МАТЕМАТИКА
Э. С. Беляева, А. С. Потапов,
С. А. Титоренко
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПАРАМЕТРОН
Часть 1
МАТЕМАТИКА
Э С Беляева, А С Потапов,
С А Титоренко
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВ
С ПАРАМЕТРОМ
Часть 1
Учебное пособие
Москва
D р о ф а
2009
УДК 512.1(075.8)
ББК 22.141я73
Б44
Серия основана в 2007 году
Беляева, Э. С.
Б44 Математика. Уравнения и неравенства с парамет-
ром. В 2 ч. Ч. 1 : учебное пособие / Э. С. Беляева,
А. С. Потапов, С. А. Титоренко. — М. : Дрофа, 2009. —
480 с. — (Выпускной/вступительный экзамен).
ISBN 978-5-358-02062-7 (ч. 1)
ISBN 978-5-358-02064-1
Учебный комплект (сборник задач в двух частях с электронным
приложением на CD-ROM) в полном объеме раскрывает тему «Уравне-
ния и неравенства с параметром». В части 1 разбираются линейные, квад-
ратные и тригонометрические уравнения с параметром. Детально рас-
смотрен широкий спектр задач разных уровней сложности, доступно и
наглядно изложены методы решения. Прилагаемый к книге компакт-
диск является необходимым компонентом для легкого восприятия и эф-
фективного тренинга. Комплект станет незаменимым помощником не
только для учеников, но и для учителей.
Для учащихся старших классов, преподавателей математики,
абитуриентов, студентов математических специальностей.
УДК 512.1(075.8)
__________________________________________________ББК22.141я73
Учебное издание
Беляева Эмма Степановна, Потапов Александр Сергеевич,
Титоренко Светлана Алексеевна
МАТЕМАТИКА. УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
В двух частях. Часть 1
Учебное пособие
Зав. редакцией Т.Д. Гамбурцева. Ответственный редактор
Г. А. Лонцова. Художественный редактор А. В. Пряхин
Технический редактор И. В. Грибкова. Компьютерная верстка
Т. В. Максимова. Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
77.99.60.953.Д.010105.09.08 от 22.09.2008.
Подписано к печати 06.10.08. Формат 84x108 х/з2*
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25,2. Тираж 3000 экз. Заказ № 5663.
ООО «Дррфа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»:
127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции издательства «Дрофа»
обращаться по адресу: 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.; (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник». 109172, Москва, ул. Малые Каменщики,
д. 6, стр. 1А. Тел.; (495) 911-70-24,912-15-16,912-45-76.
Сеть магазинов «Переплетные птицы». Тел.: (495)912-45-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диа позитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
ISBN 978-5-358-02062-7 (ч. 1)
ISBN 978-5-358-02064-1	©ООО «Дрофа»,2009
Предисловие
Дорогой читатель!
Вы держите в руках первую часть двухтомника
«Уравнения и неравенства с параметром». Это не
обыкновенный учебник математики и не стандарт-
ное учебное пособие для поступающих в вузы. Это —
новое яркое явление в мире математики — обучаю-
щий сборник задач.
Задачи с параметром представляют собой богатей-
ший материал для полноценной математической де-
ятельности учащихся. С их помощью можно прове-
рить глубину знания математики средней школы,
выявить склонности к исследовательской деятель-
ности, нестандартность мышления. Отсутствие этой
темы в программе средней школы значительно обед-
няет курс математики. Между тем задания с пара-
метром предлагаются на вступительных экзаменах
по математике почти во всех вузах, на выпускных
экзаменах в средней школе, а также входят в мате-
риалы ЕГЭ по математике.
За последние годы появилось немало литературы,
посвященной задачам с параметром. Но читать эти
пособия нередко под силу только специалистам в
этой области. Во-первых, даже в справочной литера-
туре нет четкой трактовки основных понятий темы.
Во-вторых, при написании этих книг почти не со-
блюдаются основные дидактические принципы (до-
ступности, наглядности, от простого к сложному
и др.). В-третьих, нет системы в изложении мате-
риала.
41 Предисловие
Учитывая все вышесказанное, авторы разработа-
ли теорию и методику решения уравнений и нера-
венств с параметром, аналога которой нет в имею-
щейся литературе. Поэтому выпуск данных книг ак-
туален и своевременен. Вы получаете умные и
полезные методические пособия, по которым можно
не только учиться, но и учить.
Особенность разработанной методики — исполь-
зование координатной прямой, которая служит не
просто для иллюстрации аналитического решения,
но является непременным инструментом работы.
Снимается проблема записи ответа, вызывающая
трудности у учащихся. Завершение заполнения ко-
ординатной прямой обычно означает окончание про-
цесса решения, после чего ответ без труда списыва-
ется с оси. При этом широко используется геометри-
ческая интерпретация множества решений, что
позволяет проводить наглядный анализ.
Каждый раздел начинается с четких определений
основных понятий, что устраняет существующую
путаницу их трактовки.
Рассмотрению задач предшествует справочный
материал теоретического характера по соответст-
вующей теме, в котором особое внимание уделяется
вопросам, недостаточно изложенным в школьном
курсе математики.
Решение задач начинается с подготовительных
упражнений, которые служат «переходными мости-
ками» к выполнению более сложных заданий. После
разбора базисных задач предлагается для закрепле-
ния решить ряд упражнений самостоятельно. Усло-
вия некоторых более сложных уравнений и нера-
венств заимствованы из книг, указанных в приве-
денном списке литературы.
Особо ценно, что в рассмотрение включен ряд за-
даний, предлагавшихся на вступительных экзаме-
нах по математике в ведущих вузах, а также на ЕГЭ
Предисловие 15
в группе С (2001—2005 гг.), требующих оригиналь-
ных подходов с обоснованием.
Тщательно продуманная система упражнений от-
вечает основным дидактическим принципам: до-
ступности, последовательности, наглядности, науч-
ности. Следует особо отметить, что в ряде случаев
приведены несколько способов решения. Значитель-
ное внимание уделено ликвидации «белых пятен» в
школьной программе по математике.
Пособие написано четким, понятным языком без
ущерба строгости и логичности изложения. При
этом традиционная сухость математического языка
смягчается многочисленными и удачными образны-
ми пояснениями.
Материалы книг прошли многолетнюю апроба-
цию в учебных заведениях различных типов. Ис-
пользующие их учителя отмечают, что решение за-
дач с параметром по данной методике не только
позволяет школьникам успешно справляться с раз-
ноуровневыми заданиями, но и развивает у них на-
глядно-образное и абстрактно-логическое мышле-
ние.
Первая книга двухтомника включает три разде-
ла. Первый посвящен линейным уравнениям и нера-
венствам с параметром. Второй раздел обучает реше-
нию квадратных уравнений и неравенств. В третьем
всесторонне рассматриваются тригонометрические
уравнения и неравенства с параметром.
Надеемся, что данное пособие удовлетворит по-
знавательные интересы и математиков, и гуманита-
риев, позволит оценить красоту и интеллектуаль-
ную глубину приведенных в них задач.
Желаем успехов на пути постижения тайн и глу-
бин параметра!
610 работе с мультимедийным приложением к книге
О работе с мультимедийным
приложением к книге
К книге прилагается компакт-диск, на котором
подробно, пошагово проиллюстрирован ход реше-
ния многих задач с дополнительными объясне-
ниями некоторых наиболее сложных моментов. Та-
ким образом, диск в некотором смысле заменяет
объяснение преподавателя на школьной доске. Кро-
ме того, с его помощью можно проверить правиль-
ность самостоятельного решения предлагаемых уп-
ражнений.
При установке диска в дисковод он запускает-
ся автоматически (если в системе включена функ-
ция автозапуска). В первую очередь пользовате-
лю предоставляется возможность автоматической
инсталляции программы Macromedia Flash Player 1
(если на вашем компьютере уже установлена более
поздняя версия, нажмите на кнопку «Пропустить»),
а также копирования содержания компакт-диска на
жесткий диск компьютера. Далее на экране появля-
ется «Содержание», в котором мышью можно вы-
брать нужный раздел и пункт, а затем — нужный
номер задачи или упражнения.
В тексте книги задачи, разобранные на диске, со-
провождаются значками (ED , (ED, (ED ....
При первом появлении в тексте задачи значка ©Э
необходимо выбрать соответствующую задачу на
диске. На экране появится ее условие и первый
О работе с мультимедийным приложением к книге 17
шаг решения, обозначенный, как и в тексте, знач-
ком (ED. Следующий шаг решения обозначен знач-
ком (ED. Дойдя до него в тексте, нужно кликнуть
левой кнопкой мыши по кнопке «далее» на экране и
таким образом вывести на экран второй шаг реше-
ния. При появлении в тексте следующих знач-
ков (►£) , (►£) , ... следует каждый раз кликать по
кнопке «далее».
8 I Основные понятия
| Основные понятия
Определение 1. Параметр (от греч. лосрощетрап) —
отмеривающий) — величина, значения которой слу-
жат для различения элементов некоторого множест-
ва между собой.
Например, в декартовых координатах уравнение
у = ах2, а Ф 0, задает множество всех парабол с вер-
шинами в начале координат. При конкретном значе-
нии а е (-°°; 0) и (0; +о°) мы получаем одну из пара-
бол этого семейства.
Дадим еще одно определение параметра.
Определение 2. Неизвестные величины, значе-
ния которых мы задаем сами, называются парамет-
рами.
Какие неизвестные следует выбрать в качестве
параметров, обычно определяется уже самим подхо-
дом fc исследованию выражения.
Приведем пример. Пусть нужно решить уравне-
ние
х4 + х3 - (1 + 2а)х2 - (а + 1)х + а2 + а = 0.
Легко видеть, что в роли параметра лучше снача-
ла выбрать х и решить квадратное относительно а
уравнение: а2 - (2х2 + х - 1)а + х4 + х3 - х2 - х = 0.
Получим совокупность уравнений:
а = х2 - 1,
а = х2 + х.
Основные понятия 19
Затем считаем а параметром и решаем два квад-
ратных относительно х уравнения
х2 = а + 1,
_х2 + х - а = 0.
Из приведенных выше двух определений следует,
что параметр является переменной величиной и
имеет при этом двойственную природу: 1) пара-
метр — число; 2) параметр — неизвестное число.
Вторая функция параметра создает дополнитель-
ные трудности в работе с ним, ограничивая свободу
общения его неизвестностью.
Определение 3. Пусть дано равенство с перемен-
ными х и a: f(x, а) = 0. Если ставится задача для
каждого действительного значения а решить это
уравнение относительно х, то уравнение f(x; а) = 0
называется уравнением с переменной х и парамет-
ром а.
Параметр обычно обозначается первыми буквами
латинского алфавита: a, b, с, d, ... .
Переменная, относительно которой решается
уравнение, — последними буквами алфавита: х, у, г,
t, и, ... .
□ Примеры.
1. 2х - а = х + 1. 2. х/а + х2 = Jx. 3. Jx - а = 2х + 1.
. .	а-1 х-b _	х-2с+1
4. sm X = ——х. 5. 77-гт = 0. 6. ---Z— = 0.
а + 2 b(x - 1)	сх - 3
7. ах2 - Jax + 5 = 0. 8. log(a _	(х2 - а2) = 3.
а2 - 4
9.1og7Sa-loga2^—-=1.
Определение 4. Под областью определения урав-
нения f(x; а) = 0 с параметром а будем понимать все
такие системы значений х и а, при которых /(х; а)
имеет смысл.
101 Основные понятия
Заметим, что иногда область определения уравне-
ния устанавливается довольно легко, а иногда в яв-
ном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся
только системой неравенств, множество решений
которой и является областью определения уравне-
ния. Этого бывает, как правило, достаточно для ре-
шения уравнения.
Установим область определения каждого из при-
веденных выше уравнений:
а е R,		1а ф 0,	„ [ а е R,
хе R.	2.	[х > 0.	3.1 \ [х > а.
£•*0,	О	1с е R,	1а > 0,
X Ф 1.	О.	[ сх Ф 3.	” [х е R.
а > 1,		[ а:	> 0, а Ф 1,
а Ф 2,		х:	> 0, х Ф 1,
1 КА- ~г У	I	7
lx2 - а2 > 0.	| а2 - 4
[ 2а - х
| а Ф -2,
' [хе R.
где R — множество всех действительных чисел.
Замечание
В дальнейшем для краткости будем использовать со-
кращения:
ООУ вместо слов «область определения уравнения»;
ООН вместо слов «область определения неравенства»;
ООО вместо слов «область определения системы».
Определение 5. Под решением уравнения f(x; а) =
= 0 с параметром а будем понимать систему значе-
ний х и а из области определения уравнения, обра-
щающую его в верное числовое равенство.
□ Примеры.
1. Пусть дано уравнение х _jl । = 0.
Установим область определения уравнения:
ООУ:
а е R,
Основные понятия
Найдем несколько частных решений этого урав-
нения:
а = 1
х = 2
а = 2
х = 4
а = 0.
х = 0
Эти решения можно записать и так:
Если а = 1, то х = 2.
Если а = 2, то х = 4.
Если а = 0, то х = 0.
Найдем общее решение:
Ла^-1/2,
Ч* = 2а.
2) Если а = -1/2, то решений нет.
Ответ. 1) Если а Ф-1/2, то х = 2а.
2) Если а = -1/2, то решений нет.
Замечание
Далее для кратости вместо слов «общее решение»
будем писать «решение».
2. Решим уравнение (Ь + 1)х = (Ь + 1)(Ь - 5).
Решение.
Установим область определения уравнения:
ООУ: |Ье К’
[х е R.
1) Пусть Ъ = -1. Уравнение примет вид О'Х = 0.
Значит, х — любое действительное число.
2) Если Ь Ф -1, то х = Ь - 5.
Ответ. 1) Если Ь Ф -1, то х = Ь -5.
2) Если Ь = -1, то х е R.
Определение 6. Решить уравнение f(x; а) = 0 с
параметром а — это значит для каждого действи-
тельного значения а найти все решения данного
уравнения или установить, что их нет.
Договоримся все значения параметра а, при кото-
рых f(x; а) не имеет смысла, включать в число значе-
ний параметра, при которых уравнение не имеет ре-
шений.
121 Основные понятия
□ Пример. Решить уравнение а/(а - 1) = х + 1.
Решение.
Установим область определения уравнения:
00У:
[х е R.
Выразим неизвестное х через параметр а.
х = аЦа - 1) - 1, х = 1/(а - 1).
Ответ. 1) Если а Ф 1, то х = 1/(а - 1).
2) Если а = 1, то решений нет.
Определение 7. Уравнения /(х; а) = 0 и ф(х; а) = О
равносильны при фиксированном значении а = а0,
если уравнения /(х; а0) = 0 и ф(х; а0) = 0 равносиль-
ны.
□ Пример. Найдите все значения парамет-
ра а, при которых уравнения (а - 1)х = а - 2 и
(а - 1)х = За - 8 равносильны.
Решение.
1) При а = 1 оба уравнения решений не имеют, а
потому равносильны.
2) Если а * 1, то х = (а - 2)/(а - 1) — решение пер-
вого уравнения, х = (За - 8)/(а - 1) — решение
второго уравнения.
Найдем значения а, при которых эти решения
равны.
(а - 2)/(а - 1) = (За - 8)/(а - 1), а = 3.
При а = 3 х = 1/2.
Ответ. 1; 3.
Определение 8. Уравнение f(x; а) = 0 является
следствием уравнения ф(х; а) = 0 при некотором зна-
чении а = а0, если множество решений уравнения
ф(х; а0) = 0 содержится среди множества решений
уравнения /(х; а0) = 0.
Основные понятия 113
Аналогичные определения легко сформулировать
для неравенств с параметром, заменив в вышепере-
численных определениях термин «уравнение» на
термин «неравенство».
Рассмотрим пример, иллюстрирующий определе-
ние 8 для неравенств с параметром.
□ Пример. При каких значениях а неравенство
2х> а	(1)
является следствием неравенства
Зх + 2 > 2а?	(2)
Решение.
Решаем каждое из неравенств:
а е R,	iae R,
\х>а/2.(1)	|х>(2а-2)/3. (2)
А теперь достаточно решить неравенство
(2а - 2)/3 > а/2; 4а - 4 > За; а > 4.
Ответ. (4; +оо).
Все задачи, приведенные далее в нашем пособии,
рассматриваются на множестве действительных (ве-
щественных) чисел.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
И К НИМ СВОДИМЫЕ
а Линейные уравнения с параметром
и к ним сводимые
Сформулируем определение линейного уравне-
ния с одной переменной (неизвестным).
Определение 1. Линейным уравнением с одной
переменной (неизвестным) х назовем уравнения ви-
да Ах + В = Сх + D, где коэффициенты А и С, а так-
же свободные члены В vl D являются действительны-
ми числами (или некоторыми функциями парамет-
ра а).
□ Примеры линейных уравнений:
Зх-1 = 0,	(1)
6х + 1 = х-7,	(2)
2х = 8;	(3)
ах + 2 = х + 2а,	(4)
(а - 10)х = х + 5,	(5)
а2х - 2а = ах + (а - 1).	(6)
Уравнения (2—6) легко привести к виду уравне-
ния (1), если перенести все члены в левую часть, а за-
тем привести подобные слагаемые.
Получим
5х + 8 = О,
2х - 8 = О,
(а - 1)х + 2 - 2а = О,
(а - 11)х -5 = 0,
а(а - 1)х - За + 1 = 0.
Линейные уравнение и неравенства с параметром 115
В общем виде линейное уравнение с переменной х
запишется так: Кх + Р = Q, где К называется коэф-
фициентом при переменной х, аР — свободным чле-
ном уравнения.
► Определение 2. Линейное уравнение Кх + Р = О,
где К Ф 0, называется уравнением первой степени с
переменной х.
□ Примеры уравнений первой степени:
15х - 7 = 0,
3,5х + 4а = 0,
Зх = О,
(а2 + 1)х -3 = 0.
Всякое уравнение первой степени общего вида яв-
ляется линейным, а обратное не всегда верно. Так,
линейное уравнение 2х - 3(х - 1) = -х + 2 приводит-
ся к виду 0 • х +1 = 0, из которого видно, что оно не
является уравнением первой степени.
Рассмотрим теперь линейное уравнение (а - 3)х +
+ 7 = 0. Оно только при а Ф 3 является уравнением
первой степени: если а = 4, то получим х + 7 = 0;
если а = 10, то 7х + 7 = 0 и т. д.
Итак, уравнение первой степени общего вида с пе-
ременной х является частным случаем линейного
уравнения с одной переменной.
Решим линейное уравнение Кх + Р = 0,	(I)
гдеКпР — некоторые действительные числа.
1) Если К Ф 0, то х = -Р/К— единственный ко-
рень уравнения.
2) Пусть К = 0. Тогда данное уравнение примет
вид 0 • х + Р = 0.
Если Р Ф 0, то уравнение (I) не имеет корней.
Если Р = 0, то любое действительное число явля-
ется корнем как уравнения 0 • х + 0 = 0, так и урав-
нения (I).
161 Раздел 1,1. Линейные уравнения с параметром
□ Примеры.
1)	Зх - 6 = 0; Зх = 6, х = 2.
2)	2х - 1 = 2х + 3; 0 • х - 4 = 0. Корней нет.
3)	3(х + 2) = х + 2х + 6;0*х + 0 = 0, х — любое дей-
ствительное число.
Линейные уравнения с параметром мы научимся
решать дальше.
Аналогично можно дать определение линейного
уравнения с переменными х, у, ..., 2.
Определение 3. Линейным уравнением с пере-
менными х, у, ..., 2 называется уравнение вида Ах +
+ By + ... + Cz + D = 0, где коэффициенты А, В, ..., С
и свободный член D являются действительными чис-
лами (или некоторыми функциями параметра а).
□ Примеры.
2х + Зу + 5 = 0,
х - 8у + а = 0,
(а - 1)х + 2у - z - 10 = О,
х - (а2 - 4)у - 8а + 3 = 0.
 1.1. Уравнения первой степени с параметром
(без «ветвлений»)
№ 1. Решите уравнение 2х = а.
Решение.
Будем рассматривать параметр а как число, кото-
рое может быть любым. Тогда уравнение 2х = а
«порождает» бесчисленное множество уравнений
без параметра: 2х = 1/2, 2х = 7, 2х = -5 и т. д.
Но для любого значения а уравнение 2х = а имеет
единственное решение: если а = 1, то х = 1/2; если
а = 1/2, то х = 1/4 и т. д.
В общем виде решение данного уравнения запи-
шется так: х = а/2.
Пары соответствующих значений х и а можно
изобразить на координатной прямой параметра а
1.1  Уравнения первой степени с параметром 117
(рис. 1). Под осью пишем значения а, над осью —
соответствующие значения х.
-1	-1/2	01/21	х
-2	-10	12	а
Рис. 1
Связь между х и а можно показать и путем по-
строения графика функции х = а/2 в системе коор-
динат (аОх) (рис. 2).
Рис. 2
Для нахождения значения х, соответствующего
некоторому значению а, достаточно найти ординату
точки графика функции х = а/2, абсцисса которой
равна а.
Вопросы и задания
1)	Найдите решение уравнения при а = 0; 1; 2; 4; -2; -6.
2)	При каком значении а уравнение имеет решение
х = -1;-2; 0; 1/2; 3?
3)	Может ли данное уравнение иметь более одного реше-
ния при некотором значении а?
4)	Можно ли указать два значения параметра а, при кото-
рых соответствующие значения X равны?
Решая последующие уравнения с параметром, полезно
для иллюстрации решения обращаться к координатной
прямой или системе координат.
18 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 2. Решите уравнение х-а = 2х + За-1.
Решение.
Установим область определения уравнения.
ООУ: |а е R’
' х е R.
Отметим, что вместо записи а е R может быть и
одна из таких: а — любое число; а е (-°°; +°°).
Решая данное уравнение, члены, содержащие х,
переносим в одну часть уравнения, а не содержа-
щие х — в другую.
2х - х = -а - За + 1,
х=1-4а.
Ответ, х = 1 - 4а при любом значении а.
№ 3. Решите уравнение (х - За)/2 = (х + а)/3.
Решение.
Установим область определения уравнения.
ООУ: <а е R’
[X е R.
Умножим обе части уравнения на 6.
Зх — 9а = 2х + 2а,
х = 11а.
Ответ, х = 11а при а е R.
№ 4. Решите уравнение Ьх - Ь = 2х + (Ь - 1)х + ЗЬ - 2.
Решение.
Установим ООУ:	R’
'хе R.
Раскрываем скобки:
Ьх - Ь = 2х + Ьх - х + ЗЬ - 2.
Перенесем члены, содержащие х, влево, не содер-
жащие х, — вправо. Приведя подобные члены,
получим
х = 2 - 4Ь.
Ответ. х = 2*4Ь при Ь е R.
1.1. Уравнения первой степени с параметром 119
№ 5. Решите уравнение
т(2х - 1) - т = 2т(х - 1) + х — 3.
Решение.
Установим ООУ: [т е
е R.
2тх -т - т = 2тх - 2т + х — 3,
х = 3,
Ответ, х = 3 при любом значении т е R.
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(тОх) (рис. 3).
Рис.3
№ 6. Решите уравнение
Ъ - (5 - х)/6 = (2х + 6)/2 - 36/4.
Решение.
Установим ООУ:
Ь е R,
х е R.
126 - 10 + 2х = 12х + 66 - 96,
10х= 156- 10,
х = (36 - 2)/2.
Ответ, х = (36 — 2)/2 при любом 6 е R.
№ 7. Решите уравнение Зх - 2а = 8(х - 1) + 5(а + 2) -
- 7а - 5х.
Решение.
ООУ:
а е R,
х е R.
201 Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
Зх - 2а = 8х - 8 + 5а + 10 - 7а - 5х,
0 • х = 0 • а + 2.
Уравнение решений не имеет ни при каком значе-
нии а.
Ответ. Решений нет при любом а е R.
№ 8. Решите уравнение 2(х - а) - Зх = -2а - х.
ООУ:!ае^’
\х е R.
2х - 2а - Зх = -2а - х.
О • х = 0 • а.
Любая пара значений х и а удовлетворяет уравне-
нию.
Ответ, х — любое число при любом значении
а е R.
Хв 9. Решите уравнение 2(х - т)/т = 3/2.
Реш е н и е.
ООУ:
[X G R.
4х - 4т = 3m,
х = 7т/4.
Ответ. 1) Если т ^0, то х = 7т/4.
2) Если т = 0, то решений нет.
а
№ 10. Решите уравнение ——“о ~ 3.
X т Z
Решение.
ООУ: (ае
[Х^~2.
Освободившись от знаменателя, получим уравне-
ние-следствие:
а = Зх + 6, откуда х = (а - б)/3.
Ответ записывать еще рано, так как мы не увере-
ны, что при любом a g R выражение (а - 6)/3 не
1,1. Уравнения первой степени с параметром
принимает значения -2. Поэтому появляется но-
вый этап решения уравнения — исследование.
Исследование.
Лх = (а-6)/3,	|х = (а-6)/3,
}|(а-6)/3*-2,	|а*0.
2) Пусть а = 0. Уравнение примет вид 0/(х + 2) = 3.
Оно решений не имеет.
Ответ. 1) Если а Ф 0, то х = (а - 6)/3.
2) Если а = 0, то решений нет.
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(аОх) (рис. 4).
Рис. 4
При а = 0 соответствующая точка графика функ-
ции х = (а - 6)/3 имеет ординату х, равную -2, А это
число для х не является допустимым. Поэтому точка
А графика «выкалывается».
№11. Решите уравнение 2/(х - 3) = 1/(х + а).
Решение.
ООУ:
а е R,
х Ф -а,
х Ф 3.
Переходим к уравнению-следствию
2х + 2а = х - 3,
х = -2а - 3.
Исследование.
	х = -2а - 3,	\х = -2а - 3,
1)<	—2а — 3^3, -2а - 3 * -а;	[а Ф —3.
221 Раздел 1.1  Линейные уравнения с параметром 
2) Если а = -3, то х = 3.
Эта пара значений х и а не удовлетворяет ООУ.
Поэтому в этом случае решений нет,
А теперь представим результаты решения на ко-
ординатной прямой параметра а (рис, 5). Напомним,
что значения параметра пишем под прямой, а значе-
ния х — над прямой.
х = -2а - 3	х “2“ - 3
-3	а
(ось ответа)
Рис. 5
Обычно прямая параметра заготавливается сразу
после установления ООУ и заполняется постепенно
по мере получения результатов решения. А затем
уже с нее легко «считать» ответ. Попробуйте это сде-
лать сами.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться пря-
мой параметра, которая служит не только для иллю-
страции аналитического решения, но является инст-
рументом работы. Завершение заполнения коорди-
натной прямой параметра часто служит сигналом
окончания решения (если задание не содержит до-
полнительных условий). Деление оси параметра при
решении уравнений с параметром на промежутки
позволяет проследить качественные изменения
структуры множества решений, а в более сложных
упражнениях — облегчает проведение анализа мно-
жества решений. Заметим, что в некоторых случаях
приходится применять несколько осей параметра, а
потом уже заполняется ось ответа, на которой сво-
дятся результаты промежуточных этапов решения.
Например, в 2004 г. на ЕГЭ по математике было
предложено такое задание:
найдите все положительные значения параметра
а, при которых для любого числа из отрезка [-3; 3]
верно неравенство |2х + а|х| - 13| > 1.
1.1. Уравнения первой степени с параметром
Мы его выполним позднее, а сейчас только заме-
тим, что для решения неравенства нам понадобится
заполнить 7 осей параметра. Но это не вызывает
трудностей. Использование осей параметра делает
решение наглядным, алгоритмизированным, логи-
чески стройным.
№ 12. Решите уравнение , $ = —L_ .
Ъ - 1 х - Ь
Решение.
Сразу на оси параметра отмечаем, что при Ъ = 1
решений нет. (VT)
Теперь перейдем к уравнению-следствию
Зх - ЗЬ = Ь2 - Ь; откуда х = (Ъ2 + 2&)/3.
Исследование.
(х = (Ь2 +2Ь)/3, [х = (Ь2 + 2Ь)/3,
Ь*1,
[(Ь2 + 2Ь)/3 * Ь, [b2-b*0,
х = (Ь2 + 2Ь)/3,
< Ь Ф 1, <Тз~)
Ь*0. (м)
2) Если Ь = 0, то решений нет.
Ответ попробуйте записать сами по рисунку 6.
Ъ2 + 2Ь\ 0 / Ь2 + 2iX 0 / Ь2 + 2Ь
---- X / -г = -=- X / г == -„-
Рис. 6
ь
(ось ответа)
Уравнения для самостоятельного решения
1)	7а-х = 0. (ГТ)
2)	За - Зх = х - 4а + 5. (ТУ)
3)	(х - 2а)/5 = (а - 6х)/4. (Тз)
4)	Ь(3х - 1) - 6Ь = Зх(Ь - 1) + 2Ь - 2. (м)
241 Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
5)	2b(x + 1) = х(2Ь - 8) + 4(Ь - 3). (JY)
6)	5х(Ь - 1) - Зх + 2Ь = 8(2 - х) + Ь(5х + 2). (££)
7)	(2р - Зх)/4 = (1,5р - 2,25х)/3. (ED
8)	т/3 + 2х- Зт = х/5 - 2(х - т). (иГ)
9)	а2(х - 3) = х(а2 - 5) - За. (►£)
10)	(а -2)(х + 3) = (5 - х)(3 а)- 21 + 8а - х.
11)	(& - 1)/(х - 3) = 4. (ЕЮ
12)	5/(х-2а) = 3/(2х-1). (ЕЮ
13)	4/(x-2fe) = 1/(й З). (ЕЮ
 1.2. Простейшие линейные уравнения
с параметром (с «ветвлениями»)
№ 1. Решите уравнение (а - 1)х = 3.
Решение.
ООУ: ае
[х е R.
Рассмотрим два случая:
1)	а 1. Тогда уравнение примет вид
0  х = 3. Решений нет.
2)	а * 1. Тогда х = 3/(а - 1).
Покажем эти два вывода на оси параметра а
(рис. 7).
х = 3/(а ~ 1)
х = 3/(а - 1)
а
Рис. 7
Ответ. 1) Если а Ф 1, то единственное решение
х = 3/(а - 1).
2) Если а = 1, то уравнение решений не
имеет.
При решении следующих уравнений ответ, если
он отсутствует, предлагаем записать самим или
сформулировать его устно, пользуясь координатной
прямой параметра.
1.2. Простейшие линейные уравнения с параметром
№ 2. Решите уравнение (Ь - 3)х = Ь2 - 9.
Решение (рис. 8).
ООУ:
i&eR,
|х е R.
1) Ъ = 3, тогда х • 0 = 0, х е R.
2) Ь Ф 3, тогда х = Ь + 3.
х = Ь + 3
Рис. 8
х = Ъ + 3
(ось ответа)
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(ЬОх) (рис. 9).
Решениями уравнения являются две прямые:
х = Ь + 3 и Ь = 3.
Графическая интерпретация ответа, особенно в на-
чале работы с параметром, помогает лучше увидеть
связь переменной и параметра в уравнении (неравен-
стве), а также глубже понять природу параметра.
Вопросы по рисунку 9
1) Назовите несколько решений уравнения при Ь = 3.
2) При каких значениях Ь пары чисел (Ь; X) являются ре-
шениями уравнения,если х = 0; —1;1; 6?
261 Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 3. Решите уравнение а2х - а = х - 1.
Решение (рис. 10).
Приведем данное уравнение к виду
(а2- 1)х = а- 1.
Рассмотрим следующие возможные случаи:
1)	а = 1, тогда 0 • х = 0, где х — любое число
(х е R); (м)
2)	а = -1, тогда 0 • х = -2. Решений нет (0); (ГТ)
3)	а Ф ±1, тогда х = 1/(а + 1). (ГТ)
х ~ 1/(а + 1)''\^/'/х = 1/(а +	х = 1/(а + 1)
~1	I	а
(ось ответа)
Рис. 10
Зх
№ 4. Решите уравнение — - 3 = а - х.
Решение (рис. 11).
ООУ: Ja*0»
lx е R. (ГТ)
Перейдем от данного уравнения к уравнению
Зх - За = а2 - ах.
Решаем его:
(3 + а)х = а(а + 3)
1) а = -3; тогда 0 • х = 0, х е R; (ГТ)
ia^-3,
^(а^О,	(>3~)
1.2. Простейшие линейные уравнения с параметром
Проиллюстрируйте ответ в системе координат
(аОх) и ответьте на следующие вопросы.
1) При каком значении а пара чисел (а; 0) являет-
ся решением уравнения? (Ответ: - 3.)
2) При каких значениях а любое число х из отрез-
ка [2; 4] удовлетворяет данному уравнению?
(Ответ: [2; 4] и {-3}.)
№ 5. Решите уравнение .—.у = 3 - х.
Решение (рис. 12).
ООУ:!а*“1’ .___.
|xeR. (ГТ)
2 - х =- За + 3 - х(а + 1),
ха = За + 1.
1) а = 0; 0 • х ~ 1. Решений нет. (ГТ)
9Ja*0,
тогда х = (За + 1)/а.
х = (За+	х — (За +	х = (За + 1)/а
-1	0	а
(ось ответа)
Рис. 12
№ 6. Решите уравнение Зх(а - 2) + 6а = 2а(х + 3).
Решение (рис. 13).
ООУ: \а е !*’
\х е R.
Зах - 6х + 6а = 2ах + 6а,
х(а - 6) = 0.
1) а = 6; х е R; (ГТ)
2) а Ф 6; х = 0. (ГТ)
6	а
(ось ответа)
Рис. 13
28 I Раздел 1.1  Линейные уравнения с параметром
№ 7. Решите уравнение (х - 2)(Ь2 - 9) = 0.
Решение (рис. 14).
1) Ь = 3 или Ь = -3, тогда хе R. (н
2) Ь Ф±3; х = 2. (►г^)
х = 2
х = 2
х = 2
Ь
(ось ответа)
Рис. 14
Интерпретируем результат решения в системе ко
ординат (ЬОх) (рис. 15). Ответьте на вопросы.
1) При каких значениях Ь данное уравнение име
ет решения: 4; 0; -1; -2?
2) Сколько решений имеет уравнение при Ъ = 0?
6=3
6 = 3
х = 2
3 Ъ
Рис. 15
Ответ. 1) Если Ь Ф ±3, то х ~ 2.
2) Если Ь = 3 или Ь = -3, то х е R.
Уравнения для самостоятельного решения
1)	(Ь + 1)х = 3. (► 1)
2)	а-а2х = 5-25х. (^2)
3)	(3 - т)х = т2 - 9. (VT)
4)	тх - Зх/ти - т = 7 - 8/т - 2х. (УТ)
5)	2(а + 1)х/а = 3(х + 1) + 7/а. (£Т)
6)	5х/ти - 5 = х - т. (Уб~)
7)	3 + 3x/a = n + x. (Vt)
1.3. Дробно-рациональные уравнения с параметром 129
8)	(х - 3)/(а - 1) = (2 + Зх)/а. (йГ)
9)	2а(х - 3) - 4а = х(а - 1) - 2х + За + 39. (Й9~)
10)	(х - 1)(а* 2 - 4) = 0. (йо)
 1.3. Дробно-рациональные уравнения
с параметром
Решение (рис. 16).
|х Ф 3.
Приравняем к нулю числитель дроби:
х + а ~ 0, тогда х = -а.
Исследование.
1) х = -а является допустимым при следующих
значениях параметра а: -а Ф 3, а Ф -3.
2) При а = -3 уравнение примет вид
(х - 3)/(х - 3) = 0.
Решений в этом случае нет.
х = -а
х = -а
а
(ось ответа)
Рис. 16
Ответ. 1) Если а Ф -3, то единственное решение
х = -а.
2) Если а = -3, то решений нет.
Воспользуемся опять системой координат для ил-
люстрации ответа (рис. 17).
3	0
а
х = -а
Рис. 17
30 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 2. Решите уравнение
х — т
(х - 1)(х - 2)
Решение.
\т е R,
ООУ: [х* 1,
х*2.
х - т = 0, х = т.
Исследование.
\х = т,
(£Г)
\т Ф 2.
2) т = 1 или т = 2; тогда решений нет. (iT)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 18.
х = т
Рис. 18
т
(ось ответа)
№ 3. Решите уравнение —у-х
X “г о
Решение (рис. 19).
ООУ: \т е В»
[х* -3.
т = 5х + 15,
х ~ ти/5 — 3.
Исследование.
1	.[х = тп/5-3,	ix = m/5 — 3,
) j тп/5 - 3 Ф -3,	\тФ0.
2	) т = 0; в этом случае решений нет.
х = т/5 — 3	х=т/5-3
0	т
(ось ответа)
Рис. 19
1.3. Дробно-рациональные уравнения с параметром
Решение (рис. 20).
ООУ: е R’
^х Ф -1.
х = ах + а,
х(1 - а) = а.
1) а = 1; тогда 0 • х = 1. Решений нет. (ьТ)
2) а Ф 1; тогда х = а/(1 - а). (Гр
Исследование.
fx = a/(l-a),	х=-а/(1 - а),	1х = а/(1-а),
atl,	atl,	а^1.
а/(1-а)^-1;	а^-1+а;
х = а/(1 - a)	х ~	~
а
(ось ответа)
Рис. 20
№ 5. Решите уравнение ——= 2а + 1.
X ~г
Решение (рис. 21).
ООУ: Г е R’
|х Ф —2.
ах + 1 = 2ах + х + 4а + 2,
х(а + 1) = -1 - 4а.
1) а =-1; тогда х • 0 = 3. Решений нет. (ьТ)
2) а Ф -1; в этом случае х = -(1 + 4а)/(а+ 1).
Исследование.
х = -(1 + 4а)/(а +1), х = -(1 + 4а)/(а + 1),
а Ф -1,
1) а Ф -1,	а Ф -1,
-(1 + 4а)/(а + 1) Ф -2; -1 - 4а Ф -2а - 2;
32 I Раздел 1.1 Линейные уравнения с параметром
[ х = -(1 + 4а)/(а + 1),
, а*-1,
а ^1/2. >2;
2) Если а = 1/2, то х = -(1 + 4а)/(а + 1) становится
недопустимым. Поэтому решений нет. (Гз?)
= а.
а^х — 1
№ 6. Решите уравнение -
Ре шение (рис. 22).
ООУ:
(а е R,
\х Ф 1.
а2х - 1 = ах - а,
а(а - 1)х = 1 - а.
1)	а = 0; тогда 0 • х = 1. Решений нет. (ГТ)
2)	а = 1; тогда х • 0 = 0, х — любое число,
неравное 1. (ГТ)
3)	а Ф 0, а Ф 1; тогда х = -1/а.
Ис с л е д о в ан и е.
х = ~\/а,	|х = -1/а,
а Ф 0,	\а Ф 0,
la* 1,
2) Если а = -1, то решений нет. (ГТ/
1
(ось ответа)
Рис. 22
1.3. Дробно-рациональные уравнения с параметром
а — 2
№ 7. Решите уравнение —Т = 1 •
“	ах + 1
ООУ:
Решение (рис. 23).
а е R,
ах*-1.
а - 2 = ах + 1,
ах = а - 3.
1) а = 0; тогда х- 0 = -3. Решений нет. (ьТ)
2) а Ф 0; тогда х = (а - 3)/а.
Исследование.
х = (а - 3)/а,
1)
а Ф 0,
(а - 3)а/а *-1;
х = (а - 3)/а,
а Ф 0, (ьТ)
а Ф 2.
2) Если а = 2, то х = (а - 3)/а станет недопусти
мым. Уз)
х = (а - 3)/а
х = (а - 3)/а
х = (а - 3)/а
0	2	а
(ось ответа)
Рис. 23
№ 8. Решите уравнение
& и
Решение (рис. 24).
2
Зх - 2
2(х - а)'
х - а
ООУ:|а*0,	у?)
[х * а. 4—'
х - а + 4а = Зах - 2а,
х(1 - За) = -5а.
1) а = 1/3; тогда х • 0 = -5/3. Решений нет. У2
2) а * 1/3; тогда х = 5а/(3а - 1).
Исследование.
1)
х = 5а/(3а - 1),
а Ф 1/3,
5а/(3а - 1) Ф а,
а Ф 0.
f х = 5а/(3а - 1),
а *1/3,
I а * 0,
I 5 * За - 1.
341 Раздел 1.1  Линейные уравнения с параметром
х = 5а/(3а - 1),
а Ф 1/3,
< а Ф О, (ED
а Ф 2.
2) При а = 2 решений нет. (77)
5а \ 0 / 5а \ 0 / 5а \ 0 / 5а
= За - 1 \/x=s За - 1 \/х= За - 1 \/х= За -
О	1/3	2
Рис. 24
Ответ. 1) Если а Ф 0, а Ф 1/3, а Ф 2, то единствен-
ное решение х = 5а/(3а - 1).
2) Если а = 0, или а = 1/3, или а = 2, то
решений нет.
Уравнения для самостоятельного решения
1) (х + ти)/(2х - 1) = 0. (77)
х + а
(х + 3)(х - 4)
Зх - с
(х - 4)(х - с)
4)	4й/(х-1) = 5. (77)
5)	а/(х-2) = 1, (77)
6)	2а/(1 - х) = 3. (77)
7)	2х/(х-4) = Ь. (77)
8)	(2Ьх - 3)/(х - 3) = Ь + 1. (77)
9)	(тих - 1)/(х + 2) = Зти - 1. (77)
10)	(1 - 4сх)/(1 - х) = 2с + 4. (Tip)
11)	(а2х - 4)/(х - 1) = 2а. (7п)
12)	(Ь2х - 8)/(х - 2) = 2Ь. (Иг)
13)	(Зх - 2Ь)/(Ьх - 1) = 3. (из)
14)	2/(х + Ь) - (2х - 4)/(х2 - Ь2) =	• (ЕЙ)
15)	(2 - За)/(2 - ах) = 4/(х - 2). (77s)
1.4. Более сложные дробно-рациональные уравнения
16)	(а + 3)/(а + 2) = 2/х -	(Е©
{(л ~г 4 ) Л-
17)	(х - 4)/(х + 1) + 2/k = fe(x1+ jy (ЕЁ)
 1.4. Более сложные дробно-рациональные
уравнения с параметром, сводимые к линейным
„	2ах х + 4а х(4а-1)
№ 1. Решите уравнение ——х - т;-х =	
J	х + 3 2х - 6 2х + 6
Решение (рис. 25).
ООУ:
ае R,
х Ф —3,
х Ф 3.
2ах(2х - 6) - (х + 4а)(х + 3) = х(4а - 1)(х - 3),
х(3 + 2а) = -6а.
1) а = -3/2; тогда х • 0 = 9. Решений нет. (7Т)
2) а Ф -3/2; тогда хг = -6а/(3 + 2а).
Исследование.
xt = -6а/(3 + 2а),
а Ф—3/2,
-6а/(3 + 2а)#3,
-6а/(3 + 2а) #-3;
xt = -6а/(3 + 2а),
а Ф —3/2,
-6а Ф 9 + 6а,
-6а#-9- ба;
(х1 = -6а/(3 + 2а),
ja*-3/2, (ь~2)
[а #-3/4.
2) Если а = -3/4, то решений нет. (Уз)
-3/2	-3/4	а
(ось ответа)
Рис. 25
361 Раздел 1.1  Линейные уравнения с параметром
№ 2. Решите уравнение
Зтх - 5
(т - 1)(х + 3)
3 от — 11
от - 1
2х + 7
х + 3
Решение (рис. 26).
ООУ: R*1’
\х*-3.
(►Т)
Приводим данное уравнение к виду
(4m - 9)х = 31 - 2m.
1)	т = 9/4; х • 0 = 31 - 9/2. Решений нет. (>Т)
2)	т Ф 9/4; хг = (31 - 2m)/(4m - 9).
Исследование.
fxj = (31 - 2m)/(4m - 9),
m*9/4,
| (31 - 2m)/(4m - 9) *-3,
 mt 1;
\хг = (31 - 2m)/(4m - 9),
I mt-2/5,
\m Ф 1.
2) Если m = -2/5, то решений нет. (кд/
Рис. 26
9/4	m
(ось ответа)
№ 3. Решите уравнение ----- = ----— .
2х — к 4 — кх
Решение (рис. 27).
[Ag R,
ООУ: х*й/2,
kx Ф 4.
5(4 - йх) = 3(2х - k),
х(6 + 5йН 20 + Зй.
1 Л. Более сложные дробно-рациональные уравнения
1) k = -6/5; тогда 0 • х = 20 - 18/5. Решений
нет. (ьТ)
2) k *-6/5; х1 = (20 + 3/г)/(6 + 5й).
Исследование.
ГXj = (20 + Зй)/(6 + 5й),
fe*-6/5,
J (20 + 3/г)/(6 + 5/г) */г/2,
й-(20 + ЗА)/(6 + 5/г) *4;
хг = (20 + 3/г)/(6 + 5/г),
/г*—6/5,
' /г*2Т2, ®
. /г * —2 72 .
2) Если /г = 2 72 или /г = -2 72 , то решений нет.(ь~з
272
-6/5
(ось ответа)
Рис. 27
т - 1
№ 4. Решите уравнение т --1---—
т т(х - 1)
Решение (рис. 28).
х(ти2 - 1) = (т - 1)(тп + 2).
1) т = 1; тогда х • 0 = 0, х — любое число,
кроме 1. (ГГ)
2) т = -1; тогда х • 0 = -2. Решений нет. (ьд
3) т * ±1; тогда х1=(т + 2)/(т + 1).
(ось ответа)
Рис. 28
38 I Раздел1.1, Линейные уравнения с параметром
Исследование.
= (тп + 2)/(m + 1),
I т Ф ±1,
, (тп + 2)/(m + 1) / 1,
^х1 = (т + 2)/(т + 1),
(Гр
{тф±1.
Уравнения для самостоятельного решения
2	______3____________х — 5____ __
а(х - 3) + {а - 1)(х + 1) а(х - 3)(х + 1)'
____Зтпх___________2т + 1	5	___
(т + 2)(х2 - 9) “ (т + 2)(х - 3) ~ х + 3 ‘ ®
ах 2а + х _ х(2а ~ 1)
х + 2	2х-4 2х + 4 ‘
1	4	х - 1	_
4) а(х - 4) + (а + 1)(х + 4) “ а(х2 - 16) ‘ ®
1	2	3-х
5) Ь(х + 3) - (1 - Ь)(х ~ 2) ~ Ь(х + 3)(х - 2)1
 1.5. Уравнения с дополнительными условиями
№ 1. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 1)х = 2а - 3 имеет только положительные ре-
шения?
Решение.
ООУ: [а е R’
[х е R.
Рассмотрим возможные случаи:
1) а = 1; тогда х • 0 = -1. Решений нет.
2) а Ф 1; тогда х = (2а — 3) / (а - 1).
Решаем неравенство (2а - 3)/(а - 1) > 0 методом
интервалов: находим значения а, при которых
дробь равна 0 или не существует; отмечаем эти
точки на оси а и определяем знак дроби в каждом
из полученных интервалов (рис. 29).
1.5. Уравнения с дополнительными условиями
+ “ +
1	3/2	а
Рис. 29
В дальнейшем, если дана дробно-рациональная
/¥х)
функция у = —-—-, то договоримся нули этой
Ф(х)
функции, а также точки, в которых она не опре-
делена, называть «граничными точками интерва-
лов».
Неравенство строгое, поэтому точка а = 1 — выко-
лотая; а = 3/2 тоже выколотая, так как это недо-
пустимое значение.
Ответ. (—°°; 1)и (3/2; +оо).
№ 2. Найдите те значения параметра а, при которых
все решения уравнения (а2 - 1)х = (а - 1)(3а - 1)
удовлетворяют условию |х| < 2.
Решение (рис. 30).
1)	а = 1; тогда х • 0 = 0, х е R.
2)	а = -1; тогда х • 0 = 8. Решений нет.
3)	а Ф ±1; тогда х = (За - 1)/(а + 1).
Достаточно решить систему неравенств
(За-1)/(а + 1)<2,
<	(За - 1)/(а + 1) > -2,
а^+1; (ГТ/
(а - 3)/(а + 1) < 0,
<	(5а + 1)/(а + 1) > 0,
а*±1. (V7)
-113	а
..мм»/..,///,,zzzzw^zzz^.^W'zzz^zZ^zzz^zzz^z/.z^-j.
-1 -1/5	1	а
Рис. 30
Ответ. [-1/5; 1) и (1; 3].
40 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 3. При каких значениях параметра Ъ хотя бы один
корень уравнения (Ь - 4)х = (Ьг - 16)(Ь - 2) удов-
летворяет условию |х| > 27?
Решение.
1) Ь = 4; тогда 0 • х = 0, х е R.
2) Ъ Ф 4; тогда х = (Ь + 4)(Ь - 2) (рис. 31).
х = (Ъ + 4)(Ь - 2)	х = (Ь + 4)(6 - 2)
4	Ь
(ось ответа)
Рис. 31
Значение Ь = 4 удовлетворяет условию задания.
Остается решить систему неравенств:
'|(Ь + 4)(Ь - 2)| > 27,	| IЬ* 2 + 2Ь - 35 > 0,
,Ь*4,	{ |&2 + 2Ь+ 19 < 0,
I Ъ Ф 4.
Неравенство Ь2 + 2Ь + 19 С 0 решений не имеет.
(&2 + 2& - 35 > 0,	Г& > 5,
\Ь*4,	'\Ъ<—7.
Ответ, (-оо; -7] о {4} и [5; +оо).
№ 4. Решите систему
> (х - 2)(а + 1) == 0,
। х > 0.
Решение.
1) а = -1; тогда (х - 2) • 0 = 0, х е R. Учитывая, что
х > 0, получаем х е [0; +оо).
2) а Ф -1; тогда х = 2.
Ответ. 1) Если а = -1, то х е [0; +°°).
2) Если а Ф -1, то х = 2.
а — 2
№ 5. При каких значениях а уравнения —%-— = 1 и
1	2 Зх - 2
---1-----= —-------- равносильны?
2а х - а 2(х - а)
4*.
1.5. Уравнения с дополнительными условиями
Решение.
Эти уравнения решались ранее (см. № 7 и № 8
пункта 1.3).
Воспользуемся рисунками 23 и 24, поместив их
один под другим (рис. 32).
01/32	а
(ось ответа)
Рис. 32
Сравнение рисунков показывает, что при а = 0
или а = 2 оба уравнения не имеют корней, а пото-
му равносильны.
Узнаем, при каких значениях а имеет место ра-
венство (а - 3)/а = 5а/(3а - 1):
За2 - а - 9а + 3 = 5а2,
2а2 + 10а - 3 = 0.
D/4 = 31; аг = (-5 + 731 )/2; а2 = (-5 - 731 )/2.
Ответ. Уравнения равносильны, если
а е {(-5 — 731 )/2; 0; (-5 + 731 )/2; 2}.
№ 6. Найдите значения а, при которых уравнение
а - 1 2х + 3
----- = —------- имеет корни, удовлетворяю-
х + 4 х2 - х - 20
щие неравенству х < 2.
Решение.
ООУ:
а е R,
х Ф -4,
х Ф 5.
42 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
Многочлен второй степени, стоящий в знаменате-
ле в правой части уравнения, легко раскладыва-
ется на множители: х2 — х - 20 = (х - 5)(х + 4).
Тогда (а - 1)(х - 5) = 2х + 3, (а - 3)х = 5а - 2.
1) а = 3; тогда а • 0 = 13. Решений нет. (УГ)
2) а Ф 3; тогда хг = (5а - 2)/(а - 3).
Исследование.
хг = (5а - 2)/(а - 3),
1)
(5а - 2)/(а — 3) *-4,
(5а - 3)/(а - 3) Ф 5,
хх = (5а - 2)/(а - 3),
а Ф 3, (Ур
а *14/9.
а Ф 3;
Найдем а, при которых хг < 2:
(5а - 2)/(а - 3) С 2,
(За + 4)/(а - 3) < 0, а е [-4/3; 3).
Учтем, что при а = 14/9 уравнение решений не
имеет.
Ответ. [-4/3; 14/9) и (14/9; 3).
Задания для самостоятельного решения
1)	При каких значениях параметра а уравнение
ах - За = 2х + 1 имеет только отрицательные ре-
шения? (Ур
2)	Найдите значения параметра а, при которых все
решения уравнения (а2 - За + 2)х = (а - 1) (2а - 5)
удовлетворяют условию |х| > 2. (Ур
3)	При каких значениях параметра Ъ все х е [-4; 8]
удовлетворяют уравнению
(2-ЬДх = (Ь2-4)(Ь-1)? (Уз)
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 143
4)	При каких значениях а все решения уравнения
а — 1	2х + 1
5)	Решите систему:
|(Ь - 2)(х + 1) = О,
|х > о. CED
6) Решите систему:
(х — а/(3а - 8),
[%	(► 6 )
|Х > 1.
7) Решите систему:
Ъх = х -Ъ + 2,
1х-2Ь==-&-1/2,
[х < 0. (УГ)
8) Решите систему:
[(& — 2)х = Ь2 ~ 4,
ЦЬ-1)х = 2Ь.
 1.6. Уравнения, содержащие переменную
под знаком модуля
№ 1. Решите уравнение |х| = а - 2.
Решение (рис. 34).
ООУ: <а G R’
хе R.
Учитывая, что |х| > 0, заметим, что данное уравне-
ние имеет корни, если а - 2 > 0.
1) а = 2; тогда |х| = 0, х == 0. (7~Г)
2) а > 2; тогда
хг = а - 2,
х2 = -а + 2.
3) а < 2; решений нет. (УТ)
х2 = -а + 2
2
Рис. 34
а
(ось ответа)
44 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 2. Решите уравнение |3 - 2х| = 2а - 1.
Решение (рис. 35).
ООУ: |ае R’
[х е R.
1)	а = 1/2; тогда |3 - 2х| = 0, х = 3/2. (ГТ)
2)	а > 1/2; тогда
3-2х = 2а-1, Гх, = 2 - а, _____„
(►?)
3-2х = 1-2а;	[х2=1 + а.
3)	а < 1/2 решений нет. (Уз)
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(аОх) (рис. 36).
№ 3. Решите уравнение |2х - 1| = -а2 + 2а - 1.
Решение.
а е R,
хе R.
|2х - 1| =-(а - 1)J\
ООУ:
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 145
Видим, что —(а - I)2 < 0, а потому данное уравне-
ние имеет решения только при а = 1.
|2х - 1| = 0, х = 1/2.
Ответ. 1) Если а = 1, то х = 1/2.
2) Если а Ф 1, то решений нет.
№ 4. При каких значениях параметра Ъ уравнение
\Ьх - 2Ь - 2| + |(1 - Ь)х - ЗЬ| = О имеет решения?
Решение.
ООУ: е R’
.х е R.
Уравнение сводится к системе
Ьх - 2Ь - 2 = О,
t(l - Ь)х - ЗЬ = 0.
Решаем сначала первое уравнение: Ьх = 2Ь + 2.
1) Ь = 0; тогда 0 • х ~ 2. Решений нет.
2) Ь Ф 0; тогда х = 2(Ь + 1)/Ь.
А теперь полученное значение х подставим во вто-
рое уравнение системы
f 2(1 - Ь2)/Ь - ЗЬ - 0, Ъ2 = 0,4,
’Ь*0;	\ь*0,
Ь = +^ОА.
Ответ. ±л/0,4.
№ 5. Решите уравнение
\ах - 2а - 2| + |(1 - а)х - За\ = 0.
Решение.
ООУ: \а € R’
lx е R.
Данное уравнение равносильно системе уравне-
ний
[ах - 2а - 2 = 0,
1(1 - а)х - За = 0.
Решаем сначала каждое уравнение отдельно.
46 I Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
1) ах = 2(а + 1).
Если а = 0, то решений нет.
Если а Ф 0, то х = 2(а + 1)/а.
2) (1 - а)х = За.
Если а = 1, то решений нет.
Если а 1, то х = За/( 1 - а).
А теперь достаточно решить систему:
[х = За/(1 - а),
] 2(а + 1)/а = За/(1 - а),
[а Ф 0, а Ф 1.
х = За/(1 - а),
Заг = 2 - 2а2,
а Ф 0, а Ф 1.
х = За/(1 - а),
s а = 70,4,
,а = -70Л-
а = 70,4 ,
х — 2 + 710 ,
(а = -70Л,
\х = 2 - J16 .
Ответ. 1) Если а — J6,4 , то х — 2 + */10 .
2) Если а = - J6,4 , то х = 2 - VlO .
3) Если а ±70,4, то решений нет.
№ 6. При каких значениях а уравнение
ах - 2а — 1
х - 2
+ |х — За — 3| — О
имеет только положительные решения? Найди-
те их.
Решение.
ООУ: \ае ?’
\хф2.
Для ответа на вопрос задания достаточно решить
систему
((ах -2а- 1)/(х - 2) = О,
х - За - 3 = О,
[х>0.л
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
Решаем первое уравнение системы
(ах — 2а - 1)/(х - 2) — О,
ах = 2а + 1.
1) а = 0; тогда 0 • х = 1. Решений нет.
2) а Ф 0; тогда х = (2а + 1)/а.
Исследование.
х = (2а + 1)/а,
(2а + 1)/а Ф 2,
а Ф 0,
Перейдем к системе
f х = (2а + 1)/а,
। х = За + 3,
I а Ф 0,
[х > 0.
х ~ За ~Ь 3,
। 2а + 1 = За2 + За,
| а Ф 0,
а > -1;
f х = За + 3,
а -(-1± л/13)/6,
I а ф 0,
I а > -1;
ра==(-1 - 713 )/6,
Нх = (5- ЛЗ)/2,
^а = (-1+ Л3)/6,
[х = (5 + 713 )/2.
[х = (2а + 1)/а,
[а #:0.
Гх = За + 3,
I (2а + 1)/а = За + 3,
I а Ф О,
[ За + 3 > 0;
|'х = За + 3,
За2 + а - 1 = О,
а^О,
а>-1;
(х = За + 3,
|а = (—1 ± 713)/6
Ответ. 1) Уравнение имеет только положитель
ные решения при а = (-1 ± 713 )/6.
2) Если а = (-1 - 713 )/6, то
х = (5 - 713 )/2.
3) Если а — (-1 + 713 )/6, то
х = (5 + 713 )/2.
48 I Раздел 1,1. Линейные уравнения с параметром
№ 7. Решите уравнение |х - 1| = ах + 1.
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:
[х > 1,
|х - 1 = ах + 1;	(1)
[х < 1,
,|1 - х = ах + 1.	(2)
Решаем каждую из систем (1) и (2), результаты
решения отметим на осях (1) и (2) соответственно
(рис. 37). А затем заполним ось ответа.
(1): х(1 - а) = 2.
1)	а = 1; тогда х • 0 = 2 . Решений нет. (Гр
2)	а Ф 1; тогда х = 2/(1 - а).
2/(1 - а) > 1, (а + 1)/(1 -а)>О,ае [-1; 1). (Гр
3)	а = -1, то х = 1. (Гр
4)	При а < -1 или а > 1 система (1) решений не
имеет. (Гр
(2): х(а + 1) = 0.
1) Если а = -1, то х е R. Но учитываем,
что х < 1. (Гр
2) Если а ф-1, то х = 0. (Гр
Заполним ось ответа. (Гр
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 149
Ответ. 1) Если а е (-°°; -1) и [1, °°); то х = 0.
2) Если а = -1, то х е (-°°; 1].
3) Если а е (-1; 1), то х = 2/(1 - а) и х = 0.
№ 8. Решите уравнение |3х + 3| = ах + 4.
Решение.
ООУ: \а е R’
[х е R.
Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:
Дх>-1,	(1)
[Зх + 3 = ах + 4;
(х<-1,	(2)
Д-Зх - 3 = ах + 4.
Откуда
Дх>-1,	(1)
1х(3 - а) = 1;
|х<-1,	(2)
Дх(а + 3) = -7.
Решение системы (1) отметим на оси (1) рисунка 38.
Решение системы (2) на оси (2), а для записи отве-
та воспользуемся третьей осью, на которой будут
сведены решения систем (1) и (2) (рис. 38).
Решим сначала систему (1):
х(3 - а) = 1.
1)	а = 3; тогда 0 • х = 1. Решений нет. (ГТ)
2)	а Ф 3; тогда х{ = 1/(3 - а).
1/(3 - а) > -1, (4 - а) / (3 - а) > 0,
а е (-оо; 3)о[4; + оо).
3)	Если а е [3; 4), то система (1) решений не
имеет. (Гз)
4)	а = 4, тох = -1. (Г7)
Аналогично решается система (2):
х(а + 3) = -7.
1)	а = -3; тогда 0 • х = -7. Решений нет. (ГТ)
2)	а ф -3; тогда х2 = -7/(а + 3).
-7/(а + 3) < -1, (4 - а)/(3 + а) > 0, а е (-3; 4).
50 I Раздел 1,1, Линейные уравнения с параметром
Система (2) имеет решения х2 = -7/(а + 3) только
при а е (-3; 4).
По рисунку 38 внимательно рассмотрите, как за-
полнялась ось ответа. Для каждого действитель-
ного значения а ищется объединение множеств
решений систем (1) и (2) при этом значении а. (уТ')
-3	3	4	а
(ось ответа)
Рис. 38
№ 9. Решите уравнение |х| = ах.
Решение (рис. 39).
ООУ: 1ае
[х е R.
Решаем совокупность систем:
jx>0,	(1)
|х = ах-,
[х<0,	(2)
Дх = -ах.
Сначала найдем решение системы (1):
|х>0,	[х>0,
[х = ах;	|х(1-а) = 0.
1) Если а = 1, то х > 0.
2) Если а Ф 1, то х = 0.
Решим систему (2):
|х < 0,
1х(1 + а) = 0.
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 151
1) Если а = -1, то х < 0.
2) Если а Ф -1, то решений нет.
Рис. 39
Рис. 40
Проиллюстрируем ответ в
системе координат (аОх)
(рис. 40).
Уравнение |х| = ах можно ре-
шить и графически в системе
координат (хОу) (рис. 41).
Строим сначала график функ-
ции у = |х|. Уравнение у = ах
задает пучок прямых с цент-
ром в начале координат.
Легко видеть, что при любом
значении а уравнение |х| = ах
имеет решением х = 0. И это
решение будет единственным,
если а ф ±1.
Если же а = 1, то х > 0.
А если а = -1, то х < 0.
521 Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
№ 10. Найдите все значения параметра а, при кото-
\х - 7|
рых графики функций у = и у = |х + а| име-
ют только одну общую точку (ЕГЭ).
Решение.
1	способ (аналитический).
Достаточно узнать, при каких значениях а урав-
нение ...._ у = |х + а| имеет единственное реше-
ние.
ООУ: \а&
х* 7.
Полученное уравнение равносильно системе
||х + а\ = 1,
х > 7;
Тх + а = 1,
] х + а = -1,
I х>7,
Гх = -а + 1,
 х = -а - 1,
х > 7.
Заметим, что -а + 1>-а-1 при а е R. Поэтому
система имеет единственное решение, если
\~а + 1 > 7,	[а < -6,
\-а - 1 < 7;	\а> —8.
Ответ. [-8; -6).
2	способ (графический).
Строим сначала график функции
1, если х > 7,
— 1-1, если х < 7.
Уравнение у = |х + а\, где
а е R, задает семейство «угол-
ков», получающихся из гра-
фика функции у = |х| парал-
лельным переносом на вектор
т(~а; 0) (рис. 42).
Если -а < 6, т. е. а > -6, то
графики не пересекаются.
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знакам модуля
153
Если — 8 < а < -6, то графики данных функций
имеют только одну общую точку.
№11. Решите уравнение |х - 5| = 2ах - 3 + а.
Решение.
ООУ:
\а е R,
]х е R.
,х > 5,	।
{х - 5 = 2ах - 3 + а; |
\х < 5,
{5 — х = 2ах - 3 + а',
х > 5,
х(1 - 2а) = а + 2,
х < 5,
х(2а + 1) = 8 - а.
(1)
(2)
Решим систему (1):
х(1 — 2а) = а + 2.
1)	а = 1/2; тогда 0 • х = 2,5. Решений нет. (ГТ/
2)	а Ф 1 /2; тогда х1 = (а + 2)/(1 - 2а).
(а + 2)/(1 - 2а) > 5, (11а - 3)/(1 - 2а) > О,
а е [3/11; 1/2). О
3)	Если а < 3/11 или а > 1/2, решений нет. (►¥)
(Первая ось на рис. 43.)
Решаем систему (2):
х(2а + 1) = 8 - а.
Рис. 43
541 Раздел 1.1, Линейные уравнения с параметром
1)	а = -1/2; тогда х • 0 = 8,5. Решений нет. (ГГ)
2)	а * -1/2; тогда х2 = (8 - а)/(2а + 1).
(8 - а)/(2а + 1) < 5, (3 - 11а)/(2а + 1) < О,
а е (-оо; -1/2)0(3/11; 4-оо). (ТУ)
3)	а е (-1/2; 3/11). Решений нет. (ГУ)
(Вторая ось на рис. 43.)
Отметим решения систем (1) и (2) на осях (1) и (2)
параметра а (см. рис. 43). (ГТ)
Ответ. 1) Если а е (3/11; 1/2), то два корня х{ =
= (а + 2)/(1 - 2а) и х2 = (8 — а)/(2а + 1).
2)	Если а е (-оо; -1/2) и [1/2; +°°), то
один корень х2 = (8 - а)/(2а + 1).
3)	Если а = 3/11, то хх = 5.
4)	Если а е [-1/2; 3/11), то решений нет.
№ 12. Решите уравнение |х + 3| — а\х - 1| = 4.
Решение.
ООУ: \а е
[х е R.
Данное уравнение равносильно совокупности
трех систем:
>>1, (1)
[х(1 - а) = 1 - а,
! -з<х< 1,
[х(а + 1) = 1 + а,	(2)
х < -3,	(3)
ix(a - 1) = 7 + а.
Систему (1) перепишем в виде
|х > 1,
1(1 - а)(х - 1) = 0.
1) Если а = 1, то х > 1. (ГТ/
2) Если а ф 1, то х = 1. (ГГ)
(Ось (1) на рис. 44.)
Система (2^сводится к системе
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 155
J-3 < х < 1,
|(1 +а)(х- 1) = 0.
1) Если а = -1, то -3 < х < 1. (Уз)
2) Если а Ф -1, то решений нет. (У7)
(Ось (2) на рис. 44.)
Решим систему (3):
х(а - 1) = 7 + а.
1)	а = 1; тогда х • 0 = 8. Решений нет. (УТ)
2)	а Ф 1; тогда х = (7 + а)/(а - 1),
(7 + а) /(а — 1) < -3, (а + 1)/(а - 1) < 0,
а е (-1; 1). (Уб)
3)	При а > 1 и а < -1 система (3) решений
не имеет. (УТ)
(Ось (3) на рис. 44.)
Рис. 44
56 I Раздел 1,1. Линейные уравнения с параметром
Обратимся снова к системе
координат (аОх) (рис. 45).
Для построения графика
функции
х = (7 + а)/(а - 1)
мы представили ее в виде
х = 1 + 8/(а - 1).
№ 13. При каких значениях параметра b уравнение
|х + 2| = b(x - 1) имеет единственное решение?
Найдите эти решения.
Решение.
Раскрывая модуль, получим совокупность двух
систем:
[х>-2,	(1)
|(Ь-1)х = 2 + Ь.
\х<-2,	(2)
|х(Ь + 1) = Ь - 2.
Решаем каждую из систем.
(1): (Ь-1)х = 2 + Ь.
1)	Ь = 1; тогда 0 • х = 3. Решений нет. (Гц)
2)	Ь Ф 1; тогда хх = (2 + b)/(b - 1);
(2 + &)/(& - 1) > -2, Ъ/(Ъ - 1) > О,
Ь е (-°°; 0] и (1;+°°). (Тг)
3)	Ье (0; 1); система (1) решений не имеет. (Гз)
(Ось (1) на рис. 46.)
(2): (Ь + 1)х = Ь - 2.
1)	Ь = -1; тогда х • 0 = -3. Решений нет. (ГТ)
2)	Ь Ф -1; тогда х2 = (Ь - 2)/(b + 1);
(Ь - 2)/(Ь + 1) < - 2, b/(b + 1) < 0, Ъ е (-1; 0). (ГТ)
3)	Ь < -1 или Ь > 0, система (2) решений
не имеет. (Гц)
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля
(Ось (2) на рис. 46.)
(2)
-1	0	1	Ь
(ось ответа)
Рис. 46
Ответ (ось ответа на рис. 46).
1) Если b е (-°°; -1] и (1; +°°),
то хг = (2 + Ь)/(Ь - 1).
2) Если Ь = 0, то хх =-2.
№ 14. Решите уравнение |а - 2х| + 1 = |х + 3|.
Решение.
ООУ: |а е R’
[х е R.
Для раскрытия модулей найдем значения х, обра-
щающие под модульные выражения в нуль:
х = а/2; х = -3.	------,----.----_
г,	-3	а/2	х
Возможны три случая:
1)а/2 = -3;	Рис. 47
2) а/2 > -3 (рис. 47);	------•----•----*-
3) а/2 <-3 (рис. 48).	а/2	3
Рассмотрим каждый из них.	Рис. 48
581 Раздел 1,1, Линейные уравнения с параметром
1) а = -6. Тогда данное уравнение приводится к
уравнению |3 + х\ + 1 = 0. Оно решений не
имеет. (ГГ)
2) а > —6.
Решаем совокупность трех систем.
х > а/2,
-- а + 2х + 1 = х + 3,
а > -6;
-3 < х < а/2,
а-2х+1 = х + 3,
а > -6;
х < -3,
а - 2х + 1 = —х - 3,
а > —6;
"х = 2 + а,
-2 + а > а/2,
а > —6;
х = (а - 2)/3,
-3 < (а - 2)/3 < а/2,
а > -6,
х = а + 4,
 а + 4 < -3,
а > -6;
[х = а + 2Г
{а > -4;
\х = (а - 2)/3,
\а > -4;
(х > а/2,
•х = 2 + а,
[а > -6;
[-3 < х < а/2,
•х = (а - 2)/3,
[а > -6;
1х < -3,
х = а + 4,
а > —6;
ГГх = а + 2,
а > -4,
[а> -6;
х = (а - 2)/3,
а > -4,
а > -6,
а > -7;
[х = а + 4,
\а<~7,
[а > -6;
а > -4,
Гх = а + 2, (►£)
[х = (а - 2)/3.
3) а <-6.
Опять получаем совокупность трех систем.				
	fx>-3,			х = 2 + а,
		-а + 2х + 1 = х + 3,		2 + а > —3,
	\а < -6;		[а < -6;	
		а/2 < х < -3,		х = (а - 4)/3,
		-а + 2х + 1 = -х - 3,		а/2 < (а - 4)/3 < -3,
		а < “6?		а < -6;
		х < а/2,		х = а + 4,
		а - 2х + 1 = -х - 3,		а + 4 < а/2,
		а < -		а < -6;
1.6. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля 159
х = 2 + а,	
а >	-5,
а <	-6,
х =	(а - 4)/3
а <	-8,
а <	-5,
.а <	-6;
х =	а + 4,
а <	-8,
а <	-6;
|х = (а - 4)/3,
[а < -8,
1х = а + 4,
[а < -8;
а < -8,
х = (а - 4)/3, (ГТ)
х = а + 4.
Представим результаты решений в случаях 1-3
на координатной прямой параметра а (рис. 49),
а также в системе координат (аОх) (рис. 50). (Г7)
Рис. 50
601 Раздел 1.1. Линейные уравнения с параметром
Ответ. 1)Если а > -4, тох = а + 2; х = (а - 2)/3.
2) Если а < -8, то х = а + 4; х = (а — 4)/3.
3) Если -8 < а < -4, то решений нет.
№ 15. Найдите значения а, при которых все реше-
ния уравнения 2|х -а| + а- 4 + х = 0 удовлетворя-
ют неравенству О С х < 4.
Решение.
Для ответа на вопрос задания достаточно решить
совокупность двух систем:
х > а,	х = (а + 4)/3,
2х - 2а + а - 4 + х = О,
О С х< 4;
х < а,
 -2х + 2а + а- 4 + х = 0
О «S х < 4;
х = (а	+ 4)/3,	I;
а <2,	I-
-4 С а	С 8;	I;
\х = За	- 4,	|<
[4/3<а<2;
(а + 4)/3 > а,
О С (а + 4)/3 С 4;
х = За - 4,
За - 4 < а,
О < За - 4 < 4;
х = (а + 4)/3
-4 < а < 2;
х = За - 4,
4/3 < а <2.
4..
-Ин—н*
14 2 а
Изобразим результаты реше-
ния в системе координат
(аОх) (рис. 51).
Рис. 51
Отв е т. а е [-4; 2].
Уравнения для самостоятельного решения
1) |х - 2| = а - 1. (>Т~)
2)	|х - 3| = ах + 1. (УГ)
3)	|х - 5| = 2ах — 3 + а. (Уз)
4)	2|х| + |х - 1| = а. (УТ)
5)	|х + 1| + а| 1 - 2х| = 3/2. (У?
2.1, Подготовительные неровенство и их системы 161
6)
7)
8)
9)
10)
х| + |х-а| = 0. (ГТ)
х2-1| + |а(х-1)| = 0. (ГТ)
х - 2а| + За = jx — 4|. (нГ)
х - а\ + |х - 2а| = 32. (ГУ)
При каких значениях а
(а 1)х (2а - 1)
+ х — 11 — а| + 2
уравнение
= 0 имеет
х - 1
только положительные решения? (но)
11) При каких значениях а уравнение |х - а\ -
- |2х + 2| = 3 имеет единственное решение? (НТ)
Q Линейные неравенства с параметром
и к ним сводимые
 2.1. Подготовительные неравенства и их систем
Следующие ниже неравенства решите устно.
№ 1. 2х > 6; -2х < 8; 0 • х < 2; 0 • х < 0; 0 • х < 0;
0 • х < -3; 0"х>3;0’х>0;0"х>0;0"х> —3.
№ 2. 0 • х > -2а2 - 5; 0 • х < 5р2 + 1; 0 • у < (b - I)2;
О • z < (а - I)2; 0 • х > 1 - 2т + т2;
О • х > (р - 2)2; 0 • х > -(а — I)2; 0 • х < р2;
О • х < а - 3; 0 • у 2а + 3; 0 • г > а -
О • г > Ь - 3; 0 • х > п2 - 1.
Хе 3. Решите систему неравенств
\х> а,
\х> 3.
Решение (рис. 52).
Рассмотрим ряд случаев.
1)	Если а = 3, то х > 3. (ГТ)
2)	Если а > 3, то х > а. (иг)
3)	Если а < 3, то х > 3. (ГТ)
х > 3
Рис. 52
а
(ось ответа)
62 I Роздел 1.2. Линейные неровенстао с порометром
№ 4. При каких значениях а промежуток [8; +оо)
[ х > 5
принадлежит множеству решений системы j
Решение (рис. 53).
00С: \а 6 R’
[х е R.
1) Если а < 5, то х е (5; +°°).
2) Если а > 5, то х е [а; +°о).
Проведем анализ множества решений данной
системы:
1) если а < 5, то [8; +оо) с (5; + °°);
2) если а > 5, то [8; +оо] с [а; +оо) только в случае
5 < а < 8.
х > 5
8	а
(ось ответа)
х > а
Ответ, а е 8].
.. е „	\х < а,
№ о. Решите систему неравенств 9
Решение.
1)	Если а = 2, то х < 2.
2)	Если а > 2, то х < 2.
3)	Если а < 2, то х < а.
№ 6. Решите систему неравенств \х<а’
Решение.
1) Если а < 3, то решений нет.
2) Если а > 3, то х е (3; а).
[ Л- 3
№ 7. Решите систему неравенств . ’ ,
[х ч 2 — Ь.
Решение.
Узнаем сначала, при каких значениях Ь выраже-
ние 2 - b равно 3. Получаем b = -1.
2.1, Подготовительные неровенство и их системы
А теперь рассмотрим следующие случаи.
1)	b = -1; тогда <х х = 3. (м
х о,
2)	& >-1; тогда 2 - & < 3.
Система решений не имеет.
3)	& < -1; тогда 2-Ь> 3;хе [3;2-&]. ®
Ответ. 1) Если Ь = -1, то х = 3.
2) Если Ь < -1, то х е [3; 2 - &].
3) Если Ъ > -1, то решений нет.
№ 8. Решите систему неравенств ]х > ®
Решение.
Приравняем выражения а - 2 и За + 1:
а - 2 = За + 1,
а =-3/2.
Рассматриваем три случая (рис. 54).
1)	а = -3/2:
т. е. х е (-7/2; +оо).
2)	а < -3/2; тогда а - 2 > За + 1; х е (а - 2; +°о).
3)	а > —3/2; За + 1>а-2;хе (За + 1; +°°).
---------------- (-7/2; +оо) -----------------
(а-2;+°о)	.Z (За+1;+°о)	х
а
3/2
(ось ответа)
Рис. 54
641 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(аОх) (рис. 55). (кГ)
Рис. 55
А теперь, пользуясь осью ответа и графической
интерпретацией ответа, проанализируем множе-
ство решений системы.
1.	Какие из приведенных ниже пар чисел (а; х)
удовлетворяют данной системе неравенств:
1) (-1; 0); 2) (0; 0); 3) (-1/3; 0); 4) (-2; 2); 5) (1;
2); 6) (-3,5;-1,5)? <^2)
2.	Какие значения может принимать х в паре чи-
сел (0; х), если она является решением системы
неравенств? (кГ)
(Ответ, х > 1.)
3.	Пара (а; х) является решением системы нера-
венств.
а)	Какие значения может принимать а, если х при-
нимаеу только положительные значения? УТ)
2.1. Подготовительные неравенства и их системы
б)	Найдите несколько пар, являющихся реше-
ниями неравенства, если а = -1/3. (ГТ/
в)	При каких значениях а переменная х прини-
мает значения только большие 1? (Гб/
г)	При каких значениях а любое х е [3; 4] удов-
летворяет системе неравенств? (ГТ/
д)	При каких значениях а любое хе [-5; -4] удов-
летворяет системе неравенств? (ПГ)
(Ответы, а) а > -1/3. б) (-1/3; 1/2);
(-1/3; 3). в) а > 0. г) а < 2/3. д) а < -3.)
4. При каких значениях а ни одно из чисел
х е [2; 3] не удовлетворяет системе
неравенств? (Гр
(Ответ, а > 2/3.)
[2 < х < 5
№ 9. Решите систему неравенств	'
Решение (рис. 56).
Если а - 3 = 2, то а = 5.
Если а - 3 = 5, то а = 8.
Рассмотрим 5 случаев.
1)
2)
_	2 < х < 5,
а = 5; тогда _
[X Z,
о [2 < х < 5,
а = 8; тогдаL 5
х е (2; 5). (ГТ/
Решений нет.
► 2
3)	а < 5; тогда а - 3 < 2. Решением системы нера-
венств в этом случае будет интервал (2; 5). (ГТ/
4)	5 < а < 8; тогда 2 < а - 3 < 5. Получим интервал
[а - 3; 5). (ГТ)
5)	а > 8; тогда а - 5 > 5. Решений нет. (ГТ/
0
а
(ось ответа)
Рис. 56
66 I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
№ 10. Решите систему неравенств
\а - 2 < х < 5,
[х > 2а + 2.
Решение (рис. 57).
Заметим, что а — 2 < 5, т. е. а < 7. Поэтому, если
а > 7, то решений нет. (ГГ)
Теперь узнаем, при каких значениях а выраже-
ние а - 2 равно 2а + 2: а — 2 = 2а + 2, а = -4. Если
же 2а + 2 = 5, то а = 3/2.
Рассмотрим ряд случаев.
1)а = -4: | 6 < х < 5, х е (-6; 5). (ГТ)
[х > -6.	—'
п\ о /о [—1/2 Сх'Сэ, _	„	—
2)	а = 3/2:	'	Решении нет.(Гз)
х > о.
3)	а < -4; тогда а - 2 > 2а + 2.
Поэтому х е [а- 2; 5). (ГТ)
4)	-4 < а < 3/2: х е (2а + 2; 5). (Ts)
5)	3/2 < а < 7. Решений нет. (Гб)
------------\(-6; 5V------\	~ /--------------
[а - 2; 5)	(2а + 2; 5)	0
-4	3/2	а
(ось ответа)
Рис. 57
Ответ. 1) Если а < -4, то х е [а - 2; 5).
2)	Если -4 < а < 3/2, то х е (2а + 2; 5).
3)	Если а > 3/2,то решений нет.
№ 11. При каких значениях а неравенство
Зх-2>а-х + 4 является следствием неравенст-
ва 2х + а > 0?
Решение.
Сначала решим каждое неравенство.
1) Зх - 2 > а - х + 4; 4х > а + 6; х > (а + 6)/4;
хе ((а + 6)/4; +°о).
2) 2х + а > 0; х > -а/2-, х е (-а/2; +оо).
Множество решений второго неравенства должно
содержаться в множестве решений первого нера-
2.1  Подготовительные неравенства и их системы
1б7
венства. А это возможно, если -а/2 > (а + 6)/4,
т. е. -2а > а + 6, а < -2.
Ответ, а е -2].
№ 12. При каких значениях а неравенства
2х + 1<х + 2аих — 2а-3<2а равносильны?
Реш е н и е.
1) 2х + 1 < х + 2а; х < 2а - 1; х е (-°°; 2а - 1).
2) х - 2а - 3 < 2а; х < 4а + 3; хе (-°°; 4а + 3).
У равносильных неравенств множества их реше-
ний совпадают.
Найдем а, решив уравнение
2а - 1 = 4а + 3; а = -2.
О т в е т. а =-2.
№ 13. Решите систему неравенств
-2 < х < 4а + 1,
х < 2а + 6.
Решение.
Решим систему графически в системе координат
(аОх).
Строим графики функций х = -2, х = 4а + 1, х =
= 2а + 6. Прямые на рисунке — пунктирные, по-
скольку неравенства данной системы строгие
(рис. 58). Каждая из прямых делит плоскость на
две полуплоскости. Стрелками указаны полу-
плоскости, координаты каждой из которых удов-
летворяют соответствующему неравенству (х > -2,
х < 4а + 1, х < 2а + 6).
Пересечение данных полуплоскостей (заштрихо-
вано) удовлетворяет данной системе неравенств.
Найдем координаты точки А (точка пересечения
прямых х = -2 и х = 4а + 1) и точки В (точка пере-
сечения прямых х = 4а + 1 и х = 2а + 6):
•х ; 2,	IX	= -2,
|х = 4а + 1,	а	-3/4,	А(-3/4;-2).
|х = 4а + 1,	\а	= 5/2,
|х = 2а + 6,	|х	= 11,	В(5/2; 11).
681 Раздел 1,2. Линейные неравенства с параметром
Теперь можно заполнить ось ответа (рис. 59).
		-----Х( 2; И) /------------
0------------------------------------------\у(-2; 4а + 1)	(-2; 2а + * * * * * 6)
-3/4	5/2	«
(ось ответа)
Рис. 59
Вопросы и задания к данному пр им еру
1. Пусть (а; X) — решение системы.
а) Укажите наименьшее целое значение а.
б) Укажите наименьшее целое значение X.
в) Пусть а — 1. Найдите число точек с целыми коорди-
натами.
г) Найдите наименьшее целое значение а, если х — 5.
2,1, Подготовительные неравенства и их системы
1б9
д) При каких значениях а любое значение X е [0; 5]
удовлетворяет системе?
е) При каких значениях а соответствующее множество
значений X содержит два некоторых отрезка длиной 4
и 5, не имеющих общих точек, а само множество зна-
чений X содержится в некотором отрезке длиной 10?
(Ответы, а) а = 0; б) х = -1; в) 6; г) а = 2; д) а > 1;
е) 3/2 < а < 7/4.)
Решение.
При ответе на поставленные вопросы можно поль-
зоваться как рисунком 58, так и осью ответа. На
вопросы а) и б) легко ответить по рисунку 58:
а) а = 0; б) х = -1.
в)	Пусть а = 1. Тогда с оси ответа списываем, что
х е (-2; 5), откуда видно, что целых значений —
шесть: -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Затем на рисунке 58 проводим прямую а = 1 и
считаем число полученных точек (рис. 60 — фраг-
мент рис. 58).
г)	Из рисунка 58 а = 2.
д)	Решаем двумя способами.
1 способ (аналитический — по оси ответа).
1)	Если а = 5/2, то х е (-2; 11), [0; 5] с (-2; 11),
следовательно, а = 5/2 принадлежит искомому
множеству значений а.
701 Раздел 1,2. Линейные неравенства с параметром
—о-------------о---_
—2 0	5 4а + 1 х
Рис. 61
2)	Если а > 5/2, то 2а + 6 > 11, а значит, все значе-
ния а > 5/2 подходят.
3)	Значения а < -3/4 не
подходят.
4)	-3/4 < а < 5/2. Тогда
х е (-2; 4а + 1) (рис. 61).
Должно выполняться неравенство 4а + 1 > 5, т. е.
а > 1. Тогда а е (1; 5/2).
Объединяя все полученные множества значений
а, получим а е (1; +°°).
2 способ (графический).
Покажем сначала множе-
ство точек, координаты ко-
торых удовлетворяют усло-
виям задания д) (рис. 62 —
фрагмент рис. 58).
По рисунку видно, что при
а = 1 нельзя взять х — 5.
Поэтому а > 1.
е) Решаем двумя способа-
ми.
1 способ (аналитический).
1)	-3/4 < а < 5/2. Изо- —
бразим соответствующее
множество значений х	рис
(рис. 63).
На этом интервале должны расположиться два от-
резка длиной 4 и 5, не имеющие общих точек, а сам
интервал (-2; 4а + 1) должен содержаться в неко-
тором отрезке длиной 10. Таким образом, должны
выполняться условия следующей системы:
-3/4<а<5/2,	|-3/4<а< 5/2,
(4а + 1) + 2>9, (а >3/2,	3/2<а<7/4.
(4а + 1) + 2 < 10; [а С 7/4,
2,1, Подготовительные неравенства и их системы 171
2)	а = 5/2 — не подходит, так как множество
(-2; 11) не содержится ни в каком отрезке дли-
ной 10.
3)	а < -3/4 — не подходит.
4)	Если а > 5/2, то 2а + 6 > 11, значит, а е (5/2;
+оо) не подходит.
Ответ. 3/2 < а < 7/4.
2	способ (графический).
Выберем на оси Ох множество точек, расстояние
каждой из которых до прямой х = -2 больше 9, но
меньше или равно 10 (рис. 64 — фрагмент рис. 58).
Рис. 64
72 I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
Эти значения хе (7; 8].
Находим соответствующие им значения а:
3/2 < а < 7/4.
2. При каких значениях а ни одно значение х е [3; 4]
не удовлетворяет данной системе?
(Ответ, а < 1/2.)
Решение.
1 способ (аналитический).
1) Значения а > 5/2 — не подходят.
2) Пусть -3/4 < а < 5/2.
Изобразим соответствующие значения х (рис. 65).
-2 4а +1 3	4 х
Рис. 65
Должны выполняться условия:
3 4а + 1,
-3/4 < а < 5/2,
1/2,
-3/4<а<5/2,
3) а < -3/4 — подходят.
-3/4<а< 1/2.
Ответ, а < 1/2.
2 способ (графический).
Рис. 66
2.2. Простейшие линейные неравенства с параметром
Покажем на графике искомое множество точек, а
затем определим соответствующие значения а
(рис. 66 — фрагмент рис. 58).
Ответ, а < 1/2.
Неравенства для самостоятельного решения
1)	Решите устно: 0 • х < |&|; 0 • у < |& - 1|;
а2
О • 2 >	- 2|; 0 • 2 > -\р + 3|; 0 • х > г-j
0-х
(а - I)2
|х - 1|
о-у
1Ы + з
х2
а
У
О • х <
2)	Решите системы неравенств:
а)
х > 2а - 1,
х > а - 5;
б)
х < За,
х < 2а + 6;
► 2
в)
-2 < х < 4, ___
_ о о (Уз)
х < 2а - 2; —
-2 < х < 4а + 1,
х < 2а + 6.
3)	При каких значениях Ь данное неравенство
(х - 2Ъ)/4 - х > b + 1 является следствием нера-
венства 2х - Ъ/2 < х/4 + b - 1? (Vs)
 2.2. Простейшие линейные неравенства
с параметром
№ 1. Решите неравенство Зх - а > х + За + 4.
Решение.
Данное неравенство приводится к равносильному
неравенству х > 2а + 2. Решаем его графически
(рис. 67).
По рисунку 67 легко установить зависимость
между х и а. Прямая с уравнением х = 2а + 2
разбивает плоскость на две полуплоскости. Нера-
венство х > 2а + 2 определяет одну из них (за-
штрихованную). Координаты любой точки этой
полуплоскости, не лежащие на ее границе, удов-
летворяют неравенству х > 2а + 2. Если же мы
возьмем фиксированное значение а, то ему будут
741 Раздел 1,2. Линейные неравенство с параметром
соответствовать ординаты точек целого луча. На-
пример, если а = 1,тох>4,т. е. имеем множество
ординат точек луча MN, кроме точки М.
Ответ, х е (2а + 2; +оо).
№ 2. Решите неравенство а(х - 2) > (а - 1)х + х - 2.
Решение.
Раскроем скобки: ах - 2а ах - х + х - 2;
О* х > 2а - 2.
1) Если а < 1, то х е R. (ГГ)
2) Если а > 1, то решений нет. (ГГ)
Ответ. 1) Если а < 1, то х е (-°°; +°°).
2)	Если а > 1, то решений нет.
№ 3. Решите неравенство 2(х - 1) > а2 + 2(х - 3).
Решение.
2х - 2 > а2 + 2х - 6; 0 • х > а2 - 4.
Рассмотрим ряд случаев:
1)	а = ±2; тогда 0 • х > 0. Решений нет. (УГ)
2)	|а| > 2; тогда решений нет. (УТ)
3)	|а| < 2; тогда х е R. (Уз)
Ответ. 1) Если |а| > 2, то решений нет.
2) Еели |а| < 2, то х е R.
2.2. Простейшие линейные неравенства с параметром
№ 4. При каких значениях а неравенство
2х - а + 4 < 0 верно при всех значениях х, удов-
летворяющих условию 3 < х < 5?
Решение.
2х < а - 4; х < а/2 - 2; х е (-°°; а/2 - 2).
А теперь узнаем, при каких значениях а отрезок
[3; 5] принадлежит промежутку (—°°; а/2 - 2). Это
произойдет, если а/2 - 2 > 5, т. е. а > 14.
Ответ, а е (14; +оо).
№ 5. При каких значениях а неравенство х < 2а + 3
верно при всех значениях
условию — 3 < х < -а - 2?
Решение.
Достаточно решить систему
х, удовлетворяющих
2а + 3 > - а - 2,
—а — 2> —3.
ja> 5/3,	аер5/3. 1).
[а < 1,
Ответ, а е [-5/3; 1).
№ 6. Решите систему неравенств jg^ < а _|_ g ’
Решение.
_	х>2-2а,
Данную систему приводим к виду < х <	+ 2
Определим, при каких значениях а 2 — 2а = а/2 +
+ 2: при а = 0.
А теперь рассмотрим три случая.
1)	а = 0; тогда^ ’	Решений нет. (ГТ)
X < 2.	----
2)	а > 0; тогда а/2 + 2 > 2 - 2а,
х е (2 - 2а; а/2 + 2). (>Т)
3)	а < 0; тогда 2 - 2а > а/2 + 2. Решений нет. (кГ)
Ответ. 1) Если а > 0, то х е (2 - 2а; а/2 + 2).
2)	Если а < 0, то решений нет.
7Ь I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
Проиллюстрируем ответ в системе координат
№ 7. Следующие неравенства решите устно:
1) (а2 + 1)х > 0;	6) (Ь + 2)у > 0;
2)(р2 + 7)х<1;	7)(2-р)х<0;
3)	—(&2 + 2)г < 0;	8)р-х<0;
4)	(-а2 - 3)х > а2 + 3;	9) |а - 3| • х > 0;
5)(а-1)х>0;	10) -|а2 - 1| • у < 0.
№ 8. Решите неравенство ах > 2.
Решение.
1)	а = 0; тогда 0 • х > 2. Решений нет. (ТТ)
2)	а < 0; тогда х < 2/а. (ГТ)
3)	а > 0; тогда х > 2/а. (кГ)
Ответ. 1) Если а > 0, то х > 2/а.
2) Если а < 0, то х < 2/а.
3) Если а = 0, то решений нет.
№ 9. Решите неравенство (а-1)х<а2-1.
Решение.
1)	Пусть а = 1; тогда 0 • х < 0, х е R. (ТТ)
2)	Если а>1,тох<а + 1. (ГГ)
3)	Если а < 1, то х > а + 1. Уз)
Ответ запишите сами.
2.2. Простейшие линейные неравенства с параметром 177
№ 10. Решите неравенство (а2 - 4)х < а + 2.
Решение (рис. 69).
1)	а = 2; тогда 0 • х < 4, х е R. (УГ)
2)	а = -2; тогда 0 • х < 0. Решений нет. (ГГ)
3)	|а| > 2; тогда х < 1/(а - 2). (УТ)
4)	|а| < 2; тогда х > 1/(а - 2). (Уд)
Представим результаты решения на оси парамет-
ра а (рис. 69).
№11. Решите неравенство 2х - 3 > а + х/а.
Решение (рис. 70).
Установим область определения неравенства:
ООН:1а*2’ гул
[х е R. 4—'
Приведем данное неравенство к равносильному
неравенству
(2а - 1)
-------- х 3 + а.
а
1)	а = 1/2; тогда 0 *х > 3,5. Решений нет. (Уг)
2)	а е (-°°; 0) и (1/2; +°°); тогда (2а - 1)/а > 0,
а поэтому х > (За + а2)/(2а - 1). (УТ)
3)	а е (0; 1/2); тогда (2а - 1)/а < 0,
х < (За + а2)/(2а - 1). (Уд)
Нанесем результаты на ось параметра (рис. 70).
Ответ запишите сами.
78 I Раздел 1,2. Линейные неравенства с параметром
м* ю тэ	(а-1)х-2а + 3
№ 12. Решите неравенство---------—-j----> О.
Решение.
Установим ООН: \а * (ГТ)
Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
(1)
1(а - 1)х > 2а- 3;
(2)
[(а - 1)х < 2а - 3.
Решаем систему (1).
1)	Если а = 1, то х е R. (ГТ)
2)	Если а е (-1; 1), то х < (2а - 3)/(а - 1). (ГТ)
3)	Если а > 1, то х > (2а - 3)/(а - 1). (Г7)
Решая систему (2), учтем, что а - 1 < О,
если а <-1. Поэтому х > (2а - 3)/(а - 1). (ГТ)
Ответ легко списать с оси ответа (рис. 71). (ГТ)
№ 13. При каких значениях k неравенство (k - 1)х +
+ 2k + 1 > 0 верно при всех х, удовлетворяющих
условию |х| < 3?
Решение.
Решим сначала неравенство (k - 1)х >-2fe - 1.
Возможны следующие случаи:
1) k = 1; тогда 0 • х > -3, х е R;
2) k > 1; тогда х > (2k + 1)/( 1 - k),
2k +1
1 - k ; +°°
х е
2.2. Простейшие линейные неравенства с параметром
8) k < 1; тогда х < (2k + 1)/(1 - й),
х е
2k +1
— ОО* ---
’ 1-й
При й = 1 множество решений данного неравен-
ства включает в себя отрезок [-3; 3]. Для того
чтобы отрезок [-3; 3] принадлежал множеству
((2й + 1)/(1 - й); +°°), где й > 1, достаточно, чтобы
выполнялось неравенство (2й + 1)/( 1 - й) < -3.
Решаем это неравенство:
(2й + 1)/(1 - й) + 3 < О,
(4 - й)/(1 - й) < 0, йе (1;4).
Аналогично найдем, при каких значениях й < 1
отрезок [-3; 3] принадлежит множеству
(-оо; (2й+ 1)/(1 -й)).
(2й + 1)/(1 - й) > 3; (2й + 1)/( 1 - й) - 3 > О,
(5й - 2)/(1-й) > 0, й е (0,4; 1).
Ответ, й е (0,4; 4).
Данное неравенство можно решить и графически
в системе координат (хОу) (рис. 72).
Пусть у = (k -1)х + 2й + 1. Имеем линейную функ-
цию при любом й е R.
Рисунок 72, а соответствует случаю й > 1; рису-
нок 72, б — случаю й < 1 и рисунок 72, в относит-
ся к случаю й = 1.
801 Раздел 1.2, Линейные неравенства с параметром
Для того чтобы неравенство (k - 1)х + 2k + 1 > 0
выполнялось при любом значении х е [-3; 3], до-
статочно, чтобы выполнялись следующие усло-
вия:
У(-3) > 0,
11/(3) > 0.
Получим систему неравенств:
[4 - k > 0,
- 2 > 0;
< т. е. k е. (0,4; 4).
k > 0,4;
№ 14. Решите систему неравенств:
5ах - 5 < 6 - ах,
2 - (а + 2)х < 5 - (За + 2)х.
Решение.
бах <11,
2 - ах - 2х < 5 - Зах - 2х;
ах < 3/2.
1)	Если а = 0,
ах<11/6,
ах <3/2;
то х е R. (ТГ)
3	,__
ТО X <	. (>Т)
2а 4—'
3	,__ч
тох>2а‘ (ЕТ)
Ответ запишите сами.
2) Если а > О,
3) Если а < 0,
№ 15. Решите систему неравенств
(а - 1)х > а* * 2 * - 1, (1)
(а + 2)х < а2 - 4. (2)
Решение.
Решаем сначала каждое неравенство отдельно:
(а — 1)х > а2 — 1.
1) а = 1; тогда 0 • х > 0. Решений нет.
а > 1; тогда х > а + 1.
а < 1; тогда х < а + 1.
(а + 2)х < а2 - 4.
а = -2; тогда 0 • х < 0, х е R.
а > -2; тогда х < а - 2.
а < -2; тогда х > а - 2.
2)
3)
1)
2)
3)
2,2. Простейшие линейные неравенства с параметром! 81
Отметим результаты решения на координатных
прямых параметра, а затем воспользуемся осью
ответа (рис. 73).
Рис. 73
0_________
а
(ось ответа)
Ответ. 1) Если а < -2, то х е [а - 2; а + 1).
2)	Если а = -2, то х е (-°°; -1).
3)	Если -2 < а < 1, то х е (-°°; а - 2].
4)	Если а > 1, то решений нет.
Неравенства для самостоятельного решения
1)	1х + 2а < 4х - а + 3. (ТТ)
2)	2(а - 1)х > 2а(х + 1) - 2х + 3. (ГТ)
3)	&2 + х - 3 > 2(х — 1). £з)
4)	При каких значениях с неравенство
2х + с - 5 > 0 верно при всех значениях х, удов-
летворяющих условию -3 < х < 1 ? (кГ)
5)	При каких значениях р неравенство
х > Зр — 18 верно при всех значениях х, удовлет-
воряющих условиюр + 2<х<2р— 1?
6)	(а — 5)х > 2. (Гб~)
7)	(26-1)у<4. £7)
8)	(а - 1)х > 5а + 1. (ЙГ)
9)	(а + 1)х + 3 < 5а + 1. (►?)
10)	ах + 3> х- 1. (но)
11)	(т + 1)х + 4 < ( 1 - 2т) х + 3. (ЙТ)
821 Раздел 1,2. Линейные неравенства с параметром
12)	3(2а-х)<ах + 1. (Й2)
14)	2а(а - 2)х > а - 2. (мд)
15)	(а + 1)(а + 5)х < а + 1. (Hs)
17)
18)
Зр - (р + 2)х
Р- 1
19)	При каких значениях т неравенство
(т - 2)х + 2т - 5 < 0 верно при всех х, удовлет-
воряющих условию |х| > 5? (му)
20)	Решите систему неравенств:
а)	\х > 2а - 3,
[ х < а - 7. (йба)
б)	f За - 1 С х < -4а - 8,
х > 3. >206)
в)	| Зах - 5 < 6 - ах,
ъ (а + 1)х - 3 < (1 - 2а)х + 5. >20в)
г)	|(3а + 1)х - 2 < х + 3,
12 + Зах > 14. (►гог)
 2.3. Дробно-рациональные неравенства
с параметром
№ 1. Решите неравенство-----х- > 0.
Решение.
Воспользуемся условием, когда дробь больше ну-
ля. Получим совокупность двух систем.
\х> 2Ь,
\х > 2;
|х < 2Ь,
[ [х < 2.
2Ь = 2 при Ь = 1.
2.3. Дробно-рациональные неравенства с параметром 183
Теперь рассмотрим три возможных случая:
1)	b = 1; -—| > О, х е (-сю; 2) и (2; +°°).(>1?)
2)	Ь > 1; тогда 2Ь > 2: \Х >
т, е. х 6 (-оо; 2) и (26;+оо). (ТУ)
3)	Ь <1; тогда 26 <2: iх > 2'
[х < 2Ь,
т. е. хе (-°°; 26) и (2; +оо). (►у)
О тв ет. 1) Если b > 1, тох е (-°°; 2) и (26; +оо).
2) Если Ь < 1, то х е (-сю; 2Ь) и (2; +°о).
Неравенства такого вида удобно решать и мето-
дом интервалов: на оси х отмечаются точки, раз-
деляющие числовую прямую на интервалы, в
X __
каждом из которых функция у = --------ж сохраня-
ет знак. Нас в данном примере интересует случай,
когда у > 0. Штрихуем эти области (рис. 74).
1)	Ь = 1; тогда х е (-<»; 2) и (2; +оо).
2)	b > 1; х е (-°°; 2) и (26; + сю) (рис. 74, а).
3)	b < 1; х е (-с»; 26) и (2; +°°) (рис. 74, б).
+ - + + - +
/////////////£, ЖЖ z 'М ~
2 2b х	2Ь 2 х
а)	в)
Рис. 74
№ 2. При каких значениях а неравенство
х-(а/4)
-----z— < 0 выполняется при всех значениях х,
х - 2а
удовлетворяющих условию 2 < х < 4?
Решение.
Решим данное неравенство.
X
1) а = 0; тогда - < 0. Решений нет.
2) а > 0; тогда х е (а/4; 2а) (рис. 75, а).
84 I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
3) а < 0; тогда х е (2а; а/4) (рис. 75, б).
+ - + + - +
--------....................^:/^////////^
а/4 2а х	2а а/4 х
а)	б)
Рис. 75
Для того чтобы отрезок [2; 4] был подмножеством
интервала (а/4; 2а), достаточно, чтобы выполня-
лась система неравенств:
[а > 0,
<а/4<2,
[2а > 4. Откуда а е (2; 8).
Аналогично составим систему для случая 3.
а < 0,
2а <2.
а/4 > 4. Система решений не имеет.
Ответ, а е (2; 8).
№ 3. Решите неравенство (а - 1)(х - За)/(х - 9) < 0.
Решение.
Приравняем За и 9: а = 3.
Рассмотрим пять случаев,	•	•
отмеченных на оси пара-
метра а (рис. 76).	?ис'
1)	а = 1; тогда 0 • (х - 3)/(х - 9) < 0,
х е (-оо; 9) и (9;+оо). (£Г)
2)	а = 3; тогда 2(х - 9)/(х - 9) < 0.
Решений нет. (ГГ)
3)	а > 3; тогда а - 1 > 0, За > 9.
Достаточно решить неравенство
(х - За)/(х - 9) < 0 (рис. 77).
+ — +
______(5^	____
9 За
хе (9; За]. (£з)
Рис. 77
2.3. Дробно-рациональные неравенства с параметром 185
4)	1 < а < 3; тогда а - 1 > 0, За < 9.
Решаем опять неравенство (х - За)/(х - 9) < О
(рис. 78).
——► х е [За; 9). (ЕЮ
За 9 х
Рис. 78
5)	а < 1; тогда а - 1 < 0, За < 9.
Решим неравенство (х - За)/(х - 9) > О (рис.
79).
+ — +
^///7//^-х G (_оо; За] и (9; +ОО). (VF)
За 9 х
Рис. 79
Ответ. 1) Если а = 1, то х е (~°°; 9) и (9;+°°).
2)	Если а = 3, то решений нет.
3)	Если а > 3, то х е (9; За].
4)	Если 1 < а < 3, то х е [За; 9).
5)	Если а < 1, то х е (-°°; За] и (9; +°°).
(b - 1)х - (2Ь + 1)
№ 4. Решите неравенство —-------тт-----— > О.
(Ь - 1)(х - 3)
Решение.
Разделим числитель и знаменатель дроби, стоя-
щей в левой части неравенства, на Ь - 1 0.
х-(2&+ !)/(&-!)
х-3	ш
Приравняем выражение (2b + 1)/(& - 1) и число 3:
(2& + 1)/(& - 1) = 3, & = 4.
Возможны следующие случаи (рис. 80).
1)
4) о 3) ж 2)
1	4 Ь
Рис. 80
86 I Раздел 1,2. Линейные неравенства с параметром
1)	Ь = 4; тогда (х - 3)/(х - 3) > О,
X £ (-оо; 3) и (3; 4-00). (J7)
2)	Ь > 4; тогда (2b + 1)/(& - 1) < 3. Решаем неравен-
ство (1) (рис. 81).
+ - +
2&+1	3 х
Ъ~Х хе (-со;(2&+1)/(&-1))и(3;+со).(ЕГ)
Рис. 81
3)	1 < Ъ < 4; тогда (26 + 1)/(6 - 1) > 3.
Решаем (1) (рис. 82).
+ - +
'/////////////^_
3 2b + 1 х
Ь - 1
Рис. 82 Х £ Ь°°; 3) U ((2& + 1)/(& “ 1)5 +00)- ®
4)	Ь < 1; тогда (2b + 1)/(& - 1) < 3 (рис. 83).
+ — +
'/////////////^_
2& + 1	3 х
Ъ~Х хе (-oo;(2d + l)/(&-l))u(3;+oo).(jy)
Рис. 83
Нанесем результаты на ось параметра (рис. 84).
V/ U(3;+oo) VUU-1 ;+oo)V	С 2Ь+1\ I-00; ъ - 1 ) и(3;+°°)
1	4 Рис. 84	b (ось ответа)
X № 5. Решите неравенство	о < х — &	2& + 1 (t> “ 3)(х “ 2)
Решение
ООН:
Ъ 3,
х Ф 2. (ГГ
2.3. Дробно-рациональные неравенства с параметром 187
Приводим данное неравенство к виду
<Ь - 3)х - (2& + 1)
(х - 2)(& - 3)	<0. И далее:
х -(26 + !)/(&-3) < 0	(1)
х 2
2& + 1
Решаем уравнение -узу = 2. Оно решении не
имеет. Поэтому рассмотрим только два случая:
2) <2.
о — о
Решаем неравенство (1) в каждом из случаев:
26 + 1	7
1) -т—5— 2 > 0; т—5 > 0; Ь > 3 (рис. 85).
О — о	О — о
+ — +
______
2 2b + 1 х
Ь-3
Рис. 85
2) b < 3; (рис. 86).
+	7,	+
26+1	2 х
Ь - 3	хе
Рис. 86
Окончательный ответ нанесем на ось параметра
(рис. 87).
(26 + 1 Л
(ь-з
Рис. 87
2b + 1\
b-3 J
b
(ось ответа)
881 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
_	ах - За - 2
№ 6. Решите неравенство —-—> 0.
Решение.
ООН: е ?’
\х * 6.
Коэффициент при х в числителе может быть боль-
ше 0, меньше 0, равен 0.
1) Пусть а = 0; тогда -—-.-.- >0; х < 6;
х - 6
х е (-°°; 6). (ГГ)
2) Если а > 0, то данное неравенство приводится к
такому:
•У-^а...> о; + 2 = 6; а = 2/3.
х - 6	а
Решаем полученное неравенство для каждой из
трех возможностей:
а)	а = 2/3; б) а > 2/3; в) 0 < а < 2/3.
Y —- А
а) а = 2/3; тогда--- > 0, х е (-°°; 6) и (6; +°°);(VT)
х — о	—
б)	а > 2/3 (рис. 88);
+ — +
За + 2	6 х z	4-9 i
—х е ( —оо; £g-L^ I u (6; +оо);(^з)
Рис. 88
в) 0 < а < 2/3 (рис. 89);
+ — +
6 За + 2
а
.	Г За + 2 , _ \ v
х е (-оо; 6) и —-— ; + оо J. (П)
Рис. 89
3) Пусть а < 0 (рис. 90), тогда -—+ 2)/а q
*	х — о
2.3. Дробно-рациональные неравенства с параметром
+ — +
За + 2 о х
а
Г За+ 2 „ Л ,—.
х 6 I —-— ; 6 I. (ED
Рис. 90
Ответ — на оси параметра (рис. 91).
а
(ось ответа)
Рис. 91
№ 7. Решите неравенство
Зах +4 < х За - 5
За + 9 а + 3 За — 9
Решение (рис. 92).
ООН: |а*±3’
\х е R. (►+
Переносим все члены из правой части в левую и
приводим к общему знаменателю.
х(а2 - 4а + 3) - (а2 - 1) < _
(а - 3)(а + 3)	’
х(а - 1)(а - 3) - (а2 - 1) < _
(а - 3)(а + 3)
Рассмотрим пять возможных случаев.
1)а = 1; решений нет. (ьТ)
2)	а > 3; х < а + * , х е f
а - 3	\
а + 1
а - 3
о, 1 ,	а+1	/	а + 1 А —.
3)	1 < а < 3; х <--- , х е -оо;---- I (Гр
а о	\	а — о j
4	а+1	С а + 1 , Ч ,—.
4)	-3 < а < 1; х >--- , х е ---- , +°о 1 (ГТ)
CL — О	\ (L О )
901 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
а + 1
а - 3
5) а < -3; х <
( ® + 1 .
ЕШЖВЕШЕЭШЕй!
-3	1	3	а
(ось ответа)
Рис. 92
Неравенства для самостоятельного решения
2х - За
х + 1
(ГГ)
3) Га + ЗНхА") <0-
(J/ I О у «Ди О у
4) {а ~У~х^а-а- >о- (ED
ОС1
2ах + 3 < 16
Эх - 4
6) “х~ * > 1. (ED
х - а
71 х <	+ 1	,—
° х - 2 (Ь - 3)(х - 2) ‘
_ 2х - /и___________т 3
{т - 2)(х + 3) т - 2 < х + 3 ’
„ ах - 3 а
9) х - 3	2
Ю)
2ах + 3
5х - 4а
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
 2.4. Неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля
№ 1. Следующие неравенства решите устно.
|2х + За| > -1; |х - 4| < -(& - I)2; |х + 5| > -с2;
|х - 2а| < -3; |х - &| > 8; |3а - х| < 1; |-х - а| > 6.
№ 2. Решите неравенство |х + 3| • (а - 1) > 0.
Решение.
1)	а = 1; тогда |х + 3| • 0 > 0; решений нет.
2)	а > 1; тогда х е (-°°; -3) и (-3; +°°).
3)	а < 1; решений нет.
Ответ. 1) Если а > 1, то х е (-оо; -3) и (-3; оо).
2) Если а < 1, то решений нет.
№ 3. Решите неравенство (а + 1)(а - 3) • |х| < 0.
Решение.
1)	Если а = -1 или а = 3, то решений нет.
2)	Если а е (-°°; -1) и (3; +°°), то решений нет.
3)	Если а е (-1; 3), то х е (-°°; 0) и (0; + оо).
На рисунке 93 мы отметили промежутки знако
постоянства произведения (а + 1) • (а - 3).
+ — +
-----•---•-----►
-13 а
Рис. 93
Ответ. 1) Если а е (-°°; -1] и [3; +°°), то реше
ний нет.
2) Если а е (-1; 3), то х е (-°°; 0) и (0; +°°)
№ 4. Решите неравенство |х - 1| > а - 1.
Решение.
1) Пусть а = 1; тогда |х - 1| > 0,
х е (-°0; 1) и (1;+°°). QT)
921 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
2) Если а > 1,
х > а,
х <2 - а,
3) Если а < 1.
т. е. х е (-°°; 2 - а) и (а; + °°). (►Г) ;
то а - 1 < 0; тогда х е (-°°; +°°). (кГ) j
Ответ запишите сами.	j
№ 5. Решите неравенство |2 - х| < Ь + 2.	1
Решение.	'
Перепишем данное неравенство в виде ему равно-
сильного неравенства
|х - 2| < Ъ + 2.
1) b = -2; тогда |х - 2| < 0, х = 2. (ГГ)
о, , п [х — 2 С b + 2,
2)Ь>-2;тогда|а._2> Ь 2.
М* + 4. хе [-Ь;& + 4].
\х > -о;	—
3) Ь < -2; решений нет. (кГ)
Ответ. 1) Если Ь = -2, то х = 2.
2) Если Ь > -2, то х е [-&; Ь + 4].
3) Если Ь < -2, то решений нет.
№ 6. Решите неравенство |ах - 1| < 3.
Решение (рис. 94).
Данное неравенство равносильно системе нера-
венств:
\ах - 1 < 3,	_
<	1	„ Решаем эту систему:
[ CLX — 1 > —о.
[0 • х < 4
1) а = 0; тогда _	’ х е (~°°; +°°).(>Т)
[О • х > —2,	—
2) а > 0; тогда	х е (-2/а; 4/a).(jT)
I л*	/ а
_______________ Г—сю • + сю ) _________
(4/а; -2/а)
0	а \
Рис. 94	(ось ответа)
ах < 4,
ах > -2.
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
3) а < 0; тогда
х<-2/а, ХЕ (4/а;-2/a).(ED
Ответ. 1) Если а > 0, то х е (-2/а; 4/а).
2) Если а = 0, то х е (-°°; +о°).
3) Если а < 0, то х е (4/а; -2/а).
№ 7. Решите неравенство |(а - 1)х - 3| > 1.
Решение.
Решаем совокупность неравенств, равносильную
данному неравенству:
(а - 1)х - 3 > 1,
(а - 1)х - 3 < -1;
1) Пусть а = 1; тогда
2) Пусть а > 1; тогда
(а - 1)х > 4,
(а - 1)х < 2.
0 • х > 4
о-х<2: хе
х > 4/(а - 1),
х < 2/(а - 1),
х е (-°°; 2/(а - 1)) и (4/(а - 1); +оо). (VT)
3) а < 1; тогда
х < 4/(а - 1),
х > 2/(а - 1),
х е (-оо; 4/(а - 1)) и (2/(а - 1); +оо).
Ответ. 1) Если а > 1,
то х е (-°0; 2/(а - 1)) и (4/(а - 1); +оо),
2) Если а = 1, то х е (-°°; +°°).
3) Если а < 1,
то х е (-°0; 4/(а - 1)) и (2/(а - 1); + °°).
№ 8. Решите неравенство |х + 3| > ах - 2.
Решение.
Раскроем модуль:
!х —3,
|х + 3 > ах - 2;
fx < —3,
Д-х - 3 > ах - 2;
х > —3,
х(1 - а) > -5;
х < —3,
х(1 + а) < -1.
(1)
(2)
941 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
Найдем решения системы (1) (ось (1) на рис. 95):
1) а = 1; тогдаj* ’_5 х > -3, х е [-3; +°о). (Kp
2)а>1;тогда^5/3’а1ь
Если а > 1, то 5/(а - 1) > -3, х е [-3; 5/(а - 1)).
3) а < 1;(х J Z3.’	-3= 5/(а - 1); а = —2/3.
]х>5/(а-1),	'
Рассмотрим возможные случаи.
а)	Пусть -2/3 < а < 1; тогда 5/(а - 1) < -3;
х >-3; хе [-3;+°°). (Ур
б)	Пусть а < -2/2, то 5/(а - 1) > -3; х > 5/(а - 1);
хе (5/(а-1);+оо).
в)	а = -2/3; тогда х > -3; х е (-3; +°°). (Ур
Аналогично решаем систему (2) (ось (2) на
рис. 95):
1)	а = -1; тогда] „	’ Решений нет. (Ур
U • х < —1.
(5/(а - 1); +°о)
(-3; +оо) [-3; +°о)
-2/3	1	а ’ J
2/3
(-5/2 ;+°о)	х / 3	(-оо; +оо)
(5/(а - 1);\ /(	_1/(a +	/	\ /
+о°)у U(5/(а - 1); Н-оо)	5/(а ~ 1))
-1	-2/3	1	а
(ось ответа)
Рис. 95
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля
2)	а > -1; тогда!* <
х<-1/(я + 1),
3) а < -1; тогда
-1/(я + 1) =-3, я =-2/3.
а)	-1 < а < -2/3; тогда х < -1/(я + 1),
х е (-оо; -1/(а + 1)). (VT)
б)	а > -2/3; тогда х < -3, х е (-оо; -3). (мГ)
в)	а = -2/3; тогда х < -3. (►у)
х < —3,
х > -1/(я + 1).
Заметим, что -1/(я + 1) > 0 при а < -1, а потому
система решений не имеет, (но)
А теперь заполняем ось ответа (см. рис. 95). (мр
Ответ. 1) Если а < -1, то х е (5/(я - 1); +°°).
2)	Если -1 < а < -2/3,
то х е (-оо; -1/(я + 1)) и (5/(я - 1); +°°).
3)	Если а = -2/3,
то х е (-оо; -3) и (-3; +оо).
4)	Если —2/3 < а < 1, то х е (-°°; + °°).
5)	Если а > 1, то х е (-°°; 5/(я - 1)).
№ 9. Найдите значения а, при которых неравен-
ство \х + 2] - |2х + 8| > а имеет единственное ре-
шение.
Решение.
Будем решать графически в системе координат
(хОу).
Для построения графика функции
у = \х + 2| - |2х + 8| раскроем модули:
-х — 6, если х > -2,
у = -Зх - 10, если -4 < х
х + 6, если х < -4.
Анализируя рисунок 96, можно заключить, что
только при а = 2 данное неравенство имеет един-
ственное решение х = -4.
-2,
96 I Раздел 1.2, Линейные неравенства с параметром
Ответ. а = 2.
№ 10. Решите неравенство х • |х - 5| < |х + 1| - а.
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
|х + 1| - |х - 5| > а.
Пусть у = |х + 1| - |х - 5|, тогда
6, если х > 5,
У = 2х - 4, если -1 < х < 5,
-6, если х < -1 (рис. 97).
Рассмотрим ряд случаев:
1)	а < -6; тогда х е (-°°; +°°).
2)	а = -6; тогда х е (-1; +°°).
3)	-6 < а < 6; тогда 2х-4 = а, х = 2 + а/2.
И тогда интервал (2 + а/2; +оо) — множество ре
шений неравенства при а е (-6; 6).
4)	а > 6;д>ешений нет.
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 197
Ответ. 1) Если а < -6, то х е (-°°; +°°).
2)	Если а — -6, то х е (-1; +°о).
3)	Если -6 < а < 6, то х е (2 + а/2; +°°).
4)	Если а > 6, то решений нет.
№ 11. Решите неравенство \х - За\ < |х - а| - 2а.
Решение.
Рассмотрим три случая:	*	3^ х
а = 0; а > 0; а < 0.	Рис ?8
1)	а = 0; |х| < \х\, решений нет.
2)	а > 0; в этом случае а < За (рис. 98).
Рассматривая каждый из трех промежутков
значений х на прямой х (см. рис. 98), получим
совокупность трех систем:
Пх > За,
Ц х - За < х - а ~ 2а;
|а < х < За,
(За - х < х - а - 2а;
х <а,
За - х < а - х - 2а;
Пх > За,	
ДО-	х < 0;
ра 5	С х < За
\х'	> За;
IJX "	<а,
0-	х > 4а.
Все системы совокупности несовместны.
98 I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
3)	а < 0; тогда За < а (рис. 99).
Решаем еще одну совокуп-
ность трех систем для трех
интервалов значений х:
-»---•—►
За	а * * * * * * * * * х
Рис. 99
х > а,	
х — За <	х - а - 2а;
За < х <	'а,
х - За <	а - х - 2а;
х < За,	
За - х <	: а — х - 2а;
За < х < а,
[х < За,
|х > а,
0 • х < 0;
I |3а < х < а,
lx < а;
,'х < За,
[ДО • х > 4а.
Ответ. 1) Если а > 0, то решений нет.
2) Если а < 0, то х е (-°°; а).
л- «о г>	\х-2а\
№12. Решите неравенство -...д +~J 0-
Решение.
Решаем уравнения х-2а = 0их-а + 1=0.
Тогда х = 2аих = а-1.
Приравняем выражения 2а и а - 1:
2а = а - 1, а = -1.
Точка а = -1 делит ось параметра на два интерва-
ла. Остановимся на трех случаях.
..	, |х + 21	„
1) а = -1; тогда - + 2 > 0; х > -2;
х е (-2; +оо). (ГГ)
2) а > -1; тогда 2а > а - 1; х > а - 1;
х е (а - 1; +°о). (►у)
3) а < -1; тогда 2а < а - 1;
х е (а - 1;+оо) и {2а}. Уз)
Ответ. 1) Если а = -1, то х е (-2; +оо).
2) Если а > -1, то х е (а - 1; +оо).
3) Если а < -1, то х е (а - 1;+оо) {2а}.
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 199
№ 13. Решите неравенство |х + щ > О-
Решение.
Решаем уравнения х + ЗЬ = Оих + &- 2 = 0.
Тогда х = -ЗЬ и х = -Ь + 2.
Теперь решаем уравнение -ЗЬ = -Ь + 2; Ь = -1.
Рассмотрим случаи:
X _
1)	b = -1; тогда ,-s-r > 0, х е (2; +оо).(кТ)
I X —	|
2)	b < -1; тогда -ЗЬ > -Ь + 2, хе {-ЗЬ; +<»). (ГГ)
3)	b > -1; тогда -ЗЬ <2 -Ь, х> -ЗЬ, х*2-Ь,
т. е. х е {-ЗЬ; 2 - 6) и (2 - 6; +°о). (кГ)
Ответ запишите сами.
№ 14. Решите неравенство |х - 2&| - |2х - 1| > Ь - 1.
Решение.
х - 2Ъ = 0, 2х - 1 = 0. Тогда х = 2Ь и х = 1/2.
Приравняем 2Ъ и 1/2 : Ь = 1/4.
Рассмотрим три случая.
1)	Ъ = 1/4; тогда |х - 1/2| - |2х - 1| > -3/4,
—|х - 1/2| > -3/4, |х - 1/2| < 3/4,
-3/4 < х - 1/2 < 3/4, -1/4 < х < 5/4,
х е (-1/4; 5/4).
2)	Ь > 1/4; тогда 2Ь > 1/2 (рис. 100).
-------------------•---•-----*
1/2 2Ь х
Рис. 100
Рассматривая каждый из трех промежутков,
получим
!х > 2Ь, |х - 2Ь - 2х + 1 > Ъ - 1; [ 1/2 < х < 2Ь, 1-х + 2Ь - 2х + 1 > Ь - 1; \х < 1/2, - 1 —х + 2Ь + 2х - 1 > Ь - 1;	fx^2&,	(1) [х < 2 - ЗЬ; (1/2<х<2&,	(2) (х < {Ь + 2)/3; (х<1/2,	(з) [х > -Ь.
1001 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
Решаем каждую из систем (1)—(3).
(i)[x>26,	26 = 2-36, 6 = 2/5.
[х <2 —
а)	Ь = 2/5; в этом случае^ < 4/5’
Решений нет. (ГТ)
б)	Ь > 2/5; тогда 2Ъ > 2 - ЗЬ; решений нет. (ГГ)
в)	1/4 < Ъ < 2/5; тогда 2 - ЗЬ > 2Ъ, (ГГ)
х е [2Ь; 2 - ЗЬ).
(2)|1/2<x<26, 2Ь = (Ь + 2)/3, 6 = 2/5.
[х *'*'I 2)/3.
а)	6 = 2/5; {^4/5^ 4/5’ хе [1/2; 4/5). (ГТ)
б)	6 > 2/5; 26 > (6 + 2)/3, 1/2 < х < (6 + 2)/3,
х е [1/2; (6 + 2)/3). (ГТ)
в)	1/4 < 6 < 2/5; 26 < (6 + 2)/3, 1/2 < х < 26,
хе [1/2; 26). (Гб)
|х<1/2, _& < * < 1/2, х е (-6; 1/2). (ГТ)
х > -6.
Объединим все решения систем (1)—(3), восполь-
зовавшись координатными прямыми параметра
(рис. 101). (ED
(-Ь; 1/2)
2.4. Неравенство, содержащие переменную под знаком модуля 1101
3) Ь < 1/4; тогда 2Ь < 1/2 (рис. 102).
-•-----•—
2Ь 1/2
Рис. 102		
|х>1/2,		г,х>1/2,	(1)
। х — 26 - 2х + 1	>6-1;	[х < 2 - 36;
|26<х< 1/2,		26<х<1/2, (2)
|х — 26 + 2х — 1	>6-1;	[х > Ь;
\х < 26,		х < 26,	(3)
,2b - х + 2х — 1	>6-1.	Цх > -Ь.
Если Ь < 1/4, то 2 - ЗЬ > 1/2.
хе [1/2; 2-ЗЬ). (ED
[26<х<1/2,
W‘\x>b.
а)	Ъ = °; J 1/2’ 0 < х < 1/2, х е (0; 1/2).(5о)
б)	0 < Ь < 1/4; 2b С х < 1/2, х е [26; 1/2). (ЕЛ)
в)	6<0;6<х<1 /2, х е (6; 1/2). (иг)
ч ,;х < 26,
(3)’1х>-6.
а)	Если 6 = 0, то решений у системы нет. (нз)
б)	Если 0 < 6 < 1/4, то х е (-6; 26). (Ей)
в)	Если Ь < 0, то система несовместна. (El5)
Объединим все решения последних трех систем
(рис. 103). (Ей)
[1/2; 2 - ЗЬ)_______________ _ (1)
1/4 Ь .
Рис. 103
102 I Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
А теперь покажем множество решений данного
неравенства на оси ответа (рис. 104).
(-1/4; 5/4)
(-2/5; 4/5)
---------{°’' 2)
(5; 2 - 3&)\/(-&; 2 - 35)\/ (-5; 2 - 3&)\/(~&; (Ъ + 2)/3)
1/4	2/5	b
(ось ответа)
О
Рис. J04
Ответ. 1) Если b < 0, то х е (&; 2 - 3&).
2) Если 0 < Ь < 2/5, то х е (-&; 2 - 3&).
3) Если Ь > 2/5, то х е (-6; (Ь + 2)/3).
Ха 15. Найдите все положительные значения пара-
метра а, при которых для любого числа из отрезка
[-3; 3] верно неравенство |2х + а|х| —13| > 1.
(ЕГЭ, 2004 г.)
Решение. Приведем один из возможных спосо-
бов решения данной задачи.
При решении учтем, что по условию а > 0.
Данное неравенство равносильно совокупности
неравенств
2х + а|х| - 13 > 1,	2х + а\х\ > 14,	(1)
2х + ах - 13 <-1,	2х + а|х| < 12.	(2)
Решаем неравенство (1):
!х>0,	(3)
|х(а + 2) > 14,
|х<0,	(4)
[х(2 - а) > 14.
Решаем системы (3) и (4).
(3): Если а > 0, то х > 14/(а + 2) (рис. 105).
Рис. 105
0
[14/(а + 2); +°°)
-----------------* (3)
а
2.4. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 1103
(4): Если а > 2, то х < 14/(2 - а).
Если а = 2, то решений нет.
Если 0 < а < 2, то	.
[х > 14/(2 -а).
Решений нет (рис. 106).
Рис. 106
Результаты решений систем (3) и (4) сводим на
оси а (рис. 109, ось (1)).
Переходим к неравенству (2):
[х>0,	(5)
\х(а + 2) < 12;
х<0,	(6)
[х(2 а) 12.
0	[0; 12/(а + 2)]
Рис. 107
Рис. 108
(5): 0 < х < 12/(а + 2) (рис. 107).
(6): Если а > 2, то 12/(2 - а) < х < 0.
Если а = 2, то х < 0.
Если 0<а<2, тох<0 (рис. 108).
Результаты- решений систем (5) и (6) сводим на
оси а (рис. 109 ось (2)). А затем заполняем ось от-
1041 Раздел 1.2. Линейные неравенства с параметром
вета, объединив множества решений неравенств
(1)и(2).
0	2	а
(ось ответа)
Рис. 109
Анализ множества решений:
1) 0 < а < 2:
Г12/(а + 2) >3,
|0 < а < 2,
О < а < 2 (рис. 110).
-3	3 12/(а + 2)
Рис. 110
Пунктирной стрелкой на рисунке показано
крайнее положение правого конца отрезка.
2) а >2:
12/(2- а) <-3,
12/(а + 2)>3,
а > 2,
а < 6,
 а < 2,
а > 2.
—3 3	*
12/(2-а)	12/(а + 2)
Рис. 111
Решений нет (рис. 111).
Ответ. (0; 2J.
2.4, Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля 1105
Неравенства для самостоятельного решения
1)	х - 5| • (6 - 3) < 0. (И)
2)	а2 - За + 2)* |х + 1| > 0. С
3)	Зх —5|<& + 1. (£Г)
4)	2 - х| > Ь - 3. (кГ)
5)	2х а < 2. (ГГ)
6)	Зх - 2а| > 6. (Гб~)
7)	(а-2)х + 3|>1. (ED
8)	5-(& + 3)х|<5. (мГ)
	ах - 5
9)	3	1 х < 3. (►?)
Ю)	х - 2| < Ьх + 2х - 1. (но)
И)	Зх - а| - \а + х| < 2а. (нГ)
12)	Зх — 1| > |х — 2| + 2а. (м2)
13)	х + &| > |2х + 4| + Ь. (из)
	I с — 2х|		
14)	<0. (мд) х + с — 2	—'
	2х - b	„		.
15)	о, , п । > 0. >15) х - ЗЬ + 1	4—
► 2
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ
И К НИМ СВОДИМЫЕ
а Справочный материал
 1.1. Квадратные уравнения
Определение. Уравнение вида ах2 + Ьх + с, где
х — переменная, а, Ь, с — некоторые числа, причем
а* О, называется квадратным.
► Определение. Коэффициент а называют первым
коэффициентом, коэффициент Ь — вторым коэф-
фициентом, с — свободным членом.
Определение. Выражение Ь2 - Аас называется диск-
риминантам квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = О
и обозначается буквой D.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два
равных корня: х1>2
Ъ „
~2а‘ Иногда говорят, что в
этом случае уравнение имеет один корень кратности
два или просто один корень. С алгебраической точки
зрения первый подход предпочтительнее. Однако
при решении задач с дополнительными условиями
будем считать, что при D = 0 квадратное уравнение
имеет единственный корень.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет дей-
ствительных корней.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два
различных действительных корня, которые можно
найти по формуле
1.1. Квадратные уравнения 1107
Ь ± Jb2 - 4ас
Xi’2' 2а
► Определение. Квадратное уравнение, первый ко-
эффициент которого равен 1, называется приведен
ным. В случае D > 0 формула корней приведенного
квадратного уравнения имеет вид
хг,2 = (-(у + Jb2 - 4с )/2 (а = 1).
Если b = 2k, то формула корней квадратного урав-
нения примет вид
х1,2 =	± V&2 - ас )/а, где k = Ъ/2.
Определение. Уравнения вида ах2 + Ьх = 0 (с = 0),
ах2 + с = 0 (Ь = 0) и ах2 = 0 (Ь = 0, с = 0) называются
неполными квадратными уравнениями.
Теоремы Виета
Прямая теорема: сумма корней приведенного
квадратного уравнения х2 + рх + q = 0 равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным зна-
ком, а произведение корней равно свободному чле-
ну, т. е. хг + х2 = р, х1-х2 = q.
В случае неприведенного квадратного уравнения
(а * 0, а * 1)
ах2 + Ьх + с = 0:х1 + х2 = -b/а,	• х2 = с/а.
Обратная теорема: если р, q, xv х2 таковы,
что хг+ х2 = -р, xt* х2 = q, то хг и х2 — корни уравне-
ния х2 + рх + q = 0.
Определение. Выражение вида ах2 + Ьх + с, где
а * 0, называется квадратным трехчленом.
Корнями квадратного трехчлена называются
корни соответствующего квадратного уравнения:
ах2 + Ьх + с = 0.
1081 Раздел 11.1. Справочный материал
Если D > 0, то квадратный трехчлен можно пред-
ставить в виде ах2 + Ьх + с = а(х - хг) • (х - х2), где х}
и х2 — корни трехчлена. Если D = 0, то ах2 + Ьх + с =
= а(х - х^)2, где х} — корень трехчлена.
Квадратные уравнения, содержащие параметр
Рассмотрим несколько уравнений:
(а + 1)х2 + Зх - 7 = 0,	(1)
х2 — 2ах + 3 = 0,	(2)
ах2 + х + а2 - 1 = 0,	(3)
(а2 - 4)х2 + 2ах + 4а = 0,	(4)
(а - 1)х2 + Jax - а = 0.	(5)
Эти уравнения являются квадратными уравне-
ниями с параметром а.
Воспользуемся определением квадратного уравне-
ния, содержащего параметры а, [3,..., у, и дадим опре-
деление квадратного уравнения с одним параметром.
Определение. Квадратным уравнением с парамет-
ром а называется уравнение вида А(а)х2 + В(а)х +
+ С(а) = О (I), где А(а), В(а), С(а) — данные функции
от параметра а, рассматриваемые в общей части их
областей определения.
В частности, некоторые из коэффициентов или
свободный член могут быть числами (например, в
уравнениях (1), (2) и (3)).
Если А(а) * 0, то уравнение (I) является квадрат-
ным в традиционном смысле, т. е. второй степени.
Если же А(а) = 0, то уравнение (I) становится ли-
нейным.
При всех допустимых значениях параметра а,
при которых А(а) *0 и D(a) = В2(а) - 4А(а) • С(а) > 0,
по известным формулам получаем выражения кор-
ней уравнения (I) через параметр.
Те значения а, при которых А(а) = 0, следует рас-
сматривать отдельно в качестве особых случаев.
1.2. Квадратичная функция 1109
Так, например, уравнение (5) при а = 1 примет
вид х - 1 = 0, откуда х = 1.
	1.2. Квадратичная функция
Определение. Функция, заданная формулой
у = ах2 + Ьх + с, где х и у — переменные, а, Ь, с — неко-
торые числа, причем а 0, называется квадратичной.
Графиком квадратичной функции является пара-
бола. Если а > 0, то ветви параболы направлены
вверх, если а < 0, то вниз.
Координаты вершины параболы: х0 =	,
d CL
4ас - b2
4а
Все наиболее важные свойства квадратичной
функции определяются таблицей 1.
Таблица J
Приведенная схема достаточно ясно показывает,
что дискриминант D, старший коэффициент а квад-
110 I Раздел 11.1. Справочный материал
ратного трехчлена, абсцисса х0 вершины параболы
конструируют «каркас», на котором строится те-
ория квадратичной функции.
	1.3. Расположение корней квадратного
трехчлена относительно заданных точек
Теорема 1 (рис. 112).
а > 0	а < 0
Рис. 112
Пусть f(x) = ах2 + Ьх + с — квадратичная функ-
ция, xlf х2 — действительные корни, К — какое-ни-
будь действительное число. Для того чтобы оба кор-
ня квадратного трехчлена были меньше, чем число
К, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ус-
ловил»
<К
2а К'
af(K) > 0.
1.3. Расположение корней квадратного трехчлена 1111
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена
были больше, чем число М, необходимо и достаточ-
но, чтобы выполнялись условия'.
D > О,
-%- >М,
2а
af(M) > 0.
Теорема 3 (рис. 114).
Рис. 114
Для того чтобы один из корней квадратного трех-
члена был меньше, чем число К, а другой больше
числа К (т. е. точка К лежала бы между хг, и х2), не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
а • f(K) < 0.
Теорема 4 (рис. 115).
Рис. 115
112 I Раздел 11,1. Справочный материал
Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена
были больше, чем число М, но меньше, чем число К
(М < К) (т. е. лежали в интервале между М и К), не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялись усло-
вия
D > О,
а-ДМ)>0,
a'f(K)>0,
М <
Теорема 5 (рис. 116).
Рис. J16
Для того чтобы только больший корень квадратно-
го трехчлена лежал в интервале МК (М < К), необхо-
димо и достаточно, чтобы выполнялись условия
W(M)<0,
Теорема 6 (рис. 117).
Рис. 117
2.1. Неполные квадратные уравнения с параметром! 113
Для того чтобы только меньший корень квадрат-
ного трехчлена лежал в интервале МК (М < К), необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
[a* f(K) < 0.
Теорема 7 (рис. 118).
а > 0	а < О
Рис. 118
Для того чтобы один корень квадратного трехчле-
на был меньше, чем М, а другой больше, чем К
(М < К), т. е. отрезок МК целиком лежал внутри
интервала между корнями, необходимо и достаточ-
но, чтобы выполнялись условия
\a-f(M)<Q,
[а • f(K) < 0.
Заметим, что приведенные в теоремах 1—7 усло-
вия могут быть получены при использовании на-
глядного (графического) представления задачи, что
и иллюстрируют данные рисунки.
Д Квадратные уравнения с параметром
и к ним сводимые
 2.1. Неполные квадратные уравнения
с параметром
№ 1. Решите устно уравнения:
а)	(а2 + 1)х2 = 0; (Ты)
б)	(|&| + 2)х2 = 0; (йб)
1141 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
в)	(а - 1)х2 = 0; (ЙГ)
г)	(Тс - 1)х2 = 0; (мй)
Д)|&Н1 =0:®
е)	(&2 - 4)у2 = 0; (Ей)
ж)	х2 = -а2 + 4а 4; (кй)
з)	(у2 - а4)/ Jy = 0; (Th)
и)	ах2 = а2; (мй)
к)	у2 + (а - З)2 = 0; (кй)
л)	Jb • у(у - 3) = 0; (мй)
м) у(у + 2а - 2)/(а - 1) = 0. (Гй)
н) х(х - 26) = 0. При каких значениях b число
4 расположено между корнями этого уравне-
ния? (мй)
о) у(2а - у) = О. При каких значениях а число
2а расположено между корнями данного урав-
нения? (йй)
№ 2. Решите уравнение х2 - а2 = 0.
Решение.
Установим ООУ: I а е 5’
х е R
(х - а)(х + а) = 0;
х - а = О,
х + а = О
хг = а,
х2 = ~~а
Выясним, существуют ли значения параметра а,
при которых найденные корни совпадают:
а = -а, 2а = 0, а = 0.
При а = 0 хг = х2 = 0 (рис. 119).
а
(ось ответа)
Рис. 119
2.1. Неполные квадратные уравнения с параметром 1115
Ответ. 1)Если а = 0, то2 = О*
2) Если а * 0, то хг = а, х2 = -а.
Графическая иллюстрация ответа в системе коор-
динат (аОх) представлена на рисунке 120.
Вопросы и задания по рисунку 120
1)	Существуют ли такие значения параметра а, при кото-
рых данное уравнение имеет единственное решение?
2)	Найдите корни уравнения, если а = -1, а = 3 / 7, а = 5.
3)	При каких значениях а X = 4 — корень данного урав-
нения?
№ 3. Решите уравнение у* 1 2 3 - Ь2 + 4 = 0.
Решение.
ООУ: е
у2 — fr2 — 4.
1) Если Ь2 - 4 < 0, т. е. Ь е (-2; 2), то уравнение не
имеет действительных корней. (ГТ)
2) Если Ь2 - 4 = 0, т. е. Ь = -2 или Ь = 2, то уравне-
ние примет вид у2 = 0, откуда уг 2 = 0. (ГГ)
3) Если Ъ2 - 4 > 0, т. е. Ь е (-°°; -2) и (2; +°°),
то = -7&2 - 4 , у2 = 7&2 - 4 . (Уз)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 121.
-------zzz~z:—\ у, о = О/-—\ у. 9 — 0/-------
У1 = - Jb2 - 4 , \ ’ /	\ ’ / У1 = -	- 4 ,
,---- \ / 0 \ /	,----
Уа = Л2 ~ 4  У_________V	У 2-	?
-2	2	Ь
Рис. 121
116 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
№ 4. Решите уравнение (с + 1)х2 - Зс = 0.
Решение (рис. 123).
ООУ: С е 5’
[х е R.
1) Если с + 1 = 0, т. е. с = -1, то уравнение примет
вид 0 • х2 = -3. Решений нет.
2) Если с +1 0, т. е. с * -1, то х2 = Зс/(с + 1).
Рассмотрим три случая (рис. 122).
-----О----9-----*-
-10 с
Рис. 122
а)	с = 0; тогда х2 = 0, х^ 2 = 0;
б)	Зс/(с + 1) > 0, с(с + 1) > О,
с е (-оо; -1) и(0; + оо);
тогда х1 = - 73с/(с + 1), х2 = 73с/(с + 1);
в)	Зс/(с + 1) < 0, с е (-1; 0). Уравнение не имеет
действительных корней.
х1 = -73с/(с + 1)\ 0 /	V1’2	=	+ 1),
х2= 73с/(с + 1), X/	Х/ x2=j3c/(c+l)
-10	с
(ось ответа)
Рис. 123
Ответ. 1) Если с е (-°°; -1) и (0; +°°), то
хг = - J3c/(c + 1), х2 = 73с/(с + 1).
2) Если с = 0, то х^ 2 = 0.
3) Если с е [-1; 0), то действительных
корней нет.
№ 5. Решите уравнение (тп2 - 9)у2 - т2 + 4ти -3 = 0.
Решение.
__\т е R,
ООУ:
\у& Rt
2.1. Неполные квадратные уравнения с параметром 1117
(т2 - 9)у2 — т2 - 4ти + 3,
(т - 3)(ти + 3)у2 = (т - 1)(ти - 3).
1) Если т - 3 = 0, т. е. т = 3, то уравнение примет
вид О • у2 = 0, откуда у е R. (ТГ)
Если т + 3 = 0, т. е. т = -3, то уравнение при-
мет вид 0 • у2 = 24. Решений нет. (ГТ)
2) Пусть т -3 и тп 3. Тогда у2 = (ти - 1)/(ти + 3).
Рассмотрим три случая (рис. 124).
-о--•----о*
-3	13"»
Рис. 124
а)	Если (т - 1)/(т + 3) = 0, т. е. т = 1,
то у2 = 0, у}i2 = 0. (ED
б)	Если (т - 1)/(т + 3) > 0,
т. е. т е (-«□; -3) и (1; 3) и (3; +°°),
то j/j = -7(и1 - 1)/(пг + 3),
у2 = ,./(т - 1)/(ти + 3). (>Т)
в)	Если (т - 1)/(т + 3) < 0, т.е. m е (-3; 1),
то уравнение не имеет действительных кор-
ней. (►D
Рис. 125
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 125.
№ 6. Решите уравнение Зх2 + (а - 2)х = 0.
Решение (рис. 126).
х = 0,	хг — 0,
Зх + а - 2 = 0; xs = (2 - а)/3.
ООУ:	„
[х е R.
х(3х + а - 2) = 0;
118 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Если 2 - а = 0, т. е. а = 2, то х} 2 = 0.
Xj = 0, х2 = (2 - а)/3	*! == 0, х2 = (2 - а)/3
2	а
Рис. 126
Ответ. 1) Если а = 2, то х^ 2 = 0.
2) Если а * 2, то хг = 0, х2 = (2 - а)/3.
Проиллюстрируем полученные результаты гра
фически (рис. 127).
№ 7. Решите уравнение 2х2 + (4&2 - 1)х = 0.
Решение (рис. 128).
ООУ:
е R,
\х е R.
х(2х + 4&2 - 1) = 0;
х1 = О,
х2 = (1 - 462)/2.
Если 1 - 4&2 = 0, т. е. Ь = -1/2 или Ь = 1/2,
Рис. 128
2.1, Неполные квадратные уравнения с параметром 1119
Ответ. 1) Если b = -1/2 или b = 1/2, то х12 = 0.
2) Если Ь Ф -1/2 и b Ф 1/2, то Xj = 0,
х2 = (1 - 4&1 2 3)/2.
Графическая иллюстрация ответа в системе коор-
динат (ЪОх) приводится на рисунке 129.
Рис. 129
Вопросы и задания по рисунку 129
1)	При каких значениях Ъ уравнение имеет отрицатель-
ные (положительные) корни?
2)	Чему равен самый большой корень уравнения? При ка-
ком значении Ъ он получается?
3)	Укажите множество значений функции
x(b) = (1 - 4&2)/2.
№ 8. Решите уравнение тх2 + (т + 1)х = 0.
Решение (рис. 130).
ООУ:
те R,
|х е R.
х(тх + т + 1) = 0;
х = 0,
тх = -т - 1.
1) Если т = 0, то второе уравнение примет вид
О • х = -1. Поэтому х = 0 — единственное реше-
ние совокупности при т = 0.
2) Если т 0, то х1 = 0, х2 = ~(т + 1)/ти. (ГТ)
3) Если т = -1, то хг 2 = 0. (►у)
1201 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
О	т
(ось ответа)
Рис. 130
Ответ. 1) Если т = 0, то х = 0.
2) Если т * 0, то х} = 0, х2 =-(т + 1)/т.
3) Если т = -1, то х1г 2 = 0.
№ 9. Решите уравнение (р - 1) у (ру - 4) = 0.
Решение.
ООУ:
[р е R,
R-
1) Еслир = 1, то у е R. QT)
2) Если р * 1, то у(ру - 4)
О и тогда
У = 0,
РУ = 4.
а)	При р = 0 второе уравнение не имеет корней.
Поэтому у = 0 — единственное решение сово-
купности. QT
б)	Прир^О уг = 0, у2 = 4/р. (ОТ)
У1 = 0,
У г = 4/р
\/	У 2 = 4/р
о
Рис. 131
У1 = 0,
У2 ° 4/р
Р
(ось ответа)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 131.
Уравнения для самостоятельного решения
1)	8х2 - а ~ 2 = 0. QT)
2)	(10 - а)х2 - 1 = 0. ОТ)
3)	(т - 1)х2 - 2т + 1 = 0. (ОТ)
4)	4х2 - 5Ьх = 0. (ОТ)
5)	(т + 9)х2 - тх - Зх = 0. (ОТ)
6)	х(ах + 2) = 0. (ОТ)
7)	При каких значениях Ь число 2 расположено
между корнями уравнения
х • ((& - 1)х - 3) = О? QT)
2.2. Приведенные квадратные уравнения с параметром 1121
 2.2. Приведенные квадратные уравнения
с параметром
№ 1. Решите уравнение х2 + ах - 3 = 0.
Решение.
ООУ: |ае 5’
D = а2 + 12; D > 0 при любых значениях а е R.
Поэтому уравнение имеет два различных корня:
2 = (-а ± 7а2 + 12 )/2.
Ответ. При любых значениях а е R уравнение
имеет два различных корня
х1, г = (~а - V«2 + 12 )/2.
№ 2. Решите уравнение х2 - 2ах + а2 - 4 = 0.
Решение.
ООУ: (а€ 5’
[X € XV.
Dt = а2 - (а2 - 4) = 4, Dt > 0 при любых значениях
а е R; тогда xt 2= а + 2.
Для иллюстрации ответа воспользуемся систе-
мой координат (аОх) (рис. 132).
Вопросы и задания по рисунку 132
1)	Найдите корни уравнения, если а = 0; а — 1; а = -2;
а = 3.
122 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
2)	При каких значениях параметра а один из корней
уравнения равен 2?
3)	При каких значениях параметра а один из корней
уравнения равен нулю?
4)	При каком значении параметра а уравнение имеет кор-
нями противоположные числа?
5)	При каких значениях а оба корня уравнения — поло-
жительные (отрицательные) числа?
6)	При каких значениях а уравнение имеет корни разных
знаков?
№ 3. Решите уравнение х2 —2ах + а2 + 3 = 0.
Решение.
ООУ: \а G J*’
е R.
Dt = а2 - (а2 + 3) = -3; -3 < 0.
Ответ. Уравнение не имеет действительных
корней.
№ 4. Решите уравнение у2 + Зту + 2т2 = 0.
Решение (рис. 133).
me R,
ye R.
D = (Зтп)2 - 4» 2т2 = т2; т2 > 0 при любых значе-
ниях т е R.
Рассмотрим два случая.
1)	Пусть D = 0, т. е. т = 0: уг 2 = 0.
2)	Пусть D > 0, т. е. т е (-°°; 0) о (0; +°°).
Уравнение имеет два различных действитель-
ных корня:
У1,2 = (-Зтп + т)/2; уг = -2т, у2 = -т.
ООУ:
”	у Л 2 ~ Ц/
У1 = -2т, у2 = -т	у1 = -2т,у2 = -т
0	т
(ось ответа)
Рис. 133
2.2. Приведенные квадратные уравнения с параметром 1123
О т в ет. 1) Если т = 0, то ух 2 = 0.
2) Если т е (—оо; 0) о (0; +°°),
то у1 = —2т, у2 = -т.
Проиллюстрируем полученные результаты в сис
теме координат (тОу) (рис. 134).
Вопросы и задания по рисунку 134
1)	Существуют ли такие значения параметра т, при кото-
рых уравнение не имеет действительных корней?
2)	При каких значениях параметра т уравнение имеет
единственное решение?
3)	При каких значениях т уравнение имеет два различ-
ных действительных корня?
4)	При каких т один из корней уравнения равен 2?
5)	Верно ли, что при т = 3 уравнение имеет только ко-
рень у = -3?
№ 5. Решите уравнение х* 1 2 + 2Ьх + 5&2 = 0.
Р е ш е н и е.
b е R,
хе R.
Dt = -4&2; —4&2 < 0.
1) Если д = 0, то D] - 0; х1( 2 = 0.
2) Если b Ф 0, то Dt < 0. Уравнение не имеет дейст-
вительных корней.
ООУ:
1241 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Рис. 135
0
Ь
(ось ответа)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 135.
№ 6. Решите уравнение х2 + тх + т2 +1 = 0.
Решение.
ООУ:
т е R,
х е R.
D = т2 - 4(тп2 + 1) = -Зтп2 - 4; -Зтп2 - 4 < 0 при лю-
бых значениях тп е R.
Ответ. Уравнение не имеет действительных
корней.
№ 7. Решите уравнение у2 - (а + 2)у + а2 + 2 = 0.
Решение.
ООУ:
а е R,
У е R-
D = (а + 2)2 - 4(а2 + 2) = -За2 + 4а - 4.
Дискриминант данного квадратного уравнения
является квадратичной функцией параметра а:
Да) = -За2 + 4а - 4.
Эта функция при любых значениях а принимает
отрицательные значения. Поэтому D < 0.
Ответ. Уравнение не имеет действительных
корней.
№ 8. Решите уравнение у2 + by + 5у + b - 4 = 0.
Решение.
ООУ:
b е R,
У € R.
Приведем данное уравнение к виду
у2 + (& + 5)т/ + b - 4 = 0.
D = (Ъ + 5)2 1(& - 4) = Ь2 + 6& + 41.
2.2. Приведенные квадратные уравнения с параметром 1125
Квадратичная функция f(b) = b2 + 6& + 41 при лю-
бых значениях b принимает положительные зна-
чения. Поэтому D > 0.
Уравнение имеет два различных корня:
У1,2 = Н6 + 5) ± Jb2 + 6& + 41 )/2.
Ответ. При любых значениях параметра b урав-
нение имеет два различных корня
У1,2 = (~(& + 5) ± 7&2 + 6& + 41 )/2.
№ 9. Решите уравнение х2 - 2х - а = 0.
Решение.
ООУ:	£’
\х е. и..
Для упрощения вычисления корней используем
Dj = D/4. Dt = 1 + а.
Рассмотрим три случая.
1)	Dt >0, т. е. а > -1; хг 2 = 1 ±	+ а . (Гр
2)	Dj = 0, т. е. а = -1; х12 = 1. (FT)
3)	< 0, т. е. а < -1. Уравнение не имеет дейст-
вительных корней. (Гз)
0	С1,2	~	+
“1	d
_	, „ ,	(ось ответа)
Рис. 136
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 136.
Проиллюстрируем полученные результаты в сис-
теме координат (аОх) (рис. 137).
Рис. 137
126 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Вопросы и задания по рисунку 137
При каких значениях параметра а:
1)	уравнение имеет различные корни, принадлежащие
отрезку [-1; 3];
2)	оба корня уравнения не принадлежат [-1; 3];
3)	разность между корнями превышает 6?
(Ответы. 1) а е (—1; 3]; 2) а е (3; +°°); 3) а е (8; +°°).)
Решения.
1)	Выделим на рисунке часть плоскости, содер-
жащую все точки с ординатами из [-1; 3]
(рис. 138), а затем найдем соответствующие
значения параметра: а е (-1; 3].
Рис. 138
2)	Уравнение имеет два различных корня при
а >—1.
Если а е (-1; 3], то оба корня принадлежат [-1;
3]. Поэтому а е (3; +°°).
3)	Очевидно, что 1 + 71 +а > 1 -	+ а при
всех а > -1. Так как разность между корнями
превышает 6, то график функции х = 1 +	+ а
должен быть выше, чем график функции
х = 1 - 71 + а на 6 единиц (рис. 139).
2.2. Приведенные квадратные уравнения с параметром 1127
Построим график функции х = 1 +	+ а - 6,
т. е. х =	+ а - 5, и найдем абсциссу точки его
пересечения с графиком функции х = 1	+ а ;
а = 8. Условию задачи удовлетворяют а > 8.
Замечание.
Ответить на данные вопросы можно, используя ось от-
вета.
№ 10. Решите уравнение у2 - ty + 2t = 0.
Решение.
ООУ: G ?’
[Z/e R.
D = t2 - 8t = t(t - 8).
Рассмотрим три случая (рис. 140).
-•------»
0	8
Рис. 140
t
1)	D > 0, т. е. t(t - 8) > 0; t е (-оо; 0) о (8; +°о).
Тогда уг 2 = (t ± Jt2 - 8t )/2. (Гц)
1281 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
2)	D = 0, т. е. t = 0 или t = 8; тогда уг 2 = t/2.
Если t = 0, то уг 2 = 0.
Если t = 8, то уг 2 = 4. (ГТ)
3)	D < 0, т. е. t е (0; 8). Уравнение не имеет дейст-
вительных корней. (Гз~)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 141.
№ 11. Решите уравнение х2 - т2х + 1 = 0.
Решение (рис. 143).
ООУ: \т&^,
[х е R.
D = т4 - 4 = (?и - 72 )(тп + а/2 )(тп2 + 2).
Рассмотрим три случая (рис. 142).
-а/2	72 т
Рис. 142
1)	D > 0, т. е. (тп - а/2 )(тп + а/2 )(тп2 + 2) > 0;
т е (-°°; -а/2) о (а/2; +°°). Тогда xt = (тп2 +
+ Jm4 - 4 )/2; х2 = (тп2 - Jm4 - 4 )/2. (ГТ)
2)	D = 0, т = ±а/2 ; х12 = 1. (ГТ)
3)	D < 0, тп е (-а/2 ; а/2 ). Уравнение не имеет дей-
ствительных корней. (Гз~)
2.2. Приведенные квадратные уравнения с параметром 1129
Ответ. 1) Если т е (-оо; -72) о (72; +°о), то
х1,2 = (т2 - 7 "г4 - 4 )/2.
2) Если тп = ±72,тох1 2 = 1.
3) Если те (-72; 72 ), то уравнение не
имеет действительных корней.
№ 12. Решите уравнение х2 + х — Jm = 0.
Решение (рис. 144).
ООУ:
т > 0
хе R.
D = 1 + 4 Jm ; D > 0 при любом значении т > 0.
xlt 2 = (-1 ± 71 + 4^ )/2. (Гр
Если т = 0, то xt = -1, х2 = 0. (Гр
При т < 0 уравнение не имеет решений. (Гз~)
0
Рис. 144
Х1,2
т
(ось ответа)
Ответ. 1) Если m > 0,
то 2 = (-1 ± 71 + 47^ )/2.
 2) Если т < 0, то уравнение не имеет
действительных корней.
1301 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
№ 13. Решите уравнение у2 - Jay + а - 1 = 0.
Решение.
ООУ:
а > 0,
i/e R.
D = а - 4(а - 1) = -За + 4.
1)	D > 0, -За + 4 > 0, а < 4/3.
С учетом ООУ: а е [0; 4/3).
у12 = (Ja ± 74 - За)/2. СТО
Если а = 0, то ух = 1, у2 = -1. (ЙГ)
2)	D = 0, а = 4/3; уг 2 = 73 /3. (Гз")
3)	D < 0, а > 4/3. Уравнение не имеет действи-
тельных корней. (кГ)
а < 0: действительных решений нет.
► 5
Ответ «снимите» с координатной прямой пара-
метра (рис. 145).
№ 14. Решите уравнение х2 + 71 - 2а х + а - 2 = 0.
Решение.
ООУ: [а С J/2,
х е R.
D = 1 - 2а - 4(а - 2) = 9 - 6а.
Оценим знак выражения (9 - 6а) с учетом ООУ
(рис. 146).
+ + -
1/2 3/2 а
Рис. 146
2.2, Приведенные квадратные уравнения с параметром 1131
Итак, если а < 1/2, то D > 0;
х1,2 = (—71 - 2а ± л/9 - 6а )/2.
Ответ. 1) Если а < 1/2, то
Х1 2 = (-л/1 - 2а ± л/9 - 6а )/2.
2) Если а > 1/2, то уравнение не имеет
действительных корней.
№ 15. Решите уравнение у2 3 - y/Jm + тп = 0.
Решение (рис. 148).
ООУ: т>®’
1г/6 R.
D = 1/т - 4т — (1 - 4т2)/т = (1 - 2тп)(1 + 2т)/т.
Рассмотрим три случая (рис. 147).
+	—	4"
I I
^///////^///////////////, ^
о т
Рис. 147
1) D > 0:
(1 - 2тп)(1 + 2т)/т > 0,
т > 0;
((2т - 1)(2т + 1) < 0,
\т > 0.
1 + 71 - 4 т2 _
2-Jrn
т е (0; 1/2). Тогда ух =
1 - 71 - 4т2
У2~ п /—	' <Н
2) D = 0, т = 1/2; ул 9 = 72 /2. ОТ)
3) D < 0, т > 1/2. Уравнение не имеет действи-
тельных корней. ОТ)
132 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
В соответствии с ООУ при т < 0 уравнение так-
же не имеет решений. У~д)
а
(ось ответа)
Рис. 148
Ответ. 1) Если т < 0 или т > 1/2, то уравнение
не имеет действительных корней.
2) Если т = 1/2, то уг 2 = J2 /2.
3) Если т е (0; 1/2),
Уравнения для самостоятельного решения
1)	х2 + (т + 1)х - т2 -2 = 0. УТ)
2)	х2 + 5ах + а2 = 0. У~2~)
3)	y2 + 2(b + 2)y + b2 + 4b + 4 = 0. (Гз)
4)	х2 - 2ах + а2 + 3 = 0. у~д)
5)	у2 - (Зтп - 1)у - т - 5 = 0. (ГГ)
6)	х2 - 2(т - 1)х + т2 - 2т -3 = 0. (Гб)
7)	х2-2х + 1 +а2 = 0. УТ)
8)	х2 -4&Х + 3&2 -4&-4 = 0. уТ)
9)	х2 - (За - 2)х + 2а2 - а - 3 = 0. (мГ)
10)	x2 — bx-2b = 0. у>
11)	х2 — 2jax + 2a = 0. (ПТ)
12)	х2 + J^mx + 2т = 0. (мг)
13)	у2 + 7п2 - 4 у + п2 = 0. (Пз)
14)	х2 -x/Jp - 1 = 0. (мд)
15)	х2 - 2х/ -t +3 = 0. (М5)
2.3. Квадратные уравнения с параметром 1133
 2.3. Квадратные уравнения с параметром
№ 1. Решите уравнение Зх2 + 2bx - 16&2 = 0.
Решение.
Dt = b2 + 48&2 = 49&2; Dt > 0 для любого значения
— и I WU —	V ДЛЛ J11WU1U ОХ1<хЧ.Сг1г171
be R.
1) Dt > 0, b Ф 0;	2 = (-& ± 7&)/3;	= -8&/3;
х2 = 2Ъ.
2) Dt = 0, Ъ = 0;	2 = 0.
2	\*1.2	//	2
Xj = -2 з b, х2 = 2Ь \	/ хг = -2з&, х2 = 2Ь
Ь
(ось ответа)
Рис. 149
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 149.
№ 2. Решите уравнение (т2 + 1)у2 + 2ту -1 = 0.
Решение.
ООУ: [т G1?’
[ye R.
Так как т2 + 1 Ф 0, то данное уравнение является
уравнением второй степени.
Dt = т2 + т2 + 1 = 2т2 + 1; Dt > 0 при любых зна-
чениях т е R.
у 1,2 = (-тп ± ^2т2 + 1 )/(тп2 + 1).
Ответ. При любых значениях параметра т
уравнение имеет два различных дейст-
вительных корня
2 =	± ^2т2 + 1 )/(тп2 + 1).
№ 3. Решите уравнение (Ь2 + 2)х2 + 2 73 х + Ь2 = 0.
Решение (рис. 151).
ООУ
b e R,
х е R.
1341 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Так как Ь* 2 3 + 2 Ф 0, то данное уравнение является
уравнением второй степени.
Dt = (73 )2 - b2(b2 + 2) = -&4 - 2Ь2 + 3 = -(&2 - 1)(&2 +
+ 3) = (1 - &)(1 + b)(b2 + 3).
Возможны три случая.
1)	Dt > 0; тогда (1 - &)(1 + Ь) (Ь2 + 3) > 0.
Так как Ь2 + 3 > 0, то данное неравенство равно-
сильно следующему: (b - 1)(& + 1) < 0 (рис.
150). Тогда b е (-1; 1).

-1	1 b
Рис. 150
В этом случае
2 = (-7з ± V-&4 - 2&2 + з )/(ь2 + 2). (го
2)	Dt = 0, b = ±1;	2 = - а/3 /3. (FT)
3)	Dt < 0, Ъ е (-оо; -1) о (1; +оо).
Уравнение не имеет действительных корней.
Рис. 151
b
(ось ответа)
Ответ. 1) Если b е (-1; 1), то хг, 2 = (-73 ±
±	- 2&2 + 3 )/(&2 + 2).
2) Если b — ±1, то 2 = -а/З /3.
3) Если b е (-°°; -1) о (1; +°°), то уравне-
ние не имеет действительных корней.
№ 4. Решите уравнение Ьх2 - 2х + 1 = 0.
Решение (рис. 152).
ООУ:
b е R,
хе R.
2,3. Квадратные уравнения с параметром 1135
Так как b е R, то первый коэффициент, в частнос-
ти, может быть равен нулю. Тогда уравнение ста-
нет линейным. Этот случай выделяется как осо-
бый.
1)	Пусть b = 0. Тогда уравнение примет вид
-2х + 1 = 0.
Оно имеет единственный корень х = 1/2. QT)
2)	Пусть b Ф 0. Тогда уравнение становится урав-
нением второй степени.
Dt = 1-&.
Рассмотрим три случая.
a)	Dt > 0, b < 1 (Ъ Ф 0);	= (1 + Jl - b )/b;
х2 = (1 - Ji - b )/b. (kT)
6)	Dt = 0, b = 1; xlf 2 = 1. QT)
в)	Dt < 0, b > 1. Уравнение не имеет действитель-
ных корней. (ОТ)
0	1	Ъ
(ось ответа)
Рис. 152
Ответ. 1) Если b = 0, то х = 1/2.
2) Если b =1, то xt 2 = 1.
3) Если b е (-°°; 0) о (0; 1), то 2 = (1 ±
± 71 - & )/ь.
4) Если b е (1; +°°), то уравнение не име-
ет действительных корней.
№ 5. Решите уравнение тх1 2 + Зтх - (т + 2) = 0.
Решение.
ООУ:
me R,
хе R.
1) т = 0. Уравнение примет вид 0 • х - 2 = 0. Ре-
шений нет. QT)
2) т Ф 0. Уравнение второй степени.
D = 9m2 + 4m(m + 2) = 13т2 + 8т = т(13т + 8).
136 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
a)	D > 0, т(13т + 8) > 0 (рис. 153).
/Ж/ZZ, z/ф__Л//////////////,
8	Оw
"13
Рис. 153
т е (—сю; -8/13) о (0; +оо);
-Зтп ± 713тп2 + 8тп ,_
-------2^--------•
б)	D = 0. Так как т Ф 0, то т = -8/13. Если
т = -8/13, то хх 2= -3/2. (7Т)
в)	D < 0, т е (-8/13; 0). Действительных корней
= 3/2
1,2
1,2
О
Рис. 154
-8/13
т
(ось ответа)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 154.
№ 6. Решите уравнение (п + 1)х2 +2пх + п = О.
Решение (рис. 155).
ООУ:
п е R,
х е R.
1) п + 1 = 0, п = -1; тогда-2х - 1 = 0; х = -1/2.(£7)
2) п + 1 Ф 0, п Ф -1. Тогда уравнение является
уравнением второй степени.
Dt = п2 - п(п + 1) = -п.
a)	Dt > 0, п < 0 (п Ф -1); тогда
Х1 2 = (-П ± 4-П )/(п + 1). (VT)
б)	Dt = 0, п = 0; хг 2 = 0- (►£)
в)	Dt < 0, п > 0. Действительных корней нет. (77/
2,3  Квадратные уравнения с параметром 1137
-10	п
(ось ответа)
Рис. 155
Ответ. 1) Если п е (-°°; -1) о (-1; 0), то
Х1, 2 = (-п ±	)/(П + 1).
2)	Если п = -1, то х = -1/2.
3)	Если п = 0 , то xlt 2 = 0.
4)	Если п > 0, то уравнение не имеет дей-
ствительных корней.
№ 7. Решите уравнение (а + 3)х1 2 * * * б) + (За + 2)х - 2а = 0.
Решение.
1) а + 3 = 0, а = -3; тогда -7х + 6 = 0; х = 6/7. (ГТ/
2) а Ф -3. Уравнение второй степени.
D = (За + 2)2 + 8а • (а + 3) = 17а2 + 36а + 4.
a) D>0, 17а2 + 36а + 4 > 0,
17(а + 2)(а + 2/17) > 0 (рис. 156).
+ — +
'///////^////////^^////////////////л
-3	-2	-2/17 а
Рис. 156
а е (-°°; -3) о (-3; -2) о (-2/17; + о°). Тогда
-(За + 2) ± 717а2 + 36а + 4	,___
Х1’2	2(а + 3)	• (ED
б) D = 0, а = -2 или а = -2/17; тогда
—(За + 2)
Х1-2 = 2(а + 3) •
Если а = -2, то xt 2 = 2.
Если а = -2/17, то xt 2 = -2/7. (ГТ)
1381 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
в) D < 0, а е (-2; -2/17). Действительных корней
нет. (кГ)
х = 6/7,----<х1)2 = 2,------Л,2 = -2/7,
Рис. 157
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 157.
№ 8. Решите уравнение (а2 - 4)у2 + 2ау +1 = 0.
Решение.
Преобразуем левую часть уравнения, выделив
квадрат двучлена:
а2у2 - 4у2 + 2ау +1 = 0,
(ay + I)2 - 4у2 = 0,
(ay + 1 - 2у)(ау + 1 + 2у) = 0.
Переходим к совокупности уравнений:
(а - 2)у + 1 = 0,
(а + 2)у +1 = 0.
Решаем сначала каждое уравнение отдельно.
1) (а-2)у + 1=0,(а-2)у = -1.
Если а = 2, то решений нет. (ГТ)
Если а + 2, то уг = 1/(2 - а). (УТ)
2) (а + 2)у + 1 = 0, (а + 2)у = -1.
Если а = -2, то решений нет. (7з~)
Если а + -2, то у2 = -1/(а + 2). (кГ)
Теперь сводим решения на координатной прямой
параметра а (рис. 158).
У1,У2
а
(ось ответа)
Рис. 158
2.3. Квадратные уравнения с параметром 1139
Проиллюстрируем полученный результат в систе-
ме координат (аОу) (рис. 159).
Вопросы и задания по рисунку 159
1)	При каких значениях параметра а уравнение имеет
единственное решение?
2)	При каких значениях параметра а уравнение имеет два
различных действительных корня?
3)	Найдите корни уравнения при <2 = О, <2 = 1, а = -3.
4)	Известно, что при некотором значении параметра а
числа —1 и 1/3 являются корнями данного уравнения.
Найдите это значение параметра.
5)	Известно, что один из корней данного уравнения равен
1. Найдите соответствующие значения параметра а.
№ 9. Решите уравнение (kx + 2)(х - 3) = 0.
Решение (рис. 160).
ООУ:
fee R,
х е R.
fex + 2 = 0, -
х — 3 = 0;
kx = -2,
X = 3.
140 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Если k = 0, то первое уравнение не имеет реше-
ний. Поэтому х = 3 — единственное решение сово-
купности при k = 0. (ГТ)
Если k Ф 0, то имеем
— 3,
' [х2=-2/fe,
k Ф 0.
Узнаем, при каких значениях k корни равны.
-2/fe = 3, k = -2/3. Если k = -2/3, то 2 = 3. (ГТ)
-2/3
Рис. 160
Ответ. 1) Если k = 0, то х = 3.
2)	Если к = -2/3, то х1; 2 = 3.
3)	Если k Ф 0 и k Ф -2/3, то xt = 3,
х2 = -2/к.
Замечание
Раскрыв скобки и упростив полученное выражение,
мы получили бы уравнение kx2 + х(2 — 3k) -6 = 0, ко-
торое при k = 0 является линейным, а при k 0 — вто-
рой степени.
Уравнения для самостоятельного решения
1)	2х2 + Зах - 4а2 = 0. (ГТ)
2)	(t2 + 2)х2 + 2tx + 1 = 0. (ГТ)
3)	(n + l)j/2 - 2у + 1 - п = 0. (Гз~)
4)	Ьх2 - (Ь + 1)х + 1 = 0. (ГГ)
5)	(а + 3)х2 + 6х + 2 = 0. (ГГ)
6)	с(х + 1)(х - 2) = 0. СГбТ>
7)	(ах - 5)(х - 4) = 0. (ГТ)
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1141
 2.4. Уравнения с дополнительными условиями
№ 1. При каких значениях параметра с уравнение
(с + 1)х1 2 + х - 1 = 0 имеет единственное решение?
Решение.
ООУ: fc G J’
хе К.
Достаточно рассмотреть два случая.
1) с + 1 = 0, с = -1. Уравнение является линей-
ным:
х - 1 = О, х = 1 — единственное решение.
2) с Ф -1. Уравнение второй степени.
Потребуем выполнимость условия D = 0:
1 + 4(с + 1) = 0, с = -5/4.
Ответ, с = -1 или с = -5/4.
№ 2. При каких значениях параметра Ъ уравнение
Ьх2 - Ьх + 2 = 0 имеет единственное решение?
Решение.
ООУ:
b е R,
хе R.
1) При Ъ = 0 уравнение примет вид 0 • х + 2 = 0.
Решений нет.
2) Пусть b Ф 0: D = Ь2 - 8&, D = 0. Так как Ъ Ф 0,
то Ъ = 8.
Ответ. Ъ = 8.
№ 3. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 2)х2 - 2ах + а + 1 = 0 имеет более одного корня?
Решение.
ООУ:
а е R,
хе R.
1) При а = 2 получим уравнение -4х + 3 = 0. Оно
имеет единственный корень.
2) Пусть а Ф 2. Dt > 0;
тогда а2 - (а + 1)(а - 2) > 0,	-
а + 2 > 0, а > -2 (рис. 161).	-2	2 а
Ответ, а е (-2; 2) о (2; +оо).	Рис. 161
142 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
№ 4. При каких значениях параметра а уравнение
а(а - 2)х2 + (2а - 4)х + За - 6 = 0 имеет более одно-
го решения?
Решение.
ООУ:
а е R,
хе R.
1)	При а = 0 получаем уравнение -4х -6 = 0. Оно
имеет единственное решение.
2)	Пусть а = 2: 0 • х = 0; х е R.
3)	Пусть а Ф 0 и а Ф 2.
Тогда Dt = (а - 2)2 - а(а - 2) • 3 • (а - 2),
(а - 2)2(1 - За) > 0, а < 1/3.
Ответ, а е (-°°; 0) о (0; 1/3) о {2}.
№ 5. Дано уравнение (3 + а)х2 - 2ах + а + 2 = 0.
При каких значениях параметра а:
а)	оно имеет два различных действительных корня;
б)	имеет один корень;
в)	не имеет действительных корней;
г)	один из корней равен нулю;
д)	оба корня равны нулю;
е)	корни равны по модулю, но противоположны
по знаку?
Решение.
а)
3 + а Ф 0,
Di>0;
а Ф —3,
5а + 6 < 0;
а Ф —3,
а2 - (3 + а)(а + 2) > 0;
а Ф —3,
а < -1,2.
Ответ, а е (-°°; -3) о (-3; -1,2).
б)	При а = -3 уравнение 6х - 1 — 0 имеет единст-
венное решение.
Пусть а Ф -3. Рассмотрим уравнение второй
степени.
|а + —3,	1аФ — 3,
[Dt = 0;	15а+ 6 = 0;
а = -1,2.
О т в е т. а = -3 или а = -1,2.
2,4. Уравнения с дополнительными условиями 1143
[а + -3,	1а + -3,	[at- 3,
в)	Dt<0;	|-5а-6<0;	ja>-l,2.
а > -1,2.
Ответ, а е (-1,2; +°о),
г)	Уравнение должно иметь вид Ах2 + Вх = 0, где
А + 0, В + 0.
f а + 2 = О,
| а t 0, а t —3.
Ответ, а = -2.
д)	Уравнение Должно иметь вид Ах2 = 0, где А t 0.
[2а = 0,	|а = 0,
<!3 + а + 0,	Ja + —3,
^а + 2 = 0;	[а = -2.
Система не имеет решений.
Ответ. Таких значений параметра нет.
е)	Уравнение должно иметь вид Ах2 + С = О,
причем А t О, —С/А > 0.
Из условия В = 0 следует, что а = 0.
Получим уравнение Зх2 + 2 = 0, которое не имеет
действительных корней.
Ответ. Таких значений параметра нет.
№ 6. Найдите все значения параметра Ь, при кото-
рых:
а)	точка пересечения графика функции
у = х2 - (b - 3)х + b - 1
с осью ординат лежит выше оси абсцисс;
б)	график данной функции касается оси абсцисс;
в)	наименьшее значение функции равно -3.
Решение.
а)	Как известно, график квадратичной функции
у = Ах2 + Вх + С (А + 0) пересекается с осью ор-
динат в точке (0; С). По условию С = b - 1. По-
этому b — 1 > 0, b > 1.
Ответ, b > 1.
144 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
б)	D = 0: (b - З)* 1 2 - 4(& - 1) = 0,	2 = 5 ± 2^3 .
Ответ. Ьх 2 = 5 ± 2л/3 .
в)	Графиком данной квадратичной функции для
каждого фиксированного b е R является пара-
бола, ветви которой направлены вверх. На-
именьшее значение функция принимает при
х0
-ут (абсцисса вершины параболы). При
этом у0 =—т~т (ордината вершины параболы).
о	&2-10& + 13
у0 = -3; при этом  ------ = -3,
&2-10а+ 13 = 12,
b2 - 10& + 1 = 0; Ьг 2 = 5 ± 276 .
Ответ. 2 = 5 ± 2 «Уб .
№ 7. При каких значениях параметра а уравнения
х2 + (а + 4)х + 2 = 0их2 + х + а + 5 = 0 имеют хотя
бы один общий корень?
Решение.
Пусть хг — общий корень. Тогда получаем равен-
ство
х% + (а + 4)xt + 2 = xl + хх + а + 5; (а + 3)xt = а + 3.
1) При а = -3 уравнения не имеют действитель-
ных корней (оба уравнения примут вид
х2 + х + 2 = 0).
2) Пусть а Ф -3. Тогда xt = 1. Из первого уравне-
ния получим 1 + а + 4 + 2 = 0. Откуда а = -7.
Ответ, а = — 7.
№ 8. При каких значениях параметра а уравнения
х2 + (а + 4)х + а2 -16 = 0 (1) и
х2 + 2(а - 8)х + ZT - 6 = 0 (2) равносильны?
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1145
Решение.
Рассмотрим сначала уравнение (1):
D = (а + 4)2 - 4а2 + 64 = -За2 + 8а + 80.
1)	Если D < 0, т. е. а е (-°°; -4) о (20/3, +°°),
то уравнение не имеет действительных кор-
ней. (УТ)
2)	Пусть D = 0:
а)	а = -4; х12 = 0;
б)	а = 20/3; х1; 2 = -16/3. (УТ)
3)	Если D > 0, т. е. а е (-4; 20/3), то уравнение
имеет два различных действительных корня:
-а - 4 ± 7-За2 + 8а + 80	,_
*1, 2 ----------2-----------. (£Т)
Теперь рассмотрим уравнение (2).
Обозначим Dt — дискриминант уравнения (2) и
рассмотрим три случая:
Dt = (а - 8)2 - а + 6 = а2 - 17а + 70.
1)	Dt < 0; 7 < а < 10. Действительных решений
нет.	(УТ)
2)	Dt = 0;
а)а = 7; х3 4= 1;
б)	а = 10; х3 4 = -2. (УТ)
3)	Dt > 0; а е (-°°; 7) о (10; +°°),
х3 4 = 8 - а ± 7а2 - 17а + 70 . (УТ)
Нанесем результаты на оси параметра а (рис. 162).
Анализ рисунка 162 показывает, что при а е (7; 10)
уравнения равносильны, так как оба не имеют
корней.
1461 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Если уравнения равносильны при некоторых зна-
чениях а е [-4; 20/3], то должна быть совместна
система уравнений
а + 4 = 2(а - 8),
а2 - 16 = а - 6.
Из первого уравнения системы получаем а = 20,
но это число не удовлетворяет второму уравне-
нию.
Ответ, а е (7; 10).
Решение целого ряда задач основано на теоремах
Виета. Рассмотрим некоторые из них.
№ 9. При каких значениях параметра а уравнение
(а - 2)х2 - 2(а + 2)х + а + 1 = 0 имеет:
а)	два различных действительных корня разных
знаков;
б)	два различных действительных положитель-
ных корня;
в)	два различных действительных отрицатель-
ных корня?
Решение.
Заметим, что теоремы Виета используют в случае
D > 0. Так как по условию корни должны быть
различными, то D > 0. Кроме того, а Ф 2 (иначе
уравнение будет линейным).
(а + 2)2 - (а - 2)(а + 1) > 0,
(а + 1)/(а - 2) < 0;
а)
D, 0,	i(6
х1*х2<0;	[(с
[5а + 6 > 0,
[(а + 1)(а - 2) < 0;
а е (-1; 2) (рис. 163).
а > -1,2,
(а + 1)(а - 2) < 0;
-1,2;
-1	2
Рис. 163
Ответ, а е (—1,~2).
2,4, Уравнения с дополнительными условиями 1147
Г©! > О,
б)]х1 + х2>0,
|хх • х 2 > 0;
[5а + 6 > О,
(2(а + 2)/(а - 2) > О,
[(а + 1)/(а - 2) > 0;
а > -1,2,
/ (а + 2)(а - 2) > О,
(а + 1)(а 2) > 0;
-1,2	। а
+	— I +
///77//Q^/////////Лг
-2	2i «
+ — । +
7///////////^/////^^/////////77^
-1	2 а
Рис. 164
а е (2; +оо) (рис. 164).
Ответ, а е (2; +°о).
Dx > О,
в) хх + х2 < О,
хх • х2 > 0;
5а + 6 > О,
2(а + 2)
а - 2
(а + 1)/(а - 2) > 0;
а > -1,2,
 (а + 2)(а - 2) < 0,
(а + 1)(а - 2) > 0.
Ответ.ае (-1,2;-1).
-l,2ji	а
+ ।	। — +
-2,1	2	«
+ I	'	—	+
//////////////7К7/^_tf//////////A^
-1	2 а
Рис. 165
ае (-1,2; -1) (рис. 165).
№ 10. При каких значениях параметра а сумма квад-
ратов корней уравнения х2 - 6х + а = 0 равна 6?
Решение.
JDX >0,	J9 - а > 0,
[xf + xj =6. [(хх + х2)2 - 2хх • х2 = 6.
По теореме Виета хх + х2 = 6, хх • х2 = а.
а < 9,	[а < 9,
36 - 2а = 6;	а = 15.
Решений нет.
Ответ. Таких значений параметра нет.
Замечание
Часто забывают о необходимости учета условия Dj > 0,
получая ответ а = 15. Это одна из типичных ошибок,
встречающихся при решении задач на теоремы Виета.
148 I Раздел 11. 2. Квадратные уравнения с параметром
№11. При каком значении параметра а сумма квад-
ратов корней уравнения х2 + х • Ja2 - 4а - а - 2 = О
принимает наименьшее значение?
Решение.
ООУ:	(-°°;0]о[4;+оо),
{X е R;	|х е R.
D = а2 + 8, xt + х2 = -„/а2 - 4а; xt' х2 = -а - 2.
Тогда х2 + xf = (-7а2 - 4а )2 - 2 • ( а - 2);
xf + xf — а2 - 2а + 4.
Найдем наименьшее значение функции
Да) = а2 - 2а + 4 на множестве (-°°; 0] о [4; +°о).
(1; 3) — координаты вершины параболы.
При а > 1 функция возрастает, при а < 1 — убывает.
Если а е [4; +°°) , то Да) > Д4). Так как Д4) = 12,
то Да) >12.
Если а е (-оо; 0], то Да) > ДО). Так как ДО) = 4, то
Да) >4.
Рис. 166
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1149
Наименьшее значение функции равно 4. При
этом а = 0 (рис. 166).
Ответ, а = 0.
№ 12. При каких значениях параметра а сумма кор-
ней квадратного уравнения (3 - а)х2 - 2ах + 4 = 0
больше 1, а произведение корней меньше 8?
Решение.
а + 3,	а2 + 4а - 12 5	2=0
* О + V Н О to V	2а 3 - а >	
х1'х2< 8;	со 1 О Л ор	
а2 + 4а - 12 > 0,
За — 3
-—— >0,
О (L
(а + 6)(а - 2) > 0,
(а - 1)(а - 3) < 0,
(а - 2,5)(а - 3) > 0.
а е [2; 2,5) (рис. 167).
Ответ, а е [2; 2,5).
+	—"	+
-6	2
......_________^~/////^ +
1	3 а
+	— 4-
__
2,5 3 а
Рис. 167
№ 13. Известно, что корни уравнения х2 - х + а = 0
в три раза меньше корней уравнения
х2-4х + 5- а = 0. Найдите значение параметра а.
Решение.
Сначала попытаемся найти такие значения пара-
метра а, при которых оба уравнения имеют реше-
ния одновременно:
jl-4a>0,	fa <1/4.
[4 - 5 + a > 0; \а > 1.
Система несовместна.
Ответ. Такого значения параметра нет.
№ 14. При каком значении параметра b корни урав-
нения х2 - (Ъ + 7)х + Ь + 13 = 0 в два раза больше
корней уравнения х2 + (1 - 2Ь)х + Ь2 -Ъ - 2 = 0?
1501 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Решение.
Пусть хг и х2 — корни уравнения х2 + (1 - 2Ь)х +
+ &2-&-2 = 0. Тогда по теореме Виета xt + х2 =
= 2b - 1, xt • х2 = Ь2 - b - 2.
По условию задачи 2xt и 2х2 — корни уравнения
х2-(& + 7)х + Ь + 13 = 0.
По теореме Виета 2хг + 2х2 = Ь + 7,
2хг • 2х2 = Ь + 13.
Составим и решим систему уравнений:
2(2Ь~ 1) = & + 7,
4(&2 - & - 2) = & + 13;
Ь = 3,
Ь = 3, b = 3.
b = -7/4;
В ходе решения не учитывалось условие D > 0 для
каждого из квадратных уравнений. Поэтому сде-
лаем проверку. При b = 3 получим уравнение
х2 - 10х + 16 = 0 (его корни 8 и 2) их2 - 5х + 4 = 0
(1 и 4 — корни данного уравнения). Значит, b = 3
удовлетворяет условию задачи.
Ответ, b = 3.
№ 15. При каких действительных значениях пара-
метра а корни уравнения х2 + ах + 1 = 0 таковы,
что xf + х2 > 1?
Решение.
D = а2 - 4; а2 - 4 > 0, а е (-оо; -2] о [2; +°о),
х% + х$ = (х^ + xj )2 - 2х^ ’ Х2 =
= ((xt + х2)2 -2xt • х2)2 -2(xt • х2)2.
По теореме Виета xt + х2 = -а, хг • х2 = 1.
Составим и решим неравенство:
(а2 - 2)2 - 2 > 1; (а2 - 2)2 - 3 > 0.
Если а2 - 4 > 0, то а2 - 2 > 2;
(а2 - 2)2 > 4;
(а2 - 2)2 - 3 > 0.
Ответ, а е (-р°; -2] о [2; +°о).
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1151
Ниже приводятся задачи, решение которых осно-
вано на теоремах о расположении корней квадратно-
го трехчлена (см. Теоремы. 1—7, П.1.З.).
№ 16. Дано квадратное уравнение
х2 - (2а - 1)х + 1 - а = 0.
При каких значениях параметра а:
а)	оно имеет два различных действительных по-
ложительных корня;
6)	два различных действительных отрицатель-
ных корня;
в)	действительные корни разных знаков;
г)	действительные корни, меньшие 1;
д)	действительные корни, большие 2;
е)	один из действительных корней меньше 3, а
другой больше 3;
ж)	корни действительны и заключены между -1 и 1;
з) больший действительный корень лежит в ин-
тервале (-2; 2);
и) меньший действительный корень лежит в ин-
тервале (1; 2);
к) один действительный корень меньше 1, а дру-
гой больше 3?
Решение.
а)	На вопросы а—в можно ответить, используя те-
орему Виета. Однако во многих случаях реше-
ние упрощается, если использовать теоремы о
расположении корней квадратного трехчлена.
Пусть f(x) = х2 - (2а - 1)х + 1 - а. По условию
хг > 0, х2 > 0, т. е. М = 0; ветви параболы на-
правлены вверх, так как коэффициент при х2
равен 1. Тогда по теореме 2 имеем:
(2а — I)2 - 4(1 — а)> 0,	г4а2-3>0,
(2а-1)/2>0,	J а > 1/2,
1 - а > 0;	а < 1;
а > л/3 /2,
Ца<-73/2,
[ 1/2<а<1.
152 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
ае (73/2; 1) (рис. 168).
-73/2 73/2, | а
Ответ, а е (V3/2; 1).	»
1/2	1 а
б)	К — 0, коэффициент
при х2 равен 1.	рИс. 168
Применим теорему 1:
4а2-3>0,
, (2а- 1)/2 <0,
1 -а>0;
а > 73 /2,
. [а<-л/3/2,
а < 1/2,
а < 1;
Тз /2,
-ТЗ/2,
L а < 1/2;
-7з/2> 7з/2	а
1/2	«
а >
а е (-°°; -л/З /2) (рис. 169). Рис. 169
Ответ, а е (-оо; ~73 /2).
в)	К = 0.
Из условия ДО) < 0 получим а > 1; а е (1; +°о).
Ответ, а е (1; +°о).
г) К~1.
[4а2-3>0,
(2а- 1)/2 < 1,
[3-За>0;
|[а > V3/2,
.1 а<-73/2,
I а < 3/2,
! а < 1;
। Га > 73 /2,
< La<-73/2,
а < 1;
1 а
Рис. 170

а е (-оо; - Л /2] о [73 /2; 1) (рис. 170).
Ответ, «.б (-оо;-7з /2]о[ТЗ /2; 1).
2.4, Уравнения с дополнительными условиями 1153
д)	М = 2.
4а2 - 3 > О,
(2а-1)/2> 2,
7 - ба > 0;
а > ТЗ/2,
- [а<-73/2,
а > 2,5,
а < 1,4,
Система не имеет решений. Поэтому таких значе-
ний параметра нет.
Ответ. Таких значений параметра нет.
е)	К = 3: ЛЗ) < 0, 13 - 7а < 0, а > 13/7,
а е (13/7; +°о).
Ответ, а е (13/7; +°°).
ж)	М = -1, К = 1 (теорема 4).
4а2 - 3 > 0,
а + 1 > 0,
3 — За > О,
-1 <(2а~ 1)/2 < 1;
а > 73 /2,
а< -ТЗ/2,
а > -1,
а < 1,
-1/2<а<3/2;
а > л/3 /2,
а < -V3/2,
-1/2<а<1.
//////////////*
-73/2
________
Тз /21	; а
___^////////^^^^
а е [л/З/2; 1) (рис. 171).
-1/2	1 а
Ответ, а е [73 /2; 1).
з) М = -2, К = 2 (теорема 5).
[За + 3 < 0,	\а < —1,
[7-5а>0;	[а <1,4;
Ответ, а е (~°°; -1).
Рис. 171
а < -1.
и) М = 1, К = 2 (теорема 6).
|/(1)>0,	[3-За>0,
1/(2) <0;	[7-5а<0;
[а < 1,
[а> 1,4.
Ответ. Таких значений параметра нет.
1541 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
к)	М = 1, К = 3 (теорема 7).
|ft(3)<0,	|13-7а<0,	>13/7,
1/(1) <0;	[3-За<0; [а > 1;
а е (13/7; +оо).
Ответ, а е (13/7; +°о),
№ 17. Найдите все значения параметра Ъ, при кото-
рых действительные корни уравнения х2 - Ьх + 4& =
= 0 имеют разные знаки и каждый по модулю
меньше 2.
Решение.
Пусть xt < х2. По условию |xj < 2, |х2| < 2, т. е.
xt е (-2; 2), х2 е (-2; 2). Так как xt и х2 имеют раз-
ные знаки, то xt е (-2; 0), х2 е (0; 2) (xt = х2 = 0 не
удовлетворяют условию задачи).
По теореме 6 о расположении корней квадратного
трехчлена для xt е (—2; 0) должны выполняться
условия
Г/(-2)>0,
Л0)<0,
где f(x) = х2 -Ъх + 4Ь.
Для х2 е (0; 2) по теореме 5:
Д0)<0,
/(2)>0.
Составим и решим систему неравенств:
Д-2) > 0,
Л0) < 0,
Д2) > 0;
4 + 2Ь + 4& > 0,
4& < 0,
4 - 2Ь + 4& > 0;
&>-2/3,
Ъ <0,
Ъ>-2;
Ь е (-2/3; 0).
Ответ, b е (-2/3; 0).
№ 18. При каких значениях параметра с уравнение
сх2 + 8х + 1 = 0 имеет действительные корни, за-
ключенные между -2 и 2?
Решение.
1)	Если с = 0, то х = -1/8; -1/8 е (-2; 2).
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1155
2)	Пусть с ф 0. Уравнение второй степени.
Dt — 16 - с. Пусть /(х) = сх2 * + 8х + 1, с Ф 0. По
теореме 4 имеем:
с*0,	гс *0,
16-с^0,	с <16,
с*/(-2)>0,	с "(4с - 15) > 0,
с • /(2) > 0,	с-(4с + 17) >0,
-2 < -8/(2с) < 2;	2/0-1,
|2/с<1;
с Ф 0,
с < 16,
с • (с - 15/4) > 0, (рис. 172)
s с • (с + 17/4) > 0,
с(с + 2) > 0,
с(с -2) > 0.
к
//////V////////A/////////M	//МЖ...........................
1	О	1 *	161
с
I +
I	о
I	+
d4i
с
+
///////Zzz,
1-4!
1 4 4
^///7/УЛ.
о
+
1	1	с
2
( + ।
о	; с

1 +
//////л//л...
2 1
О
с
Рис. 172
Отв ет. с е (-°°; -17/4) о {0} о (15/4; 16].
№ 19. Найдите все действительные значения с, при
которых корни уравнения х2 + х + с = 0 будут дей-
ствительны и оба корня больше с.
1561 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Решение.
+ х2 = -1,
По теореме Виета: ]
[х1 -х2 = с.
Так как хг + х2 < 0, то оба корня не могут быть по-
ложительными.
Пусть хг < 0, х2 < 0. Тогда xt • х2 > 0, т. е. с > 0.
Но xt > с, х2 > с по условию задачи. Получим про-
тиворечие. Значит, оба корня не могут быть отри-
цательными.
Итак, либо корни имеют разные знаки, либо один
из них равен нулю.
В первом случае хг • х2 < 0, т. е. с < 0; D = 1 - 4с.
Пусть Дх) = х2 + х + с.
По теореме 2 о расположении корней квадратного
трехчлена имеем систему неравенств:
!с<0,
1 - 4с > 0,
[с2 + 2с > 0.
Сс<0,
с < 1/4,
><-1/2,
[с(с + 2) > 0.
с <-1/2,
О 0,
[с < -2 (рис. 173).
Рис. 173
Ответ, с е (-оо; -2).
№ 20. Найдите все значения параметра а, при
которых один действительный корень уравнения
(а - 5)х2 + 2ах + а - 3 = 0 больше 3, а другой
меньше 1.
Решение.
Так как уравнение имеет два корня, то а Ф 5.
Пусть Дх) = (а - 5)х2 + 2ах + а - 3, а 5; хг < х2.
По условию xt < 1, х2 > 3 (рис. 174).
2.4. Уравнения с дополнительными условиями 1157
Рис. 174
Г(а - 5)/(1) < О,
По теореме 7: <
1(а - 5)/(3) < 0;
|(а - 5)(а - 5 + 2а + а - 3) < О,
[(а - 5)(9а - 45 + 6а + а ~ 3) < 0;
f(a - 5)(а - 2) < О,
[(а - 5)(а - 3) < 0 (рис. 175).
—-----------------
2	।	5,	а
I	I	__	I
3	5	а
Рис. 175
Ответ, а е (3; 5).
Упражнения для самостоятельного решения
1)	Дано уравнение ах2 - 5х + 5 = 0. При каких зна-
чениях параметра а данное уравнение:
а)	имеет единственный действительный
корень; (ь~й)
6)	не имеет решений;(нб)
в)	имеет два различных действительных
корня; (ыв)
158 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
г)	имеет один из действительных корней, рав-
ный нулю; (► 1г)
д)	имеет два корня, равные нулю;(мд)
е)	имеет действительные корни, равные по мо-
дулю, но противоположные по знаку? (Уй)
2)	При каких значениях параметра b уравнение
(9 - Ь2)у2 + 2(3 + b)y - 1 = 0 не имеет решений? (УТ)
3)	При каких значениях параметра а уравнение
ах2 - (а2 + 1)х + а = 0 имеет единственный дей-
ствительный корень? (7з~)
4)	При каких значениях параметра а уравнение
(1 - а)х2 - 20ах + 2 - а = 0 имеет два различных
действительных корня? (УТ)
5)	При каких значениях параметра р графики
функций у = (р + 1)х2 - Зх + р и у = 2рх +1:
а) не имеют общих точек; >5а)
б)	пересекаются; >5б)
в)	имеют одну общую точку; >5 в)
г)	имеют две общие точки? >5г)
6)	При каком значении параметра п графики
функций у = (3 - п)х2 +2пх + 1иу = 6х + п- 2
имеют более двух общих точек? (ТУ)
7)	Найдите все значения параметра т, при кото-
рых уравнение тх2 - бтпх + 2 = 0 имеет действи-
тельные:
а)	отрицательные корни; >7а)
б)	неотрицательные корни; >7б)
в)	положительные корни; >7в)
г)	корни разных знаков; С>7г)
д)	корни, сумма которых больше 2; (УТд)
е)	корни, сумма обратных величин которых не
превосходит 3. (УТ?)
8)	При каких значениях параметра с:
а)	наибольшее значение функции у = -сх2 + 4сх - 1
равно 1,3; (>8д)
б)	наименьшее значение этой функции равно
-3? (>8б)
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1159
9)	При каком значении параметра а уравнения
х2 - 2ах + За - 1 = 0 и хг +2х -4 = 0 равносиль-
ны? (►?")
10)	Дано уравнение (& - 3)xz + 2bx + b + 2 = 0. При
каком значении параметра b оно имеет:
а)	корни, большие 3; (нод)
б)	корни, меньшие-4; (ибб)
в)	один корень больше 2, а другой
меньше 2; >Юв)
г)	меньший корень в интервале (-7; -1); (мбг)
д)	больший корень в интервале (0; 3); (МОд)
е)	корни в интервале (-5; 6); (ыое)
ж)	меньший корень, не превышающий по моду-
лю 2; >Юж)
з)	больший корень, превышающий по модулю
1?®
11)	При каком значении параметра а сумма квадра-
тов корней уравнения 2х2 + 2ах + а - 2 = 0 при-
нимает наименьшее значение? (mi)
 2.5. Дробно-рациональные уравнения
с параметром, сводимые к квадратным
уравнениям
2.5.1.	П ОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
№ 1. Решите уравнение
х(х - р)
х + 3
= 0.
ООУ:
Решение.
ре R,
х Ф —3.
Решим уравнение-следствие х(х -р) = 0:
xt = 0, х2 =Р-
Исследование (рис. 176).
1)	хг = 0 при любом значениир. (7Т)
2)|Х2=Р’	(У2~)
\рф -3.
1601 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
«{«ГЛ: ®
4) х, = х2; р = 0. (м~)
 .. , = 0  х, = 0
Xj = 0, х2 =	= О, х2 = р
3	О
Рис. 176
О.х2 = р
Р
(ось ответа)
Ответ. 1) Если р Ф -3, р Ф 0, то два корня хг = О,
х2 = р.
2) Если р = -3 или р = 0, то один корень
= 0.
№ 2. Решите уравнение----5- = 0.
х — о
Решение.
ООУ:
[х Ф 3.
х* 2 3 4 - а2 = 0, xt = а, х2 = -а
Исследование (рис. 177).
1) хг = х2; тогда а = -а; а = 0; х
Л х [ X1	" Ct 9 z-
2){ 1 (ТТ)
.а^З.
3) х2 = —а,
, о 3
аф- о.	—
4) “ _ \ (ED
W х ! CL = З9 /--—ч
5)_____’ (ED
(ось ответа)
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1161
Проиллюстрируем от-
вет в системе коорди-
нат (аОх) (рис. 178).
Отв е т. 1) Если а Ф -3,
а Ф 0, а Ф 3,
то два корня
dj ^2
2)	Если а = -3
или а = 3, то
один корень
х = -3.
3)	Если а — 0, то
№ 3. Решите уравнение
х2 - 4х + 3
х - а
Решение.
ООУ:	R’
xt а.
х2 - 4х + 3 = О,
Исследование.
xt = 1, х2 = 3.
l-[xi = !,
1а*1. (ЕЁ
о\ [^2 =
Ча*3.
3)? = 1’
д)|х2 = з. (ЕЕ
а = 3,
4)
1	3	«
(ось ответа)
Рис. 779
162 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
		Ответ легко списывается
х = 3	3	с оси параметра а (рис.
	2.	;	179).
х = 1	1	„	Проиллюстрируем ответ
		_।	।	।	» в системе координат
	0	12 3 а (аОх) (рис. 180).
Рис. 180
№ 4. При каких значениях а уравнение
(х - а)(х + 2а)
(х - 1)(х - 2) = О имеет единственное решение?
Решение.
ООУ:
а е R,
х Ф 1,
х Ф 2.
Решив уравнение-следствие (х - а)(х + 2а) = 0, по-
лучим
xt = а, х2 = -2а.
1)	Узнаем, при каких значениях параметра а
xt = х2: а = -2а, а = 0.
Итак, при а = 0 уравнение имеет единственное
решение х = 0.
2)	xt = 1: а = 1. Тогда х2 = -2.
3)х2=1: -2а = 1, а = -1/2. Тогда xt = -1/2.
4)	xt = 2: а = 2; х2 = -4.
5)	х2 = 2: а = -1; хг = -1.
Ответ, а = -1; а = -1/2; а = 0; а = 1; а = 2.
XI* к г»	(* * х + &)(х ~ 3&) п
№ 5. Решите уравнение 4= 0.
(х + 1)(х - 3)
Решение.
ООУ:
be R,
х Ф —1,
х Ф 3.
(х + Ь)(х - ЗЬ) = 0, хг = —Ь, х2 = ЗЬ.
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1163
Исследование (рис. 181).
1) хг = х2: —b = ЗЬ; Ь = 0; xt = х2 = 0. (ГТ)
2)<
3)
= -Ь,
Ъ Ф 1, (Г2~)
Ьф—3.
X 2 ЗЬ ,
Ьф — 1/3, (Гз~)
Ьф1.
4)
5)
& = -3,
х2 = -9.
Ь = -1/3,
xt= 1/3.
6)	Если b = 1, то решений нет.
______х2 = -9______*1 1/3______х12 = 0_______
Х1 = —Ь,\ /х1=-Ь,\ / Xj = -&,\ /xj =	/ хг - —Ь,
х2 = ЗЬ \J х2 = 3b х2 = ЗЬ х2 = ЗЬ \у х2 = ЗЬ
-3	_1/3	0	1 ь
(ось ответа)
Рис. 181
Проиллюстрируем от-
вет в системе координат
(ЬОх) (рис. 182).
№ 6. Решите уравнение
х2 - (2а + 1)х + а2 + а
= 0.
ООУ:
а е R,
х Ф 2.
х - 2
х2 - (2а + 1)х + а2 + а = 0.
D = (2a+ 1)2-4а2-4а= 1.
1641 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
АГ 1 CL X g CL 4“ 1«	1 )
Исследова ние (рис. 183).
1) х, Ф х9 при любом а е R. 2) < Х1 а’
12	I а Ф 2.
д) | х2 а + 1’	4)|а —2’	5)^а—1’
а * 1.	I х2 — 3.	= 1.
(ось ответа)
Рис. 183
Ответ запишите самостоятельно.
№ 7. При каких значениях b уравнение
х* 1 2 3 - (3& - 1)х + 2Ьг - 2
-------5— ----------- — О имеет единственное
х2 — Зх — 4
решение?
Решение.
b е R,
ООУ: - х*4,
'X*-1.
Решаем уравнение-следствие
х2 - (3& - 1)х + 2Ь2 - 2 = 0.
D = (b -З)2; xt = 2b - 2, х2 = d + 1.
1) Узнаем, при каких значениях b xt = х2:
2Ь-2 = Ь + 1, Ь = 3. Но при & = 3 х1 = х2 = 4.
Значит, в этом случае решений нет.
2) Подставим вместо х число -1 в уравнение-след-
ствие:
1 + 3& - 1 + 2Ъ2 - 2 = 0, 2b2 + 3& - 2 = 0,
b = 1/2 или b = -2.
3) А теперь для каждого из найденных значений
b найдем корни уравнения-следствия.
а) & = 1/2: х1 = -1, х2 = 3/2. Значение х2 допусти-
мо.
2,5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1165
б) & = -2:х1 = -6, х2 = -1. Значение хг допустимо.
Ответ, b = 1/2; Ь — -2.
„	х2 - (3& — 1)х + 2&2 ~ 2 Л
№ 8. Решите уравнение-------5----——------- = 0.
х2 - 4х + 3
Решение.
Представим данное уравнение в виде ему равно-
сильного уравнения
(х - 2& + 2)(х - & - 1) _
(х - 3)(х - 1)
А теперь найдем область определения уравнения:
Ь е R,
ООУ: \хф 1,
1х * 3.
Приравниваем к нулю числитель дроби:
(х - 2b + 2)(х - b ~ 1) = 0; xt = 2b - 2; х2 = b + 1.
Исследование. 1) xt = х2; тогда 2Ь - 2 = b + 1, Ь = 3, хг 2 = 4. (►?		
	xt = 2b - 2,	xt = 2b - 2,
2)<	2&-2*1,	b 5*3/2, (>2)
	l2&-2*3;	[&*5/2.
	rx2 = b + 1,	x2 = b + 1,
ЗЬ	b + 1 Ф 1,	
	b + 1 *3;	l&*2.
4)	Ь~3'2’ &	5)1	&=5/2,
	X2— 5/2.	x2 = 7/2.
6)	®	7)1	b = 2, __
	— -2.	xt = 2.	}
Нанесем результаты исследования на координат-
ную ось (рис. 184).
166 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
О 3/2	25/23	Ъ
, „ ,	(ось ответа)
Рис. 184	’
Ответ легко записать, используя рисунок 184.
_ _ „	х2 - 2х + а - 1
№ 9. Решите уравнение------—„------ = 0.
х - 2
Решение (рис. 185).
ООУ:
ае R,
хф 2.
х2 - 2х + а - 1 = 0. D1 = l- a+ l = 2-a.
1)	Dt = 0; а = 2: х2 - 2х + 1 = 0;	2 = 1.
2)	Dt < 0; а > 2. Действительных корней нет.
3)	Dt > 0; а < 2: хг = 1 - J2 - а ; х2 = 1 + 72 - а .
Исследование.
Значение х = 2 подставим в уравнение-следствие
х2 - 2х + а - 1 = 0;
4-4 + а-1 = 0, а = 1.
Теперь найдем корни уравнения-следствия при
а = 1: х2 - 2х = 0; хг = 2; х2 = 0.
Видим, что один из корней является корнем дан-
ного уравнения: х2 = 0.
(ось ответа)
Рис. 185
Ответ. 1) Если а е (-°°; 1) о (1; 2), то два корня
= 1 - J2 - а ; х2 = 1 + 72
2) Если а = 1, то х2 = 0.
3) Если а = 2, то 2 = 1.
4) Если а > 2, то решений нет.
-- а.
2.5, Дробно-рациональные уравнения с параметром ! 167
«№ 10. Решите уравнение (х2 - ах + 1)/(х + 3) = 0.
Решение.
°оу:
х2 — ах + 1 = 0. D = а2 - 4.
1)	D = 0; а = 2 или а = -2.
Если а = 2, то Xj 2 = 1.
Если а =-2, тохх 2 =-1. (Гр
2)	D < 0; |а| < 2. Действительных корней нет. (нр
х1 = (а+ Ja2 - 4 )/2; х2 = (а - Ja2~^4 )/2. (Яр
Исследование.
Значение х = -3 подставляем в уравнение-следст-
вие:
9 +За+ 1 = 0; а = -10/3.
Решаем уравнение-следствие при а = -10/3:
х2 + 10х/3 + 1 = 0; Зх2 + 10х + 3 = 0; xt = -1/3;
х2 = -3.
Итак, если а = -10/3, то xt = -1/3. (кд)
Ответ запишите самостоятельно (рис. 186).
-10/3	-22а
(ось ответа)
Рис. 186
•у* 2 — л г -I-	| 5 / 4
№ 11. Решите уравнение-----------——77-------- = 0.
Q X I J
Р е ш е н и е.
ООУ: 1“*°’
1х +-2.
х2 - ах + а + 5/4 = 0. D = а2 - 4а - 5 = (а - 5)(а + 1).
1)	D = 0; а = 5 или а = -1.
Если а = 5, то уравнение х2 — 5х + 25/4 = 0 име-
ет один корень xt 2 = 5/2. (ТТ)
1681 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Если а - -1, то Xj 2 = -1/2.
2)	D < 0; а2 - 4а - 5 < 0; а е (-1; 5).
Действительных корней нет. (7з/)
3)	D > 0; а е (-оо; -1) и (5; +оо); (кд)
а + J(a - 5)(а + 1)
а - J(a - 5)(а + 1)
Х2-	О
Исследование.
Решаем уравнение-следствие относительно а при
х = -2.
4	+ 2а + а + 5/4 = 0; а = —7/4.
А теперь уравнение-следствие решаем относи-
тельно х при а = -7/4:
х2 + 7х/4 - 7/4 + 5/4 = 0; 4х2 + 7х - 2 = 0;
х2 = -2, х1 = 1/4.
Видим, что xt = 1/4 — решение данного уравне-
нии. (нГ)
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 187.
Рис. 187
№ 12. Решите уравнение
(а - 1)х2 - 2ах + а + 1
(х + 2)(х - 1)
= 0.
Решение (рис. 188).
\а е R,
ООУ:	1,
(X Ф —2.
(а - 1)х2 - 2р.х + а + 1 - 0.
2,5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1169
1) Если а = 1, то уравнение-следствие является
линейным: -2х + 2 = О, х = 1. Решений нет, так
как х = 1 не является допустимым. (ь~р
2) а Ф 1. Dt = а2 - а2 + 1 = 1; хг = (а + 1)/(а - 1);
х2 = i.
Перепишем данное уравнение в виде
/ а + 1 \
(х-1) х-------г
к а ~ 1)
---------------- — л
(х-1)(х + 2)
а + 1
Оно может иметь только один корень х =
а + 1
при условии, что а Ф -2;
а + 1 Ф — 2а + 2; а Ф 1/3. (>2 )
Если а = 1/3, то данное уравнение решений не
имеет. (7з~)
Z \ 0 /v \ 0 / а +1
Х1 \	* Х1	/ X, = --т
__________________________х^Х 1 я — 1	_
1/3	1	t а
(ось ответа)
Рис. 188
Ответ. 1) Если а Ф 1, а Ф 1/3, то единственное ре-
шение х = (а + 1)/(а - 1).
2) Если а = 1 или а = 1/3, то решений
нет.
№ 13. При каких значениях b уравнение
(& - 1)х2 - Зх + & + 5 п	_
----------5------- = О имеет хотя бы одно ре-
X &
шение?
Решение.
ООУ: !]Ь G ?’
ХФ, 2.
(Ь - 1)х2 - Зх + Ь + 5 = 0.
170 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
1) Если & = 1, то -Зх + 6 = 0, х — 2.
Значит, при b = 1 данное уравнение решений не
имеет.
2) Пусть b * 1.
D = 9 - 4(& - 1)(& + 5) = -4&* 1 2 - 16& + 29.
Нас интересует случай, когда D > 0.
Решаем неравенство 4&2 + 16& - 29 < 0:
Ь е [(-4 -3 V5 )/2; (-4 + 3 Тб )/2].
Учтем, что b Ф 1.
Тогда Ье [(-4-ЗТб)/2; 1)о (1; (-4 + ЗТб)/2].
Если х = 2, то решим уравнение
(& - 1)4 - 6 + b + 5 = 0; b = 1.
Ответ. Уравнение имеет хотя бы одно решение, если
&е [(-4 - 3 Тб )/2; 1) о (1; (-4 + зТб)/2].
№ 14. При каких значениях а уравнение
(а2 + а - 2)х2 + (а2 — 1)х - а + 1	„
---------;---------тт--------- = 0 имеет более
(х - 3)(х - 1)
одного решения?	|
Решение.	<
Га е R,
ООУ: > х Ф 3,	j
[х^1.	;
Решаем уравнение
(а - 1)(а + 2)х2 + (а2 - 1)х - (а - 1) = 0.
1) а = 1; тогда 0 • х = 0, х е (-оо; +оо).
Решениями данного уравнения являются все 
значения
хе (-оо; 1)0(1; 3)о(3; +ОО).
2) а Ф 1; тогда (а + 2)х2 + \а + 1)х -1 = 0.	'
а) а = -2; тогда -х - 1 = О; х = -1. Одно реше- Г
ние.
б) а *-2; тогда D = (а + З)2; xt = 1/(а + 2), х2
-1.
2.5. Дробно-рационольные уравнения с параметром 1171
Узнаем, при каких значениях а данное уравнение
имеет решение хг = 1/(а + 2).
fl/(a + 2)^3;	5/3;
<1/(а + 2)^1,	1аФ— 1,
\а*~2, а*1;	1д^-2,д^1.
Если же а = -3, то = х2 = -1.
Ответ. Уравнение имеет более одного решения,
если а Ф -3, а Ф-2, а*—5/3, а Ф -1.
Уравнения для самостоятельного решения
1)	——^14	- =о. (ГГ) "т"	^**	" "l/Z
2)	(у + 2а)(2у — а) о	- 0. (у 2 } У 2
3)	х2 - 9х + 20 л	„ , , ,	— 0. (Гз) р(х+р)
4)	(х + а)(х - 2а) _ (х - 3)(х - 4)
5)	При каких значениях b приведенное уравнение х2 - (ЗЬ + 1)х + 2Ь2 + Ь „ о „	,	= 0 имеет единственное (Ь - 1)(х2 - Зх + 2) решение? (ЯГ)
6)	х2 + х - а - 1	„ _	, 		= °- (ЕЮ X + 1		'
7)	4х2 + 4(& - 2)х + 1		  (0-1)(7“2)— -°- ®
8)	х2- (За + 1)х + 2а2 + За - 2 л	ч 		—	г—	5—	 = 0. (Я/) (х - 5)(х - За)	—
9)	х2 - ах + а - 4 п х_3	-о- (ЕЮ
Ю)	При каких значениях а данное уравнение ах2 - 2х + а + 6 Q	— 0 имеет хотя бы одно реше- х ~ о ние? (мо>
172 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
2.5.2. Дробно-рациональные уравнения с параметром,
СВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ УРАВНЕНИЯМ
№ 15. Решите уравнение
_ 3 =______________5а_______
х + а - 1 (х + а - 1)(х + 1)'
Решение (рис. 189).
ООУ:
а е R,
.х
х Ф 1 — а.
Освободившись от знаменателей, получим урав-
нение-следствие х2 + (а- 3)х - 4а - 4 = 0.
D = (а + 5)2, Xj = 4, х2 = -а - 1.
Исследование.
1) D = 0; тогда а = -5;	2 = 4.
его
2)
Xj = 4,
а Ф —3.
(ED
х2 = -а - 1,
3)\ а-1Ф-Л,
—а - 1 Ф 1 - а’,
.. f а — —3, ~—
4 L _9 (ED
[х2- 2.
. X 2 CL 1 у
(►D
Рис. 189
Ответ. 1) Если а Ф -5, а Ф -3, а Ф 0, то два корня
xt = 4, х2 = -а - 1.
2) Если а — -5 или а = 0, то один корень
х = 4.
3) Если а = -3, то х2 = 2.
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1173
№ 16. Решите уравнение
X m(x + 1)	2	=	3-m2 x + 2 m(x + l)(x + 2)'
Решение (рис. 190).
[тп Ф 0,
ООУ:
1х Ф -2.
Данное уравнение приводим к квадратному:
х2 - 2(т - 1)х + тп2 - 2m -3 = 0.
— 4,	= m + 1, x2 = m — 3.
Исследование. x1 = m + 1, m + 1 Ф -1, I m + 1 Ф —2, Im *0; f x2 = m — 3, j m - 3 -1, ’ m-3^-2, m Ф 0; „ m = --3, 	 r (ED l x2 o. —J m l, — >>) ’ о (ED [X1 = 2. —	x1 = m + 1, ,m^-2, ,—. | m ^-3, I m ^0. (x2 = m - 3, m Ф 2,	-4 J ’ (ED m Ф 1, \ m Ф 0. < x2 = —5. m = 2,	. 6)r о
x2 = -6 x2 = -5	x, = 2	Xj - 3 K0/ 	\ / 	"\ /	
Xl, X2	xl, x2	Xl, X2	\ / xl,x2\/ X1,X2 \ /X1,X2
-3	-2	0	1	2	b
(ось ответа)
Рис. 190
1741 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(тОх) (рис. 191).
№ 17. Решите уравнение
(fe + 2)х* 1 2	2kx
(fe + 1)(х -2) (fe - 1)(х - 2)
12 - fe2 - fe
+ (fe2 - 1)(х- 2)'
Решение.
ООУ:	Z1’
[х*2.
5
fe2 - 1
Уравнение-следствие имеет вид
(fe + 2)(fe - 1)х2 - (2fe2 + 2fe + 5)х + fe2 + fe - 2 = 0.
1) fe = -2; тогда x = 0. (ГТ)
2) fe Ф -2; fe Ф ±k тогда D = (6fe + 3)2;
2,5, Дробно-рациональные уравнения с параметром 1175
хг = (k + 2)/(fe - 1); х2 = (fe - l)/(fe + 2),
Ис следование.
-1. (V2~)
fxt = (fe + 2)/(fe - 1),
ik^4, (ьз)
I k Ф —2,
a)	D = 0; k = -1/2, xt = x2 =
fx1 = (fe + 2)/(fe- 1),
6)	(fe + 2)/(fe- 1)^2,
x2 = (fe - l)/(fe + 2),
J(fe-l)/(fe + 2)^2,
B);fe*-2,
(х2 = (fe - l)/(k + 2)
fe^-2,
Х1,2
Х1. Х2
. I /г = - 5, ч	/г- 4,
Г) хг = 1/2.	д) | х2 = 1/2-
Ответ запишите по рисунку 192.
хг = 1/2 х = 0
х2 = 1/2
-5
-2
2
4 k
(ось ответа)
-1/2
Рис. 192
№ 18. Решите уравнение
1 1	= 2(п + 3)
2п + пх 2х — х^ х3 — 4х
Решение.
\п Ф 0,
I -у*	_О
ООУ: Г о ’
хф2,
х Ф 0.
Перепишем данное уравнение в виде равносиль-
ного ему:
1	1	= 2(п + 3)
п(2 + х) + х(-2 + х) х(х2 - 4)'
Оно легко приводится к уравнению-следствию:
х2 + (п - 2)х - 2п2 - 4п = 0.
176 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
D — (Зп + 2)2; хг = ~2п; х2 — п + 2.
Исследование.
1) D = 0; п + 2 = ~~2п,
'х1 = ~2п,
Щпф1\ (ED
п^-1, ----7
п Ф 0.
.. п- -4, ts
4 |х1 = 8. ®
6)1"”(ею
[х2 = 3. —
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 193.
п = -2/3; xlf 2 = 4/3. (ГТ
[ х2 = п + 2,
3)1л4’ (ED
пф-2.
г х ' п = ~2, __
5)|х,-4. ®
!*2 = 1-	—
Обратимся вновь к системе координат, чтобы про-
иллюстрировать ответ (рис. 194).
Рис. 794
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1177
№ 19. Решите уравнение
2х 1	________7х + а_____
х - а х + 4 х2 + х(4 - а.) - 4а '
Решение (рис. 195).
а е R,
ООУ: хФа,
х Ф -4.
Освободившись от знаменателей, получаем урав-
нение
х2 + х - а — 0.
D=l + 4a.
1)	Если а < -1/4, то действительных решений
нет.	(7Т)
2)	Если а = -1/4, то хг 2 — -1/2. (ьТ)
3)	Если а > -1/4, то хг = (-1 - 71 + 4а )/2;
х2 = (-1 + 71 + 4а )/2.	(Уз~)
-1/4	0	12	а
(ось ответа)
Рис. 195
Исследование.
1) Вместо х в уравнение-следствие подставим а:
а2 = 0, а = 0.
А теперь в это же уравнение вместо а подста-
вим 0.
х2 + х = 0,	2 ч
= -1.
Видим, что для данного уравнения допустимо
только хг — -1.
2) Пусть"теперь х — - 4: (УТ)
16 - 4 - а = 0, а = 12.
1781 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Решаем уравнение х2 + х - 12 — 0:	1
#2 — О*
При а — 12 корнем данного уравнения будет
х2 = 3. (кГ)
Ответ. 1) Если а е (—1/4; 0) о (0; 12) о (12; +°°),
то два решения хг = (-1 - 71 + 4а )/2 и
х2 = (-1 + 71 + 4а )/2.
2)	Если а е (-°°; -1/4), то решений нет.
3)	Если а = -1/4, toXj 2 = -1/2.
4)	Если а = 0, то хг = -1.
5)	Если а — 12, то х2 = 3.
№ 20. Решите уравнение----х
х — о
х_______17
х + 3 х2 - 9 ‘
Решение.
ООУ:
be R,
х Ф 3,
х Ф —3.
Переходим к уравнению х2 + (& - 3)х + ЗЬ - 17 = 0.
D = (& - 11)(& - 7).
Рассмотрим ряд случаев.
1)	D — 0; Ь = 11 или Ь — 7.
а)	b = 11: х2 + 8х + 16 = 0, xt 2 = -4.
б)	b = 7: xt 2 = -2. (ГТ)
2)	D < 0; b е (7; 11). Решений нет. (TF)
3)	D > 0; Ь е (-°°; 7) о (11; +оо).
3 - Ъ + 7(& - 11)(Ь - 7)
Х1	2
3 - Ъ - 7(& - 11)(& - 7) ,_ч
Х2 == --------о----------• (Ш
2.5. Дробно-рациональные уравнения с параметром 1179
Исследование.
5
1) х = 3; 9 + ЗЬ - 9 + ЗЬ - 17 = 0, b = 2^ .
6
5
При Ь = 2 g — уравнение-следствие имеет кор-
5
них, =3; х, = -2-.
1’2	g
Таким образом, данное уравнение имеет только
5
один корень х2 = -2 g . (Гд)
2)х = -3; 9 - ЗЬ + 9 + ЗЬ - 17 = 0, 0-6 = -1.
Значит, ни при каком значении Ь х не может
быть равным числу -3.
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 196.
№21. Решите уравнение
х 2х______________36-4
6 + 1 + х - 2	(6 + 1)(х - 2) *
Решение (рис. 197).
ооу:
х2 + 2Ьх -36 + 4 = 0.
Dt = 62 + 36 - 4 = (6 + 4)(6 - 1).
Рассмотрим три случая.
1)	Dx = 0; а) 6 =-4: х1>2 = 4.
6)6= 1: хх 2 = -1. (ГТ)
2)	Dx < 0; 6 е (- 4; -1) о (-1; 1). Решений нет.
Учитывая, что 6 = -1 не является допустимым
для данного уравнения, можно заключить, что
180 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
при b е (-4; 1) данное уравнение действи-
тельных решений не имеет. (УТ)
3)	Dx > 0; Ъ е (-оо; -4) о (1; +°о).
x1 = -b- Jb2 + 3& - 4 ;
х2 = -Ь + 7&2 + 3& - 4 . 5~з~)
Исследование.
Пусть х — 2; тогда 4 + 4Ь - ЗЬ + 4 — 0, b — -8.
Решаем уравнение х2 + 2Ъх - ЗЬ + 4 = 0 при Ь = -8:
х2 - 16х + 28 = 0, х1 = 2, х2 = 14. (кГ)
-8-4	1	b
(ось ответа)
Рис. 197
Ответ. 1) Если Ъ е (—°°; —8) о (—8; —4) о (1; +°°),
то два корня хх = -ft - Jb2 + 3& - 4 и
х2 = -Ъ + 7&2 + 3& - 4 .
2) Если Ь — -8, то х2 — 14.
3) Если Ь = -4, то хх> 2 = 4.
4) Если Ь е (-4; 1), то действительных
решений нет.
5) Если b = 1, то хх 2 = -1.
Уравнения для самостоятельного решения
х + 2 2х — а — 1
1) ~гт =--------5— • (ED
а + 1 х — 2	—
х 2	_ Зх- 2т
) 2т х - 2	2(х - 2) ‘
х 2а - 1	2(2а + 1)
2а + 3 + х 2а + 3 '
(т - 2)х	_ т + 2	2х2 + т + 1	__
т - 1	т - 1 (т - 1)х *
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1181
5)
6)
х 2 т _ 8m2
х-тп х + т х2- т2 *
4(fe - 1)2х + 4(fe - 1) +
х
7)
10	44
х + 2 + х2 - 4
8)
9)
х - а
х - 2
ах + 1
х(х + а)
1	2 2fe + 1
k х - k х(х - fe)
1
fex(x - fe)
 2.6. Более сложные квадратные уравнения
и их системы с параметром и к ним сводимые
№ 1. Сколько корней в зависимости от а имеет урав-
нение ах2 - |2х — 1| = 0?
Решение.
ООУ: (а е
[хе К.
Решим сначала данное уравнение аналитически.
Представим уравнение в виде ах2 — |2х - 1|.
Очевидно, что при а < 0 уравнение не имеет кор-
(1)
(2)
ах2 - 2х + 1 = О,
ах2 + 2х - 1 = 0.
Пусть а > 0. Тогда данное уравнение равносильно
совокупности
ах2 — 2х - 1,
ах2 — 1 - 2х.
Решим каждое из уравнений совокупности.
ах2 - 2х + 1 = 0.
Dx = 1 - а.
1) Dx > 0, а е (0; 1). Уравнение имеет два раз-
личных действительных корня xY и х2. (►Т)
2)Dt = 0, а = 1: xt 2 = 1.	(►?)
3) Dx < 0, а > 1. Действительных корней нет.Скр
182 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
ах2 +2х -1 = 0. (2)
Dx = 1 + a, Dx > 0 при всех а > 0.
Уравнение имеет два различных действитель-
ных корня х3 и х4. (£б)
В частности, если а = 1, то х3 = -1 -	.
х4 = -1 + а/2 . (►?)
Решение совокупности показано на оси ответа
Данное уравнение можно

2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1183
Рис. 201
Рис. 203
При а = 0 уравнение имеет единственный корень
х = 1/2 (рис. 199).
При а < 0 уравнение не имеет корней (рис. 200).
При а = 1 уравнение имеет три корня (рис. 201).
При 0 < а < 1 уравнение имеет четыре корня (рис.
202).-
При а > 1 уравнение имеет два корня (рис. 203).
1841 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Ответ. 1) Если а < 0, то корней нет.
2)	Если а = 0, то один корень.
3)	Если 0 < а < 1, то четыре корня.
4)	Если а = 1, то три корня.
5)	Если а > 1, то два корня.
№ 2. В зависимости от значений параметра а опреде-
лите число корней уравнения
х2 + 4х - 2|х - 1| + 2 + а = 0.
Решение.
1 способ.
Данное уравнение равносильно совокупности
двух систем:
[х > 1,
[х2 + 4х-2х + 2 + 2 + а = 0,
[х < 1,
Дх2 + 4х + 2х-2 + 2 + а = 0;
'[х>1,	(1)
[х2 + 2х + 4 + а = 0,
[х<1,	(2)
|х2 + 6х + а = 0.
Решаем каждую из полученных систем.
(1): Iх >
|х2 + 2х + 4 + а = 0, Dx = -а - 3.
1)	а — -3; тогда (х + I)2 = 0, xt 2 = -1. Но -1 < 1.
Корней нет. (Ту)
2)	а > -3. Действительных корней нет. (УГ)
3)	а < -3; тогда хх 2 = -1 ± J-a - 3 .
Заметим, что хх = -1 - J-a - 3 является отри-
цательным числом при а <—3. Остается
х2 = -1 + J-a - 3 .
Решим неравенство -1 + J-a - 3 > 1.
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1185
- 3 >2, -а - 3 > 4, а < -7.
Если а = -7, то х2 = 1.
Итак, если а < -7, то система (1) имеет единст-
венный корень х2 = 1 + J-a - 3 . (нГ)
X < 1,
х2 + 6х + а — 0, Dj — 9 -а.
1)	а = 9; тогда (х + З)2 = 0, х3 4 = -3. (м)
2)	а > 9. Действительных корней нет. (ГГ)
3)	а < 9; тогда х3 4 = -3 ± л/9 - а .
Легко видеть, что xs = -3 —	- а удовлетво-
ряет условию х < 1 при а < 9.	[х < 1
Остается решить систему неравенств < 4
1<х < 9.
f 79 - а <4,	\а> -7,
< 9;	\а < 9;	ае(-7;9). (кГ)
Сведем решения систем (1) и (2) на одну ось
(рис. 204).
Ответ. 1) Если а е 9), то уравнение имеет
два корня.
2) Если а = 9, то уравнение имеет один
корень.
3) Если а е (9; +<э°)> то действительных
корней нет.
1861 Раздел П. 2. Квадратные уравнения с параметром
2 способ.
Решим это уравнение с использованием системы
координат (хОу).
Сначала рассмотрим систему (1):
[х > 1,
1х2 + 2х + 4 + а = 0.
Пусть у = (х + I)2 + 3 + а. Получаем семейство па-
рабол, ветви которых направлены вверх, а верши-
ны лежат на прямой х = -1 (рис. 205).
Рис. 205
Уравнение х +2х + 4 + а — 0 может иметь только
одно решение, удовлетворяющее условию х > 1,
если парабола пересекает ось абсцисс в точке, ле-
жащей правее 1, или в точке 1. Поэтому достаточ-
но решить систему неравенств:
JDX > 0,	[1-4-а>0, [а<-3,
li/(l)<0;	17 + а < 0;	|а<-7;
а < -7 (рис. 206).
один корень
а(1)
Рис. 206
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1187
А теперь обратимся к системе (2):
\х < 1,
\х1 2 +6х + а = 0.
Пусть у = (х + З)2 + а - 9. Возможны следующие
1) Dx < 0; 9 - а < 0, а > 9. Действительных корней
нет.
2) Dx = 0; а — 9. Один корень х = -3.
„. Dx > 0,	if9-a>0,	а < 9,
л/(1)>0;	17 + а>0;	1а >-7;
а е (-7; 9).
Уравнение х2 + 6х + а = 0 имеет два корня, удов-
летворяющих условию х < 1.
. rD1>0,	|9-а>0,	\а<9,
li/(l)<0';	7 + а < 0; 1а <-7;
а <-7.
188 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Уравнение имеет один корень. Итог решения
системы (2) представлен на рисунке 208.
3 способ.
Систему (1) перепишем в виде ’	„
\а =  хг - 2х - 4,
а систему (2) в виде JХ < 1’„
а = -х2 - ох.
Построим график функции
У = f-x2 - 2х - 4, если х > 1;
1-х2 — 6х, если х < 1
(рис. 209).
Уравнение у = а определяет множество прямых,
параллельных оси абсцисс.
Если а > 9, то прямая у = а не пересекает графика
функции ни в одной точке. Поэтому данное урав-
нение решений не имеет.
2,6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1189
Если а = 9, то прямая у = 9 касается графика в
точке с абсциссой х = -3.
В остальных случаях (а < 9) прямая у = а пересе-
кает график функции в двух точках.
№ 3. Сколько решений в зависимости от параметра а
имеет уравнение (х + 2)|х - 2| = а?
Решение.
ООУ: \а е
[х е R.
Решим сначала данное уравнение аналитически:
|х > 2,
[(х + 2)(х - 2) = а,
fx < 2,
1(х + 2)(2 - х) = а;
х > 2,
х2 = а + 4,
х < 2,
х2 = 4 — а.
(1)
(2)
(1):Если а < -4, то система не имеет решений.
Если а = -4, то х4 2 = 0 не удовлетворяют усло-
вию х > 2. Решений нет. (Ту)
Пусть а > -4, тогда х4 = Ja + 4 , х2 = ~Ja + 4 .
Решим неравенства Ja + 4 > 2 и 7^ + 4 С -2.
Из первого неравенства а > 0.
Второе неравенство не имеет решений, поэто-
му х2 = - Ja + 4 не является решением систе-
мы (1). (JT)
(2):Если а > 4, то система не имеет решений.
Если а = 4, то х3 4 = 0. (кд)
Пусть а < 4, тогда х3 = 74 - а , х4 = - 74 - а .
Решим неравенства 74 - а < 2 и 74 - а > - 2.
Из первого неравенства получаем, что 0 < а < 4.
В этом промежутке решениями являются х3
их4.
Второе неравенство выполняется при всех а < 4,
т. е. х4 является решением системы (2). (ГГ)
Сведем решения на одну ось (рис. 210). (Ур
1901 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
(ось ответа)
Рис. 210
Рассмотрим теперь графическое решение данного
уравнения (рис. 211). Обратимся к системе коор-
динат (хОа) и рассмотрим функцию
а = (х + 2)|х - 2|.
х2 - 4, х > 2,
Рис. 211
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1191
Количество точек пересечения полученного гра-
фика с прямыми, параллельными оси Ох, позво-
ляет судить о числе решений данного уравнения в
зависимости от параметра а.
Ответ. 1) Если а < 0 или а > 4, то уравнение
имеет единственное решение.
2) Если а = 0 или а = 4, то уравнение
имеет два решения.
3) Если 0 < а < 4, то уравнение имеет три
решения.
№ 4. Определите количество корней уравнения
х2 - 10|х - а\ - 6х + 2 + 9а = 0 в зависимости от
значений параметра а.
Решение.
ООУ: е R’
[х е R.
Раскроем модуль и приведем данное уравнение к
равносильной ему совокупности систем:
1х > а,
I х2 - 10х + 10а - 6х + 2 + 9а = 0,
(х <а,
1х2 + 10х - 10а - 6х + 2 + 9а = 0;
\х>а,	(1)
1а =-(х2 - 16х + 2)/19,
|х<а,	(2)
да = х2 + 4х + 2.
Воспользуемся графическим методом решения в
системе координат (хОа) (рис. 212).
Сначала построим прямую а = х, а затем графики
функций а = -(х2 - 16х + 2)/19, если х > а (1),
и а = х2 + 4х + 2, если х < а (2).
Графики функций (1) и (2) пересекают прямую
а = х в точках М(-1; 1) и К(-2; -2).
192 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Рассмотрим различные прямые а = т, где т е R.
5
а = 3j-g — ордината вершины параболы, задан-
ной уравнением (1).
Ответ. 1) Если а е (-оо; -1) и 3j-g ; +°о J, то
уравнение имеет два корня.
5
2) Если а = -1 или а = 3 jg , то уравнение
имеет три корня.
/	5 \
3) Если а е I -1; 3jg L то уравнение
имеет четыре корня.
№ 5. Решите уравнение 2х4 - х3 - Зах2 + ах + а2 = 0.
Решение.
ООУ:
fa е R,
[х е R.
Перепишем приведенное уравнение в виде
а2 - (Зх2 - х)а + 2х4 - х3 = 0. Решаем его как квад-
ратное относительно а.
Получим
а = 2х2 - х,
а = х2.
2.6, Более сложные квадратные уравнения и их системы 1193
Остается решить совокупность двух квадратных
уравнений с параметром а:
2х2 - х - а = О,
х2 - а = 0.
Решим каждое уравнение отдельно и сведем на
координатной прямой параметра результаты ре-
шений (рис. 213).
(1): 2х2 - х - а = 0, D = 1 + 8а.
1)	а < -1/8. Это уравнение не имеет действи-
тельных корней, (м7
2)	а = -1/8; (4х - I)2 = 0; х1; 2 = 1/4.
3)	а > -1/8; х1; 2 = (1 ± 71 + 8а )/4. (Уз~)
(2): х2 = а.
1)	Если а < 0, то действительных корней
нет. (УТ)
2)	Если а = 0, то х3 4 = 0. (ED
3)	Если а > 0, то х3 4 = ± Ja . (Гр
Сводим все решения на одну ось. (кТ)
-1/8	0	а
(ось ответа)
Рис. 213
Ответ. 1) Если а с (0; +°°), то
х4 2 = (1 ± 71 + 8а )/4; х3 4 = ±7а •
1941 Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
2) Если а е [-1/8; 0)], то
хх 2 = (1 ± 71 + 8а )/4.
3) Если а е (-°°; -1/8), то действитель-
ных корней нет.
№ 6. При каких значениях параметра Ъ уравнение
х2 - Ъх + Ъ - 1 Л
—5—,  = 0 имеет единственное решение?
х2 - З х + 2
Решение.
ООУ:
\х2 - 3|х| + 2 * 0,
(бе R.
b е R,
х Ф —2,
х*-1,
X 1,
х 2.
Решим уравнение х2-6х+ 6-1 = 0.
D = (6 - 2)2, D > 0.
1) D = 0, Ъ = 2: хх 2 = 1. Но х = 1 не входит в ООУ.
Решений нет.
2) D > 0, Ъ 2: хх = 6 - 1; х2 = 1, х2 й ООУ.
Исследование.
	' х1 = Ь-1,	
	6 - 1*-2,	хх = 6 - 1,
а)	6- 1*-1,	6*-1,
	6-1*1,	6*0,
	6-1*2,	6*2,
	6*2;	6*3.
б) Если Ъ = -1, & = 0, & = 2, & = 3, то решений нет.
Ответ. бе (-оо; -1)и(-1; 0)и(0; 2) и (2; 3)и(3; +оо).
№ 7. При каких значениях параметра а уравнение
(х2 - 2х - а2 + 1)(а + 3 - |х +1|) = 0 имеет 3 корня?
Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности:
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1195
х2 - 2х - а2 + 1 = 0,	(1)
|х + 1| = а + 3.	(2)
Возможны три случая: либо уравнение (1) имеет
два корня, а уравнение (2) — один корень; либо
уравнение (1) имеет один корень, а уравнение
(2) — два корня; либо каждое уравнение имеет по
два корня, два из которых совпадают.
Рассмотрим уравнение х2 - 2х - а2 + 1 = 0.
Dx = a2, Dx > 0 при любых а е R.
1)	Если а = 0, то Dx = 0. Первое уравнение имеет
один корень. Второе уравнение примет вид
|х + 1| = 3. Оно имеет два корня, а = 0 удовлет-
воряет условию.
2)	Если а 0, то Dx > 0. Первое уравнение имеет
два корня. Уравнение (2) имеет один корень
при а = -3.
3)	Уравнение (1) имеет два корня х4 = 1 - а,
х2 = 1 + а, если а 0.
Уравнение (2) имеет два корня х3 = а + 2,
х4 = -а - 4, если а > -3.
xi = хз> тогДа 1~а = а + 2,а = -0,5;
-0,5 е (-3; 0) и (0; +«=).
xi = х4’ тогда 1 - а = -а - 4. Решений нет.
х2 = х3; тогда 1 + а = а + 2. Решений нет.
х2 = х4; тогда 1 + а = -а - 4, а = -2,5;
-2,5 g (-3;0)и(0; +оо).
Ответ, а = -3, а = -2,5, а = -0,5, а = 0.
Замечание
Вопрос о числе корней уравнения в зависимости от па-
раметра а можно решить и графически в системе коорди-
нат (хОу) или (хОа).
"х2 - 2х + 1 = а2, Г(х—1)2 = а2,
|х + 1| - 3 = а;	|х + 1| - 3 = а;
х - 1 = а,
1 - х = а,
|х + 1| — 3 = а.
196 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Рис. 214
Построим в системе координат (хОу) графики функций
у = х-1,у=1-х, г/ = |х + 1| - 3 и семейство прямых у = а
(рис. 214).
Из рисунка видно, что при а < -3 уравнение имеет два
корня. Найдем координаты точки А:
х - 2 = 1 - х, х = 1,5; у = -0,5.
А(1,5; -0,5).
Координаты точки В:
—х- 4 = х-1,х = —1,5; у = -2,5.
В(—1,5; -2,5).
При а = -3, а = —2,5, а = -0,5, а = 0 уравнение имеет
три корня.
№ 8. Найдите все значения р, при каждом из ко-
торых число различных корней уравнения
(2 - Зр)Х + 7 + 6р 2-1.9/14
----------------- = рг + 2 (1) равно числу различ-
х - 2
ных корней уравнения (4 - Зр)х2 - (р - 4)х +1 = 0
(2). (ЕГЭ 2005 г.)
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1197
Решение.
Решаем уравнение (1):
(2 - Зр)х + 7 + 6р
------Г^2------ =Р* 1 2 + 2-
ООУ: \р е
[х 2.
(2 - Зр)х + 7 + 6р = х(р2 +2) - 2р2 - 4,
(р2 + Зр)х = 2р2 + 6р + 11:
1)р = 0; тогда 0 • х = 11. Решений нет.
2)р = -3; тогда 0 • х = 11. Решений нет.
„	2р2 + 6р + 11
3)р 0, р * -3; тогда хх =-g— ---
Исследование.
[11.0,
< р2 + Зр	I
[р Ф 0,р Ф — 3;	[р 0,р — 3.
Итак, если р * 0, р -3, то уравнение (1) имеет
„	2р2 + 6р + 11	„_ч
единственный корень хх = —--------. (ki)
Рассматриваем уравнение (2):
(4 - Зр)х2 - (р - 4)х + 1 = 0.
ООУ: \р е
[х * 2.
1) р = 4/3; тогда 8х/3 = -1, х = -3/8. (JT)
2) р 4/3. Тогда дискриминант квадратного урав-
нения (2): D =р2 + 4р.
Рассмотрим случаи:
D < 0;р2 + 4р < 0, -4 <р < 0. В этом случае дейст-
вительных корней нет.
D = 0;р = 0 илир = -4.
Еслир = 0, то х = -1/2.
Еслир = -4,тох = -1/4. (Гр
198 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
D>0: ’
>>0.
Уравнение (2) имеет два различных корня
х2их3. (ЕТ)
Сравнив оси (1) и (2) на рисунке 215, получаем
ответ.
Рис. 215
Ответ. -4; -3; 4/3.
№ 9. Найдите все значения параметра р, при кото-
рых уравнение (2р + 3)х* 1 2 +(р + 3)х +1 = 0 имеет
хотя бы один корень, и число различных корней
этого уравнения равно числу различных корней
2х +1	1
уравнения	.	---. (ЕГЭ 2005 г.)
Р х — 3 + 3
Решение.
Решаем сначала уравнение (2р + 3)х2 + (р + 3)х +
+ 1 = 0 (1).
1) 2р + 3 = 0,р = -1,5; тогда Зх/2 + 1 = 0, х = -2/3.
При р = -1,5 уравнение (1) имеет один корень,
равный -2/3.
2) р * -1,5; D > 0, (р + З)2 - 4(2р + 3) > 0.
р2 + 6р + 9 - 8р - 12 > 0,р2 - 2р - 3 > 0,
Р>3,
р < -1. Результат представлен на рисунке 216.
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы 1199
1 корень 1 корень
2 корня\ / 2 корня
///////////^^^
1 корень
\.	/ 2 корня
3	Р ' '
Рис. 216
Теперь рассмотрим уравнение
2х + 1
21 р
+ 3 (2Ь
А/ Л — О I О
ООУ:
х > 3,
_р*21.
Заметим, что
1	_	2х +1	_
,------- > 0. Значит, ту;- > 0
+ з	21 -р
при х > 3. Тогдар < 21. Итак, уравнение (2) может
иметь корни, если р < 21.
1	2х + 1
Введем две функции у = .	---- ии = -----.
7х - 3 + 3	21 -р
Первая из них убывает, а вторая возрастает при
[ х > 3,
[р < 21. Поэтому уравнение (2) может иметь не бо-
лее одного корня.
Построим схематично график функции
1
у = .	---, а затем несколько прямых семен-
ах 3 + 3
ства, заданных уравнением у =
2х + 1
21 р
(рис. 217).
Рис. 217
200 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
Прямая с уравнением у =
2х + 1
21 -р
х > 3, р < 21, пе-
ресечет график первой функции, если ее значение
7	1
при х = 3 меньше или равно 1/3; тогда	§ *
р < 0. Нас интересуют только два значения р: —1,5
и —1. При каждом из них оба уравнения имеют по
одному корню (рис. 218).
1 корень 1 корень
2 корня\ / 2 корня
-1,51	-h
।	। 1 корень
’	1 корень
.//////" ///////^^_^
0
1 корень
/ 2 корня
ЖЖ....(1\
3	р '
Р<2>
Рис. 218
Ответ. -1,5; -1.
f 2ах -y a2
№ 10. Решите систему уравнений х + 2
[X2 - у = 16.
Реше н и е (рис. 219).
а е R,
ООС: \х*-2,
\У е R.
\2ах — у - а2 = 0, у = 2ах-а2,
\х2-у=16;	\х2 - 2ах + а2 - 16 = 0.
Решим уравнение х2 — 2ах + а2 - 16 = 0.
Dj = 16, х1 = а — 4, х2 = а + 4.
Исследование.
1)
Xj = а - 4,
i/i = а2 - 8а,
а - 4 Ф -2, ~
,х1— а - 4,
’ ух = а2 - 8а,
1а * 2.
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы
Гх2 = а + 4, гх2 = а + 4,
2)	J у2 = а2 + 8а,	<у2 = а2 + 8а,
[а + 4^-2;	[а^—6.
3)	Если а = 2, то х2 = 6, у2 = 20.
4)	Если а = -6, то = -10, ух = 84.
____________( ,05	(6; 20),_______________________
(Хр У1), (х2> у2)\/ (хр yt), (х2, Уг)\/ (хР У1). (х2, у2)
-6	2	а
(ось ответа)
Рис. 219
Ответ. 1) Если а = -6, то система имеет единст-
венное решение (-10; 84).
2) Если а = 2, то система имеет единст-
венное решение (6; 20).
3) Если а * -6, а 2, то система имеет два
решения (а - 4; а2 — 8а), (а + 4; а2 + 8а).
№ 11. При каких значениях а система
| Зу + 2 + ху = 0,
। х(у + 1 - а) + у(2а -3) + а + 3 = 0
имеет единственное решение?
Решение.
ООС:
а е R,
х е R,
ye R.
Из первого уравнения системы выразим у через х:
У = -2/(3 + х), если х Ф -3. При х = -3 система не
имеет решений.
Второе уравнение после подстановки примет вид
х(-2/(х + 3) + 1 - а) - 2(2а - 3)/(х + 3) + а + 3 = 0.
Получим уравнение-следствие
(1 - а)х2 - 2(а - 2)х - а + 15 = 0.
(1)
202 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Система уравнений будет иметь единственное ре-
шение, если в уравнении (1) выполняется одно из
трех условий:
1) 1 - а = 0; 2) Dj = 0; 3) один из корней равен -3.
Рассмотрим эти случаи.
1)	а = 1; 2х + 14 = 0, х = -7; у = 1/2.
2)	= (а - 2)2 + (1 а)(а - 15) = 12а - 11.
= 0, если а = 11/12.
3)	Подставим вместо х число -3 в уравнение (1):
(1 - а)• 9 + 2(а - 2)* 3 - а + 15 = 0, 4а = 12,
а = 3.
Ответ. а = 11/12, а = 1,а = 3.
№ 12. При каких значениях b система уравнений
jx2 + у2 = 9,	имеет три решения?
|(5х - у)(х + 2Ь) = 0
Решение.
ООС:
бе R,
х е R,
i/e R.
Пусть b = 0. Тогда из второго уравнения системы
имеем, что либо у = 0, либо х = 0, либо они равны
нулю одновременно. В последнем случае система
решений не имеет. Если же х = 0 или у — 0, то сис-
тема имеет два решения. Следовательно, Ь = 0 не
удовлетворяет условию задания.
Пусть теперь Ь * 0.
Решаем графически в системе координат (хОу).
Графиком уравнения х2 + у2 = 9 является окруж-
ность с центром в начале координат радиуса г = 3
(рис. 220). Второе уравнение системы равносиль-
но совокупности уравнений
Гбх - у = 0,
|_х + 2Ъ = 0.
Покажем, как должны располагаться окруж-
ность и прямее, заданные уравнениями совокуп-
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы
1203
ности, чтобы данная система уравнений имела
три решения (см. рис. 220).
Рис. 220
В случае (а): -2Ь = -3, откуда b = 3/2.
Аналогично в случае (в): & = -3/2.
В случае (б) должна быть совместна система урав-
нений:
х = -2Ь,
' у = Ьх, где Ъ > 0.
х2 + у2 = 9,
Получим уравнение 4&4 + 4&2 = 9. Пусть b2 = t, где
t > 0. Квадратное уравнение 4Z2 + 4Z - 9 = 0 имеет
только один положительный корень
2041 Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
t = (-1 + 710 )/2. Тогда Ъ = 7(-1 + Л0)/2 .
В случае (г) получаем b = -7(-1 + л/10)/2 .
Ответ. Ъ = ± 3/2, Ъ = ± 7(~1 + л/10)/2 .
о т-.	\х2 — 2ах + а2 — 1 = 0,
№ 13. Решите систему „	’
1х2 - Зх > 0.
Решение.
1 способ.
Решим сначала графически в системе координат
(аОх). Представим уравнение системы в виде
(х - а - 1)(х - а + 1) = 0.
Строим прямые с уравнениями х = а + 1 и х = а - 1
(рис. 221). Неравенство х-(х - 3) > 0 задает в
плоскости два множества точек: 1) расположен-
ных не ниже прямой х = 3; 2) не выше прямой
х = 0.
Ответ. 1) Если а е (-оо; -1]	[4; +оо)? то
хх = а - 1; х2 = а + 1.
2)	Если а е (-1; 1], то хх = а - 1.
3)	Если а е (1; 2), то решений нет.
4)	Если а е [2; 4), то х2 = а +1.
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы
2 с п о с о б.
А теперь решим систему аналитически.
Воспользуемся тремя координатными прямыми
для параметра а: на первой оси покажем, когда
хг = а - 1 является корнем, на второй — х2, а на
третьей оси сведем эти два случая (рис. 222).
-112	4	а
(ось ответа)
Рис. 222
Пусть = а - 1. Подставим а - 1 вместо х в нера-
венство х2 ~ Зх > 0:
(а - 1)(а - 4) > 0 (рис. 223).
''//////^//////^_
14 а
Рис. 223
Если а = 1, то = 0.
Если а = 4, то хг = 3.
Пусть = а + 1. Тогда получим неравенство
(а + 1)(а - 2) >0(рис. 224).
-12 а
Рис. 224
Если а = -1, то х2 = 0.
Если а = 2, то х2 = 3.
206 I Раздел II. 2. Квадратные уравнения с параметром
№ 14. Найдите все значения параметра а, для каж-
дого из которых существует только одно значение
х, удовлетворяющее системе уравнений
Пх2 - 5х + 4| - 9х2 - 5х + 4 + 10х|х| = О,
[х2 - 2(а - 1)х + а(а - 2) = 0.
Решение.
ООС: е 5’
[х е R.
Уравнение х2 - 2(а - 1)х + а(а - 2) = 0 имеет два
корня хх = а - 2 и х2 = а при любом а е R.
Рассмотрим функцию у = |х2 - 5х + 4| - 9х2 - 5х +
+ 4 + 10х|х|.
Раскроем модули. х = 0, х = 1,х = 4 — характерные
точки для подмодульных выражений (рис. 225).
0 1	4
Рис. 225
2(х2 - 5х + 4), если х е [0; 1] и [4; +°°);
У = - 0, если х е [ 1 ;4];
-18х2 - 10х + 8, если х е (-оо; 0].
Построим график этой функции (рис. 226).
Рис. 226
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы  207
Запишем множество решений первого уравнения:
{-1}и[1;4].
у = х2 - 2(а - 1)х + а(а - 2) = 0 задает семейство па-
рабол. Нас интересуют только те из этих парабол,
которые с множеством решений первого уравне-
ния имеют только одну общую точку.
На рисунке 226 представлены четыре возмож-
ных случая расположения парабол. Рассмот-
рим их.
1) и — —1.
2)1 <а<3.
3) а - 2 = 4, т. е. а = 6.
4) 2 < а - 2 < 4; 4 < а <6.
Ответ, а е {-1}и(1; 3)и (4; 6].
№ 15. Найдите все р, при каждом из которых число
корней уравнения
(7р + 3)х + 35р - 2
------х"+~5------ =Р + 3	(1)
равно числу корней уравнения
(р + 3)х2 + 2х(р + 9) + 27 = 0.	(2)
(ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
Рассмотрим уравнение (1).
ООУ: \р е R’
[х Ф —5.
Освободившись от знаменателя, перейдем к урав-
нению-следствию
(7р + 3) х + 35р - 2 = х(р2 + 3) + 5р2 + 15;
р(7 -р)' х = 5р2 - 35р + 17.
Рассмотрим ряд случаев:
а)р = 0: 0 • х = 17. Решений нет; (УТ~)
б)р = 7: 0 • х = 17. Решений нет; (ГТ)
в)р 0, р * 7: хх = (5р2 - 35р + 17)/(7р -р2).
208 I Раздел II. 2, Квадратные уравнения с параметром
Исследование.
f= (5р2 - Збр + 17)/(7р - р2),
! р *0, р *7,
[(5р2 - 35р + 17)/(7р -р2) * 5;
[хг = (5р2 - Збр + 17)/(7р -р2),
>Р 0, р 7,
. 5р2 - Збр + 17 * -ЪЬр + 5р2;
'хх = (5р2 - Збр + 17)/(7р - р2) — один корень,
'р^0,рф 7 (ось (1) на рис. 227). (Гр
Рассмотрим уравнение (2):
(р + 3)х2 + 2х(р + 9) + 27 = О.
ООУ: е J’
\х е R.
а) р = -3: 12х = -27, х = -9/4 — один корень, (Гр
б) р *. -3:
Dx = (р + 9)2 - 27р 81 =р2 - 9р = р(р - 9).
1) Dt < 0: 0 <р < 9. Уравнение (2) действитель-
ных решений не имеет, (Гр
2) Dt = 0:1) еслир — 0, то х = -3 — один корень;
2) еслир = 9, то х = -3/2 — один ко-
рень. (Ур
[Гр >э,
3)D>0: Г1Р<0’
р Ф —3.
Уравнение (2) имеет два корня. (Гр
Заполним ось (2) и поместим под ней ось (1) (рис.
227).
Рис. 227
2.6. Более сложные квадратные уравнения и их системы
Ответ. -3; 7; 9.
Замечание
Прир = 7 и первое, и второе уравнения корней не име-
ют, т. е. их число равно 0.
Уравнения для самостоятельного решения
1)	Решите уравнение х2 - |х| + а = 0 аналитически и
графически. (УТ~)
2)	Сколько решений в зависимости от значений па-
раметра а имеет уравнение (х + 1) • |х + 1| = 2а?{£Т)
3)	Решите уравнение
Зх4 - 2х3 - 8х2а + 4ах + 4а2 = 0. (Уз~)
4)	При каких значениях параметра р уравнение
•г 2 — 4пх + 4о2 — 4
----5— . । , --- = 0 не имеет решений? (£д)
х2 - 7|х| + 6----—
5)	Сколько корней в зависимости от значений па-
раметра а имеет приведенное уравнение
(х2 - 2х - а2 + 1) • (а + 3 - |х + 1|) = 0? (►?)
6)	Определите количество корней уравнения
х2 + 2|х - а\ - 6х + 2 + 9а = 0 в зависимости от
значений параметра а. (Гб)
г,, п	„ [х + п = 9,	.—.
7)	Решите систему уравнении „ Q	(►7J
х2 + у2 = а.
8)	При каких значениях параметра а система урав-
нений
Jаху + х - у + 3/2 = 0,
[х + 2у + ху + 1 = 0
имеет единственное решение? (мГ)
9) При каких значениях параметра а система урав-
нений
х - у = а(1 - ху),
2 + х + у + ху = 0
имеет единственное решение? (£7)
10) Сколько решений в зависимости от значений а
имеет система уравнений
|х2 + у2 = 9, __
[|х| = у + а? —2
210 I Раздел 11.3, Квадратные неравенства с параметром
ед Квадратные неравенства
“ с параметром и к ним сводимые
 3.1. Подготовительные неравенства и их систем
Решите неравенства.
№ 1. х2 - Зх + 2 > 0; х2 — Зх + 2 < 0; х2 - 4х + 4 > 0;
х2 - 4х + 4 > 0; х2 - 4х + 4 < 0; х2 - 4х + 4 < 0;
х2 - х + 2 > 0; х2 - х + 2 < 0.
№2. х2 - 9 > 0; х2 - 3 < 0; х2 + 9 > 0; х2 + 9 < 0;
х2 + а2 > 0; х2 + а2 < 0; 2х2 - 8х > 0; х2 - Зх < 0;
х2 > 0; х2 > 0; х2 < 0; х2 < 0; (1 + а2)х2 > 0;
(1 + а2)х2 < О.
№ 3. 0 • х2 < 3; 0 • х2 > 6; 0 • х2 - 4 > 0; 0 • х2 > 0;
0-х2 > 0; 0-х2 < 0; 0-х2 < 0; 0-х2 > -2;
О • х2 < -6; ах2 > 0; ах2 < 0; О • х2 > а2; 0 • х2 > а2;
0-х2 < а2; 0-х2 < а2; 0-х2 > За2 + 1;
О • х2 > За2 + 1; 0 • х2 < За2 + 1; 0 • х2 < За2 + 1;
О • х2 > -За2 - 1; 0 • х2 > -За2 - 1; 0 • х2 < —За2 - 1;
О • х2 < -За2 - 1; 0 • х2 > (а + 2)2; 0 • х2 > (а + 2)2;
О • х2 < 4а + 1; 0 • х2 > 62 — 5& + 4; 0 • х2 > |а|;
О • х2 < |а|; 0 • х2 < (а + 2)2/|а|.
№4. (х - 1)(х + 4) < 0; (Зх - 2)(4х - 5) > 0;
х(6 - х) < 0; (1 - Зх)(2 + 5х) < 0; (х - I)2 > 0;
(5х + 2)2<0.
№ 5. Решите неравенство (х - 1)(х - а) > 0.
Решение.
ООН: \а е 5’
tx е К.
Воспользуемся методом интервалов. «Гранич-
ные» точки интервалов: 1 и а. Анализируем, ка-
кой знак имеет выражение на каждом из интерва-
лов.
Рассмотрим возможные случаи.
3.1. Подготовительные неравенства и их системы 1211
1)	а = 1, т. е. «граничные» точки совпадают.
Неравенство примет вид (х - I)* 2 3 > 0, откуда
хе (-оо; 1)и(1;+оо). (ГГ)
2)	а> 1,
X е (-оо; 1) U (а; +оо) (рис. 228). (УГ)
3)	а<1,
х е (-оо; a) u (1; 4-оо) (рис. 229). (УТ)
1 а х
Рис. 228
Рис. 229
Ответ. 1) Если а = 1, то х е (-оо; 1) u (1; + оо).
2) Если а > 1, то х е (-оо; 1) и (а; +оо).
3) Если а < 1, то х е (-оо; a) u (1; +°°).
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(аОх) (рис. 230).
Рис. 230
Xs в. Решите неравенство (2х + 3)(х + 36) < 0.
Решение.
ООН: \Ь е
lx е R.
Рассмотрим возможные случаи взаиморасполо-
жения точек -3/2 и -36.
212 I Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
1)	-ЗЬ = -3/2, т. е. Ъ = 1/2. Неравенство примет
вид (х + 3/2)* 1 2 * * * < 0, откуда х = -3/2. (УТ)
2)	-ЗЬ > -3/2, т. е. & < 1/2.
х е [-3/2; -ЗЬ] (рис. 231). (ЙГ)
3)	-ЗЬ <-3/2, т. е. Ь > 1/2.
х е [-ЗЬ; -3/2] (рис. 232). (Уз)
+ - + + - +
..........
3/2	-3d

-ЗЬ -3/2
Рис. 231
Рис. 232
Заполним ось ответа (рис. 233).
-------------------- х = -3/2,----------------------
хе[—3/2; -3d]	у/ xe[-3d; -3/2]
1/2	d
(ось ответа)
Рис. 233
№ 7. Решите неравенство ах2 > а.
Решение.
ООН: |а е В’
хе R.
ах2 - а > 0, а(х - 1)(х + 1) > 0.
Рассмотрим три случая.
1) а = 0. Неравенство примет вид 0 • х > 0. Реше-
ний нет. (УТ~)
2) а > 0. Разделим обе части неравенства на а
(знак неравенства при этом сохраняется):
(х — 1)(х + 1) > 0.
х е (-оо; -1) U (1; +оо) (рис. 234). (Уз)

-1 1
Рис. 234
3.1. Подготовительные неравенства и их системы
3) а < 0. Разделим обе части неравенства на а, поме-
няв при этом знак «>» на «<»: (х - 1)(х + 1) < 0,
откуда хе (-1; 1). (Уз~)
О т в е т. 1) Если а = 0, решений нет.
2) Если а > 0, то х е (-оо; -1) (1; +оо).
3) Если а < 0, то х е (-1; 1).
№ 8. Решите неравенство \т + 1|х2 < 4тп + 4.
Решение (рис. 235).
т + 1, т > -1,
\т + 1| = !0, т = -1,
-тп - 1, т < — 1.
Рассмотрим три случая.
1)	т > -1; (тп + 1)х2 < 4т + 4.
Разделим обе части неравенства на тп + 1.
Получим х2 < 4, откуда х е [-2; 2]. (УТ~)
2)	тп = -1. Неравенство примет вид 0*х2 < 0;
х е R. (ьТ)
3)	тп < -1; -(тп + 1)х2 < 4тп + 4. Разделим обе части
неравенства на -тп - 1; тогда х2 < -4. Решений
нет. (ьТ)
~	\ х е R /
0 nJ/ х 6 [~2; 2]
-1	т
(ось ответа)
Рис. 235
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(тпОх) (рис. 236).
т = -1
Рис. 236
2141 Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
№ 9. Решите неравенство х2 - 4а2 > 0.
Решение.
ООН: )ае J’
[х е R.
(х - 2а)(х + 2а) > 0. Сравним -2а и 2а.
1)	Пусть -2а = 2а, т.е. а = 0. Неравенство примет
вид х2 > 0, откуда х е R. (УТ~)
2)	Пусть -2а < 2а, а > 0.
хе (- оо; -2а] и [2а; +»о) (рис. 237).
3)	Пусть -2а > 2а, а < 0.
х е (-оо; 2а] и [-2а; +»о) (рис. 238). (Уз~)
-2а 2а х
2а -2а х
Рис. 237
Рис. 238
Ответ. 1) Если а = 0, то х е R.
2) Если а > 0, то х е (-°°; -2а] и [2а;
+ОО).
3) Если а < 0, то х е (-°°; 2а] и [-2а;
+оо).
№ 10. Решите неравенство 2х2 - бах < 0.
Решение.
х(х - За) < 0. Сравним 0 и За.
1)	Пусть За = 0, т. е. п = 0. Тогда х2 < 0, х = 0. (УТ~)
2)	Пусть За > 0, т. е. п > 0. Тогда х е [0; За]
(рис. 239). (12}
3)	Пусть За < 0, т. е. а < 0. Тогда х е [За; 0]
(рис. 240). (Уз~)
+ - +	+ - +
О Зп х	Зп О х
Рис. 239
Рис. 240
3.1. Подготовительные неравенства и их системы
Ответ. 1) Если п = 0, то х = 0.
2) Если п > О, то х е [0; За].
3) Если п < 0, то х е [Зп; 0].
Проиллюстрируем ответ в системе координат
(пОх) (рис. 241).
Рис. 241
№11. При каком значении параметра а решением
неравенства (х + 2а)(х - 1) < 0 является промежу-
ток [-10; 1]?
Решение.
ООН: \а е J’
lx е R.
Решаем методом интервалов. Сначала найдем
«граничные» точки: 1 и-2а.
1)	Если -2а = 1, тоа = -1/2.
Решаем неравенство (х - I)2 < 0; х = 1. (ьТ)
Следовательно, а = -1/2 не удовлетворяет ус-
ловию.
2)	Пусть -2а > 1, т. е. а < -1/2.
Тогда х е [1; -2а] (рис. 242).
3)	Пусть -2а < 1, т. е. а > -1/2.
Тогда х е [-2а; 1] (рис. 243). (ьз?)
Если а = 6, то х е [-10; 1].
216 I Раздел 11.3, Квадратные неравенства с параметром
1	-2а
-2а	1
Рис. 242
О т в е т. а = 5.
Рис. 243
хе то т>	[(х + 2)(3 - х) < О,
№ 12. Решите систему неравенств ' , п
“г а и.
Решение.
ООС:
[X е К.
Решим каждое из неравенств системы.
(х + 2)(х - 3) > О,
х е (-оо; -2] и [3; +оо) (рИс. 244).
2х + а < 0, х < -а/2, х е (-°°; -а/2) (рис. 245).
-•-----♦
-2	3
-а/2
Рис. 244	Рис. 245
Сравним числа -2 и 3 с выражением -а/2.
Рассмотрим несколько случаев.
1) -а/2 < -2; а > 4.
х е (-оо; -а/2) (рис. 246).
; ~2
___
-а/2
Рис. 246
2) -а/2 = -2; а = 4.
х е (-оо; -2) (рис. 247).
3) -2 < -а/2 < 3; -6 < а < 4.
х е (-°0; -2] (рис. 248).
__________*..'///////;/,///, зг.
-2	3 х
-а/2	х
Рис. 247
Рис. 248
3.1. Подготовительные неравенства и их системы 121 7
4) -а/2 = 3; а = -6.
х е (-оо; -2] (рис. 249).
5) -а/2>3; а < -6.
х е (—°°; -2] и [3; -а/2) (рис. 250).
-2>


-а/2 х
Рис. 249
Рис. 250
Заполним ось ответа (рис. 251).
______________Х€(~оо; -2]	х€(-оо; -2)___
хе(-оо; -2]и[3; -а/2)\^///-2]\^/ хе(-°°; -а/2)
-6	4	а
(ось ответа)
Рис. 251
№ 13. Решите систему неравенств
(х - а - 1)(х + 1) > 0,
|(х - а)2 < 0.
Решение.
Решением второго неравенства является х = а.
При этом первое неравенство примет вид
(а - а - 1)(а + 1) > 0, откуда а < -1.
Ответ. 1)Если а < -1, то х = а.
2) Если а > -1, то решений нет.
№ 14. Решите неравенство |х| • (х - Ь - 1) > 0.
Решение.
ООН:!&е 5’
х е К.
Так как |х| > 0, то данное неравенство равносильно
совокупности:
2181 Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
X = О,
\х Ф О,
\х - Ь - 1 > 0;
х = О,
(х Ф О,
. |х > b + 1.
Рассмотрим три случая.
1)	b + 1 = 0, b = -1; тогда х > 0, т. е. х е [0; 4-оо).
2)	Ъ + 1 > О, Ъ > -1; тогда хе {0} о [& + 1; + оо) (рис.
252).
3)	Ь + 1 < О, Ь < -1; тогда хе [& + 1; +оо) (рис. 253).
О д + 1 х
Рис. 252
Рис. 253
д + 1 О
Заполним ось ответа (рис. 254).
хе[д + 1; +°о)
Рис. 254
xe{0}U[d+ 1; +оо)
(ось ответа)
Совокупность
х = 0,
[х * 0, можно было решить гра-
|х > & + 1
фически в системе координат (ЬОх) (рис. 255, 256).
Рис. 256
Рис. 255
3,1. Подготовительные неравенства и их системы
«Наложив» первые два рисунка друг на друга, по-
лучим третий рисунок, с помощью которого легко
получается ответ (рис. 257).
Рис. 257
Например, при Ь = 0 х е {0} u [1; +о°).
Ответ. 1) Если Ь < -1, то х е [6+1; +°°).
2) Если Ъ > -1, то х е {0} и [6 + 1; +°о).
Заметим, что совокупность также легко решается
и в системах координат (хОу) и (хО6).
№ 15. При каких значениях параметра а неравенст-
во (х - За)(х + За) < 0 является следствием нера-
венства |х| < 3?
Решение.
ООН:
lag R,
[х g R.
Для решения воспользуемся определением 8 из
раздела «Основные понятия» в начале книги.
Решим каждое из неравенств.
(х - За)(х + За) < 0.
«Граничные» точки интервалов: За и -За.
1)	Если а > 0, то х е [-За; За] (рис. 258).
2)	Если а = 0, то х = 0.
3)	Если а <0, тохе [За; -За] (рис. 259).
+ — + + — +
__________________________________^///////,//м,*_
-За За х	За -За
Рис. 258
Рис. 259
220 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
|х| < 3, х е [-3; 3] (рис. 260).

-3	3
х
Рис. 260
Очевидно, что а = 0 не является решением задачи.
Проверим, выполняются ли условия, при кото-
рых отрезок [-3; 3] содержится либо в [-За; За],
либо в [За; -За]:
а >1,
а < -1.
Ответ, а е (-°°; -1] u [1; +°°).
№ 16. Решите неравенство |х2 - 5а| < 0.
Решение.
ООН: е ?’
[хе R.
Так как модуль действительного числа неотрица-
телен, то данное неравенство равносильно уравне-
нию х2 - 5а = 0 или х2 = 5а.
1)	Если а < 0, то решений нет.
2)	Если а = 0, то хх 2 = 0.
3)	Если а > 0, то хх = -75а , х2 = 75a (рис. 261).
(ось ответа)
Рис. 261
Неравенства и их системы для самостоятельного
решения
№ 1. Решите неравенства:
0 • х2 > а2 + а + 4; 0 • х2 > а2 + 4а + 4;
0 • х2 < а2 + а + 4; 0 • х2 < а2 + а + 4;
0 • х2 > Зтп + 10; 0 • х2 > Зтп + 10;
0 • х2 < Зтп + 10; 0 • х2 < Зтп + 10. (УТ~)
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1221
2)	Решите неравенства: (х + а)2 > 0; (х + а)2 > 0;
(х + а)2 < 0; (х + а)2 < 0. (ГТ)
3)	Решите неравенство (х + 4)(х — 2а) < 0. (мГ)
4)	Решите неравенство х • (х - т2 - 5m - 4) < 0. (кГ)
5)	Решите неравенство |х - 1| • (х + Ъ) > 0. (ГГ)
6)	Решите неравенство х\п - 4| • (х + п) > 0. (ГГ)
7)	Решите неравенство |х2 - 4&| > 0. (»Т)
оч п	[(х - 1)(х - 3) > 0, ,—.
8)	Решите систему Р	' (мГ)
Хтй т Ct и»
9)	Решите систему !х +	(>9~)
J 1(* ~ !)(* + а) > 0. к1
10)	При каких значениях параметра с неравенство
(х - с)(х + с) < 0 является следствием неравенст-
ва |х + 1| < 4 ? (Пр)
 3.2. Квадратные неравенства с параметром
и к ним сводимые. Системы неравенств
№ 1. Решите неравенство х2 - 2ах - 4 + а2 > 0.
Решение.
ООН: \а е R’
[X е R.
х1=а-2, х2 = а + 2 — корни квадратного трех-
члена х2 - 2ах — 4 + а2.
1	способ.
(х - (а - 2))(х - (а + 2)) > 0.
Решим данное неравенство методом интервалов,
учитывая, что при любом а е R х2 > xt (рис. 262).
+ — +
а - 2 а + 2 х
Рис. 262
хе (-°0; а - 2) и (а + 2; +°°).
222 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
2	способ
Воспользуемся «каркасом» квадратичной функ-
ции (рис. 263).
Ответ, х е (-оо; а - 2) и (а + 2; +°°).
Проиллюстрируем полученные результаты в сис-
теме координат (аОх) (рис. 264).
Рис. 263
Вопросы и задания
1)	Укажите множество решений неравенства для а = -3,
а = 0, а = 4.
2)	При каком значении а х е (-°°; 6)и (10; +°°)?
3)	Можно ли указать такие значения параметра а, при ко-
торых множеством решений данного неравенства будет
отрезок [а - 2; а + 2]?
4)	Решите неравенство X2 - 2ах - 4 + а2 < 0. Приведите
графическую иллюстрацию полученных результатов.
№ 2. Решите неравенство х2 - 2ах + 4 + а2 > 0.
Решение (рис. 265).
ООН:|£1ап1<о.
Ответ, х е R.
7///////////////////////7//////////////////////////, х
Рис. 265
№ 3. Решите неравенство х2 - 4ах + 4а2 < 0.
Решение.
OOFT* < е
’ [хе R; (х - 2а)2 < 0, х = 2а.
О т в е т. х = 2а.
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1223
№ 4. Решите неравенство х2 + тх + 2m2 < 0.
Решение.
ООН: S R’
\х е R; D = -7m2.
Рассмотрим два случая.
1) D = 0; тогда т = 0. Неравенство примет вид
х2 < 0, откуда х = 0 — единственное решение.
2) D < 0; тогда т 0. Решений нет.
Ответ. 1) Если т = 0, тох = 0.
2) Если т 0, то решений нет.
№ 5. Решите неравенство х - 2х2 + а - 1 < 0.
Решение.
ООН: 1“ 6 К’
х е R; -2х2 + х + а - 1 <0.
Умножив на —1, получим
2х2 - х-а + 1>0. D = 8а - 7.
Рассмотрим три случая.
1)	D > 0; тогда 8а - 7 > 0, а > 7/8.
хг = (1 - „/8 а - 7 )/4; х2 = (1 + 78а - 7 )/4
(рис. 266).
х е (-оо; (1 _ 780^7)/4) u ((1 + Т8а^7)/4;
+«=)• (ED	(А)
2)	D = 0, а = 7/8.
Неравенство примет вид 2 • (х - 1/4)2 > 0;
откуда х е (-со; 1/4) и (1/4; +со) (рис. 267). (кГ)
Рис. 266	Рис. 267
224 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
3)	D < 0, а < 1 /8; тогда х е R. (jp
Ответ запишите самостоятельно (рис. 268).
7/8	а
(ось ответа)
Рис. 268
№ 6. Решите неравенство ах2 + 2х + 1 < 0.
Решение.
ООН:
[a е R,
[х е R.
1. а = 0. Неравенство примет вид 2х + 1 < 0;
х<-1/2. (кГ)
2. а * 0. Dx = 1 - а.
Рассмотрим шесть случаев, соответствующих раз-
личным расположениям «каркаса» квадратичной
функции.
1 j а > 0,	Г а > 0,	Г а > 0,
| Dx > 0;	11 - а > 0;	|а<1;
а е (0; 1).
Пусть хх = (-1 -	- а )/а, х2 = (-1 +	- а )/а.
При а > 0 х2 > хг. Поэтому х е [(-1 - 71 - а )/а;
(-1 + 71 - а )/а] (рис. 269). (VT)	(А)
\а>0,	\а>0,
л[П1 = 0; а = 1;
х =-1 (рис. 270). (Гр
[а>0,	fa>0,
o?[D1<0;	[а>1;
а = 1.
а е (1; +°о).
Рис. 269
Рис. 270
3.2. Квадратные неравенства с параметром
Решений нет (рис. 271). (к?)
.. \а<0,	Га< О,
|D1>0;	|а<1;	а е (-°°; 0).
Сравним х2 и хг при а < 0. Для этого оценим знак
разности х2 - хх; х2 - xt = (2	- а )/а. Видим, что
х2 - хх < 0 при а < 0. Поэтому х2 < хг
х е (—°°; (-1 + 71 - а )/а] u [(-1 -	- а )/а; +оо) (В)
(рис. 272). (►£)
х
Рис. 271	Рис. 272
\а < 0, Г а < О,
' jD1 = O; |а=1.
Система не имеет решений, а потому такой случай
невозможен.
„Лас 0,	Га с О,
° [Dj<0;	|а>1.
Такой случай невозможен.
Суммарный результат представлен на рисунке
Рис. 273
Ответ. 1) Если а е (-о°; 0), то
хе (-со; (-1 + 71 - а )/а]и[(-1-	- а )/а; +оо),
2) Если а = 0, то х е (-о°; -1/2].
3) Если а е (0; 1), то
х е [(- 1 - 71 - а )/а; (-1 + 71 - а )/а].
226 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
4) Если а = 1, то х = -1.
5) Если а е (1; +°°), то решений нет.
№ 7. Решите неравенство
(1 - а)х4 - 2(а + 1)х2 - а З > 0.
Решение.
ООН:
ае R,
х е R.
1.	а = 1. Неравенство примет вид -4х2 - 4 > 0. Оно
решений не имеет. (УТ)
2.	а * 1. Пусть х2 = у.
(1 - а)у2 - 2(а + 1)у - а - 3 > 0;
Dx = (а + I)2 + 1 - а)(а + 3), Dx = 4,	> 0.
Рассмотрим два случая.
1)	1 - а > 0, а < 1; г/х = (а + 3)/(1 - а), у2 = -1.
Сравним г/1 и у2. yY - у2 = 4/(1 - а). При а < 1
У1 - У2 > 0, откуда у! > у2.
\У>(а + 3)/(1 - а) (рис. 274), х2 >(а + 3)/(1 - а),
Ь/<-1;	[х2<-1.
Второе неравенство в совокупности не имеет
решений. Рассмотрим первое неравенство.
х2 > (а + 3)/( 1 - а).
а)	Если (а + 3)/(1 - а) < О, т. е. а е (-°°; -3),
то х e R. (JT)
б)	Если а = -3, то х2 > 0; х е R. (Гз~)
в)	Пусть (а + 3)/( 1 - а) > 0, т. е. а е (-3; 1).
х2 -- (а + 3)/(1 - а) > 0;
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1227
(х + J(a + 3)/( 1 - а) )(х - J(a + 3)/(1 - а)) > 0.
х е (-оо; -7(а + 3)/(1 - а) ] и
и [ 7(а + 3)/(1-а); +«=) (рис. 275). (ЕЮ (А)
2)	1 - а < 0, а > 1. Тогда г/1 < у2.
(а + 3)/(1 - а) < у < -1 (рис. 276).
Рис. 275	Рис. 276
[х2 < -1,
lx2 > (а + 3)/(1 - а).
Так как первое неравенство не имеет решений, то
и вся система не имеет решений. (ЕЮ
Суммируем результаты (рис. 277).
Рис. 277
а
(ось ответа)
Ответ. 1) Если а < -3, то х е R.
2) Если а е (-3; 1), то
х е (-°0; -л/(а + 3)/(1 - а) ] и
и [7(а + 3)/(1 - а); +оо).
3) Если а > 1, то решений нет.
При решении неравенств вида f(x) > 0, f(x) > 0,
f(x) < 0, f(x) < 0, в том числе и с параметром, удобен
метод интервалов.
Он основан на следующем Утверждении:
если на интервале (а; Ъ) функция у = f(x) непре-
рывна и не обращается в нуль, то она сохраняет на
этом интервале постоянный знак.
228 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
Для определения знака у = f(x), где х е (а; Ь), до-
статочно взять любое число из (а; Ь), подставить вме-
сто х и вычислить f(x).
№ 8. Решите неравенство (х - а)2 • (х - 1) < 0.
Решение.
ООН: la е R’
[х е R.
Находим нули непрерывной на множестве R
функции f(x) = (х - а)2 ’ (х - 1); х = а, х = 1. При-
равниваем их: а = 1.
Рассмотрим возможные три случая.
1)	а = 1; (х - I)3 < 0, х < 1.
2)	а < 1.
При переходе через точку х = а знак f(x) не ме-
няется. Договоримся в дальнейшем над точкой
оси х, при переходе через которую знак выра-
жения, стоящего в левой части неравенства, не
меняется, рисовать флажок (рис. 278).
х е (-°°; 1].
3)	а > 1 (рис. 279).
х е (-оо; 1] и {а}.
,///лм///9____±,,„,7. , Л ф +	+ г
а 1	х	t а	х
Рис. 278	рИс. 279
Нанесем результаты на ось ответа (рис. 280).
1]
1]
(-00; 1] U {а}
а
(ось ответа)
Рис. 280
3.2. Квадратные неравенства с параметром 1229
№ 9. Решите неравенство (х - 2)2 • (х - 3)(х - а) > 0.
Решение.
ООН: \а е
I х е R.
х = 2, х = 3, х = а — нули непрерывной на множе-
стве R функции f(x) = (х - 2)2 • (х - 3)(х - а).
Рассмотрим возможные случаи (рис. 281).
3)	1)	4)	2)	5)
-----•--------*-----
2	3
Рис. 281
1)	а = 2: (х - 2)3(х - 3) > 0 (рис. 282).
х е (-оо; 2) и (3; + оо).	(А)
2)	а = 3: (х - 22(х - З)2 > 0 (рис. 283).
2
+
3 х
Рис. 283
Рис. 282
хе(-оо;2)и(2;3)и(3; + м).	(В)
3)	а < 2 (рис. 284).
х е (-оо; а) и (3; + о°).	(С)
4)	2 < а < 3 (рис. 285).
хе (-оо; 2)и(2;а)и(3; + оо).	(К)
Рис. 285
Рис. 284
5) а > 3 (рис. 286).
+ F* "Ь +
2	3 а х
Рис. 286
230 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
х е (-оо; 2) и (2; 3) и (а; + оо).	(L)
Суммируем решения на оси ответа (рис. 287).
2	3	а
(ось ответа)
Рис. 287
№ 10. Решите неравенство
х2 + х(3а - 1) - За >
х - 1
Решение.
ООН: е R’
[х* 1.
Рассмотрим квадратный трехчлен
х2 + (За - 1)х - За.
D = (За - I)2 + 12а, D = (За + I)2,
хх = 1, х2 = -За.
Неравенство примет вид (х - 1)(х + За)/(х - 1) > 0.
1 способ.
[х + За>0,	[х>-3а,
1X5*1;	[Х5*1.
Сравним 1 и -За.
1)	Пусть 1 > -За; тогда а > -1/3.
х е [-За; 1) u (1; + оо) (рис. 288).
2)	Пусть 1 = -За; тогда а = -1/3.
х е (1; + оо).
3)	Пусть 1 < -За; тогда а < -1/3.
х е [-За; + оо) (рис. 289);
-За
1
Рис. 288
Рис. 289
3.2. Квадратные неравенства с параметром 1231
Ответ запишите самостоятельно (рис. 290).
х е [-За; +°о)	> Jz	хе [-За; 1) U (1;+оо)
-1/3	а
Рис. 290
2 способ.
Освобождаться от знаменателя не будем, но, ре-
шая это неравенство методом интервалов, учтем,
что при переходе через х = 1 знак выражения ле-
вой части неравенства не меняется.
1)	а > -1/3 (рис. 291):
х е [-За; 1) u (1; + оо).
2)	а = -1/3:
хе (1; + оо).
3)	а < -1 /3 (рис. 292):
х е [-За; + оо).
-За '	1
-1 -За
Рис. 291
Рис. 292
(х — 1)х(х — dt)
№11. Решите неравенство -------—------- > 0.
Решение.
ООН: “ А
[х 0.
Решить данное неравенство можно, предвари-
тельно сократив х в числителе и знаменателе и
учитывая в дальнейшем, что х 0. Но мы решим
другим способом.
х = 1, х = а — нули функции
/(ж) _ (Х-1)Х(Х-а) _
232 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
При х = 0 она не определена. Сравниваем а с 0 и 1
(рис. 293).
х%( X — 1)
1)	а = 0: ---------- > 0, х(х - 1) > 0 (рис. 294).
хе (-оо; 0)и(1; + оо),	(Л)
3) 1) 4) 2)	5)	+
________ф______________•________________ '////////////////^________________^/////////////7,
О 1 а	0	1
Рис. 293	Рис. 294
(X — 1 ^2 • X
2)	а = 1: --------- > 0 (рис. 295).
хе (-оо; 0)u(0; 1)и(1; + оо),	(В)
3)	а < 0 (рис. 296):
0	1	х	а 0	1 х
Рис. 295	Рис. 296
хе (-оо; а)и(1; + оо).	(С)
4) 0 < а < 1 (рис. 297):
хе (-оо; 0)и(0;а)и(1; + оо),	(К)
5) а > 1 (рис. 298):
О а 1 х	0	1 а
Рис. 297	Рис. 298
х е (-оо; 0) и (0; 1) и (а; + оо).	(L)
Заполним ось ответа (рис. 299).
(С)
(L)
а
(жъ ответа)
Рис. 299
3.2. Квадратные неравенства с параметром
№ 12. При каких значениях параметра а неравенст-
во (х - За)(х + 6) < 0 имеет единственное решение?
Решение.
ООН: 5’
|хе К.
Решением данного неравенства при За * -6 явля-
ется отрезок. Если За = -6, т. е. а = -2, то нера-
венство (х + 6)* 1 2 < 0 имеет единственное решение
х = -6.
Ответ, а = -2.
№ 13. При каких b решением неравенства
(х - 3)(х + 4)/(х - Ь)2 < 0 будет отрезок?
Решение.
ООН: \Ье &
[х* о.
Рассмотрим возможные случаи.
1) Если b < -4, то х е [-4; 3] (рис. 300). (£D
2) Пусть Ь = -4; тогда (х -3)(х + 4)/(х + 4)2 < 0;
(х - 3)/(х + 4) < 0. ОТ)
х е (-4; 3] (рис. 301). Поэтому Ь = - 4 не удовлет-
воряет условию задачи.
+ — +
___
-4	3
Рис. 300
Рис. 301
3)	—4 < Ь < 3. рТ)
х е [-4; b) и (6; 3] (рис. 302).
4)	6 = 3; тогда (х - 3)(х + 4)/(х - З)2 С 0,
(х + 4)/(х - 3) 0.
х е [-4; 3) (рис. 303). р~4~)
Рис. 302	Рис. 303
2341 Раздел 11,3. Квадратные неравенства с параметром
5)	Ь > 3; тогда х е [-4; 3]
(рис. 304). (ГГ)
Ответ, Ъ е (-°°;-4)и
и (3; +оо).
Рис. 304
№14. Найдите все значения параметра а, при кото-
рых множество решений неравенства
а 5 / 2а + 5 5а \
1	I 2	I Q I
Х-у» I	-у»	-V J
•А* \	»А- I
содержится в некотором отрезке длиной 6 и при
этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 5.
(ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
ООН:
а е R,
|х^0.
Решим сначала данное неравенство без дополни-
тельных условий.
а 5 / „ 2а + 5
ХЛЛ I
•А* \	«А*
5 а
х2
Пусть а/х = и, 5/х = и. Тогда получим неравенст-
во 1 - и < v(2 - 2и - v + uv):
1 - а < и(1 - а)(2 - и), (1 - а)(1 - а)2 < 0. (1 - а/х)(1 - 5/х)2 < 0, (х - а)(х - 5)2/х < 0. Решаем последнее неравен- ство методом интервалов (рис. 305). Рассмотрим пять случаев. 1) а = 0:	3)	1)	4)	2) 5) 	•	9 0	5а Рис. 305 _— Г + > 0	5х
х(х - 5)2/х < 0 (рис. 306). Решений нет. 2) а = 5:	Рис. 306 	
(х - 5)3/х < 0, (х - 5)/х < 0. хе (0; 5)(рис. 307).	0	5х Рис. 307
3.2. Квадратные неравенства с параметром
а 0	5 х
Рис. 308
3)а <0:
(х - а)(х - 5)2/х < О,
х е (а; 0) (рис. 308).
4) 0 < а < 5: хе (0; а) (рис. 309).
5) а > 5: хе (0; 5) и (5; а) (рис. 310).
Рис. 309
О 5	«
Рис. 310
Заполним ось ответа параметра а (рис. 311).
(а; 0) '\ч0/Х' {0. а)	(0; б) / 5) U (5; а) х
-6	-5	0	5	а
Рис. 311	(ось ответа)
А теперь произведем анализ множества решений
неравенства и ответим на вопрос задания.
1.	а е [0; 5]. Например, а = 4, тогда х е (0; 4). Этот
интервал содержится в отрезке длиной 6, но не
содержит отрезок длиной 5. Следовательно, этот
вариант не подходит.
2.	а > 5. Тогда х е (0; 5) и (5; а) (рис. 312).
Чтобы в отмеченном множестве содержался ка-
кой-нибудь отрезок длиной 5, должно выпол-
няться условие а > 10. Но тогда не выполняется
первое условие (содержаться в отрезке длиной 6).
3.	Пусть а < 0 (рис. 313).
а) Если -5 < а < 0, то не выполняется второе ус-
ловие.
---- . .	/////A /ty/- У S//.//Q
а	0
х
Об»
Рис. 312
Рис. 313
236 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
-5,1	О х
Рис. 314
(jZZZZ-ZZ/ZZZZZZQ
-6	0 х
Рис. 315
tf-ZZZZ^ZZZZZZ/Z^,	„
-7	0 х
Рис. 316
б)	-6 < а < -5. Пусть, напри-
мер, а = -5,1 (рис. 314). Вы-
полняются оба условия.
в)	а = -6 (рис. 315).
Тоже выполняются оба усло-
вия.
г)	а < -6. Пусть, например,
а = -7 (рис. 316). Не выпол-
няется первое условие.
Ответ. [-6; -5).
№15. Найдите все значения параметра а, при каж-
дом из которых множество решений неравенства
4а2
а2 + 8а <	- х(х - 2а - 4) содержит какой-ни-
будь отрезок длиной 2, но не содержит никакого
отрезка длиной 3. (ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
ООН: е
Решаем данное неравенство, пока не учитывая до-
полнительные условия. Произведем равносиль-
ные преобразования:
4а2
х2 - 2ах + а2 <---I- 4х - 8а,
х
,	. „ 4а2 - 8ах + 4х2
(х - а)2 <---------------
2 4(х - а)2
(х-а)2----------- <0,
(х - а)2(х - 4)
х
3) 1) 4) 2) 5)
-----•---------•------
0	4
Рис. 317
а
Решаем полученное нера-
венство методом интервалов
(рис. 317).
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1)	а = 0:
х(х - 4) < 0 (рис. 318).
х е (0; 4). (кГ)
2)	а = 4:
~ <0, хе (0; 4). (УГ)
3)	а<0
(рис. 319): х е (0; 4). (Уз~)
4)	0 < а < 4
(рис. 320):
х е (0; а) и (а; 4). (м)
5)	а > 4
(рис. 321):
х е (0; 4). QT)
...... у,.
О	4 X
Рис. 318
a q 4 х
Рис. 319
.//////^
О а 4
Рис. 320
Рис. 321
Заполним ось ответа (рис. 322).
Рис. 322
Анализ множества решений
1.	а < 0 или а > 4. Интервал (0; 4) содержит ка-
кой-нибудь отрезок длиной 3. Поэтому второе
условие не выполняется.
2.	Пусть а е (0; 4) (рис. 323).
о
4
О
Рис. 323
а)	0 < а < 1. В интервале (а; 4) содержится ка-
кой-нибудь отрезок длиной 3.
б)	3 < а < 4. В интервале (0; а) есть какой-ни-
будь отрезок длиной 3.
в)	1 < а < 2.
2381 Раздел 11.3. Квадратн
ые неравенства с параметром
В интервале (а; 4) есть какой-нибудь отрезок
длиной 2, но не содержится никакого отрезка
длиной 3.
г)	2 < а < 3. Аналогично доказывается, что мно-
жество значений (2; 3] удовлетворяет условиям
задания.
д)	а = 2. В множестве (0; 2) и (2; 4) нет ни одно-
го отрезка длиной 2. Поэтому а = 2 не удовлет-
воряет первому условию.
Ответ. [1; 2)и(2; 3].
№ 16. Найдите все значения параметра а, при кото-
рых множество решений неравенства
9 - (а + 6)х За / 3	\
х2 < х2 V х J
содержит число 4, а также содержит два непересе-
кающихся отрезка длиной 4 каждый. (ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
ООН: \а е ?’
(х^О.
Представим данное неравенство в виде
9/х2 - а/х - 6/х < (3/х) • (а/х) (3/х - 2) - 1.
Пусть 3/х = и, а/х = и. Тогда получим неравенст-
во и2 - v - 2и < uv(u - 2) - 1.
Перенесем все члены неравенства в левую часть и
разложим на множители:
(и - I)2 - v(u - I)2 < 0,
(и - 1)2(1 - и) < 0.
Переходим к переменным х и а:
(3/х - 1)2(1 - а/х) < 0,
(3 - х)2(х - а)/х < 0.
3) 1J 4) 2) 5) * Решим последнее неравен-
0	3 а ство методом интервалов
Рис. 324	(рис. 324).
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1239
1) а = О
(рис. 325): (х - З)* 1 2 • х/х < 0.
Решений в этом случае °	3
нет.	Рис. 325
Начинаем постепенно за-	+	.^.////////77/7///. /.	+
			
поднять ось ответа. (Ту)		0	5
2) а ~ 3:		Рис. 326	
(х - 3)/х < 0 (рис. 326):	+		ю
х е (0; 3). (УТ)		а 0	3
3) а < 0		Рис. 327	
(рис. 327): х е (а; 0). (Гз~)	+		
4) 0 < а < 3		0 а	3
(рис. 328): х е (0; а). (кГ)		Рис. 328	
5) а > 3		р>	
(рис. 329):	+		“6—
х е (0; 3) и (3; а). (ЕЮ 0	3
Рис. 329
(а;О)	(0;а)	х
0	3	11 а
(ось ответа)
Рис. 330
Анализ множества решений неравенства
1. а < 3. Не выполняется первое условие.
2. Пусть а > 3:
а) 3 < а <. 11 (рис. 331).	и  Titit 11Г
В этом случае не выпол- 0	3 а х
няется второе условие	рис. 331
(множество (3; а) и (0; 3)
не содержит двух непересекающихся отрезков
длиной 4 каждый).
б) а > 11. Легко видеть, что оба условия зада-
ния выполняются при каждом значении а,
большем 11.
Ответ. (11; + °°).
240 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
№ 17. Найдите все значения параметра а, при кото-
рых в множестве решений неравенства
х(х - 2а + 8) + а2 < 16а - 8а2/х
можно расположить два отрезка длиной 6 и дли-
ной 1, не имеющих общих точек. (ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
ООН:
[а е R,
1X5*0.
Произведем равносильные преобразования:
х2 - 2ах + 8х + а2 <
3) 1) 4) 2) 5)
Рис. 332
......., ..............................
-8	0 х
Рис. 333
+ । 4*	+
......................
а -8	0 х
Рис. 334
+ - f - +
.........................-.............
-8 а 0 х
Рис. 335
J>
4”	4- । 4~
----улша-о------5—
-8	0	а
Рис. 336
16а - 8а2/х,
(х - а)2 + 8(х2 - 2ах + а2)/х <
<0,
(х - а)2(8 + х)/х < 0.
Решим последнее неравен-
ство методом интервалов
(рис. 332).
1) а = -8 (рис. 333):
(х + 8)/х < 0, х е (-8; 0).
Начинаем поэтапно запол-
нять ось параметра а. (кГ)
2) а — 0: х(х + 8) < 0,
х е (-8; 0). (УТ)
3) а < -8 (рис. 334):
х е (-8; 0). (уу)
4) -8 < а < 0 (рис. 335):
х е (-8; а) и (а; 0). (ЙГ)
5) а > 0 (рис. 336):
х е (-8; 0). (►У)
Заполним ось ответа (рис.
337).
..-.......\( 8; 0)/------\(-8:0)	...~
(-8; 0)...............................>4-8; а) и (а; 0)\ / (-8; 0)
-8 -7 -6 -2-10	а
(ось ответа)
Рис. 337
3.2. Квадратные неравенства с параметром
1241
-8 а о х
Рис. 338
........... д*.
-8-70 х
Рис. 339
.. __________________—...
-8	-6,1 0 х
Анализ множества решений неравен-
с тв а
1.	При а е (-°°; —8] и [0; + °°) условие задания
выполняется.
2.	-8 < а < —7 (рис. 338).
В интервале (а; 0) можно
расположить два отрез-
ка, указанные в условии
задания.
3. а =-7 (рис. 339).
Этот случай нас не устра-
ивает.
4.	-7 < а < -6. Пусть, напри-
мер, а = -6,1 (рис. 340).
Отрезок длиной 1 можно
расположить в интервале
(-8; а), а длиной 6 — в ин-
тервале (а; 0).
5.	Аналогично рассуждая, мы получим, что зна-
чения а е (—2; -1) и (-1; 0) нас тоже устраивают.
6.	Пусть -6 < а < -2. Возь-
мем а = -3 (рис. 341).	-----------------*
Z4	г*	8	3	0
Отрезок длиной о при
этом условии поместить в	Рис. 341
указанном множестве ре-
шений нельзя.
Ответ, а е (-°°; -7) и (-7; -6) и (-2; -1) и
и(-1; + оо).
Рис. 340
№ 18. При каких значениях параметра а неравенст-
во (1 - а)х2 + 2ах - 3 - а < 0 выполняется при лю-
бых значениях х?
Решение.
ООН: \а е J’
[х е R.
Потребуем, чтобы выполнялись условия:
242 I Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
Dj<0,	j а2 + (3 + а)(1 - а) < О,
I 1 — а < 0; I а > 1;
а> 3/2,
[а >1;	а > 3/2.
От вет. а е (1,5; +°°).
№ 19. При каких значениях параметра с неравенст-
во (х +1)2 > с выполняется при любых значениях
X?
Решение.
ООН: Iе е
[х е К.
Обратимся к системе координат (хОу) и построим
график функции у = (х + I)2 и семейство прямых
у = с, параллельных оси х (рис. 342).
Рис. 342
Парабола у = (х + I)2 будет выше прямой у = с при
с <0.
Ответ, с е (-°°; 0).
Приведем аналитическое решение.
1)	Если с < 0, то х е R. (ГГ)
2)	Если с = 0, то х е (—°°; -1) и (-1; +°°)<>Т)
3)	Если с > 0, тогда (х + I)2 - с > 0,
(х + 1 - Jc )(х + 1 + Jc) > 0 (рис. 343).
-1 -/с
Рис. 343
3.2. Квадратные неравенство с параметром 1243
х е (-со; -1 - Jc) и (-1 + Jc; +<»). (кГ)
Ответ, с е (-оо; О).
№ 20. При каких значениях параметра а неравенст-
во х2 - |х| - а + 1 < 0 не имеет решений?
Решение.
ООН: \а е
[X е К.
В системе координат (хОу) построим график
функции у = х2 - |х| + 1 и семейство прямых у = а,
параллельных оси х (рис. 344).
Парабола у — х2 - х + 1 имеет вершину с коорди-
натами: х0 = 1/2, уй = 3/4. Точка пересечения с
осью у: (0; 1). Таблицазначений:
X	1	2
У	1	3
Отобразив график функции у = х2 - х +1 при х > 0
симметрично относительно оси у на левую полу-
плоскость, получим график функции у = х2 - |х| + 1.
Рис. 344
Исходное неравенство не имеет решений, если
график функции у = х2 - |х| +1 выше прямой у = а,
т. е. при а < 3/4.
Ответ, а е (-°°; 3/4).
244 I Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
№ 21. При каких значениях параметра Ъ неравенст-
во х2 + 2Ьх + 5& < О выполняется для всех х, удов-
летворяющих условию |х| < 2?
Решение.
ООН:
|&е R,
|х G R.
Графиком квадратичной функции у = х2 + 2Ьх + 5&
для каждого фиксированного Ь е R является па-
рабола, ветви которой направлены вверх. Воз-
можны три случая ее расположения по отноше-
нию к оси Ох (рис. 345, а, б, в).
а)	б)	в)
Рис. 345
В случаях (а) и (б) функция не может принимать
отрицательные значения. Рассмотрим случай (в).
Решим неравенство |х| < 2; хе [-2; 2].
Для того чтобы выполнялось условие задачи,
отрезок [-2; 2] должен лежать между х1 и х2, где
Xi, х2 — корни квадратного трехчлена (рис. 346).
Рис. 346
Воспользуемся теоремой 7 о расположении кор-
ней квадратного трехчлена.
Г/(-2)<0, [4-4& + 5&<0, [&<—4,
[/(2) < 0;	[4 + 4& + 5& < 0; [Ь < -4/9;	6<-4.
Ответ, Ъ е (-°°; -4).
3.2. Кводротные неравенство с параметром 1245
№ 22. При каких значениях параметра а система не-
равенств
[ х2 - ах + а > О,
12х2 + (а + 1)х + 2 > О
имеет множеством решений множество всех дей-
ствительных чисел?
Р е ш е н и е.
Условие задачи будет выполняться, если дискри-
минант каждого из квадратных трехчленов будет
меньше или равен нулю:
[а2 — 4а < О,	|а(а-4)<0,
!(а + I)2 - 16 < 0;	1(а - 3)(а + 5) < 0;
а е [0; 3] (рис. 347).
+ i -; +
। 0	14 а
Рис. 347
Ответ, а е [0; 3].
Упражнения для самостоятельного решения
1)	Решите неравенство х2 + Зх + а < 0. (7Т)
2)	Решите неравенство Ьх2 - 2bx + 1 > 0. (7Т)
3)	Решите неравенство ах4 + 2х2 < 0. (Тр
4)	Решите неравенство
(х + 2)(х2 - а2)/(х + 2) < 0. (ГТ)
5)	Решите неравенство
(х2 - Зх + 2)/(х2 + ах) > 0. (ГГ)
6)	Решите неравенство (х - а)2(х - 1)(х - 4) > 0. (77)
7)	Решите неравенство
(х - а)2(х - 1)(х - 2)/(х - 1) < 0. (77)
8)	При каких значениях с неравенство сх2 - х + 3 < 0
имеет единственное решение? (7в~)
2461 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
9)	При каких значениях d неравенство
х2 - 2dx + d2 - 1 > 0 выполняется для всех х та-
ких, что |х| < 3 ? (JT)
10)	При каких а из неравенства 0 < х < 1 следует не-
равенство х2 - а2 < 0? (мо)
11)	При каких значениях параметра а решением
системы
[х2 - х(3а - 2) + 2а2 - 4а < 0,
[х < 3
является промежуток длины 5? (мТ)
12)	При каких значениях параметра т система
[ х2 - 5х + 4 > 0,
[ тх2 - 2х(т + 2) + 8 < 0
не имеет решений? (м2)
 3.3. Более сложные квадратные неравенства
и их системы с параметром
№ 1. При каких значениях параметра а система не-
равенств
[-х2 + 12х - а > 0,
||х|< 2
имеет единственное решение?
Решение.
ООС: |а е 5’
[х е К.
Перепишем данную систему в виде
[х2 - 12х + а < 0,
1|х|< 2.
Найдем D, квадратного трехчлена х2 - 12х + а:
D, 36 а.
Если а = 36 (D, = 0), то система ^ ~
1	1|х| < 2
решений не имеет.
Если а > 36 (Di < 0), то система также несовместна.
Рассмотрим случай, когда а < 36 (Dx > 0).
3.3. Более сложные квадратные неравенства и их системы 1247
Покажем схематично, как должны располагаться
параболы у = х2 - 12х + а, чтобы система имела
единственное решение (рис. 348).
Рис. 348
Расположение 1) невозможно, так как абсцисса
вершины параболы х0 ~ 6. Значит, остается слу-
чай 2).
При х ~ 2 решаем относительно а уравнение
4 - 24 + а = 0; а = 20.
Ответ, а = 20.
№ 2. При каких значениях параметра а система
\х2-(у-а)2 > 1,
\у = X2 + 1
имеет хотя бы одно решение?
Решение.
ООС:
а е R,
х е R,
ye R.
Из уравнения системы выразим х2 через у и под-
ставим в неравенство:
X2 = у - 1,
У - 1 - (У - а)2 > 1-
Неравенство легко приводится к равносильному:
у2 - (2а + 1)у + а2 + 2 < 0, где у > 1.
Введем функцию /(у) = у2 - (2а + 1)у + а2 + 2.
Для того чтобы неравенство f(y) < 0, где у > 1,
имело хотя бы одно решение, график функции
f(y) должен располагаться так, как указано на ри-
сунке 349.
2481 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
Рис. 349
А для этого достаточно, чтобы была совместна
система неравенств:
(2а + 1)/2> 1,
s(2a + I)2 - 4(а2 + 2) > О,
1/(1) > 0.
И далее:
fa >1/2,	ra> 7/4,	a > 7/4.
j4a>7,	[a2 - 2a + 2 > 0;
t1 — 2a — 1 + a2 + 2 > 0;
Ответ, a > 7/4.
№ 3. При каких значениях параметра а система не-
равенств
I Зх2 + 2х - 4a > 0,
I -2 < х < -а
имеет решения?
Найдите решения системы, если а е [-2; -1/12].
Решение.
ООС: \а € J’
[х е К.
Из двойного неравенства -2 < х < -а следует, что
а е (-оо; 2]. Значит, если a > 2, то система реше-
ний не имеет. (ГГ)
Рассмотрим ряд случаев.
1) а = 2. Тогда х =-2.
2) Пусть теперь а е (-°°; 2).
Введем функцию /(х) = Зх2 + 2х - 4a.
3.3. Более сложные квадратные неравенства и их системы 1249
Найдем D] квадратного трехчлена: Dx = 1 + 12а.
a)	D( < 0, т. е. а < -1/12. Тогда данная система не-
равенств равносильна двойному неравенству
-2 < х < -а. ур
б)	D( > О, т.е.-1/12 <а<2.
Узнаем сначала, при каких значениях а система
не имеет решений.
Парабола должна располагаться так, как указано
на рисунке 350.
Рис. 350
7(-2)<0,
|Л-а) < 0:
Решаем систему неравенств
12-4-4а <0,	|а>2,
За2 - 2а - 4а < 0;	' а(а - 2) < 0;
а > 2,
[а < 0. Система несовместна.
Значит, если а е (-1/12; 2), то данная система
имеет решения. (ГГ)
Ответ. 1) а е (-°°; 2]. 2) х е [-2; -а].
№ 4. При каких значениях параметра а множество
решений неравенства (а - х)(а + 2х - 8) < 0 не со-
держит ни одного решения неравенства х2 < 4?
Решение.
Решим это задание графически в системе коорди-
нат (аОх) (рис. 351).
Видно, что если а е (-оо; -2] и [12; +°о)} то ни од-
на точка полосы между прямыми х = 2 и х = -2,
2501 Роздал 11.3. Квадратные неравенства с параметром
включая точки этих прямых, не попадает в за-
штрихованные области.
Ответ, а е (-оо; - 2]и [12; +°°).
№ 5. При каких значениях параметра а имеет реше-
ния система
12х2 - Зах - 9 < 0,
\х2 + ах — 2 > 0?
Решение.
Рассмотрим функции:
f(x) = 2х2 - Зах -9 (1) и <р(х) = х2 + ах - 2 (2).
х0 = За/4 — абсцисса вершины параболы, являю-
щейся графиком функции (1);
х'й = -а/2 — абсцисса вершины параболы (2).
Заметим, что дискриминанты квадратных трех-
членов больше нуля при любом значении а e R.
Найдем их корни:
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы 1251
(1): х} = 3(а - Ja2 + 8 )/4; х2 = 3(а + Ja2 + 8 )/4.
(2): х3 = (-а - Ja2 + 8 )/2; х4 = (-а + Ja2 + 8 )/2.
А теперь рассмотрим три случая:
1)	а = 0: |2х2 9 < °’
х2-2>0
(рис. 352).
iV4?5
-л/2 J2
х
Рис. 352
Видим, что при а = 0 решения у системы есть.
2)	а > 0. Покажем схематично, как могут при
этом располагаться параболы (1) и (2) (рис.
353).
При а > 0 х4 > 0; х4 < 0. Значит, точка с абсцис-
сой х4 расположена правее точки с абсциссой
хг. Легко доказать, что х2 > х4. Поэтому и в
случае а > 0 система имеет решения.
3)	а < 0. Опять воспользуемся графической ин-
терпретацией (рис. 354).
х3 < 0; х2 > 0. Докажем, что х3 > х4:
Рис. 353
Рис. 354
2521 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
(-а - Ja2 + 8 )/2 > 3(а - Ja2 + 8 )/4;
Та2 + 8 > 5а.
Последнее неравенство очевидно, так как
7а2 + 8 > 0, 5а < 0. И в этом случае система
имеет решения.
Ответ, а е R.
№ 6. При каких значениях параметра а каждое
решение неравенства 4х2 + 8х + 3 < 0 будет
содержаться среди решений неравенства
2ах2 - (7а - 4)х - 14 > 0?
Решение.
При а — 0 второе неравенство является линейным:
4х - 14 > 0, х>3,5.
Множество решений первого неравенства в этом
случае не принадлежит множеству решений вто-
рого: (-3/2; -1/2) а (3,5; +оо).
Значит, а = 0 не подходит.
Пусть теперь а * 0. Найдем D квадратного трех-
члена 2ах2 - (7а - 4)х - 14:
D = (7а + 4)2, D > 0.
Покажем схематично, как должны располагаться
параболы, являющиеся графиками функции
f(x) — 2ах2 -(7а- 4)х - 14, чтобы каждое решение
первого неравенства содержалось среди решений
второго неравенства (рис. 355).
в)
tf)
Рис. 355
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
а > О,
(7а - 4)/4а < -3/2,
D >0,
/(-3/2) > 0;
а > 0,
(13а-4)/а<0,
< (7а + 4)* 2 > О,
2а • 9/4 + (7а - 4) • 3/2 - 14 > 0;
Система решений не имеет.
а > 0,
а > О,
а< 4/13,
а >4/3.
(7а-4)/4а >-1/2,
б) (7а+ 4)2 >0,
[/(-1/2) >0;
а > О,
а >4/9, а > 4,
а > О,
(9а - 4)/а > О,
а + 7а - 4 - 28 > 0;
а > 4;
в)
а < О,
/(-3/2) > О,
/(-1/2) > 0;
а < О,
а >4/3,
а > 4.
Система решений не имеет.
Ответ, а > 4.
№ 7. Решите систему неравенств
(х - 2&)(х - &/2) > О,
х < 2.
Решение.
ООС: \b е 5’
[х е К.
1 способ. Аналитический.
Сначала решим каждое из уравнений: 2Ь = 2,
2Ь = Ь/2, 2 = Ь/2.
Откуда Ь = 1, Ь =0, Ь = 4 соответственно.
Рассмотрим семь случаев (рис. 356).
2) 4)	6)
1)	3)	5)	7)
О 1
4 b
Рис. 356
2541 Роздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
1)	Ь<0.
х е (-оо; 2Ь] и [Ь/2; 2) (рис. 357).(ГТ)
2)	Ь = 0: хе (-°°; 2).(ГУ)
3)	0<Ь<1:
х е (-оо; Ь/2] и [2Ь; 2) (рис. 358). (ГУ)
।	। 12	х
'/////////^	^'/Л///////////////////М »
2Ъ Ъ/2	х
Рис. 357
।	। 12	х
'/////////^_____
Ъ/2 2Ъ	х
Рис. 358
4)Ь = 1: хе (-оо; 1/2] (рис. 359). (Гр
5) 1 < b < 4: хе (-оо; Ь/2] (рис. 360). (ГУ)
।	12	х
!	।
'/////////^________^/////,///////////м *
1/2	2	х
Рис. 359
I	2	х
7////////^____________^/////////////7^
Ъ/2 2Ъ х
Рис. 360
6) Ь = 4:
7) Ь>4:
х е (-°0; 2) (рис. 361). (Гб)
хе (-оо; 2) (рис. 362). (ГУ)
12	х
////.///////^_____________^7/^/////.,
2	8	х
W///M-/////Q
,2

Ъ/2

2Ъ
Рис. 361	Рис. 362
Решение системы представлено на рисунке 363.
(-ОО; 2Ъ] о
(-ОО; 2)
(-ОО; 1/2]	(-ОО; 2)
^/(~о°;Ъ/2]<и[2Ъ;2
0
—ОО; 2)
ь
(ось ответа)
Рис. 363
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы 1255
2 способ. Решим систему графически в системе
координат (ЪОх) (рис. 364).
Ответ. 1) Если Ъ е 0), то
хе (-оо; 26]и[6/2; 2).
2) Если 6 = 0, то х е (-°°; 2).
3) Если 6 е (0; 1), то
х е (-°°; 6/2] и [26; 2).
4)	Если 6 е [1; 4), то х е (-°°; 6/2].
5)	Если 6 > 4, то х е (-°°; 2).
№ 8. Решите неравенство
(х2 + (а2 - 2)х)/|а| > х + а2 - 2.
Решение.
ООН: \а * °;
[х е R.
Умножим обе части приведенного неравенства
на |а| > 0 (а Ф 0). (ГГ)
х2 + (а2 - 2)х > |а|х + |а|а2 - 2|а|;
х2 + (а2 - |а| - 2)х - |а|а2 + 2|а| > 0.
D = ((а2 - 2) - |а|)2 + 4 • |а|(а2 - 2) = (а2 - 2)2 +
+ 2|а| • (а2 - 2) + |а|2.
D = (а2 - 2 + |а|)2. D > 0 для любого а е R.
2561 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
х1 = ( а2 + |а| + 2 + а2 - 2 + |а|)/2; х1 = |а|;
х2 = ( а2 + |а| + 2 - а2 + 2 - |а|)/2; х2 = а2 + 2.
Разложив квадратный трехчлен на множители,
получим неравенство (х + а2 - 2)(х - |а|) > 0. Ре-
шаем его.
х + а2-2>0,
х - |<х| > 0;
х + а2 - 2 < 0,
х - |а| < 0;
а > 0,
х > 2 - а2,
х > а;
а < 0,
х > 2 - а2,
х > - а;
а > 0,
х < 2 - а2,
х < а;
а < О,
х < 2 - а2,
х < -а.
2-а2,
|а|;
2-а2,
|а|;
(1)
(2)
(1.1)
(1.2)
(2.1)
(2.2)
х >
х >
(1.1):	Сравним 2 - а2 и а. Пусть 2 - а2 > а; тогда
а2 + а - 2 < 0, (а + 2)(а - 1) < О,
а е (0; 1) (рис. 365).
--------О i',vi	ж-я : •
-2	0 1
Рис. 365
Решим систему (1.1) при а е (0; 1).
Тогда хе (2 - а2; + о°) (рис. 366). (¥2
	^77/777.7/7/^777,7 х 2 -а2Т	х		^777777777л.,^..^.7. 2-а2 ।	х
	^7/77777/77//7777777/7, а	х		^77л.77,/7777. ж а	х
Рис. 366	Рис. 367
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
Пусть а > 1, тогда 2 - а2 < а: хе (а; + °°)
(рис. 367). (ГТ)
Пусть а = 1; тогда х > 1. (ГГ)
Решение системы (1.1) приведено на рисун-
ке 371 (верхняя ось). (ГУ)
(1.2):	Сравним 2 - а2 и -а. Пусть 2 - а2 > -а;
а2 - а - 2 < 0, (а - 2)(а + 1) < 0,
а е (-1; 0) (рис. 368).
а
-10	2
Рис. 368
Тогда х е (2 - а2; + оо) (рис. 369). (Гб)
Пусть 2 - а2 < -а, т. е. а < -1,
тогда х е (-а; + оо) (рис. 370). (ГТ)
2-а2.
2 -а2 ।
-а
Рис. 370
-а
Рис. 369
Пусть 2 - а2 = -а, т. е. а = -1. Тогда х > 1.(мГ)
Решение системы (1.2) представлено на ри-
сунке 371 (средняя ось). (ГУ)
На нижней оси (рис. 371) показано решение
системы (1). (мо)
О
1 а '
х е (-а; +°°р^/х е (2 - а2; +°°\^Х
-1	О

'хе (2- а2; +°°)у
L	О
- а2;
(а; Л°°)
^ъ(1)
Рис. 371
2581 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
(рис. 373). (и?)
• 2 -fl2 X
а	X
Рис. 372
[усть а = 1: х < 1.
(2.1):	Пусть а е (0; 1); тогда х е (-оо; а)
(рис. 372). (мТ)
Пусть а > 1; тогда х е (-°°; 2 — а2)
..___________________
.2 -а2	х
а	х
Рис. 373
Решение системы (2.1) показано на рисунке
376 (верхняя ось). (мд)
(2.2):	Пусть а е (-1; 0); тогда х е (-°°; -а)
(рис. 374). (ms)
ZWZ/ZZZZZZZWZZX„
I 2 -а2	X
ZWMWZZZZg)________
-а	х
Рис. 374
Пусть а < -1; тогда х е (-<»; 2 - а2)
(рис. 375). (Мб)
Рис. 37S
Пусть а =-1; тогда х < 1. (нт)
Решение системы (2.2) представлено на ри-
сунке 376 (средняя ось), (не)
На нижней оси (рис. 376) показано решение
системы (2). (н?)
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
Окончательный результат представлен на
оси ответа (рис. 377). (>20)
Рис. 377
Ответ. 1) Если а = 0, то решений нет.
2)	Если а е (—°°; -1), то
х е (-оо; 2 - а2) и (-а; +°°).
3)	Если а е (-1; 0), то
х е (-°0; —а) и (2 - а2; +оо).
4)	Если а е (0; 1), то
х е (-оо; а) и (2 - а2; +°о).
5)	Если а е (1; +оо), то
х е (—оо; 2 - а2) и (а; +°о).
6)	Если а = —1 или а = 1, то
хе (-оо; 1)о(1; +оо).
Совокупность систем (1) и (2) можно решить
(и гораздо проще) графически в системе коорди-
нат (аОх). Для этого построим графики функций
260 I Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
х = 2 а2 и х = |а|. На рисунке 378 заштриховано
множество точек плоскости, расположенных выше
каждого из графиков функций, исключая ось х, ко-
ординаты каждой из которых удовлетворяют систе-
ме (1).
Рис. 378
На рисунке 379 заштриховано множество точек,
координаты которых удовлетворяют системе (2).
Рис. 379
3,3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
1зб1
На рисунке 380 представлено объединение мно
жеств точек, отмеченных на рисунках 378 и 379.
Рис. 380
Определим координаты точек пересечения графи-
ков функций:
\а > 0,
[2-а2 = а; pz = 1,	А(1; 1);	В(-1; 1).
а < 0,	а = -1.
2- а2 = -а;
1роведем мысленно вертикальные прямые а = с,
с е R, и определим множество решений совокупнос-
ти в зависимости от а (см. ответ).
№ 9. Решите неравенство х2 + 2|х - а| + 2ах - 3 > 0.
Решение.
ООН: !ае
[х е R.
Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
\х> а,
|х2 + 2х - 2а + 2ах - 3 > 0,
fx < а,
ix2 — 2х + 2а + 2ах - 3 > 0;
2621 Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
х > а,
х2 + 2(1 + а)х — 2а - 3 > 0;
х < а,
х - 2(1 - а)х + 2а - 3 > 0.
(1)
(2)
1 способ. Решим сначала эту совокупность ана-
литически.
Решим систему (1).
Найдем корни квадратного трехчлена
х2 + 2(1 + а)х - 2а- 3:
D1 = (a + 2)2, х1 = 1, х2 = -2а-3.
Узнаем теперь, при каких значениях а верны ра-
венства:
1 =-2а - 3; 1 — а; -2а-3 = а.
Получаем а =-2; а=1; а = -1.
А теперь найдем решения системы
[х>а,	2) 4)	6)
|(х - 1)(х + 2а + 3) > О	1} - 3)- 5)  7) г
в каждом из семи случа- -2-1	1 а
ев, отмеченных на оси
параметра а (рис. 381).	?ис ’
1)	а < -2. Сравним на этом интервале, где нахо-
дится а по отношению к х1 = 1 и х2 = -2а - 3:
а < 1 <—2а - 3.
2)
х е [а; 1) и (-2а - 3; + °°) (рис. 382).
2. Тогда система примет вид
х е [-2; 1) u (1; + °°) (рис. 383).
fx > -2,
{(х-1)2
0.
а =
__________^^^zzz/^W^W^^. э
d [ ।	। х
I 1	’
<>Z , Z
1 -2a - 3 x
Рис. 382	Рис. 383
3)	-2 < a < 1. В этом случае a < -2a — 3 < 1.
x e [a; -2a -3) u (1; + оо) (рис. 384).
-21	। x
3.3. Более сложные квадратные неравенства*и их системы
4)	а = -1. Система примет вид [х > -1,
х е (1; + оо) (рис. 385).	+	U	>	°-
	^///,{,	'/////////////////л, г.
а, ।_________। х
//////М А./А/АА/АА/А^ .QAAAAAAAAA*
—2а -31 х
Рис. 384	Рис. 385
5)	-1 < а < 1. Тогда -2а - 3 < а < 1.
х е (1; + сю) (рис. 386).
6)	а = 1. Решаем систему
[(х - 1)(х + 5) >
х е (1; +°°) (рис. 387).
а ( х	1	х
।	।
////ал л/fy ^////7,/////////7 ///////777 х.
2а-3 Iх	-5 1	х
Рис. 386	Рис. 387
7)	а > 1. В этом случае -2а - 3 < 1 < а.
х е [а; +°о) (рис. 388).
ф/АУА'АГАА.,А у.
а'	х
-2а - 3 1
Рис. 388
Результаты решения системы (1) представлены
нарисунке 389.
(1;+оо)и[—2; 1)	(1;+°°)	(1; +°о)
Рис. 389
2641 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
Решим теперь систему (2).
Сначала найдем корни квадратного трехчлена
х2 - 2(1 - а)х + 2а - 3.
D] = (а - 2)2, х3 ——1, х4 =-2а + 3.
Перейдем к системе
Решаем уравнения:
а =-1; -2а + 3 = -1; -2а + 3 = а.
Получим: а-----1; а = 2; а = 1.
Опять рассматриваем семь случаев (рис. 390).
2)	4)	6)
1)	3)	5)	7)
-----•----•---•---*-
-1	1	2 а
Рис. 390
х < а,
1 (х + 1)(х + 2а - 3) > 0.
1) а <-1: х е (-оо; а) (рис. 391).
2)а = -1: х е (-оо;-1) (рис. 392).
///////////////^________________________
,а	х
'//////////////'^////^
-1	3 -2а X
Рис. 391
'///////////////^________
]-1	х
ШШ//О^//////7///.^
-1	3 - 2а х
Рис. 392
3)	-1 < а < 1: хе (-°°; -1) (рис. 393).
4)а=1: х е (-оо;-1) (рис. 394).
'////////////////M////Q______________________
I а	X
।
-1	3 - 2а X

Рис. 393
Рис. 394
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы 1265
5)	1 < а < 2: хе (-°°; -1) и (3 - 2а; а) (рис. 395).
6)	а = 2: хе -1)и(-1; 2)(рис. 396).
।	12	х
Рис. 395
rZZZZzZZZ^ZZZZZ^ZZZZZZZZZzZZZZZ-.
-1	X
Рис. 396
7)	а > 2: хе (-°°; 3 - 2а) и (-1; а) (рис. 397).
Z/ZZZ/ZZ^ZZZZZZ^ZZZZZ^_______
।	।	;а * * * * * * х
1	1	I
3 - 2а -1	х
Рис. 397
Результат решения системы (2) представлен на
рисунке 398.
(—оо;—1)	(-оо;-1)	(-оо;-1)и(-1;2)
(-ОО; а)
(-оо; -1)и
и(3 - 2а; а)
хе(-о°; 3 - 2а)и
и(-1; а)
------------* (2)
a v
Рис. 398
Объединим решения системы (1) и системы (2) на
рисунке 399.
(-оо;-1)и (-°°;-1)и
х * 1	и(1;+оо) и(1;+°°)	х*-1
(-оо; 1)и I /(-оо;-2а-3) \ (-°°;-1р\ (~°°;-1)и \ (-°°’3-2а)и
и(-2а-3;+°°)у и(1;+°°) |и(1;+оо) Уи(3-2а;+оо)у ^(-1;+°°)
-2-11	2	а
(ось ответа)
Рис. 399
Ответ. 1) Если а е (-°°; -2), то
х е (-оо; 1) и (-2а - 3; + о°).
2) Если а = -2, то х * 1.
266 I Раздел 11.3. Квадратные неравенства с параметром
3)	Если а е (-2; 1), то
х е (-оо; -2а - 3) и (1; + °°).
4)	Если а g [—1; 1], то
х е (-оо; -1) и (1; +оо).
5)	Если 1 < а < 2, то
х е (-оо; -1) и (3 - 2а; + оо).
6)	Если а = 2, то х * -1.
7)	Если а g (2; +°°), то
х е (-оо; 3 - 2а) и (-1; +°°).
2 способ. Решим графически неравенство
х2 + 2|х - а| + 2ах - 3 > 0 в системе координат
(аОх).
1X^0,
(х - 1)(х + 2а + 3) > О	С1)
решаем графически.
Неравенство х > а задает полуплоскость, отме-
ченную стрелками. Для решения неравенства
(х - 1)(х + 2а + 3) > 0 узнаем сначала, при каких
значениях а имеет место равенство 1 = -2а - 3.
Получаем а = -2. А теперь рассмотрим три слу-
чая.
1)	Пусть а > -2. Тогда 1 > -2а - 3. Решаем нера-
венство методом интервалов. Откуда
х g (-°0; -2а - 3) и (1; +°°) (рис. 400).
2)	Если а = -2, то
хе [-2; 1)U(1; +оо).	2а-3	1	*
3)	Если а < -2, то 1 < -2а - 3, Рис. 400
а потому х g (-°°; 1) и (-2а - 3; +°о).
На рисунке 401 заштрихованы части плоскости,
координаты каждой точки которых удовлетворя-
ют системе (1).
Аналогично решаем систему (2):
’ X < а,
|(х + 1)(х + 2а - 3) > 0.
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы 1267
Ее решение представлено на рисунке 402.
Рис 402
268 I Раздел 11,3, Квадратные неравенство с параметром
А с рисунка 403 уже легко списывается ответ.
Для получения рисунка 403 можно посоветовать
воспользоваться калькой, что позволит совмес-
тить рисунки 401 и 402.
№ 10. Решите неравенство ах2 + х + 1 > 0.
Решение.
1 способ. Решим неравенство аналитически,
рассмотрев случаи а = 0, а > 0, а < 0 и учитывая
знак дискриминанта.
Если а = 0, то х > -1. (FT)
Пусть а > 0. Находим D = 1 - 4а.
Если а = 1/4 (D = 0), то х * -2. (FT)
Если а > 1/4 (D < 0), то х е R. (FT)
Если а < 1/4, т.е.ае (-°°; 0) и (0; 1/4), то D > 0.
Находим корни квадратного трехчлена:
-1 - 71 - 4а -1 + 71 - 4а
Х1~ 2а ;*2 2а
Данное неравенство заменим ему равносильным:
а(х - х,)(х - х2) > 0.
3,3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
Если а е (0; 1/4), то
(	-1 - 71 - 4а \ ( -1 + 71 - 4а
хе -оо;--------------- и ----------5------; +°°
V	2а J \ 2а
Если а е (-°°; 0),
( -1 + 71 - 4а -1 - 71 - 4а \ ч
тохе ( -----2J-----;-----Та---- ) ®
Сведем все рассмотренные случаи на координат-
ной прямой параметра а (рис. 404).
(-1 +/1 - 4а
I 2а
-1 -/1 - 4а\
2а J
(—1;+оо)	Х*-2
2а )
-1+7Гт~4а.
2а ’	)
0	1/4 а
(ось ответа)
Рис. 404
2 способ.
Если а = 0, то х е (-1; +°°).
Если а * 0, то у = ах* 2 + х + 1 — квадратичная
функция. Рассмотрим расположение графика
этой функции относительно оси х (табл. 2).
270 I Раздел 11,3. Квадратные неравенства с параметром
Ответ легко выписывается с использованием по-
лученной таблицы.
3 способ.
Пусть х = 1/у (у Ф 0). Умножив обе части данного
неравенства на у2 > 0, получим квадратное нера-
венство у2 + у + а > 0. Решим его графически в сис-
теме координат (yOz), представив в виде у2 + у> -а.
Сначала построим график функции z = у2 + у, а
затем рассмотрим семейство прямых z = -а
(рис. 405).
1)	Если z < -1/4, т. е. —а < -1/4, а > 1/4, то у —
любое действительное число, не равное нулю.
Поэтому х * 0. Но при х = 0 данное неравенство
верно при любом значении а. Значит, х е R.
2)	Если z = -1/4, т. е. а = 1/4, то у * -1/2. А пото-
му х £ 2.
3)	Пусть а е (0; 1/4). Найдем абсциссы точек пе-
ресечения графиков функций z = у2 + у и
z = -а:
у± = (_1 _ 71 _ 4а )/2; у2 = (-1 + 7FL4 а )/2.
Гу>(-1+	)/2,
Тогда	_____
у < (- 1 - 71 ~ 4а )/2;
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
11/х > 2а/(-1 - 71 - 4 а),
[1/х < 2а/(-1 + 71 ~4а);
х < (-1 - 71 - 4а /(2а),
х > (-1 + 71 - 4а )/(2а).
4)	Пусть а < 0. Тогда совокупность неравенств
|1/х > 2а/( -1 -71 - 4а),
[1/х < 2а/(-1 + 71 - 4а)
равносильна системе неравенств
х > (—1 + 71 - 4а)/(2а),
х < (-1 - 71 - 4а )/(2а).
4 способ.
Перепишем данное неравенство в виде ах2 > - х - 1.
Будем решать графически в системе координат
(хОу). Построим график функции у = - х - 1 и се-
мейство кривых f(x) = ах2 (рис. 406).
Рис. 406
2721 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
Пусть А — точка касания прямой у = -х - 1 и од-
ной из кривых семейства f(x) = ах2. Абсциссу точ-
ки А определим, приравняв нулю дискриминант
уравнения ах2 + х + 1 = 0. Если D = 0, то а = 1/4.
Рассмотрим теперь пять случаев на рисунке 406.
а) Парабола проходит выше точки А. Это будет в
случае, если D < 0, т. е. а > 1/4. Тогда любое
значение х е R удовлетворяет неравенству
f(x) > -х - 1.
б)	В случае касания графика функции f(x) пря-
мой у = -х - 1 данному неравенству удовлетво-
ряют все значения х е R, кроме х = -2. Это бу-
дет в случае, когда а = 1/4.
в)	Пусть а е (0; 1/4). Тогда парабола пересекает
прямую у = -х - 1 в двух точках В и С и прохо-
дит ниже точки А, но выше оси х. Найдем абс-
циссы точек В и С:
Хд — (—1 — л/1”— 4а )/(2а);
хс = (-1 + 71 - 4а )/(2а).
В этом случае имеем
т. е.
х > (-1 + 71 - 4а)/(2а),
х < (-1 - 71 - 4а)/(2а).
г)	Если а = 0, то данное неравенство верно при
х > -1.
д)	Пусть а < 0. Парабола пересекает прямую
у = -х - 1 в точках D и К:
xD = (- 1 + 71 - 4а) / (2а);
Х]£ — (— 1 — 71 — 4 а) / (2а).
Тогда х е (хл; хк), т. е.
х е ((-1 + 71 ~ 4а)/(2а); (-1 - 71 - 4а)/2а)).
3.3, Более сложные квадратные неравенство и их системы 1273
№11. Решите неравенство
max{x2 - ах, а - х} > min{x2 - ах, а - х}
min{x2 - ах, а - х} тах{х2 - ах, а - х} ‘
Решение.
а е R,
ООННх^О,
[х * а.
Известно, что тах{А, В} =
А, если А > В,
В, если В > А,
А или В, если А
в-,
'А, если А < В,
min{A, В} = 1В, если В < А,
[А или В, если А = В.
Тогда тах{х2 - ах, а - х} =
х2 - ах, если х2 - ах > а - х,
= а - х, если а - х > х2 - ах,
а - х или х2 - ах, если а - х = а2 - ах;
min{x2 - ах, а - х} =
х2 — ах, если х2 - ах < а - х,
= а - х, если а - х < х2 - ах,
а - х или х2 - ах, если а - х = х2 - ах.
Если х2 - ах = а - х, то
max{x2 - ах, а- х} = min{x2 - ах, а- х} =
= х2 - ах = а -х.
В этом случае левая и правая части данного не-
равенства равны: (а - х)/(а х) > (а - х)/(а - х).
Это неравенство решений не имеет ни при каком
значении а е R. Остается решить совокупность
систем:
f х2 - ах > а - х,
[(х2 - ах)/(а - х) > (а - х)/(х2 - ах);
а - х > х2 - ах,
Д(а - х)/(х2 - ах) > (х2 - ах)/(а - х);
2741 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
f(x - а)(х + 1) > О,
[х(х - а)/(а - х) > (а - х)/(х(х - а)),
J(x - а)(х + 1) < О,
Д (а - х)/(х(х - а)) > (х(х - а))/(а - х);
(х - а)(х + 1) > О, J (х - а)(х + 1) > О,
|-х>-1/х,	I(х2 -1)/х <0,	(1)
[(х - а)(х + 1) < О, I Г(х — а)(х+ 1) < О,
. [-1/х>-х;	Li(x2 - 1)/х > 0.	(2)
Решаем систему (1).
Находим значения х, при которых левые части
неравенств (х - а)(х + 1) > 0 и (х2 - 1)/х < О равны
нулю или не существуют: х = а, х = -1, х = 1,
х = 0. Тогда а = -1, а = 1, а = 0.
Рассмотрим следующие случаи (рис. 407).
П« = -1- U* + D2>o,
f ' (х2-1)/х<0,	(х21)/х<0,
-1) о (0; 1) (рис. 408). (ГГ)
4)	5) 2) 6) 3) 7)

-10	1
Рис. 407
Рис. 408
2)	а = 0:
х(х + 1) > 0,
(х2 - 1)/х < 0.
х е (-°°; -1) о (0; 1) (рис. 409). (ГГ)
3)а =
!(х - 1)(х + 1) > 0,
|(х2-1)/х<0.
х е (-°°; -1) (рис. 410). (УТ)
.,///////,
I	I	I
►
-1	0	Iх
Рис. 409
I
.
-10 1
Рис. 410
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
4) а < -1: х е а) и (0; 1) (рис. 411). (Гд)
5) -1 < а < 0: х е (-оо; -1) о (0; 1) (рис. 412). i>p
7//7//7/Q	,
«	-1 I I X
I	I I
7/777////77//77/7///^	$7///////^
-10 1х
Рис. 411
'/////////^	$//////////////////////////77. J-
г1	«	'|	х
I	I
-ЖЖ&________________
-1	0	1х
Рис. 412
6) 0 < а < 1: х е (-оо; 1) о (а; 1) (рис. 413). (ЯГ)
7) а> 1:
х е (-оо; -1) (рис. 414). (Гт)
7//////Т)_________$7/7747/7/77777/7. >
-1 а , х
1	।	1
।	।	1
////////(^____$///////////£>_____
-10	1	х
Рис. 413
Рис. 414
На рисунке 415 представлены результаты реше-
ния системы (1).
(-°°; -1) и (0; 1) (-оо;-1) и (0; 1)	( оо;1)
Рис. 415
Решим систему (2).
1)	<х = -1:
(х+ I)2 <0,
(х2 - 1)/х > 0.
Решений нет. (мГ)
2)	а = 0- Их+1)<0’
)а • (х2-1)/х>0.
х е (-1; 0) (рис. 416). (JT)
3)	а = 1:
|(х - 1)(х + 1) < 0,
|(х2-1)/х>0.
2761 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
х е (-1; 0) (рис. 417). (jTjp)
;-i	,0	х
। 1
___
-10 1х
Рис. 417
Рис. 416
4)	а < -1.
Решений нет (рис. 418). (Гн)
5)	1< а<():
х е (-1; а) (рис. 419). (м2)
-а -1
Рис. 418
। ।
______........................
-1	0	1
Рис. 419
6)	0<а<1:
х е (-1; 0) (рис. 420). (нз)
7)	а> 1:
х е (-1; 0) о (1; а) (рис. 421). (Гм)
-1	;	а	X
I I
--,^Ж 4^.	»,
-10	1х
Рис. 420
Г1 I
-----Q-----
। " х
1 ।
—
1 х
Рис. 421
На рисунке 422 представлены результаты реше-
ния системы (2):
Рис. 422
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
А теперь объединим решения систем (1) и (2) на
рисунке 423.
хе(-°°;-1)и	хе(-°°;-1)и
и(-1;0)и(0; 1)	и(-1;0)
хе (~°°;а)и \ / хе (-°°;-1) и\ / хе (-°°; -1)и\ / хе (-оо;-1)и
м(0;1)	Ум(-1;а)м(0;1)Уи(-1;0)м(а;1)У м(-1;0)м(1;а)
-1	0	1	а
(ось ответа)
Рис. 423
Замечание
Совокупность систем
Г(х - а)(х + 1) > О,
j(x2 — 1)/х<0,
(х - а)(х + 1) < О,
ЦХ2 - 1)/х > О
равносильна неравенству (х - а)(х + 1)2(х - 1)х < 0. Ре-
шим его методом интервалов, рассмотрев семь случаев
(см. решение системы (1)).
Результаты решения сразу заносим на ось ответа. На-
помним, что знак Г над точкой означает, что при пере-
ходе через нее знак неравенства не меняется.
1) а = -1: (х + 1)3(х-1)х<0,
X е (-оо; -1) и (-1; о) (рис. 424).
+ - +
-10	1 X
Рис. 424
2) а = 0: х2(х + 1)2(х - 1) < 0,
X е (-оо; -1) и (-1; о) и (0; 1) (рис. 425).
3)а = 1: (х - 1)2(х + 1)2х < 0,
х е (-оо; -1) и (-1; 0) (рис. 426).
Рис. 425
Рис. 426
2781 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
4)	а < -1: х е (-оо; а) и (0; 1) (рис. 427).
5)	-1 < а < 0: х е (-°°; -1) и (-1; а) и (0; 1) (рис. 428).
Рис. 427	Рис. 428
6)	0 < а < 1: х е (-°°; -1) м (-1; 0) и (а; 1) (рис. 429).
7)	а > 1: хе (-°°; -1) w(-1; 0)и(1; а)(рис. 430).
Рис. 429	Рис. 430
Заполним ось ответа (рис. 431).
х е (-оо; -1) и	хе (-°°; -1) и
хе(-оо;-1)и(0;1) и(-1;0)и(0; 1)	и(-1;0)
хе(-оо;а)и \ /хе (-оо;-1)и\ /хе (-оо;-1) Д /хе (-°о;-1)и
м(0;1)	ум(-1;а)м(0;1)Уи(-1;0)м(а;1)У м(-1;0)м(1;а)
-10	1а
(ось ответа)
Рис. 431
№ 12. При каких значениях а множество решений
неравенства х(х - 2) < (а + 1)(|х - 1| - 1) содержит
все члены некоторой бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессии с первым членом Ъг = 1,7
и q > 0?
(ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
1 способ.
ООН:
la е R,
|х е R.
Раскрыв модуль, переходим к совокупности двух
систем неравенств:
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
ГГх>1,	(1)
[(х - 2)(х - а - 1) < О,
х<1,	(2)
]х(х - 1 + а) < 0.
I х > 1
Решаем систему (1): , Д,
v [(х - 2)(х - а - 1) < 0.
«Граничные» точки интервалов: х = 1; х = 2;
х = а + 1.
Сравним (а + 1) с 2 и 1:
я + 1 = 2, я = 1;
я + 1 — 1, а = 0.
Теперь рассмотрим пять случаев (рис. 432).
3)	4)	5)
0	1	“
Рис. 432
Л- л. у
(х - 2)(х - 1) < 0,
1<х<2.
Л ^1,
(х - 2)2 < 0, х = 2.
3) я < 0: 1 < х < 2
(рис. 433).
4) 0<я<1: я + 1<х<2
(рис. 434).
5)я>1:	2 < х < я + 1
(рис. 435).
Нанесем решения на ось
(1) параметра я (рис.
440).
Аналогично решаем сис-
;i	।	х
।	1
а + 1	2	х
Рис. 433
__________^////////////////////////////^
11	Iх
।	।
_______________^///////////////,^	у
а+1	2	х
Рис. 434
__________^/////(////////^^^^^
11	Iх
।	।
2 а + 1	х
Рис. 435
тему (2):
\х < 1,
\х(х - 1 + а) < 0.
«Граничные» точки интервалов: х = 1; х = 0;
X 1 — Я •
Сравним (1 - я) с числами 1 и 0 (рис. 436).
2801 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
1 — а = 1, а = 0; 1 — а = 0, а = 1. п
3)	4) J 5)
О 1 а
Рис. 436
3)
4) 0 < а
= ft. х < 1,
а ’|х(х - 1) < 0, 0 < х < 1
= 1 \х < 1,
а |х2<0,х = 0.
а < 0: 0 < х < 1 (рис. 437).
1: 0 < х < 1 - а (рис. 438).
।	;i	х
1	।
0	1 - а х
Рис. 437
5) а> 1:
1 -а < х < О
(рис. 439).
zzzzz^zzzzzzzzfzzz^,
I	11х
I	I
О 1 - а х
Рис. 438
Z/ZZZZZZZWZZZZZ//ZZ>ZZq„
IIIх
I	I * 1
_
1 - а	О	х
Рис. 439
Решения системы (2) нанесем на ось (2) параметра
а (рис. 440).
На третьей оси параметра сведем решения систем
(1) и (2) (рис. 440).
[0;2]
х = О,
х = 2
\yfo;l-a]u[a + l;2]
\у/[1 - а; 0] и [2; а + 1J
О
0,7	1
Рис. 440
а
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
1281
А теперь проанализируем результаты решения
совокуп ности.
1. Если а < 0, то х е [0; 2]. Легко видеть, что чле-
ны любой бесконечно убывающей геометриче-
ской прогрессии с первым членом = 1,7 и
q > 0 принадлежат отрезку [0; 2].
2. Если 0 < а < 1, то х е [0; 1 - а] о [а + 1; 2].
Пусть а + 1 = 1,7, т. е. а = 0,7. Тогда имеем
[0; 0,3] о [1,7; 2]. Возьмем, например, беско-
нечно убывающую геометрическую прогрес-
сию, у которой Ьг = 1,7; Ь2 = 0,1. Тогда q = 1/17.
Все члены этой прогрессии принадлежат мно-
жеству решений данного неравенства.
Ответ, (-оо; 0,7].
2 способ.
Пусть |х - 1| = t, где t > 0. Тогда
(х - 2)х = х2 - 2х = (х - I)2 - 1.
Теперь решаем неравенство t2 - (а + l)t + а < 0,
где t > 0. Переходим к системе
[(t - l)(t - а) < 0,
 t > 0.
«Граничные» точки интервалов: t = 0, t = 1, t = а.
Сравниваем а с числами Ои 1; а = 0, а = 1.
Рассмотрим возможные варианты (рис. 441):
3) V 4) Г 5)
0	1 а
Рис. 441
1b=n.jt(t-l)<O,O<t<l,
’ [t > 0 (рис. 442).
|х - 1| < 1, -1 < х - 1 < 1,
0 < х < 2.
2)0-1: ,'0- 1>2<0,
t > о,
t = l, |х - 1| = 1,
У	*
I	I
0	1
Рис. 442
2821 Раздел 11.3. Квадратные неравенство с параметром
|х = 2,
!х = о,
.X - 1 = 1,
[х-1=-1.
3)а <0:
О < t < 1 (рис. 443).
|х - 1| С 1, 0 < х < 2.
+ а
4)0<а<1:Г<“’
[|х - 1| > а,
Их > а + 1,
И х < 1 - а,
t 0 < х < 2;
хе [0; 1 - а] о[1 + а; 2]
(рис. 444).
^ZZZz-Zz 7////////Т/
О
Рис. 443
v t
I	I
I	I
о	*
7////////////±__________ф////////7.
1а 1<а 7х
1	I	I
I	I	I	1
^//////777/770^^
0	2 х
Рис. 444
5) а > 1:
||х - 1| > 1,
| |х - 1| < а,
। lx - 1 > 1,
Их - К -1,
. -а < х - 1 < а,
Их > 2,
( х < 0,
tl-a<x<l + a;
хе [1 - a; 0]U [2; 1 + а]
(рис. 445).
______^///777777777777^_х
У	t
I
0	f
i У 2[	\ X
। i	-i
1 - a	1 + a x
Рис. 445
Нанесем решения на ось (рис. 446).
[0;2]
Рис. 446
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы 1283
Затем так же, как и в способе 1, анализируем ре-
зультаты решения данного неравенства.
13. При каких значениях а множество решений не-
равенства х(х - 4) > (а + 2)(|х — 2| — 2) содержит все
члены некоторой арифметической прогрессии, со-
держащей как отрицательные, так и положитель-
ные члены, а разность прогрессии d равна 0,5?
(ЕГЭ 2004 г.)
Решение.
ООУ: \а е 5’
^х е R.
Пусть |х - 2| = t, где t > 0. Тогда х(х - 4) = х2 - 4х =
= (х2 - 4х + 4) - 4 = t2 - 4.
Решаем неравенство t2 - (а + 2)t + 2а > 0, где t > 0,
\(t - 2)(t - а) > 0,
которое равносильно системе Е > q
Найдем нули функций f(t) = (t - 2)(t - а) и ft(t) = t:
t = 2, t = a, t = 0. Приравняв найденные значения
t попарно, получим а = 0, а = 2.
Рассмотрим пять случаев:
т\ л (*(* —2)>0,z 7//////////////^	^777777777 э. 1)а = 0:< . „	(рис. 447). т0	2Т	t	[t^U		
1	1 1	1	t = 0,	|х-2| = 0,
0	t	t > 2,	сч л\ сТ 1 н
	х = 2,	х = 2,
Рис. 447	сч Л\ <м 1 н	х > 4,
	<хГ 1 V/ <м 1 н 	1	х < 0.
7////////////7/*__________Л//////7777 ,
a 2| t
I
___________________^7777,^/77///7/77^.
о *
Рис. 448
2)а = 2:^-2)2>0’
I* > о,
t > 0, |х - 2| > 0, х е R.
3) а < 0: t
|х - 2| > 2,
> 2 (рис. 448),
х > 4,
х < 0.
2841 Раздел 11,3. Квадратные неравенство с параметром
4) 0 < а < 2 (рис. 449):
0<
t >
-а < х - 2 < а,
х > 4,
х < О,
2 - а < х < 2 + а,
х > 4,
х < 0.
///х///,////////*__________________^х////////х д-
i а 2 *
1 I	I
//////ху////хуху//ху/////////,//////х'//х. г
о	t
Рис. 449
5) а > 2 (рис. 450):
О < t < 2,	Г|х-2|<2,
t > О, |х - 2| > а,
__________^//х/хххх/, „
Г?	а *
1 I	I
о	*
Рис. 450
О < х < 4,
х > 2 + а.
Нанесем решения на ось ответа (рис. 451).
х = 2
х е (-оо; 0] и
и [4; +оо)
°/ х е (-оо; 0] и \ R /х е (-оо; 2 - а] и
/ и [2 - а; 2 + а] и \ / и [0; 4] и
и [4; +оо) у и [а + 2; +оо) х
0
а
(ось ответа)
Рис. 451
А теперь проанализируем множество решений
данного неравенства, учитывая условие задания.
1. Значения а < 0 нас не устраивают, так как при
d = 0,5 нельзя подобрать ни одной арифметиче-
ской прогрессии, содержащей как положи-
тельные, так и отрицательные члены, часть из
которых принадлежит множеству (-°°; 0], а
другая — множеству [4; + оо) (4 - 0 > 0,5).
2. Пусть 0 < а < 2.
При этом х принимает значения из заштрихо-
ванных областей на рисунке 452. Должны вы-
полняться условия
3.3. Более сложные квадратные неравенство и их системы
1285
2 - а < 0,5,
 4 — (2 + а) < 0,5,
0 < а < 2,
а > 1,5,
а >1,5,	1,5 < а < 2.
0 < а < 2;
3. а = 2 подходит.
4. а > 2 (рис. 453).
Составляем систему
а е (2; 2,5].
а > 2,
0 - (2 ~а) < 0,5,
а + 2 - 4 < 0,5;
zzz/zzzz^______
0 2 - а 2 + а 4 %
_______^///////*	^/////^
2 - а 0	4 а + 2 х
Рис. 452
Рис. 453
Объединив множества [1,5; 2] и (2; 2,5], получим
ответ.
Ответ. [1,5; 2,5].
Упражнения для самостоятельного решения
1)	Решите неравенство ах* 2 + |х| + 1 > 0. (Гр
2)	Решите неравенство ах2 + |х - 1| > 0.
3)	Решите неравенство
|х2 - 4х + 3| < а - х2 - 6х.
4)	Решите неравенство |х - а\ < Зх - х2 - 1.
5)	Решите неравенство х2 + 2|х - а\ + 2ах - 3 < 0.(£s)
6)	При каких значениях параметра Ъ имеет реше-
ния система неравенств
1х2 - (Ь + 1)х + Ъ < 0, zjj-j
\х2 + (Ь + 3)х + ЗЬ < 0? —
7)	При каких значениях параметра с система нера-
венств
2х с < 0
2	’ имеет единственное решение?(►?)
8)	При каких значениях параметра т всякое реше-
ние неравенства х2 - Зх + 2 < 0 будет одновре-
менно решением следующего неравенства:
тх2 - (Зт + 1)х + 3 > 0? (мГ)
9)	Решите систему неравенств
Г(х - 2&)(х - ЗЬ) > 0,
| |2х - 3| > 0.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ПАРАМЕТРОМ
ЕВ Единичная (тригонометрическая)
окружность
Учитывая, что решение даже простейших триго-
нометрических уравнений и неравенств с парамет-
ром требует хорошего знания тригонометрии, сле-
дующие три главы мы посвятим раскрытию «белых
пятен» школьной тригонометрии.
Основной моделью, позволяющей наглядно про-
иллюстрировать понятие тригонометрической функ-
ции, является единичная окружность на плоскости с
фиксированной системой координат, начало кото-
рой совпадает с центром окружности. Такая ок-
ружность представляет собой инструмент для ре-
шения простейших тригонометрических уравне-
ний, неравенств и их систем. С ее помощью можно
корректно записать ответ, учитывая область опре-
деления уравнения (неравенства), а также исклю-
чив повторяющиеся решения. Так, если в результа-
те решения уравнения мы получим две серии реше-
ний:	,
х = (л/4) • k, k& Z,
х = пп, ne Z,
(Z — множество всех целых чисел), то легко видеть,
что числа х = пп, neZ, содержатся среди множества
чисел х = (n/4)’k, k е Z. Поэтому ответом будет
х = (л/4) • k, ke Z.
Единичная окружность позволяет проанализиро-
вать тригонометрические формулы, сравнив области
определений функций, стоящих в левой и правой
1. Единичноя (тригонометрическая) окружность 1287
частях каждой из них, и выделить «опасные форму-
лы». Назовем формулу «опасной», если области оп-
ределения функций, стоящих в левой и правой ее
частях, не совпадают. Бездумное оперирование та-
кими формулами может привести к потере корней
(или приобретению посторонних корней) уравнения.
Рассмотрим, например, известную формулу тан-
генса двойного угла:
tg 2х = 2tg х/(1 - tg2 х).
Найдем область определе-
ния функции у = tg 2х (т. е.
левой части формулы):
2х*я/2 + Ttk, k е Z;
х *л/4 + (я/2) • k, k е Z.
Отметим точки, соответст-
вующие недопустимым зна-
чениям х, на единичной ок-
ружности (рис. 454).
Проделаем то же самое с
правой частью формулы:
у = 2tg х/(1 - tg2 х),
j 1 - tg2 х * О,
|х * я/2 + ян, не Z,
\х * я/4 + (я/2) • т, т е Z,
1х * я/2 + ян, не Z
(рис. 455).
Видим, что в левой и правой
частях области определения
функций различаются.
Теперь решим следую-
щее уравнение:
ctgx + tg2x = 0.	(1)
Ооу • Iх * пп’ п е 2,
I х * я/4 + (я/2) • k, k е Z
(рис. 456).
2881 Раздел III. 1. Единичная (тригонометрическая) окружность
Переходим к уравнению
1/tg х + 2tg х/(1 - tg2 х) = 0.
(2)
1 - tg2x + 2tg2x
(1 - tg2x) • tgx
1 + tg2 x = 0.
И делаем неверный вывод, что решений нет. Да,
действительно, решений нет у уравнения (2), но не у
первоначального уравнения (1). Легко видеть, что
числа вида х = л/2 + nk, k е Z, удовлетворяют урав-
нению (1). Дело в том, что при замене tg 2х выраже-
нием 2tgx / (1 - tg2x) происходит сужение области
определения функции у = tg 2х на множество л/2 +
+ nk, fee Z.
Ответ, л/2 + nk, fee Z.
Пользоваться «опасными формулами», конечно,
можно, но при этом необходимо следить за измене-
нием области определения уравнения (неравенства).
Используя единичную окружность, легко запи-
сать ответ, причем разными способами. В качестве
примера рассмотрим различные способы записи чи-
сел, соответствующих точкам А, В, С окружности
(рис. 457).
1) х = л/3 + (2л/3) • k, k е Z.
х = л + 2nZ, I е Z,
х = ±л/3 + 2лт, т е Z.
х = -л/3 + (2л/3) • t, t е Z.
х = л + (2л/3) • г, г е Z.
х = л + 2лп, не Z,
х = л/3 + 2nm, т е Z,
.х = -л/3 + 2лг, г е Z.
х = -л + 2ns, s е Z,
_х = ±л/3 + 2л</, q е Z.
2)
3)
4)
5)
6)
Рис. 457
Можно спорить, какой из перечисленных спосо-
бов лучше, но ясно одно, что во всех правильно ука-
заны числа, соответствующие трем заданным точ-
кам единичной окружности.
1.1. Понятие единичной (тригонометрической) окружности
1289
Наряду с единичной окружностью будет широко
использоваться и координатная прямая, особенно в
задачах с параметрами.
 1.1. Понятие единичной (тригонометрической)
окружности
Рассмотрим окружность единичного радиуса на
плоскости с фиксированной системой координат, на-
чало которой совпадает с центром окружности.
Такую окружность будем обозначать буквой S и
называть единичной (или тригонометрической) ок-
ружностью.
Согласно определению S = {(х; у)|х2 + у2 = 1}.
Построим отображение Р: множество действи-
тельных числе R отображается
ружность S (R —*- S).
Каждому действительно-
му числу t поставим в соот-
ветствие точку Pt, прина-
длежащую окружности S,
которая получается поворо-
том точки Р(1; 0) на угол t
радиан вокруг точки О (рис.
458). Напомним, что один
радиан — это центральный
угол, длина дуги которого
на единичную ок-
равна радиусу:
1 рад = 180°/Л ~ 57,29578°.
Построенное отображение не является взаимно
однозначным. Каждому действительному числу со-
ответствует единственная точка окружности. Обрат-
ное неверно. Каждая точка окружности изображает
бесчисленное множество действительных чисел.
Единичная окружность — это вторая после коор-
динатной прямой модель множества действитель-
2901 Раздел III. 1. Единичная (тригонометрическая) окружность
них чисел. Она позволяет изобразить графически ос-
новные понятия тригонометрии; исследовать облас-
ти определения выражений, стоящих в левой и
правой частях тригонометрических равенств; явля-
ется эффективным инструментом при решении три-
гонометрических уравнений, неравенств и их сис-
тем. Ниже приводится модель единичной окружнос-
ти (рис. 459).
У
9л/2 -11Л/2
5л/2	7л/2
л/2
90"
г Зл/2
В
(-7л/6) 5л/6
II
(-4л/3)2л/3
(-5л/4)Зл/4
। 135'
1150° 1
5тг; Зтг;:л| С i
I
л/3(5л/3)
л/4(-7л/4)
л/6 (11л/6)
45°,
30°
III
—5л; ~3л; ~
180°1
240'
0
D
। А| 0; 2л; 4л
(-5л/6) 7л/6
(-Зл/4)5л/4
(-2л/3)4л/3
Зл/2 л/2
IV
3'30
315
300
11Л/6(-л/6)
7л/4 (-л/4)
5л/3(-л/3)
1 3601 -2л; —4л х
7л/2 5л/2
11л/2 -9л/2
Рис. 459
Точки А, В, С, D назовем узловыми. Около каж-
дой из отмеченных точек окружности записываем
несколько чисел (неотрицательных и отрицатель-
ных), им соответствующих. Около узловых точек
выписываем больше чисел, так как они понадобятся
при изучении формул приведения.
1.2. Запись чисел, соответствующих точкам окружности
Вопросы и задания по рисунку 459
1)	Назовите по одному положительному и отрицательному
числу, которые не записаны на модели единичной ок-
ружности, но соответствуют каждой из узловых точек.
2)	Покажите точки на единичной окружности, соответст-
вующие числам:
л/6 + 2л; л/6 - 2л; л/3 + 4л; л/3 - 2л; 2л/3 + 2л; 2л/3 +
+ 6л; 5л/4 + 2л; 5л/3 - 6л; -л/2 + 4л; Зл/2 + 6л; л/2 - 2л;
Зл/2 + 4л; 2л - л/6; 4л - 2л/3; 2л - Зл/2.
3)	Найдите точки на единичной окружности, соответст-
вующие числам:
7л/3; 9л/4; 11л/3; 23л/6; -8л/3; -13л/4; -25л/4; 5л/2;
24л; -26л.
4)	Изобразите на единичной окружности точки, соответ-
ствующие числам:
—2; 2; 3; 6; ,л/12; л/10; -л/10; -л/5; 7л/9; -9л/10;
Ил/10; 6л/5.
 1.2. Запись чисел, соответствующих точкам
единичной окружности
Запись чисел, соответствующих одной точке еди-
ничной окружности
Пусть на окружности дана
произвольная точка Pt (рис.
460). При обходе окружности
на целое число оборотов мы
попадаем на исходную точку,
а значит, точке Pt окружнос-
ти наравне с некоторым чис-
лом t соответствует и любое
число вида t + 2лп, n е Z.
В данном случае (см. рис.
460) точке Pt соответствуют
числа t = а + 2лп, где n е Z.
Вопросы и задания
1) Запишите все числа, соответствующие выделен-
ным точкам единичной окружности на рисунке
461 (а—и).
292 I Раздел III. 1 . Единичная (тригонометрическая) окружность
Рис. 461
2) Изобразите на единичной окружности точки, со-
ответствующие числам:
а) л/3 + 2лп, n е Z; б) 2л/3 -Ь 2л^, k g Z: в) 2лт,
т е Z; г) л/2 + 2пт, т е Z; д) -л + 2лй, k е Z;
е) -Зл/2 + 2nZ, I е Z; ж) 5л/2 + 2nZ, I е Z;
з) л(1/4 + 2т), т е Z; и) л(-1/3 + 2n), не Z.
Замечание
Упражнений на закрепление остальных способов запи-
си чисел в дальнейшем приводить не будем, так как из
вышеприведенного ясны принципы их составления: от
изображения точки на единичной окружности — к
числу и, наоборот, от числа — к точке на единичной ок-
ружности.
1.2. Запись чисел, соответствующих точкам окружности 1293
Запись чисел, соответствующих двум диаметраль-
но противоположным точкам единичной окружности
Пусть на окружности даны
две диаметрально противо-
положные точки Pt, и Pt + K
(рис. 462). Этим точкам
соответствуют числа вида
t = а + ип, п е Z.
Рис. 462
Запись чисел, соответствующих двум точкам на
единичной окружности с одинаковыми абсциссами
Пусть на окружности даны
точки Pt и P_t (рис. 463).
Точке Pt соответствуют чис-
ла t = а + 2лп, а точке P_t —
числа t = -а + 2пп, где n е Z.
Значит, двум данным точ-
кам соответствуют числа ви-
да t = ±а + 2лп, п е Z. То
есть получили более ком-
пактную форму записи
двух точек на окружности с
одинаковыми абсциссами.
► Запись чисел, соответствующих точкам на еди-
ничной окружности с одинаковыми ординатами
На окружности даны точ-
ки Pt и Рк_ t (рис. 464). Точке
Pt соответствуют числа t = а +
+ 2пп (1), а точке Рк_ t — чис-
ла t = л - а + 2лп (2), где n е Z.
Нетрудно заметить, что
формулы (1) и (2) можно за-
писать в следующем виде:
Рис. 464
2941 Раздел HI. 1, Единичная (тригонометрическая) окружность
t = (-l)fe а + ttk, k e Z.
При четном k и k = 0 получаем формулу (1), при
нечетном — формулу (2).
Запись чисел, соответствующих точкам, деля-
щим единичную окружность на п равных частей
Тогда множество
Точки, делящие окружность
на п равных дуг, являются
вершинами правильного впи-
санного пугольника (рис.
465). Пусть точке РА соответ-
ствуют числа а + 2nk, fe е Z.
Точке Р2 соответствуют числа
а + 2л/п + 2nk, ft е Z. Точ-
ке Р3 соответствуют числа
а + 2л/п + 2л/п + 2nk, k е Z...
всех чисел, соответствующих
вершинам пугольника, запишется так:
t = а + 2nk/n, где п — число точек, k е Z.
Если а = 0, то t = 2лй/п, k е Z.
Вопросы и задания
1) Укажите все числа, соответствующие точкам ок-
ружности, изображенным на рисунке 466, а—ш.
Рис. 466
1.2. Запись чисел, соответствующих точкам окружности
1295
Рис. 466
2961 Раздел HI. 1, Единичная (тригонометрическая) окружность
2) Изобразите на единичной окружности точки, со-
ответствующие числам: 1; 4; -2; -1; 3,14; л; л/2;
л/4; ±5л/6; ±л/2; л/10 + 2лп, n е Z; (-1)Ал/4 + л/г,
k е Z; ±л/3 + 2л/г, k е Z; лп/4, п е Z; л/6 + лтп/3,
и е Z.
 1.3. Запись множества корней
наиболее рациональным образом
Решение многих тригонометрических уравнений
и их систем приводит к совокупности или системе их
корней. Для грамотной записи ответа (исключения
повторяющихся решений и др.) мы используем еди-
ничную окружность.
Рассмотрим пример:
х = лтп/4, т е Z, •
IX = л/4 + лй/2, k е Z, Д
[х = ±Зл/4 + 2лп, n е Z. | |
Обратим внимание на ри-
сунок 467. Мы видим, что
он получается громоздким.
Предлагаются на ваше рас-
смотрение следующие обоз-
начения — «лепестки».
В совокупности около каждой строки нарисуем
соответствующий лепесток.
х = ли/4, meZ, С\
х = л/4 + л/г/2, k е Z,
х = ±Зл/4 + 2лп, n е Z.^
Теперь перенесем лепест-
ки в нужные места тригоно-
метрической окружности.
Остается только записать
числа, соответствующие точ-
кам, около каждой из кото-
рых расположен хоть один
лепесток (рис. 468). Это чис-
ла вида лтп/4, т е Z.
Рис. 468
1.3. Запись множество корней 1297
г А если бы мы решали систему тех же уравнений,
irTo нам надо было бы записать числа, соответствую-
;щие точкам, около каждой из которых расположены
все лепестки. Это числа ±Зл/4 + 2лп, не Z.
□ ПЛимеры.
№ 1. Решите данные совокупность и системы урав-
нений:
а)
х = л/3 + 2nt/3,1 е Z,
х = лт, те Z;
(х = ±л/3 + 2лп, пе Z,
I х = лт/3, т е Z,
6)	| х = л/3 + 2лк, k е Z,
lx = 4л/3 + nt, t е Z;
х = -п/2 + л1/4, le Z,
в) < х = лт, те Z
х = 7л/2 + 2лр, ре Z.
Решение.
а)	Нарисуем против верхней строки совокупности
белый лепесток, а у второй строки — черный:
х = л/3 + 2лп/3, п
х = 2лк, keZ
le Z,C^
Ч
Украсим такими же лепест-
ками соответствующие точ-
ки тригонометрической ок-
ружности (рис. 469). В ответе
надо записать четыре множе-
ства чисел. Но одна формула
не может охватить все эти
числа. Обсудив возможные
формы записи ответа, уча-
щиеся обычно останавлива-
ются на одном из двух:
е Z,
2981 Раздел III. 1. Единичная (тригонометрическая) окружность
ИЛИ
х = ±л/3 + 2пт, т е Z,
_х = nt, t е Z.
б)	Для данной системы придется изобразить ле-
пестки четырех цветов (рис. 470):
х = ±л/3 + 2пп, п е Z,Q\
x = ra/3,meZ,
| x = л/3 + 2nk, k e Z,
x = 4n/3 + nt, t e Z.
В качестве ответа запи-
шем все числа, которые со-
ответствуют точке, собрав-
шей около себя все четыре
разных лепестка: л/3 + 2nt,
t е Z.
в)	Перепишем задание, снабдив каждую строчку
своим лепестком:
х = -л/2 + nZ/4,1 е Z,
- х = пт, те Z,
х = 7л/2 + 2лр,ре Z, Ч
На рисунке 471 мы ви-
дим, что ни у одной точки
не собрались все три лепест-
ка. Значит, данная система
не имеет решений.
При решении следую-
щих примеров надо учесть
область определения урав-
нения.
№ 2. Решите системы уравнений и неравенств:
. | х -л/2 + nk, ke Z,
[х = nt/2, t е Z;
б)
x^nk/2, fee Z,
x = л/3 + 2nm/3, m e Z,
x = 2nn/3, n e Z.
•чк	I
1.3. Запись множество корней 1299
Решение.
а)	Недопустимые точки на еди-
ничной окружности будем
отмечать крестиками, а
точки, заданные уравнени-
ем х = nt/2 (t е Z), выделим
светлыми лепестками (рис.
472). Уравнение х = nt/2,
t е Z, задает четыре точки
на единичной окружности,
Рис. 472	из которых допустимы
только две. Таким образом,
требуемые значения х мож-
но записать формулой х =
= пт, те Z.
б)	На рисунке 473 точки, соот-
ветствующие первому ра-
венству, отметим белыми
лепестками, а второму ра-
венству — черными лепест-
ками. Для удобства нарису-
ем эти лепестки против со-
ответствующих строк в
системе:
[ х nk/2, fee Z,
гх = л/3 + 2лт/3, т е Z,C\.
| х = 2лп/3, n е Z.
Речь идет о тех точках, у которых стоит хотя бы
один лепесток, но нет запрещающего знака. Этим
точкам соответствуют числа ±л/3 + л/г, k е Z.
Упражнения для самостоятельного решения
1) Исключите повторяющиеся решения:
. х = л/3 + 2л//3,1 е Z,
’ х = пт, те 7.
. х = (-1)* • л/4 + nk, k е Z,
[х = л/4 + лп/2, не Z.
3001 Раздел III. 1. Единичная (тригонометрическая) окружность
х = ±л/6 + лй/2, й g Z,
х = л/3 + лп/2, n е Z,
х = пт, те Z,
х = nt/4, t g Z.
Г x = ±л/4 + 2лй, й g Z,
х = ±Зл/4 + 2лп, п g Z,
х = л/2 + пт, те Z,
х = ns, s е Z,
х = ni/2, t е Z,
х = л/4 + nq/2, qe Z.
L х = (-1)* • л/4 + лй, й g Z,
( х = ±л/4 + пт, т е Z,
Lx = л/3 + лп, n g Z.
Гх = л/4 + лй, й g Z,
I х = пп/4, пе Z,
[х = л/3 + пт/6, те Z.
х = ±п/4 + пт, те Z,
ж) х = лй/2, й g Z,
X = л/2 + ЯП, n G Z.
х = пт, те Z,
з) х = лй/2, й g Z,
х = лп/3, n g Z.
х = (-1)* • л/3 + ЛЙ, Й G Z,
и) х = ±5л/3 + 2лпг, т е Z,
X = л/3 + ЯП, n G Z.
X = лп/2, п G Z,
X = ЛЙ, Й G Z,
х = ±л/4 + 2пт, те Z,
х = (-1)4 ’ л/4 + nt, t е Z,
х = л/4 + nl/2, leZ.
х = nk/4, k е Z,
х = Зл/2 + nl/2, le Z.
x = -n/2 +nn/2, ne Z,
x = Зл/2 + лй/2, й g Z.
в)
г)
Д)
е)
к)
м)
Ответы.
a)
x = ±n/3 + 2nl, le Z,
x = nm, me Z.
1.3. Запись множество корней 1301
б) х = л/4 + лп/2, n е Z.
fx = nfe/6, fee Z,
В [х = л/4 + лп/2,'п е Z.
г) х = nt/4, t е Z.
v Гх = л/3 + лп, n е Z,
х = л/4 + nfe/2, fe е Z.
Гх = лп/6, не Z,
' х = п/4 + пт/2, т е Z.
ж) х = nfe/4, fee Z.
v Гх = л/2 + nfe, fee Z,
3 [х = лп/3, ne Z.
х х = л/3 + лп, л е Z,
и)	[х =-л/3 + nfe, fee Z.
к)	х = лп/4, не Z,
л)	х = nt/4, t е Z,
м) х~пт/2, те Z.
2)	Запишите решения совокупностей (систем):
. Гх = -л/4 + лсг/4, q е Z,
а>[х - Зя, 2 + яр/2, р е Z;
j х = -л/4 + л^/4, q е Z,
[ х = Зл/2 + лр/2, р е Z.
	гх = -л/2 + л//4, 1 е Z,
б)	х = пт, те Z,
	х = 7л/2 + 2лр, v е Z;
	х = -л/2 + л//4,1 е Z, х — пт, т е Z,
	х = 7л/2 + 2л1>, v е Z. х = лт/4, т е Z,
в)	х - л/4 + nfe/2, fe е Z,
	^х = ±Зл/4 + 2пп, ne Z; х = лт/4, т е Z,
	х = л/4 + nfe/2, fe е Z,
	х = +Зл/4 + 2лл, n е Z.
	х = л/4 + лп/2, n е Z,
г)	х = п/4 + nfe, fe е Z,
	х = +л/4 + 2nZ, 1 е Z;
302 I Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
r x = n/4 + nn/2, n g Z,
J x = n/4 + nk, k e. Z,
[x = ±n/4 + 2nl, Z g Z.
Ответы.
Решения совокупностей
a)
б)
Решения систем
х = nk/2, k g Z.
Решений нет.
х = +Зп/4 + 2лп, n g Z.
х = п/4 + 2пт, meZ.
х = nt/4, teZ,
х = nr/4,re Z.
x = nv/4, v g Z.
x = n/4 + nt/2, t g Z.
г)
3)	Запишите решения систем.
. | x^nk/2, k g Z,
' [ X = nn/4, zig Z,
x*n/4 + nl/2, ZgZ,
6)  x = nt/2, Z e Z,
[x = —л — 2nm, m e Z.
x*nn, ZIG Z,
I x^n/2 +nk, k G Z,
в)" x = л/3 + 2nZ/3, Z g Z,
[x = nq/2, qeZ.
. | x Ф (-1)* • (-Л/4) + nk, fee Z,
r [ x = n/4 + nZ/2, t g Z.
Ответы.
a)	x = n/4 + nm/2, m g Z.
6)	x = nq/2,qeZ.
в)	x = ±n/3 + 2nl, I g Z.
r) x = (-1)" • n/4 + nn, n G Z.
Q Некоторые сведения из тригонометрии
 2.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс
действительного числа
Определение синуса
Синусом действительного числа t называется ор-
дината точки Pt, соответствующей действительному
числу t на единичной окружности (рис. 474, а).
Обозначение: sin t.
2.1. Синус, косинус, тангенс и котангенс 1303
Определение косинуса
Косинусом действительного числа t называется
абсцисса точки Pt, соответствующей действительно-
му числу t на единичной окружности (рис. 474, б).
Обозначение: cos t.
Рис. 474
Определение тангенса
Тангенсом действительного
числа t называется отноше-
ние sin t/cos t. Тангенс дейст-
вительного числа определен
при условии, что cos t 0,
т. е. t л/2 + лп, где n е Z
(рис. 475).
Обозначение: tg t.
Линия тангенсов — пря-
мая, заданная уравнением
х = 1.
Тангенс действительного числа t численно равен
ординате точки Tt, соответствующей этому числу, на
линии тангенсов. Это следует из подобия треуголь-
ников OPtM и OTtP0 и определения функции tg t:
&OPtM ~&OTtPQ, тогда
PtM
TtP0
ОМ OP0 ’
(1)
3041 Раздел 111,2. Некоторые сведения из тригонометрии
sint	(2)
cost	ОМ *	{ J
тт	Sint	,
Из (1) и (2) следует, что ------ = рр , т. е. tg t =
COS t	{Jjr q
= TtPQ, что и требовалось доказать.
Определение котангенса
Котангенсом действитель-
ного числа t называется
отношение cos t/sin t. Котан-
генс действительного числа
определен при условии, что
sin t 0, т. е. t nk, где k е Z
(рис. 476).
Обозначение: ctg t.
Линия котангенсов — это прямая с уравнением
у = 1. Котангенс действительного числа t численно ра-
вен абсциссе точки Ct, соответствующей этому числу,
на линии котангенсов. Это следует из подобия тре-
угольников OPt М и OCt Р и определения функции
ctg t. Чтобы найти точку Tt(Ct), соответствующую
числу t на линии тангенсов (котангенсов), достаточно
найти точку пересечения луча OPt с линией тангенсов
(котангенсов) (рис. 475, 476). С помощью единичной
окружности легко установить
значениями синуса, косинуса,
тангенса и котангенса одного и
того же числа. Например, точ-
ки Pt и P_t симметричны отно-
сительно оси абсцисс, поэтому
Pt(cos t, sin t) и P_t(cos (-t),
sin (-t)) имеют одинаковые абс-
циссы, но противоположные
ординаты, т. е. cos (-t) = cos t;
sin (~t) = -sin t (рис. 477).
зависимость между
2.2. Обротные тригонометрические функции 1305
По определению тангенса мы имеем:
tg (-t) = sin (—t)/cos (-t) = -sin t/cos t = -tg t.
Аналогично будем иметь
ctg (-t) = cos (~t)/sin (-t) = cos t/(-sin t) = -ctg t.
Очень часто абитуриентов пугают такие выраже-
ния, как sin 1, cos 15 (а не sin 1°, cos 15°) и т. п.
Вызывают затруднения по существу несложные
вопросы, для ответа на которые достаточно пони-
мать только смысл этих выражений, т. е. необходи-
мо глубокое понимание определения синуса и ко-
синуса.
 2.2. Обратные тригонометрические
функции
Вспомним некоторые сведения о взаимно обрат-
ных функциях.
Если прямая функция монотонна на всей области
определения, то для нее существует обратная. Для
функции у = х2, например, на всей области определе-
ния обратной не существует.
Связь свойств прямой и обратной функций
— Область определения прямой функции явля-
ется областью значений обратной, а область значе-
ний прямой является областью определения обрат-
ной.
— Если прямая функция возрастает (убывает), то
и обратная функция возрастает (убывает).
— Графики прямой и обратной функций симмет-
ричны относительно биссектрисы 1 и 3 координат-
ных углов.
Ни одна из функций у = sin х, у = cos х, у = tg х,
у = ctg х не является монотонной на всей области оп-
ределения. Поэтому можно говорить об обратных
для этих функций на части области определения, где
прямая функция возрастает или убывает.
306 I Раздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
2.2.1.	Определения, свойства и графики
ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРЖЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Функция у = arcsin х
► Определение.
у = arcsin х — функция, об-
ратная функции у = sin х на
отрезке [-л/2; л/2].
Иначе: у = arcsin х — число
из отрезка [-л/2; л/2], синус
которого равен х (рис. 478).
□ Примеры.	Рис- 478
arcsin (1/2) = л/6, arcsin (-1/2) = -л/6,
arcsin 0 = 0.
График и свойства
1)	Область определения функции (D(y)): [-1; 1].
2)	Множество значений функции (Е(у)):
[-л/2; л/2].
3)	Наибольшее значение: у = л/2 (при х = 1).
Наименьшее значение: у = -л/2 (при х = -1).
4)	Возрастает (рис. 479).
5)	Нечетная: arcsin (-х) = -arcsin х.
6)	Не является периодической (в силу монотон
пости).
7)	Если х е [0; 1], то у е [0; л/2] (четверть I на рис
478).
2.2. Обротные тригонометрические функции 1307
Если х е [-1; 0], то у е [-л/2; 0] (четверть IV на
рис. 478).
□ Пример.
Найдите область определения функции
. 2х - 1
у = arcsin —-z- .
г?	v — 9
Решение.
Воспользуемся тем, что областью определения
функции у = arcsin t является отрезок [-1; 1]:
2х - 1 >
2х - 1	х-2 " ~ ’
х	2х-1
х-2 "
2х - 1 + х - 2
х-2
2х - 1 - х + 2
х-2
2 < 0 (Рис- 48°)-
Ответ. [-1; 1].
;	I	2 х
।
1	।
-1	2 х
Рис. 480
Функция у = arccos х
► Определение.
у = arccos х — функция, обратная функции
у = cos х на отрезке [0; л].
Иначе: у = arccos х — число из отрезка [0; л], ко-
синус которого равен х.
График и свойства
1)	D(y): [-1; 1].
2)	Е(у): [0; л].
3)	Наибольшее значение: у = л (при х = -1).
3081 Раздел III.2. Некоторы
е сведения из тригонометрии
Наименьшее значение: у = 0 (при х = 1).
4)	Убывает, так как убывает прямая функция
(рис. 481).
5)	Не обладает свойствами
четности и нечетности.
Имеет место равенство
arccos (-х) = л - arccos х,
где х е [-1; 1].
6)	Не является периодиче-
ской (в силу монотоннос-
ти).
7)	Если х е [0; 1], то
уе [0; л/2] (четверть I
на рис. 482).
Если х е [-1; 0], то у е [л/2; л] (четверть II на
рис. 482).
Функция у = arctg х
► Определение.
у = arctg х — функция, обратная функции у = tg х
на интервале(-л/2; л/2).
„	х	/ Л Л \
Иначе: у = arctg х — число из интервала 1-х ; х ,
\ а И /
тангенс которого равен х.
График и свойства
l)D(y):R. „
2)	Е(у): (-л/2; л/2).
3)	Наибольшего и наименьшего значений не
имеет.
4)	Функция нечетная: arctg (-х) = -arctg х.
б) Возрастает на всей области определения (рис.
483).
6)	Не является периодиче-
ской.
7)	lim arctg х = л/2;
X —+оо
lim arctg х = -л/2.
х —-оо
8)	Если х > 0, то
у е [0; л/2)(область I на
рис. 484).
Если х < 0, то
у е (-л/2; 0) (область IV
на рис. 484).
Функция у = arcctg х
► Определение.
у = arcctg х — функция, обратная функции
у = ctg х на интервале (0; л).
Иначе: у = arcctg х — число из интервала (0; л),
котангенс которого равен х.
3101 Раздел II 1.2. Некоторые сведения из тригонометрии
График и свойства
1)	W): R-
2)	Е(у): (0; тс).
3)	Наибольшего и наименьшего значений не
имеет.
4)	Не обладает свойствами четности и нечетности.
Имеет место следующее равенство:
arcctg (—х) = л - arcctg х.
5)	Убывает на всей области определения (рис.
485).
6)	Не является периодиче-
ской.
7)	lim arcctg х = 0;
Х-»ц-оо
lim arcctg х = л.
х-—°°
8)	Если х > 0, то
уе (0;я/2]
(четверть I на рис. 486).
Если х < 0, то
у е (л/2; л)
(четверть II на рис. 486).
2.2.2. Нахождение значения прямой тригонометржеской
ФУНКЦИИ ОТ ЗНАЧЕНИЯ ОБРАТНОЙ, И НАОБОРОТ
Исходя из определений обратных тригонометри-
ческих функций, можно записать следующие тожде-
ства:
sin (arcsinx) = х, х е [—1; 1],
cos (arccos х) = х, хе [-1; 1],
2.2. Обротные тригонометрические функции 1311
tg (arctg х) = х, х е R,
ctg (arcctg х) = х, х е R.
А если нужно найти, например, sin (arctg (1/3)),
cos (arcctg (1/2)), sin (arccos (-3/5))?
Для нахождения значения прямой функции от
значения обратной воспользуемся правилом «прямо-
угольного треугольника»: если аргумент аркфункции
удовлетворяет следующему условию: 0 < х < 1 (для
arcsin х и arccos х) или х > 0 (для arctg х и arcctg х),
то значением данной аркфункции является величина
острого угла. Используя прямоугольный треуголь-
ник с таким острым углом, находим два катета либо
катет и гипотенузу (с точностью до коэффициента
пропорциональности). Находим по теореме Пифа-
гора третий линейный элемент, а затем — искомое
значение прямой тригонометрической функции это-
го угла.
□ Примеры.
№ 1. Найдите sin (arctg (4/3)).
Решение.
arctg (4/3) — острый угол некоторого прямо-
угольного треугольника, катеты которого 3 и 4, ги-
потенуза его равна 5 (рис. 487). Тогда
sin (arctg (4/3)) = 4/5.
№ 2. Найдите cos (arctg 2).
Решение.
cos (arctg 2) = 1/л/б (рис. 488).
3
Рис. 487
Рис. 488
3121 Раздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
№ 3. Найдите sin (2arcsin (1/3)).
Решение.
Воспользуемся формулой sin 2а = 2sin а cos а.
sin(2arcsin(l/3)) = 2sm(arcsm(l/3))cos(arcsin(l/3) =
= 2-(1/3)-cos (arcsin (1/3)) = 2 • (1/3)• 2j2 /3 =
= 4 72 /9 (рис. 489).
№ 4. Найдите sin (arcsin (3/5) - arccos (3/5)).
Решение (рис. 490).
Рис. 489
Рис. 490
sin (arcsin (3/5) - arccos (3/5)) =
= sin (arcsin (3/5)) • cos (arccos (3/5)) -
- cos (arcsin (3/5)) • sin (arccos (3/5)) =
= (3/5) • (3/5) - cos (arcsin (3/5)) • sin (arccos (3/5))
= 9/25 - (4/5) • (4/5) = -7/25.
№ 5. Найдите tg (arccos (-2/3)).
Решение.
tg (arccos (-2/3)) = tg (л - arccos (2/3)) =
= -tg (arccos (2/3)) = -Тб /2 (рис. 491).
2
Рис. 491
2.2. Обротные тригонометрические функции 1313
№ 6. Вычислите без таблиц arctg (1/2)+ arctg (1/3).
Решение.
Заметим, что 0 < arctg (1/2) < л/4,
О < arctg (1/3) < л/4.
Поэтому 0 < arctg (1/2) + arctg (1/3) < л/2.
Найдем тангенс суммы arctg (1/2) + arctg (1/3):
1 /2 + 1 /3
tg (arctg (1/2) + arctg (1/3)) = x ц/2уц/з~) = E
Следовательно, (arctg (1/2) + arctg (1/3)) — угол
первой четверти, тангенс которого равен единице.
Поэтому arctg (1/2) + arctg (1/3) = л/4.
Справедливы следующие тождества:
arcsin (sin х) = х, х е [-л/2, л/2], arccos (cos х) = х,
х е [0; л], arctg (tg х) = х, х е (-л/2; л/2),
arcctg (ctg х) = х, хе (0; л).
№ 7. Найдите arccos (cos 1/5)).
Решение.
Учитывая, что 1/5 е [0, л], делаем вывод, что
arccos(cos(1/5))= 1/5.
№ 8. Вычислите arcsin (sin 6).
Решение.
Пусть arcsin (sin 6) = х, где х е [-л/2; л/2].
Находим синус от обеих частей равенства:
sin 6 = sin х,
х = 6 + 2лп, n е Z,
х = л - 6 + 2лй, fee Z.
Придавая п и k значения из множества Z, найдем
х е [-л/2; л/2]:
х = 6 - 2л.
Ответ, arcsin (sin 6) = 6 - 2л.
№ 9. Вычислите arccos (sin 10).
Решение.
Пусть arccos (sin 10) = х, где х е [0; л].
3141 Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
Тогда sin 10 = cos х.
cos х - sin 10 = 0; cos x - cos (л/2 - 10) = 0,
-2 sin (x/2 + л/4 - 5)sin (x/2 - n/4 + 5) = 0.
x/2 + л/4 - 5 = nfe, fee Z,
x/2 - n/4 + 5 = nn, ne Z,
x = -л/2 + 10 + 2nfe, fe e Z,
x = n/2 - 10 + 2nn, n e Z.
Выбираем значение x e [0; л].
Ответ, arccos(sin 10) = 10 - 5n/2.
№ 10. Постройте график функции у = arcsin (sin x).
Решение (рис. 492).
Отметим некоторые свойства рассматриваемой
функции.
1)	D(10: R-
2)	Е(у): [-л/2; л/2].
3)	Периодическая. Наименьший положительный
период равен 2л.
4)	Нечетная.
5)	sin у = sin х.
6)	Если х е [-л/2; л/2], то у = х.
Если х е [л/2; Зл/2], то у = л - х.
Рис. 492
2.2. Обратные тригонометрические функции 1315
№11. Постройте график функции у = arcsin (cos х).
Решение (рис. 493).
Воспользуемся тем, что arcsin (cos х) =
= -arcsin (sin (х - л/2)).
№ 12. Найдите область определения функции
f(x) = 7arcsin2x - 1.
Решение.
Область определения дан-
ной функции совпадает с
множеством решений сис-
темы неравенств
J arcsin х| > 1,
1 х| < 1;
Farcsin х > 1,
J arcsin х < -1,
[|х| 1.
Воспользуемся графиком
функции у = arcsin х (рис.
494).
Ответ. [-1; - sin 1] u [sin 1; 1].
№ 13. Найдите область определения функции
f(x) = 71 - arccos2х .
Решение (рис. 495).
Решаем систему неравенств
3161 Раздел 111.2, Некоторые сведения из тригонометрии
f|arccos х\ < 1,
; |х| < 1:
О < arccos х
Ответ, [cos 1; 1].
№ 14. Найдите область значений функции
„ ч	1 - 2^4 - х2 ,
f(x) = arccos----5-----. (ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
Пусть t = (1 - 2«/4 - х2)/2.
Найдем область значений
функции t(x) с областью опре-
деления [-2; 2]:
0 < 74 - X2 < 2;
-	4 <-2^4 -х2 <0;
-	3< 1-274 -х2 <1;
-	3/2 < (1 - 274 - х2 )/2 < 1/2; -3/2<t<l/2.
Учтем, что t е [-1; 1]. Получим, что t е [-1; 1/2].
Рассмотрим функцию g(t) = arccos t, где -1 < t < 1/2.
Функция g(t) убывает в области определения. Поэто-
му g(t) е [arccos (1/2); arccos (-1)], т. е. g(t) е [л/3, л].
Проиллюстрируем результат графически (рис. 496).
Ответ, [л/3; л].
№ 15. Найдите область значений функции
f(x) = arcsin
Io - т-2
I-——-.(ЕГЭ 2002 г.).
Ml + X2
2.2, Обратные тригонометрические функции 1317
Решение.
Пусть t = (2 - х2) / (1 + х2). Будем смотреть на по-
лученное равенство как на уравнение относитель-
но х, где t — параметр.
Справедливо следующее Утверждение:
область значений функции у = f(x) совпадает с
множеством значений у, как параметра, для каж-
дого из которых уравнение у = f(x) имеет хоть
один корень.
Рассматриваем уравнение t = (2 - х2)/(1 + х2):
t + tx2 = 2 - х2, x2(t + 1) = 2 - t.
Пусть t = -1: 0 • x2 = 3. Решений нет.
t -1: х2 = (2 - t)/(t + 1)- Последнее уравне-
ние имеет корни, если (2 - £)/(£ + 1) >0, т. е.
te (-1; 2].
Обозначим Jt через S; S = Jt, где t е [0; 2]. Тогда
S е [0; ^2 ]. Учтем область определения функции
g(S) = arcsin S: . ®	^2 ,
1 ’	-1^S<1,O<S<1.
А теперь найдем область значений возрастающей
функции g(S) = arcsin S, где S е [0; 1]:
g(S) е [0; л/2].
Ответ. [0; л/2].
№ 16. Найдите множество значений функции
у = sin 2х, если х е
5 5л
arccos ja; 12
(ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
Построим сначала график функции у = sin 2х, ес-
ли х е (0; л/2] (рис. 497).
318 I Роздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
Пусть arccos (5/13) = т,
5л/12 = п. Сравним
arccos (5/13) и л/4:
5/13 < 72/2, следова-
тельно, arccos (5/13) > л/4.
И далее:
5/13 <5л/12< л/2.
Числа т и п попали в
промежуток убывания
функции у = sin 2х.
Вычислим
sin (2arccos (5/13)) и
sin (2 - 5л/12):
sin (5л/6) = 1/2;
sin (2arccos (5/13)) =
= 2sin (arccos (5/13)) • 5/13 =
= 2-(12/13)-5/13 =
= 120/169 (рис. 498).
Ответ. [1/2; 120/169].
5
Рис. 498
№ 17. Найдите множество значений функции
у = cos 2х, если х е [-arctg (1/3); arctg 2].
(ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
Строим график функции у = cos 2х, если
х е [-л/4; Зл/4] (рис. 499).
Пусть т = -arctg (1/3), n = arctg 2. Так как
0 < 1/3 < 1, то 0 < arctg (1/3) < л/4,
-л/4 < -arctg (1/3) < 0, -л/4 < т < 0.
Рис. 499
1
Рис. 500
2.2. Обратные тригонометрически» функции 1319
Легко видеть, что л/4 < arctg 2 < л/2, л/4 < п < л/2.
На [т; п] функция у = cos 2х не является монотон-
ной. Из рисунка 499 видно, что наибольшее зна-
чение функции равно 1, а наименьшее —
cos (2arctg 2).
cos (2arctg 2) = 2 cos2 (arctg 2)-1 = 2/5-1= -3/5
(рис. 500).
Ответ. [-3/5; 1].
2.2.3.	Тождества с обратными тригонометржескими
функциями
При доказательстве тождеств, содержащих обрат-
ные тригонометрические функции, полезно пользо-
ваться следующим Утверждением:
если числа а и Р принадлежат промежутку, на ко-
тором некоторая тригонометрическая функция Т(х)
строго монотонна и Т(а) = Т(Р), то а = р.
Доказательство (метод от противного).
Пусть а р. Значит, возможен один из двух случа-
ев:
1)	а > Р; 2) а < р.
Если функция Т(х) возрастает (убывает), то
Т(а) > Т(Р) (Т(а) < Т(Р)), что противоречит условию
Т(а) = Т(Р). Аналогично доказывается, что а не мо-
жет быть меньше р. Итак, а = р. Что и требовалось
доказать.
Эта теорема лежит в основе метода доказательст-
ва тождеств с обратными тригонометрическими
функциями.
Пусть нам надо доказать тождество а = Р, где а и
Р — некоторые числа. Алгоритм доказательства:
1.	Определяем промежуток, которому принадле-
жит число а.
2.	Определяем промежуток, которому принадле-
жит число р.
3.	Находим промежуток, которому принадлежат
а и р. Пусть это промежуток I.
3201 Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
4.	Выбираем прямую тригонометрическую функ-
цию Т(х), которая на I монотонна.
5.	Находим Т(а) и Т(Р).
6.	Если Т(а) = Т(Р), то рассматриваемое равенство
а = Р является тождеством.
□ Примеры.
№ 18. Докажите тождество
arcsin (3/5) + arcsin (12/13) = arccos (-16/65).
Доказательство.
Пусть arcsin (3/5) + arcsin (12/13) = а;
arccos (-16/65) = р.
1.	0 < arcsin (3/5) + arcsin (12/13) < л (см. свойство
7 арксинуса — п. 2.2.1).
2.	л/2 < arccos (-16/65) < л (см. свойство 7
арккосинуса — п. 2.2.1).
3.	0 < а < л; 0 < р < л; I = (0; л).
4.	На множестве (0; л) убывает функция у = cos х.
5.	Найдем cos а и cos Р:
cos (arcsin (3/5) + arcsin (12/13)) =
= cos (arcsin (3/5)) cos (arcsin (12/13)) -
- sin (arcsin (3/5) • sin (arcsin (12/13)) =
= (4/5) • 5/13 - (3/5) • 12/13 = -16/65 (рис. 501, а).
cos (arccos (-16/65)) = -16/65 (рис. 501, 6).
3	12
а)	б)
Рис. 501
6.	Тождество доказано.
№ 19. Докажите, что arcsin (-х) = -arcsin х,
хе [-1; 1].
2.2. Обратные тригонометрические функции 1321
Доказательство.
1. -л/2 < arcsin (-х) < л/2; х е [-1; 1].
2. -л/2 < -arcsin х < л/2. (Здесь, кроме определе-
ния arcsin х, нужно помнить, что при умножении
на (-1) знак неравенства меняется на противопо-
ложный.)
3.1 = [-л/2; л/2].
4.	На отрезке [-л/2; л/2] возрастает у = sin t.
5.	sin (arcsin (-x)) = -x;
sin (-arcsin x) = -sin (arcsin x) = -x.
6.	Тождество доказано.
2.2.4. Уравнения с обратными тригонометрическими
функциями
Xs 20. Решите уравнение arcsin х = л/3.
Решение.
Это уравнение равносильно уравнению
х = sin л/3. Откуда х = 7з /2.
Ответ. 73 /2.
№ 21. Решите уравнение arcsin х = 2.
Решение.
Решений нет, так как 2 > л/2.
Ответ. Решений нет.
№ 22. Решите уравнение arccos х = 2.
Решение.
Учитывая, что 2 е [0; л], получаем, что х = cos 2.
Ответ, cos 2.
№ 23. Решите уравнение arctg (2х - 1) = -1/4.
Решение.
Заметим, что -1/4 е (-л/2; л/2). 2х - 1 = -tg (1/4),
х = 1/2-(1/2) tg (1/4).
Ответ. 1/2 - (1/2) tg (1/4).
3221 Раздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
№ 24. Решите уравнение
arcsin (х2 - Зх + 6) = arcsin (2х + 2).
Решение.
Данное уравнение в силу монотонности арксинуса
равносильно системе
(х2 - Зх + 6 = 2х + 2, [х2 - 5х + 4 = О, [х = 1,
’|2х + 2|<1;	||2х + 2| < 1;	< х = 4,
[|2х + 2|<1.
Ответ. Решений нет.
№ 25. Решите уравнение (arccos х)2 + arccos х - 2 ~ 0.
Решение.
Пусть arccos х = t, где t е [0; л].
t2 + t-2 = 0,
Видим, что -2 g [0; л].
arccos х = 1, х = cos 1.
Ответ, cos 1.
№ 26. Решите уравнение arcsin х + 2arccos х = л.
Решение.
Воспользуемся тождеством:
arcsin х + arccos х = л/2, где |х| < 1. Тогда
л/2 - arccos х + 2arccos х = л, arccos х = л/2, х = 0.
Ответ. 0.
№ 27. Решите уравнение arcsin 2х + arcsin х = л/3.
Решение.
Перепишем данное уравнение в виде
arcsin 2х = л/3 - arcsin х.
Найдем синус от обеих частей:
2х = (7з /2) • cos (arcsin х) - х/2, 2х =
= (73 /2) 71 - х2 - х/2; 5х = 73 - Зх2 .
Переходим к системе, равносильной последнему
уравнению:
jx>0,	jx>0,
125х2 = 3-3х2,	1х = ±7з728,
2.2. Обратные тригонометрические функции 1323
х= 73 /28.
Проверка.
Проверим справедливость равенства
arcsin л/3/7 + arcsin Тз/28 = л/3;
= л/3 - arcsin л/3/28 .
arcsin ТЗ/7
Пусть arcsin 73/7 = а; л/3 - arcsin 73/28 = р.
венства.
О < а < л/2; 0 < arcsin Тз/28 < л/4.
Поэтому 0 < л/3 - arcsin 73/28 < л/2.
Итак, аир принадлежат интервалу (0; л/2), где
синус монотонен.
Найдем синус от обеих частей проверяемого pa-
sin (arcsin л/3/7 ) = 73/7 ;
sin (л/3 - arcsin 73/28 ) =
= (Тз/2) • cos (arcsin 73/28 ) -
- (1/2) • 73/28 =
= (7з/2)-5/728 - ТЗ/(2Т28) =
= (473)/(2728)= Т3?7 (рис. 502).
Равенство верно, а потому х = 73/28 — корень
данного уравнения.
5
Рис. 502
Ответ. 73/28.
Упражнения для самостоятельного решения
1)	Вычислите:
a) sin (arccos (3/5)); б) tg (arcsin (4/5) + Зл/2);
в) sin ((1/2) arccos (1/9)).
2)	Докажите:
a)	arccos (7/25) + arccos (3/5) = arccos (-3/5);
6)	arctg 4 + arctg 5 = arcctg (-19/9);
в)	arcsin (4/5) + arccos (2/75 ) = arctg (2/11);
324 I Раздел IIL2. Некоторые сведения из тригонометрии
г)	arcsin (3/5) + arcsin (5/13) = arcsin
56
65 5
д)	arcsin (3/4) + arcctg (1/7) = (3/4);
е)	arcsin (3/5) - arcsin (4/5) = —arcsin (7/25).
3)	Вычислите без таблиц:
a) arctg 1 + arctg 2 + arctg 3; 6) arctg (1/3) +
+ arctg (1/5) + arctg (1/7) + arctg (1/8).
4)	Докажите:
a)	arccos (-x) = л - arccos x, x e [-1; 1];
6)	arctg (—x) = —arctg x, xe R; в) arcctg (-x) =
= л - arcctgx, xe R.
5)	Вычислите:
a) arcsin (sin (n/9)); 6) arccos (cos (2n/9));
в) arcsin (sin (4л/7)); r) arccos (cos (lln/9));
д) arctg (tg (10л/13)); e) arcctg (ctg 12).
6)	Постройте графики функций:
а) у = arccos (cos x); б) у = arctg (tg x);
в) у = arcctg (ctg x); г) у = arccos (sin x).
7)	Найдите область определения функций:
a) Дх) = л/1 - arcsin2х; б) f(x) = /arccos2х - 1;
в) f(x) = л/з/4 — arccos2х .
8)	Найдите область значений функции:
х2 — 2	2х2 — 1
a) /(х) = arccos 9	. ; б) /(х) = arcsin —.— ;
хг + 4	х + 2
в) f(x) = arcsin (2,5 - J9 - х2).
(ЕГЭ 2002 г.)
9)	Найдите множество значений функции:
а)	у = cos 2х; если х е [-arcsin 0,4; arccos 0,4];
б)	у = sin 2х, если х е [arctg 0,5; arctg 3];
в)	у = sin 2х, если х е [arctg 1/3; arctg 2].
(ЕГЭ 2002 г.)
(Ответы.
1) а) 4/5; б)-3/4; в) 2/3.3) а) л; б) л/4.
5) а) л/9; б) 2л/9; в) Зл/7; г) 7л/9; д) -3л/13;
е) 12 — 7л/2.
2.2. Обратные тригонометрические функции 1325
6) Рисунок 503.
Рис. 503
3261 Раздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
г	/Я
7)	a) [-sin 1; sin 1]; б) [-1; cos 1]; в) cos ; 1
I	Ci
8)	а) (0; 2л/3); б) [-л; л/2]; в) [-л/6; л/2].
9)	а) [-0,68; 1]; б) [0,6; 1]; в) [0,6; 1]).
 2.3. Решение простейших тригонометрических
уравнений
№ 1. sin х = а.
Рассмотрим все возможные случаи,
а) |а| > 1: решений нет.
б)	а = -1: sin х = -1,
х = -л/2 + 2nfe, k е Z (рис. 504).
в)	а = 1: sin х = 1,
х = л/2 + 2лй, k е Z (рис. 505).
г)	0 < а < 1 (рис. 506).
Множество решений уравнения можно записать
несколькими способами.
.	- х = arcsin а + 2лп, п е Z,
1	с п ос об:	.	, ’ , , ’
----------- х = л - arcsin а + 2л«, k е Z.
Здесь в первой строке указано все множество чи-
сел, соответствующих точке М (рис. 506), а во
второй строке — все множество чисел, соответст-
вующих точке К.
2.3. Решение простейших тригонометрических уравнений
Рис. 507
Рис. 506
2	способ: х = (-1)” • arcsin а + лп, п е Z.
д) -1 < а < 0 (рис. 507).
1 способ:
х = arcsin а + 2лп, п е Z,
х = л - arcsin а + 2nfe, k е Z.
2 способ: х = (-1)"arcsinа + лп, п е Z.
е) а = 0: sin х = 0,
х = nfe, fe 6 Z (рис. 508).
№ 2. cos х = а.
а) |а| > 1: решений нет.
б)а = —1: cosx = —1,
х = л + 2nfe, fee Z (рис. 509).
Рис. 508
в) а 1: cos х = 1,
Рис. 509
3281 Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
х = 2nk, k <= Z (рис. 510).
г) 0 < а < 1 (рис. 511).
Рис. 510
1 способ: |х
----------|х
arccos а + 2лп, n е Z,
-arccos а + 2nk, k е Z.
2 способ: х = ±arccos а + 2лп, п е Z.
д) —1 < а < 0 (рис. 512).
х = arccos а + 2лп, п е Z,
х = -arccos а + 2 л/г, k е Z.
2 способ: х = ±arccos а + 2лп, n е Z.
е) а = 0: cos х = 0 (рис. 513),
х = л/2 + nk, k е Z.
1 способ:
Рис. 512
Рис. 513
2.3. Решение простейших тригонометрических уравнений
№ 3. tg х = а (рис. 514).
а)	а = 0: х = лп, п е Z.
б)	а 0.
..	- Гх = arctg а + 2лп, п е Z,
----------- х = л + arctgа + 2лй, fee Z.
2 способ: х = arctg а + лп, п е Z.
№ 4. ctg х = а.
а)	а = 0: х = л/2 + лп, п е Z.
б)	а ?ь0.
,	- х = arcctg а + 2лп, п е Z,
1	с п ос о б:,	,	,	, , ,	„
----------- х = л + arcctg а + nfe, k е Z.
2	с п ос о б: х = arcctg а + лп, п е Z (рис. 515).
Рис. 515
3301 Раздел 111.2. Некоторые сведения из тригонометрии
 2.4. Таблица «опасных» формул
Известны различные типы и методы решения
тригонометрических уравнений. Они довольно об-
стоятельно рассматриваются в учебной и учебно-ме-
тодической литературе.
При решении тригонометрических уравнений,
неравенств и их систем мы рекомендуем использо-
вать единичную окружность, а при необходимости и
координатную прямую.
Находя область определения уравнения, же-
лательно исключить на единичной окружности
точки, соответствующие числам, которые не мо-
гут являться корнями данного уравнения.
Записать окончательный ответ наиболее раци-
ональным способом поможет также единичная ок-
ружность.
Решая уравнение, необходимо следить за сохра-
нением равносильности при переходе от одного урав-
нения к другому.
Также следует учитывать изменение области оп-
ределения уравнения, которая может меняться в ре-
зультате тождественных преобразований, возведе-
ния обеих частей уравнения в одну и ту же четную
степень, при применении тригонометрических тож-
деств и т. д.
При использовании одних тригонометрических
тождеств область определения уравнения может ос-
таться неизменной, а при других — может расши-
риться или сузиться.
Предлагаемая нами таблица «опасных» фор-
мул, как нам кажется, поможет решить вопрос о по-
тере или приобретении посторонних корней при
применении различных тригонометрических тож-
деств.
2.4, Таблица «опасных» формул
Таблица «опасных» формул1
Таблица 3
Область определения левой части тождества		Тождество	Область определения правой части тождества	
У		2	1 cos2 а	. tg2a + 1	У.	
	0 J х			0 J X
У		• 2	1 sin2а- , о , . ctg2a + 1	У	
	0 ) х			0 JX
У 4г		tg а • ctg а = 1	У>	
	0 Тх			0
У		1 tg а — , 6 ctg а	У	
				0 Тх
1 Предложенная вашему вниманию таблица разработана
учителем математики средней школы № 43 г. Воронежа
М. Н. Игольченко, за что авторы выражают ей свою при-
знательность.
3321 Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
Продолжение
Область определения левой части тождества	Тождество	Область определения правой части тождества
2.5. Решение простейших тригонометрических неравенств 1333
Окончание
Область определения левой части тождества		Тождество	Область определения правой части тождества	
У		ctg2a - 1 cos 2а - J о , . ctg2a + 1	У	
	0 ) х			0 Jx
У		, о	2tga tg 2а - х „ 1 - tg2a	У	
	0 J X			0 j х
У		1 - cos 2а tg а -	. о &	sin2a	У	
	0 ) х			0 Тх
а ± р * л/2 + + nfe, k е Z		tg (а ± 3) = _ tga + tgp 1 + tga • tgp	а ± 3 л/2 + + л/г, /г е Z, а^ л/2 + лп, и е Z, Р л/2 + лиг, т е Z	
 2.5. Решение простейших тригонометрических
неравенств
При решении простейших тригонометрических
неравенств будем пользоваться следующим алгорит-
мом.
3341 Раздел III.2, Некоторые сведения из тригонометрии
1.	На единичной окружности отмечаем дугу (не-
сколько дуг) так, что числа, соответствующие точ-
кам этой дуги, удовлетворяют неравенству. Дуга вы-
деляется цветом или штриховкой.
2.	Около одного из концов дуги записываем одно
из чисел, соответствующих этой точке.
3.	Рисуем стрелку, направленную к другому кон-
цу отмеченной дуги. Стрелка снабжается знаком
«+», если направление движения против часовой
стрелки, и знаком «-» — если по часовой стрелке.
4.	Записываем соответствующее число около вто-
рого конца дуги.
5.	Запись ответа (с учетом, что каждой точке еди-
ничной окружности соответствует бесчисленное
множество действительных чисел). Ответ можно за-
писывать в виде двойного неравенства или в виде
множества.
Если имеем две дуги, симметричные относитель-
но начала координат, то достаточно записать концы
одной из них, прибавив nk (fee Z) к каждому из чи-
сел, соответствующих концам.
№ 1. Решите неравенства.
a) sin х > 0 (рис. 516, а).
Ответ можно записать в виде неравенства или
интервала.
Ответ. 2лп < х < п + 2лп, или (2лп; л + 2лп),
где n е Z.
б) sin х < 0 (рис. 516, б).
Ответ, -л + 2лп < х < 2лп, или
(-л + 2лп; 2лп), не Z.
Рис. 516
2.5. Решение простейших тригонометрических неровенств 1335
в)	cos X > 0 (рис. 517).
Ответ, -л/2 + 2лй < х < л/2 + 2лй, или
(-л/2 + 2лй; л/2 + 2nfe), fee Z.
г)	cos х < 0 (рис. 518).
Ответ, л/2 + 2лй < х < Зл/2 + 2лй, или
(л/2 + 2лй; Зл/2 + 2л/г), fee Z.
д)	tg х > 0 (ctg х > 0) (рис. 519).
Ответ, пт <х < л/2 + пт, или (пт; п/2 + пт),
те Z.
е)	tg х < 0 (ctg х < 0) (рис. 520).
Ответ, л/2 + пт <х <п + пт, или
(л/2 + пт; п + пт), те Z.
№ 2. Решите неравенства.
a)	sin х > 1/2 (рис. 521).
Ответ, (л/6 + 2лп; 5л/6 + 2пп), где ne Z.
336 I Раздел 111,2. Некоторые сведения из тригонометрии
б)	sin х < - 72 /2 (рис. 522).
Ответ. (-Зл/4 + 2лп; -л/4 + 2лп), где п е Z.
в)	sin х > - Уз /2 (рис. 523).
Ответ, (-л/3 + 2лп; 4л/3 + 2лп), где n е Z.
г) cos х > 1/2 (рис. 524).
Ответ, (-л/3 + 2лп; л/3 + 2лп), где пе Z.
д) cos х < Уз /2 (рис. 525).
Ответ, (л/6 + 2лп; 11л/6 + 2лп), где пе Z,
2.5. Решение простейших тригонометрических неровенств 1337
Ответ. (-2л/3 + 2лп; 2л/3 + 2лп), где n е Z.
ж) sin х < л/2 /2 (рис. 527).
Ответ, х е [-5я/4 + 2яп; я/4 + 2яп], где n е Z.
з)	sin х > 1/3 (рис. 528).
Ответ, (arcsin (1/3) + 2дп; я - arcsin (1/3) +
+ 2яп), ne Z.
338 I Роздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
и)	sin х < -1/3 (рис. 529).
Ответ, (-л + arcsin 1/3 + 2nn; -arcsin 1/3 +
+ 2лп), где n е Z.
к)	cos х <-^2/2 (рис. 530).
Рис. 529	Рис. 530
Ответ. (Зл/4 + 2дп; 5л/4 + 2лп), где n е Z.
л)	cos х > 1/4 (рис. 531).
Ответ, (-arccos (1/4) + 2лй; arccos (1/4) + 2nk),
где k е Z.
Ответ, хе (л - arccos (1/4) + 2nk,
л + arccos (1/4) + 2лй), где fee Z.
2.5. Решение простейших тригонометрических неравенств 1339
н) tg X > 1 (рис. 533).
Ответ, х е (л/4 + nt; л/2 + nt), где t е Z.
о) tg х > -1 (рис. 534).
Рис. 533
Рис. 534
Ответ, (-л/4 + nt; л/2 + nt), где tе Z.
и) tg х < л/3 (рис. 535).
Ответ, (-л/2 + nt; л/3 + nt), где t е Z.
р) tg х > -7з /3 (рис. 536).
Рис. 535
Рис. 536
Ответ  (-л/6 + nt; л/2 + nt), где tе Z.
3401 Раздел ||L2. Некоторые сведения из тригонометрии
с) tg X < -л/3 (рис. 537).
Ответ, (-л/2 + nt; -л/3 + nt), где t е Z.
т) ctg х > 1 (рис. 538).
Отв ст. (nt; л/4 + nt), где t е Z.
у) ctg х > -1 (рис. 539).
Отв е т. (nt; Зл/4 + nt), где t е Z.
ф) ctg х < 7з (рис. 540).
От вет. (л/6 + nt; л + nt), где t е Z.
х) ctg х < -7з /3 (рис. 541).
2.5. Решение простейших тригонометрических неравенств 1341
Ответ. (2л/3 + nfe; л + nfe), где fee Z.
№ 3. Решите неравенство sin(x + л/3) > 1/2.
Решение.
Обозначим х + л/3 = t. Получим неравенство
sin t > 1/2 (рис. 542).
л/6 + 2nfe < t < 5л/6 + 2nfe, где fee Z,
л/6 + 2nfe < х + л/3 < 5л/6 + 2nfe, где fee Z,
-л/6 + 2nfe < х < л/2 + 2nfe, где fee Z.
Ответ, (-л/6 + 2nfe; л/2 + 2nfe), гдеfee Z.
№ 4. Решите неравенство cos Зх -1/3.
Решение.
Пусть Зх = t. Решаем неравенство cos t < -1/3
(рис. 543).
2лп + л - arccos (1/3) t < л + arccos (1/3) + 2лп,
не Z.
2лп/3 + л/3 - (l/3)arccos (1/3) < х < л/3 +
+ (l/3)arccos (1/3) + 2лп/3, не Z.
Ответ, [л/3 -(l/3)arccos (1/3) + 2лп/3; л/3 +
+ (l/3)arccos (1/3) + 2лп/3], n е Z.
№ 5. Решите неравенство sin (л/6 - Зх) > 2/5.
Решение.
Учитывая нечетность функции у = sin t, решаем
неравенство, равносильное данному:
sin(3x - л/6) < -2/5.
3421 Раздел 111,2. Некоторые сведения из тригонометрии
Пусть Зх - л/6 = t; sin г < -2/6 (рис. 544).
Рис. 544
arcsin (2/5) - л + 2лп < t < -arcsin (2/5) + 2лп, n е Z,
arcsin (2/5) - л + 2лп < Зх - л/6 < -arcsin (2/5) +
+ 2лп, ne Z,
(l/3)arcsin (2/5) - 5л/18 +
+ 2лп/3 < х < (-l/3)arcsin (2/5) + л/18 + 2лп/3,
n е Z.
Ответ. ((l/3)arcsin(2/5) - 5л/18 + 2лп/3;
-(l/3)arcsin (2/5) + л/18 + 2лп/3), n е Z.
№ в. Решите систему неравенств < 1/4^’
Решение (рис.545).
Ответ, [-л/6 + 2лп; arcsin (1/4) + 2лп) и
м (л - arcsin (1/4) + 2лй; 7л/6 + 2лй], й, n е Z.
2.5. Решение простейших тригонометрических неравенств 1343
№ 7. Решите неравенство sin х • (cos х + 1/2) > 0.
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
sin х > 0,
[cos х > -1/2 (рис. 546);
[sin х < 0,
[cos х < -1/2 (рис. 547).
Ответ. (2лп; 2л/3 + 2лп) и (л + 2nk; 4л/3 + 2nk),
k, пе Z.
№ 8. Решите неравенство
(cos х - J~2 /2)(2sin х - 7з) > 0.
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем:
[cos х >72/2,	(1)
[ sin х > Тз/2,
[cos х < 72 /2,	(2)
[sin х ТЗ/2.
Система (1) решений не имеет (рис. 548).
344 I Раздел III.2. Некоторые сведения из тригонометрии
Решение системы (2) — на рисунке 549.
Ответ, [л/4 + 2лп; л/3 + 2лп]и
и [2л/3 + 2лй; 7л/4 + 2лй], k, n е Z.
№ 9. Решите неравенство 2sin2 х - 5sin х + 2 > 0.
Решение.
Пусть t = sin х, тогда имеем
|2t2-5t + 2>0,	(1)
(2)
Найдем корни квадратного трехчлена 2t2 - 5t + 2:
= 1/2; t2 = 2.
Решение неравенства (1) показано на оси (1) ри-
сунка 550, решение неравенства (2) — на оси (2).
-l^t^ 1/2.
Решаем неравенство sin х < 1/2 (рис. 551).
Ответ. [-7л/6 + 2лй; л/6 + 2лй], где fee Z.
2.5. Решение простейших тригонометрических неравенств 1345
п Метод «лепестков» в решении
™ тригонометрических уравнений
и неравенств
Приведем примеры решения некоторых более
сложных тригонометрических уравнений и нера-
венств.
№ 1. Решите уравнение cos Зх + sin 2х - sin 4х = 0.
Решение.
ООУ: х е R.
cos Зх - 2cos Зх sin х = 0,
cos Зх(1 - 2sin х) = 0,
cos3x = 0, Гх = л/6 + лй/З, k е Z, С\
sin х = 1/2; х = (-1)пл/6 + ян, не Z^ (рис. 552).
Ответ, л/6 + лй/З, fee Z.
№ 2. Решите уравнение 1/sin х = 1/sin 2х.
Решение.
ООУ: х^лп/2, neZ.
Репщм уравнение sin 2х = sin х:
sin х (2cos х - 1) = 0,
sin х = 0,
cos х = 1/2.
х = пт, ие Z,
х = ±л/3 + 2nZ, I е Z (рис. 553).
Рис. 553
Ответ. ±л/3 + 2nZ, I е Z.
3461Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
№ 3. Решите уравнение —у*—------------л/3 /2.
л/3 - 2sin2x
Решение.
ООУ: sin 2х 73 /2,
(2хфл/3 + 2л/г, fee Z,	fx * л/6 + л/г, fee Z,
[2х 2л/3 + 2лп, n е Z;	lx л/3 + лп, п е Z.
Данное уравнение приводится к уравнению-след-
ствию 2(cos х - л/3 sin х)2 = 3 - 2 73 sin 2х.
Решаем его.
2(cos2 х - 2 73 cos х sin х +
+ 3sin2 х) = 3 - 2 л/3 sin 2х,
2cos2 х + 6sin 2 х - 3sin2 х -
- 3cos2 х = О,
3sin2 х - cos2 x = О,
4sin 2 X - 1 = О,
Fsin x = 1/2,
sin x = -1/2;
x = (-l)fen/6 + л/г, fe e Z,
x = (-1)” + xn/6 + лп, n e Z^
(рис. 554).
О т в е т. -л/6 + лиг, т е Z.
№ 4. Найдите все решения уравнения
sin6x
sinx + cosx
cos6x
cosx - sinx
принадлежащие интервалу (0; л/2).
Решение.
Учитывая область определения данного уравне-
ния, надо найти все его решения, принадлежащие
множеству (0; л/4) и (л/4; л/2).
Освободимся от знаменателей в данном уравне-
нии.
sin 6х cos х - sin 6х sin х = sin х cos 6х + cos х cos 6х,
sin 5х = cos 5х,
3. Метод «лепестков» в решении 1347
tg 5х = 1;
х = л/20 + лй/5, k е Z Са
(рис. 555).
Ответ, {л/20; 9л/20}.
№ 5. Решите уравнение
cos2x + sin4x _
cos6x
Решение.
ООУ: х ф л/12 + nfe/6, k е Z.
Отмечать недопустимые точки на единичной ок-
ружности легче, перейдя к градусной мере угла:
х 15° + 30°fe, fee Z.
Освободимся в данном уравнении от знаменателя:
cos 2х - cos 6х + sin 4х = О
2sin 4х sin 2х + sin 4х = О,
sin 4х (2sin 2х + 1) = О,
sin 4х = О,
sin 2х = —1/2;
х = лп/4, не Z,
2х = -л/6 + 2nm, т е Z,
,2х = -5л/6 + 2nfe, fee Z;
х = лп/4, не Z,
х = -л/12 + лиг, т е
х = -5л/12 + nfe, fe е
(рис. 556).
Ответ, nt/2, t е Z.
Z,
Z
№ в. Решите уравнение
(1 + sin х + cos х + sin 2x + cos 2x)/tg 2x = 0.
Решение.
ООУ:
2x ф л/2 + nfe, fe e Z,
2x nn, ne Z,
x Ф л/4 + nfe/2, fee Z,
x nn/2, n e Z;
x ф лпг/4, m e Z.
(1 + sin2x) + (sin x + cos x) + cos 2x = 0,
(sin x + cos x)2 + (sin x + cos x) + (cos2 x - sin2 x) = 0,
3481 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
(sin х + cos x)(sin х + cos х + 1 + cos х - sin х) — О,
sin х + cos х = О, Г tg х = -1,
cosx-----1/2;	[ cos x = -1/2;
Гх = -JC/4 + nt, t e Z, C\
[x = ±2n/3 + 2nl, I e Z % (рис. 557).
Ответ. ±2л/3 + 2nl, leZ.
№ 7. Решите уравнение 3/cos2 x + 1 = 7sin x/|cos x|.
Реше н ие.
ООУ: x jr/2 + nk, k e Z (рис. 558).
Учитывая, что левая часть уравнения принимает
положительные значения, корни уравнения (ес-
ли они есть) должны удовлетворять условию
sin х > 0. Данное уравнение равносильно тогда
совокупности систем:
(cos х > 0,
sin х > 0,
I 3	„ 7slnx
---5— + 1 —-----;
I coszx cosx
Г COS X < 0,
I sin x > 0,
3	, 7sinx
; cos2x	cosx
f 2nn < x < n/2 + 2nn, neZ (рис. 559);
(4cos2 x + 3sin2 x - 7sin x cos x = 0;
(n/2 + 2nk <x <n + 2nk, fee Z(рис. 560);
[4cos2 x + 3 sin 2 x + 7sin x cos x = 0;
3. Метод «лепестков» урешении 1349
2лп < х < л/2 + 2лп, п е Z,
tgx = 4/3Q^
tgx = l,W (рис. 561),
[л/2 + 2лй < х < л + 2лй, k е Z,
< [tgx = -4/3Q^
[|.tgx = -l,^ (рис. 562),
Рис. 561	Рис. 562
Изобразим точки А, В, С, D на одной окружности
и запишем соответствующие им числа (рис. 563).
Ответ. (~l)fcn/4 + лй, k е Z (точки А и Z>);
(-l)narctg (4/3) + лп, не Z (точки С и В).
3501 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
№ 8. Решите уравнение
| 2cosx - 11 . „	. „
sin х -	-------г- sin2 х = sin2 х.
2 cos х --- 1
Решение.
ООУ: х ф ±л/3 + 2лй, k е Z (рис. 564).
Данное уравнение сводится к совокупности сис-
тем:
Jcos х > 1/2,
[sin х - sin2 х = sin2 х,
Jcos х < 1/2,
[sin x + sin2 x = sin2 x;
Jcos x > 1/2,
Hsinx = 0, C\
[sin x = 1/2^ (рис. 565),
Jcos x < 1/2,
Jsin x = 0 (рис. 566).
Рис. 565
Рис. 566
3. Метод «лепестков» в решении
Ответ, кп, n е Z,
л/6 + 2nm, т е Z.
№ 9. Решите уравнение 2lx ~ 2lsi“ х = (л/2 )xlsin XL
Решение.
ООУ: х е R.
Данное уравнение равносильно такому:
\х - 2|sm х = -х |sm х\.
&
Рассмотрим ряд возможных случаев.
1) sin х = 0; х = ян, n е Z — решения данного
уравнения.
[sin х > 0,	[sin х > 0,
1 |2|х - 2|sin х = X' sin х, [2|х-2| = х.
Раскроем модуль. Получим совокупность систем:
Tsin х > 0,
jx > 2,
х = 4 (рис. 567),
[х = 4/3,
< 0 < х < 2,
^sin х > 0 (рис. 568).
Рис. 567	Рис. 568
Первая система решений не имеет. Решением вто-
рой системы является число х = 4/3.
f .	„	[ sin х < 0,	[ sin х < О,
3>WX2l-x	Х<=°’
1Z|X х» [-2x + 4 = -x, |x = 4.
352 I Раздел 111,3, Метод «лепестков» в решении
Система решений не имеет.
Ответ, лп, не Z; 4/3.
ЧЛ т»	cosx  I
№ 10. Решите уравнение |cQg^| = sin х + cos х.
Решение.
ООУ: х *. л/2 + nfe, fee Z (рис. 569).
Рис. 569
Уравнение равносильно совокупности двух сис-
тем:
cos х > 0,
sin х + cos х = 1,
cos х < 0,
sin х + cos x = -1;
cos x > 0,
sin (x + л/4) = 72 /2,
cos x < 0,
sin (x + n/4) = - 72 /2.
cos x > 0,
x + л/4 = n/4 + 2nn, n e Z,
x + л/4 = Зл/4 + 2л/г, k e Z,
cos x < 0,
x + л/4 = -n/4 + 2nm, m e Z,
x + л/4 = -Зл/4 + 2nZ, Ze Z;
cos x > 0,
x = 2nn, n e Z,C\
x = л/2 +2nfe, fee Z (рис. 570),
cos x < 0,
x = -л + 2nZ, Z e Z,Q^
x = -n/2 + 2nm, m e Z W (рис. 571).
3. Метод «лепестков» в решении 1353
Ответ, лп, не Z.
Рис. 571
№11. Решите уравнение 7~15cosx + 2sin х = 0.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе
fsinx < 0,
l-15cos х = 4sin2 х.	ц.
Решаем ее:
sin х < 0,
4cos2 х - 15cos х - 4 = 0.
4cos2 х - 15cos x - 4 = 0.
cos x = -1/4,
cos x = 4.
Уравнение cos x = 4 не
имеет решений.
Рис. 572
sin x < 0,
cosx = -1/4Q^ (рис. 572).
Ответ, arccos (1/4) - л + 2лп, не Z.
№ 12. На отрезке [-л/2; л/2] найдите все значения х,
удовлетворяющие уравнению
73 sin х - cos х = л/2 - cos2x - T3sin2x .
3541 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
Р е ш е н и е.
Решаем систему
л/3 sin х - cos х > О,
’ (л/3 sin х - cos х)2 = 2 - cos 2х - 73 sin 2х,
-л/2 < х < л/2.
’7з .	1	. _
~Л~ sin X - X COS X > О,
3sin2 х - 2 7з sin х cos х + cos2 х =
= 2 - cos 2х - 7з sin 2х,
| -л/2 < х < л/2.
jsin (х - л/6) > О,
-	л/2 < х < л/2;
2лй < х - л/6 < л + 2лй, k е Z,
-	л/2 < х < л/2;
л/6 + 2лй < х < 7л/6 + 2nk, fee Z,
-	л/2 х < л/2 (рис. 573).
Ответ, [л/6; л/2].
-л/2	л/2	1	3
____________________________НШЖ5 ....... "»
л/6	7л/6 х
-л/2	л/2 Зл/2 5л/2х
Рис. 573
Рис. 574
№13. Решите неравенство
л/4х - х2 - з (7з cos х - 71 + cos2x) > 0.
Решение.
ООН: 4х - х2 - 3 > 0, х2 - 4х + 3 < 0, х е [1; 3].
Заметим, что х = 1 и х = 3 — решения данного не-
равенства. Осталось найти решения неравенства
7з cos х - 71 + cos2x > 0, принадлежащие интер-
валу (1; 3).
Неравенство 71 + cos2x С ТЗсоз х равносильно
системе
3. Метод «лепестков» в решении 1355
[cos х > 0, 11 + cos 2х	[cos х > 0, 3cos2 х;	[3cosa х - 2cos2 х > 0;
J cos х 0, [cos2 х 0; Ответ. [1;	cos х > 0 (рис. 574). л/2]и{3}.
№ 14. Решите уравнение
2sin (Зх + л/4) = 71 + 8sin2xcos22x .
Решение.
Данное уравнение равносильно следующей систе-
ме:
[sin (Зх + л/4) >0,
[4sin2 (Зх + л/4) = 1 + 8sin 2х cos2 2х.
Решаем ее.
[sin (Зх + л/4) > 0,
12 - 2cos (6х + л/2) = 1 + 4sin 4х cos 2х;
I sin (Зх + л/4) > 0,
[ 1 + 2sin 6х = 2(sin 6х + sin 2х);
| sin (Зх + л/4) > 0,
[sin 2х = 1/2;
sin (Зх + л/4) 0,
< Гх = л/12 + nfe, fee Z,
[х = 5л/12 + лп, n е (рис. 575).
Решим неравенство системы:
2лт < Зх + л/4 < л + 2лт, т е Z,
-л/12 + 2лт/3 < х < л/4 + 2лт/3, т е Z.
356 I Раздел 111,3. Метод «лепестков» в решении
С помощью единичной окружности выберем те ре-
шения уравнения системы, которые удовлетворяют
неравенству sin (Зх + л/4)0.
Ответ, л/12 + 2лй, fee Z;
17л/12 + 2лп, пе Z.
№ 15. Решите уравнение
|log1/3 (1 + sin 2х)| + |log1/3 (1 - sin 2х)| = 1.
Реш е н не.
QQy fsin 2x^-1, ]х -л/4 + л/г, k е Z,
’[sin 2x^1; [х л/4 + лп, п е Z,
х л/4 + лп/2, п е Z (рис. 576).
Учтем, что |sin 2х| < 1 (рис. 577).
Уравнение равносильно совокупности систем:
(-1 < sin 2х < 0,
[log1/3 (1 + sin 2х) - log1/3 (1 - sin 2х) = 1,
10 < sin 2х < 1,
Д—log1/3 (1 + sin 2х) + log1/3 (1 - sin 2x) = 1;
—1 < sin 2x < 0,
(1 + sin 2x)/(l - sin 2x) == 1/3,
 0 < sin 2x < 1,
.(1 - sin 2x)/(l + sin 2x) = 1/3;
3. Метод «лепестков» в решении 1357
(-1 < sin 2х < О,
sin2x = -l/2,	sin2x = -l/2,
О < sin 2х < 1,	[sin2x=l/2;
[sin 2х = 1/2;
2х = -п/6 + 2nk, k е Z,
2х = -5л/6 + 2лп, не Z,
2х = л/6 + 2л т, т е Z,
l 2х ~ 5л/6 + 2nt, t е Z;
Гх = ±5л/12 + лп, n е Z,Q^
\х = ±л/12 + nk, k е Z (рис. 578).
Ответ. ±л/12 + nk/2, k е Z.
№ 16. Решите уравнение
log(x - х2) <sin х + cos = 1о^(х - х2) U + sin 2х>-
Решение.
Найдем область определения уравнения, решив
систему.
sin х + cos х > О,
< х - х2 > 0,	[ sin (х + л/4) > О,
х-х2^1;	[х(1-х)>0.
2лп <х + л/4<л + 2лп, не Z,
-л/4 + 2лп < х < Зл/4 + 2лп, n е Z.
Решением неравенства х(1 - х) > 0 является ин-
тервал (0; 1). Покажем на окружности (рис. 579).
Итак, х е (0; 1).
Данное уравнение сводится в области определе-
ния к равносильному:
sin х + cos х = 1 + sin 2х,
sin х + cos x = (sin x + cos x)2,
(sin x + cos x)(sin x + cos x - 1) = 0,
[sin x + cos x = 1,
Lsin x + cos x = 0.
Уравнение sin x + cos x = 0 не имеет решений в об-
ласти определения исходного уравнения. Решаем
другое уравнение совокупности:
sin (х + л/4) = J2 /2;
3581 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
х + л/4 = л/4 + 2лй, fee Z,
х + л/4 = Зл/4 + 2лт, т е Z;
х ~ 2лй, k е Z,Qi
х = л/2 + 2ли, me Z% (рис. 579).
Видим, что полученные решения уравнения sin х +
+ cos х = 1 не входят в область определения данно-
го уравнения.
Ответ. Решений нет.
№ 17. Найдите все решения уравнения
1 - 5sin х + 2cos2 х = 0, удовлетворяющие нера-
венству cos х > 0.
Решение.
1 - 5sin х + 2 - 2sin2 х = 0,
2sin2 х + 5sin х - 3 = 0.
Обозначим sin х = t, |t| < 1,
2t2 + 5t - 3 = 0,
=-3, t2= 1/2.
|—3| > 1, T.e. подходит только t2: sin x = 1/2,
x = (-l)liit/6 + nfe, fee Z C\ (рис. 580).
Ответ, л/6 + 2nfe, fee Z.
№ 18. Найдите все корни уравнения
coslOx - cos8x cos6x - cos4x
"'2х2 + лх-л*. = 2х2 + лх-л2 ’ припадаю-
щие интервалу (0; л).
3. Метод «лепестков» в решении 1359
Решение.
Решим систему
1х*-л, х * л/2,
[sin 9х sin х = sin 5х sin х.
Учтем, что х е (0; л) (рис. 581).
х е (0; л/2) и ( л/2; л),
sin x(sin 9х - sin 5х) = 0,
sin х = 0,
cos х = 0,
cos 7х = 0;
2х2 + лх - л2 * О,
cos 10х - cos 8х = cos 6х - cos 4х.
О л/2 к
Рис. 581
Z,
sin х = 0,
sin 2х = 0,
cos 7х = 0;
х = лп, п е
х = л/2 + nfe, k е Z,
х = л/14 + лиг/7, тп е. Z.
Выберем значения х е (0; л/2) и (л/2; л).
Ответ, {л/14; Зл/14; 5л/14; 9л/14; 11л/14; 13л/14}.
Кв 19. Решите уравнение 3tg2 х - 8cos2 х + 1 = 0.
Решение.
ООУ: х Ф л/2 + л/г, /г е Z.
Умножим обе части уравнения на cos2 х:
3sin2 х - 8cos4 х + cos2 х = 0,
3(1 - cos2 х) - 8cos4 х + cos2 x = 0,
8cos4 x + 2cos2 x - 3 = 0.
Обозначим cos2 x = t, 0 < t < 1:
8t2 + 2t - 3 = 0, ti = 1/2; t2 = -3/4;
-3/4 < 0; подходит только t\’. cos2 x = 1/2,
cos x = J2 /2,
cos x = - 72 /2,
x = ±л/4 + 2л/г, k e Z,
x = ±3n/4 + 2nn, n e Z,W
x = л/4 + лп/2, n& Z (рис. 582).
Ответ, л/4 + лп/2, п е Z.
3601 Раздел III.3 Метод «лепестков» в решении 
№ 20. Найдите корни уравнения
sin х + 8cos 2х + cos 4х + sin 5х + 1 = 0, принадле-
жащие области определения функции
у = tg х + 1g (л2 + 4лх - 5х2).
Решение.
Найдем область определения функции:
[л2 + 4лх - 5х2 > 0,
!х*л/2+лп, не Z,	-»Z///ZZZ^ZZZZZ^
,5х2 - 4лх - л2 < 0,	- л/s л/2 п х
\х л/2 + лп, не Z,
[-л/5<х<л,	Рис. 583
1х ф л/2 + лп, не Z.
х е (-л/5; л/2) и (л/2; л) (рис. 583).
Теперь решаем уравнение:
sin х + 8cos 2х + cos 4х + sin 5х + 1 = 0,
2sin Зх cos 2х + 8cos 2х + 2cos2 2х = 0,
cos 2х • (sin Зх + cos 2х + 4) = 0,
|cos 2х = 0,
tsin Зх + cos 2х + 4 = 0.
Второе уравнение совокупности решений не име-
ет. Остается решить уравнение cos 2х = 0:
х = л/4 + nk/2, fee Z.
Выберем решения, входящие в область определе-
ния функции (рис. 584).
...______... .......................... .. 
-л/5 л/4 я/2 Зл/4 л	х
Рис. 584
Ответ, {л/4; Зл/4}.
№ 21. Решите уравнение sin (5х/4) + cos х = 2.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе
sin (5х/4) = 1,	j5x/4 = л/2 + 2лп, n е Z,
^cosx=l.	tx = 2itk, k e Z.
3. Метод «лепестков» в решении 1361
|х/4 = 71/10 + 2тго/5, п е Z,
•х/4 = Ttk/2, ke Z.
[t = 18“+ 72 о, ne Z,4
|t= 907г, fee ZC\ (рис. 585).
Пусть х/4 = t.
t = 7t/2 + 27toi, m e Z,
x/4 = 7t/2 + 27tm, m e Z,
x = 2tc + 87tm, oie Z.
Ответ. 271 + 87toi, oi e Z.
Рис. 585
Рис. 586
№ 22. Решите уравнение cos 2х + cos (6х/5) = -2.
Решение.
,,	cos2x = -l,
Уравнение равносильно системе-(бх/5) — 1
2х = 71 + 2тгй, k g Z,	|х = 71/2 + itk, fee Z,
6х/5 = 71 + 27tn, о g Z;	\х = 5тг/6 + 5тго/3, о g Z;
х/5 = 71/10 + тгй/5, k g Z,
х/5 = 7t/6 + 7tn/3, о g Z. Пусть х/5 = t.
lt= 71/10 + nk/5, k G Z,^
\t = 7t/6 + 710/3, О G Z (рис. 586).
18° +367г, fee Z,
L t = 30° + 60°n, n e Z. t = 7t/2 + 7toi, m e Z,
x/5 = 7t/2 + 7toi, m e Z,
x = 57t/2 + 57toi, m e Z.
Отв e т. 57t/2 + 57toi, m g Z.
3621 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
№ 23. Найдите все решения данного уравнения
2 + cos (Зх/2) + 73 sin (Зх/2) = 4sin2 (х/4),
удовлетворяющие неравенству sin (х/2 + л/4) > 0.
Решение.
Данное уравнение сводится к равносильному
. , ( 1	3	л/3 . 3 Ч . 2 х
1 + X COS К х + -X- Sln 9 х I = 2з1П2 -г .
1 + cos (Зх/2 - л/3) = 1 - cos (х/2),
cos (Зх/2 - л/3) + cos (х/2) = 0,
2cos (х - л/6) cos (х/2 - л/6) = 0,
cos (х - л/6) = 0,	Гх = 2л/3 + лй, k е Z,
cos (х/2 - л/6) = 0;	[х = 4л/3 + 2лп, п е Z.
Решаем неравенство sin (х/2 + л/4) > 0.
Пусть х/2 = t: sin (t + л/4) > 0,
2лт < t + л/4 < л + 2лш, me Z,
-л/4 + 2лт < t < Зл/4 + 2лт, т е Z.
Отложим на единичной окружности точки, соот-
ветствующие сериям решений уравнения, перей-
дя к переменной t.
17 = л/3 + лй/2, й е Z, 0^
t = 2л/3 + лп, п е Z (рис. 587).
Запишем решения, удовлетворяющие условию
задачи:
t = л/3 + 2л/, I е Z,
t = 2л/3 + 2лз, s е Z,
t = 11л/6 + 2лд, q е Z,
х — 2л/3 + 4л/, I е Z,
х = 4л/3 + 4лз, s е Z,
\_х = 11л/3 + 4лд, q е Z
Рис. 587
Рис. 588
3. Метод «лепестков» в решении
Ответ. 2л/3 + 4л/, I е Z; 4л/3 + 4its, s е Z;
1171/3 + 4л</, q е Z.
№ 24. Найдите все решения уравнения
2 + cos (Зх/2) + sin (Зх/2) = 4sin2 (х/2), удовлетво-
ряющие неравенству sin (х/2 + л/4) > 0.
Решение.
Сначала решим уравнение, разделив обе его части
на 2.
1 । 1	3	। л/3 .	3	„ . , X
1 + - cos - х + — sin - х = 2sin2 - .
л л	л
1 + cos (Зх/2 - л/3) = 1 - cos х,
cos (Зх/2 - л/3) + cos х = 0,
cos(5х/4 - л/6)cos(х/4 - л/6) = 0,
cos (5х/4 - л/6) = 0, 5х/4 = л/6 + л/2 + лй, fee Z,
cos (х/4 - л/6) = 0;	х/4 = л/6 + л/2 + лп, ne Z;
х/4=2л/15+лй/5, fee Z,
х/4 = 2л/3 + лп, п е Z. Пусть х/4 = t.
Z=24° + 36°fe, fee Z, C\
t = 120° + 180°n, ne Z (рис. 588).
Теперь решаем неравенство sin (x/2 + л/4) > 0, пе-
рейдя к переменной t:
sin (2t + л/4) > 0, 2лш < 2t + л/4 < л + 2лш, т g Z,
-л/8 + лт < t < Зл/8 + ли, т g Z,
-22,5° + 180°ш < t < 67,5° + 180°m, me Z.
t = 2л/15 + лй, fe g Z,
t = -л/15 + лп, п g Z,
t = л/3 + лт, те Z.
Ответ. 8л/15 + 4лй, fe е Z; -4л/15 + 4лп, ne Z;
4л/3 + 4лт, me Z.
Упражнения для самостоятельного решения
1)	Решите уравнение
a/5cosx - cos(2x) + 2sin х = 0.
2)	Решите неравенство S^n х—---------- > 0.
73 - (sinx + cosx)
3641 Раздел 111.3. Метод «лепестков» в решении
3)	Найдите все значения х, удовлетворяющие ус-
ловию л/2 < |3х - 2л| п и являющиеся реше-
ниями уравнения
sin х + cos х - cos (2х) = cos (Зх) - sin (2х) - 1.
4)	Решите уравнение cos 2х + cos 6х = |cos 4х|.
5)	При каких значениях х значения выражений
sin х; 0,57tgx + ctgx; cos х составляют арифме-
тическую прогрессию?
6)	Решите уравнение
(sin х + 7з cos x)sin (Зх) = 2.
7)	Решите уравнение 2tg х + tg (2х) = tg (4х).
8)	Решите уравнение
sin (2х) - 2cos (2x)cos х = 4cos х.
9)	Решите уравнение
4/(cos2 х) + 1 = 9sin x/|cos х|.
10)	Найдите все значения х, удовлетворяющие
уравнению (sin х + cos х)2 = 2cos (л/4 - х) и ле-
жащие на отрезке [-л/4; л].
11)	Решите уравнение
sin х + 7з cos х = 70,5 + соз(л/6 - х).
12)	Решите уравнение V12 sin х = 7sin(2x).
13)	Найдите область определения функции
736 - х2 • log3(x2 + 2х - 8)
2sinx - 1
14)	Найдите корни уравнения
72 sin (Зх) - cos2 х - 72 cos х + cos 71 cos х = 0,
Л
принадлежащие области определения функции
у = 4tg (2х) + 1g (2л2 - 5лх - 8х2).
15)	Найдите корни уравнения tg(x/5)(T3 cos2(x/2)-
- 72 sin х cos x - 73 sin2 (x/2)) = 0, удовлетво-
ряющие приведенному неравенству
lg2 (2х - л) + 1g2 (8л - х) > 0.
4,1, Простейшие тригонометрические уравнения
ЕЯ Основные приемы решения
тригонометрических уравнений
и неравенств с параметром
 4.1. Простейшие тригонометрические уравнени
с параметром и к ним сводимые
№ 1. Решите уравнение sin х = а - 1.
Решение.
ООУ:
ае R,
е R.
При решении данного уравнения учтем область
значений функции у = sin х: у е [-1; 1].
Договоримся частные решения данного уравне-
ния, когда а — 1 = О, а — 1 = 1, а—1 = -1, выделять
особо.
1)	Пусть а - 1 = 0, т. е. а = 1. Тогда решаем урав-
нение sin х = 0; хт = лп, пе Z. (Гр
2)	а - 1 = -1, а = 0. Имеем sin х = -1:
х2 = -л/2 + 2лк, ke Z. (Гр
3)	а - 1 = 1, а = 2. Решаем уравнение sin х = 1:
х3 = л/2 + 2лт, те Z. (кГ)
4) Пусть |а - 1| > 1:
а —1>1,
а - 1 < -1,
а > 2,	.—
, п (►£
а < 0.
Тогда уравнение sin х = а - 1 решений не
имеет.
5) Пусть а е (0; 1) и (1; 2). В этом случае |а - 1| < 1:
х4 = (-l)z arcsin (а - 1) + л1,1 е Z. (нГ)
Заполняем ось ответа (рис. 589).
Рис. 589
(ось ответа)
3661 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Ответ. 1) Если а = 0, то х = -л/2 + 2лй, k е Z.
2)	Если а = 1, то х = пп, пе Z.
3)	Если а = 2, то х = л/2 + 2лт, т е Z.
4)	Если а е (0; 1) и (1; 2), то
х = (- 1) zarcsin (а - 1) + л/, I е Z.
5)	Если а е (~°°; 0) и (2; +°°), то решений
нет.
№ 2. Решите уравнение cos х = Ь + 3.
Решение.
ООУ:
Ъ е R,
х е R.
1)	Пусть Ъ + 3 = 0, т. е. Ъ = -3:
cos х = 0, х1 = л/2 + лй, keZ. (ГТ)
2)	Ъ + 3 = -1, Ь = -4: cosx = -l,
х2 = л + 2лп, п е Z. (ГТ)
3)	& + 3 = 1, & = -2: cos х = 1, х3 = 2лт, т е Z. (Гз
4)	lf + 3|>l:[^|(h.
Ь > -2, ,__ч
.	/ (м)
Ъ < -4.
Данное уравнение решений не имеет.
5) Ъ е (-4; -3) и (-3; -2).
Тогда х4 = ±arccos (b + 3) + 2л/, I е Z. (ГТ)
Ответ списывается с заполненной оси ответа (рис.
590).
№ 3. Решите уравнение tg х = 2а + 1.
Решение.
ООУ: Jа G R’
' [х Ф л/2 + лй, k е Z.
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения
Рассмотрим два случая.
1) а = -1/2: tg х = 0, хт = Tin, п& Z.
2) а Ф -1/2: х2 = arctg (2а + 1) + лй, k е Z.
Ответ списывается с оси ответа (рис. 591).
-1/2
а
(ось ответа)
Рис. 591
№ 4. Решите уравнение ctg х = Ь + 2.
Решение.
1) Если Ъ = -2, то ctg х = 0; хт = л/2 + лй, k е Z.
2) Если Ъ Ф -2, то х2 = arcctg (b + 2) + лт, т е Z.
Заполним ось ответа (рис. 592).
Ъ
(ось ответа)
Рис. 592
№ 5. Решите уравнение sin (х + л/3) = а + 1.
Решение.
1) а + 1 = 0, а = -1: sin (х + л/3) = 0,
х + л/3 = лй, йе Z, хТ = -л/3 + лй, й е Z. (ГТ)
2) а + 1 = 1, а = 0: sin (х + л/3) = 1, х = -л/3 + л/2 +
+ 2лп, п е Z, х2 = л/6 + 2лп, п е Z. (УУ)
3681 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
3) а + 1 = -1, а = -2:
sin (х + л/3) = -1, х =
х3 = -5л/6 + 2кт, т е
Решений нет.
-л/3 - л/2 + 2лш, т е Z,
Z. (ГТ)
5) ае (-2; -1)и(-1; 0):
х4 = -л/3 + (-l)zarcsin (а + 1) + л/, I е Z. (ГТ)
Ответ представлен на числовой прямой (рис. 593).
-2	-1
Рис. 593
(ось ответа)
№ 6. Решите уравнение cos (2х - 1) = с + 2.
Решение.
ООУ:
|с е R,
\х е R.
1)	с = -2: cos (2х - 1) = 0, 2х - 1 = л/2 + Ttk, k е Z,
x-l = 1/2 + л/4 + Ttk/2, ke Z. (ГГ)
2)	с = -1: cos (2х - 1) = 1, 2х - 1 = 2лп, п е Z,
х2 = 1/2 + лп, п е Z. (ГТ)
3)	с = -3: cos (2х - 1) = -1, 2х - 1 = л + 2лш, т е Z,
х3 =1/2 + л/2 + кт, те Z. (ГТ)
4) |с + 2| > 1,
Решений нет.
с + 2 > 1,
с + 2 < —1,
с > -1,
с <-3.
5) се (-3; -2) и (-2; -1):
х4 = 1/2 ± (1/2) arccos (с + 2) + к1, I е Z. (Г?)
Запишите ответ по рисунку 594.
Рис. 594
(ось ответа)
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения
№ 7. Решите уравнение cos Jx = т + 1.
Решение.
ООУ:	J*’
[х > 0.
1)	т = -1: cos л/х = 0, л/х = л/2 + лй, k е N и {0}.
Мы учли, что Jx > 0. х1 = (л/2 + лй)2,
feeNu{0}. (ГГ)
2)	т = -2: cos Jx = -1, Jx = л + 2лп, ne Nu {0}.
х2 = (л + 2лп)2, п е N и {0}. (Гр
3)	т = 0: cos Jx = 1, Jx = 2лт, me Nu {0}.
x3 = (2лт)2, m e N и {0}. (Tf)
4) |m+ 1|> 1,
m < -2.
Решений нет. (77
5) Пусть m e (-2; -1) u(-l; 0).
Тогда имеем для каждого значения т две серии
решений:
Jx = arccos (т + 1) + 2л/, I е N и {0},
л/х = -arccos (т + 1) + 2л£, t е N,
х4 = (arccos (т + 1) + 2л/)2,1 е N и {0},
х5 = (-arccos (т + 1) + 2л£)2» t е N. (iT)
Ответ списывается с оси ответа (рис. 595).
0	т
(ось ответа)
Рис. 595
№ 8. Решите уравнение sin х2 = р + 3.
Решение.
370 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
1)	р = -3: sinх2 = 0, х2 = пп, пе N и {0}.
х1 = ±л/тгп, п е N и {0}. (ГТ)
2)	р = -2: sin х2 = 1, х2 = л/2 + 2лй, k е N и {0},
х2 = ± 7тг/2 + 2itk , ke Nu {О}. (ГТ)
3)	р = -4: sin х2 = -1, х2 = -л/2 + 2nm, т е N,
х3 = ± 7-Л/2 + 2пт,теИ. (ГТ)
лч In -и я1 -> 1 Р > Решений нет. (ГТ)
[Р
5) ре (-3,-2).
Тогда
х2 = arcsin (р + 3) + 2nl, 1е {0} и N,
х2 = л - arcsin (р + 3) + 2л?, t е N и {0}.
х4 = ± 7arcsin(p + 3) + 2itl, le N и {0},
x5 = ± Jit - arcsinQ? + 3) + 2tiJ , t e N и {0}. (ГТ)
6)pe(-4;-3).
Заметим, что в этом случае (р + 3) е (-1; 0), а зна-
чит, -л/2 < arcsin (р + 3) < 0.
Поэтому
х2 = arcsin (р + 3) + 2пс, с е N,
х2 = -л - arcsin (р + 3) + 2лс?, d е N.
хб = ± 7arcsin(p + 3) + 2itc , с е N,
х7 = ±T--7t^arcSn(p^i-_3y+_27td, d е N. (ГТ)
Заполним ось ответа (рис. 596).
Рис. 596
(ось ответа)
№ 9. Решите уравнение tg |х| = а - 2.
Решение.
ООУ: |а G R’
[х^л/2 + nk, ke Z.
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения
1)	а = 2: tg |х| = 0, |х| = кп, п е N и {0},
х1 = ± кп, п е N и {0}.
2)	а > 2: |х| = arctg (а - 2) + кт,	{0},
х2 = ±(arctg (а - 2) + лот), me Nu{0}.
3)	а < 2. Заметим, что в этом случае имеем
-л/2 < arctg (а - 2) < 0.
Поэтому |х| = arctg (а - 2) +к1, I е N,
х3 = ±(arctg (а - 2) + к1), I е N.
Ответ списывается с оси ответа (рис. 597).
а
(ось ответа)
Рис. 597
№ 10. Решите уравнение sin (-х2 + 2х - 1) = Ъ + 1.
Решение.
Учитывая нечетность функции у = sin t, данное
уравнение сведем к ему равносильному
sin (х - I)2 = -b - 1.
1) Ъ = -1: sin (х - I)2 = 0, (х - I)2 = Kk, fee Nu {0}.
х - 1 = ± Jitk, fe е N и {0},
Xj = 1 ± Jitk , k e N и {0}. (ГГ)
2)& = 0: sin (x - l)2 = -1, (x - l)2 = -л/2 + 2кп,
n e N,
x2 = 1 ± V-7t/2 + 2кп n e N. (JT)
3)& = -2: sin (x - l)2 = 1, (x - l)2 = л/2 + 2кт,
m& Nu {0},
x3 = 1 + Jk/2 + 2лт, m e N и {0}.	(Гз/,
372 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
4)	\b + 1| > 1:	Решений нет. (ГТ)
5)	Ь е (-1; 0). Тогда -1 < -Ъ - 1 < 0.
(х - I)1 2 3 = (— l)zarcsin (-& - 1) + itl, I e N,
x4 = 1 ± 7(-l)z + 1arcsin(& + 1) + 7tZ, I e N. (ГТ)
6)	b e (-2; -1). Тогда 0 < -b - 1 < 1.
(x - l)2 = (-l)c arcsin (-& - 1) + ле, c e Nu {0},
x5 = 1 ± 7(~l)c + 1arcsin(& + 1) + ле,
c e N и {0}. (ГГ)
Заполняем ось ответа (рис. 598).
(ось ответа)
Рис. 598
№ 11. Решите уравнение cos (лх2) = 5 - а.
Решение.
ООУ:
\а е R,
[хе R.
1) а = 5: cos (лх2) = 0, лх2 = л/2 + nk, k е N и {0},
х2 = 1/2 + й, йе Nu{0},
Xj = ±71/2 + й , й е N и {0}. (ГТ)
2) а = 4: cos (лх2) = 1, лх2 = 2лп, п е N и {0},
х2 = ± J2n , п е N и {0}. (ГТ)
3) а = 6: cos (лх2) = -1, лх2 = л + 2лт, т е N и {0},
х3 = ± 71 + 2m , т е N и {0}. (ГТ)
4) |5-а|>1:
а < 4,
а > 6.
Решений нет. (ГТ)
5) а е (4; 5) и (5; 6).
лх2 = arccos (5 - а) + 2лс, се Nu {0},
лх2 = -arccos (5 - а) + 2лс?, d е N.
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения
х4 = ± ^/(1/л) arccos (5 - а) + 2 с, с е N и {О},
х5 = ± 7( - Г/л) arccos (5 - а) + 2d, d е N. (нГ)
Ответ представлен на оси ответа (рис. 599).
Xi,xs 4	х4.х5	0
4	5	6	« (ось ответа)
Рис. 599
№ 12. Решите уравнения sin х = 1 /(а + 2).
Решение.
ООУ:
,х е R. (ГТ)
1) Пусть 1/(а + 2) = 1, а = -1: sin х = 1,
х1 = л/2 + 2лй, k е Z. (>Т)
2) Если 1/(а + 2) = -1, то а = -3: sin х = -1,
х2 = -л/2 + 2лп, п е Z. (Гр
1 > ]_• |1а *" 2| < 1, [—1 < а + 2 < 1,
а + 2 [я -2, а Ф —2,
j -3 < а < -1,
\лф— 2,
а е (-3; -2) и (—2; -1). (Г7)
В этом случае решений нет.
1
а + 2
4) Пусть
<1, т.е.ае (-оо; -3) и (-1; +оо).
Тогда х3 = (~l)marcsin (1/(а + 2)) + пт,
т е Z. (кр
Заносим результаты на ось ответа (рис. 600).
Рис. 600
(ось ответа)
3741 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Учитывая, что если а е (—3; —1), то решений нет,
можно результат решения данного уравнения пред-
ставить на рисунке 601.
х3
Рис. 601
а
(ось ответа)
№ 13. Решите уравнение sin х =	\ 
Решение.
ООУ:!"*"1, (ED
[хе К.
1) Пусть 2а/(а + 1) = 0, а = 0: sin х = 0,
хт = nk,ke Z. (ЯГ)
2) Если 2а/(а + 1) = 1, то а = 1, sin х = 1,
х2 = л/2 + 2кт, те Z.
3) Если 2а/(а + 1) = —1,
х3 = -л/2 + 2лп, п е Z.
4) Пусть \2а/(а + 1)| > 1:
\2а/(а + 1) > 1,
[2а/(а + 1) < —1,
Видим, что а е (-°°; -1
(рис. 602).
то а = -1/3, sin х = -1,
(ЯГ)
Г(а - 1)/(а + 1) > 0,
[(За + 1)/(а + 1) < 0.
I и (-1; -1/3) и (1; +оо)
-li 1 а
------_
-1 -1/3	°
Рис. 602
В этом случае решений нет. (ГУ)
5) Пусть + 1)' 1’ т.е.ае (-1/3; 0)и (0; 1).
4.1. Простейшие тригонометричесЙ1е уравнения |375
Тогда х4 = (-l)z arcsin (2а/(а + 1)) + nl, I е Z (УТ)
(рис. 603).
-1/3
1
(ось ответа)
Рис. 603
И в этом случае удобнее рисунок 604.
-1/3	0
Рис. 604
1 а
(ось ответа)
№ 14. Решите уравнение sin х = (b - 1 )/(2& + 1).
Решение.
ООУ: ^#”1/2, (ЯП
[хе R. —
1)	Ь = 1: sin х = 0, хт = itk, k е Z. (ГТ)
2)	о,. , 1 = 1, Ь = -2: sin х = 1,	= л/2 + 2лп,
Ли т 1	*
n е Z. (ГУ)
3)	+ = -1, Ъ = 0: sin х = -1, х3 = -л/2 + 2лт,
т е Z. (кГ)
4)
Ъ - 1
2Ъ + 1
[JLlT
2Ъ + 1
I Ь - 1
I 2Ь + 1
Ъ + 2
2Ъ + 1
Ь
2Ъ + 1
Ь е (-2; -1/2) и (-1/2; 0) (рис. 605).
В этом случае решений нет. (кд/)
376 I Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
[ &-1
5) Пусть -< 2 b + 1
М)----
-1/2
. . ....w
1J	k_J	 9“
-1/2 0 b
Рис. 605
Тогда Ъ е (-оо; -2) и (0; 1) о (1; +оо).
, Ъ - 1
х4 = (—1)* arcsin ——— + jtl, I е Z. (Гр
Заполним ось ответа (рис. 606 и 607).
Рис. 606
Рис. 607
(ось ответа)
№ 15. Решите уравнение cos х = (За + 1)/(а - 2).
Решение.
ООУ:	(ГТ)
'х 6 R.
1)	а = —1/3: cos х = 0, х1 = л/2 + лй, k е Z. (ГТ)
2)	(За + 1)/(а - 2) = 1, а = —3/2: cos х = 1, х2 = 2лп,
п е Z. (Гр
3)	(За + 1)/(а - 2) = -1, а = 1/4: cos х = -1,
х3 = л + 2лти, т е Z. (Гр
4)	|(3а + 1)/(а - 2)| > 1:
4.1
Простейшие тригонометрические уравнения
1377
а е (-оо; -3/2) о (1/4; 2) и (2; +°о) (рис. 608).
В этом случае решений нет. (ГТ)
-3/2
а
1/4	2
Рис. 608
5)	[|(3а + 1)/(а-2)|< 1,
U#-l/3.
Тогда а е (-3/2; -1/3) и (-1/3; 1/4). (►£)
За +1
х4 = ±arccos----z—I- 2 ill, I е Z.
a
Ответ представлен на оси ответа (рис. 609 или 610).
Рис. 609
№ 16. Решите уравнение sin х = а2.
Решение.
ООУ: G ?’
х е R.
1) Пусть а = 0: sin х = 0, хт = лА, k е Z. (ГТ)
2)а2 = 1,а = ±1: sinx=l,
х2 = л/2 + 2лп, п е Z. (Г2)
378 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
а <1’1 а 6 (-°°;-1) (1;+°°).
3) а2> 1:
Решений нет. (ГУ)
4) 1а2< 1,
а Ф 0, а е (-1; 0) и (0; 1):
х3 = (-l)marcsinа2 + пт, те Z. (Гр
Сведем все решения на ось ответа (рис. 611).
0 \^/ Хз \^/	/ \ х? / Хз X/ 0
-1	0	1	а (ось ответа)
Рис. 611
№ 17. Решите уравнение sin х = Ъ2 + 1.
Решение.
ООУ: \b G 5’
х е К.
Легко видеть, что Ь2 + 1 > 1, а потому данное урав-
нение имеет решения, только если Ь = 0:
х = л/2 + 2nk, k е Z (рис. 612).	(*)
Рис. 612
Ъ
(ось ответа)
0
№ 18. Решите уравнение sin х = а2 ~ 1.
Решение.
ООУ: \а G
[х е R.
1)	а2 - 1 = 0, а = ±1: sin х = 0, хг = nk, k е Z.(TT)
2)	а2 — 1 = 1, а = ±72 : sin х = 1, х2 = л/2 + 2лп,
4.1  Простейшие тригонометрические уравнения
3) а2 - 1 = -1, а = 0: sin х = -1, х3 = -л/2 + 2лт,
т е Z. (Гр
-72 < а < 72 ,
/т2 р» А
|п2-1|
Решений нет.
(а2 - 1 < 1,
а2 - 1 > -1,
а*±1,	|а#±1.
Из последней системы имеем, что
ае (-72; -1) и (-1; 0)и(0; 1)и(1; 72).
И тогда х4 = (-1)г arcsin (а2 - 1) + л/, I е Z. (Гр
Заполним ось ответа (рис. 613).
Рис. 613
№ 19. Решите уравнение cos х = а2 - 2а.
Р е ш е н и е.
ООУ:
fa е R,
\х е R.
1) а2 - 2а = 0,
а = 0,
а = 2.
cos х = 0, X, = л/2 + л/г, k е Z. (ГТ)
2) а2 - 2а = -1, а = 1: cos х = -1, х2 = л + 2лп,
п е Z. (Гр
3)	а2 - 2а = 1, а2 - 2а - 1 = 0, а = 1 ± 72 : cos х = 1,
х3 = 2пт, те Z. (ГТ)
4) |а2-2а|> 1:
а2 - 2а > 1,
а2 - 2а < -1,
а2 - 2а - 1 > 0, т. е.
а е (—оо; 1-72)и(1 + 72; +о°).
а2 - 2а - 1 > 0,
•а2 - 2а + 1 < 0,
380 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
В этом случае решений нет. (7J)
5) Если а е (1 - J2 ; 0) и (0; 1) и (1; 2) и (2; 1 + J2 ),
то х4 =±arccos (а2 - 2а) + 2nZ, I е Z. (ГТ)
Заполним ось ответа (рис. 614).
1-72 о 1	2	1+72	°
(ось ответа)
Рис. 614
№ 20. Решите уравнение asin х = 3.
Решение.
ООУ: G 5’
[х е К.
1) Пусть a = 0: 0 • sin х = 3. Решений нет.
2) Если а ф 0, то данное уравнение сводится к
уравнению sin х = 3/а.
Такого типа уравнения мы уже решали. По-
пробуйте его решить самостоятельно и срав-
нить с тем, что представлено на рисунках 615 и
616, где
х4---л/2 + 2лй, k е Z,
х2 = л/2 + 2лп, п е Z,
х3 = (-l)marcsin (3/a) + тип, zn е Z.
(ось ответа)
х3
а
(ось ответа)
Рис. 616
4,1. Простейшие тригонометрические уравнения! 381
№ 21. Решите уравнение (а2 - 4)cos х = а + 2.
Решение.
ООУ:
а е R,
х е R.
Если а = 2, то 0 • cos х = 4. Уравнение решений не
имеет. (ГТ)
Если а = -2, то 0 • cos х = 0, х е R. (УТ)
Пусть а ф ±2. Тогда решаем уравнение
cos х = 1/(а - 2).
1) 1/(а - 2) = 1, а = 3: х1 = 2лп, neZ. (Гр
2) 1/(а - 2) = -1, а = 1: х2 = л + 2пт, т е Z. (ГТ)
3) |1/(п-2)|>1:К 2|<1
1 < а <
а Ф 2.
3,
Решений нет. (Гр
4) а е (-оо; -2) и (-2; 1) и (3; +°°).
В этом случае
1
а - 2
< 1 и
, 1
х, = ±arccos------п
3	а - 2
+ 2itl, I е Z. (Гр
Ответ представлен на рисунках 617 и 618.
Рис. 617
(ось ответа)
(ось ответа)
Рис. 618
№ 22. Решите уравнение (Ь - l)sin х = Ъ2 - 1.
Решение.
ООУ:
be R,
х е R.
382 I Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Пусть 6=1: 0 • sin х = 0, х е R. (Гр
Если Ь Ф 1, то имеем уравнение sin х = b + 1.
1)	b + 1 = 0, b = -1:	= Tin, n е Z. (Гр
2)	Ь + 1 = 1, Ь = 0: х2 = л/2 + 2лй, k е Z. (Гр
3)	Ъ + 1 = -1, Ь = -2: х3 = -л/2 + 2лт, т е Z. (Гр
Ь е (-0°; -2) и (0; 1) и (1; +оо).
В этом случае решений нет. (Гр
5) Ь е (—2; -1) и (-1; 0). Тогда
х4 = (-l)z arcsin (b + 1) + л/, I е Z. (Гр
Заполняем ось ответа (рис. 619).
-2-1	0	1	&
(ось ответа)
Рис. 619
№ 23. Решите уравнение (а - 2)cos х = а - 1.
Решение.
рисунке 620, где хг = л/2 + nk,
ООУ: (а G
[х е R.
Пусть а = 2: 0 • cos х = 1. Решений нет.
Если а Ф 2, то cos х = {а - 1)/(а - 2).
Решите это уравнение самостоятельно. Ответ
представлен на
ke Z.
х2 = л + 2лп, п е
а —
х3 = iarccos---о
а —
Z.
1 „
+ 2лт, me Z.
3/2
а
(ось ответа)
Рис. 620
4,1  Простейшие тригонометрические уравнения 1383
№ 24. Найдите все значения а, при которых уравне-
ние (4а + x)arcsin х — 0 имеет ровно один корень.
(ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
ООУ: Д.еД'
Уравнение сводится к совокупности систем (1) и
(2).
(1):
(2):
arcsin х = 0,
а е R;
4а + х = 0,
|х|<1;
рЧ = °>
\а е R.
jx2 = -4а,
1|4а|<1,
х2 = -4а,
||а|<1/4.
Если а = -1/4, то х2 = 1. Если а = 1/4, то х2 = -1.
Узнаем, когда х2 = Хр -4а = 0, а = 0.
Тогда х2 = хх = 0. Результаты отмечаем на оси па-
раметра а (рис. 621).
Ответ. ( оо; -1/4) и {0} и (1/4; +оо),
№ 25. Найдите все значения а, при которых уравне-
ние (2а - х) arccos х = 0 имеет ровно один корень.
(ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
ООУ: ДДД’
l|x|< 1.
Данное уравнение сводится к совокупности двух
систем:
3841 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
j arccos х = О,
[а е R,
\х = 2а,
l!|x|<i.
Решаем систему (1):
(1)
(2)
Г х, 1,
а е R.
\х9= 2а,
Переходим к системе (2): . А ,
I l^dl 1,
Если а = -1/2, то х2 = -1.
|Х2 = 2а,
[|а|< 1/2.
Если а = 1/2, то х2 = xt = 1.
Нанесем результаты на ось параметра (рис. 622).
Ответ. (-°°; -1/2)о[1/2; +°о).
№ 26. Решите уравнение cos2 2х = а + 2.
Решение.
ООУ:
а е R,
х е R.
Умножим обе части данного уравнения на 2.
2cos2 2х = 2а + 4,
1 + cos 4х = 2а + 4,
cos 4х = 2а + 3.
1) а = -3/2: cos 4х = 0, х, = л/8 + nk/4, k е Z.(£T)
2) 2а + 3 = 1, а = -1: cos 4х = 1, х2 = лп/2, п е Z .<►?")
3) 2а + 3 = -1, а = -2: cos 4х = -1, х3 = л/4 + пт/2,
т g Z.
► з
4) |2а + 3|> 1:
Решений нет.
2а + 3 >
2а + 3<
(ED
1,
-1,
\а < —2.
4,1, Простейшие тригонометрические уравнения
5) а е (-2; -3/2) и (-3/2; -1):
х4 = ±(l/4)arccos (2а + 3) + л//2, I е Z. (Гр
Заполним ось ответа (рис. 623).
Рис. 623
№ 27. Решите уравнение cos х + ,/3 sin х = 2с.
Решение.
ООУ: JCG R’
(X е К.
Умножим обе части данного уравнения на 1 /2:
(l/2)cos х + (л/3 /2)sin х = с, cos (х - л/3) = с.
Решите это уравнение самостоятельно. Ответ
представлен на рисунке 624, где
X] = 5л/6 + л/г, /г е Z,
х2 = л/3 + 2лп, п е Z,
х3 = 4л/3 + 2лпг, т е Z,
х4 = л/3 ± arccos с + 2л/, I е Z.
Рис. 624
№ 28. Решите уравнение sin х + acos х = 0.
Решение.
ООУ: € R’
хе R.
Если cos х # 0, то получим уравнение tg х = -а, от-
куда х = —arctg а + л/г, /г е Z.
3861 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Если cos х = 0, то sin х = 0, что одновременно не-
возможно.
Ответ, х = -arctg а + nk, k е Z, при любом а.
№ 29. Решите уравнение asm х - cos х = 0.
Решение.
ООУ: \а е
[х е К.
Если а = 0, то имеем уравнение cos х = 0:
хг = л/2 + лй, k е Z.
Если а + 0, то tg х = 1/a и х2 = arctg (1/а) + лп,
п е Z.
Ответ представлен на рисунке 625.
а
(ось ответа)
Рис. 625
№ 30. Решите уравнение acos х - 2sin2 (х/2) = 0.
Решение.
ООУ: \а G
[х е R.
acos х - (1 - cos х) = 0, (a + l)cos х = 1.
Решите это уравнение самостоятельно. Ответ
представлен на рисунке 626, где xt = 2nfe, k е Z.
х2 = л + 2лп, n е Z,
х3 = ±arccos (l/(a + 1)) + 2лт, т е Z.
0
Рис. 626
№ 31. Решите уравнение sin 2х = asin х.
Решение.
а
(ось ответа)
4.1  Простейшие тригонометрические уравнения 1387
Воспользуемся формулой sin 2а = 2sin а cos а.
2sin х cos х - asin х = О,
sin х (2cos х - а) = 0. Уравнение сводится к сово-
купности:
Fsinx = 0,	(1)
[cos х = а/2.	(2)
Решаем первое уравнение совокупности:
= лй, k е Z, при любом а е R. (ГГ)
Для решения уравнения cos х = а/2 рассмотрим
ряд случаев:
1)	а = 0: х2 = л/2 + тт, п е Z. (>Т)
2)	а = 2: х3 = 2itm, т& Z. (кз~)
3)	а = -2: х4 = л + 2л/, I е Z. (кд)
4)|О/2|>1:[“[^ О
Уравнение cos х = а/2 решений не имеет.
(|а/2|<1, \а <2,
5)<а*0	\а>-2, а е (-2; 0) и (0; 2).
1	’	(а*0,
х5 = iarccos (а/2) + 2л£, t е Z. (Гр
При составлении ответа удобно воспользоваться
тремя осями для параметра а (рис. 627):
на первой оси изображаются результаты решения
уравнения sin х = 0;
на второй — cos х = а/2-,
на третьей — ответ.
(ось ответа)
Рис. 627
3881 Раздел III, 4. Основные приемы решения уравнений
Заметим, что при а = 0 множества решений хх и х2
объединяются в множество хб = лс/2, с е Z.
Ответ. 1) Если а е (-оо; -2] и [2; +°°), то х = лй,
k е Z.
2) Если а = 0, то х = лс/2, с е Z.
3) Если а е (-2; 0) и (0; 2), то х = лй,
йе Z; х = ±arccos (с/2) + 2л1, t е Z.
№ 32. Решите уравнение cos2 х - sin2 х = 2acos2 2х.
Решение.
ООУ: \а G !*’
[х е R.
cos 2х = 2а cos2 2х, cos 2х (2а cos 2х - 1) = 0,
|cos2x = 0,	(1)
L2a cos 2х = 1.	(2)
Решаем (1): cos 2х = 0, хх = л/4 + лй/2,
й е Z, при любом а. QT)
Решаем (2): 2a cos 2х = 1. р~2~)
Пусть a = 0: 0 • cos 2х = 1. Уравнение (2) решений
не имеет.
Если а ф 0, то решаем уравнение cos 2х = 1/(2а).
1) а = 1/2: cos 2х = 1, х2 = пп, п е Z. (ГТ)
2) a = -1/2: cos 2х = -1, х3 = л/2 + пт, т е Z.(m)
3)|м>:1’ f^o1’ ae (-1/2; 0) о (0; 1/2).
la*0.
Уравнение (2) решений не имеет. QT)
4) ae (-°°; -1/2) о (1/2; 4 оо);
х4 = ±(1/2) arccos (l/2a) + nl, I e Z. Qp
Объединяем решения (1) и (2) на оси ответа
(рис. 628). Q7)
-1/2	1/2	а
(ось ответа)
Рис. 628
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения 1389
№ 33. Решите уравнение a cos Зх + sin 2х - sin 4х = О
Решение.
ООУ: G
[х е К.
Воспользуемся формулой разности синусов,
acos Зх - 2sin х cos Зх = 0,
cos Зх (а - 2sin х) = 0,
cos Зх = 0,
sin х = а/2,
(1): cos Зх = 0, х1 = л/6 + лй/3,
k е Z, при любом а. ур
(2): sin х = а/2.
1)
2)
3)
4)
5)
(1)
(2)
а = 0: х2 = Tin, п е Z. ур
а = 2: х3 = л/2 + 2лт, т е Z. ур
а = -2: х4 = -л/2 + 2л/, I е Z. (кр
|а| > 2. Уравнение (2) решений не имеет, ур
а е (-2; 0) о (0; 2): х5 = (-1)4агсзт (а/2) + nt,
t е Z. Ур
Объединяем множества решений уравнений (1) и
(2) (рис. 629). (Ур
-2
О
Рис. 629
2	°
(ось ответа)
№ 34. При каких целых значениях параметра а
уравнение cos ах = 1 + 7cos2 (л/4 + х/2) имеет ре-
шения? Найдите их.
Решение.
ООУ: " G
[х е К.
cos ах = 1 + (7/2)(1 + cos (л/2 + х)),
cos ах = 1 + (7/2)( 1 - sin х),
2cos ах = 9 - 7sin х, 2cos ах + 7sin х = 9.
3901 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Последнее уравнение приводим к равносильной
ему системе:
jsin х = 1,	(1)
cos ах =1.	(2)
Решим уравнение (1): х = л/2 + 2лй, k е Z, при лю-
бом значении а.
(2): cos ах = 1:
1) а = 0. Решением уравнения (2) является мно-
жество R. И тогда решением системы являются
числа х = л/2 + 2лй, k е Z.
2) а ф 0: х = 2лп/а, п е Z, — решения уравнения (2).
Найдем такие целые значения а, при которых
л/2 + 2лй = 2лп/а, где k, п е Z:
1/2 + 2k = 2п/а, а + 4йа = 4п, а(1 + 4А) = 4п.
При k е Z сумма 1 + 4k не равна нулю:
а = 4n/(l + 4k). Чтобы а было целым числом,
достаточно, чтобы п = (1 + 4k)m, т е Z, k е Z.
Тогда а = 4т, где т е Z, и х = л/2 + 2лй, k g Z —
решения системы.
Ответ, а = 4т, т е Z.
х = л/2 + 2лй, k g Z.
№ 35. Решите уравнение 1 + tg2 х = а.
Реше н и е.
ООУ: \а G R’
IX # Л/2 + Ttk, k G Z.
tg2 x = a - 1,
1) Если a = 1, то tg x = 0: xr = лп, n g Z.
2) Если a < 1, то решений нет.
3) Если a > 1, то
tg x = J a - 1 ,
tg x = - Ja — 1 .
x2 = ±arctg 7a - I + nm, me Z.
4.1. Простейшие тригонометрические уравнения 1391
Ответ представлен на рисунке 630.
0
х2
Рис. 630
а
(ось ответа)
№ 36. Решите уравнение 2tg х/(1 - tg2 х) = За/2. (1)
Решение.
ООУ:
а е R,
х Ф л/2 + nk, fee Z,
х Ф 71/4 + лп/2, п е Z, (рис. 631).
Перейдем от уравнения (1) к уравнению
tg 2х = За/2. (2)
Заметим, что при этом область определения
данного уравнения расширилась на множество
х = л/2 + пт, т е Z. Подставим х = л/2 + пт,
т е Z, в уравнение (2):
0 = За/2, а = 0.
Теперь а = 0 подставим в уравнение (2):
tg 2х = 0, х = л//2,1 е Z.
С учетом области определения найдем при а = 0
множество решений данного уравнения. Это чис-
ла х = nt, t е Z.
Если а Ф 0, то х = (l/2)arctg (За/2) + пс/2, с е Z.
Ответ. 1) Если а = 0, то х = nt, t е Z.
2) Если а Ф 0, то
х = (l/2)arctg (За/2) + пс/2, с е Z.
Рис. 631
Рис. 632
392 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
№ 37. Решите уравнение
1 + tgx
1 - tgx
= 2b.
(1)
Решение.
ООУ:
be R,
х фк/2 + Kk, ke Z,
х^к/4 + m, neZ.
(рис. 632).
Перейдем к уравнению tg (х + л/4) = 2b.	(2)
Произошло расширение области определения
уравнения (1) на множество х = л/2 + Kk, k е Z.
Подставим х = л/2 + Kk, k е Z в уравнение (2):
-1 = 2Ъ, & = -1/2.
А теперь Ъ = -1/2 подставим в уравнение (2):
tg (х + л/4) = -1,
х + л/4 = -л/4 + кт, т е Z,
х - -л/2 + кт, те Z.
Но полученные значения х не удовлетворяют об-
ласти определения данного уравнения. Следова-
тельно, расширение области определения уравне-
ния (1) при переходе к уравнению (2) привело к
приобретению посторонних решений.
Итак, если b = -1/2, то уравнение (1) решений не
имеет.
Если Ъ Ф -1/2, то х = -л/4 + arctg 2b + к1, le Z.
Ответ. 1) Если & -1/2, то
х = -л/4 + arctg 2b + к1,1е Z.
2) Если b = -1/2, то решений нет.
№ 38. При каких значениях а данное уравнение
1 + sin2 ах = cos х имеет единственное решение?
Решение.
ООУ: "6 I*,
[х е R.
Так как |cos х| < 1, 1 + sin2 ах > 1, то получим сис-
тему уравнений
[sin ах = О,
1 COS X = 1.
4.2. Тригонометрические уравнения»»* системы 1393
1) Если а = 0, то R — множество решений уравне-
ния sin ах = 0. А потому х = 2пп, п е Z, — ре-
шения системы. Значит, при а = 0 единствен-
ного решения у системы нет.
оч тт , м х = nk/a, k е Z,
2) Пусть а Ф 0: <	' ’	’
' J	\х = 2тт, пе Z.
Kk/a = 2itn, п = k/(2a), k, пе Z.
Если а — рациональное число (а Ф 0), то урав-
нение п = k/(2a) в целых числах имеет бесчис-
ленное множество решений. Значит, а — ирра-
циональное число. Тогда k = п = 0. Следователь-
но, х = 0 — единственное решение.
Ответ, а — иррациональное число.
 4.2. Тригонометрические уравнения
и системы с параметром
№ 1. Решите уравнение cos2 х + 6sin х = 4а2 - 2.
Решение.
ООУ: la G R’
[х е R.
Пусть sin х = у, |г/| < 1.
1 - sin2 х + 6sin х = 4а2 - 2,
у2 - бу + 4а2 -3 = 0. Найдем Dp
Di = 4(3 - а2).
1)	3 — а2 < 0, |а| > л/3 : решений нет. (Гц)
2)	а = ±л/з, у2 - бу + 9 = 0. (у - З)2 = 0, у = 3. Реше-
ний нет, так как 3 > 1. (ГГ)
3)	Dj > 0; -л/з < а < л/з . Тогда
уг = 3 + 27з - а2 ; у2 = 3 - 273 - а2 .
Видим, что ух > 1.
Остается sin х = 3 - 2«/З - а2 .
3941 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Исследование.
-1 < 3 - 273 - а2 < 1,	[73 - а2 < 2,
~7з<а<73;	л/3 - а2 > 1,
[—л/3 < а < 7з ;
3-а2<4,	Га2>-1,
< 3 - а2 > 1,	J а2 < 2,
л/з < d < л/з	— л/з < d < л/з ,
Если |а| < 72 , то хг = (-1)* arcsin (3 - 273 - а2 ) +
+ Ttk, k е Z. (кГ)
При |а| = 72 получаем х2 = л/2 + 2пп, п е Z. (ГТ)
При d = ± 73 /2 имеем sin х = 0; х3 = Tim, те Z. (►?)
Заполним ось ответа (рис. 633).
72	Т§/2	7з/2	72 а
(ось ответа)
Рис. 633
Ответ. 1)Если а е (-72; -Тз/2) о
о (-73/2; ТЗ/2) о (ТЗ/2; 72), то
х = (-l)*arcsin (3 - 273 - а2 ) + Ttk, ke Z
2) Если |а| = 72 , то х = л/2 + 2лп, п е Z.
3) Если |а| > 72 , то решений нет.
4) Если |а| = 73 /2, то х = лот, т е Z.
№ 2. Решите уравнение sin2 х - 5cos х + k = 0.
Решение.
ООУ: \ ke R’
[х е R.
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1395
Данное уравнение легко приводится к равносиль-
ному уравнению cos2 х + 5cos х - k — 1 = 0.
Пусть cos х = t, где |j| < 1. Тогда t2 + 5t - k - 1 = 0,
D = 29 + 4*.
1)	D<0; *<-29/4. Решений нет. (ГТ)
2)	D = 0; к = -29/4, t2 + 5t + 25/4 = 0, t = -5/2.
Решений нет. (ГГ)
3)	D > 0; k > -29/4, = (-5 - /29 + 4*)/2;
t2 ~ (—5 + /29 + 4*)/2 .
Легко видеть, что < -1.
Решаем уравнение cos х = (-5 + /29 + 4*)/2 .
Исследован не.
1|(-5 + /29~+4*)/2| < 1,
[*>—29/4,
Г-	1 < (-5 + /29 + 4*)/2 < 1,
I* > -29/4,
[з< /29~+4* < 7,
{*>-29/4.
9< 29+ 4* <49,
-5 < k < 5.
Итак, если \k\ < 5, то данное уравнение имеет ре-
шения:
хг = iarccos ((-5 + /29 + 4*)/2) + 2лп, ne Z. (ГУ)
Выделим особо случаи, когда cos х = 0, cos х = 1,
cos х = -1:
*	= -5: cosx = -l, х2 = л + 2nm, т е Z.
*	= -1: cosx = 0, х3 = л/2 + л/, I е Z. (Г4)
k = 5: cosx=l, х4 = 2лс, ceZ.
Представим результаты на оси ответа (рис. 634).
Рис. 634
3961 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
№ 3. Решите уравнение
sin2 х - sin х • cos х - 2cos2 х = а.
Решение.
ООУ: \а е !*’
[х е R.
sin2 х — sin х • cos х - 2cos2 х - a sin2 х - a cos2 х = О,
(1 - a)sin2 х - sin х • cos х - (а + 2) • cos2 х = 0.
1. cos х Ф 0, тогда (1 - a)tg2 х - tg х - {а + 2) = 0,
1)	а = 1: tg х = -3. хг = -arctg 3 + кп, п е Z.
2)	а Ф 1: D = 9 - 4а2 - 4а. Пусть D > 0:
4а2 + 4а - 9 < 0,
(-1 - 710 )/2 < а < (-1 + 710 )/2, а Ф 1.
,	1 ± 79 - 4а2 - 4а
g	2(1-а)
, 1 ± ТО ~ 4а2 - 4а	„
х2 = arctg----о7Ч---------Fкт, те Z.
Л J. О/ J
Если а = (-1 - 710 )/2, то
х3 = arctg (710 - 3) + кт, т е Z.
Если а = (-1 + 710 )/2, то
х4 = arctg(-710 - 3) + кт, те Z.
Если а е (-°°; (-1 -710 )/2) о ((-1 + 710 )/2;
+°°), то решений нет.
2. cos х = 0. Тогда имеем
(cosx = 0,	\х& = л/2 + Kk, k е Z,
[sin 2 х(1 - а) = 0, [а = 1.
Заполним ось ответа (рис. 635).
(-1-Л0)/2
(-1 + Л0)/2	°
Рис. 635
(ось ответа)
4.2. Тригонометрические уравнения и системы
Ответ. 1)Еслиае -оо;------------- о
V	/
г-1 + 710
о I ----g----5 +°° I» то решении нет.
„ г -1 - До , >
2) Если а е ---z----; 1	I	и
\	Li	J
( -1 + 710 )
о I 1;----2---- I’то
, 1 ± 79 - 4а2 - 4а	„
х = arctg-----------г----1-пт, те Z.
Z(1 — а)
3)	Если а = 1, то х = - arctg 3 + лп, п е Z;
х = л/2 + nk, ke Z.
4)	Если а = (-1 -710 )/2, то
х = arctg(710 - 3) + пт, те Z.
5)	Если а = (-1 + 710 )/2,
то х = arctg(-710 - 3) + пт, те Z.
№ 4, Решите уравнение tg 2х - tg (х - л/4) = b - 1.
Решение.
ООУ* J G R’
" [х Ф п/Ь. + лй/2, k е Z (рис. 636).
Применяем формулы тангенса двойного аргу-
мента и тангенса разности. Происходит суже-
ние области определения данного уравнения на
х = л/2 + nk, keZ
Проверим эти числа подста-
новкой в исходное уравне-
ние:
tg л — tg (л/4) = &- 1,
-1 = & - 1, & = 0.
Если b = 0, то хг = л/2 + nk,
k е Z, — корни данного
уравнения. (ГТ)
3981 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Пусть Ь Ф 0:
2 tgx
1 - tg2x
tgx - 1
1 + tgx
2tgx + tg2x- 2tgx+1 = &-1-(&-1)*tg2 x,
tgx*±l; &tg2x = &-2.
t Ф ± 1,
Обозначим tg x = t, t Ф ± 1: \t2 = (b- 2)/b,
b Ф 0.
Если b e (0; 2), то решений нет. (Г2~)
Если b = 2, то tg х = 0, х2 = Tin, ne Z. (►?)
Если b < 0 или Ъ > 2, то tg2 х = (Ь - 2)/&.
Легко видеть, что (Ь - 2)/Ь ф 1.
х3 = ±arctg ~ 2)/b + пт, m е Z. (м~)
Списываем ответ с оси параметра (рис. 637).
0	2b
(ось ответа)
Рис. 637
Ответ. 1) Если b = 0, то х = л/2 + 7tfe, fee Z.
2)	Если Ъ = 2, то х = лп, п е Z.
3)	Если b е (-°°; 0) о (2; +°°), то
х = ±arctg 7(& - 2)/b + кт, me Z.
4)	Если b e (0; 2), то решений нет.
№ 5. Решите уравнение —-----к + а =
S1HX ~~~ л
sinx - 2
sinx - 3 "
ООУ:
Решение.
а е R,
хе R.
Обозначим sin х = I, |t| < 1.
Данное уравнение приводится к равносильному
уравнению asin2 х - 5asin х + 6а - 1 = 0. Учиты-
вая замену, имеем at2 — 5at + 6а - 1 = 0.
Если а = 0, то 0 • t = 1. Решений нет. (ГТ)
4.2. Тригонометрические уравнения и системы
Пусть а ф 0. Найдем D: D = а2 + 4а = а(а + 4),
Рассмотрим ряд случаев.
1)	D < 0, т. е. а е (-4; 0). Решений нет. (FT)
2)	D = 0; а = -4, - 4J2 + 20J - 25 = 0, (2£ - 5)2 = 0,
t = 5/2. Но 5/2 > 1. Поэтому решений нет. (Гз~)
3)	D > 0; а е(-оо; -4) о (0; оо).
Квадратное уравнение имеет два действитель-
ных корня tT и t2:
tY = (5а + л/н2 + 4а )/(2а);
t2 = (5а - л/а2 + 4а )/(2а).
Исследование.
Рассмотрим сначала = (5а + Ja2 + 4а )/(2а).
Решим две системы неравенств:
Г 5а + -Ja2 +~4а
2а	b
[а < -4;
и
| 5а + 4а2 + 4а
. |—1 < (5а + л/а2 + 4а )/(2а) < 1
' [а < -4;
12а С 5а + Ja2 + 4а < -2а,
.а < -4;
, - За < 7а2 + 4а < -7а,
[а < -4;
f 9а2 < а2 + 4а, а(2а - 1) < 0,
1а2 + 4а<49а2,	(а(12а-1)>0
а < -4;	11 а < -4;
2а - 1 > 0,	(а > 1/2,
12а-1< 0,	а <1/12,
1 п —4*	I п —Л
ia<-4;	[а<-4.
Система несовместна.
400 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
(2): Если а > 0, то t4 > 5/2, так как
t4 = 5/2 + (Ja2 + 4а )/(2а).
Итак, t4 ни при каких а е -4) о (0; +°о) не
удовлетворяет неравенству |j| < 1.
Остается исследовать t2 = (5а - Ja2 + 4а )/(2а).
Заметим, что если а е (-°°; -4), то t2 > 5/2, так
как t2 = 5/2 - (Ja2 + 4а )/(2а). Пусть а е (0; +°о);
[-1 < (5а - 7а2 + 4а )/(2а) < 1,
1а > 0;
[-7а < -Ja2 + 4а < -За,
[а > 0;
[Ja2 + 4а >
I Ja2 + 4а <
[а > 0;
2а - 1 < 0,
12а- 1 >0,
а > 0;
За,
7а,
а< 1/2,
а > 1/12
а2 + 4а > 9а2,
а2 + 4а < 49а2,
а > 0;
ае [1/12; 1/2].
Зыделим случаи, когда t2 = 0, t2 = 1, t2 = -1:
а = 1/6: sin х = 0, х4 = nk, fee Z. (кГ)
а = 1/12: sin х = -1; х2 = -л/2 + 2лп, п е Z. (йГ)
а = 1/2: sin х = 1, х3 = л/2 + 2л/, I е Z. (Гр
Если а е (1/12; 1/6) о (1/6; 1/2), то
. _	. 5а - Ja2 + 4а	„ ,____
х4 = (-1)с• arcsin----------------1-пс, с е Z. (yj)
Заполним ось ответа (рис. 638 и 639).
-4	0	1/12	1/6	1/2
а > 0
4.2. Тригонометрические уравнения и системы I401
№ 6. Решите уравнение
Sin 2х - 2 л/2 &(sin х - cos х) + 1 - 4Ь = 0.
Решение.
ООУ: \Ь G о’
[х е R.
Умножим обе части данного уравнения на -1:
-sin 2х + 2 л/2 &(sin х - cos х) - 1 + 4Ь = 0,
1 - sin 2х + 2 л/2 &(sin х - cos х) + 4Ь - 2 = 0,
(sin х - cos х)2 + 2 л/2 &(sin х - cos х) + 4Ь - 2 = 0.
Пусть у = sin х - cos х. Тогда получим уравнение
второй степени
Найдем Di = 2(& - I)2.
1)	= 0; Ъ = 1, у = ~л]2 , sin х - cos х = -лД
л/2 sin (х - л/4) — -л/2, sin (х — л/4) = -1,
х - л/4 = -л/2 + 2лй, k е Z.
хг = -л/4 + 2лй, k е Z.
2) Dj > 0; Ь Ф 1. Найдем ух и у2.
Получаем два уравнения:
(1): sin х - cos х = - л/2 : хг = -л/4 + 2nk, k е Z,(£T
при любом значении Ъ.
sin (х - л/4) = -2b + 1.
Решаем это простейшее уравнение с параметром.
Если Ь = 1/2, то sin (х - л/4) = 0, х2 = л/4 + лп,
п е Z. (ГГ)
Если |-2& + 1| > 1, т. е.
то решений у уравнения (2) нет.
Пусть Я6 + Ч < *•
у ids. 1/2.
Тогда Ъ е (0; 1/2) о (1/2; 1).
-2Ь + 1 > 1,
-2b + 1 <-1,
&<0,
&>1,
402 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
В этом случае х3 = л/4 + (-l)marcsin (1 - 2b) + лт,
т е Z. (ГТ)
Если -2b + 1 = 1, т. е. & = 0, то sin (х - л/4) = 1,
х4 = Зл/4 + 2л/, I е Z. (м~)
Если -2b + 1 = -1, т. е. b = 1, то sin (х - л/4) = -1,
хг = -л/4 + 2лй, k е Z.
Заметим, что при Ъ = 0 две серии решений можно
объединить в одну:
х5 = -л/4 + nt, t е Z. (►£)
Заполним ось ответа (рис. 640).
\ Х5 /	\Х1’Х2/	\ X, /
Y.	X /	-V- -V- X 7	X 1 / V.
1/2
Рис. 640
1	Ъ
(ось ответа)
Ответ. 1)ЕслиЬ е (-°°; 0)о [1; +°°), то
х = -л/4 + 2лй, k е Z.
2)	Если Ь е (0; 1/2) о (1/2; 1), то
х = -л/4 + 2лй, k е Z;
х = л/4 + (-l)marcsin (1 - 2b) + лт, те Z.
3)	Если b = 0, то х = -л/4 + Ttt, t е Z.
4)	Если b = 1/2, то х = л/4 + лп, п е Z,
х = -л/4 + 2лй, k е Z.
е уравнение —2sinx _
1 + sin2x
Решение.
а е R
ООУ:  х ф л/2 + nk, k е Z,
х Ф -л/4 + лп, п е Z. (рис. 641)
У
Рис. 641
4.2. Тригонометрические уравнения и системы
1доз
(1 - (1 - cos 2х))/(1 + sin 2х) = (а - 1) tg х,
(cos 2х)/(1 + sin 2х) = (а - l)tg х.
Применим формулы cos 2х = (1 - tg2 х)/(1 + tg2 х),
sin 2х = 2tg х/(1 + tg2 х).
Получим уравнение
(1 - tg2 x)/(tg2 х + 2tg х + 1) = (а - l)tg х.
(1 - tg2 x)/(l + tg x)2 = (a - l)tg x,
(1 - tg x)/(l + tg x) = (a - l)tg x,
(a - l)tg2 x + atg x - 1 = 0.
Пусть tg x = u: (a - l)u2 + a • и - 1 = 0.
Если а = 1, то имеем линейное уравнение и - 1 = 0.
Тогда и = 1, tg х = 1, хг = л/4 + пт, те Z. (Гр
Пусть а Ф 1. Находим дискриминант квадратного
трехчлена:
D = а2 + 4а - 4.
1)	D < 0; а2 + 4а - 4 < 0, а е (-2 - 2 л/2 ; -2 + 2 л/2 ).
Уравнение решений не имеет. (ГГ)
2)	D = 0; а = -2 - 2 л/2 или а = -2 + 2 л/2 .
г	2 + 2л/2
Если а = -2 - 2 72 , то tg х =-----=- ,
2(-3-2д/2)
tg х = -(1 + 72)/(3 + 2л/2), tg х = 1 - 72,
х2 = arctg (1 - л/2 ) + nl, I е Z. (Гр
2 — 2 л/2
Если а = -2 + 2 л/2 , то tg х =----F,
2(-2 +272-1)
tg х = (1 - л/2 )/(2 л/2 - 3), tg х = л/2 +1.
х3 = arctg (л/2 + 1) + nt, t е Z. (Г7)
3)	а е (-оо; -2 -2 л/2) о (-2 + 2 л/2 ; 1) о (1; +°о).
Тогда D > 0.
, -а ± л/а2 + 4а - 4
tg Х ~	2(а - 1)	’
, -а ± л/а2 + 4а - 4	„ ,_____
х4 = arctg----рт——П-------h ле, с е Z. (Гд)
4041 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Остается проверить, нет ли среди решений х4 по-
сторонних, так как при переходе от данного урав-
нения к уравнению (а - l)tg2 х + atg х - 1 = 0 про-
изошло расширение области определения на мно-
жество -л/4 + тт, п е Z.
Подставим вместо х выражение -л/4 + лп в полу-
ченное уравнение:
(а - 1) tg2 (-л/4) + atg (-л/4) -1 = 0,
а-1-а-1 = 0, -2 = 0.
Таким образом, -л/4 + лп не является решением.
Значит, среди решений х4 недопустимых нет.
Заполним ось ответа (рис. 642).
-2-2^2
-2 + 2^2
(ось ответа)
Рис. 642
№ 8. Решите уравнение
(a2 + 1) sin2 х + 2а2 sin х + 1/2 = 0.
При каких действительных значениях параметра
а это уравнение имеет хотя бы одно решение?
Решение.
Пусть t = sin х, где |t| < 1. Получим уравнение
второй степени (a2 + l)t2 + 2a2t + 1/2 = 0.
Найдем Dp D4 = a4 - (a2 + l)/2 = (2a4 - a2 - l)/2 =
= (a2 - l)(2a2 + l)/2.
1)	Dx < 0; |a| < 1. Решений нет. (ГГ)
2)	D4 = 0; a = 1 или a = -1.
Решаем квадратное уравнение
2t2 + 2t + 1/2 = 0: (2t + l)2 = 0, t = -1/2,
sin x = -1/2, xT = (-l)fe +1 • л/6 + Ttk, k e Z. (VT)
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1405
3)	Dx > 0; |а| > 1. Тогда уравнение имеет два раз-
личных действительных корня tr и t2:
.	(	2 । /2а4 - а2 - 1 А ,, 2 । 1 \
*1 =	-а2 + ----------- /(а2 + 1),
\	Л	J
»2-(-а2- /“'V2-1 )/O2 + D-
Учтем, что |j| < 1.
(1): kJ < 1:
Г -а2 + /2д4 ~ д2 ~ 1 ] /(а2 + 1) < 1,
\	£*	J
( _а2 + J2a4 -а2 -Л )/(а2 + !)>_!,
|а| > 1;
7(2а4 - а2 - 1)/2 < 2а2 + 1,
' 7(2а4 - а2 - 1)/2 >-1,
|а| > 1;
2а4-а2-1	. 4	. 2 j. 1
----------- < 4а4 + 4а2 + 1,
|а| > 1;
(а2 + 1)(2а2 + 1) > 0,
|а|> 1.
Система равносильна неравенству |a| > 1, Итак, ес-
ли |a| > 1, то решения получаются из уравнения
(	2 . /2а4 - а2 - 1 Л ,, 2, -lx
sin х = I -а2 + I----------- 1/(а4 + 1):
х2 = (-1)" arcsin
► з
(2): |t2| < 1:
406 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
\( о /2а4 -а2 -IV, 2, их 1
-а2- ------------- |/(а2 + 1)<1,
1\ N 4	)
I _а2 _	-----1 )/(а2 + 1} > _Ъ
W> 1;
| -7(2а4 - а2 - 1)/2 < 2а2 + 1,
’ -7(2а4 - а2 - 1)/2 >-1,
|а| > 1;
J(2a*-a2- 1)/2 < 1,	|2а4 - а2 - 1 < 2,
|а|> 1;	}|а|> 1;
(а2 + 1)(2а2-3)< 0,	|2а2-3<0,
J«l > 1;	[|а|> 1;
>1 < Л72,
/|а| > 1.
_а2 _ ^(2а4 - а2 - 1 )/2
Тогда х3 = (-l)marcsin ----------ГП----------- +
+ itm, т е Z. (ГТ)
Если а = ±Тз/2 , то
х4 = -л/2 + 2nl, leZ,
х5 = (-1)*+ 1arcsin (1/5) + nt, t е Z.
Решения представлены на оси ответа (рис. 643).
Рис. 643
Ответ. (1): 1) Если|а|> 73/2 , то
z 1Ч„	. -а2 + 7(2^72V7)72
х = (1) arcsin------5—:--------
аг + 1
+ пп, ne Z.
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1407
2)	Если |а| = 1, то х = (-l)fe + 4л/6 + лй,
fee Z.
3)	Если а е [-73/2 ; -1) о (1; 73/2 ), то
,	. -а2 ± 7(2а4 - а2 - 1)/2 ,
х = (-Irarcsin---------9 ,........1-
а/ + 1
+ тт, п е Z.
4)	Если |а| < 1, то решений нет.
(2): Уравнение имеет хотя бы одно реше-
ние, если |а| > 1.
№9. Найдите значения а, при которых уравнение
2sin2 х - 3sin х cos х - 3cos2 х = а не имеет реше-
ний, удовлетворяющих неравенству 0 < х < л/2.
Решение.
Заметим, что если х е [0; л/2), а е R, то уравнение
определено. Приведем его к виду
(2 - a)sin2 х - 3sin х cos х - (3 + a)cos2 х = 0.
Если х е [0; л/2), то cos х ф 0.
Разделим обе части уравнения на cos2 х Ф 0:
(2 - a)tg2 х - 3tg х - 3 - а = 0.
Пусть у = tg х, где у > 0 (так как х е [0; л/2)):
(2-а)г/2-Зг/-3-а = 0. (1)
Если а = 2, то у = -5/3. Но -5/3 < 0.
Итак, при а = 2 данное уравнение не имеет ре-
шений, удовлетворяющих неравенству
0<х<л/2. (ГГ)
Пусть а ф 2: тогда уравнение (1) — второй сте-
пени.
D = 9 + 4(2 - а)(3 + а) = -4а2 - 4а + 33.
Найдем Dx квадратного трехчлена -4а2 - 4а + 33:
Dr136.
Тогда аг = -(1 + л/34 )/2; а2 = (-1 + л/34 )/2 — кор-
ни квадратного трехчлена.
4081 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
/	— 1 — 734	( — 1 + 734 Л
1)	Если а е I	— I о I --—*— ; +°° I
то D < 0, а значит, данное уравнение не име-
ет решений, удовлетворяющих неравенству
0<х<л/2. (FT)
2)	Пусть а = (-1 - л/34 )/2.
Тогда уравнение (1) примет вид
(5 + 734 )г/2/2 - Зг/ - (5 - 7Й )/2 = О,
г/= 3/(5+ 7Й).
Уравнение tg х = 3/(5 + 734) имеет корни на
интервале [0; я/2). Обозначим их (*). (ГУ)
3)	Пусть а = (-1 + 734 )/2:
(5-734 )г/2/2 - Зг/ - (5 + 734 )/2 = О,
г/ = 3/(5- 734).
Но 3/(5 - 734) < 0. Поэтомгу уравнение
tg х = 3/(5 - 734) не имеет корней на интерва-
ле [0; л/2). (м)
4)	Пусть D > 0, т. е.
а е (-(1 + Т34 )/2; 2) о (2; (-1 + Т34 )/2).
Если а е (-(1 + л/34 )/2; 2), то
у = (3 ± 7-4а2 - 4а + 33 )/(2(2 - а)).
„	3 + 7~4а2 - 4а + 33 „
Легко видеть, что----——----------- > 0.
Л CL J
Значит, при а е (-(1 + Т34)/2; 2) есть корни,
принадлежащие интервалу [0; л/2). Обозначим
их (**). (ГУ)
Если же а е (2; (-1 + 734 )/2), то имеем
3 + Т~4а2 — 4а + 33	„
2(2-а)
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1409
„	3 - 7-4а2 - 4а + 33
Рассмотрим число------2(2 - а)---'
Знаменатель дроби меньше нуля. Чтобы число
было положительным, надо, чтобы числитель
дроби был тоже отрицательным:
3 - 7~4а2 - 4а + 33 < 0. Решаем это неравен-
ство:
7-4а2 - 4а + 33 > 3, -4а2 - 4а + 33 > 9,
а2 + а - 6 < 0, -3 < а < 2. Но а е ( 2;	\
Значит, при а е (2; (-1 + л/34 )/2) данное уравне-
ние тоже не имеет решений, принадлежащих ин-
тервалу [0; л/2) (рис. 644). (Гр
Отве Т. (—ОО; (-1 - л/34 )/2) о [2; +оо).
№ 10. Даны два уравнения
х3 - (р + 1)х2 + 2(5р - 12)х + 14 -р
о л л	ЭС р И
х2 - 2х - 3
4cos ( х + \ ) = (6 + 73 - р )х - 10.
Значение параметра р выбирается так, что р < 3 и
число различных корней первого уравнения рав-
но сумме 3 - р и числа различных корней второго
уравнения. Решите второе уравнение при каждом
значении параметра, выбранном таким образом.
(ЕГЭ 2005 г.)
Решение.
Пусть k — число различных корней первого урав-
нения, п — число различных корней второго
уравнения. Тогда
k = 3 -р + п,
р<3,
k е N, п е N, где N — множество всех натураль-
ных чисел.
4101 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Отсюда следует, чтор — целое число.
Рассмотрим первое уравнение.
fx Ф —1,
ООУ: ф 3,
И3,ре Z.
Освободившись от знаменателя, переходим к урав-
нению-следствию х2 + (8р - 21)х - 4р + 14 = 0. (1)
1) Пусть х = -1. Подставим это значение х в урав-
нение (1):
1 - 8р + 21 - 4р + 14 = 0, р = 3. А теперь р = 3
подставим в уравнение (1):
х2 + Зх + 2 = 0, Гх = х = -2.
х = -2,
Итак, при р = 3 первое уравнение имеет один
корень.
2) Пусть х = 3: 9 + 24р - 63 - 4р + 14 = 0,р = 2.
Еслир = 2, то х2 - 5х + 6 = 0,	х = 2.
В этом случае первое уравнение тоже имеет
один корень.
3) Находим дискриминант уравнения (1 ):
D = (8р - 21)2 - 4(14 - 4р) = 64ц2 - 320р + 385.
Нас интересуют только те значения р, которые
удовлетворяют условиям: р < 1, р е Z. Легко
видеть, что в этом случае D > 0, а потому урав-
нение (1) и первое из данных уравнение имеют
два различных корня (рис. 645).
2 к. 2 к. 2 к, 1 к. 1 к.
—•---•-*---«--•—».
-10	1	2	3 Р
Рис. 645
Если первое уравнение имеет один корень, то
р = 2 илир = 3.
1) Й =	1 = 3-2 +п, п = 0.
’ Ik = 1,
Этот случай нас не устраивает.
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1411
2)	1 = 3-3 +n, n = 1.
| К — J. 9
Если первое уравнение имеет два различных
корня, то k = 2,р < 2,р е Z. Тогда 2 = 3 -р + п,
р— 1 + п. При п е N получим р > 2, что не удов-
летворяет условию р < 2.
Итак, остается один вариант:р = 3,п=1,й = 1.
Решим второе уравнение при р = 3.
4cos (лх/(х + 4)) = 6х - 10,
2cos (л/(х + 4)) = Зх - 5.
Последнее уравнение может иметь корни, если
-2 < Зх - 5 < 2, т. е. х е [1; 7/3].
Представим выражение лх/(х + 4) в виде
л(1 - 4/(х + 4)).
Если х возрастает от 1 до 7/3, то лх/(х + 4) воз-
растает от л/5 до 7л/19.
Но [л/5; 7л/19] с [0; л/2], где у = cos t убывает.
Функция ф = Зх - 5 возрастает. Значит, второе
уравнение может иметь не более одного корня.
Подбором находим корень х = 2.
Ответ. 2.
№11. Найдите при а = 1 все решения уравнения
sin (2(х - л)) - sin(3x - л) = a sin х, расположенные
на отрезке [0; л/2], и выясните, при каких а дан-
ное уравнение имеет единственное решение на
этом отрезке.
Решение.
1. При а = 1 данное уравнение имеет вид
sin (2х - 2л) + sin (л - Зх) = sin х.
Решаем его: sin 2х + sin Зх - sin х = 0,
2sin х cos х + 2 sin х cos 2 х = 0,
sin х = 0,
cos 2х + cos х = 0;
sin x = 0,
cos x = -1,
cos x = 1/2.
sin x = 0,
2cos2 x + cos x - 1 = 0;
412 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Уравнение sin х = 0 имеет на отрезке [0; л/2] один
корень х = 0, а уравнение cos х = 1/2 имеет на
этом отрезке корень х = л/3. Уравнение cos х = -1
не имеет корней на [0; л/2].
Итак, данное уравнение при а = 1 имеет на отрез-
ке [0; л/2] два корня: х = 0, х = л/3.
2. Узнаем теперь, при каких значениях а данное
уравнение имеет единственное решение на отрез-
ке [0; л/2].
sin 2х + sin Зх = a sin х,
2sin х cos х + 3sin х - 4sin3 х - a sin х = 0,
sin х (2cos х - 4sin2 x + 3 - a) = 0,
sin x = 0,
2cos x - 4sin2 x + 3 - a = 0.
Уравнение sin x = 0 имеет на отрезке [0; л/2] един-
ственное решение х = 0 при любом значении а.
Остается выяснить, при каких значениях а вто-
рое уравнение совокупности не имеет решений на
отрезке [0; л/2] или имеет единственное решение
х = 0.
Уравнение 2cos х - 4 sin2 х + 3 - a = 0 приводим к
равносильному: 4cos2 х + 2cos х - а - 1 = 0.	(1)
Пусть t = cos х, где 0 < t < 1.
4J2 + 2J-a- 1 = 0, (2)
= 4a + 5.
Рассмотрим ряд случаев.	\	/
1) Dx < 0 (рис. 646), в \	/
этом случае a <-5/4.	J
Уравнение (1) не имеет	7^
решений на отрезке ____________1
[0; л/2] при a <-5/4.	-1/4	*
2) Пусть f(t) = 4J2 + 2t - а - 1.	646
Система неравенств
D, > 0,
- Л0) < 0,
1/(1) < 0
4.2. Тригонометрические уравнения и системы
задает такое располо-
жение параболы, кото-
рое указано на рисунке
647 (штриховкой отме-
чено множество значе-
ний t = cos х, если
х е [0; л/2]).
а >-5/4,	а >-5/4,
-а - 1 < 0,	а>-1, а > 5.
4 + 2-а-1<0;	ш > 5,
При а > 5 уравнение (2) не имеет решений,
удовлетворяющих условию 0 < t < 1, а потому
уравнение (1) не имеет решений на отрезке
[0; л/2].
3)
D^O,
Л1) = о,
Д0)< 0
а >-5/4,
а = 5,
а > -1,
(рис. 648).
а = 5.
Рис. 648
Если а = 5, то уравнение (2) примет вид
4J2 + 2t - 6 = 0, tx = -3/2 (-3/2 < -1), t2 = 1.
Уравнение cos х = 1 имеет на отрезке [0; л/2]
единственное решение х = 0.
4)	Dj = О (рис. 649), тогда а = -5/4.
Уравнение cos х = -1/4
не имеет решений на
отрезке [0; л/2]. Зна-
чит, уравнение (1) ре-
шений не имеет.
5)	Если t = 0, то а = -1 и
f(t) = 4J2 + 2t. График
представлен на рисун-
ке 650.
Рис. 650
4141 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Уравнение cos х = 0 имеет решение х = л/2 на
отрезке [0; л/2].
Уравнение cos х = -1/2 не имеет решений на
этом отрезке.
Итак, .при а = -1 данное уравнение на отрезке
[0; л/2] имеет два решения: х = 0, х = л/2.
•’НлоГЛ (рис-б51,;
[а >-5/4, (а >-5/4,
[- а - 1 > 0;	\а< -1;
-5/4<а<-1.	Рис. 651
Итак, если а е (-5/4; -1), то уравнение (2) не
имеет решений, удовлетворяющих условию
te [0,1]. Значит, уравнение (1) не имеет реше-
ний на отрезке [0; л/2].
За мечание
Чтобы выяснить, при каких значениях а данное урав-
нение имеет единственное решение на отрезке [0; л/2],
можно сначала узнать, при каких а данное уравнение
имеет более одного решения на отрезке [0; л/2] или не
имеет решений. Уравнение sin 2х + sin Зх = asm х рав-
носильно совокупности уравнений
fsin х = 0,
[Дсоэ2 х + 2cos х — a — 1 — 0.
Уравнение sin х — 0 имеет единственное решение х = 0
на отрезке [0; л/2] при любом значении а. Значит, нам
остается узнать, при каких значениях а уравнение
4cos2 х + 2cos х - а - 1 = 0 (1) имеет на отрезке [0; л/2]
хотя бы один корень, кроме х — 0. Решая уравнение (1),
учтем, что а #5, так как при а = 5 уравнение (1) равно-
сильно уравнению cos х = 1, которое на отрезке [0; л/2]
имеет единственное решение х — 0.
Пусть cos х — t, где 0 < t < 1.
4t2 + 2t-l-a = 0. Нас интересует случай, когда Dj > 0,
т. е. a > —5/4. Находим и t2:
f, = (-1 + ^5~-F4a )/4, t2 = (-1 - л/5 + 4 a )/4.
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1415
Заметим, что (-1 - 75 + 4а )/4 < 0 при а > -5/4. Оста-
ется уравнение cos х = (-1 + 75 + 4а )/4. Оно имеет на
отрезке [0; л/2] корней, если значение а удовлетворяет
системе неравенств
1а >—5/4,	о>-5/4,
|о < -(1 + 75 + 4а)/4<1.	75 + 4а <5,
75 + 4а > 1;
а > —5/4,
5 +4а <25,
5 + 4о > 1;
а > -5/4,
а < 5,
о > -1;
-1 < а < 5.
Итак, если а е [-1; 5), то данное уравнение имеет более
одного решения на отрезке [0; л/2], а потому, если
а е (-оо; -1) и [5; +°°), то данное уравнение имеет на от-
резке [0; л/2] единственное решение х = 0.
Ответ. 1) При а = 1 уравнение имеет два корня
х = 0, х = л/3 на отрезке [0; л/2].
2) При а е (-°°; -1) о [5; +°о) данное
уравнение имеет единственное решение
х = 0 на отрезке [0; л/2].
№ 12. При каких значениях параметра т уравнение
(2т + 3)cos2 х + (т + l)cos х + 4 = 0 на интервале
(-л; л) имеет два различных корня?
Решение.
Пусть t = cos х, где t е (-1; 1].
Решаем уравнение (2т + 3)J2 + (т + 1)J + 4 = 0.(1)
При t = 1 уравнение cos х = 1
имеет на интервале (-л; л)
один корень х = 0 (рис. 652).
В этом случае т = -8/3.
Заметим, что каждому значению t е (-1; 1) соот-
ветствуют два различных корня уравнения cos х = t
из интервала (-л; л). Поэтому данная задача све-
лась к следующей: при каких значениях парамет-
ра т уравнение (1) имеет одно решение t е (-1; 1)?
1) Если т = -3/2, то t = 8. Но 8 ё (-1; 1).
В этом случае решений нет.
-л о л х
Рис. 652
4161 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
2) Пусть т Ф -3/2. Вводим функцию
f(t) = (2т + 3)t2 + (гп + 1)J + 4.
Ha рисунке 653, а—д покажем схематически,
как должна располагаться парабола в инте-
ресующих нас случаях. Направление ветвей
параболы определяется знаком выражения
(2т + 3) — коэффициента при t2.
Из рисунка 653, а видно, что при (2т + 3) < 0 (ветви
параболы направлены вниз) Д-1) > 0, а Д1) < 0.
Если 2т + 3 > 0 (ветви вверх), то Д-1) < 0, а Д1) > О,
Рис. 653
4.2, Тригонометрические уравнения и системы
тогда /(—1)-/(1) < 0; аналогично в случае г
Л-1) • Л1) < 0; (т + 6)(3т + 8) < 0; т е (-6; -8/3).
В случае б т = -6. Тогда уравнение (1) имеет два
корня: tr = -l,t2 = 4/9. Но -1 (-1; 1). Остается
один корень 4/9 е (-1; 1).
В случае в т = —8/3. Уравнение (1) тогда имеет
корни tx = 1, t2 = -12/7. Но ни один из них не при-
надлежит интервалу (-1; 1).
В случае д имеем систему
D = 0,
-1 < - — < 1, где D = т2 — 30m - 47;
- 2~£ — абсцисса вершины параболы
f(x) = Ах2 + Вх + С.
В____-т - 1 .
2А ~ 2(2т + 3):
т2 - 30т- 47 = 0,
т - 1 л
2(2т + 3) >-1’
т - 1
2(2т + 3) <
т = 15 ± 4«/17 ,
(3m + 5)/(2m + 3) > 0,
(5m + 7)/(2m + 3) > 0;
m = 15 + 4717.
m = 15 + 4717,
m < -5/3,
m> -7/5;
Ответ. [-6; -8/3) о {15 + 4717}.
№ 13. Решите уравнение х sin х = а\х\.
Решение.
ООУ: jaG R’
хе R.
Заметим, что данное уравнение имеет решение
хг = 0 при любом значении а е R. (Гц)
4181 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Пусть х Ф 0. Тогда получим совокупность двух
систем:
[х>0,	(1)
|sin х = а,
jx<0,	(2)
sin х = -а.
Решаем систему (1):
1)	|а| > 1. Решений нет. (УГ)
2)	а = 1: sin х = 1, х = л/2 + 2лй. k е Z.
Учтем, что х > 0.
Тогдах2 = л/2 + 2лй, fee Nu{0}. (ЯГ)
3)	а = -1: sin х = -1, х3 = -л/2 + 2лп, п е N. (кд)
4)	0 < а < 1 (рис. 654):
х4 = (-1)"1 arcsin а + пт, т e Nu {0}. (ЯГ)
xs = (-1)1 arcsin а + л I, I е N.
6) а = 0: х6 = nJ, t е N. (►7)
Решим систему (2):
1)	|-а| >1: а < Решений нет. (ЯГ)
2)	а = 0: х7 = яр, р = -1, -2, -3, .... (ГУ)
3)	а = -1: sin х = 1, х8 = л/2 + 2nq, (Яо)
q = —1, —2, —3, ....
4)	а = 1: sin х = -1, х9 = -л/2 + 2лй, (ЯГ)
h = 0, -1,-2, ....
4.2. Тригонометрические уравнения и системы 1419
5)	0<-а<1, -1 < а < 0:
х10 = (-1/+1 arcsin а + nf, f = -1, -2, -3, .... (М2)
6)	-1 < -а < 0, 0 < а < 1:
хг1 = (~1)с+1 arcsinа + ле, (из)
с = 0, —1, —2, —3, ....
Объединим решения на одной оси (рис. 656).
Заметим, что при а = 0 решения объединяются в
одно множество:
х12 = nd, de Z. (Гм)
Отв ет. 1) Если |а| > 1, то х = 0.
2)	Если а = -1,то х = -л/2 + 2лп, п е N;
х = л/2 + 2л</, q = -1, -2, ...; х = 0.
3)	Если а = 1, то х = 0; х = л/2 + 2лй,
fee Nu {0}; х = -л/2 + 2лй, h = -1, -2, ....
4)Если а = 0, то х = nd, de Z.
5)	Если а е (-1; 0), то х = 0;
х = (-1)г arcsin а + л/, I е N.
х = (-1)/+ 1 arcsin a + nf,f = -1, -2, -3, ....
6)	Если а е (0; 1), то х = 0;
х = (-1)"1 arcsin а + пт, т = 0, 1, 2, 3, ...
х = (-1)с + 1 arcsin а + пе, с = 0, -1, -2,
-3, ....
420 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
№ 14. При каких действительных значениях а мно-
жества решений уравнений 4cos2 х = а2 - 6 (1)
и 1 - cos 2х = а/& (2) совпадают?
Решение.
(1): 4cos2 х = а2 - 6. Понизим степень уравнения:
cos 2х= (а2 -8)/2.
1) |а2-8|/2> 1:
а2-8 >2,
а2 - 8 < -2;
а2 >10,
а2 < 6;
|а| > ДО;
|а| < Тб.
Уравнение (1) решений не имеет.
2)	(а2 - 8)/2 = 0, а = +2 л/2 : cos 2х = 0,
xt = л/4 + Ttk/2, k е Z. (VF)
3)	(а2 - 8)/2 = 1, а = ±«/10 : cos2x=l,
х2 = Tin, fie Z. (Гз)
4)	(a2 - 8)/2 = -1, a = ±7б : cos2x = -l,
x3 = n/2 + nm, me Z. (ГГ)
5)
а Ф ±7б,
аф+Jb,	а e (-710 ;-Тв) о (-78;-7б ) о
а^±710,	о(7б; 78)о(78; 710).
|а2 - 8|	,
----1 < 1.
— g
2х = ±arccos —5----h 2rcZ, I g Z,
— о
x4 = ±(1/2) arccos—x-FtcZ, Zg Z. (kT)
(2): 1 - cos 2x = a/f>,
cos 2x — 1 - a/6.
1) |l-a/6|> 1:
[ 1 - a/6 > 1,
|l-a/6<-l;
<0,
> 12.
a
a
4.2, Тригонометрические уравнения и системы
Решений нет. (Гр
2)	1 - а/6 = 0, а = 6: cos 2х = 0, хг = л/4 + лй/2,
йе Z. (ГТ)
3)	1 - а/6 = 1, 6 - а = 6, а = 0: cos 2х = 1,
х2 = лп, п е Z. (Гр
4)	1 - а/6 = -1, а = 12: cos 2х = -1,
х3 = л/2 + лт, me Z. (Гр
qi - а/6| < 1,
5)	^а^б,	а е (0; 6) о (6; 12).
[а Ф 12,
2х = ±arccos (1 - а/6) + 2л/, I е Z,
х5 = ±(1/2) arccos (1 - а/6) + л/, I е Z. (Гр
Проиллюстрируем результаты на координатных
прямых (рис. 657).
Рис. 657
Узнаем, когда (а2 - 8)/2 = 1 - а/6, учитывая, что
ае (76; 7§)и(78; Лб).
За2 — 24 = 6 — а, За2 + а - 30 = 0.
ах = -10/3; а2 = 3.
При а = 3 множества х4 и х5 совпадают. Нам нуж-
но установить, при каких значениях а уравнения
равносильны.
Сравнение результатов решений показывает, что
при а е (-оо; -Лб) и (~7б; 0) о {3} о (12; +°°)
уравнения равносильны.
422 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Ответ, a g (--оо* — 710) о (76; 0) о {3} о (12;
+оо).
Замечание
Приведем другой способ решения этого задания. Нам
достаточно найти такие значения а, при которых дан-
ные уравнения одновременно не имеют решений или
имеют одинаковые решения. Сначала в данных уравне-
ниях перейдем к sin2 х:
4cos2 х = а2 — 6, 4sin2 х — 10 - а2,
sin2 х = (10 — а2)/4.
1 - cos 2х — а/6, 2sin2 х — а/6, sin2 х — а/12.
(10 - а2)/4 > 1,
(10 - а2)/4 < 0;
а/12 >1,
а/12 < 0;
а2 < 6,
а2 > 10;
а > 12,
а < 0
(рис. 658).
Tio
. _ /Н । [а । Я
0
Рис. 658
а е (—оо; — 710) и (-76 ; 0) и (12; +°°).
2.]4sin2 х = 10- а2,
4sin2 х — а/3;
|3а2 + а — 3 — 0,
|а>0;
10 - а2 = а/3,
а > 0;
а = 3,
а = —20/6, а = 3
а > 0.
При а = 3 получаем уравнение sin2 х — 1/4. Это урав-
нение имеет решения. Значит, при а = 3 данные урав-
нения имеют одинаковые решения.
Поэтому при а е (—°°; — 710)	(—7^; 0) и {3} и
и (12; +оо) данные уравнения равносильны.
4,2. Тригонометрические уравнения и системы
1423
№ 15. Найдите все значения параметра а, при кото-
рых уравнение 2cos 2х + 2а sin х + а - 1 = О имеет
единственное решение на интервале (-л/2; 0).
Решение.
Приведем данное уравнение к равносильному:
4sin* 2 х - 2а sin х - а - 1 = 0.
Обозначим sin х = t, где t е (-1; 0). Получим урав-
нение второй степени 4i2 - 2at - а - 1 = 0, где
t е (-1; 0). Найдем его корни:
Dx = а2 + 4а + 4 = (а + 2)2, t1 = (a + 1)/2; t2 = -1/2.
На интервале (-л/2; 0) уравнение sin х = -1/2
имеет единственное решение х = -л/6 при любом
значении а е R.
Нам остается выяснить, при каких значениях а
уравнение sin х = (а + 1)/2 не имеет решений на
интервале (-л/2; 0) или имеет решение х = -л/6.
Учитывая, что t е (-1; 0), решаем совокупность
неравенств
(а + 1)/2 <-1, Получим
(а + 1 )/2 > 0.
Если х = -л/6, то (а + 1)/2 = -1/2. Тогда а = -2.
Ответ, а е (-°°; -3] о {- 2} о [-1; +<»).
Замечание
Решая уравнение sin х = (а + 1)/2, можно сначала вы-
яснить, при каких значениях а это уравнение имеет ре-
шения на интервале (-л/2; 0). Получим систему нера-
венств
а + 1
~2Г >-1’
откуда
и + 1.
2	<0’
а< -3,
а > -1.
а + 1 > -2; а > -3;
Если а е (-3; -1), то, чтобы решение было единствен-
ным, надо, чтобы (а + 1)/2 = -1/2: а = -2. Тогда при
а е (-оо; -3] и {-2} и [-1; +°о) данное уравнение имеет
единственное решение на интервале (-л/2; 0).
424 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
№ 16. Докажите, что уравнение
sin3x • cos(n/3 - 4х) + 1____
а + cos(n/6 + 7х) - sin(n/3 - х)
имеет решения при любом а Ф -2. Найдите реше-
ния уравнения.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе
[sin Зх cos (л/3 - 4х) =-1,	(1)
[а + cos (л/6 + 7х) - sin (л/3 - х) Ф 0.	(2)
Уравнение (1) равносильно совокупности систем
Isin3x = -1,
[cos (л/3 - 4х) = 1;
[sin3x = l,
[cos (л/3 - 4х) = -1.
. [sin3x = -l,	|3х = -л/2 + 2лй, k е Z,
a ' [cos (л/3 - 4х) = 1; [-л/3 + 4х = 2лп, п е Z;
[х = -л/6 + 2лй/3, fee Z,
[х = л/12 + лп/2, п е Z ф (рис. 659).
Система несовместна.
. [sin Зх = 1, [х = л/6 + 2лтп/3, me Z,^
[cos (4х - л/3) =-1;|х = л/3 + л//2, Ze Z Q
(рис. 660).
Рис. 659	Рис. 660
х = 5л/6 + 2nt, teZ.
4.2. Тригонометрические уравнения и^истемы 1425
Подставим х = 5л/6 + 2nt, t е Z, в неравенст-
во (2):
а + cos (л/6 + 35л/6) - sin (л/3 - 5л/6) 0,
а + cos 6 л + sin(n/2) * 0,
а + 2 Ф 0, а Ф —2.
Ответ, х = 5л/6 + 2nt, t е Z, при любом значе-
нии а * -2.
№ 17. Найдите все значения а, при которых уравне-
ние Ja - Ja+ cosx = cos x имеет решения.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе
[cos х > 0,
[а - Ja + cosx = cos2 х.
И далее:
j cos х > 0,
। CQgx _ а _ cqS2
cos х > 0,
а - cos2 х > 0,
[а + cos х = (а - cos2 х)2.
Рассмотрим ряд случаев.
1) Если а < 0, то система решений не имеет. Это
следует из неравенства а - cos2 х > 0.
2) Если а = 0, то данное уравнение примет вид
J—7cosx = cos x. Получаем уравнение cos х = 0:
х = л/2 + nk, k е Z.
3) Пусть а > 0. Решаем уравнение а + cos х =
= (a- cos2 х)2.
а2 - 2acos2 х + cos4 х = а + cos х,
а2 - a(2cos2 х + 1) + cos4 х ~ cos х = 0.
Это уравнение — второй степени относитель-
но а.
D = (2cos2 х + I)2 - 4cos4 х + 4cos х =
= (2cos х + I)2,
га = cos2 x + cos x + 1,
\a — cos2 x - cos x.
4261 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Теперь переходим к системе
cos х > О,
а - cos2 х > О,
Г cos2 х + cos х + 1 - а = О,
[cos2 х - cos х - а = О,
которая приводится к совокупности двух сис-
тем:
cos2 х + cos х + 1 - а = О,
cos х 5= О,
а - cos2 х > О,
cos2 х - cos х - а = О,
cos х > О,
а - cos2 х > 0.
(1)
(2)
Рассмотрим систему (1).
На координатной прямой параметра а будем отме-
чать факт наличия или отсутствия решений системы
(1) (рис. 661).
Есть
Есть
Рис. 66 1
Уравнение cos2 х + cos х + 1 - а = 0 — квадратное
относительно cos х.
D = 4а - 3.
а)	Если Dx < 0, т. е. 0 < а < 3/4, то система (1) ре-
шений не имеет.
б)	D = 0: а = 3/4, cos2 х + cos х + 1/4 = 0, cos х =
= -1/2. Но cos х > 0. Поэтому у системы (1) при
а = 3/4 решений нет.
в)	D > 0: а > 3/4. Уравнение имеет два корня:
cos х = (-1 + 74а - 3 )/2,
cos х = (-1 - 74а - 3 )/2.
4.2. Тригонометрические уровненйя и системы
Заметим, что (—1 - 74 а - 3 )/2 < 0 при а > 3/4.
Узнаем теперь, при каких значениях а > 3/4
уравнение cos х = (-1 + 74а - 3)/2 имеет реше-
ния, учитывая, что 0 < cos х < 1:
|(-1 + Т4а^З)/2 >0,
[(-1 + 74а7^3 )/2 < 1;
[4а - 3 > 1,	Ja > 1,
4а - 3 < 9;	ia<3;
[ 74а - 3 > 1,
ТдуГз < 3;
ае [1; 3].
Подставим выражение (-1 + 74a - 3 )/2 вместо
cos х в неравенство а - cos2 х > 0:
a-(l-274a-3 + 4a - 3)/4 >0,2 + 2 74 a - 3 > 0.
Это неравенство верно при а е [1; 3].
А теперь займемся системой (2).
cos2 х - cos х - a = 0. Дискриминант данного квад-
ратного относительно cos х уравнения обозначим
D': D' = 1 + 4a. Если а > 0, то D' > 0:
[cos х = (1 + Jl+4a )/2,
[cos х = (1 71 + 4a )/2.
Легко видеть, что (1 + 7^ + 4a )/2 > 1, если a > 0.
Узнаем, при каких значениях a > 0 уравнение
cos х = (1 - 71 + 4a )/2 имеет решения при усло-
вии, что 0 < cos х < 1:
0 < (1 - 7Г+4а )/2 < 1,
'71 + 4а < 1,	ТГТ4а < 1,
71 + 4а > -1,	1 + 4а < 1, а < 0.
Итак, уравнение cos х = (1 - 71 + 4a )/2, а зна-
чит, и система (2) при a > 0 решений не имеет (рис.
662). На рисунке 663 сведены результаты решения
данного уравнения для всех рассмотренных случаев:
4281 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
0
а™
Рис. 662
Есть
решение
0
решения,---------.решения
\ х Есть X. /
X. / решения /
3	а
(ось ответа)
Рис. 663
Ответ. При а е [1; 3] о {0} данное уравнение
имеет решения.
Замечание
При а > 0 приведем данное уравнение к совокупности
двух систем
fcos2 х + cos х + 1 — а = 0,
cos х > 0,	(1)
|а - cos2 х > 0;
fcos2 х — cos х — а = 0,
<cosx>0,	(2)
[а - cos2 х > 0.
Дальше можно решать другим способом. Покажем его.
Решаем систему (1). Уравнение cos2 х + cos х + 1 — а =
= 0 — второй степени относительно cos х.
cos х = (-1 ± 7 4а — 3 )/2, если а 3/4.
1) Рассмотрим cos х = (-1 + V 4а - 3 )/2. Это уравне-
ние имеет решения, удовлетворяющие системе (1),
если
0 < ( -1 + 7 4а- 3 )/2 < 1,
а >3/4;
74а - 3 < 3,
4а — 3 < 9,
74а - 3 > 1,
а > 3/4;
4а - 3 > 1,
а > 3/4;
4.2. Тригонометрические у равней я и системы
а < 3,
\а>1,	ае[1;3].
|.а > 3/4.
2) cos х = (-1 ->/4а -3 )/2. Видим, что неравенство
(-1 - V 4а - 3 )/2 < 0 при а > Я/А.
Перейдем к системе (2).
cos* 1 2 3 х - cos х - а = 0, cos х = (1 ± 71 + 4а )/2.
Рассмотрим уравнение cos х — (1 + л/1 + 4а )/2. Оно
имеет решения, если 0 < (1 + 7^~+ 4а )/2 < 1:
U1 < л/1 +4а < 1,
|а > 0.
Эта система несовместна.
Уравнение cos х — (1 - V1 + 4а )/2 имеет решения, если
0 < (1 71 +4а )/2 <1,	] о < 1- 71 +4а < 2,
|а>0;	ta>0.
Эта система тоже решений не имеет.
Итак, если а е {0} и [1; 3], то данное уравнение имеет
решения.
№ 18. Найдите значения а, при которых совместна
система уравнений
j cos4 х — (а + 2) cos2 х + 2а = 0,
|4^ +а'2^ + а — 1 = 0.
Решение.
Решим сначала уравнение
cos4 х - (а + 2)cos2 х + 2а = 0.	(1)
t = cos2 х, 0 < t < 1, t2 — (а + 2)t + 2а = 0.
D = (а - 2)2,	= 2: t2 = а.
2 g [0; 1]. Решаем уравнение cos2 х = а.
1) а = 0: cos х = 0, xt = л/2 + л/г, k е Z. y~j~)
2) а = 1: cos2 х = 1, х2 = лп, п е Z. (кг)
3) а е 0) о (1; +оо). Решений нет. (УТ)
4301 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
4) 0 < а < 1: cos2 х = a, cos х = ± Ja .
х3 = +arccos (± Ja ) + 2itm, те Z. (Гр
Уравнение 4^ + а • 2-Л + а - 1 = 0 (2) сводится к
квадратному:
I2 + al + а - 1 = 0, где I = 2^ ,1>1.
D = (a-2)2, ^=-1, /2М-а.
Видим, что -I й [1; +оо).
Решаем уравнение 2^ = 1 - а. Оно имеет реше-
ния, если 1 - а > 1: а < 0. (Гр
Если а = 0, то уг = 0. (Гр
Если а < 0, то Jy = log2 (1 - а), у2 = logj (1 - а). (Гр
О т в е т. Система совместна только при а = 0
(рис. 664).
Рис. 664
№ 19. Найдите все значения а, при которых система
уравнений
Гsin х • cos 2у = а2 + 1,
|cos х • sin 2у = а
имеет решения, и решите систему.
Решение.
ООС: а е R, х е R, у е R.
Учитывая, что |sin £| < 1, |cos £[ < 1, получим систему
[а2 + 1< 1,
1-1 < а < 1. Откуда а = 0.
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром
А теперь решим данную систему при а = 0:
[sin (х + 2у) = 1,	\х + 2у = л/2 + 2лй, k е Z,
[sin (х - 2у) = 1,	|х - 2у = л/2 + 2лп, п е Z,
[х = л/2 + л(А + п), k,n& Z,
[у = л(А - п)/2, k, п е Z.
Ответ. Система имеет решения только при а = 0:
Гх = л/2 + n(fe + n), k, п е Z,
[у = л(А - n)/2, k, п е Z.
 4.3. Тригонометрические неравенство
с параметром
№ 1. Решите неравенство sin х > а.
Решение.
1)	Если а > 1, то решений нет. (Ур
2)	Пусть а = 1. Неравенство sin х > 1 решений не
имеет. (УТ)
3)	а = 0: sin х > 0, х е (2лп; л + 2лп), п е Z. (УТ) (а)
4)	а ~ -1: sin х > -1, х Ф -л/2 + 2лА, k е Z. (УТ) (р)
5)	а < -1: хе R. (УТ)	(у)
6)	0 < а < 1 (рис. 665):
х е (arcsin а + 2лт; л - arcsin а + 2лт),
те Z. (УТ)
Рис. 665
Рис. 666
432 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
7)	-1 < а < 0: рис. 666.
х е (arcsin а + 2лт; л - arcsin а + 2пт),
те Z. (77)
(Y)
-1	0
Рис. 667
1	а
(ось ответа)
Ответ. 1) Если а е (-1; 0) и (0; 1), то (arcsin а +
+ 2пт; л - arcsin а + 2лт), т е Z.
2)	Если а е [1; +°°), то решений нет.
3)	Если а е (-°°; -1), то (-°°; +°°).
4)	Если а = -1, то х— любое действи-
тельное число, кроме -л/2 + 2лА, k е Z.
5)	Если а = 0, то (2лп; л + 2лп), п е Z.
№ 2. Решите неравенство sin х < Ъ.
Решение.
ООН: \Ь е 5’
[х е К.
Рассмотрим ряд случаев.
1)	b< -1. Решений нет. (7Т)
2)	Ъ = 0: sin х < 0, х е (-л + 2лА; 2лА), k е Z. (77)(а)
3)	Ъ > 1: х е R. (7~з)
4)	Ъ = 1: sinx < 1, xt л/2 + 2лп, п е Z- (7©	(Р)
5)	Ъ е (-1; 0) и (0; 1): рис. 668 и 669.
Рис. 668
Рис. 669
4,3, Тригонометрические неравенства с параметром
|ДЗЗ
х е (-л - arcsin Ъ + 2лт; arcsin Ь + 2лт),	(у)
т е Z.
Ответ запишите самостоятельно по рисунку 670.
(ось ответа)
Рис. 67О
№ 3. Решите неравенство cos х > Ь.
Решение.
ООН:
&е R,
хе R.
1)	& > 1: решений нет. (ГГ)
2)	Ь < -1: х е R. (£2)
3)	Ъ = -1: cos х > -1, х Ф -л + 2nk, k е Z. (?Т)	(а)
4)	Ъ = 0: cos х > 0, х е (-л/2 + 2лп; л/2 + 2лп),(р)
п е Z. (м~)
5)	& е (-1; 0) и (0; 1): рис. 671 и 672.
Рис. 671
х е (-arccos Ь + 2лт; arccos Ь + 2лт), те Z.(k5~) (у)
4341 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Ответ списываем с оси ответа (рис. 673).
b
(ось ответа)
Рис. 673
№ 4. Решите неравенство cos х < а.
Решение.
ООН: \а е R’
[х е R.
1)	а > 1: хе R. (Гр
2)	а < -1: решений нет. (Гр
3)	а = 0: cos х < 0, х е (л/2 + 2лА; Зл/2 + 2лА), (а)
k е Z. (Гр
4)а = 1: cos х < 1, х Ф 2лп, п е Z. (Гр	(Р)
5) а е (-1; 0) и (0; 1): рис. 674 и 675.
2л - arccos а
Рис. 674
х е (arccos а + 2пт; 2л - arccos а + 2лт),	(у)
те Z. (Гр
Ответ приведен на оси параметра (рис. 676).
Рис. 676
(ось ответа)
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром 1435
№ 5. Решите неравенство tg х > а.
Решение.
ООН- I
‘ [х Ф л/2 + л/г, k е Z.
1)а = 0: tg х > 0, х е (пп; л/2 + лп), п е Z. (а)
2) а > 0: рис. 677.
х е (arctg а + пт; л/2 + пт), те Z.	(Р)
3) а < 0: рис. 678.
х е (arctg а + пт; л/2 + пт), т е Z.	(Р)
Заполним ось ответа (рис. 679).
Р
а
(ось ответа)
Рис. 679
№ 6. Решите неравенство tg х < Ъ.
Решение.
ООН'
' \x*n/2 + nk, ke Z.
1) Ъ = 0: tg х < 0, х е (-л/2 + пп; пп), п е Z. (а)
2) &^0: рис. 680 и 681.
х е (-л/2 + пт; arctg Ъ + пт), те Z.	(Р)
436 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Представим результаты на оси параметра
(рис. 682).
(ось ответа)
Рис. 682
ООН:
№ 7. Решите неравенство ctg х > а.
Решение.
а е R,
х Ф nk, k е Z.
1)а = 0: ctgx > 0, х е (лп; л/2 + лп), п е Z. (а)
2) а Ф 0: рис. 683 и 684.
х е (лт; arcctgа + пт), те Z.	(Р)
4.3. Тригонометрические неравенства g параметром 1437
Ответ представлен на оси ответа (рис. 685).
О
Рис. 685
а
(ось ответа)
№ 8. Решите неравенство ctg х < Ъ.
Решение.
ООН:\Ь е R* ь „
\x*ltk, fee Z.
1) Ъ = 0: ctg х < 0, х е (-л/2 + лп; лп), п е Z. (а)
2) b Ф 0: рис. 686 и 687.
Рис. 686
Рис. 687
х е (arcctg Ъ + лт; л + лт), т е Z.	(р)
Заполняем ось ответа (рис. 688).
Ь
(ось ответа)
Рис. 688
№ 9. Решите неравенство sin х > а - 1.
Решение.
ООН: \а е ?’
хек.
4381 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
1)	а - 1 = 0, а = 1: sinx>0,
х е [2лй; л + 2лй], fee Z. (УТ)	(а)
2)	а - 1 = 1, а = 2: sin х > 1, sin х = 1,
х = л/2 + 2пп, п е Z. (УТ)	(Р)
3)	а - 1 = -1, а = 0: sin х > -1, хе R. (Уз)
4)	а > 2: решений нет. (Ур
5)	а <0: хе R. (Уд)
6)	ae (0; 1) u(1; 2): рис. 689 и 690.
Рис. 689	Рис. 690
х е (arcsin (а - 1) + 2лт;
л - arcsin (а - 1) + 2лт), т е Z. (Ур (у)
Ответ списывается с оси параметра (рис. 691).
(ось ответа)
Рис. 691
№ 10. Решите неравенство cos (2х - л/4) > а.
Решение.
ООН:
\а е R,
[X е R.
1) а < -1: хе R. (УТ)
2) а > 1: решений нет. (Ур
3)а = 1: cos (2х - л/4) = 1,
2х - л/4 = 2лй, k е Z, х= л/8 + nk, k е Z. (Уз) (а)
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром 1439
4)	а = 0: cos (2х - л/4) > 0,
-л/2 + 2лп < 2х - л/4 < л/2 + 2лп, n е Z,
-л/8 +лп < х < Зл/8 + лп, п е Z. (£4)	(Р)
5)	ае (-l;0)u(0; 1):
-arccos а + 2лтп < 2х - л/4 < arccos а + 2лтп,
те Z,
1	1
л/8 - х arccos а + лтп < х < л/8 + х arccos а +
Li	U
+ лтп, т е Z. (ГГ)	(у)
Заполним ось ответа (рис. 692).
Рис. 692
№ 11. Решите неравенство cos2 (х + 1) < а.
Решение.
ООН: \а е 5’
[х е R.
2cos2 (х + 1) < 2 а, 1 + cos (2х + 2) < 2а,
cos (2х + 2) < 2а - 1.
1)	2а — 1 = 0, а = 1/2: cos (2х + 2) < 0,
л/2 + 2лй < 2х + 2 < 3/2л + 2лй, k е Z,
л/4 - 1 + лй < х < 3/4л - 1 + лй, й е Z. (ГГ) (а)
2)	2а - 1 = -1, а = 0: cos (2х + 2) < -1. Решений
нет. (кГ)
3)	а < 0. Решений нет.
4)	2а - 1 = 1, а — 1: cos (2х + 2) < 1, 2х + 2 Ф 2лп,
п е Z,
х ф -1 + лп, п е Z. (кр	(Р)
5)	а> 1: хе R. (►£)
6)	ае (0; 1/2)и(1/2; 1):
arccos (2а - 1) + 2лтп < 2х + 2 < 2л -
- arccos (2а - 1) + 2лтп, т е Z,
4401 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
2 arccos (2а -1) - 1 + пт < х < л -1 -
- g arccos (2а - 1) + пт, meZ. (Уб)
Ответ списывается с оси ответа (рис. 693).
(Y)
0 \gz у X/	Z Y 'S\0/Z R
0	1/2	1	а (ось ответа)
Рис. 693
№ 12. Решите неравенство sin х > 2/(а - 1).
Решение.
ООН:.0** 1 2’	(м)
\_х е R. —
1) 2/(а - 1) = 1, а = 3: sin х > 1. Решений нет.(7Т)
2) 2/(а - 1) > 1: (2 - а + 1)/(а - 1) > 0,
(3 - а)/(а - 1) > 0, а е (1; 3). Решений нет. (ИГ)
3) 2/(а - 1) = -1, а = —1, sin х > -1,
х * -п/2 + 2nk, k е Z. (►£)	(а)
4) 2/(а - 1) <-1, (а + 1)/(а - 1) < 0, ае(-1;1).
В этом случае х е R.	(ЕЮ
5)
f 2
। а - 1
I 2
(рис. 694).
:	I3 4
_____^//7.7777/7,77'	"7/,у.
-11 х
Рис. 694
ае (_оо; -l)u(3; +оо):
4.3. Тригонометрические неравенство с параметром 1441
(2	2
х е arcsin-7 + 2лп; л - arcsin-7 + 2пп
I а - 1	а - 1
п е Z. (Ур	(р)
Покажем результаты на оси ответа (рис. 695).
3	а
(ось ответа)
Рис. 695
№ 13. Решите неравенство cos х2 > а - 2.
Решение.
ООН:
la е R,
[хе R.
1)	а - 2 = 0, а = 2: cos х2 > 0.'
-л/2 + 2лй < х2 < л/2 + 2лй, k е N и {0}.
Если k = 0, то х2 < л/2, |х| < А/2 ,
х е (-А/2 ; А/2).	(а)
Если k е N, то
х2 < л/2 +2лй,
х2 > -л/2 + 2лй,
|х| < А/2 + 2лй ,
|х| > 7-л/2 + 2лй
(рис. 696).
+ 2 л*	& + 2л*
I [ I I
+ 2л*	+ 2л*
Рис. 696
х е (- А/2 + 2лй ; --Ая/2 + 2лй) и
и (7-Л/2 + 2лй; Jit/2 + 2л£), k е N. (ГГ) (р)
442 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
2)	а - 2 = 1, а = 3: cos х2 > 1. Решений нет.
3)	а > 3. Решений нет.
4)	а - 2 = -1, а = 1: cos х2 > -1, х2 Ф л + 2пп,
п е N и {0}.
х Ф ± 7л + 2лп , n е Nu{0}. (к4~)
(?)
5)	ае (2; 3). Тогда0 < а - 2 < 1: рис. 697.
-arccos (а - 2) + 2пт <х2 < arccos (а - 2) + 2пт,
me Nu {0}.
Если т = 0, то х2 < arccos (а - 2),
|х| < 7arccos(a - 2).	(со)
Если me N, то
\х2 > -arccos (а - 2) + 2пт,
х2 < arccos (а - 2) + 2тгт,
j|x| > 7-arccos(a - 2) + 2тгт,
।|х| < Jarccos(a - 2) + 2пт (рис. 698).
-7-arccos (а - 2) + 2лтп	— 7-arccos (а - 2) + 2лтп
z^ZZZZWTWWzZZ^zA	Q //^Wfr/zz, - zZW^z.ZZZ^,z о,
I	[I	X
—_____.................................... ж
7-arccos (а - 2) + 2лтп 7-arccos (а - 2) + 2лтп Х
Рис. 698
4.3. Тригонометрические неравенства
сТюраметром |Д43
х е (~7arccos(a - 2) + 2лтп;
-л/ arccos(а - 2) + 2пт )и(л/-агссоз(а - 2) + 2пт ;
7arccos(a - 2) + 2ппг), т е N. (Гр	(ф)
6)	а е (1; 2): -1 < а - 2 < 0: рис. 699.
В этом случае решения те же, что и в случае 5:
(со) и(ф). (Гр
Ответ списывается с оси параметра (рис. 700).
(ось ответа)
Рис. 700
№ 14. Решите неравенство sin х < а/(а - 1).
Решение.
ООН: \а # 15 (ГТ)
[х е R.
1)	а = 0: sin х < 0, хе (-л + 2im; 2пп), пе Z. (ГГ) (а)
2)	а/(а - 1) = — 1, а — 1/2: sin х < — 1.
Решений нет. (Гр
3)	а/(а - 1) > 1, 1/(а - 1) > 0, а > 1: х е R. (м)
4)	а/(а - 1) < -1, (2а - 1)/(а - 1) < 0, 1/2 < а < 1.
Решений нет. (Гр
4441 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
(-1 < а/(а - 1) < 1
\а ф О,
а< 1/2,
а < 1,
а Ф О,
(2а - 1)/(а - 1) > О,
а Ф О,
1/(а-1)<0,
а < 1/2,
а Ф 0.
(	.а „ , .а „ , Ч
х е -я - arcsin--7 + 2лй; arcsin-7 + 2яй ,
V	а - 1	а - 1	)
fee Z. (Уб)	(р)
Заполним ось ответа (рис. 701).
Рис. 701
(ось ответа)
№ 15. Решите неравенство cos х > 1/(а + 1).
Решение.
ООН:]"*'1’ (ED
хе R.
1)	а = 0: cos х > 1. Решений нет. (Гр
2)	1/(а + 1) > 1, (-а)/(а + 1) > 0, -1 < а < 0.
Решений нет. (>~з~)
3)	1/(а + 1) = -1; а = -2: cosx>—1,
хФл + 2яй, k е Z. (а) (ЕР
4)	1/(а + 1) < -1,	< 0, -2 < а < -1: хе R.(T~D
5)	а е (-оо; -2) и (0; +°о):
(	1	1	„ Л
х е -arccos —~тг + 2лп; arccos —г-7 + 2тт ,
\	а+1	а+1	)
ne Z. (нГ)	(р)
4.3. Тригонометрические неравенства сТюраметром
Ответ представлен на оси ответа (рис. 702).
-2	-1	0	а
(ось ответа)
Рис. 702
№ 16. Решите неравенство cos х <
Решение.
1)	а = 1: cos х < 0, х е (л/2 + 2лй; Зл/2 + 2лй), (а)
fee Z. (ГТ)
2)	(а - 1)/(а + 2) > 1, а < -2: х е R. (>з~)
3)	(а - 1)/(а + 2) < -1, (2а + 1)/(а + 2) < 0,
-2 < а < -1/2. Решений нет. (кГ)
4)	а е (-1/2; 1)и(1;+«>):
х е f arccos , а + 2лп;	(В)
( а + 2
2л - arccos ——5 + 2 л л , п е Z. (Гр
6Х “Г	/
№ 17. Решите неравенство a sin х > 2.
Решение.
ООН:
а е R,
х е R.
1)	а = 0: 0 • sin х > 2. Решений нет.
2)	а > 0: sinx>2/a.
а)	а = 2: sin х > 1. Решений нет.
446 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
б)	0 < а < 2. Решений нет.
в)	а > 2:
х е (arcsin (2/а) + 2лп; л - arcsin (2/а) + 2лп),
п е Z.	(а)
3)а<0: sin х< 2/а.
а)а = -2: sin х <-1. Решений нет.
б) -2 < а < 0. Решений нет.
в) а < -2:
х е (-л - arcsin (2/а) + 2пп; arcsin (2/а) + 2лп),
п е Z.	(р)
Ответ списывается с оси ответа (рис. 704 или 705).
Рис. 704
(ось ответа)
а
Рис. 705
а
(ось ответа)
Ответ. 1) Если а > 2, то (arcsin (2/а) + 2пп;
л - arcsin (2/а) + 2лп), п е Z.
2) Если а < -2, то (-л - arcsin (2/а) + 2л л;
arcsin (2/а) + 2лп), п е Z.
3) Если |а| < 2, то решений нет.
№ 18. Решите неравенство sin (ах - 2) < а,
где -1 < а < 0.
Решение.
Из рисунка 706:
-л - arcsin а + 2лй < ах - 2 < arcsinа + 2лй, fee Z,
2 - л - arcsin а + 2лй < ах < 2 + arcsin а + 2лй, k е Z.
Учтем, что ~1 < а < 0.
4,3, Тригонометрические неравенства с параметром
2/а + (arcsin а)/а + 2nk/a < х < 2/а - п/а -
- (arcsin а)/а + 2лй/а, k е Z.
Ответ. [2/а + (arcsin а)/а + 2лй/а; 2/а - л/а -
- (arcsin а)/а + 2лй/а], k е Z.
№ 19. Решите неравенство (b - l)cos х < 1.
Решение.
& = 1: 0 • cos х < 1, х е R. (ГГ)
Ь*1:
1)&>1: cos х < 1/(& - 1).
Рассмотрим ряд случаев, учитывая, что
1/(Ь - 1) > 0.
ч [1/(&-1)>1, [&<2,	ч
, i	Тогда х е К.(кГ)
|о >1;	[Ь> 1.	—
ъ>2-
хе ( arccos	+ 2лk; 2л- arccos ,	+ 2лk ,
V Ъ - 1	Ь - 1	)
ke Z. (kT)	(а)
в) Ъ = 2: cos х < 1, х Ф 2лп, п е Z. (V7)	(Р)
2) Ъ < 1: cos х > l/(b - 1).
4481 Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Заметим, что при Ъ < 1 дробь l/(b - 1) меньше 0.
ч [1/(&-1)<-1, [&>0,	™	О/ ч
а)	Т'	1.^1	Тогда х е R. (УТ)
|о <1;	[о < 1.	—
б)	l/(b - 1) = -1, Ъ = 0: cos х > -1, х + 2пт, (у)
те Z. (УТ)
ч [1/(Ь- 1)>-1,	,
в \Ь < 1-	& < о.
хе ( -arccos , i + 2nZ; arccos + 2л Z ,
V	о — 1	о — 1	)
leZ. (ED	(со)
Заполняем ось ответа (рис. 707).
0	2	&
(ось ответа)
Рис. 707
№ 20. Решите неравенство (а - 2)sin х > За + 4.
Решение.
ООН:
ja е R,
|х е R.
1)	а = 2: 0 • sin х > 10. Решений нет. (УГ)
2)	а > 2: sin х > (За + 4)/(а - 2). Видно, что
(За + 4)/(а - 2) > 0, если а > 2.
(За + 4)/(а - 2) = 1 + (2а + 6)/(а - 2), а потому
(За + 4)/(а - 2) > 1, если а > 2.
В этом случае решений нет. (Ур
3)	а < 2: sin х < (За + 4)/(а - 2).
а)	а = -4/3: sinx<0,
хе (-л + 2nk; 2лй), keZ. (Ур	(а)
б)	(За + 4)/(а - 2) < -1, (2а + 1)/(а - 2) < 0,
а >-1/2. Решений нет. (Ур
в)	а = -1/2: sin х <-1. Решений нет. (УТ)
г)	(За + 4)/(а - 2) > 1, (а + 3)/(а - 2) > 0,
а < -3: х е R. (УТ)
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром 1449
д)	а = -3: sinх < 1,xt л/2 + 2лп, не Z. (УУ) (Р)
е) 0 < (За + 4)/(а - 2) < 1: -3 < а < -4/3.
(	. За + 4 о . За + 4
хе -л-arcsm----------— + 2л/п; arcsin-----— +
V	а - 2	а - 2
+ 2лтп j, т е Z. (мГ)	(у)
ж) -1 < (За + 4)/(а - 2) < О, -4/3 < а < -1/2:
(	. За + 4 о . За + 4
хе —л - arcsin-------— + 2л/п; arcsin-----— +
V	а - 2	а - 2
+ 2лт j, т е Z. (VF)
Заполним ось ответа (рис. 708).
№ 21. Решите неравенство (5а - 7) cos х < а + 5.
Решение.
ООН: е J’
[х е R.
1)а = 7/5: 0 • cos х < 32/5, х е R. (ГГ)
2)	а > 7/5: cos х < (а + 5)/(5а — 7). Видно, что ес-
ли а > 7 /5, то (а + 5)/(5а - 7) > 0.
а)	(а + 5)/(5а - 7) = 1, а = 3: cos х < 1, х Ф 2лй,
йе Z. (кГ)	(а)
б)	(а + 5)/(5а - 7) > 1, 7/5<а<3: х е R. (►£)
в) 0 < (а + 5)/(5а - 7) < 1, а > 3:
(	а+ 5 . „	„	а + 5
х е arccos z----- + 2лп; 2л — arccos z---
I	5а - 7	5а - 7
+ 2лп L п е Z. (►?
(₽)
4501 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
. (ЕЮ
> -1,
(?)
(со)
3)	а < 7/5: cos х > (а + 5)/(5а - 7).
а)	(а + 5)/(5а - 7) < -1: 1/3 < а < 7/5, х е R
б)	(а + 5)/(5а - 7) = -1, а = 1/3: cos х :
х Ф л + 2пт, т е Z. (►£)
в) -1 < (а + 5)/(5а - 7) < 0,
|а + 5>0,
[а + 5<-5а + 7,	-5<а<1/3:
(	а + 5 , о ,
х е -arccos ------ + 2пг,
V	5а - 7
arccos 5 +	+ 2л/ \ I е Z. (Гр
5а - 7	)
г)	а = -5: cos х > 0, х е (-л/2 + 2л1; л/2 + 2nt),
teZ. ЕЮ	(ф)
д)	0 < (а + 5)/(5а - 7) < 1,
[а < -5,
|а	< 3, а < -5:
(	а + 5 , о ,	а+5,
х е -arccos ------ + 2л/; arccos --- +
к	5а - 7	5а - 7
+ 2л/ 1,1 е Z. (ЕЮ
№ 22. Решите неравенство |sin (2 х - 4)| < а.
Р е ш е н и е.
ООН:
[а е R,
|х е R.
Легко видеть, что при а < 0 неравенство решений
не имеет. (7Т)
Если а = 0, то sin (2х - 4) = 0,
х = 2 + лй/2, fee Z. (ЕЮ	(а)
4.3. Тригонометрические неравенство с параметром
|Д51
Если а > 1, то х е R. (7з)
Пусть 0 < а < 1. Тогда дан-
ное неравенство равносиль-
но системе
[sin (2х - 4) < а,
[sin (2х - 4) > -а.
Обозначим 2х - 4 буквой t:
jsin t < а,
[sin t> -а (рис. 710).
t e [-arcsin a + im; arcsin a + itn], ne Z,
-arcsin a + itn 2x - 4 arcsin a + itn, neZ,
2 - arcsin a + itn/2 < x < 2 + arcsin a + nn/2,
n e Z. (77)	(P)
Заполняем ось ответа (рис. 711).
Ola
(ось ответа)
Рис. 711
№ 23. Решите неравенство |tg (Зх - 2)| а, где a > 0.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе
Рис. 712
452 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
-arctg а + nk < t < arctg а + nk, fe e Z,
-arctg a + nk < 3x - 2 < arctg a + nk, fee Z,
2/3 — (1/3) arctg a + nfe/3 < x 2/3 + (1/3) arctg a +
+ nfe/3, fe e Z (рис. 712).
Ответ. [2/3 - (1/3) arctg a + nfe/3; 2/3 +
+ (1/3) arctg a + nfe/3], fee Z, a > 0.
№ 24. Решите неравенство sin2 (2x - n/4) >a,ae (0; 1).
Решение.
2sin2 (2x - n/4) > 2a,
1 - cos (4x - n/2) > 2а,
1 — sin 4x > 2a,
sin 4x < 1 - 2а.
Если 0 < а < 1, то -1 < 1 - 2а < 1.
1)	а = 1/2: sin 4х «5 0,
-п + 2nk < 4х < 2nk, fe е Z,
-л/4 + nk/2 < х < nfe/2, fee Z.	(а)
2)	О < а <1/2. Тогда 0 < 1 - 2а < 1.
-л - arcsin (1 — 2а) + 2пп < 4х arcsin (1 - 2а) +
+ 2лп, п е Z,
,, arcsin(l-2a) ,	. arcsin(l - 2а)
-л/4--------------- +лп/2<х<-------------- +
+ лп/2, neZ.	(Р)
3)	1/2 < а < 1. Тогда-1 < 1 - 2а < 0.
arcsin(l - 2а)	arcsin(1 - 2а)
-л/4--------------- +лп/2 х	------- +
+ лп/2, п е Z.	(Р)
Заносим результаты на ось ответа (рис. 713).
	/			\ а /	\ р	XZ	р X.
0	1/2	1	а (ось ответа)
Рис. 713
4.3, Тригонометрические неравенства с параметром 1453
№ 25. Решите неравенство |cos (х - 2)| > а, а е (0; 1).
Решение.
Данное неравенство равносильно совокупности
неравенств
cos (х - 2) > а,
cos (х - 2) -а.
Пусть х - 2 = t:
cos t > а,
cos t <-a.
Воспользуемся единичной окружностью (рис.
714).
Рис. 714
-arccos а + лй, < t < arccos а + лй, й е Z,
-arccos а + лй, < х - 2 arccos а + лй, й е Z,
2 - arccos а + лй<х<2 + arccos а + лй, й е Z.
Ответ. [2 - arccos а + лй; 2 + arccos а + лй], й е Z,
а е (0; 1).
№ 26. Решите неравенство ctg |2х - 3| < а.
Решение.
а е R,
х^лп/2 + 3/2, пе Z.
1) Если а = 0, то ctg |2х - 3| < 0.
л/2 + лй < |2х - 3| < л + лй, й е N и {0}.
Двойное неравенство равносильно системе
|2х - 3| > л/2 + лй,
|2х - 3| < л + лй, й е N и {0}.
ООН:
4541 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Раскроем модуль и перейдем к совокупности
двух систем:
2х - 3 > О,
2х - 3 > л/2 + лй,
2х - 3 < л + лй,
2х-3<0,
-2х + 3 > л/2 + лп,
йе Nu{0}.
(1)
йе Nu{0}.
(2)
. 1-2х +,3 < л + лп,
Первая система дает следующие решения
3/2 + л/4 + лй/2 < х < 3/2 + л/2 + лй/2,
йе Nи {0}, а вторая — такие:
3/2 - л/2 - лй/2 < х 3/2 - л/4 - лй/2,
йе Nu{0}.
Отсюда окончательно при а = 0 получается
3/2 + л/4 + лй/2 < х < 3/2 + л/2 + лй/2,
3/2 - л/2 - лй/2 < х 3/2 - л/4 - лй/2,
йе Nu {0}.	(а)
2) Пусть а Ф 0. Тогда ctg |2х - 3| < а.
arcctg а + ли < |2х - 3| < л + ли, т е N и {0}.
Решая, как в предыдущем случае, получаем
3/2 + (l/2)arcctg а + лтп/2 х < 3/2 + л/2 + лтп/2,
3/2 - л/2 - лтп/2 < х < 3/2 - (l/2)arcctg а - лтп/2,
т е N и {0}.	(Р)
Заполняем ось ответа (рис. 715).
Рис. 715
а
(ось ответа)
№ 27. Решите неравенство cos х 2 - а2.
Решение.
ООН: |а е 5’
хе R.
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром
1)	2 - а2 = 0, а = ± ,]2: cos х < О,
хг е [л/2 + 2лй; Зл/2 + 2лй], k е Z. (Гр (а)
2)	2 - а2 = 1, а = +1: cos х < 1, х е R. (Гр
3)	2 - а2 = -1, а = ±73 : cos х < -1, cos х = -1,
х = л + 2лп, п е Z. (Гр	(Р)
4)	2 - а2 > 1, а2 < 1, |а| < 1: хе R. (Гр
5)	2 - а2 < -1, а2 > 3, |а| > J3 . Решений нет. (Гр
6)	ае (-73;-72)u(-72;-1)u(1; 72) и
и (72; 73).
Тогда (2 - а2) е (-1; 0) и (0; 1):
х е [arccos (2 - а2) + 2 л аг; 2л - arccos (2 - а2) +
+ 2лт], т е Z. (Гр	(у)
Заполняем ось ответа (рис. 716).
-7з	-72	-1	1	72 7з а
(ось ответа)
Рис. 716
№ 28. Решите неравенство (а - 3) sin х < |2а - 3].
Решение.
ООН:
а е R,
[х е R.
1)а = 3: 0 • sin х < 3, х е R. (Гр
2)	а = 3/2:	(~3/2)sin х < 0, sin х > 0,
х е (2лй; л + 2л/?). (Гр	(а)
3)	а > 3: sin х < (2а - 3)/(а - 3),
где (2а - 3)/(а - 3) > 0.
Заметим, что (2а - 3)/(а — 3) = 1 + а/(а - 3).
При а > 3 выражение 1 + а/(а - 3) больше 1.
Поэтому х е R. (Гр
4)	3/2 < а < 3: sin х > (2а — 3)/(а - 3), где
(2а - 3)/(а - 3) < 0.
4561 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
а) (2а - 3)/(а - 3) = -1, а = 2: sinx>-l.
х Ф -л/2 + 2лп, п е Z. 07/	(Р)
((2а-3)/(а-3)>-1, [2а-3<-а + 3,
°'[3/2<а<3;	[3/2<а<3;
(з/2 <’ а < 3;	3/2 < а < 2.
(	• 2а — 3 , о_	• 2а — 3
х е arcsin------— + 2лш; л - arcsin-----— +
V	CL —~ О	d О
+ 2лш^, me Z. ОТ/	(у)
Г(2а - 3)/(а — 3) <-1, (2а-3<-а + 3,
в)|3/2<а<3;	[3/2 < а < 3;
2 <а < 3. Тогда х е R. (м)
5)	а <3/2: sin х > (3 - 2а)/(а - 3),
где (3 - 2а)/(а - 3) < 0.
а)	(3 - 2а)/(а - 3) = -1, а = 0: sinx>-l,
х *-л/2 + 2лп, пе Z. 07/	(Р)
б)	(3 - 2а)/(а - 3) < -1; а < 0. Тогда х е R. р~8~/
в)|(3Л2/9)/(а“3)>_1’ 0 <«<3/2:
Iа о/£л9
(	. 3 — 2а. , о_, _	. 3 — 2а
х е arcsin ------—- + 2л/; л - arcsin --— +
< а - 3	а - 3
+ 2л/^ , I е Z. 0~9~/	(со)
Покажем результаты на оси ответа (рис. 717).
R
(ось ответа)
Рис. 7/7
4.3. Тригонометрические неравенства^ параметром 1457
№ 29. При каких значениях параметра а неравенст-
во ||sin х - 1/3| - 1/3| < а справедливо для всех х та-
ких, что 0 < х < 2л/3?
Решение.
Если х е [0; 2л/3], то 0 < sin х < 1.
Пусть sin x = t, где t е [0; 1].
Данное неравенство лучше решить графически.
Рассмотрим функции:
y = \\t - 1/3| — 1/3|, t е [0; 1]	(1)
иу = а.	(2)
Построим график функции у = ||i - 1/3| - 1/3|,
[0;1](рис. 718).
Рис. 718
Если а > 1/3, то график функции (1) расположен
не выше графика функции у = а. (2)
Ответ, а 1/3.
№ 30. Найдите все значения параметра а, при кото-
рых для любого действительного значения х выпол-
нено неравенство 2а - 4 + а(3 - sin2 х)2 + cos2 х < 0.
Решение.
а е R,
х е R.
Обозначим t = sin2 х, t е [0; 1]:
2а - 4 + а(3 - t)2 + 1 - t < 0,
at2 - (6а + l)t + 11а - 3 < 0.
Найдем все значения параметра а, при которых
ООН:
4581 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
f(t) = at2 - (6а + 1)£ + 11а - 3
будет отрицательным при любом t е [0; 1].
Рассмотрим три случая:
1) а = 0: f(t) = -t - 3 < 0 при любом t е [0; 1].
2) а > 0:
а > О,
ДО) = 11а - 3 < О,
/(1) = а - 6а - 1 + 11а - 3 < 0;
О
3) а
3/11 (рис. 719).
(D = 1 + 24а - 8а2 < О,
|а < 0 (рис. 720),
а < (6 - Т38)/4.
а > О,
а <3/11,
а < 2/3,
б) tY < t2 < О,
а < О,
D > О,
t0 = (6а + 1)/2а < О,
Д0) = 11а-3<0
(рис. 721),
(6- 738)/4<а<0.
в) 1 < tY < t2,
а < О,
D^O,
(6а + 1)/2а > 1 (рис. 722),
Д1) = 6а - 4 < 0.
Система несовместна.
4.3. Тригонометрические неравенства с параметром 1459
f(t)
Рис. 722
Ответ, а е (-°°; 3/11).
№ 31. Решите неравенство cos* 1 2 3 * * б) х - a cos х + 1 > 0.
Решение.
ООН: |а е R’
|х е R.
Пусть cos х = t, где |i| < 1.
л-.	\t2 — at + 1	0,
Решаем систему неравенств . .	’
[|г| ч 1.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена
t2 - at + 1: D = а2 - 4.
Рассмотрим ряд случаев.
1)
2)
3)
D = 0; а = ±2, (t ± I)2 > 0, х е R. (i
D < 0; |а| < 2, х е R. (кГ)
D > 0; |а| > 2, tY = (а - Ja2 - 4 )/2;
t2 = (а + Ja2 - 4 )/2.
Рассмотрим возможные случаи.
а) Пусть f(t) = t2 - at + 1.
|а| > 2,
/(-1) > 0 (рис. 723),
Л1) > О,
-1<а/2<1;
На| > 2,
[|а| < 2. Система несовместна.
б) t± = -1, если а = -2 (рис. 724).
Но |а| > 2.
|U-|	,
2 + а > 0,
2 - а > 0,
-2 < а < 2.
4601 Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
Рис. 723
Рис. 724
Значит, такой случай тоже невозможен.
fft-1) < О,
\f(l) > 0 (рис. 725),
12 + а < О,
12 — а > О,
а < -2.
Тогда t е [t2; 1]: cosx>i2,
+ 2nk , k е Z. (£з)
(а)
г) t2 = -1 (рис. 726).
Рис. 725
Рис. 726
\(а + Ja2 - 4 /2) = -1, |а = -2,
;|а| > 2.	!|а| > 2.
Этот случай тоже невозможен.
д)
/(-!)> о,
 Л1) < о,
|а| > 2 (рис. 727).
а + 2>0,
2 - а < 0, а > 2,
|а| > 2.
4.3. Тригонометрические неравенство с параметром 1461
t е [-1; cos х < (а - Ja2 - 4 )/2,
г	а - л/а2 - 4
х е arccos---------------F 2пп; 2п -
а — Ja2 - 4	„ 1	„ ,___.
- arccos-----?--------1- 2пп , п е Z. (Ур
(₽)
е) tj = 1 (рис. 728).
Рис. 727
[(а - Ja2 -~4 )/2 = 1,	fa = 2,
(|а| > 2.	1|а| > 2.
Система решений не имеет.
Заполняем ось ответа (рис. 729).
a
Рис. 729
а
(ось ответа)

№ 32. Найдите все значения Ь, при которых уравне-
ние (Ь - 2х) arccos (х - 1) = 0 имеет ровно один ко-
рень. (ЕГЭ 2002 г.)
Решение.
ООУ: < _ , ’ „
[0<х< 2.
1	/	1*1 =2
1. arccos (х - 1) = 0, х - 1 = 1, <	„
v 7	&eR.
2.b-2x = 0,iX2 = b/2,
’&е R.
462 I Раздел III. 4, Основные приемы решения уравнений
Отметим полученные множества решений данно-
го уравнения на оси параметра b (рис. 730).
------\	1	’ /-------к х =2 у----------
х = о ^\Х2=0// о а/оХ1’2 у' х = 2
Х1 л x^/Xj = 2, х2 = Ь/2	Х1 л
0	4	b
_	(ось ответа)
Рис. 730
Анализ множества решений показывает, что
уравнение имеет ровно один корень, если
be (-оо; 0)о[4; +<»).
Ответ. (-°°; 0) о [4; +°°).
№ 33. Найдите все значения параметра а, при
каждом из которых все решения уравнения
а • sin х - 2а - 1 = 0 принадлежат области опреде-
ления функции у = 71g(2sinx). Запишите все
множество решений уравнения для найденных
значений а.
Решение.
Найдем сначала область
определения функции
у = 71g(2sinx). Достаточ-
но решить неравенство
1g (2 sin х) > 0: 2sin х > 1,
sin х > 1/2. Воспользуем-
ся единичной окружно-
стью. Получаем множест-
во [л/6 + 2лй; 5л/6 + 2лй],
fee Z (рис. 731).
Рис. 731
4,3, Тригонометрические неравенства с параметром 1463
Рассмотрим уравнение а • sin х - 2а - 1 = 0, своди-
мое к ему равносильному уравнению a sin х = 2а + 1.
Если а = 0, то уравнение не имеет решений. Пусть
а Ф 0, тогда sin х = 2 + 1/а. Последнее уравнение
имеет решения, принадлежащие области опреде-
ления функции у = 71g(2sinx), если
f2 + 1/а< 1,
[2 + 1/а > 1/2.
Решаем эту систему:
[3/2 + 1/а >0,
--- «S0,
а
—^0(рис. 732).
-1 I	;о	а
I '	'
... z /////-. у
-2/3 о а
Рис. 732
Получаем, что а е [-1; -2/3J. Тогда множество ре-
шений данного уравнения совпадает с областью
определения функции у = 71g(2sinx).
Ответ, а е [-1; -2/3]; [л/6 + 2лй; 5л/6 + 2лй],
йе Z.
Упражнения для самостоятельного решения
1)	При каких действительных значениях парамет-
ра а уравнение sin х + 2cos х = а - 1 имеет реше-
ния? (ГГ)
2)	При каких действительных значениях парамет-
ра Ъ уравнение 2(&2 + l)cos2 х + 4&2cos х + 1 = 0
не имеет решений? (кГ)
3)	Найдите все значения параметра р, при которых
уравнение sin2 х + psin х = р2 - 1 имеет реше-
ния.
464 I Раздел III. 4. Основные приемы решения уравнений
4)	Решите уравнение
acos х + а/cos х + 1 = 0.
5)	Решите уравнение
sin Зх - sin 2х = asin х. (ip
6)	Найдите все значения параметра Ъ, при каж-
дом из которых все решения уравнения
(Ъ - l)cos х - ЗЬ = 0 принадлежат области опре-
деления функции у = 71g(-2cosx). Запишите
все множество решений уравнения для найден-
ных значений b.
7)	Найдите все значения параметра Ъ, при каж-
дом из которых все решения уравнения
(b - l)cos х - ЗЬ = 0 принадлежат области опре-
деления функции у = 7~lg(2cosx). Запишите
все множество решений уравнения для найден-
ных значений b. (кТ)
8)	Найдите все значения параметра с, при каж-
дом из которых все решения уравнения
2с + 4 - csin х = 0 принадлежат области опреде-
ления функции у = л/1 + lg(sinx/5). Запишите
все множество решений уравнения для найден-
ных значений с. (иГ)
9)	Найдите все значения параметра d, при каждом
из которых все уравнения 3d - 6 + (d + l)cos х = О
принадлежат области определения функции
У = 71 +ig( -cosx/5). Запишите все множест-
во решений уравнения для найденных значе-
ний d.
10)	При каких значениях а уравнения равносиль-
ны:
a)	sin х = а и sin х = а2 - 2; (но)
б)	cos х = а и 7cosx = а; (нТ)
в)	|cos х| = а и cos2 х = а2? (Н2)
11)	Решите неравенство sin (тх - 3) < т,
где -1 < т < 0. (нз)
4.3. Тригонометрические неравенства^: параметром 1465
12)	Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых неравенство а2 + 2а - sin2 х — 2а cos х > 2
выполняется для любого значения х. (мд)
13)	Найдите все значения параметра а, при которых
неравенство (а - l)sin2 х + 2(а - 2)sin х + а + 3 < О
не имеет решений, (мд)
14)	Решите неравенство
sin х + а cos х < а (а Ф 0). (мб)
15)	Решите неравенство
(tg x)/(tg х + 2) - 1/а > l/(tg х + 2). (М7)
Литература
1.	Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с пара-
метрами: справочное пособие по математике. —
Минск: Асар, 1996.
2.	Беляева Э. С. Единичная окружность в подгото-
вительном курсе тригонометрии // Математика
в школе. — № 2. — 2000.
3.	Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А.
Разделительная функция параметра / Проблемы
теории и практики обучения математике: сб.
науч, работ междунар. науч. конф. «57-е
Герценовские чтения» / Рос. гос. пед. ун-т им.
А. И. Герцена. — СПб., 2004.
4.	Беляева Э. С., Потапов А. С. Тригонометричес-
кие уравнения и неравенства с параметром:
учебное пособие. — Воронеж: ВГПУ, 2001.
5.	Беляева Э. С., Потапов А. С. Уравнения и нера-
венства первой степени с параметром и к ним
сводимые: учебное пособие. — Воронеж: ВГПУ,
2001.
6.	Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А.
Обучение школьников решению уравнений и
неравенств с параметром графическим методом //
Труды четвертых Колмогоровских чтений /
Яросл. гос. пед. ун-т им. К. Д. Ушинского. —
Ярославль, 2006.
7.	Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А.
Теория и методика решений уравнений, не-
равенств и их систем с параметром // Труды
третьих Колмогоровских чтений / Яросл. гос. пед.
ун-т им. К. Д. Ушинского. — Ярославль, 2005.
 Литература 1467
8.	Беляева Э. С., Потапов А. С. Уравнения и не-
равенства второй степени с параметром и к ним
сводимые: учебное пособие. — Воронеж: ВГПУ,
2001.
9.	Беляева Э. С., Потапов А. С. Уравнения и не-
равенства с параметром в школьном курсе
математики / Проблемы теории и практики
обучения математике: сб. науч, работ междунар.
науч. конф. «54-е Герценовские чтения» / Рос.
гос. пед. ун-т им. А. И. Герцена. — СПб., 2001.
10.	Буданцев П. А., ЩипакинГ.М. Квадратные и
иррациональные уравнения. — М.: Гос. уч.-пед.
изд. Министерства просвещения РСФСР, 1956.
11.	Горнштейн П. И., Полонский В. Б., ЯкирМ.С.
Задачи с параметрами. — Киев: РИА «Текст»,
МП «ОКО», 1992.
12.	Гусев В. А., МордковичА.Г. Математика. Спра-
вочные материалы. — М.: Просвещение, 1988.
13.	ЗвавичЛ.И., Аверьянов Д. И., Пигарев Б. П„
Трушанина Т. Н. Задания для подготовки к
письменному экзамену по математике в
9 классе: пособие для учащихся. — М.: Просве-
щение, 1999.
14.	ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В.
Алгебра и начала анализа: 3600 задач для
школьников и поступающих в вузы. — М.: Дро-
фа, 1999.
15.	Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам
анализа: учебное пособие для учащихся школ и
классов с углубленным изучением математики. —
М.: Просвещение, 1995.
16.	Макаров В. К. Задачи с параметрами: Пособие
для поступающих в Московский университет. —
М.:МГУ, 1968.
17.	Математический энциклопедический словарь. —
М.: Советская энциклопедия, 1988.
18.	Новоселов С. И. Специальный курс элементар-
ной алгебры. — М.: Высшая школа, 1965.
4681 Литература
19.	Потапов М. К., ОлехникС.Н., Нестеренко Ю. В.
Конкурсные задачи по математике. — М.: Нау-
ка, 1992.
20.	Фрид Э. и др. Малая математическая энциклопе-
дия. — Будапешт: Изд-во Академия наук Венг-
рии, 1976.
21.	Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика: мето-
дические указания для поступающих в вузы. —
М.:МГУ, 1996.
22.	Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами:
книга для учителя. — М.: Просвещение, 1986.
Приложение
Сведения общего характера
Латинский алфавит
Печатная буква	Название	Печатная буква	Название
Аа	а	Nn	эн
ВЬ	бе	Оо	О
Сс	це	Рр	ne
Dd	де	Qq	ку
Ее	е	Rr	эр
Ff	эф	Ss	эс
Gg	ге (же)	Tt	тэ
Hh	ха (аш)	Uu	У
Ii	И	Vv	ве
Jj	ЙОТ (жи)	Ww	дубль-ве
Kk	ка	Xx	ИКС
LI	эль	Yy	игрек
Mm	эм	Zz	зет
Греческий алфавит			
Печатная	Название	Печатная	Название
буква		буква	
Аа	альфа	Nv	НЮ
вр	бета		КСИ
Гу	гамма	Oo	омикрон
Д8	дельта	Пл	пи
Ее	эпсилон	Pp	ро
К	дзета	Eo	сигма
Нт)	эта	Tt	тау
ее	тэта	Yv	ипсилон
к	йота	Ф<р	фи
Кк	каппа	XX	ХИ
АХ	ламбда	'Ey	пси
Мц	мю	Oo)	омега
Некоторые часто встречающиеся по
Величина	п	1g п	Величина	п	1g п
л	3,1416	0,4971	1/л	0,3183	1,5029
2л	6,2832	0,7982	1/2л	0,1592	1,2018
Зл	9,4248	0,9743			
			1/Зл	0,1061	1,0257
4л	12,5664	1,0992			
			1/4л	0,0796	2,9008
4л/3	4,1888	0,6221			
л/2	1,5708	0,1961	л2	9,8696	0,9943
			2ла	19,7392	1,2953
л/3	1,0472	0,0200			
			«/Л	1,7725	0,2486
л/4	0,7854	1,8951			
			,/2л	2,5066	0,3991
л/6	0,5236	1,7190			
			Jtc/2	1,2533	0,0981
л/180	0,0175	2,2419			
2/л	0,6366	1,8039	Jl/Я	0,5642	1,7514
180/л	57,2958	1,7581	727л	0,7979	1,9019
10800/л	3437,7467	3,5363	7з/л	0,9772	1,9900
648000/л	206264,81	5,3144	Л77	1,1284	0,0525
Значения тригонометрических функций для значения аргумента О < а
Аргумент		Тригонометрические функции				
В адусном мерении	В радианах	sin а	cos а	tga	ctg а	sec а
0’	0	0	1	0	не существует	1
30’	л 6	1 2	^=0,8660 Л	=0,5774 Л	73 = 1,7322	273 	g	~ 1,1547
45’	л 4	а/2 — « 0,7071 Л	72 — » 0,7071 Л	1	1	72 = 1,4142
60’	л 3	~ = 0,8660 Л	1 2	73 = 1,7322	~= 0,5774 О	2
90"	л 2	1	0	не существует	0	не существует
472 I Приложение
 Основные формулы элементарной математики
Арифметика и алгебра
Пропориии
В пропорции 7 = £ числа and называются крайними
о а
членами, Ьис — средними; основное свойство пропорции:
произведение крайних членов равно произведению
средних, то есть ad ~ Ьс.
тт	aib c±d а±с а с
Производные пропорции:-- = -- ----- = - = ~
ас bid b d
Действия со степенями
1__а°
ап ~ ап
а~п , (ат)п = атп .
Действия с корнями
(корни предполагаются арифметическими, то есть
подкоренное выражение > 0 и, кроме того, сам корень
берется со знаком +)
mda  b ~с ~ mJamJbmJc ,	, ап'т = mJan ,
W ™Jb
(mJanf =	, "'Ja* = "Ч/а"? .
Разложение на множители
а2 - Ъ2 = (а + Ь)(а - Ь) (разность квадратов),
а8 + Ьа = (а + b)(a2 - ab + Ь2) (сумма кубов),
а3 - ba = (а - b)(a2 + ab + Ь2) (разность кубов).
Квадратные уравнения
Уравнение х2 + рх + q = О решается по формуле
х, > =F± . Fr - q .
х'2	2 М 4 4
Уравнение ах2 + Ьх + с = 0 решается по формуле
—b ± Jb2 - 4ас
Х12-------— .
Если хг и х2 корни уравнения х2 + рх + q = 0, то
Xi+x2 = -p и X! Х2 =q;
Приложение
х2 + рх + q = (х - Xj)(x - x2), где Xj и x2 — корни
уравнения х2 + рх + q = о
ах2 + Ьх + с = а(х - хх)(х - х2), где х, и х2 — корни
уравнения ах2 + Ьх + с = О
Прогрессии
в] — первый член, ап — п-й член, d — разность
арифметической прогрессии;
Uj — первый член, ип — п-й член, q — знаменатель
геометрической прогрессии;
Sn — сумма п членов прогрессии, S — сумма бесконеч-
но убывающей прогрессии:
(а, + ап)п [2а, + d(n - 1)]п
а„ = а,	1), S„ = !1...п-’- ,Sn= ----L---
£	Л
Логарифмы
(N > 0, а > 0, а * 1)
Запись logaAf = х равносильна записи a* = 7V, поэтому
:1ог«лг = .
Логарифм ирование:
logoa = 1, logal = О,
loga(MX) = logaM + log^, log0^ = logoM - loga,V ,
logoJVm = mlog^.V, \ogamjN - ^log^.V.
Обозначения: log1£^ = 1g N , log,,A7 = In N .
1
Соотношения: logba = —, logoN =	.
(число logj,a в последней формуле называется модулем
перехода от системы логарифмов с основанием Ъ к системе
с основанием а)
Комбинаторика
А” = т(т -	- п + 1) (размещения);
Рт = 1 • 2 ... • т = ml (перестановки);
4741 Приложение
С" = ^ = rn(m-l) (m-n + 1) (сочетания).
Pn	1  2 ...  n
Бином Ньютона
(x + a)m =
= xm + C'x”-1!! + ... + C‘x“-ka‘ + ... + C”! 1 ха^Ц am,
в частности,
(x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (квадрат суммы);
(x - a)2 = x2 - 2xa + a2 (квадрат разности);
(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 (куб суммы);
(x - a)3 = x3 - 3x2a + 3xa2 - a3 (куб разности).
Свойства биномиальных коэффициентов С"
1 + С^ + С2 + ... + С»’1 + 1 = 2»,
1 -	+ С2 - ... + (±1)» = О , С" = с»-".
Геометрия и тригонометрия
Длина окружности С и ее дуги I
С = 2nR, I =	= Ra (а — градусная мера дуги, a —
180
радианная мера, R — радиус).
Площади
Треугольник: S = (а — основание, h — высота);
А
S = 7р(р - а)(р - Ь)(р - с) (р — полупериметр, а,Ь ис —
стороны);
„ absinC	.
S = —-— (С — угол, противолежащий стороне с).
a2
Для равностороннего треугольника S =	* (а — сто-
рона треугольника)
Параллелограмм: S = bh (Ь — основание, h — высота)
Ромб: S = <h^2 (dx и d2 — диагонали).
А
Трапеция: S = - ~-ь (а и b — основания, h — высота)
Ра
Правильный многоугольник: S = — (Р — периметр,
А
а — апофема).
Приложение
Круг: S = nR2.
Круговой сектор: S -	(а — градусная
Z & oOU
мера дуги сектора, а — радианная мера, I — длина дуги
сектора).
Поверхности
Призма: S = Pl (Р — периметр перпендикулярного
сечения, I — боковое ребро).
Ра
Правильная пирамида: S 6о = -5- (Р — периметр осно-
«□
вания, а — апофема).
Pi + р
Правильная усеченная пирамида: S вок = —5— • а
(Р, и Р2 — периметры оснований, а — апофема).
Цилиндр: S вок = 2лЯЛ (й — высота).
Конус: S бок = v.Rl (I — образующая).
Усеченный конус:	= гс(Р, + Ra)l.
Шар S = 4лР2 .
Объемы
Призма: V = Sh (S — площадь основания, h — высота).
О lj
Пирамида: V = —,
3
Усеченная пирамида: V = | (S, + S2 + JS1S2).
Цилиндр: V = nR2h .
Конус: V =	.
О
Усеченный конус: V =	(R? + R9 + P,P2) 
О
4
Шар: V = х лР3.
О
Перевод градусной меры угла
в радианную и обратно
а =	> а° - —(а — радианная мера угла, а —
1ао	л
градусная).
AiJb I Приложение
Основные соотношения между
тригонометрическими функциями
. о о , , sina , cosa ,	1
sinza + cos2a = 1, tga = -, ctga = —— , tga = —— ,
cosa	sina	ctga
seca = —— , sec2a = 1 + tg2a , coseca = —— ,
cosa	sina
cosecza = 1 + ctg2a
Формулы приведения
sin(a + nn) = ±sina, cos(a + пл) = ±cosa, tg(a + пл) = tga ,
. f лА	( лА
sinl a + n2 I = ±cosa > cosl a + ng I = +sina ,
( л A
tgf a + ng I = -ctga
(в формулах первой строки n может быть любым целым
числом, причем верхний знак соответствует значению
п = 2k, а нижний — значению п = 2k + 1; в формулах
второй и третьей строк п может быть только нечетным
числом, причем верхний знак берется при п = 4fe + 1,
а нижний — при п = 4fe - 1).
Формулы сложения
sin(a±P) = sinacosP±cosasinP ,
cos(a±P) = cosacosP + sinasinP .
Двойные и половинные углы
sin2a = 2sinacosa, cos2a = cos2a - sin2a, tg2a = —,
1 - tg2a
. a , /1 - cosa о • 2a i
sinx = ± /-----, 2зтгх = 1 - cosa ,
z л/ 2
a . /1 + cosa o 2a , ,
cosg = ±1---g--, 2cos2g = 1 + cosa ,
, a /1 - cosa sina 1 - cosa
tgx =	------- = --:---.
£ N1 + cosa 1 + cosa sina
Формулы преобразования сумм
и разностей тригонометрических
функций в произведения
„ . а±Р а+
= 2 sin—g-^cos—g-
sina ± sinP
а+р а-p
cosa + cosр = 2cos—л-*-cos—5-*-,
a+p.p-a
cosa - cosp = 2sin—y-^sin1—?— .
Содержание
Предисловие............................... 3
О работе с мультимедийным приложением
к книге................................... 6
Основные понятия.......................... 8
Раздел I. Линейные уравнения и неравенства
с параметром и к ним сводимые............ 14
1.	Линейные уравнения с параметром
и к ним сводимые....................... 14
1.1.	Уравнения первой степени с парамет-
ром (без «ветвлений»)............... 16
1.2.	Простейшие линейные уравнения
с параметром (с «ветвлениями»)...... 24
1.3.	Дробно-рациональные уравнения
с параметром......................   29
1.4.	Более сложные дробно-рациональные
уравнения с параметром, сводимые
к линейным  ........................ 35
1.5.	Уравнения с дополнительными
условиями.........................   38
1.6.	Уравнения, содержащие переменную
под знаком модуля................... 43
2.	Линейные неравенства с параметром
и к ним сводимые.....................   61
2.1.	Подготовительные неравенства и их
системы  ........................... 61
2.2.	Простейшие линейные неравенства
с параметром......................   73
4781 Содержание
2.3.	Дробно-рациональные неравенства
с параметром........................ 82
2.4.	Неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля  ................. 91
Раздел II. Квадратные уравнения и неравенства
с параметром и к ним сводимые............106
1.	Справочный материал..............  .	106
1.1.	Квадратные уравнения ..........106
1.2.	Квадратичная функция.......... 109
1.3.	Расположение корней квадратного
трехчлена относительно заданных точек .. 110
2.	Квадратные уравнения с параметром
и к ним сводимые...................... 113
2.1.	Неполные квадратные уравнения
с параметром....................... 113
2.2.	Приведенные квадратные уравнения
с параметром....................... 121
2.3.	Квадратные уравнения
с параметром......................  133
2.4.	Уравнения с дополнительными
условиями.......................... 141
2.5.	Дробно-рациональные уравнения
с параметром, сводимые к квадратным
уравнениям........................  159
2.5.1.	Подготовительные уравнения . . . 159
2.5.2.	Дробно-рациональные уравнения
с параметром, сводимые к квадратным
уравнениям....................... 172
2.6.	Более сложные квадратные уравнения
и их системы с параметром и к ним
сводимые ........................   181
3.	Квадратные неравенства с параметром
и к ним сводимые.......................210
3.1.	Подготовительные неравенства и их
системы...........................  210
3.2.	Квадратные неравенства с параметром
и к ним сводимые. Системы неравенств . . 221
Содержание
3.3.	Более сложные квадратные
неравенства и их системы с параметром . . 246
Раздел III. Тригонометрические уравнения
и неравенства с параметром............... 286
1.	Единичная (тригонометрическая)
окружность............................. 286
1.1.	Понятие единичной
(тригонометрической) окружности..... 289
1.2.	Запись чисел, соответствующих
точкам единичной окружности......... 291
1.3.	Запись множества корней наиболее
рациональным образом.  ............. 296
2.	Некоторые сведения из тригонометрии . . . 302
2.1.	Синус, косинус, тангенс и котангенс
действительного числа..............  302
2.2.	Обратные тригонометрические
функции............................. 305
2.2.1.	Определения, свойства и графики
обратных тригонометрических
функций . .......................  306
2.2.2.	Нахождение значения прямой
тригонометрической функции
от значения обратной, и наоборот.. 310
2.2.3.	Тождества с обратными
тригонометрическими функциями.... 319
2.2.4.	Уравнения с обратными
тригонометрическими функциями .... 321
2.3.	Решение простейших
тригонометрических уравнений........ 326
2.4.	Таблица «опасных» формул......	330
2.5.	Решение простейших
тригонометрических неравенств ........ 333
3.	Метод «лепестков» в решении
тригонометрических уравнений
и неравенств......................    .	345
4801 Содержание
4. Основные приемы решения
тригонометрических уравнений и неравенств
с параметром.........................  365
4.1.	Простейшие тригонометрические
уравнения с параметром и к ним
сводимые .........................  365
4.2.	Тригонометрические уравнения
и системы с параметром .............393
4.3.	Тригонометрические неравенства
с параметром.......	431
Литература.............................  466
Приложение ............................. 469