/
Author: Лаврентьев М.А.
Tags: анализ математическая физика теория множеств дифференциальные уравнения теория функций избранные труды гидроаэродинамика
ISBN: 5-02-000123-6
Year: 1990
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Ордена Трудового Красного Знамени
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева
М.А.ЛАВРЕНТБЕВ
Избранные
труды
МАТЕМАТИКА
и
МЕХАНИКА
Москва «Наука» 1990
I
УДК 517.5 + 517.9 + 532.5
Лаврентьев М.А. Избранные труды. Математика и механика.— Мл
Наука, 1990.— 600 с.— ISBN 5-02-000123-6
Выдающийся советский ученый в области математики и механики, Герой
Социалистическог о Труда академик М. А. Лаврентьев является классиком
отечественной на уки. Его основополагающие работы продолжают оказывать
плодотворное влияние на развитие многих научных направлений. В книге
представлены основные труды М. А. Лаврентьева по дескриптивной теории
множеств, теории функций, теории квазиконформных отображений, диффе-
ренциальным уравнениям, математической физике и гидроаэродинамике. Мно-
гие из них публикуются на русском языке впервые. Книга содержит также
полную библиографию научных работ М. А. Лаврентьева и очерк его науч-
ной деятельности.
Издание предназначено широкому кругу специалистов в области мате-
матики и механики. 1
Lavrentyev М.А. Selected work» in mathematics and mschanics.—M.:
Nauka, 1990.
Academician M. A. Lavrentyev is an outstanding Soviet mathematician
and mechanician, a classic of Soviet science. His fundamental works carry on
a fruitful influence on the development of/а great deal of ^cieptific areas. This
collection of h-is? papers.comprises the fppdamental works by М.чА. Lavrentyev
in the field of descriptive theory of sets, theories of functions and quasicon-
formal mappings, differential equations, mathematical physics and aerohydro-
dynamics. A lot of them are published in Russian for the first time. The book
also includes a complete bibliography of M. A. Lavrentyev’s scientific works
and an essay of his scientific activity.
The book is aimed to active research workers in different areas of mathe-
matics and mechanics.
Редакционная коллегия
академик Н. Н. БОГОЛЮБОВ (председатель),
академик Л. В. ОВСЯННИКОВ (зам. председателя),
академик В. В. ВЛАДИМИРОВ, академик Н. Н. МОИСЕЕВ,
член-корреспондент АН СССР А. В. БИЦАДЗЕ,
член-корреспондент АН СССР В. В. РУМЯНЦЕВ,
член-корреспондент АН СССР В. М. ТИТОВ,
доктор физико-математических наук |П. П. БЕЛИНСКИЙ|,
доктор физико-математических наук В. Н. МОНАХОВ,
доктор физико-математических наук П. И. ПЛОТНИКОВ,
доктор физико-математических наук |Б. В. ШАБАТ|
Рецензенты
член-корреспондент АН СССР С. К. Г О Д У Н О В,
доктор физико-математических наук Т. И. ЗЕ ЛЕ НЯ К
w 1601000000—292
Л 042(02)—90----281—90, II полугодие
ISBN5-02-000123-6
© Издательство «Наука», 1990
ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ
Научное наследие выдающегося ученого и общественного
деятеля академика Михаила Алексеевича Лаврентьева весьма
обширно и разнообразно. Его имя прославлено не только за-
мечательными научными трудами в области математики и ме-
ханики, но также и многими свершениями общественно-поли-
тического характера. В порядке реализации постановления
Президиума АН СССР об увековечении памяти академика
М. А. Лаврентьева редколлегия провела отбор его лучших
научных работ и подобрала вспомогательный материал для
создания достаточно полного представления о личности
М. А. Лаврентьева.
В настоящем издании избранных трудов М. А. Лаврентье-
ва собраны его важнейшие результаты по дескриптивной тео-
рии множеств, функций действительного переменного, теории
конформных отображений и граничных значений аналитиче-
ских функций. В него вошли основополагающие работы
М. А. Лаврентьева по теории квазиконформных отображений,
теории приближений, по дифференциальным уравнениям и
теории потенциала. В издании также включены основные ре-
зультаты М. ,А. Лаврентьева в области механики и математи-
ческой физики, в которых нашли отражение его оригинальные
подходы и идеи, относящиеся к решению широкого круга проб-
лем. Среди них задачи теории струй и волновых движений иде-
альной несжимаемой жидкости, теории крыла, вопросы ма-
тематического моделирования быстропротекающих процессов,
в том числе взрывных, и кумулятивных эффектов.
Ввиду определенных ограничений на объем этого издания в
него вошли далеко не все научные публикации М. А. Лаврентье-
ва. Представление о дублирующих статьях и почти всех ра-
ботах, опубликованных им в соавторстве с другими учеными
дает полный указатель всех научных трудов М. А. Лаврентье-
ва. Кроме того, за бортом данного издания осталось большое
количество общественно-политических и научно-популярных
статей и выступлений, ссылки на которые можно найти в бо-
лее полных указателях.
Включенные в книгу статьи М. А. Лаврентьева не подвер-
гались правке и в них не вносилось каких-либо исправлений.
4
От редколлегии
Сохранены терминология и обозначения оригинала. Изменен
лишь порядок цитирования литературных источников, кото-
рый приведен в соответствие с существующими правилами.
В подготовке этого издания к печати приняли участие, по-
мимо членов редколлегии, многие сотрудники Сибирского от-
деления АН СССР. Переводы статей] с французского языка
были выполнены П. А. Билутой. В написании очерка научной
деятельности М. А. Лаврентьева приняли участие сотрудники
Института гидродинамики СО АН СССР В. А. Владимиров,
Б. А. Луговцов, Ю. А. Тришин. Материалы краткой биогра-
фии М. А. Лаврентьева подготовила Н. А. Притвиц. Указа-
тель научных трудов составлен Л. Д. Вакуленко. В процессе
редактирования статей и их оформления оказали помощь
Э. 3. Боровская и Ж. Л. Козлова.
БИОГРАФИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Михаил Алексеевич Лаврентьев родился 6(19) ноября 1900 г. в Казани
в семье преподавателя математики (впоследствии — профессора механи-
ки). В школу пошел в Гёттингене, куда его отец был командирован на ста-
жировку в 1910—1911 гг. После возвращения в Казань и окончания шес-
тиклассного коммерческого училища поступил на физико-математический
факультет Казанского университета, но после трех курсов перевелся
в Московский, который окончил в 1922 г. Еще будучи студентом, начал
вести преподавательскую работу (сначала в Казанском университете,
затем в Московском высшем техническом училище). В годы учения, а за-
тем аспирантуры в Московском университете огромное влияние на Михаи-
ла Алексеевича оказал Н. Н. Лузин, создатель крупнейшей математиче-
ской школы.
Начало пути Лаврентьева в науке поражает стремительностью и раз-
махом. В 25 лет ему присуждена премия Главнауки за работы по мате-
матике. В 27 лет, после завершения аспирантской работы, он получает ко-
мандировку на полгода во Францию, его статьи публикуются в трудах
Французской академии наук. В 28 он участник советской делегации, вы-
ступает на Международном математическом конгрессе в Болонье с докла-
дом о квазиконформных отображениях. В 29 заведует кафедрой матема-
тики.
Поворотным периодом для М. А. Лаврентьева стала его работа (в
1929—1935 гг.) в качестве старшего инженера теоретического отдела
ЦАГИ (Центрального аэрогидродинамического института), когда его науч-
ные интересы из сферы математики распространились также на механи-
ку, физику, инженерное дело. Здесь им были получены крупные резуль-
таты в теории обтекания крыла, колеблющегося и подводного крыла, уда-
ра твердого тела о воду. В своих воспоминаниях он писал: «Из работы
в ЦАГИ я вынес для себя лично, во-первых, опыт приложения чистой ма-
тематики к важным инженерным задачам и, во-вторых, ясное понимание,
что в процессе решения таких задач рождаются новые идеи и подходы в са-
мих математических теориях». Наверное, именно в эти годы зародился
принцип Лаврентьева, который позже будет переходить и ко всем его уче-
никам: решение должно улавливать главное, обеспечивать необходимую
точность и должно быть сделано быстро — практические задачи нельзя
откладывать в долгий ящик.
Тогда же, видимо, у Михаила Алексеевича появился вкус к экспери-
ментальным исследованиям как средству познания физических законо-
мерностей. В книге (совместной с Б. В. Шабатом) «Проблемы гидродина-
мики и их математические модели» сформулировано кредо Лаврентьева
как естествоиспытателя: «Большинство интересных физических процес-
сов так сложно, что при современном состоянии науки редко удается соз-
дать их универсальную теорию. Вместо этого нужно посредством экспе-
6
Биографический очерк
риментов и наблюдений постараться понять ведущие факторы, которые
в тот или иной отрезок времени управляют процессом. Выявив эти фак-
торы, следует абстрагироваться от других, менее существенных, и для
данного участка и данного отрезка времени построить возможно более
простую математическую модель».
С 1931 г. Михаил Алексеевич — профессор МГУ. В 1934 г. ему при-
суждается ученая степень доктора технических наук, в 1935 г.— физико-
математических (обе без защиты диссертации, по полученным резуль-
татам). В 1935 г. М. А. Лаврентьев начал работать в Математическом инс-
титуте имени В. А. Стеклова, который в это время был переведен из Ле-
нинграда в Москву. В течение 25 лет он возглавлял созданный им в этом
институте Отдел теории функций, являясь, по всеобщему признанию,
главой советской школы теории функций.
В 1939 г. М. А. Лаврентьева избирают действительным членом Акаде-
мии наук Украинской ССР, где он проработал последуйлцие десять лет
будучи директором Института математики, а затем (в 1945—1948 гг.)
и вице-президентом Академии наук УССР. Здесь им была создана научная
школа исследований по теории функций комплексного переменного и ее
приложений к механике сплошных сред, активно действующая и в настоя-
щее время. В частности, в связи с фундаментальными работами Михаила
Алексеевича получили развитие методы расчета фильтрации подземных
вод в неоднородной среде, используемые при проектировании гидротех-
нических сооружений.
В годы Великой Отечественной войны, когда Академия наук Украины
была эвакуирована в Уфу, М. А. Лаврентьев напряженно работает над
решением средствами математики и механики различных проблем оборон-
ного характера, связанных с военно-инженерным делом. Тогда же он на-
чинает подходить к разгадке действия кумулятивного заряда, блестящая
гидродинамическая теория которого была опубликована им уже после
окончания войны.
После возвращения в 1944 г. в Киев он организует в Институте мате-
матики экспериментальную лабораторию, которая становится центром
исследований в области взрыва и его практических применений.
С 1946 г. Михаил Алексеевич — действительный член Академии наук
СССР.
М. А. Лаврентьев стоял у истоков создания первых советских ЭВМ.
По выражению академика М. В. Келдыша, «он взял на себя одну из са-
мых трудных и ответственных задач, возлагаемых страной на математиче-
скую науку,— создание новой вычислительной техники». Во многом бла-
годаря инициативе Михаила Алексеевича в Киеве в Институте электро-
техники АН УССР С. А. Лебедевым была создана первая советская ма-
лая электронная вычислительная машина.
В 1949 г. М. А. Лаврентьев становится директором образованного при
его участии Института точной механики и вычислительной техники АН
СССР в Москве, где в короткий срок были созданы образцы ЭВМ — родо-
начальниц современной вычислительной техники. По его инициативе раз-
вернулись в широких масштабах работы по теории программирования.
50-е годы — время интенсивной научно-организационной и педагоги-
ческой работы М. А. Лаврентьева в Москве. Он дважды (в 1950—1953.
и 1955—1957 гг.) избирается на должность академика-секретаря Отделе-
Биографический очерк
7
НИя физико-математических наук АН СССР, преподает в МГУ и МФТИ»
несколько лет работает с И. В. Курчатовым. В эти же годы он организо-
вал экспедицию АН СССР на Камчатку и Курильские острова для выяв-
ления перспектив использования геотермальных вод, добился решения
о строительстве Паужетской термальной электростанции, первой в СССР.
Одной из наиболее революционных идей М. А. Лаврентьева как орга-
низатора науки была идея создания в Сибири крупного научного центра.
Он выдвинул ее вместе с С. Л. Соболевым и С. А. Христиановичем в
1957 г., когда начавшееся интенсивное освоение Сибири, разведка ее недрг
развитие в восточных районах промышленности и сельского хозяйства
поставили перед наукой огромный диапазон задач, требовавших быстрого
решения. «Именно нужды Сибири,— писал Михаил Алексеевич,— были
главным побудительным импульсом создания нового научного центра».
Правительство одобрило идею ученых. 18 мая 1957 г. Совет Министров
СССР принял постановление об организации Сибирского отделения Ака-
демии наук СССР, М. А. Лаврентьев становится председателем СО
АН СССР, вице-президентом АН СССР, директором созданного им Инсти-
тута гидродинамики.
Основатели Сибирского отделения руководствовались тремя принци-
пами, которые иногда называли потом «треугольником Лаврентьева».
Первый принцип — комплексное решение больших проблем современной
науки, второй — тесная связь с народным хозяйством, быстрая передача
в практику новых научных идей и разработок и, наконец, третий, кото-
рый можно было бы назвать и первым,— это подготовка научных кадров.
Сибирское отделение должно было стать (и стало) первым в СССР круп-
ным комплексным центром, объединяющим и организационно, и террито-
риально институты, работающие по различным направлениям фундамен-
тальной науки. Огромная заслуга Михаила Алексеевича как руководите-
ля Сибирского отделения — последовательное проведение в жизнь прин-
ципов комплексности и системности в создании научных центров. Со свой-
ственным ему государственным подходом к делу он стремился создать на
новом месте не только исследовательские институты, но и обеспечить ус-
ловия, необходимые для полнокровного развития современной науки,
быстрейшего использования ее результатов в народном хозяйстве, подго-
товки кадров. Сам он оценивал итоги этого беспримерного эксперимента
так: «Хотя и не все шло так гладко, как проектировалось, сегодня можно
с уверенностью сказать, что внедрение новых организационных идей при-
несло такие реальные достижения, которые убеждают нас в правильности
выбранного пути». Об этом же говорит тот факт, что следом за Сибирским
отделением Академии наук СССР были созданы сибирские отделения
ВАСХНИЛ и Академии медицинских наук, опыт СО АН СССР использу-
ется Уральским и Дальневосточным отделениями Академии наук СССР.
Наиболее значительные результаты, полученные СО АН СССР, явля-
ются, как правило, итогом совместного научного поиска ученых различ-
ных специальностей. Отличительная и сильная черта сибирских научных
школ — глубокое проникновение в науку математических методов иссле-
дований — сформировалась, несомненно, под влиянием Михаила Алек-
сеевича. Дальновидность и смелость М. А. Лаврентьева проявились
в том, что он активно поддерживал такие перспективные, но в то время
опальные научные направления, как генетика и кибернетика, ратовал
8
Биографический очерк
несмотря на сомнения пессимистов, за расширение поисков сибирской
нефти. Ему в огромной степени была присуща, по выражению М. В. Ло-
моносова, «общевникательность» во все науки.
В руководимом им Институте гидродинамики он стремился достичь
органического сочетания исследований теоретического и прикладного ха-
рактера, использования полученных результатов для решения важных
практических задач, поставленных жизнью. Так, на основе теории куму-
ляции был создан способ метания частиц со сверхзвуковыми космическими
скоростями — до 16 км/с. Это было сделано по просьбе главного конст-
руктора С. П. Королева, чтобы получить возможность в земных условиях
моделировать удары метеоритов по космическим аппаратам. Институт
гидродинамики долгие годы был центром исследований по народнохозяйст-
венному использованию взрыва. Найденный здесь принцип «направленно-
го взрыва» позволил в кратчайший срок воздвигнуть в урочище Медео ка-
менно-набросную плотину, защитившую Алма-Ату от разрушительных
селевых потоков.
Михаил Алексеевич хорошо сознавал и постоянно подчеркивал лежа-
щую на ученых огромную ответственность за сохранение природных бо-
гатств. Его любовь к природе была деятельной. Он требовал от ученых
принципиальности и твердости при проведении экспертиз крупных проек-
тов и сам дал примеры такой гражданской позиции: активно выступал
против строительства Нижнеобской ГЭС, вел бескомпромиссную борьбу
против создания целлюлозно-бумажного комбината на Байкале.
Ключом к настоящим и будущим успехам Михаил Алексеевич считал
подготовку и воспитание научных кадров. За годы преподавательской
и исследовательской работы он сумел создать крупные научные школы
в области математики и механики, подготовить десятки талантливых
ученых. Его ученики работают во многих научных центрах страны.
Он был одним из создателей физико-технического факультета МГУ
и возникшего на его базе Московского физико-технического института —
вуза нового типа, предназначенного для подготовки высококвалифици-
рованных кадров для новых, быстро развивающихся отраслей науки и
техники. Принципы Физтеха получили дальнейшее развитие в Новоси-
бирском государственном университете, где все обучение ведется на базе
мощного кадрового и материально-технического потенциала Новосибир-
ского научного центра, они распространились и на другие университеты
Сибири, работающие в тесном контакте с академическими научными уч-
реждениями. В Сибирском отделении при активном участии М. А. Лав-
рентьева сформировалась многоуровневая система подготовки кадров для
науки, высшей школы и народного хозяйства.
Михаил Алексеевич активно способствовал совершенствованию сред-
него образования. Во многом благодаря его усилиям начали проводить-
ся и стали системой всесибирские олимпиады школьников, летние школы
юных программистов, была организована первая в стране специали-
зированная физико-математическая школа-интернат при НГУ.
Михаил Алексеевич придавал работе с молодежью первостепенное
значение. «Особенно важно, что Сибирское отделение привлекло много
способной молодежи — в первые годы из городов европейской части
страны, а впоследствии с помощью специального отбора и подготовки
школьников через олимпиады и ФМШ и со всех концов Сибири и Даль-
Биографический очерк
9
него Востока. Новые принципы обучения и воспитания молодежи, со-
единение образования и науки полностью себя оправдали»,— говорил
он в 1977 г. во вступительном слове на Общем собрании СО АН СССР,
посвященном 20-летию Отделения.
Неотъемлемой частью жизни Михаила Алексеевича Лаврентьева была
государственная и общественная деятельность.
На XXII, XXIII, XXIV съездах партии он был избран кандидатом
в члены ЦК КПСС, более двадцати лет был депутатом Верховного Совета
СССР, около четверти века — бессменным членом Президиума Академии
наук СССР, в последние годы жизни возглавлял Советский националь-
ный комитет по теоретической и прикладной механике, с 1975 г. был
почетным председателем Сибирского отделения АН СССР.
Много сделано М. А. Лаврентьевым для расширения и укрепления
международного сотрудничества ученых. Он был организатором ряда
международных симпозиумов, не раз возглавлял делегации ученых
СССР за рубежом. На протяжении восьми лет был в руководстве Между-
народного математического союза, а в 1966—1970 гг. был его вице-пре-
зидентом. Свидетельство его авторитета в мировом научном сообществе —
избрание его членом восьми зарубежных академий.
Его научные достижения отмечены Государственными премиями СССР
(в 1946 и 1949 гг.), Ленинской премией (1958 г.), золотой медалью АН СССР
имени М. В. Ломоносова (1978 г.). В 1967 г. за выдающиеся заслуги
в развитии науки и организацию Сибирского отделения АН СССР ему
было присвоено звание Героя Социалистического Труда.
15 октября 1980 г. Михаила Алексеевича Лаврентьева не стало. Он
не дожил месяц с небольшим до своего 80-летия. Природа была щедра,
наделив его огромной энергией, незаурядной волей, продуктивным ис-
следовательским умом, революционным характером. Природа была щедра
вдвойне, отпустив ему немалый срок для активной реализации заложен-
ных в нем сил и дарований. И время, в которое он жил,— время перело-
мов, тяжелых испытаний, неодолимого движения к новому — предоста-
вило ему небывалые возможности для их максимального проявления.
Люди такого масштаба, каким был Михаил Алексеевич, отдавшие
себя служению Отечеству, остаются среди нас и после своей смерти. Имя
М. А. Лаврентьева носят улицы Москвы и Казани, проспект в Новоси-
бирском академгородке, Институт гидродинамики СО АН СССР, физико-
математическая школа при Новосибирском государственном универси-
тете, научно-исследовательское судно. Учреждена золотая медаль Ака-
демии наук СССР имени М. А. Лаврентьева, которая присуждается за
лучшие работы в области математики и механики. Проводятся всесоюзные
конференции с участием иностранных ученых «Лаврентьевские чтения»
(Новосибирск, 1982 г.; Киев, 1985 г.). Самая же лучшая память о Михаиле
Алексеевиче Лаврентьеве — продолжающее жить и развиваться его дело:
научные школы в разных концах страны, крепнущие академические цент-
ры на территории Сибири, идущая в науку молодежь.
НАУЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву принадлежат фундаментальные
результаты в теории функций, в теории конформных и квазиконформных
отображений, в теории дифференциальных уравнений, в гидроаэродина-
мике, механике взрыва и других областях математики и меха-
ники.
Свою научную деятельность М. А. Лаврентьев начал в двадцатых
годах под руководством Н. Н. Лузина и вскоре выдвинулся в число
наиболее блестящих молодых членов «Лузитании» — математической
школы, бурно расцветшей в те годы в Москве. Его первые научные инте-
ресы относились к области дескриптивной теории множеств и тополо-
гии.
Одной из центральных проблем, разрабатывавшихся тогда в этой
области, была проблема общей классификации множеств. Если прос-
тейшими считать открытые и замкнутые множества, то следующими за
ними будут множества типа G& и Fa, которые являются соответственно
пересечением счетной системы открытых и объединением такой же системы
замкнутых множеств. Отправляясь от замкнутых (или, что приводит
к тому же, от открытых) множеств и применяя операции счетного сложе-
ния и пересечения, получаем последовательно борелевские или 5-мно-
жества различных (конечных и транфинитных) классов, которые явля-
ются частным случаем более общих A-множеств (суслинских множеств);
эти последние и их дополнения являются, в свою очередь, лишь началь-
ным классом так называемых проективных множеств (введенных Н. Н. Лу-
зиным). Математические понятия, идеи и проблемые, связанные со всеми
этими классами множеств, составляют содержание дескриптивной теории
множеств, являющейся по глубине и трудности возникающих и решаемых
в ней задач, а также по глубине и значительности ее связей с самыми раз-
личными математическими дисциплинами, прежде всего с математической
логикой, теорией алгорифмов, топологией, несомненно, важнейшей
частью общей теории множеств.
В наши дни идеи дескриптивной теории множеств стали проникать
в самые различные области знания, в которых применяется математика
(включая не только естественные, но и гуманитарные науки). Уже в са-
мом начале развития дескриптивной теории множеств возникли — по-
граничные с топологией — проблемы так называемой топологической
инвариантности изучаемых в ней классов множеств. Будет ли множество,
гомеоморфное множеству данного класса, само принадлежать этому
классу? Только с большим трудом и только в частных случаях удавалось
решать проблемы этого рода (различным авторам, в том числе С. Ма-
зуркевичу, В. Серпинскому, Ф. Хаусдорфу и др.); однако, как мы сей-
час увидим, положение сразу изменилось после фундаментального ре-
зультата М. А. Лаврентьева.
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
11
Первые математические работы М. А. Лаврентьева [1,2]* принад-
лежали именно дескриптивной теории множеств. К ним относятся очень
тонкие результаты, касающиеся подразделения классов борелевской
классификации множеств на более дробные, так называемые малые
классы, и доказательства непустоты этих классов, результаты о транс-
финитных рядах полиномов и, наконец, фундаментальный результат —
классическая теорема Лаврентьева о продолжении гомеоморфизмов.
Теорема эта заключается в том, что любой гомеоморфизм между двумя
множествами X и Y (лежащими на числовой прямой, в n-мерном евкли-
довом или в любом полном метрическом пространстве) может быть про-
должен до гомеоморфизма между множествами Хг э X и Yr э Y типа
G6 [2]. Нетрудно понять, что из этой теоремы сразу же следуют теоремы
о топологической инвариантности для любых сколь угодно сложных де-
скриптивных классов множеств, т. е. полное решение одной из основных
проблем дескриптивно-топологической теории точечных множеств. После
того как было введено понятие «абсолютного Сб-множества» (т. е. метри-
зуемого пространства, являющегося (^-множеством во всяком объемлю-
щем метризуемом пространстве) и было доказано, что абсолютные G&-
множества суть не что иное, как метризуемые пространства, допускающие
полную метрику, теорема Лаврентьева приобретает следующий вид, зна-
чительность и окончательность которого очевидна всякому математику.
Всякий гомеоморфизм между двумя метризуемыми пространствами
X и Y может быть, после введения в них надлежащей метрики, продол-
жен jo гомеоморфизма между полными метрическими пространствами
X и. Y (пополнениями пространств X и Y в этой «надлежащей» метрике).
Вскоре интересы М. А. Лаврентьева стали распространяться на раз-
личные области анализа. При этом его высокая теоретико-множественная
культура и блестящая многообразная топологическая интуиция сказы-
ваются и в его аналитических работах. В 1925 г. он публикует свой зна-
менитый пример дифференциального уравнения dy/dx = f (л:, у) с непре-
рывной в некоторой области D правой частью, для которого всюду на-
рушается теорема единственности: через каждую точку D проходят по
крайней мере две интегральные кривые этого уравнения [5].
В 1927 г. М. А. Лаврентьев начал заниматься теорией приближений
функций комплексного переменного. Предстояло выяснить, как велик
запас функций, которые можно сколь угодно точно приблизить простей-
шими функциями — многочленами от комплексного переменного. Пер-
вым результатом было исчерпывающее решение проблемы, поставленной
П. Монтелем: пусть {/п} — последовательность голоморфных в замкну-
том единичном круге функций, сходящаяся во всех его точках; какова
структура множества Е точек неравномерной сходимости этой последо-
вательности?
М. А. Лаврентьев нашел топологическое условие, характеризующее
такие множества. Его результат гласит: континуум (т. е. замкнутое связ-
ное множество) Е тогда и только тогда может служить множеством нерав-
номерной сходимости некоторой последовательности {/п} указанного
вида, когда оно является М-ножеством. Последний термин, введенный
М. А. Лаврентьевым, означает, что для любого замкнутого подмножества
* Нумерация работ приводится по указателю научных трудов М. А. Лаврентьева, по-
мещенному в конце очерка.
12
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
E1cz Е найдется порция Е2 CZ Еи которая является границей некоторой
области/), содержащей бесконечную точку, причем любая точка Е при-
надлежит либо D, либо множеству #2 [7].
М. А. Лаврентьев получил один из наиболее фундаментальных резуль-
татов в этой области [50]. Он полностью охарактеризовал континуумы,
на которых возможно равномерное приближение многочленами произ-
вольных непрерывных функций. Теорема Лаврентьева о приближении
звучит так: для того чтобы на континууме К любую непрерывную функ-
цию можно было с любой заданной точностью приблизить многочленами,
необходимо и достаточно выполнение следующих условий: 1) К ограничен;
2) дополнение к К связно и 3) К не содержит внутренних точек. Эта тео-
рема впоследствии была обобщена С. Н. Мергеляном, который показал,
что условия 1) и 2) необходимы и достаточны для возможности прибли-
жения многочленами любой функции, непрерывной на К и аналитической
в его внутренних точках (если такие есть).
В совместной работе М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (1939 г.)
изучена и возможность приближения непрерывных функций на неогра-
ниченных континуумах [73]. Задача здесь ставится так: найти необходимые
и достаточные условия на континуум К, при которых для любой непре-
рывной на К функции / и любой положительной функции е (г), г 0,
сколь угодно быстро стремящейся к нулю при г —> оо, существовала бы
целая функция g такая, чтобы на К всюду выполнялось неравенство
| / (z) — g (z) | < e (| z I). Этими условиями оказались следующие: 1) К
не содержит внутренних точек; 2) существует функция ц (г), монотонно
стремящаяся к бесконечности при г —> ос и такая, что любую точку zQ
дополнения к К можно соединить с бесконечностью непрерывным путем,
лежащим вне круга | z — z0 | < ц (| z0 |) и не пересекающимся с К,
В их другой совместной работе 1937 г. построен пример области,
ограниченной спрямляемой кривой, для которой система многочленов
неполна в смысле сходимости в среднем на границе области [58]. Пример
основан на тонкой конструкции области сколь угодно малого диаметра
со спрямляемой границей и такой, что при конформном отображении на
круг любой дуге ее границы соответствует дуга окружности той же
длины.
В этом примере, следовательно, для функции /, конформно отображаю-
щей единичный круг {| z | < 1} на построенную область, модуль произ-
водной | /' (ew) | = 1 почти всюду, и гармоническая в круге функция
In | f' (z) | не может представляться интегралом Пуассона по своим гра-
ничным значениям. Пример оказался полезным и в ряде других вопросов
комплексного анализа, в частности в теории классов голоморфных функций.
В совместном с М. В. Келдышем исследовании [60] сходимости после-
довательностей гармонических многочленов в пространстве была изучена
структура точек неравномерной сходимости и свойств предельных функ-
ций. Доказана также теорема о том, что произвольная функция, непре-
рывная на континууме пространственной меры нуль и не разбивающем
пространства, равномерно приближается гармоническими многочленами.
М. А. Лаврентьевым были разработаны новые методы решения вопросов,
относящихся к сходящимся последовательностям гармонических функций,
которые позволили построить теорию устойчивости решения задачи Ди-
рихле [57].
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
13
К 1927—1938 гг. относится большой цикл исследований М. А. Лав-
рентьева по теории конформных отображений. Он начал с изучения тонких
вопросов теории соответствия границ в духе исследований Н. Н. Лузина
и И. И. Привалова, которые доказали в 1924 г., что при конформном отоб-
ражении на круг области со спрямляемой границей множество линейной
меры нуль на границе области переходит во множество меры нуль на гра-
ничной окружности. М. А. Лаврентьеву принадлежит следующее коли-
чественное уточнение теоремы Лузина—Привалова: если область D со
спрямляемой границей длины I содержит единичный круг, то при конформ-
ном отображении / = w (z) этой области на круг {| w | < 1}, / (0) == 0 для
любого множества Е CZ dD и его образа / (£') СЕ {| w | = 1} справедлива
оценка
К1
mes / (Е) < । ln mes £ । + j ,
где К — некоторая постоянная [58].
Ранее были построены и примеры областей с неспрямляемыми грани-
цами, на которых есть множества нулевой меры, соответствующие мно-
жествам полной меры на окружности. Возник вопрос, какие множества
нулевой меры точек на неспрямляемых границах могут переходить в мно-
жества положительной меры на окружностях, а какие не могут.
М. А. Лаврентьев связал этот вопрос с геометрическими свойствами.
Точка границы области называется недостижимой конечным путем (не-
достижимой отрезком), если ее нельзя соединить ни с какой точкой области
жордановым спрямляемым путем (отрезком), принадлежащим, кроме на-
чала, этой области: очевидно, что точки, недостижимые конечными пу-
тями, заведомо недостижимы и отрезками. Ответ М. А. Лаврентьева
звучит так: 1) любому множеству граничных точек, недостижимых ко-
нечными путями, при конформном отображении области на круг соответ-
ствует множество точек окружности нулевой меры; 2) существует область
с жордановой (неспрямляемой) границей, множеству граничных точек
которой, недостижимых отрезками, соответствует на окружности множе-
ство полной меры [11].
Постепенно интересы Михаила Алексеевича смещаются в сторону бо-
лее конкретных результатов. В 1935—1936 гг. он ввел класс областей с
конечным вращением, для которых ему удалось получить количественное
уточнение теоремы Лузина—Привалова о соответствии границ.
Пусть у — гладкая жорданова замкнутая кривая в плоскости 2, со-
держащая точку z = 0 внутри. Возьмем точку 20 Е у с наименьшим | zQ |
(а если таких несколько, то ту из них, для которой и arg z0 минимален) и
обозначим через а0 значение угла касательной к у в точке z0 с действитель-
ной осью, для которого 0 а0 л. Пусть a (z) — непрерывная ветвь
этого угла, которая определяется при обходе у в положительном направ-
лении значением a (z0) = а0, а т (у) = min a (z), М (у) = max а (z)
для всех z Е у. Область D ЕЭ 0 называется областью с конечным враще-
нием, если существуют постоянные т0 > —оо, Мо < оо такие, что для
любого компактного подмножества К из D найдется у с описанными выше
свойствами, которая отделяет К от границы dD и для которой т (у) >
или М (у) Мо. Этот класс содержит все выпуклые и звездные обла-
сти.
Научная деятельность М. А . Лаврентъева
Для областей с конечным вращением оценка мер соответствующих
граничных множеств, полученная М. А. Лаврентьевым, имеет степенной
характер: если область D с конечным вращением содержит единичный
круг, то при конформном отображении / = w (z) этой области на круг
{| ш | < 1}» / (0) = 0, меры множества Е С' dD и его образа связаны со-
отношением
mes / (Е) < 2л (mes Е)6,
где 6 > 0 и зависит лишь от постоянных ттг0 и Л/о, характеризующих об-
ласть [48].
В ряде работ этого цикла М. А. Лаврентьев занялся вопросами су-
ществования производных на границе у функций, осуществляющих
конформные отображения областей со спрямляемыми границами на ка-
нонические области. Так, он нашел локальные условия существования
п-й граничной производной на целой граничной дуге, а также условия
существования граничной производной, отличной от нуля («конформности»
отображения на границе). Последнее важное свойство он положил в ос-
нову определения правильной дуги. Пусть С — замкнутая на сфере Ри-
мана жорданова кривая, проходящая через бесконечность, a D (С) —
одна из двух областей, ограниченных С; дугу у CZ С Лаврентьев назвал
правильной, если при конформном отображении D (С) на полуплоскость
(или круг) производная отображения на у существует и отлична от нуля.
В совместной с П. А. Бессоновым работе [14] М. А. Лаврентьев получил
ряд достаточных условий правильности дуги, простейшим из них является
ограниченность кривизны у.
В 1929 г. М. А. Лаврентьев поступил на работу в ЦАГИ, где под ру-
ководством С. А. Чаплыгина сложилась сильная группа математиков и
механиков. В ее первых рядах были В. В. Голубев, М. В. Келдыш,
Н. Е. Кочин, М. А. Лаврентьев, А. И. Некрасов, Л. И. Седов. Главным
направлением исследований этой группы было создание более полной
теории крыла самолета, основы которой заложили Н. Е. Жуковский и
С. А. Чаплыгин. В работе [19] Лаврентьевым был найден общий метод
решения задачи обтекания тонких крыловых профилей (дужек) произ-
вольной формы. Задача сведена к сингулярному интегральному уравне-
нию первого рода, для которого был разработан алгоритм построения
решения и доказана его сходимость. Опираясь на вариационные свойства
конформных отображений, Михаил Алексеевич показал, что наибольшей
подъемной силой обладает крыло в форме дуги окружности.
Две значительные работы по теории крыла выполнены М. А. Лаврен-
тьевым совместно с М.В. Келдышем. Первая из них посвящена развитию
теории колеблющегося крыла [33]. В ней рассмотрено обтекание идеальной
несжимаемой жидкостью тонкого слабоизогнутого профиля, колеблю-
щегося по заданному закону. Применение теории функций комплексного
переменного к описанию зависящего от времени движения жидкости поз-
волило определить нестационарные составляющие сил и моментов, вы-
ражения для которых явились обобщением классических результатов
Жуковского и Чаплыгина. В частности, были найдены режимы колебаний
крыла, при которых возникает дополнительная тяга. Полученные здесь
результаты в дальнейшем нашли применение в теории флаттера.
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
15
3 В другой их совместной работе [54] исследовано движение крылового
профиля под поверхностью тяжелой жидкости. Основой рассмотрения
послужили приближения тонкого крыла и волн малой амплитуды. Полу-
ченная линейная задача сведена к интегральному уравнению первого рода.
Приближенное решение удалось получить на основании того, что возни-
кающий в уравнении сингулярный интегральный оператор переводит
полиномы снова в полиномы. В результате были даны простые аналитиче-
ские формулы для действующих на крыло сил, и в частности для его вол-
нового сопротивления.
К тому же периоду относится вклад М. А. Лаврентьева в теорию удара
тела о воду. Интерес к этой теории возник у Михаила Алексеевича при
моделировании посадки гидросамолета. В совместной с М. В. Келдышем
статье (1935 г.) излагается общее решение плоской задачи об ударе при
криволинейных границах тела [42].
Задачи аэродинамики стимулировали М. А. Лаврентьева к дальней-
шему развитию теории вариационных принципов конформных отображе-
ний. Он получает свои уточнения принципов Линделёфа и Монтеля. Один
из его результатов для случая полуплоскости приводится ниже.
Пусть С — кусочно-правильная кривая описанного выше типа (т. е.
любой отрезок С, лежащий в конечном круге, состоит из конечного числа
правильных дуг). Через / (z, С) обозначим конформное отображение об-
ласти D (С), ограниченной этой кривой, на верхнюю полуплоскость с нор-
мировкой/ (оо, С) = оо, | /' (оо, С) | = 1 (предполагается, что о© является
правильной точкой С, т. е. что образ С при отображении z -> z"1 обладает
в нуле касательной и конечной кривизной). Пусть С — такая же кривая,
касающаяся С в бесконечности, причем D (С) CZ D (С) и / (z, С) — ото-
бражение D (С) на полуплоскость с той же нормировкой; через Cv и Cv
обозначаются прообразы прямой v = const при этих отображениях. Ва-
риационный принцип М. А. Лаврентьева состоит в следующих трех ут-
верждениях:
1) D (Сг) CZ D (Cv) при любом v > 0, причем соприкосновение Cv и
Cv возможно лишь при совпадении С = С;
2) если С и С имеют общую правильную точку zx, то
I Г С) | < | /' (zb С) |,
причем равенство возможно лишь при С = С;
3) если С и С задаются уравнениями у = у (х) и у = у (х), a z2 С
и z2 С — точки с одной абсциссой х2, в которой достигается максимум
У (х) — у (я), то
I /' С) I > I /' (z2, С) I,
причем равенство возможно, если С получается из С сдвигом, параллель-
ным оси у.
Принцип допускает простую гидродинамическую интерпретацию:
пусть профиль дна весьма глубокого канала с вертикальными стенками,
по которому движется идеальная несжимаемая жидкость, имеет форму
кривой С. Тогда, если в каком-либо месте канала приподнять дно, все ли-
нии тока поднимутся, скорости в точках дна, оставшихся недеформиро-
ванными, уменьшатся, а в точках наибольшей деформации возрастут.
16
Научная деятельность М.А. Лаврентьева
Аналогичные принципы справедливы для конформных отображений на
полосу и на круг.
М. А. Лаврентьеву принадлежат также различного рода оценки гра-
ничных производных в зависимости от геометрических свойств границ.
Например, пусть С, как и выше, кусочно-правильная кривая и пусть су-
ществует круг К радиуса г, граница которого имеет дугу у СЕ С; если
К СЕ D (С), то в любой точке z е= уJ
d* In I f (z, С) I 1
ds* 2r* '
а если К лежит вне D (С), то
d2 In I /' (z, С) I . A
ds2 z2 ’
где A — постоянная, зависящая только от некоторых геометрических
свойств С; s — параметр на С, длина ее дуги с началом в фиксированной
точке.
Свои результаты Михаил Алексеевич успешно использовал в ряде ра-
бот 1938 г. для доказательства теорем существования и единственности
обтекания криволинейных препятствий потоком несжимаемой жидкости
с отрывом струй. Здесь стала проявляться еще одна из характерных черт
математического творчества Лаврентьева — его поразительное умение
находить связи абстрактных теоретических построений с конкретными
прикладными вопросами.
Наряду с граничными свойствами конформных отображений Лаврен-
тьев изучает и их поведение в замкнутых областях. Вот один из его ре-
зультатов в этом направлении. В работе [49] он вводит понятие относи-
тельного расстояния рв (zr, z2) между точками zx и z2 области D (необя-
зательно с жордановой границей) как нижней грани: 1) длины дуг у Е D,
соединяющих zx и z2, и 2) длины дуг, разбивающих D и отделяющих zx
и z2 от точки О ЕЕ D. Граничной точкой области D он называет любую по-
следовательность точек znE D без предельных точек в D и такую, что
Pd (zm, zn) —> О при m, п -> оо; расстояние между граничными точками
{zn} и {zn} определяется как lim рр (zn, z'n); если оно равно нулю, точки
{z'n} и {zn} отождествляются. Это понятие оказывается метризацией по-
нятия простого конца в смысле Каратеодори. Михаил Алексеевич доказы-
вает, что если D CZ { | z | < М} и / -— конформное отображение D на
круг | w | < 1 с нормировкой | /' (0) | = 1, то для любых точек 2Х, z2
замкнутой области (компактифицированной как указано выше) и их об-
разом справедлива двухсторонняя оценка:
ехр j. | f (zx) f (z2) | Кг У ро (^i> z2) ,
где К зависит только от М, а К± — абсолютная постоянная. Из этой оцен-
ки вытекает теорема Каратеодори о соответствии границ при конформных
отображениях и другие важные теоремы.
Ряд первоклассных результатов М. А. Лаврентьев получил и во вну-
тренних задачах теории конформных отображений. Еще в 1930 г. в совмест-
ной с В. М. Шепелевым работе [16] он доказал такую теорему о звезд-
ности: если / — конформное отображение области D на круг \w | < 1,
Научная деятельность М. А. Лаврентъева
17
У = о, то любой круг К cz D, содержащий точку z0, функция / пре-
образует в звездную относительно w = 0 область. Развивая свой вариа-
ционно-геометрический метод, Михаил Алексеевич решил много экстре-
мальных задач и обнаружил ряд подчас удивительных свойств конформ-
ных отображений. Вот одна из его теорем в этом направлении: если /х и /2
конформно отображают круг U = { | z | = 1} на непересекающиеся об-
ласти Di и D2, т°
I h (0) I I h (0) К IЛ (0) - /2 (0) ।2,
причем знак равенства достигается лишь в том случае, когда Dx и D2 —
полуплоскости, ограниченные прямой | w — /х (0) | = | w — /2 (0) |.
Из- этой теоремы легко получается известная теорема Кёбе в такой ва-
риационной постановке: если / однолистна в круге £7, не принимает там
значения wQ и / (0) — 0, то | w0 | > | /' (0) | /4, причем равенство дости-
гается лишь для функции, отображающей круг на плоскость без луча
arg (w — w0) = аг£ wo-
Обобщая вариационную постановку теоремы Кёбе, Михаил Алексее-
вич сформулировал и решил задачу о максимальном значении растяжения
| f (0) | в классе однолистных в круге U функций, для которых / (0) = 0
и которые не принимают заданных значений . . ., wn. Единственной
экстремальной областью Do оказалась плоскость с п исключенными ана-
литическими дугами с концами в точках w*. В частности, если w* лежат
в вершинах правильного n-угольника с центром w — 0, то эти дуги — лу-
чи arg (w — wk) — arg wk, а растяжение | /' (0) | > > 4 | w± | (резуль-
тат П. Пойа).
Отметим еще предложенную М. А. Лаврентьевым интересную конечно-
разностную конструкцию конформного отображения равностороннего
треугольника на произвольную односвязную область: сначала строится
произвольный гомеоморфизм сетки равносторонних треугольников на сет-
ку треугольников, покрывающую область и обладающую некоторыми
простыми экстремальными свойствами, а затем рассматривается предел
последовательности таких гомеоморфизмов, когда стороны треугольников
неограниченно уменьшаются. При конструировании конформных отобра-
жений оказался полезным предложенный Михаилом Алексеевичем сле-
дующий принцип склеивания. Пусть ср — диффеоморфизм отрезка I —
= 10, 1] на себя с положительной производной, a Qr = I X [—Л, 0] и
Q2 = I X [0, h\ — прямоугольники. Тогда существуют конформные ото-
бражения /х и /2 этих прямоугольников на непересекающиеся области Di
и причем /х (х) = f2 (ср (х)) для всех точек х ЕЕ I.
Своими достижениями в теории конформных отображений М. А. Лав-
рентьев обязан тому, что он отлично чувствовал их структуру, поведение,
Динамику изменения при изменении границ областей или других пара-
метров.
Дальнейшие приложения вариационных методов привели Михаила
Алексеевича к задачам теории поверхностных волн. Им было получено пер-
вое доказательство существования точного решения уравнений гидроди-
намики, описывающего распространение уединенной поверхностной
волны.
18
Научная деятельность М. А, Лаврентьева
Одиночные установившиеся волны на воде наблюдались еще
Дж. С. Расселом в 1844 г. Приближенное описание этого интересного яв-
ления было получено Дж. Буссинеском и независимо Дж. Рэлеем. В ра-
ботах 1943 и 1947 гг. М. А. Лаврентьеву с помощью вариационных мето-
дов конформных отображений удалось доказать существование решений
точных уравнений гидродинамики, для целого семейства установившихся
периодических волн со сколь угодно большим периодом Т. В частности,
в предельном случае Т -> оо полученное семейство дает искомую симмет-
ричную волну с единственной точкой максимума [85, 94]. В рамках раз-
витого Михаилом Алексеевичем подхода приближение Дж. Буссинеска
и Дж. Рэлея оказалось эквивалентным аппроксимации граничного зна-
чения скорости | v | формулой Лаврентьева
Где у = / (х) — уравнение свободной поверхности. Вместе с интегралом
Бернулли | и |2 + = const это дает дифференциальное уравнение, ко-
торое после удержания в нем лишь квадратичных членов приводит к прос-
тейшей математической модели уединенной волны. Тем самым было дано
обоснование теорий Дж. Буссинеска и Дж. Рэлея. Работа М. А. Лав-
рентьева дала толчок дальнейшему развитию нелинейной теории волн,
особенно в части разработки эффективных математических методов.
Широкий диапазон научных интересов Михаила Алексеевича и его
поразительное умение сочетать теоретические и прикладные исследования
нашли свое отражение в создании им теории квазиконформных отобра-
жений, которой он занимался с 1928 г. Начало этой теории положили два
источника. Один из них — желание разобраться в природе основных фак-
тов комплексного анализа, выяснить, какие идеи ими управляют, отбро-
сить все несущественные предположения и тем самым распространить
классическую теорию на более широкий класс объектов. Вторым источ-
ником послужили потребности практики: аэродинамику, главного в те
годы заказчика и потребителя теории конформных отображений, переста-
ли удовлетворять ее результаты. Скорости полетов возросли, нужно было
учитывать сжимаемость и возможность превышения скорости звука,
а следовательно, заменятьклассическуюсистему Коши—Римана некоторой
нелинейной системой уравнений с частными производными и строить тео-
рию ее решений.
В своих первых работах [45] М. А. Лаврентьев понимал под квази-
конформным отображением любой гомеоморфизм / плоской области D
в плоскость, который в каждой точке z е D преобразует бесконечно ма-
лые эллипсы из заданного семейства эллипсов (с центром z, отношением
полуосей р (z) > 1 и углом наклона 0 (z) большой оси к оси х) в окруж-
ности с точностью до малых высшего порядка. Величины р (z) и 0 (z)
называются характеристиками отображения. Если ввести комплексную
характеристику
Н (z) = ~ * e2i6(z)
Р (z) 4-1
„ yy д 1 / д . . д \ д 1/д.
С символами дифференцирования - = -^—+1-5-),-^ = -^-^-
Научная деятельность М.А. Лаврентьева
19
__jJL') то условие квазиконформности отображения / в точках, где
ду! _
/ дифференцируема, запишется в виде системы Ьельтрами:
dz r ' dz
В частности, когда все заданные эллипсы — окружности, т. е. р (z) = 1,
получаем p(z)==0, и эта система переходит в систему Коши—Римана.
В дальнейших работах М. А. Лаврентьева и его учеников выяснилась
необходимость некоторого уточнения введенного понятия: если требовать
выполнения условия квазиконформности в каждой точке, то класс таких
отображений будет незамкнут относительно равномерной сходимости на
компактах. Было введено понятие обобщенного решения, которое удов-
летворяет уравнению Бельтрами лишь почти всюду, но зато гомеоморфно
и абсолютно непрерывно на почти всех отрезках прямых в D. При изуче-
нии свойств таких обобщенных решений и доказательстве их тождествен-
ности с квазиконформными отображениями использовалась работа
Д. Е. Меньшова (1937 г.) об условиях конформности гомеоморфизмов,
которая давала ответ на один вопрос Лаврентьева. Позже оказалось, что
введенное в начале 40-х годов понятие совпадает с понятием обобщенного
решения в смысле Соболева—Фридрихса, ныне широко применяемого
в теории уравнений с частными производными.
Дополнительными конформными отображениями задача изучения
квазиконформных отображений одной односвязной области на другую
сводится к изучению квазиконформных отображений круга U = { | z | <
< 1} на себя. В работах 1928 и 1935 гг. Михаил Алексеевич установил
ряд основных свойств таких отображений. Он доказал равностепенную
непрерывность их семейства при условии ограниченности характеристи-
ки: р (z) Q и нормировке / (0) = 0, / (1) = 1, их устойчивость относи-
тельно изменения характеристик. Последний результат доказывается
в двух формах: а) если р (z) 1 + е в U и / (0) = 0, f (1) = 1, то сущест-
вует функция % (е), стремящаяся к нулю при е->0 и такая, что
| / (Z) - Z | < % (Е)
для всех z £= U (впоследствии П. П. Белинский показал, что можно
взять % (е) = 18е); б) если р (z) 1 + е и f (0) = 0, то существует функ-
ция ц (е? ц))? стремящаяся к нулю при е, ц -> 0 и такая, что для любой
точки z0 е= U и точек zY и z2 кольца (1 — ц) р < | z — z0 | < р, где 0 <
< Р < 1 — | z0 |, выполняются неравенства
п><||<<
При помощи этих результатов Лаврентьев распространил на квази-
конформные отображения теорему Римана об отображении: для любого
непрерывного в круге U распределения характеристик с ограниченной
Р (2) Q существует квазиконформное отображение (0) =
= 0, / (1) = 1 с этими характеристиками. Искомое отображение он полу-
пил как предел последовательности кусочно-аффинных отображений,
склеенных по принципу, о котором говорилось выше [43].
20
Научная деятельность М. Л. Лаврентьева
В тех же работах М. А. Лаврентьев рассмотрел почти аналитические
функции как внутренние в смысле Стоилова отображения, обладающие
свойством квазиконформности во всех точках локальной гомеоморфности.
На такие функции он, в частности, распространил классическую теорему
Пикара: если в круге с выколотым центром 0 < | z | < 1 задано непре-
рывное распределение характеристик, такое, что
1
Р dr
\ ----= оо>
J rq(.r)
О
где q (г) = max р (z), а / — почти аналитическая функция с этими ха-
\z\=r
рактеристиками, не имеющая при z -> 0 ни конечного, ни бесконечного
предела, то для любого комплексного Л, кроме, быть может, одного,
в любой окрестности z = 0 имеются корни уравнения / (z) = А.
Заметим, что в 1928 г. Г. Грёч независимо от М. А. Лаврентьева при-
шел к понятию квазиконформного отображения и установил ряд свойств
таких отображений, включая частный случай только что цитированной
теоремы Пикара (при р (z) Q). Однако подход Грёча, не связанный
с распределением характеристик и, следовательно, с дифференциальными
уравнениями, оказался не столь плодотворным, как подход Лаврентьева.
М. А. Лаврентьева привлекали новые, более трудные и более важные
для приложений аспекты созданной им теории. В 1946 г. он положил
начало теории нелинейных классов квазиконформных отображений, т. е.
геометрической теории решений систем двух уравнений с частными про-
изводными [89]
( ди ди ди ди \ п 7 . п
-д— , , -z— = О, /с = 1, 2.
к \ дх ’ ду ’ дх ’ ду )
Исходя из гидродинамических соображений, он записал такие системы
в виде двух уравнений в характеристиках— величинах Fp, (скорость),
Жр (расход) и 0р, выражающихся элементарно через частные производ-
ные и определяющих параллелограмм, который дифференциал решения
системы преобразует в квадрат со стороной 1, наклоненной под углом р
к оси и. Система уравнений в характеристиках выглядит так:
wd = w$ (?₽, ар, я, У, и, v),
Ор = 0р (Гр, а3, х, у, и, v).
М. А. Лаврентьев назвал систему сильно эллиптической, если функции
^р, 9р — гладкие и существует постоянная 6 ~> 0 такая, что для всех
₽, 0 < 0 < 2л,
Ж
-aiA>6
dVfi
6<9р < л — 6,
Первое из этих условий показывает, что характеристический параллело-
грамм не вырождается, а второе выражает определяющее свойство до-
звуковых газовых потоков: расход растет вместе со скоростью.
Обобщая известные уравнения годографа, полученные С. А. Чаплы-
гиным для уравнений газовой динамики, М. А. Лаврентьев ввел понятие
производной системы — линейной (для данного решения) системы, кото-
рая связывает характеристики Р = In V и а рассматриваемого решения.
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
21
Он показывает, что сильная эллиптичность системы эквивалентна обыч-
ной эллиптичности производной системы. Производная система для ряда
нелинейных систем принадлежит к хорошо изученным типам линейных
систем, и это дает новый метод линеаризации нелинейных задач. Возмож-
ности этого метода, безусловно, далеко не исчерпаны.
Сильно эллиптические в смысле Лаврентьева системы оказались наи-
более далеко идущим обобщением системы Коши—Римана, которое поз-
воляет сохранить основные геометрические свойства аналитических функ-
ций. М. А. Лаврентьев доказал, что для гомеоморфных решений сильно
эллиптических систем остаются справедливыми основные вариационные
принципы, и распространил на них ряд других фактов теории конформ-
ных отображений.
Используя развитые им методы, М. А. Лаврентьев в 1947—1948 гг.
доказал основную теорему существования квазиконформных отображений
нелинейных классов. Сначала он получил ее для сильно эллиптических
систем, уравнения в характеристиках которых имеют вид W = W (У, а),
0 — 0 (У, а), в следующей форме: пусть дана область D (Го, Г) типа
полосы с границами Го: у = у0 (х) и Г: у = у (х), причем у'^ у', yQ, у"
ограничены, а ширина полосы у (х) — у0 (х) ограничена и отделена от
нуля; тогда существует решение f — и + iv системы, гомеоморфно ото-
бражающее D (Го, Г) на полосу 0 < v < Н. При нормировке / (±°°) =
= _+оо такое отображение определяется с точностью до сдвига. Вскоре
М. А. Лаврентьев распространил теорему на случай произвольных сильно
эллиптических систем с достаточно гладкими функциями W и 0 и произ-
вольных односвязных областей с кусочно-гладкими границами.
В качестве частного случая из этих теорем следует теорема сущест-
вования дозвукового потока в канале и потока, обтекающего заданный
контур с заданной скоростью на бесконечности, не превышающей крити-
ческого значения (при котором в потоке появляются точки с местной
скоростью звука).
В дальнейших работах М. А. Лаврентьев углубил понятие квазикон-
формности. Вместо системы уравнений с частными производными он рас-
смотрел произвольный алгоритм, который каждой области из некоторого
класса ставит в соответствие отображение этой области на какую-либо
каноническую область (например, полосу), единственное при тех или
иных условиях нормировки. Алгоритм называется эллиптическим, если
для него справедлив основной вариационный принцип Шварца—Л инде-
лёфа. Такая общая постановка оправдывается современными прикладны-
ми задачами, в которых, кроме фактов, управляемых дифференциальными
уравнениями, действуют и многие другие. Она естественна и для прост-
ранственных задач теории квазиконформных отображений, где роль сис-
тем дифференциальных уравнений заметно уменьшается.
В соответствии со своей общей концепцией М. А. Лаврентьев ввел
понятие гиперболического алгоритма, который каждой области D типа
полосы сопоставляет гомеоморфизм ее на полосу 0 < v <Z 1, причем при
локальной вариации границы дБ отображение меняется лишь в части Б,
Расположенной правее некоторой линии — «характеристики» рассматри-
ваемого алгоритма. Это свойство допускает механическую интерпрета-
цию: в сверхзвуковом потоке возмущения распространяются лишь в на-
правлении движения. Гиперболические алгоритмы делятся на слабо- и
22
Научная деятельность М . А: Лаврентьева
сильногиперболические, в зависимости от того, затухают или нет локаль-
ные возмущения при х —> ос.
М. А. Лаврентьев нашел некоторые геометрические свойства гипер-
болических алгоритмов и рассмотрел ряд примеров. Вот один из них:
в области D, ограниченной линией Г: у = у (х), | у (х) | < к < 1,
прямой у = 1, рассматривается решение нелинейной гиперболической
системы
их = % (У) Vy, иу — (Ю
где у = и % (У) = У-1 У1 — У2, отображающее D на поло-
су 0 < v < 1. Для данного решения вычисляется растяжение линий тока
у = У (х, у) и их наклон а = а (х, у) (tg а = vy!v^. По этим функциям
строятся две новые функции: а* (х, у) и У* (х, у), элементарно выражаю-
щиеся через первые. Наконец, строится отображение D на полосу, для
которого У* и а* служат соответственно растяжением линий тока и их
наклоном. М. А. Лаврентьев доказал, что если Г мало отличается от пря-
мой (по положению, наклону и кривизне), то рассматриваемый алгоритм
определяет отображение, единственное с точностью до сдвига при допол-
нительном условии а —> О при х —> —оо.
В 1939—1949 гг. М. А. Лаврентьев работал в Академии наук УССР
(Киев). Великая Отечественная война явилась переломным периодом
в научном творчестве Михаила Алексеевича. Он переключается на задачи
оборонного характера, привнеся в них ясность мысли выдающегося ма-
тематика и механика. Основными объектами его новой тематики стали
многообразные явления, происходящие при взрывных процессах.
Одним из наиболее ярких достижений М. А. Лаврентьева в приклад-
ных областях явилось создание им в 1944—1948 гг. гидродинамической
теории кумуляции при взрыве. Этот эффект, открытый в 80-х годах прош-
лого века, состоит в усилении локального воздействия взрыва на прегра-
ду при наличии выемки на обращенной к преграде стороне заряда. Ло-
кальное воздействие еще более усиливается, если на поверхности выемки
имеется металлическая облицовка. В этом случае после взрыва преграда
оказывается пробитой на значительную глубину. Особенно широкое ис-
пользование явления кумуляции в военной технике началось в годы вто-
рой мировой войны. Однако инженерные разработки опирались лишь
на эмпирическое изучение эффекта, которое проводилось независимо
в разных странах. В основе теории, разработанной М. А. Лаврентьевым,
лежали две новые принципиальные идеи.
Первая и главная из них — концепция гидродинамического поведения
твердых сред, находящихся под действием интенсивных нагрузок. Михаил
Алексеевич принял во внимание, что внутренние прочностные силы мате-
риала являются пренебрежимо малыми по сравнению с перепадами дав-
ления, имеющими место при взрыве или при высокоскоростном соударе-
нии. Поэтому соответствующие движения твердой среды (например, ме-
талла) в первом приближении можно описывать, пользуясь моделью
идеальной несжимаемой жидкости. Сейчас такой подход представляется
естественным и очевидным, однако в то время предложение считать
металл идеальной жидкостью воспринималось как парадоксальное и вы-
зывало острые дискуссии. Благодаря этой смелой гипотезе М. А. Лав-
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
23
пентьев перевел решение целого ряда проблем физики взрыва в круг за-
дач классической механики жидкости.
Гидродинамический анализ явления кумуляции привел Михаила
Алексеевича ко второй важной идее: активным элементом, разрушающим
преграду, является высокоскоростная кумулятивная струя, формирую-
щаяся из материала облицовки выемки. После этого построение теории
кумуляции расщепилось на моделирование двух процессов: формирова-
ния струи и взаимодействия ее с преградой. Оказалось, что оба они сво-
дятся к разновидностям одного и того же явления — соударения двух
струй жидкости.
Были построены два варианта модели явления кумуляции: плоский
и осесимметричный. Ключевой элемент модели — задача соударения двух
струй в плоской постановке является классической и была решена ранее.
В случае осевой симметрии Михаил Алексеевич с помощью законов сохра-
нения получил основные соотношения, определяющие процесс. Важнейший
результат теории — предсказание глубины проникновения L струи в пре-
граду:
L = Z У Pi/p2,
где I — длина струи; рх и Р2 — плотности материалов струи и преграды.
Здесь обращает на себя внимание неожиданный факт: величина L не зави-
сит явно от скорости струи.
Теория кумуляции при взрыве была подвергнута М. А. Лаврентье-
вым экспериментальной проверке, которая проводилась в лаборатории
Института математики АН УССР, располагавшейся в пос. Феофания под
Киевом. Уместно отметить, что аналогичная теория была независимо
создана за рубежом объединенными усилиями Г. Биркгофа, Дж. Тейлора
и других исследователей. На их статью 1948 г. Михаил Алексеевич впо-
следствии ссылался как первую открытую публикацию по проблеме.
Уже первые эксперименты по кумуляции, поставленные М. А. Лаврен-
тьевым в 1944—1946 гг., включали исследование действия зарядов с двух-
слойной облицовкой выемки. Они показали, что после взрыва образуется
высокоскоростная кумулятивная струя и низкоскоростное массивное
тело — «пест». Исследование структуры «песта» показывает, что он пред-
ставляет собой монолитное образование, в котором разъединенные ранее
материалы сварены друг с другом по всей поверхности их соприкосновения.
Тогда же это явление сварки было применено сотрудником Михаила Алек-
сеевича Н. М. Сытым для получения монолитных медных стержней из
пучков медной проволоки путем их опрессовки взрывом. Как выяснилось
впоследствии, именно эти результаты (и им аналогичные, опубликованные
в тот же период в США) явились прообразом известного в наше время ме-
тода формирования новых многослойных материалов сваркой взрывом.
Сразу же после войны М. А. Лаврентьев принимал участие в выполне-
нии правительственного задания — затоплении трофейных немецких ко-
раблей. Этой работой был инициирован его интерес к подводному взрыву.
В 1947 г. М. А. Лаврентьев провел в Феофании серию экспериментов по
изучению взрывного разрушения днища корабля и получил парадоксаль-
ный результат. В опытах определялась минимальная масса Р заряда, до-
статочная для разрушения, если заряд отстоит от днища на глубину h.
Существовало предположение, что функция Р (h) должна быть монотонно
24
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
возрастающей. Однако оказалось, что в определенном диапазоне глубин
h величина Р постоянна, т. е. для пробивания днища более удаленными за-
рядами нет необходимости увеличивать их массу. Анализируя этот эффект,
Михаил Алексеевич пришел к правильному выводу, что его причиной яв-
ляется направленная в сторону днища кумулятивная струя, формирую-
щаяся при захлопывании полости с продуктами взрыва.
При постановке опытов с подводным взрывом в пос. Феофания Михаил
Алексеевич наблюдал явление необычной деформации погруженных в воду
трубок, служивших для укрепления датчиков. Дальнейшие целенаправ-
ленные исследования и анализ причин этого эффекта привели к созданию
теории динамической неустойчивости. В его совместной с А. Ю. Ишлин-
ским работе [100] исследуется наиболее простая реализация эффекта —
изгибные неустойчивости упругого стержня при его продольных нагруже-
ниях. Авторами выявлена принципиальная разница между поведением
стержня при статических и динамических нагрузках. Если в первом слу-
чае реализуется лишь форма изгиба стержня с наибольшей длиной волны,
то во втором это может быть не так. Теоретически и экспериментально по-
казано, что если к стержню мгновенно прикладывается продольная на-
грузка, в п раз превышающая критическую эйлерову силу, то он изгиба-
ется по синусоиде с числом полуволн т, равным ближайшему целому чис-
лу к У п/2. Если стержень деформируется упругопластически, не разруша-
ясь, то остаточная форма стержня близка к синусоиде с тем же числом по-
луволн т. Если же стержень разрушается, то число изломов оказывается
равным т.
К этому же периоду относится идея М. А. Лаврентьева об использо-
вании шнуровых зарядов. Она возникла на основе изобретения Н. М. Сы-
тым «мокрого пороха». Шнуровые заряды из мокрого пороха показали свою
эффективность и были использованы для прокладки траншей при осуше-
нии болот, для резки металлов, для очистки гаваней от затонувших мин.
Наряду с полученными М. А. Лаврентьевым лично новыми научными
результатами им было выдвинуто много идей и предложений по направле-
ниям исследований как в чистой математике, так и в прикладных обла-
стях. Его блестящая интуиция, глубокие и неожиданные аналогии приво-
дили к гипотезам, которые стимулировали других исследователей и ока-
зывались впоследствии, как правило, справедливыми в своей основе.
Михаил Алексеевич по праву считается основоположником теории
многомерных квазиконформных отображений. В своей первой работе
1938 г., посвященной пространственной теории [68], он ввел понятие ква-
зиконформного отображения пространственной области D как такого диф-
феоморфизма, дифференциал которого преобразует сферы в эллипсоиды
с равномерно ограниченным отношением полуосей. В пространстве именно
класс квазиконформных отображений особенно интересен, ибо он доста-
точно широк, а класс конформных отображений, согласно известной тео-
реме Лиувилля, сводится лишь к сдвигам с поворотами, растяжениям и
инверсиям, т. е. к дробно-линейным отображениям.
В этой работе Михаил Алексеевич сформулировал два очень интерес-
ных утверждения, отражающих специфику пространственного случая.
Первое из них относится к стиранию при квазиконформных отображениях
множеств меньшей размерности. Например, если / — квазиконформное
отображение шара с выброшенным отрезком радиуса (с концом на гранич-
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
25
ной сфере) на шар, то оно продолжается до квазиконформного отображе-
ния всего шара. Второе из этих утверждений говорит об отсутствии про-
странственного аналога отображения w = ег: если / — локально гомео-
морфное квазиконформное отображение пространства в себя, то оно яв-
ляется гомеоморфизмом всего пространства на себя.
В работе 1954 г. М. А. Лаврентьев формулирует еще одно замечатель-
ное утверждение, выражающее устойчивость теоремы Лиувилля: если
квазиконформное отображение пространственной области близко к кон-
формному в малом, т. е. его дифференциал преобразует сферы в эллипсо-
иды с отношением полуосей, не превосходящим 1 + е, где е достаточно
мало, то и в целом оно близко к дробно-линейному отображению.
Теория квазиконформных отображений пространственных областей,
основанная М. А. Лаврентьевым, получила достаточно полное развитие
в работах советских и зарубежных исследователей. Она оказалась бога-
той связями с дифференциальной геометрией, дифференциальной тополо-
гией и другими разделами математики, активно разрабатываемыми в на-
стоящее время.
В 1962—1967 гг. М. А. Лаврентьевым были заложены основы теории
отображений пространственных областей, соответствующих системам диф-
ференциальных уравнений с частными производными. Следует отметить,
что между квазиконформными отображениями многомерных эвклидовых
пространств и теорией дифференциальных уравнений нет той тесной связи,
которая характерна для плоского случая.
Исходя из гидродинамических соображений, М. А. Лаврентьев выде-
лил два класса отображений трехмерных областей в 7?3, которые он на-
звал гармоническими.
К первому классу относятся отображения х и (я), удовлетворяющие
системе из четырех дифференциальных уравнений:
rot и = 0, div и = 0.
В односвязных областях решения этой системы допускают представление
и ~ Vcp, в котором ср — произвольная гармоническая функция. Для гар-
монических отображений справедливы многие теоремы теории функций
комплексного переменного.
Вопрос о существовании гармонических отображений заданных об-
ластей впервые рассмотрен М. А. Лаврентьевым в 1967 г. Им сформули-
рован ряд гипотез о существовании гармонических отображений односвяз-
ных областей и, в частности, о возможности гармонического отображения
шара на трехосный эллипсоид.
Второй класс квазиконформных отображений трехмерных областей,
рассмотренный М. А. Лаврентьевым, связан с системами дифференциаль-
ных уравнений вида
Vzzj = % (| Vzzx | ) Vu2 X Vu3,
Допускающих ясную гидродинамическую интерпретацию. Функция иг
является потенциалом течения баротропной жидкости и удовлетворяет
Уравнению div (Х-1(| |) VzzJ =0. Компоненты zz2, zz3 постоянны на
траекториях динамической системы х = и, следовательно, служат
Функциями тока течения, порожденного потенциалом и±.
26
Научная деятельность М. А. Лаврентъева
В 1950 г. в совместной с его учеником А. В. Бицадзе работе [102] было
предложено исследовать вместо известного уравнения смешанного типа
Ф. Трикоми уихх + иуу = 0 модельное уравнение (sign у) + иуу = 0.
Решения этого уравнения обладают теми же принципиальными свойст-
вами, что и решения уравнения Трикоми, но аппарат существенно упро-
щается: появляется возможность использования теории аналитических
функций в эллиптической части области и простого общего представления
в гиперболической части. В 1951 г. М. А. Лаврентьев опубликовал
простое и оригинальное решение задачи Дирихле для узкого простран-
ственного слоя, которое было навеяно аналогиями с методами теории
конформных отображений [105].
Новым переломным периодом в жизни М. А. Лаврентьева явилась
организация в 1957 г. Сибирского отделения Академии наук СССР. Несмо-
тря на свою чрезвычайную нагрузку государственного деятеля — орга-
низатора науки в крупном масштабе целого исследовательского центра,
Михаил Алексеевич продолжает ставить задачи и выдвигать гипотезы,
относящиеся к широкому кругу явлений природы. Эта новая волна его
научной активности была обусловлена и притоком в науку большого кон-
тингента талантливой молодежи, не имевшей опыта в труднейшем деле
выбора и постановок новых научных задач. В конце 50-х — начале 60-х
годов М. А. Лаврентьев (с помощью своих коллег и соратников — И. Н.
Векуа, Ю. Н. Работнова, П. Я. Кочиной, Э. И. Григолюка и других из-
вестных ученых) формировал основные направления научных исследо-
ваний созданного им Института гидродинамики СО АН СССР, ныне нося-
щего его имя.
Работы М. А. Лаврентьева по кумуляции послужили основой для раз-
вития исследований по целому ряду крупных направлений. Одним из них
является гидроимпульсная техника, выросшая из предложения Михаила
Алексеевича проверить гидродинамическую теорию пробивания на физи-
ческой модели высокоскоростной водяной струи. С этой целью им были
созданы «гидропушки», скорость истечения струй из которых достигала
1—3 км/с. Такие струи пробивают металлы на значительную глубину
(медь — до 100 мм).
Важную роль сыграла идея использования газокумулятивных струй
продуктов детонации для ускорения твердых частиц до больших (метео-
ритных) скоростей. Была достигнута скорость 12—15 км/с для частиц раз-
мером в несколько миллиметров. Эти результаты имели отношение к проб-
леме надежности космических аппаратов.
Открытое при участии М. А. Лаврентьева явление свариваемости ме-
таллов при взрывных нагрузках (о котором уже упоминалось выше) по-
служило созданию принципиально новой технологии получения много-
слойных материалов — сварке взрывом. Эта технология получила широ-
кое применение в машиностроении.
Крупным успехом гидродинамической концепции М. А. Лаврентьева
поведения материалов при импульсных нагружениях было решение задачи
о направленном взрыве. Проблема направленного выброса грунта с по-
мощью взрыва стояла давно. В частности, направленные взрывы произво-
дились при строительстве плотин. Однако направленность эта была не-
полной — большое количество грунта разлеталось после взрыва в сторо-
ны от основного направления броска. Михаил Алексеевич поставил зада-
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
27
в простейшей форме: добиться, чтобы грунт летел как твердое тело.
Он же сформулировал две гипотезы, предопределившие решение: а) грунт
еСть идеальная несжимаемая жидкость; б) импульс, сообщенный грунту
при взрыве, пропорционален толщине слоя ВВ. Простое и изящное реше-
ние этой задачи было дано в работе [171]. Оно состоит в том, что потен-
циал скоростей должен быть линейной* функцией координат. Для этого
необходимо, чтобы толщина слоя ВВ (распределенного по границам ме-
таемого объема) убывала по линейному закону в направлении метания.
Специально проведенные опытные взрывы подтвердили правильность по-
лученного решения проблемы. Они позволили учесть поправки, обуслов-
ленные сжимаемостью и прочностью среды. Не меняя существа модельной
задачи, эти поправки уточняют расположение зарядов и последователь-
ность их подрыва.
Естественно, что М. А. Лаврентьев интересовался и проблемами дето-
нации взрывчатого вещества — первоосновы всех взрывных процессов.
В частности, его внимание привлекло необычное явление спиновой дето-
нации в трубах, при которой «поджигающая точка» движется по спирали.
Во многом благодаря его вниманию к этому вопросу именно в Институте
гидродинамики была разработана теория спиновой детонации.
М. А. Лаврентьевым была предложена простая механическая модель
для описания способа перемещения живых организмов (ужей, рыб и
т. п.). В модели рассматривается движение гибкого упругого стержня
в жестком гладком канале. В работе (совместной с М. М. Лаврентьевым)
[211] эта модель применяется для описания передвижения ужа как по
суше (например, в траве), так и в воде. В жидкости роль реакции стенок
канала играет сила гидродинамического давления, в траве ту же роль вы-
полняет реакция стеблей.
С начала 60-х годов М. А. Лаврентьев уделял большое внимание изу-
чению вихревых течений жидкости, имея в виду проблемы описания ди-
намики облака ядерного взрыва и захоронения радиоактивных остатков
на дне океана. Им были поставлены вопросы о механизме формирования
вихревого кольца, о его структуре, о законе движения и о переносе им
примесей. Ответы были получены в серии экспериментов, выполненных по
инициативе Михаила Алексеевича в Институте гидродинамики в широком
диапазоне чисел Рейнольдса (от 102 до 107) в воздухе и в воде. В результа-
те была построена теория автомодельного движения турбулентных вихре-
вых колец.
Вторая проблема привела к построению М. А. Лаврентьевым новых
моделей отрывного обтекания тел с кормовой циркуляционной зоной.
В одной из моделей эта зона описывается полным вихрем, в другой —
областью с постоянной завихренностью. Положение о постоянной завих-
ренности было выдвинуто (независимо от Дж. Бэтчелора) в качестве ос-
новного рабочего варианта. На его основе были решены задачи о попереч-
ном обтекании цилиндра или пластинки, об обтекании траншеи или сту-
пеньки на дне, о течении вдоль прямой стенки с примыкающей к ней замк-
нутой циркуляционной зоной (плоский аналог вихря Хилла).
Целый ряд интересных гипотез был высказан М. А. Лаврентьевым
° механизме образования и развития ветровых волн на воде, о гашении
этих волн дождем, о Новороссийской боре и т. п. Не вызывает сомнения,
ито влияние научных достижений М. А. Лаврентьева еще долго будет
28
Научная деятельность М. А . Лаврентъев а
ощущаться во многих разделах математики и механики. Значительная
часть его результатов уже давно и прочно вошла в учебники, научную,
техническую и популярную литературу.
Обзор научных работ М. А. Лаврентьева был бы неполон без упомина-
ния о написанных им монографиях и учебниках.
М. А. Лаврентьевым в соавторстве с Л. А. Люстерником написаны
два курса вариационного исчисления. Первый из них «Основы вариа-
ционного исчисления» был задуман как фундаментальное руководство, от-
ражающее современное состояние науки. К сожалению, этому замыслу не
суждено было полностью осуществиться: в 1935 г. вышел первый том
книги в двух частях [27, 28], а второй том так и не был написан. Зато
двумя изданиями (в 1938 и 1950 гг.) вышел более элементарный «Курс ва-
риационного исчисления» [63].
В 1946 г. вышла его небольшая монография «Конформные отображения
с приложениями к некоторым вопросам механики» [87]. Она стимулирова-
ла дальнейшие исследования по геометрической теории функций и ее
приложениям. В 1962 г. Издательство АН СССР выпустило монографию
М. А. Лаврентьева «Вариационный метод в краевых задачах для систем
уравнений эллиптического типа », которая вскоре была переведена на анг-
лийский язык [203].
Несколько поколений студентов и научных работников училось по кни-
ге М. А. Лаврентьева (соавтор — Б. В. Шабат) «Методы теории функций
комплексного переменного» [104], которая начиная с 1951 г. выдержала
4 издания и переведена на немецкий, французский, китайский и вьетнам-
ский языки. Хорошо встречена читателями и его книга «Проблемы гидро-
динамики и их математические модели» (также в соавторстве с Б. В. Ша-
батом), выдержавшая два издания и переведенная на французский язык
[380].
Михаил Алексеевич написал ряд обзоров, посвященных различным
вопросам комплексного анализа. Отметим среди них статью «Теория ана-
литических функций» в сборнике «Математика» и обзорный доклад на
втором математическом съезде «Геометрические вопросы теории функций
комплексного переменного» [20, 31]. Несколько его работ посвящено исто-
рии науки; укажем, например, статьи, посвященные ученым, которых
Михаил Алексеевич особенно ценил,— Леонарду Эйлеру [130] и Алек-
сею Николаевичу Крылову [231].
УКАЗАТЕЛЬ НАУЧНЫХ ТРУДОВ М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА
1924
1. Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes П Fund. math. 1924. T. 6.
P. 149—160.
2. Sur la recherche des ensembles homeomorphes // C. r. hebd. seances Acad. sci. 1924.
T. 178. P. 187—190.
3. Sur la representation des fonctions mesurables В par les series transfinies depolyno-
mes // Fund. math. 1924. T. 5. P. 123—129.
1925
4. Sur les sous-classes de la classification de M. Baire // C. r. hebd. seances Acad. sci.
1925. T. 180. P. 111 — 114.
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
29
5 Sur une equation differentielle du premier ordre // Math. Ztschr. 1925. Bd. 23.
6 Sur la representation conforme//C. r. hebld. seances. Acad. sci. 1927. T. 184.
p 1407—1409.
7 Sur un probleme de P. Montel // Ibid. P. 1634—1635.
8 Sur quelques problemes du calcul des variations // Ann. mat. Ser. 4. 1927. T. 4.
’ P. 7-28.
1928
9. Общий очерк развития теории функций комплексного переменного в СССР за вре-
мя с 1917—1927 гг. // Мат. сб. 1928. Т. 35, доп. вып. С. 5—20. Совм. с И.И. При-
валовым.
10. Успехи теории функций действительного переменного в СССР // Там же. С. 21 —
42. Совм. с Д. Меньшовым.
1929
11 Sur la correspondance entre les frontieres dans la representation conforme 11 Мат*
сб. 1929. T. 36, № 2. С. 112-115.
12. Sur un probleme de P. Montel И C. r. hebd. seances Acad. sci. 1929. T. 188*
P. 689—691.
1930
13. Sur une methode geometrique dans la representation conforme // Atti Congr. in-
tern. mat. Bologna, 1928: Comun. sez. Bologna: Zanichelli, 1930. T. 3. P 241—242*
14. Sur 1’existence de la derivee-limite // Bull. Soc. math. France. 1930. T. 58. P. 175—
198. En collab. avec P. Bessonoff.
15. Sur un probleme de maximum dans la representation conforme // C. r. hebd. sean-
ces Acad. sci. 1930. T. 191. P. 827-829.
16. Sur la representation conforme // Ibid P. 1426—1427. En colab. avec V. Chepe-
lef (.
1931
17. К вопросу о расчете неравномерно нагруженного многопролетни±и лонжерона
постоянного сечения // Техника воздуш. флота. 1931. № 1. С. 33—39.
18. Sur 1’existence des derives-limites//Мат. сб. 1931. Т. 38, № 3/4. С. 51—58. Рез.
рус. Совм. с В. Гольцм1нои.
1932
19. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. М.: Гос. авиац. и авто-
тракт. изд-во, 1932. 53 с. (Тр. ЦАГИ; вып. 118).
20. Теория аналитических функций//Математика. М.; Л., Гостехтеоретиздат. 1932.
С. 49-84.
21. Вариационное исчисление//Там же. С. 119—142. Совм. с Л. А. Люстерником.
1934,
22. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана. М.; Л.: Гостехтеорет-
издат. 1934. 40 с. Рез. нем. (Тр. ЦАГИ; Вып. 155).
23. Программа курса «Вариационное исчисление». М.: Изд-во МГУ, 1934. 2 с.
24. К теории конформных отображений//Тр. Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова.
Отд-ние мат. 1934. Т. 5. С. 159—245.
25. Sur deux questions extremales И Мат. сб. 1934. Т. 41, № 1. С. 157—165. Рез. рус.
26. Sur la representation conforme//Учен. зап. МГУ. 1934. Вып. 2. С. 39—41. Рез.
РУС.]
1935
27. Основы вариационного исчисления. М.; Л.: ОНТИ, 1935. Т. 1, ч. 1: Функции мно-
гих переменных. 148 с. Совм. с Л. А. Люстерником.
28. Основы вариационного исчисления М.; Л.: ОНТИ, 1935. Т. 1, ч. 2. 400 с. Совм.
с Л. А. Люстерником. Рец.: Шнирельман Л., Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А.
30
Научная деятельность М. А. Лаврентъева
Основы вариационного исчисления. М.; Л.: ОНТИ, 1935. Т. 1, ч. 1, 2 // Успе-
хи мат. наук. 1936. Вып. 2. С. 295—296.
29. К теории бипланной коробки крыла. М.: ЦАГИ, 1935. 38 с. (Тр. ЦАГИ; вып.
153). Совм. с Я. И. Секерж-Зеньковичем, В. М. Шепелевым.
30. Программа курса «Математический анализ». М.: Крас. МММИ им. Н. Э. Бау-
мана, 1935. 4 с.
31. Геометрические вопросы теории функций комплексного переменного И Тр. II
Всесоюз. мат. съезда. Л.; М., 1935. Т. 1: Пленар. заседания и обзор, докл.
С. 258—270.
32. К теории бипланной коробки крыльев // Тр. III Всесоюз. конф, по аэродинамике,
23—27 дек. 1933 г. М., 1935. Т. 2. С. 202—203. Совм. с Я. И. Секерж-Зенькови-
чем, В. М. Шепелевым.
33. К теории колеблющегося крыла // Там же. С. 223—224. Совм. с М. В. Келды-
шем.
34. Обзор работ ЦАГИ по удару тел о воду: Теорет. работы // I Всесоюз. конф, по
гидродинамике: Труды. М., 1935. С. 13—14.
35. К теории конформных отображений//Докл. АН СССР. 1935. Т. 1, № 2/3.
С. 85—88. На рус. и фр. яз. Совм. с М. В. Келдышем.
36. К теории крыла аэроплана // Техн, заметки ЦАГИ. 1935. № 45: Сб. общетеорет.
группы ЦАГИ. С. 37—38.
37. К теории бипланной коробки // Там же. С. 39—40. Совм. с Я. И. Секерж-Зенько-
вичем, В. М. Шепелевым.
38. К теории колеблющегося крыла // Там же. С. 48—52. Совм. с М. В. Келдышем.
39. О некоторых приложениях конформных отображений к гидродинамике // Тр.
Воен.-воздуш. акад. РККА им. Н. Е. Жуковского. 1935. Сб. 13. С. 18—27.
40. О некоторых свойствах однолистных функций//Докл. АН СССР. 1935. Т. 1,
№ 1. С. 1—4. На рус. и фр. яз.
41. Об абсолютных константах типа А. Блоха И Там же. № 5. С. 279—282. На рус.
и фр. яз. Совм. с А. Бермантом.
42. Общая задача о жестком ударе о воду// Тр. ЦАГИ. 1935. Вып. 152: Сб. ст. по
вопр. удара о поверхность воды. С. 5—12. Совм. с М. В. Келдышем.
43. Sur une classe de representation continues // Мат. сб. 1935. T. 42, № 4. С. 407—
424. Рез. рус.
44. Sur Г ensemble des valeurs d’une fonction analytique // Там же. С. 435—450. Совм.
с А. Бермантом.
45. Sur une classe de representation continues // C. r. hebd. seances Acad. sci. 1935.
T. 200. P. 1010—1012.
1936
46. О семействах однолистных функций // Тр. II Всесоюз. мат. съезда. Л.; М. 1936.
Т. 2: Секц. докл. С 170—172.
47. О константах Bloch’a // Там же. С. 172—173. Совм. с А. Ф. Бермантом.
48. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций // Мат. сб. 1936.
Т. 1, № 6. С. 815—846. Рез. фр.
49. О непрерывности однолистных функций в замкнутых областях // Докл. АН СССР.
1936. Т. 4, № 5. С. 207-209.
50. Sur les fonctions d’une variable complexe representables par des series de polynomes.
P.: Hermann, 1936. 64 p. (Actual, sci. et ind.; N 441: La theorie des fonctions).
51. Sur la continuite des fonctions univalentes 11 C. r. Acad. sci. URSS. 1936. Vol. 4,
N 5. P. 215—217.
52. Sur les suites de polynomes harmoniques 11 C. r. hebd. seances Acad. sci. 1936.
T. 202. P. 1149—1151. En collab. avec. M. V. Keldisch.
53. Рец.: Успехи математических наук. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Вып. 1. 295 с. // Соц.
реконструкция и наук. 1936. Вып. 9. С. 122—123.
1937
54. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Тр. конф, по теории
волнового сопротивления. М., 1937. С. 31—64. Рез. англ. Совм. с М. В. Келды-
шем.
55. О некоторых свойствах однолистных функций // Мат. сб. 1937. Т. 2, № 2. С. 319—
326. Рез. фр. Совм. с В. М. Шепелевым.
Научная деятельность М. А . Лаврентъева
31
56 Об единственности задачи Неймана // Докл. АН СССР. 1937. Т. 16, № 3. С. 151 —
° 152. Совм. с М. В. Келдышем.— То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1937.
Vol. 16, N 3. P. 151—152. En collab. avec. M. V. Keldysch.
57 Об устойчивости решений задачи Дирихле // Изв. АН СССР. ОМЕН. Сер. мат.
1937. Т. 1, № 4. С. 551—595. Рез. фр. Совм. с М. В. Келдышем.
58. Sur la representation conforme des domaines limites par des courbes rectifiables //
Ann. sci. Ecole norm, super. 1937. T. 54. fasc. 1. P. 1—38. En collab. avec
M. V. Keldysch.
59. Sur le probleme de Dirichlet И C. r. hebd. seances Acad. sci. 1937. T. 204. P. 1788—
1790. En collab. avec M. V. Keldysch.
60. Sur les suites convergentes de polynomes harmoniques // Tp. Тбил. мат. ин-та. 1937.
T. 1. С. 165—186. Рез. груз. Совм. с М. В. Келдышем.
61. Рец.: История одной безграмотной книги (Левенсон Л. Б. Статика и динамика
машин) // Высш. шк. 1937. № 2. С. 30—39. Совм. с Н. Е. Кочиным, С. Л. Собо-
левым, Б. И. Сегалом.
62 Рец.: Успехи современной математики: [Всесоюз. мат. ассоциация: Успехи мат.
* наук. М.; Л.: ОНТИ, 1936. Вып. 1/2. 304 с.] // Техн, книга, 1937. № 5. С. 41—43.
1938
63. Курс вариационного исчисления. М.; Л.: ОНТИ, 1938. Совм. с Л. А. Люстерни-
ком.
64. Теория функций комплексного переменного // Математика и естествознание
в СССР: Очерки развития мат. и естеств. наук за 20 лет. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1938. С. 30—35. Совм. с И. И. Приваловым.
65. К теории струй//Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 4/5. С. 225—226.— То же
на англ. яз. // С.г. Acad. sci. URSS. 1938. Vol. 18, N 4/5. P. 225—226.
66. К теории струйных течений И Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4. С. 239—240.—
То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1938. Vol. 20, N 4. P. 239—240.
67. О некоторых свойствах струйных течений// Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4.
С. 235—237.— То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1938. Vol. 20, N 4.
P. 235—237.
68. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений трехмерных
областей//Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4. С. 241—242.— То же на англ.
яз.//С. г. Acad. sci. URSS. 1938. Vol. 20, N 4. P. 241-242.
69. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к теории струй //
Мат. сб. 1938. Т. 4, № 3. С. 391—458. Рез. фр.
70. Об одном классе квазиконформных отображений в газовых струях // Докл. АН
СССР. 1938. Т. 20, № 5. С. 343—345.— То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci.
URSS. 1938. Vol. 20, N 5. P. 343-345.
71. Рец.: Сретенский Л. H. Теория волновых движений жидкости. М.; Л.: ОНТИ,
1936. 303 с./ / Успехи мат. наук. 1938. Вып. 4. С. 340—342.
72. Рец.: Билля Г. Теория вихрей / Пер. с фр. П. М. Гуменского. Л.; М.: ОНТИ,
1936. 226 с.//Там же. 1938. Вып. 5. С. 269-271.
1939
73. Об одной задаче Карлемана// Докл. АН СССР. 1939. Т. 23, № 8. С. 746—748.
Совм. с М. В. Келдышем.— То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1939.
Vol. 23, N 8. P. 746-748. En collab. avec M. V. Keldysh.
74. Об одной оценке для функций Грина // Докл. АН СССР. 1939. Т. 24, № 2. С. 102—
103. Совм. с М. В. Келдышем.— То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1939.
Vol. 24, N 2. P. 102—103. En collab. avec M. V. Keldysch.
75. Николай Иванович Мусхелишвили: (Кандидаты в действит. чл. Акад, наук СССР)//
Правда. 1939. 9 янв. Совм. с В. Д. Купрядзе.
1940
76. д0 теорп квазиконформных в!дброжень// И. В. Сталину Академ!я наук УРСР.
Ки!в, 1940. С. 429-436.
77. До питания про рух грунтовых вод в неоднорщному грунт! // Доп. АН УРСР.
1940. № 1. С. 23—28. На укр. и нем. яз. Совм. с Б. Погребысским.
32
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
78. Об одной теореме Островского//Сообщ. Груз. фил. АН СССР. 1940. Т. 1, № 3.
С. 171—174. На рус. и груз. яз. Совм. с Д. А. Квеселава.
79. О современной математике// Сов. студенчество. 1940. № 1. С. 37—39. Совм.
с А. А. Ляпуновым.
1941
80. Выдающиеся успехи советских математиков: К присуждению Гос. премий
- Л. С. Понтрягину, А. Н. Кол мог о-
рову, А. Я. Хинчину, С. Л. Соболеву// Правда. 'Т94Г.^4^атт₽. 'Счэвм.
81. Оценка для относительной гармонической меры//Неванлинна Р. Однозначные
аналитические функции. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1941. С. 365—379. Совм.
с М. В. Келдышем.
82. Реф.: Об одной теореме Островского // Научно-исследовательские работы ин-
ститутов, входящих в Отделение физико-математических работ Академии наук
СССР, за 1940 год: Сб. реф. М.; Л., 1941. С. 36—37. Совм. с Д. А. Квеселава.
83. Ред. пер.: Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции: Пер. с нем.
М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1941. 388 с. Совм. с М. В. Келдышем.
84. Про деяк! наближеш формули в задач? Д1р1хле// Доп. АН УРСР. 1942. № 1/2.
С. 3—8. Рез. рус. и англ.
1943
85. К теории длинных волн//Докл. АН СССР. 1943. Т. 41, № 7. С. 289—291.—
То же на англ. яз. // С. г. Acad. sci. URSS. 1943. Vol. 41, N 7. P. 275—277.
1945
86. Ученый патриот: 75-летие co дня рождения и 50-летие науч.-исслед. деятельности
Е. О. Патона//Правда Украины. 1945. 12 мая.
1946
87. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики.
М.; Л.: Гостехтеорездат, 1946. 159 с.
88. Опыт расчета влияния глубины погружения бомбы в жидкость на ее разрушаю-
щую силу//Тр. науч.-техн. конф. Воен.-воздуш. акад. 1944. М., 1946. Т. 6;
Секция авиавооружений, вып. 1. С. 137—146.
89. Квазиконформные отображения и их производные системы// Докл. АН СССР.
1946. Т. 52, № 4. С. 287—289.—То же на англ. яз.//С. г. Acad. sci. URSS.
1946. Vol. 52, N 4. P. 287—289.
90. Bine-президент Академп наук УРСР Андр1й Тванович KinpiaHOB // Bicri АН УРСР
1946. № 9Д0. С. 37—39. Совм. с А. К. Бойко.
91. Загальна задача кваз!конформных вщброжень плоских областей//Доп. АН
АН УРСР. 1946. № 3/4. С. 3—6. На укр. и англ. яз.
92. Реф.: Изучение свойств квазиконформных отображений И Рефераты научно-ис-
следовательских работ за 1945 год / Отд-ние физ.-мат. наук АН СССР. М.; Л.,
1946. С. 62. ' 1 '
1947
93. Теория квазиконформных отображений И Юбилейный сборник, посвященный
30-летию Великой Октябрьской социалистической революции. М.; Л.: Изд-во
АН СССР. 1947 . 4.1. С. 96—ИЗ.
94. До теори довгих хвиль // 36ipH. праць // 1н-т математики АН УРСР. 1947. № 8.
С. 13-69.
95. Общая задача теории квазиконформных отображений плоских областей // Мат.
сб. 1947. Т. 21. С. 285—320.
96. Ред.: Погребысский И. Б., Фильчаков П. Ф. Математика. Вып. 1. Алгебра.
Алгебраические действия. Логарифмы и логарифмические вычисления. Киев;
Львов: Рад. шк. 1947. 172 с. Предисловие редактора // Там же. С. 3—4.
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
33
1948
97 Пути развития советской математики // Общее собрание Академии наук СССР,
посвященное тридцатилетию Великой Октябрьской социалистической револю-
ции Ц Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12, № 4. С. 411— 416.
qa Про один класс кваз!конформных вщброжень // Зб1рн. праць / 1н-т математики
АН УРСР. 1948. № 9. С. 7—54. Рез. рус.
qq Основная теорема теории квазиконформных отображений плоских областей //
Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12, № 6. С. 513—554.
1949
100. Динамические формы потери устойчивости упругих систем//Докл. АН СССР.
1949. Т. 64, № 6. С. 779—782. Совм. с А. Ю. Ишлинским.
1950
101. Курс вариационного исчисления. 2-е изд., перераб. М.; Л.: Гостехтеоретиздат,
1950. 296 с. Совм. с Л. А. Люстерником.
102. К проблеме уравнений смешанного типа И Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, № 3.
С. 373—376. Совм. с А. В. Бицадзе.
103. О задачах советской науки в области прочности и пластичности: Выступление
в прениях на науч, дискус. 19—20 июня 1950 г. в Отд-нии техн, наук АН СССР Л
Изв. АН СССР. ОТН. 1950. № 9. С. 14-19.
1951
104. Методы теории функции комплексного переменного. М.; Л.: Гостехтеоретиздат,
1951. 607 с. Совм. с Б. В. Шабатом.
105. Задача Дирихле для узкого слоя//Тр. Мат. ин-та. 1951. Т. 38. С. 146—151.
106. О работе Отделения физико-математических наук: Выступление на заседании
Президиума АН СССР. 14 сент. 1951 г. И Вести. АН СССР. 1951. № 10. С. 39—40.
107. Нина Карловна Бари: К 25-летию работы в МГУ //Успехи мат. наук. 1951.
Т. 6, вып. 6. С. 184—185. Совм. с Л. А. Люстерником.
1952
108. Вступительное слово // Тр. II совещ. по вопр. космогонии, 19—22 мая 1952 г.
М., 1953. С. 7—8.
1953
109. Выступление по докладу А. Н. Несмеянова о задачах Академии наук СССР в све-
те решений XIX съезда КПСС // Вести. АН СССР. 1953. № 3. С. 36—37.
НО. Множить успехи в развитии физико-математических наук: Беседа // Правда.
1953. 15 окт.
111. Ред.: Труды II совещания по вопросам космогонии, 19—22 мая 1952 г. М.: Изд-во
АН СССР, 1953. 583 с.
1954
112. Устойчивость в теореме Лиувилля // Докл. АН СССР. 1954. Т. 95, С. 925—926.
1956
113. Методы теории функций комплексного переменного. Шанхай: Гаодэн цзяоюй
чубаныпэ, 1956. Т. 1. 340 с. На кит. яз. Совм. с Б. В. Шабатом.
114. Анализ // Математика, ее содержание, методы и значение. М., 1956. Т. 1. С. 79—
179. Совм. с М. С. Никольским.
115. Квазиконформные отображения // Тр. III Всесоюз. мат. съезда, Москва, 1956 г.
М., 1956. Т. 2: Крат, содерж. обзор и секц. докл. С. 32. ,
116. Отчетный доклад на Общем собрании Отделения физико-математических наук
за 1955 г.: Крат, излож. // Вестн. АН СССР. 1956. № 4. С. 88—89.
117. Назревшие задачи организации научной работы // Правда. 1956. 14 февр. Совм.
с С. А. Христиановичем, С. А. Лебедевым.
2 М. А. Лаврентьев
34
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
118. Ред.: Математика, ее содержание, методы и значение: В 3 т. М.: Изд-во АН СССР,
1956. Т. 1. 296 с.; Т. 2. 395 с.; Т. 3. 336 с. Совм. с А. Д. Александровым,
А. Н. Колмогоровым.
119. Предисловие// Там же. Т. 1. С. 3—4. Совм. с А. Д. Александровым, А. Н. Кол-
могоровым.
1957
120. О работе Отделения физико-математических наук АН СССР за 1956 год: Отчет,
докл. Крат, излож. // Вестн. АН СССР. 1957. № 3. С. 19—21.
121. Геометрические свойства решений нелинейных систем уравнений с частными
производными// Докл. АН СССР. 1957. Т. 112, № 5. С. 810—811. Совм. с
Б. В. Шабатом.
122. Владимир Иванович Смирнов: К семидесятилетию со дня рождения//Успехи
мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 6. С. 197—201. Совм. с П. С. Александровым,
И. Н. Векуа, М. В. Келдышем.
123. Кумулятивный заряд и принцип его работы// Там же, вып. 4. С. 41—56.
124. Илья Несторович Векуа: К пятидесятилетию со дня рождения // Там же. С. 227—
231. Совм. с С. Л. Соболевым.
125. Развитие науки в Сибири и на Дальнем Востоке И Вестн. АН СССР. 1957. № 12.
С. 3-7.
126. Вступительная речь на Юбилейной научной сессии, посвященной 250-летию со
дня рождения Леонарда Эйлера: Крат, излож. // Вестн. истории миров, культу-
ры. 1957. № 3. С. 251.
127. Важное условие развития науки // Правда. 1957. 2 апр. Совм. с С. А. Кристиа-
новичем.
128. Новый научный центр в СССР И Там же. 29 нояб.
129. Проблемы использования тепловой энергии земли//Там же. 25 янв. Совм. с
И. Таммом, В. Влодавцем.
130. Творец корабельной науки: К 250-летию со дня рождения Леонарда Эйлера //
Сов. флот. 1957. 14 апр.
131. Рец.: Мемуары большого ученого: [А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки. М.:
Изд-во АН СССР, 1956] И Новый мир. 1957. № 6. С. 259-260.
1958
132. Методы теории функций комплексного переменного. 2-е изд., перераб. М.: Физ-
матгиз, 1958. 678 с. Совм. с Б. В. Шабатом.
133. Нужны ли специальные школы для «особо одаренных»? // Правда. 1958.
25 нояб.— То же на нем. яз. И Presse Sowjetunion. 1958. N 146. S. 1031.
134. Теория квазиконформных отображений // Тр. III Всесоюз. мат. съезда. Москва,
1956 г. М., 1958. Т. 3: Обзор, докл. С. 198—208.
135. Вступительная речь на Юбилейной научной сессии, посвященной 250-летию со
дня рождения Леонарда Эйлера И Леонард Эйлер: Сб. ст. в честь 250-летия со
дня рождения, представл. АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 7—19. Рез.
нем.
136. Проект плана работ по физико-математическим и техническим наукам Сибирско-
го отделения АН СССР: Докл. на втором Общ. собр. СО АН СССР: Крат, из-
лож. // Изв. СО АН СССР. 1958. № 12. С. 93-94.
137. Большая наука идет на Восток // Наука и жизнь. 1958. № 9. С. 1—4.
138. Наука и писатели// Сиб. огни. 1958. № 9. С. 137—140.
139. Новый центр науки: Беседа// Кульура и жизнь. 1958. № 10. С. 27—29.
140. Большой совет ученых Сибири: Беседа // Сов. Сибирь. 1958. 9 окт.
141. Молодая наука Сибири//Лит. газ. 1958. 18 дек.
142. Наука — сельскому хозяйству Сибири// Правда. 1958. 14 марта.
143. Новое пополнение Сибирского отделения Академии наук СССР // Там же. 4 апр.
144. О научной работе в университетах: Письмо в ред. // Правда. 1958. 13 янв. Совм.
с Н. Н. Боголюбовым, М. Н. Тихомировым, В. В. Виноградовым, С. А. Хрис-
тиановичем, А. Г. Курошем.
145. Suri la theorie de representation quasi-conformes // Suom. Tiedeakat. Toim. Sar.
A. Mathematica. 1958. N 250/18. P. 1—8 (Proc. Intern. Colloq. Theory Functions,
Helsinki, 1957).
Научная, деятельность М. А. Лаврентьева
35
Neues Zentrum der Wissenshaft in der UdSSR//Presse Sowjetunion. 1958. N 1.
S 7—8.
л/7 Ррл.: Леонард Эйлер: Сб. ст. в честь 250-летия со дня рождения, представл.
АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 620 с. Совм. с А. П. Юшкевичем,
А Т. Григорьяном.
148 Предисловие // Там же. С. 5—6. Совм. с К. Шредером.
1959
149 Речь на XXI съезде Коммунистической партии Советского Союза // Внеочеред-
ной XXI съезд КПСС, 27 янв.— 5 февр. 1959 г.: Стеногр. отчет. М.: Госполитиз-
дат, 1959. Т. 1. С. 412—418.
150. Чудесный край. Сибирь // Ради великой цели: Слово делегатов XXI съезда КПСС.
М.: Госполитиздат, 1959. С. 203—221.
151. Проблема пробивания при космических скоростях// Искусств, спутники Земли.
1959. Вып. 3. С. 61—65.— То же// Народнохоз. использ. взрыва. 1959. Вып. 7.
С. 3—9. На обл. загл.: Учен. сов. по народнохоз. использ. взрыва. Ротапринт.
152. Быстрее осваивать богатсва Сибири // Науч.-техн. о-ва СССР. 1959. № 3. С. 5—7.
Совм. с Н. Некрасовым.
153. Выступление по докладу А. В. Топчиева «XXI съезд Коммунистической партии
Советского союза и задачи науки»: Крат, излож. // Вестн. АН СССР. 1959. № 4.
С. 42.
154. Развитие науки в Сибири//Там же, № 1. С. 65—67. Совм. с А. К. Черненко.
155. Вдохновляющая цель // Правда. 1959. 30 дек. (Взгляд в будущее).
156. Величественные перспективы// Сов. флот. 1959. 30 янв.
157. Доброго пути в науку// Космос, правда. 1959. 1 сент.
158. На большие дела, сибиряки! // Сов. Россия. 1959. 27 февр.
159. Науку — на службу семилетке: Встреча с делегатом XXI съезда КПСС акад.
М. А. Лаврентьевым// Сов. Сибирь. 1959. 14 февр.
160. Научный центр на Востоке// Сов. флот. 1959. 6 июня.
161. Речь на Внеочередном XXI съезде Коммунистической партии Советского союза И
Правда. 1959. 1 февр.; Сов. Сибирь, 1959. 1 февр.
162. Речь на митинге трудящихся Новосибирска /7 Правда. 1959. И окт.
163. Ученые Сибири — народному хозяйству// Лит. и жизнь. 1959. 27 февр.
164. Это время пришло// Труд. 1959. 21 февр. (Сибирь зовет).
165. Incarcatura cumulativa si principiile functionarii sale // Anal, rom.-sov. Ser-mat-
fiz. 1959. An. 13, ser. Ш-a, N 1. P. 34—50.
166. Ред. пер.: Стокер. Дж. Дж. Волны на воде: математическая теория и приложе-
ния: Пер. с англ.М.: Изд-во иностр, лит., 1959. 618 с. Совм. с Н. Н. Моисеевым.
167. Предисловие // Там же. С. 5—7. Совм. с Н. Н. Моисеевым.
1960
168. Вопросы теории и практики импульсных водяных струй. Новосибирск: Ин-т
гидродинамики СО АН СССР, 1960. 21 с. Совм. с Б. В. Войцеховским, Э. А. Ан-
тоновым. Ротапринт.
169. Проблема пробивания при космических скоростях И Всесоюз. съезд по теорет.
иприкл. механике, Москва, 27 янв.— 3 февр. 1960 г.: Аннот. докл. М., 1960. С. 84.
170. Коллективу Бурятского комплексного института: О задачах ин-та // Крат, со-
общ. Бурят, компл. НИИ. Улан-Удэ. 1960. Вып. 2. С. 3—4.
171. О направленном метании грунта при помощи взрывчатого вещества // Журн.
прикл. механики и техн, физики. 1960. № 4. С. 49—60. Совм. с В. М. Кузнецо-
вым, Е. Н. Шером.
* 72. Большая наука в Сибири: Беседа с кор. ТАСС // Веч. Новосибирск. 1960. Зфевр.
* 73. Его имя — эпоха в науке: Памяти И. В. Курчатова // Лит. газ. 1960. 11 февр.
174. Магистраль открытий// Известия. 1960. 30 окт. (Всегда искать — девиз науки);
Веч. Новосибирск. 1960. 2 нояб.
1/5. Металл и холод // Известия. 1960. 28 авг. Совм. с Ю. Работновым, П. Пашковым,
К. Бессоновым, Е. Поповым.
/о. Молодым — дорогу в науку! // Правда. 1960. 18 окт.
На широком научном просторе: Перспективы развития СО АН СССР//Правда
Украины. 1960. 2 нояб.
2*
36
Научная, деятельность М. А. Лаврентьева
178 The problem of piercing at cosmic velocities. S. 1., 1960. 6 p. (Techn. Transl. /
’ NASA; F — 40).
179 Puncture problem at cosmic velocities 11 ARS Journal. 1960. Vol. 30. N 4. P. 386—
’ 388.
1961
180. Замечательный подарок съезду партии II 25 часов в космическом полете: Мате-
риалы, опубл, в газ. «Правда». М.: Правда, 1961. С. 314.
181. О направленном метании грунта при помощи ВВ // Народнохоз. использ. взрыва.
1961. № 17. С. 3—4. Совм. с В. М. Кузнецовым, Е. Н. Шером.— На обл. загл.:
Учен. сов. по народнохоз. использ. взрыва. Ротапринт.
182. Проникаем в тайны Вселенной// Правда. 1961. 14 апр.
183. Снова в космосе — Советский гражданин // Правда, 1961. 8 авг.
184. Ученый с мировым именем: К 70-летию со дня рождения Н. И. Мусхелишвили//
Заря Востока. 1961. 16 февр. Совм. с С. Соболевым.
185. Выступление на Общем собрании Академии наук СССР по докладам М. В. Кел-
дыша «XXI съезд Коммунистической партии Советского Союза и задачи Акаде-
мии наук СССР» и А. В. Топчиева «О состоянии и подготовке научных кадров
в свете новых задач Академии наук СССР». // Вести. АН СССР. 1961. № 12.
С. 54-55.
186. Сибирь — край большой науки: Интервью// Сиб. огни. 1961. № 10. С. 46—48.
187. Так открываются новые дали: О науч, центре в Сибири//Вокруг света. 1961.
№ 10. С. 16—17.
188. Чедесныйкрай с большим будущим: О развитии нар. хоз-ва Сибири И Мол. ком-
мунист. 1961. № 12. С. 21—31.
189. Документ, взволновавший весь мир // За науку в Сибири. 1961. 8 авг. (О проекте
Программы КПСС).
190. За комплексное решение крупных проблем И Там же. 10 окт.
191. За первое место в мире: Беседа// Сов; Сибирь. 1961. 23 сент.
192. Задача ответственная, благородная: Тез. докл. «Итоги работы XXII съезда КПСС
и задачи СО АН СССР» И За науку в Сибири. 1961. 28 нояб.
193. Искать таланты // Коме, правда. 1961. 19 нояб.
194. Непременные условия успеха: К полету первого в мире косм, корабля «Восток» //
Сов. Сибирь. 1961. 30 июня.
195. Обязательства ученых Сибири: В честь XXII съезда КПСС// Сов. Сибирь. 1961.
29 марта. Совм. с Г. С. Мигиренко, В. П. Сигорским.
196. Отдать себя борьбе за великое дело: Слово делегата XXII съезда КПСС //За науку
в Сибири. 1961. 21 нояб.
197. Расцветает наука в Сибири// Правда. 1961. 29 сент. (Обсуждение проекта Про-
граммы КПСС).
198. Светлый день коммунизма//Веч. Новосибирск. 1961. 10 нояб.
199. Сибирский центр науки: Беседа// Сов. Россия. 1961. 29 сент.
200. Синее море в горах: Оз. Иссык-Куль// Известия. 1961. 3 сент. Совм. с К. Кара-
кеевым, В. Бабахановым, Р. Забировым, К. Нишановым.
201. Ученые рапортуют съезду: О выполнении обязательств к XXII съезду КПСС//
Веч. Новосибирск. 1961. 25 окт.; Сов. Сибирь. 1961. 26 окт.
202. Ред.: Проблемы механики сплошной среды: К 70-летию акад. Н. И. Мусхелишви-
ли. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 578 с.
1962
203. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического
типа. М.: Изд-во АН СССР, 1962. 136 с.
204. Some boundary problems in potential theory // Intern. Congr. Math. Shtockholm,
1962: Abstr. Short Commun. Uppsala, 1961. P. 193.
205. Важные проблемы организации науки: Речь на Пленуме ЦК КПСС 22 нояб.
1962 г. // Вести. АН СССР. 1962. № 12. С. 15—18.
206. Выступление на сессии Верховного Совета СССР о дальнейшем развитии науки
в Сибири и на Дальнем Востоке И Бюл. совмест. заседания Совета Союза и Со-
вета национальностей. 1962. № 2. С. 50—53.
207. Выступление на Общем собрании Сибирского отделения АН СССР, 26—27 янв.,
Новосибирск//Вести. АН СССР. 1962. №4. С. 78-81.
Научная деятельность М.А. Лаврентьева
37
нлс Итоги XXII съезда КПСС и задачи научных учреждений Сибирского отделения
208‘ АН СССР // Изв. СО АН СССР. 1962. № 4. С. 3-4.
оно К теории пространственных отображений // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, №5
2 С. 710—714.
210 О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа // Там же. С. 715—
* 728.
211. Об одном принципе создания тяговой силы для движения//Журн. прикл. ме-
ханики и техн, физики. 1962. № 4. С. 3—9. Совм. с М. М. Лаврентьевым.
212 Год спустя: Новая программа КПСС претворяется в жизнь // Сов. Союз. 1962.
№ Ю. С. 5.
213. Искать таланты// Нар. образование. 1962. № 1. С. 40.
214. Сибирь — край большой науки И Наука и жизнь. 1962. № 1. С. 2—3.
215. Выступление на заседании Президиума АН СССР в Новосибирске 29 сентября
1961 г. По вопросу открытия Сибирского центра // Там же. С 5.
216. Пусть научное слово, обращенное к народу, звучит все громче и громче! // Там
же. С. 71.
217 Сибирская олимпиада: О проведении Всесиб. Физ.-мат. олимпиады//Огонек.
1962. № 28. С. 30—31.
218. Таланты надо уметь открывать// Техника — молодежи. 1962. № И. С. 14.
219. В дружбе с учеными: Беседа// Правда. 1962. 18 мая. Совм. с Г. И. Будкером,
Ю. И. Журавлевым.
220. Восточнее Урала...: Роль науки в развитии производит, сил Сибири и Дальнего
Востока // Правда. 1962. 31 окт. Совм. с А. А. Трофимуком.
221. Главный смысл жизни: О подборе молодых науч, кадров // Там же. 18 марта.
222. Кадры большой науке И Известия. 1962. 18 нояб.
223. Коллективный разум и опыт // Веч. Москва. 1962. 26 нояб.
224. Курс на Восток!: Из опыта работы СО АН СССР // Правда. 1962. 4 мая. Совм.
с И. Н. Векуа.
225. Разрез Земли: Интервью / Вела Н. Лазарева// Неделя. 1962. 4—10 февр. С. И.
(О глубинном изучении Земли на территории Сибири).
226. Речь на заседании Верховного Совета СССР. О выработке проекта новой Кон-
ституции СССР // Известия. Моск. веч. вып. 1962. 26 апр.; Правда. 1962. 25 апр.;
Сов. Сибирь. 1962. 28 апр.
227. Речь на Пленуме ЦК КПСС // Правда. 1962. 23 нояб.
228. Sur quelques problemes frontiers pour les systemes elliptiques. Novosibirsk, 1962.
46 p. (Acad. sci. d’URSS. Sect, de la Siberie).
1963
229. Речь на Пленуме ЦК КПСС // Пленум ЦК КПСС, 19—23 нояб. 1962 г.: Стеногр.
отчет. М., 1963. С. 332—337.
230. Чудесный край: Интервью // Приметы времени. М., 1962. С. 56—65.
231. Алексей Николаевич Крылов. 1863—1963: К 100-летию со дня рождения// Су-
достроение. 1963. № 8. С. 1—4. Совм. с Л. Д. Кудрявцевым.
233. Выступление по докладу П. Н. Федосеева «Наука и идеологическая жизнь» на
Общем собрании Академии наук СССР 4 июля 1963 г. И Вестн. СССР. 1963. № 8.
С. 31-34.
234. Математические вопросы гидродинамики жидкости со свободными границами //
Журн. прикл. механики и техн, физики. 1963. № 4. С. 3—16. Совм. с Ю. П. Кра-
совским, Н. Н. Моисеевым, А. М. Тер-Крикоровым, А. Б. Шабатом.
235. Основные итоги научной и научно-организационной деятельности Сибирского
отделения АН СССР в 1962 году: Крат, излож. И Вестн. АН СССР. 1963. № 3.
С. 73-76.
236. Сибирский эксперимент: Беседа // Сов. Союз. 1963. №12. СИ—17.
237. Теснее связь с жизнью// Агитатор. 1963. № 1. С. 45—49.
^38. Вклад ученых Сибири// Правда. 1963. 16 дек. (В поход за большую химию).
239. Вступительное слово на открытии советско-американского симпозиума по диф-
ФеРенциальным уравнениям// За науку в Сибири. 1963. 26 авг.
340. Корифей науки о кораблестроении: К столетию со дня рождения акад. А. Н. Кры-
л°ва // Правда. 1963. 15 авг. Совм. с П. А. Фаворовым.
341. На переднем крае: Основ, пробл. работ Сиб. науч, центра// Известия. 1963. 13 нояб.
342. Приглашение в науку: Интервью / Вел С. Гущев // Коме, правда. 1963. 17 авг.
38 Научная деятельность М. А. Лаврентьева
243. Смелее выдвигать молодежь // За науку в Сибири. 1963. 9 дек.
244. Факел таланта: Развитие математики и подгот. кадров // Известия 1963. 24 марта.
Совм. с С. Соболевым, И. Векуа, Д. Ширковым, А. Ляпуновым.
245. Variational methods for boundary-value problems for systems of elliptic equations.
Groningen: Noordhoff, 1963. 150 p.
246. Boundary problems in the theory of univalent functions П Amer. Math. Soc. Transl.
Ser. 2. 1963. Vol. 3. P. 1-35.
1964
247. К теории отображений трехмерных областей И Сиб. мат. журн. 1964. Т. 5, № 3.
С. 596-602.
248. Об одной задаче на склеивание// Там же. С. 603—607.
249. Развитие науки на Востоке страны// Вестн. АН СССР. 1964. 6. С. 3—11.
250. Встречи с учеными // Наука и жизнь. 1964. № 4. С. 10—12.
251. Математика плавания// Техника — молодежи. 1964. № 6. С. 1—2.
252. Вам, Ньютоны атомного века // Коме, правда. 1964. 12 нояб.
253. Время ученого — народное богатство: Заметки о резервах сов. науки // Извес-
тия 1964. 11 июля.
254. Две важнейшие проблемы// За науку в Сибири. 1964. 30 нояб.
255. Задачи огромной важности: Выступление на Всесоюз. семинаре секретарей коме,
орг. и пред. Советов мол. ученых// Там же. 15 июня.
256. Комментарий к статье В. Живодерова, Б. Казанского и В. Самохвалова «Кто
поднимет факел науки?» И Сов. Россия. 1964. 20 июня.
257. Научно-технический прогресс и требования к среднему общему образованию:
Докл. на науч.-практ. конф, учителей: Крат, излож. И Учит. газ. 1964. 31 марта.
258. Сплав теории и практики: О выдвижении работ В. М. Глушкова на соиск. Ле-
нинской премии // Известия. 1964. 8 апр. Совм. с Н. Боголюбовым, С. Лебедевым,
Б. Петровым.
259. Шагая в будущее // Известия. 1964. 17 апр.
260. Юные математики ждут задач// Там же. 18 марта. Совм. с Д. Ширковым.
1965
261. Методы теории функций комплексного переменного. 3-е изд., испр. М.: Наука,
1965. 716 с. Совм. с Б. В. Шабатом.
262. Беречь время ученого // Организация и эффективность научных исследований.
Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1965. С. 4—12.
263. Нет ученых без учеников И Один раз в жизни. М.: Новости, 1965. С. 227—229.
264. За дальнейшее развитие исследований в области физики горения и взрыва //
Науч.-техн, пробл. горения и взрыва. 1965. № 1. С. 3—4.
265. О некоторых загадках природы//Наука и жизнь. 1965. № 7. С. 9.
266. Взрыв — труженик: К присуждению Ленинской премии Б. В. Войцеховскому,
Р. И. Солоухину и Я. К. Трошину за исслед. детонации в газах// Труд. 1965.
24 апр.
267. Горение и взрыв // Известия. 1965. 8 янв. Совм. с В. Воеводским.
268. Наука и сегодняшний день // Труд. 1965. 5 янв. Совм. с Г. Горбачевым.
269. Неотложный вопрос: Освоение и изуч. Зап.-Сиб. низменности И Экон. газ. 1965.
№ 24. С. 13.
270. Новое математическое направление // Правда. 1965. 8 апр. Совм. с В. М. Глуш-
ковым, С. Л: Соболевым.
271. Пополнение сибирского научного центра // Правда. 1965. 5 янв. Совм. с Б. Вой-
цеховским, О. Васильевым.
1966
272. Краевые задачи и квазиконформные отображения // Современные проблемы
теории аналитических функций: Междунар. конф, по теории аналит. функций,
Ереван, 1965 г. М.: Наука, 1966. С. 179—183.
273. О некоторых задачах движения жидкости при наличии свободных поверхно-
стей// Прикл. математика и механика. 1966. Т. 30, № 1. С. 177—182.
274. Поздравление в связи со столетием научно-технических обществ СССР И Науч.-
техн. о-ва СССР. 1966. № И. С. 6.
275. Письмо в редакцию: По поводу задач по механике, предлож. авт.// Наука и
жизнь. 1966. № 1. С. 48—49.
Научная деятельность М. А, Лаврентьева
3^
976 Вожатый прогресса: Сиб. ученые поддерживают почин ленинградцев развер-
нуть смотр достижений науки и техники//Сов. Россия. 1966. 22 окт.
277 Время больших свершений И Труд. 1966. 26 марта.
278 Кадры большой науки // Известия. 1966. 26 июля.
970 Ключи к сибирским кладовым: Пробл. освоения Сибири и Дальнего Востока Ц
Лит. газ. 1966. 16 апр.
280. Математика сегодня // Правда. 1966. 15 авг. Совм. с Н. Н. Боголюбовым.
281. Мы идем проспектом Науки//Моск, правда. 1966. 12 апр.
282. Наука и темпы века // Известия. 1966. 18 янв.
283^ Поиск, труд, успех: О Новосиб. науч, центре // Веч. Новосибирск, 1966. 24 июня.
284* Рычаги прогресса И За науку в Сибири. 1966. 15 марта. (Обсуждение проекта
Директив XXIII съезда КПСС).
285. Сокровища Сибири // Правда. 1966. 31 марта.
286. Усилить борьбу с лесными пожарами // Лесн. пром-сть. 1966. 17 мая. Совм.
с А. Б. Жуковым, Н. П. Курбацким.
1967
287. О научном центре Сибири: Осн. направления науч, исслед. в СО АН СССР на
1967 г. И Октябрь и научный прогресс. М.: Изд-во Агенства печати «Новости»,
1967. Кн. 2. С. 597—612.
288. Наука и писатели//Шаги. 1917—1967. Новосибирск, 1967. С. 294—299.
289. Приветствие Сибирского отделения Академии наук СССР // Материалы III Все-
союз. межвед. совещ. по геокриологии (мерзлотоведению). Ябутск, 1967. Вып. 1:
Материалы пленар. заседаний. С. 10—11.
290. В Казанском и Московском университетах // Успехи мат. наук. 1967. Т. 22,
вып. 6. С. 54—55.
291. 10-летие Сибирского отделения Академии наук СССР//Вести. АН СССР. 1967.
№ 6. С. 5-13.
292. Будущее Сибири, ее пути и проблемы//Техника — молодежи. 1967. № 3. С. 1.
293. Наука и темпы XX века//Огонек. 1967. № 35. С. 2 (обл.)—1.
294. 700 000 ученых в СССР в 1967 году // Курьер ЮНЕСКО. 1967. № 130. С. 31-32,
34—37.
295. Год сибирской науки//За науку в Сибири. 1967. 3 янв.
296. Молодая наука Сибири // Моск, правда. 1967. 21 сент.; Сов. Сибирь. 1967. 7 нояб.
297. Предисловие к ст. О. Петрова «Крутой пласт»// Правда. 1967. 31 марта.
298. Революционный марш науки: О сиб. отд-нии Акад, наук СССР И Труд. 1967.
11 нояб.
299. Речь на заседании Верховного Совета СССР: О гос. плане развития нар. хоз-ва И
Известия. 1967. 13 окт.
300. Сибирь — край науки И Там же. 25 мая.
301. Становление физиков: О системе подгот. специалистов в МФТИ // Известия.
1967. 13 апр. Совм. с А. Дородницыным, П. Капицей, С. Лебедевым, Н. Семе-
новым.
302. Техника высоких широт: К вопр. о создании морозостойкости техники и мате-
риалов // Известия. 1967. 7 сент. Совм. с Е. Кущевым.
303. Methoden der komplexen Funktionentheorie. В.: VEB Dt. Verl. Wiss., 1967.
845 S. (Math. Naturwiss. und Techn.; Bd. 13). In Gemeinschaft mit B.W. Schabat.
304. On the theory of quasi-conformal mapping of three-dimensional domains // J. Anal.
Math. 1967. Vol. 19. P. 217—225.
305. Akademgorodok et le developpement de la Siberie // Impact. Sci. et Soc. 1967.
Vol. 17, N 4. P. 337—343.
1968
306. Наука в Сибири//Проблемы повышения эффективности научно-исследователь-
□ ск°й работы. Новосибирск: ИГД СО АН СССР. 1968. Ч. 1. С. 6—10.
чло’ БеРечь время ученого// Науч.-те\н. о-ва СССР. 1968. № И. С. 1—3.
ЭД. Развитие науки в Сибири// Вестн. АН СССР. 1968. № 6. С. 5—13.— То же//
За науку в Сибири. 1968. 19 марта.
’ЗОЭ. Сергей Львович Соболев: К шестидесятилетию со дня рождения // Успехи мат.
□ . наук. 1968. Т. 23, вып. 5. С. 177—186. Совм. с А. В. Бицадзе, Л. В. Канторовичем.
t310. Спутник города науки// Неделя. 1968. № 7. С. 12—13.
40
Научная деятельность М. А. Лаврентъева
311. Большая встреча: Из вступ. слова на годич. собр. СО АН СССР И За науку
в Сибири. 1968. 20 февр.
312. Будущее для Вас//Там же. 2 апр.
313. Воспитательные задачи школы // Коме, правда. 1968. 13 марта.
314* День Сибири: Общ. собр. АН СССР, Москва, март 1968 г.: Обзор работы//Из-
вестия. 1968. 8 марта.
315. Молодежь и наука 7/ Известия. 1968. 25 мая.
316. Научный центр Сибири: Сообщ. об общ. собр. АН СССР, посвящ. 10-летию СО
АН СССР // Правда. 1968. 8 марта.
1969
317. Вступительное слово // Защита приоритета и государственных интересов в обла-
сти открытий и изобретений. М.: Госком. СССР по делам изобрет. и открытий,
1969. С. 3—4.
318. Краткий очерк научной, научно-организационной, педагогической и обществен-
ной деятельности академика С. Л. Соболева // Сергей Львович Соболев: К шести-
десятилетию со дня рождения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. С. 3—8.
Совм. с Л. В. Канторовичем, А. В. Бицадзе.
319. Леонид Иванович Седов // Проблемы гидродинамики сплошной среды: К шести-
десятилетию акад. Л. И. Седова. М.: Наука, 1969. С. 5—9.
320. Наука в Сибири//Наука и человечество: Междунар. ежегодник, 1969. М.:
Знание, 1969. С. 67—87.—То же//Науч, мысль: Вестн. АПН. 1969. Вып. И.
С. 1—15. Совм. с А. А. Трофимуком.
321. О подготовке научных кадров // Наука сегодня. М.: Мол. гвардия, 1969.
С. 134—137. Совм. с А. А. Дородницыным, П. Л. Капицей, С. А. Лебедевым,
Н. Н. Семеновым.
322. Проблемы гидродинамики и их математическая постановка: Докл. на XII Меж-
дунар. конгр. по прикл. механике, 26—31 авг. 1968 г. в Станфорде (США):
Крат, излож.// Вестн. АН СССР. 1969. № 1. С. 98.
323. Наука и темпы века: Докл. на Всесоюз. науч. конф, по развитию и размещению
производит, сил Сибири, Новосибирск, 1969 И Сиб. огни. 1969. № 8. С. 121—124.
324. Разум должен победить безумие! Письмо сов. ученых // Наука и жизнь. 1969.
10. С. 25.— То же // Новое время. 1969. № 21. С. 5. Под загл. «Письмо совет-
ских ученых». Совм. с М. В. Келдышем, М. Д. Миллионщиковым, А. П. Вино-
градовым и др.
325. Сибирское отделение АН СССР. // Смена. 1969. № 20. С. 4.
326. Сибирь научная // Огонек. 1969. Кг 39. С. 15.
327. Ученые и научно-технический прогресс И Агитатор. 1969. № 24. С. 19—22.
Совм. с М. Чемодановым.
328. Молодым — наша забота // За науку в Сибири. 1969. 30 июля.
329. Ориентир — практика: О пробл. использ. науч.-техн, достижений в пр-ве //
Соц. индустрия. 1969. 14 дек.
330. Ровеснику Сибирской академии: К 10-летию Новосиб. гос. ун-та // За науку
в Сибири. 1969. 15 окт.
331. Ускорение времени// Коме, правда. 1969. 18 июля.
332. Флагман вычислительной техники: Электронная машина БЭСМ-6 И Известия.
Моск. веч. вып. 1969. 15 сент. Совм. с В. Глушковым, Г. Марчуком.
333. Школа и поиск призвания // Труд. 1969. 7 мая.
334. Эффективность труда ученого /7 Там же. 21 авг.
335. Les problemes de I’hydrodynamique et les modeles mathematiques//Applied
mechanics: Proc. XII Intern. Congr. Appl. Meeh., Stanford Univ., Aug. 1968.
B. etc., 1969. P. 43—49.
336. Ред.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды: К шестидесятиле-
тию академика Л. И. Седова. М.: Наука, 1969. 680 с.
1970J
337. Что умеет взрыв? // Эврика-1970: Сборник-ежегодник. М., 1970. С. 337—341.
338. Виталий Арсеньевич Диткин: К шестидесятилетию со дня рождения // Успехи
мат. наук. 1970. Т. 25, вып. 5. С. 253—258. Совм. с А. А. Дородницыным,
Л. А. Люстерником, А. П. Прудниковым.
Научная деятельность М. А. Лаврентъева
41
□од Второй Международный коллоквиум по газодинамике взрыва и реагирующих
систем, Новосибирск, 24—29 авг. 1969 г. // Физика горения и взрыва. 1970.
Т. 6, № 1- С. 137—141. Совм. с Р. И. Солоухиным, М. Е. Топчияном.
340 Северу — могучую технику//Науч.-техн. о-ва СССР. 1970. №5. С. 18—19.
' Совм. с Е. Кущевым.
341. Наука в Сибири: Отрывки из ст., подгот. к опубл, в сб. «Наука и человечество».
1969. // Природа. 1970. № 1. С. 2—6. Совм. с А. А. Трофимуком.
342. Следуя ленинским традициям // Техника и вооружение. 1970. № 2. С. 30.
343. Школа и поиск призвания// Спутник. 1970. № 2. С. 49—51.
344. Вклад ученых Сибири // Красная звезда. 1970. 30 дек.
345. Дружба и сотрудничество: Приветств. речь на встрече президента Франции
Ж. Помпиду в Новосибирске // Правда. 1970. 11 окт.— То же под загл. «Радуш-
ные встречи» // Соц. индустрия. 1970. 11 окт.— То же под загл. «Теплые встре-
чи»//Известия. 1970. 11 окт.
346. Молодость древней науки // За науку в Сибири. 1970. 18 марта; Сов. Сибирь.
1970. 20 марта.
347. По единому руслу // Соц. индустр. 1970. 19 нояб. (Связь науки с производством).
348. По планам ленинского века // Сов. Сибирь. 1970. 24 апр.
349. Siberie de Гап 2000 //Etud. sov. 1970. N 262. P. 48.
350. Ред.: Ленин и современная наука: В 2 кн. М.: Наука, 1970. Кн. 1: Ленинские
идеи и современное общество. 458 с.; Кн. 2. Ленинские идеи и современное есте-
ствознание. Расцвет науки в союзных республиках. 659 с. Совм. с др.
1971
351. Магистрали сибирской науки//Культура и жизнь. 1971. № 6. С. 7—8; Изве-
стия. 1971. 13 февр.
352. Наука — важнейшая производительная сила общества// Сов. профсоюзы. 1971.
№ 6. С. 19-20.
353. О взрывах, побочных эффектах и новой технике// Техника — молодежи. 1971.
№ 7. С. 5—6.
354. Выдающийся математик и организатор науки: Докл. на торжеств, заседании
посвященном 80-летию акад. Н. И. Мусхелишвили, Тбилиси, 24 сент. 1971 г. /'
Заря Востока. 1971. 25 сент.
355. Из вступительного слова на общем собрании СО АН СССР 23 февраля 1971 года И
За науку в'Сибири. 1971. 3 марта.
356. Наука. Научно-технический прогресс. Кадры//Сов. Сибирь. 1971. 27 июля.
357. Неувядающий талант: К 80-летию президента АН ГССР акад. Н. И. Мусхелиш-
вили//Известия. 1971. 24 сент.
358. С мыслью о судьбах науки// Заря Востока. 1971. 24 сент.
359. Юбилей президента Академии наук СССР: К 60-летию со дня рождения
М. В. Келдыша//За науку в Сибири. 1971. 10 февр.
1972
360. Некоторые проблемы геометрической теории функций // Тр. Мат. ин-та
им. В. А. Стеклова. 1972. Т. 128. С. 34—40. Совм. с П. П. Белинским.
361. Мозговой центр Сибири// Науч.-техн. о-ва СССР, 1972. С. 4—6.
362. Наука, техника, образование И Наука и жизнь. 1972. № 3. С. 99—103.
363. Развитие науки в Сибири и на Дальнем Востоке: Из речи на общ. собр.
АН СССР 2 ноябр. 1957 г. // Сов. архивы. 1972. № 6. С. 60—61.
364. Страна передовой науки// Техника и вооружение. 1972. № 12. С. 15—45. Совм.
с Б. Патоном, Н. Борисевичем, А. Садыковым и др.
час* К°го’ чемУ и как учить? // Неделя. 1972. № 3. С. 18.
Зоб. Будущее электронного мозга: Перспективы развития и применения ЭВМ //
Известия. 1972. 5 нояб.
^67. Взлет науки И Сов. Латвия. 1972. 29 нояб.
Чпо Высокое назначение науки//Сов. Сибирь. 1972. 21 дек.
Ч7о Кадры для науки и производства // Труд. 1972. 23 февр.
3'0. На переднем крае науки И Сов. Белоруссия. 1972. 7 дек.; Сов. Литва. 1972.
8 дек.; Тувин. правда. 1972. 7 дек.; Коммунист. 1972. 7 дек.: Под загл. «Наука»;
Коммунист Таджикистана. 1972. 9 дек. Под загл. «На переднем рубеже науки»;
Туркм. искра. 1972. 30 нояб.
42 Научная деятельность М. А. Лаврентьева
371. На передовых рубежах науки// Веч. Новосибирск. 1972. 1 дек.; Забайкал. рабо-
чий. 1972. 1 дек.
372. Понять друг друга: Выступление на науч.-практ. конф, в марте 1972 г. // Сов.
Сибирь. 1972. 29 марта; За науку в Сибири. 1972. 5 апр.
373. Решает качество И Правда. 1972. 10 апр.
374. «Сибирская академия»// Горьк. правда. 1972. 30 дек.; Забайкал. рабочий. 1972.
5 дек.
375. Сибирь: Новые горизонты науки: Ответы на вопр. корр. ТАСС И Правда Буря-
тии. 1972. 5 янв.
376. Этапы большого пути: Интервью // За науку в Сибири. 1972. 27 дек.
377. Un modele//С. г. hebd. seances Acad. sci. Ser. A. 1972. T. 275, N 4. P. 296—299.
378. Glimpses of Siberia. M.: Прогресс, 1972. P. 254—257. ,
379. Sziberia tegnap, ma es holnap: Interju / frnett B. Banyasz// Orszag-vilag. 1972.
XVI evf., Li 35. Old. 7.
1973
380. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.
Совм. с Б. В. Шабатом.
381. Механика сплошной среды и ее математические модели//Тр. Симпоз. по меха-
нике сплош. среды и родств. пробл. анализа. Тбилиси: Мецниереба, 1973. Т. 1.
С. 153—164.
382. Наука, практика, кадры // Наука и управление: В помощь лектору. М.: Знание,
1973. С. 26—31. На тит. л. авт.: Д. М. Гвишиани, В. М. Глушков, М. А. Лав-
рентьев.
383. Модель движения рыб, ужей // Журн. прикл. механики и техн, физики. 1973.
№ 2. С. 164—165.
384. На передовых рубежах науки И Сов. Молдавия. 1973. 3 дек.
385. Приветствие участникам II Международной конференции по мерзлотоведению //
За науку в Сибири. 1973. 18 июля.
1974
386. Вступительное слово И Лекции по физике для учащихся Летней физико-матема"
тической школы при НГУ. Новосибирск, 1974. Вып. 1: Всесиб. шк. олимпиада-
c. 3-10.
387. Наука, техника, образование//Математическое образование сегодня. М., 1974.
С. 53-62.
388. Николай Николаевич Лузин// Успехи мат. наук. 1974. Т. 29, вып. 5. С. 177 —
182.
389. Большая наука — пятилетке // Красная звезда. 1974. 24 янв.
390. Выступление на годичном общем собрании СО АН СССР: Крат, излож.// За
науку в Сибири. 1974. 6 марта.
391. Из выступления на XVII Новосибирской областной партийной конференции
27 февраля 1974 года // Сов. Сибирь'. 1974. 1 марта.
392. Наука — производство // Соц. индустрия. 1974. 21 ноябр. Совм. с А, П. Филато-
вым, Г. И. Марчуком. f
393. Наука должна способствовать счатью человечества // За науку в Сибири. 1974.
20 февр.
394. Научный мост «Болгария—Сибирь»: Интервью И Сов. Сибирь. 1974. 27 июня.
395. Не славы ради, а пользы для...: Ответы на вопр. кор. журн. «ЭКО»//Алт.
правда. 14 мая.
396. Расширяются горизонты научного сотрудничества: Из выступления на торжеств,
собр. // За науку в Сибири. 1974. 20 нояб.
397. Российское могущество прирастает Сибирью: Из выступления на открытии выс-
тавки СО АН СССР в честь 250-летия АН СССР 14 июня 1974 г. // За науку
в С' бири. 1974. 26 июня.
398. Сибирский спектр // Известия. 1974. 6 нояб.
399. Учитесь думать! // За науку в Сибири. 1974. 13 февр.
1975
400. Механика и научно-технический прогресс: Докл. на юбил. сес. АН СССР, посвящ.
250-летию АН СССР. М.: Б. и., 1975. 24 с.
Научная деятельность М. А . Лаврентьева
43
Воспоминания о работе над кумулятивными снарядами в годы Великой Отечест-
401 венной войны // Операция «Салют, Победа!». Новосибирск; Наука. Сиб. отд-ние,
1975. С. 49—51.
,02 Приветствие участникам II Международной конференции по мерзлотоведению //
II Междунар. конф, по мерзлотоведению: Докл. и выступления. Якутск, 1975.
Вып. 8: Пробл. мерзлотоведения. С. И—12.
403 К теории длинных волн // Журн. прикл. механики и техн, физики. 1975. № 5.
’ С. 3-46.
404. Бойцы вспоминают минувшие дни...: Воспоминания о создании кумулятивного
снаряда в годы Великой Отеч. войны // Техника и наука. 1975. № 11. С. 30—32.
Совм. с В. М. Кононенко, Ф. П. Полыниным.
405. Главный стимул: Состояние науки в Сибири // За науку в Сибири. 1975. 26 июня.
406: Годы высокого напряжения творческих сил // Там же. 8 мая.
407. Какие машины нужны Северу // Труд. 1975. 13 нояб.
408. Мощная производительная сила: Из выступления на юбил. сес. // Там же. 19 окт.
409. Событие необычайной важности Ц За науку в Сибири. 1975. 24 июня.
410. Akademgorodok: Statte der wissenschaftlichen Begegnung//UdSSR-BRD. Gegen-
wart und Zukunft der Zusammenarbeit. S. 1, 1975. S. 78—82.
411 Ecole de jeunes mathematiciens en Siberie // Perspectives. 1975. T. 5, N 2.
P. 157—175.
1976
412. Механика и научно-технический прогресс: Докл. на юбил. сес. Секции физ.-техн,
и мат. наук Президиума АН СССР, окт. 1975 г. // Вестн. АН СССР. 1976. № 1.
С. 44-55.
1977
413. Проблемы гидродинамики и их математические модели. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
407 с. Совм. с Б. В. Шабатом.
414. Движение жидких и газовых масс со свободными поверхностями // Фундамен-
тальные исследования: Физ.-мат. и техн, науки. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-
ние, 1977. С. 251—254. Совм. с Л. В. Овсянниковым, В. Н. Монаховым, С. Н. Ан-
тонцевым и др.
415. Исследование соударений твердых тел в космическом диапазоне скоростей //
Там же. С. 255—258. Совм. с В. М. Титовым, Ю. И. Фадеенко, Л. А. Мержиев-
СКИМ и др.
416. Сварка металлов взрывом // Там же. С. 259—262. Совм. с А. А. Дерибасом,
Е. И. Биченковым, М. П. Бондарь и др.
417. Механика и научно-технический прогресс // 250 лет Академии наук СССР:
Документы и материалы юбил. торжеств. М.: Изд-во АН СССР, 1977. С. 240—253.
418. Агитируем за свой опыт...: Отрывки из выступлений//Экономика и орг. пром,
пр-ва. 1977. № 3. С. 21-23.
419. К семидесятилетию академика Леонида Ивановича Седова И Космич исслед.
1977. Т. 15, № 6. С. 803—808.
420. Так начинался Академгородок... Ц Коме, правда. 1977. 14 мая.
421. Механика сплошных сред и ее математические модели // Теоретична и приложна
механика: Трети Нац. конг. по теор. и прил. механика, Варна, 1977: Докл. С.,
1978. Кн. 3. С. 25-33.
1978
422. Алексей Иванович Маркушевич: К 70-летию со дня рождения // Успехи мат.
наук. 1978. Т. 33, вып. 4. С. 229—235. Совм. с П. С. Александровым, Д. Е. Мень-
шовым, Б. В. Шабатом.
423. Проблемы, над которыми я работал...: Докл. на годич. общ. собр. АН СССР,
Москва, март 1978 г. // Вестн. АН СССР. 1978. № 6. С. 45—49.
1979
424. Предисловие // Теоретическая и прикладная механика: Тр. Междунар. конгр.
ЮТАМ. М., 1979. С. 5-8.
425. Опыты жизни. 50 лет в науке: Мемуары // Экономика и орг. пром, пр-ва. 1979.
№ 7. С. 110-126; № 8. С. 133-145; № 9. С. 137—149; № 10. С. 192-205. № И.
С. 169-180. № 12. С. 153—168.
44
Научная деятельность М. А. Лаврентьева
426. КПД творческого общения: Ответы на вопр. анкеты «Лит. газ.» //Лит. газ. 1979.
1 янв. С. 13.
427. Наука. Технический прогресс. Кадры Ц За науку в Сибири. 1979. 20 сент.
1980
428. Наука. Технический прогресс. Кадры: Сб. ст. и выступлений. Новосибирск:
Наука, Сиб. отд-ние, 1980. 290 с.
429. Приглашение в науку//Ленин, наука, молодежь. М., 1980. С. 209—212.
430. ...Прирастать будет Сибирью. М.: Мол. гвардия, 1980. 175 с.
431. Люстерник Лазарь Аройович: К восьмидесятилетию со дня рождения // Успехи
мат. наук. 1980. Т. 35, вып. 6. С. 3—8. Совм. с П. С. Александровым, М. И. Ви-
шиком, В. А. Диткиным и др.
432. Суворов Георгий Дмитриевич: К шестидесятилетию со дня рождения // Там же,
вып. 2. С. 247—248. Совм. с П. П. Белинским, В. И. Белым, В. Я. Гутлянским
и др.
433. Задачи ставит Сибирь: Навстречу XXVI съезду КПСС // Наука и жизнь. 1980.
№ 9. С. 2-10.
434. На завтра и навсегда...: Отрывки из выступлений, ст., писем// Сел. молодежь.
1980. № 10. С. 20—24.
435. Опыты жизни. 50 лет в науке: Мемуары Ц Экономика и орг. пром, пр-ва. 1980.
№ 1. С. 142-156; № 2. С. 138-147; № 3. С. 164-180; № 4. С. 192-206; № 5.
С. 139-155; № 6. С. 173-188.
436. Поиск жизненно необходим: О совершенствовании под гот.: школьников к поступ-
лению в вузы // Сов. Россия. 1980. 21 февр.
1981
437. Задачи ставит Сибирь// К великой цели. М.: Мол. гвардия, 1981. С. 179—187.
438. Воспоминания о М. В. Келдыше: К 70-летию со дня рождения // Природа. 1981.
№ 2. С. 91—93.
1982
439. ...Прирастать будет Сибирью. 2-е изд. Новосибирск: Зап.-Сиб. кн. изд-во, 1982.
175 с.
440. Опыты жизни. 50 лет в науке// Советские ученые. Очерки и воспоминания. М.:
Изд-во Агенства печати «Новости», 1982. С. 232—276.
441. Первые 10 лет. О научном центре Сибири // Экономика и орг. пром, пр-ва. 1982.
№ 5. С. 4-13.
442. Так начинался Академгородок... // Веч. Новосибирск. 1982. 5 июня.
I
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
1
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ГОМЕОМОРФНЫХ
МНОЖЕСТВ*
Говорят, что два множества гомеоморфны, если между их элементами
можно установить взаимно непрерывное и взаимно однозначное соответ-
ствие.
Естественно ставится вопрос о том, чтобы знать, можно ли определить
соответствие такого же характера между точками двух крайне простых
множеств, содержащих данные множества, чтобы это соответствие совпа-
дало с первым для точек двух данных множеств.
Я намерен дать здесь утвердительный ответ на этот вопрос, затем я
займусь некоторыми приложениями к известным в настоящее время
классам множеств. Основным принципом теоремы я обязан Н. Лузину.
1. Исследование гомеоморфных множеств. Мы рассматриваем только
линейные множества и используем обозначения Хаусдорфа: обозначим
через G класс открытых множеств, F — класс замкнутых множеств; обо-
значим через G& класс множеств, получающихся пересечением счетного
множества множеств типа G.
В этих обозначениях докажем следующую теорему:
Основная теорема. Если между двумя линейными множест-
вами, принадлежащими двум различным прямым, существует взаимно од-
нозначное и взаимно непрерывное соответствие, то можно продолжить
это соответствие до гомеоморфизма некоторых двух множеств типа G&,
заключающих данные множества.
В самом деле, пусть Е и S — гомеоморфные множества, первое из ко-
торых находится на оси х, а второе — на оси у. Пусть у = / (х) и х =
= ср (у) — гомеоморфное соответствие между этими множествами. По-
скольку функция / (х) определена на Е, она непрерывна во всех точках
Е по отношению к этому множеству; функция <р(у) обладает теми же
свойствами по отношению к множеству %. Возьмем объединение Е и его
производного множества £"; пусть, следовательно,
F - Е U Е',
F есть замкнутое множество; аналогично, пусть & = % (J Опреде-
лим на F функцию /♦ (х), равную lim inf f (z), при z ЕЕ E в каждой точке
z->x
х множества F. Определенная таким образом функция /* (х) совпадает
о / (х) для точек Е\ более того, она непрерывна в каждой точке Е по отно-
шению к F. Пусть Е* — множество точек непрерывности /* (х), Е С
* Fund. math. 1924. Т. 6. Р. 149—160.
46
Z. Теория функций
CZ Е* CZ F. По известной теореме множество Е* является множеством ти-
па Ge. Образуем также функцию ф* (у) и множество й* для множества f,
$ CZ CZ S'- Пусть Е** — множество точек Е*. для которых значения
/* (х) лежат в й*; имеем Е CZ Е** CZ Е* CZ F- Е** можно представить
как пересечение прообразов открытых множеств, составляющих й*, пе-
ресеченное с Z?*, поэтому Е** имеет тип Сб (подробнее — в [1]). Также
пусть й** есть множество точек у из й*, для которых ф* (у) CZ Е* \ име-
ем й CZ й** CZ й* GZ У; й** есть множество типа Сб. Сейчас мы до-
кажем, что множества Z?** и й** удовлетворяют предложенной теореме.
Достаточно показать, что уравнения у = /* (х) и х = ф* (у) дают го-
меоморфное соответствие между £** и й**. Пусть, в самом деле, х§ —
точка £'**. По определению £*** точка у0 = /* (х0) содержится в й*,
следовательно, точка у0 есть точка непрерывности функции ф* (у). С дру-
гой стороны, точка х{} есть точка непрерывности /♦ (х). Отсюда следует,
что ф* (у0) — #0, значит, поскольку х0 содержится в Z?**, у0 содержится
в й**. Совершенно аналогичные рассуждения показывают, что, если
ух — точка й**, точка xL — ф* (ух) содержится в Е** и /* fo) = уг Сле-
довательно, уравнения у = /* (х) и х = ф* (у) устанавливают взаимно
однозначное соответствие между Е** и й**. Кроме того, это соответствие
взаимно непрерывно, в силу непрерывности функций /* (х) и ф* (у), со-
ответственно на £*** и й**, что доказывает утверждение. Поскольку до-
полнение к множеству типа Сб имеет тип отсюда выводим следующее
утверждение.
Следствие. Если два множества гомеоморфны. их дополнения то-
же гомеоморфны с точностью до двух множеств Fc-
2. Приложение к типам Хаусдорфа. Напомним шкалу символов Хаус-
дорфа. Мы уже определили множества типа G, У7, Сб и Fo; счетные объе-
динения (пересечения) множеств Се (Fo) образуют множества типа
(ho (F<*). Вообще объединения (пересечения) множеств С(ба)пб и
Лсб)п ^(б-)п и ^(od)nJ образуют соответственно множества типа
G(60)’i+1 и F(c6)no ^(ва)пб И Лов)”+11-
В этих обозначениях мы докажем следующую теорему:
Теорема. Множество, гомеоморфное множеству определенного ти-
па. является множеством того же типа.
Для множеств типа F. G и Fo утверждение элементарно. Для мно-
жеств типа Сб она была доказана Брауэром [2]. Для множеств типа С(ба)п
и С(ба)Пб ее доказал Серпинский [3]. Мазуркевич [4] установил справед-
ливость утверждения этой теоремы для множества типа Fo&. Докажем ее.
Теорема верна для множества типа Fo = /^(o6)°o. Предположим ее
верной для^(аб)па и распространим ее на F(o6)n+i и F(o6)n+io-
Пусть Е — множество типа F(a6)n-i и пусть й гомеоморфно Е. Возь-
мем, как в основной теореме, множества £*** и й**. В силу определения
множества F^n+i имеем Е = П Е^. где Е^ (k = 1, 2, 3, . . .) есть мно-
жества типа ^(o6)na. Так как множество Е содержится в Е**. мы имеем
Е = (£** П EJ П (Я** П Е2) П . . . П (Я** П Е^ . . .
Если п 1, множества (£** р Е^) (к = 1, 2, 3, . . .) являются мно-
жествами типа Fo((Vn&, значит, множеству (Z?** р| Е^) соответствует не-
2. О представлении измеримых В-функций рядами полиномов
47
которое определенное множество, пусть типа ^(ов)«а; но пересечение
множеств (Л = 1, 2, I3,. .) есть следовательно, $ является мно-
жеством типа ^(a6)n+i. Если п = 0, множеству (£*** П Ек) соответству-
/^** П $\.), где есть множество типа Fo, так как пересечению $**
^множества типа F (замкнутого) соответствует пересечение $** и замк-
нутого множества; но пересечения множеств ($** Q <£k) (k = 1, 2, 3, . ..)
дают Й', значит £ есть множество типа Fa6.
Доказательство для множеств типа является непосредствен-
ным.
Совершенно аналогичные рассуждения доказывают утверждение для
множеств типа G(6a)n и G(6a)n6.
Без труда можно распространить символы Хаусдорфа на В-измеримые
множества трансфинитных классов. (Для символов G это сделано Серпин-
ским [3].) Для этих символов теорема верна, поскольку доказательство
совершенно аналогично.
3. Применение к дополнениям множеств типа (Л). (Относительно
определения и свойств множеств типа (Л) можно посмотреть заметку
Н. Лузина [5].) Известно из элементарных рассуждений, что множество,
гомеоморфное множеству типа (Л), есть множество типа (Л). Согласно
следствию основной теоремы, заключаем: всякое множество, гомеоморф-
ное дополнению множества типа (А), есть множество той же природы [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. Lavrentieff М. Contribution а 1а theorie des ensembles homeomorphes//G. г .
Acad. sci. 1924. T. 178. P. 187—190.
2. Brouwer L. E. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gehiets. Beweis des Jor-
danschen Satzen fur den n-dimensionalen Raum. Uber Jordansche Mannigfaltig-
keiten//Math. Ann. 1912. Bd. 71. Sw. 305—327.
3. Sierpinski W. Sur les ensembles mesurables В//C. r. hebd. seances Acad. sci.
1920. T. 171. P. 24—26.
4. Mazurkiewicz S. Sur 1’invariance de la notion d’ensemble F//Fund. math. 1921.
T. 2. P. 104—111.
5. Souslin M. Sur une difinition des ensembles mesurables В sans nombres transfi-
nis// C. r. hebd. seances Acad. sci. 1917. T. 164. P. 88—91.
5a. Lusin N. Sur la classification de M. Baire // Ibid. P. 91—94 .
6. Alexandroff V. I. Sur les ensembles complementaires aux ensembles (A)//Fund,
math. 1924. T. 5. P. 160—165 (164).
2
О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИЗМЕРИМЫХ Б-ФУНКЦИЙ
ТРАНСФИНИТНЫМИ РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ*
В заметке «О сходящихся трансфинитных последовательностях функ-
ций Бэра» [1] Серпинский поставил следующий вопрос: Можно ли пред-
ставить любую функцию класса 2 трансфинитным рядом полиномов?
Я дам здесь положительный ответ на этот вопрос, доказав следующее
уолее общее утверждение:
* Fund. math. 1924. Т. 5. Р. 123-129.
48
Z. Теория функций
Для того, чтобы функция была классами, необходимо и достаточно,
чтобы она была представима трансфинитным рядом полиномов типа (оа.
Лемма 1. Любая функция класса а (конечная или нет) может быть
рассмотрена как предел последовательности (типа со) ограниченных функ-
ций класса < а [2].
Чтобы доказать эту лемму, достаточно заменить всякую функцию
/п (х) последовательности функций класса < а, сходящейся к / (х), функ-
цией (х), равной fn (х), если | fn (х) | п, п, если fn (х) п, и —п,
если /п (х) < —п (что не изменяет класса, по Бэру).
Лемма 2. Любая ограниченная функция / класса а может быть рас-
смотрена как предел последовательности функций классов < а, каждая
из которых находится между границами f.
Если А и В — границы изменения /п то, чтобы доказать лемму, доста-
точно заменить /п (х) функцией, равной / (х), если А fn (х) В, А, ес-
ли fn (х) < А, и В, если (х) > В.
Лемма 3. Любая ограниченная функция f класса 1 является в конеч-
ном интервале пределом последовательности полиномов, каждый из кото-
рых находится между границами изменения f.
Пусть, в самом деле, А <1 / (х) В цри а х < Ь; / (х) = lim fn (х),
п—*оо
где /п (х) есть функции, непрерывные в (а, Ь).
Если п — произвольное данное натуральное число, положим
фп (*) = /п (я), если А + (В — А)1п < /п (х) < В — (В — Л)/п;
Фп (я) = А, если fn (х) < А + (В — Л)/и;
Фп {х) = В, если /п (х) > В — (В — Л)/п;
функции <рп (х), очевидно, будут непрерывными, и мы будем иметь
А + (В — А)1п «С <рп (ж) В — (В — А)/п (1)
и
lim <pn (х) = / (х). (2)
П—*оо
Но по теореме Вейерштрасса для функции <рп (х), непрерывной и ог-
раниченной в (а, Ъ), существует полином Рп (х), такой, что
I Фп (х) — Рп (х) | < (В — А)!п для а х Ь, (3)
что дает, в силу (1),
А < Рп (х) < В;
итаКи в силу (2) и (3), мы имеем:
lim Рп (х) = / (х),
П-»ОО
и последовательность полиномов Рп (х) (п — 1, 2, 3, . . .) является иско-
мой.
Лемма 4. Если А и В — два конечных действительных числа,
/ (х) — функция класса а, такая, что А / (х) В, и еп (п — 1, 2,
• • .) — сходящаяся к 0 последовательность, то всегда существует по-
следовательность fn (х) (п= 1, 2, 3, . . .) функций классов < а, сходящаяся
2. О представлении измеримых В-функций рядами полиномов
49
к f (х), и такая, что
д + (В — Л) еп < fn (я) < В — (В — Л) еп при п = 1, 2, 3, . . .
Пусть, в самом деле, <pn (х) (п = 1, 2, 3, . . .) — бесконечная после-
довательность функций классов < а, имеющая пределом / (х). Чтобы по-
лучить последовательность /п (х), удовлетворяющую условиям нашей лем-
мы будет достаточно, как нетрудно видеть положить
fn (х) = срп &), если А + (В — А) гп < <рп (х) < В — (В — Л) еп;
fn (х) = А + (В — Л) еп, если <рп (х) < А + (5 — Л) е„;
И
fn (х) = В — (В — Л) гп, если фп (х) > В (В — Л) 8П.
Лемма 5. Любая функция f (х) (конечная или нет) класса а может
быть рассмотрена как предел последовательности fa (х) (k = 1, 2, 3, . . .)
функций классов < а, таких, что
I /r+i (%) fk (#) I 1/р (к — 1, 2, 3, . . .),
(4)
где р — произвольное, наперед заданное натуральное число, а (к =
= 1, 2, 3, ... ) — положительные числа, стремящиеся к 0.
Доказательство. Пусть / (х) = lim фп (х); cl фп (х) < а.
7С-*СЮ
Мы обозначаем, следуя Лузину, символом с! / (х) класс функции / (х).
По лемме 1 мы можем предполагать, что
I фп(я) | < П. (5)
Положим ср0 (х) = 0; тогда мы можем написать
оо
/ И = 3 [фп+1 (х) — ф„ (х)]. (6)
п=0
Согласно (5) будем иметь
I фп+1 (х) —• ф„ (я) | < | фпа (х) I + | Фп (я) I < 2n + 1. (7)
Заменим теперь фп+1 (х) — фп (х) ряда (6) на сумму > (2д + —
и обозначим через (х) сумму к первых членов нового ряда. Оче-
видно, мы будем иметь cl (х) < a, lim (х) = / (х) и, в силу (7),
1
1 f _______ с / \ I I ^nR+l 1 1
+1 /Н ) I р ^2пк + 1)2 р (2пк 4- 1) < р ’
гДе (к = 1, 2, 3, . . .) — бесконечная последовательность натуральных
чисел, бесконечно возрастающая вместе с к; следовательнол полагая
р 1
k +1) ’ бУДем иметь неравенство (4), что доказывает нашу
лемму.
Т е о р е м а. 1°. Любая функция f (х) класса а является суммой транс-
^ин^тного ряда полиномов типа соа.
. Если f (х) — ограниченная функция класса auk — данное нату-
альное число, то существует трансфинитный ряд полиномов типа соа,
50
I. Теория функций
имеющий сумму f (х), и такой, что все его частичные суммы находятся
между границами f (х) для | х | < к.
Доказательство. В случае а = 1 оба утверждения следуют
из известной теоремы Вейерштрасса и леммы 3.
Пусть теперь а — произвольное данное порядковое число, 1 < а <z
< Q, и предположим, что утверждения 1° и 2° верны для всякого порядко-
вого числа | < а; докажем, что-они верны для числа а.
Iе. Пусть / (х) — произвольная функция класса а, и пусть
f(x) = lim fn(x); cl fn(x) = an<a; 04 <a2<a3< . . .
По лемме 5 мы можем предполагать, что
| fn+l (х) fn (х) | 8П,
где 8Л (п = 1, 2, 3, . . .) — последовательность, такая, что lim еп = 0.
п-*оо
Поскольку утверждение 2°, по условию, верно при £ <; а, мы можем
написать, полагая /0 (х) = 0:
1^1 (х) - fn (X) = 5 (х), (8)
где (х) (£ < coan+1, п = 0, 1, 2, . . .) — полиномы, и где мы имеем
| У| Р[п) (х) | 8П при у < (oa*+1 и | х | <1 п. (9)
£<Y
Пусть теперь р — произвольное данное порядковое число <; <оа: не-
трудно видеть, что р может быть записано (единственным образом) в виде
Р = со*1 + соа2 + . . . + coan + у,
где п — натуральное число или 0, а 7 — порядковое число < соапИ.
Для любого р < а положим:
= + ЗЛ’М- <10>
Из (10) легко следует, что (х) — S$ (х) являются tполиномами при
5 < соа. Следовательно,
S [S5+1 (х) - Si (х)1 (И)
5<С0а
является рядом полиномов типа соа; докажем, что он имеет сумму / (х).
Итак, пусть zQ — данное действительное число, е — произвольное дан-
ное положительное число. В силу того, что lim fn (х) = / (х) и lim 8Л —
?1-*оо П—>оо
= 0, существует индекс N | х0 |, такой, что
I / (*о) — fn (*о) | < е/2 и еп < 8/2 для /г > N. (12)
С другой стороны, в силу (9) мы имеем
| 3 Р|п) (^о) I еп для Y < coan+1 и п > N. (13)
£<v
2. О представлении измеримых В-функций рядами полиномов 51
Следовательно, формулы (10), (12) и (13) дают:
IS „ an,W-/Wl<8 для n>7V, T<<oa«+1. (14)
I a)ai4-toa«+.--+» n+V
Положим p, = (o“‘ + tt>a2 + . . . + waiV; в силу неравенств an < a
длЯ n = 1, 2, . . ., мы будем иметь, как нетрудно видеть, ц < Но для
а _ Ш«1 -|- (о“2 + . . . + (1)“п + у (0“* + <0а’ + . . . + (0°^ = |Л МЫ,
очевидно, имеем n > N, следовательно, в силу (14),
I Sp (х0) - / (х0) | < е для р < р < (о“,
что доказывает, что lim Sp (х0) == / (х0), а значит, что
P<(i)a
1^+1 (Хо) — (Хо)1 ~ / (*о)-
£<(0а
Следовательно, сумма (И) равна / (х) для любого действительного х,
что доказывает утверждение 1°.
2°. Пусть А / (х) < В, cl / (х) = a, / (х) = lim fn (х), cl fn (х) =
П—>оо
= ап < а, и пусть к — данное натуральное число. В силу лемм 5 и 4 мы
можем предполагать, что
I Mi (х) — fn (х) I < £п < В — А для п = 1, 2, 3, . . ., (15)
lim 8п — О
П-*ОО
А + (В — А) сп < /п (х) < В — (В — А) еп для п = 1, 2, 3 . . . (16)
Сохраняя обозначения, использованные в первой части нашего дока-
зательства, будем иметь формулу (8) и мы сможем предполагать (согласно
условию, что утверждение 2° верно для £ < а), что
| 7^п) (х) | < еп для у< (oan+1 (п = 0, 1, 2, . . .) и |х |</с. (17)
£<v
Соотношения (10), (16) и (17) дают:
А + (В — А) еп — еп < (х) < В — (В — А) еп + еп,
следовательно, поскольку еп < В — А:
А < (х) < В для р < а,
что и требовалось доказать.
Таким образом, наша теорема доказана методом трансфинитной индук-
ции.
Обратная теорема: Сумма трансфинитного ряда полино-
Мов типа соа + у, где у < coa+1, является функцией класса <; а.
Доказательство. Сделаем сначала следующее замечание,
^сли сумма любого сходящегося трансфинитного ряда полиномов типа соа
есть функция класса а, то сумма трансфинитного ряда полиномов типа
+ У, где у < (oa+1, тоже есть функция класса а. В самом деле,
в силу того, что у < coa+1, существует натуральное число п, такое, что
52
I. Теория функций
оа 4- у = тап 4- где ух < «а, следовательно,
з р^(х)= 3 /ед+ S Ръ(*)+---
£<(Oa+V |<(0а (Оа^<(йа2
•••+ 3 Pi(x)+ Pi(x)-
(йа(п—1)<^<(0аП toan^^<(Dan+Vi
Поскольку каждая из п + 1 суммы справа является трансфинитным
рядом типа соа (последний ряд справа может быть дополнен до ряда типа
<оа присоединением членов = 0), следовательно, по условию, функцией
класса <1 а, их сумма является функцией класса а (по теореме Бэра
о конечных суммах функций класса а). Наше замечание, таким обра-
зом, оправдано. Отсюда следует, что будет достаточно доказать нашу тео-
рему для рядов типа соа.
Для а= 1 наша теорема, очевидно, верна. Предположим, что она верна
для £ < а, где а—данное порядковое число < Q. Возможны два случая:
1) а = р + 1. Рассмотрим частичные суммы
(*), (х), . . 5юап (х), . .
поскольку по условию наша теорема верна для р < а, мы имеем, в силу
нашего замечания: cl 5оР9 а, следовательно,
cl (х) = cl [lim S^n (а:)] < р + 1 = a.
П-*ОО
2) а является числом второго рода, пусть а = lim an. Частичные сум-
П—*ОО
мы S^ai (z), (я), • • • являются, по условию, функциями классов
<С а, следовательно,
cl (х) = cl [lim 5aa,+ +wan (я)] < a,
n—>00
что и требовалось доказать.
Таким образом, наша теорема установлена. Заметим, что можно было
бы аналогичным рассуждением доказать, что сумма трансфинитного ряда
типа соа + у (у < соа+1) функций классов р есть функция класса
<а + р.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sierpinski W. Sur les suites transfinics convergentes de Baire // Fund. math. 1920*
T. 1. P. 132—141 (135).
2. Baire R. Sur la representation des fonctions discontinues//Acta math. 1906.
Vol. 30. P. 1-48. (7).
3. К теории гомеоморфных множеств
53
3
к ТЕОРИИ ГОМЕОМОРФНЫХ МНОЖЕСТВ*
Говорят, что два множества гомеоморфны, когда между их элемента-
ми можно установить взаимно непрерывное и взаимно однозначное соот-
ветствие. В недавней заметке [1] я доказал одну теорему о гомеоморфных
множествах, некоторые приложения которой хотел бы здесь дать. Далее
не предполагается, что множества линейны, как это считалось в упомяну-
той заметке: ведь, модифицируя немного мое доказательство, Серпинский
[2] распространил его на множества точек, лежащие в пространствах про-
извольной размерности. Поскольку роль этой теоремы в последующих
рассмотрениях является основной, мы напомним здесь ее доказательство.
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСШИРЕННОГО
ГОМЕОМОРФИЗМА
Основная теорема. Если существует взаимно непрерывное,
взаимно однозначное соответствие между двумя данными множествами
(лежащими в пространстве размерности т), можно определить соответст-
вие этой же природы между точками двух множеств типа G&, т. е. пере-
сечения счетного множества открытых множеств, содержащих данные
множества, где второе соответствие совпадает с первым для точек двух
данных множеств.
В самом деле, пусть Е и S — данные гомеоморфные множества, q =
— f (р) — функция, определяющая взаимно однозначное и взаимное не-
прерывное соответствие между точками р множества Е и точками q мно-
жества S’, р = ф (q) — функция, обратная / (р).
Назовем колебанием функции / (р) относительно множества Е в точке
Ро множества Е — Е U Е' предел при ц 0 чисел b (ц), где Ъ (ц) обозна-
чает верхнюю границу расстояний двух точек / (р^ и / (р2), соответствую-
щих точкам р± и р2 множества Е, расстояние которых до точки р0 меньше
Ц. Колебание функции ф (q) относительно S’ в точке q0 множества S =
==" & U будет определено аналогичным образом.
Пусть Е* — множество всех точек р из Е, в которых колебание / (р)
°тносительно Е равно нулю, и пусть S* — множество всех точек # из S’,
в которых колебание ф (q) относительно S равно нулю. Очевидно, функ-
f (р) можно определить в любой точке р из £**, полагая / (р) =
— Иш/ (рпу Где рп (n = 1, 2, . . .) — бесконечная последовательность
П—*оо
точек Е, сходящаяся к р. Определенная таким образом функция / (р), оче-
видно, непрерывна в любой точке Е* относительно этого множества. Ана-
логичным образом определим функцию ф (q), непрерывную в S*.
Нетрудно видеть, что Е* и S* являются множествами типа G&: до-
статочно опереться на замечание, что множество Fn точек Е, в которых ко-
°ание / (р) относительно Е не меньше 1/п, замкнуто для п = 1, 2, 3 . . .
и что £* = ё \ ij Ft.
_____ г=1
* Г"
г- hebd. seances Acad. sci. 1924. T. 178. P. 187—190.
54
Z. Теория, функций
Обозначим через 2?§ ** множество всех точек р из 2?*, таких, что / (р) е
ЕЕ 8'*, и через $** — множество всех точек <?из $*, таких, что ср (q) ЕЕ
е £*.
Поскольку <£* — множество типа Ge, мы можем положить =х
= П Gf, где Gn (п = 1, 2, 3, . . .)— открытые множества. Множество
i=l
Нп точек р из 2?*, таких, что / (р) ЕЕ Gn, очевидно, открыто в 2?*, т. е. мы
имеем Нп = Е* П Гп, где Гп — открытое множество. Но, очевидно, мы
имеем 2?** = П Ht = Е* Q П Гг, следовательно, поскольку Е* есть
i—1 г-1 5
множество типа Ge, Е** тоже есть множество типа Ge. Точно так же до-
казывается, что множество $** имеет тип Ge.
Доказательство того, что функции q = f (р) и р = ф (q) устанавлива-
ют гомеоморфизм между множествами Е** и £♦♦, не представляет труд-
ностей. Таким образом, наша теорема доказана. Серпинский замечает [2],
что таким образом получается наибольшее возможное расширение гомео-
морфизма между двумя данными множествами на множества, содержа-
щие данные множества и содержащиеся соответственно в их замыканиях.
Поскольку дополнение к множеству типа Ge имеет тип Fa, мы выво-
дим отсюда
Следствие. Если два множества гомеоморфны, оба дополнитель-
ные множества тоже гомеоморфны, исключая, быть может, два множест-
ва Fg,
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
К (В)-ИЗМЕРИМЫМ МНОЖЕСТВАМ
Пусть Е — заданное множество Go; следовательно, мы имеем Е —
— Gr П G2 П • • •> где Gn (п = 1, 2, 3, . . .) — открытые множества.
Пусть 8> — множество, гомеоморфное Е. Рассмотрим, в соответствии с ос-
новной теоремой, множества В** и 8>**. Положим Нп — 2?** Q Gn
(для n = 1, 2, . . .): это будут открытые в 2?** множества. Множество
Q CZ Р называется открытым в Р, если оно не содержит никакой точки
сгущения множества Р \ Q. Пусть Кп — множество, гомеоморфное Нп
(по соответствию между точками множеств В** и 8’**): очевидно, это бу-
дет открытое в 8** множество, следовательно, Кп = $** П Гп, где
Гп — открытое множество. В силу того, что 2? СЕ 2?**, мы имеем Е =
= Нг (П Н2 П Н3 . . ., следовательно, S — Кг П К2 Г| . . . — 8’** П
П Г1 П Г2 . Поскольку множества Гп открыты, а множество $** имеет
тип Go, мы заключаем, что множество $ имеет тип Go. Мы доказали, та
ким образом, следующее утверждение (анонсированное и впервые дока-
занное в 1916 г. Мазуркевичем [3]):
множество, гомеоморфное множеству типа G&, всегда имеет тип G&~
Отсюда сразу следует, что множество, гомеоморфное Goa, есть Goa
(объединение счетного множества множеств Go). Итак, пусть Е — задан-
ное множество типа FCd (пересечение счетного множества множеств ти-
па Fo) и пусть 8’ — множество, гомеоморфное Е. Возьмем, как в основ-
ной теореме, множества 2?** и 8**. Поскольку множество 2?** имеет тип
Go, а множество Е имеет тип Fc&, нетрудно видеть, что множество 2?** \
\ Е = Е** р) СЕ (СЕ обозначает дополнение множества Е) имеет тип
3. К теории гомеоморфных множеств
55
г • значит, гомеоморфное ему множество Я = $** \ $ также имеет
и/следовательно, множество СН имеет тип
пересечение множеств типа Gq и Ро&). Мы получаем, таким образом,
тедующий факт, обнаруженный в 1921 г. Мазуркевичем [4]:
С множество, гомеоморфное множеству типа Foq, само имеет тип Fo&.
Мы скажем, что класс множеств УС является топологическим инвариан-
том если любое множество, гомеоморфное множеству из класса УС, есть
множество из ж-
Теорема 1. Если класс множеств Сп есть топологический инва-
риант, то класс всех объединений счетного множества множеств из УС есть
топологический инвариант.
Теорема 2. Если класс множеств УС есть топологический инва-
риант и любое пересечение множества из УС с множеством типа G& есть
множество из УС, то класс всех пересечений счетного множества множеств
из ус есть топологический инвариант.
Доказательство теоремы 1 не представляет трудностей. Пусть теперь
—класс множеств, удовлетворяющий условиям теоремы 2, и пусть Е =
= Ег П Е2 П . . . — бесконечное пересечение множеств из УС. $ — мно-
жество, гомеоморфное Е. Возьмем, как в основной теореме, множества
£** и $**. По свойству УС множества £*** П Еп принадлежат УС'. следо-
вательно, гомеоморфные им множества Нп тоже принадлежат УС. Но, оче-
видно, мы имеем $ = Г) ЕЦ. что доказывает теорему 2.
2—1
Обозначим, следуя Хаусдорфу [5], через Р' открытые множества, че-
рез Q1 — замкнутые множества и определим, для а < Q, по трансфинит-
ной индукции множества Ра (соответственно Qa) как бесконечные (счет-
ные) объединения (соответственно пересечения) множеств Е±. Е2. Е3, . . .,
где Еп имеет тип Q^n (соответственно Р^п), и где мы имеем £п< а (для
п = 1, 2, 3, . . .). Нетрудно видеть, что пересечение множества типа Ра
(а > 3), соответственно Qa (а 3) с множеством типа G& имеет тип Ра,
соответственно Qa. Поскольку классы множества Q3, совпадающие с Fo&,
и Р3, совпадающие с G&o, есть топологические инварианты, мы сразу за-
ключаем по трансфинитной индукции в силу теорем 1 и 2, что классы Qa
(а > 3), также как и Ра (а ^3), есть топологические инварианты. Клас-
сы Р2 (совпадающие с Ра) и Q2 (совпадающие с G&) тоже являются тополо-
гическими инвариантами. Следовательно, классы Ра и Qa Хаусдорфа есть
топологические инварианты при а 2.
Значит, классы G&, Gqo. , . . . и Fo, Fa&. FO6O. . . . есть топологи-
ческие инварианты. (Топологическая инвариантность классов Ge, Gea,
Gfcoe, . . . была доказана в 1920 г. Серпинским [6]. Топологическая ин-
чариантность открытых множеств доказана Брауэром [7]; доказательство
'топологической инвариантности компактных множеств является непо-
средственным.)
Нетрудно доказать, что множества типа F (соответственно 0) класса а
Лебега есть множества ()а+1 (соответственно Pabl), которые не есть Q+1
(соответственно Р*+1) ни для какого порядкового числа | < а. Следова-
Тельно, множество, гомеоморфное множеству типа F (соответственно 0)
класса а Лебега, есть множество типа F (соответственно 0) того же класса
Зля любого порядкового числа а, такого, что 1 а < Й.
56
I. Теория функций
Множества, которые одновременно есть множества типа F и 0 класса
а, названы Валле Пуссеном двойственными класса а.
Множество, гомеоморфное двойственному множеству класса а, есть
двойственное множество того же класса (для 1 а < й).
Пусть теперь Ж — класс множеств, удовлетворяющий условиям тео-
ремы 2, и пусть Ег и Е2 — два множества из Я*. Положим Е = Ег \ Е2,
и пусть $ — множество, гомеоморфное Е. Возьмем, как в основной тео-
реме, множества £*** и $§ ** * * *. Множеству £*** Q Ег соответствует в $**
гомеоморфное множество Нт, а множеству Z?** Г| Е2 — гомеоморфное мно-
жество Я2, и в силу того, что Е = Е** Q Ег \ Е** П Е2, мы имеем $ =
= Н1 \ Н2. Но по свойству класса Ж множества Z?** Q Ev, Е** Q £2г
Н1 и Н2 принадлежат следовательно, множество 8 есть разность двух
множеств класса Таким образом, нами доказана
Теорема 3. Если класс множеств Ж есть топологический инва-
риант и если любое пересечение множества из &£ с множеством типа G&
есть множество из $£, то класс всех разностей двух множеств из Ж есть
топологический инвариант.
Отсюда сразу заключаем, что класс всех разностей двух множеств из
(или, что то же самое, двух множеств из Ра) есть топологический ин-
вариант для 2 а < Й. Следовательно, в частности, множество, гомео-
морфное Fop (т. е. разности двух множеств типа Fa) есть Fop (эта теорема
доказана Серпинским [9]).
Заметим еще, что наша основная теорема может быть применена для
доказательства топологической инвариантности более широких классов
множеств, чем класс В-измеримых множеств, например, класса множеств,
дополнительных к Л-множествам Суслина. Из общей теории Л-множеств
[8] известно, что любое множество, гомеоморфное Л-множеству, есть Л-мно-
жество. Более общо: любое множество, которое является однозначным
и непрерывным образом Л-множества, есть Л-множество [9]. В силу след-
ствия основной теоремы мы отсюда получаем следующее утверждение:
Любое множество, гомеоморфное дополнительному множеству А-мно-
жества, есть дополнительное множество А-множества [10].
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ
К ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ СЕРПИНСКОГО
В [И] Серпинский поставил следующую проблему:
Существует ли несчетное линейное множество В, такое, чтобы любое
линейное множество, гомеоморфное В, было множеством лебеговой меры
нуль? Можно ли доказать существование такого множества, даже пред-
полагая, что 2^° = NJ
Я дам здесь положительный ответ на второй вопрос, доказав, что верна
Теорема. Если с = 2^® — (т. е. верна континуум-гипотеза)^
то существуют несчетные линейные множества такие, что любое линей-
ное множество, гомеоморфное одному из этих множеств, имеет лебегову
меру нуль. Мощность класса этих множеств равна 2е.
Рассмотрим все совершенные нигде не плотные множества, лежащие на
интервале (0, 1). Известно, что мощность класса этих множеств равна с,
следовательно, по сделанному предположению, рассматриваемые совер-
шенные множества могут быть расположены в трансфинитную последова-
3. К теории гомеоморфных множеств
57
тельность типа Q, пусть
Pl Р21 • * •’ ’ ’’ ’ * •’ ^а’ * • •’ (а < ^)ф (1)
Итак, пусть
Pi, Р21 • • •’ • • •» -Р®’ Р©+ь • • м ^а» • • • (а < £2) (2)
__ трансфинитная последовательность типа й, образованная всеми точ-
ками интервала (0, 1). Положим q± = рг и предположим, что мы уже оп-
ределяли все точки где £ < а (а есть заданное порядковое число мень-
ше Й). Пусть Sa — объединение всех множеств Р% для £ < а; поскольку
множества Р$ нигде не плотны и а — порядковое число меньше й, Sa
есть множество первой категории; следовательно, его дополнение в (0, 1)
несчетно и поэтому оно содержит точки, отличные от каждой из точек
qi (£ < а); мы определим qa как первую точку последовательности (2)Л
содержащуюся в CSa и не равную Р% для £ < а. Точки (£ < й), та-
ким образом, определены по трансфинитной индукции. Обозначим через
Eq множество всех точек q% (£ <; й); следовательно, это множество мощ-
ности с.
Пусть Р — совершенное неплотное множество, лежащее в (0, 1); сле-
довательно, это член последовательности (1), например, Р = Ра, где а <
< й. Из определения точек q\ следует, что точка q^ содержится в CS^,
следовательно, для % > а точка q% не принадлежит Ра, поскольку Ра CZ
С S% для а < %. Множество Ра П Ео, следовательно, не более чем счет-
но. Следовательно, Ео есть множество мощности континуум и такое, что
любое нигде не плотное в (0, 1) совершенное множество содержит не бо-
лее чем счетное множество точек из Ео. Это множество было найдено (с по-
мощью гипотезы 2^о = в 1914 г. Лузиным [12].
Назовем множеством Лузина любое множество, обладающее этими
свойствами. Очевидно, что любое подмножество мощности континуум мно-
жества Лузина есть множество Лузина. Отсюда сразу следует, что класс
всех множеств Лузина имеет мощность 2е (если с =
Пусть теперь Е — множество Лузина. Сейчас мы докажем, что любое
множество $, гомеоморфное Е, имеет меру нуль. Построим, как в основ-
ной теореме, два гомеоморфных множества Z?** и $**, где Е CZ £***
и $ CZ $**. Множество $** измеримо (как Ge); следовательно, мы мо-
жем положить $** = N U [J Q2 U • • •» где N есть множество меры
нуль, a Qn (п = 1, 2, 3, . . .) — совершенные нигде не плотные множест-
ва. Утверждается, что любое множество Qn содержит не более чем счетное
множество точек $. В самом деле, при гомеоморфизме между множества-
ми Z?** и $** множеству Qn соответствует некоторое множество Рп. По-
скольку любое множество, гомеоморфное совершенному нигде не плотно-
му множеству, является совершенным нигде не плотным множеством,
множество Рп совершенное и нигде не плотное, следовательно (поскольку
есть множество Лузина), множество Е Q Рп не более чем счетно, так же
Как гомеоморфное ему множество <8 Г] Qn. Поскольку множество N име-
ет меру нуль, из равенства $ П #**=(# U U (# П <2i) U
• • • заключаем, что множество <$ имеет меру нуль, что и требовалось
Доказать.
Таким образом, наша теорема доказана.
58
I. Теория функций
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ
К АБСОЛЮТНО ИЗМЕРИМЫМ МНОЖЕСТВАМ
В [13] Урысон поставил следующую проблему:
назовем множество (линейное) Е абсолютно измеримым, если любое
множество, гомеоморфное 2?, измеримо в смысле Лебега. Какова мощ-
ность класса абсолютно измеримых множеств? Является ли абсолютно
измеримым дополнение к абсолютно измеримому множеству?
Основная теорема не позволяет положительно решить здесь второй из
этих вопросов; что касается первого, то он требует для своего решения
предположения с = $х. Сделаем, кроме того, несколько замечаний об опе-
рациях, выполняемых над абсолютно измеримыми множествами.
1. О мощности класса абсолютно измеримых множеств. Поскольку
каждое множество, такое, что любое гомеоморфное ему множество имеет
меру нуль, абсолютно измеримо, из теоремы § 3 следует
Теорема. Если с = ^х, мощность класса абсолютно измеримых
множеств равна 2е.
2. Теоремы об операциях над абсолютно измеримыми множествами.
Т е о р е м а 1. Объединение счетного множества абсолютно измери-
мых множеств есть абсолютно измеримое множество.
Поскольку объединение счетного множества измеримых множеств есть
измеримое множество, доказательство является непосредственным.
Лемма. Пересечение абсолютно измеримого множества и множества
типа G& есть абсолютно измеримое множество.
Действительно, пусть Е — абсолютно измеримое множество, а Е* —
множество типа G&. Предположим, от противного, что множество Еу =
= Е р Е* не абсолютно измеримо; следовательно, существует множест-
во &х, гомеоморфное Ev которое неизмеримо. Построим, как в основной
теореме, два множества 2?** и $**. Положим Е* = Е* П 2?**> посколь-
ку £♦ и 2?** есть множества типа G&, то таковым является и множество
j&i, следовательно, множеству hi соответствует, при гомеоморфизме меж-
ду множествами Е** и $**, некоторое множество <#* типа G&. Мы имеем
2?х CZ 2?i, следовательно, $х CZ $*. Множество неизмеримо, значит,
mes 0. По известному свойству измеримых множеств, существует
счетное множество ограниченных совершенных неплотных множеств Qir
оо
Q21 • • м Qn, • . .» содержащихся в и таких, что У1 mes(>n= mes £i-
n=l
Если мы имеем mes $х = ос, совершенные множества должны быть таки-
ми, что мера любой ограниченной порции <£* равна сумме мер совершен-
ных множеств на этой порции. Тогда совершенно аналогичные рассуж-
дения доказывают это утверждение. (Здесь под порцией %* понимается
пересечение <8* с каким-нибудь открытым кругом.) Поскольку множест-
во #x неизмеримо, среди множеств Qn существует по крайней мере одно,
пусть это будет Qn, такое, что множество $х П Qn неизмеримо. Множест-
ву Qn соответствует совершенное множество Рп, нигде не плотное и огра-
ниченное; мы имеем Рп CZ £*.
3. К теории гомеоморфных множеств
59
Удалим из Рп все относительно открытые множества (порции), которые
ержат только точки множества £х в Рп, т. е. удалим внутренность
£ Я Рп относительно Рп. Все точки, не удаленные из Рц, образуют
мкнутое множество; обозначим через Рп совершенное ядро этого мно-
жества, т. е. максимальное совершенное множество, содержащееся в Рп.
Множество Рп П пло™о в Рп- Совершенному множеству Р» соот-
ветствует некоторое совершенное множество, пусть это будет Qn. Ут-
верждается, что множество П Qn неизмеримо; в самом деле, объеди-
нению удаленных порций Ех П Рп соответствует измеримое множество,
но дополнительное множество по отношению к Qn не является из-
меримым. Следовательно, mes Qn > 0.
Пусть D — множество всех точек первого рода (односторонних точек),
множества Рп. Счетному множеству D, содержащемуся в Рп, будет соот-
ветствовать некоторое счетное множество, пусть 3), содержащееся в Qn.
Мы имеем mes (Qn \ ®) = mes Qn, следовательно, существует счетное
множество совершенных нигде не плотных на Qn множеств: Qi, Q2, . . .
оо
. Qk, . . ., содержащихся в Qn \ 3) и таких, что mes^^ = mes(?n.
k=l
Поскольку множество Q Qn неизмеримо, среди множеств сущест-
вует по крайней мере одно, пусть такое, что множество П
неизмеримо. Совершенному нигде не плотному на Qn множеству соот-
ветствует некоторое совершенное нигде не плотное на Рп множество,
пусть Рк. По построению множества Рц любая точка Рц является точкой
второго рода для множества Рп.
Пусть 6Х, 62, . . ., Sm, . . .— смежные интервалы совершенного мно-
жества Pr, а Пт = Sm р| Рп (т — 1, 2,3,.. .). где Sm есть интервал
Sm вместе со своими концами. Поскольку множество СЕГ плотно на Рп,
множество СЕ плотно на Рп, следовательно, каково бы ни было иг, су-
ществует совершенное множество рт, содержащееся в Пш, имеющее все
точки первого рода на СЕ, и такое, что концы этого множества совпадают
€ концами интервала 8т. Обозначим через Р* объединение множества
Р* и множеств рт (т = 1, 2, . . .). Мы имеем QZ Р* С. Рп- Очевидно,
что множество Р* является совершенным и что множество всех точек
первого рода множества Р* содержится в СЕ. Совершенному множеству
Р* соответствует некоторое совершенное множество, пусть Q*; мы имеем
С Q* CZ Qn. Поскольку множество $х Q Q* неизмеримо, множество
П Q* неизмеримо.
Если множество Р* лежит на оси х, множество Q* — на оси у, тогда
лУсть у = f (%) и х = ф (у) — соответствие гомеоморфизма между этими
множествами. Пусть
W1. 5Х), (Л2, 52), . . ., (Лп, Вп), . . .
и
(«ь 6J, (а2, Ь2), . . (aR, Ьч), . . .
(3)
(4)
60
I. Теория функций
— соответственно смежные интервалы множеств Р* и Q*. Пусть Хп —.
интервал длины 1/п с центром у = / (Рп); пусть Ь^п) — первый
интервал последовательности (4), принадлежащий Лп, мы будем пред-
полагать, что кп кп-i для п > 1 и fcx = 1.
Определим на оси х функцию у = /* (х) следующим образом: /* (.г) =
= / (х) для всех точек Р*;
flk ^к ^к
/* = 2 (В -А) + а*п + -~4
' п П'
для всех точек интервала (Лп, Вп), п = 1, 2, 3, . .., и f* (х) = х для всех
точек бесконечных интервалов, для которых эта функция еще не опре-
делена.
Обозначим через I дополнение к множеству точек первого рода мно-
жества Р*. Мы имеем I Z) Е. Функция /* (х) непрерывна в каждой точке
I и не принимает одного и того же значения для любых двух различных
точек. Пусть J — множество значений /* (х) для х, содержащихся в 7,
а х = ф* (у) — функция, обратная для функции у = /* (х). Поскольку
функция х = ф* (у) определена на J, она совпадает с ф (у) для точек
Q*. Утверждается, что она непрерывна в каждой точке J. Действительно,
поскольку множество J образовано интервалами
аКп "I-----4-----
Ъ*
Кп
^ЬЧп а1п’
4
и точки Q* соответствуют точками второго рода Р*, функция ф* (у) не-
прерывна на каждом из указанных интервалов; пусть у0 — точка 7,
содержащаяся в (?*, и пусть xQ = ф* (г/0). Предположим, что у0 есть
точка разрыва ф* (#), следовательно, существует такое число /г, что,
каково бы ни было число е, в интервале (у0 — е, у0 + е) существуют
точки у, для которых значение ф* (у) не принадлежит интервалу (xQ —
— Д, xQ + h). Применяя принцип Больцано—Вейерштрасса, мы видим,
что существует точка xr xQ, такая, что каково бы ни было число е,
в интервале (yQ — 8, yQ + 8) существует точки у, для которых значения
Ф* (у) лежат в интервале (хх — 8, х± + е). Следовательно, каково бы ни
было 8, в интервале (хг — 8, ях + 8) существуют точки х, для которых
значения /♦ (х) лежат в интервале (у0 — 8, у0 + 8)- Пусть z/x = /* (ях);
поскольку xQ не равен хъ мы имеем у0 уг\ следовательно, хх является
точкой разрыва функции у = f* (х). По определению функции /♦ (л)
точки разрыва этой функции являются точками первого рода Р*, пусть,
следовательно, х± = Ап\ значения /* (х) на интервале (Лп, Вп) лежат
в интервале
/ (Ь —ак )
ак + -кп , *п , Ьъ
\ Кп 1 Д ’ к
4 ’ 4 I ’
с другой стороны, по самому построению, /* (х) на дополнении интервала
Мп? Вп) непрерывна в точке ап = х±. Следовательно, если 8 достаточно
мало, все значения /* (х) на интервале (х± — е, xt + е) не лежат в ин-
тервале (у0 — е, у0 + е). Следовательно, мы имеем противоречие, зна-
чит, функция ф* (у) непрерывна в каждой точке J.
3. К теории гомеоморфных множеств
61
Пусть $ — множество значений /* (х) на Е. Уравнения у ~ f* (х)
= ф* (у) задают гомеоморфизм между множествами Е и %, с другой
И \оны, МЫ имеем $ П Q* = Q (?*, следовательно, поскольку
ST°n л* неизмеримо, множество е неизмеримо; отсюда следует, что
у является абсолютно измеримым множеством. Таким образом, мы
ппходим к противоречию, предполагая, что множество ЕТ не абсолютно
измеримо, что доказывает утверждение.
С помощью предыдущей леммы может быть доказана
Теорема 2. Дополнение множества абсолютно измеримого мно-
жества является множеством той же природы.
В самом деле, пусть Е — абсолютно измеримое множество и СЕ —
дополнение к нему. Предположим, что СЕ не является абсолютно изме-
римым, следовательно, существет множество $, гомеоморфное СЕ, ко-
торое неизмеримо. Построим, как в основной теореме, два множества
(СЕ)** и $**, СЕ QZ (СЕ)** и $ GZ $**. По доказанной лемме мно-
жеству Е П (СЕ)** соответствует некоторое измеримое множество, пусть
$ С другой стороны, ясно, что множество % является дополнением
к объединению и множества, дополнительного к $**. Следовательно,
в силу элементарных свойств измеримых множеств, множество $ изме-
римо: таким образом, мы пришли к противоречию, что доказывает тео-
рему.
Теорема 3. Пересечение счетного множества абсолютно измери-
мых множеств есть абсолютно измеримое множество.
Действительно, пусть Е1? Е2, ~~
множества и Е = Ех |Д Е2 |Д .
E = C(CE^L " 'J
следовательно, по теоремам 1 и 2 множество Е абсолютно измеримо.
Вопрос о том, всегда ли операция (А) (определение операции (Л)
см. в [14]), выполненная над абсолютно измеримыми множествами, дает
абсолютно измеримое множество, остается открытым.
. ., Еп, ... — абсолютно измеримые
П Еп . . . Имеем
’ли СЕ2 и ... U СЕп и...),
ЛИТЕРАТУРА
1. Lavrentieff М. Sur la recherche des ensembles homeomorphes// C. r. hebd. seances
Acad. sci. 1924. T. 178. P. 187—190.
2. SierpinskiW. Sur Г extension de Гhomeomorphes entre deux ensembles//Ibid.
P. 545-547.
3. Mazurkiewicz S. Uber Borel’sche Mengen Ц Bull, intern. Acad. sci. Cracovie.
Ser. A. 1916. P. 490—494.
4. Mazurkiewicz S. Sur Г invariance de la notion d’ensemble Fa6 // Fund. math. 1921.
T. 2. P. 104-111.
3- H ansdorff F. Uber halbstetige Funktionen und deren Verallgem einerung 11 Math.
Ztschr. 1919. Bd. 5, H. 3. S. 292—309 (3j07).
Sierpinski W. Sur les ensembles mesurables В // C. r. hebd. seances Acad. sci.
1920. T. 171. P. 24-26.
' Brouwer L. E. Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets. Beweis des lor-
danschen Satzes fur den n-dimensionalen Raum. Uber. lordansche Mannigfaltig-
keiten Ц Math. Ann. 1912. Bd. 71. S. 305-327.
• bouslin M. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres transfi-
o &ls// G. r. hebd. seances Acad. sci. 1916. T. 164. P. 88—91.
д’ Busin N. Sur la classification de M. Baire//Ibid. P. 91—94.
• Sierpinski w. Sur une generalisation des ensembles mesurables В // Bull, intern.
Acad. sci. Cracovie. Ser. A. 1918. N 6/10. P. 161 — 167 (165).
62
I. Теория функций
10. Alexandroff Р. Sur les ensembles complementaires aux ensembles (А) Ц Fund, math
1924. T. 5. P. 160—165 (164).
11. Sierpinski PF. Sur quelques invariants d’ Analysis Situs//Fund. Math. 1922. T. 3
P. 119-122 (120).
12. Lusin N. Sur un probleme de M. Baire 11 C. r. hebd. seances Acad. sci. 1914. T. 158
P. 1258-1261.
13. Урысон П. C. Les espaces (D) separables et 1’espace Hilbertien // C. r. Acad, sci
1924. T. 178, N 4. P. 65-68.
14. Lusin N., Sierpinski W. Sur quelques proprietes des ensembles (A)//Bull, intern.
Acad. sci. Cracovie. Ser. A. 1918. N 4/5. P. 34—48(48).
4
О ПОДКЛАССАХ КЛАССИФИКАЦИИ БЭРА*
Я намерен получить здесь разложение каждого класса В-измеримых
множеств на непустые алеф-один подклассы. Моими исследованиями руко-
водил Н. Лузин, и прежде всего ему я обязан идеей как нижеприведенных
результатов, так и основных определений.
1. Принципы классификации множеств. Возьмем в качестве основного
пространства множество всех иррациональных точек, лежащих между
0 и 1. Множество иррациональных точек, принадлежащих интервалу
(а, Ь) с рациональными концами, называется порцией.
Последовательность множеств Ег, Е2, . . ., Еп, . . . называется схо-
дящейся, если ее множества-пределы {полные и ограниченные) совпадают;
мы называем множеством-пределом общее множество-предел Е и пишем
lim Еп = Е.
П-+СО
Различным порядковым числам классов I и II мы поставим в соот-
ветствие классы множеств с помощью следующего определения:
1°. Множество, образованное объединением счетного множества пор-
ций, дополнение которого имеет ту же природу, принадлежит классу 0.
2°. Множество принадлежит классу а (а 0), если оно является
пределом последовательности множеств, принадлежащих классам, поме-
ченным числами, меньшими а, и если оно не принадлежит ни одному
из этих классов.
Мы скажем, что множество достижимо сверху {снизу), если оно явля-
ется общей частью {объединением) счетного множества множеств клас-
сов < а; в противном случае множество называется недостижимым'
В любом классе классификации имеются множества, достижимые сверху
и снизу, и недостижимые множества.
Сейчас мы будем рассматривать множества класса а, достижимые
сверху, как наиболее простые образования и с этой точки зрения изучать
структуру недостижимых множеств. Основанием для этой точки зрения
является глубокая аналогия, которая имеется между точками и дости-
жимыми сверху множествами. Из-за этой аналогии достижимые сверху
множества мы назовем элементами а.
* С. г. hebd. seances Acad. sci. 1925. T. 180. P. Ill—114.
4. О подклассах классификации Бэра
63
2 Сепарабельность. Мы скажем, что два множества класса а,
f не имеющие общих точек, сепарабельны, если существуют два мно-
® и Е2 классов < а, не имеющие общих точек и содержащие
^ответственно Е. и Е2. Имеет место
Теорема!. Два любых элемента а + 1 без общих точек сепара-
бельны.
Из этой теоремы мы выводим лемму, которая играет существенную
роль в рассматриваемой теории.
Р Лемма. Для того, чтобы объединение счетного множества эле-
ментов класса а + 1, еъ е2, . . ., еп, . . ., попарно непересекающихся,
было множеством класса^ а + 1, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
вовало счетное множество множеств ё19 ё2, . . ., ёп, . . . класса < а + 1г
и таких, что: 1) ёп ZD еп; 2) множество-предел множеств ёп пусто.
3. Разреженные множества. Пусть М = {et} — множество элементов
а, попарно непересекающихся; элемент ае^ мы назовем изолированным,
если существует множество класса < а такое, что: 1) ё^ ZD и
2) ё^ = фч t =/= *о-
Используя идею аналогии между элементами а и точками, естественно
получаем понятие разреженного множества элементов а; мы назовем
разреженным множеством элементов а множество М = {et} элементов ат
попарно непересекающихся, и такое, что в любом подмножестве М су-
ществует изолированный элемент а.
Пусть М = {et} — разреженное множество элементов а. По одному
известному рассуждению Цермело всегда можно расположить элементы
aet множества М в трансфинитную последовательность, такую, что каж-
дый из ее элементов aet изолирован в множестве элементов а, которые
следуют за ним в рассматриваемой последовательности. Если множество
М счетно, аксиома выбора становится ненужной.
Пусть
М = {еп} (п = 1,2,3,.. .)
— разреженное множество элементов аеп. Следовательно, мы можем рас-
положить эти элементы в трансфинитную последовательность
e^ef, . . .,4, . . ... (y<Q),
такую, что, каково бы ни было (J < у, элемент е* изолирован в множестве
М == Р' > р. Число у мы назовем типом разреженного множест-
ва М.
Для разреженных множеств мы имеем следующие теоремы:
Основная теорема. Объединение счетного множества эле-
ментов а, образующих разреженное множество, есть множество класса а.
Обратная теорема. Любое множество класса а есть объеди-
*^Ние счетного множества элементов а, которые образуют разреженное
по^сество, и достижимого снизу множества.
л J^Подклассы- В силу предыдущего мы можем формально разложить
По и°И тРансФинитный класс а измеримых множеств Р на алеф-один
а ДКлассы посредством следующего определения: 1°. Множество класса
МнЦ^ИНаДЛежит п°ДклассУ 0, если оно достижимо сверху или снизу; 2°.
Ле-°>Кество Класса а принадлежит подклассу Р > 0, если оно не принад-
ЖИт никакому подклассу Р' < р, но если оно является объединением
64
I. Теория функций
счетного множества элементов а, образующих разреженное множество
типа сор, и достижимого снизу множества.
Может быть доказана.
Теорема 2. Каковы бы ни были числа а < Q и р < Q, всегда су~
ществует множество Е класса а и подкласса р.
Применяя теорему гомеоморфных множеств [1], легко получаем сле-
дующий результат:
Теорема 3. Любое множество, гомеоморфное множеству класса
а 2 и подкласса Р, принадлежит тому же классу и тому же подклассу.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lavrentieff М. Sur la recherche des ensembles homeomorphes // C. r. hebd. seances.
Acad. sci. 1924. T. 178. P. 187-190.
5
О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ*
Цель настоящей заметки заключается в рассмотрении нескольких
вопросов, связанных с соответствием границ при конформном отображе-
нии. При доказательствах мы пользуемся следующим простым принци-
пом.
Пусть D и D' — две области, ограниченные двумя замкнутыми прос-
тыми жордановыми кривыми Г и Г'; предположим, что: 1) D' содержится
в D и 2) Г и Г' имеют общую дугу а^. Отобразим конформно облат
сти D и D' на круг | w | < 1 так, что точке w = 0 соответствует одна
и та же точка в D и D'. Пусть ар и а'Р' — дуги окружности | w | = 1,
которые соответствуют при этих отображениях дуге а~Ь, содержащейся
в ax&i. Тогда, при этих условиях, длина дуги а'Р' меньше или равна
длине дуги ар. Равенство достигается в одном только случае, когда D
совпадает с D'. Этот принцип неявно содержится в [1].
Вот приложения этого принципа:
1. Теорема 1. Пусть D и D' — две области, ограниченные двумя
замкнутыми простыми дугами Г и Г' ограниченной кривизны. При этих
условиях, если конформно отобразить D на D', отношение длин соответст-
венных участков дуг Г и Г' ограничено.
Это утверждение является обобщением одной теоремы Лихтенштейна [2],
согласно которой в предположениях, что Г имеет непрерывную кривизну
и что Г' есть окружность, можно утверждать, что отношение соответст-
венных дуг, с точностью до постоянного множителя, меньше модуля ло-
гарифма дуги кривой Г.
Доказательство нашей теоремы является простым применением ука-
занного принципа и следующей геометрической леммы: если Г — простая
замкнутая кривая ограниченной кривизны, то существует такое положи-
тельное число р, что каждая окружность радиуса, меньшего р, пересе-
кает Г не более чем в двух точках.
* С. г. hebd. seances Acad. sci. 1927. T. 184. P. 1407—1409.
5. О конформном отображении
65
сателъными
через 6 и 6
Аналогичными рассуждениями можно доказать и другое утверждение:
Теорема 2. Пусть D и D' — две области, ограниченные простыми
мкнутыми дугами Г и Г', обладающими непрерывно меняющимися ка-
зам . Тогда, если конформно отобразить D на D' и обозначить
длины соответственных дуг, содержащихся в кривых Г и Г',
будем иметь
к^-г > 6' > К2&+е,
где е_произвольное фиксированное положительное число, а Кг и К2 —
постоянные, зависящие от е.
Кроме того, можно построить две области, которые удовлетворяют
условиям теоремы 2, и такие, что нижний и верхний пределы отношения
676 будут соответственно 0 и оо.
2. Дадим следующие определения:
Определение 1. Пусть D — произвольная односвязная область.
Относительным расстоянием между двумя внутренними точками z± и z2
области D назовем нижний предел длин ломаных, содержащихся
в D и соединяющих zr и z2. Обозначим это расстояние через dr (zn z2).
Относительным расстоянием между внутренней точкой zr области
D и точкой z2, принадлежащей границе D, назовем число dr (z1? z2) =
= lim inf dr (zx, z), где z стремится к z2, оставаясь в D.
Определение 2. Будем говорить, что точка z0 границы D до-
стижима (недостижима) конечным путем, если относительное расстояние
между произвольной внутренней точкой zr области D и точкой z0 конечно
(бесконечно).
Пусть теперь D — односвязная область площади, равной 1, и пусть
F — граница D. Отобразим конформно D на круг | w | < 1. Пусть w ~
= / (z) — функция, осуществляющая это отображение. Предположим,
что / (z0) = 0» тогда:
Теорема 3. Имеем 1 — | / (z)| < К^/р для каждого значения z,
dr (z0, z) 7> p, где K± — единая константа, ар — произвольное положи-
тельное число.
Теорема 4. Площадь множества точек круга | w | < 1, соответ-
ствующих точкам области D, для которых dr (z0, z) р, меньше К2/р\
где К2 — единая константа.
Теорема 5. Мера множества точек окружности | w | = 1, соот-
ветствующих точкам z границы F, для которых dr (z0, z) 7> р, меньше
^з/р, где К3 — единая константа.
Из теоремы 5 мы непосредственно получаем
Следствие. При конформном отображении области D на круг
Мн°жеству недостижимых конечным путем точек границы F соответст-
вен множество меры нуль окружности.
По одной теореме Лузина и Привалова [3] из следствия получаем
а°вый случай единственности аналитических функций.
Теорема единственности. Две аналитические функции,
^ломорфные в жордановой области D и принимающие одинаковые зна-
вння в каждой точке границы D, которая достижима конечным путем,
вещественно совпадают.
3 М А ГТ
Лаврентьев
66
I. Теория функций
ЛИТЕРАТУРА
1. Montel Р. Sur la representation conforme // J. math. 7е ser. 1917. T. 3. P. 31—32»
2. Lichtenstein L. Zur konformen Abbildung einfach zusammenhangender Schlichter
Gebiete//Arch Math, und Phys. 1917. Bd. 25. S. 179—180.
3. Lusin N., Priwaloff Z. Sur 1’unicite et multiplicite des fonctions analytiques//
Ann, sci. Ecole norm, super. 1925. T. 42. P. 143—192 (164).
6
О СООТВЕТСТВИИ ГРАНИЦ
В КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ*
Мы намерены дать в этой статье развернутые доказательства несколь-
ких теорем, анонсированных в [1].
1. Предварительные геометрические понятия. Пусть D — произволь-
ная односвязная область, F — граница D. Относительным расстоянием
между двумя внутренними точками zr и z2 области D мы назовем нижний
предел длин ломаных, содержащихся в D и соединяющих zr и
z2. Обозначим это расстояние через dT (zx, z2). Относительным расстоя-
нием между внутренней точкой zr области D и точкой z2, принадлежащей
F, назовем число dT (zx, z2) = lim dr (zx, z), когда z стремится к z2, оста-
z^z2
ваясь в D.
Пусть теперь z0 — внутренняя точка Дар- произвольное положи-
тельное число. Относительной окружностью с центром z0 радиуса р на-
зовем множество точек z из Д таких, что
dr (z0, 2) = р.
Обозначим эту окружность через Cr (z0, р). Точно так же, относительным
кругом с центром z0 радиуса р назовем множество точек z из Z), таких, что
(*o4z) < Р-
Обозначим этот круг через D (z0, р).
Сделаем теперь несколько замечаний о структуре относительных ок-
ружностей и кругов. Обозначим через Rr и /?2, 0 < Rr /?2, соответст-
венно нижнюю и верхнюю границу чисел’
lim inf dr (z0, z),
где z есть точка Z), a zx есть произвольная точка F. Тогда для 0 < р Ri
относительная окружность Сг (z0, р) является обыкновенной окружностью
с центром z0 радиуса р. Для 7?х < р < R2 относительная окружность
Ст (z0, Р) образована конечным числом или счетным множеством ДУГ
жордановых кривых, имеющих концы на F. Две окружности различных
радиусов не имеют общих точек. Каждый относительный круг является
односвязной областью, лежащей в D. Если рх < р2, относительный круг
D (zo, Pi) лежит в относительном круге D (z0, р2).
* Мат. сб. 1929. Т. 36, № 2. С. 112-115.
q О соответствии границ в конформном отображении
67
Установив это, проведем в области D все относительные окружное™
с центром z0. Мы получим таким образом семейство кривых £У^“ОСТ.И
Две кривые этого семейства соответствующие двум различным зн^’
ниям параметра р, не имеют общих точек. Кроме того, какова бы ™ я
кривая семейства СТ (z р), она в каждой то?ке имеет непрер^Хняю
щуюся касательную. Обозначим через R (Zq, X) семейство кривых 0DTo’
тональных семейству Ст (z0, р) По данным определениям мы имеем 2е’
дующее свойство кривых семейства R. Предположим, что дв^ точки Г
и 23 из D принадлежат только одной кривой семейства R, тогпа
дуги (zlt z2) этой кривой равна расстоянию между z, и z Д Д
2. Соответствие границ. Пусть D - односвязная область ограничен
нои площади, лежащая в плоскости комплексного переменного X
Обазнаанм ™р^Т™ниДцуЯО°РвДМга““'Г”’ ПЛ01Ча’ь ° ’•
ществляющая это отображение. Предположим, что ФункЧия, осу-
/ (z0) = 0.
Рассмотрим двойной интеграл по области
1 = Й1/' (z)\dxdy.
D
Сейчас мы докажем, что этот интеграл конечен. В самом деле, обоз-
начим через Ег множество всех точек D, для которых имеем
I/'(Z)|>1.
Обозначим через Е2 множество D \ £’1. Тогда
(z)\dzdy + ^\f\(z)\dxdy
El Е2
$ $ I f' (2) I2 dx dy + $$ dx dy л + л = 2л. (1)
Ei Ez
Перейдем теперь от прямоугольных координат к относительным по-
лярным координатам. Обозначим через dj элемент длины относительной
окружности С (z, р) и через dp — элемент длины относительного радиуса
& (zqi X). Тогда элемент площади будет равен dodp, и мы имеем
В S(p)
1 = J dp | /' (z) | do,
о о
где Ц == SUp z), где z — произвольная точка D. a S (р) — длина
тносительной окружности Cr (z0, р).
Положим
(Р) == § |f' (z) | da.
Cr(z, p)
3*
68
I. Теория функций
В силу неравенства (1) мы имеем
R
L (р) dp < 2л.
о
Следовательно, каково бы ни было число р1? 1 < рх < R, всегда
существует число р, 1 < р < рх, такое, что
(3)
Согласно сделанному выше замечанию, для каждого р > 1 относи-
тельная окружность Ст (z0, р) образована конечным числом или счетным
множеством дуг а1Ь1, а2Ь2, . . апЬп, . . . жордановых кривых с концами
ап, Ъп на F. Следовательно, при конформном отображении каждой отно-
сительной окружности Cr (z0, р), р 1, в круге | w | < 1 соответствует
конечное число или счетное множество дуг ахрх, а2р2, . . апрп, . . .
жордановых кривых с концами ап, рп на окружности | w | = 1. В силу
(2) сумма длин дуг апрп равна L (р). Обозначим через dn длину дуги
апрп окружности | w | = 1. Дуга dn такова, что область, ограниченная
апрп и dn, не содержит точки z0.
Следовательно, в силу (3), мы имеем
Pl— 1 v '
Обозначим через Fp множество всех точек F, принадлежащих границе
относительного круга D (z0, р). Поскольку D (z0, р) содержится в
(z0, рх), Fp содержит FPi, следовательно, в силу (4), мы имеем следую-
щий результат.
При конформном отображении D на круг | w | < 1 мера множества
точек окружности | w | = 1, соответствующего множеству FP1, больше
1 - 2л2/(Р1 - 1) (Р1 > 1).
Применяя известные результаты Каратеодори о соответствии границ
при конформном отображении, получим следующую теорему:
Теорема. Мера множества точек окружности | w | = 1, соот-
ветствующих достижимым точкам z2 границы F, где dr (z0, z) <Z p, боль-
ше 1 — 2л2/(р — 1) (p > 1).
Из этой теоремы мы непосредственно получаем следующий результат:
Следствие: при конформном отображении D на круг | w | < 1
множеству точек F, достижимых конечными путями, соответствует
множество меры 2л на окружности | w | = 1. (Говорят, что точка z
D достижима конечным путем, если существует кривая Жордана zzQ,
лежащая в D и имеющая конечную длину.)
ЛИТЕРАТУРА
1. Lavrentieff М. Sur la representation conforme//G. г. hebd. seances Acad, s©1*
1927. T. 184. P. 1407—1409.
7. Об одной проблеме П. Монтеля
69
7
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ П. МОНТЕЛЯ*
Пусть
Рх (z), р2 (2), • • -Л («), • • •
(1)
последовательность полиномов комплексного переменного z, сходя-
щаяся в каждой точке круга \ z | < 1. Монтель поставил следующую
общую проблему: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы
функцию / (z) можно было бы рассматривать как предел последователь-
ности (1)?
В силу известных результатов Осгуда и Монтеля функция / (z) ана-
литична всюду, кроме точек замкнутого нигде не плотного множества Е.
Розенталь и Гартогс, с одной стороны, Лаврентьев — с другой, пол-
ностью решили проблему определения структуры множества Е особых
точек функции f (z).
Розенталь и Гартогс также исследовали общую проблему и нашли
искомые условия, но эти условия не дают структуры функции / (z).
Цель настоящей заметки заключается в анонсировании нескольких
результатов, которые связаны со структурой функции / (z).
Дадим следующее определение:
Определение 1. Будем говорить, что множество Е, замкнутое
и нигде не плотное, есть множество типа М*, если, каково бы ни было
замкнутое множество Ег, содержащееся в Е, всегда существует Е2 —
порция Е±, такая, что дополнение множества Е2 является связной облас-
тью (под порцией Ег здесь понимается относительно открытое в Е± мно-
жество).
Установив это, можно доказать теорему:
Теорема 1. Для того, чтобы функция f (z), определенная в круге
lz | < 1, была пределом последовательности (1), достаточно, чтобы су-
ществовало замкнутое нигде не плотное множество Е, лежащее в круге
I z I < 1 и обладающее следующими свойствами:
Е является множеством типа М*.
2, f (z) == ф (х, у) + Zip (х, у) в каждой точке Е, где функции есть
Функции класса 1 в смысле Бэра.
л Л- / W = fn (*) в Dn, где fn (z) — аналитическая функция, регулярная
в Dn, О' Dn — любая связная область, прилегающая к Е.
Определение 2. Будем говорить, что функция / (z), представи-
Мая последовательностью (7), есть функция типа М*, если / (z) анали-
^ична вне некоторого множества Е, где Е есть множество типа М*.
Тогда класс функций М* есть наиболее общий класс функций / (z)
^Редставимых последовательностями (1)), в котором функции ф, ф и fn
n 2, 3, . . .) независимы.
Б самом деле, можно доказать следующие утверждения:
Теорема 2. Пусть f (z) и ф (z) — две функции, представимые по-
^бовательностями (I). Предположим, что существует замкнутое нигде
^Д^яотпное множество Е, которое не является множеством типа М*
С' г- hebd. seances Acad. sci. 1929. T. 188. P. 689—691.
70
I. Теория функций
и такое, что / (z) = ф (z) в каждой точке Е. Тогда существует счетное
множество областей D1, D2, D3, . . ., Dn, . . . таких, что f (z) = ср (г)
в каждой точке Dn (п — 1, 2, 3, . . .).
Теорема 3. Пусть Е — замкнутое множество, которое не явля-
ется множеством типа М*; на Е всегда можно построить две функции
класса 1, f (х, у) и ф (х, у), такие, что не существует никакой последо-
вательности (7), сходящейся в каждой точке Е, для которой в каждой
точке Е
lim Рп (г) = / (х, у) + гф (х, у).
п-*оо
8
ОБ ОДНОЙ ПРОБЛЕМЕ МАКСИМУМА
ПРИ КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ*
Целью этой заметки является решение следующей проблемы: среди
всех однозначных в круге | z | < 1 функций w = / (z) у которых / (0) = 0,
/' (0) действительна и которые не принимают в этом круге никакого из
п данных значений Q±, Q2, . . ., Qn, найти функцию / (z) с /' (0) мак-
симальной.
1. Предварительные леммы. Пусть й — односвязная область, со-
держащая точки w — 0 и w — Отобразим конформно область Й на
круг | z | < 1, w = F (z), F (0) = 0. Пусть wQ = F (z0). Удалив из круга
| z | < 1 сегмент [z0, eiar°z<>], отобразим конформно полученную таким
образом область на круг | Z | < 1, z = ср (Z), ф (0) = 0. Положим
(Z) = F [ф (Z)].
Лемма 1. Какова бы ни была однозначная в круге | z | < 1 функция
w = / (z), / (0) = 0, все значения которой для | z |< 1 принадлежат Й
и которая не принимает значения wQ, мы имеем | /' (0)| | (0)|.
Пусть теперь Й — двусвязная область, содержащая точку w = 0.
Отобразим конформно область й на кольцо г <Z | z | < Я, w = F (z),
0 = F (z0). Удалив из кольца сегмент j?^(argz0+n)]отобразим
конформно полученную таким образом односвязную область на круг
I z | < 1, z — ф (Z), z0 = ф (0). Положим ф2 (Z) = F [ф (Z)].
Лемма 2. Какова бы ни была однозначная в круге |.z | < 1 функция
w = / (z), / (0) = 0, все значения которой для | z | < 1 принадлежат й,
мы имеем | /' (0) | I фг' (0)1-
Доказательства этих двух утверждений очень просты, достаточно
принять во внимание известную теорему Кёбе и Бибербаха.
2. Характеристические условия. Перейдем к поставленной проблеме.
Пусть w = Ф (z) — искомая функция и z == Oi (w) — обратная функция*
Обозначим через й множество значений / (z) для | z | < 1, а через F —
границу области й. Применяя леммы 1 и 2, легко установить следующие
свойства Ф (z):
* г. hebd. seances Acad. sci. 1930. T. 191. P. 827—829,
S Об одной проблеме максимума в конформном отображении
71
! !. функция w = Ф (г) однозначна в круге | z | < 1, ф (0) = О,
т' Ю) действительна.
12 Каждая точка плоскости принадлежит либо й, либо F.
13 Граница F образована конечным числом простых аналитических
Точки Qu Qv - ч Qn являются концами различных п дуг. Каждая
Д*Г/гая точка F принадлежит либо только одной дуге (регулярная точка
либо является общим концом по крайней мере трех дуг.
14 . В каждой регулярной точке wQ из F функция | Ф] (ш)| имеет
единственное предельное значение, не зависящее от пути, вдоль которого
ip стремится к wQ в й.
Можно доказать, что функция w = Ф (z), обладающая свойствами 1.1,
12 1-3 и 1.4, единственна, следовательно:
еорема 1. Искомая функция единственна.
Теорема 2. Условия 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 необходимы и достаточны
для того, чтобы функция w — Ф (z) была искомой.
Аналитически продолжая функцию w = Ф (z) и строя так римановы
поверхности в плоскостях z и w, легко получаем следующие характеристи-
ческие свойства функции Ф (z):
2.1. Ф (0) - 0.
2.2. Риманова поверхность в плоскости w имеет не более 2п точек
ветвления, среди которых находятся точка ое и п данных точек Q±, Q9, . . .
2.3. Функция Ф^ (ip) непрерывна в каждой точке поверхности, кроме
точки w — 0, где она может быть бесконечной. Функция Ф1 (ш) конечна
в каждой точке поверхности, кроме точек w = 0, w — Qk (k — 1, 2, 3, . . .
. . n). В точке Qx функция Фх (ш) обращается в бесконечность как
2.4. Если z0 есть значение Фх (ш0) каждое другое значение zt для
Ф1 (wQ) получается по формуле
где числа фр ф2, . . ф1У, N 2п — 1, определены положением точек
п» Q2, • • Qn и вся последовательность <рп ф2, . . ., <pR, ... является
минимальной последовательностью, содержащей ф1? ф2, . . ф#, и инва-
риантной относительно преобразования 2<pR — фт.
В силу свойства 2.4 непосредственно видно, что, если число значений
Фк конечно, римановы поверхности имеют конечное число листов; следо-
вательно, в этом случае, поскольку Ф (z) — алгебраическая функция,
можно найти точное выражение этой функции. В общем случае функция
\2) трансцендентна, и ее можно определить последовательными при-
ближениями.
3. Приложение. Из теоремы 2 можно непосредственно вывести сле-
дующее утверждение.
Что у/аТЬ w = f (z) “ однозначная в круге | z | < 1 функция, такая,
йей I 0, I /' (0)| = 1. Тогда / (z) принимает в этом круге по край-
мере одно из значений вида
1 г (Фо, »
^~е п J (к = 1,2,..., п).
72
I. Теория функций
9
К ТЕОРИИ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
Главным содержанием настоящей статьи является рассмотрение ряда
экстремальных задач в теории конформных отображений односвязных
областей. При решении этих задач мы стремились придерживаться еди-
ного метода, основанного на изучении вариации функции, реализующей
конформное отображение области на круг, при вариации границы об-
ласти. В соответствии с этим начало статьи посвящено вспомогательным
предложениям, выявляющим простейшие свойства указанных вариаций.
Далее (§ 2), весьма элементарным применением установленных лемм
получается решение одной экстремальной задачи, связанной с конформ-
ным отображением на круг дополнительных областей. Из этого резуль-
тата, как следствие, получается известное предложение Кёбе—Бибербаха
в теории однолистных функций. В § 3 рассматривается ряд предложений,
являющихся естественным обобщением отмеченной теоремы Кёбе—Би-
бербаха. В § 4, на основе добытых выше элементарных оценок, дается
ряд новых оценок для функций, реализующих конформное отображение
круга на области с некоторыми специальными свойствами. Добытые
в этом параграфе оценки являются основными для решения некоторых
метрических проблем (§ 5), возникающих при рассмотрении соответствия
границ при конформном отображении. На основе исследований § 4 во
второй части статьи решается одна задача о представимости функций
равномерно сходящимся рядом полиномов.
Главная часть излагаемых здесь результатов получена за период
1927—1930 гг. и частично опубликована без доказательств в заметках:
«Sur la representation conforme» (С. г., 1927) и «Sur un probleme maximum
dans la representation conforme» (C. r., 1930). Частично эти результаты
докладывались в Московском математическом обществе на I Всесоюзном
математическом съезде в Харькове в 1930 г. На теоремы § 4 существенно
опираются результаты заметки «Sur un probleme de M. P. Montel» (C. r.,
1929).
ЧАСТЬ I
§ 1. Вариация границ. Начнем с доказательства двух принципов ка-
чественного характера. Каждый из этих принципов уже давно известен,
но мы приведем здесь как полные их формулировки, так и доказательства,
так как во всем дальнейшем рассуждении эти принципы будут иметь
основное значение.
Теорема. Пусть D и D' — две односвязные области, принадле-
жащие Римановой поверхности для комплексного переменного z, и такие,
что: 1) Dr содержится в D; 2) границы областей D и D' имеют общую
связную часть Е, которая при конформном отображении D на круг пере-
ходит в одну дугу окружности. Отобразим конформно области D и D
на круг | w | < 1 так, чтобы точка w = 0 соответствовала одной и той же
точке z0 областей D и D'. Пусть а|3 и а'р' — дуги окружности | w | — 1»
Тр. Физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова. Отд-ние мат. 1934. Т. 5. С. 159—245.
У. К теории конформных отображений
73
ые соответствуют при этих отображениях континууму Е1Ч при-
^д^ежащему Е. При этих условиях имеем:
1) принцип Линделёфа: производная при отображении D
на крУг будет не больше, чем производная | “^|z_z при отображении D'
на тот же круг*,
2) принцип Монтеля: длина дуги ар не меньше длины дуги а'Р'.
Для доказательства разберем сначала частный случай, когда область D
ытькрУ? | z | < 1 и z0 = 0. (Для этого случая принцип Линделёфа есть
частный случай известной леммы Шварца; мы его здесь получим попутно
геометрически.) В этом случае область D’ получается выбрасыванием из
круга некоторого связного замкнутого множества, а континуум Ег, есть
некоторая дуга у окружности | z | = 1. Обозначим через Р (г, ф), z = ге^,
гармоническую функцию, принимающую на границе Df значения —In г,
и через Q {г, ф) — гармоническую функцию, сопряженную к функции Р:
±ЭО_=ЭР_ m
г ду дг ' '
В силу известной формулы Римана функция
и? = zep+i® (2}
будет реализовать конформное отображение D' на круг \w | < 1. Так как
отображение D на круг | w | < 1 будет реализоваться функцией w = z,
то для доказательства теоремы достаточно показать, что при отображении
(2) имеем
|*Ll =eP(o)>i
| dz |z=o
и в точках у
I d I . 0(2(1, ф)
—я— arg w\ — 1 -I---- ; Ч? 1.
I dy ® lr=i ' 0cp
Первое неравенство справедливо, так как —1g г, а следовательно, и Р
принимают на границе Df неотрицательные значения, значит Р (0) > 0 и
е₽(0) > 1. Займемся вторым неравенством. Вдоль у: —lg г = Р (г, ф) = 0,
а внутри области D': Р (г, ф) Г
а значит, в силу (1), вдоль у имеем
Перейдем к доказательству теоремы для случая произвольной облас-
Ти и. Пусть
w = f (z)
есть функция, реализующая конформное отображение D на круг | w | < 1
Условии / (z0) = 0. Пусть при этом область D' перейдет в область D",
континууму Е± пусть отвечает дуга ар окружности. Отобразим теперь
ласть D" конформно на круг | £ | < 1 при условии соответствия на-
координат. Если через F обозначить функцию, реализующую это
О, следовательно, вдоль у: дР!дг 0г
^<0.
дг
74
I. Теория функций
отображение, то функция
w = F [/ (z)l = Л (г)
будет давать конформное отображение области D' на круг | w | < 1. От-
сюда, используя разобранный частный случай теоремы, имеем
I Л М | = | F' (0) I I f (z0) I > I f (z.) |.
Кроме того, в силу тех же соображений, дуга ахрх окружности | w | = lt
отвечающая при отображении! /х континууму Ег и при отображении F —
дуге ар, будет не больше дуги а₽.
Добавим теперь к доказанному предложению, устанавливающему
знак вариации модуля производной однолистной функции, количествен-
ную оценку вариации того же функционала для случая, когда область D
есть круг, a D' — область, близкая к кругу.
Теорема 1. Пусть в плоскости комплексного переменного z = re*?
дана область D, ограниченная простой замкнутой кривой г = г (ф),
г (ф + 2л) = г (ф), со следующими свойствами:
1°. | 1 — г (ф) | < е, где е — положительное число, меньшее 1/4.
2°. Функция г (ф) удовлетворяет условию Липшица | г (ф + Дф) —
— г (ф) | < &Дф, где константа 1/3 > к 2ле. При этих условиях, если
мы через w = / (z), / (0) = 0, обозначим функцию, реализующую конформ-
ное отображение области D на круг | w | < 1, то будем иметь
1 + - О1) - Кгк I lg к I < I /' (°) I <
< 1 + -1- (о2 — О1) + Кек | 1g к |,
где о2 есть площадь области, полученной пересечением круга | z | 1
с внешностью D ', ох есть площадь пересечения областей | z | > 1 и D; К
есть абсолютная константа.
Для доказательства воспользуемся опять формулой Римана (2). В силу
этой формулы имеем
I /' (0) I = е₽(®), (3)
где Р (г, <р) есть гармоническая функция, принимающая на границе D
значения —1g г (ф). Для оценки Р (0) построим вспомогательную гармо-
ническую функцию Рг (г, ф), правильную в круге г < 1 + е и принимаю-
щую на окружности г = 1 + 8 значения —1g г (ф) — р (ф). В силу от-
меченных выше свойств функции г (ф), функция р (ф) удовлетворяет сле-
дующим неравенствам:
I Р (ф) I < I lg (1 — 8) I = 81 < 6 + 2g2 (6 < Х/4)>
I Р (ф + Дф) — р (ф) I < -J72T । ДФ । = I Дф |.
Заметив это, оценим модуль разности Рг (0) — Р (0). Для этой цели, оче-
видно, достаточно оценить | Рх (1 + е, ф) — Рг (г, ф) | при | 1 — г | 8’
Полагая
Pi (г, ф) = [г (1 + е), ф],
9. К теории конформных отображений
75
будем, очевидно, иметь
' max |Л(1 + е’Ф) — Л(ЬФ)|< max | Р2 (1, ср>— Р2 (т, <р) |,
1_e<t<i+e l-2e<t<l
d ir co) есть гармоническая функция, принимающая на окружности г = 1
X 9 V ’ 1 , V
значения р (ФЛ
Построим теперь гармоническую функцию U (г, ф), г < 1, принимаю-
---------------- " л следующие значения:
при | ф | 2^/^ = h,
при | ф | > h.
отмеченные выше свойства функции р (ф)г
шую на окружности г = 1
U (1, <р) = 2ех - М <Р I
U (1, ф) = 0
Принимая во внимание
нетрудно убедиться, что
др2= max |Р2(1, Ф)-Р2(г,ф)|<^(1,0)-£7(1_2е10),
1—2£<г<1
О ф С 2л.
Отсюда, выражая через к1 и h, выражая U (г, ф) интегралом Пуассона
и полагая 1 — 2^ = р, получим
h
ДР2 kjh-------\ -у——о—т--------— ^хф) ^ф =
2 1 nJ 1 + Р2 — 2р cos (р v 1 Y
о
ih h
— ЪЪ\ k*h* klh Tmlo- 9~'в ' к' Г С1 — Р2)ф^ф
+ —-------— Im lg + —yi + p2_2pC0S(p .
‘ о
Рассмотрим дальше отдельно два случая: 1) р <1 cos h, h < л/2 и
2) р cos h. В первом случае усиливаем неравенство, заменяя третий
член на----arcctg , а в четвертом члене — подставляя вместо cos ф:
1 — х/4ф2 4> cos ф (0 < ф < h <Z л/2). Получим
ДР 2krh 261 АС (! ~ Р2) Ф <*Ф
л ‘ л ё h ’ л J р
о7 (1-р)2 + 4гф
। , 1 / \21 :
Л -г л л V 2 \ 2d / J •
Но так как по условию cos h р = 1 — 2е1? то 1 — 1/Jz2 ^>1 — 2^ и
Л 8ех, откуда окончательно:
Л/>2 < 4г +|4 + 1^г) •
___Н° втором случае, обозначая через а угол, образованный отрезками
е P и егЛ1, будем иметь
M + Р~г\. =
л л 6 р___________________ е~гК Л
2kih . 2в1 h 7 7
\ ~r— arcsin----------—г— -----г- /Cid <С л^!»
Л гк, гЪ
2 sin ~2~ sin ”2“
76
I. Теория функций
Отсюда
ДР2 < nk14 + 1g /1 + -U +
h J С1 + Р)2 ^2 1 1 т л s | 2А:? Г
Л 1
2
Объединяя обе оценки для ДР2 и замечая, что кг < х/3 < 1/г, окончатель-
но получим
ДР2 < 6/cjEx + Зк^ | 1g кг I < Э/с^ I 1g кг |. (4)
Таким образом окончательно:
| Р, (0) - Р (0) | < 9*1е1 | 1g кх |. (5)
Займемся теперь вычислением Рг (0). Имеем
Л(0’) = — $ !gг(ф)ЙФ = $ О—г(ф)Иф +
—л —л
+ (ф) {1 — г (ф)}2 ^Ф>
—л
т (ф) есть остаточный член при разложении 1g г по степеням 1 — г; так
как по условию г < х/2, то | т (ф) | < 2. Кроме того,
л л
"ST Jj {1 — г (ф)} <*Ф=-^- (02-0!) + -^- jj {1 — г (<р)} <2<р —
—л —л
$ d(f> $ rdr =_^(а2“°1) + _4Г $ {1—г(ф)}2^ф-
—л Г(ф) —л
Отсюда
I Pl --------ЙГ (°2 — °1) к 3g2 < 3ei*i I *1 I’ (6)
Сопоставляя (5) и (6), получим
1 р (0) — (<*2 — <h) I < 128Л | 1g |. (7)
Отсюда, принимая во внимание (3), найдем
I/' (°) I = 1 +^- (о2 - О,) +7?,
| R | < 12е1/с111g к. | + Л х
Х ЫГ । — °1 I + 12el^ I к1 l}2 •
9. К теории конформных отображений
77
Теорема доказана.
ч м е ч а н и е. Качественная часть доказанной теоремы заключа-
d в следующем: «при бесконечно малой вариации окружности | z | = 1
главная часть приращения функционала |/' (0) | равна —| о2 — о11».
_ чаСТь также может быть непосредственно получена из одной формулы
Дамара [11 (в которой дается вариация гармонической функции в зави-
мости ОТ вариации ее граничных значений) или из формул Жюлиа [2]
(приложения идей Адамара к конформным отображениям). В доказанной
здесь теореме дается оценка остаточного члена. Комбинируя эту теоре-
му с общим принципом Линделёфа, мы непосредственно получаем следую-
дтие теоремы, важные для нас в дальнейшем.
Теорема 1.1. Пусть односвязная область D плоскости z = rei(p
ограничена простой замкнутой линией С, обладающей следующими свой-
ствами-. 1) линия С расположена в кольце | 1 — е | < | z | <2 1 + е;
2) на отрезке (0, 2л) дана система п интервалов ух, у2? • • • ? Уп с суммой
длин, меньшей т]; в каждой точке кривой С, ге% координата ср которой
не принадлежит ни одному из интервалов у, кривая С обладает касатель-
ной, причем эта касательная образует с касательной к окружности | z | =
= 1 (проведенной из точки е^), угол, не больший а.
При этих условиях, если а и т] бесконечно малы вместе с е, а число п
остается ограниченным, то при конформном отображении области D
на круг | w | <2 1, v = /(z), f (0) = 0, с точностью до бесконечно малых
высших порядков сравнительно с е, будем иметь
if (ох = 1 +
Теорема 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 первое свойство кривой С
заменить следующим*, кривая С расположена вне круга | z | <2 1 — е, то
с точностью до бесконечно малых высших порядков сравнительно с 8, будем
иметь
I/' (0) |<1 + 4-(о2-ог).
Те о р е м а 1.3. Если в условиях теорем 1.1, 1.2 обозначить через
функцию, обратную функции f (z), то, с точностью до бесконечно
малых высших порядков сравнительно с 8, будем соответственно иметь
|ф'(0) 1 = 1--Л-(<у2 — О1),
(°) I > 1 — 4-(°2-^1)-
Теорема 2. Пусть односвязная область D удовлетворяет условиям
^оремы 1, и пусть, кроме того, функция г (<р) удовлетворяет следующему
обивочному условию*, при ф2 <2 ф <2 фх + 2л имеем г(ф) = 0, где фх и ф2 —
ва фиксированных числа интервала (0, 2л), фх <2 ф2. При этих условиях,
если через w = f (z), f (0) = 0, обозначить функцию, реализующую конформ-
ное отображение области D на круг | w | <2 1, то при любом ф, ф2 + и <2
78
I, Теория функций
<Ф < фх + 2л — а, а > 0 имеем
ф2
1 + S т - cos (ф - e)V Ig r <9>dQ - K'*k |lg I < I r (^) I <1 +
Ф1
Ф2
+ "ST -ri2-00-^"^ r (°)dQ + К'ък I !g k I ’>
1 4л J [1 — cos (tp — 0)]2 & ' 1 i & I?
Ф1
где Kr — константа, зависящая только от а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сохраняя принятые выше обозначения npic
ф2 < Ф < Ф1 + 2л, будем иметь
|/'(^)| = 1 + [-^-Р(г,ф)]г=1. (8).
Для вычисления главной части дР/дг построим вспомогательную гармо-
ническую функцию Р± (г, ф), правильную в круге г < 1 и принимающую'
на окружности г = 1 значения —1g г (ф). Несущественно изменяя под-
счеты, проделанные при доказательстве теоремы 2, мы получим, что, ка-
ково бы ни было число а > О, при ф2 + а < Ф < Фх + 2л — а будем
иметь
I [ Р (Г’ Ф) - 4- ф)]Г=11 < К'гк I lg к I ’ (9>
где К' — константа, зависящая только от а» Займемся вычислением дР^дг.
Имеем
Фй
'1 i —— 7*2
Р1 (г, ф) = —• 1 + Г2 _ 2г COS (<р - 0) lg Г dQ’
Ф1
д D , . 1 ? 2г —cos(<p —8)
ЗГ <Г’ Ф) ~ ~ J [1 + г2— 2r cos (<р — О)]2 lg Г
Ф1
• Полагая в последнем равенстве г = 1 и сопоставляя полученную фор-
мулу с (8) и (9), получим искомое неравенство.
Из доказанной теоремы следует, что при бесконечно малых 8 и к, с точ-
ностью до бесконечно малых порядка выше 8, при любом ф, ф2 < ф <
<ФХ + 2л, имеем
I f /ег<р\ Г J , _±_ С 2 —COS (<P —0) j r
I/ w /I 1 4л J [1 — cos (ср — 6)]2 6 v '
Ф1
Полученная формула оказывается, однако, для приложений чересчур
громоздкой, по этой причине, считая ф2 — Ф1 бесконечно малым вместе
с 8 и к, мы придадим этой формуле более простой вид. Итак допустим, что
8 и к суть бесконечно малые одного и того же порядка, а ф2 — Ф1 есть
бесконечно малая порядка относительно 8, тогда, применяя к инте-
гралу в выражении | /' (е1ф) | вторую теорему о среднем, с точностыо
9. К теории конформных отображений
79
бесконечно малых порядка выше 83/2, получим
Д0 Ф2
1 2— cos (ф — 0) Ci
I f (е^) | =-" 1 + “JT [1 _ cos (ф - 0)]2 J lg (°) Й0:
Ф1
q заключено между Фх и ф2; не нарушая порядка точности, можно по-
ГДжить 0 = (фх + Фг)/2. Если теперь дополнительно допустить, что кри-
’ ая г __ г (<р) расположена целиком или внутри круга г < 1, или целиком
вне этого круга, то, не нарушая порядка точности, получим
о 2 — cos (ср — 0)
[/ + 4Л [1 __ cos (ф — 0)]2 ’
где через о обозначена площадь, ограниченная дугой (фх, ф2) и кривой
г г (ф), взятая со знаком «+», если г (ф) > 0, и со знаком «—», если г (ф) <
<0.
Если мы через р обозначим расстояние между точками ег^ и е1® (рас-
стояние от площадки о до точки ^), то последней формуле можно придать
следующий вид:
Резюмируя сказанное, получаем теорему:
Теорема 2.1. Пусть односвязная область D удовлетворяет усло-
виям теоремы 2. и пусть, кроме того: 1) в и к — бесконечно малые одина-
кового порядка'. 2) ф2 — фх — бесконечно малая порядка относительно е;
3) или г (ф) < 0 (фх < ф< ф2), или г (ф) 0 (фх< ф< Ф2); 4) площадь о, .
ограниченная кривой г = г (ф) и дугой (ф1? ф2), имеет порядок е9К При
этих условиях, если через w — f (z). f (0) — 0, обозначить функцию, реа-
лизующую конформное отображение D на круг | w | < 1, то при ф2 <
<Ф < Фх + 2л, с точностью до бесконечно малых порядка выше о, будем
иметь
где площадь о считается со знаком «+», если г (ф) 0, и со знаком «—»,
если г (ф) < 0.
Интегрируя последнее соотношение по дуге окружности и замечая,
1 2 4- о2
что множитель при о, , есть монотонно убывающая функция р,
приходим к следующей теореме.
Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1. при конформном отобра-
жении D на круг | w | < 1, w = f (z). / (0) = 0, дуге (оф) (окружности
2 I = 1), не содержащей точек дуги (фхф-з), отвечает на окружности
1^| = 1 дуга (а'Р') длины
я
mes (а'Р') = mes (ар) + 2 dtp,
причем при фиксированных а. р и а длина дуги а'Р' есть монотонная функ-
Ция расстояния площадки о до дуги ар, возрастающая. если а > 0, и убы-
80
I. Теория функций
вающая, если а < 0. (Расстоянием от площадки а до дуги (оф) мы называем
меньшее из чисел | eiQ — eia | и | eiQ — е^|.)
Замечание. Непосредственным подсчетом последнюю теорему
можно распространить, в некотором смысле, на случай, когда площадка о
вырождается в бесконечно малый прямолинейный отрезок, ортогональный
окружности | z | = 1. Именно, пусть область/) получается выбрасыванием
из круга | z | < 1 бесконечно малого отрезка длины h: arg z = 0; 1 — h
| z | < 1; пусть ар есть дуга (окружности | z | = 1), не содержащая
точки ею, и пусть а'Р' есть дуга окружности | w | = 1, отвечающая дуге ар
при конформном отображении D на круг | w | < 1, w = / (z), / (0) = 0.
При этих условиях, при фиксированных а, р и h, длина дуги (а'Р') есть
монотонно убывающая функция расстояния точки eiQ до дуги (ар).
§ 2. Теорема Кёбе. Применим установленные выше вспомогательные
предложения к доказательству следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть Go и Gr — две односвязные области, располо-
женные в плоскости комплексного переменного z и не имеющие общей точки.
Допустим, что GQ содержит точку z0, a Gr — точку z^ Отобразим кон-
формно Gq и Gr на круг | w | < 1 при условиях, что точки z0 и zr переходят
в точку w = 0. Обозначая через Fo (z) и Fr (z) функции, реализующие эти
отображения, будем иметь
|Х(20) I |X(Z1) |>1/|Z1-Z„ р.
Знак равенства достигается, когда GQ и G± суть дополнительные полуплос-
кости, определяемые прямой |
В силу известных свойств конформных отображений, для полного до-
казательства теоремы достаточно ее доказать для случая, когда Go и Gr
имеют общую границу Г, состоящую из ограниченного числа дуг окруж-
ностей
= Х (0<А,<оо) (10)
и дуг кривых семейства, ортогонального семейству (10); допустим, кроме
того, что Г не пересекает ни одной из двух окружностей | z — z0 | = г,
\ z — zi I = г, где г — некоторое произвольное фиксированное положи-
тельное число. При этих условиях, наложенных на семейство областей
Go и G±, изучаемое выражение I (Г) = | Fq (z0) || Д fo.) | будет функцией
линии Г, зависящей от ограниченного числа параметров, т. е. I (Г) есть
функция ограниченного числа переменных. Кроме того, так как Г не пере-
секают фиксированных окружностей | z — z0 | = г и| z — zj = г, то функ-
ция I (Г) ограничена снизу положительным числом. Отсюда, заметив, что
I (Г) непрерывна, заключаем, что при некоторых значениях параметров
/ (Г) достигает своего минимума. Покажем, что кривая L, реализующая
минимум и являющаяся предельной для кривых Г, есть сама кривая се-
мейства Г. В самом деле, в противном случае кривая L состояла бы из
кривой семейства Г и из некоторой добавочной кривой L', но тогда в силу
принципа Линделёфа, удаляя кривую L', мы сможем уменьшить Д что
невозможно по условию.
Итак, пусть Го есть кривая, дающая минимум для I (Г). Для доказа-
тельства теоремы нам достаточно показать, что если Го не есть прямая
9. К теории конформных отображений
81
I 2 —го I _ 1, ТО можно построить кривую Г такую, что I (Г) < I (Го).
п ""этой цели, обозначая через Go и Gx области, ограниченные Го (Go
содержит z0, <?i содержит zj, строим круг
| | < А.о < 1
наибольшего радиуса, содержащийся в Go, и круг
(И)
наибольшего радиуса, содержащийся в Gx. Если Го не есть отмеченная
выше прямая, то один из указанных кругов существует, пусть это будет
круг, определенный неравенством (11). (Может случиться, что одно из
неравенств (11) или (12) определит внешность круга). В силу свойств кри-
вой Го существует дуга о окружности
принадлежащая Го. Покажем теперь, что
I X Ж > I Л (^) I (13)
для всех точек дуги о. В самом деле, в силу принципа Монтеля, производя
конформное отображение области | j <1 на круг | ш | < 1:
1 z — zn
w = --------~ »
Ло 21 — Z 1
будем иметь для всех точек дуги о:
(14)
Аналогично, производя отображение области -—— Р>Х0 на КРУГ
М<1: 121-21
Для всех точек дуги о будем иметь
<,5>
Кроме того, вдоль дуги а имеем
<16>
Отсюда, сопоставляя (14), (15) и (16), получим искомое (13).
(13) СИЛУ непРеРЫВН0СТИ производных Fq (z) и Fi (z) на дуге а, пользуясь
Дуги Заключаем> что» какова бы ни была дуга а1? лежащая строго внутри
а’ существует положительное число fe, такое, что в каждой точке Oi
82
I. Теория функций
имеем
| X (Z) I > I Л (Z) | + h. (17)
Заметив это, построим окружность С:
1^7 (18)
где е — бесконечно малое положительное число. Обозначим через А и В
концы дуги о. Пусть А' и В' — две точки пересечения кривой Го с окруя^
ностью (18), такие, что при 8, стремящимся к нулю, А' и Вг стремятся со-
ответственно к точкам А и В. Обозначим через Г\ кривую, которая полу-
чится из кривой Го заменой дуги А'АВВ' дугой А 'В' окружности (18).
Число е выбираем настолько малым, чтобы построенная кривая 1\ при-
надлежала семейству кривых Г. Покажем, что
I (I\) < I (Го). (19)
Для этой цели обозначим через и Gi1} области, на которые разбивает
плоскость кривая Г1? и пусть Фо (z, е) и Фх (z, е) — функции, реализующие
конформное отображение этих областей на круг | w | < 1, Фо (z0, &) =
= Фх (zx, е) = 0. Таким образом, нам нужно показать, что при достаточно
малом е > 0 имеем | Фо (z0, 8) | | Ф1 (zx, 8) | < | Fo (z0) | | Fr (zx) |. Для этой
оценки вариации I (Г) введем вспомогательные комплексное переменное £.
Функции £ = Fq (z) и £ = Fr (z) отображают конформно области и
на круг | £ | < 1, при этом дуге А 'В' (при отображении б?х) отвечает в кру-
ге | £ | < 1 некоторая дуга у : р = Pi (ф, е) 1 концами и рас-
положенными на окружности | £ | = 1. Аналогично, при отображении С?о
(при е достаточно малом), в силу возможности аналитического продолже-
ния за дугу о, дуге А Аг В' В отвечает в плоскости £ некоторая дуга Уо
с концами и на окружности | £ | = 1, лежащая целиком вне круга
| £ | < 1 : р = р0 (ф, е) > 1. Обозначим через Z>0 (Z>x) область, которая
получится из круга | £ | < 1, если дугу границы фхф2 (фхф2) заменить дугой
То (?1)- Отобразим конформно каждую из областей Do и на круг | w | < 1:
^ = /о(С); /о (0) = о,
™ = Л (0) = о.
В силу теорем 1.1 и 1.2 (роль интервалов у< будут играть бесконечно малые
интервалы, содержащие концы кривых у0 и ух), пренебрегая бесконечно
малыми высших порядков, будем иметь
р2 г.
| /о (0) | = 1--jj Ро (<Pi> е) = 1 — ~2iT i е I F° (2) I21dz I ’ (2°)
-Ф1 a
Ф2
IЛ (0) I = 1 + -7^- jj Pl (<P1, e) dtp = 1 + J e I Fl (z) |21 dz |. (21)
4>i °
Рассмотрим теперь функции:
w = w9 (z) = /0 [Fo (z)J,
w = Wi (z) = fi [Fx (z)].
9. К теории конформных отображений
83
из этих функций дает конформное отображение на круг | w | < 1
Первая которая поучится из области 6?0, если удалить дуги А А' и ВВ'.
облает ’ ция отображает область на круг | w | < 1. Следовательно,
применяя принцип Линделёфа, получим
I Фо (Zl’ £) I I W<> I = I (0) I I (Z«)’
I Ф' (Z1 - e) | = I (21) I = I A (0) I I X (Zl) I-
Отсюда, принимая во внимание (20), (21), (13), (17) и отбрасывая беско-
нечно малые высших порядков, получим}
7(Г1)<|^оМ||^(21)|{1
—ir$1F’(2)l2,dz| +
а
+ ^r$|^(z)|2|^|}<|^(Zo)||^(Zi)| = /(ro).
а
То есть Го не дает наименьшего значения для I (Г), но это противоречит
основному допущению. Следовательно, минимальное значение I (Г) до-
стигается, когда Г есть прямая | * | = 1. Для того чтобы найти ис-
комое минимальное значение для I (Г), нам остается отобразить конформно
ПОЛУПЛОСКОСТИ | |<Д, | z1—Zo На КРУГ I Ш I < 1 И ВЫЧИСЛИТЬ
модули производных соответственно в точках z0 и zr.
Из доказанной теоремы легко вытекает известное предложение Кёбе—
Бибербаха.
Теорема Кёбе. Пусть односвязная область D плоскости ком-
плексного переменного z содержит точку z0 и не содержит точки zt. Обо-
значая через w = f (z) функцию, реализующую конформное отображение
области D на круг \w | С 1, / (z0) — 0, будем иметь
\гм\>
1
4 hi — z01
знак равенства достигается, когда D получается выбрасыванием из плос-
кости прямолинейного луча, выходящего из точки zr и принадлежащего
прямой, проходящей через z0 и zr.
Не нарушая общности результата, мы можем принять z0 = 0. Пусть
22 есть точка границы D с наименьшим модулем | z2 | | z± |. Введем
новое переменное £:
С = У~^— z.
Эта функция, в зависимости от выбранного значения корня, отображает
онформно область D на одну из не пересекающихся областей плоскости
ъ» или D2. Имеем z — z2 — £2.
ледовательно, функция w= F (£) = / (z2— £2) отображает конформ-
Х?ЛаСТИ и ^2 на круг | w | < 1. Кроме того, полагая У z2 — Со,
(Со) =0 при отображении Dr,
& (“*Со) == 0 при отображении D2.
84
I. Теория функций
Следовательно, по теореме 3 имеем
4
1^(Со)||^(-Со)|>т4Пг.
или, подставляя
F' (С) = (za - £2) 2?,
окончательно получим
___1 1
4 I z2 I 4 I Z] I
Теорему Кёбе можно рассматривать как решение следующей вариа-
ционной задачи: в плоскости z дано семейство односвязных областей {D},
содержащих начало координат и не содержащих данной точки zQ. Обозна-
чим через w = / (z, Z)), / (О, D) = 0, функцию, дающую конформное отоб-
ражение D на круг | ip | < 1. При этих обозначениях среди всех областей
семейства требуется определить область, для которой функционал | /' (О,
D) | принимает наименьшее значение.
В силу доказанной теоремы Кёбе, решением поставленной задачи
будет «лучевая» область, описанная в формулировке теоремы.
§ 3. Обобщение теоремы Кёбе. Решенную выше при помощи теоремы
Кёбе вариационную задачу можно рассматривать как частный случай
следующей более общей задачи: в плоскости дано семейство односвязных
областей {/)}, содержащих начало координат и не содержащих п данных
точек ах, а2, аз, • • • » ап> Обозначим через w = f (z, D), f (0, D) = 0, как
раньше, функцию, отображающую D на круг | w | < 1. Требуется опре-
делить область семейства, для которой функционал | /' (О, D) | принимает
наименьшее значение.
Эта задача была впервые поставлена Н. Чеботаревым. Д. Пойа в своей
статье [3] распространил эту задачу на многосвязные области и дал впер-
вые оценку для максимума | /' (О, D) |. Метод Пойа существенно отличен
от излагаемого здесь и не дает возможности в общем случае выяснить
природу функции, реализующей минимум | /' (О, D) |.
Прежде чем приступить к решению поставленной задачи, мы устано-
вим два вспомогательных предложения, которые будут лежать в основе
общего решения.
Пусть в плоскости z дана двусвязная область G, содержащая начало
координат. Отобразим конформно, при помощи функции £ = ср (z), область
G на кольцо 0 < г < | £ | < 1 при условии, что началу координат будет
соответствовать точка на отрицательном луче действительной оси плос-
кости £. Будем обозначать через С (G) кривую области G, которая при
указанном отображении перейдет в отрезок (г, 1) действительной оси»
Принимая введенные обозначения, докажем следующую лемму.
Лемма 1. Среди всех областей D, содержащих начало координата
z = 0 и содержащихся в двусвязной области G, область Z)o, получаемая из
области G выбрасыванием кривой С (G), дает функционалу | /' (О, D) I
наименьшее значение.
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда G есть область,
получаемая выбрасыванием из плоскости z отрезка луча
Ь < с <1 х действительной оси. В этом случае, в силу теоремы Кёбе.
9. К теории конформных отображений
85
область D, дающая минимум
' \f (О’ I’
„ттггя если мы из области G удалим отрезок действительной оси
долуЧИ1СП’
Ъ <' х < с,
этот отрезок, при отмеченном в условиях леммы конформном отобра-
зи " и области G на кольцо, перейдет в отрезок положительной части дей-
ствительной оси, т. е. в разбираемом случае отрезок b х < с есть кривая
С (G) Этим самым для специальной «лучевой» области G лемма доказана.
Перейдем к общему случаю. Поместим разобранную выше «лучевую»
пвусвязную область в плоскость вспомогательного комплексного пере-
менного £. Подбирая соответствующим образом параметры а, Ь, с и на-
чальное условие, отобразим конформно данную область G на «лучевую»
так, чтобы начало координат перешло в начало координат. Пусть
z = Ф (£) (22)
— функция, обратная функции, реализующей указанное отображение.
В таком случае функция
W = F (£) = / (ф (|), D)
будет давать конформное отображение некоторой области D', содержащей-
ся в двусвязной «лучевой» области, на круг | w | < 1.
Но
|F (0) | = |/'(0, D) || ф' (0) |.
Таким образом, минимум | /' (0, D) | будет достигаться, когда D будет
при отображении (22) соответствовать области, дающей минимум | F' (0) |.
Следовательно, в силу разобранного частного случая леммы, минимум
I /' (0, D) | будет достигаться, когда D получится удалением из G кривой,
соответствующей при отображении (22) отрезку действительной оси плос-
кости £, т. е. удалением из G кривой С (G).
Отметим особо один важный частный случай доказанной леммы, когда
область G получается удалением из некоторой односвязной области G
одной точки z0. В этом случае кривую С (fi) можно определить следующим
образом: отобразим конформно область G на круг | £ | < 1 при условии
соответствия начал координат, пусть при этом точка z0 отвечает точке £0.
привой С (б?), или С (G, z0), называется кривая, которая при указанном
отображении переходит в кусок радиуса круга | £ | <С 1 с концами в точке
'° и в точке на окружности | £ | = 1.
Для разбираемого частного случая лемме 1 можно дать новую форму-
лировку:
не емма 2. Среди всех областей D, содержащих начало координат^
^с°оержащих точки zou содержащихся в данной области G, область DQ1
нЛУЧаемая из области G выбрасыванием кривой С (G, z0), дает функцио-
л^ I /' (0, D) | наименьшее значение,
Чале амечание. Прежде чем перейти к решению поставленной в на-
ьЫх ^а,РагРаФа заДачи, отметим одно простое, но важное свойство кри-
(G). Если область Z)o, дающую минимум функционалу | /' (0, D) |,
86
I. Теория функций
отобразить конформно на круг | w | < 1:
w = f (z, Do),
то каждой дуге аР, принадлежащей С (G), будут отвечать две дуги ахр
и а2р2 окружности | w | = 1, ибо каждая точка кривой С (б?) достижима
из области D q двумя неприводимыми один к другому путями. Из опреде-
ления кривой С (G) легко заметить, что, какова бы ни была дуга ар, длины
соответствующих дуг а^ и а2Р2 равны между собой. Замечая, что | /'
D) | есть предел отношения длин соответствующих дуг, отмеченному свой-
ству кривых С (G) можно придать также следующий вид: какова бы ни
была точка z0 кривой С (G), при приближении точки z области Do к точке
по двум неприводимым один к другому в области Do путям, | /' (z, D) |
стремится к одному и тому же пределу.
Заметим в заключение, что отмеченное свойство кривой С (G) является
не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы некоторая про-
стая дуга, превращающая двусвязную область G в односвязную D, была
кривой С (G). Для доказательства отобразим область/) конформно на лу-
чевую область, £ = F (z), при следующих условиях: 1) начала координат
соответствуют друг другу и 2) одному из концов дуги С отвечает един-
ственная точка луча arg £ = 0, | £ | > 1. В силу принятого свойства кри-
вой С, при этом отображении, какова бы ни была точка z0 кривой С, этой
точке на луче отвечает одна и та же точка, независимо от пути, по которому
z приближается к z0. Следовательно, функция F (z), непрерывная на С,
принимающая на С определенные значения, будет правильна и однознач-
на во всей области G и будет реализовать конформное отображение облас-
ти G на двусвязную лучевую область; при этом отображении кривая С
переходит в отрезок действительной оси. Отсюда заключаем, что кривая С
есть кривая С (G).
Перейдем к решению основной задачи.
Итак допустим, что область /)0 дает минимум функционалу | /' (О, D) |
среди всех односвязных областей, содержащих начало координат и не
содержащих данных п точек а1? а2, . . ., ап. Обозначим через Г границу
области Do.
Докажем, что /)0 обладает следующими свойствами.
1°. Каждая точка плоскости принадлежит или Do, или Г.
2°. Граница Г состоит из конечного числа простых дуг аналитических
кривых. Точки alf а2, . . ., ап суть концы п различных дуг. Всякая точка Г,
отличная от а.-ь (i = 1, 2, . . ., п), или принадлежит единственной дуге
(правильная точка Г), или является общим конном по крайней мере трех
дуг.
3°. Если из некоторой точки Г выходят к различных аналитических
дуг, принадлежащих Г, то две соседние кривые образуют угол 2п/к.
4°. Какова бы ни была дуга ар, состоящая из правильных точек Г, при
конформном отображении на круг | w | < 1, w = f (z, D), дуге оф
отвечают на окружности | w | = 1 две дуги, одинаковые по длине.
Заметим, прежде всего, что, в силу известных свойств «нормальности»
изучаемого семейства однолистных функций, искомая область _О0 суще-
ствует и границей ее является некоторый континуум. Для того чтобы яе
усложнять изложение необходимыми здесь для полного вывода добавоч
ными топологическими рассмотрениями, мы допустим с самого начала-
9. К теории конформных отображений
87
комая область Z>0 ограничена конечным числом простых дуг Жор-
410 11СПри принятой гипотезе выявление основных свойств области Do ста-
вится чрезвычайно простым.
Я°С ойство 1° является непосредственным следствием из принципа Линде-
... * условия, что | /' (О, D) I достигает при D = Do минимума.
Де Перейдем к свойствам 2° и 4°. Допустим, что точка А является про-
концом одной из дуг у7-, составляющих Г, и не является простым кон-
сты нц Одной из других дуг, составляющих Г. В этом случае точка А есть
Ц°на из точек а{. В самом деле, в противном случае, не нарушая свойства Г
содержать все точки мы можем удалить из Г кусок у,-, содержащий
точку А. Полученная при этом кривая Г будет границей некоторой одно-
связной области Рх, не содержащей ни одной из точек причем, в силу
принципа Линделёфа, |/' (О, Dx) | < | Г (О, £0) |, что противоречит ос-
новному допущению. Итак, точка А есть точка at. Добавим к области D
простую дугу с концом в точке а{ и принадлежащую дуге у^. Размеры этой
дуги подбираем так, чтобы образованная область G была односвязной.
В силу леммы 2 и экстремального свойства области Z)a, отмеченный кусок
Yi есть кривая С (G, а{). Таким образом, в силу свойств кривых С (G,
отмеченный кусок границы Г обладает свойствами 2° и 4°. Аналогично,
пусть yfe есть кусок Г, не содержащий кратных точек Г. Добавляя к об-
ласти DQ дугу ук, мы получим некоторую двусвязную область G, следова-
тельно, в силу леммы 1, дуга yR есть кривая С (Gx). Таким образом, участок
yR. границы Г обладает свойствами 2° и 4°.
Так как вся граница Г может быть разбита на конечное число простых
дуг. каждая из которых не содержит кратных точек Г, то приведенные
выше рассмотрения дуг у* и yR нам показывают, что граница Г обладает
свойствами 2° и 4°.
Оставляя пока в стороне свойство 3°, опираясь на установленные для
области Dq свойства 1°, 2° и 4°, покажем, что искомая область единственна,
а затем выявим некоторые свойства функции / (z, Do).
Теорема 4. Область Do, обладающая свойствами 1°, 2° и 4°, един-
ственна.
В самом деле, допустим от противного, что кроме области существует
еще область Dr с границей Г1? обладающая теми же свойствами 1°, 2° и 4°.
Обозначим через D максимальную односвязную область, содержащую
точку z = 0 и содержащуюся как в Z)o, так и в D±. Граница D состоит из
аналитических дуг, принадлежащих или Г, или Гх, обозначим эту границу
через Г.
Обозначим через фх, ф2, • • •» Фк длины дуг окружности | w | = 1, со-
ответствующих правильным частям Г из Г при конформном отображении
на круг | w | < 1. (Если некоторый кусок границы Г принадлежит
одновременно Г и Гх, то одна сторона этого отрезка считается взятой из Г,
а Другая — из Гх.) Аналогично, пусть <рх, ф2, . . Фп — длины дуг окруж-
ности | w | = 1, соответствующие правильным частям Г из Pj при кон-
формном отображении Dr на круг | w | < 1. Обозначим, наконец, через
Фз, • . . ифьф2? . . . длины дуг окружности | w | = 1, соответствующие
Ил 1^е пРавильным частям Г, но при конформном отображении D на круг
88
I. Теория функций
При этих обозначениях, прежде всего имеем
= 2л. (23^
Кроме того, в силу свойства 4° областей Z)o и Z>1, имеем
22}фг<2л> 22}q)j < 2л. (24}
Наконец, так как область D принадлежит как области Z)o, так и об-
ласти Dt, то, применяя принцип Монтеля, получим
(25>
Следовательно, сопоставляя (24) и (25), получим
Цф; + Зф) < 2л,
что невозможно в силу (23).
Доказанная теорема единственности позволяет нам высказать следую-
щее основное предложение данного параграфа.
Теорема 5. Условия 1°, 2° и 4° суть условия, необходимые и доста-
точные для того, чтобы область D 0 давала минимум функционалу | /' (О,
D) |.
Коснемся в заключение аналитической природы функции / (z, Z)o).
Так как граница Do состоит из аналитических дуг, то функцию / (z, Do)
можно аналитически продолжить за каждую из этих дуг. Отсюда, естест-
венно, возникает вопрос о построении для / (z, Do) римановой поверхнос-
ти и вопрос об определении области существования функции / (z, Dq)
на этой римановой поверхности. Для решения поставленных вопросов
разобьем кривую Го на простые аналитические дуги так, что каждая дуга
или имеет один из своих концов в концевых точках Г (одна из точек
а2, . . ., ап, оо, в частных случаях некоторые из точек а2, . . ., ап мо-
гут оказаться кратными точками Г 0, или могут являться правильными
точками в этих случаях отмеченные точки мы просто отбрасываем), а дру-
гой конец в кратной точке Го, или оба конца дуги суть кратные точки Го.
Если простой конец некоторой дуги есть концевая точка Го, то этот конец
будем считать за начало рассматриваемой дуги, а другой конец будем на-
зывать концевой точкой этой дуги. Для каждой дуги, каждый из концов
которой есть кратная точка Го или одни из концов которой есть оо, мы так-
же введем понятие начала дуги и концевой точки дуги. Эти понятия мы
определим следующими условиями: 1) каждая дуга имеет вполне опреде-
ленное начало и концевую точку; 2) если точка А есть точка кратности к
для кривой Го, то точка А есть концевая точка для к — 1 дуг и начало для
одной дуги. Легко видеть, что при наличии определения начала и конце-
вой точки для дуг, имеющих один из своих концов в одной из точек
отмеченными двумя условиями для каждой дуги, составляющей Го, нача-
ло и концевая точка определяются единственным образом.
Пусть теперь у1? у2, . . ., у# суть аналитические дуги, на которые мы
разбили кривую Го, и пусть ах, а2, . . &n — начала этих дуг. Оценим
сверху число N в зависимости от числа п (п есть число точек аг). Если
п = 1, то, в силу теоремы Кёбе, Го есть прямая, и N = 1, кроме того, из
выявленных ранее свойств кривой Го легко видеть, что увеличение п из
9. К теории конформных отображений
89
еличивает N не больше чем на две единицы. Следовательно,
единиДУ J™*
Л' < это обозначим через ф, и <p'j аргументы точек окружности
Замети в которые переходит начало дуги у/ при отображении w = / (z,
* U Если начало дуги у; есть кратная точка Го, то фу и ф, различны;
ОПЯТ10 дуги Т; есть концевая точка Го, то ф7- = фу. Положим
если начали aj ij
2^j == Ф; + Ф* (/ — 1, 2, 3 . . . N).
Перейдем к изучению аналитических продолжений функции / (z, DQ).
Пусть z0 есть произвольная точка области До. Проведем через z0 простую
замкнутую линию С, пересекающую Го в единственной точке, принадле-
жащей дуге у;. Проследим изменение / (z, Do), когда z, отправляясь от точ-
Kii z , описывает кривую С. Для этой цели введем вспомогательное перемен-
ное Z и отобразим конформно, £ = ср (z), область DQ на «лучевую» область
(«лучевая» область есть область, получаемая выбрасыванием из плоскости £
луча arg £ = 0, | £| 0) плоскости £, ф (0) = 0 так, чтобы началу
Yj отвечала единственная точка на луче (если начало у/ есть одна из то-
чек я/, то конформное отображение определяем так, чтобы точке, соот-
ветствующей точке а;, являющейся началом у;, отвечало начало луча £ =
= 2).
В силу свойства 4° кривой Го, при этом отображении каждой точке ду-
ги у; будет отвечать единственная точка луча, т. е. функция ф (z) с двух
сторон дуги у; будет принимать одинаковые значения. Следовательно,
ф (z) будет правильна и однозначна в двусвязной области, получаемой до-
бавлением к области Do дуги уо- Кроме того, отображая лучевую область
на круг | w | <; 1 при условии, что некоторой точке луча будут отвечать
точки
Л,
получим
f D(,) = <2 — ф (z) ± V 4 — 2Ф (z)} ег^1.
Следовательно, когда точка z, отправляясь от точки z0, опишет кривую
ь, точка £ опишет замкнутую кривую, а точка w = / (z, _D0) опишет прос-
тую дугу с концами в точках
w0 = /(z0,D0) и
Таким образом, обозначая через fj(z, Do) ФУ П^лучимУ
тическим продолжением функции / ду j п
M2,DO) = _Z1_ (26)
07 / (z, Z)e) •
Функция ff (z, Do), однозначная в области Do, реализует конформное
^’ображение этой области на внешность круга | w | = 1, причем нача-
ло координат переходит в бесконечно удаленную точку. Построенную
90
I. Теория функций
функцию
Л (z, Do)
можно, в свою очередь, аналитически продолжить за любую дугу По~
лученная при этом fjlt (z, Do) будет правильна в области DQ и будет реали-
зовать конформное отображение этой области на круг | w | < 1, причем
начала координат будут соответствовать друг другу. При изучении ана-
литического продолжения функции /7 (z, DQ) за дугу роль аргумента
фу будет играть аргумент
= 2Ф; — ’I’fc •
Таким образом,
/л (2,- Do) = z *(г> = / (2, Д) e2i< w. (27)
При изучении аналитического продолжения функции /д (z, Do) за ду-
гу Ут роль аргумента ф7 будет играть аргумент
ЯрДт = 2 (% — l|)fc) + 1|>т = 21|>л — %т.
Приведенные рассмотрения нам позволят теперь без труда вычислить
изменение функции / (z, Z)o), когда точка z опишет замкнутую кривую
С (/1? 7*2’ * * 'Ч ikh
пересекающую последовательно дуги . . ., у; . Для этой цели по-
ложим
т
~ (^2г-1 Ф>2г) (28)
г=1
• J2m+1 = 4 S (ifc — ) + %2т+1 — 2р'л, (29)
г=1
где р и р' суть целые числа, положительные или отрицательные, подоб-
ранные так, чтобы числа а были положительны и меньше 2л. Если теперь
через (z, Do) обозначить значение функции / (z, Do), которые она
получит, когда z опишет кривую С (Л, /2, . . /\), то в силу (26), (27), (28)
и (29), будем иметь
h.k-.ij:, D.) - {f (30)
Все числа зависят только от N чисел
фь (яра — я|>1), • • (4>W — Ah)-
Отсюда, принимая во внимание (28), (29) и (30), легко видеть, что, если все
числа вида фк — фх будут соизмеримы с л в системе двоичных рациональ-
ностей, то мы имеем лишь конечное число различных чисел а; если же од-
но из упомянутых чисел с л в системе двоичных рациональностей несоиз-
меримо, то множество чисел а счетно. Таким образом, если через / (2)
обозначить функцию f (z, Z)o), дополненную_всеми ее аналитическими про-
должениями, то в первом случае функция / (z) будет конечнозначна, а в°
втором случае бесконечнозначна. Построим для функции / (z) поверх-
ность Римана.
9. К теории конформных отображений
91
n 1У отмеченных выше свойств функции / (z), эта поверхность будет
в СИтшнственными точками ветвимости концевые и кратные точки кри-
пметь ед ае К0Гда мы имеем лишь конечное число различных а, по-
Б°П 1 °ная поверхность Римана будет иметь лишь конечное число лепест-
СТР°еКогда множество а счетно, наша поверхность будет иметь бесконечно
много лепестков. „
Д1Я более детальной характеристики введенной поверхности Римана
смотрим поведение функции / (z) вблизи точек ветвимости римановой
Р8 ерхности. Рассмотрим отдельно случай, когда точка ветвимости есть
0 на из точек аг-, и случай, когда точка ветвимости есть кратная точка Го.
Начнем с первого случая. Пусть точка z0 настолько близка к точке что
к ‘ । z — at | < | z0 — di I, кроме точки не содержит ни одной точ-
ки ветвимости поверхности; пусть, кроме того, w0 = f (z0) есть одно из
значений функции / (z) в точке z0. В силу отмеченных выше свойств функ-
ции 7 (г), если точка z, отправляясь от z0, опишет дважды окружность
I Z — di I = I di |,
полученное при этом значение / (z0) останется равным ш0, т. е. таким же.
как до начала обхода. Обозначим через / (z, аг) лишь те значения / (z)
в точке z0, которые она получит, когда z, отправляясь от z0, будет двигать-
ся, оставаясь все время в круге | z — | | z0 — |, и когда за исход-
ное значение для / (z0) возьмем ш0. При таком определении функция / (z,
будет двузначна и разложима в окрестности точки в ряд по степе-
ням (z — 5г)1/о- Таким образом, если из всей римановой поверхности для
функции / (z) вырежем кусок, заключенный в круге | z — dt | | z0 —
— di I, то этот кусок распадается на конечное или счетное число связных
кусков, каждый из которых содержит два лепестка. Функция, обратная
функции w — f (z), будет правильна и однозначна для всех значений ip,
соответствующих значениям z в круге | z — dt | <^ | z0 — dt |.
Займемся вторым случаем. Итак, пусть bk есть кратная точка Го. Вы-
берем, как раньше, z0 настолько близким к 6-, чтобы круг
I Z - М < I ZO - 6* I
не содержал, кроме точки Ьк, ни одной точки ветвимости поверхности Ри-
мана. Пусть ш0 = / (z0) есть одно из значений / (z), принимаемых ею в точ-
ке 20. В силу основных свойств функции 7 (z), выявленных нами выше, ес-
ли точка z, отправляясь от z0, опишет дважды окружность
1 z " bk I = I zQ _ I,
io точка w = / (z), совпадающая в начальный момент с точкой iz?0, опишет
ри этом замкнутую кривую, и вернется, после двойного обхода окруж-
стп точк°й к исходной точке ш0. Причем, если из точки Ък выходит
различных дуг У/, то при описанном движении модуль аргумента w —
она R Увеличится на 2mkn (7 (\-) есть значение / (z) в точке bk, которое
и Л примет, будучи при z = z0 равной ш0, когда z, двигаясь по прямой,
3 Jo придет в Ък\
1 &k) суть те значения / (zx) в точке zx, которые эта функция
' У пт, когда точка z переместится из z0 в zx, оставаясь в круге
1 2 " М < | z0 - I,
92
I. Теория функций
и когда за начальное значение / (z0) принято ip0. Из приведенных рассмот-
рений следует, что функция / (zn 6k) в окрестности точки будет дву-
значна и будет разложима в этой окрестности в ряд по степеням (z
-
Таким образом, если из всей римановой поверхности вырезать кусок
заключенный в круге | z — bk | | z0 — Ьк |, то этот кусок распадается
на конечное или счетное число связных кусков, каждый из которых бу-
дет содержать два лепестка. Функция, обратная функции w = / (z, bk)
будет иг^-значна в окрестности точки / (Ьь &R).
Вполне аналогично можно выяснить поведение функции / (z) около
бесконечно удаленной точки. В самом деле, преобразование £ = 1/z пе-
реведет кривую Го в некоторую кривую Го, содержащую начало коорди-
нат. Если теперь начало координат £ = 0 будет точкой кратности т для
кривой Го, то, в силу предыдущего, каждая ветвь функции / (1/£) будет
разложима в окрестности точки £ = 0 по степеням £™/2; следовательно,
каждая ветвь функции / (z) в окрестности бесконечно удаленной точки бу-
дет разложима по степеням z-m/2. Число т мы будем в дальнейшем назы-
вать кратностью бесконечно удаленной точки.
Из свойства 2° кривой Го легко обнаруживается связь между числами
п (число точек а^), v (число точек &к), и т:
V
т = п — У (7nR — 2).
К=1
Из описанного поведения функции / (z) в окрестности точки ветвления
(кратной точки Го) непосредственно вытекает анонсированное нами в § 3
свойство 3° области Z)o.
Из этих же рассмотрений вытекает также, что, если число различных
чисел а конечно, то риманова поверхность для функции, обратной функ-
ции w = / (z), будет иметь также лишь конечное число лепестков. Следо-
вательно, в этом случае функция / (z) есть алгебраическая функция.
Покажем, что отправляясь от некоторых из выявленных нами свойств
функции / (z), можно дать ее аналитическое представление. В самом деле,
из (26) или (30) немедленно вытекает, что модуль логарифмической произ-
водной функции / (z), есть функция однозначная во всей плос-
кости переменного z. Кроме того, из поведения функции 7 (z) в окрестнос-
тях точек ah Ьк и ос следует, что в этих точках функция
ет, соответственно, полюс порядка 1/2, нуль порядка —2)/2 и нуль
порядка (т + 2)/2. В начале координат эта функция имеет, очевидно, но*
люс первого порядка. Отсюда заключаем, что гармоническая функция
1g
bjc и ос, имеет вид
Г (и)
/И
име-
7' (*)
у— , всюду однозначная и правильная всюду, кроме точек а**
~ *
lg I < I=~ 4" Xlg ।z—ai'+S ~2)lg'z—b* । ~
г=1 №.
— lg|z| + IgC.
9. К теории конформных отображений
93
Следовательно, ______________________________
р -| / (Z - (Z - Ь2)Ъ . . . (z -
lg/V z2(z — ai)(z — a2)...(z — an)
(ак = 7Пк — 2).
П1Я определения констант С, Съ bk и целых чисел ак, мы имеем преж-
де всего соотношение
с \ а,) (— а2) . . . (— ап)
Это соотношение выражает условие, что / (г) имеет в точке z —0 нуль
первого порядка. Другие соотношения мы получим, выражая, например,
условие, что
| / (aj | = I / (W 1 = 1 (i = 1, 2, . . ., лг; /с = 1, 2, . . ., v).
При некоторых частных случаях расположения точек at задача опреде-
ления констант существенно упрощается. На двух таких случаях мы ос-
танавливаемся подробно (теоремы 6 и 7), укажем сейчас еще два случая:
1) если п — 2, то v 1, ах = 1, и неизвестными оказываются лишь конс-
танты С, Ci, Ь1? а сама функция / (z) выражается при помощи эллиптического
интеграла. В этом случае уравнения для определения констант запишутся
i 2(fc+l)JT
в эллиптических функциях; 2) если a2k = ге п и a2fc+i = Re п
(к = 0, 1, 2, . . ., п — 1), то, согласно общей теории, кривая Го будет
состоять из 2п прямолинейных лучей, выходящих из точек а$,
следовательно, в этом случае все ак будут равны нулю, С = гп/2Нп/2.
Единственную остающуюся неопределенной константу Сх можно найти
из условия / (г) = 1.
Заканчивая этим рассмотрение общей экстремальной задачи, отметим
два частных числовых результата, нужных нам для дальнейшего и выте-
кающих из развитой выше общей теории.
Теорема 6. Если функция w = / (z), / (0) = 0, реализует кон-
формное отображение односвязной области, не содержащей точек z0
и —kz$ (к 0), на круг | w | < 1, то
(31)
равенства достигается, когда
z — _^£о w
* + * 2 Qi-k
w"-2T+kw^-i
г»
самом деле, если мы через Dq обозначим область, которая получится
ирасыванием из плоскости z лучей
arg z = arg Zq, I z I > z0 и arg z = arg z0 + л, | z | > к | z0 |,
в СилУ теоремы 5, среди всех односвязных областей, содержащих на-
Му\° ж °°РДИнат и не содержащих точек z0 и —kzQ, область Dq дает мини-
нош фУнкЧионалу I f (0? D) |. С другой стороны, легко видеть, что соот-
сние (31) реализует конформное отображение круга | w | < 1 на об-
94
I. Теория функций
ласть Dq при взаимном соответствии начал координат. Следовательно, дЛя
того чтобы найти нижнюю границу значений | /' (О, D) |, достаточно оцре„
делить из соотношения (31) | dw/dz | при z = 0. Дифференцируя соот-
ношение (31) и полагая w = 0, получим искомую оценку для | f (0) |.
Вполне аналогично может быть доказана следующая теорема.
Теорема 7. Если функция w = / (2), / (0) = 0, реализует кон-
формное отображение односвязной области, не содержащей ни одной из
точек вида
гег^2Кп/п) (& = 1, 2, . . ., п),
на круг | w | < 1, то
г у 4
Знак равенства достигается, когда
г т/ 4 we™
(32)
где й1 — произвольное действительное число.
Для доказательства достаточно заметить, что соотношение (32) реали-
зует конформное отображение круга | w | < 1 на область Z)o, получаемую
выбрасыванием из плоскости z п лучей
arg z = <р0 + ——, \ z | :> г (к = 1, 2, 3, . . ., п).
Область Do, вместе с тем, в силу теоремы 5, дает минимум для | /' (0, D) |.
Таким образом, искомую оценку для | /' (0) | мы получим, определяя, как
раньше, | dw/dz | при w = 0.
При изучении некоторых специальных вопросов, теореме 7 бывает
удобно придавать несколько иную форму:
Теорема 7.1. Если функция w = f (z), f (0) = 0, | /' (0) | >> 1,
правильна и однолистна в единичном круге | z | <1, то функция f (z) при-
нимает в круге | z | < 1, по крайней мере, одно из значений:
—_— ei(<pe+2tan;/n) = I 2, .... п),
^4 V
где ф0 — произвольное действительное число (заранее фиксированное).
Теорема 8. Пусть в плоскости комплексного переменного z дана
односеязная область D, содержащая начало координат, граница Г которой
состоит из дуги окружности | z | = 1 и из простой дуги ух, принадлежа-
щей кругу | z | <3- Если диаметр ух равен I, I < 1/2, то при конформном
отображении области D на круг | w | < 1, w = f (z), f (0) = 0, дуге
отвечает на окружности | w | = 1 дуга длины не меньше К-J,, где Кг ~~
абсолютная константа, К± > 1/2. (Диаметром дуги называется верхняя
грань расстояний между двумя произвольными точками данной дуги-/
Доказательство. Пусть, в условиях теоремы, при отобран^
нии w = / (z) дуге ух отвечает на окружности | w | = 1 дуга С длины
Обозначим через у2 Дугу, которая получается из ух преобразованием !'*•
Функция w = / (z), рассмотренная вместе с ее аналитическим продоля^*
9. К теории конформных отображений
95
инцип Шварца), реализует конформное отображение внешности
вием (пР состоящего из и у2, на внешность дуги С, причем
контура у,
f (Г?) = 1/7 (Z)’
мы обозначаем комплексное число, сопряженное с а.
^Так как, в силу принципа Линделёфа и условия I < 1/2, имеем
I |2 1 . 1
|/' (~) | = |/' (°) |1^ = |77WT'>^‘
Пусть теперь £ = ф (z), ф (оо) = о©, есть функция, реализующая отоб-
ражение внешности дуги у на внешность круга | £ | < 1, и пусть
w = ф (£), Ф (°°) =
есть функция, реализующая отображение внешности круга | £ | 1 на
внешность дуги С. Имеем
| /' (°°) I = I ф' (°°) I I (°°) I*
Так как диаметр у не меньше Z, то, в силу теоремы Кёбе—Бибербаха,
имеем
| ф' (оо) | <; 4/Z;
кроме того,
It' (по) I = sin -2-.
Отсюда
I/ Ы I <------г2- .
Сопоставляя полученные неравенства, окончательно имеем а > Z/2.
Следствие 1. Пусть односвязная область D получается выбра-
сыванием из круга | z | <; 1 односвязного континуума Е диаметра не мень-
ше h I <Z 2. При конформном отображении D на круг | w | < 1, w = f (z).
(у) = 0, континууму Е отвечает на окружности дуга длины не меньше
где — абсолютная константа.
Следствие 2. Пусть односвязная область D получается выбрасы-
ванием из круга | z | < 1 односвязного континуума Ег и односвязного кон-
шииуума Е2. Причем Ег принадлежит кругу | z — 1 | < 1/4 и имеет диа-
^^пр не меньше Z; Е2 принадлежит кругу | z + 1 | < 1/4. В таком случае.
к°и конформном отображении D на круг | w | < 1, w = f (z). f (0) = 0,
^пинууму Er отвечает на окружности | w | = 1 дуга длины не меньше
2 т г$е %-ъ — абсолютная константа.
е 0 Р е м а 9* Пусть односвязная область D. содержащая начало ко-
zoftlHain z = 0, ограничена дугой ух окружности | z | = 1 и простой ду-
| 2 1^ принадлежащей кругу | z | 1 и имеющей концы на окружности
Ние Пусть у — дуга, принадлежащая ух. Обозначим через ерасстоя-
Начала координат до у2 и через а — длину дуги у. При этих усло-
’ при конформном отображении области D на круг | w | < 1> ш =
96
I. Теория функций
= / (z), / (0) = О, дуге у отвечает на окружности | w | = 1 дуга длины
не больше р.’
_ । Р 1 + c°s 2 I г— / 1 а___о\2 \
₽<2arccos^-------------j<#2)'ea (р = 1 +-^ ( е ),
знак равенства достигается, когдадугау^зъьраждается в кусок радиуса кру-
га | z | < 1 и когда у симметрична относительно прямой, содержащей этот
радиус.
Доказательство. Для доказательства рассмотрим следующую
вариационную задачу:
Дана совокупность Е односвязных областей D, Е — {D}, обладаю-
щих следующими свойствами: 1) D содержит точку z = 0; 2) область/)
принадлежит кругу | z | < 1; 3) множество точек круга |z| < 1, не вхо-
дящих в D, не имеет предельных точек на дуге у окружности | z | = 1*
4) при конформном отображении области D на круг w = f & D), / (О,
D) = 0, имеем
| f (0, D) | = р,
где р — данное положительное число больше единицы. Обозначим через
I (D) длину дуги (окружности | w | = 1), в которую переходит дуга у при
отображении w = / (z, D). При этих условиях, среди всех областей сово-
купности Е требуется определить область, для которой I (D) достигает
своего наибольшего значения.
Пользуясь тем, что семейства функций / (z, D) и функций, им обрат-
ных, нормальны, нетрудно видеть, что максимум I (Д) достигается на не-
которой области, входящей в Е. Мы примем без доказательства, что об-
ласть Do, дающая максимум Z (Д), ограничена конечным числом аналити-
ческих дуг. (Вопросу об аналитичности решений различных классов экст-
ремальных задач мы имеем в виду посвятить специальную работу.) Поль-
зуясь этим, покажем, что область До получается выбрасыванием из круга
| z | < 1 куска радиуса, выходящего из середины дуги, дополнительной
к у. Для простоты изложения, не нарушая общности, будем считать в даль-
нейшем, что точка z = 1 делит у пополам. Заметив это, докажем, преж-
де всего, что каждая точка z, | z | < 1 границы Д достижима из Д, по край-
ней мере, двумя не приводимыми один к другому путями. Допустим от
противного, что точка zx, | zx | < 1, отмеченным свойством не обладает,
и покажем, что тогда вариацией области Д можно I (Д) увеличить. В са-
мом деле, в этом случае существует дуга б, принадлежащая границе D>
расположенная в круге | z | < 1 и принадлежащая также границе облас-
ти, дополнительной к Д. Обозначим теперь через с и d дуги окружности
I w | = 1, отвечающие при отображении ш = / (z, До), соответственно,
дугам у и б. Пусть ф0 есть аргумент середины дуги с, пусть фх есть аргу-
мент какой-нибудь точки d, отличной от точки £*(<?•+*), и пусть, наконец»
61 — бесконечно малая дуга, входящая в б и переходящая при отображе-
нии w = / (z, D) в дугу di с центром в точке е*₽«и длины меньше | фх ~~
— Фо — л I- Перейдем к варьированию области До. Заменим дугу бх гра-
ницы Dq бесконечно близкой к ней дугой бх (близость второго порядка)»
расположенной целиком вне Д. Обозначим через Дх получаемую при это»1
новую область. Функция w = / (z, До), будучи аналитически продолже-
9. К теории конформных отображений
97
У будет реализовать конформное отображение области Di на
иа затР которая получится добавлением к кругу | w | < 1 бесконечно
°бЛЯй площадки Ль опирающейся на дугу du Пусть о есть площадь Др
п’ гетим на окружности | w | = 1 дугу с центром в точке длины,
ОТ>иой длине di, и построим в круге | w | < 1 бесконечно малую площадку
₽ав опирающуюся на отмеченную дугу, так чтобы площадь Д2 равнялась
(Можно считать, что Д2 ограничена отмеченной дугой окружности
। _ 1 и дугой окружности радиуса, бесконечно мало отличающейся
от единицы.) Пусть при отображении w = / (z, Do) площадка Д2 соответст-
вует площадке Д. Обозначим через Z>2 область, получаемую выбрасыва-
нием из Di площадки Д. Обозначим, кроме того, через Г область, кото-
рая получится, если к кругу | w | < 1 добавить площадку Дг с дугой dt
и из полученной области удалить площадку Д2.
Имеем
/ (z, D2) = Flf (z, Do)],
где w = F F (0) = 0, есть функция, реализующая конформное отобра-
жение области Г на круг | w | < 1.
Так как в силу теоремы 1
1
I F' (0) | = 1 + (с2 - ai) = 1,
то
I (/' (0, D2) | = | F' (0) I I /' (0, Do) | = | Г (0, Do) I = р.
Следовательно, область D2 принадлежит совокупности Е. Кроме того,
I (£>0) равна длине дуги с, a I (D2) равна длине дуги, в которую перехо-
дит дуга с при отображении w = F (£). Но так как по построению площа-
ди Дх и Д2 одинаковы и площадка Д2 расположена к с ближе, чем Дх, то,
в силу теоремы 2.2, имеем
' (D2) > I (Do).
Мы пришли, таким образом, к противоречию с допущением, что Do дает
максимум /(D).
Таким образом область Do получается выбрасыванием из круга | z | <
1 конечного числа аналитических дуг, причем каждая точка каждой
Дуги достижима из DQ с двух сторон этой дуги. Отсюда заключаем, что гра-
ница Dq содержит точку | zt | < 1, которая: 1) является концом одной
113 Дуг, составляющих границу Do; 2) не принадлежит ни одной из других
Д>г границы Do; 3) не является концом ни одной из этих дуг. Короче го-
°Ря, у границы Do существует концевая точка z±. Покажем, что при ото-
Ражении w = / (z. D) точка z± переходит в точку где ei<Po есть
^РеДина дуги с, в которую переходит у. Допустим от противного, что точ.
I z 21 С00тветствует точка отличная от £*(<₽•+*). Построим круг С2,
21 I < бесконечно малого радиуса, с центром в точке и обозна-
льг ЧеРез КУСОК границы Do, попавшей в С2; г считаем настолько ма_
пол ’ Что^Ь1 являлась простой дугой zxz2. Обозначим через Di область,
«а\У’аемую Добавлением к D дуги 6Х. Отобразим конформно область Di
‘Руг | $ | <; 1 так, чтобы точки z = 0 и £ = 0 соответствовали друг
4 эд .
А.. Лаврентьев
98
7., Теория функций
другу И чтобы дуга у перешла в дугу с с центром в точке Пусть
С = ф(г)-, Ф(0) = 0,
— функция, реализующая это отображение. При этом отображении дуга
перейдет в бесконечно малую дугу dx, выходящую из точки ортого-
нальной окружности | £ | = 1, причем очевидно, что <р2 будет бесконечно
мало отличаеться от <рх, и, следовательно, точка будет находиться
на конечном расстоянии от точки ^(Фо+Л). Пусть а есть длина dt. Обозна-
чим через d2 кусок радиуса круга | £ | = 1, выходящий из точки
и длины а. Пусть 62 — дуга в области Рх, которая при отображении £ =
== Ф (z) переходит в отрезок d2. Обозначим через Z)2 область, которая по-
лучится, если из области Z)i удалить дугу 62. Пусть теперь Гх есть область,
получаемая выбрасыванием из круга | £ | < 1 отрезка dx, и пусть Г2
есть область, получаемая выбрасыванием из круга | £ | <; 1 отрезка d2.
Отобразим конформно области Гх и Г2 на круг | w | < 1:
= Ш Л(0) = 0;
• w = F2 (£), /%0) = 0.
При этих обозначениях, очевидно, имеем
/ (z, D.) = F, [Ф (z)l;
/ (z, D2) = F2 [Ф (z) ].
Так как, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
. I Fi (0) I = I F2 (0) |,
то, следовательно,
I /' (0, Р2) I = I /' (0, z>o) I = р,
т. е. область D2 принадлежит совокупности Е. В силу построения облас-
тей Г1 и Г2, I (Dо) и I (Z)2) суть длины дуги, в которые, соответст-
венно, переходит дуга с при отображении w = Fr (£) и w = F2 (£). Но
так как длины отрезков dt и d2 между собой равны, а отрезок dr располо-
жен к дуге с' ближе, чем отрезок d2, то отсюда, используя замечание к тео-
реме 2.2, получаем
I (Z>2) > I (DJ,
что невозможно.
Итак, при отображении ш = / (z, 7)0) каждая концевая точка границы
Dq переходит в точку Отсюда заключаем, что Do получается вы-
брасыванием из круга | z | < 1 простой дуги, пусть 60, один конец кото-
рой принадлежит окружности | z | = 1, а другой конец zx, | zr | < 1, пе-
реходит, при отображении w = / (zx, Z)o), в точку ^(Фо+л).
Сохраняя терминологию, принятую раньше, мы будем рассматривать
дугу как двухстороннюю, одну из сторон будем считать положительной,
другую — отрицательной. В соответствии с этим, если точка z0 принадле-
жит б0, мы будем обозначать через /+ (z0, Z)o), /+ (z0, Z)o) предельные зна-
чения / (z, Z)o) и /' (z, Do), когда z приближается к z0, оставаясь с положи-
9, К теории конформных отображений
99
тельной стороны дуги 60, и через /_ (z0, Z>0), f‘_ (z0, Do) — предельные зна-
чения тех же функций, когда z приближается к z0, оставаясь все время
с отрицательной стороны дуги 60.
Докажем, что для области Do, дающей максимум I (£)), в каждой точ-
ке z0 дуги 6о имеем
| /+ (zo- ^о) I = I /- (zo, В9) |.
Допустим от противного, что это условие не является всюду выпол-
ненным, и покажем, как раньше, что в этом случае бесконечно малой ва-
риацией области Dq можно увеличить I (Z>0).
Так как по доказанному ранее конец zx дуги 60 переходит в точку
е*(ф.-л), то из невыполненное™ последнего равенства, легко видеть, сле-
дует существование такой точки z0 (дуги 60), что или одновременно: 1)
| f'+ (z0, Do) I > | (z0, Dq) I и 2) точка = f+ (z0, Dq) расположена
от дуги с ближе, чем точка ei(P2 = f_ (z0,Z)0); или одновременно: 1) | f'+ (z0,
Dq) I < I /_ (z0, Dq) I и 2) точка = f+ (z0, Do) расположена от дуги с
дальше, чем точка = /_ (z0, Dq). Ограничимся рассмотрением первого
случая, ибо разбор второго случая проводится вполне подобно разбору
первого случая.
Обозначим через 6Х бесконечно малую дугу, принадлежащую 60, с цент-
ром в точке Zq. Заменим дугу 6Х бесконечно близкой дугой 6Х, расположен-
ной от 6Х с отрицательной стороны дуги 60. Область, в которую перейдет
область D при указанной вариации границы, мы обозначим через Dt. При
отображении w = / (z, D) площадка, ограниченная дугами 6Х и 6Х, перей-
дет в некоторую площадку Дх, лежащую в круге |ш|<Чи опирающуюся
на дугу (окружности | w | = 1) с центром в точке Продолжая функ-
цию / (z, Dq) аналитически за дугу 6Х с положительной стороны 60, мы по-
лучим, при помощи этой функции, отображение площадки, ограничен-
ной и бх, на площадку Д2, лежащую вне круга | w | < 1 и опирающую-
ся на дугу (окружности | w | = 1) с центром в точке ei<P1. Обозначим через
5 площадь площадки, ограниченной 6Х и 61? через ох — площадь Ах и че-
рез а2 —. площадь Д2. Пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
очевидно, имеем
5 | /+ (Z0, Dq) I, = $ | /J (Z0, Dq) |.
Отсюда, по условию 1, ax > o2- Обозначим через Д3 бесконечно малую
площадку площади ох — о2, принадлежащую кругу | w | < 1 и опираю-
щуюся на дугу (окружности | w | = 1) с центром в точке Пусть
А есть площадка, которая при отображении w = / (z, D) переходит в пло-
щадку Д3. Пусть Z)2 есть область, получаемая удалением из D± площадки
А- Обозначим через Г область, которая получится, если из круга | £ | <
1 удалить площадки Д2 и Д3 и к полученной области добавить площад-
КУ Aj вместе с ее граничными точками, принадлежащими окружности
I £ I = 1. Отобразим конформно область Г на круг | w | < 1:
w = F(£), F(0) = О,
4*
100
I» Теория функций
получим
/ (z, Р2) = F [/ (2, D0)L
Так как, с точностью до бесконечно малых высших порядков, по теореме 1
имеем
4
F' (°) = 1 ~
то отсюда заключаем, что область Z)2 принадлежит совокупности Е. Кро-
ме того, I (D2) есть длина дуги, в которую переходит дуга с при отобра-
жении w = F (£)• Но так как каждая из площадок Д2 и Д3 расположена
от дуги с дальше, чем площадка Др то из теоремы 2.2, получаем, что I (Z>2)
больше длины с, т. е.
J(D2)>/(Do),
что невозможно, ибо по условию для любой области D, входящей в Е,
должны иметь
I (D) < I (Z>0).
Итак, область Ро получается выбрасыванием из круга | z | < 1 простой
дуги 60, причем в каждой точке дуги 60 имеет место соотношение | (z0,
-Do) 1 = 1/- (2о, Do) |. Кроме того, при отображении w = f (z, D) концу
дуги So отвечает точка £*(<₽•+*), а дуге у (симметричной относительно дейст-
вительной оси с центром в точке z = —1) отвечает дуга с с центром в точ-
ке Из всего этого заключаем, что б0 есть кусок радиуса круга | z | <;
< 1, расположенный на действительной оси. Размер этого куска опреде-
лится из условия, что
I/' (0, По)1 = рЛ
Проделывая нужные элементарные выкладки, получим, что конформ-
ное отображение построенной области DQ на круг | w | < 1 будет осуществ-
ляться соотношением
р I Н—— I + 2 (р — 1) = z + 1/z.
Отсюда, вспоминая, что длину дуги у мы обозначили через а, после прос-
тых выкладок окончательно получим
. а
Р — 1 + COS - 9-
I (Do) = max I (D) = 2 arccos-----------.
Из полученного решения вариационной задачи немедленно следует ут-
верждение нужной теоремы. В самом деле, в силу доказанного имеем
Pl = I Г (0) | > | /' (0, Do) I = 1 + 4- = Р,
где отрезок So (определяющий область Do) мы предполагаем выходящим
из точки z = 8. Отсюда получим
сс сс
pi — 1 4- cos -у- р — 1 + cos —
Р 2 arccos----------------2 arccos----------------.
Pi Р
9, К теории конформных отображений
101
Знак равенства достигается, когда D совпадает с Z)o. Теорема полностью
^°КПп именин принцип Монтеля, из доказанной теоремы получаем, как
следствие, следующий результат.
Следствие- Пусть односвязная область D принадлежит кругу
। 2 I г, содержит начало координат, и пусть расстояние от начала ко-
пдинат до границы D не больше гг. При этих условиях при конформном
отображении D на круг | w | < 1, w = / (z), / (0) = 0, часть границы D,
попадающая в круг | z | < г, перейдет во множество Е:
„ _ о Г (1 — е)2—4е~]^ 9
mes Е > 2 — arccos -v—t+7 —J > 2л — к2 у г ;
знак равенства достигается, когда D получается выбрасыванием из круга
। z । <; г куска его радиуса.
В дальнейшем, наряду с доказанной теоремой, нам также понадобится
следующее ее видоизменение.
Теорема 10. Пусть в плоскости комплексного переменного z =
= х + iy дана односвязная область D, содержащая начало координат и
обладающая следующими свойствами: 1) D принадлежит полуплоскости
у <а, где а — данное число', 2) граница D содержит отрезок у длины h,
принадлежащей прямой у = а', 3) граница D содержит точку, удаленную
от начала не больше чем на е. При этих условиях, при конформном отобра-
жении области D на круг | w | < 1, w = / (z), / (0) = 0, отрезку у отве-
чает на окружности | w | = 1 дуга длины £
0<
где К3 — константа, зависящая только от а.
Для доказательства этой теоремы отобразим полуплоскость у <Z а
конформно на круг | £ | < 1 при условии, что точка z = 0 перейдет
в точку £ = 0. При этом отображении область D перейдет в Dr, удовлет-
воряющую условиям теоремы 9. Применяя к области D± теорему 9,полу-
чим нужную оценку для р. Так же, как в теореме 9, можно найти верхнюю
границу значений р в зависимости от a, h и е.
§ 4. Области специального вида. Результаты этого и следующего па-
раграфов будут опираться на два новых геометрических понятия.
Определение 1. Пусть D есть произвольная односвязная об-
ласть плоскости комплексного переменного z. Относительным расстоя-
нием между произвольными точками zx и z2 области D мы назовем нижнюю
границу длин полигонов, принадлежащих D и соединяющих точки zr и ц.
Относительное расстояние между двумя точками zx и z2 условимся обозна-
’ать через dr (zx, z2).
Отметим два следующих очевидных свойства введенного понятия:
*) dr (z1? z2) > I zx — z2 I, причем знак равенства достигается в том и
только в том случае, когда отрезок, соединяющий zx и z2, принадлежит об-
ласти D; 2) каковы бы ни были три точки области zx, z2, z3, имеем
dr (zx, Z2) + dr (za, z3) dr (zx, z3).
Определение 2. Пусть D — произвольная односвязная область,
и пусть F — граница D. Отобразим D конформно на круг | w | < 1. Если
102
I. Теория функций
при этом отображении некоторой точке z границы F будут отвечать не-
сколько точек окружности | w | = 1 (в этом случае к точке z можно подой-
ти из области D, по крайней мере, двумя неприводимыми один к другому
б области D путями; одной точке F может, как известно, отвечать мно-
жество точек окружности | w | = 1, имеющее мощность континуума), то
мы, следуя Каратеодори, будем считать, что z состоит из нескольких то-
чек, так чтобы каждой «точке» F отвечала единственная точка окружности
| w | = 1. Итак, пусть z есть произвольная точка F. Согласно принятому
условию, этой точке отвечает единственная точка окружности | w | =
= 1 — пусть точка ш0. Пусть, далее, zx есть произвольная точка облас-
ти D и — точка круга | w | < 1, соответствующая zx при конформном
отображении. Внутри круга | w | < 1 строим круг С, касающийся ок-
ружности | w | = 1 в точке w0 и содержащий точку Пусть Dr есть об-
ласть, которая при отображении D на круг | w | < 1 переходит в круг С.
При этих построениях относительным расстоянием от точки zr облас-
ти D до точки z границы F мы назовем нижнюю границу выражения
lim inf dr (zv z),
z-*z
когда z стремится к z, оставаясь в области DT, и когда радиус окружнос-
ти С может быть сделан как угодно близким к единице. Для введенного
понятия относительного расстояния от точки области до границы мы со-
храним прежнее обозначение dr (zlrz).
Заметим, что при конформном отображении области D на круг
| w | < 1 множеству точек границы D, удовлетворяющих неравенству
С&1, z) 4> р 0, отвечает на окружности конечное или сметное число ин-
тервалов.
Докажем следующую теорему.
Теорема 11. Пусть односвязная область D содержит отрезок
(—8, 4-е) действительной оси, а точки z = —е, s принадлежат границе D.
Пусть, далее, z° и z® — две точки области D, такие, что: 1) всякая кривая,
принадлежащая D и соединяющая точки zQ и z°, пересекает отрезок
(—е, е) и 2) dT (0, z°) г + е > 28, dr (0, zj) г + £• Пусть, наконец,
w = f (z) — функция, реализующая конформное отображение области D
на круг | w ] < 1, такая, что: 1) точка ш — 0 соответствует точке от-
резка (—е, е) и 2) точки — f (z°) и = f (zj) принадлежат одному диа-
метру окружности | w | = 1. При этих условиях имеем
{1-|/(Z°)|}{1-|/(Z?)|}<(1 + -^----+ ;
знак равенства достигается, когда D получается выбрасыванием из плос-
кости лучей
arg z = 0, | z | > е и arg z = л, | z | > 8
и когда
zQ — ir, Zi = —ir.
Для доказательства введем вспомогательное комплексное перемен-
ное £ и построим в плоскости £ область G, получаемую выбрасыванием
9. К теории конформных отображений
103
и3 плоскости лучей
arg С = °’ I £ । > е и arg = л, | С | > е.
О образим конформно область D на область G, £ — <p (z), при следующих
ттовиях: 1) точка £ = 0 соответствует точке z = От, где О — действи-
тельное число, | О | < 1; 2) точки £° = <р (z°), £? = <р (г?) расположены
на мнимой оси, причем Im £° > 0, Im £? < 0. Легко видеть, что такое
отображение существует в силу свойств области Z), перечисленных в ус-
ловиях теоремы.
В силу теоремы 6, полагая
1-0
и
Zq = (1 — ф) е,
получим
1+-1±1.
j ф (Фе) | 1 4- ф 1 __ ^2
4т^(1-^8
(33)
Соединим начало координат = 0 с точками £° и $ отрезками прямых
(эти отрезки суть куски мнимой оси) и обозначим через L0 и L? кривые
плоскости z, которые при отображении £ = ф (z) переходят, соответствен-
но, в построенные отрезки. Обозначим через $ и соответственно длины
дуг, принадлежащих L0 и Z?, заключенных между точками 0, z и О, zu
Построим теперь в плоскости z кривую Z, которая при отображении
С = Ф (*)
переходит в отрезок (—е, +е). Кривая I разбивает область D на две об-
ласти, одна из которых, пусть D°, содежит кривую L0, и другая, пусть
содержит кривую Zq.
Области D° и Di удовлетворяют условиям теоремы 3, следовательно,
если каждую из этих областей конформно отобразить на единичный круг
I w I < 1 при условиях, что точка z кривой А0 с координатой 5 и точка zx
кривой Z? с координатой $х перейдут в начало координат, то произведение
модулей производных отображающих функций, взятых в отмеченных точ-
ках, будет больше, чем 1/(5 + $х)2.
Отсюда, заметив, что функция £ = ф (z) реализует конформное ото-
бражение областей D° и Z)?, соответственно на верхнюю и нижнюю полу-
плоскости плоскости z, отображая круг | и | < 1 конформно на упомяну-
тые полуплоскости при условиях, что точке и = 0 будут отвечать точки
ф(г) и ф (zx), получим
। <р- w 11 ф- w । > 141„. 14Н- • (34)
гДе dZJdu и dtjdu суть производные при отмеченных выше конформных
°т°бражениях круга | и | < 1 на полуплоскости.
104
I. Теория функций
Обозначим, соответственно, через ц и абсолютные значения мнимых
частей ф (z) и ср (zx), когда z и z± находятся на кривых LQ и L?. Так как по
построению кривые LQ и Л? переходят в отрезки мнимой оси плоскости £, то
| ф' (z) | = dT\/ds; | ф' (zj | = d^/ds^
Отсюда (34) можно переписать так:
б7т] dt]] 4т]Т]1
ds dsj (s 4- $i)2
или, полагая 5 = $х:
dr] б?т]3 4ds2 _____ ds2
*0 ($ +$)2
Отсюда
/ dt] б/тц \2 4 4б/$2
\~Й г ~rj"~ П1 *2 ‘
Извлекая корень и интегрируя, получим
трь > СЛ
где С — пока неопределенная константа. Для определения С заметим, что
в силу (33)
lim — = lim — = | ф' (Фе) | !•
8—*0 5 8—>0
Следовательно, можем положить С = 1. Откуда окончательно:
W > s2- (35)
Так как точки z° и z? находятся на расстоянии, не меньшем чем г + 80
от начала z = 0, то отсюда заключаем, что длины кривых LQ и Lj не мень-
ше г. А значит, в силу (35), имеем
П°П°1 = I Ф (*°) I I Ф (*?) I > (36)
Перейдем к доказательству основной оценки. Отображение w — / (z),
фигурирующее в условиях теоремы, можно рассматривать как результат
двух отображений: отображения £ = ф (z) и конформного отображения
лучевой области G плоскости £ на круг | w | < 1 при условии соответст-
вия начал координат £ = 0 и w = 0. Пользуясь (36), оценим положение
точек, в которые перейдут точки ф (z°) и ф (z?) при втором из отмеченных
отображений. Это отображение, как известно, реализуется функцией
у___ 2&w
& — 1 + и2 »
при этом, как легко видеть, точки £ = ф (z°) — rq° и £ = ф (z?) = —rq£
перейдут в точки w = / (z°) и w = / (zx), расположенные на мнимой оси по
разные стороны от начала координат. Отсюда, полагая | 1 — / (z°) | = а
и I 1 — / (z° | = ах, будем иметь
п° = (1 — а) _ 2е 1 —а
1 — (1 — а)2 а 2 — а
9. К теории конформных отображений
105
0 28(1 —ai) _ 28 1-ад
Г)1 — 1 —(1 —С4])2 ai 2 — CCj ’
0_ 4ва 1 —а 1 —ai
аад 2 — а 2 — ад
Так как, при возрастании ц0 ит]$ а и ах убывают, то наша задача при-
водится к следующей: при условии = г2 найти максимум аах. Дока-
жем, что искомый максимум достигается, когда а = ах; для этой цели, оче-
видно, достаточно доказать, что функция
. 4б2 1 — а 1 — а]
’ а1) аа1 2 — а 2 — ах
при условии аах = р2, где р2 — константа, достигает своего максимума,
когда а = ах. Используя условие аах = р2, получим
_ 4ea 1 4- Р2 — (« + аз)
- р2 4 + р2~ 2 (а + aj) ’
Легко видеть, что при возрастании (а + ах) <Z 2 функция ф убывает, а
следовательно, достигает своего максимума при минимальном значении
а + ах. Но по условию аах = р2, следовательно, максимум ф достигает-
ся, когда а = ах.
Так как при а = ах имеем
Т|° = П1 = г,
то, следовательно, максимальное значение аах, при условии ц°цх = г2,
будет равно а2, где а определяется из уравнения
r 2s —
а 2 — а *
Решая это уравнение относительно а и вспоминая, что
{1 - I / (и°) 1} {1 — I / (Z?) | } = аах,
получим окончательную оценку.
Замечание. Так как относительное расстояние между двумя точ-
ками не меньше обычного расстояния между ними, то отсюда заключаем,
что доказанная теорема остается в силе, если в условиях теоремы, вместо
относительных расстояний, взять расстояния, обычно понимаемые.
Используя доказанную теорему, нетрудно доказать теорему, которая
будет иметь’основное значение в дальнейшем.
Теорема 12. Пусть дана односвязная область D, удовлетворяющая
Условиям теоремы 11. Пусть, далее, zQu — две точки области D, такие,
что: 1) dr (0, z°) г + 8, dr (0, ZJ) г + 8 и 2) всякая кривая, принадле-
жащая D и соединяющая точки z° и zx, пересекает отрезок (— 8, в).
Пусть, наконец, w = F (z) есть функция, реализующая конформное ото-
бражение области D на круг | w | < 1, так что F (z°) = 0, тогда
0 < 1 - | F (z?) | < 2е2/г2.
Для доказательства отобразим предварительно область D конформно
круг | £ | <; 1 при следующих условиях: 1) начало координат t, = 0
106
I. Теория функций
соответствует точке отрезка (—8, 8) и 2) точки z° и z? переходят в точки £<>
и £?, расположенные на действительной оси плоскости £ по разные сторо-
ны от начала координат. Если через £ = / (z) обозначить функцию, реали-
зующую это отображение, то в силу теоремы 11 будем иметь
{1- | £° | } {1 - :| £i | } < 2е2/г2. (37)
Отобразим теперь круг | £ | < 1 конформно на круг | w | < 1 так,
чтобы точке £ = £° отвечала точка w = 0:
_ С —£°
w - I £°К + Со/к°| •
Тогда, очевидно,
р tz\ —_________f ~~ £° ег^
[ ' -|£0|/(*) + С0/|£°1 ’
где О — некоторое действительное число.
Следовательно,
£?-£°
F $) =--------Чг-2--------
- I£°l £? + £°/1 £° I
(38)
Заметим, что £° и £? — действительные числа разных знаков, из (37)
и (38) получим
1 _।F(г!)।.!_
1 1 R'llSI + l 1+1СЧ1Й1 '
Отметим в заключение еще две теоремы экстремального характера.
Эти теоремы будут лежать в основе исследований, составляющих вторую
часть.
Обозначим через С (р, е) односвязную область, обладающую следующи-
ми свойствами: 1) С (р, е) содержит начало координат; 2) С (р, 8) содер-
жится в круге радиуса р, с центром в начале координат; 3) расстояние
от начала координат до границы С (р, в) не больше 8.
Теорема 13. Пусть D — односвязная область, принадлежащая
некоторой римановой поверхности и удовлетворяющая следующему усло-
вию'. наибольшая односвязная область, принадлежащая области D и кругу
| z | < р и содержащая точку z — 0 первого лепестка, совпадает, с об-
ластью С (р, е). Пусть, кроме гпого, d есть произвольная односвязная об-
ласть, принадлежащая D и расположенная целиком вне С (р, 8). При этих
условиях при конформном отображении D на круг | w | < 1 (точка z = 0
области С (р, 8) переходит в точку w — 0) область d переходите область
диаметра со:
(О < /8/р,
где — абсолютная константа. (Здесь и во всем дальнейшем мы считаем,
что С (р, е) расположена на первом лепестке.)
Доказательство. Обозначим через у дугу окружности | z | =*
= р, принадлежащую первому лепестку и такую, что: 1) у принадлежит D,
а ее концы принадлежат границе D; 2) всякая кривая, принадлежащая D
9. К теории конформных отображений
107
оединяющая произвольную точку d с точкой из С (р, е), пересекает дугу у,
Гели из области D удалить дугу у, то область D распадается на две од-
носвязные области. Пусть Do — та, которая содержит С (р, е), и пусть
п — та, которая содержит d.
771 Отобразим теперь область D конформно на круг так, чтобы точка z = 0
области С (р, е) перешла в точку w = 0. Обозначим через Л область, в ко-
торую при отображении перейдет область Dr, и пусть А получается добав-
лением к А ее предельных точек. Диаметр cdj множества А, очевидно, не
меньше со. Область Г, получаемую выбрасыванием из круга | w | < 1 мно-
жества А, отобразим конформно £ = ф (ш), ф (0) = 0, на круг [ С | < 1
и обозначим через fl длину дуги (окружности | t | = 1), в которую при
этом отображении перейдет часть границы Г, принадлежащая А. В силу
теоремы 8 имеем
fl К1(о1
Отобразим теперь конформно на круг | £ | < 1 область Do (точке z = О
области С (р, е) отвечает точка = 0). При этом отображении, очевидно,
дуга у перейдет в дугу длины fl. Отсюда, в силу принципа Монтеля и след-
ствия из теоремы 10, получаем
А < К2 Уе/р.
Сопоставляя эти неравенства, окончательно имеем
® “ к. г — •
Теорема доказана.
Перейдем к последней теореме настоящего параграфа.
Обозначим через R (а, е) односвязную область, обладающую следующи-
ми свойствами: 1) граница R {а, е) состоит из отрезка ух прямой у = а,
из отрезка у2 прямой у = —а, из двух простых дуг, принадлежащих поло-
се —a <Z у <Z а п соединяющих соответственно начала и концы отрезков
Yi и у2; 2) область R (а, е) содержит отрезок (—е, е) действительной оси;
3) концы отрезка (—е, е) принадлежат границе R (а, е).
Теорема 14. Пусть D — односвязная область, принадлежащая не-
которой римановой поверхности, удовлетворяющая следующему условию:
наибольшая односвязная область, принадлежащая D и полосе | у | < а
и содержащая точку z — 0 первого лепестка, совпадает с областью R (а, е).
Пусть, кроме того, w = f (z) есть функция, отображающая D конформно
на круг | w | <Z 1 так, что: 1) левый конец отрезка ух переходит в точку
w = 1; 2) левый конец отрезка у2 переходит в точку w — —1; 3) точка
— 0 соответствует точке xQ отрезка (—е, е) первого лепестка. При этих
Условиях, если
г$е — абсолютная константа из теоремы 13, то, какова бы ни была
^очка z, лежащая вне R (а, е), имеем или
I / (z) - 1 | < К5а /е,
108
I. Теория функций
или
| / (z) + 1 I < К£ /ё,
где К5 есть константа, зависящая только от а, и где аир суть длины от-
резков ух и у2. Первое (второе) неравенство имеет место, если всякая кривая,
соединяющая z с точкой из R (а, г), пересекает ух (у2).
Доказательство. Ограничимся доказательством первого не-
равенства. Обозначим через Dr множество всех точек z, принадлежащих D
и таких, что каждая кривая, принадлежащая D и соединяющая z с точ-
кой из R (а, е), пересекает ух. Аналогично, обозначим через Z)2 множество
всех точек z, принадлежащих D и таких, что каждая кривая, принадле-
жащая D и соединяющая z с точкой из R (а, 8), пересекает у2. Пусть Дх
и Д2 — области круга | w | < 1, в которые при отображении w = / (z)
переходят области и Z>2. Добавим к области Дх и Д2 все их граничные
точки и полученные таким образом множества обозначим соответственно
через Дх и Д2. Пусть 1г и 12 — диаметры, соответственно, Дх и Д2; в силу
теоремы 13 и условия
. 1 а
имеем
Zx < 1/4; Z2 < 1/4.
Но так как концы отрезков ух и у2 переходят соответственно в точки
w — 1, w = —-1,
то отсюда заключаем, что Дх и Д2 принадлежат соответственно кругам
| w — 1 | < 1/4 и | w + 1 | < 1/4.
Кроме того, для всех точек z, принадлежащих D±, имеем
| / (z) - 1 I < llt
а для всех точек z, принадлежащих D2, имеем
I / (z) + 1 I < 12.
_ Область Г, получаемую удалением из круга | w | < 1 множеств Дх и
Д2, отобразим конформно на круг | £ | < 1:
£ = ф (w), ф (0) = 0.
Обозначим соответственно через и О2 Длины дуг, в которые при этом
отображении перейдут части границы Г, принадлежащие Д2 и Д2. В силу
следствия 2 теоремы 8 имеем
Ох > Kill, > Kil2.
Отобразим конформно на круг | £ | <Z 1 область R (а, е) при условии,
чтобы точке х0 (отрезка (—е, е)) отвечала точка £ = 0. При этом отобра-
жении дуга у! перейдет в дугу длины ^1, а дуга у2 — в дугу длины ^2.
9, К теории конформных отображений
109
Отсюда, в силу теоремы 9:
< К2а У е, Ф2 < Я2р Уе.
Искомые неравенства непосредственно вытекают из сопоставления по-
лученных неравенств.
§ 5. Соответствие границ. Пусть / (z) есть аналитическая функция,
правильная в единичном круге | z | < 1. За последние десятилетия поя-
явился ряд важных работ, ставящих себе целью изучение предельных зна-
чений / (z), когда | z | -> 1. Делая некоторые общие гипотезы относитель-
но роста | / (z) | при | z | —> 1, удается установить, что / (z) почти всюду
на окружности допускает конечные предельные значения и что предель-
ные значения на некотором множестве положительной меры определяют
функцию единственным образом и т. д. В течение последних 15 лет, па-
раллельно с отмеченными исследованиями, начали появляться работы,
ставящие себе целью распространить теорию граничных значений функ-
ций, правильных в круге, на функции, правильные в области возможно
более общего вида. Чрезвычайно важной для этих обобщений является
следующая проблема: найти возможно точную структуру множества то-
чек границы области, которое, при конформном отображении области на
круг, перейдет во множество положительной меры, во множество меры
нуль. Первым результатом основного значения в этом направлении явля-
ется теорема Н. Н. Лузина—И. И. Привалова—Ф. Рисса об инвари-
антности множества меры нуль при конформном отображении областей,
ограниченных спрямляемыми кривыми. В. Н. Вениаминов затронул
впервые проблему для областей наиболее общего вида, показав, что при
конформном отображении области на круг множеству точек границы об-
ласти, «достижимых углами», может отвечать на окружности множество
меры нуль. (Точка границы области называется достижимой углом, если
существует сектор с вершиной в данной точке и принадлежащий области.
Для спрямляемых областей множеству достижимых углами точек отве-
чает на окружности множество полной меры.) Автор этой статьи по-
казал, что множество точек границы области, относительные расстояния
которых до некоторой фиксированной точки области бесконечны, пере-
ходит, при конформном отображении области на круг, во множество меры
нуль.
Целью настоящего параграфа является несколько дополнить послед-
ний из упомянутых выше результатов.
Определение 3. Пусть D — односвязная область с границей F.
Мы скажем, что точка z, принадлежащая F, достижима, если ее относи-
тельное расстояние до некоторой точки области D конечно.
Определение 4. Пусть D — односвязная область, содержащая
точку z = а и обладающая границей F. Пусть z есть достижимая точка F.
Строим круг С радиуса г, | z — z0 | < г, принадлежащий D и обладаю-
щий следующими свойствами: 1) круг С можно получить непрерывным
передвижением круга | z — а | < г внутри области D; 2) какова бы ни
была кривая, соединяющая точку z = 0 с точкой z и лежащая внутри об-
ласти D, эта кривая пересекает круг С. При этих обозначениях мы ска-
жем, что точка z достижима нулевым углом порядка а 1, если
г> К [dr (z0, z)la
при всех достаточно малых г, где К — константа.
no
I. Теория функций
Докажем следующую теорему.
Теорема 15. Пусть D — односвязная область и F — граница D,
При конформном отображении области D на круг множеству точек F,
не достижимых нулевыми углами второго порядка (порядка 2), соответст-
вует на окружности множество точек меры нуль.
Не нарушая общности, допустим, что область D содержит точку z = 0.
Пусть Е есть множество точек, принадлежащих F и не достижимых
нулевыми углами порядка 2. Таким образом, для каждой точки z, при-
надлежащей Е, существует бесконечное множество кругов С (z), обладаю-
щих следующими свойствами: 1) всякая кривая, соединяющая точку
z = 0 с точкой z, пересекает каждый из кругов С (z); 2) обозначив через г
радиус круга, а через z0 — его центр, будем иметь
4 (z0, 2) >
1
К1 |/х
Обозначим через М множество всех кругов С (г), соответствующих
всем точкам z множества Е. Обозначим через Мо множество всех кругов
радиуса больше р и принадлежащих М, где р — выбранное заранее поло-
жительное число. Вообще, обозначим через Мп множество кругов, при-
надлежащих 71/, радиус каждого из которых не больше П~Р и боль-
2
1
ше ттгР-
£
Очевидно, имеем
м = MQ + Мг+ ..>.-+мп +
Пусть теперь ЕТ есть множество точек z, принадлежащих Е и таких, что,
какова бы ни была точка z множества Еи среди кругов С (3) существует,
по крайней мере, один круг, принадлежащий множеству М±. Считая оп-
ределенными множества Ег, Е2, . . ., Еп_^ определим множество Еп сле-
дующим образом: для того, чтобы точка z принадлежала Еп, необходимо
и достаточно, чтобы: 1) z принадлежала Е и не принадлежала Et при i <
< п; 2) среди кругов С (z) существовал круг, принадлежащий множеству
Мп. Очевидно, имеем
А’ — Ег + Е2 + . . . + Еп + . . .
Обозначим через Еп множество точек окружности | w | = 1, в которое
переходит множество Еп при конформном отображении области D на круг
I ^ | < 1.
Нашей ближайшей задачей будет оценить меру множества Еп. Поло-
жим
mes Е'п = тп.
Отнесем каждой точке z множества Ёп определенный круг Cn(z), при-
надлежащий множеству Мп. (Двум разным точкам может отвечать один
и тот же круг.) Пусть z0 — центр круга Сп (z) и г — ого радиус,
1 \ \ 1
5ГТР>Г> ^5гР-
9. К теории конформных отображений
. 111
Построим теперь для точки z геометрическое место точек z, удовлетворяю-
щих условию
1 р/г,
dr (*0, z>- 2
(39)
Обозначим через Н (z) множество точек z, принадлежащих геометри-
ческому месту, и таких, что всякая линия, соединяющая точку опреде-
ляемого множества с точкой z = 0, пересекает круг С71 (z); Заметим сле-
дующие очевидные свойства множества Н (z): 1) всякая линия области Ц,
соединяющая точку z0 с точкой г, пересекает Н (z); 2) относительное рас-
стояние от любой точки Н (z) до точки z больше, чем ~~ (аксиома
треугольника).
Пусть теперь
w = / (2), / (0) = 0,
есть функция, реализующая конформное отображение области D на круг
| iv | < 1, и пусть Н' есть множество, соответствующее множеству Н (z),
a w — точка, соответствующая точке z при этом отображении. В силу от-
меченного свойства множества Н (z), всякая линия, соединяющая точку
w = 0 с точкой w, пересечет множество Н'. Кроме того, применяя теоре-
му 8 и считая в дальнейшем выбранное число р достаточно малым, для лю-
бой точки w множества Н' имеем
|1-"|<2-^Г- (4°)
1
где К2 — новая константа.
Обозначим через z = F (w) функцию, обратную функции w = f (z).
Тогда из (40), применяя (39) для любой точки множества Еп, будем
иметь ,
1
| F' (ае^) | da г1^.
1-К2г
Или, усиливая неравенство:
i -
J (41)
1 К 2,0 ft—J
Пользуясь (41), оценим снизу интеграт
1 ;= '
S | F'(аегф) |2 da.
Для этой цели найдем минимум интеграла I при условии, что функ-
ция | F' |, рассматриваемая как функция а, удовлетворяет Усл0
вию (41). Решая эту элементарную задачу вариационного исчисления, как
Известно, получим, что искомый условный минимум I достигается, когд
112
I. Теория функций
| F* (ae£(p) | есть константа. Обозначая эту константу через Я, из (41)
найдем
А27?рл_г > —pnlr
Отсюда
•“ 4^2 Рп-1 — Л-эРл-1*
Следовательно,
I > > K2Kl = К,. (42)
Рассмотрим теперь интеграл
Sn = dtp | F' (ae^) |2 da.
En x~ K^n-1
Из (42) немедленно получаем (для р достаточно малого)
Sn > -Й^4^п*
Отсюда
У» тп = mes Е < У 5П. (43)
П=1 П=1
Для того чтобы оценить правую часть неравенства (43), выясним гео-
метрический смысл интеграла Sn. Для этой цели построим в круге | w | <
< 1 множество перпендикуляров к окружности | w | = 1 длины 2^2Pn-i <
< /£2р, выходящих из точек множества Еп. Обозначая через Еп построен-
ное множество, легко видеть, что Sn есть мера множества области Z), ко-
торое, при конформном отображении D на круг | w | < 1, переходит во
множество Еп. Следовательно, обозначая через 5 (р) площадь области,
которая, при отображении D на круг | w | < 1, переходит в кольцо
я2р < I w I < 1,
получим
mes Е < < S (p)f
где р — любое достаточно малое число. Но так как при р, стремящемся
к нулю, S (р) также стремится к нулю, то
mes Е = 0.
ЧАСТЬ II
§ 1. Две геометрические леммы. В настоящем ’ параграфе мы выявим
некоторые метрические свойства произвольной конечной системы интер-
валов. Одним из этих свойств (лемма 2) мы существенно воспользуемся
в следующем параграфе, кроме того, нам представляется возможным,
что доказываемые здесь леммы могут найти себе приложения в некоторых
вопросах метрической теории функций действительного переменного.
9, К теории конформных отображений
ЦЗ
(ап, Ьп),
.,71 — 1)
Введем некоторые определения. Пусть на числовой прямой дана про-
извольная система п интервалов:
5 : («и ^1)» (л2» ^г)> •
ai < bi (i = t 2, . . n); bt < a
Систему интервалов
S : (Лх, ^i)? (Д& B2), • • •» Mm, ВгАч
Ai < Bi (i = 1, 2, . . m); Bt < Ai+1 (i = 1, 2, . . ., m — 1)
мы назовем покрытием данной системы 5, если каждый интервал систе-
мы S принадлежит, по крайней мере, одному из интервалов системы S.
В частном случае покрытие системы 5 может совпадать с самой системой.
Если система
из отношений
&i+l “ Аг+1
Аг+1-Вг 1
интервалов 5 есть покрытие системы 5, то наибольшее
В. —Л.
-Л—гв- =
Лг+1
мы назовем индексом рассматриваемого покрытия и будем обозначать че-
рез Ind S. _
Покрытие S системы S мы будем называть минимальным, если среди
всех покрытий системы 5 покрытие £ обладает наименьшим индексом.
При этих определениях докажем следующее предложение.
Лемма 1. Какова бы ни была система интервалов
S . (а1? &г), (а2, &2), . . ., (ап, &п),
ai < bi (i = 1, 2, . . ., n); bi <Z ai+1 (i = 1, 2, . . ., n — 1),
если S есть ее минимальное покрытие, то
Ind S < Д, (1)
где Д определяется уравнением
(1 + Д)п __ дп--Lbn-i = о
Р
== Ьп — аг и р есть длина наибольшего из интервалов системы. Нера-
венство (I) улучшено быть не может в том смысле, что существует си-
стема S, для которой неравенство (/) переходит в равенство.
Доказательство. Для доказательства решим следующую
экстремальную задачу: при данных п, I и р найти систему S, для которой
индекс ее минимального покрытия был бы наибольшим. Искомая система,
очевидно, существует, обозначим ее через S (р, Z, п).
Заметим теперь, что если у некоторой системы S один из составляю-
щих ее интервалов имеет длину меньше р, то всегда можно построить но-
вУю систему Sr (с теми же числовыми характеристиками п, I, р), для ко-
торой индекс ее минимального покрытия будет больше, чем у первона-
чальной системы S. Отсюда заключаем, что систему S (р, Z, п) достаточно
искать среди систем, у которых все интервалы имеют одинаковую длинух
Равную р.
114
I. Теория функций
Прежде чем перейти к поискам системы S (р, Z, п), введем еще одно по-
нятие. Пусть S — произвольная система, состоящая из интервалов
одинаковой длины:
s : («1, bj), (а2, Ь2), . . (ап, Ьп),
bi — at = р (i = 1, 2, . . ., тг); bt < (i =1,2,..., п — 1).
Условимся в дальнейшем обозначать через S' следующую систему интер-
валов:
3 • ^к+1)? (^fc+2? ^fc+г)? • • •» (^fc+n-i? &k+n-i)>
где k = 0, если ап — Ъп_г а2 — Ьг, и k = 1, если ап — Ъп^ < а2 —
Считая систему S& определенной:
8^*. (%н-1, 6р+1)> (др+2т ^р+г)? • • •, (ftp+n-ij Ър+n-i),
будем обозначать через 5(U1) следующую систему интервалов:
*5’(г+1) • (&K+n+l> frfc+p+l)? (^fc+p+2? frfc+p+2)? • • ч
(ak+p+n-i-Ъ frfc+p+n-i-l) J
где к 0, если dp^-n—i bp^.-fi~i—i ^р+2 ^р+i» ® ~~ если dp^-i—i
Ьр+n-i-l ^р+2 ^р+1« v
Плотностью первого порядка 6'5 системы S назовем меньшее из двух
^П-1 — а1 Ъ — а2 .
чисел - • Плотность первого порядка системы 5(1"1) на-
зовем плотностью i-ro порядка системы S:
6^5 = 6'5(^-D (i = 2, 3, . . ., п-1).
При этих определениях докажем, что у искомой системы S (р, Z, п)
плотность 6<^5 любого порядка (i = 1, 2, . . ., п — 1) равна индексу ми-
нимального покрытия этой системы.
Доказательство проведем методом полной индукции. Для систем, со-
стоящих из двух интервалов, плотность тождественно равна индексу ми-
нимального покрытия. Допустим предложение верным для системы
S (р, X, п — 1) и докажем отсюда, что оно верно для системы S (р, Z, »)•
Итак, пусть искомая система S = S (р, Z, п) состоит из интервалов
(аь (а2, 62), . . ., (аЛ, fen),
и пусть интервал (bv, av+1) — наибольший среди интервалов (&/, #г+1)»
г = 1, 2, . . .,_п — 1. Покажем, прежде всего, что существует минималь-
ное покрытие Sr системы 5, не содержащее интервала (bv, av+i). В самом
деле,_допустим, что интервал (Лк, Вк) некоторого минимального покрЫ"
тия S содержит (6V, &v+i)« Рассмотрим новое покрытие получаемое #3
5 заменой интервала (4fc, Вк) двумя интервалами: (Лк, bv) и (ov+ь
Покрытие 5г не содержит интервала (6V? ^v+i), кроме того, в силу Усл°
вия av+i — bv di+1 — bif очевидно, имеем
Ind Ind S,
таким образом, 5Х есть искомое покрытие. * . - >
9, К теории конформных отображений
115
То же рассуждение показывает, что если система
а : (вц ₽1)> (а2’ Ра)’ • ’ ’’ ^n’ Р")
' конечно близка к_рассмотренной системе S, то для о существует мини-
оес ое покрытие о, не содержащее интервала (pv, av+1). Точнее, если
},аЛ _ аг I < е и если Ov+i — bv > ai+1 — bt (i = 1, 2, . . п — 1), то
при достаточно малом е для ст существует покрытие о, не содержащее ин-
тервала (Pv? av+l)-
F « 6v —«1 bn — %+1
Покажем теперь, что большее из чисел р =--------г- , q = —-------
av+l °V _ av+l — bV
равно индексу минимального покрытия. В самом деле, пусть S — мини-
мальное покрытие. Согласно доказанному, мы можем считать, что £ ин-
тервала (bv, av+i) не содержит. Допустим, что числа р и q меньше Ind 5,
но тогда покрытие, состоящее из двух_ интервалов (ax, bv) и (av+1, bn),
имело бы индекс, меньший, чем Ind S (ибо индекс покрытия (ax, fev),
(av+i> bn) равен большему из чисел р и q), покрытие S не было бы мини-
мальным. Допустим, что q р и q > Ind S; в этом случае покрытие
(ax, bv), (av+i,JU не будет минимальным, и так как av+i — bv аг-+1 —
— bi, то Ind £ будет равен или индексу минимального покрытия системы
(av+i, frv+i), fav+2, bv+2), . . ., (an, bn), или индексу минимального покры-
тия системы (ax, 6Х), (а2, 62), . . ., (av, bv). Заметив это, построим систему,
бесконечно близкую к системе S:
ст: (ах, рх), (а2, р2), . . ., (ап, рп),
определяемую следующими условиями: 1) ах = ах, |3n = bn’ 2) —
— = р (Z = 1, 2, . . ., п); 3) а/+1 — = k (а/+1 — при любом г,
не равном v, где к — положительное число, меньшее единицы. Обозначим
через о минимальное покрытие а. При к, достаточно близком к единице,
Pnd о будет равен или индексу минимального покрытия системы (av+i,
6v+i), . . ., (an, pn), или индексу минимального покрытия системы (<хх,
Ц), • • (av, |3V), но в силу условия к < 1 каждый из этих индексов
рольше соответствующих индексов минимальных покрытий систем (av+i,
^v+i), . . ., (ап, Ьп) и (ах, Ьх), . . ., (av, bv). Следовательно, при к, доста-
точно близком к 1, к < 1, имеем
bd 5 > Ind £ (р, Z, п),
что противоречит определению системы S (р, Z, п). Вполне аналогично
исключается случай р > q, р > Ind 5.
Докажем, что при прежних условиях число v равно или единице,
__и п 1. Допустим от противного, что 1 < v < п — 1, и пусть Ъп —
av+i > bv — тогда, сохраняя прежние обозначения, будем иметь
Ind iS = g<v+1
av+i — bv
п СтРоим систему о, состоящую из интервалов (ai? pz), таких, что:
=4 £>,== Рп = Ьп; 2) рг - аг = р (i = 1, 2, . . и); 3) аг+1 - =
л \at+i — b^ (Z = v, v + 1, . . ., п — 1), где к — положительное чис-
меньшее единицы; 4) ai+1 — = кх (аг+1 — (г = 1, 2, .... v —
Ь ГДе кх — число, большее единицы, выражаемое через к. Рассужде-
116
I. Теория функций
ниями, аналогичными проделанным выше, нетрудно показать, что при
достаточно близком к единице, индекс минимального покрытия у постро!
енной системы о будет больше, чем у системы S, что противоречит опред^
лению системы S = 5 (р, Z, га). Точно так же исключается случай 1
< v < п — 1 и Ъп — av+i < bv —
Таким образом, для системы S (р, Z, п) меньшее из отношений
b b — «2 _
------— и ——г— равно индексу минимального покрытия, Ind 5, этой
ап — Ьп_г а2 —
системы. Следовательно,
8'S = Ind 5.
Допустим теперь, что для системы S (р, Z, п) имеем ап — Ьп^ а2
— и докажем, что система S' интервалов (ах, Ьх), (а2, 62), (а3, Ь3), . . в
. . ., (ап-ь bn-i) есть система S (р, X, п — 1), где % = 6n-i — Заметим,
прежде всего, что индекс минимального покрытия системы 5' не меньше,
чем Ind S = 6'5, ибо в противном случае индекс покрытия, состоящего
из интервалов минимального покрытия для S' и из интервала (аа, Ьп),
был бы меньше, чем S'5 = Ind 5, и 5 не было бы минимальным покрыти-
ем. Предположим теперь, что S' не есть система S (р, X, п — 1), и постро-
им новую систему
<у: («и 0i), (а2, М, . . (ап, рп),
определяемую следующими условиями: 1) = ах, рп = Ьп, 2) =
= р {i = 1, 2, . . ., n), 3) система (а1? pj, . . (an_x, pn-i) совпадает
с системой 5 (р, X + 8, п — 1). Так как, согласно допущению, индекс
минимального покрытия 5' меньше, чем для S (р, X, п — 1), то отсюда
заключаем, что при 8 достаточно малом индекс минимального покрытия
для S' будет меньше, чем для 5 (р, X + 8, п — 1) и для о. Отсюда, поль-
зуясь сделанным выше замечанием, получаем
Ind S < Ind a,
что опять противоречит определению S = S (р, Z, п). Итак,
S' = S (р, X, п — 1).
Отсюда, пользуясь основным допущением, имеем
6'5' = 6'5 (р, X, п - 1) = 6"5 (р, X, п — 1) = . . .
. . . =. (р, X, п - D-
Но так как индекс минимального покрытия 5 равен 6'5 и равен ин-
дексу минимального покрытия 5', то, следовательно,
Ind 5 = 6'5 = 6'5'.
Отсюда, замечая, что 6(i)5' = 6i+15, окончательно получим
Ind 5 = 6'5 = 6"5 = . . . = 6(n-1} 5.
Этим самым разбираемое предложение доказано, когда ап — bn-i^
> а2 — Ьг. Случай ап — 6п_г < а2 — Ьг сводится к разобранному измен6*
нием положительного направления на числовой прямой.
9. К теории конформных отображений
117
явленные нами свойства системы S (р, I, га) определяют эту систему
Е^нственным образом: при фиксированных р, I и га существует 2”-1
не еД ых систем, обладающих отмеченным свойством. Легко вштотк
РазЛ1\ что индексы минимальных покрытий для всех этих 2n~* систем
°ДНааковы. Отсюда для доказательства леммы 1 нам остается вычислить
°Длекс минимального покрытия для какой-нибудь из систем S (р, I, га),
И ример для системы S, удовлетворяющей условию:
д, — аг <2 «з — ®2 < • • • < ап an-i. (2)
В этом случае система 5<’> будет состоять из интервалов (ах, 6Х)>
(д2. ь2), и условие (2) примет вид
gi+l 1
" />4 — aj Д
где через А мы обозначим искомый индекс минимального покрытия.
Отсюда
&i+l =
bin — at = (bl — at) + (af+1 — Ьг) -f- p = (1 (bi — at) + p.
Следовательно,
n—i
/ = &n-ra1= p £ (1 +-1.)’= рд{(1+ 1},
г=0
или окончательно:
(1 + A)n - An - 2-Д’1'1 = 0. (3)
г
Пользуясь доказанной леммой, нетрудно доказать лемму, которая
нами будет существенно использована в следующем параграфе.
Лемма 2. Какова бы ни была система интервалов
S: (аи &i), (а2, Ь2), . . ., (ап, Ьп),
aicbt (i = 1,2, . . ., га); &г < ai+1 (г = 1, 2, . . ., га - 1),
если сстпь ее минимальное покрытие, то или
Ind Р1/п
(l + p)Vn_pl/n ’
или
(1 + р)1/п _ pl/n
р есть длина наибольшего из интервалов системы S. Оценка, как и
ле^е 1, точная.
°Казательство‘ Так как при доказательстве первой
Мець^’ ФиксиР°вав числа р и и, найдем систему 5, S (р, п), для которой
Прея?166 из чисел Ind S и Ьп — at было бы максимальным. Докажем,
‘Де всего, что Ъп — ах равно у искомой системы индексу минималь-
118
I. Теория функций
ного покрытия этой системы: Ьп — = Ind S. Допустим от противного,
что Ъп — аг Ind S. Построим систему о:
о: («V ₽i), (а2, ₽2), • • •, (“п, ₽п)>
определяемую следующими условиями: 1) Вг — а, = Ь, — а> (i — 1,
2, . . га), 2) а{+1 - pi = k (а^ - bt) (i = 1, 2, . . п - 1), где к -
положительная константа. Обозначим через о минимальное покрытие о
и разберем отдельно два случая: 1) Ъп — Ind S и 2) Ъп — а± <
< Ind S. В первом случае будем считать к < 1, тогда Ind о Ind S,
кроме того, при к, достаточно близком к единице, будем иметь ₽n — ai
> Ind о. Следовательно, в разбираемом случае для системы о меньшее
из чисел и Ind о (равное Ind о) будет больше, чем соответствую-
щее число для первоначальной системы 5, что противоречит определению
системы S = S (р, п). Во втором случае будем считать к^> 1, тогда
Рп — > Ъп — кроме того, при Л, достаточно близком к единице,
будем иметь: < Ind о. Следовательно, в разбираемом случае,
для системы о меньшее из чисел рп — и Ind о (равное |3П — о^) будет
больше, чем соответствующее число для системы S, что опять невозможно.
Итак,
Ьп — = Ind S.
(4)
Покажем теперь, что искомая система S (р, п) есть система S (р, Z, /г),
определенная нами в первой лемме. В самом деле, допустим от противно-
го, что S (р, п) не есть система S (р, Z, п). Построим систему о: S (р, Z +
+ е, Аг), где Z = Ъп — и е 0; пусть эта система состоит из интервалов
(аг, Pz) (Z = 1, 2, . . ., п). При 8 достаточномалом индекс минимального
покрытия системы о будет больше, чем Ind 5, кроме того, по построению
Рп — — Ьп — ах + е > Ъп — Мы пришли снова к противоречию
с определением системы S (р, п). Итак, искомая система S (р, п) есть
система S (р, Z, п). Следовательно, в силу леммы Г, у искомой системы
S (р, п) числа р, п, А = Ind S и Z = Ъп — должны удовлетворять
уравнению (3). Кроме того, в силу (4), Z = А. Отсюда
(1 + А)п — Ап-----^-A”-1 = 0-
Или, окончательно:
д =_______^2______
(1 + р)1М_р1/п
что доказывает теорему.
Примечание. В приложениях леммы 2 мы будем, для крат-
кости, обозначать функцию р1/п ,м,,т/п-S77T чеРез X (р, и будем
пользоваться следующим очевидным свойством этой функции:
lim % (р, п) = 0.
Р->0
§ 2. Изображение функций рядами полиномов. В настоящем парагра-
фе мы собираемся применить теоремы, касающиеся различных экстре-
теории конформных отображений
119
мальных конформных отображений, к вопросу о представимости функций
комплексного переменного рядом полиномов.
Основной задачей настоящего параграфа является доказательство сле-
дующей теоремы: каков бы ни был нигде не плотный континуум Е, не раз-
бивающий плоскости, и каковы бы ни были две непрерывные функции
Ф (х, у) и ф (х, у), непрерывные на этом континууме, всегда можно по-
строить ряд полиномов
(*) + Л (*) + • • • + Рп & + • •
комплексного переменного z = х + iy, равномерно сходящийся на конти-
нууме Е к функции ф (х, у) + гф (х, у).
Заметим, что если континуум Е есть отрезок прямой или аналитиче-
ская дуга, то теорема получается весьма просто из классической теоремы
Вейерштрасса о представимости непрерывных функций (действительного
переменного) рядами полиномов. Для случая, когда Е есть простая дуга
Жордана теорема была доказана сравнительно недавно В самые послед-
ние годы Гартогс и Розенталь [4] доказали теорему для случая, когда
мера (плоская) континуума Е равна нулю.
На основании общей теоремы может быть до конца решена следующая
задача [5]: каковы необходимые и достаточные условия, которые должен
удовлетворять нигде не плотный континуум Е, для того чтобы любую
функцию первого класса / (z) = и + iv (функция / (z) = и + iv назы-
вается функцией первого класса, если функции и (х, у) я v (х, у) суть
функции первого класса в смысле Бэра), заданную на Е, можно было
представить как сумму ряда полиномов. С помощью этой же теоремы
может быть существенно продвинута общая задача о представимости
функции рядом полиномов (впервые поставленная Монтелем). Мы не
останавливаемся здесь на этих общих вопросах, ибо эти исследования
опираются, в дальнейшем своем развитии, на методы, существенно отлич-
ные от тех, которым посвящена в основном настоящая работа.
Лемма. Пусть D — односвязная ограниченная область плоскости
комплексного переменного z = х + 1у такая, что всякий интервал прямой
х cos а 4- у sin а — р = О,
принадлежащий D, имеет длину меньше р. При этих условиях, каковы бы
ни были числа а и е, при р достаточно малом, зависящем только от а и е,
существует полином, P(z), обладающий следующими свойствами’.
7°. |Р(z)<5 в каждой точке D*,
2°. |Im P(z)|<e в каждой точке D;
3е. |P(z)-l|<8 в каждой точке z=x+iy, принадлежащей D и такой,
что х cos а+у sin а — р>а;
4°. |P(z) | <е в каждой точке z=x+iy, принадлежащей D и такой, что
х cos а+i/ sin а — р<.—а.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что не нарушая
общности результата, мы можем в постановку задачи внести следующие
упрощения: 1) данная прямая х cos а+у sin а — р=0 есть ось х,
а=л/2, р=0; 2) область D принадлежит квадрату Л (О,- /2), п
— */2), С (1, 72), Е (0, г/2); 3) граница D есть полигон.
Переходя к доказательству, введем ряд обозначений. Обозначим ч
120
Z. Теория функций
рез Е множество точек области Р, принадлежащих горизонтальной полосе
| Im z | < а.
Множество Е будет, очевидно, состоять из конечного числа односвязных
областей, пусть
-Di» -^2» • • • , Dn (5)
— те из этих областей, которые содержат точки прямой у = а и точки
прямой у = —а.
Обозначим через
i i i i i i
#1^2, #3^4» • • ., ^2lc-1^2fc w/
и через
b[bl2, blbl, . . (7)
части границы принадлежащие, соответственно, прямым у = л, у —
== —а. Пусть, кроме того, (^4)» • • •> (^2m-i4m) — отрезки дей-
ствительной оси, принадлежащие области Df и имеющие концы на гра-
нице Di. Мы будем в дальнейшем считать, что точки а, b и с расположены
в возрастающем порядке: aj < Ь] < Ь}+1, с} < с}+1. Кроме того,
так как по условию область D и области все односвязные, то при лю-
бых Z, /, v имеем
aj<4+1, M<4+1, cj<4+1. (8)
Интервал (с\, 4+1) мы назовем протоком области £>г, если существует
полигон, принадлежащий области Dt, имеющий один конец на прямой
у = —л, другой конец на прямой у = а и пересекающий действительную
ось в единственной точке, расположенной на интервале (cv, cv+1). Пусть
(cV1, (Cv2, Cv2+1), • • (c-vr, <\r+l)
— все протоки области расположенные слева направо.
Если мы выкинем из области D все протоки области то область D
распадется наконечное число односвязных областей. Те из этих областей,
которые содержат хотя бы один из отрезков (a}, мы будем обозна-
чать через
dit, d£, . . (9)
а те, которые содержат хотя бы один из отрезков (6), будем обозна-
чать через
(10)
Легко видеть, что области d* и d~ определяются единственным образом.
Фиксируем (кроме данных нам по условию леммы чисел а и е) число
а> 0 и разобьем области Z), (i = 1, 2, . . ., п) на два класса:
D?, D$\ . . DP>, Z><2), D*\ . . 42).
9. К теории конформных отображений
121
Первый класс, , образуют все области Dt, -у которых длина интервала
, c‘v +1 меньше а. Второй класс образуют все области D,, не попавшие
в первый класс.
Так как, в силу (8), интервалы (£, cS1), (с5Г2, с^2), /=/=/, не имеют об-
щей точки и так как, в силу условий леммы, все эти интервалы располо-
жены на отрезке (0, 1), то отсюда заключаем, что
р < 1/а- (И)
Для каждой из областей первого класса £>|х) мы построим некоторую
функцию фг- (и), а для каждой из областей второго класса — некоторую
функцию fa (z). Отправляясь от функций (pf (z), (z), искомый полином
Р (z) строится весьма просто.
Функции ф$ (z). Итак, пусть Dt есть произвольная область первого
класса. Обозначим через Гх и Г2 полигоны, принадлежащие границе Dt
и имеющие концы соответственно в точках ах, b[ и в точках Ь21с. Вейлу
определений областей Dt и точек аг, Ь\ полигоны Гг и Г2 расположены
в полосе —а < у < а и не имеют общих точек. Обозначим через одно-
связную область, ограниченную кривыми Гх, Г2 и отрезками (а^а^) и
№).
Построим теперь двухлепестковую риманову поверхность, для которой
все отрезки последовательностей (6) и (7) суть линии перехода с одного
лепестка на другой. На этой римановой поверхности определим односвяз-
ную область следующим образом: часть области Дг-, принадлежащая
первому лепестку, состоит из jjcex точек области Di и из всех точек об-
ласти D, расположенных вне Dt. Часть области Д$, принадлежащая вто-
рому лепестку, состоит из всех точек D, содержащихся в Dt и не принад-
лежащих Dit
Искомая функция w = ф^ (z), w = и + iv, есть функция, реализую-
щая конформное отображение области Дг на эллипс:
I /V | w
при следующих условиях: 1) точки а] и Ь[ переходят соответственно
в вершине эллипса w — 1 и w = 0; 2) центр эллипса w = У2 соответст-
вует точке отрезка с^г+1 (первого лепестка).
Функция фг (z), в силу ее построения, правильна и однозначна в об-
ласти D:
I Фг (Z) I < 1, <12)
I Im ф$ (z) | X, (13)
кроме того, в силу теоремы 13, для всех точек z, принадлежащих любой
области di последовательности (9) и расположенных вне Df, имеем
I Фг- (z) — 1 | < R (%, а) Уoavi, (W
где Wi есть длина отрезка (aja^) и где R (X, а) зависит, только от X
и а. Аналогично, для всех точек z, принадлежащих любой области di
122
I. Теория функций
последовательности (10) и расположенных вне Dt, имеем
| фг (z) I < R (X, а) /(15)
где wi есть длина отрезка b\i), a R (%, а) есть константа, определен-
ная выше.
Очевидно, имеем
SlPi 1, 1. (16)
Функции ft (z). Пусть теперь Dt есть область второго класса.
Выбрасывая из области D все протоки области мы получим после-
довательности (9) и (10) областей d+ и d~. Введем, ради компактности
изложения, несколько понятий, относящихся к областям d+ и d~. Мы ска-
жем, что область dij (d^) имеет к протоков, если ее граница содержит
к протоков области Dt. Протоки области Dh принадлежащие границе
dij, dij, мы будем также называть протоками dij, d^. Мы скажем, что об-
ласти dij и d^ смежные, если у них имеется общий проток. Из односвяз-
ности области D непосредственно вытекает, что у двух областей d+ и d~
не может быть более одного общего протока. Отсюда заключаем, что
у двух смежных областей имеется один и только один общий проток.
Аналогично, если область d^ (d^) имеет к протоков, то она имеет к смеж-
ных областей, причем среди смежных областей, при к 2, существует
самое большее две области, имеющие, по крайней мере, два протока.
Заметим еще, что между двумя протоками области d7j(d<j) не может на-
ходиться ни одного потока области dik, к ^=j (d^, к ф j). В соответствии
с этим мы будем в дальнейшем считать, что при к ] все протоки области
dij (d^) расположены левее любого протока области d^ (di&). Распреде-
лим теперь области d+ и d" на два класса. Для этой цели проведем пря-
мую у = а/2 (у = —а/2) и отметим на этой прямой все интервалы, цели-
ком принадлежащие одновременно областям dij (dij) и Dt (концы интер-
валов мы будем считать принадлежащими границе D/). Среди отмеченных
интервалов выделим интервалы б+ (б”), обладающие следующим свойст-
вом: существует полигон, принадлежащий Dt с концами на прямых у =
= Onz/ = a(z/ = —а) и пересекающий рассматриваемый интервал б+
(б") в единственной точке. Пусть (Ац^) есть левый конец самого лево-
го из интервалов 8i (б?) и (В^) есть правый конец самого правого
из б+ (б"). Обозначим через ррс (р7к) длину интервала AikBik (А^Вы)-
К первому классу мы отнесем те из областей dik (d^), для которых число
Pile (Pik) не больше р > 0. Ко второму классу отнесем те dij (d^), для
которых ptj (pij) больше р. Легко видеть, что число областей d+ (d~),
принадлежащих второму классу, не больше 1/р.
Остановимся на областях d второго класса. Пусть d^ (di%) — одна
из таких областей. Обозначим через ytk (yiO, (Г^) соответственно
самый левый и самый правый протоки dtk (d^) (если di?; обладает един-
ственным протоком, то этот проток обозначим через аналогично
единственный проток для d^ будем обозначать через уц/). Рассматривая
9. К теории конформных отображений
123
области и diR второго класса и отмечая для каждой из них интер-
валы у и Г, мы получим последовательность N интервалов:
у^, 7^2’ * * ’’ ^2’ * ’ ’ (17)
Согласно условиям доказываемой леммы длина каждого из интерва-
лов у и Г не больше р. Кроме того, так как каждая из областей d* и d~
обтадает не больше чем двумя интервалами у, Г, то
Л<<4/р; (18)
пользуясь леммой 2 (§ 1), построим теперь систему К интервалов К N:
"tiV Тг2» • ’ ’» ViJf? (19)
покрывающую систему интервалов у и обладающую отмеченными в лемме
свойствами: или отношение длины у/7- к расстоянию от уг7- до ближайшей
у.рт р =/= j, меньше % (р, N) или К = 1 и длина уг1 меньше % (р, N). Мы
будем при этом считать, что правый конец yfJ- (/ = 1, 2, . . ., К) совпа-
дает с правым концом некоторого у или Г, а левый конец yfJ- — с левым
концом некоторого у или Г.
Используя принятые обозначения, займемся теперь построением для
каждой из областей dix (d^) некоторой новой области Ди (Air), ее содер-
жащей.
Для областей первого класса. Обозначим через и куски грани-
цы D, принадлежащие полосе 0 < у < 1, соединяющие точки прямой
у — а и прямой у = 0 и проходящие соответственно через точку Ли или
через точку В^. Вполне аналогично определяются линии Lu и для
областей d^. Обозначим через Su (бгк) область, ограниченную кривыми
Lu, Milt (Lik, Мы) и отрезками прямых у = аиг/ = 0(у = —а, у = 0).
Легко видеть, что область 6<r (Sir) есть односвязная область. Займемся
теперь построением искомой области Ди (Air). Для этой цели, так же,
как и ранее, прежде всего строим двухлепестковую риманову поверх-
ность с точками ветвления, расположенными на прямых у = а и у = 0
(у = —а, у = 0): линии перехода с одного лепестка на другой суть от-
резки прямых у — а, у = 0 (у = —а, у = 0), которые: 1) принадлежат
границе 6u (би); 2) принадлежат основной области D и имеют концы
На ее границе; 3) не имеют общих точек ни с du (dik), ни с ее границей.
На построенной поверхности мы определим область Ди (&гх) следующим
образом: часть области Au (Ай), принадлежащая первому лепестку,
состоит из всех точек области (би) и из всех точек области D, лежащих
вне области би (би); часть Au (Au), расположенная на втором лепестке,
состоит из всех точек D, принадлежащих бй (би) и не принадлежащие
(du).
Отправляясь от областей AfK, построим функции fiK (z). Пусть
w = /и (z) (w = fix (z))
есть функция, реализующая конформное отображение области Au (Aik)
124
I. Теория функций
на ЭЛЛИПС
при следующих условиях: 1) центр эллипса w = г/2 соответствует точке
первого лепестка, расположенной на отрезке (А^В^к); 2) вер.
шина эллипса w — 1 соответствует концу L, принадлежащему прямой
у == а (у = 0); 3) вершина эллипса w = 0 соответствует концу L, при-
надлежащему прямой у — 0 (у = — а). Заметим, прежде всего, что до-
строенная функция filc (z) правильна и однозначна во всей области D.
Для выявления нужных в дальнейшем свойств функции /ik (z) обозна-
чим через uilt (им) расстояние между концами линий L и М, расположен-
ными на прямой у = а (у = —а). Обозначим через (р^) расстояние
между концами L и М, расположенными на прямой у = 0. Так как вся
область D лежит внутри единичного квадрата, то, в силу отмеченной
выше структуры областей dijc, имеем
3 ^гк ^1» 3 1, Vik 1, 3 ^гк 1* (20)
г, к г, к г, к г, к
Кроме того, в силу теоремы 13, для всех точек z области dm и не при-
надлежащих Dt, имеем
| A (г) - 1 | < R (X, а) V (21)
для всех точек z области Z), не принадлежащих имеем
| Д (г) I < R (X, а) У ₽г4- (22)
Аналогично, для всех точек dm, не принадлежащих имеем
I fat fa) I < R fa, a} (23)
для всех точек z области D, не принадлежащих dm, имеем
I fa fa} - 1 I < R fa, a} (24)
Кроме того, из построения функций (z) непосредственно следует,
что для всех точек z области D имеем
l/a(z)l<l> |/й(*)1<1, (25>
| Imftitfa} |<Х; | Im/~fc (z) |< 1. (26)
Для областей второго класса. Итак, пусть d^ (Дц) есть область второго
класса. Согласно определению интервалов последовательности ур, самый
левый проток области dtj (da) принадлежит некоторому интервалу ?Р;
обозначим через с и с' концы этого интервала. Пусть у есть простая дуга
границы D, принадлежащая полосе | у | < а и соединяющая точку с
или с точкой прямой у = а, или с точкой прямой у = —а. Пусть, анало-
гично, у' есть дуга границы D, принадлежащая полосе | у | < а и соеди-
няющая точку с' или с точкой прямой у = а, или с точкой прямой у =
— —а.
9. К теории конформных отображений
125
Перейдем к построению областей Д» (Да). Для этой цели построим,
у® всего, двухлепестковую риманову поверхность, для которой все
^ки границы Di, принадлежащие полосе | у | < а, суть линии перехода
^одного лепестка на другой. Часть области Ду, расположенная на пер-
С t лепестке, совпадает с областью D, часть области Ду, расположенная
B°J втором лепестке, состоит из всех точек прямоугольника | у | <; 2а,
х <; 1, не принадлежащих как области Dj, так и кривым^ у и у'.
Заметим, что двум различным областям cZy и ji(t, j #= к, может отвечать
одна и та же область Ду.
Так же, как для областей первого класса, отправляясь от области Ду,
построим функцию Fij (z) для областей второго класса. Итак, пусть
w = Flj (z) (w = Fa (z))
есть функция, реализующая конформное отображение области Ду (Ду^
на эллипс
при следующих условиях: 1) центр эллипса w = 1/2 соответствует точ-
ке, расположенной на отрезке сс'; 2) вершина эллипса w — 1 соответст-
вует точке, принадлежащей границе d^ (границе некоторой dtk) и распо-
ложенной вне полосы | у | < а; 3) вершина эллипса w = 0 соответствует
точке, принадлежащей границе некоторой d^. Определенная таким обра-
зом функция, очевидно, правильна и однозначна в области Р, кроме того,
из построения непосредственно вытекает, что для всех точек z области D
имеем
|<1, (|^(z) | < 1),
I Im F^ (z) | < %, (| Im F-j (z) | < %), (27)
Reel (z) > 0, (Reel F^ (z) > 0).
Для выявления дальнейших свойств построенной функции обозначим
через рр длину интервала ур и построим круг, ср, радиуса-^- [% (р, 7V)]"8/»
с Центром в середине отрезка сс'. Во всем дальнейшем мы будем пред-
полагать р настолько малым, чтобы
“Т (Х (Р> /V)]-2/з < -J-, X (р, ЛО < 1- (28)
Рассмотрим отдельно четыре случая: 1) обе кривые у и у' имеют концы
На прямой у = а\ 2) кривая у имеет конец на прямой у = а, а кривая у'
имеет конец на прямой у = — а; 3) кривая у имеет конец на у = — а,
имеет конец на у = а; 4) обе кривые у и у' имеют концы на у = —а.
1РИ этих обозначениях, в силу теоремы 14, в первом случае имеем
IFU (z) - 11 < Q (1) 1/Рр = 2Q (X) (29)
F РР
126
I. Теория функций
при любом z, не принадлежащем кругу ер и принадлежащем любой иа
областей d7V, имеющей протоки на интервале ур, кроме того,
| Fti (z) | < 2Q (X) У Гф7>) (30)
во всех остальных точках z области D, не принадлежащих Ср. Q (К) есть
константа, зависящая только от %.
Во втором случае, в силу той же теоремы, имеем неравенство (29) дри
любом z, не принадлежащем кругу Ср и принадлежащем или любой из
областей dtv, имеющей проток на ур, или любой из областей d|v, d~iv,
имеющих все протоки справа от ур, кроме того, имеем неравенство (30)
во всех остальных точках области Z), не принадлежащих Ср.
В третьем случае имеем неравенство (30) при любом и, не принадле-
жащем кругу Ср и принадлежащем или любой из областей имеющей
проток на у7., или любой из областей diV, d™, имеющих все протоки слева
от ур, кроме того, имеем неравенство (29) во всех остальных точках об-
ласти D, лежащих вне круга Ср
В четвертом случае имеем неравенство (30) при любом z, не принад-
лежащем кругу Ср и принадлежащем любой из областей diV, имеющей
протоки на интервале ур, кроме того, имеем неравенство (29) во всех
остальных точках области О, лежащих вне круга СР.
Используя построенные функции fa (z), займемся построением функ-
ций fi (z). Искомую функцию мы определим как сумму
A (*) =
элементами которой будут служить построенные нами выше функции /о-,
Ftj, а также функции fa — 1, — 1.
Начнем с определения первого элемента суммы. Если самый левый
проток области di± принадлежит интервалу ух, то мы примем
711 (2) — Fп (?)•
Если самый левый проток области dti не принадлежит интервалу
то область dii должна принадлежать первому классу, и мы примем
fa (z) A (z).
Допустим теперь, что определены все функции fa, / к, и допустим»
что сумма
Si, (Z) = 2 fii Ю
обладает следующими свойствами.
1°. В каждой точке z, принадлежащей области dij, 7 Ц (&) (0
< р (к) < ц (к + 1)) и не принадлежащей области имеем
_ ц(к) _ v(fc)
I Si1c (z) — 11 < /₽ R (X, a) 2 (4 + Uij) + /₽ R a) S («у + i>y) +
j=l 1=1
+ 2i(/c)<2(X) (31)
9. К теории конформных отображений
127
и v, *2 и % были определены выше, где v (к) есть число, заклю-
ГДв Р’ между числом областей dij, все протоки которых находятся слева
ченное левогО протока области dt^j, и числом областей dij, все про-
оТ саМ°ОТОрЫХ находятся правее самого правого из протоков области
уКИ и где t (к) есть общее число функций и Fi} — 1, фигурирующих
в сумме Oik- _
•?° В каждой точке г, принадлежащей dij, / < v (А) и не принадлежа-
щей области Dj, имеем
__ H(fc) _ v(fc)
| (z) | <C (^’ a) .Д + p5) + К P (^’ a) (uo* + va) +
±2t(k)Q&) /x(p. A7), (22)
где все буквы имеют прежний смысл.
3°. Если области di^+1 и djV(jc) суть области смежные, то в каждой
точке z, принадлежащей одной из областей j < р (A), d^, j v (к) и
не принадлежащей области Z)f, имеем неравенство (32); в этом случае
неравенство (32) имеет также место в каждой точке, принадлежащей од-
ной из областей d^, j > р (к), d^, j < v (к) и не принадлежащей ни одно-
му из кругов Ср, р t (к).
Если области и не суть области смежные (в этом случае,
легко видеть, будут смежными областями di^) и diV(k)+i)> то в каждой
точке z, принадлежащей одной из областей d^, j > р (A:), d^, j > у (к) и
не принадлежащей области имеем неравенство (31); в этом случае
неравенство (31) имеет также место в каждой точке, принадлежащей од-
ной из областей j р (/с), d^ j v (к) и не принадлежащей ни од-
ному из кругов Ср, р t (к).
4°. Самый правый проток области dt^y или не принадлежит ни од-
ному из интервалов 7;, или принадлежит интервалу но тогда ни
один из протоков d^(fc)+i этому интервалу yt(k) уже не принадлежит.
Аналогично, самый правый проток области div(k) или не принадлежит
ни одному из интервалов уг«, или принадлежит некоторому уцъъ но тогда
ни один из протоков div(k) этому интервалу уже не принадлежит.
5°. В каждой точке z области D имеем
_ и(к) _ v(fc)
I (z) | 2 + X -|- у/'Р R (X, d) (iiij + Vij) + j/*P R (X, u) (иц -f- иц) 4-
+ 2t (k) Q(K) у % (p, N), (33)
IIm Slk (z) I < 2X + У ₽7? (A, a) (ufj + py) +
j=l
v(k) _ _____________
+ /0Я (X, a) (u^j + v~ij) + 2t (k) Q (1) У\ (p, N). {^)
128
I. Теория функций
6°. В каждой точке z, принадлежащей области D и не принадлежащей
кругу Ср, 1 р t (fc), имеем
[ SiK (z) I < 1 + X + / 07? (X, a) 3 (u*} + vtj) +
j=l
- v(k)
+ v₽7? (%, a) S + ^‘) + 2t (k) Q (X) X
r=i
s ,
X /x(p,JV), (35)
>
| Im S№ (z) | < X + /07? (X, a) 3 (utj + +
j=i
r_ V(K) ________
+ /07? (X, a) 3 (щ} + py) + 2t (fc) Q (X) у X (p, (36)
В силу неравенств (21)—(30), которым удовлетворяют функции / и F,
сумма Si1( обладает всеми перечисленными свойствами суммы SiK при
k = 1. Предполагая, что этими свойствами обладает сумма 5{ь опреде-
лим функцию /гтсч-i (z), так чтобы сумма S^i обладала свойствами, кото-
рые получаются из свойств Sik заменой к на к + 1. При построении ис-
комой функции рассмотрим отдельно четыре возможных случая: 1) об-
ласти йгИ(}с)+1 и div(k) суть области смежные, причем самый левый проток
области принадлежит интервалу уцю+ь 2) области и
^iv(k) суть области смежные, но самый левый проток области
не принадлежит интервалу Y/(JC)+i; 3) области di^) и div(R)+i суть об-
ласти смежные, кроме того, самый левый проток области diV(K)+i принад-
лежит интервалу Vt(k)+i, 4) области dt^) и div(K)+i суть области смеж-
ные, но самый левый проток области diV(JC)+1 не принадлежит интервалу
Yt(k)+1-
В первом случае полагаем /^+1 (z) = F^(r)+1 (z).
Во втором случае полагаем fut+i (z) = }щ(к)+1 (z).
В третьем случае полагаем fik+1 (z) = Л\(ю+1 (z) — 1.
В четвертом случае полагаем (z) = fiv(k)+i (z) — 1.
Покажем теперь, что сумма Sik+i = Sik + /гт обладает всеми нуж-
ными свойствами в каждом из отмеченных выше четырех случаев. Огра-
ничимся рассмотрением первого случая, ибо в случаях два, три и четыре
рассуждения вполне аналогичны.
Займемся первым случаем. В силу (30), (28) и того, что все протоки
иоластей di^ j < р (fc), d^, / < v (к) расположены левее интервала уцк)+1
(свойство 4° суммы 5iR), в каждой точке z, принадлежащей одной из об-
ластей dfj, j < pt (fc), d^, j < v (fc) и не принадлежащей области Dj, имеем
| Sik+1 (z) - Silc (z) I = I <(k)+1 (z) I < 2Q (X) (37)
Обозначим через p (к + 1) наибольшее из чисел /, для которых, по
крайней мере, один из протоков области dij принадлежит интервалу
W)+i-
Обозначим, аналогично, через v (к + 1) наибольшее из чисел /, для
которых, по крайней мере, один из протоков области dij принадлежит
9. К теории конформных отображений
129
интервалУ Т*<к)+1- При этих обозначениях, принимая во внимание раз-
бираемый случай, в силу свойства 3° функции Sik и соотношений (24) и
(23), в каждой точке z, принадлежащей dtj, ц (fe) < 7 < Н (* + 1) и не
принадлежащей области Dit имеем
| Sik+l (z) — 1 | = | S№ (z) + (z) — 1 |<
< | SiR (Z) | + | (z) — 1 | < /рЯ (X, a) x
Ц(Ю V(k)
X 3 (uv + ГЪ’) 4~ Y P-й л) (uij + Vij) +
j=i 5=1
+ 2t (k) Q (X) /%, (p, N) + 2Q (X) /T(MV).
Или, полагая t (k + 1) = t (k) + 1 и усиливая неравенство, в тех же
точках z окончательно имеем
I Sm+i (z) — 1 | < / РЯ (X, а) 2 (uij + vtj) +
v(K+d _ _______
+ /рЯ(Х, а) 3 (щ} + vi5) + 2t (k + 1) Q (X)/х (p> N). (38)
5=1
Аналогично, в силу свойства 3° функции SiK (z) и соотношений (30),
(28), в каждой точке z, принадлежащей dip v (k) < j v (fc + 1) и не
принадлежащей области Dp получим
| SiM (z) I < I Sik (z)| + I Ft^)+1 (z) I <
__ Ц(К-|-1)
< / ря (%, a) 3 ("tf + vtj) +
5=1
_ v(k+i) _ _ _______
+ УРЯ (%, a) 3 (uij + py) + 2t (k + 1) Q (X) /x (P» N). (39)
5=1
Из добытых нами неравенств (37), (38) и (39) непосредственно вытека-
ет, что построенная сумма S^m-i (z) обладает нужными свойствами 1° и 2°.
Займемся свойством 3°. Заметим, прежде всего, что в силу условия
смежности областей и div(fc) вытекает, что или обе кривые у и
?' (у, у' суть куски границы Dp соединяющие концы отрезка у с точками
прямых у = + а) имеют концы на прямой у = а, или кривая у имеет
конец на прямой у — а, а кривая у' имеет конец на прямой у = —а.
Если обе кривые имеют концы на прямой у = а, то области dtjLi(jc+i)+i
и^\(?с+1) будут смежными. Отсюда, в силу свойства 3° суммы Silt и свойств
Функции F+, в каждой точке z, принадлежащей одной из областей
dih 7 > и (к + 1), j > v (к + 1)
и не принадлежащей или Dt или Ср, р t (к + 1), имеем (35). Если
теперь кривая у' имеет конец на прямой у — —а, то смежными будут
области йГц(к-|-1) и dfV(fc+i)+i. Отсюда, в силу свойства 3° суммы и
Св°йств функции F+, в каждой точке z, принадлежащей одной из областей
7 > и (* + 1)» 7 > V (к + 1)
5 М. а. Лаврентьев
130
I. Теория функций
и не принадлежащей или или Ср, р t (к + 1)? будем иметь (37)^
Таким образом, сумма свойством 3° также обладает.
Наличие свойства 4° непосредственно вытекает из определения, дан~
ного выше для чисел р (к + 1) и v (к + 1).
Перейдем к свойству 5°. Итак, докажем, что в каждой точке z облас-
ти D имеем
__ ц(К+1)
I Sik+1 (z)|<2 + X + (М а) S (uij + Vij) +
5=1
_ v(H-l) _ _ ________
+ у w (%, a) 2 («V + + 2i (k + 1)0 (%)/% (p, N),
5=1
__ M-(k+i)
| Im Sik+1 (z) | < 21 + VрЯ (1, a) £ (uy + py) +
;=i
_ V(K+X) _ _
+ /0Я (1, a) 3 («Ti + vy) + 2t (k + 1)0 (1) /7 (p, ^)-
5=1
В силу свойств 1°, 2° и 3° суммы S^+i (z), неравенства (33) и (34) доста-
точно доказать для точек области Z){. Если теперь точка z не принадле-
жит ни одному из кругов Ср, 0 < р t (Л), то в этой точке имеем (33}
и (34) в силу свойства 6° суммы Sik (z) и в силу неравенства (25). Если
точка z принадлежит кругу Ср, 0 < р <1 t (к), то искомые неравенства
вытекают из свойства 6° функции (z), из неравенства (25) и из того,,
что круги Ср, 0 < р t (к) и С/(к+1) не имеют общих точек.
Установим последнее, шестое, свойство суммы Sir+i (z). Здесь, ана-
логично предыдущему, дело сводится к доказательству неравенств
__ 1*(К+1)
I Sifc+1 (z)| < 1 + 1 + /рт? (1, а) 3 (uy + Ру) +
5=1
_ v(k+l) _ 3 _________
+ {К a) U {Щ} + »й) + 2t (к + 1)Q (1) Zx (Р, N),
3=1
__ Ц(К+1)
| Im 5ik+1 (z) | < 1 + (X, a) S (uy + py) +
5=1
_ v(k+i) __ ________
+ /0Я (1, a) 3 (Uy + Py) + 2t (k + 1)0 (%) /X (P, Ю
5=1
для всех точек z, принадлежащих Dt и не входящих в круги С;, 0 < р
< t (fe + 1).
Для всех точек z области принадлежащих
7 > Н (* + 1)’ dij, 7 > v (* + !)
и не входящих в круг C/(K)+i, неравенства вытекают из установленного
нами выше свойства 3° суммы SiK+i (z). Для всех прочих точек Z>n не
входящих в круги Ср, 0 < р t (к + 1), искомые неравенства полу-
чаются простым сопоставлением свойств 3°, 6° суммы 5ijc (z), свойств
функции Ftj и условия, что круги Ср, 0 < р t (к) и Сцк+1) не имеют
общих точек.
Таким образом, каково бы ни было целое число к, если при этом
существуют или области р (Л), или области dij, / > v (&), т<>
9. К теории конформных отображений
131
S-. (z) обладает всеми свойствами 1°—6°. Если же при рассматри-
к области с/Аадю+ь rfiv(R)+i отсутствуют, то у Si1t (z) сохраняются
В“ тва 1°, 2° и 3°. Так как число областей dij и d,j конечно, то найдется
такое число д, что области dl^, div(q) существуют, а области dt^q}+1,
! не существуют. То есть самые правые протоки областей d^q),
•г <9) совпадают с самым правым протоком области
‘'‘'"'подаДО /, И = S„ (2).
Из свойств Г, 2° и 5° сумм Sik (z) непосредственно вытекают следую-
щие основные свойства функции (z).
1°. В каждой точке z, принадлежащей области dij, j = 1, 2, . . ., р (g)
л не принадлежащей области имеем
I fi (z) — 1 I < Кря (^, а) 2 (UV + Vij + Uij + Vij) +
+ 2NQ (X) X (P, N).
(40)
2°. В каждой точке z, принадлежащей области dij, / = 1, 2, . . v (g)
и не принадлежащей области Di, имеем
| /{(z) | < /рт? (X, а) 2! (Uij + Vi, + Uij + Vij)+2NQ (X) yx (p, N). (41)
J
3°. В каждой точке z области D имеем
I A (z) < 2 + 2% + Y $R (X, a) 2 + v<j + Щу + ^j) +
j
+ 2ЛГ0(Х)>/Т(рЖ (42)
I fi (z) I < 2X + V $R (X, a) 21 (uij 4* Vij + Щ, + py) 4-
+ 2^(X)MnpTV)- (43)
Окончательная конструкция. Отправляясь от функций ф; и fi, опре-
деленных нами выше, перейдем к построению функции f (z), правильной
в области D и обладающей всеми свойствами искомого полинома (см.
формулировку леммы).
Так как область D односвязна, то легко видеть, что среди областей Di
существует, по крайней мере, одна область, пусть Dx, обладающая сле-
дующим свойством: или все области dXj расположены ниже прямой у ~ а
(ордината любой точки любой из областей dXj меньше а), или все об-
ласти dXj расположены выше прямой у = —а.
аметив это, введем два определения. Мы скажем, что простой поли-
н У пересекает полосу —а < у < а п раз, если: 1) существует п поли-
кпх°В ^2’ * ‘ Vn попарно без общей точки, принадлежащих у и та-
Жап ЧТ° КВДЙ полигон у{ имеет одну и только одну точку, принадле-
Щую Ю пРям°й У ~ —ач и имеет одну и только одну точку, принадлежа-
Же г п?ям°и У = а; 2) не существует п + 1 полигонов, обладающих теми
еслиВ0ИСТВаМИ- (Простой полигон у пересекает полосу | у | < а нуль раз^,
у Расположен целиком или ниже прямой у = а, или выше прямой
i а-) В соответствии с этим определением мы скажем, что область Di,
Котов’ Имеет Ранг к, если: 1) существует простой полигон у, один конец
°го принадлежит области Dx, другой конец — области Di и который
5*
132
I. Теория функций
пересекает полосу —а <2 у <2 а к — 1 раз; 2) не существует полигона у
с концами соответственно в областях Dx и Di и пересекающего полосу
—а <2 У <2 cl меньше, чем к — 1 раз.
При определении искомой функции / (z) рассмотрим отдельно два
отмеченных выше различных случая: 1) все области dXi расположены
ниже прямой у = а; 2) все области dXj расположены выше прямой у = — а.
В первом случае полагаем
/ (z) = S Ф< (2) + 3 {Фг (и) - 1} + S/i (Z) + 3 {h (z) - 1}, (44}
где первая сумма распространяется на все индексы Z, для которых облас-
ти Di принадлежат первому классу и имеют четный ранг (область нуле-
вого ранга считается областью с четным рангом), вторая сумма распро-
страняется на все индексы г, для которых области Di принадлежат первому
классу и имеют нечетный ранг, третья сумма распространяется на все г,
для которых Di второго класса и имеют четный ранг, наконец, четвертая
сумма распространяется на все Z, для которых Di второго класса и имеют
нечетный ранг. Обозначим для краткости через (z) j-й элемент суммы
(44), имеем
/ (z) = (z). (45)
Во втором случае полагаем
/ (*) = S {фг (*) - 1} + (2) + 2 {/г (*) - 1} + S/i (2) + 1,
где первая, вторая, третья и четвертая суммы распространяются на раз-
личные индексы i так же, как в первом случае.
Докажем теперь, что при р достаточно малом можно числа X, а и Р
подобрать так, чтобы построенная функция f (z) обладала всеми отме-
ченными в формулировке леммы свойствами. Ограничимся рассмотрением
первого случая, ибо во втором случае рассуждения вполне подобны,
кроме того, очевидно, что второй случай можно редуцировать к первому
заменой
z = х + 1у на z = х — iy.
Пусть z0 — произвольная точка области Z), такая, что Im z0 а.
Построим простой полигон у с началом в точке z, с концом в области D%9
принадлежащий D и пересекающий полосу | у | < а наименьшее число
раз. Допустим, что у пересекает полосу | у | < а к раз; в таком случае
полигон у будет содержать к полигонов ух, у2, . . ук попарно без об-
щей точки и таких, что каждый полигон у7- имеет один конец на прямой
У = —а, другой конец на прямой у = а. Обозначим через Dx. ту из
областей D^ которая содержит полигон у7. Две различные области Dtj
будут, очевидно, иметь различные ранги, мы будем в дальнейшем счи-
тать эти области расположенными в порядке возрастания их рангов►
При этих обозначениях ранг Dx. будет, очевидно, равен /, кроме того,
так как по условию Im z0 а и точка z0 принадлежит области dx (области
dx расположены ниже прямой у — а), то ранг области DX]i, к, должен
быть числом четным.
9. К теории конформных отображений
133
Перейдем к оценке в точке z0 отдельных членов сумм, определяющих
кцию / (г). Рассмотрим, прежде всего, те элементы суммы, для кото-
индекс принимает последовательно значения: т = т0, тх, . . ., тк.
рЫ В силу неравенств (14), (15), (40), (41) функция фТ} (z), в точке z0, при
, четном будет равна единице с точностью, равной или правой части (14),
чи правой части (40), в зависимости от того, принадлежит ли область
р первому или второму классу; при / нечетном фт. (z0) будет равна — 1
с точностью, равной или правой части (14), или правой части (40), в за-
висимости от того, принадлежит ли Dx. первому или второму классу.
Рассмотрим теперь те элементы суммы (45), для которых i не равно ни
одному из чисел т7*. Если область Di имеет четный ранг, то область Dx
будет принадлежать одной из областей diV, но тогда, в силу односвязности
области D, рассматриваемая точка z0 будет также принадлежать области
diV (если бы z0 принадлежала то всякий полигон в области Z), соеди-
няющий точку z0 с точкой области Z)t, должен был бы содержать кусок в
с концами на прямых у = что невозможно, ибо i не совпадает ни
с одним из т7), ф^ (z0) будет равна нулю с точностью, равной или правой
части (14), или правой части (40), в зависимости от того, будет ли область
Di принадлежать первому или второму классу. Аналогично, если Di
есть область четного ранга, то точка z0 будет принадлежать одной из об-
ластей diV, и ф{ (zQ) будет также равна нулю с точностью, равной или пра-
вой части (14), или правой части (40), в зависимости от того, какому клас-
су принадлежит область D^
Итак, в точке z0 (k/2 + 1) элементов изучаемой суммы при достаточно
малых р, а, р будут близки к 1, к/2 элементов будут близки к —1, а все
остальные элементы близки к нулю. Отсюда, принимая во внимание (14),
(15), (40), (41), получим
I / (z0) — 1 | < |/ aR (%, а) 2 (wl + ^) + У р/? (X, a) 2i +
i, 3
+ vtj + Uij + Vij) 4- 2pJV x (p, jV),
где p есть чиоло областей второго класса. Принимая во внимание нера-
венства (11), (16), (18), (20), окончательно получим
I/ (ZO) - 1 I < R (X, а){2 Va + 4/0} + МТрГЖ
Применяя приведенные выше рассуждения для точки z19 лежащей
ниже полосы | у | < а, получим
1/(г1)|<Т?(Х,а){2/а+4у7} + (47)
..Кроме тог°, из тех же рассмотрений следует, что одно из неравенств
\4о) или (47) будет иметь место в каждой точке (области Z)), не принадле-
жащей ни одной из областей D^
Пусть теперь точка z2 принадлежит одной из областей D^ Рассуждая
Как раньше, мы без труда получим, что сумма (45), из которой выброшен
Член фх (Z)?
/ (z2) — Фг (Z2),
134
I. Теория функ ций
будет отличаться или от нуля, или от единицы (в зависимости от того,
будет ли ранг Di четный или нечетный) на величину, меньшую правой
части (46). Отсюда, принимая во внимание (12),, (13), (42), (43), в каждой
точке z2 области Di будем иметь
| / (z2)| < 2 + R (X, а) {2/а + 4/0} + ^- +
+ 2 + 2% + / 0-й (X, a) 21 (uii + vtj -|- иц + v^)
+ 2NQ (К) у/p) < 4 + R (X, a){2 /a + 5 /0} +
+ f1 + "4") + 2k (48)
| Im / (z2) | < 2X + R (X, a){2 / a + 5 /0} + W- (1 + -^) / ГСТ)-
(49)
Займемся теперь подбором чисел X, а и р. Положим
X = е/6, /а = /0 = 21Д а) •
При этих обозначениях, если р будет удовлетворять условию
то из неравенств (46)—(49) получим:
| / (z) - 1 | < е (51)
в каждой точке (области D), расположенной выше полосы \ у | < а,
I f (2)| < 8 (52)
в каждой точке (области D), расположенной ниже полосы | у | < а, и
|Im/(z)|<8, |/(z)|<5 (53)
в каждой точке области D.
Так как при любом фиксированном N lim % (р, N) = 0, % то при любом
р-*О0
е, для всех достаточно малых р, построенная функция / (z) будет обла-
дать всеми нужными свойствами.
Переход от построенной функции / (г) к искомому полиному Р (z)
можно совершить, например, следующим образом: построить область D,
содержащую D строго внутри и к ней достаточно близкую, для области
D построить функцию f(z), обладающую всеми нужными свойствами, и,
наконец, применяя теорему Рунге, построить полином Р (г), который
удовлетворял бы в каждой точке D, соответственно, неравенствам (51),
(52), (53).
Опираясь на доказанную лемму, нетрудно установить следующее
предложение, непосредственно нужное нам в дальнейшем.
Лемма 3. Пусть Е — произвольный континуум, ограниченный>
нигде не плотный и не разбивающий плоскости. {Множество, дополни-
тельное к Е, есть множество связное.) Пусть, кроме того,
х cos a + у sin a — р = О
9. К теории конформных отображений
135
есть прямая, пересекающая континуум Е. При этих условиях, каковы
бы ни были числа а и г, всегда можно построить полином Р (z) комплекс-
ного переменного z = х + iy, обладающий следующими свойствами:
7°. | Р (z)| < 5 в каждой точке Е;
2°. | Im Р (z)| < 8 в каждой точке Е\
3°. | Р (z) — 1 | < 8 в каждой точке z, принадлежащей Е и такой,
что
х cos а + у sin а — р^> а\
4°. | Р (z) | < е в каждой точке z, принадлежащей Е и такой, что
х cos а + у sin а — р < —а.
Доказательство. Так как множество Е замкнутое и нигде
не плотное, то среди прямых
х cos а + у sin а — р = t, | £ | < а/2
найдется прямая
х cos а + у sin а — р = t0, | I < а/2,
такая, что множество точек этой прямой, принадлежащих Е, будет мно-
жеством, нигде не плотным на прямой. Отсюда, замечая, что Е не раз-
бивает плоскости, заключаем, что, как бы мало ни было число р, всегда
Можно построить односвязную область D, удовлетворяющую по отно-
шению к прямой
х cos а + у sin а — (р + М = О
условиям леммы 1. Применяя лемму 1, мы можем построить полином Р (z),
удовлетворяющий условиям 1° и 2° в каждой точке G, а следовательно,
и в каждой точке Е, и удовлетворяющий соответственно условиям 3°
и 4° для точек z = х + iy области D (а значит, и для точек Е), таких,
что или
х cos а + у sin а — (р + £0)
«ли
х cos а + у sin а — (р + М < —а!2.
Так как | t0 | < а/2, то отсюда заключаем, что полином Р (z) обладает
всеми нужными свойствами.
Пользуясь доказанной леммой, нетрудно доказать следующую основ-
ную теорему.
Теорема. Пусть Е — произвольный континуум, ограниченный,
нигде не плотный и не разбивающий плоскости. Пусть, кроме того,
f (z) = Ф (х, у) + гф (х, у)
— произвольная функция комплексного переменного z = х + iy, опреде-
ленная и непрерывная в каждой точке множества Е. При этих условиях
функцию f (z) можно изобразить равномерно сходящимся рядом полиномов.
Доказательство. Итак, покажем, что, как бы мало ни было
число е, всегда можно построить полином R (z), такой, что для всех то-
чек Е будем иметь
I ф (х, У) + г'Ф (х, у) — R (z) | < е.
136
I. Теория функций
Не нарушая общности, будем предполагать, что континуум Е при-
надлежит квадрату
В: А (0, 0), В (1, 0), С (1, 1), D (0, 1).
Построим функцию ф (х, Z/), определенную и непрерывную в замкну-
том квадрате В и совпадающую с функцией ф (х, у) в каждой точке мно-
жества Е. Обозначим через М максимум модуля ф (х, у):
I Ф (*, у) I < м.
Разберем теперь частный случай, когда функция ф (х, у) зависит
только от у:
ф (х, у) =(р (у).
Пусть п — целое число, такое, что для любой пары чисел у и у', удов-
летворяющих неравенству
I у' - У I < 1/п,
имеем
I Ф (у') — Ф (у) I < 8/20. (54)
Разобьем квадрат /?, при помощи прямых у = k/.nvk.= 1, 2, . . ..п —
на п прямоугольников, пусть Вк есть прямоугольник, ограниченный
прямыми:
у = (к — 1)/п, у = к/п, х = 0, х — 1.
Используя лемму 3, построим полиномы
Л (z), Р2 (z), . . ., Рп.г (z),
обладающие следующими свойствами:
1°. | Рк (z)| < 5 в каждой точке Е;
2°. | Рк (z) | < в каждой точке z, принадлежащей Е и распо-
ложенный ниже прямой у = к/п — 1/лг2;
3°. | Рк (z) — 1 | < в каждой точке z, принадлежащей Е и рас-
положенной выше прямой у — к/п + 1/тг2.
Положим
и оценим разность | Р (z) — ф (у) | в произвольной точке множества Е.
Пусть точка z принадлежит прямоугольнику Вк и не принадлежит ни
одной из двух полос
(к — 1)/п <Zy <. (к — 1)/п + 1/лг2, к/п — i/n2 < у < к/п.
В этом случае, полагая PQ (z) = 1, получим
К-1
| р и _ ¥ + | < £ {| Ф + _L)| । w _ p,,., w i) +
rn=l
9. К теории конформных отображений
_ ф + J_) II < 2Л/ (*— 1)^— Н-Л/ +
т \ п 1 2n / и v ' 8Мп 1 8Мп г
Пусть теперь точка z принадлежит полосе
kin — Un2 <Zy < k/n + 1/лг2,
тогда
fc-1
I w - ф (-^ + i) I <£ {IФ (-^ + I и» w - ₽».-! Ы1}+
171=1
+ |i₽(2TI + i)|l1-p‘->WI + I^Wl|v(4 + i)-
+ X* 1₽"<гН<2'’/(*~1)тег + л/тжг +
m=K4-i
+5i + 2"<»-4-1)Tsk<-b
Отсюда, принимая во внимание (54), окончательно получим для про-
извольной точки множества Е:
I Р ф — Ф (у) I < 8.
Перейдем к общему случаю. Пусть п — целое число, такое, что для
любой пары чисел х и х' и для любого у имеем
| ф (х\ у) — ф (х, у) | < в/20 < М/2. (55)
Пользуясь разобранным частным случаем, построим полиномы
Л (z), Р2 (z), . . Рп
такие, что в любой точке множества Е имеем
I ( 2в ’ и) — Р1 | < 8 (Л/ + 1) п ’
| п~ + 2^ ’ У) — ( п 1п ' У) ~ Рт | < 8 (Л7 + 1) п
(т — 2,3,..п),
\Pm(z)\<2M (т = 1, 2, . . п).
Кроме того, на основании леммы 3, строим полиномы
Ql (Z)i (?2 (z)> • • *ч Qn-l (2)>
такие, что 1
1°- I Qk (z) I < 5 в каждой
2 • I (z) | < 8(Л/+1)га В
положенной левее прямой х = kin — lln2;
точке Е;
каждой точке и, принадлежащей Е и рас-
138
I, Теория функций
3°. | Qk (z) — 1 I < 8 № + 1) n в кажД°й точке z, принадлежащей
E и расположенной правее прямой х = kin + 1М2.
Положим
Р (z) = Р, (z) + Ql (z)P2 (z) + . . . + Qn-r (z) Рп (z)
и оценим разность | Р (z) — ф (х, у)\ в произвольной точке z множества Е.
Допустим, что точка z (множества Е) принадлежит полосе
(& — 1) I J_ / ___L
п ' п? У п П2 ‘
В этом случае
к
|р(2)-ф(±=±+4->^1< Е +
т=1
+ £ l^m(2)||l-<?m-i(z)|+ £ |Pm(z) 11^(2) |<
k 8 (Л/ + 1) re + 8 (М + 1) re + (п — к) g (Л/ + 1) п < 1" •
Допустим теперь, что точка z (множества Е) принадлежит полосе
к_____1_ r j_
п П? У п П2 •
В этом случае, при п 5, имеем
к
7П=1
к
4- V | (Z) | | 1 — <2т-1 (2)| + | ^+1 (2)|| Ск (2)| +
т=1
п
4- У | Рт (z) 11 Qm-1 (z) |< к 8 + п 4- 2кМ 8 4 п +
7П =Jc -{-1
+ 4 5 ( 8 (Л/ -н 1) re + 41?) (" — к ~ 8 (Л/ + 1) ге < Т '
Отсюда, принимая во внимание (55), в каждой точке множества Е
будем иметь | Р (z) — ф (х, у) | < е/^2.
Применяя развитый выше метод, наряду с полиномом Р (z) мы можем
построить полином Q (z), такой, что в каждой точке множества Е будем
иметь | Q (z) — л|? (ж, у) | < е//2, но в таком случае полином R (z) =
= Р + iQ будет в каждой точке удовлетворять неравенству
I Ф у) + (х, у) — R (z) | < е,
теорема доказана.
10. О двух экстремальных задачах
139
ЛИТЕРАТУРА
1 HadamardJ. Lecons sur le calcul des variations. P.: Hermann, 1910. T. 1. 520 p.
9 Julia C. Sur la representation conforme // Ann. sci. Ecole norm, super. 1927. T. 39.
p. 131.
3 Polya G. Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerzungssatzes auf mehrfach zu-
sammenhangende Gebiete // Sitzungber. cl. Preuss. Akad. Wiss.. 1929. H. 4. S. 55—
62
a Hnrtoes F., Rosenthal A. Uber Folgen analytischer Funktionen//Math. Ann. 1931
Bd. 104. S. 606-610/
5 Lavrentieff M. Sur un probleme de M. P. Montel // C. r. seances Acad. sci. 1929.
' T. 188. P. 689—691.
10
О ДВУХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ*
В этой статье мы намерены решить две следующие задачи.
1. Пусть w = f (z, Lr), f (1, Lr) = 1,— функция, осуществляющая кон-
формное отображение кбльца 1 < | z | < г на область Z), ограниченную
окружностью | w | = 1 и кривой ZZ, содержащей точку сю и лежащей
вне круга | w | < 1 (мы предполагаем, естественно, что кривая Lr такова,
что: 1) область D двухсвязна; 2) конформное отображение области D на
кольцо 1 < [ z | < г возможно). Тогда, если г — фиксированное число,
кривая U и число ф произвольны, надо найти верхнюю и нижнюю гра-
ницы | f (е <₽, Lr) |. Мы докажем, что искомые границы достигаются,
когда Lr есть полупрямая, лежащая на положительной части действитель-
ной осп, и когда ср — 0 (для нижней границы), ф — л (для верхней гра-
ницы).
2. Пусть АВ — простая дуга, имеющая непрерывно меняющуюся
касательную. Предположим, что АВ находится в потоке 5 несжимаемой
идеальной жидкости и такова, что: а) поток обтекает дугу АВ] Ь) скорость
жидкости на бесконечности равна 1; с) плотность жидкости равна 1/(2л);
d) источник и сток потока находятся соответственно в точках А и В.
Назовем подъемной силой дуги А В равнодействующую сил давления
потока на дугу АВ. Обозначим через Л множество дуг АВ, обладающих
следующими свойствами: а) концами каждой дуги Л являются фиксиро-
ванные точки А и В] Ъ) каждая дуга Л лежит в круге диаметра АВ]
с) каждац дуга Л имеет (в каждой точке) конечную кривизну, не превосхо-
дящую некоторого числа К, К < 21 АВ. Установив это, среди всех кри-
вых Л надо найти кривую, для которой подъемная сила максимальна.
Мы докажем, что искомой дугой является дуга окружности радиуса МК.
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Обозначим через D (h) область, полученную удалением из круга
I ъ I < 1 отрезка arg £ = 0, 1 — h | £ | < 1. Отобразим конформно
кРуг | w | < 1 на область D (h) таким образом, чтобы: 1) точке w = 0
* Мат. сб. 1934. Т. 41, № 1. С. 157-165.
140
I. Теория функций
соответствовала точка £ = 0 и 2) точке w = 1 соответствовала точка
£ = 1 — h.
Легко видеть, что искомое отображение можно осуществить по сле-
дующей формуле:
1 А2
£ + 1/£ = (1 + в) (w + l/u>) + 2е, е = —TTZT- (1)
Предположим теперь, что h бесконечно мало; тогда, пренебрегая беско-
нечно малыми порядка выше А2, получим
/ 9 \
w = £ - е(£ + 2 + -^—j-). (2)
В частности:
|4Н-=1+в=1+т*2- ст
Пусть £ = ei& и w = — соответствующие точки при рассматривае-
мом отображении; в силу (1) мы имеем:
2 (1 + e)cos ср + 2е = 2 cos ft,
и, пренебрегая бесконечно малыми порядка выше 8, получим
Ф — ft = е ctg (/&/2). (4)
Обозначим через Dr (h) область, полученную удалением из области
| £ | > 1 отрезка arg £ = 0, 1 < | £ | ^ 1/(1 — h). В силу принципа
Шварца формула (1) осуществляет конформное отображение области
D± (ti) на область | w | 1 таким образом, что: 1) точке £ = оо соответст-
вует точка w = о© и 2) точке £ ~ 1/(1 — h) соответствует точка w = 1.
Для бесконечно малого h мы имеем (4) и
Бесконечно малыми порядка выше h2 пренебрегаем.
§ 2. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА (ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА)
Обозначим через £0 полупрямую, лежащую на положительной части
действительной оси. Пусть р и сю — концы £0; предположим, что р та-
ково, что полупрямая Lo является некоторой кривой 27, т. е. р 1.
Функция w = f (z, Lg) определена в кольце 1 < | z | < г, на окружности
I z | = 1 она принимает значения, лежащие на окружности [ w | = 1.
Тогда по методу отражений (принцип симметрии Римана—Шварца) функ-
ция w ~ / (г, Ло), будучи аналитически продолженной, дает конформное
отображение кольца 1/r < | z | < г на область, полученную удалением
из плоскости w полупрямой Lq и отрезка (0, 1/р) — отражения LQ отно-
сительно окружности | w | = 1. Обозначим через £>0 односвязную область,
полученную удалением из кольца Иг < | z | < г отрезка (1/г, г). Оче-
видно, что функция w = f (z, Lo), / (—1, Lg) = 1, дает конформное отоб-
ражение области Dg на область, полученную удалением из плоскости w
положительной части действительной оси.
Рассмотрим теперь произвольную кривую Lr. Функция w = f (г, Lr),
будучи продолженной аналитически, дает конформное отображение коль-
10. О двух экстремальных задачах
141
1/г < I z I < г на °бласть, полученную из плоскости w удалением
да„вой Lr И кривой Li, которая является отражением Lr относительно
окружности | w | = 1. Положим
ф = arg / (eiv, Lr).
Тогда функция
и> = F (z) = —e-^f (e~i4>z, Lr), F (-1) = -1,
дает конформное отображение области Do на односвязную область, не
содержащую точки w = 0. Следовательно, применяя теорему Кёбе—Би-
бербаха, получим
|/' (-1, Lo)|> \ F' (-1)|.
С другой стороны
\ F' (-1)1 = I/' (е%Г)Ь
Следовательно,
|/'(-1, Ло)|> 1Г(еЧГ)|. (6)
Эта формула означает, что искомая верхняя граница достигается, когда
Lr есть Ло.
§ 3. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА (НИЖНЯЯ ГРАНИЦА)
По известным свойствам однозначных функций можно искать нижнюю
границу | /' Lr)\, предполагая, что Lr есть простая аналитическая
дуга, соединяющая некоторую конечную точку с точкой оо.
С другой стороны, очевидно, что нижняя граница | /' Z7) | для
произвольного ф равна нижней границе этого же выражения для ф = 0.
Пусть теперь М — произвольная точка Lr. Обозначим через L (М)
часть U, соединяющую М и оо. Обозначим через D (М) двусвязную об-
ласть, ограниченную окружностью | w | = 1 и кривой L (М). Пусть
= / (z, М) — функция, осуществляющая конформное отображение коль-
ца 1 < | z | < R на область D (М). Заметим, что R = R (М) является
непрерывной функцией М. Пусть М ' — некоторая точка Lr, лежащая
вне L (М) и бесконечно близкая к М. При конформном отображении
w == / (2, М) дуга ММ' соответствует бесконечно малой дуге у, лежащей
в кольце 1 < | z | < R (М) и выходящей из точки Re^ окружности
I z I = R (М) ортогонально этой окружности.
Осуществим теперь конформное отображение
£ = ф (z, ft), ф (1, й) = 1,
кольца 1 < | z | < R (М') = R (М) — kR на область А (й), полученную
Удалением из кольца 1 < | £ | < R (М) дуги у. Имеем
/(z, Mf) = / [ф (z, й), М],
следовательно,
I/' (1,М')|= | /' (1, АГ)| | ф' (1, й)|.
142
I. Теория функций
Положим
If (1, М')\- |f (1, М)| = A |f (1, М)|.
Тогда
А1^1= |ф'(1Л)|-1. (7).
Если пренебречь бесконечно малыми, отношение
зависит только от R и положим
= (8>
В силу (7) и. (8) получим
ос
{h(R, Q)dR
|/'(1, Z/)| = О'*
где С — постоянная. Легко видеть, что
$Я(7?Л)</7?
Г
сходится; с другой стороны,
lim |/' (1, М)| = 1,
2И-»оо
следовательно, С = 1 и мы имеем:
со
J H(H, ®)dR
\f(i,U)\ = er
Для того чтобы Lr было £0, необходимо и достаточно, чтобы д = 0г
следовательно, остается доказать, что минимум Н (R, д) при произволь-
ном фиксированном R достигается, когда Ф = 0. Обозначим через х
длину у; очевидно, что Д7? зависит только от у, тогда надо доказать, что*
минимум | ф' (1, 4)| достигается (если а фиксированно) при 'О’ — 0.
Функция £ = ф (z, О’), будучи продолженной аналитически, дает кон-
формное отображение кольца 1/(7? — Д7?) < | z | < R — ДУ? на область,
полученную удалением из кольца 1/R < | £ | < R дуг у и у', где у'
есть отражение у относительно окружности | £ | = 1.
Установив это, сделаем несколько замечаний о порядке бесконечно
малых а, | ф' (1, О’) — 1 |, | ф (z, О’) — z |. Предположим, что ММ' —
бесконечно малая первого порядка, тогда по известным свойствам кон-
формных отображений а есть бесконечно малая порядка 1/2, |ф' (1, О’) —
1 | — первого порядка и | ф (z, О’) — z | (поскольку | z — Rei& | ко-
нечно) — тоже первого порядка. В частности, если мы обозначим череа
С кривую, которая при отображении £ = ф (z, О’) соответствует отрезку
—1/7?) плоскости £, расстояние между С и отрезком (—7? + Д7?г
—1/(7? __ д/?))
есть бесконечно малая первого порядка.
10. О двух экстремальных задачах
143
Введем новую комплексную переменную
с а + ib = log z.
Обозначим через Г и Г' кривые (бесконечно близкие к отрезкам | а |
< I (д __ Д/?), Ь = +л), соответствующие кривой С при отображении
log z. Обозначим через Дх область, ограниченную прямыми а =
_ |- jog (R — &R) и кривыми Г и Г'. Заметим, что Г' получается пере-
мещением Г параллельно мнимой оси на расстояние 2л.
Аналогично введем комплексную переменную
£ = g + = log v.
Пусть 71 и Vi — дуги (лежащие в полосе | £ | < л), соответствующие
дугам 7 и у' при преобразовании £ = logv. Длины 7Х и 71 равны а/7?
^(бесконечно малыми порядка выше а пренебрегаем). Дуги ух и 71 орто-
гональны прямым |||= + l°g R, имеют концы соответственно в точ-
ках (log R, ft), (—log R, 'О1) и лежат в полосе | | | < log R. Обозначим
через D (О) область, полученную удалением из прямоугольника | £ | <
С log Я, | ц | < л дуг ух и 71.
Сделаем конформное отображение
-ft = ф (с), ф (0) — 0
области Дх на прямоугольник | Re -О' | < log (R — AR), | Im О' | < л.
.Легко показать, что, пренебрегая бесконечно малыми порядка выше а2,
мы имеем | ф' (0)| = 1.
В самом деле, пусть и — Т (с), Y (0) = 0 — функция, осуществляю-
щая конформные отображение прямоугольника | а | < log (R — AR),
I b I <; л на круг | и | < 1, и пусть с — (и) — обратная функция.
Функция и = Т (с), будучи продолженной аналитически, дает конформ-
ное отображение области Дх на область Д2, бесконечно близкую к кругу
I и | < 1. Обозначим через ах площадь области, образованной всеми точ-
ками, внешними для круга | и | < 1 и лежащими в Д2, обозначим через
о2 площадь области, образованной всеми точками, лежащими в круге
I и | <; 1 и внешними для Д2. В силу указанных свойств Г и Г', пренебре-
гая бесконечно малыми порядка выше а2, имеем а2 — (Ji = 0. Обозначим
через v = Фх (zz), Фх (0) =0, функцию, осуществляющую конформное
отображение области Д2 на круг | v | < 1; пренебрегая бесконечно ма-
лыми порядка выше а2, имеем [1]
1 Ф* (°)1 = 1 + + (°2 -
Следовательно,
I <1\ (0)| = 1.
С другой стороны,
Щс) = Vi {Фх № (с)]},
•Значит,
г (0) = । ф; (0)| = 1.
144
I. Теория функций
Пусть теперь £ = Ф (ft, 0), Ф (0, 0) = О,— функция, осуществляю-
щая конформное отображение прямоугольника | Im Ф | < л, | Re Ф
< log (7? — АТ?) на область Д2; тогда
ф (2, 9) = ^«p(iogz),0)? T' (1? 0) = ф (1, 0)ф' (0, 0)ф' (0).
Следовательно, пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, имеем
|<р' (1,0)1 = | Ф' (0, 0)|.
Чтобы найти минимум | Ф' (0, 0) |, осуществим конформное отобра-
жение £ = х (у), % (0) = 0 круга | v | < 1 на прямоугольник | £ | <
< log /?, | ц | < л и обозначим через л (0) значение | dvldft | при ft =
— log R + t0. Легко непосредственно проверить, что максимум X (0),
| 0 К л, достигается при 0 = 0. Пусть у2 и у2 - дуги, лежащие в круге
| v | < 1 и соответствующие дугам и при отображении Ф = % (v).
Осуществим конформное отображение v = Ф2 (и, 0), Ф2 (0, 0) = 0, круга
| и | < 1 на область, полученную удалением из круга | v j < 1 дуг у2
и 72- Имеем
Ф(я, 0) = х{ф2ст), в)}.
Следовательно,
I ф' (0,0)1 = I х' (0)1 IФ' (0)1 I Фг (0,0)1 = К I ф; (0, 0)|.
Пренебрегая бесконечно малыми порядка выше а2, для вычисления
| Ф2 (0, 0)| можно предположить, что дуги у2 и у2 прямолинейны и орто-
гональны окружности | v | = 1 и что длины у2 и 72 равны
Следовательно, применяя формулу (3), получим
|ф'(О,0)|=2г{1-4-^. V(0)}.
Поскольку максимум X (0) достигается при 0 = 0, следовательно, мини-
мум | Ф' (0, 0)| = | <р' (1, 0)| достигается при 0 = 0. Первая задача пол-
ностью решена.
С помощью эллиптических функций легко дать точные выражения
границ | /' (ei(P, Lr)\.
§ 4. ВТОРАЯ ЗАДАЧА
Чтобы решить эту задачу, докажем одну предварительную лемму»
Пусть С: АаВЬА — простая замкнутая кривая. Предположим, что поток
идеальной несжимаемой жидкости обтекает контур С следующим образом:
а) скорость на бесконечности равна 1; Ь) плотность жидкости равна 1/(4л);
с) источник и сток потока находятся соответственно в точках А и В.
Введем некоторые понятия. Обозначим через Dc внешнюю область, огра-
ниченную контуром С. Осуществим конформное отображение
w = / (z, С), / (оо, С) = оо,
области De на внешность круга | w | 1 и обозначим через 2Ф (С) длину
дуги окружности | w | = 1, соответствующей дуге АЪВ. Назовем подъем-
ной силой С равнодействующую сил давления потока на С и предполо-
10. О двух экстремальных задачах
по определению, что подъемная сила положительна, если 2$ < л,
жиМрИцательна. если 2'ft > л. Обозначим эту силу через Р (С).
° Темма. Предположим, что контур С: АаВЪА имеет положителъ-
ю подъемную силу. Если мы заменим в контуре С дугу АаВ дугой Аа'В,
Н^жатей в Dc- т0 новый контур С^. Аа'ВЪА будет иметь большую подъем-
л силу, чем начальный контур С. (В определении подъемной силы но-
ого контура мы предположим, что в точках А и В находятся соответ-
ственно источник и сток потока.) Если мы заменим в контуре С дугу АЬВ
дугой Ab'В, лежащей в Dc, то подъемная сила нового контура будет мень-
ше подъемной силы начального контура.
По известной формуле Жуковского имеем:
_ cos fl (С)
\р(оо,С)\
В силу этой формулы первая часть леммы является непосредственным
следствием принципов Монтеля и Линделёфа. В самом деле, по принципу
Линделёфа имеем
I /' (оо, G) I < I /' (оо, С) I,
а по принципу Монтеля
О (С.) < о (С),
следовательно,
р (G) > р (С).
Перейдем ко второй части леммы. В силу известных свойств однознач-
ных функций, не ограничивая общности, можно предполагать, что дуга
АЪ'В контура аналитична. Установив это, возьмем на дуге АЪВ какую-
нибудь точку, пусть V будет этой точкой. Построим вспомогательный кон-
тур, образованный начальным контуром С и дугой АЪ'. Обозначим через
Р (Ь') подъемную силу вспомогательного контура. Р (Ь') есть непрерывная
функция Ь', и мы имеем
Р И) = Р (С), Р (В) = Р (CJ.
Обозначим через D (Ь') область, полученную из области Dc удалением
дуги АЬ'. Сделаем конформное отображение
w = / (z, fe'), / (оо, Ъг) = сю,
области D (Ъг) на внешность круга | w | 1, и пусть 2$ (Ь') — длина дуги
окружности | w | = 1, соответствующей дуге АЬ'АЬВ.
Пусть теперь Ь" — произвольная точка дуги Ь'В контура Сх; в силу
непрерывности Р (bf) остается доказать, что
__ cosfl(6") cos -О' (Ь')
IF (<*>, Ь") | |У (оо, д')[ ’
В Доказательстве этого неравенства мы можем предполагать, что рас-
тояние между Ь' и Ъ" бесконечно мало, и делать вычисления, всегда пре-
еорегая бесконечно малыми более высокого порядка, чем длина Ь'Ъ”.
w Тобы Упростить вычисления, предположим, что при отображении
f (zi Ъ') точке b' соответствует точка w = 1. Введем новую комплек-
УК> переменную £ = ре*® и обозначим через у дугу внешности круга
146
I. Теория функций
| £ | 1, соответствующую дуге Ъ'ЬЪ" при отображении £ — / (z, Ъ'\
Пусть а — длина у. Обозначим через ,0'1 и О2 модули аргументов точек Д'
и 5', соответствующих точкам А и В при этом же отображении.
Пусть Д — область, полученная из внешности круга | £ | <; 1 удале-
нием дуги у, и пусть w = (р (£), <р(°°) = °0,— функция, осуществляю-
щая конформное отображение области Д на внешность круга | w | 1;
предположим, что концу у (лежащему в области | £ | ^> 1) соответствует
точка w = 1. Обозначим через fti и О2 модули аргументов точек, соответ-
ствующих точкам Д' и В' при этом отображении.
Имеем
/ (z, Ъ”) = ф [/ (z, 6')],
следовательно,
I/' (ос, b") I = | Ф' (оо) ||/' (оо, Ъ') I,
291 (У) = Ох + О2, 20 (b") = Oi + 02.
С другой стороны, пренебрегая бесконечно малыми порядка выше а2,
в силу формул (4) и (5) имеем
| <р' (оо) I = 1 — е,
Ох — Oj = е ctg -у-, 02 — 02 = е ctg , е = а2/4.
Следовательно, полагая
/ 02 \2
1 (ctg-y+
ctg ~2~ Ctg ~2~ — 1
получим
C°s----2----
cos ft (b") == (1 — Ц8) cos (6').
Отсюда
C0Sft(6") _ (1 -L£)COS#G>') /4 llfA_
I/'(oo,6") | |/'(oo, 6')| (1 И {1 )8b
Но, при условиях й*! 0, й'з 7 0, й*! + #2 < я легко доказать, что [i 1 ?
следовательно:
cos$(6") cos$(£')
77' (оо, &") | < |/'(оо,д')| ’
и лемма доказана.
С помощью этой леммы легко решить вторую поставленную задачу-
В самом деле, пусть С : АВ — дуга Л. Проведем в круге диаметра АВ дугу
Сг постоянной кривизны, равной 1/fc, таким образом, чтобы концы (\ сов-
падали с точками А и В, Предполагая, что подъемные силы С и С± поло-
жительны, докажем, что подъемная сила С± больше подъемной силы С
11. О некоторых свойствах однолистных функций
147
знаЧим через С2 контур, образованный кривыми С и В силу первой
°00 И леммы подъемная сила С2 больше подъемной силы С; с другой сто-
чаСТ силу второй части леммы подъемная сила С2 меньше подъемной
роны,^ и требовалось доказать.
СИЛрезультат первой части этой заметки (первая задача) содержится
одной теореме Греча [2]. Метод Греча отличен от нашего.
ЛИТЕРАТУРА
4 Павпентъев М. К теории конформных отображений И Тр. Физ.-мат. ин-та
им В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159-245.
9 Grotzsch Н. Uber einige Extremalprobleme der konformen Abbildung 11 Ber.
0. Verh. Sachs. Akad. Wiss. 1928. Bd. 80. S. 501.
11
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ
ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*
В настоящей заметке мы имеем в виду отметить несколько новых ре-
зультатов, касающихся соответствия границ при конформном отображении.
1. Введем предварительно несколько геометрических понятий. Пусть
С есть простая замкнутая аналитическая кривая в плоскости z. Обозначим
через a (t) угол, образованный касательной к Св точке t с действительной
осью. Обозначим соответственно через т (С) и через М (С) нижнюю
и верхнюю границы значений непрерывной функции a (Z), когда t описы-
вает в положительном направлении кривую С. начальное значение
а (/) принимается угол, заключенный между Ойл.
Пусть D произвольная односвязная область в плоскости, и пусть Г есть
граница D.
Определение!. Мы скажем, что D (или Г) принадлежит классу
R (т, М), если, какова бы ни была замкнутая область Dr, D± CZ D, всегда
существует простая замкнутая аналитическая линия С такая, что:
I) область, ограниченная кривой С, содержит Dx; 2)т т (С), М^М (С).
Нетрудно убедиться, что всякая выпуклая область принадлежит клас-
су R (0, Зл), что всякая звездная область принадлежит классу R (—л,
Зл).
Определение 2. Пусть А есть точка Г. Мы скажем, что точка
А достижима углом, если существует сектор с вершиной в А и принадле-
жащий D. (Это определение принадлежит В. Н. Вениаминову [1].) Мы
скажем, что точка А достижима отрезком, если существует прямолиней-
ный отрезок АВ с концом А, принадлежащий D.
Применяя теорему Фату о существовании предельных значений функ-
ции, правильной и ограниченной в единичном круге, нетрудно получить
следующий результат.
Теорема 1. Если область D принадлежит классу R (т, оо), т >
или классУ R (—00, М), М < оо, то при конформном отображе-
* Докл. АН СССР. 1935. Т. 1, № 1. С. 1—4.
148
I. Теория функций
нии области D на круг имеем: 1) множеству точек границы D, не дости-
жимых углами, отвечает на окружности множество меры нуль; 2) мно-
жеству точек границы D, образующих множество линейной меры нуль
отвечает на окружности множество меры нуль.
Рассматривая области класса R (т, М), т > —оо, М < ос, можно
получить следующий более точный результат.
Теорема 2. Пусть Г есть граница односвязной области D, принад-
лежащей классу R (т, М), т —ос, М < оо, и пусть Е есть множество
точек Г, которые можно заключить в конечную систему кругов, сумма диа-
метров которых не больше 8г 8 > 0. Если D содержит круг | z | < 1» то
при конформном отображении w = / (z), / (0) = 0, D на круг |\ w | <; 1,
множеству Е отвечает на окружности | w | = 1 множество $ меры не
больше 2л8б, где б — положительная константа, зависящая только от т
иМ.
Мне кажется вероятным, что теорема сохраняет силу, если вместо клас-
са R (т, М) взять класс R (т, ос), т — оо.
2. Заметим, что не только теорема 2, но и теорема 1 теряют силу, если
вместо класса R (т, М), взять класс R (—о©, оо) (совокупность всех од-
носвязных областей). Невозможность этого обобщения для второй части
теоремы 1 была указана В. Н. Вениаминовым [1].
Т е о р е м а 3. Существует такая область Жордана Dr и на границе
такое множество Е линейной меры нуль, что при конформном отобра-
жении области Dt на круг, множество Е переходит в множество положи-
тельной меры.
Теорема 4. Существует такая область Жордана D2, что при кон-
формном отображении D2 на круг, множество точек границы D2, дости-
жимых отрезками, переходит в множество меры нуль. (Проблема о суще-
ствовании области D2 была поставлена акад. Н. Н. Лузиным.)
3. Отметим в заключение еще два результата, касающиеся вопроса о
соответствии границ в случае, когда Г есть спрямляемая кривая.
Теорем а 5. (Это предложение является обобщением одной теоремы
акад. Н. Н. Лузина—И. И. Привалова: если mes Е = 0, то mes £ =
= 0.) Пусть D содержит круг | z | < 1 и пусть Г — граница D — есть
спрямляемая кривая длины I. В таком случае, при конформном отображе-
нии, w ~ f (z), f (0) = 0, D на круг | w | < 1, множеству Е, mes Е — 0,
границы Г, отвечает на окружности множество S,
СП К1
mes $ < i--г ,
I log 8 j -i- 1 ’
еде К есть абсолютная константа.
Тео рема 6. Если в условиях теоремы 5 дополнительно допустить,
что, какова бы ни была дуга у, у а Г, отношение длины у к ее диаметру не
больше р, р 0, тогда, при конформном отображении, w = / (Z), / (0) =
= 0, D на круг множеству Е, mes Е < 8, отвечает на окружности множе-
ство $,
mes $ < 2лгб,
где 6 зависит только от р.
12. О функциях комплексного переменного
149
ЛИТЕРАТУРА
т/ •s.minoff V. Sur les derivee-limite d'un fonction analytique//C. r. hebd. se-
L Sees Acad. sci. 1925. T. 180. P. 114-116.
12
О ФУНКЦИЯХ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
ПРЕДСТАВИМЫХ РЯДАМИ ПОЛИНОМОВ*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие теории множеств и теории функций действительного перемен-
ного имело наибольшее влияние на всю современную математику. Новые
идеи были особенно плотодворными в области теории функций комплекс-
ного переменного, где классические и качественные методы оказываются
тесно связанными и взаимно дополняют друг друга. Исследования Пенлеве
по дифференциальным уравнениям привели к большому числу важных
проблем о поведении функции на границе области своего существования.
Борель, введя понятие функции, моногенной на множестве, пришел к
обобщению классического понятия аналитического продолжения. Ме-
тод нормальных семейств, созданный Монтелем, прояснил большое число
ранее известных фактов и в настоящее время представляет собой один из
•самых мощных методов современной теории функций комплексного пере-
менного. Этот метод, основывающийся на изучении семейств функций, на-
ходится в прямой связи с функциональным анализом. Предметом настоя-
щего выпуска является проблема структуры функций, представимых
рядами аналитических функций. Эта проблема и методы ее решения яв-
ляются промежуточными между теорией функций комплексного перемен-
ного и теорией функций действительного переменного. С одной стороны,
она приближается к классическим работам Вейерштрасса, Миттаг-Лёф-
флера и Пенлеве о представлении функций рядами полиномов, с другой
стороны, она связана с изучением общих свойств последовательностей
Функций.
Монтель оказал мне честь, приняв настоящий труд в руководимое им
'Собрание. Выражаю ему свою глубочайшую признательность.
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Г Исторический обзор. Содержание выпуска. Вейерштрасс доказал,
Что Ка>кдая функция, непрерывная в интервале (а, 6), может быть пред-
ставлена рядом полиномов, равномерно сходящимся внутри (а, 6). Обратно
Умма равномерно сходящегося внутри (а, Ь) ряда полиномов является
Actual, sci. etind. 1936. N 441: La theorie des fonctions.
150
I. Теория функций
непрерывной функцией. Следовательно, для того, чтобы определенная в
(а, Ъ) функция могла быть представлена равномерно сходящимся внутри
(а, Ъ) рядом полиномов, необходимо и достаточно, чтобы она была непре-
рывной в (а, 5).
С другой стороны, было хорошо известно, до Вейерштасса, что сумма
ряда полиномов, сходящегося (не равномерно) в (а, 6), может быть раз-
рывной в этом интервале. Но методы и понятия классического анализа
были недостаточны для полного решения проблемы структуры функций,
сумм рядов полиномов, сходящихся в (а, Ъ). Эта проблема была решена
Бэром (1901 г.) с помощью методов и понятий теории множеств, открытой
Кантором, Борелем, Лебегом...
В настоящем выпуске я намерен изложить результаты, связанные
с проблемой Бэра в случае рядов полиномов одного комплексного пере-
менного, сходящихся в некоторой области.
Проблема представления функции равномерно сходящимися ряда-
ми полиномов рассматривалась в классических работах Вейерштрасса,
Миттаг-Лёффлера, Пенлеве, Рунге, Бореля, Гильберта. Эта проблема пол-
ностью решена Гильбертом (теорема существования) в случае функций,
определенных в открытой области. Целью новых исследований является,
с одной стороны, изучение и построение рядов специальных полиномов,
с другой стороны, изучение равномерно сходящихся не замкнутых мно-
жеств рядов (Валып, Фаррель, Гартогс, Лаврентьев). Из этих резуль-
татов изложим в гл. III те, которые непосредственно связаны с исследо-
ваниями неравномерно сходящихся рядов.
Для доказательства некоторых теорем этих глав нам нужны некоторые
свойства конформных отображений, о которых пойдет речь в гл. II. Так
как гл. II не связана непосредственно с главной темой этого выпуска, мы
излагаем ее очень кратко.
Первые глубокие исследования функций, представимых рядами поли-
номов, которые сходятся в области неравномерно, были выполнены Ос-
гудом (1903 г.) и Монтелем (1905 г.). Монтель явно поставил общую про-
блему: найти необходимые и достаточные условия того, чтобы определен-
ная в области функция / (z) была суммой ряда полиномов; в дальнейшем
эту проблему мы называем «проблемой Монтеля».
Исследования Осгуда и Монтеля были независимо продолжены Лав-
рентьевым (1927—1929 гг.) и Гартогсом и Розенталем (1928—1932 гг.).
Полученные ими результаты изложены в гл. IV—V. В гл. V мы рассма-
триваем также некоторые обобщения проблемы П. Монтеля на сходящиеся
последовательности мероморфных функций (Монтель), на сходящиеся
последовательности гармонических функций (Лаврентьев, Келдыш).
2. Предварительные понятия. Напомним кратко некоторые определе-
ния и свойства плоских совершенных множеств (см. [1]). Если дано множе-
ство Е. пусть Е' — множество предельных точек Е. Е' называется произ-
водным множеством. Множество называется замкнутым, если оно содер-
жит все свои предельные точки. Говорят, что множество совершенно, если
оно совпадает со своим производным множеством. Через Е обозначают объ-
единение множества Е и его производного множества Ег.
Т еорема 1 (Бэр). Пусть Е2. Е2. Е3. . . .. Еп. . . .. Е&. . . .. Еа.. . . —'
трансфинитная последовательность замкнутых множеств такая?
что неравенство а < а' влечет Еа Еа', т. е.. что Еа содержится
12. О функциях комплексного переменного
151
Е и что существует точка Е^ не принадлежащая Еа>. Тогда существует
такое число 0, что Еа = ф при а > 0.
Пусть Е — замкнутое плоское множество. Пусть точка A Ez Е и S —
.уг дЛЯ которого А является внутренней точкой. Будем говорить, что
множество точек S, принадлежащих £*, является порцией Е, определен-
ной кругом S.
Будем говорить, что содержащееся в Е множество Ех нигде не плотно
в Е если в любой порции Е существует другая порция £, не содержащая ни
одной точки Ev Пусть дано множество Е-, говорят, что Q является мно-
жеством первой категории в Е, если Q образовано объединением счетного
множества нигде не плотных в Е множеств.
3. Действительные функции класса 1. Проблема Монтеля тесно связана
с проблемой Бэра. Напомним кратко основные понятия теории Бэра [1].
Говорят, что функция является функцией класса 1, если она является
пределом последовательности непрерывных функций. Пусть Е — несчет-
ное замкнутое множество и пусть / (Р) — действительная функция, оп-
ределенная в каждой точке Р множества Е. Говорят, что / точечно-раз-
рывна на Е, если она непрерывна на Е, кроме точек множества первой ка-
тегории в Е- Вот основная теорема Бэра:
Теорема 2. Необходимое и достаточное условие того, чтобы функ-
ция была функцией класса 1 на Е, состоит в том, чтобы она была точеч-
но-разрывной на любом совершенном множестве, содержащемся в Е.
Пусть / (Р) — произвольная функция, определенная и непрерывная
на замкнутом плоском множестве Е. Если в плоскости, содержащей Е,
введены декартовы координаты (х, у), то по известной теореме Вейерштрас-
са существует последовательность полиномов от х, у, равномерно сходя-
щаяся в Е к / (Р). Следовательно, теорема 1 не перестает быть верной,
если в условиях теоремы слова «была функцией класса 1» заменить сло-
вами «была представима сходящимся рядом полиномов от х, у».
Во всех исследованиях по сходящимся последовательностям непрерыв-
ных функций существенным является следующее утверждение.
Теорема 3. Если последовательность непрерывных функций fT (Р),
/2 (Р), . . ., fn (Р), . . . сходится в каждой точке Р замкнутого множества
Е, то существует порция Е, где все функции последовательности fn рав-
номерно ограничены.
В самом деле, в противном случае существовала бы последовательность
Е2, . . ., Еп, . . . порций Е такая, что неравенство п > т влечет Еп <
< и такая, что | fn (Р) | > N (п), lim N (п) = оо, в каждой точке Еп,
П—>СО
следовательно, в точке Ро, общей для всех множеств Еп, данная последо-
вательность была бы расходящейся. Это доказывает утверждение.
4. Иррегулярные точки. Пусть D — односвязная область, a ft (z),
• • - fn (Z), . . . — последовательность голоморфных в D функций,
сходящаяся в каждой точке D. Говорят, что точка Р области D является
точкой регулярной сходимости для последовательности или, более кратко,
Регулярной точкой, если в круге достаточно малого радиуса с центром Р
рСледовательность fn сходится равномерно. В противном случае точка
«и УДеТ Называться иррегулярной точкой. (Понятие «регулярной» точки,
Ррегулярной» точки было введено Монтелем. Эти понятия являются
Ровными во многих исследованиях по целым функциям, см» [14—16].)
152
I, Теория функций
Пусть Е — совершенное множество, лежащее в D. Говорят, что точка
Р множества Е является регулярной относительно Е точкой, если на не-
которой порции Е, определенной кругом достаточно малого радиуса с
центром Р, последовательность fn равномерно сходится. В противном
случае точка Р будет называться иррегулярной относительно Е точкой.
Монтель установил следующую теорему:
Теорема 4. Если дана последовательность функций, голоморфных
в односвязной области D, сходящаяся в каждой точке из D, то множество-
иррегулярных точек является совершенным, не плотным в D континуумом,
и цельным вместе с границей этой области [6].
Очевидно, что мы получим тот же результат, если вместо голоморфных
функций рассмотрим полиномы; в этом случае теорема остается верной без.
предположения, что область D односвязна.
5. Предельные комплекснозначные функции. Говорят, что определен-
ная на замкнутом множестве Е комплекснозначная функция f (z) является,
функцией класса 1, если действительная и мнимая части f (z) являются,
функциями класса 1 на Е в смысле Бэра.
Будем говорить, что определенная на множестве Е функция f (z) пред-
ставима рядом полиномов, если существует ряд полиномов Рг (z) +
+ Р2 (z) +...+ Рп (z) +..., сходящийся поточечно на Е и имеющий сумму
/ (z). Каждая функция, представимая рядом полиномов, является,
предельной функцией для последовательности полиномов, образованной
частичными суммами соответствующего ряда. Обратно, каждая предельная:
функция/ (z) сходящейся последовательности полиномов, / (z) = lim Qn (z),.
представима рядом полиномов / = + (Q2—Qi) +...+ (Qn-Qn-i) +...
Поэтому каждую сумму сходящегося ряда полиномов можно назвать-
предельной функцией или функцией, представимой последовательностью’
полиномов.
Из теоремы 4 вытекают первые свойства предельных функций; мы видим,
в частности, что семейство предельных функций является частичным се-
мейством среди функций класса 1. Пусть / СО — предельная функция схо-
дящейся в области D последовательности полиномов, а Е — множество*
иррегулярных точек этой последовательности. Какова бы ни была область
А, лежащая в D вне Е, по теореме 4 последовательность сходится равно-
мерно в А; следовательно, / (z) голоморфна в А. Итак:
Предельная функция / (z) голоморфна, кроме точек некоторого замкну-
того и нигде не плотного в D множества Е [18, 15].
Множество Е точек, где / (z) не голоморфна, будем называть особым
множеством / (z), а все области, прилегающие к Е,— областями голоморф-
ности / (z).
Перейдем к достаточным условиям того, чтобы функция / (z) была
суммой ряда полиномов. Наиболее простой класс таких функций, опре-
деленных в области D, образуют голоморфные и однозначные в D функции.
Это следует из следующих важных теорем.
Теорема 5 (Гильбер т—Р у н г е). Пусть D — односвязная
область, где функция f (z) голоморфна, тогда функцию / (z) можно пред-
ставить суммой равномерно сходящегося внутри D ряда полиномов. (Пенле-
ве сначала доказал эту теорему для выпуклой области; общее доказатель-
ство было дано Гильбертом [9] и, впрочем, следует из одной теоремы Рунге*
о представлении голоморфной функции рядом рациональных дробей [27])-
12, О функциях комплексного переменного
153
Тео рема 6 (Монтель). Пусть D — область, где функция f (z)
м0рфна и однозначна; тогда функцию f (z) можно представить суммой
годящегося внутри D ряда полиномов, (Некоторые частные случаи этой
СХ пемы рассмотрены Кохом, Пенлеве, Миттаг-Лёффлером, а общее дока-
зательство было дано Монтелем [6].)
Предполагая, что D ограничена, докажем теорему 5, следуя методу Рун-
ге [6]. Построим в области D последовательность простых многоугольни-
ков G» • • •’ • • • таким образом, чтобы: 1°) многоугольник Cn-i
чежал в области 1)п, ограниченной Сп; 2°) объединением областей Dn была
область D, Имеем
1 Р / (х) dx _ | f (z) в &п
2пГ J х — z ( 0 вне Dn.
Сп
Пусть х±, х2, — точки, лежащие на Сп; если все числа | —
_ х. | , j = 1? 2, . . ., k (xjc+i = хг) достаточно малы, мы имеем
I 1 С / (*) dx______1 yi (xR1 — х.)/ (х.) I j
| 2jii j % % £—1 x. — z j <''^4 2n
в каждой точке z, лежащей вне кольца, ограниченного Cn+i и Cn-i- Значит,
существует рациональная дробь Rn (z), все полюсы которой лежат на Сп,
и такая, что
I Rn (*) - / (*) I < 1/(2лг) в Dn_r,
I Rn (z) I < (1/2тг) вне D.
Следовательно, lim Rn (z) = / (z) в D, сходимость является равномер-
п—>оо
ной в каждой области Dn, т. е. сходимость является равномерной внутри
D. С другой стороны, lim Rn (z) = 0 вне D, сходимость является равно-
П-*оо
мерной.
Преобразование последовательности Rn рациональных дробей в по-
следовательность полиномов основывается на следующей лемме.
Пусть дана рациональная дробь R (z), имеющая единственный полюс
а; тогда можно построить рациональную дробь Н (z), имеющую единствен-
ный произвольно выбранный на плоскости полюс Ь, отличающуюся от R (z)
меньше, чем на 8, для всех точек вне некоторой полосы,окружающей путь,
соединяющий а и Ъ, ширина которой как угодно мала, В самом деле, обоз-
начим через у простую кривую Жордана, соединяющую а и Ъ, и пусть S —
область, заметенная кругами радиуса р, центры которых описывают у.
Возьмем на этой дуге у точки а, аг, а2, . . ., а, = Ъ такие, что расстояние
Двух следующих друг за другом точек не превосходит /ср, k < 1. Функция
R (z) регулярна вне круга | z — а± | кр, следовательно, R (z) можно
разложить в ряд Лорана по степеням (z — сходящийся при | z —
**• ai I > кр. Каково бы ни было 8, для достаточно большого п рациональ-
ная функция(z), образованная суммой п первых членов этого разложе-
ния, отличается от R (z) меньше, чем на е/р, для любого z, | z — аг | р.
Таким же образом мы построим рациональную дробь Н2 (z), имеющую един-
ственный полюс а2 и отличающуюся от (z) меньше, чем на г/р, при
I z — я2 I > р и т. д.; так мы придем к дроби Н (z), имеющей единственный
154
I. Теория функций
полюс Ъ и отличающейся от Hp-i (z) меньше, чем на г/р, при | z — Ъ |
> р и, следовательно, от R (z) меньше, чем на е, для каждого z вне 6.
Вернемся к последовательности рациональных функций R1 (z)
R2 (z), . . Rn (z), ...
Пусть | z | < r — круг, содержащий область D: Из каждого полюса
Xj функции Rn (z) проведем вне Д^жорданову кривую, соединяющую хг
с точкой окружности I Z | = г.
Обозначим через 6,- полосу, заметенную кругом радиуса р, центр ко-
торого описывает эту кривую.
Из доказанной леммы следует, что существует дробь Qj (z), имею-
щая единственный полюс на окружности | z | = г и отличающаяся от
1 11
-я-:------------— меньше, чем на для каждой точки z вне о,-
2m х. — z ' к кп ’ j
Возьмем число р таким малым, чтобы полосы б7- лежали вне Оп-ъ в этом
случае дробь Q (z) = 2iQj (z), имеющая все свои полюсы на окружности
| z | — г, отличается от Rn (z) меньше, чем на 1/(4п), в Dn-i и, следова-
тельно, от / (z) — меньше, чем на 3/(4п), в той же области Dn-i- Дробь
Q (z) регулярна при | z | < г, следовательно, по формуле Тейлора сущест-
вует полином Рп (z) такой, что | Q (z) — Рп (z) | 1/(4п) в таким обра-
зом, в той же области мы имеем | / (z) — Рп (z) | <1/п. Так построенная
последовательность полиномов P1(z), Р2 (z), . . ., Рп (z), . . . является
искомой последовательностью. В общем случае эта последовательность
полиномов, равномерно сходящаяся к / (z) внутри D, является расходя-
щейся вне D. Мы сейчас увидим, что выбирая специальным образом по-
лосы S;, можно получить последовательность полиномов, сходящуюся
во всей плоскости. Из предыдущего вытекает, что дроби Qn (z) и, следо-
вательно, полиномы Рп (z) сходятся к нулю в каждой точке вне D, не при-
надлежащей конечному числу полос б;. Вопрос построения последователь-
ности полиномов Рп (z), сходящейся на всей плоскости, сведен, таким
образом, к топологическому вопросу: построить полосы б7- таким образом,
чтобы каждая точка принадлежала только конечному числу этих полос.
Сделаем искомое построение. Пусть Г — кривая вне D, соединяющая точку
оо с точкой границы D. Построим последовательность кривых
А» • • Гп, • • • попарно без общих точек, сходящуюся к Г и такую, что:
1°) Гп соединяет точку Сп и точку окружности | z | = п; 2°) расстояние
рп между Гп и Г положительно. Пусть — кривая, образованная
Гпи дугой кривой Сп, содержащейся между Xj и концом Гп. Полосы 6jn\
п, j — 1, 2, 3, . . ., где б^п) представляет собой область, заметенную кру-
гом радиуса рп/2, центр которого описывает yjn), являются искомыми по-
лосами. Таким образом, мы получили следующее утверждение: при усло-
виях теоремы 5 существует такая последовательность полиномов Рп (z),
что lim Рп (z) = / (z) в Z), lim Рп (z) = 0 вне Z), сходимость является рав-
П—>оо П-*ОО
номерной внутри D и на любом замкнутом множестве вне О, которое не
содержит точек Г. Множество Е иррегулярных точек последовательности
Рп (z) образовано кривой Г и границей области D. Множеством Ех ирре-
гулярных относительно Е точек является конец Г.
С помощью совершенно похожих рассуждений можно доказать следую-
щее частное утверждение: пусть Г — простая кривая Жордана^ соединяю-
12. О функциях комплексного переменного
155
точку А и точку 00, а АВ дУга кривой Г, в каждой точке которой
Щая иия / (z) голоморфна} тогда можно построить такую последователь-
полиномов, что'. 1°) она сходится к f (z) в каждой точке Г, лежащей
Н°С ди А и В} 2°) она сходится к нулю в любой другой точке плоскости}
множеством иррегулярных точек последовательности является кривая
У’ 4°) множество иррегулярных относительно Г точек образовано точками
А и В. „ /? тэ
Из двух последних утверждении легко вывести теорему о. Вот идея
доказательства. Построим в многосвязной области D счетное множество
кривых Жордана у1? у2, . . ., уп, • • • , таким образом, чтобы, удаляя эти
кривые из D, мы получили односвязную область Dr. В силу первого ут-
верждения существует последовательность полиномов Z>l0) (z), Рз0) (^)? . . .
Pn0) (z),..., сходящаяся к / (z) в /^и к нулю вне Dp, эти полиномы мож-
но построить таким образом, чтобы множество иррегулярных точек последо-
вательности было образовано границей Dr и некоторой кривой Г, лежащей
вне D. Остается перестроить последовательность (ъ), чтобы она сходи-
лась к / (z) на ур, с этой целью для каждой кривой у, мы строим последо-
вательность полиномов Р1} (z), Р2з) (z), . . ., РпУ (z), . . . таким образом,
чтобы она сходилась к / (z) в каждой внутренней точке у у и сходилась к
к нулю в любой другой точке плоскости. В силу второго частного утвер-
ждения можно предполагать, что последовательность Р{^ (z) удовле-
творяет следующим условиям: 1) множество иррегулярных точек принад-
лежит множеству иррегулярных точек последовательности Р^ (z);
2) если Cj является множеством, которое мы получаем, удаляя у; из грани-
цы D14 то последовательность сходится равномерно на Cj. Положим
Рп (z) = P(n0) (z) + P™ (z) + ... + Р™ (г).
Из свойств последовательностей Р„^ (г) следует, что последовательно-
•сть Рп (z) является искомой.
Из теорем 5 и 6 вытекает следующая основная теорема. Мы получим
то же семейство предельных функций, определенных в области D, если вме-
сто функций, представимых сходящимися рядами полиномов, рассмотрим
функции, представимые сходящимися рядами голоморфных в D функций.
Применяя результаты, цитированные в предыдущем пункте, легко
Достроить некоторые важные примеры разрывных функций, представи-
мых рядами полиномов.
Вот один пример такого рода, который нам понадобится в дальнейшем.
Теорема 7. Если дана область Do, последовательность попарно
непересекающихся односвязных областей Dr, D2, . . ., Dn, . . ., лежащих
е и т + 1 функция /0 (z), /х (z), . . ., fm (zj (/у (z) — аналитическая
и регулярная в Dj, j = 1, 2, . . ., т), то функция f (z), равная fj (z) в Dj,
3 1, 2, . . ., т, и /0 (z) в любой другой точке DQ, является предельной функ-
цией последовательности полиномов, равномерно сходящейся в каждой
области Dj, j = 1, 2, . . ., т, . . .
Более сложные примеры будут даны в гл. V.
156
I. Теория функций
Глава II
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
6. Соответствие границ. Пусть D — односвязная область и Г — гра-
ница D. Одной из наиболее важных, с точки зрения приложений, проблем
в теории конформного отображения является следующая проблема: ка-
ковы необходимые и достаточные условия, накладываемые на множество*
Е и Г, того, что при конформном отображении области D на единичный
круг множеству Е соответствует множество меры нуль.
Это проблема была полностью решена Лузиным, Приваловым, Рис-
сом в случае, когда граница Г области D является спрямляемой ж орд ано-
вой кривой.
Теорема 8. Конформное отображение области, ограниченной спря-
мляемой жордановой кривой Г, на круг множеству положительной (нуле-
вой) меры кривой Г ставит в соответствие множество положительной
(нулевой) меры окружности.
В общем случае мы имеем здесь некоторые частные результаты. Из из-
вестной теоремы Фату [3] (если функция / (z) голоморфна и ограничена в
единичном круге | z | < 1, то почти всюду на окружности | z | = 1 она
стремится к определенному пределу ф (t), когда z, | z | < 1, стремится
к t, | t | = 1, по некасательному к окружности | z | — 1 пути) следует,
что недостижимым точкам из Г на окружности соответствует множество
меры нуль. Точка t кривой Г называется достижимой, если существует
лежащая в D простая жорданова дуга, имеющая один из своих концов в точ-
ке t. Легко уточнить этот результат, доказав, что заключение остается вер-
ным, если слово «недостижимым» заменить словами «недостижимыми кри-
выми конечной длины». (Несколько теорем из того же круга идей находим
в статьях Лаврентьева [14—16].)
Чтобы не возвращаться к общей проблеме соответствия границ
и упростить условия некоторых последующих теорем, введем некоторые
понятия о множествах на границе Г области D. Будем говорить, что мно-
жество Е границы Г имеет положительную (нулевую) меру в смысле конформ-
ного отображения, если при конформном отображении D на круг множе-
ству Е на окружности соответствует множество положительной (нулевой)
меры. Пусть / (z) — голоморфная в D функция, a F (t) — функция, опре-
деленная на множестве Е из Г. Отобразим конформно область D на единич-
ный круг | w | < 1 и обозначим соответственно через (w) и^ ($) функ-
ции, равные / (z) и F (t) в соответствующих точках. В силу предыдущего,
если $ является образом Е, функция Fr (s) определена и однозначна почти
всюду на й’. Будем говорить, что / (z) почти всюду на Е стремится к F (t)
в смысле конформного отображения, если почти всюду на Е функция Д (w)
стремится к F± (s), когда w стремится к 5 по некасательному к окружности
пути.
Предельным значением / (z) мы будем называть любое значение F (t);
таким образом, можно сказать, что F (t) образована предельными значе-
ниями / (z).
Данные определения позволяют привести в более общей форме теорему
Фату и одну важную теорему единственности [26]. (Более общее утвер-
ждение было получено Лузиным и Приваловым [21].)
12. О функциях комплексного переменного
15Т
Теорема 9. Каждая функция, голоморфная и ограниченная в одно-
ой области D. ограниченной кривой Г, почти всюду на Г (в смысле кон-
с#яз ого отображения) имеет предельные значения.
е о р е м а 10. Две функции, ограниченные в D и имеющие равные
дельные значения на множестве Е. лежащем на Г, положительной меры
(смысле конформного отображения), тождественно равны в D.
7 Специальные области. Многие свойства однозначных функций могут
быть обобщены на некоторые классы многозначных функций. Отметим
здесь два частных утверждения такого рода, которые будут нам полезны
в гл. III. (Доказательство этих утверждений можно найти в статье Лаврен-
тьева [14].)
Обозначим через С (г. е) любую область, полученную удалением из
круга | z | < г двух простых жордановых дуг без общих точек: концами
Vi (У2) являются точка (—е < хг < 0) и точка окружности | z | = г
(точка х2 (0 < х2 < е) и точка окружности | z | = г).
Тео рема И. Пусть V — односвязная область, лежащая на римано-
вой поверхности R и такая, что часть V, лежащая на первом листе Rue
круге | z | < г. совпадает с С (г. е). Обозначим через w = f(z, V) функцию,
осуществляющую конформное отображение области V на круг | w — 1/21 <
< 1/2 таким образом, что: 1°) точка w = 1/2 (центр круга) соответствует
точке, лежащей на интервале (ху. х2)'. 2°) / (z19 V) 1/2 и f (z2, V) < 1/2».
где zt (z2) — точка V, лежащая вне j z | < г. которую можно соединить
с началом кривой у в V, не пересекающей интервала (хг. х2) и имеющей
точки над (под) действительной осью в любой окрестности нуля. Тогда
для каждой точки z из V не являющейся точкой первого листа R. лежа-
щего в С (г. е), имеем
| / (z. V) - 1 I < К Vе/г.
или
\f(z, V) I < к fг/г,
где К — абсолютная постоянная. Первое (второе) неравенство имеет места
в каждой точке, которую можно соединить с точкой zr (z2) кривой, содер-
жащейся в V и не пересекающей интервала (хх. х2).
Обозначим через В (а. е) каждую область, удовлетворяющую следую-
щим условиям: 1) граница В (а. е) образована отрезком а прямой у = а^>
0, отрезком р прямой у = — а и двумя простыми жордановыми дугами
У и Г без общих точек, принадлежащими полосе | у | < а и соединяющими
соответственно левые концы и правые концы а и р; 2) существует интервал
хъ), xi <Z 0. х2 0, действительной оси длины, меньшей е, принадле-
жащий В (а. е). концы xt и х2 которого принадлежат соответственно у
и Г.
Теорема 12. Пусть Д — односвязная область, лежащая на рима-
ковой поверхности R и такая, что часть Д, лежащая на первом листе R.
одержит В (а. е) и дуги у и Г принадлежат границе Обозначим через-
w = Г (z. Д) функцию, осуществляющую конформное отображение области
А на круг | w — 1/2 | < 1/2 таким образом, что: 1°) точка w = 1/2 со-
°Н1ветствует некоторой точке интервала (х19 х2) первого листа R'. 2°)
левые концы отрезков a up (первого листа R) переходят соответственна
158
/. Теория функций
в точки w = 1 и со = 0. Тогда. в любой точке z из не являющейся точкой
первого листа R. лежащего в В (а. е), имеем или
\F(z. А) - 1 | < К'а
или
\F (z. А) | < ЛГ'Р
еде К' — абсолютная постоянная, а а и р — длины а и р. Первое (второе)
неравенство имеет место, если каждая кривая, лежащая в А и соединяющая
z с точкой В (а. г) (первого листа), пересекает отрезок а (Р).
Глава III
РАВНОМЕРНО ОГРАНИЧЕННЫЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ
8. Предельная функция, теорема единственности. Монтель [25] до-
казал следующую теорему, являющуюся замечательным обобщением
известной теоремы Вейерштрасса.
Пусть даны область D и дуга у на ее границе, образованной жордановой
кривой. Если последовательность голоморфных и ограниченных в D функций,
непрерывных в D [J у, сходится равномерно на у, то она равномерно схо-
дится в любой области лежащей в D и не имеющей с ней никакой общей
границы, кроме некоторой дуги внутри у.
При тех же условиях, если последовательность голоморфных и равно-
мерно ограниченных в D функций сходится на границе, то она сходится рав-
номерно внутри D [23].
Из этой теоремы непосредственно следует следующая теорема един-
ственности: _
Две функции Д (z) и f2 (z). представимые в D последовательностями
равномерно ограниченных в D полиномов и совпадающие на границе D. совпа-
дают в D,
Гартогс [6] нашел утверждение, которое дополняет эту последнюю
теорему: если у — дуга границы — является спрямляемой дугой и (z)
и /2 (z) совпадают в D. то они совпадают почти всюду на у.
Теорема Монтеля и приведенные теоремы единственности могут быть
обобщены в различных направлениях, но мы рассматриваем только слу-
чай, когда функции соответствующих последовательностей равномерно
ограничены. В работах Островского, Фихтенгольца находим обобщения
в случае, когда функции соответствующих последовательностей не огра-
ничены, но удовлетворяют некоторым интегральным условиям.
Искомые обобщения легко вывести из следующей теоремы, находя-
щейся в непосредственной связи с центральной проблемой этой главы.
Теорема 13. Пусть D — односвязная область и Е — множество
точек границы области D положительной меры в смысле конформного отоб-
ражения. Пусть / (z) — функция, представимая в D (J Е последователь-
ностью полиномов, равномерно ограниченных в D. Тогда почти всюду на Е
(в смысле конформного отображения) значения f (z) на Е равны предельным
значениям, которые принимает на Е голоморфная функция, равная f (z)
в D.
12. О функциях комплексного переменного
159
пусть, в самом деле, Рг (z), Р2 (z), . . Рп (z), ... — последователь-
ность полиномов, I Рп (z) I < М = const в D, сходящаяся к / (z) в D J Е,
Н пусть z = ф (I) — функция, осуществляющая коноформное отображе-
И е круга I I I < 1 на D. При этом отображении множество Е соответ-
я“ ет множеству $ положительной меры на окружности. В силу опре-
делений, данных в гл. II, п. 6, функция Ф (|) = / [<р (£)], | Ф (|) | < М,
голоморфна при || | < 1, кроме того, она определена и однозначна почти
всюду на %. Точно так же функции Фп (g) = Рп [ср (£)], | Фп (g) | < М,
п = 1, 2, . • голоморфные при | | | < 1, определены и однозначны почти
всюду’ на окружности | | | < 1. Имеем lim Фп (|) = Ф (|) при | | | < 1
П-*оо
и почти всюду на $.
По теореме Фату, поскольку Ф (£) ограничена при | g |< 1, почти
всюду на окружности | £ | = 1 функция Ф (£) стремится к определен-
ному пределу F (t), когда g, | g | < 1, стремится к t, | t | = 1, вдоль пути,
не касательного к окружности. Надо сказать, что Ф (t) = F (t) почти
всюду на 8. Предположим, против ожидания, что существует множество
$1т mes > 0, содержащееся в^, в каждой точке которого Ф (t) Ф F (t).
По известной теореме теории функций существуют совершенное множе-
ство $2 положительной меры, содержащееся в и такое, что: 1°) после-
довательность Фх, Ф2, . . ., Фп, . . . сходится равномерно на $2; 2°) в каж-
дой точке $2 имеем | Ф (t) — F (t) — а | < е, где а — фиксированное
число, аУ=0и8<|а|/4 (существование такого множества следует из
теоремы Егорова [5]). Пусть t = eiQ° — точка плотности $2, т. е. если
а — интервал окружности | g | = 1, содержащий точку £, то отношение
длины а к мере множества точек $2, содержащихся в а, стремится к еди-
нице, когда а стремится к нулю (о существовании и свойствах точек плот-
ности см. [4], [20]). Поскольку сходимость последовательности Фх, Ф2, . . .
. . ., Фп, . . . равномерна на $2, существует такое число 9с, что при п 91
в каждой точке $2 имеем | Ф (t) — Фп (t) | < в и, следовательно,
I Фп (О - F (t) - а | < 28.
Вычислим значения Ф (|) = Фп (£) — F (|) — а в точке p£ie°; с этой
целью отобразим конформно круг | w | < 1 на круг | £ | < 1 таким об-
разом, чтобы точке w = 0 соответствовала точка | = ре $i0°. Пусть Н —
множество окружности | w | = 1, соответствующих ^2, а % (w) — функция,
равная ф (£) в точке w, соответствующей Имеем
ф (ре«>.) = х (0) % da-
о
Но в каждой точке Н\ | х (гга) | < 28 и при | w | 1: | х (ы>) I < ЗЛГ;
с Другой стороны, поскольку eiQ° является точкой плотности $2, для до-
статочно малого 1— р имеем mes Н > 2л — е/(ЗМ), значит
I X (0) | < mes Н + (2л — mes Н) < Зе.
Следовательно, при п 9R и
1™пдре!й - ф I > Iа I -Зе >
m Фп (I) = Ф (|) в каждой точке Н.
достаточно малом 1
8, что невозможно,
— р имеем
поскольку
160
I. Теория функций
Предположим теперь, что границей D является простая замкнутая
спрямляемая жорданова кривая и что Е является границей D, Е = Г.
В этом случае, по одной теореме Привалова [261, для того чтобы опред©!
ленная на Г ограниченная функция F (t) почти всюду на Г была равна
предельным значениям голоморфной и ограниченной в D функции, не-
обходимо и достаточно, чтобы ( znF(z)dz = O, п = 0, 1, 2, . . . Следо-
г _
ъательно, для того, чтобы функция / (z) была представимой в D = D J Г
-последовательностью равномерно ограниченных в D полиномов, необ-
ходимо, чтобы J znj (z)dz = 0, п = 0, 1, 2, ....
г
Из теоремы 13 легко вывести искомое обобщение теоремы единствен-
ности:
Теорема 14. Пусть D — односвязная область и Е — множество
точек границы D положительной меры в смысле конформного отображения.
Пусть (z) и f2 (z) — две функции, представимые в D (J Е последователе
ностями полиномов, равномерно ограниченных в D. Тогда, если (z) и f2 (z)
совпадают на Е, они совпадают в D; если (z) и f2 (z) совпадают в D, они
совпадают почти всюду (в смысле конформного отображения) на Е.
Вторая часть теоремы непосредственно следует из теоремы 13; для
получения первой части достаточно применить теорему единственности 10.
Замечания: 1. Если в условиях доказанной теоремы мы пред-
положим, что граница D или часть этой границы, содержащая Е, явля-
ется спрямляемой кривой, то можно опустить в условиях этой теоремы
•слова «в смысле конформного отображения».
2. Теорема 13 и ее доказательство остаются верными, если после-
довательность полиномов заменить последовательностями равномерно
ограниченных функций. В этом случае из доказанной теоремы легко вы-
вести одно обобщение теоремы Монтеля (Хинчин): пусть дана последова-
тельность функций /п (z), голоморфных в области D, ограниченной жор-
дановой кривой, равномерно ограниченных и непрерывных в D. Если она
сходится на множестве Е точек границы, лежащем на спрямляемой пор-
ции, мера которого положительная, то она сходится равномерно внутри D.
В самом деле, поскольку семейство функций {/n (z)} нормально, достаточно
доказать, что последовательность является сходящейся в D, Предполо-
жим, что она расходится. В этом случае из данной последовательности
:можно выделить две подпоследовательности, сходящиеся к двум различ-
ным функциям Фх (z) и Ф2 (z), которые удовлетворяют условиям теоремы
•единственности, следовательно, Ф! (z) = Ф2 (z).
Вернемся к общей проблеме. Пусть F — замкнутое ограниченное мно-
жество, дополнительное к односвязной области. В общем случае множество
F образовано замкнутым и нигде не плотным множеством Г — границей
•односвязной области и счетным множеством односвязных областей
Е2, . . ., Dn, . . ., границы которых Гп принадлежат Г.
р = г и U и • • • U Dn и ...
Пусть / (z) — определенная на F функция, представимая последова-
тельностью равномерно ограниченных на F полиномов. Из теорем 13 и 14
•следуют следующие свойства предельной функции /.
12. О функниях комплексного переменного
161
Т е о р е м а 15. Функция f (z), представимая последовательностью
вномерно ограниченных на F полиномов, обладает следующими свойства-
раг Г. В каждой области Dn функция / (z) равна голоморфной в Dn функ-
41 и / (z); 2°. Почти всюду на Гл (в смысле конформного отображения)
Значения f (z) на Гп равны предельным значениям fn (z); 3°. Если Гп явля-
ется замкнутой спрямляемой простой жордановой кривой, то мы имеем
^zkf(z)dz - 0, к = 0, 1, 2, . . .
Теорема 16. Пусть Д (z) и f2 (z) — две функции, представимые
на F последовательностями полиномов, равномерно ограниченных на F.
Тогда, если Д (z) и f2 (z) совпадают на Г, то они совпадают на F; если
Д и f2 совпадают в Dn, то они совпадают почти всюду (в смысле конформного
отображения) на Гп.
В случае, когда F является замкнутой областью, существует несколько
утверждений, дающих достаточные условия того, чтобы функция, опре-
деленная на F, была представима рядом полиномов, которые сходятся
равномерно на F.
Валып доказал следующее утверждение: если функция / (z) регулярна
в жордановой области D и непрерывна в D, то существует последователь-
ность полиномов, равномерно сходящаяся в D к f (z). Фаррель [2] получил
обобщение этой теоремы в случае нежордановой области.
9. Об одной геометрической лемме. Для доказательства основной тео-
ремы следующего пункта нам понадобится следующая очень простая
лемма.
Лемма 1. Какова бы ни была система п интервалов ап а2, . . ., ап ...
длин, меньших или равных р, существует функция % (р, п), lim % (р,
р-»о
п) = 0, такая, что либо все а содержатся в одном интервале cq, длина кото-
рого не превосходит % (р, п), либо существует система k, к п, интервалов
«1, а2, . . ., dk, обладающих следующими свойствами: 1°) каждый а со-
держится в некотором а и 2°) отношение длины каждого щ к расстоянию
между этим интервалом и любым интервалом aj, i j, меньше или равно
% (р, п). (С помощью рассуждений, более сложных, чем в этом тексте, (см.
[14]) можно найти точное выражение этой мажоранты % (р, п) ~ р1/п/((1 +
+ р)1/п - рЛ.)
Утверждение верно при п = 1, предположим, что оно верно при п и
Докажем его для п + 1. Обозначим через а,- и bj концы а7-. Всегда можно
предполагать, что а^ < bj, aj+i а}- и что bj — а$ — р. По сделанному
предположению функция % (р, п), lim % (р, п) — 0, существует для п
р-*0
первых интервалов системы, т. е. либо Ьп — % (p, и), либо существует
в. —
система к интервалов таких, что Вк = Ъп и отношения А ’
n г i-l
— А.
ТГ—не превосходят % (р, п). Положим ап — bn-i = h. В пер-
пом случае обозначим через (р, п, h) меньшее из двух чисел % (р, п) +
+ р, X (р, n)/h; во втором случае положим Вк — Ак = и, Ак — Вк_! = v
6 М. а. Лаврентьев
162
I. Теория функций
и обозначим через %2 (р, п, h) меньшее из двух чисел
-i±£±i<2z(P.») + 4x (₽»)• “Г-
Заметив, что верхние границы Xi (р, n, h) при Ъп — % (р,
fe> 0 и х2 (р, п. h), при Ьп —- ах > % (р, п), которые мы обозначим соот-
ветственно через Xi (р, я) и %2 (Р> пЪ стремятся к нулю при р -> О, легко
видеть, что функция х (р, и + 1), равная %i (р> «), если Xi (р, п) > х2 (р, п)
и равная Хг (р, п), если Xi (р, п) < Ъ (р, п), является искомой функцией.
10. Сходимость на континууме. В п. 8 мы изучили условия, при ко-
торых заданная в замкнутой области функция может быть представлена
рядом полиномов, который сходится в этой области; естественно ставится
задача о нахождении соответствующих условий в случае, когда функция
/ (z) определена на континууме, не разбивающем плоскости. Этот вопрос
находится в прямой связи с общей проблемой Монтеля.
Первые общие результаты в этой проблеме были получены Гартогсом [6]:
если f (z) является функцией, определенной и непрерывной на простой жор-
дановой кривой у, то существует последовательность полиномов, равно-
мерно сходящаяся к f (z) на у. Гартогс и Розенталь [8] доказали эту теорему
простым и элегантным методом в случае, когда у является произвольным
континуумом меры нуль, не разбивающем плоскости. (Гартогс и Розен-
таль вывели эту теорему из следующей теоремы: каждая функция опре-
деленная и непрерывная на замкнутом множестве С меры нуль, может
быть представлена последовательностью рациональных дробей, равномерно
сходящейся на этом множестве С.) Мы сейчас докажем следующую общую
теорему [14, 18].
Теорема 17. Каждая функция, определенная на замкнутом нигде
не плотном множестве С, не разбивающем плоскости, может быть пред-
ставлена последовательностью полиномов, равномерно сходящейся на этом
множестве.
Легко вывести эту теорему из следующей леммы. Пусть D — ограни-
ченная односвязная область плоскости z = х + iy такая, что длина каж-
дого отрезка прямой у = р, содержащегося в D, не превосходит числа р.
Тогда, каковы бы ни были числа а и 8, при достаточно малом р, р = р (а, г),
существует полином Р (z), обладающий следующими свойствами:
1°) | Р (z) | < 1 в каждой точке D; 2°) | Р (z) — 1 | < е в каждой точке D,
лежащей выше прямой у = р + а*, 3°) | Р (z) | < е в каждой точке D,
лежащей под прямой у = р — а.
В самом деле, не ограничивая общности, можно предполагать, что С
лежит в квадрате 0 < х < 1, 0 < у < 1. Следовательно, несделанным
предположениям о С, можно построить односвязную область D, содержа-
щую С, и такую, что в каждой полосе | у — k/(2n) | < 1 /(in2), к = 1, 2, . . .
. . ., 2п — 1, существует прямая, параллельная оси х, у — р, которая не
содержит сегментов, содержащихся в D, длины, большей чем р = р (1/(4л2)>
1/(2тг)). Значит, в силу леммы, существует полином Рк (z), удовлетворяющий
следующим условиям: 1°) | (z) | < 1 в D; 2°) | (z) — 1 | < 1/(2тг)
в каждой точке D, для которой у к/(2п) + 1/(2лг2); 3°) | Ph (z) | 1/(2гг)
в каждой точке D, для которой у < к/(2п) — i/(2n2). Установив это,
2п—1
построим полином Р (z) —-у— У Px(z)- Из указанных свойств PR (z)
12. О функциях комплексного переменного
163
едует, что | Р (2) — У I < 1М В каждой точке D. Повторяя те же рас-
хождения, мы видим, что каково бы ни было число п, существует полином
9 /2\ отличающийся (на С) от х только на 1/п. Следовательно, каковы бы
ни были полиномы R (х, у) и S (х, у) по х, у, существует полином Р (z)
такой, что | R — iS — Р | < 1/п на С. С другой стороны, по известной
теореме Вейерштрасса, каковы бы ни были непрерывные функции ф (я, у)
и ф (^ существуют полиномы R (х, у) и S (х, у) такие, что | ф + 1ф —
, (д 4- iS) | < следовательно, существует полином Р (z), отличаю-
щийся на С от ф + только на 2/п. Что доказывает утверждение.
Перейдем теперь к доказательству сформулированной леммы. Без
ограничения общности можно предполагать, что область D лежит в полосе
О < х < 1, ограничена простым замкнутым многоугольником и что пря-
мая у = р является действительной осью. Установив это, введем некото-
рые предварительные геометрические понятия. Множество точек области/),
лежащих в полосе | у | < а, образовано конечным числом односвязных
областей; пусть Z)x, D2, . . ., Dn — те из этих областей, граница которых
содержит точки прямой у = —а и точки прямой у = а. Интервал v дей-
ствительной оси, лежащий в 2), будет называться каналом области /)у,
если: 1°) концы v принадлежат границе Dp, 2°) В области Dj существует
ломаная, концы которой лежат соответственно на прямых у — —а, у = а,
пересекающая v только в одной точке и не пересекающая действительной
оси в точках, лежащих слева от и. Поскольку области Dj односвязны, не
существует никакого канала области /),-, лежащего между двумя каналами
области Dh i =/= j.
Обозначим через Vj наименьший интервал действительной оси, который
содержит все каналы области Dj. Пусть у у и Гу — дуги границы области Dj,
проходящие через концы Vj и лежащие в полосе | у | < а. Обозначим через
щ (uj) интервал, который соединяет концы у7- и Гу, лежащие на прямой
у = а (у = —а). Пусть теперь у/ (у7) — дуга уу, лежащая в полосе 0 <
<Zy < а (—а < у <Z 0) и имеющая один из своих концов на прямой у — 0
и другой — на прямой у = а (у = —а). Пусть также Г; (Г}) — дуга Гу,
лежащая в полосе 0 < у < а (—а < £/ < 0) и имеющая один из своих
концов на прямой у — 0 и другой — на прямой у = а (у — —а). Обозна-
чим через и] (vj) интервал действительной оси, имеющий свои концы на у у
И г) (у~} И ГУ).
Легко увидеть, что все интервалы и, и v} попарно не пересекаются и,
следовательно, обозначая длины Uj и Vj теми же самыми буквами имеем
Удалим из области D все каналы области Dj, тогда область D будет
Разбита на конечное число односвязных областей Djp, обозначим через
(Dp) каждую область/)^ (рис. 1), которая содержит простую жорданову
Дугу, лежащую в Dj и имеющую один из своих концов на прямой у = а,
(У = —а) и другой — внутри канала области Dj. Назовем каналом об-
ласти Dji каждый канал области Dj, принадлежащий границе Dp. В*даль-
нейшем мы будем предполагать, что при i <Z к каналы области Dp (Dp)
лежат слева от каналов области Dpi (Dpi). Будем говорить, что две области
6*
164
I, Теория функций
D^i и .Djfc являются смежными, если они имеют общий канал. Очевидно,
что две области могут иметь только один общий канал.
Наиболее существенной частью доказательства леммы является по-
строение для каждой области Dj аналитической функции /7- (z), голоморф-
ной в Z), непрерывной в D, и обладающей следующими свойствами:
1- I /j (z) — 1 I < (щ + у} + Щ + v~j) + 8;
в каждой точке i = 1, 2, . . ., лежащей вне Dj.
2. I fj (z) I < V328 (lij + Vj + Uj + V,) + 8;
в каждой точке i = 1, 2, . . ., лежащей вне Dj.
3. I fj (z) I < 1 + By/4 в Z), где 8; есть положительные числа, сумма
которых не превосходит s/8.
Докажем лемму, предполагая, что существуют функции, обладающие
указанными свойствами.
Поскольку область D односвязна, легко видеть, что существует об-
ласть Dx такая, что либо все области DXi лежат под прямой у — а, либо
все области Dxt лежат над прямой у = —а (рис. 2). Мы рассматриваем
только первый случай, поскольку второй случай сводится к первому за-
меной z на —z. Проведем в D аналитическую дугу Г, не касающуюся ни-
какой из прямых у = ±а, один из концов которой находится в Dj, а
другой в Dx. Назовем рангом области Dj нижнюю границу половины числа
точек пересечения Г с прямыми у = ±а. Построим функцию
f = ТТ^2 (z) + S" {Л (Z) ~ 1}],
где первая сумма 2' (вторая сумма 2j ') распространена на все индексы /,
Для которых соответствующие области Dj имеют четный (нечетный) ранг;
предположим, что ранг области Dx четный, т. е. что функция fx (z) фигу-
рирует в первой сумме. Легко видеть, что построенная функция удовле-
творяет всем условиям леммы: чтобы получить искомый полином, остается
построить полином Р (z) такой, что | / (z) — Р (z) | < е/4 в каждой точке
области D, что возможно по теореме Валыпа.
12. О функциях комплексного переменного
165
Построим теперь функции /у (г). Проведем прямую у = а/2 {у = ~а/2)
п рассмотрим на этой прямой все интервалы, лежащие в D^i (D}i). Среди
этих интервалов зафиксируем интервалы pv и pv» обладающие следующи-
ми свойствами: 1°) концы р^ (р^) принадлежат границе 2°) в об-
ласти Dj существует ломаная, концы которой находятся один на прямой
У __ о и другой на прямой у = а (у = —а), которая пересекает интервал
pv (Pv) только в одной точке и не пересекает прямой у = а/2, (у = — а/2)
в точках, лежащих слева от pv (pv). Обозначим через pji наименьший ин-
тервал прямой у = а/2, содержащий все интервалы pv области D^. Ана-
логично, обозначим через р,, наименьший интервал прямой у = —а/2,
содержащий все интервалы pv области Бц. Будем говорить, что область
принадлежит классу 1, если длина интервала (pj,) не превос-
ходит тоХцг ’ гДе ~ постоянная, определенная в теореме 12. Будем
говорить, что область Dji (Dji) принадлежит классу 2, если она не при-
надлежит классу 1.
Для каждой области Dji (Dji) мы сейчас построим многолистную об-
ласть, построение которой будет различным согласно тому, принадле-
жит область классу 1 или классу 2.
Пусть (Dji) — область класса 1. Обозначим через у*$ (у^) дугу
границы D, лежащую в полосе 0 < у < а (—а < I/ < 0), содержащую
левый конец интервала р^ (р^) и соединяющую прямые у = 0, у — а
(у = —а); обозначим через (Fji) дугу границы D, соединяющую пря-
мые у — 0иу = а (у = —а), лежащую в той же самой полосе 0 < у <
<а (—а < у < 0) и содержащую правый конец интервала p# (pji)- Пусть
ип (uji) — интервал прямой у — а (у = —а), соединяющий концы у^
и Tji (у# и Гя), и пусть — интервал действительной оси, соеди-
няющий два других конца у^$ и (yji и Г^). Обозначая длины теми
же буквами, имеем
-S Wji Щ f Uji Uj
(1)
V),
Установив это, построим двулистную риманову поверхность 7?, все
точки ветвления которой лежат на прямых у = 0 д у — а (у — —и) и
линиями перехода которых с одного листа на другой являются интервалы
прямых у = 0 и у — а (у = —а), которые удовлетворяют следующим
условиям.
1. Они принадлежат D# (Dji) и не принадлежат Dj.
2. Они имеют свои концы на границе D. На поверхности R определим
односвязную область Д^ (Aji) следующим образом: часть Д^ (Aji), ле-
жащая на правом листе R и образованная: а) всеми точками области
(fiji), ограниченной кривыми yji, Г#, и^, Vji (у^, Г^, Vji) и б) всеми
точками D, внешними для (6j7); часть Д^ (Aji), лежащая на втором
листе, образована всеми точками, принадлежащими Sji (6j$).
Пусть D^ (Dji) — область класса 2. Из определения областей класса 2
166
I. Теория функций
следует, что число 91 областей этого класса не превосходит -—.
8 а
Если числа а и 8 фиксированы, в дальнейшем мы будем предполагать,
что р (определенное в условиях теоремы) так мало, что
X (р, 92) < а2е2/(16 А?Э2)2,
где % (р, 91) — функция геометрической леммы и К — абсолютная по-
стоянная теоремы 11.
Зафиксируем в каждой области Dji (Dji) класса 2 самый левый канал.
Пусть ал, ос;2, . . ., ajs. — все эти каналы,
j
По геометрической лемме либо все интервалы ад, а;-2, . . . лежат в ин-
тервале ад длины, меньшей или равной % (р, 92), либо существует систе-
ма интервалов ал, аУ2, . . ., аУр^, обладающих следующими свойствами:
1°) каждый а лежит в некотором а; 2°) соотношение длины каждого ая
к расстоянию между этим интервалом и любым интервалом ад,. к =/= I,
меньше или равно % (р, 92). Будем к тому же предполагать, что левый
(правый) конец каждого а совпадает с левым (правым) концом одного из а.
Установив это, вернемся к области Dji (Dji) класса 2. В силу преды-
дущего самый левый канал области Dji (Dji) лежит в некотором ад. Обо-
значим через л0 центр ajR и построим круг Ск с центром х0 радиуса агк/4% (р,
92), где гк — длина djk. Обозначим через Ск область, полученную удале-
нием из круга Ск двух дуг границы области Dj, соединяющих концы ад
с точками окружности — границы Ск. Пусть Ск — связная часть Dj,
содержащая точки ад и лежащая в Ск. Построим риманову поверхность,
все точки ветвления которой лежат на окружности Ск и линиями пере-
хода которой с одного листа на другой являются дуги той же самой окруж-
ности, удовлетворяющие следующим условиям: 1°) они имеют свои концы
на границе D\ 2°) они лежат в D; 3°) они не принадлежат границе Ск*
Определим область (Vj;) следующим образом: V# (V^), лежащая на
первом листе, образована всеми точками Ск и всеми точками Z), не при-
надлежащими Ск\ часть Vji (Vji), лежащая на втором листе, образована
всеми точками D, лежащими в Ск и внешними для Ск.
Сделав эти предварительные построения, определим искомую функ-
цию как сумму
Л(г)=^/Л(г), (2)
слагаемыми которой являются функции / и F, определенные в теоремах
11 и 12, а также функции / — 1 и F — 1. Определим элементы этой суммы
по индукции.
Если самый левый канал D+jX принадлежит ах, то положим
til (z) = / (z — xlf Vji),
где — центр av Таким образом, функция fa определена, поскольку
12. О функциях комплексного переменного
167
асть Vjb рассматриваемая в плоско-
оОЛ е t = z — удовлетворяет усло-
сти s, ь ..х
ВИЯМ теоремы 11. +
В противном случае Dц является об-
ластью класса 1, и мы положим
/д (z) = F (z - гд, Vji),
где zji — Центр рц.
В дальнейшем для краткости положим
(fijit = 12 ^2
г=1
v(k)
। С \~1 / - , -ч . t (к) е
+ 12 + + 8" ’
2=1
Рис. 3
где р (к) и v (к) — целые числа такие, что области Dfa(k) и &jV(k) являются
смежными, a t (к) — число функций /j7, i к, равных / или / — 1.
Предположим теперь, что мы определили к первых членов суммы (2)
таким образом, что сумма
к
Sjk (z) = 2j fji (z)
i=l
обладает следующими свойствами.
1. Для любого z, лежащего в D, имеем
I Sjk (^) f < 1 + <0д.
2. Для любого z, лежащего в i ц (/с), и внешнего для Z), имеем
I SjK (z) — 1 1 < (Од. (3)
3. Для любого z, лежащего в Djt, I у (к), и внешнего для Dj, имеем
I Sjk (*) I < (Од. (4)
4. Если области Djia(R)+i и являются смежными, то для любого z,
внешнего для С^к) и лежащего в одной из областей Dji, г р, (/с), Dju
v (к), имеем (3).
Если области и не являются смежными (в этом случае
области Dj^k) и Z>jV(?C)+1 являются смежными), то для любого z, внешнего
Для и лежащего в одной из областей Dt, i *> ц (к). Du. i > v (к).
имеем (4).
5. Если самый правый канал (Z)jV(k)) принадлежит одному из
интервалов а;., то любой канал 2>уцд)+1 (J9jV(fc)+i) лежит вне этого интервала.
Мы видим, что все эти свойства 5д имеют место для к = 1; предпола-
гая, что они имеют место для к, определим fj m таким образом, чтобы оста-
вались верными для к + 1.
Обозначим через центр d7i и через zt (zj) — центр рц (р;<).
168
I. Теория функций
Возьмем четыре случая.
1. Области D^(fc)+1 и Z>jv(fc) являются смежными, и самый левый ка-
нал области принадлежит (рис. 3); в этом случае положим
fj К+1 (Z) — f (Z ^t(k)+19 ^jpi(K)+l)«
2. Области Djp(fc)+1 и Z>jV(R) являются смежными, и самый левый ка-
нал области не принадлежит а#(К)+1; в этом случае положим
fj К+1 (z) = F (z 2ц(К)? jji(K)+l)•
3. Области и PjV(it)+i являются смежными, и самый левый канал
Pjv(k)+i принадлежит «щю+г, тогда
fj К+1 (2) ~ f (Z *^ЦК)+1, ^jv(K)+l) !•
4. Области Рмю и являются смежными, и самый левый
канал PjV(k)+i не принадлежит ащю-а; тогда
fj /с+1 (2) — F {z ZV(/c)+i, 1.
Если функция fj R+i (z) определена таким образом, то пять свойств
Sjx+i (z) следуют из соответствующих свойств (z) и теорем 11 и 12.
Пусть теперь q — целое число такое, что р, (q) и v (q) соответственно
равны числу областей Dji и Dji, i = 1, 2, 3, . . . Положим
fj (z) = Sjq (z) = fji
i=l
Из трех первых свойств и неравенств (1) видно, что функция fj (z)
является искомой.
11. Неравномерная сходимость. Укажем некоторые достаточные ус-
ловия того, чтобы комплексная функция f (z), определенная на замкнутом
множестве F, была представима последовательностью равномерно огра-
ниченных полиномов. В случае когда F нигде не плотно и не разбивает
плоскости, мы получим наиболее полное утверждение. Действительно,
в этом случае из теоремы 17 следует, что любая ограниченная функция
класса 1 на F может быть представлена последовательностью равномерно
ограниченных полиномов. Предположим теперь, что F есть замкнутый
единичный круг | z | < 1. Гартогс [6] построил примеры функций, пре-
делов последовательностей полиномов, равномерно ограниченных при
| z | 1, которые имеют конечное число или приводимое множество, или
совершенное множество точек разрыва на окружности | z | = 1. Келдыш
[12] нашел общую теорему, содержащую указанные результаты Гартогса.
Пусть L — замкнутая спрямляемая кривая и D — область^ ограничен-
ная кривой L. Для того чтобы функция f (z), определенная в D, была пре-
делом последовательности полиномов, равномерно ограниченных в D, доста-
точно, чтобы'. 1°) f (z) была ограничена', 2°) действительная и мнимая
части f (z) были функциями первого класса в смысле Бэра\ 3°) / (z) была
голоморфна в D; почти всюду на L значение функции f (t) было равно пре-
дельному значению f (z), когда z, оставаясь в D, стремится к t вдоль пути,
не касательного к L\ 4°) f (z) была почти всюду непрерывна на L. Легко
12. О функциях комплексного переменного 169
петь, что условия Is—4° достаточны для того, чтобы функция / (z), опре-
вИД н’аЯ на L, была представима последовательностью равномерно огра-
ненных на L полиномов.
По цитированной теореме Привалова условие 3° можно заменить сле-
дующими условиями: 3.1. J tnf (t)dt = О, п = 0,1, 2, . . и 3.2. / (z) есть
голоморфная в D функция, которая почти всюду на L имеет предельные
значения, равные / (О-
Применяя метод конформного отображения, доказательство этой тео-
ремы легко свести к случаю, когда D есть единичный круг.
Основным пунктом доказательства является следующее частное утверж-
дение: пусть Е — произвольное замкнутое множество меры нуль на окруж-
ности | z | = 1 И пусть / (z) — функция, равная нулю в каждой точке
круга, кроме точек множества Е, где она равна единице. При этих усло-
виях существует последовательность полиномов, равномерно ограничен-
ных и сходящихся к / (z) в каждой точке замкнутого круга | z | < 1. Для
того чтобы доказать это утверждение, построим действительную функцию
и (z), определенную на окружности | z | = 1 и обладающую следующими
свойствами: 1°) функция 1/zz (z) непрерывна при | z | = 1; 2°) и (z) = +оо
на Е; 3°) и (z) так же, как ее первая производная, непрерывна в смежных
интервалах множества Е; 4°) функция / (z) суммируема. Существование
такой функции было доказано Фату [3J. Пусть и (х, у) — гармрническая
функция, предельные значения которой на окружности | z | = 1 равны
и (z), a v (х, у) — сопряженная ей функция. Полагая
/n(z) = и(Ху)_+1и(.у^ « = 1,2,3,...,
v ' n 4- U (x, у) 4- IV (x, у)
получим последовательность голоморфных в круге | z | < 1 функций,
непрерывных при | z| 1, | fn (z) | < 1, сходящуюся к / (z) в каждой
точке замкнутого круга | z | 1; сходимость является равномерной на Е
и на любом замкнутом множестве, не содержащем точек Е. Для получения
искомой последовательности остается аппроксимировать (равномерно
при | z | 1) каждую функцию fn (z) полиномом, что можно сделать или
применяя теорему Валыпа, или используя суммы Фейера (М. В. Келдыш).
Из указанного утверждения, применяя известный прием, выводим,
что любая функция, непрерывная на Е и равная нулю вне Е, представима
при | z | <; 1 последовательностью равномерно ограниченных полиномов.
Вторая часть доказательства общей теоремы более сложная, мы не даем
здесь ее доказательства.
Замечание. Из теоремы 22 следует, что три первых условия тео-
ремы Келдыша необходимы; вопрос о том, являются ли они в то же вре-
ся достаточными, остается открытым.
12. Последовательность гармонических полиномов. Если вместо по-
следовательностей полиномов одного комплексного переменного рассмот-
реть последовательности гармонических полиномов двух переменных,
можно получить теоремы, аналогичные тем, которые были рассмотрены
в этой главе, и даже иметь более полные результаты.
Пусть, в самом деле, F — замкнутое и ограниченное множество, до-
полнительное к области D. В общем случае множество F является объеди-
нонием множества Г -- границы D — замкнутого и нигде не плотного,
170
/. Теория функций
и счетного множества односвязных областей Рх, Z)2, • • •» • • •» границы
которых содержатся в Г. Установив это, докажем следующую общую тео-
рему.
Теорема 18. Для того чтобы определенная на F функция / (я, у}
была представима последовательностью гармонических полиномов, рав-
номерно сходящейся на F, необходимо и достаточно, чтобы / была непре-
рывна на F и гармонична в каждой области, содержащейся в F.
В самом деле, поскольку предел последовательности гармонических
полиномов, равномерно сходящейся в области, является гармонической
функцией, эти условия необходимы. Чтобы доказать, что они достаточны,
достаточно доказать, что любая функция / (х, у), непрерывная на Г, мо-
жет быть представлена последовательностью гармонических полиномов,
равномерно сходящейся на Г. Для этого построим функцию / (х, у), рав-
ную f (х, у) на Г, непрерывную во всей плоскости х, у. Построим, кроме
этого, последовательность простых замкнутых кривых (\, С2, . . ., Сп, . . .
таких, что: 1°) область, ограниченная кривой Сп, содержит F', 2°) рас-
стояние между любой точкой Г и Сп не превосходит 1/п3. Пусть фп (х,
у) — гармоническая, регулярная в области, ограниченной кривой Сп,
равная / (х, у) на Сп. Докажем, что последовательность <рх, ф2, • • •
. . ., фп, . . . сходится равномерно к / (х, у) на Г. Пусть, в самом деле,
z0 = х0 + iy0 — произвольная точка Г. Пусть конформное отображение
z = Ф (w\ ~ х (и, v) + iy (и, и) единичного круга | w | < 1 на область,
ограниченную Сп, таково, что Ф (0) = z0. По теореме 11 при отображении
z = Ф (ш) дугам кривой Сп, лежащим в круге | z — z0 | < Ип на окруж-
ности | w | = 1 соответствует множество Е меры большей, чем 2л — Kin,
где К — единая константа. С другой стороны, в круге | z — z0 | < 1/п
мы имеем | / (х, у) — / (х0, у0) | < q (п), q (п) зависит только от п,
lim q (п) = 0, следовательно, гармоническая функция ф (и, v) — ф [х (и,
п—><х>
v), у (и, р)],( регулярная в круге | w | < 1, отличается от / (х0, yQ) только
на q (п) в каждой точке Е. Значит,
I Фп («о» У о) — / (*о> г/о) I = | Ф (0» 0) — / (хй, у0) | <
mes 2? / \ . /и / ч 1 КМ
+ (2л -mes£)^r<11(n) + ,
где М есть максимум J (х, у) в замкнутой области, ограниченной кри-
вой Cv
Чтобы получить искомую последовательность, достаточно заменить
каждую функцию фп (х, у), регулярную на F, гармоническим полиномом
Рп (#, у), удовлетворяющим в каждой точке F неравенству | Рп (х, у) —
— Фп у) I < Цп.
Заменяя в рассуждениях п. 8 интеграл Коши интегралом Пуассона,
получим теоремы, аналогичные теоремам 15 и 16.
Теорема 19. Пусть D — односвязная область и Г — граница D-
Пусть f (х, у) — функция, представимая в D (J Г последовательностью
гармонических полиномов, равномерно ограниченных в D. Тогда почти всю-
ду на Г (в смысле конформного отображения) значения f на Г равны предель-
ным значениям, принимаемым на Г гармонической и регулярной в D функ-
цией, равной / (х, у) в D.
12. О функциях комплексного переменного
171
Теорема 20. Пусть D — односвязная область и Г — граница D.
Пасть /1 (*, У) и Ъ (х’ ~ две $УнкЧии, представимые в D последователь-
* стами гармонических равномерно ограниченных в D полиномов. Тогда.
Нсли fi и fa совпадают почти всюду (в смысле конформного отображения)
е у то они совпадают в D и наоборот, если fr и f2 совпадают в D. то они
совпадают почти всюду (в смысле конформного отображения) на Г.
Глава IV
НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ
ЗАМКНУТЫХ ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ
13. Множества М иЛ£*. Введем некоторые предварительные понятия.
Пусть Е — замкнутое, ограниченное, нигде не плотное множество. Бу-
дем называть областью, прилегающей к Е. каждую область, не содержа-
щую точку оо, граница которой содержится вЕ. Обозначим через Е мно-
жество, образованное множеством Е и всеми областями, прилегающими
к Е.
Определение 1. Будем говорить, что замкнутое и ограничен-
ное множество Е является множеством типа М. если каково бы ни было
замкнутое и лежащее в Е множество Ег. всегда существует Е2 — замк-
нутая порция множества Ег. такая, что: 1°) Е2 является границей об-
ласти D. содержащей точку оо; 2°) каждая точка Е принадлежит или Е2.
или области D. Будем называть элементарной порцией множества Ег (от-
носительно Е) порцию Е2 множества Ег. удовлетворяющую указанным ус-
ловиям.
Из определения следует, что всякое множество типа М является ниг-
де не плотным множеством. Легко видеть, что существуют замкнутые, ог-
раниченные и нигде не плотные множества, не являющимися множества-
ми М. Например, мы получим такие множества, если удалим из замкну-
той области D последовательность кругов, лежащих вне друг друга и всю-
ду плотных в D. Наиболее простыми множествами М являются множест-
ва, образованные конечным числом простых жордановых дуг. В дальней-
шем нам надо будет рассмотреть один важный частный класс множеств М.
Определение 2. Будем говорить, что замкнутое, ограниченное
и нигде не плотное множество Е является множеством типа М*. если ка-
ково бы ни было подмножество Ег множества Е. существует Е2 — порция
множества Ег. которая не разбивает плоскости (т. е.. что дополнительное
множество множества Е2 является областью).
Множества, образованные конечным числом простых жордановых дуг,
таляются множествами М*. Но легко указать нетривиальные множества
Пример 1. Пусть О АВС — открытый прямоугольник D. ограни-
ченный осями Ох. Оу и прямыми х — 1, у = 1. Разделим его на счетное
множество односвязных областей Dx. D2. . . ., Dn. . . . таким образом,
Чтобы: 1) Каждая замкнутая область, лежащая в D. содержала конеч-
ное число областей Dn\ 2) Каждая точка каждой стороны D была предель-
ной точкой Dn. п = 1, 2, . . . . Пусть Г* — множество, образованное гра-
ницами областей Dn. п = 1. 2. . . .. Очевидно, что Г* является множест-
вом М*.
172
I. Теория функций
Всякое множество М* является мно-
жеством М. Построим множество М, ко-
торое не является множеством М*.
Пример 2. Пусть Со — окруж-
ность | z | — 1. Пусть Гх — счетное мно-
« /41) г-(1)
жество окружностей Сх , С2 , . . .
.. Сп \ . . лежащих вне друг друга, ка-
сающихся Со и лежащих вне круга |z|<l;
общими точками Со и Гх являются точки
е±2лк2-^г? 2, 2”-1, тг=1, 2, 3, . .
радиус окружности касающейся Со
в точке e±2«(2v-i)2 равен 1/(2лг) (рис. 4).
Исходя из множества Гх, построим
множество Г2. Множество Г2 является объ-
единением множеств Г(к\ к = 1, 2, . . .,
подобных множеству Гх и лежащих
вне каждого круга, ограниченного С^о); все окружности мно-
жества касаются С&0), ось симметрии множества Г?} проходит через
центр CQ. Предположим, что мы определили множества Г1? Г2, . . ., ГР,
и определим Гр+Х. Множество Гр+Х является объединением множеств Г^р\
к = 1, 2, . . ., подобных Гх и лежащих вне каждой окружности множеств
Г8, 5 <1 р; пусть СкР), к = 1, 2, . . все окружности Гр, и пусть CvP-1) —•
окружность множества Гр_х, касающаяся тогда все окружности мно-
жества Г*кР> касаются С(/"\ и ось симметрии ГкР) проходит через центр
CtP-1). Обозначим через Г объединение всех Гр, и пусть Г — континуум,
получающийся прибавлением к Г всех его предельных точек. Построен-
ное множество Г является искомым множеством; в самом деле, Г является
границей области, содержащей точку оо. Следовательно, Г является мно-
жеством типа М; с другой стороны, каждая порция множества Г разби-
вает плоскость, значит, Г не является множеством типа М*.
14. Структура множества типа М. Пусть Е — произвольное множест-
во типа М и пусть
^0» ^2» • • •» • • •>
(5)
— трансфинитная последовательность множеств такая, что: 1°) Е$ = Е\
2°) если дано Е^ то jE^i получается удалением из Еа элементарной пор-
ции множества Еа (относительно Е); 3°) если определены 2?an, п = 1, 2,
3, . . ., то для а = lim ап положим Еа = Е^Е^Е^ • ... По теореме
П-*оо
Бэра (теорема 1) существует число Р, р < Й, такое, что Еа = 0 для а >
Р, тогда как Е$ 0. Назовем классом множества Е нижнюю границу
чисел р для всех последовательностей (5). Таким образом мы получим %х,
классы множества типа М.
Заменяя слова «элементарная порция» словами «порция, не разбиваю-
щая плоскости», получим классификацию множеств М*.
12. О функциях комплексного переменного
173
Легко доказать по трансфинитной индукции, что существуют множест-
V (М*) каждого трансфинитного класса.
Ва Множество 7 (пример 2) является множеством М класса 0, множество Г*
тмер 1) является множеством М* (и М) класса со.
ПРВ приложениях нам надо выделять из множества М части, являющие-
множествами М*. Каждое множество Е типа М можно рассматривать
как объединение Е = Е3 (J Ег, множества EQ — ядра Е и множества Ег,
таких* что: 1°) каждая порция Е3 является множеством типа М, которое
не является множеством типа М*; 2°) какова бы ни была, замкнутая об-
ласть D, лежащая вне Ег, множество точек Е, лежащих в D, является мно-
жеством М*. Если Е является множеством М*, то ядро Е пусто; это ут-
верждение очевидно. Утверждение почти очевидно в случае, когда Е есть
множество класса 0, в общем случае оно доказывается по трансфинитной
индукции. (Это утверждение в немного другой форме, чем в тексте, нахо-
дится в заметке Гартогса и Розенталя [7].)
1Ь. Прилегающие области. При изучении областей регулярности пре-
дельных функций важно рассмотрение некоторых специальных последова-
тельностей областей, прилегающих к замкнутому множеству.
Определение 3. Пусть Е — замкнутое и нигде не плотное
множество. Пусть D±, D2, . . ., Z>n, ... — области, прилегающие к Е.
Будем говорить, что подпоследовательность Dm, Dn2, . . ., DnR, . . . яв-
ляется подпоследовательностью первой категории, если, каково бы ни было
замкнутое множество, содержащееся в Е, всегда существует порция Е2
множества Ev такая, что всякая прилегающая область Dn, граница кото-
рой содержится в Е2, не принадлежит подпоследовательности Dn^.
Будем говорить, что Z)mi, Dm2, . . ., . . . является подпоследова-
тельностью второй категории, если она не является подпоследователь-
ностью первой категории и если дополнительная последовательность Dn,
п =^= mk, является подпоследовательностью первой категории [17, 18].
Из данного определения следует, что последовательность, образован-
ная многосвязными областями, прилегающими к множеству М, является
подпоследовательностью первой категории и что объединение конечного
числа подпоследовательностей прилегающих областей первой категории
является еще подпоследовательностью первой категории.
Укажем еще некоторые элементарные утверждения о понятии кате-
гории.
Пусть Е — множество М, имеющее не пустое ядро Ео, и пусть Dni.
. . ., Dn]z, ... — подпоследовательность первой категории областей,
прилегающих к Е. Тогда всякая область А, содержащая точки Ео, содер-
жит прилегающие области Dn, не прилегающие к последовательности Dn^.
В самом деле, пусть Е2 — элементарная порция множества Е^, лежа-
щая в А. По данным определениям, какова бы ни была порция Е3 множест-
Ва Е2, эта порция разбивает плоскость, и все области, прилегающие к Е3,
иринадлежат последовательности Dt, D2, . . ., Dn, . . . областей, приле-
гающих к Е. Следовательно, подпоследовательность областей/) тр • • •
• • •, границы которых принадлежат Е3, не является подпосле-
довательностью первой категории, что доказывает утверждение.
Всякая подпоследовательность областей, прилегающих к множеству
174
I, Теория функций
М*, является подпоследовательностью первой категории. Это утвержде-
ние следует непосредственно из определения множеств М*. Таким обра-
зом, мы получаем следующий результат.
Теорема 21. Для того чтобы множество типа М было множест-
вом М*, необходимо и достаточно, чтобы любая подпоследовательность
прилегающих областей была подпоследовательностью первой категории.
16. Исследования Гартогса и Розенталя [7]. Гартогс и Розенталь вве-
ли множества, которые мы назвали множествами типа М и Л/*, двумя раз-
личными способами. Одно из этих определений, наиболее близкое к наше-
му, привело авторов к красивой теории, аналогичной теории Кантора—
Бендиксона для замкнутых множеств.
Условия А и В. Пусть Е — ограниченный и нигде не плотный
континуум. Пусть Dt, D2, . . ., Dn,_. . . — области, прилегающие к Е,
и Dx — область, дополнительная к Е, т. е. область, лежащая вне Е и со-
держащая точку ос, граница которой содержится в Е. Будем говорить,
что выполняется условие А, если существует система S полос (с полигональ-
ным контуром), обладающая следующими свойствами: Г) они ведут внутрь
области 2°) любая точка Е является внутренней для самое большее ко-
нечного числа из них; 3°) любая окрестность произвольной точки Е дости-
жима бесконечным множеством этих полос.
Если полосы соответствуют областям, полоса рп — области Dn, так,
что ведут изнутри Dn внутрь D^, то будем говорить, что выполняется
условие В.
Применяя метод трансфинитной индукции, можно доказать следую-
щее утверждение.
Теорема 22. Для того чтобы ограниченный и нигде не плотный
континуум Е был множеством типа М (М*), необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие А (В).
Точки типа Н. Пусть Е — замкнутое, ограниченное нигде не плотное
множество. Пусть Dt, D2, . . ., Dn, ... — области, прилегающие к Е,
и Doo —|область, дополнительная к Е. Будем говорить, что точка Р мно-
жества Е является точкой типа Н, если любая окрестность точки Р со-
держит некоторую прилегающую область Dn. Множество Е^ всех точек
типа Н множества Е называется первой Н-производной множества Е
(Я-Ableitung). Из определения точек Н следует, что /?(1) является замк-
нутым множеством. Взяв Я-производную множества /?(1), получим замк-
нутое множество Е&\ которое называется второй //-производной множест-
ва Е, и т. д. Пересечение всех множеств Е(1), £(2) , . . ., Е(п), . . . называ-
ется Zf-производной порядка со и обозначается через /?<^? Применяя две
описанные операции: взятие множества точек типа Н и взятие общей час-
ти счетного множества замкнутых множеств,— получим Я-производную
порядка а, Е^ где а — произвольное трансфинитное число класса 1 или
2. Множество Е называется совершенным Н-множеством, если оно совпа-
дает со своей Н-производной.
Пусть Е — произвольное замкнутое ограниченное нигде не плотное
множество; построим транс финитную последовательность Я-производных
множества Е
Е = £(0), £(2) , в j£(n), t t £(а) ,
12. О функциях комплексного переменного
175
п теореме Бэра возможны два случая: Г. Существует трансфинитное
Я° то 3 (первого рода) такое, что E®-*> содержит точки, но не имеет Я-то-
чек' т. е. =/= ф, а £(₽) = в этом случае говорят, что множество
F является Н-приводимым. 2°. Существует трансфинитное число 0 такое,
£ £(Р+1> = т. е. Е®> является Н-совершенным, и все производные
гча) а > 0, совпадают; в этом случае говорят, что Е обладает Ш-совер-
шенным ядром», равным Е^.
Из рассмотрений предыдущего пункта следует, что всякое множество
типа М* является приводимым и наоборот. Гартогс и Розенталь доказа-
ли следующее утверждение.
Для того чтобы множество Е удовлетворяло условию В, необходимо
и достаточно, чтобы Е было приводимым.
Чтобы изучить структуру множеств, удовлетворяющих условию А,
Гартогс и Розенталь ввели следующее понятие: пусть Е — замкнутое ог-
раниченное и нигде не плотное множество, а£ — произвольное множество;
точка Р множества Е называется «точкой типа Н множества Е от-
носительно Л», если любая окрестность точки Р содержит область, при-
легающую к Е и содержащую точки множества L. Добавляя в определе-
ниях Я-производных множеств, Я-приводимых и т. д. слова «относитель-
но Л», получим понятия: Я-производная относительно L, Я-приводимое
относительно L и т. д. Легко доказать, что всякое множество Е, Я-при-
водимое относительно Е, является множеством типа М, и наоборот. Гар-
тогс и Розенталь доказали, что условие А эквивалентно предположению,
что множество Е приводимо относительно самого себя.
В той же самой заметке Гартогса и Розенталя находим понятие множе-
ства, Я-разреженного, которое приводит авторов к интересным теоремам
о представлении замкнутых множеств бесконечными объединениями. Ав-
торы доказывают, что указанные результаты смогут быть распространены
на случай замкнутых множеств тг-мерного пространству.
Глава V
СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Вернемся к центральным проблемам этой статьи: 1) если дана после-
довательность полиномов, сходящаяся в области D, надо найти структуру
множества иррегулярных точек этой последовательности; 2) каковы усло-
вия того, чтобы определенная в D функция / (z) была пределом последова-
тельности полиномов?
Методы, которыми мы будем пользоваться при исследовании необхо-
димых условий и достаточных условий, различны.
При исследованиях необходимых условий нам нужны только дескрип-
тивные свойства аналитических функций: теорема Бэра (теорема 3), свой-
ство равномерно ограниченного семейства функций быть нормальным,
принцип максимума. Вот почему теоремы, которые мы здесь находим,
смогут быть распространены на случай более широких семейств функций,
Чем семейство голоморфных функций.
При исследовании достаточных условий мы будем строить ряды по-
линомов, аналогичные рядам гл. I. Эти построения дают нам полное ре-
пгение проблемы © структуре множества иррегулярных точек сходящейся
176
I. Теория, функций
Риа 5
последовательности. Те же самые
построения позволяют нам свести об-
щую проблему структуры произволь-
ной функции, представимой рядом
полиномов, к проблеме, поставлен-
ной в гл. III.
Эта редукция и теоремы гл. 1Ц
позволяют нам построить класс функ-
ций, представимых рядами полино-
мов.
17. Основная лемма. Докажем
следующее частное утверждение.
Лемма 2. Пусть D — произ-
вольная область, F — континуум,
содержащийся в замкнутой области
D и цельный с границей Г области D,
т. е. Г J F — связное множество,
. F±— замкнутое подмножество множе-
ства F, дополнение которого является областью. Предположим, что функ-
ция f (z) удовлетворяет следующим условиям: 1°) существует последователь-
ность полиномов Рп (z), сходящаяся к / в каждой точке множества Fp,
2°) какова бы ни была область dk, прилегающая к Г, существует последо-
вательность полиномов Qn \ п = 1, 2, . . ., сходящаяся к f в каждой точ-
ке этой области. При этих условиях существует последовательность по-
линомов Rn (z), сходящаяся к f в каждой точке области D и такая, что:
1) в любой области, лежащей в F±, множество иррегулярных точек Rn сов-
падает с множеством иррегулярных точек Рп, лежащих в этой области*,
2) в любой области dk, k = 1, 2, . . ., лежащей вне F, множество иррегу-
лярных точек Rn совпадает с множеством иррегулярных точек
В самом деле, построим последовательность областей Dx, D2,
лежащих в D, сходящуюся к D, т. е. такую, что каждая
точка D лежит в Dn, начиная с некоторого индекса п. Будем предпола-
гать, что граница Dn образована конечным числом простых замкнутых
ломаных С^, С[п\ С(2п), . . ., таких, что: 1°) все области, ограни-
ченные С'^\ v > 0, лежат вне друг друга и в области, ограниченной Со00;
2°) каждая область, ограниченная С^\ v > О, содержит внешние точки
области D (рис. 5). Если D односвязная, мы имеем единственную кри-
вую Cq'\
Построим теперь последовательность систем простых замкнутых лома-
ных 71го, Tzn\ . . ., Т{тп, п — 1, 2, 3, . , ., обладающую следующими
свойствами: 1°) замкнутые области, ограниченные кривыми Ту*\ лежат
вне друг друга; 2°) каждая область, ограниченная Т^\ содержит точки
множества Fr; 3°) расстояние между Fr и произвольной точкой нахо-
дится между 1/п и 1/п + 1/(2п2); 4°) расстояние между Г$п) и Т^\ р, v,
больше чем 1/(2п2).
Обозначим через Дп множество, полученное удалением из Dn всех то-
чек, лежащих в замкнутых областях, ограниченных кривыми Г$п), v =
12. О функциях комплексного переменного
177
^2 ... Множество Дп образовано конечным числом односвязных
₽ ’ Л.’яогосвязных областей. Пусть Д£°, Л£°, . . A<vn> _ все эти об_
или MHOi (S) п
Из построения области Дп следует, что эта область принадлежит
Лпной из областей dk, прилегающих к Fr J Г; всегда можно предпола-
гать что Дп} принадлежит d*. Установив это, к постоянным кривым Т
добавим систему простых ломаных Г{п), г£п), . . ., Г^, лежащих в об-
ластях Дп0 и таких, что: 1. Концы Г<кп), k = 1, 2, . . ., рп, лежат на гра-
нице одной из областей A(ns); 2. Если мы удалим из Д^ все кривые Цп),
лежащие в этой области, то получим односвязную область V£s); 3. Рас-
стояние между кривыми Г$п) и Г^т), ш > п, больше, чем е„, 0 < зп <
<; 1/(2и2); 4. Расстояние между произвольной точкой rjn) и F меньше,
чем 1М»
Таким образом, в плоскости z мы имеем конечное число областей
i = 1, 2, . . vn, и областей, ограниченных кривыми Tjn\ /==1,2,...
. , mn, лежащих вне друг друга. Пусть Sn — полоса, образованная все-
ми точками, расстояние которых от одной из кривых С<п), Лп>, Г(п> боль-
ше, чем 1/(2еп).
По теореме 7 существует полином Rn (z), такой, что: 1°) | Rn (z) —
— Рп (z) | < 1/п в каждой точке вне полосы 6П и лежащей в одной из об-
ластей, ограниченных Т\п\ / = 1,2,..., тп; 2°) | Rn (z) — Qn\z) | <
< Ип в каждой точке области i = 1, 2, . . ., vn, лежащей вне 6П.
Но из свойств’ кривых С(п), Г<п> следует, что каждая точка области
D принадлежит только конечному числу полос Sn; кроме того, множество
предельных точек последовательности 6Х, 62, . . ., 6П, . . . принадлежит
F. Следовательно, построенная последовательность j?x, Т?2, • • Rn, • • •
является искомой последовательностью.
Принимая во внимание некоторые классические результаты, теперь
легко доказать следующее утверждение.
Основная лемма. Для того чтобы определенная в области D
Функция f (z) была представима в D рядом полиномов, необходимо и доста-
точно, чтобы каково бы ни было лежащее в D замкнутое множество <£, су-
ществовала $1 — порция $,_такая, что функция j, рассматриваемая на
множестве (множество образовано множеством и всеми облас-
тями, прилегающими к $х), является пределом последовательности поли-
номов, равномерно ограниченных на
При тех же самых условиях, если Г является границей области D и Е
мляется особым множеством функции j (т. е. множество точек области
в ’ г^е не голоморфна), то существует ряд полиномов, сходящийся к /
каждой точке области D и равномерно сходящийся внутри каждой одно-
области, которая является областью, прилегающей к
По теореме Бэра условие необходимо, остается доказать, что это ус-
л°вие достаточно.
Рез г?)е^'пол °жнм, что / (z) удовлетворяет условию леммы, и обозначим че-
За & особое множество функции /. В силу условия леммы множество Е
нУто и нигде не плотно. Построим трансфинитную последовательность
178
I. Теория функций
множеств
Е Е±, Е^, • • •? Е®, . . Еа, , . .
следующим образом: 1. Ео = Е; 2. Если а является трансфинитным чис-
лом первого рода, то Еа получается удалением из ^«-^порции <$ множе-
ства Еа-ъ такой, что функция /, рассматриваемая на S, является преде-
лом равномерно ограниченной на S последовательности полиномов. 3.
Если Р является трансфинитным числом второго рода, то Е$ является пе-
ресечением всех множеств Еа, а < 0. По теореме Бэра существует такое
трансфинитное число у, что Еа = ф для а > у. Следовательно, каждой
функции /, удовлетворяющей условию леммы, соответствует трансфинит-
ное число у = у (/), начиная, с которого мы имеем Еа ~ ф. Чтобы до-
казать лемму, применим трансфинитную индукцию. Из леммы 2 следует,
что утверждение верно, если у (/) = 0; предположим, что оно верно при
у (/) < а, и докажем его для у (/) = а.
Положим FT = Еа, и пусть F' — замкнутое подмножество области
D, цельное с Fr и границей Г области D и лежащее вне односвязных об-
ластей, прилегающих к Е J Г. По отношению к множествам F = Fr |J
(J Fr и Fr вновь выполним построение леммы 2. Из определения Ft — Еа
следует, что существует последовательность полиномов
Р10) (z), Р™ (z), . . Pj0)(z), . .
равномерно ограниченная на Fr и сходящая к / в каждой точке множества
Рг. Поскольку полиномы Pj0) (z) равномерно ограничены, сходимость яв-
ляется равномерной внутри любой области, лежащей в Fx. С другой сто-
роны, по сделанному предположению, каково бы ни было число п, сущест-
вует последовательность полиномов
(z), ^n) (г), . . Р^} (Z), . .
сходящаяся к / в каждой точке области Z), внешней для областей, огра-
ниченных кривыми v = 1, 2, . . ., тп\ сходимость является равно-
мерной внутри любой односвязной области, прилегающей к Е (J Г и ле-
жащей вне кривых ТцП). Исходя из полиномов (z), построим после-
довательность полиномов, сходящуюся к / вне Fr. Для этого к кривым
и r<v>, v < п, добавим систему замкнутых ломаных
7^(1) 7^(1) 7^(1)
J- In , J- 2п , • • •, J- min
7*(ft) 7^(n)
1 In , 1 2п Ъ • * тпП,
таких, что: 1) ограниченная кривой область содержит и 2) рас-
стояние между и произвольной точкой кривой 7^ находится между
1/(2п2) и 1/(4п2). Обозначим через полосу, образованную всеми точка-
ми, расстояние которых до одной из кривых 7^Vn, v тг, и Г&п) не превос-
ходит 1/(4еп). Из предыдущих рассуждений следует, что существует
полином Qn (z), такой, что
I Qn (z) — P$jv) (г) | < 1/n, v < n,
12. О функциях комплексного переменного
179
,а5Кдой точке z, являющейся: Г) внешней для областей, ограниченных
В (v) $ = 1, 2, . . 2°) внешней для полосы б'п; 3°) внутренней точкой од-
областей, ограниченных кривыми Т(^Гп); 4°) внутренней точкой об-
Я°И А Но каждая точка области D, не принадлежащая Fv принадле-
жат только конечному числу полос Sk, п = 1, 2, . . ., следовательно, по-
^довательность Qn (z) сходится к / в каждой точке области Z), внешней
С*тя/V сходимость является равномерной в любой односвязной области,
прилегающей к Fr U Г, не содержащей точек кривых р, = 1, 2, . . .
р m п _ 1, 2, . . . Следовательно, функция / удовлетворяет условиям
леммы 2, значит, существует последовательность полиномов Rn (z), схо-
дящаяся к / в каждой точке области D, сходимость является равномерной
внутри любой односвязной области, прилегающей к Е U Г, если внутри
этой области нет точек кривых Т^- Таким образом, первая часть леммы
доказана. Для доказательства второй части обозначим через gx, g2, • • •
gn, . . . все односвязные области, прилегающие к Fr (J Г и содержа-
щие точки одной из кривых Т^п\ Обозначим через 6П полосу, образован-
ную всеми точками z такими, что или z принадлежит одной из областей
^2» • • •» £п и находится на расстоянии, меньшем 1/п, от границы этой
области; или z принадлежит полосе Sfcn, но не является внутренней точкой
никакой из областей gx, g2, . . gn- Предположим, что число кп достаточ-
но большое, чтобы каждая область gh i = 1, 2, . . ., п, содержала точки
полосы Sr . По теореме 7 существует полином Rn (z), такой, что мы име-
/ п
ем | Rn (z) + R (z) — / (z)| < 1/n в каждой точке области gf, i = 1, 2, . . .
. . .„, n, лежащей вне Sn, и | Rn (z) | < 1/п — вне gf, i = 1, 2, . . ., n,
и Положим Pn (z) = Rn (z) + Rn (z); легко видеть, что последова-
тельность Рх, Р2, . . ., Рл, . . . является искомой последовательностью.
Основная лемма полностью доказана.
18. Иррегулярные точки, особые множества. Из доказанной основной
леммы легко вывести необходимые и достаточные условия того, чтобы мно-
жество Е было множеством иррегулярных точек сходящейся последова-
тельности, чтобы множество Е было особым множеством функции, пред-
ставимой рядом полиномов.
Теорема 23. Пусть D — произвольная односвязная область. Для
того чтобы множество Е области D было множеством иррегулярных то-
чек сходящейся в D последовательности полиномов, необходимо и достаточ-
но, чтобы Е было: 1) совершенным нигде не плотным континуумом, цель-
ным с границей Г области D (условие Монтеля); 2) множеством типа М.
(ота теорема была сформулирована Лаврентьевым [16]; тот же результат
имеется в цитированной заметке Гартогса и Розенталя — авторы вместо
поставили условие А (см. п. 16).)
Условие необходимо. В силу результата Монтеля, указан-
ого в п. 4, остается рассмотреть условие 2. Пусть Рх (z), Р2 (z), • •
• • •’ (z), . . .,— сходящаяся в каждой точке области D последователь-
ость полиномов, Е — множество иррегулярных точек этой последователь-
сти, а Ег — замкнутое подмножество множества Е. Поскольку после-
овательность Рп (z) сходится в каждой точке Ег, существует порция Е%
°жества Ег, такая, что полиномы данной последовательности равномер-
180
I. Теория функций
но ограничены на Е2, а значит, какова бы ни была конечная область Д
граница которой принадлежит Е2, последовательность сходится равномер!
но внутри Д, следовательно, каждая точка области Д является регуляр-
ной точкой последовательности. Что доказывает утверждение.
Условие достаточно. Пусть Е — множество, лежащее в D
и удовлетворяющее условиям теоремы. Построим трансфинитную после-
довательность множеств
-S’o? ^1» ^2» • • •» • • •
следующим образом: 1) EQ = Е\ 2) если Еа определено, то получа-
ется удалением из Еп элементарной порции множества Еа (относительно
Е) этого множества; 3) если р является трансфинитным числом второго ро-
да и если все множества £а, а < р, определены, то мы получим Е$, взяв
общую часть всех множеств Е^ а < р. Установив это, построим в D функ-
цию / (z): в каждой точке множества Еа, а = 0, 1, . . ., со, . . . имеем
/ (z) == 0, в каждой другой точке области D имеем / (z) = 1. Построенная
функция удовлетворяет условиям основной леммы, следовательно, сущест-
вует последовательность полиномов, сходящихся в каждой точке области
D, сходимость является равномерной в каждой области, прилегающей
к £ J Г. Но поскольку каждая точка множества Е является точкой раз-
рыва / (z), Е является множеством иррегулярных точек построенной по-
следовательности.
Совершенно подобными рассуждениями можно доказать следующее
утверждение.
Для того чтобы множество Е было особым множеством предельной
функции, определенной в области D, необходимо и достаточно, чтобы Е
было множеством типа М.
19. Предельная функция. Из основной леммы п. 17 выводится сле-
дующее утверждение, представляющее собой сведение общей проблемы
о структуре предельных функций.
Теорема 24. Для того чтобы функция f (z) была представима в D
рядом полиномов, необходимо и достаточно, чтобы: 1) особое множество
Е функции f было множеством типа М; 2) каково бы ни было замкнутое под-
множество Е± множества Е, существует элементарная порция множества
Ег, пусть Е2, такая, что функция f, рассматриваемая на множестве Е2,
образованном множеством Ё2 и областями, прилегающими к Е2, является
пределом равномерно ограниченной на Е2 последовательности полиномов.
(Эта теорема, в случае последовательностей гармонических функций
(п. 22), содержится в одной теореме Лаврентьева [17]. Из этой теоремы
можно вывести следующий результат Гартогса и Розенталя [7]: предполо-
жим, что функция / (z) образована из голоморфных в Dn функций фп (2)
и функции ф0 — предела полиномов на Е. Тогда, для того чтобы / (z) была
пределом полиномов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло-
вие В (см. п. 16), если там множество областей Dn заменить множеством
тех областей, где соединение Витали не может быть выполнено (говорят,
что на Dn выполнено соединение Витали, если существует равномерно
ограниченная в Dn и сходящаяся там к / (z) последовательность полино-
мов).)
Предположим теперь, что особое множество Е функции / имеет йену-
12. О функциях комплексного переменного
181
ядро. Пусть D2, . . ., Dn, ... — области, прилегающие к Е,
девое^ граница области Dn. Из теорем 16 и 24 вытекают следующие свой-
ства Ф^НрЦеИм / 25. Существует подпоследовательность Вщ, Dnt, . . .
D второй категории такая, что: 1) каждая область этой под-
последовательности односвязна' 2} в каждой замкнутой области Dn^ функ-
i ия f является пределом равномерно ограниченной в последовательнос-
ти полиномов; 3) почти всюду на ГП}С (в смысле конформного отображения)
значения f поены предельным значениям голоморфной функции, равной
f (*) в Dn^ если граница области Dn^ является спрямляемой кривой С,
то имеем § znf (z)dz = 0, п = 0, 1, 2, . . .
с
Из этой теоремы следует, что существует соответствие между значения-
ми f на особом множестве / и ее значениями в областях регулярности /.
Из теорем 16, 24 и результатов п. 15 вытекает следующее утверждение.
Теорема 26. Пусть Д (z) и f2 (z) — две функции, представимые
в D рядами полиномов и имеющие одно и то же особое множество Е. За иск-
лючением некоторой подпоследовательности Dni, Dn„ . . ., Dn^ . . . пер-
вой категории (в силу сделанных в п. 19 замечаний мы можем предполагать^
что исключительная последовательность Dnk содержит все многосвязные
области, т. е., что область Dn, п = пг, п2, . . ., односвязна), если /г и f2
совпадают на Е, то они совпадают в областях Dn, п У= пг, п2, . . ., если
Д и f2 совпадают во всех областях Dn, то они совпадают почти всюду (в смыс-
ле конформного отображения) на кривых Гп, п Ф пг, п2, . . .
Из теоремы 24 следует также, что действительная и мнимая части функ-
ции f, R и S, рассматриваемые на особом множестве Е, не являются,
в общем случае, произвольными функциями класса 1 в смысле Бэра.
Замечание. Доказанные теоремы не дают полного решения про-
блемы о соответствии между значениями, принимаемыми предельной функ-
цией / в различных областях регулярности Dn, ни полного решения про-
блемы о соответствии между ее значениями на особом множестве Е и в об-
ластях Dn. Вот, например, вопрос, который до сих пор остается откры-
тым. Пусть Е — множество Г примера 2 и пусть Dnv, Dni, . . ., Dnjt, . . •
и Dm» Dm9, . . Dm*, ... — две подпоследовательности областей, при-
легающих к Е и таких, что любая окрестность каждой точки множества
& содержит области последовательности D„k и области последовательнос-
ти Предположим теперь, что две предельные функции Д и /2, опреде-
ленные в круге, содержащем Е, регулярны в областях, прилегающих
к и совпадают в каждой области D„k. Существуют ли всегда при этих
Условиях области где /х и /2 тождественно совпадают?
20. Об одном классе предельных функции. Пусть Е — замкнутое мно-
жество, которое является множеством типа М; DX,D2, . . .,Dn, . . . —
ласти, прилегающие к Е, и пусть / (z) — функция, представимая рядом
Линомов, сходящимся в каждой точке множества Е и равномерно схо-
Чен^ИМСЯ ВНутри кажД°и области Dn. По теореме 26, для того чтобы зна-
Ф В °^ластях ^п, Фп (z), не зависели от значений / (z) на Е,
° = R (z) iS (z), необходимо и достаточно, чтобы последователь-
182
/. Теория функций
ность прилегающих областей D2, . . .,Dn, . . . была последователь-
ностью первой категории, т. е. чтобы множество Е было множеством типа
УИ*. По теореме 24 это же самое условие необходимо для того, чтобы дейст-
вительная часть R и мнимая часть S функции / на Е были независимыми
Применяя теорему 17, легко получить общее утверждение, согласно кото-
рому свойство множества Е быть множеством типа М* достаточно ддя
того, чтобы R, S и фп были независимыми. Для этого введем новое поня-
тие. Будем говорить, что функция / (z) является функцией типа М*, ес-
ли / (z) голоморфна вне множества Е, являющегося множеством типа Л/*
и если / (z) точечно разрывна на каждом лежащем в Е замкнутом множест-
ве. Укажем некоторые примеры; с этой целью опять возьмем множество
Г п.13 и рассмотрим |функцию,^равную£нулю на Г (Г*) и равную 1
вне Г (Г*). Определенная таким образом функция не является функцией
типа М* (является функцией типа М*).
Теорема 27. Любая функция f (z), являющаяся функцией типа М*,
представима рядом полиномов. (В случае когда особое множество функ-
ции / образовано счетным множеством жордановых дуг, эта теорема была
доказана Гартогсом и Розенталем [7]. Общий случай был рассмотрен Лав-
рентьевым [18].)
В самом деле, пусть Е — особое множество функции / (z). Поскольку
множество Е является множеством типа Л/*, каково бы ни было лежащее
в Е замкнутое множество Е1Ч существует порция Е2 множества Еъ не раз-
бивающая плоскости. С другой стороны, поскольку функция / (z) точечно
разрывна, по теореме Бэра существует последовательность непрерывных
функций /х (z), /2 (z), . . ., (z), . . ., сходящихся к / (z) в каждой точке
множества Е2. Замкнутое множество Е2 не разбивает плоскости, следова-
тельно, по теореме 17 для каждого значения п существует полином Рп (z),
такой, что | Рп (z) — fn (z) | < 1/n на E2. Следовательно, f (z) представи-
ма на E2 последовательностью полиномов Pr (z), P2 (z), ..., Pn (z), ... .
Но поскольку Er произвольно, по теореме 24 функция / (z) представима
рядом полиномов во всей плоскости.
В силу предыдущего видно, что класс функций М* является наиболее
общим классом функций, представимых последовательностями полино-
мов, в которых /?, S и фп независимы.
21. Последовательности мероморфных функций. Монтелю [29] мы обя-
заны одним важным распространением теоремы 4 на случай сходящихся
последовательностей мероморфных функций. Напомним определения, от-
носящиеся к сходимости мероморфных функций. Говорят, что последова-
тельность /х (z), f2 (z), . . ., fn (z), . . . мероморфных функций сходится
в точке z, если одна из последовательностей fn (z) или i/fn (z) является схо-
дящейся. Говорят, что сходимость является равномерной в точке, где по-
следовательность fn (z) имеет конечное предельное значение / (z), если
в круге с центром в этой точке разность fn (z) — f (z) имеет модуль, мень-
ший любого данного числа 8, когда п достаточно велико. В точке, где пре-
дельное значение бесконечно, / (z) и fn (z) заменяются функциями 1// (2)
и l//n (z). Мы получим более симметричные определения, если введем не-
евклидовы расстояния, рассматривая стереографическую проекцию комп-
лексной плоскости на сферу Римана [19]. Вот отмеченные результаты Мон-
теля.
12. О функциях комплексного переменного
183
Г и последовательность мероморфных в области D функций /п (z)
д1 в этой области, то множество точек неравномерной сходимости
сходит'' НЪ1Х т0чек) нигде не плотно в области D.
предельная функция / (z) мероморфна в окрестности точки равно-
ой сходимости, следовательно, предельная функция мероморфна в D,
меРн точек некоторого замкнутого нигде не плотного множества.
КР°Из теорем Монтеля с помощью много раз описанных построений по-
ручаем следующие утверждения.
‘ Для того чтобы множество Е было множеством иррегулярных точек
сходящейся в области D последовательности мероморфных функций, не-
обходимо и достаточно, чтобы Е было замкнутым и нигде не плотным.
Из тех же самых рассуждений следует, что мероморфные части фп (z)
предельной функции, определенные в областях, прилегающих к Е, не-
зависимы друг от друга и не зависят от значений / на Е. Таким обра-
зом, проблема о структуре предельной функции сведена к следующей
частной проблеме: каковы необходимые и достаточные условия того,
чтобы определенная на замкнутом и не плотном множестве Е функция
/ (z) была пределом сходящейся на Е последовательности рациональных
дробей. По теореме Бэра / (z) должна быть разрывной на любом замкну-
том подмножестве множества Е. Из теоремы Гартогса и Розенталя следует,
что это необходимое условие в то же время достаточно, если Е является
множеством меры нуль. Из этого результата выводим следующую теорему.
Для того чтобы определенная в области D функция / (z) была пределом
сходящейся в D последовательности рациональных дробей, достаточно,
чтобы f (z) была мероморфной вне некоторого замкнутого множества Е
меры нуль и чтобы она была точечно-разрывной на любом замкнутом
подмножестве множества Е.
22. Последовательности гармонических функций. Тесная связь, су-
ществующая между гармоническими и голоморфными функциями, по-
зволяет поставить вопрос о природе действительных функций, являю-
щихся пределами последовательностей гармонических полиномов; более
точно: каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы определен-
ная в области или во всей плоскости х, у функция / (х, у) была предста-
вима последовательностью гармонических полиномов?
Поскольку равномерно ограниченное (в некоторой области D) семей-
ство гармонических функций нормально, мы видим, что предельная функ-
ция / гармонична и регулярна всюду, кроме точек некоторого замкнутого
и нигде не плотного множества Е, которое мы называем особым множест-
вом функции /.
( Рассматривая последовательность полиномов Rn (z) = Рп (я, #)+
lQn (%, у), п = 1, 2, 3, . . . . где Р-L, Р2, . . ., Рп, . . . есть последо-
вательность гармонических полиномов, a Qn — функция, сопряженная
из теоремы 24 легко выводим следующее утверждение.
бы 6 М М а‘ $ЛЯ того чтобъъ определенная в области D функция / (х, у)
™ пРедсгпавима последовательностью гармонических полиномов, необ-
имо и достаточно, чтобы для любого замкнутого множества S, лежа-
щего в D, существовала порция множества^ <о, пусть такая, что функ-
Чия f» рассматриваемая на множестве была пределом равномерно
°гРаниченной на последовательности полиномов.
184
J. Теория функций
При тех же самых условиях существует ряд полиномов, сходящийся
к / и равномерно сходящийся внутри любой односвязной области, приле-
гающей к особому множеству функции /.
Из этой леммы и теорем 19, 20 следуют утверждения, аналогичные
утверждениям теорем 25, 26. Применяя к тому же теорему 18, получим
следующий общий результат.
Теорема 28. Для того чтобы определенная в области D функция
/ (х, у) была представима в этой области последовательностью гармони-
ческих полиномов, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла
следующим условиям.
1, f (х, у) гармонична и регулярна, кроме точек некоторого множества
Е, являющегося множеством М.
2. f точечно-разрывна на Е.
3. Пусть Dr, D2, . . ., Dn, . . <— области, прилегающие к Е, Гп —
граница Dn, a fn (гг, у) — гармоническая функция, равная / (х, у) в Dn.
За исключением областей Dni, Dn2, . . ., Dn]z, . . ., образующих последо-
вательность первой категории, почти всюду на Гп (в смысле конформного
отображения) предельные значения fn (х, у) на Гп равны значениям функ-
ции / (х, у). •
Из этой теоремы следует, что в общем случае значения / в областях
Dn зависят от значений f на Е', для того чтобы они были независимыми,
необходимо и достаточно, чтобы Е было множеством типа М*. Остается
открытым следующий вопрос: являются ли функции fn (х, у) в общем
случае независимыми между собой или нет?
Замечание. Теория множеств иррегулярных точек сходящейся
последовательности, так же, как некоторые теоремы о структуре предель-
ной функции, могут быть распространены на последовательности функции,
природа которых отлична от природы аналитических и гармонических
функций, например, на последовательности «почти аналитических» функ-
ций. Мне кажется, что имеет особый интерес в распространении теории
на случай последовательностей гармонических полиномов трех незави-
симых переменных. Укажем кратко некоторые результаты, которые полу-
чаются применением методов, аналогичных нашим [13].
Будем говорить, что замкнутое множество Е трехмерного простран-
ства (х, у, z) является множеством типа М (М*), если, каково бы ни было
замкнутое множество Ег, EX<Z Е, существует Е2 — порция множества
Е±, такая, что: 1) Е2 является границей области D, содержащей точку
о©; 2) каждая точка множества Е принадлежит либо Е2, либо области D
(Е2 не разбивает пространства), (В случае тг-мерного пространства мно-
жества М и М* были рассмотрены Гартогсом и Розенталем [7].) Устано-
вив это, будем иметь следующий результат. Пусть Рг(А), Р2 (А), . . •
. . ., Рп (А), . . .— последовательность гармонических функций точки
Л (х, у, z), сходящаяся в каждой точке области D. Для того чтобы мно-
жество Е области D было множеством иррегулярных точек некоторой
последовательности Рп (4), необходимо и достаточно, чтобы Е было
множеством типа М [13]. Эта теорема следует из одной леммы, аналогич-
ной основной лемме п. 17; из этой же самой леммы выводим теоремы,
аналогичные теоремам 24, 25, 26. Можно, впрочем, доказать, что функция,
определенная и непрерывная на замкнутом нигде не плотном множестве
Е меры нуль, не разбивающим пространства, может быть рассмотрена
12. О функциях комплексного переменного
185
предел некоторой равномерно сходящейся на Е последовательности
гармонических полиномов.
ЛИТЕРАТУРА
о ;ге R. Lecons sur les fonctions discontinues. P.: Gauthier-Villars, 1930. 127 p.
V Pnrrpl О On approximation to a mapping function by polynomials // Amer. J. Math.
- f939 Vol. 54, N 3. P. 571-578.
q FatouP- Series trigonometriques et series de Taylor//Acta math. 1906. Bd. 30.
**• 335__400.
/ "rLniov A Memoirs sur les nombres derives des fonctions continues// J. math, nu-
reS et appl. Ser. 7. 1915. T. 1, fasc. 2. P. 105-240.
- Feoroff D. Th. Sur les suites de fonctions mesurables // C. r. Acad. sci. 1911. T. 152,
°' Ne5. P. 244-246.
n Hartoss F. Ueber die Grenzfunktionen beschrankter Folgen von analytischen Funk-
tionen//Math. Ann. 1972. Bd. 98, H. 1. S. 164-178.
7 Hartogs F., Rosenthal A. Ueber Folgen analytischer Funktionen//Ibid. 1928.
‘ Bd. 100, H. 1/2. S. 212-263.
8 HartogsF., Rosenthal A. Ueber Folgen analytischer Funtktionen//Ibid. 1932.
Bd. Ю4. S. 606—610.
9 . Hilbert D. Ueber die Entwicklung beliebiger analytischen Funktion einer Variabeln
in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen in fortschreitenden Reiche //
Nachr. Konig. ges. Wiss. Goff. 1897. H. 2. S. 63—70.
10 . Julia G. Lemons sur les fonctions uniformes A point singulier essential isole.
P.: Gauthier-Villars, 1924. 149 p.
11. Julia G. Principes geometriques d’analyse. 2е pt. P.: Gauthier-Villars, 1930. 120 p.
12. Keldych M. Sur les suites de polinomes bornes dans leur ensemble // Rec. math.
1936. T. 43.
13. Keldych M., Lavrentieff M. Sur les suites de polynomes harmoniques Ц G. r. hebd.
seances Acad. sci. 1936. T. 202. P. 1149—1151.
14. Lavrentieff M. Sur la peresentation conforme // Ibid. 1927. T. 184. P. 1407—1409.
15. Лаврентьев M. К теории конформных отображений И Тр. Физ.-мат. ин-та им.
В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159—245.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Лаврентьев М. О некоторых свойствах однолистных функций// Докл. АН СССР.
1935. Т. 1, С. 1—4.
Lavrentieff М. Sur un probleme de P. Montel // C. r. hebd. seances Acad. sci. 1927.
T. 184. P. 1634—1635.
Lavrentieff M. Sur un probleme de P. Montel//Ibid. 1929. T. 188. P. 689—691.
Leau L. Les suites de fonctions en general (domain reel). P.: Gauthier-Villars, 1930.
45 p.
Lebesgue. Lecons sur 1’integration. Paris. Collection Borel, 1928.
Lusin N., Privaloff I. Sur 1’unicite et multiplicite des fonctions analytiques // Ann.
sci. Ecole norm, super. 1925. T. 42. P. 143—192.
Montel P. Lemons sur les series de polynomes d’une variable complexe. P.: Gaut-
hier-Villars, 1910. 128 p.
Montel P. Lemons sur les families normales de fonctions analytiques et leurs appli-
cations. P.: Gauthier-Villars, 1927. 306 p.
Riesz FRieszM. Uber Randwerte einer analytischen Funktion//C. r. Congr.
£aath., Scandinaves. 1916. P. 27—44.
Montel P, Sur la representation conforme// J. math. Ser. 7. 1917. T. 3, fasc. 1.
F- 1—6.
Privaloff I. Sur certaines proprietes metriques des fonctions analytiques // J. Ecole
Pdyt. Ser. 11. 1924. T. 24. P. 77-112.
Runge C. Zur theorie der eindentigen analytischen Funktionen Ц Acta math. 1885.
Bd. 6. S. 229—244.
J; alsch I. The approximation of harmonic functions by harmonic polynomials and
"У harmonic rational functions//Math. Ann. B. 1926. Bd. 96, H. 3/4. S. 430—
Bur les series de fractions rationnelles//Publ. math. Univ. Belgrade.
1932. T. 1. p. 157—169.
^str,°wski A. Uber vollstandige Gebiete gleichmassiger Konvergenz von Folgen ana-
ytischer Funktionen // Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg. 1922. Bd. 1. S. 327—350.
186
I. Теория функций
13
О НЕКОТОРЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧАХ
В ТЕОРИИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ*
§ 1. ОСНОВНАЯ ЛЕММА
Ради большей компактности изложения введем несколько предвари-
тельных понятий. Пусть D — произвольная конечная односвязная об-
ласть плоскости комплексного переменного 2, содержащая круг | z | <; 1/
и пусть Г — граница D.
Определение 1. Пусть у есть произвольная дуга границы Г
области Z), у Г. Покрышкой дуги у мы назовем наименьшую по длине
выпуклую кривую у, обладающую следующими свойствами: 1) кривая
у принадлежит замкнутой области D-, 2) концы у принадлежат Г и не
принадлежат у; 3) односвязная область, ограниченная у и частью Г,
не содержащей у, содержит точку z = 0.
Очевидно, что если угол, под которым из точки z = 0 видна дуга у,
не превосходит л, то покрышка дуги у всегда существует. Во всем даль-
нейшем мы будем рассматривать, без дополнительных оговорок, лишь
те дуги, для которых покрышки заведомо существуют.
Отметим еще одно свойство покрышек, вытекающее из определения:
отношение длины покрышки к ее диаметру ограничено некоторой абсо-
лютной числовой константой.
Определение 2. Мы скажем, что дуга у достижима из области
D или, просто, достижима, если: 1) область, ограниченная покрышкой
у, двумя эвольвентами у, проходящими соответственно через один и дру-
гой конец у, будет односвязна и будет принадлежать области D; 2) концы
дуги у совпадают с концами у.
Определение 3. Мы скажем, что граница Г области D удов-
летворяет условию А, если существуют такие две константы h и к, к < 1»
что, какова бы ни была достижимая дуга у границы Г и какова бы ни
была система дуг ух, у2, . . ., ул, принадлежащих у, при конформном
отображении w = f (z), f (0) = 0, области D на круг \w | < 1, при
IL'1 <z h и при I < 1, имеем
5 < kS,
где I — сумма диаметров покрышек уг- дуг уг-; L — длина покрышки дуги
у; s — сумма длин дуг окружности |ш| = 1, соответствующих при отоб-
ражении w = f (z) дугам уп и 5 есть длина дуги окружности | w | = 1»
в которую при том же отображении w = / (z) переходит дуга границы Г>
содержащая у и имеющая те же концы, что и у.
Определение 4. Сохраняя обозначения, принятые выше, обоз-
начим через Гг кривую, которая переходит при отображении w = f (2)
в окружность | w | = г. Мы скажем, что Г удовлетворяет условию В,
если существует такое число г0, 0 < r0 < 1, что при г г0, кривые Гг
удовлетворяют условию А при значениях констант h и к, не зависящих
от г.
Мат. сб. 1936. Т. 1, № 6. С. 815—846.
23 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 187
ттелм a 1- Пусть D — произвольная односвязная область, удовлет-
яюшая условию А. Пусть ?2, . . ?п — система дуг границы Г
в' mu D- Обозначая через е сумму диаметров покрышек дуг и через
00Л1 сумму длин дуг окружности | w | = 1, в которые при конформном
отображении w = f (z), / (0) = 0, области D на круг | w | < 1 пере-
ходят дуги у,, имеем
q < 2л£б,
где 6 есть константа, 0 < 6 <; 1, зависящая лишь от констант h и к
условия А •
Не нарушая общности доказательства, мы, очевидно, можем заранее
допустить, что Г расположена в полуплоскости Jmz>l и что Г есть
аналитическая кривая без кратных точек. Пусть а и Ъ — две произволь-
ные точки границы Г; условимся считать точку а (Ь) расположенной
левее (правее) точки Ь (а), если движение по Г от Ъ к а соответствует
положительному обходу области D. В соответствии с этим будем считать
дуги у/ занумерованными таким образом, что при любом р, р = 1, . . .
. .,73 — 1, дуга 7Р расположена левее дуги yp+i.
Опираясь на сделанные замечания, перейдем к доказательству леммы.
Рассмотрим произвольную_дугу 6Х, Sx CZ Г, содержащую уг Обозначим
через li длину покрышки 6Х дуги бх и через $х — сумму диаметров по-
крышек дуг ух, у2, . . ., расположенных между концами покрышки бх.
Среди всех достижимых дуг 6Х, для которых
Si/li = h,
фиксируем дугу у^, для которой правый конец ее покрышки находится
на наибольшем расстоянии от дуги ух. Такие дуги существуют, ибо, с од-
ной стороны, когда Sx совпадает с ух, то sx > Zx, с другой стороны, при
возрастании дуги Sx, $х остается меньше е, a Zx неограниченно растет,
т. е. sjli стремится к нулю. Нетрудно видеть, что дуга у^ достижима
и что концы ухх) не принадлежат ни одной из дуг ух, у2, . . . .
Допустим теперь, что мы определили дуги у}1*, у2х), . . ., у^ и допустим,
что эти дуги покрывают дуги ух, у2, . . ., уи. Определим дугу уv+i- Пусть
Дуга 6V+1 есть произвольная дуга границы Г, содержащая уц+1 и такая, что
ее левый конец расположен правее дуги уи. Обозначим через Zv+i длину
покрышки 6V+1 дуги 6v+i и через — сумму длин дуг уи+х, ум+2, . . *,
Расположенных между концами покрышки 6v+i- Среди всех достижимых
Дуг 6V+X, для которых мы обозначим через y$+i ту, для ко-
торой правый конец ее покрышки находится на наибольшем рас-
стоянии от дуги уи. Указанную конструкцию мы будем вести до техх пор,
пока все ух, у2? . . ., уп не окажутся заключенными в дугах у^, уР, . • •
• •’ Уп1?* Из конструкции непосредственно вытекают следующие свойства
Дуг у-г): 1) все дуги уР попарно без общей точки; 2) каждая дуга уР}
Достижима и 3) покрышки уР дуг у^ попарно без общей точки.
Обозначим через цх сумму длин дуг окружности | w | = 1, в ко
т°Рые переходят, при отображении w = / (z), дуги у^, у2х\ • • •> Уп?’
188
I. Теория функций
В силу условия А и свойств 1 и 2 дуг уЛ имеем
П < Hi- (1)
Кроме того, обозначая через 8Х сумму диаметров покрышек уГ\ имеем
ех < 8/fe.
Проделаем по отношению к системе дуг уГ\ • • •, Уп? те же по-
строения, которые мы проделали по отношению к системе дуг ух, у2, # .
. . ., уп. Обозначим при этом через ух2), у£2\ • • •? У>? систему дуг, ко-
торая получится из системы дуг ylx), У2Л • • Уп? так же, как yix), у^, . . .
. . ., у£? получились из дуг у1? у2, . . ., уп.
Проделывая указанное построение р раз, мы получим систему дуг
ухр), У2Р\ • • •, причем сумма диаметров ер этих дуг будет удовлет-
ворять неравенству
ер < е/йр.
Если, кроме того, ep_i < 1, то в силу условия А и свойств дуг уГЛ уГЛ . .
. . ., при любом т, 1 < т р, будем иметь
T]m-i <С (2)
где т]пг, т — 1, 2, . . ., есть сумма длин дуг окружности | w | = 1, в ко-
торые при отображении w = f (z) переходят дуги yiw), уГЛ . . .
Примем за р наибольшее из целых чисел, для которых имеет место
неравенство
&/hp < 1;
тогда в силу (1) и (2) получим
ц < < 2лЛр,
причем р > log 8/log h — 1, следовательно:
-и eiog R/iog \
1 > k
Лемма полностью доказана.
Введем дополнительно еще одно определение.
Определение 5. Пусть Г есть граница произвольной односвяз-
ной области D. Мы скажем, что в точке Р кривой Г существует внутрен-
няя касательная к Г, если можно построить прямую L, проходящую
через Р й обладающую следующими свойствами: 1) существует вектор
РР', перпендикулярный к £ и принадлежащий D; 2) обозначим через
d (Q, L) расстояние от произвольной точки Q rq прямой £, взятое со зна-
ком «+», если Q и вектор РР' расположены по одну сторону от £, и взя-
тое со знаком «—», если Q и РР' расположены по разные стороны от £•
При этих обозначениях имеем
lim sup
Q~*P
d(Q, L)
P(C, P)
где Q есть произвольная точка Г, отличная от Р, и р (Q, Р) есть рас-
стояние между точками Q и Р.
189
23 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций
Опираясь на лемму 1 и определения 4 и 5, докажем следующее пред-
а 2. Если граница Г односвязной области D удовлетворяет
В. то при конформном отображении D на круг | w | < 1 мно-
УСЛ°тво точек Г, в которых не существует внутренней касательной к Г,
Ж6С ходит в множество точек меры нуль окружности j w | = 1.
Пе В самом деле, пусть
2 = ф (ш)
есть функция, реализующая конформное отображение круга | w | < 1
на область D. Не нарушая общности доказательства, мы допустим допол-
нительно, что
ф' (0) = 1. (3)
В силу условия В и леммы 1, каково бы ни было г, r< 1, достаточно
близкое к 1, имеем
| ф' (reiQ) | d0 > К (mes E)v,
Е
где Е есть произвольное измеримое множество окружности | w | = г,
а К и v суть константы, не зависящие ни от £*, ни от г, v = 1/6. По-
кажем отсюда, что
| log | ф' (reiQ) | | dQ < М, (4)
о
где М — константа, не зависящая от г. Заметим прежде всего, что, в силу
условия (3),
2Л
о = log | <р' (0) | = log I <р' (reie) I de =
о
2Л 2Л
1 Р + 1 1* -
= j los I ф' (reie) И0 +log I ф' <reie) IdQ-
о о
Отсюда видно, что для доказательства неравенства (4) достаточно дока
зать существование решения следующей вариационной задачи: примем
за класс допустимых функций {у (я)} совокупность всех измеримых
Функций у — у (#), определенных в отрезке (0, 2л) и удовлетворяющих
следующим условиям:
У (я) > 0, J у (x)dx К (mes Е)\ v >> 1, (5)
Е
где Е есть произвольное измеримое множество; среди функций рассмат-
риваемого класса требуется определить ту, для которой
i
J (у) = log у (x)dx, I 2л
о
пРинимает наименьшее значение.
190
/. Теория функций
Покажем прежде всего, что, какова бы ни была функция у (х) класса
допустимых функций, всегда можно построить неубывающую функцию и (х)
того же класса и такую, что
J (у) = J (и).
В самом деле, пусть п — целое число и пусть тк есть мера множества
значений х, для которых
(к — 1)/п < у (х) к/п, к = 1, 2, . . ., п.
Обозначим через ип (х) функцию, равную к/п при
к-1 к
21 2 mj.
j-=l j=l
Функция ип есть, очевидно, функция неубывающая, кроме того, по
построению при любом х, 0 х 2л,
ZZ1 (х) и2 (х) . > ип (х) . .,
следовательно, построенная последовательность функций ип (х) сходит-
ся к некоторой неубывающей функции и (х). В силу определения интег-
рала Лебега, и (х) будет принадлежать классу допустимых функций,
кроме того,
i i
§ log у (х) dx — lim § log ип (х) dx.
о п-*°° о
Таким образом, не меняя минимума интеграла J, мы можем в классе
допустимых функций ограничиться функциями неубывающими. Усло-
вие (5) при этом примет вид
х
J {у, х) = ^у (x)dx Кхх\
о
Докажем теперь, что искомый минимум достигается, если при любом
х имеем
у (x)dx = Kxv.
о
В самом деле, допустим, что при некотором значении х, х = х$ < 2л,
имеем
у (x)dx = Kxq.
Обозначим через ц (х) функцию, равную у (х0 — 6) — у (х), 0 < б <
< х^, при xQ — б < х С х0, равную е при xQ х 2л и равную нулю
при 0 < X < Xq — б. Функция у (х) = у (х) + ц (х) положительна, опре-
делена и монотонна при 0 х 2л, кроме того, в силу монотонности
у (х) и у (я), числа б и е всегда можно подобрать так, чтобы J (у, х)
Kxv при любом х и J (у) <Z J (у)*
13. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 191
Итак, функция у (я), реализующая искомый минимум, имеет вид
у (х) = KyXv~r.
Следовательно, в классе допустимых функций {у (я)} имеем
i
log у (х) dx I log Ку + (У — 1) О log I — О-
о
Доказанное неравенство (4) есть условие принадлежности функции
ф' (ш) классу j#1, но тогда, в силу теоремы Рисса, почти всюду на ок-
ружности | w | — 1 ф' (w) стремится к определенным конечным значе-
ниям, когда w стремится к точке окружности | w | = 1 по любому нека-
сательному пути. Для завершения доказательства заметим, что если
в точке ш0, | w0 | = 1, lim ф' (w) существует, когда w —> w0 по любому
некасательному пути, то всегда можно построить гладкую замкнутую
кривую С, касающуюся окружности | w | = 1 в точке w0 и такую, что
ф' (w) будет непрерывна в замкнутой области, ограниченной С. Преобра-
зование z = ф (ш) переведет С также в гладкую кривую С', принадлежа-
щую D и проходящую через точку z0 = ф (ш0), следовательно, в точке
z0 = Ф (wq) граница Г области D допускает внутреннюю касательную.
Так как мера множества точек wQ равна 2л, то, следовательно, при отоб-
ражении w = / (z) области D на круг | w | < 1 множеству точек Г, до-
пускающих внутреннюю касательную, соответствует множество точек
меры 2л.
§ 2. ГРАНИЦЫ С КОНЕЧНЫМ ВРАЩЕНИЕМ
В настоящем параграфе мы установим один геометрический признак,
при соблюдении которого граница односвязной области будет удовлет-
ворять условию В. Введем предварительно некоторые обозначения.
Пусть С есть простая замкнутая аналитическая кривая в плоскости z.
Обозначим через a (t) угол, образованный касательной к С в точке t с
действительной осью. Пусть tQ есть точка С, ближайшая к точке z = 0.
Если ближайших точек несколько, то за t0 примем точку с наименьшим
аргументом. Принимая за начальное значение a (t) в точке /0 число,
заключенное между 0 и л, 0 <1 a (tQ) обозначим, соответственно,
через т (С) и через М (С) нижнюю и верхнюю границы значений непре-
рывной функции a (£), когда Z, начиная от £0, описывает в положительном
направлении кривую С.
Пусть D — произвольная односвязная область в плоскости z, и пусть
Г есть граница D.
Определение 6. Мы скажем, что область D (или ее граница Г)
принадлежит классу R (иг, М), если, какова бы ни была замкнутая об-
ласть Du Dr С D, всегда существует простая замкнутая аналитическая
линия С, такая, что: 1) область, ограниченная кривой С, содержит Dr
и содержится в D; 2) т т (С), М М (С).
Нетрудно убедиться, что всякая выпуклая область принадлежит
классу R (0, Зл), что всякая звездная область принадлежит классу
Л (—л, Зл).
192
I. Теория функций
Лемма 3. Пусть z = ср (it), ср (0) = 0, ф' (0) > 0, есть функция,
реализующая конформное отображение круга | w || < 1 на односвязную
область D, содержащую точку z — 0. Если область D принадлежит классу
R (т, оо), т —оо (R (—оо, М), М < + оо),
то
arg ф' (ш) т — 4л (arg ф' (w) < М + 4л).
Обратно, если arg ф' (ш) > т (arg ф' (w) <Z М), то область принадле-
жит классу R (т — 4л, оо) (R (оо, М + 4л)).
Докажем сначала необходимость условия. Итак, допустим, что об-
ласть D принадлежит классу R (т, оо), т^> —оо. Построим последова-
тельность областей Dr, D2, . . Dn, . . ., ограниченных аналитическими
кривыми Ci, С2, . . ., Сп, . . ., содержащихся в D, сходящихся к D
и таких, что т (Сп) > т. Пусть z = фп (w), фп (0) = ф (0), фп (0) > 0,
есть функция, отображающая вокруг | w | < 1 на область Dn. Имеем
lim фп (ш) = ф (ш), lim фп (ш) = ф' (ш), (6)
П-*ОО П-*оо
причем сходимость равномерная внутри круга. В силу принятых условий
функция фп (ш) = log фп (м?)(фп (0) действительно) аналитична и пра-
вильна в замкнутом круге | w | 1, следовательно, минимальное зна-
чение ее мнимой части Im фп (to) = arg фп (ip) достигается на окружности
| w | = 1. Обозначим через tQ точку Сп, наименее удаленную от точки
z = 0, и пусть $0 есть точка окружности, соответствующая точке tQ,
tQ = фп ($0). В силу геометрического смысла фп (ш) и принятых обозна-
чений, для кривой Сп имеем
I a (tQ) — arg ф' ($0)| < 2л.
Следовательно, когда точка t = фп ($) будет описывать в положительном
направлении кривую Сп, мы будем иметь
| а (0 — arg фп (5)| < 4л.
Таким образом, в замкнутом круге | w | 1 имеем
arg фп (w) т — 4л.
Так как п любое, то, принимая во внимание (6), окончательно получим
arg ф' (ш) т — 4л.
Допустим теперь, что в круге | w | < 1 имеем
arg ф' (w) т.
Примем за кривые С2, . . ., Сп, . . . кривые, в которые перейдут при
отображении z = ф (w) окружности | w | = 1 — 1/2, | w\ ~ 1 — 1/22, . . .
• . | w | = 1 — 1/2п, . . . Очевидно, что, какова бы ни была замкнутая
область Di, принадлежащая D, при п достаточно большом область, огра-
ниченная кривой Сп, будет содержать D±. Кроме того, рассуждая, как
раньше, для любой кривой Сп имеем
I а (/) — arg фп (s)| < 4л,
13. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 193
где и (Ph St> Фп ($) имеют прежний смысл. Так как, по условию
' / \ • ( 2nw
т < arg фп (w) = arg фп —-
\ 2 — 1
то, следовательно, при любом п имеем
т (Сп) — 4л.
Применяя доказанную лемму и известные граничные теоремы, легко
установить следующий результат.
Теорема 1. Если область D принадлежит классу R (иг, оо), гп
— оо, или классу R (—оо, М)', 711 < ос, то при конформном отображе-
нии области D на круг имеем:
1) множеству точек границы D, в которых граница области D не об-
ладает внутренней касательной, отвечает на окружности множество
меры нуль',
2) множеству точек границы D, образующих множество линейной
меры нуль, отвечает на окружности множество меры нуль.
Для доказательства первой части заметим, что в силу леммы 3 log ф' (ш)
есть функция с ограниченной снизу мнимой частью. Отсюда, в силу тео-
ремы Фату, следует, что log ф' (w), а, значит, и ф' (ш), почти всюду на
окружности | w | = 1 стремятся к определенным конечным значениям
по всем некасательным путям.
Из этого, так же как в лемме 2, вытекает первая часть теоремы; для
доказательства второй части допустим, от противного, что на границе
Г области D существует множество Е линейной меры нуль, которое при
конформном отображении, w = f (z), переходит в множество <8 поло-
жительной меры. Воспользуемся теперь конструкцией, данной Н. Н. Лу-
зиным и И. И. Приваловым [1]. Рассмотрим совершенное множество Р
положительной меры, содержащееся в множестве %. Внутри каждого
сектора, опирающегося на смежный интервал б множества Р, проведем
отрезки у, образующие с окружностью | w | = 1 угол л/4 и выходящие
из концов б. Используя известные метрические теоремы теории функций
действительного переменного, нетрудно показать, что множество Р,
mes Р 0, можно выбрать таким образом, что функция ф' (w) будет
равномерно непрерывна в жордановой области А, граница которой сос-
тоит из Р и из построенных отрезков у. Таким образом функция z =
= Ф (w) реализует конформное отображение области А на область Аь
ограниченную кривой Жордана. Из конструкции области А следуе^г,
что ее граница спрямляема, но тогда, в силу непрерывности ф' (ш) в А,
будет также спрямляема граница области А^ Согласно нашей гипотезе,
множество Р положительной меры границы области А переходит при
отображении z = ф (ш) в множество меры нуль границы Ап что проти-
воречит теореме Н. Н. Лузина и И. И. Привалова об инвариантности
меры нуль при конформном отображении областей со спрямляемыми гра-
ницами. Таким образом, теорема полностью доказана.
Вторая часть доказанной теоремы содержится в следующем более
полном результате.
Теорема 2. Пусть Г есть граница односвязной области D, при-
надлежащей классу R (т, оо), т —оо, и пусть Е есть множество
точек Г, которые можно заключить в конечную систему кругов, сумма
7 М. А. Лаврентьев
194
I. Теория функций
диаметров которых не больше е, е > 0. Если D содержит круг | z | ।
то при конформном отображении w = f (z), / (0) = 0, D на круг | w | j
множеству Е отвечает на окружности | w | — 1 множество $ меры
не больше 2ле6, где б — положительная константа, зависящая только
от т.
Для доказательства этой теоремы докажем предварительно одно вспо-
могательное предложение.
Лемма 4. Пусть w = F (z) есть функция, голоморфная в круге
| z | < 1, непрерывная в замкнутом круге | z | 1 и такая, что F (0)= Q
и Im F (z) — т, т^> 0, при любом z, | z | < 1.
При этих условиях имеем
2Л
Jj X (I F (eiQ) |, т) Й0 < 2л,
о
где X (t, т) есть положительная функция t и параметра т, возрастающая
относительно переменной t, lim X (t, т) = ос, т^> 0, и не зависящая
от вида функции F.
В самом деле, пусть {F} есть семейство всех функций, удовлетворяю-
щих условиям леммы (т считаем фиксированным), и пусть Е (F, Z) есть
множество всех точек окружности | z | = 1, для которых | F (е^) | > I.
Обозначим через ln (F) значение I, для которого mes Е (F, I) = 2л/4п.
Покажем, что при любом фиксированном п существует конечная верхняя
граница 1п для чисел ln (F). В самом деле, в противном случае существо-
вала бы последовательность Ft (z), F2 (z), . . ., Fk (z) . . . функций на-
шего семейства, такая, что
lim ln
Но, в таком случае, из последовательности функций
1 1 1
F± (z) 4~ 2mi ’ (z) + 2mz ’ * ’ ‘ ’ F^ (z) + 2mi ’ ‘ ’ * ’
ограниченных в своей совокупности при | z | < 1, можно было бы вы-
брать подпоследовательность, сходящуюся к нулю в каждой точке неко-
торого множества положительной меры (на окружности | z | = 1), что
невозможно, ибо тогда, с одной стороны, в силу известного предложения
А. Я. Хинчина, эта подпоследовательность сходилась бы к нулю в каж-
дой точке круга, а с другой стороны, по условию, имеем
1 = 1
F^
Итак, числа ln = sup ln (F) существуют при любом п.
Заметив это, перейдем к конструкции функции % (t, т). За функцию
X (t, т) примем полигональную функцию, равную 2П-2 при t = 1п, п =
= 1, 2, 3, . . . , X (0, т) = 0, и линейную в каждом промежутке (ln,
Покажем, что X (t, т) есть искомая функция. В самом деле, из при-
нятых обозначений имеем
2Л оо
С X (I F (е<0) |, т) dd < V X (Zn+1> т)-^- = 2л.
о 4
13. О
некоторых граничных задачах в теории однолистных функций
195
полностью доказана. Приведенное
.Дательство можно упростить и можно /
найти простое выражение для функции /
1 Опираясь на эту лемму, а также на \
v 1, докажем теорему 2. В силу лем- \
ы 1 нам достаточно доказать, что любая
обтасть класса Я (тп, оо) удовлетворяет \ *zo /
условию А. Допустим, то противного,
что существует область/) класса R (т, оо), /
не удовлетворяющая условию А. Не на- \
рушая общности, допустим дополнительно,
что D содержит круг | z | < 1. В таком фиг j
случае, согласно определению 3, каково
бы ни было положительное число е,
существуют достижимая дуга у границы Г области D и система
дуг уп у2» • • •» Тп, принадлежащих у и таких, что: 1) отноше-
ние суммы диаметров дуг у1? у2, . . ., уп к длине а покрышки у не пре-
восходит 8; 2) при конформном отображении w = / (z), / (0) = 0, области
D на круг | w | < 1 имеем 5 _> х/25, где 5 есть сумма длин дуг окружности
| W | = 1, соответствующих дугам у1? у2, . . ., yn, a S есть дуга той же
окружности | w | = 1, соответствующая дуге у. Пусть Д есть односвяз-
ная область, граница которой состоит из дуги у и дуг эвольвент покрышки
у дуги у, проходящих через концы дуги у (фиг. 1). Обозначим через z0
центр наибольшего круга, который можно вписать в область Д. Отобра-
зим конформно, w ~ fi (z), область D на круг | w | < 1 так, чтобы точка
z0 перешла в точку w ~ 0.
Нетрудно видеть, что при этом отображении дуга у перейдет в дугу
(окружности | w | = 1) длины большей, чем некоторая абсолютная кон-
станта li. Отсюда, принимая во внимание условие 2 и то, что отображе-
ние w = /х (z) получается из отображения w = f (z) дробно-линейным
преобразованием, легко видеть, что при отображении fi система дуг
У1, у2, . . ., уп переходит в систему дуг а1? а2, . . ., ап (окружности
I w I = 1), сумма длин которых превосходит некоторую абсолютную
константу 10;
ах + а2 + . . . + ап > Zo > 0.
Пусть теперь z = срх (ш) есть функция, обратная функции w = fi (z).
Рассмотрим функцию
Эта функция реализует конформное отображение круга | w | < 1 на об-
/?а?ТЬ П0Д°бную области D, т. е. область, принадлежащую классу
* оо), причем ф (0) - 0, ф' (0) = 1.
Ь.роме того, при рассматриваемом отображении система дуг а17 а2, . . •
а?г окружности | w | = 1 переходит в систему дуг (границы области
1 ’ сумма диаметров которых не превосходит
Еп/1 <Р' (0)1 = <Т IA (ZO)| 8,
196
I. Теория функций
причем, в силу определения точки z0 и известных свойств однолистных
функций произведение о | Л (z0) | меньше некоторой абсолютной кон-
станты.
Таким образом, из гипотезы существования области D класса R (уп, ос)
не обладающей свойством А, следует, что, как бы мало ни было число &
всегда существует функция z = ф (ш), ф (0) = 0, ф' (0) = 1, реализую-
щая конформное отображение круга | w | < 1 на некоторую область J)
класса R (тп, оо), причем эта функция переводит систему дуг окружности
| w | = 1 с суммой длин h > 0 в систему дуг у1? у2, . . ., уп с суммой
диаметров, меньшей е.
Очевидно, что, не нарушая свойств функции ф, можно сделать границу
Г области D простой замкнутой аналитической кривой. Построим в об-
ласти D йокрышки Yi, у2, • • •, Уп ДУГ Yn Y2, • • •, Уп и удалим из области
D все замкнутые области (не содержащие точки z = 0), отсекаемые ду-
гами Yi, Y2, • • •, Уп от области Z). Полученная таким образом, область Du
очевидно, принадлежит, как и область Z), классу 7? (лг, оо). Из определе-
ния покрышек следует, что сумма их длин не превосходит ле. Отобра-
зим конформно, z = ф1 (ш), фх (0) = 0, круг | w | < 1 на область
В силу принципа Монтеля при этом отображении система всех частей
ДУГ Yi, У2, • • •, Уп, входящих в границу области Z>i, будет соответство-
вать системе дуг а2, . . ., ап (окружности | w | = 1) с суммой длин,
большей Zi. Так как длина каждой дуги у,- не превосходит ле, а конформ-
ный радиус области D равен 1, то, следовательно, при е достаточно ма-
лом, будем иметь | ф1 (0) | ^> 1/2. Рассмотрим функцию
имеем
2 $ I / (е1ф) | <2ле- (7)
k=l ак
Кроме того, нетрудно видеть, что функция F (w) = log | (w)\ удовлет-
воряет условиям леммы 2. В самом деле, с одной стороны, по построе-
нию F (0) — 0, с другой стороны, в силу рассуждений, приведенных
при доказательстве теоремы 1, имеем
Im F (ш) = arg %' (ш) —тпх,
где т1 зависит только от константы лг, определяющей класс R (лг, <*)•
Следовательно, в силу леммы 2, имеем
п 2Я
2 5 х {| log I х' (eie) 11, mJ dQ < J Л. | log | %' (<?ie) 11 dQ < 2л (8)
О
Покажем, что при 8 достаточно малом (7) и (8) несовместимы. Для
этой цели найдем минимальное значение суммы
п С
2 J Х dx
k=l
13.
О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций
197
прп условии
2 h(ж)
к=1 ак
dx 2ле,
Kiacc допустимых функций у (х) принимаются все возможные не-
где 3^вные положительные функции, определенные на системе интерва-
пРеРЬ а2, . . <хп. Из отмеченных в лемме 4 свойств функции X нетруд-
Л0ВвПдеть", что, во всяком случае, при е достаточно малом, искомый мини-
Н\м достигается, когда у (х) есть константа у0, определяемая условием
2 $ yadx = 2л£.
«к
Отсюда
уq 2ле/Zi,
следовательно, искомый минимум равен
/А {| log I, mJ.
Таким образом, из (7) следует
£ $ Ml log | у/ (е‘е) 11, mJ dQ ЦК || log , т^ ,
“к
что при достаточно малых е, очевидно, противоречит (8). Теорема пол-
ностью доказана.
§ 3. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ГРАНИЦА
В. Н. Вениаминов [2] анонсировал следующий результат: существует
такая область Жордана D, что при конформном отображении D на круг
множество точек границы Z), достижимых углами, переходит в множество
меры нуль.
Из этого результата следует, что вторая часть теоремы 1 теряет силу,
если вместо областей класса R (т, оо), R (—оо, М) взять области класса
R (—оо, ос) (т. е. произвольные односвязные области) или взять произ-
вольные жордановы области.
Мы начнем с построения примера, который даст усиление отмеченного
результата В. Н. Вениаминова, а затем покажем, что если вместо облас-
тей класса R (т, оо ) взять произвольные жордановы области, то теряет
СПЛУ также и первая часть теоремы 1.
Теорема 3. Существует такая область Жордана D, что при
к°пформном отображении D на круг множество точек границы D, до-
СГГ1ижимых отрезками, переходит в множество меры нуль. (Проблема
существования области D была поставлена академиком Н. Н. Лузиным.)
Границу Г искомой области D мы определим как предел последователь-
ности Г1ч Г2. . . ., Гп, . . . замкнутых кривых, составленных из конеч-
ного числа дуг окружностей.
198
I, Теория функций
с Начнем с описания элемента конст-
рукции (фиг. 2). Пусть а и Ъ — две пр^
извольные точки плоскости; обозначив
через h расстояние между а и fe, проведем
через точку Ъ окружность радиуса 4ft с
с'\ \ центром на продолжении отрезка ~ab 8а
\ \ точку а. Отложим от точки Ъ по пост-
ук \ роенной окружности, в положительном
\\ \ направлении, дугу Ъс длины 2nh. Про.
\ \ ведем теперь хорду be' (нашей окружно-
\\ сти) длины 4fe, соединяющую точку Ъ с
£ некоторой точкой с' дуги Ъс, Соединим точ-
ки а ис дугой новой окружности, касаю-
®иг- % щейся хорды Ъс' в некоторой точке с".
Обе дуги Ъс и ас полностью определяю-
тся точками а и Ь, в соответствии с этим обозначим через
у (а, Ъ) дугу, составленную из построенных дуг ас, Ьс; обозначим, кроме
того, через у' (а, Ь) дугу с'сс", входящую в дугу у (а, Ъ),
Отметим теперь ряд элементарных свойств дуг у:
1°. Угол ф, образованный дугами Ъс'с и ас"с, больше нуля.
2°. Допустим, что граница Г односвязной области D содержит дугу
у (а, Ъ), и допустим, что при этом область, ограниченная дугой у (a, bj
и отрезком ab, содержится в области D. При этих условиях очевидно,
что точки дуги у' (а, Ъ) будут недостижимы в области D отрезками длины,
большей, чем учетверенное расстояние между точками а и Ъ.
3°. Допустим, как раньше, что граница Г односвязной области D со-
держит дугу у (а, Ь), и допустим, кроме того, что область D содержит
круг | z | < 1, а также некоторый круг | z — zQ | < р, окружность ко-
торого | z — z0 | = р проходит через точки а и Ь. Отобразим конформно
область D на единичный круг | w | < 1 при условии, чтобы точка 2 = 0
перешла в точку w = 0. Пусть а есть длина дуги окружности | w\ = 1»
в которую при этом отображении переходит дуга у (а, 6), и пусть а' есть
длина дуги (той же окружности | w | = 1), в которую переходит дуга
у' (а, Ъ). При этих условиях имеем
а'/а > к > 0,
где к — абсолютная константа.
Для доказательства отобразим конформно область D на круг | £ | <С 1
при условии, чтобы середина отрезка аЪ перешла в точку £ = 0. Пусть
при этом отображении дуги Ьс', у' (а, Ь) и с"а перейдут, соответственно,
в дуги длины рх, р2, р3. Применяя принцип Монтеля, нетрудно убедиться,
что существуют четыре абсолютные константы к±, к2, к3, к^, такие, что
Pi > К > 0, р2 > к2 >0, р3 > к3 > 0, Рх + р2 + р3 < к, <2л.
Кроме того, при том же отображении точка z — 0 перейдет в точку Со»
расстояние которой до дуг р1? р2, рз будет превосходить некоторую аб-
солютную константу fc5. Отсюда для того, чтобы получить искомое нера-
венство, остается воспользоваться дробно-линейным преобразованием»
23 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 199
вводящим круг I ? I < 1 на круг
П 1<1 И перяводящим точку £0
I w 1 KV w = 0, и заметить, что, в си-
В ^существования отмеченных кон-
ЛУ н/ отношение дуг окружности
I 1, в которые при этом преоб-
пазовании перейдут дуги 02 и ^ +
й 4- р3, будет ограничено снизу кон-
стантой. зависящей лишь от констант
A- k2, к3, kt и Лг5, т. е. абсолютной
константой.
Повторяя рассуждения, проведен-
ные при доказательстве свойства 3°,
мы получим также следующее свойство
дуГ у (а, 6), свойство, важное нам для Фиг. 3
дальнейшего.
4°. Допустим, что граница Г области D содержит выпуклую (или вог-
нутую) дугу or длины h, такую, что нормаль к о, проведенная через произ-
вольную точку Р дуги or, содержит отрезок РР' длины Д, лежащий вне D,
и содержит отрезок РР" длины Д/2 tg ср, лежащий в области D, где ф есть
угол, образованный дугами Ъс'с и ас"с кривой у (а, Ь). Допустим, кроме
того, что область D содержит круг | z | < 1. Разделим дугу а на 9 равных
частей и обозначим через а и Ъ концы центральной части. Заменим в гра-
нице Г области D дугу аЪ дугой у (а, 6), расположенной вне D. Получен-
ную таким образом область отобразим конформно на круг | w | < 1 так,
чтобы точка z = 0 перешла в точку w = 0. Пусть при этом отображении
Дуга у' (а, Ь) перейдет в дугу (окружности | w | = 1) длины а', а дуга,
составленная из у (а, Ь) и непродеформированных частей дуги а, пусть
перейдет в дугу (окружности | w | — 1) длины а. При этих условиях имеем
а'/а > к > 0,
где к — некоторая абсолютная константа.
После сделанных замечаний перейдем к конструкции искомой области.
Разделим окружность | z | = 1 на п± равных частей а^, • • •,
занумерованных в порядке положительного обхода окружности | z | = 1.
Разобьем каждую дугу на 9 частей, и пусть Ujbj есть центральная часть
этого разбиения. Заменим каждую дугу j = 1, 2, . . ., п, дугой у (а7«,
Д Расположенной вне круга | z | < 1 (фиг. 3). Получившуюся таким об-
разом замкнутую кривую обозначим через Гх, и пусть Dx есть область,
ограниченная этой кривой. Согласно свойствам 2°, 4° кривых у (а, 6),
Ри конформном отображении
w = fl (Д л (0) = 0
области Z)1 на круг | w | < 1 множеству точек Гх, не принадлежащих ду-
Д/n Т’ е’ точек, достижимых отрезками длины, большей чем
будет отвечать на окружности | w | = 1 система дуг с суммой длин,
олыпей, чем 2л (1 — к), где к есть абсолютная константа из свойства 4°.
гловые точки и концы дуг у разбивают 1\ на конечное число дуг, каж-
200
I, Теория функций
дую такую дугу разобьем на равных частей. Каждую из полученных
таким образом п2 = п1т1 дуг о42), о'22), . . g% разделим на 9 равных частей
и обозначим через aj2)fej2) центральную часть разбиения дуги о^2). За_
меним в границе области Dr каждую дугу aj2)6j2) дугой у (а(Д Ц2)), рас,
положенной вне области Dr. Полученную таким образом кривую обозна-
чим через Г2, а область, ею ограниченную, через D2. Число мы выберем
при этом настолько большим, чтобы:
1) при конформном отображении
W = /2 (г), /2 (0) = 0,
области D на круг \ w | < 1, системе всех дуг, входящих в Г2 и получив-
шихся путем деформации дуг, не входивших в у' (я)2), 6j2)), отвечала бы
система дуг (окружности | w | = 1) с суммой длин, не большей 2л (1 — к);
2) Г2 было бы простой замкнутой линией;
3) все точки дуг у (а<2), 6^2)), получившихся путем деформации дуг,
входящих в у' (a,j, bj), были бы недостижимы отрезками длины, большей
чем лМр
Пусть $i2), $22\ • • •, есть система дуг Г2, дополнительная к системе
дуг, получившихся путем деформации всех дуг у' (а7«, bj). В силу этих
условий и в силу свойств 2° и 4° дуг у при отображении w — /2 (z) системе
дуг $i(2), s22), . . ., 42) границы будет отвечать на окружности система дуг
с суммой длин, не большей чем 2л (1 — А:)2; при том же отображении всем
точкам границы Г2, не принадлежащим дугам у' (aj2), &j2)), будет отвечать
на окружности | w | = 1 система дуг с суммой длин, не большей чем 2л (1 —
— к). Заметим, что любая точка дуги у' (а$2), &<2)) будет не достижима от-
резками длины, большей чем —-—=— а любая точка дуги, полу-
711^1 722
лившейся путем деформации любой из дуг у' (а7«, bj) будет не достижима
отрезками длины, большей чем л/пр
Продолжая описанный процесс, мы получим последовательность
Гр г2, ..rv, . . .
замкнутых кривых, составленных из дуг окружностей и ограничивающих
области
Dp D2, . . ., Dv, ...
Считая область rv_x определенной, мы определяем область следующим
образом: угловые точки и концы дуг у разбивают rv-i на конечное число
дуг,|каждую такую дугу разобьем на равных частей. Каждую из
полученных таким образом nv = дуг OiV), o2v), . . ., g^ разобьем
на 9 равных частей и обозначим через а^}Ь^\ центральную часть^раз;
биения дуги 6jV). Заменим в границе Г\_1 области Dv-i каждую дугу а^Ь^)
дугой у 6jv)), расположенной вне области Dv_i. Через Tv мы обозна-
чим полученную таким образом кривую.
В силу отмеченных выше свойств кривых у (а, 6), если числа последо-
вательности п2, . . ., nv, . . . будут все достаточно большими и будУт
201
О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций
чн0 быстро стремиться в бесконечность, то кривые будут обла-
Я°СТЯследующими свойствами:
Да”3 Все кривые суть простые замкнутые линии и при v ->• ос равно-
го стремятся к некоторой простой замкнутой линии Жордана Г.
рсе т0Чки дуг границы Г?, получившиеся путем деформации дуг
' i~6 b(-r}) г не достижимы отрезками длины, большей чем л/пг.
3 Пусть 4 , 4 , . . есть система дуг Iv, дополнительная к систе-
ме дуг, полученных деформацией всех дуг у' (ajr), b{p); при конформном
отображении
w - fv (z), (0) = 0
области на круг |и?|< 1 системе дуг sf0, 4V), • • •, 4^ будет отвечать
система дуг (окружности | w | = 1) с суммой длин, не большей чем 2л (1 —
- k)v-r.
Из перечисленных свойств кривых rv и из теоремы Маркушевича [3]
немедленно следует, что при конформном отображении
w = / (z), / (z) = lim /v (z)
V—*OO
области P1? ограниченной кривой Г, на круг | w | < 1 множеству точек Г,
достижимых отрезками длины, большей чем nlnv, отвечает на окружности
| w | = 1 множество меры нуль. Так как, по условию, nv<Z оо, то отсюда
заключаем, что при отображении w = / (z) множеству точек Г, достижимых
отрезками, отвечает на окружности | w | = 1 множество меры нуль.
Покажем теперь, что на односвязные области наиболее общего вида
нельзя также распространить и вторую часть теоремы 1.
Теорема 4. Существуют такая область Жордана D ина границе D
такое множество Е линейной меры нуль, что, при конформном отобра-
жении области D на круг, множество Е переходит в множество положи-
тельной меры.
Из теоремы 3 и леммы 2 непосредственно вытекает, что существуют
односвязные области, не удовлетворяющие условию В, пусть А — такая
область. Докажем прежде всего, что, каковы бы ни были числа 8, т], 6,
область А можно реконструировать в область Дх, обладающую следующими
свойствами:
1°- Граница области Ах принадлежит кольцу 1 — т) < | z | < 1.
2°. При конформном отображении области Ах на круг | w | = 1, таком,
что точка г ~ 0 переходит в точку w = 0, некоторая система дуг (границы
^1) с суммой длин, меньшей 8, переходит на окружности | w | = 1 в систему
Дуг с суммой длин, большей чем 2л — б.
В самом деле, согласно принятому условию, как бы малы ни были
исла 8j и б1? на границе А существуют достижимая дуга у и система дуг
Тг, • • ., уп такие, что: 1) концы дуги у совпадают с концами еепокрыш-
и У; 2) отношение суммы диаметров дуг уу к длине покрышки у дуги у
меньше, чем 8Х; 3) при конформном отображении
= / (г), / (0) = 0
области Д на круг | w | < 1 имеем
s > (1 - 6J 5,
202
I. Теория функций
где s есть сумма длин дуг окружности | w | = 1, в которые при отобр^
жении / переходят дуги уь . ., уп, а 5 есть дуга той же окружности'
в которую переходит дуга у. ’
Пусть g есть область, ограниченная дугой у и эвольвентами покрышки
у, проходящими через концы дуги у. Пусть z0 есть центр наибольшего
круга, вписанного в область g, и пусть г есть радиус этого круга. Сдвинем
область А таким образом, чтобы точка z0 перешла в точку z — 0, а затем
увеличим подобно эту область в 1/г раз с центром подобия в точке z = 0.
В полученной таким образом области А' дуге у будет отвечать некоторая
дуга у', покрышке у дуги у будет отвечать покрышка у' дуги у', причем
длина у' будет заключена между двумя абсолютными константами, сле-
довательно, сумма диаметров системы дуг ух, у2, . . ., уЛ, отвечающих
дугам ух,. у2, . . ., уп, будет не больше чем ре1? где р — некоторая абсо-
лютная константа. Отобразим конформно
W = /1 (z), /1 (0) = 0
область А' на круг | w | = 1. Функция Д, очевидно, получается из /
путем дробно-линейного преобразования. Отсюда, принимая во внимание
отмеченное свойство области А и известные свойства однолистных функций,
нетрудно видеть, что при отображении w = /х (z) системе дуг ух, у2, . . ., уп
будет отвечать на окружности | w | = 1 система дуг с суммой длин, боль-
шей, чем а (1 — ptSi), где рх — абсолютная константа, а о есть длина дуги
(окружности | w | = 1), в которую переходит дуга у'.
Удалим из области А' все односвязные области (не содержащие точки
z — 0), ограниченные дугами у£, у2, . . ., уп и их покрышками ух, у2, . . .
• . ., уп. В силу отмеченных выше свойств покрышек сумма длин покрышек
yl, У2* • • Уп будет меньше, чем рле1? где р — абсолютная константа.
Границу построенной таким образом области будем аппроксимировать
аналитическими кривыми G, С2, . . ., Сп, . . . так, чтобы длина всякой
дуги an, ап CZ Сп, стремящейся при п —ос к дуге р, р С_ у>, стремилась бы
к длине р.
При п достаточно большом область А", ограниченная кривой Сп, будет
обладать, в силу свойств области А' и принципа Монтеля, следующими
свойствами: 1) область А" содержит круг | z | < 1; 2) при конформном
отображении
^ = /2(z), /2 (0)= 0
области А" на круг | w | < 1 некоторая система дуг у'х, у2 , . . ., Уп (гра-
ницу Д") с суммой длин, меньшей чем рл^, будет переходить в систему
дуг окружности | w | = 1 с суммой длин, большей чем оц (1 — P16J, где
Од есть длина дуги оф, в которую переходит дуга у", у" > y'j.
Проведем радиус окружности | w | = 1 с концом в середине дуги ар’
на этом радиусе возьмем точку ш0,| ш0| = 1 — В силу теоремы Кёбе
расстояние р от точки z0, ш0 = /2 (z0), до ближайшей точки границы об-
ласти А" будет не меньше 6х/4. Перенесем область А" так, чтобы точка
попала в точку z = 0, а затем увеличим подобно эту область в 1/р Ра3
(с центром подобия в точке z = 0). Пусть А'" есть полученная таким об-
разом область, и пусть yw, ух, у2, . . ., Уп суть дуги границы А •
13 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 203
соответствующие дугам у", Уз, у2, . . у„. В силу предыдущего сумма
пн ДУГ Т1- ?2’ • • •’ не превосходит число е2 = 4цле1/61. При кон-
формном отображении
w = /3 (.), /з (0) = о
области на круг | w | < 1 системе дуг yi", у2", . . у“ будет отве-
чать система дуг, сумма длин которых будет больше чем 2л — ц l/'S*’
где ц2 - абсолютная константа. Отсюда видим, что, как бы малы ни были
числа е2 и <%, числа ех и 6Х, мы всегда можем выбрать так, что область Д,лг
будет обладать следующими свойствами:
1) Д'" содержит круг | z | < 1 и на границе содержит точку zx, | z, I = 1-
2) при отображении /3 система дуг границы Д"' с суммой длин, мень-
шей е2, переходит в систему дуг с суммой длин, большей 2л — 62. ’
Прежде чем переходить к дальнейшим построениям, отметим одна
элементарное соотношение. Пусть F (х) — измеримая, положительная
ограниченная функция действительного переменного х, определенная от
—оо до +©о. При этих условиях, если
—ос
F (х) dx < h,
— оо
(9>
то в интервале (а, Ъ) найдется такая точка £, что
ъ
Г F (х) dx 4h . 10
J 1^11 — II — а
В самом деле, допустим, что при всех значениях а < £ < Ъ имеем
но тогда, интегрируя неравенство (11) и принимая во внимание (9)? получим
ъ ъ
J J 1/1 *—&
а а
Ъ _____
= 2 F (х) ("j/F—4- У b — x) dx <&гУЬ — а.
Отсюда окончательно получим
М < 47г/]/ Ъ - а.
Покажем теперь, что, сохраняя свойства области Д'", мы можем считать
ее границу расположенной в кольце 1 <С | z | <С 7?, где R число, не
зависящее от степени малости чисел е2^ ^2- Допустим, в самом деле, что
пРи всех е2 и б2 достаточно малых граница Д'" содержит точки, сколь
И одно удаленные от начала z = 0. Возьмем на границе Д точку z1?
1 I = 1, и обозначим через L простую дугу границы Д , проходящую
204
I. Теория функций
через zr п расположенную внут.
ри круга I z — zx I < 3; пусть
z2 — один из концов этой дуги
На отрезке zrz2 возьмем точки
Р и Р2, находящиеся от точки
z±, соответственно на расстоя-
ниях х и х + Дя, Да; > 0. Че-
рез Р и Р2 проведем прямые d
и d', перпендикулярные отрез-
ку Z& (фиг. 4). Пусть Да есть
сумма длин дуг (границы Д'"),
каждая из которых: 1) принад
лежит одной из дуг у2, . , ,,
и 2) принадлежит полосе,
ограниченной прямыми d и d't
Положим
Возьмем на дуге L две произвольные точки Qx и Q2 так, чтобы ортогональ-
ная проекция точки на прямую z±z2 отстояла от zL не больше чем на 1,
а проекция точки Q2 на ту же прямую отстояла от z2 не больше чем на 1.
Построим двухлепестковую риманову поверхность Т Q2) с точками
ветвления в и Q2. Принимая за линию перехода с одного лепестка на
другой кривую L, будем считать, что область Д'" принадлежит первому
лепестку. Отобразим конформно поверхность Т (Qr, Q2) на однолистную
плоскость так, чтобы нулевая точка первого лепестка перешла в нулевую
точку плоскости. При этом отображении область Д'" перейдет в некоторую
область Д(4), граница которой будет принадлежать кольцу г < | z | <С Л,
где числа /?, г не будут зависеть ни от вида области Д'", ни от положения
точек Q2 на линии L (конечно, при выполнении тех условий, которым
удовлетворяют область Д'" и точки Qr и Q2). Обозначим через е3 сумму
длин дуг границы Д<4>, соответствующих дугам ух, у2, • • Ул (ПРИ
отображении Т на плоскость). Из определения функции F (х) и из элемен-
тарных свойств отображения Т на плоскость следует:
4~ОО
F (х) dx < е2,
—оо
4-00
С F (х) dx
ц3 \ —г— - ~— -
J "[/J X — | | X — t2 ]
°<zl< 1»
2 < t2 < 3,
где ц3 — числовая константа, a t± и t2 суть расстояния от точки zt до про-
екций точек и Q2 на отрезок zrz2. Следовательно,
F (т) dx
l<| Z — «1 I
+ Из
F (х) dx
/| Л- — |
13 & некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 205
принимая во внимание (10), существуют такие значения для
Отсюда,' *дОвательно, и такие положения точек Q2, что е < йц3е2.
11 Чт 3 • каковы бы ни были числа е3, б3, существует область Д(») обла-
11та?’следующими свойствами: 1) Д(5) содержится в круге | z | < 1 и
дак»Щая | z | < г, где г — числовая константа; 2) граница Д<5> со-
соЛе^'т точку zx с модулем 1; 3) при конформном отображении w = fb (z),
= 0 области Д(5) на круг | w| < 1 некоторая система дуг у}5), у!>5),.. .
' \(3) границы Д(5) с суммой длин, меньшей е3, переходит в систему
‘ гг с суммой длин, большей чем 2л — б3.
д- Отправляясь от области Д<5>, займемся конструкцией области Дх.
П сть г есть радиус наибольшего круга с центром в точке z = 0, содер-
жащегося в области Д<5>. Обозначим через Ди сумму длин дуг границы
области Д<5), каждая из которых: 1) принадлежит кольцу х < | z | < х +
4-'Дж; 2) принадлежит одной из дуг yi5), у25), • • •, Тп5)- Положим
ч . Ди
ко условию имеем
1
f F (х) dx < е3. 12)
Го
Пусть Q есть произвольная точка кольца
r0+h<\z\<.l+h, h = (1 — r0)/3,
принадлежащая границе области Д(5). Построим двухлепестковую ри-
манову поверхность с точками ветвления Q и оо и обозначим через Т (Q)
кусок этой поверхности, принадлежащий кругу | z | < 1. Принимая за
линию перехода с одного листа на другой дугу границы области Д(5), со-
единяющую точку Q с точкой окружности | z | = 1, будем считать, что
область Д<5> принадлежит первому лепестку. Отобразим конформно по-
верхность Т (Q) на круг | z | < 1, так, чтобы нулевая точка первого листа
перешла в центр круга. При этом отображении область Д<5) перейдет
в область Дх (Q), содержащуюся в единичном круге и содержащую круг
I z | <; гх #г0, где 7, q > 1, зависит только от г0 и не зависит от по-
ложения точки Q в кольце r04-fe<|z|<l — h. При том же отображе-
нии система дуг у|5), у2(б\ . . ., у(п5) перейдет в систему дуг, сумма длин
которых, 8 (()), будет удовлетворять неравенству
е(<?)<иД-Ш^, ro + h<t<l-h, (13)
Го
гДе t есть расстояние от точки Q до точки z = 0 и есть константа, за-
висящая лишь от г0.
Как мы видели выше, из (12) и (13) следует существование такой точки
что будем иметь
V 1 —
206
I. Теория функций
____________где константа р (г0) зависит только от
го- Положим Дх(1) (ф0) = Д1° и обозна-
/___________чим через Ф преобразование, при помо-
/ / щи которого мы из области Д<5> полу-
/ / Sj*/\ \ чили область Д^:
I | Д11) = ф (Д(5)).
\ ) / Рассмотрим последовательность об-
\ / ластей
\ / д(Д д^, д!2), ..дГ, ...
(Д10) = Д<5>)
где Aiv) = Ф (Дд^) и где rv есть ра-
Фиг* 5 диус наибольшего круга с центром
в точке z=0 и содержащегося в области
AiV), Из определения операции Ф следует, ч-ю
lim rv = 1;
V—>оо
пусть v есть наименьшее целое число, для которого имеем 1 — rv < т].
Отсюда, принимая во внимание снова свойства операции Ф и свойства
начальной области Д1о), мы легко обнаруживаем следующие свойства
области Aiv): 1) область содержится в круге | z | < 1 и содержит
круг | z | < 1 — ц; 2) при конформном отображении области AiV) на круг
| ^ | < 1:
= /6 00, /6 (0) = 0,
некоторая система дуг границы области Д^ с суммой длин, меньшей чем
е = Р (г0) Р fo) . . > р (rv) e3J
переходит в систему дуг окружности | w | = 1 с суммой длин, большей
чем 2л — 63.
Так как при наших построениях числа г0, б3 и ц от 83 не зависят, а 83
может быть сделано сколь угодно малым, то отсюда заключаем, что число
8 может быть также сделано сколь угодно малым. Отсюда заключаем, что
построенная область Дх = Д1г) обладает всеми требуемыми свойствами.
Пусть теперь а1? а2, . . ., afc, а7- = ctjbj — система дуг окружности
| z | = 1, пусть Sy — сектор круга | z | < 1, опирающийся на дугу а;
(фиг. 5), и пусть lj есть дуга границы области Д1? принадлежащая сектору
Sj и соединяющая радиусы Oa,j и Obj. Обозначим через
Д (8, б, ц, ах, а2, ♦ . ., ак)
область, граница которой состоит из дуг Z1? Z2, . . ., Zk, из отрезков радиусов,
соединяющих концы дуг lj с окружностью | z | = 1, и из дуг 6^7, 6^*7 • • •
. . ., окружности | z | = 1. Из свойств области Дх следует, что при
всех достаточно малых значениях ц:
Г] < Т]о (е, б),
13 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 207
следующее свойство области Д: при конформном отображении об-
Л на круг, W - % (г), % (0) = 0, некоторая система дуг границы об-
ласти
ласти Д
V1. Уш
жащих секторам Sj и с суммой длин, меньшей, чем е перейдет
л
в систему дуг окружности | w | = 1 с суммой длин, большей чем У — 6.
Перейдем к окончательной конструкции искомой области D, Область D
мы получим как предел последовательности жордановых областей Z)x,
•> Dn, . . . Для конструкции этих областей возьмем предварительно
две числовые последовательности:
е1? е2, • • • • •> > 0, lim еп = 0,
и-*оо
оо
бр 62, • • •> бп, . . 8п 0, Sy <С л.
За область Dr примем область Д (е1? 61? т|0 (ех, 6Х), 2л).
Пусть
= Х1 %х (0) = 0,
есть функция, реализующая конформное отображение области Dr на круг
| w | < 1, и пусть ухх), у2Х)» • • •, Тп? есть система дуг границы области D
с суммой длин, меньшей чем ех, переходящая при отображении w = %х (z)
в систему дуг ахх), (окружности | w | — 1) с суммой длин,
большей чем 2л -- 6Х. Обозначим через Г^х) дугу границы содержащую
yjx) строго внутри: •Гр) = 0 при £=/=/, и обозначим через область,
образованную отрезками внутренних нормалей к Г;Х) длины ht; число hr
мы будем считать настолько малым, чтобы: 1) оно было меньше длины yjx)
и 2) все области у = 1, 2, . . ., пх, принадлежат области Dr.
Пусть z = <рх (ш) есть функция, обратная функции w = (z). За
область Z>2 примем область, в которую при отображении z = <рх (£) перейдет
область Д (е2, б2, r],aiX), а2х), . . ., а(пх)), причем число ц, ц < т)0 (е2, S2),
возьмем настолько малым, чтобы область D2 содержала все точки области
расположенные вне области djx).
Допустим, что мы определили области Dx, Z)2, . . ., Dm, все области
j = 1, 2, . . ., т\ I п7-, и все дуги J = 1, 2, . . т, i п7-, так,
что: 1) сумма длин дуг i = 1, 2, . . ., п,-, меньше чем е7-, / = 1, 2, . . .
. • •> тп; 2) при конформном отображении w = (z), %,- (0) = 0, области Dj
на круг | w | < 1 системе дуг y2J*\ . . ., Уп? отвечает на окружности
j
система дуг axJ), a2J\ • • ^п- с суммой длин, большей чем 2л — У, Sf,
J i=i
3) при j <Z к области вместе с их границами принадлежат множеству,
°оразованному областями dx^, с$\ . . dn?- Определим области Dmr
j = 2,. . ., Пт+1, и [дуги у^т+х), i = 1, 2, . . ., пт+1. Пусть z =
208
I. Теория функций
= Фтп (w) есть функция, обратная функции w — %п (z). За область D
примем область, в которую при отображении z = фш (£) перейдет область
Д (em+i, 6m+i, Т], аГ’, 4””, • • •, а^), причем число т], т| < -q0 (ет,,,
возьмем настолько малым, чтобьь область Dm+i содержала все точки области
Dmi расположенные вне областей d\m). За Тз™+1\ • • •, пРимем
систему дуг границы области такую, что: 1) все дуги у^+1) принадлежат
множеству, образованному из областей diw+1), Й2Ш+2\ . . .; 2) сумма длин
дуг Yiw+1), ?2W+1)> • • м меньше чем sw+1; 3) при конформном отображении
w = Xm+1 (z), Xm+1 (0) = 0, области Z>w+1 на круг I w I < 1 дуги у^ш+1) пе-
реходят в систему дуг окружности | w |= 1 с суммой длин, большей чем
ш+1
2л — 2 6^. Дуги обладающие перечисленными свойствами, суще-
г=1
ствуют в силу установленных выше свойств областей Д и принятых свойств
области Dm. Обозначая через Г^ш+1) дугу границы области 7)т+1, содер-
жащую строго внутри дугу 7^т+1) и содержащуюся в одной из областей
p(m+i) p(m+i> _ q, при j j, за diW+1) мы примем область, образованную
отрезками внутренних нормалей к ГГ"+1) длины hm+1, где hm+1 выбрано
настолько малым, чтобы: 1) не превосходило длины дуги 7?п+1);
2) все области принадлежали множеству, составленному из областей
djm), / = 1, 2, . . ., пт.
Пусть Сп есть граница области Dn. Из построения областей Dv D2, . . .
. . ., Dn, . . . следует, что последовательность кривых С\, С2, • • •, • • •
равномерно сходится к некоторой простой замкнутой линии Жордана С.
Нетрудно видеть, что область Z), ограниченная кривой С, есть искомая
область. В самом деле, пусть d^ есть множество, составленное из всех
областей dim), d{™} , . . d^ и пусть Е есть совокупность точек, принад-
лежащих всем множествам т = 1, 2, 3, . . .,
оо ' П/
я= П S
m=l j=l
в силу свойств областей множество Е есть совершенное множествОг
принадлежащее С и имеющее линейную меру нуль. Покажем, что при
конформном отображении w = / (z), / (0) = 0, области D на круг | w | < 1
множество Е перейдет в множество 8 точек окружности | w | = 1 меры,
большей л» Для этой цели рассмотрим систему дуг Ciw),
кривой С, дополнительную к системе дуг yiW), yzm\ . . ., (т* е* все
дуги 7<т) и составляют всю линию Ст). Все дуги С[т\ i = 1, 2, . • •
. . ., пт, принадлежат линии Си (в силу принципа Монтеля и свойств об-
ласти Dm) при отображении w = / (z) переходят в множество точек окруж*
ности меры, меньшей чем у
г=1
23 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 209
ч мечая, что сумма всех дуг р-т'>, i = 1, 2, . . ., пт, т = 1, 2, . . .
множество, дополнительное к Е, окончательно получаем
оо
mes^>2n-gSi>n;
теорема полностью доказана.
Из доказанное теоремы вытекает, что при конформном отображении
роизвольной односвязной области на круг множество Е точек границы
этой области, имеющее линейную меру нуль, может переходить в множе-
ство S меры, сколь угодно близкой к 2л. Отсюда, естественно, возникает
вопрос О разыскании условий, которым должно удовлетворять множе-
ство Е, чтобы мера соответствующего множества $ была равна нулю.
Отметим одно из таких условий.
Теорема 5. Пусть множество Е точек границы односвязной об-
ласти D удовлетворяет следующему условию: как бы мало ни было число 8,
всегда можно построить систему кругов С1Ч С2, . . ., Сп, таких, что:
1) круги покрывают множество Е,
2) сумма диаметров всех кругов не больше в и
3) отношение диаметра круга Ci, i = i, 2, . . ., п, к расстоянию от
этого круга до любого круга Cj, j =^= i, меньше 8.
При этих условиях, при конформном отображении области D на круг
| w | < 1 множество Е переходит в множество 8 (точек окружности | ш | —
= 1), имеющее меру нуль.
В самом деле, обозначим через Ej множество точек границы области D,
принадлежащих кругу Cj, и через Ej — множество точек границы D,
не принадлежащих кругу Cj, но принадлежащих кругу, концентрическому
с Cj, и в1/(2е) раз его большему. Пусть и Oj суть, соответственно, меры
множеств точек окружности, в которые, при данном конформном отобра-
жении D на круг \w | < 1, переходят множества Ej и Ej, Применяя тео-
рему Миллу [4], нетрудно видеть, что
O'/а • = К У 8,
где К — константа, не зависящая ни от 8, ни от ;. Так как, кроме того,
&j 2л,
5=1
то отсюда заключаем, что, как бы мало ни было положительное число 8,
имеем
mesg < J Qj < 2л£]/е,
5=1
следовательно, mes $ = 0.
§ 4. СПРЯМЛЯЕМЫЕ ГРАНИЦЫ
отоб аТ₽°НеМ В заключение вопрос о соответствии границ при конформном
случ^аЖеНИИ областей> ограниченных спрямляемыми кривыми. В этом
соот^6’ В СИЛу Результатов Н. Н. Лузина, И. И. Привалова, Ф. Рисса,
тствие границ осуществляется абсолютно непрерывной функцией,
210
I. Теория функций
в частности, для этих областей имеет место заключение теоремы 1. Эти
результаты оказались достаточными для разрешения ряда важных гра-
ничных задач в теории аналитических функций, однако, в ряде других
задач — изобразимость функции по ее граничным значениям, существо-
вание в данной области полной системы ортогональных полиномов, схо-
димость минимальных полиномов Жюлиа на границе — абсолютной не-
прерывности в соответствии границ недостаточно. При рассмотрении этих
вопросов существенно знать характер этой абсолютной непрерывности.
Отметим здесь прежде всего один результат, относящийся к любым облас-
тям, ограниченным спрямляемой кривой.
Теорема 6. Пусть D содержит круг | z | < 1, и пусть Г — гра-
ница D — есть спрямляемая кривая длины Z. В таком случае, при конформ-
ном отображении w = / (z), f (0) = 0, D на круг | w | < 1 множеству Е,
mes Е = е, границы D отвечает на окружности множество
mes <g <С , (14)
| log е । + 1 ’ ' /
где К есть абсолютная константа.
Для доказательства заметим прежде всего, что, не нарушая общности,
мы можем допустить, что множество Е состоит из конечного числа дуг.
Отсюда, используя теорему Куранта о равномерной сходимости после-
довательностей однолистных функций в замкнутой области, мы можем так-
же допустить, не нарушая общности, что Г есть аналитическая кривая.
Заметив это, обозначим через z = ср (ш) функцию, обратную функции
w = f (z). Имеем
2Я
$ ф' (eie) | dQ - Z,
о
отсюда нетрудно видеть, что
2Л
$ log I ф' (е’е) I de < KJ,
о
где Кг — абсолютная константа. Более точно:
—I, если I 2ле,
\ log | ф' (ew) | dQ < * z
о 2л log если Z j> 2тсе.
Кроме того, так как | ф' (0) | 1, то
§ log | ф' (eie) | dQ 0.
о
Следовательно, каково бы ни было множество <£, mes S = ц, точек окру#'
ности | w | = 1, имеем
$ log | ф' (ew) | d§ > § log | ф' (eiQ) | tZ9 > — KJ.
» о
О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 211
и в таком случае, обозначая через Е множество (точек Г), соответ-
ствующее множеству 8, будем иметь
f mes Е = $ I ф' (eie) I ^0 > n«’K,z/T1-
Следовательно,
+ П log П
mes е Л \ । jog е |
Отсюда, замечая, что ц < 2л и что при этом ц log ц остается ограниченным,
мы получим искомое неравенство.
Для отмеченных выше приложений является особенно важным тот
случай, когда правую часть неравенства (14) можно заменить числом 7Геб,
где К и 6 — положительные константы, не зависящие от 8. Как мы увидим
ниже, в общем случае такую замену произвести нельзя, и остается таким
образом, лишь вопрос о разыскании возможно слабых дополнительных
условий, при соблюдении которых такую замену произвести можно. В силу
теоремы 2 отмеченную замену произвести можно, если потребовать, чтобы
область D принадлежала одному из классов R (т, <х>), т^> —ос, или
R (—ос, М), м< оо. Последнее условие можно заменить условием не-
сколько иного характера. Допустим, что, какова бы ни была достижимая
дуга у границы Г, отношение длины у к длине ее покрышки у (к длине диа-
метра покрышки) не превосходит положительного числа Р. При этих
условиях, применяя теорему 6 и повторяя рассуждения, приведенные при
доказательстве теоремы 2, нетрудно убедиться, что D удовлетворяет усло-
вию А. В самом деле, пусть у есть достижимая дуга границы Г, имеющая
те же концы, что и ее покрышка у, и пусть А есть область, принадлежащая D
и ограниченная дугой у и эвольвентами у, проходящими через концы у.
Пусть, далее, z0 и г — центр и радиус наибольшего круга, вписанного
в область А. Увеличим подобно, с центром подобия в точке z0, z-плоскость
в 1/г раз и обозначим через /)', Д', у', у' фигуры, в которые при этом перей-
дут D, А, у, у. Отобразим конформно: w = F (z), F (z0) = 0, область D'
на круг | w | < 1; так как, в силу принятых условий, длина границы об-
ласти Д' меньше некоторой абсолютной константы, то при отображении F
всякая система дуг, принадлежащих у, с суммой длин, меньшей е, будет
переходить в систему дуг с суммой длин, меньшей । iOg^] _|_ Т ’ где
зависит только от Р. Отсюда, рассуждая от противного, заключаем, что,
каково бы ни было число ц, при 8 < еот| любая система дуг уь у2, • * • , Y»’
принадлежащих у', с суммой длин меньшей е, перейдет при конформном
^тображении w = Ф (z), Ф (z0) = 0, области D' на’круг | w |<1 в сис-
вму дуг с суммой длин, меньшей ц. Пусть теперь уп у2, . . Уп ~~ произ-
льная система дуг, принадлежащих у, с суммой длин, меньшей eZ, е <
£о (ц), где I — длина у, и пусть 5 и s — меры множеств, в которые, со-
о^®етственн°, перейдут при конформном отображении w = f (z), f (0) = 0,
чтоТм^ Ha круг I ш I < 1 ДУга У и система дуг у1? у2, . . ., уп. Замечая,
2 * 2 получается из Ф (z) путемj дробно-линейного преобразования
лоскости, нетрудно убедиться, что
5 <
212
I. Теория функций
где К2 — константа, не зависящая от ц. Следовательно, при
е = е°('2Яг) (15)
будем иметь
s < VjjS, (16)
т. е. область D удовлетворяет условию А. Отсюда, принимая во внимание
лемму 1, мы приходим окончательно к следующему результату.
Теорема 7. Если в условиях теоремы 5 дополнительно допустить,
что, какова бы ни была дуга у, уС_Т, отношение длины у к длине ее хорды не
больше р, р > 0, то, при конформном отображении w = f (z), f (0) = 0,
D на круг | w | < 1, множеству Е, Е CZ Г, mes Е 8, отвечает на окруж-
ности множество <8:
mes $ < 2л8б,
где 6 зависит только от р. (Приведенное рассуждение показывает, что
заключение теоремы останется в силе, если условие «какова бы ни была
дуга у, у GZ Г, отношение длины у к длине ее хорды меньше р «заменим
условием «какова бы ни была достижимая дуга у, уСПГ, отношение длины у
к длине ее покрышки у не больше р». Доказать теорему при замене слов
«длина хорды» словами «длина диаметра» не удалось.)
Отметим в заключение одно приложение добытых выше результатов,
для этой цели докажем предварительно следующую лемму.
Лемма 5. Любая область D, удовлетворяющая условиям теоремы 7,
удовлетворяет условию В.
Пусть Г (г) есть кривая области D, которая при отображении w =
= / (2) переходит в окружность | ю | = г. В соотношениях (15) и (16)
константа К2, а следовательно, и е0, зависит только от р. Отсюда заклю-
чаем, что нам достаточно доказать, что отношение длины любой дуги у,
у CZ Г (г) к длине ее хорды будет меньше некоторой константы Р', не за-
висящей от г. Для доказательства отметим предварительно одно свойство
отображения w = f (z). Пусть и w2 принадлежат некоторому радиусу
круга | w | 1, причем пусть гщ находится в круге | w | < 1, a w2 —
на окружности. Обозначим через zx и z2 точки области D, которым соот-
ветствуют точки w1 и w2.
= f (zx), wz = / (z2).
Покажем, что отношение расстояния от z2 до Г к расстоянию | z2 — zr |
от до z2 больше некоторой константы, зависящей лишь от р. Допустим,
от противного, что, как бы мало ни было число 8, существуют две точки
w1, w2, для которых указанное отношение меньше 8. Эти точки мы, оче-
видно, можем считать расположенными на действительной оси, w2 = 1,
= р 0. Пусть z3 есть точка Г, ближайшая к zx. Обозначим через у,
у QZ Г, дугу с центром в точке z2 и в четыре раза большую дуги z2z3. Пусть
z0 есть центр наибольшего круга, вписанного в область А, ограниченную
покрышкой у дуги у и эвольвентами у, проходящими через ее концы
(фиг. 6). В силу принятых условий, все величины: | z2 — z± | , длина у,
длина у, расстояние от zQ до у — будут находиться в отношениях, ограни-
ченных числом, зависящим лишь от р. Кроме того, по условию,
13 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций 213
| •< е. Отобразим конформно
"w = Л (z>’ F1 (Zo) =0’ F' =
область D на круг | w | < 1. При этом отоб-
ражении части дуги у, заключенные между
ее концами и точками z2, z3, а также дуга
перейдут на окружности | w | = 1 в
дуги, по длине большие некоторой констан-
ты, зависящей лишь от р. Отсюда следует,
что
| F± (0) + 1 I < П1 (е),
lim rij (е) = 0.
е—>0
Но, в таком случае, при конформном отображении
w = F2 (z), F2 (zj = 0, F2 (z2) = 1
области D на круг | w | < 1, будем иметь
I Рг (0) | < Пг (е), lim t]2 (е) = 0,
Е—>0
что противоречит нашему допущению, ибо из условий / (zx) > 0, / (z2) = 1
следует, что F2 (0) < 0.
Перейдем к доказательству леммы 5. Допустим, от противного, что,
каково бы ни было число п 0, всегда найдутся две точки и\ = reai*
и w2 = reia2, такие, что
где z± и z2 суть точки области Z), соответствующие точкам и ш2, =
= / (zj, w2 = / (z2), a l есть длина дуги, которая при отображении w =
= / (2) переходит в дугу (окружности | w | = г), заключенную между точ-
ками z± и z2. Нетрудно видеть, что достаточно рассмотреть случай, когда
величины 1 — г и а2 — малы и удовлетворяют неравенству 1 — г <
< а2 — 04; кроме того, мы, очевидно, можем считать а2 = —ах — а.
Обозначим через у дугу Г (г), соответствующую дуге (—а, а) окружности
I и? | = г. Рассмотрим отображение
, 1 1
w = + 2о)— -2^-+1 =^(z'),
где z0 определяется условием f (z0) = 1 — 2а, а р есть расстояние от z0
До Г.
Обозначим через zj, z2, у', Г, D' и Г' фигуры и величины z'-плоскости:
z == pzf -р 20, соответствующие z1? z2, у, Z, D, Г. Область D' будет обладать
следующими свойствами:
1) D' содержит круг | z' | < 1, а ее граница Г' содержит точку окруж-
ности | z' | = 1;
2) отношение длины любой дуги с , с' GZ Г', к ее хорде меньше р;
3) точка т, F (т) — 1, принадлежит у . Кроме того, в силу принятых
Условий, все величины: | т |, | z2 — zi |, | F (0) — 1 |, расстояние от z = 0
214
I. Теория функций
до дуги у' и длина у' — будут ограничены и сверху и снизу константами,
зависящими только от Р'.
Отсюда и из перечисленных свойств области D' легко видеть, что
какова бы ни была окружность и какова бы ни была дуга (Г, в С D' этой
окружности, длины не большей 2 и находящаяся от точки wf = 1 на рас-
стоянии, не большем 1, при отображении wf — F (zf} эта дуга будет соот-
ветствовать дуге длины, не большей, чем некоторая константа М, завися-
щая лишь от р. В частности, имеем V < ЛГ, следовательно,
-j-----г = ---, 1 -Г-
|22-Z1|
где Мг зависит только от р, но это противоречит неравенству (17), в силу
которого рассматриваемое отношение может быть сделано сколь угодно
большим. Лемма полностью доказана.
Лемма 6. Пусть односвязная область D ограничена спрямляемой
кривой Г и удовлетворяет условию В. Пусть z = ср (ш) есть функция, реа-
лизующая конформное отображение круга | w | < 1 на область D. При
этих условиях гармоническая функция log | ф' (ш) | изобразима в круге
| w | < 1 интегралом Пуассона.
Обозначим через I длину Г и (очевидно, не нарушая общности дока-
зательства) допустим дополнительно, что ф' (0) = 1. Нам требуется до-
казать, что при г < 1 имеем
2Л
log | Ф' (re-) I = 4- ( dQ, (18)
& 1 т v 71 2л J 1 4- г2 — 2г cos (aj— 0) v 7
о
где за ф' (eiQ) мы принимаем предельное значение ф' (ш), когда w стремит-
ся к eiQ по любому пути, не касательному к окружности | w | = 1. Функ-
ция log | ф' (eie) | определена почти всюду на окружности | w | = 1 и
суммируема, так что правая часть (18) имеет смысл. При р < 1 и г < р,
очевидно, имеем
2 Л «д
log I ф'(ге{“) I - — ( (P2-r2)1°gl<P'(P<; )l d0. (19)
iog^(re 2п J р2 + г2 _ 2pr cos (а - 0) v 7
о
Кроме того, почти для всех значений 0, 0 0 2л, имеем
lim log | ф' (реш) | = log | ф' (ег0) |.
p-*i
Таким образом, наша задача сводится к доказательству законности пере-
хода к пределу под знаком интеграла. В силу условия леммы, при любом
р, р 1, имеем
§ | ф' (peie) | dQ I,
о
следовательно, каково бы ни было множество Е, mes Е = 8, расположен-
ное на отрезке (0, 2л), при 8 достаточно малом будем иметь
log I ф' (p3i0) I <29 < е log .
Е
13 О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций
215
Кооме того, в силу лемм 1 и 5, для любого множества 8", mes ё = а,
0^>1/2, имеем
| ф' (р^е) I > ^аб»
где К и б — константы, не зависящие ни от р, ни от
Отсюда, принимая во внимание оценку из § 1, получаем
Е
С log I ф' (р^е) | dd > log( х6^ dx > 2 (е log 8 — е) + г log ~ .
Е О
Следовательно,
| log | ф' (pew) || dQ К'г log -i- , К' — const.
Е
(20)
Так как при любом фиксированном г < 1 и при р -> 1 множитель Пуас-
п2------------- д«2
сона • р2 r2~~2p7 cos __ 0)“ ограничен, то из неравенства (20) вытекает,
что, как бы мало ни было число ц, всегда найдется такое число е, что при
mes £<еир>1-(1- г)/2 будем иметь
С I log | q>' (Pe*e)l (р2—г2)
j I р2 + г2 — 2pr cos (а — 0)
Е
dd<^ т].
Следовательно, переход к пределу, р—>1, в равенстве (19) возможен#
лемма полностью доказана.
Из леммы 6 и теорем 2, 7 получаем следующий результат.
Теорема 8. Пусть односвязная область D, ограниченная спрям-
ляемой кривой Г, удовлетворяет одному из следующих условий:
1) или D принадлежит классу R (т, оо), т > —оо;
2) или отношение длины любой дуги у, у CZ Г, к ее хорде меньше неко-
торой положительной константы.
Пусть, кроме того, z = ф (ш) есть функция, реализующая конформное
отображение круга | w | <1 на область D. При этих условиях гармони-
ческая функция log | ф' (ш) | изобразима в круге | w | < 1 интегралом
Пуассона [5], [6].
Приведенные при доказательстве леммы рассуждения позволяют
также ответить на поставленный выше вопрос о возможности в условиях
теоремы 6 заменить оценку оценкой К (Z) 8^. В самом ^еле,
если в условиях теоремы 6 имеем
mes 8 < Кг6,
гДе б и К зависят только от I, б 0, то из этого следует, что для любой
области D, ограниченной спрямляемой кривой, гармоническая функция
mg I ф' (ш) | изобразима в круге | w | < 1 интегралом Пуассона, что про-
тиворечит одному результату М. Келдыша и М. Лаврентьева, согласно
которому существуют области, ограниченные спрямляемыми кривыми,
Для которых log | ф' (ш) | не представима интегралом Пуассона.
216
I. Теория функций
ЛИТЕРАТУРА
1. LusinN., Privaloff I. Sur I’unicite et multiplicite des fonctiones analvtianpc /
Ann. sci. Ecole norm, super. Ser. 3. 1925. T. 42. P. 143—192. 4 s'/
2. Veniaminoff V. Sur les derivee—limite d’un fonction analytique Ц G. r. hebd
ances Acad. sci. 1925. T. 180. P. 115—116. ’ S(S
3. Markouchevitch A. Sur la representation conforme de domains a frontieres //
сб. 1936. T. 1, № 6. C. 863-886. Рез. рус. ат‘
4. Лаврентьев М. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та им
В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159—245.
5. Смирнов В. И. Sur les formules de Cauchy et quelques problemes qui s’y rattac-.
hent Ц Изв. АН СССР. Отд-ние мат. и естеств. наук. 1932. № 3. С. 337—372'
6. Келдыш М., Лаврентьев М. К теории конформных отображений // Локл’
АН СССР. 1935. Т. 1, 2/3. С. 85-88. М '
14
О НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
В ЗАМКНУТЫХ ОБЛАСТЯХ*
Для упрощения формулировки основной теоремы введем понятие от-
носительного расстояния между двумя произвольными точками о дно-
связной области. Пусть D — произвольная односвязная ограниченная об-
ласть, содержащая точку z — 0, пусть Г — граница D и пусть zr и z2 —
две произвольные точки области D, Обозначим через рх (zx, z2) нижнюю
границу длин линий, содержащихся в D и соединяющих точки zx и z2;
обозначим через р2 (zx, z2) нижнюю границу длин линий, разбивающих D
на две односвязные области так, что точки zr и z2 будут принадлежать
той из этих областей, которая не содержит точки z = 0. Меньшее из двух
чисел рх (zx, z2) и р2 (zx, z2) мы назовем относительным расстоянием между
точками 2Х и z2; мы будем обозначать это расстояние через р (z1? z2, D).
Граничной «точкой» области D мы назовем каждую последовательность
точек области D: zx, z2, . . ., zn, . . ., такую, что все ее предельные точки
принадлежат Г и
lim р (zn, zm, D) = 0.
n-*oo
m—>00
Две точки Цп1)} и {z<n2)} мы будем считать идентичными, если
lim р (z£', D) = 0.
»—>00
Пусть теперь t2 — {4i2)} — две произвольные «точки» замкну-
той области D = D + Г, число
р (ilt i2, D) = lim p (z^\ z^2), D)
?l-*oo
мы будем называть относительным расстоянием между «точками» tY и <!•
* Докл. АН СССР. 1936. Т. 4, № 5. С. 207-209.
24 О непрерывнос1пи однолистных функций в замкнутых областях
217
н пудно видеть, что понятие «граничная точка» совпадает с понятием
той конец», введенным Каратеодори.
«прост „ятых определениях имеет место следующая теорема.
Нрп пр п 7. = / 6/Л. / (СП = О. /' /т = 4
Т е о р е
лис fиная и
=. const, и
м а. Пусть z = f (w), f (0) = 0, f (0) = 1, функция, одно-
ограниченная в единичном круге | w | < 1, | / (w) | < М =
пусть D есть область, образованная значениями f (ш) при
1«ч<ь
Имеем
| U\ — I < Р (г1’ Z2’ (1)
О (zv Z2, D) < к (М) I log I го2 — wv 11-*/% (2)
где w и w2 суть две произвольные точки замкнутого круга | w | 1, zr
и суть соответствующие точки области D, z1 — f z2 = f (w2),
К — абсолютная константа и К (М) зависит только от М.
В силу принятых определений и характера искомых оценок (1) и (2),
теорему достаточно доказать для случая, когда граница Г области D есть
замкнутая аналитическая кривая и когда точки ш2 принадлежат ок-
ружности | w | = 1.
Докажем неравенство (1). Пусть t есть точка Г, «ближайшая» (в смыс-
ле относительного расстояния) к z2, и пусть s есть соответствующая точка
окружности | w | = 1, t = f (s). Пусть у есть дуга, определяющая отно-
сительное расстояние между точками zt и t.
Обозначим через Z)1 = Dr (у) односвязную область, содержащую точ-
ку з = 0 лежащую в D, граница Гх которой содержит дугу у. Пусть при
отображении Dr на круг | w | < 1, w = срх (z), фх (0) = 0, дуге у отвечает
дуга длины I. В силу принципа Монтеля [1], имеем I > | — s |, с дру-
гой стороны, в силу теоремы Шмидта [2], I < К' |/ р (z1? s, D).
Следовательно
I и\ — s I < К' Ур (zn s, D) < K' yp (z1? z2, D).
Для оценки | w2 — 5 | рассмотрим два случая: 1) | z2 — t | p (z1?
22? £>), но тогда, в силу теоремы искажения Кёбе [3], получим
ь2 - 1 | < Х"У Р (*1, z2, D);
2) | z2 — t | р (zn z2, D). Построим, как выше, дугу у, определяющую
относительное расстояние между z2 и t, и область Dx — Dr (у). При отобра-
жении w ~ (z) дуге у будет отвечать на окружности | w | < 1 дуга дли-
ны. меньшей чем К' V р (zx, z2, D), следовательно, при отображении z =
(w) дуга у перейдет в дугу круга | w | < 1 диаметра не больше, чем
i Р (2n z2, D). Отсюда, замечая, что t расположена вне получим
I lL2 — $ | < 7Г"Ур (zv z2, D). Искомая оценка (1) получится из сопостав-
* еняя полученных оценок для | w2 — s | и |
ч ка'жем на идею доказательства неравенства (2). Ограничимся слу-
ЛцеА^ когДа 2i и z2 расположены на Г. Проведем в круге | z | < 2М ана-
НОпИЧеСКУю ДУГУ соединяющую точки z = 0 и z = 2М и такую, что две
Рмали к L, выходящие их двух различных точек L и равные по длине
оп/Г Р (Z1’ Z2’ не имеют общих точек. Пусть А есть область, которую
Шет кРУг радиуса р0, когда его центр опишет L. Так как площадь А
218
I. Теория функций
не превосходит л (2Л/ 4- р0)2, то следовательно, длина L не больщ$
л (2М + Ро)2/Ро- Фиксируем кусок у границы А, принадлежащий окру^
пости | z — 2М | = р0. Отобразим конформно w = q)x (z), (0) = q*
область А на круг | w | < 1, и пусть h есть длина дуги окружности
| w | = 1, в которую при этом переходит дуга у. С одной стороны, отобра-
жая А на прямоугольник ширины 2р0 и используя лемму Гретша [4], не-
трудно видеть, что
_ ( К(М) \*
h>e [ ,
с другой стороны, применяя принцип Монтеля, легко показать, что, ка-
ковы бы ни были точки zx и z2, р (z1? z2, D) = р0, линию L можно всегда
подобрать так, чтобы h > | — wr |. Сопоставляя обе полученные оцен-
ки, мы приходим к неравенству (2).
Отметим в заключение некоторые следствия из приведенной теоремы:
1) теорема Каратеодори о взаимно однозначном соответствии простых кон-
цов при конформном отображении; 2) теоремы Куранта и Фарреля о рав-
номерной сходимости последовательностей однолистных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Polya G., Szegd G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. B.: Springer, 1925.
Bd. 2, 5 Abschn., Aufgabe 131.
2. Лаврентьев M. A. К теории конформных отображений 11 Tp. Физ.-мат. ин-та им.
В. А. Стеклова. 1934. Т. 5. С. 159—245.
3. Polya G., Szegd G. Aufgaben und Lenhrsatze aus der Analysis. B.: Springer, 1925.
Bd. 2, 5 Abschn. Aufgabe 152.
4. Grotzsch H. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und
fiber eine damit Zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes // Ber.
U. Verh. Sachs. Akad. Wiss. 1928. Bd. 80. S. 503-507.
II
КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
15
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
В этой статье я намерен доказать методами теории функций теорему
существования конформного отображения двумерного риманова много-
образия на область евклидовой плоскости е: если дана дифференциальная
квадратичная форма
ds2 = Edx2 + 2Fdxdy + Gdy\ EG - F2 > 0,
где функции E, F и G непрерывны, то существует конформное отображение
соответствующего риманова многообразия на область плоскости е. (В ис-
следованиях Л. Лихтенштейна имеется дополнительное условие: Е, F, G
должны удовлетворять условию Гёльдера.)
Применяя линейное преобразование и теорему 2, легко найти «почти»
конформное отображение риманова многообразия на область плоскости е.
Чтобы проверить переход к пределу, я изучаю один класс непрерывных
отображений.
Определение. Будем говорить, что функция w = f (z) комплекс-
ного переменного z почти аналитична в области Z), если эта функция об-
ладает следующими свойствами.
1°. Функция / (z) определена, однозначна и непрерывна в области D.
2°. За исключением некоторого счетного множества точек 2, функция
w = / (z) осуществляет гомеоморфное соответствие между достаточно ма-
лыми окрестностями точек z0 и w0 = / (z0); если в той же окрестности точ-
ки 20 точка z описывает окружность в положительном направлении, то
точка w — f (z) описывает простую замкнутую кривую в положительном
направлении.
3°. Существует две действительные функции (z) > 1 и 'fl1 (z) перемен-
ной z такие, что:
а) за исключением множества Е, образованного конечным числом ана-
литических дуг, ф (z) непрерывна при р (z) Ф 1;
о) р (z) равномерно непрерывна в любой области А, не содержащей
°чек Е, граница которой является простой аналитической кривой; при
тех же условиях на А, если А и граница А не содержат точек р (z) = 1, то
\z) равномерно непрерывна в А;
с) Пусть z0 — произвольная точка, не принадлежащая Е. Постро-
*1 эллипс z0 является центром $, угол между большой осью S и
1^£твительной осью равен '& (z); если а и Ъ есть оси $, мы имеем
Мат- сб. 1935. т. 42, № 4. С. 407—424.
220
II, Квазиконформные отображения
1 а/Ъ = р (z0). Установив это, мы имеем
lim I f ~ I = 1
а-*0 I /(22)-/(М | Ъ
где zx и z2 — точки для которых выражение | / (z) — / (z0) | достигает
соответственно своего максимума и минимума.
Функции р (z) и ft (z) будем называть характеристическими функциями
почти аналитической функции / (z), Стоилов заметил [1], что можно дать
менее ограничительное определение и, применяя некоторые результаты
Стоилова и Меньшова, доказать, что получится тот же класс функций.
Езли мы рассмотрим класс почти аналитических функций, имеющих рав!
номерно ограниченные характеристики р (z), то получим класс функций
аналогичный классу функций, рассмотренному Грёчем [2]. Некоторые
специальные классы почти аналитических функций были рассмотрены
мной [3].
Задача конформного отображения риманова многообразия на область
евклидовой плоскости эквивалентна задаче построения однозначной почти
аналитической функции, имеющей заданные характеристические функ-
ции р и Мы рассмотрим этот вопрос в § 2 и 4.
Параграф первый содержит некоторые предварительные утверждения;
леммы 1, 2 и теорема 1 дают некоторые свойства одного частного класса
однозначных почти аналитических функций. Леммы 2 и 3 не новы. Теоре-
ма 2 дает решение задачи конформного отображения дополнительных об-
ластей; это утверждение является существенным в доказательстве основ-
ной теоремы, это же утверждение применимо к задаче униформизации.
Параграф третий содержит некоторые приложения основной теоремы
к изучению произвольных почти аналитических функций.
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
Рассмотрим один частный класс почти аналитических функций. Будем
говорить, что почти аналитическая в области D функция w = f (z) =
= и + tv принадлежит классу С' в этой области, если производные
ди/дх, ди/ду, dv/dx, dv/dy тоже непрерывны в любой области, где характе-
ристическая функция р (z) непрерывна, и если функциональный опреде-
литель
ди ди
дх ду
ди ди
дх ду
положителен.
Лемма 1. Пусть w = f (z), / (0) = 0 — почти аналитическая
функция класса С при 0 < | z | < 1. Предположим, что w = f (z) осу-
ществляет гомеоморфное отображение круга | z | 1 на круг | w |
Обозначим через q (г) максимум р (z) при \ z | = г 1. Тогда мы имеем
\Ш<
J (О
|2|
15 Об одном классе непрерывных отображений
221
в самом деле, пусть - образ кольца р < | 2 ।
образ окружности | z | = г. Обозначим чрпрч «7 \ 1 < г и ПУСТЬ _
L (г) - длину ?г. Положим Через ° площадь Sr И 4Vpe3
— sup I 70 + /0) l
1 ' h-+0 I h I •
Имеем
du
dx
dv
du
~dy
du
"Uy
________1
P (z)
\f (2)|2-
Следовательно,
2? j 'Г 2Л
Torl/,(z)|2rd<p>$i^r$
P 0 p 0
G другой стороны
Л (r)<^ | /' (r^) | rd(p.
о
Применяя неравенство Шварца, получим
Д 2Я
Р 10 Р
л
Но, каково бы ни было ф, L (г) > 2 1 / (рА) |, р < г; следовательно,
р
что доказывает утверждение. я
Лемма 2. Предположим, что функция w = f (z), f (0) = 0, у ов-
летворяет условиям леммы 1 и что q (г) qQ = const. Тогда
Vi,o8l‘-Trr’
г$е zYu z2 — dee точки круга | z | <1 1. ?
Расширим продолжение гомеоморфизма w = f (z) на круги | z |
I w I 2. Функция w = f (2) при | z | 1, а при j z | 1 положим
/й=
Ч Z /
(Лемма 2 содержится в одной теореме Греча; леммы, аналогичные лем_
NlaM 2 и 3, использованы также в моих цитированных заметках.) Через а.
обозначаем комплексное число, сопряженное числу а.
введем две комплексные переменные ц и со:
— Z]T] ’ 2 — 2^10)
222
II. Квазиконформные отображения
соотношения (1) дают конформные отображения кругов | z | < 2, | w | <
< 2 соответственно на круги | т] | < 1, | со | < 1. Точкам z = zr, w =
= соответствуют точки т| = 0, со = 0.
Пусть со = F (ц) — функция, определенная соотношениями (1) и
w = / (2). Функция F (ц) почти аналитична при | ц | < 1, F (0) = 0,
она осуществляет гомеоморфное отображение круга | ц | 1 на круг
| со | < 1- Характеристическая функция р (ц) для F не превосходит д0,
следовательно, по лемме 1 мы имеем
(2)
Обозначим через ц2 точку, соответствующую точке z2, через <о2 — точку,
соответствующую точке w2 = / (z2). Имеем
I П2 I < м I Ч — zi h I <о2 I < т | z2 — zr I,
где M и m — соответственно максимум и минимум | dx\/dz | при | z | 1,
М = 2/3 <1, т = 6/25 /> 1/5. Применяя (2), получим|
\1Ы.
Лемма 3. Пусть w = fe (z), fQ (0) — 0 — почти аналитическая
функция z, | z | <Z 1, удовлетворяющая условиям леммы 1 и такова, что:
1) fe (1) = 1;
2) 1 р (z) 1 + 8, 8 /> 0, где р (z) — первая характеристическая
функция f&. Тогда
| /8 (z) — z I < А, (е),
где X (s) зависит только от 8, lim X (s) = 0.
е->о
Пусть С — произвольная замкнутая простая аналитическая дуга,
лежащая в круге | z | < 1. Вычислим интеграл
$ /г (2) dz.
с
Для этого разобьем на квадраты область, ограниченную кривой С, и пусть
Ck, k = 1, 2, . . ., п,— квадраты этого разбиения. Предполагая Ск беско-
нечно малыми и пренебрегая бесконечно малыми, имеем
5 /е (z) dz = У, $ /8 (z) dz.
С k CR
Пусть zk ~ хк + iyk — центр квадрата Ск; пренебрегая бесконечно ма-
лыми более высокого порядка, для z, лежащих в Ск, имеем
/в (z) = /8 (zfc) + Pic (х cos 7 — у sin у) 4-
+ грк (х sin у + у cos 7) + pfc {atx + +
4- j (a2z + Р2УЖ
15 Об одном классе непрерывных отображений
223
где
I// м V /е(гк+А)--/8(М
Щ = Мгк) = hmsuP ----------—Т------—
а у, а, р — постоянные, | | < е, | а2 | < 8, | | < г, | 02 | < е. Ин-
теграл первых трех членов / равен нулю, следовательно,
| /е (Z) dz
<4epR62,
где 6 — длина стороны С\. С другой стороны,
2i (1 + е) л, 2j S2 л-
к
Применяя неравенство Шварца, получим
I /е (z) dz | < у, | |/е (z) \dz | < 4e)2 P^2 < 4л /1 + 8 e.
C k
(a)
По лемме 2 семейство функций /е (z), 0 < е < 1, является семейством
равностепенно непрерывных в круге | z | < 1 функций, следовательно, из
любой бесконечной последовательности этого семейства можно выделить
равномерно сходящуюся в круге | z | < 1 подпоследовательность. Пусть
/ (z) — предельная функция такой подпоследовательности.
f (z) = lim /еп (2), lim еп = 0.
Поскольку сходимость является равномерной, в силу (а) имеем
/ (z) dz = lim /gn (z)dz = 0;
с с
значит, / (г) аналитична и однозначна при | z | < 1. С другой стороны,
/ (0) = 0, / (1) — 1, и, когда z описывает окружность | z | — 1 в положи-
тельном направлении, w — f (z) описывает окружность | w | — 1 в том же
направлении, следовательно, / (2) = z.
Таким образом,
lim /е (z) = Z,
£—*0
поскольку функции /е (z), 0 < е < 1, тоже непрерывны, сходимость яв-
ляется равномерной, что доказывает утверждение.
Из доказанной леммы выводим следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть D — односвязная область, содержащая точку
а) — 0, и пусть w — f (z, е) — почти аналитическая функция класса Сг,
осуществляющая гомеоморфное отображение круга | z | < 1 на D и тако-
ва, что:
1) f (0, 8) = 0;
2) f (1, е) — w1, где w1 есть «точка» границы D (если достижима
Простой кривой, лежащей в D, слово «точка» понимается в обычном смысле,
в противном случае точка есть простой конец Каратеодори) и
3) характеристика р (z) функции f удовлетворяет условию 1
< р (z) < 1 + е.
224
II. Квазиконформные отображения
Обозначим через w — F (z), F (0) = 0, F (1) = функцию, осуществ-
ляющую конформное отображение круга | z | <1 на D.
Тогда, если 8 стремится к нулю, f (z. е) равномерно стремится к F (2)
внутри круга | z | < 1. Если граница D является жордановой кривой, то
сходимость равномерна в замкнутом круге | z | 1.
В дальнейшем надо уточнить эту теорему.
Теорема 2. При условиях теоремы 1 для | z | г имеем
I / (z, е) — F (z) I < %! (е, г, R),
где Xj (е, г. R) зависит только от г. г и R и не зависит от D.
В самом деле, пусть z — Ф (ш) — функция, обратная F. Рассмотрим
функцию со = Ф [/ (z, е)]: эта функция удовлетворяет условию леммы 3,
значит,
Ф [/ (z. 8)] = z + a (z),
где | а (z) | < X (s), lim X (е) = 0, а следовательно,
g-*o
/ (z) = F [z + a (z)],
что доказывает утверждение.
Лемма 4. Если w = f (z). f (0) == 0, есть почти аналитическая
функция класса С' и осуществляет гомеоморфное отображение круга
| z ! <С 1 на круг | w | < 1 и если 1 р (z) 1 + 8, тогда, каковы бы
ни были точка z0, | z0 | < 1, число р, 0 < р < 1 — | z0 |, и две точки zx
и z2 кольца (1 — 8j) р <Z | z — z0 | < р, мы имеем
1-л(8, <1+4(е.«1). (3)
И —"“vl'1 (4)
где lim ц (s, sj =J0, ц зависит только от & и но не зависит от f.
Е-*0, 8i“*0
Докажем существование ц в неравенстве (3). Продолжая гомеоморфизм
w = f (z) между кругами | z | 1 и | w | 1 на круги | z | 2 и | w |
^2 и применяя преобразование (1), доказательство неравенств (3) и (4)
можно свести к доказательству этих неравенств для z0 == 0 (см доказа-
тельство леммы 2).
Предположим, против ожидания, что первая часть леммы для z0 = О
не верна.
Построим в плоскости z кольцо (1 — 8]^) р < | z | < р < 1 и обозна-
чим через До образ этого кольца в плоскости w. По сделанному предполо-
жению существует такое число k 1, что, как бы ни были малы 8 и 8Р
существует функция w = f (z). удовлетворяющая условию леммы, и об-
ласть Z/p, р = р (8, sj, содержащая такие две точки wr и w2. что
I ^2/^1 | > к.
В силу леммы 3 мы видим, что limp = 0.
8-*0
gr^o
Построим в плоскости z круг | z | пр = рг < 1, где п. п > 1,— до-
статочно большое положительное число, которое мы определим в даль-
15. Об одном классе непрерывных отображений 225
_ Обозначим через DP1 образ этого круга в плоскости w, и пусть г —
®еВ1^ояние начала w = 0 до границы ДР1. (Область DPi содержит круг
РаСС, г и не содержит круга | w | < для > г.) Установив это, по-
фу-™»
Э а функция F обладает следующими свойствами: 1) она осуществляет го-
меоморфное отображение круга | z | < 1 на некоторую область Е-, 2) об-
ласть А содержит круг | w | < 1, и граница А содержит точку на расстоя-
нии 1 от начала w = 0; 3) характеристика (z) функция F удовлетворяет
условию 1 + е; 4) образ кольца (1 — 81)А-<| z| <А-,
ПУСТЬ у, содержит точки иц = wr/r и w2 = w2/r,
| иъ!и\ I > (5)
Обозначим через w = Ф (2), Ф (0) = 0, Ф (1) = F (1), функцию, осу-
ществляющую конформное отображение круга | z | < 1 на область А.
Пусть у' — образ кольца (1—cj —<С | z | <С~^- • В силу известных
свойств однозначных аналитических функций существует число п0, п0
0, не зависящее от к, и число е? такие, что, каковы бы ни были две точки
Oi и о)2 области у' для п nQ, 8г е? мы имеем
I 0)2 I
I СО! I 2
<fc.
(6)
С другой стороны,
I <011 >
(1-е,)
п
|®2|>
(1 ~е,)
п
(7)
Зафиксировав таким образом число п, выберем числа е, ех такими ма-
лыми, чтобы: 1) пр < 1, что возможно, поскольку limp=0; 2) рас-
е->0
стояние между областями у и у' было меньше
£1->0
1 к— 1
2п к + 1 ’
что возможно
в силу теоремы 1. Согласно (6) и (7) для этого значения е, каковы бы ни
оыли точки сох и (о2 области у, мы имеем | co2/o)i | < к; в частности,
I | <; к, что в силу (5) невозможно. Таким образом, существование
Функции ц (е, 8Т) для неравенства (3) доказано. Доказательство второй
Насти леммы совершенно аналогично.
Для доказательства основной теоремы существования нам понадобится
°Дно утверждение о конформном отображении дополнительных областей.
Теорема 3. Какова бы ни была действительная аналитическая
Функция х' — ц) (х) действительного переменного х, (р (—1) = —1?
(1) = 1, д/ (х) 0 при | х | 1, можно построить две аналитические
Функции /j (z, h) и f2 (z, fe), z = x + iy, h = const, такие, что:
a) /1 (2, fe) регулярна и однозначна при | х | < 1. —fe < у 0;
*2 (и, fe) регулярна и аналитична при | х | < 1, 0 у <1 fe, где fe — произ-
ЭД* А. Лаврентьев
226
II. Квазиконформные отображения
Рис. 1
вольное фиксированное положительное число;
Ь) (х, h) = f2 [ср (х), h], — 1 < х < 1;
с) если — 1 < хх < 1, — h < у у < 0 и — 1 < х2 < 1, О < у2 < /г,
тогда
/1 (^1 + ^1) ¥= /2 («^2 + Ч/2)-
Докажем это утверждение для достаточно малых значений h. Поло-
жим /j (z, h) = ср (z), f2 (z, h) = z. Функции fy и f2 удовлетворяют усло-
вию fe, а в силу свойств функции ср при достаточно малом h функции
и /2 удовлетворяют также условиям а и с.
Предположим, что теорема верна для некоторого значения h = hQ,
и докажем в этом случае, что она остается верной для h — 2hQ. Действи-
тельно, пусть Dy и Ь2 — образы прямоугольников —1 < х < 1, — hQ <
< у < 0 и —1 < х < 1, 0 < у < До при отображениях ц = fy (z, h0)
и ц = f2 (z, До), а Г — образ сегмента —1 < х < 1 действительной оси.
Обозначим через D область, образованную объединением Dy, D2 и Г. По-
ложим тц = fy (1 — ihQ, До), ц2 = fy (—1 — ihQ, hQ), ц3 = f2 (—1 + f/z0.
&0), Л4 = /2 (1 + ^0» ^o)- С помощью функции w = g (ц) отобразим кон
формно область D на прямоугольник —1 < и < 1, —k < v < k (w =
= и + tv), таким образом, чтобы точкам гц, ц2, ц3, г|4 соответствовали вер-
шины прямоугольника; g (r^) = 1 — ik, g (r|2) — —1 — ik. Обозначим
через Dy и D2 образы областей Dy и D2 при отображении w = g (ц) (рис. 1).
Рассмотрим функции
W = g [/1 (Z, /г0)] = Д (z, 2/г0), w = g [/2 (г, /г0)] = /2 (г, 2/г0).
Легко видеть, что построенные функции fy и /2 являются искомыми.
В самом деле, функция fy (z, 2Д0) осуществляет конформное отображение
прямоугольника —1 < х < 1, — hQ <Z У <Z на область Dy. При этом
отображении интервалу у -= — До, —1 < х <Z 1, параллельному действи-
тельной оси, соответствует интервал v = —к, —1 < zz < 1, параллель-
ный действительной оси, область Dy лежит над этим интервалом. Следо-
вательно, по принципу Шварца эта функция регулярна и однолистна в
прямоугольнике —1 < х < 1, —2/ц < у < 0. В силу таких же рассуж-
дений мы видим, что функция /2 регулярна и однолистна в прямоугольни-
15. Об одном классе непрерывных отображений
227
ке — 0 < у < 2h0. Свойство а, таким образом, доказано;
свойства Ь и с являются непосредственными следствиями свойств функ-
ций Л (z, h0), (z, h0) и построения (z, 2/г0), /2 (z, 2/г0).
§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Из леммы 4 и теоремы 3 легко вывести основную теорему существова-
ния почти аналитической функции, имеющей заданные характеристики
р (z) И & (z).
Теорема 4. Каковы, бы ни были функции р (z), р (z) > 1 U # (z),
определенные при | z | 1, р (z) непрерывна при | z | < 1 и ft (z) непре-
рывна, если р (z) 7^ 1, можно построить почти аналитическую функцию
w = / (z), f (0) — 0, / (1) = 1, осуществляющую гомеоморфное отображе-
ние круга | z | <; 1 на круг | w | 1 и обладающую заданными характе-
ристиками р (z) и й1 (z). Вместо того, чтобы предполагать, что р (z) и
'О' (z) непрерывны, можно требовать, чтобы они удовлетворяли условиям,
введенным при определении почти аналитической функции, и чтобы р (z) <
< М = const.
Введем специальный класс гомеоморфных отображений круга | z | 1
на круг | w | 1. Будем говорить, что почти аналитическая функция
w = ср (z) класса С' принадлежит классу Р& в области А, если она обла-
дает следующими свойствами: 1) она осуществляет гомеоморфное отобра-
жение области А; 2) пусть z0 — произвольная точка области А; построим
эллипс $2о таким образом, чтобы z0 было центром %, угол между боль-
шой осью © и действительной осью был равен ft (z), и если а и Ъ — оси $,
то имеем а/Ъ — р (z). Установив это, имеем
lim sup I -гЭг—тШ-1 < 1 + е,
а^о r| /(Zl) —/(z0)
где z, и z2 — точки в которых выражение | f (z) — / (z0) | достигает со-
ответственно своего минимума и максимума.
Если функции р и'О' и число 8, е > 0, заданы, докажем, что существует
функция w = f (z, 8), f (0, s) = 0, f (1, 8) == 1, класса Ре, осуществляю-
щая гомеоморфное отображение круга | z | <; 1 на круг | w | <1 1.
Пусть z0 — точка круга | z | < 1; обозначим через б квадрат с центром
в точке z0, и пусть h — длина сторон б. Построим линейное преобразование
П == az + рз, преобразующее эллипс <£Zo в круг плоскости ц. В силу
свойств функций р (z) и ft (z) существует число Д. зависящее только от 8,
такое, что функция ц = az 4- рз принадлежит классу Рг в замкнутом
квадрате б.
Предположим теперь, что в круге мы имеем односвязные области Dx
и D2 без общих точек и аналитическую дугу у, принадлежащую границе Dv
и границе D2. Предположим, кроме того, что существует две функции
Л = Fr (z) и ц = F2 (z) класса Ре соответственно в области Dr и D2. Уста-
новив это, докажем, что существует функция класса Ре в области, образо-
ванной объединением точек DT, D2 и у. Пусть Ах и Д2 — образы и D2
соответственно при отображениях FT и F2 и пусть и а2 — дуги границ
и А2, соответствующие у. Обозначим через w = gr (ц) (ш = g2 (л))
Функцию, осуществляющую конформное отображение области Ах (А2) на
8*
228
II. Квазиконформные отображения
прямоугольник —1 < и < 1, —1 < V <Z 0 (—1 < u < 1, 0 < V < 1)
таким образом, что дуге у соответствует интервал —1 < и < 1 действи-
тельной оси. Пусть и — некоторая точка сегмента —1 и 1, А —
точка у, соответствующая при отображении gr [Fx (z)], и пусть и — точка
интервала —1 < и << 1, соответствующая точке А при отображении
g2 U'2 (z)l- Следовательно, и является функцией и : и = <р (и). Функция
ф удовлетворяет условиям теоремы 3, значит, можно построить две функ-
ции /х и /2 теоремы 3. (Если <р (и) не аналитична, всегда можно сделать ее
аналитической, как угодно мало изменяя функции F19 F2. Очевидно, что
это изменение можно сделать таким образом, чтобы эти функции сохрани-
ли свои указанные свойства.) Из свойств функций и /2 следует, что
функция w — F (z), равная /2 [gx {Fx (z)}] для z, лежащих в Dv и равная
/2 [g2 {^2 (Z)B Для z, лежащих в Z)2, является искомой функцией.
Из предыдущих рассуждений вытекает, что существует функция ц =
= ф (z) класса Ре в круге | z | 1. Обозначим через А образ круга | z j <
< 1. С помощью функции w = g (ц) отобразим конформно область А на
круг | w | < 1 таким образом, чтобы точке ц0 = Ф (0) соответствовала
точка w — 0 и чтобы точке ц = ф (1) соответствовала точка w = 1. Тогда
w = g [ф (z)] = f (z, e) является функцией класса Ре в круге | z | < 1,
притом эта функция осуществляет гомеоморфное отображение круга
| z | < 1 на круг | w | < 1, / (0, е) — 0, / (1, е) = 1.
В силу леммы 2 семейство функций / (z, s), 0 < е < 1, так же, как се-
мейство обратных функций, является семейством тоже непрерывных
функций соответственно в кругах | z | < 1, | w | < 1. Значит, сущест-
вует последовательность функций
/ (*, £Х), f (z, е2), . . ., / (z, en), . . .,
£i > £2 > • • • > £п > • • Ит еп = 0,
(8)
равномерно сходящаяся к функции w = / (z), / (0) = 0, / (1) = 1, и осу-
ществляющая гомеоморфное отображение круга | z | < 1 на круг | w | <
< 1. Применяя лемму 4, легко доказать, что функция w — / (z) являет-
ся искомой функцией теоремы.
В самом деле, пусть е — произвольное положительное число и z0 —
точка круга | z | < 1. Обозначим через £ такое число, что
£ (2&П? £п) < £
для каждого значения п, п k (£ (а, Р) есть функция, определенная
в условиях леммы 4). По определению функций / (z, s) существует такое
число а0, что для каждого значения а, а а0, мы имеем
1 £к <С
+
f (22, 8fe) — f (ZO, 8fc)
<1
(9)
где z± и z2 — производные точки (а) (а является большой
осью %), Положим
n = f (z, e'fe), w = / (z, e„), n > k. (10)
Уравнения (10) определяют гомеоморфное соответствие w = % (ц), % (0) =
= 0, между кругами |ц|<1и|ш|<1. Из определения / (z, е) следу-
15. Об одном классе непрерывных отображений
229
ет? что характеристическая функция р (ц) почти аналитической функции
% (ц) удовлетворяет неравенству
К Р (п)< 1 + 2ек.
Следовательно, по лемме 4, мы имеем
1 - с» < । ! <1+<2е- '>)• <“)
где Цо = / (z0, 8^), а цг и ц2 — две произвольные точки кольца
(1 — Sfc) Р < I П — По I < Р-
Значит, для каждого значения п, п > /с, и для каждого значения а,
а <С а0, мы имеем
1 — е <
7(*ь еп)
/ (22,- 8n) — / (z0, 8n)
1 + 8,
где zr и z2 — две произвольные точки $Zo (а), следовательно, при тех же
условиях
I / 1 х ₽
1 — 8
что доказывает теорему.
Применяя вторую часть леммы 4, с помощью предыдущих рассужде-
ний получим следующее свойство построенного гомеоморфного отображе-
ния w = / (г).
Теорема 5. Пусть w = f (z) — функция теоремы 4, и у2 —
две произвольные аналитические кривые круга \ z | < 1, имеющие един-
ственную общую точку zQ, а 1\ и Г2 — образы и у2. Сделаем линейное
преобразование плоскости z
х = х cos ft (z0) + у sin ft (z0),
y' = xp (z0) sin fl (z0) 4- yp (z0) cos fl (z0);
если p (z0) = 1, полагаем ft (z0) = 0, и пусть и у2 — кривые плоскости
х', у', соответствующие кривым ух и у2. Тогда углы, образованные кривы-
ми ух и у2 и кривыми Гх и Г2, равны.
Отметим некоторые непосредственные следствия доказанных теорем.
Следствие 1. Пусть
fl («), /2 (Z), (2), - . • (12)
— последовательность почти аналитических функций таких, что:
•О fn (0) = 0, /п (1) = 1; 2) w — fn (z) осуществляет гомеоморфное отобра-
жение круга | z | < 1 на круг | w | < 1; 3) если рп (z) и $п (z) — харак-
теристики функции fn (z), мы предположим, что рп (z) равномерно схо-
дится к функции р (z), '&n (z) равномерно сходится внутри области
I z | < 1, р (z) ф 1 к функции 4 (z). Тогда последовательность (12) рав-
номерно сходится к почти аналитической функции w = / (z), / (0) = 0,
f (1) = 1, осуществляющей гомеоморфное отображение круга | z | < 1
230
II. Квазиконформные отображения
на круг | w | < 1, характеристиками функции / (z) являются функции
р (z) = lim рп (z) и & (z) = lim f>n (z).
П-*ОО П-*ОО
Из этого следствия легко вывести некоторые обобщения лемм 1, 2, 3
и 4.
Следствие 2. Заключения лемм 2, 3 н 4 не изменяются, если за-
меним предположение, что рассматриваемая функция является почти
аналитической функцией класса С', предположением, что эта функция
является произвольной почти аналитической функцией.
§ 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Из теоремы 4 и определения почти аналитических функций вытекает
одно важное для приложений утверждение.
Лемма 5. Пусть F (z) — почти аналитическая в круге | z | < 1
функция, а р (z) и ft (z) — характеристики функции F (z), удовлетворяю-
щие условиям теоремы 3. Построим функцию £ = / (z) теоремы 4 и обо-
значим через z = ф (£) обратную ей функцию', тогда функция Ф (£) =
= F [<р (£)] аналитична и регулярна в круге | z | < 1.
Обратно, какова бы ни была аналитическая функция Ф (z), регулярная
при | z | < 1, функция F (X) = Ф [/ (£)] является почти аналитической
при | £ | < 1, а характеристиками функции F являются функции р (£)
и Ф(£).
Применяя это утверждение, легко получить для почти аналитических
функций некоторые расширения свойств равномерно ограниченных се-
мейств аналитических функций: основное свойство быть компактным и
теорема единственности.
Теорема 6. Пусть (z), /2 (z), . . ., fn (z), ... — равномерно ог-
раниченная последовательность почти аналитических функций,
\fn (г)|<Ж. Пусть р (z) и ft (z) — характеристики функции fn (z), п —
= 1, 2, 3, . . ., р и 'О' не зависят от п и удовлетворяют условиям теоре-
мы 4. Тогда из последовательности fn можно выделить подпоследователь-
ность, равномерно сходящуюся внутри круга | z | < 1 к функции f (z),
почти аналитической при | z | < 1, характеристиками которой являются
функции р (z) и О' (z).
В самом деле, рассмотрим последовательность
К 1ф (€)], /2[фС)], . . (13)
где ф — функция, определенная в условиях леммы 5. По лемме 5 после-
довательность (13) является последовательностью аналитических и ре-
гулярных в единичном круге | £ | < 1 функций, кроме того, | fn [ф (£)] | <
М. Следовательно, из этой последовательности можно выделить под-
последовательность /П1, /П2, . . ., /Лк, . . ., равномерно свходящуюся внут-
ри круга | £ | < 1 к аналитической функции Ф (£). Поскольку функции
£ = / (z) и z = ф (£) непрерывны, последовательность /П1 (z), fn2 (z), . . .
. . ., (z), ... равномерно сходится к функции Ф [/ (z)], которая в силу
леммы 5 является почти аналитической функцией; характеристиками
функции Ф [/ (z)] являются функции р (z) и # (z). Таким образом, теорема
доказана.
15. Об одном классе непрерывных отображений
231
Теорема? (единственности). Две почти аналитические
в области D функции, имеющие одинаковые характеристики р (z) и (z)
и совпадающие на множестве, которое имеет в D предельную точку, тож-
дественно совпадают.
В самом деле, пусть F± (z) и F2 (z) — две функции, удовлетворяющие
условиям теоремы и совпадающие в каждой точке множества Е, которое
имеет в D предельную точку Р. Пусть С — произвольный круг области D,
содержащий точку Р. Пусть £ = / (z) — почти аналитическая функция’,
имеющая в С характеристики р (z) и й1 (z) и осуществляющая гомеоморф-
ное отображение круга С на круг ]£|<l,z = <p(C) — функция, обрат-
ная для /, и пусть Е' — образ Е в круге | £ | < 1. По лемме 5 функции
Fr [ф (£)] и F2 [ф (£)] аналитичны в круге | £ | < 1, по условию теоремы
они совпадают в каждой точке Ег, следовательно, Fr [ф (£)] == F2 [ф (£)]
при | £ | < 1. Значит, Fr (z) == F2 (z) в каждой точке С. С другой сторо-
ны, в силу приведенных рассуждений, если Fx и F2 совпадают в некото-
рой области, они совпадают во всем круге, содержащем точку этой об-
ласти и содержащемся в D. Следовательно, Fx (z) = F2 [z) в каждой точке
области D.
Применяя теорему 4 и лемму 5, можно получить некоторые обобщения
теоремы 4.
Докажем, что заключение теоремы 4 остается верным, если условия
непрерывности р (z) при | z | <; 1 и й1 (z) при | z | 1, р (z) 1 заменить
следующими условиями: 1) р (z) непрерывна и ограничена при | z | < 1;
2) Ф (z) непрерывна при | z | < 1, р (z) Ф 1.
Действительно, обозначим через w =- fn (z), fn (0) = 0, fn (1 — i/n) —
= 1, почти аналитическую при | z | < 1 — i/n функцию, имеющую ха-
рактеристики р (z) и й1 (z) и осуществляющую гомеоморфное отображение
круга | z | <; 1 — i/n на круг | w | < 1. По теореме 4 существует под-
последовательность /П1, /П2, . . ., . . ., сходящаяся внутри круга
| z | < 1 к почти аналитической функции w = / (z) с характеристиками
р (z) и “О’ (z). Но по лемме 2 обратные функции фП1, фП2, . . ., ф„к, . . .
тоже непрерывны, следовательно, предельная функция w = f (z) осущест-
вляет гомеоморфное отображение круга j z | < 1 на круг | w | < 1. Это
доказывает утверждение. Учитывая единственность конформного ото-
бражения круга на себя, легко доказать, что вся последовательность fn
сходится к /.
Пусть теперь D — произвольная односвязная область, граница кото-
рой содержит по крайней мере две точки. Пусть р (z) и й1 (z) — две функ-
ции, определенные в D, р (z) непрерывна и ограничена в D, й1 (z) непре-
рывна в D при р (z) Ф 1. Сделаем конформное отображение £ = £ (2),
2 = г (£) области D на круг | £ | <С 1. Положим рх (z) = р [z (£)],
&! (z) = # [z (£)] — arg . В силу
предыдущего существует почти анали-
тическая функция f (£), имеющая характеристики pL (£) и Од (£) и осу-
ществляющая гомеоморфное отображение круга | £ | < 1 на круг | w | <
С 1. Следовательно, w = F (z) = / [£ (z)] является почти аналитической
в D функцией с характеристиками р (z) и # (z), осуществляющей гомео-
морфное отображение области D на круг | w | < 1. Таким образом, мы
получаем следующую теорему.
232
II. Квазиконформные отображения
Теорема 8. Каковы бы ни были характеристики р (z) и$ (z), Оп~
ределенные в D, где р (z) непрерывна и ограничена, a ft (z) непрерывна при
р (z) 1, существует почти аналитическая функция, осуществляющая
гомеоморфное отображение области D на круг | w | < 1, с характеристи-
ками р (z) и Ф (z).
Теорема 9. Пусть р (z) и # (z) — две заданные функции, где
р (z) непрерывна при 0 < | z | < 1, а Ф (z) непрерывна при 0 < | z | j
р (z) у= 1. Обозначим через q (г) максимум р (z) при | z | = г. Если
1
FT Pасх°дится, можно построить почти аналитическую функцию
о
w = j (z), / (0) =0, /(1)=1, характеристиками которой являются функ-
ции р (z) и $ (z), осуществляющую гомеоморфное отображение круга
| z | 1 на круг | w | 1.
Обозначим через рп (z) и (z) такие две функции, что: 1) рп (z) не-
прерывна при | z | 1, 'O’n (z) непрерывна при | z | <; 1, рп (z) =£ 1;
2) рп (z) = р (z), $п (z\= 'О' (z) при 1/п | z | < 1. По теореме 4 постро-
им почти аналитическую функцию w = fn (z), fn (0) = 0, fn (1) = 1, с ха-
рактеристиками рп (z) и *0^ (z), осуществляющую гомеоморфное отобра-
жение круга | z | <; 1 на круг | w | 1. Сейчас мы докажем что fn (z)
сходится к искомой функции / (z) при /г—> ос.
Положим
XL1/ С dr _ 1
я V J rq(r) ц.(р)
р
По условиям теоремы мы имеем
lim р, (р) = 0;
Р—>00
по лемме 1 для каждого значения р, р > 1/п, имеем
I /п (Р«"Р) I < И (р),
с другой стороны, по теореме 3 функции (z), /2 СО, • • • , fn (0» • • •
тоже непрерывны в каждой области, не содержащей начала z = 0, зна-
чит, функции /2, . . ., fn, ... непрерывны также во всем круге. Сле-
довательно, существует подпоследовательность /??1, fn2, . . ., fn , • • •»
равномерно сходящаяся при | z | 1 к функции w = / (z). По теореме 5
предельная функция / (z) является почти аналитической при 0 < | z | <
< 1 функцией, характеристиками которой являются как раз р (z) и {1 (2).
Функция w = f (z) однозначна; в самом деле, в противном случае сущест-
вовал бы континуум, на котором / (z) была бы постоянной: по теореме
единственности она была бы постоянной при | z | 1, что невозможно,
поскольку / (0) = 0, / (1) = 1. С другой стороны, внутри области 0 С
< | w | <; 1 функции <рП1, фП2, . . ., . . ., обратные функциям /п,»
^2» • • •» /пк, • • • тоже непрерывны, следовательно, w = f (z) осуществ-
ляет гомеоморфное отображение круга | z | 1 на круг | w | 1, чт0
доказывает теорему.
Отметим одно непосредственное следствие этой теоремы.
15. Об одном классе непрерывных отображений
233
Теорема Пикара. Пусть w = F (z) — почти аналитическая
1 О | z | < 1 функция. Предположим, что характеристика р (z)
пРи етворяет условиям теоремы 7 и что при z -> 0 функция F (z) не стре-
У°ов' HlfK какому конечному или бесконечному пределу. При этих усло-
MUlhCуравнение F (z) = а имеет бесконечное множество корней в окрестно-
виЯХ щ0Чки z = 0, за исключением, быть может, одного значения а. (Грея
Соказал эту теорему в случае, когда р (z) ограничена, а функция / (г) при-
наттежпт классу С'.)
Построим функцию ц = / (z) теоремы 8. Пусть z = qp (ц) —.функция,
обратная /. Значит, F [ф (ц)] является аналитической функцией, точка
zl о является существенно особой точкой этой функции. Из теоремы
Пикара вытекает, что уравнение F (z) = F [<р (ц)] = а имеет бесконечное
множество корней в окрестности точки ц = 0 (следовательно, точки z =
0), кроме, быть может, одного значения а.
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Укажем теперь некоторые геометрические приложения ранее полу-
ченных теорем существования.
В качестве непосредственного следствия теорем 4 и 5 мы получаем
следующий результат.
Теорема. Пусть R — двумерное риманово многообразие, опреде-
ленное квадратичной дифференциальной формой
ds2 = Edx2 + 2Fdxdy + Gdy2,
где E, F и G определены и непрерывны при х2 + У1 &ля тех же значе-
ний х, у мы имеем EG — F2 >> 0. Тогда существует конформное отобра-
жение R на круг | w | 1.
В частности, если t = t (х, у), х2 + у2 < 1 — поверхность S в евкли-
довом пространстве (х, у, t) и если дЦдх и dtldy непрерывны при х2 +
+ у2 1, то существует конформное отображение S на круг и2 -j- v2 <
< 1. Пусть А и А' — две точки поверхности S, а В и В' -— две соответ-
ствующие точки круга и2 + v2 < 1. Обозначим через р (Л, А'), р (В, В')
расстояние между точками А, А' и точками В, В'. Интересно знать, ог-
раничены ли отношения р (А, А')/р (В, В') и р (В, В')/р (Л, Л') или нет.
По известным результатам Лихтенштейна, если функции дНдх и dt/dy
Удовлетворяют условиям Гёльдера, то рассматриваемые отношения огра-
ничены. Легко построить примеры поверхностей, где эти отношения не
Укажем пример, где второе отношение не ограничено.
р. Положим х2 + у2 — г2 и рассмотрим поверхность 5:
dr , 1
Т/ , г<--
ограничены.
Приме
" I l»s —
Построим конформное отображение S на круг и2 + v2 < 1 таким обра-
Зом, чтобы точке г — 0 соответствовала точка и = v = 0. Очевидно, что
пРи этом отображении окружности х2 + у2 = г2 соответствует некоторая
°кРУжность, пусть и2 + v2 — р2. Имеем
_________ dr
р
1
log —
234
II. Квазиконформные отображения
предполагая риг бесконечно малыми и пренебрегая бесконечно малыми
более высокого порядка, получим
с/,о dr Л 1 \
“~ 1 " Г“ ’
log — у
log р = log г — log log + log С,
„ Сг
С = const, р =-------.
log —
Следовательно, lim — = отношение
Укажем теперь одно геометрическое
P(B,BZ)
р(Л,Л')
не ограничено.
приложение теоремы 7.. Пусть
5, t = t (х, у), х2 + у2 С оо,— поверхность в пространстве (х, у, i), где
функции дНдх, dt/dy определены и непрерывны при всех конечных зна-
чениях х, у. В силу теоремы 3 и известных рассуждений о продолжении
конформного отображения поверхность S можно конформно отобразить
на всю плоскость или круг и2 + v2 < 1. В первом случае говорят, что S
является поверхностью параболического типа; во втором случае говорят,
что S является поверхностью гиперболического типа.
Теорема 10. Обозначим через q (г) максимум 1 + | grad t (х, у) |
при X2 4- у2 = г2. Если J yjyy
расходится, S есть поверхность парабо-
лического типа.
Обозначим через cz (z), z = х + iy, угол, образованный плоскостью
х, у и плоскостью, касательной к S в точке (х, у, t), t = t (х, у). Обозна-
чим через Ф (z) угол, образованный grad t (х, у) и осью х, и положим
р (z) =---------—-.
Г х 7 cos a (z)
Задача построения конформного отображения S на плоскость (и, и) сво-
дится к следующей задаче: найти почти аналитическую функцию, имею-
щую характеристики р (z) и Ф (z) и осуществляющую гомеоморфное ото-
бражение плоскости z = х + 1у на плоскость w = и + iv. В силу теоре-
мы 3 и известных результатов о конформных отображениях замкнутых
поверхностей остается доказать существование почти аналитической при
I z | у> 1 функции w = f (z), имеющей характеристики р (z) и # (z) и
осуществляющей гомеоморфное отображение внешности круга | z | 1
1
на внешность круга | w | 1. Поскольку интеграл dp
о
дится, по теореме 7 существует почти аналитическая при | £ | < 1 фУнК"
ция со = ф (£), имеющая характеристики рг (£) = р (1/£) и Ох (£) ==
= —О (1/£), | £ | < 1, осуществляющая гомеоморфное отображение кру-
га I £ I < 1 на круг | со | < 1. Очевидно, что функция
w = 1/ф (1/z)
С/ 1 \ \
Р-7 (у)) расхо-
является искомой функцией. Это доказывает теорему.
15. Об одном классе непрерывных отображений
235
_ . .Но построить класс поверхностей S гиперболического типа.
Тео рема И. Для того чтобы поверхность S была поверхностью
болмческого типа, достаточно, чтобы для любой области D, лежа-
гинеР $ содерЖащей точку (0, 0, t (0, 0)), площадь D была меньше Z2~e,
щей ~ длина границы D и е — произвольное фиксированное положитель-
где t
иОе число.
Предположим, против ожидания, что при условиях теоремы сущест-
•ет конформное отображение всей плоскости (и, v) на S. Можно пред-
в' тагать, что при этом отображении точке (0, 0) соответствует точка
/0° 0 t (0, °))- Рассмотрим в плоскости (и, v) круг и2 + и2 < г2. Обозна-
чим через о (г) площадь образа этого круга и через L (г) — длину образа
окружности и2 + v2 = г2. Имеем
2Л 2Л
do = dr 5 rq2 dq, L(r)—^ rq dq,
о о
где q q (r? ф) — предел отношения соответственных дуг. Применяя не-
равенство Шварца, получим
<*<> > 1^2 (о 4- > *2/(2'8) ’ е' > °-
Следовательно,
1 1
С-----г ст8' > -й— log г, С = const,
г 2л &
что невозможно, поскольку при г оо левая часть остается ограниченной,
тогда как правая часть стремится к бесконечности.
Чтобы теорема имела смысл, надо еще доказать существование поверх-
ностей, удовлетворяющих условиям теоремы. Сейчас мы проведем при-
мер такой поверхности.
Пример. Определим искомую поверхность 5: t = F (г, ср) в ци-
линдрических координатах г, (р, t, х = г cos (р, у = г sin ср, следующим
образом.
Пусть п — целое число, п 2. При г = п + 0 ft < 1, кривая
t = F (г, ср), г = const плоскости (ср, t) периодична с периодом 2л-3-п2;
Определим F (г, ср), г = п + при 0 ср 2л-3-п2; кривая t = F (г, <р)
является ломаной с 2-32n+1 вершинами, соединяющей точки (0, 0) и
(2л-3~н\ 0) (рис. 2).
Положим
cos а (г) = 2-г2, г = п +
Уг = (1 — ft) jm-3-n2 tg а (n) +
+ (п + l)-3_(nbl)2 tg а (п + 1),
1 ! 2л.3-п2 —2х
Хг~~Уг ctg а (г), 6r=-g--------32п+г_1-
Уг = Ут — Гбг tg а (г).
Гогда нечетные вершины F имеют координаты (хг + 2k8r, yr), к = 0,.
32,1+1 — 1, а четные вершины имеют координаты (хг + (2к +
236
II. Квазиконформные отображения
кова бы ни была область D поверхности S
+ 1) 6Г, yr), k=0, 1, . . ., 32пн^2
При г <; 1 положим F (г, ф) q*
а при 1 < г < 2 положим ’
F (г, Ф) = (г - 1) F (2, ф).
По определению F мы имеем: 1)
для каждого значения г, г > 2
имеем | dFIdy | = г tg а (г); 2) при
г 2 угол, образованный grad
F (г, ф) и вектором {0, ге?’Ф}
больше некоторого положитель-
ного числа; 3) lim F (г, ф) —0.
Сейчас мы докажем, что сущест-
вует такая постоянная К, что ка-
, содержащая начало, мы имеем
т#е а — площадь D,L — длина границы D. Для этого обозначим через D'
проекцию D на плоскость г, ф. Не ограничивая общности, будем сейчас
предполагать, что D' содержит круг г < 2 и что каждая прямая, выходя-
щая из начала, пересекает границу D' в конечном числе точек.
В силу свойств F имеем
о С (---------------т-r- г dr dy,
1 J J cos а (г)
D'
т \ тг С r d4>
JU > An \ ----------—г- ,
* J cos а (г) ’
где Кг и К2 — две единые константы; Г — граница
1/cos а (г) = 2 , получим
° <-о^о L>kA r2rt dto, г >2.
' £ log «J л
г г
Следовательно,
° <-912 .,-^~L = KL.
2 log 2 К2
D'. Подставляя
(14)
Построенная функция F не обладает непрерывными производными
dFIdx, dFIdy, существуют линии, где dFIdx, dFIdy разрывны (и не опре-
делены). Но теперь с помощью простой деформации F легко получить
поверхность, которая удовлетворяет условию (14) и обладает непрерывно
меняющейся касательной плоскостью. В самом деле, обозначим через Е
множество, образованное линиями, где dFIdy или dF/dr не определены.
Заменим части F, содержащиеся в окрестности Е, частями поверхностей,
имеющих непрерывные касательные плоскости. Если окрестность доста-
точно быстро стремится к нулю, когда г стремится к бесконечности, оче-
видно, что полученные таким образом поверхности удовлетворяют усло-
вию (14).
16. Об одном классе непрерывных отображений
237
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
С точки зрения изучения непрерывных отображений было бы интерес-
получить распространение указанных метрических свойств почти ана-
Я° тческих функций на некоторые более общие классы непрерывных ото-
-'ПТжений. Одним естественным расширением семейств почти аналитиче-
°тих функций и функций Греча является следующее.
fKI Предположим, что функция w = / (z) комплексного переменного z,
непрерывна при | z | < 1, удовлетворяет условиям Г и 2° определения
почти аналитических функций. Положим
2° определения
o(z) = lim sup
р-*0
/(z + p^)_/(z)
/(z + p^)-/(z)
О < ф < 2л, 0 < ф С 2л.
Будем говорить, что / принадлежит классу 0, если при | z | <; 1 имеем
а (z) < М = const.
Из леммы 4 легко вывести следующее утверждение.
Пусть /j (z), /2 (2)? . . /п (z), • • • — последовательность почти ана-
литических при | z | < 1 функций и рп (z) — первая характеристика
fn (z). Если рп (z) М = const и последовательность равномерно схо-
дится при | z | < 1, то предельная функция принадлежит классу 0.
Чтобы свести изучение функций класса 0 к изучению почти аналити-
ческих функций, важно знать, можно ли рассматривать любую функцию
класса 0 как предел равномерно сходящейся последовательности почти
аналитических функций fn, рп М = const.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stoiloff S. Remarques sur la difinition des fonctions presque analytiques de
M. Lavrentieff//C. r. hebd. seances Acad. sci. 1935. T. 200. P. 1520—1521.
2. Grotzsch H. Ober die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und
iiber eine damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen f Satzes // Ber.
U. Verh. Sachs. Akad. Wiss. 1928. Bd. 80. S. 503-507.
2. Lavrentieff M. Sur une methode geometrique dans la representation conforme //
Atti Congr. intern, mat., Bologna, 1928: Commun. sez. Bologna: Zanichelli, 1930.
T. 3. P. 241—242.
16
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
В этой заметке я намерен указать некоторые свойства одного класса
непрерывных отображений плоских областей.
1- Определение. Будем говорить, что функция w = f (z) комп-
лексного переменного z почти аналитична в области Q, если эта функция
обладает следующими свойствами:
1°- Функция / (z) определена, однозначна и непрерывна в области Q
^лоскости z.
* с- г. hebd seances Acad. sci. 1935. T. 200. P. 1010—1012.
238
II. Квазиконформные отображения
2°. За исключением счетного и замкнутого множества точек z0,
ция w = / (z) осуществляет гомеоморфное соответствие между достаточно
малыми окрестностями точек z0 и wQ = f (z0); если в той же окрестности z
точка z описывает окружность в положительном направлении, то точка
w = f (z) описывает некоторую простую замкнутую кривую в положи-
тельном направлении.
3°. Существуют две действительные функции р (z) > 1 и # (г) пере-
менного z такие, что: а) р (z) непрерывна в й, # (z) непрерывна в каждой
точке z из Q, где р (z) =И= 1; Ь) построим в плоскости z эллипс <8: z явля-
ется центром й’, угол между большой осью % и действительной оськ>
равен й (г); если а и Ъ являются осями $, мы имеем 1 < а/Ъ = р
Положив это, мы имеем
Ига 14г|—ТгФ I = Р
а~*0 I / (*г) — / (*о) | Г V 7
где zx и z2 есть точки $, для которых выражение | / (z) — / (z0) | дости-
гает соответственно своего максимума и минимума.
Функции р (z) и й (z) будут называться характеристическими функ-
циями почти аналитической функции / (z).
Если мы предположим, что характеристическая функция р (z) ограни-
чена, мы получим класс функций, аналогичный классу функций, рас-
смотренному Грёчем [1].
2. Предварительные утверждения. Укажем некоторые свойства од-
нозначных почти аналитических функций.
Лемма 1. Если w — j (z), f (0) = 0, есть почти аналитическая
функция и осуществляет гомеоморфное отображение круга | z | <^ 1 на
круг | w | < 1 и если 0 р (z) — 1 <1 е, тогда, каковы бы ни были точ-
ка z и число р, 0 < р < 1 — | z |, мы имеем
л / \ / (z ~Г Ре1ф) — / (z) / л . / \
1 — ц (е) < —— << 1 + ц (е),
0 ф '2л, 0 < ф < 2л,
где lim ц (е) = 0, ц (е) зависит только от г и не зависит от f.
8—>0
Лемма 2. Какова бы ни была действительная аналитическая функ-
ция х' = (р (х) действительного переменного х, ср (—1) = —1, ф (1) = 1,
ф' (х) 0 для | х | < 1, можно построить две аналитические функции
/i (z) и /2 (z) такие, что:
a) fi (z) однозначна при | z | 1, Im z 0; /9 (z) однозначна при | z | 1,
Im z > 0;
Ь) /1 U) = /2 [<jp (х)1, — 1 < х < 1;
с) если | zx | < 1, ImZj<0 « | z2 | <1 1, Im z2 0, mo h (zj #= /2 (z2).
3. Теорема существования. Из лемм 1 и 2 легко вывести следующие
результаты.
Теорема 1. Каковы бы ни были функции р (z), р (z) > 1 а й (z),
определенные при | z | 1, р (z) непрерывна при | z | 1 и й (z) непре-
рывна, если р (z) 1, можно построить почти аналитическую функцию
w = f f (0) = 0, / (1) = 1, осуществляющую гомеоморфное отображе-
ние круга | z | < 1 на круг | iv | <с 1 и обладающую данными характе-
ристиками р (z) и й (z).
16. Об одном классе непрерывных отображений
239
T e о p e м a 2- Пусть p (z) и ft (z) — две функции, удовлетворяющие
1 ч теоремы 1 для z 0. Обозначим через q (г) максимум р (z) для
уСЛОвия* г
, __ г. Если \ Расх°дится, можно построить почти аналити-
• о
ю функцию w = f (z), характеристическими функциями которой яв-
Чотся функции р (z) и О (z), которая осуществляет гомеоморфное ото-
Тоажение круга | z | < 1 на круг | w | < 1.
1 Аналитические приложения. Следующие теоремы основываются на
еорёмах 1 и 2 и следующем замечании. Пусть F (z) — почти аналитиче-
ская функция в круге | z | < 1 + е, е > 0, и пусть р (z) и ft (z) — харак-
теристические
чпя через z
аналитична и
Теорем
(функция при
удовлетворяет
> 0, и пусть р (z) и 'fl' (z) — харак-
функции F (z). Построим функцию / (z) теоремы 2 и обозна-
ф (ш) функцию, обратную для / (г); тогда функция F [ф (г)]
регулярна в круге | z | <; 1.
а Пикара. Пусть w = / (z) — почти аналитическая
| z | <" 1, z у= 0. Предположим, что характеристика р (z)
условиям теоремы 2 и что при z -> 0 функция f (z) не стре-
мится ни к конечному или бесконечному пределу. При этих условиях урав-
нение / (z) = а допускает бесконечное множество корней в окрестности
точки z = 0, кроме, быть может, одного значения а. (Грёч доказал это
утверждение в случае, когда р (z) ограничено.)
Теорема единственности. Две почти аналитические в об-
ласти й функции, имеющие те же характеристики р (z) и 'fl (z) и совпа-
дающие на множестве точек, имеющем в Й предельную точку, тождест-
венно совпадают.
Теорема Фату. Если f (z) есть почти аналитическая и ограни-
ченная при | z | < 1 функция и если характеристики р (z) и 'fl (z) удовлет-
воряют условиям Гёлъдера
I р (z + Az) — р (z) | < I Az |a,
I ft (z + Az) — ft (z) | <Z | Az |®,
то на окружности [ z | = 1 существует множество Е меры 2л такое, что
f (z) стремится к определенному пределу, когда z стремится к любой точ-
ке Е вдоль некасательного к окружности пути.
Эта теорема перестает быть верной, если условия Гёльдера заменить
условиями непрерывности.
5. Геометрические приложения. Пусть S: = F (£, ц) — поверхность
в евклидовом пространстве, где функции F, dF/d^, dF!dx\ определены и
непрерывны для всех конечных значений | и ,т]. В силу теоремы 1 поверх-
ность S можно конформно отобразить на плоскость или на круг £2 +
•'П2 1. В первом случае говорят, что S является поверхность парабо-
лического типа; во втором случае — что 5 есть поверхность гиперболи-
ческого типа.
Теорема 3. Обозначим через q (г) максимум | grad F (%, ц) | для
оо
£2 + ц2 = г2. Если
• расходится, то S является поверхностью
параболического типа.
Можно указать несколько классов поверхностей S гиперболического
типа.
240
II. Квазиконформные отображения
ЛИТЕРАТУРА
1. Grotzsch Н. Uber die Verzerrung bei schlichten nichtkonformen Abbildungen und
fiber eine damit zusammenhangende Erweiterung des Picardschen Satzes 11 Ber.
U. Verh. Sachs Akad. Wiss. 1928. Bd. 80. S. 503—507.
17
ОБ ОДНОМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ ПРИЗНАКЕ
ГОМЕОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЕЙ *
Пусть мы имеем
и — и (х, у, z), v — v (х, у, z), w — w (х, у, z) (1)
— непрерывное отображение сферы S: х2 + у2 + z2 < г2, г оо, на об-
ласть D пространства (u, v, w). Будем предполагать, что функции u, р, w
дифференцируемы в сфере S и что в той же сфере функциональный опре-
делитель
D (u, v, w) \ р
D (х, y,z) '
При этих условиях бесконечно малая сфера
(ж — х0)2 + (у — г/0)2 + (z — z0)2 < р2
при преобразовании (1) будет переходить в бесконечно малый эллипсоид,
пусть ал с — его большая и малая полуоси. Мы скажем, что отображе-
ние (1) квазиконформно в сфере S, если существует константа /с, 1,
такая, что для каждой точки (х0, yQ, z0) сферы S будем иметь
lim — к.
р^>о с
Для квазиконформных отображений можно становить ряд свойств,
аналогичных соответствующим свойствам квазиконформных отображе-
ний плоских областей. Отметим два предложения, специфических для
трехмерного случая.
Теорема 1. Пусть отображение (7) дает квазиконформное ото-
бражение сферы S, г <Z ос, на сферу S: и2 + v2 + w2 < г2 или ее часть
так, что каждая точка поверхности сферы 2 является предельной для
точек (и, v, w), соответствующих точкам S. При этих условиях соотно-
шения (1) осуществляют гомеоморфное соответствие между замкнутыми
сферами S и %.
Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4. С. 241 — 242.
18. Об одном классе квазиконформных отображений
241
Теорема 2. Пусть отображение (7) осуществляет квазиконформ-
ное отображение пространства (х, у, z) на пространство (и, v, w) или
его часть. При этих условиях отображение (7) осуществляет гомеоморф-
ное соответствие между пространствами (х, у, z) и (и, р, ш).
Последнюю теорему можно также формулировать следующим образом:
если преобразование (7) осуществляет квазиконформное отображение всего
пространства, то система (7) однозначно разрешима относительно х, у, z
при любых значениях и, v, w.
18
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ
КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В ГАЗОВЫХ СТРУЯХ*
1. Определения. Пусть нам дана положительная и дважды дифферен-
цируемая функция q (t), | q" (t) | M. Мы скажем, что отображение
w = f (z) = и (x, у) + iv (x, y)
некоторой области D плоскости z = x + iy принадлежит классу Aq,
если в каждой точке (xQ, у0) области D будут выполнены следующие ус-
ловия:
1) функции и и v обладают в области D непрерывными
частными
производными
больше нуля;
по х и по у, а функциональный определитель
D (и, v)
D (х,- у)
2) при линейном преобразовании
,, ди(х0,у0) ди(х0,уа) __ di> (xtJ, у0) dv (х0, yQ)
круг К плоскости z переходит в эллипс Е с осями, параллельными коор-
динатным осям;
3) считая радиус круга К равным единице и обозначая через V и b
полуоси эллипса Е, параллельные соответственно осям и и v, будем иметь
V = bq (V).
Из данного определения непосредственно следует, что при = 1
функции класса Aq будут аналитическими. Кроме того, нетрудно видеть,
что при q(t) = qQ(t) = (1-, где аир суть положительные посто-
янные, функции и и v будут удовлетворять уравнениям газовой динамики
Для установившихся течений; задачи на построение установившихся те-
чений газа эквивалентны задачам построения отображений класса Aq
области течения на области специального вида. V — V (z) будет при этом
Давать величину скорости потока в точке z.
2. Основные свойства отображений класса Aq. Наряду с условиями,
принятыми выше, будем в дальнейшем предполагать, что функция q (t)
* Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 5. С. 343—345.
242
II. Квазиконформные отображения
удовлетворяет условиям: 1) q (t) ограничена сверху и снизу положитель-
ными константами; 2) при любых положительных t имеем
q (t) — tq 0» k = const.
Заметим, что для отображений, определяющих течение газа, эти условия
будут выполнены при всех дозвуковых режимах.
Теорема 1. Пусть даны три кривые у = (я), у = у (х) и у =
= у (х), I X I < ОС,
У1 (*) < У (х) < У (*),
где функции у, уг, у однозначны и обладают ограниченной второй произ-
водной. Пусть w = f (z) и w——f (z) суть отображения класса Aq (соот-
ветственно) областей уг (х) < у < у (х) и У! (х) < у < у (х) на полосу
0<v<h при условии соответствия бесконечно удаленных граничных
точек. При этих условиях во всех точках кривой у± (х) будем иметь
df(z) < df(z) .
ds ds ’
если, кроме того, имеем у (xQ) —у (xQ), то в точке [.г0, у (я0)] будем иметь
df(z) > df(z)
do do ’
где ds и do суть соответственно дифференциалы дуг кривых ух (х) и
у (х) . Знаки равенств достигаются только при совпадении у (х) и у (х).
Теорема 2. Пусть кривая у = у (х), у (х) 0, удовлетворяет
условиям из теоремы 1, пусть в точке х0 производная у' (х) достигает
максимума (минимума), а в окрестности той же точки у" (х) удовлетво-
ряет условию Гёльдера. При этих условиях, обозначая через w = / (z).
f (—оо) = —оо, f (ос) = оо отображение класса Aq области D: 0
< у < у (х) на полосу 0 < и < Д, в точке [я0, У (#о)1 будем иметь
d*f(Z) . 0 ! <mz)
ds* \ U ds* / •
Теорема 3. При обозначениях, принятых в теореме 2, если кри-
вая у (х) содержит дугу у окружности круга К, расположенного вне об-
ласти D (в области D), то на у функция V = dj (z)!ds не может дости-
гать минимума (максимума).
3. Теоремы существования. Отмеченные выше предложения доказы-
ваются чисто геометрически, параллельно со следующей основной теоре-
мой существования.
Теорема 4. Пусть нам даны две кривые у = у± (х) и у = у (х),
удовлетворяющие условиям из теоремы 1, и пусть q (t) ограничена сверху
и снизу и удовлетворяет условию 2. При этих условиях существует отобра-
жение w = f (z), f (—оо) = —ое, / (оо) = оо, класса Aq, переводящее
область у1(х) <С У <С У в полосу 0 < z; < fe. Отображение единственно
с точностью до поступательного сдвига полосы 0 < ) < h и непрерывно
зависит от параметра h.
Опираясь на все приведенные выше предложения, можно доказать
существование решения и установить ряд его свойств для некоторых
19. Квазиконформные отображения и их производные системы
243
задач струйной теории. Будем обозначать через
W = / (2, у q, h), f (— сю, у, q, h) = —оо, f (ос, у, q, h) ~ оо
отображение класса Aq области, ограниченной линиями ух и у2, на поло-
су 0 < v < h.
Теорема 5. Пусть ух есть кривая, расположенная в нижней полу-
плоскости и определяемая однозначной функцией х: у = F± (х), | F± (х) | <;
'С = const, | х | < ос. Пусть, кроме того, дана дуга Гх: у = ф (х),
где ф (х) однозначна и дважды дифференцируема на отрезке (0, хх), при-
чем ф (х) F± (х). При этих условиях существует единственная кривая
Г2: у = Ф (х), г|? (xt) = ф (хх), гр (х) < 0, определенная при х > х± такая,
что в каждой ее точке с отрицательной ординатой будем иметь
df (z, у, q, h)/ds — с = const,
где у есть кривая, составленная из отрицательной части оси х, дуги Гх
и кривой Г2, a ds есть дифференциал дуги у. Полученная функция f (z, у, q,
К) непрерывно зависит от h.
Отметим одно аэродинамическое следствие из последней теоремы.
Допустим, что при +00 функция Fx стремится к пределам, отличным
от нуля, и рассмотрим задачу о существовании в полосе | у | < — Fx (х)
газового потока, обтекающего дугу у = +ф (х) со срывом струй в кон-
цах этой дуги и имеющего в -—ос заданную скорость_И0. Мы можем ут-
верждать, что найдется такое число 70, что при Уо решение постав-
ленной задачи существует, причем при Fo = Го в потоке найдется точка,
где скорость потока будет не меньше скорости звука.
19
КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ СИСТЕМЫ*
В настоящей заметке я предполагаю ввести понятие «производных
систем» для наиболее общих классов квазиконформных отображений
соответствующих сильно эллиптических систем. Отмечаемые ниже свой-
ства «производных систем» позволяют установить ряд новых свойств ре-
шений систем дифференциальных уравнений.
1. Определения. Мы скажем, что система уравнений
Ф1
ди ди
х, у; и, v; -
дх ’ ду
dv dv \ гч
дх ’ ду )
Ф2 (х, г/; и, V,
ди ди dv dv \
дх ’ ду ’ дх ’ ду /
(1)
допускает квазиконформное отображение области D плоскости х, у на об-
ласть Д плоскости и, v, если существует гомеоморфное отображение
* Докл. АН СССР. 1946. Т. 52, № 4. С. 287—289.
244
II. Квазиконформные отображения
области D на А, осуществляемое функциями
и = и (х, у), V = V (х, у),
ди ди
д= дх ди Оу ди >0
- —
дх Оу
(2)
удовлетворяющими системе (1). Мы будем также говорить, что отображе-
ние (2) соответствует системе (1).
Пусть мы имеем квазиконформное отображение (2), соответствующее
системе (1). Выделим для произвольной пары соответствующих точек глав-
ную линейную часть отображения
| и — и0 = их (х — z0) + иу (у — z/0),
Ь — Vo = vx (х — Хо) + vv (у — у0). <3)
Рассмотрим в плоскости и. v единичный квадрат с вершиной в точке
ш0 = Uo + и со сторонами wQw^ wQw2
w2 — w0 = — w0)
Обозначим через v угол, образованный вектором wQwt с осью и:
wi — — eix-
При отображении (3) рассмотренный квадрат будет соответствовать не-
которому параллелограмму Щ; пусть при этом точки w2 соответствуют
точкам 21? z2.
Положим
21_ z0 = rv ei04 ev = arg Z2 --°- , ИМ\Д = 1,
Z] Zq
где A — определитель преобразования (3). Введенные величины (при лю-
бом фиксированном v) 7V, av, 0V, Wv полностью определяют параллело-
грамм nv и могут быть элементарно выражены через коэффициенты пре-
образования (3); эти величины будем называть характеристиками отоб-
ражения. Соотношения (1) могут быть заменены двумя соотношениями
между характеристиками:
= у;и, v),
\Qv = Fp (Vx,av-x,y,u,v).
Мы скажем, что система (1) сильноэллиптична, если, каково бы ни бы-
ло число v, в представлении (4) нашей системы будут выполнены следую-
щие условия: 1) функции F± и F2 однозначны и непрерывны при всех зна-
чениях аргументов; 2) существует положительная постоянная /с, такая»
что при всех значениях аргументов
k < 0V < л — к;
3) при любых фиксированных av, х, у, и, v функция F± монотонно возра
стает относительно Fv > 0: dF!dVv к 0.
19. Квазиконформные отображения и их производные системы
245
Заметим, что если система (1) однородна, линейна относительно част-
ных производных, то условия ее эллиптичности в обычном смысле экви-
валентны сильной эллиптичности в нашем смысле.
Приведенные определения даны в нашей заметке, печатающейся
в Докладах Академии Наук УССР. В той же заметке мы приводим ряд
свойств квазиконформных отображений и теоремы существования для
задачи Римана отображения плоских областей: задача квазиконформно-
го отображения, соответствующего сильноэллиптической системе, возмож-
на. если функции Fr и F2, а также границы областей будут удовлетво-
рять некоторым теоретико-функциональным ограничениям.
2. Производные системы. Пусть мы имеем квазиконформное отображе-
ние (2) области D на область А, соответствующее системе (4). Рассмотрим
в плоскости и, v бесконечно малый квадрат со сторонами, параллельными
координатным осям, и пусть этот квадрат соответствует бесконечно мало-
му четырехугольнику q. Составим отношения длин сторон q, соответст-
вующих сторонам квадрата, параллельным оси и и оси v. Отбрасывая при
вычислениях бесконечно малые высших порядков и полагая Р ~ log F,
получим
f дР
дР да
+ а2 + а3,
да к дР i к да i к
—л ^1 д I ^2 Л «Р
ди 1 ди * ди а
(5)
где коэффициенты а и b суть известные функции х, у, и, v, Р ъ а:
dW Q 00 W
ai~ dV — dV sin2 0 ’
1 [ dW . n 00 W TJ71
6Z2= -rr U---Ctg0--------y-----Wf ,
£ V [ да ® da sin20 J ’
. Q f dW 1 , dW dW . 1
a3 = ctgtF —-4- cos а + ——sinod—
° [ ди V dx dy J
W f 00 1 dW , dW . ]
----rrrh-----+ -г— cos а + -%— sma ,
sin2 0 [ ди V ' dx dy J
dW
dV ’
И/Ctg^,
Ъ dW 1 dW dW .
b3 = ---vr + COS a + '"Г” sin a-
ди V дх dy
Систему уравнений (5) мы будем называть производной системой рас
сматриваемого отображения (2) или системы (. )• система (5) так-
Теорема. Если система(7) силънозллиптична, то система V >
же эллиптична.
^a2bi > (62 — а^2.
а ^Остановимся на нескольких частных случаях. Если в системе (4) W
(5) ^Не зависят явно от координат, то а3 = Ь3 — 0, производная система
и сс ^?ет оДноР°Дной системой эллиптического типа, функции Р = Р (ц, v)
тц д а будут осуществлять квазиконформные отображения облас-
на некоторую риманову поверхность плоскости Р, а. Если в нашей
246
II. Квазиконформные отображения
однородной системе за независимые переменные приняты Р, а, то система,
очевидно, станет, линейной. Для случая уравнений газовой динамики
производная система совпадает с известной системой уравнений, полу-
ченной аналитическим путем С. А. Чаплыгиным.
Вернемся к общему случаю. Рассматривая однородную часть системы
(5)
( дР дР , да
ди ди ди ’
да 1 дР k да
< ди 1 ди 2 ди
как систему, соответствующую некоторому квазиконформному отображе-
нию, мы можем для (6) определить производную систему, которую будем
называть производной системой 2-го порядка для системы (4). Таким об-
разом, предполагая, что функции Fx, F2, u, v допускают соответствующее
количество производных, мы можем построить производные системы лю-
бого порядка.
3. Приложения. Опираясь на понятие производной системы и на не-
которые свойства квазиконформных отображений, соответствующих ли-
нейным системам (1), можно установить ряд теорем, касающихся связи
между дифференцируемостью функций Fx, F2 и дифференцируемостью
функций zz, V. Приведу одну из этих теорем.
Теорема. Если система (4) сильноэллиптична и если функции
F2 обладают частными производными, удовлетворяющими условию Гёлъ-
дера, то при соответствующем отображении (2) ограниченных областей
D и А функции Р, а обладают частными производными, удовлетворяющи-
ми условию Гёлъдера.
20
ТЕОРИЯ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
Теория квазиконформных отображений, развившаяся за последние
15 лет, представляет интерес как теория, широко обобщившая классиче-
скую теорию конформных отображений и вскрывшая геометрическую при-
роду ряда фактов конформных отображений, получавшихся раньше толь-
ко аналитически.
Особый интерес теории квазиконформных отображений представляет
своими богатыми связями со многими узловыми проблемами анализа, гео-
метрии и механики.
Замечу сейчас же, что теория квазиконформных отображений как тео-
рия, опирающаяся на качественные геометрические методы, не может
претендовать в приложениях к дифференциальным уравнениям, в част-
ности к задачам газовой динамики, на эффективные и численные решения
* В кн.: «Юбилейный сборник, посвященный 30-летию Великой Октябрьской социа-
листической революции». М.; Л. Изд-во АН СССР. 1947. Ч. 1. С. 96 — 113.
20. Теория квазиконформных отображений
247
этих задач и тем самым она не может заменить известных прямых методов
и метода интегральных уравнений.
В настоящем кратком очерке теории квазиконформных отображений
я постараюсь изложить сущность теории и ее связи главным образом
с краевыми задачами систем дифференциальных уравнений с частными
производными, в частности с задачами газовой динамики.
1. Предварительные понятия. Пусть в плоскости хОу задана область D
и в згой области заданы две непрерывные и дифференцируемые функции
и = и (х, у). v = v (х, у) (1)
или, в символике комплексных чисел,
z = х + iy, w = и + iv, i = ]/ —1, w = / (z).
Пусть А есть совокупность точек плоскости иОи, соответствующих
в силу (1) всем точкам области D. Говорят, что система (1) отображает об-
ласть D на А. Отображение называется однолистным, если двум различ-
ным точкам D отвечают две различные точки А. При однолистном отобра-
жении, если D есть область, то А будет также область. (В общем случае А
может и выродиться, в частности может оказаться образом одного измере-
ния — линией). Если отображение (1) области D на область А однолист-
но, то система (1), очевидно, может быть для всех точек и, v области А од-
нозначно разрешена относительно х и у
х = х (и, v), У = У (и, и); (2)
система (2) будет давать однолистное отображение А на D. Отображение
(2) называется отображением, обратным отображению (1).
Пусть теперь xQ, yQ есть произвольная точка области D, а и0, vQ — ей
соответствующая точка области А. В силу принятой дифференцируемости
функций и, v мы можем построить главную линейную часть отображения
(1) в окрестности точки х$, yQ. Имеем
и — и0 = их (х — ж0) + Uy (у — у0),
V — и0 = их(х — Хо) + Vy(y — у0),
где их, иу, vx, vy — частные производные функций и, v, взятые в точке
Уо- Функции и, v, вычисленные по (3), будут отклоняться от и, v, вы-
численных по (1), на бесконечно малые высших порядков малости сравни-
тельно с расстоянием р от точки х, у до начальной точки xQ, у0
р = У (ж — ZO)2 + (у — уо) 2.
Везде в дальнейшем мы будем предполагать, что всюду в области D
определитель
б = uxvy — uyvx >> 0. (4)
В силу этого для каждой фиксированной точки xQ, у$ линейное преоб-
разование (3) будет невырожденным и будет давать отображение всей плос-
кости хОу на всю плоскость uOv. Преобразование (3) будет переводить
каждый круг плоскости хОу в некоторый эллипс плоскости uOv — поря-
док кривой всегда инвариантен относительно линейного преобразования.
248
II. Квазиконформные отображения
Пусть Е есть эллипс плоскости хОу, переходящий в единичную окруж-
ность плоскости иОи. Обозначим через а большую ось Е, через р — отно-
шение большой оси к малой, через t — угол, образованный осью Е с осью
х, и, наконец, через а — направление диаметра Е, переходящего в прямую
параллельную оси и. Введенные параметры а, р, tnac точностью до сдви-
га определяют преобразование (3) и могут быть выражены через их. иу>
vx, vy. В ряде случаев оказывается удобным вместо параметров а, р, t, а
ввести другие параметры, также характеризующиеся (3). Рассмотрим
в плоскости и, v единичный квадрат с вершиной в точке ш0 = uQ +
i — У—1 и со сторонами
wQw2, w2 — wQ = — w0) ein^.
Обозначим через v угол, образованный вектором ш0, w± с осью и
— wQ = eiv.
При отображении (3) построенный квадрат будет соответствовать не-
которому параллелограмму nv; пусть при этом точки и\, w2 соответству-
ют точкам zx, z2. Положим
z _ ZO = Vveia\ 0V = arg , Wv Vv6 = 1. (5)
Z1 — z0
Введенные величины (при любом фиксированном v) полностью опреде-
ляют параллелограмм nv и могут быть так же элементарно выражены че-
рез коэффициенты преобразования (3). Заметим, что есть коэффициент
растяжения в направлении, v — длина основания Щ, Wv — высота Щ,
0V — угол при вершине и av — «угол поворота».
Величины а, р, t, а также W, а, 0, V мы будем называть характерис-
тиками отображения (3).
Вернемся к отображению (1). Пусть I есть кривая, которая при этом
отображении переходит в окружность радиуса р с центром в точке z0 =
= х0 + 1у0; наряду с I построим эллипс е, подобный и подобно располо-
женный эллипсу Е. Если за коэффициент подобия принять р, то линии I
и е будут отличаться на бесконечно малые высшего порядка малости срав-
нительно с р, так как любое однолистное дифференцируемое отображение
переводит с точностью до малых высших порядков каждый бесконечно
малый круг в бесконечно малый эллипс.
Рассмотрим условия, которым должно удовлетворять отображение,
чтобы в каждой точке эллипс е был кругом. Для этого необходимо и дос-
таточно, чтобы линейное преобразование (3) было ортогональным преоб-
разованием, т. е. чтобы частные производные и и и удовлетворяли соотно-
шениям
— Vy, Uy — vx.
Система (6) есть классическая система уравнений Коши—Римана, а отоо-
ражение (1) есть конформное отображение.
Пара функций и, г, удовлетворяющих системе (6), образует аналити-
ческую функцию комплексного переменного z = х + iy
W = и + tv — f (z).
20. Теория квазиконформных отображений
249
Да эти функции классическими работами Коши был распространен весь
аппарат дифференциального и интегрального исчислений. Тем самым этот
аппарат оказался приложенным к построению и изучению конформных
отображений. За истекшее столетие существования теории аналитических
функций и конформных отображений получено огромное количество пред-
ложений, характеризующих различные аналитические и геометрические
свойства конформных отображений. При этом оказалось, что многие из
этих свойств вытекают из очень простых по формулировке геометрических
принципов. Такими принципами являются так называемый принцип
Шварца—Линделёфа и принцип компактности.
Развитые в начале XX столетия качественные методы теории функций
действительного переменного и топологии получили значительное разви-
тие и в теории функций комплексного переменного. С 20-х годов начали
появляться исследования, направленные к созданию чисто геометриче-
ских методов в теории конформных отображений. Именно эти методы,
вскрывшие сущность геометрических принципов теории конформных ото-
бражений, дали возможность распространить эту теорию на более широ-
кие классы отображений.
2. Отображения с ограниченным искажением. Первым и наиболее об-
щим классом отображений, на который удалось распространить ряд важ-
ных свойств конформных отображений, явился класс отображений с ог-
раниченным искажением.
Отображение (1) области D на область А называется отображением с
ограниченным искажением, если характеристика отображения ограничена
в D некоторой постоянной М:
1 < р < М = i/q. (7)
Класс отображений, удовлетворяющих условию (7), очевидно, инва-
риантен относительно конформного отображения. В силу этого достаточ-
но ограничиться случаем, когда области D и А суть единичные круги
с центрами в точках z = w = 0, причем точка z = 0 при отображении
переходит в точку w = 0, т. е. / (0) = 0.
При этих условиях имеет место следующее основное неравенство:
I / (z + h) - f (z) I < К I h r, (8)
гДе К — числовая постоянная (Грёч, Лаврентьев, Альфорс).
Сформулированное предложение характеризует равностепенную не-
прерывность рассматриваемого класса отображений и, следовательно, его
компактность. Отсюда как следствие получается обобщение на этот класс
известного предложения Каратеодори о том, что при конформном отобра-
жении областей, ограниченных жордановыми кривыми, соответствие мо-
жет быть распространено на границы областей и это граничное соответст-
вие будет взаимно непрерывным.
Опираясь на (8) и на ряд свойств конформных отображений, можно ус-
ыновить также следующую теорему (Лаврентьев): пусть отображение
W) удовлетворяет условию (7) и переводит единичный круг в единичный
кРУг, причем
/(0) = 0, /(1) = 1;
250
II. Квазиконформные отображения
при этих условиях существует функция pi (7), обращающаяся в нуль при,
q = 1, удовлетворяющая равенству
lim pt (q) = 0
и такая, что | / (z) — z | < pt (7).
При тех же условиях пусть С есть произвольная окружность в круге
| z | < 1, а у — ее образ в круге | w | < 1, тогда относительное отклоне-
ние у от окружности будет меньше pt (7).
Таким образом, близость характеристики р к единице влечет за собой
близость отображения к конформному. На основе этого предложения мо-
гут быть установлены сходимости различных приближенных методов по-
строения конформных и квазиконформных отображений. Интересно от-
метить, что эти предложения могут быть распространены на случай отоб-
ражений трехмерных областей (Лаврентьев, Крейнес).
К тому же кругу идей относятся результаты по выяснению связи меж-
ду дифференцируемостью характеристик и самих функций, осуществляю-
щих отображения. Ограничиваясь опять случаем отображения единично-
го круга на единичный круг, отметим следующее предложение.
Если характеристики р и t отображения (1), рассматриваемые как функ-
ции точки z, удовлетворяют условию Гёльдера с показателем v:
| р (z + h) - р (z) | < К | h Г,
| t (z + h) - t (z) I < К | h |\ v < 1,
то частные производные ux, uy, vx, vy также удовлетворяют условию Гёль-
дера с любым показателем, меньшим v (Лаврентьев).
Этот результат может быть усилен, если v < 1 (Шабат). В этом случае
частные производные будут удовлетворять условию Гёльдера с показате-
лем V.
3. Общая задача квазиконформных отображений. Пустт? нам дана си-
стема дифференциальных уравнений с частными производными первого
порядка
ди
, ди ди
Ф, х, у, и, р, -----,
1 \ у 1 дх ду ’
/ ди
Ф2 X, у, и, V, —
\ дх ду
ди
ди ди \ q
дх ’ ду /
.^,44=0
дх ду )
Однолистное отображение
iv = f (z), и = и (х, у), и — v (х, у) (Ю)
области D на область А мы назовем квазиконформным отображением D
на А, соответствующим системе (9), если функции и и v, осуществляющие
это отображение, будут удовлетворять системе (9). Согласно этому опре-
делению, квазиконформное отображение, соответствующее системе урав-
нений (6) Коши—Римана, будет конформным отображением. Центральной
задачей теории конформных отображений, как известно, является так на-
зываемая задача Римана: даны две области, требуется построить конформ-
ное отображение одной области на другую.
20. Теория квазиконформных отображений
251
В соответствии с этим, обобщенной задачей Римана теории квазикон-
формных отображений мы будем называть следующую задачу: дана си-
стема уравнений (9) и даны две области D и А; требуется построить квази-
конформное отображение D на Д, соответствующее системе (9).
Задача Римана была с исчерпывающей полнотой решена в 1913 г. Ка-
ратеодори, который показал, что если D и А односвязны и их границы
содержат каждая не менее двух точек, то D можно конформно отобразить
На А. Наряду с этим известно, что для системы
Vy, Uy Vx
обобщенная задача Римана допускает решения для очень узкого класса
областей.
Вскрыв геометрическую природу разрешимости обобщенной задачи
Римана для «любых» областей, мы нашли весьма широкий класс уравне-
ний (в некотором смысле наиболее широкий), для которого обобщенная
задача Римана всегда допускает решение, причем решение это единствен-
но с точностью до трех параметров (так же, как и в классической задаче
Римана).
Для выявления отмеченного класса уравнений мы переформулируем
задачу квазиконформных отображений в терминах характеристик отоб-
ражения.
В равенствах (5), определяющих характеристики отображения, фикси-
руем число v. Как было отмечено выше, частные производные zzx, иу, vx,
vy однозначно выражаются через характеристики
7, a, W, 0.
В силу этого, уравнения (9) могут быть заменены двумя уравнениями,
связывающими четыре характеристики и координаты соответствующих
точек. Система (9) будет эквивалентна системе
Wv = 4V) (Fv, av, x, у, и, v),
0V = 4V) (7V, av, x, y, u, v). ( '
Систему (11) мы будем называть уравнениями в характеристиках.
Обобщенную задачу Римана можно, таким образом, формулировать так:
построить однолистное отображение области D на область А, такое, чтобы
в каждой точке D между характеристиками отображения имели место со-
отношения (И).
Во всем дальнейшем мы будем предполагать, что функции Fr и F2 од-
нозначны и обладают первыми тремя непрерывными частными производ-
ными по всем аргументам.
Мы скажем, что система (11) силъноэллиптична, если, каково бы ни бы-
ло число v, будут выполнены следующие условия:
1°. Существует положительная постоянная /с, такая, что при всех зна-
чениях аргументов справедливо неравенство
k < 0V < л — к.
2°. При любых фиксированных значениях av, х, у, и, v функция Fx
Монотонно возрастает относительно К,
dFJdW > к > 0.
252
11. Квазиконформные отображения
Заметим сейчас же, что свойство системы быть сильноэллиптичной
вариантно относительно конформного отображения; этим самым изуч
квазиконформных отображений, соответствующих эллиптическим Си
мам, сводится к изучению квазиконформных отображений круга на кп^
Кроме того, из условий сильной эллиптичности непосредственно выте*
ет, что квазиконформные отображения, соответствующие этим система**
принадлежат к отображениям с ограниченным искажением и тем самиги
обладают всеми свойствами этих отображений. * .
Сформулируем теперь основную теорему.
Какова бы ни была силъноэллиптическая система (11) и каковы бы ни. б^
ли две односвязные области Du ограниченные кривыми с дифференцируй
мыми кривизнами, всегда существует квазиконформное отображение D на
Д, соответствующее данной системе (11). Отображение единственно
с точностью до трех параметров.
Сформулированная основная теорема доказывается параллельно с вы-
явлением ряда свойств квазиконформных отображений, естественно обоб-
щающих соответствующие свойства конформных отображений. Сущест-
венную роль при этом играет введенное нами понятие «производной си-
стемы».
4. Производные системы и свойства квазиконформных отображений.
Пусть мы имеем квазиконформное отображение
и = и (х, у), V = V (х, у)
области D на область Д, соответствующее системе (9)—(11). Рассмотрим
в плоскости и, v бесконечно малый квадрат со сторонами, параллельными
координатным осям, и пусть этот квадрат при нашем отображении соот-
ветствует бесконечно малому четырехугольнику q. Составим отношения V
длин сторон q, соответствующих сторонам квадрата, параллельным оси и
и оси V. Отбрасывая при вычислениях бесконечно малые высших поряд-
ков и полагая Р — log V, получим
0Р ,
=а1~дГ + а*
ЭР
U1 ди
da
"л---h
du 6
da , 7
dV sin2 0 ’
да sin20 J
dW . dW . I
—ctga + —sina —
dx & dy J
1 , dW . dW .
+ “z— COS a -b -я— sin a
dx dy
dP
dv
da 7 ur , c/uc ,
= ----H b2 —---h b.-,
I dv 1 du J du “
где коэффициенты а и
щих точек х, у, и, v, а также характеристик Р и а:
dW + Q 00 W
1 Г dW <- а
а2 = ^г\ “5— Ctg 9
2 V [_ да °
, п Г dW 1
W Г 00
sin2 0 [ ди V
; dW
-L- f ~r~ + ctg 0 I >
V L da J
dW 1 , dW dW .
-z--— cos a 4—ч— sin a.
ди V dx dy
(12)
Ъ суть известные функции координат соответствую-
а3
2 ----
63---
20. Теория квазиконформных отображений
253
тему уравнений (12) мы будем называть производной системой рас-
пиваемого отображения.
да система уравнений (9) есть система уравнений Коши—Римана,
зводяая система (12) переходит также в систему уравнений Коши—
°Роина. В силу этого при конформном отображении некоторой области
^отображение D, осуществляемое парой характеристик
р = Р (х,у) И а = а (я, у),
х дет также конформным.
°* Этот основоположный факт теории аналитических функций допускает
замечательное распространение на любые квазиконформные отображения.
Имеет место следующая теорема.
Если система (11) сильноэллиптична, то система (12) эллиптична в обыч-
ном смысле: 4а2&1 > (&2 — а ее однородная часть
дР
dv
Z==- ------Ь
1 ди
да
2 ди ’
— ь — + ь —
Tv---1 ди + °2 ди
будет сильноэллиптичной.
Из условия эллиптичности вытекает, что систему (12) можно всегда
разрешить относительно дР!ди и дР/dv
дР — А да -L я да _L г
ди 1 ди 1 dv +
дР __ д да _L. п да Л. Г
~дТ~ + Bt~diT + С^
Отмечу сейчас же, что для случая рассматриваемых ниже уравнений (16)
газовой динамики производная система переходит в систему уравнений
Чаплыгина, полученную им аналитическим путем и легшую в основу мно-
гих фундаментальных работ по газовой динамике.
Опираясь на эту теорему и на некоторые свойства квазиконформных
отображений, соответствующих линейным системам, можно установить
Ряд теорем, касающихся связи между дифференцируемостью функций F±
и ^2 и дифференцируемостью функций и, и. Приведу одну из этих теорем.
Если система {11) силъноэллиптична и если функции Fr и F2 обладают
частными производными, удовлетворяющими условию Гёльдера, то при
квазиконформном отображении функции Р и а обладают частными произ-
водными, удовлетворяющими также условию Гёльдера.
Теорема о производных системах лежит также в основе обобщения на
квазиконформные отображения принципа Шварца—Линделёфа.
Мы сформулируем этот принцип в терминах, наиболее удобных для
приложений к задаче газовой динамики; кроме того, мы ограничимся слу-
чаем, когда функции Fx и F2 не зависят явно от координат соответствую-
щих точек
w = Л (У, а), 0 = F2 (7, а). (13)
Пусть в плоскости хОу кривые Го и Г заданы соответственно уравне-
ниями
У = Уо (х), У = Y (х), yQ (х) < Y (х).
254
II. Квазиконформные отображения
Область плоскости хОу, заключенную между кривыми Го и Г, обозна-
чим через D (Го, Г); кроме того, обозначим через А полосу, заключенную
между прямыми v = 0 и v = h. Функции z/0 (х) и Y (х) мы будем предпола-
гать определенными и дважды дифференцируемыми при всех значениях
х9 | х | < оо.
Согласно основной теореме, существует квазиконформное отображе-
ние области D на А:
w = / (z, Го, Г), (14)
соответствующее системе (13). Свободными параметрами мы распорядим-
ся так, чтобы точки ± оо области D переходили в точки ± оо области А:
f (± оо, Го, Г) = ± оо.
Линию области D, переходящую при отображении (14) в прямую v =
= const, мы будем называть линией тока и будем обозначать через yv\
У» = У (*, »).
При этих обозначениях обобщенный принцип Шварца может быть
сформулирован следующим образом.
Пусть/) (Го, Г) есть область, ограниченная линиями Го и Г, уравне-
ния которых
У = Уо (*), У = У (х),
И
w = / (z, Го, Т), / (± оо, Го, Г) = ± оо,
— функция, осуществляющая квазиконформное отображение D (Го, Г),
на полосу В, соответствующее системе (13). Если у (я) у (х) и система
(13) сильноэллиптична, то при любом v
У (х, р) > у (х, V).
Знак равенства в последнем неравенстве, при v < Д, может быть толь-
ко при условии у (х) = у (х).
Таким образом, все свойства конформных отображений, опирающихся
на принцип Шварца, автоматически распространяются на квазиконформ-
ные отображения, соответствующие сильноэллиптическим системам (13).
В частности, этот принцип позволяет на изучаемый класс распространить
теорию граничных производных. Отметим один результат, допускающий
для случая уравнений газовой динамики наглядную механическую иллюст-
рацию.
Пусть в точке xQ производная у' (х) достигает абсолютного максимума,
и пусть при всех значениях х
Уо (я) < У' М;
при этих условиях производная характеристики V в точке х0, у (х0) по
дуге Г в направлении возрастающих х всегда положительна.
Принцип Шварца может быть также сформулирован в несколько су-
женной форме для наиболее общих квазиконформных отображений, соот-
ветствующих сильноэллиптическим системам.
20. Теория квазиконформных отображений
255
Отметим в заключение одну формулу, которая может быть положена
Б основу фактического конструирования квазиконформного отображения.
Лы ограничимся опять случаем системы (13).
Сохраняя обозначения, принятые выше, допустим, что линии Го и Г
близки, а число h мало:
h < Y (х) — у0 (я) < Ch, | Y' (х) — уо (я) | < ch,
| Y" (х) - у' (х) \<ch, | У'" (я) | + | у'" (я) | < с,
где с и С — постоянные, не зависящие от h. Пусть теперь z — произволь-
ная точка Г; обозначим через п = п (z) длину отрезка нормали Г, выходя-
щего из z и заключенного между Г и Го, через К (z) обозначим кривизну
Г в той же точке
(1+Г2)3/2
и через а = а (z) — угол наклона касательной к Г в точке z: сс =
= arctg Y' (х); а через а0 — угол между касательными к Го и Г, прове-
денными через концы отрезка п.
Отобразим область D (Го, Г) на полосу А
w = f (z, Го, Г), / (± оо, го, Г) = ± оо
и обозначим через V = V (z) значение характеристики V в точке z, а через
Fo — ее приближенное значение, определяемое уравнением
Wn — — — f (v а°)
уу 0 — h ~~ г V °’ 2 /
При этих обозначениях получим в точке z следующую формулу:
log V (z) = log 170 + 4- [ - (Л - В2 + В, ctg 9 ctg +
+ 4-[^2-^iCtg9. (<х-а0) + Rh\ (15)
где R остается ограниченным при h, стремящемся к нулю, и где А и В —
коэффициенты производной системы (12), причем в выражениях этих коэф-
фициентов, а также угла 0 = F2 (у, а), вместо v и а следует подставить vQ
и a (z).
Если в формуле (15) отбросить последний член, то мы получим при-
ближенную формулу для вычисления V с точностью до малых первого по-
рядка сравнительно с шириной полос.
При квазиконформном отображении полос конечной ширины на пря-
молинейные полосы можно, опираясь на формулу (15), построить метод
2ля приближенного определения линий тока у = у (х, v). Функции у (х,
где i — 1, 2, . . ., п, будут определяться как интегральные кривые си-
Стемы п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
5. Квазиконформные отображения и задачи газовой динамики. Основ-
ные задачи плоского дозвукового установившегося движения идеального
газа можно рассматривать как частные случаи общей задачи квазикон-
формных отображений.
256
II. Квазиконформные отображения
Рассмотрим, для определенности, задачу построения газового потока
двигающегося между двумя цилиндрическими стенками. Возьмем плос-
кость хОу, z = х + iy, перпендикулярную к образующим стенок, и пусть
г0 и Г, уравнения которых
У = Уо &), У = Y (х),
суть линии пересечения стенок с этой плоскостью. Для решения задачи
достаточно найти потенциал скоростей и (х, у) течения, который, как из-
вестно, вместе с функцией тока и (х, у) должен удовлетворять следующей
системе уравнений с частными производными:
ди dv ди dv
дх Р ду • ду & дх ’ (
где коэффициент р есть заданная функция скорости потока:
+ (>)’
а а и р — положительные величины, просто выражающиеся через газовые
постоянные.
По условию задачи стенки должны состоять из линий тока, следова-
тельно, нужно искать решение системы (16), при котором на линиях Г
и Го функция v должна сохранять постоянное значение. Вдоль Го можно
считать v = 0; пусть вдоль Г будет v = h. Число h должно быть задано
заранее, ибо оно определяет расход, т. е. количество газа, протекающего
через сечение потока, отнесенное к единице времени и высоте. Таким об-
разом, искомое решение системы (16)
и = и (х, и) 1
\w = / (z)
v — V (х, и) J
должно давать отображение области D (Го, Г) на полосу А: 0 < v < h.
Сформулированная задача газовой динамики эквивалентна задаче квази-
конформного отображения D на А, соответствующего системе (16). Наша
система примет особо простой вид, если ее записать в характеристиках
W = Vp (У) = F (У), 0 = л/2. (17)
Заметим, что в рассматриваемом случае характеристика отображения V
есть величина, обратная скорости потока.
Анализируя выражение для F, нетрудно показать, что знак производ-
ной F зависит от V: при V"1 меньше скорости звука F' (К) > 0, при V'1
больше скорости звука F' (V) < 0.
Если в газовом потоке скорости всюду меньше звуковой, то система
(17) сильно эллиптична и к ней могут быть применены все общие теоремы
теории квазиконформных отображений, которые в этом случае приобрета-
ют механическую наглядность. Начнем с теоремы существова-
ния.
Допустим, что линии Го и Г обладают ограниченной кривизной, а рас~
стояние между Го и Г ограничено снизу. При этих условиях всегда найдется
такое h0, что для всех расходов h ^h0 можно построить газовый поток
в полосе D (Го, Г), причем при h — h0 в потоке найдется точка, где ско-
рость потока будет равна скорости звука.
20. Теория квазиконформных отображений
257
Замечу, что в рассматриваемой задаче о точном решении аналитические
меТоды разложений по параметру (Келдыш и Франкль) дают возможность
строить поток лишь при достаточно малых скоростях — достаточно ма-
лых h.
За последнее десятилетие исключительное развитие получили различ-
ные приближенные методы построения газовых потоков (методы Христиа-
новича). Для уточнения этих решений, а также для решения более слож-
ных газодинамических задач, связанных с поисками границ потоков,
удовлетворяющих специальным условиям, может быть использован обоб-
щенный принцип Шварца, который в терминах газовой динамики может
быть сформулирован следующим образом.
Пусть мы имеем в полосе D (Го, Г) газовый дозвуковой поток с расхо-
дом fe; если мы, сохраняя fe, проварьируем часть стенки Го во вне пото-
ка — вниз, то все линии тока опустятся, скорости потока на Г всюду
уменьшатся, на недеформированной части Го скорости увеличатся,
а в месте наибольшего искажения Го скорости уменьшатся.
Из более сложных краевых задач уравнений газовой динамики отме-
чу решенную нами задачу на обтекание со срывом струй: пусть стенки Го
и Г симметричны относительно оси
—Уо (х) = +Y (х) > К > О,
и пусть в области D (Го, Г) дана дуга у:
У = +ф 0 х а,
расположенная строго внутри D (Го, Г) и также симметричная относи-
тельно оси Ох. Если кривизна Го, Г и у ограничена, то для всех дозвуко-
вых режимов можно в области D (Го, Г) построить газовый поток, обте-
кающий у со срывом струй в концах у.
6. Линейные системы и их приложения. Несколько в ином направле-
нии за последнее десятилетие получила развитие задача квазиконформ-
ных отображений, соответствующих линейным системам
ou dv , , dv du dv t j dv
dx 1 dx 1 dy ’ dy * dx * dy ’ v z
где а и b — заданные функции x и у. В этом случае, предполагая а и Ъ
Дифференцируемыми, можно из системы уравнений (18) исключить функ-
цию щ для v мы получим линейное уравнение с частными производными
второго порядка; задача квазиконформного отображения редуцируется
к некоторой краевой задаче для одного линейного уравнения, для решения
и изучения которого существуют достаточно мощные аналитические ме-
тоды. Именно в этом направлении, с использованием аппарата интеграль-
ных уравнений, около 30 лет тому назад было дано решение геометриче-
ской задачи о конформном отображении заданного куска поверхности на
плоский круг (Лихтенштейн). Для применимости метода пришлось по-
требовать, чтобы в каждой точке отображаемой поверхности существова-
ла касательная плоскость и чтобы направляющие углы нормали к этой
плоскости при перемещении точки касания были не только непрерывны,
Но удовлетворяли бы дополнительно условию Гёльдера.
Применяя к задаче конформного отображения поверхностей (Лав-
рентьев) геометрические принципы квазиконформных отображений, уда-
М. А. Лаврентьев
258
II. Квазиконформные отображения
лось получить предельно простое решение этой задачи в наиболее общих
условиях — без дополнительного условия Гёльдера. При этом обнару-
жилось, что построенное решение в общем случае удовлетворяет условиям
конформности, но не всюду дифференцируемо.
Эти результаты были впоследствии распространены на квазиконформ-
ные отображения, соответствующие любым эллиптическим системам (18),
при единственном условии непрерывности коэффициентов а и Ъ (Шабат).
Основную теорему существования удалось также распространить на слу-
чай, когда а и Ъ непрерывным образом зависят не только от независимых
переменных х, у, но также и от функций и, и (Шапиро).
7. Заключение. В приведенном очерке я по возможности подробно
остановился на наиболее принципиальных моментах теории и лишь слегка
коснулся ее некоторых приложений. В частности, я не упомянул о ряде
существенных приложений линейных задач к теории функций комплекс-
ного переменного.
Отмечу в заключение два больших направления, в которых, как мне ка-
жется, должны в первую очередь развиться изложенные выше результаты.
Первое направление должно относиться к распространению теории
на отображения трехмерных областей и в первую очередь на отображения,
связанные с трехмерными течениями идеальной жидкости и газа. Имею-
щиеся здесь результаты хотя и носят пока частный характер, но показы-
вают принципиальную возможность такого распространения.
Второе направление должно относиться к задачам квазиконформных
отображений, соответствующим уравнениям смешанного типа. Замеча-
тельные результаты, полученные в этом направлении за последние годы
для уравнений газовой динамики С. А. Христиановичем, а также
Ф. И. Франклем, указывают на наличие здесь многих глубоких законо-
мерностей, которые должны распространяться на весьма широкие классы
уравнений смешанного типа.
21
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
ТЕОРИИ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ*
В 1943 г. мною было введено общее понятие квазиконформного отоб-
ражения, соответствующего данной системе дифференциальных урав-
нений в частных производных [1]: гомеоморфное отображение области D
на область А
и — и (х, у), v = v (х, у) (1)
называется квазиконформным отображением, соответствующим системе
уравнений
Ф/ ди ди dv dv \ п
1(х,у, и, V, -д— , , -д— = 0,
1 \ дх ’ ду ’ дх ’ ду /
/ ди ди dv dv \ п
Ф2 х, г/, и, г, -3— , -z— , —г— , -z— = О,
v z \ у дх ’ ду ’ дх ’ ду /
* Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12, № 6. С. 513—554.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
259
если функции и (х, у) и v (х, у), осуществляющие это отображение, удовле-
творяют системе (2).
В той же заметке было введено геометрическое понятие сильноэллип-
тической системы (2). Напомню это определение. Выделим для произволь-
ной пары соответствующих точек отображения (1) главную линейную
часть этого отображения:
| и — и0 = их (X — Хо) + иу (у — у0),
I V — v0 = vx (х — х0) + Vy (у — у0).
Рассмотрим в плоскости u, v единичный квадрат с вершиной в точке wQ =
= и0 + ivQ и сторонами ip0ip2,
u>2 — w0 = (и?! — Wo) einl*
и обозначим через v угол, образованный вектором wQw1 с осью и:
— ip0 “ eiv-
При отображении (3) рассматриваемый квадрат будет соответствовать
параллелограмму Щ; пусть при этом точки wQ, w19 w2 соответствуют точ-
кам 2q, 2^, Z2.
Положим
z2 - z0 = Fvetav, 9V = arg ' W\,VvA = 1,
где A — определитель преобразования (1) в точке z0 = х0 + iyQ,
иу
vy
При любом фиксированном v введенные величины av, Wv и 0V пол-
ностью определяют параллелограмм Щ и могут быть элементарно выраже-
ны через коэффициенты преобразования (3).
Соотношения (2) могут быть заменены двумя соотношениями между
характеристиками отображения У, a, W и 0:
Wv = F^ (Vv? av; x, i/, u, v),
0V = F2V} (Kv, av; x, y, u, v).
Система (2) называется сильно эллиптической, если при любом фикси-
рованном v в представлении (4) нашей системы будут выполняться следую-
щие условия:
1°. Функции Ft и F2 однозначны и непрерывны при всех значениях
аргументов.
2°. Существует положительная постоянная к такая, что при всех зна-
чениях аргументов имеем
к < 0V < л — к, А > 0.
3°. При любых фиксированных av, х, у, и, и функция F± монотонно
возрастает относительно Vv, 0:
9*
260
II. Квазиконформные отображения
Квазиконформные отображения, соответствующие сильноэллиптиче-
ским системам, обладают свойствами конформных отображений. Часть
этих свойств была отмечена в моих заметках [1], [2], и [3]. В данной статье
я имею в виду дать доказательство основной теоремы теории.
Каковы бы ни были две области D и А, ограниченные кусочно-гладкими
кривыми, и две положительно занумерованные тройки точек границы D:
21, 22, 23 и A: гщ, w2, w3 {положительному обходу областей D и А соответ-
ствуют встреча точек z и w в порядке 1, 2, 3,1,2, 3) и какова бы ни была
сильноэллиптическая система (4) с равномерно-непрерывными частными
производными функций Fx и F2, всегда существует единственное квази-
конформное отображение, соответствующее {4) и переводящее D в А с со-
ответствием тройки Zi, z2, 23 тройке w1, w2, w3.
При доказательстве сформулированной теоремы мы будем существен-
но опираться на ряд предложений, установленных нами раньше [3]. При-
веду эти результаты.
Теорема 1. Если квазиконформное отображение (2) соответствует
системе {4), то характеристики этого отображения V = Уо и а = а0
удовлетворяют следующей системе уравнений*.
dV
dv
да
< dv
dV , да ,
ai ~дГ + ~дГ + аз’
, dV , , да , ,
+ &2 ~дГ + &3’
(5)
где коэффициенты аиЪ суть функции координат и характеристик V и а:
dW а дв W
dV ctg0 &V sin20 ’
dW . a dQ W „r
a*~ da ctg0 da sin20 W’
a3 —cos а + V 4^- sin a| ctg 0 —
6 [ du dx 1 dy J &
f <90 , T7 dW dW . ] W
— i -5--h V -5— cos a + V -z— sin a f . он- ,
[ du 1 dx dy J sm20 ’
. 1 К 1 Г , TT7 4. J
Ь1~~ V dV ’ &2 — V { da + W Ctg 0J ’
, 1 dW dW , dW .
o3 = ——---r “a— cosa H—-— sin a.
d V du dx dy
(6)
Если дополнительно известно, что система (2) сильноэллиптична, то
система (5) эллиптична и Ь± 0:
—4^2?)! — {Ь2 — а^2 к^> 0,
где к — некоторая положительная постоянная.
Для дальнейшего, наряду с характеристиками Киа, мы будем поль-
зоваться «плотностью» К и «наклоном» т линий тока.
Примем в отображении (1) х и v за новые независимые переменные,
тогда у и и окажутся функциями х и v:
У = У {х, и), и = и {х, v).
21. Основнвя теорема теории квазиконформных отображений 261
Первое из уравнений при v — const будет давать «линии тока» — линии
области D, которые при отображении (1) переходят в прямые, параллель-
ные оси и. Величины Лит мы определим как производные у соответственно
по v и по х:
R=^~, т = -^.
ди ’ дх
Если система (2) сильноэллиптична, то функции Лит будут удовлетво-
рять эллиптической системе уравнений
57? дх dR дх 1 дх _
дх ди ’ ди дх ди V /
где коэффициенты а, Ь, с могут быть выражены через ранее введенные
величины. Полагая
W
— — (tga — ctg 0),
будем иметь
а — V2 cos2a [а2&х — (ax + а4) (b2 + a4)J,
b = V cos a [ + a4 +
1
с =--------
cos a
1 dW
V да
+ а*~
dW
ди
причем
—4a — b2 > kV2 cos2 a > 0,
где k — положительная постоянная, определяемая постоянными, харак-
теризующими условия сильной эллиптичности системы (2).
Заметим, что коэффициенты а, &, с можно рассматривать как заданные
функции координат и величин R и т:
R = —^—
cos a
T=tga.
Система уравнений (7) эквивалентна одному уравнению:
_ + b д*у —с.
дх2 dv2 дх ди
(8)
В случае, когда в системе (2) функции Ф не зависят от у и и, коэффи-
циенты a, Ъ и с будут зависеть только от независимых переменных х. v и
от частных производных первого порядка функции у — у (х, и).
Наряду с отмеченными свойствами сильноэллиптических систем, для
доказательства основной теоремы нам понадобится еще ряд новых свойств
линейных систем.
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Введем одно новое геометрическое понятие. Пусть в единичном круге
I z | < 1 заданы две непрерывные функции:
и = и (х, у), v = v (х, у). (9)
262
II. Квазиконформные отображения
Мы скажем, что отображение (9) квазиоднолистно в единичном круге, если
функции и и v можно доопределить в круге | z | 2 так, чтобы соблюда-
лись следующие условия:
1°) новые функции непрерывны в замкнутом круге | z | 2;
2°) расширенное отображение переводит взаимно однозначно окруж-
ность | z | = 2 в некоторую окружность | w | = R так, что положитель-
ному обходу | z | < 2 соответствует положительный обход | w | < R.
Пусть теперь функции и (х, у) и v (х, у) заданы в произвольной одно-
связной области D и А есть образ D. Мы скажем, что отображение (9) квази-
однолистно в D, если D и А можно гомеоморфно отобразить на единичные
круги | £ | < 1 и | т | < 1 так, что получающееся отсюда отображение
| £ | < 1 будет квазиоднолистным в круге | £ | < 1.
Во всем дальнейшем мы будем рассматривать отображения (9) при
условии, что функции и (х, у) и v (х, у) обладают в отображаемой области
кусочно-непрерывными частными производными.
Введем обозначения: пусть % есть спрямляемая простая замкнутая
кривая, расположенная в области D. Положим
w=ji/ ШЯ-гр'-’ (W)
Ux иу dxdy,
(11)
где производные du/ds и dvlds берутся по элементу дуги ds линии X, a D (X)
есть область, ограниченная кривой X.
Установим два элементарных предложения относительно введенных
понятий.
Лемма 1. Если отображение (9) квазиоднолистно в D (ty и если
в D (X)
и2 + v2 <1 R2,
то
5 (X) < л7?2.
В самом деле, в силу инвариантности квазиоднолистных отображений
относительно гомеоморфных преобразований, мы можем предполагать,
что линия X переходит в окружность | w | = R так, что положительному
обходу D (X) соответствует положительный обход \ w | < R. Но путем
интегрирования по частям интеграл S (X) можно свести к интегралу по X:
S (X) = uvydy + uvxdx, (12)
который, очевидно, дает площадь круга | w | < R.
Лемма 2. Имеем
(13)
В самом деле, доказательство (13) сводится к классической вариацион-
ной задаче: найти максимум (12) при условии (10). Искомый максимум
осуществляется, когда образ X есть окружность, что немедленно дает (13).
21, Основная теорема теории квазиконформных отображений 263
Опираясь на установленные элементарные предложения, нетрудно
получить два, важных для дальнейшего, свойства решений систем эллип-
тического типа.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
ди ди . , ди
~дГ^а1~дГ+ + с1' (14)
ди ди . у ду
—т ^2 “л— 4“ ^2 “"д 4“ ^2’
ду 2 дх 1 ду 1 2
где а, &, с суть заданные функции независимых переменных, причем при
всех значениях аргументов имеем
—4a2bi — (Ь2 — а^2 > к > 0, (15)
а все функции a, fe, с ограничены постоянной К.
Установим следующее основное предложение.
Теорема 2. Пусть функция w = / (z),
и = и (х, у), v = и (х, у) (16)
удовлетворяет в единичном круге | z | 1 системе (14) и пусть отобра-
жение (16) квазиоднолистно в том же круге, причем
и2 + v2 < 1.
Тогда во всяком круге | z | <1 r0 < 1 функции и и v будут удовлетворять
условию Гёлъдера:
| / (z + h) - j (z) I < С I h 1% (17)
где коэффициенты С и а зависят только от постоянных К, к и rQ.
Отображая круг | z | < 1 конформно на самого себя так, чтобы точка
z перешла в начало координат z = 0, мы можем свести доказательство
неравенства (17) к случаю z ~ 0 и / (0) == 0.
Заметив это, рассмотрим однородную систему
t dv ди , г ди
. дХ дх дУ
dv __ ди i ди
< ду &2 дх ' 2 ду ’
Выражая частные производные и и v через характеристики У, Ж, а и 0,
систему (18) можно заменить двумя следующими соотношениями между
характеристиками:
V
W = -г- {— br cos2 а + (аг — &9) cos a sin а + а2 sin2 а},
< ' " . (19)
д {— 61 cos2 а -j- (яд — b2) cos а sin а + д2 sin2 а}2
(aj cos а + а2 sin а)2 + (&i cos а + 62 sin а)2 ’
где
__ «1 Ъ\
а2 Ъ2
Из условия (15) следует, что А 4> к. Таким образом, отношение W/V и
sin 0 ограничены сверху и снизу постоянными, зависящими только от к
264
II. Квазиконформные отображения
и К:
kQ < W/V < 1//с0, sin 0 > /с0, kQ = kQ (к, К).
Систему (14) можно также привести к виду (19). Для этой цели доста-
точно коэффициенты а1У а2, Ь2 заменить соответственно величинами
Cl 7 Со 7
fih “а—7л- ? ^1> ^2 “Ь “л—То- ? ^2
1 dufdx ’ 1 2 dufdx 1 2
или величинами
йр ^1 Н О—7д— , Л2» “д—7л •
1 1 dujdy ’ 2 2 dujdy
Отсюда заключаем, что в каждой точке, где не имеют места неравенства
1 7 > W 2 • 7 /9Л\
2 \ у ? sm0> 2 ^о’ (20)
частные производные | ди/дх | и | ди!ду | меньше некоторой постоянной,
зависящей только от к и К'.
Но так как частные производные v по х и у связаны с частными производ-
ными и при помощи (14), то мы можем считать, что при нарушении (20)
имеем также
<22>
Установленное свойство отображения (16), соответствующего системе (14),
можно еще формулировать следующим образом: пусть ds есть элемент дли-
ны дуги в круге | z | < 1 и пусть do есть элемент длины дуги, соответ-
ствующий, в силу (16), элементу ds; при этих обозначениях, если
<23>
то в точке элемента ds имеет место (20).
Для дальнейшего нам будет удобно придать условиям (20) несколько
иную форму: обозначим через dS площадь образа бесконечно малого квад-
рата со стороной ds; тогда из (20) или (23) будет следовать
ds> po(-£-ps2’ (24)
где р0 может быть элементарно выражено через к0‘, при /с0 > 0 имеем р0 > 0.
Обозначим теперь через L (г) длину образа окружности | z | = г:
2 Л _ ____________ 2ЛГ
о о
х = г cos ф, у = г sin ф,
а через S (г) — «площадь» образа круга | z | < г:
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений 265
Далее, обозначим через Е множество точек окружности, в которых от-
ношение элементов длины дуг образа окружности | z | = г и окружности
। 2 [ = г удовлетворяет (23).
В силу (24), будем иметь
4г > Ро $ (4г)2 ds -k* Sds- (25>
Опираясь на (25), нетрудно оценить снизу dSIdr через L (г). Для этой
цели обозначим через t меру Е. Наша задача сводится к определению ми-
нимального значения функционала
/ = М
t
при условии
2лг
$ (4r)ds+^=L-
t
Определим сначала условный минимум I при фиксированном t; получим
7 — n _k2t
Jt-Po 2nr-t IClt-
Нам остается найти минимум It при 0 t 2лг. Если
L > 2л^г (1 + |/1+1/р0), (26)
то искомый минимум реализуется при t = 0 и будет равен
г _ £«
'min - Ро-^Г •
Таким образом, при выполнении (26) будем иметь
> _Р«_ £2, (27)
dr 2лг ' '
откуда, в силу (13), получим
> IBs- 5 (28)
dr г
или после интеграции с учетом того, что S (1) л, найдем
8 (г) < (29)
Мы доказали (29) в предположении (26). Покажем, что в общем случае
при некоторой постоянной /с2, зависящей только от fcj и р0, будем иметь
5 (г) /с2лг2₽’- (30)
В самом деле, допустим от противного, что при некотором г0
s (ГО) > Л2лгГ; (31>
т°гда, в силу леммы 2,
£ 2 У nS > 2л
266
II. Квазиконформные отображения
т. е., если
к2 > к\ (1 + /1 + 1/>о)2,
то неравенство (26) будет иметь место при г = г0, а в силу (28) и той ясе
леммы, неравенства (31) и (26) будут иметь место для всех г, г > г0?
невозможно, ибо S (1)
Обозначим теперь через 6 (г) диаметр образа X окружности | z | = г
и через т (г) — максимум | f (z) | при | z | = г:
т (г) = шах | / (rei(P) |;
|ф|^л
пусть, кроме того, р (г) равно расстоянию X до точки w = 0, если X не охва-
тывает w = 0, и р (г) = 0, если X охватывает w = 0. Нетрудно,видеть, что
-^->-2*!, пг(г)<6 + р. (32)
Из последних двух неравенств следует, что для доказательства тео-
ремы нам достаточно получить оценку для 6 (г). Так как L > 26 то, в силу
(27), будем иметь
s > С 62 Ф dr. (33)
dr п г л J г 4 '
о
Оценим 6 (г) в произвольной точке г0; при этом мы, очевидно, можем
заранее допустить, что
6 (Го) > 2к1Го. (34)
Положим в (33) г — 2г0, тогда, в силу (32) и (34), правая часть (33) будет
уменьшена, если функцию б (г) положить равной
0 при 0 < г < г0,
б (г) = л
у- б (г0) при г0 < г < 2г0.
Таким образом,
S (2г0) >-^-б2(г0)1п2,
откуда, принимая во внимание (30), окончательно получим
6 (г) < 1/ ^/9- < кзгР°'
v 7 V Ро In 2 3
Этим теорема полностью доказана.
Заметим, что если при отображении (16) единичная окружность пе-
реходит в единичную окружность, то неравенство (17) имеет место в замк-
нутом круге | z | < 1.
Опираясь на доказанную теорему, нетрудно установить ряд следую-
щих вспомогательных предложений, существенных для дальнейшего.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
267
уы будем рассматривать линейную систему
dR дх
ди ’
dR дх . , дх
-------------Н Ъ-~---h С,
dv дх dv
удовлетворяющую следующим условиям:
___4л — 62 > А: > О, | а | + | Ь [ + | с
(35)
(36)
Кроме того, мы будем предполагать, что функции а, 6, с от независимых
переменных х, v кусочно-непрерывны и обладают кусочно-непрерывными
производными во всей плоскости.
Лемма 3. В полосе | и | 1 существует решение (35)
£ = / (z) = В (х, и) + it (х, и)
такое, что
| / (z + h) - / (z) | < N | h |v,
где постоянные M, N и v, 0 <Z v 1, зависят только от постоянных к, К.
Для доказательства построим вспомогательную систему с числовым
параметром X:
dR дх dR дх . , дх .
-г— = -я— , -д— = а -т—h b -д-р Хе (37Y
дх dv'dvdxdv ' '
и будем сначала предполагать, что вне прямоугольника Т: | v | < 1,
| х | < п имеем
с = 0. (38)
В силу линейности системы (37), нам достаточно установить лемму
для X достаточно малого, при этом малость параметра X должна, очевидно,
зависеть только от постоянных к, К и п.
Построим квазиконформное отображение £ = /0 (z), соответствующее
системе (37) при X = 0, полосы | v | < 2 на единичный круг | £ | < 1 при
условиях
/о (0) = 0, /0 (±оо) = ±1.
В силу условия (36) и известных свойств квазиконформных отобра-
женийтчщри £ = /0 (z) область полосы | v | < 2, внешняя к Т, перейдет
в круге | £ | < 1 в область А, содержащую кольцо
0<1 -г0< | £ |<1,
где г0 будет зависеть только от п.
По функциям В и т построим в полосе | v | 2 функцию у = у0 (х, v):
-£- = ’• -£- = *; m
произвольной постоянной при интегрировании (39) мы распорядимся,.
Для определенности, так, чтобы у (0, 0) = 0.
Заметив это, рассмотрим уравнение
a-g. + fe_flL.-4f- + Xc = 0 (40)
ох* 1 дх dv dv* ' '
268
II. Квазиконформные отображения
и обозначим через у = у (х, v. К), у (0, 0, %) = 0 его интеграл в полосе
। v | < 2, совпадающий с у0 (х, и) на прямых v = +2. Очевидно, имеем
у (х. v, 0) = у о (х, и).
При X бесконечно малом функция у (х, v, X) будет иметь близость пер-
вого порядка с функцией yQ (х, и), следовательно, при бесконечно малом X
функция
__ дУ (*> М . ду (х, и, X)
/М-------------- + 1-----д~х--’
квазианалитическая в полосах 1 < | v | < 2, будет однолистна в части
| v | < 2, внешней к прямоугольнику | v | < 3/2, | х | < п + 1. В силу
определения квазиоднолистности, функция / (z, X) будет квазиоднолистна
в полосе | v | < 2 для достаточно малых X. Квазиоднолистность будет во
всяком случае иметь место до тех пор, пока / (z, X) — образ прямоуголь-
ника Т — будет расположен в круге | £ | < 1 — г0/2. Применяя к функ-
ции / (z. X) следствие теоремы 1, мы получим, что / (z, X) будет квазиодно-
листна в полосе | v | < 2 при всех значениях X, X < Хо, где Хо зависит
только от постоянных А, К и п; повторное применение того же следствия
дает нам заключение леммы при условии (38).
Нам остается избавиться от ограничения (38). Для этой цели оценим
/ (z0) при | х | > п, когда f (z) соответствует решению уравнения (40) при
нулевых граничных условиях и при условии (38). В силу доказанной час-
ти леммы, всюду в полосе имеем
| / (2) | < М, I / (z + h) - / (z) I < N I h Г
В силу условия (38), функция w = f (z) осуществляет квазиконформное
отображение полуполосы 5: х п, 0 < у < 1, на некоторую риманову
поверхность.
Пусть S (х, и) есть эллипс, который главной линейной частью отобра-
жения ш = / (z) (в окрестности точки х, v) переводится в круг. Отобразим
полуполосу S квазиконформно на единичный круг | £ | < 1 при следую-
щих условиях:
1) в каждой точке х, v бесконечно малый эллипс, подобный и подобно
расположенный с $ (х, р), переводится (с точностью до малых высших
порядков) в круг;
2) точка xQ + U2 переводится в точку £ = 0;
3) точка х = +оо переводится в точку £ = 1.
В силу известных свойств квазиконформных отображений, при рас-
сматриваемом отображении отрезок, соединяющий точки п и п + i, пе-
рейдет в дугу у окружности | £ | = 1 длины Где зависит толь-
ко от к п К, а отрезок, соединяющий точки xQ и л:04-г,-перёйдет в линию
Г, отстоящую от у на расстоянии, не меньшем некоторой постоянной Хр
не зависящей от х$ и п, коль скоро х$ — п > 1.
Рассмотрим теперь функцию / (z) как функцию £:
w = F
Функция F (£) аналитична в единичном круге | £ | < 1, кроме того, на ?
1^(010,
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений 269
точках окружности | £ | = 1 вне у ее мнимая часть равна нулю:
а во все-
Im F (^) = °-
Следовательно, на Г будем иметь
‘ |/(2в) | = |F(£) \<.СМе~^-\
а При
I / (z + /i) — / (z) I < CNe-^-"') I h |v, (41)
e q — абсолютная постоянная.
фиксируя га, мы можем, в силу (41), построить искомое решение при
помощи ряда
5/n(z+ «)’
— оо
где ]п (z) суть решения нашей системы, соответствующие разобранному
частному случаю.
Лемма 4. Пусть при | v | < 1, £ = f (z) = R + ix есть решение
системы (35), удовлетворяющей условиям (36), такое, что
f (0) = 1, | т (х, +1) I < ki.
При этих условиях в любой полосе | v | < X < 1 имеем
\f(z + h)-f(z)\<k2\h\\
| т Zc3, (42)
I / (z) I < К In-j-Ipy + /с51 х |,
где к2, к3 зависят только от к, кг, К, X, а постоянные к4, кь зависят только
от к, кг, К.
В самом деле, наша система уравнений удовлетворяет условиям лем-
мы 3, следовательно, существует решение этой системы f0 (z), ограниченное
в полосе | v | < 1 и удовлетворяющее в этой полосе условию Гёльдера
с постоянными, зависящими только от к и К.
Заметив это, построим функцию
F Ы = / (2) - /о (2).
Функция F (z) будет удовлетворять однородной системе уравнений (37)
при X = 0; кроме того, мнимая часть F (z) будет ограничена на прямых
v + К но тогда, в силу теоремы 2, наша функция F (z), а значит и f (z),
будет удовлетворять (41) и (42).
Лемма полностью доказана.
Кроме установленных свойств линейных систем, для доказательства
основной теоремы нам понадобится ряд свойств линейных уравнений и
линейных систем, которые я приведу без доказательств. Все эти свойства
содержатся или непосредственно вытекают из известных предложений,
изложенных в курсах уравнений математической физики [4] и статьях
ОД- А. Лаврентьева [5], 3. Я. Шапиро [6], Б. В. Шабата [7].
Начнем с результатов, относящихся к теории линейных уравнений
второго порядка.
270
II, Квазиконформные отображения
Мы будем рассматривать уравнения вида
+ + В-1-0, (43)
Л» + ^-^ + В-^- = /а,ч). (44)
где Д есть оператор Лапласа:
л — _j_ д2у
Щ "Г ^2 »
а Л, В суть функции ц, заданные в полосе 0 ц 1.
Свойство 1. Пусть в уравнении (43) коэффициенты А и В огра-
ничены постоянной с0, а их первые и вторые производные ограничены по-
стоянными с и с"\
I А | < с0, | В | < с0, | grad А | < с', | grad В | < с , . . .
(45)
и пусть заданы две функции у0 (£) и у (£), причем
I У о К I У К I Уо I < I У' I <
I Уо I < к", | у" 1 < к".
При этих условиях в полосе 0 < ц < 1 существует решение уравнения (43):
у (£, ц),— принимающее на границах соответственно значения у0 (х) и
у (х). Частные производные функции у (£, ц): ду!д^ и ду1дч\ будут при этом
ограничены сверху и снизу, равномерно-непрерывны в замкнутой полосе
причем как верхние и нижние границы, так и показатель
равномерной непрерывности могут быть оценены только через постоян-
ные с и к.
Если у == 0, а у0 (£) не превосходит е, то
У (В, п) < 8 (1 — С1П).
где постоянная Ci зависит только от постоянных с0 и с',
Свойство 2. При обозначениях, принятых выше, производная
ду/д^ стремится к нулю вместе с с0, с и к',
Свойство 3. Пусть в уравнении (44) коэффициенты А и В удовлет-
воряют прежним условиям и пусть у (£, ц) есть решение (44) при нулевых
граничных условиях:
У & 0) = 0, у (g, 1) = 0.
Тогда, если функция f дифференцируема и всюду в полосе 0 ц 1
I / (t, n) I < то
1^1^ I dr] I
где постоянная К зависит только от постоянных с0, с', с".
В дальнейшем нам понадобятся также два свойства решений у (х, и)
уравнений вида
-^-4-4-Й- += С, (46)
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
271
где А, В, С суть функции х, удовлетворяющие условиям
2 условию эллиптичности 4Л — В2 > с0 0.
Свойство 4. Если при v = +1
ду (х> ± 1)
(47)
<Г,
5-0 всюду в полосе | v | < 1 имеем
Свойство 5. Если
ду (я> — 1)
дх
|^|="
max
|х|<оо
то при М достаточно большом, М Мо (с0, v, к', 8), всюду в полосе | и | <
< 1 будем иметь
I |<М.
I дх
Свойство 6. Если коэффициенты уравнения (46) дополнительно
удовлетворяют условиям
и если
Л/ = т«х|^|>тах1ЛЬ<й=0.| + х,
то при X достаточно большом, X Хо (v, 8, 80), будет
I д*у (х> I М
I дх* I iV1 ‘
Перейдем к группе свойств квазиконформных отображений, соответ-
ствующих линейным системам.
Мы будем рассматривать квазиконформные отображения (полосы
О < ц < 1 плоскости ц на области плоскости х, ^), соответствующие
системе
дх _ дх , ду
дт] “ 0,1 д^ 01 д1 ’
ду дх , к дУ
— Я2 ~5|- + »2 -7|- ,
где коэффициенты а и Ъ суть заданные дважды дифференцируемые функ-
ции четырех координат х, у, ц. Кроме того, систему (48) мы будем пред-
полагать эллиптической
—46ха2 — (Ь2—ai)2 > ^ > О,
где^ — постоянная, не зависящая от координат.
272
II. Квазиконформные отображения
Отметим прежде всего следующую общую теорему.
Свойство 7. Какова бы ни была односвязная риманова поверх-
ность S гиперболического типа, всегда существует квазиконформное отоб-
ражение (соответствующее системе (48)) полосы 0 < ц < 1 на 5; это отоб-
ражение единственно с точностью до трех действительных постоянных.
Если коэффициенты а и b ограничены по модулю постоянной к, а поверх*
ность S принадлежит полосе | у | < Н, то в полосе /& < ц < 1 — h, h > О,
функции х и у удовлетворяют условию Гёльдера
|/(С + до-/о |<Я |ДС 1“
(49)
(С = В + /(£) = * + iy),
где К и а Q зависят только от v, Л, Я, h.
Если дополнительно допустить, что все первые частные производные
коэффициентов а и b ограничены постоянной то в полосе к < ц < 1 — h
все частные производные х и у будут ограничены постоянной, зависящей
только от v, к, Н, h, к', причем
|-^|<ДГ1п—тт-1- . • (50)
| dq | т] (1 — т]) v '
Остановимся особо на случае, когда S есть единичная полоса 0< у < 1,
а при отображении
Z = f (£), z = X + iy,
точки £ = +°° переходят в точки х — +ос.
Свойство 8. Если все первые частные производные коэффициентов
а и Ь не превосходят е', то в полосе 0 ц 1 будем иметь
о<*<| '« \<К,
где к и К зависят только от е', v и максимумов модулей коэффициентов
а и Ъ.
Свойство 9. Если все первые частные производные коэффициен-
тов а и Ъ не превосходят е', а их вторые частные производные — е", то
в полосе 0 ц 1 будем иметь
|-^-|<7Се'(1 + е'1п-£-) , 6'<е".
Отметим в заключение еще два свойства, устанавливающие зависимость
между вариацией отображения и вариацией коэффициентов а и Ь.
Свойство 10. Допустим, что наряду с системой (48) мы имеем
бесконечно близкую систему
г дх _ дх т дх
ду. _ - дх 1 ь 1 '
dq • °2 д1-
и пусть z — f (£) дает отображение, соответствующее системе (51), единич-
ной полосы 0 < ц < 1 на единичную полосу 0 < у < 1:
f (zt°°) = / (0) = 0.
21. Основная, теорема теории квазиконформных отображений
273
При этих условиях, если первые и вторые частные производные коэф-
фициентов а и Ъ не превосходят i/Т и если вариации
5а^ — d1 • , • . ., 8b 2 — ^2
не превосходят е, а их первые и вторые частные производные не превос-
ходят е/Г, то вариации всех вторых частных производных х. у по г| не
превосходят Кг!Т (К ~ const, Т велико сравнительно с единицей), а ва-
риация первых производных не превосходит Кг.
§ 2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА
В силу рассмотрений § 7 нашей статьи [3], задача построения квази-
конформного отображения криволинейной полосы на полосу 0 < v < 1
сводится к задаче Дирихле для квазилинейного уравнения второго по-
рядка. Мы рассмотрим сначала случай, когда основная система уравнений
не содержит явно координат у и и. В этом случае квазилинейное урав-
нение будет иметь вид
д2у 1 д2у
dv* дх ди дх*
(52)
где а, b и с суть функции Я, ти координат х, v:
R т = 2L
dv ’ т дх ’
а = a (R, т, х р), Ъ = b (R, т, х, и), с = с (R, т, х, v).
равномерно-непрерывные вместе с их первыми двумя производными в плос-
костях Я, т и ж, v.
В силу предполагаемой сильной эллиптичности основной системы, урав-
нение (52) будет эллиптично:
—4а - Ь2 > О (Я =/= 0). (53)
В ближайших параграфах при конструировании решения мы будем
дополнительно предполагать, что при Я достаточно больших, Я > С,
а = -1, Ъ = 0,
а при Я достаточно малых, Я р,0,
—4а — Ъ2 > к 0.
Кроме того, будем предполагать что а и b слабо зависят от координат:
модули всех первых частных производных а и Ь по х и у не превосходят
числа v:
(54)
Функцию с будем предполагать малой со всеми ее частными производ-
ными по всем четырем аргументам:
(55)
От этих ограничений мы в дальнейшем освободимся.
2U
II. Казиконформные отображения
Переходя к конструкции решения уравнения (52), мы начнем с построе-
ния «приближенного решения» задачи Дирихле для этого уравнения. Это
приближенное решение мы будем строить в единичной полосе 0 <; и <; 1
в предположении, что искомая функция у (х, и) задана на границах этой
полосы:
У (х, 0) = у о (х) у (х, 1) = У! (х),
(56)
причем функции у0 и уг будем предполагать дважды дифференцируемыми
и такими, что
о < к0 < У! (х) — у о (х) < кг,
I Уо I < к', | у{ | < к',
I Уо I < к",' | yi | < к".
Фиксируем положительное число Т и положим
а = а0 (х) = a (Ro, т0, х, 0),
• b = b0 (х) = b (Ro, т0, х, 0), (57)
с = с0 (х) = с (Ro, т0, х, 0),
где
Ix+T t-\-T
^0 = 5 1^1(0 Уо (0]
Хх+Т 'Zt (58)
т0 =-275- \ dt $ U/1G + л — yi(t) + y0(t + Т) — y0(t)]dt.
, х-Т t-T
Дифференцируя Ro и т0, мы можем получить оценки для четырех пер-
вых производных Ro и т0 по х:
| jF?Z | ft*
|Яо"|<^,
pIV I ik*
л0 | \ "уГ ,
(59)
Наряду с приведенными оценками, нам в дальнейшем понадобятся еще
оценки для вариаций производных RQ и т0 в зависимости от вариаций
Z/o и Уъ
Итак, пусть
Ьуо = о, | 6t/i | < е;
тогда, очевидно,
(|бя;|<
I |бя;к
48
~Т~ ’
4е
(60)
I < тт •
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
275
Построим теперь дифференциальное уравнение
4^* — а° — &0 дхди = С°
Интеграл этого уравнения, правильный в полосе 0 < р < 1 и принимаю-
щий на границах полосы значения (56), мы будем рассматривать как «приб-
лиженное» выражение интеграла уравнения (52) при тех же граничных за-
даниях. При сделанных гипотезах относительно а, Ъ и с уравнение (61)
есть линейное уравнение эллиптического типа, допускающее дважды не-
прерывно дифференцируемое в полосе 0 < v < 1 решение при любых дваж-
ды дифференцируемых граничных условиях.
Кроме известных свойств интеграла у (я, i?) уравнения (61), приведен-
ных нами в нашей статье [3], нам понадобится следующее вариационное
предложение.
Л е м м а 5. При фиксированных достаточно малых значениях констант
к', к" и при любом достаточно большом фиксированном Т, если вариация
yQ (х) не превосходит 8 и стремится к нулю при | х | —> оо, а вариация
У1 (%) равна нулю:
I 6 У о (х) I < е, lim 6у0 (х) = 0, 6г/! (х) = О,
|х|->оо
то при любом 0 вариация у (х, v), v = const, не будет превосходить
ть:
| Ьу (х, v) | < 7П8,
где т зависит только от V, и при любом v
т = т (v) < 1.
Для доказательства приведем, прежде всего, уравнение (61) к канони-
ческому виду:
49+л4г+в-^- = с- <62>
Соотношения между старыми переменными х, v и новыми g, ц:
£ = I (х, р), Т] = ц (х, v) (63)
будут осуществлять квазиконформное отображение единичной полосы
О и < 1 на единичную полосу 0 < ц < 1, соответствующее линейной
системе
'
дх А дх Д dv ’
( _£п_ =___L21_A^L
dv Д дх Д dv ’
А = а0 j- bQ к 0.
Коэффициенты А и В будут при этом иметь следующий вид:
1
XX + &0? XV + 1vv)»
* В = (®оЛхх “I- "Т Л»»)’
Л/=---------1.
(64)
(65)
276
II. Квазиконформные отображения
Аналогичное преобразование мы проделаем для уравнения (61), соот-
ветствующего проварьированному граничному условию; полагая
У (х. и) = у (х, v) + 6г/ {х, и),
лолучим
Ау + А-^+В^=С, (66)
91 дт] '
где f, fj, А, В, С определяются по формулам (64) и (65) при варьированных
значениях а0 и Ьо.
Заметив это, фиксируем произвольную точку М (х0, и) и оценим в этой
точке вариацию бу (х, v). Произвольной постоянной в отображении (63)
и проварьированном отображении
I = l(x, v), n = n (х, v) (67)
мы распорядимся так, чтобы точка М при первом отображении перешла
в точку Mr (0, ц) и чтобы при обоих отображениях некоторая точка хг оси
х перешла в начало координат.
Искомую вариацию бу представим как сумму пяти вариаций:
$У = 61 + 62 + 63 + 64 + 65.
За бх мы примем вариацию интеграла у (£, ц) уравнения (62) в точке М при
начальных функциях А и 5, когда варьируются только граничные усло-
вия: от условия
У (£. 0) = г/0 [х (|)]
мы переходим к условию
у (£, 0) = г/о [ж (£)] + 6г/0 [я (£)].
За 62 мы примем бу в точке Mi уравнения (62), когда варьируются только
Ли/?. За 63 мы примем бу в точке Мг уравнения (62), когда варьируются
только граничные условия в соответствии с переходом от координат
ц к координатам 7j,
бг/о = Уо (£)] — Уо Ь (£)!•
За 64 мы примем бу уравнения (62) при переходе от точки Мг к точке
Mt (|, rj), соответствующей точке М при отображении (67). За 65 мы при-
мем бу, когда варьируется только правая часть (62).
Мы покажем, что при сделанных гипотезах главным членом бу будет
являться член 6Ь который, согласно отмеченному в предыдущем параграфе
свойству 1, имеет вид
I 61 I < е (1 — СТ]0), (68)
где с > 0, но, в силу свойства 8 отображения (63), отношение т|0/г^ ограни-
чено сверху и снизу постоянными, завсисящими также только от постоян-
ных к', к" и Т, следовательно, в (68) мы можем ц0 заменить на v:
| 6i | < 8 (1 — cv).
Докажем теперь, что все остальные 6 при больших Т малы сравните-
льно с 8Р или, что то же самое, с ет]0.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
277
Варьируя уравнение (62), для 62 получим
(69)
Нам нужно оценить б2 в точке Мг при условии, что на границах единичной
полосы б2 обращается в нуль. Для этой цели оценим правую часть (69);
Мь1 можем при этом ограничиться случаем, когда
I (0) - У1 (0) I < 2С.
В силу свойства 1 линейных уравнений, ду!дЪ„ ду/ду\ ограничены величина-
ми, зависящими только от постоянных С, к', к", следовательно, порядок
малости правой части (69) будет определяться 6Л и 65. В силу (65) 6Л и
ЬВ суть суммы произведений функций а и b на вариации вторых частных
производных | и ц по х и р, а также произведений тех же частных произ-
водных на вариации а и Ь:
’ (70)
.... <71>
Рассмотрим члены (70). По условиям задачи а0 и Ьо ограничены, а
в силу (59), (60) и свойства 9 линейных квазиконформных отображений,
все вариации бд2£/дх2 будут иметь порядок г/Т.
Перейдем к членам (71). В силу свойства 8 линейных систем, d2tjdx2
будут малы вместе с 1/77, а члены ба0, 6&0 будут иметь порядок е.
Таким образом, окончательно
|>6Л+-Йгвл|<*-Ь
где К — постоянная, зависящая только от постоянных С, к', к". Отсюда,
в силу линейности (69), заключаем, что
I д^2 \ к е
и в интересующей нас точке М
\^\<К^.
Перейдем к оценке б3. В силу определения 63 и условий, определяющих
квазиконформное отображение (63) и его вариацию, наша задача сводится
к оценке вариации уравнения (62) при переходе от граничных условий
У& 0) = i/0 (£), у&, 1) = У1(£)
к условиям
У (£. 0) = Уо [фо (£)К У (I, 1) = У1 [ф1 (£)1,
где £ = <р0 (|) и £ = фх (|) суть функции, определяющие соответствия меж-
ДУ границами единичных полос и плоскостей £, ц и ц. Эти функции об-
ладают тремя первыми производными, причем, в силу свойства 9, имеем
Фо (0) =0, I <р0 (g) - 1 I < Кг, I ф; (g) I < Яе/Г,
I ф1 (|) - 1 | < Кг, |фН^)1<^е.
278
II. Квазиконформные отображения
Кроме того, очевидно, что
| Ф1 (0) I < Кг,
где К зависит только от постоянных к.
Отсюда, принимая во внимание малость к', /с", 1/Г, мы в силу свойства
6 линейных уравнений, получим, что 63 мало сравнительно с ец0.
Оценим 64. В силу свойства 9 квазиконформных отображений и допол-
нительных условий, наложенных на отображения (63) и (67), будем иметь
]1о | < АГеяо» I Йо — По I < Кгщ/Т,
но, по условиям задачи и свойству 7 линейных уравнений ду/д^ мало, а
ду/д^ ограничено постоянной, зависящей только от постоянных к, сле-
довательно, 64 будет мало сравнительно с ец0.
Нам остается оценить S5. В силу определения S5,
Д65 + А + В^ = ЬС.
& 1 1 дт]
Но так как по условию с, а следовательно, и С, слабо зависит от всех аргу-
ментов, то SC будет мало сравнительно с вариациями RQ и т0. Таким обра-
зом, в интересующей нас точке
I 6 5 I < К™0-
Наше предложение полностью доказано.
§ 3. ЛЕММА О СКЛЕИВАНИИ
Рассмотрим в плоскости х, v полосу | v | < 1. Пусть на границах этой
полосы и — + 1 нам заданы функции у = уг (х) и у = у2 (х), удовлетво-
ряющие условиям леммы 5. В силу известных свойств линейных систем,
какова бы ни была дважды дифференцируемая функция у0 (я), для которой
I У2 — Уо I» I Уо — Уг h I Уо Ь 1Й I ограничены, всегда можно построить
функции yr (х, р), у2 (х, v) такие, что функция i/i удовлетворяет в полосе
— 1 < v < 0 уравнению (61) и принимает на прямых v = 0, v — — 1 со-
ответственно значения yQ (х) и (х)-, функция у2 удовлетворяет (61) в по-
лосе 0 < v < 1 и принимает на прямых v = 0 и и = 1 соответственно
значения у0 (х) и у2 (х). При этом мы, естественно, предполагаем, что
коэффициенты а0, Ьо ис0 в уравнении (61) определяются по форму-
лам (57) и (58) для нижней полосы через у± (х) и у0 (х), а для верхней
полосы — через у0 (х) и у2 (х).
Установим следующую лемму.
Лемма 6. При сделанных гипотезах относительно уг (х) и у2 (х)
и при Т достаточно большом, существует дважды дифференцируемая
функция у0 (х) такая, что вдоль оси х
дуг (х, 0) _ дуъ (х, 0)
dv ди ’
причем, если | у{ (х) | и | у2 (х) | ограничены постоянной к', а | у[ (х) |г
I Уъ (х) | ограничены постоянной к", то
I Уо (х) I < к' + рх (v), I Уо (х) I < р2 (к', к", v),
где стремится к нулю вместе cv, а ц2 — вместе ck'uv.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
279
Для доказательства воспользуемся альтернирующим процессом Швар-
да. Фиксируем число h и рассмотрим две полосы Вг: — 1 с v <Z h и В2:
— в каждой из которых строим свою последовательность
функций. Через (х, v) обозначим решение уравнения (61) в полосе Bi,
принимающее на v = h значение 0, а на прямой v = —1 значения yt (х).
Через у21} (х, v) обозначим решение уравнения (61) в полосе В2, принимаю-
щее на v = —h значения (х, —К), а на v = 1 значения у2 (х). Через
(х, и) обозначим рещение уравнения (61) в полосе Ви принимающее
на v = h значения у{2~1} (х, К}, а на v = — 1 значения (х); у2п) (х, v) есть
решение уравнения (61), равное у^ (я, —/г) на v = — h и равное у2 (х)
на v = 1.
В силу свойств 4, 5, частные производные по х всех функций у^ не
будут превосходить k' 4- X, а вторые частные производные по х не будут
превосходить р,2, где X и р2 не зависят ни от п, ни от h. Отсюда, используя
лемму 5, заключаем, что каждая из последовательностей
7,(1) „(2)
У1 , У\ , • • •, #1 , • • •,
будет равномерно сходиться соответственно в полосах Вг и В2. Обозначим
соответственно через уг (х, v, h) и у2 (я, и, h) пределы этих последователь-
ностей.
В силу свойства 1 линейного уравнения, построенные функции суть
решения уравнения (61) и обладают равностепенно-непрерывными (отно-
сительно h) частными производными по г; кроме того, по построению,
У1 (х, —h', h) = У% (х, —h, h), yr (х, h, h) = у2 (х, h, h).
Отсюда заключаем, что при h -» 0 построенные функции в пределе дадут
искомые решения уг (х, v) и у2 (х, v).
Вторая часть заключения леммы вытекает из построения, леммы 5
и свойств 4, 5 линейных уравнений.
Из двух установленных выше лемм и свойств линейных систем нетруд-
но получить следующие вариационные предложения относительно функ-
ции у 0 (х) леммы 6.
Лемма 7. Пусть в условиях леммы 6 функция уг (х) получает бесконеч-
но малое дважды дифференцируемое приращение Ьуг. Обозначая через буо
соответствующее приращение функции склеивания yQ (я), будем иметь
I б!/о I < Hi I Syr |, I бу'о | < р,2 | 8уг |,
гбе jij и р2 —- постоянные, зависящие только от постоянных к и v, причем
1.
§ 4. ПРИНЦИП ПОДОБИЯ
Уравнение (61), очевидно, инвариантно относительно подобного пре-
образования пространства х, v, у, если интервал осреднения Т изменять
о тем же коэффициентом подобия. Отсюда вытекает, что последние леммы
можно формулировать для произвольной полосы с границами, параллель-
ными оси х.
280
II. Квазиконформные отображения
Если ширина полосы будет равна X, то в формулах (57) вместо 7?0 ц
и т0 нужно подставить выражения
х-Н s-Н
Д0 = it \ ds i — У1 ds’
x—t s—t
x+t s-H
To = ds J [У2 (s + 0 — У2 (s) + Vi (s + 0 — У1 («)] ds-
X—t £—t
Заключения трех последних лемм будут оставаться в силе, если при
фиксированном Л2,
I Уг (*) yi (х) | < /с2Х,
будут достаточно малы следующие пять величин:
max | yi |, max | у2 |, % max | |, % max | у2 | и %/t.
§ 5. n-е ПРИБЛИЖЕНИЕ
Разобьем единичную полосу В: 0 < v < 1 на «полос Ви В2, . . . , Вп,
Bi:-^-<_v<— (i = 1,2,..п).
Функцию Y (х, и) назовем приближенным решением п-го порядка урав-
нения (52), если функция Y будет обладать в полосе В непрерывными
частными производными по х и v и если в каждой полосе Bt (i = 1, 2, * . .
. . п) функция Y будет удовлетворять уравнению (61) при
X = — , у± — Y (х, , у2 = Y (х, —).
п ’ \ п / ’ \ П /
Определенное таким образом n-е приближение У, будет, очевидно, за-
висеть от параметра «осреднения» t, которому мы придадим вид
t = Tin.
Установим теперь следующую основную лемму.
Л е м м а 8. Пусть уравнение (52) удовлетворяет условиям (54), (55) и
с (0, т, х, v) = 0.
Пусть, кроме того, заданы две функции у0 (х) и ух (х), обладающие двумя
первыми производными и такие, что
1 У1 (т) — Уо (т) | lim у0 (х) = he, х->4-оо lim i/i (х) = h2, X—*-|~°о 1 Уо (т) | < к', 1 Уо (*) 1 < к", kg, lim у0 (ж) == hu »-»—00 lim yi (х) = h3, X-*—оо 1 Ух (т) | < к', (72) 1 Ух (х) 1 < к".
При этих условиях, каковы бы ни были фиксированные числа k0, hQ, . • •
• . h3 и достаточно малые v, к', к", ИТ, прилюбомп в полосе В существуем
21. Основная, теорема теории квазиконформных отображений
281
приближенное решение Y (х, v) п-го порядка уравнения (52), принимающее
яа границах полосы, соответственно, значения:
Y (х. 0) = у0 (х), Y (х, 1) = у! (х).
Заметим, прежде всего, что при yQ (х) = у! (х) = 0 решение тривиаль-
но: Y v) = Q при любом п и Т.
Допустим, что искомое решение Yn существует при граничных усло-
виях kLU/0 (я) и F4/i (Y), где yQ и у± — функции, удовлетворяющие (72), а
а и — некоторое положительное число, меньшее единицы, и построим ре-
шение для граничных условий (р, + Др,) у0 (х) и г/х (х) при Др, достаточно
малом. Мы будем искать методом последовательных приближений значе-
ния У^+дц на границах полос Вг. Опишем процесс.
Рассмотрим полосы Bv и В2. Используя лемму о склеивании, построим
в полосе 0 < v < 2/п непрерывно дифференцируемую функцию, удовлет-
воряющую в полосах Bi и В2 уравнению (61) и принимающую на границах
v = 0, v = 2/п соответственно значения (р + Др) z/0 (х) и Уг (х, 2/п).
Обозначим через (х, 1) значения построенной функции на прямой v —
= Мп. В полосе 1/n < и < 3/п строим, согласно той же лемме, решение
(61), принимающее на прямых v = Мп, 3/п значения zr (х, 1) и Уц (х, 3/п).
Значения построенной функции вдоль и = 2/п обозначим через zr (х, 2).
Продолжая этот процесс, мы получаем п — 1 функций:
zt (х, 1), zx (х, 2), . . ., zx (х, п — 1).
Повторим описанный выше процесс; заменяя граничные условия
Уц (х, i/n) граничными условиями zr (х, i), мы получим новую группу п — 1
функций:
z2 (х, 1), z2 (х, 2), . . ., z2 (х, п — 1).
Отправляясь от функций z2, мы построим п — 1 функций z3 и т. д.
Покажем, что в условиях леммы при любом i = 1, 2, . . ., п — 1 по-
следовательность функций
zr (х, i), z2 (х, I), . . ., zm (х, I), . . .
существует и равномерно сходится к дважды дифференцируемой функции
z (х, i), причем решение (61), построенное в полосах Bt (1= 1,2,.. ., п),
при граничных значениях z (х, i) и z (х, i + 1) будет давать искомое ре-
шение Уи+Дц.
Для этой цели отметим предварительно некоторые свойства функций
И zm.
Рассмотрим отображение единичной полосы 0 < v < 1 плоскости х,
^на поверхность S плоскости R, т, осуществляемое функциями
dY dY
dv дх
Отображение (73) соответствует системе
дт dR dR ___ дт^.дт:
dv дх ’ dv а® дх Q dv
а0, bQ и с0 суть функции х, v, равномерно-непрерывные в каждой из
ц°лос Ип < v < (Z + 1)/п. Кроме того, эти коэффициенты равномерно
°гРаничены и удовлетворяют условиям сильной эллиптичности.
(73)
282
II. Квазиконформные отображения
По условиям задачи, на границах полосы v = 0, v = 1 имеем | т |
< к', следовательно, в силу леммы 4, будем иметь:
1°. Во всей полосе 0 v 1
| т | < к' + %,
где X не зависит от п и стремится к нулю вместе с с0.
2°. При любом положительном h в полосе h < v < 1 — h функции fi
и т равностепенно-непрерывны и удовлетворяют условию Гёльдера (равно-
мерно относительно п).
3°. При любом X И Г, 0 < V < 1,
| R (х, v) | < К In * . ,
где К не.зависит от п.
Из 1° и 3° непосредственно заключаем, что решения Уц в полосе 0
< v < 1 равностепенно-непрерывны относительно п.
Кроме того, в силу отмеченных выше свойств интегралов линейных
уравнений и в силу 1°, имеем следующее свойство.
4°. Всюду в полосе 0 < v < 1
<С Р (&', v) П,
дх*
(74)
где р (Л', v) мало вместе с к' и v.
Заметив это, займемся функциями zm (х, Г). В силу леммы 7, имеем
I Zm+1 (х, 0 — zm (х, 0 I < 0 I zm (х, 0 — 2W-1 (х, i) I, (75)
где 9<1и зависит от постоянных к' и v из условий леммы 7. Таким обра-
зом, построение функций zm+1 будет возможно и все эти функции будут
удовлетворять (75) при фиксированном 0, если Z; (/ = 1, 2, . . ., т) будут
обладать достаточно малыми производными zj. Но в силу (74),
|Z/(X, — i) \<^Q,
следовательно, применяя лемму 7 и свойство 1° решения Уц, получим
I zi (*, 0 — (*, О I < ЯАн»
| z'j (х, I) | < к' -f- X + А" А [л.
Взяв kr, v и Ар достаточно малыми, мы обеспечим для каждого шага воз-
можность построения функций zm+i и применимость лемм 5, 6 и 7 при фик-
сированном 0, не зависящем от т.
Отсюда, в силу (74), следует равномерная сходимость последователь-
ности
Zi (х, I), z2 (х, Z), . . ., zm (х, 0, . . . (г = 1, 2, . . п — 1),
lim zw (х, i) = Уц+Дц (х, г)-
т—>оо
Кроме того, в силу (74), построенное «приближенное» решение У^+др
будет обладать в каждой из полос Вг равномерно-непрерывными частными
производными по х и v, причем на общей границе полос Bt и В^ произвол*
ная dY/dv для Bt будет равна dY/dv для Bui-
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
283
Таким образом, мы доказали, что для к', i/Т и v достаточно малых при
даличии решения З^при граничных условиях р,у0 (х), y,yt (х) можно по-
строить решение для граничных условий (р, + Др) у0 (х), рг^ (ж). Следо-
вательно, при к', v и НТ достаточно малых и при любых фиксированных
ък" существует приближенное решение (52) при граничных условиях
у0 (х), yi (г) любого конечного порядка п.
Из
§ 6. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
перечисленных выше свойств приближенного решения Yn (х, v)
л-го порядка уравнения (52)
равностепенно-непрерывны в
ay дУ
р_____П _ __п_
Пп~ 0v ' п дх
непосредственно следует, что функции Ym
полосе 0 < v < 1, а функции
полосе h < v < 1 — h при любом h > 0.
равностепенно-непрерывны в
Из последовательности Yn мы можем, таким образом, выделить равномерно
сходящуюся последовательность так, чтобы функции Rn и %п также рав-
номерно сходились.
Обозначим через Y (я, v) предельную функцию. При h —> оо «осреднен-
ные» коэффициенты а0, Ьо и с0 n-го приближения будут также равномерно
сходиться к функциям а (/?, т, х, v), b (Я, т, х, v) и с (R, т, х, v), где R и
и т суть частные производные функции Y соответственно по v и по х.
Отсюда заключаем, что построенная предельная функция Y (х. v) бу-
дет давать искомый интеграл уравнения (52) при граничных условиях
у о (х) и у 1 (х). Этим самым доказана теорема существования (52) для до-
статочно малых к' и v и при любых фиксированных к и к". Кроме того, при
доказательстве мы предполагали, что с обращается в нуль вместе с R.
Отправляясь от построенного решения уравнения (52), нетрудно уста-
новить теорему существования квазиконформного отображения, соответ-
ствующего системе
I IV = F1 (У, а, х, v),
I 0 = F2 (У, а, х, v),
(76)
полосы D: у0 (х) < у < У1 (я) на полосу 0 <; v < 1 при условиях:
1°) функции Fr и F2 слабо зависят от координат ж, V, т. е. первые и вто-
рые частные производные Fr и F2 по координатам по модулю ограничены
Достаточно малыми постоянными;
2°) I у0 | < F, | у] | < к", к<У1 (х) - у0 (ж) < К,
тДе к, К и к" — фиксированные постоянные;
3°) I Уо I < &', I У1 I < к',
где к' — достаточно малая постоянная.
В самом деле, для этой цели нам достаточно показать, что при сделан-
ных гипотезах относительно функций Fx, F2 и граничных функций у0
а У1 построенное нами решение уравнения (52) будет обладать положи-
тельной частной производной по и:
я = -^>0.
dv
284
II. Квазиконформные отображения
Установим предварительно несколько вспомогательных предложений
Лемма 9. Пусть в условиях доказанной теоремы существования ин-
теграла уравнения (52) нам даны два интеграла Y (х, и) и Y (х, v), удов-
летворяющие граничным условиям
Y (х, 0) - Y (х, 0)j= у0 (х),
Y (х, 1) = уг (х), Y (х, 1) = z/t (х) + бу1? 6z/t > 0;
тогда при любом v, 0 < v < 1, имеем
р^> Y (х, и) — Y (х, и) >* 0,
где р = max 6ух и при v = 1/2
Y (х, 1/2) - Y (х, 1/2) < Кр,
где X — постоянная, меньшая единицы, зависящая только от постоянных*
определяющих сильную эллиптичность.
При тех же условиях в точке прямой v = 1, где 6z/i достигает своего
максимума, и вдоль оси х имеем
дУ дУ
dv dv ’
а в точках прямой и — 1, где 8yi — 0,
дУ дУ
dv dv
Заметим, что в силу компактности семейства решений уравнения (52}
при граничных условиях, удовлетворяющих условиям 1°, 2° и 3°, нам до-
статочно доказать лемму для решений Y, обладающих двумя первыми рав-
номерно-непрерывными в полосе 0 < v < 1 частными производными. Но
в таком случае, в силу леммы нашей статьи [3], функции
т (и) = min {У (х, v) — Y (х, р)},
|х|<оо
М (v) — max {У (х, и) — У (х, и)}
суть функции, соответственно, монотонно убывающая и монотонно воз-
растающая в некотором интервале 0 < v < vQ, где vQ не меньше некоторой
постоянной, зависящей только от постоянных, характеризующих сильную
эллиптичность системы, постоянных к, К, к', к" и вторых производных
решения У (х, v). Отсюда заключаем, что лемма имеет место при достаточ-
но малой разности К — к и когда решение У (х, и) рассматривается в до-
статочно узкой полосе 0 < v < vQ. Переход от полосы 0 < v < и0 к еди-
ничной полосе получается применением использованного нами многократ-
но [3] приема.
Опираясь на установленную лемму, нетрудно доказать ограниченность-
in R для рассматриваемого класса решений уравнения (52).
Л е м м а 10. При условиях предыдущей леммы функция In R, где
н __ дУ (х, v)
dv ’
ограничена в полосе 0 < v < 1 постоянной, зависящей только от постоя^'
ных, характеризующих сильную эллиптичность системы (76) и постояв'
ных к, К, к', к".
21. Основная теорема теории кввзиконформных отображений
28 5
в самом деле, в силу леммы 4, нам достаточно доказать ограниченность
In R на границах полосы 0 < v < 1. Кроме того, в силу леммы 9, имеет
место следующий факт: если Y (х, и) и Y (х, и) суть решения (52), соответ-
ствующие краевым условиям yQ (я), уг (х) и yQ (х), у± (х), причем
У 1 (*) > У1 (Д У1 (*о) = У1 (*о), У о (*) > Уо (*),
то в точке Xq имеем
dY < dY
ди ди
Отсюда заключаем, что для доказательства леммы достаточно построить
решение (52) с ограниченной сверху функцией In R при граничных усло-
виях z/o (я) и У1 (х) таких, что при | х | <1 к'/к”, у'о (х) > к", при х > к'/к”т
Уо W > kt> п₽и х < —кЧк", уо (х) < —к' и всюду
У 1 (х) — Уо (х) > К.
и построить решение (52) с ограниченной снизу функцией In R при гранич-
ных условиях у о (х) и yi (х) таких, что при | х | < к'/к”, у'о (х) < —к", при
х к’/к”, у'о (х) < —к' при х < —к'/к”, у0 (х) > А/ и всюду
О < У1 (х) — у о (х) < к.
Так как конструкция искомых решений (52) для оценки In R сверху
и снизу принципиально одинакова, то мы ограничимся случаем оценки
In R сверху. Построим вспомогательную систему
W = Fr (V, а, 0, 0), 0 = F2 (V, а, 0, 0)
и пусть
' dR dr
дх ду ’
дН _ дх , дх
< dv дх 0 ду
— ее производная система. Пусть, далее,
R = R (х, v), т = т (х, и)
— решение (77), реализующее квазиконформное отображение полосы
— Л <; I? <; 1 + ^на круговую луночку, симметричную относительно оси
R и расположенную справа от оси т. Функция
Yо (х, и) — § Rdv + xdx
будет, очевидно, интегралом уравнения
а д*у _4_ Ъ д2у д2у О
дх* —= и‘
Параметрами луночки и малым параметром h можно, очевидно, распоря-
диться так, чтобы функции Уо (я, 0) и Уо (х, 1) удовлетворяли условиям
«Мажорантных» краевых функций у0 (х) и уг (х).
286
II. Квазиконформные отображения
Заметив это, вернемся к основной системе (76), в которую введем до-
полнительный параметр X:
(W^F1(V,a, \х, Хи),
I 0 = F2 (7, a, U-, М; (78)
и пусть в полосе —h < v < 1-^h Y (x, v, %) есть решение уравнения
_ д*У , д*у _ д*у _
а дх* +Ь дх dv dv* С' (79)
соответствующего (78) при граничных условиях Y0 (х, —h) и Уо (х, 1 + h).
Так как при X —> 0 функция Y вместе с ее двумя первыми производными
будет внутри полосы —h < v <Z 1 + h равномерно стремиться к функции
Уо, то при X’достаточно малом функции У (х, О, X) и У (х, 1, X) будут ис-
комыми мажорантными функциями. Решение уравнения (79) при этих
краевых условиях, У (х, v, X), будет обладать ограниченной частной про-
изводной по v. Лемма полностью доказана. Этим самым доказано также су-
ществование квазиконформного отображения полосы yQ (х) <i у <i У1 (х)
на полосу 0 < v < 1 при условиях существования интеграла (79).
Переходя к общему случаю, когда в систему явно входят все четыре
координаты, мы начнем с доказательства теоремы существования квази-
конформного отображения достаточно узких полос или, что то же самое,
с доказательства случая, когда функции и F2 слабо зависят от коорди-
нат.
§ 7. СЛУЧАЙ УЗКИХ ПОЛОС
Переход от разобранного частного случая системы (77) к произвольной
системе
( W = Fl(V,a,x,y,u,v),
I 0 = F2 (V, а, х, у, u,v) 1 '
мы проводим по аналогии с переходом от линейного уравнения к нелиней-
ному.
Построим прежде всего приближенное квазиконформное отображение,
соответствующее системе (80), полосы у0 (х) < у < (х) на полосу и0 <С
< < vx.
Рассмотрим полосу П: у0 (х) < у < yi (х) и построим в этой полосе
«среднюю линию» у:
y==_i_c Уо (0 + VI (0 dt==a (х)>
X—t
где t — числовая величина, большая сравнительно с шириной полосы
У1 (*) — Уо (*)• . .
Обозначим через S (х) длину нормали к у, заключенную между yQ (?)
я. у! (х), и положим
x-f-f
wo (х) = ~ \ 6 (х) dx.
X—f
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений 287
Отправляясь от построенных функций а (х) и и?0 (х) в соответствии с
первым из уравнений (80), построим обыкновенное дифференциальное
уравнение, связывающее х и и:
, \ г, / 1 dx . . vа 4- Vi \
= ---Л (81)
где
da ,
В силу условия сильной эллиптичности системы (80), дифференциаль-
ное уравнение (81) обладает однопараметрическим семейством интегралов
и = и (х, С),
устанавливающих гомеоморфное соответствие между х и осью и* Значение
С определится из условия соответствия точек х0 и и0:
и0 = и (х0, С).
Приближенным (первого порядка) квазиконформным отображением
полосы П на полосу v0 < v < vx, соответствующим системе (80), мы на-
зовем квазиконформное отображение П на v0 < v < vu соответствующее
системе
W = F± (V, а, х, а (х), и (х, Со), р),
0 = F2 (V, а, х, а (х), и (х, Cq), v).
Допустим теперь, что полоса П разбита на п полос Щ:
У1 Уг+1 (х)
и пусть каждая Щ приближенно квазиконформно отображена, w = fa (z)
соответственно на полосу
+ 1>171'0 i<v< v0 + -V1~nV° У + !)•
Функцию w = / (z), равную fa (z) в полосе Пг, мы будем называть приб-
лиженным квазиконформным отображением n-го порядка, если / (z) будет
непрерывна во всей полосе П.
Наложим теперь на функции Fu F2 и границы у0 (х) и уг (х) дополни-
тельные ограничения:
k < У1 (*) — Уо (х) < к (1 + 1),
| уо (х) | < к', | (х) | < к',
\Уо (х) | < к", | y’i (х) | < к"
при | и | > Г, где Т — фиксированное число, Fr п F2 от и не зависят.
Рассуждая так же, как в § 2—5, мы приходим к выводу, что при
к' достаточно малых и при любых фиксированных Т и fc" квазиконфор-
мные отображения первого, второго и n-го приближения существуют и
и обладают всеми основными свойствами соответствующих приближенных
Решений, построенных в § 5. Отсюда, используя лемму 4 при и —► оо и
пРи достаточно малых к, к и к', заключаем, что приближенные решения
будут равномерно сходиться к функции, реализующей квазиконформное
288
II. Квазиконформные отображения
отображение (полосы П на полосу vQ < v < рх), соответствующее системе
(80).
Замечая, что свойство системы (80) быть сильноэллиптичной инвариант-
но при конформном отображении, мы получаем следующий результат.
Пусть полоса П ограничена кривыми Го и Г; квазиконформное отображе-
ние, соответствующее системе (80), полосы П на полосу v0 < v <i v± возмож-
но, если будут выполнены следующие условия:
Г) кривизны Гq и Г ограничены;
2°) длина нормали к Го, заключенная между Го и Г, заключена в пределах
к и “кк, где к — любое фиксированное число, а к достаточно мало (в зависимости
от функций Fr, F2 кривизн Го, Г и числа к").
Переход от случая узких полос к случаю произвольных полос прово-
дится альтернирующим процессом Шварца. Для доказательства сходимо-
сти процесса нам понадобится ряд свойств отображений, выводом которых
мы сейчас и займемся.
§ 8. ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА
Начнем с так называемых граничных свойств.
Теорема 3. Пусть функции Fx и F2 силъноэллиптической системы
(80) обладают частными производными второго порядка по всем аргумен-
там и пусть эти частные производные удовлетворяют условиям Гёльдера.
Пусть кривизны Ко и К границ Го и Г полосы D удовлетворяют условиям
Гёльдера относительно длины дуг Го и Г:
I Ао (s + As) - KQ (s) | < С | As |v,
| К (s + As) - К (s) | < C | As |\
Пусть, наконец,
w — f (z) — и iv
дает квазиконформное отображение {соответствующее системе (80)) обла-
сти D на полосу hQ<i v <2 h при условии соответствия бесконечно удален-
ных точек. При этих условиях функции и и v будут обладать в области D,
включая ее границу, всеми вторыми частными производными, удовлетво-
ряющими в D условиям Гёльдера.
Если дополнительно допустить, что длина п (s) нормали к Го, заклю-
ченная между Го и Г, удовлетворяет неравенству
*0 {hl — h0) <Zn (s) < kr (hr — h0)
и что
I Ko I < 8, I К I < e,
то, каково бы ни было число ц, ц 0, при h± — hQ и г достаточно малых
осе вторые частные производные функций и и v будут по модулю меньше Ц-
Для доказательства отобразим конформно
£ = £ + Й1 = ф (z), X = X (g, Т]), у = у (g, п)
область D на полосу 0 < ц < hr — h0 при условии соответствия бесконеч-
но удаленных точек. Отнесем систему (80) к переменным g, ц. Относительно
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
289
новых переменных наша система примет вид
W =4-Л а + V, X (I, Г]), у (I, Г|), и, v) = Фь
0 = F2 (XV, а + v, х (£, т]), у (I, т|), и, v) = Ф2,
Xeiv = /' (z).
В силу условий, наложенных на Го и Г1? и известных свойств конформ-
ных отображений, функции Фх и Ф2 будут обладать частными производ-
ными второго порядка, подчиненными условию Гёльдера; кроме того,
новая система будет, очевидно, также сильноэллиптична. Построим для
этой системы производную систему
dR _ дт dR ________ , дт
дх dv ’ dv dx ** 1 dv ‘ С1'
В силу формул (6) функции (R, т, х, у, и, г), Ъг —
= Ь± (7?, т, х. у, и, г), сг = ct (R, т, х, у, и. и), будут по всем аргумен-
там удовлетворять условиям Гёльдера. Кроме того, при v = h0 и v — hr
функция т обращается в нуль. Отображение
R = R (х, и), т = т (х, и)
можно распространить принципом симметрии на полосу
h0 — (К — fe0) < v < fei + (hr — fe0),
но тогда, в силу известных свойств линейных систем и леммы 4, функции
R и т будут обладать в замкнутой полосе /г0 < v hx частными производ-
ными, удовлетворяющими условию Гёльдера. Этим доказана первая
часть теоремы.
Из установленной равностепенной непрерывности вторых частных
производных и дополнительных условий второй части теоремы непосредст-
венно вытекает ее заключение.
§ 9. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Установим теперь для изучаемого общего класса квазиконформных
отображений вариационные принципы, аналогичные принципу Шварца—
Линделёфа для конформных отображений. Начнем со случая отображения
узких полос.
Лемма 11. Пусть в условиях теоремы 3 ширина п (s) полосы D удов-
летворяет неравенствам
kQh <Z п <Z k-Jt.
Фиксируем на границе Го полосы D точку z0 и рассмотрим квазиконформ-
ные отображения D на полосу О <Z и <Z h,
f (zo) = / (zo) — 0? f (zt°°) = J (i°°) “
с°ответствующие системе
W = Fr (F, a, x, у, и, p),
6 = F2 (У, a, x, y, u, v)
10 M. а. Лаврентьев
290
II. Квазиконформные отображения
и системе
W = Fr (У, а, х, у, и, г),
0 = F2 (У, а, х, у, и, и),
где функции F и F обладают вторыми частными производными, удовлет-
воряющими условию Гёльдера по всем аргументам, и близки друг к другу
в смысле близости 1-го порядка-.
j Iзл_I I ^2 ^21 (82)
’ | 07 dV I <^e’ • • ’’ I dv dv l^8.
При этих условиях и при h достаточно малом в точках z Г и Го, на-
ходящихся на расстоянии s от точки z0 (s есть длина дуги Го, заключен-
ная между z0 и z, если z принадлежит Го, и s есть длина дуги Г, заклю-
ченная между z и концом нормали к Го в точке z0), имеем
\W - W \<Kh(s + 1)8, (83)
If (z) — f (z)\< Kh (s + 1)&. (84)
При тех же условиях длина нормали т к линии тока у (х, и), заклю-
ченная между у (х, и) и у (х, и), удовлетворяет неравенству
т < Kh (s + 1)е.
Для доказательства фиксируем число Т и допускаем дополнительно,
что при | и | Т функции F и F от и не зависят и совпадают. Кроме
того, отображая конформно область D на полосу 0 < ц < h при условии
соответствия бесконечно удаленных точек, мы, не нарушая общности,
можем считать, что D есть прямолинейная полоса 0 < ц < h и что z0 = 0.
В силу теоремы 3, при h достаточно малом угол а и кривизны линий тока
у (х, и) и у (х, v) можно считать сколь угодно малыми.
Заметив это, обозначим через тц максимум разности й (х, и) — и (х, v)
при фиксированном и и при | х | < о©; через ц2 — максимум разности
а — а также при фиксированном v и при | х | < о© и через m = m (и)—
максимум разности у (х, и) — у (х, и):
m = max [г/ (х, v) — у (х, 0].
Х<ОО
Согласно выведенной нами формуле (см. [3], стр. 298), имеем
~ + Ai ~ + Л2е + Аги, (85)
где Ао и — ограниченные функции х, а А2 и Л3 — линейные функции
вторых частных производных функции у (х, в нашем случае А2 и А3
сколь угодно малы вместе с h.
Но так как по условию, тп (0) = m (h) = 0, то из (85) заключаем
что в переменных х, v
р) — у у)I <U2(Т)1 + е), (86)
11 W (х, v) — W(x, р)[<Щгц + е)>
где % мало вместе с h.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений
291
Покажем, что и ц2 имеют порядок 8. Для этой цели воспользуемся
связью между V, a, W и 0. Функция V определяется функцией W при
домощи уравнения
w = Л , а, у у)> у) (87)
при начальном условии
и (х0, v) = 0, и (0, 0) = 0, = tg (0 + а). (88)
Составим для (87) уравнение в вариациях; тогда, используя (88) и ус-
ловие, что а мало вместе с Л, получим
а(йГ^ - = В° (“ - u) + Bih (П1 + 8) + В2 (« - а), (89)
где В суть ограниченные функции от х. Интегрируя (89) вдоль оси я,
при х = 2Т найдем
| й (2Г, 0) - и (2Т, 0)| < eKTh (тц + е). (90)
С другой стороны, в полуполосе 0 < у < h, х > Г, имеет место (86),
причем, согласно дополнительному допущению, в той полуполосе функ-
ции Fr и от zz не зависят, следовательно, при х 2Т будем иметь
| а — а | < kh (тц + 8);
но тогда, используя (84) и полученную оценку (90), найдем
| й (2Т, v) - и (2Т, v)\ < eKTh (тц + 8) + k№ (П1 + е) - Kh (тц + е).
Проинтегрируем теперь (89) вдоль линии у = у (ж, v)\ при началь-
ных условиях
й (271, и) — и (27\ и) = ит, ит < Kh (тц + е)
получим
й — и = e^Bdx § е~ Bdxl {Brh (тц 8) + В2 (а — a}dx + и?.
2Т
Отсюда, замечая, что (а — a)dx имеет порядок h (тц + е) и используя
интегрирование по частям, окончательно находим
I й — и | < Kh (тц + 8), | х | < 2Т.
Следовательно, при h достаточно малом величина тц имеет порядок е.
Приемом, только что описанным, без труда получаем следующий част-
ный результат.
Пусть в условиях леммы при Т <С х <Z2T функции F и F от и не
зависят и пусть при х < 2Т и при х ЗТ функции F и F совпадают,
а при 2Т < х <Z3T функции F отличаются от F вместе со всеми их част-
ными производными первого порядка не больше чем на е,
IЛ - Л I < 8, I f2 - f2 I < 8,
—1^2 ^2|^o.
|dF dV • • •’ \~dF d?!^8-
10*
292
II, Квазиконформные отображения
тогда при | х | < Т будем иметь
| у (х, v) — у (х, 0| < e~KT!h&, \W — W | < e~KT/h&,
| й — и | < e~KTlh&, | a — a | < rKT/h8,
где К 0 — некоторая постоянная, не зависящая от h, Т и 8.
Сопоставление отмеченных двух частных результатов без труда дает
заключение леммы.
Опираясь на установленную лемму, нетрудно получить для изучае-
мого класса отображений принцип, аналогичный известному принципу
Шварца—Линделёфа.
Теорема 4. Пусть область D ограничена линиями Го и Г, причем
кривизны Го и Г удовлетворяют условию Гёльдера относительно длины
дуг Го и Г. Пусть длина п (s) нормали к Го, заключенная между Го и Гт
удовлетворяет неравенству
kQh <n(s)< kfi,
где k0 и kr — некоторые фиксированные числа. Рассмотрим наряду с об-
ластью D область D, ограниченную линиями Го и Г, бесконечно близкими
(соответственно) к Го и Г.
Пусть б0 (з) (б (0) есть длина нормали к Го (Г), заключенная между
Го и Го (Г и Г); мы будем предполагать, что
I 60 (») | < е, I 60 ($) | < ve, | 6о (*) I < V8,
(so) = е>
|6(s)|<%8, |6'(s)|<ve, |6"(s)|<ve,
где К и v — фиксированные числа, причем % < 1. _
Построим квазиконформные отображения (полос D и D на полосу
О <Z v <2 h), соответствующие сильноэллиптической системе (80) при
условиях соответствия бесконечно удаленных точек, точек z0, z0 границ
Го, Го и точки и = 0 прямой v = 0, где z0 лежит на нормали к Го, про-
веденной из точки Zq.
Тогда, если при | и | Т
W = V, 0 = л/2,
то в точке s0 будем иметь
ТГ>И'{1 + -|-(1 — Х) + 4е}, (91}
где А — постоянная, не зависящая от h.
При тех же условиях вариация 8п произвольной линии тока yv (ли-
нии, переходящей при отображении в прямую v = const) будет удовлет-
ворять неравенству
I бп | < 8 4- В (h — 08 (92)
и при v = h/2 — неравенству
|6п|<Ше + 5Ле, (93>
где В — постоянная, не зависящая от h.
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений 293
Заметим, что для случая конформных отображений W = V, 0 = л/2
при любом h имеем А > — (1 — X)/fe, В < 1, и неравенства (91), (92), (93)
выражают известные принципы Монтеля и Шварца—Линделёфа.
Для доказательства неравенств (91), (92), (93) начнем со случая h
достаточно малых. (Степень малости будет зависеть от введенных ранее
постоянных, в частности ojr Т.) Переход от отображения D на полосу
О <С v < h к отображению D на ту же полосу мы осуществим следующим
образом: мы конформно отобразим область D на Z), а затем D отобразим
квазиконформно на полосу; каждое из этих отображений мы проделаем
с соблюдением начальных данных (соответственно бесконечно удаленных
точек, точек z0, z0 и точки и = 0), кроме того, квазиконформное отобра-
жение будет соответствовать системе (80), отнесенной к новым координа-
там, соответствующим конформному отображению.
При первом (конформном) отображении вариация функции W будет
удовлетворять неравенству
6И7> W-^- (1 - X), kh < п < Kh.
Займемся вторым отображением. В силу_известных свойств конформ-
ных отображений, при отображении D на D вариации координат будут
иметь порядок ей/, где I — «расстояние» рассматриваемой точки до точки
z0, а вариация производной будет иметь порядок eZ/Тг, следовательно, ва-
риация первых частей уравнений в характеристиках (6) будет иметь
порядок &T!h, но тогда соответствующая вариация будет иметь порядок
гТ. Отсюда заключаем, что при h достаточно малом имеет место (91).
Неравенста (92) и (93) получаются известным приемом из неравенст-
ва (91). Именно, мы рассматриваем точку z линии в которой бп —
вариация yv — достигает наибольшего значения. Для этой точки, по
(91), мы можем оценить 6И7, рассматривая отдельно отображение полос,
ограниченных Го, yv и Го, yv, на полосу ширины и и полос, ограничен-
ных yvi Г и yv, Г, на полосу ширины h — v. Полученные таким образом
неравенства дадут нам (92) и (93).
Только что описанный прием дает также возможность индукцией
перейти от случая малого h к любому h. В самом деле, фиксируя число
h = настолько малым, чтобы в формулах (91), (92), (93) первые члены
были равными, допустим, что эти формулы имеют место при h = khQ,
где к — некоторое целое число; докажем, что те же формулы будут иметь
место при h =?= (к + 1)Л0 (естественно, при новых значениях коэффициен-
тов А и В):
Рассмотрим линии укЛо и ук7?о. Пусть в точке z линии у^ вариация
этой линии (отрезок нормали к заключенный между yKho и УкО ДО-
стигает максимума и равна ц. Допустим, для определенности, что ц > 0.
Линии ук/7о и разделяют соответственно области D и D на области,
которые мы обозначим через Dx, D2 и D2. Рассматривая отображения
областей Dr и согласно (91), в точке z будем иметь
6РГ < KW .
«о
294
II. Квазиконформные отображения
D.
С другой стороны, по индукции, рассматривая отображение облас
и D2 в той же точке, будем иметь
те®
bW>w{K 5-
! Лг1} •
Следовательно,
Т] — е < АЛОГ),
ч ~е + Ah^-
Полученная нами оценка ц непосредственно дает нам (91) для h =
= (к + l)fe0 и’ по индукции, (92) и (93).
§ 10. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Опираясь на установленные теоремы, нетрудно дать доказательство
основной теоремы существования, сформулированной нами в начале
статьи. Для возможности применения теоремы 4 мы начнем со случая
когда при | и | Т7, где Т — произвольное фиксированное число, функ-
ции F± и F2 соответствуют конформному отображению
FT = V, F2 = л/2.
Кроме того, область D мы будем считать полосой, ограниченной двумя
линиями Го, Г, кривизны которых удовлетворяют условию Гёльдера.
Возможность квазиконформного отображения D на полосу 0 < v < h
доказана нами в условиях теоремы 4 при h достаточно малом.
Для доказательства теоремы в общем виде мы, используя альтерни-
рующий метод Шварца, будем последовательно расширять класс облав
тей, для которых имеет место теорема существования.
В силу инвариантности сильной эллиптичности относительно кон-
формных преобразований, мы можем, не нарушая общности, считать,
что Го есть ось х. Область, ограниченную осью х и линией Г, будем в даль
нейшем обозначать через D (Г).
Введем класс областей, зависящий от двух параметров: р и h.
Пусть К = К (s) есть кривизна Г, рассматриваемая как функция
длины s дуги Г, и пусть
| К (s + As) - К (s)| < q | As |а.
Пусть, кроме того,
W = f (2), f (-1- 00) = 4- ос,
есть функция, реализующая конформное отображение области D на
полосу 0 < v < fe, и с2 есть максимум | 1п | /' (z)| |. При этих обозначь
ниях мы скажем, что область/), ограниченная осью х и линией Г, при-
надлежит классу R (р, fe), D CZ R (р, fe), если будет выполнено следующее
условие:
с{ + cl < р2.
Нами выше доказано, что, каковы бы ни были фиксированные чисЛ*
р и постоянные, характеризующие сильную эллиптичность систем <
при fe достаточно малом соответствующее квазиконформное отображе
области Z), D CZ R (р, fe), на полосу 0 < v < fe существует.
21 Основная теорема теории квазиконформных отображений
295
им Два следствия теоремы 4 и принципа подобия.
^ТреТ1и квазиконформное отображение области D, D С R (р, К),
1* cV существует, то при любом X < 0 область D (у^), где у^ есть
яа н°л0 соответствующая прямой и = Мг, будет принадлежать классу
лянИЯЛх
R (Рг
D (y>.) С R (Рп
р зависит только от р.
гл 9 Если теорема существования имеет место для класса R (р, fe), то
"имеет место также для класса R (р, Xfe), X < 1.
° Для доказательства основной теоремы нам достаточно показать воз-
можность перехода от областей класса R (р, h) к областям класса R (р +
Др, д ДД). Начнем с описания процесса, причем рассмотрим отдель-
но переход от R (р, h) к R (р + Ар, h) и переход от R (р, h) к R (р, h +
+ Д/г).
Итак, допустим, что квазиконформное отображение области D, D CZ
С R (р? на полосу 0 < v < h возможно. Фиксируя положительное
достаточно малое число б, построим линии тока уъ-ъь и у^-б, соответст-
вующие прямым v = h — 26 и v = h — 6. Пусть теперь нам дана об-
ласть D (Г), D (Г) CZ R (р + Ар, К) бесконечно -близкая к области D.
Построим две последовательности отображений: пусть функция w = (z)
отображает область D (уь-2б, Г), ограниченную у^_2б и Г, на полосу Г —
— 26 <1 v < /г, причем прямая v = h — б соответствует линии ух; функ-
ция w = /2 (2) отображает область D (ух) на полосу 0 < v < h — б, при-
чем прямая h — 26 соответствует линии у2; функция w = /3 (5) отобра-
жает D (у2, Г) на полосу h — 26 < и < h и т. д. Мы получим, таким об-
разом, две последовательности линий и отображений:
Ть Тз, • • -ч Т2П-1, • • •,
fi (2) ч /3 (z) ? • • »ч /гп—i (я), . . .,
?4, . . ?2П, . . .
/2 (*), Л (2), . . ., /2П (Z), . . .
Для второго случая — переход от R (р, h) к R (р, h + АД) — построе-
ние последовательностей у и / вполне аналогично, только вместо полос
^<v<hnO<^v<h- 6 мы будем брать полосы h + \h — 26 <
й + Дй и 0 < г? < 7г Ч- Д7г — 6.
аметим, что в обоих случаях Др, Дй, 6Г малы сравнительно с 6;
Р ме того, каждое из отображений мы, естественно, подчиняем условию
от^ветствия бесконечно удаленных точек, точек z = 0 и w = 0 (при
и т^ажениях /2п и при отображениях /2п+1) точки z2n+1 линии у2п+1
Пт ~ Ки на оси р, где z2n+1 есть точка, переходящая в точку оси и при
от°бражении /2п.
_ \ J\°^bI Д°казать возможность перехода от R (р, h) к R (р + Ар, h +
1 ) нам достаточно установить:
) возможность построения всех функций L и у^;
-) сходимость процесса.
296
II. Квазиконформные отображения
Заметим, что при 6 достаточно малом и при бесконечно малых вариа-
циях Г (Г и Г имеют близость второго порядка) сходимость процесса есть
простое следствие теоремы 4.
Нам, таким образом, остается доказать возможность построения функ-
ции /п.
Существование функций /2п+1 с нечетным индексом всегда возможно
при достаточно малом б, ибо все линии тока принадлежат классу
R (р2, W
Займемся функциями с четными индексами. Их построение будет
возможным при условии, что область D (уЛ_$) и все бесконечно близкие
к ней области D (yh-ъ) (у имеет с у близость второго порядка) можно
отобразить на соответствующую полосу. В силу этого и отмеченного выше
свойства 1° классов областей R (р, ti) индуктивное применение процесса
Шварца будет всегда осуществимо в следующей форме: фиксируем число
р и определяем число рР Через рх определяем число hQ так, чтобы для
любой области класса R (рх, До) отображение было возможно. Далее,
описанным выше процессом увеличиваем h и расширяем области при
условии, что каждая из областей/) будет принадлежать классу R (рх, h)
и обладать дополнительно следующим свойством: подобласть D (ум)»
ограниченная линией тока y^h области/), принадлежит классу R (рь A/z).
Таким образом, теорема существования доказана при условии, что
при I и I > Т функции Fx и F2 основной системы переходят соответст-
венно в W = V и 0 = л/2. Теорему в общем случае мы получим, застав-
ляя Т стремиться к бесконечности. Сходимость процесса есть прямое
следствие известной компактности семейства.
Переход от полос к произвольным областям, ограниченным кривыми,
обладающими непрерывными кривизнами, осуществляется при помощи
конформного отображения этих областей на полосы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лавреншъев М. А. Загальна задача квазиконформных видображень плоских об-
ластей Ц Доп. АН УРСР. 1946. № 3/4. С. 3-6.
2. Лавреншъев М. А. Квазиконформные отображения и их производные системы//
Докл. АН СССР. 1946. Т. 52, № 4. С. 287—288.
3. Лаврентьев М. А. Конформные отображения с приложениями к некоторым вопро-
сам механики. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1946. 159 с.
4. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.; Л.: Гостехтеоретиз-
дат, 1945. Т. 2. 620 с.
5. Лавреншъев М. А. Об одном классе непрерывных отображений//Мат. сб. 1935.
Т. 42, № 4. С. 407—424.
6. Шапиро 3. Я. О существовании квазиконформных отображений И Докл. АН СССР.
1941. Т. 8, № 3. С. 685—687.
7. Шабат Б. В. Об обобщенных решениях одной системы уравнений в частных про-
изводных Ц Мат. сб. 1945. Т. 17, № 2. С. 193—209.
22. Устойчивость в теореме Лиувилля
297
22
УСТОЙЧИВОСТЬ В ТЕОРЕМЕ ЛИУВИЛЛЯ*
Пусть система
В = / (Л);
(1)
и — и (х, у, z)\ v — v (х, у, z); w = w (х, у, z)
реализует гомеоморфное отображение области D пространства точек
А (х, у, z) на область А пространства точек В (и, р, w). Мы будем в даль-
нейшем предполагать, что все функции (1) дифференцируемы и что все
частные производные первого порядка удовлетворяют условию Гёльдера
I Г—1 — Г—1
где Лиа, 0 < а 1,—две положительные постоянные; АА' — рас-
стояние между точками А и А'. Примем также, что функциональный
определитель системы (1) всюду в D положителен.
При этих условиях система (1) будет переводить каждую бесконечно
малую сферу 5 области D в бесконечно малый эллипсоид 2 области А;
обозначим через р отношение наибольшей оси к наименьшей оси эллип-
соида 2, 1 =: Р (%, у, z).
Лиувилль показал, что если р = 1, то отображение (1) всегда сво-
дится к сдвигу, преобразованию подобия и инверсии; иначе говоря,
Лиувиллем была показана невозможность конформного отображения
трехмерных областей*. В известных мне доказательствах теоремы Лиу-
вилля предполагается, что функции (1) трижды дифференцируемы, однако
нетрудно показать (используя принцип Дирихле), что из принятых, нами
условий на (1) и из р ~ 1 автоматически вытекает неограниченная диф-
ференцируемость всех функций (1).
В настоящей заметке будут отмечены два результата, устанавливаю-
щие, в некотором смысле, устойчивость отмеченного свойства отображе-
ния (1) при р = 1. Мы показали при некоторых дополнительных усло-
виях, что если /лблизко к единице, то отображение (1) близко к лиувил-
левскому.
1. Пусть ,область D единичная сфера, а А принадлежит единичной
сфере. Обозначим через
В = L (А) , (2)
отображение сферы, получаемое ее сдвигом, а также преобразованиями
подобия и инверсии. Отображение (2) будем называть лиувиллевским.
При этих обозначениях и принятых условиях имеет место следующая
теорема.
Теорема 1. Если при отображении (1)
В = / (Л)
единичной сферы, S на часть единичной сферы имеем
* Докл. АН СССР. 1954. Т. 95, № 5. С. 925—926.
298
II. Квазиконформные отображения
то найдется лиувиллевское отображение (2) такое, что в сфере радиуса г,
г <С 1 (концентрический S), будем иметь
|/(4)-£(4)|<И(е, к, а, г),
где |1 — универсальная функция, причем
lim ц (е, к, а, г) = 0.
е->0
Доказательство приведенной теоремы основано на известных свойст-
вах квазиконформных отображений плоских областей; Этот метод не дал
возможности выяснить вид функции ц, а также не дает ответа на вопрос:
нельзя ли заменить в условиях теоремы универсальную функцию ц ==
== v (е, к, а, г) универсальной функцией v = v (е), lim v (s) = 0, зави-
e->0
сящей только от е?
Получить указанные уточнения удалось только для отображений
с осевой симметрией.
2. Пусть область D есть единичный бесконечный цилиндр
С: у* + z2 < 1; (3)
обозначим через В = кА + а линейное преобразование пространства А:
и = кх + a, v = ку, w = kz, где к > 0, а а — произвольное действи-
тельное число. При этих обозначениях имеет место следующая теорема.
Теорема 2. Если отображение (1)
в = / (4)
единичного цилиндра (5) на часть единичного цилиндра v* + ш2 < 1 об-
ладает осевой симметрией и если
0 р — 1 < е,
то найдется линейное преобразование кА ~т а, такое, что в цилиндре
С будем иметь
| f (Л) — (кА + а)| < ц (к, а, х)е, (4)
где ц — универсальная функция координаты х и параметров условия
Гёльдера к и а.
В условиях теоремы правую часть (4) можно заменить выражением
% (x)v (е):
\j(A)-(kA +a)\<^(x)v (8)?
где к и v — две универсальные функции.
23. К теории пространственных отображений
299
23
К ТЕОРИИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ*
К числу первых результатов по теории отображений пространственных
областей принадлежит известная теорема Лиувилля о том, что класс
конформных отображений в трехмерном пространстве совпадает с клас-
сом линейных преобразований.
Лиувиллем эта теорема была доказана в предположении, что функции
и = и (rr, z), v = и (х, у, Z), W = w (х, у, 2), (lj
реализующие отображения, обладают тремя непрерывными производ-
ными по всем трем переменным.
За последние годы появился ряд результатов, расширяющих теорему
Лиувилля. Наиболее сильный результат принадлежит П. П. Белинскому:
если единичный шар отображается почти конформно на область D, так
что центр сферы (начало координат) и три точки ее поверхности на по-
ложительных частях осей х, у, z переходят соответственно в начало коор-
динат и в точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), то отображение будет почти
тождественным, т. е.
I U — X \ I V — I/ I < 8, I IP — Z | < 8,
где 8 — универсальная функция, зависящая только от локального иска-
жения (р — 1) и стремящаяся к нулю, когда р —> 1 (р есть верхний пре-
дел отношений полуосей бесконечно малого эллипсоида в Z), соответст-
вующего бесконечно малой сфере в пространстве х, у, z).
Из теоремы Белинского, как частный случай, получается теорема Лиу-
вилля при минимальных теоретико-функциональных ограничениях на
функции (1).
Естественно возникает вопрос, нельзя ли условие конформности или
условие почти конформности заменить менее жестким условием. Дело
в том, что в пространстве условие конформности определяется пятью
соотношениями: для того чтобы система (1) давала конформное отображе-
ние, необходимо чтобы функции и (х, у, z), v (х, у, z), w (х, у, z) удов-
летворяли системе пяти уравнений первого порядка. С другой стороны,
можно привести ряд классов систем таких трех уравнений, что соответст-
вующий класс квазиконформных отображений, переводящих одну задан-
ную область в другую заданную область, будет определяться единствен-
ным образом с точностью до соответствия границ и двух внутренних то-
чек. Поэтому представляется вероятным, что, как правило, отображения,
соответствующие системе четырех уравнений, будут давать очень узкий
класс отображений. В данной заметке мы ограничимся рассмотрением
отображений, соответствующих системе четырех уравнений из пяти урав-
нений, определяющих конформность.
Пусть Ме: {В = / (Л)} есть класс отображений единичной сферы,
Удовлетворяющих следующим условиям:
* Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 710—714.
300
II. Квазиконформные отображения
А) каждая сферическая поверхность S с центром в точке О перево-
дится почти конформно в гладкую поверхность Г, содержащую точку Ol9
т. е. бесконечно малый круг на S переходит в бесконечно малый эллипс
с отношением полуосей р, 0 < р — 1 < е;
В) прямые Z, выходящие из точки О, переходят в линии у, пересекаю-
щие каждую Г под углом 0, близким к прямому
| л/2 - 0 | < е.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть отображение (7)
В = / (Л), Ог = f (О)
принадлежит классу Ме и удовлетворяет следующим условиям гладкости:
1) отображение f и его обратное дифференцируемые, а все частные
производные удовлетворяют условию Липщица с фиксированным коэф-
фициентом X;
2) если kr (А) и к(Аг) главные кривизны поверхности Г в точке А,
ОГА = г,
то для произвольной точки А' имеем
|МЛ') - |< уЛЛ7; | к2 (Л') - к2 (Л)| < у~АА’- (2)
3) если ki и к2 — производные кривизны в направлении линий кри-
визны, тогда в направлении линий кривизны
| к. (А') - к{ (А)| < АА'; | к2 (А') - к2 (А)| < АА'; (3)
где в неравенствах (5) А' принадлежит линии кривизны на поверхности
Г, проходящей через А;
4) для угла а, образованного касательными к линиям кривизны в точ-
ках А и А' (поверхностей Г и Г'), расположенными на одной у, имеем
0 < а < ААА"'; (4)
5) для угла р, образованного у с нормалью к Г в точке пересечения
у и Г, имеем
|Р(А')-р (А)КХеАА'. (5)
При этих условиях все поверхности Г отклоняются от сферических
поверхностей на величину порядка г |/*е.
Доказательство сформулированной теоремы мы разобьем на две части:
во-первых, мы покажем, что для любой поверхности Г имеем
(б)
т. е. главные кривизны Г между собой близки; во-вторых, что из (4) и (3)
следует близость кг и к2 к постоянной для каждой Г.
В силу инвариантности условий (2) и (3) относительно подобного пре-
образования, мы можем ограничиться при рассмотрении первых двух
пунктов, поверхностью Го — образом поверхности единичной сферы.
23. К теории пространственных отображений
301
Обозначим через т наибольшую разность между кривизнами
т = max (к2 — к±)
и пусть этот максимум реализуется в точке А.
Займемся оценкой числа т через е и постоянные X в пн. 2—5. Для
этого проведем через точку А линию у — образ луча I. В силу (2), на
у найдется участок А А' длины 5:
т
s = 1Х ’ (7)
такой, что в каждой точке дуги А А' будем иметь
/с2 — > пг/2. (8)
Проведем линии кривизны, проходящие через точку А, а через каж-
дую точку этих линий (в окрестности Л) проведем линии у — образы
лучей Z; полученные поверхности обозначим через СГ1 и а2. Проведем также
линии у через все точки Г, расположенные на окружности бесконечно
малого радиуса р с центром в точке Л. Получившуюся трубку обозна-
чим через Т.
Согласно основному условию теоремы трубка Т пересекается со всеми
поверхностями Г по линиям, мало отклоняющимся от окружностей, так
что отношение полуосей а и Ъ этих бесконечно малых эллипсов не больше
1 + е:
1 а/Ъ 1 + 8.
Оценим теперь изменение а!Ъ при переходе от Г к Г по линии у0 на v
на Д5. В силу (2)—(5), при этой оценке можно принять, что у0 есть пря-
мая, поверхности ах и а2 плоские, а угол р = 0; при этом длина дуги $,
для точек которой можно принять (8), будет
— = — k-J^s.
а 1
sx = cm,
где с — новая постоянная, зависящая от X из (2)—(5).
В плоскости ох имеем
н±»= 1
а 14- k^ks 1
Аналогично в плоскости а2
Д6 7 А
у = — k2bs.
Следовательно,
d -j а 7 7 ~~ m
-т- log -г- к9 — кА^ -н- .
ds & Ъ ' 2 1 2
При 5 = 0 (поверхность Г) logy ^8, следовательно, при s = $х имеем
1 а m с п
log у > -у- si — е = у m2 — 8.
С другой стороны, по условию теоремы при любом р
|1о8т|<е-
302
II. Квазиконформные отображения
Следовательно,
т 2 j/"е/с. (9)
Перейдем ко второй части доказательства. Покажем, что из (9), т. е.
из того, что разность между главными кривизнами поверхности мала,
следует близость поверхности к сфере. Возьмем на Г точку Л, где кривизна
больше 1/2, и направление t так, чтобы в этом направлении кривизна
нормального сечения Г имела бы максимальный рост. Такая точка, оче-
видно, существует. Обозначим через 5 длину дуги нормального сечения
Г в точке А в направлении t, а через к кривизну этого сечения. Пусть
в направлении t в точке А имеем
наша задача состоит в том, чтобы оценить к' через т и постоянные X,
определяющие гладкость отображения. Принятые гипотезы о наличии
условия Липшица для третьих производных дают возможность провести
счет с сохранением лишь главных членов. Заметив это, проведем плос-
кость Р, перпендикулярную к нормали Г в точке А. Пусть h есть рас-
стояние А от Р. Плоскость Р пересечет Г по эллипсу В, близкому к ок-
ружности.
Оценим теперь разность между главными кривизнами поверхности
Г в точке В эллипса Е, расположенной от Л в направлении t — наиболь-
шего роста кривизны к. Величина будет, очевидно, больше разности
между кривизнами кг и к2 сечений Г плоскостями, перпендикулярными Г
в В, одна из которых нормальна В, а другая касается Е. С принятой точ-
ностью счета для кг имеем
fci = к + к 5,
где 5 — длина дуги сечения Г с концами в точках А и В. Для определе-
ния к2 найдем расстояние р между центром Е и его точкой В. С точностью
до величины порядка 5 имеем
р = s.
Для искомой кривизны к2 по формуле Мёнье получим
_______________sin а__________а_
2______________5 ’
но
4г = к 4- к s, а = ks + — k's2,
ds 1 2
следовательно,
к2 = к A- 1/2А/$-
Отсюда в точке В
7П1 3> — к2 = 1/2k's, к' 2mi/s 2m!s. (10)
Последнее неравенство нами выведено при отбрасывании членов по-
рядка $2 с коэффициентами, зависящими только от %. Следовательно,
найдется такое $0, не зависящее от т, для которого будем иметь
к' im/sQ.
2i. Об одной задаче на склеивание
303
Поэтому всюду
| к — 1 | 8лтп/$0.
Мы доказали, таким образом, что при нашем отображении все образы
.сфер отклоняются от сфер на величину порядка т или е. Сформулиро-
ванная теорема тем самым доказана. Из теоремы следует, что если е = 0,
то при отображении В ~ f (А) все сферы с центром в точке О переходят
в сферы, при этом согласно условиям, которым удовлетворяет класс 7И0,
лучи будут переходить в линии, ортогональные сферическим поверхно-
стям Г — образам сферических поверхностей с центром в точке О. Нетруд-
но видеть, что если мы возьмем произвольное однопараметрическое семей-
ство сферических поверхностей Г, заполняющих данную сферу S с цент-
ром в точке О3, так что через каждую точку S пройдет одна и только одна
поверхность семейства, то из такого семейства можно построить отобра-
жение класса Мо. Для этой цели достаточно между граничными поверх-
ностями единичной сферы и сферы S установить конформное соответствие,
установить произвольное соответствие между параметрами, определяющи-
ми Г, и радиусом соответствующей поверхности сферы в пространстве А
и, наконец, каждому лучу I поставить в соответствие линию у, ортогональ-
ную Г (концы линий I и у на границах сфер должны давать конформное
«соответствие между границами этих сфер).
Из сделанного замечания следует, что класс отображений Мо будет
определяться четырьмя произвольными функциями одной переменной,
определяющими класс сферических поверхностей, и тремя параметрами, оп-
ределяющими конформное соответствие между граничными поверхностями.
В условиях основной теоремы и в соответствующих условиях, опреде-
ляющих класс Л/о, мы приняли теоретико-функциональные ограничения
на отображение. Эти условия приводятся к условиям на все частные про-
изводные функций и, и, w до третьего порядка включительно. В основной
теореме близость образа сферы к сфере определяется константами, харак-
теризующими гладкость частных производных.
Представляется весьма вероятным, что от этих ограничений можно ос-
вободиться и в теоретико-функциональном направлении ограничиться ус-
ловиями теоремы Белинского П. П.
24
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НА СКЛЕИВАНИЕ*
Целью данной заметки является рассмотрение одной новой задачи на
склеивание из теории квазиконформных отображений плоских областей.
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть нам даны две системы уравнений с частными производными пер-
вого порядка
(х, у, и, V, Ux, Uy, Vx, Vy) = О,
(х, у, и, V, их, иу, vx, vy) = 0 (j = 1, 2);
* Сиб. мат. жури. 1964. Т. 5, № 3. С. 603-607.
304
II. Квазиконформные отображения,
пусть, кроме того, в плоскости z = х + 1у нам дана полоса D (Го, Г):
У о (х) < У < У1 (х), где функции у0 (х) и уг (х) определены и ограничены
для всех х; мы будем эти функции предполагать достаточно гладкими. При
этих условиях требуется построить линию у: у = у (х), у0 (х) < у (х) <z
< У1 (х) так, чтобы при квазиконформных отображениях областей D (Го,
у) и D (у, Г) на полосы —h <р<0и0<р<1 вдоль линии у при обоих
отображениях каждой точке у отвечала бы одна и та же точка прямой v =
= 0. Квазиконформные отображения соответствуют системам (1) соответ-
ственно при I = 1 и I = 2, число h заранее задано.
Условие непрерывности отображений при переходе через у может быть
заменено некоторым соотношением между образами точки на у или соот-
ношением между характеристиками на у при подходе к у сверху и снизу.
Поставленная задача является обобщением ряда классических задач
гидродинамики; в случае, когда обе системы (1) сильно эллиптические и в
F явно не входят у и и, задача имеет устойчивые решения при весьма об-
щих предположениях на системы (1) и на границы. Задача достаточно
продвинута и в случае, когда «склейка» по непрерывности заменяется от-
меченными выше другими условиями.
При решении рассматриваемого класса задач вариационным методом
существенным являются следующие свойства сильноэллиптических си-
стем: 1) разрешимость задачи Римана о существовании и единственности
соответствующих квазиконформных отображений D (Го, у) и D (у, 1\) на
прямолинейные полосы при любых у и Г; 2) наличие у квазиконформных
отображений принципа Шварца—Линделёфа.
Для случая отображений, соответствующих гиперболическим систе-
мам, вообще говоря, ни одно из отмеченных свойств не выполняется.
В частности, для уравнений газовой динамики при сверхзвуковом режиме,
когда системам (1) соответствуют газовые потоки с одинаковыми плоскос-
тями, но с разными скоростями звука, существуют лишь отдельные част-
ные решения с линией склейки.
Анализируя основные посылки вариационного метода, можно, однако,
заметить, что при некоторых ограничениях на условия задачи о склеива-
нии, принцип Шварца—Линделёфа можно заменить некоторыми свойст-
вами поведения скорости и ее вариации на границе у в зависимости от по-
ведения у и ее вариации.
С этой точки зрения представляет интерес рассмотреть более общие
классы квазиконформных отображений, заранее постулируя нужные свой-
ства этих отображений.
Пусть Е = {D} — класс односвязных областей, обладающий следую-
щими свойствами: 1) граница каждой D из Е обладает определенной сте-
пенью гладкости; 2) если DQ принадлежит Е, то всякая область, достаточ-
но близкая к До, также принадлежит Е («близость» определяется при этом
особым условием).
Наряду с классом Е пусть нам задан алгоритм A (D) так, что для каж-
дой D из Е мы можем построить отображение, единственное с точностью
до соответствия трех пар граничных точек,
w = и + iv = f (z), (2)
области D на стандартную область (круг, полоса и т. д.).
24. Об одной задаче на склеивание
305
Отображение (2) мы будем называть квазиконформным отображением
области D на круг {полосу), соответствующим алгоритму А. Назовем ал-
горитм А непрерывным, если для близких областей отображения будут
близки; назовем алгоритм А эллиптическим, если для отображений (2)
будет иметь место принцип Шварца.
Для квазиконформных отображений, соответствующих непрерывным,
эллиптическим алгоритмам, можно установить ряд их свойств. Постули-
руя дополнительные свойства отображений (соответствующие «сильноэл-
липтическим» алгоритмам), можно построить классы отображений, для ко-
торых обобщаются свойства конформных отображений, в частности, всег-
да разрешима задача о «склеивании».
§ 2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И СЛАБО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
АЛГОРИТМЫ
С геометрической точки зрения простейшей гиперболической системой
уравнений можно считать систему
дх v ' ду Оу ' ' дх ' 7
где
Для этой системы производной системой будет
д arccos V_да д arccos V _да
ди ди ' ди ди ' '
т. е. arccos V и наклон линий тока а удовлетворяют уравнению струны.
Система (3), записанная в характеристиках V, a, W, 0, будет иметь вид
W = У1 - V2, 0 - л/2.
Примем за Е множество областей D (Г), ограниченных прямой у = 1 и ли-
нией Г: у = у (х), | у {х) | к < 1, удовлетворяющей следующим усло-
виям: 1) линия Г гладкая, причем | у' {х) | к (4 + 6)4*1, где к < 1
и б — положительные постоянные; 2) наклон у' {х) удовлетворяет усло-
вию Липшица
| у' {х + h) — у' {х) I < Kh.
Система (3) была впервые рассмотрена М. М. Лаврентьевым и им была
доказана теорема [1]: какова бы ни была область D, D Ez Е, всегда сущест-
вует квазиконформное отображение, соответствующее системе {3) и пере-
водящее D в полосу 0 v <Z 1. Если дополнительно принять, что при
х — ос а —> 0, то отображение единственно с точностью до постоянной
сдвига плоскости и, v в направлении и.
Опираясь на теорему существования, а также на известные свойства
решений уравнения струны, можно установить ряд свойств рассматривае-
мого класса квазиконформных отображений. Отметим, наиболее сущест-
венные для дальнейшего:
306
II. Квазиконформные отображения
1) если мы проварьируем границу Г в окрестности точки х0, г/0, то ле-
вее прямой
У — У о = * — (5)
отображение не изменится. Это свойство допускает наглядную механиче-
скую интерпретацию: возмущение в сверхзвуковом потоке влияет на по-
ток только в направлении движения потока;
2) пусть опять дуга линии Г в окрестности ее точки х0, у0 заменена но-
вой дугой, отклоняющейся от Г на S. При этих условиях справа от прямой
(5) в бесчисленном множестве областей вариации линий тока и скорости
потока будут порядка S: возмущение, созданное вариацией границы, не
затухает.
Заметим сейчас же, что именно свойство 2 делает необходимым в ус-
ловие теоремы Римана ввести условие поведения границы Г на бесконеч-
ности. Это же свойство мешает «склеить» конформное отображение и ква-
зиконформное, соответствующее системе (3).
Приведем теперь два примера «слабогиперболических» алгоритмов,
для которых соответствующие квазиконформные отображения обладают
характерным для гиперболической системы свойством 1 и для которых
имеет место затухание (при х -> оо) локального возмущения.
В качестве первого примера рассмотрим квазиконформные отображе-
ния, соответствующие системе
W = «г**» у 1 — V2 + 1 — e~vxt, 9 = л/2,
где v — малая постоянная.
Эта система при конечных х подобна системе (3), при больших х она
становится близкой к системе параболического типа. К сожалению, для
этого уравнения не удалось дать даже теорему существования отображе-
ния потока на полосу 0 < и < 1.
В качестве второго примера рассмотрим следующий алгоритм построе-
ния отображения области D, D CZ Е, на полосу 0 < v < 1.
Пусть дана область D, ограниченная линией Г и прямой у = 1. По-
строим отображение, соответствующее системе (3), D на полосу 0 < v < 1
и обозначим через
а = а (х, у), V = V (х, у)
характеристики а и У этого отображения, рассматриваемые в плоскости
z/.
По а и V строим две новые функции а* и У*:
а* = <у~у^х^ (уЮ-у)
V* = V (- ос, у) 4- {7 (х, у) - V (- ОС, у)}
где v — некоторая малая постоянная.
Принимая а* и У* за наклон линий тока и за растяжение в направле-
нии линий тока, мы можем построить отображение D на полосу 0 < v < 1.
Отображение, определенное выше, мы будем дальше называть квази-
конформными отображениями класса А.
2±. Об одной задаче на склеивание
307
Нетрудно показать, что если область Z), D < Е, мало отклоняется от
полосы 0 < у < 1, так что граница Г: у = у (х) удовлетворяет условиям
I у (я) I < Ч, I у' (*) I < М, I у" (х) | < Х2,
где все X достаточно малы, то существуют квазиконформные отображения
(класса Л) области D на полосу 0< v <Z 1. Отображение единственно
с точностью до сдвига в направлении оси и, если дополнительно предпо-
ложить, что при х -> — оо имеем а -> 0.
§ 3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Вернемся к поставленной выше задаче на склеивание. Пусть есть
прямая у = 1, а Го имеет вид
У = Уо (*) = —h + <Р (®)»
где ф (х) удовлетворяет следующим условиям:
0 Ф (х) /Л
Ф (х) = 0
I ф' (х) I
Ф (0) =
при I X I > 1,
I ф" (х) I < Ж
где к — фиксированная постоянная, h — малая величина. Линию у: у ~
= у (х), уп (х) < у (х) < 1, будем искать из условия, что при квазикон-
формном отображении класса А области D (у, Г) на полосу 0 < v < 1
и при конформном отображении D (Го, у) на полосу — h •< v < 0 каждая
точка линии у при обоих отображениях будет переходить в одну и ту же
точку прямой v = 0.
Займемся построением последовательных приближений для у. В ка-
честве первого приближения для у примем ось х = ob. При отображении
первой полосы (отображение класса А) вдоль у0 (оси х) будем иметь V =
= 1. При отображении (конформном) нижней полосы на у0 характерис-
тика V окажется определенной функцией х. В силу свойств конформных
отображений, эта функция, пусть Fo (х), будет отклоняться от единицы
на величину h + о (h). В качестве второго приближения примем такую
линию у1? что при конформном отображении D (Го, ух) на полосу — h <Z
<Z v < 0 вдоль ух для V получалось бы значение 1. Такая линия сущест-
вует, единственна и будет отклоняться от линии
У = У о (®)
на величину порядка /г3. Отобразим теперь (отображение класса А) поло-
су D (ух, Г) на полосу 0 < v < 1. Такое отображение существует, харак-
теристика V = Fx (х) будет отклоняться от единицы на величину порядка
й2 и будет стремиться при х оо к единице по экспоненциальному закону:
I Fx (х) - 1 | < Kh2e'*№.
В качестве третьего приближения для у примем линию у2 такую, что
цРи конформном отображении области D (Го, у2) на полосу —h < v < 0*
вдоль у2 имеем
F =V, (х).
308
II. Квазиконформные отображения
В силу известных свойств конформных отображений, линия у2 будет от-
клоняться от на величину порядка h3 и будет близка к у1? вместе с ее
наклоном и с ее кривизной. Отсюда нетрудно убедиться в том, что до-
строенная линия у2 будет обеспечивать «склейку» с точностью до величины
порядка h3 по V. Предложенный процесс можно продолжить и получить
решение с точностью до любого порядка в смысле «склейки» по V. Если
иметь теорему существования, то можно показать, что «склейка» по V
с точностью до hk обеспечит отклонение приближенной у от точной на ве-
личину порядка не ниже Дк+].
Приведенные соображения делают весьма вероятным, что предложен-
ный процесс будет сходиться не только асимптотически, но строгое дока-
зательство должно вызвать немалые трудности. Вероятно, будет проще
доказать теорему существования и единственности или геометрически ва-
риационным методом, или методом интегральных уравнений. Мне кажет-
ся интересным найти возможно общие классы квазиконформных отобра-
жений слабогиперболического типа с теоремой существования и с теоре-
мой «склейки» этих отображений с отображениями эллиптического типа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. М. Об одной краевой задаче для гиперболической системы Ц Мат.
сб. 1956. Т. 38, № 4. С. 451-464.
25
К ТЕОРИИ ОТОБРАЖЕНИЙ
ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЕЙ*
В данной заметке я имею в виду сформулировать пять вариационных
задач из теории гомеоморфных отображений трехмерных областей. Эти
задачи относятся к конструкции отображений областей D пространства
х, у, z на области А пространства и, v, w с «наименьшим» искажением.
Покажем, что из гипотез достаточной гладкости решений вариационных
задач следует почти полное решение проблемы устойчивости теоремы Луи-
вилля. Напомним одно определение: отображение называется конформ-
ным с точностью до 8, если для любой точки отображаемой области имеем
lim^i == р 1 + е, (1)
г^о с (г)
где а и с — наибольшая и наименьшая из осей бесконечно малого эллип-
соида, соответствующего сфере радиуса г пространства х, у, z. При этом
определении проблема устойчивости ставится так: если отображение об-
ласти D на область А конформное с точностью до е, то будет ли отобра-
жение почти линейно?
Эта задача была впервые поставлена (D — единичная сфера)
М. А. Лаврентьевым в 1942 г. Тогда же были получены первые результа-
* Сиб. мат. журн. 1964. Т. 5, № 3. С. 596—602.
25. К теории отображений трехмерных областей
309
С. Г. Крейна, позже результаты были улучшены М. А. Лаврентьевым.
]3 обеих работах получились оценки через е близости отображения к ли-
лейному, однако в эти оценки входили дополнительные постоянные, оп-
ределявшие гладкость (второго, третьего порядка) класса отображений.
Результаты были существенно усилены Ю. Г. Решетником. Наиболее
сильный результат был получен в 1962 г. П. П. Белинским (опубликова-
ло без доказательства в «Докл. АН СССР»), который доказал существова-
лие абсолютной функции X (е) оценивающей искомую близость.
1. Первая задача. Сформулируем первую задачу: в классе непрерыв-
но дифференцируемых отображений области D пространства х, у, z на
-сферу
и2 + и2 + w2 < 1 (2)
пространства и, г, w ищется отображение, минимизирующее функционал
Отметим геометрический смысл функционала J. Рассмотрим внутри D
бесконечно малый куб со сторонами, параллельными координатным осям.
При нашем отображении этот куб перейдет в бесконечно малый паралле-
лепипед, пусть со сторонами X, ц, v. Нетрудно видеть, что элемент поды-
интегрального выражения (3) есть сумма кубов X3 + ц3 + v3. Если отобра-
жение конформное, то X3 + ц3 + v3 есть утроенный объем параллелепипе-
да (куба), а наш функционал J будет давать объем сферы, т. е. 4/3л. При
любом другом отображении значение J будет больше 4/3л. Мы будем раз-
ность J — 4/Зл рассматривать как меру отклонения отображения от кон-
формного отображения и отображение, реализующее экстремум J, будем
называть отображением с наименьшим искажением в среднем.
Для дальнейшего представляет интерес следующая оценка. Если отоб-
ражение D на сферу (2) конформно с точностью до е, то
/—у л <ул(е2 + у е3) . (4)
Сформулируем теперь первую гипотезу.
Гипотеза по первой задаче. Пусть область D обладает
следующими свойствами:
1) D содержит начало координат;
2) граница Г области D содержится в слое
1/4 х2 + у2 + z2 4;
3) поверхность Г есть поверхность Ляпунова: единичный вектор нор-
мали к Г удовлетворяет условию Гёльдера. При этих условиях в классе
непрерывно дифференцируемых отображений В = f (А):
и == и (х, у, z), v = v (х, у, z), w = w (х, у, z),
и (0, 0, 0) = v (0, 0, 0) = w (0, 0, 0) = 0,
310
II. Квазиконформные отображения
существует отображение В = /0 (Л):
и = uQ (х, у, z), и = vQ (х, у, z), w = wQ (х, у, z),
реализующее минимум функционала J. Функции zz0, р0, ш0 обладают с
дующими свойствами: ***
1) их градиенты удовлетворяют условию Гёльдера в замкнутой облас
ти Д;
2) если дополнительно поверхность Г обладает гладкостью порядка п
то функции zz0, Vq, wq обладают гладкостью того же порядка, причем эт*
гладкость оценивается через постоянные, определяющие гладкость р
Для плоского случая сформулированная гипотеза оправдана в случае
весьма широкого класса эллиптических систем. Лицам, занимавщИМСя
теоремами существования, выдвинутая гипотеза представляется бесспор-
ной, но требующей для своего обоснования значительного времени.
2. Вторая задача. Сформулируем теперь вторую задачу. Обозначим
через Е множество односвязных областей D с гладкой границей Г таких
что
1) D содержит начало координат;
2) Г содержит концы четырех единичных векторов, выходящих из на-
чала и лежащих на координатных осях х, у, z, а также точку, удаленную
от поверхности единичной сферы на а.
Для каждой области D CZ Е и для каждой точки А ЕЕ D строим отоб-
ражение D на единичную сферу с наименьшим искажением в среднем
в классе отображений, переводящих точку А в центр сферы. Пусть
Jo (А) — соответствующее экстремальное значение функционала J.
При этих обозначениях в классе всех областей D CZ Е требуется найти
область Dq, для которой sup Jo (Л) достигал бы наименьшего значения.
Пусть
I = inf sup Jq (Л).
D А
Гипотеза по второй задаче. Экстремальное значение I
достигается для некоторой области Dq из Е, причем граница Го области Dq
есть поверхность, обладающая третьим порядком гладкости, а третьи
производные функций, реализующих отображение, не больше Ха, X ==
= const. Точка Ло, соответствующая sup JQ (Л), расположена от Го на
расстоянии, большем чем некоторая абсолютная константа, не зависящая
от 8.
3. Приложения к проблеме устойчивости теоремы Лиувилля. Отме-
тим теперь следствие из принятых гипотез для отображений конформных
с точностью до е: если отображение области D, содержащей начало коорДИ'
нат и расположенной в круговом кольце
1/4 < х2 + у2 + z2 < 4,
на единичную сферу и2 4- v2 + w2 < 1 есть конформное с точностью до
то граница D отклоняется от некоторой сферической поверхности на велИ"
чину не больше Кг, где К — абсолютная константа.
Опираясь на гипотезы, займемся, прежде всего, оценкой I. Из опреде*
ления класса Е допустимых областей следует, что на границе Го экстре*
мальной области Dq найдется точка М, где разность между главными кр#*
25. К теории отображений трехмерных областей
311
вя3намп будет больше чем ка, к = const, но тогда, в силу гипотезы о глад-
кости экстремального отображения, в области Do найдется подобласть
речной площади о где отклонение от конформности будет превосходив
ца. Н = const. Отсюда легко видеть, что д
4,2
л + va2, v = const.
(5)
Пусть теперь отображение области D класса Е на единичную сферу
есть конформное с точностью до е, тогда для этого отображения, согласно
(5), имеем
^<4я + тл(е2+4е3)-
С ДРУГОЙ стороны, согласно (5) и тому, что I J, имеем
va2<|n(e2 -Ь|е3) .
т. е.
а<Ке.
4. Третья задача. Обозначим через Е2 класс односвязных областей Z),
обладающих следующими свойствами:
1) область содержит начало координат;
2) граница Г области D есть поверхность Ляпунова;
3) объем D равен 4/3л, площадь Г равна 4л + а. Обозначим через
В = / (Л, М)
отображение с наименьшим искажением области D на единичную сферу
такое, что точка М переходит в центр сферы. Пусть Jo (М) — соответст-
вующее экстремальное значение J.
При этих обозначениях в классе Е2 областей D требуется найти область
Ло, для которой sup Jo (М) достигал бы наименьшего значения.
м
Представляется весьма вероятным следующее решение этой задачи.
Гипотеза по третьей задаче. Граница Го экстремальной
области есть эллипсоид вращения, экстремальное отображение есть аф-
финное преобразование (с точностью до линейного преобразования единич-
ной сферы пространства zz, iz; w самойв себя).
Мне представляется, что доказательство справедливости гипотезы 3
имеет самостоятельный интерес; кроме того, из этой гипотезы следует, что
ясли область D, имеющую объем 4/3л, можно отобразить конформно с точ-
ностью до е на единичную сферу, то площадь частей границы D, отстоя-
щих от поверхности некоторой единичной сферы больше чем на ТГе, К =
const, имеют общую площадь меньше Наиболее полный результат
в проблеме устойчивости теоремы Лиувилля получается из гипотезы су-
ществования и гладкости решений двух следующих вариационных задач.
Введем предварительно одно геометрическое определение. Пусть дана
°Дносвязная область D с гладкой границей Г. Впишем в D шар наиболь-
шего радиуса (пусть R). Обозначим через р (М) минимальное значение
Длин линий, лежащих в D и соединяющих точку М поверхности Г с точ-
к°й вписанного шара. Максимальное значение р (М) (пусть а) мы будем
312
II. Квазиконформные отображения
называть отклонением Г от сферы:
а = sup р (М).
м
Сформулируем теперь задачу и ее гипотетическое решение.
5. Четвертая задача. Обозначим через Е3 класс односвязных областей
D с объемом 4/3л, обладающих свойствами 7, 2 класса Е2 третьей задачи
и таких, что относительное отклонение каждой из областей от сферы не
меньше а.
При обозначениях, принятых в третьей задаче, требуется в классе Е*
найти область, для которой sup Jo (М) достигал бы наименьшего значения.
м
Как и в. третьей задаче, представляется вероятным, что экстремальная
область будет эллипсоидом вращения.
Гипотеза по четвертой задаче. Граница Го экстре-
мальной области Do есть эллипсоид вращения с разностью осей, равной
2а. Экстремальное отображение будет аффинным.
Из этой гипотезы рассуждениями, близкими к приведенным во второй
задаче, можно получить оценку для отклонения образа сферы, если эта
сфера отображена конформно с точностью до е.
Сформулируем результат.
Если область D с объемом 4/Зл может быть отображена на единич-
ную сферу конформно с точностью до е, то отклонение а области D от.
единичной сферы будет не больше е + о (е).
В самом деле, из гипотезы, что отображение конформно с точностью,
до е, следует, что
j < 4я + 4 л(е2+4 е3) •
О О \ О J
С другой стороны, согласно гипотезе 4,
Т . 4 ,4 2
/ >т-Л + •
О и
Но так как I J, то
а < е + о (е).
Из приведенного рассуждения следует, что образ любой сферы, располо-
женной в D, есть почти сфера.
Представляется вероятным, что отсюда известными методами (типа
Гретша) можно оценить отклонение от линейных отображений, конформ-
ных с точностью до е.
Все же представляется более простым получение искомой оценки из
следующей новой вариационной задачи.
6. Пятая задача. Пусть Е = {В = f (Л)} есть класс дифференцируемых
гомеоморфных отображений единичной сферы х2 + у2 + z2 < 1 на еди-
ничную сферу и2 + и2 + w2 < 1, обладающих следующими свойствами-
1) точки (0, 0, 0), (1, 0, 0) и (0, 1, 0) переходят в точки с теми же коор-
динатами:
25. К теории отображений трехмерных областей
313
2) для любой функции класса Е найдется в единичной сфере точка,
для которой
| f (А) - А | > а,
хде а — фиксированное число.
При этих условиях требуется найти отображение В = /0 (А), реали-
зующее минимум функционала J.
Примем следующую гипотезу.
Гипотеза по пятой задаче. Решение задачи осуществля-
ется дифференцируемым отображением и для экстремального значения J
имеем)
4
J > -у л + Ха2,
где X — абсолютная константа.
7. Приложения. При сделанных предположениях получается следую-
щий результат.
Если область D с гладкой границей Г объема 4/3л отображается В =
= / (А) конформно с точностью до е на единичную сферу и если допус-
тить, что Г принадлежит кольцу
V4 < х2 + у2 + z2 < 4
и что В — f (А) переводит начало координат в начало координат, то су-
ществует линейное отображение В = L (А) такое, что
|/(A)-L(A) |<Я8,
где К — абсолютная константа.
8. Новые задачи. Приведенные выше замечания по отображениям,
близким к конформным, указывают на достаточную «жесткость» сетей
с ячейками, близкими к кубам. Эти факты с точки зрения дифференциаль-
ных уравнений не представляются неожиданными, ибо конформное отоб-
ражение трехмерных областей на языке дифференциальных уравнений
определяется так, что три функции, определяющие отображение, должны
удовлетворять пяти уравнениям первого порядка. Отсюда представляется
естественным, что если на функции наложить условия в виде четырех
уравнений, то мы должны получить достаточно узкий класс отображений.
С точки зрения обобщений теоремы Лиувилля, наиболее естественным
является рассмотрение отображений, в которых снимается одно из усло-
вий конформности. Ранее мною был рассмотрен один такой класс; мне хо-
чется в заключение отметить новый подход к изучению этого класса, ос-
нованный на вариационных принципах.
Напомню определение отмеченного класса отображений.
Скажем, что отображение
В = f И)
единичной сферы х2 + у2 + z2 < 1 на область D принадлежит классу Le,
если выполняются следующие условия:
1) соответствие между поверхностью х2 + у2 + z2 — г2 и ее образом
в D есть конформное с точностью до е;
314
II. Квазиконформные отображения
2) образы прямых, выходящих на начала координат, пересекаются
с поверхностями Гг под углами, отличающимися от прямых не более чем
на е.
При этих условиях можно утверждать, что образы всех сфер будут-
близки к сферам, а само отображение будет линейным с точностью до од-
ной произвольной функции от г2 = х2 + Z/2 + z2.
Это утверждение было доказано в предположении, что функции, опре-
деляющие f (Л), имеют производные трех порядков и отклонение D от сфе-
ры оценивается через е и верхние границы модулей этих производных.
Как и в случае конформных отображений, окончательные оценки мож-
но получить из рассмотрения некоторых вариационных задач.
Обозначим через ds и da элементы линий широт и долгот сферы х2 4-
у2 + z2 = г2 и рассмотрим функционал
8
В случае, когда е в условиях 1 и 2 равна нулю, функционал /, будет
равен объему области D. Опираясь на J, можно провести рассуждения,
подобные проделанным с функционалом /, и при соответствующих гипоте-
зах получить точные оценки отклонения D от сферы в зависимости только
от е.
26
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
И КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ*
ВВЕДЕНИЕ
Свое сообщение я имею в виду посвятить некоторым проблемам тео-
рии квазиконформных отображений, вытекающим из краевых задач си-
стем уравнений с тремя неизвестными. Этот раздел теории квазиконформ-
ных отображений еще очень мало развит, хотя я уверен, что его развитие
позволит решить ряд важных проблем, в частности проблемы теории про-
странственных течений жидкостей и газов.
Напомню общую постановку задачи. Пусть дана система уравнений
с частными производными первого порядка
Ft {г, у, z, и, v, tv, их, иу, . . ., zz'2) = 0 (1)
и пусть также даны две области D и А соответственно в пространствах пе-
ременных А (х, у, z) и В (и, v, w). Требуется найти отображение D на А:
в = / (Я) (2)
* В кн.: «Современные проблемы теории аналитических функций». М.: Наука, 1966.
26. Краевые задачи и квазиконформные отображения
315
так, чтобы функции и, р, ш, реализующие отображение, удовлетворяли
системе (1).
Наряду с указанной постановкой задачи, которую естественно назвать
задачей Римана, для системы (1) можно сформулировать ряд других крае-
вых задач, когда одна из областей D или А не задана, а ищется из некото-
рых условий, которым должно удовлетворять отображение на границе
отображаемых областей. Именно к таким задачам приводятся задачи дви-
жения жидкостей и газов при наличии свободных границ, и искомыми
оказываются «свободные» границы, ограничивающие область течения.
Наряду с теоремами существования и единственности не менее инте-
ресно изучение различных свойств отображений в зависимости от характе-
ра системы (1).
Геометрический подход к изучению систем уравнений себя полностью
оправдал в плоском случае, при этом весьма полезным оказалось запи-
сать условие (1) в параметрах, имеющих прямой геометрический смысл.
Укажем соответствующие параметры для трехмерного случая.
Пусть главная линейная часть (2) в окрестности точки Ао переводит
некоторый параллелепипед П пространства х, у, z в единичный куб с реб-
рами u0, v0, w0, параллельными осям координат. Очевидно, П определя-
ется девятью параметрами, например векторами х0, у0, z0, переходящими
в u0, v0, w0. По аналогии с плоским случаем, а также имея в виду приложе-
ния к гидродинамике, будем определять П следующими параметрами: а —
площадь параллелограмма со сторонами х0, у0; а, р — углы z0 с х0 и у0;
W — высота параллелепипеда П при основании х0, у0; у1? у2 — углы, оп-
ределяющие направление перпендикуляра к плоскости х0, у0, а у — угол,
определяющий поворот П относительно этого перпендикуляра; V2 —
длины х0, у0.
В дальнейшем ограничимся отображением областей типа слоев — гра-
ница такой области D состоит из двух поверхностей Го: z = zQ (хч у),
Гх: z = Zi (х, у), достаточно гладких и имеющих соответственно асимпто-
тические плоскости z = 0 и z — 1. Мы будем изучать отображения D на
слой 0 < w < 1.
Каждой системе уравнений (1) будет соответствовать система связей
между параметрами: в зависимости от числа уравнений часть параметров
можно выразить через остальные. Рассмотрим три класса отображений.
1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Отображения будем называть гармоническими, если параметры удов-
летворяют следующим уравнениям:
а = р = л/2, W1 2 = а. (3)
Как нетрудно видеть, из уравнений (3), вытекает, что функция w = w (х,
У, 2) (одна из трех функций, определяющих квазиконформное отображение)
есть гармоническая функция, принимающая на границах Го и Гх соот-
ветственно значения 0 и 1. При определении и и v остается некоторый про-
извол. Функции и и v, а следовательно, и само квазиконформное отобра-
жение, будут определены единственным образом, если дополнительно за-
дать на поверхности Го однопараметрическое семейство линий, соответст-
316
II. Квазиконформные отображения
вующих прямым v = const на плоскости w — 0, и одну линию, соответст-
вующую прямой и = 0 на той же плоскости iv = 0.
На гармонические отображения распространяются многие геометриче-
ские теоремы теории конформных отображений, в частности теоремы о по-
ведении растяжения на границе, вариационные теоремы и теория отобра-
жения узких полос. Интересно отметить, что геометрические методы дают
возможность обобщить эти результаты на случай, когда уравнения (3).
заменены уравнениями
а = а (х, у, z), р = р (х, у, z), W = / (х, у, z, о),
где а, р и / — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие следующим:
условиям:
\ । \ •> 1 до1’
/ (ж, у, z, 0) = 0
(fc, К, к1ч Кг — постоянные). Если к уравнениям (3) добавить уравнения
v2 = (4>
0 = л/2, (5>
где 0 — угол между векторами х0 и у0, то гармоническое отображение
становится конформным, и по классической теореме Лиувилля отобра-
жение будет линейным, а при наших ограничениях на область D эта об-
ласть может быть только слоем 0 z < 1.
Отображение вырождается и в том случае, если мы из условий (4) и (5)
сохраним лишь условие (5). В этом случае область D может быть также
только слоем 0 < z < 1, а само отображение будет зависеть от одной про-
извольной функции ф (z) и трех постоянных а, и0, р0:
и = х cos а + у sin а + u0, v — х sin а — у cos а + р0,
w = ф (z), ф (0) = 0, ф (1) = 1.
Опираясь на вариационные принципы, можно доказать теорему су-
ществования п единственности следующих задач со свободной границей.
t адана нижняя граница Го области Z), ищется ее верхняя граница Г
так, чтобы при квазиконформном отображении D на А (0 < w < 1) на
границе Г выполнялось условие
W = <р (х, у), (6}
где ф (х, у) — достаточно гладкая функция, ограниченная двумя фикси-
рованными константами, причем lim ф (я, у) = 1. В постановке задачи
ЗС2+У2-*ОО
условие (6) можно заменить условием | grad w | = ф (х, у).
2. ЗАДАЧИ ОБТЕКАНИЯ
Отметим еще один класс квазиконформных отображений, непосред-
ственно связанный с течением жидкости и газа.
Как и раньше, будем заниматься отображением области типа слоя
на слой 0 < w < 1, но в определении характеристик и и w поменяем
местами, так что плоскости и = и0 из области А будет соответствовать
26. Краевые задачи и квазиконформные отображения
317
поверхность
и (х, у, z) = u0, (7)
где и (х, у, z) — некоторая гармоническая функция. Прямые v = р0,
ip = wQ будут соответствовать линиям в D, ортогональным к поверх-
ности (7).
Квазиконформное отображение определится единственным образом,
если дополнительно предположить, что при х2 + у2 оо имеем (и/х) —
1, (у/у) 1, (^) 1 •
В одной заметке 4 года тому назад мною было установлено, что на рас-
сматриваемые отображения также распространяются вариационные прин-
ципы и вытекающие из них различные оценки искажения соответствия
границ при искажении границ Го и Г. Это дало возможность впервые ре-
шить одну задачу со свободной границей.
Отметим, что тем же методом можно дать решение (доказать теорему
существования и единственности) задачи об установившихся волновых
движениях тяжелой жидкости в нелинейной постановке. В терминах ква-
зиконформных отображений задача ставится следующим образом: тре-
буется определить поверхность Г:
z — z («г, ?/) ^> О,
так, чтобы при квазиконформном отображении слоя
О < z < z (х, у)
на слой 0 < w < h на границе Г было справедливо соотношение
| grad и | 2 + Ку С, (8)
где К и С — постоянные.
Задача достаточно хорошо изучена для случая, когда движение (ото-
бражение) зависит только от двух переменных, например, х и z.
В линеаризованной постановке вопрос можно также рассматривать как
сильно продвинутый. В формулировке теоремы мы будем опираться на
следующий класс решений.
Рассмотрим две системы линейных установившихся плоских волн. Од-
на система распространяется со скоростью Уо в направлении, образую-
щем с осью х угол а, другая — с той же скоростью, но в направлении,
образующем с осью х угол —а. Наложение одной системы волн на дру-
гую дает нам систему существенно пространственных волн.
Скорость распространения возмущения в направлении оси х будет рав-
на
V = Vo cos а.
Если мы теперь выберем систему координат, движущуюся в направле-
нии оси х со скоростью V, то свободная поверхность жидкости в этой си-
стеме координат окажется неподвижной и будет, в линейной постановке,
Давать решение поставленной задачи.
Если за амплитуду волны принять число 2Л, а за длину плоской вол-
ны число 2л, то уравнением этой поверхности будет
z ~ A [sin (х cos а + у sin а) + sin (х cos а — у sin а)]. (9)
318
II. Квазиконформные отображения
Теорема 1. Если в решении (9) (при линейной постановке) явля-
ются достаточно малыми параметры а и Alh, где h — глубина водоема,
то существует точное решение, близкое к решению (9). При этом может
быть дана априорная оценка точности решения (9).
3. СЛУЧАЙ СИСТЕМЫ ЧЕТЫРЕХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотренные выше примеры квазиконформных отображений дают
основания считать, что задача Римана о существовании квазиконформно-
го отображения «произвольной» области на какую-нибудь фиксирован-
ную, стандартную область (слой, сфера и т. п.) не разрешима, если число
уравнений, определяющих квазиконформное отображение, больше трех.
Рассмотрим весьма простую систему уравнений, для которой этот вы-
вод оказывается неверным.
Будем рассматривать отображение областей D типа слоя
О < z0 (х, у) < z < z (х, у)
на единичный слой
0<ш<1. (10)
Искомое отображение должно соответствовать системе уравнений
ди __ ди ди ____ dw dv dw
ду дх 9 dz дх 1 dz ду 9
С1’
дх "Г ду dz
Первые три уравнения обозначают, что и, v, w суть компоненты градиента
некоторой функции V трех переменных. Четвертое уравнение говорит
о том, что эта функция V есть функция гармоническая.
Таким образом, задача Римана для рассматриваемого класса сводится
к построению гармонической функции V так, чтобы grad V реализовал
гомеоморфное отображение D на слой (10).
Каковы бы ни были границы D при условии, что z0 (х, у) и z (х, у)
обладают ограниченными производными (это условие можно заменить ус-
ловием менее жестким, соответствующим разрешимости задачи Дирихле),
можно указать конструкцию для решения поставленной задачи.
В самом деле, должны иметь место соотношения
dV __ (0 на [Го,
(1 на Гг
но dV/dz — гармоническая функция. Следовательно, зная ее значение на
границе D, мы можем определить ее всюду в D. Интегрируя построенное
решение по z, получим
V = Vo (х, у, z) + (х, у),
где функция ф (х, у) должна быть найдена из условия, что V есть гармони-
ческая функция
ДУо + ^Ф+Д = О. (12)
и дх2 ду2
26. Краевые задачи и квазиконформные отображения
319
Из уравнения Пуассона (12) функция ср должна быть определена так, что-
бы grad V переводил поверхность Го в плоскость w = 0. Таким образом,
для полного решения задачи нам нужно показать, что для любых Го и Г
функция ср, обладающая указанным свойством, существует и что grad V
переводит D в А однолистно.
Начнем с рассмотрения тривиального случая, когда D есть слой 0 <
< z < 1. В этом случае dV/dz = z и V = z2 3/2 + <р (х. у), неизвестная
функция должна быть определена из уравнения
аГ2 -г зр + 1 - °-
Общее решение этого уравнения есть
ср = — х2/2 + Р (х. у).
где Р (х. у) — произвольная гармоническая функция. Чтобы grad ср
реализовал гомеоморфное соответствие плоскостей, за Р может быть при-
нят только многочлен второй степени
А (х2 — у2) + Вху,
откуда
V = (Л - 1/2) х2 - Ау2 + Вху + V2z2.
искомое отображение будет
и — 2 (А — 1/2) х + By. v = —2Ау + Вх. w = z.
Построенное решение единственно с точностью до двух произвольных
констант А и В.
Из приведенных рассмотрений и известных априорных оценок для гра-
диента гармонической функции dV/dz (в зависимости от поверхностей
z = zQ (х. у) и z — z (х. у)) можно получить класс областей, которые до-
пускают гомеоморфное отображение на слой 0 < w < 1 при помощи
grad V,
Теорема 2. Для возможности отображения D на А при помощи
grad V, где V — гармоническая функция, правильная в D. достаточно,
чтобы границы D удовлетворяли следующим условиям:
1) lim zo(x,y) = O, lim z(x, z/) = 1;
2) I zo (я, у) | < a. | z (x, у) — 1 | < a;
3) главные кривизны Го и Г не превосходят а. где а — достаточно малое
число.
Очевидно, что сформулированная теорема допускает существенные
обобщения. В частности, представляет интерес построение (если это воз-
можно) примеров D. которые не допускают градиентных отображений;
в какой мере существенны условия 1 и 2?
Значительно более трудным представляется вопрос о возможности
градиентных отображений ограниченных областей. Нам не удалось ре-
шить даже такой простой, казалось бы, вопрос: существует ли гармони-
ческая функция, градиент которой давал бы отображение единичной сфе-
ры х2 + у2 + 22 < 1 на единичную сферу и2 + v2 + w2 <С 1. Здесь мы
сталкиваемся с важной проблемой определения гармонической функции
по значениям на границе модуля ее градиента.
Ill
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
27
ОБ ОДНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА*
Целью этой заметки является построение функции f (х, у), непрерыв-
ной по совокупности переменных х и у в квадрате (0, 0); (1,0); (1,1); (0,1)
и такой, что для любой точки xQ у0 (0 < х0 < 1, 0 < у0 < 1) существуют
по крайней мере две интегральные кривые дифференциального уравнения
(1)
проходящие через эту точку и различные в произвольно малой области,
содержащей точку х0, у0.
По-видимому, существование уравнений, обладающих указанным
свойством, еще не доказано. Я должен упомянуть здесь одну заметку Та-
маркина [1], в которой автор показывает, что для любой функции / (х, у),
удовлетворяющей некоторому условию, существуют по крайней мере две
интегральные кривые дифференциального уравнения (1), проходящие че-
рез начало координат. Это условие состоит в следующем: «Можно найти
положительную возрастающую непрерывную функцию ф (и), обладаю-
щую следующими свойствами:
! / у2) — f (х, t/i) I > ч|? ( | у2 — t/i |), (0) = 0 (2)
в прямоугольнике Rr (+а1? ztA); интеграл
v0
Sdu
Ф(“)
и
сходится при и = 0».
Для доказательства своей теоремы Тамаркин пользуется, в сущности,
только следующим условием:
I / (*, у) — / ф (х) I > ф ( I у — <р (х) I ), (3)
где у = ф (х) — некоторая интегральная кривая уравнения (1), проходя-
щая через начало.
Легко видеть, что на самом деле существует бесконечное множество
непрерывных функций, удовлетворяющих условию (3). Таким образом,
* Sur une equation differentielle du premier ordre // Math. Ztschr. 1925. Bd. 23. S. 197—
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка
321
су
видим, ЧТО существует класс непрерывных функций / (х, у), таких, что
МЫкрайней мере две различные интегральные кривые уравнения (1) про-
стят через начало.
' ц3 условия (3) следует также, что для любой точки кривой у = ср (х)
.шествуют по крайней мере две различные интегральные кривые уравне-
ния (1)» проходящие через эту точку.
Условие Тамаркина можно было бы понимать в том смысле, что речь
идет о функции / (х, у) удовлетворяющей условию (2) для любой пары чи-
сел Ун Уъ Oi < bi < У2 < Ь2- В этом случае из доказательства
теоремы можно было бы заключить, что если функция / (х, у) удовлетво-
ряет условию (2), для любой точки прямоугольника существуют по
крайней мере две различные интегральные кривые уравнения (1), прохо-
дящие через эту точку. Но можно доказать, что не существует непрерыв-
ных функций / (х, у), удовлетворяющих условию (2), если это условие по-
нимать в указанном прежде смысле.
Действительно, рассмотрим функцию X (у) независимого переменно-
го у, X (у) = f (xQ, у) (—< xQ < а^). Из условия (2) сначала следует,
что функция X (у) (0 у Ъг) все время возрастает или все время убы-
вает. В самом деле, в противном случае можно было бы указать два числа
У! И z/2, о < Уг < у2 < такие, что / (х0, z/2) = / (х0, г/х), что противоре-
чит условию (2), поскольку ф ( | у2 — у± | ) ^> 0. Возможны два случая
(для 0 у а) X (у) возрастает; б) X (у) убывает. Рассмотрим слу-
чай а. Пусть уй — произвольное число, 0 < z/0 < по условию (2)
имеем
X(yQ + h)-X(yQ)>q(h) (fe>0).
С другой стороны, в силу свойств функции ф (и) мы имеем
lim sup^-y^ — 4- сю.
Действительно, предположим, что lim sup но тогда для до-
П-Н) п
статочно малого и0
Щ
\ С du _ 1 , (ио\
J 'Ф (и) J м~и “ М ln w •
и и
Поскольку при и 0 правая часть стремится к 4-<х>, левая часть тоже
стремится к 4~оо, что противоречит условию.
Таким образом, отсюда следует, что
lim sup Х (Уо +4~ = 4- оо,
какова бы ни была точка у0, 0 < у0 < Ь±.
Мы видим, таким образом, что непрерывная функция X (у) имеет
в каждой точке интервала (О, Ь±) верхнее правое производное число, рав-
н°е 4-сю, что невозможно согласно результатам Данжуа о производных
числах [2].
В случае б, рассуждая совершенно аналогично, доказываем существо-
вание непрерывной функции X (г/), имеющей в любой точке интервала
1 i №. А. Лаврентьев
322
III. Дифференциальные уравнения
(О, нижнее правое производное
число, равное —оо, что невозможно
в силу тех же результатов Данжуа.
Я перехожу теперь к уже ука-
занному построению функции / (х, у),
такой, что для любой точки квадрата
существуют по крайней мере две
различные интегральные кривые диф-
ференциального уравнения (1), про-
ходящие через эту точку.
1. Рассмотрим квадрат О (0, 0);
В (1, 0); С (1, 1) D (0, 1) в плоскости
u, V. Разделим сторону OD точками
ах, а2, . . ., aSk-i на 8к равных частей
и соединим точки деления а2, а4,
а6, . . ., a2V, . . ., а8к-2 с точкой Е(1,
1/2), точки а3, а7, . . ., a4V-i, • • •
. . ., с точкойF (1,3/4) прямыми.
Мы будем иметь конечное число точек
пересечения этих прямых между со-
бой. В окрестности каждой из этих
точек слегка деформируем прямые, ко-
торые здесь заканчиваются, заменяя
концы этих прямых дугами непре-
рывных кривых, имеющих одну и ту же касательную в рассматриваемой
точке. С другой стороны, мы имеем конечное число точек пересечения рас-
сматриваемых прямых и сегментов OD и ВС. В окрестности этих точек
заменим концы прямых дугами непрерывных кривых, имеющих касатель-
ные, параллельные оси и в точках сегментов OD и ВС (рис. 1). Предполо-
жим, кроме того, что выполнены следующие условия:
1) все кривые, полученные из предыдущих прямых с помощью двух
указанных деформаций, в каждой точке обладают касательными;
2) если v = ф (и) — уравнение любой из этих кривых, ф' (и) всегда
непрерывна и | ф' (и) | < 1.
2. Рассмотрим квадрат (0,0); (1, 0); (1, 1) (0, 1) в плоскости |, ц. Раз-
делим квадрат прямыми | = 1/2, | = 1/4, . . ., £ = 1/2п, ... на счетное
количество прямоугольников
Rn = {(1/2п, 0); (1/2п-1, 0); (1/2”-*, 1); (1/2п, 1)}, п = 1, 2, 3, . . .
Разделим прямоугольник Вп (п = 1, 2, 3, . . .) прямыми, параллель-
ными оси £, на 2пп\ равных прямоугольников, обозначив их через Вп.ь,
р = 1, 2, 3, . . ., 2пп\,
P—Y,
2"п\ )
р —. ( 1 р \. (L р М
2пп\ ) ' \2П-1 ’ 2пп\/ ' -2п ' 2ппу} ‘
Установим между точками прямоугольника Rn,p и точками квадрата,
рассмотренного в п. 1, следующее соответствие:
—+ —; г| = —+ —• (4)
2п 2п 1 2пп\ 2пп1
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка
323
Рис. 2
Полагая k = п + 1, сразу видим, что всем кривым v — ф (и), пост-
роенным в квадрате плоскости и, р, соответствуют, согласно (4), непре-
рывные кривые в прямоугольнике Rn, р плоскости ц: ц = ф (£), и имеем
2П 1
Полагая последовательно п = 1, 2, 3, ... и, соответственно, р = 1,
2, 3, . . ., 2пп\ будем иметь в каждом прямоугольнике Rn, р конечное число
непрерывных кривых; таким образом, в рассматриваемом квадрате мы
будем иметь систему дуг непрерывных кривых. Прибавим к этой системе
стороны прямоугольников Rn,r, параллельные оси
Рассмотрим дугу какой-нибудь кривой дополненной таким образом
системы. Легко видеть, что левый конец такой дуги, содержащейся в пря-
моугольнике Rn, г, является одновременно правым концом некоторых дуг
кривых, содержащихся в 7?n+i (рис. 2). Следовательно, двигаясь вдоль
произвольной дуги кривой прямоугольника 2?!, можно перейти к дуге
кривой прямоугольника 2?2» и так далее; ясно, что если двигаться все вре-
мя вдоль некоторой кривой, пусть ц = гр (£), то функция гр' (%) тоже не-
прерывна.
Обозначим через 5 систему всех построенных таким образом кривых.
Из самого построения мы непосредственно выводим следующие свой-
ства этой системы:
1) какова бы ни была кривая ц — гр (£), принадлежащая 5, мы имеем
| гр' (£) | < 1/п! при £ 1/2п-1;
2) если две кривые системы имеют общую точку, они имеют в этой
точке одну и ту же касательную;
3) какова бы ни была прямая £ = а, а 0, мы всегда имеем на этой
прямой конечное число точек кривых системы 5;
4) какова бы ни была замкнутая область, не имеющая точек на оси ц,
°на содержит самое большее конечное число точек ветвления рассматри-
ваемых кривых.
Мы докажем еще следующее свойство:
11*
324
III. Дифференциальные уравнения
5) какова бы ни была точка 0 т]0 1 оси ц, существуют по край-
ней мере две кривые системы S, проходящие через точку т]0 ине совпадаю-
щие ни в каком интервале.
В самом деле, пусть
Лх, ?1, Т?2,п, . . .
(5)
— последовательность прямоугольников, содержащих сегменты прямой
ц = т|0. Легко видеть, что правая сторона прямоугольника Rn, рп распо-
ложена на левой стороне прямоугольника1 Rn-i, Pn_v Кроме того, на оси ц
точка т]0 является единственным пределом для всех точек области, обра-
зованной объединением прямоугольников последовательности (5). Из
этого замечания и построения системы S следует, что существуют по
крайней мере две кривые системы 5, соединяющие прямую £ = 0 с пря-
мой | = 1, которые содержатся в указанной области и не совпадают ни
в каком интервале, что доказывает свойство 5,
3. Пусть у = Л (х); у = f2 (х); . . . ; у = /к (х) — к функций, непре-
рывных вместе со своими производными первого порядка, определенных
при а х Ъ и таких, что 0 < (х) < /2 (х) < . . . < (х) 1.
Установим соответствие между точками прямоугольника (0,0);
(1/2™, 0); (1/2™, 1); (0, 1) плоскости и точками прямоугольника (а, 0);
(&, 0); (fe, 1); (а, 1), расположенного в плоскости х, у, полагая
х = h% + а, у = F (|, ц), (6)
где
т)) = (к + 1)« + «) (0<т]<)пп)’
F (I, т)) = (к + 1) (т) - [/2 (hl + а) - Л (hl + а)1 +
..........................................................(7)
F (I, т)) = (* + 1) 01 - 4л) [/₽+1 № + - /₽ № + а>] +
+ /Р (hl + a) < П < ’
F (I, т)) = (к + 1) (т) [1 - f. (hl + а)] + /к (hl + а)
следовательно,
I ф' (*о) — Ф' (*о) К ^1 *Р' — I- №
Из формулы (8) непосредственно следует: если в плоскости g, ц имеют-
ся две кривые, касающиеся в точке
Ло (О, о<Г]о< 1, г]0 у
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка 325
общая касательная которых не параллельна оси ц, соответствующие кри-
вые в плоскости х, у тоже касаются в точке, соответствующей точке ц0.
4. Пусть у = ft (х) и у = /* (х) — две функции, непрерывные вместе
со своими производными первого порядка, определенные при а х Ъ
и такие, что 0 (х) /* (#)• Построим семейство кривых следующим
образом:
У = 0 I# (Ж) - f (х)] + f (х) = Ф (х, 9) (0 < 9 < 1).
Каково бы ни было значение 0 = 0О, мы имеем
f (X) < ф (X, 90) < f (х),
—= 0 [/г (х) — /1 (X)] + Д (х),
эф (х, е0)
следовательно, значение —— - все время содержится между зна-
чениями /* (х) и /* (х).
Легко видеть, что для того, чтобы получить все кривые семейства
Ф (х, 0), 0 0 <1 1, в случае ft (х) < /* (х) достаточно положить к — 2,
/i(^) — /* (х), /2 (х) = ft (х) в соответствии между плоскостями £, ц и
х, у, определенном в п. 3; кривые Ф (х, 0) будут соответствовать тогда
прямым т] = с, таким, что 1/3 с 2/3.
5. Построим в квадрате А (0, 0); (1, 0); (1,1); (0,1) плоскости х, у си-
стему 5 из п. 2. В силу указанных свойств этой системы кривые системы S
делят рассматриваемый квадрат на счетное количество областей, таких,
что каждая из них ограничена двумя кривыми системы 5, а некоторые из
них — еще сегментом прямой х = 1. Построим в каждой из рассматри-
ваемых областей семейство кривых следующим образом: предположим, что
такая область ограничена кривыми у = ft (х) и у = /* (х), хг^ х х2\
/1 (я) ft (х); искомым семейством будет семейство Ф (ж, 0), построенное
в п. 4, где а = х^ b = х2', /* (х) = ft (х) и /* (х) = ft (х). Обозначим через
F объединение всех этих семейств. В силу п. 4 и свойств системы S мы
имеем следующие свойства семейства F:
1) какова бы ни была кривая семейства F, у — / (х), мы имеем
| /' (х) | < 1/п! при 0 х <1 1/2'г-1;
2) если несколько кривых семейства F проходят через одну и ту же
точку, все они имеют в этой точке одну и ту же касательную;
3) любой точке х0, г/0 рассматриваемого квадрата и любому положи-
тельному числу £ всегда соответствуют положительное число р и число Л,
такие, что в любой точке х, у кривой семейства F, у = f (х), лежащей
внутри круга радиуса р с центром xQl z/0, имеем
А — е <С /' (х) < А + е.
6. Пусть г2, . . ., гп, . . .— все рациональные числа, содержащиеся
между 0 и 1, и пусть гП1 — первое число, удовлетворяющее неравенству
I — гпг | < 1/2 и такое, что любая точка прямой х = гП1 не является
точкой ветвления кривых системы 5; такое число существует в силу свой-
ства 4 системы S. По этой же причине существует прямоугольник
Л (ГПР 0); + т15 0); (гП1 + тх, 1); (г„„ 1), > 0,
326
III. Дифференциальные уравнения
который не содержит точек ветвления системы S. Следовательно, в прямо-
угольнике А± мы имеем конечное число, пусть к±, кривых системы S, по-
парно не пересекающихся. Пусть у = фх у = ф2 (ж); . • У =
== Фх, (х) ~ Уравнения этих кривых. Пусть р± — наименьшее целое чис-
ло, удовлетворяющее неравенствам
?,>* + < » 2">~-
Построим в прямоугольнике Ах все кривые, которые соответствуют кри-
вым системы S в прямоугольнике (0, 0); (1/2Р1, 0); (1/2P1, 1); (0, 1) плос-
кости ц (п. 2) рассмотренным в п. 3 образом, полагая там а = rnv
ъ = r„, + к = kr, А (ж) = (х); fz (х) = ф2 (ж); . . /к (х) ~
= (х). Мы имеем, следовательно, в квадрате новую систему, пусть 5Х,
непрерывных кривых. В силу свойств системы S и характера соответствия,
рассмотренного в п. 3, мы имеем следующие свойства системы 5Х:
1) какова бы ни была кривая системы 5Х, у = ф (х), и кривая семей-
ства F, у = ср (х), ф (xQ) — ф (х0), мы имеем
|ф' (ж0) — ф' (ж0) I < 1/рх!.
В самом деле, кривая у = ф (х) плоскости х, у соответствует некоторой
кривой ц = ф (£) системы S в плоскости £, ц.
С другой стороны, в силу замечания в конце п. 4, кривая у = ф (х)
в плоскости х, у соответствует некоторой прямой ц = с плоскости ц.
Но по свойству 1 системы S для £ < 1/2Р1 мы имеем | ф' (5) | < 1/pJ.
Отсюда следует, в силу формулы (8) п. 3, что
1Ч1 (*о) Ф (*о)|^ 2plroj - й| То12р, <Р1! ,
2) если две кривые системы имеют общую точку, то они имеют
в этой точке одну и ту же касательную;
3) какова бы ни была прямая х = а, а 0 и а гП1, мы имеем всегда
на этой прямой конечное число точек кривых системы Sx;
4) какова бы ни была замкнутая область, не имеющая точек на пря-
мых х = 0 и х = гП1, имеется самое большее конечное число точек вет-
вления кривых системы 5Х;
5) какова бы ни была точка Р прямой х = 0 или х = гП1, всегда су-
ществует по крайней мере две кривые системы Sx, проходящие через точ-
ку Р и не совпадающие ни в каком интервале.
Если кривые системы 5Х построены, применяя метод п. 5, построим
кривые семейства F11 обладающие следующими свойствами:
1) какова бы ни была кривая семейства Fx, у = ф1 (х), и кривая се-
мейства F, у = ф (х), ф (хц) = фх (xq), мы имеем
I Ф1 (*о) — ф' (*о) I < 1/рх!.
Это свойство доказывается с помощью рассуждения, аналогичного
тому, которое было проведено для доказательства свойства 1 системы 5Х;
2) если несколько кривых семейства Fr проходят через одну точку, они
имеют в этой точке одну и ту же касательную;
3) свойство 3 семейства F.
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка
327
Прежположим, что можно построить системы Sv и семейства Fv (v ==
= 1, 2, 3, . . ., X), обладающие следующими свойствами:
Система Sv:
1) какова бы ни была кривая у = ф (х) системы Sv и кривая у =
= ф (х) семейства Fv~i, такие, что ф (х0) = ф (я0), имеем
|ф' (*о) — ф' (*о) I < 1/pvh
2) если две кривые системы Sv имеют общую точку, они имеют в этой
точке одну и ту же касательную;
3) какова бы ни была прямая х = а, а =£ 0, а =^= гП1, а у= гПо, . . .
. . ., а У= rnv, на этой прямой всегда имеется конечное число точек си-
стемы Sv;
4) какова бы ни была замкнутая область, не имеющая точек на пря-
мых х = 0, х = rni, х = гП2, . . ., х = rnv, имеется самое большее конеч-
ное число точек ветвления кривых системы Sv;
5) какова бы ни была точка Р прямой х = 0, или х ~ гП1, или х =
= гП2, . . ., или х = rnv, всегда существуют по крайней мере две кривые
системы Sv, проходящие через точку Р и не совпадающие ни в каком ин-
тервале;
Семейство Fv:
1) каковы бы ни были кривая семейства Fv, у = ф (х), и кривая
семейства F^, у = ф (х), такие, что ф (х^ = ф (я0), мы имеем
|ф' (ж0) — ф' (ж0) I < l/pvl.
2) если несколько кривых семейства Fv проходят через одну точку,
они имеют в этой точке одну и ту же касательную;
3) свойство 3 семейства F.
Построим систему и семейство F^. Пусть пх,—
первое рациональное число, удовлетворяющее неравенству | гх+i —
— rnx+i I < 1/2X+1 и такое, что любая точка прямойх = гпх+1 не является
точкой ветвления кривых системы S^\ такое, число существует по свойст-
ву 4 системы По этой же причине существует прямоугольник
(rnUV °); (r«x+i + °); (rnui + *)’ m'+i > °’
который не содержит точек ветвления системы S%. Следовательно, по
свойству 3 системы в прямоугольнике Лх+i имеется конечное число,
пусть fcx+i, кривых системы S^, попарно не пересекающихся. Пусть у =
= Ф1А') (#); У = Ф2М (я); . . у = Ф(^+1 (%) — уравнения этих кривых.
Пусть /?х+1 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенствам:
Рь+i А+1 fev+i + 1 и 2 ?1 •
"Ъ+i
Построим в прямоугольнике Лх+1 все кривые, которые соответствуют
кривым системы 5 в прямоугольнике (0г 0), (1/2Рх+1, 0); (1/2PX+1, 1); (0, 1)
плоскости £, ц (п. 2) рассмотренным в п. 3 образом, полагая там а =
= ч+1> ъ = k = ^+i и /1 (*)s Ф1Х) (*); /2 № —
~ ФгХ> (я); • • h (х) = Ф(^+1 (х)- Построенные кривые и кривые систе-
мы 5х образуют систему 5x+i- Если система 5x+i построена с помощью ме-
тода, аналогичного методу п. 5, мы построим кривые семейства Fx+i.
328
III. Дифференциальные уравнения
У-
Легко доказать, что система i$\+1 и семейство FK+1 обладают свойствами,
указанными соответственно для системы Sv и семейства Fv; для их полу-
чения надо положить v = X + 1.
Обозначим через 2 объединение кривых всех систем Sv (v = 1, 2,
3, . . .). В силу свойств систем Sv мы непосредственно имеем следующие
-свойства системы 2:
1) какова бы ни была точка Р, расположенная на прямой х — rnyj
(v = 1, 2, 3, . . .), существуют по крайней мере две кривые системы 2,
определенные в интервале (r??v, гПу} + mv), проходящие через точку Р и не
совпадающие ни в каком интервале;
2) если две кривые системы 2 имеют общую точку, то они имеют в
этой точке одну и ту же касательную.
Мы сейчас докажем еще следующее основное свойство:
3) свойство 3 семейства F.
В самом деле, пусть п — наименьшее целое число, такое, что
оо
Рассмотрим семейство Fn; по свойству 3 этого семейства
точке х0, у0 и положительному числу е соответствуют положительное чис-
ло р и число А, такие, что в любой точке кривой у = ср (х) семейства Fn,
лежащей в круге радиуса р с центром х0, у0, имеем | А — ф' fo | </ е/2.
Пусть у = гр (х) — произвольная кривая системы 5, имеющая точки
в круге С, и пусть хг, уг — произвольная точка этой кривой, лежащая
в круге С. Кривая у = гр (х) принадлежит некоторой системе 5т; возмож-
ны два случая: 1) тп <1 п, следовательно, кривая у = гр fo принадлежит
семейству Fn, и мы имеем | А — гр' fo) | < е/2 < е; 2) тп > п, пусть тп =
= П 4- р; пусть у = фп fo; у = фп+1 fo; . . у = Фп+p-i (х) — урав-
нения кривых семейств Fn, Fn+ъ . . ., FnV[_p, проходящих через точку хг,
Ух, мы имеем | А — фп fo) | < е/2. С другой стороны, по свойству 1 се-
мейств Fv (v — 1, 2, 3, . . .) мы имеем последовательно
I Фп fo) — Фп+1 fo) I < 1/pJ;
I фп+1 fo) — фп+2 fo) |< 1/Pn+i!; . .
I Фп+к-2 fo.) Фп+k-l fo.) I < l/jPn+fc-2*;
и по свойству 1 систем Sv (v = 1, 2, 3, . . .) мы имеем
| фп+fc-i fo) — гр' fo) | < 1/pn+k-i;
следовательно,
I Фп (^1) — г|)' fo) I < 1/рп! + 1/^п+1! + . . . < 8/2,
а значит, | А — гр' fo) | < е, что доказывает утверждение.
7. Пусть Е — множество точек всех кривых системы 2, и поскольку
множество гП1, гП2, . . ., гПк, . . . всюду плотно в интервале (0, 1) оси х,
множество Е всюду плотно в рассматриваемом квадрате. Построим на Е
функцию /х (х, у) следующим образом: если точка xQ, yQ содержится в мно-
жестве Е, возьмем какую-нибудь кривую системы 2, проходящую через
эту точку, пусть у = ф fo, И ПОЛОЖИМ /х fo, Уо) = ф' fo); по свойству 2
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка
329
системы 2 определенная таким образом функция Д (xQ, yQ) единственна.
Определим в квадрате (0,0); (0, 1); (1, 1); (1, 0) функцию f (х, у), равную
минимуму Д (х, у) в каждой точке х, у квадрата, что возможно, поскольку
множество Е всюду плотно на этом квадрате. По свойству 3 системы 2
определенная таким образом функция / (х, у) всюду непрерывна.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Й = (9)
По определению функции f (х, у) каждая кривая системы 2 будет интег-
ральной кривой уравнения (1), значит, какова бы ни была точка Р, лежа-
щая на одной из прямых х = 0; х = гП1; х = гп*, . . .; х = гпх; . . ,г
существуют по крайней мере две различные интегральные кривые урав-
нения (1), проходящие через эту точку Р. Сейчас мы докажем, что для лю-
бой точки квадрата существуют по крайней мере две различные интеграль-
ные кривые, проходящие через эту точку. В самом деле, предположим, что
через точку х0, yQ проходит только одна интегральная кривая уравнения
(1). Пусть С — эта кривая. С другой стороны, множество R точек {гП1,
щ2, . . ., гПх, . . .} всюду плотно на интервале (0, 1); следовательно, как бы
мало ни было е, в интервале (я0, х0 + е) всегда существуют точки мно-
жества 7?; пусть — первая из них. Проведем через эту точку гп^ пря-
мую х = rnv и пусть (rnv у^ — точка пересечения этой прямой и кри-
вой С. Но по свойству 1 системы 2 существуют по крайней мере две ин-
тегральные кривые уравнения (1), проходящие через точку (гп у^) и раз-
личные в любом интервале (гПх, гп% + ц), ц 0, для достаточно малого ц.
Если ц достаточно мало, интервал (rnv гп^ + л) содержится в интервале
(я0, х$ + е). Сейчас мы покажем, что это невозможно. В самом деле, Ос-
гуд [3] доказал следующую теорему.
Если функция f (х, у) непрерывна по совокупности переменных х, у;
а1<х<а2,1 <Z у < Ъ2, то для каждой точки ar < xQ < а2; b± < yQ <
< b2 существуют две интегральные кривые фг (х) и <р2 (х) уравнения (7),
проходящие через эту точку и такие, что любая другая интегральная кри-
вая у = <р (я), проходящая через эту точку, удовлетворяет неравенствам
Ф1 (х) < Ср (ж) < <р2 (ж)>
каково бы ни было х в некотором интервале (х0 — р, х0 + р).
Из этой теоремы следует: если кривая С является единственной ин-
тегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку х$, у0, мы ви-
дим, что для достаточно малого числа 8 и любой точки х2, у2 (xQ <Z x2<Z
<. x0 + в) кривой С не существует никакой интегральной кривой урав-
нения (1), проходящей через точку х2, у2 и не совпадающей с кривой С
в интервале (х2, xQ + 8).
Следовательно, мы видим, что кривая С не является единственной ин-
тегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку я0, i/0, что про-
тиворечит нашему предположению. Таким образом, какова бы ни была
точка квадрата (0, 0); (1, 0); (1, 1); (0, 1), существуют по крайней мере две
Различные интегральные кривые уравнения (1), проходящие через эту
точку, что требовалось доказать.
330
III. Дифференциальные уравнения
ЛИТЕРАТУРА
1 Tamarkin J. Sur le theoreme d’unicite des solutions des equations differentielU
ordinaires//Math. Ztschr. 1923. Bd. 16, H. 3/4. S. 207—213. ies
2. Denioy A. Nemoire sur les nombres derives des fonctions contunues // J. math nnrao
et appl. Ser. 7. 1915. T. 1. P. 105—240. ’ F es
3. Osgood W. F. Beweis der Existenz einer Losung der Differentialgleichung dy/dx =
= (x, y) ohne Hinzunahme der Gauchy-Lipschitzchen Bedingung // Monatsh. Math
und Phys. 1898. Jg. 9. S. 331-345 (343).
28
О НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛАХ
В ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ*
В этой заметке отмечаются несколько формул, которые позволяют при-
ближенно находить граничные нормальные производные гармонической
функции по ее граничным значениям. Эти формулы дают хорошее при-
ближение, если область задания функции является узкой полосой с ши-
риной, которая меняется произвольно.
1. Области типа полос. Пусть даны две кривые Го и Г, имеющие диф-
ференцируемую кривизну и проходящие через бесконечно удаленную
точку.
Будем обозначать через D (Го, Г) область, ограниченную линиями
Го и Г, а через w = f (z, Го, Г, h) — функцию комплексного переменно-
го z, которая реализует конформное отображение области D (Го, Г) на по-
лосу 0 < v < h; w = и + iv, при условии соответствия бесконечно уда-
ленных точек / (+ оо) = 4- оо.
Итак, функция f будет определена с точностью до действительного сла-
гаемого, которое в дальнейшем никакой роли играть не будет. Пусть да-
лее z-произвольная точка линии Г; проведем через z нормаль к Г до ее
пересечения в точке z0 с линией Го. Возьмем п = п (z) = z — z0, а через
0 = 0 (z) обозначим угол, образованный касательными к Го и Г, про-
ходящими соответственно через точки z0 и z. Пусть, наконец, К (z), KQ (z)
обозначают кривизны линий Г, Го; К (KQ) берем со знаком «+», если Г (Го)
обращена в точке z (z0) к D (Го, Г) выпуклостью, и со знаком «—» в противо-
положном случае.
Всюду в дальнейшем число h будем считать малым, а Го, Г, таковыми,
что
kh < п (z) < Ch, | 0 (z) | < кгп, \K(z) - #0 (z0) | < kji, (1)
где к, С — постоянные, независимые от h. Кроме того, будем считать ма-
лыми вместе с h значения производных кривизн Ко и К, взятых по дуге
соответствующей линии.
При этих допущениях имеет место такая формула: для произвольной
точки z линии Г имеем
| /' (z, Го> Г, h) | = А {1 + 4 пК + 4 п (Ко - *) +
+ 4^2 + 4е2} + R, (2)
* Доп. АН УРСР. 1942. № 1/2. С. 3-8.
28. О некоторых приближенных формулах в задаче Дирихле
331
причем
остаточный член R оценивается следующим неравенством:
Л Г I I . \ 1 1,2
<>ФахИп + тах — г ’
(3)
А зависит только от ранее введенных постоянных fc, Си не зависит от h.
ГДеГлавный член в правой части (2), дает, с точностью до малых высших
орядков, значения в точке z модуля производной функции, которая реа-
П1зует конформное отображение на полосу 0 < v < h области, ограни-
ченной параболами Т и Го: эти параболы имеют вершины в точках z, za
пересекаются в этих же точках соответственно с Г и Го.
Отмеченная геометрическая интерпретация главного члена (2) да*ет
возможность применением теоремы 1 нашей статьи [1 ] построить мажоранту
для остаточного члена и оценить его применением известной формулы
Пуассона [1].
Применяя (2), (3) и пользуясь формулой Пуассона, нетрудно вывести
такую формулу для приближенного вычисления нормальной производ-
ной гармонических функций.
Согласно принятым выше условиям, допустим, что на линиях Г и Го
заданы вещественные ограниченные функции, соответственно ф (z) и ф0 (z)
(условие ограниченности ф0 и ф может быть заменено слабым условием
на рост ф0 и ф при z-> ос), такие, что
| ф (z) — Фо (z0) I < k3h;
| ф' | < | ф" fc5;
| фо I < ^6» I Фо I < ^7’
а третьи производные ф и ф0 по соответствующим дугам малы вместе с h.
Пусть теперь Р (х, у) — ограниченная и регулярная в D (Го, Г) гар-
моническая функция, принимающая на Г и Го значения ф и ф0.
В произвольной точке z контура Г будем иметь
4г _ + 4 „ + 4 Ф;) + 4 (Ф- + 4 Ф() +
+ 44+4 ф») + 4пК+4-»<х« - *>+
О \ / lb I" v
+ -Ln*K* + Ц-©4 + S, (4)
14 о J
где остаточный член S может быть оценен таким неравенством:
| S | < Ia, Г max I I + max I I ] + tmax'(р"' । + тах ।
(5)
причем постоянные Alt А2 зависят лишь от постоянных k С, klf . . к7 и
не зависят от h.
Если допустить, что кривизны К и Ко имеют ограниченные вторые про-
изводные, то для остаточного члена можно дать точную оценку: | В | < Bh3,
где В зависит только от ранее введенных постоянных и от верхних гра-
ниц модулей первых двух производных кривизн К и Ко.
Аналогично для остаточного члена S, если допустить, что <p(IV) и <po1V)
ограничены, то | S\<.B±h3, где постоянная В7 будет дополнительно за-
висеть от верхних границ | <р'" |, | <р0 I, I <PIV I, I Фо I-
332
III. Дифференциальные уравнения
Отметим, что в рассмотренных случаях первые члены в правых частях
(2) и (4) дают значения для | /' | и для дР!дп с точностью до малых второго
порядка включительно, если третьи и четвертые производные функций
К и Ко, Ф и Фо — малые сравнительно с i/h.
2. Области типа колец. Рассмотрим теперь случай, когда Г и Го суть
замкнутые кривые, длины которых L и Lo не больше некоторой постоян-
ной /с8.
Построим для двухсвязной области D (Го, Г) функции п (z), О (z), К
Ко. Будем предполагать, что эти функции удовлетворяют условиям (1)
и j[to третьи и четвертые производные кривизны К и KQ ограничены не-
которой постоянной Аг9, независимой от h. Пусть w = F (z, Го, Г, fe) — функ-
ция, которая реализует конформное отображение области D (Го, Г) на
кольцо ширины h: г — h < | w | < г. При этих условиях в произвольной
точке контура Г будем иметь
+ Т7”г*!+тв! + 4--г + 4Я + Д1; <«>
в этой формуле число г может быть принято за равное
Г,
r=4r$4-(1+-rre2r)idzi’ <7)
о
а остаточный член может быть оценен с помощью (2) или (3), в зависи-
мости от ограничений, которые наложены на производные кривизн К и Ко.
3. Отправляясь от главных частей формул (2) и (4), можно построить
процессы, которые быстро сходятся к решениям задач Римана и Дирихле.
Отметим суть этих процессов. Начнем с задачи Римана. Пусть линии Г и Го
имеют дважды дифференцируемую кривизну и ограничивают область
D (Го, Г) такую, что функция п (z) ограничена сверху и снизу. Разобьем
область D линиями ух, • • •» на т полос и составим для каждой
линии у7- равенство
I f (z, у3-, 1/m) |=|f (z, уу, yj+1, 1/m) |; y0 = Го, ym = Г. (8)
Если теперь в левой части (8) значения | f | заменить формулой (2), от-
кинув остаточные члены, то (8) перейдет в систему дифференциальных
уравнений второго порядка. Пусть {yj0)} составляет систему интегральных
кривых, расположенных в D (Го, Г) и не имеющих попарно общих точек.
При этих условиях нетрудно показать, что линия yj0) будет отклоняться
от линии Г7: Im / (z, Го, Г, 1) = j/m на величину порядка т~3. Зная линии
Г7, путем квадратур найдем искомую функцию.
Аналогично, опираясь на формулу (4), можно свести задачу Дирихле
к задаче интегрирования системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений второго порядка.
4. Установленные формулы (2) и (3) допускают различные обобщения
на некоторые классы квазиконформных отображений, а также на случай
задачи Дирихле в пространстве трех измерений, когда границы соответ-
ствующей области суть две близкие поверхности, главные кривиз-
ны которых дважды дифференцируемы.
29. К проблеме уравнений смешанного типа
333
ЛИТЕРАТУРА
t тгп^рнтъев М. А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями
b к теории струй//Мат. сб. 1938. Т. 4, № 3. С. 391-458.
29
К ПРОБЛЕМЕ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННОГО ТИПА*
§ 1. Общие замечания. Ряд важных проблем газовой динамики сво-
дится к краевым задачам уравнений второго порядка смешанного типа:
область, в которой ищется решение, состоит из двух частей, в одной из
которых уравнение принадлежит эллиптическому типу (эллиптическая
часть области), а в другой — гиперболическому типу (гиперболическая
часть области).
Наряду с этим, до настоящего времени для уравнений смешанного
типа не решена основная задача определения краевых условий, обеспе-
чивающих единственность, существование и устойчивость решения.
Одним из первых важных результатов, относящихся к этой проблеме,
является следующий результат Трикоми [1].
Пусть дано уравнение
Уихх + иуу — 0 (1)
и область 7). ограниченная: 1) линией L с концами в точках А (а, 0),
В (6, 0) и расположенная в верхней полуплоскости; 2) характеристиками
Lj и 1/2 уравнения (1) различного семейства, выходящими, соответственно,
из точек А и В. При этих условиях, каковы бы ни были достаточно гладкие
функции ф и ф1? заданные на L и £х, всегда существует одно и только одно
решение и (х, у) уравнения (1), правильное в D и принимающее на L и Lu
соответственно, значения ф и фх.
Теорема существования у Трикоми доказывается для очень специаль-
ных линий L.
Результат Трикоми был дополнен различными авторами, в частности
Ф. И. Франкль показал, что характеристику Lr можно заменить линией L,
расположенной в D, отчасти совпадающей с £х, а в остальном достаточно
близко к ней.
В настоящей заметке мы даем предельно простое решение как самой
задачи Трикоми, так и некоторых ее обобщений для случая уравнения
ихх + 0 (у) иуу = 0, (2)
где 0 (у) = 1 при у > 0 и 0 (у) = — 1 при у < 0.
§ 2. Постановка задачи. Пусть — область, ограниченная: 1) ли-
нией Жордана L, расположенной в верхней полуплоскости и соединяющей
точки А (0, 0) и В (1, 0); 2) прямолинейными отрезками у = — кх,
0 (1 + к) х 1 и L2: у = х — 1, 2/(/с + 1) 2я 2.
При этих условиях требуется определить функцию и (х, у) со следующими
* Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, № 3, С. 373—376. Совм. с А. В. Бицадзе.
334
III. Дифференциальные уравнения
свойствами: 1) и (х, у) является решением уравнения (2) в области D
при у •=£ 0; 2) она непрерывна в замкнутой области Dk и имеет первые про*
изводные, непрерывные в этой же области всюду, кроме, быть может, точек
А и В, причем их и иу могут обращаться в бесконечность порядка ниже 1
при х -> 0 или х -> 1; 3) на L и она принимает соответственно заданные
значения ср и гр; предполагается, что ф имеет ограниченную производную
а гр непрерывна вместе со своими производными до второго порядка, при-
чем ф (Л) = гр (Л).
В приведенной формулировке случай к = 1 соответствует задаче Три-
коми. Именно с этого случая мы и начнем изложение.
§ 3. Задача Трикоми (Т). Для решения задачи Т построим, прежде
всего, общее решение уравнения (2) для нижней полуплоскости:
И = /1 (* — у) + /г (* + у), (3)
где А и /2 — произвольные, дважды непрерывно дифференцируемые функ-
ции, причем, не нарушая общности, очевидно, можно предполагать /2 (0) =
= 0. Используя граничные значения и (х, у) на L± в силу свойства 3 по-
лучим
их — иу = гр' (х/2), гр (х/2) = /х (х), у = 0, 0 х 1/ (4)
Таким образом, искомая функция и должна на отрезке АВ удовлетво-
рять условию (4). Для определения и (х, 0), а следовательно, /2 (х) = и (х,
0) — /1 обратимся к эллиптической части области D, где и есть гармо-
ническая функция, причем ее производные по х и у на переходной линии
Л В должны совпадать с соответствующими производными и из гиперболи-
ческой части области. Следовательно, задача Т сводится к следующей
известной задаче для уравнения Лапласа: в области D, ограниченной
линией L и отрезком АВ оси х, требуется построить гармоническую функ-
цию, принимающую на L заданные значания ф, а на отрезке АВ удовлетво-
ряющую условию (4).
Приведем одно простое решение сформулированной задачи. Запишем,
прежде всего, условие (4) в форме У2 щ = г|/ (х/2), где t есть направление,
образующее с положительным направлением оси х угол —л/4.
Отобразим теперь конформно z == f (С), z = х + iy, £ = £ + об-
ласть D на угол, образуемый лучами arg £ = 0, Х2: arg £ = л/4 при
условиях, что отрезок АВ перейдет в луч %2, а точка В — в точку оо. Пусть
при этом отображении неизвестная функция и (х, у) перейдет в функцию
v Л)- Гармоническая функция v (£, ц), правильная внутри угла, будет
на границах этого угла удовлетворять условиям
Ъ = <р' (?) I/' (?) I на
= —Ч1' (^/2) I /' (?) I на Х2.|
Замечая, что есть гармоническая функция, заключаем, что задача пол-
ностью редуцирована к классической задаче Дирихле. Существование и
единственность решения задачи Дирихле обеспечивают существование и
единственность рассматриваемой задачи.
Сформулируем полученный качественный результат.
Теорема 1. В условиях поставленной задачи при к — 1, если линия
L удовлетворяет условию Ляпунова, а функция ф обладает ограниченной
производной, то решение существует, единственно и устойчиво.
29. К проблеме уравнений смешанного типа
335
с 4 В этом параграфе мы приведем одно обобщение задачи Т.
Пусть Ек (aR, 0), к =-- 1, 2, . . ., п,— заданные точки отрезка АВ:
'а < • • . < «п < 1- Очевидно, что точки Ак (ак/2,— afc/2), Вк (ак/2 +
_ 1% лк/2 — 1/2), л0 = 0, an+i = 1, лежат на характеристиках Lx и L2
уравнения (2).
3 а д а ч а 7\. Требуется определить функцию и (х, у) со следующими
свойствами: 1) и является решением уравнения (2) в области D при у =# 0;
9) она непрерывна в замкнутой области D и имеет первые производные,
непрерывные в этой же области всюду, кроме, быть может, отрезков ЕкАк,
Е Вк характеристик уравнения (2) и точек А и В, причем предполагается,
что в окрестности упомянутых отрезков и точек их и иу могут обращаться
в бесконечность порядка ниже 1; 3) на линиях Л, Lr и Л2 она удовлетво-
ряет условиям: и = (р на L; и = ф^ на АкАк+1 при четном /с; и = фй на
ВкВкл. при нечетном к, где (р, <pfc (к = 0, 1, . . ., п) — заданные функции.
Для решения задачи с успехом применяется качественный метод,
развитый в § 3, и получается теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Если L удовлетворяет условию Ляпунова, функция
<р имеет ограниченную производную, а функции фк дважды непрерывно
дифференцируемы, то решение задачи всегда существует, единственно
и устойчиво.
§ 5. Общий случай. И в этом случае задача может быть сведена к не-
которой смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа. В самом деле,
используя задание и на Lk и общее решение (3) уравнения (2), получим
для определения Д следующее функциональное уравнение:
Л (0 - А (^) = Ф [(1/2 + М2) t] - и (^, 0), (5)
где (1 4~ к) х = t, (1 — к) / (1 + к) = % < 1. Применяя к (5) метод ите-
раций, выразим /j (i) с помощью функций ф и и (х, 0). Подставляя полу-
ченное выражение для в (3) и дифференцируя по у, при у = 0 получим
иу — их 0) — 2 У| их (кпх, 0) =
п=1
= -2 5 1|/ [(1/2 + Х/2)Л](1/2 + Х/2)Г. (6)
п=0
Построенные формально ряды будут, очевидно, равномерно сходиться,
если ф (0) = 0 и если функции ф и и (х, 0) при х = 0 будут иметь нулевые
производные.
Полученное соотношение (6) дает искомую редукцию нашей задачи.
В области D, ограниченной линией L и отрезком А В, требуется определить
гармоническую функцию и по граничным условиям: 1) на L функция и
принимает заданные значения ф; 2) на отрезке А В нормальная и каса-
тельная производные должны быть связаны условием (6).
§ 6. Аналитические решения. Обозначим через L (и) оператор левой
части (6), а через F (х) — правую часть (6). При этих обозначениях условие
(6) запишется в виде
L (и) = F (х).
(7)
336
III. Дифференциальные уравнения
Обозначим через Рп (х, у) и Qn (х, у) однородные гармонические поли-
номы Рп + iQn = zn, z = х + iy. Для этих полиномов, очевидно, имеем
(1 - Г) L (Рп) = —п (1 + Г) х-\ L (Qn) = пх-\ (8)
откуда легко получается следующий результат: если функция ф аналити-
ческая и правильна при | z | < /?, где R 1, то в круге | z | < R суще-
ствует гармоническая функция, правильная в этом круге и удовлетворяю-
щая на АВ условию (6).
В самом деле, из аналитичности ф при | z | < R следует аналитичность
F (х) также при | z | < R. Итак, пусть F (х) = 2 апхп, но тогда, в силу (8),
гармоническая функция Q = ^anQn+il(n + 1) будет обладать всеми нуж-
ными свойствами.
Установленное предложение дает возможность в случае аналитичности ф
произвести дальнейшую редукцию задачи. Положим (1 — Xn) Rn (х, у) =
= (1 — Xn) Рп + (1 + V) Qn\ в силу (8) имеем
L (Rn) = 0. (9)
Будем искать функцию и (х, у) внутри области D в виде ряда
« = Q + 3 bnRn. (10)
Эта функция в силу (9) формально удовлетворяет условию (6). Если
функция ф, заданная на L, разлагается в ряд (10) и если этот ряд равно-
мерно сходится в замкнутой области D, то решение поставленной выше
задачи существует и оно представляется в виде (10).
Пример. Пусть Dk есть бесконечная область, ограниченная лучами
L : х = 0 и Lk : у = — кх, 0 < к^ 1. Пусть, кроме того, заданные соответ-
ственно на L и Lk функции ф и ф являются целыми функциями ф (у) —
= bnyn, ф = 2 Спхп, bQ = Cq. Очевидно, что и функция F (х) =
целая.
Искомое решение согласно (10), представляется в виде ряда
1 4 1
Х К-1 + ! + Sr + £ (- 1)” [ Р2« + тЧ? } •
L 1 — Л"1 J L 1 — Л J)
ЛИТЕРАТУРА
1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка сме-
шанного типа / Пер. с ит. Ф. И. Франкля. М.: Гостехтеоретиздат, 1947. 192 с.
30. Задача Дирихле для узкого слоя
337
30
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УЗКОГО СЛОЯ *
Ряд важных задач механики непрерывной среды приводится к ка-
чественному и количественному изучению конформного отображения кри-
волинейных полос на полосу, ограниченную двумя параллельными пря-
мыми. Эти задачи часто имеют интерес, когда ширина полосы мала срав-
нительно с кривизной граничных линий; в этом случае могут быть построе-
ны весьма простые приближенные формулы для определения наиболее
важной, с точки зрения приложений, величины — модуля производной
функции, конформно отображающей данную криволинейную полосу на
прямолинейную полосу. Приведу простейшую из этих формул.
Пусть функция комплексного переменного z, z = х -j- iy,
= / (z)
реализует конформное отображение полосы, ограниченной линиями Го
и Г на полосу 0 < v < h плоскости комплексного переменного w = и +
+ iv; мы будем при этом предполагать, что бесконечно удаленные точки
полосы переходят в точки и = +оо полосы 0 < v < h. Обозначим через
z0 произвольную точку Го, через п (z0) длину отрезка нормали к Го в точке z0,
заключенного между Го и Г, через kQ и к кривизны линий Го и Г в концах
отрезка п (z0). При этих обозначениях имеем
ы।-FS) (‘+ -ГН (1)
Формула (1) легко уточняется; если через 9 обозначить угол между
касательными к Го и Г в концах отрезка, то будем иметь
|Л2)|»А{1 + (^+ V)B+.g.„1+4eI}. (2)
Отметим, что в обеих формулах величины кривизн берутся со знаком «+»,
если граница обращена к полосе выпуклостью, и со знаком «—» в проти-
воположном случае.
Используя вариационные принципы конформных отображений, не-
трудно получить оценки точности формул (1) и (2) в зависимости от па-
раметров, определяющих «близость» Г и Го.
Формулы (1) и (2) могут быть обобщены на случай наиболее общих
квазиконформных отображений; обобщенная формула (1) была мною по-
ложена в основу доказательства основных теорем квазиконформных отоб-
ражений.
В данной статье будет получена формула, аналогичная формуле (1),
Для случая задачи Дирихле для узкого слоя пространства х, у, z.
Условимся в некоторых обозначениях. Через D (Го, Г) будем обозначать
односвязную область, ограниченную поверхностями Го и Г. Поверхности
Го и Г будем предполагать гладкими, обладающими ограниченными и
непрерывными главными кривизнами. Через U (Го, Г) = U (х, у, z) будем
обозначать гармоническую функцию, правильную в D (Го, Г) и принимаю-
щую на границах Го и Г соответственно значения 0 и 1. Через Го будем
* Тр. Мат. ин-та. 1951. Т. 38. С. 146—151.
338
III. Дифференциальные уравнения
обозначать поверхность уровня функции U
U (х, у, z) = 0, О <С 0 < 1,
так что Г = Гх.
Через кШ и к& обозначим главные кривизны Г, взятые со знаком « +»;
если кривая соответствующего сечения Г обращена к D выпуклостью, и
со знаком «—» в противоположном случае.
Допустим теперь, что на поверхности Го или Г задана функция f (А)
точки А этой поверхности. В каждой точке Ао мы отнесем функции / два
числа К& и KS2\ определяемые следующим образом. Проведем через точку
Ао плоскость л касательную к соответствующей поверхности (Г или Го).
В каждой точке а плоскости л определим функцию ф (а):
<р (а) = / (А),
если а есть ортогональная проекция Л на л. Определим теперь в плоскости
л ортогональную прямоугольную систему координат |, ц с началом коор-
динат в точке Ао так, чтобы однородная квадратичная форма тейлоров-
ского разложения была приведенной к нормальному виду; за К& и
мы примем половины коэффициентов этой формы
4
Ф (а) = / (Ао) + Ml + TVn + -J- (*<^2 + W) + . . .
При принятых обозначениях наша задача заключается в выводе прибли-
женной формулы для нормальной производной dW/dn гармонической
функции W, принимающей на Го и Г заданные значения; в качестве ос-
новного малого параметра принимается близость поверхностей Го и Г.
1. Вариационные принципы. Принципы получения основной форму-
лы базируются на двух элементарных вариационных принципах, изло-
жение которых мы и начнем.
Лемма 1. Если область D (Го, Г) содержит область D (Го, Г), то
область D (Го, Ге) содержит область D (Го, Го). При тех же условиях
в точках Го имеем
где д/дп обозначает дифференцирование по внутренней нормали; знак
равенства достигается только при совпадении Г и Г.
Если дополнительно допустить, что Г и Г имеют общую точку А, то
в этэй точке
Знак равенства достигается при совпадении Г и Г.
Эта лемма для случая гармонических функций двух переменных экви-
валентна известным в теории конформных отображений принципам Лин-
делёфа и Монтеля; ее доказательство не отличается от плоского случая
и основывается на классических принципах максимума. В силу этого сфор-
мулированная лемма справедлива для тех классов функций, для которых
имеет место принцип максимума и минимума.
30. Задача Дирихле для узкого слоя
339
Лемма 2. Пусть граничные данные двух задач Дирихле для области
D (Го, Г) совпадают на Го, а на Г удовлетворяют условию
f (Л)>/(Л).
В этом случае в точках Го для гармонических функций W и W, соответ-
ствующих указанных граничным значениям, имеем
dW dW
дп дп *
Если, дополнительно, в некоторой точке А на Г / (А) — / (Л), то в этой
точке имеем
dW dW
дп дп ’
причем знаки равенства достигаются только при полном совпадении / и /.
Доказательство этой леммы также просто следует из принципа макси-
мума и по существу не отличается от плоского случая.
2. Вариация нормальной производной. Опираясь на приведенные выше
вариационные принципы, нетрудно получить верхнюю и нижнюю оценки
для вариации нормальных граничных производных гармонических функ-
ций U и W в зависимости от вариации поверхностей Го и Г, а также гра-
ничных значений /0 и /.
Для большей простоты формулировки введем одно определение; мы
скажем, что область D (Го, Г) принадлежит классу S (г, б0, б) если выпол-
няются следующие условия: 1) через каждую точку Го и Г можно провести
сферы радиуса г, из которых одна будет лежать в D, а другая вне D; 2) для
любой точки Го и Г можно построить отрезки их нормалей п0 и п, лежащие
в D с концами на Го и Г и такие, что
б0 п^ б, б0 п б.
Относительным расстоянием р (Л, Л') между двумя точками Л и Л'
области D назовем нижнюю границу длин линий, расположенных в D и
соединяющих Л и Л'.
Теорема 1. Если область D (Го, Г) принадлежит классу S (г, б0, б)
и если граничные функции f0 и / ограничены:
|/0(Л0) |<М, | / (Л) |<М
и обладают вторыми частными производными, так что все числа
и для /0 и меньше М, то в каждой точке Го и Г гармоническая функ-
ция W (/0, /) обладает нормальной производной, ограниченной по модулю
числом R, зависящим только от числа М^и характеристик класса S — г,
60 и б:
Заключение теоремы сохраняет силу, если условие равномерной ограни-
ченности кривизны заменить условием Ляпунова, равномерно выполняе-
мым для всех точек Го и Г.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 допустим, что в бесконечно
^алой окрестности точки А', находящейся на относительном расстоянии р
340
III. Дифференциальные уравнения
от точки А поверхности Г, мы заменим кусок Г (или Го), пусть у, беско-
нечно близким куском _у, а значения / (или /0) на этом куске бесконечно
близкими значениями гармоническую функцию, соответствующую новой
области и новым граничным значениям, мы обозначим через W. При этих
обозначениях в точке А имеем
I aW _ aw I < Сс~^ gl + <T2
I дп дп I р3 ’
где С и а — положительные константы,
°i=Si/—/id?’
а а2 — объем, ограниченный у и у.
3. Задача Дирихле для узкого слоя. Опираясь на теорему 2, нетрудно
построить и дать оценку точности формулы, аналогичной формуле (1),
для нормальной гармонической функции по ее граничным значениям.
Области D (Го, Г) мы будем предполагать принадлежащими классу S (г,
6о, 6).
Теорема 3. Пусть поверхности Го и Г и определенные на них функ-
ции fQ и f близки в смысле близости второго порядка, пусть, кроме того,
модули градиентов кривизн Го и Г ограничены и пусть также ограничены
все третьи производные функций и f. Обозначим через п (Л) = АА'
длину нормали к Г в точке А, заключенную между Г и Го,
ch п (Л) Ch,
гдеЬ — малая' величина, характеризующая близость ГоиГ, ас и С констан-
ты. При этих условиях будем иметь
aw_ = /0(Л')-/(Л) + _п_ ^(i) + ^(2)) + ^km + А(2))j + R (3)
где остаточный член R имеет порядок h2,
I R |-< Nh2,
число N зависит от постоянных, характеризующих близость Г к Го и / к fQ.
Подчеркнем, что угол между нормалями к Го и Г в точках Л и Л', разность
между главными кривизнами Го и Г в тех же точках, разность между чис-
лами KW и К™ и т. д.— все имеют порядок h.
Остановимся кратко на выводе формулы (3).
В силу теоремы 2 главный член в формуле (3) достаточно получить
для любых двух поверхностей Го и Г, имеющих в концах нормали п (Л)
с данными поверхностями второй порядок соприкосновения; в силу той же
теоремы функции /0 и / можно заменить «соприкасающимися» многочленами-
Этим самым наша задача приводится к простому подбору гармонических
полиномов и представлению коэффициентов через введенные ранее гео-
метрические параметры. Указанный счет можно, однако, еще упростить»
если воспользоваться следующими дополнительными соображениями-
Пусть 9 есть угол, образованный нормалью к Го в точке Л с нормалью к 1
в точке Л'. Согласно условию теоремы, 0 имеет порядок h, с другой стороны,
при разложении dW/dn по степеням 9 коэффициент при 0 должен обра*
30. Задача Дирихле для узкого слоя
341
титься в нуль, ибо при повороте поверхностей Го и Г вместе с заданными
на них / и /0 около нормали h (Л) на 180° значение дИ7дп в точке А не из-
менится — dW/dn есть четная функция 9. Так как, с другой стороны,
в главном члене формулы (3) мы сохраняем только члены порядка fe, то мы
заранее можем принять 0 = 0.
Дальнейшее упрощение счета мы получим, если заметим, что в силу
линейности задачи мы можем подсчет dW/dn разбить на две части: 1) под-
счет dU/dn — нормальной производной для случая, когда /0 и / суть по-
стоянные; 2) подсчет dW^/dii, где Wo принимает в Л и Л' одинаковые
значения.
Покажем, как подсчитать dU/dn. Рассмотрим гармонический полином
Р = z + a (z2 — х2) + b (z2 — у2).
Поверхности уровня Р = 0 и Р — h примем соответственно за Го и Г.
В точке х = у = z = 0 поверхность Го будет обладать главными кривизна-
ми и к<2\
kW = -2а, № = -26.
С другой стороны, длина нормали п (отрезка оси z между Го и Г) будет
определяться уравнением
(а + 6) п2 4- п = h,
откуда
п = 2(А6)'[/1+4(® + &>^ — 1] ~
mh[i — (a -h b)h] хh [1 + (кт + кт)п] .
Таким образом, так как ГД^-1 =1, то
L oz Jx=o
?/=0
Z—0
4г-4[1-ь4-<г'|”+*“)“]
или, полагая h = f — /0, окончательно
тг = -ЧЧ1+-г<4“’ + '‘в))"|-
Полученное соотношение дает первую часть искомой формулы (3). Вторая
часть получается вполне аналогично.
342
III, Дифференциальные уравнения
31
О НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ДЛЯ СИСТЕМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА*
Благодаря большой серии исследований, проведенных за последние
40 лет, классическая схема Киргофа по обтеканию тел со срывом струй
(задача плоская) получила широкое развитие. Многие задачи в простей-
ших постановках были решены исчерпывающим образом (Леви—Чивита,
Билля, Некрасов, Лере, Лаврентьев, Вайнштейн, Кравченко, Жербор,
Каропетян и др.). При этом использовались различные методы и приемы,
в их числе надо отметить метод интегральных уравнений с особым ядром:
эти уравнения исследовались сначала классическими методами разложе-
ния в ряды по малым параметрам, а позже с использованием современных
методов функционального анализа. Существенно иное направление (ва-
риационное) основано на ряде граничных свойств конформных и квази-
конформных отображений. Возможности каждого из отмеченных методов,
а также развившегося за последние годы метода интегральных представ-
лений (Векуа, Боярский, Данилюк) далеко не исчерпаны. В данной статье
я имею в виду отметить ряд старых и новых задач на движение жидкости
со свободной границей, которые могут быть решены вариационным ме-
тодом. В первой части работы будут рассмотрены некоторые плоские за-
дачи и задачи с осевой симметрией. Во второй части мы отметим несколько
частных результатов, относящихся к течениям в пространстве.
Для большей компактности изложения я начну с постановок краевых
задач в достаточно общей трактовке в терминах квазиконформных отобра-
жений. Начнем с плоского случая и случая осевой симметрии.
1. Общая постановка задачи. Пусть дана сильноэллиптическая система
Л (х, у, и, v, их, uv, vx, Vy) = 0, F2 (х, у, и, v, их, uv, vx, vy) = 0. (1)
Через
w = f (z, Го, Г) (2)
мы будем обозначать квазиконформное отображение, соответствующее
системе (1), области D (Го, Г), ограниченной линиями Го и Г (Го : у =
= Уо (х), Г : у = у (х), — оо < х < оо), на полосу
0 <; v < h
плоскости w — и + iv. Мы будем при этом дополнительно предполагать,
что при х -> ±оо имеем ~^инаГ0 точка с абсциссой х = 0 переходит
в точку с абсциссой и — 0.
Простейшей задачей теории квазиконформных отображений является
задача Римана: по заданной системе (1) и области D (Го, Г) определить
отображение (2). Задача Римана имеет решение при любом fe, и это решение
единственно для любых линий Го и Г, удовлетворяющих некоторым усло-
виям гладкости. Для частных видов систем (1) задача Римана имеет простое
механическое истолкование. Обозначим через у = у (х, v) линию D,
которая переходит в прямую v = const.
* Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3. № 5. С. 715—728,
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа
343
Отображение (2), соответствующее следующей системе (при частном
виде v (F)):
определяет движение газа в полосе D (Го, Г) с расходом h; линии yv будут
линиями тока, так что в области D (Го, yv) мы получаем течение с расхо-
дом V. При v (У) = 1 будем иметь движение (плоское) несжимаемой жид-
кости.
Отображение (2), соответствующее системе
ди /Т7\ dv ди /Т7\ dv
дает осесимметричное движение газа в слое, ограниченном поверхностями
вращения линий у = yQ (х) 0 и у = у (я); при v (V) = 1 мы получим
уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости при наличии
осевой симметрии.
Для систем (3) и (4) условия сильной эллиптичности выражаются не-
равенством
— >/с ^>0
Для уравнений газовой динамики это условие выполнено для всех
значений скорости V ниже скорости звука. Таким образом, теорема суще-
ствования квазиконформных отображений, соответствующих сильноэл-
липтическим системам, дает теорему существования и единственности
газовых потоков при всех дозвуковых режимах.
2. Задачи движения со свободной границей. Перейдем к постановке
различных задач, когда одна из границ D (Го, Г) или части границ заранее
не заданы, а ищутся из дополнительных условий. К таким задачам в ме-
ханике относятся задачи движения со срывом струй и задача установив-
шихся волновых течений.
Начнем с одной из постановок, включающих в себя ряд классических
гидродинамических постановок.
Задача 1. Линии Го и заданы для всех х, соответственно мень-
ших xQ и хг. Требуется доопределить линии Го, 1\ для всех остальных х
так, чтобы на доопределенных частях при отображении
W = / (z)
имели бы место соотношения
Хо (F, а, х, у) = 0, %! (7, а, х, у) = 0, (5)
где х0 и — заданные функции четырех аргументов F, а, х, у; а — наклон
Г в точке х, у.
Приведенная постановка есть значительное обобщение классической
задачи в схеме Кирхгофа как с точки зрения системы (1), так и с точки зре-
ния краевых условий.
344
///• Дифференциальные уравнения
Условия на заданные участки границы потока не охватывают всех
случаев известных задач и мы их сейчас рассмотрим в несколько иной
постановке.
3. Не сильноэллиптические системы. Простейшим примером эллипти-
ческой, но не сильноэллиптической системы является система уравнений
ди dv ди dv
— = -ч— , — =-----5---h <0 = const. /fi\
дх ду ’ ду дх 1
Эта система соответствует вихревому движению несжимаемой жидкости
со есть интенсивность вихря. Задача построения вихревого потока (с по-
стоянной интенсивностью вихря) сводится к задаче квазиконформного
отображения области течения D (Го, Г) на полосу 0 < v < h. Эта задача
в свою очередь редуцируется или к задаче Гильберта для гармонической
функции, или к задаче Дирихле для функции р, удовлетворяющей урав-
нению Пуассона Др = со.
Как и для безвихревого течения, решение всегда существует и един-
ственно. Специфическим для данного случая является то, что решение
не всегда однолистно. Для дальнейшего нам будет существенно, что при
достаточно гладких Г и Го и при фиксированном <о всегда найдется такое fe0,
что при всех h h0 квазиконформное отображение D (Го, Г) на полосу
О < v < h будет однолистным.
4. Задачи на склеивание. Естественным обобщением задач на движе-
ние жидкости со свободной поверхностью можно считать двуслойные дви-
жения жидкости. Первая задача такого типа в строгой постановке была
рассмотрена Н. Е. Кочиным, при этом речь шла о волнах в двуслойной
жидкости вдоль линии раздела более и менее плотной части жидкости.
В математической постановке двуслойные течения сводятся к задачам
на «склеивание». Приведу примеры таких задач.
Задача 2. В области D (Го, Г) требуется определить линию у,
разделяющую эту область на две полосы D (Го, у) и D (у, Г) так, чтобы
квазиконформное отображение, соответствующее системе (6), полосы
D (Го, у) на полосу 0 < v <Z hQ и конформное отображение D (у, Г) на
полосу h0 < v < h вдоль линии раздела у совпадали.
Задача 3. Граница Го области D (Го, Г) имеет угловую точку А-
Требуется определить в D (Го, Г) линию у с концами в точке Лив точ-
ке В (линии Го) так, чтобы вдоль у совпадали скорости двух следующих
потоков: 1) поток с постоянным вихрем со в области, ограниченной у
и дугой АВ линии Го; 2) поток в полосе D (Го, Г), где Го получается
из Го заменой ее дуги АВ дугой у.
Сформулированная задача 3 может быть расширена.
Задача 4. Найти две линии у и ух, где yj есть замкнутая кривая,
расположенная в области, ограниченной у и дугой АВ линии Го. На у
должны совпадать скорости потока 1 из задачи Зи потока с постоянным
вихрем со в кольце, ограниченном у дугой АВ и линией ух; на ух доля*-
на быть постоянной скорость потока в кольце (см. чертеж).
Из схем, не учитывающих явно сил трения, схема, представленная
в задачах 3 и 4, мне кажется, является наиболее близкой к реальному
Движению.
От этих схем путем малых поправок типа пограничного слоя можно
получить приближенные технические решения.
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа
345
По аналогии с обобщениями простейшей схемы Кирхгофа задачи 2
й 3 могут быть рассмотрены в гораздо более общей постановке: потоки
Б областях I и II могут быть определены различными общими эллипти-
ческими системами; а условие на линии склеивания может носить доста-
точно общий характер, например,
в виде условия (5).
Ь. Вариационный принцип. Вариа-
ционный метод, позволяющий уста-
навливать теоремы единственности
и существования для задач опи-
санного выше типа, основан на ряде
граничных свойств квазиконформных
отображений. Главнейшее из этих
свойств есть обобщенный принцип
Шварца—Линделёфа, который мы сформулируем в форме, наиболее
удобной для приложений.
Принцип Шварца—Линделёфа. Пусть две полосы D (Го, Г) и D (Го, Г)
ограничены достаточно гладкими линиями Го, Г и соответственно Го, Г‘.
Го: У = Уо (х), Г: у = у (х), Го: у = у0 (х), Г: у = у (х),
— ое < X < оо, причем
У (*) > У (*)•
Мы скажем, что область D (Го, Г) при ее квазиконформном отображении
(соответствующем системе (1)) на полосу
К < v < h2 (7)
удовлетворяет принципу Шварца—Линделёфа, если при квазиконформ-
ных отображениях D (Го, Г) и D (Го, Г) на полосу (7) имеем следующие
неравенства: _
1) в любой точке Го имеем V V;
2) в любой точке Г, лежащей на Г, F У;]
3) в_ точках Г и Г с абсциссой х0, где у (х) — у (х) достигает макси-
мума, V V. Во всех трех случаях знаки равенства достигаются только
при условии тождественного совпадения Г и Г.
Приведем ряд известных случаев, когда принцип Шварца—Линделёфа
имеет место.
Теорема 1. Принцип верен для любой силъноэллиптической сис-
темы, не содержащей явно координат х, у, и, v, и для любой области
& (Го, Г) (с достаточно гладкой границей).
Теорема 2. Принцип верен для любой силъноэллиптической сис-
темы, не содержащей явно и, при отображении достаточно узких полос,
т. е., если
kQh <У (х) — У (я) < kxh, h2 = + h\
где kQ, kr, hr — фиксированные постоянные, a h достаточно мало.
Приведем два частных случая, когда принцип имеет место для отоб-
ражений, не удовлетворяющих условиям теоремы 1 и теоремы 2.
346
III. Дифференциальные уравнения
Теорема 3. Принцип верен для любой области D (Го, Г):
Го: У = Уо (ж) > О, Г: у = у (х), у (х) у0 (х)
при отображениях (на полосу О <Z v <Z h), соответствующих системе
ди __ dv ди _ dv
дх У ду ’ ду У дх * ' )
Система (8) соответствует движению жидкости с осевой симметрией;
принцип дает возможность оценивать знак вариации скорости потока
в зависимости от вариации границы потока.
Приведем кратко доказательство теоремы. Допустим сначала, что
Уо (*)>&> 0.
Общий случай получим предельным переходом к -> 0. Пусть, кроме того,
max [у (х) — у (j:)] — h < к.
Это ограничение также несущественно, ибо любую деформацию можно
получить наложением малых. Заметим еще, неравенства 1 и 2 являются
прямыми следствиями из принципа максимума для функции v. Займемся
доказательством неравенства 3. Для этой цели вариацию D (Го, Г) рас-
смотрим как результат следующих вспомогательных вариаций: а) полоса
D (Го, Г) опускается на h вниз (в сторону отрицательных у); б) нижняя
граница новой области поднимается на к; в) верхняя граница переводится
в Т.
Согласно первым двум частям принципа, вторая и третья вариации
области в интересующих нас точках Г, Т увеличивают V. Нам остается
определить знак изменения V при первой вариации, т. е. при поступатель-
ном сдвиге. Скорость потока в сдвинутой области, очевидно, равна ско-
рости потока в первоначальной области в новой системе координат, в ко-
торой потенциал скоростей й и функция тока v будут удовлетворять сис-
теме
dv / । z\ дй dv . . ,ч дй
-ъг = (у + Ь)-^, -дГ = -(у + ^-дГ •
Для функций тока v и v будем соответственно иметь уравнения
d*v d*v 1 dv _ р
дх* ду* ~ ду ~~ ’
d*v d*v 1 dv
дх* + ду* y-\-h ду ~ °'
Вариация функции тока
6v — v — v
в области D (Го, Г) будет удовлетворять уравнению
d*bv d*bv 1 dbv h dv
ду* У ду у* ду ’ '
причем на границе (Го, Г) будем иметь = 0.
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа
347
Нам достаточно доказать, что на верхней границе
ду '
или что всюду в D (Го, Г)
bv <; о.
Допустим, что в некоторой точке внутри D имеем
bv > 0;
(9)
тогда в D есть точка, в которой bv достигает максимума, и в этой точке
будем иметь
дЬо __ дЪи __р d2bv р д2Ьи q
дх ду дх2 ’ ду2 ’
что противоречит (8') и (9).
В качестве второго нового примера применимости принципа Шварца—
Линделёфа рассмотрим отображения, соответствующие не сильноэллип-
тической системе (6). Обозначим через Е = {D (Го, Г)} класс областей D,
границы которых удовлетворяют условиям
I У о (ж)| < к0,
I Уо (*)| < к',
I Уо (х)| < к",
kyh ^у (х) — у0 (х) < kji,
I У’ С*)1 < к’,
I У" Н| < к”.
Теорема 4. При квазиконформном отображениях областей класса
Е (на полосу 0 < v <Z fe), соответствующих системе (6), принцип Швар-
ца—Линделёфа имеет место для всех достаточно малых со; малость со
определяется постоянными k, fe, характеризующими класс Е.
6. Следствия вариационного принципа. Все свойства конформных
отображений, базирующиеся на принципе Шварца—Линделёфа, автома-
тически распространяются на все квазиконформные отображения, для
которых указанный принцип имеет место. В частности, для таких квази-
конформных отображений оказываются справедливыми известные гра-
ничные свойства конформных отображений: условия существования и не-
прерывности граничных производных, теоремы о возрастании и убыва-
нии модуля производной в точках экстремального наклона границы и,
наконец, теорема об отсутствии экстремума модуля производной в точ-
ках экстремальной кривизны соответствующего знака.
Для приложений вариационного принципа к отмеченным выше крае-
вым задачам, особенно для задач с краевыми условиями типа (5), сущест-
венную роль играют количественные уточнения принципа. На основе
качественной части принципа можно для различных классов областей
D (Го, Г) строить мажоранты для оценок сверху и снизу вариации модуля
граничной производной в зависимости от различных численных характе-
ристик вариации границы области. Например, если ширина полосы имеет
порядок Д, то в точке экстремальной вариации границы Г (п. 3 принципа)
будем иметь
6 log 7 > vby^x) , (10)
348
III. Дифференциальные уравнения
где постоянная к может быть оценена геометрическими параметрами Го и Г.
Аналогичные количественные уточнения можно получить для экстре-
мальных значений log V и ее производных, в зависимости от геометричес-
ких параметров, определяющих классы Го и Г.
На основе вариационного принципа и отмеченных граничных свойств
конформных и квазиконформных отображений можно дать достаточно
общую схему решения отмеченных выше краевых задач. Сущность ва-
риационного метода мы проиллюстрируем на простейшем примере задачи
со свободной струей. Рассмотрим задачу 1, когда Го: у = yQ (х) определена
для всех х причем ограничены yQ (х), y'Q (х), у^ (х), а линия Г ищется
из условия, что вдоль Г имеем
v = v0,
где Уо есть заданная величина. Прежде всего заметим, что из вариацион-
ного принципа (при несложных рассуждениях для | х | -> оо) следует
единственность решения.
Для доказательства существования решения строим компактный класс
линий Г: у = у (х) с;
У о + h < у (х) < у0 (х) + 1/Л,
I У" (®)Ц< к2-
В построенном классе ищем линию Гх: уг (х), для которой в нашем классе
функционал
I (Г) = max (7 - 70)
достигает своего минимума. Нам нужно показать, что I (Гх) = 0. Допус-
тим, что I (Гх) > 0. Вариационный принцип дает возможность сразу дать
конструкцию вариации Гх, при которой I (Г) уменьшится. Оказывается,
что при h достаточно малом, а кг и к2 достаточно больших (используя
оценки типа (10) и граничные свойства V) можно нужную вариацию Гх
построить, не выходя из выбранного класса линий. Полученное таким
образом противоречие приводит к нужному результату.
Ниже я приведу несколько теорем существования и единственности,
для доказательства которых достаточно использовать простейшие оценки
с мажорантами, учитывающими простейшие характеристики классов
линий Го, Г.
Замечу сейчас же, что если использовать современную вычислитель-
ную технику, то можно указать реально осуществимую схему счета для
получения исчерпывающего решения ряда классических задач со свобод-
ными поверхностями.
7. Теорема существования и единственности. Приведем несколько
точных формулировок.
Теорема 5. Пусть в задаче 1 линия Го определена для всех х,
причем yQ (х) 0, а линия Г обладает непрерывной и ограниченной кри-
визной. При этих условиях решение задачи 1 существует и единственно
для следующих систем: 1) силъноэллиптической системы (1), не содержа-
щей явно координат (у, zz, и); 2) для системы (4) при v (7) = 1. При этом
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа
349
на граничное условие (5) накладывается следующее ограничение:
O<ko<^
\ О dv др
где X достаточно мало при фиксированных постоянных kQ и постоянных,
определяющих гладкость заданных линий и сильную эллиптичность сис-
темы.
Особый интерес представляет случай, когда Го есть ось х, а усло-
вие на Г имеет вид
V2 + Ху = с.
В этом случае задача 1 есть классическая задача установившихся движе-
ний тяжелой жидкости в каналах конечной глубины. При малых X за-
дача допускает лишь тривиальное поступательное движение. Начиная
с некоторого X решение становится неединственным и возможны периоди-
ческие решения: как предельный случай волны бесконечно большой дли-
ны можно получить уединенную волну. Вариационный метод при «руч-
ных» оценках дает возможность доказать теорему существования и един-
ственности для некоторого класса значений X, близких к критическому.
В частности, в теорию включаются уединенные волны малой амплитуды.
Можно предложить общую схему счета для полного решения задачи о вол-
нах на конечной глубине, но это решение может быть реализовано только
на больших электронных машинах.
Приведу еще одну теорему, относящуюся к задачам на склеивание
решений.
Теорема 6. Решение задачи 2 существует и единственно при всех
достаточно малых со.
В более общей постановке (задача 3) задача о склеивании иными ме-
тодами была решена рядом авторов за последние годы. Пыхтеев Г. Н.
решил задачу 3 для случая, когда Го состоит из оси х и отрезка (0, 1)
оси у, а в области между ух и у движение также безвихревое. Шабат
решил ту же задачу, когда Го есть ось я, а в области, ограниченной
Го и у (у0 отсутствует), движение происходит с постоянным вихрем. Кроме
того, Шабатом построен класс движений, удовлетворяющих условиям
решения задачи 3. Шабат задавался областью течения потока I и при-
страивал к нему путем решения задач Коши область течения II (см. чер-
теж).
8. Общая постановка пространственной задачи. По аналогии с плос-
ким случаем можно поставить общую задачу квазиконформных отобра-
жений пространственных областей: требуется построить гомеоморфное
дифференцируемое отображение области D пространства х, у, z на об-
ласть Д пространства и, v, w так, чтобы функции и = и (х, у, z), v =
= v (х, у, z) и w ~ w (х, у, z) удовлетворяли системе уравнений
Ft (х, у, z, и, v, w, их, иу, uz, . . ., wz) = 0 (i = 1, 2, 3). (11)
Как и в плоском случае, для произвольной системы (11) задача Ри-
мана квазиконформного отображения одной области на другую, вообще
говоря, не разрешима. Представляется достаточно сложным полностью
характеризовать возможно общий класс отображений (11) с разрешимой
задачей Римана. Мы построили некоторые частные классы систем (11)
350
III. Дифференциальные уравнения
(гармонические отображения), для которых имеет место теорема сущест-
вования и единственности (для единственности приходится предполагать
что имеет место соответствие двух внутренних точек, а также заданное
соответствие границ областей).
Сейчас я рассмотрю класс отображений, связанных с движением жид-
кости между двумя поверхностями.
9. Отображение слоя. Пусть область D (Го, Г) ограничена достаточно
гладкими поверхностями Го и Г:
ro:z = zo(x, у))
F:z = z(x,y) I
причем при — ос функции z0 и z стремятся соответственно к 0 и h.
Ищутся отображения D на слой
0< w<H
при следующих условиях:
1) при х-^—ос имеем и/х -> H/h, v/y H/h, w/z-+ H/h\
2) плоскости и = С переходят в поверхности, ортогональные поверх-
ностям Го и Г, причем и = и (х, у, z) есть гармоническая функция, пра-
вильная в D (Го, Г);
3) прямые v = С± и w = С2 соответствуют линиям, ортогональным
поверхностям и = С.
Нетрудно видеть, что отмеченными условиями отображение определя-
ется единственным образом, причем функции и есть потенциал скоростей
течения идеальной жидкости в слое D (Го, Г) при заданной скорости по-
тока для х—оо.
Построение отображения области D (Го, Г) сводится к определению
потенциала. Этот потенциал имеет вид
Я *
и = -г- X + ZZ ,
h
где и* есть гармоническая функция, удовлетворяющая на границах об-
ласти условию задачи Неймана:
(е — единичный вектор, параллельный оси х, а п — единичный вектор
нормали к границе D).
В дальнейшем мы примем дополнительно, что слой имеет ограничен-
ную сверху и снизу толщину:
kh^z(x, y) — z0(x, y)^ — h,
где к — фиксированное число, к < 1.
10. Узкие слои, приближенные формулы. Для приложений особый
интерес представляет возможность оценок граничных производных отоб-
ражения в зависимости от характера границ Г. В основу этих оценок^
как и в плоском случае, можно положить оценку вариации граничной
скорости и ее направления в зависимости от локальной вариации границы.
Заранее будем предполагать, что функции z0 (х, у) и z (х, у), определяю-
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа
351
щие границы Го, Г, кроме поставленных выше условий поведения на бес-
конечности и достаточной гладкости, близки соответственно к плоскостям
z = 0 и z = й, а их первые и вторые производные имеют порядок h.
Теорема 7. Пусть граница Г заменена границей Г; Г отличается
от Г в окрестности точки Ао:
[ 0 при A Q2 Д,
z (х, у) — z (х, у) = 8z = L п .
v v (>о при лсЛ,
где Д — малая область, содержащая точку Ао. При этих условиях в точ-
ке А, удаленной от точки Ао на расстояние г, будем иметь
, (12)
где о — объем, заключенный между Го и Г.1
Доказательство получается путем построения элементарных решений
задач на течение в слое 0<z<;fe при наличии на одной из стенок выпук-
лости. Общий случай получается путем мажорации SV с использованием
принципа максимума для потенциала.
На основе теоремы 7 и элементарных примеров течения жидкости
в слое можно получить приближение формулы для скорости V течения
и оценить точность этих формул в зависимости от h и гладкости поверх-
ностей Го и Г. В качестве первого приближения можно принять за зна-
чение скорости V и ее направления а значения, определяемые гидравли-
кой, когда скорость принимается постоянной вдоль нормали к границе Г.
В этом случае условие неразрывности течения приведет нас к следующей
системе:
1 dV да 1 dz
V ds дп z ds ’ '°'
T^dlL = ’?Hgradzlsin9’ <14)
где дифференцирование по s и по п отвечает направлению V и направле-
нию перпендикулярно V и 0 есть угол между V и grad z.
Для получения более точных формул можно по аналогии с плоским
случаем ввести поправочный член. Для этой цели проведем через точку Ло
нормаль к поверхности Г до пересечения с поверхностью Го, пусть в точ-
ке BQ; через точки Ао и Во проведем поверхности, соприкасающиеся с Го
и Г, пусть Го и Г.
В качестве таких поверхностей мы выбираем какие-либо поверхности,
Для которых можно найти обтекание (определить V) в замкнутом виде,
причем гладкость должна быть обеспечена до 3-го или 4-го порядка вклю-
чительно. При этих условиях каждая из поверхностей 1 0 и 1' может быть
определена пятью параметрами (при фиксированных Ао и 50) — коэф-
фициентами тэйлоровского разложения dzjdx, dz/dx, . . ., дЧ/ду2.
Пусть теперь Va есть скорость течения при обтекании Го и Г (движении
жидкости в области D (Го, Г) при условии, что в точке Ао скорость
Vo и угол ее наклона а0 определены по гидравлике) и пусть все
352
III. Дифференциальные уравнения
dz dz0 "I Г d2z d2zQ 1 z, m
------57-J > • • •- ---имеют порядок не ниже h. Тогда
Va = Vo + Ajh + a2/i2 4- Ro,
где Hi и а2 — векторы с компонентами, определяемыми через десять пара-
метров dzjdx, . . ., d’ts/dz/2, и Ro имеет порядок выше Д3. Используя (13),
можно оценить разность Na — V. Имеем | \та — V | где
зависит от четвертых производных функций, определяемых Го, Г, Го, Г.
Таким образом, с точностью до малых порядка выше № можно принять
V = Vo + ахД + а2Д2.
Можно получить формулы в замкнутом виде, если наложить ряд допол-
нительных условий на поверхности Го и Г. За Го мы примем плоскость
z = 0, а за Г поверхность, близкую к плоскости z = h. Наложим на Г
еще следующие условия:
----^=-(|х|+М)
I 7. Лт. 1Л — h I
(15)
порядка не ниже й3/г, порядка выше /г3/*,
d^z
ниже h, а порядка выше h.
Мы будем далее считать
d2z d2z
-37V по₽ядка не
В этом случае все линии тока будут близки к параллелям оси х и фор-
мулы (13), (14) можно приближенно заменить следующими:
1 dV
V
да 1 dz
ду z дх ’
da h dz
dx z2 dy ’
дх
После
^0
интегрирования получим
x £
' - 1 d\
z2 dy2
л ,
-------h
Z
X
Г 1
(16)
dz ,
dx.
J z dy
Учитывая, что (согласно принятым гипотезам) поверхность, составленная
из линий тока, проходящих при х == —ос через вертикальную прямую,
мало отличается от цилиндрической, из (16) можно получить приближен-
ное значение скорости V на Г:
V =г0(1 + 4-г^.).
(17)
Формулы, аналогичные (16) и (17), можно получить, заменяя усло-
вие (15) некоторым условием двоякой периодичности Г.
На основе приближенных формул можно построить приближенную
нелинейную теорию пространственных установившихся волновых и струй-
ных движений. Обобщенные волны Рэлея будут определяться уравнением
0 + “Г z 4?) + HZ = С.
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа 353
Из класса движений, определенных этим уравнением, можно проанали-
зировать влияние нелинейности на законы изменения с высотой пара-
метров волн, близких к линейным: образующимся наложением синусои-
дальных волн одинаковой амплитуды, но распространяющихся по от-
дельности одна в направлении, образующем с осью х угол а, а другая
угол —а.
11. Вариационные принципы. Обозначим через Е класс областей
D (Го, Г), удовлетворяющих следующим условиям:
zo (*, У) I < , --^(М+1у1) she у 11 , |z —лр --4-(м+ы>
е/ге Г/i
dzd I о 1 dzQ I ' I dz 1 1 dz \ '
'd2z} 1 . 1 1
1 |^82’ 1 дУ2 1 <е2,
d2z0 1 ' 1 \
дл* | 821 1 дхду 1 £2’ 1 № |<е‘-
Для областей класса Е при достаточно малых е, еп ... имеет место
следующий
Вариационный принцип. Пусть D (Го, Г) и D (Го, Г) при-
надлежат классу Е, а на множествах и Е разность г (х, у) — z (х, у)
достигает своего абсолютного максимума и минимума, причем эти макси-
мумы и минимумы по величине между собой равны:
max [z0 (х, у) — z (х, у)] = max [z0 (х, у) — z (х, у)] = к.
При этих условиях в точках ЕГ и Е~ будем соответственно иметь
I | | V |, | Vx | | V I, где V и Vx суть скорости потока соответст-
венно для начальной области и проварьированной.
Используя то обстоятельство, что при фиксированном 8Х и при е{,
стремящемся к нулю, движение жидкости будет стремиться к плоско-
параллельному, нетрудно установить, что при е£, достаточно малом в точ-
ках, где дг>/дх будет достигать абсолютного максимума (минимума), этот
максимум (минимум) будет больше (меньше) максимума для dz^/dx (ми-
нимума дал д'^/дх}, скорость потока будет убывать (возрастать).
12. Движение со свободной поверхность о. Простейшей пространствен-
ной задачей типа 1 является следующая задача: при заданной поверх-
ности Го требуется определить поверхность Г так, чтобы при течении жид-
кости в D (Го, Г) во всех точках Г скорость течения V имела бы наперед
заданное значение:
| V | = а> 0.
В такой постановке для однозначности решения требуются дополни-
тельные условия: мы примем, что при х -> —о© направление Vr совпадает
с положительным направлением оси х. Нетрудно заметить, что и этого
условия мало. При z0 (х, у) = 0 в качестве Г можно взять любую цилинд-
рическую поверхность с образующими, параллельными оси х. В тривиаль-
ном случае zi} (х, у) ~ 0 единственность получится, если дополнительно
Припять, что при х -> — z (х, у) -> ср (у) или, например, z (х, у) -* 1.
12 м. А. Лаврентьев
354
III, Дифференциальные уравнения
Трудность построения решения заключается в том, что решение неустой-
чиво: как бы мало ни было 8, можно построить течение z0 (х. у) Q
lim z (х, у) = 1 такое, что
П | V | - 1 | < 8,
а поверхность Г будет отклоняться от плоскости z = 1 в отдельных облас-
тях на У2- В самом деле, положим
т, / \ л । 2 ап?2
Г:2(х, (/) = 1 + -FTT—5-cosi/.
Поверхность Г при любом а, но при х достаточно больших, отклоняется
от плоскости z = 1 при у = пп (п = 1, 2, . . .) больше, чем на V2; с дру-
гой стороны, при а->0 скорость V будет равномерно стремиться к 1,
Этот пример показывает, что при построении решения задачи надо зара-
нее выделить класс таких областей, в котором имела бы место устойчи-
вость. В качестве такого класса можно взять введенный ранее класс Е.
Сформулируем точно теорему единственности, устойчивости и сущест-
вования.
Теорема 8. Пусть дана поверхность
го: Z = z0 (х, у),
удовлетворяющая следующим условиям:
О < z0 (х, у) < z0 (0, 0) = h2; (а)
линии z = zQ (х, к) (к = const) симметричны относительно точки х = 0,
а линии z — Zq (к. у) симметричны относительно точки у = 0 при лю-
бом к\ при любом к эти линии монотонны на каждой из полуосей х > 0,
х 0, у > 0, у < 0; пусть, кроме того
|>|<л .
При этих условиях существует, и притом единственная, поверхность
Г : z = z (х, у), , . .
такая, что
0 < z (х. у) < Ahe~xl~W, lim z (х. у) = h.
' X—>—оо '
причем при течении в D (Го, Г) на Г имеем
IV 1 = 1,
а при х-+ —оо направление скорости совпадает с положительным на-
правлением оси X,
Решение устойчиво в том смысле, чщо если на Г имеем
I IV I - 1,1 <е, , . ;
причем при х-+- —oq направление V совпадает: с положительным направ-
лением оси х. то в классе поверхностей, удовлетворяющих (а) и (Ь), имеем
I * (я, у) — z (х. у) \ < Кг.
где К — некоторая постоянная, аг — сколь угодно малая величина.
IV
МЕХАНИКА
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
32
О ПОСТРОЕНИИ ПОТОКА,
ОБТЕКАЮЩЕГО ДУГУ ЗАДАННОЙ ФОРМЫ*
ПРЕДИСЛОВИЕ
В предлагаемом вниманию читателя выпуске профессор М. А. Лав-
рентьев исследует вопрос об отыскании потока около крыла с произвольно
заданным контуром. Задача эта сводится к некоторому интегральному
уравнению 1-го рода.
В общем виде рассматриваемая задача очень трудна и именно ее труд-
ностью следует объяснить, что в научной литературе в настоящее время
имеются только намеки на возможность ее постановки.
Тем не менее задача эта должна быть поставлена, будет поставлена
и, разумеется, по ее поводу появится еще не одно исследование.
Все известные нам решения задачи об обтекании отдельных дужек
являются лишь обходами общей задачи и могут быть систематизированы
и объединены в одно целое только при условии, если мы, не закрывая
глаз на основную сущность вопроса, научимся мыслить их как частные
случаи общей, рассматриваемой автором в настоящей книге проблемы.
С другой стороны, задача представляет громадный интерес с точки
зрения теории гидравлических машин. Лопатки этих машин работают
в пространственном потоке, что необычайно усложняет их исследование.
Для такого рода потоков делаются неприменимыми все употребляемые
в аэродинамике методы, за исключением метода интегральных уравнений.
Этот последний, однако, остается применимым, являясь, таким образом,
единственным доступным нам средством исследования.
При математическом исследовании интегрального уравнения крыла
сейчас же возникают трудности. Они возникают главным образом бла-
годаря особой точке, которую имеет ядро уравнения в области интегри-
рования. Особенность эта, во-первых, приводит к тому, что интеграл,
входящий в уравнение, является «несобственным интегралом»; во-вторых,
она же создает ряд затруднений при решении интегрального уравнения.
Несмотря на это, автору удалось указать процесс, который приводит
нас к решению, и доказать сходимость процесса.
Процесс, применяемый автором, может показаться несколько громозд-
ким по количеству требуемых им счетных операций. Однако эта громозд-
кость чисто числового характера, самая же сущность приема исключитель-
но проста, и своей прозрачностью он превосходит все применявшиеся до
* М.: Гос. авиац. и автотракт, изд-во, 1932. 53 с. (Тр. ЦАГИ; вып. 118).
12*
356
IV. Механика и математическая физика
сих пор способы решения таких же задач, основывающиеся на примене-
нии символики комплексных функций.
С другой стороны, достаточно познакомиться с сущностью приема,
чтобы убедиться, что количество требуемых им счетных операций не явля-
ется чем-то внешним, зависящим от метода исследования. В самом деле,
количество это происходит прежде всего от большого числа линейных
уравнений и неизвестных, которые приходится определять. Это же боль-
шое число получается оттого, что при решении задачи приходится учи-
тывать координаты каждого элемента крыла, так как положение каждого
элемента оказывает влияние на поток.
Кроме всего указанного, громадное преимущество приема заключа-
ется в том, что он не делается сложнее при переходе к другим более труд-
ным задачам (например, к задаче о параллельной или круговой решетке,
к задаче о пространственном потоке в колесе турбины и т. д.).
Что касается самого крыла, то и здесь прием этот должен применяться
всякий раз, когда нам требуется найти обтекание крыла некоторой на-
перед заданной формы, не выражающейся при помощи простой аналити-
ческой функции.
Такие задачи в технике, разумеется, могут возникнуть. Приветствуя
появление работы профессора А. Лаврентьева, следует выразить по-
желание, чтобы исследование это было продолжено и чтобы была сделана
попытка упростить применение приема, увеличив его сходимость.
Для решения этой задачи имеется много возможностей, и нам представ-
ляется, что результаты окупят потраченные усилия.
С. Чаплыгин
ВВЕДЕНИЕ
П усть в плоскости комплексного переменного z = х + ty дана дуга АВ.
Для большей простоты исследования будем в дальнейшем предпо-
лагать, что АВ есть дуга аналитической кривой. Как известно, задача
построения стационарного плоского потока идеальной несжимаемой жид-
кости, обтекающего дугу АВ, сводится к построению аналитической функ-
ции комплексной переменной z, w = f (z) = ср (x, у) + гф (х, у) (функция
течения), обладающей следующими свойствами.
1. Производная /' (z) однозначна и правильна всюду вне дуги АВ.
2. lim f' (z) = Uoo — iv^a,
г-*оо
где z/оо и z*oo суть данные, слагающие скорость потока в бесконечности соот-
ветственно по оси х и оси у. Не нарушая общности, можно предполагать
v<*> = 0, и это условие записать в форме lim /' (z) = К», где Уоо — ско-
Z-*oo
рость потока в бесконечности.
3. Вдоль дуги АВ функция ф (х, у) постоянна. Это же условие можно
записать в виде ду/дп = 0 или dty/ds = 0, где ду/дп и dty/ds суть произ-
водные по нормали и по касательной к дуге АВ, причем эти производные
должны обращаться в нуль независимо от пути, по которому мы будем
приближаться к точкам дуги А В. (Функции ф и ф в общем случае дву-
значны па дуге А В, их значения на дуге зависят от пути, по которому
точки приближаются к точке дуги. Производные должны быть равны нулю
для каждого из двух значений.)
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы,
>57
4. (Постулат С. А. Чаплыгина.) /' (z) конечна в каждой точке дуги АВ,
кроме, быть может, точки А.
Построен! е функции, обладающей перечисленными свойствами, обыч-
но ведется следующим образом. Прежде всего строится функция
=s+-у+1п
которая, как легко видеть, есть функция течения потока, обтекающего
круг | £| < 1. Затем строится функция
£ = X (z), (0.1)
реализующая конформное отображение внешности дуги АВ на внешность
круга | z | < 1, причем такая, что: а) % (оо) = ос; б) %' (ос) есть положи-
тельное действительное число. Искомую функцию f (z) получим, полагая
w = с [х (z) - + -ST1п [х (*)]] ’ (°-2)
где константы С и К определятся соответственно из условий 2 и 4.
Таким образом, вопрос построения потока, обтекающего дугу любой
формы, сводится к конформному отображению двух областей и тем самым;
принципиально может считаться исчерпанным до конца.
Наряду с этим, когда в технике или при теоретическом исследовании
нужно искомый поток фактически построить, определить подъемную силу,
найти числовое значение скорости потока в заданной точке плоскости,
то вопрос становится чрезвычайно трудным. Дело в том, что известно
очень мало областей, которые можно отобразить на круг функциями прос-
той структуры; методы приближенного конформного отображения раз-
виты также еще очень слабо. Задача становится еще более трудной, когда
является необходимым построить поток, обтекающий две дужки или вооб-
ще систему дужек.
По этой причине при построении и исследовании потоков в настоящее
время весьма часто заменяют ту или иную часть обтекаемой конструкции,
а иногда и всю конструкцию системой вихрей [1].
В настоящей статье мы имеем в виду прежде всего показать, что,
какова бы ни была дуга, всегда можно, с любой наперед заданной степенью
точности, определить поток, обтекающий дугу, заменяя эту дугу конеч-
ной системой вихрей, расположенных на данной дуге. Кроме того, мы
делаем первую попытку дать общий метод определения этих вихрей и ус-
танавливаем ту степень точности, с которой построенный этим методом
поток приближается к искомому потоку.
Мы ограничиваемся здесь исследованием простейшего случая обте-
кания одной дуги безвихревым потоком и лишь в заключении указываем,
каким образом этот метод распространяется в следующих более общих
случаях:
а) обтекание области;
Ь) обтекание системы дуг, системы областей;
с) построение потока в предположении, что около передних концов
обтекаемых дуг в потоке имеются вихри (такие потоки в применении к тео-
рии крыла аэроплана были впервые рассмотрены Н. Е. Жуковским).
Как сама тема исследования, так и его отправная точка (интегральное
Уравнение (2.12)) были намечены П. А. Вальтером.
358
IV. Механика и математическая физика
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ОЦЕНКИ
ДЛЯ ФУНКЦИИ ТЕЧЕНИЯ
1. Пусть в плоскости комплексного переменного дана простая дуга
АВ, принадлежащая аналитической кривой:
х = х («), у = у (Ц, [х'2 (i) + у'2 (t) > 0J.
Не нарушая общности, будем предполагать, что, когда параметр t из-
меняется от —2 до +2, соответствующая точка (х, у) перемещается из А
в В.
Обозначим через w = %(z) функцию, реализующую конформное отоб-
ражение внешности дуги АВ на внешность круга х(оо) = оо.
Нашей ближайшей целью будет изучить поведение функции % (и) вдоль
дуги 4J5. Для этого введем вспомогательное комплексное переменное £ =
= £ + rq и в плоскости £ строим функцию
Z^x(Z) + iy(Q (1-1)
В силу аналитичности функций х (0 и у (t) построенная функция будет
правильна в каждой точке отрезка (—2, 4-2) действительной оси, следова-
тельно, будет также правильна в некоторой области, содержащей этот от-
резок. В силу построения, когда £ пробегает указанный отрезок, точка z
опишет дугу АВ. Кроме того, в силу условия х'2 4~ у'2 > 0 функция ф
будет унивалентна внутри некоторой области, содержащей отрезок (-—2,
4-2), и будет, следовательно, реализовать конформное отображение этой
области на некоторую область, содержащую дугу АВ.
Обозначим через а минимум модуля производной | ф' (£) |, когда £
принадлежит отрезку (—2, +2).
Построим теперь семейство софокусных эллипсов Нг:
? < ч2 -1
(г 4- 1/г)2 1 (г — 1/г)2 ’
где г — параметр, 1 < г. При г = 1 семейство вырождается в отрезок (—2,
+2), следовательно, в силу предыдущего, существует число г0 1 такое,
что функция ф (£) будет правильна и унивалентна внутри эллипса НТ9.
Примем за г0 наибольшее число, обладающее этим свойством. Число г0,
очевидно, зависит от коэффициентов разложения функций х (t) и у (0;
дать эту зависимость в конечной форме нам кажется задачей большой труд-
ности, и мы ограничимся здесь лишь указанием, как эта задача решается,
если х (t) и у (t) суть полиномы. Итак, пусть
2 = X 4- iy = Р (£, ц) 4“ iQ (£, п),
где Р и Q суть полиномы.
Напишем уравнение эллипса в параметрической форме:
£ / 1 \ 1 — т2 / 1 \ 2т (
g = (г Н--у——г ц = (г--—л- , — оо <4 т + оо.
\ г / 1 4- т2 ’ 1 \ г / 1 4- т
В таком случае, когда £ описывает эллипс, точка z опишет кривую СТ\
х=р [4 + 4-) 4^ 4- 4- ’т4М = лх
9 = 9[(г + а)4^,
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
359
Условие, необходимое и достаточное для унивалентности функции ф (£)
внутри эллипса НТ, состоит в том, чтобы кривая Ст была без кратных то-
чек, следовательно, наша задача приводится к тому, чтобы найти верхнюю
границу чисел г таких, что система уравнений
R1 (Ti> r)I— R1 Сч» г) = О, Д2 (тх, г) — Т?2 (т2, г) = о,
(при фиксированном г) не имеет решений, отличных от = т2. Деля ле-
вые части обоих уравнений на — т2 и обозначая результаты деления че-
рез Рг (тх, т2, г) и Р2 (тр т2, г), мы приводим нашу задачу окончательно
к чисто алгебраической задаче, а именно найти верхнюю границу значе-
ний г, при которых система
Pi Ob Ь, г) = °, р2 (Tv г) = °,
не имеет действительных корней.
Отобразим, наконец, конформно внешность круга | w | < 1 на внеш-
ность отрезка (—2, +2) плоскости £:
£ = W + 1/Ж. (1.2)
1
360 IV» Механика и математическая физика
-------- * 1 _ ---------------------------------------------------------
При этом отображении легко видеть, что эллипс НГо с выброшенным отрез-
ком (—2, +2) перейдет в кольцо D2\
1 < I W | < г0.
Таким образом, в силу свойств соотношений (0.1), (1.1) и (1.2), функция
w = ц (РИ) = % [ф (W + 1/W)], (1.3)
реализует конформное отображение области Dr на кольцо П2. Кроме того,
имеем
I Н(^ф) I = 1- (1.4)
Следовательно, в силу принципа Шварца функция р, (VF) может быть ана-
литически продолжена внутрь круга | W | < 1 и будет при
l/Го < I w I < г0
правильна и унивалентна.
Отсюда, пользуясь соотношением (1.4), можно установить следующее
важное для наших целей неравенство:
/ 2лг К \ К
sn ( 2 In Го + ~ ) — SB "у
2ш К \ К
К 2 1п г0 + 9 ) — sn 2
К \ / 2Ш , К \ К
1 — 2 sn -у ) Sil ( z In Го + -у J -f- sn -у
где А, К, К' суть функции г0, определенные следующими соотношениями:
пК' ~ К\п
dq)
/ 1-/Т — k2 sin2 ф
сйр
у/ 1 — Р sin2 <р
/ 2ш К \ К
sn lnro-4-— J~sn^
К \ / 2я/ , К \ К
1 — 2 sn — ) sn (у- In r0 4- — ) 4 sn —
и где через sn и обозначается синус-амплитуда и. Знаки равенства дости-
гаются, когда
/ 2ш
sn уу W In г0 -|
А \ / 2ш , К \ К
1 — 2 sn — ) sn \ W In r0 -t- — ) J - sn —
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
36$
Из второй части неравенства, пользуясь теоремой Бибербаха [2J, по>-
лучаем оценку для | ц" (е1®) |:
Применение теоремы возможно, так как р (ш) правильна и унивалентнаг
во всяком круге с центром в точке 0 ср < 2л, и радиуса 1 — 1/г0^
Следовательно:
4Л1Г0
Го— 1 •
В общем случае
А±епп\ г£-1
p<”)(ew) <----------^Ьг-
(г0 — 1)” *
„(») (е«₽\
Таким образом, полагая ап — *—- , получим
р, (И7) = а0 + аг (W - ei<s>) + a2(W — е^)2 + . . .,
причем
| а01 = 1 и | ап | < -ie”r° .
1 01 1 ”1 (гй - I)”’1
Заметив это, можем теперь с достаточной точностью охарактеризовать.
поведение функции % (z) вдоль линии АВ. В самом деле, обозначив через
ф (z) функцию, обратную функции ф (£), в силу соотношений (0.1), (1.1),
(1.2) и (1.3) получим
X(s) = H
— If.
(1-5)
В этом равенстве слева — функция, подлежащая изучению; все функции
справа хорошо известны.
Пусть точки А и В изображаются числами и z2. Пользуясь разложе-
нием функции р и предполагая, что z принадлежит дуге АВ и мало отли-
чается от zx или от z2, получим
/ \ ( ф (z) \ । / ( ф (z) Г ф2 (z) л Т/2 ।
1] +
, 1 ф(2) 'i Г Ф“(2) <1 । 1 ( ф(2) 'i Г Фа(г) <1 1
+ ~Н~2—Я-4---------------Ч^ТЗ^ V~2/L~4-----------------^ + ---
Воспользовавшись разложениями функции ф вблизи z = zx и z — z2:
Ф (z) = —2 — Pl (z — zx) + . . ., Ф (z) = 2 + p2 (z — z2) + . . .,
и вставляя их в полученное выражение для % (z), мы придем к следующе-
му, нужному нам в дальнейшем, представлению изучаемой функции:
R3H/// /._ м
X (2) = Р1Н' (— 1) (Z — 4----------(Z — zj’^ +
В3цЛ (1)
+ РгН' (1) (2 — z2),/2 + 22-3 (z — г2)3/з + Хо (г),
(1-6)
362
IV. Механика и математическая физика
где Хо (2) обладает вдоль А В непрерывными производными 1-го и 2-го
порядка, а интеграл от модуля третьей производной, взятый вдоль АВ,
конечен. Пользуясь соотношением (1.5) и оценками для функции р, (РИ)
и ее производных, можно определить максимальные значения | %о (z) |,
I X» (2) I И , .
r-Hi
1 Р
у= } I Хо (z) | I dz | (0 < г < I, 0 < + г + h < I)
в зависимости от коэффициентов разложения ф (£); вычислять эти конс-
танты имеет смысл, конечно, только при конкретно заданной дуге АВ.
Формулу (1.6) и правила для получения оценок для модулей производных
функции (z) можно получить, отправляясь от существенно иного прин-
ципа, чем тот, который был изложен здесь. В силу этого иного принципа
можно не делать гипотезы аналитичности АВ и получать нужные оценки,
рассматривая лишь кривизну АВ и две первые производные кривизны по
дуге. Мы не привели здесь этих приемов ввиду их большой принципиаль-
ной громоздкости.
Для дальнейшего нам будет удобно придать соотношению (1.6) также
следующий вид:
X (z) = (z — zx)*/» (z — z2) (z), (1.7)
где %2 (z) непрерывна вместе co своей производной вдоль дуги АВ и ее мо-
дуль, на основании предыдущего, может быть оценен сверху и снизу.
Отсюда для точек z, близких к АВ,
1<|z-2j||z-z2| < । * (z) | < ^=====у . (1.8)
Когда z принадлежит дуге АВ,
-r^= < IX' (2) I < > (1 -9)
V s (I —S) |/ S (I — s)
где Сг, С2 суть константы и 5 — длина дуги, принадлежащей АВ и заклю-
ченной между точками А и z.
Обозначая через z = %х (£) функцию, обратную функции % (z), вполне
аналогично получим
Х1 (0 = (С — Со)2 (С — С1)2 %3 (€),
С3 I ф — Фо I I ф — Ф1 I < I Xi (е<ф) I < Сч I Ф — Фо I I Ф — Ф1 I, (I-10)
где £о = Si = Дуги окружности ф0, <р, фх предполагаются из-
меренными так, что | ф — фо I < л, | ф — фх | < л.
Замечая, что £0 и £х суть точки, соответствующие точкам Л и В, и ин-
тегрируя неравенство (1.9), найдем
С1Л < | фх — фо | < СзЛ.
Обозначая через $2 ДУГУ, соответствующую точке £х, аналогично най-
дем
Н — S2 I > С3 5 I Ф — Фо I I Ф — Ф1 I dtp = С3. (1.11)
Фо
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
363
2. Пусть w = / (z) есть функция течения для потока, обтекающего ду-
гу АВ. Положим, что F (z) = f (z) — Foo. Нашей ближайшей задачей бу-
дет выявить, пользуясь соотношением (1.6), поведение функции F (z) на
дуге АВ. В силу (0.2) имеем
,(2)-К«2 = С [х(г)+-^] + -g]nX(z)-Foo2, (1.12)
где
С =
IX' (о°)Г
и где [3]
| К | < 4лС.
Дифференцируя соотношение (1.12), получим
F(z) = lc(l— *?) + -*L-|x'(z) — Voo- (1.13)
v 7 l \ x2(2)/ 2jtx(2)J л ' 7 v 7
С одной стороны, в силу соотношения (1.6) и условия | % (z)| = 1 (ког-
да z принадлежит дуге), имеем
с(1~7^+ та - <* - ’J”'- + А (* - +
4- А3 (z — 21) + Х2 (г), (1.14)
где А2 и А3 суть константы, для которых могут быть найдены оценки,
и где %2 (z) есть функция, обладающая при z =^= z2 непрерывной производ-
ной и интегрируемой второй производной.
С другой стороны, в силу тех же соображений и постулата С. А. Чап-
лыгина
* S(1-7w) + 2"ra = s=<z“2j‘', + Bi(z“2i) + x’w’ (1Л5)
где Хз (z) обладает при z =/= zx теми же свойствами, что и %2 (z). Вставим
в соотношение (1.13) вместо фигурных скобок их значения из (1.14), (1.15).
Заменяя %' (z) из (1.6), получаем следующее предложение.
Если w = f (z) есть функция течения, обтекающего аналитическую ду-
гу АВ при заданной скорости в бесконечности К», то функция F (z) =
= /' (z) — Foo, характеризующая распределение абсолютных скоростей
потока, имеет следующую структуру:
F (г) = Vi (г — 21)-1/* + ?2 (z — 21)‘/г + Тз (z — гг)*/« + Vi (г), (1.16)
где vx (z) непрерывна вместе со своей производной вдоль АВ и такова, что
каждая из двух последовательностей значений vx (z) {двузначность функ-
ции vx (z) вдоль АВ обусловлена, очевидно, тем, что обтекаемая дуга есть
линия разрыва скоростей) удовлетворяет вдоль дуги АВ следующим нера-
венствам:
I V1 (z) I < 74, I (z) I <
r+h
~4= \ ]vj(2)| |dz|< T6. (1.17)
V I'M "
Для чисел vx, • • ч Ye силУ (1-6) могут быть найдены оценки.
364
IV. Механика и математическая физика
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ П. А. ВАЛЬТЕРА
3. В настоящем параграфе мы имеем в виду прежде всего показать воз-
можность замены обтекаемой дуги системой вихрей и затем репродуциро-
вать задачу построения потока к решению некоторого интегрального урав-
нения.
Сохраняя принятые выше обозначения, обозначим, кроме того, через I
длину дуги АВ и через s расстояние от точки А до произвольной точки ду-
ги АВ, измеренное по дуге. Пусть далее п есть единичный вектор, нор-
мальный к АВ и направленный так, что вектор п, повернутый по часам
на угол л/2, совпадает с касательным вектором t, направленным в сторону
возрастания $. Обозначим, наконец, через (t) или F_ (t) соответственно
предельные значения F (z), когда z стремится к точке t дуги АВ в направ-
лении, противоположном п или совпадающем с п.
Заметив теперь, что функция F (0 в бесконечно удаленной точке плос-
кости регулярна и обращается в нуль, можно, применяя формулу Коши,
написать:
= <2Л)
AB
Займемся выражением [F+ (t) — F_ (0] dt. В силу основного свойства
функции течения радиусы-векторы f+ (0_и (0 суть векторы, направлен-
ные по касательной к дуге АВ. (Через / (0 обозначаем функцию, сопря-
женную / (0, а радиус-вектор z ~ х + 1у есть вектор с компонентами х
и у.} Следовательно, радиус-вектор
Л (0-Л (0 =7И0-Г-(0
направлен также по касательной к дуге АВ. Таким образом, если
dt = e^ds,
где тЭ’ — угол, образованный вектором t, с осью х, то
. F+ (0 - F_ (t) = ± | F+ (0 - F_ (0 |
(знак «+» — в случае, когда эта разность положительна, и знак «—», ког-
да эта разность отрицательна, см. теорему 1), откуда окончательно можно
положить
{F+ (0 - F_ (0} dt=T (0 ds,
где Т (0 есть действительная функция переменного 5:
T(s) = ±\ F+ (i) - F_ (/) Р
(знак «+» — в случае, когда эта разность положительна, и знак «—», ког-
да эта разность отрицательна, см. теорему 1). Отсюда, пользуясь (2.1), по-
лучим
i
F (z) -= — С т & ds- , (2.2)
' ’ 2ni J t (s) — z ’ v
0
где t (s) = x (s) + iy (s'), если x = x (s) и у = у (s), есть уравнение кривой
АВ.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
365
Правую часть формулы (2.2) можно механически интегрировать как
сумму бесконечно большого числа бесконечно малых вихрей и, в соответ-
ствии с этим, функцию Т (s) можно представлять себе как плотность вих-
рей в точке 5. По этой причине функцию Т (s) будем в дальнейшем назы-
вать «вихревой функцией».
В дополнение к этому установим следующее почти очевидное предло-
жение.
Теорема 1. Вихревая функция при произвольном значении аргу-
мента $, 0 s <1 Z, равна разности между скоростями в точке обтекае-
мой дуги соответственно с одной и другой стороны этой дуги. Скорость
считается со знаком «~г», если имеет то же направление, что и векРгор t,
и со знаком «—» при направлении противоположном.
В самом деле,
Т (s) = \(F+ (t) + Too) - (F_ (Z) + V»)] e^,
где каждая из круглых скобок справа есть скорость потока в точке t (5),
соответственно по одну и по другую сторону дуги, следовательно,
т (s) = v+ t — v_-t = v¥ —
-что и доказывает теорему.
Пользуясь соотношениями (1.16) и (1.17), можно немедленно выявить
структуру функции Т (5):
Т (s) = —ЧМ ± 2 I ?2 I S ± 2 I Тз I У+ v2 (s), (2.3)
l/s
где v2 (5) удовлетворяет неравенствам, аналогичным (1.17). (Вставлять
2 | | . . . мы имеем право, так как два вектора F+ (z) и ± ух (z —
— zx)“,/2 • . . обязаны при z —> zt иметь одинаковое направление.) Для
дальнейшего будет существенно, если мы формуле (2.3) придадим несколь-
ко иной вид. Для этой цели покажем, что
lim Гг<«)-- 21Д11 = 0, Г (0 = 0. (2.4)
*•—>0 L i/s J
В самом деле, равенство нулю Т (Z) вытекает непосредственно из не-
прерывности функции F (z) при z = z2. Предельное соотношение имеет
место, так как в силу предыдущего в окрестности точки z ~ zx функция
F (z) имеет вид:
F (z) = Yj (z — Zj)-’^ 4- v ?2 (z _ Z1)*A + . . .,
где все не выписанные члены при z = zx обращаются в нуль и где у есть
константа. Отсюда
Т (s) =г- -101 =± \F, (0 - F_ (0 + 2Т1 (t - z^ |=± | у.г (z - .4
J/S
что и доказывает высказанное утверждение. Пользуясь этим, можно соот-
ношению (2.3) придать вид
Т (s) = а± (0±)1/2 + «2 У s (Z — s) + а3 (з — ]<8 (Z — s) + v (s), (2.5)
1
366
IV. Механика и математическая физика
где положено:
а. = ±2 | 71 | Г\ а2 = =Ь2 (| у2 Ц+ | у3 I ) =F I Ti I
а3 = ±2(| Ъ | - |у2 |) Z-V2=p3 |V1 | Z-54
и где в силу (1.17) и (2.4):
(2.6)
I v(0) = v(Z) = О
Новые константы а могут быть, очевидно, без труда оценены при помо-
щи прежних констант у*.
4. Формулы (2.2), (2.5) и (2.6) позволят сейчас без труда решить пер-
вую поставленную задачу.
Теорема 2. Поток, обтекающий дугу наперед заданной формы
и имеющий в бесконечности заданную скорость, может быть представлен
с любой, какой угодно высокой степенью точности в виде поступательного
потока и системы вихрей, расположенных на обтекаемой дуге.
Более точно, как бы велико ни было целое число п, можно всегда по-
добрать п действительных чисел Кг, К2, . . ., Кп таких, что
F(z) — V <——, (2.7)
v 7 2л t — z Г1Г2п v 7
W=1 т
где точки tr, t2, . . ., tn расположены на дуге АВ и делят эту дугу на п
равных частей (Zx = zj; — кратчайшее расстояние от z до дуги АВ;
г2 = | z — % | и М есть константа, которая зависит только от вида дуги
и которая может быть определена на основе формул (2.5) и (2.6).
Заметим прежде всего, что качественная сторона теоремы получается
непосредственным приложением, например, формулы трапеций к интегра-
лу (2.2), но получаемое при этом приближение будет, как легко видеть,
порядка 1/|/пг. Для доказательства формулы (2.7) преобразуем формулу
(2.5) в следующий вид:
Т («) = Т\ (s)l]Ts,
для чего, очевидно, достаточно положить
Л ($) = Vl — s + CL2s Vl — S + а3$ (s — 1/2) У I — s + V (s) Vs.
Подставляя найденное выражение для Т (s) в формулу (2.2) и проделывая
алгебраические преобразования, получим
F(z\ = ~ { Г] ds = 1 ( 1 С (s)
2лг J t (s) — z 2ni |zj — z J
; zi — tjsj
0
(2.8)
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
367
Так как t (s) — z± при s = 0 имеет нуль 1-го порядка, то функция,
стоящая под знаком 2-го интеграла, обладает следующими свойствами:
а) она непрерывна; Ь) в концах интервала интеграции обращается в нуль
и с) производная непрерывна, кроме точек s = 0 и s = I, где она обращает-
ся в бесконечность порядка 1/)/"$ и l/]f I — s. Следовательно, применяя
к этому интегралу формулу трапеций и замечая, что | z — z± | = г2
и | t (s) — z | получим
*1 — t (s)
где sm =—l. Разлагая теперь каждую дробь -------------гт—— ----.
n (Z] Z) [Г (Sm) 2j
М
гр\п ’
(2-9)
на эле-
ментарные:
— t (sm) _ 1______________1_
(S1 — z) [* (sm) — z] “ t (sn?) — z : z3 — z ’
получим
1
20 «.
0
Z1 — t (s)
Vs ds = V ____________________
t(3)-z Zj nySm
lT> 1
1 Vljr’(sTO) „
— / , —+-nn*
(2.10)
где
Af
Г1Г2П
Вставляя интеграл из (2.10) в (2.8), окончательно получим
п
Z1 -- Z
T (s) ds
, i V^(*w) 1
+ 2л 4j n t (sm) — z
4- Rn-
Замечание. Рассматривая формулу (2.7) и анализируя погреш-
ность, выявляемую неравенством (2.9), легко видеть следующее:
а) поток, набранный из вихрей, отклоняется от истинного потока боль-
ше всего вблизи точки А ;
Ъ) наибольшая погрешность при замене интеграла конечной суммой
получается в концах дуги АВ. Отсюда естественно, что при практическом
применении метода замены обтекаемой дуги системой вихрей целесообраз-
но эти вихри расположить неравномерно: наиболее густо вблизи точек А
и В, так как такое распределение увеличивает точность приближения в ок-
ружающем пространстве и дает более равномерное распределение погреш-
ности.
5. В силу формулы (2.2) для построения потока, обтекающего дугу АВ,
достаточно знать функцию Т (s). Покажем, что задача определения Т (s},
'Сводится к решению некоторого интегрального уравнения 1-го рода.
Для этой цели докажем предварительно следующую лемму.
368
IV. Механика и математическая физика
Лемм а. Сохраняя принятые выше обозначения, имеем
i =i{F*[! W1 + e-[! (2Л1’
при любом значении s0, 0 < s0 I.
Интеграл в этой формуле есть так называемый «особый интеграл» —
подынтегральная функция в интервале интеграции имеет полюс 1-го по-
рядка, и интеграл в смысле Коши не существует. Как это принято, мы по-
лагаем
i
С f (s) ds
J t(s) — t (s0)
о
0 Se-r-8
В самом деле, пусть t0 — t (s0). Обозначим через Л' и В' точки пересе-
чения дуги АВ с окружностью | z — tQ | = р и пусть С есть граница об-
ласти, состоящая из дуг АА', ВВ' (обтекаемой дуги АВ) и из окружности
| z — to | = р. Так как функция F (z) правильна всюду вне дуги АВ и в
бесконечности обращается в нуль, имеем|
1 С F (z) dz_q
2т J z — t0
c
Следовательно, разбивая контур интеграции на три части, замечая, что
вдоль каждой из дуг А А' и ВВ' приходится интегрировать дважды, и на-
конец, принимая во внимание (2.2), получим
s0~P-£i I 2Л
1 с т (*) ds , 1 е т (s) ds_________________£_ е _
2ni J t (s) —t0 2ш J t (s) — tQ 2m J ’
о So+P+e2 о
где £j > Ои 82 /> 0 суть бесконечно малые высшего порядка по сравне-
нию с р.
Имея в виду определение «особого интеграла», получим
z %-р
1 Р T(s)ds _ b f 1 С T(s)ds ,
2ni J t(s) — t(s0) o-ol2jxZ J — t(s2)
0 . ‘ so—P—E,
fo+P4-£2- 2Л
f,+P ' 0
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
369
Замечая, что
®0~Р
So+P^+c»
So-bP
s.-P
T(^ds l<lim С 1Г (*)<**!
J Р
So—р—81
= lim | Т (s0) |-^-= О,
p-м» н
lim
р—*о
Т (s)'ds
t(s) — t (s0)
limT(So)^- = O,
p—>0
и что
lim F (t0 4- peie) = F± (t0),
p—о
где знак «+» или «—» зависит от того, будет ли угол, образованный ра-
диусом-вектором eiQ с касательным в точке tQ к дуге АВ вектором t, мень-
ше или больше л; окончательно получим
t(s)~t7T) = (*»> + F-
0
Перейдем теперь к выводу интегрального уравнения для вихревой
функции Т ($).
Теорема 3. Вихревая функция Т ($) удовлетворяет следующему
интегральному уравнению 1-го рода:
i
(s)ds = _yooSin^ (2.12)
о
где г = \ t (s) — t (s0) |, о = a (s, s0) есть угол, образованный вектором
Z (s0) — t (s) с вектором t, касательным в точке t (s0) к дуге AB, и 'O' = Ф (s0)
есть угол, образованный вектором t с осью х. (Это уравнение было впервые
получено П. А. Вальтером. Интеграл в левой части рассматривается как
особый.)
Для доказательства запишем прежде всего соотношение (2.11) в сле-
дующей форме:
$ tnriXs = 4[< М + Г- [< (»«)!!. <213)
V ut уо у tfr \^0/
п спроектируем радиусы-векторы, изображаемые левой и правой частями
равенства (2.13), на нормальный к дуге АВ в точке t (sQ) вектор п.
Как легко видеть геометрически, угол, образованный радиусом-векто-
ром с вектором п, равен о (s, s0); следовательно, проекция
левой части будет равна
i i
1 С Т cos о Я — 1 С cos ° н
2л J р ($) — t (s0) | 5 2л J г S'
о о
< дссь, очевидно, мы воспользовались известным предложением о том, что
пр ci I ия интеграла равна интегралу проекции. То обстоятельство, что
370
IV, Механика и математическая физика
интеграл особый (подынтегральная функция имеет полюс), правильности
предложения не нарушает, в чем легко убедиться, рассматривая особый
интеграл как предел двух интегралов.
Мы получаем, таким образом, левую часть искомой формулы (2.12).
Найдем теперь проекцию правой части. В силу определения функции
F (z) радиус-вектор F* [t (s0)] есть скорость потока в точке t (s0) дуги АВ
минус скорость потока в бесконечности К», но так как скорость потока
в каждой точке дуги АВ направлена по касательной, то, следовательно,
искомая проекция равна проекции скорости Уо© на нормаль п, взятой
с обратным знаком. Принимая за угол й1 угол, на который нужно повер-
нуть, вращая по часовой стрелке, вектор t (s) — t ($0) до совпадения с по-
ложительным направлением оси х, мы получим для проекции правой части
правую часть формулы (2.12).
6. В заключение этого параграфа дадим формулы, позволяющие по
вихревой функции определить распределение скоростей и давлений вдоль
обтекаемого контура.
Для этой цели представим правую часть соотношения (2.13) в следую-
щем виде:
*/2 1У+ ($0) + V_ ($0)] — Уоо,
где положено
($о) ^0 М 1^00»
радиус-вектор v+ ($0) есть, очевидно, вектор скорости потока в точке t (sQ)
дуги АВ соответственно с положительной и отрицательной сторон этой
Дуги.
Спроектируем теперь левую часть и преобразованную правую часть
(2.13) на касательный вектор t и обозначим через ($0) проекцию v± ($0)
на t, тогда вполне аналогично предыдущему получим
i
1 С si£_a Т ds = -^- {v+ (s0) + v_ (s0)} — Foo COS ft. (2.14)
^iJL V Г A
0
Производя перегруппировку членов и записывая теорему 1 в виде фор-
мулы, окончательно получим
i
V+(s0)+ V_(So) = 4'$2 * *V2'7,^</s_2FooCOS^(s’)’ <2J5)
О
v+ (s0) - V_ (s0) = T (s0).| (2.16)
.Эти формулы могут служить для определения скоростей, а также, в си-
лу формулы Бернулли, для определения давлений.
Из формул (2.15), (2.16) и (2.12) можно очень просто получить извест-
ную теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе дуги.
Теорема Н. Е. Жуковского. Подъемная сила дуги про-
порциональна циркуляции скорости около дуги, причем коэффициент про-
порциональности равен произведению плотности на скорость потока
в бесконечности.
32, О построении потока, обтекающего дугу заданной формы 371
Для доказательства обозначим^ через Р+ ($) и Р_ (s) соответственно дав-
ления в точке обтекаемой дуги при подходе к точке с положительной и от-
рицательной сторон дуги. При этих обозначениях искомая подъемная
сила Ру будет
i
Ру = § [Р_ ($) — Р+ ($)] cos ft ds,
о
или, в силу формулы Бернулли,
i
У-> cosi&ds-
О
Перемножая соотношения (2.15) и (2.16) и подставляя в Ру вместо
(У+ — У?.) найденное выражение, получим
= Т {v $ $ Т (s) Т (t) ds dt + 2VOO J T (s) cos2 Ф (s) ds}.
0 0 0
Отсюда, заменяя cos2 ft по формуле cos2 'ft = 1 — sin2 ft и затем заме-
няя Foo sin# по формуле (2.12), получаем
= P^oo $ T (s)ds'j+ ± J jj T (s) T (i) ds dt.
0 0 0
Таким образом, остается показать, что двойной интеграл обращается
в нуль. В силу геометрического смысла о и д имеем
'fl (s) + a (£, s) = о (s, t) + 'fl' (t) + л.
Кроме того, очевидно:
Г (s, t) = Г (/, 5).
Следовательно,
sin [о (t, s) + fl (s)] __sin [о (s, Q + (*)]
r (^, t) r (s, t)
Отсюда:
$ J T T dg dt = 0
Итак, окончательно:
i
Py = pvJ^T (s)ds, (2.17)
0
что и составляет теорему Н. Е. Жуковского.
Вполне аналогично по формулам (2.15), (2.16) и (2.12) можно показать,
что лобовое сопротивление равно нулю.
В настоящей статье мы с самого начала ограничили исследование рас-
смотрением обтекания простой дуги (дуги, не ограничивающей площади).
1
372
IV. Механика и математическая физика
Таким образом, приведенное доказательство дает теорему Н. Е. Жуковско-
го только для рассматриваемых простых дуг. В заключении мы укажем,
как развиваемые здесь методы могут автоматически, в силу некоторых
свойств аналитических функций, распространяться на более общие случаи.
§ 3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Основной целью всего дальнейшего является дать метод приближенно'
го решения интегрального уравнения (2.12). Этот параграф мы посвящаем
серии вспомогательных предложений, которыми нам придется существен-
но воспользоваться при изложении метода.
7. Для простоты изложения введем одно определение и некоторые обо-
значения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Всякий полигон:
У = П (х),
мы будем называть правильным^ если будут выполнены следующие усло-
вия:
а) уравнение полигона:
У = П (х),
есть однозначная функция ж;
Ь) П (0) = П (Z) = 0;
с) проекции угловых точек полигона на ось х делят отрезок (0, I) нэ
равные части.
Условимся обозначать через абсциссу г-угловой точки,
si "*С si + 14
а через kt угловой коэффициент i-го звена.
Лемма 1. Пусть в интервале (0, I) задана функция
у = и (я), v (0) = v (I) = 0,
непрерывная вместе с ее двумя первыми производными* Обозначая через
у =П(х)
правильный полигон с п звеньями, вписанный в данную кривую,
У = v (х),
имеем
71 — 1 I
у - *i)2 < 4 $v"2 wdx- (ЗЛ)
2=1 0
Для доказательства решим предварительно следующую вариационную
задачу. В плоскости хОу даны два прямолинейных отрезка АВ и ВС с об-
щей точкой В и таких, что их проекции на ось х имеют одну общую точку
и каждая из этих проекций по длине Ип\ требуется найти минимум
j f"2 (х) dx, если кривые у = / (х) (f (х), f (х) и /" (х) непрерывны) в кон-
цах касаются соответственно отрезка АВ и отрезка ВС.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
373
Обозначим через кх и к2 угловые коэффициенты прямых АВ и ВС, че-
рез а абсциссу точки В, и пусть абсциссы концов искомой кривой будут
а — QJ/п и а + 02^М в силу условия задачи:
О < 0! < 1, 0 < 02 < 1.
Определим теперь кривую, дающую минимум интегралу:
I = Г2 (.г) dz,
а--------
и
при условиях, что у = f (х) касается АВ и ВС соответственно в точках
с абсциссами:
При этих условиях мы имеем простейшую задачу вариационного ис-
числения. Уравнение Эйлера нам дает:
Z/(I > = О,
следовательно:
у =- агх3 + а2х2 + а3х + а4.
Определяя константы из начальных условий и подставляя найденное
выражение искомой функции под знак интеграла, получим
4 — кл)2п 9 о
(Qi-QA + e!)-
Это есть минимум интеграла при фиксированных точках касания. Мож-
но легко обнаружить, что найденная кривая удовлетворяет и достаточно-
му условию для минимума. Для окончательного решения вариационной
задачи достаточно при условиях:
О < 0, < 1, 0 < 02 < 1,
найти минимум I, рассматриваемого как функция 0Х и 02.
Вычисляя
!д! д!
50, и 502 ’
получаем
д[ = Цк^ — к'^п (202_0j)2
<501 ~ I (01+02)4 < ’
д! _ 4(4;' —fc')2n (20i — 02)2
502 I (014-02)4
Следовательно, минимум достигается при 0г = 0а = 1.
Таким образом, абсолютный минимум рассматриваемого интеграла ра-
вен
21
374
IV. Механика и математическая физика
Перейдем к доказательству леммы. Покажем, что
si+2
v"2(x) dx^-^- (*i+2 — £i+1)2.
s.
I
В самом деле, пусть Ah Ai+1, АН2 суть угловые точки полигона с абсцис-
сами St, si+1, si+2. Не нарушая общности, допустим, что ki+2 J> ki+1. В си-
лу того, что кривая у = v (х) проходит через точки Ah Ai+1, Л^2, на от-
резке (Ai, Ai+1) существует точка А, принадлежащая кривой у = v (х),
такая, что угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке будет
меньше, чем ki+1, и на отрезке (Af+1, Лг+2) существует точка С, принадле-
жащая кривой у = v (х), такая, что угловой коэффициент касательной
к кривой в этой точке будет больше, чем ki+2. Обозначим через В точку
пересечения этих касательных и через ki, k2 их угловые коэффициенты.
Имеем
(fcf+2 — А^+1)2 < (k'2 — ki)2;
кроме того, в силу построения, проекции АВ и ВС на ось х меньше 1/п
и абсцисса В заключена между абсциссами А и С; следовательно, поль-
зуясь решением вариационной задачи, имеем
si+2
jj v"2(.r) dx > -J- (кг - к[)2 > (ki+2 - ki+1)2.
s.
I
Отсюда, считая s0 = 0 и sn = Z, окончательно имеем]
I n~~2 n—2
v"2 (x) dx > -i- v"2 (*) dx > -J- V (fci+2 — fc{+1)2.
0 i=o S. 2=1
Лемма 2. Пусть у = П (х) есть правильный полигон с п звеньями,-
такой, что
£(^+1-^)2<4’
2=1 1
где М — константа. При этих условиях | kt | < ]/”М- В самом деле,
имеем
2(1 ki+1 - ki | + X)2 = Z(ki+1 - kt)2 + 2X2 | kH1 - |-+ K2n > 0.
Следовательно, в силу условия]
2 | ki+l - ki\ < Уn2 (ki+1 - k^2 < /М.
Но в силу правильности полигона: П (0) — П (Z) = 0 — среди чисел ki
существует по крайней мере одно положительное и одно отрицательное.
Пусть fcv< 0 и Ау 0, имеем
]/ М 3 I ^i+l | 3 | +1 |
I ^2 1-1 - ^2 I V *
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
375
8. Перейдем ко второй группе вспомогательных предложений, касаю-
щихся некоторых свойств особого интеграла.
Лемма 3. Пусть даны ограниченная функция К (s, t), | К (s, t) | <
< М, и непрерывная вместе с ее двумя первыми производными функция
r^rh
§ \f'(x)\dx<^dY\h\,
где а — данное положительное число, г и h суть произвольные числа:
О <1 г I, 0 г + h I.
Обозначим через П (5) функцию, определенную при 0 х <; I и изображае-
мую полигоном со следующими свойствами: а) концы полигона и все его уг-
ловые точки принадлежат кривой у = f (s) и Ъ) абсцисса k-й угловой точки
равна sK = kAs (к = 1, 2, . . ., п), где ks = l/п. При этих условиях имеем
I С у (s) ds -Л п (s) ds 1<2/Иа(2 + lnn)As’/«. (3.2)
I J 5 — sk s~~sk ‘
о 0
Для доказательства заметим, что, в силу принятых гипотез, при
m\s <s < (т + 1) As
имеем
| / (s) - П (s) I < I s - sm I I f (9) - П' (9) I,
где
sm ® < sm
а также при
(т — 1) As < s < mAs:
| f (s) - П (s) | < | s - sm | | /' (OJ - П' (6X) I,
где
Sm-1 < ^1 < sm-l “Ь ^S.
Кроме того, в силу условия
sm+As __
| f" (s) \ ds a jA As
sm
легко видеть, что
| У' (s) — П' (s) | < аДв1/2.
Подставляя это неравенство в вышенайденные неравенства, получим при
| / (s) — П (s) | < а | s — sm | Дз1/2.
376
IV. Механика и математическая физика
Отсюда
I
f (s) ds —
о
к (s, sk)
s — sk
k—2
ds Ma У*
v=o
-!---d- As,/2ds +
ls-sd
с l/(g) — п <g) I
J R-sJ
sk+l n—1 sv+l
+ Ma As'^ds + Ma V* 1 (
J -J J I « — «It I
SK-1 V—К j-1 sv
•<—i As3'2 V~1 A?3/2
< Ma > TZTV + 2^д*3/2 + Ma ) ^T<2Ma(2 + lnn)As3/2.
V—0 V=R4-1
Лемма 4. Пусть К (s, t) есть непрерывная функция, обладающая
при 0 s I, 0 t I непрерывными частными производными до 2-го
порядка включительно, и такая, что
И(^)К«,. \34\<«. Г4|<*' |”|<MS|<",
где Mi — константы.
Пусть, кроме того, / ($) есть функция, имеющая следующую структу-
ру- ____
/(«) = + а2 Vs(l — s) + а3 (s — y)/s(Z —s) + v(s),
где v (s) непрерывна при О s Z, v (0) = v (I) = 0 и удовлетворяет ус-
ловию Липшица', [у (s + h) — v (s) ] < a | h | ; a1? a2, a3 и а суть констан-
ты. При этих условиях имеем]
I f (s’(t+ А) /wds- ( (3-3)
О о
где М — константа, зависящая только от констант Mt, a, at.
Положим
I{t) = ^^f{s)ds.
о
Нашей задачей, таким образом, является дать оценку для выражения
[/ (t + h) — I (t)]. Для этой цели введем вспомогательную функцию
t) = K{s’ (<’ ° • (3.4)
Имеем
S — t
дК (s, t) Гд/£ (s, f)"l Гd/f (s, t) j
dt [ &s Js=* L dt J
(* - 02 '
d^K (s, t) "I
ds2 Js=f-i-02(s-o’
4- К ($, t) — К (t, t)
dKt —
dt
_ Г d2K (s, t)
L ds dt J s=i+01(s—t)
где 0 < 0X < 1 и 0 < 02 < 1.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
377
Следовательно,
+ Мъ. (3.5)
Подставив теперь в изучаемый интеграл I (t) вместо функции К (s, t)
ее выражение через Кг (5, t) и К (t, t) из (3.4) получим
i i
I(t) = ^K1(s, t)f(s)ds + K(t,
О о
Следовательно,
i _________________________________
[I(t + h)-I (0] < (ЛЛ + М5) {| aj jj }/ ds Н-
О
I I I
+ | «21 (* — s) ds + | a311 (s — У s (I — s) ds J + v (s) ds} h +
о о 0
+ + (3.6)
0 0 0
Займемся оценками интегралов, стоящих в правых частях неравенства
(3.6). Прежде всего имеем
i _____ i i
J/ LzJL ds = Уs (/ — s) ds = (s — у J ]/ 5 (Z — 5)ds = 0.
000
(3.7)
Покажем, что
i
jj|v(S)(dS<42. (3.8)
0
В самом деле, в силу условий:
v (0) = v (Z) = 0, | v' (s) I < а,
при 0 s <1 Z/2, имеем
I v ($) | < as,
и при Z/2 <>•<;/, | v (5) | < a (Z — 5), откуда
I 1/2 I
| v ($) | ds as ds 4- Jja (Z — s) ds = ^ .
о О 112
Переходим к оценке интеграла
о
378
IV. Механика и математическая физика
имеем
i i ____ i
С / (5) ds Г 1 /1 — s ds . (* , г -г- ds
^^=7 = “.^ — —— +
оо о
I I
, Р / 1\ ^г~~п--Г ds , Р vis) ds
+ «3 ^s-yXs(Z-s) V=t+ Jt=T- (3.9)
о 0
Для облегчения записей положим
/о (0 = { |/ Л(0 = ? ,
л) " « О V е] о —— L
о . 0
^(0 =$(»-£> 7^7-
О
Производя интегрирование, без труда получим
о о
, (ЗЛО)
о
Отсюда:
i г_____ i
I Р 1 / Z — 5 ds I IP П----С |d$ I Til
I) у ——Г"; |рМ-*)7Ьг|<—;
о о
о
I
Рассмотрим теперь • Так как -• при $ < Z отрицательна, а при
о
s ^> t положительна, и так как | v' ($) | < а, имеем
I $ I < I $ d‘ I = |' rn “> ^'± “ |
О о
Неравенство имеет место, по крайней мере, для одного из знаков.
В силу симметричности условий относительно t = 1/2 будем предпо-
лагать t < 1/2. Так как | v' (s) | С а, | v ($) | < а$, получим
(* v (s) ds
J s — t
о
al + at In —p- <
(ЗЛ2)
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
379-
Переходя к оценке последнего слагаемого (3.6), имеем
i i
I $ I < h <1 «14 (t + e^) I +1 a2z; (t + e2h) | +
о о
+ |а,/;<<+ад|> +
о 0
Кроме того, пользуясь (3.10):
Zo = O; |Zi(0| = ?i; |Z;(i)| = 2n|z —<л/. (3.13)
Переходим к последней оценке и имеем
i i i
I С v (s) ds Р v (s) ds I _I С ___V (s) ds__I
IJs —(* + ^) J 5 — * I I J (5 —0 {* —(* + й)}Г
ООО
1
Функция переменной 5, -----г-у— , при s< t положительна, при t <
(S — I) \s — (t П))
< s < t + h отрицательна и при 5 t -f- h снова положительна, кроме
того, | v' (s) | < a.
Следовательно, полагая t + h = tu получаем
lx I
C v (s) ds ±« (« — 0 + V («) , C +a(s —fl) + v (<1) ,
J(S-f) {S_(f +A)}|^| J (s-f)(s-f!) J (S-/)(S-fj)
0 0 x
1 1
положим x — -у (t + £i) + Fv (t) — v (Zx)]. Легко видеть, что t < x < tr.
£ Ad
Производим почленное интегрирование, в коэффициенты при 1п (х — t)
и In (ti — х) вставляем v (Zx) — v (t) + a — 0 + a (tr — x) и h = Zx —
— t. Замечая, что | v (s) | < as, | v (s) | < a (I — s), получим
$Т=г|<2а(ж“0|ln(x-01 + 2a(0-x)|ln (ix-^)| +
+ ah [| In (I — 0 | + | In 01] + | v (0 | In *-j- + | v (£x) | In .
Отсюда, считая, что h < Не и h < Z/4, окончательно получим
i i
I _.v У ds — C I < 5а/г I In /г I + kh + fe + fe = bah I Infe I + (2 + k)h,
I v v ~i *^z *7 — I I
0 0
(З.Н)
гДе k равняется наибольшему из чисел а |1п у | , а | In I |.
Суммируя неравенства, добытые для отдельных элементов правых час-
тей (3.6), (выражения (3.7)—(3.13)), получим
|ZG + fe)-Z(0|<fe(M4 + M5) [4|ai| + ^|a2|+^] +
+ fe(M2H- Л/3)[л|а1| + ^|а2| + ^|аз| + 1.2а/] +
+ [h (л | a21 + л/1 a3 |) + h (2 + k) 4- 5ah | In h |].
180
IV. Механика и математическая физика
9. Установим теперь последнюю группу вспомогательных предложений.
Лемма 5. Пусть ср ($) — непрерывная функция, удовлетворяющая
условиям Липшица:
| <р (s + h) — ср (s) | < Kh,
где К — константа. При этих условиях
ф (s) ds
t (s) — z
Z t0 о
I
1 Г ф (z) ds
2ni j t (s) — t0- ~
о
4-eid(p (so)>
где s, t (s) и ft суть величины, определенные в п. 5; tQ = t (s0) — произволь-
ная точка обтекаемой дуги АВ. Знак «+» или «—» зависит от того, с ка-
кой стороны дуги АВ z приближается к t. (Эта лемма может быть получе-
на как частный случай теоремы Привалова о предельных значениях ин-
теграла типа Коши.)
Для доказательства обозначим через р расстояние между точками z
и tQ, р = | z — tQ |, lim р = 0. Пусть теперь переменное с есть функция р,
8 = 8 (р), такая, что lim -А- = 0.
Имеем р->0 °
80—8 80— 8
lim р->0 । Г С ф (s) ds (* ф (s) ds *1 L J t (s) — z J t (s) — t0 J — ’ 0 0 I I
lim р-^0 1 Г С Ф ($) ds __ С ф (s) ds 1 q L J / (s) — z J i(s) — <0 J ’ So“i~8 80-}-8
где $0 есть длина части дуги АВ, заключенной между точками А и t0.
В самом деле, выражение, стоящее в первых скобках, можно записать
так:
Д == ( г77“\—~ 1 г//0 \-71 Ф (5) ^8.
J Ж — 2] Ж — /0] V 7
0
Отсюда, в силу условий относительно р и 8, имеем
?о-8
|дк $ Hpj<₽(s)c?s->0’
о
Вторая часть доказывается вполне аналогично.
Кроме того, в силу определения особого интеграла и условия | ср ($ ~Н
+ h) — ф ($) | < Kh, очевидно, имеем
8
lim С «И*) ds = 0.
е->о J (s)
—8
Следовательно,
i i
lim А. Г С ф (*)ds _ С q(s)ds ~i =
U (5) Z t) t (5) ---- ^0 J
о о
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы 381
s0—е Sj—е
1 j 1 Г С <Р (s) ds _ С <Р (s) ds 1
2лг [ J t (s) — z J t (s) — tB J
0 0
I I
1- 1 Г C q? (з) ds Г q(s)ds 1
2ш [ J * (з) — z J t (s) — t0 ]
•%±e -%+e
8
+ li,ni $
~8
<P (») ds _ i • 1 C <P (*) ds
t (s) — z 2ni J t (s) — tQ
—8
<p (s) ds _ ф (s0) e~,f> . f* dt
t(s)-z 2m ) f-z ’
где последний интеграл вычисляется по части дуги АВ, заключенной меж-
ду точками t ($0 — е) и t ($0 + е). В силу аналогичности дуги АВ и в'силу
условий относительно р и е легко видеть, что предел этого интеграла'будет
равен Ч:Л7. Таким образом,
lim
z-^0
I
1 Г е Ф (з) ds
2ш [,) * (*) _ 2
о
1
Р Ф (s) ds 1
j t (s) tQ J
0
±4“е’г#<р^-
Следствие. Положим
Ф(г) =
ф (з) ds
t (s) — z
Условимся обозначать, аналогично предыдущему, через Ф+ (i) и Ф_ (t)
предельные значения Ф (z), когда z приближается к точке tQ дуги АВ соот-
ветственно с положительной и отрицательной сторон этой дуги. В силу
доказанной леммы имеем
i
(f \ = J_ С <Р (*) dS 1 \
(t°> 2nt } t (s) — t0 -- 2 6
О
Сохраняя обозначения, принятые в п. 5, и вычисляя проекции радиу-
1 А Т)
са-вектора :.........— па касательную и па нормаль дуги АВ, получим
г (5) ^о]
1 = _ ei[o;?.)+.-r/2j £212 222 .
i р («) - м г 1
Откуда окончательно:
ф± (^о) =---------2Н------j ~7~ ф ds
о
.... . I
е Wo) Г 1 f* sin Q I .-У
+ —— — <p(s)ds + <p(s0) | . (3.15)
0
382
IV. Механика и математическая физика
Лемма 6. Допустим, что функция / ($) действительного переменно-
го s имеет следующую структуру'.
f (s) = «i + а2 Vs (l — s) + аз (s — y) — s) + v (s)>
где ai, a2. a3 суть константы и где v (s) — непрерывная функция, удовлет-
воряющая условию Липшица, и такая, что v (0) = v (I) — 0.
При этих условиях имеем
а также при . | z | | z0 | + 1:
где Мг и М2 суть константы; t (s) — комплексное число, изображаемое
точкой аналитической дуги АВ; s — длина дуги, принадлежащей АВ
и заключенной между точками А и t (s); z0 = t (0).
Установим сначала неравенство (3.16). Пусть t ($0) — точка дуги АВ.
находящаяся на минимальном расстоянии от точки z. Проведем через точ-
ку t (sq) касательную к дуге АВ. Отложим от точки t (s0) по касательной
отрезок длины | s — $0 |, причем условимся откладывать в положитель-
ном направлении, если s > s0, и в отрицательном, если s < $0. Комплекс-
ное число, изображаемое концом этого отрезка, будем обозначать через
/1 («)•
Рассмотрим теперь разность
1 С / (s) ds 1 Р f (s) ds 1 fpip)— t(s)]f(s)ds
2ni j t (s) — z 2ni j Zj p)— z 2ni J [/ p)—z] p] (s) — z] *
0 n n
В силу построения и в силу аналитичности дуги А В (кривизна дуги
ограничена), очевидно, имеем
I h (*) - t (s) | < К. р - s0)2,
а также
IU*) - * | \t, (s) - z I > K2 p - s0)2 (1 + I z I2),
где Kx. K2 суть константы, зависящие только от вида дуги АВ. Мы здесь
еще допускаем для простоты, что всякая нормаль к кривой пересекает
кривую только в одной точке. Не делая этой гипотезы, можно утверждать,
что второе неравенство имеет место для всех z. отстоящих от s0 не дальше,
чем на R. где R — константа, зависящая только от вида дуги АВ. что яв-
ляется достаточным для всех дальнейших рассмотрений. Следовательно,
I 1 С / Р) ds_1 С f (s) ds | . К2 С f 7 Ч 7 = _Лз__
I 2ni J t р) — z 2ni J •/! P) — z I 2яЯ2 (1 4- | z |2) 1 + I * I2 ’
где K3 — константа.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы 383
Таким образом, неравенство (3.16) достаточно установить в предполо-
жении, что дуга А В есть прямолинейный отрезок. Не нарушая общности,
мы можем, кроме того, допустить, что этот отрезок расположен на поло-
жительной части действительной оси и что начало отрезка находится в на-
чале координат. Рассматриваемый интеграл при этих условиях примет
вид
i i _____ i
1 С / (s)ds = С 1/ l — s ds а2 С __________g\ ds ,
2ni J s — z 2л/ Jr s s — z ' 2л/ J ' ' ' s — z ~r
00 0
+-sr S - 4) A + 4A 4A
\ « / & — Z J о Z
0 0
Рассмотрим каждый из интегралов, стоящих справа, отдельно; для
первого имеем
i ____ _______________________
С 1 / I " з Ids __(h i 1 / Z — z \
2л/ J F s s-z~ 2\ 1±Г ) *
о
Для второго интеграла имеем
А = 4г [4 --' ± ]
О
Третий интеграл, что легко подсчитать, будет также ограничен. Нам
остается доказать ограниченность четвертого интеграла. Полагая, что
z — х + iy, рассмотрим отдельно четыре случая:
а) 0 < х Z/2; с) х Z;
Ь) х < 0; d) Z/2 < х < Z.
Взяв первый случай, имеем
I х 2х I
С v ds ________v (s) ds P v (s) ds ? vds _______
J s-(x-\-iy) J s — (x + iy) ‘ J s-(x-^iy) J s — (xiy)
0 0 x 2x
_ С [V (s) -- V (2x — s)] (s — x) , f V (s) -I- V (2x — s) л 1 С V (s) ds
J (S-x)2+j/2 az tiy^ {s_x)i + yi «S-t- )g_(x + iy) •
О О 2X
Кроме того, в силу условия Липшица:
| v (s) — v (2х — $) | < 2К | s — х |, | v (s) | < Ks\
следовательно,
I XX
I С v (s) ds I , (* „ 7 । .С Kids
\ --/ , Ч < \ К ds + У \ -г=-;-S
I «) «— (х + 1У) I ' J 1 1 J (« — х) +• У
в 0 0
+ = (2 + ¥)Kl + ’
«и tZ/ \ fci у JL
2Х
откуда, так как х
Z/2, заключаем, что наш интеграл ограничен.
384
IV. Механика и математическая физика
Рассматривая второй случай, видим:
|С —|< А- [-^- = К1 + ЙГ|х|1п| — I.
I J S — (ж 4- iy) | \ j $ - х 1 1 1*1
о о
Следовательно, в этом случае интеграл также ограничен. В двух не-
исследованных случаях интеграл также будет ограничен, так как зти слу-
чаи получаются из разобранных линейными подстановками.
Докажем неравенство (3.17). В силу предыдущего, при | z | 4> | z0 | -j.
4- 1 интеграл ограничен. Таким образом, неравенство (3.17) достаточно
доказать для | z |, достаточно больших. Имеем
lim I | = 1-
z_oo | ? I Г
Следовательно, при достаточно больших | z | имеем
I t (8) — Z I > Ч» I z |.
Отсюда:
о о
Перейдем теперь к формулировке и доказательству последнего вспо-
могательного предложения. Эта лемма имеет целью дать возможность оце-
нивать степень точности приближенного решения интегрального уравне-
ния П. А. Вальтера.
Лемма 7. Допустим, что непрерывная в интервале (О, I) функция
f (s) обладает следующими свойствами'.
f (*) = «1 а2 (Z — «) -Н а3 ------г) S(^ — s) + 11 (S)’
где aY суть константы и где П ($) есть функция, изображаемая полигоном,
такая, что П (0) = П (Z) = 0, | П' (х) | < а, k-я угловая точка полигона
имеет абсциссу kAs, As = Un.
i
I 1 P cos a . , x 7 I
0
где о = a (s, s0), r = r (s, s0), 0 s I, 0 s0 <1 l, суть функции, оп-
ределенные в теореме 3.
При этих условиях имеем
i
I "2Г J t(s) -z I < /|Z_ Zo | fl ^|7|i ’ I (s) I < /Г ’
где Ьх и b2 суть константы, зависящие только от констант at и вида дуги
АВ; t (s), z0, z имеют прежний смысл.
Для доказательства, прежде всего, положим
F(z)= —!_С_Н£)±_ (3-18)
' 2jii J t (s) — z
о
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
385
я займемся изучением F (z) вдоль дуги АВ. Для этой цели введем вспомо-
гательное переменное $ = ре’’’’ и построим функцию
Ф (i) = i%l (i) F fxi (i)L (3.19)
где z = Xi (i) есть функция, реализующая конформное отображение внеш-
ности круга | j | < 1 на внешность дуги АВ. Функция Xi (j), в силу изло-
женного в § 1, обладает свойствами:
Xi (i) = (i - io)2 (i ~ ii)2 X3 (i), (3.20)
c3 I Ф — Фо I I Ф — <P1 I <1 Xi (eicp) I < | ф — Фо1 I ф — Ф1 I, (3.21)
где io = и h = ei<₽1 суть точки, в которые при конформном отобра-
жении переходят концы дуги АВ, и где Хз (i) — функция, непрерывная
и отличная от нуля при | j | = 1. Кроме того, так как функция / (s) удов-
летворяет условиям леммы 6, имеем
'fwl<VrA-|-' <з-22>
V I z — zo I
if<z>i<T7^kr- <3-23)
Следовательно, функция Ф (j) при | J | 4> 1 правильна, ограничена и,
в силу (3.21) , Ф ($1) = 0.
Определим действительную часть функции Ф (i) при | j | = 1, J =
= Л В силу леммы 5 значения F (z) на дуге АВ можно представить
в виде
i
Г± (М = - 4г / ($) ds +
о
I
+4 [4 $ -4^ f (*)ds ± / Н • (з-24)
о
Кроме того, в силу свойств конформных отображений,
X'i(j) = |Xi(j)| (3.25)
Вставляем теперь найденные выражения (3.24) и (3.25) в (3.18) и, за-
меняя £ через е<(р, получаем
i
ф =4- । । $ -4s f ds -
о
- 4-1 х^ф)1 (3-26>
о
В правой части (3.26) переменное $0 рассматривается как функция ср, оп-
ределенная конформным соответствием. Таким образом,
i
Reel Ф (е^) = -±- | Х{ (е^) | J / (s) ds. (3.27)
о
13 М. а. Лаврентьев
386
' IV, Механика и математическая физика
Отсюда, в силу второго условия леммы и в силу (3.21), получаем дЛя
значений
Beet
’ j Reel Ф | < С4л2е.
Для большей простоты письма положим
р (ф) = Reel Ф
Докажем теперь, что
. |.р (<Р + h)— р (<р) | < Л//ЭД1П h |,
где М — константа.
В самом деле; положим
К ($, $&) = * ~ cos о,
i i
Т '/ \ 1 COS О f , ч -г 1 L К ($, Sfl) f! \ 7
1 (so) = -2Г J—/W ds = ъг J -r=7T/(s) ds'
о о
(3.28)
(3.29)
Заметив, что функция / (5), а также, в силу правильности дуги АВ*
функция К (5, $0) удовлетворяет условиям леммы 4, имеем
|р(ф + /1) — р(ф)| = -^'||Х1(е{(’+,1))|/[5(ф + /г)] —
—-ЙГlX^(eiф)l/[S(<^’)]|<•ilX^(eiф)lЛ^lГIS(<P + /г) —
—5(Ф)|1п|«(ф+/1)—«(ф)|| +
+ 11 [$ (Ф + Л)] {| (е^)) | -1Х; (е*₽) |)
Замечая, что
s (ф + h) — $ (ф) = h I Xi (е*«₽+ел>) |,
о< е< 1,
и воспользовавшись оценками для
I х; । и । xj 1,
окончательно получим
|р(ф + Л)-р (ф)| < hI In(С4л2Л)I + -^-<Д/Л|1пЛ].
На основе установленных свойств функции Ф (j) займемся оценкой ее
мнимой части. Для этой цели нам будет удобнее вместо функции Ф (|)
рассмотреть функцию, принимающую те же значения в единичном круге.
Итак, положим
Ф1 (J) = Ф (Vj), Ц|<1.
Функция Фх (j), очевидно, обладает всеми перечисленными свойства-
ми функции Ф (0:
а) Фt (j) правильна и ограничена при Ц | < 1;
Ь) Фх (е~^) = 0;
с) | Reel Фх (0 | <; С^л2^ = ех;
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
387
d) Reel Ф1 (ei4>) = Р (—ф), где функция р (<р) удовлетворяет неравен-
ству (3-29). „ „ ,
В силу свойства а и свойства гармонических функции принимать свои
наибольшие и наименьшие значения на границе для наших целей будет
достаточно оценить Im Ф1 (j) при | J | = 1. В силу свойства а имеем
Л
Im Фх (е*) - Im Фх (0) = -L J р (- 0) ctg dB. (3.30)
—Л
В соответствии с этим найдем верхнюю границу интеграла правой части,
имея в виду, что функция р (9) удовлетворяет условию (3.29) и, в силу
свойства с, — условию | р (0) [ < 8Х. Очевидно, что, не нарушая общно-
сти, можно считать ф == 0 и искать при тех же условиях максимум инте-
грала:
л
7 =j) Р (ф) ctg-J-Жр. (3.31)
—л н
В силу того, что ctg -у-отрицателен при —л <ф<0и положителен
при 0 < ф < л, максимум интеграла получится, если варьируемая функ-
ция в первом из указанных интервалов будет принимать наименьшие воз-
можные значения, а во втором интеграле — наибольшие возможные зна-
чения. При р (0) = £ функция, дающая максимальное значение интегра-
лу, будет определяться условиями: ;
р (ср) = g + Afcp | In (р | при —гц < ср < ц2,
Р (ф) = при т|2 < Ф < л,
Р (ф) = —е1 при —П < ф < —ГЦ,
где тц, ц2 суть наименьшие (положительные) корни уравнений:
Л2: ^ + 2lfn|lni]| = e1 |
^c-g + ^llnnl^ / •
Неизвестное есть т]. Здесь также, в соответствии с основной задачей, мы
предполагаем 8Х настолько малым, что оба уравнения имеют корни, мень-
шие 1; для этого, что легко] подсчитать, достаточно положить
Вставляя найденное выражение для р (ф) под знак интеграла, получим
Н£) =(5 + Л7ф I In Ф [) ctgd<p + ' . .
о •
П Л Л* *
+ (— % + Л/ф ] In ф |) ctg -|-</ф + ej ctg -dtp + б! ctg—тр с?ф j .
0 T|i
(3.33)
Полученное выражение есть максимум интеграла I при добавочном ус-
ловии р (0) = таким образом, для того чтобы найти искомый макси-
мум, достаточно найти максимум функции I (£). Продифференцировав
13*
388
IV. Механика и математическая физика
(3.33), произведя сокращения и упрощения, пользуясь (3.32), полуЧим
В силу (3.32) при 5 < О имеем т]2 > r]i и, значит, Г (£) > 0; аналоги»,
но при | >• 0 имеем ц2 < T|i и, значит, Г (5) < 0; следовательно, наиболь'
шее значение получим, полагая в (3.33) 5 = 0:
Лпах = -^- jM<p|ln<p|ctg-|-d<p +-^- jjctg-|-d(p, (3.34)
о п
где ц есть наименьший корень уравнения:
Мх\ | 1п ц | = 8Х. (3.35)
Дадим теперь более грубую, но более простую оценку для /щах- Пола-
гая 81 < МП и замечая, что ц есть монотонная функция ех, непосредст-
венной подстановкой обнаруживаем, что
8?/М2 < ц < 8Х/М.
Отсюда, увеличивая в интегралах (3.34) интервалы интегрирования и за-
Ф . <р
меняя -J-ctg -у- единицей, получим
Li А
81/М 2
Лпах<4- J |ln<p|d<p +-^-|lnsin 2^s| =
о
2
= “ [ ~M |ln “лГ'| + I lllS111'2Mr| —ir] <#6llnel’
где H — некоторая константа, размеры которой можно определить в за-
висимости от пределов, в которых меняются 8Х и М.
Таким образом, возвращаясь к соотношению (3.30), получаем
| Im Фх (ei(₽) — Im Фх (0) | < Яе | In 8 |.
Отсюда, согласно Фх (ei<Pi) = 0, имеем
I 1ш Фх (0) | < Я8 | In 8 |.
Следовательно, при | J | <1 1
| Im Фх (j) | < 2Яе | In е |,
а, значит, при | j | > 1
| Im Ф (j) | < 2Яе | In е |. (3.36)
Сопоставляя (3.28) и (3.36), получаем окончательную оценку для функция
ф (J): ____________________
I Ф (J) | < /Cfn4e2 + 4Я2е2 In2 е < Я\е | In е |. (3-37)
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
389
j{a основании того, что j = / (z) есть функция, обратная функции z =
= %i (0. имеем
Xi (0 = •
Следовательно, в силу (3.19) и (3.37), а затем, воспользовавшись оценка-
ми для X (г) и х' (z), получим
г) Ы1пе1|р)| < ffAellnel . (3,38)
I X (Z) I |Л|2 — zo ll^l Z — Z1 I
Кроме того, сопоставляя (3.26) и (3.36), получим
14" । xi (ei4>) । [4" $ 4^(s^si^s°4l<'27/e'lnei'
о
Следовательно,
| / (S) | < 4Де | In е 11 х' [t (*)] | < 2^^ • (3.39)
|/ S у I — S
Полученные неравенства (3.38) и (3.39), если исключить окрестность точ-
ки В, дают искомый результат. Для получения окончательных неравенств
произведем добавочное исследование.
Рассмотрим функцию
Ф2(0 = « -ЩЕф^).
а — 31
(3.40)
В силу того, что функция Ф1 (j) при | j | < 1 правильна, ограничена и при
& = Ji имеет нуль 1-го порядка, мы заключаем, что построенная функция
Ф2 (i) будет также при | j | < 1 правильна, ограничена и будет обращать-
ся в нуль при J = —jx.
Выявим поведение Reel Ф2 (j) на окружности | j | = 1. Замечая, что
при IJ I = 1
t 8+11 .
8-11
= ctgi±ii
£
(3-41)
— е
в силу (3.27) имеем
Pi (ср) = Reel Ф2 (е*₽) = -±-1 (*'*”) | ctg -ЦП J f (з) ds, (3.42)
О
следовательно, с одной стороны, в силу второго условия леммы, формулы
(3.21) и неравенства | (ф + фх) ctg — — j <41 имеем
I (ф) I <4ге = е2- <3-43)
390
IV. Механика и матемагт‘ическая физика
С другой стороны, применяя преобразования, проделанные при выводе
неравенства (3.29), получаем
I Pi (ф + ty — Pi (ср) | <-2-h Iln (С4Л^ I +
+ 8211 Х1 (e~i(4 +Z)) I ctg JL±A+21- __ | (e-i<T) I ctg 1 =
= ’^2Mi h Iln (С*л2/01 + I Xi (c"itp) I ctg |^ф=е/1,
0<0<l.
Займемся оценкой второго слагаемого. Имеем
1 ,
81112——
— Ctg + i I Xi (e-i<p) 11 < I 11 Ф4Ф1 +
+ ctg -fcL®. Г cig -11 I +
+ 4----(<P t + у, " । Xi (e-i014’t) | + (Ф + Ф1) ctg -£ + W1 I Xi (е_<02ф‘)
sin2--§---- '
’ I ‘
Здесь, в силу условия xi (e+iq?1) — 0, положено |xi (e~i(p) J = | Ф 4- <Pi | | Xi|»
а также синус заменен через котангенс. Правая часть этого равенства
мажорируется величиной
41 I + 41 Xi | + 21 хГ (е-М*) | < С6,
где
1<|02|<|
Ф1 + <р
Ф1
и С6 есть константа.
При этой оценке мы пользуемся, прежде всего, очевидными неравенст-
вами | ф/sin ф | < л/2, | ф ctg ф | < 1 (| ф | < л/2) и неравенством (при
тех же изменениях ф)
I Ф + ctg ф [ф ctg ф — 1] | < л/2;
это последнее неравенство можно доказать, например, так: полагаем
У = ф + ctg ф [ф ctg ф — 1]. Докажем, что у' 0 при 0 < ф < л/2.
Имеем
у' = tg 3 ф cos 2 ф [tg ф sin2 ф + tg ф + sin ф cos ф — 2ф],
числитель при ф = 0 равен нулю и, как легко проверить, производная его
больше нуля, следовательно, он положителен, а значит у' 0. Следова-
тельно, наибольшее значение у будет при ф = л/2 и, в силу нечетности
функции, наименьшее при ф = —л/2.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
391
Отсюда окончательно:
I Pi (ф + h) — Р1 (<р) | < h 11п (С4Л2Л) । + c_efl < Mih । ln h |;
Из соотношений (3.43) и (3.44), как и в первом случае, получаем
i Im Ф2 (j) | < 2Я2е I in е I, ~ (3.45)
: I $2 (s) I < Я3е I In e I, (3.46}
где H2 и H3 суть константы, выражаемые через е2 и Л/2так же, как кон,
станты Н и Hi выражались через и М.
Отсюда, пользуясь (3.19), (3.37), (3.40) и (3.41), получаем
^[хлтк—
' I Х1 (« ф) I ctg-2-
В силу оценок для | (е^) | имеем
I К (ei,p) 11 ctg ф~ф1 | > 1 Ф —.Фо 1 (Ф — Ф1) ctg ф~^ф1 > t
> Iф — 11Ф ± л — Ф11 > С8 | s — s21.
Таким образом,
Н3ч | In е |
С8 ]f s | s — s2 |
I^(Z)I<
Кроме того, сопоставляя (3.26), (3.36) и (3.40), получаем
14" I /1 (ci<p) 11 ctg —| [4г $ t (s)ds ± f (so)] I < 2Я2» |1» с |.
о
Следовательно,
|/(S)|<
4Я28 | 1П 8 |
s | s — s2 |
(3.48)
В формулах (3.47) и (3.48) s2 есть дуга, соответствующая при отображении
2 = %i (ь) точке е{(<Р1+л), в силу формулы (1.11) | s2 — I | С3.
Отсюда, для получения окончательного результата достаточно, очевид-
но, сопоставить (3.29), (3.47) и (3.39), (3.48).
§ 4. МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ П. А. ВАЛЬТЕРА
10. В этом параграфе мы имеем в виду установить правило для при-
ближенного решения интегрального уравнения (2.12) и затем, на основе
установленных вспомогательных предложений, дать для общего случая
предварительную оценку точности полученного таким образом решения.
Затем мы покажем каким образом, получив в конкретных случаях при-
392
IV. Механика и математическая физика
ближенное решение в окончательном виде, можно более точно оценить
ошибку.
Перейдем к формулировке правила.
Правило 1. Для приближенного решения интегрального урав-
нения
i
\ км T{s}ds = ((){t)t
V * 1
о
где К (^1, t) = — cos а; ср (I) = 2 л К» sin О, а переменные а, г, й*
имеют тот же смысл, что в § 2, можно поступить следующим образом.
1. Составляем и решаем относительно всех у, и а2 следующую ли-
нейную систему (п + 1) уравнений:
vn г гр1 $ —V*1 к ($, $к) -1
yt) sZ-—ds + yi } dj?J +
Si Si
f / l — s K(s,sk) C,r-77----Г K(S’S^ ,
+ а1)У ~--------Г-s* ds+ «2 J r —s) ds =
= — «3 J (s---y) Vs (l~s) "V-s*" ds + ф + a*’ (4Л)
где = k, i = 0, 1, 2, . . ., n; заранее полагается у0 = yn = 0
и где, наконец, а3 и aR — пока произвольные параметры.
2. Представляем решение системы (4.1) в следующей форме:
#1 = + ^1а1 + ^-2а2 + • • • + Ап&п + Л-n+V
а2 ~ ^0 а3 + + -41а2 + * * ’ + Ап&п + Л-n+t’ (4-2)
Ук = + ^4fclal + ^-1С2а2 + • ’ ’ + ^knan 4" -^Kn+l*
3. Методом, указанным в § 1, оцениваем сверху для искомой вихревой
функции Г ($) выражение
г+Л
~.2_ £ v"2 (s) ds, 0 < г < I, 0 < г + h<zl,
V\h\ J
пусть при этом найденная граница будет равна 7VX, а также при условиях:
0<s<l, 0<t<l,
оцениваем сверху К (5, Z), пусть | К (5, t) | < N2.
4. При условиях:
I ак | < 27VJV2 (2 + In п) (4.3)
ищем минимум следующей квадратичной формы с (п + 1) переменными:
р = {Уг — 2г/1)2 + (t/3 — 2у2 + t/x)2 + (у4 — 2у3 + t/2)2 + . . . +
+ (Уп-2 — 2t/n-i)2,
где все у рассматриваются как функции ах . . . ап и а3.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
393
5. Найденные значения для ах . . . ап подставляем в (4.2) и находим
числовые значения для у, и а2.
6. Строим функцию
Тп («) = + а2 s(l — s) + a3(s---/s (/ — s) +
+ Пп (s), (4.4)
где a13 a2, a3 суть числа, найденные в пп. 4 и 5 правила 1, и где Пп (5) есть
полигон, начало и конец которого находятся в точках (0, 0), (0,7), и г-я
угловая точка которого имеет координаты (““ЬУг) (yi — числа, опреде-
ленные в п. 5 правила 1).
При указанных вычислениях, обозначая через Т ($) искомую вихревую
функцию, получим
Т (5) = Тп (5) + Rn (5), (4.5)
причем
|ЯП(«) |<М1)-^, (4.6)
п У s
где Mi1) — константа, которую можно вычислить заранее; также
=^а $ = ~ir \ + г”(г)’ (4-7>
о о
причем
IГп & I < м* >—1п2,и . , чГ ’ (4’8>
где М2 — также константа.
Для доказательства неравенств (4.6) и (4.8) перепишем, прежде всего,
систему уравнений (4.1) в следующем виде:
А г у + V +
о k
+ а3 («---2") Ks (/ — s) + П (s)j ds = q> (sj + ak, (4.9)
где П (5) есть правильный полигон, i-я угловая точка которого имеет ко-
ординаты yt.
В силу соотношений (2.5) и леммы 3, если мы в левые части (4.9) поста-
вим вместо П (5) правильный полигон, вписанный в кривую у = v
и вместо аг, а2, а3 — точные значения этих констант для вихревой функ-
ции, то мы получим значения, отличающиеся от ср ($к) меньше чем на
2N\N2 (2 + In п) п~3К
Следовательно, семейство правильных полигонов, определенных соот-
ношениями (4.2) (Z-угловая точка имеет координаты yt при условиях,
что di . . . ап удовлетворяют (4.3)), содержит полигон, вписанный в кри-
вую у = v (х). Отсюда, в силу п. 4 правила 1, сумма квадратов вторых
394
IV. Механика и математическая физика
разностей построенного полигона Пп будет меньше, чем соответствующая
сумма для вписанного полигона. Таким образом, полагая
^=4[v(^+4-)-vM ’
= 4 [пп 4 + 4-) - Пп (4| = 4 <У* - У*-1)>
а
п
имеем
з (К&1 - < s (*<« —
где, очевидно, К\п) и К, суть угловые коэффициенты i-ro звена полигона
ПЛ (х) и вписанного полигона. Но в силу леммы 1 ип. 3 правила 1:
о
Следовательно,
|2<а/п.
Отсюда, в силу леммы 2
(К^ХУа. (4.10)
Пользуясь выведенным неравенством (4.10), применяя лемму 4 и обоз-
начая через Т (s) искомую вихревую функцию, получаем
| J \т (s) -т* («иds - $ 4гт- <s> -т- ds I <
0 0
C M±h In Л,
где Мг — константа, которая определяется числом а и оценками, получен-
ными в п. 3 правила 1. Кроме того, в силу (4.1), (4.2) и (4.3),
I Р А' ($, 5 ) I
|}-7^[Л*)-ЗД]^| = , ' ' '
I , . (• K(s,sk)
о k
Следовательно,
Тп (s) ds | < 2Л\Л72 (2 + In п) n-s^
s — t
[Т (s) - Тп ($)] ds I < '
о I
где М2 — константа, которая, очевидно, без труда оценивается при по-
мощи и ТУ2. . ,4
Выведенные сротношения (4.3) и (4.10) показывают, что при / ($) ==
== Т ($) -— Тп ($) функция / ($) удовлетворяет условиям леммы 7, где нуж-
но положить е = -П . Таким образом, применяя эту лемму, мы полу-
чим искомые соотношения (4.6) и (4.7).
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы 395
В конкретном случае, если получено выражение для Тп (s), можно по-
дучить, более точную оценку для погрешности. Вычислив для этой цели
T^ds'
о
получаем* / . .
i i
I -ТЁГ IT (*) Тп (*)] ds I = Ф (s) - \’ Тп (s) ds, .
I Л d t- I о - 4
° 0
а отсюда, пользуясь опять леммой 7, оцениваем | Т (s) — Тп (s) j.
§ 5. УПРОЩЕННЫЕ ПРИЕМЫ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
И. Развитый в предыдущих параграфах прием решения интегрального
уравнения (2.12) дает сходящийся процесс, однако практическое приме-
нение этого приема крайне громоздко. По этой причине мы укажем здесь
другой прием для приближенного решения интегрального уравнения (2.12).
Не затрагивая в общем случае вопроса сходимости, мы ограничимся здесь
лишь формулировкой правила и указанием, каким образом, построив приб-
лиженное решение, можно оценить его степень точности.
Правило 2. Для решения уравнения
а »•
—а ч •
можно поступать следующим образом.
1. Разложить в ряды по степеням t функцию ф (t) и
K(s, t) — K(s,s) .
s — t '
Ф (t) — aQ + ttjt -f- . . . + a2nt2n + ^2n+i^2n+1 + • • •
=Ko(s) + Ki{s)t+ + K^n (s) t2n + K2n+1 (s) /2n+l+ . . .
(5.1)
2. Вставить в интегральное уравнение вместо ф (0 и К (s, t) их выра-
жения из (5.1), ограничиваясь в разложениях первыми 2п членами, и по-
ложить
Т2П = к (1, S) [«» (ттт) Л + ai <®2 — s2),/2 + “2S (®2 — s2),/’+
• • • + а2п-1 (а2 — s2)<2"-1>/2 + a2ns (а2 — s2)(2”-i>/2], (5-2)
гДе а0 . . . а2п — постоянные.
3. В левой части полученного равенства произвести интегрирование.
Эта операция даст слева многочлен степени 2п относительно /, причем ко-
396
IV. Механика и математическая физика
эффициентами будут служить линейные функции а. Определяя все а срав-
нением коэффициентов при одинаковых степенях t слева и справа и встав-
ляя найденные значения а в (5.2), мы получим искомое приближенное вы-
ражение для Т (s).
Имея в виду применить приведенное правило к некоторым частным
случаям, покажем, как это правило реализуется в общем виде.
Для этой цели введем предварительно следующие обозначения:
а
D f {а — х \1/2 dx
0 W - j а + х / ’
—а
а
*>2n-l(0 = J
—а
а
—а
к п = 1,2,3,...
Производя замену переменных (х = a cos и) и интегрируя, получаем
PQ = —л, Pi = —jit,
Р2 = 1/2ла2 — л£2, Р3 = —3/2ла2/ + л£3,
Р4 = па*--------1- ла2£2 + л^,
р _____ rrn2n-2f I Г1 I — Г2 1'3 Г'З I I 1*3...(2п 5) ~П-1
^яп-г—ла Ц Сп + 2 Сп--^Сп + • • • ± 2 "4...(2» —4) Сп +
+ z'.t/.gz-?,) + + •+44rt--- +
+ (- «+4с' - • • +
++ •+=л (й”-1’ «+
+ ₽r-l)i3 + • • • + ₽22„-“i1)/2n-1),
где Сп суть коэффициенты биноминального разложения:
(а 4- Ъ)п = ап + С\ап-1Ъ + . . .,
Р2п = ^2п-! + Л = л (Ро2П> + +
+ • . . C’i2")-
Кроме того, положим
~ K(s, s) V a-[-s ds = ^m0’ m = Q, i,2, . . . 2n\
—a
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
397
-I е К (s)
—а
< е sK («)
—а
т = О, 1, 2, .. . 2п,
*г= 1,3,5,. ..2п — 1.
При этих обозначениях, после подстановок, согласно п. 2 правила 2, по-
лучаем
2п
2л (О Н 2~ Ацгп&т Н 2“ ^1ггЛп 4"
т=0 т т
2п
+ • •• 4t2n Е=Е ат*т'
т гп=О
Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева
и справа, получим систему уравнений для определения чисел а:
п 2п
3 Рг™а2т + 5 ^2kmam = 2а2к, к = 0, 1, 2, . . . п;
m=fc тп==О
п 2п
3 p2fc-l.la2m-l + 2J = 1, к — 1, 2, . . П.
т=к т==о
Укажем теперь, каким образом, получив указанным приемом прибли-
женное выражение для Т ($), оценить степень его точности. Для этой цели
вставляем найденное выражение в левую часть не преобразованного ин-
тегрального уравнения и полагаем
а
T^ds _фи().
—а
(5-3)
К" «) |.
Обозначив ф (t) — фп (£) = ф (t) и произведя почленное вычитание урав-
нений (2.12) и (5.3), получим
а
~ir $ -Sr (s) - T* <S>1ds = *
—a
Функции ф (0 и фп (i) известны, следовательно, мы можем оценить сверху
1ф(0Ь |Ф'(01,
Отсюда, пользуясь этими оценками и рассмотрениями, приведенными
в лемме 7, можно оценить | Т (s) — Тп ($) |, т. е. оценить степень точно-
сти полученного решения.
Заметим в заключение, что если |ф (t) |, | ф' (t) | будут порядка 1/w
а I 'Ф* (0 I будет ограничена, то
пу а + s
398
IV. Механика и математическая физика
где С есть константа, зависящая от вида дуги АВ и от верхней границы
К (0 1, 1М <а.
12. Перейдем к;рассмотрению некоторых частных случаев.
Пример 1. Определить вихревую функцию, когда дуга А В есть
прямолинейный отрезок.
Сохраняя принятые выше обозначения, допустим, что длина отрезка
равна 2а. Тогда интегральное уравнение (2.12) примет вид
£ Т ds = sinft,
2л J 5 — t * ' .
— J ' • 1 < х ‘
где Ф есть величина постояййая, а именно угол, образованный отрезком
с осью х. .
Для решения этого интегрального уравнения, очевидно, ” достаточно
положить
где а определяется подстановкой Т ($) в интегральное уравнение
а/2 = sin
Отсюда,^окончательно Т ($) —, 2 sin# 1/. а . Подъемная сила опре-
т а - j— s
делится по формуле
а *
= р Т (sj ds = 2npa sin О.
Пример 2. Определить вихревую функцию, когда АВ есть дуга
окружности с хордой, параллельной оси х.
Допустим для простоты, что радиус окружности равен 1 и скорость
в оо тоже равна 1. При этих условиях интегральное уравнение примет вид
а
ctg Т (s) ds = 2 sin t.
—a
Как известно, для случая дуги окружности, скорости потока вдоль ду-
ги выражаются элементарными функциями через 5, следовательно, можно
искомую Т ($) изобразить при помощи элементарных функций. Оказыва-
ется, однако, что при этом для Т ($) получается весьма громоздкое выра-
жение. По этой причине мы примем для определения Т (s) развитый выше
прием приближенного решения.
Полагая, что а 1/2, с точностью до 0,001, имеем
sin t = t — 1/6t3 *.
Аналогично с точностью до 0,006:
. s— t 2 s—t, s — t 2 Гл 1 /s —Ч21
ct₽-2-= —— Ctg-2-= — [1-^-^—у J =
2 1 , .
=-----•---л- (S — t).
s — t 6 v 7
32. О построении потока, обтекающего дуг# заданной формы
399
часть уравнения (2.12^ есть в данном случае не-
(*) = 0.
= -1/65, Ki(s)
В силу того, что правая
четная функция, имеем
а0 = а2 = а4 = О-
Кроме того,
К (5, 5) = 2, £0 ($)
Следовательно, \ \
а \ \
Лп = — С 4-(а2 — s9-)^-ds = ^-, \ \
J1 л J 12 v ' 24 । i
—а - • :
а
^13=~л § ~12 ~ !г ds ~ "32" ’
—а '
Л21 = ^зз == 0. ♦ :
Таким образом, уравнения для определения at, а3 примут вид
3 2 а2 .а4 9 1 >
ai 2 а а3 + 24 ai + 32 “/• аз — 3 •
Отсюда:
2_i/2fl2 + fl4/96 _ 1 1 2_2 5~ 2
а1 — 1 _ g2/24 2 а + 12 а Z 12 а '
Следовательно,
Т (S) ~ (2—L (а2 _ S2)>/S + _1_(а2 _ s2)3/2.
Определим подъемную силу: _ „
(7
S/ CL4 \
Т (s) ds = рл (а2--.
—а >
Сравнивая полученную формулу с точной:
Ру = 4рл sin2 (
легко подсчитать, что погрешность приближенной формулы меньше
0,04лра6
и при а х/2 меньше 0,002р.
Пример 3. Определить вихревую функцию при условии, что АВ
мало отличается от дуги окружности, рассмотренной в предыдущем при-
мере.
Сохраняя обозначения предыдущего примера, введем полярную систе-
му координат (р, s), принимая за начало центр окружности, за полярную
ось — параллель оси у и уславливаясь отсчитывать углы по часовой
стрелке.
400
IV, Механика и математическая физика
Пусть
р = 1 — ф (5), —а < $ < а,
есть полярное уравнение дуги А В. При решении этой задачи будем”пред-
полагать, что функция ф ($) и ее производная ф' ($) суть величины малые,
и в соответствии с этим в вычислениях всеми членами, измерения которых
относительно ф и ф' выше первого, мы будем пренебрегать.
Для составления интегрального уравнения найдем величины г, cos о,
sin й и дифференциал дуги АВ. Имеем
г = V[1 — ф (s)]2 + [1 — Ф (0Р — 2 [1 — ф (s)l [1 — ф (t)] cos (t — s),
или, отбрасывая старшие члены,
Г=2[1-_Ш+^] sin
Обозначая через ds± дифференциал дуги АВ, получим
dsi = У[1 — ф ($)]2 + ф^ (s) ds = [1 — ф (5)] ds.
Пользуясь этим, приближенно:
sin й — sin — t + = — sin t — ф' (t) cos t.
Для вычисления угла а введем два вспомогательных угла Vi и v2.‘ Vi —
угол, образованный хордой дуги АВ с хордой дуги окружности, причем
концы обеих хорд соответствуют одинаковым полярным углам, и v2 —'
угол, образованный касательной к дуге АВ и нормалью к лучу, соединяю-
щему начало координат точкой касания. Имеем
г — s
О = —------v2 + vr
Малые углы и v2 можем принять равными:
V1= gW-yJO-cos-L^l,
1 t — s 2 ’
2 sin —2—
V2 = = — t1 + Ф (*)] Ф' (0 = — Ф' (0-
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
401
Отсюда, после упрощений,
t — s Г , ф ($) — ф (t) "I , . . t — s
cos о = COS —1--------—i-tj — <p (t) sin —g— .
Окончательно:
dsj = {[1}+ <p (0 — <p (s)] ctg — <p' (t)j- ds.
Таким образом, в рассматриваемом случае интегральное уравнение при-
мет вид
а
$ {[1 + <₽(*) — Ф(*)]^-Ц-^- — <p'(t)}r(s)ds =
—а
= 2 sin t + 2ср' (t) cos t.
Обозначим через Т0 (з) вихревую функцию для случая дуги окружности
и положим
Т (з) = То (з) + Т. (з).
Подставляя Т (з) в полученное интегральное уравнение, найдем
а
$ {[! + ф(0 —<₽(*)]ctg—ф'(0}Л(«)^ =
—а
= 2<р' (t) cos t 4- -L- J |[<p (s) — <p (0] ctg + ф' (*)} To (s) ds.
(5-4)
Считая, что функция То (з) известна, мы будем иметь в правой части по-
лученного уравнения известную функцию t. Оставляя в стороне анализ
Уравнения (5.4) в общем случае, разберем подробно случай ср (з) = —Хз,
где X — малое число. Вставляя в (5.4) значение <р (з) и вместо То (з) ее вы-
ражение, добытое в примере 2, что законно, так как в каждом слагаемом,
гДе фигурирует TQ (з), стоит малый множитель <р(з) или ср' (з), мы получим
следующее уравнение для определения (з):
“4 J |[1 _ X (i _s)] ctg Ц2. + х} 7\ (s) ds =
—а
а
= х|— 2cost + 4"(а2-----—тг(2~'72’а2) S S2(a2 — s2)'^ds —
—а
а
~~ $ *2 (а2 - ds - 4 («2 - 4)} •
—а
Принимая, что а < 1/2, отбросим справа величины, меньшие 0,01Х.
Роме того, замечая, что Т± (з) дожлно быть порядка, X отбросим слева
402 IV. Механика и математическая физика
члены измерения X2, тогда получим
—а
Для решения полученного интегрального уравнения, следуя общему при-
ему, полагаем
t — s 2 1 , ч
, ctg-2- = Trr----6^“*)’
Ti (s) = а01/"+ ах /а2 — s2 + ot2s /а2 — s2.
v I* ~г д
Для определения коэффициентов а получим систему уравнений:
ь-0'о + + 72”) = 0> а2 = (1
Таким образом,
Л W -1 {(-2 + А„.) + + 41) у +
+ (1--sYа2 — s2} .
Подъемная сила рассматриваемой дуги, по сравнению с подъемной силой
дуги окружности, увеличится на
Этот подсчет нам показывает, что при указанной деформации дуги
подъемная сила уменьшается. Резкое падение подъемной силы обуслов-
ливается здесь тем, что разветвление потока происходит с положительной
стороны обтекаемой дуги.
Оставаясь в принятых пределах точности, можно применением выве-
денных формул решить также следующую задачу.
Задача. На какой угол надо повернуть обтекаемую дугу, чтобы
точкой разветвления потока стала точка А (левый конец дуги). Для этой
цели, очевидно, в правую часть основного уравнения (5.4) надо вместо t
вставить t + 0, где 0 есть, искомый угол поворота, и 0 определять из усло-
вия, что при искомом обтекании коэффициент а0 при первом члене раз-
ложения
должен обращаться в нуль.
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы
403
§ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе мы ограничились рассмотрением задачи о построе-
нии потока, обтекающего дугу. Легко видеть, что развитый при этом
метод может быть непосредственно распространен на ряд задач более
общего типа. Мы укажем здесь ряд таких задач и приведем те интеграль-
ные уравнения, к решению которых приводятся эти задачи.
1. Построить поток с заданной скоростью в бесконечности, обтекаю-
щий область, ограниченную простой замкнутой линией. Сохраняя при-
нятые выше обозначения и предполагая, что линия обладает непрерывно
вращающейся касательной, получаем ,
= ' <»•»)
6 '
В этом случае Т (s\ имеет следующий механический смысл: Т (s) равна
скорости потока в точке дуги, взятой со знаком «+», если направление
скорости совпадает с направлением возрастания дуги s, и взятой со зна-
ком «—», если указанные направления противоположны.
Функция Т (5) удовлетворяет следующему интегральному уравнению:
_^.J_^lr(s.)ds=FooSin^. . ; ' (6.2)
о
Приведенные формулы (6.1) и (6.2) могут быть получены на основе
тех же рассмотрений, что и формулы (2.2) и (2.12). Формулы (2.2) и (2.12)
можно рассматривать как предельный случай формул (6.1) и (6.2), когда
замкнутая линия вырождается в простую дугу. Обратно, формулы (6.1)
и (6.2) можно рассматривать как предельный случай формул (2.2) и (2.12).
В самом деле, если точку А простой дуги АВ будем неограниченно при-
ближать к точке В так, чтобы дуга АВ в пределе образовала простую ли-
нию С, то при этом произойдет следующее: а) вне контура С поток, обте-
кающий дугу АВ (для определенности предполагаем, что точка схода
все время есть точка В), будет неограниченно приближаться к потоку,
обтекающему контур С; Ь) скорость потока внутри контура С будет стре-
миться к нулю. Отсюда непосредственно заключаем, что вихревая функ-
ция Т ($) формул (2.2) и (2.12) перейдет в пределе в функцию Т ($) формул
(6.1) и (6.2); следовательно, формулы (6.1) и (6.2) — предельный случай
формул (2.2) и (2.12), когда точка А неограниченно приближается к точ-
ке В. В силу этих соображений заключаем, что доказательство теоремы
Н. Е. Жуковского, приведенное нами для случая простой дуги, непосред-
ственно распространяется на общий случай.
Интегральное уравнение (6.2) для случая обтекания области, анало-
гично предыдущему, допускает бесчисленное множество решений, зави-
сящих от одного параметра. Задание точки схода потока (Т (s) в этой
точке обращается в нуль) определяет Т (з) единственным образом.
Как простейший пример рассмотрим поток, обтекающий круг единич-
ного радиуса. Интегральное уравнение (6.2) примет вид
л
ctg т (s) ds = 2 sin t.
—л
404
IV. Механика и математическая физика
Пользуясь известной формулой, получаем
Т ($) = 2 sin s + С,
где С определяется из положения точки схода потока.
2. Построить поток с заданной скоростью в бесконечности, обтекаю-
щий простую дугу АВ при условиях:
а) точки разветвления и схода потока суть соответственно точки
А и В;
Ь) в некоторой заданной точке А', лежащей вне АВ, может существо-
вать вихрь.
Введем некоторые добавочные обозначения. Пусть z0 есть комплексное
число, изображенное точкой А'. Далее пусть r0 = | z0 — t ($0)|, где t (sQ)
есть точка дуги АВ, такая, что длина дуги At ($0) равна $0.
Наконец, пусть К есть неизвестная интенсивность вихря в точке А',
а о0 (s0) есть угол, образованный вектором zQ — t ($0) с вектором t, каса-
тельным к дуге АВ в точке t (s0). При этих обозначениях будем иметь
г^--1 С , к___________________L_
' ' 2лг J t (s) — z 2лг z0 — z 1
о
где F (z), Z, s, T (s) суть величины, определенные в § 2. Функция Т (s)
и константа К определяются следующим интегральным уравнением:
i
1 С COS (7 л, / \ j I К COS (Ул тт . л
) — т (s) ds + sln
о
-••и‘Условием
Т (0) = Т (Z) - о,
где а, г, й* определены в § 2.
3. Построить поток с заданной скоростью в бесконечности, обтекаю-
щий данную систему, состоящую из п простых дуг: АГВГ, А2В2, . . .
. . ., АпВп.
Введем обозначения. Пусть lk есть длина дуги AkBk; sk и хк суть
длины дуг AkAk и AkAk, где Ак, Ак — точки дуги АкВк, такой, что
длина дуги Aktk (sk) равна sk; гк = rk (skxk) = | tk (sk) — tk (хк) |; гтк =
= ГтъЩп, хк) = | tm (sm) — tk (xfc)|; ak - ak (sk, xk) есть угол, образо-
ванный вектором tk (хк) — tk (sk) с вектором tk, касательным к дуге АкВк
в точке tk (хк); атк = отк (sm, хк) есть угол, образованный вектором
(xr) — tm (sm) с вектором tk; (як) есть угол, образованный
вектором tk с направлением скорости в бесконечности; Тк (s) — функция,
равная разности скорости потока по одну и по другую стороны дуги АкВк
в точке tk ($). В смысле знака здесь предполагаются условия, установлен-
ные в § 2 для случая одной обтекаемой дуги. При этих обозначениях
имеем
к=1 о
гДе / (z) есть функция течения.
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
405
Для определения функций ($) имеем следующую систему интеграль-
ных уравнений:
п lk
_L j т, W ds + J- £ J iS. T, (s) dS _ - F. sin »„
0 K=2 0 1
l. «
4- S +4- £ Jiw* = - v~si"
0 k^2 0 2K
n—1
r Tn (s) ds + yi С С08^ T* (s) ds = _ Foo sin
ЛИТЕРАТУРА
1. Glauert H. The elements of airofoil and aircrew theory. Cambridge, 1927. 228 p.
2. Polya G., Szego G. Aufgaben und Lehrsatze aus der Analysis. B.: Springer, 1925.
Bd. 2. 412 s.
3. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке // Тр. ЦАГИ.
1927. Вып. 29. 207 с.
33
ОБ ОДНОЙ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ
В ТЕОРИИ КРЫЛА АЭРОПЛАНА*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя работа профессора М. А. Лаврен-
тьева является завершением длинного ряда работ, имевших в свое время
большое, чтобы не сказать решающее, значение в истории аэродинамики
скрыла. Напомним вкратце содержание и результаты этих работ.
Первой из них было открытие академиком С. А. Чаплыгиным крыла,
имеющего форму инверсии параболы, и его обтекания. Вскоре за откры-
тием С. А. Чаплыгина профессору Жуковскому удалось дать новую ин-
терпретацию найденного крыла. Профессор Жуковский предложил при
этом общий способ получения крыльев конечной толщины, исходя от бес-
конечно тонких дужек. Имея некоторую дужку (основную дужку) бес-
конечно малой толщины, обтекание которой нам известно, мы всегда в со-
стоянии применить к ней указанный профессором Жуковским прием оде-
®ания (оконтуривания). Получающееся при этом крыло приблизительно
сохраняет очертания основной дужки — ее кривизну, длину, продолго-
ватую форму и т. д., и Жуковскому удалось доказать, что мы всегда в со-
стоянии найти обтекающий его (это крыло) поток.
* М.; Л.; Гостехтеоретиздат, 1934. 40 с.
406
IV, Механика и математическая физика
При этом обнаружилось, что дужка, указанная академиком Чаплыги-
ным, получается в том случае, если мы за основную бесконечно тонкую
дужку возьмем дугу окружности и применим к ней прием одевания Жу-
ковского.
Эти результаты, замечательные по .своему изяществу, приобрели по-
всеместную известность, а само крыло, не вполне справедливо, получило
наименование дужки Жуковского.
Дальнейший значительней шаг в построении теории крыла Жуков-
ского сделали немцы, которые, проведя, соответствующие испытания, по-
казали, что для этой формы крыльев, результаты, даваемые теорией, до-
вольно хорошо совпадают с их экспериментальными свойствами.
Одновременно немцы обнаружили* что крылья Жуковского показы-
вают выдающиеся летные, свойства и отношение к = P!W у них очень
велико. Кроме того, крылья эти обладают прекрасной подъемностью, и на
них мы в состоянии получить большие величины коэффициентов подъем-
ной силы. В результате крыло, илц дужка Жуковского, стало применять-
ся в летном деле, и из него позднее был получен целый ряд производных
профилей, для которых оно является прототипом. Можно даже с извест-
ным правом утверждать, что дужка Жуковского лежит в основе общепри-
нятой формы современного крыла.
Пытались, разумеется, также отыскать формы крыльев, которые да-
вали бы еще лучшие характеристики, чем дужки Жуковского, но попытки
эти не имели особенного успеха. Оказалось, что формы крыльев, развив-
шиеся из дужки Жуковского, принадлежат к числу наилучших, и другие
хорошие крылья не обнаруживают сврйств, которые позволили бы отдать
им безусловное предпочтение. В результате экспериментальные аэродина-
мические лаборатории сталй на ту точку зрения^ что поиски дужек с опти-
мальными свойсгцми, ьорбще говоря, неблагодарная работа, так как
если в ее результате и получаются иногда какие-нибудь улучшения, то
выгоды от них ничтожны сравнительно с затрачиваемой на них работой.
Кроме того, выгоды эти обыкновенно Лежат в пределах возможных экс-
периментальных ошибок.
Однако за всем этим оставались невыясненными следующие важные
вопросы: во-первых, было совершенно непонятно, отчего аэродинамичесг
кой теории повезло настолько, что первая же указанная ею обтекаемая
дужка обнаружила свойства, хорошо совпадающие с теми, которые пре-
дугадываются теорией идеального потока; во-вторых, еще меньше мн
в состоянии объяснить, почему дужка эта оказалась принадлежащей
к разряду наивыгоднейших.
Вообще говоря, из того, что мы умеем найти обтекание дужки, вовсе
не следует, что дужка эта выгодна в практическом отношении, так как
качество дужки зависит прежде всего от ее работы в вязком потоке.
Случай с дужкой Жуковского является поэтому счастливым случаем»
требующим объяснения.
Найти объяснение тем более желательно, что удача с дужкой Жуков-
ского породила среди отдельных инженеров мысль, что, вообще говоря»
если дужка обтекаема, т.'е. если мы умеем найти для нее обтекание»
то она выгодна.
Неверность этой мысли очевидна, так как, теоретически говоря, не*
обтекаемых дужек нет и для всякой дужки можно найти обтекание ее
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
407
идеальным потоком. Наше же неумение решить эту задачу является всегда
лишь чисто временным .затруднением, основанным на недостаточном раз-
витии математического ^анализа. • ,,
Точно так же далеко не вое крылья имеют свойства, которые указы-
ваются теорией идеального потока, и дужка Жуковского является исклю-
чением также и в этом отношении. .
Впрочем, мы можем считать, что совпадение полученных для нее экс-
периментальным путем коэффициентов подъемной, силы с теми, которые
предвычислены теоретически, объясняются хорошими свойствами дужки,
ибо, чем лучше дужка, т. е. чем меньше создаваемые ею потери к вязком
потоке, тем меньше должны отличаться и экспериментальные свойства ее
от тех, которые- она обнаружила бы в потоке идеальной жидкости*
Таким образом из двух поставленных нами выше вопросов остается
один: почему дужка Жуковскрго, выгодна?
Конечно, имеет значение также и,то обстоятельство, что форма эта
удовлетворяет основным условиям, выполнение которых требуется от
хорошей формы крыла. Она представляет собою продолговатое, сравни-
тельно узкое тело и, за исключением двух концов, переднего и заднего,
не имеет на своем контуре точек с брлыпрй кривизной. Однако выпол-
нение только этих условий является далеко не достаточным, и? поставлен-
ный нами вопрос остается в силе. Его можно расчленить следующим об-
разом:
1) удачно ли выбрана основная дужка, к которой применен прием
Жуковского; ....
2) целесообразен ли с гидравлической точки зрения самый процесс
одевания Жуковского.
Вторую часть вопроса мы имеем все основания считать менее насущ-
ной, так как в этом отношении могут быть найдены некоторые объясне-
ния. . 4
Необходимость одевания дужки следует из того, что при этом, благо-
даря округлению переднего конца, устраняется опасность срыва потока
на этом конце.
В защиту же самой формы дужки можно привести то соображение,
что она может быть получена нами при помощи метода вытеснения обте-
кающего крыло плоскопараллельного потока другим вспомогательным
потоком [1]. Правда, при этом приходится располагать поток не просто
на плоскости, а на римановой поверхности (двойчатке). Главный поток,
обтекающий крыло, происходит на одном листе двойчатки, а вытесняю-
щий его вспомогательный поток задается некоторым диполем и вихрем,
расположенными в одной и той же точке, которая находится на втором
лцсте (римановой двойчатки).
Соответственно сказанному второй поток совершается главным обра-
зом внутри второго листа, и только отдельные (немногочисленные по рас-
ХоДу) его струи попадают через связывающую листы накрест друг с Дру-
гом купюру в плоскость первого листа. .
Эти последние струи омывают в области первого листа небольшую
область, которая и представляет собой крыло Жуковского.
Таким образом очертания одевающего основную дужку профиля в слу-
крыла Жуковского выбраны непроизвольно, как это получилось бы,
Например, если бы мы поставили в поток некоторое твердое тело и, таким
408
IV. Механика и математическая физика
образом, жестко изменили бы форму его струй. В данном случае мы дейст-
вуем на поток не при помощи твердых перегородок, а при помощи другой
движущейся жидкой массы — элемента податливого и не могущего с про-
извольной силою воздействовать на соседний поток, но только ставящего
ему некоторые ограничения.
Короче говоря, границу течения — дужку — мы задаем не по своему
усмотрению, а так, как ее выбирает свободно протекающий, непринуж-
денный поток, образованный комбинацией двух составляющих его те-
чений.
В гидравлической практике давно установилось правило, согласно
которому очертания стенок, направляющих поток, следует выбирать,
считаясь с внутренней механикой потока и по возможности соблюдая
собственные его направления. На основании того, что нами только что
сказано, следует, что правило это вполне соблюдается приемом одевания
основной дужки, предложенным Жуковским.
Кроме того, можно доказать, что, вообще говоря, свойства крыла
Жуковского очень мало отличаются от свойств основной дужки (т. е.
от свойств дуги окружности, работающей как крыло), если только при
обтекании последней не возникает отрывов на переднем конце, о которых
мы уже говорили. Вывод этот, полученный одновременно и теоретически
и экспериментально, является истиной — и хорошо доказанной, и вполне
для нас понятной [2, 3].
Таким образом объяснения удивительных свойств крыла Жуковского
необходимо искать, прежде всего, в свойствах его основной дужки.
В связи со сказанным, приобретает значение результат, полученный
профессором Лаврентьевым в предлагаемой вниманию читателя работе,
где обнаруживается, что эта основная дужка — дужка окружности ~
обладает вариационными свойствами и является для данной длины и для
заданного максимума кривизны наилучшей, в смысле величины подъем-
ной силы, дужкой.
Открытие это прекрасно завершает цепь работ, перечисленных вы-
ше, объясняя нам удивительные до сих пор свойства дужки Жуков-
ского.
В самом деле, так как нет никаких оснований предпсгЖвать, что дужка
Жуковского будет создавать сопротивление больше, чем другие достаточно
плавные по своим очертаниям дужки, и так как у этой дужки величина
подъемной силы Р при прочих равных условиях больше, чем у остальных,
то, очевидно, мы имеем полное объяснение того, почему качество дужки
Жуковского, т. е. величина отношения PIW больше, чем у других кры-
льев. Отметим, что величина W после исключения из нее индуктивного
сопротивления оказывается величиной почти постоянной для различных
дужек одной толщины, исполненных из одного материала и имеющих
одинаковую обработку стенок.
Второе же свойство дужки — ее большая летучесть (или большая
величина коэффициента подъемной силы Су) — не требует даже никаких
пояснений, так как непосредственно вытекает из самого заголовка тео-
ремы, доказанной профессором Лаврентьевым.
Учение о крыле Жуковского, таким образом, должно с настоящего
времени войти во все курсы аэродинамики в качестве примера, где
стигнуто полное понимание существа вопроса и наилучшее осуществлю-
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
409
ние всегда желательного для нас синтеза двух обычно отрицающих друг
друга начал — теории и эксперимента.
П. Вальтер
Пусть дана простая спрямляемая дуга АВ (черт. 1) длиной не больше I
и кривизна которой в каждой точке не превосходит число К. Допустим,
кроме того, что дугу АВ обтекает плоскопараллельный поток идеальной
несжимаемой жидкости при следующих условиях: 1) точками разветвле-
ния и схода потока являются соответственно точки А и В; 2) скорость
потока в бесконечности равна V^.
Главной целью настоящего исследования является доказать следую-
щую теорему.
Теорема 1. Если К < с/l, то среди всех дуг АВ, обладающих ука-
занными выше свойствами, наибольшей подъемной силой обладает дуга
окружности радиуса 1/К и длины I, где с — константа, которую можно
принять равной: с = V2i. {Не меняя хода доказательства, но уточняя
приведенные ниже подсчеты, значение константы с можно увеличить
в два-три раза. Кроме того, применением тех же методов нетрудно по-
казать, что при значениях с, близких к 2л, теорема не верна.)
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, мы устано-
вим несколько вспомогательных предложений, которые могут иметь
также значение при решении других аналогичных экстремальных задач
в теории плоскопараллельного потока. Целью этих лемм является выяс-
нить влияние различных вариаций обтекаемого контура на подъемную
силу этого контура.
1. Допустим, что плоский поток с заданной по величине скоростью
в бесконечности обтекает контур АаВЪА (контур С) при условии, что
точкой разветвления потока является точка А и точкой схода является
точка В. Отметим, что контур АаВЪА есть простая замкнутая линия.
Кроме того, во всем дальнейшем мы будем предполагать, что обтекаемые
Дуги и контуры состоят из конечного числа дуг с ограниченной кривиз-
ной. Хотя некоторые предложения могут быть обобщены на более общие
Случаи, но мы их сознательно отбрасываем, ибо иначе задачи теряют гид-
родинамический смысл. Как известно, каков бы ни был контур и каковы
бы ни были точки А и В, требуемый поток существует и этими данными
определяется единственным образом.
410
IV. Механики и математическая физика
Радп большей простоты изложения условимся в дальнейшем подъем-
ной силой контура АаВЪА называть равнодействующую сил давления
потока на контур, взятую со знаком <<+», если при конформном отображе-
нии области течения на внешность круга радиуса единица (бесконечно
удаленные точки соответствуют друг другу) дуге АаВ отвечает на окруж-
ности дуга длины больше л, и взятую со знаком «—», если отмеченная
дуга окружности окажется по длине меньше л. Будем также для краткос-
ти через Dc обозначать область течения.
При этих обозначениях докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть обтекаемый потоком контур АаВЪА обладает
положительной подъемной силой. При этом условии, если в обтекаемом
контуре дугу АаВ или часть этой дуги заменить дугой, целиком принад-
лежащей Dc, то новый контур Сг будет обладать большей подъемной
силой, и есЛи дугу ВЪА или часть этой дуги заменить дугой, целиком при-
надлежащей Dc, то новый контур С2 будет обладать меньшей подъемной
силой (черт. 2).
Замечание 1. Здесь, как было отмечено выше, при расчете подъ-
емной силы продеформированного контура предполагается, что: 1) ско-
рость потока в бесконечности по величине не меняется и 2) точками раз-
ветвления и схода потока все время остаются соответственно точки А и В.
Замечание 2. Лемма остается в силе также тогда, когда обтекае-
мый контур содержит точки, достижимые неприводимыми один к другому
путями (когда, например, обтекаемый контур есть простая дуга с концами
А и В). В этом случае надо только каждую дугу, состоящую из таких
точек, мыслить как двойную.
Доказательство. Пусть w = f (z) есть функция, реализующая
конформное отображение области течения, обтекающего контур С, на
внешность круга | w | 1 и такая, что / (оо) = оо. Обозначим через 2&
длину дуги окружности, соответствующую при этом отображении дуге
АЪВ. При этих обозначениях, в силу известной формулы Жуковского,
подъемная сила контура С будет равна:
_ 4л7оор cos О
ГГ(^) ’
где р — плотность среды. Так как величины Foo и р постоянны, то дока-
зательство нашей леммы сводится к следующему: показать, что выражение
при указанных деформациях обтекаемого контура соответственно в пер-
вом случае увеличивается и во втором случае уменьшается..
Увеличение Рг при деформации дуги АаВ (черт. 2) вытекает непосред-
ственно из известных принципов Линделёфа и Монтеля:
Пусть D и D' — две области, ограниченные простыми замкнутыми
линиями Жордана Г и Г' и принадлежащие плоскости z; допустим, что:
1) D’ содержится в D- 2) Г и Г' имеют общую дугу а^. Отобразим кон-
формно области D и D' на круг | w | < 1, так что точке w — 0 отвечает
одна и та же точка z0 в D и D'. Пусть ар и а'Р' — дуги окружности
I w | = 1, которые соответствуют при отображениях дуге ab. При эти*
условиях имеем:
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
411
1) принцип Линделёфа: производ-
ная ПРИ отображении/) на
круг будет не больше, чем произ-
I dw I
водная при отображении
Dr на тот же круг;
2) принцип Монтеля: длина .дуги
<%[5 не меньше длины дуги а'Р'.
В самом деле, при указанной де-
формации дуги АаВ, с одной стороны,
в силу принципа Линделёфа |/'(оо)|
уменьшается, с другой стороны,
в силу принципа Монтеля угол 0
0
уменьшается, следовательно, cos-^-
увеличивается, что п доказывает
первую часть леммы.
Докажем вторую часть леммы
(черт. 3). В силу известных свойств
конформных отображений, если
| /' (оо)| и 0 рассматривать как
функции линии АаВЪА, то эти
функционалы будут непрерывны,
следовательно* нашу лемму доста-
точно доказать для случая, когда
произвольная часть дуги АаВ, пусть
ЪсЪ', будет заменена дугой Ъс'Ъ', об-
ладающей, непрерывно вращающейся
касательной и образующей в точках
Ь и Ъ' с дугой ЪсЪ' прямые углы.
Обозначим продеформированный кон-
тур через С.
ВозьмвхМ теперь на дуге Ъс'Ъ' про-
извольную точку — пусть это будет
точка с' — и рассмотрим подъем-
ную силу вспомогательного контура,
состоящего из первоначального кон-
тура АаВЪА и дуги 6с'. В силу фор-
мулы (А) и свойств конформных отоб-
ражений, подъемная сила контура
будет непрерывной функцией точки
причем когда с' совпадает с точ-
кой 6, то построенный контур совпа-
дает с контуром С, и его подъемная
Черт. Зс
сила будет равна подъемной силе недеформированного контура. С другой
стороны, когда точка с' неограниченно приближается к точке 6', то подъем-
ная сила нашего контура стремится к подъемной силе контура С'. Обоз-
начим через Dc' область, занятую потоком, обтекающим вспомогательный
Контур. Отобразим конформно область Dc, на внешность круга | w | 1
412
IV. Механика и математическая физика
при условии, что бесконечно удаленные точки соответствуют друг другу.
Пусть
W = fc' (z)
есть функция, реализующая это отображение, и пусть 20с' — длина дуги
окружности, соответствующая при этом отображении дуге АЪс'ЪЪ'В.
В силу отмеченных свойств подъемной силы вспомогательного контура,
если через с" обозначить точку дуги bc'b', лежащую между точками сг
и Ъ’, для доказательства’ леммы достаточно доказать следующее нера-
венство:
При доказательстве этого неравенства мы можем предполагать, что
точка с" бесконечно близка к точке с', и, в соответствии с этим, все вычис-
ления будем вести, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков.
Введем вспомогательное комплексное переменное $ = р^°.
Отобразим конформно область Dc' на внешность круга | $ | 1 при
условиях соответствия бесконечно удаленных точек и точек с', J = 1
границ. Пусть
J = /1 (z)
есть функция, реализующая это отображение, и обозначим через 0Х и 0^
модули аргументов точек А', В' окружности, соответствующих точкам
А и В. При этом отображении бесконечно малой дуге с'с” отвечает на
плоскости & бесконечно малая дуга у, выходящая из точки J = 1 орто-
гонально к окружности | j | = 1.
Область, получаемую из области | $ | > 1 удалением дуги у, отобра-
зим конформно на внешность круга | w | 1 при условиях соответствия
бесконечно удаленных точек и точек $ = —1 и w = —1. Пусть
W = /2 (0
есть функция, реализующая это отображение. Обозначим через 02 и 02
модули аргументов точек, соответствующих точкам А’ и В'.
При этих обозначениях будем иметь
» = /с' (Z) = /х (z), W = /с- (z) = /2 l/x (z)],
следовательно,
I /с' (оо)| = I А (оо)| I /2 (оо)|,
20с' = 01 + 0L 20С” = 02 + 0,',
причем, в силу условий доказываемой леммы
О < 20С' < л,
значит
О < 0Х + 0j < Л. (а>
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
413
Таким образом наша задача приводится к изучению | /2 (°°)|, 02 — 01
и 02 — 0Х. Для этой цели, пренебрегая бесконечно малыми высших по-
рядков, будем считать, что криволинейный отрезок у есть отрезок оси х,
тогда функция /2 (i) может быть выражена элементарно:
(1 + h) (w + + 2h = J + -у- ,
где h — бесконечно малая.
Следовательно,
Кроме того, полагая & = е{01 и w = ei0% получим
2 (1 + h) cos 02 + 2Д = 2 cos 0X.
Отсюда, обозначая бесконечно малую величину 02 — 0Х через Д0 и
отбрасывая бесконечно малые высших порядков, получим
h cos 0Х — sin 0ХД0 + h — О
или
до = h ctg .
&
Следовательно, опять отбрасывая бесконечно малые высших порядков,
имеем
иЛ,
{-ctg
1 Г 02 + 0Х 01 + 01
Bi + ех L 2 2
cos--2---
= - —ctg—-------(ctg-
где положено:
( е, о; ?
t I ctg— + ctg ~2~ I
ctg—2-ctg~2~ —1
В силу (a)
ctg -^r- ctg -1 > 0.
Следовательно, p 0, кроме того, легко подсчитать, при всех зна-
чениях 0j и 01, 0! + 01 < л, имеем
Н> 1,
отсюда
cos 0С" — cos -- = cos —1 х— (1 — —- cos 0С'(1 —
414
IV. Механика и математическая физика
Таким образом, окончательно:
—п __ —cos 0С' (1 —
|/с. (оо)| COS0^- |/с,(оо)|
cos 0„,
|/с'(°°)1
. 1 Л
< ---7----- CQSVc>.
I fe' (°°)l
Из доказанной леммы получается
непосредственно следующий результат.
Среди всех дуг ограниченной кривизны
(кривизна в каждой точке не< больше К) > со-
единяющих две данные точки А и В,
АВ 2/К и принадлежащих кругу с диа-
метром АВ, наибольшей подъемной силой обладает* дуга окружности ра-
диуса ПК. .
Для доказательства соединим точки А и В дугой С с постоянной кри-
визной К (черт. 4), принадлежащей кругу с диаметром АВ. Кроме того,
проведем в том же круге произвольную дугу С± кривизны не больше К,
соединяющую точки А и В.
Считая подъемную силу дуги С положительной, докажем, что подъем-
ная сила С больше подъемной силы Сл. Для этой цели разобьем переход
от дуги окружности С к дуге Сг на две части (черт. 4): 1) перейдем от
дуги С± к контуру С2, составленному из дуг С и Сх; предполагая, что
точками схода и разветвления потока остаются точки А и В, в силу
леммы подъемная сила контура С2 будет больше подъемной силы дуги Сх,
так как в силу условий дуга Сх расположена с вогнутой стороны дуги С;
2) переходим от контура С2 к дуге окружности С; в силу той же леммы
при этом переходе подъемная сила также увеличивается. Этим предло-
жение доказано.
2. Возвращаясь к основной задаче, имеем: в силу основной леммы
проделанным выше построением доказывается,, что среди дуг, определен-
ных в условиях основной теоремы, наибольшей подъемной силой обладает
выпуклая дуга.
Целью дальнейших вспомогательных предложений является дать ко-
личественные оценки вариаций | f (оо)| и cos 0 при различных простей-
ших вариациях дуги АВ.
Лемма 2. В плоскости комплексного переменного w дана простая
дуга АВ, обладающая ограниченной кривизной. Удалим из плоскости ш
часть дуги АВ, пусть AS, с концами в точках А и S и длины s, и отоб-
разим конформно полученную область Ds на внешность круга | z | 1»
при условии соответствия бесконечно удаленных точек. Обозначим через
w = f (z, s)
Функцию, реализующую это отображение. При этих условиях будем иметь
-^-1п|/Доо,5)|<4
(1)
33. 'Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
415
где и есть длина хорды, стягивающей дугу AS. Знак равенства достига-
ется. когда АВ есть отрезок прямой.
Не нарушая общности доказательства, будем предполагать, что точка
А находится в начале координат и что точка S лежит на положительной
части действительной оси. Обозначим через и абсциссу этой точки (черт. 5);
Введем вспомогательное комплексное переменное j и отобразим кон-
формно область Ds на область, получаемую выбрасыванием из плоскости
$ отрезка действительной оси, заключенного между точками j = 0 и 4 = и.
Пусть при этом отображении друг другу соответствуют бесконечно уда-
ленные точки и точки w — и, j = и. Пусть далее,
w = Р (i) (2)
есть функция, реализующая это отображение.
Докажем, что
1^'(«)1>1. (3)
Для этой цели произведем предварительно преобразования отображае-
мых областей подстановками:
J = 1/£, w = 1/W.
Подставляя в (2), получим
<4>
Так как при j = и имеем: w ~ и. — 1/u, W — Ни. то при j = и
dW _ dw
dt, “ di ‘
Следовательно, для доказательства (3) достаточно показать, что
Г dW 1 . Л
I —7Г" > 1-
L _k=i/u
В силу определения F (j) функция
обладает следующими свойствами: 1) (0) = 0, Ft (1/u) = 1/u и
2) функция W = Fr (t>) дает конформное отображение области, получаемой
416
IV. Механика и математическая физика
выбрасыванием из плоскости £ положительного куска действительной
оси (1/и, °°), на область, получаемую выбрасыванием из плоскости W
криволинейного луча с концами в точках 1/и и ос.
Заметив это, допустим от противного, что при £ = Ни
dW<d^.
Соединим в плоскости £ точку £ = Пи с точкой £ = х < 1/и, действи-
тельной оси, отрезком прямой. Этому отрезку, в силу отображения W =
= F (j), будет отвечать в плоскости W кривая Лх, выходящая из точки
W = Ни. Обозначим через а длину этой кривой. Имеем
do = I dW I
dx ~\ d£ I ’
Отсюда, в силу гипотезы, при достаточно малых х,
а < х.
С другой стороны, в силу теоремы Кёбе—Бибербаха, если а < х (модуль
W соответствующего концу кривой Lx меньше х), то
I dW I _ do . .
I d^ |S=x’ dx
Следовательно, при 0 < х <1 Ни имеем а < х, что невозможно, ибо если
х = 1/и, то а есть длина дуги, соединяющей точки W = 0 и W = Ни.
Перейдем к доказательству основного неравенства (1). Для этой цели
воспользуемся введенной выше функцией F ($. Имеем
w = /(z,s> = + + -у-}. (5)
Выразим теперь также через F (j) функцию / (z, s + As). В силу соот-
ветствия w = F (j), бесконечно малой дуге As будет отвечать в плос-
кости j бесконечно малая дуга у, выходящая из точки J = и и каса-
тельная в этой точке действительной оси. Пренебрегая бесконечно малыми
высших порядков, мы будем считать, что у есть отрезок действительной
оси; пусть Au — его длина. В силу (3) при достаточно малых As будем
иметь
As < Au,
(6)
кроме того,
+ (=, + -!-)+ -^4. Р)
Дифференцируя равенства (5) и (7) по z и полагая z — 00, получим
|/'(oo,s)| =-2L-1F'(оо) |„
I /' (оо, s + Де) | = Ц +4А“ IF' (оо) |
Следовательно,
/' (оо, ? +Ду) —/' (00, g) _ 1 . р, , . | Дм
Д$ 4 I ' '। As
(8)
(9)
33. Об одной экстремальней задаче в теории крыла аэроплана 417
Заставляя As стремиться к нулю, принимая во внимание (6) и деля
почленно предельное равенство на равенство (8), получим (1).
3. Лемма 3. Пусть область D, принадлежащая плоскости комплек-
сного переменного w = и + fp, есть область, получаемая выбрасыванием
из верхней плоскости v 0 континуума Е (связное замкнутое множество,
черт. 6), принадлежащего правой полуплоскости и^> 0. Пусть, кроме
того, С: и — f (и) 0, есть кривая, выходящая из начала координат орто-
гонально действительной оси и обладающая непрерывной кривизной, рав-
ной К в начале координат. Отобразим конформно область D на верхнюю
полуплоскость у 0, z ~ х + 1у, при условиях, что точки w = i, w = О
переходят в точки z — i, z = 0. Пусть, Cr, х — ji(y), есть кривая, соот-
ветствующая кривой С при этом отображении. Обозначая через Кг кри-
визну кривой С± в начале координат, будем иметь
к < кг.
Доказательство. Выясним сначала связь между соответст-
вующими друг другу кривыми С и Ci в случае, когда континуум Е есть
прямолинейный отрезок у длины а, перпендикулярный действительной
оси (черт. 7). Кроме того,— для наших целей этого будет достаточно —
ограничимся случаем, когда число а (длина отрезка) бесконечно мало.
Заметим, что при изучении связи между С ъ (\ можно рассматривать
конформное отображение области D на полуплоскость при условии, что
точкам w — i, w = 0 будут отвечать точки z — —b + i, z = —Ь, где
b — любое действительное число.
Рассмотрим функцию
л z2 —
14 M. А. Лаврентьев
418
IV. Механика и математическая физика
Эта функция реализует конформное отображение верхней полуплоскости
у 0, на область, получаемую выбрасыванием из полуплоскости ц > Q
отрезка О п -ад — а мнимой оси.
/1+4
Отсюда, добавляя к построенному преобразованию дробно-линейное,,
мы получим функцию w = F (z), реализующую отображение D на полу-
плоскость при нужных начальных условиях. По принятому условию наша
задача сводится к изучению F (z): 1) в точке, где F правильна и относи-
тельно z и относительно а; 2) для значений а как угодно малых. Следо-
вательно, во всем дальнейшем, при разложении F по степеням а мы мо-
жем ограничиться лишь старшим членом этого разложения. Отсюда
ах = а, • l = z---§-а2(г + 4_)- (10>
Таким образом, точкам z — —b, z = —Ъ + г будут отвечать, соответст-
венно, точки
£1 = —Ъи = — br — т + i (1 — га),
где
b1^b—La^(b + -Ly, m = --La*
_ 1 . 6»
П 2 а 1 + 6» •
Произведем теперь над переменным £ дробно-линейное преобразование:
где Сиг — действительные числа, такие, чтобы точке отвечала точка
w = i. Замечая, что тип — бесконечно малые порядка а2, и отбрасы-
вая бесконечно малые высших порядков, получим
С = 1 + п; г = т.
При этом преобразовании прямолинейный отрезок оси 0 ц &
перейдет в дугу окружности радиуса 1/ттг, ортогональную к действитель-
ной оси в начале координат w = 0. Длина этой дуги, сохраняя принятую
степень точности, будет равна а2. Таким образом соотношение между
переменными z и ir, устанавливаемое формулами (10) и (11), дает конформ-
ное отображение верхней полуплоскости на область Z), которая получа-
ется выбрасыванием из полуплоскости прямолинейного отрезка; при рас-
сматриваемом преобразовании область D получится выбрасыванием ив
полуплоскости дуги окружности радиуса 1/ттг, но это различие при доста-
точно малом а, очевидно, на результат влиять не будет.
При этом отображении точкам z — —Ъ, z — —Ъ + i будут отвечать
соответственно точки w = 0, w = i.
Определим теперь кривизну кривой, в которую перейдет кривая
х = /х (*/), /1(0) = —Ъ. Для этой цели определим, куда перейдет при пре-
образовании (10) точка z = — Ъ + h + ik, принадлежащая кривой х =
= (/ (0) = — b). Обозначая искомую точку через £ = — Ъг + р + iv,
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
419
будем иметь
]x — h — а |Л+ &[(6_ А)»+ц8] j , (12)
v = А: 2" а2 {1 (6_А)2+,
или, считая к бесконечно малым и отбрасывая бесконечно малые высших
порядков, получим
^Л+4-a^^V; (13)
отсюда
р h 1 а*к
~ ~~к ÓД *
(14)
Определим теперь, куда перейдет найденная точка С — —+ р + iv
при преобразовании (11). Обозначая искомую точку через и + гр, будем
иметь
и + iv = (1 + п)—= (1 + П) [1 — т (и + iv)] (|1 + iv) =
= (1 4- ft) (И + iv) — fti (ц + iv)2,
отсюда
и = (1 + п) р + znv2,
. v = (1 + п) V,
или
и v _ h 1 л2 1
v* к Та b*(b*+\) ‘
Таким образом, так как
limA = 4-^ Ит4 = -Г* и Hm^- = |F(-b)|,
fc-ч) К z »-о v 2 k-o К
то, переходя к пределу при К -> 0, получим
g|/-(-b)i=g,-4-1,(/+1) .
_______________ ___ 12"* ___ /Г -J_________-______________Д2_______
|F'(— &) | — Л"]'2|Г(— d) | d3(d2+l) *
(15)
(16)
(17)
Полученная формула (17) показывает, что выражение К* будет больше
К, если отрезок у (область D получается выбрасыванием отрезка у из
верхней полуплоскости v > 0) расположен справа от начала координат
(6 0), и К* будет меньше К, если у расположен слева от начала коор-
динат.
Для большей простоты изложения условимся кривизну К кривой
х == Д (у) считать положительной, если f{ (у) > 0, и отрицательной, если
(у) <z 0. При этом условии, в силу приведенных вычислений, формула
14*
420 - ... IV^..Ме&аника и математическая физика
(17) имеет место при значениях К как положительных, так и отрицатель^
ных.
Переходя к общему случаю, заметим, что в силу известных свойств
последовательностей унивалентных функций достаточно доказать лемму
для случая, когда континуум Е есть простая дуга АВ аналитической кри-
вой, расположенной в положительном координатном угле (и 0, v > 0)
и один конец которой (А) находится на положительной части действитель-
ной оси.
Прежде чем дать доказательство леммы в общем виде, разберем еще
один частный случай. Допустим, что при конформном отображении обла-
сти D на полуплоскость континуум Е переходит на положительную часть
действительной оси. Обозначим через I длину дуги АВ и через Ds область,
которая получится, если к области D добавить дугу BCS (часть дуги АВ)
длины I — 5. Отобразим конформно область Ds на полуплоскость i/?> 0,
w = Fs (z) при условиях, что точки w = 0, w = t переходят в точки
2 = 0, z — I. Положим
где К (s) есть кривизна (в начале координат) кривой, в которую переходит
при отображении кривая и = / (у). Докажем, что К* (s) есть монотонно
возрастающая функция 5. Для этой цели введем вспомогательное пере-
менное £ = £ + ир Пусть теперь при отображении w = Fs (£) точке Cs
плоскости w отвечает точки S = Ь; Ъ есть действительное число; кроме
того, в силу добавочного условия й >0. Таким образом, при этом конформ-
ном отображении бесконечно малому отрезку CsCs+bs дуги А В будет от-
вечать в плоскости £ бесконечно малый отрезок, выходящий из точки
£ = Ъ 0 ортогонально действительной оси. Пренебрегая бесконечно
малыми высших порядков, мы можём считать, что отображение w =
= Fs+bs (z) есть результат отображения w = Fs (z) и отображения £ =
= F (z), изученного при рассмотрении первого случая леммы. Отсюда,
в силу (17), \
К = К (s) | F' (-b) 1 + 4^з(£ +1Г ’
или, деля левую и правую части на | f\ (0) | | F' (—Ь) |,
A (з + As) = К (в) , J________1__________а2 .
Ю0)||Г(-&)|~|^(0)| 2 1^(0)| |Г(- 6)| 63(&2+1) ’
но
I К+дз (0) I = I X (0) I I F' (-&) I,
следовательно, при достаточно малых Д$ имеем
К* (s + Д$) - К* (s) > 0.
Аналогично, если кривая АВ расположена в левой полуплоскости,
будем иметь
АГ* (s + As) - К* ($) < 0. (18)
33. Об одной '.экстремальной^ задаче в wgapuu.. крыла аэроплана
421
Черт. 8а
Черт. 8Ъ
При s = 0 область Ds вырождается в полуплоскость:
F9 (z) = z;
отсюда
К* (0) = 'Х,
где К есть кривизна данной кривой и = f (и) в начале координат. Таким
образом, если Е в правой полуплоскости и при отображении переходит
в точки положительной части действительной оси, то
К* > К, (19)
и если Е в левой полуплоскости и при отображении переходит в отри-
цательную часть действительной оси, то
К* < К. (20)
Перейдем к общему случаю. Докажем, прежде всего (19), без приня-
того выше добавочного ограничения. Допустим, от противного, что су-
ществует дуга АВ, лежащая в правой полуплоскости и такая, что
К* < К. (21)
Возможны два случая: 1) при конформном отображении D на полу-
плоскость у 0 точке В соответствует точка, принадлежащая положи-
тельной части действительной оси и 2) при том же отображении точке В
отвечает точка отрицательной части действительной оси или точка беско-
нечность.
В первом случае (как раньше) заменим дугу АВ дугой BCS, принад-
лежащей дуге АВ. Применяя рассуждения, приведенные выше, если
точка Cs достаточно близка к точке В, найдем, что при такой деформации
области D неравенство (21) только усилится.
Во втором случае (черт. 8а или 86) строим, прежде всего, в плоскости w
семейство окружностей, проходящих через точку w = i и ортогональных
к действительной оси. Обозначим через уи окружность семейства, Пересе-
422
IV. Механика и математическая физика
кающую положительную часть действительной оси в точке и, 0< и < оо.
Пусть теперь yUo есть окружность, касающаяся кривой АВ и такая, что
все окружности и < и0, не имеют с кривой АВ общих точек. Обозна-
чим через Р точку /касания yUo и АВ (одну из точек касания, если таких
точек не одна). При конформном отображении D на полуплоскость точке
Р будут отвечать две точки действительной оси. Ради удобства в изложе-
нии мы, как это принято, будем считать линию АВ двойной; точка Р бу-
дет тогда тоже двойной. Обозначим через Р± конец путей, приводящих
в Р из внутренней части круга yUo, через Р2 точку Р, отвечающую другой
стороне АВ, Так как точке В отвечает точка отрицательной части дей-
ствительной оси, то и точке Р2 будет отвечать точка отрицательной части
действительной оси. Покажем, что точке Рг будет отвечать точка поло-
жительной части действительной оси; в самом деле, в силу принципа
Монтеля, если бы точке Рг отвечала точка отрицательной части оси х,
то это имело бы место при замене дуги АВ дугой у' окружности yUo, сое-
диняющей точку Р с точкой w = и0 действительной оси. Покажем, что
это последнее невозможно. Для этой цели отобразим конформно полу-
плоскость v > 0 на круг | £ | < 1 при условии, что точкам w = г, w = О
будут отвечать точки £ = 0, £ = 1; при этом отображении дуга у' перей-
дет в кусок радиуса P'Q окружности | £ | = 1, причем аргумент точек
этого радиуса будет меньше л. Обозначим через Dr область, получаемую
выбрасыванием из круга | £ | < 1 отрезка P'Q, Отобразим теперь D'
конформно на полуплоскость при условии, что точки £ = 0, £ = 1 пе-
рейдут в точки z = i, z = 0. При этом отображении, очевидно, точке Р'
будет отвечать точка положительной части действительной оси.
Этим высказанное утверждение доказано.
Заметив это, проведем в плоскости w окружность уПо+ди, где Ди 0,
и обозначим через Q&z дугу кривой А5°, содержащую точку Р и заклю-
ченную между точками пересечения кривой АВ с окружностью yUo+Au
(если Р' находится на действительной оси, то за Q2 принимаем Р
(черт. 86)). Заменим дугу QrQ2 (кривой АВ) дугой окружности yUo+Au,
соединяющей те же точки Qr и Q2 (точку Qr с точкой действительной оси).
В силу (19), (20) и приведенных выше замечаний, при указанной дефор-
мации области D, если Ди достаточно мало, принятое неравенство (21)
будет усилено.
Таким образом, в каждом из двух возможных случаев мы можем транс-
формировать дугу АВ так, что неравенство (21) будет усилено. К новой
дуге мы можем применить те же рассуждения и совершить одну из опи-
санных трансформаций, усиливающих (21). Продолжая этот процесс и
замечая, что если дуга АВ будет превращена в дугу окружности
то точке В будет соответствовать при конформном отображении (области
D на полуплоскость) точка положительной части действительной оси;
мы видим, что процесс может остановиться только тогда, когда АВ вы-
родится в точку. Но это невозможно, ибо когда АВ выродится в точку,
тогда D превратится в полуплоскость, и мы будем иметь
К* = К,
что противоречит принятому неравенству (21).
Таким образом неравенство (19) доказано. Замечая, что при любом s
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
,423
Черт. 9
X (0) > 1, окончательно получим
к (8) > 5(5) = к* > А’.
ИЛ) I
Лемма 4. В плоскости комп-
лексного переменного w дана простая
выпуклая дуга АВ, обладающая сле-
дующими свойствами*. 1) кривизна ду-
ги в каждой точке не больше К; 2)
если через s обозначить расстояние
от А до произвольной точки дуги,
измеренное по дуге, то при lQ s
дуга АВ имеет кривизну К. Пусть
ACS есть часть дуги АВ длины s,
s 10. Отобразим конформно внешность дуги АС& на внешность круга
] z | 1 при условии, что бесконечно удаленные точки соответствуют
друг другу. Обозначим через 20 меньшую из двух дуг {окружности
I z | = 1), определенных точками, которые при отображении соответ-
ствуют точкам А и Cs. При этих условиях, если то
-g->-l,5K. (22)
Доказательство. Отобразим конформно внешность дуги АС8
на верхнюю полуплоскость переменного £ при условиях, что точке
w = оо будет отвечать точка £ = i и точке Cs будет отвечать точка £ = 0.
При этом отображении дуге CsCs+&s, Д$> 0, будет отвечать в плоскости £
кривая у (черт. 9), выходящая из начала координат ортогонально к дей-
ствительной оси. В силу гипотезы 2 относительно дуги А В, легко пока-
зать, что кривая у будет обладать непрерывной кривизной. Обозначим
через До длину у и через К± ее кривизну в начале координат. Нашей
ближайшей задачей будет оценить сверху До и К±.
Начнем с оценки для До. В силу формулы (1) леммы 2, при конформ-
ном отображении внешности ACS на внешность прямолинейного отрезка
длины не больше -р- sin-^- = L. При этом бесконечно удаленные
точки будут соответствовать друг другу, точка Cs перейдет в один из кон-
цов отрезка. Производная отображающей функции в точке Cs будет по
модулю не меньше единицы. Следовательно, если через Дох обозначить
длину дуги, в которую переходит дуга CsCs+as, то будем иметь
Дог <1 Д$.
Отобразим теперь внешность прямолинейного отрезка на верхнюю
полуплоскость. Пусть прямолинейный отрезок принадлежит действи-
тельной оси плоскости W, и пусть его концы находятся в точках W = 0
и W ~ L. Допустим, кроме того, что точке Cs отвечает конец W = L.
При этих обозначениях искомое отображение будет
424
IV. Механика и математическая физика
отсюда
' (23)
Перейдем ко второй оценке. Прежде всего, для определенности по-
строений, будем в дальнейшем предполагать, что при изучаемом конформ-
ном отображении точка А переходит в точку отрицательной части дей-
ствительной оси плоскости £. Отсюда, пользуясь тем, что дуга АВ вы-
пуклая, можно доказать, часть кривой у, находящаяся * в окрестности
начала координат, принадлежит правой полуплоскости.-'
Мы это обстоятельство примем без доказательства, ибо, как покажут
дальнейшие рассмотрения, допущение, что у вблизи начала координат
расположена в левой полуплоскости, приводит к положительности ad/dsi
и искомое неравенство (22) оправдывается автоматически. 1
Построим теперь дугу Е*С8 (черт, 9) длины Z, принадлежащую окруж-
ности радиуса ПК и имеющую с дугой АВ общей частью' дугу Ci0Cs-
Обозначим через D (^ s) область, получаемую выбрасываййем из плоско-
сти дуг ACS и EtCs- Отобразим конформно область D (fps)4ia верхнюю
полуплоскость переменного £ при прещних начальных условиях (w =
= оо ~ £ — i, Cs ~ £ = 0). Обозначим через К (Z) кривизну кривой yt
(при £ = 0), в которую при этом отображении перейдет кривая CsCs+bs-
В силу построения при t^s — 10 имеем К (t) = Кх. В силу “рассуждений,
примененных при доказательстве леммы 1, при разбираемом .отображении
D (t, s) на полуплоскость, вогнутой стороне дуги E'tCs отвёчд^т. отрезок,
принадлежащий положительной части действительной оси,, .Следователь-
но, при том же отображении и при AZ достаточно, малому дуге EtEt+M
будет отвечать дуга 6f, расположенная в правой полуплоскости. Кроме
того, отображение области ./) (t + Az, s) .на полуплоскость можно осу;
ществить так: отображаем D (Z, s) на полуплоскость Im £ 0, затем из
этой полуплоскости выбрасываем дугу 8t и полученную область отобра-
жаем на полуплоскость Im £ ^> 0. Отсюда, применяя лемму 3, непо-
средственно получаем, что К (t + At) К (t) при Afr достаточно
малом и при любом t. Следовательно, при любом t
МК (2s) > К±, (24)
где М = и когда в описанном выше отображении положено
D (Z, s) = D (0, 5)~и Af = 2s.
Отобразим конформно внешность дуги E2SCS на верхнюю полупло-
скость Im т] > 0 (и? = оо ~ ц = f, Cs ~ т] = 0). Нетрудно подсчитать,
что при этом: 1) дуге CSCS+^S будет отвечать дуга окружности радиуса
Р = ctg Ks; 2) пользуясь условием Ks < л/4, элементарным подсчетом
можно показать, что дуга ACS перейдет в дугу (пусть б'), лежащую в ле-
вой полуплоскости. Пользуясь этим, _мы можем теперь дать оценку для
# (2s). Для этой цели рассмотрим конформное отображение области
D (2s, s) на верхнюю полуплоскость Im £>0 как результат отображения
внешности дуги E2SCS на верхнюю полуплоскость 1тт]>0и отображения
на верхнюю полуплоскость Im £ 0 области, которая получится, если
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
425
из полуплоскости Im г]>0 удалить дугу 6'. Замечая, что при втором из
этих отображений мы находимся в условиях леммы 3, получим
Отсюда, пользуясь (24), найдем
к /И* |rdi I 1 -1 dli hcrfF'
1 1r 1
Кроме того, за величины | dx\ | иь | d£ | можно принять длины беско-
нечно малых отрезков, в которые переходит бесконечно малая дуга
CsCsi-as при отображениях соответственно внешности дуги E2SCS и внеш-
ности дуги ACs на полуплоскость. При такой интерпретации величин
| dq |’ и | dt’l приемами, много раз здесь использованными (кривизна
АС3 меньше К. Ks < л/4), нетрудно показать, что | dq | < | |. Таким
образом; окончательно:
КЛ < tg.(As). . ‘ (26)
Итак, прй конформном отображении внешности дуги АС3 на полу-
плоскость Im £ > 0 (w = оо> ~ £ = Z, Сs ~ £ = 0) дуга CSCS+^S пере-
ходит в дугу, ортогональную действительной оси, длина и кривизна
которой оцейива'ются неравенствами (23) и (26).
Покажей'еще, что если через £ обозначить абсциссу точки, в которую
при отображений пербходйт точка А, тб будем иметь
Е>м=М ; (И)
* В самом деле, в силу рассмотрений, проведенных в лемме 1, для по-
лучения нужной оценки можно заменить дугу АС3 дугой окружности
кривизны К и с хордой, равной $. Проделывая отображение внешности
дуги окружности на полуплоскость, получим искомое неравенство (27).
Отображая конформно верхнюю полуплоскость переменного £ на
круг | z | < 1 (£ = i ~ z = 0, £ = 0 ~ z = 1), мы приходим к следую-
щему результату: при конформном отображении внешности дуги АС3
на круг | z | < 1 (w = оо ~ z = 0, ~ z = 1) дуга CSC3+^S переходит
в дугу, выходящую из точки z = 1 ортогонально к окружности | z | = 1,
длина Да2 и кривизна К2 которой удовлетворяют неравенствам
Ло2 < 2 f ML. (28}
К2 < V2 tg (Ks), (29)
где
Т 2 . Ks
Л — к sm 2 ,
кроме того, вогнутой части дуги АС3 отвечает дуга (20s) окружности
такая, что
л — 2 arcsin -4^- 20s < л. (30}
426
IV. Механика и математическая физика
Черт. 10
Перейдем теперь к доказательству основ-
ного неравенства. Прежде всего обозначим
через Д0 приращение угла 9 при переходе от
дуги ACS к дуге АСз+дз. Для оценки Д9 предста-
вим конформное отображение внешности дуги
ЛС5+д8 на круг | z | < 1 как результат двух
следующих конформных отображений (черт.
10): 1) отобразим внешность дуги ACS на
круг | g | < 1 (w = оо ~ = 0, Cs ~ С = 1);
2) обозначая через у кривую, в которую при
этом перейдет дуга CsCs+as, и через Со точку,
в которую перейдет точка С$+д5, отображаем
конформно на круг | £ I < 1 (£ = 0 ~ z = 0,
С = £0 ~ z = 1) область, получаемую выбра-
сыванием из круга | С I < 1 Дуги у.
Аргумент точки (плоскость £), соответствую-
щей при первом отображении точке Cs, есть,
очевидно, 29s. Аргумент точки (плоскости z),
соответствующей при втором отображении точ-
ке С — e^s есть, очевидно, 295ч-д«. Следова-
тельно, для оценки ДО = 08+д« — 9s достаточ-
но изучить второе отображение при условии,
что кривая у удовлетворяет условиям (28), (29)
и что 0з удовлетворяет неравенствам (30). Кро-
ме того, пренебрегая бесконечно малыми высших
порядков, мы будем считать, что у есть дуга
окружности радиуса
p = ctg-j->-^-2ctg(^s), (31>
где а есть величина, введенная для удобства
дальнейших вычислений.
Построим функцию
i — а
2 ‘g — +1
Функция реализует конформное отображение круга | £ | < 1 на круг
| j | < 1, причем, как показывает непосредственный подсчет, дуга
у переходит в отрезок уг действительной оси, выходящий из точки
1 = 1.
Выясним некоторые свойства этого отображения. Имеем
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
427
отсюда
= 1 — tg2^ =
|z=o 6 4
а
cos ~2~
cos* —
I I
I |2=1
1
а
cos ~2~
(33)
(34)
Пользуясь (34) и обозначая через h длину отрезка ух, получим
* = (35)
cos “2“
Как было4 отмечено выше, всем точкам окружности | £ | = 1 отве-
чают точки окружности | j | = 1. Обозначим через 20х аргумент точки,
принадлежащей окружности | । | = 1 и отвечающей точке £ = е2г0*.
Подставляя в формулу (32) £ = е2г0* и j = e2ie*, приравнивая затем
в полученном равенстве действительные части, получим
отсюда
cos (-у- + О)
cos0i = — -........... -<--------. (36>
"|/ 1 — sin -у- sin + 20 J
Заметим еще, что в рассматриваемом отображении точке £ = 0 отвечает
. / л______________________________________а \
точка j = — и точке £ = tg —е ' 2 2 ' отвечает точка & = 0.
Произведем теперь над переменной & следующее преобразование::
. 1 4 +Л2 7 , 1 \ , А2 ,О7\
i + T = —^-(« + v) + —’ <37>
Где и — новое комплексное переменное. Соотношение (37) реализует
конформное отображение области (черт. 10), получаемой выбрасыванием
из круга | j | < 1 отрезка у, на круг | и | < 1. Подставляя в (37) и — 0,
и = 1, непосредственно обнаруживаем, что при этом отображении точ-
ки j = 0, и = 0 соответствуют друг другу и что свободному концу отрез-
ка ух отвечает точка и = 1. Таким образом, соотношение между £ и zz,
определяемое формулами (32) и (37), дает конформное отображение об-
ласти, которая получится, если из круга | £ | < 1 выкинуть дугу у,
на круг | и | < 1, причем свободному концу у отвечает точка и = 1.
Определим точки круга | и | 1, в которые перейдут точки £ = 0 и
z = e2iQ. Пусть и = — z tg-2- + £ и и = e2iQi суть искомые точки, это
будут, очевидно, те точки, в которые перейдут при преобразовании (37}
428 • 4IV. Механика и Ы>- Н
точки $ = — ftg-2- и Ь=е 1. При вычислениях £ и 02 мы будем
4 с
в соответствии с основной задачей считать^ бесконечно малым и будем
Сохранять лишь главные бесконечно малые. После-подстановки в (37)
j = — i tg-^- и u = —itg-^-4-^ и упрощений получим
е. А2 . 9 а /Л2 а . а v j- •' /ООч
? = -—rsin “4----^“COs^-ig —, -• ’ (38)
отсюда • 3 ’ ' * ' И «л • ) '44 . Эк\М
4bi =-irsin“r- F;.; 439)
Займемся вычислением 02. После ^подстановки в (37) u= e2i01 и
U = е2гв2 получим ч- '' ' ‘ ’’ 1
‘ 1 /А
4 +Л2 9П 1 й2 ПЛ I *2 Л '° * ’’
cos201.=——cos 202 4-— == cos 202 + — cos2 02.
Отсюда, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков:
Л2
cos 202 = cos 20х — —cos2 01?
или '
А2
02 - 0! = Д0Х = ^-ctg0P (40)
Для получения окончательной оценки Д0 нам остается отобразить
конформно круг | и | < 1 на круг ,| z | < 1 при условии,* что точкам
и = — £ tg £ и и = i будут отвечать точки z = 0 и z = 1, а затем
определить аргумент точки, в которую при этом отображении перейдет
точка и = г210*.’ Ради упрощения выкладок мы, предварительно, отобра-
зим конформно круг | и | < 1 на кру^ ,| v | .< 1 при условии, что точкам
и = —i tg-^-, и — 1 будут отвечать трчки v = 0 и.р = 1 (черт. 10).
Это отображение будет, очевидно, реализовано формулой (32), где вместо
£ надо подставить >и и вместо j подставить и. Сохраняя, как раньше^
лишь главные бесконечно малые, определим аргумент 20 + 2ДХ0 точки
г2цв+до), в которую перейдет точка e2iQz, а также определим модуль и0,
где t?0 есть точка, в которую переходит точка и = —i tg^ 4- £. Зай-
мемся подсчетом Дх0. С одной стороны, в силу (40) и (36), имеем
А2 / А2 \
cos 02 = cos 0г — sin 0j -g- ctg 0Х = cos 0X (1-----------------------------g-J =
Г, _ _Л2_\________________cos (~ + e)_____________________
\ 8 ' -j / ' . a . / a \
j,- 1 — sin -j- sin (-y 4- 20j
(41)
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана 429
С другой Стороны* применяя (36) к соотношению между и и V. получим
Приравнивая правые части (42) и (41), получим
Л __ Д2 cos("2“ + 0) [1 —sin —sin +
• ----эТ-------------'
cos -g- sin 0
Или, упрощая оценку:
4>е>—rar(‘ + si",-r)tS-r-
Найдем теперь модуль v0. Пренебрегая бесконечно малыми
порядков, имеем
ТЗТ-
4 I к=о
Отсюда, в силу (33), получим
(43)
высших
„ а
cos2 —
I | Л2 . а cus’ 4 . Л2 . а
ko| = -2-sm^------—< — tg —
cos -g-
Теперь для окончательной оценки снизу дуги 20s+As нам достаточ-
но конформно отобразить круг | v | < 1 на круг | z | < 1 при условии,
что точке v = vQ будет отвечать точка (z = 0), а затем; определить раз-
ность аргументов точек, которые при этом отображении будут соответст-
вовать точкам v = ^<20+Л10) и v = 1.
Найденная разность и будет искомое значение 268|_д8.
Искомое конформное отображение будет осуществляться функцией
ие~г$ — р
Z =--------,
1 — рие
где р есть аргумент р0 и где положено
h2 а
Р = — + tg -j- •
430
IV. Механика и математическая физика
Или, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков:
z = ие~^ — р + pv2e~2i$.
Отсюда косинус аргумента z при v = 1 будет равен:
cos гр! = cos 0 — р (1 — cos 20) = cos (0 + 2р sin 0).
Аналогично, косинус аргумента z при v = eW+^i0) будет равен:
cosi|)2 = cos (20 + 2ДХ0 — 0) — р [1 — cos (40 + 4ДХ0 — 20)] =
= cos {20 + 2ДХ0 — 0 + 2/? sin (20 + 2ДХ0 - 0)}.
Таким образом,
20s+as = — 1|)х = 20 + 2ДХ0 + 2р sin (20 + 2ДХ0 — 0) + 2р sin 0,
отсюда
Д0 = 0s+as — 0s — Дх0 + р sin (20 + 2ДХ0 — 0) + р sin 0 >
№ 1 * сс (л । . о а \ Л2 , . а
>—(1 + sin —)—2~ + ъ — •
Заменяя Л, а и 0 по формулам (23), (28), (30), (31) и (35) через As,
К и s, получим
de
ds
1 Kig(Ks)
8 Ks
sin —
2- ——
1- — tg2(^)
cos (2 arcsin —I
Отсюда, используя условие окончательно получим
Лемма 5. Пусть в плоскости комплексного переменного дана про-
стая выпуклая дуга С с концами в точках А и В кривизны не больше К;
пусть, кроме того, в плоскости переменного w дана дуга АГВ1 постоянной
кривизны {дуга окружности) такая, что длина ее хорды равна длине отрез-
ка АВ. Обозначим через w = F (z) функцию, реализующую конформное
отображение внешности С на внешность А-^В-^, при условии соответствия
бесконечно удаленных точек и точек А, Ах. Если при этом отображении
1 1
точке В будет отвечать точка Вх и если К -==-,. то в каждой точке
zo дуги имеем 1 + iklK | F' (z0) | > 1 — 13ZA, причем за F' (z0) при-
нимается предельное значение F' (z), когда z стремится к z0, оставаясь
вне АВ с ее выпуклой стороны (т. е. точка z и дуга АВ должны находить-
ся по разным сторонам касательной, проведенной к АВ в точке z0), и где
I есть длина дуги АВ.
Доказательство. Ради большей простоты выкладок допу-
стим, что длина отрезка АВ равна четырем; допустим, кроме того, что
точки А,В,А1,В1 расположены на действительной оси и что начала
координат z — 0, w — 0 находятся соответственно в середине АВ и АХВХ.
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана 431
Черт. 11с
Введем две новые вспомогательные переменные Z = ре«₽ и W и рас-
смотрим преобразования:
z = Z -f- 1/Z, (44)
w = W + 1/W. (45)
Как известно, соотношения (44) и (45) реализуют конформное отображе-
ние внешности любой дуги (окружности) Гт с концами в точках А и В
на некоторый круг Г2. При этом бесконечно удаленной точке z = 00
отвечает начало координат Z = 0, и точкам z = ±2 будут отвечать
точки Z = ±1. Если мы через 4р обозначим угловую меру дуги Гх,
то круг Г2 будет иметь радиус 1/cos р, центр в точке Z = i tg р, окруж-
ность Г2: | Z — i tg р | = 1/cos p будет образовывать с окружностью
| Z | = 1 в точках Z = ± 1 угол р (черт. И).
Нашей ближайшей задачей будет изучение области, в которую пере-
ъодит преобразование (44) внешность дуги С. Для этой цели дадим пред-
варительно некоторые оценки для (44), предполагая, что z принадлежит
области, ограниченной АВ и дугой Гх, причем будем считать
tg Р < ~20~
Найдем, прежде всего, связь между ф и р, 0^>ф^> — л для точек
•окружности
Г2: \ Z - itgP I = —
21 г I cos р
432
IV. Механика и математическая физика
Имеем _ ,,,.
cos (<р —ll) COSLL . . п . ,/Лч
р =-----+ tg р sin ф, (46)
г COS Р COS ф COS Р V ' /
где р, есть угол, под которым виден отрезок (0, i tg р) из точки ре{ф.
sin р = sin р cos ф,
отсюда, пользуясь (46),
1 + 0,1 | sin ф I tg ф > > 1.
Таким образом,
р = 1 -р tg р sin ф,
причем
0,9 <ЛХ<1,
К^С 1,1
при —л < ф < 0,
при 0 < Ф < л.
Аналогично
_!_ = 1 + k tg Р sin ф,
причем
(47)
-1,1 < к< - 1
при —л < ф < 0,
-1 < к< - 0,9
при 0 < ф < — л.
Найдем теперь зависимость между аргументом ф точки окружности Г2
и действительной частью х, z == х 4т iy, соответствующей точки окружно-
сти Гг Имеем
Отсюда, принимая во внимание (46), получаем
2 cos ф < х < (2 + 1,1 tg2 р sin2 ф) cos ф.
Оценим в заключение |~|у| для точек окружности Г2. Имеем
причем выражение справа есть, очевидно, квадрат расстояния от точки
Z — 1 до точки Z = -j^-c2icp« Так как при —л < ф < 0 имеем р < 1, то
>2э1пф, —л<^ф<0. (48)
Для общей оценки займемся предварительно оценками 1/р2
и 1/р4. В силу (47) имеем
~г == 1 + 2А: tg р | sin ф | + tg2 Р sin ф,
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
433
-i- — 14- 4Л tg £ | sin <р ' 4- 6/с2 tg2 Р sin2 ф 4-
4- 4/с3 tg3 р | sin3 ф | 4- Л4 tg4 р sin4 ф = 1 4- 4Л tg р | sin ф | 4-
4- tg2 р sin2 ф (6Л2 4- 4fc3 tg р | sin ф | 4- № tg2 р sin2 ф).
Отсюда
|-^ |? = 2 4-4& tg р I sin <Р I — [2 4-4Л tg 0 I sin <р |] cos2 <р +
4- tg2 р sin2 ф (6А2 4- 4/с3 tg Р | sin ф | 4- tg2 Р | sin ф |2) —
— 2k2 tg2 Р sin2 ф cos2 ф -- 4 sin2 ф {1 4~ 2 (к 4- к±) tg Р),
где | к± | <Z 0,09. , . ,
Таким образом, окончательно: . . ,
I A-| = 2sinT{l + /c2tg0},; |Zc2—11 <0,2. (49)
Наряду с найденными оценками (47), (48), (49) нам понадобится еще,
для изучения образа кривой С в плоскости Z, решение следующей гео-
метрической задачи (черт. 12).
Дано семейство окружностей, проходящих через точки z‘=± ±2,
кроме того; дана выпуклая кривая С, проходящая через те же точки
z = ± 2. Обозначим через 0 — 0 (я, С) угол, под которым кривая С
пересекает соответствующую окружность семейства в точке с абсциссой х;
причем 0 считается со знаком плюс, если в точке пересечения угловой
коэффициент касательной к окружности больше углового коэффициента
касательной к кривой С, и со знаком минус в обратном случае. При этих
обозначениях и при дополнительном условии, что кривизна С меньше
- ft-, tg2p<^-^- и что С принадлежит кругу | z | 2, требует-
ся определить экстремальные значения 0 при любом фиксированном х.
Переходя к решению поставленной задачи, заметим прежде всего, что
в силу ограничений, наложенных на класс допустимых линий, всякая
кривая С класса допустимых линий будет принадлежать сегменту 5,
Расположенному в верхней полуплоскости, ограниченному отрезком
('—2, 4-2) и другой окружности 1/Я0: jz--У1 —42Tq | = Отсюда,
обозначая через у ординату точки кривой С, будем иметь
У < V4 tg 2р (4 - х2) < V40 (4 - х2).
434
IV. Механика и математическая физика
Допустим теперь, что кривая С проходит через точку А (л:0, у0). Проведем
через точки z = —2 и А выпуклую дугу С кривизны Ко, Очевидно, что
при — 2 < х < х0 кривая С расположена выше кривой С, следовательно,
0 С) > 0
Проведем через точки А и z — +2 отрезок прямой, в силу выпукло-
сти С кривая С будет расположена выше проведенного отрезка, сле-
довательно,
art§
“Г х0
Отсюда легко видеть, что среди всех кривых С, удовлетворяющих усло-
виям задачи и проходящих через точку А (х0, z/0), наибольшее значение
0 («г0, О будет равно меньшему из следующих двух чисел: 0 (я0, С) и
arctg -9 ~. Найдем выражение для 0 (х0, С):
О (х, Г) = arcsin -у2- ]Л(х + 2)2 + у2 — arctg 2 . (50)
Функция 0 (х, С) обращается в нуль в точках дуги, ограничивающей
сверху сегмент S, кроме того, пользуясь (50) при | х | 2, имеем
dQ (х, С)____________________________Коу__________________________
ду / ^2 ________________
2 1/ 1 - [(х + 2)2 + у2] /(х + 2)* 4- у2
2 — х 1
(2 — х)2 + у2<^ 40
1
V 1 — 4-400
2 — х q
(2-*)2+Тбб0-(4-*2)2
(51)
Функция arctg 2^'х'
при у = 0 обращается в нуль; кроме того,
о у 2 4- х \ л
5х" arctg 2 + X — (2 + х)« + у2 > °’
(52)
Следовательно, кривая, дающая максимум функционалу 0 (я, С),
будет проходить через точку А (х, z/), ордината у которой удовлетворяет
уравнению
arcsin V(х + 2)2 4- у2 — arctg — = arctg 9 У-. (53)
Для того чтобы получить максимальное значение 0 (я, С), доста-
точно найденное из (53) выражение у через х подставить в функцию
arctg . Дадим приближенную оценку сверху максимума 0 (х, С)-
{Кривая, дающая максимум, будет состоять из дуги окружности радиуса
1/#о и прямолинейного отрезка (черт. 13).) В силу (52) для этой же цели
достаточно оценить сверху корень уравнения (53) и найденное прибли-
женное выражение для у подставить в функцию arctg х . В силу
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
435
(51), (52) имеем
_ arctg Г—---------- >
(2+*)2 + 1600 (4~*2)2
0,99
2 + х
Отсюда искомое выражение для у получим, решая относительно у сле-
дующее уравнение:!
1
0,99
(54)
где Y есть ордината точки дуги, ограничивающей сегмент 5; в силу (50)
имеем
у<т-<4-х2)’
Решая (54), получим
Отсюда, окончательно, какова бы ни была кривая С, удовлетворяющая
условиям задачи, имеем
0 (х, С) < arctg -g-L < arctg (4 — х2)
или
tg0(x,Q<-gl(4-^). (55)
Для разыскания минимума функционала 0 никаких добавочных вычис-
лений не требуется. В самом деле, в силу правила знаков, принятого
при измерении 0, и в силу симметрии, имеем
min 0 (х, С) — — max 0 (—х, С),
отсюда
tg0(x, (4-Х2). (56)
Пользуясь проделанными вычислениями, установим теперь некоторые
свойства кривой С, являющейся, при преобразовании (44), образом кри-
вой С.
436 IV\ Механика и математическая \ 'физика '
Кривая С есть, очевидно, й^стая замкнутая линия, причем часть ее,
соответствующая выпуклой стороне дуги С, принадлежит луночке
| z | 1’ I z — г tg Р | :> 1/cos р, а другая часть, соответствующая вог-
нутой стороне дуги С; принадлежите “луночке | z | > 1, | z — t tg р |
1/cos р. Отсюда заключаем, что для любой, точки кривой С имеют
место соотношения (47), (48), (49).
Как-Лыло выяснено выше, .кривая С пересекается с дугой Г* окруж-
ности, проходящей через точки z = ±2 под углом 0 (я, С), причем 0
удовлетворяет неравенствам (55) и (56). Следовательно, кривая С. будет
пересекаться с соответствующей Гх дугой Г2 окружности, преходящей
через точки z = ±1 под тем же углом 0. Принимая во внимание (48),
получим , .
* 1
|tg0|<7^- tg2Psjn2<p. . . (57)
Займемся оценкой кривизны кривой С. Как известно, кривизна К
кривой С и кривизна К образа С этой крцвоц в соответствующей точке
связаны следующим соотношением:
, Я = + я|-^|-1т ' (58)
| aZ I dz dL J v '
где а есть, угол, образованной касательной к С, с .действительной осью.
Заметим, что второе слагаемое правой части (58) есть проекция вектора
d2z
-j-ъ; на луч, образующий с действительной осью угол л/2 + а. В на-
dz dL
тем случае
d2Z _ 2 _ 1 , 1 2 .
dz dZ ~ Z (Z2 4- 1) “ Z + 1 + ъ — 1 Z ’
отсюда
=7TT7|-sinb+--|T^TrsinV2-j4rsinV3, (59)
где ух, у2 и уз суть углы, образованные касательной к кривой С соот-
ветственно с векторами Z + 1, Z — 1, Z.
При подсчете величин, входящих в правую часть соотношения (59),
будем различать два случая: первый случай, когда точка кривой С лежит
внутри круга | Z | < 1, и второй случай, когда эти точки лежат вне круга
| Z | < 1. Мы ограничимся подсчетами для первого случая, ибо для
второго случая подсчет вполне аналогичен и при принятой точности,
приводит к той же оценке. _
Итак, пусть Zo = есть произвольная точка кривой С, лежащая
внутри круга | Z | < 1. Проведем через эту точку дугу окружности Г,
с концами в точках Z — ± 1 и лежащую внутри круга | Z | < 1. Обозна-
чим через р острый угол, под которым построенная дуга Г пересекается
о окружностью | Z | = 1. Имеем
р<₽.
Кроме того, радиус Г будет равен 1/cos р, а центр будет расположен
в точке Z = i tg р.
33. Об одной' жстр'ёМ’Лънош 'задаче в' тедрии*крыла аэроплана 437
Обозначим через tpj/2, <р2/2 и <р3/2
соответственно острые углы, образован-
ное касательной к Г в точке zQ с! век- .
Порами ZQ — 1, Zo +’1 и Zq. Имеем 1 '
___ 4'1 I А Л, ~ 4’2 “л
Vi----2—НУ, y2------2---
?3 = ’1’3 — 0- . (60).
Заметив, что углы и г|?2 (черт. 14)
суть углы, под которыми1 из точки ...
Z = i tgP видны отрезки (Zo, 1) и
(Zo, —1), получим
2.sih ; *
cos р
(61)
Z — 11
2 sin-?-
|Z + 1|=--------* i '
cos p
Таким образом, с помощью (60) и (61) из (59), получим
т Г d2z 1 ^5 n cos р cos 0 Г . х , гЬ2 1-
1гп |/ J = cOs ₽ cos 0 — —1---------------[ct£ "Т------Ctg "Г]
2 . х । q л cos Р cos 0 •
— -у sin (^3 — 0) = cos Р cos 9--------------------------
2 sin -2- sin
lb2 — lb] 2 . . . Ач
— sin v --------------Sin(i|)3 — 9).
P . :
Для дальнейших подсчетов обозначим через р угол, под которым из
точки Za виден, отрезок (0, i tg (3). Имеем .
sin р = sin р cos ф,
’1’1 = — ф + й — р, 1|52==л + ф— (Л — р, ’1’3=-^------Й- .(62)
Отсюда
-фг — 4>i л . _
2 =~ + Ф-Р’
1ю та 1 =cos ₽cos 0------------^--ina । cos (ф - и) -
{_ az ah J 1 xpj \p2 \ т r/
2 sin —2~ sin “2~
__Lcos(ir + 9). (63)
Займемся оценкой второго слагаемого правой части (63). В силу (57)
имеем
4
| sin 9 | < | tg 9 | < tg 2p sin2 <p;
438
IV. Механика и математическая физика
отсюда
. Ф Ф
sine 1 * Oft . Sln 2 cos 2
---------------:--------------z— < ттг tg 2p sin ф-;-— .
о •------------------------------------------3,9 6 r T . 4-1 . ф2
2 sin -rj— sin —2~ sin —j- sm -y-
(64)
Кроме того,
sin P— sin p = (P — JI) cos v, JI
0___Ц- = sin ft (1 —cos ф)
P COS V
2 tg jj sin2 -у- = 2t.
&
Следовательно,
sin si
&
sin
t = sin£1 + tg0sin-^-J
ф
2
Аналогично
sinHr-
sin ф_______
Ф 7"
cos “2” — sin
C0S-2’ [1 — •
Таким образом, подставляя это выражение в (64), получим
______sin 0_____
9 . Ф1 . ф2
2 sm —j” sin " 2 "
20 sin <р,
отсюда
sin 0 cos p
o . Ф1 . Ф2
2 sm—j” sin —
cos (ф — |i)
11
<-39"tg 20 sin (p cos (tp —p)’<0,17 tg 20.
Оценим теперь первое и третье слагаемые правой части (63)
1 > cos 0 cos 9 "> 1 — Д-> 1 — 0,05 tg 0,
2 + 2,2 tg0>2-cos (Ji + 9) >2 (1 — р — 02) > 2 — 0,2 tg0.
Подставляя найденные предельные значения слагаемых в (62) и про-
изводя упрощения, получим
1 —O,4tg0< —1тГе{«-Ду1<1 + 2,5tg’.0- (65)
j dZ d£j |
Прежде чем применением соотношений (49), (58) и (65) получить окон-
чательную оценку для К, выясним, какой следует взять знак перед
в Ф°РмУле (58).
Пусть М — произвольная точка С и пусть К (М) — кривизна в этой
точке. Проведем через точку М выпуклую дугу у_кривизны меньше
К (М) и касающуюся С в точке М. Обозначим через М точку рейр (—л
< Ф < 0), в которую перейдет М при преобразованиях (44), и через V
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
439
дугу, проходящую через М, в которую перейдет у при том же преобра-
зовании. При^этйх обозначениях очевидно, что у в достаточно малой
окрестности М будет принадлежать области (конечной), ограниченной вы-
пуклой кривой С. Следовательно, при уменьшении кривизны К кривой С,
кривизна кривой С в соответствующей точке pei(₽, —л < ф <_0, будет
увеличиваться. Таким образом, при определении кривизны С в точ-
ках pei<p нижней полуплоскости — л < ф < 0 перед членом К | 1
следует брать знак минус.
Отсюда при — л < ф < 0 имеем
1—2,6 tg р < К < 1 + 2,5 tg р.
(66)
Производя аналогичный_подсчет для случая 0 < ф < л, окончательно,
для всех точек кривой С, получим
| 1 - К | < 2,6 tg р.
Применяя соотношения, добытые в процессе доказательства (66), нетрудно
установить еще одно свойство кривой С, важное нам для дальнейшего.
Обозначим через 0 угол, образованный нормалью к кривой С в точке
М этой кривой с отрезком, соединяющим точку М с началом координат.
Очевидно, имеем 0 = 0 4~ ц.
Отсюда, пользуясь (57) и (62), получим
cos 0 = cos 0 cos р, — sin 0 sin p, >
> 1 — 02/2 — p2/2 — 1/3>9 sin p0 tg 2p sin2 ф cos ф > 1 — 0,51 tg2 p,
| sin 01 = | cos 0 sin p + cos p sin 01 <4 -yg- tg 2p sin2 ф + sin po cos ф <4
< ^-(3^)2- + Sin2Po<O’4tgP- (67)
Резюмируем результаты проделанных вычислений. Преобразование
(44) реализует конформное отображение внешности дуги С на область,
ограниченную простой замкнутой линией С, точкам z — 4- оо, —2, +2
отвечают, соответственно, точки Z == 0, —1, +1.
Положение точек peicp кривой С ограничивается соотношением (46).
Кривизна К кривой С удовлетворяет неравенству (66). Угол 0 нормали
к С в точке М с отрезком ОМ удовлетворяет неравенствам (67).
Займемся преобразованием (45). Это преобразование реализует конформ-
ное отображение внешности дуги А1В1 на круг С": | W — i tg | <
1/cos где Pi < Р; точкам w — оо, —2, +2 отвечают соответственно
точки W = 0, —1, 4-1. Пусть
W - / (z) (68)
есть функция, реализующая конформное отображение области, ограничен-
ной кривой С на круг С", причем / (0) = 0, / (1) = 1 и в силу условий лем-
мы и свойств преобразований (44), (45): / (—1) = —1. Нашей ближайшей
задачей будет дать верхнюю и нижнюю оценки для | /' (Z) |.
440
IV, Механика и математическая физика
I f (Z) I > a (Z).
Оценим | /' (Z) | снизу для точек
z = дугц С (при — л < Ф < 0).
Итак, пусть М — произвольная точка
кривой С с аргументом ф, — л < ф
<0.
Построим круг С" радиуса r=l/(l -н
+ 2,6 tg Р), принадлежащий области,
ограниченной кривой С, и касающийся
С в точке М (черт. 15). Такой круг су-
ществует в силу (66). Обозначим через
Мг точку, соответствующую точке М
при преобразовании (68), и пусть
Ж = Л(7) ’ (69)
есть функция, реализующая конформ-
ное отображение круга С" на круг Сг
при следующих условиях: 1) Д (0) ~
= 0; 2) точке М отвечает точка
В силу извёётйого "принципа в точке
М имеем ...
’. • .. ... . ,(70)
Неравенство (70) будет, очевидно, усилено, если второе условие, опре-
деляющее преобразование (69), заменить условием, чтобы точке М отве-
чала точка окружности С" с аргументом —л/2.
Для того чтобы упростить подсчет | Д (Z)| , заметим предварительно
одно элементарное свойство конформных отображений. Пусть в каждой
из плоскостей переменных Z и W дано по кругу. Пусть, кроме того, йа гра-
нице круга С" плоскости Z дана точка Zo, а на границе круга С' дана точка
Wo. Рассмотрим семейство конформных отображений круга С" на круг
С' при условиях: 1) точке Zo отвечает точка Wo; 2) == А,
где А есть данное положительное число. Этими условиями конформное
отображение определяется с точностью до произвольной постоянной; При
этих построениях, если мы в круге С' фиксируем точку и будем менять
произвольную постоянную отображения, то соответствующая точка
в круге С" опишет окружность, касающуюся окружности С" в точке Zo.
Перейдем к подсчету | Д (Z) |. Проведем через точку Z = 0 окружность,
касающуюся кривой С в точке 71/, и обозначим через N точку пересечения
этой окружности с нормалью к С в точке М. В силу сделанного выше за-
мечания, значение | fi (Z) | в точке не изменится, если условие (0) = 0,
определяющее (Z), заменить условием, чтобы точке N отвечала точка
W = 0. Итак, не нарушая (70), будем считать, что W = (Z) реализует
конформное отображение круга С" на круг С' при условиях: 1) точке
N отвечает точка W = 0; 2) точке М отвечает точка с аргументом —л/2.
Обозначим через Ог центр круга С", Имеем
--- ।
МОг = r — t 2 Q tg р ,
= р<1.
COS и ’ Г
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана 441
Отсюда преобразование (69) можно представить как результат двух сле-
дующих преобразований:
r=-ir (Z-*)
г2 + h (Z — а} е-^ ’
= ~ (’2)
где. гр есть угол отображения, образованный вектором ОГМ с действите-
льной осью, а есть число, изображаемое точкой О1Ч и где для простоты по-
ложено:
h = = -^-5 — г, R = ——й~ , « hr = tg pi
1 1 cos0 cos Pi i & ri
(R есть радиус круга С', a hx есть расстояние от начала координат до цен-
тра круга С'). При этих обозначениях точка М будет изображать число
Z = ге^ + а, так как преобразование (71) дает конформное отображение
С" на единичный круг £ < 1, а преобразование (72) даёт конформное ото-
бражение единичного круга на круг причем точке М при преобразо-
вании (71) будет отвечать точка £ =’—
Дифференцируя (71) и (72), получим
, z г2 —Л2 7?2 — hl '
IА (2) | — rR \ri + h{Z_a} p । R + ih£ p •
Подставляя Z = re^ + а и £ = — f, найдем
P
r cos 0 1 — sin Pi
p cos Pi (1 + sin Pi)
r cos 0
I / уч I __ 1 1 ^7Г о ^1
1 — sin Pi
1 + sin Pi
>(2 — 1,1 tg20 — 1 — 2,6 tgp) (1 — 2 tg₽)> 1 — 4,8 tgfJ.
Итак, окончательно, для всех точек Z = —л < ф < О дуги С
имеем
| f (z) I > 1 - 5 tg р. ' (73)
Полученное неравенство (73) дает искомую нижнюю оценку для
| /' (z) |. Чтобы получить для | f' (z) | оценку сверху, нужно вместо «впи-
санного» в кривую С_круга С" построить круг радиуса 1/(1 — 2,6 tg р),
содержащий кривую С и касающийся С в точке М. Производная функции,
реализующей конформное отображение построенного круга на круг С",
дает аналогично предыдущему верхнюю оценку для | f (z) |. Производя
нужные подсчеты, получим, что в каждой точке Z = pi(₽, —л < Ф <0,
имеем
I /' (z) | < 1 + 4,8 tg 0. (74)
Перейдем к доказательству леммы. Связь между z и ш, устанавливае-
мая соотношениями (44), (45) и (68), реализует конформное отображение
442
IV. Механика и математическая физика
внешности дуги АВ на внешность дуги А^^.
w — F (z).
Следовательно,
Отсюда, считая z — Zo расположенной на дуге и пользуясь (49), (73) и
(74), для нужного значения | F' (z) |, получим
| F' (z0) | > (1 - 4,8 tg Р) ’
2 sm <р (1 + k2 tg p2)
|F' (z0) | < (1 + 4,8 tgP) .
2 sin ф (1 + k2 tg p2)
где ф и фх есть аргументы точек кривых С, С', соответствующих точке z0;
кроме того,
Следовательно,
I р> (z \ I \ 1 — 4,8 tg (J sin ср, , fi R 8Шф1
И 11,2 tg 0 sin ф btgP)^V’
|^o)l<(l+6,3tgP)-^L.
Нам остается оценить отношение sin фх/sin ф.
Имеем
(75>
< (1-4,8 tg р)(1 - tg Р)(1—0,6 tg2 Р) d<p < (1 - 6 tg р) dtp,
> | /' (Z) I-> -Tj----dt dcp >(1 -j- 6 tg P) С?ф
Yi/ I.' \ /I pcosp, (1 — tg p) (1 — 0,6 tg2 p) V 1 о к / т
(ф и фх меняются в пределах от —л до 0).
Так как при ф — 0, —л имеем фх = 0, —л, то
Ф1 < (1-6 tg Р) ф, фх > (1 + 6 tg Р) ф,
причем при подсчете sin фх/sin ф достаточно рассмотреть случай —л/2 <
Таким образом,
sin Ф1 sin(l + 6tg Р)ср < j । g t о
sin ф sin ф \ г & Р’
sin Ф1 sin (16 tg Р)ф j _ g t о,
sin ф sin ф ®
Подставляя эти выражения в (75), окончательно получим
П F(ZO)|>1- 12tgP>l -^>1- Ж
l|F (z0)|<l 4-13,5 tg p < 1 + 14tf.
(76>
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
443
Мы нашли искомые оценки для J F' (z0) | в предположении, что длина
хорды АВ равМ*^.'' Допустим теперь, что длина отрезка АВ равна 4Я,
и пусть
w == F (z)
есть функция, реализующая конформное отображение внешности дуги АВ
на внешность дуги ЛХВХ в условиях леммы. Строим функцию
w = HF (z/H) = F± (z).
Эта функция реализует конформное отображение внешности дуги,
хорда которой равна 4, а кривизна не больше НК (кривизна дуги АВ не
больше Кд. j , на внешность дуги окружности, хорда которой также
равна 4. При этом Fr (оо) = оо, концы дуг соответствуют друг другу. Кро-
ме того,
X (z) - F (z/Я).
Следовательно, в силу разобранного частного случая, имеем
| F' (z0) | > 1 - 13ЯЯ > 1—13Z7T,
| F' (z0) | < 1 + 14ЯЯ < 1 + 14/Я. <77)
Это и есть искомые окончательные оценки для | F' (z0) |.
4. Пользуясь только что доказанной леммой, мы дадим сейчас количе-
ственную оценку изменения подъемной силы дуги, когда дуга АВ получает
некоторую бесконечно малую вариацию.
Л е м м а 6. Пусть в плоскости комплексного переменного даны две дуги
С и Сх. Дуга С имеет длину I, выпукла, и кривизна ее не превосходит число
К < ”21Г • ДУга С* бесконечно близка к дуге С, концы] С± — А и В совпада-
ют с концами С; дуга (\ расположена с выпуклой стороны дуги С, и если че-
рез р обозначить расстояние от точки М дуги С до дуги Сг, то
р = р ($) > 8$ при 5 < 1/2,
Р — Р ($) > в (Z — 5) при 5 > Z/2,
где s есть расстояние от точки А до точки М, измеренное по дуге С, а г —
константа (бесконечно малая).
Отобразим конформно внешность дуги С и внешность контура, состав-
ленного из дуг С и Сх, на внешность круга | w | < 1 при условии соответ-
ствия бесконечно удаленных точек. Обозначим через 20 и 20х дуги окружно-
сти | w | = 1, в которые перейдет при этих отображениях соответствен-
но вогнутая часть С и дуга С±.
При этих условиях имеем
cos 01 л 1 8 1 — 13Z/T . 1К
+ (78)
Доказательство. Отобразим конформно,
2 = F (г),
444
IV\ Механика и математическая - физика
внешность дуги.АТ? навнешнреть дуги окружности Aопределенной
в условиях леммы 5 при условиях соответствия бесконечно удалейных то-
чек и концов дуг АВ и А^^. В силу леммы 5 в каждой точке z0 дуги С при
подходе к этой точке с выпуклой стороны дуги АВ | F' (z0) | удовлетворяет
неравенствам (77). Обозначим через Сг дугу, в которую при этих отображе-
ниях перейдет дуга Cir и .обозначим через, р расстояние от точки М± дуги
А1В1 до дуги С7, считая, что точка Мг соответствует точке М; обозначим
через о расстояние от Ах до измеренное по дуге А1В1. В силу основ-
ного свойства конформных отображений имеем
pi = pi (о) = р (s)^- ... .. 7 .
Кроме того, в силу
> 1 — 13/А,
ds
леммы 5
~ < 1 + 14ZA.
ds 1
Следовательно,
а
S 1 + 14/А’ • ,
Отсюда, обозначая через длину дуги при о < Zx/2 имеем
. 1 — 12г аг.
Р1>е 1 + 14^
Аналогично, при о Zx/2
. 1 — 13ZAT /7 ч
Р1> 8 ! _|_ 14ZA- G1 **)•
Если мы конформно отобразим внешность дуги А1В1 на внешность кру-
га | iv | <Z 1, то, очевидно, вогнутой стороне дуги А1В1 будет отвечать на
окружности | iv | = 1 дуга 20. Аналогично, при конформном отображении
внешности контура, состоящего из дуг А1В1 и С", на внешность круга
I w | < 1 дуге А1В1 будет отвечать дуга 20г В силу принципа, исполь-
зованного при доказательстве теоремы 1, число cos 0Х уменьшится, если
Дугу С' заменить дугой С" с концами в точках Ах и Вг и расположенной
между дугами А1В1 п С'.
Примем за С" дугу окружности, образующую в точках Аг и В± с дугой
А^ угол а,
. 1 — 13ZK
tg ОС = 8 •
1 4- 14/л.
Теперь, для получения искомой оценки для cos O^cos 0, достаточно
отобразить конформно внешность луночки, образованной дугами ArB\
и С" на внешность круга | iv | < 1. Обозначая через 202 дугу окружности
I w | = 1, соответствующую при этом отображении дуге А^, и через
2/ угловую меру дуги А^В^ в силу известных формул [4]. будем иметь
А — я ~~ у ~ а
2 2 — а/л
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
445
Считая по условиям задачи а бесконечно малым,и пренебрегая бесконеч-
но малыми высших порядков, будем иметь
отсюда
cos 0 = sin , cos 0, > cos 0, = sin 4- -5- (1 + — j cos .
4 2 4 \ л / 2
Таким образом,
cos 0t
cos 0
l+^Ctg-|-.
Или окончательно
cos 0X , 8 1 — 13ZA- t IK
cos 0 1 + 4 1 + 14Z7C clg 4 •
Добавляя к формуле (78) качественные результаты, добытые нами
в первом параграфе, мы непосредственно получаем следующую более
общую оценку.
Теорема 2. Если дуги С и Сг удовлетворяют условиям леммы 6 и
если через Р и Рг обозначить подъемные силы этих дуг. то
Л \ , si — 13Z7T 1К /Г7Пч
-F->1+^'T+i4z^ctg — ’ <79>
где е — бесконечно малая величина.
5. Перейдем к доказательству основной теоремы. Рассмотрим совокуп-
ность простых дуг (класс допустимых линий), обладающих следующими
свойствами:
1) длина каждой дуги не больше Z;
2) кривизна каждой дуги в каждой точке не больше К < 1/(21 Z);
3) обозначая через А и В концы произвольной дуги семейства, каждая
дуга семей тва содержит дуги ААХ и ВВГ постоянной кривизны К и длины
8, где е — данное положительное число, одно и то же для всех кривых се-
мейства.
Докажем, что среди всех кривых описанного семейства наибольшей
подъемной силой будет обладать дуга окружности радиуса ПК.
Из этого будет, очевидно, следовать, что дуга окружности будет обла-
дать наибольшей подъемной силой также среди семейства дуг, удовлетво-
ряющих лишь условиям 1 и 2. Основная теорема этим самым будет дока-
зана.
Добавочное ограничение на класс допустимых линий мы налагаем для
того, чтобы воспользоваться леммой 4. Заметим, что лемму 4 можно до-
казать, несколько усложняя доказательство, не делая дополнительной
гипотезы относительно поведения дуги вблизи концов А и В; в таком слу-
чае доказательство основной теоремы можно вести прямо, не вводя вспо-
могательного класса допустимых линий.
Итак, допустим, от противного, что среди принятого класса допусти-
мых линий дуга АВ, обладающая наибольшей подъемной силой (в силу
теоремы 1 эта дуга выпуклая, что мы будем во всем дальнейшем предпола-
гать), не есть дуга окружности кривизны К. В таком случае на дуге суще-
446
IV. Механика и математическая физика
ствует точка М (s0) (s0 есть расстояние от А до
М, измеренное по дуге) такая, что при всех
достаточно малых As имеем
4-<^ — а,
где т есть угол смежности — угол, образован-
ный касательными в точках М (s0) и М (s0 +
+ As), и где а есть некоторое положительное
число, не зависящее от As.
Величину As во всем дальнейшем мы будем
малой, и всеми ее высшими степенями будем пренебрегать. Кроме того,
не нарушая общности, будем считать s0 > Z/2.
Построим дугу AM (s0) М,В1 (черт. 16). Эта дуга обладает непрерыв-
ной вращающейся касательной, ее часть AM (s0) принадлежит дуге АВ,
ее часть М (s0) М' имеет длину As и кривизну К и, наконец, ее часть М'ВХ
конгруэнтна дуге М (s0 + As) В\ эту часть мы, очевидно, получим, переме-
щая дугу М (s0 + As) В поступательно на величину порядка As2 и пово-
рачивая ее на угол а:
а > К As — (К — a) As = aAs.
Черт. 17
предполагать
бесконечно
(80)
Имеем
ВВ± = М (s0) Ba.
(81)
Повернем теперь построенную дугу АВг около точки А на угол р, такой,
чтобы ее свободный конец Вг попал на дугу АВ, новое положение этого
конца обозначим через В', а всю дугу будем обозначать через АВ'. Нашей
задачей является теперь оценить сверху длину отрезка ВВ' и оценить сни-
зу расстояние от произвольной точки дуги АВ до дуги АВ'. Для этих под-
счетов введем ряд новых обозначений. Пусть N (черт. 17) есть точка пере-
сечения отрезка МВ с отрезком В^В', о есть угол, образованный дугой
М (s0) В с ее хордой МВ в точке В, 0 есть угол, образованный дугой АВ'
с ее хордой АВ'; кроме того, положим
М (s0) В = h, ~АВ = Н.
Из треугольника МВВГ имеем
МВ = ha tg 0.
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана
447
Отсюда, рассматривая треугольник МВВ', получим
'?-) тэ/ _ л , sm 0
ВВ ------—г- cos 0 = ha-------туг-—- .
COS (0 + <7) COS (0 + о)
Кроме того, очевидно,
0 + о < 1К/2, 0 < s0K/2.
Таким образом,
. s»K
___ sin —л—
В В' <a(l — s0)------.
COS “у
(82)
Перейдем ко второй оценке. Для этой цели вычислим, прежде всего, угол
поворота р дуги AM (з0) Вг. Имеем
BJ? = B'N + NB' = + NB',
1 1 cos 0 1 ’
NB' = Aatg0—s^-q ч ,
& cos (0 + о) ’
отсюда
7) ту/ » С I 4. a sm о 'I Ла
BJ3 — ha i----и- + tg 0------—- > >-------.
1 I cos 0 1 6 cos (0 + a) J ' cos 0
Следовательно, принимая во внимание условие KI 1/21, имеем
ВХВ' > 0,9a (Z — s0).
Таким образом,
₽ = (/-*«)•
Пусть теперь р + р ($) есть расстояние от точки М (s) дуги АВ дуги
АВ* (расстояние измеряем по нормали к дуге АВ в точке М ($)). При $ < $0
имеем
р — AM р cos a',
где о' есть угол, образованный дугой AM с ее хордой AM в точке М. От-
сюда при s < $о получим
р> 2ру Sin — cos -у >—у s(Z —$0)- (83)
Вполне подобный элементарный подсчет, с учетом условия 1К < 1/2±
при $ > $0 нам дает
P>-^-s0(Z —s). (84)
Пользуясь гипотезой $0 > 1/2 (если $0 < 1/2, то при деформации АВ
роль А и В меняется местами), неравенствам (83) и (84) можно придать
более симметричный вид:
0,8 (Z — $о) I
р >---------— as при $ <С •
0,8(1 — s0) п . . Z (85)
р ;>--------— а (I — s) при s > -у .
448
IV. Механика и математическая физика
Подсчитаем теперь изменение подъемной силы при переходе от дуги АВ
к дуге АВ', которая в силу построения принадлежит классу допустимых
линий. Переход от дуги АВ к дуге АВ' разобьем на две части (черт. 18):
1) от дуги АВ отбрасывается кусок В'В и 2) полученную дугу АМВ'
заменяем дугой АВ'. Вариация подъемной силы ЬГР при первой деформации
в силу лемм 2, 4 и формулы (82) будет
ЯП cos0 \I £ in 0*60 .
6‘Р-~ ТТмг*!' Ml - ТТмГ >
(К К \ SB 9
>-И—V +°,«((_».)----------£- (86)
Оценим снизу cos 0. Так как по основной гипотезе дуга АВ щает наи-
большую подъемную силу, то, следовательно, подъемная сила Л В не мень-
ше подъемной силы дуги окружности длины I и кривизны К. Отсюда, при-
меняя теорему С. А. Чаплыгина о подъемной силе дуги окружности, ш>
лучим
. 2
со= 0 sin —
|/'(оо)| К ’
Следовательно,
cos 0 sin2 ' (87)
К 4
Нам остается оценить снизу | f (оо) |. Для этой цели построим две дуги
кривизны К, симметричные относительно отрезка АВ и имеющие концы в
в точках А и В. Эти дуги образуют контур, содержащий дугу АВ\ следо-
вательно, если через / (г), / (ое) = оо, обозначить функцию, реализующую
конформное отображение внешности построенного контура на внеш-
ность круга \ w | < 1, то будем иметь
Но
fl-^”-1-1
Ш = [-----T~Zn~~
(88)
где положено: = АВ <<1, п = •
х 2Л — LK
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана 449
Дифференцируя (88) и подставляя z = оо, получим
1/'М|>|7'Ы| = ^=^
Следовательно,
п 4л — IK . 9 1К
cos0>-^r-sin“—
61P > — p
IK' ' IK
sin “2" sin2
Подставляя в (86) и пользуясь условием К1 < х/21, получим
SqK
sin ~2~
— 80) .
cos —
Вариация подъемной силы 62Р, получаемая при второй деформации
дуги, в силу теоремы 2 и формулы (85) будет
х pOf8(l-so)a 1-131К IK
4Z 1 + &1К Ctg Т
Отсюда, обозначая через SP полную вариацию подъемной силы при
переходе от дуги АВ к дуге АВ', получим
6P = ^P + 62P > Pa1—г
0,2
1 — 131K t IK
1 + lilK ctg 4
. sqK . $qK
IK S1T1 ~ 4 Z2#2 sin ~
IK IK u?1 IK IK ’
sm -y cos ~2~ sin2 — cos -y
При IK x/21 имеем
6P > 0,
т. e. дуга AB', принадлежащая классу допустимых линий, дает большую
подъемную силу, чем дуга АВ, что противоречит допущению, сделанному
в самом начале.
6. Решенная нами вариационная задача из теории крыла в плоскопа-
раллельном потоке представляет собою одну из простейших задач целой
группы вариационных задач, которые могут быть здесь поставлены. Про-
стота ответа в значительной мере обусловлена выбором класса допустимых
линий задачи и условием полного обтекания. Отметим, что многие вариа-
ционные задачи, имеющие актуальное значение в теории крыла, будучи
поставлены при условии полного обтекания крыла невихревым потоком,
приводят к решениям, мало интересным для гидродинамики. Применением
леммы 1 можно, например, показать что: 1) среди всех дуг с данной хордой
АВ, данной стрелой прогиба и расположенных в полосе, ограниченной
перпендикулярами к АВ в точках А и В, наибольшей подъемной силой бу-
дет обладать дуга, составленная их трех сторон прямоугольника; 2) если в
условиях описанного выше класса допустимых линий отбросить послед-
нее, то задача решения не имеет,— можно, увеличивая размеры дуги, по-
15 М. А. Лаврентьев
450
IV. Механика и математическая физика
лучить сколь угодно большую подъемную силу. Несколько менее просто,
но теми же методами можно показать, что среди дуг данной длины, соеди-
няющих две данные точки, наибольшей подъемной силой обладает дуга,
у которой в концах имеют место спиралевидные особенности.
Ввиду этого, сохраняя гипотезу плоскопараллельного потока, дальней-
шие исследования по выявлению «наивыгоднейших» форм обтекаемых дуг,
тонких и толстых следует вести с учетом срыва струи, используя, напри-
мер, теорию пограничного слоя, попытаться найти форму крыла, при ко-
торой точки срыва были бы возможно близки к задней кромке. Заметим,
что эти задачи неизмеримо труднее разработанных нами выше.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вальтер П. Основание гидродинамической теории камер, производящих воздух
к турбине//Тр. ЦАГИ. 1929. Вып. 68. С. 13—14.
2. Оглоблин А. П. Сравнительный анализ продувок дужек по данным геттингенской
лаборатории и лаборатории ЦАГИ. Первая всесоюзн. конф, по аэродинамике.
1931.//М.: Гос. авиац. и автотракт, изд-во, 1932. С. 32.
3. Blenk F. Der Eindecker als tragende Wirbelflache // Ztschr. angew. Math, und Meeh.
1925, N 1. S. 36.
4. Голубев В. В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке // Тр. ЦАГИ.
1927. Вып. 29. 207 с.
34
К ТЕОРИИ СТРУЙ*
В настоящей заметке я имею в виду отметить некоторые новые свой-
ства однолистных функций. Эти свойства позволяют установить ряд тео-
рем существования в общей теории струй плоского потенциального тече-
ния.
1. В дальнейшем через у = ср (х) (у = фх (х)) мы будем обозначать од-
нозначную, непрерывную, дважды дифференцируемую, — оо < х <Z + °о?
функцию, допускающую конечные предельные значения при х~->
Через D (ф)(2) (фх)) будем обозначать область плоскости (х, у), определяе-
мую условием: у < ф (х) (у <Z фх (я)), через w = f (z, ф), f (00, ф) = 1,
функцию, реализующую конформное отображение области D (ф) на нижнюю
полуплоскость v < 0, w = и + iv. При этих обозначениях мы имеем сле-
дующие предложения.
Лемма. Если
Ф1 (%) < Ф (х) при | х — xQ | < fe,
Ф1 (х) ~ ф (х) при | х — xQ | > fe,
то вдоль линии у - - р (я), | х — х0 | fe, имеем
I /' (Z, Ф1) I < | г (z, ф) |.
Кроме того, полагая при у = <f (х)
* Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 4/5. С. 225-226.
34. К теории струй
451
будем иметь (при Ах > 0)
а (х + Ля) > а (ж), если х^ xQ + h.
а (х — Ах) а (х). если х х0 — h.
Теорема!. Допустим, что круг К радиуса г расположен вне (внут-
ри) области D (ср) и что его окружность имеет с кривой ф общую дугу у.
тогда вдоль у имеем
ф)|<0 (-g|№ ф)|>0), (1)
где ds есть элемент дуги кривой ф. Если дополнительно в окрестностях
концов у кривизна кривой ф не превосходит 1/г, то в концах у функция
| f (х + £ф (х). ф) | не может достигать минимума (максимума).
Теорема2. Если кривая ф аналитическая и если в точке А ее кривиз-
на достигает максимума, то в этой точке имеет место одно из неравенств
(1) в зависимости от того, будет ли кривая ф обращена к D (в точке А) вы-
пуклостью или вогнутостью.
Теорема 3. Допустим, что прямая у = кх Ь. к 0. имеет
с кривой ф общий отрезок 6 и что справа от S кривая ф расположена ниже
данной прямой, а слева выше данной прямой. При этих условиях вдоль 6
имеем
+ (2)
причем в концах отрезка 6 функция | f (х + £ф (х). ф) | не может дости-
гать ни максимума, ни минимума.
Теорема 4. Если кривая ф аналитическая и если в точке В произ-
водная ф' (х) достигает максимума, то в точке В имеет место неравен-
ство (2).
2. Опираясь на приведенные выше предложения и применяя прямые
методы вариационного исчисления, можно доказать следующие теоремы
из теории струй.;
Теорема 5. Какова бы ни была однозначная, обладающая при х 0
ограниченной второй производной функция у — (х).
lim ip! (х) — 0,
х—*—оо
всегда найдется одна и только одна функция у — гр2 (х). х > 0г (0) =
= т]?! (0), такая, что вдоль кривой гр2 будем иметь
| /' (z, ф) I = 1,
где ф (х) = гр! (х) при х 0 и ф = ф2 при х > 0. (Не нарушая результата,
можно считать кривую состоящей из конечного числа кусков линий
У ~ X (я), | %" (х) | М = const.) Если дополнительно ipj не положительна
и принимает при х = 0 наименьшее значение, то искомая функция1^ всегда
отрицател ъна.
Наиболее общее решение вопроса о существовании струй было дано
Лере методом интегральных уравнений. В теории Лере предполагается,
что каждая параллель оси х пересекает обтекаемую дугу лишь в одной
точке.
15*
452
IV. Механика и математическая физика
Теорема 6. В условиях теоремы 5, если^1 не положительна, (0) <
<; 0, и 1р2 принимает положительные значения, то существует одна и
только одна функция у = ф3 (х), ф3 (0) = фх (0), отрицательная в некото-
ром промежутке (0, h), h 0, равная нулю при x^hu такая, что вдоль
ф3, 0 <1 х h, имеем
I /' (z, ф) | = с = const,
где ф = фх при х 0 и ф = ф3 при х 0.
35
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ
СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ*
В настоящей заметке я имею в виду дать ряд дополнений к результа-
там, отмеченным мной в [1].
1. Пусть у — простая кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана
замкнутой плоскости комплексного переменного z (сферы Римана), про-
ходящая через точку z = о©. Будем обозначать через D (у) одну из обла-
стей, ограниченных у, а через w = / (z, у), / (сю, у) = оо, — функцию,
реализующую конформное отображение области D (у) на нижнюю полу-
плоскость v <С 0 плоскости w = и + iv. Кроме того, будем обозначать
через V ($) значения | /' (z, у) | в точках у, рассматриваемые как функция
дуги 5 кривой у, причем направление возрастания 5 выберем так, чтобы ему
соответствовало возрастание и.
Т еорема 1. Пусть касательная Тку, проведенная через ее точку
s0, разбивает у на две части, расположенные по разные стороны от Т,
и пусть в окрестности точки $0 линия у обладает кривизной, удовлетворяю-
щей условию Гёльдера. При этих условиях имеем или
V («#) > 0,
или
V (So) < о,
в зависимости от того, будет ли луч касательной Т, выходящий из sQ в
сторону возрастания s, расположен в области D (у) или вне ее.
2. Сохраняя обозначения, принятые в п. 1, введем одно геометрическое
понятие. Допустим, что кривая у в точке t0 обладает кругом кривизны К
радиуса г, центр К расположен вне D (у). Установим на у положительное
направление так, чтобы оно в точке t0 совпадало с направлением движе-
ния по окружности круга К против часовой стрелки. Обозначим через
центр круга К и положим arg (tQ — z0) = а0, 0 а0 < 2л. Обозначим,
кроме того, через a (t) непрерывную функцию точки t кривой у, совпадаю-
щую (с точностью до чисел кратных 2л) с аргументом (t — z0) и равную а0
в точке tQ. Рассмотрим множество Е+ (Е~) точек t кривой у таких, что:
1) направление движения от t0 к t совпадает с положительным (отрицатель-
* Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4. С. 235-237.
35. О некоторых свойствах струйных течений
453
ным) направлением на у; 2) для каждой точки t нашего множества функция
a (t) меньше (больше) а0. Через т* (т~) мы обозначим нижнюю границу
значений | t — zQ | — г на множестве Е+ (Е~). Пусть, кроме того, тп°
есть нижняя граница радиусов кругов, содержащихся в D (у) и касающих-
ся у в точке tQ. Число к, равное наименьшему из трех чисел ~ ~
л 2г 2г
—, мы будем называть степенью достижимости точки tQ. Из опре-
деления степени достижимости непосредственно следует, что если круг
К расположен вне области D (у), то степень достижимости есть положи-
тельное число. Если кривая у такова, что всякая параллель некоторому
фиксированному направлению пересекает у не более чем в одной точке,
то степень достижимости совпадает с т°/г.
Теорема 2. Пусть у есть простая замкнутая кривая, пусть в ок-
рестности некоторой ее точки $0 кривизна непрерывна вместе с ее двумя
первыми производными. При этих условиях, если круг кривизны для точки
sQ расположен внутри D (у), то
1
^4r2’’ к1)
если тот же круг расположен вне D (у), то
d*\gV(sQ) С (к)
ds* г* ' W
где г — радиус кривизны у в точке s0, а С (к) есть положительная констан-
та, зависящая только от степени достижимости к точки sQ.
3. Приведенные свойства однолистных функций могут быть исполь-
зованы в теории струй как в направлении теорем существования и един-
ственности решений, так и в направлении качественного исследования
решений. Приведем в дополнение к предыдущей заметке несколько резуль-
татов качественного характера. Пусть у есть дуга, обладающая ограничен-
ной кривизной, симметричная относительно оси х и такая, что каждая
параллель оси у пересекает у не более чем в двух точках. Рассмотрим симмет-
ричное обтекание у со срывом струй в ее концах, причем из двух противо-
положно направленных течений выберем то, при котором свободные струи
у = -j- у (х, у), у (х, у) > 0 определяются однозначной функцией х. При
этих условиях имеет место следующая теорема.
Теорема 3. Пусть у = + у (х, у) и у = + у (х,_у) суть свободные
струи потока, обтекающие соответственно дуги у и у, имеющие общие
концы. Если при одинаковых абсциссах модули ординат точек у не больше
модулей ординат точек у, то
у (х, 7) > у (х, у),
причем знак равенства достигается только при совпадении у и у.
Опираясь на эту теорему, а также на лемму предыдущей заметки,
весьма просто получить качественную картину возможных обтеканий
со срывом струй выпуклых тел.
Пусть Т есть выпуклое тело, симметричное относительно оси х и огра-
ниченное гладкой линией Г. Обозначая через х$ и хг, х$ < хг, абсциссы
точек пересечения Г с осью х, обозначим через yt часть Г, принадлежащую
полосе х^ х <1 t, а через часть Г, дополнительную к yt. Будем рассма-
454
IV. Механика и математическая физика
тривать поток со скоростью, в бесконечности направленной по оси х
симметрично обтекающий yt со срывом струй в ее концах. Для того чтобы
было возможно обтекание Т со срывом струй в точках с абсциссой t. оче-
видно, необходимо и достаточно, чтобы струи у — + у (х. yt) = + у (х
t) были расположены вне Т. ’
Теорема 4. Существуют два числа t± и t2. <Z t±<Z t2 < xx, из
которых первое меньше абсциссы точек Г с экстремальными ординатами
такие, что при х0 <Z t <Z струи у = + у (х. t) пересекают Т. при tT
t t2 струи у = + у (х. t) не пересекают Т и имеют бесконечные ветки
и при t2 <Z t <Z х± струи у = Ч~ z/ (х. t) не пересекают Т. причем при х
х (t) > хх имеем у (х. t) = 0 — струи соединяются за телом на конеч-
ном расстоянии от него.
При тех.же обозначениях, если считать скорость в бесконечности и
плотность жидкости фиксированными, то среди всех возможных обтека-
ний тела Т обтекание, соответствующее наиболее раннему отрыву струй
(в точках с абсциссой ^), дает наибольшее значение для равнодействующей
сил давления жидкости на тело. Это наибольшее значение равнодействую-
щей сил давления назовем лобовым сопротивлением тела Т.
Рассмотрим прямоугольник | х | а. | у | Ъ. Возьмем на левой сто-
роне этого прямоугольника отрезок d. симметричный относительно оси
х. и решим для этого отрезка задачу на обтекание d со срывом струй (слу-
чай Кирхгофа). Размер d определим так, чтобы соответствующие свобод-
ные струи прошли через точки (а, Ь) и (а, —Ь). Обозначим через Т (а. Ь)
тело, ограниченное отрезком d. свободными струями и правой стороной
нашего прямоугольника.
Теорема 5. Среди всех выпуклых тел. вписанных в данный прямоу-
гольник | х | а. | у | Ъ. тело Т (а. Ь) обладает наименьшим лобовым
сопротивлением.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентьев М. А. К теории струй // Докл. АН СССР. 1938. Т. 18. № 45.С . 225—
226.
36
К ТЕОРИИ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ*
В двух заметках «К теории струй» (ДАН, 1938. Т. 18, № 4—5) и пре-
дыдущей мной было отмечено несколько новых граничных свойств функ-
ций, осуществляющих конформное отображение данной области на полу-
плоскость, а также были отмечены некоторые приложения этих результа-
тов к задаче обтекания со срывом струй дуг, расположенных в безграничной
жидкости. В настоящей заметке я имею в виду указать ряд аналогичных
результатов для случая функций, осуществляющих конформное отоб-
ражение данной области на полосу, а также отметить некоторые гидроди-
намические приложения этих результатов.
* Докл. АН СССР. 1938. Т. 20, № 4. С. 239—240.
36. К теории струйных течений 455
L Условимся в некоторых обозначениях. Пусть D (у) есть односвязная
область, ограниченная кусочно-гладкими кривыми yj и у с общими конца-
ми в точках Zj и z2 (точки z± и z2 могут совпадать с точкой оо). Через w =
f (2, у, Ух) мы будем обозначать функцию, реализующую конформное
отображение области D (у) на полосу — 1 < v < 0 плоскости w = и +
4- tv при условиях / (zn у, У1) = — оо, / (z2, у, ух) = 4-00. Через V ($) мы
будем обозначать /' (z, у, ух) | в точках у, рассматриваемую как функция
длины дуги 5 линии у. В дальнейшем будем предполагать у и ух такими,
чтобы V ($) существовала и была отлична от нуля как на у, так и на ух.
В основе метода доказательств приводимых ниже предложений лежит
следующая лемма.
Лемма. Пусть нам даны две области D (у) и D (у), ограниченные со-
ответственно кривыми у1? у и у1? у. Пусть D (у) содержит D (у), а линии
у и у (кроме точек z1? z2) имеют общую точку z0. При этих условиях имеем
I /' («о» 7. Vi) I > I /' («о» т, Yi) I»
кроме того, в каждой точке z дуги у]
I /' (Z, 7, 71) I < I f (Z, у, Yi) 1,
знаки равенств достигаются только при совпадении у и у.
Приведем теперь два результата, касающиеся поведения V (s).
Теорема 1. Пусть ух есть ось х или ее отрезок, а у — кусочно-
гладкая кривая, расположенная в верхней полуплоскости, имеющая с осью х
общими лишь свои концы zx, z2, zx < z2, и такая, что: 1) некоторая точка s$
делит кривую у на две части, расположенные целиком по разные стороны
от касательной Т, проведенной к у через точку $0; 2) в окрестности точ-
ки sQ кривая у обладает кривизной, удовлетворяющей условию Гёльдера.
При этих условиях, если при движении по Т из точки s0 в сторону возрас-
тания s мы придем в область D (у) (в область, дополнительную с D (у))
или будем все время оставаться на у при у 0, то
V (s0) > О (Г (s0) < 0), (1)
причем знаки равенств достигаются только тогда, когда у есть прямая,
параллельная оси х.
Если в условиях неравенства (1) дополнительно допустить, что угол а,
образованный положительным направлением Т (т. е. с таким направле-
нием, которое в точке sQ совпадает с направлением возрастания s) с поло-
жительным направлением оси х, заключен между Qu —л, то будем соот-
ветственно иметь
it11 4^sin2a 1 7TZZ/ v sin2 а 1 \
vм-7;
еде Уо есть ордината точки s0.
Теорема 2. Пусть при прежних обозначениях в окрестности точ-
ки sQ дуга у обладает дважды дифференцируемой кривизной, а ух есть про-
извольная дуга Жордана. Если круг кривизны у для точки s0 принадлежит
456
IV. Механика и математическая физика
D (у) (расположен вне D (у)), то
dsn
dV (s0)
dso
(d*lgV(s0)
C(fc)
r2
dV (s0)
dsQ
где г есть радиус кривизны у в точке s0, а С (к) есть положительная кон-
станта , зависящая только от степени достижимости к точки $0.
2. Из приведенных выше результатов можно получить, применяя
прямые методы вариационного исчисления, различные теоремы существо-
вания и качественные результаты в общей теории струй. Приведем одну
теорему существования решения задачи на обтекание дуги со срывом
струй, дуги, расположенной между двумя криволинейными стенками.
Т е о р е д а 3. Пусть Yi есть кривая, расположенная в нижней полу-
плоскости и определяемая однозначной функцией х : у = (х). | х | < оо.
Пусть, кроме того, дана дуга Г\: у = ср (х), где ф определена, одно-
значна. и дважды дифференцируема на отрезке (0, х^. причем ф (0) = 0,
Fr (х) <Z у (х) 0. При этих условиях существует единственная кривая
Г2: у = ф (х), ф (#1) = Ф (^i), ф (я) 0, определенная при х х± и такая,
что в каждой точке этой кривой при ф (х) < 0 будем иметь
V (s) = | f (z. у. vj | = с = const,
где у есть кривая, составленная из отрицательной части оси х. дуги 1\ и
кривой Г2.
37
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ
ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ТЕОРИИ СТРУЙ*
В первой части данной статьи изучаются главным образом функции,
реализующие конформное отображение полуплоскости на области с од-
ной бесконечно удаленной граничной точкой. Здесь, прежде всего, от-
правляясь от некоторой специальной нормировки отображения, устанав-
ливается характер вариации растяжения на границе при варьировании
области (предложение, близкое к «принципу Монтеля» и связанным с ним
леммам [1]. Эти свойства вариаций растяжения позволяют без труда уста-
новить ряд свойств этих растяжений в зависимости от характера границы
области: пусть, например, а ($) и К (s) суть соответственно угловой коэф-
фициент касательной к границе области и ее кривизна, рассматриваемые
как функции длины s дуги границы, и пусть р (s) есть логарифм растяже-
ния в точке s при конформном отображении рассматриваемой области
на полуплоскость; при этих обозначениях в точках, где a (s) достигает
абсолютного экстремума, производная р' (s) имеет знак, определяемый
лишь характером экстремума; аналогичное имеет место для р" (s) в точках
* Мат. сб., 1938. Т. 4, № 3. С. 391—458.
37. О некоторых свойствах однолистных функций 457
экстремума К (s). Эти предложения мы в дальнейшем дополняем в зави-
симости от различных теоретико-функциональных условий, налагаемых
на границу области. В этой же части мы даем несколько лемм (существен-
ных для приложений), касающихся вопроса существования растяжения
(модуля производной отображающей функции) на границе области.
Вторая часть данной статьи, в основном, посвящена приложениям
отмеченных выше свойств однолистных функций к теории струй. Мы огра-
ничиваемся рассмотрением обтекания дуг у (со срывом струй) с осью сим-
метрии, параллельной скорости потока в бесконечности V^; кроме того,
относительно дуги у мы предполагаем, что каждый перпендикуляр к
пересекает у не более чем в двух точках, но, в отличие от теории Лере,
мы не делаем никаких гипотез относительно числа точек пересечения у
с прямыми, параллельными Voo. Впервые задача о течении жидкости со
срывом струй была решена Кирхгофом (случай отрезка). Метод Кирхгофа
был обобщен Жуковским на случай обтекания полигональных дуг.
Случай криволинейной дуги был впервые рассмотрен Билля, который
свел вопрос к некоторому нелинейному интегральному уравнению. Опи-
раясь на уравнение Билля, ряд авторов [2] дали метод построения реше-
ния и доказали его единственность для случая дуг, близких к отрезку.
Отправляясь от того же интегрального уравнения Билля и применяя
метод фикс-точки, Лере дал впервые теоремы существования и единствен-
ности решения задачи о струях при гипотезе, что всякая параллель Voo
пересекает дугу не более чем в одной точке. Мы доказываем существова-
ние и единственность обтекания со срывом струй в концах дуги, причем,
в отличие от классических случаев, в зависимости от дуги, струи могут
уходить в бесконечность (так же как в случае пластинки) или могут со-
единяться с дугой; нам удается установить некоторые достаточные при-
знаки для существования бесконечных и конечных струй. Далее, исполь-
зуя, отмеченные выше свойства растяжений р (s), мы устанавливаем ряд
свойств струй — свойств, которые могут быть использованы при оценке
точности приближенных решений. Эти же свойства позволяют дать ка-
чественный анализ решений задачи о струях при обтекании замкнутых
контуров. В заключение, рассматривая определенный класс допустимых
дуг, мы решаем вариационную задачу о дуге наименьшего лобового со-
противления.
Часть результатов данной статьи была нами сформулирована без
доказательства в [3].
Часть I
О НЕКОТОРЫХ ГРАНИЧНЫХ СВОЙСТВАХ
ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Вариационный принцип. Пусть у — простая замкнутая кривая
Жордана замкнутой плоскости комплексного переменного z (сферы Ри-
мана), проходящая через бесконечно удаленную точку z = 00. Пусть,
кроме того, кривая у не проходит через точку z = —i. Обозначим через
D (у) односвязную область, ограниченную кривой у и содержащую точ-
ку z — —i. Для сокращения письма во всем дальнейшем мы будем гово-
рить, что у есть кусочно-правильная кривая, если каждый конечный кусок
линии у спрямляем и если при конформном отображении области D (^)
на полуплоскость, при условии соответствия бесконечно удаленных точек
логарифм модуля производной отображающей функции будет непрерывен
в замкнутой области Z>, кроме, быть может, конечного числа точек у,
отличных от ос. В настоящее время известен ряд достаточных условий,
которым должна удовлетворять кривая для того, чтобы быть кусочно-
правильной. В дальнейшем мы будем использовать главным образом про-
стейший из этих признаков: для того, чтобы кривая у была кусочно-пра-
вильной, достаточно, чтобы ее стереографическая проекция на сферу
Римана состояла из конечного числа дуг с ограниченной кривизной.
Ограничиваясь классом кусочно-правильных кривых, будем обозна-
чать через
^ = / (z, Т)
функцию, реализующую конформное отображение D (у) на нижнюю
полуплоскость, при следующих условиях:
/(оо,т) = оо, |/'(°°> т)| = !• (!)
Условиями (1) функция / (z, у), очевидно, определяется с точностью до
действительной аддитивной постоянной, которая в дальнейшем никакой
роли играть не будет.
Докажем следующую теорему. _
Теорема 1. Пусть даны две кусочно-правильные кривые у и у,
имеющие общую точку z0, являющуюся правильной для каждой из кривых
У и у, пусть, кроме того, область D (у) содержит область D (у). При этих
условиях будем иметь
I /' (Zo, Т) I < I /' (z0, v) I,
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда v совпа-
дает с у (фиг. 1).
Если ординаты точек кривых у, у изображаются однозначными функ-
циями х: у = у (х), у — у (х), то в точке хг, где разность у (х) — У \х)
достигает максимума, будем иметь
I /' (^i + iy (*i), У) | > | /' (^i + 1у (*i), У) |.
Допустим, что у не совпадает с у. Введем вспомогательное переменное
£ = I + fcq. При отображении £ — / (z, у) точка z0 перейдет в некоторую
точку действительной оси %, а область D (у) при этом перейдет в нек°~
торую область А, расположенную в нижней полуплоскости ц < 0, приче
37. О некоторых свойствах однолистных функций 459
граница А будет содержать точку |0. Отобразим конформно,
w = ф (£)>
область А на нижнюю полуплоскость при условиях
ф (оо) = оо, <р' (оо) = 1. (2)
Очевидно, имеем
/ (z, У) = ф I/ (z, у)], /' (z, у) = ф' (0 /' (z, у). (3)
Таким образом, для доказательства теоремы нам достаточно показать, что
в точке £ = £о производная ср' (£0) > 0 меньше единицы. Обозначим
через и = и (£, ц) и v — v (£, ц) соответственно действительную и мнимую*
части функции ф (£):
Ф (£) = и Л) + (L П)-
В точке £0 имеем
- ^о,О) _ ^(ВО,О)
Заметив это, рассмотрим гармоническую функцию
V (|, ц) = v (£, ц) — .ц; (5)>
эта функция правильна в области Д, в точке равна нулю, на остальной
части границы области Д не отрицательна, а на некоторых частях границы
строго положительна; кроме того, в силу условия (2), нетрудно видеть,,
что
lim 2^ = 1,
^->00 ъ
т. е.
ф(0 =: + (о,
где с (£) стремится к нулю вместе с 1/£. Отсюда, выделяя мнимые части
и пользуясь (5), получим
ч)> -1: 1м:),
гДе ei (С) есть действительная функция £, стремящаяся к нулю вместе
с 1/С. Из перечисленных свойств функции V (£, .ц), в силу известного
принципа максимума, следует, что всюду в области Д имеем
V (L -п) > 0.
Но так как в точке |0 функция V равна нулю, то
^2)<о.
дг] -
Отсюда, принимая во внимание (4) и (5), окончательно получим
460
IV. Механика и математическая физика
Первая часть теоремы полностью доказана. Вторая часть получится из
первой, если заметить, что при поступательном сдвиге D (у) производная
не меняется.
Замечание. Несущественно меняя приведенные рассуждения,
доказанную теорему можно распространить на области D (у) с одной бес-
конечно удаленной граничной точкой значительно более общего вида;
например, относительно характера частей у и у, расположенных в конеч-
ной части плоскости, можно не делать никаких ограничений. В этом слу-
чае в заключении теоремы, естественно, придется вместо производных
брать разностные отношения.
Делая относительно кривых у и у дополнительные гипотезы, можно
дать ряд уточнений теоремы 1, существенных для дальнейшего. Допустим,
например, что расстояние от любой точки кривой у до у, рассматриваемое
как функция длины дуг $, есть суммируемая функция; в таком случае,
в силу известной формулы Пуассона, для функции
с = 4, (w) = в (и, v) + ir] (u, V),
обратной функции <р (£), будем иметь следующее выражение:
ф(гр) = u + — f ^)^dt + ф + ДД .
Y v ' 1 л J (и — ty + Р2 [ Л J (и — t)2 -f- Р2 J
— оо —оо
Допустим теперь, что у и у имеют общую дугу у0 и что при отображении
£ — f (2, у) дуге у0 отвечает отрезок d оси и пусть при отображении
w = ф (£) отрезку d отвечает на оси и отрезок (zzp zz2); тогда при
и2 имеем г| (£, 0) = 0. Отсюда для значений и, заключенных между иг
и zz2, будем иметь
I / \ I 1 С Л (*> 0) dt 1 (* т] (t, 0) dt
ф (и) = % u,0) = u + — \ + — \
—00 г/2
1 1 С 1 f 0)di ZRS
Ф' (£) - V W - 1 я (и — «)2 л J (и - г)2 ‘ '
—оо и2
Опираясь на формулу (6), нетрудно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть у и у — две кусочно-правильные кривые такие,
что:
1) угол, образованный касательной к у (у) е осью х, рассматриваемый
как функция длин дуги у (у), удовлетворяет условию Гёльдера',
2) длина отрезка б нормали к у, заключенного между у и у, не превос-
ходит величину 8 (s), е < 80, суммируемую по кривой у;
3) угол между касательными к у и у, проведенными через концы б, не
превосходит е0;
4) в окрестности точки z = ос кривые или совпадают или имеют общей
только самое точку оо;
5) кривые у и у имеют общую дугу у0.
При этих условиях вдоль дуги у0 имеем
log|/'(z, т)| = log|/'(z, ?)| — -±- Д (у_У} & + Ре»’ <7>
—оо
37. О некоторых свойствах однолистных функций 461
где j есть произвольная точка кривой 7, t = / (j, у), и = f (2, у) и 6 ($)
есть длина отрезка нормали к у в точке J, заключенного между у и у, взя-
тая со знаком «+», если 6 принадлежит D (у), и со знаком «—» в обратном
случае, и где р, при фиксированной у, стремится к нулю вместе с е0.
В самом деле, обозначим через D сумму областей D (у) и D (у):
D = D (у) + D (у).
Легко видеть, что в силу принятых условий, при фиксированной у и при
е0 достаточно малом, открытое множество D есть область. Отобразим кон-
формно,
C=F(z), F(oc) = oo, I F' (00) |=1, (8)
область D на нижнюю полуплоскость. Пусть Е есть множество точек оси
5, соответствующих угловым точкам границы Г области D. Множество Е
есть, очевидно, счетное приводимое множество, причем в силу условия (4)
бесконечность не есть предельная точка этого множества. При отобра-
жении (8) области D (у) и D (у) перейдут в некоторые области Ах и Д2,
расположенные в нижней полуплоскости, причем при е0 достаточно малом,
границы областей Дх и Д2 можно задать однозначными функциями пере-
менного
n = Hi (?), п = ъ (?)•
Если при этом через d обозначить отрезок, соответствующий при отобра-
жении (8) дуге у0, то для всех точек d будем иметь
’ll (В) = *12 (?) = 0.
Кроме того, для значений £, расположенных вне любой фиксированной
окрестности множества Е, с точностью до бесконечно малых высшего
порядка по сравнению с е0 будем иметь
’ll (?) = — IР' (J) I б ($), Т12 (?) °’ если <5 (J) > °> |
’ll (?) °> П2 (?) = I Р' (0 IS (4)> если S (J) < 0, j
где j есть точка Г, соответствующая точке £, F (j) =
Заметив это, отобразим конформно области Ах и Д2 на нижнюю
плоскость плоскости w\
^ = Ф1(С), фх (оо) = оо, . Ф1(оо) = 1,
Ш = ф2 (С), ф2 (^>) = ф2 (°°) = 1.
В силу формулы (6) для точек |, принадлежащих d, будем иметь
(9)
полу-
(10)
части
1 _ । 1 С М) dt
q>' (?) ~ J («— О2 ’
1 —оо
где через цх (и, и) и ц2 (и, и) обозначены соответственно мнимые
функций, обратных функциям фх и ф2. Замечая, что части интегралов пра-
вых частей (10), относящиеся к бесконечно малой окрестности множества Е,
462
IV. Механика и математическая физика
суть бесконечно малые высших порядков по сравнению с е0, а также при-
нимая во внимание порядок малости | (£) — (u, 0) | и | ,ц2 (£) —
— ,т|2 (и, 0) |, в силу (9), для точек d, с точностью до малых высшего подря-
ка по сравнению с е0, получим
, Ф2 1
log—= —
Ф1 (£) я
(и - О2
(11)
Так как, кроме того, функции | Ff (j) | и | /' (5, у) | при ъ оо
ограничены, а для любого фиксированного числа N разность
N N
$ \Р' (i)l^— $ I f (S’ ?) I & бесконечно мала вместе с 80, то отсюда заклю-
-N -N
чаем, что, не Нарушая порядка точности, в соотношениях (11) функцию
| F' (J) ( можно заменить функцией | /' (J, у) |. Отсюда, принимая во вни-
мание (3), получим искомое соотношение (7).
Остановимся теперь на некоторых частных случаях формулы (7).
Если в условиях теоремы 2 первоначальная кривая у есть ось х, а кривая у
имеет уравнение у — у (х), то соотношение (7) примет вид
/' (х, у) = 1
1 С У (t) dt
л J (х — t)2
—00
+ Рео>
(7.1)
где за £0 можно принять наибольшее из чисел шах | у (х) | и шах | у' (х) (
|х|<©0 |х|<со
и где р стремится к нулю вместе с е0.
Другой частный случай формулы (7) мы получим, если, опять в усло-
виях теоремы 2, допустим, что кривая у отличается от кривой у лишь в бес-
конечно малых окрестностях конечного числа точек zx, z2, . . ., zn кри-
вой у и что в каждой такой окрестности у и у не пересекаются.
В этом случае обозначим через площадь, заключенную между у и у,
в окрестности точки zR, взятую со знаком «+», если в этой окрестности у
расположена вне области D (у), и взятую со знаком «—», если в той же
окрестности у расположена в области D (у). При этих обозначениях,
применяя к интегралам в правых частях (7) теорему о среднем и отбра-
сывая бесконечно малые высших порядков по сравнению с наибольшей
из о, мы получим следующее соотношение:
1 I / -Ч I 1 , ,, , К . IV' 7)
log I / (z, у) I - log I f (z, у) I ss — У (u_up °K’
«II z ] I U Uj.1
K=1 K
(7.2>
где z есть произвольная точка, общая для у и у, a u, uv . . ., ип суть точ-
ки оси и, соответствующие при отображении w = / (z, у) точкам z,. zD . . .
• • z„: и = f (z, у), Uj = / (zx, у), . . un = / (zn, y).
Обозначим через s расстояние от точки z кривой у до некоторой фикси-
рованной точки той же кривой, измеренное по кривой. Положим
I/' (г- т)
\f (г, у)
= p(s).
(12>
37. О некоторых свойствах однолистных функций
463
При этих обозначениях формула (7.2) примет вид
. . 1 VI I /' Uj;. У) I2
logp(s)= — \ ак.
к=1 R
Разберем отдельно случай, когда п ~ 2 и когда, как раньше, о^ и сг2 бес-
конечно малы:
+ (7.3)
Пусть и $2 СУТЬ s-координаты точек и z2, и допустим, что cFj > О,
а2 > 0. При этих условиях из формулы (7.3) следует, что при $!<$<;
функция р (s) достигает единственного минимума и что при всех из-
менениях s имеем
£р(«)>0-
Если Qi < 0 и а2 < 0, то в интервале < $ < $2 функция р ($) дости-
гает единственного максимума, и при всех s
du* г v / \
Из (7.3) следует также, что, каковы бы ни были значение > 0 и
точка s0, < s0 < s2, всегда можно выбрать а2 > 0 так, чтобы в точке $0
функция р ($) или log р ($) достигала своего минимума (или максимума
при 04 < 0 и а2 < 0). Если а2 = 0, то | log р (s) | убывает с удалением
точки $ от точки sv
Отмеченные свойства р ($) мы вывели, опираясь на приближенное
выражение (7.3) для функции р (5). Для достаточно малых значений а
наше заключение законно, ибо очевидно, что все производные правой
части (7.3) по и дают производные р ($) по и также с точности) до малых
высших порядков.
Последнее свойство log р ($) имеет место при любых односторонних
вариациях линии у: если у и у отличаются лишь на дуге Yj кривой у, а у
расположена в D (у) (вне D (у)), то log р ($) возрастает (убывает) при уда-
лении точки $ от дуги уг
Этот результат получается или итерацией бесконечно малых преоб-
разований дуги у, или непосредственно из формулы (6). К этому вопросу
мы вернемся в п. 4.
2. Установленные выше предложения о характере вариации растя-
жения при конформном отображении могут быть также перенесены на
области типа полос. Пусть нам даны две кусочно-правильные кривые ух
и у, не имеющие общих точек, кроме своих концов, которые, в частности,
могут совпадать с точкой оо, причем, в последнем случае, в отличие от
рассмотрений предыдущего пункта, мы здесь не делаем никаких гипотез
относительно поведения у и у в бесконечности. Обозначим, по аналогии
с предыдущим, через D (уп у) область, ограниченную кривыми yj и у,
а через
W = / (z, Yi, у)
464
IV. Механика и математическая физика
функцию, реализующую кон-
формное отображение области
D (?1, ?) на полосу —1 < р
< О, w = и + iv, при условии
чтобы кривая ух перешла в дря1
мую v = — 1, а кривая у переш-
ла в прямую и =0. Этими усло-
виями функция /, очевидно
будет определена с точностью
до аддитивной действительной
константы
место следующая теорема.
имеет
Фиг. 2
При этих обозначениях
Теорема 1.1. Пусть даны две кусочно-правильные кривые ух и у,
и пусть у есть кусочно-правильная кривая такая, что у имеет с у общую
дугу у0 (или общую точку), у не имеет, кроме концов, общих точек с ух и у
принадлежит замкнутой области D (уп у), определяемой кривыми ух и у.
При этих условиях в каждой правильной точке дуги у0 (yj будем иметь
I /' (z, 71, 7) К I f (z, 7Х, у) I (I /' (Z, 7Х, 7) I > I /' (z, 71, 7) I ),
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда кривая у
совпадает с кривой у (фиг. 2). w
Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству
теоремы 1. Допустим, что у не совпадает с у. Введем вспомогательную
плоскость £ = | + щ и рассмотрим отображение
С = / (Z, 71, 7)-
При этом отображении область D (ур у) перейдет в некоторую область А,
расположенную в полосе —1 < ц <Г 0, причем граница Г области А
будет содержать отрезок d прямой = 0, соответствующей при отобра-
жении (12) дуге у0; кроме того, Г будет содержать прямую ц = — 1. Отобра-
зим конформно область А на полосу —1 < v < 0,
= Ф (С),
так, чтобы точки £ =4-00 перешли соответственно в точки и =
Очевидно, имеем
ЖТ1ЛИ=ф[/(г,Т1,Ш |
/'«Т1Л) = ф'Ю/'(^Т1,Т)‘ J
Обозначим через и = и (£, q) и
тельную и мнимую части функции
Ф (£) = и (£, х\) + iv (I, ц).
Вдоль отрезка d и вдоль прямой ц
, = ди (|, 0) ди (|,0)
Т д% dq ’
(D' —
Y V d% dq
(13)
v — v (£, ц) соответственно действи-
ф(£):
= —1 имеем
(14)
37. О некоторых свойствах однолистных функций
465
рассмотрим теперь гармоническую функцию
V (g, -n) = v (£’ ’П) - *1- (15)
Эта функция правильна в области Д, а на отрезке d и на прямой ц = —1
равна нулю. На остальных частях границы функция V не отрицательна,
причем существуют части границы, где она строго положительна, так как,
по условию, у не совпадает с у, и область Д не совпадает с полосой —1 <
< 0. Отсюда, в силу принципа максимума, заключаем, что всюду
в области Д имеем
V (L п) > °-
Но так как вдоль отрезка d и вдоль прямой .т| = —1 функция V равна нулю,
то, следовательно, вдоль Г| = —1 и d будем, соответственно, иметь
dr]
Отсюда, принимая во внимание (13), (14) и (15), окончательно получим
ф (£) — 1 + <1
для всех значений £, принадлежащих отрезку d, и
, /£ Л л dV \ Л
<р (£ _ 0 = 1 - — > 1
для всех значений Теорема полностью доказана.
Доказанная теорема, так же как теорема 1, допускает ряд количе-
ственных уточнений. Допустим, что в условиях теоремы 1.1 кривая у
совпадает с у по некоторой конечной дуге у0, а также в некоторой окрест-
ности бесконечно удаленной точки. В этом случае для функции
£ = Ф (ш) = £ (u, v) + it] (и, v),
обратной функции w = ф (£), можно дать следующее представление:
ф (и>) = J- jj th -J- (w + i - t) J] (i, 0) dt. (16)
—oo
В этой формуле и в следующих интеграл сводится к двум интегралам
с конечными пределами, относящимися к тем частям оси и, где ц отлично
от нуля.
Обозначая через (u1? и2) отрезок, соответствующий при отображении
w = / (z, ух, у) дуге у0, для значений и, иг и < и2, будем иметь, в силу
(16), следующие формулы:
Ф (w) = | (и, 0) = 4- $ cth (и - 0 Л1 (t, 0) dt,
—оо
_J__ = = _ С n(t,O)^ ,17)
Ф'(?) * ( ) 4 J sV(u-t) ’ { '
— оо
466
IV. Механика и математическая физика
Для случая, когда у бесконечно близка к у, из формулы (17) нетрудно по-
лучить главные члены для ф' (zz), а следовательно, и вариацию ддя
log f (z, Yj, у) при переходе от линии у к линии у. В самом деле, допустим
что линия у удовлетворяет по отношению к линии у условиям теоремы 2;
тогда при обозначениях теоремы 2, для значений и, заключенных между
Ui и zz2, получим
оо
log|/'(2,71, т)| — 10g|/'(2’YvY)| = -J- $ dt- (18)
Доказательство этого соотношения совершенно аналогично доказа-
тельству равенства (7) с тою лишь разницей, что вместо формулы (6) нужно
брать формулу (17).
Допустим теперь, что у отличается от у лишь в бесконечно малых
окрестностях двух точек и г2 и что в каждой из этих окрестностей у или
принадлежит D (ух, у), или расположена вне D (у1? у). В этом случае с точ-
ностью до малых высших порядков будем иметь
log | /' (z, Т1, т) | — log I /' (z, y1( у) I
— Л Г I2 „ 1 If (z2, Y1,T) I2 1
4 [ sh2 (u — uj) 1 sh2(u— u2) 2 J ’
где z есть произвольная точка, общая для у и у; и, и± и zz2 суть точки оси и,
соответствующие при отображении w — f (z, ух, у) точкам z, zx и z2, a Or,
k — 1, 2, есть площадь, заключенная между у и у около точки zfc, взятая
со знаком «+», если вблизи zk у принадлежит D (ух, у), и взятая со знаком
«—» в противном случае.
Обозначим через s расстояние от точки z кривой у до некоторой фик-
сированной точки кривой у, измеренное по этой кривой. Положим
f (z, УъТ)
Г (2, Уь у)
= p(s);
тогда в силу (18), пренебрегая бесконечно малыми высших порядков,
для точек z, расположенных вне соответствующих окрестностей точек
zx и z2, получим
= 1 4- — Г |Г п 4- |Г (Z2) VbV) |2 О 1
' 4 [_ sh2(w — uj) х sh2(u — и2) 2J
Пусть теперь sx и s2 суть s-координаты точек zx и z2; пусть ех, 82 — окрест-
ности zx и z2, вне которых у совпадает с у, и допустим, что ох > 0, а2 х*
(<?i < 0, о2 < 0). При этих условиях из формулы (18) следует, что в ин-
тервале ($х + 8Х, $2 — е2) функция р ($) достигает единственного минимума
и что
Из формулы (18) следует также, что, каковы бы ни были значение пх 0
и точка s0, sx + 8Х < s0 < s2 — 82, всегда можно определить о2 > 0 таК’
чтобы в точке функция р (s) достигала своего минимума (или максимума,
если ах <; 0). Если а2 = 0, то р (s) убывает с удалением точки s от интер-
вала искажения ($х — ех, $х ех).
37. О некоторых свойствах однолистных функций
467
3. Гидродинамическая интерпретация. Доказанные выше теоремы 1 и
1.1 допускают весьма наглядную гидродинамическую интерпретацию.
Остановимся на теореме 1. Как известно, функции f (z, у) и / (z, у) можно
рассматривать как функции течения идеальной несжимаемой жидкости,
заполняющей соответственно области D (у) и D (у) и обтекающей контуры
у, у при скорости в бесконечности, равной единице. Значения | /' (z, у) I
и I f (?•> У) I Дают величины скоростей потоков в точке z. При такой трак-
товке функций f теорему 1 можно формулировать следующим образом:
если считать скорость потока в бесконечности постоянно равной единице,
то при деформации части обтекаемого контура скорость потока вдоль
недеформированной части контура будет уменьшаться или увеличиваться
в зависимости от того, будут ли продеформированные части контура у
находиться в первоначальной области течения или вне ее.
Вполне аналогичную трактовку допускает также теорема 1.1, с той лишь
разницей, что вместо скорости потока в бесконечности заранее фиксиру-
ется расход потока жидкости, протекающего между линиями ух и у.
4. Поведение растяжения около точек перегиба границы. В данном и
следующем пунктах мы займемся изучением поведения | f (z, у) | и | /' (z,
Ть У) I вблизи точек перегиба кривой у. Принимая во внимание механи-
ческий смысл | /' |, условимся в дальнейшем модуль производной | f (zr
у) I» I f (z, Ть У) I Для точек z, расположенных на у, обозначать через V (s):
V(S) = If (z, V) I, 7(8) = If (z, V1, y) I,
где 5 означает координату точки z на у: s есть расстояние от точки z до не-
которой фиксированной точки у, измеренное по кривой у и взятое с соот-
ветствующим знаком; положительное направление на у выберем так, чтобы
при возрастании 5 абсцисса и = f (z, у) также возрастала.
Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Пусть у есть кусочно-правильная кривая (в смысле
условия 1 теоремы 2) такая, что:
1) некоторая точка s0 разделит у на две части так, что эти части
будут целиком расположены по разные стороны от касательной L, про-
веденной к у через точку $0;
2) в окрестности точки $0 кривая у обладает кривизной К ($), удовлет-
воряющей условию Гёльдера:
\K{s + h} - K(s)\<№, а > 0.
При этих условиях, если при движении по L из точки $0 в сторону воз-
растания s мы придем в область D (у) (фиг. 3), то
V (80) > 0;
если при том же движении мы попадем в область, дополнительную к D (у),
то
V (So) < 0.
Для доказательства рассмотрим сначала частный случай, когда ка-
сательная L совпадает с у на некотором отрезке d, содержащем точку s0
Как внутреннюю точку. Допустим, что, двигаясь по L из точки $0 в сторону
возрастания s, мы придем в область D (у) (фиг. 3), и докажем, что в этом
468
IV. Механика и математическая физика
случае
(19)
ЧТО
(19.1)
точку Sx, Sx > so,
П родеформируем
(21)
(21.1)
Допустим от противного,
V (80) < 0.
и возьмем произвольную
лежащую вне прямой L.
кривую у в окрестности точки так, чтобы
продеформированная часть у лежала в обла-
сти D (у) и не имела бы с L общих точек.
Обозначая через V ($) функцию V, соответс-
твующую продеформированной кривой, в си-
лу (12) вдоль отрезка d будем иметь
log V (s) = log V (s) + log p (s). (20)
Замечая, что в нашем случае р' (s0) < 0, из
(19.1) и (20) получим
У'М _ ^Оо) , р'М о
VM V(s0) p(s0)
Точно таким же рассуждением мы убедимся,
что при расширении области D (у) в окрест-
ности любой точки s2, s2 < $о, логарифмическая производная функции
V в точке $0 всегда уменьшится. Отсюда заключаем, что возможно пост-
роить последовательность кривых
V = Тх, Тг, • Тп, • • •,
монотонно сходящуюся к прямой L и такую, что
0 rw . <(«о)
ЪМ r2(s0) ->•••-> 7n(So)
где через Vn (s) мы обозначаем модуль производной функции / (z, уп)
в точке 5. Так как последовательность (21) сходится к L и каждая из уп
содержит отрезок d, то отсюда заключаем, что последовательность функций
“у / (2, Тп), 72 = 1, 2, 3, . . .
равномерно сходится внутри D (L) и внутри отрезка d к линейной функции
w = eiaz + р.
Для того чтобы обеспечить эту сходимость, мы можем потребовать,
чтобы в точке $0 все функции / (z, уп) равнялись нулю.
Отсюда заключаем, что
lim 2^ = 1,
П—*оо У п (5о)
что противоречит (21.1). Этим самым неравенство (19) полностью доказан
для случая, когда $0 находится внутри отрезка d. Если точка $0 принаД-
37. О некоторых свойствах однолистных функций
469
лежит одному из концов отрезка d, напри-
мер, концу с наибольшей координатой s,
то из приведенных рассмотрений следует,
что в этой точке имеем
1 im IZ-(5° + fe)--^(5o) > °» (22)
/г—h
но так как, кроме того, кривизна у в ок-
рестности точки s0 удовлетворяет условию
Гёльдера, то в рассматриваемой точке
V ($о) существует (см. п. 9) и, значит,
в силу (22) положительна.
Перейдем к доказательству теоремы в
общем случае. Допустим опять, что при
движении по L из точки s0 в сторону воз-
растания s мы придем в область D (у).
Заменим в границе у области D (у) дугу у0:
s0 — k < s < $0, к 5> 0, дугой у 0, имеющей
те же концы, что и у0, расположенной вне - .
области D (у) и содержащей отрезок пря-
мой L с концом в точке s0 (фиг. 4). Таким
образом продеформированную кривую у обозначим через у и положим
F (*) = I /' (z, Т) |.
При этих обозначениях, в силу рассмотрений, приведенных при дока-
зательстве теоремы в частном случае, имеем
lim + <lim F (s« + fe) - V (sp) . (23)
h-+o h /l—+0 h
Принимая во внимание сделанные гипотезы относительно гладкости кри-
вой у, мы знаем, что У' ($0) и V' ($0) существуют. Таким образом, из (23)
следует
V’ (*о) < V' ($0),
но, в силу разобранного частного случая теоремы, V' ($0) положительна;
этим неравенство (19) полностью доказано.
Вполне аналогично можно разобрать случай, когда при движении из s0
по Л в сторону возрастания s мы придем в область, дополнительную к D (у).
В этом случае получим
V' (з0) < 0.
5. Доказанная выше теорема 3 в некотором смысле может быть рас-
пространена на случай функций, реализующих конформное отображение
криволинейной полосы на прямолинейную полосу.
Сохраняя обозначения, принятые в п. 3, и полагая, как в п. 4, У (s) =
= I f (z, уь у) |, мы получим следующую теорему.
Теорема 3.1. Пусть yj есть действительная ось х, а у есть ку~
очно-правильная кривая, расположенная в верхней полуплоскости, имею-
щая с осью х общими лишь свои концы и такая, что:
470
IV. Механика и математическая физика
1) некоторая точка $0 кривой у разделяет ее на две части так, что эти
части будут целиком расположены по разные стороны от касательной L,
проведенной к у через точку $0;
2) в окрестности точки $0 кривая у обладает кривизной К ($), удовлет-
воряющей условию Гёльдера.
При этих условиях, если при движении по L из точки $0 в сторону воз-
растания дуг s мы придем в область D (уь у) или будем все время оставаться
на у, то
V ($0) > о. (24)
Если при том же движении мы придем в область, дополнительную к D (уь у)
(фиг. 5), или будем все время оставаться на у, то
V ($0) < 0, (25)
причем равенства достигаются тогда и только тогда, когда у есть пря-
мая, параллельная оси х.
Если в условиях неравенства (24) дополнительно допустить, что угол а,
образованный положительным направлением L с положительным направ-
лением оси х, заключен между 0 и —л, то будем иметь
r sin2 а 1
I I “ I У% '
где у0 есть ордината точки sQ.
Если в условиях неравенства (25) допустить, что угол а заключен между
Ойл, то будем иметь
sin2 а 1
Iа I
равенства достигаются, когда у совпадает с L. Положительное направ-
ление на L мы считаем таким, чтобы оно совпадало в точке s0 с направле-
нием возрастания s.
Начнем с доказательства неравенства (25.1). Обозначим через х$ абс-
циссу точки пересечения L с осью х. Заметим теперь, что, не нарушая
общности доказательства, можно считать, что правый конец кривой у
находится в бесконечности. В самом деле, допустим, что правый конец у
есть конечная точка, и пусть хг — его абсцисса. Заменим бесконечно ма-
(24.1)
(So)
(25.1)
^l(so)
37. О некоторых свойствах однолистных функций
471
лую дугу у0 кривой у, расположенную
в окрестности точки полупрямой,
идущей из точки у вправо (фиг. 5);
получившуюся таким образом кривую
обозначим через у. Если диаметр у0
будет стремиться к нулю, то, очевидно,
/' (z0, Т1, V)» /" (z0, Т1, у), • • . будут
стремиться к/' (z0, y),/"(z0,y1, у),...,
следовательно, если соотношение (25.1)
будет доказано для любой у, оно будет
доказано и для у. Заметив это, рассмот-
рим область А, ограниченную лучом
х х^ оси х и лучом касательной L,
выходящим из Xq и расположенным в
верхней полуплоскости. Отобразим кон-
формно область А на полосу — 1 <;
<С v < 0 при условии, что точки z =
== Xq и z = оо перейдут соответственно
в точки и = -|-оо:
log (z — х0) — i.
Фиг. 6
Применяя рассуждения, вполне подобные тем,
при доказательстве теоремы 3, мы получим, что
которые мы привели
в точке $0 выражение
1-^- L4-lo®<z—ж°>—£J I
sin2 а 1
а
будет мажорировать значение V ($0). Этим неравенство (25.1) полностью
доказывается. Вполне аналогично доказывается неравенство (24.1).
Из неравенств (24) и (25) ограничимся рассмотрением неравенства (25).
Для его доказательства можно применить прежний метод мажорирования
У' (s0)/F ($0). При этом можно ограничиться случаем, когда угол, обра-
зованный положительным направлением L с положительным направле-
нием оси х, есть угол, заключенный строго между 0 и —л. Обозначим,
как раньше, через xQ абсциссу точки пересечения L с осью х, а через хг —
абсциссу конца у, расположенного в конечной части оси х. Определим те-
перь область Аг следующим образом: граница Гг области Аг состоит:
1) из двух лучей, принадлежащих L и оси х, выходящих, соответственно,
из точек $pz:0 = г, и хх в положительных направлениях (фиг. 6); 2) из
простой жордановой дуги, соединяющей точки хх, принадлежащей
первоначальной области D (уп у) и расположенной справа от прямой L.
Из двух областей, определяемых кривой Гг, через Аг мы обозначим ту,
которая содержит полуплоскость, расположенную слева от L. Отобразим
конформно построенную область Аг на полосу —1 < v < О,
= fr (*),
при условии, чтобы точки z = оо к z = хг переходили, соответственно,
в точки и = Рассуждая так же, как в п. 4, в силу рассмотрений
п. 3 нетрудно убедиться, что выражение log | fr (z) |, взятое в точке $0,
472 IV. Механика и математическая физика
мажорирует V' (sQ)/V (sQ) при любом значении г; кроме того, в силу тех
же соображений, в точке $0 это выражение есть возрастающая функция г.
Заметив это, рассмотрим последовательность функций
/п(2), « = 1,2,=3,..,. (26)
I fn (Zo) I
где z0 есть число, определяемое точкой s0. Последовательность (26) ком-
пактна и сходится к линейной функции. Следовательно,
этим неравенство (25) полностью доказано.
Замечание. Некоторые оценки для V' (s0) в точках перегиба линии у
могут быть также получены без допущения, что уг есть или кусок оси х,
или вся ось х. Так, например, из неравенств (24.1) и (25.1) и из принципа
компактности однолистных функций непосредственно следует, что при
фиксированных а и у0 неравенства (24) и.(25) будут иметь место, если
кривая ух будет достаточно близка к оси х.
6. Поведение растяжения около точек экстремальной кривизны. Пе-
рейдем к дальнейшему выявлению свойств функции V (s) для случая ото-
бражений, w = / (z, у), областей D (у) на полуплоскость. Ради большей
простоты изложения введем одно геометрическое определение. Пусть нам
дана кривая Жордана у, содержащая точку оо и не содержащая точки
z = —i, и пусть в окрестности некоторой своей точки t0 кривая у обла-
дает кругом кривизны S радиуса г. Допустим, кроме того, что у в точке t0
обращена выпуклостью к области D (у) и что центр круга S расположен
вне области D (у). Установим на у положительное направление так, чтобы
в точке это направление совпадало с движением по окружности круга S
против часовой стрелки. Обозначим через z0 центр круга 5 и положим
arg (t0 — z0) = а0, 0 < а0 < 2л.
Обозначим, кроме того, через a (t) непрерывную функцию точки t кри-
вой у, совпадающую (с точностью до чисел, кратных 2л) с аргументом
t — z0 и равную а0 в точке t0. Рассмотрим теперь множество Е+ точек t
кривой у таких, что (фиг. 7): 1) направление движения от tQ к t совпадает
с положительным направлением на у; 2) для каждой точки t нашего мно-
жества функция a (t) меньше а0. Через т+ мы обозначим нижнюю грани-
цу значений | t — zQ \/r — 1 на множестве Е+. Вполне аналогично,
пусть Е~ есть множество точек t кривой у таких, что: 1) направление
движения от to к t противоположно положительному направлению на у;
2) для каждой точки t множества Е~ функция a (t) больше а0. Через пГ
мы обозначим нижнюю границу значений | t — z0 \/r — 1 на множест-
ве Е~. Пусть, наконец, mQ есть верхняя граница радиуса кругов, содер-
жащихся в области D (у) и касающихся у в точке tQ. Число v, равное мень-
шему из трех чисел т~/2, т+/2, mQ]r., мы будем называть степенью
достижимости точки t0. Если одно из чисел т+, т~ или оба эти числа не
определены (соответствующие множества £+, Е~ пусты), то при опреде-
лении v мы их не учитываем. Нижнюю границу степеней достижимости
точек некоторой дуги у0 мы назовем степенью достижимости дуги у0.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
473
Отметим сейчас же несколько свойств
введенного понятия, непосредственно
вытекающих из его определения. Если
круг S находится вне области D (у),
то степень достижимости точки t0 есть
всегда положительное число.
Если кривая у такова, что всякая
параллель к некоторому фиксирован-
ному направлению пересекает у не более
чем в одной точке, то степень достижи-
мости точки tQ кривой у совпадает с
произведением радиуса кривизны у в
точке tQ на радиус наибольшего круга,
содержащегося в D (у) и касающегося
у в точке /0.
Докажем теперь следующее основ-
ное предложение.
Теорема 4. Пусть нам дана фиг. 7
кусочно-правильная кривая у такая.
что существует круг К радиуса г, не содержащий точек у и окружность
которого имеет с у общую дугу у0. При этих условиях, если К принадле-
жит области D (у), то для каждой точки s дуги у0 будем иметь
d^ogV(s) 1
ds*
Если круг К находится вне области D (у), то для тех же точек s дуги у0
будем иметь
d* log V (s) , С (у)
ds* г* ’
(28)
где С (v) зависит только от степени достижимости v рассматриваемой
точки s.
Переходя к доказательству сформулированной теоремы, заметим,
прежде всего, что при подобном преобразовании области D (у) в отноше-
нии г левые части неравенств (27) и (28) увеличатся в г2 раз. Отсюда за-
ключаем, что эти неравенства достаточно доказать для случая г = 1:
d2logF(s) 1
ds* 2 ’
(27.1)
(28.1)
ds* v 7
Докажем сначала неравенство (27.1) для какой-нибудь фиксированной
точки s0 дуги у0. Отметим на кривой у две произвольные точки $х и s2,
лежащие вне у0 и расположенные по разные стороны от этой дуги. Про-
деформируем теперь кривую у в окрестностях точек sx и s2 так, чтобы
продеформированная часть у оказалась внутри области D (у) и вне кру-
га К (фиг. 8). Обозначая через V ($) функцию V ($), соответствующую
продеформированной дуге, в силу рассмотрений п. 2 будем иметь
log V (s) — log V (s) = log p (s);
474
IV. Механика и математическая физика
считая деформацию в окрестности
точки произвольной, продеформи-
руем у в окрестности точки $2 так,
чтобы в выбранной нами точке
функция р (s) достигала максимума.
В таком случае в точке $0 будем
иметь
d2 log V (s) d2 log V (s) _
ds2 ds2
__ d2logp(s)
ds2 ’
следовательно, в точке s0
d2 log V (s) d2 log V (s)
ds2 ds2
Отсюда заключаем, что можно построить последовательность линий
у2, • • ч • • ч лежащих вне круга К и таких, что последовательность
областей D (ух), D (у2), . . ., D (уп), . . . будет сходиться к кругу К
как к своему ядру, причем, обозначая через Vn (s) функцию V (s) для кри-
вой уп, в точке $0 будем иметь
d2logr(s) dMogVMs) d2\ogVn(s) ,291
ds2 ds2 ds2 '
Построим теперь последовательность функций
11 1
и,(s0) (z’?1)’ ’ ’’ ^n(«o)
эта последовательность, очевидно, компактна в круге К и на дуге у0 и
равномерно сходится внутри круга К и внутри дуги у0 к функции / (z),
реализующей конформное отображение круга К на нижнюю полуплос-
кость. (Для того чтобы обеспечить сходимость последовательности, мы
можем еще потребовать, чтобы в точке $0 все функции / (z, уп) равнялись
нулю.) Но так как на дуге у0
1- <*2 т
72—>0^
d2
= ilogl/' (z) I’
f Vn)
^n(*o)
. I/'(г. T„)l d* . .
10g Fn(s«) = 10g 1 f (Z’ Vn) >’
то из (29) заключаем, что
d2logP(s) . <f2 . . .. <f2 . 1
-----10g | / (Z)| = log------------------------—
cos2 —2—
где a — некоторая константа. Отсюда получаем
d2 log V (s)
ds2
2 cos2
2
37. О некоторых свойствах однолистных функций
475
ИЛИ
г"(«) \ 1 , ( V'(«) 1
V (s) 2 + t V (s) J 2 •
Перейдем к доказательству неравенства (28.1). Обозначим через z0
центр круга К, построим риманову поверхность Т для функции log (z —
— 20) и обозначим через А совокупность всех ее точек, удаленных от z0
больше чем на 1; другими словами, А есть область, получаемая удалени-
ем из поверхности Т всех ее точек, проектирующихся на плоскости z
в круг | z | < 1. Поместим область D (у) на поверхность Т\ область D (у)
будет, в таком случае, содержаться в области А и будет иметь с ней об-
щий кусок границы — дугу у0. Условимся считать, что для начального
конца zr дуги у0 (в смысле возрастания дуг s) будем иметь | arg (zr —
— z0) К л. Отобразим конформно область А на нижнюю полуплоскость
плоскости £ = £ ir]:
С = — i log (z — z0). (30)
При этом отображении кривая у перейдет в некоторую кривую Г, распо-
ложенную в нижней полуплоскости ц 0, причем дуге у0 будет отвечать
отрезок (£х, £2) действительной оси £. Пусть зг и s2 суть концы у0; обозна-
чим соответственно через 1\ и Г2 части Г, соответствующие частям у, для
которых $ < и з За-
фиксируем теперь на дуге у0 произвольную точку з0, зх < з0 < з2, и
обозначим через £0 точку отрезка (£п £2), соответствующую точке з0.
Отметим некоторые свойства области D (Г), отвечающей при отображе-
нии (30) области D (у).
1. Область D (Г) содержит круг т0 радиуса v', касающийся оси £
в точке £0, причем v' превосходит некоторую константу, зависящую толь-
ко от степени достижимости v точки з0.
2. Круги тх и т2 радиуса v', касающиеся оси £ соответственно в точ-
ках |0 — 2л и £0 + 2л и расположенные в нижней полуплоскости, нахо-
дятся вне области D (Г).
3. Ординаты точек кривой Гх при £ ^> £0 не могут быть больше —2v,
где через v мы, как раньше, обозначаем показатель достижимости точ-
ки s0.
Заметив это, отобразим конформно,
и, = / (£, Г),
область D (Г) на нижнюю полуплоскость при условии соответствия бес-
конечно удаленных точек. Имеем
/ (z, т) = / [—i log (z — z0), Г].
Следовательно, на дуге
V (s) = | /' (z, у) | =
= ттЛт । f [~110^ <z -z^ Г] । = I f Г) |.
I 2 20 I
Но так как = ds, to
d’logF(s) _ d2 log | f (g, Г) |
ds2 dg2
476
IV. Механика и математическая физика
Благодаря этому мы можем ограничиться рассмотрением отображений
/(£, Г). Проведем для этих отображений рассуждение, аналогичное ис-
пользованному нами при доказательстве неравенства (27). Фиксируем
на кривой 1\ произвольную точку £х, а на кривой Г2 точку Z2, и продефор-
мируем кривые Гх и Г2, соответственно, в окрестностях точек tx и t2 так,
чтобы продеформированные части оказались вне D (Г); мы потребуем,
кроме того, чтобы продеформированные кривые 1\ и Г2 оставались в ниж-
ней полуплоскости и не содержали точек кругов тх и т2. Обозначим через
сг1 и (У2 площади, заключенные между Г и соответственно Гх и Г2. Обозна-
чая, кроме того, через Г кривую, состоящую из кривых 1\ и Г2 и отрез-
ка (gx, g2), будем иметь
log | /' (В, Г) I — log | /' (g, Г) | + log р (|),
где р (£) есть функция, определенная в п. 2. Считая ох произвольно фик-
сированным, подберем о2 так, чтобы функция р (£) достигала в точке
своего минимума. При такой деформации будем иметь
Л2 ? — J2
^log|/'(g0,r)|>^-log|/'(So,r)|.
Проделывая последовательно указанную деформацию кривой Г, мы
в результате получим или кривую Г', состоящую: 1) из луча | > £х оси
2) из окружности круга т2; 3) из некоторой линии 1\, выходящей из
точки |х и расположенной вне D (Г) и вне круга тх, или кривую Г", со-
стоящую: 1) из луча £ £2; 2) из окружности круга тх; 3) из некоторой
линии Г2", выходящей из точки ^2И расположенной вне D (Г) и вне т2.
Так как второй случай сводится к первому заменой £ на — то для
наших целей достаточно рассмотреть первый случай. В силу отмеченного
характера деформаций будем иметь
r)(<-^-iog|/'(?o.r)|.
Подвергнем кривую Г' дальнейшей деформации: расширим область
D (Г') в окрестностях точки £2 окружности круга т2 и точки £х кривой Г'х
соответственно на площади сг2 и ах, причем, как раньше, площади ох и сг2
определим так, чтобы в точке £0 функция р (£) достигала минимума.
Обозначая через Г' продеформированную кривую,"будем иметь
log | /' (So, Г')|= log I /' (Во, Г') I + р (Во). (31)
Принимая во внимание представление (7.3) для функции р и пользуясь
тем, что в точке £0 имеем р' (£0) = 0, получим
-J- log Р (So) = log Р (So) >
(32)
Новую область D (Г') можно подвергнуть дальнейшему расширению за
счет добавления к ней бесконечно малых площадок круга т2 и площадок,-
37. О некоторых свойствах однолистных функций
477
расположенных в окрестности кривой Г/, причем получаемые при этом
d2
приращения для -^p-log|/' | будут определяться формулой (32). В силу
перечисленных выше свойств области D (Г) площади о2 можно всегда под-
бирать так, чтобы отношение
\f (W') |2!Л (g2, Г')!2
(^2 — U0)4
оставалось больше некоторой константы /?, зависящей только от степени
достижимости v точки $0. Можно, например, при деформации D в круге т2
добавлять к D часть круга т2, заключенную между двумя бесконечно
близкими параллелями оси Таким образом, в результате охарактери-
зованных деформаций кривой Г' мы получим кривую А, состоящую из
луча £ > оси | и из некоторой кривой Lr, выходящей из точки и
расположенной в нижней полуплоскости, причем
-J log | /' (|0, Г') I < log I /' (|0, L) I - С (V),l (33)
где С (v) = есть положительная константа, зависящая только от
степени достижимости v точки $0. Нам остается доказать, что
Л2
-^log/'^ZXO. (34)
Для этой цели заменим кривую L кривой L' (фиг. 9), состоящей из:
1) оси 2) луча Л2, выходящего из некоторой точки — th кривой L
параллельно оси £ и направленного в —оо, | g"; 3) луча L1? выходя-
щего из некоторой новой точки — 1Н кривой L параллельно оси | и
направленного в 4-ое, £ 4) куска Г кривой L, соединяющего точ-
ки — th и £' — 1Н и принадлежащего полосе — h > Л > —Н.
Так как при 0 и оо область D (L') будет сходиться к обла-
сти D (L) как к своему ядру (не нарушая общности рассуждения, мы мо-
жем считать, что L содержит точки со сколь угодно большими по модулю
координатами ц), то при 0 и оо будем иметь
lim log /' (g0, L') = log /' (g0, L), (35)
478
1V. Механика и математическая физика
где через w = / (£, L') мы обозначаем функцию, реализующую конформ-
ное отображение области D (£') на нижнюю полуплоскость при условии
। • h + H .
что точке оо + i —-- будет отвечать в плоскости w точка оо.
Из (35) следует, что неравенство (34) достаточно доказать для кри-
вых L'.
Продеформируем кривую L' в окрестности ее произвольной точки
не лежащей на оси |, так, чтобы продеформированная часть была распо-
ложена целиком или внутри D (L'), или целиком вне D (L'). Пусть про-
деформированная кривая есть L', и пусть о есть площадь, заключенная
между Г и Г, взятая со знаком «+», если L' находится вне D (£'), и
взятая со знаком «—» в противоположном случае. Имеем
z/2 ' _ /72 /72
log f (g0, L') = log /' (|0, L’) + log p (g0),
причем, в силу (7.3), с точностью до бесконечно малых порядка выше п
имеем
\ — г d2logp I Г d tog Р 1 _
^logP(So) [ dui UUJw.+ L du
= <31 f' &>' иУ> I2 + f" - u°»’ (36)
где zz0 и ur суть точки оси u, соответствующие при отображении w =
= / (£, L') точкам £0 и £х, причем, в силу условий нормировки отображе-
ния и выбора вариации, мы всегда имеем ur < и0, кроме того, в силу тео-
ремы 3, f" (£0, L') 0. Условившись считать направление движения по
L' положительным, если оно соответствует возрастанию и, последнему
соотношению можно придать вид
где А > 0, a q есть действительная функция точки кривой L',
причем при движении £х в положительном направлении по L' функция
q (£J монотонно возрастает. Используя соотношения (36) и (37), покажем,
что, не меняя структуры £', ее можно всегда продеформировать так, что-
бы разность Н — h уменьшилась, а
увеличилось. Для этой цели обозначим через самую левую точку кри-
вой Г среди всех точек Г, принадлежащих прямой ц = —Я; рассмотрим
два возможных случая.
1. В точке функция q (£) отрицательна:
?(И<0. (38)
В таком случае для всех точек кривой L', принадлежащих прямой ц =
= —Н, неравенство (38) будет также справедливо. Рассмотрим прямую
Л = —Н + dH, dH 0, бесконечно близкую к прямой ц = —Я, и за-
меним все части L', расположенные ниже прямой ц = —Н + dH, отрез-
ками этой прямой (фиг. 9). Обозначим через L' получившуюся таким об-
37. О некоторых свойствах однолистных функций 479
разом новую кривую; из (36), (37) и (38) следует, что при достаточно ма-
лых значениях dH будем иметь
I (Г') > I (L').
2. В точке £' функция q (£) неотрицательна:
<?(С')>0.
В этом случае для всех точек L', принадлежащих прямой ц = — h, бу-
дем иметь
<7(С)>0. (38.1)
Рассмотрим прямую ц=—h —dh, dh^> 0, и заменим все части L', располо-
женные выше этой прямой, ее отрезками. Обозначая, как раньше, че-
рез L' получившуюся таким образом кривую, будем, очевидно, снова
иметь
I (Le) > I (£').
Отсюда заключаем, что при замене L' линией L", состоящей из оси £
и некоторой прямой, параллельной оси |, функционал I (Lf) может толь-
ко увеличиться. Но для L" имеем I (£") = 0, следовательно,
I (Г) < 0.
Этим наше предложение полностью доказано.
Замечание. Рассматривая функцию V (s) как функцию пере-
менной u, w = и + iv = f (z, у), получим
d2 log V (s)_у f d2V
ds2 du2 ’
отсюда заключаем, что в условиях теоремы 4 будем иметь
V >Цг, (28.2)
du2 2r2 ’ v '
если круг К принадлежит области D (у), и
V
d2V
du2
C(v)
г2 ’
если круг К расположен вне области D (у).
В цитированной выше нашей заметке было указано, что в условиях
неравенства (28) и дополнительной гипотезы однозначности функции у ~
= F (z), определяющей у, будем всегда иметь
это утверждение в общем случае неверно, как показывает тривиальный
пример, когда за область D (у) примем угол с раствором, меньшим л/2.
Как мы видели выше, доказательство неравенства (28) или эквива-
лентных ему неравенств (28.1) и (28.2) вызывает значительно большие
трудности, чем доказательство неравенства (27). Имея в виду лишь при-
ложения, можно было бы вместо неравенства (28) доказать, при тех же
480
IV. Механика и математическая физика
условиях, следующее неравенство:
— )>0,
du2 \ v ’
которое есть почти тривиальное следствие интегрального представления
функции р ($).
7. Обобщения. Рассматривая кривую у в условиях теоремы 4 как
предельную для кривых более общего вида, нетрудно получить ряд обоб-
щений этой теоремы. Обозначим через К (г, е) область, ограниченную
простой замкнутой кривой X (г, 8), удовлетворяющей следующим усло-
виям: 1) все точки % отличаются от точек некоторой окружности радиу-
са г меньше чем на sr; 2) первая производная кривизны к ($) кривой Z
взятая по длине дуги X, отличается от нуля меньше чем на е/r2 и удовлет-
воряет условию
| к' (s + h) — к' (s) | > а > 0, М = const.
При этих обозначениях докажем следующую теорему.
Теорема 5. Пусть простая замкнутая кривая у содержит ду-
гу То» принадлежащую кривой % (г, е), пусть область К (г, е) не содержит
точек у, и пусть w = / (z, у) конформно отображает область D (у), ог-
раниченную у, на полуплоскость так, чтобы точка оо соответствовала
точке у, лежащей вне у0. При этих условиях, если К принадлежит обла-
сти D (у), то найдется такое е0, е0 0, зависящее только от М и а,
что при 8 е0 в каждой точке s дуги у0 будем иметь
d2 log V (s) 1
ds2 &2 1
(39)
если область К расположена вне области D (у) и если дуга у0 обладает
положительной степенью достижимости v, то найдется такое е1? 8j 0,
зависящее только от М, а и степени достижимости v дуги у0, что при
8 8j в каждой точке дуги у0 будем иметь
6/2 log v (s) / _ С (у) /zm
ds2 2r2 ’ V 7
где через V (s) обозначен модуль производной функции, отображающей
D (у) на полуплоскость, рассматриваемый как функция длины s дуги у.
Для доказательства заметим, прежде всего, что теорему достаточно
доказать для случая, когда г = 1, ибо отсюда общий случай, очевидно,
получится путем подобного преобразования плоскости z.
Заметив это, будем в дальнейшем считать г = 1. Начнем с доказатель-
ства неравенства (39). Пусть при рассматриваемом отображении w ==
== / (z, у) области D (у) на нижнюю полуплоскость точка w = оо соответ-
ствует точке z = z0. Добавим к области D (у) бесконечно узкую полоску,
соединяющую точку z0 с бесконечностью, так, чтобы получившаяся об-
ласть D оставалась односвязной и содержала на_своей границе точку оо.
Рассмотрим конформное отображение области D на полуплоскость при
условии соответствия бесконечно удаленных точек. Когда ширина по-
лоски будет стремиться к нулю, то левая часть (39), взятая для нового
отображения, будет, очевидно, стремиться к левой части (39) для перво-
37. О некоторых свойствах однолистных функций
481
начального отображения. Отсюда заключаем, что мы можем ограничиться
рассмотрением кривых у, содержащих бесконечно удаленную точку.
Рассуждая теперь так же, как при доказательстве неравенства (27.1),
мы получим, что левая часть (39) уменьшится, если мы вместо области
D (у) возьмем область К (1, е), но при е, стремящемся к нулю, левая
часть (39), взятая для кривой X (1, е), будет внутри у0 равномерно стре-
миться к тому же выражению, взятому для единичной окружности, т. е.
будет стремиться к 1/2. Этим первая часть теоремы полностью доказана.
При доказательстве второй части мы, очевидно, можем, так же, как
раньше, считать, что у содержит бесконечно удаленную точку, которая
при рассматриваемом отображении w = / (2, у) переходит в точку w ==
= 00, Отобразим конформно,
С = ф (z),
внешность области К (1, е) на внешность круга | £ | 1 при условии
соответствия бесконечно удаленных точек. При этом отображении кри-
вая у перейдет в кривую у', расположенную вне круга | £ | <^ 1 и имею-
щую с окружностью общую дугу у'о; область D (у) перейдет в область
D (у'). Так как кривая у' удовлетворяет условиям теоремы 4, то, обозна-
чая через W (ф), £ = ре^, функцию У, соответствующую отображению
w = / (£, у) области D (у') на полуплоскость,
W (ф) = | /' у') |,
и обозначая через v8 показатель достижимости дуги уо» будем иметь
(«)
С другой стороны, очевидно, имеем
log V (s) = log W 01?) 4- log .1
Следовательно,
d2logV(5) _/^\2 rd4oglT№) 1 /Z9\
ds2 ~~ \ ds / d^2 ds2 1°ё7Г‘ { '
Кроме того, из определения области К (1, 8) и известных теорем о су-
ществовании граничных производных однолистных функций (см. теоре-
му 10) следует, что при 8 -> О производная dty/ds равномерно стремится
к единице, б?ф/<&2 и dNpld& равномерно стремятся к нулю, а показатель
достижимости ve будет стремиться к показателю достижимости дуги у0.
Отсюда, принимая во внимание (41) и (42), заключаем, что при 8 достаточ-
но малом (числа М, а и v считаются фиксированными) будем иметь иско-
мое неравенство.
Из доказанной теоремы как следствие получаем следующий результат.
Теорема 6. Пусть дана простая замкнутая кривая у, пусть
в окрестности некоторой ее точки $0 кривизна К кривой у непрерывна и
обладает двумя производными по дуге з. При этих условиях, если окруж-
ность кривизны для точки $0 расположена внутри D (у), тпо
d2logP(s0) 1
ds2 4г2 ’
16 М. А. Лаврентьев
482
IV. Механика и математическая физика
если та же окружность кривизны расположена вне D (у), то
d2 log 7 (з0) С (у)
dF2 2г2 ’
где г — радиус кривизны у в точке s0, a v есть показатель достижимости
точки Sq.
Отметим еще два следствия теоремы 5, касающиеся поведения растя-
жения V ($) для случая отображения области D (у) на круг и на полосу»
Теорема 7. Пусть у есть простая замкнутая линия, удовлетво-
ряющая условиям теоремы 5, пусть w — F (z, у) есть функция, реализую-
щая конформное отображение области D (у) на единичный круг | w | < 1г
w = и пусть W (s) есть модуль производной функции F в точке у,
рассматриваемый как функция дуги s этой кривой. При этих условиях,
если область К (г, в) принадлежит области D (у), то при е достаточно
малом в каждой точке дуги у0 будем иметь
“‘'У” >^-4rw- <«>
Если область К (г, в) будет расположена вне области D (у), то при г
достаточно малом в каждой точке у0 будем иметь
(44)
где v, С (v) и г имеют прежний смысл.
Не нарушая общности рассуждения, мы, очевидно, можем считать,
что при отображении w = F (z, у) фиксированная точка $0 дуги у0 пере-
ходит в точку w = 1. Введем вспомогательную плоскость со = £ + Zrj
и отобразим конформно круг | w | < 1 на полуплоскость ц < 1 при усло-
виях, чтобы точки w = +1 перешли, соответственно, в точки со = 0, оо
и чтобы в точке w = 1 имели = При таком отображении
между аргументами ф точек окружности | w | = 1 и абсциссами £ оси £
будет иметь место следующее соотношение:
i = (45)
При этих обозначениях имеем
W (<Л — — d^ d^
(S) ds ds d^ ‘
Отсюда, обозначая через V (s) функцию, определенную в теореме 5,
получим
d2 log W (s0) _ d2 log V (s0) / dty \2
ds2 ds2 \ ds J *
xz <*2 dt d2ty d , dt
X “FTT log —7^-TT ~FT log -FT- .
dty2 6 dtp ds2 ch|) ° dty
Подставляя в последнее равенство вместо производных | по ф их вы-
ражения из (45) и принимая во внимание неравенства (39) и (40) теоре-
мы 5, мы непосредственно получим искомые неравенства (43) и (44).
Применяя тот же прием введения вспомогательной плоскости, мы из
теоремы 5 получим следующее предложение.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
483
Теорема 8. Пусть у есть простая замкнутая линия, удовлетво-
ряющая условиям теоремы 5, пусть w = F (z, у) есть функция, реализую-
щая конформное отображение области D (у) на полосу 0 v —Н
плоскости w = и + iv, при условии, что дуга у0 перейдет в конечный от-
резок оси и, и пусть W (s) есть модуль производной функции F в точках у,
рассматриваемый как функция дуги s этой кривой. При этих условиях,
если область К (г, е) принадлежит области D {у), то при г достаточно
малом в каждой точке дуги yQ будем иметь
d*\ogW(s) 1 1 dW(s)
ds* kr* Н ds ’
Если область К (г, е) будет расположена вне области D (у), то при е
достаточно малом в каждой точке дуги у0 будем иметь
^loglP(s) С (v) 1 dJV(s) //7ч
ds* 2r* Н ds ' V1')
где г, v и С (v) имеют прежний смысл.
Отметим один предельный случай последней теоремы. Потребуем,
чтобы при отображении w = F (z, у) две фиксированные точки zt и z2
кривой у0, расположенные вне у0, переходили, соответственно, в точки
и = ±оо. Оставляя точку zt и число Н фиксированными, заставим точку
z2 неограниченно приближаться к точке zx; в таком случае нетрудно ви-
деть, что на дуге у0 функция W (s) вместе со своими двумя первыми про-
изводными будет равномерно стремиться к функции V (s), соответствую-
щей отображению области D (у) на полуплоскость (при условии, что точ-
ке z1 соответствует в полуплоскости бесконечно удаленная точка). Отсю-
да заключаем, что, когда точка z2 будет достаточно близка к точке
будем иметь или
d2 log W (s) 1
ds* 4r2 ’
(46.1)
или
d2 log ТУ (У) , _ C (v) (47.1)
ds* 2r2 ' ’ '
в зависимости от того, будет ли область К (г, е) расположена внутри или
вне области D (у). То же рассуждение показывает, что если область D (у)
будет содержать полосу | у | < h и если при отображении w — F (z, у)
обе бесконечно удаленные точки области D (у) будут переходить в беско-
нечно удаленные точки полосы, то при h достаточно большом будут иметь
место те же неравенства (46.1) и (47.1).
8. Необходимые условия для экстремума функции растяжения V ($).
Данные выше условия выпуклости и вогнутости функции log V (s) поз-
воляют нам дать некоторые необходимые условия, которым должна удов-
летворять кривая у в окрестности некоторой ее точки $0, для того чтобы
в этой точке функция V (s) могла достигать соответственно максимума
или минимума. Докажем предварительно следующую лемму.
Лемма. Пусть нам дана в плоскости w = и + iv область Д, со-
держащая точку —i, ограниченная отрицательной частью действитель-
ной оси и кривой v = v (и), 0^u<oq, такой, что: 1) функция v (и)
16*
484
IV. Механика и математическая физика
непрерывна вместе со своей первой производной при всех неотрицательных
значениях и\ 2) v' (и) удовлетворяет условию Липшица \vr (и + h) —
— v' (и) | < Mh; 3) v (0) = v' (0) = 0 и при и^> 1 v (и) линейна; 4) v (и)
знакопостоянна, причем если v (и) 0, то
lim * v — <С а 0,. к > О,
h
а если v (и) 0, то
lim V'SU±^V'^ > - ku%
h-*+0
где k и a — константы. Пусть, кроме того, w = / (z), f (0) = 0, / (1) =
= 1 + iv (1), есть функция, реализующая конформное отображение ниж-
ней полуплоскости у < 1 на область А.
При этих условиях, если
h
h-o h J *
0
то при v (и) 0 будем иметь
|/'(х) | + |Г (— о:) | —2Г (0)
х-*0
а при v (и) > 0 будем иметь
lim ’IfWI + ir (-^)|-2f(0)
(48.1)
(50)
X
(50.1)
X
Если
11,'(ЛЖЛ>0,
то при v (и) 0 будем иметь
— |/'(z)|-/'(0)
lim-----------1 -*
X
а при v (и) 0 будем иметь
lim |/'W|-/'(0> = _^,
--- X
(51)
(52)
(52.1)
Ввиду того, что случаи v (и) 0 и v (и) 0, по существу, разбира-
ются одинаковыми подсчетами, мы ограничимся рассмотрением случая
v (и) < 0.
Обозначим через К (и) кривизну кривой v = и (и) в точке (и, v) и
положим
Т(х) = К [и (х)] | Г {х) | = I f & I’
L1 "г и
37. О некоторых свойствах однолистных функций
485
где и (х) есть действительная часть значения f (х). В силу условия 5, на-
ложенного на функцию v (х), функция Т (х) ограничена и определена всю-
ду, за исключением, быть может, точек, образующих множество меры
нуль. В силу условия (48) при х > 0 будем иметь
Т (х) < к'х\ к' = const; (48.2)
X
кроме того, замечая, что § Т dx равен интегралу от кривизны К, взятому
0
по дуге кривой v = и (и), и принимая во внимание (48.2), нетрудно ви-
деть, что условия (49), (51) эквивалентны условиям
h t
lim | Т (х) | dx\dt = 0, (49.1)
о о j
h t
T (x) \dxjdt >>0. (51.1)
0 1 0 j
При доказательстве нужных неравенств мы будем отправляться от
известной формулы Чизотти, которая при наших обозначениях будет
иметь вид
1
T(s) log |s-x|ds
|/'(х)| = Ае° ,
где А — числовая константа. В силу этой формулы соотношения (50) и
(52) будут эквивалентны следующим:
(s) log | - I ds > 0, (53)
1
lim — Т (s) log I ——— I ds = -j- co. (54)
x-*0 x J I s I
о
Кроме того, нетрудно убедиться непосредственным подсчетом, что при
положительном а имеем
1
lim — log I ——I ds = 0, х 0,
х-*0 Х J I S* I
О
1
lim — \ s“ log ——— ds-^T 4-ос, х~>0.
х-о х «’ Is ।
о
Эти же соотношения следуют из теоремы Келлога существовании и
непрерывности -J^-/'(x)» когда функция р" (х) удовлетворяет условию
Гёльдера, см. п. 10.
Отсюда заключаем, что мы можем ограничиться рассмотрением слу-
чая, когда
Т (х) < 0. (55>
486
IV. Механика и математическая физика
Допустим теперь, что выполнено (49.1), и докажем (53). Положим
1
j7’(s)log|^^-|dS) (56)
О
h
Ф(«,А) = Jlog|^^-|dx, (57)
О
s
p{s).= -±[T(s)ds (58)
о
и рассмотрим интеграл
h 1
I (Д) = $ F (х) dx = $ Т (5) Ф (5, h) ds; (59)
о о
после интеграции по частям получим
1
I (Л) = _ р (1) ф (1, h) + $ sP (s) Ф' (5, h) ds. (60)
о
Вычисляя по формуле (57) значения для Ф (1, h) и Ф' (s, h) и подставляя
их в (60), мы получим следующее выражение для 1\
1(h) = -Р (1) {(1 + h) log (1 + h) -
i
— (1 — h) log (1 — h) — 2h} + P (s) log | j?* | — 2д| ds =
о
h
— Bh3 + sP (s) log | * | ds —
о
h 1
— 2h J P (s) ds + P (s) {s log | | — 2/iJ ds,
0 h
где через В мы обозначим величину, остающуюся ограниченной при
h -> 0.
В полученном выражении для I (ti) второе и четвертое слагаемые по-
ложительны в силу (58) и в силу легко проверяемой положительности
соответствующих множителей при Р ($). Отсюда, принимая во внимание
условие (49), получим
_____ h
lim I (h) = lim F (х) dx 0,
о
но по теореме о среднем
h
1 Р 4
1^F(x)dx = ±-F(bti), 0<4><1,
о
37. О некоторых свойствах однолистных функций
4 87
следовательно,
lim — F (х) 0.
х—о х
Этим неравенство (53) полностью доказано.
Допустим теперь, что выполнено условие (51), и докажем (54). Сохра-
няя обозначение (58), положим
1
Fi (х) = jj 71 (s) log | 1 ds, (56.1)
О
h
Ф1 (s, h) = log | ~~ x-1 dx (57.1)
о
и рассмотрим интеграл
h 1
Ц (A) = J Fx (x) dx = $ T (s) Фх (s, h) ds;
о 0
после интеграции по частям получим
1
Ц (h) = — P (1) (Di (1, h) + J sP (5) Oh (s, h) ds =
о
i
= P (1) {(1 — h) log (1 — h) + h} + ^P (s) |s log j ~~t- | —4 ds‘
0
Отсюда, полагая 5 — ht, получим
Uh
= + J P^logyly-lpf,
1
где Br остается ограниченной при h -> 0. Таким образом,
i/h
4л(Л)>51+4 $ p{h.t)^. (6i)
1
Для оценки последнего интеграла положим
х
ср (х) = Р (х) dx.
о
Принимая во внимание (51) и (58) и ограниченность функции Р9 будем
иметь
krx <Z Ц) (х) <Z к2 х, 0 < х 1,
488
IV. Механика и математическая физика
и к2 — некоторые положительные константы. Отсюда после интегри-
рования по частям в (61), получим
41лк» s,+
1//г
। 1 С / 7 D ^*2 . i । i
+ ~2h J ’Р 2~ + ~ ~ '
О
Следовательно,
h
1 1 С
lim -Tg-Л(^) = \ Fi(x)dx = 4- сю.
h-О п Л—*0 п J
о
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, окончательно по-
лучим
--- 1
lim -г- Fr (h) — 4- оо.
i/i—O Л
Лемма полностью доказана.
Переходя к вопросу об экстремумах функции растяжения V (5), пред-
варительно условимся в некоторых терминах. Пусть у — простая замк-
нутая линия, ограничивающая область D (у) и содержащая гладкую
ДУГУ Обозначим через а ($) угол, образованный касательной к у' с осью х,
рассматриваемый как функция длин s дуг у'. Мы будем в дальнейшем го-
ворить, что касательная к у' удовлетворяет условию Липшица, если это-
му условию удовлетворяет функция а ($): | а (5 4- к) — а ($) | < к | к |.
При соблюдении этого условия, если при h —> 0 lim + —
существует, то кривизной К ($) кривой у' в $ мы назовем
K(s) = ± lim |.
Знак «-[-» или «—» берется в зависимости от того, обращена ли у' в точ-
ке 5 выпуклостью к D (у) или нет; если рассматриваемый предел не су-
ществует, то мы по определению положим К (s) = 0.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 9. Пусть простая замкнутая линия у удовлетворяет ус-
ловиям теоремы 5, и пусть, кроме того, в окрестностях концов и s2,
si < $2, дуги у0 кривая у удовлетворяет условиям: 1) касательная к у удов-
летворяет условию Липшица', 2) если кривизна К (s) в точках у0 положи-
тельна, то
p>U;
если кривизна К (s) в точках у0 отрицательна, то
K{4-h)<K(S1) + ph\
*(»г + Л)<Я(«2) + |*Л
где р, — фиксированная константа, ah — любое достаточно малое поло-
Жителъное число.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
489
При этих условиях и при 8 достаточно малом, если в точках у0 кри-
визна К ($) положительна, то на дуге у0, включая ее концы, функция V (s)
не может достигать максимума; если К (s) в точках у0 отрицательна
то на у0, включая ее концы, V ($) не может достигать минимума. Теорема
сохраняет силу также для функции V ($), соответствующей отображе-
нию D (у) на полосу.
Переходя к доказательству, будем считать 8 настолько малым, чтобы
для всех точек дуги у0 имело место заключение теорем 4 и 8. В таком слу-
чае, в силу этих теорем, заключение доказываемого предложения будет
справедливо для всех точек у0, не совпадающих с ее концами. Таким об-
разом, нам достаточно доказать, что V (s) не может достигать минимума
в точках 51? $2 при К < 0 и не может достигать в тех же точках максимума
при К 0; причем, очевидно, мы можем ограничиться рассмотрением
V (s) в окрестности лишь одного из концов у0, например, точки $2.
Начнем с рассмотрения случая, когда вдоль у0 кривизна К ($) >> 0,
т. е. когда область К (г, 8) расположена вне области D (у). В этом случае,
в силу теоремы 4, логарифмическая производная V' (s)/V (s) при возраста-
нии $ по дуге у0 убывает. Отсюда, принимая во внимание ограниченность
кривизны линии у0 в окрестности точки $2, заключаем, что при
5 < $2, V' ($) стремится к определенному пределу. Если этот предел поло-
жителен или нуль, то при < $ < $2 производная V ($) будем положи-
тельна, и в точке s2 функция V ($) не может достигать минимума. Таким
образом мы, можем дальше предполагать, что
lim V(«a)-F(s2-fe) < 0 б2.
h. vJ-П Л
Из (62) следует, что для доказательства теоремы нам достаточно показать
справедливость одного из следующих неравенств:
0 lim
Л-*0
R-*0
V (s2)-V
V(s2 + /c)-V(s2)
k
h
lim F^ + A)~F^)) -
--- k
(63)
(64)
Для этой цели обозначим через А часть римановой поверхности функции
log (z — z0), проектирующуюся на плоскости z во внешность области
К {г, 8), где «о есть произвольная точка области К (г, 8). Отобразим кон-
формно,
£ = Ф
область А на нижнюю полуплоскость ц < 0, £ = £ + и], при условии
соответствия бесконечно удаленных точек. При этом отображении кри-
вая у перейдет в кривую Г, содержащую некоторый отрезок (£х, £2) оси &
и расположенную в нижней полуплоскости ц < 0. Кроме того, в силу
гипотез, сделанных относительно кривых % (г, s) (% (г, 8) есть граница об-
ласти К (г, 8)) и у, в окрестности точки £2 кривизна Кг кривой Г будет
ограничена и будет удовлетворять неравенству
Кх (U + h)<K1 (У + Mh < Mh,
490
IV. Механика и математическая физика
где М — некоторая константа. Обозначая теперь через (s) функцию р
соответствующую отображению области D (Г) на нижнюю полуплоскость’
через ст2, ст2 + klf о2 — координаты точек Г, соответствующих точкам
s2, s2 + k, s2 — h, и через p (s) значение | <p' (z) | в точке s, получим
F (y2 + ^) - У (я) V M -V(s2- h)
k h
= p («2)
P(X)fe) “K1(a2) F1(02)“F1(ff2-hl} ~PM~
£
Л1
V(S2 + *)-F(S2) Hs/1(a2 + ft,) ₽(p(t) ° _r(52)
--------1 - P {S2) ki
Так как в силу принятых гипотез функция р (s) удовлетворяет условию
Липшица, то из (65) заключаем, что соотношения (63), (64) и те же нера-
венства, взятые для функции V± (а), между собой соответственно эквива-
лентны. Кроме того, применяя тот же прием введения дополнительной
переменной, легко убедиться, что соотношения (63), (64) имеют локальный
характер, т. е. их справедливость зависит лишь от поведения у или Г
в любой сколь угодно малой окрестности точки $2 или соответственно точ-
ки а2. Отсюда, принимая во внимание (65), заключаем, что за линию Г
можно принять кривую, удовлетворяющую условиям доказанной выше
леммы. Но тогда, рассматривая V\ (а) = W (и) как функцию и — точки
действительной оси плоскости zr, в силу отмеченной леммы будем иметь
или
{v[wr — W?] — "г[1Г(б7— ич-и) ]} (63,1)
или
u™ ~ [ж — WF ] = + °°- (64,1)
Мы приняли, что при основном отображении области D (у) на полу-
плоскость точка s2 переходит в точку w — 0.
Так как при обратном переходе в плоскость (z) из (63) следует (63.1),
а из (64) следует (64.1), то, тем самым, показано, что в условиях теоремы
будет иметь место хотя бы одно из неравенств (63) или (64). Но, в таком
случае, как было показано выше, функция V (s) в точке s2 не может дости-
гать минимума.
Вторая часть теоремы доказывается вполне аналогично, поэтому мы
ограничимся схемой доказательства и несколько остановимся лишь на
одной детали, специфической для данного случая. Как раньше, вопрос
сводится к доказательству справедливости хотя бы одного из условий
lim I F (g2 + ^) — ^ (s2) V (s2) — V (s2 —• Л) ~1
h->o • h J
7c-*o
n^-ns +>) >-(„) _
R-*0
(66)
37. О некоторых свойствах однолистных функций 491
Для того, чтобы, как раньше, получить редукцию к лемме, заменим дугу у
кривой Л (г, 8), дополнительную к дуге у0, алгебраической кривой ух*
расположенной в области D (у), так, чтобы кривая X (г, 8), составленная
из у и У1, удовлетворяла всем условиям, наложенным на кривую X (г, е).
Область К (г, в), ограниченную кривой X (г, 8), отобразим конформно,
£ = Ф (z), на нижнюю полуплоскость т) <_0, £ = £ + гц, так, чтобы
дуга Уо перешла в отрезок (—1, 0). Так как ух алгебраическая и в концах
дуги <р' (z) #= 0? то функцию ф (z) можно продолжить аналитически за
дугу Yi так, чтобы: 1) в расширенной области К функция ф (z) оставалась
однолистной и 2) область К содержала все точки дуги у, отвечающие всем
значениям 5, большим $2 и достаточно близким к $2. Определив таким об-
разом область К, в силу локального характера неравенств (66) мы можем
считать, 4Toj область D (у) принадлежит области К и что у касается
X (г, 8) в точке z', ф (z') = оо. В таком случае при отображении £ =
= ф (z) кривая у перейдет в кривую Г, состоящую из отрезка (—1, 0) и
двух простых дуг Гх, Г2, соединяющих концы отрезка с точкой £ = оо
и расположенных в верхней полуплоскости Ц > 0. Кроме того, опять в
силу локального характера неравенств (66), можно считать линию у такой,
что Г будет принадлежать оси £, а Г2 при достаточно больших | £ | будет
прямолинейна, т. е. будет удовлетворять условиям леммы. Остальная
часть доказательства полностью совпадает с соответствующей частью уже
проведенных рассуждений для случая К 0, и мы ее проводить не будем.
9. Условия существования и непрерывности функции растяжения.
Имея в виду, главным образом, дальнейшие приложения, отметим не-
сколько предложений, касающихся существования и непрерывности на
границе области производных однолистных в рассматриваемой области
функций. Для полноты изложения начнем со следующего известного
предложения [4].
Теорема 10. Пусть у, граница односвязной области D (у), содер-
жит гладкую дугу у0. Обозначая через a (s) угол, образованный касатель-
ной к в точке s с осью х (ds есть элемент дуги у0), допустим, что вдоль
Уо имеем
| а ($ 4- й) а ($) | < к | h |v, (67)
где к «и у — положительные константы, v 1. Пусть теперь w =
= / (z, у) есть функция, осуществляющая конформное отображение об-
ласти D (у) на полуплоскость при условии, что точка w = 00 будет соот-
ветствовать точке у, расположенной вне у0. При этих условиях в каждой
точке s дуги у0 функция р (s) = log V (s) = log | /' (z, у) | будет су-
ществовать, причем *
IР (S 4-Л) — р («) | < ACi | Л |v log, (68)
где k±, при фиксированной области D (у), будет зависеть только от v, к
и расстояний точек s, s + h от концов у0. Несколько уточняя приводимый
ниже подсчет для (71), нетрудно показать, что при v < 1 неравенство
(68) можно заменить более точным | р (s + h) — р (s) | < kr | h |v (см.
[5]).
492
IV. Механика и математическая физика
Приведем вкратце доказательство этого предложения. Прежде всего,
рассматривая вспомогательное отображение, легко заметить, что теорема
имеет локальный характер: существование р (s) и неравенства (68) зави-
сит только от поведения у в окрестности рассматриваемой точки. Следо-
вательно, не нарушая общности доказательства, мы можем считать, что:
1) условие (67) выполнено для всех точек у;
2) колебание а ($) не превосходит л/4 и а (0) = 0;
3) при | $ | > 1 кривая у совпадает с осью х;
4) f (сю, у) = оо, а точкам s = +1 соответствуют точки и = +1.
Заметив это, доказываем прежде всего, что при сделанных относитель-
но у гипотезах функция log | /' (z) | будет ограничена в области D (у).
Для этой цели строим параболу Т:
ц = k'll+v, k' = const
и строим в плоскости z две параболы 7\ и Т2, конгруэнтные параболе Т,
так, чтобы каждая из них касалась своей вершиной кривой у в точке 5
и чтобы одна из них была расположена в области D (у), а другая вне этой
области. Кривые и Т2 ограничат две области D± и D2, из которых одна
будет содержаться в D (у), а другая будет содержать D (у). При конформ-
ном отображении областей и D2 на полуплоскость производные отобра-
жающих функций в общей вершине парабол и Т2 будут иметь конеч-
ные, отличные от нуля значения. Отсюда, принимая во внимание прин-
цип локальности и теорему 1, нетрудно заключить, что log | /' (z, у) |
будет ограничен во всей области D (у).
Остановимся несколько подробнее на доказательстве неравенства (68).
Пусть 5 = 5 (и) есть функция, устанавливающая соответствие между точ-
ками оси и и кривой у, определяемое отображением w = / (z, у). Будем
иметь
-?г|/г|<|5(и + /г) — s(u)|<— |А|, (69)
где ш и М суть минимум и максимум функции | f (z, у) | в области D (у).
Отсюда заключаем, что функция
А = А (и) = а [$ (и)]
будет удовлетворять условию Гёльдера с тем же показателем, что и функ-
ция а ($):
| А (и + h) - а (и) | < k' | h Г, (70)
где к’ — константа, зависящая от к, ш и v. В силу формулы Пуассона для
полуплоскости и того, что при | и | > 1 А (и) = 0, получим
9(U) = -P[S(U)] = -L J (71)
-1
кроме того, в силу (69) очевидно, что неравенство (68) нам достаточно до-
казать для функции q (и), причем, принимая во внимание равноправность
значений и и инвариантность (71) при добавлений к А постоянной, мы
37. О некоторых свойствах однолистных функций
493
можем считать fl (0) = 0 и ограничиться оценкой для | q (h) — q (0) |. Имеем
|9(ч-?(0)1-4Ц4^
— 1
1
Р “О'(t) dt
J *
— 1
1 -1+h
-1 —1
но в силу (70) и условия О (0) = 0
| fl (t + h) - fl (fe) - fl (0 | < 2k' \t Г,
| fl (t + fe) - fl (fe) - fl (0 | < 2k' | fe |\
1 -h
Следовательно, разбивая первый интеграл на три части, +
—1 —1
1 /г
4" § + §» получим
h —h
19 m -, и । < ± । h |> + ik-1 h |, iog 14. ।+4 log -т^уя-j-} <
<^|Л|’1о§11|.
Отправляясь от формулы (71) и рассуждая аналогично предыдущему,
нетрудно получить также следующее более общее, также известное пред-
ложение: если функция а (5) обладает п — 1 производными и если
(п — 1)-я производная удовлетворяет условию Гёльдера:
| (5 + fe) - (5) | < к | fe Г,
то функция р (s) обладает п производными, причем
|р(п)(« + Л) — р<«>(s)I <*' |/1 |vlog —.
Дадим несколько дополнений к теореме 10, существенных для даль-
нейшего.
Лемма 1. Пусть простая замкнутая спрямляемая линия у содержит
дугу у0, обладающую следующими свойствами:
1) для всех точек s, отличных от $0, линия у0 обладает касательной Т:
2) обозначая через a (s) угол положительного направления Т с положи-
тельным направлением оси х, имеем | а ($) | < л/2 — S, S > 0, где за по-
ложительное направление Т принимается направление, соответствую-
щее возрастанию $;
3) обозначая через х0 абсциссу точки $0, при s^> $0 имеем
гт— оф + Л) —оф) М
/Л h к-*0| ’
lim «(* + +-«(*) >_fc,
/1—*0
494
IV. Механика и математическая физика
а при S <ZsQ —
lim I
h-H) I
a (s + h) — a (s)
h
где M и k — заданные константы;
4) при отображении w = / (z, у) области D (у) на полуплоскость
log | f' (z, 7) I ограничен для всех точек, близких к у0.
При этих условиях функция р (s) = log | /' (z, у) | будет непрерывна
в каждой точке дуги у0.
Это предложение, очевидно, также локального характера, и, следова-
тельно, мы можем допустить, не нарушая общности доказательства, что
вне дуги уо функция a (s) существует и тождественно равна нулю; кроме
того, мы можем допустить, что при отображении w — f (z, у) концы дуги
у0, точка $0 и точка оо переходят соответственно в точки +1, 0 и оо.
Принимая во внимание условия леммы и дополнительные гипотезы,
рассуждая так же, как при доказательстве неравенства (68), легко ви-
деть, что все сводится к доказательству равномерной непрерывности при
и Ф 0 следующей функции:
Ф(и)= J
— 1
при условиях, что при t > 0
h
(72)
&(t + h) — &(t)> — k'h,
что при t < 0
1 <><.+ »-»(» I<k-
h->0 I h I
(73)
и что функция Ф (и) ограничена при всех значениях и:
| Ф (и) | < С = const.
Приведем еще одно небольшое упрощение задачи. Обозначим через
р (0 функцию, равную —ft (t) при t < 0 и равную —д (0) + k* t при £ > 0.
Так как в силу предыдущей теоремы и условия (73) функция
1
С р (t) dt
J t — и
-1
всюду непрерывна, то, полагая (/) = ft (t) + р (2), мы можем вместо
функции Ф (и) взять функцию
ф2 (и) = ,
о
37. О некоторых свойствах однолистных функций 495
для которой условия (72), (73) и (74) примут вид
W + h) — ^(0<Л/"4- ]
/г>0, *>0, (72.1)
+ J
О (0) = о, Фх (и) < С,
где М" и С" — некоторые новые константы. Переходя к рассмотрению
функции Фх (и), заметим еще, что: 1) в силу теоремы 10 эта функция не-
прерывна при всех значениях и, отличных от нуля; 2) когда и стремится
к нулю, оставаясь все время меньше нуля, то функция Фх (и) возрастает и,
следовательно, будучи ограниченной, стремится к определенному преде-
Л У Ф1 (0).
Нам остается показать, что
lim Фх (и) = Фх (0). (75)
и-»Ч-0
Докажем предварительно, что из монотонности Ох (и) и существования
Фх (0) следует, что
lim '&1 (и) log — = 0. (76)
U
В самом деле, допустим, что, напротив, существует последовательность
значений и
ui иг > • • • ип > • • •
такая, что
(ип) log > С > 0, п = 1,2,3,...;
кроме того, мы, очевидно, можем предполагать, что
(77)
(78)
Из (77) и монотонности /&1 (и) получаем
Г О,(0At = (• yi 71 01(0^ , yi |0§“п I (
J t J « Z-J J « Zj ( log “и 1 ’
о Щ п—2 ип п=2
что в силу (78) противоречит существованию Фх (0).
Для доказательства (75) докажем сначала, что
lim Фх (и) > Фх (0).
и-Н-0
496
IV. Механика и математическая физика
Имеем
ij 1
_ /П\ гТч / \ С О, (0 С $1 (О — (и) ,, а / \ 1 1 — и
Ф1 (0) — Фт (u) = \ \ -^4—-Ш dt — (и) log —— <
•J •) V Mr м
о о
2U 1 2и
<\’-2Ц^-+ '«.(о (4—
-J v \ If If U / ь
О 2U О
но при и -> +0 правая часть полученного неравенства стремится к нулю
в силу существования Фх (0). Отсюда получаем искомое неравенство (79).
Опираясь на (76), докажем теперь, что также
lim Фх (и) Фх (0).
Ц' »I о
В самом деле, допустим, что, напротив, существует последовательность
значений и
U± ^2 Un • • •
таких, что
Ф1 (Wn) - Ф1 (0) > С > 0,
(80)
мы можем, очевидно, при этом допустить, что
и
—!±— = 0.
ип-1
4un<un_!
и lim
71—►ОО
(81)
Имеем
1
, СьТ —
t — и
о
§ dt + 0 (ип) log
О
и /2
Г с <М0-О1 (ип)
у Ufl ——
I J t — и
О
un-l/2
1 — и
______п
ип
ип^
о» (О
J t
о
“п-1/2
dt
С Qi (О
j t
ип^
J t —
Ъ (0 - (ип)
— dt —
un-l/2
L j t — и
1 — U
+ #1 (Un) 10g--
un
Первые три слагаемые в последнем неравенстве обозначим, соответствен-
но, через Д, /2,13 и оценим каждое отдельно. Для первого, очевидно,
37. О некоторых свойствах однолистных функций
49 7
имеем
и /2
(* (u-n) 2
Л< \ =
J ип 1 ип
Для оценки /2 обозначим через Sn приращение (и) в промежутке
(urt/2, Un-i/2):
e»=«MpF-)-#>(£)•
Далее, замечая, что /2 будет увеличиваться, когда, при фиксированном
бп, мы будем увеличивать приращение О (и) в окрестности точки urt, и
принимая во внимание (72.1), получим
/2 <С 9 JL 6n + С6п l°g > С — const.
/ \ и 2Ма п 1 п &
п п
Оценивая 73, получим
1
S/ 4 1 \ 1 — и
О. «> 7=^ Л < а (1) log •
Un-1/2 \ n / nl П-1
Таким образом, окончательно
Фх (ип) - ф2 (0) < а (ип) log а + 6n + С8п log А +
ип °п
В силу (76) и (81) при п -> оо все правое выражение последнего нера-
венства стремится к нулю, что, очевидно, противоречит (80). Сформули-
рованная лемма полностью доказана.
Лемма 2. Пусть граница односвязной области \ плоскости w =
= и + iv содержит отрезок (—1, 1) действительной оси. и пусть при
конформном отображении z — F (w) области А на некоторую область D
имеем: 1) отрезок (—1, 0) переходит в дугу у с касательной, удовлетворяю-
щей условию Гёльдера'. 2) вдоль интервала (0, 1), 0 < и < 1, | F’ (и) | =
= 1, и 3) интервал (0, 1) переходит в дугу у' с ограниченным вращением
(т. е. является ограниченной вариация угла, образованного касательной
к у' в любой ее точке с осью х). При этих условиях F' (w) в точке ш = О
существует и непрерывна.
В самом деле, обозначим через Р (и. v) и Q (и. v) действительную и мни-
мую части функции log F' (w):
Р (и. v) = log | Fr (w) I, Q (u. v) = arg F' (zz?).
В силу условия 2 имеем
р (и. 0) = 0, 0 < и < 1.
Следовательно, функцию Q (и. v) можно аналитически продолжить
через интервал (0, 1) в область А', симметричную к А относительно
498
IV. Механика и математическая физика
действительной оси. Граница расширенной области А
д = д + Д' + (0, 1)
будет содержать обе стороны отрезка (—1, 0). Функция Q (и, и) будет пра-
вильна в расширенной области, причем в силу условий 1 и 3 в окрест-
ности точки w = 0 функция Q будет ограничена, а вдоль верхней и ниж-
ней сторон интервала (—1, 0)оси и функция Q будет удовлетворять усло-
вию Гёльдера.
После преобразования
со = У ы, (0 = g + И]
область А перейдет в область б, граница которой будет содержать отрезок
(—1, 1) оси ц. Функции Р и Q перейдут в сопряженные функции р (g, ц)
и Ч №•> Л)» правильные в области б, причем функция q будет ограничена
в окрестности точки со = 0, а вдоль интервала (—1, 1) оси ц будет удов-
летворять условию Гёльдера; следовательно (см. теорему 10), вдоль того
же интервала и в его окрестности функция р (g, ц) будет конечна и не-
прерывна. Отсюда, переходя обратно в плоскость ip, мы заключаем, что
функция Р (u, v) будет конечна и непрерывна вдоль всего интервала
(—1, 1) оси и.
Часть II
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ СТРУЙ
10. Вспомогательная задача и существование ее решения. Переходя
к приложениям теорем, установленных в первой части статьи, рассмотрим
прежде всего следующую вспомогательную задачу.
Задача 1. Пусть в плоскости переменного z = х + iy задана кри-
вая Гр у = Fr (х), х 0, удовлетворяющая следующим условиям:
1) Fr (х) 0, F± (0) < 0; 2) (х) обладает ограниченной, при х < 0,
второй производной; 3) lim Fx (х) = 0. Пусть, кроме того, заданы два
X—*— ОО
числа g, % > 0, и h, h 0.
При этих условиях требуется доопределить функцию Fx (х) для зна-
чений х, 0 < х g, так, чтобы полученная функция F (х), F (х) =
= Fr (х) при х < 0, обладала следующими свойствами:
1. F (х) непрерывна при х g.
2. F (х) < h при 0 х < g.
3. Обозначим через у кривую, составленную из кривой у = F (ж),
z £, из отрезка прямой, параллельной оси у, соединяющего точки
I + iF (g), g + ih, и из луча, выходящего из точки g + ih, параллельно-
го оси х и направленного в сторону возрастания х (фиг. 10). Обозначим,
кроме того, через
W = / (2, у), / (оо, у) = оо, /' (оо, у) = 1
функцию, реализующую конформное отображение на нижнюю полуплос-
кость области D (у), ограниченной линией у. При этих обозначениях для
всех точек z части у, принадлежащей полосе 0 <1 х < g, функция
37. О некоторых свойствах однолистных функций
499
I f (z, у) I должна иметь одно и
то же постоянное значение
| /' (x+iF (х), у) | = с =const,
О < х < g.
Покажем, что, каково бы ни
было число /г, h 0, при всех до-
статочно малых значениях £ ре-
шение поставленной задачи суще-
ствует.
В силу гипотез, сделанных от-
носительно функции Fv (х), ее производная ограничена: пусть
I (ж) I < кг
Заметив это, фиксируем положительное число к, большее klf и по-
строим кривую у', у = Ф (х) по следующим условиям (фиг. 11):
ф(х) = л(«),
Ф (ж) = Fj_ (-1/Л2) - к (х + I/*2), -< х < О,
Ф (х) = у (х), 0 < х <
Ф (®) = У (I) + к (х - &), | < х < £ +4 (У (I) 4- к),
Ф(х)=к, l+-L(y(l) +h)^X,
где у (х) есть некоторая непрерывная дифференцируемая функция, такая,
что при 0 < х < g имеем
( У (°) = Fi (0), У (я) < h — 1/*, | у' (х) | < к,
I Tim . + -Ч [1 + /2 (д.)]./,
< Дх-ю Д* х (£ — х) 1 » \ /J ’ (82)
lim У' _ к [1 + у'2 (ж)]’/.,
L Дх-*0
где М — настолько большая константа, чтобы кривая X с кривизной,
М
всюду равной —
х (ь
конформно,
“’ = /(«, ?'), /(оо, т') = оо, /' (оо, у') = 1,
-у , удовлетворяла условиям теоремы 5. Отобразим
х)
на нижнюю полуплоскость область D (у’), ограниченную кривой у'.
Покажем, что при £ достаточно малом среди линий {у — у (х)}, удовлет-
воряющих условиям (82), найдется линия, для которой \ f (х + 1у (х),
у') | будет сохранять постоянное значение при всех х, 0 <1 х Для
этой цели положим
р (х, у') = log I f (х + iy (х), у') I
500
IV. Механика и математическая физика
и рассмотрим функционал
I 1у (я) К равный колебанию
функции р (х, у') на отрезке
(0, £):
I 1у (я)]=sup р (х, у') —
— inf р (х, у').
Нам нужно доказать, что в
классе линий {у (х)}, удов-
фиг II летворяющих условиям (82),
найдется линия, для которой
I обратится в нуль, причем, в
силу компактности класса допустимых линий {у (х)} и лемм 1 и 2, нам доста-
точно доказать, что на нашем классе линий равна нулю нижняя граница
значений I. Допустим, напротив, что эта нижняя граница больше нуля:
I [у (х)] > 2а > 0.
Опять в силу компактности {у (я)} и результатов п. 9 найдется линия
у = у0 (х), на которой I будет достигать своей нижней границы:
I 1#о (*)] = 2а.
Покажем, что если уь (х) < fe, то, оставаясь в классе допустимых ли-
ний, линию z/0 (х) можно продеформировать так, чтобы I уменьшилось.
В силу теоремы 10 и леммы 1 функция р (х, у0), взятая для кривой
г/0 (х), будет непрерывна в отрезке 0 х пусть соответственно с — а
и с + а — ее минимум и ее максимум. Обозначим через Е+ и Е~ множест-
ва значений х, для которых соответственно
Р Те) == с + а
и
Р (х, Уо) = с — я-
Множества Е~ и Е+ будут замкнуты и не будут иметь общих точек;
следовательно, можно построить конечные системы отрезков, занумеро-
ванных в порядке возрастания х:
SL в;,..., в;, (83)
бх, б2+, . . ., 6*, (84)
где т равно одному из чисел п — 1, п, п 4-1, такие, что: 1) система (83)
содержит множество Е", а система (84) множество £'+; 2) концы любого
би принадлежат £*“, а концы любого 6v принадлежат £’+; 3) между любыми
двумя отрезками одной из систем содержится отрезок другой системы.
Мы не исключаем здесь случаев вырождения, когда все или некоторые
из отрезков S обращаются в точки.
Обозначим через dy интервал, заключенный между отрезком 6V и
ближайшим к нему справа из отрезков (83), а через интервал, заключен-
37. О некоторых свойствах однолистных функций
501
ный между 6ц и ближайшим к нему справа из отрезков (84). Обозначим,
кроме того, через gv, gp дуги кривой у = yQ (я), проектирующиеся соот-
ветственно в промежутки dv, Отметим несколько свойств дуг g, су-
щественных для дальнейшего.
1. Дуга gv не может содержать отрезка прямой с угловым коэффи-
циентом —к, хотя бы один из концов которого совпадает с концом gv.
2. Дуга gv не может содержать дуги с концом, совпадающим с левым
(или правым) концом gv, и обладающей всюду кривизной, равной —к
[ М \
\ соответственно, —--г .
\ х (£ — z))
3. Дуга g^ не может содержать отрезка прямой с угловым коэффи-
циентом к, хотя бы один из концов которого совпадает с концом g^.
4. Дуга gy, не может содержать дуги с концом, совпадающим с левым
(или правым) концом g^, и обладающей всюду кривизной, равной
х (g —~x'j' (соответственно, —к).
Если l<v<n, 1<ц<тп или если интервал (dj) не имеет своим
концом точку х = 0, а интервал d™ (d„) не имеет своим концом точку х =
= £, то все перечисленные свойства дуг g суть непосредственные следствия
из теоремы 3 (свойства 1,3), теоремы 5 (свойства 2, 4) и условия, что в ле-
вом конце дуги gv (gn) функция р (х, у0) достигает максимума (миниму-
ма), а в правом конце той же дуги минимума (максимума).
Для дуги gt (gi), если ее конец находится в точке iyQ (0), или для дуги
gm (gn). если ее конец находится в точке | + iyQ (£), свойства 2 и 4 непо-
средственно следуют из определения класса допустимых линий {у (х)},
а свойства 1, 3, так же как раньше, вытекают из теоремы 3 и условия, что
в разбираемом случае в точке х = 0 или х = £ функция р достигает мак-
симума (минимума).
^Заключим каждый из отрезков 6V и 6ц соответственно в отрезки 6V
и 6ц, концентрические с 6v, 6ц и такие, чтобы разность длин 6 и 6 была
равна некоторому фиксированному числу 8. Число е мы выберем настоль-
ко малым, чтобы: 1) все 6v и 6ц были попарно без общей точки; 2) часть
дуги gv_(gn)j пусть gv Un), проектирующаяся в интервал, заключенный
между 6V (6ц) и ближайшим к нему справа отрезком 6" (6+), обладала
свойствами 1, 2 (3, 4) дуги gv (g^).
Обозначим еще через и уц дуги кривой у = yQ (х), проектирующиеся,
соответственно, в отрезки 6^ и 6ц.
Переходя к конструкции вариации кривой у -- у о (х), уменьшающей
значение I, разберем отдельно следующие возможные случаи: 1) множест-
во Е+ содержит точки х = 0 и х = %; 2) Е* содержит точку х = 0 и не со-
держит точки х — 3) Е* содержит точку х — % и не содержит точки
х = 0; 4) Е* не содержит ни одной из точек х — 0,
Начнем с рассмотрения первого случая. Фиксируем малое положи-
тельное число о и заменим каждую из дуг уР, дугой уц кривой
У = У0 (*) — а;
502
IV. Механика и математическая физика
при этом абсциссы концов дуги мы будем считать совпадающими с аб-
сциссами концов дуги Уц.
Левый конец дуги соединим дугой ГцХ) с ближайшим концом дуги
а правый конец той же дуги соединим дугой Г^2) с левым концом дуги
Обозначим через
У = ?? (*) (85)
кривую, составленную из всех дуг yv, Гц\ Гц2\ v = 1, 2, . . ., ц =
= 1,2,... (фиг. 12).
На основании отмеченных выше свойств дуг g нетрудно показать, что
при о достаточно малом дуги IW, Г<2> всегда можно подобрать так, чтобы
кривая (85) принадлежала классу допустимых линий (удовлетворяла бы
условиям (82)) и чтобы при 0 х ( мы имели
У о (*)—*< У о (#) < У о (*)•
Рассмотрим детально конструкцию дуги Гц2). Допустим сначала,
что а) в интервале (хх, #2), заключенном между отрезками 6^ и би+х, имеем
I Уо (%) I < к. (86)
где к — константа, участвующая в условиях (82). В силу свойства 4 дуги
g^ (проектирующейся на интервал (хх, х2)) в интервале (хх, х2) найдутся
два замкнутых множества ег и е2 положительной меры такие, что все точ-
ки ех будут расположены левее е2 и кривизна кривой z/0 (х) в точках ех и е2
еа М
будет непрерывна, причем в точках ех будет меньше —tz---г- , а в точ-
х (ь х)
ках е2 будет больше —А. Заметив это, обозначим через х" самую правую
точку множества^, а через х' самую левую точку е19 и построим для х'
х х" кривую
У = ф (я)
(86.1)
по следующим условиям: 1) ф (х") = yQ (z"), ф' (х”) = у'о (х"); 2) вне мно-
жества ег и е2 кривизна кривой (86.1) совпадает с кривизной кривой
У о (#); 3) на ег кривизна ф (х) будет меньше кривизны у0 (х) на некоторое
постоянное число ах (исключая, быть может, множество точек меры нуль),
а на е2 кривизна ф (х) будет больше кривизны у0 (х) на некоторое другое
число а2; причем число ах определим по числу а2 так, чтобы в точках хг
37. О некоторых свойствах однолистных функций
503
имели
ф' СИ = Уо (И,
а при х' < х <. х”
(87)
ф' (х) > у'о (х). (88)
При этих условиях очевидно, что значение функции ф в точке х’, <р (х'\
рассматриваемое как функция параметра а2, будет непрерывной и убы-
вающей функцией а2, следовательно, число а2 можно всегда подобрать
так, чтобы имели
ф (я') = —а. (89)
В силу первого из условий, определяющих ф, а также соотношений
(87), (88) и (89), функция ф будет удовлетворять неравенствам
Уо (*) — о < ф (х) < Уо (х).
Кроме того, в силу определения множеств ег, е2 и условия (86) очевидно,
что при о достаточно малом кривая ф будет удовлетворять всем условиям
(82). Отсюда следует, что линия Гц2), составленная из кривой у = ф (х).
х' < X < х", и ИЗ дуг кривых у = у0 (х) — О, X! X х', у — Уо (х),
х х х2, будет удовлетворять всем нужным требованиям.
Дадим теперь конструкцию Г^2) в случае, когда неравенство (86) не
является выполненным в каждой точке интервала (хг, х2). Допустим, что
Ь) неравенство (86) имеет место при хг < х < х3 < х2, а в точке х3 имеем
#о (*з) == Л; но тогда, очевидно, в интервале (хг. х3) найдутся два мно-
жества и е2, обладающие свойствами множеств е1ч е2. Конструкция Г^2),
проведенная выше, годится и здесь.
Если теперь окажутся не выполненными и а) и Ь), то в силу свойства 3
дуги найдется точка х3, < х3 < х2, такая, что для всех значений х,
х3 < х < хз < х2, будем иметь (фиг. 13)
У о (я) > У о (*з) + Уо (®з) (* — ®з)»
а для х, хг < х3 < х < х3,
У о (?) < У о (*з) + У о (*з) (* — я3),
причем найдутся значения х в тех же интервалах, где будем иметь строгие
неравенства. Возьмем в интервале (#3, х2) произвольную точку и и прове-
дем через точку и + iyQ (и) касательную Ти к нашей кривой у = у0 (ХУ-
У ~ Уо (“) + Уо (и) (х — и);
среди точек и будем рассматривать только те, для которых при х3 < х < и
будем иметь
У о <?) > Уо (и) + Уо (и) (х — и) (90)
и для которых в интервале (х±, х3) найдется значение х = и', при котором
неравенство (90) перейдет в равенство (касательная пересечет кривую).
504
IV. Механика и математическая физика
Если для данного и таких зна-
______---------г--------—р—!—----► чении х несколько, то за и мы
примем наибольшее. Обозначим
через uQ значение х, u'<x<Z и,
X._______________________________при котором разность
К У о (х)~Уо (и)—у'о (и) (х—и),
(91>
-------- рассматриваемая в интервале
(и', и), будет достигать наи-
большего значения. Из сооб-
£ ражений непрерывности легко
видеть, что, каково бы ни было
Фиг. 13 достаточно малое а, всегда най-
дется и, при котором рассмот-
ренный максимум (91) будет равен о. Из приведенных соображений следует,
что за кривую Гц2) мы можем принять кривую, составленную из кривых
У = У о (х) — при Xi < х < и0,
У = у0 (и) + Уо (и) (х — и) при UQ < X < U,
У = У о (х) при и < х < х2.
Заменой х на —х из конструкций, приведенных для Гц2), мы получим
нужные конструкции кривых Г$х).
Докажем теперь, что для построенной кривой у = yQ (х) при о доста-
точно малом будем иметь
1 Wo (я)] < Л^о (*)]• (92)
Для этой цели, обозначая через у' кривую, получаемую из у' заменой ее
дуги yQ (х) дугой yQ (х), рассмотрим функцию р (z, у'). В силу теоремы 1
в каждом отрезке Sv будем иметь
Р (х, у') < с + а, (93)
а в каждой точке отрезка 6Ц
Р & у') > с — а- (94)
Кроме того, в каждом интервале dj и Зц имеем
| р (х, у') — с | < а — а,
где а — некоторая положительная константа. Но так как при а —> 9
функция р (х, у') равномерно стремится к функции р (х, у'), то отсюда за-
ключаем, что при о достаточно малом во всех интервалах dv и dy, будем
иметь
I Р (х, у') — с | < а. (95)
Из (93), (94) и (95) получаем искомое неравенство (92).
37. О некоторых свойствах однолистных функций
505
Мы указали возможность построения в классе допустимых линий
кривой у0 (х), удовлетворяющей неравенству (92), для случая 1) когда
множество Е+ содержало обе точки х = 0, х = так как остальные
случаи принципиально мало отличаются от разобранного, то мы, при их
рассмотрении, ограничимся лишь наиболее существенными моментами;
остановимся на случае, 2) когда множество Е* содержит точку х — О
и не содержит точки х = Если при этом отрезок оп расположен левее
отрезка 6W, п = ш — 1, то, очевидно, можно сохранить конструкцию
для yQ (х), данную при рассмотрении первого случая. Мы можем, таким
образом, заранее допустить, что п = ш. Сохраняя введенные выше обоз-
начения, обозначим через t абсциссу левого конца отрезка Sw. Примем
за функцию у0 (х) функцию, совпадающую при х t с построенной выше
функцией yQ (х) и равную yQ (х) — о при t < х < £. В силу тех же сооб-
ражений, которые мы привели при рассмотрении случая 2, получим
IГУо (*)1 < I Г*/о (*)!•
Конструкции функций у0 (х) для случаев 3 и 4 отличаются от рас-
смотренных только тем, что отрезки 6V и бц поменяются ролями и что
дуги кривой у', расположенные над отрезками б^, мы будем поднимать
на а.
Итак, мы доказали, что если у о (х) /г, то I [yQ (я)1 = 0; следователь-
но, каково бы ни было число /с, к кг, при % существует
функция Уо (я), для которой р (х, у') сохраняет, при 0 х постоян-
ное значение. Покажем, что отсюда предельным переходом, к оо, можно
вывести существование решения задачи 1. Для этой цели отметим пред-
варительно одну элементарную оценку для колебания функции р (х, у)
в зависимости от колебания функции у (х) и значения h.
Лемма. Обозначим через тп минимальное значение ординаты точек
у’ и допустим, что дуга у — у (х), 0 < х касается прямой у -- h.
В таком случае, при h — у (0) — к£ > 0,
/-(0) +С’(Р), (96)
где С — константа, зависящая только от отношения
h-y(O)-k£
” h — т
Для доказательства оценим отдельно минимальное и максимальное
значения для р (х, у').
Пусть D есть область, получаемая удалением из полуплоскости у <1 h
отрезка iy (0), ih мнимой оси, и пусть функция
w — ф (z), ф (оо) = оо, ф' (оо) — 1,
реализует конформное отображение_области D на нижнюю полуплос-
кость v < 0. Построенная область D содержит область D (у'); следова-
тельно, в силу теоремы 1, в точке xQ, у (х0) = h, будем иметь
Р (жо> т') < logф' (ж0) log — х°„ — < — log . (97)
V xg-h (А — 4, (0))в 6
506
IV. Механика и математическая физика
Для оценки максимального значения р (я, 7') построим прямую Т
(фиг. 14), расположенную при х < | в замкнутой области D (у') и касаю-
щуюся линии у' в двух точках z0 и 2Х, расположенных по разные стороны
от мнимой оси. Мы при этом допускаем возможным, чтобы левая из точек
z0 и zx была в бесконечности. Этот случай будет иметь место, если точка
у' с минимальной ординатой будет принадлежать полосе 0 < х «<
Построим, кроме того, прямую Гх, параллельную оси х и проходящую
через точку у' с минимальной ординатой. Пусть М — точка пересечения
прямых Т, a N — точка пересечения прямых Т и у = h. Обозначим
через Dr область, содержащуюся в области D (у') и ограниченную лучом
прямой (—оо, М), отрезком MN и лучом прямой у = h, (N, +00).
Пусть
W — ф (2), ф (оо) = оо, ф' (оо) = 1,
есть функция, реализующая конформное отображение области Dr на ниж-
нюю полуплоскость v <4 0. В силу теоремы 1 в точке zr = хг 4- 1уг будем
иметь
Р U1, у') >log И (zjl,
но так как, по условию, модуль углового коэффициента прямой Т не
превосходит числа /q, а точка касания z± принадлежит полосе 0 < х <
то отсюда заключаем, что ордината точки zr будет меньше, чем у (0) +
+ < h. Замечая, кроме того, что значение | ф' (zx)| остается инвариант-
ным при преобразовании подобия области D14 мы получим, что для вся-
кого числового значения отношения
1 — m 4- h
мы получим определенную числовую оценку снизу для | ф' (zx)|. Следо-
вательно, в условиях леммы имеем
max р (х, у') > С (р). (98)
Сопоставляя оценки (97) и (98), мы получим искомую оценку (96).
37. О некоторых свойствах однолистных функций 507
Докажем теперь, что при значениях удовлетворяющих неравенству
log (0) — |С(р)| >1, (99)
решение задачи 1 существует.
Итак, фиксируем значение g, удовлетворяющее неравенству (99). Со-
гласно доказанному выше при к = kL существует функция у0 (я), для
которой
11уо (я)] = 0. (100)
Допустим, что существует функция, удовлетворяющая (100) при неко-
тором значении к = к2 к±, и дадим к2 приращение АЛг, настолько малое,
чтобы для функции у (х), получаемой из функции у0 (х) аффинным преоб-
разованием, имело место неравенство
I [у (я)1 < г/2. (101)
Рассмотрим для к = к2 + Ак семейство функций, удовлетворяющих
условиям (82), и пусть yQ (х) есть функция, реализующая минимум функ-
ционала I [у (х)]. В силу условий (99), (101) и только что доказанной
леммы кривая yQ (х) не может иметь общих точек с прямой у — h; но,
в таком случае, согласно доказанному выше, для этой кривой будем иметь
/ [Уо (*)1 = о,
т. е. для к = к2 + &к при \к достаточно малом также существует функ-
ция, удовлетворяющая (100).
Пусть теперь нам дано множество $ значений к, к к±, для каждого
из которых существует функция Ух (х), удовлетворяющая уравнению (100).
Обозначим через ук кривую у', соответствующую функции ух (я), и пусть
Рх есть значение функции р (х, yR) на отрезке (0, £):
Рп = Р (я, Tk) = const.
Покажем, что числа рх будут ограничены в своей совокупности. Ограни-
ченность чисел рх снизу непосредственно следует из (98). Чтобы получить
границу сверху, построим круг Rk наибольшего радиуса, расположенный
вне области D (yR) и касающийся кривой у = Ух (я). Применяя теорему 1,
нетрудно убедиться, что в точке касания |/' (z, yR)| будет меньше неко-
торой положительной константы, зависящей только от но так как
очевидно, что все ограничены снизу положительной константой, то
отсюда заключаем, что в точке касания, а следовательно, и для всех то-
чек дуги у — Ух (х), числа рх = log | /' (z, yR)| ограничены сверху.
Из доказанного, опять применением теоремы 1, легко получается, что
функции ух (х) будут также ограничены в своей совокупности.
Отсюда заключаем, что семейство линий у = Ух (х) и семейство функ-
ций / (z, ух) будут компактны на множестве <£ и что для всякой функции
у (х), предельной для функций ух (х), будем иметь
I [у (я)1 = о. (102)
Но так как, кроме того, каково бы ни было к0, принадлежащее <£,
для всех чисел Л, достаточно близких к /с0, решение для (102) существует,
508
IV. Механика и математическая физика
то, следовательно, существует функция F (я), удовлетворяющая условиям
задачи 1 при 0 < х < £. Применяя лемму 2, мы убедимся, что функция
F (х) будет автоматически удовлетворять условиям задача и В концах
интервала (0, £). Этим существование решения задачи 1 полностью до-
казано.
Замечание. Несущественно меняя ход рассуждения, можно так-
же доказать теорему существования, если в условиях рассмотренной за-
дачи допустить у кривой у = Рг (х) наличие конечного числа угловых
точек, а также наличие отрезков, параллельных оси у, или точек с вер-
тикальной касательной. Этот же результат, очевидно, следует из дока-
занной теоремы существования путем предельного перехода. Этим же
предельным переходом можно убедиться, что для существования решения
задачи 1 достаточно требовать известной правильности заданной линии
только в окрестностях ее концов. Мы на этих обобщениях не останавли-
ваемся, ибо в данной задаче они вряд ли представляют интерес.
11. Свойства решения и его единственность. Используя основные
результаты первой части, нетрудно получить также ряд общих свойств
полученного решения задачи 1. Обозначим через у0: у = yQ (я), кривую,
которая дает решение задачи 1, а через у всю границу области D (у).
При конформном отображении,
W = f (z, у), /(оо,у) = оо, f (оо,у) = 1,
области D (у) на нижнюю полуплоскость дуге у0 будет соответствовать
определенный отрезок (u0, U0 оси и. Если log | /' (z, у)| рассматривать
как функцию ip, то согласно условиям задачи эта гармоническая функция
будет правильна в нижней полуплоскости и будет принимать на отрезке
(и0, и$) постоянное значение. Следовательно, эта функция, а вместе с ней
и ее сопряженная arg /' (z, у), будут правильны в каждой точке интервала
(u0, U0. Отсюда следует, что кривая у0 есть аналитическая кривая. Но
в таком случае, опять принимая во внимание постоянство |/' (z, у)| на
у0, видим, что в силу теоремы 4 всякая соприкасающаяся с у0 окружность
будет иметь с у по крайней мере две общие точки; а в силу теоремы 3,
если у0 имеет точку перегиба, то касательная к у0, проведенная через эту
точку, будет иметь с у также по крайней мере две общие точки.
Из последнего отмеченного факта вытекает следующее общее свойство
кривой у0: у = Уо (х).
Свойство 1. Если при некотором значении х, х — xQ. будем иметь
Уо (^о) > 0» то при х Xq функция Уо (х) возрастает:
Уо U) > 0, я > х0;
в частности, если у0 (£) 0, то для всех х, 0 х £, имеем
Уо (*) < У о (£)•
В самом деле, допустим, напротив, что при некотором значении х =
— xr. xi имеем (фиг. 15)
У о СИ < 0.
Обозначим через xf значение х, при котором функция z/0 (х), рассматри-
ваемая в отрезке (z0, |), достигает своего наибольшего значения:
У о СИ > Уо СИ > 0.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
509
Фиг. 16
Так как в интервале (0, |) производная y'Q (х) непрерывна, а в точке
£ равна +оо, то в отрезке (л:', £) найдется точка х", где z/o (я), рассмат-
риваемая в том же отрезке, будет достигать своего минимума, причем,
согласно гипотезе, этот минимум будет отрицателен. Но в таком случае
касательная, проведенная через точку перегиба х" + iyQ (х"), будет пере-
секать у в единственной точке, что невозможно в силу предыдущего.
Установим теперь единственность решения задачи 1.
Свойство 2. Решение задачи 1 единственно.
В самом деле, допустим, что наряду с решением у0 (х) существует еще
решение уг (х) (фиг. 16). Обозначим соответственно через х± и х2 значения
х, 0 х g, где разность уг (х) — у0 (х) достигает своего наименьшего
и наибольшего значения. В силу теоремы 1 будем иметь
1 /' (Хг + iVi (хх), ух)| > | /' (хх + iy0 (xj), у)|,
I /' (ж2 + 1У1 (*г), 71)1 < I /' (*2 + Ч/о (*г), ?)Ь
где ух есть граница области D (ух), соответствующей решению ух (х).
Полученные неравенства несовместимы, ибо, по условию, вдоль линий
У о (я), У1 (я) модули производных | /' (г, у)|, | /' (z, Yi) | должны сохранять
постоянные значения.
Используя количественные уточнения теоремы 1 (теорема 2), нетрудно
получить также количественное уточнение единственности решения —
устойчивость решения:
510
IV. Механика и математическая физика
Свойство 3. Пусть у0 (х) есть решение задачи 7, и пусть у (х)
есть произвольная дважды дифференцируемая при 0 < х <Z | функция,
у (0) = F± (0), у (х) h, отклоняющаяся от функции yQ (х), по крайней
мере, на положительное число 8. Пусть, далее, у есть линия, составленная
из кривой у = Fr (х). кривой у = у (х), вертикального отрезка, соединяю-
щего точки | + 1у (%), | + ih, и луча прямой у = h, х^> При этих
условиях колебание функции log | /' (z, у) | на кривой у — у (х) будет пре-
восходить число Кг, где К — константа, не зависящая от вида линии
у = У (*)•
Отметим еще одно свойство решения задачи 1, касающееся характера
изменения этого решения в зависимости от изменения начальных данных.
Свойство 4. Пусть в_ условиях задачи 1 наряду с функцией F± (х),
х 0, нам дана функция F± (х), удовлетворяющая тем же условиям и
такая, что
Л (0) = Л (0), А (гг) < Л (х).
Пусть, кроме того, yQ (х) и у^(х) суть решения задачи 1, соответствую-
щие данным функциям F± и Fr и одним и тем же, для обоих решений,
значениям чисел h и При этих условиях и при 0 < х £ будем иметь
У о (*) > У о (Д
причем знак равенства достигается тогда и только тогда, когда (х) ~
= Л (ж).
В самом деле, пусть условия нашего предложения выполнены, и пусть
при некоторых значениях х, х < 0,
(х) < Fr (х).
Допустим дополнительно, что
X (0) = X (0).
Общий случай, очевидно, получится из разбираемого путем предельного
перехода. Допустим теперь, в противоречие с утверждением, что сущест-
вуют значения х, х^> 0, при которых (фиг. 17)
У о (*) < Уо (х).
Обозначим, соответственно, через у и у границы областей D (у) и D (у),
соответствующих функциям yQ (х) и yQ (я). Построим вспомогательную
линию у', совпадающую с линией у при х 0 и при х | и совпадаю-
щую с линией у = yQ (х) при 0 < х < £. Пусть х” есть значение х, при
котором разность у0 (х) — у0 (х) достигает наименьшего значения. Согласно
сделанной гипотезе
У о СП < Уо СИ-
Пусть, кроме того, х' есть значение х, при котором разность у0 (х) — у0 (х),
рассматриваемая в отрезке (0, х"), достигает наибольшего значения,
У о СИ > Уо СИ, о < У < х".
Докажем, что
I /' (ж' + iy0 СИ, /)1 < I /' U" + гУо ?')!• (103)
37. О некоторых свойствах однолистных функций
511
Для этой цели рассмотрим еще
одну вспомогательную линию
у", совпадающую с у' при
х <1 х", совпадающую с у = у0
(я) + У о &") — Уо (*") при х"<
х < а при х £ состоя-
щую из отрезка прямой х = g
и луча у = h, х В силу
теоремы 1 имеем
| /' (ж' + (ж'), т")1 <
<1 /'(*' + Чо П т")|. (104)
Так как область/) (у") полу- фиг. 17
чается удалением из области
D (у') некоторой ее части А,
расположенной справа от прямой х — х" хг, то в силу теоремы 1
обе части неравенства (104) будут меньше соответствующих
частей неравенства (103). Но так как, кроме того, область А расположена
ближе к точке х" + (х"), чем к точке xr + iyQ (х'\ то в силу дополне-
ний к теоремам 1, 2 отношение правой части (103) к правой части (104)
будет больше, чем соответствующее отношение левых частей, т. е. из (104)
следует (103).
Точно такие же соображения нам покажут, что из (103) следует
| /' (х' + iy0 (*'), т)1 < I /' (*" + iy0 т)|,
что противоречит условию, что у0 (х) есть решение задачи 1.
12. Задача о струях для симметричных дужек. Как известно, класси-
ческая задача о струйном течении плоскопараллельного потока заклю-
чается в построении по заданной дуге АВ потока, обладающего заданной
скоростью в бесконечности и такого, что граница области D, занятой
течением, состоит из дуги АВ и двух дуг, выходящих из точек А и В
и соединяющих эти точки с точкой оо: ЛХ, В~, причем дуги AZ и В~
должны быть определены так, чтобы вдоль этих дуг давление жидкости
сохраняло постоянное значение. В силу теоремы Бернулли условие по-
стоянства давления эквивалентно условию постоянства скорости или,
что то же самое, постоянству модуля производной комплексного потен-
циала течения. В несколько более общей постановке можно допустить,
что «свободные струи» ЛХ и В^> могут иметь общие дуги ух, у2, . . .; в та-
ком случае для точек дуг вместо условия постоянства скорости нужно
только требовать, чтобы при подходе к этим точкам с разных сторон
дуги мы получали для скорости одинаковые предельные значения.
Иначе говоря, в области D, дополненной дугами скорость потока
должна быть однозначной функцией.
Ограничиваясь случаем течений с осью симметрии, мы получаем сле-
дующую задачу.
Задача 2. Пусть в нижней полуплоскости комплексного перемен-
ного z = х + iy задана дуга ух, соединяющая точку хг 0 оси х с точ-
кой ib, Ъ 0, оси у. Требуется соединить точку ib линией у2 с точкой
z — оо так, чтобы: 1) линия у2 не имела точек в верхней полуплоскости;
512
IV. Механика и математическая физика
2) пусть D (у) есть область, ограниченная лучом оси х, х <Z хх, дугой
ух и линией у2, и пусть
W = f (z, у), / (оо, у) = оо, /' (оо, у) = 1,
есть функция, реализующая конформное отображение области D (у)
на нижнюю полуплоскость v < 0. При этих обозначениях во всех точках
у2, не принадлежащих оси х, модуль производной | f (z, у)| должен со-
хранять постоянное значение:
I f (2, у)| = с = const. (105)
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 11. Если данная дуга состоит из конечного числа дуг с ог-
раниченной кривизной и если каждая параллель оси у. х = С. xt<Z С 0,
пересекает дугу ух или в точке или по отрезку, то задача 2 всегда имеет
решение.
В самом деле, рассмотрим для кривой ух задачу 1 при h = 0 и при
произвольном значении Согласно доказанному, при достаточно малых
| решение задачи 1 существует и единственно; обозначим чего через у —
= у (х. £). Как было отмечено выше, если у (х, £) существует при £ = £х
и если у (£х, £х) < 0, то при всех значениях |, достаточно близких к |х,
решение у (х, |) также существует, причем у (х. £) < 0 при х < кроме
того, в силу результатов, изложенных в п. 9 (в частности, леммы 2), если
решение у (х. |) существует при любом £, | < £0, то также существует
решение у (х. £0). Отсюда заключаем, что возможны лишь два следующих
случая: 1) решение у (х, £) существует при всех значениях |,
о < В < U
причем!
У (U go) = 0,
и 2) решение у (х. £) существует при всех положительных значениях
Разберем отдельно каждый из этих случаев. В первом случае за иско-
мую кривую у2, очевидно, можно принять линию, состоящую из кривой
У = У (х, to) и из луча х > |0 оси х- При этом, в силу леммы 2, log | /' (z, у) [
будет непрерывен во всех точках границы у области D (у) кроме угловых
точек линии ух и, быть может, точки z = хх (если в этой точке касательная
к ух не совпадает с осью х). Отсюда вытекает, что из построенной линии
у единственными угловыми точками могут быть угловые точки линии ух
и точка z = х1ч в частности,
У' (go, go) = 0.
В силу теоремы 1 имеем
f (go, ?) < 1.
Следовательно, константа с в (105), равная /' (|0, у), будет также меньше
единицы, или, механически, скорость потока вдоль свободной струи мень-
ше единицы.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
513
Займемся теперь вторым случаем, когда решение задачи 1 у (х, g)
существует при любом положительном 5* Мы докажем, что в этом случае
предел у (х, 5) при 5 —* 00 даст нам искомое решение задачи 2, причем
вдоль полученной струи скорость потока будет равна единице, т. е. ско-
рости потока в бесконечности.
Для этой цели рассмотрим предварительно частный случай задачи 1,
когда ух есть прямолинейный отрезок 0, ib оси у. Обозначим через yQ (х, £)
соответствующее решение задачи 1. Это решение может быть легко полу-
чено в конечном виде, и все его свойства можно установить вычислениями.
Однако те свойства, которые нам понадобятся, нам представляется проще
получить из приводимых ниже качественных соображений. Так как оче-
видно, что функция — будет также решением нащей задачи,
то в силу свойства 1 решений задачи 1, функция у0 (гг, 5) будет симмет-
ричной относительно точки х = х/25; в частности,
Уо (О, В) = Уо £) = &<0.
Отсюда заключаем, что решение yQ (х, 5) существует при любых положи-
тельных значениях £. Обозначим через границу области D (Г|) течения
жидкости, и пусть тп (5) есть минимальное значение функции у0 (х9 5),
0 < х < а V (|) есть значение | /' (z, Г|)| в точках дуги у = у0 (х, 5).
Покажем, что , г .
lim 7(5) = 1, " • ”(106)
£->оо л '
Ит-^=0. ' ’(107)
£->оо ь
Для доказательства уменьшим подобно область D (Г^) в | раз: Кривая
у0 [х, I) перейдет при этом в кривую г , . - ~
у = -^у0М; Л ’• (108)
эта кривая будет; очевидно, давать решение задачи 1, когда есть от-
резок 0,1 -у . Отсюда, применяя теорему 1, получим, что правая часть
(108) есть возрастающая функция 5- Положим ’ 7
у*(х) = lim-yy0(5z,5) . , -
и обозначим через Го кривую, составленную из кривой у = у0 (х)'м лу-
чей х <Z О, х 1 оси х. В силу известной теоремы Куранта, при. 5 7^.09^
функция .. ’ , t /
w = F(Z,g)=-t/(^r5) ;
будет равномерно в области D (Го) сходиться к функции w = Fo (z), Реа”
лизующей конформное отображение области D (Го) на нижнюю полу-*
плоскость. Но так как вдоль кривой (108) при любом фиксированном 5
имеем v ,
IF (z, g)| = 7(5) = const, “ Л
i/217 M. А. Лаврентьев
514
IV. Механика и математическая физика
то, следовательно, вдоль линии у — у9 (х) будем также иметь
I (z)l — с — const,
причем в силу теоремы 1 имеем с > 1, а при | х | > 1 Fo (х) 1, F9 (оо) =
= 1. Отсюда, принимая во внимание лемму 2, окончательно получаем
с = lim 7(g) = 1,
£ —>°0
^o(x) = lim-^-i/(x,g) = O,
|->оо ь
причем последнее предельное соотношение выполняется равномерно
относительно, х.
Вернемся теперь к решению у = у (х, |) задачи 1 для линии yv В силу
свойства 4 этого решения имеем
0 > У (х, g) > у0 (х, |),
следовательно,
lim min у (х, = 0.
Отсюда, применяя, как выше, преобразование подобия, получим, что для
точек кривой у = у (х, g) будем иметь
lim /' (2, yg) = 1, (109)
Z-*O0
где yg есть граница области D (yg), соответствующей кривой у = у (х, g),
a и? — f (z, Yg) есть функция, реализующая конформное отображение об-
ласти D (yg) на нижнюю полуплоскость при следующих условиях:
/ (°°> ?s) = 00» /' (°°- V?) = !•
В силу (109) семейства функций / (^, yg), g 1, компактно, следавдтельно,
существует функция
W = / (z, у) = lim / (z, y5fc), (110)
К—*00
гДе gfc есть некоторая последовательность значений g, lim& = oo.
к-*<»
Функция (110) будет реализовать конформное отображение некоторой
области D (у) на нижнюю полуплоскость v < 0, граница у области D (у)
будет состоять из луча х < хг (^ есть конец ух, расположенный на оси х,
< 0) оси х, из дуги ух и дуги усоединяющей точку ib с точкой оо.
В силу (109) вдоль дуги у2 имеем
I/' (z, у)| = 1,
кроме того?, нетрудно* видеть, что /' (z, у) непрерывна в окрестности точки
ОО и что*
/' (оо, у) = 1,
37. О некоторых свойствах однолистных функций
515
т. е. определенная нами кривая у^ У ~ У (#, °°), есть искомое решение
задачи 2 в разбираемом случае.
Если данная кривая будет прямолинейный отрезок 0, ib, то пре-
дельное положение кривой у = у (х, £) при | —> оо даст нам кривую Кирх-
гофа у = yQ (х, оо) — свободную струю потока, обтекающего пластин-
ку ширины 2Ъ.
13. Свойства решений и их единственность. Из постоянства произ-
водной | /' (z, у) | вдоль линии у2 непосредственно вытекает, что линия у2
аналитична. Отсюда в силу теорем 3 и 4, так же как в случае задачи 1, сле-
дует, что каждая касательная к у2, проведенная через ее точку перегиба,
будет пересекать у не менее чем в двух различных точках и что каждая ок-
ружность кривизны для точки у2 будет пересекать у, по крайней мере,
в двух точках. Отсюда, между прочим, следует, что если при некотором
значении х ордината точки у2 обращается в нуль, то при всех больших зна-
чениях х линия у2 совпадает с осью х. Отсюда же следует, что на у2 угло-
вой коэффициент касательной не может достигать экстремума и, в частно-
сти, не может обратиться в оо.
Переходя к разысканию дальнейших свойств решений задачи 2, усло-
вимся обозначать через у = у (х, £) уравнение кривой у2, если при х ?> £
линия у2 совпадает с осью х, а при х < £ расположена ниже оси х. Через
у = у (х, оо) мы будем обозначать уравнение кривой у2, если все точки
этой кривой расположены под осью х.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 12. Решение задачи 2 единственно.
Для доказательства допустим сначала, что.задача 2 допускает решение
у = у (х, £), 0 < £ < оо, и докажем, что это решение единственно. Допу-
стим, в противоречии с утверждением, что наряду с данным решением су-
ществует еще решение у = yt (х, £х); при этом нам, очевидно, достаточно
рассмотреть случай, когда £ оо. Пусть w = f (z) и w = Л (z) суть
комплексные потенциалы течений, соответствующих решениям у =
= у (х, %) и у = z/i (х, £х). Рассмотрим теперь точку х , где разность
у(х, 1)-уЛх, £х) (111)
достигает своего наименьшего значения; в силу теоремы 1 будем иметь
| /' lx’ + iy (x',g)]| > I fi [х' + iy. (х', It)] |. (112)
Если при этом $1 = оо, то последнее неравенство невозможно, ибо, соглас-
но доказанному выше, правая часть этого неравенства равна единице,
а левая должна быть меньше единицы. Если £х < оо, то наряду с точкой
х' рассмотрим точку х", где разность (111) достигает своего наибольшего
значения. Опять в силу теоремы 1 в точке х" будем иметь
| f 1х" + iy (хп, |)] | < | A lx" + iy. (X", ^)] Ь
(113)
если при этом х” то неравенства (112) и (ИЗ) несовместимы, ибо для
рассматриваемых значений х и правые и левые части этих неравенств долж-
ны сохранять постоянное значение, если же х" > то в силу теоремы
3 будем иметь
!/'[£ + iy (I, &)] | < | /' lx" + iy (х", &)] I ,
17*
516
IV. Механика и математическая физика
Т. е.
I /' [g + iy (В, В)] I < I /1 [*" + tyi U", gi)l I,
что противоречит (112) по прежним основаниям.
Таким образом, все сводится к доказательству невозможности сущест-
вования двух решений вида у = у (х, оо) и у = уг (х, оо). Рассматривая
функцию z = <р (ip), обратную функции w = f (z), нетрудно видеть, что
главные члены разложения ф' (ш) по степеням w относительно точки
w = оо будут
ф' (it) = 1 + L + ...;
у w
отсюда заключаем, что всякое решение задачи 2 будет в точке оо голомор*
но относительно ]/*х, причем
y = bVx+
v=o
Следовательно, наши кривые у = у(х, оо) и у = у± (я, оо) могут иметь
лишь конечное число общих точек, а значит, существует точка х , х' < оо,
где разность
Уг (я, <х>) — у (х, оо)
достигает своего наибольшего или наименьшего значения. В силу теоремы
1 в этой точке будем иметь
| /' [xr + iy (х оо)] | | Д [х' + iy (х', оо)] | ,
что невозможно, ибо каждая из производных /' и Д должна быть по модулю
равна единице. Этим единственность решения задачи 2 полностью доказана.
Из этой теоремы и из компактности решений у = у (х, £) задачи 1 при
h = 0 следует, что если задача 2 имеет решение у = у (х, оо), то
у (х, оо) = lim у (х, £),
причем сходимость равномерная на всяком конечном отрезке оси х.
Из последнего замечания и из свойства 4 решений задачи 1 без труда
получаем следующую теорему.
Теорема 13. Пусть у = у (х, %>) и у = у! (х, £х), I < сю, |х <; оо,
суть два решения задачи 2, соответствующие двум данным кривым ух и
Ti с общими концами. Если при одинаковых абсциссах ординаты точек yi
не меньше ординат точек уъ то £х £ и
У1 U, 11) > у (х, I),
причем равенство может достигаться (при 0 < х < £), лишь когда у
совпадает с ух (фиг. 18).
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что решение задачи 2 для
Yi : у = у (х, £), будет всегда больше чем решение той же задачи 2, соот-
ветствующее отрезку 0, ib, где ib есть конец ух.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
517
Если воспользоваться теоремой 1, то легко видеть, что решение у =
= У (х, |), I < оо, задачи 2 не может иметь точек с ординатами, меньшими
и, при х > 0 меньшими или равными, чем минимальная ордината точек
данной кривой ух. Отсюда мы непосредственно получаем следующий при-
знак для существования решения у (х, оо).
Теорема 14. Если минимальная ордината точек ух соответствует
х = 0, то решение задачи 2 всегда имеет вид у (х, оо), т. е, обладает бес-
конечной веткой.
Отметим еще как следствие теоремы единственности и компактности
следующее предложение.
Теорема 15. Пусть ух и ух — две кривые, удовлетворяющие ус-
ловиям задачи 2, и пусть у (х, £) и уг (х, £х) суть решения задачи 2, соот-
ветствующие данным кривым ух и у{. Если будет равномерно стремить-
ся к yv то уг (х, ^) будет стремиться к у (х, £), причем сходимость бу-
дет равномерная на всяком конечном отрезке оси х.
Заканчивая рассмотрение задачи 2, укажем еще на одно предложение,
касающееся давления жидкости на обтекаемую дугу. Пусть ух есть дуга,
удовлетворяющая условиям разрешимости задачи 2, пусть для этой дуги
задача 2 имеет решение у = у (х, оо), и пусть w = / (z) есть комплексный
потенциал соответствующего течения. Продолжая функцию f (z), по прин-
ципу симметрии Шварца, за луч х < хх оси х, мы получим комплексный
потенциал течения, обтекающего со срывом струй дугу ух, где ух составле-
на из ух и ее зеркального отображения относительно оси х, В силу симмет-
рии дуги ух относительно оси х равнодействующая давления будет направ-
лена по оси х\ условимся обозначать через Р (ух) ее модуль. Докажем сле-
дующую теорему.
Теорема 16. Если при одинаковых абсциссах ординаты точек дуги
Vi будут не меньше ординат точек дуги ух и если дуги ух и ух имеют общие
концы, то равнодействующая давлений жидкости на дугу ух будет не бо-
льше чем равнодействующая давлений жидкости на дугу ух:
р (то < р (?;>>
причем равенство давлений достигается только при совпадении дуг ух и уг
Для доказательства рассмотрим предварительно для дуг ух и ух задачу
1 при h = 0, и при произвольном значении £ пусть у = у (х, £) и у =
= У1 (я, £) — решения этой задачи соответственно для дуг ух и ух. Обозна-
чим через Т (7\) область, ограниченную дугой ух (уО, дугами у =
£), 0 < х < £ (у = +yi (х, £), 0 < х < g), и отрезком прямой с концами
в точках I + iy (£, £) и g — iy (£, £) (£ + iyr (I, £) и £ n/x (I, £))•
17* M. А. Лаврентьев
518
IV. Механика и математическая физика
функции
W = f (z, g), / (ос, g) = оо, /' (оо, £) = 1,
W = fl (z, g), /1 (ос, g) = оо, Д (оо, g) = 1,
реализующие конформное отображение внешностей областей Г, 7\ на внеш-
ности конечных отрезков действительной оси плоскости ш, будут, очевид-
но, функциями течений, обтекающих области Ги причем, по построе-
нию, скорости этих течений, а значит, и давления, вдоль дуг z/ — Ч~ у (х,
g) и соответственно у = + у± (х, £) будут постоянны. Обозначим через
р (уь |), Р (у1? £) модули равнодействующих давлений жидкости на дуги
Yi и 71 ПРИ обтекании областей У, Тг. В силу предыдущего имеем
limP(V1,g)^P(V1), limP(V;,g) = P (Ti), (114).
£->оо g-*oo
кроме того, так как равнодействующие давлений жидкости на полные гра-
ницы областей Г, Тг равны нулю, то величины Р (уь £) и Р (ух, g) будут
соответственно равны модулям равнодействующих сил давления на части
Г1, Г1 границ Г, Т1, дополнительные к дугам Для сравнения этих
последних сил воспользуемся свойством 4 решений задачи 1.
В силу этого предложения и условий нашей теоремы будем иметь
У (х, g) > t/1 (х, I).
Отсюда, полагая
lim у (I, I) = Ьи lim yi (g, |) = b't,
получим
Далее, в силу ранее отмеченных предельных свойств решений задачи 1г
при g -» 0 функции у (g х, I) и г/i (£ — х, £) будут стремиться к функ-
циям Y (z), У1 (z), дающим решение задачи 2 для кирхгофовского случая,
когда заданная дуга есть отрезок 0, lbr или отрезок О, ib^
Y (х) > Yi (х).
Аналогично, совершая предельный переход lim / (£ — z, g) =. F (z),
|-*0
lim fx (g — 2, £) = Fi (z), мы получим функции течения, обтекающего
В-*°° ________
области TQ и 71?, где Z0, Г? ограничены отрезком ib^ —1Ъг и кривой у =
= + Y (х) и соответственно отрезком 1ЬЪ —ibx и кривой у = + Ух (х).
Пусть х' есть корень уравнения
Ух (х) = bi,
и пусть Рг есть давление потока с потенциалом F (z) на отрезок 1Ъ1Ч —ibi,
а Рг есть равнодействующая давлений потока с потенциалом F± (z) на от-
резок 1ЬЪ —ibr и дуги у = ± Ух (х), 0 < х < хг. Нетрудно видеть*
37. О некоторых свойствах однолистных функций
519
принимая во внимание (114), что
р (Ti) - Р (Yi) = P'l - Р1,
но правая часть не отрицательна, как легко убедиться или непосредст-
венным подсчетом или применением теоремы 1 и теоремы 3. Этим наше
предложение доказано.
Замечание. Доказанное предложение есть непосредственное
следствие теоремы 13, если использовать как известный тот факт, что при
сужении струй давление на обтекаемую дугу уменьшается.
14. Обтекание выпуклых контуров. Пусть нам дана выпуклая, гладкая,
замкнутая кривая Г, симметричная относительно оси х и пересекающая
ось х в точках < 0, и х = 0. Пусть есть часть кривой Г, располо-
женная в нижней полуплоскости и заключенная между точкой хт и точкой
с абсциссой Z, xt < t < 0. Решение задачи 2 для дуги
У = yt (*, I) (115)
даст нам обтекание замкнутой кривой Г со срывом струй, если кривая
(115) будет расположена вне области Г, ограниченной кривой Г.
Опираясь на это и на выявленные ранее свойства решения задачи 2,
докажем прежде всего следующее предложение.
Теорема 17. Множество точек контура Г, в которых возможен
(при симметричном обтекании Г) отрыв струй, есть дуга Го с центром
в точке х — 0 и с концами А, А', расположенными левее точек Г с экстре-
мальными ординатами.
Для доказательства построим прежде всего отрезок d, симметричный
относительно оси х и касающийся Г в самой левой ее точке. Решим для ниж-
ней половины отрезка d задачу 2 и подберем длину d таким образом, чтобы
это решение
У = Уо И,
будучи расположено вне области Т, ограниченной Г, касалось бы конту-
ра Г. Обозначим через Ах точку касания, если она единственна, или самую
левую из точек касания, если их несколько. В силу монотонности кри-
вой у = у0 (х) точка Аг будет расположена левее точки Г с минимальной
ординатой, кроме того, обозначая через t' абсциссу точки Hi, в силу тео-
ремы 13 при х t' будем иметь
У0 > Уе (*, !)•
Отсюда заключаем, что £ = оо и что при t = t' кривая (115) расположена
вне области Т, ограниченной Г. Следовательно, точка и ей симметрич-
ная Ai относительно оси х могут быть точками отрыва струй при симмет-
ричном обтекании контура Г.
Обозначим теперь через t0 абсциссу точки контура Г с минимальной
ординатой и докажем, что каждая точка Г с абсциссой, не меньшей /0,
может быть точкой отрыва струй, т. е., в силу выше сделанного замечания,
что при t > t0 кривая (115) будет расположена вне области Т. Допустим,
в противоречии с утверждением, что кривая (115) пересекает Г; но тогда
на этой кривой найдется точка, в которой угловой коэффициент касатель-
ной будет достигать наибольшего значения, причем касательная, про-
17s**
520
IV. Механика и математическая физика
рассмотрим кривую
веденная через эту точку, будет иметь
с границей области течения един-
ственную общую точку, что невозмож-
но в силу отмеченных выше свойств
решения задачи 2. Нам остается пока-
зать, что если точка Г с абсциссой
t' < tQ может быть точкой отрыва, то
при AZ, AZ > 0, достаточно малом
точка Г с абсциссой Z' + AZ также
может быть точкой отрыва струй. Или,
что то же самое, нам остается пока-
зать, что если при Z =Z' кривая (115)
расположена вне области 7, что при
AZ достаточно малом, AZ > 0, и при
t ~ t' + AZ кривая (115) будет также
расположена вне области Т. Фиксируем малое положительное число б и
У = УС (* — £)•
(116)
В силу основной гипотезы при б достаточно малом кривая (116) будет рас-
положена вне области Т. Кривая (116) будет, очевидно, давать решение
задачи 2 для дуги у1? получаемой из дуги Z < Z' кривой Г путем ее сдвига
влево на б (фиг. 19). Фиксируя нижний конец преобразуем ее аффинно
в направлении оси х с коэффициентом /с, k 1, и обозначим через у (к)
получившуюся таким образом кривую, а через
У = Ук (х) (117)
— решение задачи 2 для дуги yfc. При к = 1 кривая (117) будет совпадать
с кривой (116), при к — о© кривая (117) перейдет в параллель оси х, про-
ходящую через нижний конец ух и пересекающую область Т. При измене-
ниях к от 1 до оо кривая (117) будет непрерывно деформироваться. Отсюда
заключаем, что найдется значение к, к 1, при котором кривая (117),
будучи расположена вне Г, коснется линии Г в некоторой точке [с абсцис-
сой Z + AZ. Следовательно, в силу теоремы 13,
Ус+м ^) у^ (^)?
и кривая (115) при Z = Z' + AZ будет расположена вне Г; кроме того, оче-
видно, что б можно выбрать так, чтобы получить все возможные достаточно
малые значения для AZ. Этим наше предложение полностью доказано.
Используя теорему 1 и соображения, приведенные при доказательстве
теоремы единственности, легко получить следующее дополнение к теоре-
ме 17.
Т е о р е м а 18. Свободные струи, соответствующие двум различным
обтеканиям выпуклого контура Г, не имеют общих точек.
Отсюда, в силу замечания п. 13, или рассуждая так же, как при дока-
зательстве теоремы 16, мы получим другое дополнение к теореме 17.
Теорема 19. При двух различных обтеканиях контура Г со срывом
струй давление жидкости на Г будет большим для того течения, которое
соответствует более раннему отрыву струй.
37. О некоторых свойствах однолистных функций
521
Фиг. 20
Фиг. 21
Из теоремы 18 можно также сделать некоторые заключения о характере
свободных струй при обтекании Г в зависимости от положения на дуге Го
точек отрыва струй.
Дугу Г можно разбить на четыре дуги: две дуги ААг и Л511, симметрии
ные относительно оси х, и две дуги АГО и АгО с общим концом в точке z =
= О,— таким образом, что если при обтекании контура Г отрыв струй
имеет место на дугах А±О и АГО, то свободные струи будут иметь бесконеч-
ные ветки, соответствующее решение задачи 2 будет иметь вид у = у (xt
оо), а если при обтекании Г отрыв струй имеет место на дугах А41?
то свободные струи будут соединяться на некотором конечном расстоянии
от тела; если, наконец, точками отрыва струй будут служить точки
то свободные струи будут иметь бесконечные ветки, асимптотически
приближающиеся к оси х (фиг. 20).
Отметим в заключение одно приложение теоремы 19. Пусть, как рань-
ше, нам дан выпуклый контур Г, симметричный относительно оси х. Среди
всех симметричных течений с единичной скоростью в бесконечности, об-
текающих Г со срывом струй, фиксируем то, для которого равнодействую-
щая давлений жидкости на контур Г имеет наибольшее значение. Модуль
этой максимальной равнодействующей будем, по определению, называть
лобовым сопротивлением контура Г. В силу теоремы 19 лобовое сопротив-
ление получится, когда мы из всех возможных обтеканий возьмем то, при
котором отрыв струй произойдет раньше всего. При данном определении
рассмотрим следующую экстремальную задачу: среди всех выпуклых кон-
туров, симметричных относительно оси х и вписанных в данный прямо-
угольник | х | а, | у\ &, найти контур с наименьшим лобовым сопро-
тивлением.
При решении этой задачи возьмем на левой стороне данного прямо-
угольника отрезок d, симметричный относительно оси х, и решим задачу 2
для нижней половины этого отрезка. Размер определим так, чтобы кри-
вая
У = Уо (*),
522
IV. Механика и математическая физика
решающая отмеченную задачу 2, проходила через точку а — ib. Обозначим
через Г (а, Ь) контур, составленный из отрезка d, из кривых у = J-- Уо (#),
| х | < и из правой стороны данного прямоугольника. Из теорем 16, 19
непосредственно следует, что контур Г (а, 6) есть решение поставленной
экстремальной задачи (фиг. 21).
Теорема 20. Контур Г (а, Ь) обладает наименьшим лобовым со-
противлением среди всех выпуклых контуров, симметричных относительно
оси х и вписанных в данный прямоугольник
I X I < а, I у I < Ъ.
15. Задача о срыве струй для полуплоскости. Опираясь на результаты
п. 11, можно также получить теорему существования и ряд общих свойств
решения следующей задачи.
Задача 3. Пусть в нижней полуплоскости у < 0, z = х + iy, за-
дана дуга Yi, соединяющая точку хг, хг 0, оси х с точкой ib, Ъ < 0,
осп у. Требуется соединить точку ib линией у2 с точкой z — ос так, чтобы
выполнялось следующее условие: пусть D (у) есть область, ограниченная
лучом оси х, х хх, Yi и дугой у2, и пусть
W = / (z, у), / (оо,; у) = оо, /' (оо, у) = 1,
— функция, реализующая конформное отображение области D (у) на ниж-
нюю полуплоскость v < 0, w = и + iv\ при этих обозначениях вдоль
у2 должны иметь
1/(2, У) 1 = 1. (118)
Эта задача отличается от разобранной выше задачи 2 тем, что на иско-
мую линию Y2 мы не накладываем больше условия, чтобы она не имела
точек в верхней полуплоскости. За счет этого мы можем потребовать, что-
бы константа с в задаче 2 была равна 1 и притом чтобы (118) выполнялось
всюду на у2.
Имеет место следующая общая теорема.
Теорема 21. Если ух состоит из конечного числа дуг с ограниченно^
кривизной и если каждая параллель оси у х = г, х± г 0, пересекает у
или в точке или по отрезку, то задача 3 имеет всегда одно и только одно
решение.
Единственность решения доказывается в точности так же, как была
доказана единственность решения задачи 2.
Существование решения мы опять получим предельным переходом из
решений задачи 1. Не останавливаясь на обоснованиях законности пре-
дельного перехода,— они, в основном, те же, что в задаче 2,— опишем
лишь самый процесс.
В задаче 1 фиксируем отношение
t/h = р,’
причем число р возьмем настолько малым, чтобы решение задачи 1 для дуги
Yi существовало. Это решение у = Y (х, £) будет зависеть от единственного
параметра %. Искомое решение у = Y (х) задачи 3 мы получим, заставляя
1 стремиться в сю:
Y (х) = lim Y (х, I).
37. О некоторых свойствах однолистных функций
523
Так же как в задаче 2, сходи-
мость будет равномерная на вся- у"'
ком конечном отрезке оси х.
Из сопоставления задач 2 и 3___________________________0 /
непосредственно следует, что Г ’ ’ /
если решение задачи 2 для дуги 1 /
Ух будет иметь вид у = у (х, оо), у /
свободные струи будут уходить \ /
в бесконечность, то это решение
будет совпадать с решением за-
дачи 3 для той же дуги у1в Если **
решение задачи 2 для дуги
будет иметь вид у = у (х, £), | < оо, то решение у = Y (х) задачи 3 для
той жетдуги ух будет таким, что (фиг. 22)
lim У (х) > 0.
Л,’—>оо
16. Обобщения. Развитый выше метод может быть также применен к
ряду задач, подобных задачам 1—3, а также к задачам более общим чем
эти задачи. Отметим сначала некоторые из тех задач, к которым метод при-
меним почти непосредственно. Сюда прежде всего относится задача симмет-
ричного обтекания со срывом струй дуги ух, симметричной относительно
оси х и такой, что каждая параллель оси у, пересекающая ух, пересекает
ее или в точке или по отрезку (случай, изученный Лере). Метод сохраняет
силу также в общей задаче Лере, если в условиях теорем допустить, что
данная дуга и соответствующий поток обладают малой асимметрией. При
малой асимметрии может быть также получена теорема существования и
возможные теоремы единственности, если вместо гипотезы о том, что вся-
кая параллель оси у пересекает данную дугу ух не более чем в одной точке,
допустить, что всякая параллель оси х пересекает yi не более чем в двух
точках; при этом, естественно, возможны случаи (так же как в задаче 2),
когда свободные струи будут соединяться за телом. Используя вместо те-
орем 1—4 теоремы 1.1, 3.1, можно также получить теоремы существования
и единственности для задачи обтекания дуги со срывом струй потоком, рас-
положенным в прямолинейной или криволинейной полосе. Наш метод при-
меним здесь непосредственно, если размер дуги мал по сравнению с ее
расстоянием до границ полосы.
Мне представляется также нетрудным перенести данный метод для за-
дач на обтекание со срывом струй тел, обладающих осевой симметрией,
а также для плоской задачи газовых струй при дозвуковых режимах.
Гелати, 30 апреля 1938 г.
Математический институт Академии наук СССР.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лаврентъев М. А. К теории конформных отображений//Тр. Физ.-мат. ин-та
им. В. А. Стеклова. Отд-ние мат. 1934. Т. 5. С. 159—245.
2. Секерж-Зенъкович Я. И. К задаче обтекания криволинейной дуги со срывом струй //
Тр. ЦАГИ. 1937. Вып. 299. 48 с.
3. Лаврентьев М.А.Ъх теории струй // Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 4/5.С. 225—
226.
4. Ostrovski А. Ober den Habitus der Conferenzen// Acta math. 1934. Bd. 64. S. 81.
5. Привалов И. Интеграл Коши. Саратов, 1918.
524 IV- Механика и математическая физика
38
К ТЕОРИИ ДЛИННЫХ волн*
1. Постановка задачи. Как известно, задача об установившемся волно-
вом движении тяжелой жидкости в канале переменной глубины сводится
к такой граничной задаче теории конформных отображений: пусть в пло-
скости комплексного переменного z = х + 1у задана линия Го: у =
= У о (х), где функция yQ (х) однозначна и непрерывна вместе со своими дву-
мя производными при всех значениях х; необходимо задать линию Г: у =
= У (я), У (х) Уо (x)i так, чтобы при конформном отображении £ =
= f (z, Го, Г) £ = £ ~г и], области D (Го, Г), ограниченной Го и Г, на по-
лосу v < ц < Д, / (+<*>, Го, Г) = +°°» вдоль линии Г имело место соот-
ношение
Л (Го, Г) = I f (Z, Г) I 2 - С + Ху = 0, (1)
где С и X — заданные постоянные. Гидродинамически функция / означает
комплексный потенциал движущейся жидкости, число h — расход; ус-
ловие (1) соответствует постоянному давлению на свободной поверхности.
Если у0 (х) = const, то, налагая на движение с потенциалом / некоторые
условия, получим волновое движение в канале конечной глубины с нуле-
вой поперечной скоростью жидкости.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда h достаточно
мало и когда вместе с h малы величины •— | у0 (х) |, | у (х) — h \ вмес-
те с первыми тремя производными, а также | С — 3 |, | X — 2/Д |. В соот-
ветствии с этим установим некоторые соотношения, касающиеся конформ-
ных отображений областей D (Го, Г), близких к полосе 0 < у < h на по-
лосу 0 < ц < h.
2. Вспомогательные формулы. Пусть zr = xr + iyr — произвольная
точка линии Г. Проведем через zr окружность С, касающуюся Г, и нор-
маль Т к Г до ее пересечения с линией Го, например, в точке z0; через z0
проведем окружность Со, касающуюся Го. Область, ограниченную Со
и С, обозначим, через Д21. Отобразим конформно,
С = / (z1? z),
область Д21 на полосу 0 < ц <4 h при условии, чтобы вершины луночки
Д21 переходили в точки -j- оо.
Получим
I/'(zi’z)l = 7zr^ [* + -т(у — г/о)/' + -§"О'-+
+ V у'2-----1- УоУ’ + 4" f/о2] + г, (2)
где
г = г (у0, у, у0, у', у^ у")
* Журн. прикл. механики и техн, физики. 1975. № 5. С. 3—46.
38. К теории длинных волн
525
такая функция, что разложение по t функции г (tyQ, ty, ty'Q, . . .) начина-
ется с третьих степеней t
При достаточной гладкости линий Го, Г величина | /' (zx, z) | будет да-
вать приближенное значение для | f (z, Го, Г) |. Займемся оценкой
и свойствами остаточного члена этого приближения. Для простоты запи-
си условимся в дальнейшем через к ид обозначать величины, которые ос-
таются ограниченными при стремлении к нулю соответствующих пара-
метров, в частности h. Обозначим соответственно через ф0 (х) и ср (х) раз-
ность ординат точек Со, Го и С, Г; там, где эта разность не определена,
функции ф0 и ф считаем заданными так, чтобы они оставались непрерыв-
ными. Определим линии Го (т) и Г (т) уравнениями
У = У о (я) + ™ро (*) = Фо
у = у (х) — Тф (я) = ф (х, т).
Обозначая через V (т) значение модуля производной в точке zr функции
= / [z, Го (т), Г (т)], которая реализует конформное отображение об-
ласти D [Го (т), Г (т)] на полосу 0 < ц < h при условии соответствия бес-
конечно отдаленных точек, будем иметь [2]
vb- i v (т) = "Г $ lz [г’л(Т^-Г]1 Ф &cos arg f'dt +
-co sh*-2 —
. л f | f[z, Го (г), Г (т)] | , . ,,
+ T \ • я / ' фо (*) cos arg / dt, (3)
-oo ch2-^ Д
где z — точка Г (т), которая соответствует при отмеченном отображении
точке t верхней границы полосы, соответствует zlt Отсюда, полагая
Ф (0 = $ I /' (2, Го СО» Г (т) | Ф (х) cos arg /' dx, z G Г (т),
О
1
Фо (0 = $ I /' (z> Го (О» Г (т) I ф0 (х) cos arg /' dx, 2 Е Го (т),
О
имеем
у(1) _ я С Ф(0^ , Л f ф0(0^
g Г(0) 4 ) л ^-t + 4 ) ch22Ljl^l ’
-оо sn 2 h -00 сь 2 h
откуда получаем следующий вид остаточного члена 7?:
R = log I /' (ZX, го, Г) I — log I /' (zr z2) I =
л С &ф0 (Ф — t) dt л 4 J , л l—t + 4 -°o sh 2 h c_ С &ф0 (Ф — t) dt J , л £ — t -°° ch 2 h
526
IV, Механика и математическая физика
или, замечая, что
Ф (*) = У (*) — У (*1) — у' (*1) (* — *1) —
---у у" (хх) (х — X])2 + Ф I у” I3 (х' — xj3,
Фо (*) = Уо(х)—У (*i0)) — Уо (40)) (* — х1) — у у0 (40))(*—*i)2+
+ <WT (х — X])3,
имеем
I Н I < k {max | уЦ | + max | у"' | } h2. (5
3. Волна на произвольном дне и волна Рэлея. Переходя к установив-
шимся волновым движениям, положим в первом приближении в соотно-
шении (1) значение
l/-(z,r0,r)P=^t(l+4s/).
тогда получим
(тт)(1 + тИ = с-^ (6)
или, отбросив малые высших порядков,
(^П1+т««'' + 2т + 3(тЛ =с~^-
Отсюда
7/7/" 3 э У о 9 / у0 \2 3 Су2 3 Ху3 /п j v
УУ ~ 2 6 у 2 \ у ) + 2 (Л —у)2 2 (h — р)2 '
Рассмотрим сначала случай, когда z/0 = 0, v = 0. В этом случае (6) имеет
вид
™-=-4+4-^«г-44»-=<р(й. (в-2)
Выберем значения констант так, чтобы максимум ф (у) достигался
в точке у = h и расстояние между положительными корнями ф (у) было
порядка /г2; имеем
,, ч ЗС 9 X 2
Ч>(у) = ~йгУ--2~&У-
Отсюда, полагая у = h, получим
2С - 3\h = 0. (7)
Если теперь допустить, что один из корней ф (у) равен № + Д, то получим
другое соотношение для определения С и %:
-1 + -^{h+ h2)2-^{h + h2)3 = 0. (7.1)
Из (7) и (7.1) получаем
х __ 2 1
h 1 —зл2—2Л3
38. К теории длинных волн
527
или, сохраняя главные члены, далее
полагаем
X = 2/h + 6Д, С = 3 + 9Д2. (8)
При принятых значениях X и С от-
метим некоторые свойства функции
-у-ф (*/)•
Нули z/i и у2 функции ф имеют вид
Z/!,2 = h + Д2 + М3. (9)
В интервале уг < у < у2 функция ф
положительна и в точке
У о = h + W
допускает максимум, равный
Фтах = Ф (Уо) = 4" h +
Вне интервала уг < у у2 при г/ > О функция ф отрицательна и слева
выпукла, справа выпукла при у < 3/2h. При hlk < у < 5/4А
ф" (у) = k/h3,
кроме того,
ф' (h 4- ФД2) — ^y-klh.
В дальнейшем будет удобно уравнению (6.1) придать иной вид. Для
этого положим
г/i (я) = у (х) — у0 (х)
и заменим функцию yQ (х) функцией
П (*) = Уо (*) — V.
Соотношение (6) принимает вид
+ “Г У1У1) = С — х (i/j + Р + Г|). (10)
Полученное уравнение вследствие оценок для ф' и ф" эквивалентно
уравнению (6) с точностью до малых порядка выше h2. Подставив в (10)
вместо С и X их выражение (8) и заменив правую часть квадратичным чле-
ном, получим
у" = ~w[y~{h+ 44.12 = г|’(г'’г;)- (11)
Интегральную кривую уравнения (И) при ц = v = 0 будем называть
волной Рэлея [1].
4. Свойства волны Рэлея. Полагая ц = v = 0, получим
y" = ^-h-^[y-hy. (11.1)
528
IV. Механика и математическая физика
Первый интеграл будет иметь вид
= ^hy ~~ ПР (у — + 9Л’ Л = const. (12)
Изучим изменение интегралов уравнения (11.1), которые достигают мак-
симума при х = 0, в зависимости от начальной ординаты у (0) = h + а
а 0.
Условие максимума дает
h2 + ha - + А =0,
откуда
Л=^-—Л2 —Ла. (12.1)
Найдем значение у, у h + а, при котором dyldx = 0. Имеем
1 Г/З
ку— — <,у~ ty3 — ha — h2 + -^з- = 0,
что после деления на у — h — а дает
(у — Л)2 + а (у — Л) + (а2 — ЗЛ4) = 0
или
у = h а, а = h----------144Д4 — а2. (13)
& F
Отсюда видим, что наибольшее значение а, при котором получаем волну,
равно 2Д2. Кроме того, очевидно, что при а, бесконечно близком к Л2, ин-
тегральная кривая будет близка к прямой у = h + Л2, значит, в (13) сле-
дует брать знак плюс.
Из приведенных вычислений и непосредственно из вида уравнения
(11.1) вытекает, что для каждого значения а,
-й2 < а < 2Д2.
существует интегральная кривая уравнения (11.1) у = Y (х, а), которая
имеет максимум при х — 0 и имеет конечный период 2со (а):
Y {х + 2(о (а), а) = Y (х, а),
кроме того, очевидно,
Y (—х, а) = Y (х, а).
Период 2(о определяется путем интегрирования уравнения (12)
7 3/
® = 4=- \ dz (14)
У3 h+La) lA3^(z-a)^-a3)
где
«1 (a) = — 4- + -КД- /4Л4 —a4.
38, К теории длинных волн
529
Из полученного выражения для со видно, что при а h2 полупериод
ф стремится к л У^/3:
z ч пУh
lim со (а) = —о— >
cc-h2 °
при увеличении а со увеличивается, причем при а -► 2h2 со стремится к оо,
значит, при а = 2k2 интегральная кривая будет допускать единственный
максимум и прямая у = h — h2 будет асимптотой этой кривой. Кривая
у = Y (я, 2h2) дает приближенный профиль «уединенной волны».
Найдем асимптотическое выражение для со (а) при значениях а, близ-
ких к 2h2. Для этого представим со в виде
УЗ J У (а — z) (z — ai) (z — аг) ’
ai
где а2 = а2 (а) определяется по формуле (13), причем перед радикалом
нужно взять знак минус.
Положим
а — осх = а— К?- У4Л4 — а2 = 26,
ах — а2 = У 3 У4/г4 — а2 = е6, z — 8t,
тогда
со (а) = ——— \ . =
уз Д /(1-^)(1 + 8-о
ЬЧгХ-Чг Г 2 11
= -^А^[1о§4- + Л + 5е1оё4-] . (15)
Введем вместо переменной а переменную т,
а = 2h2 — т/г2,
тогда при малых т будем иметь
e = + е = А£3-]/?+ ...
Отсюда окончательно
® (а) |= Л,/г log -1- + hW* log X" + • • •
Отправляясь от соотношений (11.1), (12) и (12.1), можно получить сле-
дующие оценки для наклона и кривизны волны Рэлея при любых значе-
ниях | х | со (а):
Y' (х, а) < kh^
Y" (х, а) < khfr*^, (16)
У"' (х, а) <
530
IV. Механика и математическая физика
Первая из этих оценок оправдывает тот факт, что при переходе от (2)
к (6) отбросили член, который содержит у', так как в соответствии с (16)
этот член имеет порядок h3.
Вернемся к общему уравнению (11) и установим следующее свойство
его интегралов. Пусть у = Z (х) есть интеграл уравнения (11), Z (0) =
= h + a, Z (— х) = Z (я), Z (х + 2 со) = Z (х) при v = 0 и при П = Л о (z),
По (—х) = По U), По (* + 2<о) = По (*), I По (*) I < и функция т] =
= ц (х) такая, что интеграл уравнения (11) совпадает с Z (х). Обозначим
через Zi (х) интеграл уравнения (11) при ц = ц (х) — Д, где Д = const, та-
кой, что Zt (0) = h + a, Zr (0) — 0.
Лемма 1. Если 2h2 — аир достаточно малы, при х < <о (а) раз-
ность
8Z = Zi (х) — Z (х)
имеет тот же самый знак, что и Д, | 6Z | возрастает, причем х = к У h,
Доказательство. Вследствие непрерывности интеграла как
функции параметров уравнения достаточно рассмотреть случай, когда а =
= 2h2 и ц0 (х) = 0. Пусть при этом Z перейдет в Y (х, а), Zx — в Yr (х±, ак
Отметив это, займемся сначала частным случаем уравнения (11):
«' = 4а + -|— <“'2>
Будем при этом полагать, что Д = 0 при 2h2 у уои Д = Д при мень-
ших значениях у. Рассмотрим интеграл у = у (х) этого уравнения при на-
чальных данных
у (х0) = Y (х0, 2h2), у' (я0) = У' (xQ, 2h2),
где х0 определяется уравнением Y (xQ, 2h2) = yQ.
Пусть
Я = Я (у), х = х (у)
есть функции, обратные соответственно функциям у = Y (х, 2h) и у =
= у (х). В соответствии с уравнениями (11.1), (11.2) и начальными усло-
виями получим
с
Х = “7=" \
/3 J
у
Уо
X == \ ---:
У 1/1
dy
(у — h + A2) Vh + 2Д2 - у
Уо
dy
Уо
dy
1/Л
Уо
27 А_ С у о —у
2h^ J ^/2 ау^
у
у
у
Следовательно,
Уо—h
8х = х — х = /сТ^АД
У—h
---y°~h-y 3! dy.
38. К теории длинных волн
531
«я АД (
-аГ8У = —{
Отмечая, что
у (х) - Y (х, 2h2) Y' (х, 2h2) 8х
и вводя новую переменную и,
у = h + 2Д2 — Л2и2, у0 = + 2/^2 — A2Uq,
найдем
и о 9
Ь А р иЛ — uZ
8у = у (x) — Y (х, 2h2) = -f- (3 — и2) и2 du,
где к — числовая постоянная, 0 < uQ < и < j/З. Дифференцируя пос
леднее соотношение по и, найдем
и2 — и? р и2 — и2 ]
---1 _ 2 (2и2 — 3)и\ du\.
(3—u)2 х ' J (3 — и)2 и2 J
и0
Правая часть последнего уравнения явно положительна при и2 < 3/2;
непосредственным вычислением можно убедиться, что это имеет место при
всех и0 и и, 0 < u0 < и ]/3. Значит, вариация бу увеличивается. Кроме
того, проведенные вычисления показывают, что при х0 = 0 и при значе-
ниях х порядка Уh вариация бу имеет порядок Д/Л.
Составив для уравнения (11) уравнение в вариациях, получим для бу
дифференциальное уравнение
бу" =---(У — Л) бу + , Д = 0 при х xQ и Д = Д при х xQ.
Из доказанной выше монотонности бу при любом xQ приходим к тако-
му результату: если ф (х) — неубывающая положительная функция,
ф' (х) О, ф {х} 0, х 0, и если z (л:),1
z (0) = z' (0) = 0,
есть интеграл уравнения
2"==--^(У-Л)2 + фСг),
то z (х) — неубывающая функция.
Вернемся к уравнению (11) и составим для него уравнение в вариа-
циях, когда функция ц получает приращение —Д; так как при условии,
что Д = 0, интеграл (11) есть У, для 6У получим уравнение
Приравниваем интеграл этого уравнения к интегралу уравнения
6у;=-4-(у-/1)6у1 + ^_,
6У (0) = 8Y. (0) = 6Y' (0) = (0),
532
IV. Механика и математическая физика
полагая
X = 6У - 6У1,
получим
Х" = -^-(Г-h)X + ±-vbY.
При г, бесконечно малом, 6У можно заменить неубывающей функцией
6У1, тогда в соответствии с приведенным выше будем иметь
X' > О,
ио, рассуждая, как выше, докажем монотонность интеграла уравнения
Х"= — -^-(Y-h — dh)X + <р(х),
Ф (х) 0, ф' (х) О, dh^> 0.
Отсюда по индукции делаем вывод, что при любом v 0 имеем X' 0,
что полностью доказывает лемму.
5. Оператор I и его вариация. Введем следующий дифференциальный
оператор
7(Г0, Г) = (1 + 4-УУ") ~С + + v + т1)’ (17)
Изучим вариацию этого оператора при переходе от линии Г к близкой ли-
лии Г.
Л е м м а 2. Пусть f (х) — непрерывная функция \ f (х) | < рД2, v
—> 0 при h —> 0 и вдоль линии Г: у = у (х), у' (0) = 0, у (0) = h + а,
I (Г„ Г) = / (х), (17.1)
а вдоль линии Г: у = у (х), у' (0) = 0, у (0) = у (0),
I (Го, Г) = J (х),
причем
I f U) — / (х) I < е.
Тогда при 0 v < kh2, 0 ц < kh2 имеем
|У(*)-у(*)|<есЬ (3 + в)* , (18)
где 6—^0 при h -> 0.
До казательство. Действительно, учитывая (И), уравнение
(17.1) можно представить в виде
У" = ч|> (у, v) + ц (у) +-|- f (*),
где р (у) — непрерывная и дифференцируемая функция у, причем р (у) =
= О (ф) и р/ (у) = О (Ф') соответственно в окрестностях нулей ф и
нуля ф'.
38. К теории длинных волн
533
* Полагая
J U) — / (*) = е (х), | 8 (х) | < е, у (х) — у (х) = <р (х)
и составляя уравнение в вариациях, получим
„ Г 1 г . / . 3 / 1 . къ(х)
ф - Р’ + И + — (А-р)® }Ф + ~h '
или, принимая во внимание выражение для ф и условия относительно и
и г|,
„ О' , кь(х)
Ф = — Ф + —Г1- . (!9)
где Ф удовлетворяет неравенству
—G - О (h) < ft < G + О (К).
Отмечая, что для нашего случая ф (0) = 0 и ф' (0) = 0 и наибольшее зна-
чение для ф" получим, полагая в (19) ft = G + О (G) и е (х) = е, путем ин-
тегрирования находим искомую оценку.
6. Вспомогательная задача. Сохраняя обозначения, принятые в п. 1,
рассмотрим следующую задачу: пусть Го: У — Уо (х) такая, что г/0 (х)
периодична с периодом 2со, при | х | со допускает единственный макси-
мум при х = 0, у0 (—х) — уо (х), кроме того,
I У о (х) — v I < kh3, I у'о (х) I < W+v,
I Уо (#) I < khM, v < kh2, v > 0.
Обозначим через Го линию у = yQ (х) + А, где А — некоторая постоян-
ная. Требуется определить линию Г : у = у (х)
у (х + 2<о) = у (х), у (0) = h + а
так, чтобы I (Го, Г) = 0, где а — заданное число, а число А подлежит
определению, А = А {у0}. Решение поставленной задачи обозначим
У (х) = Н {у0 (х)} = Н {z/0}.
В дальнейшем ограничимся случаем, когда числа С и % определяются
из (8), а число а принадлежит интервалу h2 < а < 2h2 + О (h2). Кроме
того, рассмотрим решения поставленной задачи такие, чтобы Н была чет-
ной и допускала при х — 0 единственный максимум в интервале периода.
Полагая, что решение поставленной задачи существует и | А {i/0} | <
< kh3, установим ряд его свойств.
7. Оценки производных волновой линии. Пусть у = у0 (х) — решение
а поставленной вспомогательной задачи. Займемся оценками для у', у"
и у'". В силу (20) при условии | А {у0} | < kh3 можем, не нарушая общ-
ности, дополнительно считать, что А {у0} = 0.
Лемма 3. Имеем
]kh
Г” ’
los~r
где к — постоянная, зависящая только от введенных выше констант к.
534
IV. Механика и математическая физика
Доказательство. Отметим, что в силу элементарной вариа-
ционной леммы из теории конформных отображений [2] имеем
| у (х) — h | > kh2.
Обозначим через с максимальное значение | у' (х) |, и пусть
у' М = с.
С целью получения искомой оценки для с рассмотрим в точке z0 = х0 -|-
+ iy (z0) производную по х функции
Р = log V = log I /' (z0, г;, Г) |.
В силу (1) в рассматриваемой точке имеем
-& = ^ = -(т + 3'>)т^“-т + *'- <2|>
Оценим теперь эту же величину сверху, отправляясь от геометрических
условий, наложенных на Го и Г. С этой целью построим область Л, огра-
ниченную: 1) отрезком а касательной к Г в точке z0 = xQ + iy (х0), зак-
люченной между прямыми у — h + kh2 и у = h — kh2] 2) лучами прямых
у = h + kh2, что выходят из концов построенного выше отрезка; 3) от-
резком а0 прямой у = kh2+v (х — х^) + v (где х± — абсцисса середины
отрезка а), заключенным между прямыми у = kh3] 4) лучами прямых
у = v + kh3, что выходят из концов отрезка а0. Пусть £ = (z),
/i (± °°) = i 00 отображает А на полосу р < г] < /г и Рх = log | f3 (z) |.
В силу указанной выше леммы можно видеть, что
Г-^-1 >Г4г1 = (21-1)
L d^ J x=xt L J x=x0 dx x '
Пусть при отображении £ = fx (2) отрезку а соответствует отрезок
(—Bi, Bi), а отрезку a0 — отрезок (^0), ^0)), очевидно,
Bi = , Bi0) = —
Построим в полосе v < ц < h гармоническую функцию Q, равную с на
отрезке (—£х, £2) прямой ц = h, равную на отрезке (£х0), ^0)) и рав“
ную нулю на остальной границе.
Имеем
kh
I dP1 I — I I __________£_ 1 kh1+V C ________dt______
I dx “ I dr) l|=o h + h? J л t
-kh + Л
+ $ ----ndt t = —Г + khl" + "^ I --------T • (2L2)
khVc sh2 — д 21 p ' Wc sh2 -y
Отсюда, сопоставляя (21), (21.1), и (21.2), получим
S -^r<0h-
kh
38. К теории длинных волн
535
Значит,
kh — о. 1 1
---> vlog—,
с--° h ’
что дает для с окончательную оценку.
Лемма 4. Имеем | yr (х) | < kh.
Доказательство. Будем вести вычисления в переменных g,
f| и в соответствии с этим для точек волновой линии и дна полагаем
У (%) = У [ж (В, ty], ув {I) = у [х0 (I, v)],
где х = х (£, ц) есть действительная часть функции, обратной / (г, Го, Г).
Кроме того, введем сопряженные гармонические функции Р (|у ц), Q (|, ц):
Р = -log U = -log | /' (z, ri, Г) |, Q = -arg/' (z, Г^, Г).
В точках волновой линии имеем
/“*9. + (22)
Аналогично вдоль дна
га = (1 + М) (?'. (22.1)
Последние соотношения показывают, что Q' имеет тот же самый поря-
док, что и у". Пусть — точка, в которой | Q' | достигает абсолютного
максимума; допустим для определенности, что
(23)
Вычислим в точке (gx, h) значение д2Р1д%? = Р”. В соответствии с (1)
имеем
Р = -V2 log (С - ly)
или, заменяя С и А их значениями из’ (8) й полагая’
у = h + xfe, | т | < kh,
получим
P = т + k№ + дт2, (24)
откуда
T)f и f
Р =1ГУ’
Р" = 4- У1" уУ!* = (* + + —Цг • <25>
w-g-
536
IV. Механика и математическая физика
Эту же величину можем выразить через значение Q' по формуле Пуас-
сона. Полагая h — v = получим
р„----------&Q _£i zj , , _л_ _1_
CO
c Q — Q±
J , 2 Л В ~ Bl
—oo Sn o b
KB^HB'
sha4~ + k
A rl\
(26)
Сопоставляя (25) и (26), покажем, что при h —> О Q'-^ 0. Действитель-
но, из этих уравнений, если принять во внимание (22.1), (20), получается
1 (* Q'— Qt ' '
I -оо si?-2--—
(27)
Кроме того, в силу леммы 2 при h -> О Q -> 0. Отсюда, полагая | (?| =
= 8, можно видеть, что
_1_ с c
a? J mJLS-Bi h* J ,2« в
1 -0° sh 2 Ло 1 eh_ sh 2
4£i
uh
JX8
2^Г
(27.1)
Значит, исходя от противного, Ci
cth -----l<kh,
2QX
или
bg-Г
. г (28)
что противоречит предположению.
Для получения искомой оценки воспользуемся выражением для Р
через функцию у (5). В соответствии с формулой Пуассона для полосы
О < ц = Л — v имеем . .
1 ___ 1 = дУ = у — Уо 1
V cos Q dr) cos Q hj cos 0
(< Во) у' (Bo) dt + kh^
. 1 — 50
Или в силу леммы 2, полагая у —- у0 — hr +
СО * Г ,
-^ = 1+т + ^Н —+
1 —со Sh3u-Q---г---
я 1 С у (0—у (Во)
4 Л2 cos Q J ,. я
-оо sh2 *2
(29)
38. К теории длинных волн
537
где
6 (t) = у (0 - у (Во) - (i - Во) у’ (Во) - J/2 (t - W (I,).
А в силу (24) имеем
_L = 1 + т + W. (30)
с 1
Допустим теперь от противного, что — г/"(|0) может быть как угод-
но большим, тогда из уравнений (29), (30) получим
оо
( У’Lb >W(£.)- (34)
При этом же предположении из (27), (22) получается, что
ОО _
v S -------П Lb d,'‘<KQ1 + °(1>- <32>
~~ sbs 2 ft]
Для доказательства леммы остается показать, что (31), (32) и (23) про-
тиворечивы. Для этого, записав в (31) вместо функции 6 функцию (>, имеем
s rn - $ * $ IS- w - <г &)] dt = $ Л $ [4 4 ] dt -
0 0 0 0
t t t t
= (1 + Wi) Jdt J (Q' — Qi)dt + ^dt^Q' (V — FJdt +
0 0 0 0
t t
+ dt •QQ' (Q — Q±) dt.
о о
Отправляясь от предположения леммы 2 и неравенства (28), можно пока-
зать, что два последних слагаемых в выражении S (£), представленные
в (31), дадут величины порядка О (Qi). Отмечая дополнительно, что по-
рядки малости у" (Во) и Qi одинаковые и полагая Q' — Qi = <р (t + Во),
t t
ф(£) = ^dt^<p(t)dt, получим следующие неравенства:
о о
1 (33)
" =ь> 4
4- ? <Р(-)Г = О (!)> О < Ф (0 < 2(?;. (34)
о sh^ —
18 М. А. Лаврентьев
538
IV. Механика и математическая физика
Интегрируя левую часть (34) дважды по частям, получим
О Sh2-^
где
d2 1 k 1
Следовательно, в (33) окончательно получим KhQr < kh2, что дает ис-
комое неравенство.
Л е м м а 5. В условиях леммы 4 имеем
I у' (х) | < к№*.
Доказательство. Пусть а = уг (^0) — максимальное значе-
ние у' (х). В силу леммы 3 имеем
У (х) — у (х0) > а (х — х0) — (х — х0)2,
но по условию | у (х) — у (х0) | < /0*1Л2, следовательно, при любом х
а (х — Xq) — 1/2'0’Л (х — х0)2 < 'О'Л2,
в частности, при х = х0 4- ~г-т-
или
а <
Лемма 6. Если дополнительно у0 < kh2, то
i/"«<—4-- (35)
log-y
Доказательство. Придерживаясь метода, приведенного при
доказательстве леммы 3, найдем выражение для функции Pz// = д^Р/дЪ?,
получающееся, с одной стороны, из (24) и, с другой,— из значения Q" =
= d2Q/d%2.
В соответствии с (25) и леммами 3 и 4 имеем
р'" = у'" + у" - -ff- У’У" - У’2 = + kh41’ <36>
причем очевидно, что
У"’ = (1 + fth) Q" +
Рассмотрим теперь точку £х, в которой | Q" | достигает абсолютного
максимума. Пусть для определенности в этой точке достигает также
38. К теории длинных волн
539
абсолютного минимума функция Q” (£),
Q" (?) > Q" (во = <?;.
В соответствии с формулой Пуассона в точке у (^)] имеем
_ w 0°
рш____ I Я_________1 С
~ 4 h* J
—оо
Q”-Q{
sh2 2L £~ Ь
811 2 л,
dt + ±Q»
(37)
или, так как #0, а вместе с ней и Q' (£, и) имеют порядок /г2, остаточный
член ограничен, следовательно, из (36), (37) получаем
1 С
sh 2 hj
причем
О <(?"-& < 2(?",
а в силу леммы 3
| Q' | < kh.
Отсюда
1 С
у~<?1 , 20, ? а
, Л Л £ — 51 h2 J , Л л t
sh 2 hi 1 wqJ sh тт;
(38)
Таким образом, получим соотношение, аналогичное (27.1), которое дает
<21 <
$
1
10*т
8. Оценка производных вариаций волновой линии. Пусть даны две ли-
нии Го: у = у0 (*) и То: У = Уо (*) + &Уо (*), где у0 (х) удовлетворяет ус-
ловиям п. 7 и леммы 6, а функция 6у0 (х) такая, что
I ЪУо (*) — е' | < е0,
I буо (*) I < ^s/S
(39)
I йУо (*) I < kh2.
Кроме того, линиям Го и Го отвечают волновые линии Г: у = у (х) =
— Н {у0 (х)} и Г: у = у (х) + бу (х) с одинаковым периодом 2®, которые
удовлетворяют условиям, принятым в п. 7, и такие, что
I бу (х) | < е, А {у0 (ж)} = 0, I А {у0 + бу0 } | = 0. (40)
fil<g
Задачей четырех последующих лемм является получение оценок для
трех производных функций бу (х). Ввиду того, что при дальнейших рас-
суждениях не используем симметрию у (я), можем путем перенесения на-
чала координат свести задачу оценки | 6yf |, | бу" |, | бугп | к оценке этих же
величин в какой-либо фиксированной окрестности точки х = 0. По анало-
18*
540 IV* Механика и математическая физика
гии с предыдущим пунктом будем вести вычисления в переменных g, rj,
в соответствии с этим сведем данные условия к переменным £, ц.
Пусть в силу конформных отображений z = z (%) = х (£, ц) + Ч/ (В, Л),
z = Zi (О = хх (g, ц) + (В, л) Областей D (Го, Г), D (То, Г) на полосу
0 < Л < между точками линий Г, Г и прямой v\ = h устанавливается
соответствие
в = I (ж), х = х (&); I (0) = X (0) = 0;
I = (х), X = хг (£); (0) = (0) = 0,
а между точками линий Го, Го и прямой т] = 0 — соответствие
I = (х), х = ^> (S); I = (х), х = 40) (S)-
Имеем
X
11 (Ж) — !(*)= § ( cOsQj — cos<2 ) dX’ (41)
о
где Q и Qi — углы наклона кривых Г и Г относительно оси х, а V и V\ —
скорости жидкости в соответствующих точках Г и Г. Оставляя в правой
части (41) лишь главные члены, получим
X [X
В1 (ж) — I (х) = § cos <2 dx ~ § COS2 <2 _ ® dx'
о о
Отмечая, что в силу (1) | Ух — V ] < 2е/Л, а в силу леммы 4 | Q | < к№*,
и интегрируя второй интеграл по частям, получим
I Si (*) ~ S (*) I < -$- * + J (<2, - 0 dx < X + кМч, (41.1)
\ldx)-Ux)\<^x + kh^\Q1-Q\x. (41.2)
Кроме того, d^ldx — 1 + kh. Поэтому
। м?) । = । ^)-* (ю । < 4- +kh3,2&’ <42>
а также
I s* (S) К 4- s + kh™* I Qi - QIS- (42-1)
Аналогичной оценки для соответствия между прямой ц = 0 и Го по-
лучить невозможно, для этого случая оценим
£
= !tki(s)-*(s)i^-
о
Рассмотрим сначала случай, когда у0 (х) = 0 и е' = 0, при этом уело
вии, используя теорему 1 работы [2], можно показать, что мажоранту для
38. К теории длинных волн
541
а получим, если положим
бу0 (*) = ео при 0 < х < ?,
Ьу0 (#) = —е пРи х < 0 и х >• ?.
Или, не изменяя порядка а,
бу0 (ж) = 0 при I X I < ?.
бу0 (#) = — е при х > ?;
Однако в этом случае будем иметь
Интегрируя дважды это равенство, окончательно получим
*(£)= $|б*(т<^Ч2 + е0?, П = 0.
О
Путем дополнительного конформного отображения можно показать,
что такая же оценка будет иметь место и в общем случае.
Положим для линий Г и Г
У = У [я (5)1 = У {I),
У — У (£)] + бу [хх (В)] = у (?) + Ьу (Ю-
Аналогично для линий Го и Го:
у = Уо l«(0) (£)] = Уо (£),
У = Уо (х) + бу0 (х) = уо (В) + бу0 (?).
Вследствие (41) и условия | у' | < kh1!* получаем
Sy (В) < е +
$
Отправляясь от (41.1), оценим §|6i/0|dg, а > 0. Имеем
а
I I £
$|буо|^<$|буо|^+ $|у;| |6x|d?<ed?-a + I у'о (?) I о (?) +
a a a
+ $ | x'y# | о (?) d? < e d? — a + kh4^. (43)
a
Отметим, что
| Sy' | < | Sy' | (1 + + khsl- + fcfe1/2E. (44)
Займемся теперь оценками Si/', Sy" и 8yfff.
542
IV. Механика и математическая физика
Лемма 7. При е0 < kh& имеем
| 8у' I = | yi (х) — у' (х) | < -
А1о«1Г
где к — постоянная, зависящая только от ранее введенных постоянных к.
Доказательство. Обозначим через т (£) функцию, равную 2ех
при I g I < И равную 2к ]/te | £ | при k^h , а через
т0 | £ | — функцию, равную 2е0 при | | 7г3/’ и равную 2kh,/*el
при остальных значениях В силу (42)
161
| ЬУ (?) | < т (g), $ | бу0 (с) | dt < т0 (£) I.
1
Рассмотрим отрезок Пусть функция | 8у' (£) |, рассмот
2к У h
ренная на этом отрезке, достигает в точке ах, | ax| , абсолютного
2к |/ h
максимума, для определенности это будет максимум для б^' (£). При
Г 2е 1 „
этих условиях можно видеть, что на отрезке j найдется
точка а, которая обладает свойством: если проведем через точку [а, 8у (а)]
касательную L к линии у = 8у (|), справа от а наша линия будет рас-
положена ниже L, а слева — выше L; при этом в точке а будем иметь
q = № (а) > 8у' (ах), 8у" (а) = 0. (45)
Для получения требуемой оценки q выразим через q значение второй
производной функции
8х (|) = X! (I) — X (%).
В соответствии с (1) имеем
6х'(?) = ^--^- = --^-б7--^б^+...,
где
V = у с — Ху; Fi = /с — kyi, tg Q = y'V; tg Qv = yiF1(
причем в силу (8)
6F = — (1 + 67г), б(? = cos2 Q {гбу' + у' А- (1 + М)} .
Значит,
(£) = 4- + У' -т- + y'W- <46>
Отсюда, принимая во внимание (45), в точке а будем иметь
бж" (а) = (1 + = (1 + №). (47)
38. К теории длинных волн
543
Найдем теперь эту же величину, рассматривая х (с) как граничное зна-
чение функции, сопряженной с функцией бу (£, ц). Имеем
&"(а) = ЬЭН=а * <48)
Из формулы Пуассона непосредственно вытекает, что если функция бу
справа (слева) от точки а получает положительные (отрицательные) при-
ращения, то правая часть (48) уменьшится. Аналогично, если функция
бу0 справа (слева) от точки а получает положительное (отрицательное)
приращение, то правая часть (48) также уменьшится. Таким образом,
получим для бх" (а) оценку снизу, если заменим в (48) функцию бу функ-
цией v (£, ц), которая превосходит на прямой х\ — hr значение р : р (|) =
= бу (а) + q (£ — а), когда | принадлежит интервалу у: | бу (а) +
+ q (I — а) | < т (g); р = т (£), когда g правее у, и р = — т (Е), когда
Е левее у, а на прямой ц = 0 значение р такое, что § р = т0 (g) (Е — а)
а
при g а и р d^ = — m0 (£) (£ — а) при £ < 2а. Представим функцию v
а
суммой
v (5. Ч) = (£, Т]) + у2 (g, n),
где v± и v2 — гармонические функции, определяемые условиями:
Vi (I, К) = V (g, h), V1 (I, 0) = 0,
v2 (I, hj = 0, p2 (£, 0) = V (I, 0).
В силу приведенных выше рассуждений в точке а имеем
бх (а) > •
Для первого слагаемого по формуле Пуассона получим
g । _£L_ С
hl Л22 J
2et/g
1
----=----а
IzVh
2&i/q
g ——a) d _
t „ л E £
sh 2 Ы
q — 2k h&
ч , яд
hi Л?
л 5
sh2—i
. 2
sh W
к V~ a
внимание, что q e, и интегрируя, получаем
rcth «8, 4 ]
\h L
или, принимая во
д диу g_____________________________
dr] d| h \h qfo AJ •
Применяя ту же формулу Пуассона для второго слагаемого
интегрируя по частям и принимая во внимание (41.2), получим
I I к F <2^ + khz.
| I h3 J e ~ д7г
о
(49)
(50)
(49):
В
ch2 -f-
Л1
(51)
544
IV. Механика и математическая физика
Сопоставляя (47), (49), (50) и (51), получим
q Fpth ле__11 ks°
qh 1J<-W Zi3/a •
Следовательно, или
'?<- й’/2 ’
или
cth^--l<№,
g/г
t. e.
. k&
q<------r-
Искомую оценку получим, если воспользуемся дополнительно (43).
Лемма 8. При е > имеем
I 8у" | = | ух (х) — у" (х) | < ke./h.
(52)
Доказательство. Перейдем прежде всего от вариации
к вариации бу". В соответствии с (41), (46) и (47) имеем
&у' = у' (^1) 4 — у' (я) + бу'.Г1,
W = у" (*i) — у" (х) х’2 + у' (х1) xi +
+ бу'х'х — у' (х) х" + §у"хх =
= if'x'^x + 2у"х’Ьх' + у"х"Ъх +
+ у'Ъх" + Ъу'хх + Ъу”х\ . • .
Отсюда, принимая во внимание (41) и леммы 2 — 6, получим
6£" = (1 + wo6</" + —.
Al°g —
Тем самым задача сводится к оценке бу".
Придерживаясь способа, приведенного при доказательстве леммы 6,,
рассмотрим функцию бу" на отрезке [—?х, ?Д, ?х = krfh и обозначим че-
рез точку, в которой | бу" | достигает абсолютного максимума, пусть
при этом в достигается максимум для бу" и этот максимум не меньше
чем kz/h. В таком случае видно, что на отрезке аг + j/ -у- найдется
точка а такая, что при любом ? будем иметь
-и (?) = бу (?) - бу (а) - бу' (а) (? - а) - Ч28у" (а) (? - а)2 > 0,
кроме того,
У = бу" (а) > бу" (ах).
(53)
38. К теории длинных волн
545
Выразим теперь 8х' (а) через значения бу (В) и 8у0 (В). С этой целы»
- ......................................-................ J функ-
обозначим соответственно через (£, т]) и v2 (£, .т]) гармонические
ции, определяемые граничными условиями
V1 (В, h) = бу (В), V, (В, 0) = о,
V2 (В, h) = о, V2 (В, 0) = бу0 (В).
Имеем
' ' L л=а ‘ L J6=a '
T)=h
Используя интеграл Пуассона, получим
di>j _ 8у а (‘ Ьу“ (а) (В — а)2
Л **4 J Л l-а
-оо sn 2 h
2£(|Н>----=J|_ + ^_2L
_ Л_ С » (В) _ ду , , Л f
h2 J л£_ 0 h nnq J „ t _a •
-oo 8h 2 h 00 sh 2 h
При | 8X | < O' У h в соответствии с (43) получим
I I А С «о IВI + *A,z>eB*
I Зт) | A3 J л 1 — а -
-оо ch4 2 h
Сопоставим (46), (54), (55) и (56). Согласно (46) и лемме 6
8х' (а) = 8 (y)/h + О'е.
Если от противного
q > Кг/h,
где К выбирается достаточно большим в зависимости от к, О', и если
то в силу (54), (55) и (56) получим
e.'W=4+«STt- j .
-co sh2 2 h
Следовательно, приравнивая (57), (58), получим
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
Л2 J л
-оо sh2 2 h
Для того, чтобы прийти отсюда к противоречию, займемся вычисле-
нием Ъх'" (а). Дифференцируя (46) и отмечая, что 8у"’ (а) =0, получим
8х"' (а) = -£- (1 + 0/г) Н--
*log —
(60)
546
IV. Механика и математическая физика
Выразим эту же величину через значения 8у" (£) и 6yQ (£) по формуле
Пуассона. Пользуясь введенными выше функциями иг (£, ц) и р2 (£, ц),
получим
foW(a)=|_p£i 1 + Г^2 1 . (61)
v ' L Js=a L _h=« ' '
T]=h T]=/i
Для первого слагаемого имеем
d h , л С
W ~ q 2Л2 j л l-а ’
“°° sh 2 h
а для второго, используя (43), получаем
. я2 о , а р |Н— а| + ^8/2 а
I д2 dv2 | V8 ( -1-2----------:--------г/t Й8
I Ij ch2 ^7a *Т7
— оо п
(63)
Предполагая, что q велико по сравнению с г/h и используя условий
е0 <
из сопоставления (60), (61), (62) и (63), получим
1 С **(£)<% 1 g
Л2 j л£ — а К h ’
—оо sh2 -9-----г---
J п,
(64)
где К можно взять сколь угодно большим. Интегрируя (64) дважды по
частям, получим
О С Ц (5) hq
h2 J л I — а К ’
-оо sh2 ~2 д
что при больших К противоречит (59).
Из доказанного непосредственно вытекает следующее уточнение лем-
мы 6.
Л е м м а 9. В условиях леммы 7 имеем
|6/| = |!/1(х) — л'(г)|<-^г. (65)
Лемма 10. При е0 < kh2&
W"\-\y"i^-y'4^\<—(66)
A2!og —
Доказательство. Для того чтобы иметь возможность вести
вычисление в переменных g, ц, найдем оценку для Qrrr = d^Q/d^ при
х\ = h. Отправляясь от (24), (25) и имея оценки для Q, Q' и Q", можно ви-
деть, что | Р" | < к, |Р'"|<-Ц- и Q'" = ylv (1 + #h), отсюда,
A1°g —
38. К теории длинных волн
547
принимая во внимание (24), получим
„IV _$Q^_
h •
(67)
Учитывая, что функция d2Q/д?2 является сопряженной к функции d2P/dt2,
при т] = h имеем
дРа
ГрН _
Построим гармонические функции PQ и
„ ( 0 при г] = h,
— I Р" при ц = 0.
„ ( Р" при ц = h,
| 0 при ц = 0;
Очевидно, имеем
дР" дР"л
дт] дг)
(68)
Обозначим через |0 точку, в которой | Q"’ | достигает абсолютного эк-
стремума, и оценим каждое из слагаемых справа отдельно. Имеем
дР'о I Р" (Во) , я 1 С Г Р"®~Р''&,)
Зт) I h 2 A2 J я В — Во
[ sn 2 h
, _я_2_ С (В-Во)^(Во)^в
' 2 A2 ' ... п S-Bo •
Is—Ы>а sh 2 h
(В-Во) ^(Во)
sh24~
2 гь
(69)
Последний интеграл, очевидно, равен нулю при любом я>0. Отме-
чая, что
| Р” (?) - Р“ (?0) | < к. (70)
положим
kh
Q”' (?о)
тогда (69) можно переписать в виде
^0*4*^ t-wt
/ к С |P1V|(B-B.,)2 я
h + 2 А2 ) я В-Во
Sh2~2-------------------------—
л к С d?
J Ь2 л
1Ыо1>а sh2 "2--------
(71)
+
Перейдем к оценке второго слагаемого в (68). Имеем
дР'г _ к Г Р" (gp) dl _ к С Р' (g, 0) - Р' (g0, 0)
А2 ' 1.» n I ? Л3 ' Sh2 — Л-—Ь.
_оо sh2 2 Н* -оо sh 2 h
(72)
548
IV. Механика и математическая физика
Оценим | Р' (I, 0) — Р' (£0, 0) |, рассматривая Р как функцию, со-
пряженную с Q,
= /г) — <?(1,0)} -L-
, л 1 F ,
+ ~*Г J л t-l
—оо sh2 -9----Т
4 П
Следовательно, принимая во внимание явные оценки для Q и их про-
изводных, получим
| Р’ (g, 0) - Р’ (g0, 0) | < к | I - | + kh,
но тогда (72) даст
Сопоставляя теперь (63), (71) и (73), получим
<?w(io)<4+*'|/-£:r2L •
что окончательно даст
I I < k/h. (74)
В силу ранее полученных оценок 8Q” можно представить в таком виде
8Q" = 8ут Ч----+ Q"'8x,
hlog —
отсюда, принимая во внимание (42), (74), получим
\8y'"\ = \bQ"\ + ^-(Qh + l). (75)
Значит, для наших целей достаточно доказать, что
|6<2"|<----(76)
A4og —
Предположим от противного, что на отрезке | £ | < к У~у найдется
точка, в которой
|б<?"|>—^-р-,
*4og —
38. К теории длинных волн
549
где К велико вместе с 1/fe, но тогда, согласно лемме 7, | 6Q' | <
в интервале | е | 2к]/ h найдется точка £0 такая, что
I б<?" (Io) I >-= °’
A4og —
при этом или
I < б<?' (1о) + «С’ (1о) (I - Io). I > 1о.
I > 6^' (|0) + 6Q" (g0) (g - |0), g < g0,
или
(> 6<2' (g0) + 6<2" (g0) (I - Io). I > Io.
* I < 8Q (g0) + 8Q" (g0) (g - g0), g < |0.
Остановимся для определенности на первом случае. В силу (24)
*^(1 + ач= wi(1 + eA) + —(77)
или, полагая q = 6Q" (£0) и принимая во внимание (75),
6Р"' = (1 + М).
Найдем , рассматривая 6Р" как функцию, сопряженную с 8"Q. Имеем
6Pw(U = -^-6^''. (78)
Построим в полосе 0 < т) < h гармонические функции и± (£, ц) и u2 (S, ц)
с граничными условиями:
В
= ^8Q&h)(%, М^0)~0,
о
£
u2(g,fc) = 0, и2 (|, 0) = $ 6Q (g, 0) dg.
о
В соответствии с (78) имеем
6^(1о) = ^ + ^>. (79)
Оценим отдельно каждое из слагаемых в правой части (79).
Для первого слагаемого имеем
fil оо
дц1 _ 9 , л 1 С ? — яе
ат) А + 2 А» ) Л g-Во
-00 sn 2 h
(80)
В соответствии с рассуждениями, которые неоднократно использова-
лись выше, и принимая во внимание, что | 6Q' | < кг/h, наименьшее
значение для интеграла правой части (80) получим, если положим 6Q'f = q
550
IV. Механика и математическая физика
при | и 8Q" — 0 при остальных
зом,
значениях Таким обра-
ш ОО
« + _^_ (' = g +^Lrcth-L--ll,
k " e?ghs^4+ k h L 9h J
(81)
Займемся другим слагаемым в (79). Имеем
I д д3и^ I k
| dr) d£3 | Л5
|U2 (^O)I^
sh22L .
sn 2 h
J .. *
—оо gh2--------------
(82)
2 h
I
Получим оценку § | и2 ] d%. В с оответствии с заданием и2, полагая £0 О,
Ъ
имеем
*> = $ = рш^(1-0)^1-
I. О 0 0
Для дальнейшего вычисления считаем, что при сохранении только глав-
ных членов имеем
у' = tg Qep = Q + QP, бу' = 6Q (1 + P) + Q6P,
II I
W (B) - (0) = u2 + $ P 6<2 dl + $ Q5P dl,
0 0
или
I
0
I I I I
+ I + | .
0 0 0 0
Для последних двух интегралов, считая, что | Q (|, 0) | < khb/‘, и
I Q’ (5, 0) | < kh2, имеем
+ \d^\p'V\d^kYhv,
о о о 0 0
5 5 5 5 5 15 5
\di |$<26P^|<j|e|^| Jsp di | + ^в|$<2мфр<гв|<
оо о о ООО
38. К теории, длинных волн
551
I I £
< Мгъ!>$| &г|d% + kh2 jj&r|dg<
0 0 0
kh*/*&^* + kh^^Q | £ | + khz | g |3 + /сД2£0£2-
Значит, с учетом (42.1) и условия | g0 I < krf h,
v < кч | I | 4- к№* + kh* | I - g0 | + kh3/* | g - g0 | 2 +
+ kh | I - g0 I3-
Подставляя найденное выражение для v в (82), окончательно получаем
14г ^ | < к^/г + k&h"/! < к^'г- (83)
Сопоставляя (79), (81) и (83), получим
8/""«")>Т + 4[с'Ь^г-1] - >
Сравнивая это неравенство с (77) и принимая во внимание (75), найдем
cth —~ — 1 < $h + log -4- <Z к Vh,
q№ 1 К & h F
ИЛИ
кг
q<--------
A4°g —
что противоречит (75).
9. Оценка производной остаточного члена. Отправляясь от получен-
ных выше оценок вариаций производных волновой линии, оценим ва-
риацию остаточного члена в приближенной формуле (2) при переходе от
данной волны к волне бесконечно близкой. Используя обозначения (1).
(17), положим
В =JV (Го, Г) - I (Го, Г) = I f (zb Го, Г) |2 — | /' (zn zx) I2 +
+ ку’2 + г. (84)
Рассмотрим функцию F (z), F (±°°) = zx, которая реализует конформное
отображение области D (Го, Г) на область D (Со, С) при соответствии
бесконечно удаленных точек D (Го, Г) угловым точкам луночки D (Со, С).
За С о принята прямая, которая параллельна оси х и проходит через точ-
ку z0. Очевидно, имеем
f (Z1; Го, Г) = Г (21, zx) F' (21),
или, сохраняя лишь главные члены,
| /' (Z1, Го, Г) |2 = | г (21, Z1) I 2 + 2 I /' (Z1, Z1) I 2 log I F' (Z1) I,
отсюда
И = 2 I Г (21, 2X) | 2 log I F' (Zo) I + ky’2 + r. (85)
552
IV. Механика и математическая физика
Лемма 11. В условиях леммы 10 имеем
(8б)
bg —
где к — постоянная, зависящая только от постоянных к, фигурирующих
в условиях лемм 7—10.
Доказательство. В соответствии с (85) имеем
67? = к + 41 f I log | F161 f | + ky'dy' + dr, (87)
причем вариацию будем рассматривать при фиксированном значении
х = х±, | | < Л В соответствии с полученными выше оценками три
последних члена в (87) будут иметь порядок h&, значит, достаточно оце-
нить первый член. Обозначим через С контур, который проходит через точ-
ку zx = Xt + i [у (xr) + бу (rcj.)I и касается Г в этой точке, а через Со —
прямую, которая параллельна оси х и отстоит от С на расстоянии 6z/0 (хх),
I бу0 (^) | < в' + е0.
Отобразим конформно область D (Со, С) на область D (Со, С) при условии
соответствия угловых точек, а также точек zx, zx. Пусть при этом линия Г
перейдет в линию у, а линия Го — в линию у0. Отобразим конформно
/ = у (z), <р (±оо) = ±оо, <р (zx) = zx, область D (Го, Г) на область
D (у0, у). В силу элементарного правила дифференцирования сложных
функций получим
-^Z_L = log|<p'(z1)|. (88)
Обозначим р = р (х) и р0 = р0 (х) соответственно разности ординат точек
линий у, Г и у0, Го. Оценим отдельно каждую из этих функций. С этой
целью обозначим через и (х), uQ (х) разности ординат точек С, Г и Со,
Го, а через й (х) и й0 (х) — разности ординат точек С, Г и Со, Го. В силу
леммы 9 имеем
I й (ж) — и (х) | <-1 х — xY |3,
A2I°g —
и по условию
I й0 — ио I < 8 < к№&.
Отсюда, принимая во внимание леммы 7, 8, получим
р = й (х) — (1 + р,) и (х + vx),\
где | р | и | v | не превышают къ/h, т. е.
38. К теории длинных волн
553
или, отмечая, что и = y"'dx\ и используя лемму 5,
[р К—*113-
Аа1°8"Г
Совершенно аналогично для функции р0 {х) получим
I Ро I = I й0 (х) — (1 + ц) и0 (х + 6ж) | < 80 + р. I и0 | + кщ I Ьх I,
где функция 8х в силу соотношения (41.1) удовлетворяет неравенству
18х | dx (х — жх)2 + ке,01 х — х± |.
Х’1
Воспользуемся теперь формулой Пуассона. В соответствии с опреде-
лением функции у (z) будем иметь
-оо sh2 2 h
ОО
. к Г ______/ ро I dz кг
' h? J л х — Xi , , 1
-оо sh2 "2 j + к 1о? ~
10. Непрерывность оператора Н {yQ} и функционала А {#0}. Вернем-
ся к основной задаче, сформулированной в п. 6. Допустим, что для не-
которого класса линий с периодом 2со, {уо (х)} решение этой задачи у =
— у {х) — Н {у0}, у (0) = h + а существует. В этом пункте покажем, что
это решение непрерывно зависит от у0 (х), а также установим степень этой
непрерывности.
Лемма 12. Пусть | 6у0 (х) | < 80, А {у0} = 0 и пусть у0 (х) удов-
летворяет условиям п. 8 и такое, что
I Y о (*) — У о (*) I < v/i3, (89)
где v стремится к нулю вместе с h, а при г) = Уо (х) — h уравнение {11)
имеет интегралом функцию Y (х, а), обозначенную в п. 4, причем 2h2 >
а 2h2 — pt, lim р, = 0; тогда при 80, достаточно малом, получим
| 6Я {у0} I = I Я {у0 + бу0) - Я {y0} I < tejh*, (90)
| 6А {у0} | < k^h. (90.1)
Доказательство. Покажем прежде всего, что при | х | <
< k ]/~h имеем
I Y - у | < kvh2. (91)
Действительно, вдоль линии Г: у = у {х)
I (Го, Г) = А (Го, Г) + R = о,
но в соответствии с (5) и леммой 6
|Л|<
1о^4
554
IV. Механика и математическая физика
откуда, применяя лемму 2, при | х \<С.кУ1г получим искомое неравен-
ство.
Отсюда, принимая во внимание отмеченные в п. 4 свойства функции
Y (х, а) при а, близких к 2fe2, для функции у (х) при£]Лд <; х < <о имеем
у (х) <h — б'й2, 0 < # < Докажем теперь, что если Z. 1. (92)
| Д I > k&Jh, то
1 Sy | < к | Л \/h. (93)
Возьмем для определенности А < 0 и допустим от противного, что
где К может быть взято как угодно большим. Обозначим через kQ точку,
в которой | 8у | достигает наибольшего значения, и рассмотрим отдельно
два случая: а) х0 < к Уh; б) х0^ к Уh*
Начнем с первого случая.
Пусть | 8у (х0) | == —, Ко К. В точке х0 имеем
6 j = 6Z + 8R = 0, (94)
причем в соответствии с леммой 2
(95)
а в соответствии с леммой И
161? j <4 । IА I (96)
logfclog-JT
Сравнивая (94), (95) и (96), приходим к противоречию.
Рассмотрим теперь случай б, когда х0 к ]/Л. Допустим для опреде-
ленности, что 8у (xQ) = 18у (xq) | = . Как и в случае а, имеем со-
отношение (94). Оценим в точке х0 81. В силу (92) и условия
Sy" М < о,
найдем
61 < 6A'o^-fc Д
что противоречит соотношениям (94), (96). Случай, когда в точке х0
8у (я0) < 0» рассматривается совершенно аналогично. Этим самым нера-
венство (93) полностью доказано. Если | Д | < k&Qlh, то аналогичными
рассуждениями покажем, что | 8у | < кгУ№. Значит, остается оценить
I Д |. Ограничимся снова случаем Д = — Дх < 0. Допустим от противно-
го, что
Дх k&fjh.,
38. К теории длинных волн
555
где к как угодно велико. По условию вдоль кривых Го: у = у0 (я) и
Г : у = у (х) имеем
I (Го, Г) + R = О,
а вдоль кривых Го : у = у0 (х) + бу0 (х) — Дх и Г: у = у (х) + бу (х)
I (Го, Г) + R + 6Я = О,
причем в силу (5), (93), лемм 6 и 11 имеем
| R | " kh*
1 •
/Hog —
1
10*т
Откуда, рассматривая вариацию Ы и принимая во внимание (91), по-
лучим
о „ 9 , 1 . \ X ЗЛ кк
8У Y~h-----3-v +-----Г P' + -F- +-------Г-
\ los~J —
Отсюда в силу леммы 1 при достаточно малом h и при 0 < х <Z 2к0 h
будем иметь
W > О,
причем при xr = k^h
8У (^1) = .
Здесь к0 фиксировано так, чтобы при х > имело место (92).
Рассмотрим параболу
Ml (з:—(О)2
h (со — xi)2
и обозначим через точку, в которой разность бу — ср достигает наиболь-
шего значения. При построении получим
*0 > У (*e) < h — W, бу (z0) > ,
&У — ф — (бу (х0) — <р (х0)1 < 0.
Отметив это, рассмотрим снова в точке xQ вариацию 6/; при достаточ-
но малом h
б/> fcA1
но в рассмотренном случае
|6Я|< — ,
febg —
и мы снова пришли к противоречию с (94). Значит, Дх < fce0/fe, что вмес-
те с (93) полностью доказывает лемму. Докажем еще одно утверждение,
которое дает оценку A {у0} для одного специального класса линий у0.
556
IV. Механика и математическая физика
Лемма 13. Пусть при т) = yQ (х) — v интеграл уравнения (И) есть
функция Y (х, а), а = 2h2 — vh2, а при т] = уQ (х) — v тот же самый
интеграл есть функция Y (х), Y (0) = Y (0, а) и период Y (х) совпадает
с периодом Y (х, а). Кроме того, v = kh2 и | yQ (х) — yQ (х) | < vh3,
| Д {у0} | < (Life3. При этих условиях, если числа v и ц будут достаточно
малыми, получим
I a {i/o 0*0} I < ——;
\H{y0}-Y(x)\<-^-.
108~
Доказательство. Можно видеть, что достаточно рассмотреть
случай, когда yQ (х) = yQ (х). Кроме того, будем считать Д = —Дх < О,
так как при Д > 0 доказательство совершенно аналогично. Допустим от
противного, что
= (97)
1о?~
где Кг как угодно велико. Построим интегральную кривую у: у =
= Ух (х, а) уравнения (11), полагая в этом уравнении Л = yQ (х) — v —
— Др Получим выражение
I (Го, V) = о,
где Го — кривая у = у$ (х) — Дх. Кроме того, в силу леммы 6 вдоль ли-
НИИ Г: у = Н {у0} = у {х}
|7(ГО,Г)|<-^Т-. (98)
108 —
Следовательно, в силу леммы 2 при | х | < хг = я будем иметь
|Уг(^а)-у(^)|<-Ц-, (99)
10*"Г
причем хг можно выбрать так, чтобы Y (1/2^0, а) < ‘ ®h2. Кроме того,
в силу леммы 1 и (97) при х = х±/2
6У=Г1(4-^1,а)-У(4-^а) =-^-, (100)
10«Т
а при х = хг
gy __ (/"2 ~Ь ^2)
1о^4
38. К теории длинных волн
557
Построим параболу
Ф ФИ7 1 (1/2X]_W)2 (1U1)
10£“Г
В силу (99), (101) при | х | < г12х получим у (х) < Y + р, при х = х2
У (*2) > Y «) + ф (х2).
Значит, разность у (х) — Y (х, а) — ф (х) будет достигать в некоторой
точке абсолютного положительного максимума, причем в этой
точке при достаточно малом |ы будем иметь
у (я0) < h - W. (102)
Введем в рассмотрение кривые Го: у = yQ (х) и у: у = Y (х, а). В силу
(4), (16) в точке получим
I (Го, Т) = I (То, у) + kh^ = kh*i*.
Значит, в той же точке
I J (Го, 7) I > -у- d + ^) - .
108 —
Но при х = xQ в силу (102) и условия максимума у — Y — ф получим
| J (Го, Г) | > J (Го, т) - (1 + Ы) Лф" (х0) > ,
10*“
что невозможно, так как по условию J (Го, Г) = 0. Этим самым равенст"
во (97) полностью доказано. Однако из (97) и леммы 2 вытекает другое ис~
комое неравенство (98) при | х | < х При любом х это неравенство
можно получить, если использовать соотношения
у (х) < h — М2, к У h < х < со,
применяя рассуждения, совершенно аналогичные приведенным при до-
казательстве леммы 11 и первой части рассматриваемой леммы.
11. Отметим дополнительно несколько простых вспомогательных ут-
верждений относительно соответствия границ при конформных отображе-
ниях областей, которые имеют общую часть границы.
Пусть область D ограничена линиями Го: у = у0 (х) и Г: у = у (х),
где уQ (х) удовлетворяет условию (20) при v = kh2, а у (х) такая, что
I У (х) - h | < kh2, | у' (х) | < kh*'*, | у" (я) | < kh.
Пусть, кроме того, дана линия 1\: у = уг (х), которая делит область D
на области Do: yQ (х) <. у < уг (х) и D^. ух\х) < у < у (х) и при этом та-
кая, что
0 < < у± (х) — yQ (х) < ^h3.
Отобразим конформно области DQ и D± соответственно на полосы 0 <
< Ц < ah3, ah3 < Ц hr = h (1 + fth) при условии соответствия беско-
558
IV. Механика и математическая физика
нечно удаленных точек. Пусть £ = /0 (z) и £ = Л (z) — функции, которые
реализуют эти отображения, /0 (+°°) = +°°, — +00.
Будем, как и прежде, через Ро и Рг обозначать ^соответственно
log | /о (z) h log I fz (z) I, а через Qq и Qt — функции, сопряженные с Po,
Pv Qo = ar£ /0 (2), Qi = arg A (z).
Лемма 14. Пусть yx (x) имеет непрерывную производную, x0 — точ-
ка, в которой yi (х) достигает абсолютного максимума (минимума)', в ок-
рестности точки х0 функция уг (х) линейна. При этих условиях, если ф 0,
^х = ка, | Ро, х | < к и
У1 (^о) < тах Уо — КаК^
(Ух (*о) > min У о (*) + КаК^),
то при К> Kq (к) в точке Lr0, ух (я0)} линии Гх будем иметь
(Pi - ро)К - kh^ (-А- (Рх - Ро) > kh^) ,
где ds — элемент дуги линии Гх.
Доказательство. Действительно, в соответствии с определе-
нием Р имеем
dP* - дро
ds ’ ,ds е •
В то же время
дР1 9Q1 . kh*l* + kh*™ . 771/
dr] Ai
д^о __ ^Qq Kah /2 _ 1/2.
д% дт), ’
Значит,
4 (pi - ро) <kh41 - кк,г <kh'12 •
Вторая часть леммы доказывается совершенно аналогично.
Лемма 15. Допустим, что линии Го: у = у (х) и Г: у = у (х) име-
ют следующие свойства:
< у (х) — yQ (х) < ко, (103)
I Уо (%) I < т, | у' (х) | < т, | уь (х) | < v, | у'ь (х) | < V.
где т, v; v т2 как угодно малы. Обозначая через % = / (z) (/ (+°°) =
= +°°) функцию, которая реализует конформное отображение области
D (Го, Г) на полосу 0 < Ц < а, и полагая для точек Г: V (s) = | /' (z)
получим
| У ($х 4- Д$) — V ($х) | kvks log ( Ю4)
где As — элемент дуги Г, а $х соответствует точке zx.
Доказательство. Проводя подобное расширение плоскостей z
и С в 1/о раз, можно убедиться в том, что достаточно рассмотреть случай,
38, К теории длинных волн
559
когда а = 1. Отметив это, проведем через точку дугу контура, ортого-
нальную Г и Го и расположенную в области D. Через концы этой дуги
проведем касательные Lo и L соответственно к Го и Г. В соответствии с ус-
ловием леммы угол между прямыми LQ и L не превышает 2т. Отобразим
конформно двуугольник LqL на единичную полосу 0 < Ц < 1 так, чтобы
eia
вершины углов перешли в точки + оо : со = ср (z) = —— log (z — z0), где
— вершина угла LL0\ расстояние от точки z0 до $х будет 1/(2т). Отрез-
ки кривых Го и Г, которые находятся в полосе | х — хг | 1/(4т), z± =
= х± + tyr. при отображении ф перейдут в линии Го и Г', причем в силу
условия v = т2 эти линии будут также удовлетворять соотношению (103)
(а = 1) при некоторых других константах т и v. Кроме того, линии Гр и
Г' будут доходить до прямых у = 0, у = 1 соответственно в' точках
-7- log I zx — z0 |, -^-loglZi — z0| + i. Обозначим через To : у = у0 (х)
и Г: у = у (х) линии, которые совпадают с Го, Г' при | х — хг | <; 1/(4т)
и удовлетворяют условию (103) в том же смысле, что и линии Го, Г'. Пусть
о) = ф (z) отображает область D (Го, Г) на D (Го, Г) при условии соответ-
ствия точек zx, (дх = — log | z± — z01 -j- i и линий Го, Го и £ = / (со) отоб-
ражает область D (Го, Г) на полосу 0 < ц < 1, /х (+°°) =
Отсюда, полагая Ух = | Д |, w = | ф' |, получаем
/ (z) = Д Рф (z)], V ($) = | А (со) I Н' (z) I =
Значит,
| V (s + As) - V (s) | < к | Vx (s 4- As) - (s) | + *| v (s + As) -
— » (s) I,
Для второго слагаемого при | As | < 1/(8т) будем иметь
| v (s + Д$) — v (s) | < fcrAs.
Для первого слагаемого в силу леммы 10 для ограниченных значений As,
| As | < 1 получим
lyi(» + As) — Ух(s)|<bAslog-^-,
а при As > 1/2 после элементарной оценки этого же выражения получим
оценку fcxAs + kv. Складывая полученные неравенства, придем к искомо-
му соотношению (104).
Вернемся к обозначениям, принятым в начале этого пункта, и докажем
лемму.
Лемма 16. Допустим, что функции yQ (х) и у± (х) удовлетворяют
дополнительно следующим условиям:
| z/o (я) I < I У о (я) I < kh2.
I У1 (я) I < kh*h, | yi (х) | < kh2.
560
IV. Механика и математическая физика
Пусть, кроме того, вдоль линии 1\ имеем
I Л - Ро I < к, (105)
а линия Гх содержит дугу у, которая имеет дифференцируемую кривизну.
При этих условиях, если в некоторой точке дуги у имеем
Р[ ($0) = kP'Q ($0) + Q, к > 0, ’ (106)
то в этой точке | Ро (s0) I < Kh~4*.
Доказательство. Допустим от противного, что | Ро ($0) | >
или для определенности
р; ($0) > Kh-^, (Ю6.1)
где К как угодно велико; в таком случае (106) будет эквивалентно усло-
вию
Л (s0) = (So). (107)
В силу условия (106) найдется такое ограниченное число что в точке
I fl I = # I /о |.
Отсюда, заменяя функцию /0 функцией О/0, в точке $0
Pi (з0) = Ро (з0). (108>
Так как при этом Ро не меняется, то, не нарушая общности, в условиях
леммы условие. (105) можно заменить условием (108). Кроме того, рас-
сматривая Ро, Рг как функции |, ц, в силу ограниченности | /0 | и | /х [
можно в условии (107) и в искомом неравенстве дифференцирование по s
заменить дифференцированием по Отметив это, в дальнейшем будем
считать, что при отображениях /0 и точке $0 соответствует точка iah3.
Положим
К £
s+ (£) = $ е-р&> s- (g) = $ e-pft(g, (X/13)
о о
В силу леммы 15 имеем
б>° (109>
Представим теперь значения dP-Jd^ и dP^d^ в точке через функции
Qq и Qp, имеем
“_^_-Атах| ---------1 +
, л 1 f <?J (£, аЛ3) - Qj (0, аЛ3)
2 а%’ .1 I
— оо sh2 —у-77Г
2 ah3
5Qo _л.тяу1 ео(<.О)-Зо(т,аЛ2) I
~ <hj -*max|---------------------1 +
, я 1 С Qo CL аЛ’) - Qo (0, аЛ3)
2 а2Л« J , л £ “S-
sh2 2 аЛ3
38. К теории длинных волн
561
Первые слагаемые в полученных выражениях для дРх1д^ и дР^/д^ в силу
условий леммы меньше, чем kh-'1*. В соответствии с предположением
(106.1) сумма остальных слагаемых должна быть больше чем Kh~'!\
Покажем, что эта сумма мала вместе с h. Действительно, вводя перемен-
ные $+ и рассмотренную сумму можно представить в виде
[?о (0, ай3) = Q, (0, afe3), Qo (s) = Qt (s)J,
I_л_1 С I /2L J_ С
I 2 aW .) л 1^2 cW J л I
sh 2 ah3 sh 2 ah3
где через Q (s) обозначен угол, составленный касательной к Гх в точке 5
с осью х. Отмечая, что | Q' | < kh2, и подставляя вместо | $+ — | ее
мажоранту из (109), получим, что последнее выражение мало вместе с h.
Тем самым лемма полностью доказана.
Л е м м а 17. В условиях предыдущей леммы допустим, что кривизна
К (s) линии 1\ не превышает и линия 1\ содержит дугу у круга радиуса
1/Vj.
При этих условиях найдется такое N = N (к), что когда
vi = vo + rah3, г у N,
где v0 — максимум кривизны линий Го, то в любой точке s0 дуги у будем
иметь
Р.Ы-r+ fl-S11 + 1} X
если дуга у обращена к DQ вогнутостью, у±" < 0, и
е.Ы>г-{|^| + |^-1} X
если дуга у обращена к DQ выпуклостью, у{^> 0.
Доказательство. Остановимся на первой части леммы. До-
пустим, что при отображениях £ = /0 (z), £ = fi рассматриваемая точ-
ка $0 переходит в точку iah3. Обозначим через Qq (£, ц) и Qi (£, ц) значения
производных по £ функций Qq и Qt. Найдем выражения для d2PQ!d^2 и
дЧ^/д!-2 в точке iah3 соответственно через функции Qo и Qx. Отмечая, что
при Г) = 0 или ц = ah3
Qo = Ке~р>, (110)
принимая во внимание лемму 15 и неравенство, получаемое из соотноше-
ния dP/dt\ = dQ/dl = Ке~р,
| Ро (I, ahs) - Ро (£, 0) | < vLah3 < kah3, (ш)
562
IV. Механика и математическая физика
имеем
д2Рп _ dQ0 _k vj — v0 л 1 <?0 (b ah3) — Qo (0, aA3)
~d^~ Sr) K ah3 -2 ah3 J л E, flS’
sh 2 ah3
или, рассматривая кривизну К линии 1\ как функцию g и используя ра-
венство (110), получим
52ро = г -1- я 1 ( С [g(g)-g(0)]
' 2 а2Д« I ,) , л Е “S +
\-оо sh2 2 ah3
р Q' (0, аД3) [ер«(5) — е-р»<°)] \
+ \——“л-!-----------------dd- (112>
Оценим третье слагаемое. С этой целью считаем, что
, л__1 С Л> S) - Л, <о> d. * С f.R.O)- р. <о. о> df
i” 2 сс2&6 J , п я % 51 a2A6 J _ о л Е, £ *
-°° sh Т'Чд3' sh + к
Отсюда, принимая во внимание (112) и лемму 14, получим
I 1 С Po®-Pa(O)
I a2^6 J . n я £
-00 sh —-^3-
Кроме того, в силу этой же леммы 14
I С [Ро(^)-Ро(0)]П
I J Л £
sh -у- ah3
Следовательно,
Q' (0, gfe3)
а2Л6
-оо sh2
Л g
2 ah3
5 л
sh2
— h3/*.
а
аЛ3 2
е-р«(?) _ е-Р«(0)
Отсюда (112) даст
д^Р0 __ , л
“^2- - Г +
2 а2Л6
[ЛГ0 (Е) - g0 (0)] e~P”(g)
sh 2 ah3
(ИЗ)
1
Проделывая совершенно аналогичные вычисления для д2Р1/д^2, в той
же самой точке 0, afe3, получим
___?LJ_ С ^(^)-^(0) dt
2 J c.h2JL_L s’
1 _°О Л 2 Aj
(114)
38. К теории длинных волн
563
Отметим, что подынтегральное выражение в (113), (114) неотрицательно
ибо по условию на дуге у кривизна линии 1\ достигает своего максимума^
кроме того, г велико по сравнению с к
I'д*Р* I /7 С д2Л) д2Л ]
I д^2 d£2 J* (115)
Перейдем теперь от производных по £ к производным по 5, очевидно,
имеем
= _^Ро е2р, , /ел,уер. = е2р,
ds2 dt* \ dt, J dt*
е2Р, , Л^Л2 ер, - W е2Р,
ds2j а?2 т \ aU а$2
Отсюда, принимая во внимание (ИЗ), (114) и (115), получим
е2Р0 . (е^ _ е2Рй) ,
ds2 ds2 \ dt2 dt2 ) д?2 ' ' Г
е
(116)
Вторая часть леммы доказывается совершенно аналогично.
Лемма 18. В условиях леммы 17 допустим дополнительно, что
вдоль Гх
|Л(*)-Л>(*)|<—V
10«т
(И7)
При этих условиях на дуге у, включая ее концы, функция q (s) = Pr (s) —
— Pq (s) не может достигать своего максимума, если у обращена к DQ
выпуклостью, не может достигать минимума, если у обращена г DQ
вогнутостью.
Доказательство. Остановимся снова на первом случае, когда
у обращена к D выпуклостью. Допустим, что в произвольной точке $0
дуги у имеем
дРг = dPQ kyfh ,
ds ds ' 1
1о*т
но в таком случае в соответствии с леммой 15 будем иметь
В этом случае неравенство (116) принимает вид
a2g _ а2Р0 а2Р: ____k (С-Р. С-РЛ k
, а«2 as2 а«2 1 h ' > , i
iog2^-
или, принимая во внимание (117), окончательно
as2 ^2
564
IV. Механика и математическая физика
Отсюда непосредственно вытекает, что максимум не может достигаться
ни в одной внутренней точке дуги у. Кроме того, отсюда следует, что
когда максимум достигается на левом конце дуги у, пусть при $ = $
то или
q ($! \s) — q (s3) k
lim Ал \ 1 ’
As-^O log —
или в точке правая производная функции q будет существовать и будет
отрицательна, причем в этом случае справа от функция q будет выпук-
лой. В обоих случаях, согласно лемме 8 работы [21, можно показать, что
при As < О
!. д fa + Л*) — д М 0
11т Д5 ’
т. е. в точке максимум не достигается. Совершенно аналогично рассмат-
ривается случай правого конца дуги у.
12. Теорема существования. Используя доказанные выше вспомога-
тельные предложения и применяя метод, аналогичный методу, развитому
в задаче о струйных движениях жидкости, докажем существование реше-
ния задачи, сформулированной в п. 6. Докажем существование волн
с любым достаточно большим периодом и как предельный случай полу-
чим так называемую уединенную волну.
Теорема. При любом достаточно малом h и достаточно боль-
шом со всегда найдется значение А, при котором будет существовать
решение у = у (х, со) уравнения
j (То, Г) = I /' (z, То, Г) I2 - С + Ьу = О,
С = 3 + 97г2, 1 = 2/h + 6Х,
где у0 — прямая у = А (со), |А|<С-----— • При этом функция у =
10« —
= у (х, со) будет иметь следующие свойства:
1) у (х, со) — периодическая функция с периодом 2 со:
2) у (х, со) — симметрична относительно оси у;
3) у (х, со) допускает на отрезке (—со, со) единственный максимум
в точке х = 0, у (0, со) = h + W, 1 < Ф < 2.
При со -> оо функция у (х, со) также стремится к решению у (х, оо)
уравнения (2), которое допускает единственный максимум в точке х = О
и имеет асимптоту у = А, причем
У (0, оо) = h + 2/г2, |Д(ос)|<—.
1о« —
Доказательство. Доказательство будем вести методом ин-
дукции путем перехода от больших значений v к меньшим. В соответст-
вии с этим докажем прежде всего существование решения такой задачи:
а. Требуется построить решение уравнения
А (Го, Г) = 0, v = Kh2,
38. К теории длинных волн
565
где Го: У = Уо (х) = и + ц (х) удовлетворяет условиям:
Уо (~х) = Уо (х), уп {х + 2®) = у0 (ж),
I Л (х) | < З/i3, | у'о (х) | < | у"0 (х) | < h*\
Докажем существование решения этой задачи для К 10, причем
для этого решения будем иметь
I h — у (х) | < 2й2. (119)
Рассмотрим семейство Е функций {у (я)}, которые удовлетворяют сле-
дующим условиям:
I h — у (х) I < 2Д2, у (—х) = у (х), у (х + 2(0) = у (х), (120)
|/(х)|<1, ЙЙ I у’ (*-± (ж)- I < (1 + у- (я:)). (121)
Дх—0 I х I
На этом семействе определим функционал
Т (у) = max I Jv (Го, Г) |.
|х| 5^(0
Этот функционал, очевидно, непрерывен на Е, а семейство Е компактно»
Значит, в Е существует функция у± (х), которая дает абсолютный мини-
мум Т на Е. Нам необходимо показать, что Т (ух) = 0. Допустим от про-
тивного, что Т (ух) > 0.
Чтобы отсюда прийти к противоречию, достаточно показать, что
в Е можно так проварьировать уг (х), чтобы соответствующая вариа-
ция Т была отрицательной. С этой целью отметим некоторые свойства
функции
Ф (х) = Jv (Го, 1\),
где за Гх принята линия, которая изображает функцию у = уг (х).
1) в любой точке х, где у± (х) = h + 2Л2, ф (х) < 0, а где уг (х) —
= h — 2fe2, ф (х) 0.
Действительно, в первом случае в силу теоремы 1 (см. [2, с. 3981) уве-
личим значение Jv (Го, Гх), если Гх заменим прямой у — h + 27г, а Го —
прямой у = v + 8Д3, т. е. в рассмотренной точке имеем
«р - /.(Г., г,)< ( - С + м* + 2Л>)<0.
Второй случай рассматривается совершенно аналогично;
2) в точках, где | ф (х) | достигает абсолютного экстремума, | yi (я)| <
< 1. Это свойство непосредственно вытекает из рассмотрений, проведен-
ных при доказательстве леммы 3. Совершенно аналогично, отправляясь
от вычислений, проведенных при доказательстве леммы 4, и используя
результаты пп. 8, 9 данной статьи, можно видеть, что
3) если кривая 1\ содержит дугу круга единичного радиуса, то на
этой дуге, включая ее концы, функция ф не может достигать своего абсо-
лютного максимума или минимума в зависимости от того, будет ли вдоль
этой дуги yi <Z 0 или у! 0;
566
IV. Механика и математическая физика
4) пусть е — произвольное малое положительное число и пусть ли-
ния Гр у = У! (х) такая, что
I У1 (*) — У1 (*) I < е,
и в некоторой точке х0
У1 (*о) = У1 (х0) + е, [ух (х0) = у! (х0) — в].
Утверждается, что при этих условиях в точке xQ имеем
Jv (Го» I\) < Jv (Го, Гх), (Jv (Го, Гх) Jv (Го, Гг)).
Действительно, в силу указанной теоремы 1 [2] наше утверждение доста-
точно доказать для случая, когда уг (х) = уг (х) + е, [уг (х) = у± (х) —
— е] при любом х, но в этом случае
Jv (Го, rj - Jv (Го, Г) = (1 + Ы) -------------6te,
где | й1 | < 8. Или, подставляя вместо v ее наименьшее значение, оконча-
тельно получим
Л (Го, Гх) - Л (Го, Г\) > /се, к > 0. (122)
Аналогично, если уг (х) = у (х) — 8, то
Jv (Го, Г-J Jv (Го, Гх) /се. (122.1)
Принимая во нимание перечисленные свойства линии Гх, а также оче-
видную непрерывность функции ф, можем применить конструкцию, дан-
ную в п. 10 [2] теории струй, и получить в классе Е линию Гх, для кото-
рой Т принимает меньшее значение, чем на Гх. Этим самым устанавлива-
ется существование решения поставленной задачи при К 10. Из (122),
(122.1) непосредственно следует, что решение поставленной задачи един-
ственно и непрерывно зависит от у$ (я).
Ь. Покажем теперь, что в условиях а при fe, достаточно малом, най-
дется такая постоянная А = А {у0}, | А | < fe2, что решение уравнения
Л (1\,, Г) = 0, (123)
где Го: у = yQ (х) + А, будет проходить через точку (0, fe + а), 0
< а 2fe2. Действительно, обращаясь последовательно к (122), (122.1)
2
и принимая А = +yfe2, получим решения уравнения (123), одно из кото-
рых отвечает знаку плюс и при х = 0 будет больше fe + 2fe2, а другое,
отвечающее знаку минус, при этом же х будет меньше fe. Отсюда и из не-
прерывности решения относительно z/0 (х) получаем искомый результат.
с. Перейдем к осуществлению индукции. Обозначим через Y =
= $ {уо» и} интеграл уравнения (11) (при ц = у0 (х) + С — v с периодом
2со), который удовлетворяет начальным условиям
Y (0) = fe + аж Y' (0) = 0.
В силу леммы 1, если z/0 (х) удовлетворяет условию (118), найдется такое
число /с0, что при вариации z/0, достаточно малой по сравнению с fe3, имеем
I 5 {уо + Ъу<у, V} — S {yQ, У} | < -у- max | 8yt (х) |. (124)
38. К теории длинных волн
567
При тех же самых допущениях в силу предыдущих лемм найдется постоян-
ная к± такая, что для функции у (х) = Н {у0} будем иметь
I у' (х) I < к^, I у" (х) I < kji. (125)
Если уо (х) удовлетворяет условиям леммы 13, найдутся такие -Оо и
что
|5{i/0,p}-tf{!/0}|<—Ц-. (126)
kg —
Отметим теперь одну специальную конструкцию. Отправляясь от
Уо (х), которая удовлетворяет (118), построим функцию у± (х) такую, что
S {г/i, v + kh3} = S {уо. v}, к < 1.
Допустим, что для функции ух (х) можно построить функцию Н {z/J =
= у (х) и соответствующий функционал А {*/1}- Пусть Го: у = у0 (х) +
+ А {уг} и Гр z/i (х) + A {z/J. Для областей DQ (Го, Гх) и Dr (Гр Г),
Г: у = у (х) построим отображения /0 и /х, введенные в п. И. Отправля-
ясь от (126), можно показать, что вдоль линии Гх будем иметь
(127)
10« —
Пусть теперь г/0 (х) удовлетворяет условию (118) и условию (89) при
v = v0, где v0 настолько мало, что для г/0 (х) имеет место результат лем-
мы И
\дН {у0} | < max 18у01. (128)
Положим
и пусть п — наименьшее целое число, большее, чем 10Д2/г = 10/((3fo).
Разделим интервал (0, 10fe2) на п равных частей, где рх, р2, . . Vn-i —
точки деления vm = 10fe2 х т/п = тх^ Обозначим через (&) такую
функцию, что S {KoW)> ит} — Y (х), где у — Y (х) — уравнение волны
Рэлея. Для каждой линии Г1?п): у = Y^ (я) построим некоторую ее
окрестность.
Полагая б0 = 0, определим числа 6Х, б2, . . из вспомогательного
соотношения
дт = 6m_i (1 + 2Лор/г) + (129)
108“Г
Отсюда следует, что
(130)
10«т
568
IV. Механика и математическая физика
где — число, определяемое числами Р, к0 и к2. В дальнейшем будем
h считать настолько малым, чтобы 6П удовлетворяло неравенству 6т <;
<
Наряду с числами 6т введем еще числа Sw и 6ГП. Положим б'т =
= &5fe7/2m, где число к5 определяется через с помощью функции KQ (&),
введенной в лемме 14,
/с5 = К о (к^.
Аналогично
Sm, === kohtfi^
где число &6 также выражается через кг с помощью функции Кг (к) из лем-
мы 17.
Обозначим через Ет совокупность линий {уот)} • {у = Уо т)}, ко-
торые имеют такие свойства
var | у0 (х, т.) — У£’п> (х) | < 6ТО < 6П, (131)
Уо (—х, т) = у0 (х, т), у0 (х + 2ю) = у0 (х, т);
| у'о (х, т) |< 6т, | у’о (х, т) | < дт>- (132)
кроме того, специально для линий у0 (х, п)
\Уо(х, п)-Y^ (х) \^vh3. (133)
Установим индукцией от т к т — 1 существование решения
Н {z/o (х, т)} такого, что при отображении полосы ит < ц < h на
область D (уот)), Н {у0 (х, т)} у у0 (х, т) прямая ц = vn будет пе-
реходить в линию семейства Еп. В силу а это утверждение имеет место
при т = п. Допустим его справедливым для т и докажем для т — 1.
Пусть у о (х, т — 1) — произвольная линия семейства Ет^ В силу
(131), (124) и леммы 1 будем иметь
|НУо^т-1}-У(х,а)|<-^-. (134)
Определим уг (х) из условия
5 {У1, = S {yQ, Vm-i).
Можно видеть, что
var | У1 - У<т) (х) | < (1 + 2к0№) X
X var | у о (х, т — 1) — Уо*-1 (х) |. (135)
Значит, функция уг (х) принадлежит семейству Ет, причем в силу (126)
имеем
\s{y1,vm}-H{y1}\<Z-^-. (136)
10& —
При этом предполагается, что Н {ух} существует, а при отображении /im)
прямая ц = vn соответствует некоторой линии семейства Еп.
38. Л* теории длинных волн
569
Пусть теперь у = у0 (х) = у0 (х, т — 1) + С, С = const,— функция,
такая, что при = у0 (х) — vm_x и при v = vm-i интеграл уравнения (11)
совпадает с s {i/0 (х, т — 1)}, а у = уг (х) такая, что при ц = ух (х) —
— ит и при v = vm интеграл (И) совпадает также с s {у0 (х, т — 1)}.
Проведем конформные отображения £ = /0 (z), t = f i (z) полос y0 (x) <z
У < Vi и У1 < У < H {i/J соответственно на полосы vm-i <
< Л < vm и vm < ’Л < h. В силу (136), (127) ВДОЛЬ ЛИНИИ У = Ух (х) бу-
дем иметь
\Рг-Р.\<^-
Отметив это, построим в окрестности линии у ~ уг (х) семейство ли-
ний F = {1^}: {у = у (я)}, которые имеют следующие свойства:
I у (*) — У1 IС .
jtog-y I
у (х + 2<о) = у (х),
\у" (х) |< 6т.
F принадлежат семейству Ет, значит, для каждой
(137)
(138)
У (~х) = У (х),
| у' (х) I < бт,
Все линии семейства
линии из F существует Н {у} и А {у}. Выделим из F его часть F', опреде-
ляемую неравенством
I А г 1 A t — » I кЛР
IA {J/} — Д {у} | <--— •
1о*Т -
Пусть £ = /о (2), £ = fi (z) реализуют конформное отображение об-
ластей г/0 (х) + A {t/} < у (х) + А {г/} и у {х} + А {t/} < у < Н {у} со-
ответственно на полосы vm-i < ц < и vm <i Ц <i h при условии соот-
ветствия бесконечно удаленных точек. С помощью этих отображений
введем на каждой линии Гх : у = у (х) ЕЕ F’ функцию
ф (s, 1\) = Рх — Ро = log I A (Z) I — log | /о (z) I,
и положим
J (Г) = max ф ($, Г).
I s|<oo
Остается показать, что в классе линий F' найдется линия Г, для кото-
рой J (Г) = 0. Допустим от противного, что минимум J на F' положи-
тельный
inf J (Г) = а > 0.
В силу компактности F' этот минимум достигается на некоторой линии
Г<°) этого же семейства
J (Г<°>) = а.
19 м. А. Лаврентьев
570
IV. Механика и математическая физика
Кроме того, линия у = (х) принадлежит F' в силу (137)
. 2k2h
а<-------
108ПГ
Нужно показать, что в классе F' можно проварьировать Г<°) так,
чтобы б/ (Г<°>) < 0. Для этого отметим следующие свойства линии Г<°>
и функции ф (х) = ф (х, Г<0)): 1) в силу (128) и выбора т в точках, где
бу будет достигать абсолютного максимума (бу 0) и минимума (бу <;
< 0), будем иметь бф 0 (бф < 0); 2) если
vat | у (*) — г/\ (ж) | < 2k-ih— ,
ios~T
то в точках, где у (х) — уг (х) будет достигать максимума (минимума),
будем иметь ф < а (ф > а); 3) аналогичные неравенства имеют место,
если в соответствующих точках неравенство (138) будет переходить в ра-
венство; 4) в силу лемм 16 и 18 функция фне может достигать абсолютно-
го минимума (максимума) в точках, где у' — Sm (у' = —бт), и на дугах
наибольшей выпуклости
у" = б; (1 + у'2)3/*, у" = -б"т (1 + у'2)3\
Однако перечисленных четырех свойств линии Г(о) достаточно для
того, чтобы применить конструкцию вариации 6Г<°>, данную в работе
о струях (см. [2, с. 431—436]).
Этим самым сформулированная теорема полностью доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сретенский А. И. Теория волновых движений. М.: ОНТИ, 1936. 303 с.
2. Лавреншъев М. А. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями
к теории струй Ц Мат. сб. 1938. Т. 4, № 3. С. 391—458.
39
КУМУЛЯТИВНЫЙ ЗАРЯД
И ПРИНЦИПЫ ЕГО РАБОТЫ*
Широко известны многочисленные приложения классической плоской
теории потенциала в механике, физике, технике. Здесь особенно удачной
оказалась связь с теорией функций комплексного переменного, которая
дала, с одной стороны, мощный аналитический аппарат и, с другой сто-
роны, весьма широкий геометрический качественный метод исследования.
Концепция идеальной жидкости, приводящая к теории потенциала,
дает главные члены в самых разнообразных явлениях: расчет крыла са-
* Успехи мат. наук. 1957. Т. 12. вып. 4. С. 41—56.
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
571
молета, движения грунтовых вод, расчет нефтяных скважин, всевозмож-
ные задачи о волнах в тяжелой жидкости.
В сегодняшнем сообщении я хочу рассказать об одном новом, пожа-
луй, самом неожиданном из всех ранее известных, приложении теории
потенциала. Я начну с некоторых понятий и фактов так называемой тео-
рии детонации взрывчатых веществ.
1. Понятие детонации. Представим себе неограниченную упругую сре-
ду и допустим, что в некотором объеме этой среды мы мгновенно создали
большое давление. В этом случае по среде побежит ударная волна — по-
верхность, вне которой будет покой, а за которой частицы среды будут
иметь конечную скорость; вдоль поверхности при этом мы будем иметь
скачок давлений, плотности и скорости. Если в среде при этом не проис-
ходит никаких химических реакций, то с удалением от очага возмущения
все скачки на фронте волны будут падать. Есть, однако, много веществ —
газообразных, жидких и твердых — таких, что в месте, где давление пре-
вышает определенную величину, происходит химическая реакция с боль-
шим выделением тепла. Если по такому веществу мы пустим ударную
волну достаточной интенсивности, то непосредственно за волной будет
происходить выделение энергии, которая будет питать скачок; оказыва-
ется, что при этом, как правило, очень быстро устанавливается устойчи-
вый процесс, при котором на фронте ударной волны все время сохраняет-
ся ее скорость распространения, а также скачки давления, плотности,
скорости. Вещество, обладающее указанным свойством, называется бри-
зантным взрывчатым веществом, а описанный процесс его химического
превращения — детонацией.
Приведу средние данные, относящиеся к наиболее распространенным
в технике, бризантных твердых взрывчатых веществ (тротил, тэн, гек-
соген и т. д.):
плотность (относительная) 1—1,5;
скорость детонации 7—10 км/с или 10 см за 10-5 с;
давление за фронтом 100—200 000 кгс/см2.
Таким образом, эти ВВ превращаются в газ почти мгновенно, а полу-
ченное давление достаточно, чтобы разрушить самый прочный материал.
При взрыве 100-граммового кубика такого вещества на стальной плите
в ней появляется вмятина, гранит дробится.
572
IV. Механика и математическая физика
Рис. 3
2. Эффект кумулятивного заряда. Проделаем следующий опыт. В со
ответствии с рис. 1 разместим на стальной плите толщиной 20 см цилинд“
рические заряды одинаковой высоты 15 см, диаметром 4 см. Часть заря-
дов сплошная, часть имеет коническую выемку со стороны, обращенной
к плите, в последних двух зарядах в выемку вставлены стальные конусы
с толщиной стали 1,5 мм. Некоторые заряды (а, в, д) стоят на плите, дру-
гие (б, а, е) приподняты на 1,5 диаметра заряда.
В месте А производится инициирование заряда. На рис. 1 изображено
действие этих зарядов при их последовательном подрыве. Мы видим па-
радоксальное увеличение пробивного действия при условиях покрытия
выемки стальной оболочкой и удаления заряда от пробиваемого тела. Этот
эффект увеличения бронебойного действия при наличии выемки (заряд в)
был открыт еще во второй половине прошлого столетия и получил назва-
ние кумулятивного эффекта. Использование этого эффекта ограничива-
лось некоторыми техническими задачами в горном деле. Резкое повыше-
ние бронебойного действия при наличии металлической облицовки было
обнаружено несколько позже, а к 1914 г. относится первый патент по ис-
пользованию этого эффекта в военном деле — создание на этом принципе
бронебойного снаряда. Широкое применение, однако, этот принцип на-
шел только в войне 1941—1949 гг. К этому же времени относится и созда-
ние теории этого явления, которая за последнее десятилетие получила
исключительное развитие во всех странах. Первая открытая публикация,
в которой изложены основы теории кумулятивного заряда с металличе-
ской оболочкой и теория пробивания брони, принадлежит группе ученых
во главе с Тейлором и относится к 1948 г. [1].
3. Физические предпосылки теории. Для создания расчетных схем
были необходимы достаточно простые и вместе с тем надежные физические
предпосылки, причем было естественно сконцентрировано внимание на
кумулятивном заряде с металлической оболочкой типа (г), как наиболее
эффективном. На рис. 2 тот же заряд изображен в увеличенном виде.
В качестве предпосылок теории первого приближения могут быть приняты
следующие гипотезы.
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
573
1. Детонация происходит мгновенно, а действие взрывчатого вещест-
ва на оболочку сводится к импульсу, направленному перпендикулярно
к поверхности конуса.
2. Материю оболочки, так же как и пробиваемую сталь, принимаем
за идельную несжимаемую жидкость.
Обе приведенные гипотезы легко обосновать, хотя на первый взгляд
представление броневой стали в виде идеальной жидкости и кажется
парадоксальным. Все дело в том, что начальное давление на оболочку
имеет порядок 100 000 атмосфер — прочностные и пластические силы
составляют сотые доли от сил инерционных; поэтому влияние прочност-
ных сил будет все время малым и можно пользоваться схемой идеальной
жидкости. То же самое будет относиться и к явлению пробивания.
Сформулированные выше физические предпосылки дают возможность
представить себе следующую качественную картину явления. В началь-
ный момент все элементы жидкой конической оболочки приобретают ско-
рость (порядка 2 км/с) в направлении оси конуса, происходит обжатие
конуса с утолщением его стенок; при подходе элемента конуса к оси часть
этого элемента будет выжиматься, выплескиваться вперед так, как это
можно наблюдать при затекании морской волны в клинообразную бухту.
При инерционном обжатии конуса из него выжимается струя (рис. 3) —
проволока; последующий расчет показывает, что эта проволока будет
иметь тем большую скорость, чем острее конус; американцам удалось
получить таким образом скорости до 90 км/с, обычно получаемые здесь
скорости имеют порядок от 2 до 10 км/с. Такая проволока, встречаясь
с броней, производит на нее давление порядка 1 000 000 атмосфер, имен-
но поэтому и теорию пробивания можно строить в схеме идеальной жид-
кости. Качественную картину пробивания можно взять опять из рис. 3.
В самом деле, если мы время t заменим на —t — киносъемку формирова-
ния струи пустим в обратном направлении,— мы получим картину про-
никания жидкой струи в преграду. Характерным в этом процессе явля-
ется то, что по мере развития процесса длина струи уменьшается, на
каждый пробитый участок расходуется часть струи; механизм пробива-
ния при этом не зависит от скорости.
4. Расчетная схема. В расчете примем схему первого приближения и
начнем с рассмотрения одной вспомогательной задачи из теории струй.
В следующей постановке задачи мы будем иметь в виду сразу случай плос-
кий и случай с осевой симметрией.
Требуется построить установившееся движение идеальной жидкости
в среде с постоянным давлением, удовлетворяющее следующим условиям:
вдоль оси симметрии, оси х, при х -> — оо мы имеем поток диаметра 27?,
при х -> + ос мы имеем поток диаметра 2г. слева х -> — о© скорость
потока равна Vz и направлена вправо, справа при х—> + сю скорость на-
правлена влево, плотности жидкости соответственно рх и р2.
Поставленная задача есть классическая задача соударения струй
с общей осью; на рис. 4 дана схема движения наших струй до и после со-
ударения.
Поток имеет свободные поверхности Lr и Л2 и поверхность раздела у:
справа от у — жидкость, приходящая из + ос, и слева от у — жид-
кость, приходящая из—ос. Из условия, что движение установившееся,
574
IV. Механика и математическая физика
по формуле Бернулли для давления р имеем
p=c-£f2,
где С — постоянная, равная давлению при V = 0, т. е. (в нашем случае)
в точке оси х на поверхности раздела, пусть х — 0.
Отсюда и из условия постоянства давления в среде вдоль L± имеем
V = Vv
а вдоль у скорости потоков должны быть связаны соотношением
Р17+2 = p2F“2, (1)
где V+, V~ — скорости потоков с плотностями рг и р2. Из соотношения
(1) следует, что вдоль L2 скорость
v=V^vi-
г р2 1
Этим самым определяется скорость встречного потока V2 при х -> + оо:
Рассмотрим отдельно решение поставленной задачи для плоского слу-
чая и случая осевой симметрии.
Плоский случай. Комплексные потенциалы течений для каж-
дого из встречных потоков обозначим соответственно через
w = /i(z) = Ф1+ ityi w = /2 (z) = <p2 + Йр2- (2)
Вектор скорости каждого из потоков будет равен вектору, сопряженному
с производной
= л (z), v2 = (z).
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
575
Рассмотрим верхнюю часть каж- дого из течений, у ^>0 (рис. 5), тог- да функции (2) будут реализовать конформные отображения области этих течений на полосы 0 < % < /г15 — h2 < 1|)2 < 0, где Ьг и h2 равны расходам в каж- дом из потоков: wwwwwwww Л/ Lf W\\\\W\W\WW\WW
г
0 '
Произвольными действительными рис $
постоянными можно распорядиться,
так, что точка z — 0 (разветвления потоков) будет при обоих отображе-
ниях переходить в точку w = 0. Задача заключается в том, чтобы по-
строить L1? L2, у так, чтобы при указанных отображениях вдоль линий Lr,
переходящей в прямую ф = имели
I А & I =
вдоль Z2, переходящей в прямую ф = —fe2, имели
(3)
а вдоль у, переходящей в положительную часть оси ср,
1/2 (3)1= ]//^|/Hz)|. (4)
Заметим дополнительно, что при наших отображениях левая и правая
части оси х переходят соответственно в нижний и верхний края отрица-
тельной части оси ф; таким образом, при х < 0 имеем
arg Л (z) = 0, (5)
а при х 0 имеем
arg X (z) = л. (6)
Соотношения (5) и (6) позволяют резко упростить постановку: рас-
смотрим функцию
с = £ + й] = In /' (z) = In /' [z (ip)] = F (w) (7)
как функцию w = ф + /ф. Согласно (2) и (6) функции F± и F2 в соответст-
вующих полосах должны удовлетворять условиям:
вдоль прямой у = Д1
Re Fr = In V,;
вдоль прямой у = —h2
Re F2 = In V, + ylng-
576
IV. Механика и математическая физика
На соответственно верхнем и ниж-
нем краях отрицательной части оси
ср имеем
Jm/\ = 0, 1т^2 = л, (8)
и, наконец, вдоль положительной
части оси ф имеем
Ref2 = Re/4 + -J-In-,
2 p2 (9)
Jm F2 = Jm F±.
Заметив это, вычтем из функции F2 величину yln^L тогда соглас-
но (9) полученная функция F2 — “ будет являться аналитическим
Z р2
продолжением функции F± через луч ф 0 оси ф. Все дело сводится к по-
строению функции Fr — F, правильной в области Д, где из полосы —h2
< ф < hr удален луч ф < 0 оси ф, удовлетворяющей на сторонах полосы
—h2 < ф < hr условию
Re F = In V19
а на сторонах луча ф < 0 оси ф — условиям
Jm F = 0 (сверху), Jm F = л (снизу).
Кроме того, согласно механическому смыслу задачи искомая функция
должна быть ограничена сверху. В таком случае искомая функция един-
ственна, и она реализует конформное отображение области Д на полупо-
лосу | < In 0 < ц < л при условии соответствия луча Ф <С 0 оси ф
горизонтальным сторонам полуполосы (рис. 6).
Такая задача решается в конечном виде: мы получим функцию F (w).
Но
dz/dw =
Отсюда для обратного отображения w — f (z) получим
w
z = e~F(w>>dw.
0
(10)
Последняя функция, полученная еще Жуковским, дает возможность
определить как форму свободных струй, так и распределение скоростей
в потоке.
Осевая симметрия. Задача о соударении струй в случае осе-
вой симметрии в столь законченной форме, как это имеет место для пло-
ского случая, не решена.
Остановлюсь на принципиальной стороне. Если рассматривать рис. 4
как осевое сечение искомого потока, а через ф опять обозначить потенциал
скоростей, то паша задача редуцируется к некоторой нелинейной краевой
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
577
задаче для системы уравнений:
dip dcp dib dф
= 1^=У-£- (Н)
Здесь, также по аналогии с плоским случаем, можно взять в качестве
независимой переменной
w = ф + /ф
и искать функцию
Р + /а,
где
Р = In У,
a a — наклон линий тока.
Из общей теории квазиконформных отображений непосредственно
вытекает, что функции Р и а удовлетворяют следующей системе уравнений:
dP da 9Р . da дР р .
-тп- = — ye2Psina -^т~У^—\-ер sina. (12)
dip dф dip v dф v '
Наша задача редуцируется этим самым к задаче квазиконформного отобра-
жения, соответствующего системе (12), области А на полуполосу. К сожа-
лению, система (12) не принадлежит к классу однородных эллиптических
систем, где имеет место общая теорема существования и единственности
квазиконформных отображений. Разбираемая задача о соударении струй
есть один из примеров задач, требующих дальнейшего обобщения теории
квазиконформных отображений; о некоторых таких постановках я докла-
дывал в обзорном сообщении на съезде математиков.
Отсутствие общей теории приводит к необходимости использовать,
с одной стороны, качественные приемы и, с другой стороны, численные
методы. И для того и для другого большое значение имеют приближенные
квазиконформные отображения, соответствующие течениям в узких слоях
и тонких трубках.
Итак, будем рассматривать отображения, соответствующие системе
(11), полос
о < У О (х) < у < Z/1 (х)
на полосу
О < ф < h.
Относительно функций г/0, будем предполагать, что они обладают тремя
первыми ограниченными производными, причем
W < У1 — У о (*) < kih>
где к() и кг — некоторые постоянные, а число h считается малым. При этих
условиях для скорости V в произвольной точке границы имеем
V = -(1 + ^пк\ + R,
пу I 2 J
578
IV. Механика и математическая физика
где п — длина нормали к границе, заключенная в полосе, а К — кривиз-
на границы. Остаточный член R может быть оценен через постоянные
Ао, кТ и постоянные, ограничивающие у', у", у"'.
Особый интерес представляет случай, когда
г/о (*) °,
кривизна К имеет порядок h и у' (х) имеет порядок выше 1г. В этом случае
с точностью до малых порядка выше Д2 имеем
Вывод формулы и оценки остаточных членов базируются на оценках ва-
риации скорости V в зависимости от вариации контура. Именно
-к—
|61nV|<^e " ,
где о — площадь вариации; г — расстояние до места искажения контура
до точки, где рассматривается скорость; к — постоянная.
Приведем теперь ряд фактов, которые можно получить, опираясь на
приведенные выше принципы.
1. Линии L± и L2 имеют кривизны разных знаков и при х —> о© асимп-
тотически приближаются к некоторой прямой
у = X tg а + Ь.
2. Ширина б полосы,
мится к нулю, причем
заключенной между Lr и Л2, при х ос стре-
2л?/б = яг? + лг2 + р
или
б =
Г21 И- Г2 , _ 1 4+ Г2 ,
2у ' Р 2 х tg а + Ъ 1 Р ’
(13)
(14)
где р' мало по сравнению с б. Последняя формула выражает условие несжи-
маемости жидкости и то, что вдали от места встречи струй скорость жид-
кости во всем сечении стремится к скорости на границе. Левая часть (13)
есть площадь сечения пелены на высоте у, а члены Jiri, лг2 СУТЬ площади
сечения струй.
3. Из существования асимптотического конуса и теоремы о постоян-
стве количества движения можно получить важную для дальнейшего
связь между диаметрами потоков, их плотностями и углом а. В самом
деле, рассмотрим два единичной длины элемента потоков в ос, их общее
количество движения будет направлено по оси х и будет, очевидно, равно
Л = л {рЛГх — p2rlv2}
эти элементы после соударения и по прошествии достаточно большого вре-
мени будут находиться вблизи асимптотического конуса, и проекция на
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
ось х их количества движения будет равна
J2 = л {PiT-iFi + Р2Г2v2} cos а.
Но по теореме о постоянстве количества движения будем иметь
А = А,
откуда, полагая
]Лр2/р1 = X, г2/г1 = к,
получим
1—АЛ2 1 1 — cos а /ЛГ.
cos а — , . V-72 & = Т- -------• (15)
1 + АЛ2 X 1 -р cos а v 7
Как мы сейчас увидим, приведенных фактов уже достаточно для построе-
ния расчетных формул первого приближения.
5. Теория пробивания. Рассмотрим схему движения при соударении
двух струй в подвижной системе координат, относительно которой тол-
стая, левая струя неподвижна. В этой системе координат скорость правой
подвижной струи будет равна
w = V1 + v2 = (I + X) v2.
Скорость места соударения V\ будет вместе с тем являться скоростью
проникания; обозначая ее через со, будем иметь
ю= yi = ^2 = T^_w. (16)
Из последней формулы мы видим, что скорость проникания всегда меньше
скорости струи; если струя и бронь имеют одинаковую плотность, то
скорость проникания будет вдвое меньше скорости струи. Из (16) полу-
чается также следующий важный факт: если некоторое фиксированное
сечение струи продвинется на длину Z, точка' проникания продвинется
на L:
L = l—, (17)
W
а струя при этом укоротится на
l — L = 1(1 — — ’
\ w / \ 1 + Л/
откуда отношение длины израсходованной части струи
L2 = l — L
к пробитой длине L будет равно
L2IL = (I — L)/L = 1/X,
т. е.
L = У Si I,. (18)
580
IV. Механика и математическая физика
Если плотности струи и брони одинаковы, то
L = L2
— глубина пробития равна длине израсходованной на это пробитие части
струи.
Попробуем теперь увязать соотношение (18) с проблемой пробития,
когда струя имеет конечную длину. Итак, пусть цилиндрический жидкий
стержень ударяется соосно о другой цилиндрический жидкий стержень,
допустим при этом, что диаметр струи мал сравнительно с ее длиной.
В период, близкий к моменту начального соударения, мы будем иметь резко
выраженный неустановившийся процесс, однако, опираясь на вариацион-
ные принципы, нетрудно показать, что процессы, происходящие в голове
струи, будут заметно влиять только на расстояние в 2—3 диаметра струи:
ес ги реальный процесс приближается к разобранному нами выше уста-
новившемуся процессу, то на это должна потратиться небольшая часть
струи — всего несколько диаметров струи. По аналогии со многими зада-
чами механики сплошной среды — теория крыла аэроплана, волновое
сопротивление судов, расчет движения грунтовых вод и т. д.— мы прини-
маем, что процесс пробивания следует законам установившегося прони-
кания жидкой струи в жидкость. При такой дополнительной гипотезе
мы получаем из (18) формулу
(19)
где а — длина струи, р2 — ее плотность, рг — плотность брони и L —
глубина проникания.
Опираясь на формулу (19), можно решать и более общие задачи —
изучать пробивание жидкой массы жидкой струей переменной толщины и
переменной скорости (по длине струи). В теории первого приближения
можно принять, что каждый элемент струи работает так же, как если бы
вся струя была устроена, как этот элемент; такой квазистационарный рас-
чет также широко используется в неустановившихся задачах сплошной
среды; мне представляется весьма интересным и важным дать методы для
оценок погрешностей этого приема и, что особенно интересно, дать форму-
лы следующего приближения с учетом неустановившихся членов. Эта
задача, естественно, относится не только к разбираемой задаче пробива-
ния, но и ко всем подобным задачам на квазистационарный расчет.
6. Теория формирования кумулятивной струи. Рассмотренная выше
схема соударения двух струй при р2 = р2 может быть также положена
в основу для расчетов параметров кумулятивной струи. Для этой цели
движение (рис. 4) рассмотрим в новой подвижной системе координат так,
чтобы асимптотический конус двигался по нормали к своей поверхности.
Для этой цели надо снабдить наблюдателя скоростью, равной F/cos а и
направленной справа налево.
В новой системе координат мы получим следующие параметры движе-
ния:
коническая пелена движется по нормали к своей поверхности со
скоростью ш0
= V tg а,
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
581
скорость кумулятивной струи w оказывается равной
w = V + = 7(1 + —М ,
cos а \ cos а/
если эту скорость выразить через ivQ, то получим
ш = м;'’(1+7^)с^а- (20)
Полученная формула дает выражение скорости струи через угол а и
через «скорость обжатия» конуса ш0.
Точно так же можно вычислить диаметр струи, если из естен угол а
и толщина оболочки в одном из ее сечений. Знание толщины одного сече-
ния оболочки полностью определяет всю оболочку, так как вся геометрия
оболочки у нас определяется формой пелены, создаваемой двумя струями.
Например, если толщину оболочки при у ~ 1 примем равной 6, то соглас-
но (13) будем иметь
26 = г2 + г22.
С другой стороны, согласно (14)
г2 _1/ 1 — cos a
fi г 1 4- cos a ’
откуда для радиуса струи г2 получим
г2 = У § (1 — cosa) = ]/26 sin(21)
Радиус струи стремится к нулю при a 0.
По аналогии с теорией пробивания, от рассмотренной идеальной схе-
мы можно перейти к расчету (в первом приближении) реального кумуля-
тивного заряда. Начнем со случая, когда оболочка заряда есть конус
переменной толщины (по формуле (13)) и когда заряд таков, что все эле-
менты оболочки получают мгновенную скорость, постоянную по величине
и направленную по нормали к асимптотическому конусу. Если толщина
конуса мала по сравнению с его высотой, то начальной неустановившейся
фазой процесса можно пренебречь, тогда формирование струи будет про-
исходить по схеме рис. 4: обжимающийся конус будет выдавливать из
себя проволоку диаметра, вычисляемого по формуле (21), и со скоростью,
вычисляемой по формуле (20). Длина струи будет равна длине образую-
щей конуса. Для такого заряда глубина пробития будет равна длине
образующей конуса.
Используя принцип квазистационарного расчета, опираясь на форму-
лы (20) и (21), можно дать расчет первого приближения д гя работы про-
извольной металлической оболочки с произвольным распределением им-
пульса (с осевой симметрией). Получающаяся при этом струя будет, есте-
ственно, иметь переменную толщину, кроме того, различные элементы
струи будут при этом иметь различные скорости — струя в полете будет
в одних своих участках сжиматься, в других растягиваться.
7. Пределы применимости теории. Приведенная выше теория первого
приближения полностью подтвердилась на опыте в достаточно широких
пределах диаметров зарядов, форм и толщин оболочек, в материалах
582
IV. Механика и математическая физика
различных плотностей и прочностных свойств. Однако уже сейчас нако-
пилось достаточное количество фактов, не укладывающихся в теорию и
требующих для своего объяснения существенных добавлений к теории.
а) Острые конусы. Согласно формулам, чем меньше угол, тем
тоньше струя и тем больше ее скорость; делая угол все меньше и меньше,
мы можем теоретически получить сколь угодно большие скорости, а в зоне
образования струи согласно формуле Бернулли
— сколь угодно большие давления. Этот качественный вывод на опыте не
подтверждается: при малых углах а мы получаем резкое снижение про-
бивного действия (вплоть до полной потери), а скорость перестает увели-
чиваться. При количественном изучении этого явления оказалось, что
здесь существенную роль играет материал оболочки (марка стали, свинец,
алюминий, бериллий и т. д. ): каждый материал дает свой предельный
угол а, начиная с которого появляются аномалии. Поскольку проблема
получения больших скоростей и давлений имеет самостоятельный инте-
рес, то за последние годы появились работы теоретические и экспери-
ментальные, ставящие своей задачей дать более точный расчет при малых
а и получить возможно большие скорости. Основным добавочным факто-
ром в расчетах явилась сжимаемость, отсюда одной из существенных
характеристик металла явилось его уравнение состояния, в частности,
коэффициент объемного сжатия. Из наших работ отмечу работы
Н. А. Слезкина [2], из иностранных — Уолша с сотрудниками [3]. По
экспериментам наиболее ценная работа принадлежит Коски и Люси
с сотрудниками [4]. Используя цилиндрическую оболочку из бериллия,
обжимая эту оболочку специальным зарядом, авторам удалось получить
поток частиц (в пустоте) со скоростями около 90 км/с. В работе [3] автор,
опираясь на ряд дополнительных гипотез, вычисляет предельное значение
а, при меньших значениях а струя не может образоваться.
б) Диаметр пробивного отверстия. Согласно гид-
родинамической теории в процессе пробивания преграды струей преграда
раздвигается так, что все ее элементы получают скорости, соответствую-
щие расширению отверстия; струя при этом размазывается по стенкам^
Мы считаем процесс законченным, когда вся струя размажется. На самом
деле в схеме идеальной жидкости полученное жидкостью движение будет
продолжаться так, что диаметр отверстия будет неограниченно расти.
Задача определения диаметра отверстия, таким образом, в схеме идеаль-
ной^ жидкости неразрешима — начальное распределение скорости можно,
по-видимому, брать из схемы идеальной жидкости (или газа), а дальней-
ший счет вести в вязкоупругой среде.
в) Фокусное расстояние. Как показывает опыт, для каж-
дого конуса, в зависимости от его толщины, диаметра и высоты и соответ-
ствующего ему заряда существует относительное расстояние заряда от
брони, при котором получается наибольшее пробитие. Резкое падение
пробивного действия при удалении заряда от преграды объясняется,
прежде всего, неустойчивостью струи; задача изучения струи в полете
также выходит за рамки идеальной жидкости и требует привлечения
теории вязкопластических течений металла.
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
583
8. Математические проблемы. В заключение мне хочется остано-
виться на некоторых математических проблемах, удачное решение кото-
рых было бы весьма полезно для дальнейшего развития гидродинамичес-
кой теории кумуляции, а также и для многих других прикладных во-
просов. К этим проблемам, мне кажется, в первую очередь надо отнести
развитие методов теории квазиконформных отображений.
а) Квазиконформные отображения. Приведу при-
меры задач, особенно тесно связанных с теорией струй с осевой симме-
трией: требуется найти условия, при которых всегда возможно квази-
конформное отображение заданной области плоскости х, у на область пло-
скости zz, v, соответствующее эллиптической системе уравнений
ди ди 1 z. dv , j. / \
a7 = ai^7+ bid-y + fi^U’u^l
— = а2 —+b2— + f2(x, у, u.v).
Для функций /ь /2, для которых однолистных отображений не существует,
требуется построить «псевдооднолистные отображения». Понятие «псевдо-
однолистность» надо ввести так, чтобы сохранить возможно большее ко-
личество свойств однолистности; псевдооднолистность должна также дать
возможность распространить на осевую симметрию метод Жуковского
теории струй. Метод должен охватить, в частности, систему (12). Инте-
ресно специально разобрать случай, когда Д, /2 линейны и однородны от-
носительно и, v. Решение этих вопросов, мне кажется, можно получить,
сочетая геометрические методы и последние сильные аналитические мето-
ды, развитые И. Н. Векуа.
б) Квазистационарные приемы. Очень часто на прак-
тике, когда форма границы области, соответствующей некоторой краевой
задаче, меняется медленно сравнительно с краевыми данными, в качестве
приближенного решения основной задачи принимают в каждый момент
времени решение некоторой вспомогательной, более простой задачи. Этот
прием широко применяется в теории крыла самолета, этот же прием ис-
пользуется в теории кумуляции. Представляет интерес получить оценки
точности этого приема.
в) Проблема устойчивости. Принципиальная возмож-
ность применения той или иной математической схемы к механической за-
даче в значительной мере обусловливается не только существованием, но и
устойчивостью решения этой задачи. Класс допустимых вариаций должен
при этом соответствовать механической постановке задачи. С этой точки
зрения все струйные задачи нуждаются в качественном анализе. В самом
деле, в классе установившихся движений струйное обтекание дуги устой-
чиво; для случая ограниченного потока (обтекание дуги со срывом струй
в потоке, движущемся между двумя твердыми стенками 0 < у < 1)
можно доказать, что если граничное условие V = const выполнено с точ-
ностью до 8, т. е. var V < 8, то истинная свободная струя отклоняется от
найденной на величину порядка 8. Картина получается иной, если в каче-
стве «близких» решений мы будем допускать также решения неустановив-
шиеся; в этом случае нетрудно показать, что при синусоидальном возму-
щении свободной струи «волны» возмущения будут неограниченно расти —
движение неустойчиво. Самое интересное заключается в том, что, при
584
IV. Механика и математическая физика
Рис. 7
учете сколь угодно малой вязкости, «волн» большой амплитуды быть не
может — реальная жидкость дает, таким образом, «ограниченную устой-
чивость». Мне представляется очень интересным детальное изучение,
качественное и количественное, всех этих «устойчивостей» и «нейустой-
чивостей». Эти вопросы находятся в неразрывной связи с проблемами
поставленными в замечательной книге Биркгофа «Гидродинамика».
Биркгоф приводит целую серию примеров задач гидродинамики, когда
при симметричных начальных и граничных условиях движение получает-
ся асимметричным: 1) пузырек газа в тяжелой воде всплывает не верти-
кально, а по спирали; 2) упругий стержень, воткнутый в дно потока,
кроме отклонения в сторону скорости потока, имеет еще колебательное
движение в плоскости, перпендикулярной к скорости потока. В этих
примерах «устойчивыми» оказываются не простейшие установившиеся
потоки, укладывающиеся в наиболее простые математические схемы,
а процессы неустановившиеся, но близкие к установившимся. Замечу
сейчас же, что в терминах обычной устойчивости указанные процессы не
описываются, ибо, как, например, в случае струйных обтеканий, каждое
синусоидальное возмущение во времени растет со скоростью, зависящей от
частоты возмущения, кроме того, каждая частота имеет свой предельный
размер. В спектре частот находится частота наиболее «выгодная», эта
частота и будет определять наиболее устойчивый режим нашего процесса.
Приведу пример из совершенно другой области, подобной «статиче-
ской устойчивости», рассмотренный впервые мною совместно с А. Ю. Иш-
пинским. Речь идет о классической задаче устойчивости стержней (труб).
Представьте себе, что на верхний конец тонкого стержня, шарнирно
закрепленного в нижнем конце, мгновенно подействовала вертикальная
шла Р. По Эйлеру, существует критическая сила Ркр (зависящая от дли-
1ы и жесткости стержня) такая, что если Р будет несколько больше Ркр,
го стержень потеряет устойчивость — в стержне наряду с продольным
•жатием начнется прогиб (рис. 7). Для тонких стержней Ркр всегда зна-
штельно меньше предельной нагрузки, которую допускает стержень
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы
585
в пределах упругости, если бы он не мог изгибаться. Представим себе те-
перь, что мгновенная нагрузка будет сильно превосходить
Р -- ^Ркр "F ^кр)«
Каково в этом случае будет движение стержня? В такой постановке
статический метод Эйлера больше не применим. Мы рассмотрим дифферен-
циальное уравнение движения стержня под действием нашей силы Р,
причем допустим, что в начальный момент стержень был бесконечно мало
искривлен:
VI ,. 2л&
у=2^a*sin~Xi
где I — длина стержня. В этом случае, в линейной постановке, в момент t
стержень будет иметь вид
у — У к sin у Я,
где числа зависят от и; графически эта зависимость изображена на
рис. 8. На этом рисунке видно, что наибыстрейший рост амплитуды
соответствует к = j/’n, причем эта амплитуда растет по экспоненциаль-
ному закону. Таким образом, принимая в качестве произвольного началь-
ного искажения стержня закон1
мы получаем, что потеря устойчивости «в среднем» будет идти по гармони-
ке порядка к ==
ЛИТЕРАТУРА
1. Birkhoff G., Mac Dougall DPugtE., Taylor G. Expeosives with lined cavities//
J. Appl. Phys. 1948. Vol. 19, N 6. P. 563—582.
2. Слезкин H.A. Об ударе плоской газовой струи о безграничную стенку // Прикл.
математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 2. С. 227—230.
3. Walsch J., Shreffler R., Wellig F. Limiting conditions for jet formation in high
velocity collisions// J. Appl. Phys. 1953. ol. 24, N 3. P. 349—359.
4. Koski W., Lucy F., Shreffler R., Wellig F. Fast jets from collapsing cylinders//
Ibid. 1952. Vol. 23, N 12. P. 1300—1305.
5. Pugt E., Eichelberger R., Rostoker N. Theory of jet formation by charges with lined
conical cavities//Ibid. N 5. P. 532—536.
6. Eichelberger R., PugtE. Experimental verification of the theolry of jet formation
by charges with lined conical cavities// Ibid. P. 537—547.
7. Singh S. Target penetration by high velocity «Munroe» jets И Proc. Nat. Inst. Sci.
Ind. 1953. Vol. 19, N 4. P. 583-594.
586
ZF. Механика и математическая физика
40
ПРОБЛЕМА ПРОБИВАНИЯ
ПРИ КОСМИЧЕСКИХ СКОРОСТЯХ*
Из теории кумулятивных зарядов известно, что при скоростях 3—
10 км/с механизм пробивания металлических плит цилиндрами или шари-
ками существенно отличается от того, который действует при скоростях
до 1000 м/с. При больших скоростях имеют место два этапа: а) шарик
или цилиндр, углубляясь в препятствие, растекаются по поверхности вы-
давливаемой каверны; б) после «уничтожения пули» происходит инерцион-
ное расширение каверны. Расчет первой части проводится с достаточной
точностью в схеме идеальной несжимаемой жидкости, расчет второй
части более труден, хотя имеющиеся результаты показывают, что здесь
главные трудности преодолены. Расчетные схемы дают хорошее совпаде-
ние с опытом.
Гораздо менее изученной является проблема пробивания при скоро-
стях 50—100 км/с; трудности эксперимента при таких скоростях требуют
особой четкости в основных гипотезах теории такого явления.
Насколько мне известно, в литературе есть только одна работа, посвя-
щенная этому вопросу,— работа К. П. Станюковича по образованию
кратеров Луны и определению импульса, сообщаемого упавшим метеори-
том. К. П. Станюкович в основу своих расчетов кладет гипотезу о том, что
при падении шарика его кинетическая энергия превращается в потен-
циальную энергию газа, в который превращается вещество в результате
удара; принимая далее еще некоторые менее четкие гипотезы, автор при-
ходит к следующим выводам:
1) импульс, приобретаемый телом, пропорционален энергии падаю-
щего тела;
2) объем воронки также пропорционален энергии.
В данной заметке я предлагаю модель несжимаемой среды, для которой
можно провести расчеты до конца. Получаемые выводы не совпадают с вы-
водами К. П. Станюковича.
1. Одномерный случай. Начнем с рассмотрения одномерного случая,
когда схема особенно проста. Рассмотрим задачу удара пластинки толщины
а, летящей со скоростью р0, о торец цилиндра длины I. Толщину а будем
считать малой сравнительно с Z. Задача заключается в определении им-
пульса, который получит стержень в результате удара.
Пластинку-боек мы будем считать несжимаемой, абсолютно твердой.
Тело мы будем рассматривать как предельный случай набора абсолютно
твердых бесконечно тонких пластинок, расположенных бесконечно близко
одна от другой. При неупругом ударе бойка о первую пластинку сохра-
нится количество движения и вследствие увеличения массы произойдет
потеря кинетической энергии; это будет приосходить при вовлечении в дви-
жение каждой следующей пластинки. Произведем подсчет, в предельном
случае, распределения вдоль стержня потери кинетической энергии
системы.
Итак, пусть вовлечен в движение кусок стержня длины х и пусть v
есть скорость этого куска; при вовлечении в движение пластинки толщи-
* В сб. «Искусственные спутники Земли». 1959. Вып. 3. С. 61 — 65.
40. Проблема пробивания при космических скоростях
587f
Рис. 2
Рис. 1
ной dx изменение скорости dv должно удовлетворять соотношению
xdv + vdx = О,
тсюда после интегрирования, замечая, что v = v0, при х = а, получим
а
V = VQ — .
и X
Подсчитаем теперь искомую потерю кинетической энергии
Е =
Имеем
dE — г/2 v2 dx + xv dv = — х/2 v2 dx — — х/2 vQ2 dx = — EQ ~ dx.
где Eq — 1/2aPo — начальная энергия бойка. Считая, что вся потерянная
энергия переходит в тепло, мы получим следующее распределение тепла
вдоль стержня:
гр _ dE____ j? а,
Обозначим теперь через TQ минимальную плотность тепла, необходимую
для перевода материала стержня в пар. Отсюда получим, что в резуль-
тате удара часть стержня 0 < х < х0 превратится в пар; искомое х0 найдем
из соотношения
2’о=^о4-|
О
Образовавшийся газ при своем дальнейшем расширении отделяется
от стержня, а оставшаяся часть стержня получит импульс I. Займемся
подсчетом /; ограничимся при этом наиболее интересным случаем, когда
а <4С Xq I
и когда количество энергии, уходящей в парообразование, мало срав-
нительно с начальной энергией бойка. В этом случае можно принять,
что вся энергия газа перейдет в его кинетическую энергию. Для скорости
газового облака получим
.r0F2 = ал%,
ий-
588
IV. Механика и математическая физика
Наша задача свелась к чисто газодинамической задаче. Мы ограничимся
сейчас лишь самыми грубыми подсчетами в двух случаях.
1. Примем дополнительно, что при разлете все частицы газового об-
лака получат одинаковую скорость V, тогда
х072 = а4 V = ]/-^v0
и для импульса окончательно получим
I = x0V = У axQ vQ = av^\
2. В качестве другого крайнего случая рассмотрим случай, когда
каждый слой dx газового цилиндра разлетается (в направлении оси х)
независимо от других элементов. Тогда эл мент dx газа, находящийся
на расстоянии х от торца, даст импульс
V dx = Y2T dx ~ .
Отсюда для искомого импульса находим
I = Sx0V dx = у2Ейа 1g = /Гар0 lg ~$==.
а 1/^0
2. Пространственный случай. Проведем теперь расчет, аналогичный
предыдущему, для случая удара шарика о плиту-полусферу радиуса R.
Для расчета нам придется еще больше схематизировать модель. Мы при-
мем, что действие шарика на плиту приводится к удару сферического слоя
о сферическую выемку в плите. Все скорости точек слоя-бойка направлены
по радиусам, распределение скоростей совпадает с соответствующим рас-
пределением в несжимаемой жидкости: скорость v в точке, удаленной от
центра слоя на г, определяется по формуле
v = vQ (а/г)2,
где а — радиус внутренней выемки бойка; v0 — скорость точек этой вы*
емки. Пусть ка — радиус внешней поверхности бойка. Для среды примем
модель, близкую к рассмотренной в линейной постановке,— среда есть
набор бесконечно тонких сферических слоев из идеальной несжимаемой
жидкости, расположенных бесконечно близко один от другого. В резуль-
тате удара бойка будет происходить наращивание массы бойка по схеме
неупругих ударов; при наращивании массы будет сохраняться количе-
ство движения, а кинетическая энергия системы будет при этом переходить
в тепло.
Проведем подсчет. Найдем прежде всего радиальное количество дви-
жения в момент, когда зоной движения в среде будет полусфера радиуса г;
пусть при этом радиальная скорость внутренней поверхности бойка будет
равна со = (о (г), тогда
со (ка) = и0. (1)
Так как среда несжимаема, то скорость и в точке, расположенной на рас-
стоянии х от центра, будет равна выражению
и = (а/х)2.
40. Проблема пробивания при космических скоростях
589
Отсюда для количества движения получим
I = 4л£2<д) dx = 4лсоа2 (г — а),
и
Условие постоянства количества движения нам даст
(г — a) da + <&dr = 0, (о = С/(г — а),
где постоянная С определяется из (1). Итак, окончательно
(к — 1) а 1 (к — 1) а 7
о = 2----__ v day =--------vQar. (2)
г — а и (г — а)2 и '
Найдем теперь в тех же условиях кинетическую энергию Е\
Е = -у- 4n.r2u)2 dx = 2лЛэ2 . (3)
а
Отсюда мы можем получить распределение тепла Т по телу. Тогда
Т = — d-^ = — 4ла3ю fl —.1')^. —2ла4-2-
dr \ г / dr г2
или, учитывая (2),
Г = 4ла3ю —-----------2л,а4 =
г г — а гй
= 4ла5Рп ~ fl -L _!!Л
ла v0 г(г__ау\1 2г)
Обозначая через Ео начальную энергию бойка, получим
Т = 2 (f ~2) fc fl — а?Е0 2fc122> а2Е0.
г (г — а)2 \ 2г/ и г3 0
Если теперь принять, что для превращения материала в газ нужно на
единицу объема тепло Zo, то при попадании шарика в тело, в нем образуется
газовая полость радиуса р:
Р3 = —Ч-----а2£о- (4)
1 о
Полость, определяемая выражением (4), будет характеризовать нижний
предел размера воронки.
Подсчитаем теперь импульс, который получит тело. Рассмотрим опять
случай, когда
а Р R,
и допустим, что на превращение указанной выше массы воронки в газ
затрачивается малая часть энергии бойка. Обозначая через V скорость
газового облака, которое вылетит из воронки, имеем
Отсюда для искомого импульса I получим
I = I лр37 = АаЕ0, А = .
О У о 1 Q
590
IV. Механика и математическая физика
Интересно отметить, что в принятой схеме импульс оказался сильна
зависящим от размеров ударяющего шарика.
По аналогии с плоским случаем можно провести также подсчет по дру-
гой крайней схеме. Допустим, что каждый элемент dr сферического слоя
газа разлетается независимо от других элементов и что сообщаемый им-
пульс направлен по нормали к сферической выемке.
Нормальная скорость V газового облака от элемента dr сферического
слоя определится из баланса энергии
Т = 2nr2V2.
Если теперь через а обозначить угол, образованный осью симметрии с лу-
чом, соединяющим центр сферы с элементом газа, то слагающая J =
= dl/dr импульса по оси симметрии от разлета кольца ширины rda, а —
= const, будет равна выражению
dJ == 2лг2 sin a cos а Vda,
откуда
/ = Яг=к = у 1 = ]/ г „ у г (k -1) .
Интегрируя последнее выражение по г, по толщине газовой части телаг
получим
I = в (к - 1),/2Т^1/«аг“/«Ро/з,
где В — числовая постоянная.
41
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
ПРИ НАЛИЧИИ СВОБОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ*
В первой части рассматриваются две схемы обтекания тел струями
конечной ширины. Жидкость предполагается идеальной. Основное вни-
мание уделяется плоскому случаю, но также указывается на возможность
рассмотрения трехмерных постановок. Во второй части, опираясь на
описанные схемы, а также на качественный учет вязкости, дается объяс-
нение двум следующим явлениям.
Легкий шарик (из пробки, шарик от игры в пинг-понг), будучи по-
мещен в тонкую струю (воздуха или жидкости, направленную вертикаль-
но вверх), способен устойчиво держаться в этой струе. Это явление из-
вестно давно, на нем основаны некоторые игрушки.
Представим себе круглый цилиндр (высотой в несколько раз большей
диаметра), способный почти без трения вращаться вокруг своей оси. Рас-
положим цилиндр так, что его ось будет горизонтальна, и направим на
цилиндр струю воздуха или воды. Допустим, что ось струи при ее форми-
* Прикл. математика и механика. 1966. Т. 30, № 1. С. 177—182.
41, О некоторых задачах движения жидкости
591
’ ровании) горизонтальна и проходит ниже оси цилиндра. Если диаметр
струи мал сравнительно с диаметром цилиндра, то раскручивание цилиндра
происходит в естественно ожидаемом направлении — скорость нижней
части цилиндра будет иметь то же направление, что и направление ско-
рости струи. Однако оказалось, что в определенном диапазоне толщин
струи и отклонения оси струи вниз от оси цилиндра нижняя часть цилиндра
получит скорость в противоположную сторону.
Этот эффект был впервые обнаружен М. А. Гольдштиком, им же экс-
периментально были выявлены моменты сил воздействия потока на ци-
линдр.
1. Начнем с некоторых постановок задач движения идеальной жид-
кости.
Задано тело А (конечное или бесконечное, фиг. 1), ограниченное ли-
нией Г, расположенной справа от оси у. Требуется определить течение
жидкости, удовлетворяющее следующим условиям.
1. При х —>—сю искомое движение есть поступательное движение
струи | у | h параллельно оси х со скоростью, равной единице.
2. На свободной поверхности скорость постоянная, т. е. (в силу п. 1)
равна единице.
3. Движение вне тела А потенциальное, без особенностей.
Исследуем устойчивость и существование решения. Рассмотрим слу-
чай, когда Г задается уравнением
х = х (г/), х (у) > О,
где х (у) — однозначная, дважды дифференцируемая функция.
Заметим, что при краевом условии V = 1 на свободной поверхности
решение задачи неустойчиво; именно, можно построить течения, которые
на свободной поверхности | V — 1 | < е будут отклоняться сколь угодно
много (е — сколь угодно мало).
Действительно, пусть линии у — у± (х) и у = у2 (х) при х < — 1 будут
границами искомого потока.
Рассмотрим поток со скоростью 1 при х = —сю, ограниченный ли-
ниями ух = у± (х) и у2 = у2 (х) при | х — 2п | > п и линиями
У = У1 (*) + ±2- cos i, V + 1) ’ У = У2 (х) + -V- cos + 1) •
Нетрудно видеть, что при достаточно большом п построенный поток
будет удовлетворять условию V = 1 на границе сколь угодно точно,
а его граница будет сколь угодно сильно отклоняться от границ точного
решения.
Устойчивость будет достигнута, если решение искать в классе областей,
удовлетворяющих при х < —А условию
I У1 (*) + h\ < Вех, | у2 (х) — h | < Вех.
Здесь у = у± (х), у = у2 (х) суть границы струи.
Укажем путь конструкции решения. Комплексный потенциал искомого
течения w = / (z) будет, очевидно, реализовать конформное отображение
области течения на область А, полученную из полосы | v | < h выкиды-
ванием луча
V = ро, U > О, I Уо I <
592
IV. Механика и математическая физика
При этом границе полосы должны соответствовать свободные границы
течения (фиг. 2), луч (1) должен соответствовать линии Г.
Свободные границы Гх и Г2 должны быть подобраны так, чтобы на Гх
и Г2 имели
I/' (г) I = 1.
Пусть z = ф (w) — функция, обратная функции /. Рассматриваемая
задача сводится к следующей. В области А нужно определить функцию
F (w) = log ф' (ш) = a (u, v) + ib (и, и)
так, чтобы удовлетворялись следующие условия.
На прямых v = + h функция
\а (u, v) = а (и, +/0 = 1.
|На луче v = р0, и У> 0 функция b (и, р0) должна быть определена так»
чтобы наклон касательной к Г в точке, соответствующей точке и, и О
луча, был бы равен Ъ (и, р0)
Величину b (и, vQ) можно задавать «произвольным образом» как функ-
цию и; затем, решив смешанную задачу, получить классы движения с раз-
личными Г.
Теорему существования и единственности можно получить вариацион-
ным методом. Эффективным здесь будет метод последовательных прибли-
жений: фиксируя нижнюю свободную границу, можно подобрать верх-
нюю, затем по верхней границе — подобрать новую нижнюю и т. д.
Приведенные выше соображения можно распространить также на
случай, когда А имеет конечный размер. В отличие от разобранного ранее
случая, решение задачи не будет однозначно определено заданием тела
и струи при х -> —оо. При этих данных получится семейство решений,
зависящее от одного параметра. Этот параметр можно определить, на-
пример, задавая или точку слияния струй за телом или цикруляцию ско-
ростей около тела.
41. О некоторых задачах движения жидкости
593
Рассмотрим приближенный метод решения задачи при малом h. За Г
примем окружность единичного радиуса с центром на оси у.
При этих условиях с точностою до малых высшего порядка в окрест-
ности точки раздвоения струи (фиг. 2) можно считать прилегающую дугу
окружности за прямую, касательную к Г в точке ее пересечения с осью х.
Тогда по теореме о количестве движения для толщины hr и h2 верхней и
нижней струи легко получить
_1 — sin а
1 + sin а
Здесь а — угол, образуемый осью х и окружностью Г.
Кроме того, из обратимости движения вытекает, что течение в окрест-
ности точки соединения струй за телом должно быть симметричным с те-
чением в зоне расщепления струи: течение будет симметрично относи-
тельно некоторой прямой, проходящей через центр круга.
Опираясь на приближенные формулы конформных отображений узких
полос и на условие, что на свободной поверхности скорость должна быть
постоянной, нетрудно видеть, что вне окрестностей точки разветвления
и слияния струй свободные поверхности раздвоенной струи можно при-
нять за окружности соответственно радиусов 1 hr и 1 Д2.
Приведенное приближенное решение задачи непосредственно пере-
носится на случай тела, ограниченного произвольной достаточно гладкой
кривой (кривизна должна удовлетворять условию Гёльдера). Решение
может быть уточнено с учетом скорости потока в тонкой полосе в направ-
лении нормали к полосе
dV _ да __ j,
~дп ~ ~ds~ ~~
j Здесь К — средняя кривизна границы полосы,
Используя. приближенную теорию движения жидкости между двумя
близкими поверхностями, можно построить приближенное решение за-
дачи на обтекание шара (замкнутой поверхности) тонкой струей, имеющей
цилиндрическую форму в точке х = —оо.
2. Рассмотрим устойчивость шарика в вертикальной струе. Вернемся
к плоской задаче обтекания круга тонкой струей. Физически очевидно,
что если ось струи проходит через центр обтекаемого круга, то точка схода
струй находится на одном диаметре с точкой разветвления струй. Дви-
жение, возможное в схеме идеальной жидкости, когда точка схода сме-
щена, реализоваться не будет, ибо при любой малой вязкости потеря ско-
рости в струе на более длинном участке будет большей, чем на более ко-
ротком, а струя с большой скоростью будет сбивать струю с меньшей ско-
ростью в сторону конца диаметра, выходящего из точки разветвления.
Сформулированный принцип можно распространить и на случай, когда
ось струи не проходит через центр круга. Как и в симметричном случае,
в первом приближении можно считать, что точка схода будет находиться
на одном диаметре с точкой разветвления. Если дополнительно учесть,
что более толстая часть струи на одной и той же длине пробега будет терять
скорость меньше, чем более тонкая, то придем к выводу, что ось струи
будет расположена несколько выше конца диаметра, выходящего из точки
разветвления струи.
594
IV. Механика и математическая физики
Отсюда, используя схему
идеальной жидкости можно сделать,
следующее заключение: если ось
струи будет пересекать обтекав-
-----------------мый контур под углом а, то пос-
-----------------------------------_ле обтекания при а:->+ос ось
—--------------------------------'_ струи будет образовывать с осью х
/ \ угол, больший чем 2а; струя будет
-------—~действовать на круг с силой, про-
порциональной а, в направлении,
фиг. 3--перпендикулярном к диаметру кру-
га, выходящего из точки разветв-
ления струи; сила будет направлена к оси струи; шарик будет устойчив,
в струе.
Из того, что более толстая часть струи будет занимать больше половины
обтекаемой окружности, вытекает второй факт — если ось струи будет
проходить ниже центра круга, то круг будет вращаться против часовой
стрелки.
3. Рассмотрим несколько схем движения жидкости, когда в области
течения имеются завихренные зоны (фиг. 3).
Простейшим видом такого движения можно считать движение идеаль-
ной жидкости над осью х при следующих условиях. Вне некоторой об-
ласти D движение потенциально и в бесконечности имеет заданную ско-
рость Уо. В области D течение имеет постоянную завихренность с интен-
сивностью (О.
Линию раздела — границу D требуется определить так, чтобы при
переходе границы скорость потока менялась непрерывно.
Такое движение существует и единственно. В силу принципа подобия
при фиксированной скорости Уо, очень малых со, область D сколь угодно
велика, при увеличении со область D подобно сжимается, и при со —> оо
диаметр D стремится к нулю.
Рассмотрим теперь ту же задачу для случая, когда основное движение
есть струя конечной ширины h.
Допустим, что искомое решение задачи есть область D, у которой пло-
щадь и диаметр конечны, также конечна (не превосходит определенной
константы) кривизна границы. При этих условиях, если h fe0, где fe0 —
некоторая константа, решение задачи не существует.
Приведем качественное обоснование утверждения. Будем предполагать,
дополнительно, что граница Г области D — выпуклая линия. Допустим
теперь противное: h мало сравнительно с диаметром и величиной обратной
производной кривизны К границы Г (фиг. 4).
Рассмотрим точку А линии Г, расположенную на оси х, и точку В на Г
на расстоянии а от точки А. Пусть а мало, но велико сравнительно с h,
а х ]/'д.
Тогда в точке В скорость потока в D будет мала, ибо скорость этого
потока в точке А равна нулю, а производная скорости конечна. С другой
стороны, из условия, что а^> Д, скорость потенциального потока в точке В
будет сколь угодно близка Уо.
41, О некоторых задачах движения жидкости
595
Таким же рассуждением можно убедиться в существовании и несуще-
ствовании (при достаточно малом h и конечных рамзерах D) движений
следующего вида (фиг. 5). Область, занятая жидкостью, состоит из об-
ластей D и А; область D ограничена отрезком оа оси х, отрезком ob оси у
и линией Г; движение жидкости в D есть движение с постоянной завихре-
ностью со; область в А есть полоса, ограниченная снизу лучом (а, о©) оси х,
лучом (6, ос) оси у, линией Г и сверху линией у с асимптотами у = h и
х = k; движение в А потенциально. На границе Г скорости обоих течений
совпадают. Представляет интерес дать оценку для h в зависимости от
размеров D, при которых решение существует и не существует.
4. Вернемся к задаче обтекания струей цилиндра. При симметричном
обтекании цилиндра струей, конечной или бесконечной ширины, в зоне
соединения струй, за телом образуются вихри. Опишем схему в терминах
идеальной жидкости, наиболее близкую к действительности. Пусть центр
обтекаемого круга (сечения цилиндра) расположен в начале координат,
а скорость струи в бесконечности параллельна оси х. Тогда часть течения,
расположенного над осью х, будет состоять из течения с постоянным за-
вихрением со в области D, ограниченной дугой обтекаемой окружности,
отрезком оси х и дугой Г, соединяющей конец дуги окружности с концом
отрезка оси х\ вне D течение потенциально.
Если ширина струи 2h бесконечна или велика сравнительно с радиусом г
обтекаемой окружности, то размер области D может быть любым от нуля
до некоторой величины кг (к <2 1). С уменьшением h постоянная к бу-
дет убывать, и при малом h (h г) предельный размер D будет поряд-
ка h (так же, как в описанном выше течении внутри координатного
угла).
Если допустить жидкость вязкой, то описанного выше установивше-
гося движения не существует: зародившаяся малая вихревая зона будет
расти и в некоторый момент отделится от тела; из приведенных выше рас-
смотрений естественно считать, что при меньших h момент отделения
вихревой зоны будет соответствовать меньшим диаметрам вихревой
зоны.
Интересно проверить экспериментально, будет ли отрыв соответ-
ствовать максимальному размеру D в простейшей схеме идеальной жид-
кости.
596 IV. Механика и математическая физика
Вернемся к основной физической задаче обтекания цилиндра струей,
когда ширина струи соизмерима с размерами тела, а ось струи не прохо-
дит через ось цилиндра. В силу изложенного выше, в качестве основного
движения примем бесциркуляционное обтекание.
Даже при сколь угодно малой вязкости, при принятом в начальный
момент основном движении в зоне соединения струй начнут образовы-
ваться две вихревые зоны Dr и Z>2, растущие со временем. Оба вихря по
достижении критического размера будут срываться; однако срывающаяся
вихревая зона около тонкой струи будет меньше, чем соответствующая
зона около толстой струи. В области толстой струи (в среднем), дуга окруж-
ности, вдоль которой будет иметь место обратный по отношению к движе-
нию струи поток, будет больше соответствующей дуги в области тонкой
струи. В силу трения эти обратные потоки будут давать дополнительные
моменты. Так как момент в зоне толстой струи будет больше, чем в зоне
тонкой, то результирующий момент будет вращать цилиндр в направле-
нии, обратном движению толстой струи.
СОДЕРЖАНИЕ
От редколлегии........................................................ 3
Биографический очерк.................................................. 5
Научная деятельность М. А. Лавреньева................................ 10
Указатель научных трудов М. А. Лавреньева............................ 28
11
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
1. Об исследовании гомеоморфных множеств............................. 45
2. О представлении измеримых 7?-функций трансфинитными рядами
полиномов ....................................................... 47
3. К теории гомеоморфных множеств.................................... 53
4. О подклассах классификации Бэра................................... 62
5. О конформном отображении.......................................... 64
6. О соответствии границ в конформном отображении.................... 66
7. Об одной проблеме П. Монтеля...................................... 69
8. Об одной проблеме максимума в конформном отображении .... 70
9. К теории конформных отображений................................... 72
10. О двух экстремальных задачах.................................... 139
И. О некоторых свойствах однолистных функций........................ 147
12. О функциях комплексного переменного, представимых рядами по-
линомов ........................................................ 149
13. О некоторых граничных задачах в теории однолистных функций . . . 186
14. О непрерывности однолистных функций в замкнутых областях... 216
II
КВАЗИКОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
15. Об одном классе непрерывных отображений......................... 219
16. Об одном классе непрерывных отображений......................... 237
17. Об одном дифференциальном признаке гомеоморфных отображений
трехмерных областей............................................. 240
18. Об одном классе квазиконформных отображений в газовых струях 241
19. Квазиконформные отображения и их производные системы .... 243
20. Теория квазиконформных отображений.............................. 246
21. Основная теорема теории квазиконформных отображений плоских
областей........................................................ 258
22. Устойчивость в теореме Лиувилля................................. 297
23. К теории пространственных отображений........................... 299
24. Об одной задаче на склеивание................................... 303
25. К теории отображений трехмерных областей........................ 308
26. Краевые задачи и квазиконформные отображения.................... 314
Ill
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
27. Об одном дифференциальном уравнении первого порядка..... 320
28. О некоторых приближенных формулах в задаче Дирихле . , , . . 330
29. К проблеме уравнений смешанного типа (совместно с А. В. Бица-
дзе)........................................................ 333
30. Задача Дирихле для узкого слоя.......................... 337
31. О некоторых краевых задачах для систем эллиптического типа . . . 342
IV
МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
32. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы .... 355
33. Об одной экстремальной задаче в теории крыла аэроплана .... 405
34. К теории струй.......................................... 450
35. О некоторых свойствах струйных течений ................. 452
36. К теории струйных течений............................... 454
37. О некоторых свойствах однолистных функций с приложениями к тео-
рии струй................................................... 456
38. К теории длинных во.»н.................................. 524
39. Кумулятивный заряд и принципы его работы................ 570
40. Проблема пробивания при космических скоростях........... 586
41. О некоторых задачах движения жидкости при наличии свободных
поверхностей................................................ 590
CONTENTS
у
Preface.................................................................. 3
Biographic essay......................................................... 5
Scientific activity of M. A. Lavrentyev.................................. Ю
Bibliogrpahy of M. A. Lavrentyev’s scientific works..................... 28
I
THEORY OF FUNCTIONS
1. On studying homeomorphic sets....................................... 45
I 2. Representation of measurable В-functions by transfinite polynomial
series............................................................... 47
3. To the theory of homeomorphic sets............................... 53
I 4. On subclasses in the Baire classification.......................... 62
5. On conformal mapping............................................... 64
1 6. Correpondence of boundaries in conformal mapping.................. 66
! 7. On one Mon tel problem............................................ 69
4 8. On one problem of maximum in conformal mapping.................. 70
9. To the theory of conformal mapping.................................. 72
10. On two extremum problems........................................... 139
1 11. Some properties of schlicht functions.............................. 147
12. Functions of complex variable represented by polynomial series . . . 149
: 13. Some boundary-value problems in the theory of schlicht functions . 186
14. On continuity of schlicht functions in closed domains.............. 216
f II
QUASICONFORMAL MAPPINGS
.1 15. On a class of continuous mappings.................................. 219
I 16. On a class of continuous mappings.................................. 237
17. On a differential criterion of homeomorphic mappings of three-dimen-
.sional domains......................................................... 240
18. On a class of quasiconformal mappings in gas jets................. 241
19. Quasiconformal mappings and their derivative systems.............. 243
1 20. The theory of quasiconformal mappings.............................. 246
21. The basic theorem in the theory of quasiconformal mappings of flat do-
| mains............................................................. 258
22. Stability in the Luiville theorem . . .............. 297
23. To the theory of spatial mappings . . «.............. 299
I 24. On one sewing problem.............................................
I 25. To the theory of mappings of three-dimensional domains............. 308
> 26. Boundary-value problem and quasiconformal mappings................. 314
Ill
DIFFERENTIAL E QUATIONS
27. On the first-order differential equation......................... 320
28. Some approximate formulas in the Dirichlet problem............... 330
29. To the problem of mixed — type equations (in co-auth. with A. V. Bit-
sadze)................................................................ 333
30. The Dirichlet problem for a thin layer........................... 337
31. Some boundary-value problems for elliptic-type systems........... 342
IV
MECHANICS AND MATHEMATICAL PHYSICS
32. On the construction of flow around an arc of a prescribed form .... 355
33. On one extermal problems in the airfoil theory................... 405
34. To the jet theory................................................ 450
35. On some properties of jet flows.................................. 452
36. To the theory of jet flows....................................... 454
37. On some properties of schlicht functions with application to the jet
theory................................................................ 456
38. To the theory of long waves...................................... 524
39. Cumulative charge and principle of its operation................. 570
40. The problem of perforation under cosmic velocities...............£586
41. On some problems of motion of fluid with free surfaces........... 590
Михаил Алексеевич ЛАВРЕНТЬЕВ
Избранные труды
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Утверждено к печати Институтом гидродинамики .им. М. А. Лаврентьева
Редактор издательства Л. Д. Рябчук. Художественный редактор М. А. Храмцов
Технический редактор И. Н. Жмуркина. Корректоры Н. Б. Габасова, Р. 3. Землянская
ИБ № 47321
Сдано в набор 27.10.89. Подписано к печати 6.08.90. Формат 7ОХ1ОО’Лб
Бумага типографская № 1. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л. 48,92. Усл. кр. отт. 50,22. Уч.-изд. л. 43,2. Тираж 1700 экз. Тип. зак.
Цена 9 р. 10 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
117864, ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука», 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6