрических функций
для доказательства некоторых основных теорем об этих представлениях,
включая формулу Фробениуса для характеров, правило Юнга и формулу
ветвления. Последний параграф содержит описание модуля Шпехта как
факторпредставления более простого представления; это понадобится нам
в двух следующих главах.
Для краткости мы предполагаем известными некоторые факты теории
комплексных представлений (которые всегда будут считаться
конечномерными) конечной группы, именно: количество неприводимых
представлений, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, равно числу классов
сопряженности; сумма квадратов размерностей этих представлений равна
порядку группы; каждое представление раскладывается в сумму
неприводимых представлений, входящих в эту сумму с однозначно определенными
кратностями; представления определяются своими характерами. Мы также
предполагаем известными соотношения ортогональности для характеров,
которые используются для доказательства некоторых фактов, и понятие
индуцированного представления.
§7.1. Действие группы Sn на таблицах
Симметрическая группа Sn является группой автоморфизмов
множества [л], действующей на нем слева, поэтому (а • т)(/) = а(т(/)). В этой
части Т и Т будут обозначать нумерации диаграмм Юнга с п клетками
числами от 1 до п без повторений. Симметрическая группа Sn действует
на множестве таких нумераций: у нумерации а ¦ Т в клетке стоит а(/), если
7* Таблицы Юнга
98 Глава 7. Представления симметрической группы
у нумерации Т в этой же клетке стоит /. Назовем строчным
стабилизатором нумерации Т подгруппу R(T) группы S„, состоящую из
подстановок, переставляющих элементы каждой строки между собой. Если
нумерация Т имеет форму X = (к\ ^ ... ^ X* > 0), то R(T) есть произведение
симметрических групп Sx, х Sx2 х ... х S\k. Такие подгруппы группы Sn
обычно называются подгруппами Юнга. Таким же образом можно ввести
столбцовый стабилизатор С{Т)У состоящий из подстановок,
сохраняющих столбцы. Эти подгруппы согласованы с действием:
Я (о • Т) = oR{T)o~x и С(а • Т) = оС(Т)о~х. (I)
Следующая лемма — базовый инструмент, необходимый в теории
представлений симметрической группы:
Лемма 1. Пусть Т и Т' — две нумерации форм X и X', и пусть
разбиение X не является строго доминирующим над разбиением X'.
Тогда верно ровно одно из двух следующих утверждений:
(i) Существуют два различных целых числа, находящихся в
одной строке нумерации Т1 и в одном столбце нумерации Т.
(И) X = X' и существуют элементы р' € R(T') и q е С(Г), для
которых р' ¦ Т' — q • Т'.
Доказательство. Пусть утверждение (i) неверно. Тогда числа из
первой строки нумерации Т1 должны находиться в разных столбцах
нумерации 7\ поэтому существует элемент q\ € С(Т)У для которого эти числа
встречаются в первой строке нумерации q\ ¦ Т. Числа из второй строки
нумерации Т находятся в разных столбцах нумерации 7\ а значит, и в
разных столбцах нумерации q\ • 7\ следовательно, существует элемент ?2 из
C{q\ • Т) = С(Т), оставляющий на месте числа, равные числам из первой
строки 71', для которого все эти числа встречаются в первых двух
строках нумерации q<± - q\ • Т. Продолжая эти рассуждения, мы найдем такие
элементы q\, ...,9* из С(Г), что числа из первых k строк нумерации Т1
находятся в первых k строках нумерации ць • <?*-! ¦ • - • * Q\ * Т. В частности,
так как Т и q^ ¦ </a-i •... ¦ q\ • Т имеют одинаковую форму, мы получим,
что Х{ + ... + Х? < Х| + ... + X*. Так как это верно для всех 6, то X' < X.
По нашему предположению X не является строго доминирующим над X',
значит, X = X'. Возьмем k равным числу строк диаграммы X и q = q^ •... ¦ q\.
Мы видим, что у нумераций q • Т и Т совпадают числа во всех строках.
Это означает, что существует элемент р' 6 R(T'), для которого р' -Т' —
= q-T. ?
Определим линейный порядок на множестве всех нумераций с п
клетками. Мы будем говорить, что V>T% если верно одно из двух: I) форма
нумерации Т' больше формы нумерации Т лексикографически, или 2) форма
нумерации Т( совпадаете формой нумерации 7\ и наибольшее число, нахо-
§ 7.2. Модули Шпехта
99
дящееся в разных клетках нумераций V и 7\ встречается раньше в
столбцовом слове нумерации Т\ чем в столбцовом слове нумерации Т. Вот как,
например, выглядит данный порядок для стандартных таблиц формы C, 2):
1
3
2
4
5
1
3
2
5
4
Важное свойство этого порядка, следующее из определения, заключается
в том, что если Т является стандартной таблицей, то для любых р € R(T)
nq€C(T)
р-Т^Т и q-T^T. B)
Действительно, наибольшее из чисел нумерации 7\ сдвигаемых
элементом р, сдвигается влево, а наибольшее из чисел, которые сдвигает q,
сдвигается вверх.
Следствие. Пусть Т и Т — стандартные таблицы. Если V > 7\
то существуют два целых числа, находящиеся в одной строке
нумерации Т' и в одном столбце нумерации Т.
Доказательство. Так как V > 7\ то форма нумерации Т не может
доминировать над формой нумерации Т'. Если не существует двух целых
чисел, удовлетворяющих условию, тогда верен пункт (ii) леммы: р' • Т* =
— q • Т. Но Т и Т' — таблицы, значит, в силу неравенств B), мы имеем
q • Т < Т и р' • Т ^ Т\ что противоречит предположению V >Т. П
§7.2. Модули Шпехта
Назовем таблоидом класс эквивалентности нумераций диаграммы
Юнга (с различными числами 1, ..., п)\ две нумерации считаются
эквивалентными, если соответствующие строки содержат одинаковые числа.
Определяемый нумерацией Т таблоид будем обозначать через {Т}. Таким
образом, равенство {Т} = {Г'} равносильно тому, что Т' = р - Т для
некоторого р € R(T). Чтобы подчеркнуть, что имеет значение только содержание
каждой строки таблоида, таблоиды иногда рисуют, убирая вертикальные
линии между клетками. Например,
4
6
2
7 1
3
5
I
3
2
4
6
5
7
Симметрическая группа действует на множестве таблоидов1* по формуле:
о ¦ {Т) = {а ¦ Т).
^Корректность введенного действия следует из формул A). — Прим. перев.
100 Глава 7, Представления симметрической группы
Как множество с действием группы Sn, орбита таблоида {Т} изоморфна
множеству левых классов смежности Sn/R{T).
Пусть А = C[Sn] обозначает групповую алгебру группы Srt, состоящую
из линейных комбинаций над С вида J2xQay с умножением, определяемым
композицией в S„; представление группы S„ —то же, что левый Л-модуль.
Для заданной нумерации Т некоторой диаграммы из п клеток
(содержащей числа от 1 до п по одному разу) определим элементы ат и bj из А
следующим образом:
ат= ^2 р> Ьт= ^2 sSn(Q)Q- C)
Эти элементы, как и произведение
Ст = br -aTl
называют симметризаторами Юнга.
Четыре упражнения этого раздела будут использоваться ниже.
Упражнение 1. (а) Пусть р € R(T) и q € С(Т). Покажите, что
р • aj —ат • р —aj и q • Ьт = Ьт • Ц = sgn(q)bf.
(b) Покажите, что aj -aj = #R(T) • ат и Ьт ¦ Ьт = фС(Т) ¦ Ьт.
Мы хотим предъявить неприводимое представление для каждого
класса сопряженности в S„. Классы сопряженности соответствуют
разбиениям X числа п, класс сопряженности С(Х) состоит из тех подстановок,
которые в разложении на непересекающиеся циклы состоят из циклов
.дойны X], Хг X*, где X = (Х| > ... > Xft > 0).
Упражнение 2. Покажите, что число элементов в С(Х) равно я!/г(Х),
где г(Х) — число, определенное по формуле C) §6.1.
Определим Мх как векторное пространство с базисом из таблоидов
{Т} формы X, где X — разбиение числа п. Так как группа S„ действует на
таблоидах, то она действует и на Af\ превращая Мх в левый А -модуль.
Для каждой нумерации Т разбиения X мы можем рассмотреть элемент vt
в Мх, определяемый по формуле
vT = bT-{T}= J2 sgn(fl){?-n. D)
qeC(T)
Упражнение 3. Покажите, что а • vt = va.T для любой нумерации Т
и любого oeSn.
Лемма 2. Пусть Т и Т' — две нумерации форм X и X'
соответственно, причем разбиение X не является строго доминирующим
над X'. Если существуют два числа, находящиеся одновременно
§7.2. Модули Шпехта
101
в одной строке нумерации V и в одном столбце нумерации 7\ то
Ьг • {Tf} = 0. Если таких чисел не существует, то Ьт * {Т*} = ±vt.
Доказательство. Если существуют два таких числа, обозначим
через / транспозицию, которая их переставляет. Тогда bj • t — —bj, так как
/ принадлежит столбцовому стабилизатору нумерации 7\ Но / • {Т'} = {Т'}у
так как / принадлежит строчному стабилизатору нумерации Т'. Значит,
Ьт • {Г) = bT-(t- {Г}) = (ЬТ • О • {Г} = -6Г ¦ {Г},
и Ьт • {Т'} = 0. Если такой пары не существует, рассмотрим р' и q из
пункта (п) леммы 1 из §7.1. Тогда
ЬтЛГ} = Ьт.{р'.Т') = ЬтЛя-Т) = Ьт-яЛТ) =
= $gn(Q)br • {Т} = sgn(q) • vT. ?
Применяя следствие из §7.1, получаем
Следствие. Если Т и Т' — стандартные таблицы и Т > 7\ то
ЬТ-{Г} = 0.
Определим модуль Шпехта 5х как подпространство модуля Л4Х,
натянутое на элементы иг, где Т пробегает множество всех нумераций
разбиения X. Из упражнения 3 следует, что 5х инвариантно относительно S„,
т.е. является Л-подмодулем в Мх. Более того, из упражнения следует, что
Sx = А • vr для любой такой нумерации Т.
Упражнение 4. Покажите, что для диаграммы X = (п) модуль 5(л) —
это тривиальное представление 1п группы Sn> а для X = Aп) модуль S(in) —
знакопеременное представление U„.
Ни один из элементов vj не равен нулю, поэтому все модули Sx
ненулевые. Никакие два из них не изоморфны. Действительно, лемма 2 (вместе
с упражнением 1) позволяют заключить, что для любой нумерации Т
разбиения X мы имеем
bT • Afx = bT • 5х = С -vT ф 0; Eа)
Ьт • Мх' = Ьт • Sx' = 0, если X' > X. EЬ)
Из этих же уравнений следует, что все Sx неприводимы: в случае поля
характеристики нуль неприводимость равносильна неразложимости, и если
5х = V ф W, то С • vt = Ьт • Sx = Ьт • V Ф Ьт • W, значит, одно из
подпространств V или W должно содержать элемент Уг* Но если V содержит vt,
то 5х = А • vT = V.
Таким образом, мы предъявили неприводимое представление для
каждого разбиения числа л, и, так как количество разбиений п совпадает
с количеством классов сопряженности в группе Sn> а количество
классов сопряженности всегда равно количеству неприводимых комплексных
102 Плава 7. Представления симметрической группы
представлений конечной группы, то мы перечислили все неприводимые
представления группы Sn. Это доказывает следующее утверждение:
Предложение 1. Для каждого разбиения X числа п модуль Шпех-
та Sx является неприводимым представлением группы Sn. Любое
неприводимое представление группы Sn изоморфно ровно одному
из модулей Sx.
Из построения Мх и Sx следует, что эти представления возникают
из соответствующих представлений, определенных над Q. В частности,
характеры всех представлений Sn принимают только рациональные
значения.
Лемма 3. Пусть б: Мх —> Мх' — гомоморфизм представлений
группы Sn. Если Sx не содержится в ядре гомоморфизма 0, то X' < X.
Доказательство. Пусть Т — нумерация разбиения X. Так как vj
не содержится в ядре гомоморфизма 6, то Ьт • ЩТ}) =8(^7') ^0. Значит,
Ьт • {Т*} ф 0 для некоторой нумерации V разбиения X'. Если X ф X' и
разбиение X не доминирует над X', то мы находимся в условиях случая (i)
леммы 1 §7.1, что противоречит лемме 2. ?
Следствие. Существуют неотрицательные целые числа kv\y где
v > X, для которых
Mx~sxe0(Sv)e4
Доказательство. Для каждого v обозначим через ftvx кратность
неприводимого представления 5V в разложении Мх. Для того чтобы
увидеть, что k\\ = 1, достаточно для любой нумерации Т разбиения X
применить уравнение Eа). Так как каждый модуль Sv входит в ЛР, то
существует проекция из ЛР в 5V. Пусть 5V также входит в разложение Мх.
Тогда проекция из ЛР в Sv в композиции с вложением Sv в Мх является
гомоморфизмом 6 из ЛР в Мху ядро которого не содержит 5V. Значит, по
лемме 3 получаем, что X < v, что и завершает доказательство. ?
Предложение 2. Элементы vt, где Т пробегает множество всех
стандартных таблиц формы X, задают базис для 5х.
Доказательство. Элемент vj является линейной комбинацией
таблоида {Т} с коэффициентом 1 и таблоидов вида {q • Г}, при q € С{Т),
с коэффициентами ±1. Отметим, что если Т — таблица, то q - Т < Т
в смысле порядка, определенного в §7.1, для каждого нетривиального
элемента q. Отсюда легко следует, что элементы vj линейно независимы,
для чего достаточно посмотреть на максимальное Г, входящее с ненулевым
коэффициентом в линейную комбинацию Y1xtvt = 0. Это показывает,
в частности, что размерность Sx не меньше числа /х стандартных таблиц
формы X.
§ 7.2. Модули Шпехта
103
Существуют эффективные методы доказательства того, что эти
элементы порождают Sx, один из которых будет описан в §7.4, но сам факт
может быть легко получен из утверждения, что сумма квадратов
размерностей представлений равна порядку группы:
«! = ^(dim(Sx)J^^(^J = "!-
X X
где последнее равенство следует из формулы D) §4.3. Следовательно,
dim(Sx) = /х для всех X, и, значит, элементы vj также должны
порождать Sx. ?
На данный момент далеко не очевидно, как подсчитать характер
представления Sx, однако можно непосредственно вычислить характер
представления Мх. Так как представление Мх соответствует действию
группы Sn на множестве таблоидов, след подстановки а — это число таблоидов,
остающихся неподвижными под действием а. Если рассмотреть запись
подстановки а в виде произведения непересекающихся циклов, то таблоид
остается неподвижным тогда и только тогда, когда все элементы каждого
из циклов находятся в одной строке. Число таких таблоидов может быть
выражено следующим образом: пусть а находится в классе сопряженности
С{у), и пусть тд обозначает кратность вхождения числа q в разбиение \х.
Пусть r(p, q) обозначает число циклов длины q, которые лежат в р-и
строке таблоида. Тогда число таблоидов, неподвижных под действием а,
равно
где сумма берется по всем наборам (r(p, q))i^.P,q^n неотрицательных
целых чисел, удовлетворяющих уравнениям
r(pf l) + 2r(/>, 2) + 3r(p, 3) + ... + пг(р, л) = Хр,
гA, q) + гB, q) + гC, ?) + ...+ г(л, q) = mq.
Но для любого q мы можем рассмотреть биномиальное разложение
(Xй 4- -I- х*\т' - V^ (HSI yViW . . y<}r(n,q)
[xx +...+хл; -2^ГA.?)!-....г(я.?)!*> "** n '
где сумма берется по всем наборам (г(р, q))\^p,q^.ni для которых
? r(p, q) = mq. Тогда число (*) — это коэффициент при одночлене хх =
Р \ "аа
= х\'-...• jcx" в многочлене р^(х\, ..., хп) = П (*i + * • • + *п)тя- Это
число, в свою очередь, есть ?х, определенное в формуле A1) §6.2. Это
доказывает следующую лемму:
104 Плава 7. Представления симметрической группы
«Лемма 4. Значение характера представления Мх на классе
сопряженности C((j) равно коэффициенту ?х при одночлене хх в ри.
Каждой нумерации Т разбиения X соответствует подгруппа Юнга R(T)
группы S„. То, что базис представления Мх состоит из элементов вида
о • {Т}} когда а пробегает множество представителей классов смежности
Sn/R(T), означает, что Мх изоморфно представлению, индуцированному
с тривиального представления 1 подгруппы R(T) на Sn:
Мх = Ind|-(r)(l) = C[Sa] ®с[*<г)| С F)
§7.3. Кольцо представлений и симметрические
функции
Пусть Rn — свободная абелева группа, образующими которой
являются классы изоморфных неприводимых представлений группы Sn.
Представлению 1/^0Eх)етх группы S„ соответствует элемент [V] = ? m\[Sx]
группы Rn. Иначе говоря, группа Rn — это группа Гротендика
представлений группы Sn, т.е. свободная абелева группа, образующими которой
являются все классы изоморфных представлений группы Srt, профактори-
зованная по подгруппе, порожденной всеми элементами вида [V ф W] —
- [V] - [W]. Пусть R — ф Rni где У?о = ^- Определим произведение
0: Rn х Rm -* Rn+m по формуле
[V]o[W) = [\ndf;x"SmV®W]. G)
Здесь тензорное произведение V® W= V<g>c W рассматривается как
представление группы SnxSm, задаваемое очевидным способом: (охт)-(и®ш)=
=а*у®т-w. При этом Sn х Sm вкладывается в Srt+m естественным образом:
Sn переставляет п первых элементов, 5т переставляет т последних
элементов. Индуцированное представление может быть быстро определено по
формуле
Infe, V ® W = C[Sn+m] ®clSnXSml (V ® W). (8)
Прямое вычисление показывает, что заданное выше произведение
корректно определено, и что введение этой операции превращает группу R в
коммутативное и ассоциативное градуированное кольцо с единицей. (Отметим,
что обычное тензорное произведение также задает в каждом из Rn
структуру кольца. В результате мы получим кольцо представлений фиксированной
группы Sn — эта структура не понадобится нам в дальнейшем.)
Зададим симметричное скалярное произведение { , ) на /?„,
потребовав, чтобы неприводимые представления [Sx] задавали ортонормирован-
§7.3, Кольцо представлений и симметрические функции 105
ный базис. Тогда для двух представлений V и W группы Sn имеем
<т.т> = Х>хЛь где V5i@(S*)*m\ ^a0(Sr. (9)
В силу ортогональности характеров конечной группы Sn мы можем
переписать формулу для скалярного произведения в виде
<m.[w]> = ^Exv(o)x^-').
aes„
где Xv —характер представления V, т.е. Ху(а) = *г(°: ^ ~* ^)* Если П°Д~
становка лежит в C((i), то обратная к ней также лежит в C(\i)\ в силу
упражнения 2 мощность С(\х) равна я!/2(^), что дает нам формулу
([V], [НП> = ?^Xv(C(M))Xr(C(H))- (Ю)
и
Определим аддитивную инволюцию б>: Rn -+ /?„, переводящую [К]
в [К 0 U„], где Ол —знакопеременное представление группы 5Я.
Так как многочлены Л* образуют базис кольца симметрических
функций Л, мы можем задать аддитивный гомоморфизм ср: Л—> /? формулой
Ф(*х) = [А*х]. (И)
Теорема 1.A) Гомоморфизм ср является гомоморфизмом
градуированных колец и сохраняющим расстояние изоморфизмом колец
А и R.
B)<p(sx) = [Sx].
Доказательство. Гомоморфизм ср переводит hn в класс
тривиального представления М{п) = 1п группы Sn. Кольцо Л — это кольцо
многочленов от переменных Лл, поэтому для доказательства того, что ср является
гомоморфизмом градуированных колец, достаточно проверить, что
Мм о Мм о ... о M{Xk) = jW(M,
для X = (Xi > ... ^ X* > 0). Это следует из описания Мх как
индуцированного представления (см. конец предыдущего параграфа), если
использовать нумерацию Т по строкам, слева направо и сверху вниз. В силу
следствия из леммы 3 классы [Мх] образуют базис в /?, поэтому <р является
изоморфизмом Z-алгебр.
Чтобы доказать оставшуюся часть теоремы, а также для дальнейшего
использования, нам потребуется формула для обратного к ср отображения ф
из У? в Л. Для упрощения вычислений нам будет удобно записать формулу
через степенные суммы, т. е. мы построим гомоморфизм
ф: /?->A®Q,
106 Глава 7. Представления симметрической группы
для которого композиция ф о ср будет включением Л в Л ® Q. Так как
ср(Лх) = [Мх], мы получаем из уравнения A2) §6.2, что ф должно
отображать [Мх] в h\ = J2 ~tt5J;/V По лемме 4 коэффициент ?х есть зна-
чение характера представления Мх на классе сопряженности C([i). Это
позволяет нам переписать формулу для ф:
W]) = ?i^)X.(C(H))/V A2)
м
Из определения ясно, что ф — аддитивный гомоморфизм, и в силу
сделанных выше замечаний композиция ф о <р является включением Л в Л ® Q.
Так как ср является изоморфизмом Л на /?, мы получаем, что ф является
изоморфизмом R на Л, обратным к ср.
Для доказательства того, что ср является изометрией, достаточно
показать, что изометрией является ф. По определению ф
(Ф([V])- Ф([ЧП)> = ? i(xjW)X.(C(X))X^(C(H))(Px, pj.
Х.ц
По пункту B) предложения 3 §6.2 сумма в правой части равна
Мы знаем в силу формул D) §6.1 и следствия из леммы 3 §7.2, что
h\ - s\ + ?/CvxSv и [уИХ1 = [^Х1 + S*vx[Sv], где обе суммы берутся по
разбиениям v > X. Таккак<р(/гх) = [Мх], мы имеем <p(sx) = [5х] + ^mvx[5v]
для каких-то целых чисел mw\. Но ср является изометрией, поэтому
1 = (s\, sx) = (<?{s\)9 фEх)> = I + J](mvxJ.
Следовательно, все коэффициенты mv\ должны равняться нулю, и мы
получаем требуемое равенство <p(sx) = [5х]. ?
То, что ср является изоморфизмом колец, при котором функции Шура
являются образами неприводимых представлений, позволяет нам
применить имеющиеся знания о симметрических функциях для получения
соответствующих фактов о представлениях. Например, формулы D) из §6.1
позволяют нам написать следующее
Следствие 1 (правило Юнга). Мх af Sx ф ®(Sv)e/Cv\ где /(vx — числа
Костки.
Из формулы 5х • 5^ = ?cxn5v вытекает
v
Следствие 2 (правило Литтлвуда—Ричардсона). Sx о Su = ®(Sv)ec>*.
§7.3. Кольцо представлений и симметрические функции 107
Взяв [х — A) и замечая, что вложение S„ х S\ С S„+i —это обычное
вложение Sn в S„+i, как частный случай предыдущего следствия имеем
Следствие 3 (правило ветвления). Если X — разбиение числа п,
то представление группы S„+u индуцированное с
представления Sx группы S„, является прямой суммой представлений Sx , где
X' пробегает все диаграммы, получаемые из X добавлением одной
клетки.
Двойственность Фробениуса говорит нам, что для любой подгруппы И
конечной группы G кратность вхождения неприводимого представления W
подгруппы Н в сужение на эту подгруппу неприводимого представле-
ния V группы G совпадает с кратностью представления V в Indyy W. (Это
следует из изоморфизма Homc[G)(C[G] ®Сщ Wy V) = Homc(//j(U^, V),)
Следствие 3 в таком случае эквивалентно утверждению, что сужение
представления Sx группы Sn на подгруппу 5rt_i является прямой суммой
представлений Sx по всем диаграммам X', получающимся из X удалением
одной клетки.
Упражнение 5. Для включения Sn в Srt+m покажите, что кратность
представления Sx в Ind(Sx) есть число косых таблиц вида Х'/Х с
элементами из множества 1,...,/и, встречающимися без повторений.
Следствие 4 (формула характеров Фробениуса). Значение
характера представления Sx на классе сопряженности C(yt) есть целое число
х?, определенное в формуле A1) §6.2.
Доказательство. Из определения ф, данного в доказательстве
теоремы в начале параграфа, мы знаем, что класс [Sx] соответствует
элементу ]С ~7tXs*(C(I-0)Ai в Л, а также элементу s\. Ссылка на форму-
лу A2) §6.2 заканчивает доказательство. D
Упражнение 6. Пусть X = (Х| > ... ^ X* ^ 0), определим числа /,- =
= X,- + k — i. Покажите, что число х? — это коэффициент при одночлене
JCj1 •... • х? в многочлене
Yl (xi -х})- рц(хх xk).
Упражнение 7. Используя формулу Фробениуса для |л = Aл),
покажите, что размерность модуля Sx есть число /г, определенное в
упражнении 9 §4.3. В частности, это дает другое доказательство формулы крюков.
Выше мы определили инволюции <*> для колец Ли/?.
Предложение 3. Изоморфизм колец Л и R коммутирует с
инволюциями <х>.
Доказательство. Достаточно проверить, что ф(<о([Л1х])) =
=б>(ф([Мх])). Так как характер знакопеременного представления на С(\х) ра-
108 Глава 7. Представления симметрической группы
вен (—l)E(w D( нужное нам равенство получается из следующих выкладок:
ФМ[Л*Х])) = ф([Мх ® U„]) = J2 ЩХюШ) ¦ Хи. №)/>,. =
и
= Е^(С(И)).(-1)^(--%й =
м
= ? iioХ^(С(и)) • о></V) = б>(ф([УИх])),
где мы использовали часть B) следствия из §6.2 для подсчета о>(рц). ?
В частности, из доказанного следует, что а>: /?->/? является
гомоморфизмом колец. Так как инволюция на Л переводит S\ в s^, мы получаем
следствие:
Следствие. Sx ® Urt = S\ где Urt — знакопеременное
представление группы Sn, а X— разбиение, сопряженное к X.
Упражнение 8. Найдите явную формулу для изоморфизма модулей Sx
nSx<S>Un.
Упражнение 9. Покажите, что для любой нумерации Т разбиения X
отображение {а * Г} >-+ а • ат определяет изоморфизм модуля Мх и левого
идеала А * ат. Покажите, что это отображение изоморфно переводит Sx
в идеал А • ст.
Следующее упражнение будет использоваться в §7.4.
Упражнение 10. Покажите, что для любой нумерации Т отображение
х ь->аг • {Т} определяет Л-линейную сюръекцию А на Л*\ ядро которой
есть левый идеал, порожденный всеми разностями вида р - 1, ре R(T).
Этот идеал также порождается разностями такого вида, когда р пробегает
множество транспозиций из R(T).
Упражнение 11. (а) Покажите, что модуль S("_I,I) изоморфен
стандартному представлению Sn в пространстве Vn = {(Z\, ..., zn) € Сл: J2 zt =
= 0}, с действием а • (z{ zn) = {za-\{]), ..., z0-)(/I)). (b)
Используйте правило ветвления, чтобы показать, что модуль 5('I~/?•|P, изоморфен
модулю ApVn-
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм
выпрямления
Существует двойственная конструкция модулей Шпехта,
использующая столбцовые таблоиды вместо строчных. Мы используем эту
конструкцию, чтобы построить алгоритм для записи произвольного элемента в Sx
через базис {vrh где Т пробегает множество стандартных таблиц
формы X. Мы хотим, чтобы столбцовые таблоиды были «знакопеременны-
§ 7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 109
ми», т.е. чтобы таблоид менял знак, когда мы меняем два элемента в
одном столбце. Таким образом, столбцовый таблоид — это класс
эквивалентности нумераций диаграмм Юнга; две нумерации принадлежат
одному классу, если они имеют одинаковые элементы в каждом столбце; две
эквивалентные нумерации имеют одинаковую (противоположную)
ориентацию, если подстановка, переводящая одну нумерацию в другую, четна
(соответственно нечетна). Определение иллюстрирует следующий рисунок:
5
2
3
4
1
2
5
3
1
4
Обозначим через [Т] ориентированный столбцовый таблоид, заданный
нумерацией 7\ и через -[7] таблоид, получающийся в результате действия
на [Т] нечетной подстановки.
Для разбиения X числа п определим векторное пространство Л}\
являющееся прямой суммой копий поля С, по одной копии на каждый
столбцовый таблоид, но в котором соответствующие базисные элементы
определены только с точностью до знака, в зависимости от ориентации. Иначе
говоря, Мх есть векторное пространство с базисом из элементов [Г],
взятых для всех нумераций Т диаграммы X, профакторизованное по
подпространству, порожденному всеми разностями [Т] - sgnfaJIT1] для q е С(Т).
Симметрическая группа Sn действует на Мх по правилу о ¦ [Т] = [аТ].
Определим 5х С Л?х как подмодуль, натянутый на все элементы вида
vT = aT'[T)= ? [рТ].
peR(T)
Для всех результатов §7.2 существуют аналоги для двойственной
конструкции, и это дает еще один способ построения неприводимых
представлений S„. Соответствующие утверждения даны в следующих двух
упражнениях, они будут использоваться ниже.
Упражнение 12. (а) Покажите, что vaj = а • От для всех о из Sn.
(b) Покажите, что если существует пара целых чисел, которые
находятся в одной строке нумерации Г' и в одном столбце нумерации 7\ то
ат>-[Т]=0.
(c) Покажите, что если Т и Т' имеют одну и ту же форму и не
существует такой пары чисел, о которой говорится в (Ь), то ат* -\T\ — ±Drf-
(d) Покажите, что если 0: МУ -> Мх — гомоморфизм 5л-модулей, ядро
которого не содержит §х\ то X' < X.
(e) Покажите, что Вх является неприводимым представлением Sn и что
любое неприводимое представление Sn изоморфно ровно одному из 5х.
110 Глава 7. Представления симметрической группы
(f) Покажите, что элементы vj, где Т пробегает множество
стандартных таблиц формы X, образуют базис в Sx.
Упражнение 13. (а) Покажите, что для нумерации Т диаграммы X
модуль Мх = Ind?'(r)(U), где U есть сужение знакопеременного представления
с группы Sn на С(Т). Иначе говоря, Мх *SA"' > о ... о5(,U/) = иц, о... о 1^,,
где \х = X.
(b) Покажите, что
(c) Покажите, что для любой нумерации Т отображение х *-> х • [Т]
задает Л-линейную сюръекцию А на М\ ядром которой является левый
идеал, порожденный всеми разностями вида q — sgn(q) • 1, q е С(Т). Этот
идеал также порождается элементами вида q + 1, где q —транспозиция из
С(Т).
(d) Для нумерации Т диаграммы X постройте изоморфизм между Мх
и А • Ьт, переводящий Sx в А ¦ ат • bj.
Двойственные конструкции особенно полезны при задании модулей
Шпехта как фактормодулей для модулей таблоидов. Рассмотрим
канонические сюръекции:
ot:Mx-S\ [T]~vT\
p:Afx-S\ {T}*-+VT.
Это корректно определенные гомоморфизмы Sn-модулей. Например,
формулы а • [Т] = [аТ] и var = о -Vt показывают, во-первых, что
гомоморфизм а корректно определен (так как а • vj = sgn(o) • Vt для a G C(T))t и,
во-вторых, что а коммутирует с действием симметрической группы.
Лемма 5. Сквозные отображения Sx <—> Мх —> 5х и §х <-> Мх —> Sx
являются изоморфизмами.
Доказательство. На самом деле мы покажем, что композиции
двух отображений в формулировке леммы, Sx ~* $х —* Sx и 5х —> Sx —> S\
сводятся к умножению на одно и то же положительное целое число п\.
Отображение р переводит vj = br{T) в bj • vj, а а переводит bj • vj —
= br • ат[Т] в br - ат - vt = Ст • vt> Значит, мы должны найти такое
число п\, что ст • vt = п\ • vt. Возьмем произвольную нумерацию Т
диаграммы X и определим число п\ следующим образом:
nx = 53sgn(^<72),
где сумма берется по всем наборам р\у р2 € R(T) и q\f q% G C(T)t для
которых q\P\q2P2 = 1. Это определение не зависит от выбора 7\ так как
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 111
при замене Т на оТ группы R(T) и С(Т) меняются на сопряженные группы
aR(T)a'[ иаС(Т)о~1.
По определению Vj = ]Г] $gn(q)qT, поэтому мы имеем
яеС(Т)
ст -vT = (br *aT)-vT = ^2sgn(qiq2){q\P\q2T), (*)
где сумма берется по q\t Я2 € С(Т) и р\ е R(T).
Нам нужно показать, что эта сумма равна n\-vj — n\ ]Г sgn(q){qT).
Проверим сначала следующее </€С(Г)
Утверждение. Каждое слагаемое, остающееся после сокращения
в сумме (*), имеет вид ±{qT}, для некоторого q е С(Т).
Заметим, что для а, о\ € Sn равенство {о\ Т) = {оТ} справедливо в том
и только том случае, если существует р € R(T), для которого о\ ~ ар.
Таким образом, выбирая представителей классов смежности а € Sn/R(T)y
мы получим
cT-vT= ^2 Yl sSn(Q\Q2){Q\ P\Q2T) =
a€S„/R(t) Я\Р\Я2Р2=°
o€S„/R(t) \qiPiq2P2=o J
где внутренние суммы берутся по р\у р2? R(T) и q\, q2 G С(Т).
Используя лемму 1 для таблиц оТ и 7\ мы можем заключить, что верно
ровно одно из двух утверждений:
1) существует транспозиция / е С(Т) П/?(аГ);
2) существуют элементы peR(oT) wqeC{TLju\n которых q Т = р аТ.
В случае I) мы рассмотрим в стабилизаторе С(Т) подмножество С|, для
которого C(T) = C\U t -Ci. Так как t eR(aT), верно равенство {toT} = {оТ},
следовательно, ta=ap для некоторого peR(T). Поэтому если q\p\q2p2 —
=o,Tot-q\p\q2P2P~{:=o. Отсюда (мы опускаем суммирование по q2?С(Т)
*PuP2€R(T)):
2 sgn(^,ft){a7,} = JZ (sgn(<7^2) + sgn(tq[q2)t){aT) = 0;
я\еС(п <г[ес,.
Я\Р\Я2Р2=° я[р\Я2рч^О
последняя сумма равна нулю, так как $gj\(tq\q2) = - sgn(^J^2) и t • {оТ} =
= {оТ}.
В случае 2) мы имеем {оТ} — {р • оТ) = {qT}y q е С(Г), что завершает
доказательство утверждения.
112
Глава 7. Представления симметрической группы
Теперь, выбирая в качестве представителей классов смежности а €
Е Sn/R(T) элементы q € С(Г), мы получаем (внутренняя сумма берется по
<7Ы72еС(Г), Pi,p2eR(T)):
ct-vt= Y^ ( Л sgn(^i^2)V^r},
qeC(T) \Я\Р\Я2Р2~Я J
и, полагая q\ = q~xq\y
cT-vT= Yl ( 5Z s%flW\q2)\{qT} =
geC(T) \ifiPxg2Pi-\ J
= Y ( Y^ s§n(Q\Q2)\sgn(q){qT} = nx-vT.
q€C(T) \$\P\q2P-2=l /
Таким образом, доказано, что cj • vt — n\-vj. Для доказательства того,
что композиция Sx -+ Sx —* Sx является изоморфизмом, теперь достаточно
проверить, что П\ ф 0. Это следует из сформулированного ниже
упражнения 19. (Более того, из этого упражнения следует, что п\ — целое
положительное число.)
Похожим образом, чтобы проверить, что композиция 5х —> Sx —> Sx
является умножением на п\, достаточно доказать равенство
(ат -bT) -vT = лх*иг.
Рассматривая обратные подстановки, мы видим, что
где сумма берется по всем наборам p\t p<i G R(T) и q\f q% € С(Г), для
которых p\q\P2Q2 = 1; дальнейшие рассуждения аналогичны. ?
В частности, из леммы 5 следует, что модуль Sx изоморфен Sx, т.е.
двойственная конструкция также позволяет построить все неприводимые
представления симметрической группы (в чем мы уже имели возможность
убедиться в упражнении 12). Но наша цель в этом параграфе — описать
ядро эпиморфизма а из Мх на 5х, что равносильно нахождению
соотношений между порождающими элементами vj. Пусть \х~\ — разбиение,
сопряженное к X, и / = Xi —длина \х. Для 1 < / < / - 1, 1 ^ /г ^ \х1Л.\
и любой нумерации Т диаграммы X определим
где сумма берется по всем 5, которые получаются из Т обменом k верхних
элементов (/' + 1)-го столбца Т и k элементов /-го столбца, сохраняя
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 113
вертикальный порядок каждого множества из k элементов. Например,
Я|,2
/
\
I 2
4 3
5 6
2
3
5
!
4
5
+
2
4
3
1
5
6
+
1
2
3
4
5
6
Определим Qx с Мх как подпространство, натянутое на элементы вида
где Т пробегает все нумерации диаграммы X, а у и k изменяются
определенным выше способом. Это подпространство является Sn-модулем, так
как Kjtk(oT) = o-Kjtk(T),
Лемма 6. Линейная оболочка классов [Г], где Т пробегает
множество стандартных таблиц формы X, есть факторпространство
Mx/Qx.
Доказательство. Для доказательства нам потребуется порядок
на нумерациях диаграммы X, отличный от введенного в §7.1. Мы будем
писать V У Ту если в самом правом из столбцов, в которых нумерации не
совпадают, в самой нижней из клеток, в которых не совпадают элементы,
элемент нумерации Т1 больше элемента из Т. Нам достаточно показать,
что, используя соотношения в <?\ можно для любой нестандартной
нумерации Т записать соответствующий класс [Т] как линейную комбинацию
классов [S], для которых S >- Т. Во-первых, мы можем предположить, что
элементы нумерации Т возрастают в каждом столбце, так как в противном
случае, рассмотрев нумерацию Т\ у которой элементы в столбцах
упорядочены, мы получим [Т1] = ±[Т], и Tf У Т. Если столбцы Т упорядочены,
но Т не является таблицей, пусть k-н элемент /-го столбца нумерации Т
больше, чем fc-й элемент (у* + 1)-го столбца. Тогда все нумерации S,
возникающие в iij,k(T)t строго больше Т в смысле нашего порядка, что
завершает доказательство. ?
Доказательство леммы предоставляет нам простую процедуру
(«алгоритм выпрямления»), позволяющую записать данный элемент факторпро-
странства Mx/Qx как линейную комбинацию классов стандартных таблиц.
Например, для Т из предыдущего примера, взяв у = 1 и k — 2, мы видим,
что
1
4
5
2
3
6
=
2
3
5
1
4
6
—
2
3
4
1
5
6
+
I
2
3
4
5
6
Для каждой из двух первых нумераций в правой части получившегося
равенства возьмем у = 1 и k = 1 и, проведя соответствующие обмены,
114
Глава 7. Представления симметрической группы
переставив элементы в столбцах и приведя подобные слагаемые,
получим
1
4
5
2
3
6
1
2
4
3
5
6
!
3
5
2
4
6
Нашим следующим шагом будет доказательство того, что эти
образующие и соотношения задают представление модуля Шпехта, т.е.
доказательство существования канонического изоморфизма между факторпро-
странством Mx/Qx и модулем Sx.
Предложение 4. Подпространство Qx является ядром
отображения ос Мх -»S\ переводящего [Т] в vj.
Доказательство. Достаточно доказать, что каждая из
образующих пространства Qx лежит в ядре отображения а. Действительно, в этом
случае а задает сюръекцию Mx/Qx —* 5х. По лемме 6 размерность фак-
торпространства Mx/Qx не превосходит числа /х стандартных таблиц
формы X, и, так как мы знаем, что dim(Sx) = /\ отображение должно быть
изоморфизмом, что доказывает предложение.
Сначала мы покажем, что некоторые другие элементы находятся в
ядре отображения а. Для каждого непустого подмножества Y (/" + 1)-го
столбца нумерации Т диаграммы X определим элемент уу(М) е Мх по
формуле
Yv(n = 5>s.n[S].
где сумма берется по всем нумерациям 5, получающимся из Т
обменом какого-либо (возможно, пустого) подмножества множества Y на
подмножество элементов /-го столбца с сохранением вертикального порядка
обмениваемых множеств. Число е^.г» здесь равно 1, если обменивается
четное число элементов, и -1, если нечетное; иначе говоря, еE, т) есть знак
подстановки а, для которой S = аТ. Нам достаточно проверить
справедливость следующих двух утверждений;
Утверждение I. уу(Т) G Кег(сх) для всех Т и Y.
Утверждение 2. Hj,k(T) - [Т] ='*Г(-\)#ууу(Т), где сумма берется
Y
по всем непустым подмножествам Y множества из k верхних
элементов (/' + \)-го столбца нумерации Т.
Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим множество X
элементов /-го столбца нумерации Т и определим подгруппы К С Н С S„,
где И состоит из тех подстановок, которые являются тождественными вне
объединения X и У, а К — подгруппа Н, переводящая каждое из множеств
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 115
X и У в себя. Отметим, что
? sgnF)M Л = (#*)И#П! • П*
так как К С С(Т), и, значит, k • \Т\ = sgn(k) ¦ [Т] для всех k из К.
Элемент уу(Т) равен сумме Ylsgn(a)[°T] по подстановкам а, пробегающим
множество представителей классов смежности И /К. Отсюда
(#;OM#n!-Yy(n = ?sgn(/z)/z-[n.
пен
Таким образом, нам достаточно показать, что последняя сумма лежит в
ядре отображения а, т.е. что выражение
Y^sgn(h)hvT= J2 sZn(q)(Y2s?n(h)h{qT})
heH q€C(T) \h?H J
равно нулю. Для любой подстановки q из С(Т) как минимум два элемента
множества X U Y должны находиться в одной и той же строке
нумерации qT. Обозначим через / транспозицию этих элементов. Тогда
X>gn(/2)/z{«n = ?sgn(?)g(l -t){qTl
иен g
где g во второй сумме пробегает множество представителей классов
смежности Н/{\, /}; а это выражение равно нулю, так как t{qT) = {qT}. Это
доказывает первое утверждение.
Доказательство второго утверждения основано на прямом вычислении.
Пусть W — множество первых k элементов (у + 1)-го столбца
нумерации Т. Для каждой нумерации S, получающейся из Т обменом некоторого
подмножества Z множества W на некоторое подмножество элементов /-го
столбца, рассмотрим коэффициент при [S] в сумме
?Ы)#кук(П = ?Ы)#У,(??<;;.Ы5])-
Y У
При Z — W каждое такое S встречается всего один раз, и е($, т) = (-1)*,
поэтому, складывая эти слагаемые, мы получаем Kjtk(T). Если Z—
пустое множество, нумерация S = 7 встречается по одному разу для
каждого непустого множества Y, поэтому соответствующий коэффициент равен
Х2(— 1)' I ) = -1, что дает нам слагаемое —[Г]. Для множества Z мощ-
/=i иу
ности /л, 0 < m < /г, нумерация S встретится для каждого множества У,
содержащего Z; множества такого вида мы можем записать как Z и V,
для произвольного подмножества V множества W \ Z, и соответствующий
116 Глава 7. Представления симметрической группы
коэффициент будет равен (-1)#у (-1)'" = (-l)#v/. Поэтому коэффициент
npnS равен ?(-1)#1/ = ?(-!)' (!) = °- П
v /=о v//
Следствие. Пространство Sx есть векторное пространство
с образующими vr, где Т пробегает все нумерации диаграммы \,
и соотношениями вида vj — 53ys» где сумма берется по всем
нумерациям S, получающимся из Т обменом k верхних элементов одного
столбца с любыми k элементами предыдущего столбца с
сохранением вертикального порядка обмениваемых множеств. (Существует
ровно одно такое соотношение для каждой нумерации 7\ каждого
выбора соседних столбцов и каждого числа k, не превосходящего
длины более короткого из столбцов.)
Соотношения, введенные в предыдущем доказательстве, есть частный
случай «элементов Гарни», см. Саган (Sagan [1991]), Джеймс и Кербер
(James, Kerber [1981]). «Квадратичные соотношения», введенные в
предложении, кажутся более простыми для использования, так как имеют
меньшее количество членов и не требуют запоминания каких-либо знаков.
Мы увидим, что они теснее связаны с представлениями полной линейной
группы и геометрией многообразий флагов.
Следует также заметить, что, хотя наши основные соотношения
обменивают верхние k элементов одного столбца со всеми подмножествами
из k элементов предыдущего столбца, мы получим те же соотношения,
обменивая элементы любого фиксированного подмножества из k
элементов в одном столбце со всеми подмножествами из k элементов в
предыдущем столбце (сохраняя, конечно, вертикальный порядок в каждом из
обмениваемых множеств). Действительно, для любого данного
подмножества и любой нумерации Т рассмотрим нумерацию Г', полученную
перестановкой этого подмножества с верхними k элементами столбца с
сохранением порядка внутри множеств. Тогда выражение [Т] — 53 [5], где
S получены перестановкой верхних k элементов, можно переписать в виде
^=([^'] ~~ 53 [5']), где знак перед скобкой равен знаку подстановки,
переставляющей данные k элементов с верхними k элементами.
Упражнение 14. Докажите двойственное утверждение: ядро
отображения р: Мх —> Sx порождается элементами вида {Т} Н- (—l)kiijtb{T), где
Kj.kiT) — 53(^К и сумма берется по всем 5, получающимся из Т
обменом первых k элементов в (у -I- 1)-й строке и k элементов в у-й строке
с сохранением порядка каждого из двух множеств.
Модули Мх и Afx могут быть определены над кольцом целых чисел,
и они являются свободными модулями с такими же базисами из
строчных или (ориентированных) столбцовых таблоидов, как и в комплексном
случае. Приведенные выше доказательства позволяют увидеть, что подмо-
§7.4. Двойственная конструкция и алгоритм выпрямления 117
дуль Sx имеет Z-базис vj, где Т пробегает множество стандартных таблиц
формы X, и что описание этого подмодуля как факторпространства Afx
по квадратичным соотношениям остается справедливым и над целыми
числами. То же верно и для модуля Sx, который является свободным
модулем с базисом vjy параметризованным стандартными диаграммами.
Изоморфизм между Sx и S\ однако, имеет место только над полем
рациональных чисел, как видно из следующего упражнения. Более того,
в случае положительной характеристики модули Шпехта могут оказаться
приводимыми.
Упражнение 15. Покажите, что модули SB,1) и 5B,|) не являются
изоморфными над Z, как и над любым полем характеристики 3.
Оказывается, что над рациональными числами (но не над целыми) ядро
отображения а порождается соотношениями, использующими обмен
только одного элемента, т.е. соотношениями вида [Т] - тс/,\(Т), и аналогичное
утверждение верно для р. Действительно:
Упражнение 16. Для фиксированных X и / и для 6, лежащего
между 1 и длиной (/' + 1)-го столбца диаграммы X, рассмотрим подгруппу /V*
модуля Мх (рассматриваемого как Z-модуль), порожденную всеми
соотношениями вида [Т\ - vLj^kiT), для нумераций Т диаграммы X.
(a) Обозначим через m длину /*-го столбца X и для 1 ^ / < m пусть
7/,k обозначает нумерацию, полученную из Т обменом /-го элемента /-го
k
столбца Т и &-го элемента (/' + 1)-го столбца Т. Покажите, что [7*]—?][7*/(*]
/=i
лежит в N\, и что для k > 1
m
(b) Выведите отсюда, что k-NkCNi+Nk-i, и, таким образом, k\-NkCN\.
Следующее упражнение дает эквивалентный, но более классический
способ построения модулей Шпехта.
Упражнение 17. Симметрическая группа Sn действует на кольце
С[х\, ..., хп] многочленов от п переменных по формуле (о- f)(x\, ..., хп)~
= /(*0(|) *а(л))- Для данного разбиения X числа п и для каждой
нумерации (без повторений) Т диаграммы X определим многочлен
^=ПП(х^/)-*п<\/)).
где T(it /') обозначает элемент нумерации Т на позиции с номером (/, /').
(а) Покажите, что а ¦ Ft = Fa.j, т.е. пространство, натянутое на эти
многочлены, инвариантно относительно S„.
118 Глава 7. Представления симметрической группы
(Ь) Покажите, что существует изоморфизм модуля S* и этого
пространства, переводящий vr в Ft. В частности, многочлены /->, где Т
пробегает множество стандартных таблиц формы X, образуют базис
пространства.
Упражнение 18. (а) Покажите, что для нумерации Т диаграммы X
выполняется ст ¦ ст = п^ст, где п\ —число, введенное в доказательстве
леммы 5.
(b) Покажите, что Сг • Ст = 0 в том и только в том случае, если
существуют два элемента, стоящие в одной строке таблицы Г' и в одном
столбце таблицы Т.
(c) Покажите, что А является прямой суммой идеалов А ¦ Ст, где Т
пробегает множество стандартных таблиц с п клетками.
(d) Найдите две различные таблицы Т и Т' одинаковой формы, для
КОТОрЫХ Cjt - Ст фО.
Упражнение 19. Покажите, что число п\, встречавшееся в
доказательстве леммы 5 и в предыдущем упражнении, является произведением
длин крюков диаграммы X. т. е. п\ = я!//\
Упражнение 20. Дайте другое доказательство утверждения об
изоморфизме между модулями Sx и 5х, построив изоморфизм между А • Ьт ¦ ат
и А • ат • Ьт.
Упражнение 21 (для читателей, знакомых с понятием алгебр Хопфа).
В кольце Л есть «копроизведение» Л —> Л ® Л. Л„ —> ф Ар ® Ая, пе-
p+q=n
реводящее sv в ?сх(М$х <?> $ц- (а) Покажите, что кольцо Л с введенной
операцией является алгеброй Хопфа, и что инволюция w согласована с ко-
произведением. (Ь) Опишите соответствующие отображения в кольце R.
Глава 8
Представления полной линейной
группы
Основная цель настоящей главы — построить и изучить неприводимые
полиномиальные представления полной линейной группы GLm(C) = GL(?),
где Е — комплексное векторное пространство размерности т. Для этого
мы используем одну из основных конструкций линейной алгебры,
обобщающую широко известные конструкции симметрической и внешней
степеней. Эти конструкции имеют смысл для произвольного модуля над
коммутативным кольцом. Полученные представления параметризуются
диаграммами Юнга X с не более чем т строками, и имеют базис, отвечающий
таблицам Юнга формы X с элементами из [т]. Они также могут быть
построены из представлений симметрической группы и, как и последние,
могут быть получены как подпространства и факторпространства естественно
возникающих представлений, при этом соотношения задаются
квадратичными уравнениями. Характеры представлений подсчитаны в §8.3. Чтобы
доказать, что мы нашли все неприводимые представления, мы используем
некоторые факты из теории групп Ли и алгебр Ли, краткому введению
в которую посвящен §8.2. В последнем параграфе рассмотрены
некоторые вопросы, связанные с квадратичными уравнениями. В частности,
мы отождествляем сумму всех полиномиальных представлений с кольцом,
построенным Дерюи (Deruyts) около века назад.
§8.1. Конструкция из линейной алгебры
Для любого коммутативного кольца /?, любого /?-модуля Е и любого
разбиения X мы построим /?-модуль, обозначаемый Ех. (Для
дальнейшего использования в этой книге достаточно случая R — С, иначе говоря,
?— комплексное векторное пространство.) При Х= (п) модуль ?х будет
симметрическим произведением Symn{E)t а при Х = (Iя) соответствующим
модулем будет Лл?. Как и эти модули, модуль общего вида ?х может быть
получен как решение некоторой универсальной задачи.
Декартово произведение п копий множества ? обычно записывается
как Ехп = Е х ... х ?, что подразумевает некоторое упорядочение мно-
20
Глава 8. Представления полной линейной группы
жества индексов. Как бы то ни было, данная конструкция не зависит от
упорядочения, и имеет смысл для любого множества индексов. Мы будем
писать ?хХ для декартова произведения п = |Х| копий пространства ?, но
занумерованных п клетками (диаграммы, соответствующей разбиению) X.
Таким образом, элемент v пространства ?хХ задается диаграммой X, в
каждой клетке которой расположен элемент пространства ?.
Рассмотрим отображения <р: ?хХ —*• F из ?хХ в /?-модуль ?,
удовлетворяющие следующим трем условиям.
<р является /?-полилинейным. A)
Это значит, что если мы зафиксируем все элементы диаграммы, кроме
одного, то ф будет R-линейно по этому элементу.
ср является знакопеременным для элементов,
находящихся в одном столбце диаграммы X. ' '
Иначе говоря, <р равно нулю, если какие-то два элемента в одном столбце
равны между собой. Вместе с A) это влечет, что <p(v) = -<р(г>'), где vf
получается из v перестановкой двух элементов в одном столбце.
Для любого элемента v из ?хХ справедливо равенство ср(и) =
= ?<р(ш), где сумма берется по всем wy получающимся из v (г>\
обменом между двумя данными столбцами, при заданном
подмножестве клеток в правом из выбранных столбцов.
Здесь используется понятие обмена, определенное во введении к части II.
Если число выбранных клеток равно k и левый выбранный столбец
имеет высоту с, тогда существует (А элементов то, отвечающих v.
Учитывая свойства A) и B) нам достаточно рассматривать только обмены,
когда в правом столбце выбрано несколько верхних клеток. Например,
для X = B, 2, 2), выбирая верхнюю клетку во втором столбце, мы получим
уравнение
/ГТПЛ\ /ГГГГ\\ /Г"!-* /гиг—1\
<Р
X
У
г
и
V
W
= ср
/
и
У
г
X
V
W
+ ф
/
\
X
и
г
У
V
W
+ф
\
X
У
и
г
V
W
для всех х, у, z, и, v, w из ?. Используя две верхних клетки второго
столбца, мы получим уравнение
Ф
/
\
X
У
г
и
V
W
\ /
= ф
/
\
и
V
2
X
У
W
\
I
+ ср
и
У
V
X
2
W
\
+ф
/
\
X
и
V
У
2
W
\
I
§8.1. Конструкция из линейной алгебры 121
И, используя все три клетки, мы получим, что
и
V
W
X
У
г
Определим модуль Шура ?х как универсальный модуль для таких
отображений ср. Это значит, что ?х — это /?-модуль и что существует
отображение ?хХ —> ?х, которое мы обозначим через v »-> v\ удовлетворяющее
свойствам A)—C) и такое, что для любого ср: ?*х -* F,
удовлетворяющего этим свойствам, существует единственный гомоморфизм /?-модулей
ср; ?х —* ?, для которого cp(i>) = <p(i>x) для всех v из ?хХ.
Рассмотрим сначала два крайних случая. Для X = (л) свойство B) не
имеет смысла, а свойство C) говорит, что все элементы
перестановочны между собой. Мы видим, что модуль ?(л) — симметрическая степень
Sym"(?), которая может быть представлена, как обычно, как фактормо-
дуль модуля ?®л по подмодулю, порожденному элементами v\ eg)... ® vn -
- УоA) ® ¦ • • ® Vo(n) для всех Vi е ? и о е Sn. Похожим образом, для
Х = Aл) свойство C) не имеет смысла, а свойство B) говорит, что
элементы кососимметричны. Поэтому ?AЯ) — это внешняя степень Лл?,
получаемая как фактормодуль модуля ?®rt по подмодулю, порожденному
всеми элементами v\ ® ... eg) vn, у которых какие-то два вектора vi
совпадают.
То, что модуль ?х определен единственным образом с точностью до
канонического изоморфизма, немедленно следует из его описания как
решения некоторой универсальной задачи. Чтобы построить этот модуль,
заметим, что универсальный модуль, удовлетворяющий первому
свойству— это тензорное произведение п копий ?. Мы обозначим это
тензорное произведение через ?®\ чтобы подчеркнуть, что сомножители
индексируются клетками диаграммы X. Универсальный модуль со
свойствами (I) и B) — это фактормодуль модуля ?®х по подмодулю,
порожденному тензорами, у которых совпадают какие-то два элемента в одном
столбце. Если мы пронумеруем диаграмму X сверху вниз внутри столбцов,
а столбцы — слева направо, то мы отождествим получившийся модуль
с модулем
где \ii —высота 1-го столбца диаграммы X, т.е. (i = X. Отображение из
?хХ в &ЛИ'? задается очевидным образом: для данного вектора из ?хХ
нужно взять внешнее произведение элементов каждого столбца (сверху
Ф
/
V
X
У
Z
и
V
W
\
122 Глава 8. Представления полной линейной группы
вниз) и затем взять тензорное произведение результатов. Например,
А'
У
z
и
V
W
{х f\y f\z)®(u/\v Aw) в Л3?<Е>Л3?.
Мы будем обозначать это отображение из ?хХ в 0ЛМ'? просто как
v»-+ Av. Тогда
?х = ЛЦ|? ®* ... ®R Лц'?/(?х(?), D)
где (?х(?)— подмодуль, порожденный всеми элементами вида Ли - ^2 Aw,
сумма по всем w, получающимся из v процедурой обмена, описанной в C),
для какого-либо выбора столбцов и клеток. Действительно, прямое
вычисление показывает, что правая часть этого равенства удовлетворяет
универсальному свойству, характеризующему модуль ?х. Например, модуль ?B,1)
является фактормодулем модуля Л Е 0 ? по подмодулю, порожденному
всеми элементами вида и Av ®w — w Av ® и ~ и Aw ®v.
По своему определению конструкция модуля ?х функториальна по ?:
любой гомоморфизм ? —* F определяет гомоморфизм ?х —> ?х. Также из
определения прямо следует, что конструкция выдерживает замену скаля-
ров: для любого гомоморфизма коммутативных колец R —> R' существует
канонический изоморфизм (? <8R R')x ^ ?х ®R R*.
Пусть у нас теперь есть упорядоченное множество элементов е\, ...
..., ет модуля ?. Тогда для любого заполнения Т диаграммы X элементами
из [т] мы получим элемент модуля ?х\ заменив в каждой клетке
нумерации Т число /" на элемент ех. Образ этого элемента в ?х мы обозначим
через ет. Тогда, во-первых, мы получим следующую простую лемму:
Лемма I. Если Е — свободный модуль с базисом е\, ..., ет, то
?х & F/Q, где F — свободный модуль с базисом ет для всех
нумераций Т формы X с элементами из [т], a Q — подмодуль, порожденный
элементами
(i) ет для нумераций, имеющих два одинаковых элемента в одном
столбце\
(ii) ej +ет', где Т получается из Т перестановкой двух
элементов в одном столбце;
(ш) ет - 53^5. где сумма берется по всем S, получающимся из Т
обменом, определенным в C).
Доказательство. Из полилинейности следует, что элементы ет
порождают ?\ поэтому мы имеем сюръекцию F —* ?х. Свойства B) и C)
показывают, что образующие модуля Q переходят в нуль, что позволяет
построить сюръекцию F/Q -» ?х. Стандартная проверка позволяет дока-
§8.1. Конструкция из линейной алгебры
123
зать, что это изоморфизм. Сначала заметим, что векторы ej, где Т
пробегает все такие заполнения формы X, задают базис тензорного произведения
?®\ Модуль, полученный при использовании соотношений (i) и (ii), есть
в точности тензорное произведение ЛМ|? ®я ¦ • - <&# №'Е (и элементы ej
со строго возрастающими столбцами задают базис этого модуля).
Соотношения (iii) тогда задают модуль QX(E), что следует из R-линейности
и того, что элементы ех порождают Е. Таким образом, лемма следует из
равенства D). ?
Возможно, впервые (в 1851 г.) условия A)—C) проявились в
следующем фундаментальном тождестве из линейной алгебры:
Лемма 2 (Сильвестр). Для любых (р х р)-матриц М и N при 1 ^ k ^
^ р справедливо равенство
det(Af) • det(tf) = ? det(M') • det(tf'),
где сумма берется по всем парам матриц (М\ Nf), которые можно
получить из М и Изменяя заданные k столбцов матрицы N с любыми
k столбцами матрицы М при условии сохранения порядка столбцов.
Доказательство. Меняя местами два столбца определителя, мы
меняем его знак, поэтому без ограничения общности можно считать, что
зафиксированы первые k столбцов матрицы N. Для произвольных
векторов v\, ..., Up из Rp будем обозначать через \v\...vp\ определитель
матрицы, составленной из этих векторов, записанных по столбцам. Тогда
равенство, которое нам нужно доказать, перепишется в виде
\V\ ...ур| • \W\ ...wp\ =
= 52 \v\...w\ ...wk..tUp\-\uil ...vikWk+\ .-.wPl E)
где под знаком суммы векторы w\, ..., ш* меняются местами с векторами
V{ , vlk. Нам достаточно показать, что разность выражений, стоящих
слева и справа от знака равенства, является кососимметрической функцией
от (р + 1) векторов У|, ..., vp, ш*. так как любая такая функция должна
обращаться в нуль (Ap*lRp = 0). Поэтому нам достаточно проверить, что
левая и правая части равенства совпадают, когда равны между собой два
последовательных вектора vt и vi+\ (что очевидно) и когда vp = Wk. В
последнем случае ненулевые слагаемые в правой части встречаются только
при ik = р. Следовательно, сумма берется по всем наборам i\ < ... < i*_i,
и индукция по k завершает доказательство. ?
Введем независимые переменные Z/(/-, I < / < /г, 1 < / ^ m, и
обозначим через R[Z] = /?[Zij, Zi,2, •••> Zn%m] кольцо многочленов от этих
переменных. Для каждого набора из р чисел /|, ..., ip, принадлежащих
124 Глава 8. Представления полной линейной группы
[т], при р < л, положим
А, ,-,=det
./i
i.i'i
p.'i
¦p.'*»
F)
Это кососимметрическая функция индексов /|, ..., ip.
Для диаграммы Юнга X с не более чем п строками и для произвольного
заполнения Т диаграммы X числами из [т] обозначим через Dr
произведение определителей, отвечающих столбцам заполнения 7\ т.е.
°Т = П °пи>. та» пцЛу).
/=1
G)
где [i/ обозначает длину /-го столбца диаграммы X, / =Xj, а Г(/, /')—
элемент заполнения 7\ находящийся на пересечении /-й строки и /-го столбца.
Лемма 3. Пусть Е — свободный модуль с базисом е\у ..., ет. Тогда
существует канонический гомоморфизм модуля Ех в R[Z],
переводящий элемент ej в Dj для всех заполнений Т.
Доказательство. В силу леммы 1 нам достаточно показать,
что элементы Dj удовлетворяют свойствам, сформулированным в
пунктах (i)—(iii) этой леммы. Свойства (i) и (ii) следуют из кососимметричности
определителей. Свойство (iii) следует из леммы Сильвестра, примененной
к подходящим матрицам. Для этого предположим, что первый из двух
столбцов нумерации 7\ между которыми происходит обмен, содержит
элементы /j, ..., ip, а второй — элементы y'i, ..., jq. Положим
М =
Mi
i.'p
7>.<1
Р^Р
jv =
/I
¦LA
О
L?p* /1
PJq
h-9j
Здесь матрица N содержит в нижней правом углу единичную матрицу
порядка р - q, а над ней — блок из q х (р — q) нулей. Если мы
теперь зафиксируем подмножество столбцов, соответствующее
подмножеству элементов правого столбца нумерации 7\ подлежащих обмену, то
лемма Сильвестра, примененная к матрицам М и Л/, даст нам в точности
требуемое равенство. ?
Теорема 1. Пусть Е — свободный модуль с базисом е\,...,ет1
тогда Ех является свободным модулем с образующими ет* где Т
пробегает множество таблиц формы X с элементами из [т\.
Доказательство. Доказательство того, что элементы еу
порождают ?\ похоже на доказательство леммы 6 в §7.4, и мы будем
использовать тот же порядок на нумерациях: Т >- 7\ если в самом правом
§ 8.1. Конструкция из линейной алгебры
125
столбце, в котором нумерации различаются, самый нижний из
различающихся элементов у нумерации Т* больше, чем у Т. Также нам
потребуется представление Ex — F/Q из леммы 1. Мы должны показать, что
для любой нумерации 7\ не являющейся таблицей, мы можем выразить
элемент ej как линейную комбинацию элементов е$> при S >- 7\ и
элементов Q. Мы можем считать, что в каждом столбце элементы
строго возрастают, используя соотношения (i) и (ii). Заметим, что при
замене нумерации Т на нумерацию Т\ столбцы которой возрастают, мы
имеем Т* >- Т. Пусть теперь столбцы нумерации строго возрастают, но
Т не является таблицей. Значит, для некоторых k и /' А-й элемент у'-го
столбца строго больше, чем k-w элемент (у + 1)-го столбца. Тогда мы
можем использовать соотношение ej = ? es, где сумма берется по всем S,
получающимся из Т обменом k верхних элементов (у + !)-го столбца
нумерации Т и k элементов /-го столбца. Так как все нумерации S в этой
сумме строго больше, чем 7\ в смысле нашего порядка, то доказательство
завершено.
Чтобы доказать, что ет линейно независимы, мы воспользуемся
леммой 3, т.е. будем доказывать линейную независимость элементов Dj,
когда Т пробегает множество таблиц. Для этого мы упорядочим
переменные Zij: Zij < Zi\j>, если i < V или / = /', у < у'. Мы упорядочим
одночлены от этих переменных лексикографически: М\ < Л^2, если
наименьшая из переменных Z,-t/-, встречающаяся в этих одночленах в разных
степенях, входит в М\ в меньшей степени. Заметим, что если М\ < Мч
и N\ < /V2, то M\N\ < M2N2. Из определения сразу следует, что
наименьший одночлен, входящий в определитель Z)/, /р при i\ < ... < ip, — это
Zi,/i * ^2,/2 • ... • Zpjp. Поэтому наименьший одночлен, входящий в От,
если столбцы нумерации Т возрастают, — это П(^<\/)т7'(',')> где ттЦ, у)
означает количество раз, которое число у встречается в /-и строке
нумерации Т. Коэффициент при этом одночлене равен 1.
Теперь упорядочим таблицы, положив Т < Т\ если в первой строке,
в которой нумерации отличаются, первый не совпадающий у нумераций
элемент у нумерации Т меньше, чем у Г'. Иначе говоря, для
наименьшего /, для которого существует у, такое, что тг(/, у) Ф mf(i, у) и для
наименьшего такого у, мы имеем ттЦ, /) < /лу0"» /)• Отсюда следует,
что если Т < 7*', то наименьший одночлен, встречающийся в От, меньше
любого одночлена в От. Следовательно, элементы От линейно
независимы: если Y^ ftDt = 0, рассмотрим наименьшую нумерацию 7\ для которой
не все гт равны нулю, и тогда коэффициент при П(^;,/)тг(',/) в YlrT^r
равен гг. ?
Следствие из доказательства. Отображение из модуля Ех в
кольцо R[Z] является инъективным, а его образ Dx является свободным
126 Глава 8. Представления полной линейной группы
модулем с базисом из многочленов Dr. при 7\ пробегающем
множество таблиц на диаграмме X с элементами из [т\.
Нам понадобится следующая модификация нашего построения:
Упражнение 1. Покажите, что, разрешив в свойстве C) только замены
элементов в соседних столбцах, мы получим тот же модуль ?х.
Если отображение ? —> F является сюръекцией /?-модулей, из
построения сразу следует, что отображение ?х —*¦ ?х сюръективно.
Соответствующий результат для инъективных отображений в общем случае неверен.
Следующее утверждение довольно хорошо известно (но не очевидно) для
случая внешних произведений. Нам оно не потребуется, но оно может
оказаться интересной задачей для читателей, знакомых с коммутативной
алгеброй.
Упражнение 2. Пусть ср: ? —> F — гомоморфизм конечнопорожден-
ных свободных У?-модулей. Покажите, что следующие условия
эквивалентны: (i) ср — мономорфизм; (ii) срх: ?х -*?х является мономорфизмом для
всех X; (iii) срх является мономорфизмом для некоторой диаграммы X с не
более чем т строками, т = rank(?).
В силу функториальности построения модуля ?х любой эндоморфизм
модуля ? задает эндоморфизм модуля ?х. Это задает левое действие
алгебры End/?(?) на ?\ В частности, группа GL(?) автоморфизмов ? действует
слева на ?х. Если модуль ? является свободным с данным базисом (что
отождествляет ? с У?ш), тогда End#(?) = Mm(R) есть алгебра матриц
размера т х т. Таким образом, алгебра Mm{R) и группа GLm(/?) действуют
на ?х. Нам понадобится следующее упражнение:
Упражнение 3. Пусть g = (gij) € Mm(R) и Т — нумерация на
некоторой диаграмме из п (упорядоченных случайным образом) клеток с
элементами /| /'„. Покажите, что g • ет = ? ?;,.,, •. • • • &,./«*Г'> где сумма
берется по всем тп заполнениям Т\ получающимся из Т заменой
элементов (/, /„) на (/|, ..., in).
Алгебра Mm(R) также действует слева на /?-алгебре R[Z] по формуле
g • ZLi = Yl zi.*g*J* В = (&J) € Mm(R). (8)
k=\
Рассматривая кольцо R[Z] как кольцо полиномиальных функций на
пространстве (п х т)-матриц с элементами Z,-,/ в качестве координатных
функций, мы получим описание этого действия как действия алгебры
Mm(R) на функции по формуле (g • f){A) = f{A • g), где g e Mm(R),
A — матрица, и / — функция на матрицах.
Упражнение4. Покажите, что g-Dh iP = Y,Bi\.i\----'Bh.bDi\ <>
где сумма берется по всем наборам из р элементов множества [т].
§8.2. Представления группы GL(?)
127
Из этого упражнения следует» что левое действие алгебры Mm(R) на
кольце R[Z] переводит модуль Dx в себя.
Упражнение 5. Покажите, что при ? = /?"' изоморфизм между ?х и
Оживляется изоморфизмом Мт(/?)-модулей.
§8.2. Представления группы GL(?)
Теперь мы рассмотрим случай, когда R = С, т. е. когда Е —
конечномерное комплексное векторное пространство. В этом случае модуль ?х
является конечномерным представлением группы GL(?). Нашей задачей
будет показать, что эти представления неприводимы и что все
конечномерные представления GL(?) сводятся к этим представлениям.
Представление V (далее мы всегда предполагаем, что группа действует
на конечномерном векторном пространстве) группы G — GL(?) называется
полиномиальным, если соответствующее отображениер: GL(?) —¦ GL(V)
задается многочленами, т. е. задав базисы в пространствах ? и V и
рассмотрев группы GL(?) = GLm(C) С Ст'2 и GL( V) = GU(С) С С, мы
получим, что N2 координатных функций являются многочленами от т2
переменных. Аналогично, представление называется рациональным или
голоморфным, если соответствующие функции рациональны или голоморфны.
Несложно проверить, что эти определения не зависят от выбора
базиса. Все представления мы будем предполагать как минимум
голоморфными. Представления ?х являются полиномиальными. Мы докажем, что
представления ?х — это все неприводимые полиномиальные представления
группы GL(?), когда X пробегает множество диаграмм Юнга с не более
чем т строками. (Представление Ех тождественно равно нулю, если у
диаграммы X более т строк.) С их помощью мы сможем построить все
голоморфные представления группы GL(?) посредством тензорного умножения
на подходящую степень детерминантного представления D — 1\тЕ.
Мы обозначим через D®k одномерное представление GL(?) —+ С*,
задаваемое формулой g -* det(g)*; это представление будет полиномиальным
только при k ^ 0.
Выберем базис в ?, что отождествит группу G = GL(?) с GLm(C).
Обозначим через Н С G подгруппу диагональных матриц, и будем писать
х = diag(jci, ..., хт) для диагональной матрицы из Н с
соответствующими элементами. Пусть а = (<Х|, ..., ат) — набор целых чисел. Вектор v
представления V называется весовым вектором веса а, если
х • v = х*1 ...x%?v для всех х из Н.
Согласно общей теории, вследствие того, что подгруппа Н действует на V
коммутирующими (диагональными) матрицами, пространство V расклады-
128 Плава 8. Представления полной линейной группы
вается в прямую сумму своих весовых подпространств:
Во всех примерах мы увидим это разложение в явном виде. Например,
если V = ?х, непосредственно из определения видно (см. упражнение 3),
что каждый вектор ej является вектором, отвечающим весу а, для которого
каждое число / встречается а,- раз в заполнении Т.
Обозначим через В С G борелевскую подгруппу верхних треугольных
матриц. Весовой вектор и представления V называется старшим
вектором, если В • v = С* ¦ v.
Лемма 4. С точностью до умножения на ненулевой скаляр
единственным старшим вектором в модуле Ех является вектор ej, где
Т = U(К) — таблица формы X, i-я строка которой содержит только
число i.
Доказательство. Мы воспользуемся формулой для умножения
вектора ej на матрицу g из упражнения 3: g • ej = ? g,,,,, •... • gi„j„eT>.
Из этой формулы сразу следует, что если Т = U(k) и glt} = 0 при / > у,
то единственный вектор ет*> входящий в g • ет с ненулевым
коэффициентом, есть сам вектор ет- Подобным же образом, пусть теперь Т ф U(k),
пусть /?-я строка — первая строка, содержащая элемент, больший, чем р,
и q — наименьший из таких элементов. Рассмотрим элементарную
матрицу ё € Я» У которой gjj = 1 при / = у или при / = р и у = q, и gltj =0 во
всех остальных случаях. Мы видим, что g ¦ ет = YLeT'* где сумма берется
по всем заполнениям Т\ получающимся из Т обменом какого-либо
(возможно, пустого) множества чисел q, содержащихся в Т, на р. В частности,
если Тг — нумерация, получающаяся из Т заменой всех чисел q в ее р-н
строчке на р, мы видим, что ет* входит в g - ет с коэффициентом 1,
следовательно, ет не является старшим вектором. ?
Теперь мы сошлемся на известный факт из теории представлений,
который мы вкратце обсудим в конце этого параграфа. Представление V
(конечномерное и голоморфное) группы GLm(C) неприводимо в том и
только в том случае, если оно имеет единственный с точностью до скалярного
множителя старший вектор1*. Кроме того, два представления эквивалентны
в том и только в том случае, если их старшие векторы имеют один и тот
же вес. Используя эти утверждения, мы получим следующую теорему:
Теорема 2. A) Если диаграмма X имеет не более т строк, то
представление Ех группы GLm(C) является неприводимым
представлением со старшим весом X = (Xi, ..., Xm). Каждое неприводимое
полиномиальное представление группы GLm(C) имеет такой вид.
'*Вес этого вектора называется старшим весом неприводимого представления. —
Прим. ред.
§8.2. Представления группы GL(?)
129
B) Для любого набора целых чисел а = (а\у ..., am), ai ^ ... ^ ат,
существует единственное неприводимое представление группы
GLm(C) со старшим весом а, которое может быть реализовано как
Ех ® D®k для любого & е Z, для которого X, = а/ - k > 0 для всех I.
Доказательство. Представление Ех ® D®* является
неприводимым со старшим весом а, а,- = X/ + /г, и, значит, является полиномиальным
в точности когда все а,- неотрицательны, поэтому теорема следует из
сформулированных выше утверждений. ?
Из доказанного, в частности, следует, что все (конечномерные)
голоморфные представления группы GLm(C) на самом деле являются
рациональными. Заметим, что представление Ех <g> D®k изоморфно Ех <8> D®k
в том и только том случае, если X,- + k = Х- + kf для всех i.X)
Мы также можем описать все (голоморфные) представления
подгруппы SL(?) = SLm(C) автоморфизмов с определителем, равным 1.
Построение будет повторять построение для группы GLm(C), за исключением
того, что группа И теперь состоит из диагональных матриц, у которых
произведение элементов равно 1, поэтому все веса а лежат на
гиперплоскости ai + ... + ат = 0, и детерминантное представление D
тривиально. Неприводимые представления есть в точности ?\ но Ех = Ех тогда
и только тогда, когда разность X/ — Х- постоянна. Таким образом, каждой
диаграмме соответствует единственное неприводимое представление, если
мы рассматриваем только диаграммы, у которых Хт = 0.
Упражнение 6. Докажите эти утверждения.
Мы закончим этот параграф наброском идей доказательств тех
фактов теории представлений, которые мы использовали выше. В качестве
одной из ссылок на подробное изложение можно предложить книгу Фул-
тона и Харриса (Fulton, Harris [1991]), где читатель найдет несколько
других построений и доказательств того, что эти представления непри-
водимы. Мы используем алгебру Ли матриц Q — gtm(C) — Mm(C),
которая может быть отождествлена с касательным пространством в единице /
к многообразию G = GLm(C), со скобкой [X, Y] = X ¦ Y - Y • X.
Представление алгебры g есть векторное пространство V вместе с действием
0 ® V -> V, для которого [X, Y] • v = X • (Y ¦ v) ~ Y ¦ (X • v) ддя Ху Y е g
и v ? V\ иначе говоря, мы имеем гомоморфизм алгебр Ли g —> gi(V). Любое
голоморфное представление р: GL(?) —> GL(K) определяет гомоморфизм
dp: gl(E) —у gl(V) на касательных пространствах в единице; как
можно увидеть, этот гомоморфизм согласован со скобкой и поэтому задает
представление V алгебры д. Используя экспоненциальное отображение
"Это наводит на мысль о создании теории «рациональных таблиц», отвечающих весам а,
некоторые элементы которых могут быть отрицательными — для этого нужно разрешить
продолжать строки из клеток Влево. См. статью Стембриджа (Stembridge [1987]).
9* Таблицы Юнга
130 Глава 8. Представления полной линейной группы
из g = glm(C) в G — GLm(C), можно проверить, что подпространство W
представления V является подпредставлением группы G в том и только
в том случае, если это подпространство инвариантно относительно
алгебры д.
Весовое пространство Va может быть описано в терминах действия
алгебры g следующим образом: Ка = {и G V: X - v = E3а,-х,-)и W" € f)K
где подалгебра I) состоит из диагональных элементов X = diag(jti, .... хт)
алгебры д. Для действия алгебры д на себе слева (при помощи
скобки) мы можем написать разложение д = I) ф фда, где сумма берется по
всем сс = а(/, /') с 1, стоящей на /-м месте, и -1, стоящей на /-м месте.
Эти да называются корневыми подпространствами, а
соответствующие ос— корнями. На самом деле, базисом для соответствующего
корневого подпространства является элементарная матрица ?,-,/. содержащая 1
на пересечении /-й строки и у'-го столбца, и 0 на всех остальных местах.
Корни а(/, у) для / < у (отвечающие верхним треугольным элементарным
матрицам) мы будем называть положительными, а для i >
у—отрицательными. Зададим на корнях следующий частичный порядок:
а ^ р, если ai + ... + otp ^ Pi + ... + рр при 1 ^ р ^ т.
Сумма подалгебры f) и всех положительных корневых пространств будет
алгеброй Ли подгруппы В. Весовой вектор v пространства V является
старшим вектором в точности тогда, когда X * v = 0 для всех X,
принадлежащих положительным корневым пространствам, т.е. когда ?,-,/ • v = 0
при / < у. Преимущество работы с алгебрами Ли состоит в том, что для
разложения на весовые пространства V = 0 Va мы имеем
Ь ¦ V$ с Ур и да • Кр С Ка+Р.
Если V является неприводимым представлением, то старший вектор
должен порождать свое корневое подпространство. Действительно, если v —
старший вектор, то пространство, состоящее из С * v и суммы по всем
сдвигам да • у, где а пробегает все отрицательные веса, является
подпредставлением алгебры д. Отсюда следует, что неприводимое представление
содержит единственный старший вектор, с точностью до умножения на
скаляр. Более того, два неприводимых представления изоморфны тогда
и только тогда, когда у них совпадает старший вес. Это можно увидеть,
рассмотрев прямую сумму представлений и показав, что прямая сумма
двух старших векторов порождает подпредставление, являющееся
графиком изоморфизма между ними.
Другим основным фактом, который мы можем явно установить для
построенных нами представлений, является полупростота голоморфных
представлений группы GLm(C): для любого подпредставления W пред-
§8.3. Характеры и кольцо представлений
131
ставления V существует дополнительное подпредставление W\ такое, что
V = W ф Wf. Быстрым способом доказательства здесь будет унитарный
трюк Вейля, использующий унитарную подгруппу U(m) С GLm(C)
следующим образом. Выберем любую линейную проекцию пространства V
на W. Усредняя (интегрируя) ее по компактной группе U(m), мы
получим и(т)-линейную проекцию на W, ядро которой есть дополнительное
подпространство W\ инвариантное относительно группы \J(m). На уровне
алгебр Ли подпространство W сохраняется (вещественной) алгеброй Ли
и(т) этой группы, и, так как п(т) ®R С = glm(C), мы получаем, что W
инвариантно относительно алгебры д(т(С), а значит, и относительно
группы GLm(C). Из доказанной полупростоты следует, что любое
голоморфное представление является прямой суммой неприводимых представлений.
(Заметим, что в силу тех же рассуждений, примененных к подгруппе И
и ее компактной подгруппе (S1)", любое голоморфное представление также
является прямой суммой своих весовых пространств.)
Упражнение 7. Докажите лемму Шура: любой гомоморфизм двух
неприводимых представлений равен нулю, если они не изоморфны; любой
гомоморфизм неприводимого представления в себя есть умножение на
константу.
§8.3. Характеры и кольцо представлений
Мы начнем с альтернативного описания этих представлений, построив
их на основе представлений симметрической группы.
Пусть ?— комплексное векторное пространство размерности т.
Симметрическая группа Sn действует справа на я-кратном тензорном
произведении:
?®"=?0С?®С...0С?,
(U\ 0 . . . 0 Un) • О = Ua{\) 0 . . . 0 и0{п)
для щ е Е и о € Sn. Для любого представления М группы Sn мы можем
рассмотреть пространство ?(/М), определенное по формуле
E(M) = E®n®C{Sa]M, (9)
т, е. Е(М) является факторпространством пространства ?®л ®с М по
подпространству, порожденному всеми элементами вида
(w • а) 0 v - w 0 (а • и), w € ?®л, v€M, a€Sn.
Полная линейная группа GL(?) автоморфизмов пространства ?
действует слева на ?, поэтому она действует слева на Е®п по формуле
g-(ti\ 0.. .®un) = (g-u\)®.. .0(g-w„)- Это действие коммутирует с пра-
132 Глава 8. Представления полной линейной группы
вым действием группы Srt, что определяет левое действие группы GL(?)
на пространстве Е(М): g • (w ® v) = {g • w) <g> v. Легко видеть, что все
представления такого вида являются полиномиальными представлениями.
Например, если М — тривиальное представление, то Е(М)—
симметрическая степень Sym"(?); если М — знакопеременное представление, то
Е(М)— внешняя степень f\nE. Если М = С[5„] — регулярное
представление, тогда Е(М) = ?®л, так как Р <8А А = Р для любого А -модуля Р.
Эта конструкция функториальна: гомоморфизм 5л-модулей <р: М —* N
задает гомоморфизм ОЬ(?)-модулей ?(ср): Е(М) —> E(N). Разложение
в прямую сумму М = фМ,- переходит в такое же разложение: Е(М) =
Упражнение 8. Покажите, что если отображение <р сюръективно
(инъективно), то ?(ср) сюръективно (соответственно инъективно).
Еще для двух видов представлений М их образы Е(М) могут быть легко
описаны. Если Мх — представление, определенное в §7.2, то
Е(МХ) * Symx' (?) <g>... ® Symx*(?), X = (Xj ^ . -. ^ X* > 0). A0)
Мы можем вывести этот факт из упражнения 10 §7.3, где мы показали,
что выбор нумерации U диаграммы X (с различными элементами от 1 до п)
определяет сюръекцию C[S„] —*• М\ о*-*¦ a{U}y с ядром, порожденным
всеми разностями вида р - 1, где р пробегает все элементы (или все
транспозиции) строчного стабилизатора нумерации U. Функториальность
отображения Sn-модулей в ОЦ?)-модули позволяет задать сюръекцию
?®л —>?(Afx) с ядром, порожденным элементами
UP{\) <8> . . . ® ир(п) - U[ ® ... в ип.
Это есть тензорное произведение симметрических степеней Symx'(?)
пространства ?, заданное как факторпространство тензорного произведения
?®л, получающееся при симметризации по каждому из наборов
сомножителей, лежащих в одной строке нумерации U. (Обычно в качестве U
берется стандартная таблица, в которой строки диаграммы X
пронумерованы по порядку.)
Похожим образом, используя упражнение 13(c) §7.4, мы можем
задать модуль УЙХ как факторпространство регулярного представления C[S„]
по идеалу, порожденному всеми разностями вида q - sgnfa) • 1 при q
из столбцового стабилизатора какой-нибудь нумерации U (например, мы
можем пронумеровать диаграмму сверху вниз внутри столбца и слева
направо по столбцам). Это позволяет построить изоморфизм модуля Е(МХ)
с тензорным произведением внешних степеней:
?(№)aAM,?e...eAw?. m = * = <Mi?--?W>0). A1)
§8.3, Характеры и кольцо представлений
133
Упражнение 9. Пусть N — представление группы S„, М —
представление Sm. Покажите, что E(N о М) ^ E(N) <g> Е(М), где N о М —
представление группы 5л+т> определенное в § 7.3. Используя это утверждение,
дайте другое доказательство для формул A0) и A1).
Предложение 1. Существует канонический изоморфизм ?х ^
^?(SX).
Доказательство. По элементу v из ?хХ и нумерации U
диаграммы X различными числами от 1 до п мы можем построить элемент
v(U) — V\ ® ... <Э vn в ?®п, где и,- — элемент и, стоящий в клетке, в которой
у нумерации U находится число *'. Зададим отображение пространства ?хХ
в ?(SX) = Е®п ®C[Sn] 5х формулой
v*-+v(U) <8>vu,
где vy —образующая модуля Sx, определенная в §7.2. Это отображение
не зависит от выбора U', так как для любой другой нумерации oU, о € 5Л,
мы будем иметь
v(o(J) <g> vau — v(ail) ® а • vy — v(oU) -o®vu = v(U) ® vu,
так как в силу определений v(ail) • а = v(U). Чтобы показать, что мы
можем рассматривать это отображение как отображение модуля Ех в ?(SX),
мы должны проверить свойства A)—C) из §8.1. Полилинейность A)
очевидна. Если тензор v содержит два одинаковых элемента в одном столбце
и транспозиция / переставляет эти два элемента, то
v(U) ®vv- v(W) ® vtu = -v(U) ® vy,
так как v(t(J) = v(U) и vtu = —v\j. Это доказывает свойство B). Проверим
свойство C). Если мы начнем с тензора v и обозначим через w результат
обмена, требуемого в C), и через W — соответствующий результат обмена
для нумерации (У, то w{U) ® vu = v(U) ® vw, поэтому
v - ^2 w *~* VW) ® vv ~ ^2 WW) ® uv —
= v(U)®vu-^2v(u)®vw = v(u)® (Vu ~ YlVw)•
Из предложения 4 §7.4 мы знаем, что в модуле Sx разность vu — J2vw
равна 0, что завершает проверку свойств.
Эти вычисления показывают, что ?х & E(MX)/E(QX). То, что
E(MX)/E(QX) 9* ?(SX), следует из изоморфизма 5х & Mx/Qx. (См.
формулы A1) и D). Обратите внимание на то, что образ модуля ?(<?х) в ?(Afx)
есть подпространство, обозначенное через QX(E) в D).) Ниже мы дадим
еще несколько доказательств этого факта. П
134 Глава 8. Представления полной линейной группы
Это построение позволяет другим способом доказать некоторые
основные факты теории представлений группы GL(?). Используя очевидное
утверждение, что отображение ?х —¦ ?(SX), построенное в предыдущем
доказательстве, сюръективно, мы можем вывести из первой части теоремы 1,
что dim(?(Sx)) не превосходит числа d\(m) таблиц формы X с элементами
из [т]. То, что регулярное представление C[Sn] изоморфно прямой сумме
неприводимых представлений Sx с кратностями /\ позволяет нам записать
разложение
?®"=?(C[S„])~0(?(Sx))<
Таким образом, тп — dim(?®") = ?/xdim(?x) ^ ^2fxd\(m). Так как
52fxd\(m) = тп в силу уравнения E) §4.3, каждый модуль ?х должен
иметь размерность d\{m), и отображение ?х —> ?(SX) должно быть
изоморфизмом. Это также дает другое доказательства второй части теоремы
в §8.1, т.е. того, что ej линейно независимы в ?\ (Более точно, это
доказывает линейную независимость в случае, когда ? — свободный модуль
над С, отсюда следует утверждение для свободного модуля над Z, и из
последнего — случай свободного модуля над произвольным кольцом R при
помощи замены скаляров.)
Следствие 1. ?®л = ф(?х)е' , сумма берется по всем
разбиениям X числа п.
Упражнение 10. Подобными рассуждениями покажите, что, записав
модуль Sx = SX как фактормодуль модуля Мх (см. упражнение 14 §7.4),
мы можем представить модуль ?х = ?(SX) как фактормодуль:
?х й SymXl (?) ® ... ® Symx*(?)/Qx(?), A2)
где модуль <?х(?) порождается соотношениями 5 + (-1)*тс/,йE), 5 =
= w\ ® . -. ® ш/, т-, б Symx,'(?), Wi =xL\ ¦... • X/.x,, xi%T € ?, и fty-f*E) —
сумма по всем ?', получающимся из \ перестановкой первых k векторов
jCy+i,!, ..., ху+1,а из Wj+\ и k векторов из Wj с сохранением порядка
в каждом из двух наборов.
Упражнение 11. Используя соотношения предыдущего упражнения,
покажите, что модуль ?х порождается элементами ёт, где Т пробегает
множество таблиц формы X с элементами из [ш] и ej — образ элемента
v(U) ® vu, где U — нумерация диаграммы X, a Dy определено в §7.4.
Другие способы задания представления 5х группы Sn приводят к
другим способам задания представления ?х группы GL(?). Например,
модуль Sx изоморфен образу алгебры A = C[S„] при правом умножении на
симметризатор Юнга сц — Ьц • аи для любой нумерации U (различными
числами) диаграммы X — отсюда следует, что модуль ?х изоморфен обра-
§8.3. Характеры и кольцо представлений
135
зу при правом умножении на су пространства тензоров ?®". Похожим
образом, описание модуля Sx как образа при гомоморфизме Мх —> Мх
позволяет задать ?х как образ при гомоморфизме
ЛИ|? ® ... ® Л^'? -> SymX|(?) ® ¦ • ¦ ® Symx*(?),
где ц — диаграмма, сопряженная к X.
Обозначим через char(V) или %v характер (конечномерного
голоморфного) представления V группы GLm(C), т. е. функцию от т (не равных
нулю) комплексных переменных, определенную как
Хи(*) = Ху(*1' •••> хт) = след diag(x) на V. A3)
Разлагая пространство V на весовые подпространства Va, мы видим, что
X„W = ^dim(Kcl)^-^dim(Ka)<'-...-C-
a a
В частности, для модуля ?х, в котором для каждой таблицы Т с элементами
из [т] существует единственный весовой вектор ej, мы получим, что
char(Ex) = Y^xT = sx(x] хт)ч A4)
т.е. характером модуля является многочлен Шура, соответствующий
разбиению X. (В этом контексте формула Якоби—Труди G) из § 6.1 становится
частным случаем формулы характеров Вейля.) В общем случае
непосредственно из определений следует, что
char(K ®W) = char(V) + char(l^); A5)
char(V ®W) = char(V) ¦ char(U^). A6)
Например, разложение из следствия 1 определяет соотношение
(Xi + ... + xmr=^2fhx(x{ хт). A7)
Другим общим фактом теории представлений является то, что
представления однозначно определяются своими характерами. Это следует из
того, что любое представление является прямой суммой неприводимых
представлений, любое неприводимое представление задается своим
старшим весом, и старший вес может быть определен по характеру. В нашем
случае мы можем получить разложение в явном виде, так как характером
прямой суммы ф(?х)фт(Х) будет ^2m(\)s\{x\, ..., xm), а мы знаем, что
многочлены Шура линейно независимы. Отсюда следует, что для
нахождения разложения на неприводимые компоненты любого
полиномиального представления достаточно записать характер этого представления как
136 Глава 8. Представления полной линейной группы
линейную комбинацию соответствующих многочленов Шура. Из
уравнений (8), (9) §2.2 и D) §5.2 мы выводим
Следствие 2.
(a) SymXl(?) ® ... ® SymXfl(?) й ф(?*)®** ? ?х 0 ©(?v)e/4 где
/Cvx — числа Костки. v>x
(b) ЛЦ|? ® ... ® A^f = ®(?v)e/c* = ?Й Ф ф(?*)ф/Ч
(c) Е^^Е^ = ©(?v)ec**\ где с?м — числа Литтлвуда—Ричардсона.
Другой способ доказательства этого следствия — вывести его, как
и следствие 1, из имеющихся разложений соответствующих представлений
симметрической группы: модулей М\ Мх и произведения SxoS^. Третья
часть следствия является изначальной формулировкой правила Литтлву-
да—Ричардсона; она содержит как частный случай «формулы Пьери»,
т.е. разложение произведения ?х <g) Syrr/(?) (произведения ЕХ®/\РЕ)
в сумму модулей ?ц по всем [i, получающимся из X добавлением р клеток,
никакие две из которых не лежат в одном столбце (соответственно строке).
Следствие 3. (a) Sym'(?®") а ф(?х)®^*"\
(Ь)Л'(?фя)^ф(?х)е*(я).
XI- р
Доказательство. Для доказательства утверждения (а) заметим,
что Sym/?(?ew) = ф SymPl(?) ® • ¦ • ® Sym^f), сумма берется по всем
наборам неотрицательных целых чисел р\у ..., рп с суммой J2 Pi ~ Р-
Согласно пункту (а) следствия 2 модуль ?х встречается в этом
модуле столько же раз, сколько существует таблиц формы X, содержащих
Р\ раз число 1, ..., рп раз число п. Общее число таких таблиц
равно d\(n), т.е. числу таблиц формы X с элементами из [п].
Утверждение (Ь) доказывается аналогично, с использованием пункта (Ь)
следствия 2. ?
Существуют полезные обобщения следствия 3, которые могут быть
получены применением того же метода к представлениям группы GL(?) х
х GL(?) для конечномерных векторных пространств ? и F. (В дальнейшем
нам эти обобщения не понадобятся.) Из формулы Коши—Литтлвуда C)
§4.3 следует, что
Sym"(? ® F) ^ 0 ?х ® F\ A8)
Xhp
Двойственная формула (см. п. А.4.3, следствие к предложению 3) дает
Лр(?®?)^0?х®?\ A9)
§8i3. Характеры и кольцо представлений 137
Сужая эти изоморфизмы с группы GL(?)xQL(F) на подгруппу GL(?)х{1},
мы получим следствие 3. Похожим образом, из упражнения 4 §5.2 можно
вывести разложение
(?еО" = ф(?х®/^)фс*. B0)
Упражнение 12. (а) Покажите, что при р> q ^ 1 модуль Eip,g)
изоморфен ядру линейного отображения1*
Sym'(?) ® Sym«(?) -» Symp+1(?) ® Sym^1^),
я
(U\ • . . . • Up) <g) (V{ • . . . . Vg) •-> ^(U| • . . , • Up • Vj) ® (Wi • . . . ¦ Vi ¦ . . . ¦ Vq).
/ = 1
(b) Покажите, что при p ^ q > 1 модуль ft2*1""** изоморфен ядру
линейного отображения
(W| Л . . . Л Up) <g> (V\ Л . . . Л Vq) ь-+
¦->^(-IVCttl Л... Л Up AVi)fy(V[ Л .--ДУ/ Л...ЛИ,).
/=!
Упражнение 13. Покажите, что подпространство квадратичных
соотношений Qx(?) С (%)/\шЕ является суммой образов отображений
при 1 ^ у ^ / - 1. Выведите отсюда другое доказательство того, что
квадратичные уравнения ? = щ k(Z)' при k > 1 следуют из этих уравнений при
k=l.
Определим кольцо представлений 3?(т) группы GLm(C) как
кольцо Гротендика полиномиальных представлений, т. е. как свободную абе-
леву группу классов [V] изоморфных полиномиальных представлений,
профакторизованную по подгруппе, порожденной всеми элементами вида
[V ф W] - [V] - [W], Каждое полиномиальное представление является
прямой суммой неприводимых представлений, встречающихся с
однозначно определенной кратностью, поэтому @t является свободной абелевой
группой с базисом из классов изоморфных неприводимых представлений.
На $ задается структура коммутативного кольца при помощи тензорного
произведения представлений: [V] • [W] = [V ®с W].
'* Обозначение б; означает отсутствие вектора vi. — Прим. перев.
138 Глава 8. Представления полной линейной группы
Отображение, переводящее представление М симметрической
группы Srt в представление Е(М) группы GLm(C), определяет аддитивный
гомоморфизм группы Гротендика Rn представлений симметрической группы
в «^(т), и, значит, после сложения по л, гомоморфизм R = ф#„ в &(т).
Характер char определяет гомоморфизм кольца &(т) в кольцо Л(ш)
симметрических многочленов от переменных х\у ..., хтл который является
гомоморфизмом колец в силу формул A5) и A6). Этот гомоморфизм инъ-
ективен, так как представление определяется своим характером. Таким
образом, мы имеем отображения
A->R-+&(m)-+A(m). B1)
Первое переводит функцию Шура s\ в класс [Sx] представления Sx
группы Sn, п — |Х|; второе переводит класс [5х] в [?х]; и, наконец, третье
переводит [Ех] в s\(x\, ..., хт). Так как функции Шура являются базисом
кольца Л, то композиция Л —> А(т) есть просто гомоморфизм,
переводящий функцию / в f(x\, ..., хт, 0 0). В частности, это отображение
сюръективно. Отсюда следует, что отображение &{т) —+ Л(т)
является изоморфизмом, и что отображение R —*¦ &(т) является сюръектив-
ным гомоморфизмом колец, что может быть доказано и непосредственно
(см. упражнение 9). Кроме того, так как ядро отображения Л —> Л(т)
порождается функциями Шура s\ для диаграмм X, имеющих более т строк,
то отображение R -~+$i{m) определяет изоморфизм
/?/(подгруппа, порожденная классами [Sx], Xm+i ^0) ^+&(т). B2)
Мы можем описать отображение, обратное к данному (из
представлений группы GLm(C) в представления симметрической группы), минуя
кольцо симметрических многочленов, отвечающее характерам. В простейших
случаях это может быть сделано следующим образом. Полиномиальное
представление V группы GLm(C) называется однородным степени л, если
все его веса а удовлетворяют уравнению а\ -f ... + схт = п. Из доказанного
выше следует, что такое представление является прямой суммой
представлений ?х (возможно, взятых несколько раз), когда X пробегает множество
разбиений числа п не более чем на т частей. В частности, отсюда следует,
что такое представление имеет вид Е(М) для некоторого представления М
группы Sn. При п ^ т мы имеем очевидное включение
S„cSmcGLm(C),
где о ? Sm действует на базис пространства ? по формуле а(е,) = е0ц).
Пусть а{п) = A, ..., 1, 0, ..., 0) — вес с п единицами. Для любого
представления М группы Sn рассмотрим композицию
М * (е, ® ... 0 еп) ®с М С Е®п <8>с М -» ?®л ®С|5я, М = Е(М).
§8.4. Идеал квадратичных соотношений
139
Упражнение 14. Покажите, что получающееся отображение
изоморфно переводит модуль М в весовое пространство ?(Л4)а(„), определяя
изоморфизм Sn-модулей М = Е(М)а{п).
Это упражнение показывает, как восстановить модуль М по Е(М)>
если Е(М) является однородным представлением степени n ^ т.
Общий случай требует более изощренной техники, его можно найти у Грина
(Green [1980]).
Существует общая формула, так называемая формула характеров
Вейля, позволяющая записать характер представления как отношение двух
определителей. Для группы GLm(C) это дает в точности формулу Яко-
би—Труди для многочленов Шура (см. Фултон и Харрис (Fulton,
Harris [1991])).
Упражнение 15. (а) Покажите, что каждое полиномиальное
представление группы GL(?) встречается в точности один раз в представлении
0Л Sym (Е ФЛ2?). (Ь) Покажите, что модуль Ех входит в представление
Sym*(? 0 Л2?) тогда и только тогда, когда k равно полусумме числа
клеток и числа нечетных столбцов диаграммы X.
Упражнение 16 (для тех, кто знаком с понятием Х-кольца). Кольцо Л
обладает структурой Х-кольца, определенной тем свойством, что Xr(ei) = ег
при г ^ 1. Кольцо @(т) обладает структурой Х-кольца, если положить
\r[V) — [l\rV] для представлений V группы GLm(C). Покажите, что
гомоморфизм Л—>&(т) является гомоморфизмом Х-колец.
§8.4. Идеал квадратичных соотношений
Основной результат этой главы может быть переписан в терминах
симметрических алгебр. Напомним, что симметрической алгеброй Sym*(V)
комплексного векторного пространства V называется прямая сумма всех
симметрических степеней пространства V:
Sym-(K) = 0Sym"(K),
где Sym°(l/) = С. Естественное отображение Sym"(V) ® Symm(l/) —>
-> Symm+,?(lO, (v\ *... • v„) 0 {w\ • ... • wm) ь+ vi •... • vn • w\ • ... • wm,
задает на Sym*(К) структуру градуированной коммутативной С-алгебры.
Если пространство V есть прямая сумма г векторных пространств, V =
= V\ ф ... ф УГ, то существует канонический изоморфизм алгебр
Sym'(V) = SynT(l/|) ® Sym#(K2) ® ... ® Sym*(Kr).
(Это легко следует из универсального свойства симметрических степеней.)
В частности, задавая базис Х\, ..., Хг в пространстве V, мы отождествим
Sym*(K) и кольцо многочленов С[Х\У ...» Хг].
140 Глава 8. Представления полной линейной группы
Фиксируем целые числа m^d\>...>ds>0u рассмотрим
пространство ? размерности т. Определим алгебру S*(?; d\y ..., ds) как
симметрическую алгебру векторного пространства Ad'? ф... 0 Л^?, профакто-
ризованную по идеалу, порожденному квадратичными соотношениями:
S9(E;d{,...Js) = @Symai(Ad*E)®...®$yma'(Ad> ?)/<?, B3)
где сумма берется по всем наборам {a\t ...,as) из s неотрицательных
целых чисел, и Q = (?(?;' d\, ..., ds) — двусторонний идеал, порожденный
всеми квадратичными соотношениями. Эти соотношения получаются
следующим образом: для любой пары чисел р ^ q из множества {d\y ..., ds}
и любых векторов v\, ..., vp и w\, ..., wq из ? мы строим образующую
идеала Q
(v\ Л ... Л vp)(w\ Л ... Л и^) -
где в каждом слагаемом под знаком суммы меняются местами векторы
W\, ..,, Wk и Vit, ..., Vjk. Заметим, что при р > q эта образующая лежит
в/\рЕ®АдЕ,а при p = q — в Sym2(Ap?).
Если мы зададим базис в|, ..., ет пространства ?, т. е. отождествим ?
с пространством Ст, то сможем отождествить алгебру 5#(?; d\y..., ds)
с факторкольцом кольца многочленов по идеалу. Для этого рассмотрим
симметрическую алгебру пространства фЛ*? как кольцо многочленов
от переменных Xh ,р, индексированных подмножествами из р элементов
i\} ..., ip множества [т] при р e{d\, ..., ds}\ Х^ tp отвечает элементу
в/, Л... Л е1р в Лр?, поэтому эти переменные являются знакопеременными
функциями индексов. Идеал порождается всеми квадратичными
соотношениями
Xh ipXh U ~]С*<( 'Л «' <24>
где сумма берется по всем перестановкам индексов /|, .... /* с k
индексами из «ь ..., ip при р ^ q ^ /е ^ 1, р, q e{d\y ...» ds}. Обозначим
полученное кольцо через S*(w; dI( ..., ds):
S-(m;d,,...,ds) = C[^l ,,, pe{rf| d,}]/Q, B5)
где идеал (? порождается квадратичными соотношениями B4).
Рассмотрим диаграмму X, длины столбцов которой принадлежат
множеству {d\, ..., ds). Иначе говоря, сопряженная диаграмма X имеет
вид (dfl.. .d**) для некоторых неотрицательных целых чисел ai, ..., as.
Как нам известно, представление ?х является фактормодулем модуля
§8.4. Идеал квадратичных соотношений
141
Symfl|(Ad|?) <8> ... <8> Syn\a*(AdsE) по подпространству, порожденному
квадратичными соотношениями. В частности, отсюда следует, что алгебра
S#(?; d\4 ..., ds) является прямой суммой модулей ?\ причем каждый из
модулей входит в эту сумму ровно один раз.
При п ^ d\ следствие к теореме 1 §8.1 дает нам канонический
изоморфизм между алгеброй S*(m\ d\, ..., ds) и подалгеброй алгебры C[Z],
порожденной элементами От при 7\ пробегающем множество всех таблиц
на диаграммах Юнга, длины столбцов которых принадлежат множеству
{di,...,ds}, с элементами из [т]; этот изоморфизм переводит Xh /р
в Д, ip. Действительно, мы знаем, что каждый из модулей ?х
отображается изоморфно на D\ поэтому нам достаточно доказать, что сумма
модулей Dx в C[Z] является прямой. Это утверждение непосредственно следует
из того, что неприводимые представления 0х попарно неизоморфны.
Упражнение 17. Пусть представление V группы GLm(C) является
суммой подпредставлений Vi,...,Vr, при этом все представления V,-
неприводимые и ненулевые, и представления V, и V} не изоморфны при
/ Ф- j. Покажите, что в этом случае представление V есть прямая сумма
В частности, кольцо S*(m\ d\, ..., ds), как изоморфное подкольцу
кольца многочленов C[Z], является областью целостности. Другими
словами:
Предложение 2. Идеал в кольце $ym*(/\dlE) ® ... ® Sym*(Adi?),
порожденный квадратичными соотношениями, прост.
Это предложение остается в силе, если мы заменим С на любую
область целостности R и рассмотрим свободный /?-модуль Ест
образующими. Кольцо S*(m\ d\y ..., ds)t определенное как факторкольцо кольца
многочленов R[Xi{ ,J по идеалу, порожденному квадратичными
соотношениями B4), изоморфно подкольцу кольца /?[Z], порожденному
многочленами От, и многочлены От при 7\ пробегающем множество таблиц
с элементами из [т], длины столбцов которых принадлежат множеству
{d\4 .... ds}, образуют базис. При этом доказательство сохраняет силу,
так как нам требуется только линейная независимость элементов Dt.
Последнее утверждение для случая R = С легко следует из общей теории
представлений, опираясь на данное выше доказательство; отсюда
утверждение верно для R = Z, и, за счет замены скаляров, для произвольного R.
Мы докажем некоторые другие факты, касающиеся этих колец, в §9.2.
Часть III
Геометрия
В этой части мы применим результаты первых двух частей к
изучению геометрии грассманианов и многообразий флагов. Во введении мы
приводим основные обозначения и рассматриваем некоторые важные
примеры.
Пусть Е — конечномерное векторное пространство. Обозначим через
Р(?) проективное пространство прямых, проходящих через начало
координат в пространстве Е. Такая прямая задается каким-либо ненулевым
вектором в ?, и прямая задает вектор с точностью до умножения на
ненулевой скаляр. Другими словами,
Р(?) = (?\{б})/С*.
Точку пространства Р(?), соответствующую вектору v Е Е \ {0}, часто
обозначают через [v].
Мы будем обычно работать в двойственном пространстве Р*(?),
состоящем из всех гиперплоскостей И С ?, или, другими словами, из всех
одномерных факторпространств Е -» ?; две сюръекции Е -» L и Е -» L'
отождествляются, если существует изоморфизм прямых L и ?',
перестановочный с этими сюръекциями. Иначе говоря, Р*(?) = Р(?*), т.е.
двойственное проективное пространство совпадает с пространством прямых
в двойственном пространстве ?*; прямая в пространстве ?*,
соответствующая сюръекции ? -» L, — это двойственная прямая L* с ?*. Основная
причина «двойственных» обозначений заключается в том, что
пространство ? будет пространством линейных форм на Р*(?). На самом деле
симметрическая алгебра
оо
Sym#(?)-0Symrt(?)
является алгеброй полиномиальных форм на Р*(?), также называемой
(однородным) координатным кольцом пространства Р*(?). Элементы
/ G Sym"(?) задают функции на пространстве ?*, являющиеся
однородными функциями степени п: /(а • v) = ал • f(v). Таким образом, значение
функции / на прямой L* пространства ?* определено только с
точностью до ненулевого скаляра, т.е. мы можем сказать только, верно ли, что
f(L*) = 0 или f(L*) ф 0. Отношение двух функций f/g при /, g е Symw(?)
задает функцию на открытом множестве пространства Р*(?), на котором
g не равно нулю. Допуская некоторую вольность в терминологии,
однородные формы часто называют однородными функциями.
Геометрия
145
Если е\у ..., ет — базис пространства ?, то мы можем задать
двойственный базис в пространстве ?*; мы будем обозначать пространство
Р*(?) = Р(Ст) через F". Точка пространства Рт_1, соответствующая
ненулевому вектору (х\, ..., хт) пространства Ст, обычно обозначается
через [х\ :... :хт]. Числа х\ называются однородными координатами
точки. Кольцо Sym* (?) может быть отождествлено с кольцом многочленов
С[Х\, ..., Хт]. Элементом пространства Sym^f будет однородный
многочлен F степени п от этих переменных, и его нули — это точки [х\ :...: хт]
пространства Р, для которых F(x\, ..., хт) = 0.
Если W — произвольное представление группы GL(?), то GL(?)
действует на проективном пространстве F*(W), так как любой автоморфизм
пространства W переводит гиперплоскость этого пространства в
гиперплоскость.
В частности, группа GL(?) действует на Р*(?х). Мы найдем
замкнутую орбиту действия группы GL(?) на этом пространстве, которая
может быть отождествлена с многообразием флагов. На самом деле, если
d\ > ...> ds —положительные числа, являющиеся длинами столбцов
диаграммы X, мы увидим, что эта замкнутая орбита является многообразием
(частичных) флагов
FId| ds{E) = {E} c...c?sc?: codim(?,, ?) = d,f 1 <«<s},
состоящим из цепочек вложенных линейных подпространств указанных
коразмерностей.
Два следующих крайних случая являются классическими.
1) Действие группы GL(?) на пространстве P*(Sym"(?)) имеет орбиту,
которая может быть отождествлена с пространством Р*(?), вложенным
в P*(Sym"(?)) при помощи вложения Веронезе
Р(?) <-+ P*(Symn(?)), (? -» L) ~ (Sym"(?) -» Symn(L)).
2) Действие группы GL(?) на пространстве Р*(ЛЛ?) имеет орбиту,
которая может быть отождествлена с грассманианом Gr"(?) = Grm_„(?),
состоящим из л-мерных факторпространств (или из (т - л)-мерных
подпространств) пространства ?, вложенным в Р*(Лл?) при помощи
вложения Плюккера
Gr"(?)«->Р*(Л"?), (? -» W) нн- (Л"? -» Л" W).
Мы используем здесь тот факт, что если W является л-мерным факторпро-
странством пространства ?, то l\nW — одномерное факторпространство
пространства Лл? (см. §9.1).
Упражнение. Отождествите многообразие F12, ](Е) с некоторой
замкнутой орбитой действия группы GL(?) на пространстве Р*(?B,|>).
10* Таблицы Юнга
146 Геометрия
В этой части нам потребуются некоторые основные понятия
алгебраической геометрии. Алгебраическим подмножеством
проективного пространства Р*{?) = F" называется подмножество,
являющееся множеством нулей некоторого набора однородных форм. Идеалом
1(Х) = ф1(Х)п алгебраического множества X называется однородный
идеал в кольце SynT(?) =С[Х\ Хт\ч где компонента 1(Х)п состоит из
форм степени п, равных нулю на Х\ множество X в этом случае —
множество нулей множества однородных образующих идеала 1(Х).
Алгебраическое множество называется неприводимым, если оно не является
объединением двух собственных алгебраических подмножеств; тогда это —
(вложенное) проективное многообразие. Любое алгебраическое множество
является конечным объединением неприводимых алгебраических
подмножеств; если это объединение содержит минимальное количество
неприводимых подмножеств, они называются неприводимыми компонентами.
Если множество X с Р*(?) неприводимо, то его идеал является простым.
Градуированное кольцо Sym* (Е)/1(Х) называется (однородным)
координатным кольцом алгебраического множества X.
Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если / — однородный
идеал в кольце Sym*(?) и X — множество нулей идеала /, то 1(Х) состоит
из всех многочленов ?, какая-либо степень которых содержится в идеале /;
в частности, если / — простой идеал, то 1(Х) = /. Если множество^
—проективное многообразие в пространстве Р*(?), то алгебраическим
подмножеством на многообразии X называется подмножество множества X,
заданное набором форм в Sym*(?), или, другими словами, однородным
идеалом в координатном кольце многообразия X.
Мы также будем рассматривать подмногообразия произведений
проективных пространств. Алгебраическое подмножество произведения Р*(?|) х
х Р*(?г) х ... х P*(?s) — это множество нулей набора полиоднородных
многочленов1*, каждый из которых принадлежит некоторому произведению
Symfl| (?1) ® Syma2(?2) ® ... ® Symfli(?s). При выборе базисов в каждом
из пространств ?/ это произведение отождествляется с кольцом
многочленов от соответствующих переменных. Существуют такие же понятия
неприводимости, (полиоднородного) идеала подмногообразия и
полиоднородного координатного кольца
Symf(?|) ® Sym*(?2) в ... в Sym *(?,)//(Jf) = Sym'(?, © ... в ES)/I(X)
подмногообразия X.
'* Полиоднородный многочлен (в русской математической литературе используется термин
«квазиоднородный») — многочлен, переменные которого разбиты на несколько наборов, по
каждому из которых он однороден с каким-либо коэффициентом. — Прим. перев.
Геометрия
147
Мы будем иногда использовать понятие топологии Зарисского на
проективном пространстве, или на произведении проективных пространств,
или на алгебраическом подмногообразии. В этой топологии замкнутыми
подмножествами являются алгебраические множества, поэтому открытые
множества задаются как множества, на которых не обращается в нуль
конечное число однородных или полиоднородных многочленов. В обычной,
«классической» топологии на комплексном многообразии Pm_1 существует
намного больше открытых или замкнутых множеств, но нам они не
потребуются. Замкнутым вложением многообразия X в многообразие Y
называется изоморфизм многообразия X и замкнутого подмногообразия
многообразия Y.
Конечномерное векторное пространство ? задает тривиальное
векторное расслоение Ex =Х х Е над любым многообразием Х\ мы часто
будем допускать вольность в обозначениях, и, когда многообразие X
очевидно, будем обозначать это расслоение просто через Е.
Нам потребуется понятие размерности алгебраического
многообразия. Любое алгебраическое многообразие имеет открытое подмножество,
являющееся комплексным многообразием, и размерность алгебраического
многообразия можно положить равной (комплексной) размерности этого
подмногообразия. На самом деле во всех примерах мы увидим, что такое
открытое подмножествф,$удет изоморфно аффинному пространству С.
Если Z — собственное алгебраическое подмножество многообразия У, то
все неприводимые компоненты Z имеют размерность строго меньше, чем
размерность Y.
Эти факты могут быть найдены в любой книге по алгебраической
геометрии, такой какХаррис (Harris [1992]), Шафаревич (Шафаревич [1972])
или Хартсхорн (Hartshorne [1977]). На некоторые другие основные факты
из алгебраической геометрии мы будем ссылаться по необходимости, но,
в основном, в упражнениях. Мы надеемся, что основная часть
материала будет доступна читателям, не обладающим значительной подготовкой
в области алгебраической геометрии.
Глава 9
Многообразия флагов
В этой главе мы отождествим рассмотренные в главе 8 кольца
представлений с полиоднородными координатными кольцами многообразий
флагов при естественном вложении этих многообразий в произведения
проективных пространств. Эти кольца также являются кольцами
инвариантов линейных групп, действующих на кольце полиномиальных функций
на пространстве (п х т)-матриц; эти факты теории инвариантов легко
следуют из доказанных нами утверждений теории представлений. Отсюда
следует, что эти кольца факториальны1* что имеет полезные приложения
в алгебраической геометрии. В §9.3 мы дадим описание представлений
как сечений линейных расслоений над однородными пространствами.
Последний параграф содержит основные факты теории пересечений на грас-
сманианах. (Основные результаты этого параграфа будут также выведены
из более общих результатов, доказанных для многообразий флагов в
главе 10.)
§9.1. Проективные вложения многообразий флагов
Рассмотрим векторное пространство ? размерности т. Для 0<d ^т
обозначим через Gr^f) многообразие Грассмана (грассманиан),
состоящее из подпространств коразмерности d пространства Е. В частности,
Gr'(?) = Р*(?) и Gr^) = Р(?)- Для подпространства F
коразмерности d в пространстве Е ядро отображения из Л Е в Л (E/F) будет
гиперплоскостью в AdE. Сопоставляя подпространству F эту гиперплоскость,
мы получим отображение
Ог*(?)->РЧЛ'?),
называемое вложением Плюккера. Отметим, что кольцо Sym*(Ad?)
является кольцом полиномиальных функций на пространстве P*(f\dE)
(см. введение к части III). Это значит, что для любых векторов v\, ..., Vd
из ? форма v\ Л ... Л Vd будет линейной формой на P*{/\dE) и что
произведения таких форм — однородные формы на P*(AdE).
!)См. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, и
Кострики н А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977. — Прим. ред.
§9.1. Проективные вложения многообразий флагов 149
Лемма 1. Вложение Плюккера является биекцией
грассманиана GrJ(?) на подмногообразие пространства F*(AdЕ), задаваемое
квадратичными уравнениями
(У| Л ... Л Vd) • (w\ Л ... Л Wd) -
- У2 (fi Л ... Л Ш| л... Л ш* л... Л Ud) х
х (t/,-, Л ... Л y,-fc Л ш*+| Л ... Л Btfd) = О
для У| Vd, w\, ...,Wd из Е. Любой многочлен, равный нулю на
образе грассманиана О^(Е), принадлежит идеалу, порожденному
указанными квадратичными соотношениями.
Прежде чем переходить к доказательству, мы переформулируем этот
результат в терминах координат. Рассмотрим в пространстве Е базис
е\, ..., ет, что отождествит Е с Ст. Тогда элемент Xix id =etx Л ... Л е-ы
пространства AdE будет линейной формой на F*(AdE). Эти формы ко-
сосимметричны по своим индексам. Каждая точка пространства P*(AdE)
задается однородными координатами а:,-, ,-„, где индексы пробегают
множество наборов 1 < /| < ... < /rf < т; эти координаты также кососиммет-
ричны по индексам. Для подпространства V пространства Е = С"
однородные координаты соответствующей точки пространства P*{AdE) (так
называемые плюккеровы координаты) определяются следующим
образом. Запишем подпространство V как ядро (d х т)-матрицы А: Ст —>
->Cd ранга d. Отображение AdA: AdCm -* AdCd = С переводит
элемент е,-, Л ... Л ^ в определитель максимального минора матрицы Л,
построенного из столбцов i\,..., id. Плюккерова координата х,-, ,-rf
соответствующей точки в пространстве P*(AdE) равна этому
определителю.
Соотношения из леммы 1 могут быть теперь записаны в координатах
следующим образом:
xh h 'xh id Z^'i vd 'Xi\ H* W
где сумма берется по всем парам, полученным перестановкой
фиксированного подмножества из k элементов множества индексов j\ /'</
и некоторого подмножества из k элементов множества индексов /j, ..., id
с сохранением порядка в каждом из подмножеств; как обычно, для
этих перестановок достаточно использовать первые k индексов j\, ..., Д.
При упорядочении индексов по возрастанию перед слагаемыми
появятся соответствующие знаки. Например, лемма говорит, что грас-
сманиан Gr^C4) С Р5 определяется одним квадратичным соотношением
150
Глава 9. Многообразия флагов
^1.2 * ^3,4 —^3,2 ' Х\,4 + ^1,3 ' ^2.4. ИЛИ
Х\,2 -^3,4 —^1.3 ^2,4 + ^2.3 '^1,4 =0.
Уравнения A) совпадают с уравнениями леммы 1, если все векторы v и w
выбираются из базисных векторов пространства Е. И наоборот, если
уравнения справедливы для базисных векторов, то они справедливы и в общем
случае в силу полилинейности.
Упражнение 1. Покажите, что уравнения д<пя к — 1 эквивалент-
d + \
ны «классическим» уравнениям У1(-1MХ: ,- ; -Х: ? , = 0для
s=\
всех последовательностей i\t ..., id-\ и/ь ..., jd+\-
Доказательство леммы 1. Из леммы Сильвестра следует, что
координаты, отвечающие любому линейному подпространству,
удовлетворяют квадратичным уравнениям A). Действительно, представив
подпространство как ядро матрицы А, как было сделано выше, применим лемму 2
§8.1, положив р = d, для матриц М и /V, равных минорам матрицы А
из столбцов i\, ..., id и /|, ..., jd соответственно. И наоборот,
рассмотрим точку пространства F*{/\dЕ), однородные координаты которой
удовлетворяют квадратичным уравнениям (I). Зафиксируем какие-либо индексы
/ь ..., id, для которых Хц id Ф 0. Мы можем умножить все координаты
на ненулевой скаляр, не изменяя точки, поэтому, не умаляя общности,
можем считать, что хц -ы = I. Определим (d х т)-матрицу А = (aSft)
по формуле
asj =х/, /,_,,/,/i+l ,>, \^s^d, \^t^m. B)
Докажем, что ядро отображения А: Ст —>Cd будет подпространством
коразмерности d, плюккеровы координаты которого — это данные х-п ы.
Для этого положим / = (/|, ..., id) и рассмотрим определители миноров,
отвечающих всем наборам У = (j\ /'</). Для У = / соответствующая
подматрица будет единичной, что показывает, в частности, что ранг
матрицы А равен d и что соответствующий определитель равен I. Если
наборы / и У различаются только на один элемент, то определители
соответствующих миноров должны быть равны остальным элементам матрицы Л,
и это действительно так: если набор У получен из / заменой элемента is
на /, то соответствующий минор выглядит как единичная матрица, кроме
5-го столбца, диагональный элемент которого равен as,/. Доказательство
общего случая будет заключаться в нисходящей индукции по числу
общих элементов наборов У и /. Пусть \Т не встречается в /.
Квадратичное соотношение A) при к — I, для этих / и У и фиксированного
элемента jr> позволяет записать координату x-h ы как линейную
комбинацию произведений координат, значения которых уже известны, так как их
§9.1. Проективные вложения многообразии флагов 151
наборы индексов пересекаются с / по большему количеству элементов,
чем /. Как мы видели в начале доказательства, это же равенство
верно для соответствующих миноров матрицы А. Таким образом,
координата xj] ы равна соответствующему минору матрицы А, что и
требовалось.
Инъективность отображения Gf*(E) —> P(/\dE), благодаря
независимости от выбора базиса в пространстве ?, следует из очевидного
утверждения, что подпространства <ep+i, ..., ет) и {еи ..., еп ер+г+\ ет)
имеют разные плюккеровы координаты при г ^ 1.
Для доказательства последнего утверждения леммы мы воспользуемся
теоремой Гильберта о нулях (см. введение к части III), которая позволят
утверждать, что если р— простой идеал кольца Syra{f\dE) = C[X-h ,J,
то идеал многочленов, обращающихся в нуль на множестве нулей
многочленов из р, есть сам идеал р. Мы видели в §8.4, что квадратичные
соотношения порождают простой идеал р. Так как мы только что реализовали
грассманиан как множество нулей идеала, порожденного квадратичными
соотношениями, то доказательство завершено. П
Таким образом, мы отождествили координатное кольцо грассманиана
Сг*(Е)с?*(ЛаЕ) с кольцом
Se(m;d) = Sym#(Arf?)/Q = C[^ «„]/<?,
где Q — идеал, порожденный квадратичными соотношениями.
Упражнение 2. Найдите подпространство пространства С4 с плюк-
керовыми координатами, равными Х\%2 = 1, *|,з = 2, *i,4 = К *2,з = U
х2,4 = 2 и *з,4 = 3.
Рассмотрим теперь пары (Vt W) подпространств пространства Е
коразмерностей р и q при р^ q. Они параметризуются произведением грас-
сманианов Qvp(E) и Gr*(?), которое принадлежит произведению
проективных пространств ?*(/\рЕ) х Р*(Л9?). Нас будет интересовать, какие
уравнения на плюккеровы координаты подпространств V и W отвечают
условию, что V содержится в W. Ответом опять будут квадратичные
соотношения.
Обозначим через Flp,q(E) С Qvp(E) х Gr*(?) многообразие
инцидентности, т.е. многообразие пар пространств (V, W) коразмерностей
р и q, для которых V с W. Отметим, что для векторов v\,...,vp
из ? произведение V\ Л ... Л vp € 1\РЕ будет линейной формой на
грассманиане Qvp{E) С Р*(ЛР?), и, подобным же образом, для любых
Ш|, ..., wq из ? произведение w\ Л ... Л wq е l\qЕ будет линейной
формой на грассманиане Gr^(?) С Р*(Л??). Таким образом, произведения
вида (У] Л ... Л vp) • (w\ л ... Л wq) будут биоднородными формами на
Р*(Л'?)хР*(Л*?).
152
Глава 9. Многообразия флагов
Лемма 2. Многообразие инцидентности F\pq(E) задается в
пространстве Qrp(E) х Gr^(?) квадратичными уравнениями
(v\ А ... Л vp) • (W\ Л ... Л wq) —
- У2 (V\ А . . . AW[ А .. . AWk А . . . А V р) X
X (и/, Л ... Л Vik A Wk+i А ... Л Wq) = О
при V\y . . . , Up, W\ Wq € Е и I ^k ^q.
Как обычно, сумма берется по всем перестановкам первых k из
векторов wj с какими-то k из векторов о, при условии сохранения порядка
в каждом из наборов. В терминах однородных координат уравнения могут
быть переписаны в виде
xh iP 'xh U "H-fy i'P 'Xi\ /;=0> C)
где сумма берется по всем парам, полученным перестановкой индексов
/I, .... jk с какими-то k из индексов /|, ..., ip при условии сохранения
порядка в каждом из множеств.
Доказательство. Многообразие инцидентности, как и множество,
задаваемое квадратичными уравнениями, инвариантно относительно
действия группы GL(?); для второго множества это очевидно из
формулировки леммы 2. Поэтому мы можем выбрать любой удобный нам базис
в пространстве ?. Например, для подпространств V с W мы можем
выбрать базис так, что подпространство V = (ер+\ ет) будет натянуто
на т — р последних базисных векторов, a W = (eq+\ ет) — на т — q
последних базисных векторов. В этом случае каждое из подпространств
имеет только одну ненулевую плюккерову координату, именно, координаты
х\ р и jci q соответственно, и справедливость соотношений C)
очевидна. Наоборот, если V <?_ W, положим
V = (е\, ..., er, ep+r+\t ..., em)t и W = (eq+\, ..., ет)
для некоторого г> 1. Тогда вычисление показывает, что равенство C)
не выполняется при k = 1 для наборов / = (г+1,...,г + /?)и/ =
= A <7). ?
Зафиксируем теперь последовательность целых чисел т ^ d\ > ...
... > ds ^ 0. Многообразием (частичных) флагов FIrf| ds(E) назовем
множество флагов (т. е. вложенных подпространств)
{?|C?2C...C?SC?: codim(?/) = dit 1 ^ / ^ s).
Это многообразие является подмножеством произведения грассманианов
Gr^' (?) х ... х Gr^s(?), а значит, используя вложение Плюккера, мы мо-
§9.1. Проективные вложения многообразий флагов 153
жем считать его и подмножеством произведения проективных пространств
JJP*(Arf'?) = P*(Arf'?) х ... xF*(AdtE).
/=]
Л"
Предложение 1. Многообразие флагов F\dl ds(E)c Y[F*(Ad'E)
задается квадратичными уравнениями C), где числа р ^ q
принадлежат множеству {d\y ..., ds]. Эти соотношения порождают
простой идеал всех многочленов, обращающихся в нуль на многообразии
флагов.
Доказательство. Из двух лемм следует, что многообразие флагов
s d
как множество задается в произведении П Р*(Л ?) квадратичными урав-
нениями. Но мы видели в §8.4, что эти уравнения задают простой идеал
в кольце многочленов
Sym^Arf|?)®...®Syme(A^?) = Syme(Arf|?e...eA^?) = C№1 ,-,],
1 ^i'i <...</,^/л, pe{d\, ..., ds}.
Последнее утверждение, таким образом, следует из теоремы Гильберта
о нулях. ?
Это отождествляет полиоднородное координатное кольцо
многообразия флагов с кольцом, обозначенным через S*(т\ d\, ..., d$) в §8.4.
Доказательство показывает, что многообразия флагов как множества
задаются квадратичными уравнениями при &— 1, отсюда, применяя теорему
Гильберта о нулях, мы получаем, что простой идеал, порожденный всеми
квадратичными соотношениями, является радикалом идеала,
порожденного соотношениями при k — 1. Эти идеалы совпадают в случае поля
нулевой характеристики (см. упражнение 13 §8.3), но могут различаться
в случае положительной характеристики (Таубер (Towber [1979]), Абеазис
(Abeasis [1980])).
Мы видели, что для разбиения X, для которого сопряженное
разбиение имеет вид (d°l .. .d^s) для некоторых положительных целых чисел
<2i, ..., as, ядро сюръекции (g) Symfl/(A Е) -» Ех порождается теми же
квадратичными соотношениями, которыми задается определенное выше
многообразие флагов. Чтобы понять геометрический смысл этого факта,
нам потребуются три основных конструкции из проективной геометрии:
(i) Сюръекция векторных пространств V-»W задает вложение P*(U^)c
С Р*A/), переводящее гиперплоскость пространства W в ее прообраз
в пространстве V\ иначе говоря, сюръекция W -» L пространства на
прямую задает сюръекцию V -* W -» L.
154
Глава 9. Многообразия флагов
(ii) Определим а-кратное вложение Веронезе P*{V) с P*(Symfl(K))
как отображение, переводящее гиперплоскость, являющуюся ядром сюръ-
екции V -» L, в ядро индуцированной сюръекции Syma(l/) -» Syma(L).
(iii) Определим вложение Сегре P*(l/l)x...xP(l/s)cP*(V|0...
... ® Vs) как отображение, переводящее ядра сюръекции V, -» Ц в ядро
индуцированной сюръекции V\ ® ... (8) Vs -» Li ® ... ® Ls.
Упражнение 3. Покажите, что каждое из этих вложений является
замкнутым. Найдите уравнения, задающие образы пространств при этих
вложениях.
Произведение а,- -кратных вложений Веронезе дает нам вложение
Р*(Л*'?) х ... xP*(ArfK?)CP*(Symu|(Arf,?)) х ... х P*(Symfli(Arfs?)).
Затем мы можем применить вложение Сегре
F(Symfl|(Arf|?)) х ... xP*(Symfls(A^?))cP*(^Syma'(Arf(f)].
Сюръекция <3> Symfl,'(Arf'?) -» ?х задает вложение
/=1
/=
Рф(?х) с Р*( (g) Syme'(A*?)).
Из того, что одни и те же уравнения задают многообразие флагов
Fld| ds(E) в пространстве Ц P*(Symai(A ?)) и подпространство Р*(?х)
в Р* f (g) Syma'(Arf'?)), следует, что имеется коммутативная
диаграмма
FI* '*(?) С ]}0^(Е) С f[r(Adi(E))
п
П JJP*(Syma<(Arf'?)) D)
п
Р*(?х) с Р* ((g) Symfl'(A*?) ].
/=;
§9.2. Теория инвариантов
155
Отсюда ясно, что многообразие флагов F\dt ds(?) является пересечением
подпространствР*(?х) и П Р*(Л*?) в пространстве?* ((g) Symfl'(Arf'?)\
1=1 \/=i /
Более того, это пересечение будет теоретико-схемным пересечением,
т.е. идеал, задающий Fldl ds(E)y является суммой идеалов, задающих
Р*(?х) и fllHArf'?).
§9.2. Теория инвариантов
Для кольца C[Z] = C[Zi,i, ..., Zrt,m] полиномиальных функций на
пространстве (п х т)-матриц мы определили в главе 8 действие группы
GLrt(C) справа на C[Z] по формуле
т
ZU'8 = Y1 &.kZk.h 8 = (8ij) ^ GL»i(C).
Это задает действие группы GL„(C) на функциях по формуле (/ • g)(A) =
= f(g * А), где А — некоторая матрица, элемент g принадлежит группе
GL„(C), и / — функция. В такой постановке основной проблемой теории
инвариантов является описание кольца инвариантов C[Z]SL"<C) подгруппы
SL„(C) матриц с определителем, равным 1. Для любого набора
индексов i\, ..., /„ из [т] определитель D,t ,-„, определенный в §8.1,
является инвариантом, и первая основная теорема теории инвариантов
утверждает, что эти определители порождают кольцо инвариантов. Иначе
говоря, кольцо инвариантов является кольцом, которое мы обозначили
через S'(m; п). Вторая основная теорема утверждает, что квадратичные
уравнения задают все соотношения между этими образующими. Другими
словами,
Предложение 2. Кольцо инвариантов C[Z]SL"(C) есть
С[А |-.]|<*,<...<««=С[Х|| ,„]/<?,
где Q — идеал, порожденный квадратичными уравнениями C) при
p~q = n.
Доказательство. Кольцо, порожденное определителями D/, ;я,
совпадаете кольцом S*(m\ л), которое является суммой представлений ?\
по одному для каждого разбиения X вида (/"). Таким образом, размерность
подпространства однородных многочленов степени а в подкольце кольца
C[Z], порожденном определителями D/, ;„, есть размерность d\(m)
представления ?\ X = (/"), при / • п = а. Чтобы доказать теорему, достаточно
проверить, что пространство инвариантных многочленов степени а имеет
такую же размерность, так как пространство, порожденное
определителями, является подпространством кольца инвариантов.
156
Глава 9. Многообразия флагов
Для этого мы применим имеющиеся у нас знания о представлениях
группы GL„(C). Мы рассматривали представления относительно левого
действия, но существует естественное соответствие между левым и правым
действиями: g • / = / ¦ gT, т. е. (g • f)(A) = f(gT • А), где gT —
соответствующая транспонированная матрица и /—любая функция из C[Z].
Кольцо инвариантных функций относительно SLrt(C), очевидно, остается
таким же для этого левого действия. Рассмотрим пространство V = С" со
стандартным левым действием группы GL„(C). Тогда кольцо C[ZJ можно
отождествить с симметрической алгеброй Sym* (V®m), при этом элемент
Zij отвечает i-му базисному вектору /-й копии пространства V. Мы знаем
разложение пространства Syn\a(V®m) на неприводимые подпространства
относительно действия группы GL„(C). Единственными
подпространствами, инвариантными относительно группы SL„(C), будут подпространства,
соответствующие представлениям вида (/\nV)®1. Такие подпространства
существуют только при а = / ¦ л, и по следствию 3(a) §8.3 размерность
этого подпространства равна d\(m), где Х = (/л). Это завершает
доказательство. ?
Следствие 1. Кольцо S*(m\ п) является факториальным.
Доказательство. Рассмотрим группу G = SL„(C). Разложим
элемент f eC[Z]G на неразложимые множители в кольце многочленов
C[Z): f = Yl //"'. Достаточно показать, что каждый из неразложимых
сомножителей fi инвариантен относительно действия G. Так как многочлен /
является инвариантным, любой элемент g из группы G должен
переставлять сомножители, с точностью до скаляров. Поэтому подгруппа группы G,
состоящая из элементов, умножающих каждый из Д на некоторый скаляр,
должна быть замкнутой подгруппой конечного индекса в G. Но группа
G = SLrt(C) связна, значит, эта подгруппа должна совпадать со всей
группой, в противном случае группа SL„(C) будет несвязным объединением
классов смежности. Таким образом, g • fi = x(g)/,- для некоторых
ненулевых скаляров х(ё)- Отображение g *-*¦ %(g) является (голоморфным)
гомоморфизмом группы G в С*. Но, как мы видели, группа SL„(C) не имеет
нетривиальных одномерных представлений, т.е. нетривиальных
характеров, поэтому х тождественно равно 1, и элементы /,- инвариантны. ?
Как в общих чертах описано в следующем упражнении, то же верно для
всех колец S*(m\ d\, ..., d$). Другие свойства этих колец, как, например,
то, что они являются кольцами Коэна—Маколея, также доказываются
через их представление как колец инвариантов; см. Крафт (Kraft [1984]).
Упражнение 4. Для любого набора т ^ d\ > ... > ds > 0 положим
n = d\% V =СЛ; пусть подпространства Vt С V натянуты на первые d\
базисных элементов, и пусть G(d\, ..., ds) — подгруппа группы GL(V),
переводящая в себя каждое из подпространств Ц-, с определителем каж-
§9.2. Теория инвариантов
157
дого из сужений Vt —> I/,, равным 1. (а) Покажите, что S*(m\ d|, ..., ds)
является кольцом инвариантов C[Z]G<rft dsK (b) Покажите, что кольцо
S*(m\ d|, ..., ds) является факториальным.
В оставшейся части параграфа мы приведем в общих чертах некоторые
приложения этих фактов к алгебраической геометрии. Для этого мы
предполагаем некоторые знания алгебраической геометрии, но эти результаты
не будут использоваться в дальнейшем.
Следствием предложения 2 является то, что любая гиперповерхность
в грассманиане Gr"(?) определяется одним однородным многочленом на
объемлющем проективном пространстве Р*(/\пЕ). Это общий факт.
Упражнение 5. Предположим, что X С Рл — подмногообразие
проективного пространства, координатное кольцо которого является
факториальным. Покажите, что любое подмногообразие коразмерности 1 является
пересечением многообразия X с некоторой гиперповерхностью
объемлющего пространства. Выведите отсюда, что если подмногообразие X — не
точка, то группа классов дивизоров на подмногообразии X изоморфна Z
и порождается гиперплоским сечением.
Этот факт используется в одном из стандартных способов
параметризации подмногообразий данной размерности k в проективном пространстве
Р(?) = Pm_I, восходящем к Кэли и Севери. Пусть k < т — 1, и положим
п = k + 1. Для данного многообразия Z с Р(?) размерности k определим
подмножество Hz грассманиана Gr"(?) следующим образом:
Hz = {Fe Gr"(?): Р(?) П Z ^ 0}.
Упражнение 6. (а) Покажите, что Hz является неприводимым
подмногообразием коразмерности один в Gr"(?). (b) Покажите, что степень
гиперповерхности в пространстве Р*(Л"?), пересечение которой с грассма-
нианом Gr"(?) есть Hz, совпадает со степенью многообразия Z в Р(?).
На самом деле многообразие Z определяется множеством Hz, что дает
вложение
{Z с Р(?) размерности k и степени d) с Р(Л</),
где Аа =Sd(m\ п) — часть однородного координатного кольца
грассманиана Gr"(?) сР*(Лл?) степени d. Мы знаем, что Ad имеет базис,
занумерованный таблицами формы (dn) с элементами из [т]. Замыкание
этого множества называется многообразием Чжоу циклов размерности k
и степени d.
Упражнение 7. Рассмотрим подмногообразие X С Р х ... х Р"',
полиоднородное координатное кольцо которого факториально. (а) Покажите,
что любое подмногообразие коразмерности один в X является
пересечением самого подмногообразия X с некоторой гиперповерхностью в объ-
158
Глава 9. Многообразия флагов
емлющем пространстве. Предположим, что никакая из проекций
многообразия X на компоненту Р"' произведения РЛ) х ... х Prt' не является
константой. (Ь) Покажите, что группа классов дивизоров на
многообразии X изоморфна Z®r с базисом, соответствующим гиперплоским
сечениям, отвечающим этим компонентам, (с) Выведите отсюда, что любая
гиперповерхность в многообразии флагов Flrf| d*(E) является пересечение
ем этого многообразия с гиперповерхностью в пространстве f[ Р*(Л '?),
и что группа классов дивизоров многообразия флагов F\dl ds(E) является
свободной группой ранга s, если т > d\ > ... > ds > 0.
§9.3. Представления и линейные расслоения
Существует общая схема построения представлений как сечений
линейного расслоения над однородным пространством (т.е. над
пространством, .на котором группа Ли действует транзитивно). Целью этого
параграфа будет соответствующее явное построение для случая группы G =
= GL(?), при этом однородным пространством будет многообразие
флагов. Для проведения полных доказательств потребуются некоторые факты
из алгебраической геометрии, но, они не будут использоваться в
дальнейшем.
Для любого неприводимого представления V группы G — GL(?)
существует двойственное действие на V*, определенное формулой (g • ср)(и) =
= cp(g_1 . v), которое индуцирует действие на пространстве P*(V).
Рассмотрим вектор младшего веса ср из V*f т.е. весовой вектор,
сохраняемый группой нижних треугольных матриц; иначе говоря, для действия
алгебры Ли мы имеем ?,-, / • ср = 0 для всех / > /', где ?/, ,• — матрица,
имеющая 1 на (/, /)-м месте и 0 на всех остальных местах. Обозначим через [ср]
точку в Р*(К), отвечающую вектору ср. Соответствующей параболической
подгруппой будет подгруппа
Р = {g € G: g • ср € С - ср} = {g € G : g • [ср] = [ср]}.
Множество классов смежности G/P отождествляется с орбитой *G • [ср] с
С P*(V). Из общей теории следует, что G/P компактно и что эта
орбита является замкнутым подмногообразием пространства Р*(К). Зная
точный вид всех неприводимых представлений группы G, мы можем
непосредственно проверить эти утверждения следующим образом. Во-первых,
заметим, что существует канонический изоморфизм пространства P*(V)
с Р*(V ® М) для любого одномерного представления М, задаваемый
отображением, переводящим сюръекцию V -» L пространства V в сюръекцию
§9.3. Представления и линейные расслоения 159
V <8> М -» L ® М пространства V ® М. Воспользовавшись теоремой 2 §8.2,
мы можем, таким образом, считать, что V = ?\
Вводя базис для пространства ?, мы получим базис {ет)
пространства V, и, следовательно, двойственный базис {ef} для V*. Младшим
весовым вектором будет вектор е\, соответствующий таблице Т = U(k),
состоящей из элементов i в i'-й строке. Пусть сопряженное разбиение X
имеет вид (d*1 ... d?s), где m ^ di > ... > ds ^ 1, а,- > 0; таким образом,
di —длины столбцов диаграммы X, а щ —количество столбцов длины d,-.
Упражнение 8. Покажите, что ?,-,/ • (ещХ)) = 0 в том и только в том
случае, если i > j или если i < / и / вместе с у лежат на одном из
интервалов [1, ds], [ds + 1, ds-\] [d2 + 1, d|]f [d\ + 1, m].
Алгебра Ли p подгруппы P является суммой подалгебры f) и
одномерных пространств j/,/ =С • ?,,, для / и / из предыдущего упражнения.
Отсюда следует, что Р — подгруппа группы GLm(C), состоящая из
элементов g = (gij), для которых gij = 0, если / < / и интервал [/, / — 1]
содержит какое-нибудь d*; матрица из Р имеет обратимые блоки
размеров ds, ds-\ - ds, .... d\ - ^2 и m - d| на диагонали и произвольные
элементы ниже этих блоков1*:
ds ¦ • ¦ d% d\ щ
Рассмотрим флаг Z\ с Z% С ... С Zs с ?, подпространства которого равны
Z, = (erfi+i, ed,+2t . •-, em).
Тогда Я есть в точности подгруппа, оставляющая на месте этот флаг:
Р = {g € GU(C): g(Zi) С Z< для 1 < i < 5}.
Группа GLm(C) действует транзитивно на множестве всех флагов
фиксированных размерностей, поэтому отображение, переводящее класс
смежности элемента g во флаг g • Z\C ,..с g • Zs, отождествляет множество
классов смежности G/P с многообразием флагов Fld| ds(E).
^Читатель, которому удобнее работать с группами, чем с алгебрами Ли, может
проверить это непосредственно, используя групповые элементы / + ?/./ там, где мы используем
элементы ?,-,/ алгебры Ли.
160
Глава 9. Многообразия флагов
Чтобы понять, что эти многообразия флагов являются единственными
замкнутыми орбитами в пространстве Р*(?х), заметим сначала, что любая
такая орбита должна содержать точку, неподвижную относительно
действия подгруппы нижних треугольных матриц (см. упражнение 1 §10.1).
Единственная такая точка — точка [ср], задаваемая младшим весовым
вектором ср = еЬ{\)* и» так как орбита содержит [ср], она равна G • [ср], т. е., как
мы выяснили, является частичным многообразием флагов.
Упражнение 9. Покажите, что эта реализация многообразия
F\dl ds(E) в пространстве Р*(?х) совпадает с построенной в §9.1.
Неприводимое представление Ех может быть построено как
пространство сечений линейного расслоения Lx над многообразием флагов G/P.
Чтобы показать это, нам потребуются некоторые стандартные факты о
линейных расслоениях. Над любым проективным пространством P*(V)
существует линейное расслоение ^V(l); слоем над точкой, описываемой сюръ-
екцией V -» L, является прямая L. Каноническое отображение из
пространства V в пространство (регулярных, или алгебраических) сечений
Г(Р*(К), ^V(l)) является изоморфизмом (см. упражнение 11 ниже).
Обозначим через @v{n) тензорное произведение 0у{1)®п- Для любого
подмногообразия X пространства P*(V) обозначим через бх{п) сужение
бу(п) на X. Существуют канонические отображения из пространства V
вГ(^, ^jr(l)) и из Sym^V) вГ(Л\ &х(п))- Более общо, над подмногообра-
S
зием X произведения YI Р*A/,) можно рассмотреть линейные расслоения
^(fli.--.,fl5) = (pr,)*^I(aiH...®(pr,)*^V;(as),
где рг,- обозначает проекцию из X на /*-ю компоненту произведения.
Существуют канонические отображения из пространств Symai(V\) ® ...
...0 Symfls(l/S) в пространства Г(Л\ бх{а\, ...» Q>s))-
Определим линейное расслоение Lx как образ расслоения 6q/p(\) при
вложении многообразия флагов G/P = F\dl d*(E) в Р*(?х). Мы
утверждаем, во-первых, что Lx = @g/p(u\, * • •. as) при вложении многообразия
флагов G/P = FIrf| ds(E) в пространство Ц Р*(Л К). Это следует из
диаграммы D) в конце §9.1 и следующего упражнения.
Упражнение 10. Докажите это утверждение, показав, что при трех
канонических вложениях (i)—(iii), использованных при построении
диаграммы D), расслоения ограничиваются следующим образом: (i) ffy{\)
переходите 0у(\)\ (ii) <0syme<v)(l) переходит в 0v(a)\ (iii) ^0уД1) переходит
в тензорное произведение ff(\, ..., 1) прообразов расслоений 0V,A) над
компонентами P*(V/).
§9.3. Представления и линейные расслоения 161
Для доказательства того, что каноническое отображение из ?х
в T(G/P, Lx) является изоморфизмом, достаточно воспользоваться
следующим общим фактом:
Упражнение 11. Покажите, что для подмногообразия X С Р*A0,
координатное кольцо которого является факториальным, и для расслоения
L = 0х{1) каноническое отображение V —> Г(А\ L) сюръективно и
является изоморфизмом, если X не содержится ни в одной из гиперплоскостей
пространства Р*(У). В более общем случае покажите, что если X яв-
S
ляется подмногообразием произведения П^*(^) и его полиоднородное
координатное кольцо факториально, то канонические отображения из
пространств ®Symfl'(Kf) в Г(Х, 6х(а\, ...,а5)) являются сюръективными
для любых неотрицательных целых чисел а\% ..., as.
Над частичным многообразием флагов X = Fldi""ds(E) существует
универсальный или тавтологический флаг векторных подрасслоений
тривиального расслоения Ех = Е х X:
UiCU2C...cUscEx, rank(Ui) = т- й{.
В точке, соответствующей флагу ?| с ... С Es с ?, слоем расслоения ?/,-
является просто подпространство ?, пространства ?. Например, при
X = F*(V) расслоение &(\) является факторрасслоением тривиального
расслоения Ух по тавтологическому подрасслоению всех гиперплоскостей.
На грассманиане Gr"(?), если U — универсальное подрасслоение,
существует каноническое отображение Лл? —> An(E/U), являющееся
прообразом канонического отображения Лл? —> ^A) под действием вложения
Плюккера, вкладывающего грассманиан Gr"(?) в Р*(Л"?). Отсюда
следует, что на многообразии флагов X = F\dl ds(E) расслоение Lx может
быть записано в виде
Lx = 0х(а\ а,) = Adi(E/Ui)®a> ® ... ® fi*'(E/Us)*». E)
На языке теории групп это линейное расслоение может быть построено при
помощи следующей общей конструкции. Для любого характера х^ Р —*С*
определим линейное расслоение L{y) над G/P как факторпространство
ЦХ) = G хр С = G х C/(g -pxz)~(gx X(p)z)
для geG, р € Р н z е С. Существует каноническая проекция из ?(х)
в G/P, переводящая элемент (g х z) в левый класс смежности gP
элемента g. Группа G действует на Цу) посредством левого действия группы
на первый сомножитель, поэтому проекция на G/P коммутирует с
действием группы G. Это значит, что L(x) — эквивариантное линейное
расслоение. И наоборот, если L — некоторое эквивариантное расслоение.
11* Таблицы Юнга
162
Глава 9. Многообразия флагов
то Р действует слева на слое расслоения L над точкой еР>
переходящей под действием Р в себя. Это действие элемента р из Р должно
быть умножением на некоторый элемент х(Р)» где х^ Р —* С* —
гомоморфизм.
Упражнение 12. Пусть х— гомоморфизм, построенный указанным
способом по эквивариантному линейному расслоению L. Покажите, что
L изоморфно расслоению L(x) и что характер, построенный таким образом
по L(x), есть х-
Неподвижная точка х относительно подгруппы Р на многообразии X =
= F\dl ds(E) — это данный фиксированный флаг Z\ с ... С Zs с ?, где
подпространства Z,- натянуты на последние т - dt базисных векторов.
Слоем расслоения Adi(E/Ui) в точке х является прямая /\di{E/Zj).
Образ элемента е\ Л ... Л ва, в пространстве Adi(E/Zj) будет порождать эту
прямую. Элемент р подгруппы Р действует на этот элемент умножением на
определитель верхнего левого угла размера d\ х й\ матрицы элемента р.
Это значит, что /\di(E/Ui) = L(x), где x(g) = det(/l/) и Д- — верхний левый
угол размера dt х dt матрицы элемента g. Таким образом,
Lx = i-(Xx). Xxte) = detH,p ¦ det^a)"» •... ¦ det(As)a-. F)
Сечение линейного расслоения L(x) задается сопоставлением
смежному классу gP точки (g х /(g)); при этом (g х f(g)) ~ (g • р х f{g- р)) ~
~(gxX(P)f(g* Р))- Сечение, таким образом, задается функцией /: G-+C,
удовлетворяющей свойству автоморфности:
X(p)f(g-P) = f(g) Для g€G,peP; G)
иначе говоря, x(p)f(g) = f(g • р~{)- Чтобы сечение было алгебраическим
(т.е. морфизмом X в ?(х))» соответствующая функция должна быть мор-
физмом алгебраических многообразий.
Обозначим пространство этих сечений через Y(G/P, Lx). Группа G
действует слева на этом пространстве по формуле (g * f)(g\)~ f(g~[ • g\)
для элементов g, g\ € G.
Предложение 3. Пространство F(G/P, Lx) сечений расслоения Lx
изоморфно представлению Ех.
Доказательство. Мы воспользуемся следующим общим фактом:
пространство сечений алгебраического векторного расслоения над
проективным многообразием конечномерно. Для доказательства предложения
достаточно проверить, что в пространстве Г@/Я, Lx) существует только
один старший вектор, с точностью до мультипликативного множителя,
и что этот вектор имеет вес X. Любой старший вектор /
удовлетворяет уравнению f(g • h) = f(g) для всех элементов h группы U верхних
§9.3. Представления и линейные расслоения
163
треугольных матриц с единицами на диагонали. Если В1 — группа всех
нижних треугольных матриц, то множество U ¦ В' плотно в G и В1
содержится в Р. Отсюда следует, что старший вектор определяется
своим значением на единичном элементе 1 € G. Таким образом, существует
не более одного старшего вектора /, для которого /A) = 1. Формула
f(e) — Хх(?-1)' где Хх определено по формуле F), дает такое сечение.1*
Вес этого сечения равен X, так как если х = diag(jti, .... xm), то (х • /)A) =
= Пх~1) = ХкШ1)=хI .....*Jr-/(l). ?
Мы можем также построить явный изоморфизм следующим образом.
Пусть {е*} — базис пространства ?*, двойственный базису {еа}, и пусть
ц — разбиение, сопряженное к X. Определим отображение &Л^'? —>
-> T(G/P, Lx) по формуле
0(wu Л... Л vLw) ~ /, f(g) = Y[det{ei(g-1 • 0/.p))i<e,p<№.
Легко проверить, что эта функция / удовлетворяет свойству G), т.е.
является сечением, и что построенное отображение — корректно
определенный гомоморфизм ОЬт(С)-модулей. Из леммы Сильвестра следует,
что отображение остается корректно определенным при факторизации по
квадратичным соотношениям, что дает нам отображение из модуля ?х
в Г(С/Я, ?х). Это отображение не равно тождественно нулю, так как,
положив все и/,р = ер, мы получаем функцию /, для которой /A) = 1. (Только
что доказанное утверждение о том, что пространство сечений неприво-
димо, используется для доказательства того, что отображение сюръек-
тивно.) Это дает другое отождествление Iх с расслоением 0Ь//>A) над
G/PcP*(Ex).
Таким же образом можно доказать, что модуль ?х является
пространством голоморфных сечений расслоения Iх, используя общий факт, что
такое пространство сечений конечномерно. Или можно использовать то,
что все голоморфные сечения алгебраического векторного расслоения над
проективным многообразием являются алгебраическими.
Нет необходимости предполагать все целые числа щ строго
положительными. Доказательство остается справедливым для X = (df1...d°s)
при m^d\>...>ds^0H для неотрицательных целых чисел щ.
Например, мы можем фиксировать d{? = т - i + 1 для 1 < / ^ s = /л + 1,
получив при этом многообразие полных флагов FI(m,m_1 |}. В
частности, мы видим, что все представления Ех могут быть получены как
пространства сечений линейных расслоений над полным многообразием
флагов.
11 Отметим, что эта функция хх: G —* С не является гомоморфизмом и может обращаться
в нуль.
164
Глава 9. Многообразия флагов
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах
Таблицы Юнга также используются при описании теории пересечений
или колец когомологий на многообразиях Грассмана Gr"(?) = Grr(?), где
? — m-мерное векторное пространство, а г — т — п. Для каждой
диаграммы Юнга X с не более чем г строками и п столбцами и для фиксированного
полного флага
F.: 0 = ?о С ?, С F2 С ... С Fm = Е
подпространств с размерностями dim(?,) = i определено многообразие
Шуберта Q\ =Q\(F.}:
Пх = QX(F.) = {Ve Gr"(?): dim(K П Fn+i-x,) > i. U i< r).
Отметим, что, когда все X,- = 0, на V не налагается никаких условий,
поэтому fl\ — это весь грассманиан. Мы увидим, что (i) fix —
неприводимое замкнутое подмногообразие грассманиана Gr"(?) коразмерности |Х|;
(П) класс о\ = [fix] многообразия fix в группе когомологий tf2lxl(Gr"(?))
не зависит от выбора фиксированного флага в определении многообразия;
(iii) эти классы о\ задают базис над Z кольца когомологий грассманиана.
На самом деле формулы умножения для этих классов совпадают с
формулами умножения для многочленов Шура:
где коэффициенты с^ — числа Литтлвуда—Ричардсона. (Мы полагаем о\
равным 0, если X содержит больше г строк или больше п столбцов.) При
X = (k) многообразие fi^ = fi(*j, называемое специальным
многообразием Шуберта, состоит из пространств Vt имеющих нетривиальное
пересечение с пространством ?rt+i-*i соответствующие классы а*, 1 ^ k ^ л,
называются специальными классами Шуберта. Частным случаем
формул (8) является формула Пьери:
о\ -a* = J^ах', (9)
где сумма берется всем X', получающимися из X добавлением k клеток,
никакие две из которых не лежат в одном столбце. Детерминантная формула
для многочленов Шура становится формулой Джамбелли, выражающей
классы Шуберта через специальные классы:
ох = det(ax,+y-i)i<i./«r. A0)
В этом последнем параграфе мы даем набросок доказательств,
предполагая известными некоторые общие факты теории когомологий, которые
обсуждаются в приложении В. В частности, мы используем следующие
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах 165
факты: (i) неприводимое подмногообразие Z коразмерности d в
неособом проективном многообразии Y задает класс когомологий [Z] в группе
H2d{Y)\ (ii) если многообразие Y имеет размерность /V, то H2N(Y) = Z, при
этом образующей является класс точки; (iii) если два многообразия Z\ и Z%
дополнительных размерностей трансверсально пересекаются по / точкам,
то произведение их классов равно t в группе H2N = Z, и в этом случае
мы будем писать <[Zi], [Z2]) = /; (iv) если на многообразии Y задана
фильтрация замкнутыми алгебраическими подмножествами
Y = Y0 D К, э .. . Э Ys = 0
и У/ \ У/+1 является несвязным объединением многообразий ?//,/,
каждое из которых изоморфно некоторому аффинному пространству Ся<,,'\ то
классы [Uij] замыканий1* этих многообразий задают аддитивный базис
над Z для кольца H*(Y).
Каждое многообразие Шуберта является замыканием множества
r-плоскостей, находящихся по отношению к данному флагу в данном
«положении», т.е. пересекающихся с подпространствами флага по
подпространствам данных размерностей, следующим образом. Определим
клетку Шуберта П? как множество плоскостей V в грассманиане Gr^f),
удовлетворяющих условиям
dim( V П Fk) = / для л + / - X,- < Л < я + / - X,-+i, 0 ^ / ^ г;
при / = 0 условие принимает вид V П Fk = 0 для k = п - Xj.
Для придания этому явной формы зададим базис е\ ет в
пространстве ?, отождествляя таким образом Е с Ст, и положим Fk =
= (е\, ..., ek) (т. е. Fk — подпространство, натянутое на первые k базисных
векторов). Нетрудно понять, что любое подпространство V в П?
порождается строками единственной (г х /л)-матрицы, находящейся в
«приведенной строчно-ступенчатой форме»: на (п + / - Х,)-м месте слева в /-и
строке стоит 1, все элементы, находящиеся в этой строке правее, равны О,
и все остальные элементы в столбце, содержащем такую единицу, также
равны нулю. Например, если г = 5, п = 7 и X = E, 3, 2, 2, 1), эти матрицы
будут иметь вид
Г**100000000 0"
**0**1000000
**0**0*10000 ,
**0**0*01000
**0**0*00*10
"Здесь должны рассматриваться замыкания в топологии Зарисского. Но общий факт,
который в данном случае может быть проверен непосредственно, состоит в том, что эти
замыкания будут также и замыканиями в обычной топологии.
166
Глава 9. Многообразия флагов
где элементы, обозначенные звездочками, произвольны. В *-й строке
находится п - X/ звездочек, что дает изоморфизм клетки fi? с аффинным
пространством размерности г • п — |Х|. Отметим, что при Х = 0 и при V,
порожденном последними г базисными векторами, звездочки задают
координаты на окрестности точки V в грассманиане Gr"(?). (Меняя базис,
мы получим атлас на грассманиане, что задает на нем структуру
многообразия.)
Упражнение 13. (а) Покажите, что грассманиан Gr"(?) является
несвязным объединением клеток fi?. (b) Покажите, что замыкание клетки
fi? есть многообразие fix и что fix является несвязным объединением всех
клеток fi° при [it ^ X/ для всех /. В частности, fix Э Оц «ф- X с yt. (с)
Покажите, что разность fix \ fix является объединением всех многообразий fix',
где диаграмма X' получается из X добавлением одной клетки, (d) Покажите,
что классы [fix] образуют базис в H*(QiJJ(E)).
Классы ох = [fix] многообразий Шуберта не зависят от выбора
фиксированного флага, так как группа GL(?) действует транзитивно на
пространстве флагов (см. упражнение В.7). Для изучения пересечений двух
многообразий Шуберта удобно использовать также противоположный
фиксированный флаг Р., у которого компоненты /* порождаются
последними k базисными векторами пространства Е = Ст; мы будем обозначать
через Их соответствующее многообразие Шуберта и через й% —
соответствующую клетку. Они могут быть параметризованы, похожим образом,
строчно-ступенчатыми матрицами, но со строками, начинающимися с
отмеченных единиц, находящихся на (n + i — Х,)-й позиции справа, в /-й
строке снизу. Например, при г = 5, п = 7 и X = E, 5, 4, 2) эти матрицы
будут иметь вид
п * * о * * о * о о * *'
0001**0*00**
0000001*00** .
0000000010**
0 000000001**
Рассматривая пересечение многообразий fix и Пц, мы будем часто
использовать следующие подпространства:
At = Fn+i-\n Bi — Frt+,_w, С; = Ai П flr+i_i, I ^ i < r.
Упражнение 14. Покажите, что подпространство С,- порождается
векторами в] при
i+ttr+i_,- ^j^n + i -Х/.
В частности, dim (Q) = п + I - X/ - цг+1-ь если это число неотрицательно,
и С/ = 0 в противном случае.
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах
167
Лемма 3. Если пересечение многообразий С1\ и й^ непусто, то
X/ + Цг+1-/ ^ я для всех 1 < < < г.
Доказательство. Рассмотрим подпространство V,
принадлежащее одновременно многообразиям fix и П^. Тогда для любого / между 1 и г
uim{V п A i)^i и dim(K nflr+i-/) ^ г + 1 -/.
Так как эти два пересечения принадлежат г-мерному векторному
пространству V и / + (г+1 — /) —г=1, то их пересечение должно иметь
размерность не меньше 1. В частности, пересечение подпространств Л, и В/-+1-,-
должно иметь размерность не меньше 1. Утверждение леммы следует
теперь из упражнения 14. ?
Упражнение 15. Докажите справедливость утверждения, обратного
лемме 3.
Численное условие этой леммы означает, что если повернуть диаграмму
Юнга (i на 180° и поставить в нижний правый угол прямоугольника г х л,
то диаграмма X и эта повернутая диаграмма yt поместятся в прямоугольнике
без наложений. В частности, если |Х| + \\i\ = г • л, то пересечение
многообразий не пусто только в том случае, когда эти диаграммы в точности
дополняют друг друга до прямоугольника. Например, при г = 5, п = 7,
X = E, 3, 2, 2, 1) и [i = F, 5, 5, 4, 2) мы получим:
повернутая [i
Теперь клетки П? и Й° можно параметризовать звездочками в
соответствующих матрицах
**1000000000
**0**1000000
**0**0*10000
**0**0*01000
**0**0*00*10
и
001**0*00*0*
000001*00*0*
000000010*0*
000000001*0*
00000000001*
В этом случае из доказательства предыдущей леммы мы видим, что
многообразия Пх и йу пересекаются ровно в одной точке, которая есть
линейная оболочка базисных векторов, отвечающих единицам этих матриц. Все
звездочки вместе задают координаты на окрестности этой точки в грас-
сманиане. Условие принадлежности сразу обоим многообразиям Шуберта
состоит в том, чтобы положить все эти координаты равными 0, откуда мы
168
Глава 9. Многообразия флагов
видим, что два многообразия пересекаются трансверсально по одной точке.
Это доказывает теорему двойственности:
(l, если X,- + &ir+i_,- =п для всех I </^г,
^•ац = { 1 (II)
10, если X/ + \ir+\-i > п для какого-либо *.
Разбиение [i, элементы которого равны jj,- = я - Xr+i_,, иногда называется
двойственным к разбиению X, и класс стм называется двойственным
классом к ах.
Перейдем теперь к формуле Пьери (9). Мы должны показать, что
обе части формулы (9) имеют одинаковый индекс пересечения со всеми
классами ац при \\i\ = г • п — |Х| - k. Если мы поместим диаграмму X
в левый верхний угол прямоугольника г х п, а диаграмму [х,
повернутую на 180° — в правый нижний угол, то формула Пьери эквивалентна
утверждению, что произведение аи ¦ о\ • о^ равно 1, если две диаграммы
не пересекаются и никакие из k клеток между диаграммами не находятся
в одном столбце, и ам • ах ¦ а^ равно 0 в противном случае. Например, при
г = 5, п = 7, X = E, 3, 2, 2, 1) и \i = E, 5, 4, 2, 0) мы имеем первый случай:
Вообще говоря, это происходит в точности тогда, когда
п - Xr ^ m ^ п - Xr_i ^ ^2 > ¦ • ¦ > п - X| ^ |ar ^ 0. A2)
Мы используем фиксированный флаг {Z7*} для многообразия
Шуберта Q\ и двойственный флаг {F*} для многообразия Йи. Возьмем линейное
подпространство L размерности п + 1 - k и рассмотрим специальное
многообразие Шуберта Па(^) = {V: dim(K П L) ^ 1}. По лемме 3 мы можем
предполагать, что две диаграммы не перекрываются, т.е. X,- + |дг+]_,- ^ п
для всех /.
Формула Пьери означает, что эти три многообразия Шуберта
трансверсально пересекаются в одной точке, если неравенства A2) верны, и что
их пересечение fl\ П йи П fi*(L) пусто в противном случае. Это приводит
к некоторой элементарной линейной алгебре, которую мы обсудим ниже.
Если мы параметризуем клетки Q% и &° при помощи строчно-ступенчатых
матриц, как было сделано выше, то идея состоит в том, чтобы показать,
что линейные пространства V, возникающие в пересечении многообразий
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах 169
П\ и Пц, порождаются строками матриц, имеющих ненулевые элементы
только между соответствующими единицами ступенчатых матриц двух
типов. В предыдущем примере это будет базис, состоящий из строк матриц
вида
'***00000000 0~
000***000000
000000**0000 .
00000000*000
О 00000000** 0_
Подпространство, отвечающее звездочкам в /-й строке — это
подпространство С/, определенное перед упражнением 14. Неравенства A2) говорят,
что все звездочки находятся в разных столбцах, что позволяет утверждать,
что ненулевые векторы такого вида всегда линейно независимы.
Нетрудно понять, какие из пространств, натянутых на такие векторы, находятся
в многообразии ilk(L) для линейного пространства L общего положения.
Чтобы осуществить это, обозначим через С линейную оболочку
векторных подпространств С\, ..., Сг в пространстве Е = Ст. Положим Aq = 0
и So = 0.
г г
Упражнение 16. Покажите,что (а) С= f] {At+Br-.t)\ (b) ?dim(C;) =
/=o ;=i
= r + k\ (с) сумма С = С\ + ... + Сг является прямой суммой непустых
подпространств тогда и только тогда, когда верны неравенства A2).
Лемма 4. (а) Если подпространство V е Ог"(Е) принадлежит
пересечению Q\ П Пц, то V с С. (Ь) Если, кроме того,
подпространства С|, —, Сг линейно независимы, то dim(K П С,) — 1 для всех i
и v = vnc{e...evncr.
Доказательство. Согласно пункту (а) упражнения мы должны
показать, что V с Д- + Br-i для всех /. Это очевидно при Д П Br~i ф 0,
так как тогда Д + Br-t = Е. Поэтому мы можем предположить, что
At П Br-i ~ 0. Из условий, наложенных на V, следует, что dim(V/ П Д) ^ /
и dim(V П Br-j) > г — L Так как dim(K) = г, это означает, что V является
прямой суммой подпространств V П Д и КпВг_,, откуда, в частности,
следует, что V лежит в пространстве Aj + Вг_,\ и, тем самым, (а) доказано.
Так как dim(V П Д) ^ / и dim(V П Вг+1~;) ^ г + 1 - /, то, как и в
доказательстве леммы 3, dim(V П С/) ^ / + (г + 1 - i) — г = 1. Если
подпространства С,- линейно независимы, то V содержит прямую сумму
подпространств V П С/, которая имеет размерность не меньше г, поэтому
У = ф(У П С/) и все слагаемые должны иметь размерность 1. ?
Если неравенства A2) неверны, из упражнения 16 следует, что
пространство С не является прямой суммой подпространств С,- и что
размерность С не превышает г + k — 1. В этом случае типичное линейное
170
Глава 9. Многообразия флагов
пространство L размерности п + 1 - k будет пересекаться с С только по
началу координат. По лемме 4 ни одно пространство V из пересечения
Q\ П Йм не может тогда принадлежать многообразию 0*(L), поэтому
пересечение всех трех многообразий пусто.
Если же неравенства A2) верны, тогда С =фС, и типичное
подпространство L пересекается с С по некоторой прямой С • у, где v = и\ ф ...
... ф иг и щ — ненулевые вектора из С,-. Теперь условие, что V
пересекается с L как минимум по прямой, вместе с условием, что V содержится
в С, приводит к тому, что пространство V должно содержать вектор v.
Так как V = ф V П С/, то все щ принадлежат V, и, следовательно,
подпространство V должно быть линейной оболочкой векторов и\% ..., иг.
Это показывает, что рассматриваемое нами пересечение трех многообразий
Шуберта состоит из одной точки, и вычисления в локальных координатах,
использующие отождествление открытых многообразий Шуберта с
аффинными пространствами, как и раньше, показывают нам, что это пересечение
трансверсально. Это заканчивает доказательство формулы Пьери. (Другое
доказательство будет дано в главе 10.)
Теперь рассмотрим кольцо Л симметрических функций. Определим
аддитивный гомоморфизм Л —> //*(Gr"(Cm)), переводящий многочлен
Шура S\ в класс а\, если диаграмма X содержит не более г строк и п
столбцов, и переводящий S\ в 0 в противном случае. Как немедленное
следствие формулы Пьери и того факта, что Л порождается как кольцо
многочленами Шура S(k) = Л*, мы получим, что этот гомоморфизм
является гомоморфизмом колец. Формулы (8) и A0) в таком случае
оказываются верными автоматически, так как мы знаем, что они справедливы
в кольце Л.
Упражнение 17. Покажите, что количество г-плоскостей в
пространстве Ст, которые нетривиально пересекают каждое из г • (т - г)
находящихся в общем положении подпространств размерности т — г, равно
(г • (т - г))\ (г - 1)! • (г - 2)? >... ¦ 1!
(т- l)!.(/n-2)!-...-(m-r)! *
Упражнение 18. Покажите, что многообразие Q\ задается условиями,
что dim(V n/vn-X/) ^ ' Д^я тех *\ Для которых клетка (/, X/) является
внешним углом диаграммы Юнга X. Покажите, что никакое из этих условий
не может быть опущено.
Упражнение 19. Для диаграммы \х = A*), 1 < k < п, многообразие
Шуберта Пц состоит из подпространств V, для которых dim( V П Fn+k-\) ^
^ k. Покажите, что а(!*) • ох = ХЗстх'» где сумма берется по всем
диаграммам X7, полученным из X добавлением k клеток, никакие две из которых не
лежат в одной строке.
§9.4. Исчисление Шуберта на грассманианах 171
Упражнение 20. Покажите, что отображение, переводящее
пространство V с Е в ядро двойственного гомоморфизма ?* -» У*, задает
изоморфизм грассманианов Gr"(?) и Gf{E*), называемый изоморфизмом
двойственности. Покажите, что этот изоморфизм переводит
многообразие Шуберта Q\ в многообразие Шуберта П^.
Упражнение 21. (а) Покажите, что кольцо H*(Grn(Cm)) изоморфно
кольцу многочленов с образующими о\, ..., оп над Z, где о,- имеет
степень /, профакторизованному по идеалу, порожденному всеми
определителями размера р х р вида det(oi+y-/)i<i,/<p при г + 1 ^ р ^ т, где
в формуле предполагается ао = 1 и о/ = 0, если / < 0 или / > п. (Ь)
Выведите отсюда, что одночлены оа{1 *... * о%п линейно независимы в кольце
Н*(йт"(Ст)) при а{ + 2а2 +... 4- пап < г.
В следующей части мы также опишем кольца пересечений для
многообразий флагов. Они имеют сходный базис, состоящий из замыканий
множеств флагов, находящихся в данном положении по отношению к
фиксированному полному флагу. Тем не менее, в общем случае не известны
формулы, настолько же явные, как формулы (8).
Глава 10
Многообразия и многочлены
Шуберта
Мы опишем многообразия Шуберта в полных многообразиях
флагов Fl(?) = FI(Cm) = Fl(m) = Fl(m-m_l l)(Cm)t точки которых состоят
из флагов ?. = (?| с Е% С ... С Ет = Е = Cm), dim(?,) = /. Мы также
определим многочлены Шуберта, введенные Ласку и Шютценберже. Как
первые, так и вторые параметризуются подстановками w симметрической
группы Sm. Многочлены Шуберта, вычисленные на некоторых базисных
классах когомологий многообразия флагов, равны классам
соответствующих многообразий Шуберта. Мы часто используем результаты,
сформулированные в приложении В.
§ 10.1. Неподвижные точки действия тора
Рассмотрим сначала действие мультипликативной группы Т = С* на
проективном пространстве Рг, определенное по формуле
t-[xo:xl;...:x,] = lta*x0:ta*xl :...:ta'xr)
идя некоторых целых чисел а$, а\, ..., аг. Для каждого числа а из этих
чисел щ существует линейное подпространство La пространства Рг,
задаваемое уравнениями Xt = 0 для всех /', при которых а, ф а.
Несложно проверить, что множество неподвижных точек рассматриваемого
действия— несвязное объединение этих линейных подпространств La.
Например, если все щ различны, то множество неподвижных точек конечно
и состоит из г+ 1 точки [1 :0:... :0], [0: 1 :...:0] [0:0:...: 1].
Если действие группы Т = С* на Рг переводит некоторое
алгебраическое подмножество Z с Рг в себя, то множество неподвижных точек ZT
действия группы Т на Z есть пересечение Z и (Рг)г, так что
Zr=]JZnLa.
Лемма 1. Если множество Z не пусто, то множество
неподвижных точек ZT также не пусто.
§10.1. Неподвижные точки действия тора
173
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х = [хо:. . .:хг]
в алгебраическом подмножестве Z. Обозначим через а минимальное из
чисел а,-, для которых x-t Ф 0. Положим у\ = xiy если а,- = а, и */,- = 0, если
а,- ^ а, и положим */ = [?/о : - - -: уг]- Тогда точки
/ ¦ jc = [/a°jc0 :...: *а'х,] = [/a°-fljc0 :...: ta'-Qxr]
стремятся к точке у, когда / стремится к 0. Так как множество Z
инвариантно относительно группы 7\ все эти точки / -х принадлежат Z, и, так
как множество Z замкнуто в пространстве Рг, предельная точка у также
принадлежит Z. Наконец, точка у лежит в Z П La с Z1', что завершает
доказательство. ?
Это утверждение обобщается на действие m-мерного тора Т = (С*)т.
Для элемента / = (/|, ..., tm) G Т и для произвольного набора из m
целых чисел а — (aj, ..., am) обозначим через ta произведение /"' •... • t%".
Введем действие группы Т на пространстве W по правилу
t-ix0:...:xr} = ltaMx0:...:ta^xr]
для некоторых наборов а@), ..., а{г). Множество неподвижных точек
этого действия есть несвязное объединение линейных подпространств La,
где а пробегает множество {я@), ..., а(г)} наборов из m целых чисел
и пространство La задается уравнениями Xf = 0 при a(i) Ф а. Это можно
проверить непосредственно или применяя предыдущий случай индуктивно
к каждой из m компонент С* = 1х I х ... х С* х 1 x...xl в группе Т.
Предложение I. Если множество Z сРг замкнуто и переходит
в себя под действием группы 7\ то множество неподвижных
точек 1Т является несвязным объединением подмножеств Z л La. Если
множество Z не пусто, то и множество ZT не пусто.
Доказательство. Последнее утверждение доказывается
применением индукции по т, случай т = 1 рассмотрен в лемме 1. Полагая
Г = С*х...хС*х I С Г, мы получим, что ZT не пусто по
предположению индукции; рассмотрев С* = I х ... х 1 х С* С 7\ мы видим, что
множество ZT = (ZT )с* не пусто в силу случая т—\. ?
В общем случае, как мы видели в главе 8, для любого линейного
алгебраического действия группы Т на векторном пространстве V существует
базис, в котором действие Т на пространстве ?(V) будет совпадать с
описанным выше; это равносильно одновременному приведению к
диагональному виду набора коммутирующих диагонализуемых матриц. Предыдущее
предложение является частным случаем теоремы Бореля о неподвижной
точке: действие связной разрешимой линейной алгебраической группы на
проективном многообразии имеет неподвижную точку. Нам не потребуется
здесь это обобщение, но следующий частный случай очень прост.
174 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
Упражнение 1. Рассмотрим рациональное представление V группы
G — GLm(C) и обозначим через В подгруппу верхних треугольных матриц
группы G. (а) Покажите, что существует цепочка вложенных
подпространств V\ с У% С ... С У г — Vt dxm(Vi) = /, каждое из которых
переходит в себя под действием подгруппы В. (Ь) Выведите отсюда, что любое
алгебраическое подмножество Z пространства P(V), переходящее в себя
под действием подгруппы В, содержит точку Я, неподвижную относительно
действия этой подгруппы.
Мы применим доказанное предложение к подгруппе Т = (С*)т
диагональных матриц группы GLm(C) и к многообразию Z = Fl(m) полных
флагов в пространстве Ст. Мы видели, как многообразие Z вкладывается
в некоторое проективное пространство Рг:
m m / m \
" Fl(m) С JJ Gr^(C") С JJ P*(AdCm) с P* (g)AdCm = Pr.
Естественное действие группы GLm(C) на пространстве Cm индуцирует
действие на каждом из этих многообразий. Нетрудно проверить, что
возникающее действие группы Т на Р7* имеет описанный выше вид.
Действительно, если ?|, ..., ет — стандартный базис пространства Ст, то
пространство /\dCm имеет базис из произведений е,, Л ... Л еы, 1 ^ i\ < ... < id < w,
И ДЛЯ t =(t\ tm) МЫ ПОЛУЧИМ
/ • (е,-, л ... л е,-,) = tix •... • /,-,??;, л ... Л eid.
Координаты в пространстве W = P*((g)/\dCm) отвечают
произведениям таких базисных элементов, откуда легко следует требуемое
утверждение.
Лемма 2. Множество неподвижных точек действия группы Т на
многообразии флагов Fl(m) состоит из ml флагов вида
(eW(\)) с (eW(\), eWB)) С ... С (еШ{\), еш<2ь •••¦, e»<m)) = Cm,
где w е Sm.
Доказательство. Лемма доказывается непосредственным
вычислением. Пусть флаг ?| с ... С Ет = Ст неподвижен под действием
группы 7\ и пусть пространство Е\ натянуто на вектор v = Х\е\ + ... + \тет.
Так как (/| tm) • v = /1X1^1 + ... + tm\mem, прямая E\ неподвижна под
действием Т только в том случае, если ровно один из коэффициентов Хр
не равен 0, т.е. ?i = (ер). Далее, пространство ?г порождается
векторами {ер, v), где вектор v = ? \ея определяется единственным образом
цфр
с точностью до умножения на ненулевой скаляр. Поэтому Е% неподвижно
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях флагов 175
относительно группы Т только в том случае, если не равен нулю ровно
один коэффициент \дч отвечающий вектору v\ таким образом, Еъ = (ер, eQ)
для некоторого q Ф р. Продолжая эти же рассуждения, мы видим, что
неподвижный флаг задается упорядочением базисных элементов. ?
Обозначим через x(w) € Fl(m) точку, соответствующую флагу,
определенному в лемме 2.
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях
флагов
Фиксируем флаг F\ С F2 С ... С Fm = ?. При заданном базисе в
пространстве ?, отождествляющим Е с пространством Ст, мы будем считать
подпространства Fq = (в\ ед) оболочками первых q элементов этого
базиса. Для каждой подстановки w из группы 5т существует клетка
Шуберта Х° С FI(m) = FI(?), задаваемая как множество формулой
Х° = {?. € Fl(?): dim(?„ О Fq) = #{/ < р: w(l) ^ q} для 1 ^ /?, q < т).
Отметим, что клетка Х° содержит точку x(w), определенную в конце
предыдущего параграфа. Мы построим изоморфизм клетки Х° и
аффинного пространства С/(ш), при этом точка x(w) будет соответствовать началу
координат. Здесь l(w) обозначает количество инверсий подстановки ш,
называемое также длиной w:
l(w) = #{/</: w(i)>w(j)}.
Чтобы построить этот изоморфизм, отметим, что каждое
подпространство Ер любого флага ?. порождено первыми р строками единственной
«строчно-ступенчатой» матрицы, р-я строка которой содержит единицу
в w(p)-M столбце и нули всюду после этой единицы, и все элементы
матрицы ниже такой единицы также равны 0. Например, для подстановки 1}
ш = 426135в группе Sq эти матрицы будут иметь вид
** * * 1 0 о"
* 1 0 0 0 0
* 0 * 0 * 1
10 0 0 0 0 '
0 0 10 0 0
0 0 0 0 1 от
где звездочки обозначают произвольные комплексные числа. Здесь l(w) =
= 7, Х$2б, 35 — С7 и изоморфизм задается семью звездочками.
')Здесь и далее запись вида w = а\ а% ... а* обозначает подстановку ( а г —
Прим. ред.
176 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
На самом деле точка x(w) имеет открытую окрестность Uw в
многообразии флагов Fl(?), изоморфную С\ где число
п = т(т - I)/2 = dim(Fl(m))
равно размерности многообразия флагов. Флаги из этой окрестности
натянуты на строки матрицы с единицами в позиции (/?, w(p)) и нулями под
этими единицами. В предыдущем примере окрестность (/426135
отождествляется с пространством С15 посредством звездочек в матрице
> * * 1 * #¦
* 1 * 0 * *
* 0 * 0 * 1
10*0*0
0 0 10*0
.000010.
Упражнение 2. Проверьте, что Uw открыто в Fl(m) и что отображение
С" —* Uw С Fl(m) — открытое вложение.
Упражнение 3. Для 1 ^ i ^ т — 1 положим s,- = (/, / + 1), так что
подстановка оЛ S/ получается из w перестановкой значений на /-й и (/ + 1)-й
позициях. Покажите, что l(w • s,) = l(w) — 1, если w(i) > w(i -f- 1),
и l(w • Si) = l(w) + 1, если w(i) < w(i + 1). Выведите отсюда, что
l(w) — это минимальное число /, для которого существует разложение w =
= 5/, • . . . ¦ Sjr
Из этого описания следует, что клетка Л"° является замкнутым
подмногообразием окрестности Uw, изоморфным образу вложения пространства
?i(w) в ?п как координатного подпространства.
Упражнение 4. (а) Для любого флага ?. и К i ^ m определим
подмножество У{ множества [т] по правилу S?i = {/: ?,• П Fj ф ?,• П ?/_|}.
Покажите, что У\ CS^C.C 5?т и мощность множества j^- равна /.
Покажите, что на самом деле флаг ?. принадлежит клетке Х° тогда и только
тогда, когда J^* = {w(l), ..., ш(/)} для всех /.
(Ь) Диаграмма D(w) подстановки w G Sm состоит из пар (/, /)
целых чисел между 1 и т, для которых / < w(i) и / < w~l(j). Покажите,
что клетка Х° состоит из флагов ?., для которых существуют векторы
v\t ..., vm в пространстве ? вида vt = ew^) + ^а'7еУ» где сУмма берется
по всем парам (/, /) е D(w), для которых ?Л = (иь ..., v^} при 1 ^ k ^ т.
Нам также понадобится определение двойственных клеток
Шуберта fi°, состоящих из флагов, натянутых на строки ступенчатой матрицы,
опять содержащей 1 на позиции (р, w(p)) и нули под ними, но теперь
содержащей нули слева от этих единиц. Если мы обозначим через Fq
подпространства пространства ? = Ст, натянутые на последние q векторов
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях флагов 177
базиса, то
Q°w = {?. е Fl(m): d\m(EpnFg) = #{/ ^ р: w(i) > т + 1 - q) Vp, ?}.
Например, клетка ^4 26135 описывается матрицей
0 0 0 1**"
0 1 * о * *
0 0 0 0 0 1
10*0*0 *
0 0 10*0
0 0 0 0 1 0_
Мы видим, что клетка fi° gtQn-Hw) также замкнута в Um, и, как и в §9.4,
клетки Х° и ?2° трансверсально пересекаются в Uw по точке x(w).
Так как каждый флаг задается единственной строчно-ступенчатой
матрицей, многообразие флагов Fl(m) является несвязным объединением
клеток Шуберта Х°, по одной для каждой из подстановок w в группе 5т. Эти
клетки Шуберта есть в точности орбиты действия группы В с GLm(C)
верхних треугольных матриц. Аналогично, двойственные клетки ft°
являются орбитами действия группы В' нижних треугольных матриц.
Многообразие Шуберта Xw определяется как замыкание клетки Х°\
определим также многообразие Шуберта Qw как замыкание клетки ?}°.
Это неприводимые замкнутые подмногообразия в FI(m) размерностей l{w)
и п - l(w) соответственно. Так как подгруппа В действует на клетке Х°,
она действует также и на ее замыкании Xw. В частности, многообразие Xw
должно быть объединением клетки Х° и некоторого множества меньших
орбит Х° (при l(v) < l(w)). Аналогично, многообразие Qw является
объединением клетки ?2° и клеток П° при l(u) > l(w). Мы опишем множество
индексов у, встречающихся в этих разложениях, и дадим другое описание
этих многообразий Шуберта в § 10.5.
Предложение 2. Рассмотрим подстановки w, v € Sm. Если
многообразие Хи пересекается с Qv, то l(v) ^ /(ы), при этом равенство
возможно только при u = v. Многообразия Xw и Qw пересекаются
трансверсально по точке x(w).
Доказательство. Так как многообразие Хи сохраняется
подгруппой В, а многообразие Qv — подгруппой В', то пересечение Z —Xunflv
сохраняется тором В П В'. По теореме о неподвижной точке из предыдущего
параграфа, множество Z должно содержать какую-либо из точек x(w). Так
как точка x(w) принадлежит XWy то Х° —В * x(w) С Хи, значит, t(w) </(u),
причем равенство достигается только при w — u. Аналогично мы получим
П° = В' • x(w) с ?2У, откуда l(w) ^ /(у), и равенство достигается только
12* Таблицы Юнга
1?Ъ Глава 10, Многообразия и многочлены Шуберта
при w = v. Таким образом, l(v) ^ l(w) ^ 1{и), и либо l(v) < /(w), либо
м = ш = у, что доказывает первое утверждение.
Так как разность Xw \ Х° является объединением клеток Х° при l(v) <
< /(ш), то Xw \Х° не пересекается с многообразием Qw, и, аналогично,
разность Qw \ П° не пересекается с Xw. Поэтому Xw Л Qw = Х?, Л П° , а мы
знаем, что эти клетки пересекаются трансверсально по точке x(w). ?
Для 1 ^ d ^ п = т(т — 1)/2 обозначим через Z</ С FI(m) объединение
клеток Х° при /(ш) ^ d. Как мы видели, множество Zd —замкнутое
алгебраическое подмножество многообразия флагов FI(/n), так как оно является
объединением клеток Xw при l(w) < d. Кроме того, разность Zd \ Zd~\
является несвязным объединением клеток Х°у каждая из которых изоморфна
пространству Cd. Имеется общий факт (см. лемму 6 приложения В),
состоящий в том, что классы замыканий таких клеток задают базис когомологий
пространства с целыми коэффициентами. В нашем случае то, что классы
[Xw] многообразий Xw, для которых l(w) = dt образуют базис группы
когомологий H2n~2d (F\{m)) над Z, может быть проверено непосредственно
следующим образом. Мы увидим в предложении 3, что кольцо //*(FI(m))
является свободным Z-модулем ранга т\у при этом все нечетные группы
H2d+l (Fl(m)) равны нулю. Рассмотрим спаривание, отвечающее
пересечению, т. е. билинейное отображение
H2d(F\(m)) х H2n~2d(Fl(m)) — H2n(F\(m)) = Z, ахри(а, p).
Это спаривание является совершенным, так как FI(m) — компактное
ориентируемое многообразие вещественной размерности 2л, группы гомологии
которого являются группами без кручения. В нашем случае это может быть
проверено непосредственно. Именно, спаривание обладает тем свойством,
что классы двух замкнутых подмногообразий дополнительной размерности
имеют индекс пересечения, равный 0, если многообразия не пересекаются,
и индекс пересечения, равный 1, если они пересекаются трансверсально по
одной точке. Из предыдущего предложения следует, что для подстановок
и и v длины d выполнено равенство
(invl[Xu)) = Kv. A)
Отсюда следует, что классы {[Хи\: и €Sm} линейно независимы. Так как
существует т\ таких классов, они должны задавать базис когомологий
с рациональными коэффициентами. Но если класс когомологий
представлен как линейная комбинация классов [Хи\ с рациональными
коэффициентами, то формула A) показывает, что все эти коэффициенты являются
целыми. Следовательно, классы {[Хи]: l(u) — d) образуют базис в группе
H2n~~2d(F\(m)), а классы {[?lv]: l(v)—d)—двойственный базис в H2d(F\(m)).
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях флагов 179
Обозначим через w0 подстановку в группе Sm, переставляющую
элементы i и т + 1 — / для всех 1 ^ i < т.
Лемма 3. Для любой подстановки w eSm справедливо равенство
[Qw] — [Xwv], где wy — w0 • ш, т.е. wy(i) = т + 1 - w(i) при 1 ^ / ^ т.
Доказательство. Обозначим через А^ (?.) многообразие
Шуберта, построенное по флагу ?., подпространства Fp которого натянуты на
последние р базисных векторов. Из определений непосредственно следует,
что Q,w = Xwv(Fm). Поэтому требуемое утверждение следует из того общего
факта, что для любой подстановки v многообразия XV(F.) и XV(F.) задают
один и тот же класс когомологий. Как и в §9.4, используя упражнение В.7,
мы выводим последнее утверждение из того, что связная группа GL(?)
транзитивно действует на флагах. ?
Для любой подстановки w G Sm определим класс Шуберта ow в
группе //2/<*'>(Fl(m)) по формуле
Используя формулы A) и лемму 3, мы получим
(аы, Guv) = (аы, а^.у) = Ъии. B)
Нам потребуется описание кольца когомологий многообразия флагов
Fl(m). Это кольцо порождается некоторыми базисными классами х\, ...
..., хт в группе Н2(?\{т)) с соотношениями, задаваемыми элементарными
симметрическими многочленами от этих переменных. Проще всего это
описывается в терминах проективных расслоений и классов Черна. Над
многообразием X = Fl(?) существует универсальная или
тавтологическая фильтрация подрасслоений тривиального расслоения Ех ранга т
над Я:
0 = U0cUxCU2C...cUm-\CUm = Ex\
слоями этих расслоений над точкой многообразия Fl(?), отвечающей
флагу ?., являются векторные пространства ?; этого флага. Первые
классы Черна линейных расслоений ?/,¦/?/,•_ i порождают кольцо когомологий.
Именно, положим
U = Ui/Ui-u xi = -cx(Li)f I < i < т. C)
Линейное расслоение L, может быть отождествлено с расслоением L(x),
построенным по некоторому характеру, как это было сделано в §9.3. На
самом деле, если мы обозначим через В группу верхних треугольных
матриц в группе G, то расслоение Li равно Цх<)> где характер х,: В —>С*
переводит элемент g в i-й элемент на диагонали матрицы,
представляющей g. Действительно, неподвижная точка х для действия группы В на
180 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
многообразии X — это флаг, /-е подпространство которого порождается
первыми / базисными векторами пространства ?, поэтому слой
расслоения L; в точке х порождается образом вектора е,, который
умножается на Х/(?)ПРИ действии элемента g из подгруппы В. Таким образом,
Xi = -c{(L(Xi)) = c{(L(xr1))-
Мы увидим ниже, что эти классы тесно связаны с классами aw
группы Н2(Х)\ на самом деле, oSi = Х[ + ... + хк при 1 ^ i ^ /га — 1, где
Si—транспозиция элементов / и / + 1. На основании этого можно дать
другое определение базисных классов: х,- = aSi - ст5(_, при 1 < / ^ /га — 1
и xm = -oSm_r
Предложение 3. Кольцо когомологий многообразия X = F\(m)
порождается базисными классами х\, ...,хт, связанными
соотношениями ei(x\, ..., хт) = 0 при 1 < j ^ /га. Иначе говоря, Н*(Х) = /?(/л),
где
R(m)=Z[Xx Хт]/(е{(Хх Xm). ¦¦¦. <?«№ Хт)).
Кроме того, классы х\* • х% •... • х*™ с показателями ij ^ /га - у
задают базис кольца H*(F\{m)) над Z.
Доказательство. Мы будем использовать некоторые факты
теории проективных многообразий и классов Черна (см. §В.4). Рассмотрим
векторное расслоение V ранга г на многообразии Y и соответствующее
проективное расслоение р: P(V) -* К, слоем которого над точкой
многообразия У является проективное пространство прямых, проходящих через
начало координат в пространстве V. Над пространством P(V) существует
тавтологическое линейное расслоение L с p*(V). Положим z = -c\(L).
Тогда
/Г(Р(К)) = H*(Y)[z]/(zr + axzr~{ + ... + аГ)
для некоторых однозначно определенных элементов aj,...,ar кольца
H*(Y). На самом деле элемент а,- — это i-й класс Черна Ci(V) в группе
H2i(Y). Классы 1,2 zr~l задают базис H*(P(V)) над H*(Y).
Многообразие флагов X = Fl(?) может быть построено как
последовательность проективных расслоений. Сначала мы имеем проективное
пространство Р(?) с тавтологическим линейным расслоением U\ С ?. (В этих
рассуждениях мы будем отождествлять расслоение и его прообраз.) Над
пространством Р(?) мы рассмотрим расслоение E/U\ ранга /га - 1 и
построим расслоение P(E/U\) —>Р(?). Тавтологическое линейное
расслоение над пространством ?(E/U\) имеет вид f/гЛЛ. для некоторого
расслоения ?/г ранга 2, такого, что U\ с Иъ С ? на многообразии P(?/?/i).
Затем построим многообразие Р(?/(/г), рассмотрим над ним
тавтологическое расслоение (Уз/^2» и так далее; наконец, рассмотрим многообра-
§ 10.2. Многообразия Шуберта в многообразиях флагов 181
зие флагов1* Р(?/?/т_г) и тавтологическое расслоение Um^\/Um-2 над
ним. В силу сформулированных в предыдущем абзаце утверждений о
проективных многообразиях, мы получим, что классы х\1 • х'22 • ... • х1™, при
ij < т - /, задают аддитивный базис кольца //*(Fl(m)).
Так как расслоение Ех над многообразием X имеет фильтрацию, фак-
торрасслоениями которой являются линейные расслоения L,, из формулы
Уитни следует, что /-й класс Черна расслоения Ех является i-м
элементарным симметрическим многочленом от классов Черна C\(L\), ..., c\{Lm).
Расслоение Ех тривиально, поэтому все его классы Черна равны 0.
Следовательно, ei(x\t ..., хт) 5= 0 при 1 ^ / < т.
Через R(m) обозначим Z-алгебру, определенную в формулировке
предложения. Рассмотрим каноническую сюръекцию
R(m) -» /T(Fl(m)), Xt *-> xiy l^i^m.
Чтобы показать, что это отображение является изоморфизмом, достаточно
проверить, что образы классов Х[{ - Х? •... - X\g при // < т - /
порождают алгебру R(m) над Z. Это полностью алгебраический факт из теории
симметрических многочленов. Обозначим в нашем доказательстве через х/
образы элементов Xt в кольце R(m). В кольце R(m)[t] справедливо
следующее равенство:
Р . т
ПГ^7=ПA-^). D)
Это следует из того, что
т
J[(l -Xit) = l -ext + &* - ... + (-\)memtm = 1.
Левая часть равенства D) равна сумме ? Ы(х\, ¦ ¦ • , xp)tl. Сравнивая
коэффициенты при V, мы видим, что hi(x\t ..., хр) = 0 при i > т - р.
В частности, используя уравнения
hm-p+l(x{, ..., хр) = х™~р+х + ... = 0, 1 ^ р < т,
при помощи нисходящей индукции no р мы получим, что рассматриваемые
одночлены порождают алгебру R(m) как Z-модуль. ?
¦>Утверждение, что многообразие флагов Fl(m) совпадает с соответствующим
проективным расслоением, легко доказывается по индукции, см. построение многообразия Fl(m) как
Р1-расслоения в § 10.3. — Прим. пере в.
182 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
Одна из целей этой главы — найти «формулу Джамбелли», т.е.
выразить классы «геометрического базиса» aWy w € Sm, как многочлены от
«алгебраического» базиса х\*х$.. .х1™, if ^ т — у. Мы увидим, что
существуют многочлены (они называются многочленами Шуберта) дающие
общее решение этой задачи.
§ 10.3. Соотношения между классами Шуберта
Существует каноническое вложение i: FI(m) «-> F\(m + 1),
переводящее флаг ?. в пространстве Е = Ст в следующий флаг в пространстве
?' = ?фС = С"+1:
?i0Oc?2eOc...c?m_ieOc?'m0O = ?®Oc?/ = ?'eC.
Это замкнутое вложение, отождествляющее многообразие FI(m) с
множеством флагов пространства ?', /л-й компонентой которых является
пространство Е ф 0. Из этого определения сразу видно, что для любой
подстановки w € Sm вложение i изоморфно переводит клетку Шуберта Х°
многообразия Fl(m) в клетку Шуберта, обозначенную как Х° в
многообразии ?\(т + 1). Здесь и ниже мы, как обычно, рассматриваем группу Sm как
подгруппу группы Sm+\, переводящую в себя элемент т + 1. Многообразие
Fl(m) замкнуто в Fl(m + 1), поэтому образ i(Xw) — многообразие Шуберта,
соответствующее подстановке w в многообразии флагов ?\{т + 1).
Вложение i определяет ковариантные гомоморфизмы
i*://2rf(FI(w))-»//M(Fl(m+l)).
обладающие тем свойством, что i*|Z] = [i(Z)\ для замкнутого
подмногообразия Z С F\(m). Отождествляя гомологии и когомологии при помощи
двойственности Пуанкаре, мы получим, что вложение и переводит
группу H2r(F\(m)) в H2r+2m(F\(m + 1)), так как коразмерность многообразия
флагов Fl(m) в многообразии Fl(m + I) равна т. Также мы имеем контра-
вариантные гомоморфизмы колец
I*: H2d(F\(m+ 1)) —tf2rf(FI(m)).
Эти гомоморфизмы связаны формулой проекции: i#(i*(ct) • |3) = a ¦ i*(P) для
a€ //*(Fl(m+ 1)) ир€ H*{F\(m)). Для подстановки w eSm будем
обозначать элемент ow группы H2l{w)(F\{m)) через с$\ когда мы одновременно
рассматриваем более одного многообразия F\(m).
Лемма 4. Для всех подстановок w € Sm гомоморфизм i* группы
//2/<*>(Fl(m + 1)) в группу H2l{w\F\(m)) переводит класс aLm+I) в а^К
§ 10.3. Соотношения между классами Шуберта
183
Доказательство. Из формулы проекции следует, что для любой
подстановки v е Sm справедливо следующее равенство:
<L*(<4m+I)), [Xv]) = <o?<+,\ i.[Xv]) = <a?f+l), №)]>•
Так как i(Xv) — многообразие Шуберта в Fl(m + 1), отвечающее
подстановке и, то из формул A) (примененных к многообразию ?\{т + 1))
следует, что правая часть этого выражения равна 1 при v = w и 0 в противном
случае. Но мы знаем, что класс oi?1* является единственным элементом
группы H2t{w){F\(m)), для которого (о?Г\ [Xv]) = bwv для всех
подстановок v. Следовательно, 1*(о^+1)) = о{™К ?
Тавтологический флаг расслоений над многообразием Fl(?')
посредством вложения l сужается до флага расслоений U\ С ... С Um = Е с Е ф С
над многообразием Fi(?). Если мы обозначим базисные классы на
многообразии Fl(m+ 1) через х\, ..., Jtm+i, базисные классы на Fl(m) — через
х\у ..., хт, то для вложения к имеем
1*(Х/) = Xi для 1 ^ / < /Л И L*(jCm+l) = 0-
Другими словами, если мы рассмотрим кольцо /?(т), определенное в
предыдущем предложении, и зададим отображение R(m -ь 1) -+ R(m) по формуле
Xi »-> ^ для i^/пи Хт+\ »-+ 0, то диаграмма
R(m+\) *//*(FI(m+l))
у
tf(/n) >- W*(Fl(m))
коммутативна.
Для многочлена Р из Z[X| Хт] обозначим через si(P) результат
перестановки переменных Xi и X,-+i в этом многочлене, для любого /
между 1 и т - 1. Следуя Бернштейну, Гельфанду и Гельфанду (Bernstein,
Gelfand, Gelfand [1973]) и Демазюру (Demazure [1974]), определим Z-ли-
нейные разностные операторы ф на кольце многочленов Ъ\Х\, ..., Хт]
по правилу
di(P)=y~$yPK UUm-1. E)
Ai ~ Ai+\
Отметим, что разность Р — Si(P) всегда делится на Xi - Xj+\, так что это
отношение всегда будет многочленом. Если Р — однородный многочлен
степени d, то di(P) — однородный многочлен степени d — 1, и dt(P)
всегда симметричен по переменным Xt и Х1+\. Из определения следует, что
dt(P) — 0 тогда и только тогда, когда st(P) = Р, т.е. когда Р симметричен
по переменным Xi и Xi+\. В частности, di(di{P)) = 0 для любого Р. Также
184 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
из определения следует, что для произвольных многочленов Р и Q
PQ - si(P)st(Q) (Р - st(P))Q + Si(P)(Q - SiiQ))
di(P-Q) =
Xi ~ Xj+\ %i ~ л/+|
= a,(/>)-(? + Si(P)-ft(<?). F)
В частности, если многочлен Q симметричен по переменным Х-, и Х/+|, то
9t(P • Q) ~ д[(Р) • Q. Из равенства F) следует, что оператор д,
переводит идеал, порожденный элементарными симметрическими многочленами,
в себя, поэтому дг индуцирует оператор на факторкольце R(m), который
мы также будем обозначать через д\.
Несколько простых фактов о действии этих операторов на многочленах
и на кольцах R(m) доказаны в следующих трех леммах.
Лемма 5. Рассмотрим многочлен Р в кольце Ъ\Х\, ..., Х^] и
предположим, что многочлен дРг о ... о дРх(Р) принадлежит кольцу
Z[X\, ..., Xk] для любого набора индексов р\, .... рг из множества
{1, ..., k) и дРг о ... о дР1(Р) = 0, если какой-либо из индексов pt
равен k. Тогда многочлен Р равен сумме Р = ? ajX1, где сумма берется
по наборам I = (i\, ..., /*), в которых it ^ k - j для всех j.
Доказательство. Из определения оператора др следуют
основные соотношения
(X°p-lXbp+l+X°p-2XbpX\ + ...+XbpXap-\, еслиа>&,
дР(Х°рХьр+1)= <0, если а = Ь, G)
{-XlXb-\-X^Xb-+]-...-X^X;+v еслиа<&.
Рассмотрим Z-подмодуль М кольца %[Х\, . ,.,Х*], порожденный
одночленами X1, где / = (/|, ..., /*), /7 ^ k - /, 1 < j < k. Из равенств G)
мы видим, что каждый из операторов др переводит модуль М в себя.
Чтобы воспользоваться индукцией по степени многочлена Р нам
достаточно доказать, что если многочлены др(Р) лежат в М для 1 ^ р ^ k
и дь(Р) = 0, то Р е М. Запишем многочлен Р в виде Р = Ylai^! и» если
Р ? М, обозначим через р максимальный индекс, для которого существует
ненулевой коэффициент а/, где / = (м, .... /*) и ip > k — р\ обозначим
через а максимум из индексов ip, встречающихся в таких наборах /, и
через b — максимум из индексов ip+\ по тем из этих наборов, в которых
ip = а. Если р = &, то др(Р) = 0, что невозможно.1* В противном случае
из уравнений G) следует, что др(Р) имеет ненулевой член вида ajXJ, где
J = (i\ ip-i, b% a - 1, ip+2 **).
что противоречит тому, что др(Р) лежит в Af. ?
'*Если р = kt то Р зависит от Хр и не зависит от Хр+\. — Прим. перев.
§ 10.3. Соотношения между классами Шуберта 185
Лемма 6. Рассмотрим многочлен Р € R(m) и запишем его в виде
Р = ^а/Х1, где сумма берется по наборам I = (м, ..., im), для
которых ij ^ т — у для всех у. Предположим, что существует целое
число k < т, для которого dj(P) = 0 в кольце R(m) для всех k <i <т.
Тогда а/ = 0 для любого набора I = (i\, ..., im), для которого ij > 0
при некотором у > &.
Доказательство. Мы докажем лемму нисходящей индукцией по k,
случай k = т - 1 тривиален. Пусть утверждение верно для некоторого
k ^ /и - 1, докажем его для й - 1. По предположению индукции Р
записывается единственным образом как сумма
т—k
р=0
где (?р—линейные комбинации одночленов х! и наборы У имеют вид
(/i, ..., /ft-i), /у < m - /. Теперь мы имеем
т—Л
Все одночлены jcj1 • х$ •... • x?l]*|*?+|, встречающиеся в этом
выражении, линейно независимы в кольце R(m), так как 5 и / не превосходят
т — k — 1. Отсюда следует, что Qp = О при р > 0, поэтому /> = Qo, что
и требовалось. П
Из определений также следует, что при / ^ т - 1 оператор 9,
коммутирует с гомоморфизмом из кольца R(m 4- 1) в R(m), определенным выше.
Лемма 7. Пусть для некоторых N ^ /г > 0 u d ^ 0 при т^Ы
существуют элементы Я<т) кольца R(m), каждый из которых является
однородным многочленом степени d, такие, что
A) каноническое отображение из кольца R(m+ 1) в R(m)
переводит Р{т+Х) в Р{т) для всех m^N;
B) di(P{m)) = 0для всех i>kum^N.
Тогда существует единственный многочлен Р в кольце Ъ\Х\, ...
..., Xk\, такой, что каноническое отображение кольца Ъ[Х\, ..., Xk]
в кольцо R{m) переводит Р в Р(т) для всех т^ N.
Доказательство. По лемме 6 каждый многочлен Р(т) имеет
единственное представление в виде Р(т) = ? сцХ1, где / = (i\, ..., /*), /у < т - j
для всех у и J2h = d- Отметим, что, так как // ^ d, то условие ij ^т- j
автоматически верно при т^ d + k. Отсюда следует, что при m^d + k
и m > N условие, что Я<т+1> переходит в Р(т), означает, что Я*т> и /><m+I*
как многочлены от Х\, ..., Xk имеют одинаковое выражение. Многочлен Р
совпадает с этим выражением. ?
186 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
При отождествлении каждого из колец R(m) с H*(F\(m)) классы,
обозначенные выше через a»?, удовлетворяют условию A) леммы 7. На самом
деле, если подстановка w лежит в группе S*, то мы можем положить Л/ = к.
Следующее предложение показывает, что эти классы удовлетворяют
условию B) для того же k. Это значит, что в кольце Ъ[Х\, ..., Л*) существует
единственный многочлен, отображаемый в класс а™ в группе Н21(е)(?\(т))
для всех m^k.
Предложение 4. Рассмотрим подстановку w е Sm и фиксируем
1 ^ i ^ т - 1. Пусть w' = w • s,- — результат перестановки значений
подстановки w на i-м и (/ + \)-м местах.
A) Если w(i) > w(i + 1), то dj(ow) = ow>.
B) Если w(i) < w(i + 1), mo di(ow) - 0.
Доказательство этого предложения требует построения подходящего
Р1-расслоения. Фиксируем / и обозначим через Y многообразие флагов,
состоящее из флагов подпространств пространства Е всех размерностей,
кроме /-й:
0с?| О..С?/-| с?/+| C...c?m = ?=Cm.
Существует проекция / многообразия флагов X — Fl(?) на
многообразие К, переводящая полный флаг во флаг, в котором пропущено /-е
подпространство. Над Y существует тавтологический флаг подрасслоений
тривиального расслоения Е = Еу\
T[C...CTi.{ c7i+|C...c7,m = ?.
Проекция / реализует многообразие флагов X как Р1-расслоение над К,
именно, как расслоение Р((/), где U = 7/+|/7/_|. Обозначим через Z =
= X ху X расслоенное произведение, состоящее из пар флагов (?., ?^),
для которых ?/ = ?¦ при всех / ^ /. Обозначим через р\ и /?2 две проекции
из Z на X, каждая из которых задает на Z структуру Р1-расслоения над X.
Мы выведем предложение из следующих двух лемм. Для первой
леммы нам потребуется понятие бирационального морфизма алгебраических
многообразий: это морфизм многообразий тс: V —> W, для которого на
многообразии W существует открытое в топологии Зарисского множество U\
такое, что отображение из iz~l(U) на U является изоморфизмом.1*
Лемма 8.
A) Если w(i) < w(i + 1), то проекция р\ отображает прообраз
P2l(Xw) бирационально на многообразие Xw*, где w' — w • s/.
B) Если w(i) > w(i + 1), то проекция р\ отображает прообраз
P2X(XW) в многообразие Xw.
"В случае характеристики нуль достаточно найти такое множество U', для которого
отображение n~]{U) —* U является биективным, так как его сужение на меньшее подмножество
является изоморфизмом.
§ 10.3. Соотношения между классами Шуберта
187
Доказательство. Для флага Е'л из многообразия флагов X
прообраз р2Х{Е1т) можно отождествить с множеством флагов ?., для которых
Ej — E'j при всех / ф /. Предположим, что флаг Е'т принадлежит клетке Х°,
и пусть v\y ..., vm —такие векторы, что подпространство E'k порождается
v\y ..., Vk\ такие векторы единственны, если рассматривать их, как и
раньше, как столбцы матрицы, приведенной по строкам. Флаг ?. принадлежит
Р2Х{Е'%) тогда и только тогда, когда он или равен флагу Е[, или является
флагом E[{t), подпространства которого порождаются векторами
V\4 ..., У/_Ь t -Vi + Vi + i, vtl vi+2, • ¦-, Ил,
для некоторого скаляра /. (Действительно, эти флаги задают аффинную
прямую в слое, которая вместе с точкой Е'% составляет полную
проективную прямую в слое.) Теперь если w(i) > w(i + 1), то мы видим по
определению клеток Шуберта, что каждый из флагов Е[ лежит в клетке Х°.
Следовательно, проекция р\ переводит прообраз p^H^w) в многообразие Xw,
и, рассматривая замыкания, мы приходим к утверждению B) леммы.
Однако при w(i) < w(i + 1) рассматриваемые флаги E'9(t)
принадлежат клетке Х°,. На самом деле нетрудно заметить, что любой флаг
в Л"°, имеет вид E'm(t) для однозначно определенных скаляра t и
флага Е'тУ принадлежащего клетке Х°. Отсюда следует, что если мы обозначим
через Д диагональ в X хуХ (изоморфную многообразию X), то
проекция р\ отображает Р21(Х°)\А биективно на Х^,. (Можно проверить,
что это изоморфизм, используя естественное отождествление клетки Х°,
с аффинным пространством.) Утверждение A) леммы следует теперь из
рассмотрения замыканий. ?
Мы будем использовать некоторые общие факты об индуцированных
отображениях на когомологиях, приведенные в приложении В,
формулы A)—(8) из этого приложения и лемму 9 §В.4. Мы представили
многообразие X как Р1-расслоение F(U) над многообразием Y с проекцией /.
Если L — тавтологическое линейное подрасслоение прообраза
расслоения U над многообразием X и х = —C\(L), то мы знаем, что любой
элемент кольца Н*(Х) может быть записан в виде ах + р для определенных
единственным образом элементов аир кольца H*(Y). Используя
формулу проекции, мы выводим из леммы В.9 следующую формулу, полностью
описывающую индуцированное отображение /*:
/,(оех + Р)=а. (8)
Теперь рассмотрим Z = X ху Ху и пусть р\ и р% — проекции Z на X.
Композиция (Р\)*о(р*): Н*{Х) —> H*(Z) -*• Н*(Х) задается формулой
(Pi)* о (Р2)(а* + Р) = а Д^я всех «. Р € H*(Y). (9)
188 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
Это следует из того, что р\: Z —>Х является Р1-расслоением векторного
расслоения p^W)* поэтому первый класс Черна его тавтологического
линейного расслоения равен р\(—х). Теперь формула (9) следует из (8) и того
факта, что /??(у) = Р*(т) для любого у, отвечающего элементу кольца
//*(К), так как / о р2 = f о рх.
Лемма 9. При отождествлении колец Н*(Х) и R(m) для
многообразия X = F\(m) композиция (/?,)* о (р*): H2d(X) -> H2d(Z) -* H2d~2(X)
совпадает с оператором di.
Доказательство. Используя предложение 3, но для другого
порядка переменных jc,-, при котором переменные х\ и xi+\ находятся на двух
последних местах, мы видим, что каждый класс в кольце Н*(Х) = R(m)
имеет единственное представление в виде а*, + C, где а и р— многочлены
от остальных т — 2 переменных jc/, / Ф /, i + 1. По определению
оператора di мы имеем Э,(ои,- + Р) = а.
Так как все остальные переменные xt отвечают классам —c\(Tj/Tj„\)
на многообразии К, элементы аир должны соответствовать классам
в кольце H*(Y). Но х = -c\{Ui/Ui~\) = *,-, и из формулы (9) следует,
что {р\)* о (p^ictXj + Р) = а. Это завершает доказательство равенства
a = (Pl).o(p?). ?
Доказательство предложения 4. Напомним, что aw=[Xwv],
где wy = wQ • w. Отметим, что w(i) > w(i -f 1) в точности тогда, когда
wv(i) < wv(i + 1). Отсюда следует, что p^i^w) = [P^Ww*)]- По лемме 8
проекция р\ отображает p^'^v) бирационально Ha.Xwv.Sl при w(i) >
>w(i + 1) и отображает P2X(Xwv) в меньшее многообразие Xwv при w(i)<
< w(i + 1). Следовательно (в силу формулы G) §В.1),
-1
(Р1).(ГР2"(^)])в
IX»v.s,J, если w(i) > w(i + 1),
0, если w(i) < w(i + 1).
Но WV • Si = W0 • W • Sj = (W ¦ 5|)V, ПОЭТОМУ {P\)*(P2(<*w)) = <?ш^> ССЛИ
w(i) > w(l + 1), и (p\)+(p2(ow)) = 0 в противном случае. По лемме 9
утверждения предложения 4 следуют из этих формул. ?
§ 10.4. Многочлены Шуберта
Рассмотрим подстановку wf принадлежащую группе S* для
некоторого k. Для всех т > k в кольце R(m) - H*(F\(m)) существует класс *$?*.
В силу леммы 4 и утверждения B) предложения 4 эти классы
удовлетворяют условиям леммы 7 при N = k и d = l(w). Поэтому существует
единственный однородный многочлен степени l(w) в кольце Z[X\, ..., Хь],
который отображается в класс о& в группе //2/(u,,(Fl(m)) для всех т ^ k.
§10.4. Многочлены Шуберта
189
Этот многочлен называется многочленом Шуберта,- отвечающим
подстановке w. Мы будем обозначать его через &w = 6W{X\ Хъ).
Предложение 5.
A) Для любого i верно равенство di{&w)=&w.Sn если ш(/)>ш(/ + 1),
и di(&w) = 0 при w(l) < w(i 4- 1).
B) Для любой подстановки w е S& многочлен Шуберта имеет
вид &w = J2 а/Х1, где сумма берется по всех наборам I = (м, ..., /*),
у которых ij ^ k - / для всех /.
Доказательство.
A) Для всех т ^ k и т > i мы знаем из определения оператора <9/, что
di(&w) переходит в di(aw) в кольце R(m) = H*(F\{m)). По предложению 4
этот класс равен aw.Sl (равен 0), если w(i) > w(i + 1) (соответственно
w(i) < w(i + 1)). Отсюда следует, что многочлены фFш) и &w.Si
(соответственно 0) переходят в один и тот же класс для всех достаточно
больших т, значит, еще раз применяя лемму 7, мы получаем, что эти
многочлены должны совпадать.
B) Применим пункт A) и лемму 5, заметив, что если w € S*, то w • S/ €
е Sk для всех /' < k и dk(&w) = 0 по пункту A). ?
Мы пока не вычислили ни одного многочлена Шуберта. Единственный
очевидный из определения случай — многочлен, отвечающий
тождественной постановке w = 1 2.. .m; в этом случае ©tt, = 1, так как его образом
в группе H°(Fl(m)) должен быть класс многообразия ?\(т). Но
предложение 5 приводит к алгоритму для вычисления всех многочленов
Шуберта. Например, многочлен 6Si степени 1 должен удовлетворять свойству
di(GSt) = 1, и dj(&Si) — 0 для всех / ф i. На самом деле
6Sl=Xi+X2 + ... + Xi.
Действительно, это, с точностью до ненулевого скаляра, — единственные
однородные многочлены степени 1, симметричные по переменным Х} и Х*}+\
для всех / ф /; при этом коэффициент при Xt должен быть равен 1. Отсюда
подобным же образом можно вычислить многочлены Шуберта степени 2
и так далее. Но более прямым путем оказывается другой — посчитать
многочлены Шуберта от некоторых подстановок большой длины и затем
применить операторы ф, чтобы получить формулы для более коротких
подстановок. Для этого нам потребуется следующая лемма.
Лемма 10. Для подстановки w0 = mm— 1 ...21, имеющей самую
большую длину в группе 5т, соответствующий многочлен таков:
ут—\ ут—% у2 у
Шо—Л| ¦ Л2 ' • • • ' лт-2 ' лт-\>
Доказательство. Существует всего один одночлен требуемого
вида длины п = l(wQ) ~ т(т - 1)/2, а именно, одночлен, указанный в фор-
190 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
мулировке леммы. Согласно п. B) предложения 5 многочлен &Wo должен
совпадать с этим одночленом с точностью до скалярного сомножителя.
Далее, подстановка w0 переводится в тождественную подстановку
умножением справа на транспозиции
E152 • • ¦ • • Sffl-i)(S|S2 ' ¦ . . • 5ffl-2) " • • * * (S|S2)Si. <10)
Применив соответствующую последовательность операторов к одночлену,
нетрудно видеть, что в результате получается 1. По предложению 5, п. A),
те же операторы должны переводить в 1 и многочлен 6^, поэтому этот
многочлен равен рассматриваемому одночлену. ?
Это дает следующий алгоритм вычисления любого многочлена
Шуберта. Данную подстановку w е Sm нужно представить в виде w =
= Wo • si{ • s,-2 •... • s,-r, где l(w0 -S,-, •... • sip) = n- p для l^p^r. Тогда
По уже доказанному это не зависит от выбора элементарных транспозиций
и даже от выбора т. Общее правило заключается в том, что мы можем
поменять местами два последовательных значения подстановки, если
первое больше второго. В качестве примера вычислим многочлен @w для
подстановки ш = 41352. Начиная с ш0 = 54 321, сначала переставим
две первые цифры, получив подстановку 4 532 1:
©4532 1 = д[(Х{ Х2Х$Х4) = ХхХ2ХгХ4.
Теперь поменяем местами четвертую и пятую цифры:
©4 5312 — д4(Х{ Х2Х%Х4) = Х]Х2Х3.
Теперь меняем третью и четвертую цифры:
©45 132 = WXfXiXi) = XfXlXs + Х?Х%Х4.
Теперь меняем вторую и третью цифры:
©4 1532 = д2(Х{Х2Хз + Х{Х2Х4) -
= Х\ X2Xz -+- Х\ ^2^з "^ ^i -^2^4 + Х\ Х2Х3Х4 + X} Х$Х4.
Теперь опять меняем третью и четвертую цифры:
©4 1352 — Зз(©4 1532) =-^1^2 + ^1 ^Л + Х{ Х2Х4 — Х^Х2 + Х{ Х$Х4 =
= Х| Хг^з + Х[ ^2-^4 + X} Х$Х4.
Можно получить тот же результат несколькими другими путями, например,
применяя операторы 620630^081 о д4 или ^o^o^o^o^i вместо
930З20530З40З1.
§ 10.4. Многочлены Шуберта
191
Упражнение 5. Вычислите многочлен 621543 и покажите, что
коэффициент при одночлене Х^Х^Хг равен 2.
На самом деле верно утверждение, что при разложении многочленов
Шуберта по базису из одночленов X1 все коэффициенты при
одночленах неотрицательны (см. Макдональд (Macdonald [1991а], 4.17));
существуют комбинаторные формулы для коэффициентов (см. Билли, Джокуш
и Стенли (Billey, Jockusch, Stanley [1993])), но, несмотря на это, ответы
на некоторые вопросы относительно коэффициентов еще остаются
неизвестными.
Многочлен @w существует для каждой подстановки w из S^ = \JSm.
Мы видели, что &w лежит в кольце Z{X\, ..., Xk\ в том и только в том
случае, если w(i) < w(i + 1) для всех / ^ k.
Предложение 6. Многочлены Шуберта 6Ш, где w пробегает
множество всех подстановок в Soo, для которых w(i) < w(i + 1) при
i ^ k, задают аддитивный базис в кольце Ъ[Х\, ..., J^].
Доказательство. Для многочлена Р степени d выберем m^d + k
и запишем равенство Р = ^2awGw в кольце R(m). Все одночлены по обе
стороны этого равенства имеют вид X*\ I = (/ь ..., /*), /, < т - /'; эти
одночлены независимы в /?(т), так что мы имеем равенство многочленов.
При / > k мы получим 0 = di(P) = Ylawdi(&w) = Y^aw&w-st (последняя
сумма берется по подстановкам ш, для которых w(i) > w(i + 1)). Так как
эти многочлены &w.Si линейно независимы в кольце R(m)t то aw =0 при
w(i) >w(i + 1). ?
Для любой подстановки w в S^ мы можем определить оператор dw
на кольце многочленов Z[X\, Х2, ...], записав подстановку w в виде w —
= Si, *... • Sin где / = /(ш), и положив dw = ф, о ... 6 д-ц. Из предложения 5
следует, что dw(&v) = &v.w-i, если l(v • ш) = /(и) - l(w)y и dw(&v) =0
в противном случае. Эти утверждения не зависят от того, как
подстановка w записана в виде произведения транспозиций, поэтому, по
предложению 6, оператор dw не зависит от представления w в виде приведенного
слова. Похожим образом, мы получим
du-v = <
да о dVl если 1(и * v) = l(u) + l(v),
0, в противном случае.
Следующее упражнение будет использоваться в § 10.6.
Упражнение 6. Покажите, что, еслишA) > wB) > ... > w{d) nw(i) <
< w(i + 1) для всех i>d% то GW=X?X)-X • Х^2)~] .... -Xfd)'\
Упражнение 7. Для любого подмножества Т множества [k] покажите,
что многочлены Шуберта 6м,, где w пробегает множество подстановок
в Sk, для которых w(i) < w{i +1) при i & 7\ задают базис для многочленов
192 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
в кольце ЩХ\, ..., X/t], симметричных по всем парам переменных Xt и Xi+\
при i G Т.
Будет полезным упражнением вычислить многочлены Шуберта для
всех подстановок из групп S3 и S*. Ответы можно найти в книге Мак-
дональда (Macdonald [1991а]), с. 63.
§ 10.5. Порядок Брюа
Цель этого параграфа — описать пары подстановок и ни, для которых
многообразие Хи содержится в многообразии Xv, т. е. клетка Х° содержится
в замыкании клетки Х°. Для w eSm определим числа
rw{p, q) = #{i^p:w(i)^q}
для всех 1 < р, q ^ т. Нашим первым комбинаторным определением
порядка Брюа, который мы будем обозначать «^», будет следующее: и ^ v,
если ги ^ гу, т.е. если ru(p, q) ^ rv(p, q) для всех р п q.
Лемма 11. Пусть и < v, ифь. Обозначим через j наименьшее
целое число, для которого u(j) Ф v(j) и, значит, v(j) > u(j).
Обозначим через k наименьшее целое число, большее у, для которого
и (/) > у(*) ^ "(А и через v* = v • (у, k) — результат перестановки
значений подстановки v, находящихся на j-м и k-м местах. Тогда
и < vr ^ V.
Доказательство. Неравенство v' ^ v очевидно. Мы должны
показать, что и < v', т. е. что ru ^ v. Фиксируем у, заданное в формулировке
леммы, и определим для любой подстановки w G Sm и для любых р > у
wq
?w{p, q) = #{i € [/, p]: ш(/) < ?}.
Так как значения u(i) и v'(i) совпадают при i < у, нам достаточно показать,
что ?и ^ Гу/.
Во-первых, если р & [у, &), то, очевидно, rv*{py q) = г„(/з, q),
поэтому ru(p, q) ^ fv(p, q) = гУ'(р, <7). Значит, мы можем предположить, что
j ^ р <k. Если g ? [v(k), v(j)), то мы опять имеем rv>(p, q) = rv(p, q),
поэтому мы можем предположить, что v(k) ^ q < v(j). Для таких р м q
?v*(p* q)=h{p, 9)+1, поэтому достаточно показать, что ru(p, q)>rv(p, q).
Далее,
ru(p,q)>ru{p, u(j)~ \),
так как q ^ u(j) и число у будет учитываться для левой части и не будет
учитываться для правой. По нашим предположениям
fu{p, u(j)-l) ^rv(p, u(j)- 1).
§ 10.5. Порядок Брюа
193
При этом
MP. "(/)- \) = h{p,q),
так как ни одно из значений v(j)t v(j -hi),..., v(p) не находится на
отрезке [u(/'), q] С [«(/), f (/)]¦ Полученные неравенства приводят к требуемому
соотношению ги(р, ?) > fy(p, q). П
Отметим, что при / < k и и(/) > уF) из определения порядка Брюа
понятно, что подстановка v' — v • (/, k) меньше подстановки v в
смысле этого порядка. Если, кроме того, подстановки v и v' удовлетворяют
условиям леммы 11, то l(vf) = l(v) - 1. Процедура, описанная в
формулировке леммы 11, дает канонический способ построения
последовательности подстановок от v к и, при v > «, в которой каждая подстановка
больше следующей в смысле порядка Брюа, и длина каждой подстановки
на единицу больше, чем длина следующей. На самом деле эта процедура
может быть применена для любых подстановок и и у, и если в
полученной последовательности не появится подстановка w, значит неверно,
что и меньше v в смысле порядка Брюа. Например, возьмем
подстановки и = 428361795 и и = 679251834. Построенная по алгоритму
последовательность выглядит следующим образом (подчеркнутая пара цифр
меняется местами на следующем шаге):
v = 67925 1834 ~579261 834 ь-> 479261 835 *->
н^ 42976 1 835 н-+428761 9351-> 428671935.-.
•-> 42837 1965 -+428361975 ^428361 795 = w.
Похожим образом, для того же с/, но при и—А 2 8 6 7 1 9 5 3, эта
последовательность, подходя к концу второй строки, показывает, что и ? v.
Следствие 1. Рассмотрим подстановки и, v € Sm. Неравенство
и < v выполняется в том и только в том случае, если
существует последовательность транспозиций (/ь k\), ..., (/>, kr), // < k{ для
всех /, со следующим свойством: для подстановок vo — v и v\ =
= v • (/u k\) • ... • (/,-, ki) мы имеем y,_i(/<) > w;_i(*,-) при 1 < / ^ г
U Vr = U.
Упражнение 8. Покажите, что и < v тогда и только тогда, когда для
1 < /? < /я, если мы упорядочим каждое из множеств {«A), ..., и(р)}
и {уA), ..., v(p)} по возрастанию, то каждый элемент первого множества
не превосходит соответствующего элемента второго.
Следующее упражнение, которое нам в дальнейшем не понадобится,
показывает, что определение порядка Брюа, данное в этом параграфе,
равносильно стандартному определению Шевалле (Chevalley [1994]).
Упражнение 9. (а) Пусть u{k) < u(k + 1) и v(k) < v(k + 1). Покажите,
что и < v & и • Sk ^ v • Sk*
13" Таблицы Юнга
194
Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
(Ь) Обозначим I = l(v), d = I - 1(a). Покажите, что u ^ v &> и может
быть получено из какого-либо (или из любого) представления
подстановки v в виде произведения I транспозиции из множества {st, ..., sw_/} при
помощи удаления каких-то d сомножителей.
Предложение 7. Для подстановок u, v е S,„ следующие
утверждения равносильны:
(i) и О;
(K)XucXv;
(iii) Qu D Пу.
Доказательство. Докажем (i) =>¦ (ii). Если и ^ и, то мы можем
предположить, что и = v ¦ (/, k) при j < k w v(j) > v(k). Многообразия
Xu и Xv переводятся в себя борелевской подгруппой В, поэтому достаточно
показать, что точка х(и) принадлежит многообразию Xv. Для / ф 0
рассмотрим флаг E.(t), порожденный последовательными векторами /i, ...
• - ¦, /ffl, где // = ev{i) при i ф /, * и
* 1 ,
/у = *i></) + 7^(*ь '* = ev{k)'
Иначе говоря, мы можем взять
/у = ?v(k) + tevij) = eu(j) + t euik)* fk — eV(j) = eu(tt).
Первый способ записи показывает, что каждый из флагов ?•(/)
принадлежит клетке Х°, а второй — что в пределе при t —> 0 мы получим х(и). (Так
как топология многообразия флагов индуцирована его вложением в
проективное пространство, то последнее утверждение проверяется подсчетом
плюккеровых координат.) Это завершает доказательство (i) =>¦ (ii).
Обозначим (временно) через Хи, множество флагов ?. в многообразии
Fl(m), для которых d\m(Ep DFq) ^ rw{pt q) для всех р w q. Это замкнутое
алгебраическое подмножество многообразия Fl(m), локально
определенное равенством нулю некоторых миноров. Понятно, что А° С XWy так как
клетка А'" —это множество, на котором эти неравенства обращаются в
равенства. Отсюда следует, что Х& С Xw. Для доказательства (ii) =ф- (i)
достаточно показать, что при u?v выполнено Х° П Xv = 0. В самом деле, если
р и q выбраны так, что ги(рч q) < rv(p, q), то из определений следует, что
ни одна из точек Х° не принадлежит Xv. Это, безусловно, влечет, что Хи <?
?XV. Более того, это показывает, что Xw — Xw для любой подстановки w.
Наконец, докажем (ii) Ф> (iii). Так как Qw = XWo.w(F.)y это равносильно
утверждению, что и ^ v Ф» w0 • и ^ wQ • и. Но
rWo-w(p, ?) = #{/< Р- гпЛ- 1 ~w(i) <?} =
= p-#{i^ р; w(i) ^m-q} = р - rw(p, т - q),
и требуемое утверждение следует из определений. ?
§ 10.5. Порядок Брюа
195
Следствие из доказательства. Многообразие Шуберта Xw
является множеством флагов Е., удовлетворяющих условию
6\т(Ер Г) Fq) ^ ra,(pt q) для всех р, д.
Упражнение 10. Рассмотрим подмножество Т множества [ш], для
которого w(p)>w(p + \) для всех р&Т. Покажите, что условия d\m(EpnFq)^
^rw{p, Q) Для всех р и q следуют из таких же условий для р 6 Т и всех q.
Известно, что простой идеал многообразия Х-& в полиоднородном
кольце многообразия флагов порождается соответствующими однородными
координатами. Полиоднородные координаты X/ отвечают подмножествам /
множества [ш]. Образующими простого идеала многообразия Xw являются
те координаты X/, для которых наборы / удовлетворяют следующему
условию: если I = {1\ < ... < id) и множество Kd(w) = {k\ < ... <kd) состоит
из элементов {w(n + 1 - d), ..., w(n)}, расположенных по возрастанию,
то /у < kj для некоторого у.
Упражнение 11. Рассмотрим идеал Jw, порожденный элементами X/,
описанными в предыдущем параграфе, (а) Покажите, что
многообразие Xw является множеством нулей для идеала Jw. Обозначим через А
(ш х /77)-матрицу, элемент Aij которой равен 0, если у < m + I - w(i) или
/ > w~l(m + 1 — у), а остальные элементы — независимые переменные.
Построим отображение из кольца многочленов С[{Л7}] в кольцо СЦД,,}],
переводящее переменную X/, отвечающую набору {Ц < ... < /</}, в
определитель минора матрицы А, состоящего из первых d строк и столбцов,
пронумерованных индексами /|,...,/</. (b) Покажите, что ядром этого
гомоморфизма будет идеал многообразия Xw.
Более того, можно задать аддитивный базис для полиоднородного
кольца C[{X/}]/l(Xw) = C[{X/}]/Jw. Это образы одночленов ej при 7\
пробегающем множество таблиц Юнга с элементами из [т], для которых
W-(T) ^ w0 • ш, где w-(T) — подстановка, полученная из левого
ключа К-(Т), как это описано в конце §А.5 приложения А.
Мы могли использовать теорию представлений для того, чтобы дать
элементарные доказательства соответствующих утверждений для
координатного кольца самого многообразия флагов, но нам неизвестны такие
доказательства для многообразий Шуберта, даже для равенства идеалов
Jw и I(XW). Они могут быть получены из «теории стандартных
одночленов», разработанной Лакшмибаи, Музили и Сешадри (см. Лакшмибаи
и Сешадри (Lakshmibai, Seshadri [1986]), а также Раманатан (Ramana-
than [1987])).»
"Райнер и Шимозоно нашли элементарные доказательства. (См. статью Reiner V.,
Shimozono М. Straightening for standard monomials on Schubert varieties // J. Algebra
195:1 A997). P. 130-140.). — Прим. ред.
196 Плава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
Соответствие Робинсона из главы 4 также используется в геометрии
многообразия флагов. Если и — унипотентный автоморфизм векторного
пространства ?, то и задает разбиение X размерности т пространства ?;
части разбиения X — размеры жордановых клеток автоморфизма и. Если
?. — полный флаг, переходящий в себя под действием ы, то нетрудно
проверить, что разбиения X*1*, отвечающие сужению автоморфизма и на
подпространства ?,-, вложены: ХA) с ... С Х(т) = X. Поэтому флаг ?. задает
стандартную таблицу на диаграмме X, в которой элемент / помещается
в клетку косой диаграммы Х((,/Х('~1). Стейнберг (Steinberg [1988])
показал, что для типичного флага ?., определяющего стандартную таблицу Р
формы X, и типичного флага ?., определяющего таблицу Q формы X,
подстановка, отвечающая паре (Pt Q) по соответствию Робинсона,
является одновременно подстановкой, описывающей положение флага ?. по
отношению к флагу ?.: размерность пересечения Ер П Fq равна rw(pf q) =
§ 10.6. Применение к многообразиям Грассмана
Для того чтобы связать геометрию многообразий флагов с геометрией
грассманианов, нам нужно вычислить менее очевидный класс многочленов
Шуберта. Для этого нам потребуется следующая лемма (см. Макдональд
(Macdonald [1991а])).
Лемма 12. Для подстановки w0~mm~ 1...21 в группе Sm
wesm
гдеЬ=Х[{Х1-Х!).
Ki
Доказательство. Положим и = w0 и запишем оператор д\ в
виде di = (Xi - Xi+\)~l • A - sx), где оператор s,- действует на многочлены,
переставляя переменные А/ и Xi+\. Любая композиция таких операторов
может быть записана как линейная комбинация рациональных функций,
помноженных на операторы ш, где w пробегает симметрическую группу.
Запишем ди = ?/?«>ш Д^я некоторых функций Rw е Q(A|, ..., Хт). Из
уравнений A2) следует, что dv о ди = 0 для любой подстановки v из Sm,
поэтому v • ди = ди для всех v е Sm. Следовательно, v(Rw) = Rv.w для всех
подстановок v и ш, и нам достаточно показать, что Ru — sgn(w) • Д~!.
Используя разложение A0) для м, мы получим
ди-(д\д2-...- дт-{)(д\д2 • ...• дт-2) ¦. - - ¦ (д\дг)д\.
Нахождение коэффициента при и в этом выражении — несложное
вычисление. Чтобы провести его, воспользуемся следующим равенством: при
§ 10.6. Применение к многообразиям Грассмана
197
/,- = (Х{ - Xj+\) ! • si и I < р < е < т
te-p * U-p+\ • • ¦ ¦ • U ' Л № — Х/)~ =
Равенство легко доказывается индукцией по р, и из него следует требуемое
выражение для Ru. О
Используя эту лемму, мы можем показать, что некоторые многочлены
Шуберта совпадают с многочленами Шура, которые мы изучали в главах 4
и 6:
Предложение 8. Если w(i) < w(i + 1) для всех i Ф г, то &w =
=sx(Xi Xr),ede\=(w(r)-r,w(r-l)-(r-l) шB)-2, шA)- 1).
Доказательство. Положим и = ш^ =гг-1...21,иш' = ш*ы,
что упорядочит первые г значений подстановки w по убыванию. В силу
упражнения 6
Но 6Ш = du(&w>), и требуемое утверждение следует из леммы 12 и
формулы Якоби—Труди для многочленов Шура. ?
Для векторного пространства ? размерности т и любого г между 1
и т существует каноническая проекция р: Fl(?) —> Grr(?) из
многообразия флагов в многообразие Грассмана подпространств размерности г
пространства ?; она переводит флаг ?, в компоненту Ег размерности г.
Выберем базис, отождествляя пространство Е с Ст. Для любого
разбиения X вида т - г ^ \\ > ... > X, ^ 0 мы в §9.4 определили многообразие
Шуберта fix С Grf(?) = Gr^fE).
Предложение 9. Для разбиения X и подстановки w из
предложения 8 верно равенство р_1(Пх) = П». и, следовательно, р*(ох) = att,
в гдоме //2/(и,>(П(т)).
Доказательство. Согласно следствию из предыдущего параграфа
многообразие Qw — это множество флагов ?., для которых dim(?s п?/) ^
^ #{i < s: w(i) ^ m -f 1 — /} для всех s и /. Согласно упражнению 10 это
множество описывается условиями dim(?rn^)^#{i^r: ш(/)>т+1 -/}
для всех /. Но при i < г мы имеем w(i) = Хг+|_, + /, поэтому
#{/ < г: ш(<) > m + 1 -/} = #{/< г: Хг+,_/ + / ^ m + 1 - t) =
= #{К г: X/ + г + 1 - / ^ m + 1 - t} = #{/ ^ г: Xiг ^ m - г + i - t).
При t=m — r + i — \i это число равно /, поэтому П^ — это множество
флагов ?., для которых dim(?r П Лп-г+/-х*) ^ ' ПРИ 1 ^ ' < '• Но мно-
19& Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
гообразне ?1\ является множеством r-плоскостей ?г, задаваемых теми же
условиями, и, значит, р~'(Пх) = fitt..
Мы знаем, что Q\ — неприводимое подмногообразие грассманиана
Grr(?). Отображение р является композицией последовательности
проекций проективных расслоений, поэтому р_1(Г2х) — неприводимое
подмногообразие многообразия флагов Fl(m), и по формуле (8) § В. 1 отсюда
следует, что р*([^х]) = [р_|Фх)Ь Мы знаем, что p~'(fix) = fia«, поэтому
р*([Пх]) = {П«-Ьт.е.р*(ох)=оа.. П
Предложения 8 и 9 можно использовать для доказательства другим
способом фактов, установленных нами в §9.4. Индуцированное
отображение р* является взаимно однозначным (как композиция проекций
проективных расслоений), поэтому класс о\ — единственный класс в группе
//2|xl(Grr(?)), прообразом которого в //2'x|(FI(m)) будет многочлен Шура.
Отсюда следует формула Джамбелли для классов ах, после чего не
составляет труда вывод формулы Пьери и общей формулы для умножения
двух таких классов.
Упражнение 12. Покажите, что для любого неприводимого
подмногообразия Z коразмерности d многообразия флагов F\(m) выполнено
равенство [Z] = 5^аа,[Пш1, где сумма берется по подстановкам ш длины d
в группе 5т и все коэффициенты aw — неотрицательные целые числа.
Выведите отсюда, что для любых подстановок ы, v € Sm справедливо
равенство [С1и] ¦ [Qv] = J2cu,v[^w], где сумма берется по подстановкам
w € SOT, для которых l(w) = 1{и) + l(v), и коэффициенты c®v
неотрицательны.
Из предыдущего упражнения следует, что имеют место равенства
где сумма берется по подстановкам w € Sm, для которых l(w) = l(u) + l(v),
и коэффициенты cfv неотрицательны. Хотя существуют алгоритмы для
вычисления этих коэффициентов, стоит заметить, что пока не известно
никакой комбинаторной формулы для этих чисел, такой, как правило Литт-
лвуда—Ричардсона для многочленов Шура. На самом деле единственное
известное доказательство того, что эти коэффициенты неотрицательны,
опирается на геометрию многообразия флагов.
Случай, когда известны точные формулы — это аналог формулы Пьери,
известный как формула Монка, описывающий произведение линейного
многочлена Шуберта 65, = Х\ + ... + ХГ на произвольный многочлен
Шуберта б», w eSm. Формула Монка может быть записана в виде
§ 10.6. Применение к многообразиям Грассмана 199
где сумма берется по всем подстановкам у, получающимся из
подстановки w перестановкой значений для индексов р и q, 1 < /? ^ г, г < q ^ т,
таким, что w(p) < w(q) и w(i) не принадлежит интервалу (w(p), w(q))
для любого / из интервала (р> q). (Это в точности подстановки v
вида до • Л где t —транспозиция некоторых р < г и q > г, для которой
l(w • t) = l(w) + I.) Это может быть доказано при помощи опирающихся
на геометрию рассуждений, похожих на те, которые использовались нами
в §9.4 (см. Монк (Monk [1959])). Формула Монка эквивалентна формуле
xr-ew = ^2eW'-^2ew». A4)
Здесь первая сумма берется по всем подстановкам ш', получающимся из w
перестановкой значений w на г-м и q-м местах при г < q, w(r) < w(q)
и w(i) g(w(r), w(q)), если / G (г, q)\ вторая сумма — по подстановкам ш",
получающимся из w перестановкой значений подстановки w на г-м и р-м
местах при р < г, w(p) < w(r) и w(i) & (w(p), w(r)), если i G (p, г). Это
равенство может быть доказано индукцией по длине ш, для этого
достаточно убедиться, что разность левой и правой частей равенства переводится
в нуль всеми операторами dt при 1 < / < т. Более изящное доказательство
можно найти в книге Макдональда (Macdonald [1991а], 4.15). Обобщения
этих равенств см. в работе Соттиля (Sottile [1996]).
Результаты этого параграфа могут быть обобщены с грассманиа-
нов на произвольные частичные многообразия флагов X' = FIr, rs(E),
состоящие из флагов подпространств V\ с ... С Vs с Е размерностей
dim(V/) = г,-; иначе говоря, X' = F\d] ds(E)t где dt= т — г,-. Существует
каноническая проекция р: Fl(?) —> Х\ индуцированное отображение р*
вкладывает когомологии многообразия X' в когомологии многообразия
флагов Fl(?). Существуют многообразия Xlw, заданные для тех
подстановок w € Sm, для которых w(p) > w(p + 1) при всех р # {г\, ..., г5};
многообразие^ определяется как множество флагов с компонентами
данных размерностей, удовлетворяющими условиям dim(Kp П Fq) ^ rw(rpy q)
при \ ^ р ^ s и 1 ^ q ^ т. Из упражнения 10 следует, что прообраз
?~{{X'w) = XW. Аналогично, если w{p) < w(p + 1) для всех р ?{г|, ..., rs}
и многообразие Q'w задано условиями
&\m(Vp n Fq) > #{i ^ rp: w(i) ^ т + 1 - ?},
то p~{(Q'w) = Qw. Отсюда следует, что класс [Q'w] этого многообразия
Шуберта в группе H2^w)(Xf) равен многочлену Шуберта 6w(x\y .... хт).
Отметим, что для таких подстановок w этот многочлен Шуберта
симметричен по переменным Xj и jc,-+i при всех i &{г\, ..., г5}, поэтому он может
200 Глава 10. Многообразия и многочлены Шуберта
быть выражен как многочлен от элементарных симметрических функций
от наборов переменных
\Х\, ..., *Г|}, {xri + \, ..., хГ2], ..., {xrs + i, ..., хГт).
Эти элементарные симметрические функции являются классами Черна
расслоений, двойственных соответствующим расслоениям U\4 ?/гДЛ» • ••
..., Ex>/USi где Ui—тавтологическое подрасслоение ранга г,- над
многообразием X'. В частности, это показывает, как представить многочлен
&w(x\, • • • > Хт) как класс когомологий на многообразии X''. На самом деле,
если W — подгруппа симметрической группы Sm, порожденная
транспозициями si для / ? {о, ..., rs}, то Н*(Х') = H*(F\(E))W — подкольцо
элементов, инвариантных относительно W.
Обобщение результатов и некоторых методов этой главы на случай,
когда вместо векторного пространства ? рассматривается векторное
расслоение над базовым многообразием, можно найти в статье Фултона
(Fulton [1992]). Эта работа включает формулы для множеств вырождения
отображений между векторными расслоениями.
Мы еще раз обращаем внимание на то, что, хотя теория представлений
должна быть видоизменена, когда основное поле С заменяется на поле
положительной характеристики, рассмотренная нами геометрия остается без
изменений для произвольного поля. Единственное различие заключается
в том, что вместо теории гомологии потребуется воспользоваться другой
теорией, такой, как теория рациональной эквивалентности (см. книгу
Фултона (Fulton [1984])).
Наверное, стоит упомянуть о том, что могут использоваться
другие обозначения (см. Фултон (Fulton [1992])), при которых вместо
использованных выше классов xt = —c\(Ut/Ui^\) рассматриваются
классы Xi = Ci(Um+\-i/Um-i)- При этих обозначениях, если мы
рассмотрим характер Х/ группы нижних треугольных матриц, значение
которого на матрице равно /-му элементу на диагонали, то jc, = Ci(L(x,));
если о>/ — определитель верхней левой подматрицы порядка /,
отвечающий /-му фундаментальному весу, то класс Ci(L(g)/)) = х\ + ... + *,-
является многочленом Шуберта 65/. Однако при этих обозначениях
матрицы, описывающие многообразия Шуберта, должны быть перевернуты,
т.е. единица в р-й строке находится на ш(/?)-м месте справа. То, что
оба способа записи равнозначны, может быть проверено при помощи
изоморфизма двойственности ср: FI(?) —> FI(?*), который переводит
флаг ?. пространства Е в «двойственный» флаг Е'л пространства ?*,
подпространства ?/ которого являются ядрами канонических отображений
?* в ?^_/. Расслоение Ui/Ui-\ над многообразием Fl(?) переводится этим
изоморфизмом в расслоение, двойственное к расслоению Um+\-i/Um~i
§ 10.6. Применение к многообразиям Грассмана 201
над многообразием Fl(?*), что приводит к соответствующему изменению
классов jc/.
Упражнение 13. Покажите, что многообразие Шуберта Am, задан -
ное некоторым фиксированным флагом в Fl(?), переходит под
действием этого изоморфизма в многообразие Шуберта XWo.w.Wot заданное
двойственным флагом в Fl(?*), и что то же верно для многообразий Шуберта
П рил ожение А
Вариации на комбинаторные темы
В этом приложении мы обсудим лишь некоторые из огромного количества
вариаций на темы части I. В частности, мы дадим еще несколько альтернативных
определений произведения таблиц. Другие темы — это новые варианты
соответствия Литтлвуда—Ричардсона, еще некоторые описывают двойственные версии
понятий первой части. Мы включили их в книгу, чтобы увязать воедино
разнообразные результаты, встречающиеся в литературе, а также чтобы
продемонстрировать богатство комбинаторики таблиц Юнга (или, по крайней мере, неспособность
автора книги умолчать об этом). Читатель может использовать это приложение как
источник упражнений к части I.
В приложении мы будем использовать «географические» обозначения,
введенные в §4.2.,)
§А.1. Двойственные алфавиты и таблицы
Первая конструкция, для которой название «двойственная» является наиболее
оправданным, состоит в замене слов на слова в двойственном (противоположном)
алфавите. Для таблиц это действие соответствует конструкции, использующей
обратный алгоритм к алгоритму перемещения.
Пусть ?/ — некоторый алфавит. Обозначим через я/* обратный к я/ алфавит,
состоящий из тех же символов, но в противоположном порядке. Букву алфавита
&f*t соответствующую букве х алфавита srf, будем обозначать через х*. Имеем
х < у &х* > у*. (В случае стандартного алфавита s# = [m] можно отождествить
srf* с [т]у полагая а* = m + 1 — а, но при этом существует риск заменить идеи
вычислениями, и поэтому мы будем пользоваться таким отождествлением лишь
в редких случаях.) Пусть w — Х\Х2.. -xr — слово в алфавите s#. Положим
* * * *
W = Хг . . . Х2Х\ .
Таким образом определен антиизоморфизм, отображающий слова в
алфавите srf в слова в алфавите я/*: (и • и)* = и* • и*. Отождествляя (л/*)* и sf л
имеем (ш*)* = w. Обращение порядка в алфавите сохраняет определенную в §2.1
эквивалентность Кнута: w\ = w^ •$=> w* = ш?. Чтобы проверить это, посмотрим
на преобразования Кнута. Например, соотношение xzy = zxy при х ^ у < z
переходит в соотношение у* z* х* s у* х* г*, которое также является преобразо-
"Речь идет об обозначениях взаимного расположения клеток диаграммы или ячеек
матрицы. — Прим, перев.
§ А.1. Двойственные алфавиты и таблицы
203
ванием Кнута, так как z* < у* ^ х*\ аналогичная ситуация имеет место для второго
элементарного преобразования.
Пусть Т — таблица в алфавите srf. Сейчас, используя алгоритм перемещения
Шютценберже, мы построим по ней двойственную таблицу Г* в алфавите si*.
Удалим из верхнего левого угла Т элемент х и произведем над получившейся
косой таблицей алгоритм перемещения. Полученную таблицу обозначим через AT.
Диаграмма Т отличается от диаграммы AT на одну клетку. Поместим в эту
клетку элемент х*. На рисунке мы иллюстрируем последовательность этих операций
(ср. §1.1):
гп
>2^3$ 5
4 U^ 6
^ 6 ^
5 ?65
дг
2 2 2 3
3 4 5 5
4 6 6
5
Повторим тот же алгоритм, действуя с таблицей AT, получая при этом меньшую
таблицу А2Т и помещая в удаленную клетку элемент у*, где у — элемент, стоящий
в верхнем левом углу AT. Продолжим процесс, пока все элементы таблицы Т не
будут удалены. Теперь мы имеем диаграмму Юнга 7\ заполненную двойственными
элементами к элементам таблицы Т. Обозначим результат через Т*. Например,
проводя несложные вычисления, можно проверить, что
Т =
1
2
4
5
2
3
4
6
2
5
6
3
5
г =
6* 6* 5* 4*
5* 5* 4* 2*
3* 3* 2*
2* 1*
Такую процедуру построения таблицы Г* по таблице Т часто называют эвакуацией
(evacuation).
Теорема двойственности. A) Форма таблицы Т* совпадает с формой
таблицы Т\
B) G")* = Г;
<3)ш(Г)=:и;GУ;
D) если массив 6) = (и
i w2
i v2
Ur
Vr,
] соответствует паре таблиц (P,Q),
(и* и*\
I '" ГА соответствует паре {Р*, <?*).
Доказательство. Для данной таблицы Т определим таблицу rv в
алфавите si* как единственную таблицу, слово которой w(Tv) эквивалентно по Кнуту
слову w{T)*. Из того, что (w*)* = w, следует, что G'v)v = Т. Таким образом, для
доказательства первого, второго и третьего пунктов теоремы достаточно показать,
что Tv = Т*. В качестве первого шага покажем, что rv имеет ту же форму, что
и 7\ Для этого достаточно проверить, что, в обозначениях главы 3,
L(w\ k) = L(w, k)
204 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
для любого слова ш и любого целого k, так как набор этих чисел полностью
определяет форму таблицы. Необходимое равенство мгновенно следует из
определений: любой набор, состоящий из к непересекающихся нестрого возрастающих
последовательностей слова w, определяет набор, состоящий из тех же
последовательностей, прочитанных наоборот, в слове ш*. причем этот набор будет обладать
тем же свойством.
Будем доказывать, что Tv — Г*, проводя индукцию по количеству клеток.
Пусть х — элемент, стоящий в верхнем левом углу таблицы Г, и пусть В —
клетка, которую содержит Г и не содержит AT. Таблица Т* получается из таблицы
(AT)* помещением элемента х* в клетку В. Согласно предположению индукции,
(AT)* — (AT)*, и, так как Т* и Tv имеют одинаковую форму, осталось проверить,
что Tv получается из (AT)V помещением элемента х* в какую-то клетку. Пусть
w(T) = а- х *р,
где х — наименьший элемент слова (как обычно, среди равных элементов меньшим
мы считаем тот, который стоит левее). При этом а оказывается словом таблицы,
состоящей из строк, лежащих ниже первой строки таблицы 7\ а р— слово таблицы,
состоящей из клеток первой строки таблицы Т за исключением левого угла. Из
предложения 2 §2.1 и определений заключаем, что
ш(ДТ) = ос • C, w((AT)v) = Р* • а*, w(Tv) = р* • х* • а*.
Проследим, как таблица Т* получается из слова р* * х* * а* при канонической
процедуре строчной вставки. Сначала из р* образуется строка и элемент х* ставится
в конец первой строки полученной таблицы. Далее, так как все элементы слова а*
строго меньше х*, они становятся на свои места безотносительно к положению х*.
Это означает, что в результате получается та же таблица, что и (Д7*)У> полученная
из слова р* • а*, но с еще одной дополнительной клеткой, содержащей элементх*,
а это как раз и требовалось доказать.
При доказательстве утверждения D) будем предполагать, что массив со
лексикографически упорядочен. В таком случае упорядочение массива о>* выглядит так:
W ... vJJ'
Таблица, словом которой является нижняя строка этого массива, есть Р*, а тогда
массиву со* соответствует пара таблиц вида (Я*, Y) для некоторой Y. Применяя
те же рассуждения к массиву, получаемому из со перестановкой строк, заключаем,
что массив
Ц ... и*г)
соответствует паре (Q*, Z) для некоторой таблицы Z. Применяя теорему
симметрии из §4.1 к массиву со*, получаем, что (<?*, Z) = (У, Рш), откуда У = Q*. ?
Говоря в терминах табличного (или плакти чес кого) моноида М(л/),
отображение Т *->Т* является антиизоморфизмом M{sf) —> M(s#*), индуцированным
отображением 01мш*. Теорему двойственности можно использовать для
доказательства некоторых фактов, которые мы доказывали раньше другими методами.
Например, биекция между множествами ^"(Х, \ху V) и ^"(ц, X, К*), описанная в §5.1,
§А.2. Столбцовая вставка 205
задается отображением пары [Г, UYb пару [U*, Г*], откуда следует тождество
смХ = сХм Аля чисел Литтлвуда—Ричардсона.
Упражнение 1. Пусть Т — таблица формы X = (Xi ^ ... ^ X* > 0), и пусть
w(T) = v\ ... vn. Покажите, что лексикографически упорядоченный массив
/1 1 ... 2 ... к\
W vj)9
где верхняя строка массива состоит из Xi единиц, Х2 двоек, и так далее до X*
включений k, RSK-соответствует паре таблиц (Г*, U{\)), где U(k) — таблица,
определенная в §5.2.
§А.2. Столбцовая вставка
В этом параграфе мы рассмотрим двойственную операцию к операции
строчной вставки, введенной в главе 1. Эта операция называется столбцовая вставка
(column-insertion) или столбцовое выбивание (column bumping) и состоит в
следующем. Возьмем положительное целое число х и таблицу Т. Если возможно,
т.е. если число х строго превосходит все элементы первого столбца, поместим
его в новую клетку внизу первого столбца. В противном случае поместим х на
место самого верхнего из элементов этого столбца, превосходящих его или равных
ему. Выбитый элемент попытаемся поставить в новую клетку внизу
следующего столбца, если это возможно, а иначе выбьем элемент в следующий столбец.
Процесс продолжается, пока очередной выбитый элемент не оказывается в конце
очередного столбца или пока он не становится единственным элементом нового
столбца. Полученную таблицу обозначим через х —> Т. Как и в случае строчной
вставки, траектория столбцового выбивания двигается вправо, никогда не двигаясь
вниз, а результат всегда является таблицей Юнга. И, как и раньше, если известна
позиция добавленной клетки, процесс может быть обращен. Рассмотрим пример
столбцовой вставки в таблицу:
1
2
3
5
2
3
4
6
2
6
3
5
1
2
3
5
2
3
6
2
5
6
3
5
1
2
4
Jvsss
5
2
3
4
6
2
5
6
3
5
3 —* 4 —+ 4 —*
1
2
3
5
2
3
4
6
2
4
6
3
1
2
3
5
2
3
4
6
2
4
6
3
5
5
Упражнение 2. Покажите, что процесс столбцовой вставки элемента х в
столбец, слово которого есть и • х' • и, можно записать в таком виде:
х • (и • х' * v) *~ и • х • v • х* при и > х' ^ X > V,
206 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
где элементы слов и и v строго убывают. Покажите, что это преобразование
является последовательностью преобразований Кнута типов (/С") и (К') (они описаны
в главе 2), так что, в частности, слова х • (и • х' • v) и и • х * v • х' эквивалентны по
Кнуту.
Из этого упражнения следует, что wcoi{x—*T)=xwC0\(T), ГАеюы(Т) —
столбцовое слово таблицы 7\ определенное в §2.3. Это дает возможность еще одним
способом построить произведение Т • U двух таблиц. Возьмем произвольное
слово w — у\ ...yty эквивалентное по Кнуту слову таблицы 7\ например w = w{T)
или w = wC0\(T). Определим Т • U как результат последовательности столбцовых
вставок элементов (//,..., у\ в таблицу U, т.е.
T-U=yl^(y2-*(...(yl-i^{yt^U))...)).
Действительно, наши рассуждения показывают, что слово конструкции,
стоящей в правой части, эквивалентно по Кнуту слову w(T) • w(U), а, как нам
известно, таблица однозначно определяется классом эквивалентности ее слова по
Кнуту.
В частности, когда Т состоит из одной клетки, содержащей элемент у,
произведение Т • U является результатом столбцовой вставки числа у в таблицу U. Из
ассоциативности умножения (Щ • Т) • [Т]) = [у] * (Т • [х~|) следует, что столбцовые
и строчные вставки коммутируют:
(у-+Т)^х = у-+(Т<~х)
для любой таблицы Т и произвольных элементов х, у. Этот специальный случай
ассоциативности может быть (и был исходно) доказан прямым рассмотрением
возможных случаев.
Упражнение 3. Докажите следующую лемму о столбцовой вставке.
Рассмотрим две последовательные столбцовые вставки: элемента х в таблицу 7*, а
затем элемента хг в таблицу х —> Т. Обозначим возникающие при этом траектории
выбивания через R и /?', а новые клетки — через В и В'. Покажите, что если
х < х\ то траектория Rf лежит строго ниже траектории /?, а клетка В' лежит
Юго-западнее клетки В. Если х ^ х'ч покажите что /?' лежит нестрого выше /?,
а В' лежит северо-Восточнее В.
При помощи столбцовой вставки можно двойственным образом построить
пару таблиц (Р, Q), соответствующую лексикографически упорядоченному
массиву ( ' 2 ). Мы уже знаем, что таблица Р может быть получена при
помощи последовательности столбцовых вставок, начиная с одной клетки
Vr
вко-
торую последовательно вставляются элементы ur-i, •.., f i, тем самым Р = Ри где
Рг = ~
V,
Pk=Vk-+ (Vk+l -»...-+ (vf-\ -* Vr)...).
На каждом шаге в таблице появляется новая клетка. Чтобы построить (?,
начнем с Qr = и г и будем добавлять элементы иг-\У ..., iti, используя алгоритм
перемещения. Другими словами, <?* получается из Qk+\ проведением обратного
алгоритма перемещения над клеткой, которая содержится в таблице Я*, но не
§А.2. Столбцовая вставка
207
содержится в P*+i. и помещением элемента и* в верхний левый угол результата.
A 1 2 2 3\
9 9 I 9 i) описанный процесс дает последовательность
пар(Р5, <?з) (PuQ\):
? И
1
1
2
1
2
1
2
2
3
1
2
!
2
2
1
2
1
3
2
Итоговая пара (Pi, Q\) в точности та же, что и RSK-соответствуюшая исходному
массиву пара, получаемая при помощи строчных вставок нижней строки и
вписывания верхней или при помощи матрично-ящикового метода.
Предложение 1. Если массив ( ' 2 г J лексикографически
упорядочен, то пара (Р, (?), получающаяся в результате последовательных
столбцовых вставок v\ —> (...
(Or-.
Уг
)...) и применения обратных
перемещений к элементам иГу ..., щ, совпадает с парой таблиц, RSK-coomeem-
ствующей массиву.
Доказательство. Обозначим пару таблиц, RSK-соответствующую
исходному массиву, через (Р, Q)f и пусть (Pi, Q\)— пара, возникающая на последнем
шаге вышеописанного процесса. Мы уже показали, что Pi = Р, осталось
проверить, что Q\ — Q. Будем вести индукцию по г. Пусть пара (Рг, <?г) RSK-соответ-
ствует массиву [ 2 г]. В обозначениях предыдущего параграфа таблица Q\
определяется двумя условиями: Qi = &(Q\), и в верхнем левом углу Q\ стоит
элемент и\. Таким образом, достаточно показать, что таблица Q удовлетворяет
тем же условиям. Действительно, помещение элемента и\ в верхний левый угол
таблицы Q — это первый шаг построения RSK-соответствия, а то, что Д(ф) = <?2,
следует из предложения 1 главы 5 в применении к массиву ( 2 Г) и таблице
D
V\
Упражнение 4. Покажите, что можно начать с любой пары массива,
образуя табличную пару (у*, ы*) и двигаясь по массиву влево или вправо: двигаясь
вправо, строчно вставлять нижние элементы в левую таблицу и помещать верхние
элементы в правую таблицу, а двигаясь влево, производить столбцовую вставку
нижних элементов в левую таблицу и обратный алгоритм перемещения для верхних
элементов и правых таблиц.
Упражнение 5. Для произвольной таблицы Т и элементов v\% ..., vf
покажите, что набор новых клеток, возникающих в процессе столбцовых вставок
7\
V,
V\
совпадает с набором новых клеток, возникающих в процессе строчных вставок
Т +— V\
V'r.
208 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
Упражнение 6. Пусть w = v\.. .vr — слово, все буквы которого различны.
Покажите, что Q(wrcx) и Q(w*) сопряжены, где шгсч' = vr.. .v\.
Упражнение 7. Пусть X — диаграмма Юнга. Обозначим через Qrow(X) (через
QcoiM) стандартную таблицу формы X, строки (соответственно столбцы) которой
заполнены последовательными целыми числами, (а) Покажите что для любой
таблицы Р формы X слово wC0\(P) соответствует по Робинсону—Шенстеду—Кнуту
паре (Р, <?coi(X)). Для произвольной стандартной таблицы Q, содержащей п
клеток, обозначим через S(Q) результат воздействия на двойственную таблицу Q*
отождествления алфавитов [п]* и [п]. (Ь) Покажите, что слово wmw(P) RSK-co-
ответствует паре (/\ S((?row(X))).
Заметим, что если все элементы таблицы Т различны, то транспонированная
таблица Р также является таблицей Юнга.
Упражнение 8. Покажите, что если все элементы Т различны, то (Тт)* =
= (Г)\
Упражнение 9. Используйте двойственность для построения следующего
соответствия Томаса (Thomas [1978]) между множеством &(к, ц, 14) и множеством
косых таблиц Литтлвуда—Ричардсона формы v/ц и состава X. Пусть дана пара
[7\ U] 6 ^"(Х, [I, V0). Положим w(T) — v\...v„ и произведем последовательность
столбцовых вставок элементов vn, ..., v\ в таблицу U, образуя
последовательность таблиц, оканчивающуюся таблицей V0. Пронумеруем новые клетки косой
диаграммы v/ц, возникающие от вставки, Х| единицами, затем Хг двойками и так
далее. Покажите, что в результате получится косая таблица
Литтлвуда—Ричардсона 5 формы v/ц и состава X, а также что каждая такая косая таблица может
быть построена этим методом единственным способом.
§А.З. Изменения формы и соответствие
Литтлвуда—Ричардсона
В этом параграфе мы обсудим понятие, которое, если воспользоваться
ассоциированными с таблицами словами, можно воспринимать как двойственное
к эквивалентности Кнута. По отношению к таблицам это понятие описывает, как
изменяется форма таблицы при игре в 15. Это приводит к явному описанию
соответствий Литтлвуда—Ричардсона из главы 5.
Пусть S — косая таблица формы v/X. Существует множество вариантов
проведения игры в 15 на 5 для ее выпрямления. Каждая такая игра в 15 представляет
собой последовательность из п выборов внутренних углов, где п есть число
клеток X. Если мы пронумеруем эти внутренние углы числами от л до 1, получится
стандартная таблица У0 формы X. Верно и обратное: каждая стандартная таблица
на X определяет игру в 15. Зафиксируем такую таблицу У0. Пусть при первом
перемещении из внешнего угла косой диаграммы v/X удаляется клетка В\, при
втором — 5г и так далее, пока не будет удалена последняя клетка Вп. Полученный
набор клеток определяет изменение формы косой диаграммы в процессе
последовательных перемещений. Будем говорить, что две косые таблицы S и S' формы v/X
имеют одинаковые изменения формы при /0 (или в процессе соответствующей
§А.З. Изменения формы и соответствие Литтлвуда—Ричардсона
209
игры в 15), если одни и те же клетки В\, ..., Вп удаляются из них в одинаковом
порядке. Например,
4
1
5
3
7
2
6
и
3
2
3
2
4
1
2
имеют одинаковые
изменения формы при
как можно заметить из следующих последовательностей:
2
I 3 6
4 5 7
2 6
1 3 7
4 5
1
3
4
2
5
6
7
^
ш
2 6
I 3 7
4 5
3
2
3
2
4
1
2
2
3
1
2
3
2
4
1 2
2 2 4
3 3
1
2
3
2
3
2
4
Читатель может самостоятельно проверить, что эти косые таблицы имеют те же
изменения формы для двух других вариантов проведения игры в 15:
$1^2S3^ $1^3^4;
&& WftsvN и пи ^^?&ь?
^
^
^г^—-*— или Jt^
Как мы увидим в дальнейшем, это не случайно: если две косые таблицы имеют
одинаковые изменения формы в процессе некоторой игры в 15, то они
имеют одинаковые изменения формы в процессе любой другой игры в 15. Более
общо, будем говорить, что две косые таблицы одинаковой формы являются
эквивалентными по форме, если любая последовательность перемещений и обратных
перемещений, которая может быть применена к одной из них, может также быть
применена ко второй, и при этом последовательность изменений формы у обоих
таблиц одинакова.
В главе 5 мы показали, что количество косых таблиц формы уД, выпрямление
которых есть данная таблица Uo, зависит только от формы у. таблицы Uo. В пред-
14* Таблицы Юнга
210 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
ложении 2 §5.1 для произвольной таблицы V0 формы v мы построили соответствие
между множеством ^(v/X, U0) косых таблиц формы v/X, имеющих
выпрямление UQl и множеством &(к, ц, V0) пар [Т, U] таблиц форм X, ц, для которых
Т • U = 14. Будем говорить, что косые таблицы S и S' LR-соответствуют друг
другу по Vo, если их выпрямления имеют одинаковую форму ц и они определяют
одну и ту же пару [7\ U] G ^"(Х, ц, V0), т.е. если они соответствуют друг другу
в смысле
S е ^(v/X, Rect(S)) <- 5>(Х, ц, Vo) — 2*(v/\, Rect(S')) Э S'.
Как мы увидим в дальнейшем, это соответствие не зависит от выбора
таблицы V0. Будем говорить, что две косые таблицы одинаковой формы LR-жвива-
лентны, если они LR-соответствуют по любой таблице VQ. Для таблиц из примера,
который мы рассмотрели выше, читатель может самостоятельно проверить, что
5 и S' LR-эквивалентны по любой таблице V0 формы v = D, 4, 3).
Третий способ сравнить две косые таблицы — посмотреть на их слова.
Напомним, что мы обозначали через w(S) строчное слово косой таблицы S, которое
получается из элементов S, прочитанных слева направо и снизу вверх. Как нам
известно, каждое слово ш RSK-соответствует паре таблиц (Р, Q) = (P(w)t Q(w)),
где Q стандартна. Если w — w(S), то P(w) оказывается выпрямлением S. Будем
говорить, что слова шиш' Q-эквивалентны, если Q(w) = <?(ш'). Ранее было
доказано, что P(w) = P(wf) тогда и только тогда, когда шиш' эквивалентны по
Кнуту. Поэтому Q-эквивалентность иногда называют двойственной
эквивалентностью по Кнуту. Будем называть две косые таблицы Q-эквивалентными, если
Q-эквивалентны их строчные слова. Читатель может проверить, что косые таблицы
из нашего примера (^-эквивалентны.
Теорема об изменении формы. Пусть S\ и Si — косые таблицы формы
v/X. Следующие утверждения эквивалентны:
(i) S\ и 5г имеют одинаковые изменения формы в процессе некоторой
игры в 15;
(ii) 5i и S2 эквивалентны по форме;
(Ш) S| и S2 LR-соответствуют друг другу по некоторой таблице V0
формы v;
(iv) S\ и S2 LR-эквивалентны;
(v) S\ и S2 Q-эквивалентны.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы нам придется
немного подготовиться. Сначала мы проанализируем понятие ^-эквивалентности в
случае, когда слова являются подстановками. Два слова эквивалентны по Кнуту,
если одно из них можно перевести в другое последовательностью элементарных
преобразований Кнута. Определим элементарное двойственное
преобразование Кнута подстановки ш = Х\ ...хг как перестановку двух элементов Х{ = k
и Xj — k + 1, производимую при условии, что между ними в слове встречается
число k — 1 или k 4- 2. Например, если начать со слова ш =315246, можно
построить следующую цепочку таких преобразований:
3 1 5246н-3 J6245.-* 21 6345»-2 15346>->2 14356^3 14256,
§ А.З. Изменения формы и соответствие Литтлвуда—Ричардсона 211
где подчеркнутые числа переставляются, а числа с точками удовлетворяют
условию, делающему подстановку возможной.
Лемма 1. Пусть ш, w' — подстановки. Равенство Q(w) = Q(w')
равносильно тому, что w и а/ можно перевести друг в друга конечной
последовательностью элементарных двойственных преобразований Кнута,
Доказательство. По теореме симметрии Q(w) = P(w~l), и лемма
следует из того факта, что элементарные двойственные преобразования Кнута слова w
в точности соответствуют элементарным преобразованиям Кнута слова w~x. ?
Лемма 2. Пусть S\ и S2— Q-эквивалентные косые таблицы одинаковой
формы. Выберем в соответствующей диаграмме внутренний или внешний
угол и произведем над таблицами алгоритм перемещения. Обозначим
получившиеся косые таблицы через S\ и S2 соответственно. Тогда 5( и S2 —
Q-эквивалентные косые таблицы одинаковой формы.
Доказательство. Пусть наборы элементов обеих косых таблиц
совпадают с отрезком натурального ряда от 1 до п, так что их слова являются
подстановками. Для таких косых таблиц любое элементарное двойственное преобразование
Кнута слов можно производить прямо на косых таблицах, т.е. если элемент х - 1
или х + 2 стоит между х и х + 1 в строчном слове таблицы S, то х и х + 1 можно
поменять в диаграмме местами и в результате снова получится косая таблица. Это
следует из того, что л:ил; + 1 не могут стоять в одной строке или одном столбце
косой таблицы S. Согласно лемме 1 мы можем считать, что S2 получается из S\
при помощи описанного элементарного преобразования.
Рассмотрим процесс перемещения для данного внутреннего угла. В почти всех
случаях траектории «рытья норы» в таблицах S\ и S2 совпадают и S2
получается из S[ посредством элементарного преобразования Кнута, переставляющего
те же два элемента. Единственный случай, когда траектории отличаются — это
когда переставляемые элементы стоят в соседних строках и соседних столбцах,
как показано на рисунке:
У
X
Щ
X
У
и процесс перемещения проходит через заштрихованную клетку. Перемещение не
может проходить через заштрихованную клетку, если она содержит элемент х — 1,
поэтому остается рассмотреть случай, представленный на следующем рисунке, где
2=0 + 1. Перемещения в двух диаграммах могут происходить таким образом:
212 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
Оставшиеся части траекторий совпадают. Заметим, что в полученных таблицах
можно переставить у и 2, так как предшествующий им элемент х стоит в
строчном слове между ними. Таким образом, диаграммы S[ и S'2 имеют одинаковую
форму и получаются одна из другой посредством простой транспозиции. Это же
утверждение относительно обратного перемещения можно доказать аналогично,
действуя в противоположном порядке.
Чтобы доказать лемму в общем случае, воспользуемся методом замены слов
подстановками. Элементы каждого слова можно линейно упорядочить, считая
большим из двух одинаковых элементов тот, который стоит правее. Фиксируем
слово w. Обозначим через w^ подстановку, получаемую из w заменой каждого
элемента на его порядковый номер (в смысле нашего упорядочения). Например,
если w = 2 1 32 1 1, то ш* =4 16523. Из определения таблицы Q{w),
использующего строчную вставку, мгновенно следует, что (?(ш#) = Q(w). Аналогично, если
S — косая таблица, можно определить S* как косую таблицу, имеющую ту же
форму, все элементы которой различны и слово которой u»(S#) = w(S)# является
подстановкой. Если обозначить через S' результат применения к S алгоритма
прямого или обратного перемещения, начинающегося с данного внутреннего или
внешнего угла, то (S')# = (-S*)'. Это следует из того, что в процессе перемещения
элемент, стоящий левее равного ему, считается меньшим. Таким образом, мы можем
заменить косые таблицы S\ и S2 на Sf и 5* и воспользоваться доказательством
уже рассмотренного случая. ?
Теперь мы можем вернуться к доказательству теоремы. Импликации (П) =>• (i)
и (iv) ==> (Hi) тривиальны. Из леммы 2 следует импликация (v) ^ (ii).
Доказательство утверждения (i) => (v) аналогично, но требует проверки, что любые две
таблицы одинаковой формы \х (^-эквивалентны. В этом легко убедиться, производя
строчное выбивание элементов таблицы, начиная с нижней строки и отмечая места
появлений новых клеток (см. упражнение 7 из §А.2). Таким образом, доказана
эквивалентность утверждений (i), (ii) и (v).
Напомним (см. главу 5), что косая таблица S формы v/X соответствует паре
таблиц [7\ U] € &{h \i, Vo) по следующему правилу. Для любой (или каждой)
таблицы То формы X в алфавите, элементы которого меньше элементов S,
рассмотрим лексикографически упорядоченные массивы, соответствующие парам таблиц
G\ Го) и «/, Rect(S)):
^—Й :::!)• «/.r«*<s)>~(;; :::?)•
Чтобы S и [7\ U] соответствовали друг другу, конкатенация двух массивов должна
соответствовать паре таблиц (Ц>, (To)s)'
(Vo. G-.)s)«—(^ ... ,„ „, ... „J.
где Go)s —таблица формы v, являющаяся объединением таблицы Го на X и косой
таблицы S на v/X. Согласно предложению 1 § А.2 это значит, что если произвести
последовательность столбцовых вставок
/i-+...-W„—<Л
§А.З. Изменения формы и соответствие Литтлвуда—Ричардсона 213
а затем обратные перемещения элементов s„, ..., S\ в Rect(S), то получится (Т0)$.
Отсюда следует, что S и S' LR-соответствуют друг другу по V0 = T • U в точности
тогда, когда при выполнении соответствующих столбцовых вставок и последующем
обратном перемещении элементов sn, ...,S| в Rect(S) получается (TQ)s, а при
обратном перемещении элементов s„, ..., s\ в Rect(S') получается (T0)s'- Отсюда
следует, что если S\ и S2 LR-соответствуют друг другу по V0, то они имеют
одинаковые изменения формы в процессе хотя бы одной игры в 15. Таким образом, из
пункта (iii) следует пункт (i). Наоборот: так как пункты (i) и (ii) эквивалентны, то
если изменения форм двух данных косых таблиц одинаковы, то это же рассуждение
показывает, что они LR-соответствуют друг другу по V0. Теорема доказана. П
Следующее упражнение показывает, что для данного слова w существует
единственное Q-эквивалентное ему обратное решеточное слово. Мы будем обозначать
его через мЛ
Упражнение 10. Покажите, что любое слово ^-эквивалентно единственному
обратному решеточному слову. Покажите, что ш Q-эквивалентно такому слову да11,
что U{w^) ~ Q{w*)y где U(w*) — стандартная таблица, определяемая обратным
решеточным словом (см. §5.3), a w* —слово, двойственное к w.
Из теоремы, в частности, следует, что для любых таблиц U0 и Uq
формы ц можно построить каноническое соответствие между множествами ^(v/X, U0)
и 5?(\/\, Uo)- Если в качестве UI взять U([i), получается каноническое
соответствие между множеством косых таблиц формы v/X с фиксированным
выпрямлением и множеством косых таблиц Литтлвуда—Ричардсона той же формы. Обозначим
через S* косую таблицу Литтлвуда—Ричардсона, соответствующую при этом
таблице S.
Упражнение 11. Покажите, что слово таблицы S* определяется тождеством
U(w(S*)) = Q(w(S)*), где U(w(S^)) определяется как в упражнении 10. Покажите,
что таблицы S и S' одинаковой формы соответствуют друг другу в смысле теоремы
об изменении формы тогда и только тогда, когда Sh = (S'I1-
Упражнение 12. Рассмотрим отображение, сопоставляющее слову w
обратное решеточное слово w*9 определяемое условием U(w*) = Q(w*). Покажите, что
(wty = w*, а также что w является обратным решеточным словом тогда и только
тогда, когда w* — w. Покажите, что отображение о/иш11 взаимно однозначно
отображает слова из данного класса эквивалентности по Кнуту на множество
обратных решеточных слов, имеющих состав \ху где ц — форма P(w). Покажите, что
шиш^ являются словами косых таблиц в точности одних и тех же форм, т. е.
произвольная фиксированная косая диаграмма является формой таблицы, имеющей
слово wy тогда и только тогда, когда то же выполнено для аЛ
Робинсон (Robinson) и, вслед за ним, Томас (Thomas [1978]) дали рецепт
построения обратного решеточного слова по данному слову w ~vi...vn. Для
1 < / < л определим индекс l(i) как функцию, равную 0, если vi = 1, в противном
случае
/(«) = #(/ > I: Vj=vt} - #{/ ^ /: v; = vi - I}-
Слово является обратным решеточным тогда и только тогда, когда дня всех I
/(/) < 0. Для целого k обозначим через J(k) максимальное значение индекса на
214 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
тех /, для которых Vj = k. Будем называть допустимым преобразованием
следующую последовательность операций: выберем любое число 6, для которого У (k)
положительно, затем выберем наибольшее /, для которого и,- = k и /(/) = У(/е), и
заменим в слове Vi на v,г — 1. Например, рассмотрим слово ш=233122и следующую
последовательность допустимых преобразований (точками обозначены элементы,
которые можно выбрать):
233122.-+2331 12н-> 2231 12.->223111н->222 IN.
Упражнение 13. Пусть w' получается из w посредством допустимого
преобразования. Докажите, что Q(w') = (?(ш), и если w является строчным словом
некоторой косой таблицы, то и/ является строчным словом косой таблицы той же
формы.
Томас показал, что любая последовательность допустимых преобразований
переводит слово w в обратное решеточное слово, причем число шагов и
результат не зависят от выбора конкретной последовательности. Имеет место
следующее
Следствие 1. Пусть дано слово w = v\ ... vn. Пусть P(w) имеет форму X,
и пусть N = X]f,- — 53 ЛХ*. Тогда любая последовательность допустимых
преобразований состоит из не более чем N шагов и переводит слово w
в слово шь.
В частности, это дает еще один алгоритм построения косой таблицы Литтл-
вуда—Ричардсона, соответствующей данной таблице. Другими словами, две косые
таблицы одинаковой формы соответствуют друг другу в точности тогда, когда
согласно описанному алгоритму их слова сводятся к одному и тому же решеточному
слову. Для доказательства следствия заметим, что при каждом допустимом
преобразовании сумма элементов слова уменьшается на единицу, а если ш" —
обратное решеточное слово, причем X — форма U(w*), то сумма элементов w^ равна
53 k^k- Таким образом, следствие вытекает из теоремы и предыдущего
упражнения.
Из теоремы также следует, что для любых таблиц V0 и V0f формы v имеет
место каноническое соответствие между множествами «^(Х, ц, К>) и «^"(Х, \i, К,').
Это соответствие можно установить при помощи предложения 2 §5.1, используя
соответствия между этими множествами и множеством S?(v/\, U0) для
произвольной таблицы и0 формы ц:
^(Х, ц, Va) «—> У (у/к, Uo) — ^(Х. ц, Vi).
Упражнение 14. Покажите, что пара [Г, U] соответствует паре [7", U'\ тогда
и только тогда, когда существуют слово w — v\ ...vm, эквивалентное по Кнуту
w(U), и слово wr — v\.. .vlm, эквивалентное по Кнуту w(U'), такие, что Q(w) =
= Q(w') и в процессе последовательных сточных вставок
<- V\ <- ... <- vm и T <- и, <-...<- vm
появляются одни и те же новые клетки в одном и том же порядке. В частности,
соответствие ^"(Х, \i, V0) <-> «^(Х, ц, VQf) не зависит от UQ.
§А.З. Изменения формы и соответствие Литтлвуда—Ричардсона 215
Упражнение 15. Используя соответствие из предыдущего упражнения,
покажите, что [7\ U] соответствует \Т\ U') тогда и только тогда, когда [(У*, Тл]
соответствует [{/'*, Г'*].
Упражнение 16. Проверьте свойство транзитивности соответствий
Литтлвуда—Ричардсона: пусть имеется три косые таблицы одинаковой формы, S
соответствует S', 5' соответствует S", тогда S соответствует S", и аналогичное
утверждение выполнено для пар [7\ U], [7", Ur\ и [Г", U"\.
Теперь предметом нашего рассмотрения станут связи между косыми
таблицами формы v/X и косыми таблицами сопряженной формы v/X. Для косых
таблиц, элементы которых различны, имеется очевидное соответствие, индуцируемое
транспозицией S »-¦ ST. Для любой игры в 15 на косой таблице 5, задаваемой
стандартной таблицей У0 формы X, можно рассмотреть сопряженную игру в 15 на
таблице S\ задаваемую сопряженной стандартной таблицей /J на X. Изменения
формы в процессе сопряженной игры будут являться в точности сопряжениями
изменений формы в процессе исходной игры. Если рассматривать косые таблицы,
элементы в которых могут совпадать, то сопряженные к ним могут не быть
косыми таблицами, но все же для них можно рассматривать сопряженные изменения
формы, чтобы определить, соответствуют ли косые таблицы друг другу. Будем
говорить, что косая таблица формы v/X эквивалентна по сопряженной форме
косой таблице формы v/X, если изменения формы для любой последовательности
перемещений или обратных перемещений на одной из диаграмм сопряжены к
изменениям формы при соответствующих перемещениях и обратных перемещениях
на второй диаграмме.
Соответствие Литтлвуда—Ричардсона можно также использовать для
построения соответствия между косыми таблицами формы v/X и косыми таблицами
формы v/%. Для этого выберем некоторую стандартную таблицу Т0 на X, Для любой
таблицы ио формы [i и любой таблицы ?/<J, имеющей сопряженную форму р, имеем
цепочку взаимно однозначных соответствий
S*(v/k, Uo) <—> J^(vA Го)«—> ^(v/X, 7-0T) ¦—> У{4& t/0'),
где первое и последнее соответствия можно установить согласно теореме об
изменении формы, а среднее соответствие индуцируется взятием сопряжения для
косых таблиц с различными элементами. Будем говорить, что косые таблицы
форм v/X и v/X LR-coomeemcmeytom друг другу по Т0, если они
соответствуют друг другу посредством приведенной сквозной биекции. Будем говорить,
что эти косые таблицы LR-эквиваленпгны в сопряженном смысле, если они
LR-соответствуют друг другу для любой таблицы Г0, для которой это имеет
смысл.
Зададимся целью найти вычислительный критерий в терминах вставок для
проверки эквивалентности таблиц, имеющих сопряженные формы. Построим
подстановку а — ov/x € Sm» зависящую от косой диаграммы v/X с m клетками. Для
этого пронумеруем клетки косой диаграммы сначала по строкам (слева направо
и снизу вверх), а затем по столбцам (снизу вверх и слева направо). Положим
<tyx(/) — ?< если клетка, имеющая номер j в строчной нумерации, имеет номер к
216 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
в столбцовой нумерации. Так например, .доя v = E, 5, 4, 1) и X = C, 2, 1) имеем
1
2
5
3
8
6
4
9
7
1
2
4
3
7
6
5
9
8
о\Л
-(
2 3 4 5 6
2 3 5 4 6
7 8 9\
8 7 9,Г
Пусть Т — нумерация без повторений диаграммы элементами 1 т. Тогда для
любой о е Sm обозначим через о(Т) нумерацию, получаемую заменой элементов /
на a(i).
Следствие 2. Пусть S — косая таблица формы vД, a S' — косая таблица
формы v/X. Следующие утверждения равносильны:
(i) S и S' имеют сопряженные изменения формы для некоторой игры
в 15;
(ii) S и S' эквивалентны по сопряженной форме;
(iii) S и S' LR-соответствуют друг другу по некоторой стандартной
таблице Т0 формы X;
(iv) S и S' LR-эквивалентны в сопряженном смысле;
(v) av/\(Q(w(S))) и Q(w(S')*) являются сопряженными стандартными
таблицами.
В частности, это следствие дает возможность построить биекцию между
множеством косых таблиц Литтлвуда—Ричардсона данной формы и множеством таких
таблиц сопряженной формы. Такое соответствие было построено Хэнлоном и Сан-
дарамом (Hanlon, Sundaram [1992]), оно, как легко видеть, равносильно пункту (v)
следствия, т.е. следует из нашего предложения.
Упражнение 17. Для косой диаграммы из приведенного выше примера
найдите три соответствующие таблицы Литтлвуда—Ричардсона формы v/X и состава
[х = D, 3, 2), а также три соответствующие таблицы Литтлвуда—Ричардсона
формы v/X и состава р = C, 3, 2, 1).
Доказательство следствия 2.
Равносильность утверждений (i), (ii), (iii) и (iv) следует из теоремы. Для
доказательства их равносильности утверждению (v) достаточно рассматривать те косые
таблицы, выпрямления которых являются стандартными таблицами. В этом
случае соответствие из утверждений (i)—(iv) — обычное сопряжение. Таким образом,
осталось показать, что для косой таблицы S нашего типа выполнено
Q(w(Sx)y = ov/k(Q(*>($))l
Согласно упражнению 6 §А.2 таблица в левой части этой формулы есть Q(w(Sz)nv).
Так как w(ST)rev =шС0|E), мы свели доказательство к проверке равенства
Q(wC0\(S)) = av/x(Q(w(S))).
По определению о = о\/х если wC0\(S) = v\ ... um, то w(S) = va(i)... va{m)- Мы
показали в §2.3, что слово wUO\(S) /('-эквивалентно слову w(S). Таким образом,
требуемое равенство следует из следующей леммы. ?
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия 217
Лемма 3. Пусть w = V\ ... vm — подстановка. Предположим, что ш' =
— va{\). ..ив(т) для некоторой о € Sm. Пусть w' К'-эквивалентно w. Тогда
Q(w) = a(Q(w%
Доказательство. Так как /('-эквивалентность порождается
элементарными /('-преобразованиями, достаточно доказать лемму при условии, что слово
ш' получается из w = v\ ...vm перестановкой v-t и v-, + 1 при v-, < u,--i ^ a,+ i.
Для этого посмотрим на процесс строчной вставки в каждом из случаев. Пусть
Р = P(v\ ... vi-\)\ рассмотрим строчные вставки
(Р <- Vi) *- U/+| И (Р <- Vi+i) «- Vi.
Так как слова v\ ... u,_i • vt • и,-+| и v\ ... vt~\ • vi+\ • vi эквивалентны по Кнуту, то
в обоих случаях добавляются одни и те же две клетки. Но по лемме о строчной
вставке эти клетки добавляются в разном порядке. Так как оставшаяся часть
построения одна и та же в обоих случаях, отсюда можно заключить, что Q(w)
и Q(w') получаются друг из друга посредством транспозиции, переставляющей
элементы I и / 4- 1. D
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
Есть несколько различных способов построить в духе RSK-соответствия по
данной матрице или двухстрочному массивы пару матриц, используя при этом
алгоритмы строчной или столбцовой вставки. Для всех этих вариаций можно привести
соответствующие «матрично-ящиковые» конструкции, основанные на
рассмотрении подходящих ориентации на матрице и упорядочений элементов.
А.4.1. Соответствие Бёржа
В главе 4 были представлены три реализации RSK-соответствия между
матрицами А с неотрицательными целыми элементами и парами таблиц (Я, Q)
одинаковой формы. Если ( ' 2 ')—лексикографически упорядоченный массив,
соответствующий матрице Л, то пару (Р% Q) можно получить, произведя одну из
следующих трех операций:
Aа) Строчная вставка v\ *— V2 *— • • • <— vr и помещение в
соответствующие клетки элементов и\, ..., иг.
Bа) Столбцовая вставка v\ —+•... —> vr-\ —*¦ vr и проведение обратных
перемещений с элементами иг, . ¦., и\.
(За)'Матрично-ящиковая конструкция с северо-западной ориентацией.
Здесь северо-западная (с-з) ориентация понимается в том смысле, что нумерация
шаров в матрице устроена следующим образом: шар получает номер, следующий по
величине по отношению к максимальному номеру шаров, лежащих северо-западнее
(т. е. нестрого выше и левее) его.
Если взять тот же массив, но попытаться скомбинировать строчную вставку
с обратными перемещениями или столбцовую вставку с прямым помещением
элементов, на втором месте пары может не получиться таблица Юнга. Тем не менее,
если расположить пары массива в ином порядке, эти процедуры могут привести
218 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
к новым соответствиям между массивами и парами таблиц одинаковой формы.
Более того, эти две процедуры приводят к одному и тому же результату и могут
быть определены при помощи нового варианта матрично-ящиковой конструкции.
Упорядочение массива, делающее такие построения возможными, можно
назвать антилексикографическим упорядочением, имея в виду следующее:
Щ > W/+i ИЛИ U\ — Uj+\ И Vi ^ V,+ \.
Мы увидим в дальнейшем, что при использовании этого отношения порядка
описанные ниже процедуры приводят к паре таблиц (Ry S) одинаковой формы, а также
что эти пары для обеих процедур одинаковы. Это соответствие носит название
соответствие Бёржа. Процедуры устроены так:
(lb) Столбцовая вставка v\ —>.
в соответствующие клетки.
BЬ) Строчная вставка v\ ¦— ...
тами «к ..., иг.
можно получить пару таблиц
-+ vr и помещение элементов иг Wj
vr и обратные перемещения с элемен-
Л при помощи этих процедур
2 2
2 3
1 2
Л =
1
2
Ш
1
3
2
2
2
s =
1
2
3
1
2
I
3
3
Если матрица А соответствует массиву, можно определить еще одну процедуру:
(ЗЬ) Матрично-ящиковая конструкция, использующая
Северо-Западную ориентацию.
Для этой конструкции заменим каждый элемент / матрицы на / шаров, размещая
их вдоль диагонали юго-запад — северо-восток в соответствующем матричном
ящике. Пронумеруем шары матрицы с северо-запада на юго-восток, приписывая
шару номер, на единицу превосходящий наибольший номер среди шаров,
лежащих Северо-Западнее его, т.е. лежащих в строках строго выше его и столбцах
строго левее его. Полученную матрицу обозначим через А{Х). Такое упорядочение
можно также называть строгим упорядочением. (В этом контексте упорядочение,
принятое в §4.2, будет называться нестрогим упорядочением.) Например,
А =
0
.1
2
1
1
°1
1
I
©
©
©
/»"> =
©
©
®
Первые столбцы таблиц R и S вычисляются по А1" следующим образом: k-й
элемент первого столбца таблицы R (таблицы S) есть номер самого левого из столбцов
(соответственно строк), содержащих шар с номером k. Шары, имеющие один и тот
же номер k, находятся в А{1> в (нестрогом) порядке от юго-запада к северо-востоку
Будем брать последовательные пары таких шаров и для каждой пары помещать
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
219
в новой матрице шар в ту строку, в которой стоит юго-западный член пары, и в тот
столбец, в котором стоит северо-восточный член пары, как и в матрично-ящиковои
конструкции из главы 4. Пронумеруем полученную конфигурацию шаров в новой
матрице тем же Северо-Западным способом. Из полученной матрицы Ai2) составим
вторые столбцы R и S, перейдем к матрице ЛC) и так далее. Так, в нашем примере
набор матриц выглядит следующим образом:
©
©
©
©
©
©
©
©
©
©
откуда получаем пару таблиц
/? =
1
2
3
1
3
2
2
2
s =
1
2
3
1
2
1
3
3
Предложение 2. Для данной матрицы процедуры (lb), Bb) и (ЗЬ)
приводят к одной и той же паре таблиц, и таким образом устанавливает-
ся взаимно однозначное соответствие между матрицами (или массивами)
и парами таблиц одинаковой формы.
Условия, аналогичные условиям (i), (ii) и (Hi) теоремы Робинсона—Шенсте-
да—Кнута, имеют место и для соответствия Бёржа.
Доказательство. Для процедур (lb) и BЬ) можно либо дать
доказательства, аналогичные доказательствам соответствующих утверждений для процедур
(la) и Bа), либо свести их к этим утверждениям следующим образом. Если
исходный массив антилексикографически упорядочен, то массив (Ur9 '" "')
лексикографически упорядочен. Если производить строчные вставки V «-..'.<- и*,
возникнут те же новые клетки и в том же порядке, что и в процессе столбцовой
вставки v\ -> ...-n/f; см. упражнение 5 §А.2. Таким образом, если поместить
в новые клетки элементы иг и,, получится новая таблица Юнга, и если
обозначить пару, возникающую после применения процедуры (lb), через (/?, S), то
пара (R\S) RSK-соответствует массиву (? *" ?»). Так как процедуры Aа)
и Bа) эквивалентны, та же пара (/?*, S) получается в результате столбцовой
вставки v? ->... -> v; и обратных перемещений элементов и, ы„ а это значит, что
в результате применения процедуры BЬ) также получается пара (У?, S).
Докажем теперь, что матрично-ящиковая конструкция (ЗЬ) приводит к той же
паре таблиц. Доказательство аналогично доказательству соответствующего
утверждения из главы 4, поэтому мы остановимся только на различиях. Будем теперь
называть последней позицией матрицы А позицию (х, у), на которой стоит первый
ненулевой элемент последней ненулевой строки. Таким образом, пара (х) явля-
220 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
ется первой парой ( Ч антилексикографически упорядоченного массива. Пусть
А0 — матрица, получаемая из А вычитанием единицы из элемента, стоящего на
последней позиции (jc, у). Обозначим через Аь матрицу, (/, /)-й элемент
которой — число шаров, лежащих в (/, /)-й ячейке матрицы ЛA\ полученной из А
посредством процедуры (ЗЬ). Пусть R(A) и S(A) — итоговые таблицы, которые
получаются как результат применения этой процедуры. Как и в §4.2, остается
доказать следующее
Утверждение. R(A) = у —> /?(Л0), a S(A) получается из S(A0) помещением
элемента х в новую клетку.
Пусть шар, который содержится в матрице Atl\ но не содержится в A{J\ имеет
номер k. Возможны два случая. Если в Л{1) нет других шаров с номером k, то
Аь = (Ло)ь, и\ > U2 и v\ > V2. Таким образом, столбцовая вставка помещает у
в конец первого столбца таблицы R(A0), a S(A) получается помещением х в конец
первого столбца S(/J0), и утверждение очевидно. Если же имеются другие шары
с номером 6, рассмотрим х' ^ х — максимальное и yk> у — минимальное из
таких чисел, что в (х\ у')-м ящике содержится шар с номером k. В этом случае
у —* R(A0) выбивает элемент у' из первого столбца. Последняя позиция
матрицы Аь есть (jc, у'), и (ЛьH = Ио)ь, откуда следует, что R(Ab) = у' -»¦ R((A0)b) и
новой клеткой является та, которая содержится в S(/lb), но не содержится в S((A0)b).
Как и прежде, доказательство легко завершить, используя индукцию. ?
Очевидно, что матрично-ящиковая конструкция симметрична: если матрица А
соответствует паре (/?, S), то транспонированная матрица А* соответствует паре
(S, R). Следовательно, справедлива
Теорема симметрии (Ь). Если согласно соответствию Вёржа
массиву ( ' 2 ••¦ Ч после антилексикографического упорядочения
соответствует пара таблиц (R, S), то массиву ( l 2 j после
антилексикографического упорядочения соответствует пара (S, /?).
Отсюда следует, что симметрические матрицы соответствуют тем парам (R, S),
где 5 = /?, т. е. просто таблицам R.
Упражнение 18. Покажите, что если симметрическая матрица А при
описанном соответствии отвечает таблице R, то сумма числа нечетных
диагональных элементов матрицы А и числа нечетных диагональных элементов матрицы Аь
равна длине первого столбца таблицы R. Выведите отсюда, что число нечетных
диагональных элементов матрицы А совпадает с числом строк нечетной длины
в диаграмме Юнга R.
Кроме того, построенное соответствие удовлетворяет, как и следовало
ожидать, свойству двойственности:
Теорема двойственности (Ь). Если массив (U] "" Ч соответству-
(и* и*\
С i ) соответствует паре (/?*, S*).
Доказательство. Согласно конструкции (lb), этот массив соответствует
паре (/?*, X) для некоторой таблицы X. По теореме симметрии (b) X = S*. ?
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
221
А.4.2. Другие углы матриц
Теперь у нас есть две матрично-ящиковые конструкции, каждая из которых
использует упорядочение, начиная с верхнего левого угла. Естественно задаться
вопросом, что получится, если рассмотреть те же конструкции, но начиная с других
углов матрицы. Например, можно в нестрогом порядке нумеровать шары с
юго-запада на северо-восток и помещать в первую строку первой таблицы номера самых
левых столбцов, содержащих шары с номерами 1, 2 и так далее, а в первую строку
второй таблицы числа, двойственные номерам самых нижних строк, содержащих
шары с номерами 1,2 и так далее. (Двойственные числа здесь нужны, чтобы
измерять расстояния от нижнего или правого краев таблицы.) Так, например, если
взять матрицу А из примера выше, получим
®
©
®
©
©
©
©
©
®
©
ф
откуда находится пара таблиц
1
2
3
I
3
2
2
2
3*
2е
Г
3*
Г
3*
г
г
Тот же результат можно получить, если лексикографически упорядочить массив
(и* и*\
1 "" г) и построить RSK-соответствующую ему табличную пару. Заметим,
что на первом месте в этой паре стоит таблица R, построенная при помощи
соответствия Бёржа, а на втором месте — двойственная таблица S* ко второму
элементу этой пары. Далее мы увидим, что все восемь вариантов выборов углов
матрицы и строгих и нестрогих порядков нумерации приводят к парам, в
которых на первом месте стоят таблицы Р, R или двойственные к ним, а на втором
месте — (?, S или двойственные к ним. Также мы покажем, что все такие пары,
при условии, что Р встречается вместе с Q, a R вместе с S, можно получить
подобным образом. В следующей теореме описаны все возможные получающиеся
соответствия.
Теорема 1. Четыре пары таблиц, возникающие при лексикографическом
упорядочении массивов и нестрогом упорядочении матриц, — это
(") с-з \ (/>, <?); ("J) ю-з / (/?, S*);
(?) ю-в \ (Р\ <Л; (ц".) с-в / (/?¦, S).
!j комбинаторные темы
м.^\
¦¦ __¦' -: ^.икающие при антилексикографическом упорнд
:- .. . п.'-.и'ом упорядочении матриц, — это
Q С-З \ (/?, 5); ("*) Ю-3 / (/>. <?*);
(Д Ю-В \ (/?', 5*); (о1) С-В / (/>', <?).
Заметим, что пары в этих двух случаях получаются друг из друга заменой
на R, a Q на S. При построении всех восьми соответствий мы предпочитаем стр>
ки матриц столбцам (соответственно верхние строки массивов нижним). Друг
восемь соответствий, в которых предпочтение отдается столбцам (соответстве!
но нижним строкам), получаются из этих зеркальным отображением направлен!
стрелок и перестановкой таблиц во всех ларах. Это следует из теорем симметри
Доказательство. Пусть ( ' f2 '" _Ч —лексикографически упор!
доменный массив, соответствующий матрице Л, и пусть (Р, Q) — пара табли
RSK-соответствующая этому массиву. Построение матрично-ящиковой констру!
ции, соответствующей нижнему правому углу матрицы, соответствует построени
(и * и*"
* I
По теореме двойственности ему соответствует двойственная пара (Р*, Q"). Масск
( * I) находится в антилексикографическом порядке, и по аналогии с дс
\Vr ... У| /
казательством предложения 2 § А.4.1 мы заключаем, что этот массив по вторе
конструкции соответствует паре таблиц (/>*, Q). По определению эта пара табли
соответствует паре из нижней строки в утверждении теоремы для направления /
(и* и*\
1 " * Г ) также находится в антилексикографическом по
рядке и, согласно теореме двойственности (Ь), соответствует паре таблиц (Р, Q*
Остальные четыре случая проверяются аналогично. С
Два построенных соответствия определяют биективное преобразование па
таблиц (Р, Q) »-* (R, S), причем каждый элемент входит одинаковое число раз в i
и в Р, а также в 5 и в Q. Более подробное исследование этой биекции, а такж
соответствующей биекции между матрицами, кажется нам интересной задачей.
А.4.3. Матрицы из нулей и единиц
Пусть ( ' 2 Ч—лексикографически упорядоченный массив. Посмот
рим, что произойдет, если произвести процесс столбцовой вставки vr —>...—> V\
а затем поместить в новые клетки элементы и\, ... иг. Нумерация клеток диаграм
мы Юнга элементами щ будет нестрого возрастать по строкам и столбцам, ж
б общем случае может не оказаться таблицей. Так, например,
п
1 1
<—+ — —
2 1
\\ 2 2)
1
2
2
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
223
Тем не менее, если каждая пара ( J появляется в массиве не более одного
раза, нумерация второй таблицы будет строго возрастать по строкам.
Заменяя эту нумерацию на сопряженную, получаем пару {Р, Q) таблиц, диаграммы
которых сопряжены.1* Ту же пару {Р, Q) можно получить, производя
последовательность столбцовых вставок vr —¦ ... —* v\ и помещая элементы и\, ...иг
в клетки, сопряженные новым клеткам. Будем называть такую процедуру
сопряженным помещением элементов и\, ...иг. Короче говоря, получаем еще одну
процедуру:
Aс) Столбцовая вставка vr —>...—> v\ и сопряженное помещение ы\, ...
..., иг.
Например, массив Г
таблиц
12 2 3 3
3 13 13
при этой процедуре соответствует паре
Р =
1
3
1
3
2
3
<? =
1
2
3
1
2
3
Массивы, не содержащие повторяющихся пар, соответствуют тем матрицам А =
= (я(/. /')). которые содержат только нули и единицы: a(i, j) = 1, если массив
включает пару Г.].
Предложение 3 (Кнут). Вышеописанная процедура устанавливает
взаимно однозначное соответствие между матрицами А, содержащими
только нули и единицы, двухстрочными массивами, не содержащими
повторяющихся пар, и парами {Р, Q} сопряженных таблиц.
Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству
RSK-соответствия из главы 4, но вместо леммы о строчной вставке нужно
использовать лемму о столбцовой вставке. Так например, если / < k и и,¦ = w*, то
Vi < ... < иц. Лемма о столбцовой вставке утверждает тогда, что k-я новая клетка
лежит строго ниже и нестрого левее /-и новой клетки, что в сопряженной диаграмме
соответствует помещению Uk строго правее «,, а поэтому никакие два одинаковых
элемента не стоят в одном столбце. ?
Как и раньше, сумма элементов, стоящих в k-й строке матрицы Л, равна числу
появлений k среди элементов таблицы Q, а сумма элементов k-vo столбца А равна
числу появлений этого числа в Р. Как и в главе 4, это рассуждение доказывает
следующее тождество:
п т
Следствие (Литтлвуд). П ГК1 + */<//) = E^Ui xtl)sx(y ут). где
i= i /= i х
суммирование в правой части ведется по таблицам X, содержащим не
более п строк и не более т столбцов.
"В дальнейшем мы будем называть такие пары «парами сопряженных таблиц». —
Прим. перев.
224 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
Упражнение 19. Покажите, что число (т х л)-матриц, содержащих только
нули и единицы и имеющих суммы по строкам Х|, .... Х,„ и суммы по столбцам
|ii, ..., [ini равно ^2Kv\K*y
v
Упражнение 20. Докажите теорему Гейла и Райзера (Gale, Ryser): для двух
разбиений X и ^ некоторого целого числа равносильны утверждения: (а) существует
матрица из нулей и единиц, имеющая строчные суммы X], .,., Хт и столбцовые
суммы уц ц„; (Ь) X < ?L; (с) \j. < X.
Как и в случае соответствия Робинсона—Шенстеда—Кнута, существуют
другие способы построения вышеописанного соответствия, а также вариации, дающие
сопряженную пару {/?, S}, вариации на тему теорем симметрии, теорем
двойственности, матрично-ящиковых конструкций. Мы сформулируем соответствующие
результаты, но дадим лишь эскизы доказательств, так как они незначительно
отличаются от доказательств, данных в предыдущих параграфах. Для начала определим
еще одну процедуру. Для данного лексикографически упорядоченного массива
возможна следующая процедура:
Bс) Строчная вставка vr «—...<— v\ и сопряженное обратное
перемещение иг, ..., U\.
Имеется в виду, что на каждом шаге строчной вставки мы используем клетку,
сопряженную к очередной новой клетке, для проведения обратного перемещения
с очередным элементом, и таким образом строим вторую таблицу.
Кроме того, можно определить матрично-ящиковую конструкцию,
использующую северо-Западное упорядочение, а именно: как обычно, разместим в (/, /)-м
ящике матрицы а(/\ /) шаров и пронумеруем их, начиная с верхнего левого угла,
приписывая очередному шару номер, на единицу больший максимального из
номеров шаров, лежащих северо-Западнее его (т.е. нестрого выше и строго левее).
Получим матрицу А{Х\ содержащую набор пронумерованных шаров. Тогда k-м
элементом первого столбца таблицы Р будет номер самого левого столбца
матрицы Л(|\ содержащей шар с номером k, а k-м элементом первой строки таблицы Q
будет номер самой верхней строки матрицы А{}\ содержащей шар с номером k.
\ 1 2 2 3 3^
13 13.
С j 1 2 2 3 3\
имеем
А =
ГО
1
!
1
0
0
11
1
1
|<»_
Ат= ©
®
©
©
откуда первый столбец таблицы Р есть
, а первая строка таблицы 0 есть
1
1
. Затем образуем новую матрицу Аь по тому же рецепту, что и раньше,
помещая в нее по шару для каждой последовательной пары шаров, имеющих
одинаковые номера. Матрица Аь содержит не более одного шара в каждом ящике,
и мы можем продолжить процесс, строя матрицы ЛB), ЛC\ ... и определяя по-
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
225
следующие столбцы таблицы Р и строки таблицы Q. В нашем примере цепочка
матриц выглядит так:
А[2) =
©
©
Л|3> =
Ф
откуда находим Я и Q —те же, что и раньше. Эту процедуру назовем
(Зс) Матрично ящиковая конструкция, использующая северо-Западную
ориентацию.
Предложение 4. Процедуры Aс), Bс) и (Зс) приводят к одной и той же
паре сопряженных таблиц {Я, Q).
Можно определить другие три процедуры, приводящие к соответствию между
матрицами А из нулей и единиц и парами сопряженных таблиц {R, §}.
Рассмотрим соответствующий матрице массив Г ) в антилексикографическом
порядке: щ ^ щ+\ и vi < и,-+| при щ = щ+\. Вот эти процедуры:
(Id) Строчная вставка vr«—...«— v\ и сопряженное помещение
элементов иг, . .., U\.
Bd) Столбцовая вставка vr —>...—> v\ и сопряженное обратное
перемещение U\, ..., иг.
Cd) Матрично-ящиковая конструкция, использующая Северо-западную
ориентацию.
Матрично-ящиковая конструкция здесь аналогична предыдущей, но строки и
столбцы меняются ролями, а номера шаров используются для определения элементов
строк таблицы R и столбцов таблицы S.
Предложение 5. Процедуры (Id), Bd) и Cd) приводят к одной и той же
паре сопряженных таблиц {R, 5} и устанавливают взаимно однозначное
соответствие между матрицами из нулей и единиц и парами сопряженных
таблиц.
Как и раньше, можно доказать следующий аналог теоремы симметрии:
Теорема симметрии. Если {Я, Q} и {R, §} — две пары сопряженных
таблицу соответствующие матрице А при описанных процедурах, то
транспонированной матрице Лт соответствуют пары {5, R} и {Qt Я}
соответственное
Отметим, что в этом варианте теоремы симметрии переставляются и
процедуры, и таблицы в парах: если массив (} соответствует паре {Я, Q} по первой
процедуре и паре {/?, 5} по второй, то ( ) соответствует {§, R} по первой
процедуре и {Q, Я} по второй.
Теорема 2. Четыре пары сопряженных таблиц, возникающие при
лексикографическом упорядочении массивов и строгом по столбцам, нестрогом
15* Таблицы Юнга
226 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
по строкам порядке в матрице, — это
(Ц) с-З \ {Р, 0}; (UJ) ю-3 / {/?. S'};
(Д ю-В \ {Р*, $'}; (Jt) с-В / {/?*, 5).
Четыре пары сопряженных таблиц, возникающие при
антилексикографическом упорядочении массивов и нестрогом по столбцам, строгом по
строкам порядке в матрице, — это
g) С-з \ {R, В}; ("J) Ю-з / {Р, $*};
(?) Ю-в \ {R\ §*}¦ (Jt) С-в / {Р\ Q].
Эти пары связаны между собой так же, как в теореме 1. Доказательство
состоит в прямом вычислении первых элементов пар и последующем применении
теоремы симметрии. В частности, легко получить следующую теорему.
Теорема двойственности. Если лексикографически упорядоченный массив
( ' 2 г) соответствует паре сопряженных таблиц {Р, Q), то ан-
тилексикографически упорядоченный массив f ? '" i) соответствует
паре сопряженных таблиц {Рт, $*}. Если лексикографически упорядоченный
массив \х "' Ur] соответствует паре сопряженных таблиц {Rt S], то
\V] V4 ... Vr/
антилексикографически упорядоченный массив f ? ij
соответствует паре сопряженных таблиц {У?*, 5*}.
Если все элементы в верхней или в нижней строках массива ("' "" ИЧ
различны, то к нему можно применить сразу все процедуры, получая пары (Я, Q)
и (Я, S), а также {Р, 0} и {/?, 5} сопряженных таблиц.
Предложение 6. A) Если элементы и\, ...иг различны, то Р = Я, Q = S\
R = Pu5 = Qx,a значит, получаются четыре пары
(Я, Qh (Л. 5), {R, Sx) и {Я. <?т}.
B) ?сли элементы v\, ..., vr различны, получаются четыре пары
(Я, <?), (*. 5), {Я\ <?} и {Я\ S}.
C) ?слы элементы и\, ..., иг попарно различны и элементы v\, ..., vr
попарно различны, то получаются четыре пары
(Р, <?), (Р\ Q\ {Р\ <?} и {Р. <?'}.
Доказательство. Утверждение A) легко прямо доказать из определений,
B) следует из симметрии, а C) — из A) и B). ?
Например, если слово w = v\... vr соответствует массиву ( "' Г J, а
значит, паре таблиц (Я, <?), где Я = Я(ш), и Q = Q(w), то R = Я(шге*), гдешгеу = иг.. .v\
§А.4. Вариации на тему RSK-соответствия
227
и S = Q((w*)KV)t а остальные таблицы определены как в утверждении A)
предложения 6. Если w является подстановкой, то Q я= P(w~l) и все остальные таблицы
определены как в утверждении C).
Упражнение 21. В предположениях и обозначениях предложения 3 покажите,
что если Т — произвольная таблица и если произвести последовательность
столбцовых вставок vr —>... —* v\ —> 7\ а затем поместить элементы и\ иг в клетки,
сопряженные к возникающим новым клеткам, получится косая таблица X, причем
RecWf) = Q.
Упражнение 22. В обозначениях предложения 5 покажите, что если Т —
произвольная таблица и если произвести последовательность строчных вставок
Т <_ V\ <— ... *— vr, а затем поместить элементы иг и\ в клетки, сопряженные
к возникающим новым клеткам, получится косая таблица К, причем Rect(y) = 5.
Упражнение 23. (а) Предположим, что лексикографически упорядоченный
массив ( ' 2 "" г) RSK-соответствует паре таблиц (Р, Q). Пусть G\ То) —
\V\ t>2 • • • Vr/
произвольная пара таблиц, где любой из элементов Т0 превосходит любой щ.
Произведем столбцовые вставки v\ —>... —* vr —¦ Т и произведем с элементами
иг, ..., и\ обратные перемещения, начиная с таблицы 70, используя новые клетки,
возникающие в процессе вставок, и последовательно помещая элементы иг и\
в верхний левый угол. Покажите, что в результате элементы иг и\ составят
таблицу Q. (Ь) Сформулируйте и докажите аналогичный результат для остальных
трех конструкций из §А.4.
Упражнение 24. (а) В предположениях предыдущего упражнения произведем
строчные вставки T*—v\ <—...•*— vr и обратные перемещения элементов wj\ ...,«*,
начиная с таблицы Г0, используя возникающие новые клетки и последовательно
помещая и* и* в верхний левый угол таблицы. В процессе обратных
перемещений будем рассматривать элементы и* как меньшие всех элементов таблицы Т0.
Покажите, что в результате получится таблица, г наименьших элементов которой
образуют таблицу Q*. (Ъ) Сформулируйте и докажите аналогичные результаты для
трех других процедур, описанных в § А.4 и использующих обратное перемещение.
Упражнение 25. Пусть массив ( ' "' Ч RSK-соответствует паре таб-
Си* и*\
I ' J
RSK-соответствует паре таблиц (Р\ (<?т)*) = (Р\ (<?Т)-
Предположим теперь, что обе строки массива содержат элементы из
алфавита [г]. Отождествим обратный алфавит [г]* с [г], полагая а* = г+ 1 — а. Рас-
1 r ] соответствует слову w™.
Отсюда получаем
Следствие 3. Пусть w — подстановка и Р = P(w)t Q = Q(w). Тогда
P(wnv) = PJ и Ф(шгеУ = (<?Т = (<?У.
Упражнение 26. Покажите, что строчные слова косых таблиц одинаковой
формы Q-эквивалентны тогда и только тогда, когда их столбцовые слова
<?-эквивалентны.
228 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
Упражнение 27. Сформулируйте и докажите аналоги утверждений
упражнения 4 § А.2 для соответствий (Ь), (с) и (d).
§А.5. Ключи
Другое применение идей главы 5 — построение левого и правого «ключей»
данной таблицы. Это понятие было введено Ласку и Шютценберже (Lascoux,
Schutzenberger [1990]) для анализа комбинаторики стандартных базисов сечений
линейных расслоений над многообразиями флагов, см. Фултон и Ласку (Fulton,
Lascoux [1994]). В основе идеи лежит следующий факт:
Предложение 7. Пусть Т — таблица. Пусть v/X — косая диаграмма,
содержащая то же число столбцов каждой длины, что и Т. Тогда найдется
единственная косая таблица S формы v/X, выпрямление которой есть Т.
Доказательство. Согласно следствию 1 из §5.1 количество таких таблиц
зависит только от формы \i таблицы Т. Будем считать, что Т — U(\i). В этом
случае построить косую таблицу S очень легко: на i-e место каждого столбца
диаграммы v/X поместим число /. Действительно, так как 5 должна содержать
ровно [i\ единиц и так как она содержит Ц| столбцов, то, чтобы S была косой
таблицей, эти единицы должны стоять в верхних клетках столбцов. Аналогично, так
как S содержит в точности \i2 столбцов длины не менее двух клеток, все цг двоек
должны стоять на вторых местах во всех таких столбцах, и так далее для всех
элементов. (Тот факт, что vД является косой диаграммой, гарантирует, что элементы
в строках S нестрого возрастают, а значит, S является косой таблицей.) ?
Это доказательство показывает, что элементы таблицы S зависят только от
(упорядоченного) набора длин ее столбцов. Для данного набора наиболее
компактный вариант определяется следующим правилом: каждая последовательная
пара столбцов выравнивается по верхнему краю (если левый столбец длиннее), по
нижнему краю (если правый конец длиннее) или по обоим краям, если они имеют
одинаковую длину. Таблица 5 любой другой косой формы, полученная согласно
предложению 7, может быть приведена к компактной форме сдвигами столбцов
относительно друг друга. Например, рассмотрим
Т =
Ниже приведены косые таблицы с соответствующими наборами длин столбцов
B, 3, 2, 1): таблица S компактной формы и таблица S', также выпрямляемая к
таблице Т:
1
2
4
1
3
2
3
2
5 =
1
2
1
3
4
2
3
2
S' =
I
2
1
3
4
2
3
2
§А.5. Ключи
229
Обычно мы будем использовать именно таблицы, имеющие компактную форму.
Если Т имеет два столбца, то найти такую S легко: достаточно произвести обратное
перемещение, используя клетки, стоящие внизу второго столбца Т. Например,
1 2
3 4
4
5
1
3
4
5
2
Ш
Ш
4
1
4
5
2
3
4
1
4
5
2
3
4
1
4
2
3
4
5
2
1 3
4 5
2
3
1 4
4 5
Будем называть эту операцию, производимую на двух соседних столбцах,
а также операцию, обратную ей (когда производится перемещение,
использующее клетки, стоящие в верхней части первого из двух столбцов), элементарным
действием. Элементарные действия можно использовать на последовательных
парах соседних столбцов, чтобы найти косую таблицу S с данным набором длин
столбцов и данным выпрямлением. Будем называть косую таблицу 5 честной,
если набор длин ее столбцов является перестановкой набора длин столбцов ее
выпрямления; если Т — выпрямление S, то S — единственная косая таблица этой
формы, имеющая выпрямление Т. Элементарное действие, примененное к честной
косой таблице, имеющей компактную форму, всегда приводит к честной косой
таблице.
Для любой перестановки набора длин столбцов таблицы Т столбцы
соответствующей честной косой таблицы S однозначно определены. Верно даже более
сильное утверждение:
v Следствие 4. Состав левого (правого) столбца S зависит только от его
длины.
Доказательство. Все остальные косые таблицы, имеющие компактную
форму, с фиксированной длиной левого (правого) столбца могут быть получены из
данной посредством применения элементарных действий, которые не затрагивают
этот столбец. D
Пусть с — длина столбца таблицы Т. Обозначим через -Sfc (через $с)
множество элементов, содержащихся в левом (соответственно правом) столбце такой
косой таблицы.
Следствие 5. Если с < d, то Л& С Л& и @с С @й-
Доказательство. Используем элементарные действия, чтобы найти
косую таблицу S, два самых левых столбца которой имеют длины cad
соответственно. Элементарные действия с первыми двумя столбцами заключаются в
перемещении клеток из верхней части первого столбца, и они могут разве что добавить
к набору элементов первого столбца какие-то элементы из второго. Отсюда
следует, что j2?c С J%. Вторая часть доказывается совершенно аналогично. ?
Вложенные системы множеств {Jfc} и {&с} называются левым и правым
ключом таблицы Т. Их можно получить иначе: по таблице Т образуется новая
таблица, имеющая ту же форму, которая обозначается К-(Т) (соответственно К+[Т))
и строится следующим образом: в столбец (столбцы) длины с размещаются
элементы множества Sfc в порядке возрастания. Например, если Т—таблица из по-
230 Приложение А. Вариации на комбинаторные темы
следнего примера, то при помощи нескольких элементарных действии легко найти
ее ключи:
Т =
1
2
4
1
3
2
3
2
К-(Т) =
1111
2 2 2
4
К+(Т) =
2 2 2 2
3 3 3
4
Упражнение 28. Пусть честная косая таблица разбита вертикальными
линиями на несколько косых таблиц. Покажите, что каждая из них также является
честной.
Упражнение 29. Пусть Т и U —таблицы. Покажите, что следующие
утверждения эквивалентны: A) Т * U —честная косая таблица; B) для любого столбца /
таблицы К+(Т) и любого столбца и таблицы K-{U) косая таблица / * и является
честной; C) К+(Т) * K-{U) — честная. Обратите внимание на то, что для столбцов
/ и и косая таблица t * и является честной тогда и только тогда, когда они образуют
косую таблицу, если поместить их рядом в компактной форме, т. е. с выравниванием
по верхнему или по нижнему краю.
Любая цепочка У\ С'Уг С ... С Ут подмножеств [пг] задает некоторую
подстановку в Sm. Слово этой подстановки получается, если записать все
элементы «5^ в возрастающем порядке, затем все элементы У?\У| в возрастающем
порядке, и так далее, и, наконец, все элементы [пг\ \Угв возрастающем порядке.
Для вложенных систем {Ус} и {&с\* соответствующих таблице Г, эти подстановки
обозначаются w~(T) и w+(T). Для таблицы из нашего примера w~(T) — 1243
и w+(T) =2341. Этот тип подстановок играет роль в теории стандартных
одночленов, см. Фултон и Ласку (Fulton, Lascoux [1994], § 10.5).
Приложение В
О топологии алгебраических
многообразий
В этом приложении мы обсудим необходимые нам основные факты теории
гомологии и когомологий комплексных алгебраических многообразий, в частности,
построение фундаментального класса алгебраического подмногообразия. Хотя
такие построения были одним из основных движущих факторов раннего развития
топологии, особенно в работах Пуанкаре и Лефшеца, даже столетие спустя
студенту трудно извлечь эти основные факты из книг по алгебраической топологии.
Интуитивно понятно, что следует воспользоваться тем фактом, что любое
алгебраическое многообразие можно триангулировать таким образом, что множество его
особенностей будет подкомплексом. Сумма симплексов максимальной
размерности, ориентированных соответствующим образом, — цикл, гомологический класс
которого и есть фундаментальный класс подмногообразия. Строгая реализация
этой схемы и доказательство требуемых основных свойств возможны, однако это
т*ребует значительных усилий.
Существует подход, позволяющий обойти эти трудности, а также
избавиться от условия компактности объемлющего многообразия. Этот подход основан
на использовании гомологии Бореля—Мура. Подробнее о них можно прочитать
у Бореля и Хефлигера (Borel, Haefliger [1961]) и у Иверсена (Iversen [1986]).
Этот подход основан на когомологиях пучков и двойственности для пучков. Мы
же дадим эквивалентные формулировки, которые используют только стандартные
факты о сингулярных когомологиях. (Это упрощенная версия общей конструкции,
приведенной в книге Фултона и Макферсона (Fulton, MacPherson [1981]).
Некоторые конструкции описаны у Дольда (Dold [1980]).) Нам потребуются основные
свойства групп относительных когомологий, а также теорема о существовании
и простейшие свойства классов Тома векторных расслоений (см. Гринберги Харпер
(Greenberg, Harper [1981]), Дольд (Dold [1980]), Спеньер (Spanier [1966])). Мы
также воспользуемся простейшими фактами теории гладких многообразий, а
именно, существованием трубчатой окрестности и существованием разбиения единицы
(см. Гийемин и Поллак (Guillemin, Pollack [1974]) или Ленг (Lang [1985J)).
В первом параграфе мы перечислим факты и свойства, которые
использовались в тексте и которым посвящено это приложение. Читатель, не желающий
вникать в топологические конструкции, может пользоваться этой частью как
списком аксиом. (Например, многие утверждения остаются справедливыми, если
заменить группы когомологий группами Чжоу; на самом деле в таком контексте
232 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
многие доказательства становятся проще.) В параграфах В.2 и В.З приведены
доказательства; в последнем параграфе обсуждаются классы Черна и проективные
расслоения.
В данном приложении все алгебраические многообразия предполагаются
неприводимыми, а все (топологические) многообразия связными (и
удовлетворяющими второй аксиоме счетности) или, по крайней мере, несвязными
объединениями конечного числа связных многообразий одинаковой размерности.
§В.1. Основные факты
У любого топологического пространства X есть группы сингулярных
гомологии Н\Х и когомологий Н'Х (мы всегда будем рассматривать целые коэффициенты).
На когомологиях Н*Х = 0 Н'Х можно ввести умножение Н'Х ® Н1Х —> Н'+1Х,
а <8> р i-> а \j р (cup product); часто вместо a w р мы будем писать а ¦ р. Это
умножение превращает Н*Х в ассоциативное косокоммутативное кольцо с единицей
1 € Н°Х. Гомологии Н+Х = 0 HtX образуют (левый) модулем над кольцом
когомологий посредством действия Н'Х tg> Н,Х —»• Hj-iX, а ® Р •-¦ а /-ч р (cap product).
Непрерывное отображение f:X—*Y индуцирует обратный гомоморфизм
f.H'Y ^Н1Х A)
и прямой гомоморфизм
fm:HiX^HiY B)
для каждого /. Эти гомоморфизмы функториальны: если g: У —* Z, то (g о /)» =
= g* о /* и (g о /)* = /* о g*. Обратный гомоморфизм является гомоморфизмом
колец, и справедлива следующая формула проекции:
МГ(о<)^Р)=а^/.<Р). где осе//''К, РбЯ/Х. C)
Любое неособое комплексное проективное многообразие размерности п
является компактным ориентированным 2л-мерным вещественным многообразием.
Следовательно, старшая группа гомологии НъгХ канонически изоморфна Z. Ее
образующая называется фундаментальным классом многообразия X и
обозначается [X]. Кроме того, имеет место двойственность Пуанкаре: отображение
Н'Х-+Н2п-,Х. а~а~М. D)
является изоморфизмом (см. Гринберг, Харпер (Greenberg, Harper [1981]), Дольд
(Dold [1980]), Спеньер (Spanier [1966])). С помощью этого изоморфизма можно
отождествить соответствующие группы гомологии и когомологий, что мы и сделаем.
Морфизм /: X —> У, где X и Y — неособые проективные многообразия
размерностей пит соответственно, индуцирует гомоморфизм групп когомологий, иногда
называемый гомоморфизмом Гизина:
/¦: Н'Х = H^n-iX - //2л-, Y = H2m'2n+i Y. E)
Формулу проекции можно переписать следующим образом:
МГ(оО Р)=а./*(Р) для а 6//'К, ?€"'*. F)
§ В. 1. Основные факты
233
Действительно,
/^Г(«) • р) ^ [п = /.«Г(«)^р)^т) = /•(/•(«) ^(р^т> =
Теперь рассмотрим неприводимое замкнутое ^-мерное подмногообразие V
неособого проективного /z-мерного многообразия X. Мы докажем, что V
определяет фундаментальный класс [V] в Н^Х, и, следовательно, двойственный по
Пуанкаре класс когомологий, также обозначаемый [V], в H2"~2kX = Н2сХ, где
с — коразмерность V в X.
Приведем некоторые основные свойства фундаментальных классов. Пусть / —
морфизм нзХ в Y, тогда из алгебраической геометрии известно, что f(V) —
неприводимое замкнутое подмногообразие Y размерности не больше k. Если
размерность /(У) равна &, то существует открытое (в топологии Зарисского) множество
U С f(V)> такое, что отображение из V в /(К) определяет конечнолистное
накрытие из f~l{U) П V в U. Количество листов накрытия называется степенью V над
/(К). Тогда
r[V] = /°> если dim(/(V)) < dim(V),
1 d[f(V)], если V имеет степень d над f(V).
В большинстве случаев этот факт будет очевиден, а степень отображения будет
легко вычисляться. Нам понадобятся лишь простейшие случаи, когда либо /
отображает V на многообразие меньшей размерности, либо / отображает V на f(V)
бирационально, т.е. степень морфизма равна 1. (Доказательство общего случая
см. у Шафаревича (Шафаревич [1972], гл. II, §5).)
Если / — отображение линейно связного многообразия^ вточку К,то
отображение /*: HqX —*HqY —Ъ является изоморфизмом. Это отображение называется
гомоморфизмом степени. Образом класса [х] будет 1 для любой точки х € X.
Теперь предположим, что / — гладкий морфизм из X в Y. Будем считать, что
X — расслоение над У, т.е. существует неособое проективное многообразие F
и покрытие Y открытыми (в топологии Зарисского) множествами ?/0, такие, что
f~l(Ua) as Ua х F, где / соответствует проекции Ua х F на Ua. Тогда если V —
подмногообразие К, то f~l(V) — подмногообразие в X (локально заданное
прообразами уравнений, определяющих V в У), и мы получаем следующую формулу:
s Г1У] = [Г*(УI (8)
Предположим, что V и W — подмногообразия неособого проективного
многообразия X, а их пересечение V П W есть объединение подмногообразий Z\ Zt.
Предположим также, что пересечение собственное* т. е. коразмерность Z, в X есть
сумма коразмерностей V и W, и многообразия V и W пересекаются трансвер-
сально, т. е. для каждой точки z некоторого открытого (по Зарисскому)
подмножества в Zi касательные пространства к V и W в пересечении дают касательное
пространство Z,:
TzZi = T2VnT:WcTzX.
234 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
Тогда справедлива формула пересечений
[K].[r] = [Z,] + ... + [Z,]. (9)
Если V и W имеют дополнительные размерности, то [V] • [W\— класс в HqX. Его
образ поддействием отображения приведения часто обозначается через {[V], \W\)
и называется индексом пересечения V и W. Если V и W трансверсально
пересекаются в г точках, то {[V], [W]) = г. Мы будем обозначать индекс пересечения
также через ([V] • [1^]) или, для краткости, [V] ¦ [W].
Если пересечение собственное, то можно приписать компонентам Z, такие
положительные целые числа ш,- (кратности пересечений), что [V] • [W] = ? ^[Z/]
(см. C1) в §В.З), но такая общность нам не потребуется.
Приведем еще один необходимый нам результат. Если неособое проективное
многообразие X имеет фильтрацию X = Xs э Xs-\ 3 ... D Xq = 0 замкнутыми
алгебраическими подмножествами, и Xt \Jfr-i есть несвязное объединение
многообразий (//,/, изоморфных Сл(|,/\ то классы \Ultl\ замыканий этих многообразий
образуют базис в Н*(Х) над Ъ.
Наконец, нам понадобятся некоторые сведения о классах Черна векторных
расслоений. Мы будем рассматривать только алгебраические векторные
расслоения, т.е. расслоения ? —> X, локально имеющие вид Ua х А* —* иа, где замена
координат над Ua П U$ порождается морфизмом из Ua П U$ в полную
линейную группу GLe(C). Линейное расслоение над неособым проективным
многообразием обладает первым классом Черна с\(Ц в Н2(Х). Приведем его основные
свойства:
сх(Г(Ц) = Г(сАЦ)ч где/: Y^X; A0)
c\(L <g) М) = C\(L) + с\(М), где L и М —линейные расслоения над Х\ A1)
c\(L) = [D], если L ^ &(D)y D — неприводимая гиперповерхность в X. A2)
Здесь равенство L = 0(D) означает, что существует сечение s расслоения L, для
которого условие его обращения в нуль задает D как подмногообразие в X. На
самом деле, каждое рациональное сечение s линейного расслоения L определяет
дивизор D — ]? л/Д. где Д — неприводимая гиперповерхность, а щ — порядок
обращения s в нуль вдоль Д, и тогда L ^ 0(D) и c\(L) — ? Л'[А| в Н2(Х). Но
такая общность нам не потребуется. Из любого из свойств A0), A1), A2) следует,
что если L — тривиальное линейное расслоение, то с\ (L) — 0.
Классы Черна ci(E) векторного расслоения ? ранга е лежат в группах Н2'(Е),
причем со(?) = 1 и с,(?) = 0, если / < 0 или / > е. Для векторных расслоений
выполнено то же свойство функториальности, что и для линейных расслоений:
с/(Г(?)) = /*(*(?)), где/:К-*. A3)
Если ?' — подрасслоение расслоения ? и ?" = ?/?' — факторрасслоение, то
справедлива формула Уитни
ck(E) = Y, ci(E')-c,(E"). A4)
§В.2. Гомологии Бореля—Мура
235
§В.2. Гомологии Бореля—Мура
В этом параграфе мы будем пользоваться некоторыми свойствами групп
относительных сингулярных когомологий Н'(Х, Y), которые определены для любого
топологического пространства X и его подпространства Y. В отличие от
топологических задач, у нас Y будет открытым подмножеством А". Группы относительных
сингулярных когомологий определяются как группы гомологии комплекса С*(Х, Y)
сингулярных коцепей (т.е. Z-значных функций на сингулярных цепях) на X,
обращающихся в нуль на цепях из Y. Если Z С Y С X, мы получим естественную
длинную точную последовательность
...->//'"(*, У)-+Н!(Х, Z)-//'(K, Z)-//'+l(*, Y)-^Hi+l(X, Z) —... A5)
Если Y и Z — открытые подмножества пространства X, то, так же как и в
абсолютном случае, определено ассоциативное и антикоммутативное ^-произведение
r/'(A\ Y) хН'(Х, Z)-*Hi+i(X, KuZ), A6)
(так как Н*(Х, Y и Z) есть когомологий комплекса коцепей на X, обращающихся
в нуль на цепях из У или из Z, по свойству Майера—Виеториса).
Имеет место свойство вырезания: если Y —открытое подмножество в X,
а А —замкнутое подмножество пространства Xt содержащееся в К, то
естественный гомоморфизм
//'"(*, Y)-+Hl(X\A, Y\A) A7)
будет изоморфизмом.
Если ? — ориентированное вещественное векторное расслоение ранга г над
топологическим пространством X, то определен класс Тома у? в #r(?, Е \ {0}), где
{0} С ? — это образ нулевого сечения. Класс Тома обладает следующим свойством:
доя любого замкнутого подмножества А С X отображение
//'(*, X \ Л)->//'+'(?, ?\Л), а~к»^Т?, A8)
является изоморфизмом; здесь А отождествляется со своим образом при
вложении А' в ? в качестве нулевого сечения, а к — проекция ? на X.
Предположим, что М — замкнутое подмногообразие гладкого многообразия /V,
размерность М равна т и размерность N равна п. Тогда мы имеем точную
последовательность расслоений над М:
0 -* Тм -> TN \м -*¦ ? -* 0,
где по определению ? — нормальное расслоение подмногообразия М в N. С
помощью этой последовательности, зная ориентацию многообразий М и N, можно
определить ориентацию расслоения ?. Если ? ориентировано, мы имеем
канонический изоморфизм
//'(Af, М\А)* Hi+n'm(N, N \ А) A9)
для любого замкнутого подмножества А С М. Изоморфизм строится следующим
образом. Рассмотрим трубчатую окрестность U подмногообразия Af в N (см. Гнй-
236 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
емин, Поллак (Guillemin, Pollack [1974]) или Ленг (Lang [1985])). Тогда
//' (Af, М\А)& Hi+n-m(E4 Е\А)*? H'+"-'"(Ut U\A)S* Hi+n~m(N4 N \ А).
Первый изоморфизм — изоморфизм Тома, второй — следствие отождествления
U и ?, а третий — изоморфизм вырезания N \U. Построенный изоморфизм не
зависит от выбора трубчатой окрестности.
Для любого топологического пространства X которое можно вложить как
замкнутое подпространство в евклидово пространство R", мы определим гомологии
Бореля—Мура htX _
HiX = Hn'i(Rn,Rn\X). B0)
Лемма 1. Определение HjX не зависит от выбора вложения в евклидово
пространство.
Доказательство. Рассмотрим два замкнутых вложения ср: X —> R" и
ф: X -* Rm. Построим изоморфизм между //n-'"(R\ R" \ХФ) и //""'"(ЛГ, Rm \ Xj,),
гдеХф и Xj,— образы пространства X при соответствующих вложениях. Проекцию
R" х Rm —* Rn можно рассматривать как ориентированное (тривиальное)
векторное расслоение. Тогда, воспользовавшись изоморфизмом Тома A8), мы получаем
изоморфизм
//"-'(R\ R" \ X,) а //й+т-'(Кл х Rm, R" х Rm \ Х,ф,0)), B1)
где (<р, 0): X —»R" х Rm — замкнутое вложение jc •-> cp(jc) х 0.
По теореме Титце о продолжении (см. Джеймс (James [1987], 11.7))
существует непрерывное отображение ф: R" —> Rm, для которого ф о <р = ф. Рассмотрим
отображение0: Rn х R'" —> R" х Rm, заданное формулой B(v xw)~v x(w -ф(у))»
где v G R\ w € Rm. Заметим, что 0 о (ср, ф) = (<р, 0), где (ср, ф) есть замкнутое
вложение X в R" х Rm, х *-* cp(jc) х ф(х). Так как 0 гомеоморфно отображает Х{%1^
на Х(ф,о>» мы получаем следующий изоморфизм:
0*: //"+m-'(RnxRffl, RrtxRm\^.0»)-^//,,+m~/(R',xRm, »яхКт\Х(ф.Ф)). B2)
Для начала заметим, что изоморфизм 0* не зависит от выбора продолжения ф, так
как если ф'—другое продолжение, то 0/ (v xw) = v х (w-t -ф(у)-A -/)*ф'A>))—
гомотопия между ф и ф'. Композиция B1) и B2) — изоморфизм
/r-'(R\ R" \Х,) ^Яп+т-'дея х Rm, R" х Rm \Х,Ф.Ф)). B3)
Меняя местами R" и Rm, получаем
//m-'(Rm, Rm \ ХФ) a //m+rt-'(Rm х R\ Rm х R" \ %,p)). B4)
Для завершения доказательства нам достаточно построить изоморфизм между
правыми частями B3) и B4). Пусть т: Rm х R" -> Rrt х Rm — гомеоморфизм,
переставляющий координаты; z(v х w) = w х v. Заметим, что т сохраняет или
меняет ориентацию в зависимости от четности тп и отображает Х(ф,^ на Х(ф,ф).
Тогда (— \)тпх* определяет изоморфизм
/Г+—'(И* х R", R" х Rffl \ Х^.ф)) -?» /Г+*-'(Щ" х R", ГхГ\ %?)). B5)
Лемма доказана. п
§В.2. Гомологии Бореля—Мура
237
Упражнение 1. Проверьте, что если ф = ф, то изоморфизм, построенный в
доказательстве леммы 1, — тождественный. Покажите, что изоморфизмы,
построенные в этом доказательстве, согласованы в следующем смысле: если X CRP
—третье замкнутое вложение, то диаграмма
//"-'(Г, R" \Х) >- //т~'"(ПГ, W" \Х)
Нр-'(ЖР,ЖР\Х)
коммутативна.
На самом деле справедлива следующая
Лемма 2. Если пространство X вложено в гладкое ориентированное
многообразие М как замкнутое подмножество, то существует
канонический изоморфизм
HiX г Нт~'{М, М \ Х)у где т = dim(M).
Доказательство. Рассмотрим замкнутое вложение многообразия М в
евклидово пространство R". Тогда из A9) мы получим изоморфизм
Нт-'(М, М\Х)*Hn'l(R\ Rn \X) = HiX. П
Упражнение 2. Покажите, что если X вложено как замкнутое
подмножество в многообразие N размерности я, то существует канонический изоморфизм
Hm~l(My М \Х) & Hn~l(N, N \Х) и эти изоморфизмы согласованы в смысле
упражнения 1.
Для ориентированного n-мерного многообразия М гомологии Бореля—Мура
можно вычислять, рассматривая вложение М в себя:
HiM = Нп~1(М, М\М)= Нп~1М. B6)
В частности, из этого следует, что Н,М = 0 для / > п и НпМ ~ Н°М есть
свободный Z-модуль, ранг которого равен числу компонент связности многообразия М.
Если М компактно, то по двойственности Пуанкаре Н"~~'М = HtM, т.е. гомологии
Бореля—Мура равны обычным гомологиям. Более того, если X — компактное
локально стягиваемое пространство и X вложено в ориентированное многообразие М,
то по двойственности Александера—Лефшеца Hn~l(M, М\Х)? HiX (см. Спеньер
(Spanier [1966], лемма 6.10.14)), т.е. гомологии Бореля—Мура совпадают с
сингулярными гомологиями; но это обобщение нам в дальнейшем не потребуется.
В отличие от обычных сингулярных гомологии, гомологии Бореля—Мура //,• не
ковариантны для произвольных непрерывных отображений. Однако собственное
непрерывное отображение /: X -> У (где X и У допускают замкнутое вложение
в евклидово пространство), т. е. такое отображение, что прообраз любого
компактного подмножества в У компактен в X, индуцирует гомоморфизм Д: Н\Х -> Н,У.
Он может быть построен следующим образом. Так как f — собственное,
существует такой морфизм ф: X -> Г с R", где / С R — замкнутый отрезок,
содержащий 0 как внутреннюю точку, что отображение (/, ф): X -> У х Г будет замкну-
238 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
тым вложением. Рассмотрим замкнутое вложение Y в Rm. Оно задает
замкнутое вложение X С Y х /" с R'" х R". Нам необходимо построить гомоморфизм
HiX = /Ym+"-/(!m х R\ (Rm x R") \ X) - /7/К = //m"/(Rm, Rm \ К). Им будет
композиция следующих отображений; ограничения
//m+""'(Rm х R\ Rffl х R" \ X) — //ffl+,|-'(Rm x R", Rm x R" \ У x /") B7)
отображения, обратного к изоморфизму ограничения
/ym+rt-'(Rm х R\ Rm x R" \ К x {0}) -*//*+»-''(R* x Rfl, Rm x R" \ Y x /"), B8)
и отображения, обратного к изоморфизму Тома A8)
//m-''(R"\ Rm \ Y) -> //"+»-'(Rffl х R", Rm х R" \ У х {0}) B9)
для тривиального расслоения Rm х R" -¦ Rm. То, что B8) является изоморфизмом,
следует из общего факта: если S, W с U — открытые подмножества
пространства А, причем U' cUnU'nBcUn В —деформационные ретракты, то
отображения ограничения Н'(А, В U U) —*• Hj(A, В и U') являются изоморфизмами. Это
легко доказать, воспользовавшись точной последовательностью Майера—Вието-
риса. Положив В = Rm х R" \ Y х R", А = Rm х R\ U' = Rm х R" \ Rm х Г
и U = Rm х R" \ Rm х {0}, мы получим B8).
Упражнение 3. Покажите, что /. не зависит от выборов вложений при
построении и что эти отображения функториальны: если / и g— собственные
отображения, то (g о /)«, = gm о /».
Пусть существует замкнутое вложение пространства X в евклидово
пространство (или в многообразие), U — открытое подмножество пространства X. Тогда
U также допускает замкнутое вложение. Действительно, если X —замкнутое
подмножество ориентированного л-мерного многообразия М, то U замкнуто в
ориентированном многообразии М° = М \ У, где Y —дополнение U в X, Теперь,
воспользовавшись отображением ограничения в когомологиях, можно определить
каноническое отображение ограничения HiX на //,-(/:
HtX = Н"-'(МЧ М \ X) - Н*~'ЧМ*Ч M°\U) = HtU. C0)
Упражнение 4. Покажите, что отображение ограничения не зависит от
сделанного при его построении выбора, и что оно обладает свойством функториаль-
ности: если U' С U С X открыты, то ограничение HiX на Hill' есть композиция
ограничений HiX на Hill и Н\11 на //,-{/'.
Лемма 3. Пусть U — открытое подмножество Х,а Y — дополнение к U
в X, тогда имеет место длинная точная последовательность
... -> HiY -* HiX - HtU — Д., У -> Hi-tX — Hi-xll ->...
Доказательство. Пусть многообразие M такое же, как в предыдущей
конструкции, тогда наша последовательность— это длинная точная
когомологическая последовательность A5) тройки М\Х cM\Y с М. ?
Упражнение 5. Покажите, что отображения в длинной точной
последовательности не зависят от выбора вложения в М. Покажите, что если /: X' —>Х —
§В.З. Фундаментальный класс подмногообразия
239
собственное отображение и W = / ](U), Yf — / '(У), то диаграмма
... *• HiY' >- HtX' >• HiW >- /7,_, V" >• Н^Х1
+ H,Y
-*-HiX
+ HiU
*Hi-iY
¦**///-1*
коммутативна (вертикальные стрелки соответствуют ковариантным
гомоморфизмам для собственных отображений.)
Упражнение 6. Если пространство X — несвязное объединение конечного
числа открытых подпространств Хау то HtX — прямая сумма Н-,(ХЛ).
§В.З. Фундаментальный класс подмногообразия
Лемма 4. Пусть V — алгебраическое подмножество неособого
алгебраического многообразия, 6 — размерность V. Тогда HtV = О для i > 26
и H2kV — свободная абелева группа, образующие которой соответствуют
k-мерным неприводимым компонентам V.
Доказательство. Если V — неособое чисто 6-мерное подмногообразие,
то V есть ориентированное 26-мерное вещественное многообразие, и лемма следует
из B6) и упражнения 6. Заметим, что если V неособое, то его неприводимые
компоненты и компоненты связности совпадают: это следует из того, что неприводимое
многообразие связно, и того, что точка в пересечении двух и более компонент
должна быть особой.
В общем случае лемма доказывается индукцией по 6. Заметим, что существует
замкнутое алгебраическое подмножество Z С V размерности меньше 6, для которого
V \Z — неособое чисто 6-мерное многообразие. Действительно, в качестве Z
можно взять объединение всех неприводимых компонент размерности меньше 6 и
множества особенностей многообразия V. Тогда по предположению индукции Ht(Z) =0
для />26-2 и tfi{V\Z)=Qjvw /> 26, так как V \Z — неособое чисто 6-мерное
многообразие. Воспользовавшись точной последовательностью из леммы 3, мы
получим, что Ht (V) = 0 для /> 26, а также следующую точную последовательность:
0 = H2kZ -+H2kV - H2k(V \ Z) - H%k.xZ = 0.
Следовательно, И2кV э* H2k(V \ Z), но мы знаем, что //г*(У \ Z) — свободная
группа с образующими, соответствующими неприводимым компонентам V \ Z,
которые однозначно соответствуют 6-мерным компонентам V. D
Теперь предположим, что V — неприводимое замкнутое подмногообразие
неособого проективного (или компактного) многообразия X. Обозначим через k
размерность V. Тогда в Н2кУ =& есть каноническая образующая, и замкнутое
вложение V в X индуцирует гомоморфизм
H2kV -> Н2кХ = R2n-2kx = Н^Х,
где п = dim(^), с = п - 6 = codim( V). Образ образующей группы Н2ь V в Н^Х
называется фундаментальным классом подмногообразия V в X и обозначается [V].
240 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
Докажем формулу G). Воспользуемся коммутативной диаграммой
H2k V ^ HikX ===== и2п-2кх
НпПУ)
H2kY
И
и
2т-2k
У,
где k = dim(l/), п = dim(X), m = dim(K). Из леммы 4 мы получим, что f*[V] = 0,
если dim(/(V)) < k. Предположим, что dim(/(H)) = k. Пусть U —открытое
подмножество f(V), над которым f~l(U) П К -+ U —d-листное накрытие. Заменив U
достаточно маленьким открытым шаром, лежащим в неособой части /(V), можно
считать расслоение тривиальным; тогда f~l{U) П V есть несвязное объединение
d открытых множеств Uat изоморфно отображающихся на U. Упражнение 5 дает
нам коммутативную диаграмму
Н2кУ-+Н2к(Г1(и)ПУ) = ®Й2*(иа)
H2kf(V)
¦*- H2bV.
Под действием гомоморфизмов Н2кУ —* H2*(Ua)t H2kf(V) —* HtkW) и H2k(U<x) —*
—*¦ H2k(U) образующие переходят в образующие. Следовательно, образующая
группы H2k(V) отображается в образующую группы H2kf(V), взятую d раз. Таким
образом, формула G) доказана.
Для того чтобы доказать (8) и (9), мы снова воспользуемся ограничением на
небольшие шары с помощью отображения ограничения гомологии Бореля—Мура.
Заметим, что для любого неприводимого замкнутого подмногообразия V
неособого многообразия X можно определить чистый класс r\v в группе
относительных когомологий H2n'2k(X, X\V) = Н*(Х, X \ V), где k = dim(K), п = dim(A')
и с = п — k — коразмерность V. Этот класс определяется как образ канонической
образующей группы И2ЬУ под действием изоморфизма из леммы 2:
,2n-2k
2с
H2kV = //"-"(*, X\V) = /ГЧХ, X \ V).
Если многообразие X компактно, то образ т)у в Н2п~2к(Х) — фундаментальный
класс [V]. Из определения легко получить следующее важное свойство: если
Х° — открытое подмножество в X, пересекающееся с V, и V0 — V П Х°, то
образом чистого класса т)у под действием отображения ограничения из Н2с(Х, X \ V)
в Н2с(Х°, Х° \ Vе) будет rjyo. Заметим, что рассмотренные группы относительных
когомологий изоморфны Z, а отображения ограничения являются изоморфизмами,
так что при ограничении никакая информация не теряется. Из определения также
следует, что если X = Е — комплексное векторное расслоение ранга с над V и V
вложено в X как нулевое сечение, то r\v совпадает с классом Тома уя этого
векторного расслоения.
Теперь перейдем к доказательству (8). Точнее, мы докажем следующее более
сильное утверждение.
§В.З. Фундаментальный класс подмногообразия 241
Лемма 5. Пусть f:X—*Y —морфизм неособых многообразий. Пусть
V — неприводимое подмногообразие Y коразмерности с, для которого
W = fl(V) — неприводимое подмногообразие X той же коразмерности.
Тогда если существует такая окрестность U некоторой неособой точки V,
что в этой окрестности пересечение V П U является подмногообразием
и задается уравнениями И\, ..., hc, a W П /~'(^) является
подмногообразием в f~x(U) и задается уравнениями h\ о / hco /, то f*{r\v) =T)w, где
/* — индуцированный гомоморфизм из H2c(Y, Y \ V) в Н2с(ХЛ X \ W).
Доказательство. Так как группы //2с(У, Y \ V) и Н2с(Х, X\W)
порождены r\v и г)г» то /*(rjv) = dr\w, где d — целое, и нам достаточно показать, что
d = 1. Выше мы показали, что Y можно заменить на открытое множество У0,
пересекающееся с V, а X на открытое подмножество Х° С /-1(У°), пересекающееся
с W. Положим Y° = U\ тогда достаточно рассмотреть случай, когда Y = Е —
(тривиальное) векторное расслоение над V, где V вложено как нулевое сечение,
a X = g*E — расслоение, индуцированное отображением g, равным сужению /
на Wy и W вложено как нулевое сечение. Теперь равенство r\w = fm{t)v) очевидно,
так как класс Тома индуцированного расслоения g*E есть прообраз класса Тома
расслоения Е. D
Как видно из доказательства, функции Л|, ..., hc* локально задающие V в К,
могут быть регулярными алгебраическими функциями в окрестности U (в смысле
топологии Зарисского) или голоморфными функциями в классической
окрестности U.
Далее мы изучим связь между пересечением двух подмногообразий V н W
неособого компактного многообразия X и произведением их фундаментальных
классов. Пусть а = dim(V), Ь — d\m(W) и п = dim(X). Чистые классы r\v и tj^
лежат соответственно в группах относительных когомологий Н2п~2а(ХЛ X \ V)
и Н2п~2Ь(Ху X \ W). Тогда их w-произведение лежит в группе
Н4п-2а-2Ь(Х, (X \ V)и(X \ W)) = Я4л-2й*(Х, X \ (V О W)) =#2а+2*-2«<v n w)-
Если пересечение собственное, т.е. каждая неприводимая компонента
пересечения Zt имеет размерность а + Ь — п, то фундаментальные классы таких компонент
порождают свободную абелеву группу с образующими r\zn и тогда
Т\у \s7)w =/niT)z, +/Л2ТJ2 + ••• + МтЧ\1,, C1)
где mi mr — однозначно определенные целые числа. Это равенство можно
рассматривать как определение чисел /п, — кратностей пересечения V и W
вдоль 2}. Такое определение согласуется с определением, данным в алгебраической
геометрии (см. Фултон (Fulton [1984], § 19)). Для доказательства (9) нам осталось
проверить, что если пересечение трансверсально в общей точке Z = Z/, то т\ = 1.
Построенные чистые классы согласованы с отображением ограничения на
открытое подмножество U С X. Заметим также, что при их построении мы не
пользовались компактностью. Тогда, рассмотрев ограничение на окрестность точки
из Z, в которой V и W пересекаются трансверсально, мы можем считать, что
U голоморфно изоморфна открытому шару в С\ причем V П U и W П U
соответствуют координатным плоскостям, трансверсально пересекающимся в ZC\U.
16* Таблицы Юнга
242 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
Таким образом мы имеем векторное расслоение X над многообразием Z,
являющееся прямой суммой расслоений, в которые вложены V и W (как нулевые
сечения). Воспользовавшись тем, что класс Тома прямой суммы расслоений есть
произведение классов Тома этих расслоений, мы получим требуемое утверждение.
Лемма 6. Пусть X =XS D .. .D Хо = 0 — последовательность замкнутых
алгебраических подмножеств (алгебраического) многообразия X, причем
разности Xj \ Xj-\ представимы в виде несвязного объединения
многообразий Uij, изоморфных аффинным пространствам С1*1*'1. Тогда классы [?/,-,/]
замыканий этих многообразий образуют аддитивный базис группы
гомологии Бореля—Мура Нт(Х) с целыми коэффициентами.
Доказательство. Так как /7,(Ст) 3 //2т-'(Ст), то //,(Cm) = Z, если
i = 2т, иначе //,(Ст) =0. Докажем по индукции, что для каждого р классы
[Ui.j\* i ^ Р. образуют базис Н*(ХР). Предположим, что для р - I это верно,
тогда, так как Hk(Xp-\) и Hk(Utj) тривиальны при нечетных fc, по лемме 3 мы
получим, что Hk(Xp) = 0 для нечетных k и следующая последовательность точна:
0 - H2i(Xp.l) - H2i(Xp) -> 0 Hv(Upj) - 0.
Образы классов [Up.j] G Нт(Хр) образуют базис в фH+(Up,j). Отсюда и из
предположения индукции следует, что Н*(Хр) — свободная группа с образующими
[Uij] для i < р. П
Упражнение 7. Пусть связная топологическая группа G действует на
пространстве X посредством непрерывного отображения G х X —*Х. Покажите, что
индуцированные действия на Н'(Х) и Я, (А") тривиальны. Выведите отсюда, что если
X — неособое проективное многообразие, то [g • V] = g*[V] = [V] для любого
g ? G и любого подмногообразия V в X.
Упражнение 8. Пусть s: Р" х Р _*рлт+'1+т —вложение Сегре. Покажите,
что s*([H]) = [Н\ х Р™] + [Р" х //2], где Я, Н\ и Я2 — гиперплоскости в
пространствах pnm+n+m, р" и Р* соответственно.
§В.4. Классы Черна
Рассмотрим комплексное линейное расслоение L над X. Его класс Тома лежит
в группе //2(L, L \ X). Первый класс Черна C\(L) € Н2(Х) можно определить как
класс, образ которого под действием л* (тс— проекция L на X) совпадает с
образом у*, под действием отображения ограничения. Равенство A0) тогда следует из
согласованности классов Тома с индуцированными отображениями в когомологиях.
Чтобы доказать A2), применим лемму 5 кморфизму$: X —* L и подмногообра-
зиюХ С L, вложенному как нулевое сечение. ПустьЯ = s~'CY); из предположения,
что D—дивизор нулей s, следует, что мы находимся в условиях леммы 5. Тогда
мы получим, что s*(yz.) = t)d, и, следовательно, C\(L) = s*(к*(c\(L))) = [D].
Рассмотрим важный частный случай свойства A2): пусть ^A) —
расслоение, двойственное тавтологическому линейному расслоению над проективным
пространством Р(К), тогда С\(&(\)) — класс гиперплоскости. Это следует из того, что
ненулевой вектор в V* задает сечение ^A), обращающееся в нуль в точности
§ В.4. Классы Черна
243
на гиперплоскости, определяемой этим вектором. Класс гиперплоскости является
универсальным первым классом Черна в следующем смысле: для любого
линейного расслоения L над многообразием (или паракомпактным пространством) X
существует такое непрерывное отображение /: X —+ Р", что L ^ /*(^A)). Чтобы
построить такое отображение, воспользуемся тем фактом, что существует конечное
число непрерывных сечений So, .... s0, таких, что в каждой точке X хотя бы одно
из них не равно нулю. Тогда f(x) = [so(x):...: sn(x)]. Сечения дают сюръекцию из
тривиального расслоения С?+1 на L, а отображение / индуцирует эту сюръекцию
из канонической сюръекции С^ —> ^A) над F".
С помощью этих рассуждений можно доказать свойство (! 1). Пусть
L и М — линейные расслоения над X. Рассмотрим непрерывные отображения
/: X -+Рп и g: X -+F\ щ\я которых L = /*(*?( 1)) и M = g*(#(l))- Рассмотрим
h: X -»• p'""+"+m _ композицию (/, g) -> Р" х ?т и вложения Сегре s. Тогда по
упражнению 10 §9.3 L® М изоморфно Л*(^A))( и, воспользовавшись
упражнением 8, мы получим, что
Ci(L® М) =h*(\H\) = (/, ?)*([", х Р*] + [Г х /У2]) =
= Г([Я«]) + ^A^2]) = с,(/.)+с,(М).
Чтобы определить классы Черна для расслоения ? ранга е над X, мы, следуя
Гротендику, рассмотрим ассоциированное проективное расслоение р: Р(?) —* X.
Пусть L — тавтологическое линейное расслоение над Р(?) и ^A) = С
—двойственное к нему расслоение. Тогда мы имеем точную последовательность
0-^ -/?*(?)-*<?-0. C2)
Положим 2 = с\(&(\)) = -C\(L) (см. A1)). Для любого открытого множества U
в X, над которым расслоение ? тривиально, ограничением z будет класс
гиперплоскости ЩЕ\ц) = U х Р*-1. Отсюда можно получить при помощи
последовательности Майера—Виеториса, что //*(Р(?)) является свободным И*X-модулем
с базисом 1, г, г2 ze~l. Следовательно, существуют единственные классы
а\ ае> где щ 6 /У2'Л', такие, что
2е + я*(а,)-ге-Ч... + р*(ае_1)-г + /?*(ае) = 0 вН2е(?(Е)). C3)
Другими словами, /Г(Р(?)) 2 Н*Х[Т]/(Те + а, ¦ Г"' + ... + ae-i ¦ Г + ае),
причем образ Т в /У*(Р(?)) есть 2. Положим с,(?) равным а,, в частности, Со(?) = 1
и с,(?) = 0, если i < 0 или / > е. Заметим, что если е = 1, Р(?) =Х и L = ?. то
2 = С\ (?v) = —С| (?), т. е. в случае линейного расслоения определения согласованы.
Свойство A3) легко получить, воспользовавшись определением и тем, что
Р(/*(?)) = Y хх Р(?) и тавтологическое линейное расслоение над Р(/*(?))
индуцируется из тавтологического линейного расслоения над Р(?).
Тензорно умножив точную последовательность C2) на линейное расслоение
^A) = Lv, мы получим, что расслоение р*(Е) <g> &(\) имеет тривиальное линейное
подрасслоение, или, другими словами, имеет не обращающееся в нуль сечение.
Воспользуемся этим фактом, чтобы доказать следующую лемму, необходимую для
доказательства формулы Уитни A4).
244 Приложение В. О топологии алгебраических многообразий
Лемма 7. Если векторное расслоение Е является прямой суммой
линейных расслоений Ц Let то а(Е) есть i-я элементарная симметрическая
функция переменных С\(Ц) c\(Le).
Доказательство. На Р(?) расслоение р*(Е) ® #A) = фр*(?/) ® ^A)
имеет нигде не обращающееся в нуль сечение s — ф$/, где s/ —сечение
расслоения p*(L/)®^(l). Пусть Ui — множество, на котором s,- не обращается
в нуль. Тогда, так как ограничение расслоения р*{Ц) ® ^A) на Ui есть
тривиальное линейное расслоение, его первый класс Черна равен нулю в H2(Ui). Это
значит, что существует класс а/ € /У2(Р(?), ?/,), образ которого в //2(Р(?)) равен
C\(p*(Li) ® ^A)) = р*(с\(Ц)) + г. ^-произведение а\ w ... w ае принадлежит
//2'(Р(?), U} U... U Ue) = О, так как U\ U... U Ue = Р(?). Следовательно,
(p*{C|(L|)) + z).(p*(ci(L2)) + z)-...'(p*(ci(Z^))+2)-0.
А значит, г* + р*(а\) • ze~x + ... + р*(ае-\) • г + р*{ае) = 0, где а, есть /-я
элементарная симметрическая функция переменных C\(L\) c\(Le). D
Для того чтобы воспользоваться полученной леммой, нам понадобится
принцип расщепления:
Лемма 8. Для любого векторного расслоения Е над X
существует такое отображение /:А"-+Х, что индуцированное отображение
/*: Н*(Х) ~* Нт{Х') инъективно и расслоение /*(?) есть прямая сумма
линейных расслоений.
Доказательство. Будем рассматривать //*(Р(?)) как алгебру над Н*Х.
Тогда понятно, что индуцированный гомоморфизм р*: НтХ -*//*(Р(?)) инъек-
тивен. У расслоения р*(Е) над Р(?) есть линейное подрасслоение L. Выбрав
подходящую эрмитову метрику на ?, рассмотрим ортогональное дополнение Е\ к L
в р*(?), т. е. рт(Е) = L ф Е\. Индукцией по рангу расслоения ? можно построить
отображение X' —> Р(?), расщепляющее ?|, причем соответствующее отображение
групп когомологий инъективно. Тогда композиция X' -*¦ Р(?) -* X дает требуемое
отображение. Заметим, что в качестве X* можно взять тотальное пространство
расслоения полных флагов в ?. ?
Теперь легко доказать формулу Уитни A4). Воспользовавшись, как и выше,
метрикой, мы можем считать, что ? = ?' 0 ?". Воспользовавшись принципом
расщепления, можно считать ?' и ?" прямыми суммами линейных расслоений.
Тогда формула Уитни есть прямое следствие леммы 7. Заметим, в частности, что
если ? — тривиальное расслоение, то а(Е) = 0 для / Ф 0.
Упражнение 9. (а) Для расслоения ? ранга е покажите, что c\(f\eE) = с\(Е).
(Ь) Для расслоения ? ранга е и линейного расслоения L покажите, что
Cp(?®Z-) = ^(J:|)cl(?)c,(L)',-/.
В тексте было использовано еще одно свойство расслоений (для расслоений
ранга 2):
Лемма 9. Пусть ? — векторное расслоение ранга е над неособым
проективным многообразием Y, X = Р(?), р: X -* Y — проекция. Пусть
§ В.4. Классы Черна
245
L С р*(Е) — тавтологическое линейное расслоение и х = —Ci(Z-) € И2(Х).
Тогда
р,(х*-|)=1 в H°(Y).
Доказательство. Рассмотрим ограничение на слой р, являющийся
проективным пространством. В проективном пространстве мы сможем провести
необходимые вычисления и затем воспользуемся формальными свойствами когомоло-
гий. Сначала рассмотрим случай, когда Y —точка и, значит, X = Р*-1. Тогда, как
мы знаем, х — класс гиперплоскости, следовательно, хе~1 —класс пересечения
е — 1 гиперплоскостей в общем положении, т.е. класс точки. Теперь рассмотрим
произвольную точку у 6 К, и пусть F = р~1(у) — слой над у. Этот слой является
проективным пространством, и ограничение х есть класс тавтологического
линейного расслоения над F. Воспользовавшись формулой проекции для включения F
в X, мы получим формулу (х*, [F]} = 1.
Так как H°(Y) = Z, то р*(х*~х) = d • I для некоторого целого d. Теперь
1 = (х-\ [F]) = (хе~\ р*([у))) = (р.(х-\ [y])=d- A. [y])=d,
следовательно, d = 1. ?
В следующем упражнении приведено более простое определение гомологии
Бореля—Мура для алгебраических многообразий. Но для доказательства
эквивалентности определений или для проверки того, что новое определение
удовлетворяет требуемым свойствам, потребуются дополнительные сведения: например, то,
что алгебраические многообразия триангулируемы.
Упражнение 10. Пусть X — алгебраическое многообразие, а Х+ = X U {•} —
его одноточечная компактификация. Покажите, что
(группа в середине — группа сингулярных гомологии пары, а справа — приведенных
сингулярных гомологии).
Ответы и указания к упражнениям.
Библиографические ссылки
В эту часть мы включили ссылки на литературу, в которой читатель может
найти дополнительную информацию, касающуюся понятий, обсуждаемых в тексте
книги, причем мы не стремились передать эти ссылки сколько-нибудь полно. Тем,
кто захочет найти больше литературы или выяснить оригинальные источники, мы
рекомендуем воспользоваться списками литературы приводимых источников.1*
Глава 1
Относительно базовых операций см. Шенстед (Schensted [1961]), Кнут
(Knuth [1970; 1973]), Шютценберже (Schutzenberger [1963; 1977]), Ласку и Шют-
ценберже (Lascoux, Schutzenberger [1981]), Томас (Thomas [1976; 1978]). Мы
использовали косые таблицы в основном в качестве инструмента для изучения
обычных таблиц, хотя для них может быть развита большая часть общей теории,
см. Саган и Стенли (Sagan, Stanley [1990]), а также ссылки, имеющиеся в этой
работе.
Упражнения
1. Результат совпадает с тем, который был получен ранее путем строчной
вставки элементов U в Т.
2. Составьте косую таблицу Т * U * V, как показано на рисунке:
¦
ш
шш
т
Ш
U |—
V |
Осуществляя перемещения с клетками прямоугольника, стоящего над Т и слева
от U, получаем (Т • U) * V. Используя остальные клетки, получаем (Т - U) • V.
^Литература по этой теме весьма обширна. Мы рекомендуем читателю обратиться
к библиографии к русскому изданию книги Стенли Р. Перечислительная комбинаторика.
Т. 2. М: Мир, 2005. Библиография также дополнена имеющимися русскими переводами, —
Прим. ред.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 247
Аналогично, осуществляя перемещения с клетками, стоящими слева от V и над U,
получаем Т * (U • V), а затем и Т ¦ (U • V).
Глава 2
Тот факт, что при помощи операции строчной вставки можно задать на
таблицах структуру моноида, был впервые указан в работе Кнута (Knuth [1970]). Подход
был развит в работе Ласку и Шютценберже (Lascoux, Schutzenberger [1981]),
в которой было введено понятие «плактический моноид» и в которой можно
найти практически все результаты, доказанные в этой главе, хотя иногда в иной
форме.
Упражнения
1. Ответ для E): X/ -f 1 > \ц > X,- для всех / ^ 0 при условии и,| ^ ... > \ii ^ 0
2. Посмотрите, какие элементы могут стоять в первых / строках.
3. Симметричным образом, можно использовать крюк в верхней правой части Т.
Глава 3
Основной ссылкой по материалу этой главы является работа Шенстеда
(Schensted [1961]). Общий анализ структуры убывающих и возрастающих
последовательностей см. у Грина (Greene [1980; 1991]).
Упражнения
1. Покажите, что эти числа не изменяются при элементарных преобразованиях
и рассмотрите случай слова таблицы.
2. Сравните таблицу с прямоугольником m х п.
3.йу=412563.
Глава 4
Вариант этого соответствия для подстановок был построен в работе Робинсона
(Robinson [1938]) и затем независимо в работе Шенстеда (Schensted A961]),
который также расширил его на случай произвольных слов. Свойство симметрии
в случае подстановок можно найти у Шютценберже (Schutzenberger [1977]). Кнут
(Knuth [1970]) дал обобщение для произвольных двухстрочных массивов или
матриц; общая теорема симметрии также сформулирована Кнутом (Knuth [1970]), хотя
доказательство в этой работе имеет вид «размышления». Кнут (Knuth [1973])
приводит алгоритмическую процедуру для построения соответствия, используя
таблицы. Упражнения 12—15 взяты из книги Кнута (Knuth [1973], §5,2.4). Конструкция.
аналогичная нашей матрично-ящиковои конструкции, была независимо построена
в работе Стенли и Фомина (Stanley, Fomin), а затем развита Роби (Roby [1991)).
Доказательство предложения 2 взято из работы Кнута (Knuth A970)), явное
описание соответствия см. у Кнута (Knuth [1970]), Бендера и Кнута (Bender. Knuth
[1972]). Комбинаторные доказательства формулы Стенли (9) оылй даны в работе
248 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
Реммеля и Уитни (Remmel, Whitney [1983J) и в работе Краттенхалера (Krattenhaler
[1998]). ¦>
Упражнения
1. Прямая проверка.
2. Прямая проверка.
3. Р =
1
2
3
1
2
1
2
1
2
2
3
<? =
1
2
3
!
2
1
2
1
2
3 3
4. Если среди шаров, помеченных k в Ail\ есть шар, стоящий на диагонали,
это добавляет к следу А единицу, но не дает шаров на диагонали А{2\ тогда как
отсутствие помеченных k шаров на диагонали прибавляет 0 к следу А, но дает
один шар на диагонали Ai2). По индукции можно показать, что след Аь есть число
четных столбцов таблицы Р, а значит, след А —число нечетных столбцов.
5. Эта матрица изображена непосредственно перед упражнением.
6. Такая инволюция имеет форму (a\bi) • (а^Ьъ) •... • (а*&*). гДе а* и & —
различные элементы из [я], определенные однозначно с точностью до порядка
следования пар и порядка элементов в каждой паре. Тем самым число инволюций с k
парами равно п\/(п — 2k)\ * 2* • k\t откуда и следует формула.
На самом деле У] - . есть коэффициент при г в разложении функ-
а=о (д - 2й)! - 2*й!
цииехрГг + — }, умноженный на л!. Асимптотическую формулу можно найти в
работе Кнута (Knuth [1973], §5.1.4). Хотя есть простые формулы для сумм /х и (/хJ,
подобных формул для больших показателей нет. Диаконис (Diaconis [1988])
указывает, что даже асимптотическая оценка ?(/хK была бы очень полезна.
7. Для любого подмножества {Ь\ < Ьч < ... < bk-\) множества \k 4- г — 1]
положим Ьо = 0 и bk =k + г. Построим (ajf ..., а*), полагая a,- =b, -Ь,-\ — 1.
8. Это утверждение является прямым следствием RSK-соответствия и
определения чисел Костки.
9. Проводя индукцию по числу строк, достаточно показать, что произведение
длин крюков клеток первой строки равно
Л!
а это легко доказать непосредственно: первая клетка имеет крюк длины /j,
вторая — длины /| - 1 и так далее, до Х*-й, которая имеет крюк длины 1\ — X* + 1.
Следующая клетка имеет крюк длины 1\ — X* - 1 при условии, что X* < Х*_|, так
как следующий столбец на одну клетку короче, откуда и возникает отсутствующий
'^Имеется большое количество доказательств формулы крюков. См. работы
Вершина и Кириллова (Вершик и Кириллов [1989], Кириллова (Кириллов [1989]), Керова (Ке-
ров [1992]), Грина, Нейенхёйса и Вильфа (Greene, Nijenhuis, Wilf [1984]). — Прим. ред.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 249
множитель /| — Xfc, стоящий первым в знаменателе. В общем случае, если
X* = X*_i = ... = Хм-р < Х*_р_|,
то длина следующего крюка есть 1\ — X* — р — 1, что соответствует отсутствующим
множителям (/| — /*) ¦ ... • (/| — /*_р), которые возникают в знаменателе, и так
вдоль всей строки, причем множители в знаменателе добавляются на тех шагах,
когда длина соответствующего столбца становится короче.
10. Для того чтобы вывести формулу из тождества, положим х\ — /,w t = — 1.
Заметим, что
/, +... + /*- (*) =Х> +...+Х* = л.
Докажем тождество. Из кососимметричности левой части относительно
переменных х\..., Xk следует, что она делится на А(х Xk), а из рассмотрения степени
следует, что частное является однородным линейным многочленом от к + 1
переменной. Очевидно, что обе части совпадают при / = 0 и, чтобы найти коэффициент
при /, достаточно рассмотреть случай, когда обе части не равны нулю, для этого
можно взять / = 1 и х\ = k - i. См. Кнут (Knuth [1973], §5.1.4).
11. Примените формулу из упражнения 9 при п = k и используйте D).
12. Из результатов главы 3 следует, что такие подстановки соответствуют
парам стандартных таблиц (Я, Q) описанной одинаковой формы X. Ответ для
пункта (Ь):
у гA5.4. 1.1К2 , /t(l5,3,2, IK2 + / гA5,2.2.2К2
что по формуле крюков равняется
361 7602 + 5878602 + 1862002 = 511 120 117200.
13. Таблицы соответствующих пар (Я, Q) имеют по две строки, содержащие
т и п — т клеток. Для Р существует 2т — п + 1 вариантов, а для Q существует
цт.п-т) вариантов> См. Шенстед (Schensted [1961]).
т с л
14. В левой части стоит сумма произведений П х? ]\(xiXj)ai4\ по одно-
му для каждой симметрической (т х т)-матрицы А с неотрицательными целыми
элементами. В правой части стоит сумма всех хр по таблицам Р с элементами из
алфавита [т]. Примените соответствие между такими А и парами (Р, Р). См. Бен-
дер и Кнут (Bender, Knuth [1972]), Стенли (Stanley [1971; 1983]).
15. Сравните это с суммой всех /?"»<«./> по всем симметрическим матрицам
А — (а(/, /')) с неотрицательными целыми элементами, причем а(/, /) = 0 если
/ или j не содержатся в S. Разбейте показатель на сумму, содержащую
диагональные элементы ? 'fl0. 0. и сумму, содержащую остальные элементы ?(/+/)а(/\ /).
Другие формулы такого типа см. у Бендера и Кнута (Bender, Knuth [1972]).
16. Они соответствуют парам (Г, ?У), где U стандартна.
17. По лемме о строчном выбивании на i-м месте стоит знак -к если i + 1
стоит в Q нестрого выше и строго правее /', и, соответственно, знак —, если i + I
стоит строго ниже и нестрого левее /. См. Шютценберже (Schutzenberger [1977]).
250 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
Глава 5
В настоящее время имеется большое количество доказательств правила Литт-
лвуда—Ричардсона, многие из них тесно связаны друг с другом и с
доказательством, приводимым в этой книге, см. Реммель и Уитни (Remmel, Whitney [1984]),
Томас (Thomas [1978]), Уайт (White [1981]), Зелевинский (Zelevinsky [1981]).
Другие подходы можно найти в работах Фомина и Грина (Fomin, Greene [1993]),
Макдональда (Macdonald [1979]), Ласку и Шютценберже (Lascoux, Schutzenberger
[1985]), Бергерона и Гарсии (Bergeron, Garsia [1990]), а также Ван дер Йогта
и Фака (Van der Jeugt, Fack [1991]). Обобщения для произведения большего
количества многочленов Шура см. у Бенкарта, Соттиля и Штромера (Benkart,
Sottile, Stroomer [1996]). В работе Литтлмана (Littlemann [1994]) дано обобщение
на случай представлений общих полупростых алгебр Ли.
Упражнения
1. Рассмотрите ^"(Х, ^, U(v)) и используйте лемму 2.
2. У единственной косой таблицы формы v/X, выпрямление которой есть ?/(ц),
/-я строка целиком состоит из элементов i.
3. Из равенства Т ¦ U — U(v) следует, что U = U(\x).
4. Таблица формы v, содержащая элементы 1 <...<?<!<...</, — это
объединение таблицы некоторой формы X < v, содержащей элементы из {1, ..., &},
и косой таблицы формы v/X с элементами из множества {I, ..., /}.
5. Для каждого из /и возможных выпрямлений их количество равно с^.
6. (а) Подстановки такого типа — это в точности слова косых таблиц формы
v(s)/X(s) и состава A, ..., 1), и можно применить предыдущее упражнение. Сумма
в пункте (Ь) совпадает с числом пар косых таблиц форм v(s)/X(s) и v@/X@,
выпрямления которых являются стандартными таблицами одинаковой формы, а
такие выпрямления согласно соответствию Литтлвуда—Ричардсона отвечают
подстановкам требуемого типа. В пункте (с) используйте формулу крюков и правило
Литтлвуда—Ричардсона. См. Фулкс (Foulkes [1976]).
Макмагон (MacMahon) показал, что если понижения происходят в s\, ..., s*,
1 ^ S\ < ... < Sk ^ п — 1, то число соответствующих подстановок равно
n!.det[l/(S>+1-sy)!]=det[(^-_s'S/)].
где определители берутся по 0 ^ /, j ^ k при Sq = 0 и s*+i = п. См. Стенли (Stanley
[1986], с. 69).
7. Прямое вычисление.
8. Используйте соответствие между стандартными таблицами и решеточными
словами, а также формулу крюков. См. Кнут (Knuth [1973]).
9. Используйте для вычисления предыдущее упражнение. См. Кнут (Knuth
[1973]). Другое соответствие Т <-+ (Р, Q) получается, если взять Я и 5, как в
упражнении, но рассмотреть Q = Q(w(S)) как таблицу вставок для w(S).
10. (а) Для каждой из К»г таблиц состава г к ней выпрямляется ровно с^ косых
таблиц такого типа. (Ь) Рассмотрите все таблицы формы v с г\ единицами, ....
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 251
гр элементами р и с s\ элементами 1 sq элементами qt где 1 < ... < р < I < ...
... < Ц.
11. Такие слова соответствуют парам таблиц (Р, Q) одинаковой формы v, где
Q — стандартная, а Р является объединением Р(и0) формы X и косой таблицы
формы v/X, выпрямление которой есть P(v0). См. Ласку (Lascoux [1980]).
Глава 6
Подробное исследование алгебры симметрических функций можно найти в
работе Макдональда (Macdonald [1979]). Связи между симметрическими
функциями и таблицами см. у Стенли (Stanley [1971 ]). Теоретико-табличное
доказательство формулы из упражнения 4 можно найти в работе Бендера и Кнута (Bender,
Knuth [1972]). Элегантное доказательство обобщения формулы Якоби—Труди при
помощи таблиц Юнга было дано Вакс (Waxhs [1985]). Другое обобщение формулы
Якоби—Труди см. в работах Прагача (Pragacz [1991]), Прагача и Торапа (Pragacz,
Thorup [1992]).
Упражнения
1. Проще всего использовать производящую функцию ?(/) = ПО + xtt) =
= YleptP и равенство
?'(/)/?(/) = ~ \n(E(t)) = J2 Yt ln(I + Xitl
Аналогично, для второго утверждения надо рассмотреть Н(О" ПО — JCjf)~' =
2. Из уравнения (8) следует, что hp(x) = f<P), а значит, функции t\
удовлетворяют той же формуле F) §2.2, что и s\(x). Из обратимости матрицы (/СхД
составленной из чисел Костки, следует, что s\(x) = t\ для любого X. Для
доказательства (9) составим определитель а<р)(/г, ¦ .., 1т) по тому же принципу, что
и выше, но используя только т - 1 показатель k /m и ш — 1 переменную
Х\% ..., Jtp-i, хр+\, ..., хт- Раскладывая определитель по первой строке, имеем:
т
а(/, /m) = ?(-l)'+^a('V2, ...Лт).
р=\
Проводя индукцию по числу переменных, получаем, что левая часть формулы (9)
равна
т
?(-1)'+Ч' '(I -*,)-' -a<p\h /»)ЦA -*)"' =
р-\ 1фр
т
= ?(-1)р+1$>?-а(р)(Л2 flm) = ?fl(rt,.n2 Пт1
где суммирование ведется по всем rt\ ^ 1\ и п% ^ /г > - -. > пт ^ 1т. Осталось
показать, что члены, у которых щ > Л, сокращаются, а это следует из свойств
252 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
определителя: а{п, п, Пъ пт) = 0 и
а(п\, п2, пз пт) + а(л2, п\% пг пт) = 0.
3. Формулу E) можно получить, взяв определители в матричном тождестве
и используя формулу G). Заметьте, что при X = @, ..., 0) имеет место равенство:
det[(-I)—'e^L,|i<i.«« = detKxy)—']!^/^».
4. Первое утверждение следует из разложения
det[Ax,+/-iW]i<,v<m = ? sgn(a)AXl+e(i»-i W •. ¦ • • hXm+am-m(x)
a€Sm
и уравнения (8) § 2.2. Формула F) аналогично следует из этих формул в применении
к диаграмме, сопряженной к X.
5. Числитель правой части формулы G) превращается в определитель Ван-
дермонда.
6. Перейдите к пределу при х —> 1 (или поделите на подходящую степень х — 1)
в формуле из предыдущего упражнения, учитывая, что (хр — \)/(xq — 1) -+ p/q.
Используйте упражнение 9 §4.3, чтобы показать, что эта формула для d\(m) —
= sx(l, ..., 1) совпадает с формулой (9) §4.3.
7. См. Макдональд (Macdonald [1979], §1.5.)
8. Доказательство можно найти в книге Фултона (Fulton [1984], лемма А.9.2).
Основные свойства суперсимметрических многочленов, в том числе обобщения
тождества Якоби—Труди, предложенные Сергеевым и Прагачем и позволяющие
доказать формулу из упражнения, см. у Прагача и Торапа (Pragacz, Thorup [1992]).
Глава 7
Основные факты теории комплексных представлений конечных групп
можно найти в книге Фултона и Харриса (Fulton, Harris [1991]). Теорию
представлений симметрической группы можно найти книгах Джеймса (James [1978]),
Джеймса и Кербера (James, КегЬег [1981]) (с обширной библиографией), Пила
(Peel [1975]), Картера и Люстига (Carter, Lusztig [1974]), при этом все
авторы уделяют значительное внимание случаю положительной характеристики;
книга Сагана (Sagan [1991]) — элементарное руководство, посвященное связям со
стандартными таблицами; см. также книгу Робинсона (Robinson [1961]). Большое
количество приложений см. у Диакониса (Diaconis [1988]). Модуль Л?\
построенный в §7.4, изоморфен (не канонически) двойственной конструкции из книги
Джеймса и Кербера (James, КегЬег [1981], с. 318), в которой рассматриваются
неориентированные таблоиды.
Упражнения
1. Пункт (а) следует из того, что стабилизаторы R(T) и С(Т) являются
подгруппами группы Sff, вместе с тем фактом, что sgn(<?t ¦ Яъ) = sgn(<7i)sgn(<72). Пункт (Ь)
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 253
следует из того, что для каждого элемента любой подгруппы G группы S„
существует ровно #G способов записи этого элемента как произведения двух элементов G.
2. Если каждое число г входит тг раз в разбиение X числа я, то число способов
разбить п целых чисел на подмножества соответствующего размера, без учета
порядка, равно n\/(Jl(r\)m' • П тг\)\ выбор цикла для подмножества из г элементов
приводит к умножению на Л/г.
3. Так как С(о • Т)—а- С(Т) -о-1 (см. формулу A) §7.1) и sgn(a • q -ст) =
= sgn(<7), то v„.t= Ё sgnfaHa-? • T}~o-vT.
qeC{T)
4. Используйте то, что М{п) —тривиальное представление, а М{1'] ? А —
регулярное представление.
5. Воспользуйтесь индукцией по т.
6. Используйте формулу Якоби—Труди.
7. Коэффициент при *[' •... • х[* в многочлене
Ssgn(a)xfl>-|-...-xr(*)-|-(xI+...+JC*)e
<>esk
равен произведению числа я!/ПС'0 на определитель матрицы, которая может быть
приведена с помощью элементарных преобразований над столбцами к
определителю Вандермонда ПС< ~ '/)• Подробнее см. книгу Фултона и Харриса (Fulton,
Harris [1991], §4.1).
8. Рассмотрим знакопеременное представление U„ = С * и, выберем некоторую
стандартную таблицу Т формы X и построим отображение модуля Мх в Sx ® U„,
переводящее элемент (о • Г} в о • (vt ® и). Проверьте, что это корректно
определенное отображение представлений и что элемент vг переходит в #R(T) • (vr ® ы),
поэтому сужение этого отображения на подпредставление Sx не равно нулю.
Ср. Джеймс (James [1978]).
9. Изоморфизм Мх Э? А • ат следует из того, что элементы о • ау линейно
независимы, когда о пробегает множество представителей классов смежности Sn/R(T).
Этот изоморфизм переводит щ = Ьт * {Т} в Ьт • ат = ст, поэтому он отображает
5х = А • vt на А -ст.
10. Если о пробегает множество представителей классов смежности Sn/R(T)
и р пробегает R(T)y то элемент х = ? *а,рор лежит в ядре этого отображения
о,р
в точности тогда, когда сумма ?хв,р равна нулю для любого а. Следователь-
р
но* х — Шха*Ра(Р ~ О- Для доказательства второго утверждения запишем эле-
а.р
мент р как произведение транспозиций из /?G*), р = р\ •... ¦ рп тогда р — 1 =
= ?(/>. ¦...*->)(/*-!)¦
11. Для доказательства пункта (а) заметим, что Min i,l) = С и Af<rt 1в1* =
_5<л-и> 0 дя по ПравиЛу Юнга. Для доказательства пункта (Ь) заметим, что
представление Vn сужается до прямой суммы представления Vn-\ и тривиального
представления группы S„_i, поэтому Лр Уя сужается до Лр Vii-i Ф Лр~' У*-|.
12. Доказательства полностью повторяют доказательства из §7.2.
254 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
13. Для доказательства пункта (Ь) используйте изоморфизм колец Ли/?и
формулу D) §6.1. Для доказательства пункта (с) рассмотрите какие-либо
представители о классов смежности Sfl/C(T) и проверьте, что элемент х = ^2sgn(q)xa,gaq
лежит в ядре в точности тогда, когда ^xa,q = 0 для всех о; отсюда следует, что
я
х — ?sgn(<7)*a.</0-D - sgn(q) • 1). Кроме того, если элемент q равен произведению
транспозиций из С(Г), q — q\ • ... • qr* то
г
1=1
14. Для непустого подмножества Y элементов (/' 4- 1)-й строки определим
Xy(T) = ^2{S}, где сумма берется по всем S, полученным из Т перестановкой
подмножества Z множества Y и подмножества /-й строки. Покажите, что элемент
уу(Т) принадлежит ядру гомоморфизма C, используя то, что для транспозиции /,
переставляющей два элемента одного столбца нумерации pTt справедливо
равенство / ¦ [рТ\ = —\рТ]. Покажите, что u
{n + (-iL^n=X>i)#>Yv<n.
Y
где сумма берется по всем подмножествам Y множества первых k элементов
(/* + 1)-й строки Т.
15. Вычислите B х 2)-матрицу возможного изоморфизма меж^у ними.
16. Пункт (а) доказывается прямым вычислением. Достаточно заметить, что
слагаемые в левой и правой частях равенства совпадают, при этом не происходит
сокращений. Из пункта (а) мы имеем:
* • ([П - *м(П) = (А - 1) • ЦТ) - 1сМ-,(П)+
m / m
m / ' \
Отсюда следует, что к • /V* С W*-i + /V*-i + Л/|, что доказывает пункт (Ь). См. Тау-
бер (Towber [1979]), а также Картер и Люстиг (Carter, Lusztig [1974], §3.2).
17. В силу пункта (а) отображение [7*] »-» /-> задает гомоморфизм
Sn-модуля Мх на подпространство, порожденное многочленами Ft. Поэтому достаточно
проверить, что образующие подмодуля Qx переходят в нуль. Раскрывая
определитель Вандермонда, мы видим, что Ft = ? sgn(q)GqT, где Gs = П (*s<<./))'~'-
</ес(Г) (i"./)€X
Так как для транспозиции /, переставляющей элементы, находящиеся в одной
строке нумерации S, верно равенство t • Gs = G$, то дальнейшее доказательство
повторяет доказательство утверждения 1. См. Пил (Peel [1975]).
18. (а) Равенство ст • Ст — п\ст равносильно равенству ст • vt = n\Vr, которое
было получено при доказательстве леммы 5. (Ь) Если транспозиция / переставляет
эти два элемента, то ст> • ст = Ст> • t • t • ст = —су* ¦ ст, так как йт> • t = ар
и t - Ьт = —Ьт. Если ст' • ст = 0 и не существует двух таких элементов, то по
лемме 1 §7.1 для некоторых элементов р' е R(Tf) и q € С(Т) выполнено р' • Т = q • Т.
Но ср/.т' = р' • ст* и Сд.т — ±ст • q~\ поэтому су.п * ся.т = 0, что противоречит
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 255
пункту (а), (с) Для доказательства того, что сумма идеалов А • Cj является
прямой, предположим, что ^хтСт = О, где хг € А и сумма берется по стандартным
таблицам Т. Пусть То — минимальная из всех таблиц 7\ для которых хт ф 0. До-
множим равенство справа на Ст0- Используя следствие из §7.1, получим равенство
0 = п\ • Хт0 • ст0, что противоречит предположению хт0 ф 0. Так как размерность п\
алгебры А равна сумме размерностей идеалов А • ст, ?(/хJ = nl то сумма этих
идеалов совпадает со всей алгеброй A. (d) Наименьшие таблицы, удовлетворяющие
этому условию, имеют форму X = C, 2):
1
4
2
5
3
1
2
3
4
5
См. Джеймс и Кербер (James, Kerber [1981], с. 109).
19. Для любой нумерации Т справедливо равенство с\ =п\Ст. Рассмотрим
Stt-эндоморфизм группового кольца A =C[S„], задаваемый умножением справа
на Ст, где Т — стандартная таблица формы X, минимальная в смысле порядка,
определенного в §7.1. Этот эндоморфизм равен нулю на всех идеалах А ¦ Си для
всех стандартных диаграмм U ф 7\ как было показано в предыдущем упражнении,
и является умножением на п\ на идеале А • Ст- Если использовать базис группового
кольца Л, состоящий из подстановок, то несложно проверить, что след
эндоморфизма равен п\. В то же время этот след равен п\ - dim04 • Ст) = п\ • /х в силу
предыдущих замечаний.
20. Умножение справа на Ьт и ат задает соответствующие изоморфизмы.
Используйте упражнение 18(a).
21. (а) Для доказательства того, что инволюция ы согласована с копроизве-
дением, используйте следствие 2 к предложению 2 §5.1. (Ь) Отображение Rn —>
-+ Rp® Rq переводит класс [V] представления V группы S„ в сумму произведений
[U] ® \W]4 где сужение представления V на подгруппу Sp х Sq является прямой
суммой тензорных произведений U ® W\ здесь U — представление группы Sp,
a W — представление группы 5,;. См. Лиулевичиус (Liulevicius [1980]).
Глава 8
Модули ?х, которые мы называем «модулями Шура», были определены в
другой, но эквивалентной форме у Таубера (Towber [1977; 1979]), где они
обозначались как Л??» [I = Х. Для свободного модуля Е Акин, Бухсбаум и Вейман (Akin,
Buchsbaum, Weiman [1982]) построили «функторы Шура», обозначаемые LM?; из
их теоремы следует, что модуль ?х изоморфен ?и? для свободного модуля ?.
Картер и Люстиг (Karter, Lusztig [1974]) построили по свободному модулю V «модуль
Вейля» 1/и как подмодуль тензорного произведения V®", удовлетворяющий
свойствам, двойственным к введенным нами свойствам A)—C). Если ? — свободный
модуль и V—двойственный модуль, то построенный нами модуль ?х двойственен
модулю Км.
Грин (Green [1980]) развивает теорию представлений GLn чисто
алгебраическими методами, не используя теорию групп Ли или симметрические группы.
256 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
и использует полученные результаты о представлениях GL,„ для доказательства
фактов теории представлений симметрических групп. Об этих конструкциях и
соотношениях между ними, как и об их ^-аналогах, см. Мартин (Martin [1993]).
Алгебры, введенные нами в § 8.4, появлялись под разными названиями и в
разных формах в работах большого количества авторов, например, как «диаграммные
алгебры» («shape algebras») у Таубера (Towber [1977; 1979])) и как
«скобочные кольца» («bracket rings») (Дезарменьен, Кунг и Рота (Dezarmenien, Kung,
Rota [1978]); Штурмфельс и Уайт (Sturmfels, White [1989]); Де Кончини, Айзен-
бад и Прочези (DeConcini, Eisenbud, Procesi [1980])); кроме того, они описаны
как координатные кольца грассманианов и многообразий флагов (Ходж и Пидо
(Hodge, Pedoe [1952])). Более подробно о конструкции Дерюи (Deruyts) см. Грин
(Green [1991]). «Квадратичные соотношения» были широко известны в
девятнадцатом веке, и почти каждый из математиков, занимающихся алгебраической
геометрией или теорией инвариантов, внес какой-то вклад в развитие этой теории; эти
соотношения разрабатывались в работе Юнга (Young [1928]), и продолжают
появляться под различными именами, такими, как «законы выпрямления» (straightening
laws).
Изначальный подход Шура заключался в том, чтобы рассмотреть
подалгебры алгебры End(?®"), порожденные End(V) и C[S„], и показать, что каждая
из полученных подалгебр является коммутантом другой. При таком подходе тот
факт, что полиномиальные представления группы GL(?) являются прямой суммой
неприводимых представлений, выводится из полупростоты C[S„].
П. Мадьяр (Magyar) в своем препринте недавно обобщил многие из описанных
здесь идей, касающихся представлений и их характеров, со случая диаграмм Юнга
на значительно более широкий класс диаграмм.
Мы ограничиваемся наиболее «классическим» случаем, который в теории
представлений соответствует полной (или специальной) линейной группе. Очерк
роли этих идей в теории представлений других классических групп см. в работе
Сандарама (Sundaram [1990]). Более подробное изложение теории групп и алгебр
Ли, также как и теории представлений группы GLm(C), см. в книге Фултона
и Харриса (Fulton, Harris [1991]).
Упражнения
1. Это может быть сделано при помощи явных формул. Существует более
простой путь: обозначим через '?х модуль, построенный по измененным соотношениям,
что дает нам каноническую сюръекцию '?х -» ?х. Если ?— конечнопорожденный
свободный модуль, то доказательство, аналогичное доказательству для модуля ?\
показывает, что каноническое отображение модуля '?х в кольцо R\Z] отображает
'?х изоморфно на D\ поэтому отображение '?х —* ?х также должно быть
изоморфизмом. Случай произвольного модуля ? следует из рассмотренного случая, для
этого достаточно рассмотреть отображение свободного модуля в ?, при котором
базис переходит в компоненты любого заданного элемента v е ?хХ.
2. Так как функтор ? —> ?х согласован с заменой скаляров, то достаточно
рассмотреть случай, когда кольцо R конечно порождено над Z и, следовательно,
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 257
нётерово. Пусть / (соответственно /*) — идеал, порожденный минорами размера
т х т (соответственно размера d\(m) х d\(m)) матрицы отображения <р
(соответственно фх) для некоторого базиса. Тогда
Ф является мономорфизмом <=> идеал / содержит неделитель нуля & идеал /
не содержится ни в одном из ассоциированных простых идеалов кольца R,
и аналогично для фх. Достаточно показать, что /х С ф => / С ф для простого
идеала ф и что верна обратная импликация, если диаграмма X состоит не более чем
из т строк. Рассмотрим локализацию в ф и заменим скаляры на /?/?» сводя
утверждение к случаю, когда R является полем, который не представляет трудностей.
Мёрфи (Murthy) заметил, что доказательство (i) => (ii) может быть проведено
следующим образом: если R — нётерово кольцо глубины 0, то образ Е в F должен
выделяться прямым слагаемым, так как коядро должно быть свободным. В общем
случае, если простой идеал ф ассоциирован с ядром отображения ?х -+ ?х, то
рассмотрите локализацию вфи воспользуйтесь индукцией по размерности кольца R.
3. Это следует из уравнений g • е> = Ц gijei в силу полилинейности.
4. Это следует из полилинейности определителей по строкам.
5. Элемент ет переходит в Dr, поэтому требуемое утверждение следует из
упражнений 3 и 4.
6. Доказательства полностью аналогичны.
7. Рассмотрите ядро и образ отображения L: V —> W и отображения L — X/
при V = Wy где X — собственное значение отображения L.
8. Пусть отображение ф сюръективно и К — ядро этого отображения. Тогда
существует дополнительный подмодуль N1, для которого К Ф Nf = М и N' -=* N.
Следовательно, Е(К) Ф E(Nf) = Е(М) и E(N') *U E(N).
9. Так как C[Sn х Sm] = C[Sn] ®с C[S mj» TO
N о M = C[Sn+m] ®C|s„i®cc|sM| W ®c Af).
поэтому
E(N о Af) = ?•«"+«> ®С15я+т| (C[S„+m] ®cftl VISeJ (N ®c A*)) =
= (?^®c?em)®C|sfl|®cCi5„|^®cAf) =
= №*" ®cis„] N) ®c (?®m ®C|sffli M) = E(N) ® E(M).
10. Доказательство в точности копирует доказательство предложения.
11. Доказательство похоже на соответствующее доказательство для столбцов,
но чуть сложнее и опирается на то, что мы рассматриваем случай
характеристики нуль. Упорядочим заполнения Т по последнему элементу последней
строки, в которой они различаются. Пусть строки заполнения Т нестрого
возрастают, и Л-й элемент /-й строки — первый элемент этой строки, который больше
или равен элементу, стоящему под ним. Пусть элементы в этих строках равны
jci, .,., хр и у\, ...у уя, где р = X/, q =Х/+ь Обозначим через S заполнение
диаграммы X, у которого в /-й строке находятся элементы у\% ..., у*«ь **, .... хр,
в (/ + 1)-й — элементы jci, .... x*-i, yk Уд, а остальные строки совпадают со
17* Таблицы Юнга
258 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
строками нумерации Т. Применим «квадратичные» соотношения ft/,* к S. Это дает
равенство es = (— 1)кс • ет 4- YLmT,eT'* где сумма берется по всем нумерациям
7" > Т и с — положительное число. Применяя ft/.*_i к S, мы получим равенство
е$ = (—l)*"'rf • ет 4- ?яг'0г'. где d > 0. Вычитая одно равенство из другого,
выразим (с 4* flf)er как линейную комбинацию элементов ет> при Г' > 7".
12. По формулам Пьери Sym'(?) ® Symfl(?) ^ (Symp+I(?) <8> Sym*^)) Ф
9 ?("'9) и Л'? 8 Л*? S (Лр+1? ® Л*"'?) 0 Е*1'*"'».
13. Используйте предыдущее упражнение. См. также упражнение 16 §7.3.
14. Достаточно проверить это утверждение для представлений V — Sx, X Ь п,
когда весовое пространство имеет базис из элементов ет, где Т пробегает
множество стандартных таблиц формы X.
15. Характер представления ф Sym*(? фЛ ?) равен
ь
m
По-")- П с-**/)-
Применим упражнение 14 главы 4. Запишем полученное выражение как сумму
одночленов, отвечающих симметрическим матрицам А = (а(/, /)), тогда степень k
равна 53 o(i\ /) + X) °('t 0; количество клеток равно 2 53 я (Л /') + Y1 а(?"» '). и ко-
личество нечетных столбцов равно ?д(/./) в силу упражнения 4 главы 4.
См. Стенли (Stanley [1983]).
16. См. Кнутсон (Knutson [1973]).
17. Покажите индукцией по Л что V\ + ... + Vi = V\ 0 ... ф V;. Если V,+i П
П (К| + ... + Vi) ф 0, то V/+i с И| 0 ... ф V/, но по лемме Шура при / ^ /
Hom(Vw, V» = 0.
Глава 9
Существует обширная литература, посвященная теории инвариантов и ее
связям с теорией представлений; для начала см. Вейль (Weyl [1939]), Хау (Howe
[1987]), Дезарменьен, Кунг и Рота (Dezarmenien, Kung, Rota [1978]), Де Кончини,
Айзенбад и Прочези (DeConcini, Eisenbud, Procesi [1980])), Фултон и Харрис
(Fulton, Harris [1991]). Исчисление Шуберта можно найти у Клеймана и Лаксова
(Kleiman, Laksov [1972]) и у Стенли (Stanley [1977]). Другие подходы к исчислению
Шуберта и некоторые приложения см. в книге Гриффитса и Харриса (Griffiths,
Harris [1978]) и в книге Фултона (Fulton [1984], §14). Использованные нами
основные факты алгебраической геометрии могут быть найдены в различных
монографиях, таких как Харрис (Harris [1992]), Шафаревич (Шафаревич [1972]) или
Хартсхорн (Hartshorne [1977]).
Упражнения
1. Примените равенство A) для наборов индексов /2, ..., jd+\ и /i, i\9 ..., /</.
2. При (/i, 12) = A, 2) матрица А равна fQ . " "J, и подпространство
является ядром соответствующего отображения С4 —> С2.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 259
3. Образ в пункте (i) задается линейными уравнениями, образы в пунктах (и)
и (Ж) снова задаются квадратичными уравнениями. См. Харрис (Harris [1992]).
4. Как и в предложении 2, если мы рассмотрим линейное пространство,
натянутое на элементы D/, ip при р € {diy ..., ds}y то его подпространство, состоящее
из многочленов степени а, будет иметь размерность ^d\{m)y где сумма
берется по всем разбиениям X числа а, столбцы которых имеют длины из множества
{rfi,...,ds}. При этом Symfl(H0m)^0(Vx)e</i(m>, где сумма берется по всем
разбиениям X числа а, состоящим не более чем из п частей. Для доказательства
пункта (а) достаточно проверить, что для G = G(d\y ..., ds) пространство (VX)G
является одномерным, если длины столбцов диаграммы X принадлежат множеству
{d\y .... ds}, и нулевым в противном случае. Для этого можно рассмотреть
действие матриц из G на базис представления Vх, отвечающий таблицам формы X;
если столбцы диаграммы X принадлежат требуемому множеству, то единственный
переходящий в себя базисный вектор отвечает таблице ?/(Х), все элементы /-й
строки которой равны /. Для доказательства пункта (Ь), повторяя доказательство
следствия, достаточно проверить, что группа G связна и не имеет нетривиальных
характеров, что можно доказать индукцией nos, воспользовавшись тем фактом, что
нильпотентная группа, какой является группа нижних треугольных матриц с
единицами на диагонали, не имеет нетривиальных характеров. См. Крафт (Kraft A984],
§И.З).
5. Рассмотрим локализации однородного координатного кольца
подмногообразия X вида {F/Tm: F — однородный многочлен степени т)у где Т — какая-либо
линейная форма на Р\ не обращающаяся в нуль на X, Они являются фактори-
альными областями целостности. Когда Т пробегает базис линейных форм, эти
локализации отвечают открытому покрытию X. Если ф — однородный идеал,
отвечающий подмногообразию коразмерности один в X, то можно найти многочлен F,
порождающий соответствующие локализации идеала ф для этого покрытия.
6. Многообразие инцидентности h С Р(?) х Gr*(?), состоящее из пар (Я, F),
где Р принадлежит пересечению Z О ?{F)t является неприводимым
подмногообразием размерности на единицу меньшей, чем размерность п(пг — п) грассманиана
Gr"(?), и отображение lz —* Hz бирационально. Для доказательства пункта (Ь)
зафиксируем какую-либо типичную пару линейных подпространств А С В с Е
коразмерностей «4-1 и п — 1 и рассмотрим прямую
l = {FeGr/,(E):AcFcB}.
Тогда РE) пересекается с Z по d = deg(Z) точкам, что дает на прямой / d точек,
принадлежащих Hz* Проверка трансверсальности доказывает требуемое равенство
двух степеней. Подробнее см. Харрис (Harris [1992]).
7. Рассмотрим локализации полиоднородного координатного кольца
подмногообразия X вида
{F/T™] •... • T™r: F — полиоднородный многочлен степени (mi, .... m,)},
где Ti —линейные формы на Р"', не обращающиеся в нуль на X. Они
являются факториальными областями целостности и отвечают открытому покрытию
260 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
подмногообразия X. То, что гиперплоские сечения порождают группу классов
дивизоров, доказывается так же, как и в случае одной компоненты; их
независимость следует из того, что соответствующие проекции на компоненты
нетривиальны.
8. Заметим, что ?,-,/ ¦ (е?(Х)) = 0 <»?/./ • (еиоя) =0, и ?,,/ • {ещ\)) равно сумме
элементов ег по всем 7\ полученным из U(K) заменой какого-либо / на /'.
9. Так как оба подмногообразия являются орбитами действия группы С, то
достаточно проверить, что основной флаг F\ с ... С Fs С ? переводится вложением
из §9.1 в точку [вщХ)].
10. Это непосредственно следует из определений.
11. Доказательство похоже на стандартное доказательство утверждения, что
пространство V изоморфно пространству сечений расслоения 0р*(У)A). Для
подмногообразия X с F", однородное координатное кольцо которого
А=С[Хг Хт]/ЦХ)=С[х} хт)
является факториальной областью целостности, сечение расслоения бх(п)
задается набором элементов s-, в локализациях Л*,, однородными нулевой степени
и удовлетворяющими уравнениям перехода (xt/xj)n • s, = sj в AXiXj. Мы должны
показать, что существует однородный элемент / степени п в А, удовлетворяющий
условиям 5/ = f/x" для всех i. Элементы х, • $, имеют одинаковый образ в Л,, Хт,
обозначим его через /. Этот элемент может быть записан единственным образом
т
в виде П xfl * 8* г^е Pi — какие-то целые числа, a g — однородный элемент Л,
не делящийся ни на один из х,. То, что элемент / лежит в АХп означает, что при
/ ф i все числа р, неотрицательны, следовательно, / лежит в Л, что доказывает
требуемое утверждение. Похожее доказательство применимо для полиоднородного
случая. На самом деле, требуется только нормальность полноднородного кольца;
см. Хартсхорн (Hartshorne A977), II, упр. 5.14).
12. Фиксируем произвольный ненулевой вектор у в слое расслоения L над
неподвижной точкой х относительно подгруппы Р и отобразим L(x) в L при
помощи формулы g х 2 I—> g • zy = z(g • у). Проверьте, что это корректно
определенный изоморфизм. Второе утверждение непосредственно следует из
определения.
13. Замыкание клетки Q% состоит из подпространств, приведенная матрица
которых содержит единицы на позициях, задаваемых разбиением X, или справа от
таких позиций. Для доказательства пункта (d) постройте фильтрацию Gr^C") =
= Уо Э К| Э ..., как в пункте (iv), где Yp — объединение всех многообразий
Шуберта Q\ при |Х| ^ р.
14. Следует непосредственно из определений, т.е. из того, пространство Л,-
порождено первыми п + / - X,- из т — п + г базисных векторов, a ?r+i-/ —
последними п + (г + 1 — /) — Цг+i-f базисными векторами.
15. Если V{ —типичный вектор из пересечения Л/ П Вг+1-ь то пространство,
порожденное векторами v\, ..., vrt лежит в пересечении многообразий Шуберта
fix и Йм.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 261
16. Для доказательства пункта (а) заметим, что базисный вектор еР € Ст лежит
в пространстве С в точности тогда, когда он лежит в каком-либо из пространств Су
при 1 < / ^ г, или, иначе говоря, при
У + Цг+1-у < Р ^ п + У - X/ для некоторого I < / < г; (i)
г
вектор ер лежит в пересечении f| (Л,- + Br-i), если (при Хо = Цо — п)
1=0
р < п + / - X/ или р > i + Цг-/ для всех 0 < / < г. (ii)
Для доказательства (i) => (ii) фиксируем /", для которого выполнено (i). Если i < /*,
то / 4- [ir-j < у 4- Иг+1-/ ^ />, если же / ^ /, то р ^ л + У - X/ < п + / - X,-. Для
доказательства (ii) => (i) рассмотрим наименьшее /, для которого р < п + j - X/. То,
что первая часть условия (ii) не выполняется для / - 1, означает, что /?>(/ — 1L-
4цг-(у-|). т.е. выполнение условия (i).
17. Это (г • л)-кратное пересечение специального класса Шуберта oi, т. е.,
согласно примененной несколько раз формуле Пьери, число стандартных таблиц
формы (пг). Используйте формулу крюков.
18. Если Х,_| = X,-, то условия для Х/_| следуют из условий для X/. Если
опустить какое-либо из этих условий, то мы получим условия, соответствующие
разбиению меньшего числа, т.е. задающие большее многообразие Шуберта.
19. Опираясь на уже доказанное, упражнение можно вывести непосредственно
из формулы Пьери G) § 2.2.
20. Используйте упражнение 18 для доказательства последнего утверждения.
21. Элементы о* отвечают специальным классам Шуберта, которые
являются образами многочленов Л* 6 Л. Ядро отображения Л —> Н*(Отп(Ст))
порождается многочленами Л/ при / > п и многочленами ер при р > г. Мы знаем, что
ер =5(|р» =det(A|+/_/)i?,(/<p. Из уравнений ер ~h\ep-\ 4 ...+ (~\)pkp = 0
следует, что достаточно рассматривать многочлены ер только при р ^ т. Это
представление когомологий грассманиана было предложено Борелем. Интересное
развитие этих идей см. в статье Гепнера (Gepner [1991]).
Глава 10
Формулы для многообразий Шуберта в многообразиях флагов G/B для
произвольной полупростой группы были независимо предложены в работах Берн-
штейна, Гельфанда и Гельфанда (Bernstein, Gelfand, Gelfand [1973]) и Демазюра
(Demazure [1974]). О происхождении как этих формул, так и порядка Брюа,
см. Шевалле (Chevalley [1994]). Явные реализации, такие как многочлены
Шуберта, были введены и изучались в работах Ласку и Шютценберже. Наша
трактовка следует плану книги Билли и Хаймана (Biiley, Haiman [1995]), где построены
аналоги этих многочленов для других классических групп; мы благодарим Билли
за дискуссии по этому вопросу.
Возможно также полностью алгебраическое построение этих многочлен»,
использующее лишь немного более глубокие сведения о симметрической
группе, см. Макдональд (Macdonald [1991а; 1991b]). По поводу многочленов Шу-
262 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
берта см. также недавние работы Билли, Джокуша и Стенли (ВШеу, Jockush,
Stanley [1993]), Фомина и Кириллова (Fomin, Kirillov [1993]), Фомина и Стенли
(Fomin, Stanley [1994]), Райнера и Шимозоно (Reiner, Shimozono [1995]) и Сот-
тиля (Sottile [1996]). О порядке Брюа см. Деодар (Deodhar [1977]).
Предложение 3 — это частный случай теоремы Бореля (Borel [1953]).
Упражнения
1. (а) Достаточно проверить это утверждение для представления V = ?х, где
? = Сш. Выберем любое полное упорядочение таблиц Т формы X с элементами из
[т], для которого Т < Т\ если сумма элементов таблицы Т меньше, чем сумма
элементов таблицы 7". Пусть Vk— подпространство пространства V, порожденное
первыми k базисными элементами ет, согласно введенному упорядочению.
Заметим, что Eitj(Vk) С Vk-\ при / < /, поэтому подпространство 14 переводится в себя
подгруппой В.
(Ь) Рассмотрим цепочку Z П ?(V\) С Z Г) F(V2) С ... С Z П F(Vr) = Z, каждый
из элементов которой инвариантен относительно подгруппы В. Так как любое
бесконечное алгебраическое подмножество проективного пространства нетривиально
пересекается с любой гиперплоскостью, то одно из множеств Z ПР(У*) должно
быть конечным и не пустым. Так как группа В связна, то каждая из точек этого
множества неподвижна относительно В.
2. Множество Uw открыто, так как оно задается условием, что некоторое
количество миноров не равно нулю, а именно, миноры, построенные на первых р
строках и на столбцах, пронумерованных числами w{\)t .... w(p) для 1 ^ р < /п.
Отметим, что минор, построенный на первых р строках и на столбцах,
пронумерованных числами w(\), ..., w(p — 1), <7, равен, с точностью до знака, элементу,
стоящему на (/?, <7)-й позиции в матрице. Отсюда следует, что каждая из координат
точки пространства С", отвечающих звездочкам, при отображении С" -+ Fl(m) С Рг
соответствует, с точностью до знака, одной из однородных координат образа этой
точки в Рг; аналогично можно получить, что одна из однородных координат равна 1.
Это доказывает, что построенное отображение является вложением.
3. Первое утверждение следует непосредственно из определения длины
подстановки. Второе утверждение следует из первого.
4. (а) Второе утверждение следует из определения клетки Х?, первое следует
из второго. (Ь) Утверждения о диаграммах являются переформулировкой описаний,
данных в тексте.
5. Вычисление, аналогичное проделанному непосредственно перед упражнением.
6. Мы знаем, что утверждение справедливо для w = dd — 1...21.
Воспользуемся нисходящей индукцией по l(w). Запишем подстановку w в виде w = w(\)...
...w(d — р)рр — 1 ...21р+1 w{d + 2)... Положим
w1=w(\)...w(d- р)р+\рр-\...2\ w(d + 2)... = w-sd -s^-] •...•stt-p+\.
Тогда в., = *Г<1>-1 • Х?{2)~1 ..... Х^-р)-* • Xdp_p+l ..... ^ в силу
предположения индукции, и
е. = д„-р+1 о... о 0rfF„,) = *1",|>-,*»№-' . . ^w_-P)-ijrp-i+| .....*,_,.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 263
7. Доказательство аналогично доказательству предложения 6.
8. Это утверждение равносильно неравенству ru{p, q) ^ МЛ q) для всех q.
9. (а) Во-первых, отметим, что при w(k) < w(k + 1)
/ v [MP. Я) - U если р = кл w(k) ^ q < w(k + 1),
[ra.(p, q), в противном случае,
где w* = w ¦ Sk- Пусть и ^ у, но />(/?, ?) < /v(p, ?7) для некоторых р, q.
Тогда MP. q) = г0(рч q), r„*(p, q) = r„(p, ?) - 1, />(/?, q) = MP. q) и p = k,
q & [v(k), v(k 4 1)). Если q < v{k)y то
M*. q) = rv(k- 1, q) ^ru(k- 1, q) = r„(k, q) - 1,
а это противоречит предположению, что и < v. Если ^ ^ &(? + 1). то
М*. ?) = М*+1,?)- 1 <М*+1.</)- 1=ММ)~ I,
т. е. тоже получается противоречие. Обратное утверждение доказывается
аналогично.
(Ь) Положим v = /| •...•//, где l(v) — I и все /, 6 {si, • ¦ •. Sm-ib Если и < у,
то по лемме 11 мы можем предположить, что и = и • (/', /г), где у < /г, у(у) > v(k)
и у(/) ? (i>(&), v(j)) для / G (у, к). Пусть // = sp, так что v(р) > v(p 4 1). Если
ы(р) > и(р 4- 1), то по пункту (а) получим, что и • sp ^ у • sp — t\ ¦... • //_ь и,
индукцией по /, подстановка и • sp получается из произведения t\ •... ¦ //_|
выбрасыванием одной из транспозиций U при/ ^ / - 1. В противном случае и(р) < и(р + 1)
и v(p) > v(p 4- 1). Несложно понять, что такое р существует только при к — у 4- 1,
р = у, и в этом случае и = /| •... • //_|.
Обратно, пусть подстановка и получается из v выбрасыванием элемента U
из приведенного выражения для v и /(«) = / — 1. Если i = /, то неравенство
и ^ v следует из определения. Если / < /, то 1(и • sp) < / — 2 < /(w), поэтому
u(p) > ц(р 4 1). Значит, индукцией по / можно доказать, что и - sp < v • s,,, и
требуемое утверждение следует из пункта (а).
10. Пусть w(p) < w(p 4- 1). Если w(p) ^ q, обозначим через Ь наименьшее
число объединения Т U {т}, большее р. Тогда rw(b, q) = ги.(р, <?) 4- (b — <?), и
требуемое утверждение следует из того, что d\m(Ep П Fq) ^ dim(?& П Т7?) — F — ?).
Если w(q) > р, то обозначим через а наибольшее число в объединении Т U {0},
меньшее р. Если а = 0, то Мр, </) = 0. Иначе rw(py q) = rw(a, q), и требуемое
утверждение следует из того, что dim(?p П Fq) ^ dim(?a П Fq).
Минимальное множество пар (р, q), для которых необходимо проверять
условия, описано в книге Фултона (Fulton [1992], §3).
11. Пункт (а) равносилен предыдущему следствию. Для доказательства
пункта (Ь) заметим, что квадратичные образующие идеала многообразия флагов
переходят в нуль, как и образующие идеала Jw, описанного выше. Образ гомоморфизма
является подкольцом, поле отношений которого равно С({Л,-,у}), поэтому образ —
область размерности &\m(Xw) + m. Так как эта размерность равна размерности
полиоднородного кольца многообразия Xw, отображение C[{Xt}]/i(Xw) —»С({А;I
должно быть инъективным.
264 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
12. Коэффициент aw равен индексу пересечения [Z] с двойственным
многообразием Шуберта \XW]. Это неотрицательное целое число, так как можно
найти элемент g € GL„(C), для которого многообразия Z и g ¦ Xw пересекаются
трансверсально по конечному числу точек. Похожим образом, мы можем сдвинуть
многообразие Шуберта Qv на элемент группы, чтобы многообразия Qtt и h ¦ Qv
пересекались собственно. Коэффициент с"'у равен числу точек в пересечении
Пи П h • ?lu П g • Xw для типичных элементов g, h € GLn(C). Эти факты доказаны
в большей общности Клейманом (Kleimann), см. Хартсхорн (Hartshorne [1977], III,
теорема 10.8).
13. Заметим, что Л\т(Ер C\Fq) = р — гапк(?р —> (F'm_q)*) и
гапк(?„ - (?„-,)') = rank(F'm_q -> (?,)*) = (т - q) - й\т(Е'т-р П F'm,q).
Соответствие многообразия Xw многообразию
Ла^-и-^'о проверяется простым
вычислением. Аналогичное утверждение для Па- доказывается заменой w на w0 • w.
Приложение А
Наш подход к понятию двойственности восходит к работе Ласку и Шютцен-
берже (Lascoux, Schutzenberger A981]). Столбцовая вставка может быть найдена
в большей части литературы, относящейся к первой главе. Связь между
соответствием Литтлвуда—Ричардсона и изменением формы в процессе игры в 15,
которую мы описали в §А.З, впервые была отмечена Хайманом (Haiman [1992])
и Саганом (Sagan [1991]); большинство результатов в этих работах доказано для
случая таблиц с различными элементами. Многие из соответствий, обсуждаемых
в §А.4, можно найти в работах Кнута (Knuth [1970; 1973]), а также Бендера
и Кнута (Bender, Knuth [1972]). В конце 1970-х Ганснер (Gansner) рассмотрел
в своей диссертации (MIT) различные симметрии матриц и доказал теорему 1.
Дальнейшее развитие его идей см. в работах Во и Уитни (Vo, Whitney [1983]),
а также в работе Бёржа (Burge [1974]). Различные варианты «матрично-ящи-
ковой» конструкции впервые описаны в этой книге. В частности, они позволили
доказать соответствующие теоремы симметрии, которые не получили достаточного
освещения в литературе.
Упражнения
1. Непосредственно рассмотрите, что происходит в процессе строчной вставки
элементов u„, ..., v*.
2. См. доказательство предложения 1 §2.1.
3. См. лемму о строчной вставке, глава 1.
4. Индукция по числу пар в массиве.
5. На каждом шаге таблицы двойственны друг другу, а значит, по теореме
двойственности, имеют одинаковые формы.
6. Новые клетки, возникающие в процессе строчной вставки vr *— ... *—v\,
сопряжены новым клеткам столбцовой вставки v\ —>... —> iv, которые совпадают
с новыми клетками строчной вставки у* <—...<— у*. Подробности см. в § А.4.
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 265
7. Оба утверждения прямо следуют из определений. Заметьте, что S(<?row(X))
вставляет числа я, п — 1, ..., п — \\ + 1 в нижние части столбцов X, затем
следующие Хг чисел в нижние части незаполненных столбцов, и так далее, пока вся
диаграмма X не окажется заполненной.
8. Утверждение следует из определения двойственной таблицы, использующего
перемещения.
9. Рассмотрим соответствующее уравнение U* ¦ Т* = У0". Зафиксируем
таблицу ио формы [I с элементами, меньшими элементов U(k). Определим два
лексикографически упорядоченных массива:
^•^-С;::: ¦'¦)• <г-^»~Ц ::: ?)
и заметим (предложение 1 §5.1), что в обозначениях предложения 2 §5.1
выполнено
Последовательные столбцовые вставки элементов t/r, ..., ил+1 дают Ut затем
столбцовые вставки vn v\ дают V0. нумерация новых клеток элементами
х\ х„ дает 5 (см. упражнение 5). Упражнение 1 показывает, что х\щ ..., хп
есть последовательность 1,1 к.
10. Если w является обратным решеточным словом, то тот факт, что U(w) ~
= <?(ш*), следует из определения строчной вставки. Из теоремы
двойственности (§А.1) следует, что Q(wm) определяет Q(w)> откуда вытекает
единственность.
11. Согласно теореме об изменении формы, достаточно сделать это в том
случае, когда S = S* является косой таблицей Литтлвуда—Ричардсона, а этот
случай очевиден.
12. Используйте упражнение 11.
13. Оба утверждения следуют из определений. Например, рассмотрим
построение P(w) посредством строчных вставок. Когда вставляется элемент и,, тот факт,
что / — максимальный номер, для которого выполнено /(/') =/(&), дает
возможность утверждать, что к не оказывается выбитым, а значит, v-t — 1 остается на
том же месте. Если на каком-либо более позднем шаге элемент и,- будет выбит
элементом v\ — к — 1, то в другой последовательности сыграет роль элемент к.
Для доказательства второго утверждения заметим, что перед элементом vt в той
же строке не может стоять элемент к, а над ним не может стоять к — 1.
14. Независимость от выбора следует из равносильности пунктов (iii) и (iv)
теоремы об изменении формы. Если такие слова существуют, то они соответствуют
парам (U, <?)и ((/', Q) для одной и той же Q. Помещение элементов 1, ..., m в
новые клетки приведет к той же косой таблице, а значит, пара [7\ U] соответствует
паре [Г, U'] по S?(v/\y Q).
15. Выпишите лексикографически упорядоченные массивы, соответствующие
парам G\ Го). «А Ц>), (Т • Ut (T0)s)t (Г, То), (U\ U0) и (Г . U\ (Т0)$) и
примените оператор двойственности.
16. Утверждение прямо следует из определений, так как известно, что
соответствия не зависят от выбора.
266 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
17. В первом случае строчные слова — это
31231221 I, 21331221 1 и 12331221 1,
а во втором случае —
34 223121 1, 241332 21 1 и 231241321.
18. См. упражнение 4 §4.2.
19. Это следует из предложения 3.
20. Для доказательства (Ь) =$> (с) заметим, что (Ь) равносильно следующему:
для всех к диаграмма X содержит не меньше клеток, лежащих ниже &-го ряда,
чем ja. Если обозначить через р минимальное число, для которого выполнено
щ + ...+\ip >Х| +...+Хр, мы придем к противоречию с тем, что k — \P.
Согласно предыдущему упражнению, утверждение (а) равносильно существованию такой
диаграммы v, что X < v и [i < v, или такой v, что X < v < Д, что эквивалентно (Ь).
21. Рассмотрим таблицу U, форма которой сопряжена форме таблицы Т и все
элементы которой меньше и,*. Пусть пара G\ U) соответствует лексикографически
упорядоченному массиву ( ' *" . Лексикофафически упорядоченный массив
( ' '" ." ' '" Ч соответствует сопряженной паре {Р ¦ 7\ (U)x).
Переворачивая этот массив и антилексикографически упорядочивая его, заключаем по
теореме симметрии, что соответствующая сопряженная пара имеет вид {{U)x, Р • Т}.
Остается удалить п наименьших элементов и сослаться на лемму 3 §3.2.
22. См. упражнение 21.
23. Если пара G\ Т0) соответствует лексикографически упорядоченному мас-
сиву ( ), рассмотрите массив (
J \У\ ... Уп) к К \V\ ... vr у\ ... уп)
24. См. упражнение 23.
25. Используйте теорему 1 и пункт 3 предложения 6.
26. Предположим, что строчные слова (^-эквивалентны. Как и в
доказательстве теоремы об изменении формы из §А.З, можно считать, что элементы косых
таблиц различны, так как шС0|E#) = шсыE)#. Q-эквивалентность строчных слов
равносильна эквивалентности по форме, которая для таких таблиц определяется
взятием транспонированных. Это значит, что слова, обратные к их столбцовым
словам, Q-эквивалентны. Примените упражнение 6.
27. В каждом случае можно начать с любого места в середине и
использовать в произвольном порядке соответствующие операции A) и B), продвигаясь
к концам.
28. Это следует из того факта, что применение произвольных элементарных
действий к честной косой таблице снова приводит к честной косой таблице.
Используя только смежные столбцы одного куска, можно преобразовать данную
таблицу к другой таблице, набор длин столбцов которой является перестановкой
набора длин столбцов исходной таблицы.
29. Если Т и U —две честные косые таблицы (например, таблицы), мы можем
применять к ним элементарные действия, сохраняя честность. Для того, чтобы
Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки 267
иметь возможность переставить все столбцы, достаточно уметь переставлять
последний столбец таблицы V с первым столбцом таблицы U\ где V и W
получаются из Т и U посредством элементарных действий, а это эквивалентно тому, что
можно переставить / и ы, как в B).
Приложение В
Для выполнения упражнений достаточно знания топологии в объеме книги
Гринберга и Харпера (Greenberg, Harper[1981]) и некоторых дополнительных
фактов, которые можно найти у Дольда (Dold [1980]), Спеньера (Spanier [1966]) или
Хьюзмоллера (Husemoller [1994]). Необходимые сведения о гладких
многообразиях можно найти у Гийемина и Поллака (Guillemin, Pollack [1974]) или Ленга
(Lang [1985]). Также потребуются основные факты об алгебраических
многообразиях. Их можно найти у Шафаревича (Шафаревич [1972]).
Атья и Хирцебрух (Atiyah, Hirzebruch [1962]) рассматривают в своей книге
другой способ построения фундаментального класса подмногообразия
комплексного многообразия.
Упражнения
1—6. Эти упражнения не требуют никаких дополнительных идей и сводятся
к простой проверке. Докажем, например, что диаграмма из упражнения 5
коммутативна. Пропустим отображение / через X х /": X1 -+ X х /" —> X. Тогда
достаточно рассмотреть следующие два случая: / — замкнутое вложение и / — проекция
X х 1п на X. В первом случае / индуцирует вложения остальных пространств,
и вертикальные стрелки индуцируются отображениями ограничения,
сохраняющими длинную точную последовательность. Во втором случае заметим, что
индуцированные отображения Ht(X х Г) —> Н,Х являются изоморфизмами. Действительно,
пусть X вложено в ориентированное m-мерное многообразие М, тогда обратное
отображение равно композиции
HiX = Hm-l(M, М\Х)-> Нт+п~1(М х Rn, М х Rn \Х х {0}) ->
-> Ит+п-1(М х R", М х М" \Х х Г) = Hi(X х Г),
где первое отображение— изоморфизм Тома для тривиального расслоения, а
второе — ограничение. Эти отображения коммутируют с отображениями в длинной
точной последовательности.
7. Так как существует путь из единицы группы G в g, тождественное
отображение пространства X и умножение слева на g гомотопны. Тогда равенство
g*[V\ = [g • V] следует из определения [V).
8. По формуле Кюннета s*([H]) = а[Н\ х ?т] + ^[Р" х Я2] для некоторых
целых а и Ь, Тогда степень пересечения $¦([//]) и [/| х F"] равна а (Л
—прямая в Р"). Но по формуле проекции это то же самое, что степень пересечения
Sm[l\ х Pm] = [s(l\ х Р7")] и Я, а эти многообразия пересекаются трансверсально
в одной точке для общих 1\ и Н.
9. Воспользуйтесь принципом расщепления.
268 Ответы и указания к упражнениям. Библиографические ссылки
10. Если X не компактно, вложим X как открытое подмногообразие в
компактное многообразие У и положим Z = У \ X. Так как пара (К, Z) триангулируема, то
Х+ = Y/Z компактной локально стягиваемо. Следовательно, для любого вложения
Х+ в ориентированное «-мерное многообразие М
ЩХ+)&На-'(М,М\Х+)
(см. Спеньер (Spanier [1966], 6.10.14)), т.е. Н*(Х+) ^ ///А"*". Наконец, применим
лемму 3 к открытому подмножеству X СХ+. (Мы могли также вложить У в
ориентированное «-мерное многообразие М и воспользоваться двойственностью
Hi(Y,Z)^Hn~i(M\Z,M\y),
так как (У, Z) — евкдидов окрестностный ретракт.)
Литература
Abeasis S. On the Plucker relations for the Grassmann varieties // Advances in
Math. 36 A980). P. 277—282.
Akin K-, Buchsbaum D. A., Weyman J. Schur functors and Schur
complexes // Advances in Math. 44 A982). P. 207—278
Atiyah M. F, Hirzebruch F. Analytic cycles and complex
manifolds//Topology 1 A962). P. 25—45.
Bender E.A., Knuth D. E. Enumeration of plane partitions // J. of Combin.
Theory, Ser. A 13 A972). P. 40—54.
Benkart G., Sottile F, Stroomer J. Tableau switching: algorithms and
applications // J. Combin. Th. Ser. A, 76 A996). P. 11—43.
Bergeron N., Garsia A.M. Sergeev's formula and the Littlewood—Richardson
rule // Linear and Multilinear Algebra 27 A990). P. 79—100.
Бернштейн И.,Н., Гельфанд И.М., Гельфанд СИ. Клетки Шуберта
и когомологии пространств G/P // Успехи матем. наук 28:3 A973). С. 1—26.
Billey S., Haiman М. Schubert polynomials for the classical groups// J. Amer.
Math. Soc. 8 A995). P. 443—482.
Billey S.C., Jockusch W., Stanley R. P. Some combinatorial properties of
Schubert polynomials // J. Algebraic Combinatorics 2 A993). P. 345—374.
В ore I A. Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces ho-
mogenesdes groupesde Lie compacts//Annals of Math. 57 A953). P. 115—207.
Borel A., Haefliger A. La classe d'homologie fondamentale d'un espace ana-
lytique// Bull. Soc. Math. France 89 A961). P. 461—513.
В urge W. H. Four correspondences between graphs and generalized Young
tableaux // J. of Combin. Theory, Ser. A 17 A974). P. 12—30.
Carter R. W., Lusztig G. On the modular representations of the general linear
and symmetric groups // Math. Zeit. 136 A974). P. 193—242.
Chen Y. M., Garsia A.M., Remmel J. Algorithms for plethysm //
Combinatorics and Algebra, Contemporary Math. 34 A984). P. 109—153.
Chevalley C. Sur les decompositionscellulairesdes espaces G/B // Proc. Symp.
Pure Math. 56, Part 1 A994). P. 1—23.
DeConcini C, Eisenbud D., Procesi С Young diagrams and determi-
nantal varieties// Invent. Math. 56 A980). P. 129—165
Demazure M. Desingularization des varietes de Schubert generalisees // Aim.
Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. D) 7 A974). P. 53—88.
270
Литература
Deodhar V. V. Some characterizations of Bruhat ordering on a Coxeter group
and determination of the relative Mobius function // Invent. Math. 39 A977).
P. 187—198.
Desarmenien J., Kung J., Rota G.-C. Invariant theory, Young bitableaux,
and combinatorics // Advances in Math. 27 A978). P. 63—92.
Diaconis P. Group Representations in Probability and Statistics. Institute of
Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1988.
D о 1 d A. Lectures on Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1980. [Имеется перевод:
Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976.]
Fo a t a D. A matrix-analog for Viennot's construction of the Robinson
correspondence // Linear and Multilinear Algebra 7 A979). P. 281—298.
Fomin S., Greene C. A Littlewood—Richardson miscellany//Europ. J.
Combinatorics 14 A993). P. 191—212.
Fomin S., Kirillov A. The Yang—Baxter equation, symmetric functions, and
Schubert polynomials// Discrete Math. 153:1—3 A996). P. 123—143.
Fomin S., Stanley R. Schubert polynomials and the nilCoxeter algebra Ц
Advances in Math. 103 A994). P. 196—207.
Fou 1 kes H. 0. Enumeration of permutations with prescribed up-down and
inversion sequences// Discrete Math. 15 A976). P. 235—252.
Fulton W. Intersection Theory. Springer-Verlag, 1984. [Имеется перевод: Фул-
тон У. Теория пересечений. М.: Мир, 1989.]
Fulton W. Flags, Schubert polynomials, degeneracy loci, and determinantal
formulas // Duke Math. J. 65 A992). P. 381—420.
Fulton W., Harris J. Representation Theory: A First Course. Springer-Verlag,
1991.
Fulton W., Lascoux A. A Pieri formula in the Grothendieck ring of a flag
bundle // Duke Math. J. 76 A994). P. 711—729.
Fulton W., MacPherson R. Categorical Framework for the Study of Singular
Spaces. Memoirs Amer. Math. Soc. 243, 1981.
Gepner D. Fusion rings and geometry // Commun. Math. Phys. 141 A991).
P. 381—411.
Green J. A. Polynomial Representations of GL„. Lecture Notes in Math. 830,
Springer-Verlag, 1980.
Green J. A. Classical invariants and the general linear group // Representation
Theory of Finite Groups and Finite—Dimensional Algebras, Progress in Math.
95, Birkhauser, 1991. P. 247—272.
Green berg M. J., Harper J. R. Algebraic Topology: A First Course. Ben-
jamin/Cummings, 1981.
Greene C. An extension of Schensted's theorem//Advances in Math. 14A974).
P. 254—265.
Литература
271
G re en e C. Some partitions associated with a partially ordered set // J. of Combin.
Theory, Ser. A 20 A976). P. 69—79.
Greene C, Nijenhuis A., Wilf H. S. A probabilistic proof of a formula for
the number of Young tableaux of a given shape // Advances in Math. 31 A979).
P. 104—109.
Griffiths P., Harris J. Principlesof Algebraic Geometry. Wiley, 1978. [Имеется
перевод: Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической
геометрии. М.: Мир, 1982.]
Guillemin V., Pollack A. Differential Topology. Prentice-Hall, 1974.
H a i m a п M. D. Dual equivalence with applications, including a conjecture of
Proctor // Discrete Math. 99 A992). P. 79—113.
Hanlon P., Sundaram S. On a bijection between Littlewood—Richardson
fillings of conjugate shape // J. of Combin. Theory, Ser. A 60 A992). P. 1 —18.
Harris J. Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag, 1992, [Имеется
перевод: Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. М.: МЦНМО, 2005.]
Harts home R. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод:
Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. M.: Мир, 1981.]
Hodge W.V.D., Pedoe D. Methods of Algebraic Geometry. Vols. 1, 2, 3.
Cambridge University Press, 1947, 1952, 1954. [Имеется перевод: Ходж В.,
Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. Т. 1—3. М.: ИЛ, 1954, 1955.]
Howe R. (GL„, GLm)-duality and symmetric plethysm // Proc. Indian Acad. Sci.
(Math. Sci.) 97 A987). P. 85—109.
Husemoller D. Fibre Bundles, 3rd edition. Springer-Verlag, 1994. [Имеется
перевод: Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М.: Мир, 1970.]
Iversen В. Cohomology of Sheaves. Springer-Verlag, 1986.
James G. D. The Representation Theory of the Symmetric Groups. Lecture Notes
in Math. 682, Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод: Джеймс Г. Теория
представлений симметрических групп. М.: Мир, 1982.]
James G., Kerber A. The Representation Theory of the Symmetric Group.
Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 16, Addison-Wesley, 1981.
James l.M. Topological and Uniform Spaces. Springer-Verlag, 1987.
Kleiman S.L., Laksov D. Schubert calculus // Amer. Math. Monthly 79
A972). P. 1061 — 1082.
Knuth D. E. Permutations, matrices and generalized Young tableaux // Pacific
J. Math. 34 A970). P. 809—727.
Knuth D. E. The Art of Computer Programming HI. Addison-Wesley, 1973.
[Имеется перевод: Кнут Д. Искусство программирования. Т. 3. Москва;
СПб; Киев: Вильяме, 2000.]
Knutson D. X-Rings and the Representation Theory of the Symmetric Group.
Lecture Notes in Math. 308, Springer-Verlag, 1973.
272
Литература
Kraft Н. Geometrische Methoden in der Invariantentheorie. Fried. Vieweg& Sohn,
Braunschweig, 1984.
Kratten thaler C. An involution principle-free bijective proof of Stanley's hook-
content formula // Discrete Math. Theor. Comput. Sci. 3:1 A998). P. 11—32.
Lakshmibai V., Seshadri C. S. Geometry of G/P. V // J. of Algebra 100
A986). P. 462—557.
Lang S. Differentiable Manifolds. Springer-Verlag, 1985. [Имеется перевод:
Л e н г С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Мир,
1967.]
Lascoux A. Produit de Kronecker des representations du groupe symetrique //
Seminaire Dubreil—Matliavin 1978—1979, Lecture Notes in Math. 795,
Springer-Verlag, 1980. P. 319—329.
Lascoux A., Schti tzenberger M. P. Le monoide plaxique //
Non-Commutative Structures in Algebra and Geometric Combinatorics, Quaderni de «La
ricerca scientifica», n. 109, Roma, CNR, 1981. P. 129—156.
Lascoux A., Schiitzenberger M. P. Schubert polynomials and the Little-
wood—Richardson rule // Letters in Math. Physics 10 A985). P. 111 — 124.
Lascoux A., Schiitzenberger M. P. Keys and standard bases // Invariant
Theory and Tableaux, D.Stanton, ed., Springer-Verlag, 1990. P. 125—144.
Littelmann P. A Littlewood—Richardson rule for symmetrizable Kac—Moody
algebra // Invent. Math. 116 A994). 329—346.
Liulevicius A. Arrows, symmetries and representation rings // J. Pure App.
Algebra 19 A980). P. 259—273.
Macdonald I.G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Clarendon Press,
Oxford, 1979. [Имеется перевод: Макдональд M. Симметрические
функции и многочлены Холла. М.:Мир, 1985.]
Macdonald I.G. Notes on Schubert Polynomials. Departement de mathematiques
et d'informatique, Universite du Quebec, Montreal, 1991a.
Macdonald I.G. Schubert polynomials // Surveys in Combinatorics, Cambridge
University Press, 1991b. P. 73—99.
Ma gya r P. Borel—Weil theorem for configuration varieties and Schur modules //
Adv. Math. 134:2 A998). P. 328—366.
Martin S. Schur Algebras and Representation Theory. Cambridge University
Press, 1993.
Monk D. The geometry of flag manifolds // Proc. London Math. Soc. 9 A959).
P. 253—286.
Peel M. H. Specht modules and symmetric groups // J. of Algebra 36 A975).
P. 88—97.
Pragacz P. Algebra-geometric applications of Schur S- and Q-polynomials //
Seminaire d'Algebre Dubreil—Malliavin 1989—1990, Lecture Notes in Math.
1478, Springer-Verlag, 1991. P. 130—191.
Литература
273
Pragacz P., Thorup A. On a Jacobi—Trudi identity for supersymmetric
polynomials // Advances in Math. 95 A992). P. 8—17.
Proctor R.A. Equivalence of the combinatorial and the classical definitions of
Schur functions // J. of Combin. Theory, Ser. A 51 A989). P. 135—137.
Ramanathan A. Equations defining Schubert varieties, and Frobenius splitting
of diagonals // Publ. Math. IHES 65 A987). R 61—90.
Reiner V., Shimozono M. Plactification//J. of Algebraic Combinatorics 4
A995). P. 331—351.
Remmel J. В., Whitney R. A bijective proof of the hook formula for the number
of column-strict tableaux with bounded entries // European J. Combin. 4 A983).
P. 45—63.
Remmel J. В., Whitney R. Multiplying Schur functions//J. of Algorithms 5
A984). P. 471—487.
Robinson G. de B. On the representations of the symmetric group // Amer.
J. Math. 60 A938). P. 745—760.
Robinson G. de B. Representation Theory of the Symmetric Group. University
of Toronto Press, 1961.
Roby T.W. Applications and extensions of Fomin's generalization of the
Robinson—Schensted correspondences to differential posets. MIT PhD Thesis, 1991.
S a ga n В. E. The Symmetric Group. Wadsworth, 1991.
Sagan B. E., Stanley R. P. Robinson—Schensted algorithms for skew
tableaux // J. of Combin. Theory, Ser. A 55 A990). 161 — 193.
Schensted С Longest increasing and decreasing subsequences // Canad.
J. Math. 13 A961). P. 179—191.
Schutzenberger M. P. Quelques remarques sur une construction de
Schensted//Math. Scand. 12 A963). P. 117—128.
Schutzenberger M. R La correspondence de Robinson // Combinatoire et
Representation du Groupe Symetrique, Lecture Notes in Math. 579, Springer-
Verlag, 1977. P. 59—135.
Шафаревич И. P. Основы алгебраической геометрии. М.: Наука, 1972.
Sot tile F. Pieri's rule for flag manifolds and Schubert polynomials // Ann. Inst.
Fourier 46 A996). P 89—110.
S pa n i er E. H. Algebraic Topology. McGraw-Hill, 1966. [Имеется перевод:
Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971.]
Stanley R. P. Theory and applications of plane partitions// Studies in Appl. Math.
1 A971). R 167—187,259—279.
Stanley R. P. Some combinatorial aspects of the Schubert calculus //
Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique, Lecture Notes in Math. 579,
Springer-Verlag, 1977. P. 225—259.
18' Таблицы Юнга
274
Литература
Stanley R. P. GL(n, С) for combinatorialists // Surveys in Combinatorics,
E.K.Lloyd (ed.), Cambridge University Press, 1983.
Stanley R. P. Enumerative Combinatorics. Vol. I. Wadsworth and Brooks/Cole,
1986. [Имеется перевод: Стенли P. Перечислительная комбинаторика. М.:
Мир, 1990.]
S t ein berg R. An occurrence of the Robinson—Schensted correspondence//J. of
Algebra 113 A988). P. 523—528.
S tern bridge J. R. Rational tableaux and the tensor algebra of glrt // J. of Combin.
Theory, Ser. A 46 A987). P. 79—120.
S t u r m f e I s В., W h i t e N. Grobner bases and invariant theory // Advances in
Math. 76A989). P. 245—259.
Sundaram S. Tableaux in the representation theory of the classical Lie groups //
Invariant Theory and Tableaux, D.Stanton (ed.), Springer-Verlag, 1990.
P. 191—225.
Thomas G. P. A generalization of a construction due to Robinson // Canad.
J. Math. 28 A976). P. 665—672.
Thomas G. P. On Schensted's construction and the multiplication of Schur-
functions // Advances in Math. 30 A978). P. 8—32.
Towber J. Two new functors from modules to algebras // J. of Algebra 47 A977).
P. 80—104.
Towber J. Young symmetry, the flag manifold, and representations of QL(n) // J. of
Algebra 61 A979). P. 414—462.
Van der Jeuet J., Fack V. The Pragacz identity and a new algorithm for Lit-
tlewood—Richardson coefficients// Computers Math. Appl. 21 A991). P. 39—47.
V i e n n о t G. Une forme geometrique de la correspondence de
Robinson—Schensted /J Combinatoire et Representation du Groupe Symetrique, Lecture Notes
in Math. 579, Springer-Verlag, 1977. P. 29—58.
Vo K. - P., Whitney R. Tableaux and matrix correspondences Ц J. of Combin.
Theory, Ser. A 35 A983). P. 328—359.
Wachs M. L. Flagged Schur functions, Schubert polynomials, and symmetrizing
operators // J. of Combin. Theory, Ser. A 40 A985). P. 276—289.
Weyl H. The Classical Groups. Their Invariants and Representations. Princeton
University Press, 1939. [Имеется перевод: В ей ль Г Классические группы,
их инварианты и представления. М.: ИЛ, 1947.]
White D. Е. Some connections between the Littlewood—Richardson rule and the
construction of Schensted //J. of Combin. Theory, Ser. A 30 A981). P. 237—247.
Young A. On quantitative substitutional analysis III Ц Proc. London Math. Soc.
B) 28 A928). P. 255—292.
Zelevinsky A. V. A generalization of the Littlewood—Richardson rule and
the Robinson—Schensted—Knuth correspondence Ц J. of Algebra 69 A981).
P. 82—94.
Литература
275
Литература, добавленная при переводе
Верш и к A.M., Керов СВ. Асимптотика меры Планшереля симметрической
группы и предельная форма таблиц Юнга // ДАН СССР 233 A977).
С 1024—1027.
Верш и к A.M., Керов СВ. Асимптотическая теория характеров
симметрической группы И Функц. анализ и его прилож. 15:4 A981). С 15—27.
Верш и к А. М., К и ри л л о в А. Н. Формулы крюков и связанные тождества//
Зап. научн. семинаров ПОМИ 172 A989). С 3—20.
Керов СВ. Q-аналог алгоритма блуждания по крюкам и случайные таблицы
Юнга // Функц. анализ и его прилож. 26:3 A992). С 35—45.
Кириллов А. Н. Тождество Лагранжа и формула крюков // Зап. научн.
семинаров ПОМИ 172 A989). С 78—87.
Фомин СВ. Конечные частично упорядоченные множества и диаграммы
Юнга//ДАН СССР 243:5 A978). С. 1144—1147.
Asymptotic combinatorics with applications to mathematical physics. / Edited by
A. M.Vershik. Berlin: Springer-Verlag, 2003. (Springer Lecture Notes in Math,
1815).
Greene C, Nijenhuis A., Wilf H. Another probabilistic method in the
theory of Young Tableaux // J. Comb. Theory (A) 37 A984) P. 127—135.
К e г о v S. V. Asymptotic Representation Theory of the Symmetric Group and its
Applications in Analysis. Providence, RI: AMS, 2003. (Transl. of Math. Monographs,
219).
Kerov S. V. Robinson—Schensted—Knuth correspondence and Littlewood—
Richardson rule // Russian Math. Surveys 39 A984). P. 165—166.
Logan B. F., Shepp L. A. Avariational problem for random Young Tableaux Ц
Advances in Math. 26:2 A977). P. 206—222.
Raik J., Dei ft P., Johansson K. On the destribution of the length of the
longest increasing subsequence of random permutation Ц J. Amer. Soc. 12:4
A999). С 1119—1178.
Добавление
Предлагаемое читателю добавление является переработанным и
расширенным русским переводом статьи тех же авторов [OV96]" и посвящено
нетрадиционному подходу к теории представлений симметрических групп
(а более общо — к теории представлений коксетеровских и локальных
групп). В предисловии редактора перевода (см. с. II) кратко
объясняется, в чем недостатки общепринятого изложения теории представлений
симметрических групп, который используется и в данной книге,— оно не
учитывает важных особенностей симметрических групп: эти группы
являются группами Коксетера; они образуют индуктивную цепочку
(цепочку вложенных подгрупп), откуда вытекает, что теорию предпочтительно
строить индуктивно и т.д. Прямым следствием этих недостатков является,
в частности, немотивированность появления диаграмм и таблиц Юнга: они
возникают ad hoc (с потолка); их появление становится оправданным лишь
после доказательства теоремы ветвления.
Теория, излагаемая в этой статье, призвана исправить указанные
дефекты. Первой попыткой индуктивного построения была статья автора
(см. [Ver90]), в которой доказывалось, что если выполнено условие
дистрибутивности графа ветвления неприводимых комплексных представлений
цепочки групп Srt1 то этот граф может быть только графом Юнга. Как
и ожидалось, в этом априорном предположении нет
нужды—дистрибутивность является прямым следствием коксетеровости группы Sw, если
только привлечь замечательные образующие подалгебры Гельфанда—Цетлина
групповой алгебры, а именно, образующие, введенные еще Юнгом и
переоткрытые сначала А.-А. А. Юцисом и затем Г. Е. Мёрфи2* (см. [Juc74],
[Ver90]). После выхода нашей статьи, где эти образующие названы
образующими Юциса—Мёрфи, А. Ласку обратил мое внимание (а недавно
Р.Стенли сообщил точную ссылку) на одну из работ А. Юнга, в
которой эти элементы групповой алгебры приведены. Правда, они
использованы там не в полной мере (см. далее), но так называемые ортогональная
и полунормальная формы Юнга для описания действия коксетеровских
''Краткая заметка тех же авторов опубликована в журнале «Успехи мат. наук» [В096].
Многочисленные вставки и изменения в тексте сделаны первым автором для этой
публикации; лишь некоторые из этих изменений оговорены далее. Особенно серьезны упрощения
и изменения в §§3, 4, 7; изменены также названия и порядок некоторых параграфов. Поэтому
мы снабдили название статьи цифрой 2.
2)А.-А. А.Юцис A936—1998) — литовский математик. Его работа, в которой были
введены эти образующие, долгое время оставалась не замеченной специалистами. Английский
математик Г. Е. Мёрфи снова переоткрыл их, а затем нашел и работу Юциса.
Добавление
279
транспозиций в неприводимых представлениях совершенно естественным
образом связаны с этими образующими, о чем сказано далее. В связи
с этим, в дальнейшем мы называем их образующими Юнга. Отметим, что
система образующих Юнга является частным случаем систем образующих,
ассоциированных с базисами Гельфанда—Цетлина.
Все без исключения многочисленные изложения теории представлений
симметрических групп, включая и книгу Фултона, следовали классической
версии, идущей от Фробениуса, Шура и Юнга, которая, впрочем,
дополнялась удачными упрощениями вроде лемм фон Неймана, ГВейля,
понятиями таблоидов и др., однако общая схема построения теории оставалась
неизменной. Ссылки на книги по теории представлений симметрических
групп читатель найдет в монографии Джеймса и Кербера (см. [JK81]),
в переведенной на русский язык книге Джеймса [Jam78] и в более ранней
учебной литературе.
В этой статье предлагается иной подход к теории представлений
симметрических групп, ключевым моментом которого, оправдывающим
появление таблиц Юнга, является утверждение о том, что точки спектра
алгебры Гельфанда—Цетлина относительно образующих Юнга — это
целочисленные векторы (векторы содержаний) в Rrt, удовлетворяющие
простым условиям, следующим из соотношений Коксетера, а координаты этих
целочисленных векторов — это так называемые содержания клеток таблиц
Юнга (§5); поскольку вектор содержаний определяет таблицу Юнга, то
точки спектра и есть таблицы Юнга. Соответствующие собственные
векторы определяют в любом представлении базис, а множество векторов,
отвечающих таблицам с данной диаграммой, образует базис неприводимого
представления группы Sn (базис Юнга—Гельфанда—Цетлина). Тем
самым соответствие «диаграммы» *-* «неприводимые представления»
получает естественное (можно сказать, спектральное) объяснение.
Наш подход дает не только методические преимущества в изложении
классических результатов. Он позволяет рассматривать представления
более общих групп и алгебр, например, «локальных групп и алгебр» в
смысле [Ver90], в тех случаях, когда выполнены условия конечности группы
или конечномерности алгебры. Попытка перенести этот метод на другие
группы и, в частности, на группы Коксетера серий Ву С, D, содержится
в работах [Пуш97] и [Ram97].
Недавно скончался замечательный и оригинальный математик
Г. С. М. Коксетер (Н. S.M. Coxeter, 1907—2003), которому современная
математика обязана важными глубокими идеями и красивейшими
геометрическими и групповыми конструкциями. Эта статья посвящается его
памяти.
А.Вершик
Новый подход
к теории представлений
симметрических групп. 2
А. М. Вершик, А. Ю. Окуньков
Памяти Г. С. М. Коксетера
Введение
Цель этой статьи — изложить новый, простой и прямой способ
построения теории комплексных представлений группы подстановок Sn.
Существуют два основных способа построения неприводимых
представлений группы S„. Первый фактически основывается на теории
представлений полной линейной группы QL(N) и двойственности между
группой Sn и группой GL(W) в пространстве
cv®c"®...®c",
п раз
которую называют двойственностью Шура—Вейля (см. [Вей47]).
Ключевую роль при таком подходе играют характеры группы GL(A/), т. е.
функции Шура. Построение характеров группы Sn на базе функций Шура,
близкое к первоначальной конструкции Фробениуса, изложено, например,
в [Мас95].
Второй подход, обычно связываемый с именем Юнга и получивший
дальнейшее развитие в работах фон Неймана и Вейля, основывается на
комбинаторике таблиц. Неприводимое представление (называемое иногда
модулем Шпехта) определяется при этом фактически как единственная
общая компонента двух простых представлений, индуцированных с
одномерных (единичного и знакопеременного) представлений одной и той же
подгруппы Юнга. Эту неприводимую компоненту и сопоставляют
разбиению (диаграмме), соответствующему подгруппе Юнга. Поскольку
разложение индуцированных представлений на неприводимые довольно сложно
Введение
281
и неконструктивно, то и соответствие «диаграммы» <-> «неприводимые
представления» выглядит недостаточно естественным. Такой подход
является традиционным, и его можно найти в большинстве книг по этой
тематике, например, в одной из последних монографий [JK81]. Вывод
какой-нибудь формулы для характеров группы Sn при этом подходе требует
заметных усилий.
Оба эти подхода важны, но их все-таки следует признать довольно
косвенными: они основаны на глубоких и нетривиальных вспомогательных
конструкциях. Возникает естественный вопрос: можно ли получить
основные комбинаторные объекты теории (диаграммы, таблицы и т.д.) более
прямым и естественным способом. Мы полагаем, что теория представлений
симметрических групп должна удовлетворять следующим трем условиям.
1. Симметрические группы образуют естественную цепочку групп
(группа Sn-\ вкладывается в Srt), и теория представлений этих групп
должна строиться индуктивно, опираясь на эти вложения, т.е. теория
представлений группы Sn должна основываться на теории представлений
группы Sn_i, /i=lt2,...
2. Комбинаторика диаграмм и таблиц Юнга, отражающая правило
ветвления для сужения
должна появляться как естественный вспомогательный элемент
построения, а не ad hoc; она должна выводиться из внутренней структуры
симметрических групп. Только в этом случае правило ветвления (являющееся
одной из основных теорем теории) возникает естественным образом на
начальном этапе построения теории.
3. Симметрические группы являются группами Коксетера (серии Л),
и методика, применимая к этим группам, должна быть применима и ко
всем классическим сериям коксетеровских групп.
В этой статье мы предлагаем новый подход, удовлетворяющий
сформулированным выше принципам и делающий всю теорию более естественной
и простой. Важными для нашего метода являются следующие понятия:
1) алгебра и базис Гельфанда—Цетлина (GZ-алгебра и GZ-базис);
2) элементы Юнга (Y-элементы);
3) алгебры с локальной системой образующих как общий контекст
теории.
Базис Гельфанда—Цетлина был определен И. М. Гельфандом и
М.Л.Цетлиным в пятидесятых годах ([ГЦ50а], [ГЦ50Ь]) для унитарной
и ортогональной групп. Общее понятие GZ-алгебры для индуктивных
пределов алгебр может быть введено тем же способом и для произвольного
индуктивного предела полупростых алгебр (это было сделано, например,
в [ВК85]).
282 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Понятие алгебр или групп с локальной системой образующих и
локальными соотношениями между образующими (коротко — локальных алгебр
или групп) обобщает и включает в себя группы Коксетера, группы кос,
алгебры Гекке, локально свободные алгебры и др. (см. [Ver90], [Ver91]).
Это понятие позволяет определить индуктивный процесс построения
представлений, который здесь применяется для групп Sn.
Специальные образующие GZ-алгебры симметрической группы Sn
были введены А. Юнгом и переоткрыты независимо А.-А. А. Юцисом [Juc74]
и ГЕ.Мёрфи [Миг81]. Эти образующие, называемые образующими Юнга
(Y-элементами), выглядят следующим образом:
Х-, = A х) + B/) + ... + (/- 1 /). 1 = 1,2 л;
т.е.
Х,=0, Х2 = A2), ...
Существует инвариантный способ их определения (см. ниже), применимый
для очень широкого класса алгебр с локальной системой образующих,
в частности, для всех коксетеровских групп. Важно отметить, что хотя
эти образующие не лежат в центрах соответствующих групповых алгебр,
они порождают GZ-алгебру, содержащую все центры.
Сложность симметрической группы по сравнению, например, с полной
линейной группой состоит в том, что коксетеровские соотношения
5/5/4-15/ = 5;+15,-5/4-1
для образующих 5/ группы Sn не имеют вида коммутационных
соотношений. Более того, в группе Sn нет также никакой достаточно большой
коммутативной подгруппы, которая бы могла играть роль картановской
подгруппы. Несмотря на это, наш подход отчасти напоминает теорию
старшего веса Картана, где роль картановской подгруппы играет
коммутативная GZ-подалгебра алгебры C[S„]. Образующие Юнга (Y-элементы)
этой подалгебры могут быть одновременно приведены к диагональному
виду в любом представлении группы 5Л, и вся теория представлений этой
группы оказывается закодированной в их спектре. Таким образом, задача
заключается в описании этого спектра, т. е. в том, чтобы понять, какие
собственные значения возможны для Y-элементов и какие из них возникают
в конкретном неприводимом представлении.
Эта задача аналогична описанию старших весов редуктивной группы.
Мы решаем ее, используя индукцию по п и элементарный анализ
коммутационных соотношений
5,*/ + 1=ХЖ5,, i = I, 2 «- 1, @.1)
Введение
283
между Y-элементами и коксетеровскими образующими s,-. В некотором
смысле, алгебра НB) (вырожденная аффинная алгебра Гекке
порядка 2), порожденная образующей s, и двумя коммутирующими элементами
Х-, и Xt+\ (образующая Xi+\ выражается через X-t и s,), профакторизован-
ная по соотношению @.1), играет в нашей статье такую же роль, какую
играет алгебра д[B) в теории представлений редуктивных групп.
Порядок изложения в статье следующий. Мы определяем схему
ветвления неприводимых представлений группы Sn и доказываем, что это
граф (а не мультиграф), т.е. кратности неприводимых представлений
группы S„_i при ограничении на них неприводимых представлений
группы Sn — простые. Затем мы изучаем максимальную коммутативную
подалгебру групповой алгебры—алгебру Гельфанда—Цетлина, или GZ-алгебру,
диагонализация которой в каждом неприводимом представлении
определяет линейный базис в нем, и показываем, что спектр этой алгебры есть
множество целочисленных векторов в R", определяемых простыми
условиями §5 (так называемые векторы содержаний). В свою очередь вектор,
удовлетворяющий этим условиям, есть не что иное, как вектор
«содержаний» клеток таблиц Юнга (такой вектор однозначно определяет таблицу).
Тем самым мы приходим к основному выводу, что базисы всех
неприводимых комплексных представлений группы Sn занумерованы таблицами
Юнга. На векторах содержаний есть отношение эквивалентности —
принадлежность к одному неприводимому представлению. Доказывается, что
таблицы эквивалентны в этом смысле тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковые диаграммы Юнга, и это завершает доказательство
главной теоремы — теоремы ветвления: граф ветвления (диаграмма Браттели)
неприводимых представлений групп Sn совпадает с графом диаграмм Юнга
(графом Юнга).
Два обстоятельства позволяют реализовать этот план: во-первых,
выбор Y-элементов в качестве мультипликативных образующих
алгебры Гельфанда—Цетлина, относительно которых вычисляется спектр этой
коммутативной алгебры, и, во-вторых, возможность прямого описания
представлений вырожденной аффинной алгебры Гекке НB), играющей
роль «приращения» в индуктивном переходе от групповой алгебры C[S„_| ]
к групповой алгебре C[S„]. Этот переход возможен благодаря роли,
которую играют образующие Коксетера групп Sn и соотношения Коксете-
ра между ними: они непосредственно дают условия на элементы
спектра GZ-алгебры — векторы содержаний. Одно из основных преимуществ
нашего построения теории представлений симметрических групп (и
других серий коксетеровских групп) заключается в том, что мы получаем
правило ветвления одновременно с описанием представлений и
вводим диаграммы и таблицы Юнга, используя только анализ спектра
284 Новый подход к теории представлений симметрических групп
GZ-алгебры. Можно сказать, что наш план реализует также
некоммутативный вариант анализа Фурье на симметрических группах, в силу
которого множество таблиц Юнга появляется естественно в качестве
спектра двойственного объекта группы S„, а множество диаграмм
дает список представлений.
В качестве приложения этих результатов мы выводим классические
формулы Юнга для действия коксетеровских образующих 5/ группы Sn
и новое доказательство правила Мурнагана—Накаямы для характеров
этой группы. Последний шаг в доказательстве формул Юнга совпадает
с работой [Миг81]. На самом деле, в работе Мёрфи элементы Xi и
вводились для вывода формул Юнга. Однако, в отличие от работы [Mur81],
мы не предполагаем известным ни один факт из теории представлений
групп S„, а, наоборот, выводим все из исследования простых
коммутационных соотношений. С точки зрения традиционной теории представлений
групп Sn может показаться, что в использовании индуктивных цепочек
подгрупп Si с ... С S„_i С Sn для построения теории представлений одной
группы Sn есть элемент произвола (таких цепочек много, хотя они и
изоморфны). Но именно эта «неинвариантность» подхода позволяет связать
теорию с диаграммами и таблицами Юнга — без фиксирования
индуктивной цепочки нет теоремы ветвления, нет GZ-базисов, RSK-соответствия
и нет диаграмм Юнга: более точно, соответствие
«неприводимые представления» «-* «диаграммы Юнга»
без такого фиксирования теряет точный смысл и выглядит случайным
элементом в конструкции модулей Шпехта. Разумеется, другие индуктивные
цепочки (например, S2 С S4 С ... с периодическими вложениями) приводят
к другим теоремам ветвления и к другим базисам.
Первая попытка разработки нового подхода к теории представлений
симметрической группы была сделана в работах [Ver90], [Ver91], в которых
вводилось понятие алгебр с локальной системой образующих. Правило
ветвления и ортогональная форма Юнга были получены в [Ver90] из
коксетеровских соотношений для образующих группы Srt и предположения,
что граф ветвления (см. ниже) группы S„ является диаграммой Хассе
дистрибутивной решетки. Подход, предлагаемый в этой статье, не требует
каких-либо дополнительных предположений.
Наша схема может быть применена к некоторым другим алгебрам
с локальной системой образующих, и в первую очередь, ко всем коксе-
теровским группам серий В, С, D и к сплетениям симметрических групп
с некоторыми конечными группами.
Мы не делаем попытки дать полную библиографию по предмету.
Подходящие аналоги Y-элементов для бесконечной симметрической труп-
§ 1. Алгебра и базис Гельфанда—Цетлина 285
пы Sqo оказались чрезвычайно мощным инструментом для изучения
бесконечномерной теории представлений [Оку94], [Оку96], [Ол87], [Ол89].
О бесконечной симметрической группе см. также [KOV93], [Ver92], [ВК85],
[KOV]. В серии работ [Ver90], [Ver91], [Ver92] первый автор развивает
новый подход к теории представлений группы S„, связанный с
асимптотическими задачами.
Существует большое количество других приложений Y-элементов
к классической теории представлений (см., например, [DG89]; мы узнали
об этом важном препринте после того, как статья была завершена). Y-эле-
менты естественным образом возникают в связи с высшими тождествами
Капелли [Око96]. В работах [Чер86], [Dri86] эти элементы
рассматривались в контексте теории вырожденных аффинных алгебр Гекке. Элементы
Юнга для коксетеровских групп были определены в [Naz96], [Ram97]; из
более ранних работ упомянем [Молбб].
В дальнейшем предполагается, что читатель знаком только с
элементарными фактами абстрактной теории представлений конечных групп. Мы
не используем никаких фактов из теории представлений симметрических
групп.
В процессе работы над исходным вариантом статьи для нас были
полезны библиографические сведения, полученные от М. Л. Назарова,
беседы с С. В. Керовым, Г. И. Ольшанским, Э. Б. Винбергом. Как уже
указывалось, ряд теорем доказывается иначе, чем в английском варианте статьи;
кроме того, добавлено несколько новых утверждений и расширен список
литературы.
§ 1. Алгебра и базис Гельфанда—Цетлина
Рассмотрим индуктивную цепочку (конечную или бесконечную)
конечных групп
{1} = G@)cGA)cGB)c... A.1)
Обозначим через С(л)А множество классов эквивалентности
неприводимых комплексных представлений группы G{ri). Графом (точнее, мульти-
графом) ветвления (или диаграммой Браттели) этой цепочки назовем
следующий ориентированный граф: вершинами графа являются элементы
множества (несвязного объединения)
U G(n)\
Далее, обозначим 0(л)-модуль, отвечающий представлению X € G(n)A9
через Vх. Вершины [х € G(n - 1)л и X G G(n)A соединены k ориентирован-
286 Новый подход к теории представлений симметрических групп
ными ребрами (направленными из (i в X), где
A = dimHom0(*-i)(V"\ Vх),
т.е. k — кратность представления \i в сужении представления X на
группу G(n — 1). Мы будем называть множество G(n)A п-м этажом графа
ветвления и писать
если вершины ji и X соединены ребром в графе ветвления, и
t-tCX,
где [х € G(k)A, X е G(n)A и 6 ^ л, если кратность вхождения
представления [i в сужение представления X на подгруппу G(k) больше нуля. Иначе
говоря, [х с X, если существует путь из ^ в X в графе ветвления.
Единственный элемент множества С@)Л обозначим через 0. То же определение
графа ветвления можно дать и для произвольной индуктивной цепочки
конечномерных полупростых алгебр
Af@)cAf(l)cAfB)C.,
см. [ВК85] и приведенную там литературу. Если кратности ограничений
равны Он 1, то эта диаграмма является графом (а не мультиграфом);
в таких случаях говорят о простых кратностях или о простом ветвлении.
Хорошо известно, что это так для цепочки симметрических групп G(n) = Sn
(мы покажем это далее; см. также, например, [JK81], [Jam78]). В этом
случае разложение
Vх = 0 V»
ц€С(/1-1)л
И/*
в сумму G(n — 1)-подмодулей однозначно определено. По индукции мы
получаем каноническое разложение модуля Vх на G@)-подмодули (т.е. на
одномерные подпространства)
т
которые нумеруются всеми возможными цепочками
Т = \0/\\/.../\Пу A.2)
гдеХ/ 6 G(i)A и Х„ = X. Такие цепочки — это возрастающие пути в графе
(или мультиграфе) ветвления, идущие от вершины 0 к вершине X.
§ 1. Алгебра и базис Гельфанда—Цетлина 287
Выбирая в каждом одномерном пространстве VT по единичному
(относительно 0(я)-инвариантного скалярного произведения (¦,¦) в Vх)
вектору Vfy мы получаем базис {vr) в модуле Vх, который называется базисом
Гельфанда—Цетлина (GZ-базисом). В работах [ГЦ50а], [ГЦ50Ь] такой
базис определялся для представлений групп SO(n) и U(rt); мы
используем то же название в общей ситуации (см. [ВК85]). Из определения vj
очевидно, что
С[С(|)]-иь /=l,2f ...,п, A.3)
— неприводимый 0(/)-модуль VXi. Очевидно также, что вектор vj
однозначно (с точностью до скалярного множителя) определяется этим
свойством.
Обозначим через Z(n) центр алгебры C[G(n)]. Рассмотрим алгебру
GZ(n) с C[G(/i)], порожденную подалгебрами
Z(l), ZB), ...,Z(/i)
алгебры C[C(n)J. Легко видеть, что алгебра GZ(n) коммутативна. Она
называется подалгеброй Гельфанда—Цетлина (GZ-алгеброй)
индуктивной цепочки (групповых) алгебр. Напомним следующий фундаментальный
изоморфизм:
С[0(л)]а ф End(Vx) A.4)
(сумма берется по всем классам эквивалентных неприводимых
комплексных представлений).
Предложение 1.1. Алгебра GZ(n) совпадает с алгеброй всех
операторов, диагональных в базисе Гельфанда—Цетлина. В
частности, алгебра GZ(n) — максимальная коммутативная подалгебра
алгебры C[G(n)}.
Доказательство. Обозначим через Рг EGZ (п) произведение
центральных идемпотентов
PhPX2...PXni /\eZ(i),
отвечающих представлениям Xj, Х2. • • • Дя соответственно. Очевидно, что
Рг есть проектор на VV. Таким образом, алгебра GZ(n) содержит алгебру
операторов, диагональных в базисе {vrh которая является
максимальной коммутативной подалгеброй. Поскольку алгебра GZ(n) коммутативна,
предложение доказано. ?
Замечание 1.2. Отметим, что в силу предыдущего предложения любой
вектор из базиса Гельфанда—Цетлина в любом неприводимом
представлении группы G(n) единственным образом (с точностью до скалярного
288 Новый подход к теории представлений симметрических групп
множителя) определяется отвечающими этому вектору собственными
значениями элементов алгебры GZ(n).
Замечание 1.3. Для произвольной индуктивной цепочки полупростых
алгебр GZ-подалгебра является максимальной коммутативной алгеброй
в том и только в том случае, когда граф ветвления не содержит кратных
ребер.
Следующий критерий простоты ветвления использует важное
понятие централизатора. Пусть М — полупростая конечномерная С-алгебра
и N —ее подалгебра; централизатором Z(Mf N) подалгебры N в
алгебре М называется подалгебра всех элементов алгебры М, коммутирующих
c/V.
Предложение 1.4. Следующие два утверждения эквивалентны.
1) Ограничение конечномерных неприводимых комплексных
представлений алгебры М на подалгебру N имеет простую кратность.
2) Централизатор Z{M, N) коммутативен.
Доказательство. Пусть V** и Vх— пространства конечномерных
неприводимых представлений алгебр N н М соответственно. Рассмотрим
Af-модуль Нот^(Уи, Vх). Он является неприводимым Z(Af, ЛО-модулем
и, следовательно, одномерен, если централизатор коммутативен.
Наоборот, если существует более чем одномерное неприводимое
представление централизатора Z(Af, Л/), то тем самым кратность ограничения
некоторого представления алгебры М на подалгебру N также больше
единицы. ?
В следующем параграфе мы применим этот критерий к групповым
алгебрам симметрических групп.
В заключение этого параграфа отметим, что определение алгебры Гель-
фанда—Цетлина, данное выше, носит общий характер и может быть
использовано во многих случаях (см. [Г50]).
§2. Простота ветвления и элементы Юнга (Y-элементы)
С этого момента мы полагаем
G(n) = Sn.
Сначала докажем простоту спектра при ограничении
неприводимого представления группы Sn на подгруппу Sn-\ (отсутствие кратностей).
Доказательство воспроизводит идею классического критерия И.М. Гель-
фанда того, что пара групп {группа Ли, ее подгруппа} обладает следующим
свойством: подалгебра элементов групповой алгебры, двусторонне
инвариантных по подгруппе, коммутативна. (Такую пару групп позже стали
называть парой Гельфанда.) Мы приведем это красивое доказательство
(его напомнил мне Э. Б. Винберг), поскольку оно носит достаточно общий
§2. Простота ветвления и элементы Юнга (Y-элементы) 289
характер и использует в минимальной мере специфику симметрической
группы.
Напомним (см. предложение 1.4), что простота спектра
ограничения представлений группы на подгруппу равносильна коммутативности
централизатора групповой алгебры подгруппы в групповой алгебре
самой группы.
Теорема 2.1. Централизатор Z(n —1,1) = Z(C[S„], C[S„_i])
подалгебры C[Sn-\] в алгебре C[Sn] коммутативен.
Начнем со следующего утверждения:
Лемма 2.2. Любой элемент g симметрической группы Sn
сопряжен с обратным к нему элементом g~\ т.е. g~[ = hgh~\ причем
сопрягающий элемент h можно выбрать из подгруппы S„_i.
Доказательство. Действительно, то, что каждая подстановка из
группы Srt_i сопряжена со своей обратной, очевидно. Пусть теперь g е Sny
и рассмотрим подстановку g' ? S„-\, индуцированную на 1, ..., п — 1
подстановкой g (т.е. g' = pn{g) — см. определение виртуальной проекции рп
в §7). Возьмем подстановку из h е S„_i с Sn, осуществляющую
сопряжение в группе Sn~\ подстановки g' и ее обратной g', т.е. gf~] =
— hg'h~x. Тогда /г, рассматриваемый как элемент S„, оставляющий на
месте /2, осуществляет нужное сопряжение: g~x = hgh~x. Можно даже
выбрать в качестве h некоторый элемент второго порядка с неподвижной
точкой п. ?
Напомним простой, но важный факт из теории алгебр с
инволюцией:
Лемма 2.3. Вещественная алгебра с инволюцией^ *
коммутативна, если все ее элементы самосопряжены, т. е. когда инволюция
является тождественным автоморфизмом.
Доказательство. Пусть В — некоторая *-алгебра над R
(алгебра с инволюцией), все элементы которой самосопряжены. Тогда любые
два элемента коммутируют: ab = a*b* = (ba)* = Ьа, и алгебра
коммутативна. ?
Для алгебр с инволюцией над полем С формулировка слегка
изменится: коммутативность алгебры над С равносильна тому, что инволюция
является комплексным сопряжением относительно (любой) реализации
алгебры как комплексификации вещественной алгебры.
Доказательство теоремы 2.1. Для доказательства, как мы
видели, достаточно проверить, что всякий вещественный элемент
централизатора Z(n — 1, 1) cC[S„] является самосопряженным.
'^Напомним, что инволюцией в вещественной алгебре называется линейный
антиавтоморфизм второго порядка.
19' Таблицы Юнга
290 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Пусть
ges„
— произвольный вещественный элемент централизатора Z(n - 1, 1).
Поскольку / коммутируете любым Л € S„_i, разложение / = ? fgg (в силу
gesn
его единственности) не изменится после применения внутреннего
автоморфизма: / »-> Л/Л. По доказанному выше для любого g е Sn можно
выбрать Л таким образом, что Л^Л-1 = g~x. Тогда слагаемое fgg
преобразуется в слагаемое fgg~l, и, следовательно, вместе с каждым слагаемым
fgg в разложении присутствует слагаемое fgg~\ а это и означает» что
антиавтоморфизм оставляет элемент / на месте, т.е. что /* = /. ?
Анализ всего доказательства приводит к следующей формулировке.
Теорема 2.4. Пусть А — конечномерная ^-алгебра над R и В — ее
^-подалгебра. Пусть в алгебре А существует линейный базис G={gt),
замкнутый относительно инволюции (С* = G), при этом для
всякого i существует такой ортогональный (Ь* = Ь~х) элемент Ь\ € В,
что bigibi* = g*. Тогда централизатор подалгебры В в алгебре А
коммутативен, и, тем самым, спектр ограничения неприводимых
представлений алгебры А на подалгебру В прост.
Если А и В — групповые алгебры соответственно конечной
группы G и ее подгруппы И с G, а базис состоит из элементов группы G,
то это условие выглядит так: для всякого g б G существуют такие
элементы Л € Н и g' € G, что Л g'h = g~{; если в качестве g' можно
взять g, то мы получаем условие, приведенное выше.
В таком виде этот критерий может быть применен во многих
ситуациях. Подчеркнем, что приведенное доказательство простоты спектра для
симметрических групп никак не используют анализ самих представлений
группы Srt, а сам доказанный факт является первым шагом к
спектральному анализу симметрических групп и основан лишь на элементарных
алгебраических свойствах группы. Мы увидим далее» что простота спектра
также легко следует из другого нужного нам факта о централизаторах.
Нам понадобится не только коммутативность централизатора
Z(n - 1, 1), но и более точное его описание, а также его связь со
структурой алгебры Гельфанда—Цетлина. Мы опишем централизатор и структуру
алгебры Гельфанда—Цетлина с помощью специального базиса.
Рассмотрим следующие элементы А/ € С[5Л]:
Xi = A /) + B/) + ... + (i - 1 /), 1 = 1,2 п.
В частности, Х\ = 0. Эти элементы М.Назаров [Naz96] назвал
элементами Юциса—Мёрфи (или JМ-элементами). Как уже говорилось, они
§2. Простота ветвления и элементы Юнга (Y-элементы) 291
были независимо введены в [Juc74] и [Миг81] и назывались так в недавних
работах, в частности, в первом варианте этой статьи. Но поскольку они
появились, как выяснилось, еще в ранней работе Юнга, мы будем их
называть У-элементами или элементами Юнга1).
Очевидно, что
X} = сумма всех транспозиций в S, — сумма всех транспозиций в 5/-ь
B.1)
т. е. разность центрального элемента из Z(i) и элемента из 1A - 1).
Поэтому Л,- € GZ(n) при всех / < п. В частности, отсюда следует, что Y-элементы
коммутируют.
Пусть а, Ьу ..., с — элементы подалгебры некоторой алгебры М\
через (а, Ь, ..., с) будем обозначать подалгебру алгебры М, порожденную
a, b с.
Теорема 2.5. Рассмотрим в алгебре C[Sn] ее центр Z(n) и центр
Z{n- \) подалгебры C[S„-i] «-> C[S„]. Тогда
Z(n)c(Z(n-HXn).
Доказательство. Напомним, что
л—I л л—1
Хп = $> п) = ? (/, i) - ? (i, /).
Второе слагаемое лежит в Z(п - 1), поэтому первое лежит в (Z(n - 1), Х„).
Рассмотрим
п л—1
л-1
Из этого равенства вытекает, что элемент ? (/, /, п) принадлежит алгеб-
/./=1
ре {Z(rt — 1), Х„). Добавляя к нему элемент из Z(n — 1)
л-1
'*Однако в работе [You02] приводится лишь определение этих элементов и дается формула
я
П A + X/) = ? g (см. также формулу (8.2) ниже), но не отмечено уже то, что элементы X,
i=\ g€Sn
коммутируют между собой.
•yQO
Новый подход к теории представлений симметрических групп
мы получим следующий элемент из Z(n):
п
? (Л U к).
/',/,*= 1
Таким образом, мы доказали, что классы сопряженности в Sn циклов длин
2 и 3 лежат в (Z(n — 1), Хп).
Применим индукцию. Рассмотрим равенство
п п
s=\ n-\
n
Ml '*-l = l
Добавляя к первому слагаемому класс
п
Y^ &/)(?'»' ¦¦¦'/'*-»)'
'./.'I i*-i=i
лежащий в Z(n — 1), мы получим класс сопряженности произведения
цикла длины 2 на цикл длины к в Sni т.е. элемент из Z(n). Следовательно,
второе слагаемое, класс цикла длины к + 1, также лежит в {Z(n — 1), Хя).
Складывая второе слагаемое с элементом
п
]Г ('* М. .-., k-\, ik)€Z(n- 1),
'.'i '*=i
мы получим класс сопряженности цикла длины /г + 1 в группе Sn.
Итак, классы всех одноцикловых1* подстановок из Sn лежат в
алгебре (Z(n — 1),Х„). Остается применить классическую теорему о том,
что центр C[Sn] порождается мультипликативными образующими —
классами одноцикловых подстановок. Эта теорема сводится к утверждению
п
о том, что степенные суммы J2 х\ = Рг образуют мультипликативный базис
в кольце симметрических функций [Мас95, гл. 1]. Заметим, что эта теорема
не использует теорию представлений. Таким образом,
Z(n)C(Z(n-l),Xn). ?
Следствие 2.6. Алгебра Гельфанда—Цетлина мультипликативно
порождается Y-элементами:
GZ{n) = {XuX2 Хп).
''Под одноцикловыми понимаются подстановки, имеющие один неединичный цикл.
§2. Простота ветвления и элементы Юнга (Y-элементы) 293
Доказательство. По определению
GZ(n) = (Z(l) Z(n)).
Очевидно, что GZB) = C[S2] = (Х{ = О, Х2) = С.
Пусть доказано, что
GZ(n-\) = (X{ Xn-t).
Тогда требуется доказать, что
GZ(/i) = (GZ(*-!),*„).
Включение
GZ(n)D(GZ(n- 1),Х„)
очевидно, поэтому достаточно проверить, что
Z(n)c(GZ(n-\)yXn).
Но по теореме 2.1
Z(n) С (Z{n - 1), Х„) С <GZ(/2 - 1), Х„). П
Замечание 2.7. Обратим внимание на то, что Y-элементы не лежат
в соответствующих центрах: Xk & Z(k)y k= 1, ..., п. Казалось бы
естественно искать базис алгебры GZ(n) из элементов центров Z(l), ..., Z(n).
Однако полезным оказывается «нецентральный» базис.
Теорема 2.8. Централизатор Z(n—\, 1)—Z(C[Srt], C[S„_i])
подалгебры C[S„_i] в алгебре C[Sn] порожден центром Z(n — 1)
подалгебры C[Srt_i] и элементом Хп:
Z(/i-l, l) = <Z(w-!),*„>.
Доказательство. Линейный базис в централизаторе Z(n — I, 1)
есть объединение линейного базиса в Z(n - 1) с классами вида
EC--e.-")('!2) О-сГ о.
где суммирование ведется по различным 4*. пробегающим числа от 1 до
п — I. Но, складывая, как и в доказательстве теоремы 2.2, такие классы
с классами из Z(n — 1) вида
D'!V..,/<>!2) 4?) ¦••(<!'»,..., 41')
(суммирование по различным iU) от 1 до п — 1), мы получим все классы
из Z(n). Следовательно, линейный базис в Z(n -1,1) можно получить как
линейную комбинацию элементов базисов Z(n — I) и Z(n), т.е.
Z(n-1, l)c<Z(rt-I), Z(/i)>.
А так как Z(n) с (Z(n - 1), ^rt) (теорема 2.1), то теорема доказана. ?
294 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Поскольку алгебра в правой части последнего соотношения
коммутативна, мы еще раз доказали коммутативность централизатора и простоту
ветвления.
Теорема 2.9. Ветвление цепочки C[S\ ]С ...С C[Sn] является
простым, т.е. кратности ограничений неприводимого представления
алгебры C[Sn] на подалгебру C[Sn-\] равны 0 или 1.
Следствие 2.10. Алгебра GZ(n) является максимальной
коммутативной подалгеброй алгебры С[5Л]. Поэтому в каждом
неприводимом представлении группы Sn задан базис Гельфанда—Цетлина из
одномерных подпространств.
Этот базис в каждом неприводимом представлении называется
базисом Юнга. А. Юнг рассматривал такой базис в представлении, но не мог
описать его как глобальный базис, — для этого нужно было не известное
в то время понятие GZ-алгебры, и поэтому важная связь элементов Юнга
и базисов Юнга (а именно, тот факт, что базис Юнга является базисом из
собственных векторов для Y-элементов) им не отмечена.
Пусть v — вектор этого базиса в некотором неприводимом
представлении. Обозначим через
а(у) = (а,,...,ал)€Сл
собственные значения, которые принимают на v элементы Ль ..., Хп.
Назовем вектор ас(у) весом вектора v. Обозначим через
Spec(rt) = {<x(v): v принадлежит базису Юнга}
спектр Y-элементов. В силу предложения 2.1 и замечания 1.2 точка <х(и) €
€ Spec(rt) задает вектор с точностью до скалярного множителя. Понятно,
что
|Spec(/z)| = ^2 dimX.
xeSA
Иначе говоря, размерность алгебры Гельфанда—Цетлина равна сумме
размерностей всех попарно не эквивалентных неприводимых представлений.
По определению базиса Юнга множество Spec(rt) находится в
естественном соответствии с множеством путей A.2) в графе ветвления.
Обозначим это соответствие через
Т »->аG*), а»-* Та.
Обозначим через va вектор базиса Юнга (единственный с точностью до
ненулевого скалярного множителя), отвечающий весу а. Существует
следующее естественное отношение эквивалентности на множестве Spec(rt):
мы будем писать
а~C, а, p€Spec(/z),
§ 3. Действие образующих и алгебра /7B).
295
если векторы va и ур лежат в одном неприводимом 5„-модуле, иначе
говоря, если пути Та и 7р имеют общий конец. Понятно, что
|Spec(n)/4 = |S„A|.
Наш план состоит в том, чтобы
1) описать множество Spec(rt),
2) описать отношение эквивалентности ~,
3) вычислить матричные элементы в базисе Юнга,
4) вычислить характеры неприводимых представлений.
§3. Действие коксетеровских образующих
и вырожденная алгебра Гекке НB).
Коксетеровские образующие
Si =(| I + 1), /= 1, ..., п- 1,
группы Sn коммутируют, если только они не соседние. Это свойство
было названо в [Ver90] локальностью, «Локальность» здесь понимается
в физическом смысле этого слова; она означает, что разделенные в
пространстве образующие коммутируют и, значит, не влияют друг на друга.
Локальность проявляется в следующем свойстве базиса Юнга.
Предложение 3.1. Для любого вектора
vT, Г = Хо/.../Хл, X,eS/\
и любого k = 1, ..., п — 1 вектор
Sk-VT
является линейной комбинацией векторов
для которых
Х; = ХЬ хфк.
Другими словами, действие образующей s* отражается только на
k-м этаже графа ветвления.
Доказательство. Пусть i > k. Так как s* eS,- и модуль
ОД].</г
неприводим, то
C[Si]sk.VT = C[Si].VT = Vb, C.1)
где Vх* —неприводимый 5/-модуль, отвечающий вершине X; е S*.
Поскольку 5* коммутирует с подгруппой St, то C.1) верно и для всех
i < k. Значит, в силу A.3), вектор S* • vj может разлагаться только по
таким векторам vr, которые удовлетворяют условиям предложения. D
296 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Таким же образом несложно показать, что коэффициенты этой
линейной комбинации зависят только от X*_i, X*, Х^, X^+i и от выбора
нормировки лля векторов Юнга. Таким образом, образующая Sk изменяет
координаты пути только на ?-м этаже, а коэффициенты соответствующей
матрицы зависят только от координат пути на этажах графа ветвления
с номерами к — 1, k, к + 1. Более подробные формулы даны в §4.
Доказанное предложение легко следует также из очевидных
соотношений
stX^XjSi, /VU + 1- C.2)
Более интересное (и хорошо известное) соотношение связывает s,- с Л,
и Xi+[. Мы имеем
S/u + l^Xi+iSi, C.3)
что очевидным образом переписывается в виде
SiXjSi + S/ = Л| + 1.
Действие Y-элементов на базис Юнга также локально. Из B.1)
очевидно следует, что если для пути
r = X0/,.-./'Xrt,
мы рассмотрим собственные значения
а(Т) = (а\ ап)%
то для всех к значение а* будет разностью функции, зависящей от Х^,
и функции, зависящей от Х*_|.
Обозначим через НB) алгебру, порожденную элементами Y\, Y2 и s,
удовлетворяющими соотношениям
s2=i, YXY2 = Y2YU sY{ + l = Y2s.
Таким образом, Я B) = (К[, Y2y $)• Образующую Y2 можно исключить, так
как Y\ = sY2s + s, поэтому алгебра ИB) порождена образующими Y\ и s,
но технически удобнее включать в число образующих и Y2.
Эта алгебра занимает центральное место в дальнейшем изложении.
Она является простейшим примером вырожденной аффинной алгебры
Гекке, см. далее. Уже непосредственно из этих соотношений можно
вывести, что неприводимые конечномерные представления этой алгебры
либо одномерны, либо двумерны. Действительно, поскольку образующие
Y\ и Y2 коммутируют, то они обладают общим базисом из собственных
векторов; взяв любой вектор v из них и применив к нему инволюцию 5,
мы получим не более чем двумерное //B)-инвариантное подпространство.
Важность алгебры //B) основана на следующем очевидном, но полезном
факте:
§4. Неприводимые представления алгебры И B) 297
Предложение 3.2. Алгебра C[Sn] порождена алгеброй C[S„_i]
и алгеброй НB) в следующем смысле. Рассмотрим подалгебру НB) ~
— (Хп-[} ХПу sn) с C[S„]. Она канонически изоморфна алгебре НB)
(изоморфизм переводит образующие Xn—\i Хп и Sn соответственно
в У,, Y2 и s), и C[Sn] = (C[Sw_i], tfB)>.
Конечно, алгебра C[Sn] порождена подалгеброй C[S„-i] и одной
образующей s„, но именно учет избыточных образующих Хп-\ и Хп дает
основы для индукции — каждый шаг от п — 1 к п сводится к изучению
представления алгебры НB).
Другое важное свойство коксетеровских образующих и Y-элементов
состоит в том, что соотношения между ними инвариантны относительно
сдвига индексов. Такие соотношения были названы в работе [Ver90]
стационарными.
Замечание 3.3. Вырожденная аффинная алгебра Гекке Н(п)
порождена коммутирующими переменными Y\, Y%, ..., Yn и коксетеровскими
инволюциями s\t ..., s„_] с соотношениями C.2), C.3), см. [Dri86], [Чер86].
Если положить Y\ = 0, то факторалгебра алгебры Н(п) по
соответствующему идеалу канонически изоморфно отображается на C[S„].
§4. Неприводимые представления алгебры НB)
Как уже отмечалось в параграфе §3, все неприводимые представления
алгебры НB) не более чем двумерны и содержат вектор и, для которого
Y\v = av, Y2V = bv, a, b еС.
Если векторы v и sv линейно независимы, то из соотношения
sY\ + l = Y2s D.1)
следует, что элементы Y\ и Y% действуют в базисе и, sv следующим
образом:
"-G-D- »-П- -Q-
Если b ф а ± 1, то это представление неприводимо; обозначим его через
ъа%ь- Если b = а ± 1, то это представление содержит единственное
одномерное подпредставление
Y\ i->a, Y2*-*b, s ь->±1,
в котором векторы v и sv коллинеарны, и наоборот, если векторы vt sv
коллинеарны, то
sv = ±vy
и из D.1) следует, что
Ь = а±\.
298 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Заметим, что всегда афЬ, так как в противном случае операторы
^a,b(Yt) не диагонализуемы, и поэтому такие представления не могут
встретиться в действии на базисе Юнга. Операторы гс0>/>, афЬ, диагонализу-
ются, например, следующим образом
у"(НУ *-(!Э- '-№'~Щ*\ <42)
Сформулируем наши результаты в виде предложения, которое
описывает представления в терминах преобразований весов (т. е. векторов
собственных значений):
Предложение 4.1. Пусть
а = (аи ..., aiy ai+\ а„) € Spec(/z).
Тогда щ€Ъи
1) щ 7^а,+| для всех /,
2) если а,+| = щ ± 1, то s,- • va = ±va,
3) если a,+i ф Щ ± 1, то
а' = 5,- -a = (fli, ..., а,-+|, а/, .... ая)€ Spec(/z)
ы а' ~ а (ас. определение ~ в §2). Кроме того,
Va' = [Si - " W
и элементы s,-, Я/, X/+i действуют в базисе иа, iv л о формулам
вида D.2), где элемент Y\ нужно заменить на Xt, и элемент Уг — на
Напомним, что 5/ в пункте 3) предложения — коксетеровские
транспозиции. Чтобы подчеркнуть их роль в контексте этого параграфа (как
операций на весах а), мы назовем их допустимыми транспозициями.
Допустимые транспозиции сохраняют множество Spec(rt), а также
множество Cont(n), определенное в следующем параграфе. Два случая этого
предложения отвечают случаям цепочки и ромба из §7.
Отметим, что если a/+i ф ai ± 1, то в базисе
{°- 0 - (^Ь^)",/2E'' - s^rW
матрица транспозиции s,- ортогональна:
где r = a/+i -а/. В работах Юнга эта разность называлась аксиальным
(осевым) расстоянием; это есть разность содержаний (см. §5)
соответствующих клеток таблиц Юнга.
S; =
§5. Основные теоремы
299
§ 5. Основные теоремы
В этом параграфе мы опишем множество Spec(rt) и отношение
эквивалентности ~, введенные в §2. Введем множество Cont(«) векторов
содержания длины п. По определению
a = (at an)€Cor\t(n)c%\
если а удовлетворяет следующим условиям:
(l)fli=0,
B) {aq - 1, aq + 1} n {a\t ..., aq-\) Ф 0 для всех q > 1 (т.е. если
aq > О, то щ = aq - 1 при некотором i <qt а если a^ < 0, то at = aq + \
при некотором / < q),
C) если ap = aq = a для некоторого p <q,ro
{a- 1, a + l}c{ap+i, ..., a^i}
(т.е. между двумя вхождениями чисел а в вектор должны входить также
числа а — 1 и a + 1).
Понятно, что
Cont(n)cZn.
Теорема 5.1.
Spec(/i) С Cont(rt).
Нам потребуется следующая
Лемма 5.2. Пусть
а = (аь .... ая)
ы а, = а,-+2 = fl*+i - 1 ^^^ некоторого i. Тогда
а ^ Spec(rt).
Доказательство. Пусть a € Spec(n). В силу пункта 2)
предложения 4.1,
SiVa = Va, s/+1ya = -ua,
т. е. SiSi+iSiVa = -У«» а s«+iS|Si+i0a = fe.что противоречит коксетеровским
соотношениям
S,-Si+l$,-=$,-+lS,-S/+i. ?
Доказательство теоремы. Пусть a = (ai, .... a„) € Spec(n).
Так как Х\ = 0, то ai = 0.
Проверим выполнение условий B) и C) из определения вектора
содержания индукцией по л. Случай п=2 очевиден. Пустьтеперь{ая-1, а„+1}П
П {а.\, ..., ал-|} = 0- Тогда транспозиция элементов ап~\ и а„ является
допустимой, и
(fli a„_2, л„, an_i)eSpec(n).
300 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Следовательно, (аь ..., а„_2> ап) ? Spec(n - 1) и, очевидно,
{ап - 1, ап + \}П{а{ а„_2} = 0,
что противоречит индуктивному предположению. Это доказывает
выполнение условия B).
Пусть ар = ап = а для некоторого р < п, и пусть
а - 1 ?{ар+и ..-, fln-i}-
Мы можем предположить, что р выбрано максимальным, т.е. что между
ар и ап число а уже не встречается:
a<?{ap+i fl„-i}.
Тогда, в силу индуктивного предположения, число а + 1 встречается в
множестве {ар+1, ..., art_|} не более одного раза. Действительно, если бы
оно встречалось хотя бы два раза, то по индукционному предположению
встретилось бы и число а. Таким образом, существует две возможности:
или
(ар, ..., а„) = (а, *,..., *, а),
или
(ар а„) = (а, * *, а + 1, *,...,*, а),
где * * означает последовательность чисел, отличных от а — 1, а,
а+ 2.
В первом случае, применяя п - р - \ допустимую транспозицию, мы
получим
a~a' = (— a, a, .. .)>
что противоречит пункту 1) предложения 4.1.
Во втором случае те же рассуждения приводят нас к соотношению
a~a' = (..., a, а + 1, a, ...),
что противоречит лемме 5.2. ?
Нам понадобится еще одно отношение эквивалентности. Будем писать
a^p, а, рбС",
если р является перестановкой элементов а. Теперь мы готовы к появлению
диаграмм и таблиц Юнга. А именно, мы видим, что векторы из Cont(rt) есть
векторы содержаний таблиц Юнга.
Напомним определения11. Обозначим через Y граф Юнга.
По определению, вершинами графа У являются диаграммы Юнга, и две
вершины v и т) соединены ориентированным ребром, если v С г) и косая
!1Тем, кто уже прочел книгу Фултона, в этом напоминании нет нужды.
§5. Основные теоремы
301
Рис. I. Граф Юнга
диаграмма t]/v состоит из одной клетки. В этом случае мы будем писать
v / г). Для любой клетки ? € г) можно определить число
c(D) = ^-координата клетки ? — //-координата клетки ?,
(см. рис. 2) называемое содержанием^ клетки П.
4 3 2 1 0-1 -2-3 -4 -5
Рис. 2. Содержания клеток
Обозначим через Tab(v) множество путей в графе Y из 0 в v; такие пути
называются стандартными таблицами или таблицами Юнга. Удобный
способ представить путь Т е Tab(v)
0 = vo / . •. / v„ = v
заключается в том, чтобы записать числа 1, ..., п в соответствующие
клетки vi/vo, ..., v„/v rt_i диаграммы vn. Обозначим
ТаЬ(л) = [J Tab(v).
V =п
'^Термин «содержание» введен Р.Стенли; само понятие использовалось еще в ранних
работах Литтлвуда и Ричардсона.
302 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Следующее предложение может быть легко проверено.
Предложение 5.3. Пусть
r = v0/,.../V|feTab(n).
Отображение
Т^ (c(v,/v0), .... c(v„/vrt_i))
является биекцией множества таблиц ТаЬ(я) на множество
векторов содержаний Cont(n), определенных в начале этого параграфа.
При этом а^р, а, р G Cont(n), в том и только в том случае, если
пути имеют общий конец, т. е. если они являются таблицами на
одной и той же диаграмме.
Доказательство. Векторы содержаний клеток любой
стандартной таблицы Юнга, очевидно, удовлетворяют условиям A), B), C)
определения, и эти условия однозначно определяют таблицу как
последовательность клеток диаграммы Юнга. ?
В терминах таблиц Юнга допустимые транспозиции — это
транспозиции, переставляющие числа, находящиеся в различных строках и
различных столбцах.
Лемма 5.4. Любые две таблицы Юнга Tit Т? G Tab(v) на
диаграмме v могут быть получены одна из другой при помощи
последовательности допустимых транспозиций. Другими словами, если а, р G
е Cont(rt) и а и р, то р может быть получено из а при помощи
допустимых транспозиций.
Доказательство. Мы покажем, что при помощи допустимых
транспозиций можно получить из любой таблицы Юнга Т € Tab(v), v =
= (vi v/r), следующую таблицу Р с той же диаграммой (и
горизонтальной монотонной нумерацией):
1
V, + 1
2
п - V* + I
п
V| + v->
V|
отвечающую вектору содержаний
а(П = @, 1,2, — vi — I, —I. 0. ...,V2-2, -2, -1,...)
множества Cont(tf). Для этого рассмотрим последнюю клетку последней
строки диаграммы v. Пусть в этой клетке таблицы Т написано число /.
Переставим числа / и / + 1, затем / + 1 и / + 2 и, наконец, п - 1
и п. Понятно, что все эти транспозиции являются допустимыми и что мы
получим таблицу, у которой в этой клетке стоит число п. Повторим всю
процедуру с числами п - 1, п — 2, ... D
§5. Основные теоремы
303
Следствие 5.5. Если a G Spec(tf) и а.« р, C € Cont(rt), mo 3 € Spec(/?)
и а ~р.
Замечание 5.6. Наша цепочка транспозиций в доказательстве
леммы 5.4, связывающая таблицы Т и Г\ является минимальной в следующем
смысле. Обозначим через s подстановку, переводящую таблицу Т в Р\
т.е. сопоставляющую числу, стоящему в данной клетке, число, стоящее
в той же клетке таблицы Г\ Пусть l{s) — число инверсий в
подстановке s, т.е.
/E) = #{(/, У) € {1 л>2: I < /, 5(i) > s(/)}.
Общеизвестно, что подстановка s может быть записана как произведение
l(s) транспозиций s, и не может быть записана в виде более короткого
произведения1*. Несложно проверить, что наша цепочка состоит в точности
из l(s) допустимых транспозиций. Иначе говоря, множество Cont(rt)
является «вполне геодезическим» подмножеством Z" для действия группы S„,
т.е. Cont(rt) содержит с каждыми двумя векторами цепочку векторов,
реализующую минимальный путь между ними в смысле словесной метрики
относительно коксетеровских образующих.
В доказательстве леммы 5.4 использовалось то обстоятельство, что
только коксетеровскими транспозициями можно преобразовать любую
таблицу с данной диаграммой в любую другую таблицу с той же
диаграммой— это и гарантировало, что векторы базиса Юнга с одной диаграммой
лежат в одном представлении. Таким образом, с каждым неприводимым
представлением связана структура графа, вершины которого — векторы
базиса Юнга, а ребра помечаются образующими Коксетера и соединяют
пары векторов, которые могут быть переведены друг в друга
соответствующей образующей. Эти графы обобщают граф (порядок) Брюа на самой
группе Sn.
Замечание 5.7. В работах первого автора [Вер81] были определены
;ак называемые адические преобразования на пространстве путей
градуированных графов. В частности — преобразование (автоморфизм) Юн-
га в пространстве бесконечных таблиц (т.е. путей в графе) Юнга. Это
преобразование переводит таблицу в следующую таблицу в смысле
лексикографического порядка на таблицах с данной диаграммой. Поэтому
любые две конечные таблицы с одной и той же диаграммой лежат на
одной траектории автоморфизма Юнга. Отрезок траекторий, проходящий
по таблицам с данной диаграммой, начинается с таблицы, помещенной
на рисунке выше других (последовательная нумерация по горизонтали),
а кончается таблицей, в которой последовательная нумерация идет по
вертикали. Но эти траектории, разумеется, не являются геодезическими, как
"Просто потому, что l(Sjg) = 1(g) ± 1 для всех / и g € Sn.
304 Новый подход к теории представлений симметрических групп
цепочка преобразований, определенных выше, которая составляет лишь
часть траектории.
Напомним, что граф Юнга Y — это бесконечный N-градуированный
граф диаграмм Юнга с очевидной градуировкой и множеством ребер. Граф,
состоящий из первых п этажей, обозначим через ?,,.
Мы переходим к доказательству центральной теоремы этой работы.
Теорема 5.8. Граф Юнга Y является графом ветвления
симметрических групп, спектр алгебры Гельфанда—Цетлина GZ(n)
совпадает с пространством путей в конечном графе Y„, т.е.
пространство таблиц Юнга с п клетками, при этом Spec(n) — Cont(rt),
где Spec(rz) — спектр алгебры GZ(n) относительно У-образующих
Х\, ..., Хп, a Coni(n) —множество векторов содержаний;
соответствующие отношения эквивалентности ~ и « совпадают.
Доказательство. Как мы видели, множество классов Cont(n)/^
есть множество классов таблиц, имеющих общую диаграмму. Поэтому
#{Cont(/i)/«} = p(rt),
где р(п) — число разбиений числа г?, т.е. число диаграмм с п клетками.
В силу следствия 5.5 каждый класс эквивалентности в Cont(rt)/« или
не содержит элементов множества Spec(n) или является подмножеством
какого-либо класса в Spec(rt)/~. Но
#{Spec(n)/4 = #{S?} = p(/0.
так как число неприводимых представлений равно числу классов
сопряженности, которое снова есть число разбиений числа п (как число
циклических типов подстановок). Следовательно, каждый класс множества
Cont(rt)/^ совпадают с каким-либо из классов множества Spec(rt)/~.
Иначе говоря,
Spec(rt) = Cont(rt)
и отношения эквивалентности ~ и % совпадают. Отсюда, очевидно,
следует, что граф Y является графом ветвления цепочки симметрических
групп. ?
Таким образом, основная теорема доказана. Но приведенный анализ
дает гораздо больше, чем доказательство теоремы ветвления. В
следующих параграфах мы получим на его основе явную модель представлений
(ортогональную форму Юнга) и наметим вывод формулы для характеров.
Замечание 5.9. В принятых изложениях теории представлений
симметрических групп соответствие «диаграммы» <-> «неприводимые
представления» отличается от рассмотренного выше. Именно, сначала по
таблице Юнга с данной диаграммой и соответствующим подгруппам Юнга
строятся представления, индуцированные с единичного и знакопеременного.
§6. Формулы Юнга
305
Затем модуль Шпехта определяется как пересечение двух таких
представлений (см. [JK81 ]) или задается как подпредставление индуцированного
представления путем специального выбора образующих (см. §7.2 и §7.4
книги Фултона). В нашем случае модуль Шпехта получается
непосредственно, минуя индуцированные представления.
§6. Формулы Юнга
До этого момента векторы vr из базиса Юнга рассматривались с
точностью до скалярных сомножителей. В этом параграфе мы зададим выбор
этих сомножителей.
Начнем с таблицы Тх, определенной в доказательстве леммы 5.4
(см. рисунок к этой лемме). Выберем какой-нибудь вектор vT\y отвечающий
этой таблице.
Теперь рассмотрим некоторую таблицу Т € ТаЬ(Х) и положим
/G-) = /(s),
где s —подстановка, переводящая таблицу 7х в Т. Напомним, что Pj
обозначает ортогональную проекцию на Vj (см. § 1). Положим
VT = Pj • S ¦ VTx. F.1)
В силу леммы 5.4 подстановка s может быть записана как произведение
1(Т) допустимых транспозиций. Таким образом, из F.1) и D.2) мы
получаем
s-vn =Ут-4- ]Г yRvRy F.2)
/?€ТаЬ(Х)
KRXUT)
где у/? — некоторые рациональные числа. В частности, пусть Т1 = s,T и
1(Т')>1(Т).
Пусть
<*{Т) = (а{ an)eConi(n)
— последовательность содержаний клеток таблицы Т. Тогда из D.2), F.1)
и F.2) следует, что
Si ¦ Vr — Vf -\ Vt. F.3)
Я/ + 1 -0.1
20* Таблицы Юнга
306 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Наконец, опять в силу D.2),
Si • vT> = A - -s)vr - — vr. F.4)
Это доказывает следующее
Предложение 6,1. Существует базис {vj} представления Vх,
в котором коксетеровские образующие s,- действуют по
формулам F.3), F.4). Все неприводимые представления группы Sn
определены над полем Q.
Другой способ доказательства этого предложения — непосредственная
проверка того, что эти формулы задают представления группы Sn (т. е.
проверка коксетеровских соотношений).
Базис, использованный выше, дает полу нормальную форму Юнга
представления Vх. Если мы ортогонализуем все векторы i/ь то получим
ортогональную форму Юнга представления Vх. Эта форма определена
уже над R. Обозначим нормализованные векторы тем же символом Vf.
Тогда транспозиции 5,- действуют в двумерном пространстве, натянутом на
векторы vt и vj' посредством ортогональной матрицы. Таким образом,
F.5)
\V * — /""* — f " /
где
r = tt,-+i -a,-.
Это число часто называется осевым расстоянием, см. [JK81], а
также [Ver90]. Если записывать действие коксетеровских образующих s,- в
базисе стандартных таблиц, то оно выглядит так:
• Если / и / + 1 стоят в одной строке, то 5/ оставляет такую таблицу Т
неизменной.
• Если /' и / + 1 стоят в одном столбце, то 5/ умножает таблицу Т
на -1.
• Если / и / 4- 1 стоят в разных строках и столбцах, то в двумерном
пространстве, натянутом на эту таблицу и таблицу (также стандартную),
в которой элементы i и / + 1 поменяны местами, s-t действует по
формуле F.5).
Предложение 6.2. Существует ортогональный базис {vr}
представления Vх в котором образующие s,- действуют по
формулам F.5).
Замечание 6.3. Так как вес ol(Tx) вектора vT\ является
максимальным весом представления Vх при лексикографическом упорядочении, мы
можем назвать вес &(ТХ) старшим весом представления Vх и вектор
vT\—старшим вектором представления Vх.
§7. Комментарии и следствия
307
§7. Комментарии и следствия
Предыдущие параграфы содержали построение первой части теории
представлений симметрических групп — описание неприводимых
представлений, ветвление представлений, выражение для коксетеровских
транспозиций в представлениях. В частности, была вскрыта внутренняя связь
между комбинаторикой диаграмм и таблиц Юнга, графа Юнга с одной
стороны и теорией представлений симметрических групп с другой.
Дальнейший план, включающий связь с симметрическими
функциями (характеристическое отображение), формулы для характеров, теорию
индуцированных представлений, правило Литтлвуда—Ричардсона, связь
с теорией представлений групп GL(n) и алгебр Гекке, с асимптотической
теорией, может быть также реализован с помощью тех же идей, основная
из которых — индуктивный подход к серии групп Sn.
Из всего этого мы наметим в следующем параграфе лишь вывод
формул Мурнагана—Накаямы, оставляя дальнейшее до другого случая.
В этом параграфе мы приведем несколько простых следствий из
результатов, полученных в §§ 1—6. В первую очередь, извлечем следствия
из теоремы ветвления, утверждающей, что ветвление неприводимых
представлений групп Sn описывается графом Юнга.
Следствие 7.1. Кратность вхождения неприводимого
представления к^ группы Sn в представление тс* группы Sn+k равна числу
путей между диаграммами X и [i (X Ь п + fc, yt Ь п)\ в частности, если
\i<?\ то она равна 0. А в общем случае она не превышает k\ и эта
оценка достигается.
Доказательство. Нуждается в доказательстве лишь последнее
утверждение. Число таблиц в косой диаграмме \/\i не больше числа
различных способов добавить к диаграмме \х последовательно новые k клеток.
Если эти k клеток можно поставить в различные строки и столбцы, то
число этих способов равно k\. ?
В частности, если k = 2, то имеется только три различных случая:
1) кратность вхождения \х в X равна 0, и вершины \х и X не соединены
в графе ветвления;
2) кратность вхождения равна 1, и интервал, соединяющий (i и X, — это
цепь
[х- V — X;
3) кратность вхождения равна 2, и интервал между [х и X — это ромб
308 Новый подход к теории представлений симметрических групп
В случае цепочки, очевидно, транспозиция s/+i действует на все
векторы вида
иг, 7, = .../>/,v/,X/...
умножением на число (которое равно ±1, так как sf+[ = 1). Действие
транспозиции s/+i в случае ромба было рассмотрено в предыдущем
параграфе.
Заметим, что граф Юнга является так называемой диаграммой Хассе
дистрибутивной решетки конечных идеалов решетки Z+ ф Z+, поэтому
интервалы в графе Юнга имеют стандартное описание, а интервал
общего вида есть булева алгебра. Априори этот важный факт совершенно
не очевиден, но в конечном итоге он оказался следствием коксетеровских
соотношений. Но если взять его в качестве предположения, то теория
ветвления может быть также выведена, см. [Ver92].
Следующий важный вывод — абстрактное описание образующих
Юнга, основанное на полученных результатах.
Определим отображение
с помощью следующей операции отбрасывания последнего символа:
М--.*.- ..)(••¦)•••(-..)) = (.. .,*¦ ..)(..-)¦. ¦(...).
где в скобках стоит разложение подстановки g € Srt на циклы и под
действием рп все циклы, кроме первого, содержащего л, остаются
неизменными, а в первом символ п удаляется.
Очевидные свойства рп таковы:
1) рп(\п) = 1я-ь где I* — единица в S*;
2) Pn\sn.x = ids„_, (Sn-\ cSn)\
3) Pn(g\hg2) = g\Pn(h)g2, g\, g2€Sn-[,h€Sn.
Заметим, что условия 1) и 2) следуют из 3). Действительно, из 3)
получаем
Pn(gl) = gPn(\) = Pn(\g) = Pn(\)g
при всех g € S„_i, следовательно, /МО = 1- Но тогда pn(g) = g ДЛЯ g е
Через рп обозначим продолжение по линейности отображения рп на
групповую алгебру C[S„]:
pn:C[Sn]^C[Sn-i}.
Таким образом, рп есть проекция C[Sn] на подалгебру C[S„_i]; назовем ее
виртуальной проекцией. Отображение рп: Sn -+ Srt-\,удовлетворяющее
§7. Комментарии и следствия 309
условиям 1)—3), единственно при п > 4. Легко видеть, что наличие
проекции рп означает существование двусторонне Sn-\ -инвариантного
разбиения группы Sn на (п — 1)! л-элементных множеств. Такое свойство пары
групп (G, Н) выполняется нечасто, однако существует обобщение этой
конструкции на полупростые алгебры (в частности, на групповые алгебры)
в самом общем случае.
Предложение 7.2.
р^({с\})М(п- 1, 1) = {аХп + Ы), А.й.сеС.
Иначе говоря, прообраз скаляров пересекается с централизатором
подалгебры C[S„_i] в алгебре C[Sn] по двумерному
подпространству, натянутому на единицу и элемент Юнга Хп. В частности, Хп
определяется однозначно с точностью до скалярного множителя,
как элемент пересечения
р-'({с\))ГМ(п~\, 1),
ортогональный константам.
Доказательство. Если рп( Yl cgg\ = cl, то элемент А =
Vg€S„-i / п
= Yl cgg должен иметь вид линейной комбинации А = J2 М'* п)- Та-
кой элемент коммутирует с Srt_i тогда и только тогда, когда
Ь\ = ... = &„_| -а, Ьп -Ь,
т.е.
А=аХ„ + Ы. ?
Виртуальная проекция рп позволяет определить обратный спектр
(проективный предел) групп S„ как 5„_1-бимодулей
lim(S„, рп) = Soo;
этот предел уже не является группой, но на нем определено левое и
правое действие группы S^ финитных подстановок, поскольку проекция рп
коммутирует с левым и правым действиями Sn-\. Этот объект Soo назван
в [KOV93J пространством виртуальных подстановок и изучается в [KOV]
(см. также [Ver04]). Имеется обобщение этой конструкции на другие
индуктивные цепочки групп и алгебр.
В заключение отметим, что теорема о централизаторе легко
обобщается на централизатор Z(n + k, k) подалгебры C[Sn] в алгебре C[S„+*].
310 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Теорема 7.3 [Ол87]. Централизатор
Z{n + kyk) = Z(C[SnlC[Sn+k\)
порожден центром Z(n) подалгебры C[Sn] С C[S„+*], группой Srt,
переставляющей элементы л + 1, ..., я 4- /г, и Y-элементами Хп+\у ...
¦ • ¦ » Xn+k'
Основной случай k — 1 доказан в §2. Общий случай может быть
доказан тем же методом.
Заметим, что указанный способ доказательства отличен от метода,
приведенного в [В096] и в [Ол87], [Ол89], и проще него, а именно,
полезным является предварительное рассмотрение подалгебры (Z(n), Хп+\у ...
..., Хя+*), как в §2.
Замечание 7.4. Формулы, задающие действие симметрической группы
в представлениях, ассоциированных с косыми диаграммами Юнга (т.е. с
диаграммами, равными разности двух диаграмм, одна из которых содержит
другую), аналогичны формулам из §6. Действительно, пусть X — разбиение
числа / + k, a yt — разбиение числа /, и [i с X. Через Vx^ обозначим
Z(n + k, &)-модуль
Vx/» = HomSl(V*lt Vх).
Понятно, что этот модуль имеет ортонормированный базис Юнга,
индексируемый всеми таблицами Юнга на косой диаграмме X/ji (аналогичный
базису представления, ассоциированного с обычной диаграммой Юнга).
Образующие
Xi+j, i = 1, ..., ky
алгебры Z(n + k, k) действуют в этом базисе посредством умножения на
содержание /-й клетки, а коксетеровские образующие подгруппы S* С
С Z(n + k, k) действуют по формулам F.5).
Теорема 7.3 используется при доказательстве формулы для характеров
в следующем параграфе.
§8. Характеры симметрических групп
В этом параграфе мы даем набросок доказательства правила Мур-
нагана—Накаямы для характеров симметрической группы. В отличие от
предыдущих параграфов, мы не напоминаем определений некоторых
известных понятий. Ключевую роль играет предложение 8.3, опирающееся
на теорему 7.3.
Напомним, что диаграмма Юнга у называется крюком, если у имеет
вид (а + 1, \ь), а, Ь G Z+. Число b называется высотой крюка. Назовем
косую диаграмму Х/\х косым крюком, если она связна и никакие две клетки
§8, Характеры симметрических групп 311
в ней не лежат на одной диагонали. Иными словами, \/\х есть косой крюк
если содержания всех клеток из X/\i образуют отрезок (мощности \k/[i\)
множества Z. Число строк, занимаемых косым крюком Х/ц, уменьшенное
на единицу, будем называть высотой косого крюка и обозначать через
(X/[i). Положим k = \к/\х\. Пусть Vx^ — представление группы S*
отвечающее косой диаграмме X/jj, а хх^ — соответствующий характер. Мы хотим
доказать следующую хорошо известную теорему
Теорема 8.1.
(-1)*х , если Х/ц — косой крюк,
ХХЛЧA2...?)) = <{
(8.1)
О в противном случае.
Пусть теперь р есть разбиение числа k. Рассмотрим следующую
подстановку из класса сопряженных элементов, отвечающего р:
A2...p1)(pi + l...pI+p2)(...)...
Ясно, что последовательно применяя теорему к действию этой подстановки
в базисе Юнга, мы получаем следующее классическое правило
Теорема (правило Мурнагана—Накаямы). Пусть р — разбиение
числа k. Значение xl характера хх^ «я подстановке с длинами
циклов р равно
5
где сумма берется по всем последовательностям S
[х = Хо С Xi С Хг С ... = X,
для которых X;/X;_i есть косой крюк из р,- клеток, и
Хорошо известно и просто доказывается (см., например, [Мас95], гл. 1,
упражнение 3.11), что это правило эквивалентно всем остальным
определениям характеров, таким как, например, соотношение между
симметрическими функциями [Мас95]
или детерминантная формула [Мас95], [JK81]. Заметим, что теорема,
которую мы хотим доказать, есть, очевидно, частный случай правила
Мурнагана—Накаямы.
Такое же доказательство следующего предложения было дано в
работе [DG89].
312 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Предложение 8.2. Формула (8.1) справедлива при \х = 0.
Доказательство. Легко проверить (например, по индукции), что
^2^з ••¦Х(г = сумма всех циклов длины k в S*. (8.2)
Значение (8.2) на любом векторе из базиса Юнга для Vх равно
(-!)*&!(*-&- 1)!,
если X — крюк высоты Ь, и равно нулю во всех остальных случаях. Легко
видеть, что в группе S* имеется ровно (k - 1)! одноцикловых подстановок
и что
dimx=(V)-
если X — крюк высоты Ь. Вычисляя след (8.2), получаем утверждение
предложения. ?
Предложение 8.3. Для любого вектора v из базиса Юнга для Vx^
C[Sft]*y = VXAl.
Доказательство. Пространство Vx^ является неприводимым
модулем над вырожденной аффинной алгеброй Гекке H(k). А так как v —
собственный вектор всех операторов Xjf то, как следует из коммутационных
соотношений в H(k), пространство
C[Sk] ¦ v
инвариантно под действием H(k). Поэтому оно совпадает с VX/4 ?
Предложение 8.4. Если диаграмма \/\i несвязна, то
Хх/М(A2...*)) = 0.
Доказательство. Пусть Х/у. = vi U V2, где V|,V2 суть две
косые диаграммы Юнга, не граничащие ни по какому ребру. Пусть |vi| = а,
|v2| = b. Рассмотрим в Vx^ подпространство, натянутое на такие
таблицы формы Х/^а, что числа 1, 2, ..., а стоят в диаграмме vb а числа
а + 1, ..., k — в диаграмме V2. Очевидно, что таких таблиц ровно столько,
сколько существует пар таблиц форм V| и V2 соответственно.
Рассмотрим действие подгруппы SQ х Sb группы S* на наше подпространство. Из
формул Юнга следует, что оно как Sa х Sb -модуль изоморфно
VV1 ® KV2.
В силу предложения 8.3 имеем эпиморфизм
lndskaxsb v ® v*2 - yX/li- (8.3)
Размерности правой и левой частей (8.3) равны
( J dimvi dimv2-
§8. Характеры симметрических групп
313
Поэтому (8.3) — изоморфизм.
В естественном базисе в индуцированном представлении матрица
оператора, отвечающего подстановке A2... &), имеет на диагонали одни нули
(как и для любой другой подстановки, не сопряженной никакому элементу
Sa х Sfc). Это доказывает предложение. ?
Предложение 8.5. Если в диаграмме Х/ц две клетки лежат на
одной диагонали, то
Xx/"(A2...ft)) = 0.
Доказательство. Предположим, что такие две клетки есть. Тогда
существует такая диаграмма г), что
[х С rjCX
и т)/ц есть квадрат 2x2
Г)/Н = И.
Тогда Vх/*1 содержит 54-подмодуль Vm. По предложению 8.3 имеем
эпиморфизм
Indf* V® —> Vx/*. (8.4)
По правилу ветвления (и двойственности Фробениуса) в левую часть (8.4)
входят только такие неприводимые S^-модули V5, для которых ЕВ С 5.
В частности, S никогда не может быть крюком, и, значит, всегда
Х5(A2...?)) = 0,
в силу предложения 8.2. Это доказывает предложение. ?
Фактически мы доказали, что в условиях предложения 8.5
Hom5,(VY, Ух/П = 0
для любой крюковой диаграммы у.
Предложение 8.6. Пусть Х/ц есть косой крюк. Тогда для любого
крюка у = (а + 1, \ь)
10 в противном случае.
Доказательство. Поскольку параллельные переносы косой
диаграммы, очевидно, сохраняют соответствующий Sft-модуль, мы можем
считать, что X и jj выбраны минимальными, т. е.
Xi >[jb X', >\i\.
Покажем, что если Ь < (X/^i), то
Hom5A(l/\ Кх^) = 0.
314 Новый подход к теории представлений симметрических групп
Действительно, модуль Vr содержит вектор, инвариантный относительно
подгруппы 5^-./,, а так как такого вектора при нашем предположении нет
даже в Vх (это следует из правила ветвления), то его нет и в Vх/*4. Случай
b > (X/jj) аналогичен.
Пусть теперь b = (ХДа). Рассмотрим пространство
UomSk(V\ Vх)-
Как легко видеть, например, из следующего рисунка (и формул Юнга)
И
и
г*
это пространство есть неприводимый 5^-модуль Vм. Поэтому, очевидно,
и, значит,
HomSA(V\ VX^) = C. D
Теорема 8.1 очевидным образом вытекает из доказанных предложений.
Литература
[Вей47] В е й л ь Г. Классические группы. Их инварианты и
представления. М.: ИЛ, 1947.
[Вер81] В ершик A.M. Равномерная алгебраическая аппроксимация
оператора сдвига и операторы умножения /^ Доклады АН СССР
259:3 A981). С. 526—529.
[ВК85] Верш и к А. М., Керов С. В. Локально полупростые
алгебры. Комбинаторная теория и йо-функтор // Соврем, пробл. мат.
Новейш. достиж. 26 A985). С. 3—56.
[В096] В ерш и к A.M., Окуньков А. Ю. Индуктивный способ
изложения теории представлений симметрический групп // Успехи
мат. наук 51:2 A996). С. 153—154.
[ГЦ50а] Гел ьфа нд И. Мм Цетл и н М. Л. Конечномерные
представления группы унимодулярных матриц/^ Доклады АН СССР
71:5A950). С. 825—828.
[ГЦ50Ь] Гел ьфа нд И. М., Цетлин М.Л. Конечномерные
представления группы ортогональных матриц /'Доклады АН СССР
71:6A950). С. 1017—1020.
Литература
315
[Г50] Гельфанд И. М. Сферические функции на симметрических
пространствах //Доклады АН СССР 70:1 A950). С. 5—8.
[Молбб] Молчанов В.Ф. О матричных элементах неприводимых
представлений симметрической группы // Вестник Моск. унив.
1 A966). С. 52—57.
[Оку94] Окуньков А.Ю. Теорема Тома и представления бесконечной
симметрической группы // Функц. анал. и прилож. 28:2 A994).
С. 31—40.
[Оку96] Окуньков А.Ю. О представлениях бесконечной
симметрической группы // Зап. науч. сем. ПОМИ 240 A996).
С. 166—228.
[Ол87] Ольшанский Г. И. Расширение алгебры и($) для
бесконечномерных классических алгебр Ли g и янгианы у(&1(т)) //
Доклады АН СССР 297:5 A987). С. 1050—1054.
[Ол89] Ольшанский Г. И. Унитарные представления (G,/()-пар,
связанных с бесконечной симметрической группой 5(оо) //
Алгебра и анализ 1:4 A989). С. 178—209.
[Пуш97] Пушкарев И. А. К теории представлений сплетений
конечных групп с симметрическими группами. Зап. науч. сем. ПОМИ
240 A997). С. 229—244.
[Чер86] Чередник И. В. О специальных базисах неприводимых
представлений вырожденной аффинной алгебры Гекке // Функц.
анал. и прилож. 20:1 A986). С. 87—88.
[Che91] Cherednik I. A unification of Knizhnik—Zamolodchikov and
Dunkl operators via affine Hecke algebras // Invent. Math. 106:2
A991). P. 411—431.
[DG89] Diaconis P., Greene С . Applications of Murphy's elements.
Stanford University Technical Report 335, 1989.
[Dri86] D r i n f e 1 d V. Degeneratred affine Hecke algebras and yangians //
Func. Anal. Appl. 20 A986). P. 56—58.
[Jam78] James G. D. The representation theory of the symmetric group.
Lecture Notes in Math. 682, Springer-Verlag, 1978. [Имеется
перевод: Джеймс Г. Теория представлений симметрических
групп. М.: Мир, 1982.]
[JK81] James G., Kerber A. The representation theory of the
symmetric group. Encyclopedia of mathematics and its
applications, 16. Addison-Wesley, 1981.
[Juc74] J u с у s A. Symmetric polynomials and the center of the
symmetric group ring // Reports Math. Phys. 5 A974).
P. 107—112.
316 Новый подход к теории представлений симметрических групп
[KOV] Kerov S., Olshanski G., Vershik A. Harmonic analysis
on the infinite symmetric group. Invent. Math. 158:3 B004).
R 551—642.
[KOV93] Kerov S., Olshanski G., Vershik A. Harmonic analysis
on the infinite symmetric group. A deformation of the regular
representation // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 316:8 A993).
P. 773—778.
[Lus89] Lusztig G. Affine Hecke algebras and their graded version. J.
Amer. Math. Soc. 2:3 A989). P. 599—635.
[Mac95] Macdonald I.G. Symmetric functions and Hall polynomials,
2nd Edition. Oxford Mathematical Monographs, Oxford University
Press, 1995. [Имеется перевод первого издания: М а к д о -
нальд И. Симметрические функции и многочлены Холла.
М.:Мир, 1985.]
[Mur81] Murphy G. A new construction of Young's seminormal
representation of the symmetric group // J. Algebra 69 A981).
P. 287—291.
[Naz92] Nazarov M. L. Projective representations of the infinite
symmetric group // Representation theory and dynamical systems.
Adv. Soviet. Math 9 (ed. A. Vershik). AMS, Providence, RI, 1992.
[Naz96] Nazarov M. Young's orthogonal form for Brauer's centralizer
algebra //J. Algebra 182:3 A996). P. 664—693.
[Oko96] Okounkov A. Young basis, Wick formula, and higher Capelli
identities. Int. Math. Res. Not. 17 A996). P. 817—839.
[OV96] Okounkov A., Vershik A. A new approach to
representation theory of symmetric groups // Selecta Math. New Series 2:4
A996). P. 581-605.
[Ram97] Ram A. Seminormal representations of Weyl groups and
Iwahori—Hecke algebras // Proc. London Math. Soc. C) 75
A997). P. 99—133.
[Rog85] Rogawski J. D. On modules over the Hecke algebra of a p-
adic group // Invent. Math. 79:3 A985). P. 443—465.
[Ver90] Vershik A. Local algebras and a new version of Young's
orthogonal form // Topics of Algebra, Banach center publications
26:2, 1990.
[Ver9I] Vershik A. Local stationary algebras // Amer. Math. Soc.
Transl. B) 148A991). P. 1 — 13.
[Ver92] Vershik A. Asymptotic aspects of the representation theory of
symmetric groups // Sel. Math. Sov. 11:2 A992). P. 159—180.
[Расширенный перевод послесловия к русскому переводу
книги [Jam78].]
Литература
317
[Ver03] Asymptotic combinatorics with applications to mathematical
physics (ed. A. Vershik). Lect. Notes in Math. 1815, Springer-
Verlag, 2003.
[Ver04] Vershik A. Gelfand—Tsetlin algebras, expectations, inverse
limits, Fourier analysis // The Unity of Mathematics: In Honour
of the Ninetieth Birthday of I.M.Gelfand. Birkhauser, 2004.
[You02] Young A. On quantitative substitutional analysis II // Proc.
London Math. Soc. 34 A902). P. 361—397.
Указатель обозначений
X. (Х| Х„), W^...^),Xh|X|
разбиение, диаграмма Юнга 16
X сопряженное разбиение,
диаграмма 17
Тх транспонирование 17, 208
S\(x\, ..., л'ш) многочлен Шура
18,40,66,88, 197
хт одночлен, соответствующий
таблице Т 18
ИП(Х\, . . . , Хщ) полный
симметрический многочлен 18, 85
еп(х\, ..., хт) элементарный
симметрический многочлен 19, 85
ц С X упорядочение по включению
19, 42
Х/\х косая диаграмма 19, 28
М = {1 /л) 19
Т <—х строчная вставка 23
Т ¦ U произведение таблиц 27, 31, 39
Rect(S) выпрямление 31
Т * U косая таблица, построенная
по таблицам 7\ U 31
и;G") = wnv(T) строчное слово 33
и ^ v упорядочение слов 34
{К'), (К") элементарное
преобразование Кнута 35
w = w' эквивалентность по Кнуту 35
P(w) таблица, отвечающая слову,
эквивалентному по Кнуту w 38, 52
R\m\ табличное кольцо 39—40, 76
Sx = Sx[/nl в#и 40,76
/Схм числа Костки
41,67,84.88,91, 136, 224
[i ^ X лексикографический порядок
42
[1 < X порядок доминирования 42
wcn\(T) столбцовое слово Т 43
=', =" /С'-, /("-эквивалентность
44-45
L(vl\ 1), L(w, k) длины
последовательностей в слове 46
(?(&') таблица записи
52, 71,210-214
tt\ U-2 ¦¦¦ Иг'
V] V-2 ... Vr.
двухстрочныи
массив
) ^ (./) лексикографический
54
порядок 55
(Р, Q) = (P(w), Q(w)) = (Р(А), Q(A))
пара таблиц,
RSK-соответствующих некоторой
матрице (массиву) 55, 57, 60
Западнее, западнее,
северо-Западнее и т.д. 58
Л(|\ Ль, А{2) матрично-ящиковая
конструкция
58-60,218-220,224-225
/х число стандартных таблиц
формы X 66—71
d\{m) число таблиц формы X
с элементами из \гп\ 66—70
X * [X косая диаграмма, построенная
по диаграммам X, \х 74
^{v/X, Uo), &(к. \i, Vo) 74, 208
(T0)s таблица, построенная по
Го и S 75
c\v число Литтлвуда—Ричардсона
76-84, 106, 136, 164, 205
5v/x =Sv/x[m] 77
U(\jl) таблица формы [х, /-я строка
которой состоит из элементов i
78, 128,205, 213
$v/x(*i. • ¦ •. xm) косой многочлен
Шура 80, 90
Указатель обозначений
319
U(w) стандартная таблица,
отвечающая слову w 81, 213
h\(x), е\(х), т\(х) симметрические
многочлены 85—86
рг(х), р\(х) степенные суммы 86
г(Х) 87, 100
Л = 0Лп кольцо симметрических
функций 91, 118, 138
5Х, Ах, ех, /лх. р\ 90
( , ) скалярное произведение на Л„
91
91, 107
91, 104
ы инволюция кольца Л 91, 107
Sn симметрическая группа 94, 97
GL(?), GLm(C) группа
автоморфизмов пространства ?,
пространства Ст 94, 119
5х модуль Шпехта
94, 101-108, 114, 116-118
?х модуль Шура (или модуль Вейля)
94, 119
1п тривиальное представление
группы Sn 94
Sym"(?) симметрическая степень
пространства 94, 121
?®" тензорная степень пространства
94, 131
v\ • ... ¦ vn симметризация
тензорного произведения 94
U„ знакопеременное представление
группы Sn 95, 108
Л"? внешняя степень пространства
95, 121
v\ Л ... Л v„ внешнее произведение
в пространстве Л"? 95
R(T) строчный стабилизатор
нумерации Т 98
С(Т) столбцовый стабилизатор
нумерации Т 98
Т' >Т упорядочение нумераций
98-99
{7"} (строчный) таблоид нумерации Т
99
А = C[S,,\ групповая алгебра
группы S„ 100
ajy Ьт, Ст симметризаторы Юнга 100
С(Х) класс сопряженности,
отвечающий разбиению X 100
Мх представление с базисом из
строчных таблоидов
100-108, ПО, 116
vt элементы представлений Мх и Sx
100-102, 117
Ind индуцированное представление
104
Rn группа Гротендика группы 5„ 104
/? = ф/?л Ю4
[V] о [W\ произведение в кольце R
104
( , ) скалярное произведение на Rn
104
Х^ характер представления V
105, 135
со инволюция кольца R 105
ср:Л^/? 105
ф:/?^Л®«2 105
[Т] столбцовый таблоид
нумерации Т 109
Мх представление с базисом из
столбцовых таблоидов 109—114
5х, vT 109, 117
a: A4x^Sx,p: Мх — 5х ПО
ч*(Т) , 112
Qx соотношения в модуле Мх 113
Т' У Т упорядочение нумераций 113
?хХ декартово произведение
пространств, индексируемое
клетками диаграммы X 120
v элемент пространства ?хХ 120
Vх элемент модуля ?х 121
?®х тензорное произведение
пространств, индексируемое
клетками диаграммы X 121
Av элемент произведения 0ЛМ'?
122
QX(E) соотношения в 0ЛМ'?
122.137
Указатель обозначений
ет базисный элемент модуля ?х 122
*[Z]=/?[Z,., Z„,m] 123
Д, ip, От определители 124
DK С R[Z] пространство Дерюи 125
M,„(R) алгебра матриц 126
О — Д" Е детерминантное
представление 127
И С G = GLW(C) диагональная
подгруппа 127
Va весовое подпространство 128, 130
В С G борелевская подгруппа
верхних треугольных матриц
128, 174, 177
SL(?) = SU(C) 129
g = g[m(C) = М„(С) алгебра Ли 129
E(M) = E®"®clSn]M
131-134, 138-139
v(U) элемент произведения ?®" 133
QX(E) соотношения в пространстве
(g>Symx'(?) 134
charfK), xv характер 135
&(m) кольцо представлений группы
GLffl(C) 137
A(m) кольцо симметрических
многочленов от переменных
х\ х,п 138
Sym*(V) симметрическая алгебра
139, 144
S*(?;rf, ds) = S9{m\dx ds)
140-141, 153, 157
Р(?) проективное пространство
прямых в пространстве Е 144
Р*(?)=Р(?*) проективное
пространство гиперплоскостей
в пространстве ? 144
[х\ : ...: х,п] точка проективного
пространства Р'" 145
FT'1 d*{E) многообразие
(частичных) флагов 145, 152—155
Gr"(?) = Grm-n(E) грассманиан
подпространств коразмерности п
145
1(Х) идеал многообразия X 146
? = ?л тривиальное расслоение
147, 161, 179
х,, [(/ плюккеровы координаты 149
(v\ vr) подпространство,
порожденное векторами v\, .... vr
151, 152, 174
Р параболическая подгруппа
158, 159
<9VA), &v(nh <?v(D, 0x(a\ as)
160
U\ С ... С Um тавтологическая
фильтрация векторных расслоений
161, 179
Lx линейное расслоение,
построенное по X 160—163
?(Х) линейное расслоение,
построенное по характеру 161
Хх характер на Р 162
Пх = Пх(?.) многообразие Шуберта
в грассманиане 164, 170, 197
а>. класс многообразия U\ 164, 166
оь класс многообразия Qk = П,й) 164
[Z] класс подмногообразия Z
165,233-234
([Z]], [Z?]) индекс пересечения
165,234
Q° клетка Шуберта в грассманиане
165
Ец подпространство, порожденное
первыми k векторами базиса 165
Ек подпространство, порожденное
последними k векторами базиса 166
Пх-а.(?.). пх° 166
Л,, Bi, Ct подпространства 166
Fl(?) = F\(m) многообразие полных
флагов 172
ZT множество неподвижных точек
группы Т в многообразии Z 172
x(w) точка многообразия F\(m) 175
Х? клетка Шуберта в многообразии
F\(m) 175
l(w) длина подстановки w 175, 176
Uv окрестность точки x(w) 176
Указатель обозначений
32
и = т(т — 1 )/2 размерность
многообразия Fl(/n) 176
D(w) диаграмма подстановки w 176
П° двойственная клетка Шуберта
176
Й' борелевская подгруппа нижних
треугольных матриц 177
Х^, Пи.- многообразия Шуберта
в многообразии Fl(w) 177, 194, 197
Wo = т т — 1 ... 2 1 элемент
группы S„, 179, 189
<ъ = [Пи.] класс Шуберта 179
Li — Uj/Uj-] линейное расслоение
179
C\(L) первый класс Черна
179, 234, 242-245
лу = -c,(L,-) 179, 200
5/ транспозиция (/, / + 1) 180, 183
/?(/л) = /Г(Н(ш)) 180
РA/) —* К проективное расслоение
180
г: Fl(m)^-FI(/n + 1) 182
?' = ?фС 182, 183
<9, разностный оператор 183
6ц. многочлен Шуберта 188—192
Soo=U5,« 191
да. разностный оператор 191
r-Ap,q) = #{i^p: w{i)<iq} 192
u ^ v порядок Брюа 192
/С (Г) левый ключ 195,229
я/*, ш* обратный алфавит, слово 202
Г* двойственная таблица 203
Д7\ Д~7\... эвакуация 203
х —> 7* столбцовая вставка 205
&,rcv обратное слово 208, 226-227
a.*,S# 212
a^S* 213
/(/) индекс 213
av/x подстановка, отвечающая косой
диаграмме 215
(R, S) соответствие Бёржа 217-220
{Я, 0} 223-227
R §} 225
JK-, .^-, /С-(П. /(+G*) ключи 229
йМП, ш+(Г) 230
HjX, Н+Х = ф HjX сингулярные
гомологии 232
Н'Х, Н*Х = ©//''* сингулярные
когомологии 232
^-, /^-произведения 232
/*, /* индуцированные
гомоморфизмы 232, 238
[V\ ¦ \W] класс пересечения 234
d(E) класс Черна 234, 242-245
Н'(Х, Y) относительные
сингулярные когомологии 235
7д| касательное расслоение
многообразия М 235
Ун класс Тома 235
HjX гомологии Бореля—Мура
236-239, 245
i)v чистый класс 240
Предметный указатель
Х-кольцо 139
(^-эквивалентность 227
(^-эквивалентность 210
/('-эквивалентность,
/("-эквивалентность 44-45, 216
LR-соответствие 75, 210, 215
LR-эквивалентность 210, 215
Алгебра Ли 129
— Хопфа 118
Алгебраическое подмножество 146
Алгоритм Шенстеда 22, 23-28
Алфавит 17
Антилексикографический порядок 218
Бирациональный морфизм 186, 233
Вектор младшего веса 158
Векторное расслоение 147, 234
Вес 41, 78, 127, 130
Весовое подпространство 128, 130
Весовой вектор 127
Вложение Веронезе 145, 154
— Плюккера 145, 148-151, 161
— Сегре 154,242
Внешний угол 24, 28
Внешняя степень 95
Внутренний угол 28
Возрастающие подпоследовательности
70
Выпрямление 31, 72, 228
Вырезание 235
Голоморфное представление 127
Гомологии Бореля—Мура 235—239,
245
Гомоморфизм Гизина 232
— степени 233
Грассманиан 145, 148
Двоичное дерево 84
Двойственная клетка Шуберта 166,
176
— таблица 203
— эквивалентность по Кнуту 210
Двойственное многообразие флагов
200
Двойственность Пуанкаре 232, 237
— Фробениуса 107
Двойственный класс 168
Двухстрочный массив 54
Детерминантное представление 127
Детерминантные формулы 88, 90, 164
Диаграмма подстановки 176
— Юнга 16
Длина крюка 68
— подстановки 175, 176
Длинная точная последовательность
235, 238
Доминирование 42
Допустимое преобразование 214
Законы выпрямления 112-117, 120,
124,256
Замена скаляров 122
Замкнутое вложение 147
Западнее, западнее, северо-Запад-
нее и т. д. 58
Заполнение диаграммы 16, 122
Знакопеременное представление 95
Игра в пятнадцать 31, 208, 215
Идеал алгебраического множества 146
Изменение формы 208—217
Изображение Зелевинского 83
Изоморфизм двойственности 171, 200
Инволюции в группе Sn 57, 62, 67
— колец Л, R 91, 105, 107, 108
Предметный указатель
323
Индекс 213
— пересечения 234
Индуцированное представление 104,
107
Исчисление Шуберта 164—171, 179—
201
Каноническая конструкция P{w) 38
Квадратичные соотношения 113—117,
137, 139-141, 149-153,256
Класс подмногообразия 239—242
— Тома 235
— Черна 179,234,242-245
— Шуберта 164, 179
Клетка Шуберта 165, 175
Ключ 195,228-230
Когомологии 232
— грассманиана 171
— многообразия флагов 179—181, 199
Кольцо Гротендика 137
— представлений группы GLm(C) 137
— таблиц 40
Конструкция Дерюи 119, 125, 141
Корневое подпространство 130
Косая диаграмма (форма) 19
— таблица 19
Литтлвуда—Ричардсона 77—81,
208.216
Косой многочлен Шура 80, 90
Крюк 67
Лексикографический порядок 42, 55,
125
Лемма о столбцовой вставке 206
— о строчной вставке 25
— Сильвестра 123
— Шура 131
Матрица подстановки 57
Матрицы из нулей и единиц 222—228
Матрично-ящиковая конструкция 57—
64,217-228
Многообразие 232
— инцидентности 151
— (частичных) флагов 145, 152—155,
159-163
Многообразие Чжоу 157
— Шуберта 164, 177, 195
Многообразие (алгебраическое) 146,
232
Многочлен Шуберта 188-192, 197,
261-262
— Шура 18, 40-43, 66, 85-92, 138,
197
Модуль Вейля 94, 119-141, 162
— Шпехта94, 101-108, 114, 117-118
, реализация 114—116
— Шура 94, 119-141, 162
Мономиальный симметрический
многочлен 85, 90
Неприводимая компонента 146
Неприводимое алгебраическое
множество 146
Нестрого левее, правее, выше, ниже 25
Нестрогое упорядочение 218
Новая клетка 25
Нумерация диаграммы 16, 97
Обмен 96, 112, 117, 120
Обратная нумерация 82
Обратное перемещение 30
— решеточное слово 77—81, 213
— слово 208, 226, 227
Обратный алфавит 202
— гомоморфизм 232
Однородное координатное кольцо 144,
146
— представление 138
Однородные координаты 145
Операция перемещения Шютценберже
28-32
Ориентация столбцового таблоида 109
Отношение доминирования 42
Отображение ограничения 238
Параболическая подгруппа 158
Перемещение 28, 206
Плактический моноид 38,204
Плюккеровы координаты 149
Подгруппа Юнга 98
Подстановка 54, 55
324
Предметный указатель
Полиномиальное представление 127,
128
Полиоднородное координатное кольцо
146, 153, 161, 195
Полный симметрический многочлен 18,
85,90
— флаг 163, 172
Полупростота 130
Порядок Брюа 192—196
Последовательность
спусков-подъемов 71, 81
Правило ветвления 107
— Литтлвуда—Ричардсона 72—84, 91,
106, 136, 198
— Юнга 106
Представление алгебры Ли 129
Принцип расщепления 244
Проективное многообразие 146
— пространство 144—145
— расслоение 180, 187, 244-245
Произведение многочленов Шура 40,
80
— таблиц 27, 31, 39
Прямой гомоморфизм 232, 237
Разбиение 16
Размерность многообразия 147
Разностные операторы 183—186, 191
Рациональное представление 127
Симметризатор Юнга 100, 118, 134
Симметрическая алгебра 139, 144
— степень 94
— функция 90-92, 138-139, 170
Скалярное произведение
представлений 104
симметрических функций 91
Слово 33, 54
— Яманучи 77
Собственное отображение 237
— пересечение 233
Соответствие Бёржа 217—220
— Робинсона 54
— Робинсона—Шенстеда 54
Соответствие Робинсона—Шенстеда—
Кнута 52-57, 72, 207, 227
Сопряженная LR-эквивалентность
215
— диаграмма 17
Сопряженное помещение 223
Состав таблицы 41, 78
Специальное многообразие Шуберта
164
Специальный класс Шуберта 164
Стандартная таблица 16
, соответствующая обратному
решеточному слову 81
Стандартное представление 95, 108
Старший вектор 128
Степенные суммы Ньютона 86, 90
Степень 233
— симметрической функции 90
Столбцовая вставка 205
Столбцовое слово 43
Столбцовый стабилизатор 98
— таблоид 109
Строго левее, правее, выше, ниже 25
Строгое упорядочение 218
Строчная вставка 23
Строчное слово 33
Строчный стабилизатор 98
Супермногочлен Шура 90
Таблица 16
— вставок 52, 71,210-214
— записи 52
— Юнга 16
Таблоид 99, 109
Тавтологический флаг 161
Тасовка 84
Теневая конструкция Вьенно 62
Теорема Бореля о неподвижной точке
173
— Гейла и Райзера 224
— Гильберта о нулях 146
— Грина 51
— двойственности 168, 178, 220, 226
— об изменении формы 210
— Робинсона—Шенстеда—Кнута 56
Предметны
й указатель
325
Теорема симметрии 56, 220, 225
— Эрдёша и Секереш 50
Теория инвариантов 155—158
, основные теоремы 155
Тип косой таблицы 41
— таблицы 78
Топология Зарисского 147
Траектория выбивания 25, 206
Трансверсальное пересечение 233
Транспонированная матрица 57
— нумерация 17, 208
Тривиальное представление 94
Убывающая последовательность 50,
70,84
Универсальный флаг 161
Унитарный трюк Вейля 131
Форма (косой) таблицы 16, 19
Формула Джамбелли 164
— Коши—Литтлвуда 66, 136
— крюков 68—69
— Литтлвуда 223
— Монка 198
— проекции 232
— Пьери 40-41, 89, 136, 164, 168-
170, 198
— Уитни 181,234,243
— Фрэйма—Робинсона—Тролла 68
Формула характеров Вейля 139
Фробениуса 107
— Шура 71
_ Якоби—Труди 88, 139, 251
Фундаментальный класс 165, 232, 233,
239
Характер 105, 135
Честная косая таблица 229
Числа Костки 41, 84, 88, 91, 136, 224
Число Литтлвуда—Ричардсона 76—84,
106, 136, 164,205
Чистый класс подмногообразия 240
Эвакуация 203
Эквивалентность по сопряженной
форме 215
— по Кнуту 35, 49, 71, 79, 206
— по форме 209
Эквивариантное линейное расслоение
161
Элементарное двойственное
преобразование Кнута 210
— действие 229
— преобразование Кнута 35
Элементарный симметрический
многочлен 18,85,90
Элементы Гарни 116
Уильям Фултон
ТАБЛИЦЫ ЮНГА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ И ГЕОМЕТРИИ
Научный редактор А.М. Вершик
Редакторы О.Н. Попов, Ф.И. Кизнер
Подписано в печать 15.04.2006 г. ФорматбО * 90 Vi6. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 20,5. Тираж 1000 экз. Заказ № 297-06.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-72-85.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Полиграфические ресурсы».