/
Author: Розенфельд Б.А.
Tags: математика философия геометрия история математики издательство наука геометрическое пространство
Year: 1976
Text
\
\
\
\
\
\
\
\
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
И ТЕХНИКИ
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
ИСТОРИЯ
НЕЕВКЛИДОВОЙ
ГЕОМЕТРИИ
РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ
О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1976
УДК 513.81(091)
История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом
пространстве. Розенфельд Б. А. М., «Наука», 1976, с. 408.
В книге прослеживаются как математические, так и философские
аспекты подготовки открытия неевклидовой геометрии и основные
этапы ее развития (от возникновения до настоящего времени), а также
история тесно связанного с этим открытием развития понятия о
геометрическом пространстве. Книга состоит из 11 глав. В первых пяти
главах рассматривается подготовка открытия неевклидовой геометрии;
в главе 6 — открытие Лобачевского, развитие геометрии
Лобачевского и ее интерпретация; в последних пяти главах — дальнейшее развитие
неевклидовой геометрии и расширение понятия о пространстве.
Книга предназначена для студентов, преподавателей вузов и
научных работников в области геометрии, а также для всех
интересующихся историей математики.
Ответственные редакторы:
Б. Л. ЛАПТЕВ, А. П. ЮШКЕВИЧ
20201-513 ,
055(02)-76 © Издательство «Наука», 1976 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
23 февраля 1976 г. исполнилось 150 лет со дня исторического
доклада Н. И. Лобачевского об открытии им неевклидовой
геометрии. Этой памятной дате, считающейся днем рождения
неевклидовой геометрии, посвящается наше исследование.
Значение открытия неевклидовой геометрии выходит далеко
за пределы собственно геометрии. Это открытие представляло
собой поворотный пункт в истории всей математики, сравнимый
с той революцией в математике, о которой Ф. Энгельс писал
в «Диалектике природы»: «Поворотным пунктом в математике
была Декартова переменная величина. Благодаря этому в
математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому
же стало немедленно необходимым дифференциальное и
интегральное исчисление» [127, т. 20, с. 573].
Если научная революция XVII в. ознаменовала переход от
«математики постоянных величин» к «математике переменных
величин», то усвоение математиками в 70-х годах XIX в. идей
неевклидовой геометрии, а также появившихся почти
одновременно с ними новых алгебраических идей группы и поля и
сформулированных позже идей теории множеств привело к появлению
вместо одной, считавшейся единственно мыслимой, геометрии
Евклида многих геометрий; вместо единственной арифметики и
алгебры вещественных и комплексных чисел — арифметик
многих групп и полей и, наконец, к появлению новых математических
систем и множеств, наделенных теми или иными структурами,
не имеющих классических аналогов. Тем самым в 70-х годах
XIX в. начался новый период математики, который до середины
XX в. обычно именовался периодом современной математики.
И только теперь, после того как в связи с современной научно-
технической революцией XX в. появились электронные
вычислительные машины и получила значительное развитие конечная
математика, возникла потребность дать этому периоду другое
название. Ввиду огромного значения открытия неевклидовой
геометрии для этого периода его можно назвать периодом
неевклидовой математики.
В нашем исследовании рассматриваются как математические,
так и философские аспекты подготовки открытия неевклидовой
3
геометрии и расширения понятия о пространстве, истории этих
открытий и их дальнейшего развития.
Центральное место среди 11 глав книги занимает глава 6,
«Геометрия Лобачевского», в которой излагается история открытия
геометрии Лобачевского и борьбы за ее признание, а также
история важнейших интерпретаций этой геометрии. Главы 1—5
посвящены предыстории геометрии Лобачевского и тех идей,
благодаря которым развивалось современное понятие о пространстве.
В главе 1 («Сферика») изучается развитие первой геометрии,
07личной от евклидовой,— сферической геометрии, на основе
которой впоследствии была создана эллиптическая геометрия. В
главе 2 («Теория параллельных линий») подробно изложена история
доказательства V постулата Евклида, так называемого постулата
о параллельных, которая непосредственно привела к открытию
Лобачевского. Глава 3 («Геометрические преобразования»)
посвящена истории геометрических преобразований, которая
впоследствии привела к теории групп преобразований; на основе
последней были созданы современные неевклидовы геометрии и
родственные им геометрии. В главе 4 («Геометрическая алгебра
и предыстория многомерной геометрии») изучается история
геометрических исчислений, на основе которых впоследствии были
созданы многомерная геометрия и теория алгебр, также тесно
связанная с неевклидовой геометрией. В главе 5 («Философия
пространства до начала XIX в.») рассматривается история
философских представлений о пространстве, сыгравшая важную роль
как в открытии Н. И. Лобачевского, так и в дальнейших
обобщениях неевклидовой геометрии. Главы 7—8 («Многомерные
пространства» и «Кривизна пространства») посвящены
дальнейшему развитию понятия о пространстве — возникновению
многомерных плоских и искривленных пространств и их дальнейших
обобщений. В главе 9 («Группы преобразований»)
рассматривается история групп преобразований, значение которых для
геометрии было вскрыто известной «Эрлангенской программой»
Клейна, а также теории групп Ли, и в частности теории простых
групп Ли, приведшей к наиболее естественным обобщениям
классических неевклидовых геометрий. Глава 10 («Применение алгебр»)
посвящена истории ассоциативных и неассоциативных алгебр и
их многообразным геометрическим применениям, в частности
истории появления пространств над различными алгебрами.
В главе 11 («Философия пространства XIX—XX вв. Геометрия
и физика») рассматривается история философских представлений
о пространстве в XIX и XX вв. и история взаимодействия
геометрии и физики, в особенности в связи с развитием физики XX в.
Автор приносит глубокую благодарность А. П. Юшкевичу,
Б. Л. Лаптеву, И. М. Яглому и П. П. Гайденко за
многочисленные полезные советы.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
%
СФЕРИКА
Возникновение сферики. Первой по времени геометрией,
отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сфери-
ка, как ее называли древние. Сферика возникла позже, чем
евклидова геометрия плоскости и пространства. Основными
стимулами для возникновения геометрии плоскости и пространства была
необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур
и вместимости сосудов и амбардв различной формы, т. е. объемов
различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики
было изучение звездного неба.
Наблюдение небесных светил производилось еще в Древнем
Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления
календаря. Мы обязаны египтянам разделением суток на 24 часа
(вначале на так называемые косые часы, равные г/12 светлого и темного
времени суток, которые только впоследствии были заменены
общепринятыми ныне «прямыми часами») [137, с. 93—96]. Вклад
вавилонян в развитие астрономии был более значителен:
Птолемей в «Алмагесте» ссылается на вавилонские наблюдения
затмений и звезд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в
VIII в. до н. э., а не на наблюдения своих земляков-египтян [444,
т. 1, с. 219—220]. Вавилонские астрономы ввели деление
эклиптики на 12 знаков Зодиака, деление каждого из этих знаков
на 30 градусов и шестидесятиричное деление градусов на минуты
и секунды. Они описывали движение планет вдоль эклиптики
с помощью своеобразных «ступенчатых» и «зигзагообразных»
функций, им же принадлежит основание сыгравшей важную роль
в решении многих астрономических задач астрологии. Древние
греки познакомились с вавилонской астрономией по крайней
мере в IV в. до н. э., когда первоначальные названия планет
были заменены названиями планет по вавилонскому образцу
(по именам богов), латинскими переводами которых являются
общепринятые нами названия г. Астрономия, изложенная в
«Алмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося
несколько веков развития науки, впитавшей традиции как
вавилонских астрономов, так и греческих геометров.
х Новые названия планет появились в «Послезаконии» Платона [156, т. 3,
ч. 2, с. 497-498], см. [33а, с. 175].
5
Гидимая небесная сфера представляет собой сферу с центром
в центре Земли. Важнейшими кругами этой сферы являются
горизонт — неподвижный большой круг, проходящий
параллельно касательной плоскости к поверхности земного шара в точке,
в которой находится наблюдатель; небесный экватор — большой
круг, переходящий в себя при видимом суточном вращении
небесной сферы, и эклиптика — меняющий свое положение при
суточном вращении небесной сферы большой круг, по которому
происходит видимое годичное движение Солнца. Полюсы горизонта
называются зенитом ( в верхней полусфере) и надиром (в нижней
полусфере). Полюсы небесного экватора называются полюсами
мира, а соединяющая их прямая — осью мира. Солнце
пересекает небесный экватор в дни весеннего и осеннего равноденствия
и наиболее далеко от небесного экватора в дни летнего и зимнего
солнцестояний; точки эклиптики, соответствующие этим дням,
описывают при суточном вращении небесной сферы тропики
Рака и Козерога 1. Эклиптика составляет с небесным экватором
постоянный угол, равный приблизительно 23°, горизонт же
составляет с небесным экватором угол, равный дополнению широты
местности до 90° (в частности, они перпендикулярны на земном
экваторе и совпадают на полюсе).
Сферика Автолика. Первым античным математическим
сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О
движущейся сфере» („nspt ynvou[iivrf, афоирои;") Автолика [258],
жившего в конце IV в. до н. э. Предметом исследования этой книги
является, по существу, небесная сфера, рассматриваемая, однако
(в соответствии с традициями школы Платона), в весьма
абстрактном виде. Книга Автолика состоит из определений и 12
предложений. Определения относятся к равномерному движению. В
предложении 1 доказывается, что если сфера равномерно движется
вокруг оси, то все ее точки, не лежащие на оси, описывают
параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а
плоскости этих кругов перпендикулярны оси сферы. Под кругами
здесь понимаются плоские фигуры, ограниченные окружностями,
а под выражением «точка описывает круг» понимается то, что
точка пробегает окружность круга. Параллельными кругами
называются круги на сфере, плоскости которых параллельны. В
предложении 2 доказывается, что при равномерном движении сферы
все точки ее поверхности описывают за равные времена
подобные круги. В предложении 4 появляется «ограничивающий круг»,
отделяющий «видимые точки» сферы от невидимых, т. е. горизонт
(греческое слово 6pt£(ov буквально означает «ограничивающий»).
Здесь рассматривается так называемая параллельная сфера
1 В дни весеннего и осеннего равноденствий Солнце вступает в созвездия Овна
и Весов, в дни летнего и зимнего солнцестояний — в созвездия Рака и
Козерога.
6
когда горизонт совпадает с небесным экватором; это имеет место
на земном полюсе. Далее доказывается, что при этом ни одна
точка сферы «не заходит и не восходит», т. е. не пересекает
«ограничивающий круг». В предложении 5 рассматривается «прямая
сфера», когда «ограничивающий круг» проходит через полюсы.
При этом горизонт перпендикулярен небесному экватору; это
имеет место на земном экваторе. Показывается, что при этом все
точки небесной сферы «восходят и заходят». В предложении 6
рассматривается «наклонная сфера», когда «ограничивающий
круг» наклонен к оси. Доказывается, что при этом имеются
«всегда видимые» точки сферы, «всегда невидимые» точки и точки,
которые «восходят и заходят». Доказательства большинства
предложений этого трактата основаны на применении движения:
предполагается, что утверждение предложения неверно,
производится поворот сферы и обнаруживается, что предположение
противоречит тому, что получилось в результате поворота
сферы.
Второй трактат Автолика «О восходах и заходах» посвящен
восхождениям и захождениям точек некоторого наклонного круга,
в котором нетрудно узнать эклиптику.
Сферика Феодосия. Первое дошедшее до нас систематическое
изложение сферической геометрии содержится в «Сферике»
(„Spatpixa") Феодосия [501], уроженца Битинии в Малой
Азии, жившего во II—I вв. до н. э. в Триполисе, в Финикии.
Кроме «Сферики» Феодосии написал также два астрономических
трактата — «Об обитаемых местах» и «О днях и ночах»,
посвященные восходам и заходам Солнца и продолжительности дня
и ночи в различных местах обитаемой части Земли.
«Сферика» Феодосия состоит из трех книг, в первой из
которых шесть определений и 23 предложения, во второй — одно
определение и 23 предложения, в третьей — 14 предложений.
Определение 1 Феодосия: «Сфера есть телесная фигура,
содержащаяся внутри одной поверхности, такая, что все прямые,
падающие на нее из одной точки внутри фигуры, равны между
собой» [501, с. 1]. Далее определяется центр сферы — точка, о
которой говорится в определении 1. Определяется диаметр сферы —
прямая, проходящая через ее центр и оканчивающаяся на ее
поверхности, а также неподвижная прямая, вокруг которой сфера
может вращаться. Далее определяются полюсы сферы — концы
ее оси, полюс круга на сфере — такая точка поверхности сферы,
что все прямые, падающие из нее на окружность круга, равны,
равный наклон двух плоскостей к двум другим и (в начале
книги II) — касающиеся круги на сфере.
Первые три определения Феодосия — непосредственные
обобщения 15—17-го определений I книги «Начал» Евклида —
определений круга, его центра и его диаметра [66, т. 1, с. 12], в то
время как сфера у самого Евклида (14-е определение XI книги
7
[66, т. 3, с. 10]) определяется как тело вращения полукруга вокруг
его диаметра.
Как и в «Началах» Евклида, предложения Феодосия
—'теоремы и задачи на построение. К первым относится предложение 1 —
теорема о том, что линия пересечения поверхности сферы с
плоскостью — окружность круга. Ко вторым — предложение 2\—
пространственное построение центра сферы: находится
пересечение поверхности сферы с плоскостью; в центре полученного
круга восставляется перпендикуляр; он продолжается в обе
стороны до поверхности сферы, и полученный диаметр делится
пополам.
Большинство предложений «Сферики» Феодосия —
стереометрические теоремы и задачи на построение. Когда Феодосии
говорит о пересечении кругов на сфере под некоторым углом или
о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под
данным углом или параллельность их плоскостей; когда он
говорит о рассечении кругами ца сфере друг друга пополам, он
имеет в виду рассечение пополам плоских фигур. Однако
некоторые из этих предложений могут быть легко переформулированы
в терминах геометрии на поверхности сферы. К ним относится
предложение 6 книги I — теорема о том, что среди кругов на сфере
наибольшие те, которые проходят через центр сферы («большие
круги»), из остальных («малых кругов») равноудаленные от центра
сферы равны, а более удаленные от центра сферы — меньше.
Предложения 11—12 той же книги — теорема о том, что большие
круги на сфере, пересекаясь, делятся пополам, и обратная ей.
Предложения 13—15 — теорема о том, что, если большой круг
на сфере пересекает любой круг на сфере под прямыми углами,
он делит его пополам и проходит через его полюсы, и две обратные
ей теоремы. Предложения 1—2 книги II — теоремы о том, что
«параллельные круги» на сфере обладают общими полюсами, и
обратная ей теорема. Предложения 3—5 той же книги — теоремы
о том, что если два круга на сфере встречаются в точке окружности
большого круга, на которой расположены их полюсы, то они
касаются, и две обратные ей теоремы.
Наряду со стереометрическими предложениями, в «Сферике»
Феодосия появляются и предложения, сформулированные в
терминах геометрии на поверхности сферы. Например, предложения
20—21 из I книги — задача о построении большого круга на сфере,
проходящего через две точки ее поверхности, и задача о
построении полюса данного круга на сфере. Последняя задача позволяет
проводить большие круги, перпендикулярные данному кругу,—
большие круги, проходящие через полюсы данного круга. К
указанным предложениям относится и предложение 10 книги II —
теорема о том, что если два большие круга проходят через полюсы
двух параллельных кругов, то дуги малых кругов,
расположенных между большими, подобны, а дуги больших кругов,
расположенных между малыми, равны, и обратное ей предложение 16
8
той же книги. Предложения 14—15 той же книги — задачи о
проведении большого круга, касательного к малому, через точку
малого круга и через данную точку поверхности сферы, лежащую
вне малого круга. Из предложений III книги упомянем
предложение 5 — теорему о том, что если несколько параллельных малых
кругов высекают на наклонном к ним большом круге равные
дуги, то дуги, высекаемые им на перпендикулярном им большом
круге, неравны.
Сферика Менелая. Значительно более развитую сферическую
геометрию мы находим в трактате «О сфере» („Ilepi a<patpa<;")
Менелая, жившего в конце I в. н. э. в Александрии и
производившего в 98 г. астрономические измерения в Риме. Сочинение
Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких
обработках, лучшими из которых являются обработки Абу Насра ибн
Ирака [409] и Насир ад-Дина ат-Туси [208, т. 2, ч. 10]. «Сферика»
Менелая состоит из трех книг, содержащих (в обработке Ибн
Ирака) соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении
к книге I Менелай дает определение сферического треугольника
(«трехсторонней фигуры»), т. е. части поверхности, ограниченной
тремя дугами больших кругов, меньшими полукруга, и углов
сферического треугольника. Если большинство предложений
«Сферики» Феодосия были стереометрическими, сочинение
Менелая посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой
по аналогии с планиметрией Евклида. Предложение 1 книги I
Менелая — задача о проведении дуги большого круга под данным
углом к данной дуге большого круга. Предложения 2 и 3 книги I—
теорема о равенстве углов при основании равнобедренного
сферического треугольника и обратная ей (аналоги предложений 5
и 6 книги I «Начал» Евклида). В предложении 4 книги II
доказывается, что если две стороны сферического треугольника равны
двум другим сторонам другого сферического треугольника и
основание равно основанию, то углы треугольников, ограниченные
равными сторонами, равны (аналог предложения 8 книги I
«Начал»). В предложении 5 книги I доказывается, что в каждом
сферическом треугольнике всегда две стороны больше третьей
(аналог предложения 20 книги I «Начал»). В предложениях 7 и
9 книги I доказывается, что против большего угла сферического
треугольника лежит большая сторона и обратно (аналоги
предложений 19 и 18 книги I «Начал»). Из предложений, не
совпадающих с предложениями планиметрии, отметим предложения 10
и 11, из которых вытекает, что сумма углов сферического
треугольника больше двух прямых углов.
F«I1 редложение десятое. Если две стороны
трехсторонней фигуры7вместе меньше полукруга, то внешний угол,
примыкающий к одной из этих сторон, больше того
противолежащего ему внутреннего угла, который является одним из двух
углов, прилежащих к оставшейся стороне] если две стороны вместе
9
о
J)
Рис. 1 Рис. 2
вольте полукруга, то внешний угол меньше противолежащего ему
внутреннего угла; а если две стороны вместе равны полукругу,
то внешний угол равен противолежащему ему внутреннему.
Пусть стороны АВ и ВС трехсторонней фигуры ABC вместе
меньше полукруга (рис. 1), тогда я утверждаю, что угол BCD
больше угла ВАС.
Дополним дуги АВ и АС до D, каждая из них — полукруг.
Так как стороны АВ и ВС вместе меньше полукруга, они меньше
дуги ABD. Поэтому оставшаяся дуга BD больше дуги ВС.
Поэтому угол BDC, равный углу ВАС, меньше угла BCD, как
доказано в девятом предложении. Точно так же, если мы сделаем
дуги АВ и ВС вместе большими полукруга, то дуга ВС будет
больше оставшейся дуги BD. Поэтому угол BDC, равный углу
ВАС, больше упомянутого нами угла BCD. Точно так же ясно,
что если дуги АВ и ВС вместе равны полукругу, то дуга ВС будет
равна дуге BD и угол ВАС будет равен углу BCD, как доказано
во втором предложении.
Точно так же этим способом доказывается и обратное
сказанному нами, а именно: если угол BCD равен углу ВАС, то в силу
изложенного доказано, что ВА и ВС вместе равны полукругу;
если внешний угол BCD меньше противолежащего внутреннего
угла, то в силу изложенного доказано, что АВ и ВС вместе больше
полукруга, так как угол BDC больше угла BCD, поэтому дуга
BD меньше дуги ВС. Точно так же, если угол BCD больше угла
ВАС, то он больше BDC, поэтому BD больше ВС, и В А и ВС
вместе меньше полукруга. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Одиннадцатое предложение. Внешний угол
всякой трехсторонней фигуры меньше обоих противолежащих ему
внутренних углов.
Пусть фигура ABC — треугольник. Продолжим АС до D
(рис. 2). Тогда я утверждаю, что внешний угол BCD меньше обоих
противолежащих ему углов при точках А и В.
10
Построим в точке С дуги CD угол, равный углу ВАС, это угол
ВСЕ. Продолжим АВ от точки В до встречи с СЕ в Е. Так как
угол ВСЕ (внешний угол треугольника АСЕ) равен углу ВАС,
то сумма АЕ и ЕС — полукруг, как доказано в десятом
предложении. Поэтому ВАС и ABC вместе больше внешнего угла ВСВ
треугольника.
Отсюда [ясно], что углы А, В, С [больше двух прямых углов],
так как два угла по обе стороны от ВС, т. е. углы ВСА и ВСВ,
равны двум прямым, а углы А, В, С больше этих двух углов.
Это и есть то, что мы хотели доказать» [409, с. 8—9].
Разность между суммой углов сферического треугольника и
двумя прямыми углами называется угловым избытком
сферического треугольника, т. е. если углы треугольника в радианной мере
равны а, Р, у, угловой избыток сферического треугольника равен
а + Р + у — я. Нетрудно проверить, что при разделении
сферического треугольника на два угловой избыток большого
треугольника равен сумме угловых избытков двух малых треугольников.
Так как угловой избыток, как мы видим, обладает свойством
аддитивности, а также обладает очевидными свойствами
инвариантности при вращениях сферы и больше 0 для всякого сферического
треугольника, то угловой избыток сферического треугольника
пропорционален его площади.
Теоремы Менелая. Особую роль в истории сферической
геометрии и тригонометрии сыграло предложение 1 книги III
сочинения Менелая, в котором доказываются как плоский, так и
сферический случай теоремы, называемой в настоящее время
«теоремой Менелая» или «теоремой о полном четырехстороннике».
Полным четырехсторонником называется плоский или
сферический четырехсторонник, пары противоположных сторон которого
продолжены до пересечения. Ввиду того что в арабских
обработках сочинения Менелая это предложение подвергалось
значительной модернизации, мы приведем изложение его, данное в главе 12
книги I «Алмагеста» Птолемея. Прежде всего приведем
доказательство двух разновидностей плоской теоремы Менелая.
«К двум прямым АВ а АС проведены две прямые BE и СВ,
пересекающиеся в точке G (рис. 3). Я утверждаю, что отношение
С А к АЕ составлено из отношений С В к BG и GB к BE. Через Е
проведем ЕН параллельно СВ (см. рис. 3, а). Так как СВ и ЕН
параллельны, то отношение СА к ЕА такое же, как отношение СВ
к ЕН. Добавим GB. Тогда отношение СВ к НЕ будет составлено
из отношений СВ к BG и BG к НЕ. Поэтому отношение С А к АЕ
составлено из отношений СВ к BG и BG к НЕ, Но отношение
BG к НЕ такое же, как отношение GB к BE, вследствие
параллельности ЕН и GB. Поэтому отношение С А к АЕ составлено из
отношений СВ к BG и GB к BE, что и требовалось доказать.
Точно так же докажем, что полученное выделением
отношение СЕ к ЕА составлено из отношений CG к BG и ВВ к В А.
Проведем через А параллель к ЕВ и продолжим до этой параллели
11
Рис. 3
прямую CDH (см. рис. 3, б). Так как АН опять параллельна EG,
то СЕ относится к ЕА, как CG к GH. Если добавить еще GJJ,
то отношение CG к GH будет составлено из отношений CG к GD
и DG к GH. Но отношение DG к G# такое же, как отношение DB
к 2L4, так как В А и G# проведены между параллельными АН и
GB. Поэтому отношение CG к GH составлено из отношений CG
к DG и /)Б к В А. Но отношение CG к GII такое же, как отношение
СЕ к ЕА, поэтому отношение СЕ к ЕА составлено из отношений
CG к DG и DB к 2L4, что и требовалось доказать» [444, т. 1,
с. 50-51].
Античные математики называли составным отношением то,
что мы называем произведением отношений; а для доказательства
того, что отношение А : В составлено из отношений С : D и
A L
Е : F, они находили такие три величины L, М, N, что -^- = -^-,
CLEM, Т я, ЛГ
-~- = -тт", -т- = дг (здесь роль величин L, M, TV играют в первом
случае CD, GD и EH, а во втором случае — CG, CD и GH).
Поэтому доказанные здесь теоремы можно записать в виде
СА _C£GB^ , и
ЛЕ~~ DGBE \ '
И
CE__CG_DB (. 2,
ЯА ~~ DGBA' \ '
Далее Менелай доказывает лемму о том, что если А, В, С — три
точки окружности с центром D и каждая из дуг АВ, ВС меньше
полуокружности и если Е — точка пересечения хорды А С с
диаметром DB, то
хорда 2АВ _ АЕ хорда 2СА ___ СЕ
хорда 2ВС ~~ ЕС*1 хорда 2АВ "" #Я
12
Рис. 4
(Менелай и Птолемей называют
хорду дуги АС «прямой под
дугой АС»).
Сферическая теорема Мене-
лая изложена у Птолемея
следующим образом: «Опишем на
поверхности сферы дуги
больших кругов так, чтобы
проведенные к двум начерченным
дугам АВ и АС две другие дуги
BE и CD пересекались в точке
G; пусть каждая из этих дуг
меньше полуокружности; то же
будем предполагать и для всех
таких построений. Я
утверждаю, что отношение прямей под
удвоенной дугой СЕ к прямой
под удвоенной ЕА составлено
из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной
GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под
удвоенной В А.
Действительно, возьмем центр сферы, и пусть он будет //
(рис. 4). К точкам В, G, Е пересечений кругов проведем из II
прямые ИВ, IIG и НЕ, затем продолжим соединительную прямую
AD, и пусть она пересечется в точке F с продолжением IIВ;
точно так же пусть соединительные прямые DC я АС пересекутся
с IIG и НЕ в точках К и L. Точки F, L и К лежат на одной прямой,
так как они одновременно находятся в двух плоскостях —
треугольника ACD и круга BGE. Соединяющая их прямая вместе
с прямыми FA и С А дает две проведенные к ним прямые FL и
CD, пересекающиеся в точке К. Поэтому отношение CL к LA
составлено из отношений С К к KD и DF к FA. Но CL относится
к LA, как прямая под удвоенной дугой СЕ к прямой под
удвоенной ЕА, С К относится к KD, как прямая под удвоенной CG
к прямой под удвоенной GD, a FD относится к FA, как прямая
под удвоенной DB к прямой под удвоенной В А. Поэтому
отношение прямой под удвоенной СЕ к прямой под удвоенной ЕА
составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой
под удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к
прямой под удвоенной В А» [444, т. 1, с. 54—55].
Доказанная здесь теорема может быть записана в виде
хорда 2СЕ _ хорда 2CG хорда 2DB
хорда 2ЕА хорда 2DG хорда 2ВЛ '
что
Совершенно аналогично, исходя из теоремы (1.1), доказывается,
хорда 2СА _ хорда 2CD хорда 2GB
хорда 2АЕ — хорда 2DG хорда 2ВЕ '
13
Так как хорда дуги 2а равна удвоенной линии синуса дуги а,
эти теоремы могут быть переписаны в виде
sin С/? _ sin CG sin DB ,* оч
sin ЕЛ ~~ sin DG sin В А ^ ' '
и
sinCA sin CD sin GB * ..
sin AE ~~ sin DG sin BE ' ( ' *'
Поэтому сферическая теорема Менелая, по существу, является
одной из теорем сферической тригонометрии. Заметим, что
формулы (1.3) и (1.4) получаются из формул (1.2) и (1.1) заменой
отрезков линиями синусов одноименных дуг.
Сферическая тригонометрия Птолемея. Мы уже неоднократно
упоминали имя знаменитого астронома древности Птолемея и его
«Алмагест». Клавдий Птолемей работал в Александрии во II веке
н. э.; «Алмагест» — общепринятое в настоящее время название
его основного астрономического труда «Математическая
система» («26vTa£i? [ла^у](лат1хг|»). «Алмагест» — латинское искажение
арабского названия этой книги — «Ал-Маджисти»,
происходящего из одного из ее греческих названий «Ms^a-cY) aovTa£i<;» —
«Величайшая система». «Алмагест» представлял собой свод всей
античной астрономии, развившейся, как мы уже упоминали,
на основе соединения вавилонских и греческих традиций.
«Алмагест» важен тем, что он представляет собой первое
дошедшее до нас сочинение, содержащее изложение сферической
астрономии. Математике посвящены главы 10, И и 13 книги I
этого сочинения. В главе 10 излагаются геометрические теоремы,
необходимые для вычисления таблиц хорд, в том числе известная
«теорема Птолемея» о четырехугольнике, вписанном в круг.
В главе 11 приведена таблица хорд, т. е. функции s — rsin-^-, где
дуги а изменяются через V2°, а хорды s вычислены с тремя
шестидесятиричными знаками. В главе 13 приведены цитировавшиеся
выше доказательства плоской и сферической теорем Менелая
(1.1)—(1.4). Далее Птолемей применяет последние две теоремы
для решения конкретных задач сферической астрономии. В
главе 14 книги I Птолемей при вычислении длины сферического
перпендикуляра, опущенного из точки G эклиптики BGE на
небесный экватор BDA (см. рис. 4), дополняет сферический треугольник
BDG, образованный дугой BG эклиптики, дугой BD небесного
экватора и дугой сферического перпендикуляра GD, до полного
четырехсторонника AECGBD и рассматривает частный случай
теоремы (1.4), когда СА = ЕВ = CD = 90°. В этом случае
теорема (1.4) принимает вид
sin 90° _ sin GB
sin В "" sin DG '
т. е. является частным случаем сферической теоремы синусов,
обычно записывающейся в виде
sin а sin Ь sine . r^
sin А ~~ sin В ~~ sin С \ * /
14
для прямоугольного сферического треугольника BDG с прямым
углом D (угол В этого треугольника — известный угол наклона
эклиптики к небесному экватору). В главе 16 той же книги
Птолемей при вычислении прямого восхождения BD точки G
эклиптики, т. е. катета BD того же сферического треугольника BDG,
снова дополняет этот треугольник до полного четырехсторонника
AECGBD и рассматривает частный случай теоремы (1.3), когда
СЕ + ЕА = EG + GB = АВ = 90°. В этом случае теорема (1.3)
TTDHHHMaeT вид
cos ЕА _ cos GD sin DB
sin ЯЛ ~~ sin GD sin 90° '
т. е. является сферической теоремой тангенсов, обычно
записывающейся в виде
tg a = tg A sin с, (1.6)
для прямоугольного сферического треугольника с прямым углом В,
Сферическая тригонометрия Ибн Корры. Сферическая
тригонометрия приняла вид, близкий к современному, на
средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Тригонометрия Птолемея и
других александрийских астрономов попала на мусульманский
Восток через Индию: в IV в. н. э. из Александрии в Индию бежал
александрийский астроном Паулос, ставший известным в Индии
под именем «Паулиса». К Паулисе восходит индийский
астрономический труд «Пулиса-сиддханта»; эллинистическое
происхождение имеет и ряд других индийских астрономических «сиддхант».
Однако в отличие от греков, называвших хорды «прямыми под
дугами», индийцы ввели для них образное название: называя
цугу словом, обозначающим лук, они стали называть хорду этой
дуги словом джива — «тетива», а перпендикуляр, опущенный
из середины дуги на хорду,— «стрелой». В VIII в., когда на основе
индийских „сиддхант" была создана их арабская обработка
«Синдхинд», эти три термина были переведены арабскими
терминами каус, ватар и сахм, которые в свою очередь в XII в. были
переведены латинскими переводчиками словами arcus, chorda и
sagitta — таково происхождение нашего термина «хорда». С
другой стороны, индийцы же ввели в своих сиддхантах линию
синуса, которую они называли сначала ардха-джива — «полухорда»,
затем стали называть просто джива. Этот термин в смысле линии
синуса не был переведен арабским словом ватар — «тетива», а был
транслитерирован в виде джиб или джайб; последний термин,
буквально означающий «впадина, пазуха, карман», и был
переведен латинскими переводчиками словом sinus, имеющим то же
значение.
Правило решения астрономических задач, равносильное
сферической теореме синусов (1.5) для произвольного сферического
треугольника, мы встречаем уже в IX в. в «Книге о часовых
приборах, называемых солнечными часами» («Китаб фи алат ас-сасат
15
Рис.
аллати тусамма рухамат») [361]
крупнейшего багдадского
математика и астронома Сабита ибн
Корры (836-901). Ибн Корра,
уроженец Харрана в Сирии,
принадлежал к
звездопоклонникам (сабиям) — потомкам
вавилонских жрецов. Он перевел
многие греческие и сирийские
сочинения на арабский язык, в
частности ряд не
сохранившихся в оригинале трактатов
Архимеда и V—VII книги
«Конических сечений» Аполлония,
известные нам только по его
переводам. Ибн Корре
принадлежат специальные сочинения
о теореме Менелая, теории составных отношений, теории
параллельных линий, а также по интегральным методам.
В трактате о солнечных часах Ибн Корра решает задачи
определения высоты Солнца, т. е. его сферического расстояния от
горизонта (дуги большого круга небесной сферы, проходящего через
зенит и Солнце, между Солнцем и горизонтом), и азимута Солнца
(т. е. угла между указанным большим кругом и кругом
меридиана — большим кругом, проходящим через зенит и ось мира).
Ибн Корра предлагает следующие способы решения этих задач.
«Возьми расстояние между Солнцем и серединой неба [т. е.
небесным меридианом] по малому кругу в то время, какое тебе
угодно, в часах или в их долях. Возьми его обращенный синус,
умножь его на синус дополнения склонения Солнца в градусах
и раздели произведение на наибольший синус, частное умножь
на синус дополнения широты местности, произведение раздели
на наибольший синус и запомни частное. Далее вычти это из синуса
высоты Солнца и возьми дугу остатка, это и есть высота...
Если ты хочешь узнать азимут, то возьми синус расстояния
Солнца от середины неба по малому кругу, умножь его на синус
дополнения склонения Солнца в градусах, произведение раздели
на синус дополнения высоты. Возьми дугу частного, это азимут
в южном или в северном направлении» [361, с. 16—17].
Ибн Корра решает задачу определения высоты h Солнца по
его склонению б, т. е. его сферическому расстоянию от небесного
экватора, широте ср местности и часовому углу t, т. е. расстоянию
Солнца по его суточному кругу от небесного меридиана; часовой
угол пропорционален времени, вследствие чего его можно
измерить в часах и их долях. На рис. 5 изображен небесный экватор
EMW и полюс мира Р, круг горизонта ESWN и зенит Z, небесный
меридиан ZLS. Солнце находится в точке К, суточная
параллель Солнца — KL. Искомая высота /г равна дуге КН, а сторона
16
ZK сферического треугольника PZK равна 90° — А. Склонение б
равно дуге КМ, а сторона РК того же сферического треугольника
равна 90° — б. Дуга ZP равна дополнению широты ф местности
до 90°. Часовой угол t равен углу ZPK. Высота Солнца в полдень,
т. е. его высота в меридиане, равна дуге SL, так как PL = РК,
a SZ = 90°, тогда SL = SZ + ZP — PL = 90° - ср + б.
«Обращенный синус» — синус-версус — это sin vers t = 1 — cos t\
«синус дополнения» — cos б = sin (90° — б); «наибольший
синус» — радиус круга. Поэтому правило Ибн Корры можно
записать в виде
sin А = sin (90° — <р + б) — sin vers t cos б cos <p,
или, так как sin vers t = 1 — cos t, a sin (90° — <p + 6) =
= cos (<p — 6) = cos ф cos б + sin ф sin б, это правило можно
переписать в виде
sin A = sin ф sin б + cos ф cos б cos t,
или, если мы обозначим 90° — ф = а, 90° — 6 = 6, 90° — А = с,
t = С, в виде сферической теоремы косинусов
cos с = cos a cos b + sin a sin b cos С (1.7)
для сферического треугольника PZK,
Определив высоту А, Ибн Корра определяет азимут А Солнца
по A, t и б. На рис. 5 азимут А равен углу Z сферического
треугольника ZPK. Правило Ибн Корры можно записать в виде
sin Л __ sin t
cos 6 ~~ cos h
или, если мы обозначим 90° — б = а, 90° — А = A, t = В, в виде
sin A sin В
sin а sin Ъ '
т. е. в виде одного из трех равенств сферической теоремы
синусов (1.5).
Непосредственное правило определения азимута А по А, б
и ф, равносильное сферической теореме косинусов, было
предложено в том же веке Мухаммадом ал-Махани (ок. 825—888)
в «Книге об определении азимута в какой угодно час в каком
угодно месте» («Макала фи ма'рифа ас-самт ли айй са'а арадта
ва фи айй мауди1 арадта») [407]. Доказательств этих правил ни
в трактате Ибн Корры, ни в трактате ал-Махани не дается.
Возможно, некоторые из этих правил заимствованы из индийских сидд-
хант.
Сферическая тригонометрия Ибн Ирака и ал-Бируни. В
течение X в. сферическая теорема синусов (1.5) сначала для
прямоугольного, а затем и для произвольного сферического
треугольника и сферическая теорема тангенсов (1.6), которые у Птолемея
17
и ранних средневековых астрономов были правилами решения
конкретных задач сферической астрономии, выделялись в
самостоятельные теоремы сферической тригонометрии. Наиболее
существенную роль в этом сыграли в конце X в. хорезмийские
ученые — упоминавшийся Абу Наср Мансур ибн Ирак (ум. 1036)
и его ученик — великий ученый-энциклопедист Абу-р-Райхан
Ахмад ал-Бируни (973—1048). Ибн Ирак принадлежал к
правившей с IV по X в. в Хорезме династии Афригидов, именовавшихся
в X в. Бану Ирак («сыновья Ирака»). Столицей Афригидов был
Кят, ныне г. Бируни Каракалпакской АССР Узбекской ССР.
Ибн Ирак принял участие в воспитании ал-Бируни, также
уроженца Кята. Сам крупный математик, астроном и конструктор
астрономических инструментов, Ибн Ирак был наставником
ал-Бируни в этих областях. После захвата Хорезма властителем
Ургенча (ныне Куня-Ургенч Туркменской ССР) Ма'муном и
переноса столицы Хорезма в этот город ал-Бируни эмигрирует
в Гурган (Северный Иран), но после смерти Ма'муна
возвращается в Ургенч и работает при дворе его сына Ма'муна ибн
Ма'муна вместе с Ибн Ираком и переехавшим сюда из Бухары
знаменитым Ибн Синой (Авиценной). В 1017 г., после завоевания
Хорезма султаном Махмудом Газневи, ал-Бируни и Ибн Ирак
по требованию Махмуда переезжают в его столицу Газну
(Афганистан), где оба ученых живут до конца своих дней. Важнейшими
из сочинений Ибн Ирака являются «Книга азимутов» («Китаб ас-
сумут»), написанная в Кяте, и упоминавшаяся обработка «Сфе-
рики» Менелая, законченная в Ургенче. Ал-Бируни написал
в Кяте «Исчерпание всех возможных видов построения
астролябий»; в Гургане — «Памятники минувших поколений»,
посвященные хронологии и астрономии, и трактат о сферической
тригонометрии, о котором будет говориться ниже; в Газне при жизни
Махмуда — «Книгу вразумления начаткам науки о звездах»,
большой трактат об Индии и индийской науке, трактаты о
геометрии и плоской тригонометрии и о геодезии; при преемнике
Махмуда Мае*уде он заканчивает свой главный астрономический
труд «Канон Мае*уда по астрономии и звездам». В последние годы
жизни он пишет труды по минералогии и фармакогнозии.
Тригонометрический труд ал-Бируни называется «Книга
ключей науки астрономии о том, что происходит на поверхности
сферы» («Китаб макалид 'илм ал-хай'а ма йахдусу фи басит ал-
кура») [23] \
В предисловии к этому трактату, после посвящения жившему
в это время в Гургане князю Гиляна и Табаристана Марзубану
ибн Рустаму, упомянув астрономический трактат своего старшего
современника Абу Сайда ас-Сиджизи, где были изложены без
доказательства многие правила, применявшиеся при решении задач
1 См. статьи Кеннеди [373], Э. Г. Касымовой [88] и Н. Г. Хайретдиновой
[220].
18
сферической астрономии, в том числе сферические теоремы
синусов и тангенсов, ал-Бируии пишет: «Мой государь и избранник
Абу Наср Мансур [ибн Ирак] попросил меня направить мои
усилия для нахождения доказательства всего подобного этому...
Он попросил меня изучить это и обнаружить причину достижения
доказательств и причину их выбора. Я сделал это. Абу Наср
написал об этом вопросе книгу, которую назвал «[Книгой] азимутов»
[23, л. 163 об.; 88, с. 82]. Далее ал-Бируни указывает, что он
послал экземпляр «Книги азимутов» в Багдад Абу-л-Вафе ал-
Бузджани, который в специальном трактате и в написанной
позже обработке «Алмагеста» х дал более простое доказательство
этой теоремы и познакомил с этой теоремой работавших в Иране
Абу Махмуда ал-Худжанди и Кушьяра ибн Лаббана ал-Джили,
также изложивших ее в своих астрономических книгах.
Ал-Джили дал этой теореме название «предложение, освобождающее от
фигуры секущих» (т. е. от теоремы Менелая), а ал-Худжанди —
«правило астрономии». Теорема Ибн Ирака формулируется
ал-Бируни в следующем виде: «Абу Наср сказал: пусть даны дуги
АВ и AD, каждая из которых — четверть круга, и дуги СВ и
CHG, каждая из которых меньше или больше четверти круга или
точно четверть [круга]. Тогда я утверждаю, что синус DH
относится к синусу GB, как синус СН к синусу CG» [23, л. 166, об.].
Здесь же ал-Бируни приводит чертеж Ибн Ирака (рис. 6). На этом
чертеже изображен знакомый нам полный сферический
четырехсторонник, однако Ибн Ирак доказывает свою теорему
независимо от теоремы Менелая. Так как АВ = AD = 90°, углы В и D
прямые, теорема Ибн Ирака — эквивалентное теореме синусов
для прямоугольного треугольника «правило четырех величин».
Это правило обычно формулируют следующим образом: в двух
прямоугольных сферических треугольниках ABC и АВ'С с
общим углом А и прямыми углами В и В' при дуге ABB'
sin a sin a' f, nv
sin b ~~ sin b' \ " /
, ~ sin A
(в силу теоремы синусов оба эти отношения равны . QOO; теорема
синусов вытекает из этой теоремы при Ь' = с' — 90°, когда дуга
В'С равна углу А).
Вскоре в небольшом трактате, так же как «Книга азимутов»,
написанном «на имя» ал-Бируни, т. е. фактически являющемся
результатом сотрудничества обоих ученых, озаглавленном
«Трактат об определении дуг небесной сферы друг через друга методом,
отличным от метода составного отношения» («Рисала фи ма'рифа
ал-киси ал-фалакиййа ба'дха мин ба'д би тарик гайр тарик
ан-нисба ал-муаллафа»). Ибн Ирак [71, ч. 8] 2 дает доказательство
сферической теоремы синусов (1.5) для произвольного сфериче-
1 Частичный французский перевод — Карра де Во [293].
4 См. также немецкий перевод П. Лукея [407].
19
с а * F л
Рис. 6 Рис. 7
ского треугольника. В цитируемом трактате ал-Бируни это
предложение формулируется следующим образом: «Я начну с
упоминания того метода, который нашел Абу Наср в его трактате,
посланном мне, я имею в виду «освобождающее» предложение...
Оно состоит в следующем: ...синусы сторон в треугольнике,
составленном из дуг больших кругов на поверхности сферы,
относятся друг к другу как синусы противолежащих углов друг к
другу, соответственный к соответствующему» [23, л. 164, об.]. Как
мы видим, ал-Бируни распространяет название «предложение,
освобождающее от фигуры секущих» и на общую теорему синусов.
Приведем более короткое доказательство этой теоремы, данное
ал-Бируии в главе 9 книги III «Канон Мае4уда по астрономии и
звездам» («Ал-канун ал-Мас'уди фи-л-хай'а ва-н-нуджум») [19,
т. 5], аналогичное приведенному им в главе 8 той же книги
доказательству плоской теоремы синусов: «Мы утверждаем, что в
треугольниках, образованных дугами больших кругов, имеет место
точно то же, что мы выдвинули как предпосылку для
прямолинейных треугольников. А именно: синусы этих дуговых сторон
пропорциональны синусам углов, противолежащим этим
сторонам, [если брать] каждый из них [в соотношении] с
соответствующей ему стороной, например, в треугольнике ABC, сторонами
которого являются [дуги] больших кругов, синус АВ относится
к синусу ВС, как синус угла С к синусу угла А.
Доказательство этого. Дополним каждую из [дуг] АН, AF.
CD и CG до квадранта (рис. 7). Опишем из полюсов А и С на
расстоянии стороны [вписанного] квадрата дуги HF kGD. Они будут
измерять два упомянутых угла. Проведем перпендикулярно АС
дугу большого круга BE. В силу вышесказанного [т. е.
доказанной ранее теоремы Ибн Ирака] синус АВ относится к синусу BE,
как синус квадранта АН к синусу HF. Синус же BE относится
к синусу ВС, как синус DG к синусу квадранта GC. Поэтому
по правилу перемешанной пропорции [т. е. по правилу перехода
от пропорций А : В = L : М и В : С = К : L к пропорции
А : С = К : М] синус А В относится к синусу ВС, как синус
[дуги] DG, величины угла С, к синусу [дуги] HF — величины
угла А [19, т. 5, ч. 1, с. 306]. В «Книге ключей» ал-Бируни опи-
20
сывает спор о приоритете по поводу открытия сферической
теоремы синусов между Ибн Ираком, ал-Бузджани и ал-Худжанди
и указывает, что этот приоритет принадлежит Ибн Ираку,
фактически же, как мы видели, эта теорема является совместным
открытием Ибн Ирака и ал-Бируни. Здесь же ал-Бируни приводит
доказательство сферической теоремы тангенсов (1.6) и указывает,
что эта теорема была выделена как отдельная теорема сферической
тригонометрии ал-Бузджани; эту теорему также часто называли
и «предложением, освобождающим от фигуры секущих».
В то же время ал-Бируни не доказывает в общем виде
сферической теоремы косинусов (1.7). Однако в главах 20 и 22 книги IV
«Канона Мае4уда» он решает задачи определения дуги суточного
круга, пройденной Солнцем или звездой от точки восхода до
рассматриваемого момента (т. е. задачи определения времени по
положению Солнца или звезды), и находит решение этих задач
в виде правил, равносильных указанной теореме [19, т. 5, ч. 1,
с. 386—387, 394—395], причем в отличие от Ибн Корры и его
младшего современника ал-Баттани, также сформулировавшего то же
правило без доказательства в своих «Сабейских астрономических
таблицах» («Аз-зидж ас-Саби») [422], ал-Бируни дает полное
доказательство этих правил. В то же время в главе 2 книги V «Канона
Мас'уда» при решении задачи определения разности долгот двух
городов по их широтам и расстоянию между ними, также
сводящейся к теореме (1.7), ал-Бируни не применяет правила,
равносильного этой теореме, а сводит задачу к решению двух
прямоугольных сферических треугольников.
Сферическая тригонометрия Насир ад-Дина ат-Туси. В
течение XI—XIII вв. появился целый ряд сочинений, где с помощью
теоремы Менелая и «предложений, освобождающих от фигуры
секущих» — сферических теорем синусов и тангенсов —
систематически излагались все шесть случаев решения сферических
треугольников по трем элементам. Первым из этих трактатов
является анонимное «Собрание правил науки астрономии» («Джа-
ми* каванин 'илм ал-хай'а») х, написанное в Исфахане и
посвященное некоему Амиду ал-Мулку Абу Насру Мансуру ибн Мухам-
маду. Это имя носил Кундури (1025—1064) — везир основателя
династии Сельджукидов Торгул-бека (1056—1063). Так как
в указанное время в Исфахане работал крупный математик Абу-
л-Хасан Али ан-Насави (ок. 970 — ок. 1070), уроженец Насы
(вблизи нынешнего Ашхабада), работавший в Рее, Исфахане и
в Газне, то, возможно, что автором этого трактата был ан-Насави.
Термин «правила науки астрономии», несомненно, происходит от
названия ал-Худжанди теоремы Ибн Ирака. «Собрание правил»
состоит из трех частей: «О составных отношениях», «О фигуре
секущих» (т. е. о теореме Менелая) и «О предложении, освобождаю-
1 Русский перевод— [198], см. также статью Н. Г. Хайретдиновой [221].
21
щем от секущих». В последней части впервые приводятся все шесть
случаев решения сферических треугольников по трем элементам,
в частности решение сферического треугольника по трем углам.
Здесь впервые появляется так называемый полярный
треугольник, т. е. треугольник А'В'С', вершины которого являются
полюсами сторон данного сферического треугольника ABC, однако
автор «Собрания правил» еще не знает того, что полярный
треугольник обладает свойством взаимности, т. е. что полярным
треугольником для треугольника А'В'С является треугольник
ABC.
Наиболее закопченное изложение сферической тригонометрии
средневекового Востока мы находим в трактате «Снятие покрывала
с тайн фигуры секущих» («Кашф ал-кипа' 4ан асрар аш-шакл
ал-кита») [206] крупнейшего математика и астронома XIII в.
Насир ад-Дина ат-Туси (1201—1274). Уроженец Туса в Хорасане,
ат-Туси некоторое время работал в «государстве ассасинов»,
управлявшемся террористической сектой, наводившей ужас на
весь Ближний и Средний Восток, а после завоевания в 1256 г.
этого государства монголами стал придворным звездочетом и
советником монгольского хана Хулагу. Ат-Туси организовал
в столице Хулагу Марате, в Южном Азербайджане,
первоклассную астрономическую обсерваторию и научную школу, где
работали все математики и астрономы завоеванных монголами стран.
Сочинение ат-Туси было написано в «государстве ассасинов»
по-персидски, а в 1260 г. он создал более краткий арабский
вариант. Оба варианта этого сочинения состоят из пяти книг:
«О составном отношении», «О плоской фигуре секущих»,
«Введение в теорию сферической фигуры секущих», «О сферической фигуре
секущих» и «О предложениях, освобождающих от фигуры
секущих».
Структура трактата ат-Туси «Снятие покрывала» весьма
близка к структуре «Собрания правил». Промежуточным звеном между
ними, возможно, был упомянутый в трактате ат-Туси трактат его
предшественника на посту придворного звездочета при хане
Хулагу — Хусам ад-Дина ас-Салара (ум. 1262). Ат-Туси пишет,
что ас-Салар «дал необходимые правила для всех случаев, хотя
и не привел их доказательств и примеров» [206, с. 52], вследствие
чего ат-Туси решил в своем трактате дать изложение строгих
доказательств этих правил.
Ат-Туси также излагает все шесть случаев решения
сферических треугольников по трем элементам. При решении
треугольника по трем углам он также пользуется полярным
треугольником, однако здесь существенно используется свойство взаимности
полярного треугольника. Приведем решение ат-Туси.
«Известны все углы треугольника. В треугольнике ABC
продолжим стороны АВ, АС до дуг АЕ, AD, равных четверти
окружности. Точно так же продолжим стороны ВА, ВС до дуг
BF, ВН, равных четверти окружности; также продолжим СА,
22
Рис. 8
СВ до дуг CG и СК, равных
четверти окружности. Проведем
дуги больших кругов DE, FH,
GK; точками пересечения этих
кругов будут точки L, М, N, и
мы получим треугольник LMN,
стороны которого будут дугами
больших кругов (рис. 8). Так
как углы А, В, С известны, то
известны также дуги DE, FH,
GK; так как К и Н — прямые
углы, L будет полюсом КН;
точно также М будет полюсом
GD, а N — полюсом FE; далее,
GL, КМ, являющиеся
дополнениями дуги KG, также известны, тем самым известна и дуга
LM. Точно так же мы найдем дуги LN', MN. Таким образом,
известны все три стороны треугольника LMN, но в силу
предыдущего случая известны и все три угла этого треугольника;
отсюда следует, что известны дуги КН, DG, EF. Но так как каждая
из дуг КС, ВН равна четверти окружности, дополнение НК
будет равно ВС; таким образом, сторона ВС будет известна; то же
самое относится к сторонам АВ, ВС. Таким образом, мы
определим все стороны треугольника ABC» [206, с. 196—197].
Если обозначить стороны ВС, С А, АВ треугольника ABC
через а, Ь, с, а стороны MN, NL, LM треугольника LMN через /,
т, п, то установленная ат-Туси связь между сторонами и углами
этих треугольников может быть записана в симметричном виде
I = я — А, т = я — В, п = я — С;
N = я
с.
L = я — а, М = я — Ь,
Подставляя эти значения /, т, п, N вместо а, Ь, с, С в формулу
(1.7) сферической теоремы косинусов, получим зависимость
cos (я — С) = cos (я — A) cos (я — В) +
+ sin (я — A) sin (я — В) cos (я — с),
т. е.
cos С = —cos A cos В + sin A sin В cos с,
(1.9)
выражающую так называемую двойственную сферическую теорему
косинусов, позволяющую находить стороны сферического
треугольника по его углам. Однако на средневековом Востоке ни
теорема косинусов (1.7), ни двойственная теорема (1.9) еще не
были выделены в виде отдельных теорем сферической
тригонометрии, как это было сделано со сферической теоремой синусов,
хотя математики и астрономы пользовались правилами,
равносильными обеим этим теоремам.
23
Сферическая тригонометрия Региомонтана. Сферическая
теорема косинусов появляется как отдельная теорема сферической
тригонометрии в «Пяти книгах о треугольниках всякого вида»
(«De triangulis omnimodis libri quinque». Нюрнберг, 1533) [448]
немецкого математика и астронома Региомонтана (Иоганна
Мюллера, 1436—1476), уроженца Кенигсберга во Франконии,
работавшего в Нюрнберге. Первая книга этого сочинения
содержит вспомогательные геометрические теоремы и начала учения
о плоских треугольниках, вторая — плоскую тригонометрию,
третья — основы сферической геометрии, четвертая и пятая
книги — сферическую тригонометрию. Четвертая книга
содержит изложение всех шести случаев решений сферических
треугольников по образцу арабских сочинений. Зависимость
Региомонтана от этих сочинений в четвертой книге наглядно видна из
того, что он обозначает здесь вершины рассматриваемых
треугольников не А, В, С, a A, B7G7 т. е. теми латинскими буквами,
которыми обычно транскрибируют первые три арабские буквы
а, б, дж. В пятой книге Региомонтан доказывает ряд новых
теорем, в том числе сферическую теорему косинусов (1.7). Эта теорема
доказывается им в следующей формулировке:
«В каждом сферическом треугольнике, состоящем из дуг
больших кругов, отношение синус-версуса каждого угла к разности
двух синус-версусов, один из которых — синус-версус стороны,
стягивающей этот угол, другой же — силус-версус разности
двух дуг, ограничивающих этот угол, таково же, как отношение
квадрата полного прямого синуса к прямоугольнику под синусами
дуг, ограничивающих указанный угол» [448, с. 270—271].
Встречающиеся в формулировке этой теоремы «синус-версу-
сы» — это sin vers С = 1 — cos С, sin vers с = 1 — cos с и
sin vers (a — b) = 1 — cos (а — b) = 1 — cos a cos b — sin a sin b;
«полный прямой синус» — то же, что «наибольший синус» Ибн
Корры, т. е. радиус круга; «прямоугольник под синусами дуг» —
произведение sin a sin b. Поэтому теорема, доказываемая Регио-
монтаном, может быть записана в виде
sin vers С 1
sin vers с — sin vers (b — с) ~ sin a sin b
или
(1 — cos C) sin a sin b = cos a cos b + sin a sin b — cos c,
т. е. в виде сферической теоремы косинусов (1.7). Чертеж
Региомонтана (рис. 9) отличается от чертежа, которым мы
иллюстрировали равносильное этой теореме правило Ибн Корры (см. рис. 5),
тем, что на месте треугольника KPZ на рис. 5 здесь находится
треугольник ABC. Отсюда ясно, что образцом этой теоремы для
Региомонтана было правило, аналогичное правилу Ибн Корры.
Встречающееся в западноевропейской литературе название
сферической теоремы косинусов «теорема Альбатегния»,
объясняется тем, что правило, равносильное этой теореме (весьма близ-
24
Рис. 9
кое к правилу Ибн Корры), встречалось в упоминавшихся
«Сабейских астрономических таблицах» ал-Баттапи, которого в Западной
Европе называли Albategnius.
Сферическая тригонометрия хорд Коперника. Если Региомон-
тан использовал и развил вклад в сферическую тригонометрию
ученых средневекового Востока, то другой крупный ученый XV—
XVI вв., великий польский астроном Николай Коперник (1473—
1543) отправлялся непосредственно от Птолемея. В его
знаменитом трактате «О вращениях небесных сфер» («De revolutionibus
orbium coelestium». Нюрнберг, 1543) [97], где Коперник заменил
геоцентрическую систему Птолемея гелиоцентрической, он
возвращается к птолемеевским названиям созвездий, а в
математических главах (главы 12—14 книги I) Коперник возвращается к пто-
лемеевской тригонометрии хорд. В главе 12 книги I Коперник
приводит геометрические теоремы, необходимые для вычисления таблиц
хорд, и таблицы хорд через 10' в долях радиуса, равного 100 000.
В главе 13 Коперник излагает теоремы плоской тригонометрии,
в главе 14 — теоремы сферической геометрии и тригонометрии.
В предложении 2 этой главы Коперник доказал теорему,
равносильную теореме синусов для прямоугольного сферического
треугольника: «В сферических треугольниках, имеющих прямой угол,
хорда, стягивающая удвоенную дугу, лежащую против прямого
угла, к хорде, стягивающей удвоенную сторону, одну из
прилегающих к прямому углу, относится, как диаметр сферы к хорде,
стягивающей на большом круге сферы угол, вдвое больший угла,
заключенного между последней и первой сторонами сферического
треугольника» [97, с. 01]. Здесь же изложены правила решения
сферических треугольников по любым трем элементам с помощью
стереометрических предложений Евклида и приведенной выше
теоремы.
25
Сферическая тригонометрия Виета. Сферическая теорема
косинусов (1.7) в виде, близком к современному, и двойственная
сферическая теорема косинусов (1.9) впервые встречаются в «Восьмой
книге ответов на различные математические вопросы» («Variorum
de rebus mathematicis responsorum liber VIII». Тур, 1593) [510,
с. 347—436] Франсуа Виета (1540—1603). Виет, французский
математик, известный главным образом своими открытиями в
алгебре, выпустил в 1579 г. в Париже обширные математические
таблицы («Canon mathematicus»), содержащие главным образом
тригонометрические таблицы, в которых радиус круга принимался
за 100 000. Уже в «Каноне» и особенно в XIX главе «Восьмой
книги» Виет формулирует без доказательств всю систему плоской и
сферической тригонометрии. Указанные теоремы косинусов Виет
формулирует в предложениях 15 и 16 этой главы следующим
образом:
«XV. Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три
стороны, то можно найти и углы. Пусть сторона,
противоположная искомому углу,— первая. Тогда пусть будут приложены к
полному синусу две прямоугольные фигуры, одна пусть будет
такой же, как [прямоугольник] под синусами дополнений второй
и третьей стороны, а другая — [как прямоугольник] под
синусами самих второй и третьей сторон. Тогда ширина, извлеченная
из второго приложения, [относится] к сумме или разности ширины,
которую следует извлечь из первого приложения, и синуса
дополнения первой стороны, как полный синус к синусу дополнения
искомого угла.
Случай суммы [имеет место], когда первая упомянутая
сторона меньше четверти круга, а свойства второй и третьей сторон
различны между собой или когда первая сторона больше
четверти, а свойства остальных сторон одинаковы, и в первом
упомянутом случае искомый угол острый, а во втором — тупой.
Напротив, случай разности [имеет место], когда первая
сторона меньше четверти, а свойства остальных [сторон] одинаковы;
пусть это третий случай, или когда упомянутая сторона больше
четверти и свойства остальных сторон различны, пусть это будет
четвертый случай по порядку, и в третьем случае,— когда ширина,
извлеченная из первого приложения, меньше синуса дополнения
первой стороны и искомый угол острый или когда она больше и
угол тупой, а в четвертом случае, напротив,— когда ширина,
извлеченная из первого приложения, меньше того же синуса и
искомый угол тупой, или когда она больше, а угол острый. Если же
разность нулевая, это свидетельствует о том, что искомый угол
прямой...
XVI. Если в каком-либо сферическом треугольнике даны три
угла, то можно найти и стороны. Пусть угол, противоположный
искомой стороне,— первый. Тогда пусть будут приложены к
полному синусу две прямоугольные фигуры, одна пусть будет такая
же, как [прямоугольник] под синусами дополнений второго и треть-
26
его углов, а другая — [как прямоугольник] под синусами самих
второго и третьего углов. Тогда ширина, извлеченная из второго
приложения, [относится] к сумме или разности ширины, которую
следует извлечь из первого приложения, и синуса дополнения
первого угла, как полный синус к синусу дополнения искомой
стороны.
Случай суммы [имеет место], когда первый угол тупой, а
свойства остальных различны между собой или когда первый угол
острый, а свойства остальных углов одинаковы, и в первом
случае искомая сторона больше четверти, а во втором — меньше.
Напротив, случай разности [имеет место], когда первый угол
тупой, а свойства остальных одинаковы, пусть это третий случай,
или когда первый угол острый, а свойства остальных [углов]
различны, пусть это будет четвертый случай по порядку, и в третьем
случае, когда ширина, извлеченная из первого приложения,
уступает синусу дополнения первого угла и искомая сторона
больше четверти или когда превосходит и [сторона] меньше, а в
четвертом случае, напротив, когда ширина, извлеченная из первого
приложения, уступает тому же синусу и искомая сторона меньше
четверти или когда превосходит и сторона больше. Если разность
нулевая, это свидетельствует о том, что искомая сторона равна
четверти [круга]» [510, с. 407—408].
Если мы обозначим искомый угол через а, второй и третий углы
через р и у, а противоположные им стороны через а, Ь, с, то, так
как «синусы» Виета — линии синусов, т. е. в наших обозначениях
г sin а, г sin а и т. д., а его «синусы дополнений» — линии
косинусов, т. е. в наших обозначениях г cos a, r cos а и т. д.,
«прямоугольник под синусами самих второй и третьих сторон» — произведение
г sin b- r sin с; «прямоугольник под синусами дополнений второй
и третьих сторон» — произведение г cos b-r cos с; «приложение»
этих прямоугольников к «полному синусу», т. е. радиусу,—
построение равновеликих им прямоугольников на радиусе, а
«ширина, извлеченная из приложения»,— ширина полученного
таким образом прямоугольника, т. е. отрезок или
г cos Ъ • г cos с
г
Поэтому предложение 15 Виета можно записать в виде
пропорции
г sin Ъ sin с г
г cos а — г cos Ъ cos с г cos a '
причем здесь Виет рассматривает четыре случая:
1) cos а > 0, cos b cos с < 0, cos a ]> 0;
2) cos a < 0, cos b cos с ^> 0, cos а < 0;
3) cos а ^> 0, cos b cos с ^> 0, cos b cos с < cos a, cos а ^> 0 или
cos b cos с > cos a, cos a < 0;
4) cos a<0, cos b cos с < 0, | cos b cos с \ < |. cos a |,
cos a < 0 или | cos b cos с \ > | cos a |, cos a > 0.
27
Точно так же предложение 16 Виета можно записать в виде
пропорции
г sin p sin у г
г cos a + г cos p cos у г cos а '
причем здесь Виет рассматривает четыре случая:
1) cos a<0, cos p cos у < О, cos а < 0;
2) cos а > 0, cos |3 cos 7 ^> 0, cos а > 0;
3) cos а<0, cos p cos у ]> 0, cos |3 cos 7 < cos а, cos a <C 0
или cos P cos 7 > c°s а» cos а > 0;
4) cos а > 0, cos |3 cos 7 < 0, [cos |3 cos 7 I <C I cos а I»
cos a > 0 или | cos |3 cos 7 | > | cos а |, cos a < 0.
Полная аналогия между этими двумя предложениями
указывает на то, что Виету была совершенно ясна связь между обеими
теоремами косинусов и, весьма возможно, он знал, что вторая
из них может быть получена из первой с помощью полярного
треугольника.
Площадь сферического треугольника и многоугольника у
Жирара. Выражение площади сферического треугольника и
многоугольника через их угловые избытки впервые появилось в печати
в статье «О мере поверхности сферических треугольников и
многоугольников, открытой вновь» («De la mesure de la superfice des
triangles & polygones sphericques, nouvellement inventee»),
опубликованной в виде приложения к «Новому открытию в алгебре»
(«Nouvelle invention en l'algebre». Амстердам, 1629) [345]
фламандского математика Альбера Жирара (1595—1632). Вначале Жирар
предлагает «новую гипотезу» о том, что вся поверхность сферы
подразделяется на 720 «поверхностных градусов» (degrez superfi-
cieles), каждый из которых делится на 60 минут и т. д., т. е.
Жирар считает поверхность сферы, которая для сферы единичного
радиуса равна 4я, равной 4-180° = 720°. Далее Жирар
определяет «скобку» (iibulle) — сферический треугольник, две стороны
которого равны квадранту. Скобка называется остроугольной,
тупоугольной и прямоугольной в зависимости от угла между
указанными сторонами. Далее доказываются три леммы: 1) «Пусть А —
полюс большого или малого круга на поверхности сферы и АВ,
АС — две большие дуги, выходящие из полюса (рис. 10, а).
Тогда какую часть составляет А от четырех прямых, такую часть
составляет треугольник ABC от сферической поверхности,
ограниченной кругом ВС: доказательство очевидно» [345, л. G 2 об.];
2) если аир — две дуги одного круга, не превосходящие
квадранта, и а > Р, то
tga ^ a \ sin a
Ц~Р ^ Т ^ sin Р
(Жирар указывает, что вторая часть этого утверждения
равносильна утверждению в книге I «Алмагеста» Птолемея и в книге I
28
Рис. 10
«О вращениях небесных сфер» Коперника *); 3) сумма внутренних
углов любого прямолинейного га-угольника равна 2п — 4 прямым
углам.
Далее Жирар формулирует теорему: «Всякий сферический
многоугольник, заключенный между дугами больших кругов,
содержит столько же поверхностных градусов, на сколько сумма его
внутренних углов превосходит сумму внутренних углов
одноименного прямолинейного треугольника, причем поверхность сферы
полагается содержащей 720 поверхностных градусов» [345,
л. G 3 об.], приводит несколько примеров и доказывает следующее
предложение.
«Предложение. Сферический треугольник с тремя
большими дугами содержит столько же градусов поверхности, на
сколько сумма трех углов превосходит 180 градусов» [345, л. Н.].
Доказательство Жирара состоит из трех этапов. 1) Для «скобки»:
если «скобка» ограничена двумя квадрантами А В и А С, то углы
В и С прямые, поэтому их сумма равна 180°, а сумма всех трех
углов превосходит 180° на угол А, который по лемме 1 составляет
такую же часть от 360°, какую площадь «скобки» от 720
поверхностных градусов. 2) Для прямоугольного сферического
треугольника, каждая сторона которого меньше квадранта: Жирар
рассматривает прямоугольный сферический треугольник BND с
прямым углом N и продолжает его стороны BN и BD до квадрантов
ВС и BQ (рис. 10, б). Тогда дуга CQ содержит столько же градусов,
сколько угол В, а угол D содержит больше градусов, чем
дополнительная до 90° к дуге CQ дуга QR; поэтому, если отложить на
Первое из этих неравенств доказано в главе 10 «Алмагеста» Птолемея [444,
с. 33—34] и в теореме 6 книги I «О вращениях небесных сфер» Коперника
[97, с. 45-46].
29
квадранте RC дугу RF, содержащую столько же градусов, сколько
острый угол D, точка F попадет на дугу QC, а дуга содержит
столько же градусов, сколько избыток суммы углов треугольника
BND над 180°.
Далее Жирар применяет двойственную сферическую теорему
косинусов (1.9) для прямоугольного сферического треугольника
BND, которую можно записать в виде следующей пропорции:
радиус: tg В = tg D : sec BD, и переписывает ее в виде пропор-
ОС HL Dn CM-KL TJ 0
ции jTyj- — «г;» т- е- secBD^=—-тг£—. Но в силу леммы 2
МС . QC RL-MC RL-CK. ^п OC-CF ™
Ш>ы> П0ЭТ™У -oc--:-oc->OC:-Q<r\ Так как яь'
С К = IgD-ctgD — квадрат радиуса, т. е. ОС2, а—^— = sec BD,
ОС • С F
получаем, что sec BD : ОС ^> ОС : ' . Но sec BD cos BD =
= ОС2, или, так как cos BD = sin DQ, sec 5/) sin DQ = ОС2,
или sec BD : ОС = ОС : sin DQ, поэтому —^— ^>sin DQ.
ОС -С F
Пусть QC = sin G(? = GX. Далее Жирар опускает
перпендикуляры QZ на GC и^Гна QZh применяет еще раз двойственную
теорему косинусов (1.9) к треугольнику BND, на этот раз в виде
пропорции: радиус: sin В = sec D : sec BN, и переписывает ее
ОС OL ОЛ7 QZ-OL ,, п
в виде 7777 = 771ГГ , т. е. sec BN = х „—. Но в силу леммы 2
QZ sec Z?/V ' ОС J
QZ ^QC OL-QZ OL-YZ ^ ГкП OC-CF m „T
У2 < ^j , поэтому ОС : ОС <^0С: ОС ' TaK KaK 0L'
• YZ = ОС2, a °^?Z = sec BN, получаем, что sec BN : ОС <ОС :
ОС - Г1/1
: —7Т7Г— • Ho sec 57V cos BN = ОС2, или, так как cos BN = sin NC,
sec 57V sin 7VG = ОС2, или sec BN : ОС = ОС : sin 7VC, поэтому
OC-CF ^ . Ajn rr OC-CF . nrk
—TjTj— <sin7VG. Так как —^— = sin GQ, мы получаем, что
DQ<GQ< NC.
Далее Жирар описывает из полюса В дугу, проходящую
через G. Эта дуга пересечет дуги DN и 7VC, последнюю — в точке Р.
ОС • С h
Так как —^— = ОХ, а ОС = ОВ, имеет место пропорция
QC : CF = 5G : ОХ, откуда вытекает производная пропорция
CQ : QF = ОВ : ВХ. Далее Жирар [345, л. Н. 3] пишет, что «из
книг Архимеда можно заключить, что, как ОВ относится к ВХ,
так и поверхность «скобки» QBC к поверхности GBP». Жирар
имеет в виду предложение 52 книги I Архимеда «О шаре и цилиндре»:
«Поверхность всякого сферического сегмента меньшего
полушария равна кругу, радиус которого равен прямой, проведенной
из вершины сегмента до окружности круга, являющегося
основанием сегмента» [12, с. 138], откуда вытекает, что площадь
поверхности сегмента, являющегося сферическим кругом со сферическим
30
радиусом г на сфере радиуса /?, равна
S = 2яД2(1 — cos ■£-j ,
где Л (1 — cos ^-) — высота сегмента.
В случае, рассматриваемом Жираром, площади «скобки» QBC
и треугольника GBP относятся, как площадь полусферы к
площади сферического круга со сферическим радиусом BG, т. е. как
радиус ОВ сферы к высоте ВХ сегмента. Поэтому CQ относится,
как площадь «скобки» QBC к площади треугольника GBP, но, с
другой стороны, эти дуги относятся, как площади «скобок» QBC
и QBF, вторая из которых получится, если провести дугу большого
круга BF. Отсюда вытекает, что площадь «скобки» QBF равна
площади треугольника GBP. Далее Жирар замечает, что сумма углов
«скобки» QBF равна сумме углов треугольника BND, так как
эта сумма углов превосходит два прямых угла на величину
дуги QF. Далее Жирар утверждает также, что «BGP равен
треугольнику BND, так как перекрывается с ним всегда, поскольку GP
всегда пересекает DN. Поэтому «скобка» QBF равна
треугольнику BDN, три угла которого превосходят два прямых на величину
дуги QF в градусах, и в силу сказанного о «скобках» в первой
лемме справедливость теоремы очевидна и вероятна» [345, л. Н. 3].
Утверждаемое Жираром равенство площадей сферического
сектора BGP и сферического треугольника BND совершенно
правильное, однако его рассуждение не является строгим
доказательством этого утверждения, а только устанавливает
приблизительное равенство площадей указанных фигур.
Не будучи, по-видимому, вполне удовлетворен своим
рассуждением, Жирар добавляет, что «если даже ND будет очень малым
до бесконечности, a BD — почти квадрантом, так что GD и NP
будут очень малыми, тем не менее DN всегда пересекает GP,
откуда следует, что BGP будет равна треугольнику BND в
соответствии с утверждением теоремы. Заметьте, что я доказал ее в двух
различных случаях, когда GD больше удвоенной NP, а также когда
ВР или BG меньше средней гармонической между DB и BN» [345,
л. Н. 3 — II. 3 об.]. Эти слова Жирара показывают, что он считал
необходимыми для строгого доказательства своего утверждения ин-
финитезимальные рассуждения, которыми он не владел.
Из частного случая своего утверждения для прямоугольного
сферического треугольника Жирар выводит утверждение для
произвольного сферического треугольника, разделив его на два
прямоугольных треугольника и заметив, что избыток суммы углов
данного треугольника над 180° равен сумме таких же избытков
прямоугольных треугольников. Теорема о сферических
многоугольниках сводится Жираром к предложению о треугольниках
путем разделения гс-угольника диагоналями на п — 2
треугольника.
31
Поэтому утверждение Жирара для сферического
треугольника можно записать в виде
б : 4л/-2 = (а + р + 7 - 180°) : 720°.
Как видно из письма Г. Бригса И. Кеплеру, написанного в
1625 г., аналогичное правило было найдено Томасом Гарриотом
(1560-1621) в 1603 г. [375, т. 18, с. 228-229]. То же правило
было опубликовано Бонавентурой Кавальери (1598—1647) в его
«Общем руководстве по астрономическим измерениям» («Directo-
rium generale uranometricum». Болонья, 1632) [298a].
Формулу Жирара для площади сферического треугольника,
если измерять углы этого треугольника не в градусах, а в
радианах, можно записать в виде
S = г2 (а + р + 7 — я). (1.10)
Ниже мы приведем наиболее простое доказательство этой
теоремы, принадлежащее Эйлеру.
Сферическая геометрия и тригонометрия Эйлера. В XVII—
XVIII вв. появляется большое число сочинений, специально
посвященные сферической тригонометрии, из которых упомянем
«Построение сферической тригонометрии» («Trigonometriae sphae-
ricae constructio». Рим, 1737) Руджера Иосипа Бошковича (1711 —
1787) [281], уроженца Дубровника (ныне Югославия),
работавшего главным образом в Риме и Милане. В этом сочинении Бошко-
вич предложил значительно более простое, чем это делалось
раньше, графическое решение сферических треугольников по трем
элементам.
Свой современный вид сферическая тригонометрия, как и вся
тригонометрия, приняла в трудах великого Леонарда Эйлера
(1707—1783), уроженца Базеля, работавшего в Петербурге и
Берлине. Если до Эйлера тригонометрия имела дело с
тригонометрическими линиями, то тригонометрия Эйлера имеет дело с
тригонометрическими функциями, которые он связал с помощью
известной формулы, носящей его имя, с экспоненциальной функцией*
благодаря этому из тригонометрических формул исчез sinus to-
tus — полный (наибольший) синус, т. е. радиус круга, место
которого в этих формулах теперь заняла единица.
Исключительно простое доказательство теоремы Жирара о
площади сферического треугольника было дано Эйлером в работе
«О мере телесных углов» («De mensura angulorum solidorum».
Петербург, 1781) [332, т. 26, с. 204—223]. Эйлер рассматривает на
сфере единичного радиуса треугольник ЛВС и равный ему
треугольник abc с диаметрально противоположными вершинами
(рис. 11). Углы треугольника ABC при вершинах А, В, С он
обозначает соответственно а, |3, 7- Тогда площади двуугольников
АВаС, ВСЪА и САсВ соответственно равны 2а, 2|3 и 2у. Так как
каждый из этих двуугольников содержит данный треугольник
32
ABC, площадь которого обозна- ^
чается S, оставшиеся части
этих двуугольников, т. е.
треугольники аВС, ЬАСисАВ,
соответственно равны 2а — S,
2|3 — S, 2у — S. Площади тре-*
угольников abc, Abe, Вас и Cab
соответственно равны площадям
треугольников АЪС, аВС, ЪАС
и сАВ. Так как указанные
восемь треугольников покрывают
всю площадь сферы, сумма их
площадей равна площади
поверхности сферы единичного
радиуса, т. е. 4я. Поэтому
25 + 4 (а + р + v) — 65 = 4 (а + р + v) — 45 = 4я,
откуда
5 = а + Р+7 — я.
В случае сферы радиуса г таким же образом доказывается
общая формула (1.10).
В «Различных исследованиях о площади сферических
треугольников» («Varia speculationes super area triangulorum sphaerico-
rum». Петербург, 1797) [332, т. 29, с. 253—266] Эйлер приводит
целый ряд выражений площади сферического треугольника на
сфере единичного радиуса через его стороны, простейшая из которых
имеет вид
S 1 -f cos a + cos Ъ -f cos с
Рис. 11
COS -тг =
/ а Ъ с
4 cos — cos — cos —
Здесь же Эйлер доказал, что геометрическим местом вершин
сферических треугольников с общим основанием и равной
площадью являются дуги двух малых кругов, концами которых
служат точки, диаметрально противоположные концам основания.
Целый ряд работ Эйлера посвящен решению задач сферической
геометрии, аналогичных задачам плоской геометрии. Например,
в «Построении одной задачи Паппа Александрийского» («РгоЫе-
matis Pappi Alexandrini constructio». Петербург, 1783) Эйлер [332,
т. 26, с. 237—242], решив методом аналитической геометрии
задачу о построении вписанного в круг треугольника, стороны
которого или их продолжения проходят через три данные точки
(обобщение задачи Паппа, в которой предполагалось, что три
данные точки лежат на одной прямой), решает аналогичную задачу
для сферического треугольника. В работе «Нечто геометрическое
и сферическое» («Geometrica et sphaerica quodam». Петербург,
1815) Эйлер [332, т. 26, с. 344—358], доказав теорему
плоской тригонометрии о соотношении между отрезками, на кото-
2 Б. Л. Розенфельд
33
рыб прямые, проведенные из вершил некоторого треугольника
к противолежащим им сторонам через некоторую фиксированную
точку, делятся этой точкой, доказывает аналогичную теорему для
сферического треугольника.
Сферической тригонометрии посвящены работы Эйлера
«Основания сферической тригонометрии, выведенные из метода
максимумов и минимумов» («Principes de la trigonometrie spherique
tires de la methode des plus grands et plus petits». Берлин, 1755)
[332, т. 27, с. 277—308] и «Всеобщая сферическая тригонометрия,
выведенная из первых оснований наиболее коротко и ясно» («Tri-
gonometria sphaerica universa ex primus principiis breviter et
delucide derivata». Петербург, 1782) [332, т. 26, с. 224—236].
Впервой работе Эйлер строит сферическую тригонометрию как
внутреннюю геометрию поверхности сферы: он записывает линейный
элемент ds поверхности сферы через долготу и широту точки,
определяет большие круги как линии, при которых интеграл элемента
дуги принимает минимальное значение, и, определяя минимум
одной из сторон сферического треугольника, выводит 10
уравнений сферической тригонометрии. Эти же методы Эйлер обобщил
на поверхность сплюснутого эллипсоида вращения (сфероида),
форму которого, как было обнаружено незадолго до этого, имеет
Земля, в работе «Элементы сфероидальной тригонометрии,
выведенные из метода максимумов и минимумов» («Elements de la
trigonometrie spheroidique tires de la methode des plus grands et
plus petits». Берлин, 1755) [332, т. 27, с. 309—339].
Во второй работе по сферической тригонометрии Эйлер развил
всю систему сферической тригонометрии, исходя из трехгранного
угла, который он пересекал различными плоскостями. К
полученным плоским треугольникам он применял формулы плоской
тригонометрии. В этой работе было выведено большое число формул
сферической тригонометрии: отметим, что здесь Эйлер
пользовался полярным треугольником.
Значительное число работ по сферической геометрии
принадлежит ученикам Эйлера — русским академикам Андрею
Ивановичу Лекселю (1741—1784) и Николаю Ивановичу Фуссу (1755—
1826). В частности, в «Решении одной задачи сферической
геометрии» («Solutio problematis geometrici ex doctrina sphaericorum»,
Петербург, 1784) [397]. Лексель независимо от Эйлера доказал
теорему о геометрическом месте вершин сферических треугольников
с общим основанием и равной площадью (статья Эйлера, как мы
указывали (см. с. 33), была опубликована в 1797 г.). Лексель
дал и аналитическое решение задачи (см. [ИЗ, т. 2, с. 485]). В
работе «О свойствах кругов, описанных на сферической поверхности»
(«De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descripto-
rum», Петербург, 1786) [328] Лексель среди многих других новых
теорем доказал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном
в малый круг сферы, сумма двух противоположных углов равна
сумме двух других углов, а в четырехугольнике, описанном около
34
малого круга, сумма двух противоположных сторон равна сумме
двух других сторон; первая из этих теорем — аналог плоской
теоремы, а вторая — «двойственна» первой, т. е. получается из нее
заменой каждого большого круга его полюсом, и обратно. Из
других результатов этого сочинения упомянем формулу
а 8 т / l s — aL s — Ь. s — с. s — d /л лл\
tgT-J/tg-2-tg-T-tg-r-tg-T- (1.11)
для углового избытка вписанного в малый круг сферического
четырехугольника со сторонами а, Ь, с, d и полусуммой сторон s,
т. е. для избытка суммы его углов над 2л. В силу теоремы Жирара
о площади сферического треугольника этот угловой избыток
пропорционален площади сферического четырехугольника и теорема
Лекселя является аналогом известной теоремы Брахмагупты для
площади плоского четырехугольника, вписанного в круг,
выражаемой формулой S = Y^(s — a)(s — b) (s— c)(s — d), а при d = 0 —
классической теоремы Архимеда — Герона для треугольника
(частный случай формулы (1.11) при d = 0, выражающей угловой
избыток для сферического треугольника через его стороны а, 6, с,
называется формулой Люилье).
Из работ Фусса упомянем его статью «О некоторых свойствах
эллипсов, описанных на поверхности сферы» («De proprietatibus
quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae». Петербург,
1788) [340], где Фусс определяет сферический эллипс как геомет
рическое место точек сферы сумма сферических расстояний
которых от двух данных точек сферы постоянна. Фусс записал
уравнение сферического эллипса в сферических координатах — долготе
х и широте у (считая, что экватор сферы проходит через фокусы
эллипса, расположенные симметрично относительно первого
меридиана) в виде
. "^(sin2 с — sin2 a) (sin2c — sin2z)
® ^ sin с cos с
Если перейти к прямоугольным координатам X, Y, Z
пространства, связанным со сферическими координатами х, у сферы,
радиус которой предполагается равным единице, соотношениями
X = sin х cos у, Y = sin у, Z = cos x cos z/,
то
tg у =-- -т=—— = ■ , sin#
|/1_у2 " /Z2+Z2' Yi — Y* Yx*+Z*'
Если, ввести обозначения sin a = A, sin с = С, то уравнения
Фусса можно переписать в виде уравнения
(С2 - А2) X2 + C2Y2 — y^Lj Z2 = 0,
показывающего, что сферический эллипс высекается из сферы
конусом второго порядка с вершиной в ее центре.
2* 35
ГЛАВА ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Теория параллельных линий Евклида. Первое дошедшее до
нас систематическое изложение теории параллельных линий мы
встречаем в «Началах» («2тог/еТа») [66] Евклида (ок. 300 до н. э.).
Евклид работал в Александрии при Птолемее I и возглавлял
основанный в то время крупнейший научный центр древности —
александрийский Музей. «Начала» Евклида представляют собой
обработку ряда греческих сочинений IV в. до н. э. — «Начал»,
приписываемых Гиппократу Хиосскому (I—IV и XI книги),
арифметических сочинений пифагорейцев (VII—IX книги),
сочинений Евдокса о теории отношений и подобии (V—VI книги) и о
методе исчерпывания (XII книга), сочинений Теэтета о
квадратичных иррациональностях (X книга) и о правильных
многогранниках (XIII книга). «Началам» предпосланы 23 определения, многие
из которых носят следы древних традиций. Параллельные линии
определяются в последнем из этих определений: «Параллельные
суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи
продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той* ни с другой
«стороны» между собой не встречаются» [66, т. 1, с. 14].
Далее следуют пять «постулатов» (допущений). Первые три
постулата Евклида — аксиомы геометрических построений с
помощью идеальной линейки и идеального циркуля: I. «Допустим,
что от всякой точки до всякой точки [можно] провести прямую
линию»; II. «И что ограниченную прямую [можно] непрерывно
продолжать по прямой»; III. «И что из всякого центра и всяким
раствором [может быть] описан круг [166, т. I, с. 14]. Четвертый
постулат: «И что все прямые углы равны между собой»,— по мнению
И. Н. Веселовского [33], предназначен для исключения
сферической геометрии, где прямые углы между меридианом и различными
параллелями неравны.
Пятый постулат Евклида гласит: «И если прямая, падающая на
две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в
сумме] меньшие двух прямых, то продолженные эти прямые
неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых»
[66, т. I, с. 15]. В силу этого постулата через точку вне прямой
можно провести не более одной прямой, не пересекающей данной
прямой, т. е. параллельной ей (на рис. 12) углы ВАС и ACD
36
в сумме меньше двух прямых и прямые АВ и CD пересекаются
углы ЕАС и ACD в сумме равны двум прямым и прямые АЕ и
CD параллельны).
Далее Евклид приводит пять «общих понятий», т. е. аксиом,
о сравнении величин: 1) «Равные одному и тому же равны и
между собой»; 2) «И если к равным прибавляются равные, то и целые
будут равны»; 3) «И если от равных отнимаются равные, то остатки
будут равны»; 4) «И совмещающиеся друг с другом равны между
собой»; 5) «И целое больше части» [66, т. I, с. 15].
Рис. 12 / £
Применение постулата V Евклид отодвигает как можно
дальше: первые 28 предложений не зависят от этого постулата. К этим
предложениям относятся: построение равностороннего
треугольника на данном отрезке; построение отрезка и угла, равных
данным; теорема о равенстве треугольников; теорема о
равнобедренном треугольнике; деление отрезка и угла пополам; проведение
перпендикуляра к прямой; теорема о смежных и вертикальных
углах; теорема о том, что внешний угол треугольника больше
каждого из внутренних, с ним не смежных; теорема о том, что два
угла треугольника всегда меньше двух прямых; теорема о том, что
большая сторона треугольника стягивает больший угол, и
обратная ей теорема; теорема о том, что две стороны треугольника
всегда больше третьей; построение треугольника по трем сторонам.
В 27-м и 28-м предложениях доказывается, что если прямая,
падающая на две прямые, образует с ними равные накрест лежащие
углы, или равные внешний и внутренний углы, или внутренние
односторонние углы, в сумме равные двум прямым углам, то эти
прямые параллельны.
Постулат V используется впервые в предложении 29 при
доказательстве утверждения, обратного утверждениям предложений
27 и 28. В предложении 30 доказывается, что две прямые,
параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой;
предложение 31 — задача на проведение через данную точку прямой,
параллельной данной прямой. В предложении 32 доказывается,
что внешний угол треугольника равен сумме внутренних, с ним
не смежных углов, и сумма всех трех углов треугольника равна
двум прямым углам. В предложении 33 доказывается, что
«прямые» (или прямолинейные отрезки), соединяющие с обеих сторон
две равные и параллельные «прямые», сами равны и параллель-
37
ны, т. е. доказывается существование параллелограмма (заметим,
что здесь этот термин появляется впервые, в начале книги был
определен ромб и «ромбоид» — четырехугольник с равными
противоположными сторонами и углами, не являющийся ни
прямоугольником, ни ромбом). В предложении 34 доказывается, что в
параллелограмме противоположные стороны и углы равны (т. е. что
параллелограмм является црямоугольником, ромбом или
ромбоидом) и что они делятся пополам своими диагоналями. В
предложениях 35 и 36 доказывается равенство (площадей)
параллелограммов, «находящихся между теми же параллельными» (т. е.
имеющими равные высоты), если их основания совпадают или
равны. В предложениях 37 и 38 две аналогичные теоремы
доказываются для треугольников, «находящихся между теми же
параллельными». В предложениях 39 и 40 доказываются теоремы, обратные
двум предыдущим; в предложении 41 доказывается, что
параллелограмм в два раза больше треугольника, имеющего то же
основание и «находящегося между теми же параллельными».
Предложение 42 — задача на построение в данном прямолинейном
угле параллелограмма, равного данному треугольнику, причем
здесь строится параллелограмм, «находящийся между теми же
параллельными». В предложении 43 доказывается, что если на
диагонали параллелограмма построены два малых
параллелограмма с теми же углами, то их дополнения до большого
параллелограмма равны. Предложение 44 — задача на построение в данном
прямолинейном угле параллелограмма, равного данному
треугольнику и имеющего данную сторону (это построение называется
«приложением» (тгараРоХт)) параллелограмма к данной прямой).
Предложение 45 — задача на построение такого же
параллелограмма, равного данной «прямолинейной фигуре», т. е.
многоугольника. Предложение 46 — задача на построение квадрата
с данной стороной. Предложения 47 и 48 — теорема Пифагора и
обратная ей теорема.
Проблема параллельных у Аристотеля. Пятый постулат
вследствие его сравнительной сложности и малой наглядности вызвал
большое число попыток доказать его как теорему, вывести его из
остальных аксиом. По-видимому, этот постулат отсутствовал в
сочинениях математиков IV в. до н. э. Во всяком случае, Аристотель
(384—322 до н. э.), разбирая в своей «Первой аналитике»
(«'AvocXoTtxa тгрохера») логическую ошибку «постулирование
основания» (petitio principi), т. е. неявное использование утверждения,
равносильного доказываемому, писал: «Так поступают те, кто
думает описать параллельные линии. В самом деле они, сами того не
зная, [в основу доказательства] берут то, что [само] не может быть
доказано, если [линии] не параллельны» [10, с. 155]. Чтобы
избежать этой логической ошибки, необходимо открыто потребовать
выполнения V постулата, что и было сделано в «Началах»
Евклида, или эквивалентного ему утверждения.
38
Возможно, таКОё утверждение было высказано самим
Аристотелем в одном из не дошедших до нас трактатов. В этой связи
заметим, что Омар Хайям в комментариях к Евклиду писал:
«Причина ошибки позднейших ученых в доказательстве этой
предпосылки состоит в том, что они не учитывали принципов,
заимствованных у философа», т. е. Аристотеля. Хайям приводит пять таких
«философских принципов». I. «Величины можно делить до
бесконечности, т. е. они не состоят из неделимых»; II. «Прямую линию
можно продолжать до бесконечности»; III. «Всякие две
пересекающиеся прямые линии раскрываются и расходятся по мере удаления
от вершины угла пересечения»; IV. «Две сходящиеся прямые
линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые
линии расходились в направлении схождения»; V. «Из двух
неравных ограниченных величин меньшую можно взять с такой
кратностью, что она превзойдет большую» [222, с. 119—120].
Принципы I, II и V — известные утверждения Аристотеля:
«Длина и время, как и вообще все непрерывное, называется
бесконечным в двояком смысле: или в отношении деления, или в отношении
границ»; «Невозможно ничему непрерывному состоять из
неделимых частей, например линии из точек, если линия непрерывна,
а точка неделима»; «Конечную величину всегда можно исчерпать
любой определенной величиной» [11, с. 64, 124, 128]. Последний
из этих принципов — аксиома Евдокса — Архимеда. Принцип
III — утверждение Аристотеля, цитировавшееся Проклом Диа-
дохом (410—485), который писал, что его доказательство пятого
постулата «предполагает аксиому, которой пользовался
Аристотель в своем доказательстве конечности мира, именно: если из
одной точки выходят две прямые, то при неограниченном
продолжении их расстояние между ними становится больше любой
конечной величины» [443, с. 370]. И только принцип IV не
встречается в известных нам трудах Аристотеля, но, возможно, сочинение
Аристотеля, в котором он формулируется, было известно
ученым средневекового Востока. Этот принцип состоит из двух
утверждений, каждое из них эквивалентно V постулату Евклида.
Аристотель связывал проблему параллельных линий с
вопросом о сумме углов треугольника. В «Первой аналитике»
Аристотель писал: «В том, что одно и то же ложное вытекает из нескольких
предположений, нет, пожалуй, ничего нелепого, например:
[вывод], что параллельные линии пересекаются, [может получиться],
[предположено ли], что внутренний угол больше внешнего или что
треугольник имеет больше чем два прямых угла» [10, с. 159].
Здесь термин «параллельные линии», очевидно, употреблен не в
том смысле, что у Евклида, а в смысле двух прямых,
составляющих с третьей равные накрест лежащие углы, или, в частности,
в смысле двух перпендикуляров к одной прямой.
Выше мы видели, что в предложении 10 сочинения Менелая «О
сфере» доказано, что при определенных условиях внутренний угол
сферического треугольника больше внешнего, а в предложении 11
39
того же труда доказано, что сумма углов сферического
треугольника больше двух прямых углов. Как известно, всякие два
больших круга сферы, в том числе круги, составляющие с третьим
равные накрест лежащие углы, и в частности перпендикулярные
третьему большому кругу, пересекаются. Весьма вероятно, что
эти факты сферической геометрии, может быть, без строгих
доказательств были известны во времена Аристотеля и в
рассматриваемом примере Аристотель имел в виду эти факты, называя большие
круги сферы «прямыми».
О знакомстве Аристотеля со сферической геометрией говорит
и следующее место из его трактата «О небе» («ITept oupavou»):
«А именно, я утверждаю: если, например, сумма углов
треугольника не равна двум прямым, то в этом случае диагональ квадрата
[может быть] соизмерима [со стороной]» [256, с. 93]. Такой случай
имеет место, например, в сферическом квадрате, все четыре стороны
которого являются четвертями одного и того же большого круга —
диагональ такого квадрата равна удвоенной его стороне.
Аристотель считает треугольники, сумма углов которых равна двум
прямым и не равна двум прямым, треугольниками различного
вида: «Если, например, полагать,— пишет он в «Метафизике»
(«Меха та <ртаь*а»),— что треугольник не изменяется, то не будут
думать, что углы его в одно время равны двум прямым, а в
другое нет» [9, с. 251].
Позднейшие ученые уже не понимали намеков Аристотеля на
теорию параллельных линий. Так, автор одной из схолий к
«Началам» Евклида писал: «Невозможно найти. . . равносторонний
прямоугольный треугольник, гипотенуза которого была бы равна
сторонам, заключающим прямой угол» [329а, т. 5, с. 722], а Май-
монид (см. с. 184) писал: «Мы не приписываем бессилия богу за
то, что он не может. . . создать квадрат, сторона которого была бы
равна его диагонали» [53, с. 320]. Треугольник и квадрат с
указанными свойствами, как мы знаем, можно построить на
поверхности сферы.
По-видимому, говоря о треугольниках с суммой углов, не
равной двум прямым углам, Аристотель имеет в виду сферические
треугольники, однако иногда он говорит и о сумме углов
треугольника, меньшей двух прямых углов. Так, например,во «Второй
аналитике» („'AvaXoxixa 6suxepa") он пишет: «Знать, что [именно]
есть, и знать, почему есть, означает одно и то же. А это[так], или
когда [речь идет о вещи] вообще, а не о чем-то из присущего, или
когда [речь идет именно] о чем-то из присущего, как, например,
что [сумма] углов [треугольника равна] двум прямым или что
[нечто] больше или меньше» [10, с. 251—252].
Однако геометрия с суммой углов треугольников, меньшей двух
прямых, не допускающая простой реализации, специально
Аристотелем не рассматривается \
1 О проблеме параллельных линий у Аристотеля см. работы И. Тота [505],
А. Е. Бусуриной [27] и И. Н. Веселовского [33].
40
Первые античные попытки доказательства V постулата.
Вопрос о V постулате и теории параллельных линий рассматривался
многими учеными на протяжении двух тысяч лет. По-видимому,
первым сочинением, посвященным этому вопросу, появившимся
уже через несколько десятков лет после «Начал», был не дошедший
до нас трактат Архимеда «О параллельных линиях», название
которого приведено в списке сочинений Архимеда, имевшихся у
арабов в «Книге библиографии наук» («Китаб ал-фихрист ал-сулум»)
Абу-л-Фараджа Мухаммада Ибн ан-Надима (ум. 993) [360, с.
266].
Тот факт, что шесть из семи сохранившихся арабских переводов
трудов Архимеда принадлежат Сабиту ибн Корре, позволяет
сделать предположение, что трактат Архимеда, называемый Ибн
ан-Надимом «Книгой о параллельных линиях» («Китаб ал-хутут
ал-мутавазиййа»), также был известен Ибн Корре и, может быть,
был им переведен на арабский язык. Поэтому возможно, что один
из сохранившихся трактатов Ибн Корры о параллельных линиях,
которые мы рассмотрим ниже, представляет собой обработку этого
трактата Архимеда. Однако и независимо от сравнения с
трактатом Ибн Корры весьма вероятно, что в своем трактате Архимед
исходил из другого определения параллельных прямых, чем
Евклид, и, так как в геометрии Архимеда значительно большую роль,
чем у Евклида, играли метрические соотношения, возможно, что
он исходил из определения параллельных линий, основанного на
расстояниях. Именно такое определение положил, по
свидетельству Прокла Диадоха, в основу своего «доказательства» аксиомы
о параллельных философ, астроном и математик Посидоний (ок.
135—50 до н. э.) — уроженец Сирии, работавший в Риме:
«Параллельными называются такие прямые, которые находятся в
одной плоскости, не сближаются и не удаляются, так что все
перпендикуляры, проведенные из точек одной из них к другой, равны
между собой» [443, с. 176]. Это определение параллельных линий,
основанное на предположении о том, что геометрическое место
точек плоскости, расположенных по одну сторону от прямой на
равном расстоянии от нее, является прямой линией, фактически
содержит утверждение, равносильное аксиоме о параллельных;
в геометрии Лобачевского, в которой эта аксиома не выполняется,
такое геометрическое место является кривой линией. Поэтому V
постулат можно легко вывести как следствие из этого определения
параллельных линий.
«Доказательства» V постулата у Птолемея и Прокла. Прокл
[443, с. 362—368] сообщает и о другом «доказательстве» V
постулата, принадлежащем Клавдию Птолемею. Птолемей сначала
доказывал, что при пересечении двух параллельных прямых третьей
внутренние односторонние углы в сумме равны двум прямым:
он предполагает, что эти углы меньше двух прямых с одной
стороны секущей, тогда такие же углы с другой стороны, как смежные
41
с первыми, должны быть больше двух прямых. Но прямые по одну
сторону от секущей «не более параллельны», чем те же прямые по
другую сторону от нее, из чего делался неправомерный вывод, что,
если с одной стороны внутренние односторонние углы меньше двух
прямых, они должны быть меньше и с другой стороны.
Полученное «противоречие» доказывало утверждение Птолемея,
равносильное V постулату, из которого он легко выводил V постулат,
пользуясь доказательством от противного.
Помимо сведений о «доказательствах» V постулата, данных По-
сидонием и Птолемеем, Прокл приводит и свое собственное
«доказательство» [443, с. 369—373]. Прокл рассматривает прямые АВ
и CD и секущую EF, составляющую с этими прямыми внутренние
односторонние углы ВЕР и EPD, в сумме меньшие двух прямых
(рис. 13). Прокл проводит через точку Е прямую ЕН,
параллельную прямой CD, и считает, что, так как расстояние между
точками сторон угла ВЕН по мере их удаления от его вершины Е
может быть сделано сколь угодно большим, оно обязательно
превзойдет расстояние между параллельными прямыми CD и ЕН и,
следовательно, сторона ЕВ этого угла обязательно пересечется
с прямой CD. И Прокл совершает «постулирование основания»,
так как предположение, что расстояние между непересекающимися
прямыми на плоскости (называемыми им параллельными)
ограничено, эквивалентно доказываемому им V постулату (в геометрии
Лобачевского расстояние между непересекающимися прямыми
на плоскости может быть сколь угодно большим).
Из не дошедших до нас античных теорий параллельных
отметим теории Диодора (I в. до н. в.) и Антиниата (?), о которых
сохранились слова Симпликия: «Этот постулат не очевиден, но
необходим для доказательства с помощью линий. Антиниат и Дио-
дор доказали о нем много различных предложений» [153, с. 154].
Византийские попытки доказательства V постулата,
сохранившиеся в арабских переводах. В арабских переводах
сохранились также две попытки доказательства аксиомы о
параллельных, принадлежащие византийским ученым V—VI в. Аганису и
Симпликию. Г. Б. Петросян выдвинул предположение, что Ага-
нис — греческая транскрипция имени армянского просветителя
и знатока греческой культуры Агана, учителя известных армян-
42
ских ученых второй половины V в. Газара Фарпеции Вагана Ма-
миконяна [153, с. 153—154]. Доказательство Аганиса сохранилось
в передаче Симпликия, называвшего его своим другом; заметим, что
Симпликий был учеником Дамаския, бывшего в свою очередь
учеником Прокла Диадоха. Изложение Симпликия доказательства
Аганиса приведено в комментариях к «Началам» Евклида
иранского математика X в. Абу-л-Аббаса ал-Фадла ибн Хатима ан-Най-
ризи. Раздел комментариев ан-Найризи, посвященный этому
изложению, озаглавлен «Предпосылки и предложения Симпликия
и Аганиса, необходимые для двадцать девятого предложения
первой книги» [153, с. 154—159]. Здесь Симпликий указывает,что в
доказательстве предложения 29 книги I используется V
постулат, о котором Симпликий говорит, что он «не из общепринятых
утверждений». Далее следуют приведенные нами выше слова
Симпликия, а также его критика «доказательства» Птолемея,
состоявшая в том, что это «доказательство» основывалось только на
предложениях 13, 15 и 16 книги I «Начал», что не согласуется с
тем, что утверждение этого постулата не применяется до
предложения 29 этой книги. Далее Симпликий говорит об Аганисе:
«Что касается нашего друга Аганиса, то он не видит, зачем
ставить это утверждение в качестве постулата, так как оно
нуждается в доказательстве». Далее Симпликий приводит «доказательство»
V постулата «в его собственных выражениях».
Это «доказательство» состоит из четырех предложений, которые
он вставляет после предложения 26 первой книги «Начал». Они
основаны на том же определении параллельных, что и у Посидо-
ния: «Мы определяем параллельные линии как такие, которые
находятся на одной плоскости и, если продолжать их бесконечно в
обе стороны, расстояние между ними будет одно и то же;
расстояние — это кратчайшая линия, соединяющая их, то же
говорится и о других расстояниях» [153, с. 155]. В предложении 1
доказывается, что, «если две линии параллельны, расстояние
между ними перпендикулярно каждой из них»; в предложении 2:
«если прямая линия падает на две прямые линии и
перпендикулярна каждой из них, то линии параллельны, а перпендикуляр
является расстоянием между ними»; в предложении 3 — что «прямая
линия, проведенная к двум параллельным прямым линиям,
образует равные накрест лежащие углы, внешний угол, равный
соответственному ему внутреннему, и внутренние углы, вместе
равные двум прямым». В предложении 4 — что «если прямая
линия проведена к двум прямым линиям и накрест лежащие углы,
образуемые между ней и двумя линиями, равны, или если
внешний угол равен соответственному ему внутреннему, или
внутренние односторонние углы равны двум прямым, то две прямые
параллельны» [153, с. 155—156].
Таким образом, в своем предложении 3 Аганис доказывает
предложение 29 первой книги «Начал» Евклида, а в
предложении 4 — утверждения предложений 27 и 28 книги I. Заметим, что
43
в ходе доказательства предложения 3 Аганис доказывает
существование четырехугольника с четырьмя прямыми углами —
центральный пункт большинства средневековых доказательств V
постулата. Отметим также, что утверждения предложений 27 и 28
сам Евклид доказывал, не опираясь на V постулат, а Аганис
доказывает их с помощью своих предложений, опирающихся на
утверждение, равносильное этому постулату. После этих четырех
предложений, которые Аганис считает предложениями 27—
30 книги I «Начал», он, по словам Симпликия, доказывает
предложения 31—34, совпадающие соответственно с предложением 31
книги I «Начал» (задача о проведении через данную точку прямой,
параллельной данной прямой), с частью предложения 34
(противоположные стороны параллелограммов равны), с предложением 30
(прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны
между собой) и с предложением 33 (прямые, соединяющие равные
параллельные линии, равны и параллельны), и тем самым
доказывает также существование параллелограмма. В предложении 35 из
доказанного им существования прямоугольника Аганис выводит
V постулат для случая, когда секущая перпендикулярна одной из
двух данных прямых (в этой формулировке постулат гласит:
«перпендикуляр и наклонная пересекаются»). Аганис рассматривает
прямые АВ и CD и секущую EG, перпендикулярную АВ (рис.
14, а). Выбрав на прямой CD произвольную точку F, он опускает
из нее перпендикуляр FI на секущую EG. Далее, секущая EG
несколько раз делится пополам до тех пор, пока одна из точек
деления М не окажется между точками I и G (на рис. 14, а точка М
получается делением отрезка EG на четыре части). В точке М
восставляется перпендикуляр MN до пересечения с прямой CD и
строится отрезок GQ прямой CD, больший отрезка GN во столько же
раз, во сколько отрезок EG больше отрезка MG. Дальнейшее
построение Аганиса равносильно построению прямоугольника со
стороной EG и диагональю GQ.
Построение Аганиса применимо и в случае, когда секущая не
перпендикулярна ни к одной из данных прямых,— в этом случае
прямоугольник следует заменить параллелограммом (рис. 14, б).
Тот факт, что отрезок EG можно делить пополам до тех пор, пока
не получится отрезок GM, меньший отрезка GI, является следст-
44
Вйем упоминавшейся нами аксиомы Евдокса — Архимёда, й силу
которой для двух неравных длин, площадей или объемов всегда
существует такое натуральное число п, что меньшая величина,
будучи сложена с собой п раз, превзойдет большую однородную с ней
величину; эта аксиома была известна еще Евдоксу и приводится
Евклидом в виде определения 4 книги V «Начал» значительно
позже теории параллельных линий, излагаемой им в книге I.
Возможно, что «доказательства» Посидония и Архимеда
состояли из тех же этапов и, в частности, также содержали применение
аксиомы Евдокса — Архимеда; может быть, эти «доказательства»
были более полными, т. е. в них прямоугольник заменялся
параллелограммом или общий случай V постулата выводился из случая,
рассматривавшегося Аганисом.
Ан-Найризи не приводит доказательства аксиомы о
параллельных, принадлежащего самому Симпликию, но краткое
изложение этого доказательства приведено в письме Алам ад-Дина
Кайсара ал-Ханафи (1178—1258) к Насир ад-Дину ат-Туси;
рукописи этого письма в большинстве случаев присоединялись к
рукописям трактата ат-Туси о параллельных линиях, о котором мы
будем говорить ниже. В этом письме, опубликованном А. И. Саб-
рой [456], ал-Ханафи пишет: «Из того, что следует предложить
Вашему высокому вниманию,— то, что встретилось мне в
предложении, упомянутом Симпликием в его комментариях к введениям
книги «Начал» среди предпосылок к известному утверждению,
а именно: если прямая линия падает на две прямые линии и
образует два внутренние односторонние угла, меньшие двух прямых
углов, то эти две линии, если продолжить их в эту сторону,
встретятся. Он говорил, что для каждого угла имеется бесконечно много
хорд, одна из которых больше другой, каждая из которых
отсекает на двух линиях, ограничивающих угол, равные [линии]. Он
пользуется этим следующим образом: если линия АВ падает на две
линии BD и АС и угол CAB — прямой, а угол ABD — острый
(рис. 15), то две линии АС и BD встретятся со стороны С и Z). Для
этого он строит при точке В линии АВ угол ABG, равный углу
ABD. Тогда имеется бесконечно много хорд, одна из которых
больше другой, стягивающих этот угол, и одна из этих хорд попадает
вне точки Л, как хорда GED. Поэтому два угла А и Е — прямые,
и если продолжить линию АС, она не встретит линию ED.
Поэтому она встретит линию BD» [456, с. 8—10, 19—20].
«Постулирование основания» Симпликия состоит в том, что он
считает, что из того, что в прямолинейном угле можно провести
бесконечно много хорд, отсекающих на его сторонах равные
отрезки, следует, что для всякой внутренней точки угла существуют
проведенные таким образом хорды, попадающие «вне» этой точки.
На самом деле в случае невыполнения аксиомы о параллельных,
т. е. в геометрии Лобачевского, можно провести бесконечно много
хорд прямолинейного угла, отсекающих на его сторонах равные
отрезки; но существуют такие внутренние точки угла, которые
45
всегда находятся «вне» этих хорд,— такими точками являются
внутренние точки угла, лежащие по другую сторону прямой,
параллельной в смысле Лобачевского обеим сторонам угла.
Поэтому предположение Симпликия равносильно аксиоме о
параллельных.
В Бодлеянской библиотеке Оксфордского университета
имеется рукопись комментариев к Евклиду сотрудника Марагинской
обсерватории Мухьи ад-Дина ал-Магриби (ум. ок. 1290),
содержащая доказательство аксиомы о параллельных в четырех
предложениях. В первом из них доказывается утверждение Симпликия
о существовании бесконечно многих «хорд» угла (эти хорды
являются хордами дуг, описываемых надлежащими радиусами из
вершины угла, рис. 16). Второе предложение совпадает с
предложением Симпликия, приведенным ал-Ханафи, а третье и четвертое
представляют собой доказательства аксиомы о параллельных для
случаев, когда секущая падает на две данные прямые под двумя
острыми углами и под двумя углами, один из которых острый,
а другой тупой. А. И. Сабра [456, с. 7] считает два первых
предложения несомненно принадлежащими Симпликию, последние два
предложения, возможно, принадлежат самому Мухьи ад-Дину
ал-Магриби или другому автору XIII в. К этому вопросу мы
вернемся ниже.
Заметим, что ан-Найризи в своих комментариях к Евклиду
приписывает Симпликию утверждение: «если линии на плоскости
таковы, что расстояния между ними не равны, они не
параллельны, а, так как они не параллельны, они встречаются» [153, с. 159],—
весьма близкое к принципу, приписываемому Аристотелю
Хайямом.
Теория параллельных линий ал-Джаухари. Первой
сохранившейся попыткой доказательства аксиомы о параллельных,
принадлежащей ученым средневекового Востока, была попытка ал-Аб-
баса ибн Сайда ал-Джаухари, работавшего в Багдаде в первой по-
4G
ловине IX в. Исследование ал-Джаухари было помещено в его
«Усовершенствовании книги „Начала"» («Ислах ал-китаб ал-
Усул») и сохранилось в трактате Насир ад-Дина ат-Туси о паргл-
лельных линиях.
Ат-Туси начинает изложение попытки доказательства ан-Джа-
ухари следующим образом: «Что касается ал-Джаухари... то
ему принадлежит «Усовершенствование книги „Начала"», где он
внес исправления во все предпосылки и предложения книги.
В его словах по этому вопросу имелся принцип: если для всяких
двух различных линий от более длинной отнимать половину
[короткой], затем отнимать половину половины много раз, то число
раз может быть таким, что от половины более длинной останется
линия короче более короткой линии. Первое из его шести
предложений — двадцать восьмое [предложение книги I «Начал»].
В первом из предложений он изложил то, что автор «Начал»
изложил в двадцать седьмом [предложении], и добавил к этому [еще
одно утверждение], последнее из этих предложений — тридцать
третье. Другое добавленное им предложение — двадцать третье
предложение «Начал», где указывается, что если из всякой точки
провести в разные стороны три прямые линии, то три полученных
угла вместе равны четырем прямым. Шесть упомянутых
предложений добавляются к «Началам» после двадцать седьмого
предложения» [207, с. 501].
Принцип, формулируемый ал-Джаухари, содержится в
предложении 1 книги X «Начал» Евклида, доказываемом с помощью
определения 4 книги V, т. е. аксиомы Евдокса — Архимеда.
Добавляемое ал-Джаухари предложение 23 книги I «Начал», по-
видимому, вводилось им перед предложением 23 Евклида —
задачей о построении на данной прямой угла, равного данному, в
связи с чем предложения 23—26 Евклида у ал-Джаухари — это
предложения 24—27; шесть новых предложений, которые ал-
Джаухари вставлял после предложения 26 «Начал», согласно ат-
Туси, таковы: предложение 28: «Если прямая линия падает на две
прямые и при этом образуются равные углы, то эти две прямые
параллельны, а если они параллельны, то расстояние каждой
точки первой прямой от соответствующей точки второй прямой
одно и то же»; предложение 29: «Если в каждом треугольнике
две из его сторон разделены пополам и середины соединены
линией, то сторона треугольника равна двум этим линиям»;
предложение 30: «В каждом угле можно провести бесконечно много
оснований»; предложение 31: если в произвольном угле проведена
линия, проходящая через его вершину и основание треугольника,
и на каждой из сторон угла отложена линия, равная стороне
полученного треугольника, то «эта линия отсекает от линии, делящей
данный угол, линию, равную двум линиям, проведенным из
данного угла к основанию треугольника»; предложение 32: если в
произвольном угле проведена линия, проходящая через его вершину,
и на этой линии взята произвольная точка, то «через эту точку
47
можно провести в обе стороны линию, являющуюся основанием
данного угла»; в предложении 33 доказывается V постулат [207,
с. 501-507].
Первая половина предложения 28 ал-Джаухари совпадает
с предложением 27 книги I «Начал», во второй половине
предложения 28 ал-Джаухари хочет доказать, что из равенства накрест
лежащих углов, образующихся при пересечении двух прямых
третьей, вытекает, что указанные две прямые —
равноотстоящие; фактически же он доказывает, что указанные две прямые
симметричны относительно середины отрезка третьей прямой,
заключенного между ними. Этим ал-Джаухари и пользуется для
доказательства своего предложения 29: он делит стороны АВ и
АС треугольника ABC пополам в Е и G (рис. 17), проводит
среднюю линию EG откладывает угол ACF, равный углу ВАС, и
продолжает линию EG до точки D на стороне CF этого угла. Линия
CF параллельна линии АВ по предложению 28. Ал-Джаухари
доказывает равенство треугольников AGE и GCD, откуда следуют
равенства EG = GD и ED = 2EG. Поэтому в силу утверждения
своего предложения 28, которое он считает доказанным,
ал-Джаухари делает вывод, что прямые ЕВ и CD — равноотстоящие и что
ED = ВС, откуда и вытекает доказываемое равенство ВС = 2EG.
Утверждения предложений 28 и 29 ал-Джаухари выполняются
в геометрии Евклида и не имеют места в геометрии Лобачевского.
Предложение 30 ал-Джаухари, напротив, не зависит от V
постулата; мы видели, что этим утверждением пользовался Симпли-
кий. Предложение 31 ал-Джаухари снова выполняется только в
геометрии Евклида, его доказательство существенно опирается на
предложение 29 ал-Джаухари. Предложение 32 ал-Джаухари
также выполняется только в геометрии Евклида и совпадает с
утверждением, которым пользовался Симпликий, но в
отличие от Симпликия ал-Джаухари доказывает его с помощью
своего предложения 31, т. е., в конечном счете, опираясь на
утверждение предложения 28, выполняющееся только в
геометрии Евклида. С помощью своего предложения 32 ал-Джаухари
доказывает в предложении 33 V постулат следующим образом:
«Если продолжить две линии от линии в сторону углов, меньших
двух прямых, то они пересекутся с этой стороны. Пример. Линии
АВ и CD проведены от линии BD в сторону углов ABD и CDB,
меньших двух прямых (рис. 18). Я утверждаю, что, если
продолжить их в их направлении, они пересекутся. [Доказательство].
Продолжим линию BD в ее направлении до точек Е и Н и отложим
BF, равную BD, как доказано в предложении 3. Углы ABD и
CDB по предположению [вместе] меньше двух прямых, а углы ABD
и ABE [вместе] равны двум прямым. Поэтому угол ABE больше
угла CDB. Построим в В на линии ВА угол АВК, равный углу
CDB. Тогда углы ABD и АВК [вместе] меньше двух прямых,
это угол KBL. Проведем из точки F линию KL — основание угла
KBL, как доказано в предложении 32. Тогда угол KFB, внешний
48
Рис. 17 В
угол треугольника FBL, больше внутреннего угла FBL, как
доказано в предложении 16. Поэтому построим в F на линии BF
угол BFO, равный углу FBL. Угол KB А, как известно, равен
углу CDB. Поэтому углы BFO и OBF равны углам ABD и CDB,
каждый соответственному, a BF отложена равной BD. Наложим
BD на BF, равную ей, тогда угол CDB наложится на угол OBF,
равный ему, а угол ABD наложится на угол BFO, равный ему.
Поэтому прямые В А и DC, если продолжить их в их направлении,
// L
наложатся на линии FO и ВО, пересекающиеся в точке О. Это и
есть то, что мы хотели доказать» [207, с. 507—508].
Доказательство ал-Джаухари, несмотря на грубую логическую
ошибку в первом предложении, представляет значительный
интерес: в нем впервые доказывается возможность проведения прямой,
пересекающей обе стороны угла, через любую его внутреннюю
точку и приводится вывод аксиомы о параллельных из этого
утверждения.
Теории параллельных линий Сабита ибн Корры. Два трактата,
специально посвященные попыткам доказательств аксиомы о
параллельных, принадлежат Сабиту ибн Корре. Один из них
называется «Книга о доказательстве известного постулата Евклида»
49
(«Макала фи бурхан ал-мусадара ал-машхура мин Уклидис»)
или «Книга о том, что если прямая линия падает на две прямые
линии, так что односторонние углы меньше двух прямых, то эти
две линии, если продолжить их в эту сторону, встретятся» («Китаб
фи аннаху иза вакаса хатт мустаким сала хаттайн мустакимайн
фа саййара аз-завийитайн залатайн фи джиха вахида акалл мин
каиматайн фа инна ал-хаттайн иза ухриджа фи тилка ал-джиха
илтакайа"). Название второго является сокращением второго
названия первого трактата: «Книга о том, что две линии,
проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся» («Макала
инна ал-хаттайн ухриджа ила аз-завийатайн акл ал-каиматайн
илтакайа») [72, 73, 455].
Предложение 1 первого трактата Ибн Корры формулируется
так же, как первое предложение ал-Джаухари. В его
доказательстве также производится «постулирование основания», но менее
грубо, чем у ал-Джаухари: Ибн Корра наивно предполагает, что,
если две прямые удаляются друг от друга с одной стороны, они
обязательно приближаются с другой стороны. Это утверждение
эквивалентно V постулату, в геометрии Лобачевского
существуют прямые, удаляющиеся друг от друга по обе стороны от их
общего перпендикуляра. Ибн Корра формулирует это предложение
так; «Если прямая линия падает на две прямые линии и накрест
лежащие углы равны, то эти две линии не приближаются и не
удаляются ни в одну из двух сторон». В предложении 2 доказывается
обратное предложение, совпадающее с первой частью предложения
29 книги I «Начал»: «Если прямая линия падает на две прямые
линии, не приближающиеся и не удаляющиеся ни в какую сторону,
то накрест лежащие углы равны». Доказательство производится
от противного: предположение о том, что углы не равны,
приводится в противоречие с «доказанным» в предложении 1. В
предложении 3 Ибн Корра выводит из двух предыдущих существование
параллелограмма: «Если соединить концы двух прямых линий,
равных и не приближающихся и не удаляющихся, прямыми
линиями, то они также равны и не приближаются и не удаляются».
В предложении 4 Ибн Корра, так же как и ал-Джаухари,
рассматривает среднюю линию треугольника и доказывает, что она равна
половине основания, а также что она параллельна основанию:
«Если разделить две стороны каждого треугольника пополам и
соединить точки деления прямой линией, то эта линия — половина
оставшейся стороны и не приближается к ней и не удаляется от
нее». Далее ибн Корра замечает, что этим же методом
доказывается, что если разделить стороны треугольника на произвольное
число частей и соединить точки деления прямыми линиями, то
полученные линии — такие же части от основания, как отсеченные
ими отрезки от сторон треугольника. И, наконец, в предложении 5
Ибн Корра доказывает V постулат. Применяя аксиому Евдокса —
Архимеда, Ибн Корра рассматривает линии АВ и CD и падающую
на них линию EG, причем углы BEG и DGE меньше двух прямых
50
(рис. 19), и утверждает, что линии АВи CD
встретятся при продолжении в сторону точек
В и D. Для доказательства Ибн Корра
проводит от точки G линию GH, «не
приближающуюся и не удаляющуюся от линии АВ»,
отмечает на GD произвольную точку F и
проводит от нее к GH линию FK, «не
приближающуюся и не удаляющуюся от EG».
Если FK <C EG, откладывается FL = GF и
КН = GK, тогда линия LH равна удвоенной
FK и также «не приближается и не
удаляется от EG». Если и LH <^ EG, этот процесс
продолжается' дальше, пока не будет
построена линия ^EG. Пусть это LH. На ней
откладывается МН = EG. Тогда линии GE и
НМ равны и «не приближаются и не
удаляются». Поэтому линии, соединяющие их
концы, также равны и «не приближаются
и не удаляются». Поэтому, пишет Ибн
Корра, «если продолжить ЕВ в ее направлении
в сторону В, она пройдет через М...
Поэтому она необходимо встретит перед точкой
М некоторую точку линии CD. Поэтому,
если продолжить АВ и CD в сторону В и Z),
они встретятся. Это и есть то, что мы хотели
доказать» [72, с. 596—597].
Второй трактат Ибн Корры начинается с большого введения,
где обосновывается возможность применения движения к
геометрии, как известно, осуждавшаяся Аристотелем, говорившим, что
«математические предметы лишены движения, за исключением тех,
которыми занимается учение о небесных светилах» [9, с. 85];
движения стремился избежать в своих «Началах» и Евклид. Ибн
Корра указывает, что самое измерение величин невозможно без
их перенесения и наложения. «Большинство доказательств задач
и предложений геометрической науки,— пишет он,— нуждается
в указанном первом принципе, т. е. в применении упомянутого
нами действия — приведения в движение одной из двух вещей,
сравниваемых друг с другом, т. е. поднятия ее с ее места, переноса
ее и т. д. без изменения ее формы при движении и наложении на
другую в соответствии с ее формой. Евклид нуждался в этом при
доказательстве предложения 4 первой книги его сочинения
«Начала» и при доказательстве предложения 8 той же книги. Эти два
предложения — самые первые [предложения] «Начал», на которые
опирается его наука при доказательстве остальных [предложений]»
[73, с. 363-364].
Далее Ибн Корра вводит понятие «одного простого движения»,
т. е. параллельного переноса (трансляции), и формулирует
следующую «предпосылку»: «Я начинаю доказательство с того, что пред-
51
посылаю ему следующее: всякое тело, которое мы представляем
движущимся целиком в одну сторону одним простым движением
в одном направлении, таково, что всякая его точка движется в
этом направлении, поэтому линия, описываемая этой точкой,
является прямой линией в нем» [73, с. 365].
Далее Ибн Корра доказывает следующее предложение:
«Если между всякими двумя прямыми линиями, находящимися
в одной плоскости, можно провести две встречающие их прямые
линии, равные и образующие с одной из первых двух линий
равные односторонние углы, то два перпендикуляра, опущенные на
эту линию из двух точек другой линии, равны.
SET Й
] \ Рис. 20
D] H F К L & С
Пусть две прямые линии АВ и CD находятся в одной плоскости
и между ними проведены две равные прямые линии АС и EF, и
пусть углы ACD и EFD равны. Тогда я утверждаю, что оба
перпендикуляра, опущенные на линию CD из двух точек линии А В,
равны (рис. 20)» [73, с. 365].
Для доказательства Ибн Корра воображает тело,
«ограниченное линией АС и отрезком CG линии CD», и представляет себе это
тело движущимся «целиком со стороны С в сторону D одним
простым прямолинейным движением в направлении линии CD вместе
с начерченными на нем изображениями линий А С и CG,
сохраняющими свою форму. При этом такая линия, как изображение
линии А С, начерчена на теле не в направлении его движения, а
такая линия, как изображение линии CG, начерчена на теле в
направлении его движения, поэтому изображение линии CG во
время всего движения тела вдоль линии CD будет расположено на
ней». Далее Ибн Корра пишет: «Если мы представим себе, что
точка С изображения линии А С, начерченной на теле, переходит
при движении тела в точку F, то изображение линии CG,
начерченное на нем перейдет в линию FH, так как она проведена в
направлении CD движения. Но угол EFH равен углу ACG, поэтому
изображение линии АС, начерченное на теле, если ее точка С
перейдет в точку F, попадает на линию FE, так как линия А С
равна линии FE. Поэтому они совпадут и ее точка А попадет на точку
Е линии FE. Поэтому точка А тела переводится в точку Е
прямолинейным движением, т. е. описывает прямую линию, потому что
таков путь каждой точки тела. Поэтому точка А опишет линию
АЕВ, так как точки А и Е не опишут другой прямой линии».
52
Далее Ибн Корра отмечает на линии АЕВ произвольную точку Т
и опускает из нее перпендикуляр ТК на CD и, рассматривая
отдельно случаи, когда угол ACD прямой и не прямой,
доказывает, что в обоих случаях перпендикуляр, опущенный из точки А
на CD, в первом случае АС, а во втором случае AG, при
прохождении точкой А положения Т совпадает с перпендикуляром ТК.
«Точно так же для каждого перпендикуляра, опущенного из точек
линии АВ на линию CD. Поэтому все упомянутые перпендикуляры
равны. Это и есть то, что мы хотели доказать» [73, с. 366—367].
Фактически в этом предложении с помощью кинематических
соображений доказано существование прямоугольника.
Свойствам прямоугольника, по существу, посвящены и следующие
четыре предложения, в первых двух из которых речь идет о
равнобочной трапеции:
«Во всяком четырехугольнике, в котором два угла при одной
из его сторон равны и две стороны, примыкающие И этой стороне,
равны, остальные два угла также равны». «Во всяком
четырехугольнике, в котором два угла при одной из его сторон равны и два
других угла равны, две стороны, примыкающие к первой стороне,
равны». «Если из двух точек одной из двух прямых линий на
плоскости опущены два равных перпендикуляра на другую, то они
перпендикулярны и первой линии, и все перпендикуляры,
опущенные из каждой из этих двух линий на другую из любой точки,
перпендикулярны и исходной линии и равны двум первым
перпендикулярам». «Если из точек одной из двух прямых линий,
проведенных из концов прямой линии в одной плоскости и
образующих с ней прямые углы, опущены перпендикуляры на другую
из них, то они перпендикулярны первой из этих линий и равны
линии, из концов которой проведены эти две линии».
Далее Ибн Корра доказывает предложение: «Если прямая
линия падает на две прямые линии, находящиеся в одной плоскости,
и имеется перпендикуляр к ним обеим, пересекающий каждую
из этих прямых линий, то эта линия образует равные накрест
лежащие углы и внешний угол, равный соответствующему ему
внутреннему» [73, с. 368—372].
И, наконец, используя неявно аксиому Евдокса — Архимеда,
Ибн Корра доказывает V постулат: «Пусть из концов прямой
линии А В проведены прямые линии АС и BD в одной плоскости, и
пусть углы ВАС и ABD вместе меньше двух прямых (рис. 21).
Я утверждаю, что линии АС и BD, если продолжить их в сторону
С и D, пересекутся.
Доказательство этого. То, что один из углов ВАС и ABD
меньше прямого, необходимо. Пусть этот угол — ABD. Опустим
из точки А перпендикуляр на BD, это будет АЕ. Отметим на АС
произвольную точку F и опустим из нее перпендикуляр на-4/?,
это будет перпендикуляр FG. Тогда две конечные линии AG и АЕ
таковы, что линия АЕ длиннее, чем линия AG. Но меньшую из
них, т. е. AG, можно брать кратной до тех пор, пока кратная не
53
•л
Рис. 21
станетдлиннее,чемЛ£\ Пусть кратная, которая длиннее, чем-4£",—
линия АН. Отложим на GK [линии], равные линии AG, это GT,
ТК и КН. Отложим также на линии АС [линии], равные линии
AF, столько же раз, каково число [линий] GT, ТК, КН; это FL,
LM, MN. Если АС меньше того, что достаточно для этого
[построения], добавим к ее длине недостающее. Я утверждаю, что линия
AN пересечет линию BD. Доказательство этого: восставим в точке Т
перпендикуляр к АЕ, это TS, и опустим на него перпендикуляр
из точки F, это FS. Соединим точку L с точкой S линией LS.
Тогда из концов прямой линии GТ проведены две прямые линии
GF и TS, образующие с ней прямые углы, а из точки F одной из
этих линий опущен перпендикуляр FS на другую. Поэтому линия
FS перпендикулярна и к FG и равна линии GT. Но линия GT
была равна линии AG, поэтому линия FS равна линии AG. Что же
касается линии FL, то ясно, что она попадает вне того, что
находится между линиями FS и GT. Ясно также, что угол GFS прямой
и что угол AFG меньше прямого, так как угол AGF прямой, а в
одном треугольнике не может быть двух прямых углов. Линия FG
также падает на линии AT ж FS, причем она перпендикулярна им
обеим, и на них падает также прямая линия АС. Поэтому внешний
угол LFS равен внутреннему углу FAG, соответствующему ему.
Так как эти два угла треугольников AFG и FLS равны, их
стороны AG и FS также равны, а сторона AF одного из них равна
стороне другого, то и основание равно основанию и остальные углы
равны остальным углам, каждый угол своему соответствующему.
Поэтому угол FSL равен углу AGF. Но угол AGF прямой, поэтому
и угол FSL прямой. Но угол FST также был прямым. Поэтому
линии TS и SL — в одном направлении, т. е. эти две линии
представляют собой одну прямую линию, соединяющую точки Т и L,
т. е. линию TSL, она перпендикулярна к АН. Точно так же мы
докажем, что прямая линия КМ, соединяющая точки К и М,
перпендикулярна к АН и что [прямая] линия HN перпендикулярна
к АН. Поэтому угол AHN прямой. Но угол ВЕН также прямой,
54
так как он равен углу AED. Поэтому прямая линия АЕН падает
на две прямые линии HN и BD, причем их накрест лежащие углы
равны. Поэтому они параллельны, т. е. не встречаются, даже если
продолжать их до бесконечности. Но [линия] HN встречала линию А С
в точке N, а линия АС расположена по другую сторону от
линии BD. Поэтому линия BD встречает линию ALCN, т. е.
пересекается с линией FLCN. Это и есть то, что мы хотели доказать»
[73, с. 373-374].
Попытки доказательства V постулата в X в. Ан-Найризи,
комментарии которого к Евклиду содержали изложение попытки
доказательства V постулата, принадлежащей Аганису, был автором и
самостоятельного трактата, посвященного такому доказательству, —
«Трактата о доказательстве известного постулата Евклида» («Ри-
сала фи байан ал-мусадора ал-машхура ли Уклидис») г. Трактат
ан-Найризи, так же как второй трактат Ибн Корры, начинается
с философского обоснования существования равноотстоящих
прямых, однако соображения ан-Найризи, основанные на том, что
«равенство по своей природе предшествует различию», гораздо
менее убедительны, чем кинематические соображения Ибн Корры.
Далее следует семь предложений: «Расстояния между двумя
равноотстоящими прямыми перпендикулярны к обеим прямым»;
«Любой из перпендикуляров между двумя равноотстоящими
линиями является кратчайшим»: «Каждый перпендикуляр к одной
из двух равноотстоящих прямых перпендикулярен к другой»;
«Если восставлен перпендикуляр [одновременно] к двум
прямым, они — равноотстоящие»; «Если опустить из одной из двух
равноотстоящих прямых А В и CD два перпендикуляра ЕН и
GF на другую, то расстояние HF между их основаниями на второй
прямой равно расстоянию EG между их основаниями на первой
прямой»; «Если на две равноотстоящие прямые АВ и CD падает
прямая линия, то два односторонних угла равны [вместе] двум
прямым углам»; «Если прямая линия АС падает на две прямые
линии АВ и CD и если сумма внутренних односторонних углов
CAB и A CD меньше двух прямых углов, то они встретятся с этой
стороны» [52]. Как мы видим, первые четыре предложения ан-
Найризи трактуют об общих перпендикулярах двух
равноотстоящих прямых, существование которых является исходным
пунктом ан-Найризи; в предложении 5 из свойства этих
перпендикуляров выводится существование прямоугольника. В предложении 6
доказывается равенство суммы односторонних углов при пересе-
Мы располагаем фотокопией неполной рукописи этого трактата,
хранящейся в Парижской национальной библиотеке (Аг 2467/7). Другая
рукопись трактата, хранившаяся в бывшей Прусской государственной
библиотеке и описанная в каталоге этой библиотеки, была, как сообщила нам
дирекция библиотеки, утрачена во время второй мировой войны, ее начало
совпадает с началом парижской рукописи. Парижская рукопись
изучалась Э. С. Григорьяном [52].
55
чении двух равноотстоящих прямых третьей двум прямым, а в
предложении 7 доказывается V постулат. Весь ход рассуждений ан-
Найризи весьма близок к ходу рассуждений во втором трактате
Ибн Корры: так же как в этом трактате, в последнем предложении
используется аксиома Евдокса — Архимеда.
Трактат ан-Найризи упоминается в комментариях к Евклиду
Хайяма вместе с трактатами Абу Джафара ал-Хазина (ум. ок. 965)
и Абу Абдаллаха аш-Шанни (X—XI в.), о которых мы не знаем
упоминаний в других источниках. Об этих трех трактатах Хайям
писал: «Что касается таких позднейших ученых, как ал-Хазин,
аш-Шанни, ан-Найризи, которые пытались доказать это,, то
никому из них не удалось представить строгого доказательства, каждый
из них обосновывался на том, что является не более легким
допущением, чем доказуемое» [222, с. 114—115].
До нас не дошел и трактат христианского священника Юханны
ибн Юсуфа ал-Хариса ибн ал-Батрика ал-Касса (ум. ок. 980)
«О пересечении двух прямых линий, выходящих из концов прямой
линии под углами, меньшими двух прямых» («Фи илтика ал-хат-
тайн ал-мустакимайн ал-хариджайн мин тарафай хатт мустаким
сала аккалл мин завийатайн каиматайн»), посвященный султану
Сайф ад-Дауле, умершему в 950 г. Этот трактат упоминается
Юханной ибн Юсуфом в его «Книге о рациональных и
иррациональных величинах» («Макала фи-л-макадир ал-мунтака ва-с-самм») *,
а также ал-Ханафи в его цитировавшемся уже нами письме к ат-
Туси, где этот трактат упоминается в числе трактатов,
посвященных теории параллельных, вместе с одним из трактатов Ибн Корры
и трактатом Ибн ал-Хайсама, который мы рассмотрим ниже [207].
Теория параллельных линий Ибн Сины. Те же особенности
изложения теории параллельных, что у Аганиса, Ибн Корры и
ан-Найризи, мы встречаем в энциклопедическом трактате
знаменитого философа и медика Абу Али ибн Сины (980—1037) «Книга
знания» («Даниш-нама»), где этой теории посвящен второй раздел
геометрической главы. Этот раздел начинается словами: «Линии,
отделенные друг от друга, могут быть расположены так, что конец
одной наклонен к другой; если их продолжать в эту сторону, то
они пересекутся: они не пересекутся, если их продолжить в
другую сторону» [74, с. 21]. Как мы видим, эти слова весьма близки
к упоминавшемуся нами «принципу», приписываемому Хайямом
Аристотелю.
| Далее ибн Сина говорит, что «линии, отделенные друг от друга
...могут быть отделены друг от друга так, что расстояния между
двумя их концами равны между собой. Если продолжить
перпендикуляр, восставленный от одной линии до другой, то этот
перпендикуляр будет перпендикуляром и к другой линии. В самом
деле, если бы он не был перпендикулярен к этой другой линии,
1 Этот трактат изучался Г. П. Матвиевской [128, с. 213—216].
56
то один из углов был бы острым, а Другой — тупым и концы со
стороны тупого угла были бы более удалены, а концы со стороны
острого угла были бы более приближены» [74, с. 21—22]. Такие
две прямые называются параллельными.
Рассуждение Ибн Сины о том, что перпендикуляр к одной из
этих линий является перпендикуляром и к другой, основано на
опровержении предположения о том, что второй угол — острый
или тупой. Впоследствии мы неоднократно встретимся с
аналогичными рассуждениями для двух перпендикуляров. Далее Ибн Сина
доказывает от противного, что «если одна линия пересекает две
другие линии и при этом два внутренних односторонних угла
равны двум прямым углам, то эти две линии — параллельны», и,
наконец, что «если одна линия пересекает две другие линии и при
этом два внутренних односторонних угла меньше двух прямых
углов, то эти две линии, если их продолжить с этой же стороны,
пересекутся». «Это потому,— пишет Ибн Сина,— что одна из этих
линий наклоняется к другой и вследствие этого наклона они
пересекутся. В самом деле, если бы однаиз них не наклонялась к
другой, то они были бы параллельны, а если бы они были
параллельны, то два указанных угла были бы равны двум прямым углам,
как это было уже доказано нами раньше» [74, с. 23—24]. Таким
образом, Ибн Сина, по существу, объясняет выполнение V
постулата указанным принципом. Однако, определяя параллельные
как равноотстоящие прямые, Ибн Сина допускает утверждение,
равносильное V постулату, что чрезвычайно облегчает все его
рассуждения.
Теория параллельных линий Ибн ал-Хайсама. Знаменитый
египетский физик, математик и астроном Абу Али ибн ал-Хайсам
(Альхазен, 965—1039) рассматривал теорию параллельных в
обоих своих сочинениях, посвященных комментированию «Начал»
Евклида: и в «Комментариях к введениям книги Евклида „Начала"
(«Шарх мусадарат китаб Уклидисфи-л-Усул»), посвященной
комментированию вводных частей книг «Начал», и в «Книге о
разрешении сомнений в книге Евклида „Начала"» («Китаб фи халл
шукук китаб Уклидис фи-л-Усул»), посвященной
комментированию самих предложений этого сочинения. В первом сочинении
Ибн ал-Хайсама, так же как во втором трактате Ибн Корры,
центральным пунктом служит доказательство существования
прямоугольника, основанное в свою очередь на предположении о
существовании равноотстоящих прямых, обосновываемом с помощью
кинематических соображений, аналогичных соображениям Ибн
Корры. Доказательство существования прямоугольника состоит
в рассмотрении четырехугольника с тремя прямыми углами и
трех гипотез о четвертом угле этого четырехугольника и в
опровержении гипотез о том, что этот угол острый или тупой. Этот
четырехугольник и три гипотезы о его четвертом угле, из которых
«гипотеза прямого угла» выполняется в геометрии Евклида, а
57
«гипотеза острого угла»—в. геометрии Лобачевского, сыграли
важную роль в истории неевклидовой геометрии. Его часто
называют четырехугольником Ламберта по имени математика XVIII в.
И. Г. Ламберта, также рассматривавшего этот четырехугольник.
Установив существование прямоугольника, Ибн ал-Хайсам
сначала доказывает V постулат для случая перпендикуляра и
наклонной, используя, подобно Аганису, аксиому Евдокса — Архимеда.
Затем V постулат доказывается в случаях, когда оба угла,
составляемые секущей с данными прямыми, острые и когда один из этих
углов острый, а другой тупой. Ибн ал-Хайсам начинает с критики
определения параллелей у Евклида: «Евклид сказал:
„Параллельные прямые линии — такие, которые лежат в одной плоскости и,
если продолжать их в обе стороны бесконечно, они не пересекутся,
ни с одной из сторон". При этом линии представляются
расположенными в одной плоскости и не пересекающимися, если
продолжать их в каждую из двух сторон, причем эти линии можно
продолжать постоянно в обе стороны одновременно, и при этом они
не пересекутся, но невозможно представить постоянного
прибавления такого рода, не достигающего конца. Для представления
этого нет пути, так как все, что представляется, конечно, и линии,
о которых здесь говорится, представляются линиями конечной
величины».
Далее Ибн ал-Хайсам переходит к определению параллелей
способом, представляющим собой развитие определения Ибн
Корры: «Далее представим себе другую ограниченную прямую
линию, стоящую на первой под прямым углом в той же плоскости,
в которой находится первая линия. Далее представим себе эту
линию движущейся одним из ее концов по первой прямой линии
в одну из сторон. Ее движение есть одно простое движение, т. е.
без изменения движений, не состоящее из движения и покоя, одно
движение без изгибов. Если при этом переносе в течение всего
времени движения [переносимая] линия перпендикулярна к линии на
плоскости, т. е. к первой линии, расположенной на ней, то конец
этой перпендикулярной линии за время движения опишет прямую
линию, перпендикулярную к ней, и представление этой линии,
как и представление движения этого вида, возможно ...Таким
образом можно получить две прямые линии, расположенные на
одной плоскости, которые при бесконечном продолжении их в обе
стороны не пересекутся ни с одной стороны, расстояния между
этими прямыми в обе стороны всегда равны при их увеличении во
всякую сторону, и невозможно, чтобы они в каком-нибудь месте
пересеклись. Таким образом, параллельные линии существуют,
и таким путем их можно себе представить» [75, с. 743—748].
Доказательство V постулата проводится Ибн ал-Хайсамом
следующим образом: «Что касается [утверждения о том], что если
прямая линия падает на две прямые линии и внутренние углы по
одну из двух сторон меньше двух прямых [углов], то эти прямые
при продолжении в эту сторону пересекутся, то это утверждение—
58
самое сокровенное из всего, что мы здесь излагаем. Оно нуждается
в доказательстве, подобно тому как большинство утверждений
нуждается в этом. В этом доказательстве следует пользоваться
предложениями книги, в доказательстве которых не используется
эта предпосылка...
Этой предпосылке должно предшествовать [следующее]: если
в концах ограниченной прямой линии провести две прямые
линии, заключающие вместе с первой линией прямые углы, то
каждый из перпендикуляров, опущенный из [точек] одной из этих
линий на другую, равен первой линии, заключающей с этими двумя
С ft E
Рис. 22
DBF
линиями прямые углы, и всякий перпендикуляр, опущенный из
[точек] одной из указанных линий на другую, заключает с линией,
из которой он опущен, прямой угол.
Пример. Такова линия АВ, из ее концов А и В проведены
линии АС и BD, причем каждый из углов CAB и DBA — прямой
угол. Далее, предположим на линии АС точку С и опустим из нее
перпендикуляр CD на линию BD. Я утверждаю, что линия CD
равна линии АВ (рис. 22).
Доказательство этого, т. е. того, что противоположное
невозможно. Пусть, если возможно, они не равны. Если CD не равна АВ,
то она или больше или меньше ее. Пусть она больше ее.
Продолжим линию С А в ее направлении в сторону А, пусть это будет
АЕ, продолжим также BD в ее направлении в сторону В, пусть это
будет BF. Отложим [линию] АЕ, равную АС. Опустим из точки Е
перпендикуляр на линию BF, пусть это будет EF. Проведем линии
СВ и BE. Так как линия С А равна АЕ, а линия АВ — общая, т. е.
линии А С и СВ [соответственно] равны линиям АЕ и BE, углы же
CAB и ЕАВ равны, как два прямых. Основание СВ равно
основанию ЕВ, и треугольник САВ равен треугольнику ЕАВ. Поэтому
остальные углы [треугольников] равны остальным углам и угол
СВА равен углу ЕВА. Но сумма двух углов ABD равна сумме
двух углов ABF [как два прямых угла]. Поэтому оставшийся угол
CBD равен [оставшемуся углу] EBF. Угол CDB равен углу EFB.
как два прямых [угла]. Поэтому треугольник CDB равен
треугольнику EFB, так как два угла одного из них равны [соответственно]
углам другого, а стороны С В и BE этих треугольников равны.
59
Поэтому линия CD равна EF. Но [по предположению] CD больше
АВ. Поэтому и EF больше АВ. Представим себе линию EF
движущейся по линии FB, так что при этом движении угол EFB остается
прямым в течение всего времени движения и EF всегда
перпендикулярна [линии FB]. Если точка F при движении линии EF
совпадет с точкой В, то линия EF наложится на линию ВА, так как
углы EFB и ABD равны, ибо каждый из них — прямой угол.
Если же линия EF наложится на линию ВА, точка Е будет
внешней по отношению к линии АВ, причем превышение будет со
стороны точки А, так как линия EF, как было доказано, вследствие
равенства углов EFB и ABD больше линии АВ. Поэтому [линия]
EF при ее наложении на линию ВА будет линией ВН. Линия ВН
после этого будет двигаться в сторону BD, где она будет равна
своему первоначальному положению. Если точка В при движении
линии ВН совпадет с точкой D, линия ВII наложится на линию
DC, так как углы HBF и CDB равны, как два прямых [угла].
Если линия ВН наложится на линию DC, точка II совпадет с
точкой С, так как линия НВ есть линия EF, а линия EF равна линии
CD, т. е. совпадет с ней, когда при движении линии EF вдоль
линии FD точка F совпадет с точкой D и точка Е совпадет с точкой С.
Но при определении параллельных линий мы доказали, что если
всякая [прямая] линия движется таким образом, то ее концы
описывают прямую линию. Поэтому точка Е при движении линии EF
вдоль линии FB описывает прямую линию. Но линия,
описываемая точкой Е, есть линия ЕНС. Таким образом, линия ЕНС —
прямая линия. Но линия ЕАС по предположению прямая линия,
соединяющая точки Е и С, и линия ЕНС, отличная от линии ЕАС,
имеет с ней две общие точки Е и С. Так как обе эти линии —
прямые, две прямые линии ограничивают поверхность, что нелепо.
Отсюда вытекает, что нелепо и наше предположение о том, что
линия CD больше линии АВ, т. е. линия CD не больше линии АВ»
[75, с. 748-750].
Точно так же доказывается, что линия CD не меньше линии
АВ. Аналогично доказывается, что всякий перпендикуляр,
опущенный из линии АС на линию BD, равен линии АВ.
Ибн ал-Хайсам доказывает V постулат сначала для случая
перпендикуляра и наклонной. Вначале он рассматривает прямые
АС и EDG, пересекаемые прямой BD, перпендикулярной к EDG
(рис. 23). Ибн-ал-Хайсам проводит из точки В прямую ВК,
перпендикулярную к BD, выбирает произвольную точку С прямой
ВС и опускает из нее перпендикуляр СН на прямую BD. Подробно
разбирая все возможные случаи и пользуясь тем, что прямая,
пересекающая одну из сторон треугольника и не проходящая через его
вершины, обязательно пересекает одну из двух других его сторон —
в настоящее время это утверждение, сформулированное в виде
аксиомы М. Пашем в конце XIX в., называют аксиомой Паша,—
Ибн ал-Хайсам доказывает, что перпендикуляр СН упадет на
прямую BD между точками В и D. Далее линии СН и АС продол-
60
Рис. 23
жаются в сторону С и на их продолжениях откладываются
отрезки CF=CH и CL = ВС, проводится линия CL и доказывается
равенство треугольников LCF и ВСН, откуда видно, что угол
CFL — прямой. Далее из точки F опускается перпендикуляр
FK на линию ВК. Тогда в силу предпосылки угол KFH прямой,
a FK = НВ. Поэтому линия LFK — прямая и LK = 2ВН.
Если LK не больше BD, этот процесс продолжается до тех пор,
пока не получится линия, большая BD, на чертеже Ибн ал-Хай-
сама такой линией является NQ = МК = АВН. Возможность
нахождения этой линии Ибн ал-Хайсам обосновывает тем, что
«для всяких двух различных линий, если удваивать меньшую
бесконечно много раз, ее величина станет больше большей величины.
Эта предпосылка раньше не была нужна для этого доказательства,
но Евклид применял ее в своей книге в других своих
доказательствах» [75, с. 756].
Далее Ибн ал-Хайсам откладывает линию КО = BD и
доказывает, что линия DG, если продолжить ее до линии КМ, пересекает
ее в точке О, при этом опять высказывается и опровергаются
многочисленные предположения. Заметив, далее, что в силу его
предпосылки угол KOD прямой, и*_снова применив «аксиому Паша»
для прямой DO и треугольника LMN, Ибн ал-Хайсам получает,
что продолжение прямой EDG пересекается со стороной LN
этого треугольника, т. е. с продолжением прямой АВ.
На этом же чертеже (см. рис. 23) Ибн ал-Хайсам доказывает
V постулат и в случаях, когда угол BDG острый и тупой. В первом
61
из этих случаев Ибн ал-Хайсам опускает из В перпендикуляр
на DG, доказывает, что он падает со стороны G, и сводит задачу
к предыдущему случаю, в последнем случае он делит линию BD
пополам в R, опускает из R перпендикуляр RX на EDG,
доказывает, что он упадет со стороны Е, строит угол RDT, равный углу
DBC, опускает из R перпендикуляры RU и RS на линии 2)Г и
ВС, доказывает, что треугольники RSB и RDU равны, а
перпендикуляры RU и RS составляют одну линию, проводит линию
SX, доказывает, что она пересекает обе линии ABC и EDG под
острыми углами, и таким образом сводит задачу к предыдущему
случаю. «Поэтому,— заключает Ибн ал-Хайсам,— этот
перпендикуляр есть линия СН и точка Н находится между точками D
и В. [Продолжим линию] СН в ее направлении в сторону С и
продолжим ее также в ее направлении в сторону Н, отложим [на
продолжении линии СН] линию CF, равную [линии] СН, отложим [на
продолжении линии ВС] линию CL, равную [линии] ВС,
соединим FL. Так как линии ВС и CL равны, а также линии СН и CF,
и вертикальные углы LCF и ВСН равны, основание LF равно
основанию ВН и два других угла равны каждый своему
соответствующему. Поэтому угол CFL равен прямому углу СНВ, т. е.
угол CFL прямой. Опустим из точки F перпендикуляр на линию
ВК, пусть это будет FK. Линия FK равна линии НВ, а угол KFH —
прямой, как это было доказано в предпосылке. Но угол CFL
также прямой, поэтому линия LFK — прямая. Так как доказано,
что линия LF равна линии ВН, линия LK равна удвоенной линии
ВН. Если LK не больше линии BD, продолжим линию BL в ее
направлении в сторону L и продолжим линию KL в ее направлении
также в сторону L, отложим линии LM и LN и соединим NM,
причем линии LM и LN [соответственно] равны линиям В К и LK
и вертикальные углы NLM и BLK равны. Поэтому основание MN
равно основанию ВК, и треугольник MLM равен [треугольнику]
BLK, и остальные углы [треугольников] равны остальным углам,
каждый соответствующему. Поэтому если прямая линия падает
на две прямые линии, и внутренние углы по одному из двух
сторон меньше двух прямых углов, то эти прямые линии при
продолжении в эту сторону пересекутся, а это и есть то, что мы
хотели доказать» [75, с. 758—762].
В «Книге о разрешении сомнений» Ибн ал-Хайсам, сославшись
на то, что он доказал V постулат в «Книге комментариев ко
введениям», указывает, что этому постулату равносильно
утверждение: две пересекающиеся прямые не параллельны одной линии
(т. е. через точку нельзя провести двух различных параллелей
к одной прямой), причем «это утверждение более наглядно для
чувства и более проникает в душу, чем то» г.
1 См. комментарии автора и А. П. Юшкевича к трактату ат-Туси [207,
с. 526].
62
Теория параллельных линий Хайяма. Первой теорией
параллельных линий, в которой доказательство V постулата основано
не на «постулировании основания», а на другом, более наглядном
постулате, является теория параллельных линий Омара Хайяма
(1048—1131), математика, астронома, философа и поэта из хора-
санского города Нишапура, работавшего в Самарканде, Бухаре,
Исфахане и Мерве. Особенно популярны «Четверостишья» («Руба4
иййат») Хайяма на персидско-таджикском языке.
Теории параллельных линий посвящена первая книга его
«Комментариев к трудностям во введениях книги Евклида»
(«Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис») [222, с. 113—
146]. В двух остальных книгах этого сочинения изложено учение
Хайяма о теории отношений, которое мы рассмотрим ниже.
Хайям не сомневается в истинности V постулата Евклида, но считает
его менее очевидным, чем ряд предложений, которые Евклид
считал нужным доказывать: например теоремы о том, что равные
центральные углы высекают на окружностях равных кругов равные
дуги. Хайям опровергает ряд попыток его предшественников
доказать V постулат, как логически несостоятельные. Здесь Хайям
указывает упоминавшиеся нами попытки доказательства этой
аксиомы, принадлежащие Герону, Евтокию, ал-Хазину, аш-Шанни
и ан-Найризи. Хайям отвергает и описанную выше попытку
доказательства Ибн ал-Хайсама, которую он критикует за применение
движения, так как сам он вслед за Аристотелем отвергает
применение движения к геометрии.
Далее Хайям формулирует пять приведенных выше
«принципов, заимствованных у философа» (Аристотеля), четвертый из
которых, как мы указывали, эквивалентен V постулату Евклида.
Вначале Хайям доказывает, что два перпендикуляра к одной
прямой не могут пересекаться, так как в этом случае они должны
пересекаться в двух точках по обе стороны от этой прямой.
Отсюда и из первого утверждения принципа IV Хайяма следует, что
два перпендикуляра к одной прямой не могут сходиться.
Из второго утверждения принципа IV Хайяма следует, что эти
два перпендикуляра не могут и расходиться, так как они должны
были бы расходиться друг от друга по обе стороны от этой прямой.
Поэтому два перпендикуляра к одной прямой должны находиться
на постоянном расстоянии.
Далее Хайям доказывает восемь предложений, которые
должны быть, по его мнению, вставлены в книгу I «Начал» Евклида
вместо предложения 29 этой книги, с которого Евклид начинает
изложение теории параллельных линий, основанной на его
аксиоме о параллельных. Здесь Хайям строит четырехугольник,
образованный двумя перпендикулярами Л С и BD равной длины,
восставленными к одной прямой АВ, и отрезками АВ и CD. Этот
четырехугольник, так же как четырехугольник Ибн ал-Хайсама —
Ламберта, сыграл важную роль в истории неевклидовой
геометрии. Его часто называют четырехугольником Саккери, по имени
03
J) С Л С . С
В Д в £ Я
Рис. 24 Рис. 25
математика XVIII в. Дж. Саккери, вновь рассматривавшего
такой четырехугольник. Заметим, что четырехугольник Хайяма —
Саккери делится своей осью симметрии на два четырехугольника
Ибн ал-Хайсама — Ламберта.
Перед этими предложениями Хайям пишет:
«Теперь мы должны принять двадцать восемь предложений
книги „Начал", так как они не нуждаются в этой предпосылке.
Но в ней нуждается двадцать девятое предложение, выражающее
закономерность параллельных линий. Поэтому тот, кто хочет,
пусть поставит первое предложение этой книги вместо двадцать
девятого предложения книги I, включая его... в содержание книги.
Здесь ты увидишь истинное „доказательство того, почему это
так"» [222, с. 120].
«Доказательство того, почему это так» — известный термин
аристотелевской логики, противоположный аристотелевскому
термину «доказательство того, что это так» [10, с. 206].
В предложении I Хайяма, которое он называет предложением
29 книги I «Начал», в концах прямой линии АВ восставляются два
равных перпендикуляра А С и BD, соединяются верхние концы
этих перпендикуляров (рис. 24) и доказывается, что угол ACD
равен углу BDC. В предложении II (предложение 30 «Начал»)
в том же четырехугольнике ABDC восставляется перпендикуляр
EG в середине Е линии АВ (рис. 25) и доказывается, что CG =
= GD и что EG перпендикулярна DC. Центральное место в
доказательстве Хайяма занимает его предложение III (предложение
31 «Начал»):
«Третье предложение (т. е. предложение 31
„Начал"). Рассмотрим снова фигуру ABDC (рис. 26). Я утверждаю,
что углы ACD и BDC прямые.
Доказательство. Разделим АВ пополам в Е,
восставим перпендикуляр EG, продолжим его в его направлении G,
отложим GK, равную GE, и проведем HKF перпендикулярно к ЕК.
Далее продолжим АС и BD. Они пересекут HKF в Н и F,
так как А С и ЕК параллельны, а расстояние между двумя
параллельными не изменяется, и, если мы будем продолжать до беско-
64
h
К
н
S В М £ L й N
Рис. 26
нечности АС, параллельную линии ЕК, и будем продолжать
до бесконечности НК, параллельную линии GC, они, очевидно,
необходимо пересекутся. Соединим СК и DK. Тогда, так как
линия DG равна GC, a GK общая и в то же время перпендикулярна
[к DG и GC], то основания DK и КС равны и углы GCK и GDK
равны. Поэтому углы НСК и KDF также равны, дополнительные
углы DKG и CKG равны и оставшиеся углы КИС и KFD также
равны. Поэтому, так как линия DK равна КС, то СЕ равна DF
и НК равна KF. Если углы A CD и ВВС прямые, это истинно
поневоле. Если же они не прямые, то каждый из них или меньше
прямого, или больше его.
Пусть сначала они меньше прямого. Если мы наложим плоскую
фигуру CF на плоскую фигуру СВ, то GK наложится на GE так
же, как HF на АВ, причем HF будет равна линии NS, так как
угол HCG больше угла ACG и линия HF больше А В. Точно так
же, если эти две линии [СН mDF] продолжать до бесконечности,
то каждая из соединяющих [их] линий в порядке
последовательности будет больше, чем другая. Поэтому линии АС и BD будут
расходиться. Точно так же линии АС и BD при продолжений
в другом направлении будут расходиться, что доказывается
совершенно так же, так как положения по обе стороны при
наложении необходимо совпадают. Поэтому две прямые линии
пересекают под прямыми углами прямую [линию], а затем по обе
стороны от этой линии расстояние между ними увеличивается. Но это
в силу аксиомы нелепо, если представить себе прямизну. Поэтому
между этими двумя линиями имеется определенное расстояние.
Это — из того, что рассматривалось философом.
Пусть теперь каждый из них [углов ACD и BDC] больше
прямого. Тогда при наложении линия HF будет равна LM, которая
будет меньше АВ, так же как все соединяющие линии, и эти две
3 Б. А. Розенфельд
65
линии будут сходиться. С другой стороны также будет схождение,
так как положения по обе стороны при наложении совпадают.
Если ты немного подумаешь, ты это поймешь. Но это, согласно
сказанному выше, опять нелепо.
Поэтому две линии [АВ и FH] не могут быть различными,
т. е. они равны. Так как они равны, два угла также равны,
вследствие чего они являются прямыми. Ты поймешь это при
небольшом размышлении. Поэтому, чтобы избежать многословия, мы
оставим этот вопрос. Тот, кто захочет провести подробное
доказательство, сможет это сделать, не нуждаясь в нашей помощи.
Ошибка позднейших [ученых] в доказательстве этой
предпосылки происходит от того, что они не учитывали эту аксиому,
даже если ее подлежащее и сказуемое представлялись правильно.
И те, которые обладают глубокой интуицией и проницательным
умом, могут не учитывать многих аксиом из-за того, что они не
представляют их подлежащих и сказуемых. Но первичность и
истинность утверждения — не только в представлении его
подлежащего и сказуемого, так как справедливость или
несправедливость утверждения зависит не от самих подлежащего и
сказуемого, а только от связи между ними. В этом состоит причина, по
которой аксиома может не учитываться. Пойми это» [222, с. 120—
122].
Мы видим, что в случае гипотез острого и тупого углов Хайям
сначала перегибает чертеж по прямой CD и показывает, что при
этом отрезок HF совпадает при гипотезе острого угла с отрезком
NS, а при гипотезе тупого угла — с отрезком LM, т. е. при
первой гипотезе верхнее основание четырехугольника больше нижнего
и его боковые стороны удаляются друг от друга, а при второй
гипотезе верхнее основание меньше нижнего и боковые стороны
четырехугольника приближаются друг к другу. Далее, перегибая
чертеж по прямой АВ, Хайям видит, что при гипотезе острого угла
два перпендикуляра к одной прямой расходятся по обе стороны
от этой прямой, а при гипотезе тупого угла эти перпендикуляры
сходятся по обе стороны от этой прямой. Но это положение
противоречит IV принципу Хайяма, т. е. два перпендикуляра к одной
прямой находятся на постоянном расстоянии, и, следовательно,
как гипотеза острого угла, так и гипотеза тупого угла приведены
к противоречию с этим принципом. Тем самым доказано
существование прямоугольника.
Далее Хайям определяет «расстояние между двумя
произвольными [прямыми] линиями» как «линию, соединяющую их таким
образом, что внутренние углы равны». В связи с этим Хайям
рассуждает следующим образом: «Две линии АВ и АС
пересекаются в точке А (рис. 27). Я утверждаю, что они раскрываются и
расходятся до бесконечности. Для этого опишем из центра А круг
ABC на расстоянии АВ. Расстояние между двумя линиями при их
пересечении с кругом есть линия ВС. Продолжим А В в ее
направлении и опишем круг ADE. Далее продолжим А С в ее направле-
№
Рис. 27 Рис. 28
нии до ее пересечения с кругом [ADE] в точке Е и соединим DE.
Тогда расстояние между двумя линиями есть DE, причем линия
DE больше ВС, и если представить себе смысл круга, угла и
прямой линии, то, без сомнения, это аксиома» [222, с. 123].
Заметим, что проведение дуг с центром в вершине
прямолинейного угла и хорд этих дуг напоминает рассуждения Симпликия и
ал-Джаухари, с помощью которых они доказывали аксиому о
параллельных, и, возможно, Хайям заимствовал эти рассуждения
из этих или других доказательств указанной аксиомы,
принадлежащих его предшественникам. Заметим также, что
рассматриваемое здесь утверждение — третий «принцип, заимствованный у
философа» (Аристотеля), является следствием аксиом геометрии
Евклида, не зависящим от аксиомы о параллельных.
Определив расстояние между прямыми линиями, Хайям
спрашивает: «Если даны две прямые линии АВ и DC на плоскости и
предположим на АВ точку Е, то расстояние между точкой Е и
линией DC есть линия EG и угол Е равен углу G (рис. 28). Но как
провести из точки Е линию к CD, чтобы внутренние углы были
равны? Исправление основ геометрии — дело геометра, а не
философа. Можно ли провести линию, обладающую этим свойством?
Этот вопрос относится к искусству автора [философских]
принципов. Разъясним это следующим образом. Из Е можно проводить
к CD бесчисленные линии, образующие на своих концах
бесчисленные углы, отличающиеся друг от друга тем, что один больше
или меньше другого. Но так как на двух концах [соединительной
прямой] имеются различные [углы], один из которых больше или
меньше другого, то в силу того, что величины делимы до
бесконечности, необходимо возможно и равенство двух углов [EGF
и GEH].
Отложим ЕН и GF, равные друг другу, и соединим HF. Тогда
угол // равен [углу] F, как показано в первом случае, так что HF
3* 67
есть расстояние. Поэтому если HF больше EG, две линии
расходятся.
Далее отложим НК и FL} равные друг другу, и соединим KL.
Тогда KL есть расстояние. Но если KL меньше HF, две линии
сходятся в силу аксиомы, так как они сначала расходились. То
же необходимо будет и в том случае, если они равны.
Если HF меньше EG, две линии сходятся. В силу показанного
нами KL необходимо меньше HF, так как в противном случае
мы в силу аксиомы получим нелепость.
Поэтому ясно, что, если две прямые линии на одной плоскости
в одном направлении сходятся, невозможно, чтобы они
расходились в этом направлении. То же имеет место, если они расходятся.
Это объяснение является философским, а не геометрическим.
Добавленный нами пример предназначен для того, чтобы сделать
изложенное более наглядным и более очевидным для тех, кто не
обладает острой интуицией» [222, с. 123—124].
Как мы видим, при доказательстве возможности проведения
прямой, составляющей с двумя данными прямыми равные углы,
Хайям ссылается на I «принцип, заимствованный у философа»,
играющий у него роль принципа непрерывности, а под «аксиомой»
он имеет в виду IV принцип, которым он заменил V постулат.
В предложении IV Хайям доказывает, что в прямоугольнике
противоположные стороны равны, в предложении V — что два
перпендикуляра к одной прямой обладают тем свойством, что
любой перпендикуляр к одному из них является их общим
перпендикуляром. Согласно предложению VI, если две прямые
параллельны в смысле Евклида, т. е. не пересекаются при
продолжении, они являются двумя перпендикулярами к одной
прямой.
В VII предложении устанавливается, что, если две
параллельные прямые пересекаются третьей прямой, накрест лежащие и
соответственные углы равны, а внутренние односторонние углы
составляют в сумме два прямых угла. Это предложение совпадает
с предложением 29 книги I Евклида, но при его доказательстве
Хайям опирается уже не на аксиому Евклида о параллельных, а
на свои предложения.
И, наконец, в предложении VIII Хайям доказывает V постулат
в формулировке Евклида:
«Восьмое предложение (т. е. предложение 36
„Начал"). Линия EG — прямая. От нее проведены две линии ЕА и
CG, причем углы AEG и CGE [вместе] меньше двух прямых (рис.
29). Я утверждаю, что они пересекаются со стороны А.
Доказательство. Продолжим эти две линии в их
направлении. Пусть угол AEG меньше [угла] EGD\ построим угол
HEG, равный [углу] EGD. Тогда две линии HEF и DGC
параллельны, как доказал Евклид в предложении 27 книги I, и линия АЕ,
пересекающая [линию] HF, пересечет линию CD со стороны А.
Это и есть то, что мы хотели доказать.
68
Рис. 29
Рис. 30
Вот истинное доказательство утверждений о параллельных
в соответствии с его смыслом и целью. Следовало бы добавить
эти предложения в „Начала" в таком порядке, как мы изложили
их в этой книге. Они вытекают из принципов Первой философии г.
Мы включили их сюда, хотя они и выходят за пределы сущности
этого искусства, так как мы не смогли избежать этого вследствие
того, что этот вопрос труден и обсуждался многими людьми.
Поэтому мы добавили во введении упомянутые принципы, так
как это искусство нуждается в них для того, чтобы иметь прочную
философскую основу и не вызывать подозрений и сомнений у тех,
кто размышляет над ним» [222, с. 127].
Как мы видим, это предложение Хайяма близко к
доказательству Прокла с той разницей, что постоянство расстояния между
непересекающимися прямыми ЕН ж CD у Хайяма обосновывается,
а у Прокла ограниченность этого расстояния молчаливо
предполагается.
Теория параллельных Хусам ад-Дина ас-Салара. Попытка
улучшить доказательство Хайяма была предпринята в начале
XIII в. Хусам ад-Дином ас-Саларом, автором трактата о полном
четырехстороннике, цитировавшегося Насир ад-Дином ат-Туси
[206, с. 44, 52]. Трактат ас-Салара называется «Предпосылки для
доказательства постулата, приведенного Евклидом в начале
первой книги, относящегося к параллельным линиям» («Мукад-
дамат ли табйин ал-мусадара аллати закараха Уклид[ис] фи садр
ал-макала ал-ула фи ма йатсак би-л-хутут ал-мутавазиййа»)
[194]. Доказательство ас-Салара состоит из шести «предпосылок»
и доказательства самого V постулата.
Первая из «предпосылок» ас-Салара совпадает
с предложением I доказательства Хайяма. Здесь ас-Салар, так
же как Хайям, предполагает, что верхние углы построенного им
1 Под «Первой философией» Хайям имеет в виду философию Аристотеля
(«Первого философа»).
69
четырехугольника Хайяма — Саккери могут быть тупыми и
острыми. При этом ас-Салар 1194, с. 285] пишет, что «расстояние между
двумя линиями или расстояние между двумя точками на них
определяется по величине линии, соединяющей эти две линии и
образующей с ними два равных угла», т. е. ас-Салар упоминает термин
«расстояние между двумя линиями» в том же смысле, что и Хайям.
Далее следует вторая «предпосылка» ас-Салара, являющаяся
центральным местом его доказательства.
«Вторая предпосылка. Для каждой прямой линии,
из концов которой проведены две прямые линии, стоящие на ней
прямо, т. е. не наклоненные ни к одной из двух сторон, как линии
А С и BD, проведенные из концов линии АВ указанным способом
(рис. 30), т. е. являющиеся перпендикулярными к ней, как бы ни
удалялись они от точек их выхода, они не склонны ни к
приближению, ни к удалению.
Хотя это очевидно и близко для понимания, добавим
доказательство, а именно проведем из точки Е, находящейся между
точками А и В, линию EG, которая также стоит на этой линии,
подобно двум первым линиям. Если два перпендикуляра,
выходящие из концов данной линии, склонны к приближению, то
положение линии EG с каждой из линий А С и BD таково же, как
положение их самих, и поэтому линия EG необходимо склонна к
приближению к каждой из них. Если же они склонны к удалению, то и
она склонна к удалению от каждой из них. Но такое положение,
очевидно, не имеет места, так как если линия попадает между
двумя линиями, то невозможно, чтобы она была склонна к
приближению к одной из них без того, чтобы она была склонна к удалению
от другой, и была склонна к удалению от одной из них без того,
чтобы она была склонна к приближению к другой.
Из этого узнается доказательство того, что линия, соединяющая
концы двух равных перпендикуляров, выходящих из концов
данной линии, необходимо равна данной линии, подобно тому, как
линия CD, соединяющая [концы] равных перпендикуляров АС
и BD, выходящих из концов линии А В, необходимо равна А В:
если CD не равна АВ, то она больше или меньше ее. Если она
больше, то две линии склонны к удалению, а если она меньше, то они
склонны к приближению. Но уже известно, что в этом
положении расстояние между ними постоянно в данном положении, не
прибавляется и не убавляется» [194, с. 286].
Утверждение о том, что два перпендикуляра к прямой не
приближаются и не удаляются, было доказано Хайямом в его
предложении III путем опровержения предположений о том, что два
верхних угла «четырехугольника Хайяма — Саккери являются
тупыми или острыми, с помощью IV «принципа, заимствованного
у философа». Ас-Салар заменяет тонкое доказательство Хайяма
грубо ошибочным рассуждением, в котором сначала допускается
приближение или удаление двух общих перпендикуляров, затем
рассматривается третий перпендикуляр, находящийся между
70
ними. И автор находит противоречие между тем, что третий
перпендикуляр в этом случае также должен одновременно
приближаться к крайним перпендикулярам или удаляться от них, и тем,
что, если прямая, находящаяся между двумя перпендикулярами,
приближается к одному из них, она должна удаляться от другого:
фактически в последнем утверждении неявно предполагается, что
крайние перпендикуляры находятся на постоянном расстоянии
друг от друга. Далее ас-Салар пишет: «Если установлена эта
предпосылка, она наталкивает нас натретьюпредпосылку:
если два угла А и В сами не прямые, а только равны им [в сумме],
то положение этих двух линий таково же, как положение
упомянутых ранее [прямых], т. е. они никогда не приближаются и не
удаляются» [194, с. 296].
Эта «предпосылка» ас-Салара совпадает с одним из
утверждений предложения VII Хайяма.
Четвертая «предпосылка» ас-Салара: «Линия,
соединяющая концы двух равных перпендикуляров, проведенных
из концов прямой линии, оказывается границей двух прямых
углов» — совпадает по своему утверждению с предложением III
Хайяма, но доказывается уже исходя из того, что боковые стороны
четырехугольника Хайяма — Саккери являются
равноотстоящими прямыми. Пятая «предпосылка» ас-Салара
совпадает с предложением IV Хайяма. Весьма интересна шестая
«предпосылка» ас-Салара, утверждение которой: «Для
всяких двух линий, расходящихся из точки и ограничивающих
прямой или непрямой угол, при их продолжении до бесконечности
расстояние между ними превзойдет кратное любого расстояния и
[любой] данной величины [при увеличении кратности] до
бесконечности» [194, с. 286—290] — совпадает с утверждением III
«принципа, заимствованного у философа», принимавшегося
Хайямом без доказательства. Доказательство этой «предпосылки»,
состоящее в том, что в угол вписывается треугольник, далее
боковые стороны этого треугольника удваиваются и доказывается, что
основание нового треугольника вдвое больше основания первого
треугольника, весьма близко к рассуждениям в предложениях 31
и 32 ал-Джаухари.
Доказательство самого V постулата у ас-Салара, по существу,
совпадает с доказательством предложения VIII Хайяма.
Шестая «предпосылка» ас-Салара показывает, что,
отправляясь от доказательства Хайяма и пытаясь улучшить его,
ас-Салар привел доказательство принимавшегося Хайямом без
доказательства III «принципа, заимствованного у философа». Однако,
не поняв доказательства основного предложения III Хайяма,
ас-Салар заменил его ошибочным рассуждением, неявно допустив
то, что он пытался доказать.
Теория параллельных Насир ад-Дина ат-Туси. Мы
неоднократно упоминали сочинение Насир ад-Дина ат-Туси, посвященное
7i
теории параллельных линий. Это «Трактат, исцеляющий сомнение
по поводу параллельных линий» («Ар-рисала аш-шафиййа сан
шакк фи-л-хутут ал-мутавазиййа») [207]. В этом трактате вначале
излагаются и критикуются теории параллельных линий Ибн
ал-Хайсама, ал-Джаухари и Хайяма. Ат-Туси, писавшему свой
трактат в «государстве ассасинов» (он закончил его до 1251 г.,
когда Алам ад-Дин ал-Ханафи, с которым ат-Туси переписывался
по поводу этого трактата, умер, а сам ат-Туси находился у
ассасинов до захвата их государства монголами в 1256 г.), в условиях
изоляции от внешнего мира, были недоступны многие
интересующие его математические сочинения. В частности, в это время ат-
Туси не располагал «Комментариями к введениям книги Евклида
„Начала"» Ибн ал-Хайсама, где приводилось доказательство V
постулата, и был знаком только с его «Книгой о разрешении
сомнений в книге Евклида „Начала"». Поэтому из слов Ибн
ал-Хайсама о том, что V постулат равносилен невозможности
существования двух пересекающихся прямых, параллельных третьей
прямой, и о том, что последнее утверждение нагляднее V постулата,
ат-Туси заключил, будто Ибн ал-Хайсам не пытался доказывать
V постулат, а только хотел заменить его более наглядным
утверждением. Ат-Туси цитирует не всю часть геометрического трактата
Хайяма, относящуюся к параллельным линиям, а только восемь
предложений, в которых приводится доказательство V постулата,
и не замечает, что доказательство Хайяма основано на IV
«принципе, заимствованном у философа», состоящем из двух
утверждений, равносильных V постулату. Ат-Туси считает, что Хайям
совершает в этом доказательстве логическую ошибку, пользуясь
утверждением о том, что расстояние между двумя
пересекающимися прямыми неограниченно увеличивается, т. е. III «принципом,
заимствованным у философа», тем самым, который доказывал ас-
Салар. Мы уже говорили, что это утверждение не зависит от
аксиомы о параллельных и, следовательно, упрек ат-Туси в адрес
Хайяма совершенно неоснователен. Справедливой является только
критика ат-Туси «доказательства» ал-Джаухари.
Далее ат-Туси приводит собственное доказательство аксиомы
о параллельных: «Что касается путей, которыми я исследовал это
после изучения слов этих ученых, то мы изложим нашу речь в семи
предложениях, два из которых взяты из предложений ал-Хайя-
ма — это второе и четвертое из этих предложений, являющихся
первым и четвертым из его предложений. Пусть начало книги
„Начала" — двадцать восемь предложений первой книги, в
которых нет сомнительного постулата, остаются без изменения, а
затем добавим эти предложения». В предложении I ат-Туси
доказывает: «Кратчайшая из линий, проведенных из точки ко
всякой линии, концы которой не ограничены, называемая
расстоянием от этой точки до этой линии, есть перпендикуляр,
опущенный из точки на линию», предложение II ат-Туси: «Если
восставить два равных перпендикуляра к прямой линии и соединить
73
a ff
С F G Я С НЕМ
Л f/ F 6 Л F & 3
Рис. 31
их концы прямой линией, то образуемые ими углы равны». Это
предложение совпадает с предложением I доказательства Хайяма
[207, с. 511-512].
Центральное место в доказательстве ат-Туси занимает
предложение VI, совпадающее с предложением III Хайяма по
формулировке, но отличающееся от него способом доказательства.
«Предложение III. Если восставить два равных
перпендикуляра и соединить их концы прямой линией, то
образуемые ими углы прямые.
Пример. Равные перпендикуляры АВ и CD восставлены
к линии BD, их концы соединены линией АС (рис. 31, а, б). Я
утверждаю, что равные углы ВАС и DCA прямые.
Доказательство. Если они не прямые, то они тупые
или острые. Предположим сначала, что они тупые, и восставим
на первом чертеже (рис. 31, а) в точке А перпендикуляр АЕ к
линии АС, как доказано в предложении 11. Он необходимо попадет
между линиями АВ и CD, и угол AED, внешний угол
прямоугольного треугольника ABE, больше внутреннего прямого угла, как
доказано в предложении 16. Поэтому он также тупой. Далее
восставим в точке Е перпендикуляр EG к линии BD. Он попадет
между линиями АЕ и CD, и угол EGC, внешний угол треугольника
EAG, больше угла А — внутреннего прямого угла. Поэтому он
также тупой. Далее восставим в точке G перпендикуляр GH снова
к линии А С и в этом же порядке будем восставлять
перпендикуляры и далее до бесконечности. Тогда перпендикуляры, проведенные
из точек, расположенных на линии АС под прямым углом к линии
BD,^ перпендикуляры АВ, GE, FH последовательно
увеличиваются по длине. Самый короткий из них — перпендикуляр АВ,
стягивающий острый угол АЕВ в треугольнике АЕВ, поэтому
он короче АЕ, стягивающей прямой угол ABE, как доказано
в предложении 19. АЕ, стягивающая острый угол AGE в
треугольнике AEG, короче GE, стягивающей прямой угол EAG. Поэтому
АВ таюке короче GE. Таким же образом доказывается, что GE
короче и FH, a FH — того, что следует за ней. Таким образом,
те из этих перпендикуляров, которые ближе к АВ, будут короче,
73
й расстояний между точками, являющимися основаниями
перпендикуляров, опущенных из точек линии АС па линию BD,
последовательно увеличиваются в сторону С, и, следовательно,
линии АС и BD расходятся в сторону С и сходятся в сторону Л.
Но угол DC А тоже тупой, так как он равен углу ВАС в силу
предыдущего предложения. Поэтому так же, как раньше,
доказывается, что линии СА и DB расходятся в сторону А и сходятся
в сторону С. Но это нелепо. Следовательно, углы ВАС и DCA
не тупые.
Если же эти углы острые, опустим на втором чертеже (рис.
31, б) из точки В перпендикуляр BE к линии АС, как доказано
в предложении 12. Он необходимо попадет между линиями АВ и
CD, так как угол А острый и невозможно, чтобы он попал вне
этих линий. В прямоугольном треугольнике АЕВ угол ABE
острый, поэтому угол EBD, составляющий вместе с углом ABE
прямой угол ABD, также острый. Далее опустим из точки Е
перпендикуляр EG к линии BD. Он попадет между линиями А В
и CD, и угол GEC острый. Далее опустим из точки G
перпендикуляр GH снова к линии АС и в этом же порядке будем опускать
перпендикуляры и далее до бесконечности. Тогда перпендикуляры,
проведенные из точек, расположенных на линии АС под прямым
углом к линии BD,— перпендикуляры АВ, EG, HF
последовательно уменьшаются по длине. Самый длинный из них —
перпендикуляр АВ. Таким образом доказывается, что линии АС
и BD сходятся в сторону С и расходятся в сторону А. Но угол
DC А тоже острый, так как он равен углу ВАС в силу предыдущего
предложения. Поэтому так же, как раньше, доказывается, что
линии СА и DB сходятся в сторону А и расходятся в сторону С.
Но это нелепо. Следовательно, углы ВАС и DC А не острые, а так
как они и не тупые, они прямые. Это и есть то, что мы хотели
доказать» [207, с. 512—514].
Здесь ат-Туси, так же как Хайям, рассматривает
четырехугольники Хайяма — Саккери и три гипотезы об их верхних углах.
Опровергая гипотезы тупого и острого угла, ат-Туси доказывает,
что в первом случае восставляемые им перпендикуляры
увеличиваются от края основания к его середине, а во втором случае
опускаемые им перпендикуляры уменьшаются от края основания
к его середине, и считает это противоречащим симметрии
четырехугольников относительно перпендикуляров, соединяющих
середины верхних и нижних оснований. На самом деле все
перпендикуляры, построенные ат-Туси, оказываются по одну сторону от оси
симметрии четырехугольника; это доказывает, что основания
четырехугольника Хайяма — Саккери приближаются друг к другу
по обе стороны от оси симметрии в случае гипотезы тупого угла и
удаляются друг от друга в случае гипотезы острого угла, что
доказывал и Хайям о двух перпендикулярах и одной прямой.
Предложение IV ат-Туси: «Всякие две противоположные
стороны прямоугольного четырехугольника равны» — совпадает
74
с предложением IV
доказательства Хайяма. Предложение V
ат-Туси: «Если прямая линия
падает на два перпендикуляра,
восставленные к другой прямой
линии произвольным образом,
то накрест лежащие углы
равны, внешний угол равен
соответственному внутреннему, а
внутренние односторонние углы
равны двум прямым»,—
совпадает с предложением VII
доказательства Хайяма. В
предложении VI ат-Туси дает
доказательство V постулата для случая
перпендикуляра и наклонной, очень близкое ко второму
доказательству Ибн Корры и к доказательству Ибн ал-Хайсама.
В предложении VII ат-Туси дает оригинальное доказательство
общего случая V постулата: «Предложение VII, содержащее
доказательство постулата: если прямая линия падает на две прямые
линии и образуются внутренние односторонние углы, меньшие
двух прямых, то эти две прямые, если продолжить их в эту сторону,
пересекутся.
Пример. Линия А В падает на линии CD и EG и образует
утлы СНЕ и EFH, меньшие двух прямых (рис. 32). Я утверждаю,
что линии CD и EG, если продолжить их в сторону С, пересекутся.
Доказательство. Если один из углов СНЕ и EFH
прямой, то другой необходимо острый. Поэтому одна из линий CD
и ЕЕ пересекает линию АВ под углом, не являющимся прямым,
а другая перпендикулярна к ней, поэтому, если продолжить их,
они пересекутся со стороны острого [угла], как доказано в
предыдущем предложении.
Если один из углов тупой, пусть это угол СНЕ, восставим в
точке Н перпендикуляр HI к липии CD, как доказано в предложении
11, а из точки F опустим на нее перпендикуляр FK, как доказано
в предложении 12. Тогда мы утверждаем, что так как углы СНЕ
и EFH вместе меньше двух прямых, а угол CHI прямой, то углы
IHF и HFI вместо меньше одного прямого. Но углы IHF и HFK,
как накрест лежащие, образующиеся при падении линии АВ
на два перпендикуляра IH и FK, равны, как доказано в пятом из
этих предложений. Следовательно, весь угол KFI меньше одного
прямого, т. е. он острый. Поэтому линии KF и ЕЕ пересекаются
не под прямым углом, а линия НК перпендикулярна к одной из
них, а именно к линии KF. Поэтому линии СК и ЕЕ, если
продолжить их также в сторону С и Е, пересекутся, как доказано
в предыдущем предложении.
Если оба угла острые, восставим в точке F перпендикуляр FK
к линии GE, как доказано в предложении 11, и опустим из точки
75
Н перпендикуляр HI на нее, как доказано в предложении 12.
Тогда угол EFK прямой, а углы KFH и FHI равны, как накрест
лежащие, образующиеся при падении линии АВ на два
перпендикуляра HI и KF, что доказано в пятом из этих предложений.
Следовательно, углы FHI и HFI вместе равны одному прямому.
Так как углы EFH и CHF по предположению меньше двух прямых,
угол IHC меньше прямого, т. е. он острый. Поэтому линии IH и
СН пересекаются не под прямым углом, a EI перпендикулярна
к одной из них, а именно к IH. Поэтому [линии] CD и EG
пересекутся, если продолжить их в сторону С и Е, как доказано в
предыдущем предложении. Это и есть то, что требовалось доказать»
[207, с. 515-520].
Далее ат-Туси предлагает другой вариант доказательства
аксиомы о параллельных, состоящий из предложений, заменяющих
предложения VI и VII первого доказательства, и из предложения
VIII:
«Вместо предложения VI. Во всяком остром
прямолинейном угле, если отложить на одной из его сторон равные
линии и опустить из точек деления перпендикуляры на другую
сторону, то линии, отсекаемые основаниями перпендикуляров на
этой стороне, также равны.
Пример. В остром угле- ВАС на А В откладываются
равные линии AD, DE и EG, и из их [концов] опускаются
перпендикуляры DH, EF и GI на линию АС (рис. 33). Я утверждаю,
что линии АН, HF и FI, отсекаемые основаниями
перпендикуляров, также равны.
Доказательство. Построим при точке D на линии
ED угол EDK, равный углу А, как показано в предложении 23.
Тогда в треугольниках AHD и DKE углы А и D равны, углы D
и Е, внешний и внутренний, образованные при падении линии АЕ
на два перпендикуляра DH и EF, равны, как доказано в пятом
из этих предложений, и стороны AD и DE равны. Следовательно,
эти два треугольника равны и сторона АН равна стороне DK, а
прямой угол Н равен углу К, как доказано в предложении 26.
Поэтому плоская фигура DHFK — прямоугольный
четырехугольник и ее противоположные стороны DK и HF равны, как
доказано в четвертом из этих предложений. Поэтому линия АН,
равная DK, равна и HF. Таким же образом доказывается, что
HF равна FI. Это и есть то, что мы хотели доказать.
Вместо VII предложения. Если в прямолинейном
угле предположить точку между его сторонами, то их можно
соединить прямой линией, проходящей через эту точку.
Пример. В прямолинейном угле ABC между сторонами
АВ и ВС предположена точка D (рис. 34). Я утверждаю, что
стороны АВ и ВС можно соединить прямой линией, проходящей
через точку D.
Доказательство. Проведем из центра В на
расстоянии BD дугу EDG, проходящую через точку D. Проведем хорду
76
в е е з д в
Рис. 33 Рис. 34
EG и разделим пополам угол EBG линией BI, как доказано в
предложении 9. Тогда треугольники ЕВН и GBH равны, так как
стороны ЕВ и ВН равны сторонам GB и ВН, а углы В равны.
Поэтому равны и стороны ЕН и HG и углы Н, как доказано в
предложении 4. Поэтому ЕН перпендикулярна к ВН. Продолжим ВН
до пересечения с дугой EDG в точке F. Повторим линию ВН до
тех пор, пока сумма этих линий не превзойдет линию BF, пусть
эта сумма — линия ОХ. Отложим на ВА линии, каждая из
которых равна линии BE, в том же числе, что и число, во сколько ОХ
кратна ВН, это BE, EK. Опустим из концов этих линий
перпендикуляры на линию ВН, это перпендикуляры ЕН, KL. Эти
перпендикуляры отсекут на линии ВН равные линии ВН, HL, как
доказано в предыдущем предложении. Но их сумма, равная линии
ОХ, длиннее линии BF, поэтому конец перпендикуляра KL на
линии BI, т. е. точка L, находится вне линии BF. Далее отложим
на ВС линию ВМ, равную ВК, и соединим ML. Тогда
треугольники BKL и BML равны, так как у них общая сторона BL, равные
стороныБЛГ и ВМ и углы В, как доказано в предложении 4. Поэтому
угол MLB равен прямому углу KLB и прямые KL и LM
соединяются в своем направлении в одну линию в силу предложения
14. Далее соединим BD, продолжим ее до N и построим при точке
D на линии DN угол PDN, равный углу DNL, как доказано в
предложении 23. Тогда линии PD и NM параллельны, как
раньше, в силу равенства накрест лежащих [углов], т. е. углов PDN
и DNM, как доказано в предложении 26. Продолжим PD до тех
пор, пока она не выйдет из треугольника В КМ в точках Р и Z.
Линия PZ соединяет стороны А В и ВС и проходит через данную
точку Z). Это и есть то, что мы хотели доказать» [207, с. 520—523].
Предложение VIII ат-Туси совпадает с последним
предложением доказательства ал-Джаухари.
Упоминавшаяся нами переписка ат-Туси с ал-Ханафи
показывает, что ат-Туси обсуждал свой трактат о параллельных
линиях с другими учеными. По-видимому, под влиянием критики,
поместив оба варианта своего доказательства V постулата в «Из-
77
ложении Евклида» («Тахрир Уклидис») [209] *, в отличие от
трактата после формулировки этой аксиомы ат-Туси внес
следующую вставку: «Я говорю, что последнее утверждение не является
аксиомой и может быть доказано только в геометрической
науке. Об этом лучше говорить не во введении, и я докажу его в
надлежащем месте. Вместо него я ставлю другое утверждение: если
прямые линии, лежащие в одной плоскости, сходятся в одном
направлении, они не могут в этом направлении расходиться, если
только они не пересекаются» [125, с. 13; 209, с. 4].
Попытка доказательства аксиомы о параллельных,
приписываемая ат-Туси. Изложение теории параллельных, на которое
ссылались в своих работах о V постулате Дж. Валлис и Дж. Сак-
кери, именовавшееся ими «доказательством Насир ад-Дина ат-
Туси», не совпадает с приведенным выше доказательством. Валлис
и Саккери имели в виду «Книгу изложения „Начал" Евклида,
сочиненную ходжой Насир ад-Дином ат-Туси» («Китаб тахрир
Усул ли Уклидис мин та'лиф хуваджа Насир ад-Дин ат-Туси»)
[331] 2, изданную по-арабски с латинским титульным листом
(Euclidis Elementorum geometricorum libri tredecim ex traditione
doctissimi Nasiridini Tusini) в Риме в 1594 г. «Изложение „Начал"
Евклида» значительно отличается от «Изложения Евклида». Во-
первых, «Изложение „Начал" Евклида» содержит изложение
только 13 книг «Начал», написанных самим Евклидом, а «Изложение
Евклида» — изложение всех 15 книг, традиционно составляющих
текст «Начал». Во-вторых, в «Изложении „Начал" Евклида» текст
Евклида подвергнут коренной переработке. Существенным
различием между обоими «изложениями» является также то, что
«Изложение Евклида» сохранилось в огромном числе рукописей (нам
известно 96 рукописей), в то время как «Изложение „Начал"
Евклида» сохранилось только в виде двух рукописей, одной
полной и одной неполной, хранящихся в библиотеке Медичи во
Флоренции, причем римское издание сделано с полной
флорентийской рукописи. Тот факт, что значительно более совершенный
вариант изложения Евклида получил значительно меньшее
распространение, чем менее совершенный, вызвал сомнение в
принадлежности «Изложения „Начал" Евклида» самому ат-Туси. Это
сомнение нашло дальнейшее подтверждение после того, как А. И. Саб-
ра [456, с. 15] установил, что, как указано во флорентийской
рукописи, «Изложение „Начал" Евклида» было сочинено в 1298 г.,
т. е. после смерти ат-Туси. На этом основании Дж. Мердок [421]
называет автора «Изложения „Начал" Евклида» «псевдо-Туси» 3.
1 Русский перевод Г. Д. Мамедбейли доказательства V постулата — [125,
с. 13-32].
2 Русский перевод Г. Д. Мамедбейли доказательства V постулата — [125,
с. 22—32]; см. также книгу В. Ф. Кагана [79, с. 119—121].
3 Вопрос о том, кто был автором этого сочинения, обсуждался также
Б. А. Розенфельдом, А. Кубесовым, Г. Собировым и А. Ахмедовым [14,
173, 189].
78
0
Р О Н L F G £
Рис. 35
Однако в недавно обнаруженном X. Тллашевым [205а] списке
сочинений ат-Туси, составленном его учеником Низам ад-Дином
ан-Найсабури и хранящемся в Ташкентском институте
востоковедения, указаны три сочинения ат-Туси, посвященные
комментированию Евклида: под № 9 «Изложение Евклида», под № 24
«Трактат о Евклиде» («Рисала фи-л-Уклидис») — несомненно, это
сокращенное название «Трактата, исцеляющего сомнения по
поводу параллельных линий» — и под № 27 «Примечания к
Евклиду» («Хаваши сала Уклидис»). Последнее сочинение до нас не
дошло. Возможно, что «Изложение „Начал" Евклида» составлено
после смерти ат-Туси кем-нибудь из его учеников (весьма вероятно,
что его сыном Садр ад-Дином, именовавшимся Садр ад-Дин ибн
ходжа Насир ад-Дин, который был директором основанной ат-
Туси Марагинской обсерватории после смерти ат-Туси) с учетом
«Примечаний к Евклиду». В «Изложении „Начал" Евклида» дано
новое, весьма оригинальное доказательство аксиомы о
параллельных:
«Первая предпосылка. Если на всякие две
прямые линии, расположенные в плоскости, как линии А В и CD,
падают прямые линии, как линии EG, HF, KL, MN и ХО,
каждая из которых перпендикулярна к линии CD и пересекает линию
АВ под острым и тупым углами, причем все углы в сторону BD —
острые, а в сторону А С — тупые (рис. 35), то я утверждаю, что
линии АВ и CD постоянно приближаются в сторону BD до тех
пор, пока они не пересекутся, и постоянно удаляются в сторону
АС, т. е. перпендикуляр EG больше перпендикуляра HF, тот
[больше] перпендикуляра KL, тот [больше] перпендикуляра MN_,
а тот [больше] перпендикуляра ХО, перпендикуляр же ХО
меньше перпендикуляра MN, тот [меньше] перпендикуляра KL
[и так далее] до последнего. Точно так же, если прямые линии,
падающие на две прямые линии перпендикулярно к одной из них,
увеличиваются, если мы берем их в одну из двух сторон двух
линий, и уменьшаются, если мы берем их в другую из двух сторон
этих двух линий, т. е. две прямые линии постоянно удаляются в
79
сторону увеличения перпендикуляров и приближаются в другую
сторону, т. е. в сторону уменьшения перпендикуляров, до тех пор,
пока эти две линии не пересекутся, то каждая из прямых линий,
перпендикулярных к одной из этих двух прямых, пересечет эту
прямую под прямым углом, и эта линия не будет наклонена ни к
одному из перпендикуляров; но каждый из этих перпендикуляров
пересечет вторую из этих двух прямых под двумя углами, один из
которых острый, а другой тупой, причем все острые углы — в
сторону приближения двух прямых, а все тупые углы — в сторону
их удаления, и эта линия наклонена к каждому из
перпендикуляров в сторону приближения и наклонена от каждого из них в
сторону удаления. Эти два утверждения очевидны, ими обоими в силу
их очевидности пользовались некоторые древние и позднейшие
геометры.
Вторая предпосылка. Если две прямые линии,
восставленные в концах прямой линии перпендикулярно к ней,
равны и их концы соединены прямой линией, то каждый из углов,
образованных перпендикулярами и прямой линией, соединяющей
их концы,— прямой...
Третья предпосылка. В каждом треугольнике с
прямолинейными сторонами три угла [вместе составляют] два
прямых [угла]» [331, с. 28—30].
Вторая предпосылка доказывается на основании первого и
второго утверждений первой предпосылки, третья — на основании
существования прямоугольника, доказанного во второй
предпосылке. Сначала эта предпосылка доказывается для прямоугольного
треугольника, а затем путем разделения тупоугольного
треугольника на два прямоугольных и дополнения остроугольного
треугольника — для общего случая. Первая предпосылка здесь
играет роль аксиомы. Однако в отличие от «Изложения Евклида» ат-
Туси эта «аксиома», по-видимому призванная заменить аксиому
Евклида, высказана некорректно: если понимать утверждение этой
предпосылки буквально, это утверждение, не зависящее от
аксиомы Евклида о параллельных. Однако фактически там, где автор
ссылается на «первую предпосылку», он ссылается не на это
утверждение, а на некоторое утверждение, близкое к аксиоме
«Изложения Евклида» ат-Туси. Во «второй предпосылке», в которой
доказывается существование прямоугольника, фактически
рассматривается четырехугольник Ибн ал-Хайсама — Ламберта и три
гипотезы о его угле D, причем гипотезы острого и тупого угла
опровергаются с помощью «первой предпосылки», понимаемой в
указанном смысле. Тем не менее можно рассматривать
четырехугольник «второй предпосылки» и как четырехугольник Хайяма
— Саккери, как это, по-видимому, и понял сам Саккери. В
«третьей предпосылке» впервые в истории геометрии из существования
прямоугольника доказано равенство трех углов прямолинейного
треугольника двум прямым углам. В формулировке этой
предпосылки подчеркивается, что здесь имеются в виду прямолинейные
60
Рис. 36 Рис. 37
треугольники,— автору, несомненно, было известно, что в
сферических треугольниках сумма углов больше двух прямых.
Далее доказывается утверждение V постулата сначала для
случая перпендикуляра и наклонной, а затем для двух остальных
случаев. Вывод V постулата из существования прямоугольника
для первого случая мало отличается от традиционного вывода,
применявшегося Ибн Коррой и Ибн ал-Хайсамом. Выводы для
двух остальных случаев также напоминают выводы Ибн ал-Хай-
сама, но обладают некоторыми оригинальными моментами.
Приведем эти выводы.
«Что касается второго случая, когда каждый из углов ВЕС и
ВСЕ — острый (рис. 36), то, так как угол ВСЕ — острый, угол
BCG — тупой в силу тринадцатого предложения. Восставим в
точке С по одиннадцатому предложению перпендикуляр НС к
линии ЕС в сторону В, он попадет между сторонами ВС и CG.
Поэтому, если мы продолжим его в сторону Н в его направлении,
он встретит линию А В в силу предыдущего предложения. Он
встретит ее в точке Н. Поэтому, если мы продолжим линию ВС
в ее направлении в сторону D, она встретит линию АВ между
точками Е и Н. Это очевидно в силу невозможности того, чтобы
две прямые ограничивали плоскую фигуру.
Что касается третьего случая, когда угол ВЕС — острый, а
угол ВСЕ — тупой (рис. 37), то, так как углы ВЕС и ВСЕ
меньше двух прямых, а угол ВСЕ вместе со смежным к нему в силу
тринадцатого предложения равен двум прямым, угол С, смежный
с углом ВСЕ, больше угла ВЕС. Отметим на линии ЕС
произвольную точку Н и опустим из нее (по двенадцатому предложению)
перпендикуляр HF на линию ЕВ. Очевидно, что он не упадет в
точку Е. Он не упадет и на линию АЕ, так как если бы это было
так, то два угла треугольника были бы больше двух прямых, а в
семнадцатом предложении было доказано, что они меньше двух
прямых, что нелепо. Пусть он упадет в точку F. Продолжим ли-
81
йию РЙ в ее направлении в сторону Я до К. Так как прямой yrojf
HFE вместе с углом EHF в силу семнадцатого предложения
меньше двух прямых, а острый угол EHF в силу пятнадцатого
предложения равен углу СНК, угол С, смежный с утлом ВСЕ,
меньше прямого. Поэтому каждый из двух углов СНК и С, смежный
с углом ВСЕ,— острый. Поэтому линии НК и ВС, если
продолжить их в сторону К, встретятся в силу второго из двух
предыдущих предложений. Пусть они встретятся в точке К. Так как углы
EHF и СНК равны в силу пятнадцатого предложения, а угол С
больше угла HEF, прямой угол EFH больше угла НКС,
поскольку три угла каждого треугольника с прямолинейными сторонами
равпы двум прямым в силу третьей предпосылки, поэтому НКС —
острый угол. Но угол BFK — прямой в силу тринадцатого
предложения. Поэтому, если мы продолжим линии АВ и СВ в
сторону ВВ, они встретятся в силу первого из этих предложений в
той же стороне от линии, падающей под [углами, меньшими] двух
прямых. Это и есть то, что мы хотели доказать» [331, с. 32—33].
Особенностью последнего доказательства, в общем близкого к
доказательству Ибн ал-Хайсама, является использование равенства
суммы углов треугольника двум прямым углам.
Некорректная формулировка «первой предпосылки» этого
доказательства делает весьма маловероятным авторство самого
ат-Туси всего доказательства, как и всего «Изложения „Начал"
Евклида», однако весьма вероятно, что наиболее оригинальные
части этого доказательства — «третья предпосылка» и
доказательство аксиомы о параллельных в двух последних случаях —
заимствованы из «Примечаний к Евклиду» или другого сочинения ат-
Туси, написанного им в конце жизни.
Теории параллельных ал-Ханафи и ал-Абхари. Кроме трех
изложенных нами доказательств аксиомы о параллельных,
принадлежащих ас-Салару, ат-Туси и автору «Изложения „Начал"
Евклида», в XIII в. было написано еще несколько сочинений,
посвященных проблеме параллельных линий. Мы уже упоминали
о письме Алам ад-Дина ал-Ханафи к Насир ад-Дину ат-Туси по
поводу его трактата о параллельных линиях и цитировали из
этого письма изложение начала попытки доказательства Симпли-
кия. Весьма интересна критика этой попытки, которую ал-Ханафи
приводит после своего изложения: «Однако можно предположить,
что линия ВВ с самого начала отклоняется от направления линии
BG, а каждая хорда, стягивающая угол GBB, попадет между
точками А и В, если АВ делима до бесконечности» [456, с.
8-9, 19].
Как мы видим, ал-Ханафи указывает именно тот случай,
который имеет место в геометрии Лобачевского,— когда все «хорды»,
стягивающие угол GBB, проходят ниже некоторой внутренней
точки этого угла, имея в виду, что предположение о
невозможности этого случая, на котором основано доказательство Симпли-
82
кия, не вытекает из тех аксиом, на которых основывается его
доказательство.
Наиболее популярной как в XIII в., так и в последующих
веках была попытка доказательства аксиомы о параллельных,
принадлежащая Асир ад-Дину ал-Мудаффалу ибн Омару ал-Абхари,
называемому также ал-Абахри (ум. 1263), уроженцу Абхара в
Джибале, ученику того же Камал ад-Дина ибн Юниса, что и На-
сир ад-Дин ат-Туси, работавшему в Мосуле и Арбеле (Ирак).
Эта попытка доказательства аксиомы о параллельных была
изложена в его обработке «Начал» Евклида, сохранившейся под
названием «Усовершенствование Стихий» («Ислах ал-Истиксат») и
«Усовершенствование „Начал" Евклида» («Ислах Усул Уклидис»).
Отдельные разделы этой книги, в том числе и раздел о
параллельных линиях, воспроизведены в весьма популярных
«Предложениях обоснования» («Ашкал ат-та'сис») Шамс ад-Дина Мухамма-
да ибн Ашрафа ал-Хусейни ас-Самарканди, уроженца
Самарканда, жившего во второй половине XIII в. и бывшего сотрудником
Марагинской обсерватории ат-Туси. Наиболее популярным
является текст этой книги с комментариями знаменитого
самаркандского математика и астронома XV в. Кази-заде ар-Руми и Мухам-
мада ал-Хади, неоднократно издававшийся в Стамбуле. Раздел
книги ас-Самарканди, содержащий попытку ал-Абхари доказать
аксиому о параллельных линиях, неоднократно издавался без
указания на авторство ал-Абхари *.
Доказательство ал-Абхари начинается словами: «Здесь место
для обещанного доказательства известного постулата. Философ
Асир ад-Дин ал-Абхари сказал: если угол ABC разделен линией
ВН пополам, то в этом угле можно провести бесконечно много
хорд таким образом, что они находятся друг под другом и
каждая из них является основанием равнобедренного треугольника».
Это предложение совпадает с предложением 1 Симпликия и
предложением 30 ал-Джаухари, доказательство ал-Абхари
несущественно отличается от доказательств этих предложений.
Доказательство V постулата для случая перпендикуляра и наклонной у
ал-Абхари совпадает с доказательством предложения 2
Симпликия (чертеж ал-Абхари отличается от рис. 15 только буквенными
обозначениями). Далее ал-Абхари в отличие от Симпликия дает
доказательство и для двух других случаев V постулата. Случай,
когда секущая пересекает две данные прямые под двумя острыми
углами, доказывается так же, как первый случай на аналогичном
чертеже. Доказательство для случая, когда секущая пересекает
две данные прямые под острым и тупым углами, совпадает с
доказательством этого случая у Ибн ал-Хайсама.
Турецкий и французский переводы доказательства V постулата
опубликованы X. Дильганом [322, 323], русский перевод см. [195]. Наше
внимание на то, что это доказательство принадлежит ал-Абхари, обратил
А. И. Сабра.
83
Теории параллельных ал-Магриби. Весьма близко к
доказательству ал-Абхари доказательство ал-Магриби в рукописи Бод-
леянской библиотеки.
Мухьи ад-Дин Яхья ибн Аби-ш-Шукр ал-Магриби,
называемый также ал-Андалуси, как указывают его нисбы, был
уроженцем мусульманской Испании (ал-Андалус) или Северо-Западной
Африки (Магриба). В 1260 г., находясь в Сирии, он попал в плен
к монголам, препроводившим его в Марагинскую астрономическую
обсерваторию Насир ад-Дина ат-Туси, с которой и были связаны
последние годы жизни ал-Магриби.
Первые два из четырех предложений указанной рукописи мы
рассмотрели выше, четвертое с точностью до обозначений
совпадает с IV предложением ал-Абхари. Третье предложение
совпадает с III предложением ал-Абхари по формулировке, но
отличается своим доказательством, более близким к предпоследнему
предложению доказательства «Изложения „Начал" Евклида».
Приведем третье предложение указанного сочинения ал-Магриби:
«Пусть каждый из углов А и В — острый (рис. 38). Тогда линии
А С и BD при продолжении пересекутся со стороны С и D.
Опустим перпендикуляр АЕ на BD. Тогда угол Е — прямой, а угол
ЕАС — острый и линии А С и BD пересекутся при продолжении»
[456, с. 11, 20].
Ал-Магриби был также автором сочинения с тем же названием
«Изложение „Начал" Евклида» („Тахрир Усул Уклидис"), что и
сочинение, приписываемое ат-Туси. В этом сочинении ал-Магриби
имеется еще один вариант доказательства V постулата. Во
введении к своей книге ал-Магриби определяет параллельные прямые
следующим образом: «Параллельные прямые линии — такие,
которые лежат в одной плоскости и таковы, что произвольная
прямая линия, падающая на них, образует односторонние углы,
равные двум прямым» [456, с. 17]. Из этого определения вытекает,
что всякий перпендикуляр к одной из двух таких прямых
является их общим перпендикуляром, т. е., в частности, вытекает
существование прямоугольника, а пересекая две такие прямые
двумя прямыми под равными острыми или тупыми углами,
мы получим существование параллелограмма. Из
существования прямоугольника легко доказывается, что параллельные
линии в смысле ал-Магриби являются равноотстоящими. Ясно,
что определение ал-Магриби содержит определение, равносильное
V постулату (его определение исключает как геометрию
Лобачевского, так и эллиптическую геометрию).
Проведем доказательство ал-Магриби (цифры в круглых
скобках относятся к номерам предложений его книги, на которые он
ссылается, эти номера большей частью совпадают с номерами
соответствующих предложений Евклида; сокращение Вв. в скобках
обозначает ссылку на введение — на аксиому или определение во
введении к книге ал-Магриби):
84
Рис. 38
«Предпосылка. Если линия падает на две прямые
линии и образует два односторонние угла, меньшие двух прямых,
то, если продолжить эти линии в эту сторону, они встретятся.
Пример этого. На линии АВ и CD падает линия АС
и образует два угла ВАС и DC А, меньшие двух прямых (рис. 39).
Тогда я утверждаю, что, если их продолжить до бесконечности,
они встретятся.
Доказательство этого. Если один из углов —
прямой, мы закончим доказательство, как будет указано. Если
это не так, продолжим DC до бесконечности и опустим на нее
перпендикуляр АЕ (XII). Продолжим его до бесконечности в
сторону F. Построим при точке А линии АЕ угол КАЕ, равный углу
ВАЕ (XXIII). Продолжим линии АВ и АК в сторону Ви^до
бесконечности (Вв.). Отметим на АВ точку L, отложим AM,
равную AL (III), и соединим ML. Тогда, так как углы КАЕ и ВАЕ —
острые (Вв.), линия ML пересечет AF в N. Так как две стороны
AL и AM равны, сторона AN — общая, а оба угла А равны, оба
угла N треугольников ANL и ANM прямые (IV и Вв.). Если
точка N — между точками Е и F, мы закончили построение. Если же
нет, то отложим линии МО и LX, равные AM и AL (III), и
соединим ХО, она пересечет AF в Р. Так же, как мы доказывали,
докажем, что оба угла Р треугольников АРО иАРХ — прямые (IV).
Если точка Р находится между точками Е uF, для нас достаточно.
Если же нет, продолжим линию NL до бесконечности и опустим на
нее из точки X перпендикуляр XQ (XII). Тогда так как угол
ANL — прямой угол и угол LQX — прямой, углы ALN и XLQ
равны (XV), а линии AL и LX равны, то линии AN и QX равны
(XXVI). Точно так же, так как угол QNP прямой и угол NPX
также прямой, как мы доказали, угол Q — прямой. Поэтому
плоская фигура PQ — параллелограмм. Поэтому линии QX и
NP равны (XXIV). Если этого недостаточно, поступаем по
образцу этого действия: откладываем на AF кратные линии AN до тех
85
пор, пока не будет достигнута такая кратная, которая больше АЕ,
пусть это AZ (Вв.). Линия, которая отсекает AZ на AF, есть KZ.
Тогда угол Z — прямой, как мы доказали для угла ANL. Угол
Е — также прямой. Поэтому линия ED не встретит ZB (XXVIII)
и не встретит [второй раз] АЕ (Вв.). Поэтому она необходимо
встретит А В.
Отсюда и из XXVIII следует, что всякие две линии на
плоскости или встречаются, или параллельны, так как, если на них
падает прямая линия, образующая односторонние углы, углы,
меньшие двух прямых, они встретятся, а если образуются два
угла, равные двум прямым, прямые параллельны (Вв.). Таким
образом, сомнение, имевшееся в этом вопросе, устранено
благодаря нашему усовершенствованию введений» [456, с. 15—17,
21-24].
Ссылки ал-Магриби на введение обозначают соответственно
ссылки на: 1) II постулат (возможности неограниченного
продолжения прямой); 2) определение острого угла как угла, меньшего
прямого; 3) определение прямого угла как угла, равного смежному
с ним; 4) аксиому Евдокса — Архимеда; 5) аксиому о том, что
две прямые не могут ограничивать плоской фигуры. Как мы
видим, доказательство «предпосылки» ал-Магриби, с одной стороны,
носит следы доказательств, происходящих от доказательства Симп-
ликия, а с другой стороны, аналогично доказательствам,
основанным на определении параллельных линий, содержащем
утверждение, равносильное V постулату, с помощью чего доказывается
существование прямоугольника. Так же как Ибн ал-Хайсам и ат-
Туси, ал-Магриби пользуется аксиомой Евдокса — Архимеда, а
также рассуждением, равносильным аксиоме Паша.
Теории параллельных линий Герсонида и Альфонсо. К XIV в.
относятся две первые попытки доказательства V постулата
Евклида в средневековой Европе. Обе они принадлежат
ученым, писавшим на древнееврейском языке и находившимся под
непосредственным влиянием арабоязычных сочинений, переводы
которых на древнееврейский язык были в это время широко
распространены в Южной Европе. Одно из этих доказательств
принадлежит Льву Герсониду (Леви бен Гершону, 1288—1344) —
уроженцу Баньоля в Южной Франции, работавшему в
южнофранцузских городах Оранже и Авиньоне. Лев Герсонид был
известным еврейским религиозным философом и автором
нескольких математических сочинений, написанных на древнееврейском
языке, в том числе «Комментариев к введениям книги Евклида»
и трактата «О синусах, хордах и дугах».
Доказательство Герсонида V постулата изложено в его
«Комментариях к введениям книги Евклида» («Бейур птихат сефер
Иклидус») [46]. Эти комментарии написаны под явным влиянием
комментариев ученых Ближнего и Среднего Востока, прежде
всего Ибн ал-Хайсама.
86
Однако в отличие от Ибн ал-Хайсама, который в своем
«доказательстве» совершает «постулирование основания», Герсонид,
так же как Хайям, помещает перед своим доказательством «две
известные предпосылки». Одна из них — «аксиома Евдокса —
Архимеда», применявшаяся и Ибн ал-Хайсамом, вторая —
«линия, которая наклонена, приближается к той стороне, с которой
образуется прямой угол» [46, с. 764]. Под «линией, которая
наклонена», здесь понимается такая прямая линия, для которой по
отношению к некоторой другой прямой и некоторой прямой,
падающей на эти две прямые, выполняются условия V постулата
Евклида. Перед формулировкой предпосылок Герсонид замечает,
что, «если прямая падает на две прямые и внутренние
односторонние углы меньше двух прямых, всякая прямая линия, падающая
на них, образует с той стороны внутренние углы, меньшие двух
прямых» [46, с. 765], поэтому несомненно, что во второй
предпосылке имеется в виду, что «линия, которая наклонена»,
приближается к данной прямой линии на всем протяжении этих линий.
Это утверждение равносильно V постулату Евклида, но носит
более наглядный характер.
В предложении 1 Герсонида доказывается, что «невозможен
прямолинейный четырехугольник, все углы которого были бы
тупыми или острыми» [46, с. 765]. Здесь, так же как у Ибн ал-
Хайсама и Хайяма, рассматриваются три гипотезы — гипотеза
острого, тупого и прямого угла — и опровергаются две первые
гипотезы. Если равнобедренный двупрямоугольник,
рассматривавшийся Хайямом, может быть получен из трипрямоугольника,
рассматривавшегося Ибн ал-Хайсамом, отражением от одной из
его сторон, примыкающих к двум прямым углам, то, отражая
равнобедренный двупрямоугольник от его основания, примыкающего
к двум прямым углам, мы получим четырехугольник,
рассматривавшийся Герсонидом. Первые две гипотезы опровергаются при
помощи второй предпосылки.
Из следствий гипотезы прямого угла, найденных Герсонидом,
отметим теорему о том, что «если одну из боковых сторон
равнобедренного треугольника продолжить из точки их пересечения
в ее направлении на такую же величину и провести основание,
то она составляет с первым основанием прямой угол» [46, с. 766].
Герсонид продолжает сторону АВ равнобедренного треугольника
ABC до G на расстояние BG = ВА (рис. 40) и доказывает, что
линия CG перпендикулярна АС. Герсонид строит высоту BD
треугольника ABC, продолжает ее до Е на расстояние BE = BD и
доказывает, что четырехугольник CDEG — прямоугольник. В ходе
доказательства опровергаются предположения, что CG = KL > ED
и CG = MN < ED, соответствующие гипотезам острого и тупого
угла. В числе следствий гипотезы прямого угла Герсонид
доказывает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
V постулат доказывается сначала для случая, когда прямые
АВ и CD пересекаются линией AG (рис. 41), перпендикулярной
87
/7
G CM L
Рис. 40 еис. 41
линии CD. Герсонид опускает из произвольной точки Н линии АВ
перпендикуляр на AG и [последовательно] удваивает отрезки АН
и AF до тех пор, пока отрезок AL, полученный удвоением
отрезка AF, не превзойдет отрезок AG. Тогда прямая CD пересекает
сторону AL полученного треугольника ALN, и, так как она не
может пересечь сторону LN или второй раз пересечь сторону AL,
она необходимо пересекает сторону AN, т. е. линию АВ. В этом
доказательстве используется первая предпосылка Герсонида,
т. е. аксиома Евдокса — Архимеда, и неявно применяется
аксиома Паша. На приводимом здесь чертеже (см. рис. 41)
опровергается предположение, что прямая второй раз пересекает сторону
AL треугольника ALN. Это доказательство очень близко к
доказательству Ибн ал-Хайсама. Далее Герсонид, так же как Ибн
ал-Хайсам, доказывает V постулат Евклида для случая,
когда две прямые пересекаются третьей прямой под двумя острыми
углами и под острым и тупым углом.
Второе доказательство V постулата Евклида, написанное
на диалекте древнееврейского языка, которым пользовались
испанские евреи, принадлежит некоему Альфонсо. Так как автор
писал на древнееврейском языке и носил христианское имя, он,
несомненно, являлся крещеным евреем. Из целого ряда крещеных
евреев, живших в Испании и носивших имя Альфонсо, наиболее
вероятным автором этого трактата является Альфонсо де Валья-
долид (1270—1346), известный главным образом как врач и автор
полемических сочинений на религиозные темы, а также как
знаток календарей. Трактат Альфонсо «Выпрямитель кривого»
(«Мейашшер саков») [8] * написан более философом, чем математи-
1 Из историков науки на рукопись [8] первым обратил внимание С. Я.
Лурье [120, с. 20]. Русский перевод рукописи подготовлен к печати
Г. М. Глускиной (под ред. Б. А. Розенфельда), см. [192, с. 100] и статью
Г. М. Глускиной [50].
88
ком. В основном этот трактат посвящен квадратуре круга и
другим проблемам, связанным и инфинитезимальными
рассуждениями. Вопрос об аксиоме о параллельных здесь является примером
плодотворного применения движения к геометрии. Вначале
Альфонсо критикует доказательство Аганиса, которое он считает
доказательством ан-Найризи, а затем приводит свое
доказательство в шести предложениях. В первом предложении он
доказывает, что, продолжая медиану любого треугольника на
расстояние, равное этой медиане, мы получим четырехугольник, у
которого противоположные стороны и противоположные углы равны.
Это предложение относится к абсолютной геометрии. Во втором
предложении он применяет предыдущее построение к
прямоугольному треугольнику и, пользуясь тем же «простым движением»,
что и Ибн Корра и Ибн ал-Хайсам, доказывает, что полученный
четырехугольник — прямоугольник. В предложениях 3—5
доказываются различные факты, являющиеся следствием аксиомы о
параллельных, вытекающие из «доказанного» Альфонсо
существования прямоугольника: равенство суммы острых углов
прямоугольника двум прямым; выполнение «гипотезы прямого угла»
для четырехугольника Хайяма и равенство верхнего основания
этого четырехугольника нижнему; теорема о том, что
перпендикуляр, опущенный из середины гипотенузы прямоугольного
треугольника на его катет, делит его пополам. В предложении 6
Альфонсо выводит из предыдущих предложений V постулат
Евклида, пользуясь аксиомой Евдокса — Архимеда.
Теория параллельных в XVI в. Первым сочинением, в котором
обсуждалась теория параллельных линий, написанным на
латинском языке, было «Астрономическое зеркало, заключающее
человеческий разум в каждой науке» («Speculum astronomicum
terminans intellectum humanum in omni scientia». Венеция, 1507)
уроженца югославского города Задара Федерика Бартолачича
Грисогоно (1472—1538), работавшего в Италии. Это сочинение
недавно изучалось Э. Стипаничем [492]. В 9-й главе,
называющейся «О параллельных линиях», Грисогоно критикует «многих
математиков, античных, арабских и латинских», которые пытались
доказать V постулат Евклида, исходя из определения
параллельных линий как равноотстоящих. Указав, что до сего дня он не
нашел решения, Грисогоно высказал интересную мысль: «Я
вообразил себе способ проведения на одной поверхности двух
неравноотстоящих прямых линий, которые можно продолжить до
бесконечности и которые тем не менее могут никогда не «встретиться»
[492, с. 371]. Э. Стипанич переводит латинское слово superficie —
«поверхность» сербо-хорватским словом ravan — «плоскость» и
замечает, что прямые, о которых говорит Грисогоно, имеют место
на плоскости Лобачевского. На самом деле Грисогоно здесь нигде
не указывает, что поверхность, о которой он говорит, является
плоской, и7 возможно, он имеет в виду свойство прямолинейных
89
образующих на поверхности однополостного гиперболоида. Тем
не менее размышления Грисогоно чрезвычайно интересны.
Мы упоминали целый ряд авторов, писавших на греческом и
арабском языках, пытавшихся доказать V постулат, исходя из
указанного Грисогоно определения параллельных линий. Как
видно, Грисогоно был знаком с некоторыми из этих «доказательств».
Однако нам неизвестны западноевропейские сочинения на
латинском языке, посвященные этому вопросу и написанные до 1507 г.,
и свидетельство Грисогоно о наличии таких сочинений также весьма
интересно. Первым из известных нам изложений «доказательств»
V постулата на латинском языке было изложение «доказательства»
Прокла в латинском переводе «Начал» Евклида, принадлежащем
итальянскому математику Федериго Коммандино (1509—1575)
[330], опубликованном в 1572 г.
Оригинальное «доказательство» V постулата принадлежит
немцу Христофору Клавию (Шлюсселю, 1537—1612), уроженцу
Бамберга, работавшему в Риме и участвовавшему там в
разработке грегорианского календаря. «Доказательство» Клавия приведено
в изложении «Начал» Евклида [306], опубликованном впервые в
1574 г.
Доказательство Клавия основывается на теореме о том, что
«линия, каждая точка которой отстоит от прямой линии,
находящейся в той же плоскости, на равном расстоянии, является
прямой» [306, с. 30]. Клавий доказывает это, исходя из евклидова
определения прямой линии как линии, «равно расположенной по
отношению ко всем точкам на ней». Клавий считает, что, так как
все точки рассматриваемой им линии отстоят от прямой на равном
расстоянии, эта линия «равно расположена» по отношению к
точкам на ней. Клавий опровергает предположение, что эта линия
является окружностью, так как линия, равноотстоящая от
окружности, является окружностью и, если бы рассматриваемая линия
была окружностью, окружностью должна была быть и данная
линия. Клавий считает очевидным, что, кроме прямой и
окружности, других линий, «равно расположенных по отношению ко всем
своим точкам», т. е., по существу, допускающих наложение на
себя, не может быть. В геометрии Лобачевского такой линией,
кроме прямой и окружности, является эквидистанта, которая и
служит в этом случае геометрическим местом точек плоскости,
равноотстоящих от прямой.
Исходное положение Клавия близко к исходному положению
Ибн ал-Хайсама; Клавий не упоминает имени Ибн ал-Хайсама, но
говорит: «Я узнал, что это также сделано в каком-то арабском
Евклиде; но мне никогда не представлялось возможности прочесть
это доказательство, хотя я упорно несколько раз просил это у
того, кто владеет этим арабским Евклидом» [306, с. 30];
по-видимому, Клавий был знаком с доказательством Ибн ал-Хайсама из
вторых рук. Близки к Ибн ал-Хайсаму и следующие предложения
Клавия [306, с. 51—52]: «Если прямая линия движется по другой
90
с
F
D
Рис. 42
A £ В
прямой, образуя своим концом с ней все время прямой угол, ее
другой конец описывает прямую линию»; «если к прямой линии
восставлены два равных перпендикуляра, конечные точки
которых соединены прямой линией, то перпендикуляр, опущенный из
произвольной точки этой прямой на первую прямую, равен
первому перпендикуляру». В следующем предложении Клавий
рассматривает четырехугольник Хайяма — Саккери и доказывает,
что его верхние два угла прямые. Здесь, однако, не
рассматриваются три гипотезы, как у Ибн ал-Хайсама и Хайяма, а
восставляется перпендикуляр EF в середине нижнего основания А В
двупрямоугольника ABCD (рис. 42). Этот перпендикуляр по
предыдущему предложению равен боковым сторонам С А и DB
двупрямоугольника; доказав, что верхние углы четырехугольника
А В CD прямые, Клавий отмечает, что то же относится к
четырехугольникам AEFC и EBDF, откуда видно, что все верхние углы
этих четырехугольников также равны друг другу; но углы CFE
и DFE смежные, поэтому все эти углы прямые.
Доказав существование прямоугольника, Клавий
«доказывает» V постулат сначала, так же как Ибн ал-Хайсам, ат-Туси и
Герсоиид, для случая перпендикуляра к наклонной, а затем, так
же как указанные ученые, для общего случая.
«Доказательство» V постулата Катальди. В самом начале
XVII в. были опубликованы «Небольшое сочинение о
равноотстоящих и неравноотстоящих прямых линиях» («Operetta delle
linee rette equidistanti et non equidistanti». Болонья, 1603) [296]
и «Дополнение к небольшому сочинению о равноотстоящих и
неравноотстоящих прямых линиях» («Aggiunta all' Operetta delle
linee equidistanti et non equidistanti». Болонья, 1604) [297]
итальянского математика Пьетро Антонио Катальди (1548—1626),
известного открытием цепных дробей. Первое сочинение Катальди
содержит два определения и предложения 1—15, второе —
предложения 16—33 и заключительное предложение, в котором
«доказывается» V постулат. В определении 1 определяется
расстояние от точки до прямой, в определении 2 — равноотстоящие и
неравноотстоящие прямые. Из допущения о существовании равноот-
91
стоящих прямых уже в первом сочинении Катальдй выводит ряд
утверждений, на основании которых можно доказать V постулат.
Например, предложение 2: «Если две прямые линии —
равноотстоящие, то линии, проведенные от первой перпендикулярно ко
второй, будут перпендикулярны к первой линии» [296, с. 3], в
котором доказывается существование прямоугольника, или одно из
следствий из предложения 10: «Если сложить три угла
произвольного треугольника, то в сумме получатся два прямых угла» [296, с. 16].
Доказательство V постулата у Катальдй основывается на
предложении 30: «Если две неравноотстоящие прямые линии сходятся
с одной стороны, то необходимо, чтобы при продолжении в ту
сторону, в которую они приближаются, в конце концов они
пересеклись» [297, с. 59]. Отметим, что формулировка этого утверждения
совпадает с «принципом», приписываемым Хайямом Аристотелю.
«Доказательства» V постулата Борелли и Витале Джордано.
К XVII в. относятся еще два «доказательства» V постулата,
принадлежащие итальянским математикам. Джованни Альфонсо
Борелли (1608—1679) в «Восстановленном Евклиде» («Euclides
restitutus». Пиза, 1658) [279] исходит в своем доказательстве из
следующей «аксиомы 14»: «Если отрезок какой-нибудь прямой,
оставаясь в одной и той же плоскости, переносится поперек по
отношению к другой прямой таким образом, что всегда примыкает к
последней своим концом, то другая конечная точка отрезка в
своем движении опишет прямую линию» [279, с. 32]. Под словами
«переносится поперек» имеется в виду перенос под постоянным
углом к данной прямой, поэтому утверждение Борелли, по
существу, совпадает с утверждениями Ибн Корры и Ибн ал-Хайсама.
Как и эти арабские математики, Борелли пытается обосновать
данное утверждение с помощью кинематических соображений: он
доказывает, что два перпендикуляра к одной прямой равноот-
стоят друг от друга, определяет параллельные прямые как
равноотстоящие и выводит V постулат из существования
прямоугольника.
Аналогичное «доказательство» V постулата имеется и в
«Восстановленном Евклиде, или Восстановленных и облегченных
античных «Началах геометрии» в 15 книгах» («Euclide restituto,
overo Gli antichi elementi geometrici ristaurati et facilitati libri
XV. Рим, 1680) [344] Витале Джордано (1633-1711). Джордано
«доказывает», что геометрическое место прямых, равноотстоящих
от прямой, есть прямая, с помощью следующей леммы: «Если
через две точки какой-нибудь кривой, обращенной своей
вогнутостью к X, проведена прямая АС и если из бесконечно большого
числа точек дуги АС опустить перпендикуляры на прямую, то я
утверждаю, что эти перпендикуляры равны друг другу» [344 с. 4].
Джордано рассматривает прямую GF, соединяет концы равных
перпендикуляров AG и DBF прямой АС (рис. 43). Линия ABC,
разумеется, не является равноотстоящей от прямой GF, однако
92
Уд j? *\
Рис. 43
при «доказательстве» того, что геометрическое место точек,
равноотстоящих от прямой, есть прямая, Джордано применяет эту
лемму к линиям, для которых не имеют место соотношения между
прямой GF и линией ABC. Далее Джордано рассматривает
четырехугольник Хайяма — Саккери и доказывает, что его верхние
углы прямые, а из существования прямоугольника выводит V
постулат.
Теория параллельных линий Валлиса. Одному из крупнейших
английских математиков XVII в. Джону Валлису (1616—1703)
также принадлежит трактат, посвященный V постулату и
составным отношениям: «О пятом постулате и пятом определении в
книге Евклида, геометрическое рассуждение» («De postulate quinto
et definitione quinta lib. 6 Euclidis; disceptatio geometrica».
Оксфорд, 1693) [514, т. 2, с. 665—678]. Трактат состоит из трех
частей. В первой рассматривается так называемое определение 5
книги VI «Начал» — определение составного отношения,
являющееся позднейшей вставкой. Во второй части дается перевод с
арабского Эдварда Покока «доказательства» V постулата из
упоминавшегося римского издания 1594 г. «Изложения „Начал"
Евклида», приписываемого ат-Туси. В третьей части приводится
доказательство V постулата, принадлежащее "амому Валлису. Валлис
доказывает V постулат с помощью следующего постулата:
«Наконец, я приму (считая уже известными природу отношения и
учение о подобных фигурах) в качестве общего понятия: для всякой
фигуры возможна другая подобная ей фигура произвольной
величины» [514, т. 2, с. 676]. Валлис обосновывает естественность
этого «общего понятия», т. е. аксиомы, тем, что частным случаем
этого «общего понятия» является III постулат Евклида: «Из вся
кого центра и всяким раствором может быть описан круг». Для
того чтобы доказать, что две прямые А В и CD, образующие с
прямой АС углы, в сумме меньшие двух прямых, пересекаются (рис.
44), Валлис передвигает эту прямую АВ вдоль прямой АС таким
93
образом, что угол CAB остается постоянным. При достаточном
приближении к точке С прямая АВ займет такое положение сф,
в котором она пересечется с прямой CD в точке л. По
предположению Валлиса, для полученного треугольника аСл, имеется
подобный треугольник АСР\ точка Р и является искомой точкой.
Теория параллельных линий Саккери. ^В^первой половине
XVIII в. важная попытка доказательства V постулата была
предпринята итальянцем Джироламо Саккери (1667—1733) в его
«Евклиде, очищенном от всех пятен, или Геометрической попытке
установить самые первые начала всей геометрии» («Euclides ab
omni naevo vindicates sive Conatus geometricus, quo stabiliuntur
prima ipsa universae geometriae principia». Милан, 1733) l.
Саккери подвергает критике доказательство V постулата Валлиса и
«доказательство», приписываемое ат-Туси. В своем доказательстве
Саккери рассматривает тот же равнобедренный двупрямоуголь-
ник, что и Хайям и ат-Туси (мы уже упоминали, что этот
четырехугольник часто называют «четырехугольником Саккери»), и
высказывает те же три гипотезы о его верхних углах, что и
Хайям и ат-Туси.
Гипотеза тупого угла опровергается Саккери следующим
образом: он показывает, что при гипотезе тупого угла, как и при
гипотезе прямого угла, имеет место V постулат Евклида.
Отсюда Саккери делает вывод, что при гипотезе тупого угла
должна иметь место обычная геометрия, в которой, «как ясно для
всех геометров», справедлива гипотеза прямого угла, вследствие
чего «гипотеза тупого угла всецело ложна, так как она сама себя
разрушает». Смысл этого доказательства состоит в том, что, так
как из остальных аксиом геометрии Евклида при добавлении V
постулата следует справедливость гипотезы прямого угла, гипотеза
тупого угла, при которой выполняется V постулат, противоречит
остальным аксиомам геометрии Евклида.
После этого Саккери переходит к опровержению гипотезы
острого угла. Здесь Саккери проникает гораздо дальше, чем его
предшественники, в геометрию Лобачевского, при которой имеет место
эта гипотеза. Он доказывает, что при гипотезе острого угла две
прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по
обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или
удаляются друг от друга с одной стороны и асимптотически
приближаются друг к другу с другой стороны. В последнем случае Саккери
приходит к выводу, что эти прямые должны иметь общую точку и
общий перпендикуляр в бесконечности. Смысл этого вывода
состоит в том, что если опускать из точек одной из этих прямых
перпендикуляры на другую прямую, то при стремлении точки в
бесконечность длина этого перпендикуляра стремится к нулю, а
1 Издание с английским переводом Дж. Б. Халстеда — [457]; немецкий
перевод — в книге Энгеля и Штеккеля [328, с. 45—135].
94
угол, составляемый этим перпендикуляром с первой прямой,
стремится к прямому углу. Однако Саккери представлял себе
общую точку и первый перпендикуляр в бесконечности как
обычную общую точку и общий перпендикуляр и делал отсюда вывод,
что в третьем случае две прямые касаются друг друга в
бесконечности, откуда он заключал, что «гипотеза острого угла
совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии»
[328, с. 109].
Не удовлетворившись этим доказательством, Саккери
рассматривает геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от
прямой. В отличие от своих предшественников Саккери знает, что
эта линия в случае гипотезы острого угла не прямая и не
окружность. Вычисляя длину дуги этой линии при помощи бесконечно
малых, Саккери делает ошибку и находит, что эта длина равна
расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных
из этих точек на прямую, а с другой стороны, Саккери показал,
что эти перпендикуляры удаляются друг от друга и расстояния
между концами дуги, не говоря уже о длине этой дуги, должны
быть больше расстояния между основаниями перпендикуляров.
Получив это противоречие, Саккери вновь объявляет гипотезу
острого угла опровергнутой. Эти рассуждения Саккери
доказывает замечанием, из которого видно, что он не удовлетворен и
ими: «Не могу но указать здесь разницу между приведенными
опровержениями обеих гипотез. При гипотезе тупого угла все ясно,
как свет божий... Между тем опровергнуть гипотезу острого угла
мне не удается иначе, как доказав, что длина [криволинейной
дуги] равна длине прямолинейного базиса» [328, с. 129].
При всей ложности выводов Саккери его исследования
геометрии, возникающей при гипотезе острого угла, являются
важным шагом на пути открытия неевклидовой геометрии.
Заметим, что существование прямоугольника, доказываемое
Саккери и многими его предшественниками, было в явном виде
положено в основу изложения теории параллельных линий
выдающимся математиком XVIII в. Алексисом Клодом Клеро (1713—
1765) в его «Началах геометрии» («Elements de geometrie».
Париж, 1741). Существование прямоугольника Клеро
обосновывает «формой домов, садов, комнат, стен» [304, с. 4].
Теория параллельных линий Ламберта. Во второй половине
XVIII в. со специальным трактатом «Теория параллельных
линий» («Theorie der Parallellinien». Лейпциг, 1786) [328, с. 152—
207] выступил один из крупнейших математиков этого века,
уроженец Мюлуза в Эльзасе, Иоганн Генрих Ламберт (1728—1777),
работавший в Мюнхене и Берлине, прославившийся
доказательством иррациональности чисел е и я. Во вводной части трактата
Ламберт пишет: «В настоящем сочинении речь идет о трудности,
которая встречается в самых началах геометрии и уже со времен
Евклида вызывает затруднения у тех, кто не просто слепо следует
95
учениям других, а хочет иметь основания быть убежденным и ни
в чем не желает жертвовать той строгостью, которая имеется в
большинстве доказательств. Эта трудность сразу бросается в
глаза каждому, кто читает «Начала» Евклида, так как она кроется
даже не в его предложениях, а в аксиомах, которые Евклид
предпослал первой книге» [328, с. 152]. Далее Ламберт приводит
формулировку 11 аксиомы (V постулат) и говорит: «Это основное
утверждение, бесспорно, далеко не так ясно и очевидно, как остальные;
и оно естественным образом создает впечатление, что оно не
только требует доказательства, но в известной степени чувствуется,
что читатель способен дать такое доказательство или что он
должен был это сделать.
Но это, насколько я понимаю это дело, первое впечатление.
Тот, кто прочтет Евклида дальше, должен удивляться не только
тщательности и строгости его доказательств, но и известной
благородной простоте в его изложении, тем более удивительно
положение с 11-й аксиомой, когда убеждается, что Евклид
доказывал предложения, которые гораздо легче могли обойтись без
доказательства» [328, с. 153].
Далее Ламберт рассматривает тот же трипрямоуголъник, что
и Ибн ал-Хайсам (мы уже упоминали, что этот четырехугольник
часто называют «четырехугольником Ламберта»), и те же гипотезы
прямого, тупого и острого углов.
"Ламберт, как и Саккери, опровергает гипотезу тупого угла.
Он делает это, показывая, что при гипотезе тупого угла два
перпендикуляра к одной прямой пересекаются, что не противоречит
V постулату, но противоречит остальным аксиомам геометрии
Евклида. Ламберт отмечает, что гипотеза тупого угла имеет место
на сфере, если в качестве прямых рассматривать ее большие
окружности.
Переходя к гипотезе острого угла, Ламберт доказывает еще
больше утверждений, имеющих место в геометрии Лобачевского,
чем Саккери. В частности, он находит, что сумма углов
треугольника при гипотезе острого угла меньше двух прямых, и,
сравнивая этот факт с теоремой о том, что в случае гипотезы тупого угла
сумма углов треугольника больше двух прямых, Ламберт пишет:
«Легко видеть, что таким образом при третьей гипотезе можно
идти еще дальше и что аналогичные гипотезы можно найти и при
второй гипотезе, но с совершенно противоположным результатом.
Но я разыскивал эти следствия главным образом при третьей
гипотезе, для того чтобы убедиться, не обнаружатся ли при этом
противоречия. Из всего этого я вижу, что эту гипотезу совсем
нелегко опровергнуть. Я приведу еще несколько следствий, не
рассматривая, насколько далеко можно продолжить их при
второй гипотезе с надлежащими изменениями.
Наиболее выдающееся из этих следствий — то, что, если бы
имела место третья гипотеза, мы имели бы абсолютную меру
длины каждой линии, площади каждой поверхности и объема каждого
96
телесного пространства. Это опровергает утверждение, которое
некоторые неразумно считают аксиомой геометрии, поскольку до
сих пор ни один человек не сомневался, что нет никакой
абсолютной меры... Это следствие имеет нечто восхитительное,
вызывающее желание, чтобы третья гипотеза была бы справедливой!
Однако я не хотел бы, несмотря на эту выгоду, чтобы это было
так, так как это вызвало бы бесчисленные неудобства.
Тригонометрические таблицы были бы бесконечно обширными, подобие
и пропорциональность фигур совершенно отсутствовали бы, ни
одну фигуру нельзя было бы изобразить иначе, чем в ее
абсолютной величине, астрономам было бы плохо, и т. д.
...Однако все это— аргументы, продиктованные любовью и
ненавистью, что в геометрии, как и во всей науке, не должно иметь
места.
Я вернусь снова к третьей гипотезе. При ней, как мы только
что видели, в каждом треугольнике сумма трех углов меньше
180 гр., или двух прямых углов. Но разность до 180 гр. возрастает
так же, как площадь треугольника; это можно выразить так: если
из двух треугольников один имеет большую площадь, чем другой,
то у первого сумма трех углов меньше, чем у другого...
...Я добавлю только следующее замечание. При второй
гипотезе имеют место совершенно аналогичные теоремы, только при
ней в каждом треугольнике сумма трех углов больше 180 гр.
Избыток всегда пропорционален площади треугольника.
Мне кажется замечательным, что вторая гипотеза выполняется,
если вместо плоского треугольника взять сферический, так как
у него сумма углов больше 180 гр. и избыток также
пропорционален площади треугольника.
Еще более замечательным представляется мне то, что
сказанное мной здесь о сферических треугольниках доказывается
независимо от трудности параллельных линий и в предположении
только той аксиомы, что всякая плоскость, проходящая через центр
сферы, делит ее на две равные части.
Я почти должен был бы сделать из этого вывод, что третья
гипотеза имеет место на некоторой мнимой сфере. По меньшей мере
должно же быть что-то, из-за чего она на плоскостях так долго не
позволяет себя опровергнуть, как это имело место со второй
гипотезой» [328, с. 200—203].
Как мы видим, Ламберт не смог найти противоречия в гипотезе
острого угла и пришел к выводу, что все попытки доказать V
постулат не привели к успеху. Тем не менее, будучи уверен, что
геометрия Евклида — единственная непротиворечивая геометрия, он
продолжал считать, что геометрия, возникающая при гипотезе
острого угла, невозможна.
«Доказательство» V постулата Бертрана. В 1778 г. было
опубликовано остроумное «доказательство» V постулата ученика
Эйлера, швейцарского математика Луи Бертрана (1731—1812).
4 Б. А. Розенфельд
97
Это «доказательство» было помещено во II томе его «Нового
изложения элементарной части математики» («Development nouveau
de la partie elementaire des mathematique». Женева, 1778) и
переиздано в его «Началах геометрии» («Elements de geometrie».
Париж, 1812) [267]. «Доказательство» основано на операциях с
бесконечно большими величинами и состоит в следующем: пусть
прямые LC и КА (рис. 45) составляют с прямой KL внутренние углы
AKL и CLK, в сумме меньшие двух прямых. Тогда существует
прямая LM, образующая с LC такой угол CLM, что сумма трех
углов AKL, CLK и CLM равна двум прямым. Следовательно,
если бы прямая LC не пересекала прямой К А, угол MLC заключался
бы внутри полосы MLKA. Но эта полоса содержится в плоскости
«бесконечное число раз», в то время как угол MLC содержится
в ней лишь столько раз, сколько дуга МС содержится в окружпо-
сти, описанной из центра L радиусом LM. Отсюда Бертран делает
вывод, что угол MLC не может заключаться целиком внутри
полосы MLKA, вследствие чего его сторона LC выходит из этой
полосы и, следовательно, пересекает КА.
На самом деле ни всю плоскость, ни ее часть, ограниченную
сторонами угла, нельзя рассматривать как величины,
допускающие количественное сравнение, так как, двигая угол на плоскости
в область, ограниченную его сторонами, и рассуждая, как
Бертран, мы получим нелепое равенство между «величиной угла» и ее
суммой с «величиной» области, ограниченной первым и вторым
положениями угла. В то же время наглядная образность
рассуждений Бертрана казалась убедительной даже серьезным
математикам начала XIX в., и А. Крелле, издатель немецкого «Journal
fur die reine und angewandte Mathematik», поместивший в нем
в 1834 г. одну из статей Н. И. Лобачевского об открытой им
геометрии, в 1835 г. напечатал модификацию доказательства
Бертрана [312].
«Доказательства» V постулата Лежандра и С. Е. Гурьева.
В конце XVIII и начале XIX в. несколько попыток доказать
V постулат предпринял крупный французский математик Адриан
Мари Лежандр (1752—1833) в своих «Началах геометрии»
(«Elements de geometrie». Париж, 1794—1823) [389—391]1 — учебнике
элементарной геометрии, продолжавшем традиции одноименного
учебника А. К. Клеро.
В первом издании «Начал геометрии» Лежандр доказывал
V постулат следующим образом: пусть прямая BD
перпендикулярна прямой АВ, а прямая АС составляет с ней острый угол ВАС
(рис. 46). Лежандр показывает, что основание G перпендикуляра
FG, опущенного из некоторой точки F линии А С, не может
совпасть с точкой А и не может попасть на продолжение AL линии
АВ по другую сторону от точки А: первое невозможно, так как
1 Русский перевод последнего издания — [106],
98
£
D
Рис. 45
L H Й G- M N
В J
угол BAF по условию острый; второе невозможно потому, что
если бы точка G совпала с точкой Н линии AL, то перпендикуляр
FH пересекся бы с перпендикуляром АЕ, восставленным из точки
А, в некоторой точке К и из этой точки на прямую AL были бы
опущены два перпендикуляра. Поэтому основание G перпендикуляра
находится на линии AJ. Таким же образом основание М
перпендикуляра, опущенного на линию АВ из точки С, не может совпасть
с точкой G и попасть на линию GL, а основание N перпендикуляра
PN, опущенного из некоторой точки Р продолжения линии АС
на линию АВ, не может совпасть с точкой М и попасть на линию
ML и т. д. И при удалении точки прямой А С от точки А основание
перпендикуляра, опущенного из него на прямую АВ, также
удаляется от точки А. Ни одно из этих оснований не может быть
последним, так как предположение о том, что основание N
последнее, противоречит тому, что на прямой АС существуют точки,
отстоящие от точки А дальше соответствующей точки Р, и основания
перпендикуляров, опущенных из этих точек, отстоят от точки А
дальше, чем N. Отсюда Лежандр сделал вывод, что расстояния
оснований перпендикуляров, опущенных из точек прямой АС
на прямую АВ, от точки А могут быть сколь угодно большими и,
следовательно, одно из них совпадает с точкой В. Поэтому
перпендикуляр BD также опущен на прямую АВ из некоторой точки
прямой АС, которая и является точкой пересечения прямых АС
и АВ. Таким образом, Лежандр «доказал», что перпендикуляр и
наклонная обязательно пересекаются, откуда нетрудно вывести
общий случай V постулата.
Ошибка этого доказательства была вскрыта русским
академиком Семеном Емельяновичем Гурьевым (1764—1813) в «Опыте
об усовершении елементов геометрии» (Петербург, 1798) [54].
С. Е. Гурьев показал, что из монотонного увеличения расстояния
основания перпендикуляра от точки А вовсе не следует, что это
4*
99
В J? F H К М О
ллллллл
Я С £ е I L Н Р
Рис. 47
расстояние может быть сделано сколько угодно большим, так же
как из монотонного увеличения суммы членов сходящегося
положительного ряда не следует, что эта сумма может превзойти сумму
ряда. Заметим, что аналогичная «сходимость» оснований
перпендикуляров имеет место при опровержении гипотез тупого и острого
угла для четырехугольника Хайяма — Саккери в
доказательстве ат-Туси. Лежандр и сам остался недоволен своим
доказательством и в 3-м издании «Начал геометрии» предложил новое
«доказательство», основанное на равенстве суммы углов треугольника
/\
/ \
1 \ / \
/ \ / \
I \ / \
_i ЪА А Рис. 48
F /Г Я
двум прямым углам. Здесь Лежандр доказывает это следующим
образом: вначале он доказывает, что сумма углов треугольника не
больше двух прямых. Если в треугольнике ABC сумма углов
больше 2d (рис. 47), Лежандр строит на продолжении стороны АС
треугольники CDE, . . ., NOP, конкруэнтные треугольнику ABC,
и соединяет вершины В, D, . . ., О прямыми линиями. Сумма
углов АС В, BCD, DCE равна 2d. Так как угол ВСЕ по построению
равен углу CAB, а сумма углов треугольника ABC больше 2d,
угол BCD меньше угла ABC. Так как стороны АВ, ВС
треугольника ABC соответственно равны сторонам CD, CB треугольника
BCD, то отсюда следует, что АС > BD. Пусть АС — BD = 6.
Если число треугольников ABC, CDE, . . ., NOP равно п, то
длина отрезка АР равна п-АС, а длина ломаной ABDF... ОР
равна АВ + ВС + (п — 1)BD, или, так как АС — BD = б, АВ +
+ ВС + АР — BD — п8. Поэтому разность между ломаной и от-
100
резком АР равна АВ + ВС — BD — пб. Но число п может быть
взято сколь угодно большим, и, следовательно, разность А В +
+ ВС — BD — п8 может быть сделана отрицательной; но в этом
случае ломаная становится короче отрезка, соединяющего его
концы, что невозможно.
Далее Лежандр пытается доказать, что сумма углов
треугольника не может быть меньше 2d. Лежандр предполагает, что в
треугольнике ABC сумма углов меньше 2d (рис. 48). Если А —
наименьший из его углов, при противоположной стороне строятся
углы ВВС = АС В и DCB = ABC и таким образом получается
треугольник BCD, конгруэнтный треугольнику ABC. Далее
Лежандр проводит через точку D прямую, пересекающую стороны
угла А в точках Е и F. Сумма углов треугольников BDE и CDF
по доказанному <! 2d, сумма углов каждого из треугольников
ABC, BCD равна 2d — 6. Отсюда следует, что сумма углов
треугольника AEF, меньшая суммы всех углов этих четырех
треугольников на Ы, меньше 2d—26. Повторяя этот процесс, мы получим
треугольник с суммой сторон, меньшей 2d —4 б, 2d —86 и т. д.,
и таким образом мы получим треугольник, сумма углов которого
отрицательна. В этом доказательстве Лежандр пользуется
утверждением о том, что через точку внутри острого угла можно
провести прямую, пересекающую обе его стороны, из которого выводили
V постулат Симпликий, ал-Джаухари, ал-Абхари и ат-Туси.
Найдя ошибку в этом доказательстве, в 12-м издании своих
«Начал геометрии», Лежандр предложил новое доказательство
того же утверждения: если в треугольнике ABC сторона АВ
наибольшая и сторона ВС — наименьшая (рис. 49), так что угол
АСВ — наибольший, а угол ВАС — наименьший, то через
середину / стороны ВС проводится отрезок АС' = АВ и на
продолжении АВ откладывается АК = AI и АВ' = 2 AI. Тогда
треугольники А К С и В' КС соответственно конгруэнтны
треугольникам A BI и А 1С и углы А', В', С треугольника А В' С связаны с
углами А, В, С треугольника ABC соотношениями С = В + С и
А = А' + В', откуда следует, что А + В + С = А' + В' + С";
так как АС < АВ, угол А' меньше 112А. Аналогично строятся
треугольники АВ"С", АВ"'С'" и т. д., суммы углов которых
также остаются постоянными, а углы А", А'", . . . соответственно
меньше V4» 11%А и т. д. Поэтому при достаточном продолжении
процесса угол полученного треугольника при вершине А может быть
сделан меньше любого заданного числа. Отсюда Лежандр делает
вывод, что в пределе этот угол будет равен 0 и все точки
треугольника будут расположены на одной прямой, поэтому один из
остальных двух углов этого треугольника будет равен 0, а другой
2d. Так как при этом процессе сумма углов треугольника не
изменяется, Лежандр приходит к выводу, что эта сумма и была равна
2d. Здесь Лежандр также делает ошибку, так как в случае
геометрии Лобачевского площадь треугольника определяется его
суммой углов и переменный треугольник с постоянной суммой уг-
101
с
(I М В К' В' В"
Рис. 49
Рис. 50
лов имеет постоянную площадь, вследствие чего его вершины не
могут стремиться к трем точкам на прямой.
Из того, что сумма углов треугольника равна 2d, Лежандр
доказывает V постулат следующим образом. Если прямые АВ и CD
составляют с прямой EF углы BEF и DFE, в сумме меньшие 2d
(рис. 50), Лежандр проводит прямую FG под углом EFG,
дополняющим угол BEF до 2d. Тогда угол EFD меньше угла EFG. Далее
проводится произвольная прямая FM> пересекающая прямую
АВ в точке М, на прямой АВ откладывается отрезок MN = FM,
проводится прямая FN; в равнобедренном треугольнике FMN
каждый угол при основании равен половине угла FME = MFG,
поэтому угол NFG также равен половине угла MFG. Далее на
прямой АВ откладывается отрезок NP = FN; в равнобедренном
треугольнике FNP каждый из углов при основании равен
половине угла FNE, т. с. четверти угла MFG, т. е. угол PFG также равен
четверти угла MFG. Продолжая этот процесс, мы будем получать
равнобедренные треугольники, основания которых составляют с
с прямой FG углы, составляющие геометрическую прогрессию со
знаменателем V2; поэтому такой угол может быть меньше любой
заданной величины, и в частности меньше угла DFG. В этом
случае линия FD попадает внутрь одного из этих треугольников
и, следовательно, пересекает его сторону, противоположную
углу F, т. е. прямую АВ.
Исследования Лежандра, несмотря на все ошибки, так же как
исследования Саккери, сыграли существенную роль в истории не-
102
с л
I
J*
н
F
И
L
fi p s q т I/ в z
евклидовой геометрии, этому особенно способствовало широкое
распространение «Начал геометрии» Лежандра.
Упоминавшийся нами С. Е. Гурьев, вскрывший ошибку в 1-м
издании «Начал геометрии» Лежандра, в «Опыте об усовершении
елементов геометрии» предложил свое доказательство V постулата.
Гурьев рассматривает вначале случай, когда прямые АС ж BD
пересекаются прямой АВ, перпендикулярной к BD (рис. 51).
Опуская из точек прямой АС перпендикуляры на прямую А В, мы
получаем точки прямой АВ, обладающие тем свойством, что
перпендикуляры к этой прямой, восставленные в точках этой прямой,
пересекаются с А С. Если перпендикуляр BD не пересекается с А С,
то «из перпендикуляров, на АВ от А к Z поставленных, имеется
один, который пресекается с АС, и другие, которые не
пресекаются с АС». Отсюда С. Е. Гурьев делает вывод, что «имеется общий
предел, где одни перпендикуляры кончаются, а другие
начинаются, ибо без сего предела все перпендикуляры были бы с АС
пресекающиеся... и так да положится сей предел; я говорю, что его не
имеется, ибо где бы ни положить его, всегда найти можно будет
перпендикуляры, преходящие сей предел и АС пресекающие: так
пусть перпендикуляр КТ есть сей предел, то на продолженной АС
взяв точку L за точкой К и опустив из нее на АВ перпендикуляр
LU, найдешь, что имеются весьма многие перпендикуляры, на АВ
между Т и U поставленные, которые пресекаются с А С и преходят
положенный предел ТК» [54, с. 237—238]. Однако из того, что
среди перпендикуляров, пересекающих А С, нет последнего,
Гурьев делает совершенно неверный вывод, что среди
перпендикуляров, не пересекающих АС, нет первого, этот первый
перпендикуляр и есть «предел», о котором говорит Гурьев. Из того, что
перпендикуляр и наклонная обязательно пересекаются, Гурьев уже
легко доказывает V постулат и в случае, когда секущая образует
с двумя данными прямыми два острых угла и острый и тупой углы.
Теория параллельных линий Фаркаша Бойяи. К первой
половине XIX в. относится ряд «доказательств» V постулата
венгерского математика Фаркаша Бойяи (1775—1856), уроженца
местечка Боця в Трансильвании, учившегося в Гёттингенском уни-
403
я'
в вг
\ Рис. 52
верситете вместе с Гауссом, а впоследствии профессора
математики в реформатском коллегиуме в трансильванском городе Марош-
Вашархей (ныне Тыргу-Муреш в Румынии). Еще в Гёттингене
Ф. Бойяи заинтересовался теорией параллельных линий и
опубликовал «Теорию параллельных» («Theoria parallelarum». Марош-
Вашархей, 1804) [274], в которой пытался доказать существование
равноотстоящих прямых. Он послал эту работу Гауссу, но тот
указал его ошибку. После этого Ф. Бойяи предпринял еще целый
ряд попыток доказательства V постулата.
Под влиянием Ф. Бойяи теорией параллельных линий
заинтересовался его сын Янош, впоследствии один из творцов
неевклидовой геометрии. Ф. Бойяи пытался отговорить сына от занятий этой
теорией, разочаровавшись в своей очередной попытке доказать
V постулат, писал ему: «Молю тебя, оставь в покое учение о
параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных
увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно тебе
погубит всю радость жизни. Эта беспросветная мгла может
поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не прояснится;
никогда несчастный род человеческий не достигнет абсолютной
истины — даже в геометрии» *.
Обзор попыток доказательства V постулата с выяснением
гипотез, на которых они основаны, Ф. Бойяи собрал в своем
основном труде «Опыт введения учащейся молодеяш в начала чистой
математики, элементарной pi высшей, специально
приспособленным для этого наглядным методом» («Tentamen juventutem studio-
sam in elementa xnatheseos purae, elemental ac sublimioris, me-
thodo intuitiva, evidentiaque huic propria introducendi». Марош-
Вашархей, 1832) [275]. Наиболее интересное из доказательств
Vfпостулата изложено в книге Ф. Бойяи «Краткий очерк попытки
1) логически строго представить арифметику, 2) точно определить
понятия геометрии» («Kurzes Grundrisseines Versuchesl) die Arith-
1 См. статью В. Ф. Кагана в книге Я, Бойди [25r cf 18—19].
104
inetik logisch-streng ctarzustelien, 2) in die Geometrie die Begriffe
scharf zu bestimmen». Марош-Вашархей, 1851) [276].
Доказательство было основано на постулате: «Три точки, не
лежащие на одной прямой, всегда принадлежат некоторой
окружности» [276, с. 46]. Это утверждение эквивалентно V постулату, так
как в геометрии Лобачевского через три точки, не лежащие на
прямой, можно провести одну из трех кривых — окружность,
эквидистанту и орицикл. Ф. Бойяи выводит постулат из этого
утверждения следующим образом: если А А' и ВВ'— две прямые,
одна из которых перпендикулярна, а другая — наклонна к прямой
АВ (рис. 52), возьмем на отрезке АВ точку М и построим точки М'
и М", симметричные М относительно А А' ж ВВ'. Эти три точки не
лежат на одной прямой и, следовательно, по постулату Ф. Бойяи
лежат на одной окружности. Поэтому прямые А А' и ВВ'
пересекаются в центре этой окружности. Из пересечения перпендикуляра
и наклонной Ф. Бойяи доказывает и общий случай V постулата.
Последнее доказательство было опубликовано Ф. Бойяи уже
после открытия неевклидовой геометрии его сыном и Н. И.
Лобачевским, но этого открытия Ф. Бойяи, к сожалению, не понял.
ГЛАВА ТРЕТЬИ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Применение движения в геометрии в древности и в средние
века. Мы уже встречались несколько раз с вопросом о применении
движения в геометрии. В книге I «Начал» Евклид пользуется
наложением только в предложениях 4 и 8—теоремах о равенстве
треугольника, а в дальнейшем уже опирается на эти предложения.
Исключено движение и из упоминавшегося нами определения
круга (определение 15 книги I). Напротив, определения сферы и
прямых круговых конуса и цилиндра (определения 14, 18 и 21 книги
XI) [66, т. 1, с. 12; т. 3, с. 10] с помощью вращения соответственно
полукруга вокруг диаметра, прямоугольного треугольника вокруг
катета и прямоугольника вокруг стороны отражают, по-видимому,
давние традиции; мы видели, что в более поздней «Сферике»
Феодосия определение сферы произведено без ссылки на вращение, по
образцу евклидова определения круга.
То, что движение широко применялось в геометрии до Евклида,
видно уже из формулировок теорем первого греческого ученого,
которому приписывалось доказательство теорем,— Фалеса (VI в.
до н. э.). Прокл в упоминавшихся комментариях к Евклиду
указывал, что Евдем в своей «Истории геометрии» приписывает Фалесу
доказательства следующих теорем: «он первый доказал, что
диаметр делит круг пополам»; «он нашел предложение о равенстве
углов при основании равнобедренного треугольника»; «он открыл,
что при пересечении двух прямых получаются равные углы»; «он
доказал теорему о равенстве двух треугольников, имеющих
равными сторону и два угла» [443, с. 157, 250, 299, 352]. Эти
доказательства не могли опираться на аксиомы и другие теоремы, так
как аксиом и других теорем во времена Фалеса еще не
существовало. Но, как мы видим, во всех теоремах Фалеса требовалось
доказать конгруэнтность полукругов, углов или треугольников;
несомненно, что Фал ее доказывал эту конгруэнтность
перегибанием чертежа или иным способом наложения фигур друг на друга.
Сам Фалес называл конгруэнтные фигуры подобными. Прокл
замечает после формулировки теоремы об углах равнобедренного
треугольника: «По древнему обычаю он называл эти углы не равными,
а подобными». Термин «равные» для равновеликих фигур
появился, по-видимому, у пифагорейцев, которые считали, что равнове-
106
ликие фигуры содержат равное число точек. Впоследствии термин
«подобные фигуры» приобрел современное значение, и Евклид,
и позднейшие математики называли конгруэнтные фигуры
«подобными и равными».
Движение систематически применялось пифагорейцами,
которые рассматривали линии как следы движущихся точек, а
поверхности — как следы движущихся линий. Аристотель
полемизировал с этим мнением в своем трактате «О душе» („Пер! фо^с")
следующим образом: «Так как утверждают, что линия, двигаясь,
образует плоскость, а точка — линию, то и движения единиц
должны составлять линии: ведь точка — это единица, имеющая
определенное положение» [9, с. 387]. Поздний пифагореец Архит 1
предложил решение классической делийской задачи об удвоении куба
с ребром а, рассматривая (в современных обозначениях) линию
пересечения цилиндра х2 + у2 = 2ах и конуса х2 + у2 + z2 =
= Ах2 и находя ее точку пересечения с кругом, полученным из
круга х2 + z2 = 2ах в плоскости z = О вращением вокруг оси Оу
(фактически Архит находит точку пересечения цилиндра, конуса
и тора); координаты х, у, z точки пересечения удовлетворяют
пропорциям
2а __ |Лс* + У2 + z2 __ У*2 + У2 .
yx2+y2+z2 ~~ ух2 + у2 "~~ а
отрезок, соединяющий начало координат с этой точкой, и
является ребром искомого куба.
(Применение движения к геометрии осудил Аристотель; мы уже
упоминали его слова: «Математические предметы лишены
движения» [9, с. 85]. Эта точка зрения Аристотеля объясняется тем, что
оп рассматривал математические тела как абстракции физических
тел: «Математик исследует отвлеченное,— писал он в
«Метафизике»,— оп исследует, опуская все чувственно воспринимаемое,
например тяжесть и легкость, твердость и противоположное им,
а также тепло и холод и все остальные чувственно воспринимаемые
противоположности, и оставляет только количественное и
непрерывное, у одних — в одном измерении, у других — в двух, у
третьих — в трех» [9, с. 278]. При этом Аристотель считал поверхность
абстракцией более высокого порядка, чем тело (отвлечение не
только от «чувственных свойств», но и от толщины), линию —
более высокой абстракцией, чем поверхность (отвлечение и от
ширины), а точку — более высокой абстракцией, чем линия
(отвлечение и от длины). Поэтому линия не может состоять из точек,
поверхность из линий и тело из поверхностей (мы уже упоминали
его слова: «Невозможно ничему непрерывному состоять из
неделимых частей, например линии из точек, если линия непрерывна,
1 Русский перевод решения Архита в изложении Евдема (по комментариям
Евтокия к трактату Архимеда «О шаре и цилиндре») — в комментариях
И. Н. Веселовского к Архимеду—< [12, с. 471—472].
107
а точка неделима» [11, с. 124]. Поэтому линию не следует получать
движением точки, поверхность — движением линии, а тело —
движением поверхности. Этим и объясняется то, что Евклид, где
мог, старался избегать движения и наложения, а случаи, когда он
пользовался движением там, где мог бы избежать этого, например
в определениях книги XI, объясняются тем, что здесь он следовал
традиции.
Как мы видели, Ибн Корра критиковал это мнение Аристотеля
и широко применял движение в геометрии, за ним следовал Ибн
ал-Хайсам. С другой стороны, Хайям стоял на позиции
Аристотеля и, критикуя в своих комментариях к Евклиду Ибн ал-Хай-
сама, писал: «Какое отношение имеется между геометрией и
движением и что следует понимать под движением? Согласно ученым
несомненно, что линия может существовать только на поверхности,
а поверхность — в теле, т. е. линия может быть только в теле и не
может предшествовать поверхности. Как же она может двигаться
отвлеченно от ее предмета? Как линия может быть образована
движением точки, в то время как она предшествует точке по существу
и по своему существованию?» [222, с. 115]. В то же время, как мы
видели, в своем доказательстве V постулата Хайям неоднократно
пользовался перегибанием чертежа.
Позднейшие ученые как Ближнего и Среднего Востока, так
и Западной Европы, как правило, систематически пользовались
движением в своих трудах по геометрии.
Геометрические преобразования у Архимеда и Аполлония. Из
геометрических преобразований более сложных, чем движение,
прежде всего появилось сжатие к прямой или растяжение от
прямой (родство) и сжатие к точке или растяжение от точки
(гомотетия). При первом из этих преобразований каждая точка А
плоскости переходит в такую ее точку А', что все прямые А А'
параллельны, и если прямая А А' пересекается с данной прямой (осью
родства) в точке А о, то отношение /с = ° одно и то же для всех то-
чек А. Это отношение называется коэффициентом сжатия (0 < к <
< 1) или растяжения (к У> 1). Сжатие или растяжение называется
прямым, если прямые А А' перпендикулярны оси, и косым, если
эти прямые не перпендикулярны. При втором из этих
преобразований каждая точка А плоскости переходит в такую ее точку А'}
что все прямые А А' проходят через данную точку А0 (центр гомо-
А А'
тетии), и отношение k = ~j-t снова одно и то же для всех точек
А: это отношение также называется коэффициентом сжатия (0 <
< к < 1) или растяжения (к ]> 1). На рис. 53, а, б изображены
родство с осью а и коэффициентом 2 и гомотетия с центром О и тем
же коэффициентом.
Если мы направим ось Ох системы прямоугольных или
косоугольных коордицат по оси родства, а ось Оу — по направлению
108
прямых А А', то родство может быть записано в виде
' х = я, 'у = ку. (3.1)
Если мы поместим начало прямоугольной или косоугольной
системы координат в центр гомотетии, то гомотетия может быть
записана в виде
'х = кх, 'у = ку. (3.2)
Сжатие встречается, по-видимому, впервые в трактате
Архимеда «О коноидах и сфероидах» («Пер! x<ovoet8eo)v xal афафое&&еат),
посвященном вычислению объемов сегментов эллипсоидов
вращения («сфероидов»), двуполостных гиперболоидов вращения
(«тупоугольных коноидов») и параболоидов вращения
(«прямоугольных коноидов»). Названия «коноидов» объясняются тем, что
Архимед пользовался доаполлониевскими названиями эллипса,
параболы и гиперболы —«сечение остроугольного, прямоугольного
и тупоугольного конуса». В предложении 4 этого трактата:
«Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром,
равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что
меньший диаметр эллипса к большему или диаметру круга» [12.
с. 177],— Архимед рассуждает следующим образом: обозначая ма
лый диаметр эллипса BD, а направленный по этому диаметру
диаметр круга ABCD, построенного на большом диаметре круга как
на диаметре,— EG, Архимед обозначает круг, относящийся к
кругу AECG как BD к EG, через Z (рис. 54) и доказывает, что «круг
Z будет равен эллипсу». Если круг Z больше эллипса, он
вписывает в круг Z многоугольник с четным числом сторон, который
был бы больше эллипса, вписывает подобный многоугольник в
круг AECG, соединяет вершины, симметричные относительно
большой оси эллипса, отмечает точки пересечения этих прямых
с эллипсом и показывает, что полученный многоугольник относится
к многоугольнику, вписанному в круг, как BD к EG. С другой
стороны, этот многоугольник находится в том же отношении к много-
109
угольнику, вписанному в круг
Z, так как в том же отношении
находятся оба круга. Поэтому
многоугольник, вписанный в
круг Z, равен многоугольнику,
вписанному в эллипс, но это
невозможно, так как круг Z
больше эллипса. Аналогично
опровергается предположение,
что круг Z меньше эллипса.
Как мы видим, Архимед
производит прямое сжатие с
коэффициентом, равным отношению
осей эллипса, и доказывает, что
как площади рассматриваемых
им многоугольников, так и
площади, получаемые
предельными переходами из этих
многоугольников при стремлении
их числа сторон к
бесконечности, имеют то же отношение.
Из этого предложения вытекает,
что площадь эллипса с
полуосями an b равна nab, а радиус
круга Z равен ]/V;.
Гомотетия встречается, по-
видимому, впервые в трактате
Аполлония «О плоских местах» («Пер! t6koi ккьсрачоь»), о содержании
которого сообщает александрийский математик III в. н. э.
Папп в своем «Математическом собрании» («Suvarwn [xafr^fAaxuTJ»)
[430]. В том же сочинении Аполлоний рассматривает еще
один вид преобразования на плоскости — инверсию относительно
окружности, т. е. переход от всякой точки А плоскости, отличной
от точки О, в точку А\ находящуюся на луче О А на таком
расстоянии от точки О, что О А-О А'—постоянная величина: если эта
величина равна Л2, то точки окружности с центром О и радиусом
R переходят в себя, а точки, находящиеся внутри этой
окружности, переходят в точки, находящиеся вне нее, и обратно (рис. 55).
Инверсию относительно окружности х2 + у2 = В2 можно записать
в виде
** 'У--^т- (3-3)
Рис. 54
*2 + У2
'+У2
Если при гомотетии прямые переходят в прямые, а окружности
в окружности, то при инверсии прямые, проходящие через точку
О, переходят в себя, остальные прямые переходят в окружности,
окружности, проходящие через точку О, переходят в прямые,
а остальные окружности переходят в окружности. Для того чтобы
110
сделать инверсию взаимно однозначной, дополняют плоскость
одной бесконечно удаленной точкой и считают, что точка О при
инверсии переходит в эту точку и обратно, а прямые рассматривают
как окружности, переходящие через эту точку. Аполлонию было
известно указанное свойство гомотетии и инверсии; сам термин
«плоские места» был общим названием для прямых и окружностей
(линий, которые можно провести с помощью линейки и циркуля).
Папп описывает гомотетию и инверсию и их комбинации с
движениями плоскости, ссылаясь на указанный трактат Аполлония,
следующим образом: «Если две прямые проведены из одной точки
или из двух но одной прямой, или параллельно друг другу, или
же составляют между собой данный угол и имеют между собой
данное отношение, или содержат данный прямоугольник и если
конец одной из этих прямых описывает плоское место, конец дру-
0 Й\I7
Рис. 55
гой прямой также описывает плоское место того же или другого
рода, расположенное подобным образом по отношению к прямой
или расположенное противоположным образом» [430, т. 2, с. 663—
665]. Гомотетию и инверсию мы получаем, когда две «прямые»
(т. е. два прямолинейных отрезка) проведены из одной точки по
одной прямой и соответственно постоянно отношение этих прямых
или их произведение (они «содержат данный прямоугольник»).
В случае, когда прямые параллельны, мы получаем
преобразование, состоящее из гомотетии или инверсии и переноса, в случае,
когда прямые проведены из одной точки под постоянным углом,
преобразование состоит из гомотетии или инверсии и поворота на
указанный угол, в общем случае преобразование состоит из
гомотетии и инверсии и произвольного движения, т. е. в первом случае
является произвольным подобием.
Проектирование и перспектива. В Древней Греции применялся
целый ряд проекций. Известный римский архитектор I в. н. э.
Витрувий в своих «Десяти книгах об архитектуре» («De architec-
tura libri decern») [35] указывает три проекции, применявшиеся
архитекторами: «Ихнография есть надлежащее и последовательное
применение циркуля и линейки для очертаний плана на поверхно-
111
сти Земли... Орфография же есть вертикальное изображение
фасада и картины внешнего вида... Скиография есть рисунок фасада
и уходящих вглубь сторон путем сведения всех линий к центру,
намеченному циркулем» [35, с. 30]. Первый из этих терминов,
происходящий от слов fyvos — «след» и трЖро) — «пишу», означает
построение горизонтальной проекции здания; второй термин, от
ор&6<; — «стоящий прямо», означает построение фронтальной
проекции: третий термин, от axtd —«тень», буквально означающий
изображение силуэтов, является искажением термина «скеногра-
фия»— от axTjvT] («сцена»), означающего перспективное
изображение местности на театральных декорациях. Надо полагать, что все
эти три вида проекций существовали у греков за несколько веков
до Витрувия. Во всяком случае, перспективное изображение
описал в своей философской поэме «О природе вещей» («De rerum па-
tura») римский поэт-философ Тит Лукреций Кар (98—55 до н. э.)
[119, с. 231]:
Портик, который в конец из конца равномерно построен,
На протяжении всех утверждений на равных колоннах,
Кажется все-таки нам, если вдоль сквозь него мы посмотрим,
Мало-помалу к концу сходящимся конусом узким,
Кровлю сближая с землей и правую сторону с левой,
Вплоть до того, пока весь не сольется в туманной вершине.
Ортогональному проектированию небесной сферы на
плоскость горизонта и решению с помощью этого проектирования задач
сферической астрономии посвящено сочинение «О проекции»
(„IlepL dva>47](ji[xaT0(;u) Клавдия Птолемея, обычно называемое «Ана-
лемма» [445, с. 187—223].
Геометрические теоремы о центральном проектировании и
перспективе мы находим в «Математическом собрании» Паппа, в той
же книге VII этого труда, где сохранился приведенный нами
выше отрывок из трактата Аполлония «О плоских местах». Здесь
Папп помещает «Леммы по второму поризму книги I «Поризмов»» —
лемма к не дошедшей до нас книге Евклида «Поризмы» («IIopiofAot»);
буквальное значение слова rcoptajjw —«приобретение, добывание».
Возможно, что содержание «Поризмов» Евклида также относилось
к проектированию и перспективе *.
В лемме 3 (предложении 129) книги VII «Математического
собрания» Папп пишет:
«Если три прямые АВ, СА, DA пересечены выходящими из
одной точки прямыми FE, ED, то я утверждаю, что
[прямоугольник] на FB, DC относится к [прямоугольнику] на FD, ВС, как
[прямоугольник] на FE, HG к [прямоугольнику] на FH, GE
(рис. 56).
1 О книге Евклида «Поризмы» см. исследование М. Шаля [301] (см. также
[228]).
112
Проведем через [точку] F [прямую] KL, параллельную прямой
GCA. Тогда DA, А В встретят ее в точках К, L. С другой стороны,
проведем через L [прямую] LM, параллельную DA. Она встретит
EF в М. Поэтому EG относится к GA, как EF к FL, AG относится
к GH, как FL к FM, так как и те и другие относятся, как FK к FH,
в силу параллельности, отсюда «по равенству» EG относится к GH,
как EF к FM. Следовательно, [прямоугольник] на FE, HG равен
[прямоугольнику] на EG, FM.
Рассмотрим другой [прямоугольник] на EG, FH.
[Прямоугольник] на EF, HG относится к [прямоугольнику] на EG, HF, как
[прямоугольник] на EG, FM к [прямоугольнику] на EG, HF,
т. е. как FM к FH или как LF к FK. По тем же причинам
[прямоугольник] на FD, ВС относится к [прямоугольнику] на FB, CD,
как KF к FL. Поэтому, «перевертывая», находим, что [прямоуголь1-
ник] на FB, CD относится к [прямоугольнику] на FD, ВС, как
LF к FK. Но было доказано, что [прямоугольник] на EF HG
относится к [прямоугольнику] на EG, HF, как LF к FK. Поэтому
[прямоугольник] на EF, HG относится к [прямоугольнику] на EG,
HF, как [прямоугольник] на FB, CD к [прямоугольнику] на FD,
ВС» [430, т. 2, с. 868-870].
В современных обозначениях утверждение этого предложения
может быть записано в виде пропорции
FB-DC _ FE-HG
FD-BC "~ hH-GE
или
FB . CB___RE # G£
Ю: CD~ JH: HG'
В настоящее время отношение вида-гт; "• ттк» в котором FB, FD,
СВ и CD считаются ориентированными длинами отрезков прямой
ИЗ
(т. е. при выборе некоторого положительного направления на
примой АВ длина АВ считается положительной, если переход от А
к В совершается в этом направлении, и отрицательной, если этот
переход совершается в противоположном направлении),
называется двойным или ангармоническим отношением; двойное отношение
является отношением двух простых отношений. В настоящее
время ориентированные длины отрезков и их простые и двойные
отношения считаются вещественными числами; при этом двойное
отношение
ЩсП = £ : *£ (3.4)
положительно, когда пары точек А, В и С, D не разделяют друг
друга (окружности, построенные на отрезках АВ и CD как на
диаметрах, не пересекаются), и отрицательно, когда пары точек А,
В и С, D разделяют друг друга (указанные окружности
пересекаются). В современных обозначениях предложение Паппа может
быть записано в виде равенства двойных отношений
FC, BD = FG, ЕН.
Так как четверка точек F, Е, G, Н получается из четверки
точек F, В, С, D проектированием из точки К, это предложение
Паппа является частным случаем общей теоремы о том, что двои,
ные отношения четверок точек не изменяются при проектировании-
Пропорцией «по равенству» Папп вслед за Евклидом называл
переход от пропорций а : Ъ = А : В и Ъ : с = В : С к пропорции
а : с = А : С, а «перевертыванием отношения»— переход от
отношения а : Ъ к отношению b : а.
В лемме 5 (предложении 131) Папп доказывает следующую
теорему:
«Если дана фигура ABCDEFGH, то AD относится к DC, как
АВ к ВС. Если же AD относится к DC, как АВ к ВС, то я
утверждаю, что линия, проходящая через точки А, Н, F,— прямая
(рис. 57).
Проведем через Н [прямую] KL, параллельную АВ. Тогда AD
относится к DC, как АВ к ВС. Но AD относится к DC, как KL
к LH, а АВ относится к ВС, как КН к НМ. Поэтому KL относится
к LH, как КН к НМ, и последняя LH относится к LM, как KL
к LH, т. е. как AD к DC. „Переставляя", получаем, что AD
относится к HL, как CD к LM, т. е. как DF к FL. Но HL параллельна
AD, поэтому линия, проходящая через А, Н, F,— прямая, что
и требовалось доказать» [430, т. 2, с. 872—874].
Фигура ABCDEFGH состоит из полного четырехсторонника
AHCFEG и его диагоналей ЕНВ, CFD и ABC. Первое утверждение
этого предложения, по существу,— теорема о том, что две
диагонали полного четырехугольника пересекают его третью диагональ
в таких точках В и D, что
AC, BD = -1,
114
ё/ \A
Рис. 58 7)/^ ^\
JJ ^<£
т. е. что пара точек А, С «гармонически разделяет» пару В, D
(точки А, С, В, D образуют «гармоническую четверку», а двойное
отношение AC, BD называется гармоническим отношением. Второе
утверждение предложения — обратная теорема о том, что если
две пары точек прямой гармонически делят друг друга, то это
четверка точек может быть получена указанным образом с помощью
полного четырехугольника. Слова Паппа: «Тогда AD относится
к DC, как А В к ВС»,— несомненно, объясняются тем, что в силу
леммы 3 Паппа двойное отношение AC, BD равно двойному
отношению четырех точек прямой GFD, получаемых проектированием
точек А, В, С, D из точки Е, т. е. точек G, F, точки пересечения
прямых GFD и ЕНВ и точки D, а это двойное отношение равно
двойному отношению С A, BD точек, полученных проектированием
предыдущей четверки точек на прямую ABCD из точки Н. Но при
перемене местами точек одной из двух пар двойного отношения
оно заменяется на противоположное, и, следовательно, в нашем
случае AC, BD = ±1 (для нас —1, так как пары А, С и В, D
разделяют друг друга, а для Паппа 1). «Переставлением
отношения» называется переход от пропорции а : Ъ = с : d к пропорции
а : с = Ъ : d.
В лемме 10 (предложении 136) Папп доказывает замечательную
теорему:
«Проведем из [точки] F к двум прямым BAE, DAH две прямые
DF, FE, и пусть [прямоугольник] на DF, ВС относится к
[прямоугольнику] на DC, BF, как [прямоугольник] на FH, GEk
[прямоугольнику] на FE, GH. Я утверждаю, что линия, проходящая
через С, A, G,— прямая (рис. 58).
Проведем через [точку] F [прямую] KL, параллельную С А,
и пусть она встречает АВ, AD в точках К, L. Проведем через L
[прямую] LM, параллельную AD, и продолжим [прямую] EF до
М. Наконец, проведем через К [прямую] KN, параллельную АВ,
и продолжим DF до N. Опять-таки в силу параллельности DF
относится к FN, как DC к СВ, откуда следует, что
[прямоугольник] R&DF, СВ равен [прямоугольнику] на DC, FN. Но пусть дру-
115
гой [прямоугольник] — на DC, BF. Тогда [прямоугольник] на
DF, ВС относится к [прямоугольнику] на DC, BF, как
[прямоугольник] на CD, FN к [прямоугольнику] на/>С, BF, т. е. как FN
к BF. Но по предположению [прямоугольник] на FD, ВС
относится к [прямоугольнику] на DC, BF, как [прямоугольник] на FH,
GE к [прямоугольнику] на FE, GH. Поэтому в силу
параллельности FN относится к FB, как KF к FL и как HF к FM. Поэтому
[прямоугольник] на FH, GE относится к [прямоугольнику] на FM,
GE, как [прямоугольник] на FH, GE к [прямоугольнику] на FE,
GH. Поэтому [прямоугольник] на FE, GHравен [прямоугольнику]
на FM, GE и FM относится к FE, как HG к GF. Поэтому,
«присоединяя» и «переставляя», получим, что ME относится к ЕН, как
FE к EG. Но ME относится к ЕН, как LE к ЕA, a LE относится
к ЕА, как FE к EG. Отсюда следует, что AG параллельна KL. Но
прямая СА также параллельна ей. Поэтому [линия] С AG прямая,
что и требовалось доказать» [430, т. 2, с. 888—890].
В настоящее время соответствие между двумя прямыми, при
котором для любых соответственных четверок точек А, В, С, D
и А', В', С, D' имеет место равенство
AC, BD = А1 С, B'D',
называется проективным соответствием. Множества точек этих
прямых в этом случае называются проективными рядами точек.
В силу сохранения двойного отношения при проектировании
частным случаем проективного соответствия является соответствие,
устанавливаемое проектированием одной из прямых на другую.
В этом случае соответствие называется перспективным, а множества
точек прямых в этом случае называются перспективными рядами
точек. Ясно, что при перспективном соответствии точка
пересечения прямых соответствует самой себе. В этом предложении Папп
доказывает обратную теорему о том, что, если точка пересечения
двух проективных рядов точек соответствует самой себе, эти два
ряда перспективны.
«Центром перспективы» в данном случае является точка F.
С помощью этого предложения в леммах 12 и 13 (предложениях
138 и 139) Папп доказывает свою знаменитую теорему о том, что
если шестиугольник вписан в пару прямых (в первом случае эти
две прямые параллельны, во втором случае пересекаются), то
точки пересечения противоположных сторон этого
шестиугольника лежат на одной прямой.
Эти теоремы Паппа фактически представляют собой теоремы
проективной геометрии, которая оформилась как отдельная
геометрическая дисциплина только в XVII — XIX вв.
Стереографическая проекция. Одним из важнейших видов
проекции, применявшимся еще в древности, является
стереографическая проекция, т. е. проекция сферы из одной точки («полюса»)
на плоскость, касающуюся сферы в диаметрально
противоположив
ной точке, или на любую параллельную ей плоскость (рис. 59).
Стереографическая проекция обладает тремя замечательными
свойствами: а) окружности на сфере проектируются на плоскость
в виде окружностей или, если окружности на сфере проходят
через полюс,— в виде прямых; б) углы между кривыми на сфере
(т. е. углы между касательными к ним в точке их пересечения)
изображаются равными углами между кривыми на плоскости;
в) при повороте сферы вокруг диаметра, проходящего через
полюс, на плоскости происходит поворот вокруг точки ее касания со
сферой на тот же угол.
Свойство а) стереографической проекции может быть
доказано с помощью предложения 5 книги I основного труда
Аполлония — его «Конических сечений» («Катха») [254, с. 9—10].
В этом предложении Аполлоний доказывает, что у наклонного
кругового конуса, кроме семейства круговых сечений,
параллельных его основанию, имеется еще одно семейство круговых сечений.
Это предложение проще всего доказать следующим образом: если
мы опустим из вершины наклонного кругового конуса
перпендикуляр на плоскость его основания, то плоскость, проходящая
через этот перпендикуляр и прямую, соединяющую вершину конуса
с центром основания, является плоскостью симметрии конуса.
Наклонный конус обладает еще одной плоскостью симметрии,
перпендикулярной первой и пересекающей ее по биссектрисе угла,
высекаемого конусом из этой плоскости (плоскости,
перпендикулярные обеим этим плоскостям, высекают из конуса эллипсы,
и наклонный круговой конус можно рассматривать как прямой
эллиптический конус, основаниями которого служат эти эллипсы).
Круговые сечения первого семейства переходят в себя при
отражении от первой плоскости симметрии и переходят в круговые
сечения второго семейства при отражении от второй плоскости
симметрии.
Если первая плоскость симметрии высекает из наклонного
кругового конуса треугольник SAB (рис. 60), то круговые сечения
второго семейства высекают из этой плоскости прямые, парал-
117
лельные такой прямой А'В', что угол SA'B' равен углу SB А,
а угол SB'А' равен углу SAB. Но в случае стереографической
проекции круг с диаметром АВ на сфере проектируется на
плоскость сечением рассматриваемого нами конуса, обладающим
диаметром А 'В', при котором имеет место указанное равенство углов.
(Из подобия прямоугольных треугольников SAN и SA'N с общим
острым углом S вытекает пропорция SA/SN = SN/SA', т. е. SA-
-SA' = (SN)2', таким же образом получается равенство SB-SB' =
= (SN)2, откуда вытекает пропорция SA/SB = SB'/SA',
определяющая подобие треугольников SAB и SB'A\ откуда следует
указанное равенство углов.)
Первые дошедшие до нас свидетельства о стереографической
проекции сохранились в упоминавшемся нами сочинении
Витрувия «Десять книг об архитектуре» и в сочинении Клавдия
Птолемея «Отображение сферы на плоскость» («"АтсХсоак; ercupavetoK; 09011-
раа), обычно называемом «Планисферий» («Planisphaerium»)
[445, с. 225-259] (см. также [326]).
Витрувий описывал часовой инструмент, называемый
«пауком» или «арахной» (apa/vTj —«паук».), о котором он писал [35,
с. 326—327], что «паука изобрел астроном Евдокс, а иные
говорят — Аполлоний», Одной из составных частей «арахны» является
барабан, на котором «согласно чертежу аналеммы... нарисовано
неба с зодиакальным кругом». Комментатор Витрувия Даниэле
Барбаро указывает, что «аналемма» (avaXV][x(xa —«съемка,
проекция») Витрувия состоит в том, что «мы воображаем, что глаз наш
находится в точке полюса, противоположного нашему, и смотрим
в направлении другого полюса», [35, с. 339], т. е. эта «аналемма»
представляет собой стереографическую проекцию. Барабан с
изображением эклиптики и нескольких неподвижных звезд вращался,
перед ним находились неподвижные проволоки, изображающие
часовые линии; барабан устанавливался с помощью
инструментов, измеряющих высоты светил, и вращался с помощью
гидравлического привода. В «Планисферий» изложение стереографической
проекции сферы на плоскости также связано с тем, что называется
«пауком в гороскопическом инструменте» [326, с. 271]. Под гороско-
пическим инструментом (opoaxdrcov op^avov) понимался
инструмент для определения времени (броахожх; — «указатель времени»).
Впоследствии словом «гороскоп» (ороохотш;) стали называть
определяемую с помощью этого инструмента точку пересечения
эклиптики с восточной частью горизонта, а затем — астрологическое
предсказание, в значительной степени основанное на положении
точки «гороскопа». Объединение кольцевого измерительного
инструмента с барабаном («тимпаном») и «пауком», моделирующим
небесную сферу, в одном небольшом инструменте было
произведено впервые, по-видимому, Теоном в его «Мемуаре о малой
астролябии» («EU tov jxtxpov daxpoXdjtov 6rco|xvT]4aa»), название которого
упоминает византийский историк X в. Свида [497а, т. 2,
с. 702], а описание сохранилось у арабского историка IX в. Ах-
118
мада ал-Я'куби [377, с. 23—25; 424, с. 242—245] под названием
«[Инструмент], обладающий тимпанами» («Зат ас-сафаих»),
приписывавшего этот трактат, как и другие упоминаемые им
сочинения Теона, Птолемею. Сам Птолемей называл «астролябией»
(datpoXajiov opfavov, буквально «инструмент для ухватывания
звезд») армилярную сферу (от латинского слова armilla
—«кольцо») — комбинацию нескольких колец, также соединяющую
функции кольцевого и моделирующего инструментов [444, т. 1, с. 255—
258]. Первыми сохранившимися сочинениями об астролябии
в смысле «малой астролябии» являются трактат «Об устройстве
и применении астролябии» («Пер1 tov doTpoXa[3ov ур^оЕозС xai
xaxotaxY]VY)<;») александрийского христианского философа и
математика Иоанна Филопона (VI в.) [500, т. 9, с. 341—367] и
«Трактат об астролябии» («Сколион деметтул астролабон») сирийского
епископа Севера Себохта (VII в.) [423]. Этот инструмент под
названием «астурлаб» получил широкое распространение на
средневековом Востоке, в связи с чем в средние века стереографическую
проекцию называли «проекцией астролябии» (тастих ал-астурлаб).
Термин «стереографическая проекция» (от слова стерве
—«пространственное тело») был введен в «Шести книгах по оптике» («Ор-
ticorum libri VI». Антверпен, 1613) [314] Франсуа Д'Агийоном
(1566-1617).
В указанных античных трактатах свойства а), б) и в)
стереографической проекции применялись, но не доказывались. Первое
дошедшее до нас изложение теории стереографической проекции
с полным доказательством свойства а) мы встречаем в «Книге о
построении астролябии» («Китаб ас-сан'а ал-астурлаб») (см.
[181, 196]) ученого IX в. Ахмада ал-Фергани, уроженца Ферганы,
работавшего в Багдаде. Стереографической проекции посвящена
I глава этого трактата «О предпослании геометрических
предложений, из которых выводится форма астролябии». Здесь
доказываются три теоремы: теорема о равенстве углов SA'B' и SB А и
углов SB'А' и SAB (см. рис. 60); теорема о свойстве а)
стереографической проекции и теорема о том, что центр круга при
стереографической проекции не проектируется в центр круга. Если на
рис. 60 С — середина отрезка А В, аД'— середина отрезка А В'
(и, следовательно, точки С и D' — центры соответственных
кругов), то угол AfSD' равен углу BSC. Доказательство свойства
а) у ал-Фергани весьма близко к доказательству упомянутого
предложения 5 книги I «Конических сечений» Аполлония.
Последующие главы трактата посвящены построению астролябии.
Астролябия, о которой идет здесь речь, представляла собой
соединение кольцевого измерительного инструмента,
расположенного на «оборотной стороне» астролябии, и моделирующего
инструмента на ее «лицевой стороне». Кольцевой инструмент
астролябии — это диск, с одной стороны которого вращается «алидада»—
линейка с двумя диоптрами. Астролябия подвешивается в
вертикальной плоскости, проходящей через светила, алидада наводится
119
Рис. 61
на нее, и ее стрелка указывает на градусной шкале обода
(«лимба») астролябии высоту светила в градусах. Вторая координата
светила определяется с помощью моделирующего инструмента
астролябии, состоящего из неподвижного «тимпана» и
вращающегося вокруг его центра «паука», представляющего собой резной
диск. На тимпане изображены в стереографической проекции
круги небесной сферы, не изменяющиеся при ее видимом суточном
движении: небесный экватор, тропики Рака и Козерога, горизонт
и его параллели — альмукантараты, точки зенита и вертикалы —
большие круги, проходящие через зенит и надир. В силу свойства
а) все указанные круги на сфере изображаются на тимпане
дугами кругов или отрезками прямых. За полюс обычно выбирается
южный полюс небесной сферы, поэтому экватор и тропики
изображаются на тимпане концентричными кругами. Тимпан обычно
обрезается по кругу, изображающему тропик Козерога (рис. 61).
Так как в местности с географической широтой ф небесный
экватор составляет с горизонтом угол 90° — ф, то в силу свойства
б) горизонт представляется кругом, пересекающим изображение
экватора в двух диаметрально противоположных точках под углом
90° — ф. Альмукантараты представляются такими кругами,
которые вместе с изображением горизонта образуют пучок кругов,
являющихся геометрическими местами точек, у которых
отношение расстояний до точек, изображающих зенит и надир,
постоянно. Вертикалы представляются кругами, проходящими через изо-
120
Рис. 62
бражение зенита перпендикулярно изображению горизонта.
Альмукантарата и вертикалы образуют на тимпане «паутину», по
которой движется «паук». На «пауке» представлены эклиптика
и наиболее яркие звезды, вращающиеся при видимом суточном
движении небесной сферы, эклиптика — в виде круга,
касающегося изображений тропиков. На эклиптике указаны двенадцать
созвездий Зодиака, в каждом из которых Солнце бывает в течение
месяца, и дальнейшие подразделения этих участков, позволяющих
установить положение Солнца в любой день года. Звезды
представлялись остриями, отходящими от обода «паука» или от
изображения эклиптики (рис. 62).
С помощью астролябии можно определить азимут только
такого светила, которое представлено на ее «пауке», т. е. Солнца или
одной из звезд, изображенных на нем. Измерив высоту Солнца
или звезды с помощью алидады, переворачивали астролябию вверх
тимпаном и поворачивали «паук» на такой угол, чтобы
изображение светила попало на альмукантарат с той же высотой. При этом
применялось свойство в) стереографической проекции, в силу
которого суточное вращение небесной сферы представляется
поворотом «паука». После поворота «паука» мы получаем точное
изображение небесной сферы на плоскости в данный момент. Азимут
светила в этот момент равен углу между вертикалом, проходящим
через светило, с некоторым начальным вертикалом. Угол поворота
«паука» определял точное время, прошедшее от начала дня или
ночи. В астрономических часах * этому углу поворота соответству-
1 С помощью астролябии определялось также время в «косых часах» (см.
с. 5 в главе 1), для этого служили часовые линии на тимпанах
астролябий, аналогичные часовым линиям на «арахне», описанной Витрувием.
121
ет положение «паука», при котором Солнце находится на
горизонте. Описанную нами астролябию с «пауком» можно
рассматривать как номограмму с прозрачным транспарантом [197,
203, 230].
Математики средневекового Востока пытались применить для
построения астролябии и другие геометрические преобразования.
Уроженец Саганиана Абу Хамид Ахмад ас-Сагани (ум. 990) в
«Книге о совершенной проекции па плоскость» («Китаб фи-т-тастих ат-
тамм») (см. [84а]) предложил заменить стереографическую
проекцию сферы на плоскость из одного из ее полюсов проекцией из
произвольной точки оси, при этом круги на сфере изображаются
на плоскости коническими сечениями. Абу-р-Райхан ал-Бируни
в своем «Исчерпании всех возможных способов построения
астролябии» («Исти'аб ал-вуджух ал-мумкииа фи сан'а ал-астурлаб»)
(см. [191, с. 152—156, 162—166, 168—172]), изложив многие
способы построения астролябии, в том числе «совершенную проекцию»
ас-Сагани, предложил применить для построения астролябий
«цилиндрическую проекцию», т. е. прямоугольное проектирование
вдоль оси, являющееся предельным случаем проекции ас-Сагани
при удалении центра проекции в бесконечность. В своих
«Памятниках минувших поколений» („Ал-асар ал-бакиййа мин курун
ал-халиййа"), написанных около 1000 г., ал-Бируни пишет об
этих методах проектирования: «Абу Хамид ас-Сагани перенес
вершины конусов с полюсов и поместил их внутри сферы или вне
ее на одной прямой с осью. Таким образом, большие круги сфер
приняли форму прямых линий, кругов, эллипсов, парабол и
гипербол, как того хотел Абу Хамид. Никто раньше него не чертил
такой удивительной проекции.
Сюда же относится разновидность [проекции], которую я
назвал цилиндрической; до меня не дошло, чтобы кто-либо из
представителей этой науки упоминал о ней раньше меня.
[Цилиндрическая проекция] состоит в том, что через круги или точки в сфере
проходят линии или поверхности, параллельные оси; [таким
образом] на плоскости [экватора] дня получаются только прямые
линии, круги и эллипсы. Моя книга „Исчерпание возможных способов
в построении астролябии" содержит все эти [сведения]» [22, т. 1,
с. 407-408].
Стереографическая проекция применяется и для
проектирования поверхности земного шара на плоскость, т. с. для
составления карт. На картах, составленных с помощью этой проекции,
в силу свойства б) углы между линиями изображаются в
натуральную величину. Такие карты особенно важны для моряков, так как
в этом случае угол поворота руля корабля в точности равен углу,
измеренному по такой карте. Применению стереографической
проекции для черчения карт посвящено сочинение ал-Бируни
«Трактат о проектировании созвездий и изображении стран на
карте» („Рисала фи тастих ас-сувар ва табтих ал-кувар"), также
частично изложенное в упоминавщихся «Памятниках минувших
122
поколений» 1. В том же
трактате ал-Бируни и в его
«Памятниках минувших поколений»
изложена изобретенная им
проекция сферы на плоскость,
называемая в настоящее время
«глобулярной» 2.
В этой проекции в круге
изображается полусфера,
причем окружность круга делится
на 300°, а его горизонтальный
и вертикальный диаметры — на
180 частей. Для изображения Ри 63
точки сферы с долготой X и
широтой ф на горизонтальном
диаметре откладывается от центра круга X делений и через
полученную точку и концы вертикального диаметра проводится дуга круга.
Далее на вертикальном диаметре откладывается от центра ф
делений, а на окружности — от концов горизонтального диаметра ф
градусов, и через полученные три точки также проводится дуга
круга; точка пересечения двух проведенных дуг — искомая точка
круга (рис. 63). Полученное изображение напоминает
стереографическую проекцию полусферы, т. е. стереографическую проекцию
сферы, обрезанную по кругу, изображающему экватор сферы, но
в этой стереографической проекции шкалы X и ф на
горизонтальном и вертикальном диаметрах неравномерны.
Замечательное применение стереографической проекции было
предложено уроженцем Кордовы Абу Исхаком Ибрахимом ибн
Яхьей ан-Наккашем аз-Заркали ал-Куртуби (ок. 1030—ок. 1090)
в его «Книге действий с тимпаном зиджей» («Китаб ал-'амал би-с-
сафиха аз-зиджиййа») (см. [251а, с. 135—237; 259]). Зиджами на
средневековом Востоке называли астрономические сочинения,
состоящие из большого числа таблиц, в том числе таблиц для
перехода от одной из трех систем сферических координат на небесной
сфере — горизонтальной, экваториальной и эклиптической —
к другой 3. Аз-Заркали назвал изобретенный им инструмент
«тимпаном зиджей», потому что он заменил пользование указанными
таблицами перехода геометрическими действиями на этом инстру-
1 Немецким перевод Г. Зутера этого трактата — [498]; узбекский перевод
Л. Расулева — [21], изложение в «Памятниках минувших поколений»
ал-Бируни — [22, т. 1, с. 407—413].
2 Эта проекция была вновь открыта Николози из Патерно в 1624 г. и А. Ар-
роусмитом (1750—1823) около 1804 г. и применялась для построения
астролябии Филиппом де Лагиром (1640—1717), см [412, с. 21].
3 Система горизонтальных координат (высота h и азимуте) и одна из систем
экваториальных координат (прямое восхождение а и склонение 6) не
участвуют в суточном вращении небесной сферы; система эклиптических
координат (долгота X и широта |J) и вторая система экваториальных координат
(часовой угол t и склонение 6) участвуют в этом вращении.
123
Рис. 64
менте. «Тимпан зиджей», по существу, представлял собой
астролябию, вследствие чего его называют также «универсальной
астролябией» *. Однако, если обычные астролябии были основаны на
стереографической проекции небесной сферы из одного из
полюсов мира, на «тимпане зиджей» небесная сфера стереографически
проектировалась из одной из точек равноденствия (точек
пересечения небесного экватора с эклиптикой). Поэтому на тимпане аз-
Заркали небесный экватор и эклиптика изображались прямыми,
пересекающимися в ее центре под углом, равным углу наклона
эклиптики к экватору. На тимпане изображались также
параллели небесного экватора и меридианы, т. е. большие круги,
проходящие через полюсы мира; изображение сферы обычно
обрезается по кругу, проходящему через изображения полюсов мира
(рис. 64). В центре тимпана могла вращаться линейка с
перпендикулярным к ней бегунком, который мог сдвигаться в нее и на
конце которого прикреплялся с помощью двух шарниров палец,
конец которого можно устанавливать в любой точке тимпана. Для
перехода от эклиптических координат (долготы X и широты Р)
к экваториальным координатам (прямому восхождению а и
склонению 6) следует поставить линейку на изображение небесного
1 Голландский ученый Р. Гемма Фризиус (1508—1555), описавший ту же
астролябию в книге [342), назвал ее «католической» (xa£6Xixo<; —
«вселенский», «универсальный»).
124
экватора, поставить палец в точку, изображающую точку
небесной сферы, экваториальные координаты а, б которой численно
равны данным эклиптическим координатам X, |3. Затем надо
повернуть линейку вместе с бегунком и пальцем как единое целое так,
чтобы она совместилась с изображением эклиптики, и после
поворота палец укажет нам изображение искомой точки. Проходящие
через найденную точку круги, изображающие параллель и
меридиан, укажут координаты а, б этой точки. От горизонтальных
координат А% h переходят не к экваториальным координатам а, б,
жестко связанным с эклиптикой, а к экваториальным
координатам t (часовой угол), б, жестко связанным с горизонтом. В этом
случае тот же тимпан рассматривают как проекцию небесной
сферы из точки пересечения горизонта и экватора на плоскость
небесного меридиана, т. е. того меридиана, который проходит через
зенит и надир. Линейка снова ставится на изображение
небесного экватора, палец ставится в точку, изображающую точку
небесной сферы, экваториальные координаты t, б которой численно
равны данным горизонтальным координатам A, h. Затем линейка
с бегунком и пальцем поворачивается как единое целое на угол,
равный дополнению широты местности ф до 90°, после чего она
совмещается с изображением горизонта. После поворота палец
укажет нам изображение искомой точки в новой проекции, а
проходящие через найденную точку круги, изображающие параллель
и меридиан, укажут координаты t, б этой точки.
Астролябия аз-Заркали также представляет собой номограмму
с прозрачным транспарантом (см. [203а]). Она обладает также
алидадой для измерения высот светил, вследствие чего на ней
можно производить те же действия, что и с помощью обычной
астролябии, с той разницей, что ее тимпан годен для всех широт
(чем и объясняется ее название «универсальная астролябия»).
Из работ ученых нового времени по применению
стереографической проекции для составления карт упомянем две работы
Леонарда Эйлера: «О представлении сферической поверхности
на плоскости» („De repraesentatione superficiei sphaerico super
piano". Петербург, 1778) и «О географической проекции
сферической поверхности» („De projectione geographica superficiei spha-
ericae", Петербург, 1778) [237]. В этих работах Эйлер ставит вопрос
о наиболее общем изображении сферы на плоскости, сохраняющем
углы между линиями. Для решения задачи Эйлер производит
стереографическую проекцию сферы на плоскость, при которой точке
сферы с широтой v и долготой t ставится в соответствие точка
плоскости, определяемая комплексным числом
z = tg у (cos t + i sin t), (3.5)
а затем в плоскости производится конформное отображение
(отображение, сохраняющее углы между линиями) с помощью
аналитической функции комплексного переменного.
125
Аффинные преобразования у Ибн Корры и Йбн Синана.
Гомотетия и родство являются частными случаями так называемого
аффинного преобразования — наиболее общего взаимно
однозначного преобразования плоскости, при котором прямые переходят
в прямые. В прямоугольных и косоугольных координатах и в еще
более общих аффинных координатах, отличающихся от
прямоугольных и косоугольных координат тем, что в этом случае
масштабы по осям могут быть различными, аффинные преобразования
записываются в виде
'х = Ах + By + а, 'у = Сх + Dy + Ь. (3.6)
В силу взаимной однозначности аффинных преобразований они
сохраняют параллельность прямых; нетрудно проверить, что эти
преобразования сохраняют простые отношения отрезков одной
прямой или двух параллельных прямых.
Преобразование (3.6) умножает площади всех фигур на один
\А В\
и тот же множитель ~ D ; в случае, когда этот множитель равен
±1, преобразование называется эквиаффинным.
Эквиаффинное преобразование общего вида мы встречаем
впервые в «Книге о сечениях цилиндра и его поверхности» („Китаб
куту'ал-устувана ва баситиха") Сабита ибн Корры (см. [84, 372]).
Доказав, что площадь эллипса с полуосями а и Ь равна площади
круга радиуса ^ab, Ибн Корра в предложении 17 доказывает
следующую теорему: «Каждый сегмент эллипса равен сегменту круга,
равному эллипсу, такому, что если опустить из конусов его
основания на диаметр круга два перпендикуляра, то каждый из них
относится к диаметру как соответствующий перпендикуляр,
опущенный из концов основания сегмента эллипса на одну из его осей,
к другой оси, если сегмент соответственно меньше или больше
[половины эллипса или круга], положение центра эллипса по
отношению к перпендикулярам таково же, как положение центра
круга к его перпендикулярам, и положение оснований
перпендикуляров эллипса на его основании таково же, как положение
оснований перпендикуляров круга на его диаметре» [84, с. 104].
Оговорки Ибн Корры о совпадении положений центров и
оснований перпендикуляров (Ибн Корра рассматривает восемь случаев
расположения сегментов эллипса и круга) обеспечивают совпадение
знаков соответственных ориентированных отрезков, поэтому
определяемое Ибн Коррой отображение эллипса на круг является
аффинным, а в силу равенства площадей эллипса и круга —
эквиаффинным.
В теореме доказывается, что эквиаффинное преобразование
переводит любой сегмент эллипса в сегмент круга равной площади.
Доказательство цроводится античным методом исчерпывания.
Аффинное преобразование общего вида мы встречаем впервые
в «Книге об измерении параболы» («Китаб фи мисаха ал-кат* ал-
126
e
й
к
л
>J
Рис. 65
7S- ^„ДгГьиаТ!™» "и ОТ/И:- ДК» =
?ольная фигура (рис. 650 и "Р^™!"™^ "нЕИ^ «к-м
[линии] МГ и [линия) %*а™Е-™0Рс?к,друг к другу, как ли-
"™ линии ИМ, IX и Ж, и "Р««Л^73
угольник ЛМ™™ ТИТ Ус" ви^'ом ™ 2£«. ^
к фигуре GHJIK» [1Уи, с- I/aj-/ у/г 0Тт,е3ки BL, СМ н ME
LM и МЯ относятся как GN ^^т то! что многоугольник
относятся, как HN, JX и /Л, гаРантиру//^ же аффинным
ЛЖ7ЯЯ переводится в многоугольник ^yi* ™мж Т*
преобразованием, которое переводит треугольник ADE в треуголь
"-<££ этой теоремы состоит в том, ^^J^^^Z.
зованиях не изменяются отношения площадей JW0 с цо_
В предложении 2 Ибн Синан Распространиет этот резуль
мощью метода исчерпывания на сегменты параболы. <ид
любых двух сегментов параболы о^ится Д ;Кверш1а
угольник, основание которого ~ °™™™™^21яяоиу таким же
которого - его вершина, *J»$°™-*['g£ ^рТиной сегмента
образом в другом сегменте» ^^"^"сечения с диаметром,
параболы здесь имеется в виду точка е* пеРес/ч^ИиЯзоб" ен сег-
c^^^^J^^^Sl'^pi^ образом тре-
четыре к трем» [190, с. 179'; сегмента параболы ABC
Доказательство состоит в сравнении сегмента п« р
с одним из двух малых сегментов BGC (см. рис. bbj, из к i
127
Рис. 66
стоит избыток сегмента под треугольником. Ибн Синан доказывает,
что площади треугольников ABC и BGC, вписанных в большой и
малый сегменты, относятся, как 8:1, откуда в силу предложения 2
вытекает, что так же относятся и площади сегментов. Поэтому
площадь сегмента относится к площади избытка, как 4:1, и,
следовательно, к площади вписанного треугольника, как 4 : 3. В
предложении 4 на основании предыдущего доказывается, что отношение
двух сегментов Р и Q одной параболы с параллельными
основаниями и диаметрами s и t связано с отношением диаметров
соотношением Р : Q = (s : £)3'2-
Бесконечно удаленная точка у Кеплера. Аффинные
преобразования являются частными случаями еще более общих
преобразований — так называемых проективных преобразований. Для
определения проективных преобразований на плоскости следует
дополнить плоскость бесконечно удаленными точками, считая, что
все прямые, параллельные друг другу, обладают единственной
бесконечно удаленной точкой. Необходимость в таком дополнении
возникает при центральном проектировании одной плоскости на
другую, так как при таком проектировании некоторые точки
первой плоскости не соответствуют никаким точкам второй
плоскости, а некоторым точкам второй плоскости не соответствуют
никакие точки первой плоскости. Для взаимной однозначности
центрального проектирования плоскости на плоскость следует
плоскость дополнить такими точками, чтобы после дополнения
плоскости находились бы во взаимно однозначном и взаимно
непрерывном соответствии со связкой прямых, проходящих через центр
проекции. Прямые связки, пересекающиеся с плоскостью,
соответствуют точкам пересечения с плоскостью; прямые связки,
параллельные плоскости, изображают новые точки. Эти точки
называются бесконечно удаленными, так как при приближении прямой
связки, пересекающей плоскость, к прямой, параллельной ей,
точка пересечения удаляется в бесконечность.
При проектировании плоскости на непараллельную ей плоскость
параллельные прямые первой плоскости изображаются
пересекающимися прямыми второй плоскости, примером такого проекти-
128
рования является проективное изображение горизонтальной
плоскости на вертикальной «картинной плоскости», на которой
изображения параллельных линий пересекаются в «точке схода».
Плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками,
называется проективной плоскостью. Проективными
преобразованиями (коллинеациями) плоскости называются взаимно
однозначные преобразования проективной плоскости, переводящие прямые
в прямые; поэтому параллельные прямые при проективных
преобразованиях могут перейти в пересекающиеся прямые.
В аффинных координатах коллинеации можно записать в виде
, __ Ах+Ву + а , __ Сх + Ру + Ь (~ 7ч
* — Ех+1у + с' y~Ex + Fy + c' K }
Понятие бесконечно удаленной точки мы встречаем в явном
виде впервые в «Оптической части астрономии» («Astronomiae
pars optica». Франкфурт-на-Майне, 1604) [375, т. 2] великого
астронома и математика Иоганна Кеплера (1571—1630).
Подзаголовок этого сочинения «Дополнение к Витело» («Ad Vitellionem para-
lipomena») указывает на то, что оно рассматривалось как развитие
«Оптики» польского физика XIII в. Витело [511], в свою очередь
представлявшей собой обработку «Книги оптики» Ибн ал-Хай-
сама [252]. И книга Кеплера, и вышедшая почти одновременно
с ней книга Д'Агийона об оптике, где он наряду со
стереографической проекцией рассматривал также ортогональное и
произвольное центральное проектирование, которые он называл
заимствованными у Витрувия терминами «ортография» и «сценография»
(под влиянием которых он и создал термин «стереография»), были
подготовлены многочисленными сочинениями по теории
перспективы, появившимися в XIV—XV вв. Из этих сочинений упомянем
прежде всего трактат «О живописи» («Delia pictura». Флоренция,
1435) Леона Баттисты Альберти (1404—1472) и «О перспективе
в живописи» («De prospectiva pingendi». Рим, ок. 1480) Пьеро
делла Франчески (1416—1492).
В первом из них разработан метод изображения расположенных
друг за другом равных и параллельных отрезков в виде
параллельных отрезков, заключенных между двумя прямыми,
пересекающимися на линии горизонта. Во втором сочинении описывается
построение перспективного изображения предмета по его
вертикальной и горизонтальной проекциям.
Важную роль в истории перспективы сыграли также «Трактат
о живописи» («II trattato della pittura», опубликован посмертно
в 1651) Леонардо да Винчи (1452—1519), а также «Наставление по
измерению с помощью циркуля и линейки» («Unterweysung der
Messung mit Zirckel und Richtscheyt». Нюрнберг, 1525) и «О
человеческой пропорции» («Von menschlicher Proportion», Нюрнберг,
1528) Альбрехта Дюрера (1471—1528). Оба этих великих
художника глубоко занимались вопросами геометрии, и в особенности
геометрическими преобразованиями; этим вопросам посвящены
5 Б. Д. Риаечфельд
129
I многие страницы записных кни-
А/~ жек Леонардо да Винчи и книг
Дюрера.
В «Оптической части
астрономии», в разделе «О
конических сечениях», Кеплер
указывает, что сечение конуса
плоскостью может быть прямой,
кругом, параболой, гиперболой и
эллипсом, причем «прямая
линия переходит в параболу через
бесконечные гиперболы, а далее
через бесконечные эллипсы в
круг» (рис. 67), и что «самая
тупая из гипербол — прямая
линия, а самая острая —
парабола; самый тупой из эллип-
I/? сов — парабола, а самый
острый — круг». Далее Кеплер
вводит понятие о фокусах кони-
Рис. 67 ческого сечения — таких точках,
что «прямые, проведенные из
этих точек к точке касания
касательной к сечению, образуют равные углы с ней». «По
причине [учения о] свете,—говорит Кеплер,—и устремляя
глаза к механике, мы будем называть эти точки фокусами».
И далее он пишет: «У круга имеется один фокус А, он же и его
центр. У эллипса имеются два фокуса В, С, равноудаленные от
центра фигуры, и чем острее эллипс, тем более удаленные. У
параболы же имеется только один фокус D внутри фигуры, а другой
следует представлять на оси сечения внутри или вне его,
удаленным от первого на бесконечное расстояние, так что линия HG или
IG, проведенная из этого невидимого фокуса к любой точке
сечения, будет параллельна оси DK. У гиперболы внешний фокус F
тем ближе к внутреннему фокусу Е, чем гипербола тупее, причем
тот из фокусов, который вне одного из противоположных сечений,—
внутри другого и наоборот» [375, т. 2, с. 90].
Термин focus — «огонь, очаг» введен Кеплером под влиянием
термина «место зажигания», применявшегося Ибн ал-Хайсамом
и другими оптиками Востока для фокуса параболы, которую на
Востоке часто называли «зажигательным зеркалом». Слова
Кеплера «устремляя глаза к механике» указывают на то, что во время
работы над этим сочинением Кеплер уже знал важное значение
фокусов эллипса в небесной механике, которое они получили
благодаря первому закону Кеплера движения планет,
опубликованному в его «Новой астрономии» [375, т. 3]. Для нас здесь важно
то, что Кеплеру было ясно, что «невидимый фокус параболы»
замыкает прямую DK и все параллельные ей прямые.
130
Проективные преобразования у Дезарга. Проективные
преобразования впервые систематически исследовались французским
инженером, архитектором и геометром Жираром Дезаргом (1591 —
1661) в его «Черновом наброске подхода к явлениям, происходящим
при встрече конуса с плоскостью» („Brouillon project d'une atte-
einte aux evenemont des rencontres ducone avec une plan". Париж,
1639) [318]. Дезарг дополнял плоскость бесконечно удаленной
прямой и рассматривал гиперболы и параболы как замкнутые
кривые, соответственно пересекающие эту прямую в двух точках
или касающиеся ее; при этом асимптоты гиперболы являются
касательными к ней в ее бесконечно удаленных точках. Дезарг
рассматривал двойные отношения четверок точек, которые, как
мы видели, встречались еще у Паппа, и проективные
преобразования прямых, при которых эти двойные отношения сохраняются
(эти преобразования называются проективными, так как они
происходят при проективных преобразованиях плоскости,
переводящих в себя прямую).
й С D В Н F С
i i i i 1 1 1
Рис. 68
Рассмотрим важнейшие из этих преобразований Дезарга.
Дезарг называл «деревом» прямую, на которой заданы несколько пар
точек, обладающих тем свойством, что произведения отрезков
с началом в некоторой точке, называемой «стволом», и с концами
в данных парах точек равны. Точки данных пар он называл
«узлами», отрезки, соединяющие «ствол» с «узлами»,— «ветвями»,
а отрезки между «узлами» — «побегами»; «ветви»,
соответствующие друг другу, он называл «парными». Рассматривая «дерево»
со «стволом» А и парами соответствующих «узлов» АС и AG, AF
и AD, AB и АН, т. е. предполагая выполнение равенств
AC AG AFAD = АВ-АН,
считая, что «ствол А свободен по отношению к обеим ветвям
каждой из пар», т. е. что точка А лежит вне отрезков CG, DF и BF
(рис. 68), и называя произведения отрезков «прямоугольниками»
на них, Дезарг писал: «Ввиду равенства прямоугольников на
обеих ветвях каждой из трех пар АВ, АН; AC, AG; AD, AF четыре
ветви AG, AF, AD, AC попарно пропорциональны. Отсюда
следует, что как AG относится к AF или же AD к АС, так относится
GD к CF, и что как AF относится к А С или же AG к AD, так
относится GF к CD.
Следовательно, ветвь AG находится в таком же отношении к
парной с ней ветви АС, как соединение отношений побега GD к
побегу CF и побега GF к побегу CD, что равно отношению
прямоугольника на побегах пары GD, GF к прямоугольнику на побегах
соответствующей пары CD, CF.
5* 131
Отсюда следует, что прямоугольник на побегах GB, GH —
„близнец" прямоугольника GD, FG — так относится к своему
соответствующему прямоугольнику СВ, СН, „близнецу"
прямоугольника CD, CF, как прямоугольник GD, GF — „близнец"
прямоугольника GB, GH — относится к своему соответствующему
прямоугольнику CD, CF, „близнецу" прямоугольника СВ,
СН» ([318, с. 116—118]; см. также [34, с. 162—163]). Таким
образом, из пропорций AG : АР = AD : АС и AF : АС = AG : AD
Дезарг получает производные пропорции AG : AF = GD : CF
и AF : AC = GF : CD, откуда, переходя к составным отношениям
(по его терминологии — к «соединению отношений»), он получает
пропорции
AG_(W GF _GD-GF
AC ~~ Ct' CD "~ Ct-CDJ
и таким же образом для аналогичных «прямоугольников» (по его
терминологии — для «близнецов»)
AG_GB_ GH __ GB-GH
AC — СП ' CB ~~ СН-СВ '
т. е.
GD-GF _ GB-GH
Cl-CD ~ СН-СВ'
Эту пропорцию можно переписать в виде равенства двойных
отношений
OD GB^__G£ GH_
CD' CB~~ Ct ' СН '
т. е.
GC, DB = GC, FH.
И, так как в этой пропорции любая пара соответственных
узлов может быть заменена любой другой, доказанная Дезаргом
теорема означает, что установленное им соответствие между
«узлами» «дерева» является проективным соответствием между
точками этой прямой, причем в силу равноправия «узлов» каждой
пары в этом двойном отношении каждую пару соответственных
«узлов» можно поменять друг с другом. При такой замене каждое
из двойных отношений заменяется на обратное, и отсюда следует,
что все эти двойные отношения равны 1 или, если считать длины
отрезков ориентированными, —1, т. е. соответственные
четверки точек являются гармоническими, и, значит, точки G, С,
остающиеся неподвижными при этом преобразовании, гармонически
делят каждую пару соответственных точек.
Дезарг рассматривает также случай, когда «ствол» находится
между точками каждой пары, если в первом случае пары соот-
132
ветственных точек не разделяли друг друга (были «отделены» —
по его терминологии), то во втором случае они разделяли друг
друга («смешаны»), в этом случае также имеет место проективное
отображение прямой на себя. «Таким образом, если на прямой
даны три пары точек Б, Н; C,G; D, F такого свойства, что обе точки
в каждой паре одновременно либо смешаны (рис. 69), либо
отделены по отношению к обеим точкам каждой другой пары, и если
соответствующие друг другу прямоугольники из отрезков между
этими точками относятся друг к другу так, как их близнецы,
если их взять в том же самом порядке, то такое расположение
трех пар точек на прямой называется здесь инволюцией» ([318,
с. 119], см. также [34, с. 164]).
В D £ /7 Н F С
i 1 1 1 1 i ~ _j
Рис. 69
Введенный здесь Дезаргом термин «инволюция» (involution)
также ботанического происхождения и буквально обозначает
скрученное состояние молодых листьев; так как проективные
отображения прямой, определяемые инволюциями, обладают тем
свойством, что они совпадают с обратными им, термином
«инволюция» в настоящее время называют любое преобразование Г,
совпадающее с обратным ему преобразованием Г"1, т. е.
преобразование Т2 является тождественным преобразованием.
Заметим, что определенные Дезаргом инволюции можно
записать в аффинных координатах в виде
'х --= а2/х (3.8)
и
'х = —а*/х. (3.9)
В первом случае инволюция обладает двумя неподвижными
точками (х = ±а) и называется гиперболической (такое
преобразование происходит на диаметрах окружности радиуса а при
инверсии относительно нее), во втором случае инволюция не имеет
неподвижных точек (условию 'х = х удовлетворяют мнимые числа
х = ±ai) и называется эллиптической (эти названия объясняются
тем, что эти инволюции определяются на бесконечно удаленной
прямой соответственно сопряженными диаметрами эллипса и
гиперболы).
Дезарг впервые рассмотрел «полярное преобразование»
относительно конического сечения, состоящее в том, что каждой точке
ставится в соответствие геометрическое место точек проходящих
через нее прямых, гармонически делящих вместе с ней пары точек
пересечения этих прямых с некоторым коническим сечением.
Это геометрическое место является прямой, называемой в
настоящее время полярой данной точки, а точка называется полюсом
133
этой прямой 1. Дезарг показал, что всякое коническое сечение
определяет на каждой прямой этой плоскости инволюцию, при
которой каждой точке этой прямой соответствует точка
пересечения этой прямой с полярой данной точки. Если прямая
пересекается с коническим сечением, это инволюция гиперболическая
(точки пересечения прямых с сечением — неподвижные точки
инволюции), если прямая и сечение не пересекаются, инволюция
эллиптическая.
Дезарг показал, что конические сечения пучка конических
сечений, проходящих через точки, высекают на каждой прямой
плоскости пары точек, образующих инволюции; частными
случаями этих пучков являются пучки окружностей, проходящих через
две точки. Дезарг показал также, что если из точки плоскости
можно провести к коническому сечению две касательные, то
прямая, соединяющая точки касания,— поляра данной точки, что
полюс бесконечно удаленной прямой относительно эллипса или
гиперболы — центр этого сечения и что поляра точки самого
конического сечения — касательная к нему в этой точке.
Доказанные им теоремы Дезарг применил к решению задач на построение,
например к задаче на проведение осей конического сечения,
полученного проектированием окружности.
Дезарг доказал также теорему, известную в настоящее время
как «теорема Дезарга», о том, что если у двух треугольников ABC
и А'В'С прямые АА', ВВ', СС, соединяющие соответственные
вершины, пересекаются в одной точке О, то точки Р, Q, R
пересечения их соответственных сторон А В и А 'В', АС и А'С, ВС и
В'С лежат на одной прямой (рис. 70). В этом случае треугольник
ABC переводится в треугольник А 'В' С проективным
преобразованием специального вида, называемым гомологией 2, точка О
называется центром гомологии, а прямая PQR называется осью
гомологии, вследствие чего теорему Дезарга называют также
«теоремой о гомологических треугольниках». Упоминавшиеся нами
выше родство и гомотетия являются частным случаем гомологии:
родство — гомология с бесконечно удаленным центром, лежащим
на оси; гомотетия — гомология с бесконечно удаленной осью, не
проходящей через центр. Центр гомологии может также лежать
на оси; в том случае, когда ось такой гомологии — бесконечно
удаленная прямая, гомология представляет собой обычный
параллельный перенос.
Под влиянием Дезарга великий французский философ, физик и
математик Блез Паскаль (1623—1662), будучи еще 16-летним
1 Слово «полюс» (polus) происходит от греческого слова ибХо<; — «ось» и
первоначально обозначало точку пересечения вращающейся сферы с осью.
Термины «полюс» прямой относительно конического сечения и «поляра»
были введены соответственно Ф. Ж. Сервуа (1767—1847) и Ж. Д. Жергон-
ном (1771—1859).
2 Термин «гомология» (6^oXo-[(a — «соответствие») в этом смысле был введен
Дезаргом [318).
134
н я'
юношей, выпустил в виде афиши «Опыт о конических сечениях»
(„Essay pour les coniques". Париж, 1640) [149J, где опубликовал
доказательство «теоремы Паскаля» о том, что точки пересечения
противоположных сторон шестиугольника, вписанного в
произвольное коническое сечение, лежат на одной прямой;
приведенная нами выше теорема Паппа является частным случаем этой
теоремы в случае, когда коническое сечение распадается в пару
прямых.
135
Проективные и бирациональ-
ные преобразования у Ньютона.
В XVII в. широко пользовался
различными геометрическими
преобразованиями великий
английский математик, механик и
физик Исаак Ньютон (1643—
1727). В своем «Перечислении
линий третьего порядка» («Enu-
meratio lines tertiis ordinis»,
написанном до 1670 г., а
опубликованном только вместе с
«Оптикой» (Лондон, 1704) [142,
с. 194—209]*, Ньютон дает
классификацию алгебраических
линий третьего порядка («второго рода»), в основу которой он
кладет тот факт, что все эти кривые могут быть получены
центральным проектированием («отбрасыванием тени от светящейся
точки») пяти «расходящихся парабол»
у2 = ах3 + Ъх2 + сх + d,
различающихся характером корней четырехчлена ах? + Ъх1 +
+ сх + d.
Ньютон показывает, что «если на бесконечную плоскость
отбрасывать от светящейся точки тени фигур, то тенями конических
сечений всегда будут конические сечения; тени кривых второго
рода всегда будут кривыми второго рода; тени кривых третьего
рода всегда будут кривыми третьего рода и так далее до
бесконечности. И совершенно так же, как круг при отбрасывании тени
производит все конические сечения, точно так пять расходящихся
парабол производят и доставляют все другие кривые второго рода»
[142, с. 206]. В своих знаменитых «Математических началах
натуральной философии» («Principia mathematica philosophiae natura-
lis») [143], в которых построена классическая механика и в связи
с потребностями динамики изложены основы дифференциального
и интегрального исчисления, Ньютон пользуется проективными
преобразованиями для решения конкретных задач. В разделе 5
книги I этого труда, посвященном определению орбит
движущихся тел, являющихся коническими сечениями, в случае, когда
неизвестны их радиусы, имеется лемма 22: «Преобразовать фигуру
в другую фигуру того же рода». Здесь Ньютон определяет
следующее преобразование кривой HGI в кривую hgi (рис. 71):
произвольная точка G кривой HGI сначала проектируется параллельно
прямой АО в точку D прямой А В, затем точка D проектируется
из точки О в точку d прямой BL, из точки d проводится прямая dg
1 Черновые записи Ньютона по этому сочинению, содержащие опущенные в
печатном тексте доказательства, опубликованы Уайтсайдом [521, т. 2,
с. 10—89].
136
под некоторым постоянным углом а к прямой BL, и на этой
прямой откладывается отрезок dg, такой, что dg : Od — DG : OD.
Если мы отнесем кривую HGI к косоугольным координатам с
осями АВ, АО, точка G определяется абсциссой X = AD и ординатой
Y •-- DG, а если мы отнесем кривую hgi к косоугольным
координатам с осью абсцисс BL, началом в точке а пересечения оси BL
с прямой Оа, параллельной оси АВ, и координатным углом а,
то точка g этой кривой определяется абсциссой х = vd и ординатой
у = dg. Поэтому, если обозначить АВ = р, О А = q, упомянутую
пропорцию можно переписать в виде у : р ~ Y : X. С другой
стороны, из подобия треугольников OadnOAD следует, что ^- = -jW-,
т. е. х : р = q : X. Поэтому преобразование Ньютона можно
записать в виде
X = — Y = —
X ' X
Это преобразование является проективным. Ньютон
показывает, что если точка G описывает прямую, коническое сечение и
вообще алгебраическую кривую гг-го порядка, то точка g также
описывает соответственно прямую, коническое сечение и
алгебраическую кривую гг-го порядка, а также что это преобразование
переводит прямые, пересекающиеся на оси, в параллельные
прямые. По поводу этой леммы Ньютон говорит, что «эта лемма
служит для решения трудных геометрических задач, преобразуя
заданные фигуры в простейшие... После того как для
преобразованной фигуры задача будет решена, стоит только преобразовать ее
в первоначальную, чтобы получить требуемое решение для этой
последней» [143, с. 133].
В «Перечислении линий третьего порядка» Ньютон
рассматривает и более общие геометрические преобразования, называемые
в настоящее время бирационалъными,— такие преобразования,
что и функции 'х = / (х, у), 'у = g (x, у), и обратные функции
х = ф ('х, 'у), у = %('х, у) являются рациональными функциями *.
Простейшим примером таких преобразований является инверсия
относительно окружности (3.3), переводящая прямые в
окружности. В своей классификации кривых третьего порядка Ньютон
указывает девять кривых, называемых им «гиперболизмами
конических сечений: четыре «гиперболизма гиперболы» (виды 57 —
60 его классификации), три «гиперболизма» эллипса (виды 61—63)
и два «гиперболизма параболы» (виды 64—65). «Я называю
гиперболизмом,— говорит Ньютон,— фигуру, ордината которой
получается, если взять произведение из ординаты этой фигуры на
данную прямую, поделенную на общую абсциссу, таким образом,
прямая линия превращается в коническую гиперболу и всякое
1 О бирациональных преобразованиях в сочинениях Ньютона, изданных
Уайтсайдом, см. статью Г. А. Школенок [480].
137
Коническое сечение прейраЩается в Какую-либо из фигур,
называемых здесь гиперболизмами конических сечений» [142, с. 203].
Аналитическое выражение коллинеаций общего вида на
плоскости (3.7) в виде
_ pz + qv + r _ Pz -f Qv + R
X~ Az+Bv+C ' У ~~ Az + Bv + C
мы встречаем впервые в «Аналитических этюдах об
алгебраических уравнениях и свойствах кривых» («Miscellanea analytica de
aequationibus algebraicis et curvarum proprietatibus». Кембридж,
1762) математика школы Ньютона Эдварда Варинга (1734—1798)
[516, с. 82].
Аффинные преобразования Клеро и Эйлера. Аффинные
преобразования общего вида появляются в Европе впервые в работе
18-летнего А. К. Клеро «О кривых, которые получают,
пересекая какую-либо кривую плоскостью, известной по положению»
(«Sur les courbes que Ton forme en coupant une surface courbe
quelconque par un plan donne de position». Париж, 1733) [305].
В этой работе Клеро дает доказательство, приведенное Ньютоном
в «Перечислении линий третьего порядка», без доказательства
утверждения о том, что все кривые третьего порядка можно
получить центральным проектированием пяти расходящихся парабол;
Клеро показывает, что сечения кубического конуса ху2 = ахъ +
+ bx2z + cxz2 + dz* плоскостями х = const являются
расходящимися параболами, а сечения другими плоскостями дают все
остальные виды кривых третьего порядка. Клеро определяет
аффинные преобразования следующим образом: «Здесь в качестве
кривых такого же вида рассматриваются две кривые,
отличающиеся только тем, что их координаты не образуют одного и того
же угла, или тем, что абсциссы и ординаты одной из них всегда
являются одинаковыми частями соответственно абсцисс и
ординат другой из них, подобно тому как один эллипс по отношению
к другому эллипсу, если их оси не находятся в том же отношении»
[305, с. 486]. Клеро записывает это преобразование в виде
с Ь
где х, у им, s — две координаты двух систем, вообще говоря, с
разными координатными осями и углами.
Аффинные преобразования рассматривались также Л.
Эйлером во II томе его «Введения в анализ бесконечных» («Introductio
in analysin infinitorum». Лозанна, 1748) [238], в 18-й главе «О
подобии и аффинности кривых линий». Рассмотрев сначала подобные
кривые и преобразование подобия
— JL — X
138
и отметив, что все окружности и все параболы образуют классы
подобных линий, Эйлер пишет: «В соответствии с тем, как у
подобных кривых гомологические абсциссы и ординаты либо
увеличиваются, либо уменьшаются в одном и том же отношении, в том
случае, когда абсциссы следуют одному отношению, а ординаты
другому, кривые уже не будут подобными. Но так как
возникающие при этом кривые находятся между собою в некоторой
связи, то мы назовем эти кривые линии аффинными. Таким образом,
аффинность содержит в себе подобие в качестве особого вида, так
как аффинные линии переходят в подобные, когда те два
отношения, которым следуют отдельно абсциссы и ординаты, становятся
равными между собою. Стало быть, если дана какая-нибудь
кривая лийия А МБ, то можно получить бесчисленные аффинные
кривые атЪ (рис. 72, б) следующим образом: надо взять абсциссу
ар таким образом, чтобы было АР : ар = 1 : т, затем провести
ординату рт таким образом, чтобы было РМ : рт = 1 : п.
Указанным путем, изменяя оба эти отношения 1 : ти 1 : п или же одно
из них, можно получить бесчисленные кривые, которые будут
аффинными по отношению к первой кривой АМВ» [238, т. 2, с. 230].
Далее Эйлер записывает аффинные преобразования формулами
X Y
х = — » У = —
т ' J n
и указывает, что окружности переводятся этими
преобразованиями в эллипсы, гиперболы — в гиперболы, а параболы — в
параболы.
Здесь впервые появляются термины «аффинный» и «аффинность»
(affinitas — буквально «свойство, родство по жене»). Термин
Эйлера, несомненно, навеян терминами Ньютона и Клеро «фигуры
такого же рода» и «кривые такого же вида». Вводя этот термин,
Эйлер подчеркивал, что между «аффинными кривыми» родство
139
Рис. 73
меньше, чем между подобными и тем более между «подобными и
равными», т. е. конгруэнтными.
Эйлер приводит также формулы для подобия и аффинного
преобразования общего вида, состоящего из определенных выше
подобия и аффинного преобразования и поворота вокруг точки.
Заметим, что в 15-й главе того же труда «О кривых, имеющих
один или несколько диаметров» Эйлер фактически приводит
классификацию движений на плоскости. Под «диаметром кривой»,
точнее, под «ортогональным диаметром кривой», Эйлер понимает
прямую, секущую пополам все перпендикулярные ей хорды, т. е.
ось симметрии. Основной задачей главы является выяснение
условий, при которых линия обладает одной или несколькими
осями симметрии. Однако, по существу, здесь ставится более
общая задача — выяснение условий, при которых линия «подобна
и равна», т. е. конгруэнтна самой себе.уГот факт, что
рассматриваемые здесь линии алгебраические, позволяет говорить не о
конгруэнтности линий в целом, а о наличии у линии двух «подобных
и равных частей». Говоря о различных случаях взаимного
расположения двух «подобных и равных частей» линии, Эйлер
указывает все виды движений на плоскости (рис. 73, а—г): перенос (а),
поворот (б), отражение от прямой (в) и скользящее отражение (г),
т. е. отражение от прямой, сопровождаемое переносом вдоль нее.
140
Эйлер показывает, что алгебраическая линия не может
переводиться в себя переносом и, за исключением окружности, которая
переводится в себя поворотом на любой угол, может переводиться
в себя только на угол, соизмеримый с прямым углом: если линия
обладает п осями симметрии, все они пересекаются в одной точке
и составляют между собой углы п/п. Эйлер находит условие,
при котором алгебраическая линия F (х, у) = О обладает п осями
симметрии, состоящее в том, что многочлен F (х, у) является
«некоторой рациональной функцией выражений х2 + у2 и
хп _ iLi^Lii х^у2 + п(п-1)(п-^Нп-3) ^4у4 _и т д>>>
[238, т. 2, с. 186].
Заметим, что х2 + У2 переходит в себя при повороте вокруг
начала координат на любой угол, а выражение (х + iy)n,
вещественной частью которого является второе выражение, указанное
Эйлером, переходит в себя только при повороте на угол 2л/п
и кратные ему углы, так как при повороте на угол 2л/п выраже-
. 2я , . . 2я
ние х + iy умножается на cos f-zsm — и, следовательно,
(2я 2лЛп
cos \- г sin —J = 1. Впрочем у Эйлера
здесь комплексные числа в явном виде не участвуют, хотя в
I томе «Введения в анализ» Эйлер [238, т. 1, с. 114] приводит
формулу Муавра в привычном нам виде
(cos z ± ]/"—1 sin z)n = cos nz ± У—1 sin nz.
Во «Введение в анализ» не вошли результаты работы Эйлера
«О некоторых свойствах конических сечений, которыми обладает
бесконечно много кривых линий» («Sur quelques proprietes des
sections coniques qui convennent a une infinite d'autres lignes
courbes». Берлин, 1746) [332, т. 27, с. 51—73], где исследовались
кривые, обладающие произвольными «диаметрами», т. е. кривые,
переходящие в себя при «косом отражении» — отражении от
прямой по прямым, не перпендикулярным ей. «Косое отражение»,
так же как «косое сжатие» и «косое растяжение», являются
частными случаями родства, представляющего собой в свою очередь
частный случай аффинного преобразования. Диаметрами в этом
смысле являются все диаметры конических сечений. В отличие от
«ортогональных диаметров» произвольные диаметры могут быть
параллельными, что видно на примере диаметров параболы.
Эйлер показывает, что, если алгебраическая кривая переходит
в себя при косых отражениях от двух прямых, она переходит
в себя и при аффинном преобразовании, состоящем из этих
отражений. Подробно рассмотрен случай, когда косое отражение от
одного диаметра переводит другой диаметр в третий. В работе
используются также свойства аффинных преобразований, например
141
то, что они переводят прямые в прямые, параллельные прямые —
в параллельные, а середины отрезков — в середины
соответственных отрезков.
Упомянем также написанную в 1777 г. работу Эйлера «О
центре подобия» («De centro similitudinis». Петербург, 1795) [332,
т. 26, с. 276—285], где доказывается, что для любых двух подоб
ных фигур на плоскости существует «центр подобия» — такая
точка Г, что, если а, Ъ и А, В — любые две пары соответственных
точек этих фигур, треугольники Tab и YAB подобны; по существу,
здесь доказано, что преобразование подобия всегда обладает
неподвижной точкой.
Конформные преобразования у Эйлера и Лагранжа. Другой
вид преобразований плоскости Эйлер рассмотрел в «Рассуждениях
об ортогональных траекториях» («Considerationes dc trajectoriis
orthogonalibus». Петербург, 1770) [332, т. 28, с. 99—119]. Здесь
Эйлер нашел, что такие траектории, т. е. семейства линий,
пересекающих друг друга под прямым углом, можно получить, ставя
в соответствие точке плоскости с прямоугольными координатами
х, у комплексное число х + iy, которое он записывал в виде х +
+ yY — 1» и применяя функции, записываемые им в виде
х -у Y~{ = funct (T - F|/""=T)
Эйлер имеет здесь в виду аналитические функции, причем
сформулированное им условие означает, что эта функция разлагается
в степенной ряд с вещественными коэффициентами. Указанные
функции определяют конформные преобразования плоскости
комплексного переменного, переводящие семейства прямых Т = const
и7 = const в ортогональные семейства линий. Эйлер особо
останавливается на случае, когда рассматриваемая им функция
является многочленом, а кривые ортогональных семейств —
алгебраические, в частности в случае квадратичного многочлена —
конфокальные эллипсы и гиперболы. Специально он рассматривает
функцию
x + yV=T-=f+g{T + vVz}l ,
f h + k(T + V К—1)
т. е. дробно-линейное преобразование, определяющее круговое
преобразование на плоскости, т. е. преобразование, порождаемое
инверсиями относительно окружностей. Эйлер применяет
конформные преобразования в упоминавшихся нами географических
работах, где строится конформное отображение сферы на
плоскость, состоящее из стереографической проекции и конформного
преобразования указанного вида. Конформные преобразования,
выражаемые аналитическими функциями
х + iy - / (и + it), х — iy = ф (и — it),
142
разлагаемыми й степенные ряды с комплексными коэффициент
тами, применил к решению той же проблемы Жозсф Луи Лагранж
(1736—1813) в работе «О построении географических карт» («Sur
la construction des cartes geographiques». Берлин, 1781) [385,
т. 4, с. 639—692]. Здесь Лагранж выбирал функции / и ф таким
образом, чтобы меридианы и параллели сферы перешли в
заданную ортогональную систему кривых на плоскости. Термин
«конформная проекция» для отображения поверхности на плоскости
с сохранением углов появился впервые в работе ученика Эйлера
Фридриха Теодора (Федора Ивановича) Шуберта (1758—1825)
«О географической проекции эллиптического сфероида» („De рго-
jectione sphaeroidis ellipticae geographica», Петербург, 1789)
[471].
Проективные преобразования у Монжа и Карно. Интерес
к синтетической проективной геометрии возродился в конце
XVIII в. в связи с появлением «Начертательной геометрии»
(«Geometrie descriptive». Париж, 1799) [135] выдающегося
французского математика и деятеля Французской революции Гаспара
Монжа (1746—1818). Основная часть этой книги посвящена
изложению широко применяемого в техническом черчении и в наше
время «метода Монжа», состоящего в ортогональном
проектировании пространственных фигур на две перпендикулярные
плоскости и их последующем совмещении, а также изложению
центрального проектирования. Здесь же доказан ряд теорем проективной
геометрии, как, например, теорема о том, что касательные,
проведенные из точки к квадрике (поверхности второго порядка),
касаются этой поверхности в точках плоской кривой; плоскость
этой кривой называется полярной плоскостью данной точки, а
точка называется полюсом этой плоскости — полярное
преобразование относительно квадрики является трехмерным аналогом
упоминавшегося нами ранее полярного преобразования относительно
конического сечения на плоскости.
Под влиянием Монжа проблемами проективной геометрии
заинтересовался его ученик, также прославленный деятель
Французской революции, «организатор победы», Лазарь Карно (1753 —
1823). В работе «О корреляции фигур в геометрии» («De la
correlation des iigures en geometrie». Париж, 1801) [290] Карно
рассматривает непрерывные преобразования фигур, называемые им
«корреляциями» (correlation — «соотношение»), чаще всего эти
преобразования проективные. Карно называет «принципом
корреляции» сохранение при этих преобразованиях свойств фигур и
переход числовых величин к их предельным значениям. Он
различает «прямую корреляцию», когда числовые величины,
характеризующие систему, не меняют знака; «косвенную корреляцию»,
когда некоторые из этих величин обращаются в нуль и меняют
знак, и «комплексную корреляцию», когда некоторые из этих
величин становятся мнимыми, как, например, «корреляция» между
143
окружностью х2 + у2 = а2, и равносторонней Гиперболой
х2 — у2 = а2 и между эллипсом х2/а2 + у21Ь2 = 1 и гиперболой
х2/а2 — у21Ъ2 = 1. «Принцип корреляции» позволяет находить
свойства одних фигур, связанных «корреляцией», по другим.
В «Геометрии положения» («Geometrie de position». Париж,
1803) [291] Карно определяет проективный инвариант четырех
точек — двойное отношение (3.4), причем отрезки, входящие в это
выражение, здесь впервые являются ориентированными, а их
длины — относительными числами. Карно показывает, что
двойное отношение (3.4) положительно и отрицательно, когда пары
точек А, В и С, D соответственно не разделяют и разделяют друг
друга, и доказывает равенство двойных отношений четверок точек,
в которых различные секущие — «трансверсали» — пересекают
четыре прямые одного пучка. Выше мы видели, что эта теорема
для абсолютных величин двойных отношений была доказана
Паппом. В «Очерке о теории трансверсалей» («Essai sur la theo-
rie des transversales». Париж, 1806) [292, с. 65—112] Карно
продолжает изучение двойных отношений и доказывает другую
теорему, доказанную для абсолютных значений Паппом,—
теорему о том, что диагонали полного четырехсторонника пересекают
третью в двух точках, гармонически делящих вершины этого
четырехсторонника, соединяемые одной последней диагональю. При
рассмотрении полного четырехсторонника Карно отправлялся от
теоремы Менелая об этой фигуре.
Проективные преобразования у Понселе. Работы Карно были
продолжены другим учеником Монжа Жаном Виктором Понселе
(1788—1867), военным инженером, участвовавшим в походе
Наполеона в Россию. Понселе сформулировал свои идеи о
проективной геометрии в русском плену, в Саратове, и по возвращении
во Францию опубликовал их в «Трактате о проективных свойствах
фигур» («Traite des proprieties projectives des figures». Париж,
1822) [442]. Определив центральную проекцию и ее свойства,
Понселе пишет:
«Все эти свойства центральной проекции выводятся чисто
геометрически из ее собственной природы и из наиболее
общепринятых понятий, и нет никакой нужды прибегать к алгебраическому
анализу для их определения и доказательства: так, чтобы
доказать, что линия порядка п остается линией того же порядка при
проекции, достаточно заметить, что первая линия не может^быть
пересечена более чем в п точках произвольной прямой,
проведенной в ее плоскости, и необходимо должно быть то же самое для
второй, так как проекция прямой — всегда прямая линия,
которая должна пройти через все точки, соответствующие точкам
первой.
Согласно общепринятому в геометрии определению
Аполлония, коническим сечением или просто коникой называется линия,
по которой произвольная плоскость пересекает какой-нибудь ко-
144
nyc с круговым основанием; таким образом, коническое сечение*
есть не что иное, как проекция окружности и, согласно
предыдущему, является также линией второго порядка, так как
окружность может пересекаться любой, расположенной в ее плоскости
прямой не более чем в двух точках.
Фигура, части которой имеют между собой только
графические зависимости типа тех, о которых говорилось выше, т. е.
зависимости, не уничтожаемые проектированием, будет в
нижеследующем называться проективной фигурой.
Сами же эти зависимости и вообще все отношения или
свойства, имеющие место в одно и то же время и у данной фигуры и у ее
проекции, будут аналогичным образом называться
проективными отношениями или свойствами» (см. [14а, с. 258]).
Определив «проективные свойства», Понселе устанавливает
проективность всех конических сечений окружности и, так же как
Ньютон, для решения трудных задач, относящихся к коническим
сечениям, рекомендует перевести эту линию проективным
преобразованием в окружность, решить соответствующую задачу для
окружности и произвести обратное преобразование. Развивая
идею Карно о комплексной корреляции, Понселе вводит понятие
мнимых точек плоскости, с помощью которых он доказал,
например, теорему о том, что все окружности плоскости имеют две
общие мнимые бесконечно удаленные «циклические точки», или
теорему о том, что фокусы конического сечения являются
точками пересечения касательных к этому сечению, проведенных из
циклических точек. Понселе исследовал также «проективные
свойства» пространственных фигур.
Геометрические преобразования у Мёбиуса. Если проективная
геометрия Монжа, Карно и Понселе была синтетической, то уже
через несколько лет после появления «Трактата о проективных
свойствах фигур» появляется аналитическое изложение теории
аффинных преобразований и проективных преобразований в
«Барицентрическом исчислении» («Das barycentrische Calcul».
Лейпциг, 1827) [413, т. 1, с. 5—388] немецкого математика и
астронома Августа Фердинанда Мёбиуса (1790—1868). Название книги
Мёбиуса связано с введенными в ней «барицентрическими
координатами» точек: если поместить в вершинах фиксированного
треугольника ЕгЕ2Е3 массы т19 т2, т3, то центр тяжести
(«барицентр») этих масс можно характеризовать числами ти т2, т3,
определенными с точностью до общего множителя. Эти числа,
называемые «барицентрическими координатами», являются
частным случаем однородных координат точки. Эти координаты
характеризуют и точки плоскости, находящиеся вне треугольника,
если числа ти т2, т3 могут принимать и отрицательные
значения. С помощью барицентрических координат можно определить
и бесконечно удаленные точки плоскости.
145
Мёбиус показал, что проективные преобразования выражаются
линейными преобразования барицентрических координат. Мёбиус
вводит общее понятие геометрического преобразования —
взаимно однозначного соответствия между фигурами, он называет
это соответствие «сродством» (Verwandschaft), по-видимому,
переводом термина Эйлера aitinitas. Аффинное преобразование
Мёбиус называет «аффинным сродством» или «аффиннитетом»,
проективное преобразование — «коллинеарным сродством» или «кол-
линеацией». Мёбиус впервые рассмотрел в общем виде также
проективные преобразования пространства, при которых точки
переходят в плоскости, а точки, лежащие на одной прямой, переходят
в плоскости, проходящие через прямую: он назвал эти
преобразования заимствованным у Карно термином «корреляция».
Примером корреляций являются полярные преобразования
относительно квадрики. В «Руководстве по статике» («Lehrbuch de^ Slatik».
Лейпциг, 1837) [413, т. 3, стр. 1—497J Мёбиуса изучается другой
вид корреляции, тесно связанной с динамическими винтами,
определяемыми системами сил,— нуль-системы. Если мы будем
определять точки проективными координатами х°, х1, х2, хг, то
плоскость
\ щх1 = и0х° -\- щх1 + щх2 + и3х3 = О (3.10)
i
следует определять «тангенциальными координатами» и0, иг, и2,
и3, коллинеации можно записать в виде
'х{ = ^ар, (3.11)
i
а корреляции — в виде
Wi = Jfl/, (3.12)
i
причем полярное преобразование относительно квадрики
££ay*V = 0 (3.13)
i j
является корреляцией (3.12), коэффициенты atj которой связаны
условием симметрии atj = ait и совпадают с коэффициентами
уравнения (3.13), а нуль-система является корреляцией (3.12),
коэффициенты atj которой связаны условием антисимметрии
atJ = —ап.
Круговые и конформные преобразования. Выше мы видели,
что Эйлер и Лагранж рассматривали круговые и конформные
преобразования плоскости, определяемые с помощью дробно-
линейных преобразований плоскости комплексного переменного
146
и произвольных аналитических функций этого переменного.
Французский математик Жозеф Лиувилль (1809—1882) в
добавлении к изданию книги Г. Монжа «Приложения анализа к
геометрии» («Applications de Tanalyse a la geometrie». Париж, 1850)
[416, с. 609—616] рассмотрел конформные преобразования в
пространстве и доказал, что в отличие от плоскости всякое
конформное преобразование в пространстве переводит сферы в сферы или
плоскости и является пространственным аналогом кругового
преобразования.
Исследование Лиувилля побудило Мёбиуса рассмотреть
круговые преобразования плоскости, не основываясь на комплексных
числах,— этому посвящена работа Мёбиуса «Теория сродства
кругов в чисто геометрическом изложении» («Die Theorie der
Kreisverwandschaiten in rein geometrischer Darstellung», Лейпциг,
1855) [413, т. 2, с. 245-314].
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
И ПРЕДЫСТОРИЯ
МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Геометрическая алгебра. Наши термины «квадрат» и «куб»
для п2 и п3 восходят к пифагорейцам, для которых «квадратные
числа» и «кубические числа» являются частными случаями
«фигурных чисел», наряду с «плоскими числами» т-п и «телесными
числами» 1-т-п, а также более сложными «треугольными
числами + 1) тг (3/г — 1)
ми» £J—-, «пятиугольными числами» 2 ', «пирамидальными
n(n + i)(n+2) 1тэ
числами» — ' '—!—- и т. д.1 В основе этой терминологии лежало
представление о том, что точки, которые пифагорейцы
отождествляли с единицами, расположены в геометрических фигурах
дискретным образом по определенным правилам.
Пифагорейцы называли квадратное число TexpaToavos
(«квадратный, четырехугольный») и Sovajxtc («степень, потенция»),
кубическое число — x6j$o<; («кубический»). У пифагорейцев
заимствованы определения «квадратного», «кубического», «плоского» и
«телесного» чисел в «Началах» Евклида (определения 17—20 книги
VII «Начал») [66, т. 2, с. 10]. С другой стороны, для
геометрических величин Евклид пользовался геометрической алгеброй, в
которой роль произведений отрезков играли прямоугольники и;
следовательно, роль произведений отрезка на себя — квадраты.
Например, алгебраическое тождество (а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ъ2
Евклид формулировал в предложении 4 книги II «Начал»
следующим образом: «Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат
на всей [прямой] равен квадратам на отрезках вместе с дважды
[взятым] прямоугольником, заключенным между отрезками»
[66, т. 1,с. 64].
Гипергеометрические названия степеней у Герона и Диофанта
и на средневековом Востоке. По-видимому, именно
геометрическая форма алгебры Евклида препятствовала рассмотрению
степеней выше третьей. Четвертая степень появляется впервые в
1 «Пятиугольные числа» имеют неожиданное применение к геометрии-
семейство (п — 1)-мерных плоских образующих (N — 1)-мерной поверх:
ности второго порядка зависит от Nn — п ' п * параметров [170, с. 280].
148
I—II в. н. э. в «Метрике» («Metptxa») Герона, для которого
алгебра носила уже не геометрический, а чисто вычислительный
характер. Герон называл 4-ю степень 5uva[xo8ova[xt<; — «квадрато-
квадратом» [353, т. 3, с. 48].
В той части «Арифметики» («AptfrixTfctxa») Диофанта
(III в. н. э.), которая сохранилась по-гречески, мы встречаем уже
шесть степеней. Для 4-й степени Диофант применяет термин
Герона, 5-ю и 6-ю степени он называет аналогичными терминами
8uva(xox6po<; («квадрато-куб») и xupoxujta; («куб-куб») [62,
с. 38]. В недавно найденной части «Арифметики» Диофанта,
сохранившейся в арабском переводе Косты ибн Луки (ум. ок. 912)
[61, с. 39; 447], встречаются также 8-я степень («квадрато-квадрато-
квадрато-квадрат» и «кубо-кубо-квадрат») и 9-я степень («кубо-
кубо-куб»). В арабском переводе Диофанта и в других сочинениях
математики Ближнего и Среднего Востока называли х2 мал
(«имущество»), х3 net б («куб»), х* мал мал, хъ мал ка'б, хв какб ка'бу х1
мал мал ка1б, х9 мал какб ка'б, х* ка'б ка'б ка'б. К началу XI—
XII вв. эти математики вышли за пределы степеней Диофанта.
Самав*ал ал-Магриби (ум. 1175) в своей «Блестящей [книге]
о науке арифметики» («Ал-бахир фи 'илм ал-хисаб») [461]
(см. также [175]) сообщает, что иранский математик Абу Бакр
Мухаммад ал-Караджи (ум. 1016) в одном из своих
алгебраических трактатов привел формулу бинома для любой целой степени
(а + Ь)п = ап + паГЧ + с1ап~2Ь2 + . . . + С%ап-тЪт +
+ . . . + С1а2Ъп~2 + nab71-1 + 6П,
а также таблицу биномиальных коэффициентов и закон их
образования
С 771 ГчТП.-\ I s-гТП
п — ^п-1 "Г ЬП-1»
Изложение этих правил мы встречаем в «Сборнике по
арифметике с помощью доски и пыли» («Джами'ал-хисаб би-т-тахт ва-т-ту-
раб») [207а] Насир-ад-Дина ат-Туси и в «Ключе арифметики»
(«Мифтах ал-хисаб») [89, с. 41—44] самаркандского математика
Гияс ад-Дина Джемшида ал-Каши (ум. ок. 1430). Последний,
перечислив упомянутые выше шесть степеней, писал: «Затем
квадрато-квадрато-куб, затем квадрато-кубо-куб, затем кубо-кубо-
куб; далее [всякий раз] слово «куб» заменяется на «квадрато-квад-
рат», потом второй «квадрат» заменяется на «куб» и так далее до
бесконечности» [89, с. 30].
Заметим также, что ат-Туси и ал-Каши в упомянутых
сочинениях излагают способ извлечения корней любой натуральной
степени из натуральных чисел по так называемому методу Руффи-
ни — Горнера, по-видимому заимствованному у китайцев. Первым
этот способ применил, видимо, Омар Хайям в не дошедших до нас
«Проблемах арифметики» («Мушкилат ал-хисаб») [222, с. 74—75],
о которых он говорит в своем алгебраическом трактате. Все три
автора называют корни любой степени одним и тем же словом
149
дил1 — «сторона, ребро», которое переводится как сторона
квадрата, ребро куба и основание степени выше третьей. Несмотря на
геометрическую терминологию, у этих трех авторов мы не
встречаем геометрической интерпретации степеней выше третьей.
Попытку такой интерпретации мы встречаем в «Книге духовных
искусных приемов и природных тайн о тонкостях геометрических
фигур» («Китаб ал-хийал ар-руханиййа ва-л-асрар ат-таби4иййа
фи дакаик ал-ашкал ал-хандасиййа») известного философа Абу
Насра ал-Фараби (ок. 870—950) [211, с. 91—231] и в «Книге о том,
что необходимо ремесленнику из геометрических построений»
(«Китаб фи ма йахтаджу илайхи ас-сани4мин а'мал ал-хандасиййа»)
[4] математика и астронома Абу-л-Вафы ал-Бузджани (940—998).
Оба эти автора, изложив построение стороны квадрата,
равновеликого трем равным квадратам, как диагонали куба,
построенного на одном из этих квадратов, писали: «Точно так же обстоит дело,
если мы хотим [построить] квадрат, состоящий более чем из трех
или менее чем из трех квадратов» [4, с. 118; 211, с. 200]. Весьма
возможно, что эти слова обозначают, что «в случае, когда число
квадратов больше трех», сторона искомого квадрата равна
диагонали «квадрато-квадрата» и «квадрато-куба», понимаемых как
многомерные обобщения куба. Возможно также, что эта пробле
ма обсуждается в не дошедшей до нас «Книге введения в
воображаемую геометрию» («Китаб ал-мадхал ал-хандаса ал-вахмиййа»)
ал-Фараби [359, т. 2, с. 136].
Если у Диофанта и математиков Ближнего и Среднего Востока
принцип образования названий степеней аддитивный (хь = х2+3,
х6 = х3+3, . . .), то индийские математики применяли
мультипликативный принцип образования этих названий, т. е. называли
«квадрато-квадратом» (варга-варга) х* = х2'2, «кубо-квадратом»
(гхана-варга) х6 = х32, «кубо-квадрато-квадратом» (гхана-варга-
варга) х12 = х3'2'2, хь и х7 индийцы называли «произведением
квадрата и куба» (варга-гхана-гхата, хь = х2-х3) и
«произведением квадрата, квадрата и куба» (варга-варга-гхана-гхата,
х1 = х2-х2-х3).
Гипергеометрические названия степеней у византийцев и
итальянцев. У математиков Европы, находившихся под
влиянием математиков Востока, мы встречаем оба принципа названий
степеней, и аддитивный и мультипликативный.
Византийский математик Михаил Пселл (1018—1078) в одном
письме по поводу Диофанта писал, что александрийский
математик III в. н. э. Анатолий, которого он называет «логистом»
(вычислителем), назвал хь аХо^ос тср&тос — «первым невыразимым»,
а х1 — aXofCK Seoxepos — «вторым невыразимым» [500, т. 2,
с. 430-432].
Леонардо Пизанский (ок. 1170—1250) в «Книге абака» («Liber
abaci» [394, с. 446], написанной под сильным влиянием арабской
литературы, называл х2 cencus, x9 cubus, xi census census, хв сеп-
150
sus census census, xs census census census cen.su?>. Аддитивный
принцип мы встречаем и в одной итальянской рукописи XV в., где х1
называется quadralo и censo, х2 — cubo, х* — censo di censo,
хь _ Censo di cubo [400, с. 288].
В то же время большинство итальянских математиков XV в.
предпочитали мультипликативный принцип. В частности, Лука
Пачоли (1454 — 1514) в своей «Сумме арифметики,
геометрии, отношений и пропорциональности» («Summa de Arithmetica,
Geometria, Proportioni et Proportionalita». Венеция, 1494) [429]
называет я2 censo (сокращенное обозначение се.), х3 — cubo (си.)?#4 —
censo de censo (се. се.), хь — primo relato (р°г°), х6 — censo de cubo
(се. cu.), x7— secondo relato 2°r°), xB censo de censo de censo (ce.
ce. ce.), xd — cubo de cubo (cu. cu.), x10 — censo de primo relato
(ce. p°r°), x11 — tertio relato (3°r°) и т. д. до я29. Прилагательные
primo, secondo, tertio в обозначениях хъ, х7, х11 обозначают 1-е,
2-е, 3-е, аналогично хгл, х11, х1д и х23 называются соответственно
4-м, 5-м, 6-м, и 7-м relato 1429, л. 67 об.]. Названия 5-й и 7-й
степени у Пачоли напоминают названия этих степеней у Пселла.
Слово relato, стоящее у Пачоли вместо слова аХо^ос,
по-видимому, искажение перевода или перевод искажения этого термина:
аХоуос — «невыразимый», обычно переводится на латынь словом
irrationalis, причем слово ratio здесь понимается как отношение,
а отрицание а переводится отрицанием ir-. Возможно, что
переводчики, не поняв смысла, в котором здесь употребляется слово
ало^ос, прочли его как 6 Хб^ос — «отношение» и перевели его
словом relatum — «отношение», «донесение». Не исключено также,
что слово akoyoQ было понято как «не-отношение» и было
переведено irrelatum, а впоследствии было сокращено до relatum; термин
Пачоли — итальянская форма слога relatum.
Решение кубических уравнений в радикалах и трехмерная
геометрическая алгебра. Тем же термином relato в итальянской
форме и relatum в латинской форме пользовались итальянские
алгебраисты XVI в. Никколо Тарталья (ок. 1500—1557) и Джирола-
мо Кардано (1501—1576), первый из которых открыл способ
решения кубических уравнений в радикалах, а второй в своем
«Великом искусстве, или Об алгебраических правилах» («Ars magna sive
de Regulis algebraicis». Нюрнберг, 1545) [289] опубликовал
правило решения, найденное Тартальей, со своим доказательством.
Доказательство Кардано (см. [38]) опиралось на правило
разложения (а + &)3, которое он, без сомнения, обосновывал с помощью
трехмерной «геометрической алгебры», путем разложения куба
на два куба а3 и б3, три параллелограмма а2Ъ и три
параллелограмма ab2 (это разложение встречается в руководствах по алгебре
XVI в., в частности в «Алгебре» («Coss») Христофа Рудольфа
(ок. 1500 — ок. 1545), вследствие чего его называли «кубом
Христофа») [490, л. 173]. Для решения уравнения х'д + ах = b
неизвестное х представлялось в виде х = U — V, при подстанов-
151
ке этого выражения в уравнение получалось равенство U3 —
— 3U2V + SUV2 — V3 + aU — aV = b, которое
удовлетворялось при выполнении условий U3 — V3 = b, 3UV -- а, и
аналогично для решения уравнения х3 = ах + b неизвестное х
представлялось в виде х — U + V, причем U3 + V3 = b, 3UV = а.
Гипергеометрические названия степеней у немецких коссистов.
Аддитивный принцип названий степеней применялся и в первых
руководствах по алгебре немецких алгебраистов-«коссистов»
(немецкое название алгебры Coss происходит от итальянского слова
cosa — «вещь», перевод арабского таи и латинского res, которым
итальянские математики вслед за математиками Востока
называли неизвестную в алгебраических уравнениях), например, в
дрезденской рукописи № С.80 (ок. 1480) х — res (г); х2 — zensus
(z); x3 — cubus (с); х* = zz; x5 = rzz; x6 = zzz; x1 = czz; xH =
= zzzz; x9 = rzzzz; x10 = zzzzz. Но уже в венской рукописи
№ 3277 (ок. 1500) хь обозначается alt и называется quadrangularis
(искажение слова aXofoc?), а х6 обозначается z + с (quadratus et
cubus) [507, т. 2, с. 148]. Все позднейшие коссистские алгебры
применяют мультипликативный принцип. В рукописи 1525 г., автор
которой именуется Initius Algebras («основоположник алгебры»)
[369], и в написанной годом раньше «Алгебре» («Die Coss») [450]
Адама Ризе (1492—1559), являющейся сокращением того же
сочинения, х2 называется Zensus или Quadrat и обозначается £
х3 — Cubus (с); д:4 — Zensus de Zensu (jj); хь — Sursolidum (В);
хв — Zensicubus (jc); x1 — Bissursolidum (bifi); xs — Zensus
Zensui de Zensu (щ); д:9 — Cubus de Cubo (ее). Дальнейшие
степени в рукописи Initius Algebras обозначаются: х10 = jfi; x11 =
= terB; x12 — j&c; x13 = quadrfi; хы = jbiB; xVo = cB;
x™ = SSSS; x11 = quintB; xls = &CC [450, с 5; 507, с. 474; 508].
Названия хъ и х1 автор рукописи Initius Algebras объясняет
так: «Следует заметить, что эти два знака называются sursolida,
т. е. surda solida, так как они получаются из тел и поверхностей,
умноженных друг на друга при сурдическом и иррациональном
сечении (an surdischen und irrationalischen section), происходящих
при пятом и седьмом месте умножения» [503, с. 477]. Латинское
слово surdus, от которого происходят термины surda solida и
suidisch (буквально: «глухой») — перевод арабского термина асамм
(«немой, глухой»), которым арабы переводили греческий термин
aXoyoQ — «невыразимый». Греки употребляли термин акоХ<к,
ученые стран ислама — асамм, а ученые Западной Европы —
surdus для обозначения иррациональных корней, а впоследствии
словом surdus стали называть иррациональные числа, чем и
объясняется выражение «сурдическое и иррациональное сечение». Это
означает, что из степеней хь и х1 нельзя извлечь квадратного и
кубического корней, т. е. такие корни из указанных степеней
целых чисел иррациональны. Здесь определенно указывается,
что sursolidum — сокращенное выражение surdum solidum.
152
О том же происхождении слова sursolidum говорит определение
Ризе «sursolidum — глухое число (ist eine taube zal), не имеющее
общего ни с квадратом, ни с кубом» [450, с. 35]. Слово taube —
немецкий эквивалент латинского surdus. По-видимому, названия
коссистов заимствованы из некоторого не дошедшего до нас
источника, на котором основаны названия Пселла и Пачоли. Новым
здесь является употребление в названиях степеней с простыми
показателями слова solidum — «тело», указывающее на то, что кос-
систы (или их источники) рассматривали эти степени как
обобщения кубов. Аналогичные названия степеней до х9 мы встречаем
в упоминавшейся «Алгебре» Рудольфа: х2 — Zensus (j); х3 —
Cubus (с); х* — Zensdezens (jj); хъ — Sursolidum (6); х6 —
Zensicubus (jc); x7 — Bsursolidum (Bft)', xs — Zenszensdezens
(Ш)\ хд — Cubus de Cubo (cc) [490, л. 63]. Рудольф определяет
sursolidum как «неловкое число (uugeschickte zal), не имеющее
пи квадратного, пи кубического корня» [490, л. 63 об.].
Наиболее крупный ученый из коссистов Михаэль Штифель
(1486—1567) в своих дополнениях к «Алгебре» Рудольфа
(Кенигсберг, 1553) [490, л. 160 об.] привел дальнейшие обозначения
степеней в виде; х10 - ф; х11 = Сй\ х12 = $jc* х13 = DQ: хы =-
- ьВй; х1Ъ - СВ; х16 - $$$$; х11 = Ей\ xls = &CC; х19 = Ffl;
х20 = ijB; x21 = cBQ; x22 = сСВ. В «Полной арифметике», («Ari
thmetica integra». Нюрнберг, 1544) [491] Штифель называл хь не
sursolidum, a surdesolidum и обозначал х1 = /;13; х11 = СИ;
х13 = с/В; х11 =йит. д. [491, л. 32].
Однако позднейшие математики стали рассматривать слово
sursolidum как сокращение слова supersolidum — «сверхтело»
(sur — «сверх» по-французски, сокращение латинского super).
Это название мы встречаем, например, в книге «О сокровенной
части [учения о] числах, которую называют алгеброй» («De occulta
parte numerorum quam algebram vocant». Париж, 1560) [437]
Жака Пелетье (1517—1582).
Представление о пятой степени как о «сверхтеле» мы встречаем
в XVII в. у творца буквенной алгебры Рене Декарта (1596—1650).
В «Геометрии» («La Geometrie». Париж, 1637) [55, с. 299—408;
56] Декарт говорит о последовательных степенях от х2 до xG:
«квадрат или куб, или квадрат квадрата, или сверхтело, или
квадрат куба» (le quarre , ou le cube, ou le quarre de quarre, ou le
sursolide, ou le quarre de cube); термин «сверхтело» (sursolide) он
применяет и далее [55, с. 401]; в одном письме он называет х1
термином Штифеля B-sursolide [319, т. 3, с. 188]. III книгу
«Геометрии», посвященную решению задач степени >3, Декарт озаглавил
«О построении телесных или превосходящих телесные задач»
(«De la construction des problemes solides ou plusque solides»)
[55, с 367]. Латинский переводчик, «Геометрии» Декарта, Франс
ван Схоутен (1615—1660) перевел'^приведенные слова Декарта:
quadratum, sive cubus, sive quadrato-quadratum, sive surde-soli-
dum, sive quadrato-cubus [320, c. 5], а далее он переводил sursolide
153
как surde-solidum [320, с. 108—109]. Однако сам Декарт в одном
латинском письме перевел термин sursolide словом supersolidum
[319, с. 265].
Многомерные обобщения куба у Штифеля. «Гипергеометричем
ские» названия степеней и понимание слова sursolidum в смысле-
«сверхтело» вместо первоначального surdesolidum привело
Михаэля Штифеля к идее многомерного обобщения куба,
понимаемого им вполне отчетливо. В своей обработке «Алгебры» Рудольфа,
в дополнении к I книге, Штифель пишет: «Такие [геометрические]
прогрессии называются по истинным геометрическим прогрессиям
в собственном смысле слова, в которых первой воображается
точка как начало линий. Вторым приводится линия (длинная или
короткая). Третьим [строится] плоская квадратная фигура,
называемая по мере проведенной линии но длине и ширине. Четвертым
следует куб, для которого проведенная линия является
кубическим корнем или мерой по всем трем его измерениям — длине,
ширине и толщине. А дальше геометрическая прогрессия не
переходит к другим большим измерениям. Поэтому всякую
геометрическую прогрессию переводят в арифметику: единица для точки,
первое число — для линии, второе число для квадратной плоской
фигуры и третье число — для кубического тела. Если в
арифметике мы видим, что нам разрешается сочинять многие вещи, даже
если они совсем не имеют формы, в геометрии не разрешается
предположить телесные линии и поверхности (corperliche linien
und superficies) и выйти за пределы куба, как если бы было
больше чем три измерения (uber den cubum hinauss faren gleych
als weren mehr denn drey dimensiones), так как это было бы
противоестественно. В этом случае геометрическая прогрессия шла
бы дальше и дальше без всякой цели и конца, куб полагался бы
за телесную точку, за которой полагали бы телесную линию, за
ней — телесную поверхность, а за пей полагали бы куб, за
которым шли бы дальше, как сейчас указано, не останавливаясь.
Но следовало бы сделать здесь доброе снисхождение из-за
красивого и чудесного применения алгебры» [490, л. 9—9 об.].
Понимая линию как след движущейся точки, Штифель
называет куб «телесной точкой», а под «телесной линией» и «телесной
поверхностью» он понимал результат движения трехмерного куба
в одном или двух направлениях, перпендикулярных всем
измерениям куба. В другом месте, обобщая понятие телесной линии,
Штифель определяет «коссическую линию» как след движущейся
величины любой размерности, который он иллюстрирует следом
движущейся линии ас: если эта линия движется вдоль линии ab,
то прямоугольник abed — «коссическая линия» [490, л. 173].
Штифель, изложивший в «Полной арифметике» формулу бинома
(а + Ь)п, в обработке «Алгебры» Рудольфа применил
представления о многомерных кубах для иллюстрации формулы бинома.
Приведя геометрическую интерпретацию формулы бинома при п = 3
154
с помощью «куба Кристофа», Штифель пишет: «Так же как
квадратные биномы разлагаются на 4 части, а кубические — на 8
частей, квадрато-квадратные биномы (die binomia zensizensica)
разлагаются на 16 частей, а сверхтелесные (din sursolida) — на
32 части, и подобно этому идет по двукратной прогрессии» [490,
л. 482 об.].
Идея пространства, выходящего за пределы трех измерений,
появляется в конце XVI в. в комментариях к «Физике»
Аристотеля, написанных португальским иезуитом Мануэлем де Гоишем,
работавшим в Коимбре. Эти комментарии известны тем, что из
них Г. Кантор заимствовал термин «трансфинитный» для
обозначения мощностей бесконечных множеств, по выражению де Гои-
ша, «актуально (actu) состоящих из бесконечно многих частиц»
[410а, с. 258]. Следуя за Брадвардином, о котором мы будем
говорить ниже, де Гоиш вводит понятие «воображаемого пространства»
и высказывает предположение, что именно оно является местом
пребывания бога [346а, с. 561], и далее говорит, что «это
воображаемое пространство не является истинной величиной,
обладающей тремя измерениями» [346а, с. 562]. Это свойство
«воображаемого пространства» позволяет сделать предположение, что это
понятие восходит (вероятно, через большое число
посредствующих звеньев) к «воображаемой геометрии» ал-Фараби.
Первые попытки геометрической интерпретации функций
нескольких переменных. Другой путь, ведущий к многомерной
геометрии, основан на попытках геометрической интерпретации
функций нескольких переменных. С первой такой попыткой мы
встречаемся у французского математика Николя Орема (ок. 1323—
1382) в его трактате «О конфигурации качеств» («De configuratio-
ne qualitatum») [144]. Орем, определив «линейное качество»
(функцию одного переменного) и его изображение «в виде некоей
плоскости, поставленной вертикально па линии предмета» [144,
с. 643], т. е. в виде графика на плоскости, и «плоскостное качество»
(функцию двух переменных), т. е. «качество, которое должно быть
воображаемо в виде телесной фигуры, расположенной по отвесу
на поверхности, наделенной качеством, как бы на своем основании»
[144, с. 663—664], определяет «телесное качество», т. е. функцию
трех переменных. Орем говорит: «Из ранее сказанного явствует,
что в любом вообще роде телесных фигур может быть воображаемо
или изображаемо какое-либо телесное качество. Поскольку же из
любой точки фигуры может быть проведена линия,
перпендикулярная к основанию той же фигуры, так что никакая часть этой
линии не находится вне той фигуры, посредством которой подобного
рода качество обозначается, постольку ни одно качество не
обозначается посредством фигуры просверленной или фигуры,
имеющей выемку у основания» [144, с. 665]. Очевидно, что под
«линией, перпендикулярной к основанию той же фигуры», имеется
в виду линия, перпендикулярная к фигуре, являющейся основа-
155
нием; в выражении «никакая часть этой линии не находится вне
той фигуры» вместо слова «вне» следует читать «внутри», т. е. Орем
имеет в виду прямые линии, перпендикулярные всем измерениям
«телесной фигуры» (искажение, по-видимому, было внесено
переписчиками, не понимавшими идеи четвертого измерения у Орема).
Ту же мысль мы встречаем в XVII в. у одного из
основоположников аналитической геометрии Пьера Ферма (1601—1665) в
«Новой аналитической трактовке вторых неизвестных и неизвестных
высшего порядка» («Novus secundarum et ulterioris ordinis radicum
in Analyticis usus») [334, т. З, с. 157—163].
Здесь Ферма, рассмотрев уравнение с двумя неизвестными и
показав, что такое уравнение определяет линию, говорит: «Если
задача допускает три неизвестные положения, в ней разыскиваются
не только точки или линии, удовлетворяющие уравнению, но вся
поверхность; так появляются геометрические места на
поверхности и т. д.» [334, т. 3, с. 161—261]. Под «и т. д.», т. е. дальнейшими
геометрическими местами, Ферма, очевидно, имеет в виду
многомерные геометрические интерпретации уравнений с более чем
тремя неизвестными. Таким образом, потребность в геометрической
интерпретации сначала алгебраических степеней выше третьей,
а затем функций более чем двух переменных к XVII в. вплотную
подвела математиков к идее многомерного пространства.
Геометрическая алгебра Виета. Аналитическая геометрия была
создана почти одновременно П. Ферма во «Введении в изучение
плоских и пространственных мест» («Ad locos pianos et solidos isa-
goge») [56, с 137—196] и в упомянутой нами ранее по другому
поводу «Геометрии» Декарта. Последняя была опубликована
в 1637 г., а первое было написано незадолго до того же года, и
хотя оно опубликовано только посмертно, парижские математики
читали его в рукописном виде.
К идее аналитической геометрии оба ее создателя пришли, по-
видимому, под влиянием небольшого сочинения Виета «Первые
замечания к видовой логистике» («Ad logisticam speciosae notae
priores». Париж, 1631) [510, с. 13—41]1, опубликованного
посмертно незадолго до появления сочинений Ферма и Декарта.
В 46-м предложении «Первых примечаний» Виет решает задачу:
«По двум прямоугольным треугольникам найти третий
прямоугольный треугольник. Пусть имеются два прямоугольных
треугольника, и пусть гипотенуза третьего подобна тому, что
получается от перемножения гипотенузы первого на гипотенузу
второго, а именно Z и X» [510, с. 34]. Здесь имеется в виду построение
такого треугольника, гипотенуза которого равна произведению
1 Наше внимание на это интереснейшее, но почти не изучавшееся историками
науки сочинение Виета обратила И. Г. Башмакова и ее ученики С. С. Глупь
ков и Е. И. Славутин, изучавшие различные алгебраические аспекты этого
сочинения.
156
0 inF = М[.п£
Рис. 74
BinF+JDitilr
К
II
1^
гипотенуз первых двух треугольников, однако Виет говорит, что
гипотенуза третьего треугольника «подобна» произведению
гипотенуз первых двух треугольников, так как в соответствии с
разделяемым им античным принципом однородности он считает
произведение гипотенуз прямоугольником, а третью гипотенузу считает
равной стороне прямоугольника, равного прямоугольнику,
построенному на двух первых гипотенузах, высота которого равна
единичной линии. Виет рассматривает два прямоугольных
треугольника с гипотенузами Z и X, горизонтальными катетами D
и G и вертикальными катетами В и F и указывает, что задача имеет
два решения: «В первом случае первая сторона — В на G + D
на F, вторая — В на F = D на G, во втором случае — первая —В
на G = D на F, а вторая — В на F + D на G» (рис. 74).
Применяемый здесь Виетом знак = обозначает результат вычитания
меньшей из двух величин из большей, т. е. А = В обозначает \ А — В \.
Виет называет определенную им композицию треугольников
«порождением треугольников» (genesis triangulorum).
В предложении 48 Виет рассматривает композицию двух
одинаковых треугольников и называет полученный треугольник
«треугольником двойного угла». В предложении 49 он
рассматривает композицию исходного треугольника с «треугольником
двойного угла» и называет полученный треугольник «треугольником
тройного угла». В предложении 50 Виет рассматривает
композицию исходного треугольника с «треугольником тройного угла» и
называет полученный треугольник «треугольником четверного
угла». В предложении 51 рассматривается композиция исходного
треугольника с «треугольником четверного угла» и полученный
треугольник называется «треугольником пятерного угла». Далее,
называя определенную им операцию «раздвижением» (diductio)
прямоугольных треугольников, Виет формулирует общее правило
этой операции: «Отсюда становится ясным общее правило раздви-
жения прямоугольных треугольников: если образовать какую-
нибудь степень от бинома [составленного из двух] корней, причем
157
отдельные полученные однородные члены распределяются на две
части, друг за другом положительные (adfirmata) и
отрицательные (negata), то первые из этих частей будут подобны основанию
[т. е. горизонтальному катету.— Б. Р.] другого треугольника,
а вторые — [его] перпендикуляру [т. е. вертикальному катету.—
Б. Р.], гипотенуза же [его] подобна самой степени. У
треугольника же, из которого получен подобный, основание равно одному из
соединяемых корней, а перпендикуляр — второму, его
наименование выпадает по углу, стягиваемому его перпендикуляром.
Треугольник же, получаемый раздвижением этого [треугольника,
построенного] на корнях, именуется по углу, кратному тому углу,
каков бы ни был порядок соответственной степени, следуя
свойству степени, а именно двойным, если степень — квадрат, тройным,
если куб, четверным, если квадрато-квадрат, пятерным, есликвад-
рато-куб, и так далее до бесконечности» [510, л. 37].
К предложениям 48—51 «Первых замечаний» приведены
чертежи треугольников двойного, тройного, четверного и пятерного
углов, при катетах которых указаны их выражения через катеты
В и D исходного треугольника:
Dq — Bq, D in B2,
Dc — D in Bq3, Dq in 53 — Be,
Dqq — Dq in Bq6 + Bqq, В in DcA — Be in DA,
Dqc — Dc in Bq\0 + D in Bqq5, В in Dqqb — Be in Dq\Q +
+ Bqc,
чго в современных обозначениях можно записать в виде
D2 - В2, 2DB,
D3 — SDB2, W2B — В3,
£И _ 6D2S2 + B^ 4BDs _ 4B3D^
Db — \0D3B2 + 5DB\ 5BD* - \0B3Db + B\
что представляет собой частные случаи формул
Dn - C\DT-2B2 + C\Dn-*Bx -... +(-1)тСГ DT2mB2m + . . .,
nBD^1 - C3nB*Dn~* + C*BbDn~b - . . .
. . . + (_1)™сГ+1 B2m+xD^2m~x + . . . ,
где С™ — числа сочетаний из п по т, т. е. биномиальные
коэффициенты.
Формулировки этих предложений показывают, что Виету было
известно, что при определенной им композиции треугольников
углы между гипотенузой и основанием складываются, а в частном
случае композиции, называемой им «раздвижением», умножаются
на натуральное число. Этот факт, вытекающий из хорошо
известных Виету выражений косинуса и синуса суммы и разности двух
158
углов через синусы и косинусы этих углов, в которые
превращаются выражения катетов треугольника, построенного в предложении
46 в случае, когда гипотенузы первых двух треугольников равны 1,
применялся Виетом при решении задач деления угла и всего
круга на равные части в работах «Теоремы о делении углов» («Ad
angulares sectiones theoremata») и «Ответ на задачу, которую
предложил решить всем математикам мира Адриан ван Роомен» («Re-
sponsum ad problema quod omnibus mathematicis totius Orbis
construendum proposuit Adrianus Romanus») [510, с 287—324].
В этих работах, в которых Виет интересовался только углами
треугольников, он применял аналогичную композицию
треугольников, но с точностью до подобия. В обеих работах
сформулированы следующие две теоремы (в первой из них приведены
доказательства этих теорем, предложенные учеником Виета А.
Андерсоном):
«Теорема I. Если имеются три прямоугольных
треугольника, причем острый угол первого отличается от острого угла
второго на острый [угол] третьего и превосходство на стороне
первого, то стороны третьего получаются с помощью следующих
подобий: гипотенуза подобна прямоугольнику на гипотенузах первого
и второго, перпендикуляр подобен прямоугольнику на
перпендикуляре первого и основании второго минус прямоугольник на
перпендикуляре второго и основании первого, основание [подобно]
прямоугольнику на основаниях первого и второго плюс
прямоугольник на перпендикулярах их же...
Теорема II. Если имеются три прямоугольных
треугольника, причем острый угол первого, прибавленный к острому углу
второго, равен острому [углу] третьего, то стороны третьего
получаются с помощью следующих подобий: гипотенуза подобна
прямоугольнику на гипотенузах первого и второго, перпендикуляр
подобен прямоугольнику на перпендикуляре первого и основании
второго плюс прямоугольник на перпендикуляре второго и
основании первого, основание [подобно] прямоугольнику на
основаниях первого и второго минус прямоугольник на
перпендикулярах их же» [510, с. 287—289, 314—315]. В ответе ван Рооме ну
после каждой из этих теорем приводятся примерь!: для теоремы I
три треугольника, «перпендикуляры» которых равны 1, а
основания — соответственно 2, 3 и 7; для теоремы 2 — три треугольника
с «перпендикулярами», снова равными 1, и с основаниями,
соответственно равными 7, 3 и 2. Там же Виет указывает, что «эти две
теоремы образуют фундамент всего учения о делении углов»
[510, с. 315].
Так как выражения катетов треугольника, полученного
композицией двух треугольников, совпадают с выражениями
вещественной и мнимой частей произведения комплексных чисел D +
+ Bi и G + Fi или G — Fiy то композиция треугольников Виета,
по существу, совпадает с геометрической интерпретацией
умножения комплексных чисел, причем «подобие» гипотенузы третьего
159
треугольника произведению гипотенуз двух первых
треугольников равносильно тому, что модуль произведения двух
комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а
свойства углов этих треугольников равносильны тому, что аргумент
произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов
сомножителей. В частности, катеты треугольников, построенных
в предложениях 48—51, соответственно равны вещественным
и мнимым частям степеней
(D + Bi)2 = D2 + 2DBi - Я2,
(D + Bi)3 = D3 + 3D2Bi - 3DB2 — ВНУ
(D + Bi)* = D* + 4D*Bi — &D2B2 - 4DBH + B\
(D + Bif - D* + 5D*Bi — lOD*B2 — 10D2B3i + 5DBA + ВЧ,
а катеты треугольника, полученного аналогичным путем в общем
случае, равны вещественной и мнимой частям степени
(D + Bi)n = Dn + nD^Bi - ClDn~2B2 - ClDn-*B4 +
+ C%Dn-W + C\Dn-bB4 — ... -\-{-\)mCT Dn~2™B2m +
+ (—l)mCT+l Dw-a^-iJBam+i/ + ...
Так как, однако, ни в «Первых замечаниях», ни в других
сочинениях Виета не говорится о комплексных числах, его
композицию треугольников правильнее рассматривать как
геометрическую интерпретацию не самих комплексных чисел, а
равносильных им числовых пар Гамильтона.
Таким образом, в «Первых замечаниях» Виета мы
встречаемся с сопоставлением каждой точке если не всей плоскости, то, во
всяком случае, ее правого верхнего квадранта — верхней
вершине рассматриваемых им треугольников — одновременно как двух
отрезков — «основания» и «перпендикуляра», совпадающих с
прямоугольными (декартовыми) координатами указанной точки,
так и «гипотезы» и угла между гипотенузой и основанием,
совпадающих с полярными координатами той же точкой,— радиус-
вектором этой точки и ее полярным углом.
Если гипотенузы треугольников, строящихся Виетом в
«Первых замечаниях», можно рассматривать как векторы,
представляющие собой радиус-векторы точек, то гипотенузы
треугольников, строящихся в «Теореме о делении углов» и в ответе ван Рооме-
ну, представляют собой векторы, определенные с точностью до
множителя, называемые в современной геометрии псевдовекторами.
Следует подчеркнуть, что Виет не определяет сложения своих
векторов и псевдовекторов, а определяет только их умножение,
аналогичное умножению комплексных чисел.
По-видимому, Виет пришел к композиции треугольников,
отправляясь от правил определения косинусов и синусов сумм и
разностей углов. Возможно также, что Виет пришел к композиции
треугольников и другим путем: на основе анализа задачи 19 кни-
160
ги III «Арифметики» Диофанта И. Г. Башмакова [62, с. 218]
считает вероятным, что Диофант знал тождество
(а2 + Ь2) (с2 + d2) = (ас + bd)2 + {ad - be)2 = (ad + be)2 +
+ (ас — bd)2,
равносильное закону умножения числовых пар Гамильтона. Это
тождество применялось в «Книге квадратов» («Liber
quadra torum») Леонардо Пизанского [393], хорошо знакомого с
арабской математической литературой. Поэтому весьма
вероятно, что Виет заимствовал правило композиции
треугольников из «Книги квадратов» Леонардо Пизанского, придав ему
геометрическую форму. И вполне возможно, что Леонардо
Пизанский заимствовал это правило из не дошедших до нас книг
Диофанта или из арабских сочинений, написанных под влиянием
Диофанта.
По-видимому, источниками введенных Виетом в «Первых
замечаниях» прямоугольных и полярных координат не были
«Конические сечения» Аполлония, где систематически
использовались косоугольные и прямоугольные координаты, правда тесно
связанные с рассматриваемыми им кривыми, а также сочинение
Архимеда «О спиралях», где систематически применялись
полярные координаты, также тесно связанные с изучавшимися здесь
спиралями. Единственным известным нам случаем совместного
рассмотрения прямоугольных и полярных координат и
установления правил перехода от одних из этих координат к другим до
Виета является определение Сабитом ибн Коррой положения
конца тени гномона на плоскости солнечных часов с помощью
«длины тени» и «азимута тени» и с помощью «частей длины» и
«частей ширины» в главе 1 «Книги о часовых приборах, называемых
солнечными часами» [361]. С некоторыми результатами этой
книги Виет мог быть знаком через ал-Баттани. Трудно сказать,
какой из трех указанных путей привел Виета к его учению о
композиции треугольников, вполне возможно, что это учение
возникло в результате совместного воздействия указанных источников.
Говоря о появлении аналитической геометрии в начале XVII в.,
обычно указывают на роль латинских переводов «Конических
сечений» Аполлония, сделанных Ф. Коммандино и Ф. Мавро-
лико, которые перевели названия координат Аполлония
латинскими выражениями; от них произошли наши термины «абсцисса»,
«ордината» и «аппликата» (последние две термина,
происшедшие от выражения Коммандино ordinatim applicatae —
«приложенные по порядку», имели один и тот же смысл). Влияние этих
переводов и на Декарта, и на Ферма несомненно: Ферма
пользовался термином applicata, а Декарт — выражением appliquee
par ordre — французским переводом термина Коммандино.
Но в то же время обращает на себя внимание большое сходство
треугольников, с помощью которых Ферма вводил прямоуюль-
ные координаты в своем «Введении», с треугольниками Виета:
6 Б. А. Розенфельд
161
Ферма ставит в соответствие всякой точке / правого верхнего
квадранта плоскости ее прямоугольные координаты;! и Е (рис. 75).
Эти координаты обозначаются гласными буквами в соответствии
с принципом обозначения «искомых величин» того же Виета.
Фактически Ферма, так же как Виет, характеризует точку / не
только прямоугольными координатами, но и радиус-вектором и
полярным углом, однако для них он не вводит обозначений и
рассматривает уравнения только в координатах А и Е. Тот факт, что
«Введение» было написано вскоре после публикации «Первых
замечаний» Виета, делает весьма вероятным предположение о том,
А1
£
/ i Рис. 75
Н г,
что Ферма пришел к идее аналитической геометрии под влиянием
не только переводов Аполлония, но и под влиянием
рассматриваемого нами сочинения Виета. По-видимому, именно при чтении
Виета Ферма пришел к мысли «отвязать» абсциссы и ординаты
точек Аполлония от рассматриваемых кривых, чем и объясняется
то, что Ферма рисовал координаты точек вместе с их
радиус-векторами.
Возможно также, что и Декарт пришел к своему исчислению^
отрезков, лежащему в основе его аналитической геометрии, в
результате размышлений над «исчислением треугольников» Виета:
координаты точек у Декарта ближе к координатам Аполлония;
изображая координаты, Декарт не изображает радиус-вектора
точки, но очень возможно, что отказ Декарта от применявшегося
Виетом и Ферма принципа однородности был навеян именно
представлением гипотенузы одного треугольника в виде
произведения гипотенуз двух других треугольников (необходимый для
определения такого произведения единичный отрезок также
играет существенную роль в исчислении отрезков Декарта).
После появления «Геометрии» Декарта и буквенная алгебра,
и аналитическая геометрия стали развиваться в формах,
приданных им Декартом, и сочинения Виета почти не читались. Этим
и следует объяснить то, что Джон Валлис, пытавшийся в своем
«Трактате об алгебре» («A treatise of Algebra». Лондон, 1685) [515]
построить геометрическую интерпретацию комплексных чисел,
не воспользовался идеями «Первых замечаний» Виета. Соединение
этих идей с идеей Валлиса о том, что мнимая величина Y— be
является средней пропорциональной между величинами —Ь и с
162
или b и —с, т. ё. Как отрезок, перпендикулярный к отрезкам b я с>
отложенный на одной прямой по разные стороны от основания
перпендикуляра [515, с. 56], дало бы возможность Валлису
построить вполне удовлетворительную геометрическую
интерпретацию комплексных чисел, построенную только в конце XVIII
и начале XIX вв.
Геометрическая алгебра Декарта. «Геометрия» Декарта сыграла
в истории науки исключительную роль, ознаменовав начало
нового периода истории математики. Следует отметить, что
«Геометрия» была задумана как иллюстрация применения общих
философских установок Декарта к конкретному вопросу. Еще в
«Правилах для руководства ума» («Regulae ad directionem ingenii»),
написанных в 20-х годах XVII в., но опубликованных посмертно
в Амстердаме в 1701 г. [57, с. 77—169], Декарт писал: «Должна
существовать некая общая наука, объясняющая все относящееся
к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных
предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но
старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей
математики» [57, с. 94]. Под «иностранным» названием Декарт
подразумевал арабское слово «алгебра», поэтому под универсальной
математикой Декарт имел в виду алгебру, притом в той форме
буквенной алгебры, которую он впоследствии построил в «Геометрии».
Универсальный метод решения самих различных задач состоит
в том, что, «когда мы хорошо понимаем вопрос, нужно освободиться
от всех излишних представлений, свести к простейшим элементам
и разбить его на такое же количество всевозможных частей.,.
Встречающуюся трудность нужно просматривать прямо, не
обращая внимания на тоу что некоторые из ее терминов известны,
а некоторые неизвестны. Для этой цели необходимы только четыре
действия: сложение, вычитание, умножение и деление... Составив
уравнения, мы должны совершить ранее отложенные нами
действия... Если имеется много таких уравнений, то нужно их
привести все к одному» [57, с. 137—169], т. е. этот метод состоит в
сведении любой задачи к математической, в формулировании
математической задачи на языке алгебры и в сведении полученной
алгебраической задачи к решению некоторого алгебраического
уравнения.
Идея Декарта о сведении к математическим задачам задач
самой различной природы получила полное признание только в
XX в., когда на основе возникших к этому времени новых
разделов математики стала возможна подлинная математизация
многих наук, для которых ранее применение математики казалось
невозможным. Историческая ограниченность Декартя состояла в
том, что он сужал «универсальную математику» до алгебры.
В написанном позднее «Рассуждении о методе, чтобы хорошо
направлять свой разум и отыскивать истину в науках» («Discours
de la methode pour bieo conduire sa raison, et chercher la verite
6*
163
dans les sciences». Париж, 1637) [55, с. 7—66], одним из
приложений к которому была «Геометрия», сформулировав общие правила
научного метода, Декарт писал: «Приняв во внимание, что для
лучшего познания этих отношений мне придется рассматривать
каждое соотношение в отдельности и лишь иногда удерживать их
в памяти или рассматривать сразу несколько, я предположил, что
для лучшего исследования их в отдельности надо представлять
их в виде линий, так как не находил ничего более простого или
более наглядно представляемого моим воображением и моими
чувствами. Но для того чтобы удерживать одновременно по нескольку,
требовалось выразить их возможно наименьшим числом знаков»
[55, с. 23—24]. Сведение всех величин к линиям и было
осуществлено в «Геометрии»: если Ферма формулировал уравнения
«геометрических мест», пользуясь терминологией античной
геометрической алгебры, в которой произведение двух линейных величин
является прямоугольником, произведение трех линейных
величин — телом и т. д. (мы видели, сколь тяжеловесна эта
терминология, на примере формулировки Виета сферических теорем
косинусов), то в новой геометрической алгебре Декарта произведение
линий снова является линией. В самом начале «Геометрии»
Декарт пишет: «Все задачи геометрии можно легко привести к таким
терминам, что для их построения нужно будет затем знать лишь
длину некоторых прямых линий. Подобно тому, как вся
арифметика заключается только в четырех или пяти действиях, именно
в сложении, вычитании, умножении, делении и извлечении корней,
которое можно считать некоторого рода делением, подобно этому
в геометрии, чтобы подготовить искомые линии к определению,
нужно только прибавить к этим линиям или отнять от них
другие; или же нужно, имея линию, которую я, дабы удобнее
установить более тесную связь с числами, назову единицей и которая
обыкновенно может быть выбрана произвольно, и имея еще две
другие линии,— найти четвертую линию, так относящуюся к одной
из этих двух, как другая к единице, а это то же самое, что
умножение; или же найти четвертую линию, так относящуюся к одной
из этих двух, как единица к другой, а это то же самое, что
деление; или, наконец, найти одну, или же две, или несколько средних
пропорциональных между единицей и какой-либо другой линией,
а это то же самое, что извлечь квадратный или же кубический и т. д.
корень» [55, с. 301—302]. Далее Декарт приводит построения
отрезка ab как четвертой пропорциональной для отрезков 1, а, Ь,
построения alb по тем же отрезкам и построения ]/ а по отрезкам
1 и а.
Идея Лейбница о «геометрии положения». Идея Декарта о
необходимости математизации естествознания получила
дальнейшее развитие у немецкого философа и математика Готфрида
Вильгельма Лейбница (1646—1716), однако в отличие от Декарта
Лейбниц уже не пытался сводить всю математику к алгебре, а считал
164
универсальной математикой дифференциальное и интегральное
исчисление, выдвинув весьма общий «принцип непрерывности»
[392, т. 6, с. 129—135] г. С «геометрической алгеброй», но в еще
одном новом понимании была связана мысль Лейбница, сыгравшая
исключительную роль в истории геометрии. Эта мысль была
высказана Лейбницем в письме к Христиану Гюйгенсу (1629—1695)
от 8 сентября 1679 г. [392, т. 2, с. 17—25] 2. В этом письме
Лейбниц писал: «Я еще недоволен Алгеброй в том отношении, что она
в области геометрии не доставляет ни кратчайших путей, ни
наиболее красивых построений. Поэтому... я полагаю, что нам нужен
еще иной, чисто геометрический или линейный анализ,
непосредственно выражающий для нас положение (situm), как Алгебра
выражает величину (magnitudinem). Я думаю, что располагаю
таким средством и что фигуры и даже машины и движения можно
было бы представить с помощью знаков, как Алгебра представляет
числа и величины; и я посылаю Вам этюд об этом, который на мой
взгляд имеет существенное значение...
Я открыл некоторые начала новой характеристики, которая
совершенно отлична от Алгебры и которая будет иметь большие
преимущества, ибо точно и естественно, хотя и не применяя фигур,
представляет уму все, что зависит от чувственного
воображения. Алгебра есть не что иное, как характеристика
неопределенных чисел или величин. Но она не выражает положение, углы и
движение непосредственно, и поэтому часто бывает трудно
привести к вычислению то, что имеется в фигуре, и еще труднее бывает
найти достаточно удобные геометрические доказательства и
построения, даже когда алгебраическое вычисление полностью
проведено. Между тем эта новая характеристика, не упуская из виду
фигур, необходимо должна давать одновременно решение, а также
построение и геометрическое доказательство, причем все это
естественным образом с помощью анализа, другими словами —
определенными путями. Алгебра вынуждена предполагать начала
геометрии, между тем как эта характеристика доводит анализ до конца.
Если бы она была завершена так, как я ее себе мыслю, то с
помощью знаков, являющихся лишь буквами алфавита, можно
было бы дать описание сколь угодно сложной машины; а это дало
бы уму средство отчетливо и легко познать машину со всеми ее
частями, и даже вместе с их употреблением и движением, не
пользуясь ни фигурами, ни моделями и не затрудняя воображение;
а вместо с тем фигура ее предстояла бы перед разумом, если бы
пожелали заняться истолкованием знаков. С помощью этого
средства можно было бы также давать точные описания естественных
вещей, как, например, растений и строения животных; и те, кому
трудно рисовать фигуры, смогли бы, лишь бы соответствующий
предмет предстоял бы перед ними или перед их разумом, в со-
1 Русский перевод основной части — [107, с. 193—194], см. также [174].
2 Русский перевод основной части — [107, с. 198—203].
165
вершенстве объяснять и передавать свои мысли или опыты
потомству, чего нельзя делать теперь, ибо слова наших языков
недостаточно определенны и недостаточно пригодны для того, чтобы
хорошо объясняться без помощи фигур. В этом, однако,
заключается еще меньшая польза этой характеристики, ибо если речь
идет только об описании, то лучше, если можно и угодно, пойти
на издержки, иметь фигуры и даже модели или, еще лучше,
оригиналы вещей. Главная же польза состоит в тех заключениях и
рассуждениях, которые можно производить при помощи действий
над знаками и которые нельзя было бы выразить при помощи
фигур (и еще менее моделей), не увеличивая чрезмерно их
количество и не запутывая их введением чрезмерно большого числа
точек и линий, поскольку придется делать бесконечное
множество бесконечных попыток, между тем как этот метод будет вести
к цели верно и без труда. Я думаю, что таким образом можно
будет трактовать механику почти как геометрию и что можно будет
даже дойти до испытания качеств материалов, ибо это
обыкновенно зависит от определенной формы их чувственных частей.
Наконец, я не питаю надежды на то, что можно будет достаточно
далеко подвинуться в физике ранее, чем будет найден такой
сокращенный прием для облегчения воображения. Ведь мы знаем,
например, какой ряд геометрических рассуждений необходим для
объяснения одной лишь радуги, которая представляет собой одно
из простейших явлений природы; и на этом основании мы можем
судить, сколько потребуется умозаключений, чтобы проникнуть
вовнутрь смесей, состав которых столь тонок, что микроскоп,
открывающий менее чем их стотысячную часть, до сих пор
объясняет его недостаточно, чтобы как следует помочь нам. Однако
имеется некоторая надежда частично достичь этого, когда будет
разработан этот подлинно геометрический анализ» [107, с.
198-200].
Далее Лейбниц, обозначая первыми буквами алфавита А, В, ...
данные точки, а последними буквами X, У, ... искомые и
введя знак конгруэнтности $ (повернутый на 90° знак равенства
Декарта оо) и символ (У), означающий «для всех У» (в современной
математической логике такой символ называется квантором
общности и обозначается Vy), записывает уравнение сферы в виде
АВ $ ВХ («отрезок ВХ с фиксированным концом конгруэнтен
фиксированному отрезку АВ»), уравнение плоскости — в виде
АХ $ ВХ, уравнение окружности в пространстве — в виде
ABC ^ ABX («треугольник ABX с фиксированной стороной
АВ конгруэнтен фиксированному треугольнику ABC»),
уравнение прямой в пространстве — в виде AY $ BY & CY. С
помощью этих уравнений Лейбниц доказывает, что пересечение двух
сфер — окружность, а пересечение двух плоскостей —
прямая.
Письмо Лейбница, опубликованное в его собрании сочинений
вскоре после его смерти, было хорошо известно математикам
166
XVIII и XIX столетий. Термин «геометрия положения»
появляется в работе Эйлера «Решение задачи, относящейся к
геометрии положения» («Solutio problematis ad Geometria situs conti-
nens». Петербург, 1736) [332, т. 7, с. 1—10], посвященной
доказательству топологической задачи о невозможности
последовательного прохождения по семи мостам, связывающим берега реки
Прегель в Кенигсберге и два острова на ней. Эйлер понимал
термин «геометрия положения» в смысле топологии. В том же смысле
понимал этот термин И. Б. Листинг, автор термина «топология»,
а также создатели комбинаторной топологии Б. Риман и А.
Пуанкаре, называвшие топологию лейбницевским термином
Analysis situs. Отметим, что в письме к итальянскому геометру Витале
Джордано в ответ на его письмо, написанное в ноябре 1689 г.,
в котором тот критикует определение Лейбница прямой линии,
Лейбниц пишет: «Грешит ли тот, кто кладет в основу понятия
плоскости и тела, не заслуживает ли он, напротив, за это похвалы?»—
и лестно отзывается о «мнении о том, что понятие тела
предшествует понятию поверхности и линии» [392, т. 1, с. 19]. Таким
образом, Лейбниц присоединяется к мнению о том, что вначале
следует определить тело, злтем поверхность, а затем линию, которое,
как мы видели, вытекает из учения Аристотеля о математических
понятиях, это мнение высказывалось в средние века ал-Фараби
и применялось в руководстве по геометрии ал-Бируни 1.
Предыстория векторного исчисления. Геометрия. Другое
понимание термина «геометрия положения» мы находим у Л. Карно,
назвавшего этим термином (geometrie de position) свою «Геометрию
положения» (1803) [291]; мы уже упоминали о рассматривавшихся
в этой книге теоремах проективной геометрии. Другой важнейшей
особенностью этой книги было рассмотрение в ней
направленных отрезков и углов (к Карно восходит обозначение
направленного отрезка с началом А и концом В символом АВ);
направленные отрезки Карно представляли собой векторы в геометрической
форме. От Карно пошло еще два понимания термина «геометрия
положения»: немецкие геометры XIX в. Т. Рейе [449] и К. X. Шта-
удт [487] под этим термином (Geometrie der Lage) понимали
проективную геометрию, а Г. Грассман [347, т. 1], вдохновленный
идеей Лейбница, понимаемой им как идея векторного исчисления,
был одним из создателей этого исчисления. Отметим также
геометрическое исчисление направленных отрезков, предложенное
Дж. Беллавитисом (1803—1880) в его «Теории эквиполлентности»
(«Teoria de la equipollenza». Венеция, 1835) [262]. Беллавитис
называл эквиполлентными направленные отрезки с равной длиной
1 Ал-Фараби высказал эту мысль в комментариях к «Началам» Евклида
[211, с. 233—276, см. с. 238—239], ал-Бируни применил эту мысль в
геометрической части «Книги вразумления начаткам науки о звездах» [19, т. 6,
с. 22-23].
167
и совпадающими направлениями, т. е. с современной точки зрения
классы эквиполлентных отрезков Беллавитиса определяют
свободные векторы.
Предыстория векторного исчисления. Механика. Кроме этого,
чисто геометрического, источника векторное исчисление имело
еще два источника — в механике и алгебре.
Конкретные векторные величины — скорости и силы —
встретились впервые в механике. Еще в «Механических проблемах»
(«ПрфХт)[А01Ь [A7)xavuou»), написанных в школе Аристотеля,
рассматривается сложение «движений», т. е. скоростей, по правилу
параллелограмма: «Линия, описывающая круг, перемещается
между двумя движениями. Итак, когда она перемещается при
определенном соотношении между обоими, она движется необходимо
по прямой, и эта прямая становится диагональю той фигуры,
которая образуется из линий, сочетаемых в указанном
соотношении»1. Так как Аристотель считал силу пропорциональной
«движению», это правило сложения, по существу, относилось и к
силам. Сложение «движений» применял также Архимед при
определении спирали в трактате «О спиралях» [12, с. 241], а
впоследствии Птолемей в своем «Алмагесте» [444, т. 2, с. 94 и ел.] при
определении движения планет с помощью деферентов и эпициклов.
Сложение «движений» применялось и астрономами
средневекового Востока в их изложениях и модификациях теории Птолемея
(см. [374]). Отметим изложение теории Птолемея в «Каноне Мас'-
уда» ал-Бируни, который писал: «Движение центра эпицикла
каждой из двух нижних [планет] равно движению тела Солнца... точно
так же движение каждой из трех верхних планет по окружности
ее эпицикла равно сумме движения центра ее эпицикла и
движения Солнца» [270, с. 1165; 19, т. 5, ч. 2, 3511.1 Отметим, что в
«Книге оптики» («Китаб ал-маназир») [252] Ибн ал-Хайсама для
объяснения явления отражения света рассматривается
механическая модель этого явления и описываются эксперименты с
бросанием металлического шара на поверхность металлического
зеркала и отскакиванием шара от зеркала. Причем «сила
движения» отскакивающего шара рассматривается как сумма «сил»,
направленных перпендикулярно поверхности зеркала и вдоль
его поверхности. «Движение тела,— пишет Ибн ал-Хайсам,—
перемещающегося наклонно к препятствию, будет составлено из
движения в направлении перпендикуляра, восставленного в
месте встречи с поверхностью препятствующего тела, и в
направлении перпендикуляра к нему, проведенного на поверхности
самого препятствующего тела» (см. [201, с. 90—92]).
Рассмотрение параллелограммов движений и сил было
продолжено учеными Европы. Фламандский ученый Симон Стевин
Русский перевод (неполный) В. П. Зубова и Ф. А. Петровского — [70,
с. 848].
168
J
Рис. 76
(1548—1620) в своих «Основах статики» («De Beghinselen der We-
eghconst») [489, т. 1, с. 35—285] писал: «Проведем вертикаль DK
из центра призмы D (рис. 76), встречающую сторону призмы в L.
Тогда треугольник LDI подобен треугольнику ABC, так как углы
АСВ и LID — прямые углы, LD параллельна ВС, a DI — АВ.
Поэтому АВ относится к ВС, как LD к DI. Но АВ относится к ВС,
как призма к весу Е... Поэтому LD относится к DI, как призма к Е.
Приложим по линии KD вертикально поднимающий вес М,
равный кажущемуся весу призмы. Этот вес М будет равен весу
призмы... Поэтому LD относится к DI, как М к Е» [489, т. 1, с. 180—
183]. Отсюда видно, что Стевин считает, что сила Е, направленная
по одному из катетов прямоугольного треугольника, вместе с
силой реакции наклонной плоскости, направленной по другому
катету, уравновешиваются силой М, направленной по гипотенузе
этого треугольника, т. е. три силы, приложенные к одной точке,
находятся в равновесии, если они соответственно параллельны
и пропорциональны трем сторонам треугольника (см. также [101]);
ниже [489, т. 1, с. 182—183] Стевин доказывает это утверждение
и для того случая, когда силы параллельны сторонам
произвольного треугольника. Утверждение Стевина равносильно правилу
параллелограмма сил.
Дж. Валлис в книге «Механика, или О движении,
геометрический трактат» («Mechanica, sive De motu, tractatus geometricus».
1669) [514, т. l,c. 578—1063] сформулировал правила
параллелограмма и параллелепипеда сил и правила сложения
направленных отрезков, которыми он обозначал силы, перемещения,
скорости и ускорения. В частности, Валлис писал: «Если движение
составлено из трех простых движений, направления и скорости
которых представляются прямыми Ла, АВ, АС (рис. 77), то оно
будет равносильно простому движению вдоль Ау и со скоростью
Ау» ([514, т. 1, с. 999], см. [101]). В XIX в., отправляясь от
механики, построил векторное исчисление Адемар Жан Клод Барре
169
ее
Я
\
•
^
\
fi
УЬ\
i ^ \
У \1
/
Рис. 77
де Сен-Венан (1797—1886) в работе «О геометрических суммах и
разностях и их применении для упрощения изложения механики»
(«Sur les sommes et diiierences geometriques et leur application pour
la simplification de la exposition de la mecanique». 1845) [460].
Предыстория векторного исчисления. Алгебра.
Алгебраическим источником векторного исчисления были комплексные числа.
Мнимые числа появились впервые в «Великом искусстве» Дж. Кар-
дано [289] при решении задачи деления 10 на две части,
произведение которых равно 40. Кардано записывал решения этой задачи
5р : R m : 15 и Ът : R т : 15, т. е. в наших обозначениях 5 ±
± г)/Ч5. Мнимые числа встречаются и при решении кубических
уравнений, в так называемом «неприводимом случае»
вещественный корень кубического уравнения хъ = рх + д, где (д/2)2 —
— (р/3)3 < 0, представляется в виде суммы двух сопряженных
мнимых чисел. Несмотря на то что правила действий с мнимыми
числами были разработаны еще в «Алгебре» («L' Algebra». Болонья,
1572) [277] Рафаэля Бомбелли (ок. 1526—1573), даже Лейбниц,
пользовавшийся мнимыми числами для интегрирования некоторых
вещественных функций, называл их в «Новом примере анализа для
науки о бесконечном применительно к суммам и квадратурам»
(«Specimen novum Analyseos pro Sciencia iniini circa Summas et
Quadraturas». Лейпциг, 1702) [392, т. 5, с. 350—3601 «чудом анализа,
чудовищем мира идей, амфибией между бытием и небытием» [392,
т. 5, с. 357]. Мистический ореол вокруг мнимых чисел рассеялся
только в XVIII в., когда Жак ле Рон Даламбер (1717—1783) в
«Опыте новой теории сопротивления жидкостей» («Essai d'une no-
uvelle theorie sur la resistance des fluides». Париж, 1752) [315]
показал, что координаты Р, Q скорости движущейся жидкости
в точке с координатами х, у пропорциональны выражениям,
которые Даламбер записывал в виде
^+7tr)+4I-i*r) ■
170
т. е. в виде вещественной и мнимой частей функции A (z) комплек-
сного переменного z = х -\—j= , считающейся разлагающейся в
у —1
степенной ряд с вещественными коэффициентами; здесь впервые
появились так называемые условия Коши — Римана
ди dv ди dv
дх ду ' ду дх
аналитичности функции w = / (z) комплексного переменного
(w = и + iv, 2 = х + iy) г. Аналогичные рассуждения мы
встречаем и у Эйлера в «Продолжении исследований по теории
движения жидкостей» («Continuation des recherches sur la theorie du
mouvement des iluides». Берлин, 1757) [333, т. 12, с. 92—132].
Мы видим, что и алгебраический путь к векторам в значительной
степени шел через задачи механики; впрочем, в неявном виде
геометрическая интерпретация комплексных чисел встречалась в
«Первых замечаниях к видовой логистике» Виета и во «Введении
в анализ» Эйлера: у Виета косинус и синус угла па оказывались
равными вещественной и мнимой частям комплексного числа
(cos а + i sin а)п, а у Эйлера поворот на плоскости на угол 2я/п
связывался с вещественной частью комплексного %у числа
(х + iy)n [238, т. 2, с. 18b]. Мы видели также, что Эйлер
пользовался конформными преобразованиями плоскости с помощью
аналитических функций комплексного переменного (разлагающихся
в степенные ряды с вещественными коэффициентами) в работах об
ортогональных траекториях и по картографии [237].
Интерпретацию комплексных чисел в виде векторов на
плоскости с явным геометрическим истолкованием действий над
комплексными числами мы встречаем впервые в работе датского
геодезиста-картографа Каспера Весселя (1745—1818) «Опыт об
аналитическом представлении направления и попытка его применения,
преимущественно к решению плоских и сферических
треугольников» («От directiones analytiske betegning et forsog anwendt forne-
mellig til plane og sphaeiiske polygoners oplosning». Копенгаген,
1799) [519], где наряду с векторами на плоскости выдвинута идея
векторов в пространстве и произведена попытка определения
умножения таких векторов [519, с. 23—28]. Труд Весселя стал
известен математикам только после опубликования его французского
перевода (1897).
Идея геометрического истолкования операций над
комплексными числами была выдвинута также Жаном Робером Арганом
(1768—1822) в «Опыте некоторого способа представления мнимых
величин в геометрических построениях» («Essai sur une maniere
de representer les quantites imaginaires dans les constructions ge-
1 Условия Коши — Римана, встречавшиеся у Даламбера, Эйлера и Коши,
были выведены и всесторонне исследованы Риманом в его диссертации
«Основы общей теории функций одной комплексной переменной» (Гёттинген,
1851), см. [168, с. 49-87].
171
ometriques». Париж, 1806) [255] и получила широкое
распространение после появления «Курса алгебраического анализа» («Cours
cTanalyse algebrique». Париж, 1821) [298, т. 3] Огюстена Коши
(1789—1857) и «Теории биквадратичных вычетов II» («Theoria
residorum biquadratorum». Гёттинген, 1832) Гаусса [39, с. 686—
754], вследствие чего математики XIX в. обычно называли
плоскость комплексного переменного «плоскостью Коши» или
«плоскостью Гаусса». Обобщение комплексных чисел на трехмерное,
а затем на четырехмерное пространство привело В. Р.
Гамильтона и других английских алгебраистов первой половины XIX в.
сначала к «триплетам» различных видов, а затем к кватернионам,
исчисление которых содержало алгебру векторов трехмерного
пространства.
Идея многомерного пространства в XVIII и в начале XIX вв.
Идея многомерного пространства в весьма отчетливой форме была
высказана немецким философом Иммануилом Кантом (1724—1804)
в его ранней работе «Мысли об истинной оценке живых сил»
(«Gedanken von der wahren Schatzung der lebendigen Krafte».
Кенигсберг, 1846) [80, т. 1, с. 51—82]. Молодой Кант пытался
физически объяснить причину трехмерности пространства и писал:
«Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в
существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила
действия обратно пропорциональна квадрату расстояния... из
другого закона проистекало бы и протяжение с другими
свойствами и измерениями. Наука обо всех этих возможных видах
пространства, несомненно, представляла бы собой высшую
геометрию, какую способен построить конечный ум ... Если возможно,
чтобы существовали протяжения с другими измерениями, то
весьма вероятно, что бог где-то их действительно разместил» [80, т. 1,
с. 71].
В том же XVIII в. понятие четвертого измерения связывается
с временем. Даламбер в статье «Размерность» («Dimension») в
издаваемой им совместно с Дидро «Энциклопедии, или Толковом
словаре наук, искусств и ремесел» («Encyclopedic, ou Dictionna-
ire raisonne des sciences, des arts et des metiers». Париж, 1764)
[316] писал: «Один известный мне умный человек считает, что
можно было бы рассматривать время как четвертое измерение, так что
произведение времени на объем было бы некоторым образом
произведением четырех измерений; эта идея, быть может, является
спорной, но мне кажется, что она имеет некоторые достоинства, во
всяком случае достоинство новизны» [316, с. 1010].
На развитие многомерной геометрии значительное влияние
оказало введение Ж. Л. Лагранжем в его «Аналитической механике»
(«Mecanique analytique», 1788) [104] обобщенных координат
механической системы «переменных £, г|), ср, ..., которые совершенно
не зависят друг от друга и служат для определения положения
системы в любое мгновение» [104, с. 910]. Несмотря на то что сам
172
Лагранж в предисловии к «Аналитической механике»
предупреждал, что его «методы не требуют ни построений, ни геометрических
или механических рассуждений, они требуют только
алгебраических операций», несомненно, что читатели Лагранжа,
вынужденные самостоятельно строить чертежи к его трактату, связывали
и с его обобщенными координатами некоторую геометрическую
интерпретацию — наглядную при одной и двух степенях свободы
и смутную при большом их числе.
Четырехмерное пространство с оговоркой, что его «нельзя себе
представить», появляется в 1827 г. в «Барицентрическом
исчислении» Мёбиуса. Рассматривая конгруэнтные системы точек, которые
нельзя совместить непрерывным преобразованием, но которые
получаются друг из друга зеркальным отражением от плоскости,
Мёбиус пишет: «Для совмещения двух равных и подобных систем
в пространстве трех измерений: А, В, С, D, ... и А', В', С, D', ...,
у которых точки!), Е, ... иВ', Е', ... лежат на неодноименных
сторонах плоскостей ABC и А'В'С, можно было бы заключить по
аналогии, что над одной системой необходимо произвести
полуоборот в пространстве четырех измерений. Но так как такое
пространство нельзя себе представить, то совмещение в этом случае
невозможно» [413, т. 1, с. 172].
Впоследствии эта идея Мёбиуса была использована Г. Уэл
лсом (1866—1946) в его научно-фантастическом рассказе
«История Платнера», герой которого побывал в четвертом измерении,
в результате чего его сердце оказалось с правой стороны.
ГЛАВА ПЯТАЯ
%
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА
ДО НАЧАЛА XIX в.
Важную роль в подготовке открытия неевклидовой геометрии
и дальнейших обобщений понятия пространства сыграла эволюция
философских представлений о пространстве. Поэтому мы дадим
краткий обзор этой эволюции, до начала XIX в. включительно.
Идея бесконечности пространства и конечности мира. Идея
бесконечности пространства возникла, по-видимому, в Древней
Греции, несмотря на то что древнегреческие ученые считали мир
конечным. Мысль о конечности мира в наиболее наглядной форме
была высказана Платоном. В своем диалоге «Тимей» («Т^аГос»)
Платон (425—347 до н. э.) говорит о боге: «Очертания же он
сообщил Вселенной такие, какие были бы для нее пристойны и ей
сродни... Итак, он путем вращения округлил космос до состояния
сферы, поверхность которой повсюду равно отстоит от центра»
[156, т. 3, ч. 1, с. 473]. В другом месте того же диалога, приписав
атомам четырех элементов — огня, воздуха, воды и земли —
форму четырех правильных многогранников («Платоновых тел») —
тетраэдра, оксаэдра, икосаэдра и куба, Платон говорит: «В
запасе оставалось еще пятое многогранное пространство: его бог
определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда
разрисовывал ее и украшал» [156, т. 3, ч. 1, с. 497],— т. е. здесь Платон
связывал с Вселенной фигуру пятого вида правильного
многогранника — додекаэдра.
Идею бесконечности пространства («пустоты») при допущении
конечности мира мы встречаем уже у Демокрита (460? — 370? до
н. э.). Сочинения Демокрита не сохранились, а его высказывания
дошли только в виде цитат у позднейших философов. Комментатор
Аристотеля Иоанн Филопон (VI в.) в своих комментариях к
«Физике» Аристотеля уписывал точку зрения Демокрита следующим
образом: «Демокрит принял существование бесконечных миров,
принимая, что пустота бесконечна. Ибо на основании какого
принципа распределения одна часть пустоты была бы заполнена каким-
либо миром, а другие — нет? Так что если мир существует в
какой-либо части пустоты, то, очевидно, и во всей пустоте. Но так
как пустота бесконечна, то бесконечны будут и миры» (см. [121,
с. 207]). Эпикуреец Лукреций выражает учение античных
атомистов о бесконечности пространства в своей поэме «О природе
вещей» следующим образом [119, с. 61]:
174
Не* никакого конца ни с одной стороны у вселенной,
Ибо иначе края непременно она бы имела...
И безразлично, в какой ты находишься части вселенной:
Где бы ты ни был, везде, с того места, что ты занимаешь,
Все бесконечной она остается во всех направленьях.
Платон, полемизируя в своем «Тимее» с учением Демокрита
о множественности миров («творящий не сотворил ни двух, ни
бесконечного множества космосов: лишь одно это единородное небо,
возникши, пребывает и будет пребывать») [156, т. 3, ч. 1, с. 472],
тем самым отрицает учение Демокрита о бесконечности
пространства.
Аристотель рассматривает вопрос о бесконечности в своей
«Физике» («Фоаьха»). Он признает только потенциальную
бесконечность: «Бесконечное существует таким образом, что всегда
берется иное и иное и взятое всегда бывает конечным, но всегда
разным и разным». При этом Аристотель считает, что
бесконечностью обладают время, движение и мышление, но не
пространственные величины: «Что касается времени и движения, то они
бесконечны, так же как мышление, причем раз взятое не остается.
Величина же не бесконечна ни в результате отнятия, ни в
результате мысленного увеличения» [11, с. 63, 68]. Аристотель считал,
что для математиков достаточно понятия о потенциальной
бесконечности: «Наше рассуждение, отрицающее актуальность
бесконечного в отношении увеличения, как не проходимого до конца,
не отнимает у математиков их теории. Ведь они не нуждаются в
таком бесконечном и не пользуются им: математикам надо только,
чтобы ограниченная линия была такой величины, какая им
желательна, и в том же отношении, в каком делится самая большая
величина, можно было бы разделить и какую угодно другую. Стало
быть, для доказательства бесконечное не принесет им никакой
пользы, а бытие будет связано с существующими величинами»
111, с. 55].
В то же время упоминавшееся нами учение Аристотеля о том,
что математические понятия получаются путем абстрагирования
от объектов реального мира [9, с. 278], позволяет
абстрагироваться от конечности физических величин. Поэтому позднейший
последователь Аристотеля Ибн Рушд (Аверроэс, 1126—1198) в своих
комментариях к «Физике» Аристотеля [256] писал, что геометр
«может допустить» величину сколь угодно большую, чего не может
физик, и, «положив величину сколь угодно большую, он может
взять еще большую». Возможность неограниченного
продолжения всякой прямой («ограниченную прямую можно непрерывно
продолжать по прямой») [66, т. 1, с. 14] требовал и Евклид во II
постулате своих «Начал».
Вопрос о пустоте и бесконечном пространстве в духе
Аристотеля широко обсуждался теологами и философами XIV в.—
Генриком де Гондаво, Ричардом из Миддльтона, Вальтером Бур-
175
леем и Томасом Брадвардином (см. [380, 381, с. 33—84]); последний
в трактате «О причине Бога» («De causa Dei») называл пустое
пространство, находящееся вне мира, «воображаемой пустотой»
(vacuum imaginarium) (см. [381, с. 78]; ср. с. 150 наст, книги). Так как
«воображаемая пустота» Брадвардина хронологически находится
между «воображаемой геометрией» ал-Фараби и «воображаемым
пространством» де Гоиша (см. с. 155), то возможно, что Брадвар-
дин представлял собой одно из посредствующих звеньев между ал-
Фараби и де Гоишем.
Учение о независимости пространства от материи и его
критика. Античным ученым принадлежит и учение о независимости
пространства от материи. Несомненно, что этой идеи
придерживался еще Демокрит, называвший пространство «пустотой».
В явном виде это учение формулировал Аристотель, называвший
пространство «местом». В своей «Физике» Аристотель писал: «По-
видимому, место есть нечто вроде сосуда, так как сосуд есть
переносимое место, сам же он не имеет ничего общего с содержащимися
в нем предметами. Поскольку место отделимо от предмета,
постольку оно не есть форма, поскольку же объемлет его, оно отличается
от материи» [И, с. 72].
Учение о независимости пространства от материи
критиковалось Р. Декартом, который в своих «Началах философии» («Prin-
cipia philosophiae». Париж, 1644) писал: «Пространство, или
внутреннее место, также разнится от телесной субстанции, заключенной
в этом пространстве, лишь в нашем мышлении. И действительно,
протяжение в длину, ширину и глубину, составляющее
пространство, составляет и тело. Разница между ними только в том, что
телу мы приписываем определенное протяжение, понимая, что оно
вместе с ним изменяет место всякий раз, когда перемещается;
пространству же мы приписываем протяжение столь общее и
неопределенное, что, удалив из некоего пространства заполняющее
его тело, мы не полагаем, что переместили и протяжение этого
пространства, которое, на наш взгляд, пребывает неизменным,
пока оно обладает той же величиной и фигурой и не изменяет
положения по отношению к внешним телам, которыми мы
определяем это пространство» [57, с. 469].
По поводу «пустого пространства» Декарт писал там же: «Что
касается пустого пространства в том смысле, в каком философы
понимают это слово, т. е. такого пространства, в котором нет
никакой субстанции, то очевидно, что в мире нет пространства,
которое было бы таковым, потому что протяжение пространства как
внутреннего места не отличается от протяжения тела. А так как
из одного того, что тело протяженно в длину, ширину и глубину,
мы правильно заключаем, что оно — субстанция (ибо
невозможно, чтобы „ничто" обладало каким-либо протяжением), то и
относительно пространства, предполагаемого пустым, должно
заключать то же, именно что раз в нем есть протяжение, то с
необходимостью в нем должна быть и субстанция» [57, с. 473].
176
Мысль Декарта о невозможности пустого пространства была
развита дальше Лейбницем в его «Новых опытах о человеческом
разуме» («Nouveaux Essais sur l'entendement humain». Париж,
1765), написанных в 1704 г. Лейбниц писал: «Скорее следует
представить себе пространство заполненным изначально жидкой
материей, способной всячески делиться и актуально
подверженной бесконечным делениям и подразделениям. Но к этому надо
добавить, что в различных местах она делима и разделена
неодинаковым образом по причине имеющихся уже в ней более или
менее согласованных между собой движений; благодаря этому она
повсюду до известной степени тверда и вместе с тем жидка и нет
ни одного тела, которое было бы в максимальной степени твердо
или жидко, иначе говоря, в материи нельзя найти ни одного атома,
обладающего неодолимой твердостью, и никакой массы, абсолютно
безразличной к делению» [108, с. 55—56].
В противоположность Декарту и Лейбницу Ньютон был
сторонником учения о независимости пространства от материи. В
своих «Математических началах натуральной философии» Ньютон,
указав, что «абсолютное, истинное математическое время само по
себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-то
внешнему, протекает равномерно и иначе называется
длительностью», и определив «относительное, кажущееся или обыденное
время», дал определение абсолютного пространства: «Абсолютное
пространство по самой своей сущности, безотносительно к чему
бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и
неподвижным» [143, с. 30]. А затем Ньютон определяет и «относительное»
пространство.
Очевидно, что к «абсолютному пространству» Ньютона
применимы те же эпитеты, которые он применил к «абсолютному
времени»,— «истинное» и «математическое». Равномерность,
неподвижность и независимость от «чего бы то ни было внешнего», т. е.
прежде всего от объектов материального мира, были для Ньютона
основными качествами «математического пространства».
«Абсолютное пространство» Ньютона стало одним из краеугольных
камней основанной в его «Математических началах» и построенной
великими математиками и механиками XVIII в. Эйлером, Далам
бером и Лагранжем теоретической механики.
Заметим, что античное учение о независимости «пустоты» или
«места» от содержащихся в нем предметов было направлено также
против мнения пифагорейцев, отождествлявших точки
пространства с душами умерших или неродившихся людей, а учение
Ньютона об «абсолютном пространстве» — против учения Лейбница
о «монадах» — простых субстанциях, из которых составлено все
многообразие мира, которые он также отождествлял с точками
пространства.
Точку зрения Декарта поддержал Михаил Васильевич
Ломоносов (1711—1765) в том самом «Рассуждении о твердости и
жидкости тел» (1760), где был сформулирован «всеобщий естественный
177
закон» сохранения материи и движения [115, с. 340—352].
М. В. Ломоносов здесь подвергает критике ньютоновский закон
всеобщего тяготения: «Здесь не спросил бы кто, чтобы я показал
причину, какою матернею или каким образом содержатся в союзе
сами неразделимые частицы частиц, сжимаемых жидкою
обливающеюся круг их матернею. Не здесь ли, скажет кто, что
принужден я признать бытие притягивающей силы? Никоею мерою».
И далее Ломоносов пытается объяснить притяжение тел
свойствами пространства: «Всяк знающий различие между необходимо
нужными тел свойствами и между переменными их качествами
явственно видеть может, что всего того причины ни показать
невозможно, ни спрашивать не должно, что в вещах и бытию их
необходимо нужно; например, для чего треугольник имеет три бока;
ради чего тело есть протяженно, и сим подобные иные вопросы;
ибо причины союза там искать должно, где видим, что
нечувствительные частицы то состоят в союзе, то оного лишаются, либо сила
оного прибывает, или умаляется. Тут можно спрашивать, для
чего она так, а не инако. А в союзе частиц нечувствительных,
тела составляющих, перемена не признается; для того не должно
и причины спрашивать. Философское основание, называемое
довольной причины, не простирается до необходимых свойств
телесных. От сего неправильного употребления произошло славное
в ученом свете прение о простых существах, то есть о частицах,
не имеющих никакого протяжения. Когда протяжение есть
необходимое нужное свойство тела, без чего ему телом быть нельзя,
и в протяжении состоит почти вся сила определения тела, для
чего тщетен есть вопрос и спор о непротяженных частицах
протяженного тела, ибо в таком случае должно искать доказательств
определения вместо того, чтобы, как водится, добрым порядком
доказательства выводить из определения» [115, с. 342—343].
Как мы видим, М. В. Ломоносов критикует как учение
Ньютона, так и во многом противоположное ему учение Лейбница
о «принципе достаточного основания» и «простых существах» —
лейбницевских «монадах» и в соответствии с традициями античных
атомистов представляет себе пространство как «союз частиц
нечувствительных» и «непротяженных», но, что самое важное для нас,
связывает гравитационные свойства материи со свойствами
пространства.
Учение об априорности пространства. Учение Аристотеля о
получении математических понятий путем абстрагирования от
объектов реального мира было направлено против пифагорейцев,
объяснявших все закономерности мира числовыми
закономерностями, и Платона, объяснявшего закономерности мира
геометрическими закономерностями. Выдвижение на первый план
геометрии (на дверях платоновской Академии было написано: MeSeTs
ауесоцетр^го; etatxa) — «да не войдет сюда не обученный
геометрии») объясняется крахом миропонимания пифагорейцев после
178
открытия ими несоизмеримых величин, отношения которых не
выражаются отношениями чисел. Выше мы упоминали о роли,
которую Платон приписывал в устройстве мира правильным
многогранникам. Аристотель, указав, что математик «производит
абстракцию, ибо мысленно фигуры можно отделить от движения»,
добавляет: «Сами того не замечая, то же делают и философы,
которые учат об идеях: они абстрагируют физические свойства, менее
отделимые, чем математические» [11, с. 31]. «Философы, которые
учат об идеях»,— Платон и его ученики. Математические понятия
для Платона — частный случай «идей», которые Аристотель
также считает абстракциями от «вещей», т. е. объектов реального мира.
Платон считает, что математические, и в частности геометрические,
понятия являются врожденными, и для доказательства этого в
диалоге «Менон» («Myjvcov») описывает опыт, в котором
смышленый мальчик-раб благодаря ряду наводящих вопросов
доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе равнобедренного
прямоугольного треугольника, вдвое больше квадрата,
построенного на его катетах. «Получается,— делает вывод герой этого
диалога Сократ,— что в человеке, который не знает чего-нибудь,
живут верные мнения насчет того, чего он не знает?.. Теперь эти
мнения зашевелились в нем, словно сны. А если бы его стали часто
и по-разному спрашивать о том же самом, будь уверен, он в конце
концов ничуть не хуже других приобрел бы на этот счет точные
знания» [156, т. 1, с. 391].
Учение об априорности геометрических понятий в наиболее
отчетливой форме выражено Иммануилом Кантом в его основном
философском труде «Критика чистого разума» («Kritik der reinen
Vernunft», Кенигсберг, 1781). По этому вопросу Кант пишет:
«Пространство не есть эмпирическое понятие, выводимое из
внешнего опыта. В самом деле, представление о пространстве должно
уже заранее быть дано для того, чтобы те или иные ощущения были
относимы к чему-то вне меня (т. е. к чему-то в другом месте
пространства, а не в том, где я нахожусь), а также для того, чтобы я мог
представлять себе их как находящиеся вне и подле друг друга,
стало быть, не только как различные, но и как находящиеся в
различных местах. Представление о пространстве не может быть
поэтому заимствовано из отношений внешних явлений
посредством опыта: сам этот внешний опыт становится возможным прежде
всего благодаря представлению о пространстве... Пространство
есть необходимое априорное представление, лежащее в основе
всех внешних созерцаний. Никогда нельзя себе представить
отсутствие пространства, хотя нетрудно представить себе отсутствие
предметов в нем. Поэтому пространство следует рассматривать как
условие возможности явлений, а не как зависящее от них
определение; оно есть априорное представление, необходимым образом
лежащее в основе внешних явлений» [80, т. 3, с. 130].
Впрочем, несколько ниже Кант пишет: «Нет никакой
необходимости ограничивать способ созерцания в пространстве и времени
179
чувственностью человека. Возможно, что всякое конечное
мыслящее существо необходимо должно походить в этом отношении
на человека (хотя мы не можем решить этого вопроса), однако,
обладая такой общезначимостью, этот способ созерцания еще не
перестает быть чувственностью» [80, т. 3, с. 152—153]. Эти слова
Канта показывают, что он все же не совершенно исключал
возможности обобщения понятия о пространстве; выше мы видели
(с. 172), что молодой Кант высказывал идею об одном из таких
обобщений.
Наиболее ярким свидетельством ложности учения априорности
геометрических представлений является происхождение
общепринятых названий геометрических образов — «сфера» от
а<раТра — «мяч»; «цилиндр» от xuXivfipoc — «валик»; «конус» от
x&vos — «сосновая шишка»; «призма» — от ттр».а(ха —
«опиленная»; «трапеция» от TpocrceCiov — «столик»; «ромб» от pojx(3o<; —
«волчок» и т. д. Эти названия показывают, что первоначально
тела, имеющие форму сферы, цилиндра, конуса и т. д., назывались
по конкретным предметам, имеющим эту форму.
Учение об априорности геометрических представлений
подвергалось критике многими философами и математиками. В VI
главе мы рассмотрим критику этого учения Н. И. Лобачевским,
позволившую ему сделать свое замечательное открытие. Здесь мы
упомянем критику учения Канта ректором Харьковского
университета Тимофеем Федоровичем Осиповским (1765—1832) в его
речи «О пространстве и времени» (Харьков, 1807). «Я согласен с
основателем критической философии [т. е. Кантом],— говорил
в этой речи Т. Ф. Осиповский,— что нельзя вывесть неоспоримых
синтетических заключений из понятий, приобретаемых опыт-
ностию, когда сие приобретение понимаемо будет в том точно
смысле, в каком он его предполагает, т. е. когда приобретаются
понятия о некоторых частных случаях, к одному целому
принадлежащих, но не несущих на себе печати всеобщности. Но понятие
о пространстве совсем иначе приобретается: оно начинается от
целого, и части в сем уже целом содержатся; ибо всякий знает, да
и сам г. Кант говорит, что понятие о пространстве предшествует
понятию о всех вещах,как занимают части сего целого. Возможность
получить понятие о целом пространстве вместе с сего частями
положена, во-первых, в самом способе приобретения нами сего
понятия, т. е. в нашем чувстве зрения, так устроенном, чтоб в нем
целое напечатлевалось вдруг со всеми его частями; во-вторых,
в том, что сие целое единообразно во всей своей объятности и
непрерывно» [145, с. 14—15].
Далее, на мысль Канта о том, что если бы пространство было
условием существования вещей, а потому «находилось бы оно в
них, а не в нас», то как мы можем быть уверены, что то свойство
пространства, которое в наших чувствах принадлежит к
некоторому предмету, действительно принадлежит ему?— Т. Ф.
Осиповский отвечает: «Но никто и не возьмет на себя доказывать, что-
180
бы пространство, усматриваемое нами в вещах, было в них
совершенно таково, каково нами усматривается; довольно, чтоб
в них было усматриваемому нами нечто соответствующее, и
соответствующее по постоянному закону зависимости между тем, что
в них находится, и тем, как оно в чувствовании нашем
напечатлевается. Напротив, если в вещи нет ничего соответствующего
тому понятию, относящемуся к пространству, какое в нас при
чувствовании ее рождается, и, следовательно, между сею вещию и
оным нашим понятием нет никакой взаимной зависимости, то
почему тогда сие понятие относиться будет к оной вещи? Так, когда
круглости, усматриваемой нами при смотрении на шар, не будет
ничто соответствовать в шаре, по чему тогда можем мы соединять
понятие круглости с понятием шара; ибо тогда сии идеи не будут
иметь никакой одна к другой принадлежности. В сем случае все
синтетические сопряжения идей, относительно к пространству
в Математике предлагаемые и доказываемые, были бы чистые
химеры, внутри только нашей головы невольным, но бессвязным
образом происходящие и никакого отношения к вещам не имеющие,
а по сему и ни к какому приложению к оным неспособные; но всем
известно, что никто, никогда и ничего не говорил вернее говорен-
ного Евклида в елементах [т. е. «Началах»] его, и нет ни в чем
точнее соответствия, как истины, в оных елементах предлагаемые,
согласны с тем, что действительно в вещах усматривается» [145,
с. 15—16]. Окончательно Осиповский приходит к следующему
выводу: «Все вышесказанное убеждает думать, что пространство
и время суть условия бытия вещей, в самой природе и в них
самих, а не в нашем только образе чувствования существующие.
Что принадлежит до пространства, то мое суждение о нем таково:
понятие об нем производится по впечатлениям, происходящим от
него посредством наружных наших 'чувств на наши внутренние
чувства» [145, с. 16].
Непрерывность и дискретность пространства в древности и в
средние века. Вопрос о непрерывности и дискретности
пространства обсуждался еще античными философами. Один из первых
античных философов Анаксагор (V в. до н. э.), по сообщению Симп-
ликия в комментариях к «Физике» Аристотеля, писал: «И в
малом нет наименьшего, но всегда еще меньшее» [169, с. 21], т. е.
придерживался принципа неограниченной делимости,
относящейся, по-видимому, как к материи, так и к пространству. Его
старший современник Левкипп и младший современник Демокрит
придерживались атомистических представлений как по
отношению к материи, так и по отношению к пространству. По поводу
этих представлений Аристотель писал в сочинении «О небе»:
«И теории некоторых других, как, например, Левкиппа и абде-
рита Демокрита, приводят к противоречиям. . . Они утверждают,
что существуют первовеличины, бесконечные по числу, но
неделимые из-за своей величины» [121, с. 235].
181
Архимед в своем «Послании к Эратосфену о механических
теоремах» («Пгр! T&V [jLY]^avtxa)v 0e(opr][xaT(ov ттрбс 4EpocToa6ev7) ecpobcx;»)
писал: «. . . Относительно тех теорем о конусе и пирамиде,
а именно что всякий конус составляет третью часть цилиндра,
а пирамида — третью часть призмы с тем же самым основанием
и равной высотой, немалую долю заслуги я уделяю и Демокриту,
который первый высказал это положение относительно
упомянутых фигур, хотя и без доказательства» [12, с. 299]. Архимед не
считал рассуждения Демокрита доказательствами, поскольку
в его времена строгими доказательствами теорем о вычислении
площадей и объемов считались только доказательства с помошью
так называемого «метода исчерпывания». Так как упомянутые
Архимедом теоремы основываются на теореме о равенстве двух
пирамид с равными основаниями и высотами, то несомненно, что
рассуждения Демокрита основывались на представлении двух
таких пирамид состоящими из равных слоев неделимых «перво-
величин», т. е. геометрических атомов. Все это свидетельствует
о том, что Демокрит считал пространство состоящим из неделимых
атомов конечных размеров, а каждое конечное тело — состоящим
из «сверхчувственно» большого числа этих атомов.
Другой вариант атомистических представлений о пространстве
мы встречаем у пифагорейцев. Неясно, возникли эти
представления в первоначальной школе'Пифагора или позже, под влиянием
учения Демокрита, но у поздних пифагорейцев мы встречаем
представление о том, что пространственные тела состоят из
дискретных точек. Это представление лежит в основе упоминавшегося
нами в четвертой главе пифагорейского учения о «фигурных
числах». Оно изложено в «Трактатах Братьев чистоты и друзей
верности» («Расаил Ихван ас-сафа ва хуллан ал-вафа»)
находившейся под сильным влиянием пифагорейцев философской школы,
работавшей в Басре и других городах в X в. «Трактаты»,
опубликованные под коллективным псевдонимом школы, представляли
собой энциклопедию по многим наукам и в соответствии с
пифагорейскими традициями — по различным мистическим учениям.
В геометрическом трактате Братья чистоты писали: «Самая
короткая линия — из двух точек, как .., затем из трех точек, как
..., затем из четырех, как ...., затем из пяти, как , они
увеличиваются по одной, как числа в натуральном ряду. Самая
маленькая фигура — из трех точек, как:., затем из четырех точек, как
::» ([76, т. 1, с. 83], см. также [205]). Как видно, пифагорейцы
считали геометрические фигуры состоящими из дискретных точек,
находящихся на конечных, хотя и весьма малых расстояниях.
Противоположной точки зрения придерживался Аристотель,
который писал в «Физике»: «Невозможно ничему непрерывному
состоять из неделимых частей, например линии из точек, если
линия непрерывна, а точка неделима» [11, с. 124]. Как мы уже
указывали, Аристотель считал, что атомистические представления
приводят к противоречию. Он находил противоречивым представле-
182
ние о том, что непрерывная величина, например линия, состоит
из точек, потому что при этом представлении линия конечной
длины, плоская фигура конечной площади и тело конечного объема
состоят из точек, для которых как длина, так и площадь и объем
равны нулю. Фактически атомистические представления также
являлись попыткой избавиться от этого противоречия,
приписывая «точкам» малые, но конечные размеры, как Демокрит, или
связывая длину линии с расстояниями между точками и
представляя плоские фигуры и тела в виде плоских и
пространственных решеток или других плоских и пространственных фигур, как
пифагорейцы. Аристотель решил эту проблему другим путем:
он считал линии, поверхности и тела неограниченно делимыми,
но не представлял их как множества точек: они суть только
«места», в которых точки могут находиться. Эта мысль Аристотеля
была воспринята Евклидом, который в предложении 10 книги I
«Начал» решал задачу: «данную ограниченную прямую рассечь
пополам» [66, т. 1, с. 24] — для любого, в том числе для сколь
угодно малого, отрезка. Этому представлению мы обязаны
термином «геометрическое место», который в настоящее время
применяется в том же значении, что и «множество точек». В то же
время некоторые определения «Начал» Евклида (например,
определения 1, 3 и 5 книги I: «Точка есть то, что не имеет частей»;
«Линия же — длина без ширины»; «Поверхность есть то, что имеет
только длину и ширину» [66, т. 1,с. 11]) несут на себе следы
атомистических традиций: «то, что не имеет частей» — неделимая
«первовеличина», атом пространства; «длина без ширины» —
цепочка атомов; «только длина и ширина» — слой атомов того типа,
который рассматривал Демокрит в своей теореме об объеме
пирамиды.
Мы уже упоминали высказывание Архимеда об атомистических
рассуждениях Демокрита; в «Послании к Эратосфену» Архимед
пишет, что он пользовался аналогичным методом для получения
«некоторого предварительного представления об исследуемом» [12,
с. 292]; в своем «Исчислении песчинок» («Тос|л[л1тгр>) Архимед
упоминает утверждение Аристарха Самосского (310? — 230? до
н. э.) о том, что «круг, по которому, как он предположил,
обращается Земля, так же относится к расстоянию неподвижных
звезд, как центр сферы к ее поверхности», и далее пишет: «Но
хорошо известно, что это невозможно; так как центр сферы не имеет
никакой величины, то нельзя предполагать, чтобы он имел
какое-нибудь отношение к поверхности сферы» [12, с. 358—359].
Как видно, даже младший современник Евклида Аристарх Самос-
ский представлял центр сферы в виде геометрического атома
конечных размеров.
Большинство математиков средневекового Востока
придерживались точки зрения Аристотеля и Евклида. Тем не менее на
средневековом Востоке встречались и атомистические взгляды.
Мы уже упоминали такие взгляды у Братьев чистоты. Аналогич-
183
яых взглядов придерживались и мусульманские богословы —
мутазилиты и мутакаллимы. Среди мутазилитов имелись
сторонники математического атомизма как демокритовского, так и
пифагорейского типа. К первым относился Абу-л-Хашим ал-
Джуббаи (820—933), ко вторым — Абу-л-Касим ал-Ка'би (ум.
932), самое прозвище которого ал-Ка'би («кубический»)
указывает на то, что в его учении существенную роль играет
расположение атомов пространства в виде узлов кубической решетки.
Спору между сторонниками этих двух учений посвящена книга
Абу Рашида ан-Найсабури «Спорные вопросы между басрийцами
и багдадцами» («Ал-масаил фи-л-халаф байна ал-басриййин ва-
л-багдадиййин») [439, с. 2]. Ан-Найсабури указывает, что спор
шел по вопросу о том, «участвует ли атом в протяженности».
Ал-Джуббаи отвечал на этот вопрос утвердительно, считая, что
трудно представить себе трехмерное тело, состоящее из атомов
без протяженности. Ал-Ка'би утверждал, что протяженность тел
образуется не самими атомами, а расстояниями между ними [439,
с. 7].
Учение мутакаллимов было изложено известным философом
Моисеем Маймонидом (1135—1204) в его «Путеводителе
заблуждающихся» («Далала ал-хаирин»), который писал о мутакаллимах:
«Они утверждают, что вся Вселенная, т. е. каждое тело, которое
в ней существует, составлено из очень мелких частиц, которые по
причине своей тонкости не могут быть дальше разделены. Каждая
из этих частиц абсолютно лишена количества, но когда эти частицы
собираются вместе, тогда совокупность, составленная из них,
получает количество, и она становится телом» [53, с. 287].
Аналогичных взглядов придерживались мутакаллимы и на время, и из
того, что «время составлено из «теперь»», они делали вывод, что
Аллах творит мир заново каждое мгновение, чем и обосновывали,
что все события в мире «происходят по воле Аллаха».
Мы уже упоминали о том, что Братья чистоты развивали
математический атомизм пифагорейского типа. Сторонники
математического атомизма на средневековом Востоке встречались и среди
философов, развивавших материалистические традиции античной
философии. К таким ученым относился Абу Б акр Мухаммад ибн
Закария ар-Рази (865—952), во многом продолжавший «линию
Демокрита». В одном из своих философских трактатов ар-Рази
писал, что «строение всех тел зависит от смеси частиц первомате-
рии с частицами пустоты, т. е. абсолютного пространства» [439,
с. 104]. Эти «частицы пустоты» представляют собой
математические атомы. Математический атомизм позволяет понять название
не дошедшего до нас сочинения ар-Рази «Трактат о том, что
[утверждение о том, что] диагональ квадрата несоизмерима со
стороной, не является геометрическим» («Рисала фи анна ал-кутр
ал-мурабба' ла йушарику ад-дил' мин гайр хандаса») [359, т. 1,
с. 309]: в атомистической геометрии все отрезки, в том числе
диагональ квадрата и его сторона, соизмеримы. По вопросам атомис-
184
тического строения пространства и времени ар-Рази
полемизировал с упоминавшимся ал-Ка'би в трактате «О том, что имело
место между ним и Абу-л-Касимом ал-Ка'би по вопросу о времени»
(«Ма джара байнахи ва байна Аби-л-Касим ал-Ка'би фи-з-за-
ман») [267а, с. И]. Ал-Бируни в своей философской переписке с
Ибн Синой писал: «Мухаммад ибн Закария говорит: «Если для
каждой из этих вещей, т. е. границ тела, имеются две стороны
и одна середина, то деление безгранично, а это невозможно»»
[229, с. 40]. Сам ал-Бируни весьма сочувственно относился к
атомистам типа ар-Рази и в другом послании к Ибн Сине писал:
«Почему Аристотель считает порочным учение о неделимой
частице, когда утверждение о делимости тел до бесконечности еще
более порочно?.. Атомистам присуще также немало [спорных]
утверждений, хорошо известных среди геометров, но слова тех,
кто возражает атомистам, еще менее приемлемы» [20, с. 13—14].
Ибн Сина в своем ответе ал-Бируни отстаивал точку зрения
Аристотеля. Ал-Бируни упоминает атомистов и в других местах,
например в одной из астрономических книг «Канона Мас'уда»
он пишет: «Если говорить о движущихся [телах], для строгости
нет предела, которым можно было бы ограничиться... Для
приближения к истине необходимо повторить уточнение. Окончательно
решение этого возможно только после разрешения спора между
«сторонниками частицы» [т. е. атомистами] и сторонниками ее
отрицания» [270, с. 937; 19, т. 5, ч. 2, с. 214].
Допускает возможность торжества математического атомизма
и Омар Хайям: в разделе своих «Комментариев к трудности во
введениях книги Евклида», посвященных теории отношений,
Хайям, рассмотрев отношения двух величин, при которых
«меньшее являлось долей или долями большего», и упомянув о третьем
случае, когда «они могут не иметь числового отношения, что
свойственно только [геометрическим] величинам», пишет: «Если
скажут, что третьего случая совсем нет и имеются только два
числовых случая, мы ответим, что рассмотрение правил отношений и
пропорций величин в этих трех случаях нам не мешает, и если
этот случай будет опровергнут, нас не в чем будет упрекнуть,
но, поскольку он не опровергнут, мы рассмотрим его, дополнив
два указанных случая» [222, с. 129].
Атомистические взгляды на пространство развивались и в
Западной Европе. Брадвардин (ок. 1290—1349) в своем «Трактате
о континууме» («De continuo tractatus») писал: «Относительно
строения континуума существуют пять взглядов,
распространенных среди древних и нынешних философов. А именно: одни, как
Аристотель, Аверроэс и большинство нынешних, утверждают, что
континуум не составляется из атомов, но из частей, которые
делимы без конца. Другие же говорят, что он составляется из
неделимых, притом двояко, ибо Демокрит полагает, что континуум
составляется из неделимых тел, а другие, что из точек. И эти
разделяются надвое, ибо Пифагор, глава этого направления, Платон и
185
наш современник Вальтер полагают, что континуум составляется
из конечного тела неделимых, а другие, что из бесконечного числа.
И эти последние делятся надвое, ибо одни, как наш современник
Генрик, утверждают, что континуум составляется из бесконечного
числа неделимых, непосредственно связанных друг с другом, а
другие, как Роберт Линкольнский,— из бесконечного числа их,
связанных друг с другом опосредованным образом» [68, с.402—403].
Под Вальтером здесь имеется в виду Уолтер Кеттон (ум. 1342),
работавший в Оксфорде; под Генриком — Генри Харлей (ок. 1270—
1317); под Робертом — линкольнский епископ Роберт Грос-
сетест (ок. 1175—1255). Математический атомизм развивали и
работавшие во Франции Геральд Одонис (ум. 1349) и его
последователь Никола Бонет (см. [69, с. 102]) г.
Непрерывность и дискретность пространства в новое время.
В XVII в. эти взгляды появляются у математиков. Иоганн
Кеплер в «Новом измерении винных бочек» («Stereometria nova dolio-
rum vinariorum». Линц, 1615) [90] восстанавливает атомистические
методы рассуждений Архимеда при вычислении площадей и
объемов (не зная его «Послания к Эратосфену»!) и применяет эти
методы к определению объемов многих новых тел.
В это же время итальянский математик Бонавентура Кавальери
в своей «Геометрии, развитой новым способом при помощи
неделимых непрерывного» («Geometria indivisilibus continuorum nova
quadam ratione promote». Болонья, 1647) [77] выдвинул известный
«принцип Кавальери», согласно которому сравнение площадей
плоских фигур сводится к сравнению «всех линий» этих фигур
и сравнение объемов тел сводится к сравнению «всех плоскостей»,
причем под «всеми линиями» и «всеми плоскостями» имеются в
виду параллельные сечения этих фигур. Сам Кавальери
формулировал этот принцип следующим образом: «Независимо от того,
состоит ли непрерывное из неделимых или не состоит,
совокупности неделимых сравнимы между собой и величины их стоят в
определенном отношении друг к другу» [77, с. 208]. Эти слова
Кавальери показывают, что, несмотря на явно атомистическое
происхождение его принципа, он формулирует его таким образом,
чтобы он был верен в обоих случаях — и при атомистическом
строении пространства, и при его непрерывности и неограниченной
делимости.
Весьма интересны взгляды на строение пространства творцов
дифференциального и интегрального исчисления Ньютона и
Лейбница. Определяя производную как «последнее отношение
исчезающих количеств», Ньютон не отождествляет эти «исчезающие
количества» в последний момент перед их исчезновением с
математическими атомами: «Можно возразить,— пишет он в «Матема
1 Об истории математического атомизма см. также монографию А. Н. Вяль-
цева [36].
186
тических началах натуральной философии»,— что если существуют
последние отношения исчезающих количеств, то существуют и
последние величины их самих — и, следовательно, каждое
количество должно состоять из неделимых, что опровергнуто
Евклидом» [143, с. 70]. В то же время Ньютон вводит понятие
«моментов» — величин, не являющихся нулями и в то же время не
являющихся и конечными переменными, и рассматривает
производную как отношение «момента» функции к «моменту» независимого
переменного: «Я рассматриваю здесь эти количества как
неопределенные и изменяющиеся и как бы возрастающие и убывающие
от постоянного движения или течения и их мгновенные
приращения или уменьшения разумею под словом моменты, так что
приращения почитаются за положительное или прибавляемые
моменты, уменьшения за вычитаемые или отрицательные. Но озаботься,
чтобы не принимать за таковые конечных частиц. Конечные
частицы не суть моменты, но сами суть количества, из моментов
происходящие. Надо подразумевать, что это суть лишь едва-едва
зарождающиеся начала конечных величин» [143, с. 332].
В дифференциальном исчислении Лейбница «моменту»
Ньютона соответствовал «дифференциал». Лейбниц в отличие от
Ньютона допускал атомистическое строение линий и в своей работе
«Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных,
для которого не служат препятствием ни дробные, ни
иррациональные величины, и особый для этого род исчисления» («Nova
methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae
tractas nee irrationales quantitates moratur, et singulare pro il-
lis calculi genus». Лейпциг, 1684) писал: «Найти касательную —
значит провести прямую, соединяющую две точки кривой,
расстояние между которыми бесконечно мало, или же провести
продолженную сторону бесконечноугольного многоугольника,
который для нас равнозначен кривой» [107, с. 170].
Несмотря на различное отношение Ньютона и Лейбница к
«неделимым», их взгляды на строение пространства были весьма
близки: для дифференциального исчисления была необходима
непрерывность линий, поверхностей и всего пространства, и в то
же время рассмотрение функций требовало перехода от точки к
точке, поэтому Ньютона и Лейбница не удовлетворяли античные
воззрения на взаимоотношение точек и пространства. Им
приходилось как-то синтезировать эти взгляды, что не удавалось без
введения «моментов» и «дифференциалов» — не нулей, не конечных
величин, а только «едва-едва зарождающихся начал конечных
величин» — актуальных бесконечно малых, которые в XVII в.
не умели определять без противоречий.
Карл Маркс, живо интересовавшийся философскими
вопросами математики, в своей историко-математической работе
«Исторический ход развития» («Der historische Entwicklungsgang»)
характеризовал дифференциальное исчисление Ньютона и Лейбница
как «мистическое дифференциальное исчисление» [126, с. 165]
187
и резюмировал обзор этого исчисления следующим образом:
«Итак, сами верили в таинственный характер новооткрытого
исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом
применении прямо поразительные) результаты математически
положительно неправильным путем. Таким образом сами себя
мистифицировали и тем более ценили новое открытие» [126, с. 169].
Непрерывность и дискретность пространства у Гегеля. В
заключение нашего обзора философии пространства до начала XIX в.
приведем размышления по вопросу о непрерывности и
дискретности пространства в «Философии природы» («Philosophie der Natur»)
[42, т. 2] крупнейшего философа начала XIX в., одного из
создателей диалектического метода, творца знаменитой
идеалистической системы Георга Вильгельма Фридриха Гегеля (1770—1831).
Гегель определяет пространство следующим образом:
«Первым или непосредственным определением природы
является абстрактная всеобщность ее вне-себя-бытия, его лишенное
опосредования безразличие, пространство. Оно есть совершенно
идеализированная рядоположность, потому что оно есть вне-себя-
бытие; оно просто непрерывно, потому что эта внеположность еще
совершенно абстрактна и не имеет в себе никакого определенного
различия». Далее Гегель переходит к точкам пространства:
«Говорить о пространственных точках, как будто бы они составляют
положительный элемент пространства, мы не имеем права, так как
пространство вследствие совершенного отсутствия в нем различия
есть лишь возможность, а не положенность внеположного бытия и
отрицательного, и поэтому оно всецело непрерывно; точка, для-
себя-бытие, есть поэтому скорее положенное отрицание
пространства, а именно, положенное отрицание пространства в нем самом»
[42, т. 2, с. 42]. Таким образом, Гегель противопоставляет
непрерывное пространство, которое он называет «вне-себя-бытие»,
и точки, которые он называет «для-себя-бытием». Основным
свойством пространства он считает непрерывность, основным свойством
точек — дискретность и приходит к следующему выводу:
«Единство этих двух моментов, дискретности и непрерывности, есть
объективно определенное понятие пространства, но это понятие есть
лишь абстракция пространства, на которую часто смотрят как на
абсолютное пространство» [42, т. 2, с. 43—44]. Эти слова Гегеля
обозначают, что он считает математическое пространство,
называемое им вслед за Ньютоном абсолютным пространством,
абстракцией физического пространства и сущностью понятия этого
математического пространства он считает единство дискретности
и непрерывности, двух свойств пространства, являющихся, по
терминологии философии Гегеля, диалектическими
противоположностями.
Мы вернемся к проблеме непрерывности и дискретности
пространства в XI главе.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
%
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
Открытие Н. И. Лобачевского. Многовековые попытки
доказательства V постулата Евклида привели к открытию в начале
XIX в. Это открытие было впервые опубликовано великим русским
математиком, профессором Казанского университета Николаем
Ивановичем Лобачевским в работе «О началах геометрии» (Казань,
1829) [ИЗ, т. 1, 185—261]. Первое публичное сообщение об этом
открытии было сделано на заседании Отделения
физико-математических наук Казанского университета в 1826 г. под названием
«Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством
теоремы о параллельных» {«Exposition succincte des principes de
la Geometrie avec une demonstration rigorieuse du theoreme des pa-
ralleles»). H. И. Лобачевский указывает, что первая часть мемуа-
ра «О началах геометрии» извлечена им из указанного доклада.
«Кто не согласится,— пишет он в начале этой части,— что
никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких
темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы
Геометрию, и что нигде в Математике нельзя терпеть такого недостатка
строгости, какой принуждены были допустить в теории
параллельных линий... Первые понятия, с которых начинается какая-
нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему
числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным
основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами,
врожденным не должно верить» [113, т. 1, с. 185—186].
Далее, после определения основных понятий геометрии, не
зависящих от V постулата, Лобачевский пишет: «Сумма углов
прямолинейного треугольника не может быть ^> я; напротив, сумма
углов сферического треугольника всегда ^>я» [113, т. 1, с. 192].
И далее: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного
треугольника не может быть ^> я. Остается предполагать эту сумму = я
или < я. То и другое может быть принято без всякого
противоречия в последствии, от чего и происходит две Геометрии: одна,
употребительная до ныне по своей простоте, соглашается со всеми
измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая
и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает
возможность зависимости линий от углов.
189
Если в одном прямолинейном треугольнике почитать сумму
углов я, то она будет такой уже и во всех. Напротив, допуская
ее в одном менее я, легко доказать, что она уменьшается с
возрастанием боков треугольника.
Всякий раз, следовательно, две линии встречаться на
плоскости не могут, когда они с третьего составляют углы, которых
сумма я. Они могут не пересекаться и в том случае, когда эта сумма
< я, если к тому предположить сумму углов в треугольнике < я.
Итак, все линии на плоскости в отношении к одной могут быть
разделены на сходящиеся и несходящиеся. Последние будут
называться параллельными, если они представляют границу, или.
иначе сказать, переход от одних к другим между всеми,
выходящими из одной точки...
Предположение суммы углов в треугольнике < я ведет к
тому, что круг с увеличением полупоперечника приближается не к
прямой линии, а к особенного рода кривой, которую назовем
предельной круга. Сфера в таком случае будет приближаться к
кривой поверхности, которую подобным образом назовем предельной
сферой. Эта поверхность в пересечении с плоскостью дает или круг,
или предельную круга.
Геометрия на предельной сфере совершенно та же, в каком
виде мы ее знаем на плоскости. Предельная круга заменяет в
последней прямую линию, а углы между плоскостей, в которых
предельные лежат, заступают место углов между прямыми линиями.
Предельные кругов тем ближе подходят к прямым линиям, чем
их дуги менее, так что разность в содержании к длине дуги можно
сделать как угодно малой. И потому все, что принадлежит одним,
принадлежит и другим, если принимать те и другие чрезвычайно
малыми.
Итак, если в природе существующая Геометрия такова, что
две параллельные линии должны быть наклонены к третьей линии
под углами, которых сумма < я, то Геометрия,
употребительная нами, будет Геометрия чрезвычайно малых линий в сравнении
с теми, при которых сумма углов треугольника может приметно
разниться от я» [113^ т. 1, с. 194—196].
Следует отметить, что название «воображаемая геометрия»,
которое Н. И. Лобачевский дал открытой им геометрии,
перекликается с применяемым им названием мнимых чисел
«воображаемые числа». Это название подчеркивает, что открытая им
геометрия относится к «употребительной» евклидовой геометрии как
мнимые числа к вещественным. Слова Лобачевского «понятия
приобретаются чувствами, врожденным не должно верить»
указывают на то, что, не найдя противоречия в следствиях из
отрицания V постулата, Н. И. Лобачевский отказался от представлений
о том, что геометрия Евклида является единственной мыслимой
непротиворечивой геометрией, а мыслимы различные
непротиворечивые геометрические системы. Придя к выводу о
непротиворечивости «воображаемой геометрии», Лобачевский опроверг идущее
190
от Платона и получившее новое развитие у Канта
идеалистическое учение о врожденности наших пространственных
представлений. Поэтому Лобачевский ставит вопрос об измерении суммы
углов треугольника с весьма большими длинами сторон.
Используя данные последнего астрономического календаря,
Лобачевский подсчитывает сумму углов, вершинами которого являются
два диаметрально противоположные положения Земли на ее
орбите и Сириус, и находит, что сумма углов этого треугольника
отличается от я меньше, чем на 0",000372. Столь малая разность
не могла быть измерена угломерными интрументами времен
Лобачевского (на самом деле в вычисления Лобачевского здесь
вкралась ошибка и эта разность в 100 раз меньше вычисленной им).
После этих вычислений Лобачевский пишет: «Чем меньше,
следовательно, треугольник, тем сумма углов его меньше разности от двух
прямых. После этого можно воображать, сколько эта разность,
на которой основана наша теория параллельных, оправдывает
точность всех вычислений обыкновенной Геометрии и дозволяет
принятия начала этой последней рассматривать как бы строго
доказанными» [113, т. 1, с. 209]. Это объясняет смысл слов «со
строгим доказательством теоремы о параллельных» в названии
его доклада 1826 г.: под «строгим доказательством» «начал
обыкновенной геометрии» он имеет в виду невозможность установить
экспериментальным путем, какая из двух геометрий,
«воображаемая» или «употребительная», имеет место в реальном мире, откуда
вытекает полная пригодность «употребительной геометрии» для ее
применения на практике.
Борьба Н. И. Лобачевского за признание его открытия. Ме-
муар Лобачевского «О началах геометрии» не встретил понимания.
В 1832 г. совет Казанского университета по просьбе Н. И.
Лобачевского, бывшего тогда его ректором, направил этот мемуар
Лобачевского в Петербургскую Академию наук для отзыва. Отзыв
было поручено дать академику Михаилу Васильевичу
Остроградскому (1801—1862). Остроградский не обратил внимания на
геометрические вопросы этого мемуара и сосредоточил свое внимание
на двух определенных интегралах, вычисленных здесь Н. И.
Лобачевским с помощью геометрических соображений. Изложение
отзыва Остроградского в протоколах Академии гласит: «Указав
на то, что из двух определенных интегралов, на вычисление
которых при помощи своего нового метода претендует г. Лобачевский,
один уже известен и легко выводится при помощи интегрального
исчисления, а другой неверен, г-н Остроградский замечает, кроме
того, что работа выполнена с таким малым старанием, что большая
часть ее непонятна. Поэтому он полагает, что этот труд г-на
Лобачевского не заслуживает внимания Академии» [78, с. 252].
В 1834 г. в петербургских литературных журналах «Сын
отечества» и «Северный архив», издававшихся известными
реакционерами Н. Гречем и Ф. Булгариным, была напечатана рецензия
191
некоего С. С. «О началах геометрии, соч. г-на Лобачевского»,
представлявшая собой издевательский памфлет. Не поняв сути
новой геометрии и придя к выводу, что один из рассматриваемых
Н. И. Лобачевским интегралов «равен то я/4, то оо», автор
рецензии иронизирует: «Хвала г. Лобачевскому, принявшему на себя
ТРУД обличить, с одной стороны, наглость и бесстыдство ложных
новоизобретений, с другой,— простодушное невежество
почитателей их новоизобретений.
Но, сознавая всю цену сочинения г. Лобачевского, я не могу,
однакож, не попенять ему за то, что он, не дав своей книге
надлежащего заглавия, заставил нас долго думать понапрасну. Почему
бы вместо заглавия «О началах геометрии» не написать, например,
«Сатира на геометрии», «Карикатура на геометрии» и
что-нибудь подобное» [78, с. 247].
По мнению А. П. Котелышкова [78, с. 250—251], о
геометрических работах которого мы будем говорить в десятой главе, эта
рецензия была написана учеником М. В. Остроградского
С. А. Бурачеком, возможно, вместе с другим его учеником
С. И. Зеленым, первый из которых был сотрудником «Сына
отечества». Интеграл, о котором говорится в обеих рецензиях,—
интеграл, зависящий от параметра, при различных значениях
которого он принимает различные значения.
Так по иронии судьбы Остроградский, бывший учеником
весьма близкого к Лобачевскому по отношению к учению Канта о
пространстве Т. Ф. Осиповского и, как мы увидим в седьмой
главе, сам сыгравший немалую роль в создании другого обобщения
обычной геометрии — многомерной геометрии, не понял открытия
Н. И. Лобачевского и своим авторитетом существенно замедлил
процесс признания этого открытия.
Не понял открытия Лобачевского и другой петербургский
академик, сам занимавшийся теорией параллельных линий,—
Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889). Уже после публикации
основных трудов Лобачевского В. Я. Буняковский выпустил
книгу «Параллельные линии» (Петербург, 1853) [26],
содержащую обзор и классификацию «доказательств» V постулата и...
собственное «доказательство» автора, основанное на определении
прямой как линии, все точки которой обладают одинаковыми
свойствами, и не содержащую упоминания о Лобачевском.
Геометрии Лобачевского Буняковский посвятил специальную статью
«Рассуждения о некоторых особенностях, представляющихся в
построениях неевклидовой геометрии» («Considerations sur gu-
elques singularites qui se presentent dans la constructions de la
geometric non euclidienne». Петербург, 1872) [282]. Он пытался
доказать противоречие между геометрией Лобачевского и
наглядными представлениями о пространстве, но в отличие от М. В.
Остроградского и его учеников уважительно отзывался о
дарованиях самого Лобачевского.
192
Дальнейшие труды Н. И. Лобачевского по неевклидовой
геометрии. Непризнание со стороны Академии наук и явно
инспирированная М. В. Остроградским рецензия в литературных
журналах не сломили Лобачевского. Вслед за первым мемуаром
появляются новые труды Лобачевского, развивающие его открытие:
«Воображаемая геометрия» (Казань, 1835; французский перевод:
Берлин, 1836) [113, т. 3, с. 16—70], «Применение воображаемой
геометрии к некоторым интегралам» (Казань, 1836) [ИЗ, т. 3,
с. 181—294]; «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных» (Казань, 1835—1838) [113, т. 2, с. 147—454];
«Геометрические исследования по теории параллельных линий» («Geomet-
rische Untersuchungen zur Theorie der Parallel]inien», Берлин,
1840) [ИЗ, т. 1, с. 79—127]; «Пангеометрия» (Казань, 1855;
французский перевод: Казань, 1856) [ИЗ, т. 3, с. 435—524].
Слово «пангеометрия» («всеобщая геометрия»), которым Лобачевский
называл открытую им геометрию в последнем из этих сочинений,
указывает на то, что он рассматривал эту геометрию как общий
случай, частным (точнее, предельным) случаем которого является
евклидова геометрия. Существенную роль в убеждении
Лобачевского в непротиворечивости его геометрии сыграло имевшееся уже
в его первом мемуаре (и вызвавшее нападки М. В. Остроградского)
применение этой геометрии к вычислению определенных
интегралов, которые он истолковывал как выражения для площадей по-
верхностей и объемов тел в «воображаемой геометрии» и вычислял
с помощью геометрических соображений. В одних случаях
Н. И. Лобачевский находил новые способы вычисления известных
ранее интегралов, в других случаях вычисленные им интегралы
были новыми.
Философия пространства Н. И. Лобачевского. Как мы видели,
открытие Лобачевского было тесно связано с философскими
взглядами Лобачевского на пространство и с его критикой философских
взглядов Канта.
Уже в «Геометрии», написанной в 1823 г. и изданной только в
XX в. (Казань, 1909), Лобачевский пишет во введении:
«Геометрическое тело удерживает одно только свойство протяжения
от тел природы.
Протяжение есть свойство тел, распространяясь, приходить
в соприкосновение друг с другом» [ИЗ, т. 2, с. 43].
Систематически основные понятия геометрии Н. И.
Лобачевским изложены в «Новых началах геометрии с полной теорией
параллельных» (Казань, 1835—1838). Это изложение начинается
словами: «Прикосновение составляет отличительную
принадлежность тел и дает им название геометрических, когда в них
удерживаем это свойство, не принимая в рассуждение все другие,
существенные ли то будут или случайные... Два тела А, В, касаясь
друг друга, составляют одно геометрическое тело С, где
составные части А, В являются каждая порознь, не теряясь в целом С.
7 Б. А. Розенфельд
193
Обратно, всякое тело С произвольным сечением S разделяется на
две части А, В... Так можно представлять себе все тела в природе
частями одного целого, которое называем пространство» [ИЗ,
т. 2, с. 168].
Далее Лобачевский определяет конгруэнтность
(«одинаковость») и равновеликость («равенство») двух тел: определив тело А,
которое «наполняет место В», Лобачевский говорит, что «все
другие тела, которые без всякой с ними перемены наполняют также
место В, будут уже геометрически во всех отношениях одинаковы
между собою. Два тела только что равны, как скоро части одного
должны быть расположены в новом порядке, чтобы наполняли
место другого» [ИЗ, т. 2, с. 189]. Определив тело и три «главные
сечения», делящие его на восемь частей, Лобачевский определил
поверхность, линию и точку: «Когда в теле три главных сечения
проведены, с тем вместе восемь долей взаимно прикосновенных
произошли, то в отношении к первому сечению две части касаются
поверхностно, в отношении к двум сечениям две части касаются
линейно, в отношении ко всем трем сечениям две части на
противоположных сторонах касаются в точке» [ИЗ, т. 2, с. 173].
Далее определяется расстояние: «Относительное положение двух
точек называется расстоянием и назначается прикосновением двух
тел, в которых допускаются все те перемены, которые не
переменяют самых точек» [ИЗ, т. 2, с. 178]. С помощью расстояния
Лобачевский определяет сферу, плоскость как геометрическое место
точек, равноудаленных от двух точек пространства, и прямую как
геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух
ее точек.
В этих определениях мы видим большое совпадение с
определениями Лейбница. Подобно Лейбницу в его письме к Витале
Джордано (а также ал-Фараби и ал-Бируни) \ Лобачевский начинает
с определения геометрического тела, а затем переходит к
определению поверхности, линии и тела.
Подобно Лейбницу в его письме к Гюйгенсу, Лобачевский
определяет плоскость с помощью расстояний ее точек до двух точек;
определение прямой у Лобачевского несколько отличается от
определения Лейбница.
Как в «Геометрии», так и в «Новых началах» Лобачевский
подчеркивает, что геометрическое тело «удерживает» только
геометрические свойства из свойств физических тел, т. е. является
геометрической абстракцией из этих тел.
Весьма интересной является намеченная уже в «Геометрии» и
последовательно проведенная в «Новых началах» попытка
Лобачевского обосновать геометрию на основе чисто топологических
свойств прикосновения и сечений.
Особо следует отметить высказанную Лобачевским в тех же
«Новых началах», уже после изложения открытой им геометрии,
См. прим. на с. 167.
194
мысль: «В природе мы познаем собственно только движение, без
которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все
прочие понятия, например Геометрические, произведены нашим умом
искусственно, будучи взяты в свойствах движения: а потому
пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После
чего в нашем уме не может быть никакого противоречия, когда мы
допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие
своей особой Геометрии» [ИЗ, т. 2, с. 147]. Мысль Н. И.
Лобачевского о том, что геометрические свойства пространства могут
быть различны в различных участках пространства и притом
зависеть от «сил», т. е. от материи, является далеким
предвосхищением идей общей теории относительности Эйнштейна.
Приведенные нами мысли Лобачевского показывают, что он
размышлял об основных понятиях геометрии в весьма широком
плане и открытие им неевклидовой геометрии было результатом
размышлений только по одному из этих вопросов.
«Аппендикс» Яшина Бойяи. Одновременно с Н. И.
Лобачевским к этому же открытию пришли замечательный венгерский
математик Янош Бойяи (1802—1860), сын упоминавшегося нами
Фаркаша Бойяи, и крупнейший немецкий математик конца XVIII
и первой половины XIX в. Карл Фридрих Гаусс (1777—1855).
Я. Бойяи заинтересовался теорией параллельных линий под
влиянием отца и продолжал ей заниматься, несмотря на
противодействие отца. Я. Бойяи опубликовал свое открытие в виде
приложения к упоминавшейся книге Ф. Бойяи, изданной в Марош-
Вашархее в 1832 г. Полное название этого сочинения —
«Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно
истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы
Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» («Appendix
scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut ialsitate
Axiomatis XI Euclidis (a priori haud unquam decidenda) indepen-
dentem») [25], вследствие чего его обычно называют латинским
названием «Аппендикс».
«Аппендикс» написан чрезвычайно кратко, с применением
большого числа условных обозначений, например аЪ — бесконечная
прямая, проходящая через точки а и Ь, аЪ — луч с вершиной а,
проходящий через Ь\ аЬс — угол со сторонами Ьа и ей; R —
прямой угол. «Аппендикс» начинается словами: «Если прямую am не
пересекает прямая Ьп той же плоскости, но ее пересекает всякая
прямая Ьр (в abn), то будем это обозначать так: Ьп \\\ am (рис. 78).
Ясно, что такая Ьп существует и при любой точке b (вне am) только
одна, причем bam + abn не ^> 2R, ибо если вращать be вокруг b до
тех пор, пока станет bam + abc = 2R, то в какой-то момент Ьб
впервые не пересечет am, и тогда be \\\ am. Вместе с тем ясно, что Ьп \\\ ет,
где бы ни находилось е на am» [25, с. 52—53].
В случае выполнения V постулата («XI аксиомы» у Бойяи)
прямые Ьсиат — параллели, в случае невыполнения Vпостулата эти
7* 195
прямые — параллели в смысле
Лобачевского (Ьп не пересекается с am, но
может быть получена предельным
переходом из be, пересекающих am). Бойяи
называет «систему геометрии,
признающую справедливой гипотезу XI аксиомы
Евклида», системой 2, а систему,
построенную на «противоположной
гипотезе»,— системой S. То, что выполняется
в обеих системах, Бойяи называет
«абсолютным», это и есть «наука о
пространстве, абсолютно истинная, не зави-
8 сящая от истинности или ложности XI
аксиомы»; в настоящее время этот раз-
I дел геометрии называют «абсолютной
геометрией». Бойяи стремится изложить
как можно больше фактов абсолютной
геометрии. Приведем в качестве
примера запись Бойяи теоремы синусов
sin A sin В sin С
Оа ~~ ~0~&~ ~~ О с '
где Or — длина окружности радиуса г, справедливую и в
евклидовой геометрии, и в геометрии Лобачевского.
Записки и письма Гаусса. Гаусс, пришедший к тому же
открытию независимо от Н. И. Лобачевского и Я. Бойяи, изложил свои
взгляды по этому вопросу только в черновиках и письмах. В 1799 г.
он писал Ф. Бойяи о своих занятиях теорией параллельных
линий: «Правда, я достиг много, что для большинства могло бы сойти
за доказательство [V постулата], но это не доказывает в моих
глазах ровно ничего; например, если бы кто-либо мог доказать, что
возможен такой прямоугольный треугольник, площадь
которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго
доказать всю геометрию. Большинство сочтет это за аксиому, я
же — нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже
некоторого данного предела, сколь бы удаленными друг от друга в
пространстве ни были предположены три вершины треугольника.
Таких положений я имею много, но ни одно из них не нахожу
удовлетворительным» [40, с. 101—102].
В утверждении Гаусса легко узнать известный факт геометрии
Лобачевского, вытекающий из пропорциональности площади
треугольника в этой геометрии угловому дефекту треугольника —
разности между я и суммой его углов: если мы запишем площадь
треугольника с угловым дефектом б в виде Аб, то, так как б < я,
площадь треугольника не может быть больше кп.
В 1804 г. Гаусс пишет Ф. Бойяи по поводу его попытки
доказательства V постулата в «Теории параллельных»: «Твой метод ме-
Рис. 78
196
ня не удовлетворяет. Я хочу со всей возможной ясностью
обнаружить тот камень преткновения, который я еще нахожу в нем
(и который принадлежит к той же группе подводных камней, на
которых терпят крушение и мои попытки). Однако я еще надеюсь
на то, что когда-нибудь, и еще до моего конца, эти подводные
камни позволят еще перебраться через них» [40, с. 102]. Эти слова
Гаусса показывают, что в это время он еще не оставил попыток
доказать V постулат.
Делая все больше выводов из отказа от V постулата, Гаусс
все глубже проникал в то, то мы называем геометрией
Лобачевского. В 1816 г. в письме к своему ученику кёнигсбергскому
астроному X. Л. Герлингу (1788—1864) Гаусс писал, что при этом
предположении должна существовать абсолютная мера длины:
«Кажется парадоксальным, что возможна прямая линия, как бы
заданная a priori, но я не нахожу в этом ничего противоречивого.
Было бы даже желательно, чтобы геометрия Евклида не была
бы истинной, потому что мы тогда располагали бы общей мерой
a priori. Например, за единицу длины можно было бы принять
сторону равностороннего треугольника, угол которого =
=59°59'59",99999» [40, с. 102]. И здесь слова о том, что было бы
«желательно, чтобы геометрия Евклида не была бы истинной»,
показывают, что Гаусс еще считает ее истинной.
Но уже в 1817 г. в письме к своему старшему другу Ольберсу
(1758—1840) Гаусс пишет: «Я прихожу все более к убеждению,
что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по
крайней мере человеческим рассудком и для человеческого
рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам
на природу пространства, которые нам теперь недоступны.До сих
пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой,
существующей чисто a priori, а скорее с механикой» [40, с. 103].
Эти слова Гаусса указывают на источник его сомнений в
существовании геометрии, отличной от евклидовой: Гаусс был
первоначально сторонником учения Канта об априорности математических
понятий, но благодаря размышлениям о теории параллельных
линий он пришел к выводу, что если априорность понятий имеет
место в арифметике, то в геометрии она не имеет места и понятия
геометрии, как и понятия механики, заимствованы из
материального мира. Возможно, что именно по этой причине, уже придя
к выводу о непротиворечивости «неевклидовой геометрии», как
Гаусс назвал новую геометрию в письме 1831 г. к Г. К. Шумахеру
(1780—1850), он не публиковал своих результатов. В 1818 г.
в письме к Герлингу он писал: «Я радуюсь, что Вы имеете
мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей
теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но
осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову»
[40, с. 103]. Весьма правдоподобно мнение А. П. Нордена [141а],
что под «растревоженными осами» Гаусс понимал противников
априоризма математических понятий.
197
Познакомившись в 1832 г. с «Аппендиксом» Я. Бойяи, Гаусс
написал его отцу: «Если я начну с того, «что я эту работу не
должен хвалить», то ты, конечно, на мгновенье поразишься, но иначе
не могу; хвалить ее значило бы хвалить самого себя: все
содержание сочинения, путь, по которому твой сын пошел, и
результаты, которые он получил, почти сплошь совпадают с моими
собственными достижениями, которые частично имеют уже давность
в 30—35 лет. Я, действительно, этим в высшей степени поражен.
Моим намерением было при жизни ничего не публиковать о моей
собственной работе, которая, впрочем, до настоящего времени
очень мало нанесена на бумагу... Однако я имел намерение со
временем изложить все это на бумаге в такой форме, чтобы эти
идеи по крайней мере не погибли вместе со мной.
Таким образом, я чрезвычайно поражен, что эта работа с
меня снимается, и я в высшей степени рад, это именно сын моего
друга меня предупредил таким замечательным образом» [40, с. 113].
Далее Гаусс дает некоторые терминологические советы,
предлагая назвать «поверхность F» Бойяи («предельную сферу»
Лобачевского) — «парасферой»; «линию L» Бойяи («предельную круга»
Лобачевского) — «парациклом»; геометрическое место точек
плоскости, равноотстоящих от прямой,— «гиперциклом»; геометрическое
место точек пространства, «равноотстоящих от плоскости»,—
«гиперсферой», и приводит оригинальное «доказательство предложения,
что разность между суммой углов треугольника и 180°
пропорциональна площади треугольника». Гаусс обозначает верхнюю грань
площади треугольника, равную площади части плоскости,
находящейся между тремя попарно параллельными прямыми ab, cd, /e
(рис. 79, а), через t, тогда площадь части плоскости, ограниченной
сторонами угла Ьас, равного ф, и параллельной им обеим
прямой de (рис. 79, б), относится к t, как 180° — ф к 180°, поэтому
площадь Z треугольника ЛВС относится к 180°, как разность между
t и площадями частей плоскости а, Р, у (рис. 79, в), но, так как
Q At Bt Ct ^
площади а, р, у соответственно равны щ^» igo3»Igip» Гаусс
получает, что
v _ 180° - (А + В + С)
* ~ 180°
Весьма высоко отзывается Гаусс и о работах Н. И.
Лобачевского; первой из них он прочел по-немецки «Геометрические
исследования», а для чтения остальных стал изучать русский язык.
Работы Вахтера, Швейкарта и Тауринуса. Помимо Герлинга,
сомневались в правильности евклидовой геометрии еще несколько
корреспондентов Гаусса, обсуждавших с ним эту проблему,—
Фридрих Людвиг Вахтер (1792—1818), Фердинанд Карл Швейкарт
(1780—1859) и Франц Адольф Тауринус (1794—1874).
Вахтер, ученик Гаусса по Гёттингенскому университету, а
затем учитель математики в данцигской гимназии, опубликовал
198
Рис. 79
брошюру «Доказательство одиннадцатой геометрической аксиомы
Евклида» («Demonstratio axiomatis geometrici in Euclidis unde-
cimi». Данциг, 1817) [512], содержащую «доказательство» V
постулата, основанное на предположении о том, что четыре
произвольные точки определяют «поверхность четырех точек», а две такие
поверхности пересекаются по единственной линии, определяемой
тремя точками. Вахтер пытается доказать, что «поверхность
четырех точек»— сфера, а «линия трех точек»— окружность, что,
однако, невозможно без строгого определения этих поверхности и
линий. Более важно письмо Вахтера Гауссу, написанное в 1816 г.,
где рассматривается предел сферы при стремлении ее радиуса
199
к бесконечности, и утверждается, что даже при невыполнении
V постулата на этой поверхности имеет место евклидова геометрия.
В случае выполнения V постулата эта поверхность — плоскость,
а в случае его невыполнения —«предельная сфера» Лобачевского,
на которой действительно имеет место утверждение Вахтера.
Швейкарт, юрист по профессии, начал свои занятия геометрией
с опубликования книги «Теория параллельных линий с
предложением изгнать ее из геометрии» («Die Theorie der Parallellinien
nebst dem Vorschlage ihrer Verbannung aus der Geometrie».
Лейпциг, 1808) [476], которая, вопреки тому, что можно было
предположить по ее названию, содержала ошибочное «доказательство»
V постулата. Однако после 1812—1817 гг.— Швейкарт в этот
период работал профессором юриспруденции в Харьковском
университете — он изменил свою точку зрения. Весьма возможно,
что это произошло под влиянием Т. Ф. Осиповского (бывшего
в 1813—1820 гг. ректором этого университета) — автора
упомянутой нами речи «О пространстве и времени» [145], посвященной
критике учения Канта об априорности понятий пространства и
времени. Во всяком случае, в 1818 г. Швейкарт передал Герлингу
для Гаусса заметку, в которой, в частности, сказано: «Существует
двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова —
евклидова и астральное учение о величинах.
Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что
сумма трех углов не равна двум прямым. Принимая это, можно
строжайшим образом доказать следующее:
а) что сумма трех углов в треугольнике меньше двух прямых;
б) что сумма эта тем меньше, чем больше площадь
треугольника;
в) что высота прямоугольного равнобедренного треугольника,
постоянно возрастая с возрастанием боковых сторон, не может
превзойти некоторую линию, которую я называю константой...»
[40, с. 103].
Называя неевклидову геометрию «астральным учением о
величинах», Швейкарт делал предположение, что она имеет место
где-то в космосе.
Гаусс, получив эту заметку, написал Герлингу: «Заметка
г-на проф. Швейкарта доставила мне необыкновенно много
удовольствия, и я прошу высказать ему от меня по этому поводу как
можно больше хорошего. Почти все это списано из моей души»
[40, с. 104].
Тауринус, племянник Швейкарта, заинтересовался проблемой
V постулата под влиянием дяди и опубликовал по этому вопросу
две брошюры: «Теория параллельных линий» («Theorie der
Parallellinien», Кёльн, 1825) [328, с. 255—266] и «Первые начала
геометрии» («Geometriae prima elementa». Кёльн, 1826) [328, с. 267—
283]. В первой, опровергнув гипотезу тупого угла, Тауринус
показал, что в случае гипотезы острого угла должна иметь место
«константа» Швейкарта, которую Тауринус называл «параметром»,
200
и отверг гипотезу острого угла из-за возможности большого числа
значений «параметра». Во второй брошюре он развил геометрию,
возникающую в случае гипотезы острого угла, еще дальше. Он
нашел формулы тригонометрии в этой геометрии и показал, что
эти формулы можно получить из формул сферической
тригонометрии заменой радиуса сферы чисто мнимым числом, нашел
выражение своего «параметра» через эту чисто мнимую константу,
длину окружности, площадь круга и поверхности сферы, объем
шара. Тауринус записывал тригонометрические формулы этой
геометрии с помощью гиперболических функций
X . -ЭС X -X ,
ch х = е е— = cosmj, sh.r = с ~Ze— = — s'mix. (6.1)
Гаусс, переписывавшийся с Тауринусом, прекратил эту
переписку после того, как тот в предисловии к первой брошюре
попросил Гаусса опубликовать свои воззрения по этому вопросу.
Реакция Гаусса привела Тауринуса в глубокое отчаяние, в
результате чего он сжег все сохранившиеся у него экземпляры своей
брошюры.
Борьба за признание геометрии Лобачевского. При жизни
Н. И. Лобачевского с высокой оценкой его геометрических трудов
публично выступил только один математик — профессор
Казанского университета Петр Иванович Котельников (1809—1879),
отец упомянутого выше А. П. Котельникова. В актовой речи «О
предубеждении против математики» 31 мая 1842 г. П. И.
Котельников сказал: «При этом случае не могу умолчать о том, что
тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической
строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы
углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили
достопочтенного заслуженного профессора нашего университета
г-на Лобачевского предпринять изумительный труд построить
целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов
в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых — труд,
который рано или поздно найдет своих ценителей» [164а, с. 9—10].
Возможно, что П. И. Котельников уяснил себе идеи Н. И.
Лобачевского по его вышедшим в 1840 г. «Геометрическим
исследованиям по теории параллельных линий»— лучшему изложению
Лобачевским своего открытия. «Геометрические исследования»,
посланные Н. И. Лобачевским Гауссу, побудили Гаусса изучить
русский язык и познакомиться с русскими мемуарами
Лобачевского. В феврале 1841 г. Гаусс писал И. Ф. Энке: «Я начинаю
довольно успешно читать по-русски и нахожу в этом большое
удовольствие. Г. Кнорре прислал мне небольшой мемуар
Лобачевского (в Казани), написанный по-русски, и как этот мемуар,
так и небольшая книжка о параллельных линиях на немецком
языке (о ней появилась весьма нелепая заметка в «Repertorium'e»
Герсдорфа) возбудили во мне желание узнать больше об этом ост-
201
роумном математике. Как мне сказал Кнорре, в напечатанных
на русском языке «Записках Казанского университета» имеется
много его работ» [40, с. 117]. 28 сентября 1846 г. Гаусс писал
Г. К. Шумахеру: «В последнее время я имел повод вновь прочитать
небольшое сочинение Лобачевского («Geometrische Untersuchungen
zur Theorie der Parallellinien», Berlin, у G. Fincke, 4 печатных
листа). Это сочинение содержит в себе основания той геометрии,
которая должна была бы иметь место и притом составляла бы
строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была
бы истинной. Некто Швейкарт дал этой геометрии название «Astral-
geometrie». Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»;
Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды
с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать;
таким образом, я не нашел для себя в сочинении Лобачевского
ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал
не по тому пути, по которому шел я сам; оно выполнено
Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя
обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое,
наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение»
[40, с. 118-119].
Хотя Гаусс по указанным выше причинам не опубликовал
ничего о неевклидовой геометрии, в 1842 г. Н. И. Лобачевский
по его предложению был избран членом-корреспондентом Гёт-
тингенского научного общества.
Цитированное нами письмо Гаусса Шумахеру было
опубликовано вскоре после смерти Гаусса в книге «Переписка между
К. Ф. Гауссом и Г. К. Шумахером» («Briefwechsel zwischen
G. F. Gauss und H. C. Schumacher». Альтона, 1860—1865);
остальные письма Гаусса были опубликованы в восьмом томе его трудов
(Werke, Bd. 8. Гёттинген, 1900).
Публикация письма Гаусса Шумахеру о Н. И. Лобачевском
произвела сильное впечатление на европейских математиков.
К 60-м годам XIX в. относится деятельность ряда пропагандистов
новой геометрии.
В это время появляется «Заметка о воображаемой геометрии
Лобачевского» («Note on Lobatschewsky's Imaginary Geometry».
Лондон, 1865) английского алгебраиста и геометра Артура Кели
[299, т. 5, с. 471—472], посвященная сравнению
тригонометрических формул Н. И. Лобачевского и формул сферической
тригонометрии. И, хотя заметка показывает, что творец теории
проективных метрик, о которой мы будем говорить ниже, не понял
существа открытия Н. И. Лобачевского, заметка Кели
способствовала признанию этого открытия.
Французский математик Жюль Оюэль (1823—1886)
опубликовал французский перевод «Геометрических исследований»
Н. И. Лобачевского вместе с извлечением из переписки Гаусса
с Шумахером («Etudes geometriques sur la theorie des paralleles,
suivie d'un extrait de la correspondance de Gauss et de Schuma-
202
cher». Бордо, 1866; Париж, 1866) [405] и книгу «Критический опыт
об основных принципах геометрии» («Essai critique surlesprincipes
fondamentaux de la geometrie». Париж, 1867) [358], содержащую
изложение основных идей геометрии Н. И. Лобачевского.
Немецкий математик Рихард Бальцер (1818—1887) изложил основы
геометрии Лобачевского во 2-м издании своих «Элементов
математики» («Die Elemente der Mathematik». Дрезден, 1867) [260].
Итальянский математик Джузеппе Баттальини (1826—1894)
опубликовал статью «О воображаемой геометрии Лобачевского» («Sulla
geometria immaginaria di Lobatschewsky». Неаполь, 1867) [261],
РИС. 80 ~ 1
а также итальянские переводы «Пангеометрии» Н. И.
Лобачевского (Неаполь, 1867) [406] и «Аппендикса» Я. Бойяи (Неаполь,
1868). Московский математик Алексей Васильевич Летников
(1837—1888) публикует в одном из первых томов
«Математического сборника» русский перевод «Геометрических исследований»
Н. И. Лобачевского (Москва, 1868) [114] с предисловием, где
геометрические труды Н. И. Лобачевского характеризуются как
«весьма замечательные, но мало известные» и говорится, что эти
труды должны оказать влияние на улучшение методов
преподавания и уничтожить всякую надежду на доказательство V постулата.
Казанский математик Эраст Петрович Янишевский (1829—1906)
публикует «Историческую записку о жизни и деятельности
Н. И. Лобачевского» (Казань, 1868) [245], вскоре переведенную
на французский и итальянский языки. В том же 1868 г.
появляется работа Э. Бельтрами, посвященная интерпретации геометрии
Лобачевского, об этой работе мы будем говорить более подробно
ниже. Благодаря этим публикациям геометрия Лобачевского к
1870 г. стала известной геометрам во всех основных странах
Европы.
Тригонометрия Лобачевского. После изложения принципов
«воображаемой геометрии» в работе «О началах
геометрии» Н. И. Лобачевский определяет «угол параллельности». Он
опускает из точки на прямую перпендикуляр длины а и проводит
из той же точки параллель к этой прямой (рис. 80); «Угол
параллельности» — угол между перпендикуляром и параллелью. В
евклидовой геометрии этот угол всегда равен я/2, а в геометрии
Лобачевского «угол параллельности» — острый, являющийся функ-
203
цией от а; Н. И. Лобачевский обозначает здесь эту функцию
F (a), a в позднейших работах П (а). Очевидно, что
НтП(а) = 4-' НтП(а) = 0.
Н. И. Лобачевский распространяет эту функцию на все
вещественные значения а, считая П (0) = я/2, II (— а) = я — П (а),
и указывает, что для всякого острого и тупого угла А имеется
такое соответственно значение а > 0 и а <С 0, что Л = П (а).
Далее Н. И. Лобачевский находит формулы тригонометрии для
прямолинейных и сферических треугольников рассматриваемого
им пространства, причем в первом случае он записывает эти
формулы с помощью функции F (a), a во втором случае найденные
им формулы совпадают с формулами сферической тригонометрии
евклидова пространства:
«Итак, в прямоугольном треугольнике, которого катеты а, Ъ
противоположные углы А, В, гипотенуза с, будет в прямолиней
ном:
sin F (с) = sin F (a) sin F (b),
tang F (с) = tang F (a) sin A,
cos F (b) = cos F (c) cos A, (14)
sin F (c) = tang A tang B,
tang A = cos F (a) tang F (b),
sin В = sin F (a) cos A;
в сферическом:
cos с = cos a cos 6,
sin a = sin Л sin c,
tang a = tang с cos 5, (15)
cos с = cot Л cot B,
tang a = tang A sin 6,
cos Л = cos a sin 5
— известные уравнения сферической тригонометрии, с помощию
которых легко найти для всякого сферического треугольника,
где бока а, Ь, с, противоположные углы А, В, С:
cos A sin b sin с -f- cos b cos с = cos а,
sin a sin В = sin 6 sin A, (16)
cot Л sin С -f- cos С cos b — cot a sin b = 0,
cos a sin В sin С — cos В cos С = cos A .
Измерение сферических треугольников, следовательно, не
зависит от предположения для параллельных, Не таково измерение
204
прямолинейных. Подобно, как уравнения (15) дают (16), так с
помощью уравнений (14) находим для всякого прямолинейного
треугольника, которого а, 6, с — бока, А, В, С — противоположные
углы:
tang F (a) sin A = tang F (b) sin В,
cos A cos J* (b) cos F (*) + ** *<*)***(*) -1 = 0, (17)
v ' v ' ' sin / (a) ' v '
cot Л sin 5 sin F (c) + cos В - ?^£r! = °,
v ' ' cos/(a) '
-r» i л r» sin Л sin В л
cos С + cos A cos 5 :—p/ ч = 0»
1 sin / (c)
[ИЗ, т. 1, с 205-206].
Первая формула (16) — сферическая теорема косинусов (1.7);
вторая формула (16) —сферическая теорема синусов (1.5); чет-
вертая формула (16) — двойственная сферическая теорема
косинусов (1.9); третья формула (16) — алгебраическое следствие
этих формул. 1-я, 2-я, 3-я и 6-я формулы (15) получаются из
формул (16) при С = я/2, 4-я и 5-я формулы (15) —
алгебраические следствия остальных; 1-я из этих формул —«сферическая
теорема Пифагора», 5-я, по существу, совпадает со сферической
теоремой тангенсов (1.6).
В заключении работы Н. И. Лобачевский пишет: «После того,
как мы нашли уравнения (17), которые представляют зависимость
углов и боков треугольника; когда, наконец, дали мы общие
выражения для элементов линий, площадей и объема тел, все
прочее в Геометрии будет уже аналитикой, где исчисления
необходимо должны быть согласны между собою и ничего не в
состоянии открыть нам нового, чего бы не заключалось в тех первых
уравнениях, откуда должны быть взяты все отношения
геометрических величин друг к другу. Итак, если надобно предполагать
теперь, что какое-нибудь противоречие принудит впоследствии
опровергнуть начала, принятые нами в этой Геометрии, то это
противоречие может только скрываться в самых уравнениях (17).
Заметим, однако, что эти уравнения переменяются в (16)
сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков а, Ь, с ставим
aY — 1,6]/ — 1, cY — 1; но в обыкновенной Геометрии и
сферической Тригонометрии везде входят одни содержания [т. е.
отношения] линий: следовательно, обыкновенная Геометрия,
Тригонометрия и эта новая Геометрия всегда будут согласны между
собой» [113, т. 2, с. 49].
Если мы будем считать стороны а, Ь9 с сферического
треугольника измеренными в линейных мерах и обозначим радиус сферы
через г, то формулы (1.5), (1,7) и (1.9) сферических теорем синусов
205
и косинусов можно переписать в виде
а Ь .с
sm— sin— sin —
sin Л sin В "~ sin С '• V • /
a b с . . b . с л /г» о\
cos — = cos —cos \- sin— sm — cos Л, (6.3)
cos A = — cos 6 cos С + sin ft sin С cos — . (6.4)
Умножение сторон треугольника на i равносильно умножению
на i радиуса сферы. Полагая г = qi и применяя формулы (6.1),
мы перепишем эти формулы в виде
shA shl sh-i
Я Я _ Я
(6.5)
sin A sin В sin С '
ch — = ch — ch sh — sh — cos A, (6.6)
q q q q q v '
cos A = — cos В cos С + sin В sin С ch — . (6.7)
Формулы (6.5) — (6.7) — формулы тригонометрии
Лобачевского в той форме, в которой их записывал Тауринус.
Вырожденный треугольник плоскости Лобачевского,
изображенный на рис. 80, может быть получен предельным переходом
из прямоугольного сферического треугольника с прямым углом С
при удалении его вершины А в бесконечность, причем в пределе
угол А стремится к нулю. Применяя этот предельный переход
к формуле (6.7) и полагая в ней А = 0, В = П (а), С = я/2, мы
получим соотношение
1 = sin П(а)сЬ — ,
v ' я '
откуда получим зависимость
1
sinll(a) = ,
ch-±
q
из которой вытекают соотношения
8h±
cos П (а) = —2. = th -
q
и
1-th ±
t 2 П(а) _ 1 — соз П (д) _ q
* 2 1 + COS П (а) 1 th a_
1
Ch-L
_ я
chA
7
7
+ Shi-
9
e-a|Q
Ca'9
a
— 2—
<7
— t? l
206
откуда получим
tg ^ = *-«'«, (6.8)
т. е.
П (а) = 2 arctg (*-«'*). (6.9)
Нетрудно проверить, что П (0) = 2 arctg 1 = я/2, lim П (а) =
= 2 arctg 0 = 0.
Н. И. Лобачевский отмечает, что «когда а, 6, с предполагаются
весьма малы, так что дозволяется пренебрегать степенями и
произведениями, которых размер выше», формулы его тригонометрии
переходят в формулы обычной тригонометрии. В самом деле,
smx = x — ^ + ..., coso: = 1 — 2у + 4f— • • .,
shx = x +^ + ..., сая = 1 + у + !г + ...
И, заменяя в формулах (6.2) — (6.3) и (6.5) — (6.6) sin x и sh x
на х, cos х на 1 — х2/2, a ch x на 1 + х2/2, а в формулах
(6.4) и (6.7) cos х и ch х на 1, мы получим формулы плоской
тригонометрии
-А- = J*-= = -i-, (6.10)
sin Л sjn В sm ' v '
a2 = Ь2 + ^2 _ 2foCOS4, (6.11)
cos Л = — cos В cos С + sin 5 зщ С = — cos (5 + С). (6.12)
Последняя из этих формул равносильна тому, что cos A =-
= cos (я — 5 — С), т. е. А -{-В + С = я. Заметим, что из того,
что cos (а/г) <1 и из формулы (6.4) вытекает, что cos A <'
< — cos 5 cos С + sin В sin С = — cos (В + С), т. е. cos A <
< cos (я — 5 — С) и в случае сферической геометрии А ^> я —
— В — С, т. е. А + 5 + С^> я, и совершенно аналогично из того,
чтосЬ —>1, и из формулы (6.7) вытекает, что cos A >
]> — cos В cos С + sin 5 sin С = — cos (В + С), т. е. cos A >
,> cos (я — В — С), и в случае геометрии Лобачевского А <
<я — 5 — С, т. е. 4 + В + С <я.
Нетрудно убедиться, что если сумма углов треугольника
больше или меньше я, то «угловой избыток» е = А + В + С — я
или «угловой дефект» 6 = я — А — В — С для треугольника,
состоящего из двух треугольников, равен сумме соответственно
угловых избытков или дефектов этих треугольников: если
треугольник ABC состоит из треугольников ACD и ABD (рис. 81)
и А + Сх + Дх --= я + г1У В + С2 + D2 - я + е2, то А + В +
+ Сх + С2 + D± + D2 = A + В + С + я - 2я + ех + е2, т. е.
207
А+В + С — п+е1-\-е2 и, следовательно, е = ex -f- e2;
считая ех = — 6Х, е2 = — 62, мы получим 6=6! + 62. Так как мера
площади плоской области — числовая функция области,
обладающая аддитивностью, инвариантностью при движениях и
позитивностью О 0 для области, содержащей сколь угодно малый
треугольник), то угловой избыток е или дефект 6 является мерой
площади треугольников, т. е. мера площади в квадратных мерах длины
пропорциональна е или 6. Для определения коэффициента
пропорциональности воспользуемся тем, что в малых участках
сферическая геометрия и геометрия Лобачевского близки к евклидовой,
Рис. 81
и вычислим площадь малого равнобедренного прямоугольного
треугольника с катетами а. В силу формул (6.4) и (6.7) для такого
треугольника при С = я/2, А = В и cos A = sin A cos—, т. е.
ctg A = cos — и, аналогично, cos A = sin A ch — , т. е. ctg A = ch —,
Так как в первом случае А = -т- + -§-, а во втором случае
А = -г — у , из разложения функции ctg x в ряд Тейлора
h
ctg x = ctg (x0 4- h) = ctg x0 —
+
sin* xa
в окрестности точки хй = я/4 мы получаем формулы
1
ctg х = 1 —
2Sill2il
ctg* = 1+-| *
sin* 21
+.
+
=1—e+.
.=1+6+
а сравнивая эти формулы с разложениями
cos
= 1- — + .
Ch7 = 1+V +
мы получим соотношения а2/2г2 = е, а2/2д2 = 6. Но, с другой
стороны, площадь S малого треугольника можно вычислять по
правилам евклидовой геометрии и считать S = а2/2. Заменяя в
208
получёйньЛх соотношениях аУ2 на -5, мы получим выражение S
через е и б, которое в силу пропорциональности S величинам е
и б справедливо для любых сферических треугольников и
треугольников плоскости Лобачевского: это выражение для сферической
геометрии имеет вид
S = г2е, (6.13)
а для геометрии Лобачевского
S = q4. (6.14)
Пропорциональность S и б в случае «гипотезы острого угла»,
как мы знаем, была известна еще Ламберту.
Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Как мы видели,
Н. И. Лобачевский считал свидетельством непротиворечивости
открытой им геометрии то, что формулы тригонометрии этой
геометрии получаются из формул сферической тригонометрии при
умножении сторон треугольника на мнимую единицу.
Эти рассуждения страдают тем недостатком, что здесь
делается вывод о непротиворечивости планиметрии Лобачевского из
непротиворечивости тригонометрических формул этой геометрии,
но в работе доказывается только то, что эти формулы вытекают
из предложений геометрии Лобачевского, в то время как для
вывода о непротиворечивости геометрии Лобачевского из
непротиворечивости ее тригонометрических формул необходимо доказать
обратное, т. е. то, что все предложения геометрии Лобачевского
вытекают из ее тригонометрических формул и предложений
«абсолютной геометрии», т. е. предложений, независимых от V
постулата. Это доказательство Лобачевский приводит в своей
«Воображаемой геометрии», в начале которой он пишет: «Теперь,
оставляя геометрические построения и выбирая краткий обратный
путь, намерен я показать, что главные уравнения, которые нашел
я [в цитированной выше работе] для зависимости боков и углов
треугольника в воображаемой Геометрии, могут быть приняты с
пользою в Аналитике и никогда не приведут к заключениям, ложным в
каком бы то ни было отношении» [113, т. 2, с. 17]. Далее Лобачевский
определяет функцию П (а) с помощью соотношения (6.8) и
присоединяет к предложениям абсолютной геометрии
тригонометрические соотношения в-прямоугольном треугольнике,
равносильные приведенным выше соотношениям (14) его предыдущей
работы. Из них Лобачевский выводит сначала приведенные выше
тригонометрические соотношения (17) его предыдущей работы
(здесь (13)) в произвольном треугольнике, а затем утверждение
о том, что сумма углов треугольника меньше двух прямых. Так
как последнее утверждение эквивалентно постулату
параллельности геометрии Лобачевского, тем самым он доказал, что все
предложения его геометрии, которые он в предыдущей работе
выводил из предложений абсолютной геометрии и постулата парал-
209
дельности его геометрии, могут быть выведены также из
предложений абсолютной геометрии и указанных тригонометрических
формул.
Сравнивая упомянутые формулы тригонометрии с формулами
сферической, тригонометрии (16) его предыдущей работы (здесь
(15)), Лобачевский опять приходит к выводу, что «в теории ничто
не мешает сумму углов прямолинейного треугольника
принимать менее двух прямых», «с таким предположением уравнения
(13) заменяют уравнения (15) и не могут вести к ложным
заключениям» [ИЗ, т. 2, с. 26].
Соображения Лобачевского не представляют собой
законченного доказательства непротиворечивости его планиметрии: сам
Лобачевский под непротиворечивостью имел в виду, по-видимому,
непротиворечивость этих формул в совокупности с аксиомами
абсолютной геометрии, но формулы сферической тригонометрии,
из которых следует, что сумма углов треугольника больше я,
если рассматривать эти формулы как формулы тригонометрии на
плоскости, противоречат аксиомам абсолютной геометрии.
Поэтому соображения Лобачевского доказывают только внутреннюю
непротиворечивость тригонометрических формул, а одного этого
для доказательства непротиворечивости геометрии недостаточно.
Тем не менее, отправляясь от соображений Лобачевского,
можно дать доказательство непротиворечивости его геометрии,
притом всей этой геометрии, а не только ее тригонометрических
формул. Для этого нужно воспользоваться идеей комплексного
пространства (см. с. 241). Мы видели, что Ж. В. Понселе в своем
«Трактате о проективных свойствах фигур» ввел понятие о мнимых
точках пространства. Совокупность всех мнимых точек
евклидова пространства вместе с вещественными точками и образует
комплексное евклидово пространство, вещественное пространство
является множеством точек комплексного пространства, которое
Э. Картан предложил называть «пространственной цепью» [294,
с. 126]. Всякую алгебраическую и аналитическую кривую и
поверхность в вещественном пространстве можно рассматривать
как часть кривой или поверхности в комплексном пространстве,
определяемой тем же уравнением; точки указанной комплексной
кривой или поверхности, не принадлежащие «пространственной
цепи», являются мнимыми точками соответственных вещественных
кривой или поверхности. Расстояние между двумя точками
комплексного пространства выражается через их координаты по тем
же формулам, что и в вещественном пространстве, теми же
формулами определяются и углы между прямыми.
Непротиворечивость комплексного евклидова пространства доказывается с
помощью комплексной арифметической модели так же, как
непротиворечивость вещественного пространства — с помощью
вещественной арифметической модели. Подобно тому, как комплексная
прямая интерпретируется на плоскости комплексного переменного
и, следовательно, ее вещественная размерность равна 2, вещест-
210
венная размерность трехмерного комплексного пространства
равна 6.
Так как расстояние и углы в комплексном пространстве
определяются по тем же формулам, что и в вещественном, формулы
плоской и сферической тригонометрии в комплексном
пространстве также совпадают с соответственными формулами
вещественного пространства. В частности, формулами сферической
тригонометрии на сфере комплексного радиуса г являются формулы
(6.2)—(6.4), где все длины сторон а, Ъ, с и углы А, В, С являются
комплексными числами, а в случае, если записать комплексный
радиус г в виде qi, то те же формулы можно записать и в виде
(6.5)—(6.7), где а, Ъ, с и А, В, С также комплексные. Отсюда видно,
что геометрия плоскости Лобачевского осуществляется в некотором
множестве точек сферы чисто мнимого радиуса qi (q —
вещественно) комплексного евклидова пространства. Такое множество
точек составляют точки, прямоугольные координаты х, у которых
вещественны (х = Ж, у = у), а координата z чисто мнима (z = — z).
Такое множество точек комплексного евклидова пространства
впервые рассматривали французский математик Анри Пуанкаре
и немецкий математик Герман Минковский в связи с
интерпретацией специальной теории относительности: такое множество
точек можно характеризовать также тремя вещественными
координатами х, у, z, но расстояние d между точками с координатами
Хц уц zx и х2, у2, z2 определяется не по формуле евклидова
пространства
<Р = (х2 - x,f + (у2 - У1)* + (z2 - ztf, (6.15)
а по формуле
& = (х2 - х,У + (у2 - У1)> - (z2 - zx)K (6.16)
В настоящее время множество точек с расстоянием,
определенным по формуле (6.16), называется псевдоевклидовым
пространством г.
В этом пространстве имеются пары точек, для которых d2 ^> О,
d2 <0 и d = О, соответственные прямые называются прямыми
вещественной длины, прямыми мнимой длины и изотропными
прямыми. В этом пространстве имеются три вида плоскостей:
евклидовы плоскости, все прямые которых имеют вещественную
длину; псевдоевклидовы плоскости, обладающие прямыми всех
трех видов, и изотропные плоскости, обладающие прямыми только
первого и третьего видов,— и три вида сфер (рис. 82, а — в):
сферы вещественного, чисто мнимого и нулевого радиуса:
х2 + у2 — z2 = г2, (6.17)
которые при г2 ^> О имеют вид однополостного гиперболоида (а),
при г2 <с0 имеют вид двуполостного гиперболоида (б), а при г = О
являются конусами (в).
1 О псевдоевклидовом пространстве см. книгу автора [170, с, 520 и ел.].
211
Рис. 82
Моделью плоскости Лобачевского является одна из полостей
сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве
или сфера чисто мнимого радиуса с отождествленными
диаметрально противоположными точками *. Этим и объясняется то, что
формулы тригонометрии (6.5) — (6.7) плоскости Лобачевского
получаются из формул (6.2) — (6.4) сферической тригонометрии
заменой г на qi. Эта сфера чисто мнимого радиуса и есть та «мнимая
сфера», о которой догадывался И. Г. Ламберт (см. с. 97).
Существование этой модели плоскости Лобачевского
доказывает ее непротиворечивость.
Две прямые плоскости Лобачевского пересекаются, если
диаметральные плоскости сферы мнимого радиуса, соответствующие
этим прямым, пересекаются по прямой мнимой длины, и не
пересекаются, если соответственные диаметральные плоскости
пересекаются по прямой вещественной длины или по изотропной
прямой. Во втором из двух последних случаев непересекающиеся
прямые плоскости Лобачевского могут быть получены предельным
переходом из пересекающихся и являются параллельными
прямыми в смысле Лобачевского. В первом из этих двух случаев
непересекающиеся прямые нельзя получить предельным переходом
из пересекающихся, такие прямые называются расходящимися пря-
мыми. Две расходящиеся прямые обладают общим
перпендикуляром, соответствующим диаметральной плоскости сферы мнимого
радиуса, перпендикулярной диаметральным плоскостям,
соответствующим данным прямым; эти прямые удаляются по обе
стороны от этого перпендикуляра. Таким общим перпендикуляром
для боковых сторон четырехугольника Хайяма — Саккери в слу-
1 Эта интерпретация положена в основу изложения геометрии Лобачевского
в книге автора [171, см. с. 151 и ел.]; см. также книгу автора [172, с. 119
и ел.].
212
чае гипотезы острого угла является нижнее основание этого
четырехугольника. Параллельные прямые, напротив, асимптотически
приближаются друг к другу в «направлении параллельности».
Пересекая сферу мнимого радиуса евклидовыми плоскостями, мы
получим окружность плоскости Лобачевского. Пересекая эту
сферу недиаметральной псевдоевклидовой плоскостью, мы получим
кривую, равноотстоящую от прямой, соответствующей
диаметральной плоскости, параллельной данной недиаметральной.
Пересекая сферу изотропной плоскостью, мы получим «предельную
круга» Лобачевского. Две последние кривые называются в
настоящее время соответственно эквидистантами и орициклами. Если
окружности являются ортогональными траекториями пучков
пересекающихся прямых, эквидистанты являются ортогональными
траекториями «пучков расходящихся прямых», соответствующих
пучкам диаметральных плоскостей сферы с осью вещественной
длины; такие прямые являются перпендикулярами к одной
прямой. Точно так же орициклы являются ортогональными
траекториями «пучков параллельных прямых», соответствующих
пучкам диаметральных плоскостей сферы с изотропной осью. Вращая
эквидистанту и орицикл вокруг одной из прямых указанных
пучков, мы получаем эквидистанту плоскости — поверхность,
равноотстоящую от плоскости, и орисферу —«предельную сферу»
Лобачевского. С помощью аналогичной интерпретации
пространства Лобачевского в четырехмерном псевдоевклидовом
пространстве можно весьма наглядно доказать, что на эквидистанте
плоскости имеет место геометрия Лобачевского (с другой константой
q), а на орисфере — евклидова геометрия — факт, которым
Н. И. Лобачевский пользовался для доказательства
тригонометрических формул открытой им геометрии.
На сфере мнимого радиуса можно ввести сферические
координаты, аналогичные широте и долготе на обычной сфере. Если
мы обозначим через р сферическое расстояние точки сферы от
точки ее пересечения с осью Oz, а через 9 — угол между
плоскостью, проходящей через точку и ось Oz, и плоскостью xOz,
то координаты х, у, z точки сферы выразятся через р, <р по
формулам
x=qch — coscp, i/ = gch — sincp, z = qsh — . (6.18)
Эти координаты были предложены впервые Карлом Вейер-
штрассом (1815—1897) в семинаре по геометрии Лобачевского,
который он вел в конце 60-х годов в Берлинском университете,
вследствие чего эти координаты в настоящее время называют
вейерштрассовыми координатами (см. [91, с. 242]).
Интерпретаций Бельтрами. Впервые интерпретации плоскости
Лобачевского были предложены профессором математики и
механики в Болонье и Риме Эудженио Бельтрами (1835—1900) в его
213
«Опыте интерпретации неевклидовой геометрии» («Saggio di inter
petrazione della geometria non euclidea». Неаполь, 1868) [15].
В этой работе Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского
осуществляется па поверхностях постоянной кривизны,
называемых им псевдосферическими поверхностями. Эту интерпретацию мы
рассмотрим в восьмой главе, когда будем говорить о внутренней
геометрии поверхностей. При этом Бельтрами пользовался
координатами и, v, связанными с вейерштрассовыми координатами
соотношениями
и = ax/z, v = aylz,
т.е.
и = a th — cos Ф, и = a th — sin
Эти координаты в настоящее время называют бельтрамиевыми
координатами.
Легко видеть, что
и2 + и2 = a2 th2 ?- < а2,
откуда
р = q Arth- -I—
или
Формулы (6.19) показывают, что координаты и, v можно
рассматривать как прямоугольные координаты проекции сферы
мнимого радиуса из ее центра на плоскость z = а. При этом вся сфера
мнимого радиуса изображается внутренней областью круга и2 +
+ v2 = а2. Диаметральные сечения этой сферы, соответствующие
прямым плоскости Лобачевского, высекают из этой плоскости
прямые, поэтому прямые плоскости Лобачевского изображаются
хордами указанного круга (рис. 83). На рис. 84 показано, как
при этом изображаются различные прямые, проходящие через
точку А: прямые Ъ и ti, параллельные прямой а, прямые с и с',
пересекающие эту прямую, и прямые d и d', расходящиеся с ней.
Сам Бельтрами рассматривает и и v как прямоугольные
координаты некоторой вспомогательной плоскости: «Если,— пишет
он,— мы обозначим буквами х и у прямоугольные координаты
точек вспомогательной плоскости, то уравнения
х = и, у = v
определяют изображение рассматриваемой области, в котором
каждой точке этой области соответствует единственная и
определенная точка плоскости, и обратно; и вся область оказывается
изображенной внутри круга радиуса а с центром в начале координат,
(6.19)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
214
который мы назовем предельным
кругом. В этом изображении
геодезическим линиям поверхности
соответствуют хорды предельного круга
и, в частности, координатным
геодезическим линиям соответствуют
хорды, параллельные осям
координат» [15, с. 185].
Бельтрами не дал формулы для
расстояния между двумя
произвольными точками и не выяснил, как в
его интерпретации изображаются
движения плоскости Лобачевского,
однако эта интерпретация, при
которой плоскость Лобачевского целиком
изображалась на евклидовой
плоскости, дала первое доказательство
непротиворечивости всей
планиметрии Лобачевского.
Рис. 83
Рис. 84
Проективные метрики Кели. Ответ
на вопросы, не решенные Бельтрами,
по существу, заключался в вышедшей
за несколько лет до опубликования
работы Бельтрами работе Артура
Кели (1821 — 1895), в то время
адвоката в Лондоне, а впоследствии
профессора Кембриджского
университета. Кели был одним из
создателей теории инвариантов
алгебраических форм; при этом в своих
алгебраических работах он широко
пользовался геометрической
интерпретацией. В «Шестом мемуаре о формах» («A sixth memoir upon the
quantics». Лондон, 1859) 1103] Кели вводит понятие о проективной
метрике на плоскости. Если на проективной плоскости с
однородными координатами х, у, z задана коника (коническое
сечение), уравнение которой Кели записывает в виде
(а, Ь, с, /, g, h 2 х, у, z)2 = 0
и которое он называет «абсолютом», то каждым двум точкам с
координатами х, у, z и х'у у', 7' можно поставить в соответствие
расстояние, которое Кели записывает в виде
-1 (Д. . . . ff a?,?7, z % x',y'tz')
COS
V(a, ... J x, у, zf /(я, . . . J x\ y\ z'f '
причем из доказанного им ранее следует, что «если Р, Р',
Р" — точки одной прямой, то мы имеем, как и следовало
215
ожидать:
Dist (Р, P') + Dist(i>', P") = Dist (Р, Р»)ь
[103, с. 239]; здесь cos-1 — английское обозначение арккосинуса,
a Dist — сокращение слова distance —«расстояние».
Левая часть уравнения «абсолюта»— квадратичная форма,
которая, если обозначить координаты х, у, z — соответственно
через х0, хл, х2, а коэффициенты квадратичной формы а, Ъ, с, /,
g, h — соответственно через а00, а1Ь а22, а01 = а10, а12 = a2i,
#20 =#02» можно записать в виде > > а.цххх^ Числитель аргумента
арккосинуса — билинейная форма, которую в тех же
обозначениях, заменяя х\ у', z' соответственно на у0, уи у2, можно записать
в виде > \ а^х^Уу Поэтому уравнение «абсолюта» примет вид
i i
2^2^а^^ = 0, (6.23)
г >
а расстояние р между точками с координатами xt и yt выразится
по формуле
cosp= — * *-— - (6.24)
j/ Y£ W* ]/ Z£,W'-
Кели замечает, что «общие формулы не получают
существенного изменения, но зато сильно упрощаются по форме, если за
точечное уравнение Абсолюта взять
[х2 + у2 + z2 = 0.
...Тогда мы имеем для расстояния между двумя точками (х, у, z).
(*', У',*)
COS'1 xx' + yy' + zz' >y
УХЪ _f_ y2 _|_ z2 Y x"> + y'2 + z'2
[103, с 243]. При этом если «(#, у, z) — обычные прямоугольные
координаты в пространстве, удовлетворяющие уравнению
х2 + у2 + z2 = 1,
тогда точка, имеющая координаты (#, г/, z), будет точкой
сферической поверхности» и, так как определенное Кели расстояние
является сферическим расстоянием между точками (х, г/, z) и (х', у' z')>
«мы имеем систему сферической геометрии; и здесь выявляется,
что Абсолютом в такой системе является (сферическая) коника,
представляющая собой пересечение сферы с концентрическим
конусом или исчезающей сферой» [103, с. 244]. Под «сферической
коникой» имеется в виду мнимый круг, по которому все сферы
216
пространства пересекаются с бесконечно удаленной плоскостью;
по тому же кругу сфера х2 + у2 + z2 = 1 пересекается с мнимым
«концентрическим конусом» х2 + у2 + z2 = 0, который Кели
называет также «исчезающей сферой». В этом случае Кели имеет
в виду осуществление своей проективной метрики на бесконечно
удаленной плоскости евклидова пространства.
Кели замечает также, что «в обычной геометрии плоскости
Абсолют вырождается в пару точек, а именно в пару точек
пересечения бесконечно удаленной прямой с исчезающим кругом,
или, что то же самое, Абсолют является двумя круговыми
точками в бесконечности. Общая теория соответствующим образом
модифицируется, а именно здесь для точек уже не существует
расстояния, подобного квадранту, и расстояние между двумя прямыми
не может быть никаким путем сравниваемо с расстоянием между
точками» [103, с. 245]. «Расстоянием между прямыми» Кели называет
метрический инвариант двух прямых, т. е. угол между
пересекающимися прямыми или расстояние между параллельными прямыми.
Говоря о вырождении «абсолюта» в пару точек, Кели имеет в виду
не обычную конику, а «тангенциальную конику»
dijUiUj= 0, (6.25)
г j
где ut — тангенциальные координаты прямой > u^Xi = 0, т. е. со-
i
вокупность прямых, касательных к конике; если при вырождении
обычной коники (т. е. когда определитель матрицы (atj) равен
нулю) она распадается на пару вещественных или мнимых
прямых, тангенциальная коника при вырождении распадается на
пару вещественных или мнимых пучков прямых, т. е. на пару
вещественных или мнимых точек. В этом случае формула (6.24)
определяет угол между двумя прямыми, расстояние же между
точками не выражается здесь таким образом и для них нет
«расстояния, подобного квадранту», т. е. равного я/2.
Заметим, что коллинеации проективной плоскости,
переводящие в себя «сферическую конику», изображают вращения сферы,
а коллинеации проективной плоскости, переводящие в себя
бесконечно удаленную прямую евклидовой плоскости и ее пару
круговых («циклических») точек, являются не движениями, а
подобиями евклидовой плоскости.
Проективная плоскость с метрикой Кели в случае, когда ее
«абсолют» — мнимая коника, изометрична сфере радиуса 1 с
отождествленными диаметрально противоположными точками, в
настоящее время такая плоскость называется эллиптической
плоскостью или неевклидовой плоскостью Римана. Кели не изучает
случаев, когда «абсолют» — вещественная коника и когда эта
коника распадается на пару вещественных точек — такие плоскости
в настоящее время называются соответственно гиперболической
LL
217
и псевдоевклидовой. Тем не менее ему было ясно исключительное
значение определенных им проективных метрик, и в заключении
мемуара он писал: «Метрическая геометрия является, таким
образом, частью проективной геометрии (у Кели descriptive
Geometry — буквально «начертательная геометрия», но под этим
термином он понимал проективную геометрию), и проективная
геометрия представляет собой всю геометрию, и обратно» [103, с. 245—
246].
Однако сам Кели не усмотрел связи определенных им метрик
с геометрией Лобачевского и, хотя он был знаком с работами
Н. И. Лобачевского, как видно из его упоминавшейся нами
«Заметки о Воображаемой геометрии Лобачевского» [299, т. 5, с. 471 —
472], совершенно не понимал содержания цитируемой им работы
русского геометра.
Интерпретация Клейна. Связь результатов Кели с геометрией
Лобачевского была установлена Феликсом Клейном (1849—1925),
работа которого в то же время дала существенное развитие
изложенной нами интерпретации Бельтрами. Клейн, ученик Плюк-
кера, был профессором в Эрлангенском и Гёттингенском
университетах. В своей работе «О так называемой неевклидовой геометрии»
(«Uber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie»,
Лейпциг, 1871 —1872) [92], Клейн показал, что в том случае, когда
абсолют Кели является вещественной кривой, часть проективной
плоскости, находящаяся внутри этой кривой, изометрична
плоскости Лобачевского, и построил аналогичную интерпретацию для
пространства. Клейн пишет: «Определение, которое я даю для
проективной метрики, несколько обобщает определение, данное
Кели. Для того чтобы определить расстояние между двумя
точками, я представляю их соединенными прямой линией. Она
пересекает фундаментальную поверхность в двух других точках,
находящихся с двумя данными в определенном двойном
отношении. Я называю расстоянием между обеими точками логарифм
этого двойного отношения, умноженный на произвольную, но
раз и навсегда выбранную константу с. Для того чтобы определить
угол между двумя плоскостями, я провожу через линию их
пересечения обе касательные плоскости к фундаментальной
поверхности. Они определяют с двумя данными плоскостями некоторое
двойное отношение. Я называю углом между двумя данными
плоскостями логарифм этого двойного отношения, умноженный на
другую произвольную, но раз и навсегда выбранную константу с'.
Установленные таким образом геометрические определения
совпадают с аналитическими, данными Кели, если только придать
с и с' частные значения, положив обе равными^—» [92, с. 254].
Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что правая часть
формулы (6.24), по существу совпадающей с формулой Кели для
расстояния в определенной им метрике, является двойным отно-
218
шением ху, wz точек х и у с координатами xt и yt и точек z, w
пересечения определяемой ими прямой с полярными плоскостями
этих точек относительно «абсолюта», а точки i, / пересечения той
же прямой с «абсолютом» одновременно гармонически делят обе
пары точек х, z и пару точек у, w.
Нетрудно проверить, что двойное отношение ху, wz связано
с двойным отношением ij, ху точек соотношением
(ijyxy + if
ху, wz = уч^н-тч (6>26)
4 ij, ху
(для доказательства достаточно перевести дробно-линейным
преобразованием, сохраняющим двойное отношение, точки х, у, i,
j соответственно в 1, а, 0, оо, тогда if, ху — a, a z = — 1, w = — а
(а + 1)2\
Если мы обозначим расстояние между точками х, у через р,
то определение Клейна можно записать в виде
р = с In if,xy. (6.27)
Поэтому в силу (6.26) при с = г/2.
/ _р_ \2 2-. fL42 у ±_ _ЛЧ2
(ес+1 [е*+е 2С) JV +е * )
xy,wz = ± ТГ~ = \ ^ / =\ 2 / =C0SP-
4,°
С другой стороны, при вещественном с = 1/2
( f + l) (?+Г*Х (f + e+V ,,
*»,«« = -* ;H- = \ ^2 / =\—2 ) =ch P-
AeC
Клейн замечает, что этот случай имеет место для вещественной
коники и, что самое главное, что в этом случае — в случае так
называемой гиперболической геометрии — внутри коники
осуществляется геометрия Лобачевского. «Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим подробнее некоторые предложения гиперболической
геометрии (они будут заключены в кавычки).
«Через точку плоскости можно провести к данной прямой две
параллели, т. е. имеются прямые линии, пересекающие данную
прямую в бесконечно удаленных точках». Это прямые,
соединяющие точку с двумя точками пересечения данной прямой и
фундаментального конического сечения...» [92, с. 287].
Для углов с вершинами внутри коники Клейн считает с' — И2.
Нетрудно видеть, что интерпретация Бельтрами в круге
является частным случаем интерпретации Клейна в случае, когда
коника является кругом. При этом в случае, когда точка х совпа-
219
дает с центром круга, а точка г/, находящаяся внутри круга, имеет
прямоугольные координаты и, v и находится на
расстоянии ~У и2 + v2 от центра, двойное отношение if, ху — — а, а; 0, у
равно (а + ]/"ы2 + v2)/( а — У и2 + v2) и формула (6.22) является
частным случаем формулы (6.27) при с = д/2. Таким образом,
формула (6.27) в общем виде определяет расстояние между двумя
произвольными точками в интерпретации Бельтрами.
Клейн показал также, что движения плоскости Лобачевского,
т.е. взаимно однозначные преобразования этой плоскости,
сохраняющие расстояния, изображаются в его интерпретации колли-
неациями, переводящими фундаментальную конику в себя. При
коллинеациях сохраняются двойные отношения, т. е. если колли-
неация переводит точки г, /, х, у одной прямой, из которых г, / —
на конике, в точки г', /', х', у' другой прямой, из которых V, /' —
на конике, то l]\xy = i'f, х'у', откуда в силу (6.27) следует, что
расстояние р' между точками х', у' равно расстоянию р между
точками х, у. Отсюда вытекает, что в интерпретации Бельтрами
движения плоскости Лобачевского изображаются коллинеациями,
переводящими в себя «предельный круг».
Полагая константу с в формуле (6.27) в случае эллиптической
плоскости равной не г/2, а ri/2, мы приходим к эллиптической
плоскости, получаемой отождествлением диаметрально
противоположных точек сферы произвольного радиуса /*, а полагая эту
же константу в случае плоскости Лобачевского равной не 1/2,
а д/2, мы приходим к плоскости Лобачевского с произвольной
константой д. Константа с' в случае всех трех геометрий считается
равной г/2, что обеспечивает обычную меру углов.
Клейн ограничивается рассмотрением внутренней области
коники и случаем пары мнимо сопряженных точек; во внешней
области коники, т. е. в так называемой идеальной области плоскости
Лобачевского, и в случае пары вещественных точек, т. е. в
псевдоевклидовой плоскости, для меры углов следовало бы считать
константу с' вещественной.
Здесь же Клейн определяет проективные метрики в
пространстве: «В основу общего проективного мероопределения в
пространстве кладется произвольная фундаментальная поверхность
второго порядка.
Чтобы определить расстояние между двумя точками, их
соединяют прямой линией. Она пересекает фундаментальную
поверхность в двух новых точках, которые образуют с обеими данными
определенное двойное отношение. Логарифм этого двойного
отношения, умноженный на произвольную константу с, и дает то,
что следует назвать расстоянием между данными точками.
Аналогично определяют угол между двумя плоскостями. Нужно
провести через прямую их пересечения обе касательные плоскости
к фундаментальной поверхности. Они определяют с данными
плоскостями некоторое двойное отношение. Угол между плоско-
220
стями равен логарифму этого двойного отношения, умноженному
на произвольно выбранную константу с'» [92, с. 299—300].
Клейн также рассматривает здесь три случая: когда
фундаментальная поверхность мнима — случай эллиптической
геометрии; когда эта поверхность «вещественна, не линейчатая и
окружает нас»—случай гиперболической геометрии, т. е. геометрии
Лобачевского, и «переходный случай», когда фундаментальная
поверхность вырождается в мнимую конику в некоторой
плоскости — случай «параболической», т. е. евклидовой геометрии
(мнимая коника — мнимый бесконечно удаленный «сферический круг»).
Для первых двух геометрий расстояние р между точками х и у
выражается той же формулой (6.27), что и на плоскости, причем
для эллиптической геометрии константа с чисто мнима, а для
геометрии Лобачевского вещественна. Углы во всех трех геометриях
определяются по аналогичной формуле с с' = г/2, что
обеспечивает обычную меру углов.
Клейн не рассматривает внешней области овальной квадрики,
т. е. идеальной области пространства Лобачевского, а также
линейчатой фундаментальной поверхности и случая, когда эта
поверхность вырождается в вещественную конику,— случая
псевдоевклидова пространства, т. е. случаев вещественной
константы с'.
Интерпретация Пуанкаре на полуплоскости и в круге. Две
интерпретации геометрии Лобачевского были предложены
знаменитым французским математиком и механиком Анри Пуанкаре
(1854—1912), работавшим в Сорбонне и Политехнической школе.
В «Теории фуксовых групп» («Theorie des groupes fuchsiens».
Стокгольм, 1882) [160, т. 3, с. 9—62], посвященной конечным
группам дробно-линейных преобразований комплексного переменного
(называемым фуксовыми группами по имени немецкого
математика Фукса), рассматривая дробно-линейные преобразования с
вещественными коэффициентами («вещественные подстановки»),
Пуанкаре заметил, что верхняя полуплоскость комплексного
переменного, переводимая в себя этими преобразованиями, является
моделью плоскости Лобачевского. В указанной статье Пуанкаре
писал: «Будем говорить, что две фигуры конгруэнтны, если одна
из них является образом другой при некоторой вещественной
подстановке. Поскольку вещественные подстановки образуют
группу, ясно, что две фигуры, конгруэнтные одной и той же третьей,
конгруэнтны между собой.
Прежде всего можно сформулировать следующие теоремы.
В двух конгруэнтных фигурах гомологичные углы равны.
Если в двух конгруэнтных фигурах точка у гомологична а,
а точка б гомологична |3, то
(а, Р) = (v, б)»
[160, т. 3, с. 13]. Под выражением (a, (i) Пуанкаре имеет в виду
221
вещественное число, равное двойному отношению
а — а В — а
сф> ар
а-р р-р
Далее, заметив, что точки а, Р, а, р, лежат на окружности
с центром на вещественной оси X, и обозначив точки пересечения
этой окружности с осью X через h (на дуге РР) и к (на дуге ас"ч
Пуанкаре вводит еще одно двойное отношение
а —h # р — /i
[а,Р1=;
- к ' а -
и показывает, что
^а' Р' ~~ ([а, р] + 1)2 '
причем [а, р] вещественно и больше 1, и что «если у есть точка
окружности ар, то имеем
[а, у] [у, р] = [а, р]».
Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, Пуанкаре
показывает, что
[z,z + dz] = l + &l
и
lu[z, z + dz] = ^.
Интеграл
(И ?
«взятый вдоль дуги некоторой кривой», Пуанкаре называет
«длиной L этой дуги», а двойной интеграл
S
их dy
«взятый по некоторой плоской фигуре», он называет «площадью S
этой фигуры». «Из сказанного ранее следует,— продолжает
Пуанкаре,—что две конгруэнтные дуги кривой имеют
одинаковую L, а две конгруэнтные плоские фигуры имеют одинаковую S.
Дуга ар окружности с центром на оси X имеет L, равную
натуральному логарифму [а, р].
Я не могу обойти молчанием ту связь, которая существует
между введенными только что понятиями и неевклидовой
геометрией Лобачевского.
Условимся не придавать словам прямая, длина, расстояние,
площадь их обычного смысла. Будем называть прямой линией
любую окружность с центром на оси X, длиной данной кривой —
222
величину, которую мы обозначили через L, расстоянием между
двумя точками — величину L соединяющей их дуги окружности
с центром на оси X и, наконец, площадью плоской фигуры — то,
что ранее было названо нами величиной S.
Кроме того, будем считать, что слова угол и окружность имеют
обычный смысл, но центром окружности будем называть точку,
находящуюся на одинаковом расстоянии (имеется в виду
расстояние, понимаемое в новом смысле) от всех точек окружности, а само
расстояние — радиусом окружности.
Рис. 85
Для величин, понимаемых в новом смысле, справедливы
теоремы геометрии Лобачевского, т. е. к ним применимы все теоремы
обычной геометрии, за исключением тех, которые следуют из
постулата Евклида (о параллельных).
Подобная геометрическая терминология оказала мне
неоценимые услуги в процессе моих исследований» [160, т. 3, с. 15].
Применение геометрии Лобачевского к теории фуксовых групп
состояло в том, что интерпретация Пуанкаре позволила изобразить
эти группы в виде дискретных групп движений плоскости
Лобачевского.
Если мы обозначим двойное отношение [а, |3] двух
комплексных чисел а. Р и двух вещественных чисел h, к через /г/с,сф, то
определение Пуанкаре расстояния р можно записать в виде
р = In kk^f (6.28)
Переводя дробно-линейным преобразованием верхнюю
полуплоскость комплексного переменного вкруг | z | ^ 1, мы получим
другую форму изложенной интерпретации Пуанкаре, в которой,
так же как и в интерпретации Бельтрами, плоскость Лобачевского
изображается внутренностью круга. В отличие от интерпретации
Бельтрами прямые линии здесь изображаются дугами
окружностей, ортогональных к предельному кругу, а расстояние между
двумя точками, изображенными комплексными числами а и р,
равно (6.28), где к, к — точки пересечения предельного круга с
проходящей через точки а и р и ортогональной к предельному
кругу окружностью (рис. 85). Параллельные прямые плоскости
Лобачевского изображаются в обеих формах интерпретации Пуан-
223
Рис. 86 Рис. 87
каре соответственно полуокружностями или дугами с общим
концом на предельном круге; расходящиеся прямые изображаются
полуокружностями или дугами без общих точек. Из
высказывания Пуанкаре о том. что «слова угол и окружность имеют обычный
смысл», следует, что в обеих формах его интерпретации углы между
любыми линиями плоскости Лобачевского изображаются на
плоскости комплексного переменного с метрикой евклидовой
плоскости в натуральную величину, а окружности плоскости
Лобачевского изображаются окружностями, не имеющими общих
точек с осью X или с предельным кругом.
Эти два замечательных свойства интерпретации Пуанкаре мы
докажем, если произведем стереографическую проекцию сферы
мнимого радиуса из одного из ее полюсов на касательную плоскость
к ней, являющуюся евклидовой плоскостью (рис. 86). Так же
как в случае стереографической проекции сферы на плоскость в
евклидовом пространстве, рассмотренной нами в третьей главе,
показывается, что стереографическая проекция сферы мнимого
радиуса обладает тремя аналогичными свойствами: а) плоские
сечения сферы мнимого радиуса проектируются на плоскость
в виде окружностей или, если сечения сферы проходят через
полюс,— в виде прямых; б) углы между кривыми на сфере
изображаются равными углами между кривыми на плоскости; в) при
повороте сферы вокруг диаметра, проходящего через полюс, на
плоскости происходит поворот вокруг точки ее касания со сферой
224
на тот же угол. В этой проекции одна из плоскостей сферы мнимого
радиуса изображается внутренней областью «предельного круга»,
получаемого сечением плоскости с изотропным конусом, а другая
плоскость изображается внешней областью того же круга, причем
нетрудно проверить, что пары диаметрально противоположных
точек сферы изображаются парами точек плоскости, находящимися
в инверсии относительно «предельного круга». Поэтому
диаметральные сечения сферы мнимого радиуса изображаются
окружностями, переходящими в себя при этой инверсии, т. е.
окружностями ортогональными к «предельному кругу». Центральный угол
NOA, стягивающий дугу NA большого круга сферы мнимого
радиуса (рис. 87), пропорционален длине р этой дуги, равной
р = у In //, NA\ и может быть записан с помощью равного двойному
отношению //, NA' двойного отношения прямых 01, OJ, ON, О А,
проектирующих точки /, /, N, А из центра сферы, в виде
/_ NOA = с' In 01,0 J; ON, О А. Вписанный угол NSA,
опирающийся на ту же дугу, равен половине угла NOA, т. е.
ZNSA = cYlnOI,OJ;ON,OA = у InTIjVA7,
а с другой стороны, этот угол выражается через двойное
отношение прямых SH, SK, SN, SA, проектирующих точки Н, К, N, А
из полюса S, и через равное ему двойное отношение НК, NA"
по формуле
Z NSA = с In SH, SK; SN, SA = с' In HK, NA".
Поэтому
In HK, NA" = \ In //, NA'
и расстояние р выражается через двойное отношение HK, NA"
по формуле
р = q In HK, NA".
Рассматривая точки Н, К, N, А" как точки плоскости
комплексного переменного и заменяя их соответственными
комплексными числами h, к, а, р, двойное отношение которых hk, оф равно
двойному отношению HK, NA", а затем производя произвольное
дробно-линейное преобразование плоскости комплексного
переменного, переводящее в себя предельный круг, и обозначая
образы этих точек теми же буквами, мы получим выражение
расстояния р между двумя точками плоскости Лобачевского через
соответственные комплексные числа а, р и точки h, к пересечения
«предельного круга» с ортогональной ему окружностью ар в виде
р = q In hk, ар. (6.29)
3 Б. А. Розенфельд
225
Рис. 88
Сравнивая формулу (6.29) с формулой (6.28), мы видим, что
получили интерпретацию Пуанкаре в круге, отличающуюся от
изложенной выше интерпретации только умножением всех
расстояний на q.
Изображение окружностей плоскости Лобачевского
окружностями, не имеющими общих точек с предельным кругом, является
следствием свойства а) стереографической проекции. Из того же
свойства вытекает, что орициклы плоскости Лобачевского
изображаются окружностями, касающимися предельного круга, а две
ветви эквидистанты — двумя дугами окружности, пересекающей
предельный круг в двух точках (одна из этих дуг при инверсии
относительно предельного круга переходит в дополнение другой).
На рис. 88, а изображена окружность, орицикл и эквидистанта
в интерпретации Пуанкаре в круге.
Изображение углов между кривыми плоскости Лобачевского
в интерпретации Пуанкаре в натуральную величину является
следствием свойства б) стереографической проекции. На рис. 88, б
изображен треугольник плоскости Лобачевского в интерпретации
Пуанкаре этой плоскости в круге (на чертеже наглядно видно,
что сумма углов этого треугольника меньше я). Движения
плоскости Лобачевского изображаются в интерпретации Пуанкаре
дробно-линейными преобразованиями плоскости комплексного
переменного, переводящими в себя соответственно вещественную ось
или предельный круг; эти преобразования можно рассматривать
также как круговые преобразования плоскости.
В работе «Неевклидовы геометрии» («Les geometries non-eucli-
diennes». Париж, 1891) [441, т. 5, с. 769—774] Пуанкаре обобщил
свою интерпретацию на пространство: согласно этой интерпретации,
пространство Лобачевского изображается полупространством или
внутренней областью сферы; прямые пространства Лобачевского
изображаются дугами окружностей, ортогональных к плоскости,
ограничивающей полупространство, или к предельной сфере;
226
расстояние между точками а и ^ определяется по той же формуле
(6.28) или (6.29), что и в случае плоскости, где кик — концы
дуги а$. Углы изображаются в натуральную величину; сферы
пространства Лобачевского изображаются сферами, не имеющими
общих точек с плоскостью или предельной сферой; орисферы —
сферами, касающимися плоскости или предельной сферы, а две
полости эквидистанты плоскости — двумя сегментами сферы,
пересекающей предельную сферу по окружности (один из этих
сегментов при инверсии относительно предельной сферы переходит
в другой).
Пуанкаре возвращается к первой из этих интерпретаций в своей
популярной «Науке и гипотезе» («La science et l'hypothese».
Париж, 1902) [164], где он пишет: «Возьмем некоторую плоскость,
которую я буду называть основной, и построим нечто в роде
словаря, установив соответствие в двойном ряду членов, написанных
в двух столбцах таким же образом, как в обыкновенных словарях
соответствуют друг другу слова двух языков, имеющие одинаковое
значение.
Пространство Часть пространства, расположенная ниже
основной плоскости
Плоскость Сфера, ортогонально пересекающая
основную плоскость
Прямая Круг, ортогонально пересекающий
основную плоскость
Сфера Сфера
Круг Круг
Угол Угол
Расстояние между Логарифм ангармонического отношения
двумя точками этих двух точек и пересечений основной
плоскости с кругом, проходящим через
эти две точки и пересекающим ее
ортогонально
и т. д.
Возьмем затем теоремы Лобачевского и переведем их с помощью
этого словаря, как мы переводим немецкий текст с помощью
немецко-французского словаря. Мы получим таким образом
теоремы обыкновенной геометрии» [164, с. 52].
Интерпретация Пуанкаре на гиперболоиде. Еще одна
интерпретация Пуанкаре была предложена им в работе «Об основных
гипотезах геометрии» («Sur les hypotheses fondamentales de la
geometrie». Париж, 1887) [161]. В этой работе Пуанкаре пишет:
«Если ограничимся двумя измерениями, то геометрия Римана
допускает очень простое истолкование: она ничем не отличается,
как известно, от сферической геометрии, если условимся давать
название прямых большим кругам сферы.
8* 227
Я обобщу сначала это истолкование так, чтобы его можно
было распространить и на геометрию Лобачевского. Рассмотрим
какую-нибудь поверхность второго порядка. Условимся называть
прямыми плоские диаметральные сечения этой поверхности и
окружностями плоские сечения не диаметральные.
Остается определить, что нужно разуметь под углом двух
пересекающихся прямых и под длиною отрезка прямой.
Через точку, взятую на поверхности, проводим два плоских
диаметральных сечения (которые мы условились называть
прямыми). Рассмотрим теперь касательные к двум этим сечениям и
две прямолинейные образующие поверхности, проходящие через
взятую нами точку. Эти четыре прямые (в обыкновенном смысле
слова) имеют некоторое двойное отношение. Угол, который мы
хотим определить, будет равен логарифму этого двойного
отношения, если две образующие вещественны, т. е. если поверхность
будет однополостным гиперболоидом; в противном случае угол
будет равен тому же логарифму, деленному на Y— 1-
Рассмотрим дугу конического сечения — часть плоского
диаметрального сечения (то, что мы условились называть отрезком
прямой). Два конца дуги и две бесконечно удаленные точки
конического сечения имеют некоторое двойное отношение, как всякая
система четырех точек, лежащих на коническом сечении.
Условимся называть длиною рассматриваемого отрезка логарифм этого
отношения, если коническое сечение есть гипербола, и тот же
логарифм, деленный на у — 1, если коническое сечение есть эллипс.
Между углами и длинами, таким образом определенными,
будет существовать ряд соотношений, которые составят совокупность
теорем, аналогичных теоремам плоской геометрии.
Этой совокупности теорем можно дать название
квадратичной геометрии потому, что точкою отправления было для нас
рассмотрение основной поверхности второго порядка (quadrique).
Есть несколько квадратичных геометрий, потому что есть
несколько родов поверхностей второго порядка.
Если основная поверхность есть эллипсоид, то квадратичная
геометрия не отличается от геометрии Римана.
Если основная поверхность — двуполостный гиперболоид, то
квадратичная геометрия не отличается от геометрии Лобачевского.
Если эта поверхность есть эллиптический параболоид, то
квадратичная геометрия сводится к евклидовой; это предельный
случай двух предыдущих» [161, с. 389—390].
Нетрудно видеть, что, если ввести в пространство
псевдоевклидову геометрию, в которой квадрат расстояния от центра
гиперболоида до его поверхности выражается левой частью его
уравнения, двуполостный гиперболоид, на котором осуществляется
в соответствии с этой интерпретацией геометрия плоскости
Лобачевского, является той самой сферой мнимого радиуса, о которой
мы говорили выше.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
%
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Кратные интегралы. Выше мы видели, что идея
многомерного пространства возникла для геометрической интерпретации
сначала алгебраических степеней выше третьей, а затем функций
трех и более переменных.
Подлинная геометрия многомерных пространств возникает
тогда, когда геометрическая интерпретация функций многих
переменных вызывается развитием теории алгебраических форм от
п переменных и я-кратных интегралов.
Теория я-кратных интегралов получила широкое развитие в
первой половине XIX в. в работах многих математиков, из
которых отметим русского математика Михаила Васильевича
Остроградского, открывшего в 1828 г. свою знаменитую формулу
преобразования тройного интеграла по области в двойной интеграл по
ее поверхности [146, с. 131—141] и обобщившего эту формулу в
«Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов» («Memoi-
ге sur le calcul des variations des integrates multiples». Петербург,
1835) [146, с. 9—37] на я-кратный интеграл по ^-мерной области
и (п — 1)-кратный интеграл по ее поверхности. М. В.
Остроградский записывал эту формулу в виде [146, с. 27]
(p*L + q*l + b*Il+..\is
[(*/ if if 1 У~л:-Л- *}?**" dz '
)\dx dy ' dz ■ / * \ rdL2 dL* , dL* ,
1 /~dL2 t dL2 л. dL2
V dx* "*" dy* "*" dz*
dy* ' •-• +'
где L --= 0 — уравнение поверхности, ограничивающей область,
<fL dL_
dx dy
/dL*,dI^,dL*, ' l/dL* _<dL*, dL* ,
dx* "*" rfv2 dz2 ' V dx* "^ dy* ^ dz* "*"'
„J-*
dy* ' Ш ' '" V dx* l ~chj* ~~
dL
dz
v
dL* .dL* .dL* .
dx*~^ dy* ^dz* "+~"
— координаты вектора нормали к этой поверхности, a dS —
элемент объема этой поверхности (Остроградский обозначал частные
производные с помощью обычных букв d).
229
Обеим указанным выше проблемам — и теории квадратичных
форм п переменных, и кратным интегралам — посвящена
вышедшая в том же году работа немецкого математика Карла Густава
Якоба Якоби (1804—1851) «О преобразовании двух произвольных
однородных функций второго порядка линейными подстановками
в две другие, содержащие только квадраты переменных; с
различными теоремами о преобразовании и вычислении кратных
интегралов» («De binis quibuslibet functionibus homogeneis secundi or-
dinis per substitutiones lineares in alias binas transformandis, quae
solis quadratis variabilium constant; una cum variis theorematis de
transformatione integralium». Берлин, 1834) [364, т. 3, с. 191 —
268].
Якоби начинает с решения задачи: «Разыскать такие линейные
подстановки
Ух = ai*i + аЛ + - • • + апхп,
у2 = а[хг + а2х2 + . . . + апхП1
Уп = Л + Л + • • • + о№хп,
для которых выполнялось бы
У\У\ + УгУъ + • • • + УпУп = *\х\ + Х2Ъ + • • • + хпхп», —
и находит, что искомая подстановка должна удовлетворять
условиям [364, т. 3, с. 199]
а'хах + о£ах + . . . + «М* = 0,
а'ха'х + aWx + - • • + <*хП) «xn) = 1-
Задача Якоби является задачей о нахождении матриц вращений
^-мерного евклидова пространства; найденные условия являются
условиями ортогональности матрицы линейной подстановки.
Далее Якоби решает задачу, указанную в названии работы, т. е.
находит линейную подстановку я* =/Вх Vx, переводящую
х
одновременно две квадратичные формулы
V = V aXf -кХуХъ, W = 2^ Ьх, х^х^х
х, X н, X
к виду [364, т. 3, с. 247]
У = G1y1y1 + G2y2y2 + . . . + Gnynyny
W = Hxyxyx + H2y2y2 + . . . . + Нпупупу
т. е. задачу о нахождении линейной подстановки, переводящей
уравнения двух поверхностей второго порядка одновременно к
каноническому виду. В конце работы Якоби решает ряд задач на
вычисление кратных интегралов, в том числе задачу о
вычислении «(п — 1)-кратного интеграла, распространенного на все
[положительные] значения вещественных переменных х19 х2У . . ., хпу
230
удовлетворяющих уравнению
Х^Х^ ~Т~ Х2Х2 ~Т" • • • ~Т" ^п^п == ■"■^#
Искомый интеграл Якоби записывает в виде: «если п четно,
,. (тГ
(Я — 2) (л — 4). . . 2 '
а если и нечетно,
(я/2)("-1)|2
я =
(л —2)(л —4). . .3
[364, т. 3, с. 267]. Эти интегралы выражают объем поверхности
сегмента сферы единичного радиуса в тг-мерном евклидовом
пространстве, находящегося в области xt ]> 0. Поэтому для
вычисления объема поверхности всей сферы единичного радиуса следует
умножить эти интегралы на 2П, т. е. этот объем в случае четного
п равен
<уп\2*,п\2
С __ Z л /7 \\
° ~~ (п —2)(и —4)...2 ' К '
а в случае нечетного п —
_ 2(п+1)|2я(п-1)<2 в
* "" (и —2)(и —4)...3 ' l '
в случае сфер радиуса г следует умножить эти выражения на
г*-1. Следует в то же время отметить, что ни М. В. Остроградский,
ни Якоби еще не применяли геометрической терминологии.
«Аналитическая геометрия п измерений» Кели. Термин
«геометрия п измерений» в математической работе появился впервые
в ранней статье Артура Кели «Главы аналитической геометрии п
измерений» («Chapters in the analytical geometry of (n) dimension».
Кембридж, 1843) [299, т. 1, с. 55—62]. Термин «геометрия п
измерений» фигурирует, впрочем, только в заголовке, сама работа
носит чисто алгебраический характер: в ней рассматриваются системы
нескольких однородных линейных уравнений п переменных вида
Агхг + А2х2 + . . . + Апхп = 0,
Кгхг + К2х2 + . . . + Кпхп => 0
и «взаимные уравнения» к таким системам относительно
однородной функции второго порядка С/, записываемой Кели в виде
2U = 2 (а2)4 + 22 (сф)*^.
Эти уравнения получаются приравниванием нулю
определителей, составленных из частных производных функции U по ха и
231
коэффициентов уравнений данной системы. Кели показывает, что
если в данной системе г независимых уравнений, то во взаимной
системе п — г независимых уравнений.
В конце работы Кели пишет, что «в случае четырех переменных
изложенные выше исследования доказывают следующие свойства
поверхностей второго порядка:
I. Если конус пересекает поверхность второго порядка, через
кривую их пересечения можно провести три различных конуса,
вершины которых лежат в плоскости, полярно сопряженной
вершине пересекающего конуса.
II. Если две плоскости пересекают поверхность второго
порядка, то через кривые их пересечения можно провести два
конуса, вершины которых лежат на прямой, полярно сопряженной
линии пересечения двух плоскостей» [299, т. 1, с. 62].
Этот пример показывает, что Кели трактует переменные
хг, х2, . . , хп как проективные координаты, правда, не ^-мерного,
а (п — 1)-мерного проективного пространства и рассматривает
системы линейных уравнений как уравнения (п — г — 1)-мерных
плоскостей. Уравнение U = О, где U — однородная функция
второго порядка, рассматривает как уравнение поверхности второго
порядка. В этом случае «взаимные уравнения» определяют
полярно сопряженные (п — г — 1)-мерные и (г — 1)-мерные плоскости;
общая теорема, частные случаи которой приведены Кели в конце
статьи, может быть сформулирована на геометрическом языке в
таком виде: если вырожденная поверхность второго порядка с
(г — 1)-мерной «вершиной» пересекает невырожденную
поверхность второго порядка, то через поверхность их пересечения
можно провести г + 1 конусов, вершины которых лежат на (п — г —
— 1)-мерной поляре «вершины» вырожденной поверхности второго
порядка.
Ясно, что, называя свою работу «главами аналитической
геометрии п измерений», Кели имел в виду именно эту теорему
многомерной проективной геометрии, однако из-за отсутствия
многомерной геометрической терминологии он ограничился только
«многомерным геометрическим» заглавием.
Весьма вероятно, что Кели пришел к представлению о
многомерном пространстве под влиянием открытия В. Р. Гамильтоном
кватернионов, интерпретирующихся в виде векторов 4-мерного
пространства. Во всяком случае, через два года в работе «Об
эллиптических функциях Якоби и о кватернионах» («On Jacobi's
elliptic functions and on quaternions». Лондон, 1845) [299, т. 1)
Кели не только рассматривает кватернионы, но и обобщает их на
так называемые числа Кели, или октавы, интерпретирующиеся в
виде векторов 8-мерного пространства.
«Учение о линейном протяжении» Грассмана. В следующем
1844 г. появляется фундаментальное исследование по
многомерной геометрии — «Учение о линейном протяжении» («Ше lineale
232
Auspehnungslehre». Лейпциг, 1844) [347, т. 1, ч. 1, с. 1—319]
немецкого математика Германа Грассмана (1809—1877). Грассман
определяет «протяженный образ первой ступени» как
«совокупность элементов, в которые образующий элемент переходит при
непрерывном движении», и, в частности, определяет «простой
протяженный образ — такой, который получается при непрерывном
продолжении одного и того же основного изменения», т. е. он
определяет ориентированную дугу непрерывной линии и, в частности,
ориентированный прямолинейный отрезок. Отрезки он считает
равными, если они порождены «одним и тем же изменением», и
каждому классу равных ориентированных отрезков сопоставляет
«протяженную величину или протяжение первой ступени», т. е.
свободный вектор. Он определяет также «систему первой ступени —
совокупность всех элементов, которые могут быть получены
продолжением одного и того же или противоположного изменения»,
т. е. абстрактную прямую. Далее Грассман определяет «систему
второй ступени», т. е. абстрактную двухмерную плоскость,
следующим образом: «Я возьму сначала два основные изменения
различного рода и подвергну элемент первого основного изменения
(или противоположного ему) произвольному продолжению, а
измененный таким образом элемент подвергну второму способу
изменения, также произвольно продолженному; совокупность
таким образом образуемых элементов я называю системой второй
ступени». Далее совершенно аналогично Грассман определяет
«системы» третьей и высших ступеней, т. е. трехмерное и
многомерные пространства: «Если я возьму далее третье основное
изменение, которое не переводит тот же начальный элемент в элемент
этой системы второй ступени и которое я поэтому буду называть
независимым от первых двух, и подвергну произвольный элемент
этой системы второй ступени этому третьему изменению (или
противоположному ему), произвольно продолженному;
совокупность таким образом образуемых элементов является системой
третьей ступени; и так как этот способ образования по идее применим
без всякого ограничения, то я могу определить этим способом
системы произвольно высоких ступеней» [347, т. 1, ч. 1, с. 47—52].
Указав, что плоскость обычного пространства можно рассматривать
как систему второй ступени, а «все бесконечное пространство» —
как систему третьей ступени, Грассман замечает, что «дальше
геометрия не идет, но абстрактная наука не знает границ» [347, т. 1,
ч. 1, с. 53]. Последние слова указывают на то, что Грассман
относил к геометрии только геометрию трехмерного пространства,
плоскости и прямой, а то, что мы называем геометрией
многомерных пространств, считал не геометрией, а абстрактным «учением
о протяжении».
Всяким двум элементам аир Грассман ставит в соответствие
«отрезок» [оф] и формулирует теорему: «Если [ар] и [$у]
представляют произвольные изменения, то [ау] = [ар] + fPyb [347, т. 1,
ч. 1, с. 56].
233
Ясно, что «отрезки» Грассмана — приложенные векторы, а его
«изменения» — свободные векторы. Далее Грассман показывает
применение введенных им понятий к «геометрии» (т. е. к геометрии
трехмерного пространства, где каждой паре точек X, Y может
быть поставлен в соответствие «отрезок» [ХУ]) и к механике, где
«отрезки» представляют скорости, ускорения и силы.
Затем Грассман определяет «внешнее произведение» отрезков:
«Под внешним произведением п отрезков понимается такая
протяженная величина п-и ступени, которая получается, если каждый
элемент первого отрезка образует второй, каждый таким образом
образованный элемент образует третий и так далее» [347, т. 1,
ч. 1, с. 89—90], т. е. внешнее произведение двух отрезков —
параллелограмм, внешнее произведение трех отрезков —
параллелепипед, внешнее произведение га отрезков — га-мерный
параллелепипед. Грассман показывает применение внешнего
произведения двух и трех отрезков к определению площади
параллелограмма, к объему параллелепипеда и к определению статического
момента силы и условия равновесия сил в механике.
Впоследствии Грассман переработал свою книгу в «Учение о
протяжении» («Die Ausdehnungslehre». Лейпциг, 1862) [347, т. 1,
ч. 2, с. 1—506], где ввел понятие линейной зависимости величин
а = РЬ + ус + ...
(«а численно производится из величин Ь, с,... с помощью чисел (5,
у,...»); «единиц» — линейно независимых базисных элементов;
«экстенсивных величин» — «выражений, численно произведенных
из системы единиц», которые Грассман записывает в виде ахех +
+ а2е2 ~Ь ••• или сокРащенно 2ае; суммы и разности экстенсивных
величин 2ае + 2$е = 2 (а + $)е, 2ае — 2$е = z (а — $)е;
произведения экстенсивной величины на число 2ае-|3 = 2 (а$)е;
внутреннего произведения (а, Ъ) двух экстенсивных величин и
«внешних произведений» lab], labc] . . . двух или нескольких
экстенсивных величин. «Экстенсивные величины» Грассмана
представляли собой, по существу, векторы абстрактного линейного
пространства. Грассман связывал с ними и конкретные представления
с помощью направленных отрезков, которые здесь он называл
Stab (буквально — «палка»). Внутреннее произведение
экстенсивных величин совпадает со скалярным произведением векторов, а
внешние произведения двух и трех отрезков трехмерного
пространства совпадают с векторным и смешанным произведениями.
Внешние произведения представляются в виде линейных
комбинаций внешних произведений базисных векторов, координаты этих
линейных комбинаций, называемые грассмановыми координатами
га-мерных плоскостей, и в настоящее время являются основной
характеристикой га-мерных плоскостей тг-мерных пространств,
вследствие чего многообразия таких плоскостей в настоящее время
называются «грассмановыми многообразиями».
234
Грассман был хорошо знаком с упоминавшимся выше письмом
Лейбница к Гюйгенсу, о чем свидетельствует его работа
«Геометрический анализ, связанный с найденной Лейбницем
геометрической характеристикой» («Geometrische Analyse geknupft an die
von Leibniz erfundene Geometrische Charakteristik». Лейпциг, 1847)
[347, т. 1, ч. 1, с. 321—398]. Несомненно, что Грассман
рассматривал свое геометрическое исчисление как реализацию идеи
Лейбница.
Немецкий геометр Юлиус Плюккер (1801—1868) в «Новой
геометрии пространства, основанной на рассмотрении прямой линии
в качестве пространственного элемента» («Neue Geometrie des Rau-
mes gegriindet auf die Betrachtung der geraden Linien als Raume-
lement». Лейпциг, 1868) [440] рассмотрел 4-мерное многообразие
прямых 3-мерного пространства, характеризуя прямые «плюкке-
ровыми координатами», являющимися частным случаем «грас-
смановых координат» при п = 3, т = 1.
«Теория многократной континуальности» Шлефли. В 1851 г.
швейцарский математик Людвиг Шлефли (1814—1895) закончил
обширную монографию, посвященную многомерной евклидовой
геометрии,— «Теорию многократной континуальности» («Theorie
der vielfachen Kontinuitat». Базель, 1901) [465, т. 1, с. 169—387],
представленную им Венской академии наук. В начале этой книги
Шлефли пишет: «Трактат, который я имею честь представить
императорской Академии наук, содержит попытку обосновать и
выработать новую ветвь анализа, которая, как бы являясь
аналитической геометрией п измерений, содержит таковую для плоскости
и пространства в качестве частных случаев для п = 2, 3. Я
называю ее теорией многократной континуальности, вообще говоря, в
том смысле, в котором, например, геометрию пространства можно
назвать теорией трехкратной континуальности. Как в той теории
группа значений трех координат определяет точку, так в этой
теории группа значений п переменных х, у, . . . определяет
решение (Losung). Я употреблю это выражение, так как именно так
называется всякая группа значений, удовлетворяющая одному или
более уравнениям многих переменных; необычность этого
названия — только в том, что я пользуюсь им и в том случае, когда между
переменными нет ни одного уравнения. В этом случае я называю
совокупность всех решений п-кратной тотальностью; если же,
напротив, даны 1, 2, 3,... уравнения, то совокупность их решений
называется (п — 1)-кратным, (п—2)-кратным, (п—3) -кратным...
континуумом» [465, т. 1, с. 171].
Как мы видим, Шлефли, как и Грассман, не распространяет на
многомерную геометрию терминов геометрии трехмерного
пространства, а то, что мы называем ^-мерным пространством, называет
«га-кратной тотальностью», то, что мы называем точкой этого
пространства, называет «решением», а то, что называем т-мерной
поверхностью,— «m-кратным континуумом». Далее Шлефли
считает, что можно выбрать такую систему переменных, чтобы «рас-
235
стояние между двумя данными решениями (#, у,...), (х', у',...)»
было равно
У(х' - xY + {у' - у)2 + . . . .
В этом случае он называет систему переменных ортогональной
в отличие от косой, в которой расстояние между двумя
решениями имеет вид
V{x - ху + {у' - у)* + . . . + 2Л (*' - х)(у' - у) + ...
[465, т. 1, с. 172]. Далее, рассмотрев два линейных однородных
полинома р = ах + by + cz + . . . + hw и р' = а'х + Ь'у + . . .
. . . -\-h'w в «ортогональных переменных» х, у, . . ., w, Шлефли
рассматривает совокупность решений, для которых одновременно
Р ^> О» Р ^> 0- Он считает, что эта совокупность решений
относится ко всей «неограниченной тотальности», как дробь к целому, и
если считать знаменателем этой дроби 2я, то ее числитель он
называет «углом полиномов р, р'» и обозначает его <ЗС (рр')- Шлефли
указывает, что «угол между полиномами», т. е. в современной
терминологии угол между двумя (п — 1)-мерными плоскостями,
вычисляется по формуле [465, т. 1, с. 172]
— cos «ЗС (рр) = —, ,
где оба корня в знаменателе предполагаются положительными.
Затем Шлефли называет плоскости «линейными
континуумами», а кривые поверхности — «высшими континуумами»;
«однократные континуумы» (линии) он называет «путями», а линейные
«однократные континуумы» (прямые) — «лучами». Книга Шлефли
состоит из трех частей: «Учение о линейных континуумах»,
«Учение о сферических континуумах» и «Различные применения теории
многократной континуальности», выходящие за пределы
«линейного и сферического» (т. е. о «квадратичных» и «высших
континуумах»). Хотя из приведенного выше применения слова
«расстояния» можно сделать вывод, что под этим словом он имеет в виду
вещественное число, на самом деле Шлефли часто употребляет это
слово в смысле отрезка, соединяющего две точки, например, он
говорит: «Пусть х, г/, z,... — проекции расстояния r, a xv yv zv...—
проекции другого расстояния rv.. Положим тогда
хх1 + УУ\ + ЯЙ! + . . . = ГГ]_ COS W
и будем называть w углом направлений обоих расстояний г и ту>
[465, т. 1, с. 172].
Далее Шлефли определяет совокупность «решений», для
которых «х заключено между двумя константами, разность которых
а, у — между двумя линейными функциями х, разность которых
fe, z — между двумя линейными функциями х, г/, разность
которых — с, и т. д. Тогда тотальность заключена между п
параллельными континуумами; она называется параллелосхемой» [465,
236
т. 1, с. 181]. «Параллелосхема» Шлефли — многомерный
параллелепипед. Шлефли доказывает, что «мера параллелосхемы равна
определителю ортогональных проекций его ребер» [465, т. 1,
с. 182], т. е. если многомерный параллелепипед построен на
«расстояниях» с «проекциями» xj, х\, . . , хП1 то объем этого
параллелепипеда равен определителю матрицы (х)). Затем Шлефли
определяет многомерные многогранники, называемые им
«полисхемами», и находит объемы многомерных пирамид и других[много-
гранников. Он определяет также объем /^-мерной плоской области
следующим образом: находит проекции этой области на все ( ]
координатные m-мерные плоскости и доказывает, что «мера
произвольного замкнутого га-кратного континуума равна
квадратному корню из суммы квадратов его ( ) проекций» [465, т. 1,
с. 183].
В последних главах первой части своей книги Шлефли
доказывает обобщенную теорему Эйлера, согласно которой для
многогранника ^-мерного пространства, гомеоморфного сфере, числа
Np р-мерных граней (прир = 0 вершин, прир = 1 ребер) связаны
соотношением
1 - tfo + N, - 7V2 -h . . . + (-l)vNp + . . . + (-1)*^-
— (-1)" = 0
(при п = 2 частным случаем этой формулы является равенство
N0 = Nx, а при п = 3 — теорема Эйлера N0 — Nx + N2 = 2)
[465, т. 1, с. 193], и строит теорию правильных многогранников
^-мерного пространства. Здесь Шлефли доказывает, что при п > 5
имеется только три вида правильных многогранников —
многомерные обобщения тетраэдра, куба и октаэдра соответственно с
п + 1, 2п и 2П (п — 1)-мерными гранями, а при п = 4 — шесть
видов правильных многогранников, обладающих, соответственно
5, 8, 16, 24, 120 и 300 трехмерными гранями [465, т. 1, с. 212—
226].
Во второй части книги Шлефли, в частности, находит объем
поверхности ^-мерной сферы, сводящийся к приведенным выше
интегралам (7.1) и (7.2). В третьей части Шлефли находит центр и
главные оси «квадратичного континуума» — многомерной
поверхности второго порядка.
Монография Шлефли была опубликована полностью только
после смерти автора, в 1901 г., но важнейшие ее результаты (в
том числе, приведенные нами) были опубликованы в его статьях
«Редукция кратного интеграла, содержащего в качестве частных
случаев дугу круга и площадь сферического треугольника»
(«Reduction (Tune integrate multiple qui comprend Гаге du cercle et
l'aire du triangle spherique comme cas particuliers». Париж, 1855)
n
и «О кратном интеграле \ dx dy.. .dz с пределами рг = ахх +
237
+ Ь1у + ...+ hlZ> О, р2> О, . . .,/>„> О и х* + у2 + . . .
П
. . . + z2 < 1» («On the multiple integral \dxdy .. .dz whose limits
are...». Лондон, 1858-1860) [465, т. 2, с. 164-190; 219-2701.
Работы Шлефли при его жизни не получили широкой известности,
и правильные многогранники ^-мерного пространства были снова
открыты на протяжении второй половины XIX в. В. И. Стрингхе-
мом [202], Р. Гоппе [357] и другими учеными. Исследования
Шлефли были продолжены Питером Хендриком Схоуте (1846—
1913) в его «Многомерной геометрии» («Mehrdimensionale Geometrie».
Лейпциг, 1902—1905) [467], где, кроме аналитической геометрии
и синтетической геометрии Шлефли, решаются также задачи
многомерной начертательной геометрии, и в частности
предлагается следующий способ изображения точки 2я-мерного
евклидова пространства на плоскости, называемый в настоящее время
«диаграммой Схоуте»: точка с координатами хг, х2, . . ., х2п
изображается п точками с координатами хг, х2; х3, х±; . . .; х2п_1, х2п
[467, т. 1, с. 200].
В 1854 г. Бернгард Риман (1826—1866) в своей знаменитой
речи «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» («Ueber die
Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen») [168, с 279—
298] ввел гораздо более общее, чем у Грассмана и ШлефлвГ, понятие
<ш-кратно протяженного многообразия». Заметим, что еще в «Эр-
лангенской программе» (1872) Ф. Клейн, описав различные
группы преобразований в трехмерном пространстве, в
заключительном параграфе писал: «Как осуществить перенесение предыдущего
пространства на понятие чистого многообразия, представляется
очевидным» [93, с. 424—425]. В то же время Клейн в 70-х годах
написал ряд работ, посвященных многомерной геометрии. С его
работой 1876 г., в которой доказывается, что замкнутая кривая
с углами в трехмерном пространстве может быть освобождена от
углов в четырехмерном пространстве, связана известная «попытка»
немецкого астронома и физика Ф. Цёльнера (1834—1882)
экспериментально проверить этот факт с помощью спиритов *.
Терминология многомерной геометрии. Современная
геометрическая терминология появляется впервые в работе итальянского
геометра Энрико Бетти (1823—1892) «О пространствах любого
числа измерений» («Sopra gli spazi di un numero qualunque di di-
mensioni». Милан, 1871) [268, т. 2, с. 273—290], сыгравшей важную
роль в истории топологии. Бетти начинает эту статью следующими
словами: «Пусть zl9 z2, . . ., zn — п переменных, которые могут
принимать все вещественные значения от — оо до + оо. тг-кратно
бесконечное поле систем значений этих переменных мы будем
называть пространством п измерений и будем обозначать его Sn.
1 Эта попытка описана Ф. Клейном в «Лекциях о развитии математики в
XIX столетии» [91, с. 207—209] и Ф. Энгельсом в статье «Естествознание в
мире духов» его «Диалектики природы» [127, т. 20, с. 373—383].
238
Система (zj, z\, . ., z\) будет определять точку L0 этого
пространства, будем называть zj, z\, . . ., z°n координатами этой точки.
Система га уравнений будет определять поле систем значений
w — га независимых переменных, которое будет пространством
Sn-m стольких же измерений, содержащихся в Sn. Пространство
одного-единственного измерения, образующего простую
бесконечность, мы будем называть линией» [268, т. 2, с. 273].
Уже в следующем году эта терминология была подхвачена
французским математиком Камиллом Жорданом (1838—1922) в
заметке «Очерк о геометрии п измерений» («Essai sur la geometrie
a n dimensions». Париж, 1872) [366a, т. З, с. 3—5], развернутой
вскоре в одноименную статью [366а, т. 3, с. 76—149]. В начале
обеих работ говорится: «Мы будем рассматривать точку в
пространстве п измерений как то, что определяется п координатами
хх, . . .,#п». В отличие от Бетти, для которого пространство Sn
и его подпространства Sn_m были произвольными
многообразиями, Жордан определяет многомерное евклидово пространство и
его плоскости: «Линейное уравнение между координатами
определяет плоскость, к совместных линейных уравнений — /с-плос-
кость, п — 1 уравнений — прямую, расстояние между двумя
точками будет У (х± — хг)2 + . . .» [366а, т. 3, с. 3, 79]. Эта
терминология совпадает с современной, за исключением термина
«^-плоскость», под которым в настоящее время понимают не (п —
/^-мерную, а /с-мерную плоскость. Отметим, что, разобрав условия
параллельности и перпендикулярности плоскостей и
преобразования координат, Жордан в указанной работе находит метрические
инварианты «/с-плоскости» и «Z-плоскости» — стационарные углы
и кратчайшее расстояние плоскостей. Стационарные углы он
определяет следующим образом: «система, состоящая из /с-плоскости
Рк и i-плоскости Pt, проходящих через точку пространства, имеет
р различных инвариантов, где р — наименьшее из чисел к, I,
п — к, п — I. Эти инварианты можно рассматривать как углы
между многомерными плоскостями (multiplans) [366а, т. 3, с. 4,
110]. Жордан определяет квадраты косинусов этих углов как
собственные числа некоторой матрицы р-го порядка. Здесь же он
находит каноническую форму вращения в ^-мерном пространстве
[366а, т. 3, с. 128].
Алгебраические многообразия. В 70-х годах XIX в.
развивается особый раздел многомерной геометрии — геометрия
алгебраических многообразий (поверхностей) многомерных
пространств. Эта теория явилась обобщением развившейся в первой
половине XIX в. теории алгебраических кривых на комплексной
плоскости. Если Ньютон в «Перечислении линий третьего
порядка» [142, с. 194—209] и Эйлер во 1Гтоме «Введения в анализ
бесконечных» [238, т. 2, с. 120—151] дали классификацию кривых
3-го и 4-го порядка на вещественной плоскости, то Ю. Плюккер в
239
«Теории алгебраических кривых» («Theorie der algebraischen Cur-
ven». Лейпциг, 1839) [440a] построил теорию алгебраических
кривых любого порядка на комплексной проективной плоскости.
Здесь Плюккер, помимо обычных «точечных» уравнений кривых,
ввел «тангенциальные уравнения» кривых: так как уравнение
прямой на проективной плоскости имеет вид
щх0 + и1х1 + и2х2 = 0,
числа и0, и±, щ можно рассматривать как координаты прямой
и проективной плоскости, а уравнение
Ф (и0, их, и2) = 0,
определяющее однопараметрическое семейство прямых, можно
рассматривать как уравнение кривой, огибающей это семейство.
Это уравнение называется тангенциальным, так как кривая здесь
определяется не своими точками, а касательными. Степень
точечного уравнения кривой называется ее порядком, а степень ее
тангенциального уравнения — ее классом. Плюккер показал, что на
комплексной проективной плоскости порядок п кривой, ее класс
т, число б ее двойных точек, число х ее точек возврата, число i ее
двойных касательных и число т ее точек перегиба при отсутствии
других особенностей связаны «формулами Плюккера»
т = п (п — 1) — 26 = Зи, п = т (т — 1) — 2i — Зт,
т = Злг (п — 2) — 66 — 8и, к = Зт (лп. — 2) — 6t — 8т.
Сравнивая числа параметров, от которых зависит кривая, с
числом констант ее уравнения, Плюккер вскрыл ряд ошибок
Эйлера в его классификации кривых 4-го порядка.
Риман в «Теории абелевых функций« («Theorie der Abelschen
Functionen». Гёттинген, 1857) [168, с. 88—138] ввел важную
характеристику плоских алгебраических кривых, обозначаемую им
буквой р. Альфред Клебш (1833—1872) в работе «О тех плоских
кривых, координаты которых являются рациональными
функциями одного параметра» («Ober diejenigen ebenen Curven deren Coor-
dinaten rationale Functionen eines Parameters sind». Берлин, 1865)
[307] назвал величину р родом (Geschlecht). Риман показал, что
при р = 0 координаты кривой могут быть выражены
рациональными функциями одного параметра; при р = 1 они выражаются
эллиптическими интегралами, а при р> 1
—гиперэллиптическими абелевыми интегралами. При р = 0 кривые получили
название унику реальных, так как на проективной плоскости их
можно провести одним росчерком пера, при р = 1 кривые называются
эллиптическими или бикуреальными.
В работе «Об особенностях алгебраических кривых» («Ubcr
die Singularitaten algebraischer Curven», Берлин, 1865) [308]
Клебш показал, что у кривых, для которых справедливы
формулы Плюккера, род р связан с числами п, т, б, к, i и т соотно-
240
тениями
(„-!)(„-2) - ., _(т-1)(т-2)
Z-' — р U л. — ty Т С
Из других работ по теории плоских кривых упомянем работу
Густава Роха (1839—1866) «О числе произвольных постоянных
в алгебраических функциях» («tjber die Anzahl der willkurlichen
Gonstanten in algebraischen Functionen». Берлин, 1864) [453], в
которой Pox, развивая идеи «Теории абелевых функций» Римана,
доказывает теорему, известную под названием «теоремы Римана—
Роха».
Значительные результаты в теории алгебраических
поверхностей трехмерного комплексного проективного пространства были
получены Максом Нётером (1844—1921) в работе «К теории
однозначного соответствия алгебраических образов» («Zur Theorie der
eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde». Лейпциг, 1870—
1875) [426] и других работах, из которых упомянем «Обобщение
теоремы Римана —Роха на алгебраические поверхности»
(«Extension du theoreme de Riemann—Roch aux surfaces algebriques».
Париж, 1886) [427], а также Федериго Энриквесом (1871—1946) во
«Введении в геометрию на алгебраических поверхностях» («Int-
roduzione alia geometria sopra le superficie algebraiche». Рим, 1896)
[329] и Франческо Севери (1879—1961) во многих работах,
обобщенных в «Трактате по алгебраической геометрии» («Trattato di
geometria algebraica». Болонья, 1926) [478]. Из работ Севери
упомянем еще статью «О теореме Римана — Роха и о непрерывных
семействах, принадлежащих к алгебраической поверхности» («Sul teo-
rema de Riemann— Roch e sulle serie continue apartementi ad una
superficie algebraica». Турин, 1905) [479], посвященную
дальнейшему обобщению теоремы Римана — Роха. Из многочисленных
работ по многомерным алгебраическим многообразиям упомянем
статью известного шахматиста Эммануила Ласкера (1868—1941)
«К теории модулей и идеалов» («Zur Theorie der Moduln und Ideale».
Лейпциг, 1905) [388], где дан критерий того, что данное
алгебраическое уравнение является одним из уравнений алгебраического
многообразия.
К методу Плюккера подсчета чисел параметров алгебраических
кривых и их уравнений восходит специальное направление
алгебраической геометрии, называемое «исчислительной геометрией».
Оно было основано Германом Шубертом (1848—1911) в
«Исчислении исчислительной геометрии» («Kalkul der abzahlenden Geomet-
rie». Лейпциг, 1879) [472]. Шубертом же эти методы были
перенесены на многомерную геометрию в работе «я-мерные обобщения
основных числовых характеристик нашего пространства» («Die
тг-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen Abzahlen
unseren Raumes». Лейпциг, 1886) [473]. В ней, в частности,
показано, что размерность «грассманова многообразия», т. е.
многообразия всех tti-мерных плоскостей тг-мерного пространства, равна
241
(m -f- 1)(^ — ^i), и подсчитаны размерности так называемых:
«шубертовых многообразий» — многообразий плоскостей, имеющих
пересечения данных размерностей с системой вложенных друг в
друга фиксированных плоскостей (такую систему плоскостей в
настоящее время называют «флагом»). Работы Г. Шуберта были
продолжены геометром и историком науки Иеронимом Георгом
Цейтеном (1839—1920) в его «Учебнике исчислительных методов
геометрии» («Lehrbuch der abzahlenden Methoden der Geometrie».
Лейпциг, 1914) [526]. Принципы подсчета параметров, не имевшие
достаточного обоснования у самого Шуберта, были обоснованы с
помощью тоюлогических методов Бартелем Лендертом ван дер
Варденом (р. 1903) в работе «Топологическое обоснование исчис-
лительной i зометрии» («Topologische Begrundung der abzahlenden
Geometrie». Лейпциг, 1929) [513].
К концу XIX в. идея многомерного пространства прочно вошла
в математику. Приведем в связи с этим слова Анри Пуанкаре,
которыми он начинает свой знаменитый мемуар «Analysis situs»
(Париж, 1895), посвященный комбинаторной топологии:
«Геометрия п измерений занимается исследованием
действительности; в этом теперь никто не сомневается. Тела в
гиперпространстве поддаются точным определениям, подобно телам из
обычного пространства, и если мы не можем их изобразить, то можем
себе представить и изучать. И если, например, механика более
трех измерений должна быть осуждена, как не имеющая смысла,
положение гипергеометрии является совершенно иным.
Действительно, геометрия не имеет своей единственной целью
непосредственное описание тел, воспринимаемых нашими
органами чувств: прежде всего она является аналитическим
исследованием некоторой группы, и, следовательно, ничто не препятствует
изучению иных групп, аналогичных и более общих.
Однако сразу же возникает вопрос: надо ли заменять язык
аналитического исследования языком геометрии, который теряет
все свои преимущества, как только исчезает возможность
пользоваться чувствами? Оказывается, что этот новый язык более
точен; кроме того, аналогия с обычной геометрией может создать
ассоциации плодотворных идей и подсказать полезные
обобщения» [160, т. 2, с. 457] К
Отметим, что здесь Пуанкаре еще пользуется традиционными
терминами «гиперпространство» и «гипергеометрия» для
многомерного пространства и многомерной геометрии, хотя в самом ме-
муаре он систематически пользуется термином «пространство п
измерений».
Аксиоматика евклидова пространства. Расширившееся к
концу XIX в. понятие о пространстве потребовало разработки проч-
0 том, что Пуанкаре понимал под словом «действительность», см. с. 373
этой книги.
242
ной логической базы как евклидовой геометрии, так и различных
ее обобщений. Первая попытка такого рода была осуществлена
Морицем Пашем (1843—1930) в его «Лекциях о новой геометрии»
(«Vorlesungen iiber neuere Geometrie». Лейпциг, 1882) [431]. Из
дальнейших работ следует упомянуть две книги Джузеппе Пеано
(1858—1932), «Геометрическое исчисление по «Учению о
протяжении» Грассмана, которому предшествует изложение операций
дедуктивной логики» («Galcolo geometiico secondo TAusdehnungsleh-
re di Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva».
Турин, 1888) [433] и «Основания геометрии, логически
изложенные» («I principii di geometria logicamente espositi». Турин, 1889)
[434], и книгу ученика Пеано, Марио Пиери (1860—1913), «Об
элементарной геометрии как гипотетической дедуктивной системе»
(«Delia geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo».
Турин, 1899) [438]. Книга Паша, вторая из упомянутых книг
Пеано и книга Пиери посвящены аксиоматике трехмерного евклидова
пространства, в первой книге Пеано на основе «Учения о
протяжении» Грассмана строит аксиоматику тг-мерного линейного
пространства.
Наиболее популярной из появившихся в конце XIX в.
сочинений по проблемам аксиоматики были «Основания геометрии»
(«Grundlagen der Geometrie». Лейпциг, 1899) [47] Давида
Гильберта (1862—1943), определившего трехмерное евклидово
пространство как множество элементов любой природы,
подразделяющееся на три системы. «Вещи первой системы мы называем
точками,— пишет Гильберт,— и обозначаем^!, 5, С, . . . вещи
второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, Ъ, с,... вещи
третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, Р,
у, . . . точки называются также элементами линейной геометрии,
точки и прямые — элементами плоской геометрии, точки, прямые
и плоскости — элементами пространственной геометрии или
элементами пространства» [47, с. 56]. Далее Гильберт указывает,
что точки, прямые и плоскости мыслятся в определенных
соотношениях, называемых «л ежат ь», «м е ж д у», «к о н г р у э н т-
н ы й», «параллельный» и «непрерывный».
Точное и для математических целей полное описание этих
соотношений достигается аксиомами геометрии, которые Гильберт
разбивает на пять групп:
«I 1—8 аксиомы соединения {принадлежности),
II 1—4 аксиомы порядка,
|1П 1—5 аксиомы конгруэнтности,
IV аксиома о параллельных,
V 1—2 аксиомы непрерывности» [47, с. 57].
Аксиомы соединения определяют соотношение «точка лежит на
прямой», «точка лежит на плоскости» и т. д. Аксиомы порядка
определяют соотношение «точка лежит на прямой между двумя
точками», с помощью которого определяется отрезок прямой с
данными концами. Сюда же входит «аксиома Паша»: если Л, В, С —
243
три точки, не лежащие на одной прямой, и а — прямая в
плоскости ABC, не проходящая через точки Л, 5, С, и если прямая а
проходит через одну из точек отрезка АВ, то она должна пройти
через одну из точек отрезка АС или через одну из точек отрезка
ВС г. Аксиомы конгруэнтности определяют соотношение
конгруэнтности отрезков и углов. Аксиома параллельности
эквивалентна V постулату Евклида 2; одна из двух аксиом непрерывности —
аксиоме Архимеда о том, что для всяких двух отрезков
существует натуральное число /г, что, повторив меньший из них п раз,
мы получим отрезок, больший большего; вторая — аксиоме
Г. Кантора о том, что всякая система вложенных друг в друга
отрезков обладает общей точкой 3.
Оригинальные системы были предложены в начале XX в. в
сочинениях со сделавшимся после Гильберта традиционным
названием «Основания геометрии» Вениамином Федоровичем Каганом
(1869—1953) и Фридрихом Шуром (1856—1932). В книге В. Ф.
Кагана (Одесса, 1905) [79, т. 1] была предложена весьма компактная
аксиоматика, состоявшая всего из 10 аксиом; в качестве основного
метрического понятия вместо понятия конгруэнтности Гильберта
Каган принял понятие расстояния. В книге Ф. Шура («Grundla-
gen der Geometrie». Лейпциг, 1909) [474] в качестве основного
метрического понятия было принято понятие движения; другой
особенностью аксиоматики Шура было то, что за основное
понятие он принимал не бесконечную прямую, как Гильберт, а,
приближаясь к точке зрения античных геометров, конечный отрезок.
Аксиоматика Вейля n-мерного евклидова пространства.
Присоединив к аксиомам Пеано тг-мерного линейного пространства
аксиомы о связи между векторами и точками и аксиомы
скалярного произведения, Герман Вейль (1885—1955), работавший в
Швейцарии, Германии и США, в книге «Пространство, время,
материя» («Raum, Zeit, Materie». Берлин, 1918) [520] предложил
аксиоматику тг-мерного евклидова пространства. В этой
аксиоматике неопределимыми понятиями являются «вектор» и «точка».
Векторы подчиняются следующим аксиомам:
«I. Векторы.
Два вектора а и b однозначно определяют вектор а + b — их
«сумму», число К и вектор а однозначно определяют вектор Яа,
«Я-кратный а» (умножение). Эти операции удовлетворяют
следующим законам:
1 Эта аксиома была впервые явно введена Пашем в книге [431].
2 См. выше, с. 36.
3 Аксиома Архимеда была сформулирована им в трактате «О шаре и
цилиндре» [12, с. 97], однако в виде определения 4 книги V эта аксиома имелась
еще в «Началах» Евклида [66, т. 1, с. 142]. Так как книга V «Начал»
является обработкой одного из сочинений Евдокса, аксиому Архимеда иногда
называют «аксиомой Евдокса — Архимеда». Аксиома Г. Кантора была
сформулирована им в работе [288].
244
а) Сложение.
1. а + Ь=Ь + а (коммутативный закон).
2. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативный закон).
3. Если а и с — какие-нибудь два вектора, то имеется одно и
только одно значение х, для которого выполняется уравнение
а + х = с. Оно называется разностью между с и а и
обозначается с — а (возможность вычитания).
Р) Умножение.
1. (X + (я)а = Х& + (яа (первый дистрибутивный закон).
[2. X (|ia) = (Х(я)а (ассоциативный закон).
|3. 1-а = а.
|4. X (а + Ь) = Ха + ХЪ (второй дистрибутивный закон)»
[520, с. 14-15].
Вейль замечает, что для рациональных множителей X, (я законы Р)
вытекают из аксиом сложения, если умножение на эти
множители определено с помощью сложения, вследствие чего их можно
распространить на произвольные вещественные числа в силу
принципа непрерывности, однако Г. Вейль предпочитает
формулировать их как отдельные аксиомы, «так как в общем виде их нельзя
вывести из аксиом сложения с помощью одних логических
рассуждений». Вейль указывает, что, «воздерживаясь от сведения
умножения к сложению, мы получаем возможность с помощью этих
аксиом исключить из логической структуры геометрии
непрерывность, которую так трудно определить точно» [520, с. 15].
Определив линейную зависимость и независимость векторов,
Вейль формулирует «аксиому размерности» у) в виде: «Имеются п
линейно независимых векторов, но всякие п + 1 векторов
линейно зависят друг от друга» [520, с. 17].
Далее Вейль формулирует аксиомы о связи точки и векторов:
«П. Точки и векторы.
1. Каждая пара точек А и В определяет вектор а, выражаемый
символически в виде А В = а. Если А — произвольная точка, а
а — произвольный вектор, то имеется одна и только одна точка
В, для которой АВ = а.
2. Если АВ = а, ВС = Ь, то АС = а + Ь» [520, с. 15].
Совокупность точек и векторов, удовлетворяющих аксиомам
I и II Вейля, образует n-мерное аффинное пространство. Точки
В, для которых вектор АВ — линейная комбинация т линейно
независимых векторов, образует m-мерную плоскость, при т = 1 —
прямую линию.
Для перехода к ^-мерному евклидову пространству Вейль
добавляет следующую аксиому.
«Метрическая аксиома: если выбран единичный вектор е,
отличный от нулевого, то всякие два вектора х и у однозначно
определяют число (х, у) = Q (х, у); последнее, если рассматривать
245
его как функцию двух векторов, является симметричной
билинейной формой. Квадратичная форма (х, х) = Q (х), соответствующая
ей,— положительно определенная. Q (е) = 1» [520, с. 25]. Вейль
называет квадратичную форму Q основной метрической формой.
Из того, что скалярное произведение является билинейной
формой, следует, что
(Яа, Ь) = X (а, Ь), (а + а', Ь) = (а, Ь) + (а', Ь)
(и аналогично для второго сомножителя), а также что имеет место
коммутативный закон (а, Ь) = (Ь, а).
Задание формы Q (х, у) позволяет определить длину вектора а
как | а I = YQ (а)» расстояние между точками А и В как длину
вектора АВ и угол ф между векторами а и b по формуле
Отказавшись в аксиоматике Вейля от положительной опреде
ленности формы Q (х) и требуя, чтобы эта форма была
невырожденной формой индекса /, т. е. чтобы из п базисных векторов е$,
удовлетворяющих условию ортогональности (еь е;) = 0 для гф],
для I векторов ей Q (еа) > 0, а для п — / векторов е^, Q (еш) < 0,
мы получим аксиоматическое определение ^-мерного
псевдоевклидова пространства индекса /. В предыдущей главе
рассматривался частный случай этого пространства при п = 3, 1 = 2 (мы
видели, что одной из моделей плоскости Лобачевского является
сфера мнимого радиуса в этом пространстве с отождествленными
диаметрально противоположными точками).
Бесконечномерные пространства. К концу XIX в. понятие
многомерного пространства настолько укоренилось среди
математиков, что математики поставили вопрос о бесконечномерном
пространстве. Итальянский математик Сальваторе Пинкерле
(1853—1936), обобщая свои работы 90-х годов, писал в «Замечании о
геометрии функционального пространства» («Cenno sulla geometria
dello spazio funzionale». Палермо, 1896—1897): «В некоторых
недавно опубликованных работах я ввел понятие, которое в
различных исследованиях по анализу удобно рассматривать как
совокупность аналитических функций одного переменного или, для
большей определенности, как совокупность рядов по целым
положительным степеням х,— совокупность или пространство, в
котором каждый отдельный ряд является элементом. Такое
многообразие, очевидно имеющее бесконечное число измерений, можно
назвать функциональным пространством. Всякий степенной ряд
по х будет точкой этого пространства, а коэффициенты ряда
можно рассматривать как координаты точки» ([438а, т. 1, с. 368—
377]; см. также [132, с. 75]). Пинкерле рассматривал и линейные
операторы в определенном им «функциональном пространстве» и,
в частности, установил, что ту роль, которую для линейных опе-
246
раторов (матриц) в конечномерных пространствах играют
дискретные собственные значения, здесь может играть непрерывное
множество значений, в настоящее время называемое «спектром»
линейного оператора.
Важный класс бесконечномерных пространств, который
можно рассматривать как непосредственное многомерное обобщение
евклидовых пространств, был введен в математику Д.
Гильбертом и получил название «гильбертовых пространств». В работе
«Основания общей теории линейных интегральных уравнений»
(«Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglei-
chungen». Гёттинген, 1904—1910) [355] Гильберт предложил
рассматривать интегральные уравнения
ъ
f(s) = <p(s)+^K(s,t)<p(t)dt
а
как предельный случай систем линейных уравнений
%» = ^ + £«рЛ С7-3)
о.
при стремлении числа переменных хр к бесконечности. Свои
работы и работы своих учеников Гильберт обобщил в монографии с
тем же названием (Лейпциг, 1912) [356]. В связи с рассмотрением
бесконечных систем вида (7.3) Гильберт рассматривал также
линейные формы L (х) = \ 1рХр бесконечно большого числа пере-
р
менных хр при условии сходимости ряда \ 1Р, которое он назы-
р
вал условием ограниченности формы L (х). Коэффициенты 1Р и
сами переменные хр при условии сходимости ряда \ хр Гильберт
р
рассматривал как координаты «бесконечномерных векторов», для
которых он вводил скалярное произведение (и, v) = N upvp,
р
а также ортогональные преобразования х = N oPqxq.
о.
Гильберт связывал «бесконечномерные векторы» с
непрерывными функциями, рассматривая координаты ар как коэффициенты
Фурье непрерывной функции / (s) по отношению к функциям
Фг ($)> Ф2 (s), . . ., образующим, как он выражался, «полную
ортогональную систему» на интервале а ^ s ^ Ъ. Гильберт
называл условиями ортогональности системы условия
247
а условием полноты — условие
ь ь
Y>l\u wф* w dsf=\ ^ м2 *• ол)
V а а
Коэффициенты Фурье функции / (s) по отношению к
«ортогональной системе функций» Гильберт записывал в виде
ь
aP=lf(s)G>p(s)ds. (7.5)
а
Таким образом, здесь Гильберт фактически рассматривал
счетномерное линейное пространство в виде двух моделей, которые
в настоящее время обозначаются I2 и L2 — совокупности
последовательностей чисел ир со скалярным произведением (и, v) и
совокупности функций, заданных на отрезке [а, Ь] числовой оси,
со скалярным произведением
ь
(f,g)=<j)f(s)g(s)ds, (7.6)
а
где интеграл понимается в смысле Лебега. Условие полноты
Гильберта (7.4) обозначает, что скалярный квадрат функции и (s)
равен сумме квадратов ее «координат» ар (так называемое
равенство Парсеваля, являющееся бесконечномерным обобщением
теоремы Пифагора; М. А. Парсеваль нашел это условие в 1805 г.
для тригонометрических рядов).
Пространства I2 и L2, как и более общие пространства Р и LPt
f'b
в которых в «модулях векторов» л/ У.^^!/ \ [/ (5)12 ds
квадраты и квадратные корни заменены р-ми степенями и корнями р-й
степени, были введены венгерским математиком Фридьешем Рис-
сом (1880—1956) в «Исследованиях о системах интегрируемых
функций» («Untersuchungen iiber Systeme integrierbarer Funktio-
nen». Лейпциг, 1910) [451, т. 1, с. 441—497].
«Ортогональные системы функций», на которые ссылался
Гильберт, появились еще в XIX в. Важнейшими из них являются
функции 1, cos со£, cos 2cd£, cos 3cof, . . ., sinco£, sin2co£,
sin 3(d£,. . . , образующие полную ортогональную систему на отрезке
[0, Т) (со = 2я/Г).
Представления функций в виде линейных комбинаций
/ (0 = Яо + /, аР cos pwt -f- \ bp sin pmt (7.7)
p p
этих функций широко применялись еще в XVIII в. В настоящее
время ряды вида (7.7) называют рядами Фурье по имени Жана
248
Батиста Фурье (1768—1830), построившего в своей знаменитой
«Аналитической теории теплоты» («Theorie analytique de chaleur».
Париж, 1822) теорию этих рядов и, в частности, вычислившего
«коэффициенты Фурье» ар по формуле (7.5).
Более общие ортогональные системы функций определяются
при замене скалярного произведения (7.6) более общим
скалярным произведением
ъ
(f,g) = lw{s)f(s)g(s)ds, (7.8)
а
где w (s) — так называемая весовая функция, предполагаемая
неотрицательной.
В случае а = 0, Ъ = 1, w (s) = s ортогональными функциями
являются функции Бесселя (цилиндрические функции); в случае
а = —1, Ъ = 1 и w (s) = 1 ортогональными функциями являются
многочлены Лежандра (сферические функции), получаемые орто-
гонализацией системы одночленов 1, s. s2, s3, . . .; в случае а =—1.
Ъ = 1 и w (s) = (1 — s)a(l — s)& ортогональными функциями
являются многочлены Якоби (гипергеометрические функции);
в случае а = —оо, Ь = оо и w (s) = e~s ортогональными функциями
являются функции Чебышёва — Эрмита, получаемые ортогона-
лизацией системы функций е~'2'2, te~t2P, t2e~t2l2, . . .; в случае а =
= 0, Ъ = оо и w (s) = sae~s ортогональными функциями являются
функции Чебышёва — Лагерра.
Как мы видим, ортогональными системами функций
пользовались такие крупнейшие математики XVIII — XIX вв., как Эйлер,
Якоби, Эрмит, Лагерр и Пафнутий Львович Чебышёв (1821 —1894).
Из работ математиков начала XX в. по ортогональным функциям
отметим работы Владимира Андреевича Стеклова (1864—1926),
важнейшей из которых является мемуар «О теории замкнутости
системы ортогональных функций, зависящих от произвольного
числа переменных» («Sur la theorie de fermature des systemes de
fonctions orthogonales dependent d'un nombres quelconque de
variables». Петербург, 1911) [488]: под «замкнутостью» В. А. Стек-
лов понимал полноту системы. Применив в своей работе термин
Гильберта, Стеклов указал, что рассматриваемые им функции
«по терминологии, принятой в настоящее время ...образуют
ортогональную последовательность». В указанной работе В. А. Стек-
лов нашел условие полноты системы для случая ортогональности
с произвольной весовой функцией
ь
^4 = *\и,(8)/*(8)<1$, (7.9)
р а
являющееся обобщением условия (7.4) Гильберта, а также нашел
аналогичное условие для ортогональных систем функций
многих переменных. Заметим, что в то время, по существу работая
249
в области бесконечномерной геометрии, В. А. Стеклов не
осознавал этого и, следуя традиции петербургской математической
школы с ее стремлением к конкретным результатам
математической физики, не признавал не только бесконечномерной, но и
многомерной геометрии и разделял точку зрения своего учителя и
друга Александра Михайловича Ляпунова (1857—1918), который
в своей статье «Жизнь и труды П. Л. Чебышёва» (1895) [227,
с. 7—26] писал: «В то время, как почитатели весьма отвлеченных
идей Римана все более и более углубляются в функционально-
теоретические исследования и псевдогеометрические изыскания в
пространствах четырех и более измерений и в этих изысканиях
заходят иногда так далеко, что теряется возможность видеть их
значение по отношению к каким-либо приложениям не только в
настоящем, но и в будущем,— П. Л. Чебышёвиего последователи
остаются постоянно на реальной почве, руководясь взглядом, что
только те изыскания имеют цену, которые вызываются
приложениями (научными или практическими)» [227, с. 19—20]. Отметим, что
упомянув «псевдогеометрические изыскания», Ляпунов замечает-.
«Эти изыскания в последнее время нередко ставились в связь с
глубокими геометрическими исследованиями Н. И. Лобачевского,
с которыми, однако, они ничего не имеют общего. Великий геометр,
подобно П. Л. Чебышёву, оставался всегда на реальной почве и
в этих изысканиях трансцендентального характера едва ли мог
увидеть развитие своих идей» [227, с. 20].
Работы В. А. Стеклова, имевшие важные приложения к
задачам математической физики, наглядно показали, что
«псевдогеометрические изыскания» в пространствах не только «четырех и
большего числа», но даже бесконечного числа измерений
оказались чрезвычайно полезными для решения весьма конкретных
задач.
В связи с потребностями квантовой механики широкое
применение получили комплексные гильбертовы пространства, в
которых точки характеризуются комплексными координатами хр со
сходящимся рядом \ ХрХр = \ | хр |2 и со скалярным произведением
р р
(u,v) = ^ирир
р
или комплексными функциями с интегрируемым по Лебегу
квадратом модуля со скалярным произведением
ь
{f,g)=lW)g(s)ds, (7.10)
а
где интеграл также понимается в смысле Лебега. Это пространство
было впервые определено аксиоматически Джоном фон Нейманом
(1903—1957), работавшим в Венгрии, Германии и США, в
«Математическом обосновании квантовой механики» («Mathematische
250
Begriindung der Quantcnmechanik». Гёттинген, 1927) [425, т. 1,
с. 151—207]. Это аксиоматическое определение вместе с
определением конечномерного аналога этого пространства бъТяо
воспроизведено в книге фон Неймана «Математические основы квантовой
механики» («Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik».
Гёттинген, 1932) [138, с. 35—42].
Фон Нейманом построена теория «самосопряженных» (эрмито-
во-симметричных) операторов и, в частности, показано, что,
подобно тому как эрмитово-симметричные матрицы в конечномерных
пространствах в базисе, состоящем из их собственных векторов,
выражаются в виде сумм Л ^Ец, где Ец — матрица, элемент ati
г
которой равен 1, а остальные элементы равны 0, самосопряженные
операторы выражаются в виде интегралов Лебега — Стилтьеса
j
ШЕ\, где X пробегает «спектр» оператора, dE\ —
дифференциальный оператор ( J dE\ — единичный оператор).
—оо
Моделями вещественного и комплексного гильбертовых
пространств являются также пространства соответственно
вещественных и комплексных функций от нескольких переменных, заданных
на самых различных многообразиях.
Применение комплексного гильбертова пространства к
квантовой механике состоит в том, что элементарные частицы
квантовой механики (электроны, фотоны и т. д.) характеризуются
волновыми функциями i|?a (х, у, z, t). определенными в некоторой
области пространства-времени. Эти функции, если считать скалярным
произведением функций ф и i|? интеграл
(<р,г|))= ]^dV (7.11)
D
по этой области, образуют пространство, удовлетворяющее
аксиомам Дж. фон Неймана.
Физическим величинам соответствуют самосопряженные
линейные операторы А этого пространства. Вероятность того, что
частица, определяемая данной волновой функцией гр,
характеризуется значениями данной физической величины в данных пределах
[а, Ь] и находится в данной области пространства-времени, выра-
ь
жается интегралом по этой области от выражения
Б частности, пространственным координатам х и временной
координате t частицы соответствуют операторы,
определяющие умножение волновых функций соответственно на х и t, a
координатам pt импульса и энергии Н частицы соответствуют
251
Операторы -к-г—- и —. -гг , где h — так называемая постоянная
Планка.
В пространстве волновых функций действуют также
унитарные операторы £7, определяющие унитарные линейные
представления некомпактных групп Ли и, в частности, группы Лоренца;
эти представления оказываются весьма полезными для решения
многих задач квантовой физики.
Бесконечномерные аналоги псевдоевклидовых и неевклидовых
пространств. Если гильбертово пространство является
бесконечномерным аналогом евклидова пространства, то задачи квантовой
механики потребовали создания бесконечномерных аналогов
псевдоевклидова пространства. Пол Адриан Морис Дирак (р. 1902)
в работе «Физическая интерпретация квантовой механики» («The
physical interpretation of quantum mechanics». Лондон, 1942) [324]
поставил вопрос о необходимости такого изменения формализма
квантовой механики, при котором можно было бы указывать
вероятности появления частиц как с положительной, так и с
отрицательной энергией (что можно трактовать как вероятности
испускания или поглощения этих частиц). Вольфганг Паули (1900—
1958) в работе «О новом методе Дирака квантования поля» («On
Dirac's new method of field quantization». Лондон, 1943) [432],
анализируя предложенный Дираком метод, писал, что «в
формализме Дирака квантования поля применяется обобщение обычной
метрики в гильбертовом пространстве состояний системы» и что
это изменение состоит в замене интеграла (7.11) интегралом
J фтДОсПГ, (7-12)
D
где оператор г\ надлежащим преобразованием координат можно
привести «к нормальной форме, являющейся диагональной, где,
однако, каждый диагональный элемент имеет значение 1 или
— 1». Указав, что обычная теория получается в случае, когда г\ —
единичный оператор, Паули замечает, что «мы получаем нечто
существенно новое, если вводим в рассмотрение знаконеопреде-
ленные билинейные формы для определения длин векторов в
гильбертовом пространстве. Они приводят к тому следствию, что
операторы с только положительными собственными числами могут
иметь отрицательные значения математических ожиданий. Можно
выразить это также, говоря, что вводятся отрицательные
вероятности реализации некоторых положительных собственных
значений» [432, с. 177].
Скалярное произведение, аналогичное произведению (7.12),
можно определить также с помощью (7.8), где весовая функция
w (s) принимает как положительные, так и отрицательные
значения.
Вскоре бесконечномерные аналоги псевдоевклидовых
пространств рассмотрел советский математик Лев Семенович Понтря-
252
Гин (р. 1908) в работе «Эрмитовы операторы в пространстве с
индефинитной метрикой» (М., 1944) [159]. Эти пространства
изучались также в ряде работ Марка Григорьевича Крейна (р. 1907)
и его учеников, из этих работ отметим «Винтовые линии в
пространстве Лобачевского бесконечного числа измерений и лоренцевы
преобразования» (М., 1948) [102]. В ней рассматривается
бесконечномерный аналог псевдоевклидова пространства индекса 1,
«пространством Лобачевского бесконечного числа измерений»
называется одна из полостей сферы в этом пространстве. Работа
М. Г. Крейна является пока единственным исследованием по
бесконечномерной неевклидовой геометрии, хотя нетрудно
определить бесконечномерные аналоги эллиптического пространства и
гиперболических пространств любого индекса.
Другое направление бесконечномерной геометрии было
основано Абрамом Мироновичем Лопшицем (р. 1897) в «Некоторых
задачах тензорной алгебры в линейных безразмерных
пространствах» (М., 1948) [116]; здесь «безразмерным пространством»
называлось ^-мерное линейное пространство без аксиомы
размерности; этой неполной системе аксиом удовлетворяет как само это
пространство,* так и его бесконечномерный аналог. В «Некоторых
вопросах проективной, аффинной и начертательной геометрии в
безразмерном пространстве» (М., 1956) [117] А. М. Лопшиц
изучал аналогичные пространства, получаемые отбрасыванием
аксиомы размерности из аксиоматики аффинного и проективного
пространств. Полученным неполным системам аксиом удовлетворяют,
наряду с конечномерными аффинными и проективными
пространствами, их бесконечномерные аналоги г. Несомненно, что
объединение методов М. Г. Крейна и А. М. Лопшица приведет к изучению
широкого класса бесконечномерных аналогов неевклидовых
пространств.
См. также обзор истории бесконечномерных пространств в статье [204].
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
%
КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА
Кривизна и внутренняя геометрия поверхности Эйлера.
Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения
угла Да между касательными в концах дуги к длине As этой
дуги при стягивании дуги в данную точку, т. е. производная
fc== ^L^limjJSL; 8..1)
ds As-0 As
кривизна к равна обратной величине радиуса кривизны кривой)
равной радиусу соприкасающегося круга, т. е. предельного
положения круга, проходящего через три точки кривой при стягивании
их в данную точку. Понятие кривизны кривой и соприкасающегося
(osculans — буквально «целующийся») круга было известно еще
Лейбницу г. Лейбниц же предполагал возможность
характеризовать кривизну поверхности с помощью соприкасающейся сферы 2.
Характеристика кривизны поверхности была найдена Эйлером
в его «Исследованиях о кривизне поверхностей» («Recherches sur
la courbure des surfaces». Берлин, 1767) [332, т. 28, с. 1—22].
Называя «главным сечением» поверхности z = / (х, у) нормальное
сечение, перпендикулярное к плоскости хОу, и изменяя угол ф
между плоскостью произвольного нормального сечения с
плоскостью главного сечения, Эйлер нашел, что в каждой точке
поверхности имеется максимальный радиус кривизны / и минимальный
gj плоскости которых взаимно перпендикулярны, и что радиус
кривизны г произвольного нормального сечения выражается через /
и g по формуле
2/*
г =
/ + g — (/ — g) cos 2ф
Соприкосновение кривых, и в частности соприкосновение кривых с
окружностями, рассматривалось впервые Лейбницем в «Новом размышлении о
природе угла касания и соприкосновения и об их применении в
математической практике для замены более сложных фигур более простыми» («Ме-
ditatio nova de natura Anguli contactus et osculi, horumque usu in practica
Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribussubstituendas».
Лейпциг, 1686) [392, т. 7, с. 326—329], частичный русский перевод — [107,
с. 184-186].
В письме И. Бернулли от 29 июля 1698 г.
254
«Чтобы дать легкое построение этой формулы— пишет Эйлер,—
соединим вместе максимальный и минимальные
соприкасающиеся радиусы, полагая Of = / и Og = g, и опишем на линии fg
полуэллипс, один из фокусов которого находится в точке О (рис. 89).
Тогда для сечения MN следует взять угол /Or, удвоенный по
отношению к углу EZM, и линия Oz будет равна соприкасающемуся
радиусу для сечения MN. Таким образом, суждение о кривизне
поверхностей, сначала казавшееся столь сложным, сводится для
всякого элемента к определению двух соприкасающихся радиусов,
один из которых максимальный, а другой минимальный для этого
Рис. 89
элемента; эти две вещи определяют природу кривизны целиком,
и мы получаем кривизну всех возможных сечений,
перпендикулярных к предположенному элементу» [332, т. 28, с. 21].
В 1837 г. Шарль Дюпен (1784—1873) [327, с. 109] преобразовал
Формулу Эйлера к виду
11 1
— = -г- cos2 ф -А sin2 ф.
В работе «О телах, поверхности которых могут быть
развернуты на плоскости» («De solidis quorum superficiem in- planum exp-
licare licet». Петербург, 1772) [332, т. 28, с. 161—186] Эйлер ввел
понятие развертывающейся поверхности, т. е. поверхности, которая
может быть наложена на плоскость без складок и разрывов, и
доказал основную теорему об этих поверхностях — о том, что всякая
поверхность является либо цилиндром, либо конусом, либо
поверхностью, образованной касательными к пространственной
кривой. В этой работе Эйлер исходил из того, что бесконечно
малый треугольник на такой поверхности должен быть конгруэнтен
соответствующему треугольнику на плоскости, на которую он
развертывается. Далее он ввел на поверхности криволинейные
координаты t, и, равные прямоугольным координатам
соответствующих точек плоскости, и, обозначая частные производные
дх ди dz 7 дх ди dz
-дГ>-дГ> -^соответственно через /, т, п, а -^ , -^- , -^- - че-
рез X, (я, v, записал условия развертывания поверхности в виде
Р + т2 + п2 = 1, %2 + (I2 + v2 = 1, IK + m\i + nv = 0,
т. е. в виде условий единичности и перпендикулярности частных
производных радиус-вектора точки поверхности по t и и. Это
условие можно записать также в виде равенства линейного элемента
дуги линии на поверхности сумме квадратов дифференциалов
255
координат
ds2 = dt2 + du2,
т. е. в виде совпадения линейного элемента поверхности с
линейным элементом плоскости. й
В заметке, опубликованной только в 1862 г. [332, т. 29, с. 437—
440], Эйлер установил и общее условие наложимости одной
поверхности на другие. Эти результаты Эйлера относятся
к так называемой внутренней геометрии поверхности, т. е. к
изучению тех ее свойств, которые не изменяются при ее
изгибании.
К внутренней геометрии поверхности относятся также
исследования Эйлером геодезических линий, т. е. линий на поверхности,
осуществляющих минимум длины среди всех линий, соединяющих
данные точки (на плоскости геодезическими линиями являются
прямые, на сфере — большие круги) г.
Задача о нахождении этих линий на поверхности была
поставлена в 1697 г. Иоганном Бернулли (1667—1748), который вскоре
в письме к Лопиталю сообщил о найденном им общем
дифференциальном уравнении геодезических линий, опубликованном,
впрочем, только в 1742 г. [266, с. 364]. Якоб Бернулли (1654—1705)
в 1698 г. показал, что при развертывании цилиндрических и
конических поверхностей на плоскость геодезические линии этих
поверхностей переходят в прямые.
Первым опубликовал дифференциальное уравнение
геодезических линий Эйлер в работе «О кратчайшей линии на
произвольной поверхности, соединяющей две произвольные точки» («De linea
brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente».
Петербург, 1732) [332, т. 25, с. 1—12]. Уравнение Эйлера имело
вид
Qddx -f- Pddy dxddx -f- dyddy
Qdx + Pdx ~~ dP + dx* + dy* '
где t, x, у — прямоугольные координаты в пространстве, а
функции Р и Q определяются из дифференциального уравнения
поверхности Pdx = Qdy + Rdt. Эйлер возвращался к проблеме
геодезических линий много раз. Во II томе своей «Механики» («Mecha-
nica». Петербург, 1736) [333, т. 2, с. 426] он доказал, что точка,
движущаяся на поверхности «при отсутствии сил», описывает
геодезическую линию,— предложение, которым пользовался
ранее Бернулли. При этом Эйлер доказал, что главная нормаль
геодезической линии (прямая, проходящая в соприкасающейся
1 Нахождению геодезических линий посвящены многие работы Эйлера,
первая была написана в 1728 г. [332, т. 25, с. 1—12], а последняя опубликована
посмертно [332, т. 25, с. 269—279]. Сам Эйлер называл геодезические линии
«кратчайшими». Термин «геодезическая линия» был введен впервые
Лапласом в «Небесной механике» (Париж, 1799), затем это название стали
применять ко всем поверхностям второго порядка, а со времени работы Ж. Лиу-
вилля (1844) — к любым поверхностям.
256
плоскости к этой кривой через точку соприкосновения
перпендикулярно к касательной) в каждой ее точке совпадает с нормалью
к поверхности.
Заметим, что в упоминавшейся нами картографической работе
«Об изображении поверхности шара на плоскости» [237] Эйлер,
сравнивая линейный элемент сферы с линейным элементом
плоскости, доказывает невозможность изометрического отображения
сферы на плоскость и ставит вопрос о трех видах отображения
сферы на плоскость, наиболее важных для картографии:
отображении, при котором меридианы и параллели изображаются
ортогональной системой прямых; конформном отображении,
сохраняющем углы между линиями, и эквиареальном отображении,
сохраняющем площадь сферических областей.
К понятию развертывающейся поверхности независимо от
Эйлера пришел Г. Монж в «Мемуаре о развертках, радиусах
кривизны и различных родах перегибов кривых двоякой кривизны»
(«Memoire sur les developpees, des rayons de couibure et les diffe-
rents genres d'inflexion des courbes a double courbure». Париж,
1785) [417]. Заметим, что книга Монжа «Приложение анализа
к геометрии» («Applications de l'analyse a la geometrie». Париж,
1807) [416] содержала первое систематическое изложение теории
поверхностей.
Внутренняя геометрия поверхности у Гаусса. Общая теория
внутренней геометрии поверхности была создана Карлом
Фридрихом Гауссом в его «Общих исследованиях о кривых поверхностях»
(«Disquisitiones generales circa superficies curvas». Гёттинген,
1828) [41]. Работа Гаусса появилась в результате того, что в 1820 г.
ему была поручена картографическая съемка Ганноверского
королевства, и к теории поверхностей его привели размышления над
проблемами геодезии.
Теория Гаусса является соединением теории поверхностей
Эйлера и Монжа с теорией квадратичных форм, развитой самим
Гауссом в его «Арифметических исследованиях» («Disquisitiones
arithmeticae». Гёттинген, 1801) [39, с. 7—583]. В своих
«Исследованиях о кривых поверхностях» Гаусс вводит криволинейные
координаты р, д точки поверхности и определяет функции
dx , dij dz , dx н dy
dp ' dp ' dp ' dq ' dq y
dz
c' = -j—\ be' — cb' = A, ca' — ac' = B',
ah' — ba' = C;
ddx ddx о ddx ddy _ ,
ddy ft, ddif , ddz _ „ ddz „„
Jpdq Г" P ' "d^F ~" Y ' ~dr^~." a ' ~dpd~q '" P '
ddz „
9 Б. А- Розенфельц
257
В современных обозначениях векторы {а, Ъ, с) и {а', I/, с'} —
частные производные радиус-вектора точки поверхности по р
и д (Гаусс обозначал частные производные так же, как
обыкновенные); вектор {А, В, С} — векторное произведение двух
предыдущих векторов, направленное по нормали к поверхности;
{а, р, у}, {а', |3', у'} и {а", |3", у"} — вторые частные
производные радиус-вектора точки поверхности по р и д.
Далее Гаусс образует квадратичные формы
ds2 - Edp2 + 2Fdpdq + Gdg2
и
Ddp2 + ID'dpdg + D"dq2,
где
aa + M + cc = E, aa' + hh' + cc' = F, a'a' + h'V + c'c' = G,
Ла + Я|3 + Су = D, An' + B$' + Cy' = D', Aa" + B$" +
+ Cy" = D".
Первая из этих форм, так называемая первая основная
квадратичная форма поверхности, выражает квадрат линейного
элемента ds поверхности, т. е. элемента длины дуги линии на
поверхности; вторая форма отличается только множителем А А +
+ ВВ + CC = EG — FF от второй основной квадратичной
формы современной теории поверхностей.
Гауссу принадлежит важнейшее понятие «меры кривизны»,
которую в настоящее время называют гауссовой кривизной
поверхности. Введя понятие сферического изображения поверхности,
при котором каждой точке поверхности ставится в соответствие
точка единичной сферы, высекаемая из нее лучом, параллельным
нормали к поверхности в данной точке (на современном языке —
конец единичного нормального вектора поверхности с началом
в фиксированной точке), Гаусс определяет полную кривизну
и «меру кривизны» поверхности следующим образом: «Мы будем
говорить, что некоторая часть кривой поверхности, ограниченная
известным контуром, имеет полную кривизну, которая выражается
площадью соответственной фигуры на шаровой поверхности. От
этой полной кривизны строго следует отличать кривизну как бы
специфическую, которую мы будем называть мерой кривизны.
Эта последняя относится к точке на поверхности и означает
частное, происходящее от деления полной кривизны элемента
поверхности, прилежащего к точке, на самую площадь этого элемента,
и, следовательно, указывает отношение бесконечно малых
площадей на шаре и на кривой поверхности, взаимно друг другу
соответствующих. Польза этих нововведений, как мы надеемся, вполне
уяснится тем, что впоследствии будет нами изложено» [41, с. 129].
Далее Гаусс показывает, что «мера кривизны в любой точке
поверхности равна дроби, числитель которой единица,
знаменатель же — произведение двух главных радиусов кривизны в
нормальных сечениях.
258
Вместе с этим ясно, что мера кривизны положительна для
поверхностей выпукло-выпуклых или вогнуто-вогнутых (это
различие несущественно) и отрицательна для выпукло-вогнутых.
Если поверхность состоит из частей обоего рода, то на границе
их мера кривизны должна исчезать» [41, с. 134—135].
Затем Гаусс находит еще несколько выражений для «меры
кривизны», важнейшими из которых являются выражения «меры
кривизны» к через коэффициенты обеих определенных им форм
Dir — D'D'
к =--
EG — FF
и через коэффициенты только одной первой формы и их
производные по р и q:
■<«-">'*-*(4г-*--2-2--£-+(-£-),)+
+4
4Х„ . .
dE dG dE dG 0 dE df , dF dF
dp dq dq dp dq dq ' dp dq
dF dG \ , „ / dE dG dE dF , I dE V
2 dF dG \ G( dE dG dF dF , I
dp dp ) * \ dp dp dp dq \
-2{EG-FF)(^-2^Lr + ^)
dq
По поводу последней формулы Гаусс пишет: «формула
предыдущего номера сама собой приводится к выдающейся
Теореме. Если кривая поверхность будет развернута на
любую другую поверхность, то при этом мера кривизны в каждой
ее точке остается неизменной.
Очевидно также, что любая конечная часть кривой поверхности
после развертывания на другую поверхность сохранит ту же
полную кривизну.
Частный случай, которым до сих пор геометры ограничивали
свои исследования, составляют поверхности, развертывающиеся
на плоскость. Наша теория легко обнаруживает, что мера
кривизны таких поверхностей в любой точке =0...
То, что мы изложили в предыдущем номере, имеет связь с
особым способом рассматривания поверхностей, заслуживающим
особого внимания геометров. А именно, когда поверхность
рассматривается не как граница тела, но как само тело, одно
измерение которого принимается исчезающим, гибкое, но нерастяжимое,
то свойства поверхности зависят частью от формы, к которой она
приведена и в которой изучается, частью независимы и остаются
неизменными, в какую бы форму она ни изгибалась. К этим
последним свойствам, рассмотрение которых открывает новое и
плодотворное поле геометрии, должны быть отнесены мера кривизны
и полная кривизна в том смысле, в каком эти выражения приняты
нами. Далее, сюда же относится учение о геодезических линиях
и о многом другом, о чем мы будем говорить впоследствии. При
таком способе рассмотрения плоскость и поверхности, разверты-
9* 259
вающиеся на плоскости, например цилиндрическая, коническая
и т. д., рассматриваются как существенно тождественные и
общий способ для характеристики таким образом рассматриваемой
поверхности опирается на формулу y^Edp2 + 2Fdpdq + Gdq2,
выражающую связь линейного элемента поверхности с двумя
переменными р, д» [41, с. 141].
Здесь Гаусс определяет внутреннюю геометрию поверхности,
не изменяющуюся при ее изгибании и «развертывании» на другую
поверхность. К внутренней геометрии относятся длины линии
на поверхности, углы между линиями и упоминаемые здесь
Гауссом «геодезические линии», т. е. линии, по которым
осуществляется минимум длины. Теорема Гаусса, названная им самим
«выдающейся теоремой» (Theoiema egregium), устанавливает
принадлежность к внутренней геометрии и «меры кривизны».
Далее Гаусс рассматривает полную кривизну геодезического
треугольника (треугольника, ограниченного дугами трех
геодезических линий). Полная кривизна такого треугольника равна
\kdo, где do — элемент поверхности треугольника. Гаусс находит,
что «полная кривизна треугольника равна площади той части
сферической поверхности, которая соответствует треугольнику,
взятой со знаком плюс или минус, смотря по тому, будет ли
поверхность, на которой лежит треугольник, вогнуто-вогнутая или
вогнуто-выпуклая; за единицу площади надо принять квадрат,
сторона которого равна единице (радиусу шара); при этом условии
вся поверхность шара = 4я. Итак, часть шаровой поверхности,
соответствующая треугольнику, относится к полной поверхности
шара, как ±(^4 + В + С — я) к 4л. Эта теорема, которая, если
мы не обманываемся, должна быть отнесена к изящнейшим в
теории кривых поверхностей, может быть выражена следующим
образом:
Избыток суммы углов треугольника, образованного
геодезическими линиями на вогнуто-вогнутой кривой поверхности, над 180°
или недостаток до 180° суммы углов треугольника из геодезических
линий на вогнуто-выпуклой поверхности измеряется площадью
той части шаровой поверхности, которая соответствует данному
треугольнику, по направлениям нормалей, если полная поверхность
(шара) принята равной 720 градусам» [41, с. 148—149].
Из этой теоремы Гаусса вытекает, что гауссова кривизна в
данной точке равна пределу отношения углового избытка А + В +
+ С — я геодезического треугольника ABC на поверхности
к его площади при стягивании этого треугольника в данную точку.
Теория поверхностей постоянной кривизны Миндинга. Работы
Гаусса по внутренней геометрии поверхности были продолжены
Фердинандом Миндингом (1806—1885), работавшим в Дерпте
(ныне Тарту). В «Замечании о развертывании кривых линий,
принадлежащих поверхностям» («Bemerkung uber die Abwickelung
260
krummer Linien und Flachen». Берлин, 1830)
[133, с. 162—165] Миндинг ввел важнейшее
понятие внутренней геометрии —
геодезическую кривизну линии на поверхности, равную
пределу отношения угла между
геодезическими линиями, касательными к дуге линии
в ее концах, к длине этой дуги при
стягивании этой дуги в точку, и доказал, что этот
предел не изменяется при изгибании. В
работе «Как узнать, наложимы ли друг на
друга две данные кривые поверхности; с
замечаниями о поверхностях с постоянной
мерой кривизны» («Wie sich entscheiden lasst,
ob zwei gegebene kriimme Flachen auf einan-
dei abwickelbar sind,nebst Bemerkungen iiber
die Flachen von undverandlichen Kriimmun-
gsweise». Берлин, 1839) [133, с. 166—176]
Миндинг, найдя линейный элемент
поверхности постоянной «меры кривизны» к в виде
ds2 = dp2 + /-!=. sin p YkX dq\
приходит к выводу, что «две поверхности равной постоянной меры
кривизны могут быть наложены одна на другую, и притом
бесконечным числом способов, так как две произвольные точки одной
можно поставить в соответствие двум произвольным точкам
второй, если только длины кратчайших линий на поверхности между
обеими парами точек равны друг другу. Отсюда вытекают такие
следствия:
Каждая поверхность, мера кривизны которой равна нулю,
есть изгибание плоскости,—что известно.
Каждая поверхность, мера кривизны которой (к) постоянна
и положительна, может быть наложена на шар радиуса l/j/^A»
[133, с. 171 —172]. Далее Миндинг находит винтовые поверхности,
а также поверхности вращения постоянной кривизны, и в
частности поверхности постоянной отрицательной кривизны. Одна
из этих поверхностей — поверхность, определяемая
параметрическими уравнениями
г = Y*2, + У2 = -^ . г = Ф - th<p,
о которой Миндинг пишет: «Поверхность возникает от вращения
кривой вроде ...СВЕ... (рис. 90) вокруг оси zz, к которой кривая
приближается асимптотически» [133, с. 176]. Кривая СВЕ,
характеризуемая постоянным отрезком касательной к ней от точки
касания до оси zz, в настоящее время называется трактрисой
(tractrix —«тянущая»), а поверхность вращения, описанная Мин-
дингом,— псевдосферой.
261
В «Дополнениях к теории кратчайших линий на кривых
поверхностях» («Beitrage zur Theorie der kiirzesten Linien auf krum-
men Flachen». Берлин, 1840) [133, с. 176—179J Миндинг нашел
тригонометрические соотношения в треугольнике, образованном
на этих поверхностях геодезическими (кратчайшими) линиями,
и заметил, что эти же формулы могут быть получены из
соответственных формул сферической тригонометрии на сфере радиуса
г умножением радиуса г на мнимую единицу i.
Интерпретация плоскости Лобачевского на псевдосфере.
Однако, несмотря па то что эта работа Миндинга была напечатана
в том же «Журнале Крелле», что и «Воображаемая геометрия»
Н. И. Лобачевского, ни тот, ни другой не заметили совпадения
тригонометрических формул плоскости Лобачевского с
тригонометрическими формулами поверхности постоянной отрицательной
кривизны1.
Это заметил только Э. Бельтрами в «Опыте интерпретации
неевклидовой геометрии» [15]. Построив интерпретацию плоскости
Лобачевского в круге и характеризуя точки плоскости
Лобачевского кривизны — 1АД2 прямоугольными координатами г/, v
соответственных точек круга, Бельтрами нашел, что в этой
системе координат линейный элемент имеет вид
, 2 __ „а (а2 — ц2) du2 + 2uvdudv + (а2 — г;2) dv2
а2 — и2 — v2
Вычисляя далее полную кривизну поверхности с таким
линейным элементом, Бельтрами обнаруживает, что гауссова кривизна
плоскости Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же
числу — 1/R2, т. е. что плоскость Лобачевского можно
рассматривать как поверхность постоянной отрицательной кривизны.
Поэтому, говоря о поверхностях постоянной отрицательной
кривизны, Бельтрами приходит к выводу, что «к ним нриложимы
теоремы неевклидовой планиметрии. Более того, эти теоремы
в большей их части доступны конкретному толкованию только
тогда, когда будем их относить именно к этим поверхностям,
а не к плоскости» [15, с. 188]. Поэтому Бельтрами предлагает
называть все поверхности постоянной отрицательной кривизны
псевдосферическими.
Бельтрами далее установил, что каждая из полостей
псевдосферы, определенной Миндингом, изометрична части плоскости
Лобачевского, заключенной между двумя параллельными
прямыми и ортогональным им орициклом, а также нашел части
плоскости Лобачевского, изометричные другим определенным
Миндингом поверхностям вращения постоянной отрицательной кривизны.
1 Работа Н. И. Лобачевского вышла в т. 17 (1837), а работа Миндинга — в
т. 20 (1840) этого журнала. Как выяснил Б. Л. Лаптев, Н. И. Лобачевский
не брал последнего тома в библиотеке Казанского университета.
262
Риманова геометрия. Риман в своей речи «О гипотезах,
лежащих в основании геометрии» [168, с. 279—293] ввел понятие «п-
кратно протяженного многообразия», более широкое, чем у Грас-
смана и Шлефли. Определив это многообразие, Риман поставил
вопрос о «метрических отношениях, возможных на таких
многообразиях», и о возможности «результаты вычислений выражать
в геометрической форме». Указав, что «для тогой другого прочное
основание заложено в знаменитом сочинении о кривых
поверхностях г. тайного советника Гаусса» [168, с. 283], Риман пишет:
«Если определение положения приведено к определению величин,
т. е. положение точки на данном тг-кратно протяженном
многообразии определяется п переменными величинами хи х2, хп и т. д.
до х.п, то для определения линии нужно задать величины х как
функции некоторой одной переменной. Тогда задача заключается
в том, чтобы указать математическую формулу для длины линий.
В таком случае неизбежно подразумевать, что каждая из величин
х может быть выражена через некоторую единицу. Поставленную
задачу я буду исследовать только при некоторых ограничениях.
Во-первых, ограничусь рассмотрением таких линий, для которых
отношения величин dx (взаимно соответствующих приращений
величии х) изменяются непрерывно. Тогда можно разбить линии
па такие элементы, в пределах которых отношения величин dx
допустимо считать постоянными, и задача наша сводится к тому,
чтобы указать общую формулу для линейного элемента ds,
выходящего из любой данной точки; эта формула должна,
следовательно, содержать величины х и величины dx. Во-вторых, я допущу,
что длина линейного элемента остается неизменной, с точностью
до величин второго порядка, если все его точки испытывают одно
и то же бесконечно малое перемещение; отсюда, в частности,
вытекает, что когда все величины dx увеличиваются в одно и то же
число раз, то и линейный элемент ds увеличивается во столько
же раз. При сделанных допущениях линейный элемент сможет
быть произвольной однородной функцией первой степени от
величии dx, которая не изменяется, когда все величины dx меняют
знаки, и в которой коэффициенты являются непрерывными
функциями величин х.
Чтобы прийти к простейшим возможным случаям, я сначала
нахожу формулу для (п — 1)-кратно протяженных многообразий,
отстоящих от начальной точки линейного элемента повсюду на
одно и то же расстояние, т. е. ищу непрерывную функцию точки,
которая отличает одно из таких многообразий от другого.
Такая функция должна будет во все стороны от начальной точки
или уменьшаться, или увеличиваться; я предположу, что она
во все стороны увеличивается и, следовательно, в самой точке
имеет минимум. Тогда, если только ее первые и вторые
производные конечны, дифференциал первого порядка должен обращаться
в нуль, а дифференциал второго порядка не может становиться
отрицательным; я предположу, что он всегда положительный.
263
Это дифференциальное выражение второго порядка остается
постоянным, когда ds остается постоянным, и возрастает в
квадратном отношении, когда величины dx, и следовательно, также и ds
увеличиваются в одно и то же число раз; поэтому оно = const -ds2
и, значит, ds = квадратному корню из всегда положительной
целой однородной функции второй степени величин dx с
коэффициентами — непрерывными функциями величин х. В частности,
для пространства, если определять положение точки
прямоугольными координатами, мы имеем ds = У (dx)2» [168, с. 283—284].
Под «пространством» Риман имеет в виду евклидово пространство.
Рассмотрев различные возможные случаи зависимости ds от
дифференциалов dx, Риман ограничивается «многообразиями, для
которых линейный элемент задается как квадратный корень из
дифференциального выражения второй степени», т. е.
ds2 = ^ ^ gijdxidxj, (8.2)
г j
где gij =--- gjt — функции переменных xh
Данное требование Римана обеспечивает то, что в малых
участках определенное им ^-мерное пространство можно рассматривать
как евклидово. При этом квадратичная форма (8.2)
предполагается положительно определенной, т. е. для всех dxh не равных
одновременно нулю, ds2 ]> 0. Поэтому каждая пара точек с бесконечно
близкими координатами xt и xt + dxt обладает определенным
расстоянием ds. Интегрируя это расстояние вдоль различных линий,
мы определим длины этих линий. Среди различных линий мы
можем найти кратчайшие (геодезические) линии xt = xt (t),
являющиеся решениями дифференциальных уравнений
-3-+££ч-3--5-°. ^
i *
где Г* — функции точки, выражающиеся через коэффициенты
gij с помощью соотношений
Za V1 - 1 / dg* _L dg» dg* \ /ft A\
i
Определенные таким образом пространства называются рима-
новыми пространствами. Частным случаем римановых
пространств при п = 2 являются поверхности в обычном пространстве;
частным случаем геометрии, определенной Риманом, в этом
случае является так называемая внутренняя геометрия поверхности,
разработанная Гауссом в упоминавшихся Риманом «Общих
исследованиях о кривых поверхностях». Евклидово пространство,
очевидно, является частным случаем риманова; роль геодезических
линий здесь играют прямые.
264
Более общим примером риманова пространства является
гиперповерхность в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве,
и в частности гиперсфера в этом пространстве. Геодезическими
линиями гиперсферы являются ее большие окружности —
сечения двухмерными плоскостями, проходящими через ее центр.
Эллиптическое пространство, получающееся из сферы
отождествлением ее диаметрально противоположных точек, и пространство
Лобачевского также являются частными случаями риманова
пространства.
Важнейшим понятием римановой геометрии является
кривизна пространства. Кривизна риманова пространства определяется
в каждой точке в каждом двумерном направлении, проходящем
через эту точку. Для определения кривизны риманова
пространства в некоторой точке следует рассмотреть геодезический
треугольник, т. е. криволинейный треугольник, ограниченный
дугами трех геодезических линий, одна из вершин которого
расположена в данной точке и стороны которого, примыкающие к этой
вершине, касаются данного двумерного направления. Для этого
треугольника ABC вычисляются угловой избыток А + В + С — я
(определенный таким образом угловой избыток может быть как
положительным, так и отрицательным), площадь этого
треугольника и составляется отношение углового избытка к площади
треугольника. Далее рассматривается предельный переход, при
котором весь треугольник стягивается в данную его вершину, а стороны
треугольника, примыкающие к этой вершине, остаются
касательными к данному двумерному направлению. При этом
предельном переходе площадь треуголышка, очевидно, стремится к нулю;
угловой избыток также стремится к нулю, так как в малых
участках геометрия той двумерной поверхности, в которой происходит
этот предельный переход, мало отличается от геометрии
евклидовой плоскости, а на евклидовой плоскости угловой избыток
треугольников равен нулю. Однако отношение углового избытка
к площади треугольника при этом предельном переходе стремится
к определенному пределу, который и называется кривизной
риманова пространства в данной точке в данном двумерном направлении.
Кривизна ^-мерного евклидова пространства,
рассматриваемого как частный случай риманова пространства, равна нулю во
всех точках; поэтому евклидово пространство называют римано-
вым пространством нулевой кривизны, а римановы пространства,
отличные от евклидова пространства, называют искривленными
пространствами.
Сам Риман определял кривизну рассматривавшегося им
пространства следующим образом: он задавал в точке, в которой он
хотел определить кривизну, координаты хи равные в этой точке
О и обладающие тем свойством, что в окрестности этой точки
расстояния s точек от этой точки выражаются через эти координаты
соотношением s2 = \ х\. «После введения этих переменных для
г
265
бесконечно малых значений х,— пишет Риман, — квадрат
линейного элемента примет вид %dx2, причем член следующего порядка
будет однородным выражением степени от п (п — 1)/2 величин
(xxdx2 — x2dx1), (xxdx3 — x3dxx), • • •» т- е- этот член будет уже
бесконечно малой величиной четвертого порядка. Отсюда следует,
что мы получим конечную величину, если разделим эту величину
на квадрат площади бесконечно малого треугольника, в вершинах
которого переменные имеют значения (0, 0, . . ., 0), (хг, х2,
х3, . . .) (dxx, dx2, dx3, . . .). Эта величина сохраняет неизменное
значение, поскольку величины х и dx содержатся в одних и тех
же бинарных линейных формах или же поскольку обе кратчайшие
линии от значений 0 к значениям х и от значений 0 к значениям dx
лежат в одном и том же плоском элементе, и зависит,
следовательно, только от местонахождения и направления этого элемента.
Она, очевидно, равна пулю, если рассматриваемое многообразие
плоское, т. е. если квадрат линейного элемента приводится к виду
2dr2, и может потому служить мерой того, насколько
многообразие по данному плоскостному направлению отклоняется от
плоского многообразия. Будучи умножена на —3/4, она становится
равной той величине, которую г. тайный советник Гаусс назвал
мерой кривизны поверхности» [168, с. 285—286].
В силу выбранных Риманом координат степенное
разложение квадрата линейного элемента ds2 вблизи рассматриваемой им
точки может быть записано в виде
ds* = ^ dx\ + ^ ^ ^ cijt ^dxidxj +
i i j к
+ Xj X!l Xj Xl Cij' UXkXldxidxi + ' * * '
гДесгми ^сгШ равны значениям производных ^ и дхь£х в
рассматриваемой точке. Риман прежде всего замечает, что линейный
член в этом разложении отсутствует, т. е. ci;-,fe =0, что является
следствием того, что его координатные линии — геодезические линии,
удовлетворяющие уравнениям (8.3), где коэффициенты Т]к
выражаются через gtj по формулам (8.4). Далее Риман утверждает, что
члены второго порядка в разложении ds2 образуют квадратичную
форму от величин x{dxj — Xjdxt. Если мы для единообразия будем
обозначать бесконечно малые величины xt через 8xtl то будем
записывать указанные величины в виде Axtj = 6xtdxj — bxjdxt.
Эти величины определяют параллелограмм, построенный на
векторах {dxt} и {6#*}; поэтому члены второго порядка в разложении
можно записать в виде
Л*2 = V. V V. V. Ra. ы&хиЬхъ
£££5>
266
Полученная Риманом величина, которую он называет частным
от деления величины Лб2 на площадь треугольника, построенного
на векторах {dxt} и {bxi}, — на самом деле предел этого частного
при стягивании указанного треугольника в точку. В настоящее
время величина, пропорциональная определенной Риманом величине
(с таким множителем пропорциональности, при котором в случае
поверхности она совпадает с гауссовой кривизной), называется
римановой кривизной пространства в данной точке в данном
двумерном направлении.
Далее Риман приводит указанную нами выше геометрическую
интерпретацию определенной им кривизны: указав, что на
поверхностях в обычном пространстве «разность между суммой углов
бесконечно малого треугольника и двумя прямыми углами
пропорциональна площади треугольника», Риман пишет: «Чтобы дать
геометрическое истолкование мере кривизны га-кратно
протяженного многообразия в данной точке относительно данного через
нее проходящего плоского элемента, нужно исходить из того, что
кратчайшая линия, выходящая из данной начальной точки,
определяется полностью, если указано ее начальное направление.
Отсюда следует, что мы получим совершенно определенную
поверхность, если продолжим все кратчайшие линии, выходящие
из данной точки и имеющие начальные направления, лежащие
в данном плоском элементе. Эта поверхность имеет в данной точке
определенную меру кривизны, каковая и есть мера кривизны п-
кратно протяженного многообразия в данной точке относительно
данного плоского элемента» [168, с. 287].
Риманова геометрия применялась им к теории
дифференциальных уравнений в «Математическом сочинении, в котором
содержится попытка дать ответ на вопрос, предложенный
знаменитейшей Парижской Академией: „Определить, каково должно быть
тепловое состояние однородного твердого тела, чтобы система
изометрических кривых, заданная в определенный момент
времени, оставалась системой изометрических кривых в любой момент
времени, таким образом, чтобы температура точки выражалась
в виде функции времени и еще двух независимых переменных"»
(„Trouver quel doit etre l'etat calorifique (Tun corps solide homogene
pour qu'une systeme de courbes isothermes, a un instant donne, res-
tent isothermes apres un temps quelconque, de telle sorte que la
temperature d'un point puisse s'exprimer en fonction du temps et
de deux autres variables independentes"), написанном в 1861 г.
и опубликованном в его собрании сочинений (Лейпциг, 1876)
[168, с. 399—413]. В этой работе решается задача приведения
дифференциального уравнения теплопроводности
к простейшему виду, равносильная задаче о преобразовании
267
квадратичной формы \ \ bijdsidsj к сумме квадратов. Риман на-
г j
ходит необходимое и достаточное условие возможности этого в
виде равенства нулю выражения
К =
2j 2j 2_j 2-j ^ kl№si6sj—dsfisiKdsk6si—dsfisk)
J. i j /c I
i j i J id
не изменяющегося при замене переменных. По поводу этого
выражения, обозначаемого им (III), Риман говорит: «Выражение
bijdsidsj можно рассматривать как линейный элемент в
Г 11
общем я-кратно протяженном пространстве, лежащем за пределами
нашей интуиции. Если в этом пространстве из точки (sx, sr, . . .
. . ., sn) провести всевозможные кратчайшие линии, начальные
направления которых характеризуются отношениями ads1 +
+ рб^: ads2 + |36s2: . . .: adsn + $8sn (причем аир —
произвольные величины), то эти линии образуют некоторую
поверхность, которую можно представить себе расположенной в обычном
пространстве нашей интуиции. В таком случае выражение (III)
будет являться мерой кривизны упомянутой поверхности в точке
(*i, *2, • • ., sn)> [168, с. 412].
Величины (ij, /cZ), так называемые «четырехзначковые символы
Римана»,— те же величины, которые мы выше обозначали через
Rij,ki- Заметим, что величины Rtj^i выражаются через
коэффициенты gtj и их производные с помощью (выражаемых через
gtj и их производные по формулам (8.4)) величин Т]ц по формуле
R — ( dTjk d?ik _L Vh Vr V1} Г* \ <t
В указанной работе Риман применял и величины Г)й, которые
он здесь обозначал ptjk.
Исследования Римана были продолжены Эльвином Бруно
Кристоффелем (1829—1900) в работе «О преобразовании
однородных дифференциальных выражений второй степени» («Uber die
Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten
Grades». Берлин, 1869) [303, т. 1, с. 368—377], где ставилась
задача определения условий, при которых геометрия, заданная
формой \ у gijdxidxj, совпадает с геометрией, заданной формой
г j
У у hijdy^dyj. Если замысел Римана представляет собой развитие
i 3
теории поверхностей Гаусса, то задача Кристоффеля представляет
268
собой обобщение задачи о наложении поверхностей. Найденное Кри-
стоффелем необходимое условие совпадения геометрий состоит в
совпадении дифференциальных форм Rij^idxtdx^Xjbx^
вычисленных для двух данных форм. Кристоффель обозначал величины
Г}к символами ( 7^\ а величины \ guTljk символами Г /^ 1
вследствие чего эти величины часто называют «трезхначковыми
символами Кристоффеля» соответственно первого и второго рода.
Римановы пространства постоянное кривизны. Определив
римановы пространства переменной кривизны и отметив, что
евклидовы пространства являются пространствами нулевой
кривизны, Римаы специально остановился на пространствах
постоянной ненулевой кривизны: «Многообразия, для которых мера
кривизны везде равна нулю, представляют собой частный случай
многообразий, для которых мера кривизны всюду постоянна.
Многообразия с постоянной мерой кривизны могут быть
характеризованы также тем свойством, что фигуры могут в них
перемещаться без растяжений и сжатий. В самом деле, очевидно, что
фигуры не смогли бы быть как угодно перемещаемы и вращаемы
в многообразии, если бы мера кривизны не оставалась неизменной
в каждой точке по любому направлению. С другой стороны,
метрические отношения на многообразии полностью определяются
мерой кривизны; поэтому если в одной точке по всем направлениям
мера кривизны остается той же, что и во всякой другой точке, то
во всякой точке можно выполнить те же построения, что и в
начальной точке, так что на многообразии с постоянной мерой
кривизны фигуры способны занимать совершенно произвольные
положения. Метрические отношения на таких многообразиях зависят
только от числового значения меры кривизны, по поводу
аналитического представления я позволю себе заметить, что, если это
числовое значение обозначено через а, выражение для линейного
элемента может быть приведено к виду =— lX V^dr2 y> f^8,
,+i'^^/L"
с. 319-320].
Это выражение Римана является обобщением указанного нами
выше выражения Миндипга линейного элемента поверхности
постоянной кривизны через ее гауссову кривизну.
Простейшим примером гс-мерного риманова пространства
постоянной положительной кривизны является сфера в (п + 1)-
мерном евклидовом пространстве: риманова кривизна сферы
радиуса г любой размерности во всех двумерных направлениях
равна 1/г2, так как площадь любого сферического треугольника равна
произведению его углового избытка на г2.
Примером ^-мерного риманова пространства постоянной
отрицательной кривизны является тг-мерное пространство
Лобачевского, определенное впервые Э. Бельтрами в «Основах теории
269
пространств постоянной кривизны» («Teoria fondamentale degli
spazi di curvatura costanie». Милан, 1868) [16], опубликованных
в том же году, что и его упоминавшаяся выше работа. Это
пространство можно рассматривать также как одну из полостей сферы
радиуса qi в (п + 1)-мерном псевдоевклидовом пространстве;
риманова кривизна такой сферы во всех двумерных направлениях
равна — 1А?2, так как площадь любого сферического треугольника
па этой сфере равна произведению его углового дефекта на q2.
Отметим также замечательную теорему Ф. Шура, доказанную
в его работе «О связи пространств с постоянной мерой кривизны
с проективными пространствами» («Ober die Zusammenhang der
Raume constanten Kriimmungsmasses mit den projectiven Raumen».
Лейпциг, 1886) [475], в силу которой из постоянства римановой
кривизны по всем двумерным направлениям в каждой точке
следует постоянство римановой кривизны во всех точках;
доказательство Шура носит чисто геометрический характер и основано на
проективном отображении связки линейных элементов одной точки
на такую же связку другой точки. Аналитическое доказательство
этой теоремы дал Луиджи Бианки (1856—1928) в работе «О четы-
рехиндексных символах и римановой кривизне» («Sui simboli
a quatro indici e sulla curvatura di Riemann». Рим, 1902) [269].
Эллиптическая геометрия. Другой формой ^-мерного
риманова пространства постоянной положительной кривизны является
сфера в (п + 1)-мерном евклидовом пространстве с
отождествленными диаметрально противоположными точками, называемая
я-мерным эллиптическим пространством или неевклидовым
пространством Римана. Пары диаметрально противоположных точек
сферы (п + 1)-мерного евклидова пространства проектируются
из центра сферы в точки бесконечно удаленной плоскости этого
пространства при его дополнении до (п + 1)-мерного
проективного пространства. Эта плоскость является га-мерным
проективным пространством, вследствие чего эллиптическое пространство
можно рассматривать как метризованное проективное
пространство. Так как произвольная сфера (п + 1)-мерного евклидова
пространства
г г
уравнение которой в однородных координатах может быть
записано в виде
А ^ х\ + 2 ^ Ь{х{х0 + с (х0)2 --= 0,
г г
пересекается с бесконечно удаленной плоскостью х0 = 0 по
мнимой квадрике (поверхности второго порядка) > х\ = 0, то
270
эллиптическое пространство можно определить как проективное
пространство с заданной в нем мнимой квадрикой. Расстояние
со между двумя точками X и У эллиптического пространства
кривизны 1/г2 связано с углом ср между соответственными диаметрами
сферы соотношением со = срг. С другой стороны, угол ср между
двумя прямыми х, у евклидова пространства, как показал Эдмон
Лагерр (1834—1886) в работе «О теории фокусов» («Sur la theorie
des foyers». Париж, 1853) [384, т. 2, с. 6—15], выражается через
двойное отношение i/, ху прямых х, у и двух «изотропных прямых»
i, /, т. е. мнимых прямых нулевой длины, проходящих в плоскости
прямых х, у через точку их пересечения, соотношением
ф = ^1п(/~гу. (8.5)
Так как мнимые прямые i, /, соединяющие центр сферы с
точками /, / мнимой квадрики \ х\ = О на бесконечно удаленной плос-
г
кости, в силу уравнения этой квадрики изотропны, из формулы
Лагерра (8.5) вытекает выражение для расстояния со между
точками X и Y эллиптического пространства через двойное отношение
//, X Y этих точек и двух точек /, / пересечения прямой XY
с мнимой квадрикой в виде
(о = -£-1п//,ХУ. (8.6)
Эллиптическая метрика на проективной плоскости была
определена в 1859 г. А. Кели в «Шестом мемуаре о формах» F103].
Эллиптическая метрика в пространстве, а также термин
«эллиптическая геометрия» были предложены в 1871 г. Ф. Клейном
в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» [92], где
он писал: «В основу общего проективного мероопределения в
пространстве кладется произвольная фундаментальная поверхность
второго порядка.
Чтобы определить расстояние между двумя точками, их
соединяют прямой линией. Она пересекает фундаментальную
поверхность в двух новых точках, которые образуют с обеими данными
определенное двойное отношение. Логарифм этого двойного
отношения, умноженный на произвольную константу с, и дает то,
что следует назвать расстоянием между точками.
Аналогично определяют угол между двумя плоскостями.
Нужно провести через прямую их пересечения обе касательные
плоскости к фундаментальной поверхности. Они определяют с
данными плоскостями некоторое двойное отношение. Угол между
плоскостями равен логарифму этого двойного отношения, умноженному
на произвольно выбранную константу с'.
Под движениями пространства понимают совокупность
линейных преобразований, оставляющих неизменной фундаментальную
поверхность...
271
Под сферами понимают такие поверхности второго порядка,
которые касаются фундаментальной поверхности на плоской
кривой. Центр сферы является полюсом плоскости, содержащей
кривую соприкосновения...
Если фундаментальная поверхность мнима, то все прямые
линии имеют конечную длину, каждый пучок плоскостей —
конечную сумму углов. К этому случаю относится эллиптическая
геометрия (если только константа с' в определении углов взята
равной Y—1/2, чтобы сумма углов в пучке плоскостей равнялась я).
Мы не будем исследовать случай, когда фундаментальная
поверхность вещественная и линейчатая (как однополостный
гиперболоид), потому что этот случай никак не связан с
рассматриваемыми здесь тремя геометриями (эллиптической, гиперболической,
параболической).
Наконец, если фундаментальная поверхность вещественная
и нелинейчатая, то для внутренних точек поверхности мы получим
мероопределение, включающее мероопределение гиперболической
геометрии, если снова положить константу с' равной у —1/2.
Параболическая геометрия содержится в специальном случае
общего мероопределения; этот случай возникает, если
фундаментальная поверхность специализируется (вырождается) в мнимое
коническое сечение. Фундаментальное коническое сечение
параболической геометрии является так называемой бесконечно
удаленной мнимой окружностью» [92, с. 299—301].
В настоящее время «фундаментальная поверхность», о которой
говорит Клейн, называется термином Кели «абсолют». Заметим,
что «линейными преобразованиями» Клейн называет коллинеа-
ции, гиперболической геометрией — геометрию Лобачевского,
а параболической геометрией — евклидову геометрию;
«бесконечно удаленная мнимая окружность»— мнимая окружность \ х\ = 0
г
на бесконечно удаленной плоскости евклидова пространства,
играющая роль абсолюта этого пространства. Геометрия внешней
области овальной (нелинейчатой) квадрики и геометрия
линейчатой квадрики не рассматривались Клейном по той причине, что
в малых участках геометрия этих пространств не евклидова, как
в случае эллиптической геометрии и геометрии Лобачевского,
а псевдоевклидова.
Заметим также, что формула (8.6) отличается от формулы (6.27)
для пространства Лобачевского только заменой вещественного
множителя q на чисто мнимый множитель r/i.
Параллели и поверхности Клиффорда. Геометрия
эллиптического пространства была значительно развита Вильямом Кингдо-
ном Клиффордом (1845—1879) в его «Предварительном очерке би-
кватернионов» («Preliminary sketch of biquaternions». Лондон,
1879) [95, с. 314-343].
272
Определив эллиптическую, гиперболическую и
параболическую геометрии как геометрии, абсолютами которых являются
соответственно мнимая квадрика, вещественная (овальная) квадрика
и мнимое коническое сечение на вещественной плоскости, он
переходит к рассмотрению первой из них. Определив полюсы и
полярные плоскости и взаимно полярные прямые относительно абсолюта
и указав, что две точки, полярно сопряженные относительно
абсолюта, «отстоят друг от друга на квадрант», т. е. на-^ г или,
считая г — 1, на я/2, Клиффорд замечает, что «через произвольную
точку, вообще говоря, может быть проведена только одна прямая,
перпендикулярная к данной плоскости, а именно — прямая,
соединяющая взятую точку с полюсом плоскости. Если же эта точка
и будет полюсом плоскости, то всякая прямая, через нее
проведенная, перпендикулярна плоскости. Подобным образом из точки, не
лежащей на поляре данной прямой, может быть проведен один-
единственный перпендикуляр к этой линии, а именно — прямая,
проходящая через взятую точку и пересекающая данную линию
и ее поляру». И далее: «Вообще говоря, всегда можно провести две
такие прямые линии, которые пересекали бы две данные прямые под
прямыми углами, причем эти линии будут служить по отношению
друг к другу полярами. Одна из этих прямых может поэтому быть
превращена в другую посредством вращения вокруг двух
полярных осей. Эти оси определяются как такие прямые, которые
пересекают две данные линии и их поляры. Если мы будем непрерывно
перемещаться по одной из этих линий и проводить
перпендикуляры к другой, то одна из этих осей будет определять наименьшее
(кратчайшее) расстояние между линиями, а другая —
наибольшее. Если эти длины друг другу равны, то линии отстоят друг от
друга на одинаковом расстоянии по всей своей длине. Таким
образом, тут мы имеем дело с исключением, а именно — с тем
случаем, когда две прямые и их поляры принадлежат к одной и той
же системе образующих гиперболоида', прямые тогда отстоят
друг от друга на одинаковом расстоянии по всей своей длине и
пересекают две одни и те же образующие одной системы абсолюта.
Я буду пользоваться словом параллельный для обозначения двух
линий, расположенных таким образом; такие линии будут
называться гаравопараллельными и левопараллельными в
зависимости от того, превращается ли одна в другую при помощи правого
или левого кинематического винта. Через произвольную точку
может быть проведена по отношению к данной прямой одна право-
параллельная линия и одна левопараллельная; угол между этими
параллельными равен удвоенному расстоянию точки от линии.
Можно во многих отношениях провести аналогию между
параллельными, которым мы дали здесь определение, и параллельными
параболической геометрии. Так, например, если прямая
пересекает две параллельные, то она образует с последними равные
углы; ряд параллельных линий, пересекающих данную линию,
273
Рис. 91 Рис. 92
образует построенную по некоторому закону поверхность с
кривизной, равной нулю. Геометрия этой поверхности та же, что у
конечного параллелограмма, противоположные стороны которого
рассматриваются как тождественные» [95, с. 331—333].
Определенные Клиффордом параллели называются в настоящее время
паратактичными прямыми *; не следует забывать, что в отличие от
параллелей евклидовой («параболической») геометрии параллели
Клиффорда — скрещивающиеся прямые. На рис. 91 изображено
проведение правой и левой параллелей Клиффорда CD и СЕ
через точку С к прямой АВ: из точки С на прямую АВ опускается
перпендикуляр СА и строится его поляра DBE, на последней
в обе стороны от точки В откладываются отрезки BD и BE, равные
отрезку СА = а. Искомыми параллелями являются прямые
CD и СЕ; угол DCE измеряется отрезком DE = 1а и равен lair.
Построенная Клиффордом поверхность называется поверхностью
Клиффорда. Она является линейчатой квадрикой,
получающейся при вращении одной из двух паратактичных прямых вокруг
другой; ее прямолинейные образующие обоих семейств паратак-
тичны оси; в то же время она является поверхностью вращения
и вокруг поляры первой оси. На поверхности Клиффорда имеет
место евклидова геометрия, в то же время она обладает конечной
площадью, равной я2га sin , так как она изометрична ромбу со
сторонами яг и острым углом lair (рис. 92), причем каждая пара
противоположных сторон этого ромба склеена. Для доказательства
того, что геометрия на этой поверхности евклидова,
достаточно написать ее параметрическое уравнение в однородных
координатах, базисные точки которых расположены на осях поверхности:
х0 = cos — cos и, хг = cos — sin и,
x2 = sin — cos v, x3 = sin —— sin v,
1 Термин «паратактичные прямые» введен Э. Штуди в работе [497].
274
и вычислить линейный элемент
ds2 = \ dx\ = г2 (cos2 — du2 -f sin2 — dv2j,
г
т. е. если положить
тт а лт • а
и = г cos — -и, V = г sin — • v,
то Ж?2 =--= d£/2 + dF2.
Исключая из параметрических уравнений поверхности
Клиффорда параметры и и и, мы найдем ее уравнение в виде
sin2 -£- (sjj + x\) — cos2 -£- (х\ + 4) = 0.
Поверхность Клиффорда является простейшим решением
задачи Клиффорда — Клейна о нахождении пространств с
евклидовой метрикой, не изометричных евклидову пространству в целом.
Топология Римана. Помимо геометрии римановых пространств,
Риман был создателем еще одной важнейшей геометрической
дисциплины, значительно расширившей наши представления о
пространстве,— топологии. Мы уже указывали, что именно в смысле
топологии Эйлер понимал термин Лейбница «геометрия
положения» (хотя Карно и Грассман понимали этот термин в более узком
смысле). Эйлеровское понимание этого термина было развито
немецким физиком Иоганном Бенедиктом Листингом (1808—1862),
предложившим общепринятый в настоящее время термин
«топология» в своих «Предварительных исследованиях по топологии»
(«Vorstudien zur Topologie». Гёттинген, 1847) [112]. Термин
«топология» Листинг предложил, отправляясь от того же термина
Лейбница, заменив латинское слово situs («место») его
греческим переводом тбтсос. Объектом исследования Листинга были
«линейные комплексы, т. е. любые прямые или кривые линии или
совокупности линий» [112, с. 106]. Он рассматривал заузления,
сцепления, сплетения и другие виды взаимного расположения
линейных комплексов с многочисленными примерами из биологии
и техники. Более общим «пространственным комплексам» было
посвящено другое сочинение Листинга —«Перепись
пространственных комплексов, или Обобщение теоремы Эйлера о
многогранниках» («Der Census raumlicher Complexe, oder Verallgemeinerung
der Euler'schen Salzes von der Polyedern». Гёттинген, 1862) [404].
В том же топологическом смысле идеи Лейбница понимал Гаусс,
посвятивший топологическим исследованиям, как и исследованиям
по неевклидовой геометрии, несколько черновых записей и писем
(см. [341, т. 8, с. 407—410], см. также исследование Ж. К. Пона
[442а, с. 31—38]). В том же смысле идея Лейбница понималась
Риманом, основавшим топологию двумерных многообразий и за-
275
дожившим основы топологии многомерных многообразий.
Двумерная топология была основана Риманом в его упоминавшейся
нами «Теории абелевых функций» (1857), где он со ссылкой на
Лейбница писал: «Изучая функции, возникающие при
интегрировании полных дифференциалов, нельзя обойтись без некоторых
предложений, относящихся к analysis situs» [168, с. 90—91].
В этой работе Риман связывает с алгебраическими функциями
/ (х, у), заданными на плоскости комплексных переменных х, у,
многолистные поверхности, называемые в настоящее время «рима-
новыми поверхностями». Он подразделяет эти поверхности па
«односвязные, на которых любая замкнутая кривая полностью
ограничивает некоторую часть поверхности (такова, например,
поверхность круга), и многосвязные, указанным свойством не
обладающие (такова, например, поверхность кольца,
образованного двумя концентрическими окружностями» [168, с. 92], и
указывает, что с помощью системы разрезов многосвязную
поверхность можно превратить в односвязную. Риман вводит
характеристику р плоских алгебраических кривых (позже названную
А. Клебшем [308] родом кривой) как половину числа разрезов,
которые надо произвести на соответственной римановой
поверхности, чтобы превратить ее в односвязную. Число р в настоящее
время называют родом поверхности. Заметим, что, как показал
С. Люилье [399], для многогранников род р связан с эйлеровой
характеристикой многогранника % = NQ — Nx + N2
соотношением х = 2 — 2р. Для сферы р = 0, для тора р = 1, для сферы
с несколькими ручками р равно числу ручек. Риман доказал,
что род р римановой поверхности, число га ее листов и число w
ее точек ветвления связаны соотношением w — 2га = 2р — 2.
В приложенном к речи Римана «О гипотезах, лежащих в
основании геометрии» обзоре он делает примечание к первому разделу
речи «Понятие га-кратно протяженной величины»: «Раздел 1
является одновременно введением к исследованиям по analysis
situs» [168, с. 292]. В 1876 г. в собрании его сочинений были
опубликованы фрагменты, относящиеся к analysis situs, где
топологические свойства двумерной поверхности обобщаются на га-мерное
многообразие, называемое им «га-мерником» (ra-Streck) [168,
с. 294—296]. Здесь Риман определяет «га-мерники», в настоящее
время называемые гомологичными: «га-мерник А называется
переводимым в другой га-мерник 5, если А и части В совместно образуют
полную границу внутреннего (га + 1)-мерника». Далее он дает
важнейшее определение: «Если внутри непрерывно протяженного
многообразия с помощью т определенных частей га-мерников,
которые сами по себе не являются ограничивающими, каждый
неограниченный га-мерник становится ограничивающим, то это
многообразие имеет связность порядка т + 1 в га-й размерности.
Непрерывно протяженное многообразие называется односвяз-
ным, если порядок связности в каждой размерности равен
единице» [168, с. 294].
276
Нетрудно проверить, что для двумерной поверхности рода
р «порядок связности» Римана равен 2р + 1. Далее выясняется
зависимость «порядка связности» границы многообразия от
«порядка связности» этого многообразия.
Эти идеи Римана были изложены его другом Э. Бетти в
упоминавшейся работе «О пространствах произвольного числа
измерений» [268, т. 2, с. 273—290]. Как мы указывали, Бетти называл
«пространствами» многообразия в многомерных евклидовых
пространствах. Бетти обозначал «порядок связности» т-то рода (в п-и
размерности) рш + 1, в случае рт = 0 он называл связность
простой т-то рода.
Дальнейшее развитие этих идей принадлежит Анри Пуанкаре.
Уже в мемуаре «О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями» («Sur les courbes definies par les equations differentiel-
les». Париж, 1881—1885) [162] он широко пользовался
топологическими свойствами кривых для качественного описания решений
дифференциальных уравнений. Топологии многомерных
многообразий посвящен большой его мемуар с заимствованным у
Римана названием «Analysis situs» (Париж, 1895) [160, т. 2, с. 457—
548] и пять дополнений к нему (Палермо — Лондон — Париж,
1899-1904) [160, т. 2, с. 549-734].
Пуанкаре определяет (п — р)-мерное многообразие в ^-мерном
пространстве с помощью р уравнений и д неравенств между
п координатами. Далее Пуанкаре определяет границу
многообразия, гомеоморфизм между многообразиями, важнейшее понятие
комбинаторной топологии — гомологию, с помощью которого
он определяет «числа Бетти» многообразий, т. е. «порядки
связности» Римана — Бетти (в 20-х годах XX в. С. Лефшец
и Дж. Александер (см. [110]) предложили называть «числами
Бетти» числа, меньшие на 1 «чисел Бетти» Пуанкаре), и обобщает
теорему Эйлера для многогранников с любыми «числами Бетти»,
показав, что выражение N0 — Nx + N2 — ... + (—l)n7Vn-i
выражается через его «числа Бетти». Здесь же Пуанкаре определяет
коммутативные группы, названные им «группами Бетти», а также
основывает гомотопическую теорию многообразий, в которой
основную роль играет определенная им некоммутативная «группа
Пуанкаре».
Топологические пространства. В начале XX в. в связи с
распространением теоретико-множественной точки зрения, наряду
с изучением топологических инвариантов многобразий,
являющихся подмногообразиями евклидовых пространств, а также
полученных из таких многообразий отождествлением точек (как
проективная плоскость из сферы) или подразделением точек на
несколько точек различных листов (как риманова поверхность
алгебраической функции — из области определения этой функции на
плоскости комплексного переменного), математики начинают изучать
абстрактные пространства. Одной из первых работ в этом на-
277
правлении была работа французского математика Мориса Фреше
(1878—1973) «О некоторых положениях функционального
исчисления» («Sur quelques points du calcul ionctionnel». Палермо,
1906) [335]. В этой работе было впервые определено абстрактное
метрическое пространство, моделью которого Фреше считал
пространство функций или кривых. Для построения абстрактного
пространства Фреше находил необходимым «прежде всего
обобщить теорию линейных множеств, которая привела к такому
прогрессу в теории функций одного переменного», имея в виду хорошо
разработанную к этому времени теорию точечных множеств
числовой прямой. «Если допустить это предварительное изучение
множеств,— продолжает Фреше,— то возникает одна трудность.
Первое обобщение, которое представляется естественным, это
понятие непрерывной функции. Однако если хотят рассматривать
операции, переменная которых — элемент произвольной природы,
то нужно сначала знать, что следует понимать под соседним
элементом или под пределом последовательности элементов. Это
кажется невозможным: обычно дают специальное определение
предела для каждой категории рассматриваемых элементов — точек,
кривых и т. д. Я обошел эту трудность методом, аналогичным
тому, который позволяет в теории абстрактных групп рассуждать
о явно неопределенном виде композиции.
После этого я замечу, что почти все классические определения
предела (но не все) могут быть сформулированы следующим
образом: для рассматриваемой категории элементов всякой паре
элементов Л, В можно поставить в соответствие число р (А, В),
обладающее свойствами, весьма близкими к свойствам
расстояния двух точек, а именно, такое, что А совпадает с В, если р (Л,
В) = 0, А стремится к В, если р (А, В) стремится к нулю.
Принимая эту гипотезу, менее общую, но тем не менее весьма
широкую, получаем многочисленные более точные результаты.
Только что указанный нами путь приводит нас к обобщению
почти всех теорем о линейных множествах и о непрерывных
функциях (по крайней мере тех, которые можно сформулировать
независимо от природы рассматриваемых множеств)» [335, с. 1—2]
(см. также [14а, с. 304—305]).
Упоминая о теории абстрактных групп, Фреше подчеркивает,
что он применяет те же методы создания абстрактных
математических понятий, которые до того времени применялись только
в алгебре, где наряду с абстрактной теорией групп в конце 70-х
годов XIX в. появилась и абстрактная теория колец Р. Дедекинда.
Развивая эту программу, Фреше определяет общее
метрическое пространство, называемое им «классом (V)», как множество
«элементов любой природы, но таких, что мы знаем, как
определять, идентичны или нет два заданных элемента, и, кроме того,
таких, что любым двум из них А, В можно поставить в
соответствие число (А, В) = (В, А) ;> 0, обладающее следующими двумя
свойствами:
278
1°. Необходимое и достаточное условие того, чтобы (А, В)
было равно нулю, состоит в идентичности А и В.
2°. Существует вполне определенная положительная функция
/(e), такая, что неравенства (А, В) < е и (В, С) <1 е влекут
(Л, С) <^ / (е), каковы бы ни были элементы А, В, С. Иначе
говоря, для малости (А, С) достаточно, чтобы (А, В) и (В, С) были
малыми» [335, с. 18]. В настоящее время метрические пространства
определяют тремя аксиомами: «аксиомой тождества»,
совпадающей с аксиомой 1° Фреше; «аксиомой симметрии» (Л, В) =
= (В, А), которую Фреше считает частью определения
расстояния, и «аксиомой треугольника» (А, В) + (В, С) > (А, С),
заменяющую аксиому 2° Фреше.
Далее Фреше рассматривает множества в метрических
пространствах, предел последовательности и ограниченного множества.
Все предельные точки множества составляют производное
множество. Множества, содержащие все свои предельные точки,
называются замкнутыми, а дополнения замкнутых множеств до
всего пространства называются открытыми множествами.
Пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество
М, называется замыканием М множества М. Далее, определив
условие Коши для последовательности элементов Аг, А2,. . .
метрического пространства как возможность всякому числу е ^> О
поставить в соответствие целое п, такое, что неравенство
(Ап, Ап+р) ^> г будет выполняться при любомр, Фреше определяет
полное метрическое пространство как метрическое пространство,
в котором всякая последовательность, удовлетворяющая признаку
Коши, обладает предельным элементом, который необходимо
единствен.
Фреше ограничивается только такими пространствами,
которые по крайней мере одним способом могут рассматриваться как
производные множества счетных множеств своих элементов. Он
рассматривает различные метрические пространства, элементами
которых являются функции с различным образом определенным
расстоянием между ними.
Определение предельных точек и замкнутых множеств
позволяет устанавливать непрерывные отображения и гомеоморфизмы
рассматриваемых Фреше метрических пространств. Работа Фреше
стала отправным пунктом развития общей теории абстрактных
пространств и разработки основных понятий функционального
анализа.
Так как для изучения топологических свойств абстрактных
пространств понятие расстояния так же не нужно, как при
изучении топологических свойств линий и поверхностей, вскоре после
появления абстрактных пространств Феликс Хаусдорф (1868—
1942) в своих «Основаниях теории множеств» («Grundziige der
Mengenlehre». Лейпциг, 1914) [223] определил абстрактное
топологическое пространство. Хаусдорф назвал топологическим
пространством любое множество элементов, называемых точками,
279
в котором выделена система подмножеств {£/}, причем каждому
элементу х ставится в соответствие некоторые из множеств
системы {£/}, называемые окрестностями х, каждой точке х отнесена
хотя бы одна окрестность U (х)\ пересечение любых двух
окрестностей Ui (х) и U2 (х) каждой точки содержит окрестность U3 (у)
той же точки, и если у — точка окрестности U (#), то существует
окрестность U (у), содержащаяся в U (х). Задание окрестностей
позволяет определить предельные точки любого множества М
как такие точки х, каждая окрестность которой содержит хотя
бы одну точку М, отличную от х. Далее, так же как в
пространствах Фреше, определяются производные, замкнутые и открытые
множества. Нетрудно убедиться, что все окрестности являются
открытыми множествами.
Всякое метрическое пространство Фреше является
топологическим пространством в этом смысле, если определить в нем в
качестве окрестностей множества точек, расстояния которых от
точек некоторого счетного множества, производным множеством
которого является все пространство, меньше тех или иных
рациональных чисел. Нетрудно видеть, что множество определенных
таким образом окрестностей счетно, или, как говорят,
пространство обладает счетной базой.
Дальнейшим развитием определения Хаусдорфа является
определение топологического пространства, которое предложил
польский математик Казимеж Куратовский^ (р. 1896) в работе
«Операция А в analysis situs» («L'qperation A de Tanalysis situs».
Варшава, 1922) [383]. «Операцией Л» Куратовский называет
переход от множества А к его замыканию А. Топологическое
пространство, согласно Куратовскому,— множество элементов любой
природы, называемых точками, для подмножеств А которого
определена операция замыкания, удовлетворяющая следующим
аксиомам:
1° для объединения А + В множеств А ж В А + В = Ж + В,
2° множество А входит в свое замыкание, A QZ Ж,
3° замыкание пустого множества О совпадает с ним, О — О,
4° замыкание замыкания совпадает с ним самим, А = Ж.
Если для каждого ^подмножества А определено замыкание Жу
то точки множества Л, не являющиеся точками множества А
называются предельными точками множества А; множества А,
совпадающие со своими замыканиями Л, называются замкнутыми
множествами, а дополнения замкнутых множеств до всего
пространства называются открытыми множествами.
Советский математик Павел Сергеевич Александров (р. 1896)
в работе «К обоснованию тг-мерной теоретико-множественной
топологии» («Zur Begrundung der тг-dimensionalen Topologie».
Лейпциг, 1925) [250] предложил две более симметричные
модификации определения Куратовского:
280
1. Топологическое пространство — множество элементов
любой природы, называемых точками, в котором выделены
подмножества, называемые открытыми множествами, причем:
1° все пространство относится к открытым множествам;
2° пустое множество относится к открытым множествам;
3° пересечение конечного числа открытых множеств является
открытым множеством;
4° объединение произвольного множества открытых множеств
является открытым множеством.
2. Топологическое пространство — множество элементов
любой природы, называемых точками, в котором выделены
подмножества, называемые замкнутыми множествами, причем:
1° все пространство относится к замкнутым множествам;
2° пустое множество относится к замкнутым множествам;
3° объединение конечного числа замкнутых множеств является
замкнутым множеством;
4° пересечение произвольного множества замкнутых множеств
является замкнутым множеством.
В первом случае замкнутое множество определяется как
дополнение открытого, во втором случае открытое множество
определяется как дополнение замкнутого. Окрестности можно
определить как подсистему открытых множеств, обладающих тем
свойством, что любое открытое множество можно представить как
объединение множеств этой подсистемы.
Разным системам замкнутых или открытых подмножеств в
одном и том же множестве точек соответствуют различные
топологии в этом множестве. Например, приведенные нами аксиомы
удовлетворяются в случаях, когда
А) замкнутые (и открытые) множества — только все
пространство и пустое множество;
Б) замкнутые (и открытые) множества — все множества точек
пространства.
В случае А) замыкания всех непустых множеств, и в том
числе самих точек, совпадают со всем пространством. В случае Б)
замыкание каждого множества совпадает с ним самим, а
минимальная возможная система окрестностей — такая система,
в которой окрестность каждой точки состоит только из этой точки.
В этом случае в пространстве отсутствуют предельные точки и
пространство называется дискретным.
Хаусдорф исключил случай А) следующей аксиомой: для
всяких двух точек пространства можно найти две непересекающиеся
окрестности [223, с. 129] Иногда аксиому Хаусдорфа заменяют
более слабой аксиомой, введенной Ф. Риссом,— замыкания всех
точек пространства совпадают с ними самими [451, т. 1, с. 155—
169] — или еще более слабой аксиомой, введенной советским
математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым (род. 1903):
всякие две точки пространства обладают различными замыканиями
[251, с. 58].
281
Важнейшим классом топологических пространств являются
такие пространства, из всякого покрытия которых открытыми
множествами можно выделить конечное покрытие; если такое
пространство обладает счетной базой (счетной системой
окрестностей), оно называется компактным. Теория таких пространств
для случая, когда минимальная мощность системы окрестностей
больше мощности счетного множества, была разработана
советскими математиками П. С. Александровым и Павлом
Самуиловичем Урысоном (1898—1924), назвавшими эти пространства
бикомпактными [7]. Именно для этих пространств П. С.
Александровым была построена теория гомологии, аналогичная теории
гомологии многообразий евклидовых пространств. В настоящее время
найдено большое количество топологических инвариантов самых
разнообразных топологических пространств.
Одним из наиболее очевидных топологических инвариантов
является размерность топологического пространства. Если между
многообразиями различных размерностей можно установить
взаимно однозначное соответствие, то взаимно однозначное и взаимно
непрерывное соответствие можно установить только между
многообразиями одной размерности. В том случае, когда точки
топологического пространства обладают окрестностями, гомеоморфны-
ми области w-мерного евклидова пространства, за размерность
пространства естественно считать число п. В более сложных
случаях размерность была определена голландским математиком Люй-
цеиом Эгбертом Яном Брауэром (1882—1966) в работе
«Доказательство инвариантности числа измерений» («Beweis der Invarianz
der Dimensionzahl». Лейпциг, 1911) [285]. Развивая идеи Брауэра,
П. С. Урысон в «Мемуаре о канторовых многообразиях» (опубл.
1928) [210] и немецкий математик Карл Менгер (р. 1902) в «Теории
размерности» («Dimensionstheorie». Лейпциг, 1932) [410]
определили размерность с помощью индукции по числу измерений,
начиная с пустого множества, которому приписывается размерность —1.
Урысоном и Менгером было предложено и другое определение
размерности, которое в случае наиболее важных топологических
пространств эквивалентно приведенному выше: непустое
пространство тг-мерно, если всякое его конечное покрытие имеет
конечное подразделение порядка ^ тг и существует конечное покрытие
пространства, не имеющее конечных подразделений порядка <Сп.
Непустое пространство бесконечномерно, если оно не является
тг-мерным ни при каком целом неотрицательном п. Пустому про-
странству опять-таки приписывается размерность, равная —1.
В указанной работе Брауэра доказана знаменитая теорема
о неподвижной точке: при всяком непрерывном отображении
/г-мерного симплекса в себя имеется хотя бы одна неподвижная
точка. Впервые эта теорема была доказана латвийским математиком
Пирсом Болем (1865—1921), работавшим в Риге, в работе
«О движении механической системы вблизи положения равновесия»
(«Ueber die Bewegung eines mechanischen System in der Nahe einer
282
Gleichgewichtlage». Берлин, 1904) [24, с. 79—125]. Теорема
Боля — Брауэра была значительно обобщена советским
математиком Андреем Николаевичем Тихоновым (р. 1906) [508] на
бесконечномерные аналоги n-мерного симплекса. Боль пришел к
теореме о неподвижной точке в связи с задачей о доказательстве
существования решения системы дифференциальных уравнений,
связанных с движением рассматриваемых им механических систем.
Впоследствии теорема Боля — Брауэра была применена для
доказательства существования решений произвольных конечных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а теорема
Тихонова — для доказательства существования решений
бесконечных систем дифференциальных уравнений.
Влияние теории относительности. Мы уже указывали на
значение открытия Л. Эйнштейном специальной теории
относительности для выработки понятия псевдоевклидова пространства.
С общей теорией относительности связано появление книги
Г. Вейля «Пространство, время, движение», в которой была
изложена его аксиоматика n-мерного евклидова пространства.
Однако значение общей теории относительности для развития геометрии
намного шире и глубже. Если в специальной теории
относительности пространство-время рассматривалось как псевдоевклидово
пространство, то в общей теории относительности пространство-
время рассматривается как аналог риманова пространства,
относящийся к этому пространству, как псевдоевклидово к евклидову.
Такое пространство называется в настоящее время псевдоримано-
вим или общим римановым пространством. Так же как в римаиовом
пространстве, в каждой точке этого пространства задан квадрат
линейного элемента
ds*=YiYjgijdxidxJ'
г 3
где gu — функции точки, но квадратичная форма ds2 уже не
является положительно определенной, а в каждой точке может быть
приведена к виду
ds2 = — (dx0)2 + (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2.
Первый набросок общей теории был изложен Эйнштейном
совместно с немецким математиком Марселем Гроссманом (1878—
1936) в «Проекте обобщенной теории относительности и теории
гравитации» («Entwurf einer verallgemeinerten Relativitatstheorie
und Theorie der Gravitation». Лейпциг, 1913) [239, т. 1, с. 227—
266], окончательная теория изложена в «Основах общей теории
относительности» («Die Grundlage der allgemeinen
Relativitatstheorie». Лейпциг, 1916) [239, т. 1, с. 452—504].
Уже в работе 1913 г. Эйнштейн и Гроссман использовали
тензорное исчисление, созданное итальянским геометром Грегорио
283
Риччи-Курбастро (1853—1925) в работе «Принципы теории
дифференциальных квадратичных форм» («Principii di una theoria delle
forme differenziale quadratische». Милан, 1884) [450, т. 1, с. 138—
171] и впоследствии развитое им вместе с Туллио Леви-Чивита
(1873—1941) в «Методах абсолютного дифференциального
исчисления и их приложении» («Methodes de calcul differentiel absolu
et leurs application». Лейпциг, 1901) [450, т. 2, с. 185—271]. Риччи
называл ковариантной системой первого порядка функции at
координат х1, изменяющиеся при преобразовании координат х1' =
= хх' (х1, . . ., хп) по закону
ai' = Zai^~' (8-7)
г
частным случаем которого является закон преобразования част-
ных производных ~ТТ» а контравариантной системой первого
порядка — функции а{ координат #% преобразующиеся по
противоположному закону
г
частным случаем которого является закон преобразования
дифференциалов dxl координат. Скаляры Риччи рассматривал как
системы нулевого порядка.
Дважды ковариантной, дважды контравариантной и смешанной
системами второго порядка Риччи называл функции atj, аг] и а^
преобразующиеся соответственно по законам
«** = £ £ «ц, -|£- %г , ««* = £ £ «Ч
dxv дтР'
дхг дх>
г 3
дх1' dxj
ач-
г j
Аналогично Риччи определял системы высших порядков. Конт-
равариантные системы первого порядка в одной точке можно
рассматривать как координаты векторов; ковариантные системы
первого порядка в той же точке можно рассматривать как коэффициенты
линейных форм, заданных на этих векторах; дважды
ковариантные системы второго порядка можно рассматривать как
коэффициенты билинейных форм, заданных на этих векторах, а
смешанные системы второго порядка можно рассматривать как элементы
матриц линейных операторов, определенных на этих векторах.
Эйнштейн и Гроссман предложили называть «системы» Риччи
тензорами, распространив на них название «тензора упругости»,
а «порядки» систем — рангами. Голландский геометр Ян Арноль-
дус Схоутен (1883—1971) в «Исчислении Риччи» («Der Ricci-Kal-
284
kill». Берлин, 1924) [468] называл «системы» Риччи аффинорами,
распространив на них термин Ф. Юнга для линейных операторов,
а «порядки» систем — термином «валентность», заимствованным
из химии.
В настоящее время большинство математиков употребляют
термин «тензор» в смысле Эйнштейна и «валентность» в смысле
Схоутена. В тензорном исчислении по предложению
Эйнштейна в случае суммирования по ковариантному и коитравариантно-
му индексам знак суммы опускается, далее мы также будем
следовать этому правилу.
Коэффициенты квадратичной формы, определяющей метрику
риманова пространства, образуют дважды квадратичный тензор
gij, и указанная квадратичная форма записывается в тензорных
обозначениях в виде
ds2 = gudxxdx\ (8.10)
уравнение геодезических линий записывается в виде
Символы Кристоффеля Г. не образуют тензора и при преобра-
тт
зованиях координат изменяются по более сложному закону. Но
четырех значковые символы Римана, записываемые в настоящее
время в виде Щ]$, образуют тензор четвертой валентности,
называемый тензором кривизны.
Определенное Риччи ковариантное дифференцирование ставит
в соответствие всякому тензорному полю в римановом пространстве,
т. е. функции, определяющей в каждой точке некоторой области
риманова пространства тензор, поле некоторого нового тензора,
имеющего на одну ковариантную валентность больше. Ковариант-
ная производная V^-ф скаляра ф совпадает с его частной
производной —%- по координате хг. Ковариантные производные V,al и Vjat
дхг
векторов аг и at имеют вид
V'=-^ + I>\ viai = -^U-r;V (8.12)
Ковариантные производные Vkatj и Vka) тензоров atj и а) имеют вид
^kav = ТТ rfci«ii — Г#а«, Vfca) = —£- + Г^а,- — Г^-aJ.
дхл дхл
(8.13)
В общей теории относительности получили физическое
истолкование и кривизна псевдориманова пространства-времени, и его
геодезические линии, и другие факты его геометрии. Мы
остановимся более подробно на этом истолковании в 11-й главе. По
геодезическим линиям псевдориманова пространства-времени рас-
285
пространяются и световые лучи. Отклонение траекторий
материальных точек и световых лучей от прямых линий и представляет
собой притяжение материальных точек и света тяжелыми
массами, создающими гравитационное поле.
Параллельный перенос. Повышение интереса к римановой
геометрии, связанное с общей теорией относительности, привело к
к важнейшему открытию в этой геометрии — открытию
параллельного переноса векторов в работе Т. Леви-Чивита «Понятие
параллелизма в произвольном многообразии и вытекающая из него
геометрическая характеристика римановой кривизны» («Nozione
di parallelismo in uno varieta qualunque e consequente spezifica-
zione geometrica della curvatura Riemanniana». Палермо, 1917)
[396].
Если в точке А риманова пространства определен вектор аг, то
результат его переноса в точку В линии хг (t) является решением
дифференциального уравнения
4-+г>3'^ = °> (8-14)
которое с помощью ковариантной производной можно переписать
в виде
Поэтому, если определить вдоль координатной линии
векторное поле из векторов, полученных параллельным переносом
данного вектора, ковариантная производная по соответственной
координате во всех точках этой линии равна нулю. Параллельный
перенос векторов допускает наглядное геометрическое определение.
Параллельный перенос векторов из некоторой точки А этого
пространства в бесконечно близкую точку В порождается
отображением окрестности точки А на окрестность точки В, состоящим
из отражения окрестности точки А по геодезическим линиям от
этой точки и такого же отражения содержащей эту окрестность
окрестности точки С, являющейся серединой дуги геодезической
линии, соединяющей точки А и В, от точки С. При этом
отображении окрестностей приращения координат точки А переходят
в приращения координат точки В, а следовательно, и
дифференциалы координат точки А, т. е. векторы в точке А, переходят
в дифференциалы координат точки В, т. е. в векторы в
точке В. Название «параллельный перенос» объясняется тем, что
отображение обычного пространства, состоящее из отражений от
двух его точек, является параллельным переносом этого
пространства. Леви-Чивита показал, что кривизна риманова
пространства в двумерном направлении является пределом отношения
угла, на который поворачивается вектор при параллельном обне-
сении по замкнутому контуру, проходящему через данную точку,
286
к площади поверхности, ограничиваемой этим контуром при
стягивании контура в эту точку (в этом и состоит предложенная им
«геометрическая характеристика римановой кривизны»).
Пространства аффинной связности. В общей теории
относительности геометрические свойства пространства определялись
только гравитационным полем, в то время как электромагнитное
поле не имело никакого отношения к геометрии пространства.
После создания общей теории относительности Эйнштейн
поставил задачу разработки такой геометрии четырехмерного
пространства-времени, которая определялась бы не только
гравитационным, но и электромагнитным полем.
Хотя задача создания единой теории поля не дала каких-либо
существенных результатов для физики, эта задача оказалась
исключительно плодотворной для геометрии. Одной из первых
единых теорий поля была теория, предложенная Г. Вейлем в
книге «Пространство, время, материя» (1918) [520] В этой теории при
переходе в бесконечно близкую точку, помимо параллельного
переноса векторов, вводится растяжение векторов. Дальнейшее
развитие теории Вейля привело к появлению общего понятия
пространства аффинной связности в работе Я. А. Схоутена «О
различных видах связности, которые могут быть положены в основу
дифференциальной геометрии» («Uber die verschiedenen Arien der
Obertragung die einer Differentialgeometrie zugrunde gelegt
vverden konnen». Берлин, 1922) [469]. Теория Схоутена была
подробно изложена в его «Исчислении Риччи». Пространство
аффинной связности определяется как многообразие точек с
координатами #\ в каждой точке которого заданы функции точки Г)к =
= rjtj, в общем случае не выражающиеся через функции точек #,/
Поэтому в общем случае в пространстве аффинной связности
нельзя определить длин линий, но можно определить параллельный
перенос векторов по формуле (8.14). В пространстве аффинной
связности определены геодезические линии, являющиеся решениями
уравнений (8.11), и для каждой дуги геодезической линии
определена середина этой дуги. В таком пространстве можно опредс
лить отражение от точки по геодезическим линиям; геометрический
смысл параллельного переноса векторов, так же как в рима-
новом пространстве, состоит в том, что этот перенос определяется
отображением окрестности точки пространства в окрестность
бесконечно близкой точки, состоящим из двух отражений от двух
точек по геодезическим линиям. Название «аффинная связность»
объясняется тем, что отображение векторов в одной точке этого
пространства на векторы в бесконечно близкой точке является
аффинным отображением пространств векторов.
Римановы и псевдоримановы пространства являются, очевидно,
частными случаями пространств аффинной связности. В этих
пространствах отображение векторов в одной точке на векторы
287
в бесконечно близкой точке при параллельном переносе является
изометрическим отображением соответственно евклидовых или
псевдоевклидовых пространств.
Пространство, определенное Вейлем в его единой теории поля,
также является частным случаем пространства аффинной
связности. В этом пространстве отображение векторов в одной точке
на векторы в бесконечно близкой точке при параллельном
переносе является преобразованием подобия.
Более общие пространства были определены французским
математиком Эли Картаном (1869—1951). В работах «О
многообразиях аффинной связности и обобщенной теории
относительности» («Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relativite
generalisee». Париж, 1923) [87, с. 6—118], «Пространства
конформной связности» («Les espaces a connexion conforme». Париж, 1923)
[87, с. 155—206] и «О многообразиях проективной связности»
(«Sur les varietes a connexion projective». Париж, 1924) [87, с. 119—
154] Картан ввел понятие пространства однородной связности.
Если в пространстве аффинной связности с каждой точкой
связано пространство векторов, которое можно рассматривать как
аффинное пространство, и при параллельном переносе векторов
производится аффинное отображение пространства в некоторой
точке на пространство в бесконечно близкой точке, то с каждой
точкой пространства однородной связности связано некоторое
однородное пространство с определенной группой преобразований.
При этом для всякой пары бесконечно близких точек указано
отображение пространств, соответствующих этим точкам,
сохраняющее геометрию этих пространств. Важнейшими из пространств
однородной связности, помимо пространств аффинной связности
и отмеченных нами его частных случаев, являются пространства
проективной и конформной связности, с каждой точкой которых
связано соответственно проективное или конформное
пространство, и для всякой пары бесконечно близких точек пространства
связности указано соответственно проективное или конформное
отображение друг на друга пространств, связанных с этими
точками.
Дифференцируемые многообразия. Определенные Б. Риманом
и С. Ли пространства и группы, носящие их имена, так же как
псевдоримановы пространства, пространства Г. Вейля и более
общие пространства аффинной связности и других однородных
связностей были определены только локально — в области
некоторой системы координат. Определение топологических
многообразий позволило изучать дифференциально-геометрические
пространства в целом. Во всяком/г-мерном топологическом
многообразии можно определить гомеоморфное отображение некоторой
окрестности U всякой точки на некоторую область тг-мерного
евклидова пространства. При этом система координат в евклидовом
пространстве определяет координаты в окрестности £/, Эта систе-
288
ма координат в окрестности U называется в настоящее время
системой локальных координат или локальной картой многообразия,
а совокупность всех локальных карт многообразия образует
атлас многообразия. Многообразие называется
дифференцируемым класса v или аналитическим: 1° если области карт атласа
покрывают все многообразие; 2° если U и U' — две области карт
атласа с непустым пересечением и точка х этого пересечения имеет
координаты хг и х в этих картах, то функции х1' = / (ж1, . . .
. . ., хп) соответственно обладают непрерывными частными
производными, до порядка v включительно, или являются
аналитическими функциями и якобиан det отличен от нуля всюду
в рассматриваемом пересечении областей.
Определение дифференцируемого и аналитического
многообразий было сформулировано Освальдом Вебленом (1880—1960)
и Джоном Генри Константином Уайтхедом (1904—1960) в
«Основаниях дифференциальной геометрии» («The foundations of
differential geometry». Кембридж, 1932) [30].
С каждой точкой дифференцируемого многообразия связано
линейное пространство, векторами которого являются векторы
[dx%), координаты этих векторов — дифференциалы координат;
эти пространства называются касательными пространствами
дифференцируемого многообразия. При преобразованиях коор-
t \'
динат х ->- х координаты векторов и тензоров касательных
пространств изменяются по законам (8.7) — (8.9) и т. д. Если
в каждом из касательных пространств дифференцируемого
многообразия задан метрический тензор gtj, определяющий
скалярное произведение евклидова или псевдоевклидова пространства,
то дифференцируемое многообразие называется соответственно
римановым или псевдоримановым пространством в целом. Если
в каждом из касательных пространств дифференцируемого
многообразия задан объект Г)к, изменяющийся при преобразованиях
координат по тому же закону, что и коэффициенты Т}к римановых
пространств, то дифференцируемое пространство называется
пространством аффинной связности в целом.
Расслоения. Пространства со связностями представляют собой
частный случай расслоенных пространств, которые в отличие от
пространств со связностями Схоутена — Картана
рассматриваются в целом. Теория расслоенных пространств в целом появилась
первоначально в виде теории «сферо-пространств», т. е.
расслоенных пространств, «слоями» которых являются сферы. Эта теория
возникла при решении задачи непрерывного отображения
тг-мерной сферы на m-мерную, так как при п^>т каждой точке
лг-мерной сферы соответствует (п — яг)-мерное многообразие в
^-мерной сфере, так что сфера «расслаивается» на эти многообразия;
полученные слои также являются сферами. Теория таких про-
10 Б. А. Розенфельд
289
странств была построена американским математиком Хасслером
Уитни в его работе «Сферо-пространства» («Sphere-spaces». Бостон,
1935) [522]. В работе «О теории сферо-пучков» («On the theory of
sphere bundles». Бостон, 1940) [523] Уитни называет эти
пространства «сферо-пучками». Наиболее полно теория Уитни
изложена в его лекциях «О топологии дифференцируемых
многообразий» («On the topology of differentiate manifolds». Анн Арбор,
1941) [524]. Наряду со «сферо-пучками» Уитни рассматривал
и «плоскосте-пучки» (plane-bundles). Уитни связывал с каждым
дифференцируемым многообразием «касательный плоскосте-пучок»,
состоящий из касательных пространств этого многообразия, и
«касательный сферо-пучок», состоящий из сфер в этих касательных
пространствах с центрами в точках касания, причем в каждом
касательном пространстве задается одна сфера. В первом случае
точки «слоев» характеризуют векторы дифференцируемого
многообразия, во втором случае — направления, выходящие из
точки многообразия.
Вскоре сферы в «сферо-пучках» Уитни были заменены
произвольными гомеоморфными между собой многообразиями, и
возникло общее понятие «расслоенного пучка» или «расслоенного
пространства». Общая теория этих пространств была изложена
американским математиком Норманом Стинродом в монографии
«Топология расслоенных пучков» («The topology of fibre bundles».
Принстон, 1951) [200], подводящей итог развитию этой теории.
Простейшим расслоенным пространством является прямое
произведение двух топологических пространств J и Г, т. е.
множество пар (s, t) элементов s из S и t из Т, причем замкнутыми
множествами топологического произведения являются также
множества пар (s, £), в которых оба элемента s и t пробегают
замкнутые множества пространств S и Т. В этом случае можно
рассматривать множества пар (s, t0) с фиксированным элементом t0 как
«слои», а пространство Т всех возможных элементов t0 как «базу»
расслоенного пространства. Можно рассматривать также
множество пар (so, t) с фиксированным элементом s0 как «слои», а
пространство S — как базу того же расслоенного пространства. В этом
случае расслоение называют тривиальным.
В более сложных случаях расслоенное пространство не
является прямым произведением «слоя» на «базу», но также состоит
из гомеоморфных между собой «слоев», а если считать «слои»
за точки некоторого нового пространства, это пространство можно
считать «базой» расслоенного пространства. Простейшим из таких
расслоенных пространств является так называемый лист Мёбиуса,
получающийся из боковой поверхности прямого кругового
цилиндра отождествлением пар точек, симметричных относительно
его центра симметрии, или из прямоугольника (который можно
рассматривать как развертку половины указанного цилиндра на
плоскость) склеиванием точек двух его противоположных сторон,
симметричных относительно центра симметрии прямоугольника.
290
Поэтому общие расслоенные пространства называют также
косыми произведениями. Обычно рассматривается также группа
топологических отображений «слоя» на себя, сохраняющих ту или
иную структуру этих «слоев», и отображения «слоев» друг на
друга, сохраняющие ту же структуру.
Важнейшим видом расслоенного пространства являются
«касательные плоскосте-пучки», определенные Уитни для
дифференцируемых многообразий. В настоящее время их называют просто
«касательными пучками» дифференцируемых преобразований.
Базами этих расслоенных пространств являются сами
дифференцируемые многообразия, а «слоями» — их касательные пространства.
Расслоенными пространствами являются и римановы, псевдорима-
новы и пространства аффинной связности в целом вместе с их
касательными пространствами, являющимися соответственно
евклидовыми, псевдоевклидовыми и аффинными пространствами, а
также пространства проективной, конформной и любой однородной
связности вместе с соответственными однородными
пространствами, также образующими «слои». Группами отображений «слоев»
этих пространств являются соответственно группы евклидовых
и псевдоевклидовых движений, аффинных, проективных,
конформных и других преобразований.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
%
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Появление понятия группы. Понятие группы было
определено вначале для одного класса конкретных групп — групп
подстановок, к изучению которых привели попытки разыскания
решений алгебраических уравнений степени п>5 в радикалах.
Впервые перестановки корней алгебраических уравнений
изучались Ж. Л. Лагранжем в «Размышлениях о решении уравнений»
(«Rellexions sur la resolution des equations». Берлин, 1771) [385,
т. 3, с. 205—515]. Лагранж заметил, что если хи х2, х3 — корни
кубического уравнения, то каждый из кубических радикалов
в «форме Кардано» можно записать в виде Vs(#i + <<оа:2 + со2^),
где со — кубический корень из 1. При этом функция (х± + юх2 +
+ (х)2х3)2 при всевозможных перестановках корней принимает
два значения, откуда следует, что эта функция является корнем
квадратного уравнения, коэффициенты которого выражаются
рационально через коэффициенты данного уравнения. Лагранж
заметил также, что в случае уравнения 4-й степени функция
ххх2 + х3хА четырех корней этого уравнения принимает только
три значения при всех перестановках корней и, следовательно,
является корнем кубического уравнения, коэффициенты которого
выражаются рационально через коэффициенты данного
уравнения. Он назвал эту закономерность «истинным принципом и, так
сказать, метафизикой решения уравнения третьей и четвертой
степеней» (385, т. 3, с. 357]. Лагранж поставил задачу изучения того,
сколько значений v может принять рациональная функция
V от п корней уравнения при всевозможных перестановках
корней, и доказал, что v является делителем числа п\ всевозможных
перестановок п корней.
Перестановки корней уравнений рассматривались также Пао-
ло Руффини (1765—1822) в его «Общей теории уравнений, в
которой доказывается невозможность алгебраического решения
общих уравнений выше четвертой степени» («Teoria generale delle
equazioni in cui si dimostra impossibile la soluzione algebrica delle
equazioni generale di grado superiore al quatro». Болонья, 1799)
[454]. Здесь Руффини определенно высказался в пользу того,
что решение в радикалах уравнений степени >5в общем случае
невозможно. Его доказательство было неполно, но также, по су-
292
ществу, было основано на рассмотрении групп подстановок. Эта
задача была решена Нильсом Хендриком Абелем (1802—1829)
в «Доказательстве невозможности алгебраического решения
общих уравнений, превосходящих четвертую степень»
(«Demonstration de l'impossibilite de la resolution algebrique des equations gene-
rales qui passent quatrieme degre». Берлин, 1826) [248, т. 1, с. 66—
94]. Почти полное совпадение названий работ Абеля и Руффини
указывает на их преемственность.
Группы подстановок в явной форме рассматривались Огюсте-
ном Коши в «Мемуаре о числе значений, которые может
принимать функция, если переставлять всеми возможными способами
содержащиеся в ней величины» («Memoire sur le nombre des valeurs
qu'une foiiction peut acquerir lorsqu'on у permute de toutes les
manieres possibles les quantites qu'elle renierme». Париж, 1815)
[298, т. 1, с. 64-90].
Коши называл группы подстановок «системами сопряженных
подстановок» (systemes de substitutions conjugees). В этой работе
Коши впервые применил такие общепринятые в настоящее время
термины, как транзитивная система подстановок — система,
в которой для любых двух переставляемых элементов имеется
перестановка, переводящая первый элемент во второй;
транспозиция — подстановка, меняющая местами два элемента и
оставляющая все остальные элементы неподвижными. Из многочисленных
работ Коши по теории групп подстановок следует упомянуть «Ме-
муар о размещениях, которые можно образовать из данных букв,
и о перестановках и подстановках, с помощью которых переходят
от одного размещения к другому» («Memoire sur les arrangement
que Ton peut former avec les lettres donnees, et sur les permutations
et substitutions a l'aide desquelles on passe d'un arrangement
a un autre»), входящий в состав III тома «Упражнений по анализу
и математической физике» Коши («Exercises d'analyse et de
physique mathematique». Париж, 1844) [298, т. 13, с. 171—282].
В частности, здесь доказано, что всякая группа, состоящая из
рд элементов, содержит по крайней мере одну подгруппу,
состоящую из р элементов.
Термин «группа» (groupe —«множество») впервые появился
в работе французского математика и революционера Эвариста
Галуа (1811—1832) «Из теории чисел. Часть исследований по
теории перестановок и алгебраических уравнений» («De la theorie
de nombres. La partie des etudes sur la theorie de permutations et
equations algebriques». Париж, 1830) [37, с. 35—43].
Галуа ввел термин «группа» только для подстановок и
сформулировал основное свойство группы следующим образом: «Если
в подобной группе имеются подстановки б1 и Г, то есть уверенность
в наличии подстановки ST» [37, с. 64]. Для групп подстановок
остальные свойства группы — ассоциативность, существование
«нейтрального элемента» и существование «дополнительного
элемента» (для сложения 0 и —а, для умножения 1 и а-1) — выпол-
293
няются автоматически. Галуа записывал групповую операцию
в виде умножения. Слово «группа» он понимал и в более широком
смысле, например говоря: «Когда группа G содержит другую
группу Н, то группа G может разлагаться на группы, каждая из
которых получается применением к подстановкам Н одной и той же
подстановки таким образом, что G = // + HS + HS' + ...»
[37, с. 49].
Здесь Галуа называет группами то, что в настоящее время
называется правыми классами смежности группы G по подгруппе
Н. Галуа определил аналогичное разложение группы на левые
классы смежности G = Н + ТН + Т'Н + . . .
Заметим, что так как все перестановки п корней уравнения
образуют группу, а перестановки, сохраняющие значение
рациональной функции V от п корней уравнения, образуют подгруппу
этой группы, то теорема Лагранжа о том, что число v значений,
которые может принять функция V при всевозможных
перестановках, является делителем числа п\ всевозможных
перестановок п корней, есть частный случай общей теоремы о том, что
число элементов подгруппы конечной группы является делителем
числа элементов всей группы. Рассуждения Лагранжа применимы
к любой группе G и ее подгруппе//: эти рассуждения, по существу,
состоят в том, что рассматриваются произведения элементов
группы G, не входящих в подгруппу Н, на все элементы этой
подгруппы. Эти произведения составляют классы смежности, правые или
левые в зависимости от того, умножен ли элемент группы на
элементы подгруппы справа или слева. Теорема вытекает из того, что
число элементов каждого класса смежности равно числу элементов
подгруппы Н и каждый элемент группы G входит только в один
класс смежности. Поэтому общую теорему в настоящее время
называют теоремой Лагранжа. Уравнения, определенные Абелем
и носящие его имя, характеризуются тем, что они допускают
коммутативную группу перестановок корней, вследствие чего
коммутативные группы часто называют абелевыми группами.
Теория Галуа. Проблема разрешимости уравнений в радикалах
была окончательно решена Галуа в его «Мемуаре об условиях
разрешимости уравнений в радикалах» («Memoire sur les conditions
de resolvabilite des equations en radicaux») [37, с 60—84],
написанном в ночь перед роковой дуэлью и опубликованном Лиувиллем
в 1846 г.
Здесь Галуа вводит понятие числового поля: множество чисел,
содержащее 0 и 1, называется полем, если оно является группой
по сложению, а если удалить из этого множества 0, то и группой
по умножению. Простейшими примерами полей являются поле
Q рациональных чисел, поле R вещественных чисел, поле С
комплексных чисел. Полем является также, например, совокупность
чисел вида а + b ]/"3, где а и Ъ — рациональные числа. Если
коэффициенты многочлена принадлежат некоторому полю и многочлен
294
может быть представлен в виде произведения многочленов с
коэффициентами из того же поля, многочлен называется приводимым
в этом поле, в противном случае многочлен называется
неприводимым. Если число а не входит в поле Р, то можно образовать
поле Р (а), состоящее из чисел вида а + Ъ а, где числа а и Ъ
принадлежат полю Р. Поле Р (а) называется расширением поля Р,
порожденным числом а. В частности, поле чисел вида а + Ь У^З,
где а и Ъ — рациональные числа, можно рассматривать как поле
Q (]/^3). Если коэффициенты многочлена n-й степени принадлежат
некоторому полю Р, то расширение Р (а1? а2, . . ., ад) поля Р,
порожденное всеми корнями многочлена, называется полем
разложения этого многочлена, так как в этом поле многочлен можно
представить в виде произведения линейных множителей (х — ах) •
-(х — а2) ... (х — ап) или, как говорят, разлагается на
линейные множители. В частности, поле Q (1^3) расширения поля Q
рациональных чисел является полем разложения многочлена х2 — 3,
который неприводим в поле Q, но в поле Q (У^З) представляется
в виде (х — /3) (х + /3).
Галуа доказывает, что любое поле К разложения многочлена,
неприводимого над полем Р, обладает тем свойством, что любой
многочлен, неприводимый над Р и имеющий хотя бы один корень
в К, разлагается в К на линейные множители, т. е. содержит поле
разложения этого многочлена; такое расширение называется
нормальным расширением поля Р. С каждым полем К разложения
многочлена, неприводимого в некотором поле Р, Галуа связывает
группу, состоящую из взаимно однозначных отображений а ->■
->- as поля К на себя, переводящих сумму его элементов в сумму,
а произведение — в произведение, т. е.
(а + р)8 = а8 + р8, (ар)8 = а8р8,
и переводящих в себя все элементы подполя Р, т. е. группу
автоморфизмов поля К, переводящих в себя каждый элемент
его подполя Р. Эту группу в настоящее время называют группой
Галуа поля К над полем Р. Если многочлен
/ (х) = хп + а.х71-1 + . . . +ап.,х + ап = 0 (9.1)
с коэффициентами из поля Р имеет в К хотя бы один корень а, то
имеет место равенство
ап + а^1-1 + . . . + ад_!а + ап = 0.
Применяя к этому равенству преобразование а ->- а8 группы
Галуа, мы получаем, что
(аТ + а, (аТ"1 + • • • +a*-ias + ап = 0,
т. е. as также корень многочлена (9.1), и, следовательно, группу
Галуа можно рассматривать как группу перестановок корней
уравнения.
295
Галуа показал далее, что если поле L содержится в поле К и
содержит поле Р, то группе Галуа поля К над полем L
соответствует подгруппа группы Галуа поля К над полем Р, а подгруппе
группы Галуа соответствует поле, содержащееся в К и
содержащее Р, состоящее из тех элементов поля К, которые остаются
неподвижными при преобразованиях подгруппы.
Галуа выделил важный класс подгрупп, обладающий тем
свойством, что разложения группы на правые и левые классы
смежности по этой подгруппе совпадают, т. е. каждое
произведение gh элемента группы на элемент подгруппы может быть
записано в виде h'g, где /г', вообще говоря, другой элемент
подгруппы. Равенство gh = h'g записывают также в виде 1г =
= ghg"1 и говорят, что подгруппа инвариантна при
преобразовании, состоящем из умножения на произвольный элемент g группы
слева и на обратный ему элемент g~x справа. В этом случае Галуа
называл разложение на классы смежности («на группы»)
собственным разложением. В настоящее время выделенные* Галуа
подгруппы называются инвариантными подгруппами или
нормальными делителями группы G. Если N — нормальный
делитель группы G и мы поставим в соответствие каждому элементу
g группы G класс смежности gN, состоящий из всех произведений
g на элементы TV, то для двух элементов g± и g2,
принадлежащих разным классам смежности, произведение (gi^i) (£2и2) =
= gx (п^2)п2 = g1g2n1n2 = gxg2n3 принадлежит классу смежности,
соответствующему произведению gig2. Поэтому смежные классы
образуют группу по умножению. Эта группа называется
факторгруппой группы по ее нормальному делителю N и обозначается
GIN. Две группы, между которыми установлено однозначное
соответствие, при котором произведению двух элементов первой груп
пы соответствует произведение соответственных элементов,
называются гомоморфными (от греческих слов Ь\х6с, —«тот же самый»,
[лор<ртг] —«форма»); если же между двумя группами установлено
взаимно однозначное соответствие, обладающее тем же свойством,
группы называют изоморфными (too? —«равный»). Поэтому
группа GIN гомоморфна группе G; при этом единицей группы GIN
является нормальный делитель TV, т. е. при гомоморфизме все
элементы подгруппы N группы G соответствуют единице группы
GIN. Нетрудно проверить, что при любом гомоморфизме между
группами G nG' множество элементов группы G, соответствующих
единице группы G', образует нормальный делитель.
Галуа показал, что если поле L, соответствующее подгруппе
группы Галуа,— нормальное расширение поля Р, группы Галуа
полей К и L гомоморфны, откуда следует, что подгруппа группы
Галуа является нормальным делителем; этим и объясняется
термин «нормальный делитель».
С помощью этих понятий Галуа нашел необходимое и
достаточное условие разрешимости в радикалах алгебраического
уравнения / (х) = 0 с коэффициентами из поля Р. Это условие состоит
296
В том, что группа Галуа G тюля К разложения многочлена / (х)
должна обладать цепочкой таких вложенных друг в друга
подгрупп
G, Nu N21 . . ., Nj, . . ., 7Vr,
что подгруппа TV! является нормальным делителем группы G>
всякая подгруппа Nj является нормальным делителем подгруппы
TVy-x, причем фактор-группы GINU . . ., Nj/Nj+1, ... и
подгруппа 7Vr изоморфны группам, состоящим из всех различных степеней
цикла (аь а2, . . ., ап.). Циклом (ах, а2, . . ., ап.) называется
подстановка, переводящая элемент ак при к Ф п$ в элемент
Я/с+ъ а элемент ап. — в элемент аи где п$ — число элементов
фактор-группы Nj/Nj+U при /.= О фактор-группы G/Nl9 при
/ = г группы 7Vr. Все степени цикла образуют группу,
называемую циклической группой nj-то порядка, эта группа изоморфна
п 2я 4я 2 (д. — 1)я
группе поворотов окружности на углы U, , ,. . . ,
; пз i
2ztk . . . 2я/с
и группе комплексных чисел щ = cos \~ i sin , т. е.
корней тг;-й степени из 1. Группы, обладающие цепочкой указанных
подгрупп, называются разрешимыми группами.
Циклические группы являются простейшими разрешимыми
группами. Такими группами являются группы Галуа полей
разложения левых частей двучленных уравнений хп — а = 0 в том
случае, когда поле Р, содержащее число а, содержит корень из
единицы щ при к взаимно простом с п (так называемый
первообразный корень из единицы, обладающий тем свойством, что любой
корень тг-й степени из единицы является одной из степеней числа
щ). В этом случае группа Галуа состоит из преобразований
а ->- а8 = асо£.
Разрешимыми группами являются также все коммутативные
группы. Условимся называть прямым произведением G ® G'
двух групп СиС, не имеющих общих элементов, кроме 1, и
перестановочных между собой (ggf = g'g), группу, состоящую из
произведений gg' элементов этих групп. Тогда можно показать,
что всякая коммутативная группа является прямым
произведением нескольких циклических групп. Так как группы G и G'
являются нормальными делителями группы G (g) G', причем
группа G изоморфна фактор-группе G ® G'lG', а группа G' —
фактор-группе G (g) G'lG, то для коммутативной группы,
являющейся прямым произведением циклических групп Zu Z2, . . .
. . ., Zri роль нормальных делителей Nu N2, . . ., Nr играют
включающие друг друга прямые произведения г — 1, г — 2, ...
. . .,2 групп Zj и последняя из этих групп. Коммутативной
группой является группа Галуа в случае абелевых уравнений.
В случае разрешимой группы Галуа решение данного
уравнения сводится к решению цепочки двучленных уравнений, а реше-
297
П/
ние двучленного уравнения хп — а = О является радикалом у а.
В случае алгебраических уравнений п-и степени
максимальной группой Галуа является группа подстановок п элементов,
содержащая п\ подстановок. Такая группа называется
симметрической группой степени п и обозначается Sn. Всякая группа Sn
обладает нормальным делителем, состоящим из четных
подстановок, т. е. подстановок, являющихся произведением четного
числа транспозиций; эта подгруппа называется знакопеременной
группой степени п и обозначается Ап. Фактор-группа SJAn
состоит из двух элементов и является циклической группой
порядка 2. Группа S2 сама является циклической группой порядка 2.
Группа £3, состоящая из шести элементов, обладает нормальным
делителем А31 являющимся циклической группой порядка 3.
Группа £4, состоящая из 24 элементов, обладает нормальным
делителем Л4, состоящим из 12 подстановок. Группа Л4 в свою очередь
обладает нормальным делителем Z?4, состоящим из четырех
подстановок — тождественной подстановки и трех произведений
циклов (ахЯаХяз^)» (а1аз)(^2^4) и (я^ХягЯз)- Эта группа
коммутативна и является прямым произведением двух циклических групп
порядка 2, а фактор-группа AJBA является циклической
группой порядка 3. Поэтому в случае уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней
даже максимальные группы Галуа являются разрешимыми; в тех
же случаях, когда группы Галуа не являются максимальными, они
представляют собой подгруппы максимальных групп и,
следовательно, также разреш имы.
Группы Sn при п > 5 содержат нормальный делитель Л5,
фактор-группа по которому является циклической группой
порядка 2, но группа А5 не обладает нормальными делителями,
кроме тривиальных (себя и единицы группы), —такие группы
называют простыми группами. Поэтому группа Sn при п > 5
неразрешима и в общем случае алгебраические уравнения степени > 5
неразрешимы в радикалах. В частности, уравнение хъ + х — а —
= 0 неразрешимо в радикалах при многих натуральных значениях
а, например при а — 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, И, ...
Абстрактные группы. Понятие изоморфизма групп позволяет
говорить о группах, отвлеченных от своей реализации в виде групп
подстановок, движений и иных преобразований каких-либо
объектов. Понятие абстрактной группы было впервые сформулировано
А. Кели в работе «О теории групп, основанной на символическом
уравнении 8П = 1» («On the theory of groups, as depending on the
symbolic equation 6n = 1». Лондон, 1854) [299, т. 2, с. 123—192;
т. 4, с. 88—91]. В этой работе содержалось первое аксиоматическое
определение группы. Важную роль в распространении среди
математиков идей теории групп сыграл «Трактат о подстановках и о
алгебраических уравнениях» («Traite sur les substitutions et des
equations algebriques». Париж, 1870) [366] французского мате-
298
матика Камилла Жордана, в котором рассматривались и общие
вопросы теории групп.
В конце XIX в. Генрих Вебер (1842—1913) в своей «Алгебре»
(«Algebra». Лейпциг, 1898) [517], написанной в тот же период, что
и трактаты Пеано по аксиоматике и «Основания геометрии»
Гильберта, сформулировал аксиоматическое определение группы.
Группой называется множество элементов любой природы, в котором
определена групповая операция а о Ъ = с, причем эта операция
ассоциативна, т. е. для любых элементов а, Ь, с
(а о Ъ) о с = а о (Ъ о с)
существует нейтральный элемент е, такой, что для любого
элемента а
и для каждого элемента а существует дополнительный элемент а,
такой, что
Одним из первых изложений теории абстрактных групп
является «Абстрактная теория групп» (Киев, 1916) русского алгебраиста,
впоследствии известного советского полярного исследователя,
Отто Юльевича Шмидта (1891—1956) [236, т. 1, с. 17—175].
Работа Гельмгольца. Для применения понятия группы к
геометрии существенную роль сыграло появление работы
крупнейшего немецкого естествоиспытателя Германа Гельмгольца (1821 —
1894) «О фактах, лежащих в основании геометрии» («Uber die That-
sachen, die der Geometrie zu Grunde liegen». Гёттинген, 1868)
[44]. Самое название этой работы указывает на то, что она
представляет собой ответ на рассматривавшуюся нами в предыдущей главе
речь Римана. В 50—60-х годах Гельмгольц занимался
физиологией зрения и слуха, и, как он указывает в начале работы, именно
физиологические изыскания привели его к размышлениям над
проблемами пространства. «Мои исследования о пространственных
восприятиях в области зрения привели меня и к исследованию по
вопросу о происхождении и сущности наших общих воззрений о
пространстве»,— писал он [44, с. 366]. «Моя ближайшая цель,—
писал далее Гельмгольц,— состояла, как и у Римана, в том,
чтобы исследовать, какие особенности пространства принадлежат
каждому зависящему от многих переменных, непрерывно
изменяющемуся многообразию, различия которого допускают
количественное сравнение, и какие из них, напротив, не будучи
обусловлены этим общим характером, свойственны только
пространству.
Я имел как раз в физиологической оптике два примера,
допускающих пространственное представление переменных многообразий,
именно систему цветов, упоминаемую и Риманом, и измерения поля
299
зрения глазомером. Оба многообразия представляют известные
основные различия и наводили меня на сравнение» [44, с. 367].
Далее Гельмгольц указывает, что он во многом пришел к тем же
результатам, что и Риман, и что публикация речи Римана отняла
у него право первенства на ряд его результатов, однако совпадение
этих результатов является для пего «важным залогом верности»
пути, избранного им «в области вопросов, дискредитированных
прежними неудачными попытками». Далее Гельмгольц
рассматривает те свои результаты, которые не совпадают с результатами
Римана. «Мое исследование,— пишет Гельмгольц,— отличается
от изысканий Римана тем, что я ближе изучил то влияние, которое
имеет введенное им ограничение, отличающее действительное
пространство от других многократно протяженных многообразий, на
обоснование положения, составляющего краеугольный камень
всего исследования, и по которому квадрат линейного элемента
есть однородная функция второй степени от дифференциалов
координат. Можно показать, что, придерживаясь с самого начала
требования безусловно свободной подвижности твердых фигур без
изменения формы во всех частях пространства, легко вывести
исходную гипотезу Римана из более широких допущений.
Моя исходная точка заключалась в том, что всякое
первоначальное измерение пространства основывается на наблюдении
совмещения; прямолинейность световых лучей есть, очевидно,
физический факт, основывающийся на опытах другого рода, и не имеет
значения для слепца, который, однако же, может также
приобрести полное убеждение в верности геометрических предложений.
О совпадении же вообще нельзя говорить, если твердые тела или
системы точек не могут быть передвигаемы без изменения формы
и если совпадение двух пространственных величин не есть факт,
существующий независимо от всех движений. Поэтому я с самого
начала предположил возможность пространственного измерения
путем констатирования совпадения и поставил себе задачу найти
самую общую аналитическую форму многократно протяженного
многообразия, при которой возможно движение требуемого вида»
[44, с. 368].
Далее Гельмгольц перечисляет «гипотезы, лежащие в основе
исследования»:
«I. Пространство п измерений есть п-кратно протяженное
многообразие, т. е. каждая определенная особь (Einzelne) —
точка — определяется измерением некоторых непрерывно и
независимо друг от друга изменяющихся величин (координат), число
которых есть п. Каждое движение точки сопровождается поэтому
непрерывным изменением по крайней мере одной из координат.
Если и встречаются исключения, где или изменение становится
прерывным, или, несмотря на движение, не происходит изменения
всех координат, то такие исключения будут относиться только к
известным местам (точкам, линиям, поверхности), определяемым
уравнениями; все такие места мы исключаем из исследования^.
300
II. Допускается существование подвижных, но неизменяемых
(твердых) тел или систем точек; такое допущение необходимо для
сравнения пространственных величин путем совмещения. Так как
мы еще не имеем пока права предполагать какие-либо специальные
приемы для измерения пространственных величин, то мы можем
теперь дать только следующее определение твердого тела: Между
2п координатами каждой пары точек, принадлежащих твердому
телу, существует уравнение, не зависящее от движения твердого
тела и одинаковое для всех взаимно совпадающих пар точек.
Совместимыми считаются те пары точек, которые
одновременно или последовательно могут совпадать с одной и той же парой
точек пространства.
Несмотря на кажущуюся неопределенность, это определение
твердого тела в высшей степени плодотворно, так как на основании
т (т — 1)
его между т точками должны существовать——^—-* уравнении,
между тем как число заключающихся в них неизвестных
координат равно тп, и из них, кроме того, ^ Г^ должны быть в
распоряжении для определения переменного положения
неизменяемой системы. Поэтому в том случае, когда т^> п + 1, число
уравнений превышает число неизвестных на V2 (m — п)-
-(т — п — 1). Отсюда следует, что уравнение между
координатами каких-либо двух неподвижных точек не может иметь
произвольную форму, но что этим уравнениям должны принадлежать
особенные свойства. Таким образом, ставится определенная
аналитическая задача, состоящая в ближайшем определении вида
этих уравнений....
III. Допускается вполне свободная подвижность твердых тел,
т. е. предполагается, что каждая их точка может перейти
непрерывно на место каждой другой, на сколько эта первая точка не
связана уравнениями, существующими между ней и прочими
точками неизменяемой системы, к которой она принадлежит.
Первая точка неизменяемой системы поэтому абсолютно
подвижна. Если она укреплена, то для второй точки существует
уравнение и одна из ее координат становится функцией п — 1 прочих.
После того как закреплена и эта вторая точка, для первой
существует уже два уравнения, и т. д. В целом, таким образом, необхо-
димо ——W—— величин для определения положения неизменяемой
системы.
Как из этого допущения, так и из допущения, сделанного под
цифрой II, следует, что две неизменяемые системы точек А и В,
которые могут быть приведены к совмещению соответствующих
точек при одном положении А, могут быть приведены к
совмещению всех тех точек, которые совмещались раньше, и при всяком
другом положении Л. Другими словами, совместимость двух
пространственных форм не зависит от их положения или все части
пространства совместимы взаимно, если не будем обращать внима-
301
ния на их границу, подобно тому как совместимы между собой
все части одной и той же шаровой поверхности, если не обращать
внимания на их контур....
IV. Наконец, мы должны приписать пространству еще одно
свойство, аналогичное с монодромией функций комплексной
величины и выражающееся в том, что два совмещающихся тела
совмещаются и после того, как одно из них подверглось вращению
около некоторой оси. Вращение характеризуется при этом
аналитически тем, что известное число точек движущегося тела
сохраняет во время движения неизменные координаты, обратное
движение или возвращение — тем, что ранее пройденные
непрерывно изменяющиеся совокупности численных значений
координат должны быть проходимы в обратном направлении.
Мы можем выразить этот факт следующим образом: если
твердое тело вращается около п — 1 точек, выбранных так, что
положение тела зависит только от одной независимой переменной, то
вращение без поворота назад приводит тело в конце в то начальное
положение, из которого оно вышло.
Мы увидим, что это последнее свойство пространства не
должно необходимо существовать, если даже выполнены три первых
условия. Поэтому, несмотря на всю свою очевидность, оно должно
быть выставлено как особое свойство пространства.
Обыкновенная геометрия предполагает без особого упоминания
существование этого последнего свойства, так как рассматривает
круг как замкнутую линию; она предполагает постулаты II и III
при всех предположениях, в которых дело идет о совмещении, так
как существование твердых и свободно движущихся тел с
указанными выше свойствами есть предварительное условие всякой
совместимости...» [44, с. 368—371].
Изучив различные следствия из этих гипотез, Гельмгольц
пишет: «Дальнейшее исследование относится к вопросу о следствиях,
которые вытекают из допущения, согласно постулату III,
совместимости конечных частей пространства независимо от границы
и при всех возможных вращениях. Так же как в этом случае для
двух измерений кривая поверхность должна превратиться в
поверхность шара или в поверхность, происходящую из нее
изгибанием без растяжения, так и для случая трех и большего числа
измерений Риман показал, что величина, называемая им мерой
кривизны, должна быть постоянной. Я не буду излагать здесь эту часть
моего исследования, заключающуюся неявным образом в
исследовании Римана.
Мой результат заключается в следующем.
Если выполнены наши допущения I—IV, то самая общая
система геометрии будет та, которая получилась бы по правилам нашей
обыкновенной аналитической геометрии, примененной к
шароподобному образу трех измерений, уравнение которого в четырех
прямоугольных координатах может быть представлено в виде
X2 + Г2 + Z2 + (S + Л)2 = Я2,
302
Здесь X, F, Z могут сделаться бесконечно большими только при
R = оо. Этот последний частный случай соответствует пашей
действительной геометрии, основанной на аксиомах Евклида. При
этом X, У, Z могут иметь только тогда конечные значения, когда
S = 0; уравнение S = 0 есть уравнение плоского образа. Ввиду
этого мы должны считать, вместе с Риманом, евклидово
пространство по отношению к пространствам большего числа измерений
плоским пространством.
Наконец, замечу еще, что, отбрасывая постулат IV, получаем
системы геометрии, совершенно отличные от нашей, но которые
могут быть, однако, проведены вполне последовательно. Легче
всего это можно показать для двух координат. Если бы величина 0
уравнения (5Ь) не равнялась нулю, то линейные измерения каждой
плоской фигуры возрастали бы в постоянном отношении при
вращении на постоянный угол в одном и том же направлении;
геометрическое место всех точек, физически равноотстоящих от некоторой
данной точки, будет в этом случае спираль.
Другой легко изучаемый пример получается, если в
аналитической геометрии плоскости при прямоугольных координатах
рассматривать координаты у мнимыми. Это соответствует
предположению, что h± и h2 вещественны, а
hx + А, = 0.
Местом точек, равноотстоящих от неподвижной точки, была
бы тогда равносторонняя гипербола» [44, с. 382].
Окончательные выводы Гельмгольца таковы:
«Исследования Римана и мои, ьмзсте взятые, показывают,
таким образом, что выше данные постулаты в соединении со
следующими двумя положениями:
V. Пространство имеет три измерения,
VI. Пространство бесконечно протяженно — составляют
достаточное основание для развития учения о пространстве *. Я уже
указал, что эти постулаты должны быть предполагаемы и
обыкновенной геометрией, хотя и не упоминаются ею; наши постулаты
допускают, таким образом, менее, чем предполагается
обыкновенно геометрическими доказательствами.
Вместе с тем нельзя не обратить внимания на то, что вся
возможность системы наших пространственных измерений зависит,
как показывает предыдущее изложение, от существования таких
тел природы, которые достаточно близко подходят под наше
понятие о твердых телах. Независимость совместимости от положения
и направления совмещающихся пространственных форм и от пути,
которым они приведены к совпадению, есть тот факт, на котором
основывается возможность измерения пространства» [44, с. 382].
Гипотеза III Гельмгольца представляет собой требование на-
1 Они не отделяют геометрии Евклида от геометрии Лобачевского {прим.
Гельмгольца).
303
личия в пространстве группы геометрических преобразований,
переводящих не только каждую точку пространства в каждую
другую его точку, но и каждый линейный элемент, выходящий из
первой точки, в каждый линейный элемент, выходящий из второй
точки,— условие, которое для римановых пространств
равносильно требованию постоянства кривизны. Гипотеза IV исключает
псевдоевклидово и псевдоримановы пространства.
Норвежский математик Софус Ли (1842—1899) в написанных
впоследствии «Замечаниях на работу Гельмгольца „О фактах,
лежащих в основании геометрии**» («Bemerkungen zu v. Helmholtz'
Arbeit «Uber die Thatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen».
Лейпциг, 1886) [111] оценивал эту работу следующим образом:
«Знаменитая работа Гельмгольца «Ober die Thatsachen, die der
Geometrie zu Grunde liegen» рассматривает задачу, стоящую в
теснейшей связи с новой теорией групп преобразований» [111, с. 383].
И далее С. Ли проводит анализ гипотез Гельмгольца с точки
зрения своей теории непрерывных групп.
Группы геометрических преобразований. Рассмотрим более
подробно непрерывные группы геометрических преобразований,
т. е. такие группы преобразований геометрических пространств,
между элементами которых можно установить понятия
предельного перехода и непрерывности. Феликс Клейн, встретившись
накануне франко-прусской войны в Париже с К. Жорданом и
познакомившись с его трудами, заметил, что евклидовы движения,
преобразования подобия, аффинные, проективные, круговые и
конформные преобразования и неевклидовы движения образуют
группы, если считать произведением двух преобразований
результат последовательного выполнения этих преобразований. В 1872 г.,
вступая в должность профессора Эрлангенского университета,
Ф. Клейн прочел вступительную лекцию «Сравнительное
обозрение новейших геометрических исследований» («Vergleichende Bet-
rachtungen uber neuere geometrische Forschungen»), известную
под названием «Эрлангенская программа» [93].
Вначале Клейн определяет группы преобразований
«пространства», т. е. трехмерного евклидова пространства, дополняемого до
проективного: «Произвольное число преобразований
пространства дает, складываясь, снова преобразование пространства. Если
данный ряд преобразований обладает тем свойством, что каждое
изменение, получаемое от последовательного применения
нескольких преобразований, принадлежащих этому ряду, само входит
в его состав, то мы называем этот ряд группой преобразований.
Пример группы преобразований представляет совокупность
всех движений (каждое движение рассматривается как операция,
выполненная над всем пространством); подгруппу ее образуют,
например, вращения около точки. Совокупность коллинеаций
представляет группу, которая объемлет группу движений» [93,
с. 401]. Далее Клейн указывает, что корреляции («двойственные
304
преобразования») не образуют группу, но совокупность коллинеа-
ций и корреляций образует группу.
Затем Клейн рассматривает геометрические свойства
пространственных образов: «Геометрические свойства, по самому
определению, не зависят от положения, занимаемого в пространстве
изучаемым образом, от его абсолютной величины и, наконец, от
ориентации в расположении его частей. Свойства
пространственного образа не изменяются поэтому от всех движений
пространства, от его преобразований подобия, от процесса зеркального
отражения и от всех преобразований, которые могут быть из них
составлены. Совокупность всех этих преобразований мы назовем
главной группой изменений пространства; геометрические свойства
не изменяются от преобразований главной группы, и обратно,
можно сказать: геометрические свойства характеризуются их
неизменяемостью от преобразований главной группы» [93, с. 402].
Таким образом, геометрические свойства «пространства»,
под которым Клейн понимает трехмерное евклидово пространство,
определяются «главной группой измерений пространства», т. е.
группой его движений и подобий.
От «пространства» Клейн переходит к произвольному
«многообразию»: «По аналогии с пространственными преобразованиями
мы говорим о преобразованиях многообразия; они также
образуют группы. Только уже нет более, как в пространстве, группы,
которая выделялась бы по своему значению между остальными,—
каждая группа равнозначна всякой другой. Как обобщение
геометрии получается, таким образом, следующая многообъемлющая
задача:
Дано многообразие и в нем группа преобразований', нужно
исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию,
которые не изменяются от преобразований группы.
Применительно к современной терминологии, которую,
впрочем, обыкновенно прилагают только к определенной группе —
группе всех линейных преобразований,— можно выразиться еще
так:
Дано многообразие и в нем группа преобразований. Требуется
развить теорию инвариантов этой группы.
Это общая задача, заключающая в себе не только
обыкновенную геометрию, но и новейшие геометрические методы, которые
будут далее поименованы, и различные приемы исследования
многообразий любого числа измерений. Особенно должна быть
подчеркнута произвольность в выборе присоединяемой группы
преобразований и проистекающая отсюда и в этом смысле
принимаемая равноправность всех типов исследования, подходящих под
общее требование» [93, с. 202—403].
Далее Клейн рассматривает «группы преобразований, из
которых одна объемлет другую» как в «пространстве», так и в различных
«многообразиях». Такими группами для «пространства» являются:
группа движений, «главная группа» и, с одной стороны, группа аф-
305
финных преобразований, группа коллинеаций и группа всех
проективных преобразований (коллинеаций и корреляций), а с другой
стороны, «группы преобразований посредством обратных радиусов»,
т. е. группы круговых преобразований плоскости и конформных
преобразований пространства, порожденных инверсиями
относительно окружностей или сфер. Указав, что добавление корреляций
«влечет за собой одновременное введение точки и плоскости как
элементов пространства», Клейн указывает на расширение
«положенной в основу группы коллинеарных и двойственных
преобразований введением в нее соответственно мнимых преобразований.
S
Рис. 93
Этот шаг обусловливает предварительное расширение класса
собственных элементов пространства присоединением мнимых
элементов» [93, с. 406].
«Принципы перенесения». Далее Клейн останавливается на
случаях изоморфных групп преобразований, позволяющих
интерпретировать одну геометрию в другой, или, как выражается
Клейн, «переносить» одну геометрию в другую.
В частности, проектируя прямую линию А на коническое
сечение А' из точки S этого сечения (рис. 93), Клейн замечает, что
группа коллинеаций прямой при этом изоморфно изобразится
группой коллинеаций плоскости, переводящей в себя коническое
сечение. В первом случае на прямой определяется геометрия
бинарных форм, т. е. линейных форм Еа^ от двух проективных
координат х0, #i точек прямой, каждая из которых определяет точку
прямой. Поэтому Клейн говорит:
«Теория бинарных форм и проективная геометрия систем точек
на коническом сечении — одно и то же, т. е. каждой бинарной
теореме соответствует теорема о подобного рода точечных
системах и обратно» [93, с. 408].
Далее, рассматривая на коническом сечении вместо точек пары
вещественных или мнимо сопряженных точек, вместо этих пар
точек — прямые, высекающие их из конического сечения, или
полюса этих прямых относительно конического сечения, Клейн
приходит к выводу, что «теория бинарных форм и проективная геометрия
плоскости, которую изучаем, полагая в основу некоторое коническое
сечение, эквивалентны между собой». Так как «проективная
геометрия плоскости, если класть в основу некоторое коническое сечение,
306
совпадает вследствие равенства группы с проективной метрической
геометрией», Клейн получает также, что «теория бинарных форм
и общая проективная метрическая геометрия на плоскости — одно
и то же», и добавляет, что «вместо конического сечения в
плоскости мы можем взять в этом исследовании кривую третьего порядка
в пространстве и пр.» [93, с. 410].
«Общая проективная метрическая геометрия на плоскости»
в случае, когда коническое сечение невырожденное и
вещественное,— проективная интерпретация плоскости Лобачевского,
изложенная Клейном в работе «О так называемой неевклидовой
геометрии». Клейн указывает, что установленная здесь «связь между
геометрией плоскости, а далее — пространства или
многообразия произвольного числа измерений, совпадает в существенных
чертах с предложенным Гессе принципом перенесения» [93, с. 410].
Стереографически проектируя овальную квадрику на
плоскость, Клейн замечает, что главная группа плоскости изоморфна
группе коллинеаций пространства, переводящей в себя квадрику
и центр проекции, и приходит к выводу, что «элементарная
геометрия плоскости и проективное исследование поверхности
второго порядка с присоединением одной из ее точек — одно и то же»
[93, с. 409].
Далее Клейн рассматривает проективную геометрию
пространства, которую он называет «теорией кватернарных форм», так как
плоскости проективного пространства, в силу принципа
двойственности равноправные с его точками, определяются линейными
формами 2агчГ/ от четырех проективных координат х0, хи х2< х3 точек
пространства. Указывая, что так называемые плюккеровы
координаты
Ри = ЪУз — zjVi (9-2)
прямых, проходящих через точки X (xt) и Y (yt), введенные
Ю. Плюккером в его «Новой геометрии пространства,
основанной на рассмотрении прямой линии в качестве пространственного
элемента» (см. с. 235), связаны квадратичным соотношением
Р01Р23 + Р02Р31 + PosPi2 = 0 (9.3)
(которое легко получить, составляя определитель, первая и третья
строки которого состоят из координат хи а вторая и четвертая —
из координат уи и раскладывая его по первым двум строкам),
и замечая, что при коллинеациях пространства координаты рц
также преобразуются линейно с сохранением соотношения (9.3),
Клейн приходит к выводу, что «теория кватернарных форм
совпадает с проективным мероопределением в многообразии шести
однородных переменных» [93, с. 410].
Это перенесение трехмерной проективной геометрии на
пятимерную гиперболическую геометрию, абсолют которого имеет
уравнение (9.3), называется «перенесением Плюккера». Заметим, что
307
уравнение (9.3) можно привести к виду
xl + xl + х\ - х\ - xl - xl = о,
откуда видно, что квадрика с этим уравнением обладает не только
прямолинейными, но и двумя семействами двумерных плоских
образующих, причем точки квадрики изображают прямые
трехмерного пространства, прямолинейные образующие -г- плоские
пучки прямых, плоские образующие одного семейства — связки
прямых, а плоские образующие другого семейства — двойственные
связкам «плоские поля» прямых.
Снова рассматривая стереографическую проекцию овальной
квадрики на плоскость, Клейн замечает, что если дополнить
плоскость одной бесконечно удаленной точкой до конформной
плоскости, находящейся во взаимно однозначном соответствии с
квадрикой, то круговые преобразования плоскости изображаются кол-
линеациями, переводящими в себя квадрику, откуда он получает,
что «геометрия обратных радиусов на плоскости и проективная
геометрия на поверхности второго порядка тождественны между
собой» [93, с. 413]. Точно так же, стереографически проектируя
овальную квадрику в 4-мерном проективном пространстве на 3-
мерную плоскость в этом пространстве, Клейн замечает, что если
дополнить эту плоскость одной бесконечно удаленной точкой до
3-мерного конформного пространства, находящегося во взаимно
однозначном соответствии с квадрикой, то конформные
преобразования пространства изображаются коллинеациями 4-мерного
пространства, переводящими в себя квадрику, откуда он получает,
что «геометрия обратных радиусов в пространстве сводится к
проективному исследованию многообразия, представляемого
квадратичным уравнением между пятью однородными переменными»
[93, с. 413].
Заметим, что здесь конформная плоскость и 3-мерное
конформное пространство отображаются на абсолюты 3-мерного и
4-мерного пространства Лобачевского, причем круги конформной
плоскости и сферы конформного пространства изображаются
полюсами плоскостей, высекающих их изображения из абсолютов,
т. е. точками так называемых идеальных областей 3-мерного и
4-мерного пространств Лобачевского. Проективные координаты
этих точек совпадают с так называемыми тетрациклическими
координатами кругов и пентасферическими координатами сфер,
введенными Гастоном Дарбу (1842—1917) в работе «О
замечательном классе алгебраических кривых и поверхностей и о теории
мнимостей» («Sur une classe remarquable des courbeset des surfaces al-
gebriques et sur la theorie des imaginaires». Бордо, 1873) [317],
вследствие чего это перенесение часто называют «перенесением
Дарбу».
Замечая, что конформную плоскость можно рассматривать
как расширенную плоскость комплексного переменного и как
проективную прямую, Клейн формулирует первое из указанных
308
здесь перенесений также в виде: «теория бинарных форм
изображается геометрией обратных радиусов на вещественной
плоскости так, что при этом представляются и комплексные значения
переменных» [93, с. 414], или, рассматривая овальную квадрику
как сферу, в виде: «теория бинарных форм комплексного
переменного получает свое изображение в проективной геометрии на
шаровой поверхности» [93, с. 414].
Рассмотрение групп преобразований «пространства» Клейн
обобщает на «многообразия» (многомерные пространства) и, в
частности, замечает: «Если возьмем стереографическую проекцию
многообразия, то получим известную теорему: в
кратно-протяженных областях (уже в пространстве), кроме преобразований группы
обратных радиусов, не существует конформных точечных
преобразований. Напротив, на плоскости их существует сколько угодно»
[93, с. 417]. Клейн имеет в виду теорему Лиувилля, доказанную
им для 3-мерного пространства в добавлении к его изданию
«Приложения анализа к геометрии» Г. Монжа (1850) [416, с. 609—
616]. Этой теоремой и объясняется то, что двумерным аналогом
конформных преобразований пространства являются круговые
преобразования плоскости.
Далее Клейн рассматривает еще более широкую группу
преобразований сфер, так называемую группу высшей геометрии
сфер Ли, определенную Софусом Ли в работе «О комплексах, в
особенности о комплексах прямых и сфер, с приложениями к теории
дифференциальных уравнений в частных производных» («Ueber
Komplexe, insbesondere Linien- und Kugelkomplexe mit Anwen-
dungen auf die Theorie partieller Differentialgleichungen».
Лейпциг, 1872) [401, т. 2, ч. 1, с. 1—121]. Эти преобразования
переводят сферы в сферы с сохранением их касания,
считая точки и плоскости частными случаями сфер (нулевого и
бесконечного радиуса). Подгруппа этой группы, переводящая
точки в точки,— группа конформных преобразований,
сохраняющая углы между сферами; подгруппа этой группы, переводящая
плоскости в плоскости,— группа преобразований Лагерра,
определенная Э. Лагерром в работе «О геометрии направления» («Sur
la geometrie de la direction». Париж, 1880) [384, т. 2, с. 592—607].
Эта группа сохраняет касательное расстояние между сферами, т. е.
отрезок общей касательной двух одинаково ориентированных сфер
между точками касания. Заметим, что многообразие сфер
трехмерного евклидова пространства, если принять за расстояние
между двумя сферами угол между ними, изометрично идеальной
области 4-мерного пространства Лобачевского кривизны +1 (т. е. сфере
радиуса 1 в 5-мерном псевдоевклидовом пространстве, имеющей
вид однополостного гиперболоида, с отождествленными
диаметрально противоположными точками). То же многообразие сфер,
если различать их ориентацию и принять за расстояние между
двумя сферами касательное расстояние между ними, изометрично
4-мерному псевдоевклидову пространству, а то же многообразие
309
сфер, если включать в него и точки и плоскости, можно взаимно
однозначно и взаимно непрерывно отобразить на 5-мерную
линейчатую квадрику в 6-мерном проективном пространстве. При этом
группы конформных преобразований, преобразований Лагерра и
преобразований высшей геометрии сфер Ли изоморфны
соответственно группам движений 4-мерного пространства Лобачевского,
4-мерного псевдоевклидова пространства и 5-мерного
гиперболического пространства, абсолютом которого служит линейчатая
квадрика.
Ф. Клейн изучал также конечные группы геометрических
преобразований, которым посвящены его «Лекции об икосаэдре
и решении уравнения пятой степени» («Vorlesungen iiber das Iko-
saeder und die Auilosung der Gleichungen funften Grades». Лейпциг,
1884) [378], где он определил группы симметрии правильных
многогранников, т. е. конечные группы движений, переводящие эти
многогранники в себя. Клейн показал, что группы симметрии
правильных тетраэдра, куба и октаэдра, икосаэдра и додекаэдра
состоят, если ограничиться только теми симметриями, которые
сохраняют ориентацию тетраэдров, соответственно из 12, 24 и 60
движений и соответственно изоморфны знакопеременной группе
А4, симметрической группе «S4 и знакопеременной группе А5.
Связь икосаэдра с уравнениями 5-й степени и состоит в
изоморфизме его группы симметрии группе Лб, простота которой, как мы
видели, тесно связана с неразрешимостью алгебраических
уравнений 5-й степени в радикалах.
Ряд работ Клейна и А. Пуанкаре посвящен конечным группам
дробно-линейных преобразований плоскости комплексного
переменного — так называемым фуксовым группам — и функциям
комплексного переменного, сохраняющим свои значения при
преобразованиях этих групп,— так называемым автоморфным
функциям. Изоморфизм групп дробно-линейных преобразований
плоскости комплексного переменного общего вида и переводящих
в себя прямую или окружность группам движений соответственно
пространства и плоскости Лобачевского, устанавливаемый их
интерпретациями на плоскости комплексного переменного, лежит
в основе применения геометрии Лобачевского к теории автоморф-
ных функций. Название работы Пуанкаре «Теория фуксовых
групп» связано с названием этих групп.
Дискретные бесконечные подгруппы группы движений евклидова
пространства, очень важные для кристаллографии, были
установлены русским кристаллографом Евграфом Степановичем Федоровым
(1853—1919) и немецким математиком Артуром Шёнфлисом (1853—
1928). Е. С. Федоров в «Симметрии правильных систем фигур»
(Петербург, 1890) [215, с. 109—255] и А. Шёнфлис в «Системах
кристаллов и кристаллической структуре» («Krystallsysteme und
Krystallstruktur». Лейпциг, 1891) [466] показали, что число таких
групп, переводящих в себя правильные пространственные системы
точек, равно 230, из которых 65 состоят только" из движений,
310
сохраняющих ориентацию тетраэдров, а 165 содержат также
движения, не сохраняющие ориентации тетраэдров.
Из других геометрических преобразований отметим бирацио-
нальные преобразования, т. е. преобразования проективного
пространства, которые вместе с обратными им преобразованиями
выражаются с помощью рациональных функций проективных
координат. Простейшим бирациональным преобразованием является
инверсия относительно окружности. Так как здесь плоскость
считается проективной, то центру окружности относится не
единственная бесконечно удаленная точка плоскости, а все точки
бесконечно удаленной прямой. Другим простейшим бирациональным
преобразованием проективной плоскости является преобразование
х\ = l/xt. Мы уже упоминали о бирациональных преобразованиях
у Ньютона. Систематическое изучение бирациональных
преобразований было предпринято Луиджи Кремоной (1830—1903) в
работе «О геометрических преобразованиях плоских фигур» («Sulle
trasformazioni geometriche delle figure piane». Болонья, 1863 —
1865) [313] и последующих работах, вследствие чего эти
преобразования часто называют «кремоновыми преобразованиями».
Непрерывные группы. Если в «Трактате о подстановках» Жор-
дана рассматривались только конечные группы (заметим, что
рассматривавшиеся здесь группы линейных преобразований, в связи
с которыми Жордан определил так называемые жордановы
нормальные формы матриц, рассматривались здесь только с целыми
коэффициентами по модулю простого числа, т. е. с
коэффициентами из конечного поля), то в том же году, когда был опубликован
«Трактат», в беседах между Жорданом и посетившими Францию
накануне франко-прусской войны Ф. Клейном и С. Ли
зародилась теория непрерывных групп. Непрерывными группами
являются все группы, рассматриваемые в «Эрлангенской программе»
Клейна. С. Ли разработал общую теорию непрерывных групп.
Главным стимулом создания теории Ли было желание создать
теорию разрешимости дифференциальных уравнений в квадратурах,
аналогичную теории Галуа разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах. Теория Ли была опубликована им в «Теории
групп преобразований» («Theorie der Transformationsgruppen».
Лейпциг, 1886) [401, т. 5, с. 9—223] и в «Общих исследованиях о
дифференциальных уравнениях, определяющих конечную
непрерывную группу» («Allgemeine Untersuchungen uber Differential-
gleichungen, die eine continuierliche endliche Gruppe gestalten».
Лейпциг, 1885) [401, т. 6, с. 139—223] и подробно изложена в
написанной им совместно с Фридрихом Энгелем (1861—1941)
трехтомной «Теории групп преобразований» («Theorie der
Transformationsgruppen». Лейпциг, 1888—1893) [402]. Основным объектом
изучения теории Ли были группы, называемые им «конечными
непрерывными группами» и в настоящее время называемые
«конечными группами Ли».
311
В упомянутых выше замечаниях на работу Гельмгольца С. Ли
заменяет гипотезы Гельмгольца более простыми требованиями,
сформулированными в терминах групп геометрических
преобразований: «Мне удалось,— пишет С. Ли,— и притом довольно
просто — доказать, что уравнения евклидовых и неевклидовых
движений пространства трех измерений могут быть характеризованы
следующим образом:
1°. Они определяют непрерывную группу преобразований
пространства трех измерений.
2°. В этой группе свободная подвижность существует в
следующем смысле: если внутри известной области закрепим
произвольную точку и в то же время произвольный через нее проходящий
линейный элемент, то все еще возможно непрерывное движение.
Если же закрепляем не только точку и проходящий через нее
линейный элемент, но в то же время и элемент плоскости, который
проходит как через точку, так и через линейный элемент, то более
невозможно уже никакое непрерывное движение.
Мне удалось, по-моему мнению, строго, хотя и не совсем
кратко доказать и для пространств более чем трех измерений, что
совокупность евклидовых и неевклидовых движений может быть
характеризована совершенно аналогичным образом» [111, с. 387].
Топологические группы. Хотя, говоря о примерах
рассматриваемых им групп, Ли во многих случаях имел в виду группы в
целом, его теория изучала только окрестности единиц групп.
Рассматриваемые Ли группы предполагались реализованными в виде
геометрических преобразований.
Теория групп Ли в целом была создана на основе понятия
непрерывной или топологической группы, появившегося впервые в
работе Л. Э. Брауэра «Теория конечных непрерывных групп,
независимая от аксиом Ли» («Die Theorie der endlichen kontiimierlichen
Gruppen, unabhangig von der Axiomen von Lie». Лейпциг, 1909—
1910) [285a]. Теория общих топологических групп была наиболее
полно изложена и в значительной степени создана Л. С. Поитря-
гиным в его монографии «Непрерывные группы» (М., 1938) [157],
изданной почти одновременно в английском переводе под
названием «Топологические группы» («Topological groups». Приыстон,
1939). Л. С. Понтрягин определяет топологическую группу
следующим образом:
«Множество G называется топологической группой, если
1) G есть группа,
2) G есть топологическое пространство,
3) групповые операции, имеющиеся в G, непрерывны в
топологическом пространстве G» [157, с. 105].
Последнее свойство означает, что если а и b — два элемента
G, то для всякой окрестности W элемента аЪ найдутся такие
окрестности U и V элементов а и Ь, что совокупность произведений uv
элементов и и v этих окрестностей входит в W, и если а — элемент
312
G, то для всякой окрестности V элемента аГ1 найдется такая
окрестность U элемента а, что совокупность элементов и'1, обратных
к элементам и этой окрестности, входит в V.
Брауэр указывает, что пришел к понятию «конечной
непрерывной группы, независимой от аксиом Ли», под влиянием так
называемой пятой проблемы Гильберта. Д. Гильберт выступил в 1900 г.
на II Международном конгрессе математиков в Париже со своим
знаменитым докладом «Математические проблемы» («Mathematische
Probleme». Лейпциг, 1901) \ где сформулированы 23 важнейшие,
по мнению Гильберта, проблемы, завещанные XIX веком XX.
Группы, рассматриваемые Брауэром, представляют собой
топологические группы, являющиеся многообразиями в смысле Бра-
уэра, т. е. элементы этих групп обладают окрестностями, гомео-
морфными n-мерному евклидову пространству (в силу свойств
группы достаточно потребовать существования такой окрестности
только для единицы группы). Если х, г/, и z = ху — три элемента
окрестности единицы, то в силу указанного свойства эти элементы
обладают я, координатами хг, ук и z\ причем, очевидно,
координаты zl — функции координат х1 и у1, непрерывные в силу свойств
топологической группы. «Аксиомы Ли» означают, что эти функции
являются достаточное число раз дифференцируемыми.
V проблема Гильберта гласит: «Насколько понятие
непрерывных групп преобразований Ли окажется пригодным для решения
поставленной задачи, если отказаться от требования дифференци-
руемости функций, определяющих группу» [48, с. 31].
В настоящее время V проблема Гильберта формулируется для
групп в целом в виде: «Будет ли группой Ли любая топологическая
группа, являющаяся многообразием (при подходящем выборе
локальных координат)?»
Эта проблема была положительно решена для отдельных
классов групп Ли Дж. фон Нейманом в работе «Введение аналитического
параметра в топологических группах» («Die Einfuhriing analyti-
scher Parameter in topologischen Gruppen». Лейпциг, 1933) [425,
т. 2, с. 366—386] и Л. С. Понтрягиным в работе «Теория
коммутативных топологических групп» («The theory of topological
commutative groups». Балтимор, 1934) [158]. Решения этих задач
подробно изложены в «Непрерывных группах» Л. С. Понтрягина [157,
с. 287, 342—343]. Позднее французский математик Клод Шевалле
положительно решил V проблему Гильберта для так называемых
разрешимых групп Ли в работе «Две теоремы о разрешимых
топологических группах» («Two theorems on solvable topological
groups». Анн Арбор, 1941) [302]. Советский алгебраист Анатолий
Иванович Мальцев (1909—1967) в работе «Топологические
разрешимые группы» (М., 1946) [123] доказал, что группами Ли являются
разрешимые топологические группы конечной размерности,
принадлежащие к более широкому классу. Окончательно V проблема
Русский перевод с обширными комментариями — [48].
313
Гильберта была решена американскими математиками Эндрью Гли-
соном в работе «Группы без малых подгрупп» («Groups without
small subgroups». Балтимор, 1952) [346] и Дином Монтгомери и
Лео Циппиным в работе «Малые подгруппы конечномерных групп»
(«Small subgroups in finite dimensional groups». Балтимор, 1952)
[418]. Это доказательство изложено в книге Монтгомери и Цип-
пина «Топологические группы преобразований» («Topological
transformation groups». Нью-Йорк, 1955) [419]. Модификация этого
доказательства изложена Виктором Михайловичем Глушковым
(р. 1923) в работе «Строение локально бикомпактных групп и
пятая проблема Гильберта» (М., 1957) [51].
Группы Ли в целом. После положительного решения V
проблемы Гильберта группы Ли в целом могут быть определены как
топологические группы, являющиеся многообразиями. Отметим,
что в группах Ли всегда можно выбрать такие координаты в
окрестности единицы, что координаты zx произведения z = ху
выражаются через координаты хг и уг сомножителей не только
дифференцируемыми функциями любого порядка, но и аналитическими
функциями. Поэтому всякой вещественной группе Ли G
соответствует комплексная группа G (i), называемая комплексным
расширением группы G, для которой функции, выражающие
зависимость координат z1 произведения z = ху от координат хг и у1
сомножителей, выражаются теми же аналитическими функциями,
что и в группе G. При этом одной и той же комплексной форме
соответствует несколько различных вещественных групп.
В том случае, когда окрестности единицы двух групп Ли
совпадают, говорят, что эти группы локально изоморфны. Поэтому
можно сказать, что сам С. Ли рассматривал группы Ли с точностью
до локального изоморфизма.
Алгебры Ли. В силу аналитичности функций, определяющих
групповую операцию, для характеристики группы Ли с точностью
до локального изоморфизма достаточно рассматривать элементы
группы, находящиеся в бесконечно малой окрестности единицы,
которые Ли называл бесконечно малыми преобразованиями. Задание
бесконечно малого преобразования равносильно заданию произ-
(dx{ \ •
, ) функций хг — хг (t), определяющих в группе
линию, проходящую через единицу группы при t — 0. Числа X1
можно рассматривать как координаты вектора X, касательного
к линии в единице группы. Эти векторы образуют линейное
пространство, в котором групповые операции индуцируют операцию
коммутирования Z = [ХУ], некоммутативную и
неассоциативную, но обладающую свойствами [XY] = —[YX] и [\XY] Z] +
+ [[YZ] X] + [[ZX] Y] = 0. Последнее свойство называется
«тождеством Якоби», так как первоначально оно было установлено
К. Г. Я. Якоби для некоторых дифференциальных операторов.
314
Линейное пространство с операцией Z = [XY], обладающей этими
свойствами, называется в настоящее время алгеброй Ли.
Примером такой алгебры является совокупность векторов трехмерного
пространства с обычным векторным умножением. Сам Ли вместо
векторов X рассматривал дифференциальные операторы > Х{—т
г
и называл алгебры Ли «инфинитезимальными группами». Ли в
указанной работе показал, что всякая группа Ли обладает алгеброй Ли
и определяется ею (разумеется, с точностью до локального
изоморфизма). Заметим, что алгебра Ли векторов трехмерного
пространства определяет группу вращений этого пространства. Поэтому
изучение групп Ли во многом сводится к изучению соответственных
алгебр Ли.
Разрешимые и полупростые группы Ли. Важнейший класс
групп Ли — разрешимые группы — был определен Ли по аналогии
с разрешимыми конечными группами, определенными Галуа:
если Галуа создал понятие группы для выяснения вопроса о том,
когда алгебраическое уравнение допускает решение в радикалах,
критерием чего является разрешимость группы перестановок
корней уравнения, то С. Ли поставил задачу определения условий,
когда интеграл дифференциального уравнения может быть
выражен с помощью квадратур. С этим связано и название
упоминавшейся нами работы С. Ли, в которой были построены основы
теории групп Ли,— «Общие исследования о дифференциальных
уравнениях, определяющих конечную непрерывную группу»
(сам С. Ли называл группы Ли конечными непрерывными
группами). Разрешимая группа Ли, как и разрешимая конечная группа,
определяется, как группа G, обладающая такой конечной цепью
вложенных друг в друга нормальных делителей Н± zd H2zd ...
... :э Нк zd е, что фактор-группы G/Hl9 HJH2, • • •, H^JH^
и группа Нк коммутативны. Заметим, что со всякой группой Ли
связан так называемый коммутант — группа Ли. алгеброй Ли
которой является подалгебра алгебры Ли данной группы,
состоящая из коммутаторов [XY] этой алгебры. Очевидно, что
подалгебра алгебры Ли, соответствующая коммутанту, является идеалом
алгебры Ли, откуда следует, что коммутант группы Ли является ее
нормальным делителем. Из определения коммутанта вытекает, что
фактор-группа группы по коммутанту является коммутативной
группой. В случае, когда группа Ли коммутативна, ее коммутант
состоит из одной единицы группы; в том же случае, когда группа
разрешима, ее подгруппа Н± является коммутантом группы, а
всякая подгруппа Ht является коммутантом группы Н^. С. Ли
доказал, что в случае, когда линейное однородное уравнение в
частных производных \ М~[Г- = 0 от/г переменных х19 х2, . . ., хЛ
г
допускает (п — 1)-мериую разрешимую группу, бесконечно ма-
315
лые преобразования которой вместе с бесконечно малым
преобразованием, определяемым в области переменных xt
дифференциальным оператором \ Л|-—-, образуют независимую систему, ин-
i
тегрирование этого дифференциального уравнения приводится
к квадратурам; поэтому первоначально разрешимые группы Ли
называли интегрируемыми группами.
Группа Ли, не содержащая разрешимых нормальных
делителей, называется полупростой. Понятие полупростой группы было
введено Э. Картаном в его диссертации «О структуре конечных
непрерывных групп» («Sur la structure des groupes iinis et conti-
nus». Париж, 1894) [295, ч. 1, т. 1, с. 137—287], где были найдены
критерии разрешимости и полупростоты групп. Знание структуры
разрешимых и полупростых групп позволяет установить
структуру произвольной группы Ли, так как в силу теоремы Леви,
установленной Элией Леви (1883—1917) в работе с тем же названием,
что и диссертация Картана («Sulla struttura dei gruppi liniti e con-
tinui». Турин, 1905) [395], если группа Ли обладает нормальным
делителем, фактор-группа по которому пол у проста, то она
содержит подгруппу, изоморфную этой фактор-группе. Название
полупростых групп Ли объясняется их связью с простыми
группами Ли, т. е. с группами Ли, не имеющими нормальных делителей
меньшей размерности. Простые группы Ли были определены еще Ли
в «Общих исследованиях о дифференциальных уравнениях,
определяющих конечную непрерывную группу» (1885). Картан в своей
диссертации показал, что всякая полупростая группа изоморфна
или локально изоморфна прямому произведению нескольких
простых групп Ли, т. е. групп, состоящих из произведений
элементов нескольких некоммутативных простых групп, причем
элементы разных групп перестановочны между собой; каждая из
этих простых групп является нормальным делителем прямого
произведения.
Ли в названной работе показал, что имеется четыре
бесконечные серии простых комплексных групп — группа SLn+i (i)
комплексных матриц с определителем 1 (группа унимодулярных
матриц); группы #2n+i (0 и 02п (i) комплексных матриц нечетного и
четного порядка, сохраняющих квадратичную форму (группы
ортогональных матриц), и группа Sy2n (0 комплексных матриц
четного порядка, сохраняющих кососимметрическую
билинейную форму (группа симплектических матриц). Первоначально
эту группу называли «комплекс-группой», впоследствии, чтобы
избежать сочетания «комплексная комплекс-группа», латинское
слово complexus («сложный») было заменено равнозначащим
греческим словом cojatiXsxtuoc г.
Картан назвал простые группы Ли, локально изоморфные
группам SLn+1 (i), 02n+1 (г), Sy2n (0 и 02п (i), соответственно
1 Термин «симплектическая» группа был введен Г. Вейлем в книге [31].
316
комплексными простыми группами четырех «больших классов»
Ап, Вп, Сп и Dn; значок п в обозначении этих групп равен рангу
группы. Вильгельм Киллинг (1847—1923) в работе «Строение
непрерывных конечных групп преобразований» («Zusammensetzung
der stetigen endlichen Transiormationsgruppen». Лейпциг, 1888—
1890) [376] показал, что, кроме этих комплексных простых групп,
имеется еще пять «особых простых групп» размерностей 14, 52,
78, 133 и 248, которые Картан назвал классами G2, F^ Ee, E1 и Е9.
В своей диссертации Картан доказал, что все простые
комплексные группы Ли являются группами четырех «больших классов»
или пяти «особых классов». В работе «Вещественные простые
конечные непрерывные группы» («Les groupes reels simples finis et
continus». Париж, 1914)'[295, ч. 1, т. 1, с. 399—530] Картан
определил все вещественные простые группы Ли. Число этих групп
значительно больше, чем комплексных, так как несколько
неизоморфных вещественных групп Ли могут иметь одну и ту же
комплексную форму. Вещественными группами класса Ап являются
группа SLn+1 уиимодулярных матриц, группы££/п+1 (i) и lSUn+1 (i)
унимодулярных комплексных унитарных и псевдоунитарных
матриц (сохраняющих эрмитовы положительно определенную и зна-
конеопределенные формы) и группа SL(n+1)\2 (г, /) унимодулярных
кватернионных матриц. Вещественными группами класса Вп
являются группы 02п+1 и l02n+i ортогональных и псевдоортогс-
нальных матриц (сохраняющих положительно определенную и
знаконеопределенные квадратичные формы). Вещественными
группами класса Сп являются группа Sy2n симплектических
матриц и группы Un (г,/) и xUn (г,/) кватернионных унитарных и
псевдоунитарных матриц. Вещественными группами класса Dn
являются группы 02п и ]02п ортогональных и
псевдоортогональных матриц и группа Syn (£, /) кватернионных симплектических
матриц. Буква / в обозначениях групп псевдоортогональных и
псевдоуиитарных матриц равна числу минусов в канонических
выражениях N zb{xi)2 и / Л^х1х{ соответственных квадратич-
г г
ных и эрмитовых форм. Впоследствии классификация вещественных
компактных групп была значительно упрощена Б. Л. Ван дер
Варденом в «Классификации простых групп Ли» («Die Klassifika-
tion der einfachen Lieschen Gruppen», Берлин, 1933) [29] па
основе работы Г. Вейля «Теория представлений непрерывных
полупростых групп при помощи линейных преобразований» («Theorie
der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch li-
neare Transformationen». Берлин, 1925) [32], а также Е. Б. Дын-
киным в «Структуре простых групп Ли» (М., 1946) [65].
Классификация некомпактных вещественных простых групп Ли была
упрощена самим Картаном в работе «Компактные и
некомпактные простые группы и риманова геометрия» («Groupes simples clos
et ouverts et geometrie riemannienne». Париж, 1929) [85, с. 150—
317
182], где эта классификация была связана с теорией
симметрических пространств.
Геометрическая интерпретация простых групп Ли. Так как
простые группы Оп+1 изоморфны группам вращений (п +
^-мерных евклидовых пространств, эти группы локально изоморфны
группам движений тг-мерных эллиптических пространств; так как
простые группы 1Оп+1 изоморфны группам вращений (п + 1)-
мерных псевдоевклидовых пространств индекса п — I + 1, эти
группы локально изоморфны группам движений тг-мерных
гиперболических пространств индекса /, при п = 1 пространств
Лобачевского. Аналогично простые группы SLn+1 и Sy2n локально
изоморфны группам коллинеаций тг-мерных проективных пространств
и группам симплектических преобразований (2п — 1)-мерных сим-
плектических пространств, т. е. проективных пространств, в
которых задан инвариантный комплекс (п — 1)-мерных
«нуль-плоскостей» (при п = 2 инвариантный линейный комплекс
«нуль-прямых»). Группы конформных преобразований тг-мерных конформных
пространств в силу интерпретации Дарбу локально изоморфны
группам Юп+2- Таким образом, фундаментальные группы
проективного , эллиптического, гиперболического, симплектического
и конформного пространств являются простыми группами Лиг.
Пространство, фундаментальной группой которого является
компактная группа SUn+1 (i) класса Ап, впервые рассматривалось
в начале XX в. итальянским геометром Гвидо Гирином Фубини
(1879—1943) в работе «Об определенных метриках эрмитовой
формы» («Sulle metriche deiinite da una forma Hermitiana». Венеция,
1903) [338] и Э. Штуди в работе «Кратчайшие пути в комплексной
области» («Kurzeste Wege im komplexen Gebiete». Лейпциг, 1905)
[495]. В этих работах рассматривалось комплексное проективное
пространство, в котором имеется вещественная метрика,
определенная соотношением
о со ху • ух
cos2 = -==—ъ— .
г хх • уу
Правая часть этой формулы — двойное отношение точек Х(х)
и У(у) и их полярных гиперплоскостей относительно мнимой
эрмитовой квадрики хх = 0. В той же работе Штуди рассмотрел
пространство, в котором мнимая эрмитова квадрика заменена
вещественной эрмитовой квадрикой индекса 1. В настоящее время
тг-мерные пространства этого типа, определяемые мнимой
эрмитовой квадрикой и вещественной эрмитовой квадрикой индекса /,
называются соответственно комплексным эрмитовым
эллиптическим и гиперболическим пространствами. В случае эрмитовых
квадрик произвольного индекса / группы движений локально изо-
Подробному изложению геометрии этих пространств посвящены IX и
XI главы книги автора [170] и II—IV главы книг автора [171, 172].
318
морфны некомпактным группам lSUn+1 (i) того же класса.
Аналогичная интерпретация компактных и некомпактных групп
Un+i (г,/) и lUn+1 (i, /) класса Сп+1 была предложена на основе
геометрической интерпретации группы Un (i, j) в «Теории групп
Ли» («Theory of Lie groups». Принстон, 1944) [231] в 40-х годах
XX в.1
Группа SLn+x (i, j) допускает интерпретацию, аналогичную
интерпретации группы SLn+1, в виде группы коллинеаций ква-
тернионного проективного пространства, а группа Syn(i, j) —
в виде группы симплектических преобразований кватернионного
симплектического пространства 2.
Между простыми группами Ли малых размерностей имеют место
изоморфизмы: Ах = Вг = Си В2 = С2, As = Z)3, имеет место
также изоморфизм D2 = Вг (g) Вг. Эти изоморфизмы определяют
геометрические интерпретации соответственных пространств друг
в друге. На первом из этих автоморфизмов основана изометрич-
ность комплексной эрмитовой эллиптической прямой двумерной
вещественной сфере, интерпретация Пуанкаре плоскости
Лобачевского на плоскости комплексного переменного с метрикой
комплексной эрмитовой гиперболической прямой, а также
«перенесение Гессе». На втором из этих изоморфизмов основана
аналогичная изометричность кватернионной эрмитовой эллиптической
прямой 4-мерной вещественной сфере и интерпретация Пуанкаре
4-мерного пространства Лобачевского, а также интерпретация
многообразия прямых трехмерного симплектического
пространства в 4-мерном гиперболическом пространстве индекса 2. На
третьем изоморфизме основан целый ряд интерпретаций, из
которых отметим известное нам «перенесение Плюккера», где
многообразие прямых трехмерного проективного пространства
изображается абсолютом 5-мерного гиперболического пространства
индекса 3, и интерпретацию, предложенную Штуди в работе «Аналог
теории линейных преобразований комплексного переменного»
(«Ein Seitenstiick zur Theorie der linearen Transformationen einer
komplexen Veranderlichen». Берлин, 1923—1924) [496], при
которой кватернионная проективная прямая изображается
абсолютом пятимерного пространства Лобачевского. На четвертом
изоморфизме основана интерпретация Фубини многообразия
прямых трехмерного эллиптического пространства в виде пар точек
двух сфер, предложенная им в работе «Параллелизм Клиффорда
в эллиптических пространствах» («II rapallelismo di Clifford negli
spazi ellittici». Пиза, 1900) [339], и «перенесения Котельникова —
Штуди», которые мы рассмотрим в следующей главе 3.
1 Одно из первых определений — определение автора (М., 1949) в
приложении к книге Э. Картана [85, с. 331—368], см. также V главу книги автора
[171].
2 См. работу Л. В. Румянцевой «Кватернионная симплектическая
геометрия» (М., 1963) [193].
8 Более подробно об этих интерпретациях см. упомянутые главы книг автора
[170-172].
319
Симметрические пространства. С группами Ли тесно связаны
симметрические пространства. Симметрические римановы
пространства были определены советским геометром Петром
Алексеевичем Широковым (1895—1944) в работе «Постоянные поля
векторов и тензоров второго порядка в римановых пространствах»
(Казань, 1925) [235, с. 256—280] и Э. Картаном в работе «Об одном
замечательном классе римановых пространств» («Sur une classe
remarquable d'espaces de Riemann». Париж, 1926) [85, с. 112—
149]; см. также книгу С. Хелгасона [224]. Эти пространства
можно определить как римановы пространства, в которых
отражение от точек по геодезическим линиям сохраняет метрику
пространства. Необходимым и достаточным условием этого является
равенство нулю ковариантной производной тензора кривизны
(Vji?jj7fc = 0). Простейшими случаями симметрических
пространств являются евклидовы и неевклидовы пространства,
кривизна которых во всех двумерных направлениях во всех точках
постоянна (в случае евклидовых пространств равна нулю).
В «Геометрии групп преобразований» («La geometrie des gro-
upes de transformations». Париж, 1927) [84, с. 7—111] Картан ввел
понятие симметрических пространств аффинной связности,
в которых отражение от точек по геодезическим линиям сохраняет
аффинную связность (переводит геодезические линии в
геодезические линии с сохранением аффинного параметра). Необходимым
и достаточным условием того, что пространство аффинной
связности симметрическое, так же как в случае римановых
пространств, является условие ViRij$ = 0.
Здесь же Картан показал, что всякая группа Ли является
симметрическим пространством аффинной связности, если принять за
геодезические линии группы Ли ее однопараметрические
подгруппы и их классы смежности, а за аффинный параметр на них —
канонический параметр однопараметрических подгрупп (параметр t,
при котором имеет место соотношение g (£х) g (£2)= g (t\ + t2)),
и соответственные параметры классов смежности.
Отражения от точек симметрического пространства порождают
подгруппу, являющуюся группой Ли. Если мы поставим в
соответствие каждой точке симметрического пространства отражение о от
этой точки, то, как показал Картан, произведения оо0 на
отражение do от фиксированной точки образуют вполне геодезическую
поверхность в этой группе Ли с определенной Картаном
аффинной связностью.
Симметрические пространства допускают интерпретации в
виде многообразий «образов симметрии» в пространстах с теми же
фундаментальными группами, в частности в случае, когда эти
группы — простые группы Ли, в определенных нами проективных,
эллиптических, гиперболических, симплектических и конформных
пространствах.
Классификация симметрических пространств с простыми
группами движений эквивалентна классификация инволютивных ав-
320
томорфизмов некомпактных простых групп Ли, произведенной
Марселем Берже в работах «Классификация неприводимых
симметрических однородных пространств» («Classification des espaces
homogenes symetriques irreductibles». Париж, 1955) [263] и
«Структура и классификация симметрических пространств с
полупростой группой изометрии» («Structure et classification des
espaces symetriques a groupe d'isometrie semisimple». Париж, 1955)
[264] (см. также [265]) и Анатолием Семеновичем Феденко в работе
«Симметрические пространства с простыми некомпактными
фундаментальными группами» (М., 1956) [212] (см. также [213]).
Обобщениями симметрических пространств являются
редуктивные пространства, определенные автором известной монографии
«Риманова геометрия и тензорный анализ» (М., 1953) [165]
Петром Константиновичем Рашевским (р. 1907) в работе
«Симметрические пространства аффинной связности с кручением» (М., 1950)
[167] и Какуми Номидзу в работе «Инвариантные аффинные
связности в однородных пространствах» («Invariant affine connections
on homogenous spaces». Балтимор, 1954) [428]; термин «редуктивные
пространства» введен Номидзу. Если симметрические
пространства представляют собой пространства аффинной связности без
кручения с ковариантно постоянным тензором кривизны, то в ре-
дуктивных пространствах ковариантно постоянны и тензор
кривизны, и тензор кручения. Редуктивные пространства также
допускают интересные геометрические интерпретации.
Квазипростые и к -квазипростые группы Ли. Группа движений
евклидова пространства не является простой: она обладает
нормальным делителем — группой переносов. Однако евклидово
пространство может быть получено предельным переходом из
эллиптического пространства и пространства Лобачевского, а группа
движений евклидова пространства — предельным переходом из групп
движений последних пространств. Группа движений евклидова
пространства является частным случаем квазипростой группы Ли,
получаемой предельным переходом из простой группы. Этот
предельный переход от простых групп Ли к квазипростым является
частным случаем так называемого «сжатия групп Ли»,
определенного американским физиком Юджином Вигнером (р. 1902)
и его учеником Эрдалем Инёню в работе «О сжатии групп и их
представлений» («On the contraction of groups and their
representations». Вашингтон, 1953) [363]. Подобные группы неоднократно
рассматривались советским математиком Израилем Моисеевичем
Гельфандом (р. 1913) и его учениками, в частности в работах
Ф. А. Березина и И. М. Гельфанда «Несколько замечаний к теории
сферических функций на симметрических римановых
многообразиях» (М., 1956) [18] и «Операторы Лапласа на полупростых
группах Ли и некоторых симметрических пространствах» (М., 1957)
[17а]. Полная классификация всех квазипростых групп Ли была
проведена автором и Л. М. Карповой в работе «Флаговые группы
11 Б. А. Розенфельд
321
и сжатие групп Ли» (М., 1966) [186]. В этой же работе определены
/с-квазипростые группы Ли, получаемые из простых групп Ли к-
кратным предельным переходом того же вида.
К квазипростым группам Ли, помимо групп движений
евклидовых пространств, относятся группы движений
псевдоевклидовых пространств, группы движений коевклидовых и копсевдоевкли-
довых пространств, соответствующих евклидовым и
псевдоевклидовым пространствам по принципу двойственности, и занимающие
промежуточное положение между евклидовыми и коевклидовыми
и между псевдоевклидовыми и копсевдоевклидовыми
пространствами квазиэллиптические и квазигиперболические пространства,
которые можно определить как проективные пространства, где
задан конус второго порядка с вершинной плоскостью и
невырожденная квадрика в этой плоскости. Простейший случай
квазиэллиптического пространства — трехмерное пространство, в
котором роль конуса играет пара мнимо сопряженных плоскостей,
роль вершинной плоскости — прямая пересечения плоскостей,
а роль квадрики — пара мнимо сопряженных точек этой прямой,—
впервые изучался Вильгельмом Бляшке (1885—1962) в работе
«Евклидова кинематика и неевклидова геометрия» («Euklidische
Kinematik und nichteuklidische Geometrie». Берлин, 1911) [271].
К /с-квазипростым группам Ли относятся группы более сложных
пространств с проективной метрикой, определенных в общем виде
Дунканом Соммервиллем (1879—1934), автором известной
библиографии неевклидовой геометрии [484] и введения в многомерную
геометрию [485], в работе «Классификация геометрий с
проективными метриками» («Classification of geometries with projective
metrics». Эдинбург, 1910—1911) [486]. Для получения 2-квазиэллип-
тических и 2-гиперболических пространств следует перейти от
эллиптической или гиперболической геометрии в вершинной
плоскости абсолютного конуса квазиэллиптического и квазигиперболи-
ческого пространства к квазиэллиптической и
квазигиперболической геометрии, аналогичный переход от 2-квазиэллиптического и
2-квазигиперболического пространств приводит нас к 3-квази-
эллиптическому и 3-квазигиперболическому и т. д. Важнейшим из
2-квазиэллиптических пространств является галилеево
пространство — проективное пространство, в котором задана
гиперплоскость с евклидовой геометрией. В 4-мерном пространстве этого
типа реализуется геометрия пространства-времени классической
механики Галилея — Ньютона, чем и объясняется название этого
пространства. Это пространство в связи с указанной
интерпретацией рассматривалось Людвиком Зильберштейном (1872—1942)
в работе «Проективная геометрия галилеева
пространства-времени» («Projective geometry of Galilean space-time». Лондон, 1925)
[481] и Александром Петровичем Котельниковым (1865—1944) в
работе «Принцип относительности и геометрия Лобачевского»
(Казань, 1927) 1100]. Другой вид 2-квазиэллиптического
пространства — изотропное пространство — изучался Карлом Штру-
322
беккером в «Дифференциальной Геометрии изотропного
пространства» («Differentialgeometrie des isotropen Raumes». Вена, 1941)
[493]. Флаговое пространство, являющееся частным случаем 3-
квазиэллиптического, рассматривалось впервые И. В.
Парнасским в работе «Аксиоматическое построение трехмерной
параболической геометрии» (М., 1956) [147] и Г. В. М. Калленбергом в
«Дифференциальной геометрии особой группы проективных
преобразований» («Differential geometry of a particular group of
projective transformations». Амстердам, 1957) [370]. В Советском
Союзе инициатором изучения /с-квазиэллиптических и /с-квазиги-
перболических пространств был Исаак Моисеевич Яглом \ в
настоящее время эта теория продвинута довольно далеко 2.
Квазиэллиптические и квазигиперболические пространства
являются частными случаями квазиримановых и квазипсевдорима-
новых пространств, а /с-квазиэллиптические и /с-квазигиперболи-
ческие пространства — частными случаями /с-квазиримановых и
/с-квазипсевдоримановых пространств, представляющих собой
пространства однородной связности, в касательных пространствах
которых определена соответственная проективная метрика.
Пространства такого типа впервые рассматривали Нил Александре
вич Глаголев (1888—1945) в работе «Римановы многообразия
проективной структуры» (М., 1925) [49], Энеа Бортолотти (1896—
1942) в работе «О специализированных квадратичных формах»
(«Sulle forme differenziale spezializzate». Рим, 1930) [280], Гри-
горе Моисил (р. 1905) в работе «О геодезических линиях особых
римановых пространств» («Sur les geodesiques des espaces de Rie-
mann singuliers». Бухарест, 1940) [414] и автор известной
монографии «Пространства аффинной связности» (М.— Л., 1950) [139]
Александр Петрович Норден (род. 1904) в работах «Об
истолковании пространства с вырождающейся метрикой» (М., 1945) [140]
и «Обобщенная геометрия двумерного линейчатого пространства»
(М., 1946) [141]. Аналогичные пространства в связи с задачами
физики рассматривались П. Дефризом в работе «Геометрический
анализ кинематики сплошных сред» («Analyse geometrique de la
cinematique des milieux continus». Брюссель, 1953) [317a], Чесла-
вом Янкевичем в работе «О вырождающихся римановых
геометриях» (Варшава, 1954) [246] и Р. А. Тупеном в работе «Мировая
инвариантная кинематика» («World invariant kinematics». Нью-
Йорк, 1958) [506]. Общий случай /с-квазириманова и /с-квази-
псевдориманова пространства был определен И. В. Парнасским
в работе «О вырожденных римановых геометриях» (Куйбышев,
1962) [148]. Р. И. Пименов рассмотрел физические приложения
этой теории в работе «Применение полуримановой геометрии к
единой теории поля» (М., 1964) [154]; отметим также его работу
1 См. книгу И. М. Яглома [241] и другие публикации его и его учеников.
2 См. работы И. И. Железиной [67], Т. Г. Чахленковой [225], Е. У.
Ясинской [247], а также обзорную работу И. М. Яглома, автора и Е. У.
Ясинской [244] и V главу книги автора [172].
11 * 323
«К определению полуримановых пространств» (Л., 1965) [155].
Л. М. Карповой в работе «Симметрические полуримановы
пространства» (Казань, 1964) [185] * изучались симметрические ква-
зиримановы и/с-квазиримановы пространства и, в частности,
определена инвариантная квазириманова и /с-квазириманова метрика
в квазипростых и /с-квазипростых группах, получаемых
предельными переходами из простых. Частным случаем этой метрики
является метрика квазиэллиптического пространства в группе
движений евклидовой плоскости, найденная В. Бляшке в
упомянутой выше работе.
Если квазипростые группы, получаемые предельными
переходами из простых групп Оп и 1Оп интерпретируются как
группы движений вещественных квазиэллиптических и
квазигиперболических пространств, квазипростые группы, получаемые
предельными переходами из простых групп SUn(i) и lSUn (г),
интерпретируются как группы движений комплексных эрмитовых
квазиэллиптических и квазигиперболических пространств, частными
случаями которых являются комплексные эрмитовы евклидовы
и псевдоевклидовы пространства, а квазипростые группы,
получаемые предельными переходами из простых групп Un (£, /) и
lUn (U /)» интерпретируются как аналогичные кватернионные
пространства. Комплексное эрмитово евклидово пространство
(«унитарное пространство») было определено Дж. фон Нейманом
вместе с бесконечномерным аналогом этого пространства в
«Математических основах квантовой механики» [138, с. 35—42]; это
пространство часто применяется в линейной алгебре (см., например,
[45, 122]). Комплексные и кватернионные эрмитовы
квазиэллиптические пространства и аналогичные /с-эллиптические
пространства впервые изучались Т. М. Климановой в работе «Унитарные
полуэллиптические пространства» (Баку, 1963) [94а].
Независимо от советских авторов к группам вещественных,
комплексных и кватернионных матриц, представляющих группы
движений вещественных, комплексных и кватернионных
квазиэллиптических пространств, пришли К. Б. Волф и С. Б. Бойер в работе
[525]. Волф и Бойер обозначают группы Оп, Un (i) и Un (t, /)
соответственно О (n), U (тг) и Sp (тг), группы тОп+т, mUn+m (i) и
mUn+m (г, /) — соответственно О (тг, т), mU (тг, т) и Sp (тг, ттг),
символом 1т (от inhomogeneous — «неоднородный») они называют
группы матриц движений соответственных квазиэллиптических
пространств. В работе Волфа и Бойера рассматривается переход
от этих групп к группам движений соответственных
гиперболических пространств. Другие классы квазипростых и к -квазипростых
групп и их геометрические интерпретации рассматривались
Л. П. Андреевой и Л. В. Шестыревой [8а], И. Н. Семеновой
[195а], Л. М. Маркиной [125а], Л. С. Никитиной [138а] и
другими.
1 См. также VI главу книги автора [172].
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
%
ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБР
Попытки обобщений комплексных чисел на пространство. После
появления в XVIII в. геометрической интерпретации
комплексных чисел в виде точек плоскости естественно возникла мысль
об обобщении комплексных чисел, которое можно было бы
интерпретировать в виде точек трехмерного пространства. Одна из
первых попыток такого рода была предпринята К. Весселем в его
«Опыте аналитического представления направления» (1799) [519].
Геометрически истолковав операцию умножения комплексных
чисел, Вессель поставил в соответствие точке пространства с
прямоугольными координатами х, у, z выражение х + уг + ет], где
е и г] — две различные мнимые единицы, и истолковывал с
помощью этих чисел вращения вокруг осей Оу и Oz, фактически
выражения Весселя были векторами с частичным умножением.
Вессель применил построенную им «алгебру» к решению задач
на сферические многоугольники.
Дальнейшие попытки построения трехмерного аналога
комплексных чисел принадлежат английским алгебраистам. Здесь эта
задача возникла после появления «Теории сопряженных функций
или алгебраических пар» («Theory of conjugate functions or
algebraical couples». Дублин, 1835) [349, т. З, с. 1—96] ирландского
математика и механика Вильяма Роуана Гамильтона (1805—1865).
В этой работе было дано строгое обоснование комплексных чисел
на основе их представления в виде пар вещественных чисел,
равносильного рассмотрению комплексных чисел как векторов на
плоскости. В 1837—1838 гг. Гамильтон пытался построить
аналогичную теорию для троек вещественных чисел [349, т. 3, с. 106—
110], однако все системы чисел такого рода, построенные им,
обладали делителями нуля, т. е. в них обязательно имелись такие
пары чисел а, р, что
а ф 0, р ф 0, сф = 0. (10.1)
Числа вида al- + Ьц + с£> рассматривал Август де Морган
(1806—1871) в 4-й части своего трактата «Об обосновании алгебры»
(«On the foundation of algebra»), озаглавленной «О тройной
алгебре» («On triple algebra». Кембридж, 1847) [420]. Де Морган
рассмотрел различные алгебры этого типа, в том числе алгебру с табли-
325
цей умножения базисных элементов
I л С
1
л
\±_
1 ч|
-с 1
И
s
£!
—л
В этой алгебре базисный элемент £ играет роль 1, а элементы т]
и £ связаны соотношениями т]3 = £3 = —£. Если мы обозначим
£, — т] и —£ соответственно через 1, е, е2, мы можем записать
элементы этой алгебры в виде а + be + се2, где е3 = 1.
Именно в такой форме определил эту алгебру, элементы
которой он называл «триплетами» (triplets), Чарльз Гревс (1810—
1860) в работе «Об алгебраических триплетах» («On algebraical
triplets». Дублин, 1847) [348]. Гревс показал, что с каждым три-
члетом связаны три модуля:
у' а3 + Ъ3 + с3 — ЗаЬс, У а2 + б2 + с2 - аб — be - ас, \а+Ь+с\
(10.2)
обладающие тем свойством, что модуль произведения равен
произведению модулей сомножителей: при этом куб первого модуля
равен произведению квадрата второго модуля на третий. Гревс
показал, что для триплетов имеет место также показательная
форма в виде произведения первого модуля на экспоненциальную
а2 а3 \
функцию (определяемую рядом ехр а = 1 + а Н—«г ~^~ ~ЗГ + • • •)
от выражения вида (ре + tye2, причем «амплитуды» ф и if произведения
двух триплетов равны суммам соответственных «амплитуд»
сомножителей. Триплеты Гревса обладают делителями нуля,
характеризуемыми равенством нулю второго или третьего (и тем самым
первого) модулей: равенство (10.1) имеет место в том случае, когда
равны нулю второй модуль триплета а и третий модуль триплета Р
или наоборот.
Рассматривая триплет х + ye + ze2 как точку пространства
с прямоугольными координатами х, у, z, Гревс предложил
следующую геометрическую интерпретацию произведения
триплетов: он строил сферу с центром в начале координат и обозначал
точки пересечения сферы с положительными направлениями осей
координат, соответственно, /, т, п (рис. 94). Через точки /, т, п
он проводил окружность, а через начало координат —
«симметрическую ось» ОА через центр этой окружности и
«симметрическую плоскость» S перпендикулярно оси О А. Далее Гревс
рассматривал прямоугольные проекции триплетов на ось ОА и
плоскость S, называемые им «линиями», и замечал, что «проекции
линий произведения, линий сомножителей и единичной линии на
симметрическую ось образуют пропорцию в том смысле, в кото-
326
ром понимал ее Евклид», т. е. пропорцию вещественных чисел,
а проекции тех же линий на симметрическую плоскость «образуют
пропорцию, в которой учитываются и длины, и направления этих
пропорций», т. е. пропорцию комплексных чисел [348, с. 74].
Эти слова Гревса означают, что каждый триплет а можно
представить в виде суммы вещественного числа, изображаемого
прямоугольной проекцией триплета на ось ОА, и комплексного числа,
изображаемого прямоугольной проекцией триплета на плоскость S,
причем умножение двух триплетов сводится к умножению этих
вещественных и комплексных чисел; нетрудно проверить, что
сложение триплетов также сводится к сложению этих чисел.
На языке современной алгебры это представление означает, что
алгебра триплетов является прямой суммой поля вещественных
чисел и поля комплексных чисел; нетрудно проверить, что
триплеты ел и es, обозначающие «единичные линии» оси ОА и
плоскости S, выражаются через базисные элементы алгебры по
формулам
1 + е + е?2 1 + сое + со2б?2
ел = з ' es = з '
всякий триплет является линейной комбинацией триплетов ел,
es и мнимо сопряженного с es триплета es = — ^о Ше с
вещественными коэффициентами или, что равносильно этому, линейной
комбинации триплета ел с вещественным коэффициентом и
триплета es с комплексным коэффициентом (см. [13]). Нетрудно
проверить также, что абсолютная величина вещественного
коэффициента триплета а при 6а равна | а + Ь + с |, а модуль
комплексного коэффициента того же триплета при es равен второму
модулю (10.2).
327
Кватернионы. Обнаружив, что все рассмотренные им «тройные
алгебры» обладают делителями нуля, Гамильтон решил искать
алгебры без делителей нуля среди «четверных алгебр» и нашел такую
алгебру, обладающую всеми свойствами вещественных и
комплексных чисел, за исключением, однако, коммутативности
умножения. Такое обобщение комплексных чисел Гамильтон назвал
«кватернионами» (от латинского quaternus — «четверной»).
Гамильтон изложил новую теорию сначала в работе «О
кватернионах, или О новой системе мнимостей в алгебре» («On quaternions,
or On a new system of imaginaries in algebra». Дублин, 1844—
1850) [349, т. З], а затем в «Лекциях о кватернионах» («Lectures
on quaternions». Дублин, 1853) [350] (см. также [351]). Гамильтон
записывает кватернионы в виде сумм а + Ы + с/ + dk, сложение
и умножение которых определяются как сложение и умножение
многочленов при выполнении условий i2 =/2 = —1, if =
= —fi = А:, откуда, как нетрудно проверить, вытекают
соотношения к2 = —1, fk = —к] = i, ki = —ik = /. Кватернионы
по сложению образуют коммутативную группу, а кватернионы
без нуля по умножению образуют некоммутативную группу,
причем умножение дистрибутивно относительно сложения.
С каждым кватернионом а = а + Ы + с/ + dk связан
сопряженный кватернион а = а — Ы — cf — dk, причем, как
нетрудно проверить,
сф = Ра. (10.3)
Произведение аа равно неотрицательному вещественному
числу а2 + Ь2 + с2 + d2. Из формулы (10.3) следует, что
| а П р |» = | ар |», (10.4)
т. е. закон умножения кватернионов дает возможность по двум
четверкам чисел получить такую третью четверку,- что сумма
квадратов чисел этой четверти равна произведению сумм квадратов
чисел данных двух четверок.
Близкий к этому закону закон перехода от двух четверок чисел
к третьей, равносильный переходу от кватернионов <х и Р к
кватерниону ар, был найден Эйлером в письме к Гольдбаху еще
в 1748 г. и опубликован им в работе «Доказательство теоремы
Ферма о представлении всех чисел, как целых, так и дробных,
в виде суммы не более чем четырех квадратов» («Demonstratio
theorematis Feimatiani omnem numerum sive integrum sive frac-
tum esse summam quatuor pauciorumque quadra tor um». Петербург,
1760) [332, т. 2, с. 338—372]. Выражения вида xi + у) + zk
Гамильтон назвал векторами (от латинского vector —
«переноситель») и рассматривал кватернионы как суммы вещественных
чисел («скаляров», от scala — «лестница») и векторов. В «Лекциях
о кватернионах» определены все действия векторной алгебры:
сложение двух векторов а = xi + у] + zk и Р — x'i + y'f + z'k
дает новый вектор а + Р, их умножение дает кватернион оф
общего вида, скалярную часть Safy которого Гамильтон называл
328
«скалярным произведением» векторов а и Р, а векторную часть
Ксф — «векторным произведением» этих векторов (скалярное
произведение Гамильтона отличается от нашего скалярного
произведения знаком, а его векторное произведение совпадает с
нашим векторным произведением). Гамильтон рассматривал также
кватернион Ра'1, который он называл «частным от деления двух
векторов»; нетрудно проверить, что
Ра"1 = -р-г (cos ф + в sin ф),
где ф — угол между векторами а и р, а е — вектор единичного
модуля, перпендикулярный векторам аир.
Заметим, что, как в плоскость комплексного переменного
можно ввести метрику евклидовой плоскости, считая за
расстояние между двумя числами аир модуль | Р — а | их разности,
в 4-мерное пространство кватернионов таким же образом вводится
метрика 4-мерного евклидова пространства, причем произвольное
вращение этого пространства может быть записано в виде
'£ = а£р или '£ = аГр, | а | = | р | = 1, (10.5)
а произвольное вращение, сохраняющее вещественную ось, т. е.
произвольное вращение трехмерного евклидова пространства,
может быть записано в виде
'6 = сГ^а. (10.6)
Кватернионы можно представить также как пары комплексных
чисел (а, Р), где а = а + Ы, Р = с + di, с умножением по
формуле
(а, р) (Т, 6) = (аТ - рб, аб + pV). (10.7)
Такие пары комплексных чисел и их применение к движениям
пространства, равносильное применению соотношения (10.6)4
рассматривал Гаусс в опубликованной посмертно заметке «Мутации
пространства» («Mutationen des Raumes») [341, т. 8, с. 357—362].
Октавы. Вскоре после появления кватернионов А. Кели
открыл их обобщение — так называемые «числа Кели», или октавы,
определенные им в работе «Об эллиптических функциях Якоби
и о кватернионах» [299, т. 1, с. 127]. Октавы определяются как
выражения вида а + bi + с/ + dk + xl + yp + zg + tr,
сложение и умножение которых такие же, как сложение и умножение
многочленов при выполнении условий i2 = f2 = Р = —1,
if = — fi = к, il = —И = /?, // = — fl = 9, kl = — Ik = г,
откуда, как нетрудно проверить, вытекают соотношения к2 = р2 =
а также соотношения, получающиеся из них круговой
перестановкой троек элементов. Название «октава» (octave — от
латинского octo — «восемь») объясняется тем, что октава задается
восемью вещественными числами.
320
£ Это название встречается
впервые в заметке Гамильтона
о работах Дж. Т. Гревса (1848)
(см. 1273]), в которой
указывается, что Джон Томас Гревс
(1806-1870), брат Ч. Гревса,
открыл эти числа еще в 1843 г.
Поэтому октавы в настоящее
время часто называют числами
Кели или числами Гревса —
Кели. Нетрудно проверить, что
сложение и умножение октав
обладают всеми свойствами сло-
* J M жения и умножения кватерни-
Рис 95 онов, за исключением
ассоциативности умножения, однако
любые произведения двух
октав подчиняются ассоциативному закону. Октавы по сложению
образуют коммутативную группу, а октавы без нуля по
умножению образуют обобщение группы, в настоящее время
называемое лупой (от английского loop — «петля»).
Закон умножения базисных элементов алгебры октав удобно
изобразить графически с помощью схемы Г. Фрейденталя [216,
с. 125] (рис. 95), в которой произведение каждых двух базисных
элементов, изображенных на сторонах и медианах треугольника
и на вписанном в него круге, равно третьему со знаком плюс,
если переход от первого ко второму происходит в направлении,
указанном стрелкой, и со знаком минус, если этот переход
происходит в обратном направлении.
С каждой октавой а связана сопряженная октава а,
отличающаяся изменением знаков у чисел 6, с, d, х, у, ъ, t, причем, как
нетрудно проверить, выполняется условие (10.3). Произведение аа
равно вещественному числу а2 + Ъ2 + ... + t2. Из формулы (10.3)
здесь также вытекает условие (10.4), т. е. закон умножения октав
дает возможность по двум восьмеркам чисел получить такую
третью восьмерку, что сумма квадратов чисел этой восьмерки
равна произведению сумм квадратов чисел данных двух
восьмерок. Поэтому октавы, так же как кватернионы, применяются
в теории чисел. Закон перехода от двух восьмерок чисел к третьей,
равносильный закону умножения октав, в связи с задачами теории
чисел был открыт независимо от Кели итальянским алгебраистом
Франческо Бриоски (1824—1897) в работе «Об аналогии между
классом определителей четного порядка и бинарными
определителями» („Sur l'analogie entre une classe de determinants cTordre
pair et les determinants binaires". Берлин, 1856) [284, т. 5, с. 511 —
520], вследствие чего формулы, выражающие координаты октавы
оф через координаты октав а и р, часто называют «формулами
Бриоски».
330
В пространство октав, так же как в плоскость комплексного
переменного и в пространство кватернионов, можно ввести
евклидову метрику, считая за расстояние между двумя октавами а
и Р модуль | р — а | их разности.
Октавы можно представить также как пары кватернионов
(а, Р), где а = а + Ы + с/ + dk, Р = х + yi + zj + tk, с
умножением по формуле
(а, р) (v, 6) = (cry -бр, 6а + ft), (10.8)
являющейся обобщением формулы (10.7).
Матрицы. Артур Кели в «Мемуаре о теории матриц» («A memoir
on the theory of matrices». Лондон, 1858) [299, т. 1, с. 475—496]
определил алгебру квадратных таблиц чисел, названных им
матрицами (от латинского matrix — «список, реестр»). Таблицу,
состоящую из п2 чисел, называют матрицей n-го порядка. Суммой
матриц А = (dij) и В = (Ьи) является матрица А + В = (сч/ + btj),
а их произведением является матрица С = (сг-;-) с элементами
СЦ=^гФну (Ю.9)
к
Если поставить в соответствие матрице А = (аг;) линейное
преобразование
х\ =^ai;^, (10.10)
j
то произведение матриц А и В соответствует линейному
преобразованию, получающемуся в результате выполнения линейных
преобразований с матрицами i? и А,— такое линейное
преобразование называют произведением линейных преобразований.
Матрица / = (б0), для которой 6,-^ = 1 и 8tj = 0 при гф],
обладает тем свойством, что ее произведение на любую матрицу А
не изменяет этой матрицы, вследствие чего такую матрицу
называют единичной матрицей. Обратной матрицей А~г для
матрицы А является такая матрица, что произведение А"1 А = /.
Элементы матрицы А~г являются решениями btj системы
уравнений (10.9), где си = 8(j.
Если мы обозначим определитель матрицы А через | А |, то
выполняется условие
\АВ | = | А | \В |. (10.11)
Частный случай матриц третьего и четвертого порядков
рассматривал еще Эйлер в работе «Алгебраическая задача о
совершенно замечательных свойствах» («Problema algebraicum ab affec-
tiones prorsus singulares memorabile». Петербург, 1771) [332, т. 6,
с. 287—315]. Он называл матрицы «квадратами» и рассматривал
их как обобщение «магических квадратов», весьма популярных
331
в средние века и в эпоху Возрождения. Эйлер рассматривает
матрицы, соответствующие преобразованиям систем прямоугольных
координат,— в настоящее время такие матрицы называются
ортогональными: эти матрицы обладают тем свойством, что
произведение такой матрицы А = (atj) на матрицу АТ — (а/,)>
полученную из нее транспонированием (заменой строк столбцами),
равно единичной матрице /, т. е. АТА = /, или, что равносильно
этому, Ат = А'1. Эйлер определяет эти матрицы условием
АТА = /, расписанным для всех элементов матрицы АТА.
В «Мемуаре о теории матриц» Кели рассматривает как
вещественные, так и комплексные матрицы и показывает, что если
поставить кватернионам а = а + Ы + с/ + dk в соответствие
комплексные матрицы
А
-В
a-\~id b-\-ic
—b-j-ic a—id
(10.12)
то сумме и произведению кватернионов будут соответствовать
сумма и произведение соответственных матриц, а число аа = | а |2
равно определителю соответственной матрицы.
Заметим, что если мы запишем произвольную вещественную
матрицу второго порядка в виде
\А
\С
В\
D\\
a-\-d b-\-c
—b-\-c a—d
(10.13)
то ее можно записать также в виде а = а + Ы + се + с?/, где
А Т I1 °1 • II 0111
роль 1 играет единичная матрица У = о 1 г 1 — матрица | ^ ОН*
квадрат которой равен матрице —J, е — матрица L q .
а / — матрица ||о __Л. Выражения такого вида, похожие на
кватернионы, в настоящее время называют антикватернионами или
расщепленными кватернионами (split quaternions). Антикватер-
нионные единицы г, е, f связаны соотношениями г2 = — 1, е2 = 1,
ie = —ei = /, откуда вытекают соотношения /2 = 1, ef = —fe =
= —г, fi = —if = е. С каждым антикватернионом а связан
сопряженный антикватернион а = а — Ы — се — с?/, причем
выполняется условие (10.3), произведение аа равно вещественному
числу | а |2 = а2 + Ь2 — с2 — с?2, равному определителю матрицы;
здесь условие (10.11) равносильно условию (10.4).
Матрицы с нулевыми определителями обладают тем свойством,
что для каждой такой матрицы А всегда можно найти матрицу В,
также с нулевым определителем, произведение которых является
нулевой матрицей. В случае матриц второго порядка для матрицы
||а Ь|| „ II d —Ъ\\
L d\\ такой матрицей является матрица 1$ ah произведение
таких матриц равно (ad — bc)I, что по условию равно 0, т. е.
матрицы с нулевыми определителями являются делителями нуля.
332
Преобразование (10.10) записывают в векторной форме в виде
х' = Ах. (10.14)
Символ А называют линейным оператором; этот термин,
приобретший популярность в 20—30-х годах XX в., впервые в этом
смысле был введен английским физиком Оливером Хевисайдом
(1850—1925) в его «Электромагнитной теории» («Electromagnetic
theory». Лондон, 1893) [352], в значительной части посвященной
изложению векторного исчисления.
С каждым линейным преобразованием связаны собственные
векторы, т. е. векторы, которые при действии этого преобразования
умножаются на вещественное число:
Ах = Ах, (10.15)
или
(А - М)х = 0. (10.16)
где / — оператор тождественного преобразования (1х = х).
Векторное равенство (10.16) можно переписать в координатах в виде
(аи — Х)х1 + а12х2 + . . . + а1пхп = 0,
Я21#1 + (^22 — ЦХ* + . . . + 0271*71 = 0, (10.17)
ап1хг + ап2х2 + . . . + (апп — %)хп = 0.
Система уравнений (10.17) имеет ненулевые решения только
в том случае, когда определитель этой системы равен нулю, т. е.
#21 я22 — ™
I ап1 ап2
Решения уравнения (10.18) и являются собственными числами
матрицы. Полагая в системе (10.17) число к равным одному из
этих чисел, мы найдем координаты собственного вектора х,
принадлежащего собственному числу к. Собственные числа линейных
преобразований впервые появились в работах Лагранжа по
теории системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами и в работах французского математика и
механика Пьера Симона Лапласа (1749—1827) по теории малых
колебаний и «вековых неравенств» движений планет, вследствие чего
уравнение (10.18) иногда называют «вековым уравнением». В
неявном виде собственными числами линейных преобразований
трехмерного пространства пользовался еще Эйлер [238, т. 2,
с. 354] во «Введении в анализ бесконечных» (1748) при определении
главных осей поверхностей второго порядка и в «Теории
движения твердых или жестких тел» («Theoria motus corporum solidorum
seu rigidorum». Грейфсвальд, 1765) [333, т. З, с. 215—243] при
ат
а2п
>-».
= 0.
(10.18)
333
определении главных осей инерции твердого тела. Главные оси
поверхности второго порядка направлены по собственным
векторам линейного преобразования, переводящего вектор 1 в вектор,
перпендикулярный к плоскости, содержащей геометрическое место
середин хорд поверхности, параллельных вектору 1, а главные
оси инерции твердого тела направлены по собственным векторам
линейного преобразования, переводящего вектор, направленный
по мгновенной оси вращения тела, в вектор, указывающий
направление соответственного кинетического момента тела.
Собственные числа линейных преобразований тг-мерного пространства
были найдены О. Коши в работе с традиционным названием «Об
уравнении, с помощью которого определяют вековые неравенства
движений планет» («Sur 1-'equation a l'aide de laquelle on
determine des inegalites seculaires de mouvements des planetes». Париж,
1826) [298, т. 9, с. 174-195].
При переходе от базисных векторов е1? е2, . . ., еп к базисным
векторам еь е2, . . ., еп линейное преобразование (10.14)
выражается другой матрицей А', которая называется подобной
матрице А. В том случае, когда все собственные числа матрицы А —
вещественные и различные числа Хи Я2, . . ., кпу можно выбрать
базис, состоящий из собственных векторов. В этом случае матрица
принимает диагональный вид
А =
Аа 0
^2
(10.19)
|0 К\\
Очевидно, что две матрицы, приводимые к одному и тому же
диагональному виду, подобны. В неявном виде приведение
матриц к диагональному виду производил еще Эйлер для матриц,
состоящих из коэффициентов уравнения поверхности второго
порядка и из моментов инерции \хЧМ, \уЧМ, \z4M, IxydM,
\ xzdM, j yzdM, где dM — элемент массы тела, а интегрирование
производится по объему тела. В случаях Эйлера собственными
числами матриц являются коэффициенты уравнения поверхности
при квадратах координат, когда оси координат совпадают с
главными осями, и главные моменты инерции. В общем виде
приведение матриц к диагональному виду производилось А. Кели в «Ме-
муаре о теории матриц» (1858).
Проблема установления, подобны ли две данные матрицы
в общем случае, когда они имеют кратные собственные числа, была
решена К. Вейерштрассом в работе «К теории билинейных и
квадратичных форм» («Zur Theorie der bilinearen und quadratischen
Formen». Берлин, 1868) [518, т. 2, с. 19—44]. В этой работе Вейер-
штрасс ввел понятие элементарных делителей определителя
матрицы А — XI, представляющего собой многочлен п-й степени
от к. В том случае, когда все эти элементарные делители являются
линейными функциями от к, все собственные числа матрицы А
334
различны. В том же случае, когда имеются элементарные
делители степени /^>1, возможны векторы х, для которых
(А -М)хф О, (А - К1)Ч ф 0, . . ., (А - XI)1-1 хф О,
(10.20)
но
(10.21)
(А - Х1)1х = 0.
Вейерштрасс показал, что две матрицы подобны, если у них
одни и те же элементарные делители. Две подобные матрицы с
комплексными элементами в общем случае можно привести к одному
и тому же «каноническому виду», где равны нулю все элементы,
кроме элементов, стоящих на главной диагонали равных
собственным числам матрицы, и элементов, стоящих на прямой,
параллельной этой диагонали, которые могут быть равны 1:
Хт
1 Хг
1
о
1 Хг
(10.22)
Канонический вид (10.22) был впервые найден К. Жорданом
в «Трактате о подстановках» (1870) [366] для линейных
преобразований с целочисленными коэффициентами по модулю, равному
простому числу. Поэтому канонический вид (10.22) называют
«жордановой нормальной формой», а подматрицы, расположенные
по главной диагонали этой матрицы, называют жордановыми
клетками. Каждой жордановой клетке /-го порядка соответствует
/-мерное инвариантное подпространство линейного пространства,
переходящее в себя при данном линейном преобразовании,
причем в этом подпространстве находятся вложенные друг в друга
инвариантные подпространства 1, 2, ...,/— 1 измерений;
одномерное инвариантное подпространство определяется собственным
вектором, принадлежащим данному собственному числу. Жорда-
нова нормальная форма для матриц с комплексными элементами
определяет нормальные формы для матриц с вещественными
элементами. Классификация всех возможных видов линейных
преобразований с различными жордановыми нормальными формами
335
была проведена итальянским математиком Коррадо Сегре (1863—
1924) в работе «О теории и классификации томографии в
линейном пространстве произвольного числа измерений» («Sulla teoria
е sulle classificazioni delle omograiie in uno spazio lineare ad un
numero qualunque di dimension!». Рим, 1884) [477a].
Название «гомография» (homographie, omograiia), введенное
Мишелем Шалем (1793—1880) [301, с. 67] для обозначения кол-
линеации и применявшееся в этом смысле в указанной работе
К. Сегре, применялось Чезаре Бурали-Форти (1861—1931),
например в его «Основаниях дифференциальной геометрии
поверхности, изложенных общим векторным методом» («Fondamenti per
la geometria differenziale di una superficie col metodo vettoriale
generale». Палермо, 1912) [286], и другими итальянскими
геометрами как название линейного оператора. Немецкий геометр
Ф. Юнг в работе «Образование производных в пространственных
полях величин» («Ableitiings-Bildimg im raumlichen GroBenfelde».
Берлин, 1908) [368] ввел в этом смысле слово «аффинор» (Affinor),
происходящее от термина «аффинное преобразование» и
объясняющееся тем, что аффинные преобразования также выражаются
с помощью линейных операторов по формуле
х' = Ах + Ь. (10.23)
Еще одно распространенное название линейного оператора —
«тензор», от латинского слова tensio («напряжение») —
объясняется тем, что одним из первых примеров линейного оператора
был так называемый тензор упругости, характеризующий
напряженное состояние упругого тела. Если выделен элемент объема
упругости тела, находящегося в напряженном состоянии,
содержащий некоторую точку, то каждой плоскости, проходящей через
эту точку, соответствует сила, которую следует приложить к
сечению элемента объема этой плоскостью, чтобы оставшаяся часть
элемента объема тела находилась бы в равновесии. Отношение р
этой силы к площади сечения, называемое напряжением,
действующим в данном сечении, является линейной векторной
функцией от единичного нормального вектора п плоскости сечения,
р = Тп.
В теории упругости диагональные элементы матрицы
оператора Т по отношению к прямоугольным координатам х, у, z
обозначаются ах, Оу, gz и называются нормальными напряжениями,
а остальные элементы этой матрицы обозначаются Тху, тХ2, тух
и называются касательными напряжениями.
Заметим, что американским физиком Джозайей Виллардом
Гиббсом (1839—1903), который в своих «Элементах векторного
анализа» («Elements of Vector Analysis». Нью Хавен, 1881—1884)
[343] соединил векторные исчисления Гамильтона и Грассмана
воедино и придал векторному исчислению его современный вид,
наряду со скалярным и векторным произведениями, которые он
336
обозначал а-|3 и а X ^, ввел еще один вид произведения вёкторОЁ,
которое он обозначал оф и называл «диадным произведением»
или «диадой». Диада представляет собой оператор, который стави»
в соответствие каждому вектору £ произведение вектора а на
скалярное произведение векторов |3 и |, т. е. в обозначениях Гиббса
сф-£. Гиббс показал, что всякая линейная функция т] = Ф (£)
в трехмерном пространстве является суммой трех функций вида
<хР-£, т. е. произвольный оператор Ф линейной функции является
суммой трех диад.
Участие физиков Гиббса и Хевисайда в разработке векторного
исчисления и теории линейных операторов объясняется
исключительным удобством векторного исчисления, и в особенности
теории векторного поля, для физики. Векторный анализ еще в
форме Гамильтона был успешно применен к теории
электромагнитного поля английским физиком Джемсом Кларком Максвеллом
(1831—1879) в его знаменитом «Трактате об электричестве и
магнетизме» («A treatise on Electricity and Magnetism». Кембридж,
1873) [408], в котором было предсказано существование
электромагнитных волн, впоследствии блестяще подтвердившееся
открытием радио.
Числа Грассмана и Клиффорда. Г. Грассман, определивший
в «Учении о линейном протяжении» (1844) n-мерное линейное
пространство векторов, определил в нем кососимметрические «внешние
произведения»
lXiX2J = —1Х2ХХ], lX1X2X3J = —lX2X1X3J = . . . = —[Х3Х2Х^,
которые в случае линейной зависимости их сомножителей считал
равными нулю. Когда векторы хх, . . ., хт, хт+1, . . ., хр линейно
независимы, он определил также произведение
[хг . . . xmJ lxm+1 . . . Хр\ = [х1 . . . xmxm+1 . . . XpJ;
когда векторы хх, . . ., Хр линейно зависимы, это произведение
считается равным нулю. Тем самым Грассман определил алгебру
выражений
а + ^^ + ^^а>и ieiej] + • • •
г г j
—+2^2-,'- • ^jaili« -• *r Ie**e*« • • *e*rl + • • • + ai2..n [eie2.. .en],
ii i2 ir
(10.24)
которые он назвал «экстенсивными величинами», а в настоящее
время их называют числами Грассмана п-то порядка. Так как
выражение (10.24) имеет по одной координате а и a12...n, по п
координат at и а12...Ь11 j+li..n и по Г) координат а^,..лг
и 01..Д!-!, ш..л -i,i +1,...п, общее число координат числа Грассмана
337
этой алгебры равно
i+n+(i)+. ..+(:)+■ ..+(;)+»+i-
= (1 + 1)п = 2п.
Нетрудно проверить, что умножение чисел Грассмана
ассоциативно.
В. К. Клиффорд в «Приложениях алгебры экстенсивов
Грассмана» («Applications of Grassmann's extensive algebra». Балтимор,
1878) [310, с. 266—276] предложил видоизменение алгебры
Грассмана: он также рассматривал линейные комбинации 1, п векторов
ех, е2, . . ., еп и произведений егЧег-2.. е^г, которые в случае, когда
сомножители ег1, ег-2, . . ., eif различны, определяются так же,
как внешние произведения [ег1ег-2...ег-г] Грассмана, и обозначаются
Giu*---iri но в том случае, когда среди этих сомножителей имеются
одинаковые, произведение не равно нулю, а вычисляется с учетом
правила е? = —1 (например, е1е2е1 = —eie2 = e2). Тем самым
Клиффорд определил алгебру выражений
а + ХЛ6* + Xjljai;'ei;' + " ""
г г J
• • • + J]j2j • • • 2jaiii2 -.. \^Ш ... гг + • • • + 0>1 2...nei 2...П, (Ю.25)
it и гг
называемых в настоящее время числами Клиффорда тг-го порядка.
Общее число координат числа Клиффорда этой алгебры также
равно 2П. Нетрудно проверить, что единственными базисными
элементами, перестановочными со всеми числами Клиффорда,
являются 1 и элемент е12...п при нечетном п. При п = 1 числа
Клиффорда совпадают с обычными комплексными числами, при
п = 2 — с кватернионами, при п^> 2 являются обобщениями
кватернионов. Нетрудно проверить, что умножение чисел
Клиффорда ассоциативно.
В «Предварительном очерке бикватернионов» (1873) [95,
с. 314—343] Клиффорд предложил два видоизменения обычных
комплексных чисел — числа вида а + бсо, где со2 = 0 и со2 = 1.
В настоящее время эти числа обозначаются а + be и a-{-be
и называются соответственно дуальными и двойными числами.
В той же работе Клиффорд предложил наряду с кватернионами
с комплексными координатами, которые Гамильтон называл
«бикватернионами», рассматривать два новых вида
бикватернионов — эллиптические бикватернионы, координаты которых —
двойные числа, и параболические бикватернионы, координаты
которых — дуальные числа, чем и объясняется название работы;
бикватернионы Гамильтона Клиффорд называл гиперболическими
бикватернионами. В отличие от обычных комплексных чисел
дуальные и двойные числа обладают делителями нуля: ими в слу-
338
чае дуальных чисел являются числа вида ае, а в случае двойных
/ 1 _L_e \2 14-е
чисел — числа а (1 ± е) (нетрудно проверить, что (—у—) = —у—
и (1 + е) (1 — е) = 0. Двойные числа называют также
расщепленными комплексными числами (split complex numbers) и пара-
комплексными числами.
Так как в случае чисел Клиффорда 3-го порядка элемент е123
перестановочен с элементами вида а + агег + аге2 + а12е12,
которые можно рассматривать как кватернионы, а е?2з = 1, числа
Клиффорда 3-го порядка совпадают с эллиптическими бикватер-
нионами. Числа Клиффорда порядка п > 3 обладают делителями
нуля: таким делителем нуля является, например, число
я (1 ± е123)- Таким образом, числа Клиффорда являются
обобщением кватернионов в другом направлении, чем октавы: в
октавах теряется ассоциативность, но нет делителей нуля, в числах
Клиффорда сохраняется ассоциативность, но появляются делители
нуля.
Если в определении чисел Клиффорда заменить условие
е? = —1 условием е* = 1 (а = 1, . . ., /), е„ = — 1 (и = I + 1, ...
. . ., п), мы получим аналогичные числа, которые при п = / = 1
совпадают с двойными числами, при п = 2, / = 1 и при п = / = 2
совпадают с антикватернионами, при п = 3, 1 = 1 — с
гиперболическими бикватернионами. Числа Грассмана при п = 1
совпадают с дуальными числами.
Тот факт, что числа Грассмана и Клиффорда были определены
геометрами, связан с тем, что эти числа с самого начала были
связаны с геометрическими задачами: числа Грассмана — с
определением объемов многомерных параллелепипедов, а двойные и
дуальные числа и бикватерниопы, обобщениями которых являются
общие числа Клиффорда,— с геометрией евклидовых и
неевклидовых пространств.
Вскоре после появления чисел Клиффорда немецкий математик
Рудольф Липшиц (1832—1903) в «Исследованиях о суммах
квадратов» («Untersuchimgen iiber die Summen von Qudraten». Бонн,
1886) [403] показал^ что числа Клиффорда и в общем случае тесно
связаны с изучением групп вращений многомерных пространств,
а именно, если ввести в алгебре Клиффорда переход к
сопряженному элементу от элемента а=> сц1т.л^и..л к элементу
- лл \п Г г(г+1)
«=2j(—1)ra*f"*re<r1r-i.»*i=2j^1^ 2 ail-Veil-V то' как
г г
нетрудно проверить, имеет место соотношение (10.3), а
коэффициент произведения aa при 1, равный \ dtt...i » будем назы-
г
вать квадратом модуля и обозначать | a |2. Тогда имеет место и
соотношение (10.4). В алгебру чисел Клиффорда, так же как
339
в поле комплексных чисел и тело кватернионов, можно ввести
евклидову метрику, считая за расстояние между двумя
элементами аир модуль их разности. Далее Липшиц замечает, что
алгебра чисел Клиффорда тг-го порядка может быть представлена
числами Клиффорда (п + 1)-го порядка, являющимися
линейными комбинациями базисных элементов с четными числами
индексов. Тогда преобразование (10.6), где £ и '£ — числа Клиффорда
(п + 1)-го порядка — линейные комбинации элементов et (i =
= 0, 1, . . ., я), а а — число Клиффорда того же порядка,
представляющее число Клиффорда n-го порядка, удовлетворяющее
условиям того, что произведение cf ^а — линейная комбинация
элементов еь является вращением (п + 1)-мерного евклидова
пространства (преобразование (10.6) в случае кватернионов также
может быть представлено таким образом). Элементы а,
удовлетворяющие равенству (10.6), связаны условиями
£^,...^=1 (Ю.26)
к
И
aaiihuu = 3!! a[ili2ai3{4],
ааШгЬ..лл = 5!! a[iti2 ai3..je],
(10.27)
где (2k — 1)!! — произведение всех нечетных чисел от 1 до
2А — 1, а [ ] — знак альтернирования, обозначающий
алгебраическую сумму выражений, стоящих под этим знаком, при
всевозможных перестановках индексов, причем в случае четной
перестановки перед выражением ставится знак плюс, а в случае
нечетной перестановки — минус. Условия (10.26) и (10.27) выражают
все координаты элемента а через его координаты atj. Формула
(10.6) показывает, что всякому вращению n-мерного евклидова
пространства соответствуют два числа Клиффорда (п — 1)-го
порядка: а и —а. Преобразования (10.6) этого вида определяют так
называемые спинорные представления групп вращений (п +
^-мерного евклидова пространства и групп движений n-мерного
эллиптического пространства. С помощью аналогов чисел Клиффорда
определяются также спинорные представления групп вращений
псевдоевклидовых пространств и групп движений
гиперболических пространств.
Перенесение Котельникова — Штуди. Клиффорд в
«Предварительном очерке бикватернионов», определив эллиптические и
параболические бикватернионы и такие же бивекторы, т. е.
векторы, для которых роль скаляров играют соответственно алгебры
двойных и дуальных чисел, связал их с винтовыми движениями
эллиптического и евклидова пространств. Эти идеи Клиффорда
легли в основу винтовых исчислений русского математика и ме-
340
ханика А. П. Котельникова и немецкого математика Эдуарда
Штуди (1862—1922). А. П. Котельников в магистерской
диссертации «Винтовое счисление...» (Казань, 1895) [98] и докторской
диссертации «Проективная теория векторов» (Казань, 1899) [99] и
Штуди в «Геометрии динам» («Geometrie der Dynamen». Лейпциг,
1902) [494] показали, что многообразия ориентированных прямых
евклидова и эллиптического пространств и пространства
Лобачевского можно изобразить многообразиями единичных
«бивекторов», т. е. единичных векторов трехмерного пространства,
координатами которых являются соответственно дуальные,
двойные и обычные комплексные числа или, что равносильно этому,
сферами единичного радиуса соответственно в дуальном, двойном
и комплексном трехмерных евклидовых пространствах. При этом
если в первом случае дуальный угол равен ф0 + еф1т то число ф0
равно углу между соответственными ориентированными
прямыми, а число фх равно кратчайшему расстоянию между ними. Если
во втором случае двойной угол равен ф0 + еци то числа ф0 и фх
пропорциональны наибольшему и кратчайшему расстояниям
между соответственными прямыми, равным длинам двух общих
перпендикуляров этих прямых (в случае параллелей Клиффорда
ф0 = фх и две прямые обладают бесконечным множеством общих
перпендикуляров). Если в третьем случае комплексный угол
равен ф0 + £ф1, то числа ф0 и фх пропорциональны кратчайшему
расстоянию прямых — длине их общего перпендикуляра и углу
между плоскостями, проходящими через этот перпендикуляр и
прямые. Группы движений евклидова и эллиптического
пространств и пространства Лобачевского при этом изображаются
группами вращений дуальной, двойной и комплексной сфер, и всякий
факт геометрии сферы можно истолковать как факт геометрии
трехмерного пространства. Всякой паре прямых этих пространств
можно поставить в соответствие винтовое движение, осью которого
служит общий перпендикуляр этих прямых, совмещающее
первую из прямых со второй. Этому движению можно поставить
в соответствие бикватернион, произведение которого на бивектор,
изображающий первую прямую, равно бивектору,
изображающему вторую прямую; поэтому бикватернионы, связанные с тремя
трехмерными пространствами, определяют винтовые движения
этих пространств («винты»). Стимулом к исследованиям
Клиффорда, А. П. Котельникова и Штуди была попытка выяснения, не
противоречит ли геометрия неевклидова пространства принципам
механики. Котельников и Штуди построили теорию скользящих
векторов в этих пространствах и показали, что подобно тому, как
система сил и система мгновенных угловых скоростей в обычном
пространстве (и сила, и мгновенная скорость являются
скользящими векторами) эквивалентны силовому или кинематическому
винту, первый из которых состоит из силы и пары сил в плоскости,
перпендикулярной этой силе, а второй — из угловой скорости
вращения вокруг некоторой оси и из поступательной скорости
341
вдоль этой оси, которую можно рассматривать как «пару» угловых
скоростей, так в эллиптическом пространстве и пространстве
Лобачевского всякая система скользящих векторов эквивалентна
двум скользящим векторам, линии действия которых — взаимные
поляры.
Ассоциативные алгебры. Все определенные выше обобщения
чисел, принадлежащие де Моргану, Ч. Гревсу и Дж. Т. Гревсу,
Гамильтону, Кели, Грассману и Клиффорду, являются частными
случаями общего понятия «алгебры», определенного
американским алгебраистом Бенджамином Пирсом (1809—1880) в работе
«Линейные ассоциативные алгебры» («Linear associative algebras».
Гарвард, 1881) [436]. Пирс определял алгебру как n-мерное
линейное пространство, в котором задано ассоциативное
умножение векторов, дистрибутивное относительно сложения и
перестановочное с умножением вектора на число. Требование
ассоциативности умножения исключает из числа алгебр октавы и векторы
трехмерного пространства с обычным векторным умножением.
Если ех, е2, . . ., еп — базисные векторы алгебры, то для
задания умножения векторов достаточно задать умножение базисных
векторов
eie,= ^4ek. (10.28)
к
Формулы (10.28) называются формулами структуры алгебры,
а числа Су — структурными константами алгебры.
Пирсом введено понятие нилыготентных элементов — таких
элементов е, для которых существует такое натуральное число
г, что ег = 0 (к таким элементам относится дуальное число е
и все базисные элементы чисел Грассмана), и идемпотентных
элементов — таких элементов е, для которых е2 = е (к таким
элементам относятся двойные числа (1 ± е)/2, числа Клиффорда
(1 ± е123)/2 и числа, получаемые из них заменой е123 на любой
базисный элемент, число индексов которого имеет вид 4т + 1 или
4т). Эти понятия применялись Пирсом для классификации
комплексных алгебр небольших размерностей.
Общая теория алгебр появилась в лекциях К. Вейерштрасса
еще в 1861 г., однако его исследования были опубликованы только
в работе «К теории комплексных величин, образованных из п
главных единиц» («Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebil-
deten Grossen». Лейпциг, 1884) [518, т. 2, с. 311—332]. Вейер-
штрасс ввел понятие прямой суммы нескольких алгебр: если даны
алгебры с базисами ех, . . ., еП1; еП1+1, . . ., ent; . . .; еПг_1+1, ...
. . ., еп , то их прямой суммой является алгебра, базис которой
состоит из всех этих элементов, а произведения элементов разных
базисов равны нулю. Вейерштрасс показал, что всякая
коммутативная алгебра без нилыготентных элементов является прямой
342
суммой нескольких полей вещественных или комплексных чисел,
например алгебра с базисом 1, е, е2, . . ., е71"1 при условии еп = 1
(алгебра «циклических чисел») при нечетном п является прямой
суммой (п — 1)/2 полей комплексных чисел и одного поля
вещественных чисел, а при четном п — прямой суммой /г/2—1 полей
комплексных чисел и двух полей вещественных чисел. В
частности, при /г = 2 мы получаем, что алгебра двойных чисел является
прямой суммой двух полей вещественных чисел, чем и объясняется
название этих чисел (в этом случае роль элементов ех и е2 играют
элементы (1 ± е)/2), а при п = 3 мы получаем, что алгебра
триплетов де Моргана — Гревса является прямой суммой поля
вещественных и поля комплексных чисел.
Ученик С. Ли — Георг Шефферс (1866—1945) в «Обобщении
оснований обычных комплексных функций» («Verallgemeinerung
der Grundlagen der gewohnlichen complexen Functionen». Дрезден,
1893) [462] пытался определить аналитические функции, областью
определения и областью значений которых являются области
некоторой алгебры. Шефферсу удалось определить такие функции
только в случае коммутативных алгебр (С^ = СД). В этом случае
Шефферс нашел условие аналитичности функции у = / (х),
где x = 2^xiei, у = ^ урЛ, в виде
г г
/i n и г
В случае комплексных чисел эти условия совпадают с
обычными условиями Коши — Римана, в случае алгебр двойных и
дуальных чисел они имеют соответственно вид
дух ___ ду2 ду2 __ дуг дуг __ ду2 ду2 __ q
дхх дх2 J дхх дх2 дхх дх2 J дхх
Теория колец. Алгебры, так же как встречавшиеся нам поля
и тела, являются частными случаями алгебраического понятия
кольца. Мы уже упоминали о различных видах числовых полей,
определенных Галуа в «Мемуаре об условиях разрешимости
уравнений в радикалах». Другой вид полей был определен Галуа в
работе «Из теории чисел» (1830).
Источником этой работы Галуа являлась классическая работа
К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования» [39], где было
введено общее понятие сравнения двух целых чисел по модулю
третьего: числа а и Ъ сравнимы по модулю р,
а = Ь (mod p),
если равны остатки от деления чисел а и Ъ на р. Обозначение =
подчеркивает аналогию между сравнением и равенством, так
343
как отношение сравнения, так же как отношение равенства, реф-
лективно (а = а), симметрично (если а = 6, то и b = а) и транзи-
тивно (если а = i и S = с, то а = с). В том случае, когда
модуль р является простым числом, действия над сравнениями по
модулю р вполне аналогичны действиям над равенствами: к обеим
частям сравнения можно прибавить одно и то же число, обе
части сравнения можно умножить на одно и то же число и
разделить на число, не кратное р, т. е. несравнимое с нулем по
модулю р. Отношение сравнения разбивает целые числа на классы
сравнимых между собой чисел, называемые классами вычетов
по модулю р. Число таких классов равно р, в качестве
представителей этих классов можно принять числа 0, 1, 2, . . ., р — 1.
Над классами вычетов можно определить сложение и умножение:
суммой и произведением двух классов А и В, имеющих
представителями числа а и Ь, называются соответственно классы С и Z),
имеющие представителями числа а + Ъ и аЪ. Нетрудно проверить,
что по сложению все классы, а по умножению все классы, кроме
«главного класса», состоящего из чисел, кратных/?, образуют
коммутативные группы, причем умножение классов дистрибутивно
относительно сложения. Роль нуля играет главный класс, роль
единицы играет класс, содержащий 1, роль класса,
противоположного классу А, играет класс —А, содержащий р — а; роль
класса, обратного классу Л, играет класс А'1, содержащий такое
число 6, что аЪ = 1 (mod p). Таким образом, совокупность
классов вычетов по простому модулю обладает теми же свойствами,
что и числовое поле, вследствие чего такие совокупности в
настоящее время называют полями классов вычетов.
Галуа в указанной работе рассматривает сравнение вида
F (х) == 0 (mod p), где F (х) — многочлен v-й степени. В том
случае, когда многочлен F (х) неразложим по модулю р, т. е. его
нельзя представить в виде суммы произведения ф (x)ty (x) и
многочлена р% (х), сравнимого с нулем по модулю р, Галуа
рассматривает корень i рассматриваемого им сравнения, относящийся
к этому сравнению, как мнимая единица i к уравнению х2 + 1 = О,
что подчеркивается и обозначением Галуа; такие корни в
настоящее время называют «мнимостями Галуа». Далее Галуа
рассматривает выражения вида
а0 + aj + a2i* + . . . + Ov-i^"1, (10.29)
где а0у аг, . . ., av-i — целые числа. Сумма и произведение двух
выражений этого вида по модулю р снова является выражением
того же вида; в том случае, если в произведении возникает
степень tv, эта степень выражается через низшие степени с помощью
сравнения F (i) = 0 (mod p). Выражениями того же вида являются
и разность, и частное от деления этих выражений по модулю р,
т. е. совокупность выражений этого вида, называемая в настоящее
время полем Галуа, также обладает теми же свойствами, что и
числовое поле. Поле Галуа рассматриваемого вида содержит р"
344
элементов. Поле классов вычетов можно рассматривать как поле
Галуа при v = 1.
Другое направление исследований, приведшее к теории колец,
исходит из работы Гаусса «Теория биквадратичных вычетов. II»
(1833) [39, с. 686—754], где введены целые комплексные числа.
Гаусс показал, что сложение и умножение этих чисел снова
приводят к числам того же вида. Для этих чисел имеют смысл понятия
делимости и простоты, причем простые целые рациональные числа,
если рассматривать их как целые комплексные числа, могут уже
не оказаться простыми, например простые числа вида 4тг + 1,
которые, как обнаружил еще Ферма, можно представить в виде
суммы двух квадратов р2 + q2 и, следовательно, в виде
произведения (р + qi) (р — qi).
Целые комплексные числа являются частным случаем целых
алгебраических чисел, т. е. чисел вида (10.29), где а01 а1У . . ., av —
целые рациональные числа, a i — корень многочлена F (х) v-й
степени, который нельзя представить в виде произведения ф (х) г|) (х)
низших степеней, т. е. чисел, относящихся к целым рациональным
числам так же, как элементы поля Галуа к классам вычетов по
простому модулю. Целые алгебраические числа в общем случае
впервые рассматривались немецким математиком Петером Леже-
ном Дирихле (1805—1859) в работе «К теории комплексных
единиц» («Zur Theorie der complexen Einheiten». Берлин, 1846) [325,
т. 1, с, 103—107]. Исследования Щирихле по целым
алгебраическим числам были собраны в его «Лекциях по теории чисел»
(«Vorlesungen iiber Zahlentheorie». 1863) [64]. В 1847 г.
французский математик и механик Габриэль Ламе (1795—1870) в «Общем
доказательстве теоремы Ферма о невозможности уравнения
хп + Уп = zn в целых числах» («Demonstration generale du theo-
reme de Fermat sur l'impossibilite en nombres entiers de l'equation
xn -\- yn = Л. Париж, 1847) [386], содержащем ошибочное
доказательство «великой теоремы Ферма», рассматривал числа вида
(10.29), где i — первообразный корень v-й степени из единицы.
Связь теоремы Ферма с этими числами объясняется тем, что
неравенство zn Ф хп + уп равносильно неравенству
zn ф (х + у) (х + щ) . . . (х + со"-1*/),
где со — первообразный корень тг-й степени из единицы.
Доказательство Ламе было основано на предположении, что числа этого
вида однозначно разлагаются на простые множители, т. е. на
множители, которые делятся только на себя и на числа ±1 и ± У"—1.
Ошибочность доказательства Ламе, состоявшая в том, что для
чисел указанного вида из того, что произведение аЪ делится на
простое число р, не следует, что нар делится а или 6, была обнаружена
в том же году немецким математиком Эрнстом Куммером (1810—
1893). В работе «К теории комплексных чисел» («Zur Theorie der
complexen Zahlen». Берлин, 1847) [382] Куммер предложил считать
целые алгебраические числа, которые нельзя представить в виде
345
произведения целых чисел, но обладающие тем свойством, что
произведение аЪ может делиться на р, хотя ни а, ни Ъ не делятся
на р, не простыми, а составными числами, однако простые
множители, на которые они разлагаются, следует добавить к
рассматриваемому полю алгебраических чисел в виде новых объектов.
Следуя Понселе, называвшему мнимые точки, добавляемые им к
вещественным кривым, идеальными точками, Куммер назвал
вводимые им новые объекты идеальными простыми множителями
(ideale Primfactoren). Фактически идеальные числа Куммера
являются вещественными или комплексными числами, не
входящими в рассматриваемую Куммером систему: например, в случае
чисел вида а + 6]Л — 3 число 4 может быть представлено ив виде
2 • 2 и в виде (1 + ]/" — 3) (1 — У — 3); в этом случае роль
идеальных простых множителей для числа 2 играют 1 + i и 1 — i.
Куммер надеялся, что с помощью идеальных множителей можно
будет «спасти» доказательство Ламе, и действительно доказал
с их помощью большое число частных случаев «великой теоремы
Ферма», однако общего доказательства этой теоремы Куммеру
получить не удалось.
Теория целых алгебраических чисел и прежде всего работы
Куммера привели к появлению общей теории колец и полей в
работах Рихарда Дедекинда (1831—1916). Издавая после смерти
своего учителя Дирихле его «Лекции по теории чисел» [64],
Дедекинд в III издании этих лекций (1879) добавил XI
приложение, в котором ввел общее понятие «порядка» (Ordnung) как
множества элементов, в котором определены действия сложения и
умножения, причем по сложению эти элементы образуют
коммутативную группу, а умножение ассоциативно и дистрибутивно
относительно сложения. «Порядок», в котором все элементы, кроме
нуля, образуют группу по умножению, Дедекинд назвал «телом»
(Кбгрег). Последний термин переводили французским словом
corps и английским словом corpus, имеющими то же значение,
но впоследствии в английской литературе этот термин был
вытеснен словом field — «поле». В русской литературе первоначально
применялись слова «корпус» и «тело», а впоследствии «поле»; в
настоящее время в русской математической литературе
употребляются оба термина: «поле» в случае коммутативности умножения и
«тело» — в случае некоммутативности умножения. Термин
«порядок» ввиду большого числа значений этого слова был заменен
термином «кольцо» (Ring) немецким математиком Давидом
Гильбертом в «Теории алгебраических числовых тел» («Die Theo-
rie der algebraischen Zahlkorper». Гёттенген, 1897) [354, т. 1,
с. 63-363].
Рациональные числа, алгебраические числа,
рассматривавшиеся в теории Галуа, вещественные и комплексные числа
образуют поля; в отличие от этих бесконечных полей поля классов
вычетов по простому модулю р и поля Галуа являются конечными
полями. Кватернионы образуют тело. Целые рациональные числа
346
и целые алгебраические числа, а также двойные и дуальные
числа образуют коммутативные кольца, а числа Грассмана и
Клиффорда и матрицы образуют некоммутативные кольца: кольца
двойных и дуальных чисел, чисел Клиффорда при п > 4, чисел
Грассмана и матриц, как мы видели выше, обладают делителями
нуля. Имеются и конечные кольца, не являющиеся полями—такие
кольца образуют классы вычетов по составному модулю: в кольце
классов вычетов по модулю pq произведение классов вычетов,
содержащих числа р и q, является нулевым классом, т. е. эти
классы представляют собой делители нуля.
Дедекинд заменил введенное Куммером понятие идеального
множителя понятием идеала, который он определил как множество
элементов кольца, также являющееся подкольцом и обладающее
тем свойством, что произведение любого элемента кольца на
элемент идеала также принадлежит идеалу. Идеалы кольца целых
чисел составляют четные числа и числа, кратные любому числу,
идеалы составляют и целые алгебраические числа, кратные
идеальному множителю Куммера, чем и объясняется термин «идеал».
Октавы, для которых выполнены все свойства тела, кроме
ассоциативного закона умножения, составляют так называемое
альтернативное тело.
Для колец, как и для групп, можно определить гомоморфные
и изоморфные кольца; у двух гомоморфных колец элементы одного
из них, соответствующие единице другого, образуют идеал
первого кольца. Две алгебры называются изоморфными, если они
изоморфны как кольца и произведению всякого элемента одной
алгебры на числовой множитель отвечает произведение
соответственного элемента другой алгебры на тот же множитель.
Важнейшими видами колец являются простые кольца —
кольца, не имеющие нетривиальных двусторонних идеалов
(тривиальными идеалами кольца являются само кольцо и идеал, состоящий
из одного нуля).
Простые ассоциативные алгебры. Частными случаями простых
колец являются простые ассоциативные алгебры, со многими из
которых мы уже встречались. Условимся обозначать поле
вещественных чисел R; поле комплексных чисел (часто обозначаемое С)
через R (г); алгебру двойных чисел а + be, е2 = 1, через R (е);
алгебру дуальных чисел а + Ьг, е2 = 0, через R (е); тело
кватернионов (иногда обозначаемое по имени Гамильтона Н) —
через R (г, /); алгебру антикватернионов — через R (г, е); алгебры
вещественных, комплексных и кватернионных матриц тг-го
порядка — соответственно Rn, Rn (i) и Rn (г,/); алгебру чисел
Клиффорда Кп. С этими обозначениями тесно связаны
применявшиеся нами обозначения групп матриц SLn, SLn (i) и SLn (i, /).
Глубокие связи и аналогии между ассоциативными
алгебрами и алгебрами Ли привели к тому, что в конце XIX в.
ассоциативными алгебрами занимался как сам Софус Ли, так и его
347
ученики Г. Шефферс и Фердинанд Георг Фробениус (1849—1917).
Будем обозначать прямую сумму двух алгебр А и В через
А 0 В; выше мы видели, что алгебра R (е) изоморфна прямой
сумме R 0 R.
Если даны две алгебры А и В с базисами еи е2, . . ., еп и
/и А» • • •, /п» то алгебра ранга п-т с базисом е{-/а = fa-ei
называется тензорным произведением этих алгебр и обозначается
А ® В. Нетрудно проверить, что Rm (g) Rn = Rmn, R (г, /) (g)
® R (i, /) = R4, Rn (0 = Rn <g) R (г), Rn (U j) = Rn <g> R (г, /).
Будем называть тензорные произведения R (г) (g) R (г')„
R (i) (g) R (e), R (г, /) (g) R (i), R (i, /) (g) R (e) соответственно
алгебрами бикомплексных и бидуалъных чисел, бикватернионов и
дуокватернионов и обозначать их соответственно R (г, /), R (г, Е),
R (i, /, /) и R (£, /, $). Нетрудно проверить, что R (i, /) =
= R (г) 0 R (i).
Сначала независимо от школы Ли, а затем в контакте с ней
работал в этой области Теодор (Федор Эдуардович) Молин
(1861—1941), живший в Дерпте (ныне Тарту), а позже в Томске.
Шефферс, называвший алгебры «комплексными числовыми
системами» в работе «Приведение комплексных числовых систем к
типичным формам» («Zuruckfuhrung complexer Zahlensysteme auf
typische Formen». Лейпциг, 1891) [463], Молин, называвший
алгебры «системами высших комплексных чисел» в работе «О
системах высших комплексных чисел» («Uber Systeme hoherer
complexer Zahlen». Дерпт, 1892) [415], и Фробениус, называвший алгебры
«системами гиперкомплексных величин» в «Теории
гиперкомплексных величин» («Theorie der hyperkomplexen Grossen».
Лейпциг, 1903) [337], распространили на ассоциативные алгебры
понятия простой и полупростой алгебры и радикала, возникшие
первоначально в теории алгебр Ли. Полупростой алгеброй
называется алгебра, в которой нет нильпотентных элементов; если
в алгебре имеются нильпотентные элементы, они образуют идеал,
этот идеал и называется радикалом алгебры.
Теорема Вейерштрасса об алгебрах может быть
сформулирована в виде: всякая коммутативная полупростая алгебра
изоморфна прямой сумме нескольких нолей R и R (г). Ф. Э. Молин в
упомянутой работе предложил критерий полупростоты алгебры,
аналогичный критерию Картана полупростоты алгебры Ли, и
показал, что фактор-алгебра всякой алгебры по ее радикалу
полупроста, что всякая полупростая алгебра изоморфна прямой сумме
простых алгебр и что всякая простая алгебра над полем R (i)
изоморфна алгебре Rn (i). Э. Картан в работе «Билинейные
группы и системы комплексных чисел» («Les groupes bilineaires et
les systemes de nombres complexes». Тулуза, 1898) [295, ч. 2, т. 1,
с. 7—105] доказал аналогичные теоремы для вещественных простых
алгебр и, в частности, доказал, что всякая вещественная простая
некоммутативная алгебра изоморфна одной из алгебр Rn, Rn (i)
и Rn (*\ /).
348
Заметим, что формула (10.12) устанавливает изоморфизм тела
R (г, /) и некоторой подалгебры алгебры R2 (0» а формула (10.13)—
изоморфизм алгебр R (г, е) и R2, откуда вытекает изоморфизм
алгебры R (г, /, /) и алгебры R2 (i).
В предыдущей главе мы, встречались с проективными,
эллиптическими, гиперболическими и симплектическими пространствами
над полем R (i) и телом R (г, /). Аналогичные пространства
строятся и над другими простыми и полупростыми
ассоциативными алгебрами (ниже мы увидим, что аналогичные пространства
строятся и над другими классами алгебр). Из этих пространств
упомянем пространства над алгебрами бикомплексных чисел и
бикватернионов, построенные Назимом Танриверди оглы Аббасовым
[1, 2], и пространства над алгебрами матриц, построенные
Максудом Али Симран оглы Джавадовым (1902—1972) [60а, 606].
Заметим также, что эрмитово эллиптическое пространство над
алгеброй R (е) допускает интерпретацию в виде многообразия пар
точка — гиперплоскость вещественного проективного
пространства 1171, с. 655], а аналогичное пространство над алгеброй R (г, е)
допускает интерпретацию в виде многообразия прямых
вещественного симплектического пространства [171, с. 663]. Отсюда
вытекает, что эрмитово эллиптическое пространство над алгеброй
R (г, /) допускает интерпретацию в виде пар точка—гиперплоскость
комплексного проективного пространства, а аналогичное
пространство над алгеброй R (г, /, /) допускает интерпретацию в виде
многообразия прямых комплексного симплектического
пространства. Для алгебр с делителями нуля аксиомы проективного
пространства выполняются только «в основном случае» и существуют
пары «смежных» точек, через которые проходят более одной
прямой, и пары «смежных» прямых, пересекающиеся более чем в
одной точке. В аффинных пространствах над алгебрами с
делителями нуля помимо «смежных» прямых имеются также
«расходящиеся» прямые, которые переводятся параллельным переносом в
«смежные». Над такими алгебрами можно построить и
пространства дробной размерности, в случае алгебр Rn такие пространства
были определены И. А. Чахтаури [226].
Линейные представления групп. Важное значение как в
теории групп Ли, так и в приложениях этих теорий играют линейные
представления этих групп, т. е. представления этих групп
группами вещественных или комплексных матриц, изоморфных или
гомоморфных этим группам.
Теория линейных представлений конечных групп тесно
связана с теорией линейных представлений алгебр, определяемых
так же, как линейные представления групп. Линейным
представлением обладает всякая алгебра: такое представление мы получим,
поставив в соответствие всякому элементу а = \ а{е\ алгебры А
349
как
матрицу (Aj) линейного преобразования у = ах ь алгебре. Так
ах=Е a%i)(5jх)в])=1j 1j a/*j ^*^=
элементы матрицы (Л)) связаны с координатами а1 элемента а
соотношением А* = \ С?;а*. Этот изоморфизм называется регг/-
г
лярным представлением алгебры А.
Для получения линейного представления группы достаточно
найти группу элементов какой-нибудь алгебры, изоморфную или
гомоморфную этой группе.
Полная теория представлений конечных коммутативных групп
была построена Г. Фробениусом в работе «О групповых
характерах» («Uber Gruppencharaktere» Лейпциг, 1896) [219, с. 21—64].
Если группа представляется комплексными матрицами G = (G)),
являющимися функциями G (g) элементов g группы, то Фробениус
называет характером числовую функцию элемента группы % (g),
равную следу \ G\ матрицы G (g). В случае коммутативной
г
группы представляющие ее матрицы — матрицы первого порядка,
т. е. числа, и, следовательно, в этом случае характеры можно
определить как гомоморфные отображения группы в группу
комплексных чисел единичного модуля. Фробениус показал, что число
различных характеров конечной коммутативной группы G,
включая «главный характер» %о (g) = 1, равно числу элементов группы;
что произведение двух характеров %i (g) %2 (g) снова является
характером; что характеры по этому произведению образуют
группу, в которой роль единицы играет %о (g), и что группа
характеров группы G изоморфна самой группе G. В частности, характеры
циклической группы 1, 0, 02, . . ., 0П_1 при условии 0П = 1 мы
получим, полагая %h (0fc) = e2nlkl'nt Доказательство Фробениуса
было основано на рассмотрении алгебры, базисные элементы
которой образуют группу, изоморфную данной группе. Строя
регулярное представление этой алгебры, Фробениус замечал, что
группа матриц, представляющих базисные элементы этой алгебры,
при надлежащем выборе базиса в алгебре состоит из матриц
линейных преобразований х'п = e2nhkilnxh.
Английский алгебраист Вильям Бёрнсайд (1852—1927) в
работе «Об условии приводимости для произвольной группы
линейных подстановок» («On the condition of reducibility for any group
of linear substitutions». Лондон, 1905) [287] обобщил результаты
Фробениуса на конечные некоммутативные группы. Так же как
350
Фробениус, Бёрнсайд рассматривал алгебру, базисные элементы
которой образуют группу, изоморфную данной группе. Бёрнсайд
также построил регулярное представление этой алгебры, причем
линейные преобразования, образующие регулярное
представление, здесь также распадаются на линейные представления в
инвариантных подпространствах алгебры, но эти подпространства уже
не все одномерны, как в случае коммутативной группы, а
некоторые из этих подпространств имеют размерность больше единицы.
Линейные представления в инвариантных подпространствах
алгебры, определяемые регулярным представлением этой алгебры,
исчерпывают все возможные линейные представления этой
алгебры, причем линейное представление матрицами к-то порядка
повторяется среди этих представлений к раз. Отсюда вытекает,
что порядки к0, /Cj, . . ., кг матриц, образующих все возможные
линейные представления конечной группы, связаны с порядком п
этой группы соотношением
/Cq (~ К\ ~т~ . . . (~ гСг == Н"
Одно из этих линейных представлений состоит в том, что
каждому элементу группы ставится в соответствие 1; этому «главному
представлению» соответствует число к0 = 1.
Линейные представления групп Ли. Теория линейных
представлений групп Ли была основана Э. Картаном в работе
«Проективные группы, не оставляющие инвариантным никакого
плоского многообразия» («Les groupes projectifs qui ne laissent invariante
aucune multiplicite plane». Париж, 1913) [295, ч. 1, т. 1, с. 355—
398]. Г. Вейль в «Теории представлений непрерывных
полупростых групп при помощи линейных преобразований» [32] нашел все
линейные представления простых и полупростых групп Ли.
Важнейшим из линейных представлений групп Оп и хОп являются
те преобразования, которым подвергаются при движениях (п — 1)-
мерных эллиптических и гиперболических пространств
проективные координаты х1 точек, плюккеровы координаты (9.2) прямых и
определяемые аналогично грассмановы координаты плоскостей
всех размерностей, а также так называемые спинорные
представления групп движений этих пространств, определяющиеся
следующим образом. Выше мы определили алгебры чисел Клиффорда,
которые мы здесь будем обозначать Кп; алгебры К1? К2 и К3
соответственно изоморфны полям R и R (i) и телу R (i, /), алгебры
Кп при п ]> 3 — дальнейшие обобщения комплексных чисел и
кватернионов. Р. Липшиц в «Исследованиях о суммах квадратов»
(1886) [403] показал, что группы Оп двузначно представляются
преобразованиями (10.6), где £ и '£ — линейные комбинации
элементов еи е2, . . ., еп алгебры Kn+1, a a — линейная комбинация
базисных элементов тех же алгебр с четными числами индексов.
Аналогичное представление имеет место для матриц группы
Оп (i) и элементов алгебры Кп (i) = Kn (g) R (i). Вейль и его уче-
351
ник Рихард Брауэр в работе «Спиноры в п измерениях» («Spinors
in n dimensions». Балтимор, 1935) [283] доказали, что алгебры
K2n+i W изоморфны алгебрам комплексных матриц Rn (i), а
алгебры K2n (i) — прямым суммам алгебр R2n-i (i) 0 R n-i (i).
Двузначное представление групп 02п+1 (i) элементами алгебр
Kan+i (0> т- е- матрицами алгебры R2n (i), является спинорным
представлением; двузначное представление групп 02п (i)
элементами алгебр K2n (j), т. е. парами матриц алгебры Rn-i (i),
определяет два двузначных представления групп О^п (i) матрицами
алгебры R2n-i (i), являющиеся спинорными представлениями.
Заметим, что спинорные представления групп Оп и Оп (i)
тесно связаны с указанными выше локальными изоморфизмами
групп классов Вг, D2, В2 и D3 с группами классов Аг, Вх (х)
<g) Вг, С2 и А3.
Линейные представления комплексных простых групп Ли
позволяют определить линейные представления компактных и
некомпактных вещественных групп, комплексными формами
которых являются эти комплексные группы.
Алгебры Клифорда Кп и их аналоги, определяющие двузначные
представления групп 1Оп, которые мы будем обозначать *КП,
также являются простыми или полупростыми алгебрами. Их структура
несколько сложнее, чем структура алгебр Kn (i): как показано
в «Неевклидовых геометриях» (М., 1955) автора [171, с. 452—458],
всякая алгебра К2п+1 и ^К2п+1 изоморфна алгебре КаПили R2n-i(£, /);
всякая алгебра К2п и 'К2п изоморфна алгебре R2n-i (i), или
прямым суммам R2n_i © R2n-i, или R2n_2 (i, j) 0 R2n_2 (i, j). Kap-
тан в «Лекциях по теории спиноров» («Lemons sur la theorie des
spineurs». Париж, 1938) [86] показал, что спинорные
представления можно рассматривать как преобразования надлежащим образом
определенных координат плоских образующих максимальной
размерности абсолютов эллиптических и гиперболических пространств.
Иной путь геометрической интерпретации спинорных
представлений, при котором эти представления рассматриваются как
преобразования надлежащим образом определенных координат
точек абсолютов этих пространств, был предложен М. А. Джава-
довым [59, 60] (см. также [180, 187]).
Квазипростые и к -квазипростые ассоциативные алгебры.
Применяя к простым и полупростым ассоциативным алгебрам тот же
предельный переход, с помощью которого мы переходили от
простых алгебр Ли к квазипростым, мы получим квазипростые
ассоциативные алгебры, а применяя этот предельный переход к раз,
мы получим к-квазипростые ассоциативные алгебры.
Классификация квазипростых ассоциативных алгебр, получаемых
предельными переходами из простых, была произведена М. П. Замахов-
ским в работе «Квазипростые алгебры, квазиматрицы и спинор-
352
ные представления квазинеевклидовых движений» (Казань, 1969)
[184, с. 64—65]. Этими алгебрами являются алгебра R (еу дуальных
чисел, алгебра полукватернионов а + Ы + се + dr\, i2 = ^-iy
е2 = 0, ie = — ei = r\, которую мы будем обозначать R (i, е),
тензорное произведение R (i, /, $) '-= R (^ /) ® R (е)» алгебры
Rn (е), Rn (г, е) и Rn (i, /, 8) матриц над этими алгебрами и
алгебры «квазиматриц», изоморфные подалгебрам матриц вида Ue J
алгебр Rn (e), Rn (iy $) и Rn (i, /', #), где ^4,5, С, D —
соответственно элементы матриц над алгебрами R, R (£) и R (г, у). Будем
обозначать алгебры квазиматриц соответственно R™, R™ (0 и
R™ (i, j). Квазипростыми алгебрами являются также алгебры
К™ и fc/K™, получаемые аналогичным процессом из алгебр Кп
и 1Кп: эти алгебры при т = 0 были определены автором в
«Неевклидовых геометриях» [171, с. 540—541], а в общем случае —
Т. Г. Орловской [184, с. 68—70]. С помощью этих алгебр
определяются спинорные представления групп движений
квазиэллиптических и квазигиперболических пространств, допускающие
геометрические интерпретации, аналогичные интерпретациям Кар-
тана и Джавадова. Классификация 2-квазипростых
ассоциативных алгебр, получаемых из простых алгебр, была проведена
И. И. Колокольцевой в работе «Биквазипростые алгебры» (Томск,
1973) ([188], см. также [3]).
Над квазипростыми и /е-квазипростыми алгебрами также
можно определить проективные, эллиптические, гиперболические,
симплектические пространства, аналогичные пространствам над
простыми алгебрами, определенными в предыдущей главе для
геометрической интерпретации простых групп Ли. Фундаментальные
группы этих пространств являются квазипростыми и А-квазипро-
стыми группами Ли, образуя геометрические интерпретации этих
групп (см. [186] и [58]).
Альтернативные алгебры. Выше мы определили
альтернативное тело октав. Так как октавы, которые можно представить как
пары кватернионов (а, Р), часто записывают в виде а + р/, мы
будем обозначать алгебру октав Д (i, /, Z).
Американский математик Леонард Юджин Диксон (1874—1954)
в книге «Алгебры и их числовые системы» («Algebren und ihre
Zahlensysteme» Цюрих — Лейпциг, 1927) [321] определил
другую альтернативную алгебру, которую также можно представить
как алгебру пар кватернионов (а, р), умножение которых
определяется не по формуле (10.8), а по близкой к ней формуле
(а, р)(Т, 6) = (аТ + вр, 6а + ру). (10.30)
Будем записывать элементы этой алгебры в виде а + $е и
обозначать эту алгебру R (i, /, #)• Так как алгебра R (i, /, e)
относится к телу R (i, /, I), как алгебра R (i, е) антикватернионов
к телу R (i, j) кватернионов, будем называть элементы этой ал-
12 Б. А. Розенфельд
353
гебры антиоктавами. Антиоктавы часто называют числами
Кели — Диксона и расщепленными октавами (split octaves).
Немецкий математик Макс Цорн в работе «Теория
альтернативных колец» («Theorie der alternativen Ringe», Гамбург, 1930)
[527] показал, что алгебру R (i, /, e) можно представить «вектор-
матрицами» К о L где а, р — вещественные числа, a a, b —
векторы трехмерного евклидова пространства, причем умножение
«вектор-матриц» производится по закону
a a IIII у с II || ау — ac ac + 6a + [bd]
Ь Р || II d б II = || bv + Pd + [ас] 06 - bd
В той же работе Цорн показал, что алгебры октав и антиоктав
и алгебра R (£, /, Z, I) = R (i, /, I) (g) R (i) («алгебра биоктав»)
являются единственными простыми альтернативными алгебрами, а
всякая полупростая альтернативная алгебра изоморфна прямой сумме
этих алгебр и простых ассоциативных алгебр.
Имеются также квазипростые альтернативные алгебры.
Такими алгебрами, получаемыми предельными переходами из
простых, являются алгебра R (i, /, *0 полуоктав, которую можно
определить как алгебру пар (а, Р) кватернионов с умножением
(а, р) (?> 6) = (от, 6а + pv) (10.31)
или как алгебру пар полукватернионов с умножением (10.8),
и алгебра R (i, е, е) полу антиоктав, которую можно определить
как алгебру пар антикватернионов с умножением (10.31) или как
алгебру пар полукватернионов с умножением (10.30). Элементы
алгебр R (i, j, е) и R (i, е, е) записывают в виде а + |3е, где а
и р соответственно кватернионы и антикватернионы. Аналогично
определяются 2-квазипростые альтернативные алгебры R (i, е, г))
и R (е, е, г)) V4-OKTaB и 1/4-антиоктав и 3-квазипростая
альтернативная алгебра R (е, г\, о) Vg-октав.
Если простые группы Ли бесконечных серий тесно связаны
с простыми ассоциативными алгебрами, то простые группы Ли
особых классов тесно связаны с простыми альтернативными
алгебрами. Если всякий автоморфизм алгебр R (i, j) и R (i, e) имеет
вид (10.6), т. е. группы этих автоморфизмов локально изоморфны
соответственно группам 03 и Ю3, то, как указал Картан в работе
«Вещественные простые конечные непрерывные группы»,
компактная группа G2 является группой автоморфизмов алгебры R (i, j, I).
Нетрудно показать, что некомпактная группа С?2 является
группой автоморфизмов алгебры R (i, j, e). Аналогично показывается,
что квазипростые группы класса G2 являются группами так
называемых метрических автоморфизмов алгебр R (i, /, е) и R (i, e, е).
Выше мы упоминали, что октавы единичного модуля (аа = 1)
образуют неассоциативный аналог группы, так называемую
лупу. Лупы образуют и аналогичные элементы алгебр R (i, j, e),
R (i, j, е) и R (i, e, e). Советским алгебраистом А. И.
Мальцевым в работе «Аналитические лупы» (М., 1955) [124] постро-
354
ена теория луп, являющихся аналогами групп Ли; соответственные
аналоги алгебр Ли в настоящее время называют «алгебрами
Мальцева» (см., например, [458]). Для аналитических луп и алгебр
Мальцева имеют место понятия простоты, квазипростоты и т. д.
Американский математик А. А. Сейгл в работе «Простые алгебры
Мальцева над полями характеристики нуль» («Simple Malcev
algebras over fields of characteristic zero». Сан-Франциско, 1962)
[459] показал, что лупы элементов единичного модуля алгебр
R (г, /, /), R (i, /, ё) и R (i, /, /, /) являются единственными
простыми вещественными аналитическими лупами. Отсюда
вытекает, что единственными квазипростыми вещественными
аналитическими лупами являются лупы элементов единичного модуля
алгебр R (г, /, е), R (i, е, е) и тензорных произведений алгебр
R (i, /, I) и R (г, /, е) с алгеброй R (е) и алгебры R (i, /, е) с R (i).
Компактную и некомпактные группы класса F4 можно
рассматривать как группы движений октавнои эллиптической
плоскости, октавнои гиперболической плоскости и антиоктавной
эллиптической плоскости, определенных соответственно Гансом Фрей-
денталем (р. 1905) в работе «Октавы, особые группы и октавная
геометрия» («Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie».
Утрехт, 1951) [216], Ж. Титсом в работе «Октавная проективная
плоскость и особые группы Ли» («Le plan projectif des octaves
et les groupes de Lie exceptionnels». Брюссель, 1953) [503] и
Д. Б. Персицем в работе «Геометрии над антиоктавами» (М., 1967)
[150].
Две некомпактные группы класса Ев можно рассматривать как
группы коллинеаций октавнои проективной плоскости и
антиоктавной проективной плоскости, определенных соответственно
Г. Фрейденталем и Д. Б. Персицем в работах [216] и [150].
Компактную группу класса Ее, как показал автор в работе
«Компактная простая группа Ли Ев как группа движений комплексной
октавнои неевклидовой плоскости» (Баку, 1954) [177], можно
рассматривать как группу движений биоктавной эллиптической
плоскости, определяемой аналогично октавнои плоскости. Отсутствие
многомерных аналогов этих плоскостей объясняется тем, что, как
еще заметил в «Основаниях геометрии» Д. Гильберт [47, с. 176],
теорема Дезарга о гомологических треугольниках выполняется
только в таких геометриях, в которых коэффициенты образуют
ассоциативную систему. Поэтому, так как в пространствах
размерности ^>2 теорема Дезарга является следствием аксиом
сочетания проективной геометрии (у Гильберта — аксиом I и II групп
и усиленной аксиомы параллельности), пространства над
неассоциативными телами, в которых выполняются аксиомы сочетания
проективной геометрии, могут иметь место только при
размерности 2.
Геометрическая интерпретация некомпактной простой группы
класса G2 была предложена Г. И. Схеллекенсом в работе «О
шестиугольной структуре» («On a hexagonic structure». Амстердам, 1962)
12*
355
[464]; геометрические интерпретации всех простых и квазипростых
групп класса G2 изучались Н. Н. Адамушко [5а]. Д. Б. Персиц
[151, 152] построил также геометрические интерпретации
квазипростых групп класса F4 в виде неевклидовых плоскостей над
алгебрами R (i, /, s) и R (i, e, е), а Т. А. Кузнецова [102а] —
аналогичные интерпретации квазипростых групп класса Е%.
Важные геометрические применения имеют также йордановы
алгебры, определенные немецким физиком и математиком Паскуа-
лем Йорданом в работе «Об одном классе неассоциативных
гиперкомплексных алгебр» («Uber eine Klasse nichtassoziativen hyper -
komplexer Algebren». Гёттинген, 1933) [367]. Классификация
комплексных простых йордановых алгебр была произведена
Абрахамом Адрианом Албертом (1905—1972) в работе «Структурная
теория для йордановых алгебр» («A structure theory for Jordan
algebras». Балтимор, 1947) [249] (см. также работы Н. Джекобсона
и Ф. Д. Джекобсон [365] и [365а]); классификация вещественных
йордановых алгебр — И. Л. Кантором в работе «Транзитивно-
дифференциальные группы преобразований и инвариантные
связности на однородных пространствах» (М., 1966) [81];
классификация квазипростых йордановых алгебр — М. П. Замаховским в
работе «Простые и квазипростые йордановы алгебры» (Казань, 1971)
[182]. Их геометрические интерпретации были предложены
И. Л. Кантором в указанной статье и М. П. Замаховским в работе
«Биредуктивные пространства, простые и квазипростые йордановы
алгебры» (М., 1972) [183]. Еще более интересные геометрические
применения имеют алгебры, определенные И. Л. Кантором в
статье «Некоторые обобщения йордановых алгебр» (М., 1972) [82].
Эти применения связаны с так называемыми «образами простоты»
и «образами полупростоты» однородных пространств с простыми
фундаментальными группами, определенными Ж. Титсом в работе
«Особые группы Ли и их геометрическая интерпретация» («Les
groupes de Lie exceptionnels et leur interpretation geometrique».
Брюссель, 1956) [502] и автором в работе «Образы простоты и
полупростоты» (М., 1963) [176] (стационарными подгруппами этих
образов являются так называемые параболические подгруппы
фундаментальных групп). В частности, на этом пути находятся
геометрические интерпретации всех особых простых групп,
предложенные Ж. Титсом в работе «Октавная проективная плоскость и
особые группы Ее и Е7» («Le plan projectif des octaves et les groupes
exceptionnels E6 et E?». Брюссель, 1954) [504], Г. Фрейденталем
в цикле работ «Отношения Е7 ж Е% к октавной плоскости» («Bezie-
hungen der Е7 und Es zur Oktavenebene». Амстердам, 1954—1959)
[336], автором в работе «Геометрическая интерпретация
компактных простых групп Ли класса Е» (М., 1956) [178] и И. Л. Кантором
в работе «Модели особых алгебр Ли» (М., 1973) [83]. Аналогичные
интерпретации имеют место и для квазипростых групп Ли особых
классов (см. статью автора «Геометрическая интерпретация
квазипростых особых групп Ли классов Е7 и Es» (M., 1973) [179].
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
%
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА
XIX-XX вв.
ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА
Людвиг Фейербах о пространстве. В V главе мы закончили
обзор философских представлений о пространстве взглядами
выдающегося идеалистического философа Гегеля. Продолжение этого
обзора мы начнем с изложения точки зрения бывшего
первоначально гегельянцем, а впоследствии ставшего видным материалистом
Людвига Фейербаха (1804—1872). В своих «Основных положениях
философии будущего» («Grundsatze der Philosophie der Zukunft».
Лейпциг, 1843) Фейербах писал: «Пространство и время — не
простые формы явлений: они — коренные условия, разумные
формы, законы как бытия, так и мышления» [214, т. 1, с. 192]. В этой
формулировке мы видим, наряду с остатками идеалистического
учения о пространстве и времени как о «разумных формах,
законах...мышления», важнейшую материалистическую мысль о том,
что пространство и время — «коренные условия...бытия».
Марксизм о пространстве и происхождении геометрических
понятий. Важнейшим фактом в истории философии было
появление в середине XIX в. марксистской философии — диалектичен
ского материализма, созданного основоположниками научного
коммунизма Карлом Марксом (1818—1883) и Фридрихом
Энгельсом (1820—1895) на основе творческого переосмысливания
диалектики Гегеля и материализма Фейербаха.
В «Диалектике природы» («Dialektik der Natur», опубл. 1925)
Энгельс, полемизируя с известным ботаником Карлом
Вильгельмом Негели (1817—1891) (который в своем докладе «Границы
естественнонаучного познания» («Die Schranken der naturwissenschaft-
lichen Erkenntnis». Мюнхен, 1877) писал: «Мы точно знаем, что
означает один час, один метр, один килограмм, но мы не знаем,
что такое время, пространство, сила и материя, движение и покой,
причина и действие»), отвечал ему следующим образом: «Это
старая история. Сперва создают абстракции, отвлекая их от
чувственных вещей, а затем желают познавать эти абстракции
чувственно, желают видеть время и обонять пространство. Эмпирик до
того втягивается в привычное ему эмпирическое познание, что
воображает себя все еще находящимся в области чувственного
познания даже тогда, когда он оперирует абстракциями. Мы зна-
357
ем, что такое час, метр, но не знаем, что такое время и
пространство! Как будто время есть что-то иное, нежели совокупность
часов, а пространство что-то иное, нежели совокупность
кубических метров! Разумеется, обе эти формы существования материи
без материи суть ничто, пустые представления, абстракции,
существующие только в нашей голове» [127, т. 20, с. 550].
Здесь мы встречаемся с марксистским определением времени
и пространства как форм существования материи, являющимся
дальнейшим развитием упомянутой формулировки Л. Фейербаха.
В приведенных выше словах Энгельса пространство относится
к числу абстракций, отвлеченных от чувственных вещей. И
Энгельс, и Маркс неоднократно возвращались к вопросу о
происхождении математических, в том числе геометрических, понятий.
В математических рукописях Маркса мы находим слова
«Геометрия обязана своим происхождением искусству измерения полей»
[126, с. 246]. Весьма подробное изложение точки зрения Маркса
и Энгельса по этому вопросу Энгельс дал в своем «Анти-Дюринге»
(«Переворот в науке, произведенный господином Евгением
Дюрингом» — «Herrn Eugen Diihring's Umwalzung der Wissenschaft».
Лондон, 1878). Здесь Энгельс писал: «Совершенно неверно, будто
в чистой математике разум имеет дело только с продуктами
собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры
взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира... Должны
были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти
формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно
было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим
объектом пространственные формы и количественные отношения
действительного мира, стало быть — весьма реальный материал
Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно
абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из
внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы
и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от
их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто
безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений,
линии, лишенные толщины и ширины, разные а и b, x и у,
постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим
до продуктов свободного творчества и воображения самого разума,
а именно — до мнимых величин... Как и все другие науки,
математика возникла из практических потребностей людей: из
измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из
счисления времени и из механики. Но, как и во всех других
областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира,
на известной ступени развития отрываются от реального мира,
противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как
явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться. Так
было с обществом и государством, так, а не иначе, чистая
математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована
из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм
358
связей,— и как раз только поэтому и может вообще
применяться» [127, т. 20, с. 37—38]. В этом мастерском диалектическом очерке
взаимоотношений математических, в том числе геометрических,
понятий с реальным миром мы узнаем мысли Аристотеля о
происхождении математических понятий путем абстракции от
предметов реального мира; эти мысли Аристотеля подвергнуты здесь
дальнейшему развитию, объясняющему появление таких новых
математических понятий, как мнимые величины, и применение
абстрактных математических понятий к практике. Слова Энгельса о
мнимых величинах, несомненно, относятся к другим аналогичным
новым понятиям алгебры и геометрии, в том числе к неевклидовым
и многомерным пространствам. К сожалению, из проблем
многомерной геометрии Энгельс столкнулся только с упоминавшимися
нами в VII главе «опытами» Цёльнера, которым посвящена статья
«Естествознание в мире духов» в «Диалектике природы» [127, т. 20,
с. 373—383]. То, что Энгельс понимал под пространством только
евклидово пространство, видно из того, что он отождествлял это
пространство с «совокупностью кубических метров», т. е. считал
возможным заполнить его без пробелов равными кубами.
Огюст Конт о пространстве. В середине XIX в. французский
философ Огюст Конт (1798—1857) выступил с так называемой
«положительной философией», сторонники которой получили
название позитивистов. Конт стремился исходить только из опыта,
считая учение о материи, не являющейся объектом опыта,
и о сознании, не являющемся субъектом опыта, «метафизикой».
В целом учение самого Конта было ближе к материализму, чем
к идеализму, однако позднейшие позитивисты истолковывали
принципы «положительной философии» в духе субъективного
идеализма. Философская система Конта придавала большое
значение математике, и в частности геометрии. Учение Конта о
происхождении геометрических понятий весьма близко к
материалистическому учению Аристотеля о получении этих понятий путем
абстрагирования от объектов реальной действительности. Отсюда
Конт, так же как в X в. ал-Фараби и в XVII в. Лейбниц, приходит
к критике изложения основ геометрии у Евклида, определившего
сначала точку, затем линию, поверхность и тело, и требует
обратного порядка изложения этих понятий. Понятие пространства
у Конта поэтому тесно связано с материей и существенно
отличается от общепринятого в его время ньютоновского представления
об абсолютном пространстве. В своем «Курсе положительной
философии» («Cours de philosophie positive». Париж, 1830—1842)
Конт писал: «На первом месте я ставлю понятие о пространстве,
послужившее для метафизиков предметом стольких софистических
рассуждений и таких пустых и детских споров. Если это понятие
привести к положительному его смыслу, то окажется, что ого
состоит просто в том, что, вместо рассмотрения протяженности
Э самих телах, мы представляем их в некоторой неопределенной
359
среде, которая, по нашему предположению, заключает в себе все
тела вселенной. Это понятие возникает естественным образом из
наблюдения, именно как представление об отпечатке, который
тело, помещенное в жидкость, оставляет в ней. Действительно,
ясно, что с геометрической точки зрения такой отпечаток может
быть подставлен вместо самого тела, и рассуждения наши ни в чем
не изменятся.
Что же касается физической природы этого неопределенного
пространства, то для большей простоты мы должны представлять
его подобным той действительной среде, в которой мы живем, так
что если бы эта среда была не газообразной, а жидкой, то мы и
геометрическое пространство представляли бы себе жидким. Это
обстоятельство, однако, очевидно, имеет совершенно
второстепенное значение, и главная цель подобного представления — дать
нам только возможность рассматривать протяженность независимо
от самого тела. Легко понять a priori важность этого основного
представления, так как оно позволяет нам изучать геометрические
представления сами по себе, отбросив все другие явления,
постоянно сопровождающие первые в телах физических, но не имеющие
на них никакого влияния...
Геометрические соображения, получив указанным образом
абстрактный характер, сделались бы не только проще, но и
приобрели большую общность. До тех пор, пока протяженность
рассматривалась в связи с самими телами, за предмет
исследования можно было брать только действительно существующие в
природе формы, что чрезвычайно ограничивало поле геометрических
исследований. Наоборот, представляя себе протяженность в про-
странстве, человеческий дух может рассматривать все формы,
которые только возможно вообразить; это обобщение необходимо,
чтобы дать геометрии совершенно рациональный характер.
Назначение понятий о поверхности и линии, рассматриваемых самих
по себе, состоит исключительно в том, чтобы дать нам возможность
с большей легкостью рассуждать об этих двух видах
протяженности, совершенно отстраняя все то, что здесь не должно быть
принимаемо в соображение. Достаточно с этой целью вообразить себе,
что измерение, которое желательно исключить, уменьшается все
более и более, в то время как другие измерения остаются без
изменения, и доходит до таких пределов малости, что уже не может
сосредоточить на себе нашего внимания. Именно этим способом
естественно приобретается истинное учение о поверхности, а
повторением той же операции, т. е. устранением ширины, подобному
тому, как раньше была устранена глубина, и понятие о линии.
Наконец, если повторить этот процесс еще раз, мы дойдем до
понятия о точке или о протяженности, рассматриваемой только
относительно места, совершенно независимо от величины ее и поэтому
предназначенной исключительно для точного указания на
положение...
Из вышеуказанного видно, насколько лишены всякого здра-
360
вого смысла фактические рассуждения метафизиков об основаниях
геометрии. Надо также заметить, что обыкновенно эти
первоначальные идеи излагаются геометрами недостаточно философским
образом, так как они, например, располагают понятия о
различных видах протяженностей в порядке, абсолютно
противоположном их естественной связи, что при элементарном преподавании
часто порождает весьма серьезные затруднения» [96, т. 1, ч. 2,
с. 144-146].
Эрнст Мах о пространстве. В конце XIX в. выступил со своим
философским учением австрийский механик и философ Эрнст
Мах (1836—1916). Свое философское учение, так называемый
махизм, сам Мах называл «новейшим позитивизмом», подчеркивая
свою преемственность по отношению к Конту. Однако стремление
позитивистов исходить только из опыта Мах довел до чисто
субъективно-идеалистического учения о том, что «элементы мира»
тождественны с нашими ощущениями.
В «Механике в ее развитии, изложенной историко-критически»
(«Die Mechanik in ihrer Entwicklung historischkritisch dargestellt».
Прага, 1883), исходя из своего субъективно-идеалистического
учения, Мах определял пространство и время как «хорошо
упорядоченные системы рядов ощущений» [129, с. 153—154], а в «Познании
и заблуждении» («Erkenntnis und Irrtum». Вена, 1905) Мах писал:
«В физиологическом отношении время и пространство суть системы
ориентирующих отношений, определяющих вместе с чувственными
ощущениями возбуждение биологически целесообразных реакций
приспособления. В отношении физическом время и пространство
суть особые зависимости физических элементов друг от друга»
[130]. Не забудем, что в соответствии с «принципом экономии
мышления» Маха под «физическими элементами» он понимал
ощущения.
Однако стремление Маха исходить только из опыта привело
его к сыгравшей важную роль в истории физики критике учения
Ньютона об абсолютном пространстве и времени. В «Механике»
Мах писал: «В приведенных здесь рассуждениях Ньютон изменяет
своему намерению исследовать только фактическое. Об абсолют-
ном пространстве и абсолютном движении никто ничего сказать
не может; это чисто абстрактные вещи, которые на опыте
обнаружены быть не могут» [129, с. 191]. И далее: «Но если мы не хотим
оставлять почвы фактов, то мы знаем только о пространствах и
движениях относительных» [129, с. 193]. В «Познании и
заблуждении» Мах возвращается к этому вопросу и говорит: «Если
принять, далее, во внимание, что для Ньютоновской механики
тяготения и небо неподвижных звезд не может уже иметь значения
абсолютно постоянной, неподвижной системы, нам станет до
некоторой степени понятной его рискованная попытка отнести всю
динамику к абсолютному пространству и соответственно и к
абсолютному времени. На практике это предположение, кажущееся
361
нам бессмысленным, ничего не изменило в признании неба
неподвижных звезд за систему пространственных и временных
координат; оно осталось поэтому безвредным и в течение долгого
времени ускользало от серьезной критики» [130, с. 440—441]. С
критикой Маха учения об абсолютном пространстве тесно связана
его критика ньютоновского учения об инерции, которую Мах
связывал с массой.
Исходя из опыта, Мах вслед за Контом придерживался
аристотелевской точки зрения на происхождение геометрических
понятий и в «Познании и заблуждении» писал: «Движением точки
образуется линия, имеющая одно измерение, движением этой линии
образуется поверхность, имеющая два измерения, и движением
этой последней — трехмерное телесное пространство. При
развитой абстракции это воззрение не представляет никаких
затруднений. Оно страдает только тем недостатком, что не вскрывает
истинного пути, которым пришли к этим абстракциям, а, напротив того,
искусственно затушевывает его. Более однородное понимание
получается, если рассматривают всякое измерение, все равно идет ли
речь об объемах, поверхностях или линиях, как счет пространства
посредством лежащих рядом друг с другом, пространственно
тождественных или, по крайней мере, рассматриваемых как таковые
тел... Поверхности можно рассматривать как телесные листы
равной, постоянной, произвольно малой, исчезающей толщины,
а линии — как шнуры или нити постоянной, исчезающей толщины.
Точка становится тогда небольшим телесным пространством,
измерения которого произвольно не принимаются во внимание... Но
совершенно непонятно, почему же этот более правильный взгляд
теперь, по крайней мере, не принимать во внимание. Уже
Лейбниц указывал, что более рационально начинать геометрические
определения с тела» [130, с. 361—362]; как мы видим, Мах в этом
вопросе прямо ссылается на Лейбница.
В другом месте той же книги Мах писал: «Нельзя сомневаться,
что основные принципы геометрии заимствованы из физического
опыта, ибо само пространственное созерцание, само
пространственное ощущение не поддаются измерению, не допускают никакого
метрического опыта. Но столь же несомненно и то, что раз связь
пространственного созерцания с простейшим метрическим опытом
установлена, геометрические факты могут быть легко и точно
воспроизводимы в представлениях, в мысленном эксперименте»
[130, с. 384].
Будучи хорошо знакомым с успехами математики своего
времени, Мах упоминает в той же книге многие достижения
геометрии XIX в.: «Были развиты системы геометрии, аналогичные при-
вычной нам геометрии, но с точки зрения предположений еще более
свободных, еще более общих, для любого числа измерений, не
претендующие быть чем-либо, кроме научных экспериментов в мы-
елях; без притязаний на применение к чувственной
действительности. Достаточно указать на движение вперед математики в ра-
362
ботах Клиффорда, Клейна, Ли и др. Весьма редко какой-нибудь
мыслитель так уходил в свои теоретические построения и
настолько отрывался от действительности, чтобы думать, что данное
нам чувственное пространство имеет больше трех измерений,
или изображать это пространство при помощи геометрии,
значительно уклоняющейся от эвклидовской. Гауссу, Лобачевскому,
J. Bolyai, Риманну это было вполне ясно, и они во всяком случае
не ответственны за те дикие мнения, которые были высказаны в этой
области впоследствии» [130, с. 415]. Мах излагает труды Саккери,
Ламберта, Лобачевского, Римана и других геометров [130, с. 402—
414], а полемизируя со сторонниками учения Канта об априорности
геометрических знаний, он писал: «Если и принять, что
физиологическое пространство прирождено нам, оно обнаруживает
слишком мало сходства с пространством геометрическим, чтобы
в нем можно было усмотреть достаточную основу для развитой
a priori геометрии (в смысле Канта). На основе его можно — самое
большее — построить топологию» [130, с. 467],— и ссылался на
книгу И. Б. Листинга «Предварительные исследования по
топологии», о которой мы говорили в VIII главе.
В «Механике» Мах писал: «Стараниями Лобачевского, Bolyai,
Гаусса, Риманна проложил себе, как известно, путь тот взгляд, что
то, что мы называем пространством, есть специальный
действительный случай более общего мыслимого случая многообразия большего
числа измерений. Пространство нашего зрения и осязания есть
тройное многообразие, оно имеет три измерения, каждое место
в нем может быть определено тремя независимыми друг от друга
признаками. Мыслимо же четверное и еще более многократное,
подобное пространству, многообразие. Да и род многообразия
мыслим иначе, чем он есть в данном пространстве. Это разъяснение
является заслугой главным образом Риманна, и мы считаем его
весьма важным. Свойства данного пространства тотчас же
представляются нам как объекты опыта, и отпадают все
геометрические псевдотеории, ставящие своею целью установить их одним
философствованием» [129, с. 411—412].
Далее Мах останавливается на «диких мнениях», возникших
в результате появления многомерной геометрии: «Некоторым
теологам, затруднявшимся совершенно уничтожить ад, да и спиритам
четвертое измерение оказалось весьма кстати. Для спиритов
польза четвертого измерения заключается в следующем. Из
ограниченной линии можно попасть во второе измерение, не проходя через
ее конечные точки, из поверхности, ограниченной кривой линией,
можно попасть в третье и из замкнутого пространства в четвертое
измерение, не прорываясь через границы. Даже те невинные вещи,
которые проделывали фокусники в трех измерениях, получают,
благодаря четвертому измерению, какой-то новый ореол. Все
кунстштюки спиритов, как образование узлов в замкнутых нитях
или уничтожение таких узлов, как удаление тел из замкнутых
пространств, удаются только в тех случаях, где вовсе не в этом
363
дело. Все сводится к бесконечным фокусам. Не родился еще такой
акушер, который добился бы рождения через четвертое
измерение» [129, с. 412—413]. Здесь Мах имеет в виду упоминавшиеся
Ф. Клейном и Ф. Энгельсом «опыты» Цёльнера, о которых мы
говорили в VII главе.
В то же врвхмя, рассматривая атомы, в то время не являвшиеся
объектами «опыта», как чисто мыслимые схемы, Мах допускал
возможность их интерпретации в многомерных пространствах.
В своей «Истории и корне закона сохранения работы» («Die
Geschichte und die Wurzel des Satzes der Erhaltung der Arbeit».
Прага, 1872) Max писал: «Чем больше число атомов в молекуле,
тем больше должно быть число измерений пространства, чтобы все
мыслимые связи между ними могли быть осуществлены в
действительности. Мы привели только пример, чтобы показать, как
ограниченно мы поступаем, представляя себе химические элементы
расположенными рядом друг с другом в пространстве (трех
измерений) и какое множество отношений между элементами может
ускользнуть от нас, когда мы выражаем их в формуле, которая
именно их объять не может» [131, с. 35]. Мах указывает, что
пришел к этой мысли еще в 1865 г., сразу после того, как он
познакомился с возникавшей в то время многомерной геометрией [131,
с. 64—65].
Упомянем также еще две интересные мысли Маха о
пространстве и времени. В главе «Время и пространство с физической точки
зрения» его книги «Познание и заблуждение» Мах делает
следующее замечание: «Из рассуждений настоящей главы ясно, что
пространство и время не могут быть вполне отделены друг от
друга» [130, с. 444]. В конце этой главы Мах пишет: «Укажем здесь
еще на то, что время и пространство физиологически представляют
собой только мнимую непрерывность и, весьма вероятно, состоят
из прерывных, но не резко различимых элементов. В какой мере
допущение непрерывности времени и пространства может быть
сохранецо в физике, есть вопрос только целесообразности и
согласия с данными опыта» [130, с. 446].
Эти мысли Маха, так же, как его критика догм Ньютона,
сыграли положительную роль в истории физики, поскольку его
термин «опыт» понимался физиками в материалистическом смысле;
сам же Мах, как мы указывали, понимал это слово в смысле
субъективного идеализма, и под махистским взглядом на пространство
мы понимаем взгляд на пространство как на один из способов
упорядочения наших ощущений.
Идея геометризации физики у Клиффорда. Философские
вопросы пространства весьма интересовали геометра В. К. Клиффорда.
В одной из философских работ Клиффорда «Философия чистой
науки» («Philosophy of the pure science». Лондон, 1873) приведена
его знаменитая характеристика геометрии Лобачевского: «Чем
Везалий был для Галена, чем Коперник был для Птолемея, тем
364
Лобачевский был для Евклида» [311, т. 1, с. 356]. Здесь Клиффорд
имел в виду, что Везалий развеял миф об исключительности
человека среди других животных, Коперник показал, что Земля
занимает равноправное место среди других планет, а Лобачевский —
что геометрия Евклида — одна из многих мыслимых геометрий.
Ряд интересных мыслей по вопросу о пространстве Клиффорд
выразил в опубликованной посмертно популярной книге
«Здравый смысл точных наук» («The common sense of the exact sciences».
Лондон, 1885) [95]. Клиффорд начинает главу о пространстве
словами: «Геометрия принадлежит к числу наук естественных» [95,
с. 57], а в конце главы о положении пишет: «Мы можем мыслить
наше пространство как имеющее повсюду приблизительно
однородную кривизну, но легкие изменения кривизны могут
существовать при переходе от одной точки к другой, в свою очередь
изменяясь во времени. Эти изменения кривизны во времени могут
произвести явления, которые мы не так уж неестественно
приписываем физическим причинам, не зависящим от геометрии нашего
пространства» [95, с. 260]. Более подробно Клиффорд развил эти
мысли в докладе «О пространственной теории материи» («On the
spacetheory of matter». Кембридж, 1876). Вначале Клиффорд
упомянул, что «Риман показал, что, подобно тому, как имеются
различные виды линий и поверхностей, имеются и различные виды
пространств трех измерений, и что мы только с помощью опыта
можем определить, к какому из этих видов относится пространство,
в котором мы живем», и что, как считал Риман, «хотя аксиомы
пространственной геометрии верны в пределах опыта в конечных
участках нашего пространства, мы не имеем никакого основания
заключить, что они верны для очень малых участков». Далее
Клиффорд выдвинул следующие четыре положения:
«(1) что малые участки пространства в действительности имеют
природу, аналогичную маленьким холмам на поверхности, в
среднем являющейся плоской; а именно, что обычные законы
геометрии не справедливы в них;
(2) что свойство быть кривым или искривленным непрерывно
переходит от одного участка пространства к другому наподобие
волны;
(3) что изменение кривизны пространства — это то, что в
действительности происходит при том явлении, которое мы называем
движением материи, как весомой, так и эфира;
(4) что в физическом мире не имеет места ничего, что обладало
бы этим изменением, субъектом (возможно) закона
непрерывности» [310, с. 21—22].
Эти принципы, по существу, представляют собой целую
программу геометризации физики.
Философские взгляды Клиффорда нам неясны: издатель книги
Клиффорда известный английский идеалист Карл Пирсон (1857 —
1936), считавший себя продолжателем идей Джона Беркли, в
предисловии к книге Клиффорда писал, что он «не знал, писал ли он
365
[Клиффорд] что-либо ло данному вопросу», однако на основании
слов Клиффорда о том, что «ни один математик не, в состоянии
вложить какой-либо смысл в речи о материи, о силе, об инерции,
о которых говорят ходячие учебники механики», и записи в
записной книжке Клиффорда («сила вовсе не факт, сила — это идея,
воплощающая то, что приблизительно является фактом») [95,
с. X] приписывал Клиффорду махистские взгляды. «Я едва ли
осмелился бы высказать эти взгляды,— добавляет Пирсон,— если
бы недавно не узнал, что они находят серьезную поддержку (если
оставить в стороне незначительные разногласия) в авторитетном
мнении профессора Маха в Праге» [435, с. 184]. Сам Пирсон
в «Грамматике науки» («The Grammar of science». Лондон, 1892)
писал: «Мы не можем утверждать, что пространство и время имеют
реальное существование; они находятся не в вещах, а в нашем
способе воспринимать вещи»; «пространство и время суть не
реальность мира явлений, а способы, которыми мы воспринимаем вещи.
Они не являются ни бесконечными, ни бесконечно делимыми,
будучи по существу своему ограничены содержанием наших
восприятий» [435, с. 191].
Анри Бергсон о пространстве. Близкую точку зрения на
пространство высказывал и основоположник «философии жизни»
Анри Бергсон (1859—1941). Как и позитивисты, Бергсон пытается
стать «над» материализмом и идеализмом, считая, что «жизнь»
не материя и не дух, являющиеся продуктами ее распада, по
существу же «философия жизни» Бергсона являлась
разновидностью идеалистической философии. В своей книге «Очерк о
непосредственных данных сознания (время и свобода воли)» («Essai
sur les donnees immediates de la conscience». Париж, 1889) Бергсон
писал: «Ощущения, посредством которых мы образуем понятие
пространства, сами непротяженны, а только качественны:
протяженность есть продукт их синтеза, как вода — продукт
соединения двух газов. Итак, эмпирические или генетические объяснения
вновь выдвигают проблему пространства, начиная с того пункта,
где Конт его кончает: Конт отделил пространство от его
содержания; эмпиристы стараются объяснить, каким образом это
содержание, отделение мышления от пространства, получает в нем
свое место. Правда, они потом, по-видимому, стали игнорировать
активность рассудка. Они стали явно стремиться выводить
экстенсивную форму нашего представления из особого рода взаимной
связи между ощущениями: пространство, не будучи экстрактом
ощущений, вытекает, говорят они, из их сосуществования; но
как объяснить подобный генезис без активного вмешательства
разума? Экстенсивное, согласно гипотезе, отличается от
неэкстенсивного; если даже допустить, что экстенсивность есть только
отношение между неэкстенсивными элементами, еще необходим^,
чтобы это отношение было установлено мыслью, способной, в
таком виде соединять многие .элементы,,. Неэкстенсивные ощуще-
360
ния останутся тем, что они есть, т. е. неэкстенсивными, если
к ним ничего не прибавить. Для того, чтобы из их
сосуществования возникло пространство, необходимо, чтобы акт разума их сразу
обнимал и рядополагал; этот своеобразный акт весьма напоминал
тог что Кант называет априорной формой чувственности.
Если мы теперь попытаемся охарактеризовать этот факт, мы
увидим, что он сводится главным образом к интуиции, или, скорее,
к восприятию однородной пустой среды, ибо нельзя дать
пространству другого определения: пространство есть то, что дает нам
возможность различать многие тождественные и одновременные
ощущения: оно, таким образом, есть принцип дифференциации,
отличный от принципа качественной дифференциации, и,
следовательно, реальность без качества» [17, т. 2, с. 69—70]. Итак, по
Бергсону, для превращения «неэкстенсивных ощущений» в
пространство необходим «обнимающий и рядополагающий» их «акт
разума», из чего, однако, делается вывод, что пространство есть
«реальность без качества». Интуиция, о которой говорит Бергсон,
играющая основную роль в его философском учении, часто
называемом интуиционизмом, отрывается им от человеческой практики,
фактически порождающей интуицию человека, и рассматривается
как самостоятельный фактор «жизни».
Борьба В. И. Ленина с махистскими взглядами на
пространство. Великий преемник основоположников марксизма, вождь
мирового пролетариата и основатель первого социалистического
государства Владимир Ильич Ленин (1870—1924) посвятил
философской борьбе с махизмом свой замечательный труд «Материализм
и эмпириокритицизм» (Петербург, 1909). В частности, В. И.
Ленин подвергает сокрушительной критике махистские взгляды на
пространство. Приводя определение пространства и времени в
«Механике» Маха как упорядоченных систем рядов ощущений,
В. И. Ленин писал: «Это — явная идеалистическая бессмыслица,
неизбежно вытекающая из учения, что тела суть комплексы
ощущений. Не человек со своими ощущениями существует в
пространстве и времени, а пространство и время существуют в человеке,
зависят от человека, порождаются человеком, вот что выходит
у Маха» [109, т. 18, с. 184]. В. И. Ленин отмечает, что Мах в ряде
случаев пытается стать на материалистическую точку зрения:
«Он чувствует, что катится к идеализму и „сопротивляется",
делая кучу оговорок... об изменчивости наших понятий
пространства и времени, об относительности их и т. п. Но это его не спасает
и не может спасти, ибо действительно преодолеть идеалистическую
позицию по данному вопросу можно, исключительно признав
объективную реальность пространства и времени. А атого Мах
ни за что не хочет. Он строит гносеологическую теорию времени и
пространства на принципе релятивизма, — и только. Ни к чему
иному, кроме субъективного идеализма, такая постройка, по сути
дела, привести не может» [109, т. 18, с. 184].
367
О критике Махом учения Канта об априорности геометриче*
ских понятий В. И. Ленин пишет: «Сопротивляясь против
неизбежных идеалистических выводов из своих посылок, Мах спорит
против Канта, отстаивая происхождение понятия пространства
из опыта. .. Но если в опыте нам не дана объективная реальность
(как учит Мах), то подобное возражение Канту ни капельки не
устраняет общей позиции агностицизма и у Канта и у Маха.
Если понятие пространства берется нами из опыта, не будучи
отражением объективной реальности вне нас, то теория Маха
остается идеалистической. Существование природы во времени,
измеряемом миллионами лет, до появления человека и
человеческого опыта, показывает нелепость этой идеалистической теории»
[109, т. 18, с. 184-185].
В связи с этим В. И. Ленин видит в критике Маха учения
Ньютона об абсолютном пространстве и времени борьбу Маха против
объективности пространства. Этим и объясняются слова В. И.
Ленина: «Учение о пространстве и времени неразрывно связано
с решением основного вопроса гносеологии: представляют ли из
себя наши ощущения образы тел и вещей, или тела суть комплексы
наших ощущений. Мах только путается между тем и другим
решением.
В современной физике,— говорит он,— держится взгляд
Ньютона на абсолютное время и пространство..., на время и
пространство, как таковые. Этот взгляд „нам" кажется бессмысленным,—
продолжает Мах,— не подозревая, очевидно, существования на
свете материалистов и материалистической теории познания. Но
на практике этот взгляд был безвреден... и потому долгое время не
подвергался критике.
Это наивное замечание о безвредности материалистического
взгляда выдает Маха с головой! Во-первых, неверно, что
идеалисты не критиковали этого взгляда „очень долго"; Мах просто
игнорирует борьбу идеалистической и материалистической теории
познания по этому вопросу; он уклоняется от прямого и ясного
изложения обоих взглядов. Во-вторых, признавая „безвредность"
оспариваемых им материалистических взглядов, Мах в сущности
признает тем самым их правильность. Ибо как могла бы
неправильность оказаться в течение веков безвредной?» [109, т. 18,
с. 185-186].
Дальнейшее развитие физики убедительно показало правоту
материалистического учения об объективности пространства и
времени и в то же время справедливость критики учения Ньютона
об абсолютном пространстве и времени.
Отметим также, что В. И. Ленин, для которого атом и
электрон представляли собой объективную реальность, считал
размышления Маха о представлении атомов в многомерном пространстве
«реакционным выводом» из идеалистического учения Маха о
пространстве и времени. Указав, что «безвредность»
материалистического взгляда на объективную реальность пространства и вре-
368
мени «равносильна правильности», В. И. Ленин писал:
«„Вредным" является идеалистический взгляд Маха на пространство
и время, ибо он, во-первых, раскрывает настежь дверь фидеизму,
а, во-вторых, самого Маха соблазняет на реакционные выводы.
Например, в 1872 году Мах писал, что „химические элементы не
обязательно представлять себе в пространстве с тремя
измерениями"» [109, т. 18, с. 186]. Приводя слова Маха о
несуществовании акушера, который бы помог родам при помощи четвертого
измерения, В. И. Ленин пишет: «Прекрасный аргумент — только
для тех, кто видит в критерии практики подтверждение
объективной истины, объективной реальности нашего чувственного мира.
Если наши ощущения дают нам объективно верный образ высшего
мира, существующего независимо от нас, тогда этот довод с
ссылкой на акушера, с ссылкой на всю человеческую практику,
годится. Но тогда весь махизм, как философское направление,
никуда не годится» [109, т. 18, с. 189].
Дальнейшее развитие физики показало, что и атом, и
электрон, и все дальнейшие частицы, существование которых предвидел
В. И. Ленин, говоря, что «электрон так же неисчерпаем, как
и атом, природа бесконечна» [109, т. 18, с. 277],являются
объективной реальностью и находятся в трехмерном пространстве и во
времени; однако для математического описания процессов,
происходящих в атоме, понадобилось не конечномерное, как
предполагал Мах, а бесконечномерное «гильбертово пространство».
В. И. Ленин о дискретности и непрерывности пространства.
Упоминавшиеся нами в V главе мысли Гегеля о том, что
сущностью понятия математического пространства являлось единство
дискретности и непрерывности, получило дальнейшее развитие
в «Философских тетрадях» В. И. Ленина. Конспектируя «Лекции
по истории философии» Гегеля, В. И. Ленин делает следующее
замечание: «Движение есть сущность времени и пространства.
Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная)
непрерывность (Kontinuitat) и „пунктуальность" (=отрицание
непрерывности, прерывность). Движение есть единство
непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени
и пространства)» [109, т. 29, с. 231]. Под «пунктуальностью»
здесь имеется в виду «точечность», т. е. тот факт, что
пространство состоит из точек, или, на языке современной математики,
является множеством точек; это свойство пространства и времени
здесь, как и у Гегеля, противопоставляется непрерывности
(континуальности). В отличие от Гегеля В. И. Ленин подчеркивает
связь пространства и времени с движением, которое он называет
«сущностью времени и пространства».
Дальнейшее развитие математики показало глубокую правоту
диалектического анализа понятий пространства и времени,
данного В. И. Лениным.
369
Пространство-время специальной теории относительности как
псевдоевклидово пространство. В VI главе мы упоминали, что
псевдоевклидово пространство появилось впервые в связи со
специальной теорией относительности в работах Пуанкаре и Мин-
ковского.
Специальная теория относительности была основана
Эйнштейном в работе «К электродинамике движущихся тел» («Zur Elektro-
dynamik der bewegter Кбгрег». Лейпциг, 1905) [239, т. 1, с. 7—
35], в которой, анализируя электромагнитные явления,
происходящие при движении проводника и неподвижности магнита и при
неподвижности проводника и движении магнита, а также
знаменитый опыт Майкельсона, ставивший своей целью определение
абсолютного движения Земли, Эйнштейн пришел к следующему
выводу: «Примеры подобного рода, как и неудавшиеся попытки
обнаружить движение Земли относительно „светоносной среды",
ведут к предположению, что не только в механике, но и в
электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию
абсолютного покоя и даже, более того,— к предположению, что
для всех координатных систем, для которых справедливы
уравнения механики, справедливы те же самые электродинамические
и оптические законы... Это предположение (содержание которого
в дальнейшем будет называться „принципом относительности")
мы намерены превратить в предпосылку и сделать, кроме того,
добавочное предположение, находящееся с первым лишь в
кажущемся противоречии, а именно что свет в пустоте всегда
распространяется с определенной скоростью V, не зависящей от состояния
движения излучающего тела» [239, т. 1, с. 7—8].
Отсюда Эйнштейн сделал вывод о том, что при переходе от
одной инерциальной системы к другой пространственные
координаты v, у, z и временная координата t линейно преобразуются,
причем при движении вдоль оси Ох со скоростью v это
преобразование может быть записано в виде (обозначая скорость света
не буквой V, как в указанной работе Эйнштейна, а буквой с,
как в его позднейших работах)
V
Эти преобразования называются преобразованиями Лоренца
по имени голландского физика Гендрика Антона Лоренца (1853—
1928), впервые встретившегося с подобными преобразованиями
в своей работе «Электромагнитные явления в системах,
движущихся с любой скоростью, меньшей скорости света» („Electromagnetic
phenomena in a system moving with any velocity smaller than
that of light". Амстердам, 1904) [118].
Почти одновременно с Эйнштейном с аналогичными идеями
выступил Анри Пуанкаре в работе «О динамике электрона» («Sur
370
la dynamique de l'electron». Палермо, 1906) [160, т. З, с. 433—
486]. Упомянув опыты Френеля и Майкельсона, Пуанкаре, как
и Эйнштейн, пришел к следующему выводу: «Невозможность
показать опытным путем асболютное движение Земли
представляет, по-видимому, общий закон природы; мы естественно
приходим к тому, чтобы принять этот закон, который мы назовем
постулатом относительности, и принять без оговорок» [160, т. 3, с. 433].
Не проникнув, подобно Эйнштейну, столь глубоко в законы
физики, Пуанкаре в этой работе сформулировал ряд важных
математических выводов: он установил, что «преобразования
Лоренца образуют группу» [160, т. 3, с. 452], и дал ей
общепринятое в настоящее время название «группа Лоренца», а затем
определил то, что мы теперь называем псевдоевклидовым пространством:
«Будем рассматривать
*, г/, z, tY—l,
8х, бг/, Sz, &Y—1»
6^, 6^, 6^, 6^—1
как координаты трех точек Р, Р', Р" в пространстве четырех
измерений.
Легко видеть, что преобразования Лоренца представляют
не что иное, как поворот в этом пространстве вокруг начала
координат, рассматриваемого неподвижным» [160, т. 3, с. 478].
В VI главе мы видели, что в работе «Об основных гипотезах
геометрии» (1887) [161] Пуанкаре, рассматривая геометрию
Лобачевского на гиперболоиде, по существу, рассматривал
псевдоевклидово пространство, в котором этот гиперболоид играл роль
сферы мнимого радиуса. Во всяком случае, в «Науке и гипотезе»
(1902) Пуанкаре указывал, что кроме евклидовой геометрии,
геометрии Лобачевского и эллиптической геометрии имеется
еще «четвертая геометрия», в которой нетрудно узнать
псевдоевклидову геометрию. Упомянув о «скрытых аксиомах», Пуанкаре
писал: «Среди этих скрытых аксиом, мне кажется, есть одна,
которая заслуживает некоторого внимания, так как, опуская ее,
можно построить четвертую Геометрию, столь же свободную от
внутренних противоречий, как и Геометрии Евклида,
Лобачевского и Римана.
Чтобы доказать, что всегда можно восставить из точки А
перпендикуляр к прямой АВ, рассматривают прямую АС,
вращающуюся около точки А и сначала сливающуюся с неподвижной
прямой АВ; ее поворачивают около А до тех пор, пока она не
составит продолжения АВ.
Таким образом допускаются два предположения: во-первых,
что подобное вращение возможно, и, во-вторых, что можно
продолжать его до тех пор, пока две прямые не составят продолжение
одна другой. Если мы допустим первое и откинем второе, то
придем к ряду теорем еще более странных, чем теоремы Лоба-
371
невского и Римана, но в такой же степени свободных от
противоречия.
Я приведу только одну из этих теорем и притом не одну из
самых странных: действительная прямая может бить
перпендикулярна сама к себе» [164, с. 57].
В IX главе мы видели, что представление о псевдоевклидовом
пространстве, исключаемом его IV гипотезой, имелось и у Гельм-
гольца (см. с. 302—304).
К представлению о пространстве-времени специальной теории
относительности как о псевдоевклидовом пространстве пришел
и Герман Минковский в своей работе «Время и пространство»
(«Zeit und Raum». Лейпциг, 1909) [134]. Минковский, так же
как Пуанкаре в работе «О динамике электрона», определял это
пространство как множество точек 4-мерного комплексного
евклидова пространства с тремя вещественными и одной мнимой
координатой. Работа Пуанкаре «О динамике электрона», напечатанная
в специальном математическом журнале, долгое время не была
известна физикам, чем и объясняется, что 4-мерное псевдоевклидово
пространство, интерпретирующее пространство-время
специальной теории относительности, часто называют «пространством
Минковского», хотя по справедливости это пространство
следовало бы назвать «пространством Пуанкаре».
Философия пространства Пуанкаре. Анри Пуанкаре,
встречавшийся нам в VI главе как автор двух интерпретаций геометрии
Лобачевского, в VIII главе — в связи с его участием в создании
топологии, а здесь — в связи с разработкой теории
относительности, был одним из крупнейших математиков, механиков
и астрономов конца XIX и начала XX в. В своих книгах «Наука
и гипотеза» (1902) [164] и «Ценность науки» («La valeur de la
science». Париж, 1904) [163] Пуанкаре рассматривал также ряд
философских вопросов, относящихся к пространству.
Философские взгляды Пуанкаре были весьма близки к взглядам Маха.
Придя в своей работе «О динамике электрона» к «постулату
относительности», весьма близкому к принципу относительности
Эйнштейна, в «Науке и гипотезе» и «Ценности науки» Пуанкаре
стал трактовать относительность пространства и времени в
философском смысле. В частности, в «Науке и гипотезе» Пуанкаре
писал: «Другая рама, которую мы налагаем на мир, это —
пространство. Откуда происходят первые принципы Геометрии?
Предписываются ли они Логикой? Лобачевский, создав не Евклидовы
Геометрии, показал, что нет. Не открываем ли мы пространства
при помощи наших чувств? Тоже нет, так как то пространство,
которому могут научить нас наши чувства, абсолютно отлично от
пространства геометра. Проистекает ли вообще Геометрия из
опыта? Глубокое исследование покажет нам, что нет. Мы заключим
отсюда, что эти принципы суть положения условные; но они не
произвольны, и если бы мы были перенесены в другой мир (я на*
372
зываю его не Евклидовым миром и стараюсь изобразить его), то
мы остановились бы на других положениях.
В Механике мы придем к аналогичным заключениям и увидим,
что принципы этой науки, хотя и более непосредственно
опираются на опыт, все-таки разделяют еще условный характер
геометрических постулатов» [164, с. 4—5]. В той же книге Пуанкаре
писал: «Если теперь мы обратимся к вопросу: является ли
Евклидова Геометрия истинной? то найдем, что он не имеет
смысла. Это было бы все равно, что спрашивать, правильна ли
метрическая система в сравнении с старинными мерами? или: вернее
ли Декартовы координаты, чем полярные? Одна геометрия не
может быть более истинна, чем другая; она может быть только
более удобна. И вот, Евклидова Геометрия остается и останется
наиболее удобной» [164, с. 61].
В «Ценности науки» Пуанкаре писал: «Затем нужно
исследовать вместилища, в которые кажется нам заключенной природа
и которые мы называем временем и пространством. В „Науке
и гипотезе" я уже показал, сколь относительно их значение;
не природа навязывает их нам, а мы налагаем их на природу,
потому что мы находим их удобными; но я говорил только О
пространстве и главным образом о пространстве, так сказать,
количественном — т. е. о тех математических отношениях,
совокупность которых составляет Геометрию. Необходимо показать,
что о времени можно сказать то же, что о пространстве, и что
то же можно сказать и о „качественном пространстве"; в частности,
необходимо исследовать, почему мы приписываем пространству
три измерения» [163, с. 7]. Заметим, что под «качественной
геометрией» Пуанкаре, как он разъясняет ниже, понимает
топологию. Далее Пуанкаре определяет пространство и время как
своеобразный «язык» науки: «Без этого языка большая часть
внутренних аналогий вещей осталась бы навсегда неизвестной для нас,
и мы никогда не знали бы о той внутренней гармонии мира, которая,
как мы увидим, есть единственная истинная объективная
реальность» [163, с. 7—8].
Однако под «объективной реальностью» Пуанкаре понимает
не то, что существует вне человеческого сознания, а, напротив,
ощущения людей: «Но существует ли вне человеческого разума
гармония, которую человеческий разум полагает найти в
природе? Без сомнения — нет; невозможна реальность, которая была
бы вполне независима от ума, постигающего ее, видящего,
чувствующего ее... то, что мы называем объективной реальностью —
в конечном анализе — есть то, что обще нескольким мыслящим
существам и могло бы быть обще всем; этой общею стороной,
как мы увидим, может быть только гармония, выражающаяся
математическими законами.
Следовательно, эта-то гармония и есть единственная
объективная реальность, единственная истина, которой мы можем
достигнуть» [163, с. 9-10].
373
Мы видели, что символами, условиями, создаваемыми
человеком для своего удобства, Пуанкаре считает и законы природы.
Этим и объясняется та убийственная характеристика
философских сочинений Пуанкаре, которую дал им В. И. Ленин в
«Материализме и эмпириокритицизме»: «На ту же дорожку
агностицизма сбивается постоянно из французских писателей
разбираемого нами толка Анри Пуанкаре, крупный физик и мелкий
философ» [109, т. 18, с. 170].
Как мы видим, в начале XX в. Пуанкаре вплотную подошел
к величайшим открытиям в физике; несомненно, что именно
философские заблуждения Пуанкаре помешали ему сделать эти
открытия.
Специальная теория относительности и геометрия
Лобачевского. Применение геометрии Лобачевского к задачам
специальной теории относительности основано на том, что пространство-
время специальной теории относительности является, как мы
видели, 4-мерным псевдоевклидовым пространством, а трехмерное
пространство Лобачевского можно рассматривать как сферу
мнимого радиуса этого пространства с отождествленными
диаметрально противоположными точками. Преобразования Лоренца
пространства-времени, как указывал еще Пуанкаре, можно
интерпретировать как вращения псевдоевклидова пространства.,
поэтому группа преобразований Лоренца локально изоморфна
группе движений трехмерного пространства Лобачевского.
Непосредственная связь между геометрией Лобачевского и
специальной теорией относительности была установлена немецким
физиком Арнольдом Зоммерфельдом (1868—1951) в работе «О
сложении скоростей в теории относительности» («Uber die Zusamm,en-
setzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie». Лейпциг,
.1909) [483], который показал, что относительные скорости в
пространстве-времени специальной теории относительности
изображаются отрезками пространства Лобачевского, а формула
сложения скоростей Эйнштейна равносильна теореме косинусов (6.6)
пространства Лобачевского, позволяющей по двум сторонам
треугольника и угла между ними найти его третью сторону.
Со спином электрона тесно связано спинорное представление
группы движений трехмерного пространства Лобачевского, т. е.
группы Лоренца,— этой связью объясняется и название спинор-
ных представлений.
Геометрия общей теории относительности. В VIII главе мы
упоминали о значении для истории геометрии открытия А.
Эйнштейном общей теории относительности.
Если в специальной теории относительности пространство-
время рассматривалось как псевдоевклидово пространство, то
в общей теории относительности пространство-время
рассматривается как псевдориманово пространство.
374
Наиболее важным моментом в общей теории относительности
является геометрическое истолкование тяготения. Тяготение в
этой теории связывается с кривизной пространства, которая
в псевдоримановом пространстве определяется так же, как в ри-
мановом: чем больше в данном участке плотность материи и,
следовательно, напряженность гравитационного поля, тем больше
кривизна псевдориманова пространства-времени. Материальная
точка, на которую не действуют никакие силы, кроме
гравитационных, движется по геодезической линии, удовлетворяющей
тем же уравнениям, что и в римановом пространстве.
По геодезическим линиям псевдориманова
пространства-времени распространяются и световые лучи. Отклонение траекторий
материальных частиц и световых лучей от прямых линий и
представляет собой притяжение частиц материи и света тяжелыми
массами, создающими гравитационное поле.
Приведем слова Эйнштейна по этому поводу из его статьи
«Об эфире» („liber den Aether". Цюрих, 1929): «Общая теория
относительности устраняет еще один недостаток классической
динамики: в последней инерция и тяжесть выглядят как
совершенно различные, независимые одно от другого явления, хотя
они и обусловлены одной материальной постоянной — массой.
Теория относительности преодолевает этот недостаток,
устанавливая для динамического поведения электрически нейтральной
материальной точки закон геодезической линии, в котором
воздействия инерции и тяготения оказываются уже неотделимыми.
При этом она придает эфиру переменную от точки к точке метрику
и определяющие динамическое поведение материальных точек
свойства, которые в свою очередь определяются физическими
факторами, а именно распределением масс или энергии. Таким
образом, эфир общей теории относительности отличается от эфира
классической механики или специальной теории относительности
тем, что он не является „абсолютным", но определяется в смысле
своих переменных в пространстве свойств распределением весомого
вещества. Это определение является полным в том случае, если
мир будет пространственно-конечным и замкнутым» [239, т. 2,
с. 158]. Здесь слово «эфир» употребляется в значении
искривленного пространства, геометрические свойства которого
определяются материей, в других работах Эйнштейн заменяет этот термин
словами «пространственно-временной континуум». Слова
Эйнштейна о конечности и замкнутости мира отражают его
первоначальное мнение о том, что из искривленности пространства
вытекает его конечность и замкнутость.
Эйнштейн отказался от этого мнения под влиянием работы
советского физика и математика Александра Александровича
Фридмана (1888—1925) «О кривизне пространства» («Ober die
Kriimmung des Raumes». Лейпциг, 1922) [217], в которой впервые
было введено представление о расширяющейся Вселенной,
впоследствии подтвержденное астрономическими наблюдениями.
375
Рис. 96
Связь неевклидовой геометрии с общей теорией
относительности состоит прежде всего в том, что, расширив представление
о мыслимых пространствах, открытие неевклидовых геометрий
подготовило почву для открытия пространств переменной
кривизны — римановых и псевдоримановых пространств, последние из
которых представляют собой математический аппарат общей
теории относительности. Однако имеется и непосредственная
связь общей теории относительности с неевклидовой геометрией,
но уже не с трехмерной, как в случае специальной теории
относительности, а с 4-мерной — эта геометрия описывает пространство-
время общей теории относительности «в среднем», в
предположении равномерного распределения материи. Такое рассмотрение
было предложено Эйнштейном еще в работе «Космологические
рассмотрения в связи с общей теорией относительности» («Kosmolo-
gische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitatstheorie». Берлин,
1917) [239, т. 1, с. 601—612]. Эйнштейн рассматривал здесь
равномерное распределение материи только в пространстве, считая
само пространство сферой в 4-мерном евклидовом пространстве,
а пространство-время — цилиндром в 5-мерном пространстве.
Если же, однако, мы будем исходить из предположения о
равномерном распределении материи во всем пространственно-временном
континууме, то пространство-время окажется сферой
вещественного или мнимого радиуса соответственно в 5-мерных
псевдоевклидовых пространствах индексов 4 и 3. Если при этом для простоты
мы предположим, что гиперповерхности t = const являются
параллельными гиперплоскостями, то с течением времени
«пространственное сечение» мира уменьшается или увеличивается в
зависимости от положения секущей гиперплоскости, причем в первом
случае кривизна «пространственного сечения» — постоянная
положительная, а во втором случае — постоянная отрицательная
(рис. 96, а, б), что вполне согласуется с астрономическими
наблюдениями. Это подтверждение указывает на то, что реальное прост-
376
ранство-время, являющееся псевдоримановым пространством
переменной кривизны, соответствует этой картине мира в среднем;
теория расширяющейся вселенной с постоянной отрицательной
кривизной была предложена А. А. Фридманом в работе «О
возможности мира с постоянной отрицательной кривизной» («Uber
die Moglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krummung
des Raumes». Лейпциг, 1924) [218].
Представление о пространстве-времени как о 4-мерном псевдо-
римановом пространстве индекса 3 положительной кривизны
было предложено бельгийским астрономом Виллемом де Ситтером
в работе «О теории гравитации Эйнштейна и ее следствиях для
астрономии» («On Einstein's theory of gravitation and its
astronomical consequences». Брюссель, 1917) [482a]. Как показал Патрик
Дю Валь в «Геометрической заметке о мире де Ситтера»
(«Geometrical note on de Sitter's world». Лондон, 1924) [327a], «мир
де Ситтера» представляет собой пространство Лобачевского
положительной кривизны, т. е. сферу вещественного радиуса в
5-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса 4 с отождествленными
диаметрально противоположными точками (см. также [311а]).
Философия пространства Эйнштейна. Открытие общей теории
относительности было блестящей конкретизацией связи
пространства и времени с материей, формой существования которой
они являются, о чем неоднократно говорили классики
марксизма.
А. Эйнштейн касался философских вопросов, относящихся
к пространству, во многих своих трудах. Помимо цитировавшейся
нами его статьи «Об эфире», рассмотрим слова Эйнштейна из его
работы «Геометрия и опыт» («Geometrie und Eriahrung». Берлин,
1921) [239, т. 2, с. 83—94]: «Из всех наук математика пользуется
особым уважением, потому что ее теоремы абсолютно верны
и неоспоримы, тогда как зоны других наук в известной степени
спорны и всегда существует опасность их опровержения новыми
открытиями. Однако исследователю, работающему в какой-либо
другой области науки, не приходится завидовать математику,
так как положения математики покоятся не на реальных объектах,
а исключительно на объектах нашего воображения. В самом
деле, нет ничего удивительного в том, что можно прийти к
логически согласованным выводам, если сначала пришли к
соглашению относительно основных положений (аксиом), а также
относительно тех приемов, при помощи которых из этих основных
положений выводятся другие теоремы. В то же время это глубокое
уважение к математике имеет и другое основание, а именно:
математика является тем, что дает точным наукам известную
меру уверенности; без математики они ее не могли бы достичь.
В связи с этим возникает вопрос, который волновал
исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное
соответствие математики с реальными предметами, если сама она
377
является произведением только человеческой мысли, не
связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого
опыта, путем только одного размышления понять свойства
реальных вещей?
На мой взгляд, ответ на этот вопрос вкратце таков: если
теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они
не точны; они точны до тех пор, пока они не ссылаются на
действительность. Полной ясности в этом вопросе, как мне кажется,
можно достичь лишь с помощью того направления в математике,
которое известно как „аксиоматика". Прогресс, достигнутый
аксиоматикой, заключается в том, что она четко разграничила
логически-формальное от его объективного или наглядного
содержания. Под точкой, прямой и т. д. в аксиоматической геометрии
следует понимать только лишенные содержания понятия. То,
что дает им содержание, лежит вне математики.
Однако, с другой стороны, верно и то, что математика вообще
и геометрия в частности обязаны своим происхождением
необходимости узнать что-либо о поведении реально существующих
предметов. На это указывает даже само слово «геометрия», означающее
„измерение земли"» [239, т. 2, с. 83—84].
Эйнштейн в этой работе приходит «к точке зрения, которой
придерживался такой оригинальный и глубокий мыслитель,
как Анри Пуанкаре: эвклидова геометрия отличается от
всевозможных мыслимых аксиоматических геометрий своей простотой.
А так как аксиоматическая геометрия сама по себе никаких
высказываний о реальной действительности не содержит и может
это делать лишь совместно с физическими законами, то
представлялось бы возможным и разумным придерживаться
эвклидовой геометрии, какими бы свойствами ни обладала
действительность. Если же будет обнаружено противоречие между теорией
и опытом, то легче согласиться с изменением физических законов,
чем с изменением аксиоматической эвклидовой геометрии. Если
забыть о связи между практически твердым телом и геометрией,
то будет не легко отказаться от соглашения, что эклидову
геометрию следует рассматривать как простейшую.
Почему Пуанкаре и другие исследователи отклоняли
напрашивающуюся эквивалентность практически твердого тела из
реального опыта и геометрического тела? Просто потому, что
реальные твердые тела в природе при ближайшем рассмотрении
оказываются совсем не твердыми, потому что их геометрическое
поведение, т. е. их возможное взаимное расположение, зависит
от температуры, внешних сил и т. п. Тем самым первоначальная
непосредственная связь между геометрией и физической
реальностью оказывается уничтоженной и мы чувствуем себя
вынужденными перейти к следующему, более общему представлению,
характерному для точки зрения Пуанкаре. О поведении реальных
вещей геометрия (Г) ничего не говорит; это поведение описывает
только геометрия вместе с совокупностью физических законов
378
(Ф). Выражаясь символически, мы можем сказать, что только
сумма (Г) + (Ф) является предметом проверки на опыте. Таким
образом, можно произвольно выбрать как (Г), так и отдельные
части (Ф); все эти законы представляют собой соглашения. Во
избежание противоречий необходимо оставшиеся части (Ф)
выбрать так, чтобы (Г) и полная (Ф) вместе оправдывались на
опыте» [239, т. 2, с. 85—86].
Как мы видим, Эйнштейн здесь ссылается на упоминавшиеся
нами философские сочинения Пуанкаре, однако в отличие от
Пуанкаре, трактовавшего «объективную реальность» и «законы
природы» в махистском духе, Эйнштейн исходит из «физической
реальности» и возможности «произвольно выбирать» (Г), т. е.
геометрические аксиомы, которые вместе с (Ф), т. е. физическими
законами, должны быть сопоставлены с опытом. Таким образом,
Эйнштейн материалистически истолковывает Пуанкаре и, так
же как Лобачевский, считает, что вопрос о том, какая из
различных мыслимых геометрических систем соответствует геометрии
реального мира, должен быть решен экспериментально.
Следует отметить, что Эйнштейн неоднократно ссылается и на
Маха, считая его одним из своих предшественников. В своем
некрологе «Эрнст Max» («Ernst Mach». Лейпциг, 1916) Эйнштейн,
рассматривая критику Махом механики Ньютона, писал:
«Приведенные строки показывают, что Мах ясно понимал слабые
стороны классической механики и был недалек от того, чтобы
прийти к общей теории относительности. И это за полвека до ее
создания!» [239, т. 4, с. 31]. Эйнштейн считал одним из факторов
подготовки общей теории относительности мысль Маха о том,
что инерция тела объясняется его взаимодействием с другими
телами, которое он назвал «принципом Маха». Весьма близка
к идеям специальной теории относительности мысль Маха о том,
что «пространство и время не могут быть полностью отделены
друг от друга» [130, с. 444].
Под несомненным влиянием Маха находились знаменитые
«мысленные эксперименты» Эйнштейна. В то же время Эйнштейн
не разделял учения Маха об ощущениях как элементах мира и,
понимая термины «ощущения» и «опыт» в материалистическом
духе, приписывал свою точку зрения Маху, говоря, что термин
Маха «ощущения» «часто из-за недостаточного знакомства с его
работами путают с терминологией философского идеализма и
солипсизма» [239, т. 4, с. 32]. Это мнение Эйнштейна было основано
на том, что он принимал материалистическую терминологию
Маха за чистую монету, не допуская, что серьезный физик может
быть субъективным идеалистом. Впоследствии Эйнштейн
изменил свое мнение о философии Маха и в 1922 г. на заседании
Французского общества философии, отвечая Эмилю Мейерсону, он
назвал Маха «жалким философом» (un deplorable philosophe),
обвиняя его в «близоруком взгляде на науку, приведшем его
к отрицанию существования атомов» [411, с. 62].
379
Проблема единой теории поля. В VIII главе мы упоминали,
что, построив в своей общей теории относительности теорию
гравитационного поля, тесно связанного с метрикой пространства,
Эйнштейн поставил задачу создания единой теории,
охватывающей таким же образом и гравитационное, и электромагнитное поля,
и что поиски этой единой теории привели к важнейшим открытиям
геометрии.
Сам Эйнштейн посвятил поискам единой теории последние
35 лет жизни. Мы уже упоминали теорию Г. Вейля, который
для увеличения числа параметров, характеризующих геометрию
пространства-времени в каждой точке, расширил группу
преобразований однородного пространства, определяющего связность, что
привело вскоре к идее пространства аффинной связности и об^
щему понятию пространств однородной связности. Из других
попыток построения единой теории поля отметим прежде всего
работу Теодора Калуцы (1885—1954) «К проблеме единства
физики» («Zur Unitatsproblem der Physik». Берлин, 1921)
[371]. Калуца для увеличения указанного числа параметров
пошел по пути увеличения числа измерений пространства и
предположил, что, кроме четырех измерений физического
пространства-времени, существует еще пятое измерение, не имеющее прямого
физического смысла. Отправляясь от идеи Калуцы, математик
О. Веблен [509] и физик Паули предложили в 1930—1933 гг.
единые теории поля, в которых пять координат истолковываются
как проективные координаты точек 4-мерного пространства.
Заметим, что ставя задачу о единой теории поля, Эйнштейн
считал, что теории гравитационного и электромагнитного
взаимодействий исчерпывают все виды физических взаимодействий.
Открытие в течение последних десятилетий не сводящихся к этим
взаимодействиям «сильного» и «слабого» взаимодействий,
изучающихся в квантовой физике, лишило поставленную
Эйнштейном задачу значения, которое он ей придавал. В своих
«Замечаниях к эйнштейновскому наброску единой теории поля» (М.,
1960) знаменитый немецкий физик Вернер Гейзенберг (1901 —
1976) писал: «Эта великолепная в своей основе попытка сначала
как будто потерпела крах. В то самое время, когда Эйнштейн
занимался проблемой единой теории поля, непрерывно
открывались новые элементарные частицы, а с ними —
сопоставленные им новые поля, Вследствие этого для проведения
эйнштейновской программы еще не существовало твердой эмпирической
основы, и попытка Эйнштейна не привела к каким-либо
убедительным результатам. Однако неудача, постигшая
эйнштейновскую программу, имела и более глубокие основания, чем только
неуверенность в эмпирических фактах; эти основания лежат
в отношении теоретико-полевых представлений Эйнштейна к
квантовой теории. Эйнштейн исходил из классической нелинейной
полевой теории материи для метрического тензора поля,
определяющего его геометрию. Эйнштейн надеялся, что атомы и эле-
380
ментарные частицы в такой теории можно будет в конце концов
понимать как сингулярные решения нелинейных уравнений поля-
В действительности, однако, элемент дискретности, который
выражает существование элементарных частиц, имеет значительно
более общий характер. Он становится доминирующим, как только
мы переходим в область атомов и элементарных частиц; поэтому
больше не может быть и речи об их описании посредством полевой
теории классического типа. Наоборот, мы теперь знаем, что
здесь действуют общие квантовомеханические законы, структура
которых была понята в 20-х годах.
Так как Эйнштейн не мог примириться с такой структурой,
он не предпринял попытки подойти к единой теории поля с
использованием квантовых законов.
Несмотря на это, именно опыты с элементарными частицами,
выполненные в связи с квантовой теорией, содержат очень много
аргументов в пользу программы Эйнштейна.
В течение минувшего десятилетия было открыто много новых
элементарных частиц и, следовательно, много новых полей,
а также выяснилось, что элементарные частицы могут
превращаться друг в друга. Если две элементарные частицы с очень
высокой кинетической энергией сталкиваются каким-либо
образом, то при этом могут возникнуть другие частицы, причем законы
возникновения и исчезновения элементарных частиц,
по-видимому, могут быть сформулированы с помощью относительно простых
правил отбора и соответствующих квантовых чисел.
Следовательно, все элементарные частицы «состоят», так сказать, из
одной и той же субстанции, которую можно назвать просто
«энергией» или «материей»; их структура и их способность
превращаться друг в друга должны вытекать из простого закона для
материи.
Таким образом, удовлетворительная теория элементарных
частиц в то же время должна быть, по сути дела, единой полевой
теорией материи» [43, с. 63—64].
Попытка создания такой единой теории элементарных частиц
была произведена самим Гейзенбергом.
Квантовая физика и геометрия. В седьмой главе мы
видели, что изучение элементарных частиц квантовой физики
производится с помощью линейных операторов в бесконечномерном
гильбертовом пространстве, в связи с чем к квантовой физике
успешно применяется теория представлений группы Лоренца
и других групп Ли этими операторами.
Ряд затруднений современной квантовой физики приводит
к идее пересмотра «канторовского континуума», лежащего в
основе как евклидовой и неевклидовых, так и римановой и псевдори-
мановых геометрий. В связи с этим некоторые физики обратились
к идее Маха о том, что «время и пространство представляют собой
только мнимую непрерывность и, весьма вероятно, состоят из
381
прерывных, но не резко различимых элементов» [130, с. 446].
Вопрос о необходимости замены представления о непрерывном
пространстве дискретным, чтобы избежать трудностей, связанных
с «расходимостями», был поставлен Виктором Амазасповичем
Амбарцумяном (р. 1908), впоследствии знаменитым астрономом,
и Дмитрием Дмитриевичем Иваненко (р. 1904) в работе «К вопросу
о том, как избежать бесконечного самодействия электрона»
(«Zur Frage nach Vermeidung der unendlichen Selbstriickwirkung
des Elektrons». Лейпциг, 1930) [253]. Попытки построения
«квантового пространства и времени» производились как советскими,
так и зарубежными физиками (см. книгу А. А. Соколова и
Д. Д. Иваненко [199, с. 486 и 601], книгу Зильберштейна
[482], статьи Снайдера [4826], В. Л. Авербаха и Б. В. Медведева
[5] и монографию А. Н. Вяльцева [36]).
Неудачи этих попыток объясняются тем, что представление
о том, что пространство и время «состоят из прерывных
элементов», столь же односторонне, как и представление о чисто
непрерывном пространстве. Несомненно, что впоследствии, как об
этом писал советский геометр Александр Данилович
Александров (р. 1912) в своей статье «Ленинская диалектика и математика»
[6], представления о пространстве и времени будут в значительно
большей степени, чем современные модели пространства и времени,
отражать то диалектическое единство непрерывности и
прерывности времени и пространства, о котором говорил В. И. Ленин.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аббасов Н. Г. Бикомплексные эллиптические пространства.— Учен,
зап. Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1962, N? 2, 3—9.
2. Аббасов Н. Т. Бикватернионные эллиптические пространства.— Учен,
зап. Азерб. гос. ун-та, серия физ-мат. наук, 1963, № 2, 3—9.
3. Аббасов Н. Т., Колокольцева И. И. Биквазипростые алгебры, биквази-
матрицы и спинорные представления биквазинеевклидовых движений. —
Изв. вузов, Математика, 1975, № 11, 1—8.
4. Абу-л-Вафа ал-Бузджани. Книга о том, что необходимо ремесленнику
из геометрических построений. Пер. С. А. Красновой.—
Физико-математические науки в странах Востока, 1966, 1, 56—140.
5. Авербах В. Л., Медведев Б. В. К теории квантованного пространства-
времени.— Докл. АН СССР, 1949, 64, № 1, 41—44.
5а. Адамушко Н. Н. Геометрия простых и квазипростых групп G2>— Учен,
зап. МОПИ им. Н. К. Крупской, 1969, 253, 23—42.
6. Александров Л. Д. Ленинская диалектика и математика.—Природа,
1951, № 1, 5-15.
7. Александров П. С, Урысон П. С. Мемуар о компактных топологических
пространствах. М., «Наука», 1971.
8. Алъфонсо. Мейашшер 'аков. Рукопись Британского Музея (Лондон),
№ 26894/6.
8а. Андреева Л. П., Шестырева Л. В. Предельные симплектические
пространства.— Учен. зап. Коломен. пед. ин-та, 1964, 8, 23—44.
9. Аристотель. Сочинения, т. 1. Пер. А. В. Кубицкого и П. С. Попова,
под ред. В. Ф. Асмуса. М., «Мысль», 1975.
10. Аристотель. Аналитики первая и вторая. Пер. Б. А. Фохта. Л., Гос-
политиздат, 1952.
11. Аристотель. Физика. Пер. В. П. Карпова. М.— Л., Соцэкгиз, 1937.
12. Архимед. Сочинения. Пер. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз, 1962.
13. Астраханцева Л. Н. История алгебры триплетов.— Труды XIV
научной конференции аспирантов и младших научных сотрудников ИИЕиТ
АН СССР, секция мат.-мех., 1971, с. 70—77.
14. Ахмедов А. Об авторе римского издания «Изложения Евклида».— Из
АН УзССР, серия физ.-мат. наук, 1971, 15, № 5, 9—12.
14а. Багимакова И. Г., Белый Ю. А., Демидов С. С, Розенфельд Б. А.,
Юшкевич А. П. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и
алгебра. Теория чисел. Геометрия. Под ред. А. П. Юшкевича. М.,
«Просвещение», 1976.
15. Бельтрами Э. Опыт интерпретации неевклидовой геометрии. Пер.
П. П. Мея.— В кн.: Об основаниях геометрии. Под ред. А. П. Нордена.
М., Физматгиз, 1956, с. 180—212.
16. Бельтрами Э. Основы теории пространств постоянной кривизны. Пер.
П. П. Мея.— В кн.: Об основаниях геометрии, с. 342—365.
17. Бергсон А. Собр. соч., т. 1—5. Пер. М. Булгакова, Б. Бычковского и
др. СПб., М. И. Семенов, 1913—1914.
17а. Березин Ф. А. Операторы Лапласа на полупростых группах Ли и
некоторых симметрических пространствах.— Усп. мат. наук, 1957, 12,
№ 1, 152-156.
18. Березин Ф. А., Гельфанд И. М. Несколько замечаний к теории
сферических функций на симметрических римановых многообразиях.— Труды
Моск. мат. о-ва, 1956, 5, 311—351.
т
19. Беруни Абу Райхан. Избранные произведения, т. 4—6. Пер. У. И.
Каримова, П. Г. Булгакова, Б. А. Розенфельда и др. Ташкент, «Фан»,
1973-1976.
20. Беруни и Ибн Сипа. Переписка. Пер. Ю. Н. Завадовского. Ташкент,
«Фан», 1973.
21. Беруний. Юлдуз туркумларини проекциялаш ва жойларни харитага
кучириш хакида. А. Расулов таржимаси.— В кн.: Беруний тугилган
кунининг 1000 йиллига. Ташкент, «Фан», 1973, с. 244—259.
22. Бируни Абу Райхан. Избранные произведения, т. 1—3. Пер. М. А.Салье,
А. Б. Халидова, Ю. Н. Завадовского и П. Г. Булгакова. Ташкент,
Изд-во АН УзССР — «Фан», 1957-1966.
23. ал-Бируни Абу-р-Райхан. Китаб макалид силм ал-хай5а ма йахдусу
фи басит ал-кура. Рукопись библиотеки Сипахсалар (Тегеран), № 597.
24. Боль П. Г. Избранные труды. Пер. И. М. Рабиновича. Рига, Изд-во
АН ЛатвССР, 1961.
25. Болъаи Я. Appendix. Приложение, содержащее науку о пространстве,
абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности
XI аксиомы Евклида. Пер. В. Ф. Кагана. М.— Л., Гостехиздат, 1950.
26. Буняковский В. Я. Параллельные линии. СПб., Изд-во АН, 1853.
27. Бусурина А. Е. Развитие проблемы параллельных до Евклида.—
История и методология естеств. наук, 1971, 11, 161—171.
28. Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего
Египта, Вавилона и Греции. Пер. И. Н. Веселовского. М., Физматгиз,
1959.
29. Ван дер Варден Б. Л. Классификация простых групп Ли. Пер. Л. А.
Люстерника.— Усп. мат. наук, 1937, 4, 258—274.
30. Веблен О., Уайтхед Дж. Основания дифференциальной геометрии. Пер.
М. Г. Фрейдиной. М., 1949.
31. Вейлъ Г. Классические группы, их-инварианты и представления. Пер.
Д. А. Райкова. М., ИЛ, 1947.
32. Вейль Г. Теория представлений непрерывных полупростых групп при
помощи линейных преобразований. Пер. Ф. Р. Гантмахера.— Усп.
мат. наук, 1938, 4, 201—246.
33. Веселовский И. И. Неевклидова геометрия в древности.— История и
методология естеств. наук, 1971, 11, 152—160.
33а. Веселовский И. И., Белый Ю. А. Николай Коперник. М., 1974.
34. Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики. Пер. П. С.
Юшкевича и А. П. Юшкевича. М.— Л., ОНТИ, 1935.
35. Витрувий. Десять книг об архитектуре. С коммент. Д. Барбаро, пер.
А. И. Бенедиктова, В. П. Зубова и Ф. А. Петровского. М., Изд-во
Акад. архитектуры, 1938.
36. Вялъцев А. Н. Дискретное пространство-время. М., «Наука», 1965.
37. Галуа Э. Сочинения. Пер. Н. Н. Меймана. М.— Л., ОНТИ, 1936.
38. Гариг Г. Э. Спор Тарталья и Кардано о кубических уравнениях и его
общественные основы.— Архив истории науки и техники, 1935, 7,
67—104.
39. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Пер. В. Б. Демьянова. М., Изд-во
АН СССР, 1959.
40. Гаусс К. Ф. Отрывки из писем и черновые наброски, относящиеся к
неевклидовой геометрии. Пер. В. Ф. Кагана и А. П. Н ордена.—
В кн.: Об основаниях геометрии, с. 101—120.
41. Гаусс К. Ф. Общие исследования о кривых поверхностях. Пер. К.
Краснова.— В кн.: Об основаниях геометрии, с. 123—161.
42. Гегель Г. В. Ф. Сочинения, т. 1—14. Пер. Б. Г. Столпнера, И. Б. Ру-
мера и др. М.— Л., Партиздат — Госполитиздат, 1929—1959.
43. Гейзенберг В. Замечания к эйнштейновскому наброску единой теорци
поля.— В кн.: Эйнштейн и развитие физико-математической мысли.
М., 1962, с. 63—68.
44. Гелъмголъц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии. Пер. А. В. В а
сильева.— В кн.: Об основаниях геометрии, с. 366—382.
384
45. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., «Наука», 1971.
46. Герсоиид Лев. Комментарии к введениям книги Евклида. Пер. И. Г.
Польского.— Историко-математические исследования, 1958, 11, 763—
782.
47. Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. И. С. Градштейна. М.— Л.,
Физматгиз, 1948.
48. Гильберт Д. Математические проблемы. Пер. М. Г. Шестопал и А. В.
Дорофеевой.— В кн.: Проблемы Гильберта. Под ред. П. С. Александрова.
М., «Наука», 1969, с. 11—64.
49. Глаголев Н. А. Римановы многообразия проективной структуры.—
Мат. сб., 1925, 32, 177-191.
50. Глускина Г. М. О неизданном средневековом трактате «Meyasser 'aqob»
хранящемся в Британском Музее.— Палестинский сборник, 1974,
25(88), 152-156.
51. Глушков В. М. Строение локально бикомпактных групп и пятая
проблема Гильберта.— Усп. мат. наук, 1957, 12, № 2, 3—41.
52. Григорьян Э. С. Трактат Абу-л-Фазла Табризи о доказательстве
известного постулата Евклида.— В кн.: Некоторые вопросы исследования
истории математики и механики в Азербайджане. Баку, 1971, с. 5.
53. Григорян СИ. Из истории философии Средней Азии и Ирана VII —
XII вв. М., Изд-во АН СССР, 1960.
54. Гурьев СЕ. Опыт об усовершении елементов геометрии. СПб., Изд-во
АН, 1798.
55. Декарт Р. Рассуждение о методе с приложениями: Диоптрика,
Метеоры. Геометрия. Пер. Г. Г. Слюсарева и А. П. Юшкевича. М., Изд-во
АН СССР, 1953.
56. Декарт Р. Геометрия. Пер. А. П. Юшкевича. М.— Л., ГОНТИ, 1938.
57. Декарт Р. Избранные произведения. Пер. под ред. В. В. Соколова.
М., Госполитиздат, 1950.
58. Денисова Н. С. Биквазипростые группы Ли.— В кн.: Геометрия
однородных пространств (сб. трудов МГПИ им. В. И. Ленина). М., 1973,
с. 27—41.
59. Джавадов М. А. Конформные преобразования в евклидовых и
псевдоевклидовых пространствах любого числа переменных как
дробно-линейные преобразования.— Докл. АН СССР, 1952, 86, № 4, 653—656.
60. Джавадов М. А. Геометрическое истолкование спинорных
представлений групп движений неевклидовых пространств.— Учен. зап. Азерб.
гос. ун-та, 1957, № 11, 3—18.
60а. Джавадов М. А. Проективные пространства над алгебрами.— Учен.
зап. Азерб. гос. ун-та, 1957, № 2, 3—18.
606. Джавадов М. А. Неевклидовы геометрии над алгебрами.— Учен. зап.
Азерб. гос. ун-та, 1957, № 4, 3—16.
61. Дийуфантус ал-Искандарани. Сина'а ал-джабр. Тарджамахи Куста
ибн Лука, хакакахи ва каддама лаху Рушди Рашид. Каир, 1975.
62. Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Пер. И. Н. Ве-
селовского, ред. и коммент. И. Г. Башмаковой. М., «Наука», 1974.
63. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. Пер. Ю. М. Демко и
Г. Ф. Друкарева, под ред. В. А. Фока. М., Физматгиз, 1960.
64. Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел. Пер. А. И. и С. И. Каме-
нецких. М.— Л., ОНТИ, 1936.
65. Дынкин Е. Б. Структура полупростых групп Ли.— Усп. мат. наук,
1947, 2, № 4, 59—127.
66. Евклид. Начала, т. 1—3. Пер. Д. Д. Мордухай-Болтовского. М.— Л.,
Гостехиздат, 1948—1950.
67. Железина И. И. Линейчатая геометрия вырожденных неевклидовых
пространств.— Докл. АН СССР, 1956, 106, № 6, 959—962.
68. Зубов В. П. Трактат Брадвардина «О континууме».—
Историко-математические исследования, 1960, 13, 385—440.
69. Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала
XIX века. М., «Наука», 1965.
13 Б. А. Розенфельд
385
70. Зубов В. П.у Петровский Ф. А. Архитектура антич ого мира. М., Изд-
во Акад. архитектуры, 1940.
71. [Ибн сИрак]. Расаил Аби Наср ила-л-Бируни. Хайдарабад, 1365 х. (1946).
72. Ибн Корра Сабит. Книга о доказательстве известного постулата
Евклида. Пер. Б. А. Розенфельда.— Историко-математические
исследования, 1961, 14, 593—597, е01-602.
73. Ибн Корра Сабит. Книга о том, что две прямые, проведенные под
углами, меньшими двух прямых, встретятся. Пер. Б. А. Розенфельда.—
Историко-математические исследования, 1963, 15, 363—380.
74. Ибн Сина Абу Али. Математические главы «Книги знания» (Дониш-
нома). Пер. Б. А. Розенфельда и Н. А. Садовского. Душанбе, «Ирфон»,
1967.
75. Ибн ал-Хайсам. Книга комментариев к введениям книги Евклида
«Начала». Пер. Б. А. Розенфельда.— Историко-математические
исследования, 1958, 11, 743-762, 777-780.
76. Ихван ас-Сафа ва Хуллан ал-Вафа. Расаил, т. 1—4. Бейрут, 1376 х.
(1957).
77. Кавалъери Б. Геометрия, развитая новым способом при помощи
неделимых непрерывного. Пер. С. Я. Лурье. М.— Л., Гостехиздат, 1936.
78. Каган В. Ф. Лобачевский. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1948.
79. Каган В. Ф. Основания геометрии, т. 1—2. Одесса, 1905—1907.
79а. Каган В. Ф, Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии
в ходе его исторического развития, т. 1—2. М., 1949—1956.
80. Кант И. Сочинения, т. 1—6. Пер. Б. А. Фохта и др. М., «Мысль»,
1963-1968.
81. Кантор И. Л. Транзитивно-дифференциальные группы
преобразований и инвариантные связности на однородных пространствах.— Труды
семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ, 1966, 13,
301-398.
82. Кантор И. Л. Некоторые обобщения йордановых алгебр.— Труды
семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ, 1972, 16, 407—
499.
83. Кантор И. Л. Модели особых алгебр Ли.— Докл. АН СССР, 1973,
208, 1276-1279.
84. Карпова Л. М, Трактат Сабита ибн Корры о сечениях цилиндра и его
поверхности.— Труды XIII Междунар. конгресса по истории науки,
1974, 3-4, 103—105.
84а. Карпова Л, Л/., Таги-Заде А. К. Трактат ас-Сагани «Книга
проектирования сферы на плоскость астролябии».— Труды XV научной
конференции аспирантов и младших научных сотрудников ИИЕиТ АН
СССР, секция мат.-мех., 1972, с. 77—81.
85. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. Пер.
Б. А. Розенфельда. М., ИЛ, 1948.
86. Картан Э. Теория спиноров. Перевод П. А. Широкова. М., ИЛ, 1948.
87. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной
связности. Пер. под ред. П. А. Широкова. Изд. Казанск. гос. ун-та, 1962.
88. Касимова Э. Г. Трактат Беруни о сферической тригонометрии.— В кн.:
Беруни. К 1000-летию со дня рождения. Ташкент, «Фан», 1973, с. 81—84.
89. ал-Каши Джемшид Гияс ад-Дин. Ключ арифметики. Трактат об
окружности. Пер. Б. А. Розенфельда. М., Гостехиздат, 1956.
90. Кеплер И. Новая стереометрия винных бочек. Пер. Г. Н. Свешникова.
М.— Л., ОНТИ, 1935.
91. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Пер.
Б. Лившица, А. Лопшица и др. М.— Л., ОНТИ, 1937.
92. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. Пер. А. П.
Широкова.— В кн.: Об основаниях геометрии, с. 253—303.
93. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований (Эрлангенская программа). Пер. Д. М. Синцова. — В кн.:
Обоснованиях геометрии, с. 399—434.
386
94. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. Н. К. Брушлинского. М.— Л.,
ОНТИ, 1936.
94а. Климанова Т. М. Унитарные полуэллиптические пространства.— Изв.
АН АзССР, серия физ.-мат. и техн. наук, 1963, № 3, 21—29.
95. Клиффорд В. К. Здравый смысл точных наук. Пер. А. Р. Кулишера.
М., 1910.
96. Конт О. Курс положительной философии, т. 1—6. Пер. С. Е. Савича,
О. Д. Хвольсона и др. СПб., «Посредник», 1900—1901.
97. Коперник Н. О вращениях небесных сфер. Пер. И. Н. Веселовского.
М., «Наука», 1964.
98. Котельников А. Я. Винтовое счисление и некоторые приложения его
к геометрии и механике. Изд-во Казанск. ун-та, 1895.
99. Котельников А. Я. Проэктивная теория векторов. Изд-во Казанск.
ун-та, 1899.
100. Котельников А. Я. Принцип относительности и геометрия
Лобачевского. — В кн.: In memoriam N.I. Lobatschevskii, т. 2. Казань, 1927,
с. 37— 66.
101. Крамар Ф. Д, Начала векторной алгебры в механике Валлиса.—
Вопросы истории естеств. и техн., 1967, 21, 103—108.
102. Крейн М. Г. Винтовые линии в пространстве Лобачевского
бесконечного числа измерений и лоренцовы преобразования.— Усп. мат. наук,
1948, 3, № 3, 158-160.
102а. Кузнецова Т. А. Биоктавные геометрии и их аналоги.— Укр. геометр,
сб., 1975, 17, 92-107.
103. Кэли А. Шестой мемуар о формах. Пер. Б. Л. Лаптева.— В кн.: Об
основаниях геометрии, с. 222—252.
104. Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика, т. 1—2. Пер. В. С. Гохмана.
М.—Л., ГОНТИ, 1950.
105. Лаптев Б. Л. Теория параллельных линий в ранних работах
Н. И. Лобачевского.— Историко-математические исследования, 1951,
4, 201-229.
106. Лежандр А. М. Основания геометрии и тригонометрии. Пер.
Баландина и Буттаца. СПб., Изд-во АН, 1839.
107. Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений
Лейбница. Пер. А. П. Юшкевича— Усп. мат. наук, 1948, 3, вып. 1, 165—204.
108. Лейбниц Г. В. Новые опыты о человеческом разуме. Пер. П. С.
Юшкевича. М.— Л., Соцэкгиз, 1936.
109. Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 1—55.
НО. Лефшец С. Алгебраическая топология. Пер. М. Р. Шура-Бура. М., ИЛ,
1949.
111. Ли С. Замечания на работу Гельмгольца «О фактах, лежащих в
основании геометрии». Пер. А. В. Васильева.— В кн.: Об основаниях
геометрии, с. 383—387.
112. Листинг И. Б. Предварительные исследования по топологии. Пер.
Э. Кольмана. М., ГТТИ, 1932.
113. Лобачевский Н. И. Полн. собр. соч., т. 1—5. М., Гостехиздат, 1946—1951.
114. Лобачевский Н. И. Новые исследования по теории параллельных линий.
Пер. А. В. Летникова.— Мат. сб., 1868, 3, 78—120.
115. Ломоносов М. В. Избранные философские произведения. М., Соцэкгиз,
1950.
116. Лопшиц А, М. Некоторые задачи тензорной алгебры в линейных
безразмерных пространствах.— Труды семинара по векторному и
тензорному анализу при МГУ, 1948, 6, 365—419.
117. Лопшиц А. М. Некоторые вопросы проективной, аффинной и
начертательной геометрии в безразмерном пространстве.— Труды III Всесоюзн.
математического съезда, 1956, 2, 140.
118. Лоренц Г. А. Электромагнитные явления в системах, движущихся с
любой скоростью, меньшей скорости света.— В кн.: Принцип
относительности. Пер. под ред. В. К. Фредерикса и Д. Д. Иваненко. М.—Л.,
ОНТИ, 1935, с. 16-50.
13* 387
119. Лукреций Кар. О природе вещей. Пер. Ф. А. Петровского. Л., Изд-во
АН СССР, 1945.
120. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. М.— Л.,
Изд-во АН СССР, 1935.
121. Лурье С. Я. Демокрит. Тексты, перевод, исследования. Л., «Наука»,
1970.
122. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., «Наука», 1970.
123. Мальцев А. И. Топологические разрешимые группы.— Мат. сб., 1946,
19, № 2, 165-174.
124. Мальцев А. И. Аналитические лупы.— Мат. сб., 1955, 36, № 3, 569—
575.
125. Мамедбейли Г. Д. Мухаммед Насирэддин Туей о теории параллельных
линий и теории отношений. Баку, Изд-во АН АзССР, 1959.
125а. Маркина Л. М. Дуальные эрмитовы неевклидовы пространства.—
Учен. зап. МОПИ им. Н. К. Крупской, 1969, 262, 147-165.
126. Маркс К. Математические рукописи. Пер. С. А. Яновской и др. М.,
«Наука», 1968.
127. Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 1—48.
128. Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем
Востоке. Ташкент, «Фан», 1967.
129. Мах Э. Механика. Историко-критический очерк ее развития. Пер.
Г. А. Котляра. СПб., «Общественная польза», 1909.
130. Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии исследования.
Пер. Г. А. Котляра. М., С. Скирмунт, 1909.
131. Мах Э. Принцип сохранения работы. История и корень его. Пер.
Г, А. Котляра. СПб., «Общественная польза», 1909.
132. Медведев Ф. А. Первая монография по функциональному анализу.—
Историко-математические исследования, 1973, 18, 71—93.
133. Миндинг Ф. О внутренней геометрии поверхностей. Пер. А. П.
Широкова.— В кн.: Об основаниях геометрии, с. 162—179.
134. Минковский Г. Время и пространство.— В кн.: Принцип
относительности, с. 181—203.
135. Монж Г. Начертательная геометрия. Пер. В. Ф. Газе. Л., Изд-во АН
СССР, 1947.
136. Морозов В. В. О неполупростых максимальных подгруппах простых
групп. Казань, 1943 (докт. дис).
137. Нейгебауэр О. Точные науки в древности. Пер. Е. В. Гохман. М.,
«Наука», 1968.
138. фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. Пер.
М. К. Поливанова и Б. М. Степанова. М., «Наука», 1964.
138а. Никитина Л. С. Полуантикватернионные пространства.— Учен. зап.
МОПИ им. Н. К. Крупской, 1969, 262, 166—190.
139. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М.— Л., Гостехиздат,
1950.
140. Норден А. П. Об истолковании пространства с вырождающейся
метрикой.— Докл. АН СССР, 1945, 50, 57-60.
141. Норден А. П. Обобщенная геометрия двумерного линейчатого
пространства.— Мат. сб., 1946, 18 (60), 139—152.
141а. Норден А. П. Гаусс и Лобачевский.— Историко-математические
исследования, 1956, 9, 145—146.
142. Ньютон И. Математические работы. Пер. Д. Д. Мордухай-Болтовского.
М.— Л., ОНТИ, 1937.
143. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Пер.
А. Н. Крылова. Собр. соч. акад. А. Н. Крылова, т. 7. М.— Л., Изд-
во АН СССР, 1936.
144. Орем Н. Трактат о конфигурации качеств. Пер. В. П. Зубова.—
Историко-математические исследования, 1958, И, 636—732.
145. Осиповский Т. Ф. О пространстве и времени.—
Историко-математические исследования, 1952, 5, 9—17.
388
146. Остроградский М. В. Избранные труды. Пер. В. И. Антроповой,
Т. Н. Кладо и др. Л., Изд-во АН СССР, 1958.
147. Парнасский И. В. Аксиоматическое построение трехмерной
параболической геометрии.— Учен. зап. Орлов, гос. пед. ин-та, 1956, 2, № 2,
3-40.
148. Парнасский И. В. О вырожденных римановых геометриях.— Труды
II науч. конф. математических кафедр пед. ин-тов Поволжья.
Куйбышев, 1962, с. 176—181.
149. Паскаль Б. Опыт о конических сечениях. Пер. Г. И. Игнациуса.—
Историко-математические исследования, 1961, 14, 603—622.
150. Персиц Д. Б. Геометрии над антиоктавами.— Изв. АН СССР, серия
мат., 1967, 31, 1263—1270.
151. Персиц Д. Б. Геометрия над вырожденными октавами.— Докл. АН
СССР, 1967, 173, 1010—1013.
152. Персиц Д. Б. Вырожденные октавы и проективная плоскость.— В кн.:
Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии (Учен. зап.
МГПИ им. В. И. Ленина), 1967, 299-328.
153. Нетросян Г. Б., Розеифелъд Б. А. Доказательство Аганиса пятого
постулата Евклида.— Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат. наук, 1960,
13, № 1, 153-164.
154. Пименов Р. И. Применение полуримановой геометрии к единой теории
поля.- Докл. АН СССР, 1964, 157, № 4, 795—798.
155. Пименов Р. И. К определению полуримановых пространств.— Вестн.
Ленингр. ун-та, 1965, 14, № 1, 137—140.
156. Платон. Сочинения. Под ред. А. Ф. Лосева и В. Ф. Асмуса, т. 1—3.
М., «Мысль», 1968—1972.
157. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. М., «Наука», 1973.
158. Понтрягин Л. С. Теория коммутативных топологических групп.—
Усп. мат. наук, 1936, 2, 177—195.
159. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с недефинитной
метрикой.— Изв. АН СССР, серия мат., 1944, 8, № 6, 243—280.
160. Пуанкаре А. Избранные труды. Под ред. Н. Н. Боголюбова, т. 1—3.
М., «Наука», 1971 — 1974.
161. Пуанкаре А. Об основных гипотезах геометрии. Пер. Д. М. Синцова.—
В кн.: Об основаниях геометрии, с. 388—398.
162. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. Пер. Е. А. Леонтович и А. Г. Майера. М.— Л., Гостехиздат, 1947.
163. Пуанкаре А. Ценность науки. Пер. А. И. Бачинского и Н. М. Соловьева.
М., «Творческая мысль», 1906.
164. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. Пер. А. И. Бачинского, Н. М.
Соловьева и Р. М. Соловьева. М., 1904.
164а. Путята Т. В., Лаптев Б. Л., Розенфельд Б. А., Фрадлин Б. Н.
Александр Петрович Котельпиков, 1865—1944. М., «Наука», 1968.
165. Рашевский П. К. Римаиова геометрия и тензорпый анализ. М., «Наука».
166. Рашевский П. К. Скалярное поле в расслоенном пространстве.— Труды
семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ, 1948, 6,
225—248.
167. Рашевский П. К. Симметрические пространства аффинной связности
с кручением.— Труды семинара по векторному и тензорному анализу
при МГУ, 1950, 8, 182-192.
168. РиманБ. Сочинения. Пер. В. Л. Гончарова. М.— Л., Гостехиздат, 1948.
169. Рожанский И. Д. Анаксагор. У истоков античной науки. М., «Наука»,
1972.
170. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М., «Наука», 1966.
171. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии. М., Гостехиздат, 1955.
172. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М., «Наука», 1969.
173. Розенфельд Б. А. Новые данные об авторе римского издания
«Изложения Евклида» Насир ад-Дина ат-Туси.— Вопросы истории естеств. и
техники, 1973, № 1, 36.
389
174. Роаенфельд Б. А. Аналитический принцип непрерывности.— Историко-
математические исследования, 1965, 16, 273—294.
175. Роаенфельд Б. А. Алгебраический трактат ас-Самав'ала.— Историко-
математические исследования, 1975, 20, 125—149.
176. Роаенфельд Б. А. Образы простоты и полупростоты.— Труды семинара
по векторному и тензорному анализу при МГУ, 1963, 12, 269—285.
177. Роаенфельд Б. А. Компактная простая группа 2?в как группа движений
комплексной октавной неевклидовой плоскости.— Докл. АН АзССР,
1954, 10, № 12, 829-833.
178. Роаенфельд Б. А. Геометрическая интерпретация компактных простых
групп Ли класса Е.— Докл. АН СССР, 1956, 106, 600—603.
179. Роаенфельд Б. А. Геометрическая интерпретация квазипростых особых
групп Ли классов Е1 и Еь.— Докл. АН СССР, 1973, 211, № 2, 289—292.
180. Роаенфельд Б. Л., Выплавина Р. П., Колоколъцева И. И., Малютин
В. В. Дробно-линейные преобразования йордановых алгебр.— Изв.
вузов, Математика, 1974, № 5, 169—184.
181. Роаенфельд Б. А., Добровольский И. Г., Сергеева Н. Д. Об
астрономических трактатах ал-Фаргани.— Историко-астрономические
исследования, 1972, И, 191—210.
182. Роаенфельд Б. А., Замаховский М. II. Простые и квазипростые йорда-
новы алгебры.— Изв. вузов, Математика, 1971, № 8, 111—121.
183. Роаенфельд Б. Л., Замаховский М. П. Биредуктивные пространства,
простые и квазипростые йордановы алгебры.— Труды семинара по
векторному и тензорному анализу при МГУ, 1972, 16, 251—266.
184. Роаенфельд Б. Л., Замаховский М. П., Орловская Т. Г., Семенова И. Н.
Квазипростые алгебры, квазиматрицы и спинорные представления
квазинеевклидовых движений.— Изв. вузов, Математика, 1969, № 4,
с. 62—73.
185. Роаенфельд Б. А., Карпова Л. М. Симметрические полуримановы
пространства.— Изв. вузов, Математика, 1964, № 1, 100—116.
186. Роаенфельд Б. А., Карпова Л. М. Флаговые группы и сжатие групп
Ли.— Труды семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ,
1966, 13, 168—202.
187. Роаенфельд Б. А., Колоколъцева И. И., Малютин В. В. Геометрические
интерпретации дробно-линейных преобразований йордановых
алгебр.— Докл. АН СССР, 1974, 218, 35—38.
188. Роаенфельд Б. Л., Колоколъцева И. #., Руденко А. Б. Биквазипростые
алгебры.— Геометр, сб., 17. Труды Томского гос. ун-та, 1973, 246, 20—31.
189. Роаенфельд Б. Л., Кубесов Л., Собиров Г. Кто был автором римского
издания «Изложения Евклида Насир ад-Дина Туей».— Вопросы истории
естеств. и техники, 1966, 20, 52—53.
190. Роаенфельд Б. Л., Рожанская М. М. Геометрические преобразования
и переменные величины у Ибрахима ибн Синана.— История и
методология естеств. наук, 1970, 9, 178—181.
191. Роаенфельд Б. А., Рожанская М. Л/., Соколовская 3. К. Абу-р-Райхан
ал-Бируни». М., «Наука», 1973.
192. Роаенфельд Б. Л., Юшкевич А. П. Омар Хайям. М., «Наука», 1965.
193. Румянцева Л. В. Кватернионная симплектическая геометрия.— Труды
семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ, 1963, 12,
287—314.
194. ас-Салар Хусам ад-Дин. Предпосылки для доказательства постулата
о параллельных линиях, приведенного Евклидом в начале первой
книги. Пер. Б. А. Розенфельда и Н. Г. Хайретдиновой.— Историко-
математические исследования, 1974, 19, 285—293.
195. ас-Самарканди Шамс ад-Дин. Основные предложения. Пер. Б. А.
Розенфельда.— Историко-математические исследования, 1961, 14, 598—
602.
195а. Семенова И. Н. Предельные проективные пространства.— Учен. зап.
Коломен. пед. ин-та, 1964, 8, 165—174.
196. Сергеева И. Д., Карпова Л. М. Доказательства ал-Фергани основной
390
теоремы о стереографической проекции.— Вопросы истории естеств.
и техн., 1973, № 3, 50—53.
197. Смирнов С. В. Астролябия Московского музея восточных культур.—
Историко-астрономические исследования, 1969, 10, 311—330.
198. Собрание правил науки астрономии, кн. 3. Пер. Н. Г. Хайретдиновой.—
Физико-математические науки в странах Востока, 1969, 2, 147—190.
199. Соколов Л. Л., Иваненко Д. Д. Квантовая теория поля. М.— Л., Гос-
техиздат, 1952.
200. Стинрод Н. Топология косых произведений. Пер. М. М. Постникова.
М., 1953.
201. Столярова Т. Д. Статика в странах Ближнего и Среднего Востока
(канд. дис). М., 1973.
202. Стрингхем В. И. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. Пер.
М. К. Фаге.— Усп. мат. наук., 1944, 10, 22—33.
203. Таеи-заде А. К. Математические методы, применяемые при
конструировании астропомических инструментов на средневековом Востоке
(автореф. канд. дис). М., 1974.
203а. Таги-заде А. К. Астролябии ас-Сагани, ал-Бируни, ас-Сиджизи и
аз-Заркали.— Труды XIII Междунар. конгресса по истории науки,
1974, 3-4, 143-146.
204. Таперо Т. Б. К истории бесконечномерных пространств.— Труды
XVII научной конференции аспирантов и младших научных
сотрудников ИИЕиТ АН СССР, секция мат.-мех., 1975, с. 130—138.
205. Тлеубердиев С. К. Геометрия «братьев чистоты».— Труды XVII
конференции аспирантов и младших научных сотрудников ИИЕиТ АН
СССР, секция мат.-мех., 1975, с. 139—146.
205а. Тллашев X. Новые данные об истории математики в Средней Азии
XIII—XV вв. (автореф. канд. дис). Ташкент, 1973.
206. Туей Насирэддин. Трактат о полном четырехстороннике. Пер. под ред.
Г. Д. Мамедбейли и Б. А. Розенфельда. Баку, Изд-во АН АзССР, 1952.
207. am-Туси Насир ад-Дин. Трактат, исцеляющий сомнение по поводу
параллельных линий. Пер. Б. А. Розенфельда.— Историко-математи-
ческие исследования, 1960, 13, 483—532.
207а. ат-Туси Насир ад-Дин. Сборник по арифметике с помощью доски и
пыли. Пер. С. А. Ахмедова и Б. А. Розенфельда.— Историко-матема-
тические исследования, 1963, 15, 431—444.
208. ат-Туси Насир ад-Дин. Маджму* ар-расаил, т. 1—2. Хайдарабад,
1308—1309 х. (1939-1940).
209. ат-Туси Насир ад-Дин. Тахрир Уклидис фи-л-хандаса. Тегеран, 1298 х.
(1881).
210. Урысоп П. С. Труды по топологии и другим областям математики,
т. 1—2. М.— Л., Гостехиздат, 1951.
211. Аль-Фараби. Математические трактаты. Пер. М. Ф. Бокштейна, С. А.
Красновой, А. Кубесова и др. Алма-Ата, «Наука», 1972.
212. Феденко А. С. Симметрические пространства с простыми некомпактными
?>ундаментальными группами.— Докл. АН СССР, 1956, 108, 1026—
028.
213. Феденко А. С. Симметрические пространства с простыми
фундаментальными группами.— Учен. зап. Белорус, гос. ун-та, серия мат., 1959,
№ 3 (52), 3-25.
214. Фейербах Л. Избранные философские произведения. Пер. под ред.
М. М. Григорьяна, т. 1—2. М., Госполитиздат, 1955.
215. Федоров Е. С. Симметрия и структура кристаллов. М., Изд-во
АН СССР, 1949.
216. Фрейденталъ Г. Октавы, особые группы и октавная геометрия. Пер.
Б. А. Розенфельда.— Математика, 1957, 1, № 1, 117—153.
217. Фридман А. А. О кривизне пространства.— Усп. физ. наук, 1963, 80,
№ 3, 439-446.
218. Фридман А. А. О возможности мира с постоянной отрицательной
кривизной. Пер. А. А. Сазыкина.— Усп. физ. наук, 1963, 80, № 3, 447—452.
391
219. Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Пер. под ред.
А. К. Сушкевича. Харьков, ГНТВУ, 1937.
220. Хайретдинова Н. Г. Источники тригонометрических трактатов ал-Би-
руни и исфаханского анонима.— Труды XIII Междунар. конгресса по
истории науки, 1974, 3—4, 108—111.
221. Хайретдинова Н. Г. Тригонометрический трактат исфаханского
анонима.— Историко-математические исследования, 1966, 17, 444—464.
222. Хаййам Юмар. Трактаты. Пер. Б. А. Розенфельда. М., Изд-во вост.
лит-ры, 1962.
223. Хаусдорф Ф. Теория множеств. Пер. Н. Б. Веденисова под ред. и
с доп. П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова. М.— Л., ОНТИ, 1937.
224. Хелгасбн С. Дифференциальная геометрия и симметрические
пространства. Пер. А. Л. Онищика. М., ИЛ, 1964.
225. Чахленкова Т. Г. Геометрия m-евклидовых пространств.— Изв.
вузов, Математика, 1958, № 1, 174—178.
226. Чахтаури И. А. Проективные и эллиптические пространства целой и
дробной размерности над алгебрами матриц.— Сообщения АН ГССР,
1971, 63, № 1, 541—544.
227. Чебышев П. Л. Избранные математические труды. М.— Л., Гостехиз-
дат, 1946.
228. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития
геометрических методов, т. 1—2. М., Изд. Моск. мат. о-ва, 1883.
229. Шарипов А. Д. Малоизвестные страницы переписки между Бируни и
Ибн Синой.— Обществ, науки в Узбекистане, 1965, № И, 35—48.
230. Швердт Г. Номография на основе геометрии отображения. Харьков —
Киев, ДНТВУ, 1935.
231. Шевалле К. Теория групп Ли, т. 1—3. Пер. Д. А. Райкова и др. М.,
ИЛ, 1948-1958.
232. Широков А. П. О симметрических пространствах, определяемых
алгебрами.— Изв. вузов, Математика, 1963, № 5, 159—171.
233. Широков А. П. Пространства над ассоциативными унитальными
алгебрами.— Учен. зап. Казанск. гос. ун-та, 1963, 123, № 1, 222—247.
234. Широков П. А. Тензорное исчисление. Изд-во Казанск. ун-та, 1961.
235. Широков П. А. Избранные работы по геометрии. Изд-во Казанск. ун-та,
1966.
236. Шмидт О. Ю. Избранные труды, т. 1—3. М., Изд-во АН СССР, 1959 —
1960.
237. Эйлер Л. Избранные картографические статьи. Пер. Н. Ф. Булаевского,
М.— Л., Геодезиздат, 1959.
238. Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных, т. 1—2. Пер. И. Б. Погребыс-
ского и В. С. Гохмана. М., Физматгиз, 1961.
239. Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т. 1—4. М., «Наука», 1965—
1967.
240. ЯгломИ. М. Геометрические преобразования, т. 1—2. М., Гостехиздат,
1955—1956.
241. ЯгломИ. М. Принцип относительности Галилеян неевклидова
геометрия. М., «Наука», 1969.
242. Яглом И. М. Проективные мероопределения на плоскости и
комплексные числа.— Труды семинара по векторному и тензорному анализу при
МГУ, 1949, 7, 276—318.
243. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение к геометрии. М.,
Физматгиз, 1963.
244. Яглом И. М., Розеифелъд Б. Л., Ясинская Е. У. Проективные
метрики.— Усп. мат. наук, 1964, 19, № 5, 51—113.
245. Янишевский Э. П. Историческая записка о жизни и деятельности
Н. И. Лобачевского. Изд-во Казанск. ун-та, 1868.
246. Янкевич Ч. О вырождающихся рнмановьтх геометриях.— Бюл. Польск.
акад. наук., отд. 3, 1954, 2, № 7, 305—308.
247. Ясинская Е. У. Полуевклидовы и полунеевклидовы пространства.—
Докл. АН СССР, 1961, 137, № 6, 1327—1330.
392
248. Abel N. H. Oeuvrcs completes. Publ. par Sylow et S. Lie. Christiania, 1881.
249. Albert A. A. A structure theory for Jordan algebras.— Ann. Math., 1947,
48, 546-567.
250. Alexandroff P. S. Zur Begriiudung der n-dimcnsionalen Topologie.—
Math. Ann., 1925, 94, 296-308.
251. Alexandroff P. S., Hopf H. Topologie. Berlin, 1935.
251a. [Alfonso X]. Libros de saber de astronomia del rey Alfonso de Castilla.
Capil., anot., у coment. par D. Manuel Rico у Sinobas, v. 1—5. Madrid,
p. 1863-1867.
252. Alhazenis Arabis Opticae thesaurus. F. Risner (Ed.). Basileae, 1572.
253. Ambarzumian V., Iwanenko D. Zur Frage nach Vermeidung der unendlichen
Selbstriickwirkung des Elektrons.— Z. Phys., 1930, 64, 563—567.
254. Apollonium de Perge. Les coniques. Trad. P. Ver Eecke. Paris, 1959.
255. Argand R. Essai sur une maniere de representer les quantites imaginaires
dans les constructions goometriques. Paris, 1874.
256. Aristoteles. Vom Himmel. Von der Secle. Von der Dichtkunst. Ubertr. von
0. Gigon. Zurich, 1950.
257. Aristotelis Opera cum commentariis Averrois, t. 1—4. Venetiis, 1560.
258. Autolikos von Pitane. Der rotiercnde Kugel und Aufgang und Untergang
der Gestirne. Ubers. A. Czwalina. Leipzig, 1931.
259. [Azarchel]. Saphaeae rccentis res doctrinae patris Abrysakh Azarchelis
summi astronomi a Joanne Schonero. Norimbergae, 1534.
260. Baltzer R. Die Elemente der Mathematik, Bd. 1—2. Dresden, 1867.
261. Battaglini G. Sulla geometria immaginaria di Lobatschewsky.— Giorn.
mat., 1867, 5, 217-231.
262. BellavitisG. Teoria de la equipollenza.— Ann. sci. 1st. Lombardo—Veneto,
1835, 5.
263. Berger M. Classification des espaces homogenes symetriques irreducti-
bles.— С. г. Acad. sci. Paris, 1955, 240, 2370—2372.
264. Berger M. Structure et classification des espaces symetriques a groupe
d'isometrie semisimple.— С. г. Acad. sci. Paris, 1955, 241, 1696—1698.
265. Berger M. Les espaces symetriques non compacts.— Ann. scient. Ecole
norm, super, 1957, (3), 74, N 2, 85—117.
266. Bernoulli J oh. Der Briefwechsel von J oh. Bernoulli, Bd. 1, Basel, 1955.
267. Bertrand L. Elements de geometric Paris, 1812.
267a. [Beruni]. Epitre de Beruni contcnant le repertoire des ouvrages de
Muhammad b Zakariya аг-Razi. Publ. par. P. Kraus. Paris, 1936.
268. Betti E. Opere matematiche, v. 1—2. Milaiio, 1903—1913.
269. Bianchi L. Sui simboli a quatro indici e sulla curvatura de Riemann.—
Rend. Accad. Lincei, 1902, (5), ll11, 3—7.
270. al-Biruni. Al-Qanunu'1-Mas'udi (Canon Masudicus). Hyderabad, 1954—
1956.
271. Blaschke W. Euklidische Kinematik und nichteuklidische Geometrie.—
Math. Phys., 1911, 60, 61—91.
272. Blaschke W., Muller R. Ebene Kinematik. Munchen, 1956.
273. Van der Blij F. History of the octaves.— Simon Stevin, 1961, 34, N 3,
106-125.
274. Bolyai W. Theoria parallelarum. Maros-Vasarhelyini, 1804.
275. Bolyai W. Teutamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae,
elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva evidentiaque huic propria
introducendi. Maros-Vasarhelyini, 1832.
276. Bolyai W. Kurzes Grundriss eines Versuches 1) die Arithmetik logisch-
streng darzustellen, 2) in die Geometrie die Begriffe scharf zu bestimmen.
Maros-Vasarhely, 1851.
277. Bombelli R. L'Algebra. Bologna, 1572.
278. Borel A. Le plan projectif des octaves et les spheres comme espaces homo-
genes.— С. г. Acad. sci. Paris, 1950, 230, 1378—1380.
279. Borelli G. A. Euclides restitutus. Pisis, 1658.
280. Bortolotti E. Sulle forme differenziale spezializzate.— Rend. Accad.
Lincei, 1930, (6), 12, 541—547.
393
281. Boscovich Й. J. Trigonometriae sphaericae constructio. ftomae, 1737.
282. Bounyakovsky V. Considerations sur quelques singularites qui se presentent
dans la construction de la geometrie non euclidienne.— Mem. sci. math,
phys. Acad. S.-Petersb., 1872, (7) 18, N 7, 1-16.
283. Brauer Л., Weyl H. Spinors in n dimensions.— Amer. J. Math., 1935,
57, 425-449.
284. Brioschi F. Opere, v. 1—5. Milano, 1901—1905.
285. Brouwer L. E. Beweis der Invarianz der Dimensionszahl.— Math. Ann.,
1911, 70, 161 — 165.
285a. Brouwer L. E. Die Theorie der endlichen kontinuierlichen Gruppen
unabhangig von der Axiomen von Lie.— Math. Ann., 1909, 67, 246—267;
1910, 69, 181—207.
286. Burali-Forti C. Fondamenti per la geometria differenziale di una super-
ficie col metodo vettoriale generale.— Rend. Circolo mat. Palermo,
1912, 33, 1—40.
287. Burnside W. On the condition of reducibility for any group of linear
substitutions.— Proc. London Math. Soc, 1905, 3, 430—434.
288. Cantor G. Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigono-
metrischen Reihen.— Math. Ann., 1872, 5, 123—132.
289. Cardanus H. Ars magna sive de Regulis algebraicis. Norimbergae, 1545.
290. Carnot L. De la correlation des figures en geometric. Paris, 1801.
291. Carnot L. Geometrie de position. *Рапз, 1803.
292. Carnot L. Memoire sur la relation qui existe entre les distances respectives
de cinq points quelconques pris dans l'espace; suivi d'un essai sur la
theorie des transversales. Paris, 1806.
293. Carrade Vaux B. L'Almageste d'Abu-1 Wafa Albuzjani.— J. Asiatique
(8), 1892, 19, 408-471.
294. Cartan E. Lecons sur la geometrie projective complexe. Paris, 1931.
295. Cartan E. Oeuvres completes, t. 1—3. Paris, 1952—1955.
296. Cataldi P. A. Operetta delle linee rette equidistanti et non equidistanti.
Bologna, 1603.
297. Cataldi P. A. Aggiunta а1Гoperetta delle linee equidistanti et non
equidistanti. Bologna, 1604.
298. Cauchy A. Oeuvres completes, 2-eme serie, v. 1—13. Paris, 1882—1958.
298a. Caualieri B. Directorium generale uranometricum. Bononiae, 1632.
299. Cayley A. Collected mathematical papers, v. 1—13. Cambridge, 1889—
1898.
300. Chasles M. Les trois livres de Porismes d'Euclide etablis pour le premiere
fois d'apres de notice et les lemmes de Pappus. Paris, 1860.
301. Chasles M. Traite de geometrie superieure. Paris, 1852.
302. Chevalley C. Two theorems on solvable topological groups. Michigan
lectures in topology. Ann. Arbor, 1941, p. 291—292.
303. Christoffel E. B. Gesammelte mathematische Abhandlungen. Bd. 1—2.
Leipzig — Berlin, 1910.
304. Clairaut Л. С Elements de geometrie. Paris, 1741.
305. Clairaut A. C. Sur les courbes que Ton forme en couparit une surface
courbe quelconque par un plan donne position.— Hist. Mem. Acad. Sci.
Paris, 1731 (1733), 483-493.
306. Clavius Ch. Euclidis Elementorum libri XV. Romae, 1574.
307. Clebsch A. Ober diejenigen ebenen Kurven, deren Koordinaten rationale
Funktionen eines Parameters sind.— J. reine und angew. Math., 1865,
64, 43—65.
308. Clebsch A. Ober die Singularitaten algebraischer Kurven.— J. reine und
angew. Math., 1865, 64, 98—100.
309. Clebsch Л., Lindemann F. Vorlesungen iiber Geometrie, Bd. 1—2.
Leipzig, 1875-1876.
310. Clifford W. K. Mathematical Papers. N. Y., 1968.
311. Clifford W. K. Lectures and Essays, v. 1—2. London, 1901.
311a. Coxeter H. S. M. The space-time continuum.— Hist, math., 1975, 2,
289-298.
394
312. Crelle A. L. Theorie des paralleles.— J. reine und angew. Math., 1835, 11,
198.
313. Cremona L. Le transformazioni geometriche delle figure piane. Bologna,
1862—1865.
314. D'Aguillon F. Opticorum libri VI. Antwerpiae, 1613.
315. D'Alembert /. le R. Essai d'une nouvelle theorie sur la resistance des
fluides. Paris, 1752.
316. D'Alembert J. le R. Encyclopedic ou dictionnaire raisonne des sciences,
des arts et des metiers, v. 4. Paris, 1764, p. 1009—1010.
317. Darboux G. Sur une classe remarquable de courbes et des surfaces alge-
briques et sur la theorie des imaginaires. Bordeaux, 1873.
317a. Defrise P. Analyse geomerique de la cinematique des milieux continues.—
Publ. Inst. roy. meteorol. Belg. ser. B, 1953, N 6.
318. DesarguesG. Oeuvres, v. 1. M. Poudra (Ed.). Paris, 1864.
319. Descartes R. Oeuvres, v. 1 — 12, Publ. Ch. Adam et P. Tannery. Paris,
1897-1910.
320. Des Cartes R. Geometria. F. Schooten (Ed.). Lugduno — Batavii, 1649.
321. Dickson L. E. Algebren und ihre Zahlensysteme. Zurich — Leipzig, 1927.
322. Dilgan H. Boyiik matematikci Omer Hyayam. Istanbul, 1959.
323. DilganH. Demostration du Vе Postulat d'Euclide par Schams ed-Din Samar-
kandi. Introduction del'ouvrage Aschkal-ut-teessis.— Rev. histoire sci. et
leur appl., 1960, 13, N 3, 191—196.
324. Dirac P. A. M. The physical interpretation of quantum mechanics.—
Proc. Roy. Soc, 1942, 180, 1—40.
325. Dirichlet P. G. L. Werke, 1—2. Berlin, 1889—1897.
326. Drecker J. Das Planisphaerium des Claudius Ptolemaeus.— Isis, 1927, 9,
255—278.
327. Dupin Ch. Developpements on geometrie. Paris, 1813.
327a. Du Val P. Geometrical note on de Sitter's world.— Philos. Mag.,
1924, 6 (47), 930-938.
328. Engel E., Stackel P. Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf
Gauss. Leipzig, 1895.
329. Enriques F. Introduzione alia geometria sopra le superficie algebraiche.
Roma, 1896.
329a. Euclidis. Opera omnia, v. 1—8. J. L. Heiberg; (Ed.). Lipsiae, 1883—1916.
330. Euclidis Elementa ex interp. F. Commandini. Pesarii, 1572.
331. Euclidis Elementorum geometricorum libri tredecim ex traditione do-
ctissimi Nasiridini Tusini. Romae, 1594.
332. Euler L. Opera omnia (1). Opera mathematica, t. 1—29. Leipzig —
Berlin — Zurich, 1911—1956.
333. Euler L. Opera omnia (2). Opera mechanica et astronomica, t. 1—29.
Leipzig — Berlin — Zurich, 1922—1969.
334. Fermat P. Oeuvres, v. 1—5. P. Tannery (Ed.). Paris, 1891—1922.
335. Frechet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel.— Rend. Circolo
mat. Palermo, 1906, 22, 1—74.
336. Freudenthal H. Beziehungen der E1 und Es zur Oktavenebene.— Proc.
Koninkl. nederl. Akad. wet., 1964, A57, 218—230, 363—368; 1955,
A58, 151-157, 277-285; 1959, A62, 165-201, 447-474; 1963, A66,
457—487.
337. Frobenius F. G. Theorie der hyperkomplexen Grossen.— Sitzungsber.
Press. Akad. Wiss., 1903, 24, 504—537, 634—645.
338. Fubini G. G. Sulle metriche definite da una forma Hermitiana.— Atti 1st.
Veneto Sci., 1903, 63, 502—513.
339. Fubini G. G. И parallelismo di Clifford negli spazi ellittici. — Ann. Scuo-
la norm, super. Pisa, 1900, 9, 1—74.
340. Fuss N. De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaericae
descriptae.— Nova acta Acad. Sci. Petropol., (1785), 1788, 3, 90—99.
341. Gauss C. F. Werke, Bd. 1—12. Gottingen, 1870—1927.
342. Gemma Frisius R. De astrolabio catholico et usu eiusdem. Antwerpiae,
1548.
395
343. Gibbs J. Vector analysis. New Haven, 1925.
344. Giordano Vitale. Euclide restituto, overo Gli antichi elementi geometrici
ristaurati et facilitati, libri XV. Romae, 1680.
345. Girard A. Nouvelle invention et l'algebre. Amsterdam, 1629.
346. Gleason A. Groups without small subgroups.—Ann. Math., 1952, 56, N 2,
193—212.
346a. Grant E. A source book in medieval science. Cambridge, 1974.
347. Grassmann H. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, Bd.
1—3, Leipzig, 1894—1911.
348. Greaves Ch. On algebraical triplets.— Proc. Irish Acad., 1847, 3, 51—54,
57—64, 80—84, 105—108.
349. Hamilton W. R. The mathematical papers, v. 1—3. Cambridge, 1931 —
1967.
350. Hamilton W. R. Lectures on quaternions. Dublin, 1853.
351. Hamilton W. R. Elements of quaternions. N. Y., 1969.
352. Heaviside O. Electromagnetic theory, v. 1—2. London, 1951.
353. Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, t. 1—5. J. L. Heiberg,
L. Nix, W. Schmidt, H. Schone (Eds.). Lipsiae, 1899—1914.
354. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1—3. Berlin, 1932—1935.
355. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglei-
chungen.— Gottinger Nachr., 1904, 213—259, 49—91; 1905, 307—338;
1906, 157-227, 439-480; 1910, 335-417.
356. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralglei-
chungen. Leipzig — Berlin, 1924.
357. Hoppe R. Die regelmassigen linear begrenzten Figuren jeder Anzahl von
Dimensioned— Arch. Math, u Phys., 1882, 68, 151 — 165.
358. Hoiiel J. Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometrie.
Paris, 1867.
359. Ibn Abi UseibVa. 'Ujun el-anba ft tabaqat el-atibba, Bd. 1—2. Hrsg.
A. Miiller, Konigsberg, 1884.
360. [Ibn el-Nadtm]. Kitab al-Fihrist von Abu'l-Farag Muh. b. Isliaq bekannt
unter dem Namen Ibn Abi Ja'qub el-Nadim, Bd. 1. G. Fltigel, J. Rodiger
und A. Miiller (Hrsg.). Leipzig, 1871.
361. Ibn Qurra. Ein Werk tiber ebene Sohnenuhren. Hrsg., ubers. und erlaiitert
von K. Garbers. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik,
Astronomie und Physik, Abt. A, Bd. 4. Berlin, 1937.
362. Initius Algebras.— Abhandl. Geschichte math. Wiss., 1902, 13, 435—609.
363. Inonix E., Wigner E. P. On the contraction of groups and their
representations.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953, 39, N 6, 510—524.
364. Jacobi С G. J. Gesammelte Werke, Bd. 1—7. Berlin, 1881—1891.
365. Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras. Amer.
Math. Soc. Colloquium Pubis, 39. Providence, 1968.
366. Jacobson F. D., Jacobson N. Classification and representations of
semi-simple Jordan algebras.— Trans. Amer. Math. Soc, 1949, 65, N 2,
141 — 169.
366. Jordan C. Traite sur les substitutions et des equations algebriques. Paris,
1957.
366a. Jordan С Oeuvres. Paris, 1961—1964.
367. Jordan P. Uber eine Klasse nichtassoziativen hyperkomplexer Algebren.—
Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, 1933, 569—575.
368. Jung F. Ableitungs-Bildung im raumlichen Grofenfelde.— J. reine und
angew. Math., 1908.
369. Kahler E. Uber eine bemcrkenswerte Hermitesche Metrik.— Abhandl.
Math. Seminars Hamburg. Univ., 1933, 9, 173—186.
370. Kallenberg G. W. M. Differential geometry of a particular group of
projective transformations.— Proc. Koninkl. nederl. Akad. wet., 1957, A60,
N 2, 147-156.
371. Kaluza T. Zur Unitatsproblem der Physik.— Sitzungsber. Prcuss. Akad.
Wiss., 1921, 966—972.
372. Karpova L., Rosenfeld B. A. The treatise of Thabit bin Qurra on sections
396
of a cylinder and on its surface.— Arch, internet, histoire sci., 1974, 24,
N 94, 66-92.
373. Kennedy E. S. Al-Biruni's «Maqalid 'ilm al-hay'a».— J. Near Eastern
Studies, 1971, 30, 308—314.
374. Kennedy E. S. Late medieval planetary theory.— Isis, 1966, 57, N 3.
375. Kepler J. Gesammelte Werke, Bd. 1—18. Munchen, 1937—1969.
376. Killing W. Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgrup-
pen.— Math. Ann., 1888, 31, 252-290; 1889, 33, 1—48; 1889, 34, 57—122;
1890, 36, 161—189.
377. Klamroth M. Cber die Auszuge aus griechischen Schriftstellern bei al-
Ja'qubi.— Z. Dtsch. Morgenland. Ges., 1888, 42, 1—44.
378. Klein F. Vorlesungen tiber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichun-
gen vom ftmften Grades. Leipzig, 1884.
379. Koecher M. Imbedding of Jordan algebras into Lie algebras.— Amer.
J. Math., 1967, 39, N 3, 787—816; 1968, 40, N 2, 476—510.
380. Koyre A. From the closed world to the infinite Universe. Baltimore, 1957.
381. Koyre A. Etudes d'histoire de la pensee philosophique. Paris, 1961.
382. Kurnmer E. Zur Theorie der complexen Zahlen.— J. reine und #ngew.
Math., 1847, 35, 319—326.
383. Kuratowski K. L'operation Л de l'analysis situs.— Fundamenta math.,
1922 3 182 199
384. Lagrange J. L. Oeuvres, v. 1—14. Paris, 1867—1892.
385. Laguerre E. Oeuvres, v. 1—2. Paris, 1898—1905.
386. Lame G. Demonstration generale du theoreme de Fermat sur l'impossibili-
te en nombres entieres de l'equation xn + yn = zn.— J. math, pure et
appl., 1847, 24, 310-316.
387. Laplace P. S. Oeuvres, v. 1—14. Paris, 1878—1912.
388. Lasker E. Zur Theorie der Moduln und Ideale.— Math. Ann., 1905, 60.
389. Legendre A. M. Elements de geometrie. lere ed. Paris, 1794.
390. Legendre A. M. Elements de geometrie. 3bme ed. Paris, 1800.
391. Legendre A. M. Elements de geometrie. 12eme ed. Paris, 1823.
392. Leibnizens mathcmatische Schriften, Bd. 1—7. London — Berlin —
Halle, 1849-1863.
393. Leonard de Pisa. Le livre de nombres carres. Trad. P. Ver Eecke. Bruges,
1952.
394. Leonardo Pisano. Scritti, v. 1—2. Publ. de B. Boncompagni. Roma,
1857-1862.
395. Levi E. Sulla struttura dei gruppi finiti e continui.— Atti Accad. Torino,
1905, 40, 3-17.
396. Levi-Civita T. Nozione di parallelismo in uno varieta qualunque e conse-
quente spezificazione geometrica della curvatura Riemanniana.— Rend.
Gircolo mat. Palermo, 1917, 42, 173—205.
397. Lexell A. J. Solutio problematis geometrici ex doctrina sphericorum. —
Acta Acad. sci. Petropol., (1781), 1784, 5 : 1, 112—126.
398. Lexell A. J. De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descrip-
torum.— Acta Acad. sci. Petropol., (1782), 1786, 6 : 1, 58—103.
399. Lhuillier S. Memoirc sur la polyedrometrie; contenant une demonstration
directe du theoreme d'Euler sur les polyedres et une examen des
divers exceptions auxquelles ce theoreme est assujetti.— Ann. math,
pures et appl., 1812—1813, 3, 169—191.
400. Libri G. Histoire des sciences mathematiques en Italie, v. 1—2. Paris,
1833—1838.
401. Lie S. Gesammelte Abhandlungen, Samlede avhandlingen. Bd. 1—7.
Hrsg. F. Engel und P. Heegaard. Leipzig — Oslo, 1934—1960.
402. Lie S., Engel F. Theorie der Transformatonsgruppen, Bd. 1—3. Leipzig,
1888-1893.
403. Lipschitz R. Untcrsuchungen iiber die Summen von Quadraten. Bonn,
1886.
404. Listing J. B. Der Census raumlicher Komplexe, oder Verallgemeinerung
397
der Euler'schen Satzes von der Polyedern.— Abhandl. Kgl. Ges. Wiss.
Gottingen, 1862, 10, 97—180.
405. Lobatschefsky N. I. Etudes geometriques sur la theorie des paralleles.
Trad. J. Hoiiel. Paris, 1866.
406. Lobatschewsky N. I. Pangeometria. Trad. G. Battaglini.— Giorn. mat.,
1867, 5, 273-230.
407. Luckey P. Zur Entstehung der Kugeldreieckrechnung.— Dtsch. Math.,
1941, 5, 405-446.
408. Maxwell C. A treatise on electricity and magnetism. Cambridge, 1873.
409. [Menelaos]. Die Spharik von Menelaos aus Alexandrien in der Verbesserung
von Abu Nasr Mansur b.'Ali b. 'Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte
des Textes bei den islamischen Mathematiker. Cbers. M. Krause. Berlin,
1936.
410. Menger K. Dimensionstheorie. Leipzig — Berlin, 1928.
410a. Meschkowski H. Probleme des Unendlichen. Werk und Leben Georg
Cantors. Braunschweig, 1967.
411. Meyerson E. Le deduction relativiste. Paris, 1925.
412. Michel H. Traite de l'astrolabe. Paris, 1947.
413. Mobius A. F. Gesammelte Werke, Bd. 1—4. Leipzig, 1885—1887.
414. Moisil G. Sur les geodesiques des espaces de Riemann singuliers.— Bull.
Math. Soc. Roum. Sci., 1940, 42, 33—52.
415. Molien T. Ueber Systeme hoherer complexer Zahlen. Dorpat, 1892.
416. Monge G. Applications de l'analyse a la geometrie. Paris, 1850.
417. Monge G. Memoire sur les developpees des rayons de courbure et les dif-
ferents genres d'inflection des courbes a double courbure.— Mem. divers
savants, 1785, 10.
418. Montgomery£>., ZippinL. Small subgroups in finite dimensional groups.—
Ann. Math., 1952, 56, N 2, 213—241.
419. Montgomery£>., ZippinL. Topological transformation groups. N. Y., 1955.
420. Morgan A. de. On the foundation of algebra.— Trans. Cambridge Phi-
los. Soc, 1847, 8, N 3, 241—254.
421. Murdoch J. Euclid. Dictionary of scientific biography, v. 4. N. Y., 1971,
p. 414-459.
422. Nallino C. Al-Battani sive Albategnii Opus astromicum, t. 1—3. Medio-
lani, 1899—1907.
423. Nau F. Le traite de Г astrolabe plan de Severe Sebokt.— J. Asiatique, 1899
(9), 13, 56—101, 238—303.
424. Neugebauer O. The early history of the astrolabe.— Isis, 1949, 40, 240—
256.
425. Neumann J. von. Collected Works, v. 1—6. Oxford — London — N. Y.—
Paris, 1961—1963.
426. Noether M. Zur Theorie der eindeutigen Entsprechens algebraischer Ge-
bilde.— Math. Ann., 1870, 2; 1875, 8.
427. Noether M. Extension du theoreme de Riemann — Roch aux surfaces
algebriques.— С. г. Acad. sci. Paris, 1886, 103.
428. Nomizu K. Invariant affine connections on homogenous spaces.— Amer.
J. Math., 1954, 76, N 1, 33-65.
429. Pacioli L. Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportiona-
lita. Venetiae, 1494.
430. Pappi Alexandrini collectiones quae supersunt, t. 1—3. F. Hultsch. Ed.
Berolini, 1876—1879.
431. Pasch M. Vorlesungen iiber neuere Geometrie. Leipzig, 1882.
432. Pauli W. On Dirac's new method of field quantization.— Rev. Modern
Phys., 1943, 15, N 3, 175-207.
433. Peano G. Calcolo geometrico secondo TAusdehnungslehre di Grassmann
preceduto dalle operazioni della logica deduttiva. Torino, 1888.
434. Peano G. I principii di geometria logicamente espositi. Torino, 1889.
435. Pearson K. The Grammar of science. London, 1900.
436. Peirce B. Linear associative algebras,— Amer, J, Math., 1881, 4, 97—221.
398
437. Peletarius J. De occulto parte numefoftiih 6;tiae ai с tram Vocant. Pari-
siis, 1560.
438. Pieri M. Delia geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo.
Torino, 1899.
438a. Pincherle S. Opere scclto, t. 1—3. Roma, 1954—1962.
439. Pines S. Beitrage zur islamischen Atomenlehre. Inaugural-Dissertation*
Berlin, 1936.
439a. Piiicker J. Gesammclte wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. 1—2.
Leipzig, 1895-1896.
440. Piiicker J. Neue Geometrie des Raumes gegriindet auf die Betrachtung der
geraden Linien als Raumelement. Leipzig, 1868.
440a. Piiicker J. Theorie der algebraischen Gurven. Bonn, 1839.
441. Poincare H. Oeuvres, v. 1—11. Paris, 1916—1956.
442. Poncelet J. V. Traite des proprietes projectives des figures, v. 1—2.
Paris, 1865-1866.
442a. Pont J. С La topologie algebrique des origines a Poincare. Paris, 1974.
443. Prodi Diadochi. In primum Euclidis Elementorum commentarii. G. Fri-
edlein (Ed.). Leipzig, 1873.
444. Ptolemuus C. Handbuch der Astronomie. Obers. K. Manitius, Berichti-
gungen von 0. Neugebauer, Bd. 1—2. Leipzig, 1963.
445—446 Ptolemaeus С Opera quae extant omnia, v. 1—2. J. L. Heiberg
(Ed.). Leipzig, 1905-1907.
447. Rashed R. Les travaux perdus de Diophante.— Rev. histoire sci, 1974,
27, 97-122; 1975, 28, 3-30.
448. Regiomontanus /. On triangles. Ed. and transl. B. Hughes. Madison —
Milwaukee — London, 1950.
449. Reye T. Die Geometrie der Lage, Bd. 1—3. Leipzig, 1909.
450. Ricci G. Opera, t. 1—2. Roma, 1956—1957.
451. Riese A. Die Goss.— In: B. Berlet. Adam Riese, sein Leben, seine Re-
chenbiicher und seine Art zu rechnen. Leipzig — Frankfurt a. M., 1892,
33-62.
452. Riess F. Oeuvres completes. Osszegyiijtott munkai, v. 1—2. Paris —
Budapest, 1960.
453. Roch G. Ober die Anzahl der willkiirlichen Konstanten in algebraischen
Funktionen.— J. reine und angew. Math., 1865, 64, 372—376.
454. Ruffini P. Opere mathematiche, t. 1—3. Roma, 1953—1954.
455. Sabra A. I. Thabit ibn Qurra on Euclid's parallels postulate.— J.
Warburg and Courtauld Inst., 1968, 31, 12—32.
456. Sabra A. I. Simplicius's proof of Euclid's parallels postulate.— J.
Warburg and Courtauld Inst., 1969, 32, 1—24.
457. Saccheri G. Euclides ab omni naevo vindicatus. Ed. and transl. G. B.
Halsted. Chicago — London, 1920.
458. Sagle A. A. Malcev algebras.—Trans. Amer. Math. Soc, 1961, 101,
426-458.
459. Sagle A. A. Simple Malcev algebras over fields of characteristic zero.—
Pacific J. Math., 1962, 12, 1057—1078.
460. Saint-Venant J. С. В. Sur les sommes et differences geometriques et leur
application pour la simplification de la exposition de la mecanique.— C. r.
Acad. sci. Paris, 1845, 21.
461. As-Samaw'al. Al-Bahir en algebre. S. Ahmad, R. Rashed (Eds.). Da-
mas, 1972.
462. Scheffers G. Verallgemeinerung der Grundlagen der gewohnlichen komp-
lexen Funktionen.— Sitzungsber. Sachs. Ges. Wiss. Math.-phys. Kl.,
1893, 45, 828-842.
463. Scheffers G. Zuriickfiihrung complexer Zahlensysteme auf typische For-
men.— Math. Ann., 1891, 39, 293—390.
464. Schellekens G. J. On a hexagonic structure.— Proc. Koninkl. nederl.
Acad, wet., 1962, A65, 201—234.
465. Schldfli L. Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd. 1—2. Basel,
1950—1953.
399
466. Schonfliess A. Krystallsysteme und Krystallstruktur. Leipzig, 1891.
467. Schoute P. H. Mehrdimensionale Geometrie, Bd. 1—2. Leipzig, 1902—
1905.
468. Schouten J. A. Ricci-Kalkul. Berlin, 1924.
469. Schouten J. A. Ober die verschiedenen Arten der Ubcrtragung die einer
Differentialgeometrie zugrunde gelegt werden konnen. — Math. Z., 1922,
23, 56-81.
470. Schouten J. A. Ober unitare Geometrie.— Proc. Koninkl. nederl. Acad,
wet., 1929, 32, 457—465.
471. Schubert F. T. De projectione sphaeroidis ellipticae geographica.— Nova
Acta Acad. Sci. Petropol., (1787) 1789, 5, 130—146.
472. Schubert H. Kalktil der abzahlenden Geometrie. Leipzig, 1877.
473. Schubert H. Die я-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen
Anzahlen unseren Raumes.— Math. Ann., 1886, 26, 26—51.
474. Schur F. Grundlagen der Geometrie. Leipzig, 1909.
475. Schur F. Ober die Zusammenhang der Raume konstanten Krummungsmas-
ses mit den projektiven Raumen.— Math. Ann., 1886, 29, 537—567.
476. Schweikart F. K. Die Theorie der Parallellinien nebst dem Vorschlage
ihrer Verbannung aus der Geometrie. Leipzig, 1908.
477. Segre C. Un nuovo campo di ricerche geometriche.— Atti Accad. Sci.
Torino, 1889, 25, 276—301, 430—457, 592—612; 1890, 26, 40—56.
477a. Segre C. Sulla teoria e sulle classificazioni delle omografie in uno spa-
zio lineare ad un numero qualunque di dimensioni.— Mem. Accad. Lin-
cei, fis.-mat. ser., 1884, 19, 127—148.
478. Severi F. Trattato di geometria algebraica. Bologna, 1926.
479. Severi F. Sul teorema de Riemann — Roch e sulle serie continue aparte-
menti ad superficie algebraica.— Atti Accad. Sci. Torino, 1905, 40.
480. Shkolenok G. A. Geometrical constructions equivalent to non-linear
algebraic transformations of the plane in Newton's early papers.— Arch.
History Exact Sci., 1972, 9, N 1, 22—44.
481. Silberstein L. Projective geometry of Galilean space-time.— Philos.
Mag., 1925, 10, 681-696.
482. Silberstein L. Discrete space-time. Toronto, 1936.
482a. Sitter W. de. On Einstein's theory of gravitation and its astronomical
consequences.— Monthly Notices of Roy. Astron. Soc, 1917, 78, 3—30.
4826. Snyder H. Quantized space-time.— Phys. Rev., 1947, 71, 38—41.
483. Sommerfeld A. Ober die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in
der Relativtheorie.— Phys. Z., 1909, 10, N 22, 826—829.
484. Sommerville D. M. Y. Bibliography of non-Euclidean geometry,
including the theory of parallels, the foundation of geometry and space of
n dimensions. N.Y., 1970.
485. Sommerville D.M. Y. An introduction to the geometry of n dimensions.
London, 1929.
486. Sommerville D. M.Y. Classification of geometries with projective
metrics.— Proc. Edinburgh Math. Soc, 1910—1911, 28, 25—41.
487. Staudt Ch. von. Geometrie der Lage. Niirnberg, 1847.
488. Stekloff W. Sur la theorie de fermature des systemes de fonctions orthogo-
nales dependent d'un nombres quelconque de variables.— Зап. Имп.
Академии наук (8), физ-мат. отд., 1911, 30, № 4, 1—86.
489. Stevin S. The principal works, v. 1—3. Amsterdam, 1955—1961.
490. Stifel M. Die Coss Christoff Rudolffs mit schonem Exempeln der Coss,
durch Michael Stifel gebessert und sehr gemehrt. Konigsperg, 1553.
491. Stifel M. Arithmetica integra. Norimbergae, 1544.
492. Stipanic E. Problem paralela kod Federika Grisogona. —Мат. вестник,
Нова cepnja, 1973, 10 (25), № 4, 369—377.
493. Strubecker К. Differentialgeometrie des isotropen Raumes.— Sitzungs-
ber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa, 1941, 150, 1—53.
494. Study E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1903.
495. Study E. Kurzeste Wege im komplexcn Gebicte.— Math. Ann.. 1905,
60, 321-377.
400
496. Study E. Ein Seitenstuck zur Theorie der linearen Transformationen ei-
ner komplexon Vcranderlichen.— Math. Z., 1923, 18, 55—86, 201—229;
1924, 21, 45—71, 174—194.
497. Study E. Uber nicht-Euklidische und Linien-Geometrie.— Jahresber.
Dtsch. Math. Verein., 1902, 11, 313—340.
497a. Suidae Lexicon, Bd. 1—5. A. Adler (Ed.). Leipzig, 1928—1938.
498. Suter H. Ober die Projektion der Sternbilder und der Lander von al-Bi-
runi.— Abhandl. Geschichte Naturwiss. und Med., 1922, 4, 79—93.
499. Suter H. Abhandlung tiber die Ausmessung der Parabel von Ibrahim b.
Sinan b. Thabit.— Vierteljarhschr. Naturforsch. Ges. Zurich, 1918, 63,
N 1—2, 214—228.
500. Tannery P. Memoires scientifiques, v. 1—17. Toulouse — Paris, 1912—
1950.
501. Theodose de Tripoli. Les spheriques. Trad. P. Ver Eecke. Paris, 1959.
502. Tits J. Les groupes de Lie exceptionnels et leur interpretation geometri-
que.— Bull. Soc. Math. Beige, 1956—1957, 8, 48—81.
503. Tits J. Le plan projectif des octaves et les groupes de Lie exceptionnels.—
Bull. Acad. roy. Belg. Sci., 1953, 39, 309—329.
504. Tits J. Le plan projectif des octaves et les groupes exceptionnels E9 et
En.— Bull. Acad. roy. Belg. Sci., 1954, 40, 29—40.
505. Toth I. Das Parallelenproblem in Corpus Aristotelicum.— Arch.
History Exact. Sci., 1967, 3, N 4/5, 249—422.
506. Toupin R. A. World invariant kinematics.— Arch. Rational Mech. and
Analysis, 1958, 1, N 3, 181—211.
507. Tropfke J. Geschichte der Elementar-Mathematik, Bd. 1—7, 3. Aufl.
Berlin — Leipzig, 1930—1937.
508. Tychonoff A.N. Ein Fixpunktsatz.—Math. Ann., 1935, 111, 767—776.
509. Veblen O. Projektive Relativitatstheorie. Berlin, 1933.
510. Vieta F. Opera mathematica. Lugduno Batavorum, 1646.
511. [Vitello]. Vitellonis filii Thuringo-Poloni Opticae libri decern. Basi-
leae, 1572.
512. Wachter F. L. Demonstrate axiomatis geometrici in Euclidis undecimi.
Danzig, 1817.
513. Van der Waerden B. L. Topologische Begriindung der abzahlenden Geomet-
riue.— Math. Ann., 1929, 102, 337—362.
514. Wallis J. Opera mathematica, t. 1—3. Oxoniae, 1693—1695.
515. Wallis J. A treatise of Algebra, both historical and practical. London,
1685.
516. Waring E. Miscellanea analytica de aequationibus algebraicis et curva-
rum proprietatibus. Cantabrigae, 1762.
517. Weber H. Algebra. Leipzig, 1898.
518. Weierstrass K. Mathematische Werke, Bd. 1—7. Berlin, 1894—1927.
519. Wessel C. Essai sur la representation de la direction. Copenhague, 1897.
520. Weyl H. Raum, Zeit, Materie. Berlin, 1923.
521. Whiteside D. T. The mathematical papers of Isaac Newton, v. 1—6.
Cambridge, 1967—1974.
522. Whitney H. Sphere-spaces.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1935, 21, 462—
468.
523. Whitney H. On the theory of sphere bundles.— Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1940, 26, 148—153.
524. Whitney H. On the topology of differentiable manifolds. Michigan
Lectures in Topology. Ann Arbor, 1941.
525. Wolf К. В., В oyer С. В. The algebra and group deformations
Im [SO (n) ® SO (m)J =Ф SO (n, m), Im [U (n) ® U (m)J =» U (я, т) and
Im [Sp (n) ® Sp (m)J =Ф Sp (л, m) for 1 < m < п.— J. Math. Phys.,
1974, 15, N 12, 2096—2101.
526. Zeuthen H. G. Lehrbuch der abzahlenden Methoden der Geometrie.
Leipzig, 1914.
527. Zorn M. Thcorie der alternativen Ringe.— Abhandl. Math. Seminar
Hamburg. Univ., 1931, 8, 123—147.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аббасов Н. Т. 349, 383
Абель Н. X. (N. H. Abel) 293, 294
Абу-л-Вафа ал-Бузджани 19, 21,
150, 383, 394
Ал-Абхари, Асир ад-Дин 82—84,
101
Авербах В. Л. 382, 383
Аверроэс — см. Ибн Рушд
Авиценна — см. Ибн Сина
Автолик ('АотоХихос;) 6, 7, 393
Аган 42
Аганис 42—45, 55, 56, 58, 89, 389
Д'Агийон (F. d'Aguillon) 119, 129,
395
Адам Ш. (Ch. Adam) 395
Адамушко Н. Н. 356, 383
Адлер A. (A. Adler) 401
Азархель — см. аз-Заркали
Алберт A. A. (A. A. Albert) 356, 393
Александер Дж. В. (J. W.
Alexander) 277
Александров А. Д. 382, 383
Александров П. С. 280, 282, 383,
385, 392, 393
Альбатегний — см. ал-Баттани
Альберти Л. Б. (L. В. Alberti) 129
Альфонс X. (Alfonso X) 393
Альфонсо 86, 88, 89, 383
Альфонсо де Вальядолид (Alfonso
de Valladolid) 88
Альхазен — см. Ибн ал-Хайсам
Амбарцумян В. А. 382, 393
Амид ал-Мулк Абу Наср Мансур 21
Анаксагор ('Avafcorfopa*;) 181, 389
Анатолий ('АуатбХкх;) 150
Андерсон A. (A. Anderson) 159
ал-Андалуси — см. ал-Магриби
Андреева Л. М. 324, 383
Антиниат 42
Антропова В. И. 389
Аполлоний ^АгсоХХатос) 16, 108,
110-112, 117-119, 144, 161, 162,
393
Арган Ж. P. (J. R. Argand) 171, 393
Аристарх Самосский 183
Аристотель (\Ар1атотеХу)<;) 38—40,
46, 51, 56, 63, 69, 92, 107, 108,
155, 167, 168, 174-176, 179, 181 —
183, 359, 383, 393
Арроусмит A. (A. Arrowsmith) 123
Архимед САрх^М^) 16, 30, 35, 39,
41, 45, 47, 50, 53, 56, 58, 86-89,
107-110, 161, 168, 182, 183, 186,
244, 383
Архит Тарентский ('Архйтоц) 107
Асмус В. Ф. 383, 389
Астраханцева Л. Н. 383
Ахмад С. (S. Ahmad) 399
Ахмедов А. 78, 383
Ахмедов С. А. 391
Баландин 387
Бальцер P. (R. Baltzer) 203, 393
Барбаро Д. (D. ВагЬаго) 118, 384
Баттальини Дж. (G. Battaglini) 203,
393, 398
ал-Баттани, Абу Абдаллах
Мухаммед 21, 24, 25, 161, 398
Бачинский А. П. 389
Башмакова И. Г. 156, 161, 383, 385
Беллавитис Дж. (G. Bellavitis) 167,
168, 393
Белый Ю. А. 383, 384
Бельтрами Э. (Е. Beltrami) 203,
213—215, 218—220, 223, 262, 269,
383
Бергсон А. (Н. Bergson) 366, 367,
383
Березин Ф. А. 321, 383
Берже М. (М. Berger) 321, 393
402
Беркли Дж. (G. berkeley) 365
Берлет Б. (В. Berlet) 399
Бернулли И. (J. Bernoulli) 254, 256,
393
Бернулли Я. (J. Bernoulli) 256
Бертран Л. (L. Bertrand) 97, 98, 393
Беруни — см. ал-Бируни
Бессель Ф. В. (F. W. Bessel) 249
Бетти Э. (Е. Betti) 238, 239, 277,
393
Бёрнсайд В. (W. Burnside) 350, 351,
394
Бианки Л. (L. Bianchi) 270, 393
ал-Бируни, Абу-р-Райхан Ахмад
17-21, 122, 123, 167, 168, 185,
194, 384, 386, 390-393, 397, 401
ван дер Бляй Ф. (F. van der Blij) 393
Бляшке В. (W. Blaschke) 322, 324,
393
Боголюбов Н. Н. 389
Бойер С. Б. (С. В. Воуег) 324, 401
Бойяи Ф. (W. Bolyai) 103—105,
195, 196, 393
Бойяи Я. (J. Bolyai) 104, 105, 195,
196, 198, 203, 363, 384
Бокштейн М. Ф. 391
Боль П. (Р. ВоЫ) 282, 283, 384
Больаи — см. Бойяи
Бомбелли P. (R. Bombelli) 170, 393
Бонет Н. (N. Bonetus) 186
Бонкомпаньи Б. (В. Boncompagni)
397
Борелли Дж. A. (G. А. ВогеШ) 92,
393
Борель A. (A. Borel) 393
Бортолотти Э. (Е. Bortolotti) 323,
393
Бошкович Р. И. (R. I. Boscovich)
32, 394
Брадвардин Т. (Т. Brad ward ine)
155, 176, 185, 385
Брауэр Л. Э. Я. (L. E. J. Brouwer)
282, 283, 312, 313, 352, 394
Брауэр P. (R. Вгаиег) 394
Брахмагупта 35
Бриге Г. (Н. Briggs) 32
Бриоски Ф. (F. Brioschi) 330, 394
Брушлинский Н. К. 387
Булаевский Н. Ф. 392
Булгаков М. 383
Булгаков П. Г. 384
Булгарин Ф. Б. 191
Буняковский В. Ф. 192, 384, 394
Бурали-Форти Ч. 336, 394
Бурачек С. А. 192
Бурлей В. (W. Burleigh) 176
Бусурина А. Е. 40, 384
Буттац 387
Бычковский Б. 383
Валлис Дж. (J. Wallis) 78, 93, 94,
162, 163, 169, 387, 401
Ван дер Варден Б. Л. (В. L. van
der Waerden) 242, 317, 384, 401
Варинг Э. (Е. Waring) 138, 401
Васильев А. В. 384, 387
Вахтер Ф. Л. (F. L. Wachter) 198—
200, 401
Вебер Г. (Н. Weber) 299, 401
Веблен О. (О. Veblen) 289, 380, 384,
401
Веденисов Н. Б. 392
Везалий A. (A. Vesalius) 364, 365
Вейерштрасс К. (К. Weierstrass)
213, 334, 335, 342, 348, 401
Вейль Г. (Н. Weyl) 244-246, 283,
287, 288, 316, 317, 351, 380, 384,
394, 401
Венедиктов А. И. 384
Вер Экке П. (P. Ver Eecke) 393, 397,
401
Веселовский И. Н. 36, 40, 107,
383-385, 387
Вессель К. (С. Wessel) 171, 325, 401
Вигнер Ю. П. (Е. P. Wigner) 321,
396
Виет Ф. (F. Vieta) 26—28, 156—162,
164, 171, 401
Вилейтнер Г. (Н. Wieleitner) 384
да Винчи Л. (L. da Vinci) 129, 130
Витело (Vitello) 129
Витрувий (Marcus Pollio Vitruvius)
111, 112, 118, 121, 129, 384
Вольф К. Б. (К. В. Wolf) 324, 401
Выплавина Р. П. 390
Вяльцев А. Н. 186, 382, 384
403
Газе В. Ф. 388
Гайденко П. П. 4
Гален (ГаХ-ф/б;) 364
Галилей Г. (G. Galilei) 322, 392, 400
Галуа Э. (Е. Galois) 293—298, 311,
315, 343-346, 384
Гамильтон В. P. (W. R. Hamilton)
160, 161, 172, 232, 325, 328—330,
336-338, 342, 396
Гантмахер Ф. Р. 384
Гарберс К. (К. Garbers) 396
Гариг Г. Э. — см. Хариг Г. Э.
Гарриот Т. (Th. Harriot) 32
Гаусс К. Ф. (С. F. Gauss) 104, 172,
195—202, 257—260, 263, 264, 268,
275, 329, 343, 345, 363, 384, 388
395
Гегель Г. В. Ф. (G. W. F. Hegel) 188,
357, 369, 384
Гейберг И. Л. (J. L. Heiberg) 396,
399
Гейзенберг В. (W. Heisenberg) 380,
381, 384
Гельмгольц Г. (Н. Helmholtz) 299, 300,
302—304, 312, 372,384, 387
Гельфанд И. М. 321, 383, 385
Гемма Фризиус P. (R. Gemma Fri-
sius) 124, 395
Герлинг X. Л. (Ch. L. Gerling) 197,
198, 200
Герон (c'Hpo)v) 35, 63, 148, 149, 396
Герсдорф А. Т. (А. Т. Gersdorf) 201
Герсонид Л. (Леви бен Гершон)
86-88, 91, 385
Гессе О. (О. Hesse) 307, 319
Гиббс Дж. В. (J. W. Gibbs) 336, 337,
396
Гигон О. (О. Gigon) 393
Гильберт Д. (D. Hilbert) 243, 244,
247—249, 299, 313, 314, 346, 355,
385, 396
Гиппократ Хиосский (Чтстсохрату^) 36
Глаголев Н. А. 323, 385
Глисон A. (A. Gleason) 314, 396
Глускина Г. М. 88, 385
Глушков В. М. 314, 385
Глушков С. С. 156
де Гоиш М. (М. de Gois) 155, 176
Гольдбах X. (Ch. Goldbach) 328
де Гондаво Г. (Н. de Gondavo) 175
Гончаров В. Л. 389
Гоппе P. (R. Норре) 238, 396
Горнер В. Г. (W. G. Ногпег) 149
Гохман В. С. 387, 392
Гохман Е. В. 388
Градштейн И. С. 385
Грант Э. (Е. Grant) 396
Грассман Г. (Н. Grassmann) 167,
232-235, 238, 243, 263, 275,
336—339, 342, 347, 396, 398
Гревс Дж. Т. (J. Т. Greaves) 330,
342, 343
Гревс Ч. (Ch. Greaves) 326, 327, 330,
342, 396
Греч Н. И. 191
Григорьян М. М. 391
Григорьян Э. С. 55, 385
Григорян С. Н. 385
Грисогоно Ф. Б. (F. В. Grisogono)
89, 90
Гроссетест P. (R. Grosseteste) 186
Гроссман М. (М. Grossmann) 283
Гурьев С. Е. 98, 99, 103, 385
Гюйгенс X. (Ch. Huygcns) 165, 194,
235
Даламбер Ж. ле P. (J. le R. d'Alem-
bert) 170—172, 177, 395
Дамаский (Дацлахю^) 43
Дарбу Г. (G. Darboux) 308, 318,
395
Дедекинд P. (R. Dedekind) 278, 346,
347
Дезарг Ж. (G. Desargues) 131 — 134,
355, 395
Декарт P. (R. Descartes) 153, 154,
156, 161-164, 166, 176, 177, 385,
395
Демидов С. С. 383
Демко 10. М. 385
Демокрит (Де|л6хрьто<;) 174 — 176,
181 — 185, 388
Демьянов В. Б. 384
Денисова Н. С. 323, 395
Дефриз П. (P. Defrise) 323, 395
Джавадов М. А. 349, 352, 385
404
ал-Джаухари, ал-Аббас 46—50, 67,
71, 72, 77, 83, 101
Джекобсон Н. (N. Jacobson) 356,
396
Джекобсон Ф. Д. (F. D. Jacobson)
356, 396
ал-Джили, Кушьяр ибн Лаббан 19
Джордано В. (V. Giordano) 92, 93,
167, 194, 396
ал-Джуббаи, Абу-л-Хашим 184
Дидро Д. (D. Diderot) 172
Диксон Л. Ю. (L. E. Dickson) 353,
354, 395
Дильган X. (Н. Dilgan) 83, 395
Диодор (Ai65(opo<;) 42
Диофант (Ai6cpavTo<;) 148—150, 161,
385, 399
Дирак П. А. М. (P. A. M. Dirac)
252, 385, 395
Дирихле П. Г. Л. (P. G. L Dirichlet)
345, 346, 385, 395
Добровольский И. Г. 390
Дорофеева А. В. 385
Дреккер И. (J. Drecker) 395
Друкарев Г. Ф. 385
Дынкин Е. Б. 317, 385
Дю Валь П. (P. Du Val) 377, 395
Дюпен Ш. (Ch. Dupin) 255, 395
Дюрер A. (A. Diirer) 129, 130
Дюринг Е. (Е. Duhring) 358
Евдем (ЕйБт)[ло<;) 106, 107
Евдокс Книдский (ЕиБо£о<;) 36, 39,
45, 47, 50, 53, 56, 58, 86-89, 118,
244
Евклид (EuxAeiBvK) 3, 4, 7—9, 25,
36-41, 43-49, 51, 55-58, 61,
63, 67-69, 72, 78-80, 82-84,
86—90, 92—97, 106-108, 112,
114, 148, 167, 175, 181, 185, 187,
189, 195—197, 199, 223, 244, 303,
327, 359, 365, 371, 383—386, 389,
390, 394, 395, 398, 399, 401
Евтокий (Ейтбхю;) 63, 107
Железина И. И. 323, 385
Жергонн Ж. Д. (J. D. Gergonne) 134
Жирар A. (A. Girard) 28-32, 35, 396
Жордан К. (С. Jordan) 239, 299,
304, 311, 335, 396, 397
Завадовский Ю. Н. 384
Замаховский М. П. 352, 356, 390
аз-Заркали, Абу Исхак Ибрахим
123-125, 391, 393
Зеленый СИ. 192
Зильберштейн Л. (L. Silberstein)
322, 383, 400
Зоммерфельд A. (A. Sommerfeld) 374,
400
Зубов В. П. 168, 384—386, 388
Зутер Г. (Н. Suter) 123, 401
Ибн Абу Усейбия 396
Ибн Ирак, Абу Наср Мансур 9,
17-21, 386, 398
Ибн Корра, Сабит 15—17, 21, 24, 25,
41, 49-53, 55-58, 75, 81, 89, 92,
108, 126, 161, 386, 396, 399
Ибн ан-Надим, Абу-л-Фарадж
Мухаммед 41, 396
Ибн Рушд, Абу Валид Мухаммад
175, 185, 393
Ибн Сина, Абу Али ал-Хусейн 18,
56, 57, 185, 384, 386, 392
Ибн Синан, Ибрахим 126—128, 390,
401
Ибн ал-Хайсам, Абу ал-Хасан 56—
58, 60—64, 72, 75, 80—83, 86—92,
96, 108, 129, 130, 168, 386, 393
Ибн Юнис, Камал ад-Дин 83
Иваненко Д. Д. 382, 387, 391, 393
Игнациус Г. И. 389
Инёню Э. (Е. Inonti) 321, 396
Ихван ас-Сафа ва Хуллан ал-Вафа
386
Йордан П. (P. Jordan) 356, 396
ал-Ка'би, Абу-л-Касим 184, 186
Кавальери Б. (В. Cavalieri) 32, 186,
386, 396
Каган В. Ф. 78, 104, 244, 384, 386
Калленберг Г. В. М. (G. W. N. Kal-
lenberg) 323, 396
Калуца Т. (Т. Kaluza) 380, 396
Каменецкие А. И. и С. И. 385
405
Кант И. (I. Kant) 172, 179, 180,
191-193, 197, 200, 363, 367, 368,
386
Кантор Г. (G. Cantor) 155, 244, 394,
398
Кантор И. Л. 356, 386
ал-Караджи, Абу Бакр Мухаммед
149
Кардано Дж. (Н. Cardanus) 151,
170, 292, 384, 394
Каримов У. И. 384
Карно Л. (L. Carnot) 143—146, 167,
275, 394
Карпов В. П. 383, 386
Карпова Л. М. 321, 324, 390, 396
Карра де Во Б. (В. Сагга de Vaux)
19, 394
Картан Э. (Ё. Cartan) 210, 288, 289,
316, 317, 319, 320, 348, 351, 352,
354, 386, 394
Касымова Э. Г. 18, 386
Катальди П. А. (Р. A. Cataldi) 91,
92, 394
ал-Каши, Гияс ад-Дин Джемшид
149, 386
Келер Э. (Е. КаЫег) 396
Кели A. (A. Cayley) 202, 215—218,
231, 232, 271, 272, 329-332, 334,
342, 354, 387, 394
Кеннеди Э. С. (Е. S. Kennedy) 18,
397
Кеплер И. (J. Kepler) 32, 128—130,
186, 386, 397
Кеттон У. (W. Catton) 186
Кёхер М. (М. Koecher) 397
Киллинг В. (W. Killing) 317, 397
Клавий Хр. (Шлюссель) (Ch. Cla-
vius (Schlussel)) 90, 91, 393
Кладо Т. Н. 389
Кламрот М. (М. Klamroth) 397
Клебш Р. Ф. A. (R. F. A. Clebsch)
240, 276, 394
Клейн Ф (F. Klein) 4, 218-221, 238,
271, 272, 275, 304-311, 363, 364,
386, 387, 397
Клеро А. К. (А. С. Clairaut) 95, 98,
138, 139, 394
Климанова Т. М. 324, 387
Клиффорд В. К. (W. К. Clifford)
272—275, 319, 337-342, 347, 352,
363-366, 387, 394, 395
Кнорре Э. 201, 202
Койре А. (А. Коугё) 367
Коксетер X. С. М. (Н. S. М. Сохе-
ter) 394
Колмогоров А. Н. 281, 392
Колокольцева И. И. 353, 383, 390
Кольман Э. Я. 397
Коммандино Ф. (F. Commandino)
90, 161, 395
Конт О. (A. Comte) 359, 361, 362,
366, 387
Коперник Н. (М. Kopernik) 25, 29,
364, 365, 387
Коста ибн Лука ал-Ба'лбакки 149
Котельников А. П. 192, 201, 319,
322, 340, 341, 387, 389
Котельников П. И. 201
Котляр Г. А. 388
Копти О. (A. Cauchy) 171, 172, 279,
293, 334, 343, 394
Крамар Ф. Д. 387
Краснов К. 384
Краснова С. А. 383, 391
Краузе М. (М. Krause) 398
Краус П. (P. Kraus) 393
Крейн М. Г. 253, 387
Крелле А. Л. (A. L. Crelle) 98, 395
Кремона Л. (L. Cremona) 311, 395
Кристоффель Э. Б. (Е. В. Christof-
fel) 268, 269, 285, 394
Крылов А. Н. 388
Кубесов А. 78, 390, 391
Кубицкий А. В. 383
Кузнецова Т. А. 356, 387
Кулишер А. Р. 387
Куммер Э. (Е. Kummer) 345—347,
397
Кундури Амид ал-Мулк 21
Куратовский К. (К. Kuratowski)
280, 397
Лагерр Э. (Е. Laguerre) 249, 271,
309, 310, 397
де Лагир Ф. (F. de Lahire) 123
Лагранж Ж. Л. (J. L. Lagrange)
406
142, 143, 146, 172, 173, 177, 292,
294, 333, 387, 397
Ламберт И. Г. (J. H. Lambert) 58,
63, 64, 80, 95-97, 209, 212, 363
Ламе Г. (G. Lame) 345, 346, 397
Лаплас П. С. (P. S. Laplace) 256,
321, 333, 383, 397
Лаптев Б. Л. 4, 262, 387, 389
Л аскер Э. (Е. Lasker) 241, 397
Лебег А. (Н. Lebesgue) 248, 250, 251
Леви Э. (Е. Levi) 316, 397
Леви-Чивита Т. (Т. Levi-Civita)
284, 286, 397
Левкипп (Лбих17Г7го<;) 181
Лежандр А. М. (А. М. Legendre)
98-103, 249, 387, 397
Лейбниц Г. В. (G. W. Leibniz) 164—
167, 170, 177, 178, 186, 187, 194,
235, 254, 275, 276, 359, 362, 387, 397
Лексель А. И. (A. J. Lexell) 34, 35,
397
Ленин В. И. 367—369, 382, 387
Леонардо Пизанский (Leonardo Pi-
sano) 150, 161, 397
Леонтович Е. А. 389
Летников А. В. 203, 387
Лефшец С. (S. Lefschetz) 277, 387
Ли С. (S. Lie) 4, 252, 288, 304, 309—
322, 343, 347-349, 351-356, 363,
381, 383-387, 390, 392-394, 397,
401
Либри Дж. (G. Libri) 397
Лившиц Б. 386
Линдеман Ф. (F. Lindemann) 394
Липпшц P. (R. Lipschitz) 339, 340,
351, 397
Листинг И. Б. (J. В. Listing) 167,
275, 363, 387, 397
Лиувилль Ж. (J. Liouville) 147, 256,
294, 309
Лобачевский Н. И. 3, 4, 41, 45, 46,
50, 58, 82, 84, 89, 90, 94, 96, 98,
101, 105, 180, 189-198, 200-215,
218—228, 246, 250, 253, 262, 265,
269, 272, 303, 307—310, 318, 319,
321, 341, 342, 363-365, 371, 372,
374, 377, 379, 386-388, 392, 393,
398
Ломоносов М. В. 177, 178, 38?
де Лопиталь Д. Ф. A. (D. F. A. de
Г Hospital) 256
Лопшиц А. М. 253, 386, 387
Лоренц Г. А. (Н. A. Lorentz) 252,
370, 371, 374, 381, 387
Лосев А. Ф. 389
Лукей П. (P. Luckey) 19, 398
Лукреций Кар (Lucretius Cams)
112, 174, 388
Лурье С. Я. 88, 386, 388
Люилье С. (S. L'Huillier) 35, 276,
397
Люстерник Л. А. 384
Ляпунов А. М. 250
Мавролико Ф. (F. Maurolico) 161
ал-Магриби, Мухьи ад-Дин Яхья
46, 84, 86
Майер А. Г. 389
Майкельсон A. (A. Michelson) 370,
371
Маймонид Моисей 40, 184
Максвелл Дж. К. (J. С. Maxwell)
337, 398
Мальцев А. И. 313, 354, 388, 399
Малютин В. В. 390
Мамедбейли Г. Д. 78, 388, 391
Мамиконян Ваган 43
ал-Ма' мун 18
Ма'мун ибн Ма'мун 18
Манициус К. (К. Manitius) 399
Марзубан ибн Рустам 18
Маркина Л. М. 324, 388
Маркс К. (К. Магх) 187, 357, 358,
388
Мае* уд ибн Махмуд 18
Матвиевская Г. П. 56, 388
Мах Э. (Е. Mach) 361—364, 366—
369, 372, 379, 381, 388
ал-Махани, Абу Абдаллах
Мухаммед 17
Махмуд Газневи 18
Медведев Б. В. 382, 383
Медведев Ф. А. 388
Мей П. П. 383
Мейерсон Э. (Е. Meyerson) 379, 398
Мейман Н. Н. 384
407
Менгер К. (К. Menger) 282, 398
Менелан (Msv£Xao<;) 9, 11 —14, 16,
18, 19, 21, 39, 144, 398
Мердок Дж. Э. (J. E. Murdoch) 78,
398
Мешковский Г. (Н. Meschkowski)
398
Мёбиус А. Ф. (A. F. Mobius) 145—
147, 173, 290, 398
Миндинг Ф. (F. Minding) 260—262,
269, 388
Минковский Г. (Н. Minkowski) 211,
370, 372, 388
Мишель А. 398
Моисил Г. 323, 398
Молин Ф. Э. 348, 398
Монж Г. (G. Monge) 143, 147, 257,
309, 388, 398
Монтгомери Д. (D. Montgomery)
314, 398
де Морган A. (A. de Morgan) 325,
342, 343, 398
Мордухай-Болтовский Д. Д. 385,
388
Морозов В. В. 388
де Муавр A. (A. de Moivre) 141
Мухаммад ибн Закария 185
Мюллер A. (A. Muller) 396
Мюллер И.— см. Региомонтан
Мюллер P. (R. Muller) 393
ан-Найризи, Абу-л-Аббас ал-Фадл
43-46, 55, 56, 63, 83, 89, 385
ан-Найсабури, Абу Рашид 184
ан-Найсабури, Низам ад-Дин 79
Наллино К. (С. Nallino) 398
Наполеон I (Napoleon I) 144
ан-Насави, Абу-л-Хасан Али 21
Негели К. В. (К. W. Nageli) 357
Нейгебауэр О. (О. Neugebauer) 388,
398, 399
фон Нейман Дж. (J. von Neumann)
250, 251, 313, 324, 388, 398
Нётер М. (М. Noether) 241, 398
Никитина Л. С. 324, 388
Николози ди Патерно (Nicolosi) 123
Нике Л. (L. Nix) 396
Но Ф. (F. Nau) 398
Номидзу К. (К. Nomizu) 321, 398
Норден А. П. 197, 323, 383, 384, 388
Ньютон И. (I. Newton) 136—139,
145, 177, 178, 186-188, 239, 311,
322, 364, 368, 379, 388, 400, 401
Одонис Г. (G. Odonis) 186
Ольберс В. (W. Olbers) 197
Онищик А. Л. 392
Орем Н. (N. Oresme) 155, 156, 388
Орловская Т. Г. 353, 390
Осиповский Т. Ф. 180, 181, 192, 200,
388
Остроградский М. В. 191 — 193, 229,
231, 389
Оюэль Ж. (J. Houel) 202, 396, 398
Папп Александрийский (Штгтго<;) 33,
НО, 112, 115, 116, 131, 136, 144,
394, 398
Парнасский И. В. 323, 389
Парсеваль М. А. (М. A. Parseval)
248
Паскаль Б. (В. Pascal) 134, 135, 389
Паули В. (W. Pauli) 252, 380, 398
Паулиса — см. Паулос
Паулос (ПаОХо;) 15
Пачоли Л. (L. Pacioli) 151, 153, 398
Паш М. (М. Pasch) 60, (И, 86, 88,
243, 244, 398
Пеано Д. (G. Реапо) 243, 244, 398
Пелетье Ж. (J. Peletarius) 153, 399
Персиц Д. Б. 355, 356, 389
Петровский Ф. А. 168, 384, 386, 388
Петросян Г. Б. 42, 389
Пиери М. (М. Pieri) 243, 399
Пименов Р. И. 323, 389
Пинес С. (S. Pines) 399
Пинкерле С. (S. Pincherle) 246, 398
Пирс Б. (В. Peirce) 342, 398
Пирсон К. (К. Pearson) 365, 366, 398
Пифагор (ПиОа^браО 38, 182, 185,
205, 248
Платон (Платов) 5, 6, 174, 178,
179, 185, 191, 389
Плюккер Ю. (J. Pliicker) 218, 235,
239-241, 307, 319, 399
Погребысский И. Б. 392
408
Покок Э. (Е. Рососке) 93
Поливанов М. К. 388
Польский И. Б. 385
Пон Ж. К. (J. С. Pont) 275, 399
Понселе Ж. В. (J. V. Poncelet) 144,
146, 210, 345, 399
Понтрягин Л. С. 252, 312, 313, 389
Попов П. С. 383
Посидоний (noaeiB<ovic<;) 41, 43, 45
Постников М. М. 391
Прокл Диадох (Пр6хХо<;) 39, 41 —
43, 69, 106, 399
Пселл М. (М. 6 УеАЛ6<;) 150, 153
Птолемей I Сотер (ПтокгцяЪсЛ) 36
Птолемей Клавдий (К. ПтоХе[ла!о<;)
5, И, 13-15, 17, 25, 28, 29, 41-
43, 112, 118, 119, 168, 364, 399
Пуанкаре А. (Н. Poincare) 167, 211,
221-224, 226, 227, 242, 277, 310,
319, 370-374, 378, 379, 389, 399
Пудра М. (М. Poudra) 395
Путята Т. В. 389
Рабинович И. М. 384
ар-Рази, Абу Бакр Мухаммад ибн
Закария 184, 185, 393
Райков Д. А. 384, 392
Расулев А. 123, 383
Рашевский П. К. 321, 389
Рашед P. (R. Rashed) 399
Региомонтан И. (J. Regiomontanus)
24, 25, 399
Рейе Т. (Т. Reye) 167, 399
Рёдигер И. (J. Rodiger) 396
Ризе A. (A. Riese) 152, 153, 399
Рико и Синобас Д. М. (D. M. Rico у
Sinobas) 393
Риман Б. (В. Riemann) 167, 171,
217, 227, 228, 238, 240, 241, 250,
263-270, 275-277, 285, 288, 299,
300, 302, 303, 343, 363, 365, 371,
372, 389, 393, 398, 400
Риснер Ф. (F. Risner) 393
Рисе Ф. (F. Riess) 248, 281, 399
Ричард из Миддльтона (Richard of
Middleton) 175
Риччи-Курбастро Г. (G. Ricci-Cur-
bastro) 284, 285, 287, 399
Рожанская М. М. 390
Рожанский И. Д. 389
Розенфельд Б. А. 78, 88, 383, 384,
386, 389—392, 396
ван Роомен A. (A. van Roomen) 159
160
Pox Г. (G. Roch) 241, 399
Руденко А. Б. 390
Рудольф X. (Ch. Rudolff) 151, 153,
154
Румер И. Б. 384
ар-Руми, Кази-заде Салах ад-Дин
Муса 83
Румянцева Л. В. 319, 390
Руффини П. (P. Ruffini) 149, 292,
293, 399
Сабра А. И. (A. I. Sabra) 45, 46, 78,
83, 399
Савич С. Е. 387
ас-Сагани, Абу Хамид Ахмад 122,
386, 391
Садовский Н. А. 386
Садр ад-Дин ибн ходжа Насир ад-
Дин 79
Сазыкин А. А. 391
Сайф ад-Даула 56
Саккери Дж. (G. Saccheri) 63, 64,
70, 74, 78, 80, 91, 93-96, 100, 102,
212, 363, 399
ас-Салар, Хусам ад-Дин Али 22,
69—72, 82, 390
Салье М. А. 384
ас-Самав* ал ал-Магриби 149, 390,
399
ас-Самарканди, Шамс ад-Дин
Мухаммад 83, 390, 395
Свешников Г. Н. 386
Свида (2ooiBa<;) 118
Север Себохт 119, 398
Севери Ф. (F. Severi) 241, 400
Сегре К. (С. Segre) 335, 336, 400
Сейгл A. A. (A. A. Sagle) 355, 399
Семенова И. Н. 324, 390
де Сен-Венан А. Ж. К. Б.
(A. J. C.B.de Saint Venant) 169,170,
399
Сервуа Ф. Ж. (F. J. Servois) 134
409
Сергеева Н. Д. 390
ас-Сиджизи, Абу Сайд Ахмад 18,
391
Силов П. Л. (P. L. Sylow) 393
Симпликий (Ei^ttXixicx;) 42—46, 48,
67, 72,82, 83, 86, 101, 181,399
Синцов Д. М. 386, 389
де Ситтер В. (W. de Sitter) 377, 400
Славутин Е. И. 156
Слюсарев Г. Г. 385
Смирнов С. В. 391
Снайдер X. (Н. Snyder) 382, 400
Собиров Г. С. 78, 390
Соколов А. А. 382, 391
Соколов В. В. 385
Соколовская 3. К. 390
Сократ (2охрату)<;) 179
Соловьев Н. М. 389
Соловьев Р. М. 389
Соммервилль Д. М. Ю. (D. M. Y.
Sommerville) 322, 400
Стевин С. (S. Stevin) 168, 169, 393,
400
Стеклов В. А. 249, 250, 400
Степанов Б. В. 388
Стилтьес Т. (Т. Stieltjes) 251
Стинрод Н. (N. Steenrod) 290, 391
Стипанич Э. (Е. Stipanic) 89, 400
Столпнер Б. Г. 384
Столярова Т. Д. 391
Стрингхем В. И. (W. I. Stringham)
238, 391
Сушкевич А. К. 392
Схеллекенс Г. И. (G. J. Schellekens)
355, 399
Схоуте П. X. (P. H. Schoute) 238,
399
ван Схоутен Ф. (F. van Schooten)
153, 395
Схоутен Я. A. (J. A. Schouten) 284,
285, 287, 289, 399
Табризи — см. ан-Найризи
Таги-заде А. К. 386, 391
Таннери П. (P. Tannery) 395, 401
Таперо Т. Б. 391
Тарталья Н. (N. Tartaglia) 151,
384
Тауринус Ф. A. (F. A. Taurinus)
198, 200, 201, 206
Тейлор Б. (В. Taylor) 208
Теон (вешу) 118, 119
Теэтет (6еа(гУ)То<;) 36
Тите Ж. (J. Tits) 355, 356, 401
Тихонов А. Н. 283, 401
Тлеубердиев С. К. 391
Тллашев X. 79, 391
Тогрул-бек 21
Тот И. (I. Toth) 40, 401
Тропфке И. (J. Tropfke) 401
Тупен P. A. (R. A. Toupin) 323, 401
ат-Туси, Насир ад-Дин Абу Джа
фар Мухаммад 9, 21—23, 45, 47,
56, 62, 69, 71-80, 82-84, 86, 91,
93, 94, 100, 101, 149, 388-391, 395
Уайтсайд Д. Т. (D. Т. Whiteside)
136, 137, 401
Уайтхед Д. Г. К. (J. H. С.
Whitehead) 289, 384
Уитни X. (Н. Whitney) 290, 291,
401
Урысов П. С. 282, 383, 391
Уэллс Г. (Н. Wells) 173
Фаге М. К. 391
Фалес Милетский (6aA-rj<;) 106
ал-Фараби, Абу Наср Мухаммад
150, 155, 167, 176, 194, 359, 391
Фарпеци Г. 43
Феденко А. С. 321, 391
Федоров Е. С. 310, 391
Фейербах Л. (L. Feuerbach) 357,
358, 391
Феодосии (GsoBogkx;) 7—9, 106, 401
ал-Фергани, Ахмад 119, 390
Ферма П. (P. Fermat) 156, 161, 162,
164, 328, 345, 346, 395, 397
Филопон Иоанн 119, 174
Финке Г. (G. Fincke) 202
Флюгель Г. (G. Flugel) 396
Фок В. А. 385
Фохт Б. А. 383, 386
Фрадлин Б. Н. 389
делла Франчески П. (P. della Fran-
ceschi) 129
410
Фредерике В. К. 387
Фрейденталь Г. (Н. Freudenthal)
330, 355, 356, 391, 395
Фрейдина М. Г. 384
Френель A. (A. J. Fresnel) 371
Фреше М. (М. Frechet) 278 — 280,
395
Фридлейн Г. (G. Friedlein) 399
Фридман А. А. 375, 377, 391
Фробениус Ф. Г. (F. G. Frobenius)
348, 350, 351, 392, 395
Фубини Г. Г. (G. G. Fubini) 318,
319, 395
Фукс Л. (L. Fuchs) 221
Фурье Ж. Б. (J. В. Fourier) 247—
249
Фусс Н. И. 34, 395
ал-Хади, Мухаммед 83
ал-Хазин, Абу Джафар 56, 63
Хайретдинова Н. Г. 18, 21, 390—
392
Хайям Омар 39, 46, 56, 63, 64, 66—
75, 80, 87, 89, 91-94, 100, 108,
149, 185, 212, 390, 392
Халидов А. Б. 384
Халстед Дж. Б. (G. В. Halsted) 94,
399
ал-Ханафи, Алам ад-Дин Кайсар
45, 46, 56, 72, 77, 82
Хариг Г. Э. (G. E. Harig) 384
Харлей Г. (Н. Harley) 186
Хаусдорф Ф. (F. Hausdorff) 279—
281, 392
Хвольсон О. Д. 387
Хевисайд О. (О. Heaviside) 333, 337,
396
Хегор П. (P. Heegaard) 397
Хелгасон С. (S. Helgason) 320, 392
Хопф X. (Н. Hopf) 393
ал-Худжанди, Абу Махмуд Хамид
19, 21
Хулагу-хан 22
Хульч Ф. (F. Hultsch) 398
Хьюз Б. (В. Hughes) 399
Цейтен И. Г. (Н. G. Zeuthen) 242,
401
Цёльнер Ф. (F. Zollner) 238, 359, 364
Циппин Л. (L. Zippin) 314, 398
Цорн М. (М. Zorn) 354, 401
Чахленкова Т. Г. 323, 392
Чахтаури И. А. 349, 392
Чвалина A. (A. Czwalina) 393
Чебышёв П. Л. 249, 250, 392
Шаль М. (М. Chasles) 112, 336, 392,
394
аш-Шанни, Абу Абдаллах 56, 63
Шарипов А. Д. 392
Швейкарт Ф. К. (F. К. Schweikart)
198, 200, 202, 400
Швердт Г. (Н. Schwerdt) 392
Шевалле К. (С. Chevalley) 313, 392,
394
Шестопал М. Г. 385
Шестырева Л. В. 324, 383
Шефферс Г. (G. Scheffers) 343, 348,
399
Шёне Г. (Н. Schone) 390
Шёнфлис A. (A. Schonfliess) 310, 400
Широков А. П. 386, 388, 392
Широков П. А. 320, 386, 392
Школенок Г. А. 137, 400
Шлефли Л. (L. Schlafli) 235—238,
263, 399
Шмидт В. (W. Schmidt) 396
Шмидт О. Ю. 299, 392
фон Штаудт X. (Ch. von Staudt) 167,
400
Штеккель П. (P. Stackel) 94, 395
Штифель М. (М. Stifel) 153-155,
400
Штрубеккер К. (К. Strubecker) 322,
323, 400
Штуди Э. (Е. Study) 274, 318, 319,
340, 341, 400, 401
Шуберт Г. (Н. Schubert) 241, 242,
400
Шуберт Ф. И. (F. Schubert) 143, 400
Шумахер Г. К. (Н. С. Schumacher)
197, 202
Шур Ф. (F. Schur) 244, 270, 400
Шура-Бура М. Р. 387
411
Эйлер Л. (L. Euler) 32-34,125, 138-
143, 146, 167, 171, 177, 237, 239,
240, 249, 254-257, 275, 277, 328,
331—334, 392, 395, 397
Эйнштейн A. (A. Einstein) 195, 283,
285, 287,370-372, 374-381, 384,
392
Энгель Ф. (F. Engel) 94, 311, 388,
395, 397
Энгельс Ф. (F. Engels) 3, 238, 357—
359, 364
Энке И. Ф. (J. F. Encke) 201
Энриквес Ф. (F. Enriques) 241, 395
Эратосфен (^EpaTcauEvyj^) 182, 183,
186
Эрмит Ш. (Ch. Hermite) 249
Юнг Ф. (F. Jung) 285, 336, 396
Юханна ибн Юсуф ал-Харис 56
Юшкевич А. П. 4, 62, 383—385,
387, 390
Юшкевич П. С. 384, 387
Яглом И. М. 4, 323, 392
Якоби К. Г. Я. (С. G. J. Jacobi)
230-232, 249, 314, 329, 396
ал-Я'куби, Ахмад 119
Янишевский Э. П. 203, 392
Янкевич Ч. (Cz. Jankiewicz) 323,
392
Яновская С. А. 388
Ясинская Е. У. 323, 392
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
Глава первая
СФЕРИКА 5
Глава вторая
ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ 36
Глава третья
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 106
Глава четвертая
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И
ПРЕДЫСТОРИЯ МНОГОМЕРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 148
Глава пятая
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА ДО
НАЧАЛА XIX в. 174
Глава шестая
ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО 189
Глава седьмая
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 229
Глава восьмая
КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВА 254
Глава девятая
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 292
Глава десятая
ПРИМЕНЕНИЕ АЛГЕБР 325
Глава одиннадцатая
ФИЛОСОФИЯ ПРОСТРАНСТВА
XIX—XX вв. ГЕОМЕТРИЯ И ФИЗИКА 357
ЛИТЕРАТУРА 383
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 402
Борис Абрамович Розенфельд
ИСТОРИЯ
НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания и техники
Академии наук СССР
Редактор А. Ф. Лапко
Художник Т. К. Самигулин
Художественный редактор Т. П. Поленова
Технический редактор Л. Н/Золотухина
Коректоры Е. И. Кореиевская, Г. Н. Лащ
Сдано в набор 13/VII 1976 г.
Подписано к печати 26/XI 1976 г.
Формат СОхУОЧи. Бумага типографская № 1.
Усл. печ. л. 26. Уч.-изд. л. 28,1.
Тираж 4000. Т-17783. Тип. зак. 899.
Цена 2 руб.
Издательство «Наука»
103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука».
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10