М. Г. КРЕЙН, А. А. НУДЕЛЬМАН
ПРОБЛЕМА
МОМЕНТОВ МАРКОВА
И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ
ЗАДАЧИ
ИДЕИ И ПРОБЛЕМЫ
П. Л. ЧЕБЫШЕВА И А. А. МАРКОВА
И ИХ ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1973

517.2
К 79
УДК 517.5
Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. (Идеи и
проблемы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова и их дальнейшее
развитие.) М. Г. К р е й и, А. А. Н у д е л ь м а н. Издатель-
Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литера-
литературы, М., 1973.
В книге рассматривается с современных позиций большой
круг вопросов, ведущих свое начало от классических работ П. Л. Че-
Чебышева и А. А. Маркова. Показано, как результаты и методы обоб-
обобщенной проблемы моментов переплетаются с различными вопро-
вопросами геометрии выпуклых тел, алгебры и теории функций. С этих
позиций детально исследуется структура выпуклых и конических
оболочек кривых, устанавливаются изопериметрические неравен-
неравенства для выпуклых оболочек; строится теория ортогональных и
квазиортогональных многочленов; обобщаются и решаются задачи
Петербургской школы «о предельных величинах интегралов»,
о наименее уклоняющихся (в различных метриках) функциях;
решаются задачи теории приближения, теории интерполирования
и экстраполирования в различных классах функций (аналитиче-
(аналитических, абсолютно монотонных, почти периодических и др.), а так-
также некоторые задачи теории оптимального управления линейными
объектами.
Заключительная глава посвящена установлению принципа
двойственности между задачами наилучшего приближения в нор-
нормированном пространстве и абстрактной L-проблемой моментов
и различным его иллюстрациям.
Кпига рассчитана на широкий круг читателей, ее содержание
доступно уже для студентов 3-го курса механико-математических
специальностей университетов и' педагогических институтов, и
только последняя глава предполагает знание элементов функци-
функционального анализа.
Библ. названий 250, рис. 5.
0223-1740
К 042 @2) = 73 'Г) - 73

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Введение 15
Глава I. Выпуклые и упорядочение выпуклые множества 17
§ 1. Основные определения и теорема Минков-
ского 17
§ 2. Масштабная и опорная функции Минков-
ского 21
§ 3. Конусы и конические оболочки 24
1. Выпуклые конические множества B4).
2. Коническая оболочка B6). 3. Основная
теорема о конической оболочке B8). 4. Об
одной задаче А. А. Маркова о сопряжении
железнодорожных путей C2).
§ 4. Упорядоченно выпуклые множества ... 36
1. Основные определения C6). 2. Свой-
Свойства открытых упорядоченно выпуклых мно-
множеств C7). 3. Строго упорядоченно выпук-
выпуклые множества D0).
§ 5. Выпуклые и одновременно упорядоченно
выпуклые множества 42
§ 6. Изотонные функции 44
§ 7. Теорема Хелли о пересечении выпуклых
множеств 46
Примечания к главе I 48
Глава II. Системы функций Чебышева 50
§ 1. Основные свойства систем функций Чебы-
Чебышева 50
1. Т-системы E0). 2. Свойства многочле-
многочленов Т-системы E3).
§ 2. Примеры 59
§ 3. Аппроксимация аналитическими функциями 63
1. Аппроксимация Г-систем F3). 2. Ап-
Аппроксимация периодических Х-систем F5).
§ 4. Системы Маркова 67
§ 5. Структура Л/+-системы 72
§ 6. Специальные Г-системы 79
Примечания к главе II ... . 81

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Канонические представления обобщенных мо-
моментов 83
§ 1. Основная теорема о позитивных последо-
последовательностях 84
§ 2. Некоторые приложения 87
1. Неотрицательные тригонометрические и
алгебраические многочлены (88). 2. Сте-
Степенная проблема моментов (90). 3. Три-
Тригонометрическая проблема моментов (93).
4. Проблема Неванлинны — Пика в различ-
различных классах функций (95).
§ 3. Максимальная масса момеитной последова-
последовательности 102
1. Максимальная масса A02). 2. Вычисле-
Вычисление р (!;) для степенных моментов A04).
§ 4. Канонические представления моментной по-
последовательности для Г-системы 109
1. Канонические представления A09). 2. Об
определенности проблемы моментов A14).
3. Построение канонических представлений
для степенных моментов A15). 4. Выра-
Выражение <Х (t) через ортогональные много-
многочлены A17).
§ 5. Существование главных представлений. . . 119
1. Вспомогательные предложения A19).
2. Существование главных представлений
A21). 3. Главные представления степен-
степенных моментов A21). 4. Выражение через
ортогональные многочлены A22). 5. Одно-
Одноступенчатые продолжения степенной момент-
моментной последовательности A23).
§ 6, Движение масс канонических представлений 125
1. Случай нечетного п A25). 2. Случай
четного п A28).
§ 7. Представления с индексами п + Зип + 4 130
1. Представления индекса п -\- 3 A30).
2. Движение масс представлений индекса
п -\- 3 A32). 3. Представления индекса
п -(- 4 A34). 4. Движение масс представле-
представления индекса ^ п + 4 A35).
§ 8. Изопериметрические неравенства для вы-
выпуклых оболочек 137
1. Вычисление объема выпуклой оболочки
A37). 2. Изопериметрическое неравенство в
.R2v A41). 3. Изопериметрическое неравенство
в iJ2v+1 A41).
Примечания к главе III 148
Глава IV. Проблема Чебышева — Маркова 149
§ 1. Механические квадратуры и решение одной
экстремальной задачи 150
1. Механические квадратуры A50). 2. Экс-
Экстремальные значения интеграла A51)..

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 2. Некоторые приложения 154
1. Неравенство для выпуклых функций
A54). 2. Задачи Стилтьеса и Поссе A55).
3. Важный#частный случай A58). 4. Важ-
Важное тождество A60). 5. Новые выражения для
<2*@ A61).
§ 3. Неравенства Чебышева — Маркова ... . 163
1. Постановка задачи A63). 2. Три^интер-
поляционные леммы для М+-систем A63).
3. Неравенства Чебышева — Маркова A71).
§ 4. Общие теоремы об экстремальных значе-
значениях интегралов 174
§ 5. Обратные теоремы 180
1. Постановка вопросов A80). 2. Ответ на
первый вопрос A81). 3. Ответ на второй
вопрос A85). 4. Обратная теорема для не-
неравенств Чебышева — Маркова A86).
§ 6. Геометрический подход 189
1. Геометрический метод A89). 2. Строе-
Строение дК (V) A90).
§ 7. Описание всех решений степенной проблемы
моментов в конечном интервале 195
1. Лунки G (z; s(n)) A95). 2. Случай чет-
четного п A98). 3. Случай нечетного п B00).
§ 8. Случай Г-системы периодических функций 201
1. Основные свойства многочленов перио-
периодических Г-систем B01). 2. Канонические
представления B02). 3. Область G, отве-
отвечающая продолженной моментной последо-
последовательности B03). 4. Тригонометрическая
проблема моментов B09). 5. Проблема
Каратеодори и описание ее решений B14).
6. Задача Каратеодори — Фейера B19).
7. Задача И. Шура B23).
Исторические комментарии и примечания к гла-
главе IV 225
Глава V. Проблема моментов на полубесконечном или
бесконечном интервале 234
§ 1. Общие положения 234
1. Обобщеппыо моменты на полубесконечном
интервале B34). 2. Канонические пред-
представления B38). 3. Экстремальные значе-
значения интегралов B39). 4. Неравенства Че-
Чебышева B42). 5. Проблема моментов на
бесконечном интервале B46).
§ 2. Интерполяция абсолютно монотонных функ-
функций 249
§ 3. Интерполяционная задача для функций
класса &~ 253
1. Критерий разрешимости B53). 2. Экстре-
Экстремальные решения B55). 3. Нахождение

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
экстремальных решений B56). 4. Связь со
степенной проблемой B58).
§ 4. Описание всех решений проблемы моментов
Стилтьеса 260
§ 5. Описание всех решений интерполяционной
задачи в классе ё~ 262
§ 6. Об определенности проблемы Стилтьеса и
трех интерполяционных задач при бес-
бесконечном число данных 266
1. Проблемы Гамбургера и Стилтьеса B66).
2. Определенность интерполяционной зада-
задачи для абсолютно монотонных функций
B69). 3. Определенность интерполяцион-
интерполяционной задачи для функций, класса <??" B70).
4. Проблема Неванлшшы — Пикав классе <®
B73).
Примечания к главе V 277
Глава VI. Проблема Чебышева — Маркова с момента-
моментами из параллелепипеда 278
§ 1. Конусы К (U), обладающие марковским
свойством 279
1. Теорема о параллелепипеде B79). 2. При-
Примеры B82). 3. Об одной задаче П. Л. Че-
Чебышева B86). 4. Обратная теорема B89).
§ 2. Экстремальные значения интеграла по все-
всему интервалу 293
1. Экстремальные значения интеграла B93).
2. Задача А. А. Маркова B95). 3. Приме-
Применение к абсолютно монотонным функциям
B96). 4. Применение к функциям клас-
класса ё~ B97).
§ 3. Движение масс главных представлений при
изменении моментов 298
1. Движение масс главных представлений
B98). 2. Теорема о корнях и вторая часть
теоремы об определителях C01). 3. Случай,
когда моментная точка с приближается к
дК (U) C02).
§ 4. Движение масс канонических представлений
при изменении моментов 304
1. ^-главные поверхности C04). 2. Дви-
Движение масс канонических представлений
C07). 3. Случай, когда моментпая точка с
приближается к дК (U) C08).
§ 5. Экстремальные значения интеграла по час-
части интервала 309
1. Вспомогательное предложение C09).
2. Изотонность экстремальных значений ин-
интеграла C10). 3. Случаи, когда Ж пересекает-
пересекается с ^-главной поверхностью C12).
Историчоскио комментарии и примечания к гла-
главе VI 314

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава VII. Проблема Маркова , 316
§ 1. (ф, я|))-проблема 317
1. Постановка задачи C17). 2. Тело $ (ф, я(>)
C18). 3. Критерий разрешимости и опре-
определенности C20).
§ 2. Степенная @, Ь)-проблема и тригонометри-
тригонометрическая (— L, 1,)-проблема 323
1. Критерий разрешимости степенной @, L)-
проблемы C23). 2. (О, Ь)-канонические
представления C25). 3. Тригонометрическая
(— L, ?)-проблема C27).
§ 3. Канонические представления (ф, я|))-момопт-
ной последовательности. Экстремальные зна-
значения интегралов 328
1. Строение д§, (<р, г|)) C28). 2. Главные
представления C31). 3. Канонические пред-
представления C34). 4. Построение канонических
представлений для степенной @, Ь)-ироблемы
C37). 5. Канонические представления для
тригонометрической (— L, Ь)-проблемы мо-
моментов C39).
§ 4. Неравенства Маркова 342
§ 5. Об одной минимум-проблеме 345
1. Постановка задачи C45). 2. Геометри-
Геометрическое решение C46). 3. Обобщенная за-
задача Чебышева — Стилтьеса C48). 4. При-
Пример C50). 5. Обобщенная задача Поссе
C54).
§6. (ф, я())-проблема с изменяющимися моментами 358
1. Изменение главных представлений. Тео-
Теорема о параллелепипеде C58). 2. Экстре-
Экстремальные значения интеграла по всему ин-
интервалу C62). 3. Экстремальные значения
интеграла по части интервала C63). 4. Одна
минимум-проблема C67).
§ 7. Одно обобщение (ф, г|;)-нроблемы и задача об
оптимальном управлении 369
1. Обобщение (ф, г|;)-нроблемы C69). 2. Оп-
Оптимальное управление по быстродействию
C72).
Исторические комментарии и примечания в гла-
главе VII 376
Глава VIII. Проблема Чебышева — Маркова на несвяз-
несвязном линейном компакте 380
§ 1. Г-системы на компакте 381
1. Г-системы и Г+-системы C81). 2. Индекс
относительно Е C82). 3. Свойства Г+-сис-
тем на Е C86).
§ 2. Основные теоремы о позитивных последо-
последовательностях 387
1. Позитивность на ?C87). 2. Примеры C88).

8 ОГЛАВЛЕНИЙ
§ Э. Максимальная масса. Канонические и глав-
главные представления) 392
1. Определение и пример C92). 2. Кано-
Канонические представления. Признаки макси-
максимальности массы C93). 3. Существование
главных представлений C96). 4. Экстре-
Экстремальные значения интегралов C99).
§ 4. Перемежаемость масс канонических представ-
представлений 400
§ 5. Минимальная масса 403
1. Определение и признаки минимальности
массы D03). 2. Вычисление pmfn (?) с помо-
помощью S D07).
§ 6. Канонические представления на Ет . . . 408
1. Канонические представления на Ёт D08).
2. Движение масс D11).
§ 7. Канонические представления на целочис-
целочисленном компакте 413
1. Канонические представления на N D13). 2.
«Смещение» блоков D15). 3. «Движение» масс
D17).
§ 8. Абсолютно мотонныо функции на конечном
интервале 418
§ 9. Гладкая (ф, ^-проблема на Ет 424
1. Постановка задачи и критерий разреши-
разрешимости D24). 2. Канонические представле-
представления D25). 3. Свойства канонических пред-
представлений D27). 4. Неравенства Марко-
Маркова D28). 5. Проблема Неванлинны —
Пика в классе $ (Ет) D29). 6. (ф, г|з)-проб-
лема на Ет и оптимальные управления D36).
Примечания к главе VIII 437
Глава IX. Абстрактная i-проблема, принцип двойст-
двойственности и некоторые приложения ... . 439
§ 1. L-проблема в линейном нормированном про-
пространстве .' 440
1. Основная теорема D40). 2. Экстремаль-
Экстремальные и нормальные элементы D42). 3. Слу-
Случай строго нормированного пространства
D45). 4. Обобщения основной теоремы D46).
§ 2. L-проблема и наилучшее приближение в
пространстве Li (а, Ъ) 447
1. L-проблема в пространстве Li (а, Ь) D47).
2. Наилучшее приближение многочлена-
многочленами D50). 3. Об одной нерешенной зада-
задаче D56). 4. Об одной задаче Ф. Рисса и
проблеме Неванлинны — Пика в классах Hv
(<57). Р
§ 3. Наилучшее приближенное решение несов-
несовместной системы линейных уравнений . . 460

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
1. Ь-проблема в конечномерном простран-
пространстве D60). 2. Применение к несовместным
системам линейных уравнений D63). 3. Ме-
Метод Шнирельмана. Теорема Ремеза D65).
4. Решение задачи в частных случаях сред-
средствами статики D66).
§ 4. Ь-проблема и наилучшее приближение в
пространстве С (а, Ь) 471
1. L-проблема в пространстве С (а, Ъ) D71).
2. Наилучшее приближение многочлена-
многочленами D75). 3. Случай комплексного простран-
пространства D78).
§ 5. L-проблема в пространстве с несимметрич-
несимметричной нормой 482
1. Общие предложения D82). 2. (к, [^-нор-
[^-норма D84). 3. (ф+, ф..)-норма D87). 4. Наи-
Наилучшее приближение многочленами в (ф+, (р_)-
норме D90).
§ 6. Теорема об ужах и следствия из нее . . . 492
1. Теорема об ужах D92). 2. Случай, когда
коридор образован ужами D95). 3. Пред-
Представление неотрицательных многочле-
многочленов D97).
§ 7. L-нроблема в пространство ночти-периодиче-
ских функций Степанова 501
1. iS-функции E01). 2. Ь-проблема для
«^-функций E03). 3. Основная теорема E05).
§ 8. L-проблома и теория оптимальных управле-
управлений 511
1. Постановка задачи E11). 2. Сведение к
L-проблеме E12). 3. Пример E13).
Примечания к главе IX 515
Приложение. Интегральные представления анали-
аналитических функций некоторых специальных
классов 519
1. Функции классов <d? и ^ E19). 2. Функ-
Функции класса $ E22). 3. Функции класса
М [а, Ъ] E25). 4. Функции класса <?> fa, Ъ]
E27). 5. Функции класса ё (Ет) E28).
Примечания к Приложению 530
Цитированная литература . 531
Предметный указатель , 547

ПРЕДИСЛОВИЕ
Последние десятилетия отмечены непрерывным рос-
ростом удельного веса исследований, посвященных пробле-
проблемам математического программирования,— явление, обу-
обусловленное, в частности, тем, что математическое програм-
программирование находит важные приложения в экономических,
технических и народнохозяйственных задачах. Предмет
этих исследований, как правило, составляют задачи
на определение наименьших и наибольших значений неко-
некоторых функционалов при ограничениях, в силу которых
искомое значение функционала достигается не внутри об-
области, выделяемой заданными ограничениями, а на ее
границе, которая притом может иметь весьма сложную
структуру.
Последнее обстоятельство усложняет и большей частью
делает невозможным использование классического ап-
аппарата при решении этих задач.
В связи со сказанным выше в особом свете предстает
ряд исследований, начатых еще в прошлом веке Петер-
Петербургской школой, в которых впервые, и притом система-
систематически, изучались такого рода «неклассические>> задачи
на экстремум. Мы имеем в Виду не только созданную
П. Л. Чебышевым теорию функций, наименее уклоняющих-
уклоняющихся от нуля, названную Ж. Бертраном «чудом анализа»,
но гораздо более широкий фронт исследований, открытых
великим математиком и его учениками (А. Н. Коркиным,
Е. И. Золотаревым, А. А. Марковым, а также К. Поссе).
Сюда входили исследования по теории функций, наи-
наименее уклоняющихся от данной в равномерной (чебышев-
ской) норме, а также,— если пользоваться современной тер-
терминологией, — в норме пространств L2 и 1/г и даже в про-
пространствах с несимметричной нормой; открытие некоторых
замечательных биортогональных систем, связанных с мет-

ПРЕДИСЛОВИЕ {{
рйкой ?х; исследования по теории «предельных величин»
интегралов, позволившие при достаточно общих пред-
предположениях установить центральную предельную теорему
теории вероятностей, по теории квадратурных формул но-
нового типа и связанных с ними вопросов проблемы момен-
моментов.
А. А. Марков был первым, кто осознал, что в этом боль-
большом комплексе вопросов существует ключевая проблема и
направил свои усилия на ее развитие; мы будем ее называть
(с, С)-проблемой моментов Маркова. Эта проблема состоит
в следующем: заданы вещественные числа с и С (с <^С)
и две конечные последовательности — последователь-
последовательность чисел {cft}o и последовательность непрерывных функ-
функций {uk (i)}o (a ^ t г?С Ъ). Требуется:
а) найти критерий разрешимости, т. е. критерий пред-
представимости последовательности {ch}^ в виде
ь
ck = \uk(t)f{t)dt (A = 0,1,..., га), A)
с < / @ < С; B)
б) найти условия, при которых разрешимая проблема
является определенной (т. е. имеет в существенном един-
единственное решение) или неопределенной (в противном
случае) J);
в) в неопределенном случае описать, если не все реше-
решения, то по крайней мере, в известном смысле, простейшие
из них.
Предельным случаем (с, С)-проблемы при с = 0,
С = -\- оо является обычная обобщенная проблема момен-
моментов; в A) следует заменить / (t) dt дифференциалом Стил-
тьеса da (t) неубывающей функции a (t).
Первая из экстремальных задач, рассмотренных
П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым, состояла в нахожде-
нахождении наибольшего и наименьшего значений интеграла
f (а<т<Ь), C)
когда / (t) пробегает совокупность решений проблемы A).
1) А. А. Марков нашел критерий неоднозначной разрешимости
для степенной (щ (t) = tk) @, Ь)-проблемы.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
Эти значения достигаются на некоторых простейших ре-
решениях, называемых теперь каноническими.
При некоторых специальных предположениях отно-
относительно рассматриваемых функций А. А. Марков впервые
обнаружил, что задача о наилучшем приближении в мет-
метрике ?х сводится к нахождению наименьшего L, при ко-
котором некоторая (—L, Х)-проблема разрешима, т. е., вы-
выражаясь современным языком, впервые установил двойст-
двойственную связь между двумя экстремальными задачами.
Для формулировки двойственных задач теории при-
приближений наиболее естественным является путь, исполь-
использующий общий вид функционалов в соответствующих про-
пространствах. И если А. А. Маркову удалось миновать этот
не проложенный к тому яремени путь при рассмотрении
наилучшего приближения в метрике Lx (а, Ь), то для случая
С (а, Ъ) двойственная задача в работах Петербургской шко-
школы не фигурировала.
В десятые годы нашего века получила уже достаточное
развитие теория выпуклых тел в ?г-мерном пространстве
(Г. Минковский, К. Каратеодори, Ф. Рисе), которая, как
мы знаем теперь и как показывается в этой книге, позво-
позволяет упростить и обобщить теорию А. А. Маркова.
В этот же период в тесное соприкосновение с кругом
вопросов, открытых исследованиями П. Л. Чебышева и
А. А. Маркова, приходят различные проблемы теории
аналитических функций. Мы здесь имеем в виду блестящий
цикл исследований 1911 года по тригонометрической про-
проблеме моментов и теории аналитических в единичном круге
функций с положительной вещественной частью (исследо-
(исследования К. Каратеодори, О. Теплица, Ф. Рисса и Г. Хер-
глотца, задачу Каратеодори — Фейера), цикл, переросший
позже в интерполяционные исследования И. Шура, Г. Пи-
Пика и Р. Неванлинны. Однако указанным авторам если и
были известны некоторые результаты А. А. Маркова по
проблеме моментов, то лишь самые первые, а именно те,
которые были изложены в диссертации К. Поссе A884 г.).
Слияние двух потоков идей — исследований Петербург-
Петербургской школы и функционально-геометрических исследо-
исследований — способствовало их взаимному обогащению и от-
открыло новые возможности их развития и приложений.
В этой книге мы стремимся продемонстрировать пло-
плодотворность синтеза аналитических и геометрических

Предисловие 13
методов. В ней рассматриваются различные модифика-
модификации задачи о нахождении экстремальных значений ин-
интеграла C) при условиях A) — B) и прослеживается
связь этих задач с экстремальными задачами, возникаю-
возникающими в различных областях анализа, конструктивной
теории функций, теории аналитических функций, ма-
математического программирования, функционального ана-
анализа, а также с задачами геометрии n-мерного простран-
пространства. Интересно, что для приложений полезны не только —
и даже не столько — окончательные факты, сколько
сопутствующие вспомогательные и подготовительные ре-
результаты. В силу этого «практически полезные» иллю-
иллюстрации приводятся в каждой главе, включая первую.
Книга завершается главой, в которой изложенные
исследования обозреваются с общих позиций функцио-
функционального анализа и продолжаются в новых направ-
направлениях. В основу этой главы была положена статья
М. Г. Крейна [11], получившая в нашей книге дальней-
дальнейшее развитие.
Перечисленными выше областями не исчерпывается
«сфера влияния» результатов и методов проблемы момен-
моментов. В капитальной книге С. Карлина и В. Стаддена [1]
читатель может найти многочисленные приложения тео-
теории моментов в теории вероятности и статистике, в вопро-
вопросах аппроксимации сплайн-функциями и др. Отличаясь
направленностью приложений, обе книги имеют значи-
значительное пересечение: для обеих книг отправной была
статья одного из соавторов этой книги (М. Г. Крей-
Крейна [5]).
Мы оказались в этой части в более выигрышном положе-
положении, так как, во-первых, смогли учесть опыт американских
авторов, во-вторых, от их внимания ускользнули работы
некоторых русских и советских математиков и в том
числе второго соавтора (А. А. Ыудельман [2] —[7]), в-тре-
в-третьих, при написании книги мы получили ряд новых
результатов. Благодаря всему этому в нашей книге некото-
некоторые вопросы освещены с большей полнотой. В частности,
здесь впервые, как нам представляется, разъясняются
некоторые работы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, пря-
прямо относящиеся к изучаемому кругу вопросов, которые до
настоящего времени, видимо, из-за трудного изложения,
не были оценены в достаточной степени.

14 ПРЕДИСЛОВИЙ
Хотя в обеих книгах изучается только «усеченная»
проблема моментов (для конечной последовательности
заданных моментов), мы доводим описание множества реше-
решений в некоторых классических задачах до такой полноты,
что становится прозрачным переход к «неусеченной» про-
проблеме моментов (для бесконечной последовательности дан-
данных моментов), и во многих случаях мы излагаем, хотя и в
обзорном порядке, основные результаты для этого «беско-
«бесконечного» случая. В частности, это относится к знаменитым
исследованиям Т. Стилтьеса, Г. Гамбургера, Р. Неванлин-
ны и некоторым новым интерполяционным задачам.
Естественно, что в процессе работы над книгой нам при-
пришлось пересмотреть и сопоставить большое количество
"Статей и мемуаров; среди них солидное место заняли ра-
работы третьей четверти прошлого столетия. Продумывая
заново, казалось бы, хорошо известные труды классиков,
мы обнаруживали для себя много нового и неожиданного
и поражались той идейной глубине и аналитическому ма-
мастерству, с которыми атаковались проблемы, актуальные
и в наше время. Эта актуальность подчеркивается и тем,
что через десятки лет многие из результатов этих исследо-
исследований повторялись, и не всегда в лучшем варианте, совре-
современными авторами.
Мы не раз испытывали чувство удовольствия от «пере-
«переклички двух эпох», убеждаясь в том, что благодаря совре-
современным методам достигается большая прозрачность в ис-
исследованиях классиков, эти исследования приобретают
большую общность и они составляют живую ткань совре-
современных исследований.
Мы будем удовлетворены, если читатель разделит
с нами эти чувства.
Авторы

ВВЕДЕНИЕ
По сложившейся традиции введение, как правило,
включает в себя следующие составные части: историче-
исторический обзор, описание содержания книги по главам и ин-
инструкцию «как пользоваться книгой».
Авторы избавили себя от необходимости подробного
описания во введении содержания книги по главам тем,
что каждую главу сопроводили более или менее кратким
локальным введением или, если угодно, аннотацией, и
при предварительном знакомстве с книгой читателю можно
порекомендовать с ними ознакомиться.
Мы также «облегчили» себе труд составления глобаль-
глобального введения, перенеся его историческую компоненту
(разложив ее предварительно на слагаемые) в примечания
к главам IV, VI, VII. Примечания к остальным главам
имеют более узкий характер литературных указаний. В не-
некоторых случаях литературные указания и замечания по
истории отдельных вопросов включались непосредственно
в текст книги.
Рис. 1.
Приведем здесь граф (к счастью, он оказался плоским)
логических зависимостей между главами книги.
Пунктирные линии обозначают слабую зависимость,
которая вовсе исчезнет, если из главы, к которой направ-

16 ВВЕДЕНИЕ
лена стрелка, изъять некоторые примеры (пр.) или пара-
параграфы, номера которых помещены около стрелки.
Этот граф усложнился бы (и, как легко проверить,
перестал бы быть плоским), если бы была введена еще одна
вершина, обозначающая Приложение, из которой пунктир-
пунктирные стрелки шли бы ко всем главам, кроме первых двух и
последней. Около стрелок следовало бы поставить значки,
показывающие, что материал Приложения используется
в применениях теории к степенной, тригонометрической
проблеме, к проблеме Неванлинны — Пика и их моди-
модификациям.
Таким образом, если читатель пожелает ознакомиться
не только с общими положениями теории, но и прочув-
прочувствовать их на приводимых иллюстрациях и применениях
в конкретных задачах теории функций и классических
проблем моментов, то ему стоит заглянуть после первых
двух глав в Приложение.
Из собственного «читательского» опыта авторам извест-
известно, что интересы читателя до некоторой степени противо-
противоречивы: с одной стороны, он заинтересован в том, чтобы
книга содержала побольше информации, с другой стороны,
чтобы поступление информации не подавляло его; он заин-
заинтересован и в доступности изложения, и в том, чтобы оста-
оставалось поле для проявления самостоятельности и актив-
активного усвоения. Все это ставит авторов в затруднительное
положение.
Пытаясь выйти из него, мы перемежаем основной текст
предложениями, сообщаемыми без доказательства. Эти
предложения отмечаются символами типа У. 3.2. или Д. 3.2.
(второе предложение третьего параграфа). Сокращение
«У» можно расшифровать двояко: как «упражнение» и
как «утверждение». Авторы рассчитывают, что заинтере-
заинтересованный читатель сумеет самостоятельно обосновать эти
«У». На некоторые из них мы позволили себе иногда ссы-
ссылаться в дальнейшем; об этом предупреждает восклица-
восклицательный знак «!» (например, (!) У.3.2). Определенная часть
утверждений требует для своего обоснования обращения
к другим источникам, в таком случае мы их обозначаем бук-
буквой «Д» («дополнение») и на них при построении теории
не ссылаемся.

Глава I
ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ
МНОЖЕСТВА
Как мы уже знаем из предисловия, изучение момептных
последовательностей с геометрической точки зрения сводится к
изучению геометрии выпуклых тел в конечномерном пространстве.
В явной или неявной форме выпуклые тела фигурируют во всех
вопросах, трактуемых в этой книге.
В настоящей главе собран основной геометрический «арсенал»
книги (достаточно элементарный в наш век бесконечномерных про-
пространств). Кроме традиционного материала теории выпуклых тел
и конусов, имеющегося во многих книгах (теоремы Минковского,
Каратеодори, простейшие свойства конусов и др.), в нее включены
не столь широко известные факты (дуальные тела, конические обо-
оболочки кривых и др.), а также и некоторые новые (свойства упоря-
упорядочение выпуклых множеств).
§ 1, Основные определения и теореча Минковского
Точку х = {xft}" вещественного евклидова га-мерного
пространства Rn нам удобно отождествлять с вектором
Ох @ — начало координат). Если х = {xk}i, у = {yk}i,
то, по определению, вектор ху = {yk —xkyi — y —х.
Скалярное произведение (х, у) = (//, х) = 2 хаУа позво-
1
ляет ввести обычным путем метрику \х\ = У(х, х), угол
между векторами, ортогональность и т. п.
Пусть заданы вектор а = {ak}x =f= 0 и число h. Мно-
Множество точек х, удовлетворяющих соотношению (а, х) =
= h, т. е., в координатной записи, соотношению
а1х1 + а2х2 + ¦¦¦ + апхп =h,
называется гиперплоскостью.
Каждая гиперплоскость делит все пространство -R"
на два открытых полупространства: для точек х одного
из них (а, х) ~^>h, для точек другого (а, х) <^h. Присоеди-
Присоединив к открытому полупространству точки определяющей
его гиперплоскости, получим замкнутое полупространство,

18 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Если некоторое множество Щх (с Ип) принадлежит
замкнутому полупространству, а другое множество
<о2 (d J^n) —не принадлежит (т. е. лежит во втором, откры-
открытом, полупространстве), то будем говорить, что гиперплос-
гиперплоскость отделяет первое множество $i от второго е?2-
Замкнутое полупространство называется опорным
к множеству Щ (с Мп), если оно содержит & и, кроме
того, если в гиперплоскости, определяющей полупростран-
полупространство, имеется хотя бы одна граничная точка $. Эта гипер-
гиперплоскость также называется опорной. Если же точки мно-
множества ё имеются по обе стороны гиперплоскости, то бу-
будем говорить, что она рассекает &.
Как известно, множество Ж называется выпуклым,
если вместе с любыми двумя точками хг и х2 оно содержит
соединяющий их отрезок txt + A — t) x2 @ <Г 2 <Г 1).
С помощью индукции элементарно проверяется, что выпук-
выпуклое множество наряду с точками хъ х2, ..., хт содержит
любую их выпуклую комбинацию
Ma + hx2 + ... + tmxm (tj> 0, t± + t2 + ... -f tm = 1).
Легко видеть, что замыкание выпуклого множества
также выпукло.
Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих
данное множество <g, называется выпуклой оболочкой множе-
множества Щ. Пересечение всех замкнутых выпуклых множеств,
содержащих &, называется замкнутой выпуклой оболоч-
оболочкой &. Выпуклая оболочка множества & совпадает с мно-
множеством выпуклых комбинаций точек х1? х2,..., хт (т =
= 1, 2, ...), пробегающих $. Замкнутая выпуклая обо-
оболочка совпадает с замыканием выпуклой оболочки. Зам-
Замкнутую выпуклую оболочку множества Щ будем обозна-
обозначать через S (ё). Выпуклое множество S называется
телом, если оно имеет внутренние точки. Совокупность
всех внутренних точек множества Ж обозначается через
Int S, граничных — через дЖ.
Предоставляем читателю доказать следующие два ут-
утверждения.
(!) У.1.1. Выпуклое множество является телом тогда и только
тогда, когда оно не содержится целиком ни в какой гиперпло
скости.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1§
(!) У.1.2. Пусть Х\ — внутренняя, а х2 — произвольная точ-
точки выпуклого тела $. Тогда все точки отрезка
ta>i + (i — t)Xi @ < t < 1),
исключая, может быть, точку ж2, являются внутренними точками
тела $.
Отсюда, в частности, следует, что в произвольно малой
окрестности граничной точки выпуклого множества име-
имеются внешние точки.
Теорема 1.1. (теорема Минковского).
Всякую точку с, внешнюю по отношению к выпуклому мно-
множеству Ж, можно отделить от этого множества некото-
некоторой гиперплоскостью.
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что с = = 0, так как этого всегда можно
добиться параллельным переносом, рассматривая вместо
множества & множество $ —с = {х —с: хр^}.
В замыкании [$] множества Ж найдется точка а,
для которой расстояние | Оа | есть минимум расстояний
| Ох |, когда точка пробегает [Ж].
Докажем, что гиперплоскость (а, х) =0, проходящая
через 0 перпендикулярно к вектору а, не содержит точек
т.
Действительно, если бы эта гиперплоскость содержала
точку b ЕЕ [Щ, то в прямоугольном треугольнике ОаЬ
гипотенуза аЬ состояла бы из точек [&], вследствие чего
в [Щ нашлись бы точки, для которых расстояние | Ох |
меньше \Ъа |, что невозможно.
Возьмем внутри отрезка, соединяющего 0 и а, произ-
произвольную точку х0. Очевидно, она будет внешней точкой
для Ж, и ближайшей к ней точкой из [Ж] будет снова точ-
точка а. Следовательно, рассуждая, как и выше, найдем, что
гиперплоскость (а, х) = (а, х0) не содержит точек \Щ.
Эта гиперплоскость отделяет [$] от 0.
Замечание 1.1. Легко видеть, что гиперплоскость
{а, х) = (а, а) — опорная к Ж гиперплоскость, отделяю-
отделяющая Ж от 0.
Следствие 1.1. Через каждую граничную точку
выпуклого множества Ж можно провести к нему опорную
гиперплоскость.

20 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [гЛ. I
Действительно, пусть с ЕЕ дЖ. Выберем последователь-
последовательность точек {cv}^°, внешних по отношению к $, сходя-
сходящуюся к с.
Проведем через каждую точку cv гиперплоскость
(а„, х) = (av, с„), по одну сторону которой находится Ж,
Можно считать, что \ ач\ = 1 и (а„, х) > (av, cv) при
х GS.
Из последовательности {а,}" можно извлечь подпосле-
подпоследовательность «v ->- а. Гиперплоскость (а, ас) = (а, с) —
опорная.
Следствие 1.2. Замкнутое выпуклое множество
совпадает с пересечением всех опорных к нему замкнутых
полупространств.
В самом деле, всякая точка этого множества, по опре-
определению опорного полупространства, принадлежит каж-
каждому опорному полупространству. С другой стороны, каж-
каждая точка, общая для всех опорных полупространств,
должна принадлежать данному выпуклому множеству.
В противном случае ее можно было бы отделить от него
некоторой опорной гиперплоскостью, и эта точка не при-
принадлежала бы соответствующему опорному полупро-
полупространству.
Граничная точка выпуклого множества & называется
регулярной, если через нее можно провести только одну
опорную к & гиперплоскость. Если все точки границы
д® регулярны, то она называется регулярной.
(!) У.1.3. Точка с является внутренней точкой выпуклой обо-
оболочки множества <? тогда и только тогда, когда любая гиперплос-
гиперплоскость, проходящая через с, рассекает множество <?.
Указание. Воспользоваться следствием 1.1.
У.1.4. Пусть замкнутое выпуклое множество Ж не имеет об-
общих точек с аффинным многообразием х) L. Тогда через L можно
провести гиперплоскость, не имеющую общих точек с Ж. Если L
пересекается с Ж, но только по граничным точкам &, то через L
можно провести гиперплоскость, опорную к §1.
Точка с <ЕЕ $ называется крайней точкой $, если
она не является внутренней точкой никакого отрезка, кон-
концы которого принадлежат S.
г) L называется аффинным многообразием, если L = 9Л + а =
= {аз + а: а;? ЭДН, где 9Л — подпространство, а — некоторый
вектор, т. е. если L получается из Ш параллельным переносом
на вектор а.

§ 2] ФУНКЦИИ МИНКОВСКОГО 21
(!) У.1.5. Каждое ограниченное замкнутое выпуклое множе-
множество Ж имеет по крайней мере одну крайнюю точку.
Указание. Рассмотреть точку &, наиболее удаленную
от некоторой, произвольно выбранной, точки.
(!) У.1.6. Пусть & С Rn — замкнутое выпуклое ограничен-
ограниченное множество. Всякая точка с ?Е .& может быть представлена как
выпуклая комбинация не более чем п + 1 (не более чем п, если
с SE д&) крайних точек &.
Указание. Применить индукцию по п, проведя прямую
через данную точку и какую-либо крайнюю точку.
§ 2. Масштабная и опорная функции Минковского')
Пусть начало координат 0 является внутренней точ-
точкой некоторого выпуклого замкнутого ограниченного тела
Ш. Из У.1.2 следует, что луч tJC (t ^ 0), где х Ф 0 — про-
произвольно выбранная точка из Rn, пересечет границу тела
Ш только в одной точке х*.
Масштабной функцией тела Ш называется отношение
Ясно, что х ее $ тогда и только тогда, когда D® (
причем знак равенства имеет место в том и только
в том случае, когда х GE дШ.
Очевидно, что масштабная функция D^ (x) четна тогда
и только тогда, когда тело Ш симметрично относительно
точки 0.
Теорема 2.1. Масштабная функция тела $ обла-
обладает свойствами:
1) О(ж)>0 при хфО,
2) D(tx) -- tD{x) при t>0,
3) D («! + ас2) < D (jcj) + D (ж2).
Обратно, всякая функция D(x), обладающая свойства-
свойствами 1) —3), непрерывна и является масштабной функцией
некоторого замкнутого выпуклого ограниченного тела.
Доказательство. Свойства 1) и 2) очевидны.
Докажем свойство 3).
Пусть Xi is. X2 — точки пересечения лучей tx1 и tx2
соответственно с границей д&:
• _ 1 • _ 1
Xl ~ D(cd) Xl' Xi ~~ D(x2) Щ-
x) Содержание этого параграфа используется в главах VII
и IX.

22 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА tM. f
Так как S выпукло, то tx[ 4- A — t) х*2 ЕЕ S при
О sg; < <: 1 и, следовательно, D (txx + A — t) xl) <I 1. Поло-
жив f = д (xj) + D (ж2) ' ПОЛУЧИМ свойство 3).
Пусть теперь функция D (х) обладает свойствами 1) —3).
Представляя любую точку х через базисные элементы
ех, е2, ..., еп рассматриваемого евклидова пространства,
х = ххех + жае2 + ¦ • • + хпеп,
найдем, что D{x)^M^\xj\, где
1
(~ex),..., D(en), D{-en)}.
Поэтому!) (ас) непрерывна в точке 0. Но тогда из неравенств
D (х) ~~ D (х - р)< D {у) < D(x) + D {у - х)
получаем, что D(y)-> D (ж) при у —> х.
Из непрерывности D (х) следует ее ограниченность
сверху и снизу на единичной сфере, так что (использу-
(используются свойства 1) и 2)) при всех х -ф 0
ш, B.1)
Определим множество $ неравенством D(x)<Il. Так
как при любых хъ ж2б= ^ и ??Е @, 1) согласно 1) — 3)
D(txx + A - t) ж2) <Ш(жх) + {i-t)D (x2) < 1,
то S выпукло. Из B.1) усматриваем, что Ж ограничено
(содержится в сфере радиуса \1тх) и имеет внутренние
точки (содержит сферу радиуса 1/т2).
Из непрерывности D (ж) следует также, что $ замкну-
замкнуто, и что х ЕЕ Int $ тогда и только тогда, когда D (зс) <^ 1.
Поэтому для произвольного х -ф 0 луч tx пересе-
пересекает границу д$ в точке х* =¦ . зс, откуда D (х) =
= | х |/| х* |, т. е. D (ж) —масштабная функция Минков-
ского построенного тела $.

2] ФУНКЦИИ МИНКОВСКОГО 23
(!) У.2.1. Для произвольного ограниченного множества
? С Rn опорная функция определяется равенством
Hs{x) = sup{(a5, у): j/e$).
а) Нш (ж) = #я (ж), где §. = §. (<?) — замкнутая выпуклая обо-
оболочка W.
б) Следующие три утверждения эквивалентны:
1) Множество % рассекается любой гиперплоскостью, прохо-
проходящей через 0.
2) ffg (as) > 0 при х ф 0.
3) Hs (ж) есть масштабная функция некоторого замкнутого
выпуклого ограниченного тела $т @ gE Int $т).
в) При выполнении каждого из этих эквивалентных условий
тело &т является полярным по отношению к 4$ (к $. ($)), т. е. гра-
граница &т есть геометрическое место точек ж*, получаемых следую-
следующим построением: на перпендикуляре Ор к какой-либо опорной ги-
гиперплоскости множества % ($ (о?)), опущенном из 0, откладывается
—>
от 0 отрезок Ох* длины 1/ | Ор ].
Указание. Для опорной гиперплоскости (а, у) = Н% (а)
имеем Op = Hs (а) а/\ а |2.
(!) У.2.2. Пусть §. — выпуклое ограниченное замкнутое тело,
0 ? Int ^, D (ж) = Dffi (ж) — его масштабная функция. Тогда ?)т(ж)=
= D т(ж) (=Дд> (ж)) называется дуальной функцией по отношению
к D (ж).
а) Имеет место обобщенное неравенство Лагранжа — Коши:
(a, b)^D(a)lP (ft).
Знак равенства при афО, Ь ф 0 достигается тогда и только
тогда, когда полупространство (х, ft) ^ (а*, Ь), где а* = a\D (a) ?
(= д$, — опорное к $.
Из равенств (a, fti) = D (a) Dx (b,) и (а, Ъг) == X» (а) ?»т F2) мож-
можно сделать вывод, что ft] = Xft^ (X }> 0) в том и только в том слу-
случае, когда а" = a/D (а) — регулярная точка д&.
S) Полупространство (ж, ft) ^ 1 — опорное к ^ тогда и только
тогда, когда DT F) = 1.
в) Если ?>i (ж) = Dr (х), то D\ (ж) = D (ж). Геометрически это
означает, что если $С есть полярное тело по отношению к $, то
и, обратно, тело ^ есть полярное тело по отношению к ?т.
У.2.3. Если Ж d Rn — я-мерный параллелепипед, 0 <= Int &, то
^" есть полиэдр с 2п вершинами (каждой грани ^ отвечает вер-
вершина ?т).
У.2.4. Масштабная функция D (ж) = D (xi, ..., хп) тела $ диф-
дифференцируема при х Ф 0 тогда и только тогда, когда его граница
д$ регулярна. В этом случае д$т можно задать параметрическими

24 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
уравнениями:
3D
xl=d7W (* = 1, 2, ..., л),
k
где х пробегает д&.
У.2.5. Пусть положительная и дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемая при х ф 0 функция D (ж) обладает еще следующими свой-
свойствами: D (tx) = tD (as) при t > 0, поверхность уровня Z> (as) = 1
определяет ограниченную область $.
Если матрица
dXidxu 1A
неотрицательно определепа, то область
$ выпукла и D (ж) — ее масштабная функция.
У.2.6. а) Условиям У.2.5. удовлетворяет функция D (as) =
п
I \1/р
=|[ as || = 121 ^(j 1Р) при р ]> 2, откуда вытекает выпуклость мно-
1
жества тех х, для которых || х \\р < 1 (р > 2) и, следовательно, не-
неравенство Минковского
_б) Если D (х) = || as I], (q > 2), то DT (x) = || х \]р, где р +
+ g г = 1, откуда следует выпуклость множеств, определяемых
неравенствами ||-я||р<^1, и неравенство Минковского также при
1 < р <[ 2. Случай р = 2 тривиален.
в) Обобщенное неравенство Лагранжа — Коши при D (х) =
= 1|а5||р (р > 1) переходит в неравенство Гёльдера
У.2.7. Для совокупности ограниченных выпуклых тел {&j}™
(О е= Int^j) функция Z> (as) = max {D№ (as)} есть масштабная функ-
функция их пересечения.
§ 3. Конусы и конические оболочки *)
1. Выпуклые конические множества. Множество К
называется коническим 2), если из х ?г К следует, что
tx ЕЕ К для любого t >> 0. Легко видеть, что коническое
множество выпукло тогда и только тогда, когда из хг ЕЕ
Е^К, хгЕЕК следует, что щ + х2 ЕЕ К. Выпуклое кониче-
коническое множество, не совпадающее со всем пространством,
называется клином. Замкнутый клин К называется ко-
х) Этот параграф (особенно его п. 2) чрезвычайно важен.
2) С вершиной в точке 0. Мы в основном будем рассматривать
только такие конические множества. Общий случай приводится к
этому путем параллельного переноса,

§ 3l КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 25
нусом, если из х ЕЕ К, —х ЕЕ К следует, что х = 0. Таким
образом, конус есть выпуклое и замкнутое коническое
множество, которое при х =f= 0 не может содержать одно-
одновременно X И —X.
Теорема 3.1. 1) Если с — внешняя точка клина К,
то гиперплоскость, отделяющую с от К, можно провести
через начало координат.
2) Всякая гиперплоскость, опорная к клину, проходит
через начало координат.
Доказательство. 1) Проведем какую-нибудь
гиперплоскость (а, х) = h, отделяющую с от К. Можно
считать, что (а, с) < h и {а, х) > h при х ЕЕ К.
Докажем, что гиперплоскость (а, х) = 0 также отде-
отделяет с от К. В самом деле, так как 0 ЕЕ К, то h $C 0 и,
значит, (а, с) <^ 0.
Если допустить, что (а, х0) <^ 0 при некотором хое= К,
то при достаточно большом t ~j> 0 мы имели бы (a, tx0) <^
<^h, что невозможно, так как вместе с х0 и tx0 ЕЕ К.
2) Пусть (а, х) = (а, с0) — опорная гиперплоскость
к клину К, проходящая через точку с0 ее [К]. Так как
tc0 ЕЕ [К] при всех ?^>0, то разность (a, tc0) — (а, с0) =
— {t — 1) (а, с0) не должна менять знак, что невозможно
при (а, с0) ф 0. Теорема доказана.
Пусть К — некоторый клин. По определению чере<$
КТ будем обозначать множество всех таких точек а, что по-
полупространство (а, зс)^О содержит К. Иными словами,
Кт —это совокупность всех векторов а, которые обра-
образуют с любым вектором из К острый или прямой угол.
Очевидно, что Кт есть замкнутый клин и [К]х = Кт.
Клин К'' называется дуальным по отношению к К.
У.3.1. Полярой множества Ч? называется множество Ч?а, опре-
определяемое тем, что х ? $° тогда и только тогда, когда (ж, у) ^ 1
для всех у E %¦
а) Если $ — выпуклое тело и 0 е Int &, то Ж0 = &т-
б) Если К — конус, то К° = — Кг.
Теорема 3.2. Пусть К —замкнутый клин. Тогда
имеет место соотношение рефлексивности: (К^)х = К. Клин
К является телесным конусом в том и только в том случае,
когда таковым является Кх.
Доказательство. Мы докажем здесь только
второе утверждение, предоставляя читателю доказать
первое.

26 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. t
В силу первого утверждения достаточно доказать, что
если К —телесный конус, то и клин Кх —телесный конус.
Для этого заметим сначала, что если бы клин Кт содержал
а и —а ф 0, то конус К содержался бы в полупростран-
полупространствах (а, ж)>0и (а, х) <10, т. е. находился бы в гипер-
гиперплоскости (а, х) — 0, что противоречит телесности К.
Поэтому Кт — конус. Докажем, что конус Кх — телес-
телесный. Допустив противное, мы сможем на основании
У. 1.1 указать гиперплоскость (с, х) = 0 (с ф 0), содержа-
содержащую Кх. Это значит, что (о, с) = (с, о) = 0 для всех
а ЕЕ Кг, т. е., что точка с — общая для всех опорных к К
полупространств. В силу следствия 1.2 последнее озна-
означает, что с ЕЕ К. Так как и (а, —с) =0 («ЕЕ Кг), то
— с ЕЕ К. Мы получили противоречие: с^О и одновре-
одновременно dz с ЕЕ К¦ Теорема доказана.
Замечание 3.1. Легко видеть, что с ЕЕ Int К
тогда и только тогда, когда (а, с) ^> 0 для всех а ЕЕ Кх.
Из соотношения (Кх)т = К следует, что о ЕЕ Int Ю
тогда и только тогда, когда (а, с) ^> 0 для всех с ЕЕ К.
У.3.2. Для того чтобы конус К был телесным, необходимо и
достаточно, чтобы он был воспроизводящим, т. е. чтобы любой
х 6= Вп представлялся в виде х = и — v, где и, v g= К.
2. Коническая оболочка. Имея в виду дальнейшее ис-
использование приводимых ниже фактов, нам удобно (с чис-
чисто технической стороны) рассматривать Rn+l вместо JRn,
начиная нумерацию координат точек _Кп+) не с единицы,
а с нуля.
Конической оболочкой (замкнутой конической обо-
оболочкой) множества ё a _Rn+1 называется пересечение
всех выпуклых конических множеств (замкнутых выпук-
выпуклых конических множеств), содержащих Ш. Замкнутую
коническую оболочку множества ё будем обозначать
через К(ё).
(!) У.3.3. Коническая оболочка К выпуклого множества &
совпадает с множеством точек вида tx, где t ^ 0, жб1. Если
0 ф [R], то К — конус.
A) У.3.4. Конические оболочки множества <? и его выпук-
выпуклой оболочки совпадают.
Пусть ё — произвольное ограниченное множество.
Возможны три случая:

§ з1 КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 27
1°. Оее IntS^). В этом случае К (ё) совпадает со всем
Rn+1 (см. У. 3.4 и У. 3.3).
2°. О GE д$ (<%)¦ В этом случае К (<%) — клин, так
как через 0 можно провести опорное к Ж (8) полупро-
полупространство.
3°. О ф. Ж (#). В этом случае К (&) — конус.
Зададим на интервале [а, Ъ] непрерывную вектор-функ-
вектор-функцию и (t) — {uh (i)}o со значениями в Rn+1, с которой
свяжем кривую U = {и (t): a =SC t ^ Ь}.
На протяжении большей части книги существенную
роль будет играть К (U).
Легко видеть, что множество K{U) телесно тогда и
только тогда, когда функции {uk (t)}% линейно независимы
на [а, Ъ], т. е. когда кривая U не умещается ни в одной
гиперплоскости, проходящей через 0. Всюду в дальней-
дальнейшем это предполагается. Для <§ = 17 каждому случаю
1° — 3° отвечает определенная аналитическая характери-
характеристика множества ty «обобщенных многочленов»
Первый случай характеризуется тем, что кри-
кривая TJ рассекается любой гиперплоскостью, содержащей 0
(см. У.1.1), т. е. для любого а = {aft}o GE ^n+1 (a =j= 0)
п
выражение (а, и (t)) = 2аА- it) E= ty меняет знак на [а, Ъ];
о
иными словами, К (U) совпадает со всем пространством
тогда и только тогда, когда любой многочлен Р (t) ЕЕ ty,
РЦ)фО, меняет знак на [а, Ь].
Второй случай характеризуется тем, что среди
многочленов Р (t) GE $ имеются неотрицательные, но нет
строго положительного.
Третий случай характеризуется тем, что среди
многочленов Р (t) ge ty имеются строго положительные.
В этом случае К (U) есть телесный конус.
В дальнейшем нас будет интересовать только последний
случай, так что в дальнейшем предполагается выполнение
следующего условия:

28 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
{Ж) В ф имеется по крайней мере один строго положи-
тельный многочлен
п
U{t) =
о
Множество неотрицательных многочленов Р (t) ЕЕ ф
обозначим через ф+.
Теорема 3.3. Дуальный по отношению к К (U)
конус КТ (U) состоит из тех и только тех векторов
а = {aft}o, для которых (а, и (t)) ^ 0 при а ^ t ^ Ъ,
иными словами, дуалънчй конус КТ (U) можно отождест-
отождествить со множеством ty+ неотрицательных многочле-
нов
Доказательство. Всякое опорное к К (И)
полупространство (а, ж) !>0 должно содержать U, вслед-
вследствие чего (а, и (t)) ^0 (a^t^b). С другой стороны,
если для некоторого а гиперплоскость (а, х) = 0 рассе-
рассекает U, то эта гиперплоскость не может быть опорной к
K{U). Теорема доказана.
У.3.5. Многочлен Р (() S ? - внутренняя точка К~ (U) =
= $+ тогда и только тогда, когда он строго положителен.
3. Основная теорема о конической оболочке. Для всего
дальнейшего очень важной является
Теорема 3.4. Замкнутая коническая оболочка К (U)
кривой V совпадает с множеством точек с, допускающих
представление
ь
где a (t) — некоторое распределение масс г).
х) Говоря о некотором распределении масс на [а, Ь], мы имеем
в виду, что оно задается произвольной неубывающей функцией
о (?) такой, что масса интервала [a, |3] CI (а, 6) определяется как
а ф + 0) — a (a — 0), масса интервала (a, P) С (а, 6) — как
а (Р — 0) — s (а + 0), масса интервала [а, |3] — как a (P + 0) —
— а (а) и т. п.; в'частности, масса в точке | есть скачок a (g + 0) —
— а (| — 0). Таким образом, неубывающие функции, отличающие-
отличающиеся только значениями в точках разрыва и постоянным слагаемым,
определяют одно и то же распределение.

§ 3] КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 29
Доказательство. Легко видеть, что множест-
множество К точек с, допускающих представление (!), есть выпук-
выпуклое коническое множество, содержащее кривую XT (для
получения точки с0 = и (t0) ЕЕ XT достаточно в (!) взять
распределение, состоящее из единственной массы, равной
единице, в точке t0). Для доказательства его замкнутости
возьмем последовательность точек cv ЕЕ К (v = 1, 2, ...),
сходящуюся к точке с, и многочлен П (i) = {л, и (t)) ^> О
(а ^ t <I b); будем иметь
(t) (v = l, 2,...),
где av (t) — некоторые распределения (можно считать
б„ (а) = 0), причем
если через m обозначить наименьшее знаечение П (?) в
[а, 6], а через Б обозначить sup (л, с„); вслдствие этого,
используя теоремы Хелли об интегралах Стилтьеса, мож-
можно найти такую подпоследовательность сь (t), которая
в основном сходится к сг (t) и потому
Ь Ь
с = lim с„ = lim \ и (t) dav (t) — \ и (t) da (t),
откуда с ЕЕ К. Таким образом, К id К (U).
Для доказательства того, что К а К (U), восполь-
воспользуемся следствием 1.2. Пусть (а, х) > 0 —любое опор-
опорное полупространство к К (V) и с GE К. Тогда, так как
ь
(а, г*@)>0 (а<г<6) и с = Jге(*)Жз@, то

30 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ.1
т. е. с принадлежит любому опорному полупространству
конуса К (U). Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает известная
Теорема 3.5 (теорема Ф. Р и с с а [1]). Для
произвольной кривой V с Rn ее замкнутая выпуклая обо-
оболочка Ш (U) совпадает со множеством точек с, допускаю-
допускающих представление
ъ
c=\u(t)ds(t), C.1)
а
где {и(t): a^t^b] = U, u(t) = {щ(*)}" и a{t) — распре-
распределение масс такое, что
C.2)
Доказательство. Кривая U с Sn+1, отвечаю-
отвечающая системе функций и (t) — {uk (?)}ц (a sg; t <I b), где
u0 (t) = 1, и ее замкнутая выпуклая оболочка $ (U)
конгруэнтны соответственно Gи S {U), что устанавлива-
устанавливается отбрасыванием координаты х0 = 1. Согласно У.3.4
совпадают конические оболочки К ($ (U)) и К (U) и,
следовательно, ^ (ТТ) совпадает с пересечением К (U)
и гиперплоскости х0 =1. Точки с (с0 =1, {ck}x = с)
этого пересечения согласно теореме 3.3 характеризуются
тем, что для них существует представление
с =
которое эквивалентно представлению C.1) при условии
C.2).
У.3.6. При выполнении условия {Ж) теоремы 3.3 и 3.4 экви-
эквивалентны.
(!) У.3.7. Пусть U — произвольная кривая vlcqeK(U). Наи-
b b
меньшее значение интеграла \ ds (t), где \ u(t) da (t) = с, равно наи-
а а
меньшему значению х>0, при котором

3] КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 31
Полезным уточнением теоремы Ф. Рисса является
Теорема 3.6 (теорема К. Каратеодо-
р и [2]). Каждая точка *) с е $ (U) с Вп+1 может
быть представлена в виде
где pj ^>0, 2iPj = 1> u т^.п+2, а если се d®(U), то
Доказательство. Из определения выпуклой
оболочки вытекает, что крайними точками $ {TJ)
могут быть только точки кривой U и поэтому для дока-
доказательства теоремы Каратеодори достаточно сослаться
на У.1.6.
Заметим, что теоремы Ф. Рисса и К. Каратеодори рас-
распространяются на тот случай, когда кривая U заменяется
любым замкнутым множеством '&.
С механической точки зрения зти теоремы означают,
что $ (U) совпадает со множеством центров тяжести все-
всевозможных обложений неотрицательными массами кривой
Л — {и (t): а <1 t <; Ъ) и что каждая точка с еЕ $ (U)
может быть представлена как центр тяжести но более чем
п + 2 масс (а если с еЕ д® (U), то не более чем п -\- 1
масс), расположенных на U.
Теорема Каратеодори геометрически истолковывается
следующим образом: каждая внутренняя (граничная)
точка $ (U) сг Лп+> находится внутри некоторого &-мер-
ного симплекса 2), где к <>й» + 1 (соответственно к ^ п),
вершины которого лежат на кривой U. Ей можно придать
и такой геометрический смысл:
У.3.8. Обозначим через со ($) множество, состоящее из точек
всевозможных отрезков с концами в точках множества $ С Rn+1-
Тогда ? A7) = con+1 (U), где
CDk+1 (U) = СО (C0R (U)) (fc = 0, 1 п).
г) Нам здесь, имея в виду дальнейшее, удобно снова заменить
Rn на Лгп+Х.
2) fc-мерным симплексом называется выпуклая оболочка к + 1
точек, не лежащих в одном и том же /с-мерном аффинном многооб-
многообразии.

32 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
В третьей главе будет показано, что для кривых U, обладаю-
обладающих определенными геометрическими свойствами (для так назы-
называемых выпуклых кривых) количество итераций операции со можно
существенно уменьшить: $ (U) — со4 A7), где v = [(га + 1)/2].
У.3.9. Точка с ?Е Int К (U) тогда и только тогда, когда су-
существует представление
ь
u(f)p{t)dt. C.1)
где р (t) — положительная непрерывная функция.
Каждая точка с е Int .йГ (Е7) допускает представление C.1),
в котором р (t) — положительный в [а, Ь] алгебраический много-
многочлен.
Указание. Граничные точки К (U) не представляются в
виде C.1); множество точек, представимых в виде C.1), всюду плот-
плотно в К (U) и образует выпуклое телесное коническое множество,
содержащееся в К (U).
У.3.10. (И. Шёнберг [1]). Пусть задана точка с = {ch}™,
п
Для того чтобы каждый многочлен Р (t) = ^ а&и& (')> удовле-
творяющий условию 2°Vft = 0> менял знак на [а, Ъ], необходимой
о
достаточно, чтобы одна из точек, с или — с, принадлежала Int К (U).
Указание. Воспользоваться У.3.10 и У.1.4.
Д.3.11 (М. Г. К р е и н [4]) х). Пусть U = {м (t): a < t < Ъ)¦ —
замкнутая гладкая кривая. Индикатрисой касательных кривой U
называется кривая V = {и' (t)l \ и (t) |: a ^ t < Ъ}. Замкнутая
непрерывная сферическая кривая V = {v (t) : a <! t ^J 6} явля-
является индикатрисой касательных некоторой кривой 17, не умещаю-
умещающейся ни в какой гиперплоскости тогда и только тогда, когда V
не умещается ни на одной полусфере.
Если это условие выполняется для некоторой разомкнутой
сферической кривой V, то в этом и только в этом случае для
любых двух точек а и 6 g= Rn найдется кривая U с индикатрисой
касательных V с началом в точке а п концом в точке 6.
4. Об одной задаче А. А. Маркова о сопряжении желез-
железнодорожных путей. В одной из малоизвестных статей
А. А. Маркова [7] в связи с вопросом об оптимальном со-
сопряжении железнодорожных путей рассмотрены четыре
задачи. Мы приведем решение первой из них ввиду того,
что наиболее просто она решается, по-видимому, с по-
помощью положений, изложенных в этом параграфе.
х) Для случая трехмерного пространства первое предложение
другими средствами было ранее получено М. Я. Выгодским [1].

§ з! КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
Начнем с задачи, которая у А. А. Маркова играла вспо-
вспомогательную роль и которая рассмотрена у него не столь
детально и недостаточно строго (частично и по той причи-
причине, что А. А. Марков не пользовался интегралом Стил-
тьеса).
Пусть в плоскости заданы две точки. Эти точки нужно
соединить гладкой выпуклой кривой наименьшей длины,
соблюдая следующие условия:
1) радиус кривизны R в каждой точке кривой должен
быть не меньше заданного числа г ^> 0;
2) касательные к кривой в начальной и конечной точ-
точках должны иметь заданные направления.
Без ограничения общности можно считать, что началь-
начальная точка находится в начале О координатной системы
(х, у), заданное в ней направление касательной совпадает
с направлением оси х, а конечная точка А (х0, г/0) нахо-
находится в верхней полуплоскости. Через а @ ^ а <^ 2я)
обозначим заданный угол наклона к оси х касательного
направления в точке А.
Кривые, удовлетворяющие указанным условиям без
требования минимальности длины, будем называть до-
допустимыми.
Обозначим через S длину всей допустимой кривой,
через s длину ее дуги от точки О до некоторой ее точки
Q (х, у), через ф — угол наклона касательной в точке Q,
наконец, через R (ф) — радиус кривизны в точке Q.
Параметрические уравнения кривой запишутся в виде
х = \ cos ф dst у = \ sin yds @ s^ s ^ S)
о о
или, если R (ф) —достаточно «хорошая» функция, —в виде
х = \ cos q>R (ф) dq>, у = \ sin q>R (ф) ^ф @ <; ф ^ а),
о о
причем
Так как р (ф) = R (ф) — г ^0, то для существова-
существования допустимой кривой с «хорошей» R (ф) необходимо

34 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДСЛЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
и достаточно, чтобы существовала «хорошая» функция
р (ф) 1>0, удовлетворяющая условиям:
х0 — г sin а = ^ cos фр (ф) dq>, j/0 — г A — cos а) =
о
= ^ sin cpp
о
Расширим класс допустимых кривых, включив в него
кривые, задаваемые уравнениями
х = \ cos ф da (ф) -)- г sin ф.
о
г/ = \ sin ф cZa (ф) -)- г A — cos ф) @ ^ ф ^ а),
о
где с (ф) — неубывающая функция, подчиненная усло-
условиям
х0 — г sin а = ^ cos ф а!з (ф),
о
а
у0 — г A — cos а) = \ sin ф do (ф),
о
и будем искать ту функцию сз(ф), которая минимизирует
а
величину Sa = \ da (ц>) -\~ га.
о
Поскольку окажется, что минимизирующая функция
а (ф) определит допустимую (в прежнем смысле) кривую,
то расширение класса допустимых кривых не повлияет на
решение задачи.
Следует пояснить, что интервалу (фх, ф2) постоянства
функции а (ф) отвечает дуга окружности радиуса г с цен-
центром в точке
cPi+O <Pi+0
( \ совф da (ф), \ sin <p da (ф) -\- г)

КОНУСЫ И КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
35
и центральным углом <р2 — ср15 соединяющая точки (х (cpx+
+ 0), У (<Pi + °))> и (* (Ф2 — 0), У (Фа — °)); скачку р функ-
функции з (ф) в точке ф0 отвечает отрезок прямой длины р, на-
наклоненный аод углом ф0 к оси х и соединяющий точки
(х (ф0 ~ 0), у (Фо - 0)) и (х (Фо + 0), у (Фо + 0)).
У.3.12. а) Для того чтобы при 0 <J а *С я существовала до-
допустимая кривая, необходимо и достаточно, чтобы точка А нахо-
находилась в угле LMN (рис. 2, а).
М'/
Рис. 2.
Указание. Воспользоваться теоремой 3.4.
б) При я < а < 2я допустимые кривые существуют при лю-
любом положении точки А в верхней полуплоскости.
в) Для точек А, находящихся в угле LMN (при п < а < 2я —
в той части плоскости, которая содержит точки, лежащие выше луча
ML), наименьшая длина допустимой кривой равна сумме длин дуги
ОМ и отрезка МА (см. рис. 2, а и 2, б).
Указание. Воспользоваться У.3.7.
Допустимая кривая с иаменьшой длиной (она единственна) для
указанных точек А строится следующим образом (см. рис. 2, а а
2, б). К окружности Со и окружности СА, полученной из Со сдвигом
на вектор МА, проводится общая внешняя касательная, касаю-
касающаяся Со в точке дуги ОМ. Искомая кривая состоит из этой ка-
касательной и дуг окружностей Со и СА.
г) В случае, Когда при я < а < 2я точка А находится в
той области, ограниченной лучами ML и MN, в которой имеются
точки, лежащие ниже ML (см. рис. 2, «), наименьшая длина

36 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
допустимой кривой равна сумме длин отрезков AAi (|| ML),
АА2 (|| MN) и дуги ОМ.
Кривая с такой длиной (она единственна) состоит jra дуги О'А
окружности СА, полученной сдвигом Со на вектор 00' = А\А и
касательных к ней АА2 и 00'.
Первая задача А. А. Маркова из упомянутой статьи аналогична
только что рассмотренной и отличается от нее лишь тем, что нап-
направление касательной в конечной точке А не задается и что кривая
может состоять из конечного числа выпуклых дуг с различными
направлениями выпуклости.
Ясно, что решение этой задачи в классе выпуклых кривых мож-
можно получить, варьируя а. Любопытно, что экстремальные значения
а и соответствующие кривые также находятся простым геометричес-
геометрическим построением.
д) Если точка А находится вне Со, то кривая наименьшей
длины состоит из касательной к Со, проведенной из А и дуги С0
(см. рис. 2, г). Это решение совпадает с решением задачи А. А. Мар-
Маркова в его постановке 1).
Если точка А находится внутри Со, то кривая наименьшей
длины состоит из отрезка 00' и дуги О'А (см. рис. 2, г) окружности
СА, полученной из Со сдвигом на вектор 00' = AiA.
Заметим, что А. А. Марков, допуская точки возврата (т. е. до-
допуская, что поезд может «дать задний ход»), выяснил, что сущест-
существуют более короткие кривые; самая короткая из них изображена
на рис. 2, г пунктирной линией. Обосновать это построение можно
методами, рассматриваемыми в главе IX.
§ 4. Упорядочение выпуклые множества 2)
1. Основные определения. Пусть в Rn задан некоторый
замкнутый выпуклый телесный конус 2>- Этот конус
позволяет ввести в Rn полуупорядоченноетъ (точнее,
3-полу'упорядоченность: для точек а, Ь ?= Rn условимся
писать а -< 6 F >- а), если 6 — оеЗ, <* 4= Ь и
а <^ Ь F ^> а), если 6 — а ЕЕ Int 3- В частности,
а >- 0 означает, что аевЗ, a =h 0 иа ^> 0 означает,
что a Ez Int3-
Введенное отношение порядка а^Ь (ft<^ Ь) сохраня-
сохраняется при умножении на положительный скаляр: at -< Ы
(at <^bt) при t^>0, и меняется на противоположное при
умножении на отрицательный скаляр: at >- Ы (^b)
х) При условии, что Л находится вне Со, эта задача предлагается
в задачнике Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина [1] (задача № 1200)
для решения методами вариационного исчисления.
а) Содержание §§ 4—6 используется только в гл. VI,

§ 4] УПОРЯДОЧЕНИЮ ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
при t < 0. Кроме того, при а >- 0 (ft ^> 0) tl < t2
имеем а^-< at2(at1<^iat2). Наконец, отметим аналогичное
свойство при скалярном умножении па элемент дуального
конуса 3х : из а -< Ь и Я, ее 3х вытекает, что (Я,, а) ^ (Я,, Ь);
если же Я, е= Int 3х, то (Я,, а) <^ (Я,, 6).
Легко видеть, что множество тех х, которые удовлетво-
удовлетворяют условию а :§= х (х ^=Lb), есть множество а -\- 3 (со-
(соответственно 6 — 3). Пересечение множеств a -f- 3 и
6 — 3 (а >- &) назовем конусным интервалом и обозначим
через 3 [ft, &]• Таким образом, конусный интервал
3 [ft, &] есть множество тех х, которые удовлетворяют усло-
условиям a rgLx r?S&. Удалив из 3 [ft, Ь] точки а и 6, получим
множество 3(<*, &) (также называемое конусным интерва-
интервалом) тех as, которые удовлетворяют условиям а -< as г< 6.
Конусные интервалы 3 [«, 6] и 3 (ft, 6) выпуклы. Они
телесны тогда и только тогда, когда а «^ 6. При этом
с GE Int 3 [«, Ь] в том и только в том случае, когда ft <з^с
и с<^6. Образно говоря, при ft<^ 6 конусный интервал
состоит из двух «колпаков».
В этом и последующих двух параграфах настоящей
главы пространство Rn предполагается 3-полуупорядо-
ченным с помощью телесного и замкнутого выпуклого
конуса 3.
Прежде чем дать определение упорядочение выпуклого
множества, введем важные для дальнейшего понятия.
Пусть $ — некоторое множество, имеющее внутренние
точки, 9$ — его граница. Через Г (соответственно через
Г) обозначим множество всех точек с* (= д&, обладающих
свойством: для каждой с* ?Е Г (соответственно с* ЕЕ Г)
найдется точка с Ez Int $ такая, что с -< с* (со-
(соответственно с )>- с*). Множества Г и Г будем назы-
называть соответственно верхней и нижней крышками мно-
множества $.
Множество $ называется упорядочение выпуклым (точ-
(точнее, следовало бы сказать ^-упорядоченно выпуклым) :),
если из a, 6g S, ft -^ 6 следует, что весь конусный ин-
интервал 3 (ft, &) принадлежит $.
*) Упорядочение выпуклое множество может iri бить выпуклым
в обычном смысле. Более того, в отличие от обычных выпуклых
множеств, оыо может ые быть односвязным (см. н. 3).

38 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
2. Свойства открытых упорядочение выпуклых мно-
множеств.
Теорема 4.1. Открытое множество & упорядо-
упорядочение выпукло тогда и только тогда, когда его верхняя и
нижняя крышки Г и Г не имеют общих точек.
Доказательство. Пусть Г и Г не имеют об-
общих точек. Если бы для некоторой пары точек а, ЬеЕ®,
а -< Ь существовала точка конусного интервала 3 (*, Ь),
не принадлежащая $, то в 3 (ц, Ь) нашлась бы точка с*,
принадлежащая границе ®. Так как а -< с*, а ЕЕ $ и
с* -<[ Ь, b ЕЕ $, то с* — общая точка Г и Г, что невоз-
невозможно.
Обратно, пусть $ упорядоченно выпукло. Если пред-
предположить, что на границе дЖ существует общая точка
с* крышек Г и Г, то, по определению крышек, нашлись бы
точка flsG^, a <^ с* и точка Ь ЕЕ ®, с*-<6. Так как
с* ЕЕ 3 (й, b) zz $, то с* ЕЕ $, что невозможно.
Отметим ряд свойств границы д® упорядоченно выпук-
выпуклого открытого множества $.
1°. На одной и той же крышке нет таких точек а
и Ь, что а <^ Ь.
Допуская противное, примем, что a<gJ6 и а, 6 ЕЕ Г.
В окрестности а возьмем CG X настолько близко к а,
что с<^&. Это значит, что бе Г, т. е. что Г и Г имеют
общую точку Ь.
2°. Если замыкание ® содержит некоторый луч с (t) =
= с + It, где с ЕЕ ®, t ^> 0 (соответственно t <^ 0),
I ^> 0, то множество Г (соответственно Г) пусто.
Сначала докажем, что на луче с (t) нет граничных то-
точек $. Так как с Е S и с -<( с (<) (при t ^> 0), то каждая
граничная точка, лежащая на e(t), должна принадлежать Г.
Поэтому в соответствии с 1°, на с (t) может находиться
не более одной граничной точки с (t0). Последнее также
исключается, так как такая точка с (?0) оказалась бы общей
точкой Г и Г, ибо с (t0) -< с (t) при t0 < tji с (t) ЕЕ ®.
Допустим, что, вопреки утверждению, Г не пусто и
с* ЕЕ Г. При достаточно большом t ^> 0 вектор
-e' = t[l--f (е*-е)]

§ 4] УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 39
принадлежит 3i T- е- <?* ?Е Г, что невозможно. Из доказан-
доказанного свойства вытекает
3°. Если оба множества Г и Г непусты, то всякая пря-
прямая с -\- It (с -?Е $, I ^> 0) пересекается с $ по конечному
отрезку х).
4°. Если с* ёГ(«*Е r),cG $, e>-e*(e <<е*),тоо
есе внутренние точки с (t) = A — <) с* -f- *с отрезка,
соединяющего с и с*, принадлежат $.
Пусть с (<0) @ <^ t0 <^ 1) — граничная точка $. Так
как с (<0) -<с,тос (@)еГ. Однако с (t0) ^> с*, что про-
противоречит свойству 1°.
Свойство 4° на более образном языке выражает следу-
следующее: каждую точку крышки Г (соответственно Г) можно
«осветить» изнутри $ некоторым лучом «строго положи-
положительного» («строго отрицательного») направления. Однако
справедливо более сильное утверждение, являющееся
ключевым для описания выпуклых и одновременно упоря-
доченно выпуклых тел,— каждую точку крышки Г (соот-
(соответственно Г) можно «осветить» изнутри $ лучом любого
«строго положительного» («строго отрицательного») на-
направления:
5°. Пусть с'еГ(с'еГ). Для произвольного 1^>0
существует такое е. = е (/,), что с* -f- tl(Ez® при всех
0 ^ t <С, s (соответственно — г <^t <^0).
Допустим противное: для некоторого ?0 ^> 0 найдется
последовательность c' + Wo^S, где t4—.> + 0. Так как
с* (ЕЕ Г, то существует С(ЕЕ^, с^с*, причем можно счи-
считать, что с ~ с* = I !Э> 0. На отрезке тс + A — т) (с* + Ый)
@ ^ т <^ 1) есть граничная точка с* = т„с + A — tv) x
X (с* 4 tvl0) = с — A — tv) (I — tvl0). При большом v имеем
1 — Wo >- 0, т. е., с* е Г. Но с* — с* = tv? -f (I — Tv) X
X^v?o^S>O. Мы получр1ли противоречие со свойством 1°.
6°. ?"слы, крышки V и Г обе непусты, то граница Ж
состоит из Г, Г и множества Го их общих предельных
точек*): дЖ = Г U Г U Го.
х) Стоит отметить, что из 3° не следует ограниченность Ж ¦ На
пример, если в плоскости (х\, х2) положить (хг, хг) ^>0 при xi^O,
Х2 ^ 0> то свойством 3° обладает неограниченное множество $ =
= {(xi, хг): ху > 0, -XI <х2< 0}.
2) Для Го имеет место утверждение, аналогичное 1°.

40 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Пусть с*?ЕдЖ. Выберем 1^>0 и последовательность
cv GE Ж, сходящуюся к с*. В силу 3° найдутся 7V ^> 0
и у <^ 0, при которых cv -\- Ul ЕЕ Г, cv -\- tvl (= Г. Со-
Согласно 4° все точки отрезка cv + Й (?„ <С * <С ?v) принад-
принадлежат Ж.
Если inf ?v ^> 0 (можно считать, что l-,^* &^>ty, то
«* GE Г. Действительно, все точки с (t) = с* -\~ tl @ <^t ^ e)
принадлежат замыканию Ж. Если с(-)е^, то с*ее Г.
Если же с (s) (ЕЕ дЖ — граничная точка, то поскольку
с(е) —• с—-р^^О, найдется с„-<с(й), т. е. с (г) ЕЕ Г.
Но тогда (см. 5°) е(^0)ёЕЕ$ при 0<^/0<^8 и, следователь-
следовательно, с* <= Г.
Аналогично, если sup tv <^ 0, то с* ее Г. Ясно, что не
может быть одновременно sup tv <^ 0 и inf ?v ^> 0. Оста-
Остается еще одна (последняя) возможность: sup <v = 0 и
inf ?v = 0. В этом случае с* — общая предельная точка
для Г и Г.
7°. Если Г (соответственно Г) пусто, то дЖ совпадает
с Г (соответственно с Г). В этом случае Ш неограниченно
и, более того, с каждой прямой с -\- It при I ^> 0 пересе-
пересекается по лучу.
Доказательство мало чем отличается от доказательства
предыдущего свойства.
3. Строго упорядочение выпуклые множества. Любо-
Любопытно отметить, что, в отличие от множеств, выпуклых
в обычном смысле, замыкание упорядочение выпуклого
множества может оказаться не упорядоченно выпуклым.
В этом нас убеждает следующий пример. В плоскости
(xlt x2) в качестве конуса 3 возьмем первый квадрант,
а в качестве Ж — мвюжество точек (хх, х2), для которых
либо х1 ^> 1, хг <С 0, либо х± <^ —-1, х2 ^> 0. Г состоит
из точек (— 1, х2), х,г )>0и (хг, 0), х1 ^> 1; Г — из точек
(хх, 0), xL <^ —1 и A, х2), х2 <^ 0, так что Г и Г не имеют
общих точек и Ж — упорядоченно выпукло. Замыкание
Ж содержит точки а = (—1, 0) и Ь = A, 0), а -<[ Ь, однако
множество 3 (в, 6) = {(^i, 0)}, где —1 <^ х1 <^ 1, не при-
принадлежит замыканию Ж.
Замкнутое тело Ж назовем строго упорядоченно выпук-
выпуклым, если из а^Ь, а(Е:Ж, ЬееЖ следует, что 3 («, 6)c:Int Ж.

§ 41 УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 41
Теорема 4.2. Замыкание [$] упорядоченно выпук-
выпуклого открытого множества $ строго упорядоченно
выпукло тогда и только тогда, когда каждое из множеств
Г, Г и Го не содержит таких пар точек а и Ь, что а -<( 6 *).
Доказательство. Пусть [$] — строго упо-
упорядоченно выпукло. Предположим, что на Г есть точки
а -< 6. Так как точки с (t) = ta + A — t) Ъ <= 3(«, Ь)
при 0 <^ t <^ 1 внутренние и с (() -( 6, то 6 е Г, что не-
невозможно. Аналогично рассматриваются Г и Го.
Пусть известно, что на Г (соответственно на Г, на Го)
нет пар точек а и 6, для которых а —^ Ь. Используя это
условие, подобно тому, как при доказательстве 2°—7° ис-
используется 1°, установим следующие свойства границы §, '
(после заверпшния доказательства теоремы они окаигутся
свойствами границы строго упорядоченно выпуклого тела):
свойства 2°—7° сохраняют силу, если в них заменить
знак ^> на знак )=-. Из доказательства свойства 6° при но-
новом условии усматриваем, что прямая с* -\- It, где с* GE
GE Го, I >- 0, имеет только одну общую точку (с*) с IS].
Возьмем произвольные be[S], &€E |^| такие, что
а^Ь. Для а имеются только две возможности: либо
а бЕ S? либо a GE Г. Действительно, при a Gr Г или а (=Е Го
не нашлась бы точка 6.ЕЕ Ж, Ь^а. Сходным образом:
либо б?Е$ либо 6 ЕЕ Г.
Пусть а ЕЕ Г. Если 6 ее ®, то всякая точка с* ЕЕ
ЕЕ 3 (<», 6), граничная для $, должна принадлежать Г. Но
это исключается тем, что а —^ с* и а ЕЕ Г. Если 6 ЕЕ Г, то из
свойства, аналогичного 5°, выводим снова, что с* ЕЕ Г,
и опять получаем противоречие.
У.4.1. Пусть 3 С В3 — октант: х\ > 0, х.г > 0, х3 >0. По-
Построить пример связного 3-унорядочешю выпуклого множества
Я С Л;), замыкание которого не является ^-упорядочишо вы-
выпуклым.
У.4.2 (Ф р а ц к л и и [1]). Упорядоченно выпуклой оболочкой ©
множества <? называется пересечение всех упорядочение выпуклых
множеств, содержащих 'S. Доказать, что
В свойстве 1° речь идет о точках п и '>, для которых а

42 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
§ 5. Выпуклые и одновременно упорядочение
выпуклые множества
Если упорядочение» выпуклое множество выпукло и
в обычном смысле, то оно, естественно, обладает рядом
«хороших» свойств. Например, по отношению к таким
множествам замечание, сделанное в начале п. 3 § 4, теряет
силу: имеет место следующая
Теорема 5.1. Если упорядочение выпуклое открытое
множество Ш выпукло в обычном смысле, то его замыкание
также упорядоченно выпукло.
Доказательство. Пусть а и 6(а^<6) принадле-
принадлежат замыканию Й и с ?Е 3 (а, Щ. Выбрав произвольно
Со6=& и последовательность iv—>0 @<^iv<^l), построим
последовательности
Ям = t4c0 + A — U) a, &v = Ue0 + A — U) Ь,
ev = **eo + (l —*v)«j (v = l,2,...).
Согласно У. 1. 2 «vge&, &VGE 5?. Поскольку av ^< cv
то CvGE^. Поэтому точка c = limcv принадлежит замы-
замыканию й. Теорема доказана.
Свойства 5° и 6° (или 7°) позволяют установить следую-
следующий полезный признак упорядоченной выпуклости зам-
замкнутых выпуклых тел.
Теорема 5.2. Замкнутое выпуклое тело 5? упоря-
упорядоченно выпукло тогда и только тогда, когда оно является
пересечением двух семейств полупространствг), опреде-
определяемых неравенствами
>h(%) (IgA),
) (НЕМ),
где Л, М — некоторые подмножества дуального конуса
2Г, сь h (%) и h (jx) — некоторые определенные на них
функции.
Доказательство. Примем во внимание, что
при а -< Ь и 1еЗ' обязательно (%, а) ^ (X,, 6). По-
Поэтому если тело 5? описывается системами неравенств
E.1), то оно упорядоченно выпукло, ибо из а -^ с -< Ь,
Одно из семейств может быть пустьщ.

§ 5] ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 43
а ЕЕ ®, Ь ЕЕ & следует, что для любых 1, g Л и ц ? М
(*,, с) > (Л,, а) > А A), (ц, с) < (ц, 6) < Е (ц).
Обратно, пусть замкнутое выпуклое тело 5? упорядо-
упорядочение выпукло. В силу свойства 6° (или 7°) оно является
пересечением замкнутых полупространств, опорных к 5?
в точках крышек Г и Г. Пусть с* GE Г и опорное полупро-
полупространство описывается неравенством (к, х) ^> (к, с*).
Проверим, что к ?Е Зт- Согласно 5° для любого I ^> 0 и
некоторого t ^> 0 имеем с* + ^ ЕЕ Int 5?. Поэтому
(к, е* + г0 > (*-. с*). откуда (Л,, ?) > 0 для любого I ^> О
и, следовательно, CL, ?) ^ 0 для любого I (= 3-
Теорема 5.3. Замкнутое выпуклое тело S? строев
упорядочение выпукло тогда и только тогда, когда оно
является пересечением двух семейств полупространств,
определенных неравенствами
(ща;)<Й>) (цеМ), E.2)
где Л с: Tut 3\ М с: Lit 3х.
Д ока зато льство. Для Х,?Е Int Зт из а -< Ь следует,
что (к, а) <С (к, ft). Если точки & описываются неравен-
неравенствами E.2), то из а^< с-<6, «ЕЕ &, бЕЕ^ вытекает,
что для любых ^?Е Л и fiЕЕ М имеем (к, с)^> h(к) и
(|ы, с)<С й (ц), т. о. с ЕЕ Int 5?. Обратное утверждение дока-
докалывается так же, как в теореме 5.2, с учетом того, что
теперь при c*gE Г имеем с* -f- Ms Int 5? для любого i ^0
и некоторого t --- t (I) ^> 0.
Еще одна характеристика выпуклых и одновременно
упорядочеппых выпуклых замкнутых ограниченных тел
дается следующей теоремой.
Теорема 5.4. Для того чтобы выпуклое ограничен-
ограниченное замкнутое тело & @ ЕЕ Int Щ было упорядочение
выпукло, необходимо и достаточно, чтобы его масштабная
функция D (X) обладала свойством:
max{DCc): а<^х<, 6} = max{Z?(a), D(b)} E.3)
для любых а -< ft.
Доказательство. Пусть имеет место E.3). Если
a-<ft и «е^, ЬЕЕ^, то Z?(a)<l, ?>(ft)<l и тогда
для всякого эсееЗ(л, ft) также D(x)^i, т. е. ^

44 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. I
Обратно, пусть & — упорядочение выпукло. Взяв про-
произвольные а-<6, положим у, = max {D(a), D(b)}. Точки
1 1
а" = — а и Ъ* = — 6 принадлежат & и вместе с ними,
УС %
по условию, все точки с* ЕЕ 3 [<**, 6*]. Однако с* ЕЕ 3 [«*, &*]
тогда и только тогда, когда с* = —с, где с ЕЕ 3 [<*, Ь].
Стало бить, для таких с имеем D (с) ^ и, что и требо-
требовалось доказать
гс (п + 1)
У.5.1.В g -мерном пространстве вещественных симмет-
симметрических матриц порядка ге скалярное произведение можно ввести
формулой (А, В) = sp AB, где sp С обозначает след матрицы С.
а) Конус 5> неотрицательно определенных матриц порядка
п самосопряжен: ^)т = ф.
б) Множество $ симметрических матриц порядка п, все соб-
собственные числа которых находятся на интервале (а, Ь), — откры-
открытое 5>-упорядоченно выпуклое и одновременно выпуклое множество.
Это множество совпадает с внутренностью некоторого конусного
интервала.
Заметим, что все эти факты переносятся на ге2-мерпое прост-
пространство эрмитовых матриц порядка п.
§ 6. Изотонные функции
Вещественную функцию/(ж), определенную на множе-
множестве X полуупорядоченного пространства Rn, будем назы-
называть изотопно возрастающей {неубывающей), если из хх-^
-< х2 (ж15 х2 ЕЕ X) вытекает / (жх) </ (х2) (/ (э^) </ (аса)).
Аналогично определяется изотопно убывающая (невозра-
стающая) функция.
Для получения критерия изотонности функции усло-
условимся о следующем. Пространство JBa+1 будем рассматри-
рассматривать как совокупность пар {ж, г}, где ж ЕЕ -К1*, т — скаляр.
Это пространство мы 3-полуупорядочим посредством
конуса 3, состоящего из элементов вида {ас, т}, где х ЕЕ 3,
т sg; 0. Таким образом, {хи хг} ^< {as2, т2}, если х1 ^ ж2
И Тх >Т2 ({Жь Tj} =^= {ЗС2, Т2}).
Множество пар вида {х, f (x)} (х ЕЕ X) называется
графиком функции / (ж), множество пар вида {ж, т}, где
ж ЕЕ X и т>/ (ж) (соответственно т <^ /(ас)), называется
надграфиком и обозначается X (/) (соответственно
графиком) и обозначается X (/)).

I 6] ЙЗОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 4§
Т е о р е м а 6.1. Функция f(x), определенная на упоря-
упорядоченно выпуклом открытом множестве Хс JS", изо-
тонно не убывает тогда и только тогда, когда одно из мно-
множеств Х^ (f)uX (/) (атогдаидругое) упорядоченно выпукло.
Доказательство. Пусть / (х) изотонно не убы-
убывает и пусть Уг<У <,у2, где уг = {х^ tJeeX (/), у2 =
= {зс2, т2} ЕЕ X. (/), У = {as, т}.
Это значит, что
хг rS х rS зс2, F.1)
Т2>т>т2. F.2)
Так как х1; ж2ёХи X упорядоченно выпукло, то из
F.1) получаем, что хе=.Х; так как / (х) изотонно не убы-
убывает, то из F.1) и F.2) получаем, что т >¦ т2 ^> / (as2) >
!>/ (ас), т. е. что т ^> / (ж), и, следовательно, ^ ?Е X (/).
Аналогично доказывается, что X (/) упорядоченно выпук-
л*о.
Обратно, пусть одно из указанных в условии теоремы
множеств, например, Х_ (/), упорядоченно выпукло. Дока-
Докажем, что / (х) изотопно не убывает. Если предположить
противное, то найдутся точки зс1; as2 ЕЕ X, хх -< зс2, для ко-
которых / (х,) >/ (х2).
Выбрав числа rt и т2 из условий гг^> f (х^) ^> т2 ^>
> / (ж2), найдем, что ?/1 = {хи tJ -<Уа = (жа, та) и Ун
?/2 GE X (/). Так как Х^ (/) упорядоченно выпукло, то ему
должна принадлежать точка у = (хи т2}, что невозмоншо,
так как т2<]/(а;1). Теорема доказана.
Замечание 6.1. Если множество Х_ (/) или X (/)
строго упорядоченно выпукло, то функция / (х) изотонно
возрастает.
Так как пересечение упорядоченно выпуклых множеств
упорядоченно выпукло, то из доказанной теоремы непо-
непосредственно вытекает следующая.
Теорема 6.2. Пусть функции Д (х) и /2 (х) опре-
определены на упорядоченно выпуклом открытом множестве
X cz. Rn и f1 (х) <^ /2 (х) (х (ЕЕ X). Для mobo чтобы обе
эти функции были изотонно неубывающими, необходимо
и достаточно, чтобы множество X (/х, /2) = Х_ (Д) П
П X (/2) было упорядоченно выпуклым.
Замечание 6.2. Если множество X (/1( /2) строго
упорядоченно выпукло, то обе функции изотонно возра-
возрастают.

46 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧВННО ВЫПУКЛЫЕ МЙОЖЕСТВА №Л. I
Замечание 6.3. Критерии изотонного невозраста-
невозрастания функции формулируются точно так же, только полу-
полуупорядоченность в пространстве JBn+1 вводится так:
{ж, т} >- О, если {х, т} ф О и х ^ О, т > 0.
(!) У.6.1. Функция / (х), определенная на выпуклом мно-
множестве X С -В", называется выпуклой, соответственно вогнутой,
если
/ (tej + A - t) х-г) < г/ (asi) + A - 0 / (as*),
соответственно
при любых asi, H/jEXhO^KI.
Надграфик выпуклой функции и подграфик вогнутой функции —
выпуклые множества.
§ 7. Теорема Хелли о пересечении выпуклых множеств1)
Теорема 7.1. Пусть в Лп задана конечная совокуп-
совокупность {Щ выпуклых множеств, из которых каждые
п -\- 1 имеют общую точку. Тогда все множества этой
совокупности имеют общую точку.
Доказательство. Достаточно доказать, что
если каждые т (т J> n -\- 1) множеств из данной сово-
совокупности имеют общую точку, то любые т -\- 1 этих мно-
множеств имеют общую точку, после чего можно применить
индукцию.
Пусть 5?0, Йъ ..., 5?т — произвольно выбранные мно-
множества на данной совокупности. Через Х\ (i = 0, 1, ..., т)
обозначим общую точку множеств 5?0, ..., 5?г_ь Щ+i, ...
..., 5?т.
Так как т ^ п -f- I, to векторы
x0Xj = Xj — х0 (j = 1, 2,..., т)
линейно зависимы, т. е.
т
G-1)
Содержание этого параграфа используется только в главе IX.

§ 7] ТЕОРЕМА ХЕЛПИ 47
Возможны два случая:
1. Все a.j, отличные от нуля, одного знака.
m
Положив а, = а,-/2аг, перепишем G.1) в виде
1
m m
х0 = 2*}Х} (а, > 0, 2a) = l) • G-2)
1 1
По определению, ж0 принадлежит множествам 5?lt &2, ...
..-, 3?т, а точки хх, ж2, ..., Э5т— множеству й0. В силу
выпуклости &0 ему принадлежит правая часть G.2). Зна-
Значит, х0 — общая точка множеств 5?0, 5?ь ..., ^т.
2. Среди чисел а^ имеются числа разных знаков.
Сгруппируем в каждой части равенства коэффициенты
с одинаковыми знаками Cjft ^ 0):
р m
S hK {Xjk - «о) = S Pik (xik ~ *<>)•
fc=i /c=p+i
Индексы ii, j2,..., jm образуют некоторую перестанов-
p m
ку чисел 1, 2,.. ., т. Положим [i = ^ pj , v = 2 Pj •
Тогда
(A (?/i ~ «о) = v (?/2 — *o), G.3)
где
p j>
ft—1 ft=l
Равенство G.3) означает, что векторы aCo^/j и зсо?/2 кол-
линеарны, т. е. точки х0, ух и у% расположены на одной
прямой. Так как ц,^>0 и v ^> 0, то ж0 находится вне от-
отрезка с концами у1 и уг. Примем, для определенности, что
[х <^ v. Тогда точка уу находится на отрезке между точками
х0 и у2.
Точка х0принадлещит множествам ЙХ) й?, ..., 5?т.

2
48 ВЫПУКЛЫЕ И УПОРЯДОЧЕННО ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. 1
Точка у2 — 2 $lkxJk принадлежит множествам
Я^, ..., % . Значит, все точки отрезка tx0 + A — t) у
(О ^ t <Г 1) принадлежат множествам Я3-„ Я}-2, ..., Я^ .
В частности, этим множествам принадлежит точка
р
У\ = 2 Pi ^ • Но ух также принадлежит множествам Яо,
Я» ,,,..., Я; . Следовательно, м, — общая точка множеств
/р+1 ' ¦'771 ' is л.
Я Я Я
Теорема Хелли допускает обобщение на случай, когда
задана бесконечная совокупность {Я} выпуклых мно-
множеств. При его доказательстве используется хорошо из-
известное из общей топологии предложение:
Л е м м а 7.1. (Ф. Р и с с). Если совокупность {Щ
замкнутых ограниченных множеств Ж а Лп обладает тем
свойством, что любые множества этой совокупности,
взятые в конечном числе, имеют общую точку, то все
множества этой совокупности имеют общую точку.
Эта лемма легко доказывается путем замены замкнутых
множеств их дополнениями и применением теоремы Гей-
Гейне — Бореля.
Теорема 7.2. Пусть в Ип задана бесконечная сово-
совокупность {Я} замкнутых выпуклых множеств, из которых
каждые п -j- 1 имеют общую точку. Пусть, кроме того,
в этой совокупности имеется к (>1) множеств &j, пересе-
пересечение которых Я0 = П &i непусто и ограничено. Тогда
1
все множества данной совокупности {Щ имеют общую
точку.
Доказательство. Из теоремы 7.1 заключаем,
что совокупность {Я'-}, где S$' = $%° П Я (Я g
удовлетворяет условиям леммы 7.1.
Примечания к главе I
В §§ 1—3 и в § 7, как указано в начале главы, излагается тра-
традиционный материал. Масштабная функция D^ (x) и опорная фун-
функция Нп (ж) играют большую роль в теории выпуклых тел и ее
применениях. Обзор соответствующих работ по 1934 г. имеется в

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I 49
книге Т. Боннезена н В. Фенхеля [1], а более поздних работ — в кни-
книгах Г. Бузомана [1] и Р. Рокафеллера [1].
Результаты §§ 4—6 принадлежат А. А. Нудельману [12, 14].
Здесь излагается конечномерный вариант, приспособленный для
задач, которые будут рассматриваться в шестой главе. Изучением
упорядочение выпуклых множеств в другом аспекте занимался
Франклин [1].
Теореме Хелпи (§ 7) и ее различным обобщениям посвящена
большая литература; см. по этому поводу обзорную монографию
Л. Данцера, Б. Грюнбаума и В. Кли [1].
Отметим в заключение, что имеется обобщение теоремы Ф. Рис-
са о выпуклой оболочке на случай так называемых регулярно вы-
выпуклых оболочек множеств в бесконечномерном пространстве, со-
сопряженном некоторому банахову пространству (М. Г. Крейн и
В. Л. Шмульян [1]).

Глава II
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА
В этой главе изучаются системы Чебышева, т. е. системы неп-
непрерывных функций {uh ({)}", обладающих тем свойством, что всякий
п
многочлен ^ akuk W' подобно алгебраическому многочлену, ан-
о
нулируется не более п раз.
Оказывается, наличие уже одного этото свойства обуславливает
наличие и многих других свойств, присущих алгебраическим мно-
многочленам. Как будет показано впоследствии, это обстоятельство
позволяет, в частности, переносить на случай обобщенной проблемы
моментов многие факты из классической (степенной) проблемы мо-
моментов.
Следует отметить, что многие просто формулируемые свойства
систем Чебышева были получены в результате использования тонких
средств анализа или геометрии (топологии). По этой причине, хотя
в настоящей главе содержится весь традиционный набор предло-
предложений о свойствах систем Чебышева и кое-что сверх того, на этом
их изучение не заканчивается. В частности, нам пришлось перенести
в <главу IX важную теорему С. Карлина, которую мы назвали
«теоремой об ужах».
Понятие системы Чебышева распространяется на системы функ-
функций, определенных на несвязном компакте. Такого рода системы
нам также понадобятся, и они будут рассмотрены в главе VIII.
Как известно, системы Чебышева играют фундаментальную
роль в вопросах аппроксимации; эти вопросы частично освещаются
в главе IX.
§ 1. Основные свойства систем функций Чебышева
1. Т-системы. Система вещественных функций {uh (t) }q.
определенных на абстрактном множестве Е, называется
системой Чебышева (Т-системой) порядка п на Е, если
каждый многочлен Р (t) — 2аЛ- @ B°^ ^> ^) имеет в Е
о о
не более п корней. Нетрудно видеть, что функции {uh (t)}^
образуют У-систему на Е тогда и только тогда, когда

§ 1] СВОЙСТВА СИСТЕМ ЧЕБЫШЕВА 51
определитель ])
(и0 щ . . . и„ \
Udet|Kto)«i('i)---"»e)ll?=o A.1)
г0 f1 ¦ • • tn /
отличен от нуля при любых t0, tv ..., tn ЕЕ Е, среди которых
нет равных. Это непосредственно вытекает из рассмотре-
рассмотрения системы п -f- 1 уравнений
п
2«fcM'i)=0 (/ = 0,1,..., га),
однородных относительно а0, ах, :.., а„.
Если на множестве Е введена топология, то обычно
предполагают, что функции, входящие в 7'-систему, не-
непрерывны на Е. В дальнейшем мы, исключая специально
оговоренные случаи, придерживаемся этого предполо-
предположения.
Оказывается, что существование У-системы (непрерыв-
(непрерывных) функций на множестве Е накладывает на Е (при
п ^> 0) сильное топологическое ограничение.
Мы имеем в виду следующий результат Дж. Мэрхью-
бера [1] 2).
Если на абстрактном компакте можно определить
Т-систему порядка п ^> 0, то этот компакт гомеоморфен
либо окружности, либо ее части.
Предлагаем читателю убедиться, что теорема Мэрхыо-
бера для частного случая п = 1 вытекает из совершенно
элементарных рассмотрений.
Таким образом, если компакт связен, то он гомеомор-
гомеоморфен либо интервалу [а, Ь], либо окружности.
В последнем случае окружность можно мыслить как
интервал [а, Ъ] с отождествленными концами, и Г-система
на окружности есть Г-система на [а, Ъ) при условии, что
uh (.а) — uk (b) (A = 0, 1, ..., п). В этом случае функции
х) Символом || ар... ajn ||I!Li мы обозначаем матрицу размера
т X п, выписывая общий вид ее строк.
2) Дж. Мэрхыобер доказал эту теорему для компакта из Нп.
Для абстрактного компакта она была независимо доказана К. Сек-
луцким [1] и П. Куртисом [1] (см. также И. Шёнберг и К. Янг [1],
где одновременно получено важное обобщение на случай комплек-
комплексных Г-систем).

52 системы функций чйвыШёвА trjt. il
uh (t) можно периодически (с периодом b — а) продол-
продолжить с интервала [а, Ь) на всю числовую ось и говорить о
периодической Г-системе на [а, Ь).
Так как определитель A.1) есть непрерывная функция
от t0, tv ..., tn, то для Г-системы на [а, Ь] и соответственно
для периодической Г-системы на [а, Ъ) он должен сохра-
сохранять определенный знак при всех значениях t0, t1:..., tn
таких, что
а <'о <*!<••• <tn<b,
соответственно
to<h< ... <tn <to+ b-a.
Непосредственным следствием этого предложения яв-
является следующее:
Порядок п периодической Т-системы {и^ (?)}? может
быть только четным.
В самом деле, при uh (a) = uh(b) (k = 0, 1,..., п)
и нечетном п имеем
/и0 и1. . .иЛ /щ щ. . .ип\
А[а t1...J = -A{hh...b)'
что невозможно для Г-системы при а <^ t1 <^ t2 <^ ...
...<*»<&¦
В настоящей главе мы будем изучать Г-системы на
замкнутом (реже — на открытом) интервале, откладывая
случай периодических Г-систем до § 8 главы IV, а случай
Г-систем на несвязном компакте — до § 1 главы VIII.
Впрочем, периодические Г-системы встретятся еще в этой
главе (§ 3) и в § 8 главы III.
В заключение сделаем несколько простых замечаний.
В дальнейшем без ограничения общности можно пред-
предположить, что функции {uh (?)}о образуют Т^-систему
порядка п на [а, Ь], т. е. что определитель A.1) сохраняет
знак -f- при всех значениях t0 <^ t1 <^ ... <^ tn (a ^ t0,
tn < b).
Очевидно, что, умножив каждую функцию Г-системы
{uk (t)}o (a ^. t ^ b) на непрерывную функцию v (t) =^= 0,
мы снова получим Г-систему {v (t) uk (?)}o. При этом
Г+-система при умножении на v (t) ^> 0 снова дает Г+-
систему.

§ i1 Свойства Систем чёвышева 5з
Если % (s) — непрерывная строго возрастающая на
[а, р] функция, X (а) — а, % ($) = Ъ, то заменой t = % (s)
Г-система {uk (t)}o на [a, b] преобразуется в Г-систему
{СМ«)}?= K(x(*))}S на [а, р].
С каждой системой непрерывных функций {uh (t) }o (a ^
^ t ^ &) мы будем связывать вектор-функцию и (t) —
— {uh (t)}o со значениями в Kn+1 и кривую ZT = {и (t):
а < t < Ъ) cr Kn+1.
Кривую С/", отвечающую Г-системе (^-системе) на
[а, Ь] будем называть Т-кривой (Т^-кривой). Согласно опре-
определению, кривая U будет Г-кривой тогда и только тогда,
когда каждая гиперплоскость, проходящая через начало
координат, имеет с U не более п общих точек.
Отмеченное выше свойство определителя A.1) означает,
что U есть Г-кривая тогда и только тогда, когда при всех
различных значениях tj (/ = Q, 1, ..., п) векторы и (?0),
и (tj), ..., и (tn) линейно независимы, то есть образуют
базис Kn+1.
Этот базис имеет одну и ту же ориентацию при условии
(а ^ )t0 <^ t1 <^ ... <С_ tn (^ Ъ), и в случае ^-кривой эта
ориентация совпадает с ориентацией основного базиса
в Мп+\
2. Свойства мноючленов Т-сиСтемы. 1°. Для любых
заданных п различных точек tlt t2, ..., tn на [а, Ъ] сущест-
существует многочлен Р (t) данной Т-системы порядка п, имею-
имеющий tu t2, ..., tn своими корнями. Этот многочлен опреде-
определяется с точностью до постоянного множителя:
(ип и, и,. .. и„
t t t t
2°. Существует один и только один многочлен Р (t)
данной Т-системы порядка п, принимающий в заданных
п -f- 1 точках интервала [а, Ь] наперед заданные значения.
Предлагаем читателю сформулировать соответствую-
соответствующие геометрические свойства Т'-кривой U.
Будем называть корень многочлена Р (t), лежащий
внутри [а, Ь], корнем-узлом, если при переходе через этот
корень многочлен Р (t) меняет знак, и корнем-пучностью,
если при переходе этот корень многочлен Р (t) не меняет
знака.

64 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЁБЬГШЕВА [ГЛ. II
Концы интервала [а, Ь], если они являются корнями
многочлена Р (t), будем считать корнями-узлами.
Геометрически корню-узлу t0 многочлена Р (t) =
п
= ^oikuk(t) отвечает точка пересечения и (t0) кривой U
о
п
с гиперплоскостью Н: /frkXi,- = 0 (в этой точке гиперпло-
о
скость рассекает любую достаточно малую дугу XI, содер-
содержащую u(to))\ корню-пучности t0отвечает точка прикосно-
прикосновения и (t0) кривой V к гиперплоскости II (и (t0) лежит
в Н и достаточно малая дуга 17, содержащая и (t0), нахо-
находится по одну сторону Н).
Теорема 1.1. Если многочлен Р (t) данной Т-системы
порядка п имеет в Га, Ы К корней-пучностей и I узлов, то
2к + I ^ п, т. е. если Т-кривая V имеет с некоторой
гиперплоскостью, содержащей начало 0, к точек прикос-
прикосновения и I точек пересечения, то 2/с -f- I ^ п.
Доказательство. При к = 0 теорема триви-
тривиальна. Поэтому примем к ^> 0.
Пусть данный многочлен Р (t) имеет корни
Обозначим
Мг = max \P(t)\
(i = 1, 2,..., к + I + 1; t0 = a, tM+1 = b).
Пусть fi — положительное число, меньшее всех М^
(i = I, 2, ..., к+l + l).
Построим многочлен Px{t) данной Г-системы порядка
п, принимающий значение —|— jx в корнях-пучностях много-
многочлена P(t), в окрестности которых Р (t) ~^> 0, и значение
—|х в корнях-пучностях многочлена Р (I), в окрестности
которых Р (t) ^ 0 и который, кроме того, обращается
в нуль во всех узлах многочлена Р (t).
Подберем р @ <^ р ^ 1) так, чтобы
max |р.Рг(*)|О,

§ ll СВОЙСТВА СИСТЕМ ЧЕБЫШЕВА 55
и рассмотрим многочлен
Каждому корню-пучности многочлена Р (t) соответ-
соответствуют два корня многочлена Рг (t).
В самом деле, пусть tt — корень-пучность многочлена
P(t), в окрестности которого, например, Р (t) ;> 0. В не-
некоторой точке Ф; из (^_i, t{) и точке Фт из (tt, ti+1)
имеем
Поэтому
и так как Рг (tt) = —pji <^ 0, то Рг (t) имеет корень как
в (¦&,-, tt), так и в (ti, ®i+1).
Так как, кроме того, многочлен Р2 (<) обращается в
нуль во всех узлах многочлена Р (t), то он имеет по край-
крайней мере 2к -f- I различных корней, откуда 2/с -f- Ч ^ п.
Теорема доказана.
п
Из множества $р многочленов Р (t) = 2 ацик (t) нам
о
удобно выделить множество tye тех Р (t) ЕЕ $, у которых
п
2а|=1, и из множества sp+ неотрицательных много-
о
членов — множество tyl = $p+ f| $pe. Легко видеть, что оба
множества фе и tye+ компактны.
Пусть т — любая точка интервала [а, Ъ]. В дальнейшем
будем пользоваться обозначением
Г 2 при а <^ X <Г Ь,
е(т)= . ,
I 1 при х = а и при t = о.
Число е (т) будем называть индексом точки т.
Теорема 1.2. Для того чтобы наперед заданные
точки tlt ts, ..., tm из [a, b] могли служить корнями неко-
некоторого неотрицательного многочлена Р (t) данной Т-си-
стемы порядка п, необходимо и достаточно, чтобы

56 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Доказательство. В силу теоремы 1.1 доказы-
доказывать нужно только достаточность. Предположим сначала,
что
a<h<h<---<tm<b
и
m
2e(*j) = 2т = п.
1
Выберем последовательность точек
\li , • ¦ -, im) \у — 1, &,...)
m-мерного пространства так, чтобы
lim t^ = ty
Построим последовательность многочленов
(Cv ^> 0), которую в силу компактности spe можно счи-
считать сходящейся к некоторому многочлену Ро (t) G $".
Покажем, что Ро (t) является искомым многочленом.
В самом деле, очевидно, что tx, t2,..., tm — корни
Ро (t). Многочлен Ро (t) неотрицателен, так как
Pv (t) > 0 в [a, tj), (t<?\ t,), .. , (С1Ъ tm), (С\ b],
Л(О<о в (tu t?\ (h, 4V)),. •., (tm, t%).
Если
1'де
m
^je(^j) = 2m — 1 = n,
l
то доказательство изменится только в том, что вместо
A.2) мы положим
иг Щ U3 . . . Мат_2
\» м 1-2 11 • • • Lrn
i'^е Су — положительный нормирующий множитель.

§ l] СВОЙСТВА СИСТЕМ ЧЕБЫШЕВА 57
Аналогично поступим, если
т
tm = Ъ и 2 е Уз) = п-
1
Во всех этих случаях полученный многочлен Ро (t)
неотрицателен и в силу теоремы 1.1 никаких корней, кроме
t,, t2,..., tm, в [a, b] не имеет.
Если
т
1
например,
то можно к точкам tlt t2, ..., tm добавить еще точки tm+u
^m+2i •••> tm+p (а <С 'ni + 1 \ ^m+2 \ ••• \ ^пг+р \ ") и по"
строить, как было показано, неотрицательный многочлен
Р1 (t), имеющий своими корнями точки tx, t2, ..., tm+p,
затем построить неотрицательный многочлен Р% (t), име-
имеющий своими корнями точки tv ..., tm, t'm+i, ..., tm+p, где
*m+l < t'm+1 < ... < tm+p < tm+p < ft. МнОГОЧЛен Р (t) =
— Pi @ + 1\ @> очевидно, неотрицателен и никаких
корней, кроме tlf t2, ..., ^m, не имеет.
Аналогично можно поступить, если
Теорема 1.1 допускает обращение и в общем случае:
Теорема 1.3. Для произвольных к точек tu t2, ...
..., tk внутри [a, b] и I точек tk+x, ..., tk+l в [а, Ь] можно
построить многочлен Р (t) данной Т-системы порядка
п, имеющий точки tlt ..., t^ своими корнями-пучностями
и tk+1, ..., tH+i узлами и не имеющий других корней в
[а, Ь], если только 2k -f- I ^ п.
Доказательство аналогично доказательству теоре-
теоремы 1.2.

58 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЁБЫШЁВА (ГЛ. П
Теорема 1Л. Если функции {uh (t)}g образуют
Т-систему порядка п в [а, Ъ], то существует многочлен
положительный в [а, Ъ]1).
Доказательство. В самом деле, такой много-
многочлен можно, например, при п = 2v построить следующим
образом: выбираем произвольно v точек t[, t'2, ..., t'4 внутри
[а, Ъ] и строим неотрицательный многочлен Рг (t), имею-
имеющий точки t[, ..., t'4 своими корнями-пучностями. Затем
выбираем какие-нибудь v точек t'l, ..., С так, чтобы
и строим неотрицательный многочлен Рг (t), имеющий
t[, ..., С своими корнями-пучностями.
Очевидно, что многочлен И (t) = Рг (t) -f- P% @ поло-
положителен для всех а ^ t ^ Ъ.
Если п = 2v + 1, то строим неотрицательные много-
многочлены Рх (t) и Р2 (t), имеющие соответственно корни
a, t'u t'%, ..., t'v и i[, t\, ..., С, Ъ.
Читатель легко переведет теоремы 1.3 и 1.4 па геомет-
геометрический язык.
Г-система {uk (t)}™ (a < * < b), состоящая из п раз непрерыв-
непрерывно дифференцируемых функций, называется ЕТ-системой, если
каждый многочлен Р (t) ? $ имеет в [а, Ъ] не более п корней, при
условии, что каждый корень засчитывается столько раз, какова
его алгебраическая кратность.
t /щ их ...ип\
Обозначим через A I I (a < t0 < tx ^ ... ^ t^ Ъ) оп-
\*о h ¦¦¦ tnj
/щ щ ... и\
ределитель, который отличается от А тем, что со-
ответственно каждой группе равенств (t._x <) t- = t-+1 = ... = t-+r
« ) строки
P) »i (W - "n (*j+P) (P = 1, 2- •¦•> r)
заменяются строками
Чр) (у 4Р) (9 ¦ • •"«) vj) (p = *. 2,...,
x) Таким образом, всякая Г-система удовлетворяет условию
(гл. I, § 3).

§ 2] ПРИМЕРЫ 59
(!) У.1.1. Для того чтобы система п раз непрерывно диффе-
дифференцируемых функций была ?Г-системой, необходимо и достаточно,
чтобы определитель Л* \i° ^ '" и.п\ не обращался в нуль при
а <С t0 < Ji < . . . < tn < Ь.
(!) У.1.2 (И. Шёнберг [2]). Если для ограниченной функ-
функции / (t) (a < t < 6) при любом вещественном с разность / (t) — с
меняет знак не более N раз, то / (J) — функция ограниченной вари-
вариации и Var / < N (sup / (t) — inf / (t)).
Отсюда вытекает, что если для Г-системы {uh (t)}g среди Р (t) e
6Е Ф имеется Ро (t) = 1, то все Р (t) ?E 4S имеют ограниченную ва-
вариацию и, следовательно, для такой Г-системы кривая U спрям-
спрямляема. Таким образом, после замены переменной, если взять в ка-
качестве параметра длину дуги, получим Г-систему, удовлетворяю-
удовлетворяющую условию Липшица.
Указание. Для любого разбиения а < t0 < ti < . .. < tn =
= Ь каждая точка с ?Е [inf /, sup /] покрывается не более чем N
интервалами с концами в точках / (t;) и / (ti+1) (i = 0, 1, . . . ,п — 1).
(!) У.1.3 (С. Н. Б е р н ш т е й н [4,7]). Для любых двух мно-
многочленов Р (t) и Q (t) произвольной 7'-систсмы отношение Р (t)/Q (t)
имеет односторонние пределы (конечные или бесконечные) в каж-
каждой точке интервала [а, Ь].
Указание. Воспользоваться У.1.2 и определением Г-си-
стемы.
§ 2. Примеры
а) Простейший пример ^-системы на любом интер-
интервале [а, Ь] доставляют функции
1, t, t\ ..., t\ B.1)
Положительность определителя A.1) проверяется с по-
помощью формулы для определителя Вандермонда.
б) Нетрудно также проверить (см. Г. Полна и Г. Сеге
[1]), что функции
оОх<. •.<«*) B-2)
образуют ^-систему на любом интервале [а, Ь], для кото-
которого а -\- ао^> 0.
Это же можно утверждать относительно системы, ко-
которая получится, если после функций B.2) выписать по-
последовательно в каком-то числе функции B.1).
в) С помощью теоремы Ролля без труда устана-
устанавливается, что любой многочлен (^0), составленный из

60 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
функций
еа»(, e«il,.. ., е*п< (я„ < а, < ... <<*„) B.3)
имеет не более чем п вещественных нулей.
Таким образом, определитель A.1) для этой системы
функций отличен от нуля при любых t0 <^ t1<^ ... <^ tn
и любых а0 <^ а1 <^ ... <^ ап. Фиксируя tj (j = 0, 1, ...
..., п) и непрерывно меняя ah (к = 0, 1, ..., п) с сохране-
сохранением их порядка следования так, чтобы ak перешло в к
(к = 0, 1, ..., /г), мы превратим определитель A.1) в опре-
определитель Вандермонда, который положителен.
Таким образом, функции B.3) образуют ^-систему
на любом интервале [а, Ъ].
г) Из в) заменой t на In t получаем, что при а0 <^ а1 <^ ...
...<а„ функции
образуют Г+-систему на любом интервале [а, Ь], если
только а > 0 (при а0 = 0 можно брать а = 0).
д) Если производная/<"¦> (t) функции / (t) положительна
в интервале [а, Ь], то функции
\,t,t\...,tn-\f(t) B.4)
образуют Г+-систему на интервале [а, Ь].
В самом деле, любой многочлен
п—1
*>(*) = 2 «/ +
имеет в [а, Ъ] не более чем п корней, ибо в противном слу-
случае п-я производная Р^ (t) = aJW (t) по теореме Ролля
имела бы по крайней мере один корень в [а, Ъ].
Таким образом, определитель A.1) для системы B.4)
не обращается в нуль при {a ^)t0 <^ t1 <^ ... <^ tn {^b).
Это же можно утверждать, если функция / (t) заменена
на функцию A — X)f (t) -\- %tn @ <! Я ^ 1). Непрерывно
меняя Я, от 0 до 1, мы убедимся в положительности опре-
определителя A.1).
По существу, в примерах б) — г) установлено, что не-
некоторое ядро G (t, s) является вполне положительным.

§ 2] ПРИМЕРЫ 61
Непрерывная в прямоугольнике а ^ t ^ Ь, с ^ s sgC d
функция G (t,s) называется вполне положительным ядром,
если для любого п и любых наборов точек
(а <)*„<*! <...<*„«&), (с <)*0<*1 <••¦<«»«<*)
определитель B.5)
/0 ^••¦M=det|G(^S/i)|™k=o B.6)
положителен. В примерах б) — г) получено, что ядра
¦ ¦, e!d f вполне положительны.
Более общо, непрерывная функция G (t, s) называется
знакорегулярным ядром, если для каждого фиксированного
п при любых наборах B.5) определитель B.6) сохраняет
один и тот же знак. Ясно, что при (с<!) а0 <^ а1 <^ ...
... < а„ «d) функции
аЛ) (А = 0, 1,. . ., /г; а <?<?),
где G (<, s) — знакорегулярное ядро, образуют Г-систему
на [а, Ь]. Эта система функций обладает следующим свой-
свойством: все миноры порядка г ^ п + 1 определителя A.1)
имеют один и тот же знак ег = ±1 (г = 1, 2, ..., п -\- 1).
Г-системы, обладающие этим свойством, называются
системами Декарта {D-системами). В частности, указан-
указанное свойство означает, что если из /^-системы удалить
произвольное количество г ^ п функций, то оставшиеся
п -\- 1 — г функции образуют Г-систему порядка п — г.
Если все гг = +1 (г = 1, 2, ..., п + 1), то .D-система на-
называется D+-системой.
1 (i-8)'
(!) У.2.1. Ядро теории теплопроводности Gz(t, s) — ,_ е ^
У ят
(т > 0) вполне положительно на любом прямоугольнике.
(!) У.2.2. Пусть {ий (*)}?¦ —Т-система. Если функции vk (t) =
n
== 2j a*juj О (^ = 0, 1, ..., i) линейно независимы, т. е. матрица
3=0
Л=||аы-||д яевырождетга, то {vk (t)}™ — также Г-система; если
{ufc (i)}™ — Т^-система, то {vk (t)}™ — также Т^-система тогда и толь-
только тогда, когда det A >¦ 0.

62 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Д.2.3 (Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейи [1]). Система
функций {kjj (t)}o есть ?>+-система тогда и только тогда, когда
п
у любого многочлена Р (t) =/jafeufe0 ^^ число корней не
о
превосходит числа перемен знаков в ряду коэффициентов
a0, cci, . . . ,ап
(нулевые коэффициенты отбрасываются).
(!) У.2.4 Пусть функция a (t) имеет ограниченную вариацию
на [а, Ь]. По последовательности функций
щ (О = 1, mi @, ¦ . ., ип_г (t) (а < i < Ь)
построим последовательность функций
»о @ = 1. 01 @ = 5 «о (s) da (s),
t t
02 @ = ^ «i («) ds (s), .... vn (t) = 5 «n_! («) rfs (s).
a a
а) Имеет место тождество (a <sj <o <C *i <C ••• <! *n
/00 0i... 0n\ =
vo ti... *„;"
f t t
ln-l
h to
б) Если о @ — непрерывная строго возрастающая функция'
{uh (t)}1^'1 — У-система порядка п — 1, то {vh (<)}" — У-система
порядка п.
dvk
Указание. Пользуясь тем, что ~^г = икъ применить
обобщенную теорему Ролля.
п
в) При условиях б) всякий многочлен Р (t) = 2°VfcO име"
о
ет внутри [а, Ь] не более п — 1 локальных экстремумов.
Следуя Ч. Дейвису [1, 2], будем говорить, что система непре-
непрерывных функций {uh (J)}g (а < t ^ Ь) имеет минимальное колеба-
колебание, если всякий многочлен Р (t) S Щ имеет внутри [а, Ь] не более
л — I локальных экстремумов.

§ з1 АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 63
Д.2.5 (Ч. Дейвис [2]). Пусть {uh (i)}^ — система с мини-
минимальным колебанием. Тогда:
а) она является Г-системой;
бIе|;
в) для любых fS0, Pi, ... ,Pft (к — 1, 2, . . .,п) таких, что (Ру —
~ Р3-_х) (Pj+1 — Pj) < 0, существует Р (t) е ?, точки а = <„ < *i < ¦¦•
. . . < th = b, в которых Р (t3-) = рз- и которые составляют множе-
множество всех локальных экстремумов Р (t).
Последнее утверждение нетривиально даже для алгебраических
многочленов.
Утверждение б) легко обосновать, используя теорию наилуч-
наилучшего приближения (см. У.IX.4.1). Этому утверждению можно при-
придать следующий геометрический смысл: в lin+i не существует такой
пространственной*) кривой U, отклонение2) которой (включая
концы) от любой гиперплоскости имеет ire более п -\- 1 локальных
экстр емумов.
§ 3. Аппроксимация аналитическими функциями
1. Аппроксимация Г-систем. Вполне положительное
ядро теории теплопроводности Gx (tu, s) = е z /уях
(см. У.2.1) позволяет установить следующее предложение.
Теорема 3.1. Пусть функции {ик A)}а образуют
Т-систему на интервале [а, Ь]. Можно построить систему
аналитических функций {U^ (l; x)}o, которые образуют
Т-систему (по I) на любом интервале и обладают тем
свойством, что равномерно по t (a. €C t ^ Ь)
iim UK {t; т) = щ (t) [k = 0, 1,.. ., п).
•с-Ч-о
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что данная Z'-система {иК (t)}^ есть Т+-
система, т. е., что
при n^lo^fi^... <C tn ^ b. Выберем произвольный
интервал (alt Ьг), внутри которого находится интер-
интервал [а, Ь], и доопределим функции ик (t) во внешности
1) То есть не умещающейся ни в какой гиперплоскости.
2) То есть расстояние точки U до гиперплоскости, взятое с
соответствующим знаком.

64 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
интервала [а, Ь] с сохранением непрерывности, считая их
равными нулю в интервалах (— оо, аг] и [blt оо) и линей-
линейными в интервалах [аи а] и [Ь, Ъг].
После этого положим
Uk (t; т) = ^ Gt (t, s) ик (s) ds,
—оо
где GT (t, s) — ядро теории теплопроводности.
Очевидно, что функции UK (t; т) аналитичны по t и,
как известно,
lim Uk{t; t)=u,(t) (A = 0, !,...,«),
х-Н-о
причем сходимость равномерна в силу ограниченности
функции ик (t).
Покажем, что при любом т ^> 0 функции {[/ц (t; t)}q
образуют Г^систему (на любом интервале). Для этого вос-
воспользуемся тождеством (см. Полна и Gere [1])
. (V0V1...Un
s0 Sl ... sn
X rf.?oi5i.. . dsn.
Убедимся, что при любых t0 <^ tx <^ ... <^ tn и s0 <^
"С si <C • ¦ • "С sn оба определителя, стоящие под зна-
знаком интеграла, неотрицательны. Первый определитель
положителен (см. У.2.1).
\s0 s1...sj v '
Второй определитель положителен, если s ^ s0 и s, ^
^ Ъ. Если хоть одно Sj находится вне интервала (аг, Ьг),
то он равен нулю, так как иК (s^ =0 (к =0, 1, ..., п).
Если Sj находится в интервале {ах, а) или (Ь, Ьг), то ut (sj)
положительным множителем (s;- — a^/fa — ах) отлича-
отличается от и,? (а) (к = 0, 1, ..., и) или, соответственно, поло-
положительным множителем (Ьх — s;)/(bj — Ь) отличается от
щ (Ь) (к =0, 1, ..., п). Поэтому для любых s0 <^ sx < ...
...<^sn второй определитель неотрицателен.

I 3] АППРОКСИМАЦИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ 65
Вследствие этого подынтегральная функция неотри-
неотрицательна при любых Sj и любых tj таких, что t0 <^ tx <Г...
... <i tn. Значит,
при t0 < tx < ... < tn.
Замечание 3.1. Из доказательства ясно, что вся-
всякую систему функций {ип (t)}^, для которой определитель
/и0 иг...ип
AL h ¦¦¦tn
неотрицателен при а <; t0 <^ tx <C ... <С tn ^ Ъ, но не
равен тождественно нулю, можно равномерно аппрокси-
аппроксимировать с любой степенью точности Т^-системой, состоя-
состоящей из аналитических функций.
У.3.1. Система {Uh (t; x)}rol есть ?Г-система на любом интер-
интервале.
2. Аппроксимация периодических Т-систем. Для зтого
случая оказывается полезным ядро Эт (t — s) теории теп-
теплопроводности для тонкого кругового кольца, где
оо (t— amn)"
m=i ' у ПХ т—_оо
Теорема 3.2. Пусть функции {uk (t)}^ образуют
периодическую Т-систему на [а, Ъ). Можно построить
систему аналитических функций {Uk (t; г)}о, которые
образуют периодическую Т-систему (по t) на [а, Ъ) и об-
обладают тем свойством, что равномерно по t (a <; t ^Ь)
lim Uk (t; г) = uk (t) (k = 0, 1,.. ., n).
t-Ч-о
Доказательство. Можно считать, что а = О,
b =2п. Положим
= } $i(t — s)uk(s)ds (k = 0, I,..., n).
о

66 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Легко видеть, что функции Uk (t; x) 2я-периодичны, ана-
литичны по t и
2л
KmUk(t;x) = -±- [ u,(s)ds +
т-»+0 V
-\ 2 cos mi \ uk (s)cos ms ds +
—
m=l
2rc
\ ua (s) sin ms ds = щ (t)
равномерно по ?.
Чтобы обосновать утверждение, что {Uk (<;т)}" есть пе-
периодическая Г-система, прибегнем к соображениям тео-
теории теплопроводности.
п
Пусть Р (t; т) = 2*л^к (*"> т) ~" некоторый лгногочлен и
P(t; -\- 0) = 2 аЛ @ ~ ег0 предел при т -> + 0.
о
Легко проверить, что
дР (t; т) _ д*Р (t; х) . . 0
так что на Р (t; т) можно смотреть как на температуру в
момент времени т в точке t стержня длины 2я, свернутого
в кольцо, при начальном распределении температур, опи-
описываемом многочленом Р (t; + 0).
Так как с течением времени температура должна «вы-
«выравниваться», то при т ^> 0 число корней многочлена
Р (t, т) на интервале [0, 2л) не превосходит числа корней
Р (t; +0), т. е. их число ^ п.
Разумеется, это рассуждение имеет эвристический
характер. Его можно сделать строгим, если показать, что
функция Wi (t — s) является нечетным ядром Келлога
(см. Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [1], а также С. Кар-
лин [2]).
Замечание 3.2. Если система функций {ик (t)}o
(a ^t ^.b) такова, что ик (а) = ик (Ь) (к = 0, 1, ..., /г),

§ 41 СИСТЕМЫ МАРКОВА 67
а определитель
и неотрицателен при a s=C t0 <^ tx <^ ... <^ tn ^ Ъ, то эту
систему можно равномерно аппроксимировать с любой
степенью точности периодической Г-системой на [а, Ь),
состоящей из аналитических функций.
§ 4. Системы Маркова
Систему функций {ик (t)}o назовем системой Маркова
(М-системой) на интервале [а, Ь] (соответственно в
(а, Ь)), если' каждая из систем {uk (t)}™ (т — О, 1, ..., п) —
Г-система порядка т на [а, Ь] (в (а, Ь)). Если каждая из
этих систем ^-система, то М-система называется М+-
системой. Таким образом, функции {иК (t)$ образуют
М-систему на [а, Ь] тогда и только тогда, когда при каждом
т = 0, 1, ..., п определители
[to h ... tm
сохраняют один и тот же знак ет = +1, если только
а ^ to <C h <С •¦• <С tm ^ Ь. Для ЛГ+-системы все ет =
= 1 (т =0, 1, ..., п).
При решении вопроса о возможности преобразования
Г-системы в М-систему окажется существенным следую-
следующее понятие. Мы будем говорить, что У-систему (ЛГ-систе-
МУ) {ик @)о на [а, Ь] можно продолжить за пределы ин-
интервала [а, Ь], если функции {ик (t)}a можно экстраполи-
экстраполировать на более широкий интервал [а', Ь'] гэ [а, Ь] с со-
сохранением Г-свойства (соответственно ЛГ-свойства).
У.4.1 (В. И. Андреев [1]). Система функций
1, t, sin t, cos t, . . ., sin nt, cos nt
есть Г-система на [0, 2я], не допускающая продолжения на более
широкий интервал х).
Указание. Многочлен а A — cos nt) + P sin nt имеет
In + 1 корней в [0, 2л] при любых вещественных а и Р (а2 + Р2 > 0).
!) Первым, кто построил пример непродолжаемой Г-системы,
рядимо, был В. И. Волков [1].

68 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Имеет место следующая
Теорема 4.1. Если Т-систему [ин (t)}o {a ^ t ^
^ Ь) можно продолжить за пределы [а, Ь], то существует
п
система многочленов {vk{t)}o, vk(t) = 2 akjuj{t), образу-
j=o
ющих М+-систему на замкнутом интервале [а, Ъ].
Доказательство. Пусть, для определенности,
заданную Г-систему можно продолжить за точку Ъ, т. е.
пусть функции {ик (t)}o образуют Г-систему на [а, Ь'\,
где Ъ <^Ъ'. Выберем в интервале (Ь, Ъ') точки
и построим многочлены {vk (t)}^ так, чтобы многочлен
vk (t) обращался в нуль в точках ?ls |s, ..., 1п-к (к =0,
1, ..., п — 1) и не обращался в нуль в точках ?n-fc+i. ¦•¦> In
(к =1, 2, ..., re). Очевидно,что такое построение можно
осуществить бесчисленным множеством способов.
Докажем, что при каждом т =0, 1, ..., ге функции
ivk (t)fo образуют Г-систему порядка т на замкнутом
интервале [а, Ь].
В самом деле, всякий многочлен
(V>0 @ + Pl»l (*)+-.. + М„ (*).
будучи многочленом относительно Г-системы {иК (t)}™,
может иметь в интервале [а, Ъ'] не более ге корней. Но, по
построению многочленов vk (t), он имеет в интервале
(Ь, Ъ') п — т корней ?х, ?2, ..., |п_т. Следовательно, в ин-
интервале [а, Ь] находится не более т корней этого много-
многочлена.
При каждом т =0, 1, ..., ге систему {г^ (?)}о" можно
считать Г+-системой, так что функции {vK (<)}o образуют
ЛГ+-систему на интервале [а, Ъ].
Несколько иначе обстоит дело, если Г-систему {ик (t)}n
нельзя продолжить за пределы [а, Ь]. В этом случае нельзя
гарантировать, что она преобразуется в М-систему на
замкнутом интервале [а, Ь], однако это всегда можно сде-
сделать, если замкнутый интервал заменить открытым (спра-
(справа или слева).
Теорема 4.2. Всякую Т-систему {ик (?)}о (а ^ t <:
^ Ь) можно линейно преобразовать в систему многочленов

§ 4] СИСТЕМЫ МАРКОВА 69
{vn @}о\ образующих М^-систему по крайней мере на
открытом интервале (а, Ъ).
Доказательство. Докажем сначала, что си-
стема многочленов {vn (?)}о данной У-системы, обладаю-
обладающая следующими свойствами:
1) "л @ № = 0> 1) ¦••> п) положительны вблизи Ъ и
vn (Ъ) > 0.
2) lim vk (t)/vk+1 (*) = 0 (к = 0, 1,.... п - 1),
t-*b—о
есть М+-система.
Эти многочлены линейно независимы, так как из соот-
соотношения
aovo (*)+... + ctn-iVn-! (t) + anvn (t) = 0
получим сначала, положив t = b, что an = 0, затем, деля
его на г;п_! (t) и переходя к пределу при t -*- Ь — 0, полу-
получим, что an_! = 0, и т. д. Таким образом, {vk{t)}^ —также
Г-система на [а, Ъ]. Далее, так как
v0 (t0) ... vk^ (t0) vk (t0)
. j•• • Ук-i *>k .
AL + t )=Ук(«к)
\f0 . . . Гк_х ^
= П, 11-1,..., 1)
то в силу условий 1) и 2) при [а <!
<^ ^fc <^ b определители
/170 .. .»,(_! 17Д /170...17к_Л
Д( И Д
\t0 • ¦ • tfc-i tk / \fo ¦ • • *k-i /
имеют один и ,тот же знак, такой же, какой он у функ-
функции v0 (t). Так как эта функция, по доказанному, не
обращается в нуль на [а, Ь) и положительна вблизи Ъ,
то {vk (?)}о есть М+-система на [а, Ь).
Теперь нужно доказать, что система многочленов {v^(t)}o,
данной Г-системы, обладающая свойствами! 1) и 2), су-
существует.
Без ограничения общности можно считать, чтоып(Ь) =?
фО. Положим vn,n(t) =un(t) и
= Д^ ъ) (А = 0, !,...,«-
1).

70 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Ясно, что
lim "'¦П-1У) =0 (ft = 0,l n-i),
f-*b—0 "п, п \Ч
В соответствия с У. 1.3 существуют конечные или бес-
бесконечные пределы:
lim
Докажем, что в множестве индексов N — {0, 1, ...
..., re —1} найдется }0EzN, для которого все величины Akj0
(к е= N) конечны. Для f, к ЕЕ N условимся писать / ¦< к,
если Akj конечно. Ясно, что для любых двух индексов
/, к е= N выполняется по крайней мере одно нз двух соот-
соотношений: / <^ к или к <^ / (не исключено, что выполняются
оба соотношения при / =j= к); из / <: к и к <: I следует, что
/ <; I. При таком полуупорядочении в N найдется «мини-
«минимальный» элемент /0 (/о "^ ^ Для всех к ?Е N), который и
будет искомым. Без ограничения общности можно считать,
что /0 — п —1, т. е. что конечны все величины ак = Ак, nLx
(к =0, 1, ..., п -1).
В таком случае, положив vki n_a (t) = vk% „_x (t) —
— akvn-Xtn-\(t) (к = 0,1,..., п — 2), мы найдем, что
lim /*'n-*g=0 (Ы0.1 „-2)
b0 Vn-i, n-i (Ч
и все величины
bfc= lim
, n-a W
можно считать конечными. Далее полагаем vk> n_3 (t) =
= vk, n-i — b^n-a, n-a (*) (/c = 0, 1,..., re — 3), и т. Д.
Продолжая зтот процесс, мы придем к многочленам
vK (f) = vk,k(t) (к =0, 1, ..., re), обладающим свойствами
2). Умножив некоторые из них, в случае необходимости,
на —1, мы получим систему, удовлетворяющую также ус-
условию 1). Теорема доказана х).
*) При доказательстве теоремы 4.2 мы следовали рассуждениям
С. Н. Бернштейна [7]. Эти его рассуждения составляют часть дока-
§ательства бдлее общед теоремы т~ всякую Т'-систему \и^ Щ^

41 СЙСГЁМЬ! МАРНОЁА 71
У.4.2. Если для Г+-системы {uh (г)}™ в (а, Ь)
/щ и\... и,\
to ti ... t.
при всех к = 0, 1, . . ,п — 1 и любых fy таких, что а < *о
... < ift < Ь, то функции {ик (г)}™ образуют М+-систему в (а, Ь)
(т. е. все определители D.1) положительны при указанных усло-
условиях).
Указание. При к = 0 из и0 («*) = 0 (а < ** < Ь) следует,
что mi (*•) = ...== ип (t*) = 0, а это невозможно. В случае к — I
аналогично рассмотреть Г+-систему {vk (i)}^ B (*oi b), где
= Д I J, и т. д.
\t0 t
Приводимое ниже утверждение показывает, что теорема 4.2 яв-
является «точной».
У.4.3 (М. А. Р у т м а н). Функции
"О (*) = 1 + C0S *>  (f) = Sin A — 8) '.  (*) = 1.
где е > 0 — достаточно малое число, образуют Г+-систему на [—я,
я], и никакие многочлены vo'(t), v\ (t), v3l(t), составленные из них,
не могут образовать Af-систему на замкнутом интервале [— я, я].
Указание. Для любых многочленов у0 (<), и (t) определи-
определитель
/ vo vi\
\-я t)
обращается в нуль при —я <[ t ^ я.
Из теоремы 4.1 вытекает признак: если Г-систему нельзя пре-
преобразовать в ikf-систему на замкнутом интервале, то данная Г-сис-
тема нелродолжаема за пределы этого интервала.
Нам не известно, существуют ли непродолжаемые за пределы
[а, Ь) Г-системы, которые можно преобразовать в ikf-систему на
замкнутом интервале [а, Ь].
на [а, Ь] можно линейно преобразовать в систему {vk (i)}^, облада-
обладающую следующими свойствами: 1) {vk (t))% есть 2)+-система в
(а, Ь),
2) lim vk+1 (t)/» (t)> 0 (Л = 0, 1 я - l)f
(+0
3) lim vl{(t)/vk (t) = 0.
t-»b—о
В. С. Виденский сообщил авторам, что в полном объеме эта
теорема неверна и привел опровергающий пример Н. А. Лебедева:
иа («) = 1 — t, щ (t) = t (I - ty>, u2 (t) = fi A — tf, u3 (t) = fi @< t ^ 1).
Подробный разбор связанных с этим обстоятельством вопросов см.
в статье В. С. Виденского [I].

Й СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. 11
Д.4.4. Даже в том случае, когда Г-систему {uk (i)}™ на [а, Ь]
можно линейно преобразовать в If-систему {vk (t)}? на замкнутом
интервале [а, 6], не всегда существует преобразование, при котором
и0 (t) есть произвольный наперед заданный положительный многоч-
многочлен.
Примечание. Авторам не известно прямое доказательство
этого утверждения, они получили его, используя факты, которые
выходят за рамки теории Г-систем.
Д.4.5 (Ф. Р. ГантмахериМ. Г. Крейн 11]). Пусть
функции, входящие в If-систему {uk (i)}J (a < t < b), ортонорми-
рованы по некоторому распределению a (t) без интервалов постоян-
постоянства:
ъ
J uf (t) uk (t) da (t) = 6ft (/, 4= 0, 1,..., n).
a
Тогда
а) функция «ft (t) имеет точно к корней-узлов внутри (а, Ь) и
никаких других корней в (а, 6) не имеет (к = 1, 2, . . . ,п);
б) узлы двух соседних функций uk (t) и ик+1 (t) (к = 1,2, ...
..., п — 1) перемежаются;
в) для любых целых чисел (ит@<(<т<п)и произволь-
т
ных ak (к = I, I + 1, . . , т\ 2аА-'>") количество корней мно-
I
т
гочлена} Р (t) = ^akuk{t) в (а, Ъ) не превосходит т, если
i
каждый корень-пучность засчитывать за два корня; среди этих
корней имеется не менее I узлов.
§ 5. Структура М+-системы
Начнем с того, что укажем процедуру, с помощью ко-
которой можно сконструировать М+-систему. Впоследствии
будет выяснено, что эта процедура, после естественного
обобщения, является общей в том смысле, что с ее помощью
можно получить любую М+-систему.
Взяв произвольно строго положительные непрерывные
функции {р^ (*)}о (а ^ t ^ b), введем дифференциальные
операторы Dku = -^ и через {щ (t)}o обозначим фун-
фундаментальную систему решений линейного однородного
уравнения DnDn^x ... Dou =0, выбранную так, что при
каждом т =0, 1, ..., п функции {uk (f)}" образуют фун-

51
СТРУКТУРА М+-СИСТЕМЫ
73
даментальную систему уравнений Dm Dm-X ... Dou =0.
Легко видеть, что {ик (t)}™ — Г-система на [а, Ь]. В ea-
earn
мом деле, если бы многочлен Р (t) = 2 «Л (t) (am =/= 0)
о
имел на [а, Ъ] не меньше, чем т + 1 корней, то последова-
последовательно применяя теорему Ролля, придем к тому, что
Dm-xDm^ ...D0P(t) =lmDm.1Dm-2 ...Doum (t) ( = const)
обращается в нуль вопреки построению.
Одна из фундаментальных систем решений рассматри-
рассматриваемого уравнения весьма просто выражается через функ-
функции рк (t) (другие фундаментальные системы получаются
из нее в результате примепения треугольного невырож-
невырожденного линейного преобразования:
t в,
иг (t) = щ (t) ] р! (sj) dst J p2 (s2) ds2,
Щ @ 5 Pi (sO dsx ^ p2 (s2) ds2... ) pn (sn) dsn
E.1)
(I) У.5.1. Для системы E.1) в случае, когда функция р^ (t)
дифференцируема п — к раз,
где W (u0, ш, . . . ,um) — определитель Вронского. Отсюда сразу
вытекает выражение {ph (г)}^ через определители Вронского:
W (и0, щ)
Ро («) = W (во) = но @, pi (*) = [ТУЫ]2 ,
Va ft (ft = 2, .... л).
Предоставляем читателю доказать теорему:
Теорема 5.1 (А. А. Марков). Для того чтобы система
(i)}p (a < t < Ъ) п раз непрерывно дифференцируемых функций

74 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
была ЛГ+-системой на [а, Ь], необходимо, чтобы были неотрица-
неотрицательны и достаточно, чтобы были положительны в [а, Ь] все вронс-
вронскианы W (и0, и\, . . .,ит) (т = 0, 1, ... ,п).
При выполнении последнего условия каждая система {«fe (*)}"
(т = 0, 1, . . .,п) есть ЯГ-система.
Эта теорема распространяется на случай системы функций, к ко-
которым применим оператор DnDn_r . . Do.
Перейдем теперь к изучению структуры произвольной
М+-смстеыы {и^ (f)}o- При этом окажется, что в общем
случае в представлении E.1) произведения рк (t)dt заме-
заменяются дифференциалами Стилтьеса ddk (?).
Теорема 5.2. Пусть система функций {ил (t)}n0
образует М^-систему в интервале (а, Ь). Существуют:
система непрерывных справа строго монотонных функций
{°ч @)i (ai @ — непрерывна), a <^t <^Ъ, и постоянные
Cjk такие, что
иг {t) = и0 {t) x2 (t) + C21U1 @ + смщ @, E.2)
ип (t) = и0 {t) х„ @ + с„, „_!«„_! (г) + ... + сп1щ (t) + cn0u0
г9е (а < а
@ = J cisi (*0 J daa (sa), E.3)
t
Х„ @ = $ d<3i (sO ^ do2 (s2) ... jj don (sn).
а а а
Обратно, если и0 (t) — произвольная непрерывная по-
положительная функция (a <^t <^b), {ak (t)}i (a <^t <^b) —
произвольная система непрерывных справа строго возраста-
возрастающих функций (в (t) —непрерывна), то формулы E.2)
и E.3) определяют системы 1, Xi (t), ¦¦-, %п @ и {щ (t)}^,
которые являются М^-системами в [а, Ъ).
х) Интегралы здесь понимаются в смысле Лебега — Стилтьеса

§ 5] СТРУКТУРА ЛГ+-СИСТЕМЫ ?5
Доказательство этой теоремы во всех подроб-
подробностях заняло бы много места, поэтому мы только наметим
его основные этапы.
Очевидно, что функции {ик (t)}% образуют М+-систему
в интервале (а, Ъ) тогда и только тогда, когда этим свой-
свойством обладают функции 1, % (t), ..., tyn (t), где i|>k (t) =
= M*)/»o(O (* =1> 2' •••> n)-
Из одной только положительности определителей
/1 ib, ... тЬЛ
А , , ; (a
E.4)
(без предположения непрерывности функций г)^ (i)) сле-
следует, что функция % (г) = о*! (г) строго возрастает, г^ (t)
(к =2, ..., п) непрерывны в точках непрерывности г^ (t)
и имеют пределы слева и справа в точках разрыва этой
функции. Если переопределить функции г|зк (t) (к = 1, 2, ...
..., п) так, чтобы они оказались непрерывны справа, то для
вновь полученных функций определители E.4) также бу-
будут положительны.
Из положительности определителей E.4) для непрерыв-
непрерывных справа функций 1, % (t), ..., a|;n (t) вытекает существо-
существование правосторонних относительных производных
<% (Q _ л
do(t) ~ '
для которых определители, аналогичные E.4), также по-
положительны.
Продолжая эту процедуру, получим требуемые функ-
функции {orft (*)?•
В обратную сторону теорема доказывается с помощью
тождества B.7) (см. У.2.4I).
х) Элементарно проверяется, что если функция / (t) непрерывна
справа, функция a (t) строго возрастает и непрерывна справа и
t
F (t) = \ / (s) da (s), то правосторонняя относительная производная
a
dF
-г- равна / (t).

% СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. П
Из представлений E.2) и E.3) непосредственно выте-
вытекают:
Следствие 5.1. М-система с и0 (t) = 1 всегда
состоит из функций, имеющих ограниченную вариацию
в любом внутреннем интервале [а, р] (а <^а <С Р <^ ЬI).
Следствие 5.2. Если данная система является
М^.-системой в интервалах (а', Ъ') и (а", Ъ"), имеющих
общую внутреннюю точку, то она является М^-системой
в объединении этих интервалов (а', Ъ') [} (а", Ъ") 2).
Следствие 5.3. Чтобы М-систему в (а, Ъ) можно
было продолжить за точку Ь (за точку а), необходимо
и достаточно, чтобы все предельные значения ак (Ъ — 0)
(к = 1, 2, ..., п) и и0 (Ь —0) (соответственно ак (а + 0)
и и0 (а + 0)) были конечны.
Теорема 5.3. Всякую М^-систему [uk (t)}2 в откры-
открытом интервале (а, Ъ) можно дополнить функцией ип+1 (t)
такой, что система {us (?)}?+1 также является М+-си-
стемой в интервале (а, Ъ).
Доказательство. Достаточно взять произ-
произвольную непрерывную справа строго возрастающую функ-
функцию ап+1 (t) (a <^t <^b) и положить, например,
и™ @ = "о (t) ^ daj_ (t).. . J dan (t) § don+1 (t),
a a a
где 5i(t), o2(t), . .., en(t)—функции, о которых сказано
в теореме 5.2.
Нам вскоре потребуется детерминантное тождество
Фекете (см. Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн, [1], стр. 307).
Для прямоугольной матрицы
A =||aki акг. . .я*, n+ijt'
с п строками и п +1 столбцами минор, образованный
строками с номерами ilt i%,. .., im и столбцами с номера-
ми ]i, ]2, ¦ ¦., ]m обозначается через A
]i h- ¦ -1ml
1) Это утверждение иным путем уже было получено в У. 1.2.
а) Это утверждение можно получить чисто алгебраическим пу-
путем из определения ДГ+-системы.

§ 51 СТРУКТУРА М+-СИСТЁМЫ 77
Имеет место тождество
/1 .. .п — 1 п\ /1 ... re — I \
Л . . . Л . . . +
\h---Jn-l ]) \]2---]п-1 ]п }
М . ..ге —1 п\ /1 ... тг — 1 \
+ Л . . • • М • • ¦ +
/1 ...71 — 1 n\ /1 ... B— 1 \
+ Л . . . . M . • • = 0. E.5)
Мы будем говорить, что функция и„+1 (?) есть Т-про-
должение (Т^-продолжение) Г-системы {li/c (f)}Jl (a <[ i ^
^ Ь), если система {мл (it)}o+1 является Г-системой (соот-
(соответственно Г+-системой) на [а, Ъ].
Теорема! 5.4. Для всякой Т+~системы {uk (t)$ на
замкнутом интервале [а, Ъ) существует Т^-продолжение
@
0
Доказательство. Без ограничения общности
можно считать, что функции {ик B)}о образуют М+-си-
стему в открытом интервале (а, Ъ) (теоремы 4.1 и 4.2).
Дополним ее, как в предыдущей теореме, функцией un+1(t),
выбрав функцию ап+1 (t) строго возрастающей и не-
непрерывной на замкнутом интервале [а, Ь] и потому огра-
ограниченной. Тогда, как легко видеть, функция nn+i (t)
также будет ограничена.
В силу предыдущей теоремы имеем
щ иг. ..ип и„
E.6)
Надлежит доказать, что функцию un+l (t) можно до-
доопределить в точках ( = яи t —b так, что она окажется
непрерывной в [а, Ь] и неравенство E.6) останется в силе,
если в нем положить (одновременно или неодновременно)
t0 = а и *п+1 = Ъ.
Докажем сначала, что существуют односторонние пре-
пределы и„+1(а + 0) и un+1F — 0), после чего можно будет
положить ипп (а) = Un+i (a -f 0) и и„+1 F) = ц„+1 F — 0).
Пусть для двух последовательностей t'v ~>~ Ъ — 0 и
^ -»- Ь—0 имеем lim ип+1 (?^) = Л и lim unJrl(tv) = В.

IS
СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЁБЬППЁВА
[ГЯ. И
Выберем подпоследовательность {t'v } первой последова-
последовательности и {?" } второй последовательности с таким рас-
расчетом, чтобы t\, < tl (p = 1, 2, ...), и в неравенстве E.6)
положим tn = t': , tn+1 = tl . После предельного перехода
р -> оо получим:
"о Со)
•¦¦М'о)
Щ (in-i) Щ (tn-i) ...Un {tn-x) Ип+1
uo{b) ux(b) ...un(b) A
uo(b) Ul(b) ...un(b) В
Это значит, что А
подпоследовательности ?
В. Но если бы мы выбрали
v и tv так, чтобы tv <^ tVp и по-
положили в E.6) tn = t4 , in+i — tv , то точно так же
получили бы, что А ^>В. Следовательно, А =В ж суще-
существует конечный предел lim un+i@ (= un+1(b)).
(->ь—о
Аналогично доказывается существование конечного
предела lim un+1(t) (=и„+1(а)).
(->а+0
Остается! доказать, что определитель E.6) остается по-
положительным и тогда, когда выполняется одно или оба
равенства t0 — а и гп+] = Ь.
Чтобы доказать это, выберем в (а, Ь) произвольную
точку т, отличную от точек {it/c}o+1. Пусть, для определен-
определенности, t0 <^ т <^ tx.
Воспользуемсятождеством E.5), из которого следует, что
Щ Ui . . . Un+i
Cq tx . . . tn+i
«0 «1
T
I uo щ u% . . .
"о "!...«
_ /HO
 ... "
П+
Ив HI . . .
E.7)

§ 6] СПЕЦИАЛЬНЫЕ Т-СИСТЕМЫ 79
Так как {ик (?)}" есть ^-система на замкнутом интерва-
интервале [а, Ь], то вторые множители каждого слагаемого в пра-
правой части E.7) и второй множитель в левой части положи-
положительны при а^^0<^т<^^<^ ... <^ tn+i ^ Ь. Так как
{ик (t)}n0+i есть Г+-система в (а, Ь), то при выполнении только
одного из равенств t0 = а или tn+1 — Ъ один из первых
множителей правой части положителен. Таким образом,
строгое неравенство сохраняется, когда to = a или tn+1 =b.
Если теперь положить одновременно t0 = а и tn+1 =
= Ъ, то снова получим, что определитель E.6) положите-
положителен, так как, по только что доказанному, в правой части
E.7) оба слагаемые положительны. Теорема доказана.
У.5.2 (М. А. Р у т м а н). Всякую Л^-систему {иk (г)}™ в (а, Ъ)
можно «уплотнить»,' вставив между любыми двумя функциями
ик_х (t) и uk (t) функцию v (t) так, чтобы система
U0 (f), . . ., И^ (t), V (t), «ft+1 (t), . . ., Un (t)
также была Л#+-системой в (а, 6).
Д.5.3 (Ф. Р. ГантмахериМ. Г. Крейн [1]). Если для
If-системы в (а, Ь) {ик (г)}™ можно построить биортонормированную
к ней с весом а (<), не имеющим интервалов постоянства, Af-систему
в (a, b) {vk (t)}%, то каждая из этих систем обладает свойствами а)
— в) из Д.4.5; кроме того, каждую из них можно так продолжить,
чтобы продолженные системы [uk (t)}^+1 и {v^ (<)}?+1 оказались
биортонормированными по распределению a (t) If-системами в (а, Ь).
§ 6. Специальные Т-системы
Как известно, алгебраический многочлен, все корни
которого положительны, имеет коэффициенты чередую-
чередующихся знаков. Мы рассмотрим здесь Г-системы, обладаю-
обладающие аналогичным свойством. Именно, Г-систему {ик (t)}o
(а ^ t ^Ъ) будем называть специальной (ST-системой),
п
если коэффициенты всякого многочлена Р (t) — 2 <^kui: (О
о
с п различными корнями t} ЕЕ Ы, Ъ] (/ =1, 2, ..., п) все
отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки: а,,си+1 <Г
<0 (к =0, 1, ..., п -1).

80 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
Теорема 6.1. Для того, чтобы Т-система {ик (г)}™
(а ^ t ^ Ъ) была ST-системой, необходимо и достаточно,
чтобы при любых tj, таких, что a^t0 <^ ^<^... <C tn^b,
все миноры п-го порядка определителя
Vo li ¦ • • гп I
имели один и тот же знак.
п
Доказательство. Многочлен Р (t) = 2а(А @
о
имеет своими корнями числа tj ЕЕ [а, Ъ], а <; ix <^ U <С ¦••
... <^ tn ^ Ъ в том и только в том случае, когда
и0 щ ... и
° /
\г гх ... гп
где Дл — минор элемента ип (t). Отсюда видно, что
a,kak+1 <^ 0 тогда и только тогда, когда А^Д^+1 ^> 0.
Таким образом, Г-кривая U будет 5Г-кривой тогда и
только тогда, когда ее проекции на координатные гипер-
гиперплоскости также Г-кривые и все они имеют одну и ту же
ориентацию.
Из теоремы 6.1 вытекает, что ST-системами будут,
в частности, такие Г+-системы, которые обладают тем свой-
свойством, что после удаления любой (одной) функции щ (t)
оставшиеся п функций снова образуют ^-систему. Такие
ST-системы будем называть ST^.-системами.
Всякая /)-система есть 5Г-система. В частности, ST-
системами будут системы, порожденные знакорегулярным
ядром (см. § 2), например, системы б) — г) из § 2. Система
степеней 1, t, t2,..., tn является 5Г-системой (?Г+-систе-
мой) на [а, Ъ] в том и только в том случае,когда а ^> 0.
Приведем еще пример 5Г-системы. Пусть
(_!)"-* /(*> (в) > о (А = 0, 1 п - 1), /(п) @ > 0
при а <! t ^ Ъ, а ^> 0. Тогда система
i,t,t\...,tn-\f{t)
есть (ST-система на [а, Ь].

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II 81
Действительно, в § 2 показано, что эта система есть
Г+-система. Удалив из нее t*, заметим, что последователь-
последовательные вронскианы
W(i,t,..., tm) = 0\ I!..., m\ (w<ft)
и
W(l,t, ...,**-\ t*+\..., tn) = 0! l!...(ft-l)!(ft + l)!...
положительны при t > 0, а вронскиан
неотрицательный при t = а, имеет положительную при
a ^ t ^ b производную
W{i,t,...,tk-\ t*+1, ...,n/(n>@
и потому положителен при a <^t ^b. Отсюда в силу те-
теоремы 5.1 (с небольшим дополнением) следует, что функции
также образуют Г-систему на [а, Ь].
У.6.1. Каждая из систем функций {cosfct}g и | j > —
•ST+-cncTeMa на — —^-, 0 •
Примечания к главе II
По-видимому, впервые общие Г-системы (точнее, Ж+-системы)
ввел А. А. Марков [4, 10]. Как выяснил Хаар [1] (см. также главу
IX), Г-свойство оказалось характеристическим для единственности
многочлена, дающего наилучшее равномерное приближение неп-
непрерывной функции.
Эта работа Хаара привлекла внимание к рассмотрению Г-сис-
тем без предположения дифференцируомости. Правда, еще А. А. Мар-
Марков ([10]), стр. 189—190) указал, что многие его выводы по так на-
называемой (с, С)-проблеме, в которых фигурировали ЛГ+-системы, оста-
ютс 1 справедливыми без предположения дифференцируемое™.
В 1926 г. в известной монографии [8] С. Н. Бернштейн отметил
без доказательств ряд свойств общих Г-систем на [а, Ъ], которые
получили дальнейшее развитие в переработанном русском издании
[4] этой монографии A937 г.)
При обобщении результатов А. А. Маркова по проблем; мо-
моментов методом выпуклых тел М. Г. Крейн [2] в 1934 г. обнаружил,

82 СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА [ГЛ. II
что для установления этих результатов можно полностью отказаться
от требования гладкости функций Г-системы, и при этом необхо-
необходимые свойства Г-систем доказывались с помощью принципа компакт-
компактности (см. также П. Г. Рехтман [1]). Несколько позже этот метод
был распространен на произвольные Г-системы.
Метод аппроксимации Г-системы Г-системами из аналитических
функций (§ 3) широко использовался в монографии Ф. Р. Гантма-
хера и М. Г. Крейна [1].
Результаты § 5 принадлежат М. А. Рутману [1]. Дополнительно
здесь излагается теорема 5.4, о которой авторы узнали из его уст-
устного сообщения.
Изучение общих свойств многочленов Г-системы продолжается
и в наше время, при этом, если раньше оно шло в направлении
установления свойств, аналогичных свойствам обычных многочле-
многочленов, то в последнее время оно обогатилось тем, что были обнару-
обнаружены такие свойства многочленов Г-систем, которые раньше не
были известны даже для алгебраических многочленов. Примером
этому могут служить результаты С. Карлина [1] (см. § 6 гл. IX) и
Ч. Дейвиса [2] (см. Д. 2.5). Интересно также, что при этом стали
применяться топологические методы
Список имен исследователей значительно расширился бы, если
бы мы затронули такую «опасную» тему, как применение Г-систем
в вопросах интерполяции, аппроксимации в различных метриках,
в теории квадратурных формул, в вопросах, связанных с осцилля-
ционными свойствами фундаментальных функций краевых задач
любого порядка, в статистике и др.
Некоторые из этих применений будут предметом обсуждения в
дальнейших главах, и там будут приведены соответствующие
примечания.

Глава III
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОБОБЩЕННЫХ МОМЕНТОВ
Уже в первой главе рассматривалась общая проблема моментов
в геометрической трактовке. Как было там выяснено, если пробле-
проблема моментов имеет решения, то среди них найдутся такие, которые
состоят из конечного числа сосредоточенных масс. Для этих реше-
решений вводится понятие индекса как суммы индексов точек сосредо-
сосредоточения масс.
Естественно возникает вопрос о классификации и изучении
свойств решений наименьшего индекса т, индекса т + 1, т + 2
и т. д.
Оказывается, для Г-кривой U трактовка этого вопроса
допускает замечательную детализацию. В случае неопреде-
неопределенной проблемы моментов (т. е. когда заданной последователь-
последовательности {cft}g отвечает бесчисленное множество решений) среди ре-
решений проблемы имеется два и только два решения индексов
т (= п -j- 1) (так называемых гласных) и одиопараметрическое
семейство индекса <J m + 1 (так называемых канонических).
Теория канонических представлений, излагаемая в §§ 3—6,
важна тем, что она позволяет дать решение ряда тонких экстре-
экстремальных задач (решение этих задач будет последовательно прове-
проведено в главах IV—VI), кроме того, эта теория привлекательна своей
внутренней красотой.
Представляет интерес также изучение решений индексов
т + 1 + г, в особенности для г = 1, г = 2 (§ 7). Такого рода пред-
представления существенно будут использованы в главах IV и VI.
Для случая классической (степенной) проблемы моментов тео-
теория канонических представлений легко увязывается с теорией орто-
ортогональных и квазиортогональных многочленов, и на этой основе
получаются^алгебраические формулы для построения канонических
решений (§§ 4, 5).
В этой главе нам удобно будет перейти от геометрического язы-
языка к аналитическому; в связи с этим мы переформулируем теорему
1.3.4 о разрешимости проблемы моментов на языке «позитивных»
последовательностей (§ 1).
Заключительный параграф главы (§ 8) посвящен некоторым
геометрическим приложениям главных представлений. С их помо-
помощью выводятся формулы для вычисления объема выпуклой оболоч-
оболочки выпуклой кривой и решается одна из изопериметрических задач,
связанных с максимизацией объема выпуклой оболочки кривой за-
заданной длины. При этом мы существенно используем замечательную
изопериметрическую теорему И. Шёнберга [2] о замкнутых кри-
кривых R2v и получаем родственную теорему о выпуклых оболочках

84 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [гЛ. lit
для разомкнутых кривых в Riv+1. Последняя является обобщением
теоремы Е. Егервари [1] для разомкнутых кривых в .В3.
Естественно, что в этом параграфе употребляется геометричес-
геометрический язык.
§ 1. Основная теорема о позитивных
последовательностях
Пусть дана некоторая система непрерывных и линейно
независимых в интервале [а, Ь] функций
uk(t) (к = 0, 1, ..., п) A.1)
и некоторая последовательность вещественных чисел
ск (ft = 0, 1,...,п). A.2)
Напомним (см. § 3 гл. I), что через ф обозначается со-
п
вокупность многочленов Р (t) =2 лиик {t), а через ф+ —
о
совокупность неотрицательных многочленов. Предполага-
Предполагается выполненным условие:
(Ж) В sp имеется по крайней мере один положительный
многочлен 1).
Определим на ф функционал (? (Р) равенством
Назовем последовательность A.2) позитивной относи-
относительно системы функций A.1) 2), если 6 (Р) ^> 0 для всех
Р ? ф+; строго позитивной, если 6 (Р) ]> 0 для всех
Р S ф+, Р s-fe 0; сингулярно позитивной, если (? (Р) ^ 0
для всех P?ft и найдется такой Ро е ф+, jP0 Ф 0.
для которого (? (Ро) = 0.
В основе всего дальнейшего будет лежать
Теорема 1.1. Для того чтобы числа Ск были
обобщенными моментами, т. е. чтобы существовало по
х) Заметим, что всякая Г-система условию (Ж) удовлетворяет
(см. теорему II.1.4).
2) Предполагая систему A.1) фиксированной, мы будем в даль-
дальнейшем опускать слова «относительно последовательности A.1)».

§ ll ПОЗИТИВНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 85
крайней мере одно распределение масс с (t) такое, что
ь
необходимо и достаточно, чтобы последовательность
была позитивной.
Доказательство. Необходимость условия
вытекает из того, что если
п
Р (t) = 2 аки,с {t) > 0 (а < t < Ь),
о
то в силу (!)
Для доказательства достаточности вспомним (см. гл. I,
§ 3), что множество точек с еЕ Rn+1, координаты которых
допускают представление (!), совпадает с замкнутой кони-
конической оболочкой К (V) кривой U = {и (t): a ^ t <Г Ь},
где и (t) = {uk (t)}^ и что дуальный конус If (U) можно
отождествить с ф+.
Поэтому позитивность последовательности с = {с^
означает, что точка с принадлежит всем опорным к К (U)
полупространствами, следовательно (см. следствие 1.1.2),
с]ее К (U). Теорема доказана 1).
Пусть теперь {и^ (<)}о° — некоторая бесконечная по-
последовательность функций, непрерывных на интервале
[а, Ь], из элементов которой можно составить хотя бы
один положительный многочлен
П @ = поио (t) + nlUl (t)+... + ппип (t) > 0 (а < t < Ь).
Тогда имеет место следующая теорема, которую читатель
легко получит, опираясь на известные теоремы Хелли об
интегралах Стилтьеса, из теоремы 1.1.
х) Позже мы уточним, что последовательность с = {cfe}? строго,
соответственно сингулярно позитивна тогда и только тогда, когда с
находится внутри, соответственно на границе конуса К (V).

№ Канонические представления {гл. Ш
Теорема 1.2. Для того чтобы бесконечная после'
дователъностъ вещественных чисел {ск}™ допускала пред-
представление
ь
ck=[uk{t)d6{t) (к = О,1, 2,...),
а
где а (?) (а <Г t <Г Ь) — некоторое распределение, необ-
необходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном
п последовательность {ск}о была позитивной относительно
последовательности {ик (?)}о-
До сих пор мы предполагали, что функции uk (t)
(k = 0, 1, 2, ...) и числа ск (к =0, 1, 2, ...) вещественны.
Пусть теперь дана система комплексных функций
Щ (<) = щ (t) + iv,, (*) (к = 0, 1, 2,...),
где вещественные функции uk(t), vk(t) (к =0, 1, 2, ...)
непрерывны в интервале [а, Ь].
Найдем условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы для данной конечной или счетной системы комплекс-
комплексных чисел
Tt (ft = 0,l,2,...)
существовало распределение a (t) (а <Г t ^ Ь) такое, что
ь
t) = 4k (к = 0,1,2,...). A.3)
Отделяя в A.3) вещественную и мнимую части, легко
докажем на основании теорем 1.1 и 1.2 следующие теоремы:
Теорема 1.3. Пусть для некоторой системы ком-
комплексных чисел пк
Тогда для существования по крайней мере одного рас-
распределения a (t) (a ^ ?j^ b), такого, что

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 87
необходимо и достаточно, чтобы всякий раз, когда
' п
2 [<*Л (*) + <*Я (*)] > 0 (о < i < Ь),
о
имело место также неравенство
2 [«*т* + «л1 > о.
Теорема 1.4. Пусть при некотором натуральном
п существует система комплексных чисел {яи}о такая,
что
п
о
Тогда, для того чтобы бесконечная последовательность
чисел {Т/с}о° допускала представление
г^е а (t) — некоторое распределение, необходимо и доста-
достаточно,чтобы при любом натуральном п из
о
всегда вытекало
2
§ 2. Некоторые приложения
В этом параграфе приводятся критерии разрешимости
ряда конкретных проблем моментов. Все они выражаются
в виде требования неотрицательности некоторых [эрмито-
[эрмитовых или вещественных квадратичных форм. Это обстоя-
обстоятельство связано с двумя фактами: 1) разрешимость

88 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
проблемы моментов эквивалентна неотрицательности неко-
некоторого функционала (теорема 1.1); 2) неотрицательность
многочлена по той или иной системе функций эквивалентна
представимости этого многочлена в специальном виде,
в котором фигурируют квадраты (или квадраты модуля)
многочленов меньших степеней (порядков).
Эта идейная установка на примере тригонометрической
проблемы моментов впервые была проведена Ф. Риссом
[2], который является одним из авторов приводимой ниже
теоремы 2.1.
1. Неотрицательные тригонометрические и алгебраиче-
алгебраические многочлены. Начнем со случая:
а) Тригонометрические многочлены.
Теорема 2.1 (Рисс—Фейе р). Всякийтригонометри-
ческий многочлен Т (t) = 2 (Ке~ш + КеШ) (^пф 0), неотри-
о
цателъный на [0, 2п], допускает представление:
о
п
Доказательство. Положив S(г) = 2{Kz~* +
о
+ \zK), так что Т (t) = S (eil). Корни S (z) симметрич-
симметричны относительно единичной окружности, поскольку
S A/z) =5(z). Пусть zb 1/гц ..., zh ilzi —его корни,
не лежащие на единичной окружности, и ?1( ..., Z,m корни,
лежащие на ней. Так как степень алгебраического
многочлена znS (z) равна 2п, то 21 + m = 2п и
I m
S (Z) = XnZ-" П B - 2») B - ВД S (Z - Si)
или (s = re — I == /re/2)
5 (Z) = { П B ~ 2k) (Z-1 ~ «k)} fa- П B - Si)} •
S=l 3=1
Первая группа множителей при z = eil превращается
i
в Yl (et* — zft) • Следовательно, вторая группа множи-

I 21 некоторые приложений 89
телей неотрицательна при г = еи, вследствие чего корни
этой группы имеют четную кратность и можно записать
П (*-?;) =П(*-У2-
3=1 3=1
Положив
ic=i 3=1
где | с Р = к, найдем, что
откуда
что и требовалось доказать.
б) Алгебраические многочлены.
Теорема 2.2 (Марков — Лука чI). Всякий
неотрицательный в [а, Ъ] алгебраический многочлен Р {t)
степени ^ п допускает представление:
при n = 2v
V V-1
Т + {b-t){t- a) B г//J; B.1)
о о
при п = 2v + 1
V V
i> @ = {t - а) B x^J + (b~t) B »k*kJ • B-2)
о
Эти представления можно получить либо из теоремы
Рисса — Фейера заменой переменной (см. Н. И. Ахиезер
и М. Г. Крейн [4]), либо непосредственно индукцией по п.
Мы откладываем доказательство теоремы Маркова —
х) Обычно эту теорему связывают с именем Лукача [1]. Однако в
случае п = 2v еще раньше ее в более полном виде получил
А. А. Марков [17]. Представление B.2) получается из B.1) элемен-
элементарно. Обо всем этом подробно рассказано в § 6 гл. IX.

90 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЁНИЯ [ГЛ. Ill
Лукача до гл. IX, в которой она приводится в более пол"
ной формулировке и получается как следствие более общих
утверждений о свойствах многочленов произвольных Т-
систем (см. §6 гл. IX). Там же подробно выясняются экст-
экстремальные свойства входящих в представления много-
многочленов.
2. Степенная проблема моментов. Пусть задано конечное
или счетное множество N = @, 1, 2, ...) и совокупность ве-
вещественных ЧИСеЛ {Sfc}/f(=;v.
Положим uh{t) = tk(k^N). Будем называть интеграл
степенным моментомк-то порядка распределения масс a (t)
на [а, Ь].
Теорема 2.3. Для того чтобы последовательность
чисел {sk}l* была системой моментов некоторого распреде-
распределения масс на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы квад-
квадратичные формы (являющиеся ганкелевыми формами)
V V—1
/ = S^+r^j " F = 2 [(« + b)sHJ+i — absi+i —
были неотрицательны.
Доказательство. В силу теоремы 1.1, для того
чтобы последовательность {sk}f была системой моментов
некоторого распределения масс на [а, Ь], необходимо и
достаточно, чтобы из
P@=SV>0 (а<г<Ь) B.3)
о
всегда вытекало х)
2V
2 B-4)
х) Степенные моменты мы, как правило, будем обозначать че"
рез sK, а определяемый ими функционал 6!—через ©.

S 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 91
С другой стороны, по теореме Маркова — Лукача не-
неотрицательный в интервале [а, Ь] многочлен Р (t) степени
^ 2v допускает представление
V V—1
Р (*) = Bxif1J + {t~a)(b~ t) B У
о о
v v-1
Следовательно, чтобы из B.3) всегда вытекало B.4),
должно быть при любых значениях х0, хх, . . ., a;v, у0, уи . ..
V-1
2 Si+Fi^i + 2 Ка + Ь) «i+i+i — fl*Si+j — «г+г+г] У^ > °
Отсюда следует утверждение теоремы.
Аналогично, пользуясь тем, что неотрицательный в
интервале [а, Ъ] многочлен Р (t) степени ^2v + 1 допус-
допускает по теореме Маркова — Лукача представление
Р @ = (* - a)
можно доказать следующую теорему:
Теорема 2.4. Для того чтобы последовательность
чисел {sh}o+1 была системой моментов некоторого распре-
распределения масс на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы
квадратичные формы
V У
— asi+i) xixi u G =
0
были неотрицательны.
Замечание 2.1. Легко видеть, что сингулярность
одной из форм / и F (соответственно g к G) является необ-
необходимым и достаточным условием для того, чтобы последо-
последовательность моментов {sk}T (соответственно {sk}l"+1) была
сингулярно позитивной последовательностью.,

92 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
У.2.1. Для позитивных в [а, Ь], где а > О, последовательностей
степенных моментов so, si, s2 (so > 0) имеют место точные оценки
4аЬ s
Указание. Считая, без ущерба для общности, что s0 = 1,
найти наибольшее и наименьшее значение отношения s^/s^ в плос-
плоской области, являющейся замкнутой выпуклой оболочкой дуги
параболы s2 = sj (а < si < Ь).
Из оценки снизу легко получается предложение Л. В. Канто-
Канторовича [1]: если а > 0 и b ^> а — нижняя и верхняя границы
спектра самосопряженного оператора Н, действующего в гильберто-
гильбертовом пространстве j?>, то
• . (я/,/) гУ^ъ
Указание. Воспользоваться спектральным разложением
оператора Я.
Из теоремы 1.2 и теоремы 2.3 вытекает
Теорема 2.5. Для того чтобы бесконечная последо-
последовательность чисел {sh}t была системой моментов некото-
некоторого распределения масс на [а, Ь], необходимо и достаточно,
чтобы бесконечные квадратичные формы
оо оо
} И 2 [(« + Ъ) Si+i+l — absi+j — Si+i+2] ^j B.5)
были неотрицательны *).
Очевидно, что формы B.5) в теореме 2.5 можно заме-
заменить формами
оо оо
2) Бесконечная форма 2 ацх{х} называется неотрицатель-
ной, если при любом натуральном п форма 2 aaxixj неотри-
о
цательна. Аналогично определяется неотрицательность бесконеч-
ной^эрмитовой формы.

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 93
Для этого следует воспользоваться не теоремой 2.3, а
теоремой 2. \.
Заметим, что теорема 2.5 не представляет особого
интереса, так как для случая бесконечной последова-
последовательности можно указать более простой критерий того,
чтобы последовательность была последовательностью мо-
моментов .
В самом деле, сравнительно простыми средствами
Ф. Хаусдорф [1] показал, что для того чтобы последова-
последовательность {sk}™ допускала представление
= 0,1,...),
где о (t) @ ^ ?<; 1) — распределение масс, необходимо
и достаточно, чтобы последовательность {вь}™ была вполне
монотонной, т. е. чтобы
>0
... + (-1)р**]
Легко видеть, что общий случай произвольного интер-
интервала [а, Ь] можно всегда свести к случаю а = 0, 6 = 1.
У.2.2. Вполне монотонная последовательность {sh}™ продол-
жима влево на один член (это значит, что существует такое s_j'
что последовательность s_v s0, si, . . . вполне монотонна) тогда и
только тогда, когда сходится ряд ^ (—
о
оо 1
При выполнении этого условия s_x ^ 2(—1)рДр«о= х t~l d<s{t).
о о
3. Тригонометрическая проблема моментов. Будем ис-
искать условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
данная система комплексных чисел {Ть}о допускала

94 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
представление
$-шс*а(*) = Т, (ft =0,1,...,/»), B.6)
где а (t) (О ^ t ^ 2я) — распределение масс.
Полагая в теореме 1.3
wk(t) = e-m (ft = 0,l,...,n)
получаем, что для B.6) необходимо и достаточно, чтобы
из
п
2 [а*е-Ш + а*е1м] > 0 @ < t < 2я) B.7)
о
все1да вытекало
п
2(«Л + йЛ]>01). B.8)
о
По теореме Рисса — Фейера неравенство B.7) экви-
эквивалентно существованию комплексных чисел хк (к =
— 0,1,..., п) таких, что
f = ^х^е^-Фг. B.9)
0
Заменяя в B.7) функции е~ш числами yh (к = 0, +!>•••
•••» dz п)' гДе T-ft — Ts (& = 0,1, ..., п), получаем, что для
того чтобы из B.7) всегда вытекало B.8), необходимо и
достаточно, чтобы при произвольных х0, хх, ..., хп было
Таким образом, доказана
Теорема 2.6. Для того чтобы последовательность
комплексных, чисел {Ть}о допускала представление B.6)
Так как теперь wQ (t) = 1, то условие теоремы 1.3

§ 2J НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 95
необходимо и достаточно, чтобы пьеплицева форма
п
2Тр-Л*« B.10)
о
была неотрицательна.
Последовательность {Ть}-п, где Т-ь = Ть> называется
эрмитово-неотрицателъной, сокращенно э.-н. (эрмитово-
положителъной, сокращенно э.-п.), если теплицева форма
B.10) эрмитово-неотрицательна (соответственно эрми-
тово-положительна). Таким образом, последовательность
{ТкУо допускает представление B.6) тогда и только тогда,
когда соотношениемy_s = Чи (к = 0, 1,...,») она расши-
расширяется до э.-н. последовательности.
Для случая бесконечной последовательности комплекс-
комплексных чисел {Y/JiT имеет место, в силу теорем 2.6 и 1.4,
Теорема 2.7. Для того чтобы бесконечная после-
последовательность чисел {Тй}о° допускала представление
-ikfd6(t) = T* (ft = 0,1,...),
гЗе а (?) @ ^ t <i 2я) — распределение масс, необходимо
и достаточно, чтобы бесконечная теплицева форма
была неотрицательна
4. Проблема Неванлинны — Пика в различных клас-
классах функций.
а) Проблема Неванлинны — Пика в классе %.
К классу (в относятся голоморфные в открытом единич-
единичном круге функции, отображающие его в правую полу-
полуплоскость х).
Как известно, Г. Пик [1] и Р. Неванлинна [1] независимо
один от другого в разной форме нашли критерий того, что-
чтобы существовала функция F (z) 6E %, принимающая в
*) Нужные сведения о рассматриваемых здесь классах функций
см. в Приложении.

96 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. II
заданных точках zft (А = 0,1, 2, ...; |zh|<l) заданные зна-
значения о)й (/с = 0, 1,2,...).
Мы докажем, что имеет место следующая
Теорема 2.8. Пусть Е = {zk} — какое-нибудь мно-
множество точек {конечное или счетное), расположенное вну-
внутри единичного круга. Пусть каждому z^ GE Е соответст-
соответствует некоторое число шй. Тогда для существования функ-
функции F (z) ЕЕ ?}, принимающей в точках zk соответственно
значения ю^, необходимо и достаточно, чтобы для каждой
конечной совокупности точек {zk} а Е {к = 0,1, 2, ..., п;
п = 1, 2,...) эрмитова форма
п
о к I
била неотрицательна1).
Очевидно, что если Е — конечная совокупность точек
z0, zx,..., zn, наши условия сводятся к требованию неотри-
неотрицательности одной только формы B.11).
Для этого случая необходимость указанного условия
была весьма просто установлена Г. Пиком [1]. Но доста-
достаточность этого условия Пик установил только для случая,
когда форма B.11) положительная либо неотрицательная
ранга п — 1.
Мы получим теорему 2.8 тем же методом, что и теоремы
1.5—1.9; при этом, как и Пик, мы воспользуемся теоремой
Рисса — Херглотца П.1, согласно которой F (z) ЕЕ Чо
тогда и только тогда, когда
= ilmF@) + \ 4^ ^@,
где a (t) @ <! t ^ 2я) — некоторое распределение.
При доказательстве теоремы 2.8 рассмотрим сначала
случай, когда z0 = 0 GE Е и соответствующее число ю0
вещественно. Тогда по теореме Рисса — Херглотца для
существования функции F (z) S= C6, удовлетворяющей ус-
условиям F(zk) = cofc(zfce E), необхо димо и достаточно,
х) Теорема остается в силе и для несчетного множества Е
(см. М. Г. Крейн и П. Г. Рехтман [1]).

§ 21 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 97
чтобы существовала неубывающая функция a (t), такая,
что
и ,
е
О
Полагая в теореме 1.4
заключаем, что искомое распределение а (?) существует
тогда и только тогда, когда неравенство
** 4
^- >0 B.13)
о
влечет за собой неравенство
п
Q (Л) = 2 К«/с + «Al > 01)- B.14)
о
Но если h (t) > 0, то
п.
S, if .,
1 1
где по теореме Рисса — Фейера неотрицательный триго-
тригонометрический многочлен / (t) представлен в виде
/@ = .
о
Так как
2v Sv
о о
о Z""Zft
х) Очевидно, что условие теоремы 1.3 выполнено: можно, на-
например, положить я0 = 1, m = щ = ... = лп = 0.

98 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЛ. lit
ТО
и/л
—til ,2<
Поэтому
Так как все неотрицательные агрегаты B.13) исчерпы-
исчерпываются формулой B.15), то для того чтобы неравенство
B.13) всегда влекло за собой неравенство B.14), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы форма
была неотрицательна при произвольном выборе точек
г*е?(А = 1,2,..., п).
Таким образом, теорема доказана для случая, когда
z0 = 0 и (оо — вещественное число.
Откажемся теперь от этих ограничений. Выбирая в ка-
качестве z0 произвольную точку множества Е, сделаем пре-
преобразование,
по которому функции F (z) ЕЕ с$, удовлетворяющей усло-
условиям
соответствует функция F' (zr) ^ %, удовлетворяющая ус-
условиям
F' (zk) = щ,
где
z'k = , к _ ° , (o'ft = cofc — ilmco0.
1 — zoZ^

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 99
Так как z0 = 0 и coq — вещественное число, то, по толь-
только что доказанному, искомая функция F' (z'), а значит,
и искомая функция F (z), существуют тогда и только тог-
тогда, когда форма
п ti
0), —
SO),. + 0),
о 1 ~ zkzl
неотрицательна при произвольном выборе z\ ?Е Е' (к =
Но
' . -' , - 1 A — iozft) (I — z0Zj)
ледо вательно,
где
Теорема доказана.
Заметим, что если хотя бы одна из форм B.11) имеет
ранг г < п, то функция F (z) представляет собой рацио-
рациональную дробь степени г.
В самом деле, допустив, например, что
о к 1
мы, полагая в равенстве
о о
е
о
ds (t) =
-С l y_^k_

100
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
1,2,...,re), получаем:
[ГЛ. III
{t) = 0,
откуда заключаем, что a (t) — ступенчатая функция, точ-
точками роста которой являются корни ?х < t2 < ... < tm
(О ^ tt, tm < 2я; т < п) функции
Но тогда равенство B.16) можно переписать так:
a- -
fX,-
J'
(a,- = ег(), w = о (^ + 0) - о (^ - 0); / = 1,2,..., m).
Это равенство показывает, что т = г, так как все квад-
квадраты линейно независимы. Поэтому представление B.12)
можно переписать так
Этим наше утверждение доказано.
Очевидно, что в этом сингулярном случае любая форма
B.11) порядка п <; г положительна, а порядка п ~^> г
имеет ранг г.
(!) У.2.3. Проблема Неванлинны, — Пика в классе 3). К клас-
классу $1 отнесем голоморфные при | z | < 1 функции такие, что |/ (z)| <
< 1 при | z\ < 1.
а) Для того чтобы существовала функция / (z) 65 «©> удовлет-
удовлет() ( E) б
) Д у
воряющая условиям / (z)h =
уц / () у
E), необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы для каждой конечной совокупности точек
митова форма
С Е эр-
эрбыла неотрицательна.
б) Наименьший максимум модуля в единичном круге голо-
голоморфных в нем функций, удовлетворяющих условиям / (г^) = "'ft

2]
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
101
(fe = 0, 1, . . ,п), равен наибольшему корню уравнения относитель-
относительно %
(let
= 0.
Ниже Е = {zjj обозначает множество точек, расположенных
в верхней полуплоскости; каждому z^ €E Е соответствует некоторое
ЧИСЛО Wfc.
(!) У.2.4. Проблема Неванлинны — Пика в классе ZFt.
К классу 91 относятся голоморфные в открытой верхней по-
полуплоскости функции, отображающие ее в себя J).
Для существования функции F (z) g= 31, принимающей в точ-
точках zk Ez E соответственно значения ш^, необходимо и достаточно,
чтобы для каждой конечной совокупности точек {zk}^ С Е эрми-
эрмитова форма
была неотрицательна.
Указание. Воспользоваться теоремой 2.8 и связью между
функциями классов Щ и SH,: F (z) ?5 ?Итогда и только тогда, когда
/ @ е «, где г/ (о = f («). ? = B - *)/(* + «)• ^ г ,,
(!) У.2.5. Проблема Неванлинны, — Пика в классе Эъ \а, Ь] *).
Для существования функции F (z) S 3t> [a, 6], принимающей
в точках zh заданные значения wk, необходимо и достаточно, чтобы
в М существовали функции F% (z) и F3 (z) такие, что Fi (zk) = (zh —
— a)wh и F2 (zk) = (b — zfe) шл.
Указание. Воспользоваться теоремами 1.4, П.6 и тем,
что всякую функцию
неотрицательную в [а, Ъ], можно представить в виде
g (t) = (t-a)
Si
t — :
(b-t)
2j i —:
(!) У.2.6. Проблема Неванлинны — Яика в классе & [а, 6] х).
Для существования функции F (z) S <§* [а, 6], принимающей
в точках zft значения ш^, необходимо и достаточно, чтобы в 3i,
существовали функции F\ (z) и F2 (z) такие, что F\ (zjj) = wfc и
zk — a
Fi (zk) = у _ z w^ соответственно.
Указание. Воспользоваться У.П.7.
1) См. Приложение.

102 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛ. [Ш
§ 3. Максимальная масса моментной последовательности
1. Максимальная масса. Пусть с = {ch}o означает не-
некоторую фиксированную позитивную последовательность.
Обозначим через V= V (с0, си..., сп) = V (с) совокуп-
совокупность всех распределений a (t) (a ^ t ^ b), -для которых
o (*) =
Пусть | — любая точка из [а, Ь]; положим 1)
Теорема 3.1. р (?) есть «максимальная масса»,
т. е.
р © = max [<j (g + 0) - б (? - 0)]. C.2)
Доказательство. Последовательность
с2 = ск-р(?К® (* = 0,1 п)г C.3)
позитивна, так как для каждого P(Q = 2(+
о
согласно определению C.1) функции р (?),
п
е„(Р) = S сК = е (Р) - р © р © > о.
о
Поэтому в силу теоремы 1.1 существует такое распределе-
распределение сг0 (t), что
Из C.3) получаем
ь ь
к = Р E) и* E) + S «k @ dao@ = J wfc (t) da& {t) (ft = 0,1,..., n),
x) Мы исключаем из рассмотрения такие Р S $+, для которых
одновременно Р (?) = 0 и ? {Р) — 0,

I 3] МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА ЮЗ
где
co(t) (
Таким образом,
P (I) = <*• F + 0) - a^(S - 0) <suP [o(g + 0) - «s(E - 0)].
C.4)
С другой стороны, для любого распределения a (t) ?E V
и любого многочлена Рб$+ имеем
откуда
следовательно,
sup [a (g + 0) - a (? - 0)] < p (E). C.5)
ae=V
Сопоставляя C.4) и C.5), находим, что
Остается еще заметить, что верхняя грань достигается
для распределения a = о^ в силу C.4).
Теорема доказана.
Теорема 3.2. Если последовательность {ch}" стро-
строго позитивна, то
р®= min 4lff>0 («<5<Ь)-
PeSP+ ^
Доказательство. Согласно определению C.1)
функции р (?) существует последовательность многочленов
п
такая, что
4^-. C.6)

104 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ill
Без ограничения общности можно считать, что Pv (t) gE
ЕЕ $Р+ и что существует lim Pv (t) = Ро (i) ЕЕ $Р+. Следова-
Следовательно, lim 6 (Pv) = © (Ро) > 0, и в силу C.6) Ро (|) =
= lim Л (?) > 0, так что р (?) = g (Po)/Po (S) > 0.
Теорема доказана.
Следствие 3.1. Если последовательность с —
— {снУо строго позитивна, то V (с) содержит бесчислен-
бесчисленное множество распределений а.
В самом деле, для любой точки \ из [а, Ь] существует
а ?Е V со скачком р (|) ^> 0 в точке |. С другой стороны,
любая монотонная функция сг может иметь не более счет-
счетного числа скачков.
Позже будет доказано, что сформулированное след-
следствие допускает обращение, коль скоро {uh (t)}o — Т-
система.
Замечание 3.1. Пусть {ck}o и {сц}па — позитив-
позитивные последовательности, а © (Р) и €' (Р), р (|) и р' (?) —
соответствующие им функционалы и максимальные массы.
Если для любого Р (= ф+
то р(|)<р(|) (
В самом деле,
2. Вычисление р (!) для степенных моментов. Пусть за-
задана строго позитивная в [а, Ь] последовательность сте-
степенных моментов {sh}a.
По теореме 3.2 имеем
Рассмотрим сперва случай и = 2v.
В силу теоремы Маркова — Лукача всякий многочлен
Р ЕЕ $+ можно теперь представить в виде
Р @ = <? (О + (&-*)(*- «) i?2 (О,
где (? (i) — многочлен степени не выше v, R {t) — много-
многочлен степени не выше v — 1.

3] МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА 105
Следовательно,
p(g) = min{Pl(g), Ра(?)}, C-7)
где
Построим о рто нормированную по отношению к функ-
функционалу @ систему многочленов Dh (t) (к = 0, 1,..., vI):
е{Д4(№(<)} = Ъ* (t,ft = o,i,...,v). C.8)
Как известно, многочлены Dh получаются по форму-
формулам
Do =-±* , D, = J__ det || SjShl. . . shkt> I jL0 C.9)
где А/с ¦= det || si+j ||0. Всякий многочлен Q (t) степени ^ v
V
представим в виде Q {?) = 2ал^/с @; ПРИ этом ®{(?2}==
о
v
= ^jOt/t, так что
о
(I) = min
а
x) Если воспользоваться каким-либо интегральным представле-
представлением (!) последовательности {sh}rol, то соотношения C.8) принимают
вид
ь
*)й@=ви (i, fc = o,i t»)
что означает ортонормированность многочленов D^ (t) относительно
распределения a {t).

106 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
откуда в силу неравенства Коши
Pi(?) = -^ • C.10)
о
Очевидно, что функционал
определенный на всех многочленах Р (t) степени ^ 2v — 2,
положителен на неотрицательных многочленах Р (t) фО.
Поэтому можно построить ортонормированную по отноше-
отношению к нему систему многочленов Ek (t) (к = 0, l,...,v —1):
«.{(*> -*)(*- а) Ег it) Ek (*)} - 8ik (i, к = 0,1,. .. , v - 1).
Эти многочлены получаются по тем же формулам C.9),
в которых; только sh заменены на
Ч = «1 {**) = в {(Ь - 0 (t - a) t*} =
= — Sfc+2 + (« + &) S/c+i — absk
{к = 0, l,...,2v -2).
Воспользовавшись разложением многочлена i? (t) do
многочленам ?"й (Q (к = 0, 1,..., v — 1), цолучим
Р.(Б)
Для случая п — 2v — 1 аналогичными рассуждениями
цолучим
1 1
р (?) = min I
V—1 ' V—1
, C.12)
о о
где многочлены Fk (t) и GK (t) определяются из условий;
>}}ГбГ} (*,*=-0,l,---,v-l).

I з] Максимальная масса
Положим, например,
10?
\
Тогда
У л sin ф
2ft+ 1
1
cos-
-у— ф
/я Ф
' РАЯ —-—
COS-7T
" V ' ф
У я sin —
где ф — arccos t.
Для случая п = 2v имеем в силу C.7), C.10) и C.11):
= mil)
= min
0
1
Я
V—1
0
Я
sin2 (fe
;a=arccos
sin Bv + 1) 6 ' - sin Bv + 1) В Г
2v-i-—i-ё—
Таким образом,
sin (и -j- 1) 6
C.13)
sin6
А для случая п = 2v — 1 имеем в силу C.12):
р (I) = rain
v—1
о
V—1
О

108
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[гл. Hi
= mm
cos3 ¦
2 У, sin3
mm
1 sin 2v6 '
sin2v6
Г" 2 sine V-Tlto9
Таким образом, и в этом случае мы приходим к той же
формуле C.13).
Из формулы C.13) и замечания 3.1 непосредственно
следует предложение:
Если a (t) (—1 =sC t =sC 1) — неубывающая функция, а
{ (t) — удовлетворяет неравенству
то из соотношений
1 1
вытекает неравенство
sin (и + 1) 6
= О,1,...,П) C.14)
(8 = arccosg).
sin6
C.15)
Каково бы ни было \ (—1 < \ < 1), функция a (t), для
которой в B.15) имеет место знак равенства, существует
тогда и только тогда, если f (t) = L почти всюду.
Нетрудно также, используя работу Н. Сонина [1], до-
доказать предложение:
При условии 0 < / (t) < L A — f)x @ < k < 1) из
соотношения C.14) вытекает неравенство
nL
2 J n + i
я + 1
^" + 1
+ 1 Г -2-
четном п,
при нечетном п.

§ 4]
ЙАЙОНИЧЁСЙИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
109
(!) У.3.1. Максимальную массу в точке ? е [а, 6] моментной
последовательности с = {cjJq обозначим через р^ (с).
Доказать, что р^ (с) — вогнутая функция oicgf (U).
(!) У.3.2 (И. Шёнберги Г. Сеге [1]). Пусть последователь-
последовательность степенных моментов {«й}д строго позитивна в [а, Ь]. Обозна-
Обозначим через фф множество тех неотрицательных на [а, 6] многочле-
многочленов степени <J п, для которых <& (Р) = 1. Тогда для каждого
фиксированного вещественного числа | ф [а, Ь] при п = 2v:
м—1
): Pi
при п. = 2v + 1:
): Ре
В цитированной статье рассматривался также случай | е [а, 6].
В этом случае, очевидно, min P (|) = 0 и max P (|) = 1/р (|), так что
при | е [a, ft] эти результаты были, по существу, повторением из-
изложенных в п. 2 результатов из статьи Н. И. Ахиезера и М. Г. Крей-
на [5]. Отметим, что так же, как и в этом случае, нахождение
max P (|) на множестве ф^ при | ф [а, Ь] можно истолковать как
нахождение наибольшего р, при котором последовательность {sh —
— p?'f}g позитивна на [а, 6].
§ 4. Канонические представления моментной
последовательности для Т-системы
1. Канонические представления. Дальнейшее исследо-
исследование представлений (!) (см. § 1) моментной последова-
последовательности {ck}o мы будем вести в предположении, что
последовательность {и&(?)}"образует Т-систему на[а, Ъ]

КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [ГЙ. Hi
В частном случае, когда в представлении (!) последова-
последовательности {ch}o функция о (t) имеет конечное число
точек роста 1г < ?2 < ... < \т (а < 1Х, \п < Ъ), это
представление принимает вид
т
= 0,1,...,»),
где р, = о& + 0)-а&-0)>0 (/ = 1,2,... ,m).
m
Сумму 28(?i) назовем индексом представления (ПI).
i
Представление назовем каноническим, если его индекс
^п -f- 2, и главным, если его индекс = п -f- 1, т. е. равен
числу задаваемых моментов.
При любом п возможны только два типа главных пред-
представлений, а именно,
1) при п = 2v — 1:
нижнее главное представление: массы сосредоточены в
v точках внутри [а, Ь];
верхнее главное представление: массы Сосредоточены в
v — 1 точках внутри [а, Ь] и на обоих концах а, Ъ;
2) при п = 2v:
нижнее главное представление: массы сосредоточены
в v точках внутри [а, Ъ\ и в конце а;
верхнее главное представление: массы сосредоточены в
v точках внутри [а, 6] ив конце Ъ.
Таким образом, главное представление называется
нижним или верхним соответственно тому, отсутствует или
присутствует при этом представлении масса в точке Ъ.
Функцию распределения масс <з ЕЕ V (с), осуществляю-
осуществляющую каноническое (главное) представление последователь-
последовательности с = {ch}o, назовем канонической (главной).
Впоследствии будет показано (см. теорему 5.1), что
при любом п для всякой строго позитивной последова-
последовательности существует одно и только одно главное пред-
представление каждого типа.
Теорема 4.1. Последовательность {сh}^ сингулярно
позитивна в том и только в том случае, если она допус-
1) Напомним (см. стр. 55), что e(t)=2 при a<t<b и е(а)=е(Ь)=1.

§ 4] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Ш
кает каноническое представление (!!) индекса <тг. В этом
и только в этом случае V (с) состоит только из одного рас-
распределения.
Доказательство. В самом деле, если последо-
последовательность {ch}o допускает каноническое представление
(!!) с индексом ^ п, то по теореме П.1.2 существует не
равный тождественно нулю многочлен
о
такой, что Р (?,}) = 0 (/ = 1,2,..., т).
Имеем
т. е. последовательность {c^fo сингулярно позитивна.
Пусть теперь дано, что последовательность {ch}^ син-
сингулярно позитивна, т. е. существует не равный тождест-
тождественно нулю многочлен Ро ЕЕ ф+ такой, что К {Ро) = 0.
В силу теоремы 1.1 существует распределение ст^
ЕЕ V (с), т. е. такое, что
ь
luk(t)da(t) = ck (ft = 0,1 п). (!)
а
Имеем
ь
lPo(t)do(t) = &(P0)= 0.
ft
Отсюда следует, что о (t) — кусочно-постоянная функ-
функция, точки роста которой являются корнями P0{t). Если
обозначим корни многочлена Ро (<) через ?;- (/ = 1, 2,..., т)
и положим
Pi = а & + 0) - а & - 0) (/ = 1,2,..., т),
то (!) примет вид
При этом в силу теоремы II.1.2 имеем

112 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ill
Попутно доказано, что всякое распределение а ЕЕ V (с)
для сингулярно позитивной последовательности может
иметь массы только в точках !;, однозначно определяемых
тем, что они служат корнями Ро (t). Но массы pj в этих точ-
точках также определяются однозначно, так как, построив
многочлен Р}- (t), для которого Pj (lh) = 0 (к ф /), Р} (|;) =
= 1, получим для всякого о ЕЕ V (с)
ь
Таким образом, доказано, что для сингулярно позитивной
последовательности распределение о ЕЕ V (с) определяет-
определяется однозначно. Обратное утверждение вытекает из след-
следствия 3.1.
Теорема 4.2. Между любыми соседними внутрен-
внутренними точками сосредоточения масс канонического предста-
представления лежит по крайней мере одна точка роста функции
о (t) ЕЕ V (с), дающей представление (!), отличное от рас-
рассматриваемого.
В частности, внутренние точки сосредоточения масс
двух различных канонических представлений строго пози-
позитивной последовательности перемежаются.
Доказательство. Пусть (И) — некоторое ка-
каноническое представление последовательности {cft}o-
Образуем на основании теоремы II.1.3 многочлен
Р ЕЕ ф, имеющий своими единственными корнями все
точки Eft (А; = 1, 2,..., т), причем |;- и |^+1 — корнями-
узлами, а все остальные внутренние точки %h — корнями-
пучностями. Можно считать, что Р (t) < 0 при ?j < t <
< |;-+1 и Р (I) > 0 в остальных точках интервала [а, Ь].
Очевидно, что
S P (t) ds (t) = g (P) = ^ 9kP (Ы = 0-
а X
Если допустить, что а не имеет внутри (?;-, |;+1) точек
роста, то тогда
Ь ?у Ь
J
5

§ 4] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦЗ
а следовательно, единственными точками роста функции
o(t) были бы точки Ik и отсюда вытекало бы (см. доказа-
доказательство теоремы 4.1), что представление, даваемое функци-
функцией a (t), совпадаете рассматриваемым представлением (!!).
Замечание 4.1. Если (!!) — главное представле-
представление последовательности {ch}o и ?0 = а (или %т = Ь), то
с помощью аналогичных рассуждений получим, что меж-
между аж\х (между |т_х и Ъ) находится точка роста любой
функции о {?), дающей представление, отличное от (!!).
Теорема 4.3. Если последовательность {с^ стро-
строго позитивна, то существует такое каноническое представ-
представление (!!), при котором среди точек l-j (/ = 1, 2,..., т)
имеется любая наперед заданная точка Ь, из [а, Ъ].
Это представление единственно, если | — внутренняя
точка интервала \а, Ь].
Теорема 4.4. Если последовательность {с^}^
строго позитивна, то любой точке | 6Е [а, Ь] отвечает од-
одно и только одно распределение масс о^ GE V (с), при кото-
котором в точке | сосредоточивается максимальная масса
рE)-
Это распределение является каноническим, а если
| = а или | = Ь, то главным каноническим.
Доказательство теорем 4.3 и 4.4. В силу
теорем 3.1 и 3.2 для любой наперед заданной точки %
из [а, Ь] существуют распределения ut6Fs многочлен
Р% ЕЕ ф+ такие, что
4^fp D-1)
Имеем
Полагая
получаем

114 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
Отсюда а0 {t) — кусочно-постоянная функция, точки
роста которой являются корнями Р% (t), причем ее скачки
в этих точках определяются однозначно (см. теорему 4.1).
Функция ае, (t) имеет, кроме точек роста о0 (t), еще точку
роста |. Обозначая точки роста о^ (t) через ^1? , Ъ,т и
соответствующие скачки oi= (t) через р1,..., рт, получаем
т
с,' 2 №¦(?;) (A = 0,1,..., и), (!!)
3=1
т
причем 2 е Из) ^= п + 2, если | — внутренняя точка (е (?) =
1
т
= 2), и 28(?i) = п + 1> если s = а или | = 6 (о(^) = 1).
Единственность канонического представления, при
котором среди точек \j (/' = 1, 2,.. , т) имеется любая на-
наперед заданная внутренняя точка | из [а, 6], непосредствен-
непосредственно следует из теоремы 4.2.
Теоремы 4.3 и 4.4 доказаны.
Следствие 4.1. В каноническом представлении
(!!) масса р;-, сосредоточенная во внутренней точке %},
является максимальной.
Если же это представление является не только кано-
каноническим, но и главным, то все его массы максимальные.
2. Об определенности проблемы моментов. Проблему
моментов, порожденную последовательностью с = {с^Уо,
называют определенной, если множество V(c) ее решений
состоит только из одного распределения, и неопределен-
неопределенной, если V (с) содержит по крайней мере два различных (и,
следовательно, континуум) распределения.
Если функции {uh (t)}o образуют Г-систему на [а, 6],
то вопрос об определенности для конечной моментнои пос-
последовательности {ch}o решается просто: проблема момен-
моментов, порожденная позитивной последовательностью {ch}o,
определенная тогда и только тогда, когда эта последова-
последовательность сингулярно позитивна.
Иначе обстоит дело в случае бесконечной моментнои
последовательности {с k }JJ° относительно системы {uk(t)}^-
Даже если каждый конечный отрезок {ск}о строго пози

§ 4] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ [{§
тивен относительно {uh (<)}о (п — 0, 1,...), это еще не озна-
означает, что для {ch}™ проблема моментов^неопределенная1).
Например, если система функций {uk @}<Г плотна в про-
пространстве С [а, Ъ\ непрерывных функций, то всякой момент-
ной последовательности {с^}™ отвечает единственное рас-
распределение.
В частности, всякая степенная проблема моментов в
конечном интервале и всякая тригонометрическая проблема
моментов — всегда являются определенными.
Значительно более сложным является вопрос об опре-
определенности проблемы моментов для {ck}™ уже в случае
степенной проблемы на полубесконечном и бесконечном
интервалах. Здесь определенность или неопределенность
зависит от самой последовательности {с^}^0, и установление
признаков определенности (неопределенности) и описание
всех решений, как правило, требует привлечения тонких
фактов теории функций или функционального анализа.
Полное освещение этих вопросов не входит в пашу задачу.
Читатель может с ними ознакомиться по книге Н. И. Ахие-
зера [4]. Все же мы к ним еще вернемся в связи с тем, что
излагаемые здесь методы позволяют получить некоторые
дополнения к классическим исследованиям.
3. Построение канонических представлений для сте-
степенных моментов. В процессе доказательства теорем 4.3 и
4.4 попутно установлено, что в каноническом представле-
представлении (!!), в котором среди точек |7- имеется наперед заданная
точка |, все точки ^-, отличные от |, суть корни того
неотрицательного многочлена Р% (t), для которого
Во многих случаях многочлен Р\ (t) находится весьма
просто.
Например, в случае степенной проблемы моментов из
рассуждений, приведенных в п. 2 § 3, следует, что при
х) Однако если какой-нибудь отрезок {с^}^ сингулярно пози-
позитивен, то для {cft}jj° проблема моментов — определенная.

116 кайонйчесКие Представлений
п = 2v
trrt. ill
р (I) = min
1
1
v—1
о
, pf')}
И
v-l
а при п = 2v — 1
p (|) = min
r(g)?fe@]2. если p(?) = p2Bv),
D.2)
= min
V—1
если
(Ь <)[2СЛЕ)Са0]\ если
о
V—1
D.3)
Обозначим через Q% (t) многочлен, простыми корнями
которого являются точки сосредоточения масс того кано-
канонического представления данной строго позитивной после-
последовательности {s/i}o, при котором одной из точек сосредо-
сосредоточения масс является данная точка | из (а, Ъ).
Очевидно, что при п = 2v
•и (I) DK @ при р (I) = pf \
V—1
(* - 5) (Ь - 0 (« - а) 2 Я* (Е) Як @ при р (|) = p?v),
D.4)

5 41 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 11?
а при п = 2v — 1
V—1
%Fk(t)FK(t) при
D.5)
4. Выражение Q% (t) через ортогональные многочлены.
Во многих случаях строго позитивная последовательность
{sft}o задается как система моментов некоторого распреде-
распределения масс a (t):
ь
sk=[t4<s(t) (ft = 0,1,..., л),
а
где a (t) — неубывающая функция с бесконечным числом
точек роста *).
Тогда многочлен Qz, (t) легко выразить через ортого-
ортогональные относительно функции распределения о (t) мно-
многочлены D ft (t) (не обязательно нормированные) степеней
к < п + 2:
ь
Di (t) Dk (t) de (t) = 0 при i =/= k.
В самом деле, рассмотрим, например, случай п — 2v и
Тогда степень ^>^ (?) равна vj-1 и
ь
x) Для последующих рассуждений достаточно, чтобы функция
a (t) имела не менее чем п + 1, га + 3 или га + 2 точек роста в
[а, Ь] соответственно тем случаям, которые в дальнейшем рассмат-
рассматриваются.

Ill Канонические представления
а следовательно,
i. ш
D.6)
Q^ (t) = а„+1Д,+1 (t) -f «v A> {t).
Так как Q% (I) = 0, то
Ql (t) — const
В случае п = 2v и р (^) = p22v) степень многочлена
равна v + 2 и
i = 0,l,...,v- 2),
) + a,D4 (t) + a^D^. D.7)
<?5(g) = O. D.8)
Предоставляем читателю доказать, что условиями D.7) и
D.8) многочлен (^ {t) определяется с точностью до посто-
постоянного множителя, откуда
откуда
«v+2Ov+2 (t) + av+1Z)v+1 (
Кроме того, в этом случае
Ql(t) = const
v+2(a) Z)v+i(e)
При и = 2v — 1 получаем аналогично, что в случае
р (I) = рГх)
= const
а в случае р (|) = $*~х)
= const
D4(t)
, D.10)
D.11)
Замечание 4.2. Для построения многочленов
+i (t), D^+2 (t) нет необходимости знать распределение масс

§ 5] СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛАВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Ц9
о (<), а достаточно знать, кроме заданных моментов s0,
sx, ..., sn, еще моменты snn, sn+2, sn+3 в случае п = 2v и
sn+1, sn+2 в случае и = 2v — 1. При этом единственное
условие, которому подчиняются числа sn+1, sn+2, sn+3,
заключается в том, чтобы продолженная последователь-
последовательность {sft}o+2 ({sft}o+3) была строго позитивной.
В дальнейшем (см. § 5, п. 5) мы укажем, как продолжать
строго позитивную последовательность на один элемент.
Однако тут же заметим, что поскольку многочлены D.4)
и D.5) вполне определяются данными моментами {sk}2
и числом |, то в формулах D.6), D.9) — D.11) моменты
sn+1, sn+2, sn+a могут входить только лишь несущественна
и поэтому при построенииDv+i (t),DVJt2 (t) по известным фор-
формулам величины sn+1, sn+2, sn+3 можно вводить как неизвест-
неизвестные, которые сами собой исключаются в формулах D.6),
D.9) - D.11).
В § 1 главы IV будут даны другие выражения для мно-
многочленов, корнями которых служат точки сосредоточения
масс канонических представлений.
Если известны точки сосредоточения масс каноничес-
канонического представления, то соответствующие им массы нахо-
находятся, очевидно, из системы линейных уравнений (И).
Для случая степенной проблемы моментов эти массы
выражаются через многочлен Q (t), простыми корнями
которого являются точки сосредоточения масс Ej, Ег>---
...,Етканонического представления (!!) следующим образом*
Положим
тогда <&{Q)} = pjQj(U, т. е.
§ 5. Существование главных представлений
1. Вспомогательные предложения. Согласно теореме
4.4 для всякой строго позитивной последовательности {с^}^
существует по крайней мере одно главное представление
р массой в точке а и одно с массой в точке Ь.

120 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
Если п = 2v — четное число, то эти представления
различны, так как в этом случае, согласно сказанному в
начале § 4, невозможно главное представление с мас-
массами в обеих точках а и Ь.
Первое из них будет нижним главным, а второе —
верхним главным.
Наоборот, если и = 2v — 1, то главное представление,
имеющее массу в точке а, обязательно имеет массу в точке
Ъ и является верхним главным представлением.
Для того чтобы доказать существование нижнего глав-
главного представления (т. е. представления с массами, сосре-
сосредоточенными в v точках внутри [а, Ь]), нам понадобятся
следующие леммы, справедливые для любого п:
Лемма 5.1. Если последовательность {C/Jo строго
позитивна в [а, Ь], то существует а' ^> а такое, что
{cft}o строго позитивна в [а', Ь].
Доказательство. Допустив противное, мы су-
сумели бы построить такую последовательность {ац}Г\ Для
которой Jim av. = айв каждом интервале ta,,., b] ПОСЛеДО-
вательность {cft}o не строго позитивна, т. е. существовала
бы последовательность многочленов {Р^ (t)}™ а фе таких,
что
п
Р». {t) = 2 «fV (t) > 0 при ay. < t < b; Py. (t) ф 0,
0
о
Без ограничения общности можно допустить, что сущест-
существует lim Pjx(<) = P0(t)<= фе. Мы получили бы, что P0(t) >
>0приа<К*, РоУ)ф0, a (? (Р0) = lim <S (?,*)< 0,
что противоречит строгой позитивности последовательности
{сй}'огв [а,Ь].
Обозначим через а0 точную верхнюю грань тех а' 6Е
ЕЕ [а, Ь], для которых последовательность {ch}o строго по-
позитивна в [а', Ь].
Заметим, что в силу леммы 5.1 последовательность
{cft}o не может быть строго позитивной в [а0, Ъ].

5] СУЩЕСТВОВАНИЕ. ГЛАВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 121
Лемма 5.2. В интервале [а0, Ь] последовательность
} сингулярно позитивна.
Доказательство. Пусть Р (t) — многочлен та-
такой, что Р (t) > 0 при а0 ^ t ^ Ъ.
Тогда при любом е ^> 0 имеемх)
Р (t) + еП @ > 0 при а0 < t < Ъ,
и, следовательно, найдется такое а' = а' (е) < а0, что
Р (t) + еП (t) > 0 при а' < t < Ъ. Поэтому в {Р +
+ еП) = ? (Р) + е(? (П) !>0. Отсюда, ввиду произволь-
произвольности е ^> О, S (Р) .!> О, что и требовалось доказать.
2. Существование главных представлений. Из леммы
5.2 и теоремы 4.1 вытекает существование для [а0, Ь] та-
такого представления последовательности {сл}о, индекс кото-
которого ^ п.
В интервале [а, Ь] это представление будет иметь ин-
индекс <1га + 1, причем знак < исключается, так как в
противном случае последовательность {с^}^ была бы син-
сингулярна.
Таким образом, это представление — главное. Оно не
имеет массы в точке а, а поэтому, если п = 2v — 1, то оно
и будет искомым нижним главным представлением после-
последовательности {cft}o-
Замечая теперь, что в силу теоремы 4.2 и сделанного к
ней замечания 4.1, для любой строго позитивной последо-
последовательности {с/{}о невозможны два различных главных
представления одного и того же типа (верхнего или ниж-
нижнего), мы приходим к теореме:
Теорема 5.1. Если последовательность {ch}o стро-
строго позитивна, то она допускает одно и только одно нижнее
и одно и, только одно верхнее главное представление.
3. Главные представления степенных моментов. По-
Покажем, как в случае степенной проблемы моментов стро-
строятся главные представления строго позитивной последо-
последовательности моментов.
Эта задача будет решена, если мы укажем, как строят-
строятся многочлены, корнями которых являются точки сосре-
сосредоточения масс главных представлений последовательно-
последовательности {sh}o.
х) П (г) > 0 (о < t < 6); см. теорему II.1.4.

122 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ trJI. Ill
Рассмотрим сначала случай п = 2v — 1.
Для многочлена Ач (t) степени v, корнями которого
являются точки сосредоточения масс нижнего главного
представления, имеем
® {Л, (*)**} = 0 (« = 0,1 и —1).
Таким образом, Av (t) является v-м ортогональным много-
многочленом функционала @ и, следовательно, его корни сов-
совладают с корнями многочлена
det \\sk sk+1... sk+,^ tk fk=0. E.1)
Для многочлена i?v_x (t) степени v — 1, корнями кото-
которого являются внутренние точки сосредоточения масс верх-
верхнего главного представления, имеем
- &{(b~t)(t-a)B4-i(t)tl} = 0 (S = 0,lf...,v-2). E.2)
Таким образом, 2?v-i (t) является (v — 1)-м ортогональным
многочленом функционала
и, следовательно, отличается только постоянным множи-
множителем от Evr-x (t) (см. § 4), т. е. точки сосредоточения масс
верхнего представления суть корни многочлена
(Ь -t)(t- a) det |*; s'k+1... *;+v_21* ЩИ,» E.3)
где s'k = (a + b) sfc+1 — absk —
Аналогично получим, что при п = 2v точки сосредото-
сосредоточения масс нижнего главного представления являются
корнями многочлена
(t — a) det ||sk+1 — ask sfc+2 — asft+1... sft+v — asfc+v-iifcIlLo E.4)
а точки сосредоточения масс верхнего главного представ-
представления являются корнями многочлена
ф — t) det | bsk — sR+1 bsk+1 — sk+2... fofc+v_i — %,.„ f* ||R=0. E.5)
4. Выражение через ортогональные многочлены. В том
случае, когда последовательность моментов
ь

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГЛАВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
123
где о (t) — неубывающая функция с бесконечным числом
точек роста, а следовательно, ряд ортогональных многочле-
многочленов Dk (t) (к — 0, 1,..., v) может быть продолжен, много-
многочлены, о которых шла речь в п. 3, можно выразить через
Dh (t)(k = 0, l,...,v,v + 1).
При п = 2v — 1 для нижнего главного представления
искомый многочлен E.1) совпадает с ортогональным мно-
многочленом степени v.
Для верхнего главного представления искомый много-
многочлен (Ъ — t) (t — a) i?v_i (t) имеет в силу E.2) вид
ач+1Д,+1 (*) + «vDv (t) + civ-iDv-! @,
и так как, кроме того, он обращается в 0 при t = a
и t = b, то он равен
const
E.6)
При п = 2v для нижнего главного представления ана-
аналогично получим выражение для искомого многочлена
в виде
const
Dv+1(t)
Dv+1(a) Ц, (a)
а для верхнего главного представления в виде
const
E.7)
E.8)
Относительно многочлена i5v+1 (^) можно сделать заме-
замечание, аналогичное замечанию 4.2.
5. Одноступенчатые продолжения степенной моментной
последовательности. Покажем, как продолжается строго
позитивная последовательность {$>,}? степенных моментов.
При п = 2v из теоремы 2.4 заключаем:
Для того чтобы последовательность {sk}T+1 была
позитивным продолжением строго позитивной последо-
последовательности {sk}Vt необходимо и достаточно, чтобы

124 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
выполнялись неравенства
det|jSj+s+1-flSj+,||^-=0>0 E.9)
и
det\\bsj+k-asj+li\\?,k=0>0. E.10)
Неравенство E.9) ограничивает s2v+1 снизу, а неравен-
неравенство E.10) — сверху. Беря в E.9) и E.10) только знаки
равенства, получим уравнения, из которых определятся
соответственно наименьшее и наибольшее значения s2v+i
и «2V+1 момента s2v+1 ПРИ данной строго позитивной последо-
последовательности 2v + 1 моментов s0, s^..., s2v- Чтобы полу-
получить продолжение {s;Jov+1 данной строго позитивной пос-
последовательности {sft}ov, можно в качестве s^+i выбрать лю-
любое число из интервала [s2v+i, s2v+i].
Эти уравнения для s2v+1 (соответственно s2v+i) могут
быть также записаны в виде
(let К s/m . .. Sl?+V a* Ifi?—о = °
(соответственно
Стоит отметить, что коль скоро найдены значения
S2v+i — §зч+ъ *2v+i, то точки сосредоточения масс соответ-
соответствующего главного представления последовательности
{sfc}iT найдутся как корни многочлена
det || sk sk+1... sft+v t* 11^=0, E.11)
тождественного, с точностью до постоянного множителя, с
многочленом E.4) при s2v+i = S2V+1 и многочленом E.5)
ПРИ S2v+i = S2v+1 X)-
При п — 2v — 1 из теоремы 2.3 заключаем:
Для того чтобы последовательность {sk}V была пози-
позитивным продолжением строго позитивной последователь-
последовательности {sfc}o , необходимо и достаточно, чтобы выполня-
выполнялись неравенства:
E.12)
х) Нетрудно видеть вообще, что точки роста функции ст (t) 6:
€Е V («01--1 S2[x-i)> имеющей т < ц. точек роста в [а, 6], являются
корнями многочлена

§ 6] ДВИЖЕНИЕ МАСС КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 125
И
io>O, E-13)
где
s'k = (а + b) sm — dbs^ — S/f+2 (к = 0,1,. . ., 2v — 2).
Из E.12) и E.13) получаем, подобно тому, как для слу-
случая п = 2v, уравнения, из которых определяются соот-
соответственно наименьшее s2v и наибольшее s2v значения мо-
момента «2v при данной строго позитивной последовательности
моментов {Sfcjjf.
§ 6. Движение масс канонических представлений
1. Случай нечетного п. Как мы уже знаем, любой точке
^Е [а, Ъ) отвечает единственное каноническое представ-
представление строго позитивной последовательности {cft}JJ с мас-
массой р (?) в точке |. Выясним, как передвигаются массы
канонического распределения и изменяется его структура
с движением точки |.
Рассмотрим сначала случай, когда п — нечетное число:
п = 2v — 1.
Пусть
— точки сосредоточения масс нижнего главного представ-
представления, а
lo = a <li < h < ¦ ¦ ¦ <\-i<h = Ь
— точки сосредоточения масс верхнего главного пред-
представления.
Согласно теореме 4.2 и замечанию 4.1
а = !о <Si <fi < • • • <Ь <%. = Ъ.
Имеет место следующая
Теорема 6.1. Пусть п = 2v — 1 и |ха — любое
положительное число, меньшее максимальной массы р (а):
0<>а<р(а).
Тогда существует одно и только одно каноническое рас-
распределение масс сгц с массой в точке а, равной ц.в.

126 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
Пусть
Ео = a, Ei (|Ха), ...,?„ (Ма)
— последовательные точки сосредоточения масс каноничес-
канонического распределения а^ .
Величины %j (\ia) (/ = 1, 2,..., v) суть непрерывно ра-
растущие функции аргумента ца; при этом
Ь (/=1,2, ...,v) F.1)
&=Ит^(|1о), |j= lira 1}(\1а). F.2)
Доказательство. Положим
cj = c,-iiouk(e) (fe = 0,l,...,«). ' F-3)
Если
2V—1
P(t)--= 2
о
то
2v—1
с
о (Р) = S с*а^ = «(Р) - ^Р (а) >€ (Р) - р (а) Р (а) >0,
о
согласно определению C.1) максимальной массы р (а).
Рассматривая отдельно случай Р (а) = 0 и Р (а) =j= О,
легко убедимся," что So (P) ^> 0, т. е. последовательность
{с? }о строго позитивна.
В силу F.3) ее нижнее главное представление дает для
последовательности ftc}o некоторое распределение о^, .
Это представление единственно, так как, обратно, рас-
распределение о"[х для последовательности {ch}0 согласно
F.3) дает нижнее главное представление для последова-
последовательности {с'}".
Легко видеть, что в силу теоремы 4.2 и замечания 4.1
единственно возможным расположением узлов Е;- (ца)
(/ = I,1 2,..., v) является расположение, задаваемое F.1).
Если бы в некоторой точке [а? @ < \al < p (а)) хотя
бы одна из функций |^ (|ха) (/ = 1, 2,.,., v) была разрыв-

§ б! ДВИЖЕНИЕ МАСС КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ {21
ной, то можно было бы, совершая предельный переход
по двум различным последовательностям {\iaf }, стремя-
стремящимся к |Ха, получить два различных канонических пред-
представления с одной и той же с массой [х° в точке а.
Непрерывные функции |;- (ц,а) (/ = 1, 2,..., v) строго
монотонны в силу перемежаемости внутренних точек
сосредоточения масс двух различных канонических пред-
представлений (теорема 4.2).
Легко убедиться во втором из соотношений F.2), а
после этого уже нетрудно будет доказать и первое из со-
соотношений F.2).
Теорема доказана.
Замечание 6.1. Аналогичную теорему можно
сформулировать для канонических распределений Стць,
имеющих массу в конце Ь, равную \ib, где 0 < ць < р (Ь).
Если обозначить через
Ei Ы < 1ч, (М-ь) < • • • < Ь Ы < Ev+1 Ы = ъ
последовательные абсциссы масс распределения ст^, то
можно будет утверждать, что
при этом, когда \х,ь непрерывно возрастает от пуля до р (Ъ),
то естественным образом доопределяя функции ? (\ib)
при \ib — 0 и р (Ь), можно будет утверждать, что они убы-
убывают соответственно от ^ до |^х (/ = 1, 2,..., v).
Сопоставляя все сказанное, мы приходим к такой кар-
картине движения масс канонических распределений.
Если «накачать» в точке а максимальную массу ца =
= р (а), то остальные массы рх, р2,..., pv распределения
расположатся в точках |х ¦< f2 < .... << |ч_х <^ |v = Ъ.
При непрерывном убывании массы \ia все массы pt, p2,...
..., pv движутся влево, и когда \ia станет равным нулю, массы
Pl p2,..., pv придут в точки |1<|2< ... < |v. После
этого мы начинаем «накачивать» массу [хь в точке Ъ. По
мере увеличения [хь массы р1( р2,..., pv, как-то изменяясь,
продолжают свое движение влево, и когда [ib станет рав-
равным р (Ь), эти массы придут в точки |0 = а < ^ < ...
... < |v-i, а р! станет равным р (а), т. е. мы вернемся.

128 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ trJI. Ill
к верхнему главному распределению, с которого начали
движение.
При этом движении через каждую внутреннюю точку
?бЕ [а, Ъ] один и только один раз пройдет некоторая масса.
2. Случай четного п. Рассмотрим теперь случай чет-
четного п: п = 2v. Пусть
— точки сосредоточения масс нижнего главного распре-
распределения, а
— точки сосредоточения масс верхнего главного распреде-
распределения.
Согласно теореме 4.2 и замечанию 4.1
a = lo <ii < |i < • • • <lv < |v < Iv+i = b.
Имеет место
Теорема 6.2. Пусть п — 2v, 0 < \ia < р (а).
Тогда существует одно и только одно каноническое распре-
распределение масс Ст[ха с массой ца в точке а.
Пусть
= « < El (Иа) < . • • < Е* (Иа) < Ev+1 (|1О) = Ь F. 4)
— абсциссы его масс1).
Функции \j (\ia) суть непрерывно возрастающие функ-
функции аргумента \ia; при этом
lj = lim lj ((ха), |j = lim
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
доказательству теоремы 6.1, и мы его опускаем.
Обозначим через \ib @ < р,ь < р(Ь)) массу в точке &
распределения ст^.
1) Количество масс и расположение F.4) их абсцисс выте-
вытекает из того, что индекс канонического (но не главного) распреде-
распределения а равен 2v + 2.

§ б] ДВИЖЕНИЕ МАСС КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 129
Можно сформулировать относительно тех же распре-
распределений теорему, аналогичную теорему 6.2, отправляясь
не от массы \ia, а от массы \ib. Отсюда нетрудно заклю-
заключить, что при непрерывном возрастании одной из масс
\ха, \1Ъ другая непрерывно убывает.
Для полноты картины нам нехватает следующего пред-
предложения:
Теорема 6.3. Пусть а = ?0 < % <С |х. Тогда всег-
всегда найдется одно и только одно каноническое распределение
ст? с первой массой в точке |.
А бсциссы масс этого распределения
суть непрерывно растущие функции абсциссы первой из
них; при этом
lj-i<Ь(?)<!; (/ = 1, 2,..., v + 1) F.5)
и
lira. 1} (|) = lj_u Km lj A) = Ij. (q 6)
Доказательство. Существование каноничес-
канонического распределения с массой в точке ? дается теоремой 4.3.
Учитывая расположение точки | и то, что массы распре-
распределения а^ перемежаются с массами главных представле-
представлений, мы легко получим F.5).
Остальные свойства узлов |;- (?)(/ = 1, 2,..., v + 1)
получаются с помощью рассуждений, аналогичных тем,
которые приводились при доказательстве теоремы 6.1.
Таким образом, для рассматриваемого случая п = 2v
можно составить себе следующую картину движения масс:
«Накачаем» в точку Ъ максимальную массу [х^ = р (Ъ)\
тогда остальные массы рх, р2,..., рч расположатся в точках
(а <) |х < ?2 <С ... < fv (< b). При непрерывном убавлении
ц,ь массы рх, р2,..., pv, как-то изменяясь, непрерывно пе-
перемещаются вправо и одновременно в точке а «накачи-
«накачивается» растущая масса [ха. Когда масса \ib станет равной
нулю (а масса [ха равной р (а)), массы рх, р2,..., pv придут
в точки |х < |2 < ... < Еч- После этого начнем двигать
массу, которую обозначим через р0, из точки а в направ-
направлении точки 1Х; тогда массы рх, р2,..., pv будут продолжать

130 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 1ГЛ. III
свое движение вправо. Когда масса р0 придет в точку |х,
то массы рх, р2,..., pv придут соответственно в точки
|2 < ... < |v+1 = b, и мы вернемся к первоначальному
распределению масс (верхнему главному), с которого на-
начали движение. При этом через каждую внутреннюю точ-
точку пройдет один и только один раз некоторая масса.
Из сказанного, в частности, вытекает, что абсциссы то-
точек сосредоточения масс канонического представления,
имеющего (максимальную) массу в точке | ЕЕ [а, Ь], суть
непрерывные функции от |. Поэтому в формуле р (?) =
— (? (P$)/Pz (g) как Ре, (g), так и (? (Р5), непрерывно за-
зависят от g ЕЕ [а, Ь]. Отсюда получаем.
Следствие 6.1. Для строго позитивной последова-
последовательности {Cjjo максимальная масса есть непрерывная функ-
функция от | ЕЕ la, b].
§ 7. Представления с индексами и.+3 и п-(-4
1. Представления индекса п -J- 3. По аналогии с глав-
главными представлениями всякое представление конечного
индекса мы будем называть верхним, если функция ст (?),
задающая его, имеет массу в точке Ъ, и нижним в про-
противном случае х).
Теорема 7.1. .Если в точке | (а < | << 6) ке/n .мас-
.массы верхнего {нижнего) главного представления, то для про-
произвольного р @ < р < р (?)) существует единственное
верхнее [соответственно нижнее) представление индекса
п -\- 3 с массой р в точке |.
Доказательство. Из условия 0 < р < р (?)
вытекает, что последовательность {с^ — pitfe (|)}? строго
позитивна. В самом деле, этой последовательности отве-
отвечает функционал
п
Gp (Р) = S «* (с^ - Р"^ №)) = е (Р) -
х) Выбор эпитетов «нижнее» и «верхнее» в применении к глав-
главным представлениям объясняется в главе.IV, замечание 1.1. Чтобы
не вводить новых терминов, мы переносим эти эпитеты на произволь-
произвольные представления с конечным индексом.

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ИНДЕКСАМИ п + 3 И п+4 131
и если Р @ е ф+, Р (t) ф О, то (?р (Р) > 0, так как
О < р << р (Е) = inf E (P)IP (?). Поэтому можно постро-
ить верхнее главное представление последовательности
{cfe — puft (^)}о, т. е. представление индекса п -J- 1 с
массой в точке &. Построенное представление не может
иметь массу р' ^> 0 в точке |, так как в противном случае
верхнее главное представление последовательности {с/г}^
имело бы массу р + р' в точке |, что противоречит условию
теоремы. Поэтому, добавляя массу р в точке |, получим для
последовательности {сй}о требуемое верхнее представле-
представление индекса п + 3 с массой р в точке \. Это представление
единственно, так как в противном случае последователь-
последовательность {ck — puh (?,)}a имела бы различные верхние глав-
главные представления, что невозможно.
Аналогичпо доказывается существование и единствен-
единственность нижнего представления индекса n + Зс массой р
в точке |. Теорема доказана.
Замечание 7.1. Если | является точкой роста
какого-либо главного распределения, то не существует
представления индекса п + 3 того же типа (верхнего или
нижнего) с массой р << р (|) в этой точке, так как тогда
последовательность {ch — puh (|)}o обладала бы двумя
различными главными представлениями одного типа:
одно из них не имело бы массы в точке |, а другое имело бы
в ней массу р (|) — р ^> 0.
Теорема 7.2. Внутренние массы всякого верхнего
(нижнего) представления индекса ге + 3 перемежаются
с внутренними массами верхнего (соответственно нижне-
нижнего) главного представления.
Доказательство. Рассмотрим сначала верх-
верхние представления при нечетном n(n = 2v — 1). Массы
верхнего главного представления в этом случае располо-
расположены в точках
По теореме 4.2 между |j_t и \j (j = 1, 2,..., v) должна
быть хотя бы одна точка |^, в которой сосредоточена мас-
масса верхнего представления индекса п -\- 3. Кроме того, это
представление должно иметь массы в точках ?,0 = а я

132 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. II
fv+i = Ь. Сумма индексов всех точек |0, \ъ..., ?v+i равна
2v + 2 = п -\- 3, значит, других масс нет, и теорема в
этом случае доказана.
Пусть теперь п = 2v. Массы верхнего главного пред-
представления сосредоточены в точках
(a<)li< f2 < • • • <lv+i = b.
Верхнее представление индекса п + 3 должно иметь хотя
бы по одной массе между %з-1 и I/ (/ = 2, 3,..., v + 1) (в
точке \j) и массу в точке |v+2 = Ь.
В интервале [|1? Ъ] последовательность {ch}o сингу-
сингулярно позитивна, так как в этом интервале индекс верхне-
верхнего главного представления равен п. Если бы все массы
верхнего представления индекса п + 3 были сосредоточе-
сосредоточены в интервале [?1? Ь], то последовательность {еА}о имела
бы в нем по крайней мере два различных представления,
что невозможно. Следовательно, между а и |х имеется
хотя бы одна точка |15 в которой сосредоточена масса
верхнего представления индекса п + 3 (это представление
не может иметь массу в точке a)J). Других масс оно не
имеет, так как сумма индексов всех точек |х, g2, , |vf2
равна 2v + 3 = п -j- 3.
Аналогично рассматриваются нижние представления.
2. Движение масс представлений индекса п -\- 3. При-
Примем сейчас следующий способ нумерации точек роста
?; (р) представления индекса п -\- 3 с массой р в точке |.
Нумерация начинается с нуля, если первая точка совпа-
совпадает с а, и с единицы в противном случае (также нуме-
нумеруются и точки роста главных представлений); точка |
не нумеруется.
Очевидным образом изменяя соответствующие рассуж-
рассуждения теоремы 6.1, получим, что величины \j (p) суть не-
непрерывные функции аргумента р.
х) Приведенные рассуждения позволяют следующим образом
дополнить замечание 4.1: если (!!) — главное представление после-
последовательности {сь}ц и |i (> а) — первая (или |т « Ь) — послед-
последняя) точка сосредоточения масс этого представления, то в интервале
[a, |i) (в интервале (|т, Ъ]) находится точка роста любой функции
a (t), дающей представление, отличное от (!!).

8 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ИНДЕКСАМИ п + 3 И п + 4 133
Теорема 7.3. При увеличении р внутренние массы
представления индекса п -J- 3, расположенные левее ?,
движутся влево; внутренние массы, расположенные пра-
правее |, движутся вправо; если представление имеет массу
на конце интервала [а, Ь], то при увеличении р эта масса
убывает.
При р —>- 0 точка |j(p) стремится к j-й точке роста
соответствующегоJ) главного распределения.
При р —>¦ р (!) точки h,j (p) стремятся к точкам роста
канонического представления, имеющего массу в точке \.
Доказательство. Для определенности рас-
рассмотрим верхние представления индекса п -\- 3.
Построим два таких представления последовательности
с массами соответственно р' и р" в точке |, предполагая,
что 0 < р' < р" < р (!):
с/, = рЧ (I) + 2 р]щ (Ь (р'))>
1^ (й = 0,1, ¦•-,»)•
Эти представления определяют два представления последо-
последовательности {ch — p'uk (!)}o- Первое из них — верхнее
главное, второе — верхнее индекса п -\- 3 с массой
р" — р' в точке |. По теореме 7.2 внутренние массы этих
представлений перемежаются, так что
• • • < Ei-l (Р") < Ь-г (Р') < 1г (Р") < Ei (Р#) < I <
Тем самым доказана монотонность функций \-г (р).
Через ць (р) обозначим массу, сосредоточенную в точ-
точке Ъ. Так как все массы главного представления макси-
максимальны, то, используя те же построения, получим, что
Иь (Р') > fib (Р").
Остальные утверждения теоремы следуют из единствен-
единственности главного представления и единственности канони-
канонического представления с массой в точке |.
Теоремы 7.1—7.3 позволяют описать движение масс
представлений индекса п -\- 3. Для определенности
х) То есть верхнего или нижнего, в зависимости от типа рас-
рассматриваемого представления.

134 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
рассмотрим верхние представления индекса п -\- 3 при
п = 2v.
Если «накачивать» массу р в точке |, то внутренние
массы верхнего главного представления «соскользнут»
со своих мест и, как-то изменяясь, начнут удаляться от
точки |. Масса в точке Ъ при этом уменьшается. Поведе-
Поведение масс при р -у р (|) зависит от того, каким будет кано-
каноническое представление, имеющее массу в точке |,— верх-
верхним или нижним. Если оно нижнее, то при р ->¦ р (|) масса
в точке Ъ исчезает, а остальные массы сливаются с масса-
массами канонического представления; если оно верхнее, то
при р —¦*• р (|) масса в точке Ъ не исчезает, а первая масса,
двигаясь влево, попадает в точку а; остальные массы сли-
сливаются с массами канонического представления.
3. Представления индекса п -\- 4.
Т е о р е м а 7.4. Пусть \ и г\ — заданные внутренние
точки интервала [а, Ь], которые не являются точками ро-
роста одного и того же канонического представления. Тогда
для любого р @ < р < р (?)) существует одно и только
одно представление индекса =С п + 4 г) с массой р в точке
| и некоторой массой в точке ц.
Доказательство этой теоремы отличается от
доказательства теоремы 7.1 тем, что для последователь-
последовательности {ch — puh (|)}J вместо главного строится канони-
каноническое представление, имеющее массу в точке т).
Добавляя массу р в точке |, получим представление
индекса ^ п -J- 4 последовательности {c;t}J. Получен-
Полученное представление единственно, так как последователь-
последовательность {ch — puh (|)}о не может иметь различных кано-
канонических представлений с массой в точке т). Индекс этого
представления равен п + 3, если каноническое представ-
представление последовательности {с^ — puh (|)}™ с массой в точ-
точке т] является главным, и равен п -\- А в противном
случае.
Замечание 7.1. Если | и г| являются точками ро-
роста одного и того же канонического распределения, то
не существует представления индекса <B-f 4 с массой
р < р (|) в точке | и некоторой массой в точке т). Дей-
Действительно^ противном случае существовало бы два кано-
Точнее, индекса п + 3 или п + 4.

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ИНДЕКСАМИ п + 3 И п + 4 135
нических представления последовательности {ch — puh(t)}%
с массой в точке г\: одно из них не имело бы мас-
массы в точке Е, а другое имело бы в точке | массу
р (g) — р > 0, а это невозможно.
Теорема 7.5. Если представление индекса ^ п -\-
-J- 4 имеет массу р << р (|) в точке \, то его осталь-
остальные внутренние массы перемежаются с массами того
канонического представления, которое имеет м.ассу в
точке |.
Доказательство. Пусть р — величина массы
представления индекса ^ п -\- 4, сосредоточенной в точ-
точке ?. Остальные массы этого представления являются мас-
массами канонического представления последовательности
ick — Puk (i)}o- С другой стороны, массы канонического
представления последовательности {ch}o, имеющего мас-
массу р (|) в точке |, являются массами канонического пред-
представления последовательности {ch — puh (!)}? с массой
Р (I) — Р ^> О В точке |. По теореме 4.2 внутренние массы
этих представлений перемежаются, что и требовалось до-
доказать.
4. Движение масс представления индекса <eZti -f- 4.
В следующей теореме для определенности предполагает-
предполагается, что ? < т). Ниже будет показано, что при увеличении
массы в одной из этих точек масса в другой точке умень-
уменьшается. Поэтому предположение, что ? < т], не ограничи-
ограничивает общности.
Теорема 7.6. Пусть \ << г\ и представление ин-
индекса ^п -j- 4 имеет массу р @ << р << р (|)) в точке g и
массу [I в точке ц.
Тогда при увеличении р массы, расположенные между
а и \, движутся влево, массы, расположенные между ?
и т), движутся вправо, массы, расположенные между г\
и Ь, движутся влево; масса [i в точке г\ убывает; если это
представление имеет массу в точке а (или в точке Ь),
то при увеличении р она убывает (соответственно воз-
возрастает);
при р —>- 0 массы этого представления в пределе сов-
совпадают Л) с массами канонического представления, имею-
имеющего массу в точке т);
По величине и положению.

13В КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 1ГЛ. III
при р —>¦ р (|) массы этого представления в пределе
совпадают с массажа канонического представления, имею-
имеющего массу в точке \.
Доказательство. Построим два представле-
представления индекса ^n -f 4 с массами р' и р" @ << р' < р" <
< р (?)) в точке | и некоторыми массами ц' и \\," соответ-
соответственно в точке г]. Для последовательности
первое представление дает каноническое представление
с массой в точке г\, второе — дает представление ин-
индекса ^ п -\- 4 с массами в точках | и т). По теореме 7.5
внутренние массы этих представлений должны переме-
перемежаться. Отсюда и следует, что массы движутся именно так,
как указано в теореме.
В силу единственности представления (при заданном р)
между массами р и ц существует взаимно однозначное и
взаимно непрерывное соответствие. Следовательно, каж-
каждая из этих масс является монотонной функцией другой
массы.
Исследуя движение масс при изменении ц, можно убе-
убедиться, что при уменьшении (д. массы движутся так же, как
и при увеличении р. Следовательно, ц — убывающая функ-
функция от р.
Пусть р' и р", где р' < р", — массы двух представле-
представлений индекса ?gC n -\- 4, сосредоточенные в точке ?, а ц'
и ц" (|i' ^> \i") — соответствующие им массы, сосредото-
сосредоточенные в точке т). Этим представлениям отвечают канони-
канонические представления последовательности
{ch ~ р'и* (I) - (х'ЧМ)":
первое с массой \i' — |л,"^>0в точке т), второе — с массой
р" — р' ^> 0 в точке |. Нетрудно видеть, что массы
второго представления сдвинуты влево относительно со-
соответствующих масс первого представления. Отсюда,
учитывая результаты § 6, получаем, что если оба представ-
представления имеют массы ца (р'), ца (р") в точке а (или массы
)ib (р'), цъ (р") в точке Ь), то ца (р') > ца (р") (соответ-
(соответственно |ib (р') < \ib (р")).
Последние два утверждения теоремы вытекают из един-
единственности канонического представления, имеющего мас-
массу в заданной внутренней точке интервала [а, Ь].

§ 8] ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 137
§ 8. йзокериметрические неравенства
для выпуклых оболочек
В этом параграфе теория главных представлений при-
применяется для получения точной оценки объема выпуклой
оболочки выпуклой кривой данной длины.
1. Вычисление объема выпуклой оболочки. Следуя
И. Шёнбергу [1], кривую U = {u (t): а<*<&}с Rn (и (t) =
= {uh (?)}i) назовем выпуклой в Rn, если она не более п
раз рассекается любой гиперплоскостью. Выпуклая в Rn
кривая U называется выпуклой на Rn, если она не уме-
умещается ни в какой гиперплоскости. Назовем кривую V
строго выпуклой на Rn, если она имеет не более п общих
точек с любой гиперплоскостью.
Очевидно, что кривая U строго выпукла на Rn тогда
и только тогда, когда функции и0 (t) = 1, и1 (?),..., ип (t)
образуют Г-систему на [а, Ь] (периодическую Г-систему
на [а, Ь), если и (а) = и ф), т. е. если U — замкнутая кри-
кривая). Более тонким является следующее утверждение,
которое в еще более общем виде формулируется в главе
VIII (теорема 1.1) и, по существу, содержится в последней
главе книги Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна [1]:
Лемма 8.1. Кривая U выпукла на Rn тогда, и только
тогда, когда определитель
д 1щ щ ... ип\
U h ... tn )'
где uo(t) = I, не равен тождественно нулю и не меняет зна-
знака при a <I tu < ^ << ... < tn ^ b.
(!) У.8.1. Всякую выпуклую на Rn кривую можно равномер-
равномерно аппроксимировать с любой степенью точности строго выпуклой
на W1 аналитической кривой.
Указание. Воспользоваться теоремами П.3.1 и II.3.2.
Так как всякая выпуклая кривая спрямляема (см.
У.П. 1.2), то можно считать, что функции uh(t) абсолют-
абсолютно непрерывны (и, более того, удовлетворяют условию
Липшица).
Рассмотрим сначала случай, когда кривая U незам-
незамкнута (и (а) 4= и Ф)), приняв для простоты, что и (а) =
= 0, чего всегда можно добиться параллельным пере-
переносом координатных осей.

138 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
Теорема 8.1. Объем выпуклой оболочки R(U) вы-
выпуклой на Rn незамкнутой кривой U вычисляется по фор-
формуле
ь ъ
$ S 5" &• • • •' ?*> <*?i • • • <*?», (8.1)
е = ± 1, v = [(и+ 1)/2],
n (?i,.. ., ?v) = det I мй (|i) w'fc (Ю ... uft
м m = 0 npw n = 2v — 1 (m0 (<) sl)t m = 1 rajou n = 2v,
а также по формуле
ъ ь
5,(L-,yrfii-rfi,, (8.2)
a a
где
Dn{ii,--; Ы = det|]щ(Ющ (Ei) • ¦ ¦ w* (|v) "* (|v) % (b) 1PU»
м m = 0 мри м = 2v (u0 (t) ^1), m = 1 n/7M n = 2v + 1-
Доказательство во всех подробностях прове-
проведем только для формулы (8.1). При этом в силу У.8.1 2)
можно считать, что кривая U строго выпукла на JB™, вслед-
вследствие чего в качестве параметрических уравнений, взаим-
взаимно однозначно определяющих точки с = {eft}™ЕЕ Int Й(Е7"),
можно взять нижние главные представления последова-
последовательности с0 = 1, сг, с2 ,..., сп: при п = 2v — 1
(8.3)
Pi + Рг + ¦ • • + Pv = 1
(a <|i <...<!,<&; p,>0, / = 1, 2, ...,v);
*) Значение е выбирается так, чтобы правая часть формулы
была положительной.
2) При указанной выше аппроксимации производные функций,
аппроксимирующих uk (t), сходятся к u'k (t) в метрике пространства
?i (a, Ь).

§ 8] ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 139
при п = 2v
v
" i=l ' " "' .... ^ ^
РО + Pi + • • • + Pv = 1
(напомним, что uh (а) = 0, к — 1, 2,..., 2v).
Произведя в интеграле
замену переменных с& на переменные р; и |7-, получим,
что якобиан преобразования (8.3) равен
V—1 V—1
— 2 Pi) П Pidet II ик (У ~ "к &) "it (Si) • • • Щ (?v-i) —
1 ' 1
V—1 V-1
— иа (iv) ик (iv-i) мй (|v) |й=1 = м — 2jPjjll
4 1 ' 1
а якобиан преобразования (8.4) равен
Интегрирование должно вестись по области, опреде-
определяемой соотношениями а << |х < ... < |v < &, р^ ^> 0 и
V—1 V
2 Р; <С 1 при га = 2v — 1 или 2 Pj <С 1 ПРИ га = 2v. В обо-
1 1
их случаях интегрирование по р7- даст 1/«!. Если интег-
интегрирование по |j будем вести не по симплексу а < ii< ...
... < |v < Ь, а по гиперкубу а < ?j < Ъ Q = 1, 2,...
..., v), что компенсируется множителем 1/v!, то придем к
формуле (8.1) г).
Формула (8.2) выводится аналогично с использованием
верхних главных представлений.
х) Из выпуклости U вытекает, что Dn не меняет знака приа<
< |i<...<|v<b, а значит, и в гиперкубе а<^<.Ъ (/ = 1, 2,..., v).

140 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
Теперь остановимся на случае замкнутой выпуклой
кривой U (и (а) = и(Ъ)). Прежде всего отметим, что зам-
замкнутые выпуклые на Мп кривые существуют только в чет-
номерном пространстве. Действительно, из существования
замкнутой выпуклой на Rn кривой вытекает существо-
существование замкнутой строго выпуклой на JRn кривой, кото-
которая отвечает периодической Г-системе и0 (t) = 1, иг (?),...
..., ип (f) (a ^ t ^ b), a такая система, как показано в § 1
главы II, может иметь только четный порядок п.
Теорема 8.2. Объем выпуклой оболочки & (TJ)
замкнутой выпуклой на -R2v кривой V вычисляется по фор-
формуле
ъ ь
Доказательство. В рассматриваемом случае
эта формула нуждается в обосновании потому, что теория
главных представлений строится лишь для разомкнутых
Г-кривых (для построения главных представлений на од-
одном из концов кривой сосредоточивается максимальная
масса). В § 8 главы IV будет построена теория каноничес-
канонических представлений моментов относительно периодических
Т-систем, т. е. для замкнутых кривых, и с помощью этих
представлений формула (8.5) обосновывается так же, как
и при доказательстве теоремы 8.1, только вместо главно-
главного представления используется каноническое представле-
представление с максимальной массой в заданной точке | (= а).
Формулу (8.5) можно также получить, «не забегая вперед»,
предельным переходом р —>- Ъ — 0 из формулы (8.1),
примененной к разомкнутой кривой Un, = {и (t): a ^t ^
^ Р} (а < р <^ Ь). Любопытно, что аналогичный предель-
предельный переход в формуле (8.2) также приведет к формуле
(8.5).
У.8.2. Формула (8.5) при и (а) = и (Ь) сохраняет силу, если
отказаться от требования и (а) = О.
Объем выпуклой оболочки «степенной» кривой, отве-
отвечающей системе {ift}o @ <Г ? ^ 1), был вычислен в работе
С. Карлина и Л. Шепли [1]. Теорему 8.2 доказал иным
путем И. Шёнберг [2], вывод формулы (8.1) с помощью ниж-

§ 81 ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕсКИЕ НЕРАВЕНСТВА 141
них главных представлений приведен в монографии
С. Карлица и В. Стаддена [1].
2. Изоперидоетрическое неравенство в jB2v. Используя
формулу (8.5), И. Шёнберг получил результат, обобщаю-
обобщающий известное решение плоской изопериметрической за-
задачи о нахождении замкнутой кривой данной длины, ох-
охватывающей наибольшую площадь:
Теорема 8.3 (И. Ш ё н б е р г [2]). Пусть U —
замкнутая выпуклая в -K2v кривая длины L и V =
= V2y(tf). Тогда имеет место следующее неравенство:
L'2v>Bnv)vv!Bv)!7. (8.6)
Знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
кривая U конгруэнтна, с точностью до подобия, кривой,
определяемой уравнениями
1 1
хх = cos t, хъ = -7j- cos It,. .., aj2v-i = — cos v^,
хг = sin t, xi — -y sin It,. .., x2v = — sin yt
(8.7)
Доказательство этой теоремы заняло бы много места,
и мы его опускаем. Заметим лишь, что, в развитие метода
А. Гурвица для случая v = 1, И. Шёнберг наряду с фор-
формулой (8.5) и некоторыми детерминантными соотноше-
соотношениями использовал разложения в ряды Фурье.
3. Изопериметрическое неравенство в _R2v+l. Как уже
отмечалось, в пространстве нечетного числа измерений не
существует замкнутой выпуклой на нем кривой. Поэтому
для JB2v+1 мы будем ставить задачу об определении формы
разомкнутой выпуклой кривой, имеющей наиболь-
наибольший объем выпуклой оболочки.
Лемма 8.2. Пусть Л — выпуклая на B2V+1 кривая,
Н — гиперплоскость, ортогональная хорде, соединяющей
и (а) и и (Ь). Тогда кривая UПр, являющаяся ортогональной
проекцией кривой U на гиперплоскость И, замкнута и
выпукла на Н.
Доказательство. Выберем координатные оси
так, чтобы начало находилось в точке и (а) и 2v + 1-я

142 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
координатная ось проходила через точку и (Ь). Тогда
и (а) = О, щ (Ь) = ... = и2, ф) ~ О, a2v+1 (Ь) = h, (8.8)
и можно считать, что Н = i?2v. Из (8.8) вытекает, что
**пр (а) = мПр (&) = 0, так что кривая Unp замкнута.
Остается доказать ее выпуклость на i?2v.
2м
Если в .В2" существует гиперплоскость а0 + 2а''Ж* = ^'
1
рассекающая Ипр более чем 2v раз (т. е. многочлен
2али„.((), где а0 (f) == 1, меняет знак более чем 2v раз),
о
то в силу замкнутости кривой {7пр эта гиперплоскость
должна рассекать ее не менее 2v + 2 раз. Следовательно,
гиперплоскость в _R2v+1, определяемая тем же уравнением
2V
сх0 -j- Vasxt.=0 («вертикальная» гиперплоскость), рас-
1
секает кривую U не менее 2v + 2 раз, что противоречит
ее выпуклости. Таким образом, ?7пр выпукла в B2v. Вы-
Выпуклость ?7Пр на R2" устанавливается элементарными со-
соображениями. Лемма доказана.
Теорема 8.4. Пусть Л — выпуклая на _R2v+2 кри-
кривая, h — расстояние между ее концами и (а) и и{Ъ),
f^np — ортогональная проекция кривой JJ на гиперплос-
гиперплоскость II, ортогональную хорде, соединяющей концы и (а)
и и (Ь). Тогда объем выпуклой оболочки Й (И) кривой U
равен1)
^Vt hV™ (и^ ¦ (8-9)
Доказательство. Для вычисления F2V+1 (
воспользуемся формулой (8.2). Если выбрать систему ко-
координат так же, как при доказательстве леммы 8.1, то,
учитывая (8.8), найдем, что
г) См. рис. 3, на котором изображен случай v = 1. Для этого
случая F2 (fnp) есть площадь, ограниченная кривой С^пр. О форму-
формуле (8.9) при v = 1 см. замечания в конце параграфа.

ИЗОПЕРИМВТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
143
откуда
В силу леммы 8.1 и теоремы 8.2 выражение, стоящее в
квадратных скобках, ость F2V (*7Пр)-
Рис. 3.
Теорема 8.5. Для объема V = Г2„-ц (U) выпуклой
оболочки выпуклой в i?2v+1 кривой V с заданными длиной L
и расстоянием между концами ft имеет место точная оценка
h (?2 __ h?Y
V--
(8.10)
Bjtv)vv! Bv + 1)!
Знак равенства имеет место тогда и только то>гда, когда
кривая конгруэнтна винтовой линии Л)
1 1
у1 = х cos t, Уз = -я- % cos It, .. ., г/av-i ^=—х cos v^,
1
= — jcsinvL
v '
2л),
(8.11)
J) Кривая ?7 С Дп называется винтовой линией, если расстояние
между ее точками и (t) и и (s) зависит только от |t — s|. Можно
показать, что каждая винтовая линия в 2t2v конгруэнтна некоторой
кривой a;2Jt-i = ?к cos \-*> I2fc = Pd s'n ^/j* (^ = 1. 2, .... v), а в B2v+1—
конгруэнтна некоторой кривой xik_х = pft. cos Xj, x.2li~paiahj,
^v+i^Pv+i'(^ = 1, 2 v), где р..>0, 0 < Л,г ^ Яз < . *! . < Л.ч ,
причем знаки равенства отпадают, если кривая не умещается ни
в какой гиперплоскости.

144 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
где
Доказательство. Пусть параметр t пропор-
пропорционален длине s дуги кривой ?7пр (см. лемму 8.2), отсчи-
отсчитываемой от точки 0, например *),
Тогда
2я
j—s.
М+ <««*¦
О
получаем, что L^VL^p -\- /г2, причем знак равенства в
этом неравенстве и, следовательно, в неравенстве
Так как м2Ч+1 @) = 0, w2v+i Bit) = h, то отсюда легко
тва в
(8.12)
достигается тогда и только тогда, когда
На основании теорем 8.4 и 8.3 имеем
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда кривая Unp конгруэнтна, с точностью до подобия,
кривой (8.7). Учитывая оценку (8.12), из (8.13) получаем
неравенство (8.10). Знак равенства в нем имеет место тогда
и только тогда, когда он имеет место в обоих неравенствах
(8.12) и (8.13), т. е. тогда и только тогда, когда при неко-
некотором и кривая U конгруэнтна винтовой линии (8.11),
которая выпукла на R2"+1. Остается найти и.
х) Указанный выбор параметра t равносилен тому, что цилин-
цилиндрическая поверхность, проектирующая U на Н, развертывается
на плоскость после разреза вдоль хорды, соединяющей и (а) и
и F). Это замечание позволяет дать последующим рассуждениям
прозрачную геометрическую трактовку.

§ 81 ИЗОПЕРИМЕТРИЧВСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 145
Так как для кривой (8.11)
О 1
то
Л —
2л\ v
Теорема 8.6. Пусть U — выпуклая в В2т кривая
длины L и У- = V24+i(U). Тогда имеет место следующее не-
неравенство:
L2V+1 > яМ Bv + 1)! Bvf 1) 2 У.
Знак равенства имеет место тогда и только тогда,
когда кривая JJ конгруэнтна, с точностью до подобия, вин-
винтовой линии
1 1
\ —^ COS С, Хд ^— к COS^tj . . .j^-2^-1 ~~~ "
cos vt.
(8.14)
1 1
Хп = sin t, Хл = -77- sin 2t х2ч = — sin vt,
п ' * z ' ' v
ж = _L_ f @ < f < 2л).
Доказательство. Для доказательства до-
достаточно заметить, что при изменении hправая часть (8.10)
достигает наибольшего значения для h = Ll{2v -\- I)'1'
и что тогда h/2nx, = 1/]/.
Заметим, что из теоремы 8.6 вытекает следующее ин-
интересное свойство кривой (8.14): при любых аффинных
преобразованиях ^К2Ч+1, сохраняющих объем, ее длина
может только увеличиться. Аналогичный вывод можно
сделать из теоремы 8.3 о кривой Шёнберга (8.7).
Изопериметрические задачи для выпуклых оболочек
кривых можно ставить как для замкнутых, так и для разом-
разомкнутых кривых. В соответствии с тем, четна или нечетна
размерность п пространства Rn, возникают, таким обра-
образом, четыре изопериметрические задачи, две из которых
(в классе выпуклых кривых) рассмотрены в этом парагра-
параграфе. Для этих двух задач пока не установлено, но представ-
представляется вероятным, что их решения являются также реше-
решениями соответствующих задач в классе произвольных (не
обязательно выпуклых) спрямляемых кривых.

146 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. III
Остальные две задачи — для разомкнутых кривых в
i22v (исключая случай Ш) и для замкнутых кривых в JfJ2v+1,
насколько нам известно, не решены. Возможно, что реше-
решение первой из них дается той частью кривой Шёнберга
(8.7), которая отвечает интервалу [0, л] изменения Р).
Вторая задача в -В3 решена 3. Мелзаком [1, 2, 3]2) в 1960 г.
для класса замкнутых гладких кривых, симметричных
относительно двух взаимно перпендикулярных плоско-
плоскостей, на которые они проектируются в выпуклые кривые.
Отметим, кстати, что «пространственная» изопериметри-
ческая задача впервые была поставлена в 1934 г. в мо-
монографии В. Боннезена и Т. Фенхеля [1] именно для зам-
замкнутых спрямляемых кривых в R3.
Как уже было сказано, для замкнутых выпуклых кри-
кривых в J?2v изопериметрическая задача была решена в
1954 г. И. Шёнбергом [2]. Для разомкнутых выпуклых
кривых в R3 Е. Егервари [1] в 1949 г. с помощью устано-
1
вленной им формулы V3 (U) = -тг hV2 (С^пр) свел задачу
к плоской изопериметрической задаче.
После того как авторы получили результаты, изложен-
изложенные в п. 3, они узнали из статьи 3. Мелзака [1] о том, что
в свое время И. Шёнберг высказал уверенность в возмож-
возможности перенесения на _R2v+1 метода Егервари.
Насколько нам известно, в Кп (п ^> 2) никем не рас-
рассмотрена изопериметрическая задача для выпуклых обо-
оболочек в классе выпуклых ломаных с фиксированным чис-
числом (^>га) звеньев 3). Для /г-звенных разомкнутых лома-
ломаных (такие ломаные всегда выпуклы) и (п -\- 1)-звенных
замкнутых ломаных в Rn можно утверждать следующее.
х) Примечание при корректуре. Это предположение
не подтвердилось. Когда рукопись книги подготавливалась к печати,
А. А. Нудельману [15] удалось решить эту задачу в классе выпук-
выпуклых кривых и оказалось, что экстремальная кривая конгруэнтна,
с точностью до подобия, кривой ^2fc-i == 2k \ cos ^ — ^ *' х-к =
= -2к _ х sin Bk — l)t @ < t < я; к = 1, 2 , v).
2) Авторы узнали о работах канадского математика 3. Мелзака
из письма И. Шёнберга и благодаря] его любезному содействию полу-
получили оттиски этих работ.
3) Эта задача решена А. А. Нудельманом [15].

§ 8] ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 147
У.8.3. В Rn для ге-звенной (разомкнутой) ломаной U формула (в
обозначениях теоремы 8.4)
имеет место независимо от четности или нечетности размерности п.
Указание. Vn (U) = —г Д, где Д — модуль определителя,
составленного из координат звеньев ломаной, рассматриваемых
как векторы. Выбрать систему координат так же, как при доказа-
доказательстве теоремы 8.4.
Формулы для объема выпуклой оболочки m-звенной {т > п)
выпуклой ломаной приводятся в главе VIII.
У.8.4. а) Для разомкнутой га-звенной ломаной U a Rn с дан-
данными расстоянием га между концами и длиной L имеет место точ-
точная оценка
п—1
2 2
п\ п (га — 1)
Знак равенства имеет место для ломаной с равными звеньями,
образующими равные углы с прямой, соединяющей концы ломаной.
б) Для замкнутой (га + 1)-звенной ломаной U С -В™ с заданной
длиной L имеет место точная оценка
F«^<¦/ n+x • (8-1>
га! п (п -\- 1)
Знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда U
есть ломаная с равными звеньями, углы между которыми попарно
равны.
Указание. Формулы (8.15) и (8.16) доказываются однов-
одновременно индукцией по га.
У.8.4 а) приводит к уточнению неравенства Адамара:
У .8.5. Пусть А = || ац I™ — положительно определенная матри-
ца, a{j = a{jl Y^ix V<4y  = 2 а^'" ТогДа
i,J=l
, . л ^ № (д2 — га2)™
det А *^ — анагг. ¦ • апп.
пп (re - I)™
Указание. Существуют векторы е$ (i = l,2,..., га) такие,
что (eit ej) = а.ц (i, j = 1, 2 га) и | ех + е2 + ... + еп \ = га.
!) По поводу У.8.4. и У.8.5. см. М. Г. Крейн [14].

148 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. Ill
Примечания к главе III
Созданием теории канонических представлений мы обязаны
в основном А. А. Маркову. Так как у А. А. Маркова эта теория
играла вспомогательную роль при решении задач об экстремаль-
экстремальных значениях интегралов (в терминологии того времени — задач
«о предельных величинах интегралов»), а решения этих задач бу-
будут излагаться в следующей главе, то исторический комментарий к
этим исследованиям А. А. Маркова будет дан в следующей главе.
Здесь отметим, что материал этой главы, кроме §§ 7, 8, заим-
заимствован из статьи М. Г. Крейна [5], в сравнении с которой добав-
добавлены некоторые новые иллюстрирующие примеры и некоторые за-
замечания общего характера. В § 7 излагаются результаты из статьи
А. А. Нудельмана [7].
Почти одновременно теоремы 7.1 — 7.3 получили С. Карлип
и В. Стадден ([1], § 7, гл. II).
Примечания к содержанию § 8 содержатся в его тексте.
Укажем, наконец, что более общие предложения теории пози-
позитивных функционалов, в частности, обобщение теоремы 1.1 на слу-
случай слабо непрерывной кривой U в банаховом пространстве, чи-
читатель может найти в статьях М. Г. Крейна [9, 10].

Глава IV
ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА
В этой главе будут приведены решения задач, которые П. Л. Че-
бышев и А. А. Марков считали основными в своих исследованиях
по теории «предельных величин интегралов».
По-видимому, П. Л. Чебышев пришел к этим задачам, увидев
в них ключ к установлению центральной предельной теоремы тео-
теории вероятностей (этот замысел был полностью реализован А. А.
Марковым — см. исторический комментарий к настоящей главе).
Мы начинаем главу изложением полученных А. А. Марковым
обобщений квадратурной формулы Гаусса (§ 1). Уже эти резуль-
результаты находят многочисленные приложения (§ 2).
Знаменитые неравенства Чебышева — Маркова изложены в § 3.
В последующих двух нараграфах (§§ 4,5) излагаются сравни-
сравнительно недавно появившиеся результаты. Они содержат новый под-
подход к определению экстремальных величин интеграла Стилтьеса
по распределению, заданному его обобщенными моментами.
Этот подход позволил расширить круг применимости правил
А. А. Маркова и одновременно уточнить его границы.
В § 6 мы снова возвращаемся к геометрическим идеям, позво-
позволяющим по-новому построить теорию канонических представлений
и, в частности, получить новую их параметризацию. Вместо метода
максимальной массы здесь используется возможность Г-продолже-
ния данной У-системы (см. теорему П.5.4), т. е. возможность рас-
рассматривать данную Г-кривую U С Bn+1 как проекцию некоторой
Г-кривой U с Rn+2. Во многих случаях такое продолжение естест-
естественно подсказывается природой самой задачи.
Накопленные в указанных параграфах факты позволили срав-
сравнительно быстро получить описание всех решений усеченной про-
проблемы моментов на конечном интервале (§ 7). В этом описании уча-
участвуют специальные классы аналитических функций и, разумеется,
нам пришлось использовать их свойства, излагаемые в Прило-
Приложении.
В дальнейшем (гл. VIII) мы будем рассматривать обобщенную
проблему моментов для Г-системы на различных компактах. После
отрезка простейшим из них является окружность. В другой тер-
терминологии мы получаем в этом случае проблему моментов для
периодической Т-системы. Теория канонических решений для
такой системы (§ 8) в некотором смысле даже проще. Однако для
этого случая удалось получить только частичное обобщение нера-
неравенств Чебышева — Маркова. Предложения § 8, являются обоб-
обобщениями известных результатов Каратеодори —Теплица — Рисса—
Херглотца для тригонометрической проблемы моментов и соот-
соответствующих классов, функций; эти результаты здесь получаются
в качестве иллюстраций.

150 проблема чевышева — Маркова [гл. iv
§ 1. Механические квадратуры и решение одной
экстремальной задачи
1. Механические квадратуры. Канонические предста-
представления моментных последовательностей находят важные
применения в вопросах приближенного вычисления ин-
интегралов / следующего вида:
A-1)
где о (t) (a ^ t ^ Ъ) — некоторое распределение, a Q (t) —
непрерывная функция.
Если вычисление интеграла / представляет известные
трудности, а для последовательности функций {uh (t)}0
интегралы
ск = \ик (t)da(t) (A = 0,1,..., и)
легко вычисляются, то можно воспользоваться следую-
следующим приемом для приближенного вычисления интеграла
/ при условии, что функции{ий (t)}n образуют Г-систему
на [а, Ь]:
Для последовательности {ск}% находим каноническое
представление
т
ск = S Pju* &) (А = 0,1 и) (И)
1
и после этдго полагаем
b m
). A.2)
Основанием к этому служит то обстоятельство, что
формула A.2) становится точной, коль скоро ?2 (t) яв-
является многочленом нашей системы ф, т. е.

§ 1] МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ 151
Существенным здесь является то обстоятельство, что
формула A.2), будучи точной для всех многочленов поряд-
порядка п, использует значение функции Q (t) лишь в т ^
< [g-j + 2 точках lj (/ = 1, 2,..., т).
С этой точки зрения представляют особый интерес
главные представления и, в особенности, для случая
п = 2v — 1, нижнее главное представление, для которо-
которого т = v.
Напомним (см. гл. II, § 4, п. 3), что для случая, когда
M*) = 'fc (fc = 0,l,...,2v-l), A.3)
точки сосредоточения масс ?у- (/ — 1,2,..., v) нижнего глав-
главного представления являются корнями v-ro ортогональ-
ортогонального многочлена
D, (t) = det I sft s/c+1.. . s^^fR [|l-=0
распределения масс а (?).
В частности, для do (?) — dt, a = —1, b — 1 многочлен
Pv (i) является с точностью до постоянного множителя
не чем иным, как лежандровым многочленом Xv. Соответ-
Соответствующая этому случаю формула была указана впервые
Гауссом и носит название формулы механических ква-
квадратур.
По аналогии и общую формулу A.2) (при uk (t) = tk,
к =¦¦ 0, 1,..., п) с узлами, являющимися корнями Dv(t),
называют формулой механических квадратур.
В известном курсе А. А. Маркова [14] по теории конеч-
конечных разностей можно также найти полученные им выра-
выражения для дополнительного члена Rn в формуле
2. Экстремальные значения интеграла. Займемся зада-
задачей определения верхней и нижней границ интеграла /.
Эта задача допускает простое решение, если удовлетво-
удовлетворяется следующее условие:
(Т (СГ)). Функции {uh (t)}% образуют Т-систему на
[а, Ь] и Q (t) — ее Т-продолжение.

152 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. ]V
Для упрощения формулировки теоремы, которая ре
шает поставленную только что задачу относительно гра-
границ интеграла /, предположим, что выполняется условие:
(Т+ (U)). Система {и^ (?)}о есть Т ^-система на [а, 6]
и Q (f) — ее Т' ^-продолжение.
У.1.1. Условие (Т+ (U)) для случая uh (t) — tk эквивалентно
существованию у Q (i). непрерывной производной О*-™'1' (t), удовлет-
удовлетворяющей всюду в [а, Ь] условию строгой выпуклости.
Это дает основание назвать Г+-продолжение Q (t) Г-системы
{uh @}^ выпуклой относительно этой системы функцией.
Теорема 1.1. При выполнении условия (Т+ (U))
наименьшее и наибольшее значения интеграла
(*)d3(*) A.4)
при заданных значениях п + 1 моментов
ь
\ug{t)d3(t) = ck (A = 0,1,...,и)
а
достигаются при а, задающих соответственно нижнее и
верхнее распределение масс.
При всяком а Е= V(c), отличном от главных распреде-
распределений, интеграл A.4) не принимает экстремальных зна-
значений.
Доказательство. Пусть, например, п = 2v — 1
и Я. @ — неубывающая функция с v точками роста внут-
внутри [а, Ь], осуществляющая нижнее главное представле-
представление последовательности {с^}^.
Обозначим для удобства Q (t) через ип+1 (t).
Построим неотрицательный многочлен
P(t) =
о
имеющий все v точек роста функции а (/) своими корнями-
пучностями.

I 1] МЕХАНИЧЕСКИЕ КВАДРАТУРЫ 153
Такой многочлен Р (t) может быть получен (см. тео-
теорему II.1.4) как предел последовательности многочленов
щ и1 щ .. . u.2v-i и
где lx < ty < ч.. < |v < t4 и с = с Aг, ?!,..., ly, t») —
положительный нормирующий множитель. Предельный
переход заключается в том, что tj -> \j.
Очевидно, что a2V является пределом выражения
поэтому a2v > 0; но знак равенства здесь исключается,
2V-1
так как в противном случае многочлен 2 а/Л @ имел
о
бы v корней-пучностей, что невозмолаго. Итак,
ос2ч>0. A.5)
Так как
и для любого другого распределения a g= F (с)
ь
TO
где
b b
c2* = I w2v @ da @, c2v = ^ w2v (i) da (f),
a a
откуда в силу A.5)

154 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА —МАРКОВА [ГЛ. ГУ
Аналогично исследуются остальные три случая.
Замечание 1.1. Интересно отметить, что массы
и точки их сосредоточения главных распределений а,
при которых получается наименьшее и наибольшее зна-
значения интеграла A.1), совершенно не зависят от выбора
функции Q (t).
Теорема 1.1 объясняет выбор эпитетов «нижнее» и
«верхнее» в прилшпении к главным представлениям.
Замечание 1.2. Пусть Q (t) — непрерывная в
открытом справа интервале [а, Ь) функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая в этом интервале условию (Г+ (С/")).
Условимся в этом случае рассматривать только те
о ?= V (с), которые не имеют скачка в точке Ь, и для них
положим
э
/ = lim ( Q (*) do (t).
Легко видеть, что и для этого случая правило определения
¦fmin» даваемое теоремой 1.1, сохранит полную силу.
Замечание 1.3. Первое утверждение теоремы
1.1 имеет место при более слабом условии:
(Т°+ (U)). Система {ик (?)}? есть Г+-система на [а, Ъ^
и для непрерывной в [а, Ъ] функции Q (t) определитель
(щ щ . .. ип п \
А )
\to t\ ¦ • . tn tn+1j
неотрицателен при a =SC t0 <; t1 < ... ¦< in+1 ^ b,
У.1.2. Условие {T°+ (U)) выполняется в случае, когда uh (t) =
= tk (fc = 0, 1, . .,n) и Й(п+1) (t) > 0 (a < t < b).
§ 2. Некоторые приложения
1. Неравенство дли выпуклых функций. Из теоремы
1.1 вытекает вывод одного неравенства, который, возмож-
возможно, натолкнет читателя на размышления.
Если п = 1, и0 (t) = 1, u1 (t) = t, то условие (T%(U))
равносильно требованию выпуклости функции Q (t).
В этом случае неравенство
B.1)

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 155
переходит в известное неравенство для выпуклых функций
(см., например, Харди, Литтлвуд и Полна [1]):
ь » ь
tda (t)]\ [и (t) da (t)
\B.2)
Действительно, нижнее главное представление после-
последовательности
ь ь
с0 = 5 da @, С! =
имеет единственную массу р = с0, которая сосредоточена
в точке | = -^-. Поэтому неравенство B.1) можно пере-
переписать в виде
Подставив сюда значения р и |, получим неравенство
B.2).
2. Задачи Стилтьеса и Поссе. В одном из своих мему-
мемуаров [2] Стилтьес решил следующую задачу г):
Пусть К — некоторый материальный шар, в котором
плотность у есть функция расстояния г точки шара от его
центра, притом неубывающая с приближением точки к
центру.
Известны радиус R шара, его масса М,его полярный мо-
момент инерции I относительно центра, а также значение
у (R) плотности у на границе шара.
Требуется найти нижний точный предел значения
плотности у в центре шара.
г) Этой задачей Стилтьес занимался в связи с изучением зако-
закона изменения плотности внутри земли. По этому вопросу см. курс
М. Ф. Субботина [1], где приводится дальнейшая литература и,
в частности, имеется указание еще на один мемуар Стилтьеса [3], по-
посвященный решению той же задачи в дополнительном предположе-
предположении, что плотность уекоренно убывает к центру.

156 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Стилтьес нашел, что этим нижним пределом для 7 @)
является выражение
v(m 4
Если положить
/ (и) =
то
1
о о
Свой результат Стилтьес получил с помощью специ-
специальных рассуждений.
К. Поссе [41 заметил, что задача Стилтьеса является
частным случаем формулируемой ниже задачи, решение
которой почти немедленно следует из теоремы 1.1 Мар-
Маркова.
Пусть f (и) — некоторая невозрастающая функция в
интервале [0, 1], для которой заданы значение f A) и зна-
значения интегралов
1
aafc = Jua*/(«)d« (А = 1,2,...,т). B.3)
о
Требуется найти нижний точный предел значения
/@).
Из B.3) находим
B/с + 1) а2к = / A) - $ u^4f (и) (к = 1, 2,..., т).
о
Следовательно, для неубывающей функции
t
o(t) = iYWd[f@)-f(VT)] @<f<l) B.4)
о
известны все моменты
о
5
(и) = BА + 3) a2fc+2 - / A)

2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 157
Кроме того, из B.4) следует, что
t
/(УО = /@)-$-^Р- @<*<1). B.5)
6
Отсюда
Jj^@
Таким образом, искомый нижний точный предел зна-
значения /@) совпадает с
/ A) + Ы {$ ~=r de (t) :6GF (в)}. B.6)
Так как п-я производная функции
сохраняет в интервале @, 1) знак (—1)п, то нижняя грань
интеграла в B.6) достигается и находится по правилу,
даваемому теоремой 1.1 с учетом замечания 1.2.
Таким образом, при т = 2v
min
гДе Ei <С Ег <С • • • <С 5v (О <С Еъ Е" <С 1) СУТЬ К0Р11И ортогональ-
ортогонального многочлена Z)v (<), соответствующего последователь-
последовательности {sa.}qv~\ a
при этом Dy(x) — многочлен, сопряженный с
!) См. п. 4 § 4 гл. III.
2) Его явное выражение легко находится, так как

158 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
При т = 2v + 1 нижняя грань интеграла в B.6)
также достигается и равна
где узлы Ei < Ea < • • ¦ < Ev < Ev+i @ < fi, Ev+i = 1) и массы
Pi> Рг, • • •» Pv+i взяты из верхнего главного представления
последовательности
В задаче Стилтьеса т = 2 (v =1). Так как
n* s si
то
1
Вспоминая, что
s0 == Зя2 -/ A) = 3MR~S — 4пу (R),
Sl = 5а4 -/ A) = 5IR~6 -Any (й),
и внося эти значения в B.7), получим результат Стшь
тьеса.
Принимая во внимание B.5), заметим, что в задаче
Стилтьеса плотность Ymin(r), для которой у @) достигает
наименьшего значения, определяется равенствами:
Y@) при
В этом экстремальном случае шар будет состоять из
некоторого шарового ядра постоянной плотности и обо-
оболочки в виде сферического слоя другой, но тоже постоян-
постоянной плотности.
3. Важный частный случай. Пусть Й (t) — рациональ-
рациональная функция от t, удовлетворяющая условию (Т (U)).
Как было показано в § 5 главы III, коэффициенты
многочлена Q (t), простыми корнями которого являются

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 159
точки сосредоточения масс какого-либо главного представ-
представления строго позитивной последовательности степенных
моментов {sfc}o\ рациональпо выражаются через s0, sx, ...
. . ., sn. Поэтому для главной функции а0 (t) интеграл
Q @ da0 @ =
1
как симметрическая функция от корней |l5 . . ., |то соот-
соответствующего о0 многочлена Q (t) также рационально вы-
выражается через s0, su . . ., sn.
В п. 5 § 5 главы III получены рациональные выраже-
выражения этого интеграла при Q (t) = tn+1.
Другим интересным примером может служить случай,
когда
Q (t) = 1
^ ' х — t '
где х ф. [а, Ъ] — вещественное число.
В этом случае
Введем в рассмотрение сопряженный с многочленом
Q (t) многочлен Р (х):
Имеем
т. е.
Обозначим соответственно через Q (х) и Q (х) много-
многочлены Q (х), отвечающие нижнему и верхнему глав-
главным представлениям последовательности {sK}o, а через

160 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Р (х) и р (х) — соответствующие сопряженные много-
многочлены.
При х ^> Ъ условию (Г+ (U)) удовлетворяет функция
Q (t) = —Ц- , а при х < а — функция (— l)n+1Q (t) =
X t
= — —— ; поэтому в силу теоремы 1.1 для любого OEzV(s)
X I
Р (.х\ -» Лк и\ 15 f-v\
при х > Ъ B.9)
. ,,n+1 P(x)
при ж<а. B.10)
4. Важное тождество. Из равенству B.8) вытекает
следующее свойство многочленов Q (x), Q (х) и сопряжен-
сопряженных им многочленов Р (х) и Р (х) (ниже предполагается,
что старшие коэффициенты многочленов Q (х) ж Q (х) рав-
равны единице):
Имеет место тождество
QJz) Р (х) - Q (х) Р_(х) = 8, B.11)
где б = sn+1 — sn+1 > 0, a sn+1 и sn+1 — соответственно
наибольшее и наименьшее позитивные продолжения после-
последовательности {sK}% (см. п. 5 § 5 гл. III).
Действительно, разлагая в B.8) подынтегральную
функцию в ряд по обратным степеням х, найдем, что
Р {х) % sk Sn x B-12)
— о х х
-, ч / 1 \ / ч / 1 \ гч
\ X ** ) ~ \ X
сюда
Q И Q (*)

§ 2] НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ' 161
Следовательно, разность степеней знаменателя й числите-
числителя дроби в левой части равна п + 2. А так как степень
знаменателя Q (x)Q (х) также равна п -\- 2 (при п =2v — 1
степень Q (х) равна v + 1, а степень Q (х) равна v; при
п = 2v степени Q (х) и Q (х) равны v + 1), то числитель
постоянный. Умножив обе части равенства на хп+2 и уст"
ремив а; к сю, найдем, что числитель равен sn+1 —sn+1.
5. Новые выражения для Qg (t). В этом пункте мы
найдем новые выражения для многочленов Q^ (t), корни
которых являются точками сосредоточения масс канони-
канонических представлений степенной моментной последова-
последовательности {sk}o (ср. с п. 4 § 4 гл. III). Тем самым для ка-
канонических представлений будет введена новая пара-
параметризация — вместо ? теперь параметром будет т. Эта
параметризация будет существенно использована в даль-
дальнейшем.
Положим при нечетном п
B.13)
Qt{x]t) = (x~b)Q(x) + xQ(x),
а при четном п —
Qi(x;t) = Q(x) + vQ_(x),
B.14)
Q2 (x;x) = {x~a)Q (x) + x(x~b)Q(x).
Через Pt (x;x) обозначим многочлен, сопряженный
с Qt(x;x):
Так как
Q(x)\ _

162 ПРОБЛЕМА ЧЁБЫШЁВА — МАРКОВА tWt. IV
то для Pi (х; т) получаем следующие выражения:
при нечетном п
Рг (х; х) = (х- а)Р(х) + ХР (х),
B.15)
Р2 (х; х) = (х~Ь)Р_ (х) + ХР {х),
и при четном п
Р1(х;х) = р(х) + хР_(х),
B.16)
Р2 (х; х) = {х-а)р (х) + х(х~Ь) Р_(х).
Обращаем внимание на то, что Qr F; т) фО и Q2 (b; т) =
= 0 при любых пит.
(!) У.2.1. а) При любом вещественном х корни многочленов
Q1 (x; т) и (?2 (•"-' т) вещественны, различны и при т =/= 0 перемежа-
перемежаются с внутренними 2) корнями многочленов Q (х) и Q (х); при
т J> 0 эти| корни расположены в [а, Ь].
Указание. Воспользоваться перемежаемостью корней
Q(x)z Q (х).
б) При любом т ^ 0 все корни многочлена Рг (х; т) (соответ-
(соответственно Р2 (x'i T)) вещественные, простые и перемежаются с корнями
(?! (ж; т) (соответственно Q2 (x; т)).
Указание. Использовать тождество B.11).
в) При любом т 1> 0 корни многочлена (^ (х; т) (соответствен-
(соответственно (>2 (z; т)) являются точками сосредоточения масс некоторого ниж-
нижнего (соответственно верхнего) канонического представления пос-
последовательности {sh}?-
Обратно, точки сосредоточения масс любого нижнего (соот-
(соответственно верхнего) канонического представления служат корня-
корнями многочлена Qx (x; х) (соответственно Q2 (x\ т)) при некотором (един-
(единственном) значении т^>02).
Указания. 1. Разложить Pi (x; i)IQi (x; т) в сумму прос-
простых дробей; рассмотреть разность Pt (x; r)/Qi (х\ х) — Р (x)/Q (x),
используя тождество B.11).
2. Изучить изменение корней многочлена Qt (x; т) при измене-
изменении т.
г) Для любого | 6Е (а, Ъ) найдется одно и только одно значе-
значение х ^ 0, при котором один (и только один) из многочленов
Рг (х; х) и Р2 (ж; т) имеет своим корнем |.
1) По отношению к интервалу [а, Ь].
2) Одному из главных представлений отвечает значение х = 0.
Можно условиться, что другому главному представлению отвечает

§ 31 НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА 163
Д.2.2 (Ф. Р. ГантмахериМ. Г. Крейн [1]). Для уста-
установления перемежаемости корней функций часто оказывается
полезным следующее общее предложение.
Пусть две непрерывные в (а, Ь) функции / (г) и g (г) обладают
следующими свойствами:
1) функции / (г) и g (t) имеют соответственно р и р + 1 узлов
в {а, Ь) и никаких других корней внутри (а, Ь) не имеют;
2) при любом х число корней функции срт (г) = / (г)— xg (t)
в (а, Ь) заключено в пределах от р до р-{- 1, и все эти корни явля-
являются узлами.
Тогда корни функций / (?) и g (t) перемежаются.
| 3. Неравенства Чебышева — Маркова
1. Постановка задачи. Пусть задана некоторая непре-
непрерывная в интервале [а, Ъ] функция Q (t) и пусть "Е, — неко-
некоторое число из (а, Ъ).
Занимаясь задачей, поставленной П. Л. Чебышевым,
А. А. Марков получил решение более общего вопроса, а
именно, при некоторых предположениях относительно
функций щ (t) (t = 0, 1, . . ., п) и Q (t) он получил общее
правило определения наименьшего и наибольшего зна-
значений («предельных величин») интеграла
где с = {c/Jo — заданная последовательность моментов
(по отношению к последовательности {ик (<)}о)-
Следуя идеям А. А. Маркова, мы изложим решение
указанной выше задачи при несколько более общих пред-
предположениях относительно функций {ц,? (t)}o и Q (t).
В основе результата А. А. Маркова лежат два факта:
во-первых, существование канонического представления
строго позитивной последовательности моментов с массой
в наперед заданной точке интервала [а, Ь] и, во-вторых,
обнаруженное А. А. Марковым замечательное свойство
Л/"+-системы функций {ик (t)}o и Q (t) (см. лемму 3.2).
Начнем изложение вопроса с лемм А. А. Маркова,
воспроизводя его же доказательства (см. А. А. Марков
[10]) в первых двух леммах.
2. Три интерполяционные леммы для ДГ+-систем.
Присоединим к последовательности функций {uk(t)}o,

164 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
образующей Г+-систему порядка п в интервале [а, Ъ],
функцию Q (t), удовлетворяющую условию (Г+ (Р))- Имеет
место
Лемма 3.1. Пусть даны числа аъ а2, . . ., ап+]
такие, что
а- < ап+1 < ап <. .. <
Определим многочлен
равенствами
P{ai) = u{ai) (i = lt2,...fn + l).
Тогда
(-1)'P(O<(-1)'Q(«) C.1)
при
«r+i < * < аг (г = 0,1, • • •, п + 1; а0 = Ъ, ап+2 = а).
Доказательство. Неравенства C.1) непосред-
непосредственно вытекают из соотношений
(и0 щ ... ип Q\ /и0 щ ... ип\
\ ) = А(
ап+1 ап .. . аг t } \ап+1 ап ... аг)
В дальнейшем мы предполагаем, что последователь-
последовательность {щ (?)}" образует ЛГ+-систему на интервале [а, Ь].
Присоединим к последовательности {uk (t)}^ непре-
непрерывную функцию Q (t) (a ^ t ^ Ь) такую, что при всех
значениях to,tu..., tn+1 (a < t0 < tx < ... < tn+1 < Ъ):
/u0 Q\ /u0 щ ... un Q \
Q(to)>0,A ° >0,...,A ° / " >0.
Иными словами, функция Q (t) неотрицательна и являет-
является Г+-продолженнем каждой Г+-системы {uk (<)}o*, m =
= 0,1,..., га.
Лемма 3.2. Пусть даны числа аи а2, ... , ал, 61( Ь2,. ..
.. ., Ь, такие, что

§ З) НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА
Определим многочлен
165
о
равенствами (рис. 4)
Р(аг) = п(сц) (i = l,2,...,k),
Р(Ъ}) = 0 (/ = 1,2,. ..,1).
Тогда
(— ly^P (t) < (- l)r-xQ (t) при ar < t < ar-1
(r = 1, 2,..., к + 1; ао = Ъъ ак+1 = a),
C.2)
C.3)
Доказательство. Прежде всего заметим, что
наше утверждение имеет место при к = 0, так как Р (t)
приводится тогда к нулю.
Рис. 4.
Наше утверждение справедливо также и в том случае,
когда к = 1, 1=0.
В самом деле, в этом случае имеем:
следовательно,

166 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
— неотрицательное число при а < t < аг и неположитель-
неположительное при ах < t <C Ь; вместе с тем
Р (t) > 0 при а < t < Ъ.
Поэтому для полного доказательства нашего утверж-
утверждения можно воспользоваться методом математической
индукции.
Допустим, что утверждение справедливо, если п + 1
заменено на п.
Введем в рассмотрение два многочлена
П—1 П—1
Ро (t) = 2 «Ч @ и Л @ = 2 aU* @.
о
определяемых условиями:
Po (&i) = ^ («i), Pi («i) =
() (
Pi Фд = 0.
Согласно допущению
l)*Po(O<(-l)*Q(t) при a
при % < t < ak_!
Po @ и Px (t) > Q (<) при ui
р„@ 1Л@<й@ при ai
/)о@иР1(О>0 при a!
(- I)' Po @ и (- I)' Px @ > 0 при b,_! < t < Ь„
(- 1)' Po(Ь,) и (- 1)' P,(t)> 0 при

$ 31 НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЁВА — МАРКОВА 167
С другой стороны, нетрудно видеть, что многочлен
Р (t), определенный условиями леммы, связан со вспомо-
вспомогательными многочленами Ро (t) и Рг (t) формулами
\аь ак-1 ¦ ¦ ¦ ъ1-1 bl
Поэтому мы можем написать неравенства
(- 1Г1 Р @ < (-1O" Ро @ < (- I) Q (О
при аг < г < аг_!
(г = 1,..., fc — 1; а0 = blt ак+1 = а),
(_l)s-ip(i)>(_l)s-ip1(i)>0 при Ьв_1<*<Ь,
(s = l, 2,..., Z + 1; Ь0 = а, й,+1 = Ь).
Таким образом, мы получили неравенства C.3). При
этом мы предполагали к и Z отличными от нуля.
Если Z = 0, то многочлен Ро (t) теряет смысл. В этом
случае остается один вспомогательный многочлен Рх (t),
который может служить для доказательства неравенства
Р (t) > 0 при ах < t < Ъ.
Что касается остальных неравенств C.3), то при
I = 0 они содержатся в лемме 3.1.
Наконец, случай к = 0 не представляет никаких за-
затруднений, как уже было замечено.
Лемма 3.2 доказана 1).
1) Приведенное рассуждение А. А. Маркова позволяет устано-
установить одно интересное свойство так называемых вполне неотрица-
неотрицательных матриц (см. Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [1]).

1R8 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЁВА — МАРКОВА trJt. rV
Введем обозначения:
Q (t) при а ^ t ^ ?,
О при "Е, <^ t ^ Ъ;
О, (t) при а ^ t <^ Ь,,
О при ^ sg;
Лемма 3.3. Пусть {Е,}}™ — множество точек интер-
интервала [а, Ь], cpe9w которых имеется точка !(=Ьх) w
2 8 (^i) = ^ + 1 или п -\- 2. Тогда существуют многочлены
1
п п
Ф @ = S ^л @ » Y @ = S 5^^ (О,
о о
обладающие свойствами:
Ь),
&) 0- = 1,2,...,/п), C.4)
Та,-) = ^-о(Е,-) У = 1, 2,..., т). C.5)
Доказательство. Прежде всего осмыслим со-
соотношения C.4) и C.5). Пусть
Неравенство Ф(<)^й^+0(<) из C.4) в подробной запи-
записи означает следующее:
Ф(*)>?2@ при а
и
Ф (t) > 0 при I < * < Ь.
Равенства Ф A,) = Qs+0 (lj) (; = 1, 2,..., m) означают:
= q fe) a = 1,2,..., ц -1), ф (а =. q(q,
Аналогично расписываются условия C.5):
{t) при а

НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШВВА — МАРКОВА 169
при
lf2 |х —1),
Многочлены Ф (?) и Ч7 (г) будем строить предельным
переходом, используя лемму 3.2.
Рассмотрим отдельно случаи: и = 2v — 2 и п =
= 2v—1.
1) и = 2v —2. Индекс представления (!!) может быть
равен 2v или 2v — 1. Допустим сначала, что индекс равен
2v. Тогда либо
а) а
либо
Р) а = ?o
Рассмотрим прежде Есего случай а).
Для построения многочлена Ф(?), имеющего указан-
указанные выше свойства C.4), выберем систему чисел Ei >
^ ?&, ЕЙ?Ь . .., Йр) так, чтобы было
и построим многочлен
принимающий в точках ?ь EjP),..., l^^i, f^x и ^ значения,
соответственно равные значениям функции Q (t) в этих
точках, а в точках ^+1) l$li,. ¦., Ev, ?vP) — значения, рав-
равные пулю.
Тогда по лемме 3.2 для Фр (t) имеют место неравенства:
Фр (t) > Q @ в 1Е{Д, Е], [?[&, 1^1,..., [?ip), ?21, [а, Е],
Ф„(*)<0(*) в [Е, ^+1i, [1^ь ?{Д1,..., 1?2) йр)], [Еь Eip)],
Фр@>0 в [Е, Sun], [5[Йь EF+2], • •., lUl Evi, 1ЙР),Ь], .
p^j^U В Ifefx+j, Sp+jJ, |Sp+2, Sp+aJi'-ч Ltv-i, Sv-iJ, lev, Sv J-

170 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШВВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
.заставим теперь числа ^ , g2 i • • ¦> ?н—1> ьн-+ь •••is»
пробегать последовательности значений, приближающихся
соответственно к числам ?ь ?2, • • •, ?ц-1, ?p+i, • • •, ?*•
Если удастся из последовательности соответствующих
многочленов Фр (t) выделить подпоследовательность много-
многочленов, стремящихся к определенному многочлену Ф (t),
то этот предельный многочлен будет, очевидно, иметь все
свойства C.4). Достаточно доказать, что из последова-
последовательности многочленов Фр(<) можно выделить такую
подпоследовательность многочленов, для которой после-
последовательности соответствующих коэффициентов при функ-
функциях щ (t) (к = 0, 1, . . ., 2v —2) ограничены.
Для доказательства этого последнего утверждения
обозначим
и рассмотрим многочлены
Ф@
Очевидно, что из последовательности многочленов
Фр (t) можно выделить подпоследовательность Фр; (t), приб-
приближающуюся к определенному предельному многочле-
многочлену Ф* (t) <= фе.
Докажем, что у соответствующей последовательности
многочленов
коэффициенты при функциях uk(t) (к — 0, 1, . . ., 2v — 2)
образуют ограниченные последовательности.
В самом деле, допустив противное, мы из равенств
заключили бы, что многочлен Ф* (t) равен 0 в точках
!;, §2,-.., |}i-i, t, ^ii+i,••-, |v Очевидно, кроме того, что точки

§ 33 НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫЩЁВА — МАРКОВА 171
In ?2) • • •> ь>-и b>+i- • -i ь^были бы для Ф* (f) корнями-пуч-
корнями-пучностями. В силу теоремы Ц.1.1 все коэффициенты Ф* (t)
были бы равны нулю, что невозможно, так как Ф* (t) ЕЕ tye.
Совершенно аналогично доказывается возможность по-
построения многочлена 4я (t) со свойствами C.5); следует
только вместо последовательности многочленов Фр (t)
рассмотреть последовательность многочленов 1FP(<), при-
принимающих значения, соответственно равные значениям
функции Q (t) в точках Ец ?{р , . . ., ь>-1; ?,$%, и значения,
равные 0 в точках ?, Eji+i, ?[2ii • • •> Е«, fe«P •
Таким образом, случай а) исчерпан.
Аналогично трактуется случай Р). Для построения вспо-
вспомогательных многочленов приходится теперь ввести по-
последовательности чисел Ъ}х\ . . ., ^\х-ъ ?$\, • • •. |Й, удов-
удовлетворяющих неравенствам
= ? < | + < ?(ДI < . < |v_ <^ ^v? < iv = b
стремящихся соответственно к ?i, . . ., ь>-1, ln+i» • -м iv-i,
и рассмотреть последовательности многочленов Фр (t) и
Wp (t), определяющихся условиями:
Фр (/) принимает значения, соответственно равные зна-
значениям функции О, (t) в точках а, \и ^\ ..., iji-j, ?[??x> E,
и значения, равные нулю в точках ?[х+1, Е^,..., ?„_ь
Ev-i, b;
Т"р (i) принимает значения, соответственно равные зна-
значениям функции Q (t) в точках a, ?lt EiP), ¦ ¦ -, ?[i-i, ![?-!,
и значения, равные нулю в точках ?, ?u+x, E[ip+\,..., ?4_j,
t(P) ь
Никаких затруднений не вызывает также случай,
когда индекс! представления (!!) равен 2v — 1.
Многочлены Ф (t) и f (t) будут тогда не Bv — 2)-го, а
Bv — 3)-го порядка.
2) w = 2v^l. Этот случай исследуется аналогично
случаю 1).
3. Неравенства Чебышева — Маркова. Пусть в даль-
дальнейшем последовательность {ск}^ строго позитивна в [а, Ь]
относительно М+-системы {ик (t)}o и ? — произвольная
точка внутри [а, Ь].

i?2 Проблема чёбышёва — мАрковл [гл. iV
В силу теоремы III.4.3 существует одно и только одно
такое каноническое представление
с1; = ЕрзМУ (Л = 0,1,..., и), (!!)
3=1
при котором среди точек |х, . . ., \т имеется точка \.
При этом индекс этого представления больше п в силу
теоремы III.4.1; он равен ге + 1 или п + 2 в зависимости
от того, является ли представление (•!) главным или нет.
Пусть С; (t) (a <^t ^b) — распределение, осущест-
осуществляющее это представление (!!), т. е.
Ъ т
Ju4 (t) de^ (t) = 2 Pi"* (Ь) (А = 0, 1, ..., n).
a j=i
Имеет место следующая фундаментальная
Теорема 3.1 (о неравенствах Чьбышева—Маркова).
Наибольшее {соответственно наименьшее) значение инте-
грала jj Q{t)da{t) {соответственно ^ п [t)da{t)), ae V (с)
а а
достигается при а = a%{t), т.е.
(а G V (с)). C.6)
5-0 ?-о
J Q(*)<fo(o> J QWfoeW1)-
а а
Доказательство. Условимся считать, что
Построим на основании леммы 3.3 вспомогательные
п п
многочлены Ф @= 2 ^ А @ и ^@ = 2 -^А @» °бладаю-
о о
х) Интересно отметить, что распределение масс о> совершенно
не зависит от выбора функции Q (t), удовлетворяющей указанным
условиям.

§ 3] неравенства чёвышёва — Маркова 173
щие свойствами C.4) и C.5), где |j — точки сосредоточе-
сосредоточения масс представления (!!) (|ц = ?). После этого теорема
легко доказывается, потому что мы будем тогда иметь
для любого а ЕЕ У (с):
5+о ь ъ
J Q (i) da @ = J Q5+o @ da (t) < J Ф (i) da (*) =
a a a
fc-fo
b my
= J Ф (t) da, @ = 2 p/D fo) = 2
И
5-0
5
5 Q (t) da (t) = J ?V0 (t) da (t) > J T (i) da (i) =
a a a
b m y—1 ?—0
= J T (t) dqz (t) = S p,-T (&) = S PjQ (gj) = S Q
У.3.1 (К. П о с с о [4]). Если для неубывающей функции / (t)
@ < t < 1) известны / @) и
(ft = 0, 1, . . ., n),
о
то, используя значения
l
sk = С ffe A — t) df (t) = (ft + 1) ak ~ ka^ (ft = 0,1,. .., n),
о
можно оценить снизу и сверху значение / (х) при каждом фикси-
фиксированном i? [0, 1]. В частности, при п= 2v— 1
1 ='
где Pj и |у — соответственно массы и точки их сосредоточения ниж-
нижнего главного представления последовательности
У.3.2. Пусть
13=1

174 ПРОБЛЕМА ЧЁЁШПЁВА — МАРКОВА №Я. IV
— некоторое каноническое представление строго позитивной пос -
ледовательности с = {с^}^. При условиях теоремы 3.1 имеют место
равенства
Г
min I { Q (t) da (t): seV (c)
max I ^ fi @ rfa (t): a e F (c)| =
4
У.3.3. Пусть {«fe (i)}^ — произвольная Г-систома на [в, 6],
й (t) — кусочно-непрерывная функция. Множество многочленов
Р (t), обладающих свойствами: Р (t) ^ Q (г), причем Р (г) = Q (t)
на множестве точек, сумма ипдексов которых ^ ге+ 1,— ком-
компактно.
§ 4. Общие теоремы об экстремальных значениях
интегралов
Целый ряд важных фактов, связанных с оценками ин-
интегралов
ь 5+о
J Q(t)da{t), D.1)
имеет место независимо от того, является ли система
{ич (О)'о У-системой, а также независимо от свойств непре-
непрерывной функции Q (t).
В настоящем параграфе будут получены эти факты.
Пусть {ик (t)}o —произвольная система непрерывных
линейно независимых на [а, Ъ] функций, подчиненная
только условию (Ж): в совокупности ф многочленов
этой системы имеется строго положительный многочлен
о
Пусть непрерывная функция Q (t) не входит в
Введем обозначения:

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 175
Условие (Щ обеспечивает непустоту ф (Q) и «р (Я),
ибо, если к ^> 0 таково, что
то - Ш (i) ЕЕ Ф (Я), Ш (*) ЕЕ ф (Й).
Теорема 4.1. Пусть заданная последовательность
с = {c/fjo строго позитивна. Тогда
а) Имеют место равенства
minJjQ(/)(fs(*): aeF(e)} = max{6(/>): Pe|(fi}), D.2)
a
Ь
max IJ Q {t) da (t): беУ (c)| = min {?(/»): P e ф (Q)}. D.3)
a
б) Для того чтобы интеграл
ь
(в)) D.4)
принимал наименьшее (наибольшее) значение при в — tf0 ?E
Е= V' (с), необходимо и достаточно, чтобы существовал
многочлен Ро (t) ЕЕ ф (Я) (Ро (<) ЕЕ ф (Q)), совпадающий с Q (t)
в точках роста распределения а0 (t).
Доказательство, а) Положим
Т = sup {(? (Р): Р е ф (Q)}, т = inf {© (Р): Р ЕЕ ф (Q)}.
Из определений ф (Q) и ф (Q) вытекает, что для любого
о ЕЕ V (с) интеграл D,4) заключен между т и ч, так как,
например, для произвольных Р ЕЕ ф (Q) и о" ЕЕ V (с)
г> ь
^(Р)^^ (t) da (t) < J Q (i) da ((). D.5)
a a
Покажем, что для любого у SEE [т. т! последователь-
последовательность (ср, . . ., с„, у) = {с, у} позитивна относительно

176 ПРОБЛЕМА ЧЕВЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
системы (и0 (t), . . ., ип (t), Q (t)) = {и (t), Q (t)}. Для
n
этого на многочленах Р {t) = J1 akuk (t) + aQ (t) = Р (t) +
о
+ aQ (i) определим функционал ©Y (P) = © (?*) + ay.
Пусть Р (^) = Р (?) + afi @ > 0 (a < i < b). Если
a =jf= 0, то многочлен (— I/a) P (t) принадлежит ty (Q) при
а>0 и 5p(Q) при а < 0, поэтому (— 1/а) © (Р) ^ у
в первом случае и > у во втором. В обоих случаях, равно
как и в случае a = О, SY (Р) = © (?*) + ay > 0. Легко
также видеть, что последовательность {с, у} не позитивна
при у < у и при у ^> Т> строго позитивна при Т < Т < Т и.
следовательно, сингулярно позитивна при у = у и при
у =f-
ъ
¦ Пусть у = у = ^ Q (?) da0 (*) и пусть P(t) = P (t)+aQ{t) —
тот неотрицательный (^ь 0) многочлен, на котором (EY {P) =
= ©(Р) + ау = 0. Так как ©Y(^)>0 при у<у<у, то
о>0н, следовательно, P0(t) = (—I/a) P (t) g= ф (Q).
Таким образом,
ь
D.6)
что завершает, если учесть D.5), доказательство D.2).
Аналогично доказывается D.3).
б) Из D.6) получаем для минимального значения D.4)
$(t) = 0, D.7)
а
откуда, в силу того, что Q (t) — Ро (t) ^ 0, сразу получаем
что Ро (t) = Q (t) в точках роста о-0 (t). Обратно, если
Ро @ ?= ^Р (^) и Ро (t) = Q (t) в точках роста некоторого
распределения а0 (t), то для любого а ЕЕ V" (с)
5 Q (t) dz0 (t) = J Po (f) ds0 (() = 5 Л, @ d3 (t) < j Q (f) do (t),
a a a a
y. e. (Tg доставляет минимум интегралу D.4),

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 177
Теорема доказана. Однако внимательный читатель
усмотрит в этом доказательстве дефект: мы существенно
использовали строгое неравенство Т < Т- Этот дефект
устраняется следующим утверждением.
ь
(!) У.4.1. Для того чтобы интеграл 1 Q (t) da(t) сохранял
а
одно и то же значение для всех аЕ V (с), где о— строго пози-
позитивная последовательность, необходимо и достаточно, чтобы
а @ е Ф.
Таким образом, при Q (t) ф. ф обязательно у < у. Для
левых частей D.2) и D.3) введем обозначения:
а
J (с; Q) = max {j Q (*) da (*): оеУ (с)} .
Из теоремы 4.1 легко вытекают следующие следствия.
Следствие 4.1. Для данного распределения т
ь
с(т) = ^u(t)dx(t).
а
«Отклонения»
ь
б (т) = ^ Q (t) dx (t) — I (с (т); Q),
сг/тггь изотопно неубывающие функции распределения х:
б (т') < б (т") и б (т') < б (т") при' dx' < dx" l).
х) Неравенство dx' < dt" означает, что т' (<2) — т' (h)
< т" (г?) — т" (ti) при любых (о О h < t? « Ъ).

178 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Действительно,
ь
б (г') = min {<?' (Р): Ре^Ц (О)} - $ Q (t) dx' (t) =
< min |J (P @ - Q (*)) dx" (t): P <= $(Q)} = б CO-
Аналогично, б(т')^б(т").
Впервые этот факт был обнаружен А. А. Марковым
[18] (с помощью аналитических соображений, не допус-
. кающих обобщения) для частного случая степеннйх мо-
моментов и й (() = — .
Следствие 4.2. «Разброс» б (с) = I (с; О) — /(с; Q)
есть К-изотонно возрастающая функция с: 6(Cx)^6(c2),
если c2 — Ci^ К(U).
В самом деле, пусть s^FtcJ, так что сх —С^),
и пустьsgF(Cj- С!). Тогда a2 = 6i + aSF(c2), ^Oi^daa и
б (Cl) = б (б1) + б Cl) < б (а,) + б (а2) = б (с,).
В шестой главе будет показано, что / (с; Q) и / (с; Q)
при определенных условиях 3-изотонны при надлежащем
выборе конуса 3-
Укажем еще одно полезное свойство экстремальных
значений интеграла D.4).
(!) У.4.2. Величины / (с; Q) и / (с; Q) являются соответствен-
соответственно выпуклой и вогнутой (и, в частности, непрерывными) функциями
отс еК (U).
Предположение о непрерывности функции Q (t) было
сделано с целью обеспечить существование интеграла D.4)
при любых а ЕЕ V (с) и непустоту множеств ф (Q) и
$Р (Q). Однако утверждение теоремы 4.1 остается спра-
справедливым при более общих условиях. В частности, легко
видеть, что она остается справедливой, если непрерывную
функцию й (t) заменить «срезанной» Q$+o (г) или Q5_o {t),

S 'О ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЙНА*ГЕЙЙЯ ИНТЕГРАЛОВ 179
и условившись, что
5+о ь
Обозначим через Я^ (Q) (соответственно ф^@!)) сово-
совокупность многочленов Р (t), для которых Р (t) sgl Q^_o (t)
(соответственно Р (t) > Q^+o (t)).
Теорема 4.2. Пусть последовательность с = {ск}о
строго позитивна. Тогда
а) имеют место равенства
5-о
min{5 Q(t)da(t): as V(с)} = max{g(P): РбЕф5(^)},
5+о
max И Q @ da (i): a e F (c)} = min {g (P): P e ^5 (fi)};
а) для того чтобы интеграл \ Q (t) do (t) (соответ-
5+0
+
ственно \ Q(t)do(t))t где OGEF(c), принимал наименъ-
a
шее значение при 5 = 50EF(«), необходимо и достаточно,
чтобы существовал многочлен Ро (t) ее $5 (^) Со @ ?= ^5 (^))>
совпадающий с Q%-o{t) {с Q^+il(t)) в точках роста функ-
функции а0 (t).
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от
доказательства теоремы 4.1.
В заключение заметим, что можно продвинуться доста-
достаточно далеко на пути ослабления условий теоремы 4.1
(см. по этому поводу: С. Карлини В. Стадден [1],Дж. Кем-
перман [1, 2]).
В частности, выбрав в [а, Ъ] произвольное множество
Е, состоящее из конечного числа интервалов (открытых,
замкнутых, полуоткрытых; некоторые из них или все
могут вырождаться в точку), можно в теореме 4.1 за-
заменить Q (t) «срезанной» функцией Qe(?), равной нулю
в Е' = [a, b] \ E, что равносильно замене интеграла
Q {t) da (t) интегралом jj Q, (t) da (t).

-180 ПРОБЛЕМА ЧЁВЬШЕВА — МАРКОВА ГГЛ. ГУ
У.4.3. Получить формулу для максимальной массы
р (?) = mia {? (Р)/Р (?): Р (*) е f+},
как следствие теоремы 4.1 при указанном ослаблении ее условий.
§ 5. Обратные теоремы
1. Постановка вопросов. Здесь мы снова предположим,
что {ик (?)}о есть Г+-система на [а, Ь], так что можно снова
говорить о главных и канонических расл редел ениях,
и охарактеризуем те функции Q {t), для которых имеют
место неравенства
ь ъ ь
{ Q (t) da {t)<i ^ (t) da (t)<[ Й (t) da(t) (оёУ (с)) E.1)
* a a a
мли, соответственно, неравенства
?—о ^—о
Q(t)da(t),
3
i,+0 E.+0
E.2)
выведенные в §§ 1 и 3 при довольно ограничительных, как
выяснится сейчас, предположениях относительно свойств
функции Q {t). Поясним это несколько подробнее.
Неравенства E.1) были выведены в предположении, что
удовлетворяется условие B'+ (U)): {uk (t)}g — ^-систем
и
/и0 щ . .. ип Q Y
А , , >0
Если w = 0, uo(t) = i, то последнее условие имеет вид
0 при
т. е. функция Q (t) должна быть неубывающей.
Нижнее главное представление «последовательности»
с0 имеет единственную массу с0 в точке а, а ее верхнее

§ б] ОБРАТНЫЕ TEOPEMbl 181
представление — единственную массу с0 в точке Ъ. Следова-
Следовательно, неравенства E.1) в этом случае переходят в не-
неравенства
b
Q (t) da (t) ^,Q (b)[ da{t) (\do(t)=c\
Однако эти неравенства справедливы и для функций,
удовлетворяющих более слабому условию:
Q (а) < Q (t) < Q (b).
В связи с этим будут рассмотрены следующие вопросы.
1. Какова точная характеристика тех Q (t), которые
удовлетворяют неравенствам E.1) для данной фиксирован-
фиксированной строго позитивной последовательности с = (с^}о?
2. Какова точная характеристика тех Q (t), которые
удовлетворяют неравенствам E.1) для произвольной строго
позитивной последовательности с = {с^?
Любопытно, что ответ на второй вопрос приводит к не-
необходимому и достаточному условию, близкому к усло-
условию (Т+ (U)) при п = 2*v и совпадающему с ним при
п =2v — 1.
Аналогичные вопросы будут решены для неравенств
Чебышева —Маркова E.2).
2. Ответ на первый вопрос. Ответ дается следующей
теоремой, вытекающей из теоремы 4.1:
Теорема 5.1. Для того чтобы интеграл D.5) до-
достигал наименьшего (наибольшего) значения на нижнем
(соответственно верхнем) главном распределении последо-
последовательности {сА}о, необходимо и достаточно, чтобы су-
существовал многочлен Ро (t) со следующими свойствами:
1) Ро (t) ^ Q @ (соответственно Ро (t) > Q (t)) при
а <* < Ъ.
2) Ро (t) = Q (t) в точках роста нижнего (соответст-
(соответственно верхнего) главного распределения.
Стоит отметить, что в доказательстве теоремы 1.1
условие (Т+ (U)), по существу, использовалось лишь для
эффективного построения многочлена, обладающего этими
свойствами.

182 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Для дифференцируемых функций можно указать эф-
эффективный критерий. Предварительно докажем лемму,
которая понадобится и в дальнейшем.
Лемма 5.1. Если интеграл
ъ
Q (t) do (t) CGF (с)) E.3)
принимает наименьшее (наибольшее) значение на нижнем
(верхнем) главном распределении a(t) (соответственно а(?))
последовательности {с^Уо, то неотрицателено пределителъ
ТТ ¦¦¦<"*« )¦ <5-4'
10 г1 ¦ ¦ ¦ гп tn+i I
где. t0, ft,..., tn+1—расположенные в порядке возрастания
точки сосредоточения масс нижнего (верхнего) главного пред-
представления и произвольного нижнего (верхнего) представле-
представления индекса п -f- 3 х).
Прежде чем приступить к доказательству, подчеркнем,
что в определителе E.4) часть tj фиксирована (точки со-
сосредоточения масс главного представления), значения
остальных tj определяются значениями только двух пара-
параметров — одной из этих точек и массой, сосредоточенной
в ней (теорема III. 7.1).
Доказательство леммы. Пусть, для оп-
определенности, п = 2v — 1. Точки сосредоточения масс
нижнего главного представления и его массы обозначим,
как обычно, соответственно через |3- и р;-:
с* = 2 № (§i) (''« = 0, 1, • • ., 2v - 1), E.5)
3=1]
а точки сосредоточения масс и массы нижнего представле-
представления индекса п -)- 3 — через |3- и р;-:
V+1
Ci=2PiMSi) (* = 0,l, ...,2v-l). E.6)
3=1
х) Если представления имеют массу на конце интервала [а, Ь],
то этот конец засчитывается только один раз, то есть t0 = а < t\
или tn < tn+1 = b. Напомним, что внутренние массы главного
представления и однотипного с ним представления индекса п-\- 3
перемежаются.

§ 5]
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
183
Предположим, что наименьшее значение интеграла E.3)
достигается на нижнем главном распределении, то есть,
что для всех распределений о* ЕЕ V (с)
Ъ Ь v
J Q (t) da (t) > J Q (t) do (t) = 2 Pi& (b)-
a a 1
Тогда, в частности, для произвольного нижнего представ-
представления индекса п + 3 выполняется неравенство
V+1 V
Исходя из этого, докажем, что определитель
LtQ U~^ Un а • . U^yj 1 Ъи
ll ll It • • • lv Iv4
 (|j)
"O (|l)
«1 (ll)
 (§l) •
«X (|2) •
. . Hav_i(?i)
• ¦ «2v-l(L)
Q (|
l)
l)
неотрицателен.
Умножим элементы первой строки на рх, элементы вто-
второй строки на рх и разделим определитель на PiPi- После
этого в первой строке прибавим все строки
щ (|3-) Ы1 (?;•). . . щ,-г (Ь) Q (У у = 2, 3, . . ., v + 1),
предварительно умноженные на pj, а ко второй строке —
все строки
"о (U ^ (Ь) ¦ . ¦ Ыа»-! (],•) Q (tj) (j = 2, 3 v),
предварительно умноженные на р7-. В результате этих пре-
преобразований первая строка примет вид
V+1
с0) clt . . ., c2v_x, 2 PjQ (Ei), E.7)

184 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА —МАРКОВА [ГЛ. IV
а вторая —
с0, сх, . . ., c2v_i, ^jPj^(Ej) E-8)
i ~~
(см. E.5) и E.6)). Теперь, вычитая из новой первой строки
E.7) новую вторую E.8), легко получаем, учитывая пере-
перемежаемость lj И lj,
I u0 иг и2 ... u2v— I Q
\ fel &1 ?2 • • • Ь« Sv-
1 Wi Wn . . . Uov —-I
что и требовалось доказать. Так же рассматриваются ос-
остальные случаи.
Упомянутый выше эффективный критерий состоит в
следующем.
У.5.1. Пусть функции {uh (t)}^ образуют ?Т+-систему на
[а, Ь] и функция Q (t) дифференцируема на [а, Ъ]. Положим
Q @ = un+l (t).
Интеграл E.4) при п = 2v — 1 достигает наименьшего значе-
значения на нижнем главном распределении тогда и только тогда, когда
det || «ft (Ы и\ (Ь). . . ин (|v) u'H (|v) ик @ ||2/=0 > 0 E.9)
при а ^ t =C Ь. Аналогично этот критерий формулируется для ос-
остальных трех случаев.
Указание. При выполнении E.9) выполняется условие тео-
теоремы 5.1. Доказательство обратного утверждения опирается на
лемму 5.1 и теорему III.7.3.
С помощью У.5.1 легко решается
У.5.2. Пусть ij, . . ., |„— точки сосредоточения масс ниж-
нижнего главного представления последовательности степенных момен-
тов W}*4 B te, Ь]
Q(*) = (*-|O(t-5?) ¦.¦(*-§»),
R (t) = (t- T)i) (t - тJ). . . (t - T]^),
где 5i < % < ^2 «ч ¦ • • < T)v-i < |v / W — дифференцируемая строго
возрастающая функция. Доказать, что
ь
@ rfs (*) > Q
Jqw-

§ 5J ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ IBS
для любого лб V (s), отличного от a (t). При специальном выборе
/ (t) это было доказано (другими средствами) в работе С. Карлина
и Дж. Мак-Грегора [1].
3. Ответ на второй вопрос. Рассмотрим на [а, Ъ] две
произвольные совокупности точек {|у}™ и {r\j}™+1 индек-
индексов п -\- 1 и п + 3 соответственно, расположенных на
[а, Ъ] так, как располагаются относительно друг друга
точки сосредоточения масс главного представления и
представления индекса п + 3 того же типа (верхнего или
нижнего). Под этим подразумевается следующее.
1°.
2°. Точки % и а (соответственно r]m+i и Ь) совпадают
только в случае, когда |х = а (соответственно когда
%т = 6). Если же % > а (т]т+1 < 6), то ¦% < ^(^ <
< flm+i)-
3°.
Лемма 5.2. Для любых совокупностей точек {5j}i* и
{т1;}Г+1, удовлетворяющих условиям 1° —3°, существует та-
такая строго позитивная последовательность {ch)o, для
которой {|;-}Г —точки сосредоточения масс ее главного
представления, a {r\j}T+1 — точки сосредоточения масс ее
представления индекса п -\- 3.
Доказательство проведем для случая;
п ~ 2v — 1, а < |х, gv < fc. В этом случае
Дело сводится к доказательству того, что однородная
система 2v уравнений с 2v -)- 1 неизвестными {py}i и
V V+1
S Pi«* (У = 2 f1^^ (ти) (ft = 0, 1, . . ., 2v - 1)
имеет поло?кительное решение.

186 ЙРОВЛЕМА '1ЁЁЫШЕВА - МАРКОВА (ГЛ. IV
Переписав эту систему в виде
Нич Ы — РА- (?0 + ¦ • • — РА* (Ы + V-v+гЩ (r),+1) = 0
(к = 0,1,..., 2л>-1);
убедимся в том, что значения цг, рх, . . ., pv, |xv-i, удовлет-
удовлетворяющие системе, пропорциональны минорам матрицы
IЩ ("Hi) »k №0"! »ь 0la) • • • и* №») и* (Iv+i) ЦГ^о1.
которые положительны, так как {ufc (О)?1* — Г+-система.
Теорема 5.2. Для того чтобы для любой строго
позитивной последовательности {ск}^ интеграл
ь
jj Q(t)da(t) (oeF(c))
а
принимал наименьшее (соответственно наибольшее) зна-
значение на нижнем (соответственно верхнем) главном рас-
распределении этой последовательности, необходимо и доста-
достаточно, чтобы был неотрицателен определитель
/щ их . ¦ ¦ ип Q \
A\t t t t
при любых t0, tx, . . ., tn+1 таких, что
a<C^o<C*i<C ""' <C^"+i <^b в случае п = 2v — 1,
а = <o <C 'i <C "" • <Cfn+i <C ^ в случае n = 2v
(соответственно
a = to <C h <C •"" <C fn+i = Ь в случае n = 2v — 1,
а<C*o<C*i<C '"' <C*n+i =b в случае п = 2-v).
Доказательство. Необходимость следует из
лемм 5.1 и 5.2. С другой стороны, какова бы ни была стро-
строго позитивная последовательность {сА}о, условия теоремы
достаточны для построения многочлена Ро (t), удовлетво-
удовлетворяющего условиям теоремы 5.1, как это сделано в дока-
доказательстве теоремы 4.1.
4. Обратная теорема для неравенств Чебышева — Мар-
Маркова. Для случая фиксированной строго позитивной по-
последовательности из теоремы 4.2 сразу получается

I 5] ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ 187
Теорема. 5.3. Пусть {ик (t)}a есть Т+-система,
{сЛо — строго позитивная последовательность. Для того
!= 10
!=-0 1+0
!0 1+0
чтобы интеграл \ Q (t) da (t) [соответственно \ Q (t) da (t)),
a a
где a 6E V (с), принимал наименьшее (соответственно
наибольшее) значение на функции G^(t), задающей кано-
каноническое представление последовательности {сА}о с мас-
массой в точке 5, необходимо и достаточно, чтобы существовал
многочлен PQ (t) со следующими свойствами:
1) Ро(*)<ЙБ-о(*) (Ро@ > ?2Ш(*)) при a<i<6,
2) P0(t)= Q^-0@ (^0@ = ^+0@) б точках роста
Свойства 1) и 2) обсуждались в доказательстве лем-
леммы 3.3.
Теперь легко найти условия на функцию Q (t), при ко-
которых неравенства Чебышева —Маркова имеют место
для любой строго позитивной последовательности {сЛ}0.
Лемма 5.3. Если интеграл
?-0 ?+0
\ Q (t) da (t) (соответственно \ Q (t) da (t)),
a a
где о (t) ЕЕ V (с), принимает наименьшее (соответственно
наибольшее) значение при a]=G^(t), то неотрицателен
определитель
I соответственно определитель
/щ щ ... ип
\t0 tx . . . tn tn-\-\
где t0, Ц_, . . ., tn+x —расположенные в порядке возрастания
точки сосредоточения масс канонического представления
и произвольного однотипного с ним -1) представления индек-
индекса ^ п + 4, имеющих массы в точке |.
То есть верхнего или нижнего.

188 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Лемма 5.4. Пусть на [а, Ь] заданы две произвольные
совокупности точек, в каждую из которых входит точка |
и которые расположены на [а, Ь] так, как располагаются
массы канонического представления и представления ин-
индекса ^ п + 4 того же типа (верхнего и нижнего). Тогда
существует строго позитивная последовательность {ск}По,
для которой массы канонического представления сосредото-
сосредоточены в первой совокупности точек, а массы представления
индекса ^Ln -\- 4 —во второй.
Леммы 5.3 и 5.4 доказываются так же, как леммы 5.1
и 5.2.
Теорема 5.4. Для того чтобы для любой строго
позитивной последовательности {cfc}" интеграл
г-о Ъ+о
\ Q(t)ds(t) (соответственно \ Q(t)da(t)\ ,
а а
где a (t) ЕЕ V (с), принимал наименьшее (соответственно
наибольшее значение) на функции о* ^(t), задающей канониче-
каноническое представление этой последовательности с массой в точ-
точке |, необходимо и достаточно, чтобы был неотрицателен
определитель
I соответственно
Uq U± ... Un 5>i?-J_o \ \
\to t1 ... tn tn-±:
при любых tj таких, что
a<*o<'i<"--<0
Доказательство необходимости сразу вытекает из лемм
5.3 и 5.4. Для доказательства достаточности строятся мно-
многочлены (с помощью обычного предельного перехода в
данных определителях), удовлетворяющие условиям тео-
теоремы 4.2.
У.5.3. На интервале [О, I] (я < I < 2л) Г-система 1, sin t,
cos t и функция Q (t) = 1 при любом | е (О, I) но удовлетворяют
условиям терремы 5.4.

§ 6l ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД 189
§ 6. Геометрический подход
1. Геометрический метод. До сих пор наши рассужде-
рассуждения при построении теории канонических представлений
и экстремальных значений интегралов носили аналити-
аналитический характер (исключая теорему III.1.1). В их осно-
основе лежат свойства Г-систем и «метод максимальной массы»,
позволивший получить теорию канонических представле-
представлений, не выходя из «семейного круга» функций данной
Г-системы {ии (t)$.
Если же воспользоваться тем, что для данной ^-систе-
^-системы на [а, Ь] всегда можно найти Г-продолжение, то, как
это показывают результаты § 1, теорию канонических
представлений, изложенную в третьей главе, можно полу-
получить иным, геометрическим путем. При этом получаются
и сами результаты § 1. Здесь мы только наметим этот путь
исследования; во всех подробностях он будет проиллюст-
проиллюстрирован в гл. VII при изучении (ф, ^-проблемы Маркова.
Начнем с того, что уточним теорему II 1.1.1. Пусть
кривая U a Rn+1 отвечает системе непрерывных линей-
линейно независимых функций {ик (t)}o(a ^ t ^ Ь), удовлетво-
удовлетворяющих условию (-У?).
Теорема 6.1. Точка с = {ск}'о является внутрен-
внутренней (граничной) для конуса К (U) тогда и только тогда,
когда последовательность {cJo строго (соответственно
сингулярно) позитивна.
Доказательство следует из замечания 1.3.1,
теоремы 1.3.3 и определения строгой позитивности.
Пусть {ик (?)}" есть Г+-система на [а, Ь] и функция
Un+i (t) — ее Г+-продолжение. Наряду с Г+-кривой UczJin+1
и конусом К (U) a RnJrl, отвечающим системе {uk(t)}ot
рассмотрим Т +-кривую U a ltn+2 и конус К (U) cz JSn+2,
отвечающие продолженной системе {ик (t)}^+1.
Пусть с = {сА}о некоторая фиксированная позитивная
последовательность.
Обозначим через 1п+1 = /п+1 (с) совокупность точек
(с0, си . . ., сп, у) (ЕЕ К (U) с переменным у.
Если последовательность {ск}1 сингулярна, то 1п+1 (с)
сводится, очевидно, к точке.

190 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Допустим в дальнейшем, что {ск}о строго позитивная
последовательность. Тогда /п+1 = /п+1 (с) представляет
собой отрезок в К (U), параллельный (тг + 2)-й коорди-
координатной оси. Среди совокупности (п -\- 2)-х координат х
точек (со, с1? . . ., сп, у) имеется наименьшая сп+1 и наи-
наибольшая сп+1. Точки (с0, си . . . сп, сп+1) («нижний» конец
/п+1) и (с0, с1? . . ., сп, сп+1) («верхний» конец 1п+1) являют-
являются, очевидно, граничными точками K(U). Поэтому соот-
соответствующие этим точкам распределения масс определяют-
определяются однозначно и являются каноническими с индексом
^м -)- 1. При этом индекс представления не может
быть < п + 1 в силу предположенной нами строгой по-
позитивности последовательности {c/t}o> т. е. он равен п -\- 1.
Отсюда легко вытекает, например, существование ниж-
нижнего главного представления последовательности {с^
при п = 2v — 1.
В самом деле, так как для точки (с0, с17 . . ., c2v-i, c2v)
индекс соответствующего ей представления равен 2v, то>
имеются только две возможности:
1. массы сосредоточены в v внутренних точках [а, Ь].
II. массы сосредоточены в v —1 внутренних точках
[а, Ь] и в концах а и Ъ.
Случай II отпадает, так как тогда точка (с0, с1У . . ., сп,
п+]) была бы в силу рассуждений, приведенных в дока-
доказательстве теоремы 1.1 х), не «нижним», а «верхним» кон-
концом /п+1.
Отсюда получаем искомое нижнее главное представле-
представление последовательности {с^}^".
Аналогичными рассуждениями выводится существова-
существование других главных представлений.
Заметим теперь, что канонические представления внут-
внутренних точек конуса К (U) являются главными представ-
представлениями соответствующих точек конуса К (U). Пользу-
Пользуясь этим, нетрудно получить результаты § 6 главы III
о движении масс канонических представлений.
2. Строение дК (V). Теорема 6.1 позволяет описать
строение границы конуса К (U) в случае, когда U есть
х) Этими рассуждениями показывалось, что коль скоро сущест-
существует то или иное главное представление, то ему соответствует то или
иное экстремальное значение (п + 1)-го момента.

I б] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД 191
Т-кривая. В этом случае в силу теоремы 6.1 и теоремы
III. 4.1 граница К (U) состоит из тех и только тех точек,
координаты {c/jjj" которых допускают единственное пред-
представление
mi
e*=2pjM?i) (А = 1,2,..., и) F.1)
индекса ^ п. Точки с индексом представления п образуют
и-мерное многообразие, которое можно разбить на две
непересекающиеся связные открытые компоненты (поверх-
(поверхности): поверхность %, точки которой имеют представле-
представление F.1) индекса п, где одно из ^ равно Ь, и поверхность
W, точки которой имеют представление F.1) индекса п,
где ни одно из \j не равно Ъ. В случае п = 2v — 1 пара-
параметрические уравнения этих поверхностей имеют вид:
уравнения % —
V—1
Ч = 2 Pi«*k ili) + Р»* Ф) (fc = 0, 1, . . ., 2v - 1), F.2)
уравнения V' —
v—1
2 W + ри* (а) {к = 0, 1, . . ., 2v - 1), F.3)
3=1
где a<E1<Ea<---<Ev-i<b, P>0, Pi>0 (/ = 1,2,...
...,v-l).
Если же п = 2v, то уравне'ния % —
V—1
хк = pufe(a) + 2 Pj»t Ui) + |аи* (Ь) (А = 1, 2, . . ., 2v), F.4)
j=i
уравнения ^ —
V
S (* = 0, 1, . . ., 2v), F.5)
где a<|1<E2<---<L<b, P>0, ^>0, Pj>0 (/=1,
2, . . ., v).
Множество $ точек с индексом представления коорди-
координат < п состоит, очевидно, из общих предельных точек

192 ПРОБЛЕМА ЧЕЬЫШЕВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
поверхностей % и ffl. Очевидно, также что дК (U) =
= % (J W U Ш.
Выпишем уравнения граничных поверхностей % и V
для степенных моментов.
Пусть п — 2v — 1 и точка s = {s^ принадлежит
поверхности %, Тогда
¦ч—1
«*=2рД*Чр&* (A = 0,l,...,2v-lj F.6)
3=1
и неотрицательная форма
v—1 V—1 V—1
j = 2 р* (& - Ь) B 2/4
(
i,3=0 j=l i=0
вырождается. Поэтому для координат точек %
det I bsi+j - si+j+1 l-.yio = 0, F.7)
причем последовательность {s^fo'2 должна быть строго
позитивной в [а, Ъ].
Легко проверить, что верно и обратное: если последо-
последовательность {sjc}ov~2 строго позитивна в [а, Ь], и S2V-i Удов-
Удовлетворяет уравнению F.7), то имеет место представление
F.6), т. е. a = {sk}lv-1z=%.
Точно так же для точек V
det I si+3-+1 — asi+i |]-ji0 = 0
({sk}V~2 строго позитивна). При п = 2v получаются также
уравнения: для % —
det || (а + b) si+3+1 — si+i+2 — absi+} jjijio = 0,
для V -
t;',J-=o= 0
(последовательность {s^V строго позитивна).
В частности, при п = 2 поверхность V является
частью конической поверхности sus% — %а = 0, поверх-
поверхность % — частью плоскости (а + Ъ) st — s2 — abs0 = 0.
Замыкания поверхностей % и V смыкаются по прямым:
& &2 ?
s2 = &2s0 hsj = as0, s2 = a?s0.

б] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД 193
(!) У.6.1. Всякое опорное полупространство ^, а^х^ > 0 ко-
о
нуса К (U), содержащее точку с ?ЕдК, с ф 0, определяется тем,
п
что среди корней неотрицательного многочлена Р (t) = ^ДцЦц(*)
о
имеются все точки сосредоточения масс представления F.1).
Ясно, что через каждую точку с ЕЕ '<& можно провести
бесчисленное множество опорных к К (U) гиперплоско-
гиперплоскостей, так как можно построить бесчисленное множество не-
неотрицательных многочленов, имеющих своими корнями
т
точки |j (/ =1, 2, . . ., т), для которых S8(Ej)<^"-
1
Однако и для точки с ЕЕ % или СЕ^не всегда про-
проходящая через нее опорная гиперплоскость единственна,
так как существуют У-системы, для которых неотрица-
771
тельные многочлены с заданными корнями {lj}i\Se(ii) —
1
= п, не всегда пропорциональны. Пример такой У-си-
стемы приведен в п. 4 § 1 главы VI.
У.6.2 1). Сечением конуса К (U) называется его пересечение
S с некоторой гиперплоскостью, обладающее тем свойством, что
для каждой точки с g К (U) существует единственное X > 0, при
котором кб S.
Каждое сечение S определяется некоторым строго положи-
п
тельным многочленом Р (г) = ^ aicuK С) и положительным
о
числом a > 0 в том смысле, что е.= {cfe}™ (= if (J7) принадлежит
S тогда и только тогда, когда Xahch— а. Каждое сечение S вы-
выпукло и ограничено.
У.6.3. Пусть с g Int К {U) и a < 1 < Ъ. Существует такое
% > 0, что прямая, проходящая через точки Хм (|) и е, пересекается
с К (U) но конечному отрезку
тХге E) + A — т) с* (с* g ЗЛГ, 0 < г < 1).
При этом е = т0 Ы (I) + A — т0) е* @ < т0 < 1).
Отсюда вытекает существование канонического представления
с массой в точке |.
У.6.4. Если Г-кривая разбита на части, то их конические обо-
оболочки не имеют общих внутренних точек.
х) У.6.2, У.6.3 и У.6.5 заимствованы из книги С. Карлина и
В. Стаддена [1].

494 Проблема чебЫшева - марйова [Гл. IV
(!) У.6.5. Пусть обе системы {uk (г)}™ и {uh {t)}^+m являются
Г-системами на [а, 6] и последовательность с = {cjJJJ' строго по-
позитивна относительно первой из них. Рассмотрим множество
G (Z Rm точек Т = {ffc}™, для которых
. где s S 7 (с), F.8)
G ¦— замкнутое ограниченное выпуклое тело и у 6Е 3G тогда и
только тогда, когда в F.8) распределение а имеет индекс <ге+ т.
Исходя из этого, можно построить теорию представлений ин-
индекса ге+ 3 и п-\- 4.
У.6.6 (Дж. Кемперман [2]). Пусть Е С [а, Ь] — множе-
множество, состоящее из конечного числа интервалов (открытых, замк-
замкнутых, полуоткрытых, некоторые из них или все могут вырождаться
в точку) и {м& (г)}™— система непрерывных линейно независимых
на [а, Ъ\ функций.
Несколько отступая от принятых обозначений, положим
и (t) = {uK (t)}?, U (t) = {щ (t)}?=0 (мо (t) == 1; a < t < 6),
обозначив через ?7 (С Bn) и 17 (С Вп+1) соответствующие кривые.
Положим далее е = {ск}", е^= {ск}™ (со = 1). Ищутся экстре-
экстремальные значения I (%Е; с) и I (хЕ\ с) (%Е (*) — характеристическая
функция множества Е) интеграла
ь
E •
на совокупности V (с), где с е Int К (V).
Выпуклые оболочки в Rn кривых U, UE = {и (?): (?В} и
UE, = {и (i): t ? ?' = [а, Ь] \ ?} обозначим соответственно через $,
Так как / (%Е\ с) = / (хЕ,; е) (в силу того, что с0 = 1), то до-
достаточно установить правило нахождения J (%Е; с).
Ясно, что 1(ХЕ; с) = 0 при с G^E,. Поэтому в рассмотрении
нуждается лишь случай с E Int $ \ $Е,.
Пару гиперплоскостей Я и Я', задаваемых соответственно
уравнениями
п п
= — Cto,
назовем допустимой, если гиперплоскость Н — опорная к
а гиперплоскость!/'— опорная к $Е» и находится между Н и $

§ 7] СТЕПЕННАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 195
Наконец, для допустимой пары Я и Я' через $(Я, Я') обоз-
обозначим выпуклую оболочку множества (Я П UE]) (] (Я' (~| [UE,])
(т. е. множество точек прикосновения замыкания кривой UE к Я
и замыкания кривой UE, к Н').
а) Для всякого с? Int$\$E, найдется допустимая пара
гиперплоскостей Я и Я' такая, что сб$(Я, Я').
б) Если Я и Я' — допустимая пара гиперплоскостей,
с е Int ^ \ ^Е, и ебЯШ, Я'), то
/ (х?; с) = А' (с)/А,
где А — расстояние между Я и Я', ti (с) — расстояние от с до Я'.
Здесь уместно отметить, что в общем случае множество Int$\$B,
разбивается на части, в каждой из которых / {%Е', с) имеет свое
аналитическое выражение. Изложенный здесь прием позволяет
получать эти выражения единым геометрическим методом. Этот
метод, в частности, делает геометрически наглядными формулы
А. А. Маркова [8], приведенные им для экстремальных значений
интеграла
V
!(*) ([". v]CZ[a, Ь]),
когда заданы степенные моменты s0, sx и s2 на [а, Ь].
Скажем в заключение, что Дж. Кемперман [2] получил свой
результат при гораздо более общих условиях.
§ 7. Описание всех решений степенной проблемы
моментов в конечном интервале
1. Лунки Сг (г; «<")). В этом параграфе будут исполь-
использованы свойства функций, входящих в классы J?, S,
Я\а, Ь], § [а, Ъ]. Поэтому читателю рекомендуется предва-
предварительно ознакомиться с этими свойствами, изложенны-
изложенными в Приложении.
Кроме этого, будут использованы содержание п. 5
§ 2 и У. 6.5.
Нам удобно в пределах параграфа последовательность
{sl{}n0 обозначать через s<re> и через V (.Фх\ а, Ъ) обозначать
совокупность решений степенной проблемы моментов на
[а, Ъ], отвечающей последовательности s<n>. В этом пара-
параграфе предполагается, что последовательность «(") строго
позитивна в [а, Ь]. Далее, для распределения о и z б? [а, Ъ]
будем полагать
ь

196 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
Лемма 7.1. При каждом фиксированном z (Im z ^> 0)
точки w = /<j(z), где распределение о* пробегает множество
V («<">; а, &), заполняют замкнутую выпуклую круговую
лунку G (z; e(n)), расположенную в нижней полуплоскости
w-плоскости.
Дуги окружностей, ограничивающих G (z; s(n>), задают-
задаются параметрическими уравнениями1):
Qi(s;t) " Q2(;
Доказательство. Присоединив к системе {^Уо
функции Re {¦ -\ и ImJ -\, мы на основании У.6.5
[Z fj [Z Ь )
заключаем, что 6?(z; s<n)) есть замкнутое выпуклое огра-
ограниченное множество, которое расположено в нижней по-
полуплоскости, так как при z = х + iy, у ^> О
ь
Im/0(z)= —у
Так как граничные точки G (z; ^n)) определяются тем,
что для них о — каноническое распределение, то для
каждой такой точки имеем при некотором т, 0 ^ т sgT -]- сю
соответственно типу канонического распределения а (ниж-
(нижнему или верхнему).
Записав выражения для Pj (z; т) и Qj (z; x), мы увидим,
что формулы G.1) определяют дробно-линейные преобра-
преобразования вещественной оси и, следовательно, служат па-
параметрическими уравнениями дуг окружностей; эти дуги
имеют общие концы
Pi (z; 0) _ Р2 (z; oo) P, (z; oo) P2 (z; 0)
Qi (z; 0) Q2 (z; oo) Qi (г; oo) Q.2 (z; 0) '
совпадающие с точками/2 (z) и la (z). Лемма доказана.
Следующие две леммы связывают лунку G (z; s^) (об-
(область значений h (z) при фиксированном z) с областями
значений при том же z функций F (z) классов соответствен-
О многочленах <?j (f; т) и Pt (t; х) см. ц. 5 | Z,

§ 71 СТЕПЕННАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 197
но $ [а, Ь] иЯ\а, Ь] — углами ? (z) и Ф (z) (см. Прило-
Приложение) .
Лемма 7.2. При п = 2v дробно-линейное преобразо-
преобразование
(
w — —
CQ B)
осуществляет взаимно однозначное отображение угла
Z, -плоскости Т (z) между лучами ? = т @^Гт^+°о)ц
?=т —^-^-(О^т^ + оо) на лунку G(z; eBv>) в w-пло-
скости.
Доказательство. При ? = г имеем
Q 00 + tQ (z) Qi (z- V '
а при с =
r * a — z
(z-a)P(z)+t(z-b)P(z) P2(z;r)
w =
(z — a) Q (г) + Т (г — 6) Q (г) Q^ (г; т)
Следовательно, в соответствии с леммой 7.1, граничные
лучи угла Ч1" (z) переходят в граничные дуги лунки
G (z; eB">). Остается доказать, что внутренность угла Чг (z)
отображается во внутренность лунки G (z; s<2v)).
Для этого достаточно убедиться, что прообраз бесконеч-
f Q (z)
но удаленной точки w — сю — точка Q = — ^ нахо-
дитсяв нижней полуплоскости. Действительно, во-первых,
степень числителя Q (z) равна степени знаменателя Q (z),
<- Q (z) ^
так что целая часть дроби ^ ; равна постоянной ее = 1;
во-вторых, корни числителя и знаменателя перемежаются,
причем последний корень числителя Q (z) (равный Ъ) нахо-
находится правее последнего корня |v знаменателя Q (z), так
что во всех точках l} (j = 0, 1, , , ,, v) имеем ^г^у <0,

198 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
Поэтому точка
лежит в нижней полуплоскости, т. е. во внешности угла
Y(z).
Аналогичным образом доказывается
Лемма 7.3. При п = 2v + 1 дробно-линейное преоб-
преобразование
W =
Q (*) - Ж (*)
осуществляет взаимно однозначное отображение угла
^-плоскости Ф (z) между лучами ? = _ ^ @ <1 т <1 + оо)
ц ? = —-—@^т^+ оо) на лунку G(z, sBv+D) в w-пло-
скости.
Отметим любопытное следствие, вытекающее из лемм
7.2 и 7.3
Величина угла между граничными дугами лунки
G (z, sBv+1>) равна arg —^- и, таким образом, не зависит
ни от количества заданных моментов, ни от самих мо-
моментов.
2. Случай четного п.
Теорема 7.1. При п = 2v существует взаимно
однозначное соответствие между функциями Ia (z) (a GE
GE F(s<2^; а, &)) ц функциями о (z) класса § [а, Ъ] {попол-
{пополненного функцией и (z) = сю), задаваемое соотношением
latz)=— . ('•'-')
Q B) + ш (*) Q (z)
Доказательство. Пусть о> (z) GE §[«, Ь]. До-
Докажем сначала, что правая часть G.2), взятая с обратным
знаком, принадлежит классу Я [а, Ь].
Так как значение <а (z) попадает в угол 4f (z) (см.
У. П. 8), то в силу леммы 7.2 правая часть G.2) находится
в лунке G (z; s<2v)) и, следовательно, голоморфна при

§ 7J СТЕПЕННАЯ ПРОБЛЕМА МОмЁН^бЁ 19§
Im z ^> 0 и имеет отрицательную мнимую часть. Далее,
при z = х ^> Ъ
Р(х) + со(х)Р(*) Q
Q(x) + W(x)Q(x) > '
ибо и (г) )> 0 и все корни многочленов Р (z), <?(z),
(? (z) расположены в интервале [а, Ь]. При z = x <l a
Р(х) + 0)(х)Р(х)
Q (х) + ю (х) Q (х)
ибо со (ж) ]> 0 и степени многочленов Q (х) и Q (х) равны
и на единицу превосходят степени многочленов р (z) и
Р (z). Таким образом, в силу теоремы II.6, имеем
Q (z) +со (s)Q(z)
где a (t) — некоторое распределение.
Теперь докажем, что о 6Е V (s<2v); a, b), т. е.,что
:da(t) = s^ (к = 0, 1, . . ., 2v). G.4)
Для этого достаточно доказать, что коэффициент при
к+1 в разложении интеграла G.3) по обратным степе-
степеням z совпадает с sk (к — 0, 1, . . ., 2v). Это следует из
того, что (см. B.11))
Р (Z) + СО (Z) P (Z) Р B) g
Q (z) +со (z)Q(z) Q(z) " (Q (г) + со (г) Q(z))Q_(z)
8
так как co(z) = 0A) х), ^ (z) = z^ (I + О A)), Q(z) =
= zv+l A + 0A)) B-»oo).
Итак, в одну сторону теорема доказана.
Если со (z) ^Ь оо. При ш (г) = оо имеем: a (t) = 2 (*)¦

200 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА ЧГЛ. iY
Возьмем теперь произвольное GEE V (sBV>; а, Ъ) и дока-
докажем, что функция со (г), определенная соотношением G.3),
P(z)-Ia(z)Q(z)
W^~ IB(z)Q(z)-P(z)'
принадлежит классу $ [а, Ъ]. Это очевидно, если а = a (t)
(тогда со (z) = 0) или о = а(() (тогда со (z) = сю). Рассмот-
Рассмотрим остальные случаи. Теперь при невещественных z зна-
знаменатель не может обратиться в нуль, так как это означа-
означало бы, что /0 (z) = la (z), т. е. что a (t) = ex (?). Значит,
функция сй (z) голоморфна в верхней полуплоскости.
Из леммы 7.2 следует, что значения о> (z) попадают в
угол W (z), так что Im со (z) ;> 0 при Im z ^> 0.
Далее, при г = г<аи при z = х ^> Ь
~Р(х)
"?"J(I)
так как при ж <^ а и х ]> Ъ многочлены Q (х) и (? (ж) имеют
одинаковые знаки, а величина интеграла /„ (х) находится
между _ и ~ ¦ (см. п. 3 § 2). Поэтому o>(z)e=
65 §[а, 61- Теорема доказана.
3. Случай нечетного п.
Теорема 7.2. При п = 2v + 1 существует взаимно
однозначное соответствие между функциями Ia (z) @ 65
ЕЕ F (sBv+1); а, &)) а функциями са (z) класса М [а, Ь]
{пополненного функцией со (z) ss сю), задаваемое соотноше-
соотношением
Р B) — СО (z) i>"(z)
/о (z) = ТГГ, 7ТЛ71 (Im z > 0). G.5)
Q (г) - со (z) Q (z)
Доказательство. В отличие от случая п = 2v, сей-
сейчас степень многочлена (^ (z)(P(z)) на единицу больше
степени многочлена Q(z) (соответственно P(z)).
Если о> (z) 6E Я [а, Ь], то при данном z значение функ-
функции со (z) принадлежит углу Ф (z) (см. У. П.6), следова-
следовательно, правая часть G.4) находится в лунке G (z; s<2v+1))
и потому голоморфна при Im z^> 0 и имеет отрицательную

1 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Г-СИСТЕМЫ 201
мнимую часть. При z = x^> b она положительна, так как
со (х) <Z О и все числа Р (х), Q (x), р (x), Q (х) положи-
положительны. При z—x<^a она отрицательна, так как со(а;)^
< 0, вследствие чего sign (Q (х) — со (х) Q (х)) = sign Q (х)
и sign (Р_{х) — со (ж) Р(х)) = sign P(x). Поэтому правая
часть G.5), взятая с обратным знаком, принадлежит классу
M\a, b], так что для любой функции о (z) ЕЕ Я \а, Ь] имеем
P (z) - CO (z) f (z)
_ С 'to(О
- .ь -
ТЗключение 5EF(«<Svt1'; а, Ъ) вытекает из соотношения
Р(г) P(z)-a{z)P{z) б _ б
Q(z) Q(z)-<o{z)Q{z) Q {z) {Q(z) ~ a (z) Q (z)) г™0A)
Если обратно, 0 ЕЕ V (sB"+1); a, b), то легко проверить,
что функция со (z), определяемая из соотношения G.5),
принадлежит J? [a, fe].
§ 8. Случай Т-систеиы периодических функций
1. Основные свойства мнэгочленэв периодических
Т-систем. Напомним (см. § 1 гл. II), что система {ик (?)}?
непрерывных на [а, Ь] функций называется периодической
Т-системой на [а, Ь], еслии^ (а) = ый (Ь) (к = 0, 1, ..., п)
п п
и любой многочлен Р (t) = 2a.w'f@ (Sa^ ^^) имеет
в [a, fe] не более га различных корней. Порядок п перио-
периодической Т-системы может быть только четным числом.
Для многочленов периодической Г-системы, как и в § 1
главы II, вводятся определения корня-узла и корня-
пучности, но теперь, учитывая, что функции {uh

202 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА-МАРКОВА [ГЛ. IV
периодически продолжаются на всю числовую ось1), конец
а интервала [а, Ь) тоже может быть корнем-пучностью.
Для периодической Т-системы имеют место утвержде-
утверждения, аналогичные утверждениям § 1 главы II, а именно:
Лемма 8.1. Каковы бы ни были данные к + 21 чисел
из интервала [а, Ь), можно построить многочлен Р (t) =
= ^Ja/l-u/f(i) данной периодической Т-системы порядка
о
2v, который имеет числа tx, t2, . . ., tk корнями-пучностя-
корнями-пучностями, a ?ft+1, . . ., tk+2i — корнями-узлами, если только
Лемма 8.2. Если многочлен Р (t) данной периодиче-
периодической системы порядка 2v в [а, Ь) имеет к корней-пучностей
й 21 узлов, то 2к + 21 ^ 2v.
2. Канонические представления. Если
то индексом представления (!!) последовательности {ch}l"
называется число 2т 3).
Представление (!!) называется каноническим, если его
индекс <; 2v + 2, т. е. т <; v + 1.
Так же как и в § 3 главы III, выводится, что макси-
максимальная масса определяется по формуле (III.3.1).
Изложенные в предыдущих параграфах методы поз-
позволяют легко установить теоремы, аналогичные теоремам
§ 4 главы III.
Сформулируем некоторые из них.
Теорема 8.1. Если (!!) — каноническое представле-
представление последовательности {cfe}o\ то
Р; = Р(У (/ = 1, 2, • • -,т).
г) Иначе, в интервале [а, Ь) отождествляются точки а и Ь, так
что он свертывается в окружность.
2) Очевидно, что число узлов многочлена периодической
Т-системы всегда четное.
8) Это определение индекса соответствует определению § 1
гл. II, так как теперь для любого Т из [а, Ь) следует положить,
6 (т) = 2, '

§ 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Г-СИСТЕМВ1 205
Теорема 3.2. Для Ыог'о чтобы последовательность
{ск)о была сингулярно позитивной, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы она допускала каноническое представление (!!),
для которого индекс ^С 2v.
В этом и только этом случае распределение а ЕЕ V (с)
определяется однозначно.
Теорема 8.3. Если последовательность {сh}%' строго
позитивна, то существует одно и только одно канониче-
каноническое представление (!!), при котором среди точек ^, ..., ?т
имеется любая наперед заданная точка ? из [а, Ъ).
Теорема 8.4. Между любыми соседними х) точками
сосредоточения масс канонического представления строго
позитивной последовательности {cft}gV лежит по крайней
мере одна точка роста функции a (t) ЕЕ V (с), дающей
представление (!), отличное от рассматриваемого. В част-
частности, точки сосредоточения масс двух различных канони-
канонических представлений строго позитивной последователь-
последовательности перемежаются.
Если сопоставить теоремы 8.3 и 8.4, то из них нетрудно
заключить, что все точки сосредоточения масс ^ <С Ег <• • •
. . . < ?т суть непрерывные функции одной из них.
Отсюда без труда получается
Теорема 8.5. Если последовательность {ck}l" стро-
строго позитивна, то максимальная масса р (!;) есть непрерыв-
непрерывная функция от % при любом | 6Е [а, Ь).
У.8.1. Если в точках \ и ц не могут быть сосредоточены мас-
массы одного и того же канонического представления строго позитив-
позитивной последовательности {cjJgV, то для любого р, 0 < р < р E), су-
существует одно и только одно представление этой последователь-
последовательности индекса 2v + 4 с массой р в точке \ и некоторой массой \i > О
в точке т). Исследовать поведение этого представления при измене-
изменении р (для этого удобно мыслить интервал [а, Ь) свернутым в окруж-
окружность).
3. Область G, отвечающая продолженной моментной
последовательности. Для дальнейшего нам удобно будет
предположить, что {и^ (f)}l* — периодическая ^-система
х) На окружности, в которую свернут интервал [а, Ь), точки
1т и h + (Ь — а) = %л также соседние.

204 ПРОБЛЕМА ЧЕР.ЫШЕВА-МАРКОВА [ГЛ. IV
порядка 2v, так что
/и„ и, ... uav\
A\t t t )>° "Ри а<*о<<1<-<^<&. (8.1)
Пусть теперь и (t) и v (t) — две непрерывные периоди-
периодические функции, образующие вместе с системой {и^ (?)}ov
периодическую Г+-систему порядка 2v + 2:
Mo(«), Uj^), . . ., Uto(t), U(t), V(t).
Для некоторой фиксированной последовательности
e={ch}f, позитивной относительно системы функций
{uk(t)}a, рассмотрим множество G всех точек (х, у), до-
допускающих представление
(sEF(c)).
Очевидно, что G — выпуклое множество.
Если последовательность {ck}l* сингулярна, то G, оче-
очевидно, сводится к точке; для строго позитивной последо-
последовательности {с^о" имеет место
Теорема 8.6. Выпуклое множество G имеет внут-
внутренние точки. Граница G не содержит отрезков прямой.
Для того чтобы точка (х0, у0), где
(e,GF(e))
была граничной точкой G, необходимо и достаточно,
чтобы распределение а0 ЕЕ V (с) было каноническим.
Доказательство. Если а0 (t) осуществляет
каноническое представление последовательности {cu}V,
то индекс этого представления гС 2v +2. Но знак < не-
невозможен, так как последовательность {cfe}oV не сингуляр-
сингулярна. Итак, индекс этого представления равен 2v -j- 2, т. е.
в этом представлении имеется v + 1 точек сосредоточения
масс.

§ 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СЙСТЁМЫ 205
Построим неотрицательный многочлен
имеющий эти точки сосредоточения масс своими корнями-
пучностями и отличный от нуля в других точках [а, Ь).
Тогда
ь
и для любого распределения а ЕЕ V (с), отличного от а0,
имеем
т. е.
откуда
ах + $у > ая0 + р^0 (8.2)
для любой точки (х, у) ЕЕ G, отличной от точки (х0, у0).
Таким образом, G имеет одну и только одну общую точ-
точку с прямой
ах + $у = ах0 + Рг/о-
Следовательно, точка (х0, у0) является граничной точ-
точкой G.
Неравенство (8.2) показывает также, что точке (х0, у0)
соответствует только одно распределение a?EF(c), и,
следовательно, различным каноническим распределениям
о соответствуют различные точки М (х0, у0) на границе.
Если теперь в каноническом распределении о^ заста-
заставить | изменяться так, чтобы точки роста о%, непрерывно

Й06 ПРОБЛЕМА ЧЁБЬПДЕВА - МАРКОЙА [ГЛ. IV
циркулируя в одном направлении по окружности [а, Ъ) *),
перешли одна в другую, то согласно сказанному выше,
точка М%, непрерывно двигаясь в одном направлении по
границе G, опишет замкнутую жорданову кривую, кото-
которая и составит всю границу G.
Одновременно заключаем, что G имеет внутренние точ-
точки и такими точками являются точки (х, у), отвечающие
неканоническим распределениям а ЕЕ V (с).
Так как мы показали, что через каждую точку грани-
границы G проходит прямая, не имеющая других общих точек
с G, то, очевидно, граница G не содержит отрезков.
Следствие 8.1. Для любых вещественных а и
Р (а2 + Р2 ^> 0) экстремальные значения интеграла
ъ
(аи (t) -j- $v (t)) da (t) (а ЕЕ V (с)) достигаются на канони-
ческих распределениях, одном и только одном для каж-
каждого экстремального значения.
Докажем еще, что рассмотренное в процессе доказа-
доказательства теоремы 8.6 движение по контуру G происходит
против часовой стрелки.
При доказательстве этого используется
Лемма 8.3. Пусть
(8.3)
причем tj<^tj хотя бы для одного значения у = 1,2,...
. . . ,v + 1.
Рассмотрим векторы (Хъ У\) и (Х2, F2), где
(Uq U]_ ^2 * * * ^*2v—1 ^2v ^*" \
i° t t° i t° t I '
lx lx Ц ... tv 'v+1 'v+1/
(Un U, Uo ... I
ft f t
h h 1г •¦¦ l
v-l Щя V
'Uo «•! U^ ... U2v-i W2v W
= Д Ln ." .o f to ."
i\ t-2 .. • ^v bv+l ''vh
V" A I . 2 •¦ v
Г2 ~a 1,0 /' .0 /' .0 /'
\i\ i\ t-2 - • • t'v W+l *¦ v4
x) Мы представляем себе, что интервал [а, Ь) свернут в окруж-
окружность так, что конец а совпадает с концом Ъ.

§ 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Г-СИСТЕМЫ 207
Тогда
sin ф ^> 0,
где ф — угол поворота от вектора (X1:Y\) к вектору (XZ,Y2)
Доказательство. Очевидно, достаточно рас-
рассмотреть случай, когда в (8.3) при всех значениях / = 1,
2, . . ., v + 1, за исключением только одного, имеет место
t] = Ц.
Рассмотрим, например, случай
„ • 0 - о I
1\ '1 1ч ... 1ч
(8.4)
Тогда по известной теореме из теории определителей а)
'и0 их щ
н
f° t t° t f° t' t"
следовательно, в силу E.3)
Zy ~кг XT' *>^ A
откуда sin ф ^> 0.
Теорема 8.7. Если точки сосредоточения масс ка-
канонических представлений последовательности {ch)Vi дви-
двигаясь по направлению от а к Ь, переходят одна в другую 2),
то соответствующая точка контура области G пробегает
этот контур против часовой стрелки.
Доказательство. Зафиксируем какую-ни-
какую-нибудь точку (х0, у0) на контуре G. Пусть каноническое
представление последовательности {c^}^, соответствующее
точке (х0, г/0), осуществляется распределением а0 (t) с точ-
точками роста t°j (/ = 1, 2, . . ., v -J- 1), где
Возьмем теперь другую точку {х1, уг) на контуре обла-
области G, соответствующую каноническому представлению
*) См. тождество Сильвестра (Ф. Р. Гантмахер [1], § 3 гл. II).
2) См. сноску на стр. 206.

208 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШВВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
последовательности {cfe}oV, осуществляемому распределе-
распределением аг (t) с точками роста Ц (/ = 1, 2, . . ., v + 1), где
Построим многочлен
2V
Р (t) = S «Л- @ + 4i« (*) + Я^ @,
о
имеющий своими корнями как t\, t\,..., t°+1, так и
Таким многочленом является, например,
/МО «1 ^2 ••• «2V-1 V ^ V
bv+l 'v+i
2v
Очевидно, что и
2v b
2 BlVo = lP(t) da0 (t) = 0,
b
BlVl = J P @ rf6l @ = 0,
+ AlX + Biy = 0
0
т. е. прямая
проходит через обе точки (х0, у0) и (хъ у^).
Так как
I ll *2 •••
0 j 3
i = A I ,o / ,o f-

§ 8> ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СИСТЕМЫ 209
то вектор (Л1? Вх) перпендикулярен к вектору (Хи
где
= д Lo" / !12 ¦" V~1 "«г "-
••1 'l '2 ••• I") ^v+l 'v
U2v -l ^ V
t f° t
Vyj fcy + i I'M
= Д (/0 f' to
\H H l2 ••
Если заменим tj на i;-, где
о < *i < *u y = i. 2 v), i'v+I-< /;H < ь,
то в силу леммы 8.3 вектор (Хг, Y\) повернется против
часовой стрелки.
Поэтому, если (х2, г/г) — точка на контуре области G,
для которой соответствующее каноническое представле-
представление последовательности {cfe}o" осуществляется распределе-
распределением <т2 (t) с точками роста tj (/ = 1, 2, . . ., v + 1), где
то, чтобы получить прямую, проходящую через точки
(х0, у0) и (xz, уг), следует прямую, проходящую через
точки (х0, у0) и (xt, Ух), повернуть потив часовой стрелки.
Теорема 8.7 доказана.
4. Тригонометрическая проблема моментов. Поясним
некоторые из полученных результатов на примере триго-
тригонометрической проблемы моментов.
Так как для системы функций
1, cos t, sin t, . . ., cos vt, sin vt (8.5)
определитель (8.1) равен 4 JJ sin 3 k , то эта система
i>K
является периодической ^-системой порядка 2v в интер-
интервале [0, 2я).
Как было показано в теореме III. 2. 6, неотрицатель-
неотрицательность теплицевой формы
(8.6)

210 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШВВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
где То > 0, Tft = Т-а = «ft — i|3ft (& = 1, 2, . . ., v), яв-
является необходимым и достаточным условием того, чтобы
последовательность чисел
То = а0, аь рь . . ., а„, Р„ (8.7)
была позитивной в [0, 2я) относительно последовательно-
последовательности функций (8.5).
Последовательность (8.7) будет строго позитивной в том
и только в том случае, если форма (8.7) положительна,
т. е. если последовательность {Ть}-« является эрмитово-
положительной.
Предполагая, что имеет место этот случай, исследуем
область G, соответствующую функциям
u{t) = cos(v + l)t; v(t) = sin(v + i)t
и которую в целях дальнейшего нам удобно обозначить
через К.
По определению области К точка ? = х + iy будет
принадлежать области К в том и только том случае,
если она допускает представление
где а ЕЕ V = V (а0, а1; р1, . . ., а„, pv), т. е. если после-
последовательность
«О, al, Pi, • • -. «v, Pv, Ж, У
позитивна относительно последовательности функций
1, cos t, sin t, ¦ . ., cos vt, sinvt, cos (v -\-\)t, sin(v +1) ?.
Последнее условие означает, что
То Ti ••• Т. S
T-i То .-Tv-i Tv >Q (a8)
T-v ... T-i То
Неравенством (8.8) определяется область К.

Периодические г-систймь1
211
Нетрудно видеть, что К является кругом с центром
Т-i То Ti - Tv-i
Т-2 Т-i То ¦•• Tv-a
с = ¦
и. радиусом
О
V :=:
(8.9)
(8.10)
где. Afc = |||
В самом деле, в силу теоремы Сильвестра о минорах
взаимного определителя имеем
где
Т-1 То Ti
Т_2 Т_х То
••• Tv-i
••• Tv-2
T_v T-(v-i) ...т-i
поэтому неравенство (8.8) эквивалентно неравенству
IS - с | < г.
Пусть теперь t, — какая-нибудь точка окружности Г:
|? — с \ = г, a (IoeF (т) — соответствующее ей кано-
каноническое распределение масс.
Рассмотрим многочлен
То
Т-i
Ti ••• Tv
То ••• Tv-i
T-v -. T-l
(8.11)
где
Очевидно, что
= O,l,...,v). (8.12)

212 ftPOBJIEMA ЧЕБЫШЕЙА-МАРКОВА [ГЛ. IV
Равенство (8.12) имеет место также при к = v + 1,
так как
2л
$ (Л+1 (е") e'i(u+1)( rfa0 (*) = Av+1 (?) = 0.
о
Отсюда
2л
а следовательно, точки роста функции а0 (t) удовлетворя-
удовлетворяют уравнению
C?v+i (e*f) = 0. (8.13)
Так как уравнение (8.13) не может иметь больше
v_+ 1 корней1), а число точек роста распределения а0 (?)
равно v + 1, то точками роста распределения а0 (t) исчер-
исчерпываются все корни уравнения (8.13).
На основании теоремы 8.6 мы можем теперь высказать
следующее утверждение:
Точки сосредоточения масс любого канонического пред-
представления строго позитивной последовательности (8.7)
суть корни многочлена (8.11), где ? = у„+1 — какая-либо
точка окружности Г.
Зная точки сосредоточения масс |х, . . ., ?v+i канони-
канонического представления последовательности (8.7), легко
находим, аналогично п. 4 § 4 гл. III, соответствующие
им массы рх, . . ., pv+1 по формуле
р {^} (/ = 1, 2, . . ., v + 1),
где
z = e-U, Ь = е*Ч (/ = 1,2 v + 1).
Поясним, что в согласии с общим определением функ-
функционала © для рассматриваемого случая
х) Мы не различаем корней уравнения (8.13), отличающихся
друг от друга на кратное 2я.

К] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-биСТЕМЫ 213
Теорема 8.7 позволяет высказать утверждение:
Если точка ? пробегает окружность Г против часовой
стрелки, то корни многочлена Q^+i (z), оставаясь простыми,
движутся против часовой стрелки по окружности | z | = 1, .
циклически переходя друг в друга.
Д.8.2. Если точка ? находится внутри (вне) окружности Г, то
все корни многочлена Q^+1 (z) находятся внутри (соответственно вне)
окружности | z | = 1.
В одной части это утверждение было доказано Г. Полна и Г. Сеге
[1], в другой— М. Г. Крейном [1]. Позже М. Г. Крейн [7] уста-
установил соответствующее предложение в общем случае индефинитной
п
(невырожденной) формы /j^j-k1'^1
о
У.8.3 (Н. И. А х и е а е р и М. Г. К р е и н [4]). Вещественной
последовательности {Tfel^ поставим в соответствие последователь-
последовательность
| (
з—о
Данная последовательность {T/Jq является тригонометриче-
тригонометрической моментной, т. е. допускает представление
7Т
1 = \ cos kt ds (t)
тогда и только тогда, когда последовательность {sft}^ является сте-
степенной моментной последовательностью в интервале!—1,1]. Отсюда
вытекает любопытный алгебраический факт: неотрицательная оп-
определенность вещественной тенлицевой формы эквивалентна неот-
неотрицательной определенности двух ганкелевых форм.
Д.8.4. Вещественная последовательность {ТГ^}^, состоящая из
неотрицательных чисел, является тригонометрической моментной
последовательностью, если эта последовательность убывающая
(ДТь = ТОс+1 — Чк > 0> к= 0. 1. •••. ге— 1) и выпуклая (A2Tft =
= АТ)?+1— Affe S^ 0, к = 0, 1, . . ., ге— 2). Для таких последова-
последовательностей тригонометрическая проблема всегда неопределенная.
Это утверждение является непосредственным следствием изве-
известной теоремы Юнга (см. А. Зигмунд [1], гл. V):
Если выпуклая последовательность вещественных чисел
стремится к нулю, то ряд
оо
4" ?° + 2 \.cos kt

214 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
сходится всюду при t ф О к непрерывной неотрицательной функции
/ (/), интегрируемой на [0, я], и является рядом Фурье этой
функции.
( к
Из Д.8.4 сразу вытекает, что последовательностьJ1— —
\ П
(m <J re) является тригонометрической моментной последователь-
последовательностью.
Однако имеет место более сильное утверждение
Г к }т
(!) У.8.5. Последовательность Jl——\ является тригоно-
(_ ге ](с=о
метрической моментной при т <; 2ге, причем строго позитивной
для го<2п и сингулярно позитивной для т. = 2п.
Это вытекает из следующего представления:
гп
1 — — = ^ PjCosft^ (fc = 0,1,..., 2ч), (8.14)
3=1
где
л2
2rfi sin2
!; - 1) я
= 1, 2,
Предлагаем читателю вывести представление (8.14) из его
континуального аналога:
°° cos . ? ях
3=1
5. Проблема Каратеодори и описание ее решений.
С тригонометрической проблемой моментов тесно связана
исторически предшествовавшая ей проблема Каратеодори,
которая состоит в следующем.
Задана последовательность комплексных чисел
{Th}o (To ^> 0). Требуется найти условия, при которых
существует функция F (z) €E % такая, что
С /~\ 'Y0 I I л. «2 I ! *r «v ! /О /«v+i\ /Q i c;\
Г B) =^ -7J— -р TjZ -|- \<2% -\- ... —р YvZ "г" ^ \2 )> ^0.101
Так как при Im F @) = 0 общий вид F (z) e % есть

§ 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СИСТЕМЫ 215
то проблема Каратеодори разрешима тогда и только тогда,
когда последовательность {Т&}о допускает представление
(к = 0, 1, . . ., v), (8.16)
т. е. тогда и только тогда, когда последовательность {т&}%
(X_;t = Yft) является эрмитово-неотрицательной, и фор-
формулой
2л
F (z) = 4- [ 6'; + Z da(t) (oeF(V)) (8.17)
1 J ег' — z
о
задается общий вид функций F (z)gE'e', удовлетворяющих
условию (8.15).
Ясно, что проблема Каратеодори является неопреде-
неопределенной (т. е. имеет не единственное решение) одновремен-
одновременно с тригонометрической проблемой для {Y&l-vi т. е. в том
и только в том случае, когда последовательность {Tft}-v эр-
митово-положительна.
Для описания всех решений проблемы Каратеодори
в неопределенном случае введем множество Gz как мно-
множество значений всех решений F (z) в фиксированной точ-
точке z (| z | <С 1). Это множество совпадает с областью G
(см. п. 3), построенной для системы функций (8.5) и систе-
системы моментов (8.7) при следующем определении функций
и (t) и v (t):
At i _ л At I _
... 1 т,
и (*)=_-Re
и будет состоять из точек Z вида
Положим
P(z)=±d 14^ IQ(z) - Q (ei')l, (8-18)
•* ( e" — z
где многочлен Q (z) = Q^H (z) определяется равенством
(8.11).

216 ПРОБЛЕМА ЧЕЕЫПШВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
г
Согласно теореме 8.6 точка Z находится на границе Г
области Gz в том и только в том случае, когда она отве-
отвечает каноническому распределению а = а0 ее V (т), ко-
которое в свою очередь взаимно однозначно определяется
точкой ? = ?о (— Т°«)> лежащей на окружности Г
круга К (п. 4). Для этого канонического распределения:
+ Ц.
Р (z) — ~<Г 2л Pi ~Jz-
а следовательно,
e 1 — z
Коэффициенты многочленвв Q (z) и Р (z) являются рацио-
рациональными функциями от ч,с {к = 0, +1, . . ., + v)i притом
линейными от ? = yv+1.
Как мы знаем, точка ? пробегает окружность: t, =
= с + гё (|е| = 1) с центром с и радиусом г, опреде-
определяемым по формулам (8.9) и (8.10). Полагая в выраже-
выражениях (8.11) и (8.18) для Q и Р: fv-ц — с + ri, получим х)
У ,
*QV (г) е - Qv (г)
где
(?v(z) = ,-—-— det (; т-fe T-te-n --•
V AvAv-l
Pv (z) — сопряженный многочлен:
Pv (z) = 4- ©{-J-^- [<?v (z) -
(8.19)
к (z) = z-pv D-
Формула (8.19) была получена независимо А. П. Арте-
менко [1] и Я. Л. Геронимусом [8]. Согласно этой фор-
1) Мы опускаем промежуточные выкладки, проделанные нд
этом пути А. П. Артеменко [1].

§ Щ Периодические т-системЫ 217
муле, когда е пробегает единичную окружность, точка Z
также пробегает некоторую окружность, которая и будет
границей dGz. Таким образом, Gz (у0, у1? . . . , yv) есть
некоторый круг, лежащий внутри правой полупло-
полуплоскости х).
Указанными авторами получены были также следую-
следующие формулы для радиуса rv (z) и центра cv (z) круга Gz:
ИМ*I"-1«М*)Г (8_20)
Ms) = Qv(')Q;^|^|',QQvV(iyv(') •
Из первого соотношения, между прочим, следует, что
всегда | Ql (z) | ^> | zQv (z) | при | z | <^ 1. Это согла-
согласуется с утверждением Д.5.2, из которого следует, что,
более того, | (X (z) | > | Q* (z) 1 при | z | ^ 1.
Таким образом, в формуле (8.19) значению Z = °о
отвечает значение ет, лежащее вне круга Gz ( | z | <^ 1).
Поэтому при данном z ( J z | <^ 1) дробно-линейное пре-
преобразование (8.19) отображает круг | е | ^ 1 взаимно
однозначно на круг Gz. Впрочем, это можно было усмот-
усмотреть и из того, что, когда е обегает единичную окруж-
окружность в положительном направлении, в том же направ-
направлении обегает Z окружность Гг = dGz (этот факт легко
получается на основании общей теоремы 5.6).
Рассмотрим теперь любое решение а тригонометриче-
тригонометрической проблемы (8.16) и соответствующую ей по форму-
формуле (8.17) функцию F (z) (?=$)• Для любого z ( | z | < 1)
будем иметь F (z) GE Gz, откуда
,PV («)*<«> + ^(«)
zQv (z) « (z) - Q* (z)
где | & (z) j <^ 1. С другой стороны, если мы определим
из этого равенства $ (z), то найдем, что функция & (z) яв-
является мероморфной функцией в диске | z | < 1 и, стало
быть, Щ (z) ЕЕ Ш.
1) Этот факт впервые был получен из других соображений
Г. Пиком [2], у которого, однако, отсутствовало уравнение (8.19).

218 .ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА [ГЛ. rV
Обратно, если, выбирая какое-либо &(z)E=?B, мы опре-
определим равенством (8.21) функцию Fs (z) (| z | <С 1), то для
любого z(| z|< 1) будем иметь Fs (z) ЕЕGz(т0, Ть • • •, Tv),
откуда Рщ{ъ)^%.
Остается показать, что при любом & (z) ?5 S3
^* (z) = -^ + Ti B) + .» + W + О (z*«). (8.22)
Для этого воспользуемся тем, что определитель
преобразования (8.21) после деления его на — z имеет
значение:
Поэтому для любого 8 (| 81 = 1)
и так как при ё = в соотношение (8.22) имеет место, то
оно имеет место при любом & (z) ЕЕ 33.
Таким образом, когда & (z) пробегает 33, то F (z) про-
пробегает все решения проблемы Каратеодори.
Так как распределение а определяется соответствую-
соответствующей функцией F (z) (e ^) единственным образом (см.
Приложение, п. 1), то одновременно мы получили пол-
полное описание всех решений тригонометрической проблемы
моментов.
Отметим некоторые аналитические свойства многочле-
многочленов (?v (z) и Рч (z).
Легко видеть, что Qv (z) есть ортогональный многочлен
v-й степени по отношению к функционалу 6, порождаемо-
порождаемому заданной эрмитово-положительной последовательно-
последовательностью {yfe}—v, т. е.
Как показал Г. Gere (см. Я. Л. Геронимус [8]), имеет
место следующий аналог классической формулы Кристоффе-
ля—Дарбу для ортогональных алгебраических многочленов:
2i QAz)Qk{l) =

§ 8] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СИСТЕМЫ 219
где Qh(z) (к = 0, 1, . . ., v; Qo = ilVс0) ~ ортогональ-
ортогональный многочлен к-ж степени по отношению к функционалу
(?. Полагая в (8.23) L, = z и вспоминая (8.20), находим,
что
/?=0
Если функция F {?) — уо/2+ TiZ +•••+ T*zV
то и функция
и последовательность {T^^}-v, определяемая однозначно
по последовательности {Th}-1, одновременно эрмитово-по-
ложительна вместе с последней.
Оказывается (Я. Л.Геронимус [8]), многочлены
Ph (z) (к = 0, 1, . . ., v) являются нормированными орто-
ортогональными многочленами по отношению к функционалу
&\ порождаемому последовательностью {T^J-v, a Qk(z)
(к = 0, 1, . . ., v) —• сопряженными к ним.
Этот факт легко следует из очевидного разложения
V
и того, что определитель написанного дробно-линейного
преобразования над ё по-прежнему равен —zv+1.
6. Задача Каратеодори—Фейера. Решение проблемы
Каратеодори позволило Каратеодори и Фейеру полу-
получить решение следующей задачи:
Задача (К — Ф). Задана последовательность комп-
лепсных чисел {a/JoM^j| ан |^> 0) • Требуется найти
^ о '
среди функций F (z) — а0 + arz + • • • + anzn-\- О (zn+1),
голоморфных в диске \ z \ < 1, ту, для которой величина
HL= sup \F{z)\ (8.24)
имеет наименьшее значение*

220
ПРОБЛЕМА ЧЕВЫШЕВА - МАРКОВА
[ГЛ. IV
Мы приведем решение этой задачи в форме, указанной
И. Щуром Ц].
G этой целью свяжем с последовательностью {afe}~ тре-
треугольную матрицу
а0 аг ... аГ:
О а0 ... ап-х
О О
Воспользуемся также ныне общепринятым обозначением
Ны для банахова пространства всех голоморфных и огра-
ограниченных в диске | z | < 1 функций F (z) с нормой (8.24).
Решение задачи (К — Ф) дается следующим предложе-
предложением.
. Теорема 8.8. Наименьшее значение нормы Ц^Ц»
для функций
с заданными а0, ах, . . ., ап совпадает с наибольшим корнем
Хм векового г/равнения
det {АпАп -
- 0.
(8.26)
Достигается это значение нормы для единственной
функции Fp (z), являющейся несократимой дробью вида
,г '
(8.27)
где г — ранг матрицы АпАп — %м1п+1.
Коль скоро известно, что искомая функция Fy. имеет
вид (8.27), то числа ah (k = 0, 1, . . ., г) могут быть най-
найдены следующим образом.
Так как искомая функция Fp допускает разложение
(8.25), то, умножая обе части равенства (8.27) на знаме-
знаменатель и приравнивая получившиеся коэффициенты в ле-
левой и правой части при zk (к = 1, 2, . . ., г), получим
(A = 0,1, ...,/-). (8.28)
)=о

8]
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СИСТЕМЫ
221
Введем в рассмотрение ганкелеву комплексную матрицу
порядка г + 1:
a0 0 ... О О
Ц-
0 0 ... 0 1
0 0 ... 1 0
1 0 ... 0 0
и вектор а = {а/}5. Тогда систему равенств (8.28) можно
записать в виде Ггос = Х^а. Переходя к комплексно со-
сопряженным величинам, получаем Г/г = Хма, откуда
(ГГГГ - 1Уг+1) а - 0. (8.29)
Легко видеть, что матрица ГГГГ — Хм/т получается
из матрицы АГАГ — ХлТг+1 транспонированием и перево-
переворачиванием вокруг второй диагонали, а следовательно,
имеет тот же ранг, равный г (см. ниже).
Таким образом, последовательность {ak}r0 определяется
из (8.29) с точностью до скалярного множителя, а если мы
потребуем, чтобы она удовлетворяла и системе (8.28), то —
с точностью до вещественного скалярного множителя.
Из приведенных рассуждений следует также, что фор-
формула (8.27) эквивалентна следующей:
где ^г (z) — определитель матрицы, получающейся из ма-
матрицы АГАГ — 1м/г+1 заменой ее последней строки стро-
строкой степеней zr, zr^, . . ., z, 1, ^*-(z) — zr^r A/z), a sr—
унитарное число: | er | = 1. Его можно определить, при-
приравнивая, например, свободные члены левой и правой
частей в (8.30). (Без ограничения общности можно считать,
что а0 =f= 0.)
Поясним, как получается теорема 8.8.
Если некоторая функция / (z) регулярна в окрестности
точки z = 0 и в этой окрестности
то будем писать ah = ah (/) (к = 0, 1, . . ., п) и An = An(f),

222 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Легко видеть, что для любых двух функций Д (z) и
/2 (z), регулярных в окрестности точки z = 0, и комплекс-
комплексных чисел Я,х, Я-2 будет:
Л„ (Wl + Я2/2) = М„ (/0 + Mnfo), ^„ (/l/2) = ^п(А) Л(/«).
В частности, если ao(f)=j= — 1, то Лп (/~х) = Л^1 (/),
если а0 (/) =f - 1 и F = A - /) A + /Г1, то
Ап (F) = (Jn+1 - Лп
Ап (/) = (/п+1 - Ап (/?)) (Jn+1
Полученные в п. 4 результаты по тригонометрической
проблеме моментов можно переформулировать следующим
образом:
' а) Пусть {а^УЦ — заданная последовательность ком-
комплексных чисел. Для того чтобы существовала функция
/ (z) = а0 + axz + . . . + anzn + О (zn+1) e %, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы теплицева матрица ?Гп =
= Ап -\- Ап была эрмитово-неотрицательной: Ап -\-
+ Ап ~^* 0. При выполнении этого условия требуемая
функция будет определяться единственным образом в том
и только том случае, когда матрица Ап + Ап вырожда-
вырождается: det (Ап + Ап) — 0. Отсюда получается:
б) Пусть {а&}о — заданная последовательность ком-
комплексных чисел. Для того чтобы существовала функция
F (z) = а0 + axz + • • . + anzn + О (zn+1) e 33, необходимо
и достаточно, чтобы 1п+1 — АпАп [> 0. При выполнении
этого условия требуемая функция F (z) будет определяться
единственным образом в том и только том случае,
когда det (/n+i — АпАп) = 0.
В самом деле, при умножении чисел ак (к = 0,1, .. ., п)
на одно и то же число е (| г | = 1) матрица /п+1 — АпАп
остается инвариантной. Поэтому можно принять, что
аоф — \. Функция F(г) = а0 + . .. + anzn + О(z"+i)<= 3d
в том и юлько том случае, когда функция / (z) = у +
+ Ti(z) + • • • + TnZn + O(zn+1)E= %. Для теплицевой мат-
матрицы jrn = || f}_k |р ^Го = у (т + г)- т_» = у*.к = °»1 ге)
согласно указанным выше свойствам матриц An(f) будем

§ iij ПЕРИОДИЧЕСКИЕ Т-СИСТЕМЫ 225
иметь
3~п^ G„+1 - An)(In+1+ An) + [Aп+1 - Ап) Gп+1+ Л,,)-1]*-
= 2 Gп+1 + X) (/„+1«- ХЛ) (/„« + Л»)- (8.31)
Мы видим, что матрицы $"п и 1п+х — АпАп одновре-
одновременно эрмитово-неотрицательны (положительны) и имеют
одинаковый ранг. Отсюда уже следует утверждение б).
Если матрица 3~п >0 и имеет ранг г ^ п, то в этом
и только этом случае det |]т,/-ь1о — 0, det JTi-ftlo ^> 0.
Пользуясь соотношением (8.31) для усеченных матриц,
получаем отсюда, что если матрица /п+х — АпАп ]> 0,
то ее ранг равен порядку первого из определителей
det (Ik+i — A]tAh), отличного от нуля.
Если F (z) = а0 + atz + . . . + anzn + О (z^1) ёЕ Л"^
и \\F\\cc < К, то Аг1^ е S3 и, стало быть, In+1 — K~2AlAn >
]> 0, т. е. Я2/п+1 — АпАп > 0. Очевидно, что и обратно,
если при некотором К ^> 0 выполняется это условие, то
найдется F ЕЕ Н<х, с указанными свойствами.
Отсюда вытекает первое утверждение теоремы 8.8.
Теплицева матрица S"„ (Дл),где /^ == (Я.м-^п+1 — Fy) x
X (Ям/п+1 + F)'1, будет вырожденной ранга г «С п, а потому
/ia Fr 'г?) будет рациональной функцией точно степени г,
принимающей чисто мнимые значения на мнимой оси.
Отсюда уже следует формула (8.27).
Теорема 8.8 доказана.
У.8.6 (И. Шур [1]). Для того чтобы заданной бесконечной
последовательности комплексных чисел {<г/4}^° отвечал ряд
сходящийся в диске | г | < 1 к некоторой функции F (г) ? <©,
необходимо и достаточно, чтобы jfn+1 — А^Ап^ 0 для всех
п= 0, 1, 2, ...
7. Задача И. Шура. Если Х^> Хм (а0, . . ., ап), т. е.
Я ]> 0 и Я.2/п+1 — АпАп ^> 0, то в этом и только этом случае
будет существовать бесконечное множество функций F
вида (8.25) с || F Ц,» sj: Я.. И. Шур [1] решил задачу об их
полном описании.
Для формулировки соответствующего результата
обозначим через Лп (z; Ц и ЗЗп (z; X) определители,

224 ПРОБЛЕМА *ГЕБЫП1ЕВА-МАРКОЙА [ГЛ. IV
получающиеся из определителя det (X2In+1 — АГ1Ап) соот-
соответственно заменой его последней строки строкой
z'\ zn~x, . . ., 1 и заменой его последнего столбца столбцом
из многочленов а0, aoz + а1( . . ., aozn + axzn~x + . . .
. .. + ап, и положим, как обычно,
J,n(z; X) = znj~n(llz; X), 3d*n(z; X) = znWn (Hz; X).
Теорема 8.9. Если X2In+1 — AnAn > О, то полное
описание всех функций (8.25) с нормой || F!«, ^ X' дается
формулой
e5e # (z) — произвольная функция из 3d.
Описание вида (8.32) И. Шур [1] получил с помощью
ставшего классическим алгоритма дробно-линейных пре-
преобразований (см. также Н. И. Ахиезер [4] и Я. Л. Герони-
мус [8]). Этот алгоритм естественным образом переносится
на проблему Неванлинны — Пика (вариант этого алго-
алгоритма см. в § 5 гл. V).
Указанные явные выражения для Лп (z; К) и 53n (z; X)
заимствованы из статьи В. М. Адамяна, Д. 3. Арова,
М. Г. Кройна [3] х). Там же имеется доказательство соот-
соотношения
где Aft = det (X*Ik+1 —АкАк). Вывод этих результатов
мы опускаем.
Формула (8.32) породила некую «цепную реакцию»:
одна за другой возникли формулы по описанию решений
всяких «неопределенных» проблем в теории скалярных,
матричных и операторных функций, спектральной теории
*) На стр.63 этой статьи, по недосмотру, при формулировке пра-
правила определения многочлена qp (z), соответствующего многочлену
г<®„_1 (г; W/det (/„ — А „^Л^), многочлены «о, о0г + oi, . . .
. . ., dozn~l -+- • • • + <*„_! оказались замененными многочленами
по, а0 + diz, . . ., ао + . . . + ап_^п~х.

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 225
краевых задач и общей теории расширений эрмитовых
операторов в пространствах с дефинитной и индефинит-
индефинитной метрикой. Этот процесс продолжается и в наше
время.
Развитием результата Шура в некоторых специальных
направлениях являются приводимые в § 7 главы IV,
§§ 4—6 главы V формулы по описанию решений рассмат-
рассматриваемых там «неопределенных проблем». Это обстоятель-
обстоятельство и явилось основным мотивом для приведения резуль-
результата И. Шура.
Разумеется, так как, например, дробно-линейное пре-
преобразование / (z) -> [/ (z) — / @)]/z [f (z) + f @)] отобра-
отображает класс ^взаимно однозначно на класс 53, то из форму-
формулы (8.32) по определенной процедуре может быть получена
формула для описания всех решений проблемы Каратео-
дори (всех решений тригонометрической проблемы момен-
моментов), как и обратно. Однако вывод выражений для много-
многочленов Рч (z), (?v (z) в формуле (8.21) на этом пути,
по-видимому, будет значительно сложнее, чем на том, ко-
который был избран А. П. Артеменко и Я. Л. Геронимусом.
Исторические комментарии и примечания к главе IV
1. Круг идей, о которых идет речь в этой главе, имеет своим
началбм замечательное сообщение, опубликованное П. Л. Чебы-
шовым в 1874 г. [1].
В птом сообщении знаменитый русский ученый ставит следую-
следующую проблему:
Даны числа
«<!<*!< ъ
и значения интегралов
Ь
tkj(t)dt = Sk (к = 0,1 в_1); A)
требуется найти наиболее тесные пределы для
\ f (*) dt
%
при условии, что / (t) не может получать в промежутке от t = a
до t = Ь отрицательных значений 1).
!) Впоследствии вместо термина «наиболее тесные пределы»
П. Л. Чебышев и А. А. Марков употребляли большей частью тер-
термин «предельные величины».

226 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [Гл. IV
Отмечая, что изыскания по этой проблеме привели его к «но-
«нового рода теоремам, касающимся разложения выражения
в непрерывную дробь», П. Л. Чебышев пишет:
«Вот, например, одна из этих теорем:
Ф (г)
Если , , , есть одна из дробей, подходящих к интегралу
jjfidt
получаемых при разложении его в непрерывную дробь
1 ,
и если
Х\, Х%, . . .) Х-ц, Ж^+1, . . ., *j_j« Х^, . . ., Хт
суть корни уравнения
Ч> (*) = О,
расположенные в порядке возрастания, то всякий раз, когда между
пределами t = a, t — b функция f (t) остается положительной,
величина интеграла
Х1
J / («) dt C)
превышает сумму
к+1 К+2 j8 ¦'
и остается менее следующей:
Ф (gfc) Ф (gfc+1) ,
Ф' (*) Ф' (г)
фт (г)
Подходящая дробь г,—тт , которая получается, если остано-
Tm \z)
виться в B) на неполном частном amz+ pm, может быть иначе
определена еще так:
Ее знаменатель i|)m (z) является ортогональным многочленом
m-й степени, определяемым с точностью до постоянного множителя

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 227
соотношениями ортогональности:
ъ
'к\рт (t) f (t)dt = О (к = 0,1, . . ., т — 1),
а
а фт (z) — сопряженный с t|>TO (z) многочлен, т. е.
ь
Фт (г) = V ^"* V j f ' ' ( ) •
а
Для построения многочленов i|)m (z) и фт (z) достаточно знать
первые п = 2?га моментов A).
Как известно, все корни ортогонального многочлена вещест-
вещественны, различны и лежат внутри интервала [а, Ь]; числа
р. =Дн
всегда положительны; вместе с узлами г?- (/ = 1, 2, . . ., m) они по-
позволяют написать формулу квадратур, являющуюся обобщением
известной «формулы механических квадратур» Гаусса:
J
a j=l
Эта формула квадратур замечательна тем, что в ней остаточный
член Rm обращается в 0 для всякого многочлена g (t) степени не
выше 2т — 1.
В частности, при
g(t)= t" (*= 0, 1 , 2m- 1)
получим нижнее главное представление последовательности {sjJq:
т
«к = 2 рЛ- (/? = °- !- • • - 2'" - 1). (*)
Доказательства неравенств
П. Л. Чебышев не опубликовал.
2. В 1884 г. появилась и «Сообщениях Харьковского матема-
математического общества» за 1883 г. работа А. А. Маркова [1], в кото-
которой он, приводя неравенства П. Л. Чебышева, пишет:
«Прошло почти 10 лет и, однако, доказательства этих неравенств
мы нигде не встречаем.

228 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА — МАРКОВА [ГЛ. IV
Только отчасти путь к доказательству намечен самим П. Л. Че-
бышевым.
После нескольких бесплодных попыток мне удалось, наконец,
найти весьма простое доказательство вышеуказанных неравенств
вместе с нижеследующими:
: (t) dt
В том же 1884 г. работа А. А. Маркова появилась на француз-
французском языке в Mathcmatische Annalen [3].
Вскоре после этого А. А. Марков нашел решение проблемы
Чебышева для любого п при 5= о и произвольном ц из [а, Ь].
Решение последней проблемы А. А. Марков опубликовал в
своей диссертации: «О некоторых приложениях алгебраических
непрерывных дробей» (СПб., 1884 г.).
Почти одновременно с А. А. Марковым, но все же несколько
позже, аналогичные результаты опубликовал голландский мате-
математик Т. Стилтьес, не упоминая о работах П. Л. Чебышева и
А. А. Маркова. По этому поводу А. А. Марков написал письмо Эр-
миту, выдержка из которого была опубликована. В ответ на это
письмо Стилтьес поместил небольшую заметку, в которой признал
приоритет русских ученых, объяснив, что о работах А. А. Маркова
он не мог знать, а заметка П. Л. Чебышева ускользнула от его вни-
внимания.
По-видимому, П. Л. Чебышеву также было известно решение
его проблемы не только для случая, когда Z, и г| суть корни орто-
ортогонального многочлена tym (t), но и для случая 5= ей произволь-
произвольного ц из интервала [а, Ь]. В упоминавшейся заметке 1874 г.
П. Л. Чебышев, кроме своих неравенств (которые он привел, пред-
предпослав слова: «Вот, например, одна из этих теорем»), сообщает без
доказательства формулы, дающи? для п = 3 полное решение.
Для этого случая П. Л. Чебышев формулирует задачу как
механическую:
«Даны: длина, вес, место центра тяжести и момент инерции
материальной прямой линии с неизвестной плотностью, изменяю-
изменяющейся при переходе от одной точки к другой. Требуется найти наи-
наиболее тесные пределы для веса некоторого отрезка этой прямой» х).
Вскоре после выхода в свет диссертации А. А. Маркова
П. Л. Чебышев опубликовал (снова без доказательства) свои
х) Далее П. Л. Чебышев уточняет, что речь идет о весе отрез-
отрезка, отсчитываемого от одного из концов линии.

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 229
формулы для решения того же вопроса о предельных величинах
¦п
интеграла \ / (t) dt.
а
Исследования А. А. Маркова были несколько упрощены и блес-
блестяще изложены в диссертации К. А. Поссе [3], в которой был выяс-
выяснен также переход от формул А. А. Маркова к формулам П. Л. Че-
бышева.
3. Хотя в атой книге не затрагиваются вопросы теории вероят-
вероятностей, нельзя, однако, обойти молчанием то гениальное примене-
применение, которое дал П. Л. Чебышев своим равенствам в теории ве-
вероятностей.
В 1885 г. П. Л. Чебышев публикует мемуар [3], в котором он
находит новые важные формулы для масс р3-, фигурирующих в его
неравенствах. Эти неравенства он распространяет на случай функ-
функции / (t), заданной в бесконечном интервале.
С помощью поразительной по своему остроумию выкладки
П. Л. Чебышев [8] получает оценки для масс р3-, соответствующих
функции / (t) = е 2 , которые позволяют ему на основании его
неравенств установить следующую теорему: «Если функция f (t),
оставаясь положительною, дает
оо оо оо оо
С / (t) dt = 1,- С tf (ц dt = о, С щ (ц dt = J_, С «з/ (t) dt = o,
—.00 —OO —OO —OO
OO OO
С i2m-2/ (t) dt = 1-3-5... Bm-3) С ttm-if ,t) dt = 0
—OO
то величина интеграла
яаключается в пределах
E)
В этой теореме П. Л. Чебышева можно всюду вместо / (t) dt
писать дифференциал Стилтьеса do (t), где a (t) — некоторая

230 ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА - МАРКОВА [ГЛ. IV
неубывающая функция, и, собственно, только тогда будет полностью
охвачено содержание того вывода, к которому приводят рассуж-
рассуждения П. Л. Чебышева.
Впоследствии Н. Я. Сонин [1] упростил и одновременно
уточнил оценку П. Л. Чебышева для чисел р3-, что позволило заме-
заменить громоздкое алгебраическое выражение, фигурирующее в
«пределах» E) величиной, не зависящей от у и равной
2т+1
(см. по этому поводу также работу А. А. Маркова [15]).
Несколько месяцев спустя П. Л. Чебышев в замечательном
мемуаре «О двух теоремах теории вероятностей» [4] изложил свой
знаменитый, основанный на предыдущей теореме, метод доказатель-
доказательства предельной теоремы теории вероятностей.
Как известно, в этой теореме утверждается, что для последо-
последовательности независимых случайных величин X-±, X 2, . . ., имею-
имеющих математические ожидания, равные 0, при выполнении неко-
некоторых дополнительных условий вероятность неравенства
Xl + Хг + ' ' ' + Z" < h,
V2Bn
где Вп есть сумма математических ожиданий квадратов величин
XI, X 2, ¦ ¦ ч-У п> стремится при п —» оо к пределу
V* \
Дополнительные условия, о которых здесь упоминается, мо-
могут быть более или менее жесткими. Сформулированные П. Л. Че-
бышевым условия оказались недостаточными, и, кроме того, извест-
известная часть рассуждений П. Л. Чебышева при доказательстве теоре-
теоремы осталась не обоснованной. Эти пробелы были устранены впо-
впоследствии А. А. Марковым [6, И, 15].
Эти работы П. Л. Чебышева и А. А. Маркова явились .высшим
достижением теории вероятностей того времени. Начиная с этих
работ определенная область вопросов теории вероятностей приоб-
приобрела твердую математическую базу, которая отсутствовала до тех
пор, несмотря на усилия крупнейших математиков мира.
Хотя в дальнейшем А. М. Ляпунов нашел новые методы, еще
более сильные, чем метод моментов П. Л.Чебышева, последний
не потерял своего значения, и по сию пору ярко сверкает среди
многих замечательных творений отечественной математической
мысли в теории вероятностей х).
х) Детальный и глубокий анализ этих исследований П. Л. Че-
Чебышева и А. А. Маркова читатель найдет в статье С. Н. Берн-
штейна в сборнике «Научное наследие П. Л. Чебышева» (изд.
АН СССР, 1945) и в комментарии А. Н. Колмогорова ц
JII тому собрания сочинений П. Л. Чебышева [12].

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 231
4. Возвращаясь к диссертации А. А. Маркова, отметим, что
он в ней решил проблему Чебышева в более общем виде, а именно,
он нашел не только экстремальные значения интеграла
/ (*)
при данных моментах s0 ^> 0, slf . . ., sn-i функции / (t), но также
экстремальные значения интеграла
•л
где Q (?) — произвольная функция, га-я производная которой не-
неотрицательна в интервале [а, Ь].
Как указывает само название диссертации А. А. Маркова, важ-
важную роль в ней играет аппарат непрерывных дробей.
Однако уже в 1886 г. в письме к Эрмиту, в котором А. А. Мар-
Марков кратко сообщает основные результаты своей диссертации, он
пишет:
«В последнее время я пришел к заключению, что теоремы, впол-
вполне аналогичные предыдущим (отвлекаясь от формул, служащих
для определения расстояний от искомых точек до точки А), могут
быть высказаны в весьма общем случае, когда задаются интегралы
г
г
/ (У) Я,1 (у) dy, ? / (.v) Х2 (v)
(у) XnJrl (у) dy,
где Хх, Х2, . . -Дп+1— какие-либо данные функции, подчиненные
только условиям, чтобы определители
x" x"
x3
x'
1 ¦ •
• J
'vn+l
лп+1
л(П)
были всюду положительны между пределами у = 0 и у — J, и речь
идет о максимуме интегралов
I V
^Q (у) j (у) dy и ^Q(y)j{y) dy
и т. д.»
В том же году он публикует на эту тему мемуар «Sur une ques-
question de maximum et de minimum, proposee par M. Tchebycheff» [5].
В дальнейшем А. А. Марков развил проблему моментов в двух
новых направлениях, о которых пойдет речь в шестой и седьмой

232 ПРОБЛЕМА ЧЁВЫШЕВА - МАРКОВА [ГЯ. 1\
главах. Там же будут подвергнуты некоторому анализу работы
П. Л. Чебышева, стимулировавшие исследования А. А. Маркова.
5. Как уже указывалось в предисловии, приведение в тесное
соприкосновение идей А. А. Маркова с функционально-геометриче-
функционально-геометрическими идеями позволяет упростить и обобщить исследования
А. А. Маркова по обобщенной проблеме моментов 1) и придать им
известную геометрическую наглядность.
Геометрический подход к проблеме моментов берет свое начало
в работах К. Каратеодори [1, 2] A907 и 1911 гг.), продолженных и
развитых далее Ф. Риссом [2] A916 г.).
На возможность использования функционально-геометрических
методов для построения теории канонических представлений впер-
впервые указал М. Г. Крейн [2] на II Всесоюзном математическом съез-
съезде. К 1938 г. им была подготовлена рукопись с подробным изло-
изложением новых методов, которая погибла во время Великой отече-
отечественной войны. Содержание рукописи, в некоторой части в более
совершенном виде, было восстановлено при редакционном участии
П. Г. Рехтман в статье М. Г. Крейна [5] A951 г.).
Эта статья отличалась от погибшей рукописи тем, что в ней
более систематически использовался «метод максимальной массы»,
позволивший при доказательстве ряда предложений пе пользоваться
существованием Г-продолжения данной Г-системы 2). Частично это
стимулировалось следующим недоразумением: М. А. Рутман сооб-
сообщил, что такое продолжение не всегда возможно на замкнутом ин-
интервале [а, Ь], но всегда возможно на открытом интервале (а, Ь)
(см. сноску ]) на стр. 64 цитированной статьи). При подготовке
данной книги авторы обратились к М. А. Рутману с настоятельной
просьбой обосновать это утверждение, в ответ на что он сообщил
доказательство теоремы If.5.4, которая здесь публикуется впервые,
о том, что и на замкнутом иптервале Г-продолжение всегда воз-
возможно.
6. Содержание § 1 заимствовано из статьи М. Г. Крейна [5].
Это же относится к § 2, исключая добавления в п. 1 и пп. 4, 5. От-
Отметим, что формулы п. 5 для случая а = 0, b = оо (см. гл. V)
были впервые указаны А. А. Марковым. Для случая конечного
интервала они были получены М. Г. Крейном [8] попутно при описа-
описании всех решений степенной проблемы моментов, которое было опуб-
опубликовано спустя 10 лет. Это описание изложено в § 7 несколько
иным путем, чем в указанной заметке; доказательство теоремы 7.2
публикуется впервые. Отметим, что в той же заметке показаны
различные выходы в теорию расширения ограниченных эрмитовых
операторов с неплотной областью определения.
7. Содержание § 3 заимствовано из работы П. Г. Рехтман [2],
выполненной под руководством М. Г. Крейна.
х) Так, удалось освободиться от требования дифференцируемости
и^ (t) и Q (?), а также ограничиться рассмотрением ^-систем (вместо
М -систем) при построении полной теории канонических представ-
представлений.
2) Идея прежнего метода построения и исследования канони-
канонических представлений изложена в § 6.

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IV 233
8. В основе теорем, изложенных в § 4, лежит общий принцип
М. Рисса [1] позитивного продолжения на вое С (а, Ь) функционала,
который определен и позитивен на подпространстве: экстремаль-
экстремальные значения интеграла определяют «крайние» позитивные продол-
продолжения на элемент Q ({) позитивного на $ функционала S. Этот
метод М. Рисса получил дальнейшее развитие в статье М. Г. Крей-
на [9].
Теоремы § 4, о которых идет речь, были получены с той или
иной степенью общности независимо рядом авторов, в числе которых:
Г. Рихтер [1], К. Исин [1, 2], С. Карлин (см. С. Карлин и В. Стад-
ден [1]), Дж. Кемперман [1, 2] и др.
9. Обратные теоремы (результаты § 5) были получены А. А. Ну-
дельманом еще в 1961 г., однако из этих результатов были опубли-
опубликованы только леммы 5.1 и 5.3 (А. А. Нудельман [8]).
Содержание ил. 1—4 § 8, исключая упражнения, заимствовано
из статьи М. Г. Крейна [5]. Литературные указания к пп. 5—7 при-
приведены в тексте.

Глава V
ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА ПОЛ У БЕСКОНЕЧНОМ
ИЛИ БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
В этой небольшой главе показано, как проблема моментов на
нолубесконечном или бесконечном интервале может быть сведена
при определенных условиях к проблеме на конечном интервале.
Эти условия выполняются для классических проблем, которые
служат здесь иллюстрацией теории. Сравнительно новым приложе-
приложением общих результатов (§ 1) является вывод на их основе интер-
интерполяционных теорем С. Н. Бернштейна для абсолютно монотонных
на (—оо, 0) функций и интерполяционных теорем для функций
Стилтьеса (класса <8~). Критерий разрешимости интерполяционной
задачи в этом классе и описание всех ее решений (§§ 3, 5) здесь
публикуются впервые. Приводится также (§ 4) описание всех реше-
решений проблемы Стилтьеса для строго позитивной в [0, со) последо-
последовательности {Sftlp.
После этого осталось немного добавить, чтобы в обзорном по-
порядке изложить основные результаты знаменитого мемуара Стил-
Стилтьеса и на этой основе получить описание всех решений бесконечной
проблемы Стилтьеса в неопределенном случае. Заодно мы сообщаем
новый критерий определенности интерполяционной задачи в клас-
классе S~ при бесконечном числе данных (§ 6). В этом же параграфе,
опять-таки в обзорном порядке, излагается красивая работа Фел-
лера об определении абсолютно монотонной в (—оо, 0] функции по
ее значениям, заданным в бесконечном числе точек.
§ 1. Общие положения
1. Обобщенные моменты на полубесконечном интерва-
интервале. Результаты третьей и четвертой глав непосредственно
обобщаются также и на тот случай, когда непрерывные
функции системы {uh {t)}nQ ийеют своей областью опреде-
определения бесконечный интервал [а, оо), но при этом сущест-
существуют пределы
щ. (оо) = lim щ @ (ft = 0, I,..., n). A.1)
t->oo
Без ограничения общности можно принять а = 0.
Присоединение к замкнутому слева интервалу [0, оо)
точки оо с обычным определением ее окрестности (левой)
превращает этот интервал в компакт, гомеоморфный от-

§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 235
резку [0, 1] (в силу хотя бы преобразования t =-.
X — s
(Osgls^l, OscTf^oo)), на котором функции uh (f)
(к = 0, 1, . . ., п) непрерывны.
Поэтому, если в трактовке этого случая и получаются
иногда внешние отличия, их следует приписать некоторым
чисто условным обстоятельствам.
Так, например, теперь систему чисел {cfe}o следует на-
называть системой моментов по отношению к системе функ-
функций [uk (f)}o, если она будет допускать представление
оо
§ oo) (Л = 0, 1 ге), A.2)
где a (t) — некоторое распределение с конечной массой,
а М — некоторое неотрицательное число.
Появление дополнительного слагаемого, содержащего
М, объясняется тем, что интегралы, фигурирующие в A.2),
если их трактовать, как обычно трактуются несобственные
интегралы с бесконечным пределом, не позволяют учесть
массу М, которая может оказаться сосредоточенной
в точке оо.
При определении A.2) моментов с0, сг, . . ., сп теория
канонических представлений этих моментов с геометри-
геометрической точки зрения ничем не будет отличаться от развер-
развернутой в предыдущих параграфах теории моментов для
случая конечного интервала, и не представляет никакого
труда переформулировать все предыдущие результаты
для этого случая.
Однако в различных конкретных вопросах приходится
часто иметь дело с системами функций {uh (t)}o, удовле-
удовлетворяющими иным условиям, нежели A.1), например,
следующим (при определенной нумерации функций):
A) «п(О>о @<г<оо),
(II) lim^ = 0 (А = 0,1 » — 1).
Если теперь систему чисел {ch}^ мы будем называть
системой моментов по отношению к системе функций
тогда и только тогда, когда она допускает

236 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
представление
A.3)
где а (<) @ ^ < < оо) — некоторое распределение, воз-
возможно, с бесконечной полной массой, а М ;> 0, то этот
случай тотчас же сведется к предыдущему.
В самом деле, пусть со (t) @ sg; t < оо) — какая-либо
непрерывная положительная функция такая, что
Положим
у*@=^- (& = 0,1 /г) A.4)
и
да (t) = со (<) da (t).
Тогда существование представления A.3) с некоторым
распределением a (t) и М > 0 будет эквивалентно сущест-
существованию представления
1 A.5)
с„ = J уп @ ^ @ + Л/
о
с некоторым распределением т (t) (О <J i •< оо) и тем же
Так как теперь существуют пределы
г;,(ос) = lim*;,(<) = 0 (/с = 0,1,.. .,п - 1),
()@ f
t — ос
то представление A.5) будет уже типа A.2).

§ l1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 237
В дальнейшем, если не оговорено противное, будем
предполагать выполненными условия (I) и (II).
Перенося на рассматриваемый случай последователь-
последовательности функций {uk (t)}o (О sg; t < оо) определение функ-
функционала © (Р), а также позитивной и строго позитивной
по отношению к ней последовательности чисел {ch}^, мы
можем сформулировать следующее предложение:
1°. Для того чтобы последовательность чисел {ch}a
допускала представление A.3), необходимо и достаточно,
чтобы она была позитивной.
Если эта последовательность строго позитивна, то она
допускает представление A.3) с М — О, причем даже
в том случае, когда не все или ни одно из условий (II) не
выполнено.
Второе утверждение вытекает из того, что для строго
позитивной последовательности {cfe}o интервал [0, оо)
всегда может быть сжат до конечного интервала [О, Ъ],
с сохранением позитивности и даже строгой позитивности
последовательности.
Это следует из рассуждений, приводившихся при дока-
доказательстве леммы IV.5.1.
В качестве примера на применение предложения 1°
приведем следующее предложение, принадлежащее в ос-
основном Стилтьесу х).
Для того чтобы последовательность чисел {sk}o допу-
допускала представление
A.7)
где М > 0, a a (t) @ sg; t < оо) — некоторая неубываю-
неубывающая функция, необходимо и достаточно, чтобы были
1) Стилтьес рассматривал представления A.7) с Af = 0 и рас-
распределением з, имеющим бесконечноемножество точек роста; тогда обе
формы A.8) будут положительны.

238 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. "V
неотрицательны формы
2^ш, s w&t*. A-8)
Если обе эти формы положительны, то возможно пред-
представление A.7) с М = 0.
В самом деле, общий вид многочлена
о
неотрицательного при ? !> 0, дается формулой
а тогда
n L"i~J
Таким образом, условие позитивности (строгой пози-
позитивности) последовательности {s^Yo по отношению к после-
последовательности степеней {?fc}o выражается в неотрицатель-
неотрицательности (положительности) обеих форм A.8).
2. Канонические представления. Для того чтобы на
рассматриваемый случай можно было перенести теорию
канонических представлений, изложенную в главе III,
необходимо целесообразным образом перенести определе-
определение Г-системы для конечного интервала на случай беско-
бесконечного интервала.
Систему непрерывных функций {uk (?)}" @ ^ t < оо),
удовлетворяющих условиям (I) и (II), будем называть
х) Это легко получается из теоремы Маркова — Лукача III.2.2
I s
в применении к многочлену A — s)n PI ^—-

§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 239
Т-системой, если любая линейная комбинация
имеет в интервале Ш, оо) не более чем п различных нулей,
а при ап = 0 — не более чем п — 1 различных нулей.
Указанные в определении условия продиктованы тем
соображением, что они эквивалентны условию того, чтобы
система функций {vh (?)}" @^?<оо), определяемая
равенствами A.4) и A.6), была Т-системой в интервале
[О, оо].
Предоставляем читателю переформулировать все пред-
предложения главы III] для случая Г-системы функций
{uh @}oi заданной в интервале [0, оо) и удовлетворяющей
там условиям (I) и (II).
3. Экстремальные значения интегралов. Пусть теперь
Q (?) @ ^ t < оо) — некоторая непрерывная функция,
удовлетворяющая условию
иг ... ип п
при
При этом предположим, что Г-система {uk (t)}o есть
^-система, так что
их...
*0 М • • •
A.10)
Аналогом теоремы IV. 1.1 (с учетом замечания IV. 1.2)
будет теперь
Теорема 1.1. При заданных значениях первых
/i + l моментов г)
0 = е* (fe = 0,l,...,B) A.11)
Образующих строго позитивную относительно системы
}q п°следовательност?|.

240 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
существует наименьшее значение Imin интеграла
ь
и оно находится по следующему правилу:
Если п = 2v — 1, то
где числа
Pj>0 (/ = l,2,...,v) и 0<|1<ga<...<gv<oo
определяются единственным образом из равенств
с*= 1iPiuk(U (A = 0,1,..., га). A.12)
3=1
Если п = 2v — 2, тао
снова определяются единственным образом из равенств
A.12).
По существу, теорема 1.1 содержится в замечании
IV.1.2.
Наибольшее значение интеграла / при заданных
моментах A.11) может не достигаться, и верхняя грань
значений интеграла может равняться оо.
Однако нетрудно указать условия, обеспечивающие
существование наибольшего значения Jmax интеграла /
при заданных моментах A.11).

1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 241
Теорема 1.2. Если выполняются условия
j
(_>оо П (Ч
то /тах при заданных моментах A.11) существует и на-
находится по следующему правилу.
Если п = 2v — 1, то
V
/max=Sp^fe) + cM- AЛЗ)
1
зЗе числа
Pi>0 G = 1,2 v), М>0, ?1 = 0<|2<...<|v<oo
определяются единственным образом из равенств
с*= 2рЯ*&) (fe = 0,l 2v —2),
v A.14)
Csv-l = 2j PJU2v-! (|j) + M.
3=1
Если n = 2v, mo
где числа
Pi>0 (/ = l,2,...,v),. M>0, 0_<51<?a<...<6,<oo
снова определяются единственным образом из равенств
A.14).
Обе теоремы, 1.1 и 1.2, получаются непосредственно
из теоремы IV.1.1 и замечания IV.1.2, примененных к
х) Нетрудно видеть, что в силу условий (I), (II), A.9) и A.10)
число с всегда неотрицательно. Можно показать, что условие
Q(t)
lim m = с < оо
является необходимым и достаточным условием ограниченности
значений интеграла / при заданных моментах A.11) и что если через
/тах обозначить верхнюю грань этих значений, то они будут на-
находиться по той же формуле A.13).

242 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРБАЛЕ [ГЛ. Y
функции
и Г-системе функций {vh (?)}" @ <[ t <[ сю), определяемой
равенствами A.4).
Замечание 1.1. Если в условии A.9) знак равен-
равенства исключается, то можно утверждать, что распределе-
распределения a (t), для которых при условиях теорем 1.1 и 1.2
интеграл / достигает наименьшего, соответственно наи-
наибольшего, значения, определяется однозначно.
Отметим еще, что на случай полубесконечного интер-
интервала непосредственно переносятся неравенства Чебыше-
ва — Маркова. При этом стоит заметить, что при опреде-
определении экстремальных значений интегралов
Q (t) do (t)
используются значения функции Q (t) только для
а ^ t <: (<Cj |. Поэтому Q (t) можно переопределить на
интервале (?, <х>) произвольным образом. Если это пере-
переопределение можно произвести так, чтобы функция
Q (t) была непрерывна на [0, оо) и удовлетворяла условиям,
обеспечивающим возможность построения многочленов
Ф (t) и W (t), использованных в доказательстве теоремы
IV.3.1, то имеет место
Теорема 1.3. Наибольшее (соответственно наи-
наименьшее) значение интеграла
5+о ?-о
\ Q (t) da (t) (соответственно \ Q(t)da(t)\, g?EV(c)
достигается на каноническом распределении а. ЕЕ V (с),
имеющем массу в точке ?•
4. Неравенства Чебышева. В качестве примера на
применение теоремы 1.3 приведем вывод двух неравенств
Чебышева. Пусть при 0 < х < оо функция/ (х) допускает

§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 243
представление
где a (t) — неубывающая функция (а @) = 0) ]).
В письме к С. В. Ковалевской П. Л. Чебышев [16]
сообщил без доказательства неравенства, позволяющие
оценивать сверху значение о (f, + 0) и снизу значение
а (? — 0) через значения функции / (х) и ее нроизводных.
Вот эти неравенства:
Г («) о
-!?Ж\ A-15)
AЛ6)
о
Докажем их. Для доказательства неравенства A.15)
заметим, что числа
= / (х) = J е-'Ча (t), cx = ~f (x) = J te~ixda (t),
о
о
являются степенными моментами в интервале [0, <х>).
Построим нижнее главное представление последователь-
последовательности с0, сг, сг:
Со = Ро + Pi, С! = pi|i, C2 = Pill'
Здесь
So = ui Si — — » Ро — с0 — , pi = — •
— — С\ — 62 - О2
1) Для того чтобы функция / (х) допускала такое представление,
необходимо и достаточно (см. § 2), чтобы функция / (— х) была
абсолютно монотонной в интервале (— оо, 0) или, иначе, чтобы
(— if fik) (х) > 0 (к = 0, 1,...; 0 < х < ее).

Й44 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Неравенство Чебышева — Маркова дает
откуда, учитывая, что e~te<l, получим неравенство
A.15).
Для доказательства неравенства A.16) предположим
сначала, что /@)<<х>, и положим
о
1
о о
<х> 1
с2 = / Bх) = J в-«* из (*) = J s4t (s),
о о
где т (*) = з (оо) — a (-j 1пт) •
Снова строим нижнее главное представление последо-
последовательности с0, сг, cz и из неравенства
1
получаем, неравенство A.16). В этом неравенстве не ис-
используется значение/ @). Поэтому оно справедливо и при
/ @) = оо *).
Неравенства A.15) и A.16) можно использовать для
оценки значений функции a (t) при любом значении
t = \ > 0, если только функции — '-—Ц и - in j^
г) ДРУгое доказательство неравенств A.15) и A.16) содержится
в заметке Сонина [3]. Однако в его выводе эти неравенства не увя-
увязывались с общим результатом П. Л. Чебышева «о предельных вели-
величинах интегралов». Приведенное здесь доказательство (А. А. Ну-
дельман [4]) имеет то преимущество, что позволяет получить более
точные неравенства при задании производных /'^ (я) более вы-
высокого порядка и, соответственно, большего количества значений

§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 245
принимают это значение при надлежаще подобранном х.
Такой подбор значения х не всегда возможен. Например,
для функции
о
значения функции — , — ——г при х !> 0 заключены
/ \Х) X -\- 1
в интервале (О, 2], тогда как точки роста функции
a (t) = 1 — е~г заполняют всю положительную полуось.
П. Л. Чебышев подчиняет функцию / (х) следующим
требованиям: / @) = оо и/ (+°о) = 0 1). При выполнении
v „ /" (X) 1 , / (х)
этих условии значения функции —' ' и —ш . ' . про-
/ (X) X J \{.Х)
бегают тот промежуток, в котором расположены все точки
роста функции a (t).
Это следует из предложений (А. А. Нудельман [4]),
которые мы предлагаем здесь в качестве задач.
У.1.1. Пусть
где a (t) — неубывающая функция. Если а (> 0) — первая точка
роста a (t), то
/' (X)
Это равенство сохраняет силу, если а = 0 есть предельная
точка для множества точек роста a (t).
Указание. При каждом х > 0 и | z | < а
t — z *->
a-0 °
радиус сходимости ряда равен а, отношения сп (х) / сп+1 (х) убы-
убывают как при увеличении п, так и при увеличении х.
х) Известно, что / @) = а (+ оо) — а @) и / (+оо) = а (+0) —
— а @). Поэтому первое условие равносильно неограниченности
функции a (t), второе — отсутствию массы в точке t = 0. Второе
условие можно считать выполненным всегда, так как вместо функции
/ (х) можно рассматривать функцию / {х) — / (+ »).

246 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
У.1.2. Пусть
где a (t) — неубывающая функция. Тогда
1
lim A. In
a:->4-0 X
= lim
x-.+0
/' (*)
5. Проблема моментов на бесконечном интервале.
При надлежащих ограничениях все результаты третьей
и четвертой глав в аналогичном плане обобщаются на слу-
случай, когда основная система функций задается в интервале
(—оо, оо).
В частности, для степенных моментов условия (I) и (II)
дыполняются только при четном п = 2v. В этом случае
позитивность последовательности {sk}^ равносильна не-
неотрицательности формы
а теория канонических представлений должна строиться
так же, как она строится для периодической Г-систе-
мы {uh(t)}f (см. §8 гл. IV).
(!) У.1.3. Для максимальной массы р (?) строго позитивной
в (— оо, оо) степенной моментной последовательности {sfe}gV имеют
место формулы:
а)
р (I) =
где {Dh (t)f0 — система ортонормированных относительно
многочленов;
б)
Р (I) = - ¦
1
so
Sl
г
Sl
«2
A-17)

§ 1] ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 247
где
Указание. Для доказательства а) используется неравен-
неравенство Коши; б) вытекает из следующих детерминантных соотноше-
соотношений: для певырожденной матрицы А = \\ а^ ||™, вектора т]
и числа р ф 0 имеют место тождества
, И? = det
Ы
= dot A (p-i - ifA-1^). A.18)
(!) У.1.4. Формула Р (t; т) = Dv+1 (t) + xD4(t) с точностью
до постоянного множителя дает общий вид многочлена, корнями
которого служат точки сосредоточения масс канонических представ-
представлений (не имеющих масс на оо) строго позитивной в (—оо, оо) после-
последовательности степенных моментов {sfffi (момент s2v+1 входит в эту
формулу несущественным образом: его изменение приводит к из-
изменению значения т) *).
В частности, точки сосредоточения масс канонического пред-
представления с массой в заданной точке ? служат корнями многочлена
#v+i («) Dv (I) - />v+1 (I) D, (t) = const-det I S]isk+1. . . Sk+^lk tk \\l+1;
P (t; x) есть также общий вид (с точностью до постоянного
множителя) квааиортогоналъного многочлена степени v+ 1, т. е.
многочлена, удовлетворяющего условиям
<B{tKP{f)}^= 0 при к = 0,1, .. ., V—1.
(!) У. 1.5. Пусть последовательность степенных моментов
8= {sfti}gV строго позитивна в (— оо, оо), z— фиксированная точка
верхней полуплоскости и
Тогда:
а) точки ш= Ie (z), где распределения а пробегают множество
V (s), заполняют замкнутый круг G2v (z; s), лежащий в нижней
полуплоскости;
б) точка w = Ia (z) (о €Е V (s)) находится на границе круга
G2V (z; s) тогда и только тогда, когда а — каноническое распреде-
распределение.
г) Конечные точки сосредоточения масс канонического пред-
представления, имеющеголмассу па оо, служат корнями многочлена
D (t). Поэтому удобно считать Р (t; oo)= Dy (t).

248 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
В этом и только в этом случае
С
(Г) = Д;+1 (*) + ^?; (z)
(г) '
где Dft (z) — многочлен, сопряженный с .D^ (z), т — некоторая
вещественная константа.
Указание. Присоединяв к системе {t1'}^ функции и (t) =
= Re (z — ty1 и i; (/) = Im (z — t), применить теорему IV.8.6
и У. 1.4.
Добавим к этому, что заменив в A.19) т на функцию со (z), го-
голоморфную в верхней полуплоскости, отображающую ее в себя
и такую, что (со (z)/z) -» 0 при i-»m в угле 8 < arg z <^ и — 8
(О < 8 < и), мы получим из A.19) с помощью формулы обращения
Стилтьеса (см. Приложение) распределение а €Е V (*), не являю-
являющееся каноническим, если ш (z) отлична от вещественной константы.
Устанавливаемое этой формулой соответствие между распределе-
распределениями а ЕЕ V (s) и функциями со (z) с указанными выше свойствами
является взаимно однозначным (Р. Неванлинна [3]; см. также
Дж. Шохат и Дж. Тамаркин [1]).
У. 1.6. Пусть для самосопряженного оператора Я, действую-
действующего в гильбертовом пространстве ф, и для ig§, х ф 0, входя-
входящего в его область определения, известны
s0 = (х, х), Sj = (Их, х), s2 = (Нх, Нх).
а) х — собственный вектор Н тогда и только тогда, когда
sos2 —«i=0.
б) В случае sasi — s\ > 0 между любыми вещественными а и
Р, связанными соотношением
)«!-т- aflso= 0, A.20)
имеется но крайней мере одна точка спектра оператора Н.
в) Отсюда следует теорема включения Крылова — Боголю-
Боголюбова [1]:
В каждом интервале l(sj — 6)/s0, (sj + 6)/s0], где 8 = V sos-a — Sj,
имеется по кранной мере одна точка спектра оператора//.
Указание. Воспользоваться спектральным разложением
оператора Я. Соотношению A.20) удовлетворяют точки сосредото-
сосредоточения масс канонического представления степенной моментной по-
последовательности s0, sx, s2.
Если х входит в область определения Нп, то с помощью мо-
моментов {sjJoU is2j-\ ~ {Ндх, Н-1 х), s2j = {Н^х, Н^х)) в случае стро-
строгой позитивности можно указать га-г 1 точек, среди которых есть
наперед заданная, такие, что между любыми соседними из указан-
указанных точек имеются точки спектра оператора Н.
Интересное развитие приведенной оценки в другом направле-
направлении имеется в статьях И. М. Раппопорта [1] и 3. Л. Лейбензона [1].

§ 2] ИНТЕРПОЛЙЦИЯ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 24<5
У.1.7. Функция / (t) (a <i t <^ Ь) называется п-возрастающей
по К. Лёвлеру на (а, Ъ), если для любых эрмитовых матриц п-го
порядка, спектры которых лежат на (а, Ь) а таких, что А «^ В (это
значит, что матрица В ¦— А неотрицательно определена), имеем
/ (А) < / (В). Опираясь на результаты К. Лёвнера [1], О. Добш [1]
доказал, что / (t) «-возрастает на (а, Ь) тогда и только тогда, когда
существует абсолютно непрерывная производная fBn~3> (/) и мат-
рица-фупкция || f^+k~^ (*)/(/+ к — 1)! [|™ не убывает на (а, Ъ). При
дополнительном предположении абсолютной иепрерышгости/'2n~2' (t)
отсюда получается критерий: функция / (t) будет «-возрастающей
тогда и только тогда, когда матрица || /О'+/с-1) (/)/(/4- к— 1I II™ н°-
отридательпо определена почти всюду в (с, Ъ).
Доказать , что ранг этой неотрицательной матрицы равен п — 1
при всех t E (о, Ь) тогда и только тогда, когда
где Ц^ > 0, х-ф (а, Ъ), X} ф хК при / ф к.
В этом случае/ (t) будет m-возрастагощей при любом т= 1,2,...
Указание. Воспользоваться (единственным) представле-
представлением
П—1
/(fc+1) (*)/(* + 1I = 2 Pj @ 5* («) (* = 0, 1 2л - 2; а < t < Ь).
3=1
§ 2. Интерполяция абсолютно монотонных функций
В качестве иллюстрации на применение теорем 1.1 и
1.2 покажем, как из них могут быть получены теоремы
С. II. Бернштейпа об интерполяции и экстраполяции
абсолютно монотонных функций в интервале (—оо, 0].
Согласно С. И. Бернштейну [3] функция / (х) (а <
< х < Ъ) называется абсолютно монотонной в интер-
интервале (а, Ь), если
А«/ (х) = S (-If* ( I ) / (ж + Щ > 0
)с=о '
для всех целых п>0и любых х ъ h таких, что
а<.х<.х-\-к<С. . . <L х -\- nh <Ъ.
С. Н. Бернштейн показал [3], что это опре деле
ние абсолютно монотонной функции / (х) (а <С х < Ь)

2Й0 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
равносильно ее определению как неотрицательной функ-
функции, имеющей неотрицательные производные всех по-
порядков.
Если, кроме того, функция / (х) определена в точке
х = Ъ и в этой точке непрерывна, то она называется
абсолютно монотонной в интервале (а, Ь].
С. Н. Бернштейн C] установил следующую фундамен-
фундаментальную теорему:
А) Для того чтобы некоторая функция f (х) (—оо<^
< х < 0) была абсолютно монотонной в интервале
(—оо, 0), необходимо и достаточно, чтобы она допускала
представление
l (-oo<a;<0), B.1)
где a (t) @ ^ t < оо) — некоторая неубывающая функция.
В частном случае, когда функция a (t) имеет конечное
число точек роста
@ <)gi < S* < . . . < ?т
со скачками
Pi = a(?j + 0) - а(|,- 0)>0 (/ = 1, 2,..., v),
функция / (х) вырождается в экспоненциальный много-
многочлен
т
Р(*)=2Р**М- B-2)
Индексом этого многочлена будем называть число 2т,
если Е,г ^> 0, и число 2т — 1, если |х = 0.
На основании теоремы С. Н. Бернштейна о представ-
представлении B.1) и теоремы 1.1 немедленно получается следую-
следующее предложение:
Теорема 2.1. Пусть f (х) (—оо < х < 0) — не-
некоторая функция, абсолютно монотонная в интервале
(—оо, 0), не вырождающаяся в многочлен индекса ^п — 1.
Тогда для любых
хх < хг < . . . < хп < 0

§ 2] ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ 251
найдется один и только один экспоненциальный многочлен
Р (х) индекса п такой, что
P(**)=f(*k) (A = l,2,...fn). B.3)
Этот многочлен обладает тем свойством, что
(-If* [/(*)-/>(*)]><> B.4)
npuxk<^x<^xk+1{k = O,i, ...,п;х0 = — ос, хп+1 = 0).
Доказательство. Для любых вещественных
х1 < х2 < . . . < хп функции
М')=ея*+1' (/с = 0,1,...,п-1) B.5)
образуют ^-систему в любом конечном интервале.
В интервале [0, оо) эти функции будут удовлетворять
условиям (I), (II) и A.10).
Последовательность {с^, где
(А = 0э1 и—1), B.6)
позитивна по отношению к системе функций B.5), так
как в силу представления B.1)
(Л = 0,1,.... п-1). B.7)
о
Более того, она строго позитивна, так как если бы она
была сингулярна, то по теореме III.4.1 (переформулиро-
(переформулированной для рассматриваемого случая) представление B.7)
оказалось бы каноническим и имело бы индекс =Oi — 1,
а в этом случае функция/ (х) вырождалась бы в многочлен
индекса =Oi — 1, что противоречит условию.
Следовательно, существует нижнее главное представ-
представление
(Л = 0,1,...,п-1).
3=1
Соответствующий этому представлению экспоненциальный
многочлен
будет иметь индекс п и удовлетворять равенствам B.3),

252 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Неравенства B.4) получаются из теоремы 1.1, если ее
применить к функции
Q (*) = +«*' B.8)
в предположении, что функции uk (t) (к = 0, 1, . . .
...,п — 1) определяются равенствами B.5), а моменты
ск (к = 0, 1, . . ., п — 1) — равенствами B.6); при этом
знак + или — в B.8) выбирается в зависимости от значе-
значения х (—ioo < х < 0, х =j= х}; / = 1,2,.. ., п) так, чтобы
выполнялось условие A.9).
Предоставляем читателю проверить, что теорема 1.2
в применении к рассматриваемому случаю функций
uk (t) (к = 0, 1, . . ., п — 1) и Q (?) ничего нового в срав-
сравнении с теоремой 2.1 не дает.
То, что равенства B.3) для многочлена B.2) индекса п
имеют своим следствием неравенства B.4), было получено
иным путем С. Н. Бернштейном. Существование интер-
интерполирующего многочлена Р (х) индекса п было указано
этим автором только для случая равноотстоящих узлов Xj
(j = 1, 2, . . ., п) (в этом случае, легко видеть, существо-
существование такого многочлена и его свойства B.4) вытекают из
теории канонических представлений А. А. Маркова
обычных степенных моментов в конечном интервале).
Теорема 2.1 может быть обобщена на случай, когда ин-
интерполирующий экспоненциальный многочлен Р (х) ин-
индекса п подчиняется условиям:
(^-1.2 р),
где
В этой обобщенной форме теорема 2.1 также получается
как непосредственное следствие теоремы 1.1, но уже
в применении к системе функций:
щ {t) = е&, щ {t) = te^,..., un,-,. (t) = t4*'1^,
uni (t) = e^, ищ+1 (t) = te*1, ..., uni+n2^ (t) = ?*+(**, и т. д.
Предложением А) и теоремой 2.1, обобщенными в ука-
указанном направлении, охватывается все основное содержа-

§ 3] ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ <$~ 253
ние главы I замечательного мемуара С. Н. Бернштейна [3]
об абсолютно монотонных функциях г).
Аналогичный общий подход возможен и в отношении
наиболее трудных результатов этого мемуара (касающихся
абсолютно монотонных функций в конечном интервале),
но это требует развития проблемы моментов в новом на-
направлении (см. § 8 гл. VIII).
§ 3. Интерполяционная задача для функций класса §~
1. Критерий разрешимости. В качестве простого при-
приложения теорем 1.1 и 1.2 установим некоторые результа-
результаты, касающиеся класса 8~ аналитических функций F (z),
удовлетворяющих следующим требованиям:
1°. Функция F (z) регулярна во всей комплексной плос-
плоскости с разрезом вдоль полуоси (—оо, 0).
2°. Im F (z)/Im z < 0 при Im z ф 0.
Ясно, что F (z) E= $~ тогда и только тогда 2), когда
F (—z) €E $, поэтому на основании теоремы П.4 заключаем,
что иначе функции F (z) класса 8~ характеризуются тем,
что они допускают представление
^Т' C-1)
где a(t) (О =s^ t <; оо) — некоторая неубывающая функ-
функция,
оо
о, Т>0.
Если функция a (t) имеет конечное число точек роста
(О о^ < г2 < . .. < \т
1) Заметим еще, что С. Н. Бернштейн получает предложение А)
после того, как он устанавливает ряд предложений типа теоремы 2.1.
Здесь же теорема 2.1 устанавливается на основе теоремы А). Но
предложение А) может быть выведено независимо из близкого пред-
предложения об абсолютно монотонных последовательностях, получен-
полученного ранее Хаусдорфом (см. гл. III, п. 2 § 2) и не известного
С. Н. Бернштейну в то время, когда он писал свой мемуар. Очень
простое прямое доказательство предложения А) дано Б. И. Корен-
блюмом [1].
а) Нужные сведения о классе <f см. в Приложении.

254 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
со скачками
Pi = з& + 0) - з& - 0)>0 (/ = 1,2,.. .,т),
то C.1) вырождается в рациональную функцию
т
Я(*) = Г + Е^7- C-2)
Индексом этой рациональной функции назовем: число
2т + 1, если ^ > 0, г !> 0; число 2т, если |й = 0, f > 0
или |t ^> 0, Т = 0, и число 2т — 1, если ^ = 0, Tf = 0.
Рассмотрим следующую интерполяционную задачу в
классе §~.
Пусть заданы вещественные числа @ < )ж1 < х2 < ...
. . . < жп и {ей}™. В классе $~ ищется функция Z1 (z)
такая, что F (xft) = ck (к = 1, 2, . . ., и). Имеет место
следующее предложение:
Теорема 3.1. Для того чтобы существовала функ-
функция F (z) €E S~, удовлетворяющая условиям F (xk) = ch
(к = 1, 2, . . ., га), необходимо и достаточно, чтобы была
неотрицательна форма
VVхк ск Л- Vх, С(
C'3)
задача имеет единственное решение тогда и только
тогда, когда ранг г формы C.3) меньше п. При этом
условии функция F (z) — рациональная индекса г.
Доказательство. Если F (z) e= S", то G (z) —
= zF (—г2) е Я (см. У.П.З), а из F (xk) = cfe получаем,
что G^^xu) — iYxkctn Из У.III.2.4 находим, что форма
C.3) неотрицательна. Обратно, пусть форма C.3) неотри-
неотрицательна. Тогда согласно У.III.2.4 существует G (z) е= Л,
для которой G (iYxh) = iYxuch (A = 1, 2, . . ., и). Этими
же свойствами обладает функция Go (z) = -*• (G (z) —
— G (—z)), для которой, кроме того, выполняется равен-
равенство Go (z) = —Go (—z), вследствие чего Go (z) = zF (—z2),
где F(z)e«", HF(a;fe) = ch.
Доказательство второй части теоремы предоставляем
читателю.

§ 3] ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ $~ 255
2. Экстремальные решения. Для случая, когда рассма-
рассматриваемая интерполяционная задача имеет не единствен-
единственное решение, существуют два рациональных экстремаль-
экстремальных, в определенном смысле, решения. Точнее, имеет место
следующее предложение.
Теорема 3.2. Пусть F (z) — некоторая функция
класса S~, не совпадающая ни с какой дробью индекса
^in — 1. Тогда для любых
@<)хг < х2 < . . . < хп
найдется одна и только одна рациональная функция
¦Я (z) ЕЕ $~ индекса п, выражающаяся правильной дробью
и удовлетворяющая условиям
R{xl!) = F(xk) (Л = 1,2,..., п). C.4)
Для этой функции выполняются неравенства
(_l)"-k [F (х) - R (х)] > 0 при ху. < х < xk+l
(к = 0,1, . . ., п; х0 = 0, хп+1 = оо).
Кроме того, существует одна и только одна рациональная
функция Л (z) ЕЕ $~ индекса п, выражаемая дробью с оди-
одинаковыми степенями числителя и знаменателя и удовле-
удовлетворяющая условиям
(k=l,2,...,n). C.5)
Для этой функции выполняются неравенства
(-1)"-" \F(x)- R(x)} < 0 при хк<х< хк+1
{к ^0,\,...,п; х0 = 0, хI+1 = оо).
Первое и второе утверждения этого предложения полу-
получаются соответственно из теорем 1.1 и 1.2 в применении
к функциям
и
Q(t) = ±7~. C.6)
Знак в правой части C.6) выбирается в зависимости
от значения х так, чтобы выполнялось условие A.9); при

256 Проблема моментов на бесконечном интервале [гЛ. v
этом следует иметь в виду, что для любых положительных
хх < х2 < . . . < хп функции {(xk+1 + t)}^ образуют
^-систему (см. гл. II, § 2, б)).
3. Нахождение экстремальных решений. Покажем,
как можно найти выражения для функций R (z) и Л (z)
чисто алгебраическим путем.
Для этого сначала выберем произвольное число
хп+1 Q>xn) и найдем, в каких границах должно изменяться
число сп+1, чтобы продолженная последовательность
{сй}"+1 (си — F (%h) при к = 1, 2, . . ., п) была позитивной
относительно продолженной системы {(xk + <)~1}i+1.
Эти границы сп+1 и сп+1, очевидно, являются соответ-
соответственно значениями R_(xn+1) и Л (хп+1) и определяются
как корни квадратного относительно сп+1 уравнения
I п+1
= 0. C.7)
Если теперь положить сд+1 = сп+1 (соответственно сп+1 =
= сп+1),жп+2 = х (х > 0, хфхк,_к = 1, 2,. .., п + 1) и сп+2 =
= Д (а;) (соответственно сп+2 = Д (а;)), то последователь-
последовательность {ск}™+2 сингулярно позитивна относительно системы
{{хк + ^Г1}™*2, вследствие чего также
det
Ух,.ск + Ух,
п+2
= 0. C.8)
Применяя формулу Сильвестра к минорам Мп+1, „+1,
Мп+1, п+2, jWti+2, п+1. ^7i+2, n+2 элементов этого опреде-
определителя, стоящих на пересечении двух последних строк и
столбцов, получим из C.8), что
" п+2, п+2 — ^*п+1, та+2
= 0-
Так как в силу C.7) Л/п+2, п+2 ~ 0, то отсюда
¦Л^п+i, п+2 = 0- Разлагая Mn+i, п+2 1Ю элементам последнего
столбца:

§ 3] ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ §~ 257
найдем искомое выражение,
+ v*
определяющее R (x) при cn+1 = cn+1 и Л (ж) при сп+1 = cn+1.
Хотя на первый взгляд может показаться, что получен-
полученная функция не является рациональной, на самом деле,
как это следует из теоремы 3.2, она рациональна. Более
того, мы увидим в дальнейшем (см. § 5), что данные
с1г с2, . . ., сп и х1г х2, . . ., хп входят в выражения для
R(x) и R (х) рациональным образом, несмотря на то, что
в этих выражениях участвует корень квадратного урав-
уравнения C.7) сп+1 или сп+1 (на самом деле эти корни также
рационально выражаются через величины с15 с3, . • •, сп,
Xi, Х2, • . ., Хп).
В § 5 будет получено полное описание всех решений.
Теорема 3.2 может быть обобщена в том же на-
направлении, как это было указано для теоремы2.1. Имен-
Именно, вместо условий C.4) и C.5), можно рассматривать
условия
R (хк) = F (xk), R' (хк) = F' Ы,..., Я^-1' (хк) = /"*"" (хК)
(fc = 1,2,. ••,/>), C-9)
где
0 < ^1 < ^2 < • • • < xv'i П1 + П2 + • • • + Пр = П.
Для функций R (х) и R (х) также могут быть получены
явные выражения, в которых значения функции F (х)
и ее производных, фигурирующие в C.9), войдут рацио-
рациональным образом.
(!) У.3.1. Пусть последовательность с^™'= {cft}™ строго пози-
позитивна относительно системы функций {(хк Ц- О}™» так что матрица

258 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. \
Сп —
— положительно определенная. Тогда:
а) для максимальной массы в точке t = О
1 1
0
где
6 — 1 i/—
б) для максимальной массы в точке t — оо
1
detCn
и
1
\
1
с„
1
где е^п^— re-мерный вектор, все координаты которого равны 1;
в) для функций F (г) 6Е <8~, удовлетворяющих условиям
F (xk) = сь (к = 1, 2, . . ,,п), имеет место точная оценка
С1...С
Указание, Воспользоваться указанием к У.1.3 б).
4. Связь со степенной проблемой. Вопрос об интерпо-
интерполяции и экстраполяции можно ставить, задаваясь, кроме
значений функции и ее производных, в некоторых точ-
точках еще первыми коэффициентами асимптотического

§ 3] ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ЗАДАЧА В КЛАССЕ <§>- 25&
разложения F (z) в окрестности точки оо:
* М ~ -г -? + - + (-1)'"-1 ^ +
иначе говоря, моментами
Если заданы только моменты sh (к -- О, 1, . . ., п),
то на основании теорем 1.1 и 1.2 мы легко убедимся в су-
существовании рациональных функций В_ (z) и Я (z) класса
$~ соответственно индексов п -\- 1 и п таких, что
причем эти функции будут иметь одинаковые с F (z) пер-
первые п + 1, соответственно п, коэффициентов в разложении
в окрестности точки оо.
Для случая, когда функция F (z) допускает представ-
представление
i
f(z) = $ttt (z<°°),
эквивалентное представлению
дробь R (х) была построена в и. 3 § 2 главы IV (там она
обозначалась =—
По тому же правилу дробь _/? (ж) будет строиться и в
рассматриваемом случае.
Дробь Я (х) аналогична дроби _ • п.З § 2 главы IV.
Q(x)
Функции В_{х) и Я (х) играли большую роль в иссле-
исследованиях Стилтьеса [6] степенной проблемы моментов
в интервале [0, оо).

260 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
§ 4. Описание всех решений проблемы моментов
Стилтьеса
Перенося, с соответствующими изменениями, рас-
рассуждения § 7 главы IV на случай проблемы моментов
Стилтьеса:
о
нетрудно получить описание всех решений этой проблемы.
Изменения, которые нужно внести, в частности, свя-
связаны с тем, что канонические и главные представления
последовательности {sfe}o могут иметь массу М ^> 0,
«сосредоточенную в бесконечности». Поэтому степени
многочленов, корнями которых служат точки сосредото-
сосредоточения масс таких представлений, на единицу меньше сте-
степеней аналогичных многочленов в случае конечного ин-
интервала.
Положим, следуя в основном обозначениям Стилтье-
Стилтьеса [6] г),
Q» W = 1Ж det Iz* s* • • • s**-i i»' DЛ)
Ai-i
Q^i (z) = - 4-det|z*« sk+1 ... sk+4f0, D.2)
где AA = det||si+i(|o, A^ =-- det || 5г+3-+1 % и через Pn(z) обозна-
обозначим 2) многочлен, сопряженный с Qn(z).
Мнон^ители в правых частях выбраны с таким расче-
расчетом, чтобы выполнялись условия: <?2v@) = 1 iP2,+1@) =
= \
Отметим, что многочлены Q2u (z) образуют ортогональ-
ортогональную относительно функционала © систему; многочлены
Q2h+1 (z)/z ортогональны относительно функционала @lt
определенного равенствами @х {tk} ~ sK+1.
После всего сказанного читатель без труда проверит
справедливость следующих утверждений относительно
J) У Стилтьеса в левых частях D.1) и D.2) — z вместо z.
2) У Стилтьеса Рп (г) обозначает то, что у нас — Рп (— г).

§ 4] РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ МОМЕНТОВ СТИЛТЬЕСА 261
строго позитивной в [0, оо) моментной последовательно-
последовательности {sfe}".
(!) У.4.1. Конечные точки сосредоточения масс верхнего (со-
(соответственно нижнего) главного представления служат корнями
многочлена Qn (z), соответственно <?л+1 (z).
(!) У.4.2. Масса р верхнего главного представления, сосре-
сосредоточенная в оо, вычисляется по формуле: р = Av/Av_j при п = 2v
или р= Д^'/Д^ при п= 2v +1.
(!) У.4.3. Имеют место соотношения:
Pn(z) Г di (t) Пъ *к sn~P , / 1
) 2 + +f
о "
(!) У.4.4 (А. А. Марков [12]). Корни многочленов
1 !¦ при четном п,
при нечетном п
вещественны, просты, перемежаются с корнями сопряженных
многочленов Р^ (г; т) и Р^ (г; т); при т ^ 0 они служат точками
сосредоточения масс (исключая р) соответственно нижних и верхних
канонических представлений.
(!) У.4.5. При фиксированном z (Im z > 0) значения инте-
CXl
тралов /а (z) = \ •— . , когда о пробегает V (s^n , 0, оо), аапол-
о
няют выпуклую лунку G (z; s^), лежащую в нижней полуплоско-
полуплоскости и ограниченную дугами окружностей
f> (z; т) P<n) (z; т)
Из этих утверждений теперь легко получить следую-
следующую теорему:
Теорема 4.1. Между распределениями о ?= F(s(n);
0, оо) ы функциями a» (z) класса § (пополненного функцией

262 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
со (z) = оо) существует взаимно однозначное соответствие,
задаваемое соотношением
или
при п = 2v
У.4.6 (П. Хенричи и П. Пфлюгер [1]). При фиксирован-
фиксированном z (Im z ]> 0) положим w^ = P^ (zjlQ^ (z). Пусть Т^ обозначает дугу
окружности, от и>к до wk+v проходящей через и>к, wk+v wk+i. Лунка
G (z; s^) ограничена дугой yk и той частью дуги Xf,_x, которая
лежит между «^ и wk+1.
(!) У.4.7. Пусть {*a}qV+1 — строго позитивная в [0, оо) последо-
последовательность степенных моментов, так что строго позитивна в
(—оо, оо) каждая из последовательностей isk}g" и {s^ }qV, где
s*jp = Sjj+1. Пусть pv E) и р™ (^) (— оо <С Е <1 °°) — максимальные
массы в (— оо, оо) для этих последовательностей. Тогда
Q»ft)Qw+i«)
D.3)
Указание. Применить тождество Фекете (II.5.5) к мат-
матрице
0
1
1
1
so
Sl
Е • • • 5V+1
«1 • • • *v+1
Sv+1 S2V+1
и воспользоваться формулой A.17). Можно также использовать
рекуррентные соотношения, приведенные в У.6.7.
§ 5. Описание всех решений интерполяционной задачи
в классе $~
Приведем предложение, показывающее, что интерпо-
интерполяционная задача в классе §~, рассмотренная в § 3, эк-
эквивалентна некоторой проблеме моментов Стилтьеса.

1 5] ОПИСАНИЕ РКШЕНИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ 263
Определим числа ajk из разложений
п
1ЗЗ
(* = 0, 1,...,»-1; 0
i
(!) У.5.1. Последовательность {e^}™ допускает представление
(к = 1, 2, . . ., n; T>0) E.1)
о
тогда и только тогда, когда для последовательности
разрешима проблема моментов Стилтьеса. При этом каждому пред»
ставлению E.1) отвечает представление
оо
S|? = С tk dt (*) (ft = 0, 1 га — 2),
° E.2)
СО Ч '
где
it
Л (*) = da (t) j [J (^ +;*).
Обратно, каждому представлению E.2) отвечает представле-
п
ние E.1) с de (t) = П ^j + *) dx W-
l
Благодаря обнаруженной связи между распределения-
распределениями о (I) и т (t) становится возможным сводить к соответ-
соответствующим задачам для проблемы Стилтьеса не только
задачу об условиях существования и единственности ре-
решения, но и задачи о построении главных и канонических
представлений, об описании всех решений в неопределен-
неопределенном случае и т. п.

264 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Интересно, что, используя обобщенную лемму Швар-
Шварца *•) и свойства функций класса S", можно получить это
описание (и одновременно критерий разрешимости в но-
новой, третьей по счету, форме), минуя сведение к проблеме
Стилтьеса.
Начнем с п = 1. Для разрешимости интерполяционной
задачи, очевидно, необходимо и достаточно выполнение
условия: сх ~^> 0. Решение не единственно (например,
Fx (z) = сх и F2 (z) = c1xx!z) тогда и только тогда, когда
Cl>0.
Пусть с^Ои пусть F (z) — любая функция из 8~,
для которой F (хх) = сх. Тогда функция G (z) = zF (—z2)
принадлежит классу Я (см. Приложение, У.П.З) и
G (i\ xx) = iy ххсх. В силу обобщенной леммы Шварца
функция
z + i Y~xl G(z) — i Y~"
голоморфна в верхней полуплоскости и не превышает по
модулю единицы, вследствие чего ее можно записать в виде
Й (z) + i
где Q (z) ^Я. Из G (—5) = — G (z) следует Q ( — 2) =
= —Q (z), откуда (см. У.П.З) Q (z) = zw (—z2), где
о) (z) S §". Таким образом, для данной функции F (z)
имеем
2-Н /здГ . zF(-za)-i /жГс! _ ZM (— z2) — i УТЛ „ g
Z — г/гГ Z^(— Z2) -ff lAlTci Z(O (— 22) -f. i yVl
Легко видеть, что, обратно, для любой функции о) (z) €E $~
формула E.3) определяет функцию F (z) ?E $~ такую, что
F (хх) = сх. Заменив z на i\/~z (выбор ветви не играет роли),
из E.3) получим формулу
r W - z 1 + ш (z) ' ^Л>
г) Обобщенную лемму Шварца систематически использовал
Р. Неванлинна [2] при рассмотрении проблемы Неванлинны — Пика
в классе голоморфных равномерно ограниченных в единичном круге
функций.

5.'1 ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ 265
коюрая дает описание всех F (z) ЕЕ $~, удовлетворяющих
условию F (хх) = сх, в том смысле, что она устанавливает
взаимно однозначное соответствие между искомыми функ-
функциями F (г) и всеми функциями со (z) класса §~ (попол-
(пополненного функцией и> (z) = оо).
Задача описания всех функций F (z) 6E §', удовлетво-
удовлетворяющих двум условиям J): F (хг) = сх и F (х2) ~ с2, в си-
силу E.4) сводится к описанию всех таких ю (z)(rrS~, которые
удовлетворяют условию: ю (х2) = 42\ где Сг2) = {схх\ —
— с2х2)/{с2 —сх)х2. Таким образом, для разрешимости этой
задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ус-
условия: ci1} = с2 ^> 0, сB2) > 0, а для неоднозначной разре"
шимости — условия Сх ^> 0, cf ^> 0, и в этом случае
описание искомых функций F (z) дается формулой, явля-
являющейся композицией двух формул типа E.4).
В случае п данных сх, с2, ¦ ¦ -, сп многократное при-
применение этого приема, после отбрасывания случаев вырож-
вырождения, дающих (единственное) рациональное решение,
приводит к следующему результату: для того чтобы суще-
существовало бесчисленное множество функций F (z) ?E $~,
удовлетворяющих условиям F (xh) = ch (к = 1, 2, . . ., п),
необходимо и достаточно, чтобы были положительны числа
„A) /2) (П)
где
ск — vci-i xi-i ~~ cic xk)l \ск — сз-1 ) хз
(/ = 2, 3,..., га; к = /, / + 1,..., га; c(ft" = ck).
При выполнении этого условия описание всех таких
функций дастся формулой вида
„ , , Л (г) со (г) + В (z)
^ ^ С (г) ю (z) + i> (г) '
где A (z), В (z), С (z), D (z) — многочлены, которые можно
построить рекуррентио, ю (z) — произвольная функция
класса $~, пополненного функцией га (z) =^ оо.
!) Чтобы исключить тривиальный случай F (z) s const, сле-
следует считать ci > 0 и ci =/= с2.

266 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Нетрудно проследить, что рациональные функции
F (z) = A (z)IC (z) (ю (г) = оо) и F (z) = В (z)/D (z)
(со (z) = 0) совпадают соответственно с функциями Я (z)
и Л (г), введенными в § 3. Тем самым мы обосновали ут-
утверждение о том, что в эти функции данные х^ и с^ входят
рациональным образом.
§ 6. Об определенности проблемы Стилтьеса
и трех интерполяционных задач при бесконечном
числе данных
1. Проблемы Гамбургера и Стилтьеса. Не имея возмож-
возможности подробно остановиться на вопросах-определенности
степенной проблемы, порожденной бесконечной последо-
последовательностью {sK}™ в интервалах (—оо, оо) (т. е. для
проблемы Гамбургера) и [0, оо) (для проблемы Стилтьеса),
мы приведем здесь без доказательства ряд относящихся
к этим вопросам предложений, отсылая за подробностями,
когда это возможно, к книге Н. И. Ахиезера [4]. Однако
здесь будут приведены также факты, ие вошедшие в эту
книгу. Всюду ниже предполагается, что каждый конечный
отрезок {«/с}" рассматриваемой последовательности строго
позитивен в соответствующем интервале.
Д.6.1. Для проблемы Гамбургера обозначим через Пп сово-
совокупность точек (s_2, s_1) таких, что последовательность
позитивна в (—оо, оо). Пп есть выпуклая область, ограниченная
параболой, Пп ~Z) Пп+Г Проблема моментов Гамбургера является не-
неопределенной тогда и только тогда, когда пересечение всех
Пп (п = 1,2,...) есть область, ограниченная параболой1).
Д.6.2 (Г. Г а м б у р г е р, см. Н. И. Л х и о з е р [4]). Для
того чтобы проблема моментов Гамбургера была неопределенной,
необходимо, чтобы при всех z, и достаточно, чтобы хотя бы при одном
невещественном z сходился ряд ^ I ^к (г) Р-
о
Д.6.3. Некоторые факты теории канонических представлений
переносятся на случай неопределенной проблемы Гамбургера (см.,
например, Н. И. Ахиезер [4]). В частности:
*) Этот факт был известен давно многим специалистам, и том
числе одному из авторов. Насколько нам известно, впервые он опуб-
опубликован в работе Райта [1].

§ 6] ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОБЛЕМ 26?
а) максимальная масса р (|), которую можно сосредоточить
в точке ?, всегда положительна и вычисляется по формуле
оо
р (?) = 2 D* (?) I (ср. с У. 1.3 а)) и является пределом максималь-
о
ной массы рп (|) для последовательности {Sfc}jn;
б) существует единственное распределение a S V (s) с мак-
максимальной массой в произвольной наперед заданной точке |. Это
распределение определяется ступенчатой функцией, точки роста
которой являются корнями целой функции первого порядка мини-
оо
мального типа Q^ (t) = (t — ?) ^ Dk (*) Dk (I).
о
Естественная трактовка с операторной точки зрения этих и
других вопросов, в частности, описание всех решений неопределен-
неопределенной проблемы Гамбургера, имеется в статье М. Г. Крейна и М. А.
Красносельского [1] (см. также Н. И. Ахиезер [4]).
Д.6.4 (А. А. Марков [20]). Для момоитной последователь-
последовательности {sh}™ обозначим через gn максимум модуля корней ортого-
ортогонального многочлена Dn(t).
Если
lim ¦?-=<>.
П->-оо "
то проблема Гамбургера для {Sfe}^° является определенной.
Можно показать, что этот признак А. А. Маркова определенно-
определенности допускает усиление: для определенности проблемы Гамбургера
достаточно, чтобы
gn
lim — <оо.
Д.6.5 (А. А. Нудельман [1]). Пусть {sh}^ — моментная
последовательность в [1, оо) (к этому случаю всегда можно свести
проблему Стилтьеса) и [ссп, рп] — множество таких значений s-x,
при которых последовательность
S-l-S0>sl Sn
позитивна в [1, оо). Тогда [осп+1, Рп+1] С [осп, Рп] и проблема момен-
моментов в [1, оо) — неопределенная тогда и только тогда, когда а <[ [3,
где а = lim ап, |3 = lim Pn,
(
п~1
К = det II Si+j С А^ = det || Si+j+1 С 6п = det || ,i+j+1 - ,i+j Iff,
в« = det I Si+j+2 - Si+j+1 |U (A« = в« = 1).

268 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Д.6.6. Критерий определенности проблемы Стилтьеса был
получен самим Стилтьесом в его знаменитой работе [6], где он также
получил полное описание всех «канонических» решений в неопре-
неопределенном случае и ряд других важных результатов.
Положим
д
гдA) I
а) Проблема моментов Стилтьеса неопределенна тогда и
только тогда, когда оба ряда Шп и 2mn сходятся 1).
б) В этом случае существуют пределы3)
lim Pin (z) = р (z), lim P2n+1 (*) = Pl (z),
П—>ос ft—>oo
lim Q2n (z) = q (г), lim Q2rl+1 (г) = gi (г),
причем сходимость равномерна на любом ограниченном замкнутом
множестве комплексной плоскости. Функции — (р (z)lq (z)) и
— (pi (z)/gi (z)) входят в класс <!?.
У.6.7. Числа 1п и mn входят также в рекуррентные соотноше-
соотношения:
Q2™ (z) - Q2n-2 W = '„Q,*-! (*)¦ -Р2„ W - ^2™-2 W = ^„Pan-i (*).
Q (z) - 0 (z) = - TOz<?(z) P («) - Р (z) = l ¦ j
(!) У.6.8. Проблема Стилтьеса для {sK}~ неопределенна тогда
и только тогда, когда обе проблемы Гамбургера для {s/; }^° и {sj^}o°
(sW _ Sft+^ неопределенны.
!) Наши обозначения Zn и mn не случайны (у Стилтьеса 1п — а2П,
тп = ain-\l- Если трактовать Ц (у = 1, 2, . . ., л) как расстояния
между бусинками, а ту (у = 1, 2, . . . , п) — как их массы, то корни
многочленов Q2n (t) и <?2n-i (') будут давать квадраты частот гар-
гармонических колебаний рассматриваемой нити с п бусинками, па-
тянутой единичной силой, при том или ином способе закрепления
ее правого конца (левый конец скреплен со свободно скользящим
в поперечном направлении колечком массы щ). При бесконечном
числе бусинок сходимость рядов 21п и 2т„ означает, что полу-
полученная «струна» регулярна (длина и масса конечны). Подробное
истолкование этих и ряда других фактов теории проблемы Стил-
Стилтьеса с точки зрения теории колебаний и теории спектральных
функций струны см. в работах: Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крсйн[1],
М. Г. Крейн [13], И. С. Кац и М. Г. Крейн [1].
2) См. сноску 2) на стр. 260.

i б] ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОБЛЕМ 269
У.6.9. Формула
? ds(t) _p(z) + <o(z)pi(z)
) 2-' 9 (z) + <а (z) ?i (z)
0
устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями
с неопределенной проблемы Стилтьеса и функциями со (г) класса $
(пополненного функцией ш (z) = оо).
2. Определенность интерполяционной задачи для аб-
абсолютно монотонных функций. Нам удобно здесь узлы
интерполяции обозначать через —хк {хК ^> 0). Интерполя-
Интерполяционная задача / (—хк) = ск (к = 0, 1, . . .) в классе
функций, абсолютно монотонных на (—оо, 0] (хк > 0),
в силу представления
(z>0) F.3)
эквивалентна обобщенной степенной проблеме моментов
г
О
в чем легко убедиться, произведя в F.3) замену е~* на t.
Поэтому для определенности рассматриваемой про-
проблемы достаточно, чтобы последовательность {tXls}™ была
плотна в пространстве С @, 1), т. е. чтобы выполнялись
условия Мюнтца: х0 = 0, ^A/^) = ос (см., например,
1
Н. И. Ахиезер [4]). Исключив тривиальный случай, когда
последовательность {xk}i имеет конечную предельную
точку, будем считать, что хк \ + оо.
Для этого случая можно привести простой критерий
разрешимости интерполяционной задачи и конструкцию
решения.
Введем разделенные разности:
I Cj, C2) .... С I 1^-0» ^1» ¦ • • > ^п л\
[Сп\ = Сп, [Со, Съ ..., Сп\ = .

2?0 ПРОБЛЕМА MOMEHtOB НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Д.6.10 (В. Ф е л л е р [1]). Для того чтобы существовала абсо-
абсолютно монотонная в (—оо, 0J функция / (х), удовлетворяющая
условиям / @) < с0, / (—хк) = ск (к = 1, 2, . . .; xh ] + оо,
ос
2 (l/?ft) = °°)i необходимо и достаточно, чтобы имели место нера-
1
венства
(-1)п[с,, св+1,..., с,+п1>0 (А, „ = 0, 1, . . .).
При этом
оо
/ (я) = 2 (- 1)* [со, с, с,.] (г0 + х) {хг + ж) . . . {хк_х + ж) F.4)
Д.6.11. (В. Феллер [1]). Пусть, кроме условий Д.6.10, имеет
ос
место ^. A/-С?.) <С_ оо II
1
оо
/ (х) = [ exl da (t) (— оо < х < 0)
о
— интегральное представление функции F.4).
Тогда
л—о, л=о
где X/v @ обозначает натуральное число, определенное соотноше-
соотношениями
Замечание 6.1. При xh = к утверждения Д.6.10 и Д.6.11
приводят к предложениям о степенной проблеме моментов в [0, 1]
(проблеме Хаусдорфа), уже упоминавшейся в § 2 главы III. В этом
случае, в частности,
К- ck+i ck+nl = 7П-An<V
3. OnpefleneHHOCTs интерполяционной задачи для функ-
функций класса §~. Нетрудно проверить, что всякая функция
F (z) класса § — абсолютно монотонна на (—оо, 0).
Поэтому, если F (—0) <; оо, к ней применимы утвержде-
утверждения Д.6.10 и Д.6.11.
Однако можно получить более мягкие условия опре-
определенности, используя, после соответствующих преобра-

§ 6] ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОБЛЕМ 271
зований, критерий полноты системы {1/(х — ак)}™ в
С (—1, 1), найденный одним из авторов (см. Н. И. Ахие-
зер [3]).
Мы здесь применим другой прием. Комплексную плос-
плоскость, разрезанную вдоль отрицательной вещественной
полуоси, преобразованием ? = отобразим в еди-
Уъ + 1
ничный круг, в результате чего точки хк перейдут в точки
1/г7 — 1
Z& = —7-г= , а функции класса S — в функции, отобра-
отобрать **+*
жающие круг | ? | < 1 в нижнюю полуплоскость. Как
известно (см. И. И. Привалов [1]), такие функции при лю-
любом б ^> 0 принадлежат классу Харди Нъ и, следователь-
следовательно, классу А 2).
Для функций класса А установлено (см. там же), что
они однозначно определяются своими значениями в точ-
точках ?й (к = 1, 2, . . .) тогда и только тогда, когда расхо-
расходится отвечающее этим точкам произведение Бляшке
оо
b(?>)= JT—-—= т~¦ , т- е- тогда и только тогда, когда
CO
2|^.|) = ос. F.5)
Отбрасывая тривиальный случай, когда последователь-
последовательность {х,.}^ имеет положительную точку сгущения {1,ц}Т
имеет точку сгущения внутри единичного круга),
рассмотрим два случая: хл -><» и хл —>- 0. В первом
случае при всех достаточно больших к имеем 1 — | ?А | ~
= -./-—, л и, следовательно, условие F.5) эквивалентно
условию
у 1
V*.
оо.
к
х) То есть классу голоморфных в единичном круге функций,
представимых в виде отношений двух ограниченных голоморфных
функций.

272 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
Во втором случае из F.5) аналогично выводим:
/^ =оо.
1
Таким образом, для интерполяционной задачи в клас-
классе $~ с бесконечным числом данных получены следующие
достаточные условия определенности:
2) xk-+0
1
Заметим, что при выполнении 1) или 2) интерполяционная
проблема будет определенной, какова бы ни была последо-
последовательность {с/,.}", допускающая решение.
Можно, однако, указать критерий определенности
рассматриваемой проблемы для каждой последователь-
последовательности {ск}™, допускающей решение. Полное изложение
вывода увело бы нас слишком далеко в сторону от пред-
предмета данной книги, поэтому ограничимся сообщением
его идеи.
На случай неопределенной проблемы
- г 4-
- 1 9 \
™ 1) г> ¦¦¦>
при Хц —*¦ оо переносится теория канонических решений
неопределенной проблемы Стилтьеса, причем точки со-
сосредоточения масс всякого канонического решения служат
корнями некоторой целой функции. В частности, сущест-
существуют как канонические решения, имеющие положитель-
положительную массу в точке ? = 0, так и канонические решения,
не имеющие в этой точке массы, и для последних решений
a (t) функция
о
имеет конечное значение F @). Следовательно (см. У.3.1),

6]
ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОБЛЕМ
273
в этом случае существуют конечные пределы:
1 1
lim
1
detCn
0 I
1
1
У п
F.6)
l
detCn
0
c}
ft /•
1 2 " *
Cn
.cn
lim -
Обратно, если оба эти предела конечны, то из У.3.1
легко следует, что среди решений о* (t) интерполяционной
проблемы имеются как такие, которые имеют массу в точ-
точке | = 0, так и такие, для которых F @) конечно, т. е.
проблема является неопределенной. Итак, интерполяци-
интерполяционная проблема в классе $~ неопределенная тогда и толь-
только тогда, когда конечны оба предела F.6).
Случай, когда хк —э-0, можно свести к предыдущему
заменой z на —, t на —г- и v (z) на — b — .
z ' t v ' z \ z I
Сложнее трактуется неопределенный случай, когда
обе точки 0 и оо являются предельными для {хк}Т-
4. Проблема Неванлинны — Пика в классе 3d. Как уже
было установлено (см. У.III.2.3), неотрицательная опре-
определенность матрицы
есть необходимое и достаточное условие существования
функции/ (z) S Атакой, что/(гА) = w,t (к = 1, 2, . . . , га;
|г„| < 1, Zj =j= z№ при / ф к). Эта интерполяционная
проблема будет неопределенной тогда и только тогда,
когда матрица Gn положительно определенная. Для этого
случая, равно как и для случая неопределенной проблемы
при бесконечном числе данных, описание всех решений

274 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
/ (z) было получено Р. Неванлинной [3]. Это описание
в несколько иной форме может быть получено как част-
частный случай описания решений более общих интерполя-
интерполяционных и аппроксимационных задач (см. В. М. Адамян,
Д. 3. Аров и М. Г. Крейн [2, 3]). Здесь оно приводится без
доказательства.
Без ограничения общности можно считать, что все
z/c =/= 0, в противном случае этого можно добиться заме-
заменой z на (z — а)/A — az), где а =/= zk (к = 1, 2, . . ., щ
Положим
ъ м — ТТ Zft ~ъ 2*
ип \Ь} — 11 . - | . | )
Рп (Z) =
1
detC
•det
ЬП(О)Ь„1
&п(°)
йп(°)
Z — Zl
W\
1—
1 — г z
Pn B) = bn (z) pn (-j-^ , qn (z) - 6n (z) g-n D") '
Тогда все решения / (z) проблемы Неванлинны — Пика
в классе 3d описываются формулой
г е оз (z) пробегает класс

ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОБЛЕМ
275
При этом оказывается, что все корни рп (z) лежат вне
единичной окружности и
где
Рп(z) Pniz) — Qn(z) 7„(z) = 6n(z) an, F.7)
«„ = Pn @) = | bn @) |2 A + det Pn/det Gn)
0
1
Рассмотрим теперь проблему Неванлинны — Пика при
бесконечном числе данных в случае, когда матрицы Gn
(п = 1, 2, . . .) положительно определенные (если они пе-
отрицателыю определенные и хотя бы одна из них вырож-
вырождается, то проблема ¦— определенная). Если последова-
последовательность {г„}Г такова, что Б A — | zK \) =. оо, то по
известной теореме Бляшке решение f (z) ЕЕ. 33 определя-
определяется однозначно. Поэтому вопрос единственности и опи-
описания всех решений задачи Неванлинны — Пика возни-
возникает лишь в случае, когда ряд 2 A — | zk |) сходится,
т. е. когда сходится бесконечное произведение Бляшке
Z. — Z
b{z) = Ц * _ * (= limbn(z)).
В этом случае разрешимая проблема Неванлинны — Пика
имеет единственное решение тогда и только тогда, когда
lim(detPn/detG,,) = + с-о.
Критерий определенности в другом виде был получен
А. Данжуа и Р. Неванлинной [2] (см. также Уолш [1]).

2?6 ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ НА БЕСКОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ [ГЛ. V
В неопределенном случае в каждом круге | z | ^ г < 1
существуют равномерные пределы
р (z) = lim pn[(z), q (z) = lim qn (z),
Tl—»-oo IX—*oo
p (z) = lim pn (z), f (z) = lim qn (z),
и описание всех решений дается формулой
/ (z) = Р (г) w (z) + ? (z) F g)
¦" ^ ' p (z) + q (z) со (z) ' \ • /
где со (z) пробегает класс 33.
В этом случае имеет место предельное соотношение (ср.
с F.7))
p(z)p(z)~ q (z) q (z) ~ b (z) ax (|
F.9)
все четыре функции p (z), g (z), p (z), q (z) входят в класс
Харди -Н2 и почти всюду на единичной окружности удо-
удовлетворяют соотношениям
д(?) = Ь(?)?(?) (|?| = 1). F.10)
Из F.9) и F.10) следует, что почти всюду на единичной
окружности
|р(Б)|я-|?(О|я = в» (К | = i). F.11)
Решение / (z), по аналогии с периодическим случаем,
назовем каноническим, если оно отвечает постоянному со,
| со | = 1. Из соотношений F.8) — F.10) легко следует,
что граничные значения канонических решений на еди-
единичном круге почти всюду по модулю равны единице.
Это один из наиболее тонких результатов исследований
Р. Неванлинны [2].
Соотношения F.10) позволяют добавить к этому еще
следующее утверждение: если какая-либо дуга единичной
окружности не содержит предельных точек последователь-
последовательности {zk}T, то все функции р, g, p, q, а значит, и
все канонические функции, аналитически продолжаются
через эту дугу.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V 2??
Примечания к главе V
За исключением некоторых добавлений, содержание первых
трех параграфов настоящей главы повторяет содержание § 10 гла-
главы I работы М. Г. Крейна [5]. По сравнению с этой работой в них
добавлены упражнения, п. 4 § 1 (А. А. Нудельман [4]), касающийся
письма П. Л. Чебышева к С. В. Ковалевской, а также теорема
3.1 и п. 3 § 3, представляющие собой извлечения из неопублико-
неопубликованной работы М. Г. Крейна, относящейся к пятидесятым годам.
Описание всех решений неопределенной проблемы Стилтьеса
в случае конечного (§ 4) и бесконечного (§ 6) числа данных момен-
моментов было дано М. Г. Крейном [8]. Еще раньше этим автором [13]
было дано описание всех спектральных функций регулярной стру-
струны 1), частным случаем которого является указанное описание.
Описание решений интерполяционной задачи в классе <JP~ (§ 5)
и признаки ее определенности (§ 6) получены авторами при работе
над этой книгой.
*) Более общий результат: описание всех спектральных функций
положительного оператора см. у М. Г. Крейна [12].

Глава VI
ПРОБЛЕМА ЧЕБЫШЕВА-МАРКОВА С МОМЕНТАМИ
ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Эта глава начинается с изучения следующего вопроса.
В пространстве Bn+1 задан некоторый параллелепипед
c'k<ck<cl (ft = 0, 1,..., я). @.1)
Требуется узнать, принадлежит ли он конусу моментов К (U).
В общем случае для этого необходимо было бы проверить, принад-
принадлежат ли К (U) все 2n+1 вершин этого параллелепипеда. Поэтому
весьма примечательным является то обстоятельство, что для ST-
кривой справедливо утверждение (теорема 1.1): всякий раз, когда
конусу К (U) принадлежат концы «косой» диагонали параллелепи-
параллелепипеда @.1), т. е. точки (Cg, c"v су с"„,...) и (с^, су с%, с,,...),—все про-
прочие его точки принадлежат уже Int К (U).
Как мы знаем (см. § 6 гл. II), «степенная» кривая V: uk (t) = iK
(к = 0, 1, . . ., п\ а < t < Ъ) является ST-кривой при а > 0 (и
только в этом случае).
Для случая степенной проблемы моментов на интервале [0, I]
(I <J + °°) теорема о параллелепипеде при несколько более жест-
жестком требовании (концы «косой» диагонали принадлежат Int К (U))
была установлена А. А. Марковым. При этом он отправлялся от
результатов двух трудных мемуаров П. Л. Чобышева (подробнее
об этом см. в историческом комментарии). На этом пути А. А. Мар-
Марков получил две замечательные теоремы — «теорему об определи-
определителях» (аналитический эквивалент теоремы о параллелепипеде) и
«теорему о корнях», которая описывает движение масс нижнего
главного представления (для случая п = 2v — 1) при определен-
определенном способе изменения моментов. Здесь эти результаты уточня-
уточняются и обобщаются на случай любой 5Г-кривой; при этом иссле-
исследуется движение масс не только главных, но и канонических пред-
представлений с массой в фиксированной точке ? (§§ 3, 4).
В этой главе решается также обратная задача. Пусть для не-
некоторой Г-кривой U конус К (V) обладает сильным марковским
свойством, т. е. для него справедливо сформулированное выше
«правило косой диагонали». Что в этом случае можно сказать о
кривой U? Оказывается, что для гладких Т-кривых ЗУ-свойство
является не только достаточным, но и необходимым условием спра-
справедливости «правила косой диагонали».
В связи с теоремой о параллелепипеде А. А. Марков поставил
вопрос об определении экстремальных значений интегралов
и ( Q(t)da(t) @.2)

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 279
для а (I), первые n -f 1 степенных моментов которых заданы с из-
избытком и недостатком, т. е. моментная точка с = {cfe}101 принадлежит
заданному параллелепипеду @.1). А. А. Марков сообщил без до-
доказательства правило для нахождения экстремальных значений
первого из интегралов @.2) и, по-видимому, знал соответствующее
правило для второго.
Здесь дается решение этих задач для случая обобщенных мо-
моментов относительно .S Т-системы. В п. 3 § 1 мы показываем, что ре-
результаты А. А. Маркова позволяют дать полное решение основной
задачи одного из упомянутых мемуаров П. Л. Чебышева.
§ 1. Конусы К (U), обладающие марковским свойством
1. Теорема о параллелепипеде. Для точек а = {ак}о,
Ь = {bjjro будем писать а -<^ Ь, если а =/= Ь и имеют место
неравенства:
(_l)n-kflfc<(_i)»-kuft (ft = 0,1,..., и).
Это соглашение, по существу, означает, что в качестве
конуса 3, задающего полуупорядоченность >-, выбран ор-
тант, в котором (—\)n-kxk ^> 0. Легко проверяется, что
Зт = 3.
Конусный интервал 3 la; Ь], состоящий из точек с,
удовлетворяющих соотношениям a rSS с :=? 6, в рассма-
рассматриваемом случае есть параллелепипед 31, определенный
неравенствами
(-1ГЧ<(-1)П-Ч<(-1)П-Ч (А = 0,1,..., и). A.1)
Точки а и Ъ служат концами «косой» диагонали этого
пар аллелепипеда.
В нашем случае упорядоченная выпуклость конуса
К(U) (см. § 4 гл. I) означает,чтоивйёХ {U), Ъ S К (U)
(-1)П-Ч < (-1)"-* К (к = 0, 1, . . ., п) следует, что
весь параллелепипед A.1) принадлежит К (U), а строго
упорядоченная выпуклость означает, что все точки этого
параллелепипеда, исключая, быть может, точки а и Ь —
внутренние точки К (U), т. е. что имеет место «правило
косой диагонали».
Об упорядочение выпуклых множествах при указанном
выборе упорядочивающего конуса 3 будем говорить, что
они обладают марковским свойством. Если же множество
строго упорядочение выпукло, то будем говорить, что оно
.обладает сильным марковским свойством.

280 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
В этой главе мы будем предполагать, что система
{ип @)о (а ^ t ^ Ь) — ?Т-система, т. е. что коэффици-
п
енты любого многочлена Р (t) = 2 ^kuk @ с п различными
о
корнями все отличны от нуля и имеют чередующиеся
знаки. Как мы знаем, это предположение равносильно
тому, что при я <((<([<...< (п С * определитель
/и0 их ... ип
U h ... tn
сохраняет знак eL (= ±1) и все его миноры га-го порядка
имеют один и тот же знак е2 (= ±1) (теорема II.6.1).
Лемма 1.1. Пусть {ик (Z)}? {a < t < b) — ST-cu-
п
стема и Р (t) = 2 akuk @ — неотрицательный многочлен,
о
у которого сумма индексов корней равна п.
Тогда все коэффициенты этого многочлена отличны
от нуля и имеют чередующиеся знаки. При этом
(—\)п~\гга< > 0, если Р (Ъ) > 0, и ( — {)п-Чхггак > 0,
/> (Ь) = 0 (к = 0, 1, . . ., п).
Доказательство. Всякий неотрицательный много-
член P(t) = 2%Mft@i У которого корни имеют индекс
о
п, можно получить предельным переходом из много-
п
членов Pv (t) = 2 °к ufe@> имеющих п различных корней
/1=0
(а О Й° < l^ <С ••• <C^i)(^^)- Эги многочлены представ-
представляются в виде
/Uo Ui ... Un-i Un\
где знак + или — выбирается в соответствии со случаями
Р {Ь) > 0 или Р (Ь) = 0. Поэтому в первом случае
sign aiv) — 8je2 (— I)""*, во втором случае sign c4v) =
= —&i&2 (—1)п"к. Остается доказать что lima^ =afe^=0.
У—>О0
Пре положение си„ = 0 приво ит к еле ующем противо-

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 281
речию. Система {ик (t)}u = o, ьфн0 является Г-системой и при
п
этом неотрицательный многочлен Р (t) = 2j akuk (О
имеет корни, сумма индексов которых (= п) больше порядка
системы (= и — 1), что невозможно в силу теоремы П.1.2.
Лемма доказана.
Напомним, что в § 6 главы IV было описано строение
границы конуса К (U), определенного Г-кривой U:
дК (U) есть объединение открытых непересекающихся
поверхностей %, W и множества & их общих предельных
точек. Поверхности % и 'V состоят из точек, координаты
которых имеют индекс представления п: точки % имеют
в своем представлении массу на конце Ъ, представления
точек V не имеют массы на конце Ъ.
Теорема 1.1 (теорема о параллелепипеде). Конус
К (U), отвечающий ST-кривой U, обладает сильным мар-
марковским свойством. Его крышками являются поверхности
%и!Г.
Доказательство. Так как конус К (U) есть
пересечение замкнутых опорных полупространств, про-
проведенных в точках поверхностей % и ffl, то для доказатель-
доказательства теоремы достаточно убедиться в том, что семейства
этих полупространств удовлетворяют условиям теоремы
1.5.3. При нашем выборе упорядочивающего конуса
3 (= Зт) это означает, что каждое семейство должно зада-
задаваться неравенствами
п
о
в которых коэффициенты ак имеют чередующиеся знаки:
( —1)""'с гак <С 0 для одного семейства и (— \)п~к еаЛ у> Q
для другого (е = ±1). Вспомнив, что опорные полупро-
полупространства, содержащие се дК (U), определяются неотри-
неотрицательными многочленами, имеющими своими корнями
точки сосредоточения масс канонического представления
последовательности с = {cfc}o (см. У.1У.6.1), мы обнару-
обнаружим, что для завершения доказательства достаточно со-
сослаться на утверждение леммы 1.1.
Следствие 1.1. Если {ик (t)}g — SТ-система и
позитивны последовательности а = {ajo u b — {ЬкТ,

282 Проблема с моментами из параллелепипеда [гл. vt
где (-1I1-* ак < (—1)п~к Ь,- (к = 0, 1, . . ., п), то всякая
отличная от них последовательность с — {сА.}'ог, удовле-
удовлетворяющая неравенствам A.1), строго позитивна.
/и0 иу ...и
Замечание 1.1. Если определитель Д I
\t0 tx ... г.
отличен от нуля, а все его минорьт п-го порядка не могут
иметь противоположные знаки (но могут обращаться
в нуль) при а ^ t0 < t± <C ¦ ¦ ¦ < tn ^ Ъ, то определяе-
определяемый системой {ип B)}о конус К (U) обладает (уже не
сильным) марковским свойством.
Замечание 1.2. Теорема 1.1 и замечание 1.1 пе-
переносятся без труда на случай полубесконечного интер-
интервала [й, оо) при дополнительном выполнении хотя бы
одного из двух условий (ср. с § 1 гл. V):
а) существуют пределы
М°°)= limits (О (А = 0,1,..., п), A.3)
б) itn-i(*)>0, itn(*)>0 и
lira ^ттг = 0 (й = 0,1,...,и —1),
A.4)
2. Примеры.
1. Пусть i^ (f) = tk @ < if < оо). Конус К (U), опре-
определяемый этой системой, обладает марковским свойством
и, следовательно, если а, Ь ЕЕ Int К (U), о, -<( Ь и
а -< с -<^ 6, то с ЕЕ Int Ж A7). Это утверждение состав-
составляет содержание первой части теоремы А. А. Маркова1):
Теорема Маркова об определителях,
а) Если для чисел
¦S0> Sl, • • • , S%4-1i S2v-1
мы имеем две системы значений:
1) s0 = а0, sx — alf. .., s2v-i = a2v-i,
2) So = 60, Sx = 0u . . . , S2v-i = O2v-i,
!) Этой теоремой объясняется происхождение термина «марков-
«марковское свойство».

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 283
при которых все определители Ар = det flsi+jlo (jo. = О, 1,...
...,v-l) и Aft = det]} si+j+1f0 (|A = 0, l,...,v —1) ока-
оказываются числами положительными и удовлетворены не-
неравенства
ао > b0, bi > ах ,а2 :> b2,
а3,
mo кш« определители Ay, и А^ ((х = 0, 1, . . ., v — 1)
должны оставаться числами положительными при всех
значениях
удовлетворяющих неравенствам
2 г^ V-2) М-1 ^ ^2v-l ^ Q2V-1-
б) ITpu тех же условиях должно быть
det j| ai+i |>J > det | Si+i [f > det || bi+j ||'л, A.5)
det I bi+i+1 f0 > det | si+j+1 Jf > det fl ai+j+1 ^ A.6)
при (x = 0, 1, . . ., v — 1.
Положительность всех определителей Дц и
Д)Р((А = 1, 2, . . ., v) является необходимым и достаточным
условием строгой позитивности последовательности {^Jo"
по отношению к последовательности степеней {tK}0*-1 в ин-
интервале [0, схэ) (см. п. 1 § 1 гл. V). Так как в силу условия
последовательности {a^l"'1 и {fc/Jjf строго позитивны
и (—l)av-i-fe ak ^ (__iJv-i-ft6fc (й = 0, 1, . . ., 2v — 1),
то по теореме 1.1 всякая «промежуточная» последователь-
последовательность {s/Jo*, удовлетворяющая неравенствам
(— 1)г*-1-к ак < (— l)av-i-ft S/f <^ (_ lJv-i-&^
также строго позитивна. Поэтому для «промежуточных»
последовательностей определители А^ и А^' ((х = 0, 1, ...
. . ., v — 1) положительны, и первая часть теоремы дока-
доказана. Доказательство второй части (неравенства A.5) и

284 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
A.6)) мы откладываем до § 3, где будет получено более
сильное утверждение.
Применяя теорему о параллелепипеде к системе функ-
функций {tk}a в интервале [а, Ь], где а ;> 0, и пользуясь усло-
условиями позитивности последовательности {sft.}" относи-
относительно этой системы (см. теоремы III.2.3 и III.2.4), полу-
получим еще две теоремы об определителях (П. Г. Рехтман [3]).
I. Если для чисел {s^ 1 мы имеем две системы зна-
значений:
1) sk = а,, 2) s, = Ь, (к = 0,1,..., 2v - 1),
при которых все определители
det | si+i+1 — asi+j f, j=0 " det fl 5si+i — si+i+11^ i=0 A.7)
оказываются числами положительными и удовлетворены
неравенства
1JУ-1-/?&(. ^fe== О, 1,...,2V— 1),
тео определители A.7) должны оставаться положитель-
положительными при всех значениях slt, удовлетворяющих неравен-
неравенствам
II. Если для чисел {s^ мы имеем две системы значе-
значений:
1) sk = ak, 2) sK = bk № = 0,l,...,2v),
и/ж которых все определители
det||,s-i+iK (|i = 0,l,...,v) A.8)
det || (й + Ь) Si yj+1 — si+j+2 — absi+j $ (ц = 0,1, . . . , v — 1)
положительны и удовлетворены неравенства
(- lJ-fe flfc < (- l)«-fc bk (k = 0,1,..., 2v),
mo определители A.8) должны оставаться положительны-
положительными при всех значениях si:, удовлетворяющих неравенствам
(_ i)av-it а(? ^ (_ iJv-ft S/{ ^ (_ i)av-fe feft (A = 0,1, • • • • 2v).

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 285
2. Обозначим через & класс функций / (х), представи-
мых в виде
ь
где G {x, t) — непрерывное вполне положительное ядро.
Так как функции us (t) = G (xk, t) (к = 0, 1, . . ., п;
с <^ х0 < хх < . . . <с хп ^ d) образуют 5Г+-систему на
[а, Ь], то из теоремы 1.1 сразу вытекает
Теорема 1.2. Пусть fx (x) и /2 (х) — функции
класса &, причем для значений
(с <) х0 < хг < ... < х
выполняются неравенства
(- 1)»-ь А (х,) < (-1)"-* и (хк) (к ~ о, 1,..., п).
Тогда для произвольных чисел ук (к = 0, 1, . . ., п) таких,
что
(- I)»"* А (*,) < (- 1)«-* 7/, < (_ 1)"-* /2 (X,)
(Л= 0,1 и),
существуют, функции f (x) ЕЕ 'З, для которых
/Ы = 2/я (fc = 0,1, •••,«)•
Среди таких функций имеются функции вида
Если положить G (x, t) = ext (— ,оо <ж<0, 0<г!< оо)
или
то получим интерполяционные теоремы для абсолютно
монотонных функций и для функций класса $~. Применяя
в последнем случае детерминантный критерий разреши-
разрешимости, получаем еще одну теорему об определителях:
Если для чисел {ск}а мы имеем две системы значений:
1) ck = e,u2)C( = iit (k = 0,1,.. ., п),

286 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
при которых все определители
det
У** + У*1
= 0,1,...,га,0<>
,,
A.9)
положительны и удовлетворены неравенства
(-l)«-«a/l.<(-l)"-*bj, .(A = 0,1,..., и)
то определители A.9) положительны для всякой последо-
последовательности {Сд.}о\ удовлетворяющей неравенствам
(- 1)"-й а& < (- 1)"-к ск < (- 1)«-й 6А (А = 0,1, • • •, п).
3. Об одной задаче П. Л. Чебышева. Пусть с = {}
ЕЕ Int Z (СГ), где Z7 есть .ST-кривая. Выбрав произволь-
произвольный вектор й такой, что й^>-0 или й.~=@, можно поста-
поставить задачу о нахождении наибольшего параллелепипеда
Ж с вершинами на прямой с + гй/ (—оо < т < оо), со-
содержащегося в К (V). Из теоремы о параллелепипеде
сразу выводим, что вершинами такого параллелепипеда
будут служить точки с — тй, и с -f тй, (т, т ^> 0), в которых
прямая пересекается с дК (U).
Эти точки особенно просто находятся для степенной
моментной последовательности с = s = {sA]o в [0, оо),
если положить h = {(—А)*}" (А > 0).
Так как й, Jg> 0 или й <^; 0 (в зависимости от четно-
четности п), то одна из точек s— тй и s-\-~xh лежит на граничной
поверхности %, а другая — на W. Поэтому из двух по-
последовательностей,
(v= [га/21, ji = [(в - 1)/2]),
одна строго, а другая — сингулярно позитивна в (—оо, оо).
Из последней части теоремы об определителях следует,
что при 1 ^> 0 вторая последовательность строго позитив-
позитивна. Следовательно, сингулярно позитивна первая после-
последовательность, откуда заключаем, что т = pv (—h), где
pv (|) (—оо <; \ <; оо) — максимальная масса в точке \

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 28?
для последовательности {я.Ло^ рассматриваемой как мо-
ментная в (—оо, оо).
Аналогичные соображения приводят к выводу, что f =
= — р[Р (— h), где р|Р (I) (— оо < |< оо) — максимальная
масса для последовательности {s^ffi (s^ =sn+i) в (— оо,°о).
Этот результат дает ответ на вопрос, который рассма-
рассматривал П. Л. Чебышев в обширном мемуаре *) [13]: для
данных s ЕЕ Int К (U) и й, >- 0 найти такое Но ^> О,
при котором параллелепипед 31, определяемый точками
1 1
а—jj-h и s-\--^-h, принадлежит K(U) 2).
Мы видим, что в качестве такого Но нужно выбрать
Яо = max {l/pv (—h), 1/p^ (—h)} и это значение Яо
будет точным (не улучшаемым).
Таким образом, если {s^ — строго позитивная в
[О, ос) моментная последовательность, то таковой будет
всякая последовательность {5к}™, удовлетворяющая ус-
условиям
ISk-^K-^ (fc = 0,l п).
Рассматривая только случай п = 2v + 1, в результате
очень сложных вычислений П. Л. Чебышев получил сле-
следующий результат.
Положим, следуя его обозначениям, г^ (t) = akDu(t),
где DK(t) — ортонормированные относительно {sk}f мно-
многочлены, <хй выбраны так, чтобы для многочленов tyu (t)
и сопряженных им многочленов ц>к (t) имело место тожде-
тождество
Фа @ %-i @ - Ф*-1 (О ЫО = 1 (/« = 1,2 v + 1,
Фо = О, %= 1, ф± = 1).
Тогда можно положить
х) П. Л. Чебышев ставил задачу и формулировал результаты в
терминах теории непрерывных дробей. Мы приводим их в эквива-
эквивалентных терминах теории моментов.
2) Теорема об определителях была получена А. А. Марковым
как обобщение результата П. Л. Чебышева.

288 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
где L(v+1) — максимум модулей коэффициентов многочлена
a L^' — его свободный член.
Оказывается, оценка A.10) сильно завышена. Это сле-
следует из равенства (V.4.3) при % = —h:
в котором правая часть совпадает со вторым слагаемым
в A.10). Заметим, кроме того, что 1/р„ (—h) = % (—h) и,
следовательно,
У.1.1. Для того чтобы проблема моментов Стилтьеса для {*^}^°
была неопределенной, необходимо, чтобы при любом h > 0 сущест-
существовало Но = Яо (h) > 0 такое, что для любой последовательности
{St}00, удовлетворяющей неравенствам 15^ — s I < —тт- {к = 0,1,...),
была разрешима проблема моментов Стилтьеса, и достаточно,
чтобы при некотором h ;> 0 существовало Но > 0 такое, что для
обеих последовательностей
И Ь-
разрешима проблема моментов Стилтьеса.
Указание. Перейти к пределу в A.11) при v —» 00 и вос-
воспользоваться !) Д.У.6.6 б) и У.У.6.8.
Если в линейном пространстве бесконечных последо-
последовательностей s = {sk}™ ввести топологию, считая окрест-
окрестностью нуля множество тех х = {х^}™, для которых
I хк I < Фк (^ = 0, 1, . . .) при некоторых q ^> 0 и h ^> 0,
то полученный здесь результат можно истолковать сле-
следующим образом.
Множество К всех бесконечных стилтъесовских момент-
ных последовательностей образует конус. Этот конус
г) Авторы приносят свои извинения читателю за вынужденное
нарушение обещания, данного во введении: не делать ссылок на «Д».

§ 1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 289
телесный, и SEE Int К тогда и только тогда, когда соответ-
соответствующая проблема Стилтъеса неопределенная.
Задачу Чебышева можно поставить для последователь-
последовательности степенных моментов в конечном интервале [а, Ь].
Если а !> О, то, используя теоремы П. Г. Рехтман (см.
п. 2 § 1) и указанную в примечании к У. III.3.2 интер-
интерпретацию результата И. Шёнберга и Г. Сеге, также можно
получить ее точное решение. Однако в этом случае для
бесконечной моментной последовательности задача теряет
смысл, что предоставляем читателю продумать самостоя-
самостоятельно.
4. Обратная теорема. В ходе доказательства теоремы
1.1 было обнаружено, что если система {uk (t)}% есть
б'Т-система, то граничные поверхности I и f конуса
К (U) совпадают с крышками Г и Г. Оказывается, это
предложение можно обратить:
Теорема 1.3. Пусть конус K{U), определяемый
Т-системой {uk (t)}o, обладает сильным марковским свой-
свойством. Если граничные поверхности % и W этого конуса
являются его крышками, то система {щ (?)}? есть ST-cu-
стема.
Доказательству предпошлем лемму.
Лемма 1.2. Пусть в п-мерном пространстве дан п-ре-
берный конус *) K(n\ Для любого вектора аЬ найдутся:
, _, Г п 1 »
грань размерности v *^v = ~о- i точка с на этой гра-
грани и точка с Е: К(п) такие, что либо с*с = аЬ, либо
се* == ab.
Доказательство. Пусть еи е2,. . ., еп — орты ребер
п
/?("¦> и пусть в разложении ab = 2а^ среди чисзл зс;-
имеется v+ положительных, v_ отрицательных и v0 нулей.
Тогда либо v+^v, либо v_^Cv. Если, например, v_^Cv
и отрицательны числа aki (i — 1, 2,.. ., v_), то положим
п
*) То есть совокупность точек е = ^ Р]ер е где j — заданные
1
линейно независимые векторы, ару^О. Точки, у которых только
v' « n) чисел р^ отличны от нуля, образуют v'-мерные грани.

290 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
с*= 2 Мп' гДе P/ti>lati|, и с= 2 (X*i + Рл-г)елч +
г =1 г=1
+ S а1-ей- Очевидно, что точки с* и с принадлежат К^п^
точка с* лежит на л'_-мерной грани и с*с = «&•
Замечание 1.3. Если п = 2v,v+ = v_ = v, то, как
легко видеть, найдутся такде две непересекающиеся v-мер-
ные грани K^^aJC^, точки^е К%\с\& К%\с^ К(п\
с2 ?Е К(п\ что CjCj = ab и c2Ca = a&.
Доказательство теоремы 1.3. Пусть ко-
конус К (U) обладает сильным марковским свойством и
пусть поверхности % и V совпадают с крышками. Дока-
Докажем, что Г-система {ик (t)}™ есть .ST-система.
Предположим противное: пусть для многочлена Р {t) =
п
= 2 ^"s@i имеющего п различных корней tut2,. . .,tn,
имеем
4,4+1 >0- . A-12)
п
Рассмотрим гиперплоскость 2 ^А — 0 • Это и-мер-
о
ное пространство, содержащее линейно независимые век-
векторы ej = (и0 (tj), щ (t}), . . ., ип (ф 0 = 1, 2, . . ., п)
и, следовательно, содержащее натянутый на них и-ребер-
п
ный конус Кт. Если с = {с^}™ е К(п\ то сл = 2 РЯа (^)i
где р;- > 0. Поэтому .ЙГ^ с; К A7).
Из предположения A.12) вытекает, что рассматривае-
рассматриваемая гиперплоскость содержит вектор ab, где а -< 6. Вос-
Воспользовавшись леммой 1.2, найдем v'-мерную грань К^
(v' ^ v = [т )» Т0ЧКУ с* €= ^A>>) и точку с е if<-n) так,
чтобы с*с = ab (и тогда с* -< с) или ее* = аЬ (и тогда
с -< с*). Пусть, для определенности, с* -< с. Так как
jfiT (U) обладает сильным марковским свойством, то можно
считать, что С €Е Int К {U).

1] КОНУСЫ С МАРКОВСКИМ СВОЙСТВОМ 291
Для координат точки с* имеем
* \l . ,, /f, \ IT, Л A „\ IA A O\
Индекс этого представления s^ 2v
а) Если га = 2v + 1, то индекс представления A.13)
не больше п — 1. Следовательно, с* ф.%, с* (j~ W. Это
значит, что с* ?EZ= Г, с* ?EZE Г. Но мы доказали существова-
существование точки с ЕЕ Int К, такой, что с ^- с*, откуда следует,
что с* ЕЕ Г. Полученное противоречие доказывает теорему
при п = 2v + 1.
б) Пусть п = 2v. Если v' <^ v, то приходим к тому же
противоречию, что и выше. Если же невозможно выбрать
такое v, то (в обозначениях леммы 1.2) v' = v+ = v_ = v.
Если при этом в представлении A.13) одно из tj равно а
или Ъ, то его индекс равен п — 1 и снова получаем то же
противоречие.
Остается рассмотреть случай, когда среди точек tj
нет ни а, ни Ъ.
Так как п = 2v, v+ = v_ = v, то согласно замечанию
1.3. найдутся точки с[ ЕЕ К^\ е\ ЕЕ К^\ си с2 ЕЕ Int K(U),
* *
ДЛЯ КОТОРЫХ Ci-^Cx И С2У- С.2,-
Если в представления координат с\ и с2 не входят а
и Ь, то это значит, что обе точки принадлежат W, т. е. одной
и той же крышке. Но из cl -< сг следует, что cl ЕЕ Г,
а из с2 )>- с2 следует, что с2 ЕЕ Г. Мы снова получили про-
противоречие. Теорема доказана.
В этой теореме требование, чтобы 11 и V были крышками, су-
существенно, так как наличие сильного марковского свойства у
конуса К (U) еще не означает, что Г-кривая U является <!?Г-кривой.
В самом деле, положим
+ 1 при — -IJ- ^ t ^ О,
"о @ = 1, «i@ =
и2 @ = | * |.
при 0<;г«^1,
(Uq Ы\ I
Эта система функций, будучи Т-системой на
Непосредственно проверяется, что Д ] > 0 при —-tj-

292 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
— ~2~, 1 ,
[
не является «ST-системой, так как при
минор Д = t0 -\- h может менять знак.
\*о hi
Граница конуса К (U), определяемого этой системой, состоит
из трех открытых поверхностей Fi, Г2, Г3 и их предельных точек:
Г] ={(с0, си а): со = р, С1== р(/< + 1), Ci = pt; р > О,
Га = |(с0, си а): с0 = р, ci = p(*2 + l)> с2 =-pt; p>0, -у
Г 5
Гз = 1 (со, ci, cj): с0 = р + ц, ci = — р + 2ц,
с* = -у р + И1! Р > °. Р- > °| •
Простое вычисление показывает, что нижней крышкой конуса
К (U) служит поверхность Fi, а взрхней — объединение поверхно-
поверхностей Гг, Гз и их оЗщих предельных точек. Таким образом, К (U)
обладает (сильным) марковским свойством.
Легко видеть, что в нашем примере % = Гз, а V — объедине-
объединение Vi, Г2 и их оэщих предельных точек.
Попутно заметим, что в приведенной Г-системе и0 (t), ui(t), uz(t)
порядка 2 многочлены u2 (t) и u\(t) — иц (t) неотрицательны, iiMerot
общий корень-пучность t0 = 0, e (?<,) = 2, но не пропорциональны
(см. п. 2 § 6 гл. IV).
Укажем достаточное условие, при котором граничные
поверхности % и ffl конуса К (U), обладающего марков-
марковским свойством, совпадают с крышками. Напомним, что
граничная точка выпуклого тела называется регулярной,
если через нее можно провести только одну опорную ги-
гиперплоскость. Граничная поверхность называется регу-
регулярной, если она состоит из регулярных точек.
Теорема 1.4. Пусть для Т-кривой U конус К (G)
обладает сильным марковским свойством. Если поверхности
% и W регулярны, то они совпадают с крышками и, следо-
следовательно, U есть ST-кривая.
Доказательство. Как уже было сказано ра-
ранее, граница конуса К (U) двумя способами представля-
представляется в виде объединения непересекающихся множеств:
дК (U) = % U W у ё и дК (U) = Г U Г" П Г<ь где
& — множество общих предельных точек % и W, Го —
множество общих предельных точек Г и Г.
Пусть с* ?Е Го. Так как с* — предельная точка Г и
Г, то через нее можно провести опорные к К (U) полупро-

§ 2] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 293
странства2 <*Л > 0 и 2*Л > °> гДе
о о
^ О, (—l)n"k aft ;> О (/с = О, 1,...,и), так что эти полу-
полупространства не совпадают.
Следовательно, поскольку % и W — регулярные по-
поверхности, они не могут содержать точек Го. Отсюда выте-
вытекает, что каждая из этих поверхностей имеет общие точки
только с одной крышкой (в противном случае, в силу
связности, % или 0W пересекалась бы с Го), своей для
каждой. Пусть, для определенности, % С Г, W СГ Г.
Покажем, что % = Г и W = Г. Допустим, что с* SE
GE Г, но с* <ф. %. Включение с* е "V невозможно, так
как тогда с* ЕЕ Г, а Г и Г не имеют общих точек. Если же
с* GE &, то в любой окрестности с* найдутся точки с ЕЕ
^= V с Г. Но Г — открытая поверхность и все точки
дК (U) в достаточно малой окрестности с* должны при-
принадлежать Г. Снова получается, что Г и Г имеют общие
точки. Лемма доказана.
В связи с теоремой 1.4 можно заметить, что если функ-
функции {uh (?)}о непрерывно дифференцируемы при а ^ t ^
^5и матрица Якоби, вычисленная для параметрических
уравнений (IV.6.2—3) или (IV.6.4—5) имеет полный ранг,
то поверхности % и W конуса К (U) регулярны.
§ 2. Экстремальные значение интеграла по всему
интервалу
1. Экстремальные значения интегралов. Во всем даль-
дальнейшем изложении мы будем для простоты считать систему
{uh (t)}e 6Т+-системой, т. е. что определитель
(и0 их. . .ип
А
U *!...*„
и все его миноры п-то порядка положительны при а ^
^ /о <С h <^...<^ tn ^Lb. Анализ последующих рассужде-
рассуждений показывает, что знак определителя г1 и миноров е2
сказывается только в том, что возрастание может заме-
замениться убыванием и наоборот, наибольшее значение —

294 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
наименьшим, и наоборот, верхняя крышка — нижней и
наоборот и т. д. Принятое условие позволит формулиро-
формулировать предложения без излишних оговорок.
Обратим внимание на то, что у конуса К (U), опреде-
определенного S ^-системой, граничная поверхность % служит
верхней крышкой, а поверхность W — нижней крышкой.
В этом можно убедиться двумя путями: либо используя
лемму 1.1 (взяв е = е^ — 1), либо повторяя рассуждения
п. 1 § 6 гл. IV применительно к ^-системам {uh (О КГ1 и
К (')}?•
Пусть функции {uh(t)}o и «0 (/),..., ип (t), Q (t) образу-
образуют 6Т+-системы. Соответствующие этим системам конусы
будем обозначать через К (U) и К (U). Оба конуса облада-
обладают сильным марковским свойством.
. Совокупность всех распределений а, задающих пред-
представление
ь
ck = lu,(t)de(t) (А = 0,1 »),
а
как обычно, будем обозначать через V(с). Для параллеле-
параллелепипеда Ж A.1) положим
У№= U У {с).
Теорема 1.1 гарантирует, что при a,b?EK (U), а -< Ь
для любого с ЕЕ 31 совокупность V (с) не пуста.
Обозначим через / (с) и / (с) соответственно наименьшее
и наибольшее значения, которые принимает интеграл
B.1)
когда а пробегает V (с).
Теорема 2.1. Величины Т_ (с) и / (с) — изотопно
возрастающие функции от с ЕШ К (U).
Доказательство. Воспользуемся теоремой
1.6.2. Как показано в § 6 гл. IV, совокупность точек
п + 2-мерного пространства {с, т}, где с б= Int K(U),

§ 21 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 295
/ (с) <^ т <^ I (с), образуют конус Int К (U), а этот конус
обладает сильным марковским свойством J).
Поэтому на основании теоремы 1.6.2 и замечания 1.6.2
можно утверждать, что / (с) и I (с) — изотонно возраста-
возрастающие функции. Теорема доказана.
Для ?Г+-систем {ик(t)}% и и0(t),. . . ,ип(t), Q (t) из не-
неравенств 7(а)</(с)</(&), 7 (а) <7 (с) <7F) при а -<
-<с-<6 и теоремы IV.1.1 вытекает
Теорема 2.2. Наименьшее (наибольшее) значение
интеграла
ь
на совокупности V (Ж) достигается при a (t), задающем
нижнее (соответственно верхнее) главнее представление
последовательности а = {а&}? (соответственно Ь =
{ьГа).
Замечание 2.1. Для полубесконечного интервала
имеют место аналоги теоремы 2.2 такого же типа, как
теоремы V.I.I, V.I.2.
Рассмотрим некоторые примеры.
2. Задача А. А. Маркова. Функции 1, ?,..., tn и 1,
t,...,tn, Q (t) образуют SГ+-системы на [а, 6], если а ^> О,
(_l)n+i-* QW (а) > О (Л = 0, 1,..., и) и 9Jn^ (t) > 0 при
а< ts^b (§6 гл. II).
Поскольку а ^> 0 может быть произвольно малым, то
правило нахождения экстремальных величин интегралов,
изложенное в теореме 2.2, можно распространить на слу-
случай, когда а = 0.
Именно для этого случая А. А. Марков [8] указал без
доказательства правило нахождения экстремальных вели-
i
чин интеграла \ Q (t) da (t), когда последовательность
х) Уточним, что в теоремах 1.6.1 и 1.6.2 считается, что
{с, сп+1} >» 0 при с -= 0 и са+1 <0, т. е. при (—l)rt~fc ch > 0 для к =
= 0, 1,..., п+1, х°гДа как в Rn+1 нами принято противоположное
упорядочение: (—l)n+1~/?cft > Одля к = 0, 1,..., п + 1. Однако со-
совершенно очевидно, что упорядоченная выпуклость в обоих слу-
случаях означает одно и то же.

296 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
степенных моментов
1
C,; = ^tkd0(t) (A = 0,1,..., И)
о
распределений a (t) меняется в заданных границах:
cGf.
Там же приведен результат вычисления экстремальных
величин интеграла при п = 2, Q (t) = t3. Восстановим эти
вычисления. Согласно теореме 2.2
/max =/(&) = Pi (&) [!, F)]3 + р2 (&) Is,
/mm =/(«) = Pi (а) [|!(а)]3 (|0(а) = 0).
Легко подсчитать, что
Si W - too _ ь, ' Pi W -
|i (a) = Й2/аь pi (а) = ai/aa.
Поэтому
(fti - bJ3 + (ibp - bt) (boh - Ь2) P _
/max - (i,fto _ 2lh + &2) (fto _ b]) -
_ (boh - hi) P + hhl - b\
Ibo — 6i '
/min = «г/ai-
3. Применение к абсолютно монотонным функциям.
Как показано в § 2 главы V, для абсолютно монотонной
в интервале (—оо, 0) функции / (х), не вырождающейся в
экспоненциальный многочлен индекса s^ п — 1, и задан-
заданных г^^^... <^„ « 0) найдется один и только один
экспоненциальный многочлен Р (х) индекса п такой, что
Этот многочлен обладает тем свойством, что (— \^п~ъ [/ (х) —
— Р(Х)] >0 При Ж,? < Ж <¦?,;+! (к = 0, 1, . . . ,П,Х0 = — СО,
¦*Vi+i = 0).
Докажем еще одно свойство многочлена Р (х).
Теорема 2.3. Для любой абсолютно монотонной в
интервале (— оо, 0) функции F (х), удовлетворяющей усло-
условиям
(- 1)»-* / Ы < (- If-* F Ы (Л = 1, 2,. .., в),

§ 2] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 297
выполняется неравенство
F (х) ^> Р (х) при х ^> хп.
Это утверждение вытекает из теоремы 2.2, если поло-
положить
u, (t) = ех*\ а, = f (xk+l), Ьл = F (*k+1) (к = 0,1,. . . , п - 1),
Q(t) = etK, a = 0, Ъ=оо.
4. Применение к функциям класса $ ~. Аналогичным
свойством обладают рациональные функции R (z) и R (z)
класса S' (см. § 3 гл. V).
Теорема 2.4. Пусть Гг (z) и F2 (z) — функции
класса $~, не совпадающие ни с какой дробью индекса
^ п — 1, причем
(Л = 1,2,...,и; 0 <>!<... <*п),
и пусть R\{z)(EE$~ и Я2(г)Е^" — рациональные функции
индекса п, такие, что
«ikH^iW (Л = 1,2,..., re),
(- 1)"-* [F1 (x) - Дг (х)] > 0 при хЛ < х < a:fc+1
(к = 0,1,... , /г; .?„ = 0, ^п+г = оо),
Л2(х,) = ^Ы (ft = 1,2,..., и),
(_ 1)»-* [/?s(a;) - Д2(а:)]<0 при хк<х <^хм
(k = 0,i,...,n; х0 = 0, хп+1 = эо).
Тогда для любой функции F (z) ЕЕ S", удовлетворяющей
условиям
имеют место неравенства
Доказательство этого утверждения, как и предыдущего,
основано на применении теоремы 2.2. Здесь нужно поло-
положить
^ г >Q @ = д. ь t .«.- = F
г
"Г
(ft = 0,1,...,/1-1),

298 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
и учесть, что Дх (х) и Я2 (х) являются соответственно наи-
наименьшим и наибольшим значением интеграла
f T (T > 0)
6
при условиях соответственно
С da (t) .
) х (t) + Т = пк
и (к = 0,1,. . ., п — 1).
• Замечание 2.2. Такие же теоремы имеют место
для любого класса функций, допускающих интегральное
представление
ь
с вполне положительным ядром G (z, t) и неубывающей
функцией a (t).
§ 3. Движение масс главных представлений
при изменении моментов
1. Движение масс главных представлений. В предыду-
предыдущем параграфе мы выяснили, что экстремальные значения
I (с) и / (с) интеграла B.1) изотопно возрастают. Здесь
мы покажем, что внутренние точки сосредоточения масс и
массы на концах [а, Ь] главных представлений также
изотонны. По-прежнему предполагается, что {uh (?)}" —
5Г+-система.
Кривую с (I) будем называть упорядочение растущей,
если с (?]) -< с (if2) при tt <^ t2, т. е. если при движении точ-
точки с = {сь}^ вдоль этой кривой величины (—i)n'kch не
убывают.
Теорема 3.1. При движении точки с = {с^}^ ЕЕ
ЕЕ Int К (U) вдоль упорядочение растущей кривой внут-
внутренние массы нижнего главного представления последова-

I з1 движение масс главных представлений 299
телъности {ck}o сдвигаются вправо, внутренние масеы
верхнего главного представления сдвигаются влево. При
этом в случае п = 2v — 1 масса верхнего главного пред-
представления, сосредоточенная в точке а, уменьшается, а мас-
масса этого представления, сосредоточенная в точке Ь, увели-
увеличивается; в случае п = 2v масса нижнего главного пред-
представления, сосредоточенная в точке а и масса верхнего
главного представления, сосредоточенная в точке Ь, уве-
увеличиваются.
Доказательство. Докажем сначала, что масса
рь (с) верхнего главного представления — изотонно воз-
возрастающая функция от с. Для этого, в соответствии с тео-
теоремой 1.6.1, докажем, что множество X cz Rn+2 точек
{с, т}, где с ЕЕ Inl К (U), т <^ рь (с), упорядочение вы-
выпукло. Это множество выпукло, так как рь (с) — вогну-
вогнутая функция (см. У.III.3.1), а X — ее подграфик (см.
У.1.6.1). Легко видеть, что X — открытый телесный конус
и потому является пересечением открытых опорных к не-
нему полупространств.
Упорядоченную выпуклость подграфика X удобно до-
доказывать, рассматривая его как общую часть двух мно-
множеств: множества Y, являющегося пересечением откры-
открытых полупространств, опорных к X в точках {с, рь (е)}
(с ЕЕ Int К (U)) графика, и «цилиндрического» множества
Z точек {с, т}, где с ЕЕ Int К (U), т — произвольно. По-
Поскольку Z упорядоченно выпукло вместе с «основанием»
Int К (U), достаточно доказать, что Y — упорядоченно
выпуклое множество.
Пусть опорное полупространство к X в граничной точке
п+1
{с, рь (с)} (с ЕЕ Int К (U)) задается неравенством 2 ^А\>0-
о
п п
Так как 2 Кси + K+iPb (с) = 0 и 2 ^ А- + ^n+iT > 0 при
_ о о
т<^рь(с), то ^n+i^O, и мы можем считать, что ^п+1 = — 1.
Точки {и (t), рь (и (t))} (a < t < Ъ), где и (t) = {и, (*)}?, при-
п
надлежат замыканию X, поэтому Р (t) — 2^ А 00 ^> О
о
6) и РF)>1, так как р~ь (и (t)) = 0 при й

?00 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ 113 ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
п
и =1 при t — b. Так как Е„ (Р) = 2^fc* = Рь(с)> то не"
о
равенство Р (Ь) ^> 1 исключается (в противном случае ока-
оказалось бы, что Pb(c)<^Sc(P)/P(fe), а это противоречат
Г
формуле (III.3.1)). Так как е„(Р)= 2^р (Ь) + Рь (с)р(ь) =
1
п
= рь (с), то Р (fj) = 0. Следовательно, Р (?) = л
о
неотрицательный многочлен, у которого сумма индексов
корней равна п и РF) = 1^>0. На основании леммы 1.1
и равенства Яп+1 = — 1 заключаем, что Y задается системой
п+1
неравенств вида 2 ^А^>0> гДе (—IO1"'Xfc^> 0 (Ле=О, 1,...
о
..., п 4- 1). Согласно теореме 1.5.2 это означает, что множество
Y упорядочение выпукло 1). Мы доказали, что рь (cx) ^ рь (с2)
при с1 -< с2. Знак равенства легко исключить, используя
тот факт, что <?Cl (P) <^ @„2 (Р) при С!-<;с2.
Аналогично доказывается, что ро (с) — изотонно воз-
возрастающая функция при п = 2v; при п = 2v — 1 сле-
следует доказывать упорядоченную выпуклость X относи-
относительно упорядочения: {х, т} ^ 0 при ж ^ 0, т ^> 0.
Теперь легко получить результаты о движении внут-
внутренних масс главных представлений. Главное представле-
представление последовательности {cft}o дает для последовательно-
последовательности со,...,съ-и Cfe+1,...,cn каноническое представление (ин-
(индекса (п — 1) + 2). Если увеличивать (—l)n'k ck, не
меняя остальных моментов, то, используя монотонность
масс, сосредоточенных на концах \а, Ь], мы из теорем
II 1.6.1—2 и замечания III.6.1 получим все утверждения тео-
теоремы 3.1, исключая касающиеся случая нижнего главного
представления при п = 2v — 1. Этот случай будет исчерпан,
если окажется, что |х (с) изотонно возрастающая функция.
Допустим противное. Пусть ^(с^ ;> gx (c2) при некоторых
Cj ^ с2. В интервале [ ?х (с2), Ь] последовательность сх пози-
позитивна, а с2 сингулярно позитивна. ЕслиР (t) — многочлен,
х) См. сноску на стр. 295.

ДВИЖЕНИЕ МАСС ГЛАВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
301
неотрицательный в [?х(с2), b], обращающийся в нуль во всех
точках ?^(с2), то&Сг(Р) =0, ©сДР) ]>0, что невозможно, так
как, ввиду чередования знаков у коэффициентов много-
многочлена Р, Кй1 (Р) <^ ©с2 (Р). Теорема доказана.
Замечание 3.1. При условиях A.3) или A.4)
теорема 3.1 легко переносится на тот случай, когда момен-
моменты заданы на полубесконечном интервале.
Замечание 3.2. Теорема 3.1 имеет место и для
таких Г-систем, у которых определитель
щ
положителен, а все миноры n-vo порядка неотрицательны
при а ^ t0 <^ t1 <^ ... <^ tn <; Ъ. В этом случае, правда,
монотонность точек сосредоточения масс и масс на концах
[а, Ь] может оказаться нестрогой а).
В этом можно убедиться с помощью аппроксима-
аппроксимации, описанной в § 3 гл. II. Аппроксимирующая система
{Uh{t;i)}^ в нашем случае окажется S^-системой.
2. Теорема о корнях и вторая часть теоремы об опреде-
определителях, а) Из теоремы 3.1 легко получить «теорему о
корнях» А. А. Маркова.
Теорема Маркова о корнях. Пока определители
Ао, Аь ..., Av-i, Ао1}, А]1', ..., Ai1^сохраняют положительные
значения, корни уравнения
1
t
p
л
C.1)
возрастают при возрастании slt s3,. . .ts^-i и убывании
Sq, S2, . . ., S2V-2-
!) Например, для степенных моментов {«;J2p в интеравле [0,
масса Ро не зависит от s2v, a %j (j — 1, 2,..., v) не зависит от s0.

302 ПРОБЛЕМА. С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
Достаточно заметить, что корнями уравнения C.1)
являются точки сосредоточения масс нижнего главного
представления последовательности {sujl"'1 (У.У.4.2) и
применить теорему 3.1.
У.3.1. Для степенных моментов {s^}^ 1 в [а, Ь] положим
Ф (*) = (* - Ь) (*—J2). . .{* — |v). 4>j (*) = Ф @ / (* - У- Тогда
=1'2 v;
Cjft — коэффициент при tk в разложении многочлена (г — i;)[i|)j (г)]2
по степеням i (П. Л. Чебышев [14], А. А. Марков [16]). ~
Это соотношение интересно тем, что можно указать (по пра-
вилу Декарта) количество перемен знака -г— при фиксированном
j: если количество положительных чисел {?;}J есть р, то при j <C р
в ряду Cjh (к = 0, 1, . . , 2v — 1) точно 2р перемен знака, при
/ ^ р их 2р — 1. В частности, отсюда следует, что при каждом j
числа Cjh и Cj ft+1 имеют противоположные знаки (и тогда
(— 1)" ~з1Г—> 0' "= 2v — 1, т. е. имеет место теорема о корнях) в
К
том и только в том случае, когда все |у > 0. Это всегда имеет место
при и > 0 (у П. Л. Чебышева и А. А. Маркова а = 0).
б) Мы теперь в состоянии доказать вторую часть теоре-
теоремы об определителях А. А. Маркова.
Вторая часть этой теоремы утверждает, что определи-
определители Д[г возрастают, а определители А^ убывают с воз-
возрастанием (—lJv-i-/i Sfe Здесь мы докажем более сильное
утверждение.
Отношения определителей Av./Av.-1 убывают, а отно-
отношения определителей А^/А^Л возрастают с увеличением
(_lJv-l-4.
Действительно, отношение A^/Ap-i, согласно y.V.4.3,
есть масса верхнего главного представления последова-
последовательности {Sfcjo^dJ- = 0, 1,..., v — 1), сосредоточенная в
оо, и потому, в соответствии с теоремой 3.1, убывает нри
уменьшении (—IJ4-* sh, т. е. при увеличении (—lJ"'^
(к = 0, 1,..., 2v — 1). Аналогично рассматривается от-
отношение A^/A^-i.
3. Случай, когда моментная точка с приближается к
дК (U). Считая V произвольной 5Т+-кривой, предполо-

§ 3] ДВИЖЕНИИ МАСС ГЛАВНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ 303
жим, что при движении вдоль упорядоченно растущей
кривой точка с ЕЕ Int К (U) приближается к границе ко-
конуса K(U). Из общих свойств упорядоченно выпуклых
множеств вытекает, что она может попасть только на верх-
верхнюю крышку Г (= %).
Для определенности рассмотрим случай п = 2v — 1.
В этом случае ?0 = а < 1г < \г < ... < |, < |v = Ь,
где b,j и \j — абсциссы точек сосредоточения масс соответ-
соответственно нижнего и верхнего главных представлений по-
последовательности {CftJo*.
По теореме 3.1 при указанном движении с точки \j и
\j движутся навстречу друг другу. Следовательно, суще-
существуют предельные значения %] ^ 1J. Совпадение ?3- и §3-
хотя бы для одного значения j — 1, 2,..., v означает, что
точка с попадает в граничную точку с* конуса if (С), ибо
для внутренних точек К (U) должно быть строгое неравен-
неравенство ?/ <^ \j. Так как представление координат точки с*
единственно, то предельные значения ?* и ?3- совпадают
сразу для всех j = 1, 2,..., v. Отсюда и из единственности
представления координат точки с* вытекает, что сущест-
существуют и также совпадают предельные значения масс pj, pj.
(/ = 1, 2,..., v). Приняв во внимание, что с* ЕЕ Г = %, по-
получим, что эти предельные значения при ; = 1, 2, ..., v
не равны нулю и что предельное значение ра (массы верх-
верхнего главного представления в точке а) равно нулю. Не-
Нетрудно видеть, что если точка с приближается к с* с умень-
уменьшением величин (—1)"-* ск, то сливаются точки ^_х и ?;¦
(/ = 1, 2,...,v) и исчезает масса в точке Ъ. Так же рас-
рассматривается случай п = 2v.
У.3.2. Для бесконечных последовательностей а = ^
Ь = {bh}™будем писать а < Ь, если (— l)kah < (— l)k bh (к — 0,1,...
. . .). Множество последовательностей s = {s^}^3, для которых сте-
степенная проблема Стилтьеса неопределенна (см. Д. V.6.6), обладает
марковским свойством. Марковским свойством обладают также те
стилтьесовские моментные последовательности, для которых оба
ряда 2/fe и 2mfe расходятся (для них проблема Стилтьеса — опре-
определенная).

304 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
Укажем другие ситуации, в которых массы главных представ-
представлений движутся в одну сторону с изменением некоторых пара-
параметров.
Д.3.3 (Т. Стилтьес [6]). Пусть {sh}Q — строго позитивная
последовательность степенных моментов Стилтьеса.
Корни многочленов (см. § 4 гл. V) Qk (t) (к = 2v или 2v — 1,
v — [п/2])сутьневозрастающие функции величин Ij-amj (j = 1, 2, ...
¦ ¦ • ,v).
Это предложение становится очевидным, если воспользоваться
его механической интерпретацией (см. сноску х) на стр. 268): при
увеличении масс m.j и расстояний между ними Zj частоты собствен-
собственных колебаний нити, определенным образом закрепленной на кон-
концах и несущей v бусинок масс {mj!^ разделяющих ее па v последо-
последовательных отрезков длин {Zj}J\ не увеличиваются
Д.3.4. Пусть {ик (t)}^ — Г+-система па [а, Ь], w (t, т) > 0 при
а < г<Ь, а<т
w(tu Ti) w(h, x-i)
ID (to, Tl) W (t2) T-2)
>0 при а<г, <г2 <Ь, a<Ti <T2<|
(т) = Cufc (t) w (t, x)dt (к = 0, 1, . . ., n).
b
Тогда внутренние точки сосредоточения масс главных пред-
представлений последовательности {ck (т)}™ — неубывающие функции
параметра т.
Это предложение для степенных моментов было установлено
А. А. Марковым [18]. Приведенное здесь обобщение принадлежит
С. Карлину (см. С. Карлин и В. Стадден [1]). Там же имеются уточ-
уточнения, связанные с условиями дифференцируемости функции w (t ,f).
§ 4. Движение масс канонических представлений
при изменении моментов
1. |-главные поверхности. Совокупность точек с GE
ЕЕ Int K(U), для которых заданная точка ? (а <^ % <С &)
является точкой сосредоточения массы нижнего (соответ-
(соответственно верхнего) главного представления, будем обозна-
обозначать Г (|) (соответственно Г (I)). Совокупности Г (?) и
Г (i) будем называть ^-главными поверхностями.
Поверхности Г (g) и Г (g) — открытые, состоят из внут-
внутренних точек конуса К (U) и не имеют общих точек. За-
Замыкания этих поверхностей имеют общие точки, распо-
расположенные па граничных поверхностях % и 'W'. Кроме того,
замыкания имеют общие точки с 8.

§ 4] ДВИЖЕНИЕ МАСС КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 305
Поверхности Г (?) и Г (?) можно было бы разбить на
«листы»: |я-й «лист» состоит из тех точек с, для которых
точка ? является ц.-й (в порядке возрастания) точкой со-
сосредоточения массы соответствующего главного представ-
представления. Эти «листы» — открытые поверхности, не имеющие
общих точек. Если «листы» замкнуть, то они сомкнутся,
образуя «цельную» поверхность. Однако в дальнейшем
разбиение на «листы» не понадобится.
Для степенных моментов {sh}o в интервале [а, Ь] мож-
можно записать уравнения ^-главных поверхностей, пользуясь
тем, что точки сосредоточения масс главных представле-
представлений являются корнями многочленов (III.5.1), (III.5.3) —
(Ш.5.5).
Например, при п = 2v уравнение Г (?) имеет вид
det | sk+1 — ask sk+2 — ask+1. . . sfc+v — ask+v _x lK ||o = 0,
а уравнение Г (!) — вид
det || bsk — Sk+i bsk+1 — й
(укороченная последовательность {sk}l*~l должна быть
строго позитивной).
В частности, при п = 2 поверхности Г (?) и Г (?) —
части плоскостей (а + g)sx — s2 — a^so = 0 и (I +
+ 6) *i — s2 —¦ ^^so = 0 соответственно, пересекающих-
пересекающихся по прямой Sj = 5s0, s2 = ^2s0, расположенной на ffl.
Кроме того, можно непосредственно проверить, что первая
плоскость проходит через прямую sl = as0, s2 = a2s0, а
вторая через прямую s1 = bs0, s2 = b2s0, которые составляв
ют множество Ш.
В дальнейшем снова предполагаем, что функции
й@)о образуют 5Г+-систему.
Обращаем внимание на то, что мы здесь будем придер-
придерживаться следующего способа нумерации точек сосредото-
сосредоточения масс канонических представлений: если представле-
представление имеет массу в точке а, то нумерация начинается с ну-
нуля, в противном случае — с единицы.
Кроме того, напомним, что мы переносим на канони-
канонические представления эпитеты «нижнее» (если представле-
представление не имеет массы в точке Ъ) и «верхнее» (если такая
масса есть).

306 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
Множество точек с ?Е Int К (U), для которых канони-
каноническое представление с массой в точке ? является верхним
(соответственно нижним) и имеет индекс п -\- 2, будем
обозначать через К (?) (соответственно К (?)). Таким об-
образом, Int К = КЦ) U К (?) U Г (?) у Г (?).
Точки сосредоточения масс главных представлений
разбивают интервал [а, Ь] на определенное количество
подынтервалов. Каноническое представление с массой в
точке ? будет верхним или нижним в зависимости от того,
в каком из этих подынтервалов находится точка ? (см.
§ 6 гл. III): при п = 2v -_1сё К (?)_, если ^ < I <\
для некоторого |я, и с ?Е К (?), если ^р._х <^ | <С %&¦> при
n = 2vcG| (I), если 1^л <|<^исеК (g), если
S, < I < и-
•Теорема 4.1. У пор яд оченно растущая кривая с (t) с;
с: Int К (U) может пересечь только одну ^-главную
поверхность и притом только в одной точке. При этом она
переходит из 1С (?) в К {%).
Доказательство. Пусть, для определенности,
п = 2v — 1 и для точки с (t0) имеем ^ <^ ? <^ ?ц (с (?0) е
S Я^ (|)). Если ? увеличивается, то^точки ^ движутся
вправо, точки ?; движутся влево (теорема 3.1). Точка с (t)
попадает на ^-главную поверхность в том случае, когда
?и или ?jj. совпадает с ^. Пусть, например, с точкой ? сов-
совпала ^ (точка с (?) попадает на Г (?)). Тогда при дальней-
дальнейшем увеличении t точка ? окажется в интервале (^ц, ^ц+i),
концы которого удаляются от ?, так что ни одна из точек
|; и ?;- уже не может совпадать с ?, и точка с (?) уже не
сможет попасть на ^-главную поверхность. Единственность
точки пересечения следует из того, что |; и |;- являются
строго монотонными функциями величин (—l)™-fc ch.
Так же приводятся рассуждения и в нерассмотренных
случаях. _
Теорема 4.2. Замыкания множеств К_ (?) и К (?)
обладают сильным марковским свойством.
Доказательство. Пусть а-^Ь, а,ЪЕ=К (?).
Тогда всякая точка сёЗ (#, Ь) принадлежит Int К (U).
Если бы нашлась точка с*еЗ (я, &), не принадлежащая

§ 4] ДВЙЖЁЙЙЕ МАСС КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 307
К (?), то ломаная, соединяющая точки «, с* й Ь, пере-
пересекла бы ^-главную поверхность й, так как эту ломаную
можно рассматривать как упорядочение растущую
кривую, она не смогла бы возвратиться в К^ (?), т. е. ока-
оказалось бы, что б (=? К^ (?), а это противоречит принятому
предположению; % (|) обладает марковским свойством.
Нижней крышкой /Г (|) служит V, а верхней —
^-главная поверхность. Каждая из них не может содержать
точек а -< Ь. Легко видеть, что таких точек не может со-
содержать множество их общих предельных точек. Поэтому
(см. теорему 1.4.2) К (|) обладает сильным марковским
свойством. Аналогично рассматривается К (?).
Следствие 4.1. Параллелепипед 5?=3 [#,&](«-<&),
а, Ье= К (U) не пересекается с ^-главными поверхностями
тогда и только тогда, когда аЕ= К (?) (в этом случае Ж с:
с: 1^AI) или когда bt=K(Q (в этом случаете [#(?)]).
Следующая теорема дополняет это предложение.
Теорема 4.3. Параллелепипед 31 может иметь
общие точки только с одной \~главной поверхностью.
Доказательство. Предположим противное: пусть
точка cxeS расположена на Г(?) и точка с,?Я рас-
расположена на Г (g). Если считать n = 2v — 1, то в точке а
должно быть \у.(а) ^^^^(а). Так как а^сх и а^с2,
схеГ(?), с8еГ(|), то |lx(c1) = g и ^F2) = ?. При дви-
движении точки с к точке Ь по отрезкам сф и с26 ?ц (с)
продолжает движение вправо, а \^ (с) продолжает движе-
движение влево. Поэтому в точке Ь должно быть, с одной
стороны, iix-iF)<|<|i(*) и, с другой стороны, Сн-(&Х
^^^^+i(&), что невозможно, так как ?
2. Движение масс канонических представлений. Обра-
Обратимся теперь к каноническим представлениям индекса
п -\- 2. При исследовании поведения этих представлений
приходится различать верхние канонические и нижние
канонические представления.
Теорема 4.4. При движении точки с вдоль упоря-
упорядочение растущей кривой с (t) максимальная масса р^(с),
сосредоточенная в фиксированной точке ?(а <^ ? <^ Ь),
увеличивается {уменьшается), остальные внутренние массы
канонического представления удаляются от точки %

308 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. [ГЛ. VI
(приближаются к ?), его массы, имеющиеся на концах [а, Ь],
уменьшаются (увеличиваются), пока с (t) находится в
К_ (?) (соответственно в К (?)).
Доказательство. Достаточно доказать, что
Ре, (с) — изотопно возрастающая (убывающая) функция на
упорядочение) выпуклом множестве К (?) (соответственно
К (|)), так как после этого можно будет использовать тео-
теорему III.7.3 для последовательности {cft}o, из которой
удален один момент Cj, изменяющийся так, что (—\)n~^cj
увеличивается, а остальные моменты фиксированы. Изотон-
ность р^ (с) на А' (|) и К (?) устанавливается аналогично изо-
тонности рь (с) и ра (с) в теореме 3.1. Наряду с множеством
X точек {с, т}, где с ЕЕ К_ (|) (соответственно eel (?)),
т <^ Ре, (с), которое уже может быть не выпуклым, нужно
ввести выпуклый конус Хаточек {с, т}, где с е Int K(TJ),
х <С Р?, (с)> множество Y, являющееся пересечением откры-
открытых полупространств^опориых к Хг в точках вида {с, р^(с)},
где С?Е Kffi (с ?= -^ (Ю) и «цилиндрическое» множе-
множество Z с основанием К (|) (соответственно AT (g)). Мно-
Множество X = У П 2 упорядочение выпукло вместе с У и Z.
3. Случай, когда моментная точка с приближается к
dK(U). Теперь можно полностью описать поведение кано-
канонического представления с массой в фиксированной точке
|, когда точка с движется вдоль упорядочение растущей
кривой. Снова ограничимся случаем п = 2v — 1.
Начнем с точки с ее К (Ю- Это значит, что для некото-
некоторого ц = 1, 2,...,v имеем ^ <^ | <С1ц. Когда величины
(—\)n~kch начинают изменяться, не убывая, происходит
следующее: точки g^/ = 1, 2,...,ц —1, |я + l,...,v) уда-
удаляются от точки g, оставаясь в интервалах (^, |;-), причем
?;• и |j- движутся навстречу друг другу; масса в точке %
увеличивается, масса в точке а уменьшается. Так будет
продолжаться до тех пор, пока точка с не попадет на одну
из g-главных поверхностей или на границу конуса К (U).
а) Если точка с попадает на Г (?), то \^ становится
равным g; точки %j, расположенные левее ?, «сталкива-
«сталкиваются» с %j\ точки \j, расположенные правее \, «настига-
«настигаются» точками %j\ масса в точке а исчезает.
При дальнейшем увеличении величин (—l)n~k ch точка
?[л продолжает движение вправо, и точка ? оказывается в

§ 5] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 309
интервале (^-i, ^)> представление становится верхним
каноническим (точка с перешла в К (?)). Точки %} начина-
начинают двигаться по направлению к точке \, оставаясь в ин-
интервалах (I;-!, %,j), причем точки ^_а и %j движутся в про-
тивоположпыестороны, удаляясь друг от друга; масса в точ-
точке ? начинает убывать, в точке Ь появляется и увеличива-
увеличивается масса. Если при этом точка с приближается к гранич-
граничной точке конуса К (U), то точки ?у, расположенные левее
?, «догоняют» точки ?;; точки ?j, расположенные правее ?,
«догоняют» точки gy_x; масса в точке ? исчезает.
б) Если из начального положения точка с попадает на
Г (?), то ^становится равным ?; точки ^, расположенные
левее ?, «настигаются» точками ?у; точки ^, расположенные
правее |, «сталкиваются» с точками |у (в частности, ?v+i
попадает в точку Ь); масса в точке а не исчезает.
Поведение представления при дальнейшем изменении
(—1)п~к ck такое же, как и в случае а), только вместо
?y-i нужно писать ?;, а вместо ^ — писать ^+1.
в) Если из начального положения при увеличении ве-
величин (—I)™-1*' ch точка с приближается к граничной точке
конуса К (U), не попадая на ^-главные поверхности, то
точки \j, Iz,] и \] сливаются одновременно, масса в точке а
исчезает. В этом случае представление граничной точки
имеет массу в точке \. Легко видеть, что такие граничные
точки принадлежат замыканию обеих ^-главных поверх-
поверхностей.
§ 5. Экстремальные значения
интеграла по части интервала
1. Вспомогательное предложение. Предположим, что
последовательность {uh (t)}% образует 5М"+-систему на
[а, Ъ], т. е. что для всех т = 1, 2,..., п последовательность
{uh (t)}T образует 5Т+-систему на [а, Ь]. Кроме того,
предположим, что для каждого т — 0, 1,..., п опреде-
определитель
Щ Щ...ит Q \ EЛ)

310 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. Vl
и все его миноры т -\- 1-го порядка неотрицательны при
При этих условиях имеет место
Лемма 5.1. Пусть индекс совокупности точек {lj}[
(S3 ЕЕ [a, b], |[i = g) равен п-{-2. Тогда для коэффициентов
многочленов Р (t) = 2 ^auk 00 u Q @ = 2l-lfcwft @» удовле-
o о
творяющих условиям
P(lj) = Q^0(lj) (j = 1,2,.., г),
Р (t) > пш (t) (a < t < 6),
<?(^) = ^_ofe) (/= 1, 2,..., г),
имеют место неравенства
Г
е(~1ГЧ>0, 6(-irV<0 D = 0,
8 = 1, если ?г <^ 6, и е = — 1, если ?г = 6.
Доказательство достаточно провести для
вспомогательных многочленов, которые строятся в дока-
доказательстве леммы IV.3.3, и из которых рассматриваемые
многочлены получаются предельным переходом. Для вспо-
вспомогательных многочленов наше утверждение доказыва-
доказывается по индукции приемом, использованным в лемме IV.3.2.
2. Изотонность экстремальных значений интеграла.
Каждой точке с(~К (U) отвечает наименьшее 1\ (с) и
наибольшее It, (с) значение интеграла
\ Q(t)ds(t), соответственно \ Q,(t)da(t),
а а
на совокупности V (с).
Исследуем, как изменяются 1\ (с) и /| (с) при измене-
изменении координат точки с.
Теорема 5.1. Функция 1\ (с) —¦ изотопно невоз-
растающая на множестве К^ (?) и изотопно неубывающая
на множестве К (?).

§ 5] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 311
Функция 1% (с) — изотопно неубывающая на множестве
К_ (?) и изотонно нгвозрастающая на множестве К (|).
Доказательство. Докажем, например, что функ-
функция /? (с) — изотонно неубывающая на упорядоченно вы-
выпуклом множестве К (?) (остальные случаи доказываются
аналогично). Для этого, в соответствии с теоремой 1.6.1,
достаточно доказать, что множество X с: -Rn+2 точек
{с, т}, где сеА'(У, т</|(с), упорядоченно выпукло,
если считать, что {х, т} >- 0 при х ^ 0, т ^ 0.
Рассмотрим сначала телесный конус Хх, состоящий из
точек (с, т}, где с ев Int К (V), х<^1{ (с). Его выпуклость
вытекает из того, что /|(с) — вогнутая функция, опреде-
определенная па выпуклом множестве Int K{U), а Хг — ее под-
график. Введем множество У, являющееся пересече-
пересечением открытых полупространств, опорных к Х1 в его гра-
граничных точках вида (с, /? (с)}, где cEzK_ (?), и докажем,
что оно упорядоченно выпукло. Из этого будет следовать
доказываемое утверждение, так как X = Yf\Z, где Z —
«цилиндрическое» множество точек {с, т} (где с GE К_ (?),
т — произвольно), которое упорядоченно выпукло вместе
с «основанием» К (?).
Пусть опцрное полупространство к Х1 в граничной
п+1
точке {с,/? (с)} (cGEisT(g)) задается неравенством V к^хк^>0.
о
Как и в § 4 главы IV, отсюда получаем, что Хп+1 <^ 0 и
1
что многочлен Р (t) = ут г^л^'Л О обладает свойствами:
Р (t) > Q?+o (i) (а < t < Ь), Р (^) = Q?+o (У,
где {?7-} — точки сосредоточения масс канонического пред-
представления координат точки с (^ = ?).
На основании леммы 5.1, учитывая, что с 6Е ^(|), за-
заключаем, что Y задается системой неравенств вида
п+1
2 V* > 0, где (- lf~% > 0 (й; = 0, 1,..., п + 1).
о
Согласно теореме 1,5.2 это означает, что Y упорядоченно
выпукло,

312 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
При рассмотрении 1\ (с) на К (?) следует учитывать*
что упорядоченную выпуклость X нужно доказывать от-
относительно упорядочения: {аг, т})^0 при аг^О, т > 0.
Доказанная теорема позволяет находить экстремаль-
экстремальные значения интеграла по интервалу [а, ? + 0], если
параллелепипед Ж = 3 \я, Ь] не пересекается с ?-главны-
ми поверхностями.
Теорема 5.2. Наибольшее {соответственно наи-
наименьшее) значение интеррала
Q (t) da (t) (соответственно \ Q (t) da (t)
a a
на совокупности V {Ж) достигается в точке а, если
а€ЕКA), или в точке Ь, если & ЕЕ К_ (?)._
Доказательство. Если а ЕЕ К (|), то f с
с: [К (?)] (следствие 4.1). Из теоремы 5.1 получаем, что
при с ЕЕ Ж имеем 1\ (а) > 1% (с) и 1\ (а) =С 1\ (с),
что и требовалось. Аналогично рассматривается второй
случай.
3. Случай, когда Ж пересекается с J-главной поверх-
поверхностью. В этом случае а ЕЕ: К (?) и Ь ЕЕ К (?) и из теоремы
5.1 получаем, что наибольшее значение 1%(с) (соответст-
(соответственно наименьшее значение 1\ (с)) при с ЕЕ 31 достигается
в некоторой точке ?-главной поверхности, которая пере-
пересекается с параллелепипедом Ж (согласно теореме 4.3 Ж
может пересечься только с одной ?-главной поверхностью).
Эту точку можно указать, если на функции {uk (t)}o и
Q (t) наложить дополнительные ограничения. Именно,
будем дополнительно предполагать, что, удалив любую
из функций uk (t), снова получим 5М+-систему
U0 (t), . . ., Uft_x (t), UM (t), ...,Un (t),
и что все миноры m-го порядка определителей E.1) не-
неотрицательны при о ^ t0 <^ tx <^ ... <^ fm+1 ^ Ъ. В сово-
совокупности все эти условия равносильны тому, что миноры
порядков т -(- 1, т и т — 1 определителей E.1) неотрица-
неотрицательны при aej t0 <^ tx <^ ... <^ tm+1 ^ b, причем те из
них, которые не содержат элементов Q (tj), положительны.

§ 5] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 313
Теорема 5.3. Если параллелепипед Ж пересекается
с Г (|), то наибольшее значение интеграла
Q(t)da(t) E.2)
u наименьшее значение интеграла
?i(t)da{t) E.3)
ка совокупности V (Ж) достигается в точке пересечения
Г (?) с ломаной, последовательно соединяющей вершины
а0, аъ ..., an+i параллелепипеда Ж, где
параллелепипед Ж пересекается с Г (^), то каы-
болъшее значение интеграла E.2) и наименьшее значение
интеграла E.3) ка совокупности V C1) достигается в точ-
точке пересечения Г (?) с ломаной, последовательно соединяю-
соединяющей вершины Ьо, &!,...,6„+1, где
&о = 6, &/С = («о, аь • • •, а*-ь foA-, • ¦ •, Ъп-\, К), Ьп+1 = а.
Доказательство. Пусть, например, паралле-
параллелепипед Ж пересекается с Г (|). Согласно теореме 4.1 вся-
всякая прямая, параллельная одной из координатных осей,
может пересечь Г^ (?) только в одной точке. Поэтому по-
положение точки с GE Г (|) полностью определяется заданием
ее п координат,
с0, сь .. ., сг_!, сг+1,..., с„, E.4)
причем отбрасывать можно любую из координат сг (Z =
= 0, \,...,п). Для последовательности E.4) нижнее главное
представление последовательности {ch}^ является ниж-
нижним каноническим с массой в точке ? и индекса (п — 1) +
+ 2. Перемещая надлежащим образом точку с по Г (?),
применим теорему 5.1. Поскольку в последовательности
E.4) выброшен один номер, то теорема 5.1 в данном случае
дает следующий результат: если точка с перемещается по
Г (|) так, что величины (—l)n~H ck не уменьшаются при
к ^> I и не увеличиваются при к <^ I, то 1\ (с) не увеличи-
увеличивается, а 1% (с) не уменьшается. Поэтому на части Г (|),

314 ПРОБЛЕМА С МОМЕНТАМИ ИЗ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [ГЛ. VI
проектирующейся в га-мерный параллелепипед
(- 1)п~как < (- 1)ПЛ . < (- lf-%
(к = 0, i,...,1-1,1+1,...,п)
величина 1\ (с) достигает наименьшего, а 1\ (с) — наи-
наибольшего значения в точке пересечения Г (?) с прямой
со=ао, с1 = а1,.. .,c!_1 = oi_1, сг+1=Ь!+1,. . .,cn-i — bn-i, сп=Ъп.
Эта точка может не принадлежать параллелепипеду 31.
Придавая I значения 0, 1,...,п, придем к необходимости
искать точки пересечения с Г (?) ломаной, состоящей из
ребер параллелепипеда 31, последовательно соединяющей
вершины 60, 61,...,6п+1. Остается добавить, что эта лома-
ломаная — упорядоченно растущая и потому она пересекает
Г (|) только в одной точке.
Исторические комментарии и примечания к главе VI
Начало изучению круга вопросов, которому посвящена пасто-
ящая глава, было положено двумя мемуарами П. Л. Чебышова [13]
A892 г.) и [14] A894 г.). О задаче, решенной в первом из них, ужо
шла речь в п. 3 § 1. В этом мемуаре путем сложных вычислений бы-
была получено также «теорема о корнях». Во втором мемуаре было
показано, если пользоваться нашей терминологией, что для ниж-
нижнего главного представления последовательности степенных момен-
моментов s = {*к}% в [0, со) сумма р^ + р^+1 + . . . + р„ (р, = 2, 3, . . .
. . , v — 1) есть 3-изотонно убывающая функция от s. Вскоре
А. А. Марков [16] A894 г.) разработал более простые и непосред-
непосредственные методы, позволившие установить «теорему об определи-
определителях» и упростить доказательство «теоремы о корнях» для степен-
степенных моментов в [0, оо). На заседании физико-математического об-
общества Академии наук 6 февраля B5 января) 1895 г. А. А. Марков
выступает с сообщением [8], в котором уже формулирует (без до-
доказательства) «теорему об определителях» для степенных моментов
в [О, I], а также правило определения экстремальных значений ин-
интеграла \ Я (t) ds (t) в случае, когда моменты распределения а
о
определяют точку в заданном параллелепипеде. Далее в докладе
отмечается: «Что касается вопроса о точных предельных величинах
интеграла х)
П. Л. Чебышев и А. А. Марков вместо da (t) писали / (t) dt.

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ "VI 315
то и при сделанных нами ограничениях он остается весьма слож-
сложным. Однако наших ограничений достаточно для того, чтобы можно
было делать те же выводы, какие сделал Чебышев при более слож-
сложных ограничениях в последнем своем мемуаре и в мемуаре «О раз-
разложении в непрерывную дробь рядов, расположенных по нисходя-
нисходящим степеням переменной». Эта возможность обусловлена, во-
первых, существованием всех систем промежуточных значений для
интегралов
II I
tn~xj (t)dt
и, во-вторых, перемежаемостью корней некоторых уравнений».
Ограничения, о которых говорит А. А. Марков, сводятся к то-
тому, что концы «косой диагонали» заданного параллелепипеда при-
принадлежит К (U).
Доказательства предложений, содержащихся в его докладе
А. А. Марков не опубликовал.
В 1957 г. П. Г. Рехтман [3], перенесла теорему А. А. Маркова
об определителях на случай степенных моментов в любом конечном
интервале [а, Ь] (а ^ 0). В этой же работе приведена предложенная
М. Г. Крейпом геометрическая интерпретация теорем об опреде-
определителях.
Начиная с 1959 г. систематической разработкой геометрических
методов в рассматриваемом круге вопросов занялся А. А. Нудель-
ман [2, 3, 5]. На этом пути ему удалось обобщить результаты
П. Л. Чебышева и А. А.Маркова на случай моментов относитель-
относительно произвольной S Г-системы г). Более того, полученные им общие
результаты позволили дополнить и уточнить исследования П. Л. Че-
Чебышева и А. А. Маркова касательно степенных моментов.
В настоящей главе изложены эти исследования А. А. Нудель-
мана, причем большая часть доказательств здесь публикуется впер-
впервые. Первоначальный метод доказательства был иным (он был ана-
аналогичен методу, изложенному в § 6 главы VII). Некоторое время
спустя обобщение «правила косой диагонали» привело к понятию
упорядочение выпуклого множества, и на этой основе удалось
получить более геометрические доказательства нужных фактов
[12, 13, 14].
П. Л. Чебышев выделяет в своем момуаре [13] формулировку
полученного им результата о параллелепипеде с центром в данной
точке {«ь}^, входящем в К (U) (судя по всему, он считал его глав-
главным ргзультатом). Хотя в своих исследованиях А А.Марков многое
сделал в направлении получения «точного» решения задачи П. Л. Че-
Чебышева, вместе с тем, он самой задачи не касался.
«Точное» решение задачи П. Л. Чобышева и его применение в
проблеме моментов Стилтьеса были получены авторами в резуль-
результате совместного обсуждения мемуара [13]. Изложенное в п. 3 § 1
показывает, что А. А. Маркову оставалось очень немного, чтобы
получить это «точное» решение.
г) Теоремы 2.1 и 2.2 (последняя—в более слабой форме) неза-
независимо, но по8же были получены С. Карлином и В. Стаддеиом {!].

Глава VII
ПРОБЛЕМА МАРКОВА
В этой главе исследуется проблема моментов нового типа. Пос-
После некоторых преобразований эта проблема может быть сведена к
(О, ?)-проблеме, впервые поставленной и изученной А. А. Мар-
Марковым. В этой проблеме на распределение масс налагается допол-
дополнительное ограничение: распределение должно иметь плотность,
не превышающую данного положительного числа L. Геометричес-
Геометрический метод, которым мы здесь пользуемся, позволил упростить тео-
теорию А. А. Маркова и, в частности, освободиться от требования диф-
ференцируемости функций Г-системы. Впрочем, А. А. Марков по-
нрмал, что от последних требований можно освободиться.
Для @, ?)-проблемы строггтся теория канонических представ-
представлений, аналогичная той, которая имеет место для обычной проб-
проблемы моментов, с тем отличием, что роль точек с сосредоточенными
в них массами теперь играют некоторые интервалы — носители
масс, на которых массы распределены равномерно с плотностью L.
В § 3 эта теория строится в несколько более общей ситуации (<р, ty)-
проблемы. После этого формулировки и доказательства экстре-
экстремальных свойств интегралов из главы IV легко переносятся на слу-
случай (ф, ^-проблемы. В некотором смысле доказательства даже уп-
упрощаются (§§ 3, 4). С другой стороны, результаты по обычной проб-
проблеме моментов для Г-системы можно рассматривать как предель-
предельный случай результатов для @, LJ-проблемы при L -> со.
Для случая степенной @, ?)-проблемы и тригонометрической
(—L, ?)-проблемы в § 2 и в п. 4 § 3 указываются алгебраические
критерии разрешимости и алгебраические процедуры построения
канонических представлений.
Теория (<р, г|))-канонических представлений находит также
приложение в ряде экстремальных задач нового типа (§ 5), ко-
которые можно толковать как задачи отыскания многочлена, наиме-
наименее уклоняющегося от нуля в некоторой обобщенной метрике.
В этой связи отметим, что очень часто задача на отыскание
максимума сводится к другой, двойственной задаче на отыскание
минимума. Мы уже сталкивались с подобным обстоятельством при
определении максимальной массы и в более общей задаче опреде-
определения экстремальных значений интегралов. Если с этих позиций
рассматривать задачи § 5, а также результаты § 1, касающиеся
критерия разрешимости (<р, ^-проблемы, то указанные экстремаль-
экстремальные задачи приобретают новый смысл.
В § 6 результаты главы VI переносятся на случай (ер, ^-про-
^-проблемы; при этом используется иной метод.
Последний параграф главы посвящен некоторому обобщению
(Ф,^-проблемы, которое позволило связать эту проблему с теорией

§ 1] (Ф, Ф)-ПРОБЛЕМА 317
оптимального управления. При достаточно общих предположениях
получается решение задачи об определении оптимального по быст-
быстродействию управления линейным объектом.
§ 1. (ср,(|»)-проблема
1. Постановка задачи. Указанная в заголовке парагра-
параграфа проблема может быть сформулирована следующим об-
образом.
Дана последовательность функций {uh @}o\ непрерыв-
непрерывных в интервале [а, Ь], и последовательность вещественных
чисел {ck}o, а также две непрерывные функции ср (t) и ty (t)
(а ^ t ^ Ь) ограниченной вариации, удовлетворяющие ус-
условию
Ар < cfy ]) (а < t < Ъ).
Требуется найти условия существования распределений
а (t) (a ^ t ^ Ь), таких, что
dq> <da<di|3 (a < i< b) A.1)
= 0,
и в случае существования таких распределений исследовать
простейшие из них.
Последовательность с = {cft}701, допускающую пред-
представление (!) при выполнении A.1), будем называть
(ф, тр)-моментной последовательностью.
Полагая
Ck — ck — dk
da' (t) = da {I) — d(f (t) (a < t < fe),
x) Неравенством d(p < йф (<йф) выражается тот факт, что
Ф (к) - ф (h) < i> (h) - i|j {h) (^ i|; (t,) - i|) (h)) при любых
ii < <2 из [a, 6].

318 ПРОБЛЕМА МАРКОВА ГЛ. VII
мы сведем выше сформулированную проблему к ее частно-
частному случаю (@, %)-проблеме), когда условие A.1) заменено
условием
0<da<dx- A.2)
Дальнейшая замена переменной
где L ^> 0, сводит @, %)-проблему к тому ее случаю, когда
X @ = Lt и, следовательно, условие A.2) заменяется усло-
условием
O^da^Ldt. A.3)
¦ Условие A.3) означает, что распределение a (t) абсо-
абсолютно непрерывно и da (t) = / (t) dt, где 0 ^ / (t) ^ L
почти всюду на [a, b], т. е. (ср, яр)-проблема сводится к
(О, Ь)-проблеме.
Трактуя общую (ф, яр)-проблему, будем пользоваться
методом выпуклых тел.
Известная часть наших рассуждений сохраняет силу
и без предположения непрерывности функций ф (t), яр (t).
2. Тело й (ф, if). Без ограничения общности можно
предположить, что функции uk (t) (к = 0, 1,...,п) линейно
независимы.
Распределения a (t) (a <[ t ^ b), удовлетворяющие
условию A.1), будем в дальнейшем называть «допусти-
«допустимыми».
Обозначим через & (ф, яр) совокупность всех точек
с= {ch}o ЕЕ -Rn+1, координаты которых представимы в
виде (!), где о (t) — некоторое допустимое распределение.
Совокупность допустимых распределений о (t), для
которых имеет место (!), обозначим через V (с; ф, яр).
Теорема 1.1. й(ф, яр) есть замкнутое выпуклое
ограниченное тело.
Доказательство. Выпуклость и замкнутость
множества й (ф, яр) доказывается подобно тому как это
сделано в § 3 главы I для К (U).
Ограниченность й (ф, яр) вытекает из того, что функ-
функции uh (t) (к = 0, 1,...,п) ограничены в [а, Ь], и из того,

§ 1] (ф, ф)-ПРОБЛЕМА 319
ЧТО
Var о <;
<: Var ф + ^аг (а — ф) ^ Var ф + Var (г|) — ф) = const.
Остается доказать, что й (ф, яр) имеет внутренние точки.
Пусть
(a<i<fo) A.4)
Покажем, что с° = {Ck}o — внутренняя точка й ф)
Для этого проведем через точку е° любую гиперплос-
гиперплоскость
п
2 ад* = C A.5)
о
и покажем, что она рассекает й (ф, 1|>) (см. У.1.1.1).
Положим P(t) = Sa/cu/c(O- Тогда
Пусть максимум многочлена Р (t) в интервале [а, Ъ]
достигается в точке tlt а минимум — в точке 1г.
При переносе массы из окрестности точки t2 в окрест-
окрестность точки ?г (соответственно наоборот), что возможно
в силу A.4), мы увеличим (соответственно уменьшим)
ь
значение интеграла \P(t)da(t).
а
Обозначая полученные точки й (ф, -ф) соответственно
через с' = {с^}о и с" = {сй}о, будем иметь
п п
S «««'»> р. 3«*«;<р.
о о
т. е. точки с' и с" лежат по разные стороны гиперплоскости
A.5).

320 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Многочлен Р (t) = 2aicure @ назовем опорным (в точке
, if)), если полупространство2 аЛ =С © {Р) (со-
0
держащее с) является опорным к й(ср, -ф).
3. Критерий разрешимости и определенности. Поло-
Положим для любого многочлена PGip
т. е.
*М0 = тdp@1 + р@). МО = т A^@1 -^(*))¦
Теорема 1.2. Для того чтобы последовательность
с = {cft}" 6bfyia (ф, 1|з)-жожектком, те. е. для того чтобы
CG ^ (ф, ф), необходимо и достаточно, чтобы для любого
многочлена Р (t) ЕЕ $ выполнялось неравенство
ь ь
е (Р) < J p+ (t) dip (о - J р_ (о йФ (i). (i.6)
a a
Для того чтобы точка с ё= й (ф, яр) принадлежала гра-
границе д& (ф, яр)Т необходимо и достаточно, чтобы в A.6)
достигался знак равенства на некотором Р° (f) ЕЕ ф
(Р° (t) ^0). 5 этом и только в этом случае распределение
а ЕЕ V (с, ф, ^единственно, а многочлен Р° (t) — опорный.
Доказательство. Если а 6= V (с; ф, гр), то
для любого Р (г) G SP
6 (Р) = J Р @ da (*) < J Р+ @ d^ @ - J P_ @ d9 (t).
а а а
Пусть теперь для любого Ре=$Р имеет место A.6).
Допустим, что для точки с = {c/Jo не существует функ-
функции а е= V (с; ф, яр), т. е. с ф 3? (ф, г|з).
Тогда можно провести гиперплоскость

! 1] (<Р,Ч>)-ПРОБЛЕМА 321
отделяющую точку с от тела $(ср, г})), так, чтобы для лю-
любой точки х = {хн}^ е Ж (ф, 'ф)
п
2*А<Р, ' A-7)
о
в то время как
п
3 A.8)
ПОЛОЖИМ />° (t) = 2 а/А (О и
Тогда
da0
b
хк j u>i
имеем в
n
= \d\
\d\
(t)da0
силу
n
p при
p при
@
A.7)
ь
p
p
(k
И
@
@
= <
A
>o,
<o,
3,1,...,n).
.8)
A.9)
A.10)
что противоречит A.6).
Если точка с ?Е д& (ф, г})), то ей будет отвечать опор-
п
ный многочлен Р° (t) — ? лкик (t), с помощью которого мож-
0
но построить распределение о0 по правилу A.9). Докажем,
что g?F (с; ф, г})) необходимо совпадает с с,, В самом
деле, если бы они не совпадали, то по построению
b b b
J P (t) da0 (t) = J P°+ (t) d^ (t) - J Pi (t) dy (t) >
л n rt

322 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
откуда следовало бы, что точка х° = {#"}", определенная
в A.10), не принадлежит &(ср, г|)), что невозможно. На-
Наряду с единственностью а ЕЕ V (с; ф, г|)) для с ?Е д® (ф, г|э)
мы доказали, что на опорном многочлене Р° (t) в неравен-
неравенстве A.6) достигается знак равенства и что, зная Р° (t),
можно построить а0 по правилу A.9).
Пусть теперь cge Int &(ф, г|)). Покажем, что для этой
точки в A.6) для всех РеЕф(РфО) имеет место строгое
п
неравенство. Взяв Р (t) = 2 aic".i,(t), проведем через с ги-
о
порплоскость 2аА- — ^ (^)- ^ак как эта гиперплоскость
о
рассекает тело 5? (<р, г|)), то в нем найдется точка х° =
для которой Ч (Р)<С ^j*к#"» а так как ас°бЕ&(ф, г|)), то
о
ь
-J-
Таким образом, доказано, что с ЕИ д® (ф, г|)) тогда и
только тогда, когда в A.6) знак равенства достигается.
Остается доказать, что длясбЕ Int & (ф, г|з) множество
V{с; ф, г|)) содержит бесконечное число распределений.
Продолжим систему {uh (t)}™ непрерывной функцией
un+i @ ^ ф- Тогда множество ^ (ф, г|)) с; -Rn+2, отве-
отвечающее продолженной системе {uh{t)}o+1, также будет
замкнутым выпуклым ограниченным телом, проекцией
которого на -Rnfl является 5? (ф, г|)). В силу этого прямая,
проходящая через с ЕЕ Int ^ (ф, г|)) параллельно новой
координатной оси, пересекается с й (ф, г[)) по отрезку
положительной длины, точкам {с, у} которого отвечают
распределения aY ?Е ^({с; у}; ф, гр) с: F (с; ср, гр), раз-
различные при различных у. Теорема доказана.
Подчеркнем, что теорема 1.2 наряду с критерием раз-
разрешимости (ф, г|))-проблемы для последовательности с со-
содержит критерий определенности (ф, г|з)-проблемы в двух
эквивалентных формулировках — геометрической и ана-
аналитической.

§ 2] СТЕПЕННАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМЫ 323
Фактически при доказательстве теоремы 1.2 мы не
только обосновали ее утверждение, но и установили еще
другие факты; мы их сформулируем в виде следствий и
упражнений.
Следствие 1.1. Распределение a GE V (с; ф, г|)), от-
отвечающее граничной точке с ЕЕ д&(ф, г|)), имеет следую-
следующую структуру: интервал [а, Ь) разбивается на подынтер-
подынтервалы, в которых попеременно do = d(p и cia = dip. '
Для данного многочлена Р (t) определим функцию
sP (t), полагая sp (t) = 1, если Р (t) ^> О, и sP (t) = —1,
если Р (t) ^ 0 (можно положить sP (t) = sign P (t), если
в [а, Ъ] нет интервалов, на которых Р (t) = 0).
Следствие 1.2. Многочлен P(t) будет опорным в
точке с ЕЕ д® (ф, г|)) тогда и только тогда, когда
"*(t)
,)
(!) У.1.1. Значение опорной функции Яй(а) (см. У.1.2.1.) тела
(ф, ф) в точке a = {%k}% равно
(!) У.1.2. Еспи <i^ > 0 и dy < 0, то 0 e Iut S (ф, Ч>). В этом
случае Я« (a) = Dx (а) есть дуальная функция по отношению к
масштабной функции тела $ (q>, г)з) (см. УЛ.2.2).
§ 2. Степенная @, Х)-проблема
и тригонометрическая (— ?,?-)-проблема
1. Критерий разреигаиости степенной @, ?)-проблемы.
Оказывается, что для степенной @, ^-проблемы моментов
можно дать алгебраический критерий разрешимости и
определенности (неопределенности) и более того, в случае
неопределенности дать полное описание всех решений.
Это легко сделать, если воспользоваться связями меж-
между классами функций S [а, Ъ), Л {а, 6], их мультипли-
мультипликативными и аддитивными представлениями (см. При-
Приложение).

324 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Под степенной @, ?)-проблемой мы здесь понимаем за-
задачу о нахождении условий, при которых данная после-
последовательность {сй}'ог допускает представление
ъ
ck=[t*i{t)dt (к = 0, 1,..., п), B.1)
а
где 0</(*)<?.
Пусть / (t) — интегрируемая на {а, Ъ] функция, 0 ^
ъ
</@ < ? (а <«<&). Тогда вх-р(~[Р^ <^<= S [а, Ь\.
\ Ь Jt — z I
\ J — z I
a
В силу У.П.9 и теоремы П.6 данной функции / (t) взаим-
взаимно однозначно отвечает распределение a (t) такое, что
ь
da(t) = l и
Кроме того, заметим, что в формальном разложении
1 . si , , sn+i , ,9 Ч\
= т + F + • • • + 7^ + • • • (z-d)
последовательность {sh}o+1 («о = 1) однозначно определя-
определяется последовательностью {ch}o независимо от значений ch
при к^> п, и наоборот, последовательность {с^}о одно-
однозначно определяется последовательностью {sh}o+1 (se = 1)
независимо от значений sk при к ^> п + 1.
Теорема 2.1. Последовательность {с^}о является
(О, Ь)-моментной степенной последовательностью на [а, 6]
тогда и только тогда, когда последовательность (sft}o+1>
определенная формальным разложением B.3), является
степенной моментной последовательностью на [а, 6].
(О, Ь)-проблема для {ch}o будет определенной или не-
неопределенной одновременно с соответствующей ей обычной
степенной проблемой для {s&}o+1.

5 2] СТЕПЕННАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМЫ 325
Доказательство. Разложив оба интеграла в
B.2) в ряд по обратным степеням z, мы придем к разложе-
разложению B.3), откуда следует, что соотношение B.2) устанав-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между реше-
решениями f(t) (О,1/)-проблемы для {ch}o и распределениями
не V ({sft}^1). Теорема доказана.
2. (О, ?)-какокические представления. Установленное
формулой B.2) взаимно однозначное соответствие между
решениями / (() и а (() позволяет получить описание всех
решений/@ @, ^-проблемы для {ck}o, используя извест-
известное (см. § 7 гл. IV) описание всех (ГЁ V ({sh}o+1)- Из
этой же формулы и результатов § 7 главы IV вытекает,
что при фиксированном z (Im z ^> 0) точки
w
__ \ / (t) dt
где / (t) пробегает множество всех решений @, /^-пробле-
/^-проблемы, заполняют криво линейный двуугольник, ограниченный
аналитическими кривыми, пересекающимися под углом
arg . При этом w лежит на границе двуугольника тогда
и только тогда, когда / (t) отвечает каноническому рас-
распределению UG V ({sfe}o+1).
Такие решения f(t) представляют интерес. Рассмотрим
их подробнее.
Пусть массы распределения а ЕЕ V ({sk}o+1) располо-
расположены в точках (а ^Г) т]х <jq2 <C ••• <С Лт (^ ^)> пусть
Q (z) = (z — T]j) (z — т]2) ... (z — T]m) и пусть P(z) — мно-
многочлен, сопряженный с Q (z). Как известно, корни {|;}Г
многочлена Р (z) все вещественны и перемежаются с кор-
корнями Q (z):
"Hi <С 1г <С Лг <С • • • <С! Em <C Ti»i
и Р (z) = (z — |2) ••• (z — Im) (так как старший коэффи-
коэффициент Р (z) равен s0 = 1). Как мы знаем,
* («) __ f'W

326 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Поэтому, положив |х = а, для искомой функции / (t)
получаем из B.2):
ехР (тУтЬ-) = (г - а) <М = П гт|- =
= exp
Таким образом, решение @, ^-проблемы / (t), отве-
отвечающее каноническому распределению а ЕЕ V ({sh}o+1),
имеет следующую структуру: точками {|у}Г и {цА™ ин-
интервал [а, Ъ) разбивается на частичные интервалы, в ко-
которых попеременно / (t) = L (в интервалах (|;-, т];)) и
/ (t) = 0 (в интервалах (r\j, Ij+i))- Обратим внимание на то,
что количество внутренних точек деления на единицу
меньше индекса представления, определяемого распреде-
распределением а.
Полученное решение / (t) можно записать в виде
Исходя из всего этого, можно было бы детально изучить
свойства простейших решений степенной @, ^-проблемы,
такие, как «перемежаемость», «движение» /^-интервалов
и т. п., которые непосредственно вытекают из свойств
корней многочленов Р (z) и Q (г). Все это подсказало,
какими должны быть структура и свойства простейших
решений (ф, г|))-проблемы в общем случае, когда вместо
степеней вводится У-система.
Последнему вопросу посвящен следующий параграф,
и в нем мы вернемся к простейшим решениям степенной
(О, ?)-проблемы.
Замечание 2.1. Если бы мы заменили условие
О < / (t) < L условием — L A — 6) </(<)< L A +9)
(так можно записать любое условие вида а</(/)< |3),
то последовательность {sk}o пришлось бы определять из

§ 2] СТЕПЕННАЯ Й ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМЫ 327
разложения
1
S° 4- — -4- 4- 4- I —
и это есть единственное изменение, которое для этого слу-
случая пришлось бы сделать в теореме 2.1; при этом (а, |3)-
канонические представления имели бы следующую струк-
структуру: интервал [а, Ъ) разбивается на определенное коли-
количество подынтервалов, в которых попеременно / (t) = а
(= -щ -8)) и /@ = P(=LA + 6)).
2. Тригонометрическая (— Б, ?)-проблема. Достаточно
простые теоретико-функциональные соображения приво-
приводят к следующему предложению (ср. с теоремой П.З).
Всякая функция F (г) ЕЕ '6 наряду с аддитивным пред-
представлением
F (z) = t Im f @) + \ - .; ' d5 (t) (d3(<)>0)
о
допускает мультипликативное представление
где —1 ^/@^1 при 0 <i t ^ 2л. Ограничившись слу"
чаем | ^@) | = 1, отсюда получаем, что формула
устан авливает взаимно однозначное соответствие между
интег рируемыми функциями / (t) (—Z» ^ f (t) ^ i^) и рас-
пределениями з (Ш h+ Id3(i) =1). Разлагая каж-
каждый интеграл в ряд по степеням г, получаем следующий
критерий.

328 ПРОБЛЕМА МАРКОВА |ГЛ. VII
Теорема 2.2. Последовательность {ck}o является
(—L, Ь)-моментной тригонометрической последователь-
последовательностью тогда и только тогда, когда выполняются нера-
неравенства
и когда последовательность {Ть}™, определяемая формаль-
формальным разложением
exp{i(l +CiZ + c»z* + • • • + c-z" + ...)} = т +
+Tiz + Ъ22 + • • • + TnZ" + • • .(To = T + Т = 2с08й)
B.4)
является тригонометрической моментной последователь-
последовательностью.
(—L, Ь)-проблема для {ck}n будет определенной или
неопределенной одновременно с соответствующей ей обыч-
обычной тригонометрической проблемой для {Ть}о-
§ 3. Канонические представления (ср,ф)-момектной
последовательности. Экстремальные значения интегралов
1. Строение д® (ф, 1)з). В отличие от предыдущих глав,
мы будем накладывать на непрерывные в интервале [а, Ъ\
функции {uk (<)}o лишь то ограничение, что они образуют
Г-систему внутри [а, Ъ\. Иными словами, мы будем пред-
полагать, что при любых ah (к = 0, 1, ..., га;2а| ^> 0)
о
п
многочлен Р (t) = 2акик @ обращается в нуль внутри
о
интервала [а, Ь) не более, чем в п различных точках.
Мы будем пользоваться тем обстоятельством (см. теоре-
теорему II.5.3), что всякая система {uh @}o. являющаяся Г-си-
стемой порядка п внутри [а, Ь], может быть продолжена,
т. е. к ней можно присоединить гще одну функцию ип+1 (t)
такую, что {uk (<)}o+1 образует Г-систему порядка п -f 1
внутри la, b]. Изложение будем вести геометрическим
путем.

§ 3] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 329
Будем называть экстремальными такие представления
(!), при которых допустимое распределение о ЕЕ V (с; ср, гр)
имеет следующую структуру: интервал [а, Ъ) делится на
конечное число частей, в которых do по очереди равно
dcp и dip. С такого рода распределениями мы уже встреча-
встречались в предыдущих параграфах.
Интервал (|, г\), в котором do = dcp (соответственно
do = dip), будем называть ср- (соответственно ^-ин-
^-интервалом.
Индексом экстремального представления назовем число
соответствующих точек деления интервала [а, Ъ] *).
Наконец, экстремальное представление назовем кано-
каноническим, если его индекс ^ п + 2, и главным, если его
индекс равен п -\- 1.
Докажем теперь теорему, аналогичную теореме III.4.1.
Теорема 3.1. Для того чтобы точка с = {cfe}^
была граничной точкой тела R (ср, гр), необходимо и до-
достаточно, чтобы она допускала каноническое представле-
представление, для которого индекс ^ п.
Доказательство. Пусть распределение о0 (t)
осуществляет каноническое представление точки с с ин-
п
дексом ^ п. Построим многочлен P(t) = 2 а/см/с(О»
о
имеющий все точки деления интервала (а, Ъ), соответству-
соответствующие распределению сг0, своими корнями-узлами, и по-
положительный во всех ^-интервалах этого распределения.
Очевидно, что
ь ъ
€ (Р) = J P (t) d30 (t) = IP+ (t) dip (t) - \ P_ (*) dcp (*),
a a a
откуда на основании теоремы 1.2 заключаем, что се
х) Аналогия этого определения с определением па стр. 110
становится очевидной, если представить индекс в виде 2e^i> Tlj)'
где (|j, т]г) суть г|)-интервалы рассматриваемого экстремального пред-
представления, а
2, если а < ^ < ц < 6,
'. 1, если а = !; или щ = 6.

330 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Пусть теперь дана точка с еЕ дй (ф, г|)). Как было уста-
установлено при доказательстве теоремы 1.2, ей отвечает един-
единственное допустимое распределение а0 GE V (с; ср, ijj), ко-
которое определяется через опорный многочлен по правилу
A.9). Так как многочлен Г-системы может менять знак не
более чем в п точках, то индекс о0 не больше п. Теорема
доказана.
Эта теорема позволяет описать структуру границы те-
тела & (ф, я|з), определенного Г-системой подобно тому,
как это делалось для конуса К {U).
Обозначим через % (соответственно через W) множе-
множество тех граничных точек с, для которых распределение
о GE V (с; ф, г|з) имеет индекс точно п и содержит (соответ-
(соответственно не содержит) г^-интервал, примыкающий к точке Ъ.
Очевидно, что д® (ф, г|)) = % (J V U Ш, где Ш — мно-
множество общих предельных точек % и V (т. е. множество
точек, которым отвечают распределения индекса <^^).
В случае п = 2v параметрические уравнения % ш W
имеют вид
уравнения % —
По ?i
ск = J и* @ dq (t) + J uA
уравнения c^ —
E.1 Hi ?г
, = J и,(t)d9(t) + J u,@d^ (o + J и,
a.
Аналогичный вид имеют уравнения % и 2^ при п =
= 2v - 1.
Оказывается, что в случае Г-системы граничные поверх-
поверхности % и W тела & (ф, г|з) обладают свойством,гкоторое не

§ 3] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 331
всегда имеет место для граничных поверхностей конуса
К (С), а именно, справедлива
Теорема 3.2. Поверхности % и W регулярны.
Обратно, если граничная точка с (ее д® (ф, яр)) регуляр-
регулярна, то с ?Е % U ЧГ.
Иными словами, все опорные в точке с ЕЕ d$Z (ф, яр)
многочлены отличаются только постоянным множителем
тогда и только тогда, когда распределение, отвечающее с,
имеет индекс п.
Доказательство. Узлами опорного много-
многочлена служат только внутренние точки (а, Ь), отделяющие
ф-интервалы от яр-интервалов. Остается вспомнить, что
многочлен Г-системы порядка п определяется своими узла-
узлами с точностью до постоянного множителя тогда и только
тогда, когда количество узлов равно п.
2. Главные представления. Пусть {uh (t)}o есть Г+-
система внутри [a, b], u.n+1 (t) — ее 3"+-продолжение и
^ (ф) 'Ф) — тело, отвечающее продолженной системе. Как
мы знаем, точке с ЕЕ Int ^ (ф, яр) соответствует в теле
& (ф, я];) отрезок / (с; ф, я|з), являющийся пересечением
прямой х0 = с0, хг = с1,...,хп = с„ с телом й (ф, я|з); при
этом каждой точке {с; у} ЕЕ & отвечает по крайней мере
одно распределение а ЕЕ V ({с; у}, ф, я|з) с: V (с; ф, я|)).
Среди (п -\- 2)-х координат у точек {с, у} ЕЕ / (с; ф, я|))
имеется наименьшая у и наибольшая у. Точки {с; у}
(«нижний» конец / (с; ф, я|;)) и {с; у} («верхний» конец
I (с; ф,^)) являются граничными точками тела 5?(ф, я|)).
Поэтому соответствующие этим точкам распределения
масс определяются однозначно и являются канониче-
каноническими с индексом ^п + 1. При этом индексы этих
представлений не могут быть <^п + 1, так как иначе"
точка с была бы граничной точкой тела •& (ф, я|)). Таким
образом, эти представления суть главные представления
точки с = {ch}o.
При любом п возможны только два типа главных пред-
представлений, ' а именно 1):
1) при п = 2v — 1
нижнее главное представление с v ^-интервалами внутри
[а, Ь];
г) Ср. с соответствующим определением на стр. НО.

332 проблема Маркова [гл. vii
. верхнее главное представление с v — 1 "ф-интервалами
внутри [а, Ъ] и двумя ^-интервалами, примыкающими к
концам а и Ь;
2) при п = 2v
нижнее главное представление с v af-интервалами внутри
[а, Ь] и одним "ф-интервалом, примыкающим к концу а;
верхнее главное представление с v ^-интервалами вну-
внутри [а, Ъ\ и одним я|)-интервалом, примыкающим к кон-
цу ъ.
Таким образом, главное представление называется
нижним или верхним соответственно тому, примыкает или
не примыкает к концу Ъ ¦ф-интервал.
Введенная терминология оправдывается следующей
теоремой:
Теорема 3.3. То (единственное) распределение
?EF ({с; у}, ф, я|э) (соответственно "a 6F ({с; f}; ф, я|з)),
которое отвечает нижнему (верхнему) концу отрезка
I (с; ф, -ф), дает нижнее (соответственно верхнее) главное
представление точки с 6Е Int ^ (ф, я|)). Никаких других
главных представлений точки с не существует.
Доказательство. Единственность представле-
представлений концов отрезка 1п+1 (ф, "ф) и то, что эти представления
являются главными представлениями для точки с — все
это уже было выяснено.
Следовательно, теорема будет доказана, если мы пока-
покажем, что точка {с, у'}, соответствующая всякому нижнему
(верхнему) главному представлению о' точки с = {ch}o,
является нижним (верхним) концом отрезка / (ф, я|)).
Для конкретности предположим, что п = 2 v — 1 и
представление о' является нижним главным, т. е. что у
этого экстремального распределения имеется точно v
¦ф-интервалов внутри [а, Ь].
Докажем, что
Т' < Г, C.1)
где {с, т} — произвольная точка отрезка / (с; ф, я|)).
Пусть (|j, r\t) (i = 1, 2,...,v) —¦ф-интервалы распреде-
распределения о', причем

i 3l КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 333
Построим многочлен
0 \ Г Sl 41 . . . Sv T)v /
Этот многочлен Р (i) имеет ?г ит); (i = I, 2,...,v) своими
корнями-узлами, отрицателен в -ф-интервалах и положи-
положителен в ф-интервалах распределения о'.
Очевидно, что интеграл
где а 6Е F (с; <р, "ф), достигает своего наименьшего значе-
значения при о = о'.
Если а ?Е F ({с, у}; ф, ip), где {с, у} — произвольная
точка I (с; ф, -ф), то
2v—1
Так как
b 2v—1
то
Но
Л1 ?a . . . Л»
Отсюда следует C.1). Аналогично разбираются остальные
три случая.
В теореме 3.3 попутно получено решение экстремальной
задачи, аналогичной решенной в § 1 главы III, а именно,
найдены структуры допустимых распределений о, для
которых интеграл
ип+1 (t) da (t)

334 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
достигает своего наименьшего и наибольшего значения при
заданных величинах интегралов
°. 1,...,«). C.2)
Оказалось, что структуры допустимых функций о, для
ъ
которых j un+1(t) da (t) достигает соответственно наи-
а
меньшего и наибольшего значений при заданных вели-
величинах C.2), совершенно не зависят от выбора функции
ип+1 (t), образующей вместе с данными функциями
{uh (?)}о 3"+-систему (п + 1)-го порядка внутри [а, Ь].
Легко также видеть, что функция un+l (t) может быть
заменена любой непрерывной в [о, Ь] функцией Q (t) та-
такой, что
"О  • • • "n Q \>()
при всех t0 < tt < . .. < tn+1 (а < ^0, ?п+1 < Ь).
3. Канонические представления.
Теорема 3.4. Каждой точке с 6Е Int Л (ф, я|;)
соответствует бесчисленное множество канонических пред-
представлений.
Доказательство получается сразу, если для внутренних
точек отрезка / (с; <р, г|з) построить главные представле-
представления, которые являются каноническими для точки с.
Установим теперь некоторые свойства канонических
представлений точек тела •& (ф, я|)), аналогичные свойст-
свойствам таких представлений, полученным в §§ 4, 6 главы III
для точек конуса К (U).
Теорема 3.5. Для двух различных канонических
представлений одной и той же точки с ЕЕ Int & (ф, я|))
внутренний "^-интервал одного представления не может
полностью попасть в какой-нибудь ^-интервал другого
представления.
Иными словами, начала {соответственно концы) я|)-
интервалов различных канонических представлений точки
с ?Е Int & (ф, я|)) перемежаются.

% 3] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 335
Доказательство. Пусть ах и а2 осуществляют
два различных канонических представления внутренней
точки с = {ck}o тела & (ф, -ф).
Допустим, что внутренний г|з-интервал (?, т)) распреде-
распределения Oj полностью попадает в какой-нибудь г|ьинтервал
распределения а2.
Рассмотрим допустимые распределения ах и o'z, для
которых do\ = dol и do^ = й°2 во всем интервале
[а, Ь], за исключением интервала (^, т)), в котором do[ и
doj равны d(f, в отличие от dox и йа2, равных в этом
интервале йф.
Так как
Ь 1)
ск = J и, (/) d3x @ = J uK (t) da2 (t) (к = 0,1 п),
а
ТО И
ь
= 0,1 га),
т.е. распределениям ai и о'2 соответствует одна и та же точ-
точка с' тела й (ф, я];).
Но ai — каноническое распределение с индексом <; п,
следовательно, в силу теоремы 3.1 с' есть граничная точка
тела & (ф, -ф) и допускает только одно распределение.
Отсюда doi = do'2(a ^ t ^b), а значит, и do^ = da2
(a ^Z t s^. Ъ). Мы пришли к противоречию.
Рассмотрим теперь аналоги свойств канонических
представлений, изложенных в § 6 главы III. Пусть
п = 2v — 2.
Как мы уже знаем, каждойточке {с, у} отрезка/(с; ф,я|))
соответствует одно и только одно каноническое рас-
распределение с v ^-интервалами в [а, Ь]. Каждой точке
{с, т}?= I (с> ф^) соответствует, таким образом, 2v чисел
tj (Т). 11; (Т) (/ = 1» 2,...,v), являющихся расположенными
в порядке возрастания началами и концами ^-интервалов
соответствующего распределения:
Теорема 3.6. Функции ?> (т) ii т];- (т) суть непрерыв-
непрерывные и монотонно возрастающие функции от аргумента у в

336 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
интервале [у, у], где у и у — соответственно наименьшее
и наибольшее из значений c2i-l.
Доказательство. Пусть {Ту.}Т — последова-
последовательность значений, стремящихся к у GE [Т, ?]•
Канонические распределения с v ^-интервалами, соот-
соответствующие точкам {с, у^} и {с, у}, обозначим соответст-
соответственно через а^, а. Непрерывность функций |7- (у), y\j (у)
(/ = 1, 2,...,v) будет, очевидно, доказана, если мы пока-
покажем, что последовательность распределений Оц. (jj, = 1,
2,...) сходится к распределению а.
Допуская противное, можно будет выделить последова-
последовательность Оу. (р = 1, 2,...), которая будет в существенном
сходиться к некоторому распределению о', отличному от а.
Очевидно, что распределение а' также будет канони-
каноническим с v -ф-интервалами в [а, Ь].
' С другой стороны, по теореме Хелли
ь ь
\Uli(t)dy(t) = lim \uk(t)do^ (t) = с„ (А = 0,1,.... 2v - 2)
И
b
\ щ,_х {t) da' (t) = lim I k2v_x (t) d^ (t) = lim Гц = У,
откуда a' = a. Мы пришли к противоречию.
Установив, таким образом, непрерывность функций
?; (t)i 11; (Т) (/' = 1> 2,...,v), легко убедимся в их монотон-
монотонности.
В самом деле, различным значениям у из [у, у] соот-
соответствуют в силу теоремы 3.5 различные значения каждой
из функций lj (у), y\j (у) (/' = 1, 2,...,v). Но если функция
непрерывна и унивалентна, то она и монотонна.
Наконец, из того, что ^ (у) = а, следует, что функции
h (Г), r\j (Г) (/ = 1, 2,...,v) возрастают.
Рассмотрим теперь те канонические представления то-
точек {с, у}, отличных от концов отрезка / (с; <р, я|)), при ко-
которых имеется v — 1 я|)-интервалов внутри [а, Ь] и два
я|>интервала, примыкающие к концам а и Ъ. Присоединим
к ним представления обоих концов {с, у} и {с, у} отрезка
/ (с; ф, т|>).

§ 3] КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 337
Каждому значению у ?Е [у, у] соответствует теперь
2v — 2 числа ?;- (t),$j (т) (/ = 1> 2,..., v— 1), являющие-
являющиеся расположенными в порядке возрастания началами и
концами лежащих внутри [a, b]v — 1 ^-интервалов соот-
соответствующего канонического представления точки {с, у}.
Теорема 3.7. Функции ?; (г)> ¦& j (г) (/ = 1,
2,...,v — 1) суть непрерывные и монотонно убывающие
функции от х в интервале [у, у].
Доказывается аналогично теореме 3.6.
Очевидно также, что конец примыкающего к точке а я|з-
интервала рассматриваемого представления точки {с, у},
где Т <! Т <С Т) стремится к а при у —>¦ у, а начало примы-
примыкающего к точке Ъ ^-интервала стремится к Ъ при у —> Т-
Обращая еще внимание на то, что
= 1,2, ...,v —
получаем следующий результат:
Теорема 3.8. Если с = {ch}f~2 — внутренняя
точка тела 5? (ф, -ф), то произвольная точка интервала
(а, Ь) является началом (концом) одного из ^-интервалов
некоторого канонического распределения о ЕЕ V (с; <р, г|з).
При п = 2 v — 1 имеют место теоремы, аналогичные
теоремам 3.5—3.7. Доказательство этих теорем не вызы-
вызывает никаких новых трудностей.
4. Построение канонических представлений для сте-
степенной @, ?)-проблемы. Вспомним, что функция
f(t) =|
построенная в § 2, осуществляет экстремальное представ-
представление последовательности {с^}":
C.3)

338 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Индекс этого представления на единицу меньше индекса
представления
т
** = 2рЯ* (ft = 0,1,..., в+ 1) C.4)
3=1
последовательности {sk}o, порожденной разложением
B.3) х). Легко проверить и обратное: каждое экстре-
экстремальное представление C.3) последовательности {ch}o
определяет представление C.4) последовательности
{sfcKT1 c индексом, на единицу большим. Отсюда сле-
следует, что
1". Каждому каноническому (в частности, главному)
представлению последовательности {sk}^+1 отвечает @, L)-
каноническое (соответственно главное) представление
последовательности {ch)l, и наоборот. При этом верхнему
(нижнему) каноническому представлению последователь-
последовательности {shYb отвечает верхнее (соответственно нижнее)
@, Ь)-каноническое представление последовательности
} u обратно.
2°. Концы L-интервалов канонического представления
последовательности {с^}о — точки г);- — являются точка-
точками сосредоточения масс канонического представления по-
последовательности {sft}o+1 (корнями многочлена Q (t)).
Начала L-интервалов канонического представления по-
последовательности {cft}", не примыкающих к а,— точки
|;- — являются корнями многочлена Р (t), сопряженного с
Q (t) относительно последовательности {s^}^1.
Последнее предложение позволяет строить @, /^-кано-
/^-каноническое представление последовательности {с^}о, имею-
имеющее L-интервал с началом или концом в заданной точке
интервала (а, Ъ).
Для того чтобы построить @, ^-каноническое представ-
представление последовательности {си}1>, имеющее Z-интервал с
концом в заданной точке т), нужно построить каноническое
х) Обратим внимание на то, что и количество членов последова-
последовательности {ch}g на единицу меньше количества членов последова-
последовательности {sft}g+1.

§ з1 Канонические представления: 339
представление последовательности {sft}o+1 с массой в этой
точке (см. пп. 3, 4 § 4 гл. III и п. 5 § 2 гл. IV). Точки со-
сосредоточения масс этого представления определяют много-
многочлен Q (t). Зная Q (t), легко находим сопряженный ему
многочлен Р (f).
(О, ?)-каноническое представление последовательности
{cft}o, имеющее L-интервал с началом в заданной точке
?, можно построить следующим образом. Найдем сначала
многочлен Р (t), корнями которого являются начала L-
интервалов искомого представления, не примыкающих к а.
Для этого, в зависимости от четности числа п, из равенств
(IV.2.15) или (IV.2.16) найдем два значения, т± и т2, из
условий Рх (I; тх) = 0 и Р2 (?; т2) = 0. В качестве Р (t)
нужно взять тот из многочленов Pi (t; т^), для которого
найденное значение тг неотрицательно (одно и только одно
из чисел т± и т2 неотрицательно —см. У.IV.2.1 г). В ка-
качестве Q (t) нужно взять соответствующий многочлен
Qt (t; т{), корни которого (см. У.IV.2.1) являются точками
сосредоточения масс канонического представления после-
последовательности {sk}o+1-
5. Канонические представления для тригонометриче-
тригонометрической (—L, ?)-проблемы моментов. Поскольку в (ф, я|))-
проблеме используется Т-система в открытом интервале
(а, Ъ), значения входящих в нее функций на его концах не
играют роли, вследствие чего для периодических Т-систем
(порядка п = 2v) вся построенная теория остается без
изменений. Однако если, пользуясь периодичностью, ин-
интервал [а, Ъ) мыслить свернутым в окружность, то придется
внести некоторые изменения, вызванные тем, что при этом
¦ф-интервалы (ф-интервалы), примыкающие к точкам а и Ъ,
теперь сольются в один я|)-интервал (ф-интервал). В этом
случае канонические представления будут только одного
типа — они состоят из уя|)-интервалов, следующих друг за
другом на окружности.
Покажем, как строятся (—L, /,)-канонические пред-
представления для тригонометрических моментов. Пусть
(ft = 0,1,..., »; k
Т. = S 9^1
1 C-5)
+ 2)

340 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [гЛ. VII
каноническое представление последовательности {Yfc}o\
отвечающей последовательности {с^}^ в силу соотношения
B.4). Рациональная функция
•, - г-п-
чисто мнимая при z — el% имеет т корней е ], перемежа-
перемежающихся на единичной окружности с е^3:
El < 11l < • • • < ?m < Лт < El + 2Л,
и ее можно представить в виде
т —- —¦—'-
1 гт е2 — е 2z
~ И ^ь Щ~-
2 2
Заданная последовательность {cft}o допускает представле-
представление
t {k= 0,1,..., re), C.6)
о
где функция
™ Sin IZlIb'
/(()= -Lsign п 2
• t —I
= -L sign П sin i^k sin *
3=1
определяет (—Z, 1/)-каноническое представление после-
последовательности {ch}o с L-интервалами (|7-, т];) и —Z-интер-
валами (т];-, |;+1) (/ = 1, 2,...,п; |т+1 = |х + 2л = |х).
Добавим еще, что если т ^ v, то в этом и только в этом
случае представление C.5), а с ним и представление C.6).
единственно.

§ 3] КАНОНИЧЕСКИЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 341
У.3.1 (Н. И. А х и е з е р и М. Г. Крейн [4]). Пусть {ch}™
(со «с 0) есть произвольная комплексная последовательность.
а) При достаточно большом L > 0 проблема
ск = 5 е'ш1 (t) dt (ft = 0,1 л),
° C.7)
— L</(i)<L @<*<2я) ;
всегда имеет решение.
Указание. При L —» + оо из разложения B.4) получаем,
что То-2, т*-»0 (fc= 1, 2, . . .).
б) Нижняя грань I всех таких L есть наибольший корень урав-
уравнения
где числа ук (L) = у/; определяются из разложения B.4),
в) При L = I проблема C.7) имеет одно и в существен-
существенном только одно решение /; (t). Это решение имеет вид /; (г) =
= I sign P (t), где Р (t) — некоторый вещественный тригонометриче-
тригонометрический многочлен порядка не выше п 1).
Таким образом, если задан вещественный тригонометрический
многочлен Q (t) = _^_ -\- ^ (% cos kt -\- bk sin Щ, то среди в су-
1
щественном ограниченных функций / (?) вида /(*) = <? @ +
оо
+ 2 (ак cos ^' "^ ^к s*n ^ существует одна и в существенном только
п+1
одна функция // (t), наименее уклоняющаяся от нуля (т. е. с наи-
наименьшим sup ess |/ | {=1)), и она имеет вид /j (t) = 2 sign P (t), где
Р (f) — вещественный тригонометрический многочлен порядка не
выше п.
У.3.2. Пусть L = 1, ц0 (г) = cos t, mi (г) sin t, 0 < t < а, где
0 < a < я. Тело S @, ?) есть лунка, ограниченная дугами ок-
окружностей радиуса 1 с центрами в точках @, 1) и (sin a, — cos a).
При a = я эта лунка превращается в круг радиуса 1 с центром в
точке @, 1).
Указание. Воспользоваться параметрическими уравнения-
уравнениями границы $ @, L).
г) Стоит отметить, что для комплексных функций также
можно утверждать существование и единственность функции
fl(t), имеющей заданные тригонометрические моменты, с наимень-
наименьшим I = su pess | / (t) |, и что она имеет вид /; (t) = I sign P (t)
п
(= lP(t)l | Р (t) |), где P (t) = у аке~ш, ah — некоторые комплекс-
о
ные числа (см. § 2 гл. IX).

342 Проблема Маркова 1тл. VII
У.3.3. Если непрерывные на [а, Ъ] функции {uk (t))o образуют
Г+-систему внутри [а, Ь], то объем тела $ (ср, г)з) равен
5
Jn<b
h
где d% = dip — Ар.
Указание. Воспользоваться главными представлениями
для получения параметрических уравнений, задающих Int $ (ф, гр).
§ 4. Неравенства Маркова
Приведем теперь решение задачи, аналогичной задаче
П. Л. Чебышева, рассмотренной в § 3 главы IV.
Присоединим к данной последовательности функций
{uk @}?> образующих Ж+-систему в интервале (а, Ъ), не-
непрерывную функцию О. (t) (а гС t ^ Ъ) такую, что
[to h •
tj'
. .
>o,.
. un
. tn
Q
t-n+l
>o
при всех значениях to<^ tt<^ . .. <^тт (a
Пусть т — некоторое значение из интервала (а, Ъ) и
е = {ck}o — внутренняя точка тела & (ф, i|)).
Будем искать наименьшую и наибольшую величины ин-
интеграла
при условии, что a GE V (с; ф, ij)).
Эта задача была поставлена и решена А. А. Марковым
[10] (при несколько более жестких условиях относительно
функций uk (t) и dtp = cdt, di|) = Cdt).
Сформулируем ее решение в виде следующей теоремы:
Теорема 4.1 х). Если точка х ?Е (а, Ъ) является на-
началом {соответственно концом) ^-интервала канонического
х) Теорема 4.1 сформулирована несколько более полно, чем
у А. А. Маркова, ввиду того, что при его системе изложения ему
приходилось отдельно рассматривать случай, когда точка т является
точкой деления для одного из главных представлений точки с.

§ 4] НЕРАВЕНСТВА МАРКОВА 3i3
распределения oz ЕЕ V (с; ср, ip), то
является наименьшим (соответственно наибольшим) из
значений
Q (f) da @,
где 5ё У (с; ср, яр).
Доказательство. Рассмотрим вначале случай,
когда и = 2v — 2 и т = ^ является началом ^-интервала
(g(j., Tip.) того канонического распределения ат ЕЕ V (с; ср, ip),
при котором имеется v ip-интервалов (|7-, т];) (/ = 1,
2,...,v) внутри [a, b]:
Построим многочлен
2v-2
принимающий в точках ^г, t^j, .. . , ^_х, т)^^ значения, со-
соответственно равные значениям функции Q (t) в этих
точках, а в точках ¦%, |[i+1, Л^+и •••> ?v, Л* — значения,
равные нулю.
В силу леммы IV.3.2 А. А. Маркова имеем:
в [5ь%Ы52,1
в [щ, 5ц+1], [т]ц+1, ^+2],..., [т)ч, Ь].

344 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Отсюда для любого распределения а ЕЕ V (с; <р, т|)) по-
получаем:
-г х
Q (t) do (t) — ( Q (t) d^ (t) =
a
[Q @ - T @1 [da @ - da, (*)] -
b
чем доказано утверждение теоремы для рассматриваемого
случая.
Доказательство теоремы для других случаев не пред-
бтавляет новых затруднений.
Замечание 4.1. Отметим одно существенное раз-
различие между утверждениями теорем 4.1 и IV.3.1.
Согласно теореме IV.3.1 наибольшее значение интег-
рала \ Q(t)do(t) и наименьшее значение интеграла
\ Q (t) dcs (t) на V (с) достигаются на одном и том же
а
каноническом распределении а Ег V (с), тогда как согласно
теореме 4.1 наибольшее и наименьшее значения интеграла
т
\ Q (?) ds (i) на V (с; ф, ij)) достигаются на различных
а
канонических распределениях: в одном из них точка т —
конец, а в другом — начало ^-интервала.
Добавим еще, что результаты, касающиеся канони-
канонических представлений точек конуса К (U) и экстремальных
значений интегралов, можно рассматривать как предель-
предельные для соответствующих результатов в @, ^-проблеме
при L —> оо. При таком предельном переходе L-интервалы
?
(?;, r\j) стягиваются в точки т;, интегралы L \ uk{t)dt по
/^интервалам превратятся в слагаемые ру uh (xj) и т. д.

§ 5] СБ ОДНОЙ МИНИМУМ-ПРОБЛЕМЕ 345
§ 5. Об одной минимум-проблеме
1. Постановка задачи. Результаты, изложенные в пре-
предыдущих параграфах, тесно связаны со следующей мини-
минимум-проблемой.
(X, jx)-n р о б л е м а. Даны вещественные числа
о, съ ..., сп
х о
и две непрерывные функции X (f) и [i (t) (a ^ t ^ Ъ), удов-
удовлетворяющие условию
E.1)
Рассматривается совокупность $р„ многочленов
п
о
коэффициенты которых удовлетворяют соотношению
п
2аЛ=1. E.2)
о
Требуется найти минимум функционала
Ь h
на $р<. и исследовать те многочлены Р Ег фс, для которых
этот минимум достигается.
Заметим, что функционал / (Р) выпуклый и что условие
E.1) обеспечивает его положительность для любого много-
многочлена Р (t) фО.
Можно непосредственно доказать, что минимум функ-
функционала / (Р) всегда достигается. Мы получим это попутно.
Для случая, когда
d\x = dt, dX^O, с0 = сх = . . . = <vi = 0, сп = 1,
рассматриваемая проблема сводится к задаче, изучавшейся
Стилтьесом:

346 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VI
Определить коэффициенты ah (к = 0, 1, ..., п — 1)
так, чтобы интеграл
ъ
@ + «А @ + • • • + «„-А-з @ + и„ @ I dt
имел наименьшую величину.
Еще раньше, чем Стилтьес, для того частного случая,
когда uk (t) = tk (к = 0, 1,...,п), эту задачу решили Кор-
кин и Золотарев г).
Затем решение последней задачи было повторено
G. Н. Бернштейном [3] и Фудживарой [1].
При более общих предположениях, а именно, при
d\a = dt, dX = Qdt (—1 < 6 < 1); uk (t) = t*
(A = 0, 1,..., n)
и- произвольных Ck (к = 0, l,...,n) задача была решена
H. И. Ахиезером и М. Г. Крейпом 110], см. также [4].
Этими же авторами и Я. Л. Геронимусом [3] она рас-
рассматривалась для ряда других частных случаев функций
uk (t); при этом они исходили из двойственной связи,
существующей между проблемами этого типа и L-пробле-
мой Маркова. Для случая задачи Чебышева — Стилтьеса
эта связь была установлена самим А. А. Марковым [10].
2. Геометрическое решение. Мы вскоре покажем, что
поставленная (X, (г)-проблема является частным случаем
следующей простой геометрической задачи.
Пусть даны выпуклое замкнутое ограниченное тело
& с JSn+1, 0g Int J?, D (x) — его масштабная функция,
D^ (у) — его опорная функция. Найти для фиксированного
С ЕЕ Rn+1
min {D-* (а): (с, а) = 1}.
Как мы знаем, в обобщенном неравенстве Коши — Лаг-
ранжа
знак равенства достигается при с =f= 0, у =f= 0 тогда и толь-
только тогда, когда у = у0, где у0 определяет опорное к $
х) Впоследствии обнаружилось, что все необходимые элемен-
элементы для решения этой задачи имелись уже в мемуаре П. Л. Чебыше-
ва [8]

§ 5] ОБ ОДНОЙ МИНИМУМ-ПРОБЛЕМЕ 347
полупространство (х,р0)^. (с, р0), содержащее точку с* =
= clD(c) (см. У.1.2.2). Тем же свойством обладает вектор
<х0 = уо/(с, у0), который к тому же удовлетворяет условию
(с, се0) — 1- Поэтому искомый минимум равен IID (с) и
достигается он на се0. Минимизирующий элемент а0 един-
единствен тогда и только тогда, когда elD (с) — регулярная
граничная точка &.
Возвращаясь к (%, |д,)-проблеме, положим ф = к — \i
и i|) = X + !¦*¦• Тогда йф <^ 0, dty ^> 0 и на основании
У. 1.1 и У.1.2 мы отсюда заключаем, что О ?Е Int & (ф, ф)
и что функционал
Ь п ь п
1
а о
(
а 0
= D'- (а)
совпадает с опорной функцией тела & (<р, г|;). Используя
решенную только что геометрическую задачу, мы прихо-
приходим к следующим выводам:
I. Минимум функционала I (P) на ф,. равен 1/D (с),
где D (х) —масштабная функция тела & (ф, i|)).
II. Многочлен Р° (t) €Е фс минимизирует I (P) (Р ЕЕ
ЕЕ фи) тогда и только тогда, когда он является опорным к
8 (ф, г|;) в точке c/D (с).
III. Этот многочлен является единственным среди всех
Р ЕЕ фе минимизирующим многочленом тогда и только
тогда, когда точка cID (с) — регулярная граничная точка
Я(ф,1>).
Если воспользоваться следствием 1.2, то утверждению
II можно придать следующую форму:
IV. Для того чтобы многочлен Р (t) ЕЕ $рс был миними-
минимизирующим многочленом (X, \х)-проблемы, необходимо и до-
достаточно, чтобы при некотором Л ^> О
1 +sD(i)
ь
ДО—Z^-d<f{t) (к = 0,1,..., п). E.3)

348 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
При выполнении этого условия число Л равно мини-
минимальному значению I (P) на $Р„.
Условие E.3) можно иначе записать в следующем виде'
ь ь
k(t)dX+ *\uk(t)sp(t)d[i(t) (& = 0,l, ...,n).
В случае, когда функции {uh (?)}o образуют Т-систему
внутри [a, b], sp (t) можно заменить на sign P (t) и, кроме
того, уточнить, используя теорему 3.2, предложение III:
III'. Многочлен Р° ев фс, минимизирующий функционал
I (P) (P ?E 5pe)i будет единственным тогда и только тогда,
когда он имеет п узлов внутри (а, Ь).
Если число узлов Р° (t) меньше п, то минимум дости-
достигается также на любом Р (f) Er 5pc> имеющем те же узлы,
что и многочлен Р° (t).
3. Обобщенная задача Чебышева — Стилтьеса. Пусть
теперь {uk (t)}™'1— ^-система на [а, Ь] и Q (t) — ее
^-продолжение, т. е. выполняется условие (Г+ (U)) (см.
стр. 154).
Приведем решение следующей задачи, представляющей,
очевидно, частный случай (X, ^-проблемы (соответствую-
(соответствующий
с0 = сх ==... = сп_! = 0, с„ = 1, ип (t) = Q (t)).
Требуется найти многочлен Р (t) = 2 яА-@>
о
которого функционал
- 2 «л @1 dv @
достигает наименьшего значения.
Заметим прежде всего, что, поскольку —d[i <^ d%
-< d[i, то точка е° = {с*}о~\ где

§ 5] ОБ ОДНОЙ МИНИМУМ-ПРОБЛЕМЕ 349
принадлежит Int & (—\х, [i). Следовательно, для нее
существует нижнее главное распределение в_ {t), т. е. рас-
распределение, для которого do (t) = s (t) d|o, (t), где функ-
функция s (t) обладает следующими свойствами:
1) s (t) — кусочно-постоянная функция, равная + 1
(а ^ t ^ Ъ), имеющая в (а, Ъ) точно п точек разрыва и
s(b -0) = —1.
2) Для s (t) выполняются соотношения
ь ь
jj u, (t) s (t) d^ (t) = J щ (t) dk(t) (k = 0,1, . .. , n).
a a
Обозначим через Qx, 82,..-,0n точки разрыва s {t).
Теорема 5.1. Наименьшее значение функционала
I (Q — P) достигается для значений коэффициентов ак
(к = 0, 1,..., п — 1), определяемых из равенств
ад = а(ад (/ = 1,2,...,»).
Доказательство. Для любого многочлена Р (t)
п—1
— 2 ачик @ имевм
о
"-1
0
п ^
0
Ь
— {il(t)s {t) d]x (t) + [Q (t) dk (t).
Знак равенства может иметь место в том и только в том
случае, когда
\Q(t) — P{t)\ = — [Q @ - Р (*)] s(t) (в < * < Ь).
E.4)
Для этого, очевидно, необходимо, чтобы функция
Q (t) — Р (t) обращалась в нуль в точках перемены знака

350
ПРОБЛЕМА МАРКОВА
[ГЛ. VII
функции s (t), т. е.
п(в,)~Р(Ъ) = 0 (/ = 1,2,. ..,„),
так что коэффициенты ак (к = 0, 1,...,п— 1) минимизи-
минимизирующего многочлена должны удовлетворять системе урав-
уравнений
TV—1
(/ = 1, 2,..., n).
E.5)
Уравнения E.5) однозначно определяют значения коэф-
коэффициентов ак. В силу леммы IV.3.1 условие E.4) при этом
выполняется автоматически.
Замечание 5.1. Отметим, что величины 01;
б2,..., 6П совершенно не зависят от выбора функции Q (t).
Из хода рассуждений видно также, что используется толь-
только то свойство Q (t), что функция
неотрицательна при (>6n i меняет знак только при
прохождении t через точки 61? 02, ..., 0П.
В случае, когда 6!к = 0 (а ^ t ^ Ъ), решенная задача
приводится к задаче Чебышева — Стилтьеса об определе-
определении многочлена Р (t) , для которого достигается минимум
интеграла
A
В этом случае точки 9ц 92, ..., 0П определятся однозначно
из системы уравнений
щ @ djx @ - ^ и* (*) dji @ +... + (- 1)" [ ик (t) d[i (t) = 0
(к = 0, 1, ..., п - 1). E.6)
4. Примеры, а) Остановимся на том частном случае,
когда
я = —1, Ь=+1, Uls(t) = tk (к = 0, 1,...,п- 1),

! 5l »B ОДНОЙ ШШНМУМ-ИРОБЛЕМЕ 351
В этом случае легко видеть, что для величин 9;- С/ = 1,
2,...,п) имеем
6, = — cos^rfr (/ = 1,2,...,«),
и наименьшее значение интеграла
п—1
-1
равно
areeoe t dt
\ ?i (t) sign sin (и + 1)
-i
n—1
и достигается на многочлене 2 ак^ , определяемом
равенствами
п—1
= 1,2,...,!»).
При этом функция Q (f) должна удовлетворять указан-
указанным ранее условиям, которые, в частности, будут выпол-
выполнены, если функция Q (t) имеет неотрицательную п-тя
производную.
При Q (t) = tn мы приходим к задаче Чебышева —
Коркина — Золотарева об определении наименьшего зна-
значения интеграла:
1
| «о + <М + «2«2 + • • ¦ + «n-i^1 + tn | dt.
Это наименьшее значение равно 5я=г и достигается на
многочлене
п
S ,jc sin (n +1) arccos t .
ач1 = ГгГ^ : {3-n — !)•
0 2 sin arccos t
б) Если а = О, Ь = 2я, d^ @ = d<, n — 1 = 2m,
uQ @ = 1, "i (t) ~ cos f, м2 @ = sin t,...
•... M2m_! @ = cos mt, w2m @ == sia mt,

352
ПРОБЛЕМА МАРКОВА
[ГЛ. VII
то, как легко проверить, уравнения E.6) удовлетворятся
при
9; = -7^Г (/ = 1.2,...f2* + l).
Таким образом, наименьшее значение интеграла
-PftSLnAr«) dt E.7)
о о
достигается при значениях ссе, ссх, $ъ..,ат, |Зт, определяе-
определяемых из уравнений
н равно
1
\ Q (t) sign sin (m + 1) t dt
При этом предполагается, что функция Q {t) удовлетво-
удовлетворяет тому условию, что при любых а4, C^ выражение
О. (t) —
kt -f P sin A-f)
меняет знак в @, 2я) не более, чем в Ъп + 1 точках 2).
Изложенное правило определения минимума интегра-
интеграла E.7) имеет ряд интересных применений в различных
вопросах теории аппроксимации (см. Н. И. Ахиезер [3]).
У.5.1. (А. А. Марков [10]). Пусть {ик (*)}" — М+-система в
(а, Ь) и fk(t) (к = 0, 1, . . .) — верхнее главное решение (—L, Ц-
проблемы (L — 1):
ь
J щ (t) f (t) dt = 0,
b b
ux (t) / (t) dt = O, ...,
a
J) Это условие можно еще ослабить (см. замечание 5.1)

si ов одной минимум-проблеме 353
а) Системе {ик (Щ™ отвечает одно и только одно треугольное
з
преобразование v^ (t) = ^ Tjfcufe (f) (/ = 0, 1, 2, . . .), превращающее
fc=0
ее в М+-систему {о^ (*)}^°, биортогональную к системе {/^ (t),}jj°
ь
a
При этом
n—1
ni = min f
а J
dt.
б) Если Q (t) есть Л/+-продолжение системы {uk(t)$™ при любом
с»
га = 0, 1, 2, ... х) и 2 %Л (*) ~~ ее формальное разложение по си-
о
стеме {Di. (t)/n I Xi = I « С) /а- С) "' I >T0 коэффициенты этого разло-
жения являются погрешностями наилучшего приближения функ-
функции Q многочленами в метрике L\ (а, Ъ):
п—1
dt
1
п = mm J | Q (*) - 2 ая-г',<*) 1 Л= J | QW -
0 а
Этот результат А. А. Маркова является обобщением резуль-
результата П. JI. Чебышева [8] для uh (t) = t* (—1 < t < 1).
Д.5.2 (П. JI. Ч е б ы ш е в [8], А. А. Марков [10]).
а) Последовательность {sin /ct}J,1 @ ^ t ^ я) порождает биор-
тогональные системы
fk (t) = sign sin Л* (/с = 1, 2, . . .), E.8)
1 ri u (d\) kt
n(t) = Y2j-^TLsin-S- (ft = l, 2, ...), E.9)
d,|/c
где суммирование ведется по нечетным делителям dy числа Л, а
ц (а) — функция Мёбиуса (ц, A) = 1, ц (а) = 0, если а делится
на квадрат, отличный от единицы, \i (а) = (—l)v, если а не делит-
делится па квадрат, отличный от единицы, причем v означает число
простых делителей числа а).
*) В случае uh (t) = t* (к = 0, 1, 2, . .) для этого необходимо
и достаточно, чтобы функция Q (t) была абсолютно монотонна в
интервале (а, Ь).

354 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
б) (А. А. Марков [10]. а) Последовательность {cos kt}™
@ ^ * < п) порождает биортогональные системы:
8о № = 1. 8h W = sign cos kt (A = 1, 2, . . .)> E.10)
1 1 V4 (— i)h kt
щ (t) = — , wk (t) = -j 2l ^-JT- cos "ИГ (fc = L 2- • • •)• E-И)
где суммирование ведется по нечетным делителям di числа к, не
содержащим квадратных множителей, a h есть число простых мно-
множителей вида 4т + 1, содержащихся в di.
Д.5.3 (Н. И. Ахиезер [3]). Каждая из систем
{sign sin kt}™, {sign cos kt}™
вамкнута в L2 @, я).
Д.5.4 (А. А. Киселев и Л. А. Онуфриева [1]).
а) Если объединить «просеянные» системы E.8) и E.10):
{8о, к, gt, U, gi, ¦ ¦ •>, E.12)
' а также «просеянные» системы E.9) и E.11):
{ш0, i>2, ш2, Vi, ш4, . . .},) E.13)
то полученные системы E.12) и E.13) биортогональны.
б) Если / (t) e Lip a, a > V2 @ < t < я), то ряд
где
п
Ак = f / (t) sign, cos 2ftt dt (k = 0, 1, . . .),
0
Bk = f / (t) sign sin 2fct rft (A = 1, 2, . . .),
0
сходится к / (t) на [0, я] абсолютно и равномерно.
5. Обобщенная задача Поссе. Теперь рассмотрим обоб-
обобщенную задачу Поссе, содержащую как частный случай
задачу, рассмотренную в п. 3.
Пусть на интервалах [а, Ъ] и [с, d], расположенных как
угодно один относительно другого, заданы непрерывные
функции {ик (О)о Х и Q (t). Кроме того, пусть на [а, Ь]
задана непрерывная возрастающая функция \л (t), а на
[с, d] — функция К {t) ограниченной вариации. Приведем
решение следующей задачи.

§ 5] ОБ ОДНОЙ МИНИМУМ-ПРОБЛЕМЕ 355
Требуется найти условия существования у функционала
I (Q - Р) = jj | Q @ - ^ «Л- @ Ф С) +
а О
наименьшего значения на множестве 9J, w при их выполнении
найти минимизирующий многочлен.
Отличие этой задачи от задачи п. 3 в том, что интегралы
берутся, вообще говоря, по разным интервалам, и в том,
что от функции Я, (t) требуется только, чтобы она имела
ограниченную вариацию.
При частных предположениях: а <^ Ъ <С с <С d,
uK{t) = tk {k = 0, 1, . . ., n — 1), Q {t) = tn, dfx @ = dt,
dX(t) = (—l)n dt — эта задача была решена К. Поссе [1].
При наших общих предположениях минимум I (Q — Р)
может не существовать. Найдем условия его существова-
существования, после чего для нахождения минимизирующего мно-
многочлена окажется возможным повторить процедуры п. 3.
Теорема 5.2. Для того чтобы значения I (Q — Р)
(Р ЕЕ ф) были ограничены снизу, необходимо и достаточно,
чтобы точка с0 = {с"}о х, где
принадлежала телу & (—fx, jx).
Доказательство теоремы вытекает из следу-
следующих двух утверждений:
1°. Функционал I (Q — Р) ограничен снизу тогда и
и—1
только тогда, когда для всех P(t) = 2 акик @ выполня-
о
ется неравенство г)
ь а
I(Р) = 51 Р(t) |dk(t) + ]P(t)d\i(t) >0. E.14)
J) Уже отмечалось, что при с = a, d = Ъ, | dk |< djx (a
b) это неравенство выполняется.

356 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Пусть inf / (Q — Р) = —оо. Тогда найдется последо-
последовательность многочленов {Рт (t)}^, для которой / (Q —
— Рт) —> —°° (т —* °°)- Из неравенства
I{-Pm)<I(Q-PM) + I{-Q)
усматриваем, что найдется многочлен Ро (t) = —Рта (t),
для которого / (Ро) < 0.
Обратно, пусть существует многочлен P0{t), для кото-
которого I (Ро) < 0.Тогда из неравенства
/ (Я - тР0) < / (Я) + | т | / (Ро) (т < 0)
следует, что в этом случае функционал I (Q — Р) не может
быть ограничен снизу, так как | т | можно взять сколь
угодно большим.
2°. Неравенство I (Р) >0 выполняется для всех Р GE ф
тогда и только тогда, когда точка е° = (с°}о~\ где
а
с% = ^uk(t)dk(t) (k = 0,1, ..., п ~ 1),
с
принадлежит телу Й (—[i, ^i).
В самом деле, неравенство E.14) равносильно неравенст-
неравенству
которое выполняется для всех Р ?Е $ тогда и только тогда,
когда точка — с0 принадлежит телу Й (—[а, ^а). Так как
тело Й (—[а, (а) симметрично относительно точки 0, то
— с0 ?Е & (—щ \л) тогда и только тогда, когда с0 ?Е
?= i?(—}а, ^а), что и требовалось доказать.
Критерий единственности и правило построения мини-
минимизирующего многочлена легко указать, если дополни-
дополнительно потребовать, чтобы функции {ик (t)}™'1 образовы-
образовывали ^-систему на [а, Ь], а функция й {t) на [а, Ь] была
ее ^-продолжением (см. п.З). При этих условиях имеет
место

5 5] ОБ ОДНОЙ МИНИМУМ-ПРОБЛЕМЕ 357
Теорема 5.3. Обобщенная задача Поссе имеет
единственное решение тогда и только тогда, когда
с°е Int ®{—ц, \i).
Если с0 ЕЕ Int & (—(х, |х), то для отыскания минимизи-
минимизирующего многочлена можно повторить рассуждения п. 3 с
тем лишь отличием, что интегралы, содержащие dk (t),
следует брать по [с, d]. В этом случае минимизирующий
многочлен единственный.
Если же с0 GE д& {— \i, \i), то функция s (t) имеет т <
< п точек разрыва и, добавляя точки 9т+1, ..., 9П, можно
с помощью предельного перехода получить многочлены,
удовлетворяющие условиям E.4) и E.5). Таких многочле-
многочленов сейчас бесчисленное множество и все они минимизи-
минимизируют / (Q — Р).
Как уже указывалось, рассмотренная задача возникла
как обобщение задачи К. Поссе [1], относящейся еще к
1880 г., о нахождении алгебраического многочлена Р (t)
степени п со старшим коэффициентом, равным единице,
минимизирующего функционал
E.15)
Для этого случая условия существования минимизи-
минимизирующего многочлена согласно теореме 5.2 состоят в том,
что для последовательности {(bk+l — ak+1)/(k -\- 1))о~г раз-
разрешима степенная (—L, ?)-проблема (L = 1); это можно
проверить алгебраическими средствами (см. п. 2 § 2). Ал-
Алгебраическими средствами также можно обойтись при
построении минимизирующего многочлена, так как в ко-
конечном счете для этого нужно построить (—L, ?)-главное
{L = 1) представление указанной последовательности
(см. п. 1 §3).
Отсюда следует, в частности, что для любого а сущест-
существует такое максимальное р\ что при а < Ъ < р задача
Поссе имеет, и притом единственное, реЩение.
Во времена К. Поссе методы, которыми мы пользова-
пользовались, еще не были разработаны. В своем мемуаре он
с помощью эллиптических функций и обратных к ним
записал соотношение между а и Ь, достаточное для суще-?
ствования минимума в его задаче, выразил в явном виде

358 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
минимизирующий многочлен, а также указал процеду
ру его получения с помощью алгоритма непрерывных
дробей.
Предложенный здесь метод позволяет решить более об-
общую задачу, возникающую при замене второго интеграла
в E.15) любым линейным функционалом в пространстве
многочленов степени ^ п.
§ 6. (ср,(|»)-проблема с изменяющимися моментами
1. Изменение главных представлений. Теорема о па-
параллелепипеде. В этом параграфе переносятся на случай
(ф, г(з)-проблемы основные результаты главы VI. Чтобы
показать другой возможный подход к тем же вопросам,
мы получим эти результаты иным путем, без использова-
использования теорем §§ 4—6 главы I об упорядоченно выпуклых
множествах и изотонных функциях.
Во многих случаях нам удобно считать, что (ф, "ф)-проб-
лема сведена к @, ?)-проблеме, как это сделано в п. 1 § 1.
Геометрически указанные там преобразования равносиль-
равносильны параллельному переносу осей в «пространстве момен-
моментов», так что нужные нам свойства тела 5? (ф, tJj) при этом
сохраняются. Так как функция % (t) строго возрастает и
непрерывна, то после замены переменной т = у- % (t)
Г+-система в интервале а < t <C Ь преобразуется в Г+-си-
1 1
стему в интервале у- % (а) < т < у % (Ь); при такой за-
замене характер изменения начал и концов т^-интервалов
(возрастание или убывание) сохраняется.
О системе {ик (t)}o будем предполагать, что она есть
5Г+-система в интервале (а, Ь).
Теорема 6.1. При увеличении (—1)п~"ск (к = О,
1, ..., п) внутренние ^-интервалы нижнего главного пред-
представления последовательности {ск}о сдвигаются вправо,
внутренние ty-интервалы верхнего главного представления
сдвигаются влево. При этом:
в случае п = 2v — 1 ^-интервал верхнего главного
представления, примыкающий к точке а, увеличивается,
а ^-интервал этого представления,примыкающий к точке Ь,
уменьшается;

§ б] (ф,1|))-ПР0БЛЕМА С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ МОМЕНТАМИ 359
в случае п = 2v ^-интервал нижнего главного представ-
представления, примыкающий к а, и ^-интервал верхнего главного
представления, примыкающий к Ъ, увеличиваются.
Доказательство. Докажем теорему, напри-
например, для нижнего главного представления при п = 2v,
считая dcp = О, di|) = Ldt.
Это представление имеет вид
$*(*)* (А = 0,1,...,п). F.1)
3=0 |j
Здесь \j — начала, t|j — концы L-интервалов,
Ео = а < Т1О < 1г < х\г < .. . < |, < т)„ < Ь.
Для Р (t) — 2v-kUn(t) из F.1) следует:
о
2v ч 2з'
s I ^К'^к ~~ ¦" / i \ * (tj C^t
Jc=o j=o Ц
и, стало быть,
2v v v
2 ajfdcic = L \ 2 jP (Лз) dv\j — 2 ^ (h) ^h ) •
Чтобы выяснить, как изменяется ЗЬ при изменении мо-
моментов ск, построим многочлен Р (t), удовлетворяющий
условиям:
Р(%) = 0 (/ = 0,1,..., i - 1, i + 1 v),
F.2)
Для такого многочлена
Так как L ^> 0, то поведение r\t при изменении ct определя-
определяется знаком коэффициента а,,.. Так как система {и^ (?)}§*
есть 5Г+-система, то, как легко проверить, (—1)а"-как ^> 0.

360 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
В самом деле, условиям F.2) удовлетворяет многочлен
/ и,
Р (А = \ 1" ll !]i • • • гг t . . . gv Tjv
^ ' /Uo Uj U2
Знаменатель этой дроби и миноры элементов ик (t) в
числителе положительны. Элемент ик (t) находится на пе-
пересечении к + 1-го столбца и 2i -\- 1-й строки, поэтому
sign ак = (—1)* = (—IJ"-*, т. е.
. Следовательно, при увеличении (—I)**-* Cfe величины
Дг увеличиваются. Аналогично, построив многочлен
"о Mi М-2 U2v-1 U2v
т]п Si Tji . . . t ту . . |v T)v
y'Uo Ml U2
Д
убедимся, что также и
Аналогично рассматриваются остальные случаи.
Замечание 6.1. Теорема 6.1 выясняет характер
поведения начал и концов т^-интервалов главных представ-
представлений при изменении всех моментов. Если же интере-
интересоваться их зависимостью только от одного момента
С/,, то тот же результат мы получим, если потребуем толь-
только, чтобы система функций uo(t), ux(t), ..., un(t) была
Г+-системой и оставалась таковой после удаления одной
функции ик (t).
Теорема 6.2. Если с увеличением (—1)п~нск точка
с Е= Int & (ф, i|)) совпадает с граничной точкой с* тела
® (ф| 'Ф)> У которой индекс представления равен п, то при
л = 2v — 1 сливаются ^-интервалы (|;-, \\j) и (|;-, r\j) (/ =
= 4, 2, ..., v) и исчезает ^-интервал (a, ff0); при п =

§ 6] (ср,1|>)-ПР0БЛЕМА С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ МОМЕНТАМИ 361
= 2v сливаются ^-интервалы (?;_!, r\j-i) и (gy, r\j) (j = 1,
2, ..., v — 1). При тех же условиях с уменьшением (—l)n"ft ск:
тг/ж ?г = 2v — 1 сливаются ^-интервалы (?;, т]у) и
(^¦-j, Tf^-i) (/ = 1, 2, ..., v) и исчезает ^-интервал (gv, fe);
при п = 2v сливаются ^-интервалы (Jy, r|j) м
A,м Л;) (/ = 1, 2, ..., v) иисчезают(а, tj_0) м (gv+i, &).
Доказательство. Рассмотрим, для определен-
определенности, случай п = 2v — 1.
Для внутренней точки с тела 5? (ср, i|)) для всех / =
= 1, 2, ..., v должны быть строгие неравенства |,- < ?j и
т]у < т[у. При увеличении (—\)п~кск точки |;- и |у движут-
движутся навстречу друг другу. Следовательно, существуют
пары предельных значений ?j- s^ |j и t]j ^ x\] и совпа-
совпадение хотя бы одной пары предельных значений означает,
что с попадает на границу & (ср, i|)). Так как координаты
граничной точки с* имеют единственное представление,
то пары предельных значений совпадают сразу для всех
/ = 1, 2, ..., v. Допустив, что индекс представления ко-
координат равен п, докажем, что ни один 1|)-интервал этого
представления, за исключением а|)-интервала, примыкаю-
примыкающего к а, не вырождается в точку. Действительно, если
хотя бы один внутренний 1|)-интервал в пределе выродился
в точку, то индекс представления координат с* оказался
бы не больше п — 1. Поэтому в точку должен выродиться
только (один) ^-интервал, примыкающий к а или к Ь.
Но при увеличении (—\)n~kck увеличивается 1|)-ин-
тервал верхнего главного представления, примыкающий к
точке Ь, а 1|)-интервал этого представления, примыкающий
к а, уменьшается. Следовательно, в точку вырождается
только этот последний ^-интервал. Теорема доказана.
Теорема 6.3. Если точки а = {ак}^ и Ь = {Ък}^
где
(-1)^*0» < (- 1)«-*Ь» (к = 0,1, . .., п),
принадлежат телу & (ср, <ф), то весь параллелепипед 31 —¦¦
= 3 [я, Ь], определяемый неравенствами
(- 1)"-*^ < (- 1)»-* ск < (- 1)"-*^,
принадлежит телу & (ф, i|)).

362 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Доказательство. Пусть точка с*, лежащая
внутри Ж, находится на границе й (ср, i|)). Можно считать,
что индекс представления ее координат равен п, ибо та-
такие точки имеются в любой окрестности точки с меньшим
индексом представления. Кроме того, не ограничивая общ-
общности, можно считать, что а и 6 находятся внутри &(cp,i|)).
В силу выпуклости & (<p,ty) отрезки ас* и с* 6 состоят из
внутренних точек & (ср, я|з) (исключая, естественно, с*).
При движении точки с к с* по отрезку ас* числа (—1)п'к ск
не уменьшаются, при движении с к с* по с*Ъ числа
(—i)n~hck не увеличиваются. Из теоремы 6.2 получаем, что
последовательность {cl-}o допускает два различных пред-
представления индекса п, что невозможно. Теорема доказана.
2. Экстремальные значения интеграла по всему ин-
интервалу Предположим, что системы функций {ик (?)}о и
и0 (t), ..., ип (t), Q (t) — ? ^-системы в (а, Ь).
Теорема 6.5. Наименьшее (соответственно наи-
наибольшее) значение интеграла
ь
§Q(t)do(t) F.3)
а
при условиях
h
(- lf-Ч<(- V^h SЩ(t)da (t) < (- 1)*-*Ьь (к = 0,1,...,и)
а
dff ^.da ^di|),
где {й/с)о и {Ь№}о ЕЕ & (ср, t|)), достигается на нижнем
(соответственно верхнем) главном распределении последо-
последовательности {ак}1 (соответственно {bk}").
Доказательство. Каждой точке eg3k Ы
отвечают наименьшее / (с) и наибольшее / (с) значения
интеграла F.3) на совокупности V (с; ср, чр):
F.4)
= \Q(t)da(t),

§ б] (ф,1]))-ЙР0БЛЁМА С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ МОМЕНТАМИ ЗбЗ
где a (t) и о {t) — соответственно нижнее и верхнее главные
распределения последовательности с = {
Наряду с последовательностью моментов
с0, с1(.. ., ск_г, ск, ск+1,..., сп F.5)
относительно системы функций
"о (*). Mi (О» • • •. Mk-i @- "/с @. "л+1 (*), • • •. "п @ F-6)
рассмотрим последовательность моментов
со, сь ..., с,_!, (- 1)"-* J (с), с,+1,..., сп F.7)
относительно системы функций
щ (t), щ @,. . ., мй_! (t), (- l)n-kQ @, и»+г (*),..., ип (*). F.8)
В силу F.4) обе последовательности, F.5) и F.7),
имеют одинаковые нижние главные представления. Обе
системы функций, F.6) и F.8),— У+-системы и остаются
таковыми после удаления соответственно функций ик (t)
и (—I)»-* Q (?). Поэтому если увеличить (—!)"•-* ск, то
ijj-интервалы распределения д_ (I) сдвинутся вправо. Для
того чтобы сохранилось совпадение нижних главных пред-
представлений последовательностей F.5) иF.7), величина /(с)
также должна увеличиться. Таким образом, если все
величины (—l)n-f cK не убывают, то величина / (с) также
не убывает. Аналогично доказывается, что / (с) не убы-
убывает, когда все величины (—i)n~* ck не убывают.
Для завершения доказательства теоремы достаточно
заметить, что для любой точки с ЕЕ Ж величины (—l)n-f ck
не убывают на ломаной (лсЪ.
3. Экстремальные значения интеграла по части ин-
интервала. Для внутренней точки с тела к (ср, ty) и заданного
т (а <С т < Ь) существует, и притом единственное, кано-
каноническое представление, для которого т является началом
¦ф-интервала, и единственное каноническое представление,
для которого т является концом 1|)-интервала. Геометри-
Геометрическое место точек eg & (ср, i|)), для которых т является
началом (соответственно концом) ^-интервала главного
представления, будем называть ^-главной (соответственно
т]-главной) поверхностью. Если главное представление —

364 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЯ. VII
нижнее (верхнее), то ?- и т]-главные поверхности обозна-
чаются Г Ш (Г ("!)) и Г (tj) (Г (т})).
Все свойства ^-главных поверхностей конуса К (U)
(теоремы VI.4.1, VI.4.3) сохраняются для ^-главных и
т)-главных поверхностей тела & (ф, 1|з), только каждое из
этих свойств нужно формулировать отдельно для ?-глав-
ных и отдельно для г|-главных поверхностей. При доказа-
доказательстве этих свойств нужно вместо теоремы VI.3.1 поль-
пользоваться теоремой 6.1.
Займемся экстремальными значениями интеграла по
части интервала. Относительно функций {ик (f)}o и Q (t)
сохраняем требования п.1 § 5 г^вы VI (заменяя замкну-
замкнутый интервал [а, Ь] открытым интервалом (а, Ъ)).
Каждой точке с ЕЕ Int 5? (ф, <ф) соответствует наимень-
наименьшее /nun (с) и наибольшее Imax (с) значение интеграла
где а <i х <С Ь, а а (t) пробегает V (с; ф, 1|з). Величина
/miii (с) (соответственно /,Пах (с)) достигается на канони-
каноническом распределении а (t), имеющей ф -интервал с нача-
началом (соответственно с концом) в точке т (теорема 4.1).
Теорема 6.6. Пока каноническое представление
последовательности с = {cfc)o с началом (соответственно с
концом) ^-интервала в точке х остается нижним х), /min (с)
не увеличивается (соответственно /Шах {с) не уменьшается),
когда величины (—l)""*^- не уменьшаются.
Пока каноническое представление последовательности
с — {с^}о с началом (соответственно с концом "^-интерва-
"^-интервала в точке х остается верхним, 1ты (с) не уменьшается
(соответственно /Шах (с) не увеличивается), когда величи-
величины (—1)пНс С/; не уменьшаются.
Доказательство. Будем предполагать, что
(ф, 1|))-проблема сведена к @, Ь)-проблеме.
Пусть, например, п = 2v — 1 их является началом
ф-интервала (т = Ъ,\>) нижнего канонического представ-
представления.
*) Каноническое представление называется верхним или нижним
в соответствии с тем, имеет оно или ее имеет ф-интервал, примыка-
примыкающий к точке Ь.

1 (ф,Ч»)-ПРОВЛЕМА С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ МОМЕНТАМИ 365
Тогда ц-1 fli
шш \У) — ¦" ^j 1 ьй ^ь 1 cit- ^q —— hi
3=0 ?j
2V-1
J=0
Построим многочлен Р (t) = 2
о
ющий условиям
P(lj) = Q(U (j = 1,2,.
Р (г)^ = Q (я,-) (/ = 0,1,..
@» удовлетворя-
. ,ьг — 1),
., и- — 1).
Для такого многочлена
I'(t)dt
з=о 5,-
Если мы покажем, что (—1)п~к ак ^ 0 (fc = 0, 1, ..., п),
то тем самым будет установлена требуемая зависимость
/min {с) от (—1)"~*ск. Нетрудно проверить, что
М
u, (*) ... u^^ (
«o (T)n) U! (rj0) . . . uav_x I
«o (b) "] (SO ¦ • • m2v-i I
• ¦S-i(Vi)Q(Vi'
"О (Т)^) Ui (ri^) .
 A1,) 
V
U2
1v

366 Проблема йаркова tot. vu
21
Рассмотрим многочлен QK (t) = 2 Pju; {t), который полу-
j=o,jVk
чается из определителя, стоящего в числителе, в резуль-
результате вычеркивания строки и столбца, содержащих щ (ц^).
Легко видеть, что знак ак совпадает со знаком числа
(—1)Ч?а (чЦ1)- Так как п — 2v — 1, то неравенство
(—1)П-А ак ^ 0 равносильно неравенству Qk (т]^) 1> 0. Пос-
Последнее неравенство вытекает из того, что функции
и0 (t), ..., ик-г (t), uk+1 (t), ..., un(t), Q (t) удовлетворяют
условиям леммы IV.3.2 и многочлен Qk(t) обладают сле-
следующими свойствами:
4 = Q&) (/==1,2 1х —1),
= Q(T1,-) (/ = 0,1 |А — 1),
4" & (*Ь) = 0
где
. 1 Щ Щ • • • ик-х и-к+1 . . . Щч-Л
\ Ло Si • • • Ч^г S^+i • • • Л* /
Основываясь на этой лемме, можем заключить, что
Qic (i\v) > 0- Так же рассматриваются остальные
случаи.
В дальнейших рассуждениях нужно учитывать одну
особенность, отмеченную в замечании 4.1, из-за которой,
отыскивая наибольшее значение /Шах (с) в Ж, нужно сле-
следить за пересечением 31 с т]-главной поверхностью, и отыс-
отыскивая /min (с), — за пересечением Ш, с ^-главной поверх-
поверхностью. Доказательства теорем 6.7 и 6.8 с учетом этого
обстоятельства несущественно отличаются от доказательств
аналогичных теорем VI.5.2. и VI.5.3.
Теорема 6.7. Наименьшее (наибольшее) значение
интеграла (а < г < Ь)
J Q (*) da (*) F.9)

§ 61 (ф,1]))-ПРОБЛЕМА С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ МОМЕНТАМИ 367
при условиях
ъ
(-1)"-* ак < (- 1)п'к J щ (t) do @ < (-l)n-fc6fc
F.10)
достигается:
1) в точке а, если в ней
(о) ири n = 2v — 1 или|ц (а)<t<|^(а)
при п — 2v (соответственно г\^г (а) <^ х <^ % (о) при ге =
= 2v — 1 мдц rjn (а) < г < т],,. (а) при п = 2v);
2) в точке Ь, если в ней
ЫЬ)<т<Л».(Ь) при n = 2v-l ми|п-1(&)<^<|^(&)
при re = 2v (соответственно т]^ F) <^ t <^ т],,. (Ь) при п ==
= 2V — 1 МЛи TJji-! (&) <С f <С TllA (^) П?" П = ^V)'
Если параллелепипед Ж пересекается с ^-главной
(т]-главной) поверхностью, то наименьшее (соответственно
наибольшее) значение интеграла F.9) при условии F.10)
достигается на этом пересечении.
Наложим на функции {ик (?)}? и Q (t) те же дополни-
дополнительные ограничения, которые накладывались на них пе-
перед формулировкой теоремы VI.5.3. При этих условиях
справедлива следующая теорема:
Теорема 6.8. Если параллелепипед Ж пересека-
пересекается с ^-главной (ц-главной) поверхностью, то наименьшее
(соответственно наибольшее) значение интеграла F.9) при
условиях F.10) достигается в точке пересечения Г (g) (Г (tj))
с ломаной аоах. .. оп+1 или в точке пересечения Г (|) (Г (т])) с
ломаной bobi.. . ftn+i-
4. Одна минимум-проблема. Теорема о параллелепипеде
позволяет решить задачу, обобщающую (^, }д.)-проблему.
п
Зададим параллелепипед Ж- Многочлен P(t) =2
о

368 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
отнесем к совокупности fyw, если найдется точка
п
, для которой2а/А = 1, такчтоф^г= [}
о
У.6.1. Бели О ?Е Int Ж, то точки а = {ак}'^, координаты ко-
которых служат коэффициентами многочленов Р (t) ЕЕ Фж-i заполняют
внешность полиэдра, дуального по отношению к Ж.
Указание. Воспользоваться У.Т.2.3 и тем, что точки а =
= fafjg, координаты которых служат коэффициентами многочле-
многочленов Р (t) S Ч$с заполняют гиперплоскость, которая проходит через
точку е/| с |2 ортогонально вектору Ос.
Предполагая, что функции {ик (?)}о образуют бТ-систе-
му в интервале {а, Ь) и что параллелепипед Ж задан не-
неравенствами
(- l)n-*ok<(- 1)"-Ч <(- 1)П-Ч (й = 0,1,..., га),
получим следующую теорему:
Теорема 6.9. Для нахождения минимума функцио-
функционала
на ф«?- достаточно найти его минимумы на фа и фь и
выбрать из них наименьший.
Доказательство. В соответствии с п. 2 § 5 минимум
1{Р) на фс равен i/D{c), где D (х) — масштабная функция
тела ф (X — (х, % + (х). Поэтому минимум / (Р) на ф_^ равен
I/max D (С). Так как {^ («)}" —5Г-система, то тело
^Ж
— [д,; X r\- (j,) обладает марковским свойством, вследствие
чего (см. теорему 1.5.4)
max D (с) = max {D (a), D (&)},
что и доказывает теорему.

§ 7] ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ 369
§ 7. Одно обобщение (^,?|))-проблемы и задача
об оптимальном управлении
1. Обобщение (tp, ^-проблемы. В этом параграфе мы
несколько отступим от принятых обозначений с тем, что-
чтобы приблизить их к обозначениям, обычно употребляе-
употребляемым в теории оптимального управления.
Пусть заданы тг-мерный вектор-столбец с = {сл}™, не-
непрерывная матрица-функция С (t) (a ej t $J Ъ) с re стро-
строками и г столбцами и семейство V (t) (а ^.Л ^ Ъ) выпук-
выпуклых замкнутых тел r-мерного пространства. В дальней-
дальнейшем мы подчиним это семейство дополнительным ограни-
ограничениям. Задача, которой мы будем заниматься, состоит в
следующем: при каких условиях существу ют r-мерные век-
вектор-функции v (I) такие, что v (t) (EEl.V (t) (a ^ t ^Z b)
и имеет место представление
с =- } С (t) v {t) dt.
a
В частном случае, когда г = 1 и множество V (t) задается не-
неравенством Ф (*) < v < ? (t), где Ф (t) и ? (г) (Ф (г) < ? (г))
интегрируемы на [а, Ъ), эта задача сводится к (<р, ф)-проблеме, где
йф (*) = Ф (t) dt, eftj) (г) = W (t) dt.
Пусть X — произвольный re-мерный вектор-столбец.
Так как каждое тело V (t) выпукло, замкнуто и ограниче-
ограничено, то существует v ЕЕ V {t), на котором линейная отно-
относительно v форма (к, С (t)v) принимает максимальное зна-
значение. О множествах V (t) мы предположим, что а) для.
почти всех t ЕЕ [а, Ъ] эта форма принимает максимальное
значение на единственном элементе v — v (t; Vj ЕЕ V (t),
так что
(К, С (t) V (t; %)) = max (К, С (t) v);
б) при каждом X функция v (t; К) интегрируема по t.
Пусть, например, тело V (t) задается неравенствами
W < »j < Ф?) (t) (/ = 1,2, ... г), G.1)
где Ф^ (;) (/ = 1, 2, . . ., г; г = 1, 2) — непрерывные на [а, Ь]
функции.
Для того чтобы форма (X, С (t) v) = (С* (t)k, v) достигала
максимума на единственном элементе v ? V (t), необходимо

370 ПРОБЛЕМА МАЙКОВА [ГЛ. VII
и достаточно, чтобы r-мерный вектор С*(г))^ не был ортогонален
никакому ребру параллелепипеда G.1). Иными словами, вектор
С*(?)^ не должен иметь нулевых координат. Значит, в рассмат-
рассматриваемом случае условие а) будет выполнено, если при любом h нет
интервала, на котором одна из координат r-мерного вектора С* (t)%
равна нулю.
Множество значений t, в которых ни одна координата вектора
C*(t)^ не обращается в нуль, является объединением не более чем
2Г непересекающихся открытых множеств r$k, в каждом из которых
координаты вектора v (t; ^) суть
<D(ii) (i)> ф(« (t)> . . ., ф<1г> {t) {t e gg,
где iii г2,..., ir — фиксированная система индексов, принимающих
значения 1 или 2.
Иначе говоря, при всех 1??ц значение функции v (t; к)
совпадает с одной и той же вершиной переменного параллелепипеда
G.1). Это, в частности, означает, что v (t; X) интегрируема.
Для (ф, ф)-проблемы (г = 1) множества Щ\ и й состоят
соответственно из ф- и ip-интервалов.
Пусть два интервала, принадлежащие разным множествам $ft
и Ч?{, имеют общий конец. Пользуясь терминологией теории опти-
оптимального управления, этот общий конец назовем точкой переклю-
переключения функции v (t; h) и также ее соответствующей координаты.
В случае (ф, 1р)-проблемы точка переключения — это точка,
отделяющая ф-интервал от 1()-интервала.
Каждая координата n-мерного вектора С*(г)^ есть линейная
комбинация элементов соответствующего столбца матрицы С (t).
Поэтому, если элементы какого-либо столбца матрицы"-С (t) являются
многочленами некоторой Т-системы х), соответствующая координата
функции v(f, h) имеет не более п— 1 точек переключения.
В самом деле, пока все координаты вектора C*(t)h отличны
от нуля, максимум формы (C*(t)"k,, v) достигается в одной и той же
вершине параллелелепипеда G.1). Следовательно, точками переклю-
переключения могут быть только те значения t, при которых хотя бы одна
из координат вектора С*(?)^ обращается в нуль. Остается вспом-
вспомнить, что линейная комбинация функций, образующих Т-систему
порядка п — 1, обращается в нуль не более чем при п — 1 значе-
значениях t.
Внимание, которое мы уделили функции v (t; k), оп-
оправдывается следующими двумя теоремами и их примене-
применениями.
Теорема 7.1. Для того чтобы п-мерный вектор с
допускал представление
ь
v{t)dt9 G.2)
ь
= \C(t)
Эта система имеет порядок п —

§ 7] ЗАДАЧА OB ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИЙ 3?1
где »(f)?F B), необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждого п-мерного вектора X имело место неравенство
{I, с)< $ {I, С (t) v {t; %)) dt G.3)
а
Доказательство1). Необходимость непосред-
непосредственно вытекает из представления G.2) и определения
функции v (t; К). Докажем достаточность.
Через & обозначим множество тех с, которые допуска-
допускают представление G.2). Как обычно, доказывается, что
& — выпуклое замкнутое ограниченное n-мерное тело.
Пусть G.3) имеет место для любого К, но с §Ё &. Тог-
Тогда существует гиперплоскость
(V х) = р,
отделяющая с от &, причем можно считать, что для х ЕЕ й
тогда как
(Хо,с)>р. G.5)
Положим
ь
$(t)v(t; lo)dt.
Тогда жое^ и в силу G.4) и G.5)
{h0, с) > {К, Хо),
т. е.
ь
что противоречит G.3). Теорема доказана.
Теорема 7.2. Точке с ?Е 35? отвечает единст-
единственное представление G.2). В «ел* #(?) = # (Z; ^0), где^0 —
нормальный вектор гиперплоскости, опорной к ® в с,
содержащийся в том же полупространстве, что и &.
х) Внимательный читатель заметит, что доказательство теоре-
теоремы 1.2 только деталями отличается от доказательства теорем 7.1
и 7.2.

372 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
Доказательство. Пусть
ъ
c = ^C{t)v (t) dt
а
какое-либо представление граничной точки с ЕЕ &.
Проведем через эту точку опорную гиперплоскость
(Хо, х) = (К, с),
считая, что для точек х ЕЕ &
(К,х)^(К,с). G.6)
Докажем, что v (t) = v (t; Ko). Действительно, если
v (t) отличается от v (t; К) на множестве положительной
меры, то на этом множестве
(h,C(t)v(t;ko))>(lo,C(t)v(t)),
так что
ь ь
J (К С (*) v (t; *,„)) dt > J (^, С {t) v (t)) dt.
a a
Если положить
ь
Co = lC(t)v(t;bo)dt,
a
то последнее неравенство запишется в виде неравенства
{К "о) > (Ьо, с),
которое противоречит G.6), так как е0 ее ®.
2. Оптимальное управление по быстродействию. Пусть
задана система дифференциальных уравнений
-Z
где A (t) и В (t) — непрерывные матрицы-функции раз-
размеров соответственно п X п и п X г; х = х (t) — иско-
искомый п-мерный вектор (траектория), v = г? (?) е= V (t) —
r-мерный вектор — так называемое управление.
Каждому допустимому управлению v (t) отвечает впол-
вполне определенная траектория х (t) (х @) = х0).

§ 71 ЗАДАЧА ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ 373
Задача оптимального управления системой G.7) со-
состоит в том, чтобы подобрать управление, которому отве-
отвечает оптимальная в том или ином смысле траектория.
Рассмотрим задачу о быстрейшем попадании в начало
координат из заданного начального состояния х0 (задачу
об оптимальном быстродействии).
Пусть выпуклые замкнутые равномерно ограниченные
r-мерные тела У (t) удовлетворяют условиям а) и б) п.1.
Кроме того, будем предполагать, что О ЕЕ V (t) при всех
t. Функция v (t) называется допустимым управлением,
если v (t) интегрируема и почти всюду v (t) ее У (t). Уп-
Управление v (t) переводит х0 в 0, если соответствующая v (t)
траектория х (t) попадает в начало координат при некото-
некотором t = Tv : х (Т„) = 0.
Задача об оптимальном быстродействии формулирует-
формулируется следующим образом:
Среди всех допустимых управлений v (t), переводящих;
х0 в 0, найти такое, для которого время перехода Tv при-
принимает наименьшее значение.
Для положительного числа Т через &т обозначим
множество тех ж0, которые переводятся допустимыми уп-
управлениями в 0 за время sC Т.
Пусть Л (t) — матрица-функция п-то порядка, удов-
удовлетворяющая условиям:
где / — единичная матрица. Тогда, как известно, реше-
решение х (t) уравнения G.7) при заданном управлении v (t)
определяется по формуле
t
x(t) = X (t) \x0 + J X-1 (t) В (t) v (t) dt] .
L о J
Отсюдая ясно, что управление v (t) переводит х0 в 0 га
время <; Т тогда и только тогда, когда г)
т
х0 + ^ Х-1 (t) В (t) v @ dt == 0,
о
иными словами, 5?т состоит из тех и только тех точек х0,
х) Если перевод осуществляется за время Ti < Т, то можно
положить v (t) = 0 при Т > Тъ

374 ПРОЁЛЙМА МАРКОВА (рЛ. Vlt
которые допускают представление
т
(v(t)^V(t)), G.8)
где С @ = -Л'1 (t)B (*).
Таким образом, 8Т есть выпуклое замкнутое ограни-
ограниченное тело. Критерий принадлежности точки ас0 телу
&т (теорему 7.1) можно теперь сформулировать так:
Для того чтобы существовало допустимое управление,
переводящее х0 в 0 за время ^ Т, необходимо и достаточно,
чтобы для всех К имело место неравенство
dt.
¦ Ясно, что ®Tlcz &т, при jTi<jT2-
Объединение всех ®Т есть область управляемости Й —
это множество всех начальных положений х0, которые мож-
можно за счет допустимых управлений перевести в 0.
Пусть х0 ЕЕ ^. Обозначим через То нижнюю грань
тех Т, для которых х0 ?Е ®т- Легко понять, что То —
минимальное время, за которое х0 можно перевести в 0 и
что х0 находится на границе &т„.
На основании теоремы 7.2 отсюда заключаем, что для
каждого х0 ЕЕ & существует единственное оптимальное
(по быстродействию) управление. Это управление задается
формулой v(t) = v(t; Ко), где к0 — нормальный вектор
гиперплоскости, опорной к йу0 в точке х0, и лежащей
в том же полупространстве, в котором находится &т0-
В случае, когда множества V (t) задаются неравенст-
неравенствами G.1), структура оптимального управления v (t; Ko)
нами уже описана.
В заключение укажем условия, при которых элементы каждого
столбца матрицы С (t) ~ — X*1 (t) В (t) являются многочленами
некоторой Г-системы. Именно, это справедливо, если матрицы^
и В в уравнении G.7) постоянны и все собственные числа матрицы
А вещественны.
Действительно, если А — постоянная матрица, то X (t) — е ,
а матрица X'1 (t) = e~ есть матрица, столбцы которой образуют
фундаментальную систему решений уравнения

§ 7] ЗАДАЧА ОВ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ I575
Каждому собственному числу kj матрицы — А кратности г,-
отвечают rj линейно независимых столбцов матрицы X-1(i) вида
ahPk (t) е Э , где ah — постоянный вектор, Ph (t) — алгебраический
многочлен степени не выше гу — 1 (к — 1, 2,..., rj). Поэтому каж-
каждый элемент матрицы С (t) = —X'1 (f) В есть линейная комбина-
комбинация функций
еЧ te^< Г', «Ч . . ., еV, teV , . . ., trP~\ eV
(п + r2 +...+ rp = п), которые образуют Г-систему порядка
п — 1.
Отсюда следует предложение, обобщающее известную теорему
А. А. Фельдбаума [1].
Если матрицы А и В постоянны, все собственные числа матрицы
А вещественны и управления подчинены условиям
Ф'-1} @ < Vj @ < If} (*) (/ = 1,2 г),
то каждая координата оптимального по быстродействию управле-
управления имеет не более п — 1 точек переключения.
Если г = 1 и элементы матрицы-столбца С (t) образуют Г-сис-
Г-систему, то предложение о числе точек переключения сводится к теоре-
теореме 3.1 о том, что (ф, ^-представление граничной точки тела
Ж (ф, я|з) С -R" имеет индекс < п — 1.
У.7.1. Пусть задана непрерывная вектор-функция и (t) =
= {wft'(J)}™ (ti «С t <^ t2). Следующие утверждения эквивалентны:
а) Функции {uh (i)}™ линейно независимы на [h; t2].
ft
б) Матрица W = \ и (t) и* (t) dt невырождена.
ti
в) Каждая точка с е Вп допускает представление
с = I и (t) 0 (t) dt, где 0 (i) — некоторая непрерывная функция.
Указание. Использовать У.1.3.2; матрица W есть мат-
матрица Грама системы {и^ (t)}^, если положить (м., и,) = \ u^{t)u-(t)dt,
У.7.2 (Р. Канал [1]). Система
~dT = Ax + bv
называется вполне управляемой, если для4 любого х0 ?Е Вп и произ-
произвольного интервала [h, ?,] существует непрерывное управление
v (t), для которого решение системы х (t), удовлетворяющее условию
х (ti) = х0, удовлетворяет также условию х (t2) = 0.

376 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. "VII
Система вполне управляема тогда и только тогда, когда мат-
матрица
U
W (h, t2) =-- Г eAibb\Andt
h
невырождена при любых t\ Ф t2 х).
Исторические комментарии и примечания к главе VII
1. Исследования по (гр, ф)-проблеме начинаются с мемуара
А. А. Маркова [9]. В этом мемуаре, предполагая, что для степен-
степенной @, ?)-проблемы имеется решение, отличное от @, ^-канони-
^-канонического, А. А. Марков получил алгоритм эффективного построения
(О, LJ-канонических представлений и с их помощью указал правило
решения новых задач об экстремалышх («предельных») значениях
интегралов (их обобщения приведены в §§ 3, 4). При этом он необы-
необычайно искусно использовал аппарат непрерывных дробей: в его
алгоритмах участвовали подходящие дроби непрерывных дробей,
получающиеся из разложений (*) (гм. стр. 377).
Хотя уже эти исследования Л. А. Маркова оказались весьма
важными, в течение многих лот па них не обращали внимание,
и оставалась неразгаданной природа того оригинального аппарата
разложений в непрерывную дробь «замысловатых» выражений, со-
содержащих интегралы в показателях.
Теоретико-функциональное объяснение этой стороны исследо-
исследований А. А. Маркова дано было Н. И. Ахиезером и М. Г. Крейном
в их совместных работах [1—3], подытоженных в монографии [4].
Теоретико-функциональная точка зрения па исследования
А. А. Маркова и систематическое использование аппарата квадра-
квадратичных форм позволили усовершенствовать и обобщить эти иссле-
исследования А. А. Маркова в различных направлениях. В частности,
удалось получить критерий разрешимости (с, С)-проблемы (на языке
симметрических и эрмитовых форм и алгоритмы построения
(с, С)-канонических представлений для степенных и тригонометри-
тригонометрических моментов (см. § 2 и п. 4 § 3).
На этом же пути в цитированной книге удалось развернуть
полную теорию квадратурных формул П. Л. Чебышева [8] и
А. А. Маркова [9] типа
т
/ @ ? @ dt = К ^ {/ (Л;) - / (Ц)-
При решении своей задачи (см. п. 6 § 5) К. Поссе [1], по сущест-
существу, также рассматривал (— L, ?)-канонические представления
специальной моментной последовательности в связи с обобщением
х) В книге В. М. Попова [1] (стр. 319—323) читатель найдет
еще пятнадцать утверждений, эквивалентных этому.

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ 11 ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ Vlt 377
1 Г f(t)d.
77 J -5=Т
е-2
Г /сое
J Z—
L J z—t
* ° =1 +
z-ЪА--
1 4-
Тз
1 +
z-Ъ
г — а
Ь J z-
f(t)dt_
I
2-6
1+
1 +
¦•. J

378 ПРОБЛЕМА МАРКОВА [ГЛ. VII
задачи Коркина — Золотарева. Эта работа прокомментирована в
тексте главы (см. о ней также примечания к гл. IX).
Возможно, что все эти исследования П. Л. Чебышева,
А. Н. Коркина, Е. И. Золотарева, К. Поссе и Т. Стилтьеса (неко-
(некоторые из них он цитирует) стимулировали исследования А. А. Мар-
Маркова [9, 10]. Более того, четко и строго изложенные результаты
А. А. Маркова позволяли устранить некоторые пробелы и неяс-
неясности в работах его предшественников по (с, С)-проблеме, однако
сам А. А. Марков этим не занимался.
Отметим, что в работе К. Поссе [1] фигурирует неразобранный
и поныне вопрос о характеристике подходящих дробей разложения
в непрерывную дробь радикала У х (х — 1) (х — а) (х — Ь) A <[
< а < Ь) Здесь появляются многочлены, ортогональные по инде-
индефинитному весу и, может быть, в связи с этим исследование корней
таких многочленов заинтересовало А. А. Маркова, в результате
чего появилась его интересная работа [18].
2. Так как еще в 1886 г. А. А. Марковым была обобщена степен-
степенная проблема моментов на случай ТИ^-системы (с положительными
последовательными вронскианами; см. исторический комментарий
к гл. IV), то естественно было, что он занялся обобщением (с, С)-
проблемы на этот случай. При такой, более общей, постановке
вопроса А. А. Маркову [10] пришлось отказаться от привычного
аппарата непрерывных дробей и ограничиться только доказатель-
доказательствами существования (с, С)-канонических представлений и иссле-
исследованием их свойств.
Попутно, для получения правила нахождения экстремальных
значений интеграла по части интервала, он установил ряд интер-
интерполяционных свойств многочленов М-системы (см. леммы IV.3.1
и IV.3.2), которые и по сей день являются одними из наиболее тон-
тонких фактов теории Г-систем. В этом же мемуаре А. А. Марков отме-
отметил, что для (с, С)-проблемы никакой гладкости функций и^ (t)
и Q (t) не требуется, и что их можно считать даже разрывными, лишь
бы выполнялись условия леммы IV.3.2. Замечательно, что одно-
одновременно с (с, С)-проблемой А. А. Марков рассматривал задачу
об определении многочлена М+-системы, наименее уклоняющегося
от данной функции в метрике ?i (а, Ь) вместе с соответствующей ей
двойственной задачей из (— L, ?)-проблемы (см. У.IX.2.1).
На этом пути он пришел к общему правилу треугольной биорто-
гонализации бесконечной М-системы в пространстве Ъ\ (а, Ь)
(см. У.5.1, У.5.2). Этим самым он обобщил процедуру, которая впер-
впервые (в применении к последовательности степеней) была открыта
П. Л. Чебышевым [8]. Одновременно А. А. Марков указал еще одну
(тригонометрическую) систему функций, для которой явно выпи-
выписываются соответствующие биортогональные системы (см. У.5.2.б)).
Исследование разложений «произвольных» функций по этим
биортогональным системам началось в основном в наше время
(см. Д.5.4).
Отметим, кстати, что не только в этом вопросе А. А. Марков
вдохновлялся идеями своего великого учителя. Вновь обращаясь
к замечательному мемуару П. Л. Чебышева [8], авторы с изум-
изумлением обнаружили, что в нем П. Л. Чебышев, по существу, рас-
рассматривал (— L, L)-канонические представления в интервале (а, Ь)

ИСТОРИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ "VII 379
последовательности {ск)^, у которой все моменты с^, кроме одного
из них ci (I = 0, 1,..., га), равны нулю, и решил (на языке непрерыв-
непрерывных дробей) задачу об определении наименьшего L, при котором
такая?— L, ?)-проблема разрешима.
Обратная величина этого наименьшего L равна минимуму ин-
интеграла
U 71
Ла-
при Ai = 1. Правда, такой смысл этих исследований П. Л. Чебы-
шева мог стать ясным лишь после второго мемуара А. А. Маркова
[10], а для I = га — и после более раппих исследований А. Н. Кор-
кина — Е. И. Золотарева [1] и Т. Стилтьеса [1].
П. Л. Чебышев пришел к каноническим представлениям
своей специальной последовательности {c^}q, рассматривая отве-
отвечающее ей разложение в непрерывную дробь выражения
(х Ьг ' 1 VI Ск
'. ехр— V —. Если проделать соответствую-
х — а х
щие преобразования, переводящие (—L, Ь)-проблему в @, L)-npo6-
лему, то разложения П. Л. Чебышева перейдут в соответствующие
два разложения А. А. Маркова (всего — два, так как П. Л. Че-
Чебышев из главных представлений строил только верхнее при чет-
четном п и только нижнее при нечетном и).
3. Содержание §§ 1, 3—5 в основном заимствовано из работы
М. Г. Крейна [5], где впервые подробно излагалось намеченное еще
в его докладе [2] решение (<р, ^проблемы методом выпуклых тел.
Геометрический подход позволил, во-первых, освободиться в тео-
теории (ф, \|))-каноничоских представлений моментов от условий
А. А. Маркова дифференцируемости функций щ (t) (к = 0, 1,..., п)
и положительности их последовательных вронскианов, заменив
их единственным условием — система {и^ (г)}ц должна быть
Г-системой внутри (а, Ь), — во-вторых, упростить выводы всех
основных положений теории А. А. Маркова (с, С)-канонических
представлений и, в-третьих получить ряд дополнений.
Более подробное изложение утверждений, содержащихся в § 2
и в п. 4 § 3, имеется в книге Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [4].
4. В § 6 излагаются результаты А. А. Нудельмаиа [2, 5, 14],
являющиеся распространением на случай (ср, \|))-проблемы его иссле-
исследований, изложенных в предыдущей главе. Доказательства пуб-
публикуются здесь впервые. Ему же [6] принадлежит решение и анализ
обобщенной задачи Поссе (п. 6, § 5), а также установление связи
между «векторно-матричным» обобщением (ср, \|))-проблемы и тео-
теорией оптимальных управлений (§ 7).
Интересные применения положений теории (ср, г|))-проблемы
к техническим вопросам читатель может найти в главе VI книги
Я. Л. Геронимуса [7] и в статье Я. Л. Геронимуса и М. М. Перель-
мутера [1].

Глава VIII
ПРОБЛЕМА ЧЕБЫД1ЕВА - МАРКОВА
НА НЕСВЯЗНОМ ЛИНЕЙНОМ КОМПАКТЕ
В этой главе изучаются распределения масс а на компакте
Е d (— оо, °°), имеющие заданные моменты относительно системы
непрерывных на Е функций {и^ A)}^'-
\ k{t)do(t), @.1)
Предполагается, что компакт содержит т J> п + 2 точек.
Интеграл здесь понимается в смысле абстрактного интеграла
втилтьеса — Радона, причем под распределением масс мы понимаем
задание неотрицательной вполне аддитивной функции множеств
а [е], определенной на теле всех бороловских подмножеств е ком-
компакта Е 1).
В проблеме моментов на компакте возникают новые обстоя-
обстоятельства, обусловленные его несвязностью и наличием изолирован-
изолированных точек. В частности, обнаружилось, что наряду с фундамен-
фундаментальным понятием максимальной массы (§ 3) приобретает смысл и
значение понятие минимальной массы (§ 5).
В связи с указанными обстоятельствами становится своеобраз-
своеобразной н картина движения масс канонических нредставлещш (§§ 6, 7).
Основное внимание будет уделено двум случаям: случаю, когда
Е получается из [а, Ь] удалением конечного числа открытых интер-
интервалов, не имеющих общих концов, и случаю, когда Е представляет
собой некоторую монотонную последовательность точек, имеющую
единственную предельную точку. Это объясняется тем, что, во-пер-
во-первых, указанные случаи находят интересные приложения, и, во-
вторых, на этих случаях выясняется вся специфика канонических
представлений, связанная со структурой Е в общем случае.
Каждый из этих случаев находит применения. Приложения об-
общей теории в первом случае иллюстрируются на степенной и три-
тригонометрической проблеме моментов (§§ 2,3) и проблеме Неван-
линны — Пика в некоторых специальных классах функций (§ 9).
В § 8 реализуется та программа, которая упоминалась в § 2
главы V: показано, что интерполяционные теоремы С. Н. Бернштей-
на об абсолютно монотонных функциях на конечном интервале ес-
естественным образом вытекают из теории моментов на компакте,
х) Впрочем, этот интеграл можно рассматривать как обычный
интеграл Стилтьеса по интервалу [а, Ъ] (а = min Е, Ь = max E),
если условиться, что берутся лишь те распределения а, которые не
имеют масс в интервалах смежности компакта Е; при этом можно
считать, что функции щ (t) в них линейны.

§ 1] Т-СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ 381
состоящем из монотонной счетной последовательности точек и их
единственной предельной точки. Более того, на этом пути получает-
получается ряд дополнений к теоремам С. Н. Берпштейна (например, теоре-
теорема 8.4).
В то время как всякая Г-система на интервале [а, Ъ] может быть
нормирована в Г+-систему, для Г-системы па компакте это оказы-
оказывается не всегда возможным. Для последующих построений сущест-
существенно, чтобы данная Г-система допускала такое нормирование, и
поэтому мы сразу ограничиваемся рассмотрением Г+-систем.
Изложению их основных свойств посвящен § 1.
Понятие Г+-системы на компакте, состоящем из конечного
числа точек, оказывается связанным с понятием многогранных
конусов в Rn (конических оболочек конечной системы векторов) с
максимальным числом граней при данном числе ребер.
В случае дискретного множества Е существование главного
представления того или иного типа тесно связано с разбиением ко-
конической оболочки (соответственно выпуклой оболочки) выпуклой
ломаной на гс-реберные конусы 1) (соответственно на симплексы).
§ 1. Т-системы на компакте
1. Т-системы и Т+-системы. Для исследования прос-
простейших решений проблемы моментов @.1) в духе главы
III нужно распространить на случай компакта Е свойст-
свойства Т^-систем.
Напомним, что система непрерывных на Е функций
{w/c (t)}") называется Т-системой, если каждый многочлен
п
Р (t) = ZJ ачик @ имеет в Е не более п корней; система
о
{ии (t)}o есть Г-система на Е тогда и только тогда, когда
определитель
и0 и1 ... ип\
t0 tx ... tn )
A.1)
отличен от нуля при любых t0, tlf ..., tn E= E, среди кото-
которых нет равных;
Г-система {ик (?)}о называется ^-системой (Г_-систе-
мой), если определитель A.1) положителен (соответствен-
(соответственно отрицателен) при всех tj ЕЕ Е таких, что t0 < tx <
< ... < *„.
Если в случае Е == [а, Ь] определитель A.1) для Т-
системы сохранял знак при а ^ t0 < tx < ... < tn ^ b,
х) Напомним, что n-реберным конусом называется коническая
оболочка п линейно независимых векторов.

382 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
так что всякая Г-система была или Т^-системой, или Т_-
системой, то в случае произвольного линейного компакта
это уже не так: определитель A.1) может менять знак (не
обращаясь в нуль). Можно легко построить пример та-
такой Г-системы.
Компакт Е несвязен тогда и только тогда, когда существуют
непрерывные на нем функции s (?), принимающие только два зна-
значения, + 1 и —1.
Заключив несвязный компакт Е в интервал [а, 6], возьмем
какую-либо Г-систему {щ (?)}q на [а, Ь]. Ясно, что эта система
является также Т-системой на Е. Однако, умножив все ее функции
на непрерывную на Е функцию s (t), принимающую только два
значения, +1, и.—1, мы можем получить Г-систему {s (t) u% (?)}on
на Е, которую никаким^липейным преобразованием нельзя превра-
превратить ни в Г+-систему, ни в Г_-систему.
Рассмотрение проблемы моментов на линейном ком-
компакте позволяет перенести теорию на случай разрывных
функций щ (t), имеющих точки разрыва только первого
рода (линейчатых, по терминологии Н. Бурбаки) 1).
Пусть ? — одна из точек разрыва. Различая значения
uk (Е — 0) и uk (? -(- 0), мы можем различать точки ? — 0
и | -(- 0 и, если угодно, путем сдвижки значений t ^> |
точки ? — 0 и | -(- 0 отождествить с концами некоторого
интервала (а, |3), в котором uk (t) не определены. Проде-
Проделав это с каждой точкой разрыва, соблюдая при этом
требование, чтобы сумма длин интервалов, если их бес-
бесконечное число, была конечной, мы придем к компакту Е,
на котором функции uk (t) уже непрерывны.
2. Индекс относительно JS. Пусть дано конечное под-
подмножество S = {Ij}1^ (|х < ?2 < ••• < ?j>) компакта Е>
не совпадающее с Е- Выберем последовательность Ж =
= {tk}\ cz E \ S(g = 1, 2, ...), с каждым членом которой
свяжем знак +. С точками |у ЕЕ 3 будем произвольно
связывать знаки + или —.
Наибольшее количество возникающих перемен знака
на Ж U S при произвольных выборах последовательно-
г) Если для функций {ик (t)}g (щ (t) = 1) все определители
' / м0 . . . ик \
Д I ) положительны при а ^ t0 < . . . < (ft < 6, то эти
у ^о • • • ^ /
функции лииейчаты (см. § 5 гл. II).

5 1] Т-СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ 383
сти §~ называется индексом S относительно Е и обозна-
обозначается Be (В).
Введенное понятие индекса является обобщением поня-
понятия индекса S относительно Е = [а, Ь], определенного
р
как 2 е (?i)i гДе е (?) = 2 при а<г<Ьие(а) =
1
= е (Ь) =1. Чтобы убедиться в этом, достаточно выбрать
последовательность $[ так, чтобы ее члены находились
между lj и ?j+1 (/ = 1, 2, ..., р — 1), между в и ^ (если
а < lit), между ?р и & (если \р ¦< Ь), и с каждым |у- связать
знак —.
Обращаем внимание на то, что сейчас индекс опреде-
определяется не для каждой точки %} в отдельности, как в слу-
случае Е = [a, b], a для всей совокупности S. Однако Н
можно разбить на «блоки» так, что индекс S окажется
суммой индексов этих «блоков».
Если точками tu tj 6=? S множества Е можно отделить
точку ^ Е Е от остальных точек S, то, независимо от
знаков, связанных с оставшимися точками S, точка %
дает две перемены знака, когда с ней связывается знак —.
Такой точке | припишем индекс 2. Точка | ЕЕ В всегда
будет иметь индекс 2, независимо от того, каким будет S,
если она — двусторонняя предельная точка (в частности,
внутренняя точка) множества Е.
Если ней —самая левая (соответственно, Ъ ЕЕ В —
самая правая) точка Е и ее можно отделить от остальных
точек S точками Е, то ей из аналогичных соображений
приписывается индекс 1.
Наконец, пусть ?г, |г+1, ..., |г — последовательные
точки В, между которыми нет точек Е (|;+1, ..., ?r-i —
изолированные точки Е).
Эту группу точек будем называть блоком, если точка
|г отделяется от точек S, лежащих левее ее (если таковые
имеются), и точка \Т отделяется от точек S, лежащих пра-
правее ее (если таковые имеются) *).
В зависимости от четности количества вошедших в него
точек, блок называется четным или нечетным.
Если \i — а (\г = Ъ), то будем говорить, что блок
примыкает к а {соответственно к Ъ).
-1) Блок может состоять из одной точки.

р
в-B') = \
384 ПРОБЛЕМА НА НЁСЁЯЗНОМ КОМПАКТЕ trJI. VIII
Если блок не примыкает ни к а, ни к Ь, то его будем
называть внутренним.
Индекс внутреннего блока 2/, содержащего р точек,
можно определить равенствами:
р, если р четное,
Р+1, если Р нечетное.
Если блок Е', содержащий р точек, примыкает к а
или к Ь, то е B') = р.
Обратим внимание на то, что индекс внутреннего бло-
блока — всегда четное число.
т
Если S разбивается на блоки {Е,}™, то е? B) = 2 ев (^i)#
1
У. 1.1. Подмножество В дискретного множества Е будем на-
называть наполненным, если количество точек Е равно его индексу
относительно Е. Предположим, что количество точек Е больше п.
а) S наполнено тогда и только тогда, когда "со его внутренние
блоки четные.
б) Для всякого ненаполненного множества SCS индекса
<^ п найдется содержащее его наполненное множества Е' d E ин-
индекса п.
в) Если количество точек конечного множества Е есть т (]> п),
то общее количество его наполненных подмножеств индекса п
равно *)
1т — п -f- р \ 1т — п + Я
Lm —
[/re 1
~2~ — ^' ' =
У .1.2. Пусть в Дп задано т ненулевых векторов а3- = {аад}?=1(у =
= 1, 2,..., т). Их коническую оболочку (если она не совпадает
с Rn) будем называть многогранным конусом Кт. Коническая обо-
оболочка, подсистемы а-, а-2, . . ., а^ называется v-мерной гранью
(v = 1, 2,..., re — 1) Кт, если взятые векторы линейно независимы
и существует опорная к Кт гиперплоскость, которая пересекается
с Кт но их конической оболочке. Обычно выяснение того, будет ли
данная подсистема определять грань — не простая задача. Одна-
Однако в случае, к рассмотрению которого мы переходим, можно указать
простое правило нахождения граней.
Пусть система векторов «;- (j = 1, 2,..., т) обладает тем свой-
свойством, что всякая ее подсистема а^, а^,..., а;- , где 1 < Д < /2 <
<! •¦• <С in ^» mi имеет ориентацию, совпадающую с ориентацией
Вычисление Г^ провел А. М. Альт.

§ I1 Т-СИСТЕМЫ НА КОМПАКТЕ 385
основного базиса Rn. Это значит, что всякий минор А ( • ¦ • )
F \/i /2 . . . ]п)
матрицы А = И олз- \\1H~i'j~™ положителен при 1 ^ jx < у2 <
< ...</„ ^ т. Иными словами, функции {щ (t)}g~1, опреде-
определенные на множестве ? = {1, 2,..., т} равенствами uk (j) — ак+1 }-
(/с = 0, 1, ..., п — 1; / = 1, 2, ..., т), образуют 7'+-систему на Е.
Будем говорить, что такая система векторов {<tj}™ обладает Т+-
свойством.
а) Подсистема а^, а^,..., <*j определяет (п — 1)-мерную
грань Кт тогда и только тогда, когда множество Е = {д, /2,-.-, /n_j} —
наполненное подмножество Е.
б) Каждая подсистема а ¦, а-,..., а, при г<^ п —• 1 определяет
r-мерную грань, в частности, каждый вектор а3- находится на гра-
границе Кт.
в) Количество (п — 1)-мерных граней Кт равно Г^, (см. У.1.1);
количество граней многогранпого конуса, определяемого произ-
произвольной системой, состоящей из т векторов, не превосходит Г^.
Нам кажется правдоподобным следующее предположение: если
конус Кт, определенный системой{«j}J™, имеет Г^ (п — 1)-мерных
граней, то либо {«j}J™, либо {— а$™ обладает Г+-свойством. Свой-
Свойство б) можно сформулировать несколько иначе. Векторы а- ,
а^,...,а- (г <^ п), входящие в систему векторов {«3}™, назовем
соседними, если они определяют r-мерную грань конуса Кт. В Д3
только трехгранный конус К3 обладает тем свойством, что любые
два из трех векторов, определяющих К3, соседние. Однако при
п. ]> 3 имеет место утверждение:
б') При п > 3 для любого т ^ п существует система векторов
{а^}™ такая, что любые г из них (г = 2, 3,..., п — 1) — соседние.
Это предложение родственно следующей теореме Гейла II]:
для любого т ^ v О 2) в B2V существует выпуклый многогран-
многогранник с т вершинами, каждые v из которых соседние х).
Приведем любопытное предложение о системе векторов, обла-
обладающей свойством, «противоположным» Г+-свойству.
Д.1.3 (Е. Штейниц [1]). Систему векторов {«,} С й"
назовем разносторонне направленной, если векторы этой системы
находятся по обе стороны любой гиперплоскости, проходящей че-
через 0. Разносторонне направленная система называется неприводи-
неприводимой, если никакая ее подсистема не является разносторонне нап-
направленной.
J) v вершин выпуклого многогранника называются соседними,
если существует опорная к нему гиперплоскость, пересечение ко-
которой с многогранником совпадает с выпуклой оболочкой взятых
вершин. Теорема имеет интересную историю (см. Гейл [1]).

386 - ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ VIII
Каждая разносторонне направленная система векторов содержит
по крайней мере одну неприводимую подсистему; каждая неприво-
неприводимая подсистема содержит не менее п + 1 и не более 2п векторов.
Это предложение позволяет уточнить одну лемму Г. Ф. Вороного
(см. Е. Я. Ремез [2], стр. 145].
3. Свойства 27+-систем на Е.
Теорема 1.1. Функции {щ (t)}o образуют Т+- или
Т^-систему на Е тогда и только тогда, когда для любого
многочлена Р (t) = 2^4uft (*)Ф® пРи любых lj ЕЕ Е,
о
t0 < ij < ... < tp(p = 1, 2, ...) максимальное1) число
перемен знака в ряду
P(te), P (h), ..., Р (tp) A.2)
не превосходит п.
Это предложение мы доказывать не будем. Оно пред-
представляет собой перефразировку предложения, доказанно-
доказанного в монографии Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна [1]
(теорема 1, § 2, гл. V).
Одновременно укажем, что имеет место следующее обоб-
обобщение на компакт Е утверждения Д.П.2.3:
Д. 1.4 (Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [1]). Для того
чтобы система {щ (t)}1^ была 2)+-системой на Е, необходимо и
достаточно, чтобы для каждого многочлена Р (t) = ^j ЪкЩ(?)Ф®
максимальное число знакоперемен в ряду A.2) не превосходило
.числа знакоперемен в ряду ^0, Х1,..., Хп (из которого удаляются ну-
нулевые члены).
Теорема 1.2. Пусть {и к (t)}o(t ЕЕ Е) — Т ^си-
^система на Е. Для того чтобы существовал неотрицательный
на Е многочлен Р (t) ф 0, имеющий своими корнями за-
заданные числа Ь,1, |2i •••, Im из Е, необходимо и достаточно,
чтобы индекс последовательности {|;)Г был ^ п.
Доказательство. Необходимость следует из
определения индекса, неотрицательности Р (t) и теоре-
теоремы 1.1.
Достаточность проверяется непосредственным по-
построением многочлена Р (t): в случае, когда индекс
J) Нулевым членам ряда приписываются знаки так, чтобы
получить максимальное число знакоперемен.

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ПОЗИТИВНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 387
последовательности {?7-}i* равен п, полагаем
(
где последовательность {tj}i отличается от {|у)Г тем, что
перед каждым нечетным блоком {|;}Г, не примыкающим
к а, вставляется число из Е, не принадлежащее {|;}Г-
После этого, возможно, придется совершить предельный
переход (ср. с теоремой 1.1.2). Если индекс {I;}™ меньше
п, то, очевидно, также можно добавить нужное число
корней.
Множество всех неотрицательных на Е многочленов
Р (t) обозначим через фв.
Как и в § 1 главы II, легко доказывается, что множест-
множество ty% содержит строго положительный на Е многочлен.
§ 2. Основные теоремы о позитивных последовательностях
1. Позитивность на Е. Теоремы, доказательства кото-
которых представляют собой почти дословное, с очевидными
изменениями, повторение доказательств уже установлен-
установленных теорем, мы будем только формулировать.
Основные понятия и теоремы будем иллюстрировать
примерами, относящимися к тому случаю, когда компакт
Е есть множество, оставшееся после удаления из основного
интервала [а, Ъ] заданных внутренних интервалов
(cij, Р7-)(/ = 1, 2, ...., т), не имеющих общих точек. Такой
компакт будем обозначать Ет.
Для заданной последовательности вещественных чи-
чисел
о
как и прежде, определим функционал S (Р), полагая

388 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Последовательность {сл.}? назовем позитивной на Е,
если & (Р) > 0 для всех Р е фв-
Естественным образом определяются строго позитив-
позитивные и сингулярно позитивные на i? последовательности.
Теорема 2.1. Для того, чтобы последовательность
{c/Jo допускала представление *)
cfc= jj ил (*) do (*) (Л = 0, 1,. . .,га), B.1)
к
к
где с? — распределение масс на Е, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы эта последовательность была позитивна на Е.
Отметим, что, повторяя доказательство теоремы 1.3.4,
попутно найдем, что совокупность К (U) всех точек с —
= {сА}", координаты которых допускают представление
B.1), есть коническая оболочка «кривой» U = {и (t): t GE
Предоставляем читателю сформулировать и доказать
аналог теоремы III.1.3.
2. Примеры.
а) Степенная проблема моментов на Ет.
Лемма 2.1. Всякий алгебраический многочлен Р (t),
неотрицательный на Ет, допускает представление
Р (t) = P1 (t) + {t- a.m) (t - pm) P2 @,
где многочлены Р1 (t) и Р2 (t) неотрицательны на Ет-Х.
Доказательство. Многочлен, неотрицатель-
неотрицательный на Ет, может иметь в (<хт, рт) только четное количе-
количество, с учетом кратностей, корней tu t2, ..., ^р. так что
2р
где многочлен Q (I) неотрицателен на Ещ^. Утверждение
леммы следует из того, что
где
Aj = фт - *j)/(Pffl - оц») > О, В, = (t, - ат)/фт - ат) > 0.
То есть была моментной на Е последовательностью.

§ 2] ТЕОРЕМЫ О ПОЗИТИВНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 389
Теорема 2.2. Для того чтобы последователь-
последовательность {Sjs}" допускала представление
s,= 5**de(o (k = 0,1,...,«),
необходимо и достаточно, чтобы были позитивны в Ет-х
обе последовательности {sk}^ и {s*-}™, где
4 = Sfc+г— (am + Pm) «K+i + am,Bms-,, (/с = 0, 1, . . ., n — 2).
Необходимость проверяется непосредственно, доста-
достаточность следует из леммы 2.1.
Последовательно применяя теорему 2.2, приходим к
выводу, что позитивность в Ет последовательности {sft}o
равносильна позитивности в [а, Ь] всех 2т последователь-
последовательностей вида
so (Si, • • ., 8m), SiFb . . ., 6m),. . ., sr(8u . . . , 6m), B.2)
где
s* Flt . . ., 6m) = S {щ ... «&tk}, Mj (t) = (t- щ) (t - p,),
6j (/ = 1, 2, . . ., m) — набор чисел, равных 0 или 1,
i
Ввиду того, что позитивность последовательности в
[а, Ь] равносильна неотрицательности двух ганкелевых
форм (см. § 2, гл. III), в конечном счете позитивность
{st}™ в Ет равносильна положительности 2m+1 ганкеле-
ганкелевых форм.
Выпишем эти формы для случая т — 1, п = 2v:
где
s'h
v—1
S;
0
0
4+jXiXj,
4+jXiXj,
ta— (a
v-l
0
V-—2
0
+ P)*-*+l
(A = 0, 1, ..., 2v — 2).

390 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ.
У.2.1. Последовательность {«jJq сингулярно позитивна в
Ет тогда и только тогда, когда сингулярно позитивна в Ет по край-
крайней мере одна из последовательностей B.2).
б) Тригонометрическая проблема моментов.
Пусть Ет получается из основного интервала [0, 2я]
удалением интервалов (а;-, р^) (/ = 1, 2, ..., т). Найдем
условия, необходимые и достаточные для того, чтобы дан-
данная система комплексных чисел {f^}" допускала представ-
представление
Т/. = J е~ш da(t) (k =.• 0, 1, . . ., п), B.3)
иными словами, найдем ус ловия? при которых из неотри-
неотрицательности тригонометрического многочлена
п
Sri -Ш , К- Ш,
{Кке -\- кке J
о
на множестве Ет всегда вытекает
о
Лемма 2.2. Всякий тригонометрический много-
многочлен Р (t), неотрицательный на Ет, допускает представ-
представление
Р (t) = Рх @ + ют @ Р2 @, B-4)
где Pj (<) и Р2 (t) — тригонометрические многочлены, не-
неотрицательные на Ет--^,
@т (t) = 2 COS 4" (Рт ~ От) - е^4"'»4'^* ^' -
Доказательство. Так как Р (t) имеет четное
число 2р корней t), с учетом кратностей, в интервале
(ат. Рт), то
2Р

I 2l ТЕОРЕМЫ О ПОЗИТИВНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 391
где Q (t) — тригонометрический многочлен, неотрицатель-
неотрицательный на Ет-х-
С другой стороны,
sin~ (t - tj) = Assm~(t - am) + Bs sin-\-{t~ pm), B.6)
где
Aj = sin -i- (pm — tj) I sin -i- ((Jm — am) > 0,
Bj = sin -=- (tj — am) / sin -^ (pm — aro) > 0.
Принимая во внимание, что
2 sin -y-{t — am) sin -j-(t — Cm) ==
= cos-i- (Pm — am) — cos (i m m
и перемножая выражения B.6), найдем, что
llsin-Tj- (t — tj) = Qx (t) 4- e>m{t) Qz it),
i
где Qx (t) и Q2 (t) — тригонометрические многочлены, не-
неотрицательные на [0, 2л]. После этого из B.5) получим
представление B.4).
Теорема 2.3. Для того чтобы последовательность
комплексных чисел {Тл.-)? была тригонометрической мо-
ментной последовательностью на Ет, необходимо и дос-
достаточно, чтобы были неотрицательны 2т теплщевых
форм вида
где
Т* («1, • . ., 8т) = К U1... в&е-ш}, 8,- = 0 или 1,
1
х
0j (t) = 2 cos -=- (pj — aj) — e2 ' 3 e~li — e~Y

392 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Доказательство следует из леммы 2.2 и теоремы III.2.6.
В частности, последовательность {с,.}^ допускает пред-
представление
Та =
тогда и только тогда, когда неотрицательны формы
I p—q^p^q *L ^J \ I p—q+1 4 I p—q~l ^fp-д^^й ^J^pJjq.
0 0
§ 3. Максимальная масса. Канонические
и главные представления
1. Определение и пример. Для позитивной в Е по-
последовательности с = {cfc}o обозначим через V (с; Z?) со-
совокупность всех распределений масс а, осуществляющих
представление
ск =jj ы, @ da (i) (/с = 0,1, ...,!»)•
Ё
Максимальной массой в точке | ЕЕ 2? назовем величину
Ртах (Ю = sup {a Ц] : а ЕЕ V (с; /?)}.
Как и в § 3 главы III доказывается, что
Ртах (I) = inf {(? (РIР (|) : Р ?Е фЕ}
и что для строго позитивной в Е последовательности с =
= {ck\l максимальная масса ртах (I) положительна для
всех ! ЕЕ ?.
Покажем, как можно вычислить максимальную массу
для степенной проблемы моментов на Ет.
Так как для Р (t) ?E ^>Ет имеем
Р (t) = I\ (t) + (t - ат) (t - (У Р2 (t),
где Pi(t), P2(t)EE^Em_1 — многочлены степени не выше
соответстве.шо и и п — 2, то
Ртах (I) = inf Щ^- = mill {Pi (I), р2 (I)}.

§ 3] МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА 393
Здесь
Pi(i) — i11^
р2 (Е) = inf
Легко убедиться в том, что Pi(fc) есть максималыая
масса в Ет-\, вычисленная для последовательности {\}^,
а (| — ат) (| — Рт) р2 (|) — максимальная масса в Ет-ъ вы-
вычисленная для последовательности
Sfc — Sfc+2 — (~<m + Prn) SKH "I- ЗщРтЛ
(A = 0, 1, ...,ra-2).
Таким образом, вычисление максимальной массы для
проблемы моментов в Ет сводится к вычислению макси-
максимальных масс для двух проблем моментов в Ет-Х. Следо-
Следовательно, в конечном счете вычисление максимальной мас-
массы в Ет сводится к вычислению максимальных масс 2т
проблем моментов в интервале [а, Ь], а эти массы просто
выражаются через многочлены, ортонормированные от-
относительно соответствующего функционала (см. §3 гл. III).
2. Канонические представлени т. Признаки максималь-
максимальности массы. Если распределение масс а ?= V (с; Е) состо-
состоит из конечного числа масс р;-, сосредоточенных в точках
Ei < 1г< •¦¦ < ?r (ij ?= Е), то индексом представления в Е
г
с, = 2 №•(?¦;) (А -0,1,..., п) (!!)
/=i
соответствующего a (t), назовем индекс в Е совокупности
s = Ш1
Представление (!!) назовем каноническим, если его ин-
индекс ^С п -\- 2, и главным, если его индекс = п -\- 1.
Каноническое представление называется нижним или
верхним соответственно тому, отсутствует или присутст-
присутствует в этом представлении масса в точке Ъ.
Приведем ряд теорем, доказательства которых почти
ничем не отличаются от доказательства соответствующих

394 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
теорем для случая Е = [а, Ъ]. Отличие состоит в том, что
вместо теорем из § 1 главы II о свойствах Г-систем на
[а, Ь] используются аналогичные теоремы из § 1 для Е.
Теорема 3.1. Последовательность {сй}о сингу-
сингулярно позитивна в Е тогда и только тогда, когда она допус-
допускает каноническое представление (!!) индекса ^С п.
Теорема 3.2. Для того чтобы распределение
о ЕЕ V (с; Е) определялось однозначно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы последовательность {ск}^ была сингулярно
позитивной в Е.
Теорема 3.3. Если последовательность {ck}^ стро-
строго позитивна в Е, то существует такое каноническое пред-
представление (!!), в котором среди точек ^ имеется любая
наперед заданная точка | ЕЕ Е.
¦Теорема 3.4. Если последовательность {cft)o стро-
строго позитивна в Е, то любой точке ? ЕЕ E отвечает одно и
только одно распределение масс а^ ЕЕ V (с; Е), при кото-
котором в точке ? сосредоточивается максимальная масса
Pmax(i)-
Это распределение является каноническим, а если
| = а или \ = Ъ, то главным каноническим.
Теорема 3.5. Для того чтобы в представлении
(к = 0, 1, . . ., п)
масса р была максимальной (р = рШах {%)), необходимо и
достаточно, чтобы последовательность {с'к}^ = {ск —
— ри^ (|)}о была сингулярно позитивной в Е.
В связи с этой теоремой уместно выяснить соотноше-
соотношения между индексами представлений
г
с, = ри* (I) + 2 PjU* (h) (к = 0,1,.. ., п), C.1)
3=1
г
с, = ск - 9щ (|) = 2 Р>и* (Ь) (к = 0,\,...,п). C.2)
3=1
Точки \ и \j, входящие в представление C.1), будем
называть узлами этого представления, а также блока, в

§ з! МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА 395
котором они находятся. Ведя счет узлов блока слева
направо, будем различать четные и нечетные места
в блоках.
Непосредственно из определения индекса блока выте-
вытекает следующая
Лемма 3.1. 1) Индекс представления C.2) на две
единицы меньше индекса представления C.1) тогда и толь-
только тогда, когда в C.1) точка_| является нечетным узлом
нечетного внутреннего блока.
2) Индекс представления C.2) на единицу меньше ин-
индекса представления C.1) тогда и только тогда, когда в
C.2) точка ? является либо нечетным узлом нечетного бло-
блока, примыкающего к а, либо четным узлом четного блока,
примыкающего к а, либо нечетным узлом любого блока, при-
примыкающего к Ъ1).
3) В остальных случаях индексы представлений C.1)
и C.2) равны.
Лемма 3.1 и теорема 3.5 приводят сразу к следующей
теореме.
Т е о р е м а 3.6. а) Пусть индекс канонического пред-
представления C.1) равен п -\- 2. Масса р в точке | максимальна
(р = Ртах (I)) тогда и только тогда, когда | является не-
нечетным узлом нечетного внутреннего блока.
б) Пусть индекс канонического представления C.1) ра-
равен п + 1.
Если Z, входит во внутренний блок, то р = ртах (I) тог-
тогда и только тогда, когда этот блок нечетный и \ — его
нечетный узел.
Если | входит в нечетный блок, примыкающий к а,
то р = ртах (?) тогда и только тогда, когда \ — его не-
нечетный узел.
Если \ входит в четный блок, примыкающий к а, то
Р = Ртах (?) тогда и только тогда, когда \ — его четный
узел.
Если \ входит, в блок, примыкающий к Ъ, то р = ртах (Е)
тогда и только тогда, когда | — его нечетный узел.
*) Формулировки леммы 3.1 и теоремы 3.6 в части, касающейся
блоков, примыкающих к а, упростились бы, если бы счет узлов этих
блоков велся не слева направо, а справа налево. В таком случае
для блока, примыкающего к а, формулировка совпала бы с форму-
формулировкой для блока, примыкающего к Ъ.

396 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Следствие 3.1. Если главное представление име-
имеет максимальную массу в точке а или Ъ, то блок, примы-
примыкающий к этой точке, обязательно нечетный. Обратно,
если блок главного представления, примыкающий к а или к
Ъ, нечетный, то масса в этой точке максимальна.
3. Существование главных представлений.
Теорема 3.7. Строго позитивная в Е последова-
последовательность {cfe}o допускает одно и только одно нижнее и
одно и только одно верхнее главное представление.
Доказательство. В случае четного п = 2v
каноническое представление с максимальной массой в
точке а или Ъ имеет нечетный индекс п -f- 1 = 2v -f- 1.
В силу следствия 3.1 и того, что внутренние блоки имеют
четный индекс, невозможно главное представление, имею-
имеющее максимальные массы в обеих точках а и Ъ.
. Если же п = 2v — 1 — нечетное число, то из тех же
соображений получаем, что главное представление, имею-
имеющее максимальную массу в точке а, обязательно имеет
максимальную массу в точке Ъ.
Осталось доказать существование нижнего главного
представления при п = 2v — 1.
Введем обозначение: Е [т] == Е П [я. т]. Обозначим
через т0 точную нижнюю грань тех т GE [а, Ь], для которых
последовательность {ch}^ строго позитивна в Е [%}.
В Е [т0] последовательность {ck}^ либо сингулярна,
либо строго позитивна. В первом случае то единственное
представление, которое {с^ допускает в Е [т0], имеет в
Е [т0] индекс ^ п, а в Е — индекс ^ п -f- 1. Так как
знак < следует исключить, то это представление — глав-
главное и, поскольку п -J- 1 — четное число, то оно не имеет
максимальной массы в точке а.
¦ Второй случай возможен лишь тогда, когда в некото-
некоторой левой полуокрестности т0 нет точек множества Е (в
противном случае можно было бы, повторив рассуждения
леммы III.5.1, найти т' < т0, для которого {cfe}J строго
позитивна в Е [т']). Пусть т — ближайшая к т0 слева точ-
точка Е. В Е [т] последовательность {ck}o уже не позитивна.
Построим каноническое представление последователь-
последовательности {cfe}o в Е [т0] с максимальной (относительно Е [т0])
массой в точке т. Это представление должно иметь массу

§ з1 МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА 39?
в точке т0, иначе {ch}o была бы позитивной в Е [т]. Если
изъять точку т, то индекс в Е [т0] оставшихся узлов пред-
представления ^С п. Добавление этой точки увеличивает ин-
индекс в Е [т0] самое большее на единицу, да и то лишь в том
случае, когда блок, примыкающий к т0 — четный. Так как
в Е [т0] последовательность {сА.}о строго позитивна, то
имеет место именно эта возможность: блок, примыкающий
к точке т0, четный, и индекс в Е [т0] построенного пред-
представления равен и + 1.
Это же представление имеет индекс п + 1 и в Е, так
как число перемен знака, определяющее индекс блока,
примыкающего к т0, может быть получено, если с т0 свя-
связать знак -\-, а с остальными узлами блока — чередующие-
чередующиеся знаки.
Таким образом, построено главное представление, не
имеющее максимальной массы в точке Ъ (самый правый
блок представления — четный) и, следовательно, не имею-
имеющее максимальной массы в точке а. Существование как
верхнего, так и нижнего главных представлений доказа-
доказано. Единственность каждого из них в случае п = 2v и
верхнего главного представления в случае п = 2v — 1 вы-
вытекает из теоремы 3.4. Докажем единственность нижнего
главного представления при п = 2v — 1.
Предположим, что последовательность {ck}T * допуска-
допускает два нижних главных представления:
р
C.3)
Q
S X fe) (U <&<...<п к = 0, 1,. .., 2v - 1).
C.4)
Без ограничения общности можем считать, что |q ^ Ер-
Если 6jiok, в который входит |р — нечетный, то после-
последовательность (cfe}o сингулярно позитивна в Е [|р]. Так
как в Е [?р]эта последовательность допускает единствен-
единственное представление и все массы представления C.4) сосредо-
сосредоточены в точках Е [?р], то представления C.3) и C.4) сов-
совпадают.

398 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Если блок, в который входит %р — четный, то сово-
совокупность {^•}р~1 имеет в Е Up-J индекс п. Поэтому со-
согласно теореме 1.2 можно построить неотрицательный в
Е [?p_il многочлен Р (t), обращающийся в нуль в точках
1х, |2! •••) ip-i> и такой, что Р (|р) < 0. Можем считать,
ЧТО Р (|р) = —1.
Если iq<|p, то тогда все ?j-G #[|p-i], откуда
р
) = - 2 P;pfe) = -<?(/>) =
что невозможно. Поэтому |д = |р. Мы можем теперь счи-
считать, что рр > р9. Однако из
следует, что рр<р9, т. е. что рр = рд.
Установив это, рассмотрим последовательность (ck —
— РрИл (Ер)}?4. Представлениям C.3) и C.4) соответст-
соответствуют главные представления
р—1
= 2 Р^* (Ы (Л = 0, 1, . . ., 2v - 1),
9-1
= 2 РЛ- (Й) (А; = 0, 1, . . ., 2v — 1),
причем блок первого из них, содержащий ?р_ь— нечет-
нечетный. По ранее доказанному эти представления совпадают.
У.3.1. Пусть U — выпуклая на Rn разомкнутая ломаная,
последовательные вершины которой находятся в точках х0, xt,...
..., хт (т> п). _
Обозначим через М_ (соответственно через М) совокупности
тех наполненных (см. У.1.1) подмножеств Е множества N = {0,
1,..., т) индекса п + 1, у которых в точке т примыкает четный
блок х) (соответственно нечетный блок).
В частности, к т может вовсе не примыкать блок.

§ З] МАКСИМАЛЬНАЯ МАССА 399
Для выпуклой оболочки $ (С) ломаной U имеют место фор-
формулы:
а) Я (U) = U Я„,
б) «(U) = U_ «в,
нем
где $Е при Е = {/ь /а, . . ., /„.^l обозначает симплекс с вершина-
вершинами в точках ж •, ж., . . ., ж. ; в каждой формуле симплексы
$3 и $Вг не имеют общих внутренних точек при Ei 4= За. Поэто-
Поэтому объем $ (С) равен сумме объемов симплексов, входящих в раз-
разложение а) (соответственно в разложение б)).
Указание. Воспользоваться существованием, единствен-
единственностью и структурой главных представлений на N.
4. Экстремапьные значения интегралов. Следующие две
•георемы доказываются так же, как и соответствующие
теоремы для случая Е = [а, Ь]. Последовательность
{cft}" предполагается строго позитивной в Е.
Пусть {uh (i)}" — У+-система на Е и определитель
Q
/щ щ ... ип О, \
Д I 1
\t0 ty ... tn *п+1/
положителен при ?0<^i <[... <On+i» ^j ЕЕ ?"• При этих
условиях имеет место
Теорема 3.8. Наименьшее (наибольшее) значение
интеграла
\&(t)do(t) C.5)
в
ка совокупности V (с; ?") достигается на распределений-
масс а, задающем нижнее (соответственно верхнее) главное
представление последовательности {с^}о (и только на нем).
Пусть {wk(?)}o —М+-система на Е и определители
(иа Ui ... uk Q, \
t t t t ) (* = <U. ••¦.*)
t0 fx ... rft t]1j
неотрицательны при i0 < tx < ... < ffc+1, ^ fe ^.
Наряду с обозначением Е [|] = ?T|[a, II введем
обозначение ^ [|) = ^fl [«, 1){1фа,\фЬ).

400 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Теорема 3.9. Наименьшее значение интеграла
(?е=Я)
J Q(t)da(t) C.6)
В [У
и наибольшее значение интеграла
Q(t)da(t) C.7)
на совокупности V (с; Е) достигаются на распределении
масс а^, задающем каноническое представление последова-
последовательности {сft}o с максимальной массой в точке ?.
Замечание 3.1. Компакт Е может быть неогра-
неограниченным, если к нему присоединить точку оо и под непре-
непрерывностью функции u(t) в точке оо подразумевать существо-
существование предела lim и (t) — и (оо). В этом случае все пре-
(-МО
(ЕЕ
дыдущие предложения сохраняют силу.
Утверждения теорем 3.8 и 3.9 о наименьших значе-
значениях интегралов C.5) иC.6—7) сохраняет силу также и в
том случае, когда lim Q (t) = со, только для интеграла
C.5) нужно предположить, что существует хотя бы одно
б ЕЕ V (с; Е), для которого этот интеграл конечен.
§ 4. Перемежаемость масс канонических представлений
Пусть последовательность {cfe}o строго позитивна в
Е. Рассмотрим два различных представления этой после-
последовательности:
р
2 (Л = 0,1,..., и), D.1)
с, = 2р,Ч(У (Л = 0,1,..-, га). D.2)
3=1
Вычитая одно из другого, мы придем к соотношению:
п
2TiMT4) = 0 (А = 0, 1,...,га). D.3)

§ 4] ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ МАСС 401
Здесь у( равно некоторому р;, либо некоторому —рт, либо
Рг — Рт (если %i = ?, = ?т), а через %г обозначены зану-
занумерованные в порядке возрастания узлы {\,}\ и {Ej}i-
Так как функции {uh(t)}^ образуют ^-систему на Е,
то соотношения D.3) возможны лишь тогда, когда коли-
количество s отличных от нуля чисел уг не меньше ге + 2.
Обозначим через S {Xt}i число перемен знаков в после-
последовательности Tj, у2, •¦¦! Тг (нулевые у, не учитываются).
Индексы представлений D.1) и D.2) обозначим соответ-
соответственно е (S) и е (S').
Теорема 4.1. Для представлений D.1) и D.2) име-
имеют место неравенства
п hl<^{Ti}1r<min(8(S),8(S')). D.4)
Доказательство. Обозначим через б7- не рав-
равные нулю числа уг- (/ = 1, 2, ..., s), а через т,- — отвечаю-
отвечающие им точки xt. Если предположить, что ?{6./}i^«,
то, учитывая, что s > re -f 2, последовательность {6j}j
можно разбить на re + 1 групп {б15 б2, ..., 6V,}, {6vt+i, ¦¦•
..., 8V2}, ..., {6vn+i, ¦¦¦, 8S}, в каждойиз которых все члены
имеют один и тот же знак. Тогда D.3) можно переписать
следующим образом:
n+l vj
где 8у = -h I, v0 = 0, vn+1 = s. Рассматривая эти равен-
равенства как систему однородных уравнений относительно
неизвестных е/„ мы видим, что ее определитель должен
быть равным нулю. Однако этот определитель равен
vl vn+l
S- S IV
и, значит, отличен от нуля. Полученное противоречие
доказывает неравенство S {Ti}'i > n + 1.
Обращаясь к правому неравенству D.4), вспомним
определение индекса представления. В соответствии с

402 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
этим определением индекс каждого представления должен
быть не меньше S {Ti}[, так как любой блок представления
может доставить не больше перемен знаков в последова-
последовательности {Тг}[, чем при нахождении его индекса. Теорема
доказана.
Следствие 4.1. Если одно из представлений
D.1) и D.2) — каноническое, то
Следствие 4.2. Если одно из представлений
D.1) и D.2) — главное, то
Так как индекс блока равен максимальному числу пе-
перемен знаков, приписываемых его узлам, то из следствия
4.2 немедленно получаем
Следствие 4.3. Пусть одно из представлений
D.1) и D.2) — главное, Eh — (?,-, lj+1, ..., ?ж) — один
из блоков главного представления, {у,, у7-+1, ..., )
отвечающая ему часть последовательности {t,}i-
Если Eh — внутренний блок, то
s{Tj-i, Tj, • •
Если блок Sh примыкает к а, то
5{Ti, Гя-i, ¦ ¦ ¦, Tfru Ti+i+i) = в(Зл).
блок S,, примыкает к Ь, то
Следствие 4.4. ?сдц lm-i> Emi ?m+i — последо-
последовательные узлы блока канонического представления, то от-
отвечающие им числа Тт-!, Хт, Tm+i Hs могут быть все неот-
неотрицательны или все неположительны.
В самом деле, число перемен знака в той группе чисел
{Tj}i» которая отвечает узлам рассматриваемого блока, в
случае совпадения знаков Tm-j, Tm, Tm+i было бы по край-
крайней мере на две единицы меньше индекса этого блока, и
тогда оказалось бы, что S {ТгК ^ ге, а это невозможно,

§ 5] МИНИМАЛЬНАЯ МАССА 403
Следствия 4.3 и 4.4 позже помогут нам выяспить
«перемежаемость» масс канонических представлений.
Приведенные предложения можно было использовать
и при исследовании движения масс представлений индек-
индекса ге+2, ге+3иге+4в случае Е = [а, Ь], так как че-
чередование знаков Yj для представлений D.1) и D.2) в этом
случае означает перемежаемость их масс и монотонное
изменение массы в фиксированной точке (или точках).
Подробное исследование движения масс на компакте
Е будет проведено ниже для двух случаев: когда Е — си-
система отрезков и когда Е — последовательность с един-
единственной предельной точкой Ъ = max E.
Предварительно нам придется изучить новое явление,
возникающее при наличии у компакта изолированных
точек.
§ 5. Минимальная масса
1. Определение и признаки минимальности массы. Для
распределений масс на произвольном компакте Е с задан-
заданными моментами {ch}o имеет смысл ввести понятие ми-
минимальной массы, которую можно сосредоточить в точке
ЪЕЕЕ:
Pmm (Е) = inf {б Ц] : б е V (с; Е)}.
Для случая Е = [а, Ь] это понятие бессодержательно,
так как для каждой точки ? ge [а, Ь] существует распре-
распределение масс а ЕЕ V, не содержащее массы в ?. Более того,
для произвольного компакта Е справедливо следующее
утверждение.
Лемма 5.1. Если | — предельная точка Е, то
pmln(E) = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что
? — двусторонняя предельная точка. Тогда каноническое
представление, имеющее массу в |, единственно, и эта
масса максимальна (ев (Е) = 2). Значит, любое другое ка-
каноническое представление не имеет массы в точке ?.
Пусть теперь ? — односторонняя предельная точка, но
| =j= а и Е ф Ь. Для определенности примем, что § — ле-
левосторонняя предельная точка и что ц —¦ ближайшая к ?
справа точка Е. Построим каноническое представление
с максимальной массой в точке г\. Точка г\ в силу теоремы

404 Проблема на несвязном компакте [гл. viii
3.6 должна быть нечетным узлом содержащего ее блока
(нечетного, если он не примыкает к Ь). Поэтому точка ?
пе может входить в этот блок, и масса в ней равна
нулю.
Наконец, если ? = Ъ — предельная точка Е, то дан-
данная последовательность {с k }o позитивна на некотором мно-
множестве Е[Ъ'\ (Ь' <ib). Отсюда следует, что существует
распределение а 6Е V (с; Е), которое не имеет массы в точ-
точке Ъ. Аналогичные рассуждения проводятся для ? = а.
Лемма доказана.
Таким образом, минимальная масса может быть поло-
положительной только в изолированных точках множества Е.
Следующая теорема уточняет это предложение.
Теорема 5.1. Пусть ? — изолированная точка Е и
р — положительное число. Для того чтобы р было мини-
минимальной массой в точке Е(р ~ Ршт Ш) строго позитивной
в Е последовательности {c^q, необходимо и достаточно,
чтобы последовательность {с^ — puh (?,)}% была строго
позитивна в Е, но сингулярно позитивна в 2?\?.
Доказательство начнем с достаточности.
Если последовательность {с^ — puh (?)}o сингулярно по-
позитивна в Е\1, то она имеет на этом множестве единствен-
единственное представление
г
си - Р"* (Ю = 2 РЯ* (&) (fc = 0, 1, . . ., п; %}(^Е\ I)
3=1
индекса <Г п относительно i?\?. Если она, кроме того,
строго позитивна в Е, то это же представление (оно не
содержит массы в точке ?) должно иметь относительно Е
индекс ^> п. Разбор возможных случаев показывает, что
представление
= р«* И) + S Рзи* (Ь) E.1)
3=1
исходной последовательности {ch}o является канониче-
каноническим; если его индекс (в Е) равен п -\- 2, то ? может быть
только четным узлом нечетного внутреннего блока; если
его индекс (в Е ) равен п -\- 1 (представление — главное),

§ 51 МИНИМАЛЬНАЯ МАССА 405
то | — либо четный узел нечетного внутреннего блока
либо четный узел блока, примыкающего к Ь, либо четный
узел нечетного блока, примыкающего к а, либо нечетный
узел четного блока, примыкающего к а.
Докажем, что р — минимальная масса. Пусть ? —
четный узел нечетного внутреннего блока представления
E.1). Обозначим через г\ и ? точки Е, ближайшие к |
соответственно слева и справа. Тогда, по теореме 3.6, в
точках г] и С массы этого представления максимальны. До-
Допустим, что существует представление с массой р' <р в
точке ?. Последовательность {ch — p'uh (?)}? позитивна в
Е \ ? и, значит, существует представление
а
с, - р'и, (?) - 2 !№ &) (к '-= 0, 1, . . ., га),
1
в котором среди точек "?,] нет точки ?, так что
а
2>&- E-2)
Так как в точках т] и ? массы представления E.1) мак-
максимальны и в E.2) р' < р, то в последовательности {Тг}>
построенной для представлений E.1) и E.2), числа Тт-и
7т, 7т+ц отвечающие точкам т], ?, ?, имеют один и тот
же знак. Это несовместимо со следствием 4.4.
Если представление E.1) — главное и | — четный узел
блока, примыкающего к 6 или четный узел нечетного,
либо нечетный узел четного блока, примыкающего к а, то
доказательство минимальности р проводится аналогично
с использованием теоремы 3.6 и следствия 4.3, из которо-
которого вытекает, что никакие два числа 7т> 7т+ц отвечающие
последовательным узлам главного представления, не могут
иметь одинаковые знаки.
Перейдем к доказательству необходимости. Если р ^>
^> 0 — минимальная масса в точке |, то всякое пред-
представление должно иметь массу ^> р в этой точке. Поэтому
р < ртах (ь) (так как при р = ртах (I) существует един-
единственное представление последовательности {Ch}^) и,
следовательно, последовательность {ch — puh (?)}" строго
позитивна в Е. Поскольку, в силу теорем Хелли о распре-

406 Проблема на несвязном компакте [гл. vnt
делениях, существует распределение с массой р в точке |,
эта последовательность позитивна в Е\%. Если бы она была
там строго позитивна, то существовало бы представление
с/с = Ры* (I) + 2 Piu/c (Ь) (А; = 0, 1, . . ., га; |j e I),
3=1
не совпадающее с тем каноническим представлением после-
последовательности {сь}^, которое имеет максимальную массу
в ближайшей справа к точке ? точке Z, (в ближайшей слева
точке т], если \ = Ь). Так как масса в точке L, (в точке ц)
максимальна, а в точке | масса ^> р, то мы приходим к
противоречию со следствием 4.4 или 4.3.
Теорема доказана. Попутно получено доказательство
следующей теоремы (ср. с теоремой 3.6).
Теорема 5.2. а) Минимальные массы могут содер-
содержать только канонические представления.
б) Масса р ^> 0 канонического представления индекса
п -\- 2, сосредоточенная в точке ?, минимальна(р = ртш(Е))
тогда и только тогда, когда ? является четным узлом
нечетного внутреннего блока.
в) Для главного представления справедлив следующий
критерий:
если | входит во внутренний блок, то р = ртт Ш тог-
тогда и только тогда, когда этот блок нечетный и | — его
четный узел;
если | входит в нечетный блок, примыкающий к а, то
р = Pmin (E) тогда и только тогда, когда § — четный узел
этого блока;
если | входит в четный блок, примыкающий к а, то р =
= Pmin (?) тогда и только тогда, когда | — нечетный узел
этого блока;
если | входит в блок, примыкающий к Ъ, то р = ртт (?)
тогда и только тогда, когда ? — его четный узел1).
Сопоставление теорем 3.6 и 5.2 приводит к следующе-
следующему выводу:
Следствие 5.1. В представлении
uh(t)da{t) E.3)
См. сноску на стр. 395.

§ 5] МИНИМАЛЬНАЯ МАССА 407
масса р ^> 0, сосредоточенная в изолированной точке |,
минимальна (р = pmin (?)) тогда и только тогда, когда
это представление каноническое и в соседних с ? точках
Е сосредоточены максимальные массы.
Если точки а = min Е и Ъ = max E изолированы, то
не исключено, что в них минимальные массы положитель-
положительны, и тогда нельзя утверждать, как в случае Е = [а, Ь],
что на каждом конце а и Ь одно из главных представлений
имеет массу (максимальную), а другое не имеет массы.
Взамен этого сейчас имеет место
Следствие 5.2. Если главное представление имеет
массу в точке а (в точке Ъ), то эта масса либо максимальна,
либо минимальна.
Поэтому, если заранее известно, что, например, в точке
Ъ минимальная масса положительна, то каноническое
представление с максимальной массой в точке Ь дает верх-
верхнее главное представление, а каноническое представление с
минимальной массой в этой точке — нижнее главное пред-
представление.
Из того, что минимальность массы определяется только
ее местом в блоке соответствующего канонического пред-
представления, получаем
Следствие 5.3. Если последовательность {ch}^
имеет минимальную массу pmin (?) ^> 0 в точке ?, то
для последовательности {с/с}? = {с^ -\- р«;{ (?)}? (р ^> 0)
имеем pmin (I) = Pmin (I) + Р-
Отсюда, рассуждая от противного, приходим к предло-
предложению:
Следствие 5.4. Если 0 < pmin (I) < р <Ртах(?),
то для последовательности {с^}о = {ck — puk (?)}o имеем
Pmin (I) = 0.
2. Вычисление ртт A) с помощью К. В заключение
приведем формулу для минимальной массы, сводящую ее
вычисление к минимизации некоторого функционала на
множестве ф^.
Как установлено в следствии 5.1, если масса р представ-
представления E.3) в точке | минимальна, то это представление
каноническое и в ближайших слева и справа к ? точках Е
сосредоточены максимальные массы. Пусть т| — одна из
этих точек. Тогда последовательность {c/Jo = {ck —
— ртах (t|W (л) }? сингулярно позитивна и для такой после-

408 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
довательности распределение масс единственно. Отсюда
?'(Р) . , «(р) - Ртах Ol) ^ (ч)
-777^-= mf 7^
§ 6. Канонические представления на JEm
1. Канонические представления на Ет. Как и
прежде, через Ет обозначается компакт, полученный из
[а, Ь] удалением mзаданных люков (aj, р;-) (/ = 1,2, ..., т),
где a<ax <pi<...<am<pm<6.
Так как каждая точка Ет — предельная, то мини-
минимальная масса всюду равна нулю.
Из структуры Ет вытекает, что каждый блок канони-
канонического представления может состоять самое большее из
•двух точек — концов одного и того же люка {ajt |37-).
Из того, что внутренний блок может содержать макси-
максимальные массы в том и только в том случае, когда этот
блок нечетный, сразу получаем следующее утверждение:
Лемма 6.1. Если на одном из концов люка (a,-, f>j)
сосредоточена максимальная масса, то соответствующее
ей каноническое представление не имеет массы на другом
конце этого люка.
Как и в § 6 главы III, легко установить, что для лю-
любого положительного числа р, меньшего максимальной
массы рта* {а) (соответственно ртах (Ь)) существует одно
и только одно каноническое представление с массой
р в точке а (соответственно в точке Ь). В дополнение к
этому установим еще следующее предложение.
Лемма 6.2. Всякому положительному числу р,
меньшему максимальной массы ртах (Рг) {меньшему ртах(с&г)),
отвечает одно и только одно каноническое представле-
представление последовательности {cft}^, имеющее массу р в конце
C, {в конце а^ люка {а(, рг). Это представление имеет мас-
массу \i на левом {соответственно правом) конце люка {at, рг).
При увеличении р масса jx уменьшается.
Доказательство. Так как 0 < р < Ршах (Рг),
то последовательность {с'к}", где
c'k = ch - рщ (pi) (k-=0, I, . . .,n),
строго позитивна в Ет.

i б! КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА В 409
т
Для последовательности {сиУо построим каноническое
представление с максимальной массой (обозначим ее
через и.) в точке at:
г
с; = ци, (хо + 2 pi", (ы (к = о, 1,..., п). F.1)
7=1
По лемме 6.1 это представление не имеет массы в точке
Р;, в силу чего
ск = иц, (аО + РЩ (Pi) + S Pi»»- (U (k = 0, 1, . • ., п). F.2)
Индекс полученного представления совпадает с ин-
индексом представления F.1) (лемма 3.1).
Поэтому представление F.2) — каноническое. Его
единственность следует из единственности представ-
представления F.1).
Если бы для некоторого р' ^> р мы имели канониче-
каноническое представление
г'
С, = U.'U, (ОС;) + р'щ (pj) + S Pi«* (Ы (к = °- !- -, П) F'3)
, то в силу F.2) последовательность
была бы сингулярно позитивна, а в силу F.3) эта же по-
последовательность была бы строго позитивна. Следователь-
Следовательно, и. уменьшается с увеличением р.
Лемма доказана.
Теорема 6.1. Пусть каноническое представление
имеет массу ра s^ pmax (а) в точке а. Тогда при непрерыв-
непрерывном уменьшении ра точки сосредоточения масс этого пред-
представления, внутренние по отношению к Ет, движутся
влево; если это представление имеет массы на концах не-
некоторых или всех люков (a,j, f>j) (/ = 1, 2, ..., т), то мас-
массы, сосредоточенные на левых концах люков, возрастают,
массы, сосредоточенные на правых концах, убывают;
если в точке Ь имеется масса рь < ртах (&)> то она воз-
возрастает.

410 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ trn. Vlll
Таким же образом ведут себя массы канонического
представления при непрерывном увеличении массы, сосре-
сосредоточенной в точке Ъ, при увеличении массы, сосредоточен-
сосредоточенной в одной из точек а; (/' = 1, 2, ..., т), при умень-
уменьшении массы, сосредоточенной в одной из точек fij (/ =
= 1, 2, ..., т), а также при движении влево одной из внут-
внутренних точек сосредоточения масс.
Доказательство. Рассмотрим два канониче-
канонических представления
p
с к = РаЩ (a) + 2 Piuk (Ь)>
F.4)
F.5)
С к = РаЩ («) + 2 i
2=1
с массами р'а и ра в точке а@<ра<ра<ртах(«))-
Обозначим через ц наибольшее из чисел {Еу}? и {?j}i
(занумерованных, как обычно, в порядке возрастания)
и докажем, что т\ = ?в. Сверх того, докажем, что если
Ц = tp = ?? = Ь, то рр ^> рд, а если т] = ^р = Нд <^ &, то
Начнем со случая ц = ?р = |? = Ь. Если бы было
Рр -^ Рч (Рр = Рд — невозможно), то представления F.4) и
F.5) определяли бы два различных представления после-
последовательности
{ск — раи^(а) — PpUk (Ъ)}^\ F-6)
при этом одно из них имело бы индекс п (оно отличается
от F.4) тем, что изъяты массы в точках а и b), a другое —
индекс п 4- 2. Значит, последовательность F.6), с од-
одной стороны, сингулярно позитивна, а с другой,— строго
позитивна в Ет, что невозможно.
Случай Ti = ?р = ?g <^ Ъ возможен лишь тогда, когда
|р и |д совпадают с правым концом одного из люков
(«{, ^). Если предположить, что рР^>рд, то, по лемме 6.2,
p'p.j^pg-! (по той же лемме не может быть рр = pq). Но
тогда в Ет [ц] — Ет {] [а, ц\ последовательность
{ск — р'аиь (а) ~

б! КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА В_ 411
m
будет как сингулярно, так и строго позитивной, что не-
невозможно.
Осталось исключить возможность т) = |р =j= \q.
Если бы эта возможность осуществлялась, то массы
обоих представлений были бы сосредоточены на Ет [%р\.
Представление последовательности {сй}?, отвечающее ра>
имеет в Ет [|р] индекс п + 1 (легко понять, что |р <
< 6), представление, отвечающее ра — индекс и -j- 2.
Этим представлениям соответствуют два представления
последовательности {ck — paUh(a)]o'- одно — индекса п
в Ет Цр], другое — индекса п -\- 2 в Ет [?р], чего не
может быть.
Теперь рассмотрим одну из последовательностей:
{ск - р'аик (а)}п0 (если ?р < lq = t, < b), F.7)
{cfc — p^A (a) — р"рщ (b)}a (если ?p = gj = tj = b) F.8)
или
{сл — p'auk (a) — pg_!Ufc (a;) — pp (P4)}o (если gp = g, = tj = p;).
F.9)
Во всех случаях представлениям F.4) и F.5) последо-
последовательности {ck}% отвечают главные представления со-
соответствующей последовательности F.7), F.8) или F.9)
на множестве Ет [tj]. Применив к ним утверждение след-
следствия 4.3, завершим доказательство первой части теоре-
теоремы. Вторая часть устанавливается аналогично.
Замечание 6.1. Теорема 6.1 доказывается про-
проще в случае, если {uh(t)}^ — Т+-система на основном ин-
интервале [а, Ъ). В этом случае можно провести индукцию по
числу люков, используя при т = 1 теорему III.7.6.
2. Движение масс. Теорема 6.1 позволяет полностью
описать движение масс канонических представлений стро-
строго позитивной в Ет последовательности {скI (ср. с § 6
гл. III).
Пусть, для определенности, п = 2v — 1. «Накачаем» в
точке а максимальную массу ртах (а). Ей отвечает верхнее
главное представление последовательности {сь}о с

412 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VII
максимальной массой в точке Ъ. При непрерывном умень-
уменьшении массы ра, сосредоточенной в точке а, происходит
следующее. Внутренние по отношению к Ет массы дви-
движутся влево; масса, имевшаяся в точке Ъ при ра = pmax (а),
тоже движется влево. Если при своем движении влево
внутренняя масса «натыкается» на правый конец одного из
люков (a;, pj), то она останавливается и начинается «пе-
«перекачивание» массы с правого конца на левый, т. е. при
дальнейшем уменьшении ра масса в точке |3; уменьшается,
а в точке а,- появляется и растет масса, и растет до тех
пор, пока не достигнет максимальной величины; в этот
момент масса в точке C, исчезает. Затем, если ра продол-
продолжает уменьшаться, масса, «накопившаяся» в точке а,-,
начинает (как-то изменяясь) двигаться влево. Когда ра
превратится в нуль, соответствующее каноническое пред-
представление окажется нижним главным.
После этого начнем «накачивать» массу рь в точке Ь.
Все сказанное остается в силе, если рь увеличивается:
внутренние массы продолжают движение влево, с правых
концов люков (а,, E^) массы «перекачиваются» на левые и
затем продолжают двигаться влево. Когда рь достигнет
максимального значения, каноническое представление сно-
снова станет верхним главным, в частности, первая внутрен-
внутренняя масса попадает в точку а. При этом через каждую внут-
внутреннюю точку множества Ет один и только один раз прой-
пройдет некоторая масса, а на каждом из концов люка (а;, |3j)
(/ = 1, 2, ..., т) один и только один раз появится масса
наперед заданной величины (не превосходящей максималь-
максимальной массы). В частности, если верхнее главное представ-
представление не имело масс на концах люка (а(, р;), то с одного
конца люка на другой «перекачка» происходит только
один раз.
Аналогичным образом рассматривается случай п =
= 2v.
Из приведенной картины движения масс следует, что
всегда найдутся канонические представления, которые не
будут содержать масс нив одном из концов любого фикси-
фиксированного люка.
У.6.1. Для данного а Е: (а, Ь) найти максимальное E> а,
при котором данная последовательность {с;,}ц, позитивная на
[а,*Ь], позитивна на Е\ = [a, a] U [Р. Ъ].

§ 71 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ КОМПАКТЕ 413
§ 7. Канонические представления на целочисленном
компакте
1. Канонические представления на Ж. Рассмотрим
случай, когда компакт Е есть множество N, состоящее из
целых неотрицательных чисел 0, 1, 2, ..., к которым
присоединена еще точка оо, причем непрерывность функ-
функции и (t) на N сейчас означает не что иное, как сущест-
существование и (оо) = lira и (п).
71->оо
Ясно, что к этому случаю всегда сводится формально
более общий случай, когда компакт Е представляет собой
некоторую монотонную последовательность точек, имею-
имеющих единственную предельную точку.
Всякое распределение масс на N сейчас состоит только
из сосредоточенных масс, и представление @.1) в рас-
рассматриваемом случае означает, что
Ск = 2 PtUl:(t) (А = 0, 1, , . ., П),
где р( > 0.
Для изучения канонических представлений на N нам
потребуется следующее предложение:
Теорема 7.1. Всякому р (pmin E) < р < ртах (I))
при % ^> 0 отвечают два и только два канонических пред-
представления, имеющих массу р в точке \. В одном из них
правее точки % имеется четное число узлов блока, содержа-
содержащего %, в другом — нечетное.
Доказательство. Для строго позитивной по-
последовательности {cte}o = {си — Рик E) }о построим канони-
каноническое представление с максимальной массой ртах E + 1)
в точке | + 1. В силу следствия 5.4 это представление
р
Си — PUu (Ю = Ртах {I + 1) "Л5 + 1) + S PjW* Hi)
(it = 0,1,..., л) G-1)
не имеет массы в точке g.
В этом случае, в соответствии с теоремой 3.6, справа
от точки 5 будет находиться нечетное число узлов блока
представления G.1). Добавляя массу р в точке g, придем

414 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
к представлению
р
С* = РЩ (S) + Ртах {I + 1) Uh (g + 1) + S Р?ый (Ij)
(fc = 0,l,...,«), G.2)
которое имеет тот же индекс, что G.1), и в котором блок,
содержащий ?, имеет нечетное число узлов правее |. Един-
Единственность этого представления следует из единственности
представления G.1).
Другое каноническое представление с массой в точке
% получим аналогично, построив каноническое представ-
представление последовательности {ск}% с максимальной массой в
точке g — 1. Это представление должно отличаться от
представления G.1), так как в противном случае было бы
р = ртах (?)• Значит, оно не имеет максимальной массы в
точке | + 1 и, следовательно, добавив массу р в точке
%, получи каноническое представление последователь-
последовательности {cft}o, в котором блок, содержащий ?, либо вовсе не
имеет узлов правее %, либо имеет их четное количество.
Теорема 7.2. Всякому р (pmin @) < р < ртах @))
отвечают два и только два канонических представления,
имеющих массу р в точке ? = 0. Одно из них имеет массу
на оо, другое не имеет. Индекс каждого из них равен п -j- 2.
Доказательство. Для определенности рас-
рассмотрим случай п = 2 v — 1.
Построим каноническое представление последователь-
последовательности {ckjo = {сй — puk @)}?, имеющее максимальную
массу в точке g = 1 :
р
с; = ск — рщ @) = ршах A) ик A) + 2 р^й (Ej)
' (/с = 0,1, ...,«). G.3)
Согласно следствию 5.4 pmin @) = 0. Поэтому блок пред-
представления G.3), в который входит g = 1, нечетный. Зна-
Значит, представление
р
Ск = рик @) + p'max A) Щ A) + S PiUfe (Si)
(fc = 0,l,..-,n) G.4)
имеет массу р в точке 0, имеет тот же индекс, что G.3)>

§ 71 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ КОМПАКТЕ 415
т. е. является каноническим. Это представление — не
главное, поскольку р ]> рш1п @) (следствие 5.2), т. е. его
индекс равен п + 2 = 2v + 1 • Теперь учтем, что в пред-
представлении G.4) блок, примыкающий к 0, четный, и что
все внутренние блоки должны иметь четный индекс. От-
Отсюда следует, что представление G.4) должно иметь массу
на оо.
Единственность представления G.4) следует из един-
единственности представления G.3).
Построим теперь нижнее главное представление по-
последовательности {ск}о. При нечетном п оно не имеет мас-
массы НИ В I = 0 (pmin @) = 0), НИ В I = оо.
Добавив массу р в точке 0 (увеличив тем самым на еди-
единицу индекс представления), мы получим искомое представ-
представление индекса п -\- 2, имеющее массу р в точке 0 и не име-
имеющее массы в точке оо. Теорема доказана.
2. «Смещение» блоков. Исследуем теперь, как изме-
изменяются массы построенных только что канонических
представлений в зависимости от изменения массы, сосре-
сосредоточенной в g == 0 или % = оо. Аналогичное исследова-
исследование проводилось уже для случаев Е = [а, Ъ] (§ 6 гл. III)
и Е = Ет (§ 6). Специфика случая Е = N состоит в том,
что ^V — дискретное множество, массы теперь не могут
двигаться, и единственный способ изменить положение
массы — это «перекачать» ее из данной точки в соседнюю
подобно тому, как в случае Е = Ет «перекачиваются»
массы с одного конца люка на другой. Еще одна особен-
особенность связана с существованием точек, в которых мини-
минимальная масса положительна: блок, содержащий такую
точку, не может при изменении своего положения и струк-
структуры «оторваться» от нее.
В дальнейшем для сокращения речи будем говорить,
что внутренний четный блок «смещается» влево, если его
массы в нечетных узлах увеличиваются, а в четных узлах —
уменьшаются; внутренний нечетный блок «смещается»
влево, если он превращается в четный за счет появления и
возрастания массы в соседней с ним слева точке; блок,
примыкающий к точке 0, «смещается» влево, если его край-
крайняя справа масса убывает, соседняя с ней слева возраста-
возрастает, следующая слева убывает и т. д. Говоря, что блок
«смещается» вправо, мы будем подразумевать противопо-
противоположный характер изменения его масс.

416 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Теорема 7.3. В случае п = 2 v — 1 при уменьше-
уменьшении массы р0 (pmin @) < ро < ршах @)), сосредоточенной
в точке 5 — 0, блоки нижнего канонического представле-
представления «смещаются» влево, а блоки верхнего канонического
представления «смещаются» вправо; его масса в бесконеч-
бесконечности уменьшается.
Теорема 1 Л. В случае п = 2 v при уменьшении
массы р0 (pmin @) < ро < Ртах @)), сосредоточенной в
точке 5 = 0, блоки нижнего канонического представле-
представления «смещаются» вправо, а блоки верхнего канонического
представления «смещаются» влево; его масса в бесконечности
увеличивается.
Теорема 7.5. Всякому рос@ < р^ < ртах (°°)) от-
отвечает одно и только одно каноническое представление,
масса которого в точке 5 = оо равна р^. При увеличении
роо блоки этого представления «смещаются» влево.
•Доказательство теоремы 7.3. Начнем
с верхнего канонического представления. Построим два
верхних канонических представления, имеющих массы
Ро и Ро (ро < Ро) в точке 5 = 0, достаточно мало отлича-
отличающиеся друг от друга. Так как индекс каждого из них
нечетный (га + 2 = 2v + 1) и есть массы в 5 = оо, то
блоки этих представлений, примыкающие к точке 0, дол-
должны быть четными. Поэтому масса pi первого представ-
представления, сосредоточенная в точке 5 = 1, должна быть мак-
максимальной для последовательности {ck — p'ouh @)}, вслед-
вследствие чего pi ^> pi- Теперь докажем, что р^ <[ р^:
приняв ря, Г> р'^, мы придем к тому, что после-
последовательность {ch — p'ouh @) — pluh A) —prc^ft(oo)}o как
сингулярно, так и строго позитивна. Установив, что
р!» < р<», рассмотрим последовательность
{ск — р'оик @) — р"хик A) — р'соЩ (оо)}о. G.5)
Построенным каноническим представлениям последова-
последовательности {cfe}o отвечают главные представления последо-
последовательности G.5): одно из них не имеет массы в точке
5 = 0, имеет массу pi — р'{в точке ^ = 1 и не имеет мас-
массы в точке 5 = °°; другое — имеет массу ро — ро в точке
5 = 0, не имеет массы в точке 5 = 1 и имеет массу р^, —
— р^о в точке 5 = °°- Вычислив числа {Тг}о Для этих пред-
представлений и пользуясь близостью р0 и ро, заключаем на

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОМ КОМПАКТЕ 417
основании следствия 4.3, которое можно применить к
каждому блоку обоих представлений, что все числа т«
отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки. Вспоминая,
что блоки, примыкающие к g = 0 — четные (крайняя
справа масса возрастает), получаем отсюда утверждение
теоремы.
Для нижнего канонического представления рассужде-
рассуждения аналогичны, только вместо неравенства pj»< p<^ дока-
доказывается неравенство рр' < рр для крайней справа массы.
Таким же путем доказываются теоремы 7.4 и 7.5.
3. «Движение» масс. Теперь можно полностью
описать изменение масс канонических представлений.
Для определенности рассмотрим случай п = 2v — 1.
Поместим в точке \ = О максимальную массу ртах @).
Ей отвечает верхнее главное представление. Станем умень-
уменьшать массу, сосредоточенную в нуле, и будем следить за
отвечающими ей нижними каноническими представле-
представлениями. При этом блоки начнут «смещаться» влево: в чет-
четных блоках массы из четных узлов «перекачиваются» в
соседние слева нечетные узлы. Если %г — левый крайний
узел нечетного блока (тогда рШш (|; — 1) = 0), то в точке
\i — 1 при уменьшении р0 появляется и растет масса
(блок стал четным). Когда эта масса достигнет максималь-
максимальной величины и начнет убывать, в точке |; — 2 появится
и начнет расти масса. При этом в точке |, — 1 масса бу-
будет исчезать (так как pmin (?i — 1) = 0).
Таким образом, от блока «оторвалась» масса. Эта мас-
масса будет «смещаться» влево, «перекачиваясь» из узла в
узел (не исключается возможность, что она «догонит»
предшествующий ей слева блок и примкнет к нему).
Когда масса р0 примет минимальное значение (>0),
каноническое представление станет нижним главным.
Теперь начнем «накачивать» массу в точке \ = оо. Картина
изменения масс останется той же. Когда рс*> достигнет мак-
максимальной величины, то придем к исходному представле-
представлению. При этом в каждой конечной точке % Е~ N два и
только два раза появится масса заданной величины
Р (pmin E) < p<pmax E)): один раз при увеличении мас-
массы в точке g от pmin (?) до р, другой раз — при уменьше-
уменьшении МаССЫ ОТ ртах (S) ДО р.
Заметим, что еслиртш @) ^> 0, то ту же картину можно
получить, уменьшая сначала р0 от ртах @) до pmin @)

418 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
и строя нижние канонические представления, а затем
увеличивая р0 от pmin @) до ртах @) и строя верхние
канонические представления.
(!) У.7.1. Пусть Е* = {0, 1,..., т} и Г+-спстема на Е* периодиче-
периодически (с периодом т -\- 1) продолжена на множество целых чисел, так
что Е* можно отождествить с множеством вершин правплыгого
(пг -(- 1)-угольника. Перенести на этот случай теорию канонических
представлений.
У.7.2 (И. Шёнберг [2]). Пусть Я5„, даь..., хт, asm+1 =
= х0 (т > 2v) — последовательные вершины замкнутой выпуклой
на JB2v ломаной U и пусть М обозначает совокупность подмножеств
Н = {/j, /2,..., ;'2v} С ¦?* (см. У.7.1), состоящих из 2v различных
элементов и содержащих (с учетом того, что 0 и'то — соседние эле-
элементы) только четные блоки.
Имеют место формулы:
a) d?(*7)= U Я3|
где $с при Е = {/г, ]\, ¦ ¦ ., /2Ч|} есть 2v — 1-мерный симплекс с вер-
вершинами в точках х^, х^, . . ,,xj . При Ei=? Ег симплексы $s и^Ва
могут пересекаться только по своим граничным точкам.
Указание. Воспользоваться единственностью канониче-
канонического представления, отвечающего любой точке с ? д$ (U).
б) v*w= 2 fs,
где FE приЕ = {]\, /%,•¦•, /2v} обозначает объем симплекса с вершина-
вершинами в точках с, х^,..., х^ , а с обозпачает некоторую фиксированную
точку из Int S (С^)-
Отметим, что И. Шёнберг получил формулы а) и б), не опираясь
на теорию канонических представлений на дискретном множестве
(основные положения этой теории были опубликованы М. Г. Крей-
ном и П. Г. Рехтман [1] год спустя после появления работы И. Шён-
Шёнберга).
§ 8. Абсолютно монотонные функции
на конечном интервале
1. Напомним одно из определений абсолютно монотон-
монотонной функции (см. § 2 гл. V).
Функция / (х) называется абсолютно монотонной в от-
открытом интервале (а, Ь), если она имеет в (а, Ь) неот-
неотрицательные производные любого порядка /((с) (х) > 0
{а<х< Ь; к = 0, 1,...).

§ 81 АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 419
Функция / (х) называется абсолютно монотонной в по-
полузамкнутом интервале (а, Ь] (соответственно полузам-
полузамкнутом интервале [а, Ь) или замкнутом интервале [а, Ь]),
если она абсолютно монотонна в открытом интервале
(а, Ъ) и непрерывна на рассматриваемом конце.
Мы воспользуемся в дальнейшем теоремой С. Н. Берн-
штейна [3].
(А) Всякая функция, абсолютно монотонная на зам-
замкнутом интервале [а, Ь], является на этом интервале
пределом последовательности целых рациональных мно-
многочленов
(8-1)
с неотрицательными коэффициентами.
Пусть Р (х) — многочлен вида (8.1):
3=1
Назовем индексом многочлена Р (х) индекс в ^V по-
последовательности целых чисел {Pj}T-
Докажем теорему:
Теорема 8.1. Пусть f (х) @ ^ х ^ 1) — некото-
некоторая функция, абсолютно монотонная на[0,1], не вырожда-
вырождающаяся в многочлен индекса ^ п — 1.
Тогда для любых @ <) хг < х2 <С ¦¦¦ <^п (^ 1)
найдутся многочлены Р (х) с неотрицательными коэффи-
коэффициентами такие, что
P(xk) = f{xk) (Л = 1,2,...,в). (8.2)
Индексы этих многочленов !!> п; из них один и только один
имеет индекс п1), и он характеризуется тем, что для
него
f{x)-P(x)>0
<M [(8-3)
(Л = 0,1,..., л-1; *0=0).
1) Тогда как таких многочленов, имеющих индекс > п (даже
только имеющих индекс п + 1) — бесчисленное множество.

420 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Доказательство. Последовательность
/(*l), f {*),.. ;f(Xn) (8.4)
строго позитивна в N относительно последовательности
функций
4 *S, •••.:< (*GiV).. (8.5)
В самом деле, для> любого многочлена Р (х) вида (8.1)
из неравенств
(t e N) (8.6)
следует:
n n m m n
Так как в силу теоремы (А) функция / (х) является в
[хг, хп] пределом последовательности многочленов типа
(8.1), то из (8.6), вместе с (8.7), следует:
п
/с/ \ к) s^ \^.^/
Итак, позитивность последовательности (8.4) относи-
относительно последовательности функций (8.5) доказана. Эта
последовательность является Г+-системой на множестве
N*, полученном из N исключением точки оо (если хп < 1,
то все функции (8.5) обращаются в нуль в точке оо). Одна-
Однако функции
на всем мнонгестве N образуют Г+-систему, а последова-
последовательность (8.4) позитивна также относительно этой после-
последовательности функций. Поэтому существует представ-
представление.
Если бы последовательность {/ (xk)}i была сингуляр-
сингулярно позитивна относительно последовательности функций

§ 8] АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 421
(8.9), то распределение масс a {t) определялось бы одно-
однозначно и индекс этого представления был бы <: п — 1.
Добавив к числам (8.4) еще число / (х), а к функциям
(8.5) — еще функцию х', аналогичным образом убедим-
убедимся в существовании представления
f(x) = [(?)* dr(t), f{xk) = 5(g)fdT(O {к = 1,2,.. ./я).
IV JV
Из единственности распределения а вытекает, что dx =
= do, и поэтому / (х) вырождается в многочлен индекса
^ п — 1, что противоречит условию теоремы.
Итак, последовательность {f(xk)}i строго позитивна
относительно последовательности функций (8.9), образу-
образующих ^-систему в N. Следовательно, среди представ-
представлений этой последовательности существуют различные
представления:
/(**)= Sp;(g) (A = 1,2 п).
Соответствующие этим представлениям многочлены
т Е. го
H =S(pi/*»o^
i=i nJ 3=1
имеют индекс > п и удовлетворяют равенствам (8.2).
Среди них имеется единственный многочлен индекса п.
Положим теперь для любого t E= N:
_l)n-fe[±V ПРИ жй<а::<;!::;?+1 (жо = 0).
Функции (8.9) и Q (t) удовлетворяют условиям теоремы
8.8 и замечания 3.1. Воспользовавшись этими утвержде-
утверждениями, получим неравенства (8.3), а также единственность
многочлена Р (х), обладающего свойствами (8.2).
Изложенный метод позволяет распространить теорему
8.1 на случай, когда интерполирующий многочлен

422 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
индекса п подчиняется условиям
где @<)г1<га<...<гр«1), гах + Щ + • • • + пр = и,
k=i,2,...,p.
С. Н. Бернштейн [3] провел доказательство этого пред-
предложения для случая р = 1, хх = 1, используя специаль-
специальные методы.
Интерполяционная теорема 8.1 позволяет легко полу-
получить фундаментальную теорему С. Н. Бернштейна [3],
доказанную им другим путем.
Теорема 8.2. Функция f (х), абсолютно монотон-
монотонная в замкнутом интервале [0, а], допускает разложение в
степенной ряд с неотрицательными коэффициентами
сходящийся на [0, а] (и, следовательно, в круге | z \ < а).
Доказательство. Действительно, считая а — 1,
что не ограничивает общности, занумеруем все рациональ-
рациональные точки г„ отрезка @,1] (г1 = 1) и построим много-
члены Рп (х) = 2 f^"° х* = \ xtdGn (t) с неотрицательными
о iv
коэффициентами, удовлетворяющие условиям Рп (rfr) = / (г^)
(А = 1,2,..., п). Так как an[N] = ^dajt) = Pn(l) = f{l),
N
то из теорем Хелли вытекает существование подпоследо-
подпоследовательности {Рпч (х)} и распределения масс a(t) таких, что
оо
lim Рщ (х) = { хЧо (t) = 2 №' = Ф И @ < ж < 1).
Функция ф (х) совпадает с / (х) во всех рациональных
точках, откуда ф (х) — / (х) для всех же [0, 1].
Если бы мы разрешили себе воспользоваться этим
предложением, то при доказательстве теоремы 8.1 не бы-
было бы нужды пользоваться аппроксимационной теоре-
теоремой (А).

§ 8] АБСОЛЮТНО МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 423
Для удобства записи условимся понимать под \ij (f) ко-
коэффициент при xj в разложении (8.10) функции / (х).
Теоремы § 3 и § 5 о максимальных и минимальных
массах имеют непосредственным следствием предложение:
Теорема 8.3. Пусть существует по крайней мере
одна абсолютно монотонная в [0, 1] функция, не вырожда-
вырождающаяся в многочлен индекса ^ п — \ и принимающая в
точках @ < ) хх <С хг ¦< ... < хп = 1 соответственно
значения сх, с2, ..., сп. Тогда для любого наперед заданного
неотрицательного целого числа К среди бесчисленного мно-
множества абсолютно монотонных в [0, 1] функций f (x),
удовлетворяющих условиям (8.2), найдется один и только
один многочлен Рк (х) такой, что
для каждой иной функции f (x) указанного класса.
Индекс многочлена Рк (х) равен п или п + 1.
Коэффициент \1к (Рк) входит в группу отличных от
нуля (положительных) коэффициентов Рк (х) при после-
последовательных степенях х. Если эта группа состоит из более,
чем одного коэффициента и не содержит свободного члена,
то она состоит из нечетного количества членов и [д-я (Рк)
занимает в ней нечетное место.
При этом коэффициенты \ук±2] (Рк), занимающие в этой
группе нечетные места, обладают свойством
(/) < \x,K±2j (Рк),
а коэффициенты h-k-±Bj-d (Pк), занимающие в ней четные
места,— свойством
^«¦±B3-1) (/) > (Atf±Bj-i) (рк)
для каждой иной функции f (x) рассматриваемого класса.
Последнее, в частности, означает, что в с е f (х) имеют
при указанных степенях положительные коэффициенты.
Аналогичные утверждения имеют место для группы
отличных от нуля коэффициентов, содержащих свободный
член, если индекс многочлена Рк (х) равен п.
Представляем читателю интерпретировать движение
масс канонических представлений для абсолютно монотон-
монотонных функций.

424 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
§ 9. Гладкая (<р,ч|з)-проблема на Ет
1. Постановка задачи и критерий разрешимости. Под
(ф, ор)-проблемой в главе VII понималась проблема мо-
моментов, в которой дифференциал da (t) подчиняется усло-
условиями dq> (t) ^ da (t) ^ dty (t), где ф (t) и ар (t) — непре-
непрерывные функции ограниченной вариации такие, что
йф (t) < dap (t) при а < t < b. Новые проблемы возника-
возникают, если отказаться от непрерывности функций ф (t) и
op (t) и допускать равенство dq> (t) = dap (t) на некоторых
множествах. Например, если положить ф (t) = 0, а в
качестве о|з (t) взять неубывающую ступенчатую функцию с
дискретным множеством точек роста Е — {%]}, то получим
проблему моментов, подчиненную ограничениям: носите-
носителем масс служит Е, а масса в каждой точке \} ?Е Е не
.превосходит скачка функции t|; (t) в этой точке.
Мы ограничимся здесь случаем, который допускает
просто формулируемые и, вместе с тем, важные для при-
приложений результаты. Именно, будем предполагать, что
функции ф (t) ио|з (t) удовлетворяют следующим условиям:
1) ф (t) и i|) (t) непрерывны и имеют ограниченную ва-
вариацию на [а, Ь];
2) dq> (t) < dojj (t) на множестве Ет, полученном уда-
удалением т люков (а;, Р7-) из [а, Ь] (/ = 1, 2, ..., т;
а < cq < рх < ... < am < pm < &);
3) dф (?) = daj; (f) в люках (a^, P^) (; = 1, 2, ..., m).
Распределение a назовем допустимым, если оно удовлет-
удовлетворяет неравенствам
о!ф (t) < da @ < daj; @ (a <<<&).
Ясно, что в люках (a,, p;): da (t) = dq> (t) = d^ (f).
Поставим следующую задачу, которую назовем (ф, я|э)-
проблемой в Ет. Р" =j ' te
Найти условия, при которых для последовательности
непрерывных в [а, Ъ] функций {uk(f)}% и последовательно-
последовательности {сь}о существуют допустимые распределения а та-
такие, что
(9.1)

S 9] ГЛАДКАЯ (ф.ф)-ПРОБЛЕМА 425
и в случае существования последних исследовать простей-
простейшие из них.
Будем предполагать для простоты, что функции {и& (?)}"
образуют ^-систему в интервале (а, Ъ). Совокупность
допустимых распределений а, осуществляющих представ-
представление (9.1), обозначим через V (с; Ет; ф, i|)). Через
& (Ет; ф, i|)) обозначим совокупность точек с — {eft}? ?Е
е -Rn+1, координаты которых представимы в виде (9.1),
где a (t) пробегают совокупность V (с; Ет; ф, i|)).
Теорема 9.1. & (Ет; ф, ф) ес/тгь замкнутое огра-
ограниченное тело.
Доказательство отличается от доказательства теоремы
"VII. 1.1 тем, что вместо интервала (а, ^рассматривает-
^рассматривается Ет.
Точно так же можно получить доказательство следу-
следующего предложения (ср. с теоремой VII.1.2).
Теорема 9.2. Для того чтобы для последователь-
последовательности {ck}e существовала функция ugF (с; Ет; ф, "ф"),
необходимо и достаточно, чтобы для каждого многочлена
выполнялось неравенство
п Ь
S р+ @ ^ @ - Sр- @ ^ф (О-
Ниже будут приведены примеры, когда можно ука-
указать полное аналитическое описание тела & (Ет; ф, "ф), в
котором условие принадлежности точки этому телу выра-
выражается в виде неотрицательности некоторых квадратич-
квадратичных форм.
2. Канонические представления. В люках (а;, р7)
(/ = 1, 2, ..., т) для всякого допустимого распределе-
распределения а имеем da = dq> = dty. Чтобы определить экстремаль-
экстремальные представления так же, как это сделано в § 3 главы
VII, условимся считать da = efcp (da — di|)) в интервале
(a.j, |3j), если к f>) примыкает интервал, в котором da =
= dq> (соответственно da = <#ф). Условившись таким об-
образом, назовем экстремальными такие представления

426 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
(9.1), при которых а Е= V (с; Ет; ср, гр) имеет следующую
структуру: точками из Ет, в число которых не могут быть
включены точки f>j (j = 1, 2, ..., т), а также а и Ъ, ин-
интервал [а, Ъ] делится на конечное число частей, в которых,
с учетом соглашения об интервалах (а,-, Ру), дифференциал
da по очереди равен йц> и Ар.
Интервал (?, л), в котором da = dcp (соответственно
do = dtp), назовем ср-(соответственно яр-)-интервалом. Чис-
Число точек деления назовем индексом представления.
Если индекс экстремального представления ^ п + 2, то
оно называется каноническим; если его индекс равен п + 1,
то главным. Каноническое представление называется верт-
«1Ш (нижним), если к точке & примыкает ip-интервал (со-
(соответственно ф-интервал).
Теорема 9.3. Для того чтобы точка с = {cfe}^
была граничной точкой тела й (Ет; ср, tp), необходимо
и достаточно, чтобы она допускала каноническое пред-
представление индекса sgC п. В этом и только в этом случае
распределение а Е= V (с; Ет; ср, ф) определяется одно-
однозначно.
Доказательство полностью совпадает с доказательст-
доказательством теоремы VIII.3.1 и соответствующей части теоремы
VII.1.2. Единственное изменение, которое нужно внести,
состоит в следующем. При доказательстве однозначности
представления граничной точки тела й (Ет; ср, гр) рас-
распределение а' должно определяться так: па множест-
множестве Ет
P(O<O
при Р (t) > О
а в люках (а,-, |3у) (/ = 1, 2, ..., т) — в соответствии с при-
принятым соглашением.
Без каких-либо изменений повторяется доказательство
теоремы VII.3.2, что приводит к следующим теоремам.
Теорема 9.4. Каждой точке с ЕЕ Int ®(Em; cp,ip)
отвечает одно и только одно нижнее и одно и только одно
верхнее главное представление.
Теорема 9.5. Если' системы функций {uk (f)}% и
+ образуют Т ^.-системы внутри интервала

§ 9] ГЛАДКАЯ (ф,ф)-ПРОБЛЕМА 427
la, b] и с ge Int & (Ет; ф, гр), то интеграл
ь
(c; Ет; Ф, гр))
достигает своего наименьшего и наибольшего значения
для распределений, задающих соответственно нижнее
и верхнее главные представления последовательности
С = Ыо-
3. Свойства канонических представлений. Заново про-
проводя рассуждения § 3 главы VII применительно к рас-
рассматриваемой проблеме, найдем, что для внутренней точ-
точки тела & (Ет; ср, гр) внутренний-ф-интервал одного кано-
канонического представления не может полностью попасть в
какой-нибудь гр-интервал другого канонического пред-
представления той же точки. Отсюда следует, что внутренние
по отношению к [а, Ь] начала (концы) гр-интервалов кано-
канонических представлений перемежаются и что внутренние
ф-интервалы различных канонических представлений внут-
внутренней точки тела ^ (Ет', ц>, tp) не могут иметь общих на-
начал и общих концов.
Каждой точке с ее Int й (Ет; ср, ф) отвечает отрезок
{с, Т} (Т <! Т ^ f) в теле ®(Ет; гр, ф) cz -Bn+2 и всякому
Т €= (т> Т) соответствует одно и только одно нижнее и
одно и только одно верхнее каноническое представление
последовательности! {cft}".
Теорема 9.6. Начала и концы ^-интервалов ниж-
нижнего (верхнего) канонического представления являются мо-
монотонными и, пока они остаются внутренними точками
Ет, непрерывными функциями от у в интервале [у, у].
Доказательство. Непрерывная зависимость
от X внутренних по отношению к Ет начал и концов гр-
интервалов есть следствие единственности нижнего (верх-
(верхнего) канонического представления, отвечающего данному
значению у (см. доказательство теоремы VII.3.6). Моно-
Монотонность вытекает из того, что внутренние по отношению
к [а, Ъ] начала (концы) гр-интервалов канонических пред-
представлений перемежаются.
Из этой теоремы, как и в § 3 главы VII, получается
следующая

428 ПРОБЛЕМА НЛ НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
Т е о р евм а |9.7. Если с ЕЕ Int ® (Ет; ф, г|?), то про-
произвольная точка т, внутренняя по отношению к Ет, яв-
является началом (концом) одного из ^-интервалов некоторого
канонического распределения о ?Е V (с; Ет; ф, ф).
Кроме того, каждая точка a,j(j = 1, 2, ..., т) являет-
является концом одного из ^-интервалов некоторого канонического
распределения.
4. Неравенства Маркова. Предполагая, что функции
{u-h (t)}o образуют Л/+-систему в интервале (а, Ь), присо-
присоединим к ним непрерывную на [а, Ь] функцию Q (t), удов-
удовлетворяющую условиям:
Q(t1)>0, Д(Ц° П\>О,...,Д(И« ¦ - Un Q
при а < tx < t2 < ... < tn+i < Ъ.
Зададим точку с е Int Й (?"т; ф, г|;), число г (я < г <
< &) и поставим задачу об отыскании наибольшего и
наименьшего значений интеграла
при условии, что 56F(c; Em; ф, -ф).
Заметим, что достаточно ограничиться теми значени-
значениями т, которые принадлежат Ет, так как в люках (a,-, f>j)
для допустимого распределения а однозначно определя-
определяется do. Поэтому при а, < т < Pj вместо интеграла по
[а, т] можно рассматривать интеграл по [а, а*].
Теорема 9.8. Если точка т ?Е Ет является нача-
началом (соответственно концом) ^-интервала канонического
распределения оч ?Е V (с; Ет; ф, а|)), то значение интеграла
является наименьшим (соответственно наибольшим) ш
значений интегралов
г9е оеУ(с; ?!т; ф, ф).
Доказательство совпадает с доказательством теоремы
VII.4.1.

§ 9] ГЛАДКАЯ (ф.ф)-ПРОБЛЕМА 429
Применим полученные результаты в следующей задаче.
5. Проблема Неваилинны — Пика в классе 8 (Ет).
Функция F (z) относится к классу 8 (Ет), если она го-
голоморфна в верхней полуплоскости, имеет там неотри-
неотрицательную мнимую часть (т.е. принадлежит классу Я)
и, кроме того, голоморфна и положительна в люках
(a,-, fij) (/ = 1, 2, ..., т) множества Ет (см. Приложение).
Без ограничения общности можно считать, что среди лю-
люков есть два полубесконечных (— оо, а) и (Ь, +оо),
так как этого всегда можно добиться следующим приемом:
если функция F (z) класса М голоморфна и положительна
в интервале (а, Р), то преобразованием независимой пе-
переменной вида ? = 1/(у — z) (а < 7 < Р) она превраща-
превращается в функцию / (?) класса Я, голоморфную и поло-
положительную в интервалах (— оо, а) и (Ь, + оо), где
а = 1/(Y - |3), Ь = 1 /(Y - а).
Поэтому мы будем смотреть здесь на 8 (Ет) как на
часть класса § [а, Ь] (см. Приложение), полагая т рав-
равным количеству люков, изъятых из [а, Ь].
Пусть заданы п различных чисел {zft}" в верхней по-
полуплоскости и п чисел {wh}i. Найдем необходимые и до-
достаточные условия существования функции F (z) ее $ (Ет),
для которой F (zfe) ~ wk (к = 1, ..., п), т. е. найдем кри-
критерий разрешимости проблемы Неванлинны — Пика в
классе 8 (Ет). Отметим, что при т = 0 эта проблема сво-
сводится к уже решенной проблеме Неванлинны — Пика в
классе $ [а, Ь] (см. У. III.2.6).
Заметим еще, что в силу мультипликативного пред-
представления функций класса 8 (Ет) (см. Приложение)
проблема Неванлинны — Пика в этом классе функций эк-
эквивалентна проблеме Неванлинны — Пика в классе
функций G (z), удовлетворяющих условиям:
Г. G (z) GE Я,
2°. О < Im G (z) < я (Im z > 0),
3°. G (z) голоморфна и вещественна в люках (a,-, |3j)
(/ = 1, 2, ..., т) и в (— оо, а), {Ь, + оо).
Как и в Приложении, с каждым люком (а^, |3j) свя-
свяжем функцию
co^z) = S^I = ехр \ ~Г~Г 0 = !. 2. ¦ • -. т).

430 проблема на несвязном .компакте (тп. vni
Теорема 9.10. Для существования функции класса
$ (Ет), принимающей значение u>k в точках z^ (к =
= 1, 2, ..., га; Im zk ^> 0), необходимо и достаточно, что-
чтобы существовали: функция класса8 (Ет^), принимающаяв
zfe значение wh, и функция класса $ (i?m_1), принимающая в
Zft значение <ат (zk) wh.
Доказательство. Необходимость.
Пусть функция F (z) является решением проблемы Не-
ванлинны — Пика в классе 8 (Ет):
Эта же функция, очевидно, принадлежит к классу S (Ет^1).
Докажем, что функция com (z)F (z), принимающая в zh
значение ©т (zk) wk, принадлежит классу § (Ет-Х).
В самом деле,
^^ 1, t?EEn; C>0).
= ехр \
Кроме того, aim (z) = ехр \ , поэтому
где
1 1 при fG(am, Pm).
Так как 0 < f (*)< 1 при i <= Ет.и то wm (z) F(z)^8 (Em).
Достаточность. Доказательство будем вести
индукцией по т. Пусть т = 1, т. е. существуют две функ-
функции класса 8 la, b], принимающие в точке zK значения со-
соответственно Юц и (Л1 (zh) wh. Последовательность {г#&}™
допускает следующие представления:
ь
^Щ- (do(t)>0),
(к = 1,2,..., п).
l; C>0)

9] ГЛАДКАЯ (ф.ф)-ПРОБЛЕМА 431
Положим еще w0 = С = \ds{t). Без ограничения общ-
а
ности можно считать, что последовательность {м\.}" строго
позитивна в интервале [а, Ь] относительно системы функ-
функций \~—-I (это будет доказано нижеI). В этом случае
1
можно так выбрать С, чтобы и последовательность w0,
w1,...,wn была строго позитивна в [а, Ь] относительно
системы функций 1, z]~~ а ,...,z™~~ a . Тогда последова-
тельность w*k = In -^ (к = 1, 2,..., ri) допускает различные
k
представления вида
и поэтому существует @, 1>)-каноническое представление
(L = 1) этой последовательности2), которое имеет L-
интервал с концом в точке аг:
. . < |„+1 < tin+1 < b, ti(A=a1 и
не могут одновременно выполняться равенства ?х = а и
1п+1 = 'Hn+l-
Таким образом,
J) Имеется в виду строгая позитивность последовательности
вещественных и мнимых частей чисел wh относительно веществен-
b — zk
ных и мнимых1 частей функций"; > образующих Г-систему
порядка 2п — 1.
2) Так как последовательность вещественных и мнимых частей
чисел wk (к = 1, 2,..., п) состоит из 2п членов, то индекс Ь-кано-
нического представления должен быть равен 2п или 2п -\- 1,

432 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
где
Р (z) = (т)! — z).. . (% — zy . . (т)п+1 — z) (tin = at),
9(z) = (|i-2)...(gn+l-z).
Поэтому (полагая ?п+2 = &), имеем
n+2
2
n+2
o = S Pi.
где p,- > 0 d = 1, 2,..., ra), pn+1 > 0 (pn+1 = 0, если |n+1
=? i1n+i), Pn+2 > 0 (Pn+2 = 0, если Tin+1 = b).
Покажем, что функция
дает одно из решений задачи при т = 1. Для этого нужно
только проверить, что F(z)gI (^i). т- в. что ни один
из L-интервалов (\], r\j) не пересекается с интервалом
(«1, Pi)-
Заметим, что
где Pi (z) получается из Р (z) заменой множителя т]^ —
— z = аг — z множителем $г — z.
Поэтому
п+2|
= (Ь-**) 2 г^Ч- (А = 1,2,...,п), (9.1)
где
n+2
2j Pj — ^ = wo, (y-z)
}'=1
G = 1,2,..., n + 2). (9.3)

§ 91 ГЛАДКАЯ (ф,ф)-ПРОВЛЕМА 433
Так как можно считать, что последовательность w0,
<% (zt) wx, ..., (ol (zn) ivn строго позитивна относительно си-
. Ъ — zi Ъ — zn
стемы 1, ,. .., , то отсюда и из того, что сумма
г — z\ t — zn
индексов тех точек ?j, которым отвечают р; =f= 0, не пре-
превосходит 2ге -f- 2, следует, что в представлениях (9.1) и
(9.2) все р- > О (у = 1, 2, ..., га + 2), а это в силу (9.3)
означает, что |у не попадает в (а15 рг).
Рассмотрим теперь случай т j> 1. Можно считать, что
последовательность {wk}i допускает бесчисленное мно-
множество представлений
при надлежаще выбранном фиксированном С > 0. Тогда
можно построить @, />)-каноническое (L = 1) представ-
представление в Ет-г последовательности w"k = \n~ (к ~ 1, 2, ...
..., га), имеющее L-интервал с концом в точке ат. Поло-
Положим 8j равным единице, если люк (a,-, f5;) (у = 1, 2, ...
..., т) оказывается внутри одного из L-интервалов этого
представления, равным нулю в противном случае, и рас-
рассмотрим последовательности
Wk = (о»>(z,)... co^-i (Zft) щ и Ют (Zt) PF, (fc = 1, 2,. .., га).
Из условия теоремы вытекает, что существуют функции
класса S [а, Ь], принимающие в точках zft значения со-
соответственно Wh и мт (zk) Wk {к = 1, 2, ..., га). Так как
(о;-(г) = ехр \ ^——, то построенному @, ?)-канониче-
скому представлению в Ет-Х последовательности {}
соответствует @, />)-каноническое представление в [а, Ь]
последовательности {^}™, где
— уже со «сплошными» L-интервалами, один из которых
имеет конец в точке ат.

434
ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ
[ГЛ. VIII
По доказанному для случая nl = 1 //-интервалы этого
представления не имеют общих внутренних точек с ин-
интервалом (ат, Рт). Следовательно, последовательность
допускает представление
что и требовалось доказать.
Сформулируем условие разрешимости проблемы Не-
ванлинны — Пика в классе 8 (Ет) с помощью квадра-
квадратичных форм.
Положим м0 (z) = \—- и п (z) = Mo°(z) k>i'(z). . . со8™ (z)
С? Z 771
Fj = 0 или 1).
Для того чтобы существовала функция класса S (Ет),
принимающая в точках zh значения wk (к = 1, 2, ..., и),
необходимо и достаточно, чтобы были неотрицательны
2m+1 квадратичных форм вида
к, l=i zk~~ zi
Для завершения доказательства теоремы осталось
показать, что произвольно малыми изменениями чисел wk
можно добиться положительной определенности всех форм
(9.4). Для этого выберем два числа ? и т] (|Зт < | < т] <
< fe), произвольно малое р ]> 0 и заменим числа wk
числами Wx + Рг——- • Так как
3=0
где, как легко убедиться, рэ-!>0 и р' ^> 0, то
k,
z. _
"Ч
s
", =.—zk

§93 ГЛАДКАЯ (ф,1|))-НР0ВЯЕМА 435
Следовательно, добавляя, если нужно, слагаемые вида
р J? - к числам wk, мы можем сделать все формы (9.4)
положительно определенными.
У.9.1. Проблема Неванлинны — Пика в классе & (Ет) имеет
единственное решение тогда и только тогда, когда по крайней мере
одна из форм (9.4) вырожденна.
У.9.2. Для того чтобы существовала функция F (z) ЕЕ 9i,
обладающая свойствами:
1°. F (z) голоморфна, вещественна и сохраняет знак в каждом
из интервалов (а,-, Р,-): sign F (z) = е,- при z GE (су, Р?) (; = 1, 2,..., т).
2°. F (zh) = wk {к= 1, 2,..., n; Im zh > 0),
необходимо и достаточно, чтобы были неотрицательны все 2т
форм вида
к,I
где
= [аи (zft)] 2 • • • [оэт (zk)] 2 t»!Ck D = 1,2 п):
Pj- — г
°° < aj- Pj < °°. wj (z) = z — Pj при otj=—oo,
1
ш^' (z) = a • z' ПРИ ^j ~ °°; ^i независимо ДРУГ от друга прини-
принимают значения 0 и 1.
Интерполирующая функция рассматриваемого класса единст-
единственна тогда и только тогда, когда хотя бы одна из форм (9.5) вырож-
вырождается .
Д.9.3. Нам неизвестно решение следующей задачи, частным слу-
случаем которой является задача У.9.2.
На вещественной оси заданы интервалы (а;, Ру) (/ = 1, 2,..., т;
Pj <C aj+i) и произвольные интервалы (аэ-, &э) (/ = 1, 2,..., т).
Найти условия, при которых для заданных чисел {z^}"
(Imz(i.>0) и {wfc}™ суп(ествует функция F (г) класса М, обладаю-
обладающая свойствами:
1°. F (г) голоморфна в каждом интервале (с^, ^-) и a-<C_F (z)<^b-
при z e (a^-, рр (/' = 1, 2 /п).
2°. /¦(*») = »к (А = 1,2 п).
(!) У.9.4. (А. М. Данилевский — Н. И. Ахиезер;
см. Н. И. Ахиезер [2]). Последовательность {cjjg допускает пред-
представление
сц= \ t*j{f)dt (fc = 0, 1 и),
где

436 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
тогда и только тогда, когда являются степенными моментами на
[а, Ь] все 2 последовательностей {х;.}q +1 = {sk F1 ^m^o"^1
(So — 1), определенных из разложений
г
n_\l _ Л. , _?l , 1 Sn
+1 yj— z + Z2 -t- • • • -f- гп
где каждое 8j независимо от других полагается равным -J-1 и —1.
(!) У.9.5. Пусть Ет есть интервал [0, 2я] с т люками (а;-, ^-\
(О < а! < Pi < • • • < ат < pm < ai + 2я). Положим
2 -е 2 z).
Последовательность {сй}™ допускает представление
ск= С eiktj(t)dt (/с = 0, 1, . . ., и),
где
тогда и только тогда, когда являются тригонометрическими момен-
моментами на [0, 2л] все 2т последовательностей {Tf^J" = {Tft Fi, • • •
• • -1 Sm)}j, определенных из разложений:
0)^2 B)... «У2 (z) exp {-^ (-J- + c
= Т + Tiz + T2Z2 + 1- ynzn + • • • (То = Т + Т)-
6. (<р, ч|))-проблема на Ет и оптимальные управления.
Ц заключение укажем, что задача об оптимальном управ-
управлении в некоторых случаях может быть сведена к (ф, г|;)-
проблеме на Ет. Рассмотрим, например, тот случай, ког-
когда управление v (t) (в обозначениях § 7 гл. VII) подчинено
ограничениям: каждая координата v(t) может изменяться
в заданных пределах:
O}(t)^vt(t)^V}(t) (/ = 1,2,..., г).
Каждое допустимое управление v{t), как показано в
§ 7 главы VII, удовлетворяет условию

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VIII 437
Запишем это равенство в координатах:
^cki(t)Vi(t)dt (fe = l,2,...,n), (9.6)
о j=i
где ckj (t) — элементы матрицы С (t).
Выбрав произвольные числа {fij}[ (Pj+i — Pj^> T', ^ = 0),
положим Aj = (Pj, Pj + 71) и при ? GE Aj, Иц {t) — ckj (t — fij),
u(?) = Uj(?— Pj-). Тогда соотношения (9.6) перепишутся
в виде
с*= $ и*(*М0<Й (fc = l,2 п), (9.7)
г
где {ch}i и {«^(i)}? — заданы, Ег^ = у Aj, а искомая
1
1
функция 1> (*) подчинена условию: Ф;- (t — Р;) ^ г; (?) ^
< ?Дг - |3;) при ? е А/.
Мы пришли к (ф, г{))-проблеме на Ег-Х. Задача об оп-
оптимальном управлении по быстродействию приводит к
новой задаче: найти наименьшее Т, при котором (ф, г|з)-
проблема (9.7) имеет решение.
Примечания к главе VIII
«Освоение» компакта, отличного от интервала, в проблеме мо-
моментов шло поначалу двумя независимыми путями: один путь —
это «освоение» системы интервалов, другой — целочисленного мно-
множества N с присоединенной к нему точкой t = ос.
На первый взгляд может показаться странным, что начало та-
такому изучению было положено в 1937 г. работой не по обычной, а
по L-проблемо (степенной) на двух интервалах (см. Н. И. Ахиезср
и М. Г. Крейн [3]). Это объясняется содержанием цитированной ра-
работы: в ней устанавливается связь степенной (— L, ?)-проблемы
на двух интервалах с двойственной задачей о минимизации некото-
некоторого интеграла по множеству, состоящему из данных интервалов.
Подобные двойственные связи подробно изучаются в следующей
главе.
Затем, накануне Великой Отечественной войны, А. М. Данилев-
Данилевский обобщил эти результаты и нашел критерий разрешимости сте-
степенной (—L, ^-проблемы на нескольких интервалах, о чем стало
известно из его устного сообщения. А. М. Данилевский скончался
во время войны, не успев ни опубликовать, ни доложить свои ре-
результаты, и впоследствии, в 1949 г. Н. И. Ахиезер [2] установил
этот критерий (см. У.9.4).
^Щ По предложению Н. И. Ахиезера и под руководством А. М.
Данилевского, К. И. Швецовым [1] было проведено исследование

438 ПРОБЛЕМА НА НЕСВЯЗНОМ КОМПАКТЕ [ГЛ. VIII
обычной степенной проблемы (с бесконечным числом данных) на
(— оо, оо) с одним люком A939 г.).
Степенная проблема на интервале (— cxr,oc) его люками (при
бесконечном числе данных), включая критерии разрешимости, опре-
определенности, описание канонических и всех решений в неопределен-
неопределенном случае, исследована в работе В. А. Филынтинского [1], откуда
мы заимствовали примеры по степенной проблеме на Ет, приспосо-
приспособив их к случаю Ет d [а, Ъ\ и конечного числа данных моментов.
Теория канонических представлений обобщенной (обычной и
(Ф, г^-проблемы на Ет была построена в 1966 г. А. А. Нудельманом
[9, 10] (§§ 6, 9). Эта теория позволила по-новому доказать критерий
Данилевского — Ахиезера и получить критерий разрешимо-
разрешимости проблемы Неванлинны — Пика для функций класса <f? (Em)
(А. А.Нудельман [9, И]).
Идея рассмотрения проблемы моментов на целочисленном ком-
компакте была выдвинута еще в 1951 г. в работе М. Г. Крейна [5],
в которой он заметил, что интерполяционные теоремы С. Н. Берн-
штейна для функций, абсолютно монотонных в конечном интервале,
можно трактовать с точки зрения теории канонических представле-
представлений обобщенных моментов, заданных на N. Для продвижения в этом
направлении к тому времени уже была подготовлена почва: в моно-
монографии Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна [1] была разработана теория
Г+-систем функций, заданных на дискретном множестве. Основные
положения теории канонических представлений на N и ее приложе-
приложения к интерполяции абсолютно монотонных функций (§ 8) были из-
изложены в 1955 г. в| статье М. Г. Крейна и П. Г. Рехтман [2].
В монографии С. Карлина и В. Стаддена [1] эта теория была
детализирована и дополнена (в частности, содержание § 4 заим-
заимствовано из этой монографии).
Благодаря этому дополнению И. П. Федчиной [1] удалось об-
обнаружить возможность существования положительной минималь-
минимальной массы и описать «движение» масс канонических представлений
на N (§ 7). Это позволило сделать ряд дополнений к теории
С Н. Бернштейна интерполяции абсолютно монотонных функций.
Распространение этих результатов на общий случай произ-
произвольного линейного компакта было выполнено А. А. Нудельманом.
Эти результаты публикуются здесь впервые.
Из книги С. Карлина и В. Стаддена [1] авторы узнали, что ряд
вопросов, связанных с проблемой моментов на дискретном множест-
множестве изучал П. Розенблюм [1]. К сожалению, авторы не имели возмож-
возможности ознакомиться с этой работой.

Глава IX
АБСТРАКТНАЯ ^-ПРОБЛЕМА, ПРИНЦИП
ДВОЙСТВЕННОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
До сих пор построение теории проводилось на основе доста-
достаточно элементарного аппарата анализа и конечномерной геометрии.
В этой главе мы привлекаем средства функционального анализа,
точнее, теорию линейных нормированных пространств, впрочем,
в достаточно скромном объеме. Нам потребуются, однако,
также и пространства с несимметричной нормой (§§ 5, 6) и,
естественно, обобщение Банаха теоремы Хана па случай таких прост-
пространств.
В § 5 главы VII при рассмотрении экстремальных задач нам
уже приходилось связывать с ними некие двойственные задачи,
что облегчало решение исходных задач. Оказывается, этот факт не
случаен — его следует рассматривать как проявление общего прин-
принципа двойственности, формулируемого в терминах линейных нор-
нормированных пространств.
Этот принцип .излагается в § 1 (для симметричной нормы) и
в п. 1 § 5 (для несимметричной нормы), а в остальном глава посвяще-
посвящена его приложениям.
Благодаря этому принципу стал возможен единый лодход к
сравнительно пестрому набору задач теории приближений: на-
наилучшее приближение функций многочленами в метриках про-
пространств L-L (а, Ъ) (§ 2), С (а, Ъ) (§ 4), наилучшее приближенное реше-
решение несовместной системы линейных уравнений (§ 3) и др.
Особый подход потребовался для установления и использова-
использования принципа двойственности в задаче об 5-почти-периоди-
ческой функции с заданным конечным набором коэффициентов
Фурье, наименее уклоняющейся от нуля (§ 7). Это было вызвано
тем, что неизвестен общий вид непрерывного линейного функцио-
функционала в соответствующем пространстве почти-периодических
функций.
В последнем, § 8, принцип двойственности применяется к зада-
задачам оптимального управления.
В заключение укажем, что принцип двойственности «хорошо
работает» и в пространствах с несимметричной нормой. С его
помощью весьма просто переносятся теоремы о единственности
многочлена данной Г-системы, наименее уклоняющегося от не-
непрерывной функции в той или иной норме, на случай «искривленных»
норм (§ 5).
Переход к «искривленпой» норме в пространстве С (а, Ь) поз-
позволил естественным образом получить одну из наиболее интересных
и тонких теорем общей теории Г-систем — теорему С. Карлина
«об ужах» (§ 6).

440
АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА
ЕГЛ. IX
§ 1. ^-проблема в линейном нормированном пространстве
1. Основная теорема. Пусть в линейном нормирован-
нормированном пространстве В надполем вещественных или комплек-
комплексных чисел заданы п линейно независимых элементов
щ, и2, ..., ип. Тогда для всякой системы чисел сг, с2, ...
п
• ¦ •> cn(S
cf |
могут быть поставлены две следующие
задачи:
I. Найти минимум норм линейных ограниченных функ-
функционалов F (и), удовлетворяющих соотношениям
F{uk) = ck (fc = l,2,...,n). A.1)
Этот минимум будем обозначать через Л.
II. Найти
м
A.2)
при условии
Легко убедиться, что в задаче II минимум достигается.
Ниже будет показано, что и в задаче I достигается мини-
минимум. Связь между задачами I и II выражается следующим
основным предложением.
Теорема 1.1. Минимум в задаче I совпадает с ве-
величиной, обратной минимуму в задаче II, т. е. А = М.
Доказательств о. Пусть функционал F (и) удов-
удовлетворяет A.1). Тогда при любых |э- (/ = 1,2,..., п)
<\\Р\ \
откуда
1
PI
? Ifi4
i_
M
т. е. || F || > М и, значит, Л. > М.

§ 1] ^ПРОБЛЕМА В НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 441
Теперь в линейном гс-мерном пространстве Вп, натяну-
натянутом на элементы и±, и2, ..., ип, введем функционал Ф (и),
п п
= 2 bci- Норма Ф (и) в простран-
полагая
стве Вп равна
= м.
По теореме Хана — Банаха функционал Ф (и) можно
расширить на все пространство В с сохранением нормы,
т.е. построить функционал F(u), такой,что || F\\b = |]Ф||вп=
= р и F (и) = Ф (и) при и ЕЕ Вп. В частности, F (uh) — ch
(к = 1,2, ..., п). Значит, Л ^ М. В конечном итоге полу-
получаем, что Л = М.
В дальнейшем общее значение Л и М, определяемое
последовательностью с = {cfe}", будем обозначать через
/ = / (с).
Назовем L-проблемой в пространстве В следующую
задачу.
Даны числа {cfe}" и L ^> 0. Найти, при каких услови-
условиях существуют линейные функционалы F (и), удовлетво-
удовлетворяющие соотношениям
F(uh) = ck (fc = l,2,...,n), ) A3)
Ответ дается следующим предложением, которое является
непосредственным следствием теоремы 1.1.
Линейный функционал F (и), удовлетворяющий соот-
соотношениям A.3), существует тогда и только тогда, когда
L ^ I (с).
Этому предложению в случае вещественного про-
пространства можно придать следующий геометрический
смысл.
Рассмотрим множество ®l точек {F (uh)}i и-мерного
пространства, где F пробегает множество функционалов,
норма которых не превосходит L. Легко видеть, что

442
АБСТРАКТНАЯ ^-ПРОБЛЕМА
[ГЛ. IX
$l — выпуклое ограниченное тело, О ЕЕ Int ®l. Больше
того, точка с = {ck}1 Ez Int ®l тогда и только тогда, ког-
когда существует представление ch = F (uh) (к = 1, 2, ...
..., п) с || i*1 || < ?. Ясно также, что 5?l = ? ^i- Из всего
этого вытекает, что I (с) — D (с), где D (с) — масштабная
функция тела $i.
Дуальной функцией D1 (|) для этого тела оказывается
функция
В самом деле, равенство
1 =minb
ш
переписанное в виде
показывает, что I (с) есть дуальная функция по отношению
к Dx (|) и, следовательно, Dx (|) — дуальная по от-
отношению к I (с) (см. У.1.2.1, У.1.2.2).
Отсюда вытекает следующий критерий разрешимости
L-проблемы (при L = 1):
Теорема 1.2. Для того чтобы cge^i, необходимо
и достаточно, чтобы из 2
1 всегда вытекало
^ А
1.
При выполнении этого условия с ЕЕ d$i тогда и только
тогда, когда для некоторой последовательности {|/с}" ma-
mall п II п
кой, что 2 1/А = 1» имеет место равенство 2^ск ~ ^*
I 1 II 1
2. Экстремальные и нормальные элементы. Для ис-
исследования элементов, на которых достигается минимум
в задаче II, введем следующие определения.

§ 1] ^ПРОБЛЕМА В НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 443
Экстремальным элементом данного линейного функцио-
функционала F (и) будем называть всякий ненулевой элемент и,
для которого
\F(и)| = \\F\\ \\u\\. A.4)
Линейный функционал F (и) будем называть нормаль-
нормальным, если у него существуют экстремальные элементы и
они все отличаются друг от друга скалярным мно-
множителем.
Будем говорить, что элемент и нормален, если функ-
функционал F (и) определяется равенством A.4) с точностью
до скалярного множителя.
Теорема 1.3. Для того чтобы элемент и =
"^fij = 0 был минимизирующим элементом
1 1 '
задачи II, необходимо и достаточно, чтобы элемент и был
экстремальным элементом какого-либо произвольно выб-
выбранного минимального по норме решения L-проблемы A.3),
т. е. какого-либо решения Fo системы
A.5)
Доказательство. Пусть Fo — некоторое решение
п
системы A.5). Если v = 2ajMj — некоторый минимизирую-
п
щий элемент задачи II, т. е. 2 а)с) = 1 и \v\ — 1Д(о), то
1
п
A.6)
ибо \\F0\\ = l(c).
п п
Обратно, если v = ^ajUj B apj = 1) есть экстремаль-
i ^ i '
i i
ный элемент функционала F0(u), то имеют место равен-
равенства A.6) и, следовательно, \v\ = \Jl(c).

444 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Следствие 1.1. Если при любых |;- (/ = 1,2, ..., п)
п
элемент 2 Ij^-j нормален, то система A.5) имеет одно и
1
только одно решение F (и).
п п
Действительно, пусть v = ^jOCjW-jB ajcj = 1) — некото-
i ^ i '
рый минимизирующий элемент задачи II. Согласно тео-
теореме 1.3 v является экстремальным элементом любого реше-
решения F (и) системы A.5). По условию v нормален, так что v
определяет F (и) с точностью до мультипликативной по-
стоянной.5
Но так как] Ft(v) = 2 afj]== liT0 эта постоянная оп~
1
ределяется однозначно.
Аналогично доказывается
Следствие 1.2. Если система A.5) имеет по край-
крайней мере одно нормальное решение F (и), то минимизиру-
п п
ющий элемент 2 ajuj (^j ajcj = 1) задачи II определяется
однозначно.
Эти предложения можно дополнить следующим ут-
утверждением.
Если задача II имеет два различных минимизирую-
минимизирующих элемента, то она их имеет, по крайней мере, кон-
континуум.
п п
В самом деле, если ^ = 2 a'-ui и г;2 = 2a"uiесть Два
г г
минимизирующих элемента задачи II, то при любом
п
t @ ^ t ^ 1) элемент v — tг^ + A — t) v2 — 2 а>)Щ есть так-
1
п
же минимизирующий элемент задачи II, ибо2аЛ = 1 и
1
О v || <: 11| v! || + A — t) || v2 \ — l, a следовательно, || v || = Z.
Аналогичное замечание можно сделать в отношении
системы A.5) для случая, когда эта система имеет два ли-
линейно независимых решения, Fx (и) и Fz (и).

§ 1] L-ПРОВЛЕМА В НОРМИРОВАННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 445
3. Случай строго нормированного пространства. За-
Заметим, что для того, чтобы для любого линейного непре-
непрерывного функционала F (и), определенного в В, имела
место альтернатива: либо функционал вовсе не имеет эк-
экстремальных элементов, либо его экстремальные элементы
отличаются друг от друга только лишь скалярным мно-
множителем (F (и) — нормальный функционал), — необхо-
необходимо и достаточно, чтобы пространство В было строго
нормированным, т. е. чтобы в соотношении
знак равенства имел бы место в том и только в том случае,
когда iix = Хи2 или и2 = "ки^, где X !> 0. Действительно,
пусть
и элементы и± и и2 линейно независимы. Рассмотрим функ-
функционал F (и), имеющий элемент иг + Щ в качестве эк-
экстремального. Для этого функционала
и,|. A.7)
С другой стороны,
A.8)
Сопоставляя A.7) и A.8), находим, что
т. е. что элементы щ и ы2 экстремальны для функционала
F (и). Обратно, если пространство В строго нормировано
и если
^Ы = И!1К1, РЫ = II^IIII«2II,
то
откуда
l"i+ "a!l = ll«ill + |"all
и, значит, элементы и1яи2 отличаются друг от друга ска-
скалярным множителем.

446 АБСТРАКТНАЯ ^ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
4. Обобщение основной теоремы. Теорема 1.1 обобщалась рядом
авторов в различных направлениях. Отметим здесь геометрически
наглядное обобщение, полученное А. Л. Гаркави [1], позволяю-
позволяющее находить наилучшее приближение элемента г; вещественного
банахова пространства В элементами выпуклого множества
Ш (v Ф [&]).
Пусть $* (v) обозначает совокупность функционалов F из
сопряженного пространства В*, удовлетворяющих условию
inf F (и — v) > 1,
«ей
$° {v) — совокупность F (Е В*, удовлетвовряющих условию
inf F (и — v) >'O.
ueff
Тогда
inf || и — v ||= max (l/||f||)= max inf F (и — v).
й РГ() FS'C) ss
|| || (||||)
«ей РеГ(«) FsS'C) «ess
При этом max A/Ц F\\ ) можно брать не по $* (v), а по мно-
множеству $j (у), состоящему из тех F G В*, для которых
inf /> — г>) = 1.
Геометрически эта теорема означает, что наилучшее приближе-
приближение элемента v элементами выпуклого множества $ равно расстоя-
расстоянию от точки v до гиперплоскости, наиболее удаленной от нее
среди всех гиперплоскостей, опорных к множеству Ш и отделяющих
v от $.
Если в качестве S взять совокупность точек и вида
Где
{м3}" — линейно независимые элементы, {с3}^ — заданные вещест-
вещественные числа, не все равные нулю (очевидно, что множество
$ выпукло), и положить г; = 0 (очевидно, что 0 ф [§,]), то полу-
получим теорему 1.1.
В самом деле, путем несложных рассуждений можно обнару-
обнаружить, что если
п п
то обязательно
F(uH) = C}t (fc = l,2 п). A.9)
Таким образом, множество ^ @) тех F ? В*, для которых
inf F (м) = 1, совпадает с множеством тех F ? В*, для которых
«ей
выполняется A.9),

г\ L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В L, 447
Ниже будут указаны приложения общих фактов, изложенных в
этом параграфе, к различным конкретным задачам.
У.1.1. Тело $! (mi, "г, • • •, мт), обозначим здесь через
При т < п тело §^ можно рассматривать как проекцию тела S^
наВт.
У. 1.2. Если элементы щ, и2, . . ., ип, vt, v2, . . ., vm линейно
независимы и L > I (сь . . ., сп), то точки (Ть Тг, . . ., Тт). для
которых система
F(Vj) =Tj (/ = 1,2 т),
имеет некоторое решение F ?Е В*, заполняют выпуклое т-мерное
тело.
§ 2. ^-проблема и наилучшее приближение
в пространстве Lx (а, Ь)
Указанные в заголовке вопросы изучались в главе
VII, но при этом мы исходили из непрерывных функций
{uk (t)}i и Q (t), тогда как их естественно рассматривать
в классе функций L1 (a, b).
1. ^-проблема в пространстве L1 (a, b). В качестве В
возьмем пространство L-± (a, b) вещественных измеримых
и суммируемых на [а, Ь] функций и (t) с определением нор-
нормы
ь
Известно, что всякий линейный непрерывный функ-
функционал в этом пространстве имеет следующее аналитиче-
аналитическое выражение:
ь
F(u)=
где / (t) — некоторая измеримая в существенном ограни-
ограниченная функция; при этом норма функционала F (и) вы-
вычисляется по формуле
\\F\\= sup ess|/(*)|.
Условие A.6) экстремальности функции и (?)ЕЕ ^(а, Ь)
по отношению к функционалу F (и) запишется в виде

448 АБСТРАКТНАЯ ^ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
равенства
ь ь
\ sup ess|/@1.
<«Ь
Но, как легко видеть, это равенство имеет место тогда и
только тогда, когда
= 8 sup ess | / (t) | sign и (t) (t e Nu), B.1)
где Nu обозначает множество тех точек t ЕЕ la, b], для ко-
которых и (t) =j= 0, а s — + 1.
Следовательно, функция и (t) нормальна (как элемент
2/j (a, b)) тогда и только тогда, когда [a, b]\Nv —множест-
—множество меры нуль, ибо в этом и только в этом случае функция
/ (t) определяется однозначно с точностью до скалярного
множителя, а именно, по формуле
/ (t) = С sign и (t).
i-проблема в пространстве L1 (а, Ъ) будет звучать сле-
следующим образом.
Задано п функций uh (t) ЕЕ ^i- Найти необходимые и
достаточные условия для чисел с1? с2, ..., сп, L, чтобы
существовала измеримая функция f (?), для которой
2_2
sup ess || / (*)!<?.
Таким образом, L-проблема в пространстве L1 (a, b)
сводится к тому частному случаю (ф, ^-проблемы, ког-
когда ^ф = — L dt, dty = L dt, т. е. к (— L, ^-проблеме.
Задачи I и II теперь формулируются так:
I. Найти минимальное L (== 1(с)), для которого су-
существует решение L-проблемы B.2).
II. Найти

§ 2l L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В Ьг 449
при условии
llCi + • • • + lv.Cn = 1.
Разбирая эти задачи, докажем прежде всего следую-
следующее:
п п
Лемма 2.1. Если v (t) = 2 а;-а;- (?) и w (t) = 2 &Яз (О
1 1
сг/ть два минимизирующих элемента задачи II, то ра-
равенство
sign г; (t) = sign ш (г) B.3)
выполняется почти всюду на пересечении множеств
Nv и Nw.
В самом деле, пусть /0 (t) — некоторое решение L-
проблемы B.2) при L = 1(с). Тогда согласно теореме 1.3
функции v (t) и w (f) суть экстремальные элементы функ-
функционала ^0 (и), соответствующего функции /0 (t) и, сле-
следовательно, в силу B.1) и того, что Fo (v) = Fo (w) = 1,
/0 (t) = I sign v (t) (почти всюду на Nv),
fo(t) = I sign w(t) (почти всюду на Nw);
откуда уже вытекает B.3).
Назовем п функций uk (t) e= ix (a, b) вполне независи-
71
мыми, если любая линейная комбинация ^i^i^j(^) дает
1
нормальную "функцию, т. е. не обращается в нуль ни
на каком множестве положительной меры. В частности,
функции, образующие Г-систему на [а, Ь], очевидно, впол-
вполне независимы.
После всего сказанного нетрудно заключить из леммы
2.1, теоремы 1.2 и следствия 1.1, что имеют место следую-
следующие теоремы.
Теорема 2.1. Пусть функции {^(i)}^ вполне неза-
независимы. Если v(t) = 2aiuH0 (S afi — Ч есть миними-
1 * 1 '
зирующий элемент задачи II, то всякая иная функция
W (Г) =
1
п
(S $fi ~ Ч будет также минимизи-

450 АБСТРАКТНАЯ /.-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
рующим элементом задачи II тогда и только тогда, когда
sign v (t) = sign w (t) (почти всюду на [а, Ъ]).
Теорема 2.2. Пусть функции uh (t) (k = 1, 2, ...
..., п) вполне независимы. Для того чтобы L-проблема
B.2) имела в существенном одно и только одно решение,
необходимо и достаточно, чтобы L = I (с). При выполне-
выполнении этого условия решение / (f) определяется по фор-
муле f(t)= Zsign v(t), где v(t) — 2 oijUj(t)
afi =
есть какой-нибудь минимизирующий элемент задачи II1).
Если L ^> I (с), то L-проблема B.2) имеет континуум
существенно различных решений.
2. Наилучшее приближение многочленами. Рассмот-
Рассмотрим теперь задачу об определении минимума,
и
l/l = min [
dt, B.4)
где Uj (t) (/ = 1,2, ..., п) и Q (t) — заданные функции из
Lx (а, Ъ). Полагая гг„+1 (t) = Q (t), мы можем рассматри-
рассматривать эту задачу, как частный случай задачи II, в которой
п заменено на п + 1, с± = ...= сп = 0, с +1 = 1.
Если минимум в B.4) достигается при некоторых
п
h = cij (j — 1, 2, ..., п), то функцию 2 aiui{t) будем
1
называть многочленом, наименее уклоняющимся от функ-
функции Q (t) в метрике Lt (a, b).
Оказывается, что в общем случае наименее уклоня-
уклоняющийся многочлен (в метрике ?х (а, Ь)) определяется не-
неоднозначно. Точный смысл этого утверждения составляет
содержание следующей теоремы.
Т е о р е м а 2.3. Каковы бы ни были функции uh (t) ge
GE Li {a, b), всегда найдется функция Q (t) e= L1 (a, b),
*) Если функции {ик (i)}™ образуют Г-систему, то отсюда
легко усмотреть, что функция / (t) является L-канонической.
2) Уже отмечалось, что эта задача для непрерывных мк (t)
и Q (t) рассматривалась в главе VII.

§ 2] L-ПРОВЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В X, 451
для которой наименее уклоняющиеся от нее многочлены
п
2j \juj (t) определяются неоднозначно.
1
Доказательство. Подберем сначала функцию
Qx (t) такую, что при любых коэффициентах %j(j = 1, 2, ...
..., п) функция
нормальна, т. е. обращается в нуль только лишь на множе-
множестве меры нуль. Мы опускаем доказательство того, что
такой подбор всегда возможен (доказательство имеется в
статье М. Г. Крейна [11]). Укажем только, что функцию
Qx (t) можно взять в виде Qx (t) = (t — to)a, где tQ < а и
a — некоторое число из интервала [0, 1].
Пусть
v = min U Qi @ — 2 ijUj (t) dt = \\ Qx (t) —
1
dt ¦
Так как элемент Qi(^) — 2аЛ@ нормален, то система
1
уравнений
ь
sup e^s j a (t) | = lx
имеет единственное решение:
n
a (t) = I, sign | Qi (t) - 2 ctjUj (t)] = hs (t).
Таким образом, мы убедились в существовании функции
s (t), равной почти всюду + 1 и такой, что
ь

452 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Положим теперь Q (t) = s(t)\ 2&ИН*I Bft?>°) . гДе
Pj (/ = 1, 2,. .., n) — произвольные числа.
С одной стороны, имеем: при любых \j
1
Ь
С другой стороны, при любом 0 @ < Э < 1)
а следовательно,
ь
^ I Q (t) — 9 2 Pj"i @ ^ = UQ @ — 0 S Pi"i С)} s(t)dt
а 1 а 1
1
ft Ь
Таким образом, при любом 6@<^9<^1) многочлен
п
Q^?jUj(t) наименее уклоняется от Q (t). Теорема доказана.
1
В связи с этой теоремой представляет особый интерес
следующая теорема, принадлежащая в существенном
Д. Джексону *):
Теорема 2.4. Если функции {uk(t)Yl образуют
Т-систему на (а, Ь), то, какова бы ни была непрерывная
J) Джексон установил теорему для того частного случая, когда
все uh (t) — i11 (к = 1, 2,..., п); однако его метод при использова-
использовании свойств Г-системы позволяет доказать теорему в самом общем
случае. Приводимое здесь доказательство (см. М. Г. Крейн [11])
несколько отлично от него и, как нам кажется, проще.

§ 1] L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В L, 453
п
функция Q(t), среди многочленов 2 bui @ существует
1
один и только один, наименее уклоняющийся от Q (t) в
метрике Lx (а, Ь).
Доказательство. Предположим, что существуют
два многочлена, наименее уклоняющиеся от Q (t). Тогда
существует континуум таких многочленов (см. §1). Из них
п п
можно выбрать два таких многочлена, 2jO.jUj (t) и 2 $juj@>
1 1
которые не совпадают с Q (t) ни па каком подынтервале
п
(а, Ь). Действительно, если многочлен 2^'мН0 совпадает
1
с Q (t) на некотором интервале It а (а, Ь), а многочлен
п
S Pjwj (^) совпадает с Q(t) на иптзрвале /2с (я, Ь), то эти
1
интервалы не налегают друг на друга, ибо иначе маого-
п
член 2(*j—$j)uj{t) имел бы бесчислепноэ множество ну-
1
лей, что невозможно для Г-системы. Поэтому совокупность
многочленов 2^Z,jUj(t), совпадающих с Q(t) на некотором
1
подынтервале интервала (а, 6), исчислима.
Для многочленов 2aiuj@ и ^jPjuj(O имеем в силу
1 1
леммы 2.1
sign Q (t) -Sa,",-
Положим a (t) = I sign (Q (t) — 2 a;uj @), гДе
n
b n
E.

454 АБСТРАКТНАЯ Ь ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Тогда, по теореме 2.2,
ь
\Uli(t)a(t)dt = O (k = i,2,...,n),
B.5)
В тех точках, где a(t) претерпевает разрыв (меняет
п п
знак), Q (t) — 2jajUj(t) = Q (t) — 2Piuj(O = О и' следова-
i
тельно, в этих точках 2аЛ'@ — SP^uj(O- Таким образом,
1 1
мы придем к противоречию с тем, что функции {uh (?)}"
образуют Т-систему, если покажем, что число точек раз-
разрыва a (t) больше п — 1. Допустим, что их число т^.п — 1;
обозначим их через tlt t2, • • •., tm и составим многочлен Ф (t) =
п
= 2 ^iu; @, обладающий тем свойством, что при перехо-
1
до t через точки tltt2, ...,tm и только эти точки он ме-
меняет свой знак. Тогда
п Ъ Ь
2 A j \ щ (t) a (t) dt = ^ Ф @ а (*) d« =^= О,
что противоречит B.5). Теорема доказана.
Замечание 2.1. В этом параграфе только в тео-
теореме 3.4 было существенно, что областью изменения t
является интервал (а, Ъ). Во всем остальном можно за-
заменить интервал (а, Ъ) абстрактным пространством
с мерой.
У.2.1 (А. А. М а р к о в [10]). Минимум выражения
х п Ъ п
L.M.. (t) dt

i 2] L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В X, 455
равен наибольшему значению интеграла
X
J О (*) / (*) Л
а
при условиях
Это предложение является следствием принципа двойствен-
двойственности, примененного к срезанной функции fiT_0 (t). А. А. Марков
установил эту двойственную связь, предполагая, что функции
{"ft С)}? и Q (i) (a <J i <J 6) удовлетворяют условиям § 3 главы IV.
В этом случае минимизирующий многочлен совпадает с QT_0 (I)
во внутренних точках интервала (а, Ь), отделяющих L-интервалы и
— Л-интервалы (— L, ?)-канонического представления (L = \)
точки ,0, имеющего конец i-интервала в точке т.
У.2.2. Пусть, как и в главе VIII, Ет обозначает множе-
множество, получившееся в результате изъятия т люков (а;-, C,) (j -----
— 1, 2,..., т) из [а, Ь].
Для любых заданных вещественных чисел
]с% > 0 \ минимум интеграла
при условии 2^гс(с = ^ мо'кно найти алгебраическими срег;-
о
ствами.
Указание. Воспользоваться У.VIII.9.4 и связанными с
ним предложениями.
Заметим, что случай то = 1, с„ = •• = сп_х = 0, сп = 1 (за-
(задача Коркина — Золотарева на двух интервалах) впервые был ис-
исследован Н. И. Ахиезером [1], который показал, что минимизи] уго-
щий многочлен может быть выражен с помощью эллиптических функ-
функций. При произвольных сь этот случай был рассмотрен и статье
Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [3] (см. по этому поводу также
В. Ф. Бржечка [1]).
Результаты У.VIII.9.5 позволяют решить соответствую-
соответствующую задачу для интеграла абсолютной величины вещественного
тригонометрического многочлена по системе дуг единичной окруж-
окружности.

45В АБСТРАКТНАЯ L-ПРОВЛЁМА [ГЛ. IX
3. Об одной нерешенной задаче. Следует отметить, что
для комплексных тригонометрических многочленов в об-
общем случае, по-видимому, не известна процедура отыска-
отыскания минимума и минимизирующего многочлена при линей-
линейной связи между коэффициентами даже для случая т = 0.
Имеется в виду задача о нахождении
2л
j
A/Z=)min|j S
o о
,= \
Для этой задачи двойственной является следующая:
А) Задана ненулевая последовательность комплексных
чисел {cft}o- Среди функций f (t) GE L^ @, 2л;), удовлет-
удовлетворяющих условиям
cft = S e^f(t)dt (Л = 0,1,..., и) B.6)
о
требуется найти функцию, наименее уклоняющуюся от
нуля, т. е. с наименьшей
|/||« = supess|/(*)|(=l).
0<(<2
На основании общих правил, изложенных в § 1, можно
утверждать, что эта задача имеет единственное решение,
притом следующего вида: /тш @ = I sign P^n (t), где
Рты (t) — какой-либо минимизирующий многочлен пре-
предыдущей задачи.
Отметим некоторые случаи, когда известно решение
задачи А).
Если среди чисел {ck}o есть только одно (= ср), отлич-
отличное от нуля, то легко показать, что Pmin (t) = eipt/cp.
Если п = 2т и существует унитарное число е (| в | =
= 1), такое, что ест+к = Icm_k (к — 0, 1, ..., т), то зада-
задача А) легко сводится к задаче о вещественной функции с
заданными 2 т + 1 коэффициентами Фурье, наименее ук-
уклоняющейся от нуля в метрике Loo @, 2л;).
Если видоизменить задачу А), наложив дополнитель-
дополнительное требование, чтобы функция / (t) или / (t) была гра-
граничным значением некоторой функции F{z)^HO0, то
задача А) сведется к задаче Шура (см. § 8 гл. IV).
Вряд ли задача А) в общем случае допускает простое
алгебро-тригонометрическое решение.

§ 2] L ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЙ ПРИБЛИЖЕНИЕ Б ?, 45?
Тем более удивительно, что задача А) в случае бес-
бесконечного числа данных (когда задается «половина» всех
коэффициентов Фурье) поддается детальному изучению
методами теории операторов в гильбертовом пространстве
(см. В. М. Адамян, Д. 3. Аров и М. Г. Крейн [1—3]).
4. Об одной задаче Ф. Рисса и проблеме Неванлинны —
Пика в классах Нр. Задачу Шура также можно трактовать
как задачу с бесконечным числом данных: требуется найти
функцию F (t), наименее уклоняющуюся от нуля в мет-
метрике Loa @, 2я), у которой все коэффициенты Фурье
при к < О равны нулю, a ck (F) = ah (к = 0, 1, ..., п).
После этого становится ясным, как формулируется двой-
двойственная задача, которая сводится к задаче Ф. Рисса:
Задана ненулевая последовательность комплексных чи-
оо
сел {а„.}о. Среди функций f (z) = 2 akzK 6= &i таких, что
о
п
2 = 1, найти ту, которая наименее уклоняется от
о
нуля в метрике Ни т. е. для которой
11/11!= SUP
0«'<l „
принимает наименьшее значение.
Таким образом, искомый минимум \f\ равен 1/А-м,
где Км — наибольший корень уравнения (IV.8.26). Если
ранг г матрицы KMIn+i — АпАп равен и, то в этом и только
в этом случае минимизирующий элемент /min задачи
Ф. Рисса определяется единственным образом форму-
формулой /mln (z) = [Ап (z)]2, а если г<ге, то /min (z) —
= [Ar (z)]2 p (z)p* (z), где p(z) —произвольный много-
многочлен степени ^ п — r (p* (z) = zn'r p (Hz)).
Кроме уже введенных классов /fra и Нх можно рас-
рассматривать задачи I и II в банаховых пространствах
Нр A < р < оо), аналитических в единичном круге

453 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
функций / (z) таких, что
Известно, что каждая функция / (z) ge Нр имеет почти
всюду радиальные граничные значения / (eil), которыми
/ (z) определяется однозначно, и
Таким образом, 1ГР можно рассматривать как подпро-
подпространство пространства Lp @, 2я), состоящее из тех функ-
функций/ (eil) ЕЕ i>p @, 2я), для которых ck{f) = О при А; < 0.
Подробные сведения о пространствах Hv читатель най-
дет в книге К. Гофмана [1].
При применении принципа двойственности в этих
пространствах нужно учитывать следующую особенность:
хотя общий вид линейного функционала F(и), действующе-
действующего в Нр (р > 1), и задается формулой
uie^JW)^ (u(z)<=Hp),
о
где f(z)<=Hq (/Г1 + q~l = 1), однако сопряженное к Hv
пространство совпадает не с Ня, а с фактор-пространством
Lq/H^~, где i/^~(q^>l) обозначает банахово пространство
функций ф (z), голоморфных вне единичного круга, таких,
что г|з (z) = ф A/z) ЕЕ Ня, г|з @) = 0. Поэтому
1^1= in! \\f(eu)-q>(eu)\\L
h-
где в правой части норма понимается в смысле метрики
Lg@,2n).
Среди пространств Нр пространство Hz выделяется тем,
что оно совпадает со своим сопряженным и становится
гильбертовым после введения скалярного произведения
(/, g) = 4rlf {eit) ^dt у w>g ^ е н
о
при этом |/||а = (/,/)^».

§ 2] L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ?, 459
Банаховым пространством является также простран-
пространство А с -ЙГоо непрерывных в замкнутом единичном кру-
круге и голоморфных внутри него функций / (z) с нормой
l/||oe = max|/(z)|.
М<1
Из одной теоремы Ф. Рисса (см. К. Гофман [1] или
И. И. Привалов [1]) вытекает, что сопряженным простран-
пространством к А является пространство Н1.
П. Дюрену и Д. Вильямсу [1] принадлежит интересное
замечание о том, что в некоторых случаях в теореме 1.1
данное пространство функций и его сопряженное можно
менять ролями.
Приведем несколько утверждений, касающихся проблемы
Неванлинны — Пика в некоторых классах функций; каждой из
них сопутствует некая двойственная задача.
Д.2.3 (Я. Л. Г е р о и и м у с [5]). На множестве функций
/ (z) ? А, удовлетворяющих условиям
/ BЛ.) = »к (I *л. К 1, к = 1, 2 в; zg ф z- при к ф /),
имеют место соотношения:
min И / II = max 5-
S*,».
1 "
Минимум в левой части находится эффективно (см. У.III.2.3 б));
min || / ||i = max
Можно рассмотреть аналогичные задачи в более общей поста-
постановке, допуская совпадение некоторых или всех точек zh, заменяя
заданные значения функций значениями производных соответствую-
соответствующих порядков. При совпадении всех точек zft приходим к задаче
Какейа [1].
Д.2.4 (П. Дюрен и Д. Вильяме [1]). Для того чтобы для
заданных последовательностей {ZA.}]\ {"^IT (I ZJ <C 1> A = 1, 2, . . .
. . ., n; zK=hzj при кф]) и числа М^>0 существовала функция
/ (z) е Нр, такая, что / (гд.) = w.& (ft = 0, 1, .... и), || / ||р < М, не-
необходимо и достаточно, чтобы при любых \t выполнялось одно из

460 АБСТРАКТНАЯ 1-ГГРОВЛЕмА [ГЛ. IX
эквивалентных условий:
При р = оо и М = I приходим к классической проблеме
Неванлинны — Пика, для которой в У.III.2.3 приведен критерий
разрешимости с помощью квадратичной формы.
При р = 2 критерий разрешимости также можно выразить с
помощью квадратичной формы:
У.2.5. а) Для существования функции / (z) ? H2 такой, что
/ (гь) = wk (к = 1, 2, ..., п) и ||/(|2<Л/, необходимо и достаточно,
чтобы была неотрицательна форма
Wx, B.7)
(П. Дюрен и Д. Вильяме [1]).
Указание. Положить uh (t) = 1/A — ег'г^); использовать
теорему 1.1 и формулу Коши.
б) Для того чтобы интерполяционная задача имела единствен-
единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы неотрицательная
форма B.7) была вырожденной.
В цитированной работе Я. JI. Геронимуса [5], а также в статьях
О. Саса [1], В. Рогозииского и Г. Шапиро [1], С. Я. Хавинсона [3]
можно найти другие пары двойственных задач теории аналитических
функций.
§ 3. Наилучшее приближенное решение
несовместной системы линейных уравнений
1. ^-проблема в конечномерном пространстве. Пусть
-В = Вт представляет собой тп-мерное пространство ком-
комплексных векторов и = {uj}™ с определением нормы
|]w|) = max |ц'|.
В этом пространстве линейный функционал имеет вид

I З] НЕСОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 461
причем
Легко видеть, что функционал F(u) = ^ifu> норма-
.1
лен в том и только в том случае, когда все f' (/'= 1, 2, ...
..., тп) отличны от нуля.
В самом деле, при выполнении этого условия из равен-
равенства
\F(u)\ =
вытекает, что х)
и'= С sign/' (/ - 1, 2,... , m). C.1)
Если же некоторое fk = О, то в экстремальном эле-
элементе и = {и^}™ функционала F (и) соответствующая ко-
координата ик может быть выбрана совершенно произвольно
(независимо от других координат).
Нетрудно также убедиться в том, что вектор и нормален
тогда и только тогда, когда все его координаты равны нулю,
за исключением какой-либо одной из них.
Пусть теперь щ = {а{}?, и2 = {ai}?, ..., ип = {а3п}?
(п ^'. пг) — какая-либо система линейно независимых
элементов из Вт. Если сформулировать для нее задачу II,
то придем к следующей задаче.
Задана матрица ранга п (^ т)
а\ ..
т
ах ..
. ап
¦ ап
т
¦ ап
и числа съ с2,.. ., сп ^2 I сз I > °) •
1) Для комплексных z ф 0 мы считаем sign z = -,—г.
I z I

462 АБСТРАКТНАЯ L-ПрОБЛЕМА [ГЛ. IX
Найти
ill = mi;i max | а{Ех -f- а{%2 +...-]- аЦп | C.2)
при дополнительном условии относительно ?,•: /iS.7c7 = !•
1
Теорема 1.1 приводит к следующему результату.
Искомое число I является одновременно решением сле-
следующей задачи на минимум. Найти
г = mm ([ /ч + ] /21 + • • - +1 /т I) C-3)
при дополнительных условиях относительно /:
C.4)
В частности, если п = т, то ? = 2|/'г'1'
числа
1
f (у = 1, 2, . . ., т) определяются однозначно из C.4).
Предположим теперь, что минимум в C.3) достигается
для некоторого нормального функционала F (и). Тогда
согласно следствию 1.2 вектор 8 = {6J} с координатами
V = а&г + ... + alln (/ = 1, 2, . . ., т),
для которого достигается C.2), определится однозначно
(как экстремальный элемент/^ (и)). Именно, согласно C.1)
будем иметь
6'= С sign f> (/ = 1,2, ...,т).
п п
Кроме того, так как i7 (8) = ^B^мл = S hci = 1» т0

§ 3] НЕСОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 463
Таким образом, мы пришли к предложению:
Если минимум в C.3) достигается для некоторого
функционала FQ (и) = 2/о*Л У которого все f0 отличны
i
от нуля, то
т п
min max | а& + . . . + аЦп| = l/ 2l/o|
Минимакс здесь достигается для тех и только тех
для которых одновременно
C.5)
Заметим, что указанное условие (существование Fo (и)
с отличными от нуля/о, / = 1,2, ..., т) легко проверяемо
при п = т. В этом случае числа Еу (/ = 1,2, ..., то), для
которых достигается минимакс, определяются из C.5)
однозначно.
2. Применение к несовместным системам линейных
уравнений. Эти предложения имеют непосредственное
отношение к теории «наилучшего приближенного» решения
несовместных систем уравнений.
Пусть нам задана несовместная система уравнений
a{E1+...+akn = bi (/ = l,2,...,m), C.6)
в которой число уравнений больше числа неизвестных
(т ^> п + 1).
В этом случае вопрос о точном решении системы C.6)
конечно, отпадает, однако, можно поставить вопрос о на-
наилучшем приближенном решении системы C.6) в каком-
либо смысле, например, в смысле Чебышева. В послед-
последнем случае имеется в виду нахождение таких значений
?j (/' = 1,2, ..., п), при которых максимальное отклонение
юах | alii + • • ¦ + ailn — Ъ{ \
имеет возможно меньшее значение.

464
АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА
[ГЛ. IX
Так как при этом, конечно, без ограничения общ-
общности можно считать, что векторы ak = {aj}^ и вектор
Ь = {biyjL1 линейно независимы, то эта задача является
частным случаем (но к которому можно свести общий слу-
случай) предыдущей задачи, если в последней положить *¦)
с1 = с2 = . . . = сп = О,
\
Поэтому можно сделать следующий вывод:
если ранг матрицы
а\ ... а\ Ь
xi ... an b
равен га + 1 (^ т), то
гдг
min max | а{1х + а&2 +... + ai\n ~ V \ = 1/Z, C.7)
C.8)
при дополнительных условиях относительно f1:
1:
О-п] ~Т ап1 + • • . + Яп/ = U,
б1/1 + W + • • • + bmfm = — 1.
C.9)
Если минимум в C.8) достигается для некоторого век-
вектора {/o}i\ У которого все f0 отличны от нуля, то мини-
макс в C.7) достигается для тех и только тех %у, |2> •••
..., 5т для которых одновременно
д& + .. . + ailn -Ъ5 = (i/l) sign fl <j = i,2,...,m).
Теперь нам удобнее заменить п на п + 1.

§ 3J НЕСОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 465
При п -f- 1 = т формула C.8) принимает совсем про-
простой вид:
где f (/ = 1,2, ..., т) определяются из системы C.9).
Для этого частного случая в предположении, что все
f ф 0 (/ = 1, 2, ..., т) (которое, как мы видим, несуще-
несущественно для формулы C.7)) это предложение в случае ве-
вещественного пространства было указано Е. Я. Ремезом.
3. Метод Шнирельмана. Теорема Ремеза. Е. Я. Ре-
Ремез [1] доказал, что в вещественном случае минимакс в
C.7) сохранит свое прежнее значение, если из линейных
форм
e&i + a&2+... + e&n-bJ (/ = l,2,...,m) C.11)
под знаком минимакса в C.7) оставить только п + 1 под-
подходящим образом выбранных форм.
Таким образом, решая для каждой из (п , ^ ) комбина-
комбинаций по п + 1 форм C.11) задачу на определение соответ-
соответствующего минимакса, мы, выбрав из этих минимаксов
наибольший, тем самым определим (конечным числом дей-
действий) точное значение минимакса C.7). Независимо, но
несколько позже этот факт был установлен Л. Г. Шни-
рельманом [1] с помощью теоремы Хелли о пересечении
выпуклых множеств (§ 7 гл. 1). Изложим вкратце остро-
остроумное доказательство Л. Г. Шнирельмана.
Снабдим каждый набор (j\, /2, ..., jn+i) по re + 1 раз-
различных чисел из последовательности 1, 2, ..., т номером
\
, (, л о f m \\
к [к = 1, Z, ..., { , л I) и для каждой соответствующей
подсистемы найдем
l/l;. = mill max | at% + пг\г + • ¦ ¦ + alt — Ь i |
Утверждается, что I = 10, где
l0 =

466 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Докажем это. Точки {?ft}" га-мерного пространства, коор-
координаты которых удовлетворяют неравенству
| а1Ь1 + «252 + • • • + "п&п — О I ^ -j— , @.1^2)
образуют, как легко видеть, выпуклое множество 5^-.
Для любого набора зачений (j\, /2, ..., /п+1) система нера-
неравенств вида C.12) совместна (это следует из определения
10). Значит, каждые га + 1 множеств &,-,, &г-г, ..., ^^+1
из совокупности {®j}™ имеют общую точку. Поэтому со-
согласно теореме Хелли 1.7.1 все множества совокупности
{&j}™ имеют общую точку, иными словами, система нера-
неравенств вида C.12) совместна при всех / = 1, 2, ..., т. При
этом 10 нельзя заменить на 10 + е (е ^> 0), так как 10
равно одному из 1^, и система неравенств с соответ-
соответствующим набором индексов jx, /2, ..., /п+1
I al% + а[%, + ... + а'-Ьц\< 1
уже будет несовместна. Следовательно, 10 = Л
В случае комплексного пространства метод Шнирель-
мана позволяет утверждать, что при т^> 2га + 1 искомый
/ m \
мипимакс находится уже из всевозможных I 2ra_L-l/ K0M"
бинаций по 2га + 1 форм. Замена га + 1 на 2га -f- 1 обуслов-
обусловлена тем, что в случае комплексных а, | и Ъ неравенство
C.12) определяет выпуклое множество в 2га-мерном веще-
вещественном пространстве.
4. Решение задачи в частных случаях средствами статики.
Имеются в виду случаи п -\- 2 = т (в вещественном и комплексном
пространстве) и п + 3 = т (в вещественном пространстве).
Случай п -\- 2 = т.
В этом случае общее решение системы C.4) имеет вид
fi = gj-air[ (/ = 1,2,..., п + 2),
где {gt, g2,..., gn+2}—частное решение неоднородной системы
C.4), {alf а2, ..., ап+2} — нетривиальное решение соответствующей
однородной системы, ц — параметр, принимающий произвольные

§ з] нёсОвмесТнаЯ система линейных Уравнений 467
значения. Нужно найти минимум функции
п+2
}=1
При нахождении этого минимума отдельно рассмотрим случаи
вещественного и комплексного пространства.
а) Случай вещественного пространства. В этом случае можно
считать, что % <; т]2 <; ... < r|v.
При
¦к+1 (к = 0, 1, . . ., v; т!0 = - оо, tjv+1 = оо)
V (С V
Когда т) растет, слагаемые р,-перескакивают из одной суммы в дру-
гую при переходе т) через точку r)j, т. е.
¦ не убывает. Эта фор-
до-
домула подсказывает следующий прием отыскания значении т),
ставляющих минимум Ф (г|).
Возьмем горизонтальную рейку с равномерной шкалой и с
отверстиями в точках %, tJ,.., т]„. Подвесим на v нитях грузы ри
P2,...,pv, через соответствующие отверстия проденем эти нити и
свяжем их концы в узел. Точка т|, в которой установится узел в
состоянии равновесия, и будет точкой минимума функции Ф (т))
(эти точки могут заполнять целый интервал).
Действительно, если узел установился в интервале (
то в этом интервале
3
1 1 к+1
так как сумма всех грузиков левее т) уравновешивает сумму всех
грузиков правее т]. А так как производная не убывает, то
во всех точках этого интервала функция Ф (ц) имеет минимум.
Если узел установился в точке щ, то это значит, что
к—1 v

468 АБСТРАКТНАЯ t-ПРОЕЙЕМА ' [ГЛ. IX
Задано V точек комплексной плоскости zl5 z2,..., zv и числа Pj^>0
(/ = 1, 2,..., v). Требуется найти точку z, в которой функция
принимает свое минимальное значение.
В горизонтальной плоскости через отверстия в точках zlt z2,.., zv
проденем нити с подвешенными к ним грузами pj, р2,..., рч соответ-
соответственно и свяжем верхние концы нитей в узел. Точка г, в которой
установится узел в состоянии равновесия системы, и будет давать
решение нашей задачи г).
Действительно, функцию.Ф (z) можно рассматривать как по-
потенциальную энергию данной системы грузиков, поэтому ее миниму-
минимуму отвечает положение равновесия системы.
Легко видеть, что Ф (z) — выпуклая функция", она строго вы-
выпукла 2) тогда и только тогда, когда не все точки zj (j = 1, 2, ..., v)
расположены на одной прямой. В этом случае точка минимума
единственна, и для ее отыскания можно применить следующий
¦релаксационный метод: установив узел в произвольной точке z ф Zj
(i = 1, 2,..., v), приложим к ней силы Pj (j = 1, 2,..., v), где ве-
величина Pj равна pj, а направление — от узла к /-му отверстию. Рав-
Равнодействующая этих сил укажет направление, в котором Ф (z^
убывает быстрее всего, так как
Случай, когда все точки zj расположены на одной прямой, по
существу, уже был рассмотрен.
Можно заранее выяснить, установится ли узел в одной из то-
точек z/j. Это будет в том и только в том случае, когда грузик р^
«перетягивает» все остальные, т. е. тогда и только тогда, когда
где Ру — сила величины pj, направленная от zk к zj.
Если v = 3, то задача допускает элементарное геометрическое
решение. Если узел не устанавливается ни в одной из точек zltz2,
73, то в искомой точке z силы Plt P2, Р3 уравновешиваются, т. е.
так как в связи с французской революцией отношения между Фран-
Францией и Россией обострились. Ряд своих фундаментальных исследо-
исследований Ламе выполнил в связи с расчетами по сооружению Исааки-
евского собора и висячих мостов в Петербурге.
х) Следует считать, что узел не может пройти через отверстие.
Поэтому может оказаться, что он застрянет в одной из точек zj.
2) То есть Ф (tz' + A — t) z") < *Ф (z') + A — t) Ф (z") для
любых z' Ф z", О <С t <С 1.

§ з] несовместная система линейных уравнений 469
т. е. при переходе т) через r)k производная меняет знак с —
на +. В этом случае минимум достигается только в точке T)ft.
Дадим теперь несколько иную механическую трактовку задачи,
используя теорему Вариньона: алгебраическая сумма моментов
составляющих сил относительно любой точки равна моменту равно-
равнодействующей относительно этой точки.
Для этого будем смотреть на каждое слагаемое pj | т) — r\j |
суммы
как на абсолютную величину момента силы Pj (| Pj | = pj), при-
приложенной к точке t)j перпендикулярно к оси, относительно точки г\.
Если точка t) находится в интервале (r\h, т)/с+1) (к = 0, 1,..., v,
т]о = —сю, T)v+1 = оо), то силы Pj, приложенные в точках, распо-
расположенных левее г\, направим вертикально вверх, силы Pj, прило-
приложенные в точках, расположенных правее ц, направим вертикально
вниз. Тогда сумма
даст алгебраическую сумму моментов сил относительно точки т) и
поэтому она равна R \ г\ — ? |, где R — величина равнодействую-
равнодействующей, % — точка ее приложения. Ясно, что при изменении ц от щ
до T)ft+1 момент равнодействующей принимает наименьшее значе-
значение, когда г\ = rjjj или т) = fl^+1, за исключением случая пары
сил, в котором при гцс ^ т) «^ Чк+i момент сохраняет постоянное
значение. Следовательно, «подозрительными» на минимум являют-
являются концы интервала (T)jj, Ц^+1)- Придадим к значения 0, 1,.., v + 1
и, сравнив между собой сумму моментов относительно всех «подоз-
«подозрительных» точек, выберем из них наименьшую.
б) Случай комплексного пространства. В этом случае наша зада-
задача сводится к задаче Ламе х).
г) Исследование Габриэля Ламе (G. Lame, 1795—1870) появи-
появилось в 1927 г. в «Журнале путей сообщения», издававшемся Петер-
Петербургским институтом путей сообщения. В этом институте Г. Ламе
проработал с 1820 г. по 1831 г., после чего возвратился во Францию,

470 АБСТРАКТНАЯ t-ПРОЕЛЕМА [ГЛ. IX
Pi + -?+^3= 0. Поэтому можно построить треугольник со сто-
сторонами 1^, Р2, ?3. Каждый внешний угол этого треугольника равен
углу между двумя из сил Р1, Р2, Р3. Пусть а — угол между силами
^ и Рг, Р — угол между силами Р% и Р3. Проведем через точки
zx и z2 дугу сегмента, вмещающего угол а (по ту сторону от прямой
ztz2, где находится z3), и через точки z2 и z3 — дугу сегмента, вме-
вмещающего угол р (по ту сторону от прямой z2zs, где находится zx).
Точка пересечения этих дуг и есть искомая точка z.
Случай п -\- 3 = т (пространство Вт вещественно).
Общее решение системы C.4) в этом случае запишется в виде
f = gj — «/I,. — fyl2 (/ = 1, 2, . . ., л + 3),
где {g1,..., gn+3} — какое-нибудь частное решение этой системы,
{^'li + bif\2,..., an+3ili + ^п+з'Пг} — общее решение соответствую-
соответствующей однородной системы, T^Tfe — параметры, принимающие про-
произвольные значения.
Ищется, следовательно, минимум функции
n-f-3 v
Ф (lib 1I2) = 2 I gi ~~ air]i" Ь А I = S p3di + с'
где р^ = у а? + Щ > 0, a d^ — расстояние точки М (r]v r\2) до пря-
прямой g5 — ojTI — Ь3.ТJ = 0. ^
Будем рассматривать 1{аждое ру как величину силы Pj, распо-
расположенной на прямой qj — ay r\t — ЬуГJ = 0 и направленной в ту
V
или другую сторону. Тогда каждое слагаемое pjdj суммы V. p^d^
_^ 1
будет равно абсолютной величине момента силы Pj относительно
точки М.
Наши прямые разбивают плоскость гцОг^ на конечное число
многоугольников (ограниченных и неограниченных). Взяв точку
М в одном из этих многоугольников, направим силы Pj так, чтобы
их моменты относительно точки М имели одинаковые знаки. Тогда
сумма ^ Pfij может только знаком отличаться от суммы моментов
1
сил Pj относительно точки М. Поэтому, опять используя теорему
Вариньона, имеем
1
где R — величина равнодействующей, d — расстояние точки М

§ 4] L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 471
до линии действия равнодействующей. Значит, для данного много-
многоугольника сумма 2 Pjdj получит наименьшее значение, когда
1
момент берегся относительно ближайшей к этой линии вершины
многоугольника. Для ее нахождения не обязательно знать линию
действия равнодействующей, достаточно знать только ее направ-
направление.
Перебрав все многоугольники и найдя для каждого из них точ-
точки, «подозрительные» на минимум, выберем путем сравнения точ-
точку (или точки), в которых этот минимум достигается.
Мы не касались того случая, когда для какого-нибудь много-
многоугольника система сил Pj приводится к паре сил. В этом случае во
всех точках рассматриваемого многоугольника функция Ф (tI; tJ)
сохраняет постоянное значение; оно может оказаться искомым
минимумом.
§ 4. Zi-проблема и наилучшее приближение
в пространстве С (а, Ь)
1. /^-проблема в пространстве С{а, Ь). Рассмотрим про-
пространство С (Е) вещественных функций, непрерывных на
абстрактном компакте Е с определением нормы
Задачи, которые рассматривались в предыдущем па-
параграфе, относились к тому случаю, когда компакт Е
состоял из конечного числа точек.
Ниже, по существу, будет рассмотрен общий случай
компакта. Однако, чтобы не прибегать к обобщению ин-
интеграла Стилтьеса, мы ограничимся элементарным слу-
случаем Е = [а, Ь].
По классической теореме Ф. Рисса линейный ограни-
ограниченный функционал в пространстве С (а, Ь) имеет вид
(t)da(t) (E = [a,b\), D.1)
где a (t) — функция ограниченной вариации и

472 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Таким образом, L-проблема в пространстве С представ-
представляет собой следующую задачу:
Даны линейно независимые непрерывные функции
п
{иа(*)}"• Для вещественных чисел {с^}™ Bск^> О) uL^>0
1
найти условия, при которых существует представление
(t) (Л: = 1,2,..., и),
D.2)
в
Сформулируем задачи I и II в пространстве С: '
I. Найти минимальное L ( = 1 (с)), для которого суще-
существует представление D.2).
II. Найти
min max I ^>1u1 (i) + ... + Ъ,пип if) \ D.3)
Ч teE
В рассматриваемом случае тело 5?l, введенное в § 1,
строится весьма просто: оно оказывается замкнутой вы-
выпуклой оболочкой двух кривых — кривой LU+ с пара-
параметрическими уравнениями
xls = Luli{t) (a<*<&; & = 1, 2,..., га)
и кривой Lf7_ с параметрическими уравнениями
хк = — LuK (t) (a^.t ^.b; к — 1,. .., re).
В самом деле, по теореме Ф. Рисса (см. У.1.3.6) точка
принадлежит замкнутой выпуклой оболочке кривых LU+
и LU- тогда и только тогда, когда она является центром
тяжести некоторого обложения массами кривых LU+ и
LU_ с общей массой, равной единице:
ск = $t()+() +$()
а а
Ь
+ (t) > 0, dx_ (t) > 0,

§ 4l L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 473
т. е. тогда и только тогда, когда она допускает представ-
представление D.2) (где а {?) = x+(t) — т-@)-
Теорему 1.2 сейчас можно сформулировать следующим
образом.
Теорема 4.1. Точка с = {с^}™ принадлежит телу
5?! (т. е. телу J?L при L — 1) тогда и только тогда, когда
п
для любого многочлена Р (t) = 2 акик (О из
1
| Р @ |< 1 (а < < < Ь) D.4)
вытекает, что
|К(Р)|<1. D.5)
/7рм выполнении этого условия с GE д5?х тогда и только
тогда, когда в D.5) знак равенства достигается для неко-
некоторого многочлена, удовлетворяющего D.4).
Следствие 4.1. Для того чтобы существовал мно-
многочлен Р (t), удовлетворяющий условиям: [ Р (t) | ^ 1 и
Р (*о) = 1 (или Р (*о) = —1) (а ^ *о ^ Ь), необходимо и
достаточно, чтобы точка u(t0) = {uh(t0)}i находилась на
границе 5?х.
Для доказательства этого нужно только заметить, что
при с = и (t0) имеем (? (Р) = Р (t0) для любого много-
многочлена Р (t).
Имеет место
Теорема 4.2. 1) Среди решений a (t) системы D.2),
имеющих наименьшую вариацию I = I (с), существует по
крайней мере одно, которое имеет лишь г ^ п точек роста,
т. е. последовательность с = {сй}" допускает представле-
представление
г
ск = 2 tojUkiti) (& = 1, 2,..., ra;r<ra, cojsfO), D.6)
3=1
2) Каждое из этих решений обладает тем свойством,
что минимакс D.3) сохраняется при замене Е = [а, Ъ]
на Е' = {?fc}i. Кроме того, всякий экстремальный

474 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
многочлен при этой замене остается экстремальным и
для саженной задачи.
3) Каждый из экстремальных многочленов Р (t) в любой
из точек tj достигает максимума своего модуля ( = 1/1) и
signP (tj) = sign©,- (/ = 1, 2, ..., г).
Доказательство. 1) Так как точка с находится
на границе тела &г, то, согласно теореме Каратеодори
(см. У.1.3.8), она является центром тяжести г ^ п масс
г
Pi BPi = Mi сосредоточенных на кривых IU+h117_ в точ-
1
ках, отвечающих значениям t: tlf t2, ..., tr.
Положив 8ft = 1, если масса р^ находится на ltT+,
и ek = —1, если ph находится на IU_, и введя обозначение
^h == ейфь) мы получим представление D.6).
2) — 3) Каково бы ни было представление
г
Си = 2 ШЛ(*i) (А = 1, 2, . . ., га; г <га; (Oj =f= 0),
г
значение 2 I wi I He может оказаться меньше I, так
3=1
как это представление есть частный случай представления
D.2). На основании результатов предыдущего параграфа
отсюда заключаем, что для рассматриваемого представ-
представления
п
minlmax 12 Ьиа @ l: l ^ УкЩ = 1/^-
Остальные утверждения следуют из соотношений:
71 Г Г
1= 2 a»c* = S°)ii>(^XSl^lli>(^)Ki--r = 1.D-7)
t=l 3=1 3=1
п
где Р (t) = 2 afcuft(^) — экстремальный многочлен задачи II.
1
Теорема доказана.
Замечание 4.1. При доказательстве утверждений
2) и 3) не использовался тот факт, что в представлении

§ 4] i-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 475
D.6) г s^ га. Вообще, мы не извлекли всех следствий,
которые можно получить из соотношений
справедливых для любого решения о проблемы D.2) с
минимальной вариацией и произвольного экстремального
решения Р (t) задачи П.
Замечание 4.2. Утверждение о том, что минимакс
D.3) сохраняется при замене Е на некоторое Е' = {tj}[, где
г ^ га, можно обосновать, используя прием Шнирельмана.
Впрочем, сам Шнирельман применял его для функций,
определенных на произвольном компакте1).
У.4.1. Рассмотреть задачу А. А. Маркова о сопряжении железно-
железнодорожных путей, допуская изменение направления выпуклости и точ-
точки возврата (см. п. 4 § 3 гл. I) и обосновать указанное там построе-
построение кратчайшего пути.
2. Наилучшее приближение многочленами. Рассмотрим
задачу наилучшего чебышевского приближения заданной
п
непрерывной функции Q (t) многочленами Р (t) = 2 ?/А(^)>
1
т. е. задачу об отыскании многочлена Р (t), который ми-
минимизирует величину
D.8)
Очевидно, наша задача включается в задачу II как ча-
частный случай: сх = ... =сп = 0, е„+1 = 1 для системы
{uk @}™+1> гДе un+i @ = ^ (О? И ее исследование можно
провести, опираясь на теорему 4.2. Мы рассмотрим здесь
наиболее простой случай, когда функции {uh (t)}i обра-
образуют Г-систему на Е (порядка га — 1).
*) Одновременно мы замечаем, что в этих вопросах теоремы
Хелли и Каратеодори взаимозаменяемы. Заметим, что сама теорема
Хелли может быть получена из теоремы Каратеодори (см. Г. Раде-
махер и И. Шёнберг [1]).

476 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX.
Согласно теореме 4.2 найдутся точки (уб^и числа
©у =/= 0 (/ = 1, 2, ..., г) такие, что
+ «2^1 {h) + • • • + CO..U! (f r) = 0,
+ Ш2 (*г) + • • • + wru2 (f r) = 0,
D-9)
+ щип (t2) + ... + corun (f r) = 0,
где г <: re + 1 и 21 соз I = I-
1
Докажем, что для Г-системы {wft(?)}™ обязательно
г = п + 1. Действительно, из D.9) вытекает, что для
г
всякого многочлена Р (t) этой системы 2и;^ (h) — ^*
Если г ^. п, то можно было бы построить такой много-
многочлен, для которого Р (tj) = signet^-, откуда следовало
бы абсурдное равенство 21 0)i I = О-
1
Таким образом, в системе D.9) г = п -\- 1 и, следова-
следовательно, точками {<;}i+1 числа {ci)j}i+1 определяются одно-
однозначно. На основании теоремы 4.2 имеем для любого мно-
многочлена Р (t) -•= 2a\ku,i (t), наименее уклоняющегося от Q (t):
(/ = 1,2,..., re). D.10)
Из этой системы числа ^h определяются единственным об-
образом. Тем самым мы установили наиболее трудную часть
(достаточную) известной теоремы:
Теорема 4.3 (теорема Хаара). Пусть
{Uk (t)}'{ — линейно независимые непрерывные функции на
компакте Е. Для того чтобы для каждой непрерывной на
Е функции Q (?) соответствующий многочлен наимень-
наименьшего уклонения был единственным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы {uk (i)}" была Т-системой на Е.

g 4] L-ПРОБЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 477
Мы привели доказательство достаточности в качестве
иллюстрации. Доказательство необходимости читатель
может найти, например, в книге Н. И. Ахиезера [3] х).
Приведем еще одну иллюстрацию. Если {и^ (?)}" есть
Г-система на [а, Ь], то, считая (а <Г) tt < t2 < ...
... < tnJrl (^b), из системы D.9) легко усматриваем, что
знаки ©у чередуются. Мы получили доказательство необ-
необходимости условия следующей классической теоремы:
Теорема 4.4 (обобщенная теорема Чебышева). Для
того чтобы многочлен Р (t) T-системы порядка п —1 наиме-
наименее уклонялся на [а, Ъ] от непрерывной функции?1((), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его уклонение max [ Q (t) — Р (t) |
достигалось не менее чем в п +1 точках (a^)t1 <C t2 < ...
... <tn+1 (^b), в которых знаки разности Q (t) — Р (t) че-
чередуются.
Доказательство достаточности.
Пусть значение б = max I Q (t) — Р (t) | достигается в п -\- 1
точках (а ^ )t± <C t2 <C ... < tn+1 (^ b), причем выпол-
выполняется правило знаков, и пусть существует другой
многочлен Рг (t), менее уклоняющийся от Q (t), чем
P(t), т. е.
S («< *< b)
и, в частности,
(/ = 1,2,...,л
Но тогда многочлен Р2 (t) = P (t) — Рг (i) = (Q (t) —
— ^*i @) — (^ @ — Р @) принимал бы в п + 1 точках
'i < *2 < ••• < ^n+i значения с чередующимися знаками,
что невозможно для Г-системы порядка п — 1.
Замечание 4.3. Для многочлена Р (t) наилучшего
приближения в случае Т+-системы из D.10) и D.9) не-
немедленно получаем правило чередования знаков:
sign (Q (t5) ~ Р {г,)) = (- l)n+/+V,
J) Мы не касаемся также численных методов определения много-
многочленов наилучшего приближения. Этому вопросу посвящена фунда-
фундаментальная монография Б. Я. Ремеза [2].

478 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
где
щ щ...ип Q
li 1г • • • 1п гп
У.4.2. Для всякой Г-системы {и^ (<)}^ минимального~колеба-
ния (определение см. в Д. II. 2.5) 1 6$.
Д.4.3 (Г. Ш. Рубинштейн [1]). Для того чтобы для каж-
каждой непрерывной на Е функции Q (t) множество многочленов наи-
наилучшего приближения (оно выпукло) было не более чем г-мерным,
необходимо и достаточно, чтобы каждые г -+- 1 линейно независи-
независимых многочлена Pj (г) (/ = 1, 2,..., г + 1) имели в Е не более чем
п — г — 1 общих корней.
Д.4.4 (Е. Я. Ремез [1]; см. также [2]) х). Для того чтобы
многочлен Р (t) наименее уклонялся от Q (t) на Е, необходимо и
достаточно, чтобы среди точек Е, в которых достигается максималь-
максимальное уклонение, было г A< г< п -\- 1) точек fi,..., tr, для которых
выполняются следующие условия:
а) ранг матрицы || т (tk)... un (th) Q (th) ||[ равен г;
б) каждый ее минор порядка г, отличный от нуля, содержит пос-
последний столбец;
в) среди таких миноров имеется по крайней мере один Д, у ко-
которого все алгебраические дополнения Дй элементов Q (th) (к = 1,
2,..., г) отличны от нуля;
г) sign (Q (tk) - Р (tk)) = sign ДА,, (к = 1, 2, . . ., г).
3. Случай комплексного пространства. Поскольку
и в комплексном пространстве С (а, Ъ) каждый линейный
ограниченный функционал F (и) можно представить в виде
D.1), где о (() — (уже комплексная) функция ограничен-
ограниченной вариации и | F | = Var а, то для комплексного слу-
случая также имеется отмеченная выше двойственная связь
между задачей об определении наименьшего L( = l(c)),
при котором разрешима проблема моментов
г) Теорема Е. Я. Ремеза приводится здесь в формулировке из
статьи С. И. Зуховицкого [1].

§ 4] L-ПРОБЛВМА И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 479
и задачей о нахождении min 2алмл (t) при условии
п
2= 1, т. е.
п п
min( max 12«Л-@ : 2аА = l) = 1/Z (с). D.11)
В комплексном пространстве сохраняет силу теорема
4.2 при замене оценки г <Г га на г ^ 2га — 1 и равенств
signP (?,-) = sign cd;-на sign Р (?;) = sign w,-(/ = 1, 2, ..., г).
А. Н. Колмогоров [1] показал,что теорема Хаара пол-
полностью переносится на комплексный случай. Достаточную
часть теоремы А. Н. Колмогорова можно получить, пере-
перенеся предварительно на этот случай теорему 4.2, с тем
отличием, что для Г-системы {uh (?)}" в D.9) уже
г !> п + 1. Доказательство необходимости такое же, как
в вещественном случае.
Для случая тригонометрической системы uh (t) =
= <**' @ < t < 2л; к = 0, 1, ..., га) соотношению D.11)
можно придать более интересную форму. С этой целью
обозначим через /тр (е) величину I (с) для тригонометри-
тригонометрической системы; таким образом,
гтр (е) == min {Var а: а е 23 (с)},
где 23 (с) обозначает множество (комплексных) функций
a (t) ограниченной вариации, удовлетворяющих соотно-
соотношениям
$) (fc = 0, l,...,ra). D.12)
о
Теорема 4.5. Пусть задана некоторая последова-
последовательность с = {сА.)о- Тогда для всея тригонометрических
п
многочленов Т (t) = 2 °^еш порядка п имеет место точ-
о
кая оценка
¦it
12
; ZTP (с) max | Т (t) | @<я<2я). D.13)

480 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Доказательство. При s = 0 эта оценка сле-
следует из соотношения двойственности D.11); при s =/= 0
она вытекает из того же соотношения, примененного к
многочлену Т (t + s).
Отметим некоторые свойства величины ZTP (с).
а) Пусть с = {ск$ и с'={С;^, где ск =
(а == а, р = Р; А = 0, 1, • •., га). Тогда 1тр (с') = ZTP (e).
Для последовательности {ci!}pi+p условимся обозначать
через ZTP (ср, ср+1,..., с„+р) наимедьшую из вариаций функ-
функций а, удовлетворяющих соотношениям
2л
с*+Р= $ <#*«»>< do (*) (Л = 0, 1 и).
о
б) Величина /тр (с) не меняется при сдвиге нумерации на
целое число р, т. е.
hp (с0, С1> • • •) сп) == 'тр ("р, Ср+1, . . ., Ср+П),
где с'р+1с = с/с (fc = 0, 1,..., га).
В некоторых случаях /тр (е) находится весьма просто.
(!) У.4.5. а) Если последовательность {с^}^ расширяется до
эрмитово-неотрицательной (э.-н.) (см. п. 3 § 2 гл. III), то ?тр (с) = с0.
б) Если при некотором р @ <^ р<^п) последовательность {с^}™~р>
где Cj = ck+p I sign cp, является частью э.-н. последовательности
lc'j™m (m = max (Р> п — Р))> то гтр (с) = I ср I-
В этом случае распределение ст S 93 (с) с минимальной вариа-
вариацией определяется однозначно тогда и только тогда, когда э.-н. по-
последовательность {c;/}!IJn сингулярна.
(!) У.4.6. Если не существует р @ < р < п), при котором имеет
место У.4.5 б), то распределение a SE 95 (с) с минимальной вариа-
вариацией единственно; его точки роста служат корнями некоторого три-
тригонометрического многочлена порядка <! п.
Сказанное выше позволяет без труда получить следующую
теорему.
Теорема 4.5 (С. Н. Бернштейн [4]). Для производ-
п
ных тригонометрических многочленов Т (t) = 2 а-иеШ имеет
—п
место неулучшаемая оценка
max |Г(*)|. D.14)

4] L-ПРОЕЛЕМА И НАИЛУЧШЕЕ .ПРИБЛИЖЕНИЕ В С 481
Доказательство. Используя D.13), получаем
п
Г @1 = | ieintT' (t)\= — 2 ka^+
= п
, (с) max | Т (t) |,
0<«2
где с = jl J- . 1ак как эта последовательность рас-
Г. \к]
ширяется до э.-н. последовательности J.I
[
[ п )-in
(см. У.IV.8.5), то на основании У.4.5а) заключаем, что
^тр (с) = 1. Теорема доказана.
Неравенство D.14) породило большую литературу,
в частности, самому С. Н. Бернштейну принадлежит важ-
важное обобщение этого неравенства на целые функции экс-
экспоненциального типа (между прочим, это обобщение играет
важную роль во многих вопросах функционального ана-
анализа).
Приведенные результаты о тригонометрической пробле-
проблеме моментов с комплексным распределением являются дис-
дискретными аналогами результатов М. Г. Крейна [3], полу-
полученных для функций, допускающих представление в виде
интегралов Фурье —Стилтьеса. Эти результаты позволяют
распространить изложенный метод получения оценок для
«трансформированных» тригонометрических многочленов
на случай целых функций (см., в частности, Н. И. Ахи-
езер [3]).
Дальнейшие глубокие обобщения неравенства D.14),
основанные на разработанном Б. Я. Левиным понятии
майорантной функции, см. в его книге [1] (см. также
Н. И. Ахиезер [3]).
В заключение сделаем следующее замечание. Из
У.4.6 вытекает, что если последовательность {с^}™ нель-
нельзя преобразованиями, приведенными в У.4.5, превратить
в последовательность, являющуюся частью э.-н. последо-
последовательности, то она допускает единственное представле-
представление (с вещественными |у и, вообще говоря, комплек-
комплексными р^)
п
ск= 2р/^ (А = 0,1,- ••,*)»
3=1

482 АБСТРАКТНАЯ Х>-ПРОБЛВМА ИГЛ. IX
п
в котором 2 IPjl = min {Var а : а ЕЕ %$ (с)}. Любопыт-
3=1
но, что этот результат уже нельзя получить, как в веще-
вещественном случае, используя теоремы Ф. Рисса и К. Кара-
теодори.
§ 5. i-проблема в пространстве с несимметричной нормой
1. Общие предложения. Пусть в линейном пространстве
В задан функционал D (и) (и ЕЕ В), обладающий свой-
свойствами:
1) D (и) > 0 при и ф О,
2) D (tu) = tD (и) при t > О,
3) D К + щ) < D К) +D(u2).
Такой функционал, как и в конечномерном случае,
принято называть масштабной функцией или функциона-
функционалом Минковского. Но мы, в нарушение принятых тради-
традиций, будем называть его несимметричной нормой (иногда
просто нормой), используя обозначение D (и) = | и \.
От обычных требований, предъявляемых к норме, отли-
отличается лишь требование 2: для обычной нормы || tu \\ —
— \t \\u\ при любых t, а не только для t > 0. Таким
образом, в пространстве с несимметричной нормой, вообще
говоря, || — и | ф || и \.
Здесь уместно заметить, что в случае, когда простран-
пространство В конечномерно, задание в нем нормы равносильно
заданию некоторого выпуклого замкнутого ограничен-
ограниченного тела &, для которого начало координат является
внутренней точкой.
На каждом луче, исходящем из начала, тело & опре-
определяет свою единицу масштаба — величину отрезка от
начала координат до точки пересечения луча с грани-
границей &.
В бесконечномерном пространстве задание нормы | • |
равносильно заданию выпуклого ограниченно поглощаю-
поглощающего множества &, т. е. множества, обладающего свой-
свойством: для любого и ее В, и ф 0 существуют ^)>0 и
К2 ^> 0 такие, что и 6Е ^х^ и и ф. Я,2&.
Если в пространстве В введена обычная норма || • ||,
превращающая его в банахово пространство, то может
возникнуть вопрос, когда функционал D (и) = \\и\ не-

§ 5] ПРОСТРАНСТВА С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ 483
прерывен? Заметим, что в силу выпуклости функционала
его непрерывность эквивалентна неравенству II и II ^
^ С || и |, с некоторой константой С. По известной лемме
И. М. Гельфанда [1] (см. также И. М. Гельфанд и
Г. Е. Шилов [1], стр. 38) | и | непрерывна тогда и только
тогда, когда й замкнуто, й является замкнутым огра-
ограниченным телом тогда и только тогда, когда нормы || • |
и | • || топологически эквивалентны.
Примером нормы || • |, топологически эквивалентной
норме |1 • ||, может служить | и \ = \\u\\ -f- / (и), где / (и) —
— ограниченный линейный функционал и ||/||-<1.
В конечномерном пространстве всякая несимметричная
норма топологически эквивалентна евклидовой норме
(см. A.2.1)).
Линейный функционал F(и), действующий в простран-
пространстве В с несимметричной нормой, называется ограничен-
ограниченным, если существует L ^> 0 такое, что для всех и ЕЕ В
выполняется неравенство
F{u)<L\\u\{u(EEB). E.1)
Норма линейного ограниченного функционала опре-
определяется равенством х)
Таким образом, норма функционала — это наимень-
наименьшее число L > 0, при котором выполняется неравенство
E.1).
Заменив и на —и, найдем, что | F \ есть наименьшее
значение L ^> 0, при котором выполняются неравенства
— Z,| —»!<*¦(») <Ц»|. E.2)
Заметим, что, вообще говоря, || — F \ =^= Ц F \.
Очевидно, что в пространстве с симметричной нормой
наше определение ограниченного функционала и его нор-
нормы совпадает с обычным.
В том случае, когда в В наряду с нормой || -| введена
норма | • |, в которой В — банахово пространство и
*) В конечномерном пространстве это определение совпадает
с определением дуальной функции, а неравенство F (и) <
< IIF III » I — с обобщенным неравенством Коши — Лангранжа.
(См. У.1.2.2).

484 АБСТРАКТНАЯ -L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
| и | sgT С \\ и | для всех и Е= В, то множество | • (-ограни-
(-ограниченных функционалов поэлементно входит в множество
всех непрерывных функционалов в банаховом простран-
пространстве. Именно такая ситуация будет встречаться в приво-
приводимых нами приложениях.
С. Банах указал, что справедливо следующее обобще-
обобщение теоремы Хана—Банаха (см. С. Банах [1]).
Пусть в линейном вещественном пространстве В за-
задан выпуклый положительно однородный функционал1)
D (и) и для некоторого линейного функционала F (и), оп-
определенного на подпространстве L cz В для всех и ЕЕ L
\ F (м)< D {и). E.3)
Тогда этот функционал F можно продолжить на все
пространство В с сохранением неравенства E.3) для всех
и<= В.
При D(и) =\\и\ это предложение дает теорему о про-
продолжении линейного функционала с сохранением несим-
несимметричной нормы. Поэтому все результаты § 1 перено-
переносятся на пространства с несимметричной нормой.
У.5.1 (в связи с задачей Поссе). Пусть L — подпространство
банахова пространства В и уклонение элемента agLoi элемента
Q 6E В измеряется значением функционала
/ (ft - «) = Ц Q - « || -t / (Q - н),
где / — некоторый линейный функционал. Значения 1@. — и)
ограничены снизу тогда и только тогда, когда / (и) = || и || +
+ / (и) ^ 0 для всех и ? L, т. е. тогда и только тогда, когда су-
существует линейный функционал F (и) такой, что || F \\ «; 1 и
F (и) = / (") Для всех и ? L.
2. (X, |ы)-норма. Рассмотрим с новых позиций (Я, ^-про-
^-проблему (§ 5 гл. VII).
Пусть на [а, Ъ] заданы две непрерывные функции Я (t) и
u. (t), удовлетворяющие условиям
dii(t)>0, \d%(t) \<dii(t).
Рассмотрим пространство .В (К, \х) непрерывных на
[а, Ь] функций и (t) с несимметричной нормой
= jj| u(t)\d[i(t)
Этот функционал обладает свойствами 2) —3), см. стр. 482.

§ 51 ПРОСТРАНСТВА С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ 485
Так как
ь ь
flu|< max \u
<t<b
то всякий ограниченный функционал в нашем простран-
пространстве имеет вид
ь
где a (t) — функция ограниченной вариации.
Выясним, как связаны | F \ и a (t). Неравенства E.2)
перепишутся следующим образом:
— LQ'| и(t)|d\i(t) ~ \ и(t)dX(t)) < ^и(t)da(t)<
a a a
Ъ b
<L (j|и(t) |ф (t) + ^u(t)dk(t)) E.2')
для л(юбой непрерывной функции и (t). Отсюда получаем,
что функция о (t) удовлетворяет неравенствам
Ld (I (t) — ц (t)) < da (t) < Ld (I (t) + \i (t)). E.4)
Обратно, пусть функция a (f) удовлетворяет неравен-
неравенствам E.4). Вычитая почленно из неравенств
b\ u+ (t) d (к (t) - ц (t)) < J u+ (t) da (t)
неравенства
ь
L J u_ (t) d (I (t) + |i (t)) > J u_ @ de (t)

486 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
ь
обнаружим, что функционал F (и) = \ и (t) da (t) удовлетво-
а
ряет неравенствам E.2') и, следовательно, Ц/^I^L. no-
fa
этому норма ограниченного функционала F (и) = \ и (t) do (t)
а
равна наименьшему значению L ^> 0, при котором функ-
функция с (t) удовлетворяет неравенствам E.4).
Зададимся системой непрерывных линейно независи-
мых функций {uk(t)}™ и числами {ск}^ f 2 cl ^> Oj.
i
Задача II теперь сформулируется следующим образом:
найти
п
\Ц= min 12 &*»*(')! =
Ь п Ь п
= min
(|| S
а 1 а 1
Мы пришли к (Я,, ^-проблеме.
По теореме 1.1 число I есть наименьшая норма функци-
функционалов, удовлетворяющих уравнениям
F (itt) = c»(A = l, 2,...,п),
т. е. уравнениям
ь
(А = 1,2,...,п). E.5)
Следовательно, I есть наименьшее положительное число,
для которого существуют функции a (t), осуществляющие
представление E.5) и удовлетворяющие неравенствам
Ш (К — ц)< dcr < Id {К + \i).
Иными словами, I есть наименьшее положительное число,
при котором для последовательности {cft/Z}i разрешима
(ср, г|))-проблема, где ф = % — \i, г|) = X + [д,. Мы получи-

§ 5] ПРОСТРАНСТВА С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ 487
ли тот же результат, что и в § 5 главы VII. Теперь иско-
искомый минимум можно найти геометрическим способом, ука-
указанным в этом параграфе.
3. (ф+, ср_)-норма. Рассмотрим теперь пространство
.В (ф+, ф_) непрерывных функций с другой несимметрич-
несимметричной нормой ((ф+, ф_)-нормой). Для заданных непрерывных
строго положительных функций ф+ (t) и ф_ (?) (а ^ t ^ b)
положим
где и+ (t) = 1/2 (\u(t) \ + u (t)). Очевидно, что эта нор-
норма топологически эквивалентна норме в пространстве
С (а, ЬI). Поэтому всякий линейный ограниченный функ-
функционал F (и), действующий в рассматриваемом простран-
пространстве В (ф+, ф_), имеет вид
ь
Его норма вычисляется по формуле
ь ь
где da± (t) = -у- \d \ \ da (t) | + da (t) , которую можно полу-
a
чить, распространив F (и) на кусочно-непрерывные функ-
функции и положив и (t) = ф+ (t) в интервалах, где da ^> О,
и и (t) = ф_ (t) в интервалах, где da ^ 0.
Аналогично, в га-мерном пространстве, в котором норма
элемента и = {ms}™ определяется как
\ < ик 1
м| = max —+— ,
1</с<п I ф+ ф! J
П П
норма функционала F (и) — 2 /^^^ равна || F \ = 2 (ф+/+ +
Она совпадает с ней при ф+ (t) = ф_ (t) = 1.

488 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Как и в § 3, этот функционал нормален тогда и
только тогда, когда все fk =f=0, и при выполнении этого
п
условия из равенства '^1fKult = \\F 11| и\ вытекает, что
1
sign w" = sign/* и -~ -| = const (к = 1, 2,..., п). По-
Последнее следует из серии неравенств
f (и) = s / v =
Для заданной системы {и^ (<)}" непрерывных линейно
независимых на [а, Ь] функций и последовательности с =
= {ел}™ задачи I и II сейчас формулируются следующим об-
образом.
I. Найти минимальное L = /(о), йля которого суще-
существует представление
с*.
= ^uk(t)ds(t) (k = I, 2, ...,п), E.6)
J Ф+ @ da+ @ + J Ф^ (t) da_ (f) < L. E.7)
a a
II. Найти
условии 2a/ic/c = !•
1
Как мы знаем, этот минимум равен 1/Z.

§ 5] ПРОСТРАНСТВА С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ 489
Для геометрического решения задачи I нужно несколь-
несколько изменить построение, приводящее к телу 5?/, (см. § 4).
Именно, сейчас &l совпадает с замкнутой выпуклой обо-
оболочкой кривых ЫТ+ и LU_, задаваемых парамзтрическими
уравнениями:
LU_:
Действительно, согласно теореме Ф. Рисса точка с при-
принадлежит этой оболочке тогда и только тогда, когда
где
ь ь
dt+>0, dt_>0, J dt+(f) + jdt_(f) =1,
а а
ИЛИ
ь
с, = L J ufc @ d (б+ (f) - о_ if)) (A=l,2 га),
а
где
d3± @ = dx± @/Ф+ (О, S ф+ it) da+ (t) + J Ф_ (t) d^ @ = 1.
а а
Ha рассматриваемый случай легко переносятся тео-
теоремы 4.1, 4.2 и следствие 4.1.
Теорема 5.1. Точка с =¦ {cft}™ принадлежит телу
Йх (т. е. телу 5?Xj при L = 1) тогда и только тогда,
когда для любого многочлена Р (t) =2 akui:
из

490 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
вытекает, что
<?(/>)< 1. E.9)
При выполнении этого условия с ЕЕ д&г тогда и только
тогда, когда знак равенства в E.9) достигается для неко-
некоторого многочлена Р (t), удовлетворяющего E.8).
Следствие 5.1. Для того чтобы существовал мно-
многочлен Р (t), удовлетворяющий условиям
IfIf 4-р ('») = ч+{to)
необходимо и достаточно, чтобы точка и (?0)/ф+ (*о) (соот-
(соответственно — и (?0)/ф- (^о)) принадлежала 3%.
Теорема 5.2. Среди решений о (t) системы E.6),
E.7), отвечающих наименьшему значению L = Z (с), суще-
существует по крайней мере одно, которое имеет лишь г ^Z n
точек роста, т. е. последовательность с = {ck}i всегда
допускает представление
п
си = 2 aiun (*i) (& = 1, 2,..., re; r
ф-
4. Наилучшее приближение многочленами в (<р+, <р_)-
норме. Теорема 5.2 позволяет решить задачу о наилучшем
чебышевском приближении непрерывной функции Q (t)
многочленами P(t) данной Г+-системы {uk (t)}™ в (ср+, ф_)-
норме.
Предварительно поясним, что означает наилучшее при-
приближение в этой норме. Если в обычной норме простран-
пространства С (а, Ъ) неравенство! / (t) || ^ б означает, что график
/ (t) находится в полосе между прямыми у= —б и у = б,
то в (ф+, ф^)-норме неравенство ||/ (t)\ ^ б, которое в под-
подробной записи имеет вид max (/+(?)/Ф+@ +/-@/ф-(*)) ^б
означает, что/+ (<)^бф+(^)и f_(f) ^бф_(<), т. е. что график
/(?) находится в полосе между графиками функций —бф_ (t)
и бф+(?). Задача наилучшего приближения состоит, следо-

§6] Пространства с Несимметричной Нормой 491
вательно, в том, что ищется наименьшее б ^> 0, при кото-
котором существует многочлен Р (t) такой, что график разно-
разности Q (t) — Р (t) умещается в указанной полосе.
Теорема 5.3. Для того чтобы многочлен Р (t) T-
системы порядка п — 1 наименее уклонялся на [а, Ь] от
непрерывной функции Q (t) в (ср+, ц>_)-норме, необходимо
и достаточно, чтобы его уклонение
max [(Q @ - Р (*))+/<р+ @ + {Q (t) - Р (*))./Ф_ (*)]
достигалось не менее, чем в п -f- 1 точках (a^J) tx < l2 < ...
... <.tn+1 (^ Ъ), в которых знаки разности Q (t) — Р (t)
чередуются.
Доказательство, после всего сказанного, лишь
деталями отличается от доказательства теоремы 4.4.
Остается в силе замечание 4.3 о правиле чередования
знаков разности Q (t) — Р (t) в точках tj.
У.5.2. Пусть | dX (t) | < qdjx (t) @ < q < 1). Тогда:
а) (К, {1)-норма имеет смысл в пространстве Li (a, b; ji) всех
ц-измеримых и ц-суммируемых на [а, 6] функций и (t) и топологи-
топологически эквивалентна симметричной норме
б) В полученном пространстве с (К, ц)-нормой всякий ограни-
ограниченный линейный функционал F (и) представим в виде
где а (<) — в существенном ограниченная ц-измеримая функция.
При этом
„ . f «+(*) «-(*)
|| F | = max jsupess 1+e(t)-, sup ess i_Q
где
«+ if) = — (| a (t) | ± a @), 6 @ = dX (t)ldfL (t).
в) Для (Х, {г)-нормы сохраняет силу теорема 2.4 (теорема
Джексона).
У.5.3. В пространствен (ф+, (р_) сохраняет силу теорема Хаара.

492 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
§ 6. Теорема об ужах и следствия из нее
1. Теорема об ужах. Из теоремы 5.3 легко получается
теорема С. Карлина [1] х) (мы назвали ее «теоремой об
ужах»), полученная им другим путем — с помощью теоре-
теоремы Боля—Брауэра о существовании неподвижной точки
при непрерывном отображении симплекса в себя. Из тео-
теоремы об ужах вытекает ряд интересных для теории Т-
систем фактов.
Теорема 6.1 (теорема об ужах). Пусть для непре-
непрерывных функций / (t) и g (t) (a ^ t ^ Ъ) существует мно-
многочлен v (t) данной Т-системы {иь(?)}% такой, что
g(t) < v (t) <f(t) (a < * < Ь). Тогда:
а) существует единственный многочлен Р_ (t) ЕЕ ty,
удовлетворяющий условиям:
2) найдутся п -\- 1 точек (а <!) <i <С *г <С • • • <С tn+1 (^ 6),
в которых
/(Wi), / = 0,2,4,...,
F.1)
g \ln+l-j), 1 — 1, О, О, ...
б) Существует единственный многочлен Р (t) GE ф,
удовлетворяющий условию 1) и условию 2'), которое полу-
получается из 2) при перемене ролями fug.
Поясним содержание этой теоремы. Условимся назы-
называть ужом график многочлена данной Г-системы. Графики
функций/ (t) и g (f) образуют некий коридор, через кото-
который может проползти уж (график v (t)), не прикасаясь к
его стенкам. При этом условии существуют два и только
два «наиболее извивающихся ужа» (графики P_{t) ш р (?)),
которые могут проползти через этот коридор, прикасаясь
к каждой из его стен так, что для каждого ужа количество
точек, в которых он попеременно прикасается к каждой
из стен, не менее п + 1, один из них («нижний» уж _Р (t))
в последний раз прикасается к стене / (<), а другой («верх-
(«верхний» уж Р (t)) — к противоположной стене g (t) (рис. 5).
Доказательство. Достаточно рассмотреть
случай v @ = 0, заменив / (t) па ф+ (t) = / (t) — v (t) ^> 0
и g (t) на - ф_ (t) = g(t) -v (t) < 0.
См. также С. Карлин и В. Стадден [1].

б! ТЕОРЕМА OB УЖАХ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЁ 493
Для а <^ р ^ Ъ положим | и (t) |0 = max (u+ (<)/ф+ @ +
+ ()Ф())
Обозначим через фг множество тех Р (t) eS ф, для ко-
которых Р (Ь) — 1, и поставим задачу об отыскании «наибо-
«наиболее извивающегося» многочлена Р (t) €= фц на котором
достигается минимум в выражении 1/1ь = min|P(f)L.
Рис. 5.
Введем множество ф0 многочленов, аннулирующихся
в точке Ъ, Всякий такой многочлен имеет не более п — 1
корней в [а, Ъ) и, следовательно, всякий базис {vk(t)}1
подпространства ф0 есть Г-система на [а, [3] (а < |3 < &),
которую без ограничения общности можно считать Т1,,.-
системой. Зафиксировав некоторый многочлен Q (<) S фц
мы получим, присоединив его к {vk (t)}i, базис sp, который
также является Г+-системой, так как в силу равенств
vk(b) = 0 (* = 1,2, ...,п), Й(Ь) = 1,
Д
Q
1 2 * ' • "П
= Д
*2 • • • 'rl/'
Сузим интервал [в, 6], заменив его интервалом fa, |3]
(а < C < Ъ) и поставим задачу о нахождении многочлена
из SPi, наименее уклоняющегося от нуля на [а, C] в
(ф+,ф_)-метрике. Так как всякий многочлен из $рх предста-
представим в виде Q (t) — Q (t), где Q (t) 6= 5POi то эта задача сво-
сводится к уже рассмотренной в п. 3 § 5 задаче о нахождении

494 аёсграйтная ^-проблема twt. ix
многочлена Q(t) = 2а<е1'л @> на котором достигается мини-
l
мум в выражении
п
МЦ = mini Q (t) - 2«Л (О L • F-2)
Обозначим через Р$ (t) тот многочлен из ф1, на котором
достигается минимум в F.2). Тогда —ф_ (t) ^ l$P$ (t) ^
^ Ф+ (t) и согласно теореме 5.3 найдутся точки
(а < )tt (Р) < <2 (C) < ... <«п+1 (C) «Р), в которых мно-
многочлен Zp-Pg (i) равен попеременно ф+ (t) ш — ф_ (t). Учи-
Учитывая замечание 4.1, найдем, что /рРр (<n+1 (P)) =
Ж(Р))
Ж))
Легко видеть, что мноя^ество многочленов {l$P$ (t)}
(а-^ i ^ Ь) компактно. В самом деле, так как все нормы
конечномерного пространства топологически эквивалент-
эквивалентны, то
п п п
т* [2 4]' < | S ^«* (о L < ^р [S ^]г
Отсюда для .Р(з (<) == 2 ^л (Р) "л @ получаем, считая, что
о
n v
в качестве Шр выбрана «точная» константа, 12 ^\ (Щ ^
о
1/1ьтпь, так как Ц и тр не возрастают при
возрастании р.
В силу этого можно считать, что для некоторой после-
последовательности рр —> & — 0 имеем Z,3 Рр (?)—»ZbPb (^) и tj (PP)-^<j
(/ = 1, 2,..., п + 1). Многочлен Р (i) = lbPb (t) обладает
свойствами 1) и 2). Отметим, что попутно доказано нера-
неравенство 1Ь ^ ф+ (Ь).
Если какой-либо многочлен обладает свойствами 1)
и 2), то из них можно сделать вывод, что сумма индексов
корней многочлена Р (t) — Р (t) не меньше п + 1, т. е.
P{t) = P(t).
Многочлен Р (t) строится аналогичным образом, если
множество фх заменить множеством ф^ многочленов, рав-
равных — 1 в точке Ъ. Теорема доказана.

§ 6] ТЕОРЕМА ОБ УЖАХ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 495
Замечание 6.1. Мы строили многочлены Р (t) и
Р (t), отправляясь от точки t = Ъ. Отправляясь от точки
t = а, мы пришли бы к тем же многочленам.
При выяснении того, существует ли уж, который мо-
может проползти через данный коридор, не касаясь его сте-
стенок, можно воспользоваться следующим утверждением,
непосредственно вытекающим из теоремы Хелли 1.3.2.
У.6.1. Если для некоторого 8 > 0 и любого набора Ж = {^}"+2С
С la, b] (t. сф t- при к ==t j) существует многочлен Р g- (t) =
n
= 2a/t (^") uk О' УЛ°влвтВ0РяюЩий условиям
g (tk) + e < iv (*fc) </ (g - s (* = l. 2 n +-2),
то существует многочлен Р (t), удовлетворяющий условиям
g (t) + s < P (t) < / (t) - 8 (a < t < 6).
У.6.2 (С. К а р л и н [1]). Пусть {щ (t)}^1 —периодическая
на [а, Ь) Г-система и для непрерывных периодических с периодом
Ь — а функций f (t) и g (t) существует многочлен v (t) данной
Г-системы такой, что g (t) < v (t) < / (t). Тогда:
а) Для каждого t0 e [а, Ь) существует единственный многочлен
Р (t; t0) e Ф, удовлетворяющий условиям:
2) найдутся 2v точек (t0 <) h < h < ... < *2v « к + b — a), в ко-
которых
-(j' )=U(*i). / = i,3,...
б) Существует единственный многочлен F (t; t0) S $, удовлет-
удовлетворяющий условию 1) и условию 2'), которое получается из 2)
при перемене ролями / и g.
2. Случай, когда коридор образован ужами. При
общих предположениях относительно функций f(t)ng(t),
образующих коридор в теореме об ужах, о расположении
и количестве точек, в которых наиболее извивающийся
уж прикасается к стенкам коридора (кроме того, что их
должно быть > п -\-1), ничего нельзя сказать заранее.
Действительно, мы можем, не меняя ужей Р(()ир((),
произвольно деформировать стенки / (t) и g (t), следя
лишь за тем, чтобы выполнялись свойства 1), 2) и 2').
Так можно, в частности, получить сколько угодно точек
прикосновения.

496 АБСТРАКТНАЯ L-ГГРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Для фиксированных коридоров ср+ (t) и ф_ (t) (при
v (t) = 0) можно лишь указать, среди каких значений t
могут находиться абсциссы точек прикосновения. Именно,
в силу следствия 5.1 точка t0 может служить абциссой
точки соприкосновения ужа со стенкой ср+ (t) (соответст-
(соответственно— ф_ (t)) только в том случае, когда u(to)/q>+(to)
(соответственно — и (?0)/ф- (^о)) — граничная точка i?j. Ес-
Если же t0 = а или t0 = fe, то это условие является не
только необходимым, но и достаточным для того чтобы
наиболее извивающийся уж «вползал» в коридор или,
соответственно, «выползал» из коридора через его угол.
В самом деле, если u(b)/(p+(b) —граничная точка
&х, то существует многочлен Р (t) такой, что || Р (t) | = 1,
Р (Ь) = ф+ (Ь). Отсюда следует, что 1Ъ > ф+ (&). С другой
стороны, при доказательстве теоремы 6.1 установлено, что
h'^4>+(b)- Отсюда получаем, что для наиболее изви-
извивающегося ужа Р (t) = 1ЬРЬ (t) имеем Р (Ь) = ц>+ (Ь).
В этой связи представляет интерес следующая
Лемма 6.1. Если ф+ (t) e $, то все точки кривой
U+ = {и (t) /ф+ (t): а < t < Ъ}
— граничные для %. Аналогичное утверждение имеет ме-
место для U_, если ф_ (t) ЕЕ ф-
п
Доказательство. Если Ф+@ = S а/Л @> т0 кри-
о
п
вая U+ лежит в гиперплоскости 2 аА- = 1; последняя яв-
о
ляется опорной для 5?ь так как для точек кривой U_
О Ч-- V /
Теорема 6.2. Если /(() е $ (соответственно
g{t) ЕЕ ty), то индекс множества точек прикосновения гра-
графика Р (t) kj (t) (g (t)), и графика P(t) kj (t) (g (t)) равенп.
Доказательство. В самом деле, многочлены
f(t)-P (t) и f(t)-P (О (Р (t) - g (t) и Р (t) ~ g (t))
неотрицательны и имеют максимально возможное число
корней.
Несколько вольное истолкование этой теоремы: если
стенку коридора образует уж, то наиболее извивающийся
уж старается как можно меньше к нему прикасаться.

§ б] ТЕОРЕМА ОБ УЖАХ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 497
Из леммы 6.1 и теоремы 6.2 можно сделать более точ-
точные выводы, когда обе стенки f{t) и g(t) — многочлены
данной Г-системы.
Если п — четное число, то так как Р (Ъ) = / F), обя-
обязательно Р_ (а) = / (а); аналогично, в этом случае Р (Ь) =
= g(b) и Р(а) = g(a).
Если п — нечетное число, то из Р_{Ъ) = / (Ь) следует,
что Р (а) -/= / (а). Таким образом, если воспользоваться
замечанием 6.1, мы получаем, что Р (а) = g (а). Анало-
Аналогично, Р (Ь) — g (Ъ) и Р (а) — / (а).
Итак, если обе стенки / (t) и g (t) образованы ужами,
то каждый из наиболее извивающихся ужей вползает в
коридор через угол и выползает из него через угол, при-
примыкающий к той же стенке при четном п и к противополож-
противоположной при нечетном п.
Следствие 6.1. Если 1 Е $, то существует един-
единственный многочлен Р (t) E= ty, нормированный условием
Р (Ь) = 1, который в некоторых точках t0 = a <C t± < ...
... *Oti+i = b принимает значения Р (tj) = (—l)n+1"-i, яв-
являющиеся его экстремальными значениями, и не имеющий
экстремумов в других точках.
3. Представление неотрицательных многочленов.
Пусть Р (t) — строго положительный многочлен. Тогда
функции/ (t) = P (t) и g (t) = 0 удовлетворяют условиям
теоремы об ужах (v (t) = aP (t), где 0 < а <; 1).
Так как разность Р (t) — P_ (f) обладает свойствами
многочлена Р (t), то в силу единственности она с ним сов-
совпадает. Таким образом, получена
Теорема 6.3 (С. К а р л и н [1]). Всякий строго
положительный многочлен данной Т-системы единствен-
единственным образом представляется в виде
P(t) = P (t) + р (О,
где Р (t) и Р (t) — неотрицательные многочлены со свой-
свойствами: множество корней каждого из многочленов Р_ (t) и
р (t) имеет индекс п; корни Р (t) и р (t) строго переме-
перемежаются; Р (Ь) = 0.
Отсюда вытекает
Теорема 6.4 (М а р к о в — Л у к а ч). Пусть
Р (t) — положительный на [а, Ъ] алгебраический много-
многочлен степени п. Тогда для всякого v ^> [и/2] он допускает

498 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
представление в каждом из видов
Р (t) = A* (t) + (b~t)(t- а) В* (t), F.3)
Р @ = F - t) С2 (t) + (t-a) D* (t), F.4)
где A (t), С (t) и D (t) — многочлены степени v, В (t) —
многочлен степени v — 1.
В случае п — 2v имеет место только F.3), в случае
п = 2v -f- I — только F.4).
Эти представления единственны, если корни много-
многочленов A (t) и В (t), соответственно С (t) и D (t), переме-
перемежаются.
Для получения F.3) (соответственно F.4)) достаточно
посмотреть на Р (t) как на многочлен Г-системы {tf}^1
(соответственно {^'}ov+1).
Замечание 6.2. Если неотрицательный в [а, Ь]
алгебраический многочлен Р (t) имеет корни в la, b], то
его можно представить в виде Р (t) = Q (t) R (t), где корни
Q(t) совпадают с упомянутыми корнями Р (t), а й (!) > О
(а ^ t ^ Ь). Применяя к Л (t) теорему 6.3, мы увидим,
что и в этом случае имеет место представление F.3) или
F.4). Оно единственно, если корни A (t) и В (t), соответ-
соответственно С (t) и D (t), не совпадающие с корнями Р (t),
перемежаются г).
Оказывается, что многочлены A (t) я В (t) (С (t) и
D (t)), входящие в представление F.3) (соответственно
F.4)) строго положительного многочлена Р (t), обладают
еще одним экстремальным свойством, обнаруженным
А. А. Марковым [17].
Среди функций вида
VP(t)
v '
найдем ту, которая наименее уклоняется от нуля на [а, Ъ]
в обычной метрике С (а, Ъ). Для экстремальной функции
Q (t)/V~P (t)> уклоняющейся от нуля на 1/1, разность
¦>0
l* Р (О РР (t)
J) Возможно обобщение этого предложения для 25Г-систем
(С. Карлин и В. Стадден [1]).

§ б] Теорема ов Ужах и следствия Из нее 499
обращается в нуль в точках а и Ъ и v — 1 точках tj внут-
внутри (а, Ь). Поэтому Р (t) — l*Q2 {t) = (b — t) (t — aM2(<),
v-l
v-l
где 52(<) = JJ (t~tjJR(t), R (t) — положительный
l
многочлен, степень которого равна п — 2v при п ^> 2v,
сводящийся к, положительной константе при п ^ 2v.
В последнем случае мы получили представление F.3),
в котором A(t) = lQ{t), B(t)=y R H(t — tj), при-
причем корни A (t) и В (t) перемежаются.
Получив представление F.3), мы из него можем вы-
вывести F.4), записав F.3) для многочлена (t — а) Р (t) и
затем разделив на t — а.
С. Н. Бернштейн в двух своих весьма интересных
статьях [5] A930 г.) и [6] A932 г.) показал, что при n^2v
тот же многочлен Q (t) осуществляет минимум интеграла
V о 1 ' " ' "у-1" | • • • i "О I I dt
V(b-t)(t-a) '
где Q (t) — неубывающая выпуклая при t ~^> 0 функция.
Если мы положим Q (t) = t2, то получим, что Q (t) яв-
является v-м ортогональным многочленом по распределе-
распределению da (t) = dtIP (t)Y(b — t) (t — а). Если же положить
fi (t) = tr(pp> 1), то
lim (/ „Wp =
и, таким образом, наново получается результат
А. А. Маркова 1).
Экстремальное свойство B{tJ) можно установить, сле-
следуя рассуждениям А. А. Маркова (изложенных им по
другому поводу), без использования общих теорем о
функциях, наименее уклоняющихся от нуля.
Пусть (а <) хг < ... <т„ (<&) — корни многочлена
A (t). Считая старший коэффициент В (t) положительным,
а) В первой из указанных статей этот результат А. А. Марко-
Маркова был повторен.
2) Оно не было отмечено А. А. Марковым.

500 АБСТРАКТНАЯ ^ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
из перемежаемости корней A (t) и В (I) найдем, что
f
у
— ХЛ (Т, — а)
F.6)
Отсюда можно сделать вывод, что среди всех функций
вида 1/ —-—pjpj — S (t), где S (t) — многочлен степени
v — 1с таким же старшим коэффициентом, как и B(t),
, 1 f(b — t){t — a) D/ .
наименее уклоняется от нуля функция I/ yj- ~B(t).
Чтобы убедиться в этом, заметим, ч:то в силу F.3)
и F.6) уклонение последней функции от нуля равно 1.
Если бы при S = So (t) достигалось меньшее уклонение,
то согласно F.6) разность В (t) — SQ (t) меняла бы знак
V раз, что невозможно для многочлена степени ^v — 1.
Аналогично формулируются и устанавливаются эк-
экстремальные свойства С (t) и D (t).
В заключение приведем без доказательства формулы
А. А. Маркова [17] для вычисления A (t). Зная A (t),
можно найти остальные многочлены В (t), С (t) и D (t).
Без ограничения общности можно считать, что [а, Ъ] =
= [—1,1] и Р@) = 1. Пусть P{t) = Yl{i + aj) (некото-
1
рые ак могут быть равными нулю). Определим т|зк из
условия х)
Г уг+г
- я < Re if* < я (к = 1, 2,..., 2v).
Тогда
A (t) = УР (t) cos (^ +
J) Для корней выбрана ветвь с положительной вещественной
частью.

§ 7] ^-ПРОБЛЕМА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА 501
Кроме того, наименьшее уклонение от нуля функций
вида F.5) равно ill, где
2V
i = 2—1
ак - У\ - ак)
§ 7. Х-проблема в пространстве почти-периодических
функций Степанова
1. #-функшш. Обозначим через SL1 множество тех ло-
локально суммируемых функций и (t), для которых вели-
величина
= sup j \u(t)\dt
конечна. Известно, что 8LX — банахово пространство.
Функция и (t) ЕЕ SLx называется почти-периодической
функцией Степанова (S-фунщией), если для любого
е ^> 0 можно указать такое Т, что в каждом интервале
длины Т найдется число г (е-почти-период), для которого
при всех t.
Теория 5-функций достаточно подробно изложена в
монографии Б. М. Левитана [1].
Многие факты теории боровских почти-периодических
функций переносятся на ^-функции заменой равномерной
нормы | • \\в Ци\\в = sup | и (t) |) нормой ||• Is- Так напри-
например, заданная функция и (t) ?Е 8LX является ^-функцией
тогда и только тогда, когда она является пределом по нор-
норме | • \\s последовательности тригонометрических много-
v
членов вида /' (t) = ^^е1^', где кк — вещественные числа.
Сохраняется также характеристика Бохнера: функ-
функция и (?)?= 8L-L является 5-функцией тогда и только тогда,
когда множество функций и (t + h) и их пределов

502 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОВЛВМА [tit. IX
в метрике | • \\s есть компакт. Этот компакт будем обозначать
через Ж (и).
^-функции образуют подпространство 8 пространства
Всякая функция и ЕЕ. 8 имеет конечное среднее значе-
значение
т
I
Величина ЭЛ {и (г)еш}, где и ЕЕ 8, а. X пробегает множе-
множество вещественных чисел, отлична от нуля для самое боль-
большее счетной последовательности {Хк} значений X. Эти зна-
значения называются показателями Фурье, а числа ск =
= с (Хк) = 5W {и (t)el>'ki} — коэффициентами Фурье функ-
функции и (t).
Функции и {t) ЕЕ 8 можно соотнести ее ряд Фурье
Для вещественной iS-функции вместе с показателем Х^
также — Хк является ее показателем и с (—Xk) = с (Х^) •
Это позволяет записать для нее разложение в ряд Фурье
в виде
w(f)~ 2 a* sin (^ + «*).
где
ай = 2Ш {и {t) sin (V +
Для ^-функций и (t) введем понятие, которое будет иг-
играть ту же роль, что понятие нормальности функций из
Ъх (см. § 2). Именно, будем говорить, что ^-функция и (t)
обладает а-свойством, если множество нулей каждой функ-
функции v (t) ЕЕ Ж (и) имеет меру нуль. Легко видеть, что три-
тригонометрические многочлены обладают с-свойством.
Заметим, что если u (t) — почти-периодическая функ-
функция Бора, то множество Ж (и) состоит из всех равномер-
равномерных пределов функций семейства {и (t + h)}. Если веще-
вещественная почти-периодическая функция и (t) аналитична
в полосе
t=x + iy (— oo<><oo, — уо<У<Уо),

§ 7] L-ПРОБЛЕМА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА 503
то все функции из Ж (и) аналитичны в этой полосе и, сле-
следовательно, и (t) обладает о*-свойством.
2. ?-проблема для S-функций. Зададимся последова-
последовательностью {ик (t)}i вещественных в существенном огра-
ограниченных ^-функций таких, что каждый многочлен
и
2?/cut@ обладает о*-свойством, и последовательностью
1
п
вещественных чисел {ck}i B с\ ^> 0 j. Мы установим здесь
^ 1 '
связь между следующими задачами:
I. Среди всех вещественных S-фунщий f (t), удовлетво-
удовлетворяющих условиям
а» {»*/} = с* (А = 1,2,..., и), G.1)
найти ту, для которой величина
sup ess l/B)|
принимает наименьшее значение (которое обозначим че-
через Л).
II. Найти
и описать те многочлены, на которых этот минимум до-
достигается.
Здесь необходимо отметить, что норма ЭЛ { | / | } прев-
превращает 8 в некоторое нормированное пространство, для
которого описание дуального пространства ограниченных
линейных функционалов неизвестно. Поэтому при разбо-
разборе задач I и II мы не сможем воспользоваться общей тео-
теоремой двойственности, и связь между ними придется уста-
устанавливать заново окольным путем. Тем не менее, мы полу-
получим результаты, аналогичные результатам § 2.
В частности, минимум Л в задаче I будет достигаться
п
на функции вида /0 (t) = a sign B S°"a- @) • В сравнении
^ 1 '
с § 2 здесь понадобится еще предложение, показывающее,
что при определенных условиях для tpG^ также

504 АБСТРАКТН4Я L-HPOEJIEltA [ГЛ. IX
sign ф ЕЕ S. Это предложение представляет самостоятель-
самостоятельный интерес.
Лемма 7.1. Если S-функция ц> (I) обладает а-свой-
ством, то sign cp (t) есть S-функция, и модуль ее показа-
показателей Фурье *) входит в модуль показателей Фурье ц> (t).
Доказательство. Через Е§ обозначим множе-
множество тех значений t, в которых Jcp (t) j < б, и покажем, что
можно всегда подобрать б так, чтобы в каждом интервале
(t0, t0 -f- 1) мера множества Еь,ю = Es(}(t0, t0 + 1)
была меньше заданного е ^> 0. В самом деле, в противном
случае для некоторого е0 ^> 0 можно подобрать последо-
последовательность {tn} таким образом, что неравенство
I ф (t — tn) ) <С - выполняется на множестве GH cr @, 1)
меры ^ е0, причем можно считать, что ц> (t — tn) —>• ф0 {t).
i
Так как тогда \ | ф0 (t) — ф (t — tn) \ dt -> 0, то найдутся
о
подпоследовательность {nv} и множество A cz @, 1) ме-
меры^» 1—ео/2, в каждой точке которого <р(? — tn</) ——>¦ Фо(О.
Так как mes Gn > е0) то по известной теореме мера мно-
множества
со оо
G0 = limGnv= П U Gnv
не меньше е0, так что мера пересечения Go П А больше
ео/2. Если t ?E Go 0 А, то существует подпоследователь-
подпоследовательность {m^}cz{n^}, для которой t ЕЕ Gmv. Это значит, что
при t ЕЕ Go Г А имеем \ ц> (t — mv) I <C l/mv, т. е. что
Фо @ == 0 при ? е Go П 4. Так как mes (Gon^)>eo/2,
то мы пришли к противоречию с с-свойством.
Переходим теперь непосредственно к доказательству
леммы. Согласно известной теореме Фавара она будет до-
доказана, если мы покажем, что каждому е ^> 0 отвечает
г\ ~^> 0 такое, что всякий т]-почти-период Ф (t) является
е-почти-периодом sign ф (t). Задавшись числом е > 0,
выберем б ^> 0, для которого mes Es,t < e/4, и положим
Ti = еб/4. Пусть х — какой-либо из т]-почти-периодов
х) Модулем показателей называется множество их конечных
линейных комбинаций с целочисленными коэффициентами.

§ 7l L-ПРОБЛЕМА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА 505
функции ф (t), т. е.
(+1
||q>(*+*)-<p(OIU = sup S |ф(* + т)-Ф@|Л<ве/4.
G.2)
Через Fg.t обозначим множество тех точек t0 интервала
{t, t + 1), в которых | ф (?0) | > б и sign ф (*0) =;<=
Ф sign ф (?0 + т). Из G.2) следует, что mes F5), < е/4.
Так как sign ф (t) ф sign ф (t -(- т) только при t ЕЕ
?s,> U Fb.u то ? | sign ф (t + т) — sign ф (?) [ dt <
<^ 2mes (^в.г U Fb,t) <C 8' чт0 и требовалось доказать.
Рассуждения, сходные с теми, которыми мы заверши-
завершили доказательство леммы 7.1, позволяют доказать и сле-
следующее утверждение:
Лемма 7.2. Пусть функция ф(?)€Е$ обладает
s
а-свойством. Если {срте (t)} а 8 и фи (t) -у- ф @, ^о
sign ф„ (t) -» sign ф (t).
Доказательство. Введем для ф (t) множества
Еъ, Еь,и определенные при доказательстве леммы 7.1.
Для е ^> 0 выберем такое б ^> 0, чтобы mes Еъ, t <C е/4
для всех t и такое iV ^> 0, чтобы неравенство
(+i
II ф @ - Ц>п @ h = sup J IФ @ - Фп (?) | dt < вб/4 G.3)
выполнялось для всех п^> N.
Обозначим через Еъ") (п ^> N) множество тех точек t0
интервала (t, t -\- 1), для которых | ф (^0) | >¦ б,
sign ф (?0) ф sign фп (t0). Из G.3) следует, что FE™\ < е/4.
Так как неравенство sign ф (t) ф sing фп (t) возможно
только при t e Eb,t U^M, то
|| sign ф (*) - sign фп (t) \\s < 2mes (E5J [] F^t) < e.
3. Основная теорема. Зафиксируем некоторое Т ^> 0
и рассмотрим интеграл
5|
-Г

506 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Как известно из § 2, его минимальное значение 1/М (Т)
п
при условии 2 IA = 1 достигается на некотором много-
1
п
члене Рт it) = 2 |fc G1) щ (t), и для всякого такого многочле-
1
на функция М (Т) sign PT(t) (принадлежащая S по лемме 7.1)
имеет наименьший sup ess на (— Т, Т) среди всех функ-
функций / (t) GEE 8, удовлетворяющих условиям
JF[ulc(t)f(t)dt =
• Положим (?т (t) = ТгРт (*), взяв тг = [S Й (
Очевидно, что величина 1/М (У) ограничена сверху
п
при !Г —*¦ оо любым значением sup ess 2 ?л*
' 1
где
2Ел = 1- Поэтому найдется сходящаяся последователь-
1
ность М (Tv) -> Мо ^> 0 (?\—>оо), причем можно считать,
п
что чт1к (П) -> Т!ско), т. е. (?Ту @ --> Qo (t) = 2 Л @-
1
По лемме 7.2 sign Qt^~~> sign <20@- Покажем, что
ct =;Mo5KK @ sign <?0 (i)} (fe = 1, 2,.. ., га). G.4)
Действительно, считая яг = [2ТЧ] и 4 ^> sup ess | ин (t) |
(А; = 1, 2,..., п), получаем:
щ (t) sign Qo (t) dt
| sign Qo (t) ~ sign QTy
-i,

§ 7] L-ПРОБЛЕМА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА 507
-Tv+1 -Tv+2 Tv
T T T
-Tv -Tv+1 -Tv+m
< Л ]| sign <?о (г) - sign 0Tv (*) ||s + -^—> 0 (Г„ -> oo).
Из G.4) теперь находим, что
A/Мо) Sc^i0) = ЭЛ {<?„ @ sign Qo (*)} = W {| QQ {t) |} > 0,
l
n
откуда Mo < oo и t = S erf > °- Положив if = т40)/т,
PQ (f) = 2 ffiuk (t) = — Qo @) буДем иметь 2 ^сн = 1 •
Докажем, что Ро @ — минимизирующий многочлен
в задаче II и что искомый минимум равен 1/М0.
п п
Действительно, для всякого Р (t) = 2 %kuk (f) B ?/А = 1)
в силу G.4) имеем
Мы видим, что минимум достигается на многочлене
Р (t) тогда и только тогда, когда sign P (t) = signP0(i), и,
кроме того, этот минимум не зависит от выбранной после-
последовательности {Тч}, так что Мо = lim М (Т).
Т
Докажем теперь, что функция/0 (t) = MosignPo (t) дает
решение задачи I. Уже установлено (см. G.4)), что она
удовлетворяет условиям G.1). Остается доказать, что
М0 = Л.
Пусть / {t) удовлетворяет G.1) и sup ess | / (t) | ^ Мо.
Тогда почти всюду
R (t) = [MosignPo (t) - / {t)]P0 (t) > 0.
И так как Ш {Мо sign Po (t)uk {t)} = Ш {/ (*) ик («)} = ск
(к = 1, 2, ..., и), то Tl{R (t)} = 0, откуда R (t) = 0. Таким
образом, почти всюду / (t) = MosignPo (t).

508 АБСТРАКТНАЯ ^-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
В итоге мы доказали следующие утверждения:
Теорема 7.1.1°. Минимум в задаче I совпадает с ве-
величиной, обратной минимуму в задаче II, т. е, М = Л.
п
2°. Для того чтобы многочлен ^@ = 2 %>киа @
1
п
2 ?/А = 0 был минимизирующим многочленом задачи
II, необходимо и достаточно, чтобы имели место равен-
равенства
№ {щ (t) sign P (*)} = ск (к = 1, 2, .... п), G.5)
некотором I ^> 0.
Число 111 равно минимуму в задаче II, и, следовательно,
определяется однозначно из G.5). При этом sign Рг (t) =
= sign P2 @ для любых минимизирующих многочленов
Л @ и л @.
3°. Решение задачи I единственно и дается формулой
f(t)=l sign Ро (*),
где Ро (t) — един из минимизирующих многочленов задачи II,
Выбрав в качестве системы функций {ик (?)}о объеди-
объединение систем {cos %}t}™ и {sin "Kjt^, мы получим связь меж-
между следующими двумя задачами:
I'. Среди ограниченных вещественных ^'-функций / (t),
для которых заданы т положительных показателей Фурье
{Х}}™ и соответствующие коэффициенты Фурье {а,- +
+ ibj}™i найти ту, для которой величина sup ess | / (t) \
принимает наименьшее значение,
1Г. Найти
т
min ШI 21}cos ^jt + '
m U j
и те тригонометрические многочлены, на которых этот ми-
минимум достигается.
В случае, когда Я;- = j — 1 и / (t) — 2я-периодиче-
ские функции, мы придем к задаче для функций из
Lx @, 2я), имеющих заданные коэффициенты Фурье, ко-

§ 7] L-ПРОБЛЕМА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА 509
торая подробно рассмотрена в § 2. Однако и для этого слу-
случая мы получили некую новую информацию. Пусть, на-
например, / (t) — вещественная 2я-периодическая функция
с заданными коэффициентами Фурье {ск}^, наименее укло-
уклоняющаяся от нуля в метрике ?«,@, 2я). Оказывается, она
будет наименее уклоняющейся среди всех (не обязательно
вещественных) функций, имеющих разложение Фурье вида
п
2с/сеШ+ 2 Та^*' (c_fc = cfc), где пи одно из вещест-
||>
венных чисел V не совпадает с 0, + 1, + 2,. . ., + п.
Мы покажем сейчас, что и в двойственной задаче мож-
можно получить новую информацию для периодических функ-
функций. Предварительно установим следующее общее пред-
предложение.
Теорема 7.2. Пусть заданы: вещественная S-функ-
ция / (t), показатели (OsgZ) kx <^ Х% <^... <^ Хп и произволь-
произвольные фазы aft (— оо <^afe <^ооД = 1,...,га), причем для любых
вещественных ?ft функция f (t) — ^jlfcSin (kht-\-ak) облада-
l
em а-свойством г).
Тогда неравенство
mm 5W j | / @ - S I* sin (kht + a/c) | j < Ш {| /1}
имеет место в том и только в том случае, когда не все
числа
ЭД {sign / (*) sin (V + а*)} (к = 1,2,. .. ,п) G.6)
равны нулю 2).
Доказательство. Если все числа G.6) равны
нулю, то для произвольных |fe (к = 1,2, ..., п) также
х) Этому условию удовлетворяют, например, почти-периоди-
почти-периодические функции, аналитические в полосе.
2) Это, в частности, означает, что разложение Фурье функции
sign / (t) содержит гармонику sin (k^t + Pft), где aft ^ Pft (mod я).

510 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
и следовательно,
Ч|/ - 21} > Ц(/~2)sign/} = 5Ш{|/|}.
Обратно, пусть для произвольных вещественных 1к
п
| / @ - 21* sin (Kt + «*) |} > а» {| /1}. G.7)
В этом случае левая часть G.7) принимает минимальное
значение при |(j = 0 (к = 1,2, ..., п). Это минимальное зна-
значение ЭЛ {| / |} служит решением задачи II, если положить
ик (t) = sin (lkt + ак) {к = 1, 2, ..., п), ип+1 (t) = / (*),
cft = 0 (Л = 1, 2, ..., и), сп+1 = 1 и / (t) — минимизи-
минимизирующий элемент. На основании теоремы 7.1 (см. 2°) от-
'сюда получаем,что Ш {sign/ (t) sin (kht + a,t)} = 0 (к ==
= 1,2, ..., »).
Теорема доказана х).
Для периодической функции / (t) все величины G.6)
равны нулю, если разложение / (t) в ряд Фурье не содер-
содержит гармоник с частотами kk (к — 1,2, ..., п).
В качестве примера рассмотрим функцию / (t) =
= sinAi(A, ^> 0). В этом случае
. , . 4 / . , sin ЗМ . sin 5Я,* , \
signsm^~ — (smJtf -\ ^ 1 5 h • • • •
Из теоремы 7.2 заключаем:
если хотя бы одно из Xh e {Bv -\-1) Я}^=0 и при этом
+ -х- (mod2n). Если же ни одно из чисел Хк не
г) Этот результат любопытно сопоставить с решением, которое
имеет совсем другой характер, классической вадачи об отыскании
минимума величины SSR\и (*) — 2\ьsin(Ч* + afc) ) Г •

§ 8] L-ПРОБЛЕМА И ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ 511
имеет вид Bv + 1) A, (v = 0, +1, -j- 2,. ..), то в этом и
только в этом случае при любых а^. имеет место равенство
п
min ЯК|| sin \t - 2 1ч sin {Xkt + ak) || = -§" • G-8)
Минимум достигается для тех и только тех ак и ?ft, для
которых равенство
п
signjsinW — 2S/csin(M + «л)} = signsinAi G.9)
выполняется для всех t, исключая изолированные зна-
значения t.
У.7.1. Для того чтобы минимум в G.8) достигался только при
\h = о (к = 1, 2,..., п), необходимо и достаточно, чтобы не выпол-
выполнялось ни одно из сравнений Xj = X^ (mod 2k) ((j, к = 1, 2,..., п',
j ф к) и Xj = —Xk (mod 2A.) (j, к = 1, 2,..., п).
Указание. Положить в равенстве G.9) t = -^ (/ = О,
1,.., 2п-1).
§ 8. ?-проблема и теория оптимальных управлений
1. Постановка задачи. Мы уже касались некоторых
вопросов теории оптимальных уравнений в связи с (ср, г|))-
проблемой и ее обобщениями (см. § 7 гл. VII). Эта связь
устанавливалась для задачи о быстродействии. Здесь мы
рассмотрим другую задачу, которая уже связана с аб-
абстрактной L-проблемой.
Напомним, что мы рассматриваем объект, описываемый
системой уравнений
^- = A(t)x + B(t)v(t), ж@) = ж0, (8.1)
где A (t) и В (t) — заданные непрерывные матрицы —
функции размеров соответственно п X п, п X г, v (t) —
r-мерная вектор-функция, называемая управлением. С по-
помощью квадратной матрицы X (t) п-то порядка решения
системы dXIdt = A{t) X(t), Х@) = /, положение

512 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛИМА [ГЛ. IX
объекта в момент времени t = Т определяется формулой
т
х(Т)= X (Т) \х0 + J Х^ (О В (t) v (t) dt\. (8.2)
За счет надлежащим образом подобранпого управле-
управления v (t) будем переводить объект из зс0 в 0 в течение за-
заданного времени Т. При этом, пользуясь тем, что в общем
случае этого можно достигнуть многими способами, до-
дополнительно потребуем, чтобы искомое управление обла-
обладало свойством оптимальности в том или ином смысле
(минимум расхода энергии, мощности, отсутствие боль-
больших перегрузок и т. п.).
Для этого должен быть задан функционал I (v), оцени-
оценивающий качество процесса, который требуется мини-
минимизировать.
Управление v (t) будем считать допустимым, если для
него имеет смысл формула (8.2) и функционал I (v) при-
принимает конечные значения1). Допустимое управление
va (t) будем называть оптимальным, если / (v0) sSj / (v) для
всех допустимых управлений v (t), переводящих объект
из х0 в 0 за время Т, т.е. для допустимых управлений v (t),
удовлетворяющих условию
^(t)dt = x0, (8.3)
о
где
С @ = -A (t) В (*).
2. Сведение к ^-проблеме. Будем предполагать, что
функционал / (v) обладает свойствами нормы. В этом слу-
случае задачу о нахождепии оптимального управления можно
свести к L-проблеме.
Положим х0 = {cft}i и обозначим через ик (t) (к =
= 1, 2, ..., п) r-мерную вектор-функцию, образованную
элементами /с-й строки матрицы С (t). Тогда соотношение
х) Такое понимание допустимого управления позволяет при
соответствующем выборе / (v) использовать в качестве управлений
обобщенные функции.

§ 8] ^ПРОБЛЕМА И ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ 513
(8.3) покоординатно перепишется следующим образом:
Мы теперь можем сказать, что каждое допустимое уп-
управление v (t) определяет линейный функционал
т
F(u)=^(u(t),v(t))dt, (8.4)
о
действующий в некотором линейном пространстве В г-мер-
ных вектор-функций u(t), содержащем все непрерывные
вектор-фуикции. При этом функционалы, отвечающие
тем управлениям, которые переводят объект из х0 = {ck}i
в 0 за время Т, удовлетворяют условиям
F(uk)=ck (к = 1,2,..., п). (8.5)
Это наводит на следующие соображения: если в про-
пространстве В можно ввести норму так, чтобы норма функ-
функционала (8.4) была равна \\ F \\ = I (v), т. е. чтобы про-
пространство В* допустимых управлений оказалось сопря-
сопряженным по отношению к В, то задача о минимизации / (v)
на допустимых управлениях сводится к задаче I: среди
функционалов F (и), удовлетворяющих условиям (8.5),
найти те, которые имеют минимальную норму.
Эту задачу удобно рассматривать вместе с двойствен-
п
ной задачей II: найти линейную комбинацию 2^ма@>
1
п
где 2 %кск = 1,с наименьшей нормой.
1
3. Пример. Поясним сказанное примером, относящимся
к оптимальному импульсному управлению.
Рассмотрим тот случай, когда допустимыми управле-
управлениями являются обобщенные производные Da = {Daj}^
знакопеременных векторных мер о (t) = {а} (t)}[ с
ограниченной общей вариацией I{Da) = \ 2l^ai(OI- В
о 1

514 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
формуле (8.2) мы теперь вместо v (t) dt можем писать диф-
дифференциал Стилтьеса do (t). В частности, допустимым
управлением будет обобщенная функция вида
т
1
где Y; — постоянные векторы, б (t) — функция Дирака.
Такая функция называется импульсной функцией; она
состоит из импульсов, направленных вдоль векторов \j.
Ей отвечает решение уравнения (8.1)s
х (t) = X (t) \x0 + S X fo) В fa) ?Л.
L tj<t J
Функционал / (Da) называется мощностью управления
Da.
Таким образом, в рассматриваемом случае простран-
пространство jB* — это пространство векторных мер с нормой
Т г
I {Da) = \ 2l^a;@l- Оно является сопряженным к прост-
0 1
ранству всех непрерывных r-мерных вектор-функций
и (t) = {Uj (t)}[ с нормой || и (t) || == max max | щ (t) |.
Задача I о минимизации / (Da) сейчас формулируется
так:
Среди векторных мер а = {сГ;}", удовлетворяющих
условиям
т
^(uk(t),da(t)) = ck (A = 1,2,..., га),
о
найти те, для которых величина
Т г
О 1
принимает наименьшее значение.
Ей отвечает двойственная задача II:

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ IX 515
Среди векторных многочленов^%кик(г), где^\кск = 1,
п
найти те, которые минимизируют величину 2 %кик (О •
Распространив на эти задачи результаты § 4, можно
получить описание оптимальных управлений J). В част-
частности, теорема 4.2 для оптимальных управлений дает
следующее предложение:
Среди управлений Da (t) с минимальной мощностью име-
имеются импульсные управления, содержащие не более п -\- 1
импульсов.
У.8.1. Описать оптимальные управления v (t) = {vk (*)}", если
Т п
Случай q = оо был детально изучен в § 2.
В заключение заметим, что двойственной связью между
задачами I и II можно пользоваться и тогда, когда функ-
функционал / (v), будучи выпуклым и положительно одно-
однородным, не является симметричным (см. § 5). Видимо, этот
случай может представить практический интерес (управ-
(управления, действующие в некоторых направлениях, предпоч-
предпочтительнее, чем действующие в противоположных).
Примечания к главе IX
1. В основу этой главы положена статья М. Г. Крейна [И],
в которой излагалась большая часть цикла лекций, прочитанных им
в 1936 г. в Научно-исследовательском институте математики и ме-
механики при ХГУ. В этих лекциях последовательно проводилась
идея, что различные вопросы теории аппроксимации естественно
трактовать в рамках теории линейных нормированных пространств;
при этом теорема Хана — Банаха и вытекающий из нее принцип
двойственности позволяет объединить на первый взгляд разнородные
проблемы и выработать единую тактику решения многих задач.
К этому времени заметно стало сказываться преобразующее влияние
*) Впрочем, с помощью процедуры, описанной в п. 6 § 9 главе
VIII, изучение вектор-функций на [О, Т] можно свести к изучению
скалярных функций на компакте Er_v после чего воспользоваться
У.4.2.

516 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОВЛЕМА [ГЛ. IX
на различные разделы классического анализа общей теории ли-
линейных нормированных пространств, впервые монолитно представ-
представленной в знаменитой книге С. Банаха [1] A932 г.), и упоминав-
упоминавшиеся лекции были одним из проявлений этого влияния х).
По сравнению со статьей [11] и лекциями в этой главе зна-
значительно расширен круг приложений, получил развитие и новые
приложения принцип двойственности в пространствах с несим-
несимметричной нормой.
2. По-видимому, первым, у кого отчетливо фигурировала наряду
с данной экстремальной задачей двойственная ей задача, был
A. А. Марков [10].
Мы имеем в виду изучавшуюся им (— L, ?)-проблему для сте-
степенных и обобщенных моментов и ее связь с задачами о функциях,
наименее уклоняющихся от нуля в метрике L\ (a, b).
Когда в 1934 г. Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн перенесли ее на
тригонометрические моменты, они не заметили, что тем самым было
получено решение ряда задач о тригонометрических многочленах,
наименее уклоняющихся от нуля в метрике Lt @, 2я). Двойствен-
Двойственная природа указанных задач была вскоре подмечена Я. Л. Ге-
ронимусом и использована им в ряде работ [1, 2].
Лишь после этого М. Г. Крейн заметил, что можно сформулиро-
сформулировать принцип двойственности в рамках общей теории линейных нор-
нормированных пространств и тем самым использовать аппарат этой
теории (общий вид ограниченного линейного функционала в том
или ином пространстве, геометрию единичной сферы и др.) в разно-
разнообразных задачах конструктивной теории функции. В этом принци-
принципе двойственности фигурировали конечномерные подпространства,
вообще говоря, бесконечномерного банахова пространства. Как не-
некоторое его развитие на случай бесконечномерных подпространств,
следует рассматривать ряд результатов статьи М. Г. Крейна и
B. Л. Шмульяна [1], где было введено и изучено понятие регулярно
выпуклой оболочки в пространстве, сопряженном данному банахову.
Впоследствии, на протяжении почти четверти века, упомянутый
принцип переоткрывался многими авторами, и мы не будем приво-
приводить их длинный список.
Вместо этого укажем некоторые из работ, в которых расширя-
расширялись либо содержание этого принципа, либо область его применения
в конструктивной теории функций и в теории аналитических функ-
функций, либо занимались тем и другим: С. М. Никольский [1],
Е. В. Вороновская [1], С. Я. Хавинсон [1—8], Г. Ц. Тумаркин и
C. Я. Хавинсон [1, 2], А. Л. Гаркави [1, 2, 4], Р. Фелпс [1], И. Зин-
Зингер [1]. В обзоре А. Л. Гаркави [3] можно найти более подробную
характеристику результатов и более подробную библиографию.
Большой материал по этому вопросу представлен в монографии
И. Зингера [1].
3. Выше мы говорили о линии, истоки которой можно найти
в исследованиях школы П. Л. Чебышепа. Принципы двойствен-
двойственности другого типа возникли при анализе различных моделей
х) См. по этому поводу книгу И. Зингера [1], в которой он от-
отмечает работу М. Николеску того же направления, независимо
выполненную в 1938 г.

ПРИМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ ГХ 017
выбора оптимальных решений (в экономике, технике и других отра-
отраслях). Мы имеем здесь в виду большой массив работ, начало кото-
которому было положено известными работами Дж. фон Неймана и
Л. В. Канторовича, Куна — Таккера, В. Фенхеля.
Впоследствии появились работы, в которых объединялись эти
два независимо возникших направления, связанных с идеей двой-
двойственности с привлечением методов функционального анализа. По
этому поводу см. великолепный обзор А. Д. Иоффе и В. М. Тихо-
Тихомирова [1], содержащий много оригинального, важную работу
А. Я. Дубовицкого и А. А. Милютина [1].
4. В первых трех параграфах в основном излагается содержа-
содержание статьи М. Г. Крейна [10], а также его докладов на семинарах
при кафедре теоретической механики Одесского института инжене-
инженеров морского флота осенью 1948 г.
В этих докладах разъяснялось, что применение принципа
двойственности в комплексных пространствах позволяет распро-
распространить формулу Е. Я. Ремеза C.7) на случай п + 1 несовместных
уравнений с комплексными коэффициентами (в печати это обобще-
обобщение, полученное иным путем, впервые появилось в работе В. К. Ива-
Иванова [1]) и излагались статические методы решения этой задачи в
других частных случаях (см. п. 4 § 3).
На этом же семинаре обсуждалась связь задачи Ламе с иссле-
исследованием Н. Е. Жуковского 1896 г. [1], которое, как выяснилось,
опирается на ее континуальное обобщение.
В § 3 задача Ламе появилась как двойственная к специальному
рассмотренному там случаю задачи о наилучшем решении несов-
несовместной системы линейных уравнений.
Полученное Г. Ш. Рубинштейном [2, 3] оригинальное обобще-
обобщение принципа двойственности позволило ему сформулировать двой-
двойственную задачу к задаче Ламе, распространенной на тот случай,
когда точки zk являются элементами некоторого нормированного
линейного пространства, a z принадлежит заданному выпуклому
множеству *).
Содержание § 2, кроме пп. 3,4 и упражнений, заимствовано из
статьи М. Г. Крейна [11]. Результаты этого параграфа впоследствии
получили дальнейшее развитие в работах ряда авторов; описание их
основных результатов и библиографию читатель найдет в обзоре
А. Л. Гаркави [3] и монографии И. Зингера [1].
х) Г. Ш. Рубинштейн называет задачу Ламе задачей Штейнера.
Нам представляется, что задачей Штейнера следует называть за-
задачу Ламе с равными pj, а также ее мало исследованное обобщение:
задана конечная совокупность точек плоскости, конечномерного
или банахова пространства; требуется построить дерево (граф)
с наименьшей суммой длин ребер, множество концевых точек кото-
которого совпадает с совокупностью данных точек. По этому поводу
заметим, что если заранее задать структуру дерева, то, приписав
каждому ребру вес р}; можно аналогичным образом поставить обоб-
обобщенную задачу Ламе. Последней задачей в плоскости занимались еще
в 1890 г. Лаунгардт и Форхгейнер (Z. d. Vereines Deutscher Inge-
nieure, стр. 679), предложившие ее графическое решение для слу-
случая, когда степень каждой внутренней вершины равна трем,

518 АБСТРАКТНАЯ L-ПРОБЛЕМА [ГЛ. IX
Более подробное, чем в § 4, изложение применений принципа
двойственности к вопросам наилучшего приближения в пространстве
С (Е), где Е — абстрактный компакт, можно найти в работе
СИ. Зуховицкого [1], специально посвященной этому вопросу.
В связи с теоремами Хаара и Колмогорова укажем, что в настоя-
настоящее время достаточно детально изучены вопросы характеристики
элемента наилучшего приближения и его единственности в случае
абстрактного банахова пространства, когда аппроксимирующие
элементы берутся из подпространства конечной размерности или
конечной коразмерности. В этом направлении важный шаг был
сделан И. Зингером (см. [1]), который впервые использовал в этих
вопросах теоремы о крайних точках единичной сферы в сопряжен-
сопряженном пространстве. Об этом круге исследований см. обзор А. Л. Гар-
кави [3] и книгу И. Зингера [1].
Указания на целесообразность рассмотрения пространства
с несимметричной нормой имеются еще в статье М. Г. Крейна [11].
В § 5 эта программа получила определенную реализацию. Эта реа-
реализация оказалась полезной не только в том отношении, что позво-
позволила с более общих позиций осветить вопросы, изучавшиеся в гла-
главе VII, но и, как это показывается в § 6, тем, что открыла новый
путь к исследованию ряда свойств общих Г-систем.
Содержание § 7 почерпнуто из статьи Б. М. Левитана и
М. Г. Крейна [1]. На возможность сведения задач линейного опти-
оптимального управления к абстрактной L-проблеме впервые указал
Н. Н. Красовский [1, 2]. В § 8 описана одна из схем возможного
применения.
Другие варианты применения L-проблемы в системах автома-
автоматического регулирования можно найти в книгах А. Г. Бутковского
[1], Н. Н. Красовского [3], Р. Куликовского [1] (см. также Р. Га-
басов и Ф. М. Кириллова [1]).

Приложение
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ
В этом Приложении собраны необходимые сведения о
некоторых важных классах аналитических функций, ис-
используемые на протяжении всей книги при применении
общих методов к тем или иным задачам конструктивной
теории функций и классической проблемы моментов.
В частности, мы приводим интегральные представления
функций рассматриваемых классов. Часть из представ-
представлений, а именно, представления функций классов % и J?
широко известны, и поэтому их вывод (теоремы П.1 и
П.2) дается конспективно.
1. Функции классов % и Л. Функция / (z) относится
к классу 93, если:
1°. Функция f (z) голоморфна в круге | z | -< 1;
2°. Re /(z) >0 при \z |< 1.
Теорема П.1 (Ф. Рисе и Г. Херглотц).
Для того чтобы функция f (z) принадлежала классу (ё,
необходимо и достаточно, чтобы она допускала представ-
представление
/(z) = iIm/@) + \ 4+i-dT(e), (П.1)
о
где % (8) — неубывающая функция.
Доказательство. Достаточность проверяется
непосредственно. Необходимость особенно просто прове-
проверяется в том случае, когда гармоническая функция и (z) =
= Re/ (z) непрерывна в замкнутом круге | z | ^ 1.
В этом случае, используя ядро Пуассона (z = reif)
1 — 2r cos F — <р) + г2
найдем, что

520 ПРИЛОЖЕНИЕ
откуда и получаем представление (П.1), в котором тF) =
9
1 С
= -g— \ и (eie) d0. В общем случав вводятся функции
о
fr (z) = / (rz) @ <^ г <^ 1), которые, как только что доказа-
доказано, обладают представлением (П.1). Предельный переход
г -> 1 — 0 с использованием теорем Хелли исчерпывает
общий случай.
У.П.1. Функция / (z) S 9B принимает вещественные значения
на интервале (—1,1) вещественной оси тогда и только тогда, когда
она допускает представление
о
где т (G) — неубывающая ограниченная функция.
' Функция F (z) относится к классу Я, если?
1°. Функция F (z) голоморфна в верхней полуплоскости;
2°. I m F (z) > 0 ири Im z > 0.
Теорема П.2 (Р. Н е в а н л и н н а). Для того
чтобы функция F (z) принадлежала классу Я, необходимо
и достаточно, чтобы она допускала следующее аддитивное
представление:
F (z) = а + Pz + ^ {-j^- - -j-^.) da @, (П.2)
где а — вещественное число, р ^ 0, б (?) — неубывающая
функция, для которой сходится интеграл \ A -f- <2
—оо
Доказательство основано на следующей связи
между функциями классов % и Л: F(z) Ez-Я тогда и толь-
только тогда, когда / (?) е ^, где I = 4x7",fQ = ~iF(z)-
Представление (П.2) получается из представления (П.1)
z — i 0
заменой z на —рт-, — ctg -=- на < с учетом того что
Отметим без доказательства, что представление (П.2)
единственно, если функция a (t) нормирована каким-то

ПРИЛОЖЕНИЕ 521
образом, например, с @) = 0, с (t) = у [a (t -\- 0) +
+ or (г — 0)]. При такой нормировке функция с (t) опре-
определяется по функции F (z) с помощью известной формулы
обращения Стилтьоса:
t,
a (t2) — а (ij) = — lim \.ImF(x-{- is) dx.
Легко проверяется, что
P = lim Im F (iy) /y.
Отметим еще, что [3 равно сумме скачков функции т
в точках 0 и 2я; функция с (t) в (П.2) связана с функ-
функцией т (Э) в (П.1) формулой A -f t2ylda(t) = dx F), где
i = — ctg 6/2, и при соответствующей нормировке X для
нее имеет место формула обращения:
е*
т (92) _ х (Gj) = — lim ^ Re / (ре**) йф @ < Gj < 92 < 2я).
Теорема П.З. Всякая функция класса Л, не равная
тождественно нулю, допускает единственное мультипли-
мультипликативное представление
(П.З)
г9е С > 0, f (t) — суммируемая функция, для которой
оо
гсочяш ec/odi/ 0 < / @ < 1 и j A + ^2)~1/ @ dt < оо.
—оо
Доказательство. Функция
= In | F (z) | + i sxgF (z)
принадлежит классу Л, так как она голоморфна в верх-
верхней полуплоскости г) и имеет там неотрицательную мни-
мнимую часть, ибо, по определению, 0 sC argF (z) < я.
J) Из представления (П.2) легко усмотреть, что F (z) ф 0
при Im z ]> 0, если исключить тривиальный случай F (z) = 0.

522 ПРИЛОЖЕНИЕ
Поэтому
По формуле обращения (tx <z t2)
и
О < т (t2) — т (ix) = lim — [ arg F (x -\- in)
Значит, функция т (i) абсолютно непрерывна и почти
всюду
Далее, так как О <I arg/1 (z) <C я, то
Р = lim arg F {iy) /у = 0.
у-Ч-оо
Итак,
где 0 ^ / (г) <1 1 почти всюду. Отсюда следует представ-
представление (П.З).
(!) У .П.2. F (z) е ^ тогда и только тогда, когда — \IF (z) e -^.
2. Функции класса В. Функцию F (z) отнесем к классу
§, если:
1°. F (z) принадлежит классу Я;
2°. F (z) голоморфна и неотрицательна на отрицатель-
отрицательной полуоси (—оо, 0).
Теорема П.4. Для того чтобы функция F (z) при-
принадлежала классу 8, необходимо и достаточно, чтобы она
допускала-, представление
5?^-, (П.4)
>0 и )A
о

ПРИЛОЖЕНИЕ
523
Доказательство. Достаточность очевидна.
Докажем необходимость. Пусть F (z) ?E 8. Так как при
этом F{z)^JM, то она допускает представление (П.2).
Из голоморфности и вещественности функции F (z) на
отрицательной полуоси получаем с помощью формулы
обращения, что функция о* (t) постоянна на этой полуоси.
Считая, что о* (—0) = а @) = 0, имеем
Положим z = —а, где а ^> 1. По условию,
F(-a) = *-9a + l {г+\~«+^ <fa(Q>0.
о
Поэтому
1 оо
7
так что Eя <=: Са. Так как E > 0 и Са ограничено при
а —>- оо, то Р = 0. Теперь для всех JV > 1
откуда
оо
Следовательно, интеграл j < A + ^Г^а («) сходится, a
о
оо
вместе с ним и интеграл \ A -f ^
о
Значит,

524 ПРИЛОЖЕНИЕ
где т = а — \ t A + t2y4a (t). Так как т = lim F.(z), то
у 1> 0. Теорема доказана.
(!) У.П.З. Для того чтобы функция G (z) обладала свойствами:
S (г) Е ^ i б (г) = - fi (- г), — необходимо и достаточно, чтобы
она представлялась в виде G (г) = zF (z2), где F (z) 6E <?.
Теорема П.5. Для того чтобы функция F (z) ирц-
надлежала классу $, необходимо и достаточно, чтобы при-
принадлежали классу М функции F (z) и zF (z).
Доказательство. Пусть функция F (z) при-
принадлежит классу §. Тогда, по определению, она принадле-
принадлежит классу М. Кроме того, из представления C.4) сле-
следует (z =¦¦ х + iy, у > 0)
Im zF (z) = ТУ + \ JT^Tftda ^ > °'
о
т. e. zF(z)(= Я.
Пусть теперь функции F (z) и z/*1 (z) принадлежат клас-
классу Я. Докажем, что F (z) принадлежит классу $.
Так как F (z) допускает представление (П. 2), то при
z = х -\- iy (у ^> 0) должно быть:
> 0 (П.5)
\ • I " ** I I
— оо
и
сю
Im (zF (z)) = у (а + 2[te"+ ^ ( * ,a Г1^")ida (
(П6)
Докажем, что интеграл \ (^ — х)~2йз(^)сходится при всех
Пусть ^ (i — xo)~2d3 (t) — + °° i где z0 <[ 0. Тогда при
— оо
Жо+?
достаточно малом е^>0 \ t (t — xo)~~2d5(t) — — схз.
x,-t

ПРИЛОЖЕНИЕ 525
Из того, что
где I (у) ограничено при г/ —>- +0, следует, что при до-
достаточно малых у ^> 0 получим Im (zF (z)) < 0, а это не-
со
возможно. Итак, интеграл \ (t — x)~2da (t) сходится при
— оо
всех х < 0. Используя это, из (П. 5) сразу получаем, что
lim Im F (x -\- iy) ~ 0 при у — > + 0 для всех х < 0. Это в
свою очередь означает, что функция о* (t) постоянна при
^<0 (см. формулу обращения). Теперь из (П.6), устре-
устремив х к — оо, найдем, что р = 0. После этого, как и при
доказательстве теоремы П.4, обнаружим, что интеграл
\ t (I + ^2)~1do (t) сходится, а из (П.6) найдем, что
о
Следовательно, функция F (z) допускает представление
(П.4), что и требовалось доказать.
(!) У.П.4. Функция F (г) допускает представление
о о
da (t)
тогда и только тогда, когда функции F{z) и (— z) F(z) принадле-
принадлежат классу ?R.
3. Функции класса Я [а, 6]. Функцию F (г) отнесем
к классу Я \а, Ъ], если:
1°. F (z) принадлежит классу Я;
2°. F(z) голоморфна и положительна в интервале
(—оо, а), голоморфна и отрицательна в интервале (Ь, +оо).
Теорема П.6. Для того чтобы функция F (z) при-
принадлежала классу Я [а, Ь], необходимо и достаточно,

526 ПРИЛОЖЕНИЕ
чтобы она допускала представление
где a (t) — ограниченная неубывающая функция.
Доказательство. Достаточность проверяется
непосредственно. Докажем необходимость.
Из формулы обращения, ввиду голоморфности и ве-
вещественности функции F (z) при г = 1<йи при z = х ^>
^> Ъ, вытекает, что функция о* (t) в (П.2) постоянна
при t < а и при t ^> Ъ и, следовательно, ограничена.
Поэтому
где Р ^> 0. Легко видеть, что если р ^> 0, то при достаточно
больших z = z ^> а функция F (z) положительна, что не-
невозможно. Значит, р = 0. Теперь, если x=h 0, то при до-
достаточно больших х ^> 0 значения F (х) и F (—z) должны
иметь одинаковые знаки, что также невозможно. Поэтому
Y = 0. Теорема доказана.
(!) У.П.5. Для того чтобы функция F (z) принадлежала классу
М [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы функции (z — a)F(z)
и (b — z)F (z) принадлежали классу М.
Указание. При доказательстве достаточности, положив
z = z — о, /i (z) = F (z), z" =- z — 6, /2 (z") = f (z), использо-
использовать тот факт, что Д (z') g ^S, z'/i (z') g ^ и /2 (z") e 5?,
(- z") /2 (z") e M.
(!) У.П.6. Значения всех функций F B) g= J? [a, b] в фиксиро-
фиксированной точке z (Tm z > 0) заполняют угол Ф (z) между лучами
t t
w = k __ z @ ^ т < + 00) и w = д z @ ^ т < + зо). Величина
6 — z
этого угла ф (z) = arg @ < q> (z) < n) *).
Указание. Из У.П.4 вытекает, что
0 < arg [(z — a) F (г)] < я, 0 < arg [F - г) F (г)] < п.
х) Интересно заметить, что угол Ф (z) равен углу при вершине
z треугольника с вершинами в точках «, Ь и z. -

ПРИЛОЖЕНИЕ 527
4. Функции класса $ [а, б]. Функцию F (z) отнесем
к классу 8 [а, Ъ], если:
1°. F (z) принадлежит классу М.
2°. F (z) голоморфна и положительна в интервалах
(—оо, а) и (Ь, +оо).
Теорема П.7. Для того чтобы функция F (z) при-
принадлежала классу $ [а, Ь], необходимо и достаточно, что-
чтобы она допускала представление
(П.8)
где с (t) — ограниченная неубывающая функция.
Доказательство. Достаточность проверяется
непосредственно. При доказательстве необходимости
можно, не ограничивая общности, считать а = 0. Поло-
Положим Z, = -т , / (?) = F (z) и заметим, что F (z) ее
ЕЕ S [я, Ь] тогда и только тогда, когда /(?)?=$. Таким
образом,
bs
Положим
к
0
так что
^ ' b -\- s '
Тогда
ь-о
da @
о
Если доопределить a (t) в точке Ъ равенством
Т +
о

528 ПРИЛОЖЕНИЕ
то окажется, что скачок функции о* (t) в точке Ъ равен у,
и можно записать
ь
da(t)
что и требовалось доказать.
(!) У.П.7. Для того чтобы функция F (z) принадлежала классу
z — а
$ [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы функции F (z) и ¦ — F (z)
принадлежали классу 3i.
Указание. Из теорем П.6 и П.7 вытекает, что F (z) 6E
1
SE $ [«, Ь] тогда и только тогда, когда -т F (z) е ^ [а, ft].
(!) У.П.8. Значения всех функций F (z) ? с?? [a, fc] в фиксиро-
фиксированной точке z (Im z > О)заполняют угол "V (z) между лучами
Ь —z
w = т @^т<+ оо) и ц; = т——— (О ^S T <^ +°°)- Величина
Ъ — z
этого угла г|> (z) = arg д_г @ < я|> (г) < я).
(!) У.П.9. Если /T(z)e#[a,6], то 1/[(а —z)/" (z)] e ^ fa, 6].
Обратно, если F(iNJ?[o,b], то 1/[(а — z) f (z)] e * [а, 6].
5. Функции класса 8 (Ет). Зададим на вещественной
оси (—оо, оо) то непересекающихся интервалов (а^, р^)
(/ = 1,2, ..., т). Через Ет обозначим ту часть оси (— оо, оо),
которая остается после удаления этих интервалов.
Функцию F (z) отнесем к классу S (Ет), если:
1°. F (z) принадлежит классу Я,
2°. F (z) голоморфна и положительна в интервалах
(а}, Pj) (/= 1, 2, ..., т).
Теорема П.8. Для того чтобы функция F (z) при-
принадлежала классу 8 (Ет), необходимо и достаточно, чтобы
она допускала мультипликативное представление
F{z) = C exp J [-^ - -j^jt) f (t) dt, (П.9)
где С^>0 и 0<;/(г)<;1 почти всюду в Ет.
Доказательство. Достаточность проверяется
непосредственно. Необходимость будет доказана, если
окажется, что для F (z) ЕЕ $ {Ет) функция / (t) в пред-
представлении (П.З) равна нулю в интервалах (ctj, Pj)

ПРИЛОЖЕНИЕ 529
(/ — 1, 2, ..., т). В последнем легко убедиться, если заме-
заметить, что в этих интервалах в силу голоморфности функ-
функции In F (z) формула обращения для In F (z) принимает вид
и так как F (t) > 0, то / (t) = О при t <= (а;-, р;), ч. т. д.
Введем обозначение:
при —
a._z
z — [ij при ctj = —
1
Легко проверить, что
При [ij = -\- оо .
где С, > 0.
У.'1.10. Дтя того чтобы функция ^ (г) принадлежа та ктассу
(S5 (Ет), необходимо и достаточно, чтобы обе функции F (z) и
coi(z)... <om (z) f (z) принадлежали классу 3i.
Указание. Воспользоваться представлениями (П.9) и
(П.10).
У.П.11. Функция F (г) класса Чо голоморфна на дуге z = егв
(Т<]Э<;2я: — т), принимает на этой дуге чисто мнимые значения,
1
причем — F (el9) = Im F (ег9) > 0 (т < 9 < 2я — т), тогда и только
тогда, когда
J1 (г) = г | J1 @) | ехр \— -у- г \ -тр1 / (t) dt\ , (П.11)
—т
где — 1 </(«)< 1 при — т < ( < т.
У.П.12. Представление (П.11) имеет место тогда и только тогда,
когда обе функции
принадлежат классу 9%.
У.П.13 (К. Л ё в н е р). Обозначим через 33 (Ki, K2) класс
функций, голоморфных в открытом круге Кг и отображающих его в
круг К2. Через *©(yi, y2) обозначим множество тех /(z) EL$(Ki, K2),

530 ПРИЛОЖЕНИЕ
которые голоморфны на дуге у\ окружности круга К\ и отоб-
^ражают эту дугу в дугу у2 окружности круга Кг. Через концы
yi и фиксированную точку ? S К\ проведем дугу yi (?), а через кон-
концы у2 проведем внутри Кг дугу у2 (?), образующую с у2 угол, рав-
равный углу между yi (D и Y1- Множество значений всех f (z) ?5
? t©(yj, у2) в точке ?, заполняет лунку, ограниченную у2 u V^ (?)¦
Указание. Использовать У.П.7 или У.П.12.
Примечания к приложению
Классические теоремы П.1 и П.2, равно как и формула обра-
обращения Стилтьеса, в комментариях пе нуждаются.
В работе Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [2] была впервые да-
дана характеристика классов функций, о которых идет речь в У.П.11,
с помощью множителя типа aj (z) (см. У.П. 12); при этом использо-
использовалось мультипликативное представление функций этого класса.
Такой подход был подсказан работой А. А. Маркова [9] и позволил
по-новому подойти к результатам Лёвнера (см. Н. И. Ахиезер и
М. Г. Крейн [8], а также У.П.13).
Класс $ и различные его характеристики вводились и систе-
систематически использовались М. Г. Крейном [6, 12, 13] в связи с
исследованиями по теории обобщенных резольвент и теории спек-
спектральных функций струны.
Классы М [а, Ь] и с? [а, Ь] тоже появились естественным об-
образом при рассмотрении степенной проблемы моментов на конечном
интервале (см. § 7 гл. IV). Класс $ [а, Ъ] играет роль также при
описании расширений эрмитова оператора при условии, чтобы его
норма не превосходила данного числа (см. М. Г. Крейн [8]).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
А д а м я н В. М., А р о в Д. 3., К р е й н М. Г.
[1] О бесконечных гаыкелевых матрицах и обобщенных задачах
Каратеодори — Фейера и Ф. Рисса, Функц. анализ и его нрил.,
2, в. 1 A968), 1—19.
[2] Бесконечные ганкелевы матрицы и обобщенные задачи
Каратеодори — Фейера и И. Шура. Фупкц. анализ и его прил.,
2, в. 4 A968), 1—17.
[3] Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора
и обобщенная задача Шура — Такаги, Матем. сб., 86 : 1 A971),
34-75.
Андреев В. И.
[1] О системах Чебышева, непродолжаемых за границы отрезка.
Уч. зап. Калининского гос. пед. ин-та, т. XXIX A963), 15—18.
А р о н ш а й н Н. и Д о н о х ь ю В. Ф. (N. Aronszajn, W. F. Do-
noghue).
[1] On exponential representations of analytic functions in the
upper halfplane with positive imaginary part. J. analysis math., 5,
part 2 A956—1957), 321—388.
Артеменко А. П.
[1] Эрмитово-положительные функции и позитивные функцио-
функционалы, 1941, Одесский гос. ун-т.
Ахиезер Н. И.
[1] Verallgemeinerung einer Korkine — Zolotareffscher Mini-
Minimum — Aufgabe. Записки Харьк. матем. о-ва, сэр. 4, XIII, 1936,
3-14.
[2] Проблема моментов А. А. Маркова относительно любого
числа интервалов. Украинский матем. журнал, № 3 A949), 41—50.
[3] Лекции по теории аппроксимации, «Наука», 1965, 1—407.
[4] Классическая проблема моментов. Физматгиз, Москва,
1961, 1—310.
А х и е з е р Н. И. и Крейн М. Г.
[1] Ober Fouriersche Reihen beschrankter summierbaren Funkti-
onen und ein neues Extremumproblem. I, Сообщения Харьк. ма-
матем. о-ва, сер. 4, IX A934), 9—23.
[2] Ober Fouriesche Reihen boschrankler summierbaren Funktio-
nen und ein neues Fxlremumproblem. II, Сообщения Харьк. матем.
о-ва и научно-иссл. института матем. и мех. при Харьк. гос. ун-те,
сер. 4, X A934), 3—32.

532 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[3] Проблема моменмв на двох штервалах при додатковш
умов1 А. А. Маркова. Записки науково-доыпдного iH-ту мат. й
мех. i Харьк1вського мат. товариства, XIV, сер. 4 A937), 47—59.
[4] О некоторых вопросах теории моментов, ГОНТИ, Харьков,
1938, 1—254.
[5] Деяк1 зауваження про коефщ1енти квадратурних формул
Gauss'oBcbKoro типу, Труди Одеського держ. ун-ту, Математика,
том II, Одесса, 1938, 29—38.
[6] Some remarks about M. S. Verblunsky's paper «Solution
of a moment problem for bounded functions» and «On the Fourier
constants of a bounded functions», Записки Харьк. матем. о-ва,
XVI A939), 129—134.
[7] О некоторых формулах квадратур П. Л. Чебышева и А. А.
Маркова, Сб., памяти Д. А. Граве, 1940, 15—28.
[8] Об одном обобщении лемм Шварца и Левнера. Записки
матем. отд. физ.-матем. фак-та ХГУ и Харьковского матем. о-ва,
т. XXIII, сер. 4 A952), 95—101.
[9] Das Momentenproblem bei der zusatzlichen Bedingirg von
A. Markoff, Записки Харьк. матем. о-ва, сер. 4, т. XII A935), 13—35.
[10] О двух minimum — проблемах, связанных с проблемой
моментов, ДАН СССР, т. 1, № 9 A936), 331—334.
Б а н а х С. С.
[1] Курс функционального анал1зу. Кшв, «Радянська школа»
A948).
БернштейнС. Н.
[1] Sur la definition et les proprietes des fonctions analytiques
d'mio variable reelle, Math. Ann. 75 A914), 449—468.
[2] Sur une propriete des polynomes de Tchebycheff, ДАН СССР
(A) A927), 405—407.
13] Sur les fonctions absolument monotones, Acta math. 52 A928),
1—66.
[4] Экстремальные свойства полиномов и наилучшее прибли-
приближение непрерывной функции одной вещественной переменной, ч. 1,
ОНТИ, 1937, 1-203.
[5] Об одном классе ортогональных многочленов, Собр. соч.,
I, 452—465.
[6] Дополнение к статье «Об одном классе ортогональных много-
многочленов», Собр. соч., I, 466—467.
[7] О базе системы Чобышева. Собр. соч., Изд-во АН СССР
A954), том II, 287—291.
[8] Lecons sur les proprietes extremales et la meilleure approxi-
approximation des fonctions analytiques d'une variable reelle. Paris A926),
1—207.
Б о н h e з e н Т., Ф e н x e л ь В. (Т. Bonnesen, W. Fenchel).
[1] Theorie der konvexen Korper. Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete, Berlin, 1934, 1 — 164; Springer, 1951.
Бржечка В. Ф.
[1] Об одной экстремальной задаче. Записки Научно-иссл. ин-
института матем. и мех. и Харьковского матем. о-ва, сер. 4, т. XVI
A940), 33—44.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 533
Б у а е м а н Г.
[1] Выпуклые поверхности, «Наука», 1964, 1—238.
Бутковский А. Г.
[1] Теория оптимального управления системами с распределен-
распределенными параметрами, «Наука», 1965, 1—474.
Виде некий B.C.
[1] К двум работам С. Н. Бернштейна о декартовом базисе сис-
системы функций Чебышева, Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та, 541,
542 A972).
Волков В. И.
[1] Некоторые свойства систем Чебышева. Уч. зап. Калинин-
Калининского гос. пед. ин-та, т. XXVI A958), 41—48.
Вороновская Е. В,
[1] Метод функционалов и его приложения, Л., 1963.
Выгодский М. Я.
[1] О замкнутых линиях с заданной индикатрисой касательных.
Матем. сб., 16 E8) : 1 A945), 73—80.
Габасов Р., Кириллова Ф.
[1] Качественная теория оптимальных процессов, «Наука»,
1971.-5
Гантмахер Ф. Р.
[1] Теория матриц. «Наука», 1966, 1—576.
Гантмахер Ф. Р. и КрейнМ. Г.
[1] Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания меха-
механических систем, Гостехиздат, 1950, 1—359.
Г а р к а в и А.'Л.
[1] Теоремы двойственности для приближений посредством
элементов выпуклых множеств. Успехи матем. наук, т. XIV, вып. 4
A961), 142—145.
[2] О| единственности решения L-проблемы моментов, Изв.
АН СССР, сер. матем., 28 A964), 553—570.
[3] Теория наилучшего приближения в линейных нормирован-
нормированных пространствах, Итоги науки, Математический анализ A967),
75—132.
[4] Задача Хелли и наилучшее приближение суммируемых
функций, Матем. сб., 84, № 2 A971), 196—217.
Г о й л Д.
[1] Соседние вершины на выпуклом многограннике, в сб. «Ли-
«Линейные неравенства», ИЛ, Москва, 1959, 355—362.
Гельфанд И. М.
[1] Sur un lemme de la theorie des espaces lineaires, Записки
Харьк. матем. о-ва D), 13 : 1 A936), 35—40.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.
[1] Пространства основных и обобщенных функций, Физмат-
гиз, 1958, 1—307.

534 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Геронимус Я. Л.
[1] Sur Tequivalence de deux problemes extremales, С. г. Acad.
sci., 199 A934), 1010.
[2] On some extremal properties of polynomials, Ann. of Math.,
37 A936), 483—517.
[3] Об одной задаче F. Riesz'a и обобщенной задаче Чебышева —
Коркина — Золотарева, ИАН СССР A939), 279—288.
[4] О полиномах, ортогональных на круге, о тригонометрической
проблеме моментов и об ассоциированных с нею функциях типа
Caratheodory и Schur'a, Матем. сб., 15 C7) A944), 99—130.
[5] О некоторых экстремальных свойствах аналитических
функций, Изв. АН СССР, сер. матем. 12, № 3 A948), 325—336.
[6] Теория ортогональных многочленов, Гостехиздат, 1950,
1-164.
[7] Динамический синтез механизмов по Чебышеву, Изд-во
Харьк. ун-та, 1958, 1—136.
[8] Полиномы, ортогональные на круге и их приложения,
Записки Харьк. матем. о-ва, сер. 4, т. 19 A948), 35—120.
Геронимус Я. Л. и ПерельмутерМ. М.
[1] О некоторых методах определения оптимального закона
движения, рассматриваемого как управляющее воздействие, Маши-
Машиноведение, № 6 A966), 16—23.
Гофман К.
[1] Банаховы пространства аналитических функций, ИЛ,
1963.
Г о х м а н Э. X.
[1] Интеграл Стилтьеса и его приложения. Физматгиз, М.,
1958, 1—191.
ГюнтерН. М., Кузьмин Р. О.
[1] Сборник задач по высшей математике, т. III, ГТТИ,
1951.
Д а н ц е р Л., Грюнбаум В., К л и В.
[1] Теорема Хелли и ее применения. «Мир», 1968, 1—160.
Д е й в и с Ч. (Ch. Davis).
[1] Analyse fonctionelle et approximation de fonctions, Dupli-
Duplicated Lecture notes, Canadian Math. Soc, 1966.
[2] Свойства отображений некоторых систем Чебышева. Докл.
АН СССР, 175, № 2 A967), 280—283.
Д обш О. (О. Dobsch).
[1] Matrixfuuctionen beschrankter Schwankung, Math. Z. 43
A937), 353—389.
ДубовицкийА. Я., Милютин А. А.
[1] Задачи на экстремум при наличии ограничений, Вычисл.
матем. и матем. физ., т. 5, № 3 A965), 395—453.
Д у к о р И. Г.
[1] К теореме Хелли о совокупности выпуклых тел с общими точ-
точками, Успехи матем. наук, вып. 10 A944), 60—61.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 535
Д ю р е н П. и В и л ь я м с Д. (P. L. Duren, D. L. Williams).
[1] Interpolation problems in function spaces, Journ. of functio-
functional analysis, 9, № 1 A972), 75—86.
ЕгервариЕ. (Е. Egervary).
[1] On the smallest convex cover of a simple arc of space-curve.
Publ. math., Debrecen, 1 A949), 65—70.
Жуковский Н. Е.
[1] Условие равновесия твердого тела, опирающегося на непод-
неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться
вдоль этой плоскости с трением, Собр. соч., ОГИЗ A948), 1,
339—354.
Зигмунд А.
[1] Тригонометрические ряды, т. 1, «Мир», 1965.
ЗингерИ. (I. Singer).
[1] Сеа mai buna aproximare in spa^ii vectoriale normate prin
elemente din subspatii vectoriale, Ed. Acad. Rep. Soc. Romania,
Bucuresti, 1967.
Зуховицкий СИ.
[1] О приближении действительных функций в смысле П. Л. Че-
бышева. Успехи матем. наук, т. XI, вып. 2 A956), 125—159.
Иванов В. К.
[1] Задача о минимаксе системы линейных функций. Матем.
сб., 28 G0) A951), 685—706.
Иоффе А. Д. и Тихомиров В. М.
[1] Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи.
Успехи, матем. паук, т. 23, вып. С A44) A968), 51—116.
И с и и К. (К. Isii).
[1] The extreme of probability determined by generalized mo-
moments. 1. Bounded random variables. Ann. Inst. Statist. Math. 12,
.№ 2 A960), 119—134.
[2] On the sharpness of Tchebychoff-type inequalities. Ann. Inst.
Stat, Math., 14 A963), 185—197.
К а к е й а С (S. Kakeya).
[1] Upper and lower limits of some quantities regarding analytic
functions, Tohoku Science Rep., 6 A917), 153—168, Jap. Phys. Math.
Soc. Proc. 6 A924), 91—98.
К а л м а н P. (Kalman R. E.).
[1] On the general theory of control systems, Proc. Inst. Interna-
International Congress on Automatic Control, Moscow, 1960, published by
Butterworths, v. 1, 1961.
Канторович Л. В.
[1] Функциональный анализ и прикладная математика, Успе-
Успехи матем. наук, III, № 6 A948), 87—185.
К а р а т е о д о р и К. (С. Caratheodory)
Н] Oberden Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenz-
reihen, die gegebene Werte nicht annehmen, Math. Ann. 64 A907).

536 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[2] Ober den Variabilitatsbereich der Fourier'chen Konstantent
von positiven harmonischen Functionen, Rend, Palermo, XXXII
A911), 193-217.
К а р л и н С. (S. Karlin).
[1] Representation theorems for positive functions, J. Math.
Mech. 12, 559—618.
[2] Total positivity. Stanford University Press, 1968.
КарлинС, Мак-Грегор Дж. (Karlin S., McGregor J. L.).
[1] The differential equations of birth-death processes, and
the Stieltjes moment problem, Trans. Amer. Math. Soc, 85 A957),
489—546.
КарлинС. и ШеплиЛ. (S. Karlin, L. S. Shapley).
[1] Geometry of moment spaces, Memoirs of the Amer. Math.
Soc. 12, A953), 1—93. |
КарлинС. и С т а д д е н В. (S. Karlin, W. J. Studden).
[1] Tchebycheff systems: with applications in analysis and sta-
statistics. Interscience Publishers, 1966.
К а ц И. С. и К р е й н М. Г.
[1] О спектральных функциях струны. Дополнение II в книге
Ф. Аткинсона «Дискретные и непрерывные граничные задачи»,
«Мир» A968), 648—733.
Кемперман Дж. (J. H. В. Kemperman).
[1] On the sharpness of Tchebycheff-type inequalities, Indag
Math., 27 A965), 554-601.
[2] The general moment problem, a geometric approach. The
Annals of Math. Statistics, 39, № 1 A968), 93 — 122.
К и сел ев А. А., ОнуфриеваЛ. А.
[1] Применение биортогональных систем Чебышева и Маркова
для приближения функций, в сб. «Исследования по соврем, про-
проблемам конструктивной теории функций», Физматгиз, 1961,
183—189.
Колмогоров А. Н.
[1] Замечание по поводу многочленов П. Л. Чебышева, наиме-
наименее уклоняющихся от заданной функции, Успехи матем. наук т. III,
вып. 1 A948), 216—221.
Коренблюм В. И.
[1] О двух теоремах из теории абсолютно монотонных функций,
Успехи матем. наук, т. VI, вып. 4 A951), 172—175.
КоркинА. Н., Золотарев Е. И.
[1] Sur une certain minimum, Nuov. Ann. de math., ser. 2, 12
A873), 337—355; перепечатано в полном собр. соч. Е. И. Золота-
Золотарева, вып. 1, 138—153.
КотелянскийД. М.
[1] Про деят застосування квадратичних форм до проблеми
Nevanlinna — Pick'a, Журн. Ihct. Акад. наук УРСР, № 1 A936),
73-88.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 537
КрасовскийН. Н.
[1] К теории оптимального регулирования, Автоматика и теле-
телемеханика, т. 18, № 11 A957), 960—970.
[2] Об одной задаче оптимального регулирования, Приклад-
Прикладная математика и механика, т. 21, вып. 5 A957), 670—677.
[3] Теория управления движением, «Наука», 1968.
К р е й н М. Г.
[1] Uber eine neue Klasse von Hermiteschen Formen und iiber
eme Verallgemeinerung des trigonometrischen Momentenproblems,
Изв. АН СССР, ОМЕН, № 9 A933), 1259—1275.
[2] Об одном обобщении исследований акад. Маркова о предель-
предельных величинах интегралов, Труды II Всесоюзного матем. съезда,
т. II, 1934, 152—154.
[3] О представлении функций интегралами Фурье — Стилтьеса,
Уч. записки Куйбышевского гос. пед. и учит, ин-та, вып. 7 A943),
123—147.
[4] Об одной теореме М. Я. Выгодского. Матем. сб., 18 F0) : 3
A946), 447-449.
[5] Идеи П. Л. Чебышева и А. А. Маркова в теории предельных
величин интегралов и их дальнейшее развитие. Успехи матем.
наук, т. VI, вып. 4 A951), 3—120.
[6] Решение обратной задачи Штурма — Лиувилля, ДАН СССР,
т. 76, № 1 A951), 21—24.
[7] О расположении корней многочленов, ортогональных на
единичной окружности по знакопеременному весу, Теория функций,
функциональный анализ и их приложения, вып. 2 A966), 131 —137,
ХГУ.
[8] Описание всех решений усеченной степенной проблемы мо-
моментов и некоторые операторные вопросы, Матем. исследования,
Кишинев, 2, вып. 2 A967), 114—132.
[9] Общие теоремы о позитивных функционалах, статья II в
книге Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [4].
[10] О позитивных функционалах в линейных нормированных
пространствах, статья III в книге Н. И. Ахиезера и М. Г.'Крейна [4].
[И] L-проблема в абстрактном линейном нормированном
пространстве, статья IV в книге Н. И. Ахиезера и М. Г. Крей-
Крейна [4].
[12] О резольвентах эрмитова оператора с индексом дефекта
(т, т), ДАН СССР, 52 A946), 657-660.
[13] Об одном обобщении исследований Стилтьеса, ДАН СССР,
87, № 6 A952), 881—884.
[14] Об одном предположении А. М. Ляпунова, Функц. анализ
и его прил. (печатается).
КрейнМ. Г. и Красносельский М. А.
[1] Основные теоремы о расширении эрмитовых операторов и
некоторые их применения к теории ортогональных полиномов и
проблеме моментов, Успехи матем. наук, т. II, вып. 3 A947),
60—106.

538 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
К р е й н М. Г., Левитан Б. М.
[1] On some minimum-problem in the class of Stepanoff almost
periodic Functions, Записки Харьк. матем. о-ва D), 17 A940),
111-124.
К р е й н М. Г., Р е х т м а н П. Г.
[1] До проблеми Nevanlinna — Pick'a, Труди Одеського держ.
ун-ту 2 A938), 63—69.
[2] Развитие теории Чебышева — Маркова предельных величин
интегралов в одном новом направлении, Успехи матем. наук, т. X,
вып. 1 A955), 67—78.
КрейнМ. Г. и ШмульянВ. Л.
[1] On regulary convex sets in the space conjugate to a Banach
space, Ann. of Math., 41 A940), 556—583.
Крылов Н. М. и Боголюбов Н. Н.
[1] Sur le calcul des racines de la transcendante de Fredholm les
plus voisines d'un nombre donne par les methodes des moindres carres
et de l'algorithme variationnel. Изв. АН СССР, ОМЕН A929),
471-488.
Куликовский P. (R. Kulikowski).
[1] Procesy optymalne i adaptacyjne w ukladach regulacji auto-
matycznej, Warszawa — Wroclaw, 1965. Русский перевод см. [2].
[2] Оптимальные и адаптивные процессы в системах автома-
автоматического регулирования, «Наука», 1967, 1—379.
К у р т и с П. (Р. С. Curtis).
A] л-parameter families and best approximation, Pacific J. of
Math., 9 A959), 1013—1027.
Левин Б. Я.
[1] Распределение корней целых функций, Физматгиз, 1956.
Левитан Б. М.
[1] Почти-периодические функции, М. A953), 1—396.
Лейбензон 3. Л.
[1] Об оценке собственных чисел самосопряженных операторов,
ДАН. СССР, 117 A957), 371—373.
Л ё в н е р К. (К. Lowner).
[1] Obermonotone Matrixfunktionen, Math. Z., 38 A934), 177—216.
Л и Э. В., М а р к у с (Е. В. Lee, L. Markus).
[1] Foundations of Optimal Control Theory. N. Y., 1967. Русский
перевод см. [2].
[2] Введение в теорию оптимального управления, «Наука»,
1972, 1—576.
Л у к а ч (Lukacs).
[1] Verscharfung der ersten Mittelwertsatzes der Integralrech-
nung fur rationale Polynome, Math. Zeitschrift, 2 A918), 229—305.
Марков А. А.
[1] Доказательство некоторых неравенств П. Л. Чебышева,
Сообщение Харьк. матем. о-ва, 1884, 105—114; см. также [19].

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 539
[2] О некоторых приложениях алгебраических непрерывных
дробей, СПБ, 1884.
[3] Demonstration de certaines inegalites de M. Tchebycheff,
Math. Ann. 24 A884), 172—180.
[4] Extrait d'une lettre adressee a M. Hermite, Ann. de l'Ec.
norm., 3, III A886), 81—88.
[5] Sur une question de maximum et de minimum proposee par
M. Tchebycheff, Acta math. 9 A886—1887), 57—70.
2 dme~x*
[6] Sur les racines de l'equation ex rfa.m = 0, Изв. Акад.
наук, IX, № 5 A898), 435—446. Перепечатано в [19].
17] Несколько примеров решения особого рода задач о наиболь-
наибольших и наименьших величинах, Сообщения Харьковского матеы.
о-ва, сер. 2, 1, №№ 5, 6 A889), 250—276.
[8] О предельных величинах интегралов, Доклад на заседании
физико-матем. отделения 6 февраля B5 января) 1895 г. Перепечата-
Перепечатано в комментариях к полному собр. соч. П. Л. Чебышева, т. III,
изд. АН СССР, 1948.
[9] Новые приложения непрерывных дробей, Записки Акад.
наук, сер. VIII, III, № 5 A896); перепечатано в [19].
[10] О предельных величинах интегралов в связи с интерполи-
интерполированием, Записки Акад. наук, сер. VIII, VI, N° 5 A898); перепе-
перепечатано в [14], 146—230.
[И] Закон больших чисел и способ наименьших квадра"
тов, Изв. физ.-матем. о-ва при Казанск. ун-те, 2 сер., VIII
A898).
[12] Исследование о предельных величинах интегралов, Записки
Акад. наук, сер. VIII, VI, № 5 A900).
[13] О предельных величинах отношения двух интегралов,
Изв. АН, сер. 5, 21, № 1 A904), 23—32.
[14] Исчисление конечных разностей, изд. II, «Матезис», 1910,
1-274.
[15] Приложение метода математических ожиданий — метода
моментов — к выводу второй теоремы исчисления вероятностей
(Дополнение к курсу «Исчисление вероятностей», изд. IV (посмерт-
(посмертное), Гостехиздат, 1924, 489—581).
[16] О функциях, получаемых при обращении рядов в непре-
непрерывные дроби, Зап. Петерб. Акад. паук, т. XXIV, N° 2 A894),
см. также [19], 76—105.
[17] Лекции о функциях, наименее уклоняющихся от нуля
A906). См. [19], 244—291.
[18] О корнях некоторых уравнений I, II. См.[19] 34—43,
44—50.
[19] Избранные труды, Гостехиздат, 1948 (биографический очерк
и примечания Н. И. Ахиезера).
[20] Неравенство Чебышева и основная теорема, в книге «Ис-
«Исчисление вероятностей», СПб., 1900 г., см. также посмертное, 4-е
изд., Госиздат, 1924, и Избр. труды. Теория чисел. Теория вероят-
вероятностей, Изд-во АН СССР A951), 273—318.

540 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
М е л з а к 3. (Z. A. Melzak).\,
[1] The isoperimetric problem of the convex hull of a closed space
curve, Proc. Amer. Math. Soc, 11, № 2 A960), 265—274.
[2] Existence of periodic solutions, Communic. on pure and
appl. math., 20 A967), 771—774.
[3] Numerical evaluation of an isoperimetric constant, Math,
of computation, 22, № 101 A968), 188—190.
МинковскийГ. (Н. Minkowsky).
[1] Theorie der konvexen Korper, insbesondere Begrundung
ihres Oberflachenbegriffs, Ges. Abh. 2, 1911, 131—229.
Мэрхьюбер Дж. (J. С. Mairhuber).
[1] On Haar's theorem concerning Chebychev approximation
problems having unique solutions, Proc. Amer. Math. Soc. 7 A956),
609—615.
Неванлинна Р. (R. Nevanlinna).
11] Ober beschrankte Funktionen, die in gegebene Punkten for-
geschriebene Werte annehmen, Ann. Akad. Scient. Fenn. XV A919).
[2] Ober beschrankte analytische Funktionen, там же, XXXII
A929), 1 — 75.
[3] Asymptotische Entwicklungen Beschrankter Funktionen und
das Stieltjessche Momentenproblem, Suomalaisen Tiedaakatemian
Kustantama, Helsinki A922), 1—53.
H e x a p и 3. (Z. Nehari).
[1] On bounded bilinear forms, Ann. Math., 65, № 1 A957), 153—
162.
Никольский CM.
[1] Приближение функций тригонометрическими полиномами
в среднем. Изв. АН СССР, сер. матем., 10 A946), 207—256.
Нудельман А. А.
[1] О применении вполне и абсолютно монотонных последова-
последовательностей к проблеме моментов, Успехи матем. наук, т. VIII,
вып. 6 A953), 119—124.
[2] Об одном обобщении некоторых результатов П. Л. Чебыше-
ва и А. А. Маркова, ДАН СССР, т. 125, № 4 A959), 740—742.
[3] О предельных величинах интеграла \ Q (t)dn (t) при усло-
условиях А. А. Маркова, ДАН СССР, т. 131, № 6 A960), 1253—1256.
[4] Об одной заметке П. Л. Чебышева, в сб. «Исследования
по современным проблемам конструктивной теории функций»,
Физматгиз, М., 1961, 292—294.
[5] Об одном обобщении исследований П. Л. Чебышева и
А. А. Маркова по теории предельных величин интегралов, в сб.
«Исследования по современным проблемам конструктивной теории
функций», Физматгиз, М., 1961, 294—297.
[6] Об одной минимум-проблеме типа Коркина — Золотарева,
Записки мех.-матем. фак. ХГУ и Харьковского матем. о-ва, т.
XXIX, сер. 4 A963), 89—92.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 541
[7] Про спещальш зображення узагальнених моментов, ДАН
УРСР, № 5 A965), 563—565.
[8] Про функцп, штеграли яких задовольняють нер1вносп
Чебишова — Маркова, ДАН УРСР, № 6 A965), 691—695.
[9] О проблеме Неванлинны — Пика при дополнительных
условиях, ICM, Тезисы кратких научных сообщений, секция 4,
М., 1966 (Международный конгресс математиков).
[10] Канонические решения проблемы моментов на нескольких
интервалах, Матем. заметки, т. 1, № 4 A967), 435—442.
[11] О проблеме Неванлинны — Пика при дополнительных
условиях, Матем. заметки, т. 4, № 5 A968), 569—578.
[12] Полное описание выпуклых тел, обладающих марковским
свойством, Матем. заметки, т. 8, № 6 A970), 733—740.
[13] Геометрическая характеристика специальных систем
Чебышева, Матем. исследования, Кишинев, т. 5, вып. 1 A970),
160—165.
[14] Упорядоченно выпуклые множества в линейных тополо-
топологических пространствах, Матем. исследования, Кишинев.
[15] Изопериметрические задачи для выпуклых оболочек ломаных
и кривых в многомерных пространствах (печатается).
П и к Г. (G. Pick).
[1] Ober die Beschrankungen analytischer Funktionen, welche
durch vorgegebene Funktionswerte hewirkt sind, Math. Ann. 77,
H. 1 A916), 7—23.
[2] Ober beschrankte Funktionen mit forgeschriebenen Wert-
zuordnungen, Ann. Acad. Scient. Fenn. XV A920).
Полна Г. иСегеГ.
[1] Задачи и теоремы из анализа, ч. II, ОНТИ, 1938 B-е изд.—
Физматгиз, 1962).
Попов В. М.
[1] Гиперустойчивость автоматических систем, «Наука», 1970,
1-453.
П о с с о К. А.
[1] Об одном вопросе о наименьших величинах. Приложение
к т. XXXVIII Записок Академии наук, № 8 A880), 1—31.
[2] К вопросу о предельных значениях интегралов или сумм,
Сообщения Харьк. матем. о-ва за 1885 г., 35—58; перепечатано в
приложении к «Избранным трудам» А. А. Маркова (см. [19], 391 —
410).
[3] Sur quelques applications des fractions continues algebri-
ques, St.—Petersbourg, 1886, 1 — 175.
[4] Quelques remarques sur une certaine question de minimum.
Math. Ann. 26 A886), 552—596.
Привалов И. И.
[1] Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат,
1950, 1—336.
Пшеничный Б. Н.
[1] Необходимые условия экстремума, «Наука», 1969, 1—151.

542 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
Радемахер Г. иШёпберг И. (Н. Rademacher, I. J. Schoen-
berg).
[1] Helly's theorems on convex domains and Tchebycheff's ap-
approximation problem, Can. J. Math., 2 A950), 245—256.
P а й т Ф. (F. M. Wright).
[1] On the backward extension of positive definite Hambruger
moment sequences. Proc. Amer. Math. Soc. 7 A956), 413—422.
Раппопорт И. М.
[1] Об оценке собственных значений эрмитовых операторов,
ДАН СССР, 103, № 2 A955), 199—202.
Ремез Е. Я.
[1] Про методи иайкращого, в розумшш Чебишова, наближен-
ного представления функщй. Кшв, 1935, 1—162.
[2] Основы численных методов чебышевского приближения,
«Наукова думка», Киев, 1969, 1—024.
Рехтман П. Г.
[1] Метод опуклих ил в узагальнешй проблем! моменмв в
оконченному штервал1, 1936, канд. дисс, Одеський держ. ун-т.
[2] Узагальнош каношчш представления моменпв i нер1вносп
Чебишова, Записки Харьк. матем. о-ва, XV A938), 69—81.
[3] Об одном утверждении академика А. А. Маркова, Успехи
матем. наук, т. XII, вып. 3 A957), 181—187.
Р и с с Ф. (F. Riesz).
[1] Sur certains systemes singuliers d'equations integrales, Ann.
dfe l'Ec. norm. 28 A911), 33—62.
[2] Ober em Problem des Herrn Caratheodory, Journ. fiir reine
und ang. Math. A916), 33—62.
[3] Sur le problome des moments, I, II, III, Ark. Mat. Astr.
Fys., 16 A921).
Рихтер Г. (H. Richtev).
[1] Parameterfreie Abschatzung und Realisierung von Erwartungs-
werten. Bl. Dtscli. Cros. Versicherungsmath. 3, № 2, A957),
147—162.
Рогозинский В., Ill а п и р о Г. (W. Rogosinski, H. Shapiro).
[1] On certain extremum problems for analytic fonctions, Acta
math., 90, № 3-4 A950), 287-318.
РозенблюмП. (Р. С. Rosenbloom).
[1] Quelques classes de problems extremaux. Bull. Soc. Math.
Fr., 79 A951), 1—58, 80 A951) 183—215.
P о к а ф е л л e p P. (R. T. Rockafellar).
[1] Convex analysis, Princeton University Press, 1970, 1—451.
P у б и н нГт е й н Г. Ш.
[1] Об одном методе исследования выпуклых множеств, ДАН
СССР, 102, № 3 A955), 454—456.
[2] Об одной экстремальной задаче в линейном нормированном
пространстве, Сиб. матем. ж. 6 : 3 A965), 711—714.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТКРАТУРА 543
[3] Двойственность в математическом программировании и
некоторые вопросы выпуклого анализа. Успехи матем. наук,
т. XXV, вып. 5 A970), 171-201.
РутманМ. А.
[1] Интегральные представления функций, образующих ряд
Маркова, ДАН СССР, 164, № 5 A965), 989—992.
СеклуцкийК. (К. Sioklucki).
[1] Topological properties of sets admitting the Tschebycheff
systems, Bull, de l'Acad. Polonaise des sciences, Serio des sci.math.
astr. et phys., VI, № 10 A958), 603—606.
С о н и н Н. Я.
[1] О точности определения предельных величин интегралов,
Записки Акад. наук, 69, кн. 1 A892), 1—30; см. также [2], 170—196.
[2] Исследования о цилиндрических функциях и специальных
полиномах, ГТТИ, 1954, 1—244.
[3] О некоторых неравенствах, относящихся к определенным
интегралам, Записки АН по физ.-матем. отделению, сер. VIII, 6,
№ 6 A898).
С т и л т ь е с Т. (Т. Stieltjos).
[1] Jets over de benanderde voorstelling van eene functie door
eene andere, Delft, 1876.
[2] Note sur la densite de la terre.Bull.astron.l A884),465-~
467.
[3] Quelques remarques sur la variation de la densite dans l'inte-
rieur de la Terre, Archives Neerland des Sciences exactes et natur. 19
A884), 435—460.
[4] Quelques recherches sur la theorie des quadratures dites me-
caniques, Ann. Sci. de l'Ec. norm, ser. 3, 1 A884), 409—426.
[5] Note a l'occasion de la reclamation de M. Markoff, Ann.
Sci. Ec. norm., ser. 3, 2 A885), 183—184.
[6] Recherches sur les fractions continues, Ann. do Toulouse,
VIII A894), 1—122; IX A895), 1—47. Русский перевод см. [7].
[7] Исследования о непрерывных дробях, под ред. Н. И. Ахи-
езера, ОНТИ, 1936, 1 — 154.
Субботин М. Ф.
[1] Курс небесной механики, т. III, Гостехиздат, 1949, 1—280.
Т е п л и ц О. (О. Toeplitz).
[1] Ober die Fourier'sche Entwickelung positiver Funktionen,
Rend. Palermo 32 A911), 191 — 192.
ТумаркинГ. Ц. иХавинсонС. Я.
[1] Исследование свойств экстремальных функций с помощью
соотношений двойственности в экстремальных задачах для классов
аналитических функций в многосвязных областях, Матем. сб.,
46:2 A958), 195—228.
[2] О существовании в многосвязных областях однозначных
аналитических функций с заданным модулем граничных значений,
Изв. АН СССР, 22 A958), 543—562.

544 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
У о л л (Н. S. Wall).
[1] Analytic theory of Continued Fractions. Toronto, New York,
London, 1948, 1—433.
У о л ш Дж. Л.
[1] Интерполяция и аппроксимация рациональными функция-
функциями в комплексной области, ИЛ, 1961.
Федчина И. П.
[1] О канонических представлениях обобщенных моментов на
дискретном множестве, Матем. заметки, 5, № 1 A969), 39—48.
Ф е л л е р В. (W. Feller).
[1] Completely monotone functions and sequences, Duke Mathe-
Mathematical Journal, 5 A939), 662—663.
Ф е л п с P. (R. R. Phelps).
[1] Uniqueness of Hann — Banach extensions and unique best
approximation, Trans. Amer. Math. Soc. 95, № 2 A960), 238—256.
Фельдбаум А. А.
[1] Основы теории оптимальных автоматических систем, изд.
2-е, «Наука», 1966.
Ф е й е р Л. (L. Fejer).
[1] Uber trigonometrische Polynome, Journ. fur reine und angew.
Math., 146 A915), 53—82.
Фильштинский В. А.
[1] Степенная проблема моментов на всей оси при заданном
конечном числе пустых интервалов в спектре, Записки механ.-
матем. фак. ХГУ и Харьковск. матем. о-ва, сер. 4, т. XXX A964),
186—200.
Фишер Е. (Е. Fischer).
[1] Ober das Caratheodory'sche Problem, Potenzreihen mit
Positivon reellen Teil betreffend, Rond. Palermo 32 A911), 240—256.
Франклин С. (S. P.Franklin).
[1] Some results on order-convexity. The American Mathematical
Monthly, 69, № 5 A962), 357—359.
ФудживараМ. (М. Fujiwara).
[1] Uber die Polynome von der kleinsten totalen Schwankung,
Tohoku Math. Journal 3 A913).
X a a p A. (A. Haar).
[1] Minkowskische Geometric und Annaherung an stetige Funk-
tionen, Math. Ann., 78 A918), 293—311.
X а в и н с о н С. Я.
[1] О некоторых экстремальных задачах теории аналитических
функций, Учен. зап. МГУ, вып. 148, матем., т. IV A951), 133—143.
[2] Об экстремальных свойствах функций, отображающих об-
область на многолистный круг, Докл. АН СССР, 88, № 6 A953), 957—
959.
[3] Экстремальные задачи для некоторых классов аналитичес-
аналитических функций в конечносвязных областях, Матем. сб., 36 : 3 A955),
445—478.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 545
[4] О проблеме Каратеодори — Фейера для аналитических
функций в конечносвязных областях, Труды Владимирского пед.
ин-та им. Лебедева-Полянского, вып. 2 A956), 43—54.
[5] О размерности многогранника наилучших приближений в
метрике Ly, Труды Моск. инж.-строит, ин-та им. В. В. Куйбыше-
Куйбышева, № 19 A957), 18—29.
[6] О единственности функции наилучшего приближения в
метрике пространства L\, Изв. АН СССР, сер. матем., 22, № 2
A958), 243—270.
[7] О двух классах экстремальных задач для полиномов и мо-
моментов. Изв. АН СССР, сор. матем., 25 A961), 447—498.
[8] Об аппроксимации элементами выпуклых множеств, ДАН
СССР, 172, № 2 A967), 294-297.
Г. X а р д и, Дж. Литтлвуд, Г. Полна
[1] Неравенства, ИЛ, 1948, 1—456.
ХаусдорфФ. (F. Hausdorff).
[1] Summationsmethoden und Momentfolgen, I, II, Math. Zeit-
schrift 9, A921), 1,74-109, 11,280-299.
ХенричиП. и ПфлюгерП. (P. Henrici, P. Pfluger).
[1] Truncation error estimates for Stieltjes fractions, Тезисы
докладов Международной конференции по теории аналитических
функций, Ереван, 1965, 75—76.
ХерглотцГ. (G. Herglotz).
[1] Ober Potenzreihen mit postiven reellen Teil im Einheitskreise,
Leipziger Berichte, 63 A911), 501—511.
Чебышев П. Л.
11] Sur les valeurs limites des integrates, Journ. de math, pures
et appl. II ser., XIX A874).
[2] Sur les quadratures, Journ. de math, pures et appl., II ser.,
XIX A874), 19-34;
[3] Sur la representation dos valeurs limites des integrales par
les residue integraux, Acta math., IX A886), 35—36.
[4] О двух теоремах относительно вероятностей; прилож. к
55 т. Записок Акад. наук, № 6, 1887; см. также [9], 481—492 или
[12], 229—239.
[5] Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные
величины интегралов; прилож. к 55 т. Записок Акад. наук, № 2,
A887); см. также [9], 433—478 или [12], 191—225, или [6].
[6] Sur les residue integraux qui donnent des valeurs approchees
des integrales, Acta. math. XII A888—1889), 287—323.
[7] Sur deux theoremes relatifs aux probabilites, Acta Math.
XVI A890—1891), 305—315.
[8] Sur 1'interpolation dans le cas d'un grand nombre de donnees
fournies par les observations, Записки Акад. наук, VII, сер. 1,
№ 5 A859). Русский перевод см. [12].
[9] Полное собрание сочинений под ред. А. А. Маркова и
Н. Я. Сонина, т. II, СПб., 1907.
[Ю] Избранные математические труды, Гостехиздат, 1946,
под ред. Н. И. Ахиезера, 1—199.

546 ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[11] Полное собрание сочинений, т. II, Математический анализ,
изд. АН СССР A947); комментарии Н. И. Ахиезера, С. Н. Берн-
штейна, В. В. Голубева и В. Л. Гончарова, 1—520.
[12] Полное собрание сочинений, т. III, Математический ана-
анализ, изд. АН СССР A948); комментарии Н. И. Ахиезера, В. Л. Гон-
Гончарова и А. Н. Колмогорова, 387—469.
[13] О разложении в непрерывную дробь рядов, расположен-
расположенных по нисходящим степеням переменной, Приложение к 72 т. За-
Записок Акад. наук, № 3 A892); см. также [12], 307—362.
[14] О суммах, зависящих от положительных значений какой-
либо функции, Записки Акад. наук, VIII, сер. 1, № 7 A895);
см. также [12].
[15] Научное наследие П. Л. Чебышева, Сборник статей под
ред. С. Н. Бернштейна, изд. АН СССР, 1945, вып. 1, Математика,
1—174.
[16] О суммах, составленных из коэффициентов рядов с поло-
положительными членами. Письмо С. В. Ковалевской. Acta math., IX
A887), 182—184; см. также [12], 226—228.
Ш.в е ц о в К. И.
[1] О проблеме моментов Hamburger'a при дополнительном
требовании отсутствия масс на заданном интервале. Зап. Харьк.
матем. о-ва D) 16 A939), 121—128.
Ш ё н б е р г И. (I. I. Schoenberg).
[1] Convex domains and linear combinations of continuous
functions, Bull, of the Amer. Math. Soc, April, 1933, 273—280.
[2] An isoperimetric inequality for closed curves convex in ever
dimensional Euclidean spaces. Acta Math., 91 A954), 143—164.
Ill ё н б е р г И. и С е г е Г. (I. J. Schoenberg, G. Szego).
[1] An extremum problem for polynomials, Compositio mathe-
matica, 14, Fasc. 3 A960), 260—268.
ШёнбергИ. и Я и г К. (I. J. Schoenberg, С. Т. Yang).
11] On the unicity of solutions of problems of best approxima-
approximations, Aiinali di mathematica pura ed applicata, v. LIV A961), 1 —12.
Ill н и р е л ь м а и Л. Г.
[1] О равномерных приближениях, Изв. АН СССР, сер. матем.,
№ 1 A938), 53—60.
Ш о х а т Дж. и Тамарки н Дж. (I. Shohat, J. Tamarkin).
11] The Problem of Moments, New York, 1943, 1—140.
Ш т е й ii и ц E. (E. Steinitz).
[1] Bedingt konvergente Reihen und konvexo Systeme, II, Journ.
fur reine und angew. Math., 144 A914), 1—40.
Ш у р И. (I. Schur).
[1] Uber Potenzreihen die im Innern des Einheitskreises beschrankt
sind, Journ fur reine und angew. Math., 147 A917), 205—232.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстрактная L-проблема 439
Аппроксимация Т-систем 63
— — периодических 65
Биортогонализация 353
Блок 383
Вершины соседние 385
Выпуклая комбинация 18
— оболочка 18
Гиперплоскость 17
Грань 289, 384
График (надграфик, подграфик)
45
Задача Какейа 459
— Каратеодори—Фейера 219
— Ламе 469
— Маркова о сопряжении ж.-д.
путей 32, 475
— оптимального управления
373, 511
— Поссе о минимизации функ-
функционала обобщенная 355, 484
— — об оценке 155, 173
— Стилтьеса о плотности шара
155
— Чебышева о параллелепипеде
286
— Чебышева — Коркина —
Золотарева 351
— Чебышева — Стилтьеса 346
— — — обобщенная 348
— Штейнера 517
— Шура 223, 456
Индекс блока 384
— многочлена с неотрицатель-
неотрицательными коэффициентами 419
Индекс множества относительно
компакта 383
— представления НО, 202, 329,
393, 426
— рациональной функции клас-
класса 8~ 254(
— точки 55
Индикатриса касательных 32
Интегральные представления —
см. Представления интеграль-
интегральные
Интервал конусный 37
Класс функций Л 271
* 100
ЯВ 95, 519
.9 285
Я\ 457
Н2 276, 458
Нъ (б > 0), Нр (р >
> 1) 271, 457
Н^ 220
91 101, 519
01 [а, Ь] 525
* 522
<S>- 253
* [а, 6] 526
# (Ет) 528
Клин 24
Компакт 51, 380
— Ет 387
— Ж (и) 502
— целочисленный 413
Конус 25
— воспроизводящий 26
— многогранный— 381
— и-реберпый 289
— с марковским свойством 279
— телесный 25
— <7 (упорядочивающий) 36

548
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конус К (U) 27
Коридор 492
Корни-пучности 53
Корни-узлы 53
Косая диагональ 278
Кривая выпуклая 137
— упорядочение растущая 298
— Шёнберга 145
— S Т (ЗГ-кривая) 80
— Т (Г-кривая) 53
— Т. (Г.,.-кривая) 53
— U 21
Кристоффеля—Дарбу формулы
аналог 218
Крышка множества 37
Лемма Гельфанда 483
— Шварца обобщенная 264
Линия винтовая 143
Лунки 190, 530
Люк 408
Марковское свойство 279
Масса максимальная 102
— — в точке компакта 392
— минимальная 403
Масштабная функция Минков-
ского 21
Метод Шнирельмана 465
Методы статики в решении
несовместных линейных сис-
систем 466
Многочлен квазиортогональный
247
— опорный 320
— ортогональный (ортонорми-
рованпый) 105, 218
— — по индефинитному весу
378
— сопряженный 157
Многочлены Q (t) и Q (t), от-
отвечающие главным представ-
представлениям 159
— <?г @i отвечающие канони-
каноническим представлениям 116,
117
— Qt (t, х) и Q2 (t, т), отвеча-
отвечающие каноническим представ-
представлениям 161
— Р (t) и Р (t), сопряженные
с Q (t) и Q(t) 160
Многочлены Pi(t,t) и Рг (t, т),
сопряженные с О, (t %) и
<?3 (<, т) 161
Множество выпуклое 18
— — и одновременно упорядо-
ченно выпуклое 42
— — коническое 24
— граничное Г~, Г 37
Го 39
<U, V, % 191, 330
— многочленов ф 27
454. 28
— — $е, tye 56
$js 387
$ (Q), f> (Q) 174
Щ% (Q), s$% (Q) i?9
$„ 345, 368
368
sPo- $>_! 493, 494
— ограниченно поглощающее
482
— упорядоченно выпуклое 37
Модуль показателей Фурье 504
Моменты обобщенные 85
— степенные 90
— тригонометрические 93
Мощность управления 514
Наилучшее приближение в ? (а,
Ъ) 450
в С (а, 6) 475
в В (фд., ф_) 490
Неравенства Маркова 343, 428
— Чебышева 243
— Чебышева — Маркова 172,
242
Неравенство Адамара 147
— Бернштейыа 480
— Гёльдера 24
— для выпуклых функций 155
— изопериметрическое в Л24
141
в B2V+1 143, 145
— Лагранжа — Коши обоб-
обобщенное 23
— Минковского 24
Норма (к, |i) 484
— (ф+, ф_) 487
— несимметричная 482

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
549
Область управляемости 374
Оболочка выпуклая 18
— коническая 26
— регулярно выпуклая 49
— упорядоченно выпуклая 41
Объем выпуклой оболочки 137
fuoui ... ип\
Определитель А , , , 51
Поверхности.. Ti-главные Г (rj),
Г СП) 363 _ ~
— g-главные Г (§), Г Ц) 304,
363
Поверхность граничная регу-
регулярная 293
<U, V 191
Подмножество наполненное 384
Показатели Фурье почти-перио-
почти-периодической функции 502
Полиэдр 23, 368
Полупространство 15
Полуупорядоченность 36
Поляра множества 25
Полярное множество 23
Последовательность числовая
вполне монотонная 93
— — позитивная 84, 388
— — эрмитово неотрицатель-
неотрицательная (э.-н.) 95
— — — положительная (э.-п.)
95
Представление интегральное
функций класса ^ 519
— — — — 91 аддитивное 520
— — — — — мультиплика-
мультипликативное 521
М [а, Ь] 525
S> [a, b] 527
<g> (Ет) 528
Представления главные 110
— — степенных моментов 121
— (ф, 1|))-главные 329
— канонические 110
— — степенных моментов 115
— — тригонометрических Мо-
Моментов 212
— (ф, \|;)-канонические 329
— @, ^-канонические степен-
степенных моментов 337
— (—L, ?)-кашшические триго-
тригонометрических моментов 339
Представления неотрицательных
многочленов алгебраических
89, 388, 497
— — — обобщенных 497
— — — тригонометрических
88, 390
— (ф, ^-экстремальные 329,425
Проблема интерполяционная
Неванлинны — Пика в классе
* 100, 273
«95
Д-р 459
Л 101
М [а, Ъ] 101
* [а, Ъ] 101
S (Ет) 429
— коэффициентов Каратеодори
. 214
— моментов Гамбургера 266
— — Маркова 316, 320
— — на бесконечном интерва-
интервале 246
— — степенная 90, 388
@, L) 323
— — Стилтьеса 237
— — тригонометрическая 93,
209, 390
(_Lt ц 327
— — Хаусдорфа 93
Продолжение Т (Г+)-системы
77
Произведение Бляшке 275
Пространство дуальное 503
— с несимметричной нормой
482
— строго нормированное 445
— В (%, ц) 484
— В (ср., ф_) 487
— С (а, Ь) 471
— -ffp 457
— Н- 458
— Я-» 220
— ?,, (а, 6) 447
— L^ (а, Ъ) 456
— S почти-периодических функ-
функций Степанова 501
— Sin 501
Распределение масс 28
— — главное 110
— — каноническое 110

550
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Распределений масс совокуп-
совокупность V (с) 102
V (с, Е) 392
V (91) 294
— 93 (с) 479
Распределения масс допустимые
318
Решения экстремальные интер-
интерполяционной задачи Я (z),
Л (z) 255
Сечение конуса 193
Система векторов разносторонне
направленная 385
¦— вполне управляемая 376
— линейных уравнений несов-
несовместная 463
— функций биортогональная
353—354
— — минимального колебания
62
— — D (D-система) 61
— — Dx (?>+-система) 61
ЕТ (ЯГ-система) 58
— — М (Л/-система) 67
— — М+ (АГ+-система) 67
S Т (Sr-система) 79
5Г+ EГ+-система) 80
— — Т (Г-система) 50
— — — — периодическая 52,
201
Г+ (Г+-система) 52
Тело выпуклое 18;
— $ (ф, ур) 318
— Ж 441, 489
Теорема Бершптейиа (об аппро-
аппроксимации абсолютно монотон-
монотонной функции) 419
— — (об оценке производных)
480
• (о представлении абсолютно
монотонной функции) 250
— Боля — Брауэра (о непод-
неподвижной точке) 492
— Бохнера (о почти-периоди-
почти-периодических функциях) 501
— Вариньопа (о статическом
моменте равнодействующей)
471
— Гантмахера — Крейпа (о Т~
системах) 137, 386
Теорема Гаркави (о наилучшем
приближении элементами вы-
выпуклого множества) 446
— Гейла (о соседних верши-
вершинах) 385
— Джексона (о единственности
приближения в Lj) 491
— Каратеодори (о замкнутой
выпуклой оболочке) 31
— Карлина (о положительном
обобщенном многочлене) 497
— — (об ужах) 491
— Колмогорова (о приближе-
приближениях в комплексном простран-
пространстве С) 479
— Крылова — Боголюбова (о
включении) 248
— Маркова (о корнях) 301
— — (об определителях) 283
(о ?Г-системах) 73
— Маркова — Лукача (о неот-
неотрицательных многочленах) 88,
497
— Минковского (об отделении)
19
'— Мэрхьюбера (о Г-системе) 51
— Неванлинны (об интеграль-
интегральном представлении) 520
— о конической оболочке 28
— о параллелепипеде 281, 358
— о перемежаемости масс 112,
400
— об ST-системе 79
— — — — обратная 289
— об управлениях с минималь-
минимальной мощностью 515
— основная о позитивных пос-
последовательностях 84, 237,
388
— Ремеза (о нахождении мини-
макса) 465
— Рехтман (об определителях)
284
— Рисса (о замкнутой выпуклой
оболочке) 30
— Рисса — Фейера (о неотри-
неотрицательном тригонометричес-
тригонометрическом многочлене) 88|
— Рисса — Херглотца (об ин-
интегральном представлении)
96, 519
— Рутмана (о продолжении Т~
системы) 77

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
551
Теорема Рутмана (о структуре
А/-системы) 74
— Фавара (о почти-периодиче-
почти-периодических функциях) 504
— Фельдбаума (о точках пере-
переключения) 375
— Хаара (о единственности при-
приближения в С) 476
— Хана — Банаха, обобщен-
обобщенная 441, 484
— Хелли (об интегралах Стил-
тьеса) 29
— — (о пересечении выпуклых
множеств) 46
— Чебыгаева (обобщенная) 477
— Шёнберга (изопериметричес-
кая) 83, 141
— Шёнберга — Юнга (о ряде
Фурье) 213
Теоремы о движении масс 124—
130, 133—135, 298, 307, 411,
417
— — — ф-интервалйв 335—
337, 358—361
¦— об экстремальных значениях
интегралов 152, 172, 175, 177,
178, 239, 294, 310, 362, 364,
399
— — — — — обратные 181,
186, 188
— Феллера (об абсолютно моно-
монотонных функциях) 270
Тождество Сильвестра 207
— Фекете 76, 262
Точка граничная регулярная 20
— крайняя 20
— переключения 370
— пересечения кривой с гипер-
гиперплоскостью 54
— прикосновения кривой с ги-
гиперплоскостью 54
Траектория 372
Треугольная биортогонализация
378
Угол Ф (z) 526
— ? (z) 528
Узлы блока 394
— представления 394
Управление 373
— допустимое 373, 511
— оптимальное 374, 511
Условие {Ж) 28
— (Т (U)) 151
— (Т+ (U)) 152
— (T°+(U)) 154
Условия Мюнтца 269
Форма ганкелева 90
— индефинитная 213
— теплицева 95
Формула механических квадра-
квадратур 151
— обращения Стилтьеса 521
Функции вполне независимые
449
Функционал линейный нормаль-
нормальный 443
— Минковского 482
— ? 84
— © 90
Функция абсолютно монотонная
249
— re-возрастающая на интерва-
интервале 249
— дуальная масштабной 23
— изотопная 44
— изотопно возрастающая (убы-
(убывающая) 45
— импульсная 544
— масштабная Минковского 21
— обобщенная 514
— опорная (Минковского) 23
— почти-периодическая Бора
502
— — — Степанова E-функ-
цпя) 501
— распределения главная 110
— — каноническая 110
Экстремальные значения инте-
интеграла 151, 174, 239, 293, 309,
363
— решения интерполяционной
задачи 255
Элемент нормальный 443
— экстремальный 443
Ядро вполне положительное 61
— зиакорегулярпое 61
— Келлога 66
— Пуассона 519
— теории теплопроводности 61

Марк Григорьевич Крейи,
Адольф Абрамович Яудельман
Проблема моментов Маркова
и экстремальные задачи
М., 1973 г., 552 стр. с илл.
Редакторы Л. Я. Цлаф, И. М. Овчинникова
Техн. редактор Я. Ф. Брудно
Корректоры Е. А. Велицкач, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 13/XI 1972 г.
Подписано к печати 15/Ш 1973 г.
Бумага 84xlO8i/32 Физ. печ. л. 17,25.
Условн. печ. л.28,98. Уч.-изд. л. 28,35.
Тираж 7500 экз. Т-00790.
Цена книги 1 р. 95 г. Заказ N1 1373
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект. 15
2-я типография издательства «Наука»,
Москва, Шубинскпй пер , 10