ПОМ АТЕМАТИ КЕ
И.Я.БАКЕЛБМАН
ИНВЕРСИЯ

книги

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 44
И. Я. БАКЕЛЬМАН
ИНВЕРСИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

Б 19
УДК 513.011.1

ПРЕДИСЛОВИЕ
В геометрии основную роль играют различные преоб-
преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и
гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью
этих преобразований является сохранение ими природы
простейших геометрических образов: прямые переводятся
в прямые, а окружности в окружности. Инверсия пред-
представляет собой более сложное преобразование геометри-
геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить
в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать
в применении к задачам элементарной геометрии едино-
единообразную методику изучения. Это прежде всего относится
к задачам на построение и к теории пучков окружностей.
Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов
элементарной геометрии без применения инверсии связа-
связано с привлечением разнообразных, большей частью до-
довольно искусственных построений, носящих частный ха-
характер. Кроме указанных приложений, инверсия приме-
применяется также в пограничных вопросах элементарной и так
называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации
геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Инте-
Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее,
с простейшими функциями, аргументом и значениями ко-
которых являются комплексные числа.
Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии
и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал
разбит на три главы.
!•	а

В первой главе подробно изучается преобразование ин-
инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной
геометрии. Во второй главе показано, что преобразования,
рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и
дробно-линейными функциями комплексного аргумента.
Устанавливается также, что и обратно, такиефункции опи-
описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последо-
последовательному выполнению движений, гомотетии и, может
быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико-
групповая точка зрения обоснования геометрии, с помо-
помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся
кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачев-
Лобачевского.
Более подробное изложение вопросов, затронутых в
главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова
«Высшая геометрия».
В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные
автором в разное время школьникам г. Ленинграда.
И. Я- Бакельман

ГЛАВА I
ИНВЕРСИЯ И ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ
§ 1. Простейшие преобразования плоскости
Идея преобразования одних геометрических фигур в
другие будет играть основную роль в этой книге. В этом
параграфе речь будет идти о фигурах на плоскости. Прежде
всего уточним, что мы будем понимать под преобразова-
преобразованием геометрических фигур. Рассмотрим некоторую пло-
плоскость и пусть дан закон, с помощью которого каждой точ-
точке X этой плоскости ставится в соответствие точка X'
той же плоскости. Этот закон сопоставления называется
преобразованием плоскости, а точка X', соответствующая
точке X, называется ее образом. Ниже преобразования
плоскости будем обозначать греческими буквами. Если
Ф — преобразование плоскости, X — некоторая точка пло-
плоскости и X' — ее образ относительно преобразований ф,
то мы часто будем пользоваться обозначением Х' = ф(Х)
или просто ф(Х).
Пусть на плоскости задано преобразование ф и пусть
F — некоторая фигура на плоскости. Преобразование ф
переводит каждую точку X фигуры F в некоторую точку
X'—ее образ. Фигура F', состоящая из совокупности
всех образов точек фигуры F, называется образом фигуры F
относительно преобразования ф. Фигуру F' мы часто бу-
будем обозначать также y(F). Таким образом, преобразова-
преобразование ф переводит каждую фигуру F на плоскости в ее об-
образ— фигуру F' — q>(F) (рис. 1).
Как правило, точка и ее образ не совпадают. В том слу-
случае, когда точка X и ее образ — точка ф(Х) — совпадают,
точка X называется неподвижной точкой преобразования ф.

Преобразование плоскости, сопоставляющее каждой
точке плоскости X ее саму, называется тождественным.
Другими словами, преобразование плоскости тождествен-
тождественно, если все точки плоскости относительно этого преобра-
преобразования неподвижны. Тождественное преобразование пло-
плоскости будем в дальнейшем
обозначать буквой е.
Пусть на плоскости задано
некоторое преобразование ср.
Фигура F называется инва-
инвариантной относительно пре-
преобразования ф, если образ F
off) совпадает с F, т. е.
Рис. 1.	Инвариантная относительно
некоторого преобразования
фигура может не иметь ни одной неподвижной точки от-
относительно этого преобразования. Действительно, если ф
есть вращение плоскости вокруг точки О, то все точки пло-
плоскости, кроме точки О, перемещаются в новое положение.
Совокупность концентрических окружностей с центром в
точке О представляет собой совог
купность инвариантных линий пре-
преобразования ф, при этом ни одна
точка этих линий не является непо-
неподвижной (рис. 2).
Рассмотрим более подробно про-
простейшие преобразования плоскости.
1. Отражение в прямой (сим-
(симметрия). Фиксируем на плоскости
некоторую прямую /. Если точка X
лежит на прямой /, то ей сопоста-
сопоставляется она сама, если же точка X
не лежит на прямой /, то в качестве
ее образа берется точка X', сим-
симметричная с точкой X относительно прямой / (рис. 3).
Инвариантными фигурами относительно отражения
в прямой / будут, во-первых, сама прямая / и, во-вторых,
все фигуры, для которых осью симметрии является эта пря-
прямая. Несколько иивариаитных фигур изображено на рис. 4.
Все точки прямой / и только они являются неподвиж-
неподвижными точками рассматриваемого нами преобразования.
Рис. 2.

2. Параллельный перенос. Это преобразование состо-
состоит в следующем: пусть на плоскости дан некоторый отре-
отрезок АВ; если точка X не лежит на прямой /, то ее образ X'
есть вершина параллелограмма, построенного на сторонах
X, X'
Рис. 3.
Рис. 4.
АВ и АХ, если же X лежит на прямой АВ, то за X' при-
принимается такая точка этой прямой, что отрезки АХ и ВХ*
равны, а отрезок XX' равен отрезку АВ. Таким образом,
параллельный перенос сводится к тому, что каждая точка
плоскости сдвигается на отре-
зокЛВ в данном направлении
(рис. 5).
Рис. 5.
Рис. 6.
С помощью векторов параллельный перенос описывает-
описывается так: пусть АВ — вектор с началом в точке А и концом
в точке В, пусть, далее, X—произвольная точка плоскости
и X' —ее образ. Тогда векторы АВ и XX' равны (рис. 6).

Поэтому параллельный перенос можно рассматривать
как сдвиг каждой точки X на вектор, равный вектору АВ.
Если вектор АВ нулевой (точка А совпадаете точкой В),
то параллельный перенос на вектор АВ сводится к тож-
тождественному преобразованию.
Пусть (р — параллельный перенос на ненулевой вектор
АВ. Очевидно, что преобразование ф не имеет неподвиж-
неподвижных точек. Инвариантными фигурами относительно пре-
преобразования ф будут, например, все прямые, параллель-
параллельные прямой АВ. Можно указать и другие инвариантные
фигуры. На рис. 7 и 8 изображены фигуры L и Q, инвари-
инвариантные относительно преобразования ф. Их отдельные
Рис. 7.
элементы — линии .... Lk-i, Lk, Lk+i, ... на рис. 7 и фигу-
фигуры ..., Qft.j, Qh, Qh+1, ... на рис. 8 таковы, что Lh или Qh
есть соответственно образ Lk—\ или Qh-% при преобразова-
преобразований ф.
3. Вращение вокруг точки. Фиксируем на плоскости
некоторую точку О. Пусть X — произвольная точка пло-
плоскости. Отрезок ОХ повернем вокруг точки О на некоторый
постоянный угол а (если а>0, то поворот совершается
против часовой стрелки, а если а<0, то по часовой стрел-
стрелке), при этом точка X займет новое положение X'. Точку
X' и будем считать образом точки X. Точке О сопоставля-
сопоставляется она сама. Указанное выше преобразование плоскости
называется вращением плоскости вокруг точки О на угол а.
Если а=0, то вращение сводится к тождественному
преобразованию.
Пусть ф — вращение вокруг точки О на ненулевой
угол а. Очевидно, что единственной неподвижной точкой

преобразования ф будет точка О. Инвариантными фигура-
фигурами будут, например, окружности и круги, имеющие центр
в точке О. Если угол а таков, что
где п — натуральное число, то инвариантными фигурами
будут те правильные m-угольники, вписанные в окружно-
(•¦?>
Рис. 10.
сти с центром в точке О, у которых число сторон кратно
числу п (рис. 9). На рис. 10 изображена более сложная
инвариантная фигура.
4.	Движение. Движениями называются преобразова-
преобразования плоскости, не меняющие расстояний между точками.
Все рассмотренные выше преобразования плоскости, как
нетрудно видеть, являются движениями. Справедливо в
известном смысле обратное предложение. Именно, любое
движение на плоскости сводится либо к вращению, либо к
параллельному переносу, либо к последовательному вы-
выполнению не более чем трех отражений в некоторых пря-
прямых. Доказательство этого факта мы предоставляем чи-
читателю.
5.	Гомотетия. На плоскости фиксируем некоторую точ-
точку О. Пусть далее &>0 — некоторая постоянная. Гомоте-
Гомотетией с центром в точке О и коэффициентом k называется
преобразование плоскости, переводящее точку О в себя,
а произвольную точку X, отличную от О, в точку X' та-
такую, что X' лежит на луче ОХ и
ОХ' = k -ОХ.
И. Я. Бакельман

Если k=l, то гомотетия сводится к тождественному
преобразованию. Если кф\, то единственной неподвижной
точкой этого преобразования будет центр гомотетии —
точка О. Инвариантными фигурами гомотетии будут, оче-
очевидно, лучи, имеющие своей вершиной центр подобия.
Можно указать довольно простой способ построения
более сложных инвариантных фигур. Пусть F — некото-
некоторая фигура на плоскости (рис. 11). Через mF будем обо-
обозначать фигуру F', которая является образом F относи-
относительно гомотетии с центром	/
в точке О и коэффициен-
коэффициентом т. i \ ^
Рис. П.
Рис. 12.
Обозначим через <р гомотетию с коэффициентом k и
центром О. Пусть F — некоторая фигура на плоскости.
Построим фигуры
' р	^	_L p p fop km~^F kmF
Фигура G, представляющая собой объединение всех фигур
(рис. 12), как нетрудно проверить, является инвариантной
относительно преобразования ф.
В заключение сформулируем понятия равных и по-
подобных фигур, играющие важнейшую роль в элементарной
геометрии.
Две фигуры Ft и F2 называются равными, если сущест-
существует движение, переводящее фигуру Fy в F2. Фигуры Ft
и F2 называются подобными, если существует преобразова-
преобразование гомотетии, переводящее фигуру F\ в фигуру Р2, рав-
равную /v
10

§ 2. Стереографическая проекция.
Бесконечно удаленная точка плоскости
Понятие преобразования, рассмотренное в § 1 для
случая плоскости, очевидным образом переносится на слу-
случай любых геометрических фигур. Действительно, сопо-
сопоставляя по определенному закону каждой точке X фигуры
М некоторую точку X' другой фигуры ./V, получаем пре-
преобразование ф фигуры М в фигуру N. Если при этом образ
фигуры М покрывает всю фигуру N, то говорят, что ф
есть преобразование М на N.
Для изучения преобразования инверсии весьма полезно
рассмотреть предварительно одно специальное преобра-
преобразование сферы на плос-
плоскость. Это преобразование
называется стереографи-
стереографической проекцией и состоит
в следующем: пусть К —
сфера и Р—плоскость,
касающаяся К в точке 5
(рис. 13). Точку 5 будем
называть южным полю-
полюсом К, а диаметрально	Рис. 13.
противоположную ей точ-
точку ./V — северным полюсом. Пусть X — произвольная точка
сферы К, отличная от точки N. Тогда луч NX пересекает
плоскость Р в некоторой точке X' (рис. 13). Преобразова-
Преобразование, относящее каждой точке X сферы К, отличной от
точки N, точку пересечения X' плоскости Р с лучом NX,
и называется стереографической проекцией. Очевидно,
что при этом покрывается вся плоскость Р. Итак, стерео-
стереографическая проекция преобразует сферу К с исключен-
исключенной точкой N на всю плоскость Р.
Рассмотрим, как ведет себя образ точки X на плоскости
Р, когда точка X неограниченно приближается к точке ./V
по сфере К. Из подобия прямоугольных треугольников
X'NS и XNS (рис. 14) имеем
XN _ NS
XS~X'S'
Отсюда
X'S =
NS-XS
NX '
11

Обозначим через R радиус сферы К. Так как точка X
находится достаточно близко к северному полюсу ./V, то
XS>R и потому
Отсюда видно, что когда точка X неограниченно прибли-
приближается к точке N (NX->0), то длина отрезка X'S неогра-
неограниченно возрастает и точка X' неограниченно удаляется
от точки 5. Следовательно, точке ./V при стереографической
проекции нельзя сопоставить никакой точки плоскости Р.
Для того чтобы распространить стереографическую про-
проекцию на всю сфе-
сферу К, т. е. чтобы для
северного полюса N
был определен образ
на плоскости Р, не-
необходимо пополнить
плоскость Р новой
точкой. К точкам
плоскости Р, которые
мы ниже иногда бу-
будем называть обыкно-
Рис. 14.	венными, добавляет-
добавляется новая точка 0^,
которую мы будем называть бесконечно удаленной. Далее
на протяжении всей книги мы будем считать, что пло-
плоскость Р всегда пополнена бесконечно удаленной точ-
точкой 0^. Сопоставляя теперь северному полюсу N сферы К
точку 0^, получим, что стереографическая проекция пре-
преобразует сферу К на плоскость Р.
Рассмотрим некоторые свойства бесконечно удаленной
точки. Пусть /' — произвольная прямая на плоскости Р.
Проведем плоскость через точку N и прямую /' (рис. 15).
Эта плоскость пересекает сферу К по некоторой окружно-
окружности /, проходящей через точку N. Прямая Г, очевидно,
является образом окружности / при стереографической
проекции. С другой стороны, образ всякой окружности h,
расположенной на сфере К и проходящей через точку N,
представляет собой прямую на плоскости Р, поскольку
плоскость, в которой лежит окружность h, пересекается с
плоскостью Р по прямой. Отсюда вытекает, что стереогра-
стереографическая проекция устанавливает взаимно однозначное
12

соответствие между совокупностью всех окружностей,
лежащих на сфере К и проходящих через точку N, и
совокупностью всех прямых плоскости Р. Поэтому любая
прямая на плоскости Р должна проходить через бесконеч-
бесконечно удаленную точку 0^, которая при стереографической
проекции является образом точки N.
Пусть 1'х— некоторая окружность на плоскости Р.
Так как расстояния точек 1\ от южного полюса 5 сферы К
не больше, чем d-\-r', где d — расстояние центра 1\ от
точки S, а г'— радиус 1'и то линия /х, которая стереогра-
стереографической проекцией переводится в U (рис 15), не проходит
Рис. 15.
через точку N. Поэтому hit одна окружность на плоскости
Р не проходит через бесконечно удаленную точку 0^.
Как мы знаем, положение окружности на плоскости
полностью определяется любой тройкой ее точек, не лежа-
лежащих на одной прямой. Положение прямой на плоскости
также определяется тройкой ее точек, из которых две могут
быть выбраны произвольно, а третья обязательно является
бесконечно удаленной. Поэтому на прямую можно смот-
смотреть как на окружность, проходящую через бесконечно
удаленную точку.
Рассмотрим теперь на сфере К семейство всех окружно-
окружностей, плоскости которых параллельны плоскости Р. Будем
считать, что в это семейство входят точки S и N, как ок-
окружности нулевого радиуса. Стереографическая проекция
(рис. 16) переводит это семейство окружностей в совокуп-
совокупность всех концентрических окружностей на плоскости Р
с центром в точке S, которая включает в себя точку 5 и
13

бесконечно удаленную точку. Так как касание сферы К
с плоскостью Р можно взять в любой точке плоскости Р
(для этого достаточно переместить сферу К параллельно
по плоскости Р), то мы будем считать, что любая система
К
Рис. 16.
концентрических окружностей содержит в себе общий
центр всех окружностей и бесконечно удаленную точку
плоскости.
§ 3. Инверсия
Пусть на плоскости Р фиксирована окружность с цент-
центром в точке О и радиусом г. Инверсией с центром в точке О
и радиусом г называется преобразование плоскости, кото-
которое описывается следующим
законом: точке X, отличной от
точек О и Оа, ставится в соот-
соответствие точка X' на луче ОХ
такая, что
(рис.17), точке О — бесконечно
удаленная точка 0^ и, наконец,
PlIC- '7.	бесконечно удаленной точке
0„— точка О.
Введенная выше окружность с центром в точке О и
радиусом г называется окружностью инверсии. Если X
лежит на окружности инверсии, то ОХ—г и, следова-
следовательно,	,
14

Так как точки X и X' лежат на одном луче ОХ, то точки
X и X' совпадают. Отсюда следует, что все точки окружно-
окружности инверсии являются неподвижными точками, а сама
окружность инверсии является инвариантной фигурой.
Точки X, лежащие внутри окружности инверсии и
отличные отточки О, переводятся инверсией в точки, лежа-
лежащие вне окружности инверсии, и наоборот, точки, лежащие
вне окружности инверсии, переводятся во внутренние точ-
точки по отношению к этой окружности.
Действительно, в первом случае имеем ОХ<.г, и по-
потому
что и показывает, что X' лежит вне окружности инверсии.
Аналогично рассматривается второй случай.
Итак, любая точка X и ее образ—точка X'— лежат на
одном луче ОХ по разные стороны от окружности инвер-
инверсии, если точка X не лежит на этой окружности (рис. 17).
Если точка X неограниченно приближается к точке О
(ОХ-+0), то образ ее —точка X'— неограниченно удаля-
удаляется от точки О. Это
видно из соотношения
~
(рис. 18). Отсюда сле-
следует, что точка X' стре-
стремится к бесконечно уда-
удаленной точке. Анало-	Рис 18.
гично устанавливается,
что при неограниченном удалении точки X от точки 0 ее
образ X' неограниченно приближается к точке О. Тем
самым оправдано, что по определению инверсии центр
инверсии переходит в бесконечно удаленную точку, и
наоборот.
Пусть произвольная точка X подвергается последова-
последовательно действию одной и той же инверсии ср. Обозначим
через X' точку ф(Х), а через X" — точку <р(Х'). Тогда
все три точки X, X', X" лежат на одном луче ОХ и, кроме
того, справедливы соотношения
0Х'~Ш
13

Отсюда получаем
и, следовательно,
ОХ" = ОХ.
Итак, если X — произвольная точка плоскости, отличная
от центра инверсии и бесконечно удаленной точки, то
дважды выполненная инверсия ф переводит точку X снова
в эту же точку X. Если точка X совпадает с точкой О или с
бесконечно удаленной точкой, то тот же результат сохра-
сохраняет силу, т. е. точка X применением последовательно
дважды одной и той же инверсии ф переводится снова в точ-
точку X. Это вытекает непосредственно из определения ин-
инверсии.
Итак, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Преобразование плоскости, представ-
представляющее собой последовательно выполненную дважды одну и
ту же инверсию, есть тождественное преобразование.
Наконец, отметим, что если при инверсии ф точка X
переходит в точку X', то X' при этой же инверсии ф пере-
переходит в X, т. е. X и X' «меняются местами». Подобным же
свойством обладает отражение в прямой. Поэтому иногда
инверсию называют «отражением в окружности».
§ 4. Свойства инверсии
На протяжении этого параграфа через ф обозначается
инверсия на плоскости, имеющая центр в точке О, радиус
которой равен г.
Прежде всего установим одну простую лемму, которая
играет существенную роль при изучении свойств инверсии.
Лемма 1. Пусть инверсия ф переводит точки А
и В соответственно в точки А' и В' (предполагается, что
точки А и В отличны от точки О и бесконечно удаленной
точки и, кроме того, точки О, А, В не лежат на одном
луче с началом в точке О). Тогда треугольники ОАВ и
О А'В' подобны и
/_ОАВ = /_ОВ'А', /_ОВА=/_ОА'В'..
Доказательство. У треугольников ОАВ и
ОА'В' (рис. 19) имеется общий угол, а стороны, заключаю-
заключающие этот угол, пропорциональны. Действительно, так как
ОА-ОА'-ОВ-ОВ =г2,
16

то
ОА
ов:
ОВ'
ОА"
Отсюда следует, что треугольники ОАВ и ОА'В' подобны.
Но так как против пропорциональных сторон в подобных
треугольниках лежат равные
углы, то из соотношения
ОВ~*~ОЛ'
следует равенство
ствующих углов:
соответ-
соответЛемма доказана.
Т е о р е м а 1. Инверсия <р	Рис. 19.
переводит любую прямую,
проходящую через центр инверсии, саму на себя, т. е. пря-
прямая, проходящая через центр инверсии, есть инвариантная
фигура.
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает
из определения инверсии.
Теорема 2. Инверсия ц> преобразует прямую, не
проходящую через центр инвер-
инверсии О, в окружность, проходя-
проходящую через точку О.
Доказательств о.
Пусть I — прямая, не прохо-
проходящая через центр инверсии —
точку О. Опустим из точки О
перпендикуляр на прямую /, и
пусть он пересекает / в точке М
(рис. 20). Пусть М'— образ
точки М относительно инвер-
инверсии ф. Точка М', очевидно,
лежит на луче ОМ. На прямой /
Рис. 20.	рассмотрим произвольную точ-
точку X, отличную от бесконечно
удаленной точки 0^. Пусть X' —образ X относительно
инверсии ф. Тогда по лемме 1 имеем
3 И. Я. Бакельман
17

Поэтому точка К' лежит на окружности К, построенной на
отрезке ОМ' как на диаметре. Так как точка X взята на
прямой / произвольно, то образ прямой / при инверсии
Ф представляет собой совокупность точек /', расположен-
расположенную на окружности К.
Докажем теперь, что множество точек /' совпадает
с окружностью К. Прежде всего отметим, что точка О
принадлежит множеству /'. Это вытекает из того, что пря-
прямая / проходит через бесконечно удаленную точку 0^, а
эту точку инверсия <р переводит в точку О. Пусть теперь
Y — произвольная точка окружности К- Луч 0Y пере-
пересекает прямую / в некоторой точке Z (мы предполагаем, что
точка Y отлична от точки О, поэтому луч 0Y не параллелей
прямой /). Докажем, что точка Z переводится инверсией <р
в точку Y. Так как точки Y и Z лежат на одном луче 01,
то нам нужно лишь проверить, что выполняется соотноше-
соотношение
По построению треугольники 0YM' и 0MZ (рис. 20) по-
подобны. Поэтому
OY __0М
0М'~~Ш~-
Отсюда
пу — ОМ-ОМ' _ г*
иу ~ oz ~oz ¦
Итак, доказано, что точка Y есть образ точки Z при ин-
инверсии ф.
Таким образом, образ прямой / совпадает с окруж-
окружностью К.
Теорема доказана.
Построение, проведенное в доказательстве теоремы 2,
дает способ построения образа заданной прямой относи-
относительно инверсии ф с помощью циркуля и линейки. Из
центра инверсии —точки О — опускаем перпендикуляр ОМ
(рис. 20) иа прямую /. Строим точку М', являющуюся об-
образом точки М (при этом приходится строить отрезок дли-
длиной, равной ^д|). Образ прямой / относительно инверсии—
окружность /'— строится на отрезке ОМ' как на диаметре.
В том частном случае, когда прямая / касается окруж-
окружности инверсии, точки М и М' совпадают и потому окруж-
окружность /' строится на отрезке ОМ как на диаметре.
18

Теорема 3. Инверсия ср преобразует окружность,
проходящую через центр инверсии О, в прямую, не проходя-
проходящую через точку О.
Доказательство этой теоремы мы предлагаем провести
читателю самостоятельно.
Теорема 4. Инверсия гр преобразует окружность,
не проходящую через центр инверсии О, в некоторую окруж-
окружность, также не проходящую через центр инверсии.
Доказательство. Пусть К — окружность, не
проходящая через центр инверсии О. Через точку О прове-
проведем прямую g так, чтобы она пересекла окружность К по
диаметру АВ (рис. 21). Пусть А' и В'—образы точек А
и В относительно инверсии ср, X — произвольная точка
окружности К и X'— ее образ.
S-K'
Рис. 21.
По лемме 1 треугольники ОХ А и ОХ'А' подобны и по-
потому
?ОА'Х'
аналогично треугольники ОХВ и ОХ'В' подобны и, следо-
следовательно,
Так как
/_ А'Х'В' = /_ ОВ'Х' -/_ОА'Х' = ? ОХВ - /_ ОХ А =
то отсюда вытекает, что отрезок А'В' из точки X' виден
под углом 4j- и, стало быть, точка X' лежит на окружности
S, построенной на отрезке А'В' как на диаметре. Посколь-
Поскольку точка X на окружности К была выбрана произвольно,
3*	19

то К'— образ окружности К при инверсии ф — располо-
расположен на окружности S. Докажем, что К' совпадает с окруж-
окружностью S. Пусть Y — произвольная точка окружности S и
Z — точка на луче OY такая, что
OZ
Очевидно, что точка Z переводится инверсией ф в точку Y.
Далее, из соотношений	*
ОА-ОА' = г\
ОВ-ОВ' = г\
и леммы 1 вытекает, что
/_AZB = /_OZB- /_OZA= /_OB'Y - /_OA'Y =
= /_A'YB' = ~.
Следовательно, точка Z лежит на окружности К- От-
Отсюда вытекает, что фигуры S и К.' совпадают. Так как по
построению концы диаметра окружности К — точки А, В—
отличны от О и расположены на луче ОА по одну сторону
от точки О, то окружность К' не проходит через точку
О. (Впрочем, последнее утверждение вытекает также и из
того факта, что никакая окружность не проходит через
бесконечно удаленную точку О.м.)
Построения, проведенные выше, дают возможность
строить образ окружностей при инверсии с помощью цир-
циркуля и линейки. Остановимся на этом вопросе более под-
подробно.
а)	Окружность /(не проходит через
цестр инверсии. В этом случае проводим из точки
О луч, который пересекает окружность К по диаметру А В,
для точек А и В строим их образы А' и В'. Окружность
К'— образ окружности К относительно инверсии ф — есть
окружность, построенная на отрезке А 'В' как на диамет-
диаметре (рис. 22).
б)	Окружность К проходит через
центр инверсии. В этом случае согласно теореме
3 образ К есть прямая К'- Из точки О проводим луч ОА
(рис. 23), который пересекает К по диаметру ОА. Для точ-
точки А строим ее образ — точку А'. Прямая, проходящая
20

через точку А' перпендикулярно лучу О А, и есть искомая
прямая Л".
Построение прямой Д' значительно упрощается в двух
случаях:
1) если окружность Д пересекает окружность инверсии
в двух точках В и С, то прямая Д'
совпадает с прямой ВС (рис. 24);
Рис. 22.
Рис. 23.
2) если К касается окружности инверсии, то Д' есть
касательная к окружности инверсии в точке касания Дс
окружностью инверсии (рис. 25).
К'
Рис. 24.
Рис. 25.
Перейдем теперь к вопросу о характере изменения углов
между кривыми под действием инверсии ф. Как известно,
углом между двумя кривыми Lt и L2 в точке их пересече-
пересечения называется наименьший из вертикальных углов между
касательными к этим кривым в рассматриваемой точке.
21

Можно доказать, что при инверсии углы между кривыми
сохраняются. Ниже это предложение доказывается для
окружностей и прямых.
Теорема 5. При инверсии <р угол между прямыми
равен углу между их образами.
Доказательство. Здесь могут представиться
три случая:
1)	прямые 1г и L проходят через центр инверсии <р;
2)	одна из прямых 1У и /2 проходит через центр ин-
инверсии;
3)	ни 1Ъ ни 1.2 не проходят через центр инверсии.
В первом случае утверждение теоремы очевидно. Рас-
Рассмотрим случаи 2) и 3). В случае 2) (рис. 26) будем считать
Рис 26.
для определенности, что прямая lt проходит через центр
инверсии — точку О. Тогда инверсия <р переводит прямую
/х саму в себя, т. е. образ прямой /х совпадает с этой прямой.
Прямая 1.2 не проходит через центр инверсии и потому
переводится инверсией в некоторую окружность 1'2, про-
проходящую через точку О. Касательная / к окружности /'2
в точке О параллельна прямой 1.2.
Относительно взаимного расположения прямых /х и /2
могут представиться две возможности:
а)	прямые 1г и 4 параллельны;
б)	/i и 1г пересекаются в некоторой точке А.
Если 1Х н 1г параллельны, то угол между ними, оче-
очевидно, равен нулю. Но прямая 1Х проходит через точку
22

О и параллельна /2. Поэтому она необходимо будет совпа-
совпадать с касательной / к окружности Г2 в точке О. Отсюда
следует, что угол между 1\ и 1\ равен нулю и, следова-
следовательно, утверждение теоремы в случае а) доказано.
Рис 27.
Пусть теперь 1Х и /2 не параллельны и Л. — точка их
пересечения. Обозначим через а наименьший из вертикаль-
вертикальных углов между /i=/'i и прямой /2 или, что то же, пря-
прямой /. Точка А при инверсии переходит в некоторую точку
Л', в которой прямая 1\ пересекается с окружностью 1\.
Но прямая 1\ или, что то же, прямая О А' составляет с
касательной t' в точке А' к окружности /'2 такие же
23

вертикальные углы, что и с касательной t. Отсюда не-
немедленно следует, что угол между 1\ и /'„ в точке А'
равен а. Случай 2) полностью доказан.
Третий случай (рис. 27) доказывается аналогичными
рассуждениями. Заметим только, что если прямые 1Х
и /2 параллельны, то соответствующие окружности l\
и l\ имеют в точке О общую касательную и, стало быть,
составляют между собой нулевой угол, Отсюда угол между
1\ и Г2 равен углу между 1Х и /2. Если же прямые /х и /2
пересекаются, то, как видно из рис. 27, угол между
окружностями /'i и /'2 в точке О равен углу между прямыми
lt и /2, ибо касательные tt и /2 к этим окружностям в точке
О параллельны прямым 1Х и /2. Отсюда и вытекает утверж-
утверждение теоремы.
Имеют место следующие теоремы, доказательство ко-
которых мы предоставляем читателю в виде полезных упраж-
упражнений.
Теорема 6. Угол между окружностями равен углу
между образами этих окружностей относительно инверсии.
Теорема 7. Угол между окружностью и прямой
равен углу между образами этих фигур относительно ин-
инверсии.
§ 5. Степень точки относительно окружности.
Радикальная ось двух окружностей
Ниже существенную роль будет играть понятие степе-
степени точки относительно окружности, которое является ана-
аналогом понятия расстояния от точки до прямой.
Степенью точки М относительно окружности К на-
называется число
где d — расстояние точки М от центра О окружности К,
а г — радиус этой окружности. Если точка М лежит вну-
внутри окружности К, то d<r, и потому степень точки М :
s=d2—г2 отрицательна. Величины г—d н r+d суть отрезки
диаметра PQ, на которые его разбивает точка М. Поэтому
для любой хорды A MB круга К (рис. 28, а) имеем
S--AM-MB.
Если точка М лежит на окружности К, то d—r и, следо-
следовательно, степень точки М равна нулю. Наконец, если точ-
24

ка М лежит вне окружности К, то d>r и s=d2—гг пред-
представляет собой квадрат длины касательной к окружности
К, проведенной из точки М (рис. 28, б).
Пусть теперь даны две окружности К\ и Кг- Геометри-
Геометрическое место точек, степени которых относительно окруж-
окружностей К\ и Кц равны, называют радикальной осью окруж-
окружностей /Ci и Кг-
Справедлива теорема.
Теорема 1. Если окружности Ki и Кг не концент-
концентрические, то их радикальная ось представляет собой пря-
прямую, перпендикулярную линии центров Кх и К2.
Рис. 28.
Доказательство. Пусть Ot и rlt О2 и га —
соответственно центры и радиусы окружностей Кх и Кг-
Пусть, далее, точка М удалена от точки Ох на расстояние
а\, а от точки О2— на расстояние йг. Если степени точки М
относительно окружностей К% и /С2 равны, т. е.
то
Отсюда
— d\ = r\ — r\=. const,
так как гх и гг— постоянные числа. Таким образом, гео-
геометрическое место точек, имеющих равные степени отно-
относительно окружностей Ki и К%, совпадает с геометрическим
4 И. Я. Бакельман
25

местом точек, разность квадратов расстояний которых соот-
соответственно от точек Oj и О2 равна некоторому данному
ЧИСЛУ:	k-r* г2
Не нарушая общности, можно считать, что k^O, в против-
противном случае, поменяв ролями окружности /С, и #2, придем
к случаю k^O. Пусть S — точка линии центров ОХО% та-
такая, что
О^ — О^ = k.
Так как
OXS > O2S
(нам дано, что k^O), то точка S может лежать либо внутри
отрезка ОХО%, либо вне его правее точки О2 (рис. 29).
Н
Рис. 29.
В первом случае O^+OzS—OiO^, а во втором OjS—O2S=
= OiO^. Таким образом, если S лежит внутри отрезка OiO2,
то k удовлетворяет неравенству
Если же S лежит вне отрезка OjO2, то
k -.= (OtS - O2S) (OyS + O,S) >
Если S совпадает с точкой О2, то
и, наконец, если S совпадает с серединой отрезка ОХО2,
то k=Q. Легко видеть, что точка S может быть расположена
на прямой 0x02 лишь правее середины Н отрезка ОХО2
или в крайнем случае совпадать с этой точкой, так как в
противном случае число k будет отрицательным.
Если ft>(OiO2J, то из соотношения
вытекает, что правее точки 02 вне отрезка OtO2 есть одна
и только одна точка S такая, что
OlS*—OtSl = k.
26

Аналогичное заключение имеет место и в случае, когда
O^k^-iOiO^J. В этом случае точка S расположена на от-
отрезке НО%. Итак, на линии центров 0^ есть единственная
точка S такая, что
где k=ri—r
Пусть теперь X — произвольная точка плоскости та-
такая, что ОгХ2—О2Х2=& и Y — проекция X на прямую
OiO2- По теореме Пифагора имеем (рис. 30)
Отсюда
Поэтому
(*)
Так как точка Y лежит на прямой OjO3 и для нее вы-
выполнено соотношение (*), то она необходимо совпадает с
точкой S. Таким образом, точка X лежит на перпендику-
перпендикуляре / к линии центров
OtO2. Далее для всех то-
точек Z прямой / выполнено
соотношение
O1Z2-O2Zi=k.
Это вытекает из того, что
Таким образом, иско-	Рис. 30.
мое геометрическое место
точек есть прямая, перпендикулярная линии центров.
Теорема доказана.
Рассмотрим вопрос о построении радикальной оси Двух
неконцентрических окружностей. Как мы условились вы-
выше (см. доказательство теоремы 1), окружность с большим
радиусом обозначаем через Ki- Поэтому если Кг и К2—
данные окружности, а гг и г2— их радиусы, то
4*
27

Если Ох и 02— центры Ki и К2, а Я — середина 0х02,
то радикальная ось окружностей Ki и К2 пересекает пря-
прямую ОгО% в точке S, которая расположена поту же сторону
от Я, что и точка 02. Построение радикальной оси сводит-
сводится, таким образом, к построению точки S на прямой 0i02
и затем к восстановлению перпендикуляра / к этой пря-
прямой в точке S.
Рассмотрим теперь свойства радикальной оси / в зави-
зависимости от характера взаимного расположения окружно-
окружностей Ki и К2:
1. Ki и К2 пересекаются в двух точках А и В (рис. 31).
Так как степени точек А и В относительно обеих окружно-
окружностей /С] и К2 равны нулю, то радикальная ось / совпадает
Рис. 31.
Рис. 32.
с прямой АВ. В этом случае радикальная ось пересекает
линию центров во внутренней точке отрезка 0г02.
2.	Ki и К2 имеют единственную общую точку А,
в которой они касаются друг друга (рис. 32). Степень точки
А относительно обеих окружностей Ki и К2 равна нулю.
Поэтому радикальная ось / проходит через точку А, и по-
поскольку / перпендикулярна линии центров 0i02, она совпа-
совпадает с общей касательной к Ki и К2 в точке А. В этом слу-
случае радикальная ось пересекает отрезок 0^0^ также во
внутренней точке и окружности К\ и К2, кроме того, ле-
лежат по разные стороны от /.
3.	Окружности Ki и /С2 не имеют общих точек. Здесь
мы будем особо рассматривать два подслучая:
а) Окружности Кг и Кг расположены одна вне другой
(рис. 33). Проведем к К\ и К2 какие-нибудь две общие ка-
касательные PQ и RT и пусть Нх и Я,— середины отрезков
Р Q и RT. Так как степень точки X, лежащей вне окруж-
28

ности Ки относительно этой окружности равна квадрату
длины касательной, проведенной из точки X, то точки Нх
и #2 имеют равные степени относительно обеих окружно-
окружностей Ki, К2 и, следовательно, принадлежат радикальной
оси /. Поэтому радикальная ось / окружностей Кх и К2
совпадает с прямой ИхНг. Легко видеть, что Ki и К2 лежат
по разные стороны от радикальной оси / и / пересекает
линию центров во внутренней точке отрезка 0^.
б) Окружность Кг лежит внутри окружности Кх.
В этом случае построение осуществляется по общему спо-
способу: находится точка пересечения S радикальной оси /
[ fi ]
R
1
Sf
L
"г
Рис. 33.
Рис. 34.
с линией центров Ofi2 и из нее восстанавливается перпенди-
перпендикуляр к линии центров. В рассматриваемом случае (рис. 34)
гх—г<^ОхОг и потому
k = r\-r\ = {
Следовательно, радикальная ось / расположена вне окруж-
окружности Ki и обе окружности Ki и К2 лежат по одну сторо-
сторону от /.
Из проведенных рассмотрений ясно, что построение
радикальной оси значительно облегчается в случаях
1, 2, За.
В заключение заметим, что геометрическим местом то-
точек, касательные из которых к К\ и Кг равны, является в
случаях 2 и 3 вся радикальная ось, а в случае 1 все точки
радикальной оси, кроме точек отрезка АВ (А и В — точки
пересечения окружностей Кг и Кг).
29

§ в. Приложение инверсии к решению задач на построение
С помощью преобразования инверсии можно дать весь-
весьма простые и изящные решения ряда задач на построение.
Ниже мы рассматриваем задачи, в которых требуется по-
построить окружность, касающуюся или ортогональную со-
соответственно одной или нескольким окружностям.
1. Задачи на касание окружностей. Задача 1. Три
окружности Ki, Кч, К3 пересекаются в одной точке О.
Требуется построить все окружности, касающиеся окруж*
ностей Ki, Ki, К»- Нетрудно видеть (рис. 35), что задача
имеет четыре решения (на рис. 35 они изображены пунк-
пунктиром).
Рис. 35.
Метод инверсии легко позволяет найти эти решения.
Действительно, пусть ф — инверсия с центром в точке О
и радиусом г таким, что окружность инверсии пересекает
окружности Ki, К%, К3 соответственно в точках Alt Bi,
А2, В2; А3, В3. Инверсия ф переводит окружности Klt /C2.
К3 соответственно в прямые ArBlt A2B2, А3В3, причем,
так как по условию задачи окружности К\, /С2, К3 пересе-
пересекались попарно в точке О (а не касались), то прямые АхВ^,
Л2В2, АЯВ3 попарно пересекаются. Таким образом, наша
задача сводится к построению всех окружностей, касаю-
касающихся прямых AtBu A2B2, А3В3. Это, очевидно, будут впи-
вписанная и три вневписанные окружности треугольника
DEF, образованными этими прямыми. Построение этих
окружностей не вызывает затруднений, а тогда по правилу,
30

изложенному в § 4, строим образы четырех окружностей,
касающихся сторон треугольника DEF или их продолже-
продолжений, относительно инверсии ф. Полученные окружности и
есть искомые.
Заметим, что все проведенные построения можно выпол-
выполнить с помощью циркуля и линейки.
Задача 2. Построить окружности, которые каса-
касались бы двух данных окружностей д\ и Кг и проходили бы
через данную точку О, лежащую вне л\ и /С2.
Пусть R — одна из искомых окружностей. Обозначим
через ф инверсию с центром в точке О. Тогда <р переводит
Ki и Кг соответственно в окружности К\ и К'г, а окруж-
окружность R — в их общую касательную R'. Отсюда видно, что
«/
//?;
Рис. 36.
решения задачи представляют собой окружности, которые
будут образами общих касательных к окружностям Ki и
К'г относительно инверсии ф. Так как таких касательных
четыре, то задача имеет четыре решения (рис. 36).
Задача 3 (Задача Аполлония). Построить окруж-
окружности, касающиеся трех данных окружностей Кг, К2 и К3-
Мы изложим здесь два решения этой задачи.
Первое решение. Пусть L — одна из искомых
окружностей (рис. 37). Соединим отрезком ОгО3 центры
окружностей Ki и Кз и проведем соответственно из точек
Ои О2, О3 окружности радиусов r^-s, r2+s, r3+s, где
Обозначим построенные окружности соответственно через
^х> Ка> Кз- Пусть L — окружность, концентрическая по
3!

отношении к окружности L и имеющая радиус R—R—s.
Очевидно, Т касается окружностей Ки Кг,_К3- Поэтому
ясно, что если мы построим окружность L, то_мы без
труда построим и окружность L. Окружности Кх и Л"8
построены так, что они касаются друг друга в некоторой
точке D. Обозначим через ф инверсию с центром в точке D
и радиусом г таким, что окружность инверсии пересекает
окружности Кх и Кз- Инверсия ф переводит окружности
К\ и л в пару параллельных прямых 1Х и 13, а окружность
Кг в некоторую окружность /С2. Окружность L инверсией ф
переводится в окруж-
окружность V, которая каса-
касается К 2 и обеих парал-
параллельных прямых 1% а 13.
1 _ Таким образом, решение
1 ' задачи Аполлония сво-
сводится к весьма простой
задаче на построение:
провести окружности,
касающиеся пары па-
параллельных прямых и
данной окружности.
Мы предоставляем
читателю самому решить
эту задачу и, кроме
того, предлагаем само-
самостоятельно провести исследование в задаче Аппо-
лония, учтя при этом, что проведенное построение
можно применить к парам окружностей Кх и К2, К%
и К».
Второе решение. Сделаем вспомогательное
построение, которое сведет задачу Аполлония к задаче 2.
Пусть окружность Кз имеет радиус rs такой, что г^г3,
г^г3. Пусть теперь L — одна из окружностей, касающая-
касающаяся окружностей Кх, К2, К3- Проведем из точек О, и О3
окружности Кх и Кг, радиусы которых равны соответствен-
соответственно Pi=/i—ra и р2=г2—г3 (рис. 38). Окружность L, про-
проведенная из точки О как из центра радиусом p—R+r3,
будет касаться Кг и_К2 и проходить через точку О3. Пост-
Построение окружности L дано в решении задачи 2.
32
Рис. 37.

Поэтому, построив окружность L, строим искомую
окружность L как концентрическую ей с радиусом, умень-
уменьшенным на величину г3. Вопрос об исследовании оставляем
читателю в качестве упражнения.
2. Построение окружностей, пересекающих данные ок-
окружности ортогонально. Мы будем говорить, что две кри-
кривые пересекаются в точке М ортогонально или что они ор-
ортогональны в точке М, если угол между касательными
к этим кривым в точке М прямой.
Задача 4. Даны две неконцентрические окружности
Кг и К.2- Требуется построить все окружности, ортогональ-
ортогональные /Ci и /С2 и проходящие через данную точку М.
Решение этой задачи разбивается на ряд случаев
в зависимости от взаимного расположения окружностей
Кг, Кц И ТОЧКИ М.
а) Окружности Кг и /B пересекаются в точках А а В
(рис. 39, а). Очевидно, что если бы точка М совпадала с од-
одной из точек А или В, то искомой окружностью k могла
бы быть соответственно только точка А или точка В, ко-
которые рассматривались бы как окружности нулевого ра-
радиуса. Поэтому в дальнейшем рассматривается случай,
когда точка М отлична от точек А и В.
Пусть ф — преобразование инверсии с центром в точке
А и радиусом г=АВ. Тогда ф переводит М в некоторую
точку М', точку В оставляет неподвижной, а окружности
Кг и К2 переводит в прямые К\ я К'%, проходящие через
точку В (рис. 39, б). Образ k' искомой окружности k при
инверсии ф должен быть окружностью или прямой, кото-
которая ортогональна непараллельным прямым К\ и К\ и
5 И. Я. Бакельман	33

проходит через точку MV-отлнчную От точек А и В. Оче-
Очевидно, что имеется лишь одна окружность, удовлетворяю-
удовлетворяющая этим условиям (прямой k', удовлетворяющей сформу-
сформулированным выше условиям, нет). Это окружность с цент-
центром в точке В и радиусом, равным длине отрезка ВМ'.
Обозначим эту окруж-
окружность через k' (рис.39,6).
Так как дважды выпол-
выполненная инверсия ф при-
приводит к тождественному
преобразованию, то об-
образ k' при инверсии
Ф — окружность k — и
есть искомая окруж-
окружность. В процессе реше-
решения задачи было уста-
установлено, что задача
имеет одно решение при
любом положении точ-
точки М.
б) Окружности Кх и
К2 имеют одну общую
точку А, в которой они
касаются друг друга.
Если точка М со-
совпадает с точкой А, то
задача имеет бесконечно
много решений. Дей-
Действительно, решением
задачи будет, во-первых,
прямая ОхОг, являю-
являющаяся линией центров
окружностей Кх и Кг
(рис. 40) и, во-вторых,
любая окружность с центром на прямой /, проходящая
через точку Л (/ — общая касательная к Кх и Кг в точке А).
Пусть теперь М — любая точка плоскости, отличная
от точки А. Обозначим через ф преобразование инверсии
с центром в точке А и радиусом г—AM. Тогда инверсия ф
переводит точку М в точку М', а окружности Ki и /B
переведет в параллельные прямые /(, и Кг (рис. 41).
Образ k' искомой окружности k при инверсии ф должен
быть окружностью или прямой, проходящей через точку М
Рис. 39.
34

Рис. 40.
и ортогональной двум параллельным прямым К\ и К\-
Очевидно, что k' может быть только прямой (но не окруж-
окружностью). Так как такая прямая проходит через фиксиро-
фиксированную точку М' и пер-
перпендикулярна двум парал-
параллельным прямым К\ и К'ъ,
то прямая k' единственна.
Инверсией ф прямая k'
переводится в искомую
окружность k .
Итак, если точка М
отлична от точки А, то
задача имеет всегда одно
решение.
в) Окружности К\ и К2
ие имеют общих точек.
Докажем прежде всего,
что на линии центров ОхОг
(рис. 42) можно найти точ-
точку А такую, что если А принять за центр некоторой инвер-
инверсии ф, то ф переведет Кг и /С2 в концентрические окружности.
Пусть / — радикальная ось окружностей Кх и Кг-
Обозначим через S точку пересечения / и линии центров
ОХО%. Как было вы-
выяснено в § 5, точкаS
лежит вне обеих
окружностей К\ и /С2,
поскольку К\ и Кг не
имеют общих точек.
Проведем из S каса-
касательную к окруж-
окружности Кг, и пусть
7\ — соответствую-
соответствующая точка касания.
Окружность К с цент-
центром в точке S и ра-
радиусом R ^STt пере-
пересекает окружности Ki
и Кч ортогонально.
Для окружности Ki
это непосредственно Еытекает из построения, а для ок-
окружности К2 это следует из того, что длина касательной,
проведенной из точки S к окружности К2, равна длине
Рис. 41.
5*
35

отрезка S7\ или, что то же, радиусу окружности К- Обо-
Обозначим через А и В точки пересечения окружности К
с линией центров 0х02. Точки А и В, очевидно, не лежат
ии на одной из окружностей Ki и /B.
Преобразование инверсии ф определим следующим об-
образом. Центр ф поместим в точку А, а радиус возьмем
равным длине отрезка АВ : г—АВ.
Инверсия ф оставляет неподвижной точку В, окруж-
окружность К переводит в прямую К', проходящую через точку В
и перпендикулярную
линии центров 0$%,
линию центров остав-
оставляет инвариантной, а
окружности Ki и /С2
переводит в окружности
К\ и К\, центры кото-
которых лежат на прямой
0г02 (рис. 43). Так как
прямая К' ортогональна
обеим окружностям К\
Рис. 42.	и к'1( т0 центры Ki
и К\ должны лежать
на прямой /С'. Отсюда следует, что центры окружностей
К\ и К'2 находятся в точке пересечения прямых К' и 0г02,
т. е. Ki и К2 — концентрические окружности с центром в
точке В.
Допустим теперь, что точка М отлична от точек А и В.
Тогда ее образ при инверсии ф — точка М' — также отлич-
отлична от этих точек. Если k'— образ при инверсии ф одной
из искомых окружностей k, то k' необходимо есть прямая,
проходящая через точки В и М'. Отсюда следует, что пря-
прямая k' единственна. Производя над ней инверсию ф, полу-
получаем искомую окружность k. Итак, если точка М отлична
от точек А и В, то задача имеет единственное решение.
Если М совпадает с точкой В, то в качестве k' можно взять
любую прямую, проходящую через точку В. Отсюда вид-
видно, что в этом случае задача имеет бесконечно много ре-
решений.
Если точка М совпадает с точкой А, то задача также
имеет бесконечно много решений. Для этого достаточно
провести изложенные выше построения с единственной за-
заменой: рассмотреть инверсию фх с центром в точке В и ра-
радиусом г—АВ.
36

Таким образом, все возможные расположения точки М
и окружностей /Сх и К2 рассмотрены. Задача полностью ре-
решена.
Задача 5. Даны три окружности Ki, K2, К3, располо-
расположенные так, что одна лежит вне двух других. Построить ок-
окружность, ортогональную всем трем данным окружностям.
Рис 43
Решение. По условию окружности Ки К2, К3 рас-
расположены так, что радикальная ось любых двух из них
разделяет соответствующие окружности. Поэтому окруж-
окружности Ki и К2, К2 и К3 имеют радикальные оси 1Х и /2, кото-
которые не совпадают.
Может представиться два случая:
а)	Прямые 1г и /2 параллельны. Тогда центры окружно-
окружностей К\, К2, К3 лежат на одной прямой. Эта прямая и есть
решение задачи.
б)	Прямые 1Х и /2 пересекаются в некоторой точке S.
По условию окружности Ki, K2> Кз расположены так, что
37

их радикальные оси лежат вне соответствующих пар ок-
окружностей. Поэтому из точки S можно провести касатель-
касательные ко всем окружностям /С1; /С2, К3- Все касательные име-
имеют равные длины. Пусть S7\— касательная к окружности
Ki G\— точка касания с окружностью /Сх) иг — длина
этой касательной. Окружность с центром в точке S и ра-
радиусом г, очевидно, и будет искомой.
Из рассмотрений, проведенных выше, вытекает, что
задача всегда имеет одно решение.
§ 7. Пучки окружностей
Фиксируем на плоскости две окружности Ki и /С2*
Совокупность всех окружностей, ортогональных Ki и /(,,
будем называть пучком окружностей. Мы будем также го-
говорить, что этот пучок порождается окружностями /Сх и
/С2, и обозначать его P(Ki, Ki); часто, если порождающие
Рис. 44.	Рис. 45.
пучок окружности Ki и К2 не будут играть специальной
роли, мы будем обозначать пучок кратко буквами Р или Q.
Так как выше мы условились считать прямую частным
случаем окружности, то в состав пучков наряду с окруж-
окружностями могут входить и прямые.
Рассмотрим сначала три пучка, устроенных наиболее
просто. Эти пучки возникают при специальном выборе ок-
окружностей Ki и К2-
1. Ki и К2— концентрические окружности с общим
центром в точке В. В рассматриваемом случае пучок
Р(/A,/B), очевидно, представляет собой совокупность всех
прямых, проходящих через точку В (рис. 44). Этот пучок
назовем простейшим эллиптическим пучком.
38

2.	Ki и K2— прямые, пересекающиеся в точке В.
Пучок Р(Къ К2), очевидно, представляет собой совокуп-
совокупность всех концентрических окружностей с общим центром
в точке В (рис. 45). Пучок Р(Ки К2) назовем простейшим
гиперболическим пучком.
3.	К± и /С2 — парал-
лельные прямые. Пучок
Р (Ki, K2) в этом случае
состоит, очевидно, из
Рис. 46.
всех прямых, перпендику-	""К,
лярных прямым Ki
и К2 (рис. 46). Этот пу-
пучок назовем простейшим
параболическим пучком.
Рассмотрим, чем отличаются друг от друга простейшие
пучки. Для этого обратим внимание на количество общих
точек у окружностей /Ci и /С2, порождающих тот или другой
пучок. Имеем:
Тип пучка
Эллиптический
Параболический
Гиперболический
Количество общих точек у
окружностей /\, и /С2
0
1 (бесконечно удален-
удаленная точка О„)
2 (точка В и О„)
Так как более двух общих точек окружности (в том
числе и прямые) иметь не могут, то ясно, что имеются лишь
три различных вида простейших пучков.
Оказывается, что для произвольно взятых окружностей
Ki и /С2 порождаемый ими пучок Р(Ки Кг) с помощью над-
надлежаще выбранной инверсии может быть преобразован в
один из трех простейших пучков. Так как инверсия — вза-
взаимно однозначное преобразование, то любой пучок Р может
быть преобразован инверсией в простейший пучок только
одного определенного типа. Так, например, если инверсия
Ф переводит пучок P(Ki, K2) в простейший эллиптический
пучок Р', то никакая другая инверсия фх не может пере-
перевести его в параболический или гиперболический пучок Р±.
Действительно, если фх переводит Р (Кх, /B) в Ри то на
39

основании теоремы 1 § 3 та же инверсия фг переводит Р,
в P(Ki, K2). Положим
Тогда
Очевидно, К\ и К\— концентрические окружности, а Кх
и К2— пересекающиеся или параллельные прямые. Обо-
Обозначим через / преобразование плоскости, которое состоит
в последовательном выполнении двух инверсий фх и <р.
Прямые Кг и К2, которые имеют по крайней мере одну об-
общую точку Ох, преобразованием / переводятся в окруж-
окружности К\, К\, которые не имеют общих точек, что невоз-
невозможно, так как фигуры f(Ki) и /(^2) должны иметь хотя
бы одну общую точку.
Имеет место следующая основная теорема.
Теорема 1. 1. Если Ki и /С2 не имеют общих точек,
то существует инверсия q>v переводящая P(Ki, Kz) в про-
простейший эллиптический пучок.
2.	Если Ki и К% имеют единственную общую точку, то
существует инверсия ф2, переводящая Р{К\, /С2) в простей-
простейший параболический пучок.
3.	Если Ki и К% имеют две общие точки, то существует
инверсия ф3, переводящая Р{Къ К2) в простейший гипербо-
гиперболический пучок.
Доказательство теоремы 1 тесно связано с построения-
построениями, проведенными в § 6 при решении задачи 4. Дальнейшие
построения будут опираться также на следующую лемму.
Лемма 1. Пусть произвольная инверсия ф переводит
любые две окружности Кг и /С2 в'окружности К\ и К\.
Тогда образ пучка P(Ki, /B) относительно ц> есть пучок
W, К'*)-
Доказательство леммы. Так как ортого-
ортогональность окружностей при любой инверсии сохраняется,
то образ P(Ki, /C2) относительно ф есть совокупность ок-
окружностей, входящих в пучок Р (К\, /('2). Для того чтобы
доказать совпадение образа P(Ki, /C2) с пучком Р(К\, К\),
достаточно установить, что для любой окружности
/г' пучка Р(К\, К\) найдется окружность k пучка Р(КиКг)
такая, что (p(k)=k'.
40

Положим
k=<t(k').
Тогда k ортогональна /Ci и /B и, стало быть, принадлежит
пучку Р{КХ, Кг). Так как дважды последовательно выпол-
выполненная инверсия есть тождественное преобразование, то
Ф (Л) = Ф(Ф (*')) = *'•
Лемма доказана.
а) Доказательство утверждения 1.
Пусть /Cj и Кг — Две произвольные окружности, не имею-
имеющие общих точек. Интерес представляет случай, когда К\
и К2— не концентрические окружности. Одна из окружно-
окружностей Кг и Кг может быть прямой (но не обе, ибо тогда Кх
и К2 имеют по крайней мере одну общую точку — именно,
бесконечно удаленную точку 0^).
Итак, пусть Кх и К2 (рис. 47) — две неконцентрические
окружности.
К,
Рис. 47.
Пусть S — точка пересечения линии центров 0х02
с радикальной осью / окружностей /Сх и К2 (построение
точки S и оси / описано в § 5). Прямая /, а следовательно,
и точка S лежат вне обеих окружностей Кх и К2> и потому
из S можно провести касательные STX и ST2 к окруж-
окружностям Ki и К2 G\ и Т2— соответствующие точки каса-
касания). Так как точка S лежит на радикальной оси Кг и /С2, то
ST1—STi. Окружность К, описанная из центра5 радиусом
a—STu пересекает ортогонально Кх и К2- Обозначим
через А и В точки пересечения К с линией центров ОхОг.
41

Инверсию фх определим следующим образом: центр ее
находится в точке А, а радиус равен длине отрезка АВ.
В задаче 4 § 6 доказано, что инверсия фх переводит окруж-
окружности Kt и Кг в концентрические окружности К[ и К2
с общим центром в точке В. Пучок окружностей Р(Кг, К2)
инверсия^ переводит в пучок P(Ki, К2), который состоит
из всех прямых, проходящих через точку В.
Таким образом, инверсия фх переводит пучок Р{К\, К2)
в простейший эллиптический пучок.
Осталось рассмотреть случай, когда одна из окружно-
окружностей, например Ki,~ прямая (рис. 48). Очевидно, Ki лежит
вне Кг- Проведем через точ-
точку О2 прямую т, перпендику-
перпендикулярную Ки и пусть S —точ-
—точка пересечения прямых т
и Кг. Пусть, далее, ST.Z —
касательная к К%- Обозначим
через К окружность с цент-
центром в точке S и радиусом
а — ST2, а через А и В — точ-
точки пересечения К с прямой т.
Инверсия ф2, имеющая центр
в точке А и радиус г = АВ,
оставляет неподвижной точ-
точку В, инвариантной прямую т и переводит окружность К
в прямую К', которая проходит через точку В и ортого-
ортогональна прямой т.
Прямая Ki не проходит через точку А, а окружность К
ортогональна прямой К\ и окружности Кг- Поэтому обра-
образами Ki и Кг относительно фх будут окружности К[ и К2,
центры которых лежат одновременно на прямых К' и т,
т. е. Ki и К2 — концентрические окружности с общим
центром в точке В. Отсюда и вытекает, что образ
пучка Р(Ки Кг) есть простейший эллиптический пучок
Р(К[, К',).
Утверждение 1 полностью доказано.
Доказательство утверждения 2.
Пусть К\ и Кг—две окружности, имеющие одну общую точ-
точку А (рис. 49). (Одна из них, например Кх (рис. 49,<?),
может быть прямой; случай, когда и К\ и К%— прямые,
неинтересен, так как тогда К\ и К2 параллельны и
Р(Кц Ki) — простейший параболический пучок.)
42
Рис. 48.

Если ф2— инверсия с центром в точке А, то Ki и Kt
переводятся ф2 в параллельные прямые Ki и Кг • Приме-
Применяя лемму 1, получаем, что Р{К\, Кг) — простейший па-
параболический пучок.
Утверждение 2 доказано.
Рис. 49.
Доказательство утверждения 3.
Пусть Ki и /B— окружности, имеющие две общие точки
(рис. 50). Случай, когда и Ki и Кг— прямые, неинтересен,
так как тогда одна из их общих точек А или В бесконечно
удаленная и Р{К\, К2) — простейший гиперболический
пучок.
Рис. 50.
Пусть ф3— инверсия с центром в точке А н радиусом
г=АВ. Тогда образами К\ и /B относительно ф3 будут
прямые К\ и Кг, пересекающиеся в точке В (рис. 51).
Отсюда следует, что P(Ki, Кг) — простейший гиперболи-
гиперболический пучок.
43

Утверждение 3 доказано, и тем самым завершено дока-
доказательство теоремы 1.
Введем следующие определения.
Пучок P(Ki, /C2). порождаемый окружностями Ki и /B,
называется эллиптическим, если окружности Ki и /С2
не имеют общих точек.
Пучок P(Ki, К%) называется параболическим, если
окружности Ki и Кг имеют одну общую точку.
Пучок Р{К\, К2) называется гиперболическим, если ок-
окружности id и Кг имеют две общие точки.
Теорема 2. Всякий эллиптический пучок может
быть получен из некоторого простейшего эллиптического
пучка с помощью надлежа-
надлежаще подобранной инверсии.
Теорема 3. Всякий
параболический пучок мо-
может быть получен из неко-
некоторого простейшего пара-
параболического пучка с по-
помощью надлежаще подо-
подобранной инверсии.
Теорема 4. Всякий
гиперболический пучок мо-
может быть получен из неко-
некоторого простейшего гипер-
гиперболического пучка с по-
помощью надлежаще подо-
подобранной инверсии.
Отметим прежде всего, что в теоремах 2, 3, 4 предпола-
предполагается, что рассматриваемые пучки не являются простей-
простейшими. Доказательства теорем 2, 3, 4 непосредственно вы-
вытекают из теоремы 1 и того факта, что применение дважды
одной и той же инверсии сводится к тождественному пре-
преобразованию плоскости.
Точку А будем называть узловой для пучка Р, если все
окружности этого пучка проходят через точку А. Точку А
будем называть нулевой для пучка Р, если существует по-
последовательность окружностей пучка Р, стягивающаяся в
точку А. (Более наглядно было бы пользоваться термином
нулевая окружность, однако в последующем изложении
он оказывается менее удобным.)
Из строения простейшего эллиптического пучка и тео-
теоремы 2 получаем, что всякий эллиптический пучок имеет
44
Рис. 51.

две узловые точки и ни одной нулевой. С другой стороны,
всякий гиперболический пучок имеет две нулевые точки и
не имеет ни одной узловой точки.
Пусть Р — не простейший параболический пучок. Этот
пучок получается некоторой инверсией ф из пучка Р'
всех параллельных между собой прямых. Пусть А — центр
инверсии ф. Тогда нетрудно видеть, что Р есть совокуп-
совокупность всех касающихся между собой окружностей в точке
А, причем к этой совокупности присоединена также общая
касательная ко всем окружностям в точке А (рис. 52).
Поэтому у пучка Р есть одна
узловая и одна нулевая точка.
Именно, точка А выступает	,	ч .
здесь одновременно в двух	^
ролях. Действуя на пучок Р
инверсией ф, получаем простей-
простейший параболический пучок Р'.
Естественно считать бесконечно
Рис. 52.
удаленную точку одновременно
и узловой и нулевой точкой
простейшего параболического
пучка Р'.
Из проведенных рассмотре-
рассмотрений вытекает
Теорема 5. Общее число
узловых и нулевых точек любого
пучка равно двум.
Пучок окружностей Р будем
называть ортогональным пуч-
пучку Q, если любая окружность пучка Р ортогональна
любой окружности пучка Q. Очевидно, что если пучок Р
ортогонален пучку Q, то и, обратно, пучок Q ортогонален
пучку Р.
Рассмотрим сначала ортогональные пары простейших
пучков. Если Р — простейший эллиптический пучок, т. е.
совокупность всех прямых, проходящих через некоторую
точку В, то, очевидно, совокупность всех окружностей,
ортогональных окружностям пучка Р, представляет со-
собой простейший гиперболический пучок Q, состоящий из
всех концентрических окружностей с центром в точке В
(к Q мы присоединяем также точку В и бесконечно уда-
удаленную точку От, которые суть нулевые точки Q). Легко
видеть, что и, обратно, пучок Q является ортогональным
45

пучку Р; при этом узловые точки Р являются нулевыми
точками пучка Q.
Если Р — простейший параболический пучок, т. е.
совокупность параллельных прямых вместе с бесконечно
удаленной точкой 0^, то ортогональным ему будет пучок
Q, полученный из Р поворотом на прямой угол, и наоборот.
При этом узловые и нулевые точки пучков Р и Q совпа-
совпадают.
Из проведенных выше рассмотрений и теорем 2, 3, 4
получаем следующую теорему.
Теорема 6. Для всякого пучка Р есть только один
ортогональный пучок Q. Если Р — эллиптический пучок,
то Q — гиперболический, и наоборот; при этом узловые
точки Р есть нулевые точки Q, и наоборот. Если же Р —
параболический пучок, то Q — также параболический
пучок. Узловые и нулевые точки пучков Р и Qe этом случае
совпадают и находятся в одной и той же точке А. Пучок Q
получается из пучка Р поворотом пучка Р вокруг точки А
на прямой угол.
§ 8. Строение эллиптического пучка
Теорема 1. Всякий эллиптический пучок Р, не
являющийся простейшим, представляет собой совокупность
всех окружностей, проходящих через некоторые две фикси-
фиксированные точки.
Доказательство. Так как Р — эллиптиче-
эллиптический пучок, то существуют простейший эллиптический
пучок Р' и инверсия ф (см. теорему 2 § 7), переводящая пу-
пучок Р' в пучок Р.
Р' представляет собой совокупность прямых, прохо-
проходящих через некоторую точку В' (рис. 53). Обозначим через
А центр инверсии ф. Точки А и В' различны; в противном
случае инверсия ф переводила бы пучок Р' сам на себя, а
не в пучок Р (напоминаем, что пучок Р не простейший и,
следовательно, отличен от Р'). Так как образ пучка Р'
относительно инверсии ф есть совокупность окружностей,
проходящих через точки А и В=ф(В'), то теорема доказана.
Следствие 1. Точки А и В суть узловые точки
пучка Р.
Поэтому всякий эллиптический пучок можно опреде-
определить как совокупность окружностей, проходящих через
две фиксированные точки (узловые точки пучка). Отсюда
46

следует, что узловые точки однозначно определяют эллип-
эллиптический пучок.
Если одна из узловых точек пучка бесконечно удален-
удаленная, то эллиптический пучок превращается в простейший.
Следствие 2. Пусть А и В — узловые точки пуч-
пучка Р. Тогда прямая А В является элементом пучка Р.
Если А и В — обыкновенные точки, то прямая АВ
является единственной прямой в пучке Р (все его другие
элементы суть окружности). Легко видеть, что прямая АВ
является радикальной осью для любой пары окружностей
пучка Р. Поэтому прямую АВ называют радикальной осью
пучка Р.
Рис. 53.
Таким образом, непростейший эллиптический пучок
представляет собой совокупность всех «настоящих» окруж-
окружностей, проходящих через две фиксированные точки, и
общей радикальной оси всех пар окружностей, взятых из
этой совокупности. Как мы отмечали, эта радикальная
ось проходит через узловые точки эллиптического пучка.
Если же одна из точек А и В, например А, бесконечно
удаленная, то пучок Р состоит из всех прямых, проходя-
проходящих через точку В. В этом случае особое положение прямой
АВ исчезает и, следовательно, для простейшего эллиптиче-
эллиптического пучка понятие радикальной оси теряет смысл. Та-
Таким образом, наличие в эллиптическом пучке единственной
прямой является необходимым и достаточным условием
отличия этого пучка от простейшего.
47

§ 9. Строение параболического пучка
Теорема 1. Всякий непростейший параболический
пучок Р представляет собой совокупность всех окружностей,
касающихся друг друга в некоторой фиксированной точке.
Доказательство. Так как Р — непростейший
параболический пучок, то существует простейший парабо-
параболический пучок Р' и инверсия ф (см. теорему 3 § 7) такие,
что Р есть образ пучка Р' при инверсии ф. Р' представляет
собой совокупность всех прямых, параллельных между
собой, к которым присоеди-
присоединена еще бесконечно удален-
удаленная точка. Обозначим через А
центр инверсии ф, а через
/—прямую из Р', проходя-
проходящую через точку А. Инвер-
Инверсия ф оставляет прямую /
инвариантной, а все другие
прямые пучка Р' переводит
в окружности, которые про-
проходят через точку А (рис. 54)
и касаются / в этой точке.
Так как бесконечно удален-
удаленная точка 0^ при инверсии ф
Рис. 54.	имеет своим образом точку Л,
то отсюда следует, что пу-
пучок Р и есть совокупность всех окружностей, касающихся
друг друга в точке А, при этом точка А рассматривается
как нулевая в пучке Р.
Теорема доказана.
Следствие. Прямая I, очевидно, есть элемент
пучка Р.
Она является радикальной осью для любой пары окруж-
окружностей пучка Р. Поэтому прямую / называют радикальной
осью пучка Р.
Из теоремы 1 ясно, что всякий непростейший параболи-
параболический пучок определяется заданием своей узловой (или,
что то же, нулевой) точки А и радикальной оси /, проходя-
проходящей через эту точку.
Если узловая точка параболического пучка бесконечно
удаленная, то он превращается в простейший параболиче-
параболический пучок и выделение в нем радикальной оси теряет
смысл.
48

Так же как и в случае эллиптических пучков, необхо-
необходимым и достаточным условием отличия параболического
пучка от простейшего является наличие в нем единствен-
единственной прямой — радикальной оси пучка.
§ 10. Строение гиперболического пучка
Гиперболический пучок имеет более сложное строение,
чем описанные в §§ 8 и 9 эллиптический и параболический
пучки.
Пусть Р — произвольный непростейший гиперболиче-
гиперболический пучок. Из теоремы 4 § 7 вытекает, что существуют
простейший гиперболический пучок Р' и инверсия ф та-
такие, что исходный пучок Р
есть образ Р' относительно
инверсии ф. Пучок Р'
представляет собой сово-
совокупность концентрических
окружностей с общим
центром в некоторой точ-
точке В (рис. 55). Обозначим
через А центр инверсии ф,
а через г — ее радиус. Из
доказательства теоремы 1
§ 7 ясно, что, не нарушая
общности, можно считать г	Рис- 55.
равным длине отрезка АВ.
Обозначим через LR окружность с центром в точке В, и
пусть R — радиус этой окружности. Через CR и DR обо-
обозначим точки пересечения LR с прямой АВ, причем точ-
точку CR (рис. 55) будем считать лежащей левее точки В, а
точку DR— правее той же точки. Через Kr (рис. 56) обо-
обозначим образ окружности Lr относительно инверсии ф.
Пусть сначала
R<r,
тогда обе точки CR и Облежат левее точки А. Их образы
CR и Dr, представляющие собой точки пересечения
окружности Kr с прямой АВ, также лежат левее точки А.
Далее,
49

я потому
Т	Т ^	*
Т < 7+R = ACr < АВ=Г< -дЩ~TZTr — л^«-
Отсюда следует, что точка С« лежит внутри отрезка ВМ,
где Af — середина отрезка АВ; точка D/? лежит вне отрез-
отрезка Л Б слева от точки В и, наконец, центр окружности Кц
находится в точке QR, лежащей также левее точки В, по-
поскольку
лп — cr*+DrA __т*
ЛЧЯ— 2	~2"
> г.
Пусть теперь R=r. Тогда окружность Lr проходит
через точку А (рис. 55), и так как
то инверсия ф переводит Lr в прямую К,г, проходящую
через середину М отрезка АВ перпендикулярно прямой
АВ (рис. 56).
KJR>r)
Рис. 56.
Если R>r, то точка CR лежит левее точки В, а точка
DR правее точки А (рис. 55). Поскольку
то точка Сд лежит внутри отрезка AM, а точка DR вне
отрезка АВ правее точки Л. Вся окружность KR располо-
жена правее прямой Кг (рис. 56), и ее центр — точка QR—
лежит правее точки А, так как ACR< ADR. Действи-
Действительно,
'r+R
ВО

Обозначим через h(R) радиус окружности KR. При R =0
окружность Ко совпадает с точкой В н, следовательно,
Л@)=0.
Если R<Cr, то
2\r-R
A)
Когда R стремится к г, из формулы A) следует, что h(R)
неограниченно возрастает и стремится к -foo. Этому соот-
соответствует простая наглядная картина: окружности Кц
Рис. 57.
гиперболического пучка Р при возрастании параметра R
от 0 до г неограниченно расширяются и при R=r пере-
переходят в прямую Кг-
Если R>r, то
B)
Отсюда следует, что если R стремится к г, оставаясь боль-
больше г, то окружности Kr неограниченно расширяются и
при R—r переходят в прямую К.г. Если R монотонно воз-
возрастает от г до +оо, то из формулы B) следует, что ок-
окружность К к сжимается и при R-*-\-oo ее радиус стремится
к нулю. При R~ + <x> окружность Kr переходит в точку А.
Общий вид гиперболического пучка Р изображен на
рис. 57. Отметим, что прямая Кг есть радикальная
51

ось любой пары окружностей пучка Р. (Этот факт мы
предлагаем доказать читателю.) Прямая Кг называется
радикальной осью пучка Р.
Из проведенных рассуждений ясно, что гиперболиче-
гиперболический пучок полностью определяется заданием своих нуле-
нулевых точек или одной нулевой точки и радикальной оси.
Если одна из нулевых точек бесконечно удаленная,
то пучок Р превращается в простейший гиперболический
пучок, состоящий из совокупности концентрических ок-
окружностей. Для такого пучка понятие радикальной оси
лишено смысла.
Так как в простейшем гиперболическом пучке нет ни
одной прямой, то необходимым и достаточным условием
отличия гиперболического пучка от простейшего является
наличие в нем хотя бы одной прямой. Как мы знаем, в
непростейшем гиперболическом пучке такая прямая един-
единственна.
§11. Теорема Птоломея
В этом параграфе будет изучаться вопрос о том, когда
через четыре точки плоскости возможно провести окруж-
окружность. Оказывается, что на этот вопрос может быть дан
ответ с помощью известной тео-
теоремы Птоломея из элементар-
элементарной геометрии. Теорему Птоло-
Птоломея мы сформулируем и дока-
докажем несколько позже, а сейчас
рассмотрим решение этого во-
вопроса с помощью инверсии.
Пусть на плоскости даны три
точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой. Тогда через эти
точки проходит единственная
окружность К (рис. 58). Пусть,
далее, <р — инверсия с центром
в точке А и радиусом г. Вели-
Величина г нам безразлична; для определенности мы будем счи-
считать, что г больше диаметра окружности К- Образом окруж-
окружности К относительно инверсии <р будет прямая k, которая
расположена целиком вне К, поскольку г больше диамет-
диаметра К- Через В' и С, как обычно, обозначены образы точек В
и С. Точки В' и С, очевидно, лежат на прямой k. Возьмем
52
Рис. 58.

теперь на плоскости произвольную точку D *), и пусть
D' — ее образ. Если точка D лежит на окружности К,
то точка D' принадлежит прямой k; если же D не лежит на
К, то D' не принадлежит прямой k. Очевидно, что обратное
также имеет место. Поэтому для того, чтобы четыре
точки А, В, С, D лежали на окружности К, необходимо и
достаточно, чтобы точки В', С, D' лежали на прямой k.
Если три точки В', С, D' лежат на одной прямой, то
для отрезков В'С, CD', B'D' выполнено одно и только
одно из трех соотношений:
B'D' + D'C' = B'C,
B'C'+C'D' = B'D',	(*)
Если же три точки В', С, D' не лежат на одной прямой,
то для тех же отрезков справедливо неравенство
B'D' + C'D'> В'С.	(**)
Постараемся теперь соотношения (#) и (**) записать
так, чтобы в них не участвовали точки В', С, D'.
Предварительно установим следующую лемму.
Лемма 1. Пусть на плоскости задана инверсия <р
с центром в точке О и радиусом г. Пусть, далее, М и N —
две произвольные точки плос-
плоскости, отличные от точки О и
бесконечно удаленной точки Ох.
Тогда
M'N' = ,
где
OM-ON'
До каз ательство.	Рис- 59-
По лемме 1 § 4 треугольни-
треугольники OMN и OM'N' (рис. 59) подобны и, кроме того,
M'N'
МЛ'
ОМ'
" ON "
Так как ОМ' = -^, то NL'N' =
Лемма доказана.
Мы предполагаем, что точка D отлична от точек А, В, С.
53

Пользуясь только что доказанной леммой 1, имеем
Таким образом, если точки Л, В, С, D лежат на окружности
К, то нх образы В', С, D' лежат на прямой k и справедливо
соотношение
/¦i	ri	r%
BD ab-ad+dca~d7Tc=bc ав-ас ¦
(мы предполагаем для определенности, что D' лежит между
В' и С'); если же точки А, В, С, D не лежат на окружности
К, то справедливо соотношение
Отсюда имеем, что
BD-AC + DC-AB-BC-AD,
если точки А, В, С, D лежат иа одной окружности, и
BD-AC + DC-AB> BC-AD,
если точки А, В, С, D не лежат на одной окружности.
Итак справедлива
Теорема 1. Для того чтобы четыре тонки А, В, С,
D лежали на одной окружности и при этом точки А и D
лежали на разных дугах с концами В и С, необходимо и до-
достаточно выполнение равенства
BD-AC + DC-AB-BC-AD.
Так как четырехугольник ABDC, вписанный в окруж-
окружность К, удовлетворяет условиям теоремы 1, то мы полу-
получаем, что произведение диагоналей этого четырехуголь-
четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.
Так как окружность К и четырехугольник ABDC, вписан-
вписанный в /С, выбраны произвольно, то мы приходим к теореме.
Теорема 2 (Теорема Птоломея). Во всяком вписан-
вписанном четырехугольнике сумма произведений противополож-
противоположных сторон равна произведению диагоналей.

ГЛАВА II
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИНВЕРСИЯ
§ 12. Геометрическое изображение комплексных чисел
и действий над ними
Как известно, каждое комплексное число z=x-\-iy,
где ( — так называемая «мнимая» единица Aг——1), удобно
изображать точкой М плоскости с декартовыми координа-
координатами х, у. Мы предполагаем, что на плоскости фиксирова-
фиксирована некоторая декартова система координат с началом в точ-
точке О (рис. 60). С каждой точкой
плоскости М взаимно однозначно
связан вектор г с началом в точ-
точке О и концом в точке М. Такой
вектор принято называть радиусом-
вектором точки М, а координаты
точки М называются координа- __
тами или компонентами радиуса-
вектора. Поэтому комплексное чи-
число z=x-\-iy геометрически можно
изображать также с помощью ради-
радиуса-вектора с координатами х, у.
Если z1=xi-\-iyi и Z2=x2-\-iy2— Два комплексных числа,
а/\иг2—соответствующие им радиусы-векторы, то форму-
формулы для чисел Zx+z2 и zx—z2 согласно определениям таковы:
М
лг
Рис. 60.
С другой стороны, из определения правил действия сложе-
сложения н вычитания векторов (имеется в виду правило парал-
параллелограмма) вытекает, что векторы гх-\-г^ и гх—г2 имеют
координаты xx-l-Xj, y^+y2 и х1—хг, ух—уг соответственно.
Поэтому сумме и разности комплексных чисел отвечают
55

радиусы-векторы, являющиеся соответственно суммой и
разностью радиусов-векторов, изображающих данные ком-
комплексные числа (рис. 61).
Число z=x—iy называется числом, сопряженным
z=x+iy. Пусть М — конец радиуса-вектора г, соответ-
соответствующего числу z=x+iy, a Mx— конец радиуса-вектора
У
Рис. 61.
гх, соответствующего числу z=x—и/. Так как точки М и
Мг имеют соответственно координаты х, у и х,—у, то Мг
получается из М отражением в оси х (рис. 62).
Рис. 62.
Рис. 63.
Пусть z — некоторое комплексное число иг — изоб-
изображающий его радиус-вектор. Обозначим через \г\ длину
вектора г, а через <р угол, отсчитываемый от положитель-
положительной части оси х до вектора г против часовой стрелки. Число
\г\ называется модулем комплексного числа г, а угол <р —
бб

его аргументом. Часто модуль г мы будем обозначать
через р, а аргумент — через arg г (рис. 63). Очевидно,
что для комплексного числа z=x+iy
X = рСОЭф,
y — ps\n(p.
Отсюда
2 = х+iy — р (cos ф -f- i sin ф).
Запись числа z=x+iy в виде
г = р (cos ф + i sin ф)
называется тригонометрической формой комплексного
числа.
Наряду с положительными углами, отсчитываемыми от
положительной части оси х до вектора против часовой
стрелки, введем отрицательные углы, которые отсчиты-
ваются от положительной части
оси х до вектора г по напра-
направлению часовой стрелки.
Если 2 — число, сопряжен-
сопряженное числу
= p (cos ф + i sin ф),
z-x*iy
то
z = р (cos ф — i sin ф) =
= p (cos (- ф) + i sin (- ф)) =
=p (cos Bя —ф) + i sin Bя—ф)).
z-x-iy
Рис. 64.
Поэтому в качестве аргумента числа г можно взять любой
из углов — ф или 2я—ф (рис. 64).
Так как синус и косинус — периодические функции
с периодом 2я, то значение аргумента комплексного числа г
определяется с точностью до целого кратного 2я. Поэтому
полезно выделить среди значений аргумента так называе-
называемое главное значение, которое заключено в пределах от
нуля до 2я.
В дальнейшем, если не будет специальных оговорок,
под аргументом комплексного числа г понимается любой
угол ф такой, что г=р(со5ф+?зтф).
Перейдем к рассмотрению умножения комплексных
чисел. Если даны два комплексных числа гх—х^-\~1у^ и
57

то согласно определению произведением этих
чисел Zi'Zi называется комплексное число
г = {хххг - уху2) + i (хгу2 + x2yt).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию действия ум-
умножения с помощью записи комплексных чисел в триго-
тригонометрической форме. Пусть
p
Тогда
г = г1-22 = р1р2[(созф1созф2— sin(p1sin(p2) +
+ i (cos ф1 sin ф2 + cos ф2 sin q>x)] =
== P1P2 [с»3 (Ф1 +ф2) + J sin (ф! -f ф2)].
Таким образом, если радиус-вектор г изображает комплекс-
комплексное число z=z1-zi, а радиусы-векторы гх и г%— комплекс-
комплексные числа гх и z^, то радиус-вектор г получается из гх и
г2 следующими операциями: радиус-вектор гх поворачи-
ваетея на угол ф2 против часовой стрелки, если ф2>0,
или по часовой стрелке, если ф2<0, и после этого его длина
увеличивается в р2 раз. Другими словами, если аф2—
вращение плоскости вокруг начала координат на угол
фг> а Рр2— преобразование гомотетии с коэффициентом ра
и центром в начале координат, то вектор г получается из
вектора гх последовательным применением преобразований
афа и рРз. Таким образом,
Совершенно аналогично, если аф, — вращение вокруг на-
начала координат на угол фх, а Р,,, — преобразование гомоте-
гомотетии с коэффициентом рх и центром в начале координат, то
вектор г получается из вектора г% последовательным при-
применением преобразований аф1 и Р?1:
Обратимся теперь к геометрической интерпретации дей-
действия деления двух комплексных чисел: 2, ^-^}
, 22=р2(сО5фа-Н81пф2). Если Z-- — частное от
58

деления z, на z^, то
, __ zi'za _ Pi (cos <pt + i sin <pt) pa (cos ф8— / sin <pa) __
Zj-Fj ~ Pa (cos 4>» + ' sin Фа) Pa (cos Фа~ ' sin Фа) ~~
— ?i (cos Ф1 +' sin 9t) fcos (— фа) -H sin (— фа))
pa (cos ф2 + i sin ф2) (cos ( —fa) + isln ( — фа))
Таким образом,
2 = Г"= 7Г Icos (Ч>* ~ Ч>2> +«sin (Ф1 —
*а ра
Обозначим через а,,, и а_(р> вращения плоскости вокруг
начала координат соответственно на углы ух и —фа, а
через р?1 и р, — преобразования гомотетии с центром в
рТ	1
начале координат и коэффициентами рг и —. Пусть, далее,
Ра
г, rt, r2— радиусы-векторы, отвечающие соответственно
комплексным числам z, zx, z2. Тогда вектор г получается
из вектора гх последовательным применением преоб-
преобразований а_ <р2 и Р, или из вектора г2 последовательно
выполненными преобразованиями a-<fl и РР|, т. е.
ИЛИ
§ 13. Линейная функция комплексного переменного
и простейшие преобразования плоскости
Пусть каждому комплексному числу z~x+iy по не-
некоторому правилу ставится в соответствие комплексное
число z'=x'-\-iy'. Тогда говорят, что на совокупности
всех комплексных чисел или, что то же самое, на комплекс-
комплексной плоскости определена функция комплексного перемен-
переменного г'=/(г). Комплексная функция, закон соответствия
которой дается формулой
где а и Ь — постоянные комплексные числа, называется
линейной.

Поскольку комплексные числа отождествлены с точ-
точками плоскости, то всякая комплексная функция может
одновременно рассматриваться как преобразование точек
плоскости. Задачей настоящего параграфа как раз и яв-
является описание такого преобразования с помощью про-
простейших преобразований плоскости, изученных в § 1.
Итак, пусть дана линейная функция
Если а—0, то функция z'=b является постоянной, пос-
поскольку любому комплексному числу г она относит комп-
комплексное число Ь. Преобразование плоскости, соответствую-
соответствующее этой функции, переводит всю плоскость в одну и ту же
точку Ь.
В дальнейшем мы исключим из рассмотрения это три-
тривиальное преобразование и постоянно будем считать, что
Пусть
а = |а| (cos (p-f-isin(p)
— запись комплексного числа а в тригонометрической
форме. Обозначим через г', г, ft радиусы-векторы, отвечаю-
отвечающие числам z'', z, b. Пусть, далее, Р|в| — преобразование
гомотетии с центром в точке z=0 и коэффициентом \а\,
аф— вращение плоскости на угол ф вокруг точки 2=0 и,
наконец, уь— параллельный перенос плоскости на вектор
ft. Нетрудно видеть, что точка г'-г-конец вектора г'—
получается из точки г — конца вектора г — с помощью
последовательно выполненных преобразований: вращения
аф, подобия ра и параллельного переноса уь.
Функцию
'
часто называют линейной функцией первого рода. Таким
образом, линейной функцией первого рода на плоскости
соответствует преобразование, состоящее в последователь-
последовательном выполнении преобразований вращения вокруг точки
2=0, гомотетии с центром в точке 2=0 и параллельного
переноса. При этом вращение и гомотетия определяются
числом а, а параллельный перенос — числом Ь.
Отметим особо некоторые частные случаи.
а) \а\ =1, Ь=0—вращение плоскости вокруг точки
2=0 на угол, равный аргументу числа а.
60

б)	а — вещественное положительное число, 6=0 — пре-
преобразование гомотетии с центром в точке 2=0 и коэффици-
коэффициентом а.
в)	а= 1 — параллельный перенос на вектор А.
Функция
называется линейной функцией второго рода. Рассмотрим
сначала частный случай а—\, 6=0. Тогда функция
г'=1
относит каждой точке z симметричную ей относительно оси
х точку z. Таким образом, функция
z'=z
описывает преобразование симметрии относительно оси х.
Отсюда легко видеть, что общей линейной функции второ-
второго рода соответствует преобразование плоскости, состоя-
состоящее в последовательном выполнении симметрии в оси х,
вращения вокруг точки z=0, гомотетии с центром в точке
z=0 и параллельного переноса. Так же как и в случав
линейной функции первого рода, угол вращения равен
аргументу числа а, коэффициент подобия равен модулю
числа а и, наконец, вектор параллельного переноса опре-
определяется числом Ь.
§ 14. Дробно-линейная функция комплексного переменного
и связанные с ней точечные преобразования плоскости
Функции комплексного переменного, заданные с помо-
помощью формул
,_О?±6	#1»
B)
где a, b, c,d — некоторые постоянные комплексные числа и
ad — ЬсфО,
называются соответственно дробно-линейными функциями
первого и второго рода.
61

Рассмотрим функции вида
z'=y,	D)
где г — некоторая положительная постоянная.
Для функции D) определяющую ее формулу можно
записать так:
, гч г1
Отсюда вытекает, что преобразование плоскости, соответ-
соответствующее функции
Z
относит точке z точку z', лежащую на луче с вершиной
в точке z=0, проходящем через точку z, и такую, что для
модуля числа z' справедлива формула
Отсюда следует, что z' получается из точки z инверсией с
центром в точке z=0 и радиусом г.
Таким образом, функции z' = — соответствует преоб-
2
разование инверсии с центром в точке z=0 и радиусом г.
Для функции C) определяющую ее формулу записыва-
еы так:
С помощью рассмотрений, проведенных выше, легко за-
заключаем, что функции
г' =—
соответствует преобразование плоскости, состоящее в
последовательном выполнении симметрии относительно
оси х и инверсии с центром в точке z=0 и радиусом г.
Имеет место теорема.
62

Теорема 1. На комплексной плоскости преобразо-
преобразование инверсии ф радиуса г с центром в точке d задается
функцией
^L	(б)
Аналогично функция
г—d
z =
z—d
F)
задает преобразование инверсии с центром в точке d и от-
отражение в прямой, парал-
параллельной оси х и проходя-
проходящей через точку d.
Доказател ьство.
Пусть инверсия <р перево-
переводит точку z в точку z'
(рис. 65). По определению
инверсии имеем
\z'-d\ =
Рис. 65.
~ \z-d\~ fz_2\-()
Далее, числаг—d и z'—d
имеют равные аргументы.
Поэтому числа z'—d и г—d
имеют аргументы, отлича-
отличающиеся лишь знаком. Сле-
Следовательно, используя правило умножения комп-
комплексных чисел в тригонометрической форме, получим
(z'-d)Cz~d) = \z'-d\\z-d\.
Вместе с соотношением G) это дает
Отсюда
Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Теорема 2. Дробно-линейные функции второго рода
cz+d
63

при условии сфО описывают преобразование комплексной
плоскости, состоящее в последовательном выполнении сле-
следующих преобразований:
1)	инверсии с центром в точке —= и радиусом 1;
с
2)	поворота плоскости на угол, равный аргументу числа
be — ad
с2
3) гомотетии с коэффициентом, равным модулю числа
)
be — ad.
4) параллельного переноса на вектор, равный числу
a d(bc — ad).
с
с'с
Доказательство. Дробно-линейную функцию
B) можно записать так:
/ 1	rf \ be — ad Га d (be — ad)
Из формулы (8) справедливость теоремы 2 вытекает непо-
непосредственно.
Для дробно-линейных функций первого рода имеет
место аналогичная теорема. Единственное различие состо-
состоит в том, что между преобразованиями инверсии и поворо-
поворота делается дополнительно отражение в прямой, проходя-
проходящей через точку — —, параллельной оси х.
Если для дробно-линейных функций A) и B) коэффи-
коэффициент с равен нулю, то они сводятся к линейным функциям,
рассмотренным в § 13.

ГЛАВА III
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА И ЛОБАЧЕВСКОГО
В этой главе будет дано краткое построение геометрий
Евклида и Лобачевского, исходя из теоретико-групповой
точки зрения на геометрию. Этот подход к изучению раз-
различных геометрических теорий был предложен известным
немецким математиком Ф. Клейном в 1872 г.
§ 15. Геометрия группы преобразований
1. Понятие группы. Одним из основных понятий ал-
алгебры является понятие группы.
Пусть G — совокупность элементов, природа которых
нам безразлична. Например, элементами G могут быть чис-
числа, векторы, функции, преобразования и т. д. Тот факт,
что нас не интересует конкретная природа Элементов мно-
множества G, позволяет применять различные выводы о свой-
свойствах множества G к различным конкретным системам объ-
объектов.
Пусть теперь каждым двум элементам множества G,
взятым в определенном порядке, по некоторому правилу
отнесен элемент из G. Тогда говорят, что в G определена
операция, которую обычно называют умножением и обо-
обозначают точкой. Если двум элементам а и Ь из G сопостав-
сопоставлен элемент с из G, то это записывают так:
Элемент с обычно называют произведением элементов а и
Ь. Из определения операции не вытекает, что всегда а-Ъ
равно Ь-а.

Итак, пусть в множестве G введена операция умно-
умножения.
Говорят, что G образует группу относительно этой опе-
операции, если выполняются следующие требования (аксио-
(аксиомы группы):
1.	Справедлив закон ассоциативности, т. е. для любых
трех элементов а, Ь, с из G всегда имеет место равенство
(a-b) -c=a-(b-c).
2.	Существует такой элемент е из G, что для любого
другого элемента а множества G имеет место равенство
а-е — а.
Элемент е называется единицей группы.
3.	Для любого элемента а из G найдется такой элемент
х множества G, что
а-х — е.
Элемент х называется обратным элементу а и обозначает-
обозначается а~1.
Отметим ряд важных простых предложений, непосред-
непосредственно вытекающих из определения группы.
а)	Из аксиомы 1 следует, что произведения (а-Ь)-с и
а-(Ь-с) всегда равны между собой. Поэтому элемент груп-
группы G, равный (а-Ь)-с или а-{Ь-с), можно обозначать просто
а-Ь-с.
б)	Если е — единица группы, то для любого элемента
а из G имеет место равенство
е-а—а.
Далее, для всякого элемента а из группы G обратный
элемент а, помимо равенства
удовлетворяет еще и равенству
а'^-а — е.
Докажем предложение б). На основании аксиом 2 и 3 имеем
Пусть (аГ1)—обратный элемент для а, т. е.
Тогда
66

Отсюда
(а~1-а)е = е или а~1-а = е.
Последнее равенство показывает, что (а~г)~1 = а.
Далее,
е-а = а-а~1-а,
но по уже доказанному имеем
а~1-а = е.
Поэтому
Итак, утверждение б) доказано- Одновременно мы показали, что
(a-*)-i = a.
в) В группе G каждое из уравнений
а-х = Ь,	(I)
У-а = Ь	B)
относительно х и у имеет решение и притом единственное.
Отсюда, в частности, следует единственность единицы в группе
и единственность обратного элемента, поскольку е является реше-
решением уравнения а-х^а, а а'1—решением уравнения а-х — е.
Нетрудно видеть, что элементы а~1-Ь и 6-а~1 являются соот-
соответственно решениями уравнений A) и B).
Если х—какое-нибудь решение уравнения (I), то
а-х = Ь.
Отсюда
a-l-(a-x) = a-l-b,
и мы имеем х = а~1-Ь. Аналогично устанавливается, что уравне-
уравнение B) всегда имеет также единственное решение у = Ьа~г.
Подмножество Н группы G, удовлетворяющее условиям
группы относительно операции, рассматривающейся в
группе G, называется подгруппой группы G. Очевидно, что
всякая подгруппа содержит всегда единицу группы и
вместе с каждым элементом обратный ему.
Укажем примеры групп.
1.	Совокупность всех целых чисел относительно сло-
сложения образует группу. Если m — некоторое целое число,
то совокупность чисел вида km, &=0, ±1, ±2, ..., образует
подгруппу этой группы.
2.	Совокупность всех вещественных чисел, из которой
исключен нуль, образует группу относительно умножения.
Совокупность рациональных чисел, отличных от нуля,
образует подгруппу этой группы.
3.	Совокупность всех радиусов-векторов плоскости
образует группу относительно сложения. Совокупность
67

радиусов-векторов, лежащих на одной прямой, образует
ее подгруппу.
4. Совокупность всех не равных нулю комплексных
чисел образует группу относительно умножения. Ее под-
подгруппами, например, являются совокупность комплекс-
комплексных чисел, модули которых равны единице, и совокупность
вещественных чисел, отличных от нуля.
2. Группа преобразований множества. Пусть М —
произвольное множество. Его элементы будем обозначать
буквами х, у, z, ... или х', у', z', ... Каждому элементу х
множества М поставим в соответствие некоторый элемент
х' множества М. Тем самым определяется преобразование
множества М в себя. Преобразования будем записывать
так:
или кратко одной буквой /. Элемент х' называется обра-
образом элемента х. Совокупность всех образов х'=/(%)> когда х
пробегает множество М, будем обозначать f(M). Очевид-
Очевидно, что f(M) или совпадает с М, или составляет его часть.
Преобразование / множества М в себя называется
взаимно однозначным преобразованием М на себя, если вы-
выполняются следующие требования:
1.	Разным элементам хг и х2 множества М соответст-
соответствуют разные образы /(л^) и f{x2).
2.	Множество f(M) совпадает с множеством М.
Ниже мы будем рассматривать только взаимно одно-
однозначные преобразования множества М. Поэтому под
преобразованиями множества М будут всегда подразуме-
подразумеваться взаимно однозначные преобразования.
Пусть / — преобразование множества М. Так как
f(M)=M, то для любого x'qM можно найти х и притом
только один такой, что
(единственность х вытекает из условия 1 взаимной одно-
однозначности преобразования /). Тем самым по преобразова-
преобразованию / строится взаимно однозначное преобразование
x=(f(x'). Оно называется обратным для f. Очевидно, что
обратное преобразование для данного преобразования
всегда единственно. Оно обозначается f'1.
Пусть даны два преобразования Д и /2. Тогда каждый
элемент х множества М преобразованиями f± и f% перево-

дится последовательно сначала в x'—f^x), а затем в
=/2(а''). Соответствие /:
\
как легко видеть, есть взаимно однозначное преобразова-
преобразование М. Оно называется произведением двух данных преоб-
преобразований fi и /2) взятых в определенном порядке, и может
быть записано символически так:
Произведение преобразований, вообще говоря, зависит от
порядка, в котором они производятся, т. е., вообще гово-
ря, иШ)ФПШ).
Преобразование е(х)=х, оставляющее все элементы
неподвижными, называется тождественным. Если / —
данное преобразование и f'1— обратное к нему, то, как
легко видеть, при любом х из М справедливы соотношения
/(/-!(*)) = * = «(*), f-l(f(x))=x = e(x).
Условимся через fzwfi обозначать произведение преоб-
преобразований flt /2 множества М, если первым производится
преобразование /1; а вторым /2, а через /у/2 — произве-
произведение /i и /2, когда /а производится первым.
Имеет место
Теорема 1. Совокупность всех взаимно однозначных
преобразований множества М на себя образует группу,
если произведение любых двух преобразований понимать
так, как это было только что определено.
Действительно, в совокупности всех взаимно однознач-
однозначных преобразований М на себя для каждой пары преоб-
преобразований /i и /2, взятых в определенном порядке, опреде-
определено их произведение
являющееся также взаимно однозначным преобразованием
М на себя. Проверка аксиом, характеризующих группу,
здесь очень проста.
1. Если /1? /2, /3—данные преобразования множества
М, то
(fs-n)-fi = fs-(fffi)-
Действительно, если х' = /1(х), х' — [г(х), x' = fa(x)—дан-
fa(x)—данные преобразования, то (/3-/>)'/i и fs-(f2-fi) оба сводятся
к преобразованию /3[/2(/i(-()].
69

Следовательно, произведение преобразований всегда
подчиняется ассоциативному закону.
2.	Тождественное преобразование е(х)=х играет роль
единицы группы. Действительно, для любого преобразо-
преобразования x'~f(x) и любого х из М имеем
x' = f(e(x)) = f(x).
Отсюда и следует, что f-e=f.
3.	Для любого преобразования / существует преобра-
преобразование g такое, что
fg-e.
Именно, таким преобразованием g служит преобразова-
преобразование, обратное для /, т, е. g^f'1.
Теорема доказана.
Группу всех взаимно однозначных преобразований
множества М будем обозначать G(M).
Любую подгруппу Я группы G(M) будем называть
группой преобразований множества М. Поскольку тож-
тождественное преобразование принадлежит любой подгруппе
Н н закон ассоциативности также выполняется всегда для
любых трех преобразований /lt ftt fa, то подмножество пре-
преобразований, входящих в Я, будет группой преобразова-
преобразований М, если 1) для любых преобразований Д и /2 из Я их
произведение также принадлежит Я; 2) вместе с любым
преобразованием / множеству Я принадлежит преобразо-
преобразование f'1.
3. Геометрия данной группы. Пусть М — некоторое
множество произвольных элементов и Я — некоторая
группа его преобразований.
В целях наглядности будем называть М пространством,
а его элементы — точками. Совокупность точек будем
называть фигурой.
Фигуру А назовем эквивалентной или равной фигуре В,
если существует преобразование / в группе Я, переводя-
переводящее А в В.
Отношение эквивалентности фнгур обладает следую-
следующими важными свойствами:
1.	Всякая фигура А эквивалентна самой себе.
Действительно, единица группы Я — тождественное
отображение множества М на себя — переводит А в А.
2.	Если фигура А эквивалентна фигуре В, то и, об-
обратно, фигура В эквивалентна фигуре А.
70

Действительно, если фигура А преобразованием f из
группы Н переводится в В, то, так как обратное к / пре-
преобразование f'1 также принадлежит Н, то f переводит
фигуру В в фигуру А.
3. Если фигура А эквивалентна фигуре В, а фигура В
эквивалентна фигуре С, то фигура А эквивалентна фигу-
фигуре С.
Если преобразование f из Н переводит Л в В, а преоб-
преобразование g переводит В в С, то преобразование g-f пере-
переводит Л в С, и так как g-f принадлежит Н (Н — группа),
то А эквивалентна С.
Отношение эквивалентности разбивает все фигуры на
классы эквивалентных между собой фигур, причем всякая
фигура принадлежит одному и только одному классу
Теоретико-групповая точка зрения, положенная Ф.
Клейном в определение геометрии, состоит в том, что гео-
метрическими свойствами фигур пространства М и гео-
геометрическими величинами этих фигур считаются те, кото-
которые инвариантны относительно любого преобразования
из данной группы Н и которые, следовательно, одинаковы
у всех эквивалентных фигур.
Система предложений о свойствах фигур и величин, ин-
инвариантных относительно всех преобразований группы Н,
называется согласно Ф. Клейну геометрией группы Н.
Концепция Клейна рассматривать различные геомет-
геометрии как теории инвариантов соответствующих групп дала
возможность вскрыть глубокие связи между различными
геометриями: проективной, аффинной, евклидовой и гео-
геометрией Лобачевского, которые были построены и изучены
к восьмидесятым годам XIX века. Подробное изложение
этих вопросов читатель может найти в книге Н. В. Ефимо-
Ефимова «Высшая геометрия».
В следующих двух параграфах мы покажем, как с тео-
теоретико-групповой точки зрения строятся геометрии Ев-
Евклида и Лобачевского.
§ 16. Евклидова геометрия
Мы ограничимся рассмотрением евклидовой геомет-
геометрии на плоскости. В § 1 на евклидовой плоскости изуча-
изучались движения, которые представляли собой взаимно од-
однозначные преобразования плоскости, сохраняющие рас-
расстояния между точками. В том же § 1 приводилось понятие
71

равных или, как мы говорили выше в п. 3 § 15, эквивалент-
эквивалентных фигур в евклидовой геометрии. Именно, за эквива-
эквивалентные фигуры в евклидовой геометрии принимались
такие, которые преобразовывались друг в друга с помощью
движений. Пусть fug — два движения. Тогда преобразо-
преобразование h=g-f также является движением. Действительно, h
является взаимно однозначным преобразованием; далее,
пусть А' и В'— образы точек А и В относительно преоб-
преобразования h. Тогда
A' = h(A) = g(f(A)), B' = h(B) = g(f(B)).
Поэтому если г(А, В) — расстояние между точками А и
В на плоскости, то
г (A1, B') = r(g[f(A)\, g[f(B)]) = r(f(A),f(B)) = r(A,B).
Отсюда и следует, что h=g- f есть движение. Для любого
движения / существует обратное преобразование f~l,
поскольку / — взаимно однозначное преобразование пло-
плоскости. Пусть А и В—любые точки плоскости и Л' =
= f~1(A), B' — f~1(B). Так как движение / является об-
обратным преобразованием для f'1, то
A=f(A'), B = f(B')
и, следовательно,
r(A,B) = r(f.(A'), f(B')) = r(A', В').
Отсюда вытекает, что f'1 есть движение.
Таким образом, движения образуют группу преобразо-
преобразований плоскости. Геометрия этой группы и называется
евклидовой геометрией плоскости.
Поскольку любое движение (см. § 1) есть произведение
частных видов движений: вращения, параллельного пере-
переноса и еще, может быть, симметрии в прямой (при этом
допускаются вращения на нулевой угол и параллельные
переносы на нулевой вектор, сводящиеся к тождественному
преобразованию), то евклидову геометрию можно опреде-
определить как систему предложений о свойствах фигур и вели-
величин, инвариантных относительно всевозможных вращений,
параллельных переносов и симметрии в прямых, а также
произведений этих преобразований.
В § 13, исходя из того, что точки евклидовой плоскости
были отождествлены с комплексными числами, мы пока-
показали, что линейные функции комплексного переменного
72

первого и второго рода
z' = az + b,	A)
z' = az~+b	B)
определяют на плоскости взаимно однозначные преобразо-
преобразования, являющиеся движениями, если модуль числа а
равен единице. Докажем, что с помощью функций A) и
B) можно задать любое движение на плоскости. Действи-
Действительно, пусть / — произвольное движение плоскости и
пусть
f = p-g или f = s-p-g,
где g — вращение вокруг точки D (dlt d2) на угол а, р —
параллельный перенос на вектор ОБ с координатами Ьг,
Ьг и, наконец, s — симметрия в прямой /, проходящей
через точку С (си с2) и составляющей угол у с положитель-
положительным направлением оси Ох.
Вращению g соответствует линейная функция
где
a = cosa + t sina, d — ^i
параллельному переносу р — линейная функция
z' = P(z)
где
и, наконец, симметрии s в прямой / — линейная функция
z' = S(z) = u (г-с) + с,
где
Мы предоставляем читателю самостоятельно убедиться
в справедливости этих фактов.
Таким образом, функция, соответствующая / в случае,
когда f=zp-g, имеет вид
или окончательно
— ad),
причем |a| = |/co
73

Если f = s-p-g, то соответствующая функция имеет вид
или окончательно
г'г=(и-~аI+[и0+Ъ—ad — c) + c},
причем
|«о|= |созBу—a) + isinBY — a)| = l.
Из всех наших рассмотрений вытекает
Теорема 1. Между движениями евклидовой плоскости
и линейными функциями комплексного переменного пер-
первого и второго рода
z'=az
и
г' =» аг + Ь
при условии, что |а|=1, а и Ь —постоянные числа,
существует взаимно однозначное соответствие; при этом
если движение / есть произведение движений ft и /а:
F (г)—функция, соответствующая f, Fx(z)—функция,
соответствующая fv и F%(z)—функция, соответствующая
ft, tno
F( F(F()	C)
В подобной записи это означает следующее: если
i2 + *i- <4) F(*Jla>z + b*' F)
v + &1, E) F*(Z)-Uh-&,, G)
то соответственно
Произведения функций D), F) и E), G) дают линейную
функцию первого рода, а произведения функций D), G)
и E), F) — второго рода. Модуль коэффициента при г
или г у всех четырех функций, очевидно, равен единице.
74

Формулы C) — (8) каждой паре линейных функций
^) и F2(z) ставят в соответствие функцию F(z), которую
мы будем называть произведением функций F^z) и Ft(z).
Относительно так введенного умножения совокупность
линейных функций первого и второго рода образует груп-
группу. Проверка этого факта чрезвычайно проста. Из самого
определения умножения вытекает, что оно подчиняется
закону ассоциативности. Далее, функция F(z)=z, соот-
соответствующая тождественному преобразованию плоскости,
играет роль единицы группы и, наконец, функция
— z	, если F (г) »» аг -f- Ь,
?- *ь	-	(9)
-Lz-l, если F(z)^az + b,
а	а
такова, что
FQ(z)s*F(Q(z)) = x,
т. в. Q(z) = F~4z).
Рассмотрим совокупность линейных функций первого
и второго рода, у которых коэффициент при переменной z
имеет модуль, равный единице. Тогда из формул для про-
произведения линейных функций (8) и формулы (9) для об-
обратной функции вытекает, что эта совокупность образует
подгруппу введенной выше группы линейных функций.
Эту подгруппу будем обозначать Е. Очевидно, что Е есть
группапреобразований множества всех комплексных чисел.
Из всех рассмотрений, проведенных выше, получаем
следующую теорему.
Теорема 2. Теория инвариантов группы Е есть
евклидова геометрия плоскости.
§ 17. Геометрия Лобачевского
В первой половине XIX века выдающийся русский
математик Н. И. Лобачевский решил труднейшую много-
многовековую проблему геометрии о независимости аксиомы
параллельности от прочих аксиом евклидовой геометрии.
Развитые в работах Н. И. Лобачевского новые идеи
оказали огромное влияние на последующее развитие
математики.
Система аксиом, лежащая в основе геометрии Лобачев-
Лобачевского, получается из системы аксиом евклидовой геометрии
заменой аксиомы параллельности новой аксиомой, кото-
которая представляет собой предложение, противоположное
75

евклидовой аксиоме о параллельных. Формулировка этого
предложения такова: «В любой плоскости а можно через
каждую точку А, не принадлежащую прямой а, провести
по крайней мере две различные прямые а' и а" так, что
оии не имеют общих точек с прямой а».
Ниже мы укажем одну из интерпретаций геометрии
Лобачевского, предложенную французским математиком
А. Пуанкаре.
На евклидовой плоскости рассмотрим некоторую пря-
прямую /. Не нарушая общности, можно считать, что прямая /
совпадает с осью*. Назовем верхней полуплоскостью сово-
совокупность всех точек плоскости х, у, у которых координата
у удовлетворяет неравенству г/>0.
Рис. 66.
Точки верхней полуплоскости принимаются за точки
плоскости Лобачевского, а сама плоскость Лобачевского
есть верхняя полуплоскость евклидовой плоскости. Отме-
Отметим, что точки оси х не являются точками плоскости Лоба-
Лобачевского. Прямыми плоскости Лобачевского (рис. 66)
считаются евклидовы полуокружности с центрами на
оси х и лучи с вершинами на оси х, перпендикулярные
этой оси.
Две фигуры А и В считаются равными или эквивалент-
эквивалентными, если существует конечное число таких преобразова-
преобразований cpi, ф2, ..., (fm, каждое из которых является инверсией с
центром на оси х или отражением в прямой, перпендику-
перпендикулярной оси х, что преобразование /=Фпг-фт_г----ф2"ф1
переводит фигуру А в фигуру В.
То, что в интерпретации Пуанкаре выполнена аксиома
Лобачевского, очевидно (рис. 67).
Обозначим через W верхнюю полуплоскость. Пусть,
далее, Н — совокупность преобразований, состоящая из
76

преобразований вида
/ = Фт-фт_г-"-фа-ф1 (т — любое натуральное число),
где фх, ..., фт— инверсии с центрами на оси х или отра-
отражения в прямой, перпендикулярной оси х.
Из свойств этих преобразований нам известно, что каж-
каждое из них преобразует верхнюю полуплоскость на себя
взаимно однозначно. Следовательно, совокупность преоб-
преобразований Н состоит из взаимно однозначных преобразо-
преобразований верхней полупло-
полуплоскости W на себя.
Докажем, что Н есть
группа преобразований
множества W. Действи-
Действительно, если / и g принад-
принадлежат Н и
^"¦«•¦и-г- •4v4'i>	Рие. 67.
то для произведения преобразований / и g имеем формулу
gf = $n-$n-i- • • • -ФГ+ГФ.1-Ф.1-1- • • • -Фг-Фх.
из которой следует, что g-f принадлежит совокупности
преобразований Я.
Так как дважды повторенные одна и та же инверсия
или отражение в прямой ср приводят к тождественному
преобразованию, то, очевидно,
ф~ХГЕф
и, следовательно, для преобразования
Я = Ф«-ф«-1----'-ф1'Ф1
из совокупности Я преобразование
А = ФгФ«\----ф«
будет обратным преобразованием. Преобразование h, оче-
очевидно, принадлежит Я. Таким образом, согласно свойст-
свойствам, характеризующим группу преобразований данного
множества (см. п. 2 § 15), совокупность преобразований Я
относительно операции умножения образует группу пре-
преобразований верхней полуплоскости W.
Выше мы приняли W за плоскость Лобачевского, а
преобразования группы Я играют на плоскости Лобачев-

ского роль движений — по определению они совмещают
равные (эквивалентные) фигуры.
Поэтому геометрию Лобачевского можно определить
как теорию инвариантов группы преобразований Я верх-
верхней полуплоскости W.
В заключение мы предлагаем читателю в качестве весь-
весьма полезной задачи сформулировать предмет геометрии
Лобачевского с помощью дробно-линейных функций ком-
комплексного переменного так же, как это было сделано в
§ 15 для геометрии Евклида с помощью линейных функций
комплексного переменного.
Подробное изложение вопросов, на которых мы оста-
останавливались в главе III, читатель может найти в книге
Н. В. Ефимова «Высшая геометрия». Подробное изложение
геометрии Лобачевского в модели Пуанкаре можно найти в
книге А. С. Смогоржевского «О геометрии Лобачевского»
(серия «Популярные лекции по математике», выпуск 23).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	 3
Глава 1. Инверсия и пучки окружностей
§ 1. Простейшие преобразования плоскости ...	5
§ 2. Стереографическая проекция. Бесконечно уда-
удаленная точка плоскости		11
§ 3. Инверсия		14
§ 4. Свойства инверсии		16
§ 5. Степень точки относительно окружности. Ради-
Радикальная ось двух окружностей		24
§ 6. Приложение инверсии к решению задач на построе-
построение 		30
§ 7. Пучкн окружностей		38
§ 8. Строение эллиптического пучка		46
§ 9. Строение параболического пучка 		48
§ 10. Строение гиперболического пучка		49
§ 11. Теорема Птоломея		52
Глава II. Комплексные числа и инверсия
§ 12. Геометрическое изображение комплексных чисел
и действий иад ними	 55
§ 13. Линейная функция комплексного переменного и
простейшие преобразовании плоскости	 59
§ 14. Дробно-лннейная функция комплексного пере-
переменного и связанные с ней точечные преобразования
плоскости	 61
Глава ill. Группы преобразований. Геометрии Евклида
и Лобачевского
§ 15. Геометрия группы преобразований	 65
§ 16. Евклидова геометрия	 71
§ 17. Геометрия Лобачевского	 75

Илья Яковлевич ВаКвльман
Инверсия
М.. 19 66 г. 80 стр. с илл.
Редакторы: А. Л. Вернер, В. В, Дончепко.
Техн. редактор Л. А. Пыжова.
Корректор А. С. Бакулова.
Сдано в набор 25/VII 1966 г. Подписано к печати
3,Х 1966 г.	Бумага 84Х108'/з!.	Фнз. печ.
л. 2,5. Условн. печ. л. 4,2. Уч.-изд. л. 3,85.
Тираж 75 000 1кз.	Т-12748.	Цена 12 коп.
Заказ № 614.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математнческой литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано с матриц
Первой Образцовой типографии
в Чеховском полнграфкомбинате
Зак. № 53

Цена 12 коп.
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
Вып I. л. И. Маркушевич. Возвратные последовательности.
Вып 2. II. П. Натансон Простейшие задачи на максимум и минимум
Вып 3. И. С. Сонинский. Метод математической индх-кции.
Вып. 4. А. И. Маркушевич. Замечательные кривые.
Вып. 5. П. П. Коровкин. Неравенств:!.
Вып. 6. Н. Н. Воробьен. Числа Фибоначчи.
Вып. 7. А. Г- Курош. Алгебраические уравнения произвольных
степеней.
Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение }равпений в целых числах.
Вып. 9. А. И. Маркушевич. Площади и логарифмы.
Вып. 10. А. С- Смигоржевскии. Метод координат.
Вып. 11. Я. С. ДуСпов. Ошибки в геометрических доказательствах.
Вып. 12. И. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых величин.
Вып. 13. А. И. Маркушевич. Комплексные числа и конформные ото-
отображения.
Вып. 14. А. II. Фетисов. О доказательствах в геометрии.
Вып. 15. И. Р. Шафаревмч. О решении уравнений высших степеней.
Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.
Вып. 17. В. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование?
Вып. 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр.
Вып. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.
Вып. 20. А. М. Лопшиц. Вычисление площадей ориентированных фи-
фигур .
Вып. 21. Л. И. Головина и И. М. Яглом. Индукция в геометрии.
Вып. 22. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равиосоставленные фигуры.
Вып. 23. А. С. Счогоржсвский. О геометрии Лобачевского.
Вып. 24. Б. И. Аргунов и Д. А. Скорняков. Конфигурационные теоремы.
Вып. 25. А. С. Смогоржевский. Лииейка в геометрических построениях.
Вып. 213. Б. А. ТрахтенСрот. Алгоритмы и машинное решение чадач.
Вып. 27. В. A. VcntHCKHH. Некоторые приложения механики к мате-
математике
Вып. 28. н. А. Архангельский и Б. и. Зайцев. Автоматические циф-
цифровые машины.
Выи. 29. А. Н. Костовскмй. Геометрические построения одним цирку-
циркулем.
Вып. 30. Г. Е. Шилов. Как строить графики.
Вып. 31. А. Г. Дорфчан. Оптика конических сечений.
Вып. 32. Е. С. Вснтцель. Элементы теории игр.
Вып. 33. А. С. Барсоп. Что такое линейное программирование.
Вып. 34. Б. Е. Марту.шс. Системы линейных уравнений.
Вып. 35. Н. Я. Вилеикин. Меюд последовательных приближений.
Вып. 36. В. Г. Болтянский. Огибающая.
Вып. 37. Г. Е. Шилов. Простая гамма (устройство ч>зыкальной шк1лы).
Вып. 38. Ю. А. Шре»дср. Чю такое расстояние?
Вып. 39. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости.
Вып. 40. С. В. Фомин. Системы счисления.
Вып. 41. Б. Ю. Коган. Приложение механики к геоме'фии.
Вып. 42. Ю. И. Люиич и Л. \. Ш.»р. Кинематический метод в reowei-
рнческих задачах.
Вып. 43.-В. А. Успенский. I реуго-льник Паскаля.
Вып. 44. И. Я. Ьакельман. Инверсии.