В А.ТРЕНОГИН
БМ.ПИСАРЕВСКИЙ
t С. СОБОЛЕВА
ЗАЛАМИ
И УПРАЖНЕНИЯ
ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ
АНАЛИЗУ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов вузов, обучающихся по специальностям!
«Математика», «Прикладная математика»
МОСКВА (.НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1984

Задачи в упражнения по функциональному анализу. Трено-
Треногий В. А., П и с а р е в с к и й В. М., С о б о л е в а Т. С.— М.: На-
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.—
256 с.
Сборник содержит задачи по всем основным разделам курса
функционального анализа, читаемого в вузах. Он ориентирован на
учебное пособие В. А. Треногина «Функциональный анализ», вы-
вышедшее в 1980 г. Рамки задачника несколько шире требований
программы. В задачник вошли такие разделы, как: «Нелинейные
операторные уравнения в банаховых пространствах», «Дискрет-
«Дискретные приближения решений операторных уравнений», «Монотон-
«Монотонные операторы», «Элементы теории экстремумов и выпуклого ана-
анализа» и др.
Рецензенты: кафедра высшей математики Московского инже-
инженерно-физического института:
доктор физико-математических наук
А. А. Кириллов.
Владилен Александрович Треногий
Борип Меерович Писаревский
Татьяна Сергеевна Соболева
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ
Редактор А. И. Ш т е р н
Техн. редактор С. Я. Ш к л я р
Корректоры Т. Г. Е г о р о в а, И. Я. К р и ш т а л ь
ИБ N5 12499
Сдано в набор 19.09/83. Подписано к печати 05.07.84. Формат 84X108'/^.
Бумага тип. № 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ.
л. 13,44 Условн. кр-отт. 13,44- Уч.-изд. л. 14,84. Тираж 20 000 экз. За-
Заказ № 806. Цена 80 коп.
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077. Новосибирск, 77, Станиславского, 25
17020Е0000-125
053@2)-84 5
^Издательство «Наука»,
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1984
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Нормированные пространства
§ 1. Линейные нормированные пространства
§ 2. Банаховы пространства
§ 3. Гильбертовы пространства
§ 4. Пространства Лебега и Соболева . . . . ' .
§ 5. Построение элемента наилучшего приближения в
гильбертовых и банаховых пространствах .
9
9
22
26
33
37
§ 6. Метрические пространства 43
Глава 2. Линейные операторы 46
§ 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейно-
линейного оператора 46
§ 8. Пространство ограниченных линейных операторов 51
§ 9. Обратные операторы , 58
§ 10. Замкнутые операторы 62
Глава 3. Сопряженные пространства и сопряженные опе-
операторы 65
§ 11. Непрерывные линейные функционалы .... 65
§ 12. Теорема Хана — Банаха. Структура сопряженного
пространства 67
§ 13. Слабая сходимость. Рефлексивность 79
§ 14. Сопряжеппые операторы 73
Глава 4. Компактные множества и вполне непрерывные
операторы 81
§ 15. Компактные множества в нормированных прост-
пространствах . . ¦ 81
§ 16. Линейные вполне непрерывные операторы , 88
§ 17. Нормально разрешимые операторы 96
Глава 5. Самосопряженные операторы. Спектральная тео-
теория Ю2
§ 18. Самосопряженные операторы 102
§ 19. Спектр лилейного оператора 107
§ 20. Спектр • вполне непрерывного и самосопряженного
оператора 111
1* 3

§ 21. Линейные интегральные уравнения . ¦ . - Hi
§ 22. Неограниченные операторы в гильбертовом прост-
пространстве 1-4
Глава 6. Нелинейные операторы и уравнения в банаховых
пространствах 127
§ 23. Дифференцирование пелпнейных операторов . . 127
§ 24. Принцип сжимающих отображений^ итерационный
процесс Ньютона и принцип неподвижной точки
Шаудера 136
§ 25. Неявные операторы 146
Глава 7. Дискретные приближения решений операторных
уравнений 151
§ 26. Приближенные и разностные схемы .... 151
§ 27. Интерполяция сплайнами 164
§ 28. Приближенные схемы Галершша 170
§ 29. Метод монотонных операторов 177
Глава 8 Элементы теории экстремума и выпуклого ана-
анализа 186
§ 30. Необходимые условия экстремума функционала 186
§ 31. Достаточные условия экстремума функционала 195
§ 32. Полунепрерывные и выпуклые функционалы . . 201
Ответы и указания 205
Литература 250
Список обозначении . • 252
Предметный указатель 254
ПРЕДИСЛОВИЕ
Функциональный анализ — одна из важнейших обла-
областей современной математики. Его возникновение и раз-
развитие связано с именами таких крупнейших ученых как
Д. Гильберт, Ф. Рисе, С. Банах, М. Фреше, А. Н. Колмо-
Колмогоров, С. Л. Соболев, А. Н. Тихонов, С. М. Никольский
л др. Началом создания функционального анализа можно
считать систематическое построение теории операторов
в бесконечномерных гильбертовых пространствах, а затем
и в линейных нормированных пространствах (начало
XX века).
Важной особенностью функционального анализа явля-
является общая абстрактная форма рассмотрения проблем
анализа, позволяющая единообразно исследовать далекие,
казалось бы, друг от друга вопросы. Именно поэтому
сегодня идеи, концепции и методы функционального ана-
анализа пронизывают чуть ли не все области математики,
объединяя их в единое целое.
Функциональный анализ играет важную роль в сов-
современном математическом образовании инженера-исследо-
инженера-исследователя, которому предстоит применять математические
методы в конкретной области науки. На языке функцио-
функционального анализа получают ясное выражение основные
проблемы прикладной и вычислительной математики.
Предлагаемый задачник рассчитан на студентов тех-
технических вузов, специализирующихся в области приклад-
прикладной математики. Его структура и применяемая термино-
терминология ориентированы на учебное пособие В. А. Треноги-
на «Функциональный анализ» [25]. Однако задачник со-
составлен так, чтобы читатель мог пользоваться любым дру-
другим пособием по функциональному анализу.

Задачник будет полезен инженерам, математикам-при-
математикам-прикладникам при изучении курса функционального анализа,
студентам университетов при первоначальном изучении
этого курса.
Данный задачник отражает многолетний опыт авто-
авторов по преподаванию функционального анализа в Москов-
Московском физико-техническом институте, Московском инсти-
институте нефтехимической и газовой промышленности
им. И. М. Губкина, Московском институте стали и спла-
сплавов. Наряду с традиционными задачами, при составле-
составлении которых была использована приведенная в конце
книги литература, сборник содержит большое число но-
новых, отвечающих современным потребностям практики.
Сюда, в частности, относятся все задачи, при решении
которых предполагается использование ЭВМ, многие за-
задачи нелинейного и прикладного функционального ана-
анализа.
Сборник неоднороден по своему содержанию. По каж-
каждой теме имеются задачи различной степени трудности,
предназначенные как для аудиторной, так и для самостоя-
самостоятельной работы студентов. Кроме задач технического или
вычислительного характера имеются задачи, позволяю-
позволяющие лучше уяснить то или иное понятие или результат.
Встречаются группы задач, которые могут служить для
самостоятельного изучения отдельных вопросов теории,
представляя непростое утверждение в виде его разложе-
разложения на более или менее элементарные упражнения. К по-
подавляющему большинству задач приведены ответы или
указания к решениям.
Задачник состоит из восьми глав, каждая из которых
содержит, в свою очередь, несколько параграфов. Параг-
Параграф начинается с краткого теоретического введения, со-
содержащего необходимые для решения последующих задач
основные определения и теоремы, а также краткие опи-
описания используемых математических приемов. Иногда
теоретические сведения вклиниваются внутрь параграфа,
предшествуя группе задач на заданную тему.
В^ главе 1 подобраны задачи, относящиеся к теории
линейных нормированных, банаховых, гильбертовых, ле-
лебеговых, соболевскпх и метрических пространств. Отдель-
Отдельный параграф (§ 5) посвящен важному в приложениях
вопросу построения элемента наилучшего приближения
п гильбертовых и банаховых пространствах.
Глава 2 включает материал по теории линейных опе-
операторов. Наряду с задачами общего плана, связанными
с понятиями непрерывности, ограниченности, нормы ли-
6
нейных операторов, а также обратного оператора, значи-
значительное внимание уделено конкретным линейным опера-
юрам, в частности, интегральным и дифференциальным,
которые находят широкое применение в решении при-
прикладных задач. Рассматриваются также и неограничен-
неограниченные замкнутые линейные операторы.
Задачи по теории сопряженных пространств и сопря-
сопряженных операторов подобраны в главе 3.
В главе 4 рассмотрены компактные множества, впол-
вполне непрерывные и нормально разрешимые операторы.
В главе 5 собраны задачи по теории' самосопряжен-
самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах, задачи на
теорию спектра линейного, вполне непрерывного и само-
самосопряженного операторов. Специальные параграфы по-
посвящены линейным интегральным уравнениям. Рассмат-
Рассматриваются решения интегральных уравнений II рода,
а также метод регуляризации для интегральных
уравнений I рода (§ 21). Здесь же уделяется внимание
неограниченным операторам, в частности, оператору
Штурма — Лиувилля (§ 22).
Глава 6 содержит задачи нелинейного функциональ-
функционального анализа. Рассматриваются дифференцирование в не-
нелинейном случае, сжимающие отображения, метод каса-
касательных Ньютона, принцип Шаудера, неявные операторы.
Отметим, что эти и другие разделы нелинейного
функционального анализа появились в связи с выросши-
выросшими потребностями теории дифференциальных уравнений,
численных методов, математического программирования
и других разделов математики.
Определенный интерес для прикладников может
представить глава 7, которая содержит подборку задач и
упражнений на важнейшие современные приближенные
методы — метод разностных схем, метод сплайнов, метод
Галеркина и метод монотонных операторов.
Последняя, 8-я глава посвящена вариационному ис-
исчислению, как классическому (§§ 30, 31), так и абстракт-
пому (§ 32). При этом авторы старались найти единый
подход к этим вопросам.
Поскольку задачник предназначен, в основном, для
студентов технических вузов, авторы сочли нецелесооб-
нецелесообразным включать в него упражнения по теории тополо-
топологических и линейных топологических пространств и по
теории меры. В сборник из-за ограниченного объема не
вошли также некоторые важные прикладные разделы
функционального анализа, в частности, применения к тео-

рии дифференциальных уравнений с частными производ-
производными (общий метод Фурье, обобщенные функции, нолу-
1руппы, приближенные схемы) и к теории оптимального
управления.
Авторы глубоко признательны профессору кафедры
теории функций и функционального анализа МГУ
им. М. В. Ломоносова А. А. Кириллову, профессору
А. И. Прилепко и возглавляемому им коллективу кафед-
кафедры высшей математики МИФИ за большое число ценных
советов, учтенных при подготовке настоящего издания.
Авторы искренне благодарны А. И. Штерну, лрове-
рившему текст рукописи во всех его деталях и выска-
высказавшему много полезных замечаний, а также Л. Б. Ко-
релыптейну за помощь в составлении ответов п ука-
указаний.
В. А. Треногий
Б. М. Писаревский
Т. С. Соболева
Глава 1
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Линейные нормированные пространства
Линейное пространство X над мпожеством веществен-
пых чисел R (комплексных чисел Ш называется норми-
нормированным пространством, если каждому ieX поставлено
1! соответствие неотрицательное число Ы, называемое
нормой х, так, что выполнены следующие три аксиомы:
1) WI = 0 тогда и только тогда, когда х = G;
2) WkxW = UI • llaHl для любого je X и любого вещест-
вещественного (комплексного) числа X;
3) На: + у\\ < 1Ы1 + Ц\\ для любых х, у^Х.
Открытым шаром с центром в точке хй<= X я радиу-
радиусом г> 0 называется множество S,(xa) ={геХ: \\х — хй\\ <
<г}. Замкнутым шаром с центром в- точке jc0 e X и ради-
радиусом г>0 называется множество Sr(x0) = ix^X:
\'ix — х„\\ < г}. Сферой с центром в точке хо^Х и радиу-
радиусом г>0 называется множество or(a:u) =(ieX; Их —
Множество А <=-Х называется ограниченным, если его
можно заключить в некоторый шар (открытый или зам-
замкнутый). Диаметром множества А^Х называется число
diamA = supWx — у\\. Расстоянием от точки х^Х до мно-
«,1/SA
жества АсХ называется число р(я, A) = inf На; — у\\.
Расстоянием между множествами А, В<=-Х называется
(^,В)= inf \x — y\.
Множество МсХ называется открытым, если для лю-
любой Хо^М существует г>0 такое, что SAxo^^M. Точка
аеХ называется предельной точкой множества М<=¦ X,
если в любом шаре Sr(a) найдется точка х^М (х?=а).
Множество всех предельных точек множества М обозна-
обозначается- М',. Множество М U М'__ называется замыканием
множества М и обозначается М. Множество М<=-Х назы-
называется замкнутым, если М = М.

Последовательность х„ еХ (п е N) называют сходя-
сходящейся к элементу ?оеХ и записывают #„->-a;0, если
1'г,! —Жо'1 -*¦ 0 при и -*- оо.
Множество ?сХ называется линейным многообрази-
многообразием, если из г, j/ s L следует, что х + у е L и UeL для
любого .числа X. Если линейное многообразие является
замкнутым в X множеством, то оно называется подпро-
подпространством. Алгебраической суммой множеств А и В
пространства X называется множество А + В всевозмож-
всевозможных сумм вида а + Ъ, где це4, Ъ^В. Пусть i,ej-
произвольный элемент, ? <= X — линейное многообразие.
Множество х„ + L называется аффинным многообразием.
Пусть L, М — подпространства пространства X такие, что
любой элемент х<^ X единственным образом представим
в виде х =¦ и + v, где ijeL, v e М. В этом случае говорят,
что X есть прямая сумма L и М и записывают X — L® М.
Отрезком, соединяющим точки х, у ^ X, называется
множество точек вида ах + $у, где a S* 0, р > 0, а + [J = 1.
Множество А <= X называется выпуклым, если отрезок,
соединяющий любые две точки А, целиком лежит в А.
Множество Ас: X называется всюду плотным в X,
если А = Х. Пространство X называется сепарабельным,
если Й нем существует счетное всюду плотное множест-
множество. Множество А <= X называется нигде не плотным в X,
если в каждом шаре S<=X содержится другой шар Sh
не содержащий точек А.
Пространство X называется строго нормированным,
если в нем равенство На: + г/11 = 11x11 + \\y\\ при х Ф О, у Ф О
возможно только для у — Хх, где X > 0.
Отображение F: X-+ Y линейного нормированного
пространства X в линейное нормированное пространство
У называется непрерывным в точке х0 е X, если для лю-
любого е >0 существует б=6(е)>0 такое, что для любого
x&Sb(xo) /(xJeS.l/W). Отображение Fi Х-+У называ-
называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке
Хое X. Отображение F: X -*¦ Y называется равномерно
непрерывным, если для любого е > 0 существует б =
= 8(е)>0 такое, что для любого ха е X из x&St(xa) сле-
следует /WeW/U)),
1.1. Доказать, что в определении линейного нормиро-
нормированного пространства аксиому 1) можно заменить на ак-
аксиому; из 11ж11 =0 следует х = 0.
1.2. Пусть хп, х, уп, i/eX (ве№. Доказать, что:
а) если хп -*¦ х, то хп — ограниченная последователь-
последовательность;
10
б) если хп -*- х, Хп -*¦ X, Хп е С, то \„хп -*¦ Хх;
в) если хп -* х, то На:и11 -»¦ 1Ы1;
г) если Хп. -* х и На;,, — уп\\ -> 0, то уп -*¦ х;
д) если хп -*¦ х, то \\хп — у\\ -*¦ Wx — j/ll;
е) если хп -*¦ х, ул -*¦ у, то \\хп — уп\\ -*¦ Wx — у\\.
1.3. Доказать, что открытый шар SAx0) — открытое
множество, замкнутый шар ST(xa) — замкнутое множест-
множество и замыкавие Sr(xa) совпадает с Sr(x0).
1.4. Доказать, что diaiB ST(x<>) = 2r.
1.5. Пусть Sr(a)cSflF)cX. Доказать, что r<R и
U-bW<R-r.
1.6. Доказать, что для любых элементов х, у&Х вы-
выполняется неравенство Нж11 <тах{Нх + г/И, На; — yW).
1.7. Доказать, что алгебраическая сумма и объедине-
объединение двух ограниченных множеств — ограниченные мно-
множества.
1.8. Доказать, что множество А сг X является ограни-
ограниченным тогда и только тогда, когда diam A < °°.
1.9. Доказать, что множество А <=¦ X является ограни-
ограниченным тогда и только тогда, когда для любой последова-
последовательности хп е А и любой последовательности Хп в С,
стремящейся к нулю, последовательность Х„хп стремится
к нулю.
1.10. Пусть А <=¦ X — ограниченное множество. Дока-
Доказать, что А — ограниченное множество и diam A=*
= diam Л.
1.11. Доказать, что для произвольного множества
А <= X множество А' замкнуто.
1.12. Доказать, что для произвольного множества
А<=Х имеет место включение {А')'<=-А'. Возможно ли
здесь строгое включение?
1.13. Следует ли из А, В <= X, А с В, что А с В?
1.14. Пусть А ? X — замкнутое множество. Доказать,
что р(х, Л) = 0 тогда и только тогда, когда х&А.
1.15. Пусть А, В <= X— произвольные множества. До-
Доказать, что р(А, В) = р{А, В) = р(А, В) = р(Л, Б).
1.16. Пусть iel- произвольная точка, А с: X — про-
произвольное множество. Доказать, что pU, Л) —р(а;, Я).
1.17. Пусть Л, В <= X — замкнутые множества. Воз-
Возможно ли, что рС4, В) = 0, если А Г) 5 = 0?
1.18. Пусть Л с: X — произвольное множество. Назо-
Назовем границей множества А множество дА таких точек
а.еХ, что любой открытый шар с центром в х содержит
хотя бы одну точку из Л и хотя бы одну точку из допол-
дополнения к А. Доказать, что дА — замкнутое множест-
11

во и что граница А совпадает с границей дополнения
к А.
1.19. Доказать, что если хотя бы одно из множеств
А, В <= X открыто, то А + В — открытое множество.
1.20. Пусть А,, А2 <= X — замкнутые множества, при-
причем * AiC\A2 = 0. Построить открытые множества
Ви В2сХ такие, что А, <= Ви А2 <=¦ Вг и В, П В2 = 0.
1.21. Доказать, что в любом линейном нормирован-
нормированном пространстве существуют два непересекающиеся от-
открытые множества, которые нельзя поместить в непере-
непересекающиеся замкнутые.
1.22. Убедиться, что в следующих случаях выполня-
выполняются аксиомы нормы, т. е. норма определена корректно.
Что означает сходимость последовательности в каждом
из перечисленных ниже пространств?
а) Пространство Е столбцов х = (хк)™=1 (xh e R
б) Пространство ст столбцов х = (xh)™=1 (xk e R
(хАе С)) с нормой
\\х\\= max |a;h|.
Г=1 (%eR
г) Пространство Zp(P>^) столбцов х
R (xhe С)) с нормой
в) Пространство 1т столбцов х
С)) с нормой
[
д) Пространство h последовательностей х = ixu хг, ...)
00
(xfteR UteC)), удовлетворяющих условию 2 l^l < °°i
fe=i
с нормой
!kJ-2l^l.
е) Пространство 1г последовательностей х — {хи хг,...)
00
^*еК (xh s С)), удовлетворяющих условию S 1 хк I2 <
12
< оо, с нормой
\х =
оо 112
V I -,. 12
ж) Пространство
=- (xi, лг2, ¦ • •) (xh^
последовательностей, а; =•
, удовлетворяющих усло-
вию
< оо» с нормой
<» ~\\!Р
\xh
з) Пространство m ограниченных' последовательностей
Ixi, хг, ...) (^eR di,eC)) с нормой
и) Пространство с0 стремящихся к нулю последова-
последовательностей х = (,Хц х2, ...) (a?R (AeO) с нормой
|а;| = max |a:ft |.
к) Пространство с сходящихся последовательностей
х = (xi, х2, ...) (xh e R (a;k e С)) с нормой
\xh\.
1.23. Убедиться, что в следующих случаях выполня-
выполняются аксиомы нормы, т. "е. норма определена корректно.
Что означает сходимость последовательности в каждом из
перечисленных ниже пространств?
а) Пространство С[а, Ь] непрерывных на [а, Ы функ-
функций с нормой
«ж 11= max |я(*)|-
t=[a,b]
б) Пространстве С[а, Ь] к раз непрерывно дифферен-
дифференцируемых на [а, Ь] функций с нормой"
в) Пространство Mia, b] всех ограниченных на [а, Ь]
функций с нормой
ИН sup \x(t)\.
t=la,b]
г) Пространство К непрерывных на вещественной
прямой финитных функций (равных нулю вне некоторого
13

интервала, своего для каждой функции) с нормой
Ц*|= max !*(*)!.
д) Пространство ЕР[а, Ь] непрерывных на [а, Ь] функ-
функций с нормой
, 1<р<оо,
е) Пространство V[a, b] функций с ограниченной на
[а, Ь] вариацией с нормой
Функция x{t), заданная на [а, Ъ\, называется функ-
функцией с ограниченной вариацией, если существует посто-
постоянная с такая, что для любого разбиения отрезка
[а, Ъ\: a = to<ti< .. .<tn = b, выполняется неравенство
п
2 \x(h) — x(h-i)\<c- Для функции с ограниченной
на [а, Ь] вариацией ее полной вариацией называется
число
) l
a h=l
где верхняя грань берется по всевозможным конечным
разбиениям отрезка [а, Ь].
1.24. Изобразить единичный замкнутый шар 5i@) в
вещественных пространствах Е2, с2, Р, 1\.
1.25. Можно ли в множестве столбцов х = {xh)™=i
(xk s R) положить
[ "I 1/р
1** 1Р
2
ft=l
если р < 1, т > 2?
1.26. Доказать следующие неравенства для норм:
а) ат||х\\Ет<|х\\ст^т\\х\\Ет;
б) ут \\х \\[т < || х |ст < в» || х||;т;
в) ет || х Цдм < 1 х \\т < vm || х Цд,».
Указать наилучшие значения входящих в них поло-
положительных постоянных ат, [5т, fm, бт, ет, vm.
1.27. Пусть а/!>0 (к = 1, 2, ..., т). Доказать, что в
14
пространстве столбцов х = (xh)ii=l (хк е Й) можно вве-
ввести норму следующими способами:
a) |ja;||= max {ak\xh\)\
т
[m Tl/2
2«A|**I2 .
h=l J
1.28. Доказать, что в пространстве , столбцов х =
— (*л)Г=1 (а* е Ь) можно ввести норму следующими
способами:
Г т i 11/2
а) И ^ И =
бIх[ =
1.29. Пусть А = 11ац11 (i, /=1,2,..., m) — симметрич-
симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что
в пространстве столбцов х = (xk)™=l (xk e R) можно вве-
ввести норму
max
[т 1/2
2 a^Xj -
1.30. Привести пример последовательности хКп> =
= (х].п), хBп), ...) UjeR), которая принадлежала бы каж-
каждому из рассматриваемой пары пространств и:
а) сходилась в т, но не сходилась в 1{;
б) сходилась в т, но не сходилась в 1г;
в) сходилась в 1г, но не сходилась в U\
г) сходилась в с0, но не сходилась в h;
д) сходилась в с0, но не сходилась в 1г.
1.31. Доказать, что при любом р > 1 каждый элемент
пространства 1Р является и элементом пространства с0,
но элемент ж = A, 1/1п2, 1/1пЗ, ..., 1/lnn, ,,.)ес, не
принадлежит Zp ни при каком р 5* 1.
1.32. Доказать, что если рассматривать пространство
lt как множество в пространстве т, то его замыкание
есть с0.
1.33. Сходится ли в пространстве CtO, 11 последова-
последовательность:
а) 'a:nU) = r-r+1;
б) .!/„(*) =Г-(а"?

1.34. Сходится ли последовательность
i" '2
Т
Хп @ =
в пространстве:
а) СЮ, 11; б) Г [О, 1]?
1.35. Пусть ;r,,U), zU), y(t) ^ Cla, b], xnU)-* x(t) при
«->¦«>. Доказать, что xa(t)y(t) -*¦ xti)y(t) при n -*¦ °°.
1.36. Доказать, что всякая последовательность, сходя-
сходящаяся в пространстве СГа, Ь], будет сходящейся п в про-
пространстве L2la, b]. Построить пример последовательности,
сходящейся в пространстве Е2[а, Ь], но не сходящейся в
пространстве Cla, Ъ].
1.37.-Можно ли в линейном пространстве дважды не-
непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций принять
за норму элемента x(t):
а) |*(а)| + |
\\х"\\с[аМ-
б) h"\ha,b]
в) \х(а)\ + \
г) |^(аI + |
1.38. Можно ли в линейном пространстве непрерывно
дифференцируемых на la, b] функций принять за норму
элемента x(t):
а) max \x(t)\;
б) max \x'(t)\;
в) |*(Ь)-*(<,)[+ max \x (t) |;
r) \x(a)\+ max \x7(t)\;
JSto.b]
ь
д) \\x(t)\dt + max Iж'(i)I?
a t^la.b]
1.39. Будет ли множество всех многочленов в про-
пространстве Cla, Ы:
а) открытым; б) замкнуты*!?
1.40. Будет ли замкнутым в пространстве С[а, Ь] мно-
множество многочленов степени:
а) <й; б) =*?
1.41. Доказать, что в пространстве Cla, b] множество
функций xit) таких, что для любого t e [a, b] выполня-
выполняется неравенство \xit)\ < 1, является открытым.
16
1.42. Пусть множество Л/cR фиксировано. Положим
Ач = {x(t) ^ Cla, b): x(t) е М для любого / е [я, Ы).
Будет лп «множество v4M:
а) открыто, если Л/ открыто;
б) замкнуто, если М замкнуто?
1.43. Функция x = ]U) определена п непрерывна на
всей вещественной осп. Доказать, что множество {teR;
/U) < 1} является открытым в R.
1.44. Доказать, что множество непрерывных кусочно
линейных функций всюду плотно в пространстве Cla, b].
1.45. Доказать, что множество многочленов всюду
плотно в пространстве С"[а, Ъ].
1.46. При каком условии на последовательность
«„eR (й„ > 0) будет ограниченным множеством:
а) параллелепипед (le/j, х = (х{, хг, ...): \xn\<aj;
б) эллипсоид
{
х<=12, х=(хи х2, ...):
n=l
1.47. Доказать, что параллелепипед {х<^12, х =
= (xi, х2, ...): \хп\ < 1) — открытое множество.
1.48. При каком условии на последовательность a»eR
(а„ > 0) будет - открытым множеством параллелепипед
4 j / \ I I ^ » п
1.49. Доказать,- что параллелепипед (xel2, я =
= (xi,x2,...): |jjsetfn} — замкнутое множество.
1.50. Доказать, что линейное нормированное простран-
пространство X является строго нормированным тогда и только
тогда, когда сфера о,@) не содержит никакого отрезка,
т е. из х, г/еоДО) ix?=y) следует, что ах+ A — а)у 0
Ф Oi@) для любого а е @, 1).
1.51. Какие из следующих пространств являются
строго нормированными:
а) с2; б) Z,; в) 12; г) т; д) СЮ, 11; е) Г2Ю, 1]?
1.52. Пусть A, fie X—выпуклые множества. Какие
из следующих множеств AM В, А [\ В, А + В также явля-
являются выпуклыми?
1.53. Пусть А <= X — выпуклое множество и X — число.
Доказать', что множество ХА = {х^Х: х = "ку, у^А) —
выпуклое. Будет ли множество всех выпуклых подмно-
подмножеств пространства X линейным пространством?
1.54. Будет ли замыкание выпуклого множества в ли-
линейном нормированном пространстве выпуклым множе-
множеством?
1.55. Доказать, что шары Sr(xa) и S^Xa) — выпуклые
множества. Будет ли выпуклым множеством сфера
2 в л Треногий и др
17

1.56. Доказать', что аксиома треугольника в определе-
определении нормы эквивалентна требованию выпуклости шара
S()
Si@).
1.57. Доказать, что всякое аффинное многообразие в
линейном нормированном пространстве является выпук-
выпуклым множеством.
1.58. Будет ли выпуклым в пространстве С[0, 1] мно-
множество:
а) многочленов ст-епени =к;
б) многочленов степени =^&;
в) непрерывных функций, удовлетворяющих условию
г) непрерывных функции, удовлетворяющих условию
д) непрерывно дифференцируемых функций, удовлет-
удовлетворяющих условию
max \x(t) | + max \x'
tS[0,l] ' "
1.59. Доказать, что в пространстве 1г выпуклыми мно-
множествами являются:
а) параллелепипед {x^h, х = (хи хи ...): \хп\<
2+1}
б) эллипсоид \x <= l2, x = (xu x2, ...): 2
1.60. Доказать, чт,о всякое линейное многообразие в
конечномерном линейном нормированном пространстве
есть подпространство.
1.61. Доказать, что всякое конечномерное линейное
многообразие в линейном нормированном пространстве
есть подпространство.
1.62. Доказать, что шар в линейном нормированном
пространстве не может содержать ненулевого линейного
многообразия.
1.63. Пусть L с: X — линейное многообразие, ЬФХ*
Доказать, что L не содержит никакого шара.
1.64. Доказать, что множество решений линейного не-
неоднородного обыкновенного дифференциального урав-
18
нения и-го порядка
где коэффициенты ak(t) (к = 1, 2, . . ,, п) и правая часть
y(t) непрерывны на [а, Ь], обра.чует и-мерное аффинное
многообразие в пространстве Cla, Ь].
1.65. Доказать, что в линейном нормированном про-
пространстве замыкание линейного многообразия есть под-
подпространство.
1.66. Пусть L,, Ъг а X — подпространства. Доказать,
что если хотя бы одно из них конечномерно, то 1ц + L? —
подпространство.
1.67. Образуют ли в пространстве С[—1, 1] подпро-
подпространство следующие множества функций:
а) монотонные функции;
б) четные функции;
в) многочлены;
г) многочлены степени </с;
д) непрерывно дифференцируемые функции;
е) непрерывные кусочно линейные функции;
ж) непрерывные функции с ограниченной вариацией;
з) функции x(t), удовлетворяющие условию х@) = 0;
и), функции x(t), удовлетворяющие условию
х (t) dt = 0;
к) функции, удовлетворяющие условию Липшица с
какой-нибудь постоянной, зависящей от функции?
х^1г,х={х1,х2, ...): 2*п=0 ,
n=l J
а) Доказать, что L — линейное многообразие.
б) Является ли L подпространством?
1.69. Образуют ли последовательности х = (х^ хг, . . .)
00
UeR) такие, что 2 хк — 0> подпространство в про-
k=i
странстве:
a) U; б) т?
1.70. Доказать, что пространство с0 является подпро-
подпространством в пространстве с.
1.71. Доказать, что пространство с является подпро-
подпространством в пространстве т.
2* 19

1.72. Пусть A, fie X —всюду плотные множества.
Возможно ли, что А П В = 0?
1.73. Доказать, что дополнение к нигде не плотному
множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное ут-
утверждение?
1.74. Доказать, что дополнение к открытому всюду
плотному множеству нигде не плотно.
1.75. Доказать, что замыкание нигде не плотного мно-.
жества нигде не плотно.
1.76. Пусть L — подпространство сепарабельного про-
пространства X. Доказать, что L сепарабельно.
1.77. Пусть в пространстве X существует такое несчет-
несчетное множество А, что для некоторого е >0 и любых х,
у е А выполняется неравенство На: — г/И > е. Доказать, что
X — не сепарабельное пространство.
1.78. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 сепара-
бельны?
1.79. В- пространстве СЮ, 1] рассмотрим множестдо L
таких функций x(t), что х{\) = 0. Доказать, что:
а) L — подпространство в СЮ, 1]; •
б) существует такое одномерное подпространство М,
что СЮ, И = L ® М.
1.80. Представить пространство СЮ, 1] в виде прямой
суммы двух бесконечномерных подпространств.
1.81. Пусть А <= X — замкнутое множеств/)', х е X,
хФА. Всегда ли найдется уеЛ такое, что aix, A) =
= \\х-у\\?
1 .'82. Доказать, что для того чтобы отображение /:
X -*¦ У было непрерывно в точке ха е X, необходимо и до-
достаточно, чтобы для любой последовательности хп е X,
сходящейся к х0, последовательность f(xn) сходилась бы
к /(*.).
1.83. Обязательно ли при непрерывном отображении
/: Х+Уг
а) образ /(Л)-открытого множества А с X — откры-
открытое множество;
б) образ fiB) замкнутого множества В с: X — замкну-
замкнутое множество?
1.84. Доказать, что непрерывное отображение /: R ->
-*¦ R, обладающее тем свойством, что образ каждого от-
открытого множества есть открытое множество,— монотон-
монотонная функция.
1.85. Доказать, что каждое нз следующих условий
необходимо и достаточно для тою, чтобы отображение
/. X -*¦ У было непрерывно:
20
а) для любого множества А с X имеет место включе-
включение /(Л) с /U);
б) прообраз любого открытого множества B<^Y еегь
открытое множество в X.
1.86. Пусть /: X -*¦ У — непрерывное отображение про-
пространства X на все пространство У, А — всюду плотное
ъ X множество. Доказать, что /(Л) — множество, всюду
плотное в пространстве У.
1.87. Пусть множество А с X фиксировано. Доказать,
что fix) = pix, А) — непрерывное отображение X в R.
1.88. Доказать, что для любого множества А <= X и лю-
любого г > 0 множество {х е X: pU, АУ< г) открыто, а мно-
множество ЬеХ: р(.г, А) < е) замкнуто.
1.89. Пусть Аи Аг ^ X — замкнутые множества, при-
причем Ai П Аг = 0. Для ieX положим
(f(x) =
а) Доказать, что <р: X -*¦ R — непрерывное отображе-
отображение, причем 0 *? (p(z) <1 1; (р(х)=0 тогда и только тогда,
когда х<=А{; ф(ж) = 1 тогда и только тогда, когда х*=А2.
б) Полагая fi^qr'UO, 1/2)), 52 = ф-(A/2, 11), до-
доказать, что Ви Вг — открытые множества, причем
Ai^Bi, А2аВ2. Тем самым получаем новое доказатель-
доказательство утверждения задачи 1.20.
в) Является ли отображение ср равномерно непрерыв-
непрерывным на X?
1.90. Доказать, что отображение /: С1[а, Ь] -> С[а, Ь],
fix) = dx/dt непрерывно.
1.91. Является ли непрерывным отображение /:
L-+C[a, Ы, fix) = dx/dt% где L — линейное многообразие
непрерывно дифференцируемых функций в пространстве
CU, Й?
1.92. Будет ли непрерывным отображение fix) = xil),
если оно рассматривается как действующее:
а) из СЮ, 1] в R;
б) из Г2[0, 1] в R (см. задачу 1.23))?
1.93. Будет ли непрерывным отображение fix) = x2it),
если оно рассматривается как действующее:
а) из СЮ, 1] в СЮ, 1];
б) из ЕЛО, 1] в ЕгЮ, 11;
в) из СЮ, 1] в ГЛО, 1]?
Будет ли это. отображение равномерно непрерывным?
21

1.94. Пусть /: Х-*- Y, g: X-*- У — непрерывные отобра-
отображения. Доказать, что множество ix^X: fix) = g(x))
замкнуто в X.
1.95. Пусть А, В <=¦ X — произвольные множества, при-
причем рх(А, 5)=0. Возможно ли, что ру(/С4), /(#))?= О,
если /: X -*¦ Y есть:
а) непрерывное отображение;
б) равномерно непрерывное отображение?
§ 2. Банаховы пространства
Пусть X — линейное нормированное пространство. По-
Последовательность хп е X называется фундаментальной,
если для любого е>0 существует такое N — N(e), что
для любого п > N и для всех натуральных р выполняется
неравенство llarn+p — хп\\ < е. Пространство X называется
полным, если в нем всякая фундаментальная последова-
последовательность сходится. Полное линейное нормированное про-
пространство называется банаховым.
Две нормы IWI, и На:112 в линейном пространстве X на-
называются эквивалентными, если существуют такие числа
а > 0, р > 0, что для любого iel выполняется неравен-
неравенство аЫ,<Ь11а<рЫ1,.
Линейные нормированные пространства X a Y назы-
называются изоморфными, если на всем X определено отобра-
отображение /: X -*¦ Y, являющееся линейным, осуществляю-
осуществляющее изоморфизм X и У как линейных пространств и та-
такое, что существуют такие постоянные а > О, р > 0, что
для любого ieX выполняется неравенство alldl ^
«S Н/ЫИ < plldl. Если 11/Ы11 = Ы, то пространства X и
Y называются изометричными.
Линейное нормированное пространство X называ-
называется вложенным в линейное нормированное простран-
пространство У, если на всем X определено отображение /: X -*¦
-*¦ У, являющееся линейным и взаимно однозначным
на области значений причем существует такая постоян-
постоянная Р > 0, что для любого х<=Х выполняется неравен-
неравенство ИЛаОНзерЫ.
Банахово пространство X называется пополнением
линейного нормированного пространства X, если А' —
линейное многообразие, всюду плотное в пространстве X.
Теорема 2.1. Каждое линейное нормированное про-
пространство X имеет пополнение, и это пополнение един-
единственно с точностью до изометрического отображения,
переводящего X в себя.
22
Теорема 2.2. Пусть в банаховом пространстве X
дана последовательность шаров S,^,), вложенных друг
в друга (Srn+1(xn+1) cr "§Гп(х„)), причем к -»0прип-»°о.
Тогда в X существует, и притом единственна, точка, при-
принадлежащая всем шарам.
2.1. Доказать, что всякая фундаментальная последо-
последовательность в линейном нормированном пространстве
ограничена.
2.2. Пусть хп
X — фундаментальная . последователь-
последовательД
ность и подпоследовательность х„к сходится. Доказать,
что вся последовательность хп сходится.
00
2.3. Пусть л.еХиряд 2 l*n+i — хп\ сходится. До-
п=1
казать, что хп — фундаментальная последовательность.
Верно ли обратное утверждение?
2.4. Пусть хп, Упе X — фундаментальные последова-
последовательности. Доказать, что последовательность Хп = Wxn — уЛ
сходится.
2.5. В линейном пространстве многочленов, рассмат-
рассматриваемых на [а, Ь], положим
[Ь *] 1/2
a J
а) Проверить аксиомы нормы.
б) Будет ли какое-либо из получающихся пространств
банаховым?
в) Описать пополнение рассматриваемого простран-
пространства по каждой из норм.
2.6. В линейном пространстве вещественных непре-
непрерывно дифференцируемых на [а, Ы функций й'[а, Ь]
положим
г ь
а) Проверить аксиомы нормы.
б) Будет ли получающееся нормированное простран-
пространство банаховым?
2.7. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 являются
банаховыми?
2.8. На линейном пространстве X заданы две эквива-
эквивалентные нормы, и в одной из них X — банахово простран-
пространство. Доказать, что X является банаховым пространством
и в другой норме,
23

2.9. Доказать, что две нормы, введенные на одном ли-
линейном пространстве, эквивалентны тогда п только тогда,
когда из сходимости последовательности по одной из
этих норм вытекает ее сходимость по другой норме.
2.10. Доказать, что в линейном пространстве непре-
непрерывных на la, Ь] функций норма II-тЦс fa ь] эквивалент-
эквивалентна норме
с fa
где v(i) пепрерывна на [a, b] n v(t)^a>0 на
[а, Ы.
2.11. Будут ли эквивалентны па линейном простран-
пространстве непрерывных на [а, Ь] фуикцпй нормы ЦзЦс^.ь] п
ll^Jr^.b]?
2.12. Какие из норм, определенных в задаче 1.38 на
линейном пространстве непрерывно дифференцируемых
па [а, Ь] функций, будут эквивалентны норме простран-
пространства СЧа, Ы?
2.13. Доказать, что всякое конечномерное линейное
нормированное пространство является банаховым.
2.14. Доказать, что подпространство банахова про-
пространства является банаховым пространством.
2.15. Пусть в линейном нормированном пространстве
А' имеется линейное многообразие L, которое в норме X
является полным пространством. Доказать, что L замкну-
замкнуто в X, т. е. является подпространством.
2.16. Пусть X — произвольное множество, Е — линей-
линейное нормированное пространство, /: X -*¦ Е — ограничен-
ограниченное отображение, т. е. такое, что множество /(X) ограни-
ограничено в Е.
а) Доказать, что множество /?(Х) всех ограниченных
отображений будет линейным нормированным простран-
пространством, если положить 11/11 = sup H/(X)II.
X
б) Пусть X — линейное нормированное пространство.
Доказать, что ограниченные непрерывные отображения
ср: Х-+Е образуют подпространство в пространстве /?(Х).
в) Пусть Е — банахово пространство. Доказать, что
/Г(Х)— банахово пространство.
2.17. Пусть X — банахово пространство, L <= X — ли-
линейное многообразие. Доказать, что пополнение L по нор-
норме X совпадает с замыканием L.
24
2.18. Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства, /: X ->- У — отображение, устанавливающее изомор-
изоморфизм. Доказать, что:
а) / — непрерывное отображение;
б) отображение J имеет обратное, которое также не-
непрерывно.
2.19. Доказать, что всякое «-мерное линейное норми-
нормированное пространство изоморфно пространству Еп,
2.20. Банахово пространство X изоморфно линейному
нормированному пространству У. Доказать, что У — бана-
банахово пространство.
2.21. Доказать, что тождественное отображение Jx = x
осуществляет вложение пространства С[а, Ъ\ в простран-
пространство Ег[а, Ь].
2.22. Доказать, что тождественное отображение 1х = х
осуществляет вложение пространства Ch[a, b] в простран-
пространство С[а, Ы при любом натуральном к.
2.23. Доказать, что утверждение теоремы 2.2 о вло-
вложенных шарах, вообще говоря, несправедливо, если, ос-
оставляя в силе остальные предположения теоремы, счи-
считать, что:
а) шары не являются замкнутыми;
б),пространство не является полным.
2.24. Доказать, что в банаховом пространстве после-
последовательность непустых замкнутых вложенных множеств,
диаметры которых стремятся к нулю, имеет, и притом
единственную, общую точку.
2.25. Пусть в линейном нормированном пространстве X
любая последовательность замкнутых вложенных шаров,
радиусы которых стремятся к пулю, имеет непустое пе-
пересечение. Доказать, что X — банахово пространство.
2.26. Доказать, что в банаховом пространстве любая
последовательность непустых замкнутых вложенных ша-
шаров имеет общую точку.
2.27. Может ли в банаховом пространстве иметь пус-
пустое пересечение последовательность непустых замкнутых
вложенных множеств?
2.28. Пусть X — линейное нормированное пространство,
L — подпространство X. Отнесем элементы х, jel к од-
одному классу смежности !-, если х — у е L. Множество клас-
классов смежности образует линейное пространство, называе-
называемое факторпространством и обозначаемое X/L. Доказать,
чго:
а) в X/L можно ввесш норму равенствомЦ§ILv,L = iiifl',ar|i;

б) если X — банахово пространство, то в введенной
норме XIL — банахово пространство;
в) X/L изоморфно R, если X = СЮ, 1], L = {x(t) «=
еС[0, 11: *@)=0>.
§ 3. Гильбертовы пространства
Вещественное линейное пространство называется ев-
евклидовым, если каждой паре его элементов х, у постав-
поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое
(х, у) и называемое скалярным произведением, так что
выполняются следующие аксиомы:
1) (х, х) 5s 0, {х, х) = О тогда п только тогда, когда
х = 0;
2) (х, у)~(у,х);
3) (Хх, у) = Х(х, у) для любого ^eR;
4) (а: + у, z) = (х, г) + (у, z).
Комплексное линейное пространство называется уни-
унитарным, если каждой паре его элементов х, у поставлено
в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у)
п называемое скалярным произведением, так что выпол-
выполняются следующие аксиомы:
1) (х, х) > 0, (х, х) = 0 тогда п только тогда, когдд
0
2) (х, у) = (у, х) (черта означает комплексное сопря-
сопряжение);
3) {Кх, у) = К{х, у) для любого ^еС;
4) (х + у, г) = (х, z) + (у, z).
Из неравенства Коши — Буняковского \(х, у)\г <
< (х, х)(у, у) вытекает, что в евклидовом и унитарном
пространствах можно ввести норму равенством ILrll =
= 1/(х, х). Пространство Я со скалярным произведением
(евклидово илн унитарное) называется гильбертовым, если
оно является полным в этой норме.
Углом между ненулевыми элементами х, у веществен-
вещественного гильбертова пространства называется угол ср, заклю-
заключенный между 0 и я такой, что
С08^ШГ'
Элементы х, у е Я называют ортогональными и запи-
записывают x-i-y, если (х, у) = 0. Множество ze// таких,
что (г, х) = 0 для любого х ^ М а Н, обозначается Мх.
Система элементов /гь h2, ...еЯ называется ортого-
ортогональной, если (A,, h) — 0 при i^j, h^Q и ортонорми-
26
рованцой, если
<а,л)«6.,-(; при )zJ-
[О при 1ф],
Система элементов хи х2, ... е Я называется линейно
независимой, если при любом натуральном п система
х^ х^ ..., хн линейно независима.
Теорема 3.1. Пусть hu h2, ... е Я — линейно незави-
независимая система элементов. Тогда в Я существует такая ор-
ортогональная система элементов /(, /2, ..., что
Ik = akiht + ak,h2 + ... + ahhhh, ahl e C, akh Ф 0,
Л-1, 2, ...;
h^b^ + bflh + .-. + hfr, Ь1г^С, Ъ^ФО, / = 1, 2, ...
Построение ортогональной системы по заданной ли-
линейно независимой называется ортогонализацией.
Определителем Грима системы элементов xt, хг, ...
,.., inefl называется определитель
1 {Хц X<i, . t I 1 Хп) —
¦•(*1-*п)
Ортогональная система (pf, ф2, ... е Я называется
кой, если любой элемент из Я может быть представлен в
виде так называемого ряда Фуръе\
где ck = (х, (fk)/W((k\\2 (к е N) — коэффициенты Фурье
(т. е. ряд 2саФа сходится по норме Я и его сумма рав-
k
на х). Полная ортогональная система называется ортого-
ортогональным базисом пространства Н.
Теорема 3.2. Пусть М — замкнутое выпуклое мно-
множество в гильбертовом пространстве Я и элемент хФМ.
Тогда существует такой единственный элемент у^М, что
p(z, M)*=\\x-y\\.
Теорема 3.3. Пусть L с: Н — подпространство. Тог-
Тогда H = L®Ly, т. е. любой элемент х из II donycnaet
единственное представление в виде x = u + v, где u<^L,
v е Lx. При этом р(х, L) = На; — till = IIЫ1.
Элемент у, называется проекцией элемента х на под-
подпространство L,
27

3.1. Доказать, что r определении евклидова (унитар-
(унитарного) пространства аксиому 1) можно заменить на аксио-
аксиому: (.г, .г) > 0, па (х, х) = 0 следует х = 0.
3.2. Доказать, что в пространстве со скалярным про-
произведением:
а) для любых элементов х, у, z имеет место тождество
Аполлония:
б) для любых элементов х, у, z, t имеет место нера-
неравенство Птолемея:
\\х _ z\\ . \\у - t\\ < \\х - у\\ Hz - /II + Ц - zll . II Ж _ ill;
когда в нем реализуется равенство?
3.3. Доказать, что в евклидовом пространстве элемен-
элементы х и у ортогональны тогда и только тогда, когда 1Ы12 +
+ Ц\\2 = \\х + у\\\
3.4. Доказать, что в унитарном пространстве элемен-
элементы хну бртогональны тогда и только тогда, когда \\\х\\2 +¦
+ Нцг/Н2 = \\~Kx + (ij/ll2 для любых К, ц ев С.
3.5. Пусть X — вещественное линейное нормированное
пространство и для любых х, у <= X выполняется равен-
равенство параллелограмма:
Доказать, что формула
задает в X скалярное произведение, согласующееся с нор-
нормой в X, т. е. такое, что (х, х) = 1Ы12.
3.6. Пусть X — комплексное линейное нормированное
пространство и для любых i, jel выполняется равен-
равенство параллелограмма:
Доказать, что формула
^y) {U + yf\\
задает в X скалярное произведение, согласующееся с нор-
нормой в X.
3.7. Доказать, что в пространстве С[0, 1] нельзя ввес-
ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой это-
этого пространства.
28
3.8. Доказать, что в пространстве h нельзя ввести ска-
скалярное произведение,' согласующееся-с нормой этого про-
пространства.
3.9. В линейном пространстве Г2[а, Ь] непрерывных
на [а, Ь] функций положим
ь
Является ли это пространство гильбертовым?
3.10. В линейном пространстве #Да, -Ы непрерывно
дифференцируемых на [а, Ь\ функций положим
Является ли пространство Я,[а, Ь] гильбертовым?
3.11. В линейном пространстве последовательностей
х = (хи хг, ¦. •) (хк е R) таких, что
положим
где ^eR, 0<?ih<l. Будет ли полученное евклидово
пространство гильбертовым?
3.12. Пусть Н — сепарабельное гильбертово простран-
пространство. Доказать, что всякая ортонормированная система в
// не более чем счетна.
3.13. Пусть х,, хг, ..., .г„ — ортогональная система в
п
гильбертовом пространстве //, х = ^j .гл. Доказать, что
3.14. Пусть Xi, х,, . . . — ортогональная система в гиль-
оо
бертовом пространстве П. Доказать, что ряд 2 xk сходнт-
ся в // тогда и только тогда, когда сходится числовой ряд
/(=1
3.15. Пусть е„ (п е N) — ортопормированная система в
гильбертовом пространстве //, Кп ~ последовательность
29

вещественных нлп комплексных чисел. Доказать, что ряд
Zj htiPn сходится в Я го1да и юлько го!да, мл да
п1
3.16. Пусть .г,, a:>
эчементов II, что
и yh у2, ... — такие системы
(а-,, у3) = 81} =
1 при I = /,
О при i ф /.
(Системы хи хг, . . . п z/4, уг, ¦ ¦ ¦ называются биортогоналъ-
ными.) Доказать, что каждая из этих систем линейно не-
независима. ,
3.17. Доказать, что система элементов гильбертова
пространства линейно независима тогда и только тогда,
когда ее определитель Грама отличен от пуля.
3.18. Доказать, что гильбертово пространство являет-
является строго нормированным.
3.19. Пусть в пространстве Н со скалярным произве-
произведением для хи хг^Н выполняется равенство ReUi, хг) =
= llzjl2 = llzjl2. Доказать, что х, = х2.
3.20. Пусть_ хп, уп принадлежат замкнутому единич-
единичному шару iSj(O) в гильбертовом пространстве Н и
(х„, уп) ->¦ 1 при п -* оо. Доказать, что \\хп - yj -> 0 при
П -*¦ оо.
3.21. Доказать, что для того чтобы элемент х гильбер-
гильбертова пространства Н был ортогонален подпространству
L с Н, необходимо и достаточно, чтобы для любого эле-
элемента у s L имело место неравенство Hxll ^ Их — г/11.
3.22. Доказать, что для произвольного множества М
в гильбертовом пространстве Н множество Мх является
подпространством.
3.23. Доказать, что для любого множества М в гиль-
гильбертовом пространстве Н имеет место включение М с
<= (Л/-1)-1-. Возможно ли здесь строгое включение?
3.24. Доказать, что для множества М в гильбертовом
пространстве Н равенство М = {М-1J- выполняется тогда
н только тогда, когда М — подпространство //.
3.25. Пусть М, N — такие множества в гильбертовом
пространстве Н, что М <= N. Доказать, что Мх => N1-.
3.26. В линейном пространстве непрерывных па
ос
[О,
ос
функций x(t) таких, что \\x(t) \2e~'dt сходится,
о
30
положим
а) Проверить выполнение аксиом скатярного произве-
произведения.
б) Рассмотрим линейно независимую систему 1, t, t2,..,
В результате ее ортогоналпзацпн получается ортогональ-
ортогональная система многочленов Чебышева — Лаггера. Найти три
ее первых многочлена.
3.27. В линейном пространстве непрерывных на
(—оо) оо) функций x(t) таких, что J | х (t) \2e' dt cxo-
— ее
00
дптся, положим (г, у) =» ] х {t) у (t) e~t2dt.
а) Проверить выполнение аксиом скалярного произ-
произведения.
б) Рассмотрим линейно независимую систему 1,?, t2,...
В результате ее ортогонализации получается ортогональ-
ортогональная система многочленов Чебышева — Эрмита. Найти три
ее первых многочлена.
3.28. В пространстве h рассмотрим множество
= (хи х2, .
fc=i
Доказать, что М — линейное многообразие, всюду плот-
плотное в 1г.
3.29. В линейном многообразии М задачи 3.28 найти
линейно независимую систему элементов, ортогонализа-
ция которой дает базис пространства 1г.
3.30. Доказать, что при фиксированном натуральном п
множество
2, х = (хи х2,
М = \х
является подпространством пространства h. Описать та-
такое подпространство N, что I, = М © N.
3.31. Пусть М, N — подпространства гильбертова про-
пространства II п M-LN. Доказать, что М + N — подпро-
подпространство Н,
31

3.32. Пусть М, N — такие множества в гильбертовом
пространстве Я, что любой элемент х е Я единственным
образом представим в виде х = и + и, где «ef, и ^ N.
Следует ли отсюда, что М п N — подпространства про-
пространства Я?
3.33. В пространстве L привести пример такого мно-
множества М, что множество М + Л/х не совпадает со всем 1:.
3.34. Пусть М, N — такие подпространства гильберто-
гильбертова пространства Я, что Я = Л/ © N. Верно ли, что N = М-1?
3.35. Привести пример таких двух бесконечномерных
подпространств М, N пространства L, что 1г = М ® N.
3.36. В пространстве Г2 [ —1, 11 рассмотрим множество
М функций x(t), равных нулю при t > 0.
а) Доказать, что М — подпространство Г2 [ —1, 1].
б) Описать подпространство Мх.
в) Выполняется лн в пространстве Г, [—1, 1] утверж-
утверждение теоремы 3.3?
3.37. В пространстве 1г рассмотрим последовательность
Доказать, что линейная оболочка этой последовательно-
последовательности всюду плотна в пространстве L_.
3.38. Пусть хп (п<=Ю — фиксированная последова-
последовательность элементов гильбертова пространства Я, >.„
(и е N).— фиксированная последовательность веществен-
вещественных (комплексных) чисел. Рассмотрим множество М =
= beff: (x, xft)=X),}. Доказать, что если М непусто, то
М = х0 + L, где ?0 е Я, L — подпространство Я.
3.39. Пусть хк (к=\, 2, ..., п] — фиксированная пос-
последовательность элементов гильбертова пространства Я,
?.ft (к = 1, 2, ..., и) — фиксированная последовательность
вещественных чисел. Доказать, что множество М = {х^11:
Weix, Xk)^hh, k — l, 2, ..., п) замкнуто и выпукло в II.
3.40. Пусть М — замкнутое выпуклое множество в
гильбертовом пространстве Я. Доказать, что в М сущест-
существует и единствен элемент с наименьшей нормой.
3.41. В пространстве h построить замкнутое множест-
множество, в котором нет элемента с наименьшей нормой.
3.42. Пусть М — замкнутое выпуклое множество в ве-
вещественном гильбертовом пространстве Я. Доказать, что
элемент у ^ М удовлетворяет условию р(х, М) = \\х — i/ll
тогда и только тогда, когда для любого zef выполняет-
выполняется неравенство (х — у, у — z) >0.
3.43. В гильбертовом пространстве Я рассмотрим зам-
замкнутое выпуклое множество М = Sr(xQ). Пусть геЯ,
&М. Доказать, что элемент у^М такой, что pCr, M)
На: — г/И, имеет вид
У = л-о + г
3.44. Доказать, что в гильбертовом пространстве лю-
любая последовательность непустых вложенных выпуклых
замкнутых ограниченных множеств имеет непустое пере-
пересечение.
3.45. В пространстве СЮ, 1] построить последователь-
последовательность непустых вложенных замкнутых выпуклых ограни-
ограниченных множеств, имеющую пустое пересечение,
§ 4. Пространства Лебега и Соболева
Множество М <= la, b] имеет меру нуль, еслп для лю-
любого е > 0 существует такая конечная или счетная систе-
система отрезков [а„, [U, что Л/cr U [а„, рга], 2(Рп — «п) <е«
л п
Если для последовательности #„(?), (rc<=N) всюду на
[а, Ь] за исключением, быть может, множества меры нуль,
существует предел, равный x{t), то говорят, что xn(t)
сходится к xit) почти всюду на [а, Ь], и записывают
limarn(O"'B'=a;(f).
Пусть ГДя, Ь] — пространство непрерывных на [я, Ь]
функции с нормой
ь
\x\=\\x(t)\dt\
а
сходимость по этой норме называется сходимостью в сред-
среднем. Пространство L\a, b] — не полное; его пополнение
называется пространством Лебега и обозначается Lt[a,b].
Функцию x{t) называют интегрируемой по Лебегу на
отрезке la, Ы, если существует такая фундаментальная
в среднем последовательность непрерывных функций
х,М), (rcsN), что \imxn(tf'l'x{t). Тогда интегралом Ле-
бега по [а, Ъ] от функции x(t) называется число
и
= lim \xn(t)dt.
Элементы пространства L,[a, b] — это функции х(<),для
которых
\x{t)\dt<b
3 В. А. Треногий и др.
33

Пусть ЕР[а, Ь] — пространство непрерывных на [я, Ь]
функций с нормой
Пространство Lv[a, Ь\ — не полное: его пополнение обо-
значаетея LPla, b\. Элементы LPia, b] — это функции
xit), для которых
ь
{2)\\x{t)\v dt <оо.
а
Пространство Lz[a. Ь], как пополнение евклидова прост-
пространства L2[a, b], является гильбертовым; скалярное про-
произведение в нем имеет вид
¦ ь
(x,y) = B>)[x(t)y(t)dt.
Пусть Й1[а, Ь] — пространство непрерывно дифферен-
дифференцируемых на la, b] функций со скалярным произведением
ь
Это пространство — не полное; его пополнение — гиль-
гильбертово пространство, называемое пространством Соболе-
Соболева и обозначаемое НЧа, Ь]. Элементы, присоединяемые к
#'[«, Ь] при его пополнении, могут быть отождествлены
с функциями xit) из пространства L2[a, 61, имеющими
обобщенные производные x'it).
Теорема 4.1. Пространство НЧа, Ы вложено в про-
пространство Cia, b].
4.1. Доказать, что в пространстве L{[a, b] нельзя ввес-
ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой.
4.2. Доказать, что если xit), у it) е L2ia, b], то xit) у it) *=
4.3. Привести пример функции:
а) xit)<=L2l0, 1] такой,'что x2it) <? Ш, И;
б) xiti&LSO, 1] такой, что xit)<?L,J.O, ll.
4.4. Доказать, что всякая последовательность xnit)
(reN), сходящаяся в пространстве С[а, Ь], будет сходя-
сходящейся и в пространстве Lp[a, b] ip^- 1).
4.5. Привести пример последовательности непрерыв-
непрерывных на [0, 1] функций х,М) UeN), сходящейся в про-
пространствах LiiO, 1] и L2[Q, 1], но не сходящейся в про-
пространстве С[0, 1].
34
4.G. Доказать, что последователытость xjt) — n2fe~"'
(неХ) сходшся ноючечно к функции xit) =» 0 для любо-
ю / 5* 0, по не сходится в пространстве Z^tO, ll.
4.7. Доказать, что множество непрерывных на [а, Ы
функций является всюду плотным в пространстве Lp(a, b\
(р> 1).
4.8. Доказать, что пространство Lp[a, b] ip>\) сепа-
рабелыю.
4.9. Найгп угол ф между элементами xit) = shit и
у it) = t в пространстве L2[0, л].
4.10. Найти углы треугольника, образованного в про-
страасхве L2[ — I, il элементами xS-t) = 0, ^(f) = 1, хМ) =
4.11. Найти норму функции xit) — Vх в тех пространст-
пространствах Lp[0, I] ip &? 1), которым эта функция принадлежит.
4.12. Провести ортогонализацию элементов xoit) = 1,
^U) = i, a:,(i) = i2, Xiit) = t3 в пространствах:
a) L% [-1, 1]; 6) L,[0, 1].
4.13. В пространстве L2i0, 1] рассмотрим множество Л
функции, обращающихся в пуль на' некотором интервале,
содержащем точку t = 0,5 (н зависящем, вообще говоря,
ог функции). Будет ли А замкнутым множеством?
4.14. Доказать, что множество функций из простран-
пространства L [0, 1] таких, что почти все их значения лежат на
[ —1, 11, выпукло. Является ли это множество замкнутым?
4.1о. В пространстве Ьг[ — \., 11 для произвольного
/.еЦ обозначим через Мк множество всех непрерывных
функций xit), для которых :г@) = X. Доказать, что каж-
каждое М) выпукло п всюду плотно в пространстве L2 [ —1, 11.
4.16. Доказать, что множество многочленов Pit) таких,
что РИ) = 0, является выпуклым и всюду плотным в про-
пространстве L2 [0, 11.
4.17. Доказать, что множество ступенчатых функций
является выпуклым и всюду плотным в пространстве
L2[a, Ы.
4.18. Пусть [с, d]<=[a, Ъ). Доказать, что множество
М = {xit) е ЬЛа, Ъ\: xit) — 0 почти всюду на [с, d\\ яв-
является подпространством пространства ?2[я, Ы. Описать
подпространство Мх.
4.19. Доказать, что в пространстве LJO, 1] множество
Л/= i(t)GL2[0, 1J: fa:(*)<tt-o|.
является подпространством. Описать подпространство М-1.
S* 35

4.20. Доказать, что тождественное отображение Jx = х
осуществляет вложение пространства С[а, Ь\ в просгран-
ство Lp[a, b] при любом р > 1.
4.21. Доказать, что тождественное отображение Jx = х
осуществляет вложение пространства Lpla, Ь\ в простран-
пространство La[a, b], если 1 < s ^ p.
4.22. Доказать, что множество многочленов всюду плот-
плотно в пространстве ИЧа, Ь].
4.23. Пусть 1(()еЯ'[а, Ь], y(t)^C4a, Ы. Доказать,
что x(t)y(t) ^ НЧа, Ь].
4.24. Найти угол ср между элементами x't) = sint и
y{t) = t в пространстве Я1 [0, я].
4.25. Провести ортогонализацшо системы элементов
zu(f)sH, xAt) = t, x2(t) = t\ x3(t) = f в пространстве
НЧ-1, П.
4.26. Доказать, что система функций
. . 2nk (t — а)
L S1" Ь-а
cos
2лА- (t — а)
Ь — а
ортогональна в пространстве НЧа, Ъ).
4,27. Доказать, что множество
Ча, Ы: ж(а) = a;(b) = 0}
НЧа, Ъ] = Ш)
является подпространством в пространстве НЧа, Ъ].
О
Описать подпространство {НЧа, Ь])х.
4.28. Доказать, что множество
НЧа, Ы:
является подпространством в пространстве НЧа, Ы,
Описать подпространство Д/х.
4.29. Доказать, что множество
является подпространством в пространстве НЧа, Ь].
Описать подпространство Мх.
4.30. Доказать, что для того чтобы функция xlt) из
пространства L2[0, л] принадлежала подпространству
НЧО, п1 = {х(()еЯ1[0] я!: д:@)=а:(л) = 0}, необходимо
и достаточно, чтобы сходился ряд ? k2b~h, где
36
:|-J x(t) si
sin ktdt (k s N). При этом
"яЧп.л
Oft»
4.31. Какие из функций xtt) = sgn f, y(i) = \t\ принад-
принадлежат пространству НЧ—п, я]?
4.32. Доказать, что вложение пространства Я'[0, л] в
пространство CtO, л] является строгим, т, е. существует
непрерывная на [0, л] функция x(t) & НЧО, л1.
§ 5. Построение элемента наилучшего приближения
в гильбертовых и банаховых пространствах
Пусть X — линейное нормированное пространство, L —
подлространство X, х е X, Если существует такой эле-
элемент и* с L, что р(аг, Ы = Wx — u*ll, то и* называется
элементом наилучшего приближения х элементами L.
Теорема 5.1. Если L конечномерно, то для любого
х^Х существует элемент наилучшего приближения х эле-
элементами L.
Теорема 5.2. В строго нормированном пространстве
X Оля каждого х е X может существовать не более одного
элемента наилучшего приближения х элементами L.
В гильбертовом пространстве II построение элемента
наилучшего приближения для конечномерного подпрост-
подпространства LczH основано на теореме 3.3. Пусть hu hz, ,,,
. . .. hn — базис L; тогда каждый элемент и* s L имеет вид
п
и* = Ц hkhk0.K e R пли h е С для k = 1, 2, .. ., п) и со-
гласно теореме 3.3. отыскание элемента наилучшего при-
приближения сводится к решению (относительно >.1? >.2, ,,,
¦. ., Ял) системы линейных алгебраических уравнений
A)
„ 0 = 0, / = 1,2,..., п.
1
Система A) всегда имеет единственное решение, так как
ее определитель есть Г(/г,, hx, ..., hJ^O. Если ht, h2, ...
..., hn — ортогональный базис L, то система A) распада-
распадается на отдельные уравнения вида
)Jh\\* = (x,hX /=1,2, ..., л;

поэтому обычно к оазису Л,, /ь. . . ., }>„ применяю г про-
процесс ортогоиалнзацнн.
В банаховом пространстве построение эффективного
(даже численного) алгоритма отыскания элемента наи-
наилучшего приближения вызывает большие трудности. По-,
этому вместо задачи приближения в банаховом простран-
пространстве обычно решают ту же задачу в гильбертовом прост-
пространстве, вложенном в это банахово пространство. В слу-
случае пространства Cla, b] в силу т'еоремы 4.1 о вложешш
Л'[а, Ь\ в Cici, b] и определения вложения существует
такое р <s R, [} > О, что для любого x^Wia, Ь\ выполня-
выполняется неравенство И^'к'КМ^^нЦл.м- Пусть L<=^C[a,b\ —
подпространство с базисом из непрерывно дифференци-
дифференцируемых функций, jef/'la, Ъ], и* — элемент наилучшего
приближения х элементами L, найденный с помощью
системы A). ТогдаЦг —J(*|lc[«,b]<P|U- —и*11Н1[Я,ь] " при
достаточно малой норме IU'—w*|Hi[a ь1 элемент и* хоро-
хорошо приближает х \\ ъ пространстве С[а, Ъ\.
5.1. Пусть X — линейное нормированное пространство,
L — подпространство X, х<^Х, у е L. Доказать, что
р(х, L) = р(х + у, L).
5.2. Пусть X — линейное нормированное пространство,
L — подпространство X, х е X н существует более од-
одного элемента наилучшего приближения х элементами L.
Доказать, что таких элементов бесконечно много.
5.3. Пусть X — вещественное линейное нормированное
пространство, х, у е X. Доказать, что при t e R функция
(fit) = Иг — ty\\ достигает своей точной нижней грани.
5.4. Доказать, что в пространстве <г множество эле-
ментов наилучшего прполнженпя элемента х= @J эле-
элементами подпространства
L — |( j,
a
RJ
имеет вид
5.5. В пространстве С[0, 1] рассмотрим подпростран-
подпространство L = Шг) s СЮ, 1]: х{0) = 0). Пусть x{t) = 1. Описать
множество элементов наилучшего приближения х элемен-
элементами L.
5.6. В пространстве СЮ, 1] найти расстояние:
а) от элемента xa(t) — t до подпространства многочле-
йов нулевой степени;
б) от элемента xiit) = f до подпространства многочле-
многочленов степени <1.
38
5.7. Пусть L — n-мерное подпространство с базисом
/?i, h2, ..., hn в гильбертовом пространстве Я, х е Я —
произвольный элемент. Доказать, что величина р2(т. L)
может быть представлена в виде отношения двух опреде-
определителей Грама:
5.8. Пусть L — одномерное подпространство в гильбер-
гильбертовом пространстве Н, а е L, а ?= 0. Дока-зать, что для лю-
любого х е Я
5.9. В пространстве L,[0. 1] пайгп расстояние от эле-
элемента x(t) = tl до подпространства
-
L =
(
I
L2[0. 1]:
1
= 0 .
5.10. В пространстве 1г найш расстояние p,,(.r, L) от
элемента х = A, 0, 0. . . ., О, . . .) до подпространства
= (.Г!. Х2, ..¦)'¦
Чему равен lim р„ (т. Л)?
/г-» ее
5.11. В пространстве Z.2t0, 1] найти проекцию элемен-
элемента x(t) = f на подпространство многочленов степени
т< п, если п = 0, 1, 2.
5.12. Используя для непрерывно дифференцируемой на
[0, 1] функции xit) представление
1 t 1
x(t) = ^x(r)dx + |тг-'(т)йт- \ A — т) / (т) с?т,
о о (
доказать, что постоянную C при вложении пространства
Я'[0, 1] в пространство ПО, 1] можно принять равной
2I/3.
5.13. Применить в задаче 5.6 теорему вложения.
5.14. Пусть НрЮ, 1] —гильбертово пространство функ-
функций, суммируемых с квадратом на [0, 1], скалярное про-
произведение в котором имеет вид
1
(x,y)-\z(t)y(t)p(t)dt,
о
39

где pit) непрерывна на [О, 1] и pit)>0 на [0, 11. Для
заданной функции xit) s //„[О, 1] найти элемент наилуч-
наилучшего приближения х элементами подпространства L мно-
многочленов степени п < 3. Составить и реализовать на ЭВМ
алгоритм решения этой задачи, предусматривающий:
1) ортогонализацию базиса L (вычисление интегралов
по формуле Симпсона с шагом 0,05);
2) выдачу на печать коэффициентов многочлена и*it)
по степеням t и величины р(х, L) =\х— и* ||нр[од]»
3) в случае, когда весовая функция pit) зависит от па-
параметра а, исследование зависимости р(ж, L) от а при
аа [0, 1], изменяющемся с шагом 0,1;
4) построение графиков xit) и элемента наилучшего
приближения и*it) (в вариантах с параметром — только
при а = 0 и а = 1);
5) проверку правильности составления алгоритма на
варианте xit) = t\ pit) sa 1.
Рассмотреть варианты:
a) x(t) = ?\TT*, p@ = l + a*2;
6) xit) = sin3nt, pit) = 1 + t3:
в) xit)
г)
д)
ж)
з) ж@
и) xit)
к)
sin 4л?, p(t) = 1 + ae';
(
= 1 + t;
U) , p
5.15. В пространствах CtO, ll и L2[0, 1] рассмотрим
подпространство L многочленов степени п < 4. Для за-
заданной непрерывно дифференцируемой на [0, 1] функции
xit) найти элемент наилучшего приближения х элемента-
элементами L: u*it) в норме L2[Q, 1] и v*it) в норме Я'[0, ll. Со-
Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой
задачи, предусматривающий:
1) вычисление элементов матрицы и правых частей си-
системы A) по формуле Симпсона с шагом 0,05;
2) решение системы A) методом Гаусса;
3) выдачу на печать коэффициентов многочленов U*it),
v*it) и величин ||я—и*к2[о.1]. Ik— v* ||Hi((U]i
4) построение графиков xit), и*it), v*it)\
5) проверку правильности составления алгоритма на
варианте xit) = /4.
40
Рассмотреть варианты
л) xit) = 3'; е) х(О = П f~
б) x(f)=cos.nf; ж) ar(f) = sin 4лг;
в) xit) =e'; з) xit) = In A + i);
г) 2'(i) = sinni; и) xit) = tg (i - 0,5);
д) xit) = cos 2ai; к) x(.t) = A - 2<2J3.
5.16. Пусть a = <0 < ti < ... < ?„_2 < tn-L = b — разбие-
разбиение отрезка 1а, Ы. Отнесем две непрерывные на [а, Ь]
функции к одному классу, если они совпадают во всех
точках разбиения.
а) Доказать, что множество классов образует п-мерное
линейное пространство #„. Сравнить с задачей 2.28.
б) Пусть х, у — представители различных классов Нп.
Доказать, что соотношение
н-1
задает в Нл скалярное произведение.
в) Доказать, что при к < п классы, порождаемые
функциями x,it) = V 0 = 0,' 1, ..., к — 1) линейно неза-
независимы, так что линейная оболочка этих классов являет-
является подпространством Lk<= Нп размерности к+ 1.
г) Доказать, что для любой непрерывной на [а, Ь]
функции xit) существует многочлен Git) степени не вы-
выше п— 1, который совпадает с xit) во всех точках раз-
разбиения.
д) Убедиться, что в качестве Git) может быть взят
интерполяционный многочлен Лагранжа:
= * Л) х
V
- д с*—*i) ¦ - ¦ о* - f*-i) Ch - h+x) ¦¦¦('*-*n-i)'
5.17. В условиях задачи 5.16 при a = 0, Ь = 1, fk =
= А|/(л—1), (fe = 0, 1, ..,, л—1) рассмотрим класс, по-
порожденный функцией xit) = t\ Пусть и0, их, и2 — элементы
наилучшего приближения этого класса соответственно
элементам подпространств Lo, Ln, Ьг в норме Нп; и0 (t),
ui @> wi @ — многочлены нулевой, первой и второй сте-
степени соответственно, порождающие классы щ, щ, иг. Со-
Составить и реализовать на ЭВМ при j = 0, 1, 2 алгоритм
нахождения и* (t), предусматривающий при целом п, из-
изменяющемся от 5 до 15 с шагом 1:
41

1) ортогоиалпзацпю системы классов, порождаемых
ФУНКЦИЯМИ rjt) ез 1, Xi(t) = t, xAt) = f\
2) посгроеиие i рафиков x(l) и г'* @ (] ¦= 0, 1, 2) при
п = 5, и = 10, гс = 15;
3) выдачу на печать коэффициентов многочленов "j (t)
(/ = 0, 1, 2) по степеням ( и величин pU, LJ, р(.т, Lj),
( ^)
Полученные резулыагы сравнить с результатами за-
задачи 5.11.
5.18. В условиях задачи 5.16 пусть п>1 тз. х — пред-
представитель произвольного класса из #„, и* — элемент наи-
наилучшего приближения этого класса элементами подпро-
подпространства Li в норме //„.
а) Доказать, что всякая линейная функция, входящая
в класс Lu имеет вид и*it) = a?+ C, где коэффициенты а,
р* определяются из системы линейных уравнений
а 2
к—о
— 1 ii — l
it — 1
+ Р 2 h = 2 М (*„)•
к = о к—о h^u
(В теории вероятностей эта система называется нормаль-
нормальной и вытекает из метода наименьших квадратов.)
б) Для а = 0, Ь = л, ?,, = fcn/U-1) (/с = 0, 1, ...
.. ., и — 1) и класса, порождаемого функцией x(t) = sin <,
составить программу для ЭВМ, позволяющую определить
а = а.„ и Р = Рч при различных н. С ее помощью выяснить,
при каком значении п дальнейшее измельчение разбиения
не приводит к изменению коэффициентов ап, рп более чем
на 0,01.
в) В условиях пункта б) найти Ншссп и НтР„,
п-»оо п->оо
5.19. В условиях задачи 5.16 при а = 0, 6 = 1, th =
— к/{п — 1) (к •= 0, 1, ..., п — 1) рассмотрим класс, порож-
порожденный заданной функцией x(t). Пусть и»— элемент наи-
наилучшего приближения этого класса элементами подпро-
5
странства Ьъ в норме Нп, и* (t) = 2 №* — многочлен,
к=о
порождающий этот класс. Составить и реализовать на
ЭВ^М алгоритм нахождения ип (^), предусматривающий при
целом «, изменяющемся от 6 до 15 с шагом 1:
1) ортогонализацию системы классов, порождаемых
функциями x,U) = t' @ <;' ^ 5);
42
2) построение графиков x(t), u*(f) при п = 6, 9, 12, 15;
3) выдачу на печать коэффициентов многочлена ин (t)
но степеням t и величины plx, Lt) при различных п.
Рассмотреть варианты;
а) xXt) <= sin 4.nf; e) x(t) = s\nnt;
б) x(t) = 11+ i3; ж) iU)=e';
в) ?(?) = sin (f + t2); з) zU) = l7~
r) ar(<) = In A + i); H-) x{t) = ?';
д) x(t) = cos 4л<; к) zU) = tg (? —0,5).
§ 6. Метрические пространства
Множество X называется метрическим пространством,
если каждой паре элементов х, у е X поставлено в соот-
соответствие вещественное число р(ж, у), называемое метри-
метрикой или расстоянием, так что выполняются следующие
три аксиомы:
1) р{х, у) > 0; р{х, у) = 0 тогда п только тогда, когда
2) 'р{х, у) ¦= р(г/, ж);
3) р(ж, j/)<p(x, z)+p(j/, z) («аксиома треугольника»).
Всякое линейное нормированное пространство являет-
является метрическим, метрика в нем вводится равенством
р(.г, у)**\\х — у\\. Аналогично §§ 1, 2 в метрическом про-
пространстве вводятся понятия открытого шара Sr(x:)) —
= (х е X: р{х, хп)<г}, замкнутого шара, открытого и за-
замкнутого множества, фундаментальной и сходящейся по-
последовательности, полного метрического пространства.
Большую часть задач из §§ 1, 2 можно ставить и решать
в метрическом пространстве. Задачи, приведенные ниже,
иллюстрируют особенности метрических пространств по
сравнению с линейными нормированными.
6.1. Пусть X — произвольное множество. Доказать, что
|0 при х = у,
U при хфу
определяет метрику на X. Доказать, что любое подмно-
подмножество X является одновременно и открытым и замкну-
замкнутым множеством.
6.2. Пусть р(х, у) — метрика на множестве X. Дока-
Доказать, что функции
?
-In
43

так'твв являются метриками. Что можно утверждать о пол-
полноте получающихся пространств, если в метрике р(х, у)
множество X было полным метрическим пространством?
6.3. Каким условиям должна удовлетворять определен-
определенная на R непрерывная функция и — /(и), чтобы на ве-
вещественной прямой можно было задать метрику с по-
помощью равенства р(х, у) — \f(x) — /((/I?
6.4. Каким условиям должна удовлетворять непрерыв-
непрерывная функция и = /(и), чтобы в метрике ptx, у) = \f{x) —
— /((/)! вещественная прямая была полным метрическим
пространством?
6.5. Будет ли полным метрическим пространством ве-
вещественная прямая с метрикой:
а) р(х, у) =¦ larctg x — arctg у\;
б) р(х, ,v)= \e*-e'J\;
в) р(х, '{/)= \х3-у3\?
Если нет, то описать пополнение по соответствующей
метрике. ¦ N
6.6. В множестве s всевозможных последовательностей
x = {xit хг, . . .) bieR, (ачеС)) положим
а) Доказать, что р(х, у) — метрика.
б) Доказать, что s — полное метрическое пространство.
в) Можно ли в пространстве s ввести норму так, что-
чтобы выполнялось равенство р{х, у) = Их — уII?
г) Привести пример последовательности хп = (а/," ,
Х2 1 •••) \xk s R), которая сходится в пространстве s,
принадлежит пространству U, но не сходится в простран-
пространстве 12.
6.7. Доказать, что в любом метрическом пространстве
замыкание открытого шара 5г(х0) лежит в замкнутом ша-
шаре 5г(г0), т. е. SAx0) c ЗАх„). Возможно ли здесь строгое
включение? Сравнить с задачей 1.3.
6.8. Доказать, что в любом метрическом пространстве
X для любого х в X и любого г > 0 выполняется неравен-
неравенство О =S diam Sr{x) «S 2г. Привести пример метрического
пространства X и такого элемента х э X, что diam S^x) =
¦= 0,5. Сравнить с задачей 1.4.
6.9. Может ли в метрическом пространстве шар боль-
большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего ра-
радиуса? При каких значениях радиуса а возможно строгое
включение Sa(z) c5,(j/)? Сравнить с задачей 1.5.
44
6.10. В множестве N натуральных чисел положим
Р («,'") =
0
1 +
1
при т — и,
при т Ф п.
n-\- m
а) Доказать, что р(ге, m) — метрика.
б) Доказать, что N с метрикой р(н, т) — полное мет-
метрическое пространство.
в) Построить в N с метрикой р(п, т) последователь-
последовательность непустых замкнутых вложенных. шаров, радиусы
которых не стремятся к пулю, и которая не имеет точки,
принадлежащей всем шарам одновременно. Сравнить с
задачей 2,26.
6.11. В множестве X всевозможных последовательно-
последовательностей натуральных чисел для элементов х = (пи пг, ...
. .., пк, . . .), у = (т,, т:, . . ., тк, . ..) обозначим через
ко(х, у) наименьший индекс, при котором пк^ пгк. Дока-
Доказать, что:
а)
О при х = у,
-i— при х Ф у
Р {х, У) =
есть метрика на X;
б) аксиома треугольника выполняется в X в усилен-
усиленной форме:
р(х, z) «?max{p(z, у), p(j/, z)};
в) если р(х, у)-^р(у, z), то р(х, z)=max{p(z, у),
р(у, г));
г) любой открытый шар SAx) является одновременно
замкнутым множеством и SAy) = SAx) для любого уе
д) любой замкнутый шар_^г(ж) является одновремен-
одновременно _открытым множеством и SAy) =SAx) для любого у е
е) если два шара в X имеют общую точку, то один из
них содержится в другом;
ж) расстояние между двумя различными открытыми
шарами радиуса г, содержащимися в замкнутом шаре ра-
радиуса г, равно г;
з) для того чтобы последовательность хп е X была
фундаментальна, необходимо и достаточно, чтобы
р{хп, Zn+i) -*¦ 0 при п -+ °°;
и) пространство X полно;
к) пространство X сепарабелыго.
45

Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 7. Непрерывность, ограниченность
и норма линейного оператора
Пусть X, У — линейные нормированные пространства,
F: X -*¦ У — отображение или оператор, определенный в
окрестности точки хй е X. Он называется непрерывным в
точке Ха, если Fix) -»¦ Fixu) при х -*¦ ха.
Пусть F — оператор с областью определения D{F) cz X
п с областью значений R(F) cz У. Он называется ограни-
ограниченным, если переводит любое ограниченное множество
из DiF) в множество, ограниченное в пространстве У.
Пусть X, У — линейные нормированные пространства,
оба вещественные плп оба комплексные. Оператор Л:
X -*¦ У с областью определения DiA)^X называется ли-
линейным, если DiA) — линейное многообразие в X и для
любых х, у е DiA) н любых ).и Хг e R i%h Хг <= С) выпол-
выполняется равенство Aik,x, + ?.:.r2) = XtAxi + %.гАх%.
Множество NiA) = {хеDiA): Aix)=0) называется
множеством нулей или ядром оператора А.
Теорема 7.1. Линейный оператор А: X-*¦ Y, задан-
заданный на всем X и непрерывный в точке 0 е X, непрерывен
в любой точке Хц е X.
Линейный оператор Л: X -+• У с Й(Л) = Х называется
непрерывным, если он непрерывен в точке 0 е X. Линей-
Линейный оператор Л: X -»- У с DiA) = X называется ограни-
ограниченным, если существует с е R, с > 0 такое, что для лю-
любого ,ге5,@) справедливо неравенство ИЛж11 < с.
Теорема 7.2. Линейный оператор A: X-+Y с D{A) =
= X ограничен тогда и только тогда, когда для любого
х е X выполняется неравенство WAxW < сЫ1.
Теорема 7.3. Линейный оператор А: X -*¦ У с
Д(Л) == X непрерывен тогда и только тогда, когда он ог-
ограничен.
Нормой ограниченного линейного оператора А: X ->- У
с DiA) = X называется число \\A\\ == sup
KSX.UV
4G
7.1. Пусть X, У — линейные пространства, А: Х-> У —
iibiii о'пераюр и система элементов ^ь аг2, ..., x,s
«=Д(Л) линейно зависима. Доказать, что система
Ахи А.г!, . . ., Ахп линейно зависима.
7.2. Пусть X, У — линейные пространства, Л: X -*¦ У —
лпиеипып оператор и система элементов хи ?и • • •, хп е
е/)(Л) линейно независима. Верно ли, что система эле-
элементов Ахи Ах2, .. ., Ахп линейно независима?
7.3. Пусть X, У — линейные пространства, Л: X -*¦ У —
линейный оператор. Доказать, что оператор Л переводит
выпуклое множество из DiA) в выпуклое множество в
пространстве У.
7.4. Пусть X, У — линейные пространства, А: X ^- Y —
линейный оператор, В <=¦ R(Л) — выпуклое множество,
М = {х е DiA) : Ах е В). Будет ли множество М вы-
выпуклым?
7.5. Пусть на линейном пространстве X заданы две эк-
эквивалентные нормы, Л: X -*¦ X — линейный оператор. До-
Доказать, что в обеих нормах он будет одновременно или
ограниченным или неограниченным.
7.6. Доказать, что оператор, осуществляющий: а) изо-
изоморфизм линейных нормированных пространств X и У;
б) вложение линейного нормированного пространства X в
линейное нормированное пространство У, является огра-
ограниченным.
7.7. Доказать, что оператор я, отображающий лпней-
ное нормированное пространство X в факторпространство
XIL (см. задачу 2.28) п ставящий в соответствие элемен-
элементу jsl содержащий его класс смежности |, является
линейным ограниченным.
7.8. Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства. Л: X -*¦ У — ограниченный линейный оператор с
DiA) = X. Доказать, что
И11= sup
7.9. Доказать, что линейный оператор Л: X -> У с
DiA) = X ограничен тогда и только тогда, когда сущест-
существует с е R, с>0 такое, что для любого x^SLi0)^X вы-
выполняется неравенство ИЛа:11 < с. Если это условие выпол-
выполняется, то
\А]= sup \\Ax\\.
ISA' l,.v||=l
7Л0. Доказать, что для ограниченного линейного опе-
оператора Л: X-*¦ У с D{A) = X справедливо равенство

I = infc, где с — такое число, что IUx!l < cl'r'l для
любого леХ
7.11. Пусть Я — гильбертово пространство, А; Н -*¦
-*¦ Я — ограниченный линейный оператор с D(A)=H.
Доказать, что
х,у<=Н,х*0,уфо
\Ц>.у)\
И И I У II '
7.12. Доказать, что следующие операторы являются
линейными ограниченными и найти их нормы (в пунк-
пунктах и), л), м) — оценить нормы):
t
а) А: С [0, 1] -> С [0,1],
Ах (t) = ^x (т)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
А- С \ 1 1
А: С [0, 1] —
А: С[0,1Н
А: С1[а,Ъ}-
]->С
-сю,
»С{0,
+ С[а
А: С1[а,Ъ]-+С[а
А: 12[0, 1]
Л-,'. 12[0, 1]
->L2
0,1],
1],
1],
,Ъ],
,Ь],
[0,1],
[0,1],
Ax(t)
Ax(t)
Ax(t)
Ax(t)
Ax {t)
Ax{t)
A,x{t
= x(t);
= t2x@);
= x(t*);
= x(t);
dx
~ Ti'
1
x(t),
0, О
и) Л: Z2[0,
, 1],
к) Л: ЯМ0, 1]->L2[O, 1],
л) Л: ЯМ0, l]-*Hl[0, 1],
м) Л: Я1 [0, 1] -> L., [0, 1], Ах (t) = tx {t).
7.13. Будет ли ограниченным оператор A: CtO, ll -*¦
-* C[Q, 1], Ax{t) = dx/dt, с областью определения L — ли-
линейным многообразием непрерывно дифференцируемых
на [0, 1] функций?
7.14. Будет ли ограниченным оператор А: НЧ0, 1] ->-
-LJ0, И, Лг(«)-йл/Л?
7.15. Для каких функций ср(О оператор >la;(f) =
•= (f(t)xit) будет-ограничен, если он рассматривается как
действующий:
а) из С[0, 1] в СЮ, 11; б) из ЕЛО, 1] в ЕЛО, II?
7.16. Доказать, что оператор А: С'[а, Ы -> С[а,
где функции cf,(i) для i = 0, 1, ..., к непрерывны на [а, Ь],
является ограниченным.
7.17. Пусть еп Ы е N) — ортонормированный базис
гильбертова пространства Н, >.„еR (neN). Доказать, что
если последовательность К„ ограничена, то равенства
Аеп = ).пеп (де\т) определяют ограниченный линейный
оператор А: Н -+ Я с 0D) =Я и МП = sup UJ.
п
7.18. Пусть X, Y — линейные нормированные простран-
пространства А: X -> Y — непрерывный линейный оператор с
DiA) = X. Всегда ли существует ieX, x Ф 0 такое, что
\\AxW = 11411 1Ы1?
7.19. Пусть X, Y — линейные нормированные простран-
пространства, причем X конечномерно. Доказать, что всякий ли-
линейный оператор А: Х-*- Y с D(A) —X ограничен и суще-
существует х^Х, х?=0 такое, что \\AxW = 11411 ¦ 1Ы1.
7.20. Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства, А: X-*¦ Y — линейный оператор.
а) Доказать, что R{A)—линейное многообразие в У.
б) Всегда ли R(A) — подпространство в У?
7.21. Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства,. А: X -+¦ У — такой линейный оператор, что многооб-
многообразие ЖЛ)<=У конечномерно. Следует ли отсюда, что
А — ограниченный оператор?
7.22. Доказать, что ядро N(A) ограниченного линейно-
линейного оператора А\ X -*¦ У является подпространством про-
пространства X.
7.23. Пусть X, У — линейные нормированные про-
пространства, А: X -*• У — такой линейный оператор, что
N(A) является подпространством в X. Следует ли отсюда,
что А — ограниченный оператор?
7.24. Пусть А: X-* У — линейный оператор с DiA) =
= X, причем R{A) конечномерно, a N(A) замкнуто в X.
Доказать, что А — ограниченный оператор.
7.25. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, А: X -*¦ X — ограниченный линейный оператор с
DU)=X. Верно ли, что X = R(A) ® NU)?
7.26. Пусть X — банахово пространство, А: Х^-Х —
изометрический линейный оператор с D{A) =X. Доказать,
что R(A) — подпространство в X.
7.27. Пусть X — банахово пространство, А: X -> X —
такой ограниченный линейный оператор с D{A)=X, что
4 в а треногий и др. 4Я

существует ceR, с > 0 такое, что для любого х е X вы-
выполняется неравенство МяН 3* с'Ы1. Доказать, что Л(Л) —
подпространство в X.
7.28. Рассмотрим оператор A: Cla, Ъ\ ->¦ С[а, b], Ax{t) =
= (f(t)xit), где (pit) &C[a,b\. При каких условиях на
функцию ф Ф 0 множество Й(А) является подпространст-
подпространством Cia, 6J?
7.29. Пусть X, У — банаховы пространства, А: X -*¦
-»¦ X — ограниченный линейный оператор с DiA) = X.
Всегда ли равенства:
а) \\хК=-Ых\\;
б) lldlj = 1Ы1 + Ых\\ задают в X норму? Будет ли r
этой норме X банаховым пространством?
7.30. В пространстве I, рассмотрим оператор А, пере-
переводящий элемент i = (i1,i2,,.,)el! в элемент Ах =
¦= (Я,:с„ к2хг,...), где кп sRUs N).
а) Доказать, что при любых Я„ оператор А — линей-
линейный.
б) При каких условиях на последовательность >.„ ?КЛ)
совпадает со всем пространством U1
в) При каких условиях на последовательность Хл опе-
оператор А будет ограничен и какова будет при этом его
норма?
г) Если А — ограниченный оператор, то всегда ли най-
найдется х е lt, х?^0 такое, что Ых\\ = 11/4Ш1.г11?
д) При каких условиях на последовательность }.п мно-
множество R(A) является подпространством 1,1
7.31. Пусть а 5= 0 фиксировано, Са — банахово про-
пространство непрерывных на [0, +°°) функций xit), удовлет-
удовлетворяющих условию
sup eat\x(t)\ <oo,
[0,+»)
с нормой
!*Ца = sup еа'| *(*)!.
[О,-г»-)
Доказать, что:
а) функция xit) = tae~'' е Са при *[ > а, и > 0 и
,1 х\\а =
V —а
б) непрерывная функция xit) принадлежит простран-
пространству Со. тогда и только тогда, когда существует такая
постоянная М > 0, что для любого t e [0, +¦») выполня-
выполняется неравенство UU)I ^Л/е';
50
в1 оператор В умножения: ПхЧ) = bit)xit), где bit) s
s d, p > 0, являекя непрерывным линейным операто-
оператором, действующим ш пространства С'и в пространство
Ca+t, причем I'fill = li^l'ii;
г) интегральный oriipaiop
Ax{t) = je0'"'' x(s)ds
о
является при fi > a > f непрерывным линейным операто-
оператором, действующим из пространства Са в пространство С-^,
причем ИЛИ = l/(ji — а) при ^ = а, а при -\ < а
§ 8. Пространство ограниченных линейных операторов
Пусть X, Y — линейные нормированные пространства,
оба вещественные или оба комплексные, Л, В —ограни-
—ограниченные линейные операторы, определенные на всем X, со
значениями в У. Полагая, по определению,
(А + В)хг* Ах + Вх, Ы{х) = %Ах, \А\ = sup \Ax\,
получаем линейное нормированное пространство 3?iX, Y)
ограниченных линейных операторов.
В пространстве SiX, X) — SiX) полагаем, по опреде-
определению, iAB)x •= AiBx), тем самым S?iX) становится ал-
алгеброй с единицей, где единицей является тождественный
оператор I: X -*¦ X, 1х = х.
Последовательность Ап&ЗЧХ, Y) (neN) называют
равномерно сходящейся к оператору A ^-SiX, Y) и запи-
записывают Ап-*А Ы-*°°), если \\Ап — ЛИ-»-0 (п-*-°о).
Последовательность An<^9?iX, У) (nsN) называют силь-
сильно сходящейся к оператору A^3?iX, Y) и записывают
Ап-+А in-*¦ °°) сильно, если для любого iel 11Л„,г —
-Ах\\-+0 (/г-^ос).
Теорема 8.1. Если Y — банахово пространство, то
SiX, Y) — банахово пространство.
Теорема 8.2, Пусть X, Y—банаховы пространства,
An^3?iX, Y) (neN) и для любого ieX последователь-
последовательность Апх ограничена. Тогда последовательность НЛ„И
ограничена.
Теорема 8.3. Пусть X, Y — банаховы пространства,
A,^SiX,Y) (»eN), Для того чтобы последователъ-
4* 51

ность А„ при п -*¦ °° сильно сходилась к оператору ie
е^(Х, У), необходимо и достаточно, чтобы:
1) последовательность WAJ была ограничена;
2) Ап-+А (и-»-«О сильно на некотором линейном
многообразии, всюду плотном в пространстве X.
Теорема 8.4. Пусть X — линейное нормированное
пространство, У—банахово пространство, А: X -*¦ У—
линейный оператор, причем D(,A) — X и на D(A) оператор
А ограничен. Тогда существует такой ограниченный ли-
линейный оператор A^SiX, У), что Ах — Ах для любого
x&DiA) и Ш = 11411.
При этом оператор А называется продолжением опера-
гора А на все пространство X.
8.1. Привести пример линейного нормированного про-
пространства X и таких операторов А, В & 3?{Х), что АВ ?=
ФВА.
8.2. Пусть А, В е 2!{Х, У) — непулевые операторы и
R{A) 0 RiB) =» 0. Доказать, что А, В линейно независимы.
8.3. Пусть Л,ВеШ, У) и R(A)=RiB), ЛГШ =
= N(B). Следует ли отсюда, что А — В?
8.4. Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства, U с X — открытое множество, V с: X — замкнутое
множество, А е 2?iX, Y). Будут ли образы этих множеств
соответственно открытым и замкнутым множеством в У?
8.5. Пусть L — подпространство линейного . нормиро-
нормированного пространства X п М = Ме 3?(Х, У): N(A) = L).
Является ли М подпространством в пространстве 24X.Y)?
8.6. Пусть L — подпространство линейного нормиро-
нормированного пространства X и М = Ы «= SiX, У): N(A) => L).
Является ли М подпространством в 2?{Х, У)?
8.7. Пусть X — линейное нормированное пространство,
A s SiX) — произвольный оператор, Nk = NiAh) (/с = 0,
1,2, ...).
а) Доказать, что Л;о с Л^ сг ... с Nk <= Nk+l <= ...
б) Пусть для некоторого натурального пг впервые
A',n=iVm+i. Доказать, что NmJ.p = Nm для любого натураль-
натурального р.
8.8. Доказать, что отображение Ф: 3?iX, У)->-R,
ФD) = ИЛИ непрерывно.
8.9. Пусть X — линейное нормированное пространство,
А е 2?(Х) — фиксированный оператор. Образуют ли в про-
пространстве SSiX) подпространство всевозможные операторы
В е S&iX), удовлетворяющие условию:
а) Л? = 0; б) АВ = ВЛ?
8.10. Доказать, что при замене норм в линейных нор-
нормированных пространствах X и У на эквивалентные но-
новая норма в пространстве .24X, У) будет эквивалентна
старой.
8.11. Пусть X, У —банаховы пространства, Ап, Ле
e&iX, У) (neN) и Ап ->- А Ы-*¦ °°) сильно на неко-
некотором линейном многообразии, всюду плотном в прост-
пространстве X. Следует ли отсюда, что А „ -*¦ A in -»¦ <») сильно?
8.12. Пусть Н — гильбертово пространство, Л„е S?(H)
(neN) и s\i])\iAnx, y)\ < <*> дЛЯ любых х,.у^Н. Дока-
п
вать, что sup |Л„| < °°.
п
8.13. Пусть X, У — банаховы пространства, множество
M&giX, Y) таково, что
sup \\Ax\\ — (р(х) < оо
asm
для любого х е X. Доказать, что sup Ц-4|]< оо^
ASM
8.14. Пусть X, У — банаховы пространства, 4пе
е^(Х,У) (neN) и для любого я е X последователь-
последовательность Апх фундаментальна. Доказать, что существует та-
такой оператор Ле2"A,У), что Ап-+А (и-»-ое) сильно.
8.15. В пространстве С[—я, я] рассмотрим подпро-
подпространство М функций xit), удовлетворяющих условию
xi — я) = х(я). Для xit) e Л/ положим
/„ (() = Л„а; (t) = ^
cos frf + bk sin kt,
ГД9
л я
= i Г * (f) cos fr< dt, bh = - [ x (t) sin
л
тем самым каждой функции xit) s M сопоставлена частич-
частичная сумма ее ряда Фурье.
а) Доказать, что
— л
б) Доказать, что АпеЗ?(М) и что
л
и л и 1 Г I .«iii [Bп 4-1) (т— t),2] ,
\А„\= max - \ I Ч, ,,_„,,, ^.
53

в! Пусть L<=C[—л, л] — подпространство тригономет-
тригонометрических многочленов. Доказать, что на L последователь-
последовательность Ап при п -*¦ оо сильно сходится к тождественному
оператору.
г) Предположим, что \\Апх — х^ ->- 0 для любой ?U)e,1/
при п -*¦ оо. Вывести отсюда, что supMJ<°°.
п
д) Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм вычисле-
вычисления IL4JI при различных п. Оправдывают ли результаты
вычислений предположение г)?
8.16. Пусть tk = k/n (& = 0, 1, ..., п) — разбиение от-
отрезка {0, 1], x(t) sCLO, 1J. Положим
= 2
где-
С — fo) С — fi) • • • С - fft-i) (f -
('ft - «o) Ck
('ft - 'ft-i) ('ft ~ *ft+i) • • •
f») '
тем самым каждой непрерывной функции сопоставлен ее
интерполяционный многочлен Лагранжа.
а) Доказать, что Ап е- 2ЧС10, 1]).
б) Доказать, что || А„ || = max
° @ |.
в) Пусть L с С[0, 1] — линейное многообразие много-
многочленов. Доказать, что на L последовательность Ап при
п ->- оо сильно сходится к тождественному оператору.
г) Предположим, что для любой i(i) е СЮ, 1] Ы„х —
— ж!1 -*¦ 0 при и -»¦ оо. Вывести отсюда, что sup WAJ < оо.
п
д) Составить и реализовать па ЭВМ алгоритм вычисле-
вычисления НА „II при различных п. Оправдывают ли результаты
вычислений предположение г)?
8.17. Пусть X, Y — линейные нормированные простран-
пространства, An^&iX, Y) (веЮ и Ап-^О (га-*°°) сильно.
Следует ли отсюда, что Ап -*¦ О Ы-*°°) по норме про-
пространства SiX, У)?
8.18. Пусть X, Y — линейные нормированные про-
пространства, Ane3?(X,Y) (n e N) п последовательность
А„х сходится равномерно на шаре .9,@) с X. Доказать,
что существует такой оператор А^З?(Х, Y), что Ап-+А
при п -*¦ оо.
8.19. В пространстве 12 для элемента х=(х,, х,, ...)s
е L определим последовательности операторов
,^-/0,0 О, .г„ х, т„и, .-Л, «
стей?
Каков характер сходимости каждой из последовательно-
последовательной?
8.20. Рассмотрим оператор А: С[0, 1] -+ СЮ, I),
t
Ax{t) = jeTx(T)dt
п последовательность операторов Ап: СЮ, 11 -*¦ СЮ, П,
t
Сходится ли последовательность Ап к .4? Каков характер
сходимости?
8.21. Рассмотрим оператор А: СЮ, И -^ СЮ, 1],
1
Az(s)=*§e'*x{t)dt
о
и последовательности операторов Ап, Вп: СЮ, 11 ~*-С[0,1],
где е„>0, еп-»-0 при »-*¦<». Сходятся ли последователь-
последовательности 4„ и В» к 4? Каков характер сходимости?
8.22. В пространстве СЮ, 1] рассмотрим последователь-
последовательность операторов Anx(t) = x{tl+i'n) (bsN),
а) Доказать, что Ап е^(С[0, 1]).
б) Доказать, что при п-*- °° Ап сильно сходится к тож-
тождественному оператору.
в) Будет ли сходимость Ап к / равномерной?
8.23. Пусть X, Y — линейные нормированные простран-
пространства, r,,iel, xn-+x, Л„,4е^(Х, У) (bsN), Л^-*А
¦при п -*¦ оо, Доказать, что А„а;п -> Ая1 при и -»¦ оо.
55

8.24. Пусть X, У — банаховы пространства, Л„ез
^2?{X,Y) UsN) и при п -* °° сильно сходится к опе-
оператору ie^(X, Y). Доказать, что если хп,х^Х и х'л-+
-*¦ х при п -*¦ оо, то 4„.гГ1 -+¦ Лгс при га -»¦<».
8.25. Пусть X, У, Z — банаховы пространства, /1„,Ле
е2»(Х, У), Дп,Де2ЧУ,2) (и е \) и при п -* <» 4„
сильно сходится к оператору Л, 2?„ сильно сходится к
оператору В. Доказать, что при п -*¦ °° Bni4n сильно схо-
сходится к оператору 2L4.
8.26. Пусть X, Y, Z — линейные нормированные про-
пространства, Ап,А^2?{Х, У), Bn,BzE&(Y,Z) (BsM) и
при га ->- ж Ап-+А, Bn-*-Bt Доказать, что в пространстве
2ЧХ, Z) В„Л„ -* ?Л при п -*¦ оо.
8.27. Привести пример линейного нормированного про-
пространства X и таких операторов /4, В <= 2?(Х), что IL4fi'l <
<MIIII5II
8.28. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, А^З'(Х), В) X -*¦ X — неограниченный оператор с
D(B), всюду плотной в X. Может ли произведение АВ
быть:
а) неограниченным оператором;
б) ограниченным оператором?
8.29. Пусть X— банахово пространство, A
Ф (t) = 2 № A/iE R)— сходящийся на всем R степен-
п
ной ряд. Доказать, что последовательность Sn=2j).hA
имеет при п -*¦ °о предел ф(.4) е^(А).
8.30. Доказать, что в банаховом пространстве X для
любого А^З?(Х) определены операторы
sin A
1I
cos A =
о
8.31. Пусть X — банахово пространство, Л
Доказать, что |е ||^е"А1, Найти ег, где / — тождествен-
тождественный оператор.
8.32. Пусть X — банахово пространство, А^З?{Х).
Доказать, что ряд 2 ^ сходится в 2?(Х) тогда и только
тогда, когда для некоторого натурального к выполняется
неравенство 114*11 < 1.
8.33. Будет ли пространство 3?(Х), где X = L2[Q, 1],
сепарабелышм?
56
8.34. Пусть X, У —банаховы пространства. .4 s
е^(Х, У) п для любого г/ е У найдется такое iei',
что IL4a;-j/'l <а11г/И, Hxll =S рИг/Н, где а, ^ е= R, а<1. Дока-
Доказать, что уравнение Ах = у при любом i/еУ имеет реше-
нне iel, удовлетворяющее условию II.г 1^^ }у\\-
8.35. Пусть X — банахово пространство, L, М — под-
подпространства X, X = L © М. Оператор проектирования Р
на подпространство L паралелльно подпространству Л/
вводится равенством Рж = и, где ? => u + v, uel, и s M.
Доказать, что Р — линейный ограниченный 'оператор.
8.36. Пусть Р; X -*¦ X — линейный оператор, заданный
всюду в банаховом пространстве X. Доказать, что он яв-
является оператором проектирования на некоторое подпро-
подпространство L <= X параллельно подпространству М с X
тогда и только тогда, когда Р ограничен п удовлетворяет
условию Р2 = Р.
8.37. Доказать, что линейный оператор Р, заданный
всюду в банаховом пространстве X, отображающий его в
себя и удовлетворяющий условию Р2 = Р, ограничен
(и, следовательно, является оператором проектирования
на некоторое подпространство L <=¦ X параллельно под-
подпространству М с X) тогда и только тогда, когда лпней-
ные многообразия RiP) u RU — Р) замкнуты в простран-
пространстве X.
8.38. В пространстве С[—1,1] рассмотрим операторы
Ах @ = I [х (t) + х (- *)], Вх (t) = ±[x(t)-x (- t)].
а) Доказать, что А,В — ограниченные линейные опе-
операторы н найти их нормы.
б) Найти операторы А1, В2. Являются ли А и В опе-
операторами проектирования?
8.9. В гильбертовом пространстве Я оператор ортого-
ортогонального проектирования на подпространство L<^H для
х = и + v, где net, у е ?х, определяется равенством
Рх = и. Доказать, что оператор Р ограничен, и найти его
норму.
8.40. Пусть Lt, Ьг — подпространства гильбертова про-
пространства Я, Pi, Рг — операторы ортогонального проекти-
проектирования соответственно на Lt и Ьг. Доказать, что HPt —
-Psll«Sl. Ч
8.41. Пусть L — подпространство гильбертова про-
пространства Я, Р — оператор ортогонального проектпрова-
57

нпя на L. Что можно утверждать об операторе А &
если для него выполняется равенство:
а) АР-А;
б) РА-А\
в) АР-РА?
8.42. Пусть // — гильбертово пространство, L<= H —
линейное многообразие, А — ограниченный линейный опе-
оператор, ваданный на L со значениями в банаховом про-
пространстве У. Доказать, что А может быть продолжен на
все // с сохранением нормы.
8.43. Пусть X — банахово пространство, L, М — такие
подпространства банахова пространства У, что У = L® М.
Доказать, что &(Х, У) = ^<Х, I) ® &{Х, М).
8.44. Пусть L, М — подпространства линейного норми-
нормированного пространства X, X = L © М, У — банахово про-
пространство. Верно ли, что 2Ч*,У) = .2'(/,1Г)©2ЧЛ/1У)?
§ 9. Обратные операторы
Пусть X, У — линейные нормированные пространства,
А: X ->- У — линейный оператор, отображающий D(A) на
R(A) взаимно однозначно. Тогда существует обратный
оператор A'1: Y-*¦ X, отображающий R(A) па D(A) вза-
взаимно однозначно и также являющийся линейным.
Линейный оператор А: X ->- У называется непрерывно
обратимым, если R{A) — Y, Л существует н ограничен,
T.e.A-te2'{Y,X).
Теорема 9.1. Оператор А~' существует и ограничен
на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой по-
постоянной m >0 и любого x^D(A) выполняется неравен-
неравенство ЫхН > mlljril.
Теорема 9.2. Пусть X, У—банаховы пространства,
А &9?{Х, У), R(A) — Y и А обратим. Тогда А непрерывно
обратим.
'Теорема 9.3. Пусть X — банахово пространство,
С^З'(Х) и HCII < 1. Тогда оператор I — C непрерывно об-
обратим и справедлива оценка
1 Ч Г \
1 — I о I
Теорема 9.1 Пусть X — банахово пространство,
А, В^З^'Х), А непрерывно обратим и выполняется не-
неравенство
58
Тогда В непрерывно обра/им и справедлива оценка
ii < -1 и
'В'
¦ i — |l jS — ^4 ''' AT
Пусть X, Y — линейные нормированные пространства,
A^-SkX, Y). Оператор A7^^SkY, X) называется пра-
правым обратным к А, если АА~ --= /г, оператор A~t s
eS'd', X) называется левым обратным к А, если
Af^A — IХч где /г и /л-— тождественные операторы со-
соответственно в пространствах У и X.
9.1. Пусть X, У —линейные пространства, А\ X -* У —
линейный оператор, у которого существует обратный.
Доказать, что системы элементов хи хг, ..., хп и Ахи
Ахг, .-.., Ах„, где я,, х2,..., хп е D{A), одновременно или
линейно независимы пли линейно зависимы.
9.2. Пусть X — линейное пространство, А: X -* X —
линейный оператор, удовлетворяющий при некоторых
}.,,eR (/i = l, 2,-..., п) соотношению / + 1,А + }.,Аг +
+ ... + }.„Ап = 0. Доказать, что оператор Л существует.
9.3. Пусть X — линейное пространство, А, В: X -* X —
линейные операторы с D(A) = D(B) = X и существуют
операторы [АВ)~\ {ВА)'1. Следует ли отсюда, что суще-
существуют операторы A~l, fi?
9.4. Пусть X —линейное пространство, А, В: X -+- X —
линейные операторы с D{A)=D{B)—X и оператор
(/ — .4В) существует. Доказать, что оператор (/— ВА)~1
существует.
9.5. Пусть X — линейное пространство, А, В: X -»- X —
линейные операторы с D{A)=D{B)=X, удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношениям АВ + А + I = 0, В А + А + I = 0. До-
Доказать, что оператор А~1 существует.
8.6. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство,"Л, В: X -»¦ X — линейные операторы с D(A) =D(B) =
¦= X такие, что АВ = В А.
а) Пусть оператор А~1 существует. Доказать, что
А-1В = ВА-\
б) Пусть А,В <=2?{Х) и В непрерывно обратим. Дока-
Доказать, что
9.7. Пусть X — линейное нормированное пространство,
A, i-'e^fX) и к = '[<А\\\\А'1\\ — число обусловленности
оператора А, Рассмотрим уравнение Ах = у, где у&Х,
53

у Ф 0. Пусть х е X — его приближенное решение. Дока-
Доказать, что его относительная погрешность пожег быть оце-
оценена по формуле
ы — У\
\\У\\
\ Ах - и
II.'/1!
9.8. Пусть X — линейное нормированное пространство,
А: X -*¦ X — линейный оператор и в X существует такая
последовательность i.eflU) (neN), что WxJ\ = 1 и
Ахп ->¦ 0 при п -*¦ °°. Доказать, что у оператора А не суще-
существует ограниченного обратного.
9.9. В пространстве L рассмотрим оператор А, перево-
переводящий элемент х = (я,, х,, ...) в элемент Ах = О.л,
У-1%г, .•.), где кп е R, (neN), sup |X,J < °°. При каких
условиях на последовательность л„ существует обратный
оператор Л~'? Будет ли он ограничен?
9.10. В пространстве /2 рассмотрим операторы А, В,
переводящие элемент х = {хи х,, ...) <^1, соответственно
в Ах = @, xt, Хз, ...), Вх = (х<, х3, •. •). Какие из аператоров
Л, Я, А~г\ В'1, A~i\ B7 существуют?
9.11. Доказать, что оператор А: СЧЬ, \\ -> СЮ, 1],
имеет правый обратный, но не имеет левого обратного.
9.12. В пространстве СЧО, 1] рассмотрим подпростран-
подпространство L = ix(t) е С'[0, 1]: х@) = 0} и оператор A: L -*¦
-*С[0, 11,
Ax(t)=dx/dt + a(t)x(t), aWedO, 1].
Доказать, что i4 непрерывно обратим.
9.13. Рассмотрим оператор А: СЮ, 1] -*¦ СЮ, 1],
а) Что представляет собой его область значений R{A)?
б) Существует ли на R(A) обратный оператор А~1 и
ограничен ли он?
9.14. Рассмотрим оператор А: СЮ, 1J -*¦ СЮ, U,
Ax(t) = [x(?)dT+z(t).
а) Доказать, что N(A)=0, так что при любом у э
е CtO, 1] уравнение Ло; = с/ не мои;ет иметь более одного
решения.
б) Доказать, что А непрерывно обратим и найти опе-
оператор А~{.
9.15. Доказать, что оператор А: СЮ, 1] -*¦ СЮ, П,
Ax(t) =
непрерывно обратим и найти оператор А~1..
9.16. Рассмотрим оператор А: СЮ, 1] -> С[0, 11,
с областью определения D(A) — линейным многообразием
дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функ-
функций x{t), удовлетворяющих условиям а:@) = х'{0) =0.
а) Доказать, что А — неограниченный линейный опе-
оператор.
б) Доказать, что А непрерывно обратим и найти опе-
раюр А~\
9.17. Рассмотрим оператор А: СЮ, 1] -> С2Ю, 1],
Ax(t)= \e-ls-i{x(s)ds,
а
Существует ли оператор Л?
9.18. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, Л: X -*¦ X — такой линейный оператор с ?КЛ)=Х,
оо
что ряд 2 Ahx сходится для любого хеХ.
а) Доказать, что существует оператор (/ —Л)~'.
б) Пусть, кроме того, Ае^Ш, Доказать, что для
любого хеХ
(/_Л)-^= J Ahx.
9.19. Пусть X — банахово пространство, AeS'l.Y) и
117 —ЛII < 1. Доказать, что А непрерывно обратим.
9.20. Пусть X — комплексное банахово пространство,
ЛеЙ'Ш, ?.еС и 1X1 > ИЛИ. Доказать, что оператор
Л — XI непрерывно обратим.
9.21. Пусть X, У —банаховы пространства, Л <=
S'lX, У) и оператор Л существует и ограничен на
61

R(A). Докапан,, что R(A) является подпространством в
пространстве У.
9.22. Пусть X, Г—банаховы пространства, Л,„Ле
eS'tX, У) (я s X) п _4„ сходится при п -*¦ °° к А сильно,
A~n&2?(Y,X) н Л(Л) = У. Доказать, что решения
уравнения А„хи = у сходятся к решению уравнения Ах ==
•= у для любого jeF тогда и только тогда, когда
9.23. Пусть X, У — банаховы пространства, Ап,А^
е.2Р(Х, У) (ве\) и Ап-+А при и->-°°. Доказать, что
для того чтобы оператор А был непрерывно обратим,
необходимо и достаточно, чтобы:
а) операторы Ап были непрерывно обратимы, начиная
с некоторого номера Лг;
б) последовательность А~^ для п S= N была ограни-
ограничена.
9.24. Пусть Н — гильбертово пространство, А^??{Н),
R(A) = Н и оператор А имеет единственный ограничен-
ограниченный правый обратный оператор А~т1. Доказать, что А
непрерывно обратим.
9.25. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что
в пространстве 9?(Х) множество всех- непрерывно обрати-
обратимых операторов является открытым.
§ 10. Замкнутые операторы
Пусть X, Y— банаховы пространства. Их прямой сум-
суммой называется банахово пространство Z = X-\-Y пар
z = (x,y), где х ^ X, y^Y, с операциями а^{ + a:z2 =
= (aixl+ <x2x,, ocij/i+ вд2), где г, = (<rh у,), 2> = (.г2, у.),
G6i, a, — скаляры, и с нормой lizll = 1Ы1* + ЦК-
Графиком линейного оператора А с областью опреде-
определения D(A) с: X и областью значений /?Ы) с У называет-
называется совокупность пар (х, Ах) с Z = X-f- Y. Линейный опе-
оператор A: X^-Y называется замкнутым, если его график
является замкнутым множеством в пространстве Z = X 4-
+ У. Иначе говоря, ^4 замкнут, если из xn<sD(A) (nsN),
жп -»- х и у4а;п -> .г/ вытекает, что х е /)(Л) и Лх = г/.
Теорема 10.1. Если А е ^(Z, У), го 4 замкнут.
Теорема 10.2. Если А замкнут и оператор А~[ су-
существует, то А~{ замкнут.
Теорема 10.3. Пусть А — замкнутый линейный опе-
оператор с D{A) = X. Тогда А ограничен.
62
10.1. Рассмотрим оператор А: СГО, П -* С[0, II,
Ax(t)=x(t)/t
с областью определения D(A) = ix(t) e CLO, lh limi~l
существует}. Доказать, что А — замкнутый оператор.
10.2. Рассмотрим оператор А: СЮ, И -»-(Л0, 1],
= dx/dt
с областью определения /)(Л) — линейным многообразием
непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций xit),
удовлетворяющих условиям х@) = хA) = 0. Доказать, что
Л — замкнутый оператор.
10.3. PaccMOipmi оператор A: ClO, 1J -»• CiO, 1],
с областью определения ?)(Л) — линейным многообразием
дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функ-
функций x(t), удовлетворяющих условиям х@) =х'@) = О.
Доказать, чго А—неограниченный замкнутый оператор.
10/i. Доказать, чю оператор проектирования Р на под-
подпространство L банахова пространства X параллельно под-
подпространству М (см. задачу 8.35) замкнут и, следователь-
следовательно, ограничен.
10.5. Доказать, что в пространстве Cla, b] оператор
Ax(t) — dx/dt, определенный на линейном многообразии
непрерывно дифференцируемых на [а, Ъ\ функций,
замкнут.
10.6. Доказать, что в прямой сумме банаховых про-
пространств можно ввести норму следующими способами:
1Ы1 = У1Ы1г + llyll2, 1Ы1 = A№ + Ну!!"I''", р>\, 1Ы1 =
= шах {11x11, Иг/ID. Доказать, что все эти нормы эквива-
эквивалентны.
10.7. Доказать, что график линейного оператора ^4:
X -*• У является линейным многообразием в пространстве
Xy
10.8. Всякое ли линейное многообразие в пространстве
Z = Х-\- У может являться графиком некоторого линейного
оператора?
10.9. Доказать, что ограниченный линейный оператор
А: X -+¦ У замкнут тогда и только тогда, когда D(A) за-
замкнуто в X.
10.10. Пусть ^4: X ->- У—замкнутый линейный опера-
оператор. Верно ли. что:
a) D(A) замкнуто в X; б) R{A) замкнуто в У?
03

10.11. Доказать, что множество нулей замкнутого опе-
оператора является замкнутым множеством.
10.12. Пусть А: X -»¦ У—такой линейный оператор,
что R(A) замкнуто в 7 и существует такое meR (m>
>0), что для любого x^D(A) выполняется неравенство
Ых^ > т\\х\\. Доказать, что А — замкнутый оператор.
10.13. Пусть А, В: X ->- У— линейные операторы, при-
причем А замкнут, В ограничен и Т){А) aD(B). Доказать,
что А + В — замкнутый оператор.
10.14. Пусть А: X-> У — замкнутый линейный опера-
оператор, R(A) = Y и оператор А~1 существует. Доказать, что
10.15. Пусть А: X -> У — линейный оператор. Дока-
Доказать, что А является замкнутым тогда и только тогда,
когда D(A) в норме Hdlj = \\х\\х + \\AxWY, является банахо-
банаховым пространством.
Глава 3
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
II СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 11. Непрерывные линейные функционалы
Пусть X — линейное нормированное пространство.
Всякий оператор /: X -*• У, где У = R или У = С, называ-
называется функционалом, при этом значение функционала / на
элементе is! обозначается <?,/>. В этой главе рассмат-
рассматриваются только линейные функционалы. Поскольку ли-
линейный функционал является частным случаем линейного
оператора, для пего остаются в силе понятия непрерыв-
непрерывности, ограниченности и нормы, а также теоремы из
§§ 7, 8. Пространство непрерывных линейных функциона-
функционалов 2?(Х, У), где y = R или У = С, называется сопряжен-
сопряженным к X и обозначается X*. Гиперплоскостью называется
множество {х е X: (х, /> = X), где / — линейный функци-
функционал, Z,eR (Xe=C).
11.1. Пусть X — комплексное линейное пространство,
/ — определенный на X ц не равный тождественно нулю
линейный функционал. Доказать, что область значений /
есть все С.
11.2. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /еХ*. Доказать, что:
а) 11/1= «Ф Lij^b
б)||/||= sup [ <лг, /> |;
х=Х,Ы=1
в) ||/||= sup (x,f), если пространство X — веще-
х^Х,\[х\\=1
ственное.
11.3. Доказать, что следующие функционалы в про-
пространстве С[—1, 1] являются линейными непрерывными
и найти их нормы:
а) <x,f)^±[x(-l) + x(l)];
б) <*,/> = 2[jcA)-
5 В. А. Треиогин и др,
65

B) (x,f)= 2 ahx(tk), где набор чисел akeR
к1
к=1
Л, «2,..
г) <
Д) <
е) <
ж)
[-1, U — фиксированные;
]) ее [-1,1];
-1
о
= J
-1
1
b n
11.4. Будут ли ограниченными в пространству С[0, 1]
следующие линейные функционалы:
1
а) <*,/> = \x{Y't)dt;
б) <*,/> =
1
в) <*,/> = Km [x{tn)dfi
11.5. Доказать, что следующие функционалы являются
линейными непрерывными, и найти их нормы:
1
а) <x,f>= J tx{t)dt, zeC[-l, 1];
-1
1
б) <s,/> = Jte(f)d*, же С1 [-1,1];
о
1
в) (х, /> = J tx (t) dt, X<=LX[— 1, 1];
г) <«,/>= j to(f)df, ге?2[-1, 1];
—i
i
Д) <х, /> = j *"х За;(t)dt, xei,[0,1];
е) (х, /> = Xi + х.2, х = (хих,, . ..)
h=l
и) <ж,
h=l
к) <я, /> = «1 + х2, х = (хг, х2, .. .) е т;
л) <ж, /> =
= (Xl, хг, .. .)
м)
= lim
11.6. При каком значении р функционалы а), б) зада-
задачи 11.4 являются непрерывными в пространстве LP[Q, 1]?
11.7. Будет ли непрерывен функционал <х, /> =х'@),
если он рассматривается:
а) на пространстве С'[ —1, 1];
б) на всюду плотном в пространстве Cl — l, 1] линей-
линейном многообразии непрерывно дифференцируемых функ-
функций?
11.8. В пространстве С1[а, Ъ] рассмотрим подпростран-
подпространство L = {ж(^)еС1[а,6]: х{а) =х{Ъ) = 0}.
а) Пусть uit), vU), w(t)^C[a,b]. Доказать, что
= [v(t)x(t) + w(t)x'(t)]dt
есть непрерывные линейные функционалы на простран-
пространстве СЧа, Ы.
б) Пусть (х, /) = 0 для любой x{t) e L. Доказать, что
u(t) = const.
в) Пусть <х, g) = 0 для любой xit) e L. Доказать, что
)C4a, b] п w'(t) = v(t).
11.9. Рассматривая непрерывные линейные функциона-
функционалы, определенные на пространстве С[ — 1, 11 в задаче 11.3,
убедиться, что не для любого /^С*[ —1, 1] найдется та-
такое Л)еС[-1,1], хШ^О, что |<аг,/>|=Ы1-11/11.
5* 67

11.10. В пространствах U, с0 привести примеры непре-
непрерывных линейных функционалов, которые достигают и
которые не достигают своей нормы на единичном замкну-
замкнутом шаре.
11.11. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, / е= X* и для некоторого шара SrlxJ
sup | <*, /> - <jy, /> | = 1.
Найти II/H.
11.12. Пусть X — вещественное линейное нормирован-
нормированное пространство, / — линейный "функционал, определен-
определенный на X. Доказать, что / непрерывен тогда и только
тогда, когда для любого ceR множества {х е X:
<х, /> < с} и {х е X: (х, /> > с} являются открытыми в
пространстве X.
11.13. Пусть / — линейный функционал, определенный
на линейном нормированном пространстве X, причем для
любой последовательности хп^Х (neN) такой, что
хп -*¦ 0 при п ->¦ <м, множество <х„, /> ограничено. Дока-
Доказать, что /е X*.
11.14. Пусть линейный функционал / определен па ве-
вещественном линейном нормированном пространстве X и
неограничен. Доказать, что в любой окрестности нуля он
принимает все вещественные значения.
11.15. Доказать, что линейный функционал / в линей-
линейном нормированном пространстве X непрерывен тогда и
только тогда, когда его множество нулей (ядро) N<f) =
= {ieX: (х, /> = 0} замкнуто в X.
11.16. Пусть X—линейное нормированное простран-
пространство, /el* /#0. Доказать, что X = Л'(/) © М, где М —
одномерное подпространство.
11.17. Доказать, что два непрерывных линейных функ-
функционала, определенные на одном и том же линейном нор-
нормированном пространстве п имеющие общее множество
нулей (ядро), пропорциональны.
11.18. Пусть L — такое подпространство X, что ЬФХ
и L не содержится ни в каком другом'подпространстве,
отличном от L и X. Доказать, что существует такое / s
el*, что L = N(f).
11.19. Доказать, что всякая гиперплоскость в линей-
линейном нормированном пространстве является выпуклым
.множеством.
11.20. Пусть / — фиксированный линейный функци-
функционал на линейном нормированном пространстве X. Дока-
68
зать, что если одна из гиперплоскостей замкнута, то и все
они замкнуты.
11.21. Доказать, что всякая гиперплоскость в линейном
нормированном пространстве X или замкнута в X, или
всюду плотна в нем.
11.22. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /еХ*, / ^ 0. Рассмотрим в X гиперплоскость L =
= del: <jc, /> = 1). Доказать, что
11.23. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /еХ*, L = N{f). Доказать, что для любого х^Х
(х L)-
11.24. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /el*, L = N(f), x^X, хФЬ и существует такое
i/eL, что р(х, L) = \\х — у\\. Доказать, что / достигает
своей нормы на единичном замкнутом шаре простран-
пространства X.
11.25. В пространстве Ci — i, 1] рассмотрим множество
а) Доказать, что L — подпространство С[ — 1, 1],
и найти такое /е=С*[ —1, 1], что L = N(f).
б) Доказать, что для x(t) е С[ —1, 1], хФЬ не су-
существует такого y^L, что р(х, L) = \\х — г/И.
11.26. Для х = (ж,, .т2, ...) s с0 положим
<*,/>= 2 2-*+1*».
а) Доказать, что / — непрерывный линейный функци-
функционал на пространстве са.
б) Пусть L = N(f), хес„ х Ф L. Доказать, что не су-
существует такого у е= L, что р(х, L) = Wx — jyll.
§ 12. Теорема Хана — Банаха.
Структура сопряженного пространства
Теорема 12.1. Пусть в вещественном линейном нор-
нормированном пространстве X задан ограниченный линей-
ный функционал f с D{f)czX. Тогда существует опреде-
09

ленный всюду в X ограниченный линейный функционал f,
такой что il/H = 11/11 и <х, f > = (х, /> для любого x^D(f).
Следствие 1. Пусть ig X, х?=0. Тогда существует
такое / е X*, что 11/11 = 1, <я, /> = IW.
Следствие 2. Пусть L а X — линейное многообра-
многообразие, ха е X, хаФЬ и d = p(xa, L) > 0. Тогда существует
такое /<=Х*, чго <?, /> = 0 Зля любого X&L, <х0, /> = 1,
11/11 = Ш.
Теорема 12.2. Пусть Н — гильбертово пространство.
Для любого ограниченного линейного функционала /, за-
заданного всюду на Н, существует единственный элемент
у<^Н, такой что <х, /> = U, у) для любого х*=Н. При
этом 11/11 = \\y\\.
Теорема 12.3. Любой ограниченный линейный
функционал /, заданный на всем пространстве С[а, Ь],
может быть представлен в виде интеграла Стилтъеса
ь
где g(t) — функция с ограниченной на [а, Ь] вариацией.
При этом для некоторой g(t) выполняется равенство ||/Ц =
а
(Определение интеграла Стилтьеса и доказательство
теоремы 12.3 приведены, например, в [15].)
12.1. Пусть X — банахово пространство, /„el* (гае
,SN) и для любого х^Х существует lira <x, /„> = <т, />.
П-*<х>
Доказать, что /el*
12.2. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /,eZ* (ne=N). Доказать, что /„ сходится в X*
тогда и только тогда, когда <х, /„> сходится равномерно
в шаре {igX: 1Ы1 < 1}.
12.3. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, х,у^Х, хФу. Доказать, что существует такое /е
еХ*, что <х,рф<у,р.
12.4. Доказать, что в любом линейном нормированном
пространстве X для любого ),eR и любого ненулевого
/<=Х* гиперплоскость {х^Х: (х, {>=).} есть непустое
множество.
12.5. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространеХ Д
ство
, Доказать, что
1*1=
sup
70
12.6. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, ха е X и для любого /еР такого, что 11/11 = 1, вы-
выполняется неравенство \<ха, />|<1. Доказать, что Их0И ^
<1.
12.7. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /еХ*, ХеШ). Доказать, что Ш = sup \<Ax, />|,
где верхняя грань берется но множеству {ieX: 1Ы1 = 1,
/еХ*, 11/11 = 1).
12.8. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, хп sX (neN)- фиксированная система элементов,
L — ее линейная оболочка, х^Х — произвольный элемент.
Доказать, что х <= L тогда п только тогда, когда из / е X*,
<хА, /> = 0 для к е N следует (х, f> = 0.
12.9. Доказать, что если линейное нормированное про-
пространство X бесконечномерно, то и пространство X* бес-
бесконечномерно.
12.10. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, М ¦= X — произвольное множество. Положим ML =
= {/еХ*: <х, />=0 для любого х^М).
а) Доказать, что ML — подпространство в простран-
пространстве X*.
б) Что представляет собой М-1, если X — гильбертово
пространство?
в) Пусть М с: X — подпространство. Доказать, что
М = {х е= X: (х, /> = 0 для любого / е= Л/-1}.
12.11. Пусть X — банахово пространство. Для произ-
произвольного множества М<=-Х определим его поляру
М* = {/еХ*: | <х, /> | ^ 1 для любого а; е М).
Доказать, что М* — выпуклое замкнутое множество.
12.12. Пусть X,Y — линейные нормированные про-
пространства, Z =Х +F- их прямая сумма. Доказать, чю
всякий ограниченный линейный функционал, заданный
всюду на пространстве Z, однозначно представим в виде
<(x,y),h> = <x,p + <y,g>, где/еХ*, ^У*.
12.13. Пусть X— банахово пространство. Доказать, что
если пространство X* сепарабельно, то и X сепарабельно.
Верно ли обратное утверждение?
12.14. Доказать, что непрерывный линейный функци-
функционал <•?, f> = х[0) в пространстве С[—1, 1] не предста-
представим в виде
<*,/>= § x(t)g(t)dt,
-1
71

где git) efl-1, 1]. Найти такую функцию git) с ограни-
ограниченной на [—1, 1] вариацией, что
<*,/>= § x(t)dg(t).
12.15. Для xit) <= С[ — 1, 1] положим
1
*,/> =
2
tx(t)dt,
-l
а) Доказать, что / — ограниченный линейный функци-
функционал.
б) Найти такую функцию git) с ограниченной на
[—1, 1] вариацией, что
-i
12.16. Пусть 1,(()еС[0, 1] фиксировано. Рассмотрим
в пространстве С[0, 1] одномерное подпространство L =
*={Xxit)}, где X е R. Определим на L линейный функцио-
функционал / равенством (х, /> = Я, если х = Хх0.
а) Доказать, что 11/11 = 1.
б) По теореме 12.1 / может быть продолжен на все про-
пространство СЮ, 1] с сохранением нормы. Однозначно ли
такое продолжение, если: 1) xait) = t; 2) xait) = l — 2t}
(ХЛ
12.17. В пространстве Е1 с элементами х = I на
\Х2 I
подпространстве L = {х е ?2: 2^! — х2 = 0} задан линейный
функционал <x,f)=Xi. Доказать, что существует един-
единственное продолжение / на все Ег с сохранением нормы,
и найти это продолжение.
12.18. Пусть Я — гильбертово пространство, LczH —
подпространство, / — ограниченный линейный функци-
функционал, заданный на L. Доказать, что существует един-
единственное продолжение / на все Я с сохранением нормы.
12.19. Доказать, что всякий ненулевой ограниченный
линейный функционал, заданий всюду в гильбертовом
пространстве Я, достигает своей нормы на единичном
замкнутом шаре Я и притом только в" одной точке этого
шара.
12.20. Пусть / — ограниченный линейный функционал,
заданный на подпространстве с0 с т. Доказать, что суще-
72
отвует единственное продолжение / на все т с сохрапе-
ннем нормы.
12.21. Доказать, что при р > 1 (/„)* = lq, l/p+l/q = l,
т. е. что всякий непрерывный линейный функционал в
пространстве 1Р при р > 1 имеет вид
где х = (.г,, х2, ...)<=/„, у = (у,, т/2, ...) ?Е lqt [/р + [/q = 1
» ll/ii -lUilv
12.22. Доказать, что {с„)* = 11, т. е. что всякий непре-
непрерывный линейный функционал в пространстве сп имеет
вид
71 = 1
где x = ixt,x2, ...)ес„ г/= (г/„ г/г,....) е Z, и ||/||= flj/'l/j.
12.23. Используя задачу 12.13, доказать, что (m)*:?fcZl.
12.24. Доказать, что UJ* = т, т. е. что всякий непре-
непрерывный линейный функционал в пространстве U имеет
вид
п=1
где x = (ii,L,...)eI,, у = (г/,, у2,...) е т и 11/11 = l!j/llm.
12.25. В пространстве ЯЧ — 1, 1] положим
1
{х, /> = J [я @ sin * + х' (t) cos г] dt.
-i
Доказать, что / — непрерывный линейный функционал и
найти его норму.
12.26. Задает ли равенство
1
{х, /> = \[х (t) cos t + х' (t) sin t] dt
-i
непрерывный линейный функционал в пространстве
#'[—1, 1]? Если да, то какая функция yit) е Я'[—1, U
удовлетворяет условию <.х, /> = (х, г/)?
§ 13. Слабая сходимость. Рефлексивность
Пусть X — линейное нормированное пространство. По-
Последовательность i.el (neN) называют слабо сходя-
сходящейся к элементу ieX и записывают хп -*¦ х in-+°°)
73

слабо, если (х„, /> -> (х, /> для любого /еХ*. Последова-
Последовательность /п е X* UeN) называют *~слабо сходящейся
к элементу /<=Х и записывают /„-*¦/ (га-*-00) *-стабо,
если <х, /„> -*- <я, /> для любого isX.
Теорема 13.1. Для того чтобы х„-+х (ге-+-оо) с.гя-
бо, необходимо и достаточно, чтобы последовательность
\\хп\\ была ограничена и <хл, /> ->¦ <ж, /> Зля любого ] из
всюду плотного в X* линейного многообразия.
Теорема 13.2. Для того чтобы /„ -*¦ / (я ~* °°)
• -слабо, необходимо и достаючно, чтобы последователь-
последовательность II/JI была ограничена и (х, /„> -»• <ж, /> <9ля любого
х из всюду плотного в X линейного многообразия.
Теорема 13.3. Пусть X— банахово пространство.
При каждом фиксированном ieX равенство </,/¦'*> =
= (.х, /> определяет ограниченный линейный функционал
Fx на пространстве X* и при этом IIFJl = liarll.
Таким образом, имеет место изометрическое вложение
XczX**. Если при этом X = X**, то пространство X на-
называется рефлексивным.
Последовательность хп, принадлежащая банахову
пространству X, называется слабо ограниченной, если
для любого / е X* множество <.т„, /> ограничено, и сла-
слабо фундаментальной, если для любого / е X* последова-
последовательность <?„, /) фундаментальна.
Теорема 13.4. Всякое слабо ограниченное множе-
множество в банаховом пространстве ограничено.
Теорема 13.5. Если хп-*-х (и-*¦«>) слабо в бана-
банаховом пространстве X, то существует такая последова-
последовательность выпуклых линейных комбинаций точек xh
п п
"хп = 2 ankxk, 2 «nft = 1> а«А >0,
ЧТО 3?„ -*¦ X (П-*¦ °°).
13.1. Пусть X — банахово пространство, хп, хеХ,
/„, /еХ* (иеЮ и:
1) а;п -ч- я, /„-+/ при п->оо;
2) хп -*¦ х при «-*¦<» слабо, /„ -> / при и -> <»;
3) ж,! -*¦ г при п -*¦ оо) /„ -+¦ / при и -*¦ °° *-слабо.
Доказать, что <ж„, /„> ->- <ж, /> при п -*¦ <».
13.2. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /„, /еХ* (neN) и /п->/ (га-*-»). Доказать, что
/»-*¦/ (гс -»- °°) «-слабо.
13.3. Пусть Я — гильбертово пространство, ж,„ х, у„,
у^Н (neN), Что можно утверждать о сходимости по-
последовательности (х„, i/n), если:
74
а) ?„ -+• х Ы -*¦ оо) слабо, 1/п -*• J/;
б) ^п -* х (га-»-оо) слабо, уп-+у Ы -*¦ °°) слабо?
13.4. Пусть Я — гильбертово пространство, г„, я е
еЯ (веЮ, хп-+х («->«>) слабо и Их„11 -> Ы1. Дока-
Доказать, что хп -*¦ х Ы-*- °°).
13.5. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, i,eX (beN). Доказать, что последовательность
хп сходится в X тогда и только тогда, когда хп слабо
сходится равномерно в шаре (/еХ*: 11/11 ^ 1).
13.6. Пусть Я — гильбертово пространство, 1,еЯ
(веЮ- ортогональная система элементов. Доказать,
что следующие утверждения эквивалентны:
а) 2 хп сходится;
п=1
оо
б) 2 хп слабо сходится;
П=1
оо
в) 2 \xnf СХОДИТСЯ.
п=1
13.7. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, /„, fo<=_X* (nsN), /n-^/o (re-*00) «-слабо. Верно
ли, что /о е Ь, где L — линейная оболочка последователь-
последовательности /„?
13.8. В пространстве h для х — (х{, х2, ...) е h поло-
положим <?, /„>=.гп. Доказать, что /„ -* 0 (ге-*¦<») *-слабо
Верно ли, что /„ -*¦ О?
13.9. Для x(t) еЬ2[-1, 1] положим
<х,/„>=¦ I х (t) cos nnt dt,
а) Доказать, что /„ — ограниченный линейный функ-
функционал, и найти И/„|1.
б) Доказать, что /„ -* 0 (ге-*°°) «-слабо.
в) Верно ли, что /„ -+¦ О Ы -*¦ оо)?
13.10. Для x(t)^C'[-l, 1] положим
<*, /е> = 4 [а' (е) - * (- е)], <х, /0> = х' @),
где eeR, |e| < 1.
а) Доказать, что Д и /0 — непрерывные линейные
функционалы и найти ИДИ, ИДИ.
б) Доказать, что Д -* Д (е -»- 0) «-слабо.
в) Верно ли, что Д ->- Д (е ->- 0)?

13.11. Пусть х(п), х<= 1г, х(п) - DП), х(?\ ...), х=>
= {хи хг, ...). Доказать, что хЫ) -> х (п-+°°) слабо тог-
тогда и только тогда, когда supfla:" || < оо и х? -+xh при
п
га -*- °° для к е N.
13.12. В пространстве СЮ, 1] привести пример слабо
сходящейся последовательности, которая не сходится по
норме пространства СЮ, 1].
13.13. Доказать, что в пространстве h слабая сходи-
сходимость совпадает со сходимостью по норме.
13.14. Пусть X, У — банаховы пространства, Л„а
eS'fX, У) и для любого i^X и любого /^У* последо-
последовательность (Аах, /> ограничена. Доказать, что после-
последовательность Ып\\ ограничена.
13.15. Пусть X— рефлексивное банахово простран-
пространство, М <= X — подпространство, М1- = {/ е= X*: (х, /> => О
для любого iel), Доказать, что (Л/-1-)-1- = 71/.
13.16. Пусть X— рефлексивное банахово пространст-
пространство, / е X*. Доказать, что существует iel, x Ф 0 такое,
что <ж, /> = 11x11 11/11.
13.17. Используя задачи 11.9, 11.10, 13.16, доказать,
что пространства СЮ, 1J, 1и с0 нерефлексивны.
13.18. Доказать, что множество в банаховом прост-
пространстве является слабо ограниченным тогда и только
тогда, когда оно ограничено.
13.19. Доказать, что всякая слабо фундаментальная
последовательность в банаховом пространстве ограни-
ограничена.
13.20. Доказать, что всякая слабо сходящаяся после-
последовательность в банаховом пространстве слабо фунда-
фундаментальна.
13.21. Назовем множество М в банаховом простран-
пространстве X слабо замкнутым, если из того, что хп е М, хп -*-.
-*¦ х(.п~+°°) слабо, следует jejf,
а) Доказать, что всякое слабо замкнутое множество
замкнуто.
б) Привести пример замкнутого множества в банахо-
банаховом пространстве, не являющегося слабо замкнутым.
13.22. Доказать, что всякое подпространство банахова
пространства слабо замкнуто.
13.23. Доказать, что всякое выпуклое замкнутое мно-
множество в банаховом пространстве слабо замкнуто.
13.24. Будет- ли пространство СЮ, 1] слабо полным?
13.25. Пусть X — сепарабелыюе линейное нормиро-
нормированное пространство. Доказать, что в пространстве X*
70
существует счетное множество, всюду плотное в смысле
•-слабой сходимости.
13.26. Пусть А7 — линейное нормированное простран-
пространство. Верно ли, что для всякого подпространства L <= X*
существует подпространство М <= X такое, что L = Мх
(ортогопалыюсть понимается в смысле задачи 12.10)?
§ 14. Сопряженные операторы
Пусть X, Y — линейные нормированные.пространства,
A-.X-+Y — линейный оператор с областью определения
D(A), плотной в X, возможно, неограниченный. Введем
множество D* <= У* таких /еУ*, для которых при ср «=
е X* имеет место равенство (Ах, /> = (х, <р>. Оператор
А*{ = ф с областью определения D(A*) =• D* с: У* и со
значениями в X* называется сопряженным к оператору
А. Таким образом, (Ах, /> = (х, A*f> для любого х из
D(A) и любого / из D(A*).
Теорема 14.1. А* — замкнутый линейный опе-
оператор.
Теорема 14.2. Равенство D(A*) = У* имеет место
тогда и только тогда, когда А ограничен на D(A). В этом
случае A**s2?(Y*, X*), ЫП = «АН.
Из теоремы 14.2 вытекает, что для А^2?{Х, У),
А*е^(У*, X*), 11А*11 = ЛА11.
^4.1. Пусть X, У —линейные нормированные прост-
пространства, а, ре С, A, B^S'iX, У). Доказать, что (аА +
+ $В)* = аА* + $В (черта означает комплексное сопря-
сопряжение).
14.2. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, А, В е S'U). Доказать, что (АВ)* = В*А*.
14.3. Пусть А е 2?{Х, У) и непрерывно обратим. До-
Доказать, что А* непрерывно обратим- п (Л*) = (Л)*.
14.4. Пусть X, У — линейные нормированные прост-
пространства. Доказать, что отображение Ф: 3?{Х, У) ->-
-* g(Y*, X*), Ф(А) = А* непрерывно.
14.5. Пусть X — рефлексивное банахово пространство,
У —линейное нормированное, A ^S'iX, У). Доказать, что
(Л*)*Х<= У и (А*)* = А как оператор из X в У.
14.6. Пусть Н — гильбертово пространство, А
Доказать, что:
а) N(AA*) = N(A*);
б) N(A*A) = N(A);
в) RUA*) = ЯШ;
г) [1ЛЛ*11 = 11Л112.
77

14.7. Пусть Я— гильбертово пространство, А^ 9?(Н).
Доказать, что:
a) (R(A))J
б)
в)
г)
14.8. Пусть X +- банахово пространство, А <
Доказать, что (R(A)I- = N(A*) (ортогональность пони-
понимается в смысле задачи 12.10)..
14.9. Найти сопряженный к оператору A: L2i0, 1] -*¦
-+ L2[0, 1], если:
t
а) Ax(t)= \ х(х) dx;
о
б) Ax{t) = tx(t);
i
в) Ax(t)= | tx(s) ds;
i
г) 4z (t) = j fa; (f) dt.
14.10. Найти оператор, сопряженный к оператору Л;
U -*¦ /i, если
а) 4а; = (хи х2, ¦ ¦., ж„, 0, 0, ...);
б) Лж = а,ж,, Х2ж2) ...), где ?.,,eR, 1л,.1 < 1, пе\;
в) 4а; = @, ж,, ж2, ...);
г) Ах = (х2, z3, .. ¦).
14.11. Найти сопряженные к операторам задачи 14.10,
если они рассматриваются как действующие:
а) из с0 в с0;
б) из h в 1г\
в) из U в с0.
14.12. В пространстве h для ?=(.?,, я2, ...) е ?, по-
положим -4„а; = (xn+l, xaj 2, .. •).
а) Доказать, что An^S?iU) п Л„->0 (и-»-<») сильно.
б) Найти А„ ц выяснить, верно ли, что Ап^*-0
(п -*¦ оо) сильно?
14.13. Найти оператор, сопряженный н оператору
вло/кенпя /: /г -*• с0, ^ж = х.
14.14. Пусть //—гильбертово пространство, у, z^H,
у Ф 0, z =5^ 0 — произвольные фиксированные элементы.
Для х^П положим Ax=ix, y)z. Доказать, что ie
п наптп оператор 4*.
7Ь
14.15. Пусть Я — гильбертово пространство, А, В:
Я ->-// — линейные операторы, определенные на всем Я
и такие, что для любых х, у е Я выполняется равенство
Ыя, у) = (ж, By). Доказать, что А — ограниченный опе-
оператор и В = А*.
14.16. Пусть X, У — линейные нормированные прост-
пространства, А: X -> Y — такой линейный оператор, что
D{A) = X, оператор А~1 существует п принадлежит
3?(Y, X). Доказать, что (А*)~1 существует, принадлежит
3?(Х*, У*) п при эюм U*)-' = (Л-1)*. .
14.17. В пространстве h рассмотрим для х = (xi,
х., ...) е h опе])атор A: h-+h, Ax=(xh 2хг, Зх3, ...) с
областью определения D (А) — \х^ 12, х = {хих1, ...):
i2 \ хп
о
п=1
а) Доказать, что D(A) = 1г.
б) Доказать, что А — неограниченный на D(A) линей-
линейный оператор.
в) Найти DU*) и А*.
14.18. Рассмотрим оператор А: 12-^1и Ах = х с об-
областью определения D(A), состоящей из элементов х —
со
= {xi х-,, ...) е 12) для которых Zj I xn\ < °°.
n=i
а) Доказать, что D{A) = l2.
б) Доказать, что А — линейный оператор, неограни-
неограниченный па D{A).
в) Найти D{A*) и А*.
14.19. Рассмотрим оператор A: L2[0, 1] -»¦ L,[0, 1],
Ax{t) = xit1) с областью определения
D {A) =-. \х (t) e L2 [0,1]: j x2 (i2) df < оо 1.
а) Доказать, что D(xi) =Z,2[0, 1].
б) Доказать, что 4 — линейный оператор, неограни-
неограниченный на D(A).
в) Найти DU*) и А*.
14.20. Рассмотрим оператор 4: Ь2[0, 1] ->- L2[0, ll,
Ax{t) — dx/dt с областью определения DD) — линейным
многообразием непрерывно дифференцируемых на [0, 1]
функций xit), удовлетворяющих условиям х@) = хA) =0.
а) Доказать, что Z)D) = L2[0, 1].
79

б) Доказать, что А — неограниченный на D(A) ли-
линейный оператор.
в) Найти DU*) и Л*.
14.21. Рассмотрим оператор A: L,[0, 1] -* L2[Q, 1],
Axit) = tx@) с областью определения D(A) — линейным
многообразием непрерывных на [0, 1] функций. Найти
D(A*) и А*.
14.22. Найти оператор, сопряженный к оператору
вложения /: 1Г10, U ->- Lzl0, 1J, Jx = х.
14.23. Найти оператор, сопряженный к оператору
А: //'[0, 1] -> LAO, 1J, ЫО d/d
Глава 4
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
II ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 15. Компактные множества в нормированных
пространствах
Множество Q в банаховом пространстве X называет-
называется бикомпактным, если -из каждой последовательностп
xn^Q (neN) можно выбрать сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность, предел которой принадлежит Q.
Теорема 15.1. Пусть /: Q -> R — непрерывная функ-
функция, определенная на' бикомпактном множестве Q <= X.
Тогда / ограничена на Q, достигает на Q своей точной
верхней и нижней граней и равномерно непрерывна на Q.
Система открытых множеств Fa линейного нормиро-
нормированного пространства X называется покрытием множе-
множества' А с X, если каждая точка х^А принадлежит хотя
бы одному из Fa.
Множество М линейного нормированного простран-
пространства X называется компактным, если из каждой последо-
последовательности хп е М (neN) можно выделить фундамен-
фундаментальную подпоследовательность. Множество Мг сг X на-
называется г-сетъю множества М <= X, если для любого
х е М найдется такое х <=¦ Mt, что \\х — х\\ < е.
Теорема 15.2. Множество М в линейном нормиро-
нормированном пространстве X компактно тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 в X существует конечная г-сетъ
для М. _
Пусть G — замкнутая ограниченная область в прост-
пространстве Е", CiG) — пространство непрерывных на П
функций с нормой Ы = ma^x lzU)|, M cr C{U) — некото-
рав-
равeR,
^ с;
су-
су^G,
для
< e.
рое множество функций. Это множество называется
номерно ограниченным, если существует такое с <
что для любого х е М выполняется неравенство llarll
равностепенно непрерывным, если для любого е > О
шествует 6 = бЧе)>0, такое, что для любых tit t2(
удовлетворяющих неравенству Ut — tj\ < б, сразу
всех ieM выполняется неравенство \xitt) — x(t2)\
Теорема 15.3. Для того чтобы множество Мс:
было компактно, необходимо и достаточно, чтобы
6 В, А Треногий и др.
ОНО
81

было равномерно ограниченным и равностепенно непре-
непрерывным.
Множество М элементов линейного нормированного
пространства X называется локально компактным, если
пересечение М с любым замкнутым шаром в X ком-
компактно.
Теорема 15.4. Для того чтобы линейное многообра-
многообразие L линейного нормированного пространства X было
локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы L
было конечномерно.
Множество М банахова пространства X называется
слабо компактным, если из любой бесконечной последо-
последовательности его элементов можно выбрать слабо фунда-
фундаментальную подпоследовательность.
Теорема 15.5. Всякое слабо компактное множество
в банаховом пространстве ограничено.
Теорема 15.6. Всякое ограниченное множество реф-
рефлексивного банахова пространства слабо компактно.
15.1. Пусть X—банахово пространство, М с X — та-
такое замкнутое множество, что для любого е > 0 в X су-
существует для М конечная е-сеть. Доказать, что М би-
бикомпактно.
15.2. Доказать, что замыкание компактного множе-
множества бикомпактно.
15.3. Доказать, что всякое подмножество бикомпакт-
бикомпактного множества компактно.
15.4. Пусть множество М в линейном нормированном
пространстве X таково, что для любого е > 0 в X су-
существует для М компактная е-сеть. Доказать,. что М
компактно.
15.5. Доказать, что в конечномерном линейном нор-
нормированном пространстве всякое ограниченное множе-
множество компактно.
15.6. Пусть М — бикомпактное множество в банаховом'
пространстве X, хп^М (веМ), ха — единственная пре-
предельная точка последовательности хп. Доказать, что
хп ~+ х0 (« --* °°).
15.7. Доказать, что множество хп = sin nt е Ьг[—л, п]
(neN) замкнуто п ограничено, но не компактно.
15.8. Пусть М — бикомпактное множество в банахо-
банаховом пространстве X. Доказать, что для любого е > О
множество М может быть представлено в виде
Л/ = U Fu
82
где Fi — замкнутые множества и для ? = 1, 2, ..., п
diamFf < e.
15.9. Доказать, что для того чтобы множество М из
банахова пространства X было бикомпактно, необходимо
и достаточно, чтобы из любого покрытия М можно было
выделить конечное подпокрытие.
15.10. Пусть А — бикомпактное множество в банахо-
банаховом пространстве X. Доказать, что для любого леХ
найдется такое у е А, что р(х, А) = \\х — г/11.
15.11. Пусть А — бикомпактное, В — замкнутое мно-
множество в банаховом пространстве X и А П В = 0. Дока-
Доказать, что р(А, В) > 0.
15.12. Пусть А, В — бикомпактные множества в ба-
банаховом пространстве X. Доказать, что существуют та-
такие ха^А, уа^В, что р(А, В) = 1\хь— уо\\. Обязательно
ли найдутся такие точки, если А бикомпактно, а В
замкнуто?
15.13. Пусть А — бикомпактное множество в банахо-
банаховом пространстве X. Доказать, что найдутся такие ,г,,,
г/о е А, что diam А = \\х0 — уо\\.
15.14. Доказать, что бикомпактное множество нельзя
пзометрпчно отобразить на свою часть.
15.15. В пространстве Ег построить компактное мно-
множество, пзометрпчпое своей части.
15.16. Пусть X— банахово пространство, М <= X — би-
бикомпактное множество, Ф: М -*¦ М — такое отображение,
что для любых х, у е М выполняется неравенство
ИФ(ж) — Ф(г/I1 > И.С — г/11. Доказать, что Ф есть изометри-
изометрическое отображенпе М на себя.
15.17. Доказать, что в банаховом пространстве всякая
система непустых вложенных бикомпактных множеств
имеет непустое пересечение.
15.18. Пусть Мп — такая последовательность биком-
бикомпактных множеств в банаховом пространстве X, что пе-
пересечение любого конечного числа этих множеств не-
оо
пусто. Доказать, что П Л/„ непусто.
15.19. Пусть Ut (г = 1, 2, ..., п) — конечное покрытие
бикомпактного множества М в банаховом пространстве
X. Положим
. (.г) = р (х, М\и{), е, (х) = Ф. (х) [ 2 Ф1
i=l,2, .... и.
6*
83

Доказать, что система функций ie,(x)}, называемая раз-
разбиением единицы, соответствующим покрытию ?/„ обла-
обладает следующими свойствами:
а) 0<е,Ы< 1;
б) е,Ы=0 при z&U,;
п
в) Zj е,(х) = 1
i
для любого
il
г) е,{х) — непрерывные функции на М.
15.20. Пусть X—банахово пространство, А, В с: X и:
а) А, В бикомпактны; доказать, что множество А+В
бикомпактно;
б) А бикомпактно, В замкнуто; доказать, что множе-
множество А + В замкнуто;
в) А, В компактны; доказать, что множество А+В
компактно;
г) А, В замкнуты; верно ли, что А + В — замкнутое
множество?
15.21. Пусть М— бикомпактное множество в банахо-
банаховом пространстве X, СШ) — пространство вещественных
непрерывных на М функций с нормой ||ж|| = max | x(t)\,
ism
Доказать, что СШ) — сепарабельное банахово прост-
пространство.
15.22. Пусть X, Y — банаховы пространства, М с: X —•
бикомпактное множество, СШ, У) — множество непре-
непрерывных отображений, определенных на М с областью
значений в У. Доказать, что:
а) СШ, У) — линейное пространство;
б) в СШ, Y) можно задать норму равенством 1/1 =
-sup \\f(x)\\;
хем
в) в этой норме СШ, Y) является банаховым прост-
пространством.
15.23. Пусть М — такое множество в банаховом прост-
пространстве X, что для любой вещественной непрерывной на
М функции / выполняется хотя бы одно из следующих
условий:
1) / ограничена на М;
2) если / ограничена на М, то / достигает на М точ«
ной верхней п точной нижней граней.
Доказать, что М бикомпактно.
15.24. Пусть М — такое множество в банаховом
пространстве X, что любая вещественная непрерывная
па М функция равномерно непрерывна. Следует ли от-
отсюда, что М бикомпактно?
15.25. Доказать, что непрерывное отображение пере-
переводит бикомпактное множество в бикомпактное мно-
множество.
15.26. Пусть /: X->¦ Y — непрерывное отображение ба-
банахова пространства X в банахово пространство Y, Мс
с X — компактное множество. Доказать, что множество
f(M) с: У компактно.
15.27. Верно ли утверждение предыдущей задачи, ес-
если непрерывное отображение определено не на всем
пространстве X, а только на множестве Ml
15.28. Доказать, что если функция равномерно не-
непрерывна на компактном множестве М линейного нор-
нормированного пространства X, то она ограничена на М.
15.29. Пусть М <= Cia, b] — множество функций и из-
известно, что для любого е > 0 и любого t0 e [a, b] суще-
существует такое б = б(е, t0), что если \t — to\ < б, то для лю-
любого x(t) е М выполняется неравенство \x{t) — x(to)\ < г.
Будет ли множество М равностепенно непрерывным?
15.30. Пусть xn(t)^Cla, b] (res N) — равностепенно
непрерывное множество функций и xj.t) при п -*¦ °° схо-
сходится к xo{t) поточечно на [а, Ь]. Доказать, что «p(f) s
eCta, b].
15.31. Пусть М — равномерно ограниченное множество
функций в пространстве С[а, Ь]. Доказать, что множество
N функций вида
где xW^I, компактно.
15.32. Доказать, что равномерно ограниченное мно-
множество функций М cr Cla, b], удовлетворяющих условию
Липшица с общей постоянной, бикомпактно в прост-
пространстве Cla, b].
15.33. Доказать, что множество функций M^Cla, Ь\,
ограниченных при некотором фиксированном t0 е [а, Ь]
и удовлетворяющих условию Липщица с общей постоян-
постоянной, бикомпактно в пространстве С[а, Ъ].
15.34. Доказать, что множество непрерывно диффе-
дифференцируемых на [а, Ь] функций x(.t) таких, что
ь
(постоянная A'i > 0, постоянная кг > 0) компактно в
пространстве Cla, b].
85

15.35. Доказать, что множество непрерывно диффе-
дифференцируемых на la, Ь] функций x{t) таких, что
ъ
l[\x{t)\*+\x'(t)\*]dt<k
а
с постоянной к > О, компактно в пространстве Cla, Ъ].
15.36. Пусть М — множество непрерывно дифферен-
дифференцируемых на [а, Ъ] функций x{t), удовлетворяющих сле-
следующим условиям:
1) для любого t e [a, b] и любой xit) e M выполня-
выполняется неравенство \x'(t)\ <к, где постоянная к > 0;
2) для любой x(t) е М уравнение x(t) = 0 имеет на
la, Ь] хотя бы один корень. Доказать, что М — компакт-
компактное множество в пространстве Cla, Ь].
15.37. Будет ли равномерно ограниченное множество
многочленов степени п бикомпактным в пространстве
Cla, Ы?
15.38. Доказать, что равномерно ограниченное мно-
множество многочленов степени, не выше ~п, бикомпактно в
пространстве Cla, Ь].
15.39. Доказать, что для любой непрерывной на
la, b] функции x(t) существует многочлен Pit) степени,
не выше п, который является многочленом наилучшего
приближения, т. е.
max \x(t) — P (OK max \x(t) — Q(t)\
tS[a,b] <G[n,ft]
для любого многочлена Qit) степени, не выше п.
15.40. Пусть x{t) — непрерывная на la, b] функция
п существует последовательность многочленов ограни-
ограниченной степени, которая сходитсл к x(t) равномерно на
la, Ь]. Доказать, что xit) — многочлен.
15.41. Доказать, что шар ?i@) пространства С11а, Ъ]
является компактным множеством в пространстве Cla, bl.
Является ли он бикомпактным множеством в простран-
пространстве Cla, b]?
15.42. Доказать, что всякое множество, компактное в
пространстве СЧа, Ы, является компактным и в прост-
пространстве Cla, Ъ].
15.43. Привести пример множества непрерывно диф-
дифференцируемых па [0, 1] функций, компактного в прост-
пространстве ClO, 1], но не компактного в пространстве
СЧО, 1].
15.44. Компактны ли следующие множества функций
в пространстве СЮ, 1];
80
а) xn(t) = t", neN;
б) xn(t) ^sinnt, neN;
в) xn(l) = sin (t + n), n<=N;
r) xa(t) = sinat, asR;
д) xa(t) = sin at~a.es [1, 2];
е) xa{t) = arctgat, aeR;
ж) xaW = e'-a, aeR, a^O?
15.45. Будет ли компактным в пространстве СЮ, 1]
множество функции xit) <s ClO, 1], удовлетворяющих при
любом is [0, ]] неравенству \x(t)\ ^qi(t), где tpU)e
е СЮ, 11, ц)A) > 0 — фиксированная функция?
15.40. Доказать, что всякое компактное множество
в пространстве а) Cla, h\; б) 1г нигде не плотно.
15.47. Доказать, что для того чтобы множество функ-
функции M<^Ck[a, b] было компактно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было равномерно ограничено, а мно-
множество производных порядка А; входящих в М функций
было равностепенно непрерывно.
15.48. Доказать, что множество М элементов х =
= {xi, x2, ...) из пространства с шга сй компактно тогда
н только тогда, когда оно ограничено и lima:,, существу-
ет равномерно относительно х <s M, т. е. для любого е > 0
найдется такое Л' = Л'(е), что при всех п> N для любого
х = Сагj, хг, ...) <s M выполняется неравенство
rn — lim хп\ < г.
15.49. Доказать,
¦¦(xit хг, ...)е/р (
что
> 1)
множество
компактно
М элементов х =
тогда и только тог-
тогда, когда оно ограничено н
п
lim У,
7,-^00 h = l
существует равномерно относительно х^М, т. е. для
любого е>0 найдется такое N = N(e), что при всех п>
> N для любого х = {х1, Xi, ...) е М выполняется нера-
неравенство
I хк I
le.
15.50. Доказать, что
¦= {хи хг, ...): 1а;п| < 1/ге)
жеством в пространстве k.
параллелепипед {г е !2, х =
является бикомпактным мно-
мно87

15.51. При каком условии па последовательность
)Ч1 е R, ).n>0 (res]\T), является бикомпактным множе-
множеством в пространстве 1г:
а) параллелепипед Ье/., x^ixi, х2, ...): |л„1 </.J;
б) ЭЛЛИПСОИД Х(= 1,,Х = {.Г1,Х2, . . .): ^7Т<1?
»,^1 '-п. )
15.52.' Доказать, что если подпространство в прост-
пространстве Cla, b] состоит из непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций, то оно конечномерно.
15.53. Пусть X, У — банаховы пространства, М cz X ~
компактное множество, Ап, As3?{X, У) (neN) и А„->
-*¦ А [п -»¦ оо) сильно. Доказать, что Апх равномерно схо-
сходится к Ах при п-+ °° для всех х е М.
15.54. Пусть X — банахово пространство, хп е X
(и^Ю, хп компактна п х„-+х {п ->¦ °°) слабо. Доказать,
что хп—>х (п-> °°7.
15.55. Пусть Х_— рефлексивное банахово простран-
пространство, х,еХ, хп^ Sr(xa), «eN. Доказать, что найдется
такая подпоследовательность ^k(ireN), что ^?ifc—>-^
(и -> оо) слабо и ж е ?,(#»).
15.56. Доказать, что всякое компактное множество в
банаховом пространстве слабо компактно, и привести
пример слабо компактного множества, не являющегося
компактным.
15.57. Доказать, что единичный замкнутый шар прост-
пространства СЮ, 1] не является слабо компактным мно-
множеством. ¦
§ 16. Линейные вполне непрерывные операторы
Пусть X, У — линейные нормированные простран-
пространства. Оператор 4ej?(X, У) называется вполне непре-
непрерывным, если он переводит замкнутый единичный шар
пространства X в компактное множество пространства
Y. Множество всех вполне непрерывных операторов из
2ЧХ, Y) обозначается о(Х, У).
Теорема 16.1. Если A^aiX, У), то любое ограни-
ограниченное в X множество он переводит в множество, ком-
компактное в У.
Теорема 16.2. o(Z, У) является подпространством в
пространстве 2?(Х, Y):
Теорема 16.3. Пусть 4еШг У), B^SiY, Z).
Если хотя бы один из этих операторов вполне непреры-
88
вен, то вполне непрерывным оператором будет и их про-
произведение В А.
Теорема 16.4. Пусть Лео(Х, У). Если хп^Х (гее
е N), хп -*¦ х0 {п -*- оо) слабо, то Ахп—^ Ахй.
Теорема 16.5. Пусть ie^(X, У), где У — банахо-
банахово пространство. Оператор А вполне непрерывен тогда
и только тогда, когда А* вполне непрерывен.
Пусть X — банахово пространство, А^а(Х, Х)=а{Х),
х, у <= X. Уравнение
Ах = у
называется уравнением [-го рода, уравнение
х-Ах = у A)
называется, уравнением 2-го рода. Наряду с A),-рассмот-
A),-рассмотрим соответствующее однородное уравнение
z-Az = O, B)
а также сопряженное уравнение
и сопряженное однородное уравнение
C)
D)
Теорема 16.6. Следующие утверждения эквива-
эквивалентны;
а) уравнение A) имеет решение при любой правой
части у;
б) уравнение B) имеет только тривиальное решение;
в) уравнение C) имеет решение при любой правой
части ш;
г) уравнение D) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно из условий а), б), в), г), то
операторы I — A и I — А* непрерывно обратимы.
Теорема 16,7. Уравнения B) и D) имеют одинако-
одинаковое конечное число линейно независимых решений.
Теорема 16.8. Для того чтобы уравнение A) имело
хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы
для любого решения ty уравнения D) выполнялось усло-
условие <у, \|з> = 0.
Теорема 16.9. Пусть X, У — бесконечномерные ли-
линейные нормированные пространства, причем У — бана-
банахово, 4 е о(Х] У) и ЩА) бесконечномерна. Тогда R(A)
не является замкнутой в У.
Теорема 16.10. Пусть X, У — линейные нормирован-
нормированные пространства, причем, X бесконечномерно, А е

e a(X, Y) и на R(A) существует обратный оператор А*1,
Тогда А~1 неограничен на ША).
16.1. Какие из следующих операторов А: С[0, 1] ->,
-*¦ СЮ, 1] являются вполне непрерывными:
а) Ax(t) = tx(t);
t
б) Ах @ = J а- (т) dr;
в) Л*@ = а:@)+*гA);
1
г) Ах (t) = J e(s^ (s) ds;
Д) Лж (*) = ж (*2)?
16.2. Будет ли вполне непрерывным оператор
А: С[- 1,1]->С[- 1,1], L
16.3. При каком условии на функцию ф(<)еС[0 1]
оператор Л: С[0, И ^ СЮ, 1], ArU) =(p(i)a:U) будет
вполне непрерывным?
16.4. Оператор Л: СЮ, 1]-* <Л0, 1] определяется ра-
равенством
1
Ar (*) = ) К (t, s) x (s) ds + ^ ф„ @ x (tk),
где /Ш, s) непрерывна при 0 < s, i<l, ф„(ЯеС[0, 1],
^е[0, 1] для А=1, 2, ..., и. Доказать, что А — вполне
непрерывный оператор.
16.5. Будет ли вполне непрерывным оператор Ax(t) =
= dx/dt, если он рассматривается как действующий:
а) из С"[0, 1] в-С[0, 11;
б) из С2[0, 1] в С"[0, 11;
в) из СЧО, 1] в С[0, 1]?
16.6. Доказать, что оператор A: L2[a, b]-*-Lz[a, b],
Ax(t) — J x(x)dx вполне непрерывен,
о
16.7. Доказать, что оператор ортогонального проекти-
проектирования в гильбертовом пространстве вполне непреры-
непрерывен тогда и только тогда, когда его образ конечномерен.
16.8. Какпе из следующих операторов, определенных
для x=(.x_i, х±, ...)е/2 с областью значений в 1г, вполне
непрерывны:
а) Ах = @,х1,хг, ...);
90
(XX \
в; их —
16.9. Доказать, что оператор вложения:
а) J: СЧа, Ь]-+С1а, b], Jx = х;
б) J: НЧа, Ы-+С[а, Ь], 1х = х
вполне непрерывен.
16.10. Будет ли вполне непрерывен оператор вложе-
вложения /: U ->¦ h, Jx = х?
16.11. Доказать, что оператор А: ПЧа, b] ->Ьг\.а, Ы,
Ax(t) = dx/dt вполне непрерывен.
16.12. В пространстве ЬгЮ, 1] рассмотрим оператор
Ax(t) = d2x/dt2 с областью определения D{A), состоящей
из дважды непрерывно дифференцируемых функций x(t),
удовлетворяющих граничным условиям х{0) = хA) = 0.
Доказать, что оператор А'1 существует, найти его и до-
доказать, что он вполне непрерывен.
16.13. Пусть X=Y — одно из пространств 1Р, т, с,
Со. Для х = (хи хг,...) е= X положим у = Ах = (у\, уг,...),
где ук = 0, если к — нечетное и ук = %ъ-\, если А; — чет-
четное. Доказать, что А не является вполне непрерывным,
хотя Аг = 0 вполне непрерывен.
16.14. Пусть X, У — банаховы пространства, А&
ея(Х, У), fleS'tX, У) и R(B)<=R(A). Доказать, что
flead, У).
16.15. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство. Может ли оператор А е а{Х) быть изометрическим
отображением пространства X в себя?
16.16. Пусть X, У — линейные нормированные прост-
пространства, А: X->- У — линейный оператор. Верно ли, что
А ео(Х, У), если:
а) X конечномерно;
б) У конечномерно;
в) А — ограниченный оператор и У конечномерно?
16.17. Пусть X, У —линейные нормированные прост-
пространства, Л„ео(Х, У) (neN) и Ап-+о° (п-+°°) сильно.
Следует ли отсюда, что А е а(Х, У)?
16.18. Доказать, что любой оператор А<=2?Ш), где
Н — гильбертово пространство, является сильным преде-
пределом последовательности вполне непрерывных операторов.
16.19. Пусть А е a(L). Доказать, что существует по-
последовательность An^S{U) U^N) такая, что Ап-+А
{п -*¦ 0°), и R(An) конечномерно для всех п.
91

16.20. Пусть еп (n^ N) —- ортокормпрованный базис
гильбертова пространства Я, ).,sR (neN), Xn-*-0
(п ->- оо). Для х е II положим
Ах =
71=1
Доказать, что оператор А определен па всем II, перево-
переводит его в себя и является вполне непрерывным.
16.21. Пусть А^2?и„) (K/j<°c) п для х=(хи
хг, ,..)e/j Ax={.hiXu к2хг, ...), где Xh <= R, sup |>.„| < °°.
ft
Доказать, что /1 e o(/p) тогда н только тогда, когда Я* -»-
-*-0 (к-+<х>).
16.22. Пусть е„ (n, e N) — ортонормпрованный базис
гильбертова пространства II, У — банахово пространство,
оо
, У) и ряд 2 MenlP сходится. Доказать, что
(, У).
16.23. Пусть Я — гильбертово пространство, А е
е 5ЧЯ), Л*Л е а(Н). Доказать, что А е= о(Я).
16.24. Используя предыдущую задачу, доказать, что
если А е а(Н), то и Л* е о(Я).
16.25. Пусть X, Y — линейные нормированные прост-
пространства, причем X бесконечномерно, А е а(Х, У). До-
Доказать, что найдется последовательность i,el (n e N)
такая, что HzJ = 1 и ^ж,, -> 0 («-*¦ °°).
16.26. Доказать, что область значений вполне непре-
непрерывного оператора сепарабельна.
16.27. Пусть е„ («е N) — ортонормнроваиный базис
гильбертова пространства Я, А^а(Н). Доказать, что
Ле„->-0 (п -»¦<»).
16.28. Пусть Я — гильбертово пространство, Л е
е З'(Я). Доказать, что следующие утверждения эквива-
эквивалентны:
а) если а1,,, ж, j/;1, г/ е Я («е N) и 2-„->-.г (л -> °°)
слабо, Уи-+у (п-+°э) слабо, то (Ат,„ у„) -> (Ах, у)
(«->¦<»);
б) если г„, геЯ (hs\)) а:„-»¦ а: (га-*• оо) слабо, то
Ахп -*¦ Ах (п -»¦ оо);
в) Лео(Я).
16.29. Доказать, что для любого линейного оператора
А, заданного всюду в банаховом пространстве X п при-
принимающего значения в банаховом пространстве Y, сле-
следующие свойства эквивалентны:
92
а) А переводит любую сходящуюся последователь-
последовательность хп s X в сходящуюся последовательность Ахл е У;
б) 4 переводит любую слабо сходящуюся последова-
последовательность i.eX в слабо сходящуюся последовательность
Axn^Y-
в) А переводит любую сходящуюся последователь-
последовательность i.sX в слабо сходящуюся последовательность
Ахп е У.
16.30. Пусть X, У — банаховы пространства, причем
X рефлексивно, A^S(X, У) и переводит любую слабо
сходящуюся последовательность а;,еГ в сходящуюся
последовательность Axn^Y. Доказать, что А<^о(Х, У).
16.31. Доказать, что любой непрерывный линейный
оператор А^3?Aг, 1{) вполне непрерывен.
16.32. Пусть X — линейное нормированное простран-
пространство, У — сепарабельное банахово пространство, А е
eS'lX, У). Доказать, что А е а(Х, У) тогда и только
тогда, когда А* переводит любую слабо сходящуюся в
У* последовательность в сходящуюся в X* последова-
последовательность.
16.33. Пусть II — гильбертово пространство, As
ёо(Я), М <=¦ Я — замкнутое ограниченное выпуклое мно-
множество. Доказать, что:
а) образ множества М замкнут в Я;
б) для любого у <= Я существует такое хп s M, что
ml Ых — у\\ = Ых0 —у\\. (Согласно [241, определенный
таким образом элемент ха е Н называется квазирешени-
квазирешением уравнения Ах = у, где х, у е Я, А е а(Н).)
16.34. Пусть II — гильбертово пространство, А е о(Я).
Доказать, что образ единичного замкнутого шара — би-
бикомпактное множество.
16.35. Верно ли утверждение предыдущей задачи для
оператора А<^а(Х), рассматриваемого:
а) в произвольном банаховом пространстве X;
б) в рефлексивном банаховом пространстве X?
16.36. Пусть II — гильбертово пространство, А е а(Н).
Доказать, что существует такое хей, х ?= 0, что IL-txl! =
= IUIIW.
16.37. Верно ли утверждение предыдущей задачи для
оператора А е а(Х), рассматриваемого:
а) в произвольном банаховом пространстве X;
б) в рефлексивном банаховом"пространстве А'?
16.38. Пусть X — бесконечномерное банахово прост-
пространство, А^а(Х). Доказать, что существует такое jeX,
что уравнение 1-го рода Ах = у не имеет решения.
S3

16.39. Может лп вполне непрерывный оператор иметь:
а) ограниченный обратный;
б) ограниченный правый обратный;
в) правый обратный/1
16.40. Может ли оператор А: СЮ, 1] -+ СЮ, U,
1
Ах(») = \ K(s, t)x{t)dt,
о
где K(s, t) непрерывна при 0 < s, t^l, иметь ограничен-
ограниченный обратный?
16.41. Пусть X — банахово пространство, ieS'(X)
и существует такое ceR, с > 0, что для любого х ^ X
выполняется неравенство WAxW > с\\х\\. Может ли опера-
оператор А быть вполне непрерывным?
16.42. Пусть X — банахово пространство, А^З?(Х) и
уравнение z — Az = 0 имеет только тривиальное решение.
Следует ли отсюда, что уравнение х — Ах = у имеет ре-
решение при любом jel?
16.43. Привести пример банахова пространства X и
оператора А е 3?(Х) такого, что уравнение z — Az — 0 име-
имеет бесконечное число линейно независимых решений.
16.44. Теоремы 16.6 — 16.8 относятся к уравнению Сх =
= у, где С = 1 — А, 4еоA), X — банахово пространство.
Доказать, что их утверждения остаются в силе, если в
банаховом пространстве X рассмотреть уравнение Сх = у,
где С = В — A, Beg'(X) и непрерывно обратим, Ае
16.45. Рассмотрим оператор А: СЮ, 1] ->¦ СЮ, 1],
Ax{t) =
а) Доказать, что уравнение х — Ах — у имеет решение
при любом г/eCLO, U.
б) Найти оператор (I — A).
16.46. Пусть А — линейный оператор, определенный
всюду в линейном нормированном пространстве X со зна-
значениями в X, Nh = N(Ak), Rk = RW) (/с = 0, 1, ...). До-
Доказать, что
a) No <= Л\ с ... с Л'л <= ЛГл+1 <=..., и npir этом либо все
Nk различны, либо существует такое наименьшее целое
п Зэ 0, что при 0 < г ^ п все N.. различны, а все последую-
последующие Nr совпадают с Л'„ (в этом случае говорят, что А
имеет конечный подъем п);
94
б) #о ^ /?i =>... => Rh^ Rh+i ^ • • ¦ и при этом либо все
/?ь различны, либо существует такое наименьшее целое
т Зг 0, что при 0 < г ^ т все /?г различны, а все после-
последующие Rr совпадают с Rm (в этол! случае говорят, что
А имее-т конечный спуск т).
16.47. Пусть X — банахово пространство, А^2?{Х) и
имеет конечный подъем п и конечный спуск т. Доказать,
что п = т и X = Nn® Rn.
16.48. Пусть X — банахово пространство, А=1 + В,
где Веа(Х). Доказать, что:
а) А имеет конечный подъем п и конечный спуск т
и, следовательно, по предыдущей задаче п = т;
б) каждое подпространство Nr конечномерно, каждое
линейное многообразие Rr замкнуто;
в) А отображает Rn на Rn взаимно однозначно и вза-
взаимно непрерывно.
16.49. Пусть е„ (п е N) — ортонормированный базис в
гильбертовом пространстве Я. Оператор A^S'iH) назы-
называется оператором Гильберта — Шмидта, если величина
n=l
конечна. Доказать, что:
а) величина IL4ll2 не зависит от выбора ортонормиро-
ванного базиса в Н;
б) Ш2 = 114*11,;
в) 114Н<114Н2;
г) величина ИЛИ,, определенная на классе операторов
Гильберта — Шмидта, является нормой;
д) в пространстве 3?Ш) операторы Гильберта — Шмид-
Шмидта образуют линейное многообразие;
е) равенство
(А, В) = S (Аеп, Веп)
71=1
задает на классе операторов Гильберта — Шмидта ска-
скалярное произведение;
ж) операторы Гильберта — Шмидта образуют банахо-
банахово пространство относительно Н4Н2;
з) всякий оператор Гильберта — Шмидта вполне не-
непрерывен;
и) оператор A: L,[0, 11 -»- L,[0, 1],
Ax{s)= j' K(s,t)x(t)dt,
о
95

где K(s, Й e t2t0, 1] X [0, ll, есть оператор Гильберта —
Шмидта;
к) если А — оператор Гильберта — Шмидта и fie
^5?Ш), то АВ и ВА—операторы Гильберта — Шмидта
и при этом \\АВ\\г<\\А\\гШ, \\ВА\\г<\\А\\г\\1П.
л) При каком условии па последовательность Я„ е R
оператор A: k^-h, Ах = {К{хи Кгхг, . . .) для х = {хи
Хг, . ¦ ¦) <= h будет оператором Гпльбертч — Шмидта?
м) В пространстве 1г построить вполне непрерывный опе-
оператор, не являющийся оператором Гильберта — Шмидта.
16.50. Оператор A^S(H) называется ядерным, если
он представим в виде А = ВС, где В, С — операторы Гиль-
Гильберта — Шмидта. Доказать, что если А — ядерный опера-
оператор, то:
а) А — оператор Гильберта — Шмидта и, следователь-
следовательно, вполне непрерывный оператор;
б) AD и РА, где /Ле2?(//),— ядерные операторы;
в) А* — ядерный оператор;
г) для любого ортонормированного базиса еп (деЮ
в Н ряд 2 (Ае„,е„) абсолютно сходится.
п=1
16.51. В. пространстве L привести пример ядерного
оператора и оператора Гильберта — Шмидта, не являюще-
являющегося ядерным.
§ 17, Нормально разрешимые операторы
Пусть X, Y — банаховы пространства, оба веществен-
вещественные или оба комплексные, A: X-+Y — линейный оператор
с D(A) =Х и A*: Y* -+- X* — сопряженный к А оператор.
Оператор А называется нормально разрешимы.», если
для разрешимости уравнения Ах — у необходимо и доста-
достаточно, чтобы (у, if > = 0 для любого решения т|з уравнения
Л* О
|
Нормально разрешимый оператор А называется неге-
ровым, если многообразия МЛ) и МЛ*) конечномерны.
При этом число n = dim M.4) называется числом нулей
оператора А, число иг = dim МЛ*) называется дефектным
числом оператора Л, а число % = п — m называется индек-
индексом оператора А.
Петеров оператор нулевого индекса называется фред-
гольмовым, оператором.
17.1. Доказать, что если уравнение Ах = у имеет хотя
бы одно решение, то <у, гр> = 0 для любого ife//U*),
96
17.2. Пусть L—- лппеГшое многообразие в прост[ г.тпх-
ве 1 *. Л в едем множество
х? ¦= {у е У; <?/, /> =-- 0 для любого /еЙ.
Проверить, что утЕсря;де[1и? прсдыд^ш/1:! зп/.гчп ровно-
сильно ВК, i TO TfJ illlO
17.3. I{ovn tsxih, чю в обозначениях задач 17.1 и 17.2
НА. П_\сгь ij,?R{A). Пользуясь стгдстг.пом 1 теоре-
теоремы 12.1, доказать, что пайдется такое \\\ s Л*(Л-|!), что
17.5. Вывести из задач 17.3 и 17.4, что R(A)
Сравнить с задачей 14.7. '
17.6. Проверить, что R(A) = У, т. е. что уравнение
Ах = у разрешимо для всех у из плотного в У линейного
многообразия, тогда и только тогда, когда дефектное чис-
число оператора А равно нулю.
17.7. Доказать, что для нормальной разрешимости опе-
оператора А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ра-
равенство R(A) •"Rf.A), т. е. чтобы область значений опера-
оператора А была вамкнута.
17.8. Пусть Л нормально разрешим и имеет нулевое
дефектное число. Проверить, что уравнение Ах = у имеет
хотя бы одно решение для любого у е У, т. е. что R(A) =
= У.
17.9. Пусть для оператора Л его область значении
R{A) конечномерна. Следует лп отсюда, что А нормально
разрешим?
17.10. Доказать, что оператор A^2?{Ek, En) является
пётеровым оператором индекса к — т.
17.11. Доказать, что.оператор A^3?(Ek, E*) является
фродгольмовым оператором.
17.12. Пусть Л е ?>(?*, Ет), B^g(En, E*), Доказать,
что уМВ)=%Ш + %(В).
17.13. Доказать, что если оператор А&3?(Х, Y) не-
непрерывно обратим, то он фредгольлов.
17.14. Рассмотрим оператор Л: h-^L, определяемый
равепством Ах = (х2, х3, ...) для х = (xt, хг, ...) е 1г.
а) Ilaiini оператор А*.
б) Доказать, что операторы А и А* иёгеровы и найти
их индексы.
V В. А Треногий и др. 67

в) Доказать, что при /;eN операторы Л* и (А*)к нб-
теровы и найти их индексы.
17.15. Пусть А — нётеров оператор. Проворить спра-
справедливость следующих утверждений (теорем Нётера):
а) или уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение
при любой правой части у, пли уравнение А*$ = 0 имеет
нетривиальное решение;
б) каждое из уравнений Ах = 0 и А*$ = 0 имеет ко-
конечномерное подпространство решений;
в) если уравнение A*i[ = 0 имеет нетривиальные реше-
решения, то уравнение Ах = у имеет хотя бы одно решение
для тех и только тех правых частей у, которые ортого-
ортогональны любому решению уравнения А*$ — 0.
17.16. Пусть А — фредгольмов оператор. Проверить
справедливость следующих утверждений (теорем Фред-
гольма):
а) или уравнение Ах = у имеет единственное решение
при любой правой части у, или уравнение Ах = 0 имеет
нетривиальные решения;
б) уравнения Ах = 0 и ^4*г|; == 0 или оба имеют только
тривиальные решения, или оба имеют одинаковое число
линейно независимых решений;
в) если число нулей оператора А не равно нулю, то
уравнение Ах = у имеет решения для тед и только тех
у, которые ортогональны любым решениям уравнения
АЦ 0
17.17. Пусть оператор А вполне непрерывен и его
область значений R(A) бесконечномерна. Будет ли А нор-
нормально разрешим?
17.18. Пусть оператор Гео(Х) (т. е. вполне непре-
непрерывен). Доказать, что оператор А = I — Т фредгольмов.
17.19. Будет ли оператор A: LJO, 1] ->¦ ZJ0, 1],
<
Ах (t) =; \ х (s) ds
нормально разрешим?
17.20. Пусть оператор А: X -> У замкнут и существу-
существует такое тп > 0, что для любого x^D(A) выполняется
неравенство WAxW ^ т\Ы\. Доказать, что А нормально раз-
разрешим.
17.21. Пусть (ф{1™=1—линейно независимая система
элементов в банаховом пространстве X. Доказать, что в
сопряженном пространстве X* существует такая система
98
элементов {Y;}"-d что
A при i = /,
прп ^.(/,/ = 1,2,,..,*).
(Системы {cpJiLi и (y;}]=i называются биортогоналъны-
ми.) Доказать, что система {Yj}"=i также линейно неза-
независима.
17.22. Пусть системы {фг}"=1 s X, {^}"=1еР биор-
тогональны. Рассмотрим оператор Р: X -* X,
а) Доказать, что P
б) Используя задачи 8.35, 8.36, доказать, что Р явля-
является оператором проектирования в X,
в) Проверить, что оператор Р порождает разложение
пространства X в прямую сумму подпространств
X = Хп © Х„-п,
где Хп = ШР), Х«-„ = Ш - Р).
17.23. Пусть {^iJiUi— линейно независимая система
в пространстве Y*, сопряженном к банахову пространст-
пространству У. Введем подпространства в У и в У*;
?j!- 1/ePi (у, /)=0 для любого у е У}.
Доказать, что существует ровно п линейно независимых
элементов yt&Y D=1, 2, ..., п) и такие элементы /(е
s У* D = 1, 2, ..., п), что системы {j/i}?=i и {/j}j=i биор-
тогональны.
,17.24. Пусть {i|)j}?=i —линейно независимая система в
банаховом пространстве У*, сопряженном к банахову про-
пространству У. Доказать, что:
а) в пространстве У существует такая линейно неза-
независимая система элементов {Zi}"=1, что системы {^j}?=i-
{2iV?=i биортогональны;
б) оператор Q: Y -> У, определяемый формулой
Qy =
7*
99

ограничен, ятяотся оператором проектирования a У и
порол.дасл ра по/Г.с )'ip пркц- 'и, i У п прями i <лъму
подпространств У = Г" * Г"-", 1де У"*=Ы<?), }*-"=-
17.25. Пусть ciici 1-' '<,]! 1= V, {*,,}? ,(= А", а так-
также системы {фХ"_!С=:5 .{zj'igV _ бпорюгочалыш.
Образуем конечномерный онераюр А': А* -*¦ },
п
а) Доказать, что
гдо черта означает комплексное сопряжение в случае
комплексных пространств X, У.
б) Проверить, что Аф, = z , А'"">[., = f, U=l, 2, ..., ;i).
17.26. Пусть оператор А: X -*¦ У фредгольмов с числом
нулей п>0. Пусть {cf ,}?-3 e X, {ilJ^sF^ — базисы
соответственно в N(A) и A'U*), а {^еА'*, {z,}','=is
е У — биортогональные к ним системы. Образуем опера-
оператор А = А + К, гдз оператор К определен в предыдущей
задаче. Доказать, чю операторы Я и (ЛI" имеют нулевые
числа пулей.
17.27. В условиях предыдущей задачи доказать, чго
В(Л) = У.
17.28. Проверить, что в условиях задачи 17.26 опера-
оператор /Т непрерывно обратим (это утверждение называется
леммой Шмидта).
17.29. Проверить, что в условиях эадачи 17 26:
а) справед .пвы прямые разложения задач 17.22, 17.24,
причем Хп = N(A), Y°°~n •=• R(A)\
б) А=А на DLA) и оператор А отображает Xx-n П
(\D{A) па У"-" взаимно однозначно;
в) Ж отображает Х„ на У взаимно однозначно.
17.30. Доказать, что еслн оператор А фредгольмов, то
он представил! в виде А =¦ В + Р, где В непрерывно обра-
обратим, а область значений R(P) конечномерна.
17.31. Доказать, что если оператор А фредгольмов, то
он представим в виде А =С + Т, где С непрерывно обра-
обратим, а Т вполне непрерывен.
17.32. Пусть оператор С непрерывно обратим, а опе-
оператор Т вполне непрерывен. Доказать, что оператор А =
= С + Т фредгольмов.
100
17 33. П|к ,-,p|iini., чю дш ({.ре \г > u.vGBonii оперлтора
А^=2~(Х, }) пeouAoдll^lO н дос1аточно выполнения каж-
каждого из следующие }с юинн;
а) оператор представим в виде А = В + Р, где Вэ
е?A, У) п непрерывно обраим, а Рсв^(Х, У) п В(Р)
конечномерна;
б) оператор предьгавим в виде А = С+Т, где С ез
?2"tf, У) п непрерывно обратим, a T<sg(X, У) вполне
непрерывен.
17.34. Пусть ЛеЩ У), ВШ замкнута и сущест-
существует такая спсюма эюмептов {i/i}"_i с: У, что любой у <з
eF сд1гтс"ве ,,1ьп oopajoM представим в виде У =
п
= 2^.^1 + 2, где /„eR, z^R(A). Доказать, что де-
i^=i
фектное число оператора А равно п.
17.3с). П\сть II — комплексное гильбертово простран-
пространство, А <= 2~(П) — негров операюр и у е Я. lljcib суще-
существует такое _число г>0, что оператор В: II->-Н, Вх=*
«= г2АА х — (х, у) у является неотрицательным, Дока-
Доказать, что:
а) уравнение Ах = ij разрешимо, т. е. y^R(A);
б) уравнение AA^j = y разрешимо;
в) элемент x = A*-f, где / — решение уравнения
АА*1 = у, не зависит от / и является наименьшим но нор-
норме решением уравнения Ах = у;
г) если число нулей оператора А не равно нулю, то
система Ах = у, ''.г" — г рагр<пш)ма.

Глава 5
САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
§ 18. Самосопряженные операторы
Пусть Я — комплексное гильбертово пространство.
Оператор A^SUD называется самосопряженным, если
А* = А, т. е. для любых х, у е Я выполняется равенство
{Ах, у) = {х, Ау). Множество всех самосопряженных опе-
операторов из Sill) обозначается 6(Я).
Теорема 18.1. Если Л, Яб=б(Я), a, psR, го а-4+
Я()
0
Теорема 18.2. Яусгь Л, 2?е=б(Я). Оператор АВ са-
самосопряжен тогда и только тогда, когда АВ = ВА.
Теорема 18.3. Если А е б (Я), го L4ll= sup lUz.aOI.
li * |i ^ 1 -
Оператор А^ЬШ) называют неотрицательным и за-
записывают А>{), если {Ах, х) ^ 0 для любого х ^ Н. Для
операторов Л, ?еб(Я) запись Л ^В или fi ^ Л означа-
означает, что А — В > 0.
Теорема 18.4. Пусть Р — оператор проектирования
в гильбертовом пространстве Я на подпространство М.
Тогда:
а) РеSiN), причем \\Р\\ = 1, если МФО;
б) Р2 Р
в) Ре
г) РЗ
д) ze
е) (Ря, ж) ^ llxll2 9.1Я любого хеЯ,
Теорема 18.5. Яг/сть Л е 6(Я), Аг = А. Тогда А есть
проектор на некоторое подпространство М<=Н.
Теорема 18.6. Каждый неотрицательный оператор
А е б(Я) имеет единственный так называемый квадрат-
квадратный корень У^еб(Я) такой,что МА)г = А и ^А>0.При
этом 1А перестановочен с оператором C^SiH) тогда и
только тогда, когда С перестановочен с А.
Для А е б(Я) введем следующие обозначения:
;
б(Я);
0;
l гогда а только тогда, когда
102
где V^1 — неотрицательный квадратный корень из опера-
оператора А1.
18.1. Доказать, что А: 1г-+1г, At = [XiXu 7.,хг, ...)
для x=i.Xi, хг, ...)s/2) где ^sR (AsN), sup I>.J < «>,
h
есть самосопряженный оператор. При каком условии на
последовательность А,» он будет неотрицательным?
18.2. Доказать, что оператор А: ?,[0, U -* L2[0, 1],
.4,rU) = to(<) есть неотрицательный самосопряженный опе-
оператор.
18.3. Доказать, что оператор А: ?2[0, 1] -*¦ L2[0, 1],
есть самосопряженный неотрицательный.
18.4. Пусть /isR, /г ?= 0 фиксировано. Доказать, что
разностный оператор А: Ь2(—°°, °°) -^ ^2(—°°, °°),
является самосопряженным.
18.5. Пусть /4, В<вЗ?{Н), А^ЬШ). Доказать, что
18.6. Пусть Леб(Я). Доказать, что:
а) || А|] = sup \(Ax, х)\\
1|4=1
б) 1^1= sup \{Ax,y)\.
1М1=1,!Ы1=1
18.7. Пусть Я — комплексное гильбертово пространст-
пространство, Ле5?(Я) и для любого iefl число {Ах, х) вещест-
вещественно. Доказать, что А е б(Я).
18.8. Пусть 4е{(Я), Будет ли замкнутым на вещест-
вещественной прямой множество {Ах, х), если х^Н, ll.rH = 1?
18.9. Пусть А е 2ЧЯ) и {Ах, х) = 0 для любого х е= Я.
Доказать, что Л = 0. Верно ли это утверждение для огра-
ограниченного линейного оператора, рассматриваемого в ве-
вещественном гильбертовом пространстве?
18.10. Пусть А е б(Я), 1,еД (яе N), zn -*• х {п -* <»).
Доказать, что (Лх„, д:„) -»¦ {Ах, х) {п -*¦(»). Существенно
ли, что Ле8(Ш?
18.11. Является ли подпространством в гильбертовом
пространстве Я множество N = {х<^ Н: (Лх, .г) = 0), если:
а) Лб(Я)
б) Л,
103

18.12. Пусть Л<г2?{Н). Докапать, что:
а) UA + Л*) е 6(У7) для любого л е R;
б) А представим в виде A =/l1 + L42, где Л,, Л2е6G7).
18.13. Может лп область значений самосопряженного
оператора быть незалкнутой?
18.14. Пусть А <= 6G7), Л'(Л) = 0. Доказать, что7HI) =
= 7/.
18.15. Пусть Л е 6(#). Доказать, что М21' = ПЛИ1.
18.16. Пусть ^„eS'/O (neN) и при п -»- °° сильно
сходится к оператору Л. Доказать, что 4ей(Я).
18.17. Н^сгь ЛпебG/) (neN), 4„>0 п при п — «.
сильно сходился к оператору А. Доказать, что A S= 0.
18.18. Пусть Л е 6(Я). Доказать, что если для некото-
некоторого х е Н Ах Ф 0, то А'х Ф 0 для любого натурального п.
18Л9. Пусть Л е6(Ш.
а) Доказать, что для любого х ^ II и любого натураль-
натурального и>1 выполняется неравенство 1!Л"ж112 < ИЛ^!! X
ХНЛ"+У1.
б) Пусть x^II, x^N(A). Доказать, что последователь-
последовательность
N.
сходится.
18.20. Пусть i g {(Я), Л > 0. Доказать, что следую-
следующие утвер;кдения эквивалентны:
а) RLA) всюду плотна в Н\
б) /VU) = 0;
в) (Ах, х) > 0 для любого хеЯ, а: ^ 0.
18.21. Пусть Ре^(Я), Р2 = Р. Доказать, чю следую-
следующие утверждения эквивалентны:
а) Ре 6G7);
б)
в) ;
г) G\г, ж) = HPdl2 для любого ж е 77.
18.22. Пусть Ле^G7). Доказать, что ЛЛ* и А*А -
неотрицательные самосопряженные операторы.
18.23. Пусть Л, В е 6G7) и Л > 0. Доказать, что БЛБ >
18.24. Пусть Л, 5^6G7), Л ^= 5, С^З'Ш). Доказать,
что С*АС, С*ВСе=Ш1) н f*JDC»C
18.25. Пусть Л, Веи(/Л и выполняются неравенства
Л>В п В>А. Доказать, что А=В.
104
18.2(i. Можно in 11]ю jiodj.n.' дна оиорагора ?1, В <=- 6G7)
у Г1*1' [_•-!. ' II Ь, 'NO .1 i' О .1 В, Л1ШО h > Л ?
18.27. Ujcib Л1— 6'У/), Л > 0. Доказать, чго для любо-
любого х^-П иынол'М'ек'я мираисчгс i uu ' Ах'г =5 ИЛ"(Лх, х\
1S.2S. П\Aь Л^о',//), 0^Л -././, где /. е Н. Дока-
Доказать, что Л -s /..
18.2'). J1 \с 1 ь /1с=и(У/) ц непрерывно обратим. Доьа-
зать, чю Л~' е= 6(//).
18.30. Пусть Лео(У/), А><д и Л непрерывно обра-
обратим. Доказать, чю Л^1 5? 0.
18.31. Ifjci-u Ль 6G/), ?.еС, Im/.^0, Доказать, что
оператор (Л— }.1)~* слщеехпуег.
18.32. Нусгь А^2"{11). Доказать, что оператор G +
+ АА*')~~* существует.
18.33. Нусгь Л е 6G7), АХ). Доказать, что оператор
G +Л) существует.
18.34. Пусть Л е= 6G7), Л ^ 0. Доказать, что для лю-
любого А, > 0 оператор Л +/.7 непрерывно обратим.
18.35. Доказан^ что оператор А<^2?(Н) непрерывно
обратим тогда и только тогда, когда существуют такие
«JeR,a> 0, 3 > 0, чго АА* > «7, А*А> В7.
18.36. Пусть A, Be 6G7), 0 < 7 < Л «S В. Доказать, что
Л, В непрерывно обратимы и В ^Л.
18.37. Пусть Л, Be 6G7), А>0,В>0п АВ^ВА. До-
Доказать, что А В i=5 0.
18.38. Пусгь Л, В, Се 6G7), А > В, 0 0, АС = СА,
ВС = СВ. Доказать, чго АС ^ ВС.
18.39. Рассмотрим оператор Л: h-^h, Ах = @, 0, Хз,
Xi, ...) для х = (a;i, ^;, z.,, ...) s /2. Доказать, что Л е бA!2),
Л >0. Hiihn li. _
18.40. Пусть Л е Ь'П), А>0. Доказать, что НУЛИ =
VIUJ.
18.41. В пространстве Е2 оператор А переводит х =
>Л /г^ + зтч
^ + .
_ в Ах = о , • Доказать, что
что Л > 0. Найти У Л.
18.42. Пусть Л, В, Себ(Я), Л ^ 0, В2 = С2 = Л. До-
Доказать, чю ВС = СВ.
18.43. Для операгороч задач 18.1, 18.2 iniihn опера-
операторы \А I, Л+, А~.
18.44. Доьамп., ч,о для Л ей(//):
' а) Л+Л-=Л-Л'"-0;
б) 1Л1 ¦> 0, |Л| =0 1О|Д<\ и roibKo тогда, когда Л = 0;
в) |Л|: = Л';
105

г) если Л~ = 0, то Л =Л+ = |Л|;
д) если А+ = 0, то Л = - Л" = - \А\.
18.45. Доказать, что для Леб(Я) норма оператора
'|Л| равна норме оператора Л.
18.46. Пусть iefi№), Л 5* О, Доказать, что Ц|=Л.
18.47. Пусть вг, («sN)- ортонормированный базис в
Я. Определим оператор А: Я ->¦ Я равенствами Ле, = 0,
Аеп = en-Jn при п > 1. Доказать, что:
а) А&3?Ш) и вполне непрерывен;
б) не существует оператора В^З?(,Н) такого, что В2=А.
18.48. Пусть А^2"Ш). Доказать, что существует и
единствен оператор В^ЬШ), такой, что В ^ 0, и для лю-
любого х^Н выполняется равенство WAxW ¦=¦ 115x11.
18.49. Пусть А: Я -*¦ Н — такой линейный оператор
с D(A)=H, что для любых х, у е Я выполняется равен-
равенство (Ах, у) = (х, Ау). Доказать, что А — ограниченный
оператор и, следовательно, А е б (Я).
18.50. Пусть AeS'(H), AA* = A*A (оператор, пере-
перестановочный со своим сопряженным, называется нормаль-
нормальным). Доказать, что:
а) \\AxW ¦= НЛ*а;11 для любого ieff;
б) NU)=NU*) = iR{A))±\
в) Ш1 = Ш2;
г) если А2 = А, то А <= 6(Я);
д) если Л2 = 0, то Л = 0.
18.51. Пусть А^З'Ш) — нормальный оператор, при-
причем A~l^S(ll). Доказать, что A~i — нормальный опе-
оператор.
18.52. Пусть А^ЗЧЮ, а, р е С, |а| = !д8| = 1. Дока-
Доказать, что оператор аЛ + $А* — нормальный.
18.53. Пусть Аа, А е З'Ш) — нормальные операторы
(л е N) и Ап->-А при п -*¦ °о сильно. Доказать, что Ли->
-*- А* при и -»- оо сильно.
18.54. Пусть_Л е б(Я), А>0 и вполне непрерывен.
Доказать, что МА вполне непрерывен.
18.55. Пусть А, Ве8(Я), О^А^В и В — вполне не-
непрерывный оператор. Доказать, что А — вполне непрерыв-
непрерывный оператор.
18.56. Пусть оператор U определен всюду в комплекс-
комплексном гильбертовом пространстве Я и отображает его на все
Я. Он называется унитарным, если для любых х, у е Н
выполняется равенство (Ux, Uy) = (x, у). Доказать, что!
а) унитарный оператор линеен и ограничен;
б) унитарный оператор имеет обратный, который так-
также унитарен;
106
в) произведение двух унитарных операторов есть уни-
унитарный оператор;
г) линеипьш п.зометричесшш оператор, заданный на
всем // и отображающий ею на все //, есть унитарный
оператор;
д) оператор L' ^ 3?{Н) является унитарным тогда и
только тогда, когда I * = С'1.
18.57. Пусть A<s3?{H) ц непрерывно обратим, В =
ЫА.
а) Доказать, что ВебШ), В>0 и непрерывно обра-
обратим.
б) Положим U = АВ~\ так что справедливо представ-
представление А == UB, которое называется полярным разложени-
разложением. Доказать, что [/ — унитарный оператор.
§ 19. Спектр линейного оператора
Пусть X — комплексное банахово пространство, А: X -*¦
-*¦ X — линейный оператор с областью определения D{A),
плотной в X, к — комплексное число.
Точка X называется регулярной точной оператора А,
если оператор А — }J непрерывно обратим. Совокупность
регулярных точек оператора А называется резольвентным
множеством оператора А и обозначается р(Л). Если Х&
ер(Л), то ограниченный липейпьш оператор R>iA) •=•
¦= (А— \1)~1 называется резольвентой оператора А. Др-
¦полнение к множеству р(Л) в комплексной плоскости на-
называется спектром оператора А и обозначается о(Л).
Теорема 19.1. Спектр оператора Лей'(Х) есть зам-
замкнутое множество, лежащее в круге \Х\ s? ИЛИ.
Число ?. еС называется собственным значением опера-
оператора Л, если существует такой элемент x<^D{A), x ?= 0,
что Ах — Хх. При этом х называется собственным векто-
вектором оператора Л, соответствующим собственному значе-
значению X. Всякое собственное значение оператора Л является
точкой его спектра, при этом оператор Л — XI не обратим.
Теорема 19.2. Пусть A^SiX), где X — банахово
пространство. Тогда существует конечный предел
называемый спектральным радиусом оператора А. При
этом
107

<rle Х—бпиохово
Теорема 19.3. Пусть-Л & &(
пространство. Если I/.I >га(А), то ?. ер(Л).
Оператор-функция АО.) называется аналитической в
точке Ко, если она разлагается в некоторой окрестноеш
точки ).о в степенной ряд
Л Щ = У А, (I - К
1
и)\
сходящийся по норме S'(X) в этой окрестности.
Теорема 19.4. R,.{А) — аналитическая функция }.
в любой точке Яер(Л). Если A&2?iX), то при
\}.\ >ГаШ —
li-=0
Теорема 19.5. Если А^З?(Х), где X — банахово
пространство, то а(А) — непустое множество.
19.1. Пусть А: X -*¦ X — линейный оператор п опер -
тор А~' существует. Доказать, что А и А"'- пчеют о,!, т
и те же собственные векюры.
19.2. Может ли оператор A^S'iX), удовлетвори'':iт.."
условию Л2 —0, шгеть непулевые собственные зпачептг*.'
19.3. Пусть A^SiX) и оператор /I2 н.меет собствен-
собственный вектор. Доказать, что А имеет собственный векто;).
19Л. В вещественном линейном пространстве С[— л, v\
найти собственные значения п собственные векторы опе-
оператора:
a) Ax(t) =x(-t);
б) Ax{t) = f cos(s + t)x{b)ds.
19.5. В вещественном линейном простраясьте CiO, л!
найти собственные значения п собственные векторы опе-
оператора Ах(t) — d'x/dt2, если:
а) Ш)=ЫЙеС@, п1: х"еСЮ, к], х@)=хЬ) =
= 0);
б) D{A)=*{x{t)eClO, л1: х" еС[0, л], х'@)=^'(л) =
= 0);
Ш) Ы 0, л), ж@)-аг(л),
19.6. Пусть i4s^(X), где X — банахово пространство.
Доказать, что прп \К\ > га{А) выполняется неравенство
108
19.7. Доказать, что оператор п его резольвента пере-
перестановочны.
19.8. Доказать, что еслп %, р.ер(Л), то
M)-RM) - (l-[i)R,(A)RM) = U- n)fl,U)/?,U).
19.9. Пусть А, Ве5ЧХ), Я,ери)Пр(Д). Доказать,
что
19.10. Пусть операторы А, В определены на всем X.
Доказать, что для того чтобы А и В были перестановоч-
перестановочны, необходимо, чтобы В был перестановочен с R>.(A) для
любого К^р(А), и достаточно, чтобы В и R\(A) были пе-
перестановочны хотя бы для одного ?ьер(Л),
19.11. Пусть А, В е 2ЧХ), Я. s р(Л), 1'5 - ЛИ < П
Доказать, что Х^р(В) и
5
11—0
19.12. Пусть Ае^Ш, ^ер(Л) и цеС таково, что
|ц| ^ИДДЛ)!!-1. Доказать, что ?»-цер(Л).
19.13. Пусть Aei?(X). Может ли оператор Я^(Л)
быть вполне непрерывным?
19.14. В пространстве СЮ, 1] рассмотрим оператор
Axit) =tx(.t). Доказать, что о(Л) = [0, 1], причем пи одна
точка спектра не является собственным значением.
19.15. В пространстве CiO, 2л] рассмотрим оператор
Axit) =e''xit). Доказать, что-о(/1) =UeC: \Х\ = 1>.
19.16. В пространстве С[0, 1] рассмотрим оператор
;(/У = д;@) + *а;A). Нанта а(А), г„Ш, RM).
19.17. Пусть М — пепулевое подпространство гильбер-
гильбертова пространства А. Найти спектр оператора Р ортого-
ортогональною проектирования па .V. Выразить через Р резоль-
резольвенту R'iP).
12.IS. В пространстве С[0, 11 рассмотрим оператор
Ax(t) = J л-(т) dr.
о
Найтп aiA), R,iA).
19.19. Пусть е„ («eN) — ортонормироваиныи базпе в
гильбертовом пространстве //. Определим оператор А:
II ->¦ II равенствами Aev => 0, Aek, t = ek (/се N).
а) Доказать, что A^S'iH).
б) Найти оператор А*,
109

в) Доказать, что а(А) = {}. е С: Ш <1), причем внут-
внутренность круга состоит из собственных значений А.
г) Доказать, что (?U*)=UsC: |Л|<1}, причем А*
не имеет собственных значений.
19.20. Рассмотрим оператор А: 1г-+12, Ax = (\iXt,
}.2хг, ,..) для х=(х{, хг, ...)е/2, где ?.„еС OieN),
sup |>,„| < оо. Найти о(-4).
«
19.21. Доказать, что любое бикомпактное множество
на комплексной плоскости является спектром некоторого
оператора А е j?(Z2).
19.22. В пространстве СЮ, I) рассмотрим Ax(t) =dx/dt.
Доказать, что:
а) с (А) пусто, если
DU) = Ш) е СЮ, ihx'e СЮ, 1], х@) = 0};
б) а(А) состоит из одних собственных значений, за-
заполняющих всю комплексную плоскость, если
DU) - iz(t) a C10, II: в'аССО, Ш;
в) о(Л) состоит из собственных значений 2л гя (п
О, sfcl, еЬ2, ...), если
t)U) - {x(t) e C10,
, 1],
19.23. Пусть А, В&2"{Х). Доказать, что ненулевые
элементы а(АВ) и а(ВА) совпадают.
19.24. Пусть A e.g'(X), ?,еСи существует такая пос-
последовательность i.sX (n e N), что На: J =¦ 1 пАхп — Кхп -*¦
-* 0. Доказать, что X е о(Л).
19.25. Пусть ЛаД'СХ), ?.eoU). Доказать, что ?,'s
s о(Лп) при любом натуральном п.
19.26. Пусть 4е^(Х) и непрерывно обратим. Дока-
вать, что если ^ео(Л"'), то J,"'so(/4) и обратно, если
19.27. Пусть Я —гильбертово пространство, А ^ Sill)
и явл!Йв|ря нормальным, т. е. удовлетворяет условию
А А* =-А*А. Доказать, что если га(А)=-0, то А = 0.
19.28. Пусть Я — гильбертово пространство, А&2?Ш).
Доказать, что операторы АА* та. А*А имеют одинаковые
ненулевые собственные значения.
18.29. Рассмотрим оператор A: L2[a, b]-*¦ Ьг[а, Ы,
Ах (s) = J К (s, t) x (t) dt,
НО
где Kis, t) непрерывна в треугольнике a*?i^s, a^s^b.
Доказать, что га(А) = 0. Будет ли /. = 0 собственным зна-
значением оператора Л?
19.30. Доказать, что для самосопряженного оператора
в гильбертовом пространстве ra{A) = !L4H.
19.31. Пусть Ле^Ш, где X — банахЪво пространст-
пространство. Доказать, что на окружности l?.l —rQ{A) имеется хотя
бы одна точка из а(А).
19.32. Пусть А, Ве^Ш, где X — банахово простран-
пространство, АВ = ВА. Доказать, что
rM + BX гаШ + гп(В), ra(AB) < r«U)r.(B).
19.33. Пусть Н — гильбертово пространство, A s
eS'lfl). Доказать, что а(А*) — а{А) (черта означает комп-
комплексное сопряжение).
§ 20. Спектр вполне непрерывного
в самосопряженного оператора
Теорема 20.1. Пусть X — комплексное банахово про-
пространство, А ео(Х) Тогда спектр А состоит не более чем
из счетного множества собственных вначений, единствен-
единственной предельной точкой которых может служить лишь точ~
ка К = 0. Если X бесконечномерно, то OsoU). Собствен-
Собственное подпространство А, соответствующее собственному
значению к ?= 0, конечномерно.
Теорема 20.2. Пусть А — вполне непрерывный са-
самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом
пространстве Н. Тогда:
1) если А Ф 0, то А имеет по крайней мере одно соб-
собственное значение, отличное от нуля;
2) все собственные значения А вещественны и распо-
расположены на отрезке [тп, М], где
m = inf (Ах, х), М = sup (Ax, х)\
И1 M=i
3) если МФО, то М является наибольшим собствен-
собственным значением А, если тпФ 0, то тп является наименьшим
собственным значением А.
Теорема 20.3. Если А — вполне непрерывный само-
самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом про-
пространстве Н, то при любом хеЯ элемент Ах разлагается
в сходящийся ряд Фурье по ортонорхированной системе
собственных векторов Л.
Ш

Теорема 20.\. Если А—еп^.тр непрерывный само-
самосопряженный спсрагор в старательном комплексном
гильбертовом пространстве II, то в II существует орто-
нормированпый Саша из еьва сенных векторов опе-
оператора А.
20.1. /Доказать, что оператор Л: /2 -*¦ /2, Ах = @, а.1,,
Хг/2, orj'3, ...) для x=(:cL, :cz, ...)r^L ышлае непрерывен
и найти его спектр.
20.2. Доказать, tjT0 оператор А: 1г[-\, 11 ->ЛД--1, 1],
1
Ах (d) = f sHx (t) dt
вполне непрерывен, и найти его спектр.
20.3. Доказать, что оператор A: LJ0, {]-*?,[(), 1],
1
Ax(s)=>fist(l-st)x(t)dt
о
вполне непрерывен, п пайтн его спектр.
20.4. Пусть А е а(Х), где X — банахово пространство
и 7. Ф 0. Доказать, что Я (Л — ?,/) замкнуто в X.
20.5. Доказать, что собственные векторы самосопря-
самосопряженного оператора, соответствующие различным собствен-
собственным значениям, орто1 опальны.
20.6. Доказать, что собственные векторы нормального
оператора в гильбертовом пространстве (см. задачу 18.50),
соответствующие различным собственным значениям, ор-
ортогональны.
20.7. Доказать, что ошр^иор A: LjO, U-* ?j0, 1],
АхШ = txit) са:.шсог;рл;кеи, и найти его спектр.
20.8. Доказать, что спектр самосопряженного операто-
оператора веществен ц'лежит па отрезке [т, Ш.
20.9. Доказать, что самосопряженный оператор явля-
является неотрицательным тогда и только тогда, когда для
.:[оС;ого ). ез(Л) выполняется неравенство ?. ^ 0.
:'A\i'O. Пустг, А — самосопряженный оператор в Я и
). и;1 Ы'лттсл ого coccTiscur.vri значением. Доказать, что
ГлА —}}) r.cnvty илогпа в h.
20.11. Пусть А—самосопряженный операточ в II п
RLI -}.!) - II. Доказан,, чго /. е f»U).
20.12. 1!\чп, А—с;гдое.'1'||,г[ .vemn.ui оператор в // и
/. г5 р(.1) — 1',гщоЕь:гаыз число. Докатать, что резоль-
rj-дга /?),(.•!) — самосоирн;кенпый оператор.
20.13. Пусть А — са.\госопряжсипый оператор в II и
JiepU), 1шл^-0. Доказать, чго 1|ЛЛЫI1 *3 ЦгаХГ1.
20.14. Пусть А — вполне непрерывный оператор в
комплексном банаховом пространстве X. Может ли собст-
собственное подпространство А, соответствующее собственному
значению К = 0, быть бесконечномерным?
20.15. Пусть вполне непрерывный самосопряженный
оператор А в бесконечномерном гильбертовом пространст-
пространстве // имеет конечное множество собственных значении.
Доказать, что X = 0 — собственное значение оператора А.
20.16. Пусть еп Ы е N) — ортонормированный базис
гильбертова пространства //, Я„ «= Rf %n -*¦ 0, А: II -*¦ II —
такой лпнейпый оператор, что для любого я <= И справед-
справедливо разложение в ряд Фурье
Ах
К (^, еп) еа.
Доказать, что /1 — вполне непрерывный самосопряженный
оператор.
20.17. Рассмотрим оператор A: ZJO, 1] -» LJ.O, 1],
Ax(t) = j K(t,s)x(s)ds,
где
|f(l — 5) при 0<i<s<l,
A^'f) = U(l-0 при 0 < s < < < i. ,
Доказать, что Л — вполне непрерывный самосопряженный
оператор, и найти собственные значения и собственные
векторы А.
20.18. Пусть А — самосопряженный оператор в сепа-
рабельном гильбертовом пространстве II, спектр которого
состоит из собственных значений Я = 0 п Л, = 1. Доказать,
что А — оператор ортогонального проектирования.
20.19. Пусть А — вполне непрерывный оператор в
сепарабельном гильбертовом пространстве Н.
а) Доказать, что Л*А — вполиз непрерывный самосо-
самосопряженный оператор.
б) Доказать, что ь представлении
вытекающем из теоремы 20.3, все и„ > 0.
8 В. А. Тценоши и др.
113

в) Пусть Хп = V^n, еп = г- Ahn. Доказать, что еп —
ортонорммрованная система и для любого х е Н справед-
справедливо представление
Ax = 2iK (х, К) еп
п
(при этом %п называются сингулярными числами опера-
оператора А).
20.20. Пусть А — вполне непрерывный самосопряжен-
самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространст-
пространстве Н, hk (isN)- ортонормированный базис, составлен-
составленный из собственных векторов оператора А с собственными
значениями Хк, f&H, l^C. Доказать, что решение урав-
уравнения (А — XI) х = /:
а) имеет вид
если X отлично от всех собственных значений Х„;
б) при X = Х, = X^i = ... = Я]+„-1 существует тогда и
только тогда, когда (/, й,+я) = 0 для к = 0, 1, ..., п — 1,
и в этом случае решение имеет вид
*=г [ 2 т^ ('¦ ^л* -1
причем в 2i пропущены слагаемые с номерами /, / + 1,,.,
..., / + п — 1, а Со, Cit ..., Cn-i — произвольные постоян-
постоянные.
§ 21. Линейные интегральные уравнения
Интегральным уравнением Фредгольма 1-го рода на-
вывается уравнение вида
ь
x(s)-X$K(stt)x(t)dt = f(s)t A)
а
где x(s) — неизвестная функция, K(s, t), /(s) — известные
функции, к — числовой параметр. Относительно функции
K{s, t), называемой ядром уравнения A), предполагается,
что
ь ь
\ \ K2(s, t) dsdt < оо,
114
Если K(s, 0=0 при t>s, то уравнение A) принимает
вид
а
\ B)
x(s)-x\K(s,t)x(t)dt =
и называется уравнением Вольтеррп 2-го рода.
Если ядро уравнения A) является вырожденным, т. е.
имеет вид
где функции /<(s), gx(t) для i=l, 2, ..., п непрерывны и
линейно независимы, то A) можно записать в виде
и неизвестные С( A = 1, 2, ..., п) определяются из систе-
системы линейных алгебраических уравнений.
Введем интегральный оператор Фредгольма
ь
Ах = [ К (s, t) x (t) dt;
a
если ядро K(s, t) и функция f(s) непрерывны, то А:
С[а, Ъ] -*¦ С[а, Ъ], в общем случае, если /Ы е L2[a, b],
то A: L2la, b] -*¦ L2[a, b]. Тогда уравнение A) принимает
вид
/, C)
а сопряженное к нему в пространстве L2[a, b] имеет вид
у-~ХА*у = (р, D)
и так как оператор А вполне непрерывен, то применимы
теоремы Фредгольма 16.6—16.8.
Если для некоторого X Ф 0 однородное уравнение
ь
а: (*)-*, j/l'(s, t)x{t)dt = O
а
имеет ненулевое решение xa(s) e L2la, b], то X называется
характеристическим числом ядра (уравнения), xa(s) —
собственной функцией ядра (уравнения), а максимальное
число линейно независимых собственных функций, отве-
отвечающих характеристическому числу X, называется крат-
кратностью этого числа.
8*
115

Если ядро K(s, t) в A) c:w..\re (рпчи.), то iinty ральный
оператор Фредгольма не только вполне непрерывен, но
п самосопряжеп. Если h — характеристическое число, то
1/7. — собственное значение оператора А, еслп \\.?=0 —
собственное значение оператора Л, то ?. = 1/[х — характе-
характеристическое число. Пооюму применимы теоремы 20.1—
20.4.
Уравнения
ь
" К (s,t)x(t)dt = /(*), (,1)
, *) ж (о rf* -= / и
при тех же предположениях, что и в A), B\ рорываютп
соответственно уравнениями Фредгп " ма и Велите [.'.i
1-го рода.
Согласно теоремам 16.9, 16.10 при заданной /(s) ?-
&Lda, b] уравнение (о) может пе иметь решения, а если
это решение и существует, то в силу неограниченности
оператора А па R(A) решения уравнения (о) с близки-
близкими по норме L2[a, b] правыми частями могут быть далеки
друг от друга. Таким образом, задача E) является не-
некорректной. В то же время задача A) корректна — если
A — ХА)~* существует, то он ограничен. Метод регуляри-
вации [24] позволяет свести пекорректпую задачу E) к
корректной A). Для случая f^R(A) он основан на сле-
следующих утверждениях.
Теорема 21.1. Пусть А е 2?{Н) — вполне непрерыв-
непрерывный оператор. Тогда для любой / е // и любого значения
параметра регуляризации а >0 существует единственное
решение ха^Н, на котором реализуется
inHIIAr-/И2+ «!№}.
При этом ха является решением уравнения 2-го рода
A*Ax='A*f.
G)
Теорема 21.2. Пусть ха — решение уравнения G),
/аД(Л), Тогда при а -*¦ 0 величина IL4.ro — /ii2 монотонно
убывает и стремится к нулю.
21.1. В пространстве Cla, b] найти решение интеграль-
интегрального уравнения
О
x(s)-K f K(s,t)x{t)dt = f(s),
116
если
а) а = —л/4, 6 = л/'i K(s t) — is t,
б) a = 0, 6 = л72, AJ..s\ t) = sin 5 cos t. f(s) = sin s;
в) a — 0, 6 = rr, A'(s, /) = sin s соз /, /(s) = sin s;
г) я = 0, 6 = I, A'(s, /) - s M - 2.s'f, /(.?) = s + s2;
д) a = -1, 6-1, K(s. t) =- si - s'r, Its) = s* + s4;
е) o = 0, 6 = 2л, A'(s, «) = I л - t\ sins, /(s) — s;
з) я =¦ o| 6 = л,' K(s't) = sin (s - 2t), f(s) = cos 2s.
21.2. В пространство С[я, 6] пайтп характеристические
числа ?., и собственные функции ср, для уравнения
ь
x{s) —I f А" (я, t)x(l)dt = 0,
a
если:
а) я = 0, 6 = 2л, tf(s, 0 = sin(s + i);
в) о = 0| 6= 1,'
г) я = —1, 6=1,
21.3. В пространстве 640, л] найгп характернстиче-
скпо числа н сг"'с1ьетшз функции для уравнения
rt
если
A' (s. /) -- ^ 2^" bin /is sin ni.
21.i. В npocipai'crce Cla, Ы папти решение интеграль-
интегрально; о уравнения
ь
x(s) -).
при всех значениях параметров а, р, у, входящих в сво-
свободный член этого уравнения, еслп:
а) а = -1, 6=1, K(s, t) = st, /(s) = as2 + ?s + -f;
G) a = 0, 6 = л, A'(s, ;') = cos (s + ?), /(s) = a sin s + fi;
в) я = -1, 6=1, A:(s, f) = s2 - 2s«, /(s) = as3 - ^s;
r) a = -l, 6=1, K(s, t)=3s + st-5s2l\ ()
21.5. Доказать, что уравнение
2 Л
ж(в)-Л.) sin (s- 2t)x(t) dr=f(s)
о
разрешимо при любом )»еС и любой /(s) e L2@, 2л] и
найти его решение.
117

21.6. В пространстве С[а, Ь] найти характеристиче-
характеристические числа Х„ и собственные функции сг„ для уравпения
ь
x(s)-X\ K(s,t)x(t)dt = 0,
а
если:
а) а = 0, Ь — 1,
\s при 0<s<f<l,
К^'Ь} = |( при 0<i<s<l;
б) я = 0, Ь = я/2,
[sin 5 cos i при 0 ^ s ^ i ^ л 2,
' [sin* cos s при 0^i^s^n/2;
в) я =¦ О, Ь = я,
Jsin s cos ? при 0 ^- s ^ i ^ я,
{sin i cos s при 0 ^ i ^ s ^ я;
г) я = 0, 6 = 1,
"'s+ 1) при O^s^is^l,
7 + 1) при 0 ^ t ^ s ^ 1;
е) в = 0,6 = 1,
Us + 1) (t — 2) при 0 < s < t < 1,
^' ^ = j(i + 1) (s — 2) при 0 < t < s < 1.
21.7. Пусть X не является характеристическим числом
для симметрического ядра K{s, t). Доказать, что решенпе
уравнения
ь
x{s) — X \ K{s,t)x(t)dt = /(s)
а
в пространстве L2[a, b] можно представить в виде ряда
Фурье по собственным функциям ядра
^^Г^Ф ) )
h=i h
а если ядро K(s, t) непрерывно, то этот ряд сходится
равномерно на la, b].
21,8. Пусть X = X, — KlTi = ... = %,+n-i является харак-
характеристическим числом кратности п для симметрического
118
ядра K(s, t). Доказать, что решение уравнения
ь
x(s)-k$K(s,t)x(t)dt-f{t)
а
в пространстве L2[a, b] существует тогда и только тогда,
когда /Ы ортогональна всем собственным функциям
(f1+k(s) (/= 0, 1, ..., л —1), соответствующим характери-
характеристическому числу X. Если это условие выполняется, то
решение данного уравнения имеет вид
fe-0
где Ch (А = 1, 2, ..., л —1) — произвольные постоянные,
а в первой сумме пропущены слагаемые с номерами /,
/+1, ...,/ +и-1.
21.9. Найтн решение уравнения
в пространстве Ьг[а, 6], если:
а \ 4 / \
/ J \ / 1
(s(t—l) при O^s^f^l,
К^'^ = \t{s-l) при 0<*<*<1;
б) f(s) = cos us,
Us + l)i при 0<s<f<l,
^ (S' ^ = \{t + 1) s при 0 < t < s < 1,
21.10. Рассмотрим линейное дифференциальное урав-
уравнение
с непрерывными коэффициентами ah{t) {к = 1, 2, ..,, п)
и начальными условиями г/(О) = Со, J/'(O) = cJf ..,
а) Доказать, что для любой непрерывной функции
(fix) справедлива формула
о о
119

б) Полагая d"y/dtn ~ хШ а используя результат
предыдущего пуша а, доказать, что уравнение (*) с уче-
учетом начальных условий равносильно уравнению Волыср-
ра 2-го рода
x(s)-
где
til- I
/ (s) = F (s) - с,г_1Й1 (s) - (c-iS- f crt_2) a2 (.?)
-n-l
21.11. Используя преобразование Лапласа, решить
уравнение
если:
а) K(z) = e-U, /
• б) X(z)«=sinz, j(.s) = s;
в) AXz) = 2 cos г, /(s) = e3;
r) 2(l(z) ei 1, /(s) = coss.
21.12. Для интегрального уравнения
ь
где ядро K{s, t) непрерывно при а < я, * < Ь, f(s) е (Ля, Ь],
рассмотрим разбиение охрезка la, Ы:
j, a
*i = fli s2 = я + й, ..., s2,,+1= a + 2uh, ^=-^--
Тогда равенства
ь
х (s,) - j A: (sA, 0 х @ c'f - / (А-Д /,¦ = 1, 2, . . ., 2п + 1,
а
являются точными. С помощью формулы Симпсона за-
заменим их на приближенные
2I rl
*{Ч)— Ъ AmK(sk,sm)x(sm) = f(sh),k=^i,2,...,2n + i,
120
где
- /1,, ,- /УЯ, И? - ./|л = . . . « .42 ~ 4Л/3, /1Ч -,
с=А = ... = ^2п-1 ^ 2/1/3. Полученная система линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных
xism) (m = l, 2, ..., 271 + 1) может быть решена числен-
численно; в итоге получаем приближенные значения решения
исходного уравнения в точках разбиения.
Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм численно-
численного решения данного интегрального уравнеппя при п = 5,
п = 10, п «=¦ 15 и сравнить полученные приближения,
если:
а) а = 0, Ь = 1, #(s, f) = s cos si, /Ы = 1 — sin s;
б) a = 0, Ь =» 1, ЛГ(«, О = s(e" - 1), /(s) = e' - s - 2;
в) a = 0, & = я, /U) = sin s,
A' E, 0 =
sin (s +-^-lsin|«-
при 0<s<
sin ft + ~\ sin f s — -^-j при 0 < (
n;
r) a = -1, b = 1, A'(s, f) = i,125s! + 1,125^ - 3,375s2tJ -
— l,5st- 1,875, /(s) = s;
д) a = -l, b = l, A(s, i) =-1,125s1 - 1,125*' +
+ 3,375s2t2 + 1,5s* + 1,875, /(s) = s.
21.13. Пусть ядро и правая часть уравнения F) удов-
удовлетворяют следующим условиям:
1) функции К{з, <), K,(s,t) непрерывны в области
asSssSiJsSb;
2) K(s, s) Ф 0 для всех s;
3) /(s)eC4a, 6], /@)-0.
Доказать, что уравнение F) равносильно уравнению
Вольтерра 2-го рода
A (s,
A (s,
.и, следовательно, имеет в интервале [а, Ъ] единственное
непрерывное решение.
21.14. Существует ли в классе непрерывных функций
решение уравнения
если:
а) /Ы =coss;
б) /Ы -=sin s;
в) /Ы =sin2s.
121

21.15. Используя преобразование Лапласа, в простран-
пространстве С[а, Ъ] найти решение уравнения
i
[K(s-t)x(t)dt = f{s),
о
если:
а) K(z) — cosz, /(.?) = sin s;
б) A'(z)=cosz, f(s) = s sin s;
в) Z(z) = cosz, fts)<=s + s2;
r) K(.z)-e; /(s) = s2;
д) /?Ы •= sin г, /(s) = l —coss.
21.16. Рассмотрим оператор A: L2l0, 1]-»-L2[0, 1],
и уравпенпе
Ах —
1) Доказать, что А* — А а
\ K(s,t)x(t)dt,
где
,-*-<
при 0<s<*< 1,
при 0^ ?<s< 1.
2) Найти A*f = Af и при а = 1; 0,1; 0.01; 0,001 п п =>
•=• 10 методом, описанным в задаче 21.12, численно ре-
решить уравнение G), если:
а) /(s) = 2s + e-'-2e-';
б) /(e)-e'(l-e) +shs;
в) " ' "
y[( )]
3) Доказать, что если /(s) e С2[0, 1] и уравнение (**)
имеет решение x(t), то x{t) удовлетворяет уравнению
Фредгольма 2-го рода
х [s — -^
122
4) llcno;ib.i\ я pc.i\ lbidibi drf.id'in 21.6 д) п утвержде-
утверждение пункта 31, доказать, пго уравнение («•) не имеет ре-
решения при /Ы = as Ь Ь, пЬ ^ 0.
5) При /(s) = s, a=l; 0,1; 0,01; 0,001 и п ¦= 10 мето-
методом, описанным в задаче 21.12, численно решить уравне-
уравнение G) и объяснить полученные результаты.
§ 22. Неограниченные операторы
в гильбертовом пространстве
В комплексном гильбертовом пространстве Н рассмот-
рассмотрим линейный оператор А с плотной в Я областью опре-
определения D(A). Пусть А* — сопряженный к А оператор.
Оператор А называется симметрическим, если DiA*) ^>
^=>D(A) и на D(A) выполняется равенство А*х = Ах. Опе-
Оператор А называется самосопряженным, если DIA*) =
=»1)Ы) и на D{A) выполняется равенство А*х = Ах. Та-
Таким образом, как для симметрического, так и для само-
самосопряженного оператора при любых х, y^DiA) справед-
справедливо равенство {Ах, у) •= (х, Ау).
Симметрический оператор А называется неотрицатель-
неотрицательным, если {Ах, х) 3» 0 для любого х е D{A).
Оператор U: Ьг[а, Ь] -»- L2[a, b],
с областью определения D{U), состоящей из дважды не-
непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций x(t),
удовлетворяющих граничным условиям
а^х (а) — а2х' (а) = 0, а\ + а] Ф 0,
р13! (Ь) - р2*'(Ь) = 0, Pi + PS^O,
называется оператором Штурма — Лиувилля. При этом
предполагается, что p(i)eC'fo, b] и не обращается в
нуль на [а, Ы, q(t) е [я, Ь].
Теорема 22.1. Оператор U — симметрический в про-
пространстве L2[a, b].
Функцией Грина для оператора U называется функ-
функция
¦ —u(s)v(t) при a^s^<^b(
.±u{t)v(s) при
123

где uit) и tit) — iiciii левые реш.чтя \ р.итснпл I'.r-- ()t
удовлетворяющие соохчстстпепие 'icjiromv ii второму i ;м-
ннчному условию, ]\\ — pit)\Vil) — pia)\Via),
I « @ i I
0-
u. (!) v' U)
Теорема 22.2. Для любой f^Cla,
Ux = f имеет единственное решение zis) e
ляемое равенством
yp
:-D(U), onpeoe-
22.1. В пространстве /.ДО, 1] рассмотрим оператор
Axit) = —d2x/dt2 с областью определения D(A), состоящей
из функций xit) таких, что xit) s C2l0, 1] и удовлетворя-
удовлетворяет граничным условиям х@) = хA) = 0. Доказать, что
А — симметрический оператор.
22.2. Доказать, что оператор задачи 22.1 является не-
неотрицательным.
22.3. В пространстве L2la, Ы рассмотрим оператор
Ax(t) = ij- с областью определения D(A), состоящей
из абсолютно непрерывных функций xit) таких, чю
x'it)&L2[a, b], п удовлетворяющих граничным условиям
х(а) =• xib) => 0. Доказать, что оператор А симметриче-
симметрический, но не самосопряженный.
22.4. В пространстве L2(—<», °°) рассмотрим оператор
Ax{t) = tx(t) с областью определения, состоящей из
функций zti), для которых txit) s L2(—°°( oo). Доказать,
что А — самосопряженный оператор.
22.5. Доказать, что для любого плотно определенного
в Н оператора А выполняется соотношение (ША))Х ~
-=¦ ЛГ(Л*). Верно ли в этом случае соотношение (Л'(Л))Х =
•=Д(Л*)?
22.6. Доказать, что симметрический оператор А, для
которого Д(А) —II, есть оператор самосопряженный.
22.7. Пусть А, В — симметрические операторы с об-
общей областью определения D, a, p s R. Доказать, что
аА + §В — симметрический оператор.
22.8. Пусть А — симметрический оператор о областью
значений R{A), плотной в Н. Доказать, что оператор А'1
существует и также является симметрическим.
22.9. Пусть А е S'(H) — ограниченный самосопряжен-
самосопряженный оператор и оператор A~i (ограниченный или неогра-
124
ничейный) существе-!. Доказать, чго Л'' — самосопря-
самосопряженный опера юр.
22.10. Доказан^ что собственные значения симметри-
симметрического оператора вещественны, а собственные векторы,
принадлежащие различным свешенным значениям, ор-
тогональп:.г.
22.11. Пусть А — симметрический оператор. Доказать,
что следующие утверждения эквивалентны:
а) А — самосопряжен;
б) А — замкнут и ЛГС4* ± И) «= 0;
в) Пи±И)=П.
22.12. Рассмотрим уравнение
где рМ) s С[[а, Ь] п не обращается в нуль на [а, Ь],
а функции pi(t), pM), (fit) непрерывны на [а, Ь]. Дока-
вать, что при умножении обеих частей этого уравнения на
h(t) = —ехр
оно сводшгя к виду Ux = /.
22.13. Доказать, что собственное подпространство опе-
оператора Штурма — Лпувилля, соответствующее данному
собственному значению, одномерно.
22.14. Найти функцию Грина для оператора U при
данных граничных условиях:
а) Ux--x", a:(O)-a:(l)=O;
б) Vx~*-x", жЧ0)«=ж@), х'([)+хШ
в) Гх = -х" -х, х@) =xin) = 0;
г) Гх^-х" +х, а;@)=а:A)=0;
"+ (ОЧО) A)
¦0;
^ е И.
22.15. Свести к пптегралыюму уравнению в простран-
пространстве ?2[0, 1] нахождение решения данного дифференци-
дифференциального уравнения при данных граничных условиях!
а) -Cl + *1)a:"-2te:/ + a.a:=»0, ж@) = х'A) = 0;
б) -х" +Хх = /(Л, г@) = 2^'@), *A) = 0;
в) -х" +Xx = f(t), ж@)+а:'@) = 0, яA)-0.
22.16. Пусть всюду на [а, Ь) pit) > 0, qit) > 0, а, > 0,
а2 > 0, р4 > 0, р2 > 0. Доказать, что для оператора Штур-
Штурма — Лиувилля существует функция Грина, если выпол-
выполняется хотя бы одно пз следующих условий!
a) g(i)^0; б) а^О; в) ^^=0.
22.17. Доказать, что в предположениях предыдущей
вадачп:
125

а) оператор Штурма — Лиувплля является неотрица-
неотрицательным;
б) множество собственных знапешш операюра Штур-
Штурма — Лиувплля непусто, по более чем счетно п не имеет
конечных предельных точек;
в) система собственных функций оператора Штурма —
Лнувилля плотна в пространстве Lt[a, Ь\.
22.18. Доказать, что в предположениях задачи 22.16:
а) квадратичная форма iUx, x) достигает своего ми-
минимума на множестве D = DiU) ПоДО);
б) miniUx, х) •= iUxa, аго)=Я, где к — наименьшее
собственное значение U, а х0 — нормированная собствен-
собственная функция с собственным значением X.
22.19. Используя предыдущую задачу, доказать, что
наименьшее значение функционала
рассматриваемого на множестве дважды непрерывно диф-
дифференцируемых на [0, 1] функций xit), удовлетворяющих
условиям
равно я1 и найти функцию xa(t), на которой оно реали-
реализуется.
Глава б
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИЯ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 23. Дифференцирование нелинейных операторов
Пусть X, У — банаховы пространства, Р: X -*¦ Y — не-
нелинейный оператор с областью определения DiF) <= X. Он
называется:
непрерывным, в точке iosB(f), если из xneDiF),
Ияп — a\jll-»-0 при п -*¦ °° следует, что WFixJ — Fixo)W -*¦ О
При П -* <м;
непрерывным на множестве М с DiF), если он непре-
непрерывен в каждой точке xo&DiF);
вполне непрерывным, если он непрерывен на DiF) и
переводит каждое ограниченное множество, лежащее в
DiF), в компактное в пространстве У множество;
ограниченным на множестве M<=DiF), если
6up[IF(z)[l<«>.
кем
Нелинейный оператор Fix), определенный в окрестно-
окрестности S точки х0 банахова пространства X, и со значениями
в банаховом пространстве У называется дифференциру-
дифференцируемым в точке х0 в смысле Фреше, если существует линей-
линейный оператор А&2ЧХ, У) такой, что для всех ж е= S
Fix) - Fixa) = Aix - х„) + aix - ж»),
где 11@(ж — жоI1 = о(Нж — ж„Ю при х -*¦ ж0. При этом опера-
оператор А называется производной Фреше оператора F в точ-
точке ха и обозначается F'ixa), а выражение F'ixo)h —
= dFix0; h) называется дифференциалом Фреше операто-
оператора F в точке х0 при приращении h.
Пусть FKixu ..., xk) — оператор, зависящий от к пере-
переменных Xt, ..., itel, со значениями в У. Оператор
Fkixu ..., хк) называется к-линейным, если он линеен по
каждому своему аргументу х( при фиксированных осталь-
остальных аргументах, fr-линейный оператор Fkixi, ..., хк) на-
называется ограниченным,, если существует постоянная
meR, m > 0 такая, что
HFntei, ..., хк)\\<тЪ1\\...Ък1
127

Наименьшая из таких постояппых т называется нормой
1\ и обозначается l'Fk'K А;-лилейный оператор Fhixu..., х,)
называется симметричным, еслп его зпачения пе меля-
ются прп любой перестановке его аргументов. Пусть
Fhixit ..., .гJ — к-линейный сюгоетрпчпый оператор. Опе-
Оператор Fhix, ,.., х) называется к-степенным оператором п
обозначается Fkxk.
Далее /с-линейпый оператор ваписывается в виде
FhXi, ..., xh.
Пусть оператор Fix) дифференцируем в окрестпостп
5, а дифференциал dFix\ h) также дифферепцпруем в
точке ха;
F'ixt + g)h - F'ixa)h « (Bg)h + pig)h,
гдо llp(g)II = o('lgll) при g -*¦ 0. При этом оператор В =>
= F' ixa) <= 2?iX, SiX, У)) называется второй производ-
производной оператора Fix) в точке ха. Из определения F"ior^)
следует, что F"ixa)hg есть ограниченный билинейный
симметричный оператор, Далее
d?F{xQ\ h) -= didFix; h)\ ж„, g\\,-H,
откуда d*F(x0; h) •=*F"ixo)h* — квадратичный плп 2-сте-
пенной оператор, получающийся из билинейного прп
g*=h.
Еслп a"Fix; h) = F{n)(x)hn уже определен, то в пред-
предположении его дифферепцируемости в точке х0 полакают
dn+iFixa; h) = d{dnFix; /г); ж„ g)\s»h,
откуда а'^Пх,; h) « Fin+i4ra)hn+l. Оператор FM(xe)hlt..,
..., hn является тг-линейным симметричным оператором,
a dnFix0; h) — тг-степенным оператором.
Пусть Fhxk — /с-степенные операторы из X в У (ieN),
a Fo e= Y. Образуем формальный степенной ряд
к-=о
^ ~ Fo).
Прсдпололиш, что числовой ряд
мажорирующий рассматриваемый степенной, имеет радиус
сходимости ри > 0. Тогда в любом шаре 5р@), где р s
s @, рц), исходный степенной ряд сходится абсолютно
и равномерно. Пусть ри > 0, a Fix) ~- сумма исходного
степенного ряда, т. е.
V
/l=0
F {х)
при п -*¦ ов. Тогда оператор Fix) называется аналитиче-
аналитическим оператором в точке х = 0.
Если дан бесконечно дифференцируемый оператор
Fix), то степенной ряд
Fm @) н
х
А!
называется рядом Тейлора Fix) в точке х — 0. Поскольку
разложение оператора /"Ч.г) в степенной ряд единственно,
то всякий степенной ряд аналитического оператора явля-
является его рядом Тейлора.
23.1. Доказать, что оператор A: Z,->Z2, Ax = (xux\,
xl, ...) для x = ixu Xi, ...)е/2 определен для всех х
из lif неирерывен в каждой точке пространства 12, но не
ограничен ни на каком шаре S,i0) при г> 1.
23.2. Пусть X — бесконечномерное банахово простран-
пространство, eeR, 0<е<1, г,еХ (в е N)—такая последова-
последовательность, что VxJ = 1 (в е N) и Wxk — xj\ > e прп кФп
(существование хЛ вытекает uj теоремы 15.4). Рассмот-
Рассмотрим функционал /, определенный следующими условиями:
1) <Хк, /> = А: (fcN)
2)
= k-j\\x- х,,
в шаре Se a (х„) (/с s N);
3) вне шаров St 2 {хи) (х, /> = 0.
Доказать, чго / непрерывен на X, но не ограничен на
шаре Ы < 1 + е/2.
23.3. Пусть A', Y — конечномерные банаховы простран-
пространства. Доказать, что любой непрерывный оператор /•': X -+
-»¦ Y является вполне непрерывным.
23.4. Пусть X, У, Ъ — банаховы пространства, F; X -+
-*¦ У — ограниченный на DiF) непрерывный оператор,
А: У -»¦ Z — линейный вполне непрерывный оператор.
Доказать, что оператор AF вполне непрерывен.
23.5. Доказать, что всякий вполне непрерывный опе-
оператор /;: X-*¦ У является ограниченным на любом огра-
ограниченном множестве M^D(F).
23.6. Пусть функция Kit, s, x) непрерывна по совокуп-
совокупности переменных в области 0 =S t, s^l, Izl^r.
В А Тричогп» и др.
1211

Рассмотрим оператор
F(x)=*\K(t,s,x(s))ds,
о
определенный на шаре 5г@) пространства С[0, 1]. Дока-
Доказать, что область значений R(F) лежит в пространстве
С[0, 1] и что оператор F вполне непрерывен на шаре 5,@).
23.7. Пусть функция fit, х) определена при О =S t s? 1,
~оо<а;<оо и непрерывна по совокупности переменных.
Рассмотрим оператор
Fix) = fit, xit)),
определенный на пространстве СЮ, 1]. Доказать, что об-
область значений RiF) ле;кпт в пространстве СЮ, 1], что
оператор непрерывен и ограничен на каждом шаре. Яв-
Является ли оператор F вполне непрерывным?
23.8. Пусть оператор F: X -*¦ У дифференцируем в точ-
точке х0 е X. Доказать, что F непрерывен в точке хй.
23.9. Пусть оператор F: X -> У постоянен на откры-
открытом множестве D с: X. Доказать, что F'ix) = 0 на D,
23.10. Пусть Fix) = Ах, где A^SkX, У). Доказать,
что F'ix) ~ А.
23.11. Пусть F: X-* У и G: X + У — операторы, диф-
дифференцируемые в точке ха. Доказать, что оператор aF +-
¦f J3G, где а н |J — скаляры, также дифференцируем в точ-
точке х0 п (aF + $G)'(x0) = aF'(x0) + ^G'U,).
23.12. Пусть оператор y = F(x), F: X -> У диффереп-
цируем в точке х0, а оператор x^Giz), G: Z-+X диф-
дифференцируем в точке z0, причем Giza) = х0. Доказать, что
в окрестности точки z0 определена суперпозиция
y = iF*G)iz)=FiGiz)),
оператор F * G дифференцируем в точке г0 и
iF*G)'izo) = F'ixo)G'izo).
23.13. Найти производные Фреше функционалов Fix) =
= ix, x) и Gix) = ILrll в вещественном гильбертовом про-
пространстве.
23.14. Пусть функция y = f(x), /: R-*-R определена
в окрестности точки х0. Доказать, что ее обычная произ-
производная f'izo) совпадает с ее производной Фреше в точ-
точке х0.
23.15. Пусть отображение F: Ег -»¦ Е2, задаваемое в
декартовых прямоугольных координатах формулами
и = uU, у), v = vix, у),
130
определено в окрестности точки (^0, у а). Доказать, что
если F дифференцируемо в точке (х0, уа), то его произ-
производная Фреше задаехся матрицей Якоби
ди(ло<Уо) ди (V У о)
F'
дх
дх
ду
'" (V У о)
23.16. Пусть отображение комплексной плоскости в
себя F: С -> С задается формулой w = F(z\, где z = x + iy,
w = и + iv. Доказать, что если F дифференцируемо в точ-
точке z0 в смысле Фреше, то в точке z0 = х0 +" ij/o выполня-
выполняются условия Кошн — Рпмана
=
дх ду ' дх ду
23.17. Пусть отображение F: Eh -> Е", задаваемое в де-
декартовых прямоугольных координатах формулами
yl = f,(xh х2, ..., хк), г = 1, 2, ..., п,
дифференцируемо по Фреше в точке z° = \х\, .. ., х^).
Доказать, что F'ix0) задается матрицей Якоби
F' (хй) =
ох.
/ = 1,2 Л.
23.18. Вычислить производную Фреше следующих ото-
отображений:
\
а) F: Е3
б) F; R
R, у = х, + х\ + х\ в точке A, 1, 1);
¦ Е\
sin л
е*1
уь
в точке
х
г/2 = е*1 cos nx2, у3= е*1
— х
\,
в) F: Е2 -» Е3, у^ = е*1 sin л
в точке A, 1);
г) F: Е3 -> Е\ ух = У k —
в точке A, 1, 1).
23.19. Пусть отображение F: Ek-*¦ Еп дифференци-
дифференцируемо в точке хй, ai, = G(ta), где G: Еп -*¦ Ек дифферен-
дифференцируемо в точке U. Найти (F * G)'(t0).
23.20. Пусть функции fix, и) и fu(x, и) непрерывны по
совокупности переменных при х^[а, Ъ], — °° < и < <».
Рассмотрим оператор F: С[а, Ь\ -»- Cla, b], Fiu) = fix, uix)).
Доказать, что производная F в точке uoix)^C[a, b] и ее
дифференциал в этой точке при приращении hix) e
eCia, Ь] соответственно равны F'iuQ) = fu(x, u^ix));
dFiuQ; h)-fjx, uQix))h<x).
9* 131

23.21. Найти протиодпир ело дующих операторов в
г очке гг„:
а) Fiu) = aiauix) б iipocipaiicme 6'tO, л], ий{х) —¦
= cos х\
б) F(u) = cos и{х) в пространстве СЮ, я], uo(x) =
= sin л1;
в) F(u)= и(х)— еха(х) в пространстве СЮ, 1], иа(х)^0;
г) F(u) = 22иЫ + sh пЫ в пространстве СЮ, 1],
В каких случаях оператор F'(u0) непрерывно обратим?
23.22. Пусть функция /(я, s, и) непрерывна по сово-
совокупности переменных при as^x^b, —<x,<u<<x> вместе
с частной производной fuix, s, и). Доказать, что инте-
интегральный оператор F: Cia, b] -*¦ Cla, о\
ъ
F(u) = u(x)-\f(x,s,u(s))ds
а
дифференцируем в любой точке uj.x) eC[a, b] и
ь
F' (u0) h = h{x)-\ U (*. s, u0 (s)) h (s) ds.
23.23. Найти производную Фреше по и в точке иа = О
интегрального оператора F: СЮ, я] -*¦ СЮ, я] с парамет-
параметром к
я
F (и) = и (х) — I j cos (x + и (s)) ds.
о
Найти все решения уравнения F'[0)h — cosx.
23.24. Пусть оператор F: X -»¦ У непрерывно диффе-
дифференцируем в каждой точке отрезка [хи х2] <=¦ X. Доказать
формулу конечных приращений
F (х2) - F (хх) = j F' (х, + Q (х2 - Xl)) {х, - Xl) d9.
о
23.25. Доказать, что если оператор F; X -*¦ Y непре-
непрерывно дифференцируем на отрезке [xL, х2] <= X, то он
удовлетворяет условию Липшица WFixJ — Fix,)\\ <
*И\\хг-х,\\, где Z-= sup \\F'(x)\\.
23.26. Пусть оператор F: X -*¦ Y непрерывно диффе-
дифференцируем на отрезке [xi, х2] <= X ц F'ix)~0 на [xt, хг].
Доказать, что Fix) постоянен на [xh x2].
132
23.27. Пусть оператор F; X -у Y непрерывно диффе-
дифференцируем на выпуклом множестве QcX и F'ix) = 0 на
Q. Докатать, что Fir) постояттеи на Q.
23.28. Пусть операюр /•': X -»- Y дифференцируем на
выпуклом множестве Q <= X, причем для любых х^ хг е
е Q выполняется неравенство
т. е. Т' удовлетворяет на Q условию Липшица с посто-
постоянной I. Доказать, что для любых a1,, i2 e О справедливо
неравенство
1F (хг) - F (х2) - F' (х2) (х, - xt) К \ 11! *1 ~ *2 II2-
23.29, Пусть оператор F; X -*¦ Y дифференцируем на
выпуклом множестве Q с: X и производная F'ix) непре-
непрерывна в точке Хц. Доказать, что для любого е > 0 най-
найдется б = б'.е, х0) > 0 такое, что
llf Ы - Fiy) - F'ixjix - y)i\ ass ella: — у\\ '
для всех х, i/eQll5i(a:0).
23.30. Пусть fnix) in e N) — последовательность функ-
функций, дифференцируемых на (—°°, °°). Пусть, далее, функ-
функции fnix) и их первые производные равномерно ограни-
ограничены и равностепенно непрерывны на каждом отрезке
[а, Ь]. На пространстве m ограниченных последователь-
последовательностей определим оператор F;
Fixh х,, ..., хп...) = (/iUi), /2(^2), ..., /„(zj, ...).
Доказать, что область значений F лежит в пространстве
тп, что оператор F дифференцируем в смысле Фреше,
и найти оператор F'.
- 23.31. Найти производную Фреше функционала
ъ
о
определенного на банаховом пространстве С1[а, Ъ] непре-
непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций xit), обра-
обращающихся в нуль на концах [а, Ы. Функция Ф(х, у, г)
предполагается дважды непрерывно дифференцируемой.
¦ 23.32. Пусть Fkxk — А.--степенной ограниченный опера-
оператор. Доказать формулу бинома Ньютона
= 2 Ф>Ь~'А;.
133

23.33. С помощью формулы бинома Ньютона иа пре-
предыдущей задачи доказать, что всякий А:-степенной огра-
ограниченный оператор F,,xk дифференцируем в смысле Фре-
ше в любой точке х и (Fkxk)' = kFhxk~\
diFkxk; h) = kFhxh-lh.
23.34. Доказать, что всякий А'-лппейный ограниченный
оператор непрерывен в любой точке х = ixh х2, ..., хк).
23.35. В пространстве с'" га-мерных столбцов
рассмотрим оператор y — Fixu хг), определяемый форму-
формулами
Ун — Zj а,ц х{ xj , к — 1,1, ..., т,
(.h)
ну
-о
й,
Доказать, что Fix{, x2) является билинейным ограничен-
ограниченным оператором. Найти оценку его нормы. Как выглядит
соответствующий квадратичный оператор? Когда оператор
F(xu хг) симметрический?
23.36. В пространстве CtO, 1] рассмотрим квадратич-
квадратичный интегральный оператор
1
где функция Kit, s) непрерывна в квадрате 0 «? t, s ^ 1.
а) Найти соответствующий ему билинейный симмет-
симметрический оператор.
б) Вычислить производные F,x2 любого порядка.
о
23.37. Пусть С2[0, I] — банахово пространство дважды
непрерывно дифференцируемых на [О, U функций x(t),
удовлетворяющих граничным условиям z@) = xil) = 0.
О
Рассмотрим оператор F: C2t0, 1\ -*¦ CtO, I], Fix) = x" +
+ /''?, x), где функция fit, x) непрерывна вместе с част-
частной производной fxit, x) по совокупности переменных в
о
прямоугольнике 0 < t < I, \x\<r. Пусть хМ) <=СЧ0, I]
и I'aJI < г. Доказать, что
F'ixo)z = z" +fxit, xait))z.
23.38. Рассмотрим нелинейный дифференциальный
оператор
F (х) = —5- Н- sinar(i),
действующий иэ пространства Сг[0, 1] в пространство
сю, ii.
а) Вычислить dkFix0; h) (fceN), где xa(t)=t.
б) Разложить Fix) в ряд' Тейлора в точке xo(t) = t.
23.39. Пусть
h=0
\x — степенной ряд пз X в Y. До-
казать, что область его сходимости О. является С-звездой
вокруг точки 0, т. е. как только x^Q, то "кх е Q при
UK1.
23.40. Доказать, что радиус сходимости"рц степенного
ряда может быть определен по формуле Коши — Адамара
1
Р
23.41. Пусть ри > 0. Доказать, что при любом ре
е @, ри) степенной ряд сходится в шаре 5р@) абсолютно
и равномерно.
23.42. Пусть X = Е\ Y = R. Для степенного ряда
00
найтп область сходимости Q и радиус сходи-
мости ри.
23.43. Пусть ри ^> 0. Доказать, что разложение Fix)
в степенной ряд единственно.
23.44. Пусть ядро Kit, s) непрерывно в квадрате а<
^ t, s г? Ъ. Рассмотрим действующий в пространстве
С[а, Ъ] нелинейный интегральный оператор
ь
Доказать, что Fix) разлагается в ряд Тейлора с ри — +00,
и выписать его разложение.
23.45. В пространстве CtO, T] рассмотрим оператор
* V^V - ! _ w (,) •
Доказать, что F(x) определен на шаре 11x11 < Г, аналитп-
чен в точке i0 = 0 и р» = 71-1.
'B3.46. В пространстве Са (см. задачу 7.31) рассмотрим
оператор
F (т\ — *№
f W-l_,.r@*
Доказать, что F(;r) определен в шаре $х\\а < еа, аналнти-
чен в точке х„ = 0 н рц = еа.
135

§ 24. Принцип сжимающих отображений,
итерационный процесс Ньютона,
принцип неподвижной точки Шаудера
Нелинейный оператор Ф(х), отображающий лежащее
в банаховом иросмраисше Л' множество Q в себя, назы-
называется сжимающим, если ^существует число q e @, 1) ia-
кое, что для любых х, у ^Q выполняется неравенство
!!ФЫ-Ф(!/)Н^ gib-г/11.
Число q называется коэффициентом сжатия. Точка х*
называется неподвижной точкой оператора Ф'.х), Ф: X -*¦
— X, если Ф(л:*) = х*.
Теорема 24.1. Пусть Ф{х) является сжимающим
оператором на замкнутом множестве Q. Тогда существует
и единственна в Q неподвижная точка х* оператора Ф(,г).
Последовательность итераций
хп = Ф(хп-1), л = 1, 2, ...,
где х„ s Q произвольно, лежит в Q и хп -* х* при п -+ °°.
Справедлива оценка скорости сходимости
I г — г* II
\\хп X |1
_ |
I Ф I г \ —
| Ч^ {Х„) —
Следствие. Пусть оператор Ф(х) отображает замк-
замкнутый шар 5, (я) в X, является сжатием на этом шаре с
коэффициентом сжатия ц, причем 11Ф(а) — а\\ ^ A — q)r.
Тогда Ф отображает S, (а) в себя и на Q = 5г(а) справед-
справедливо утверждение теоремы 24.1.
Теорема 24.2. Пусть в шаре Sr{xe) выполняются
следующие предположения:
1) оператор F: X -*¦ Y дифференцируем и его произ-
производная удовлетворяет условию Липшица, т. е. для любых
хи x1^Sr(x(l) выполняется неравенство WF'ixJ — F'(x2)\\ ^
2) оператор F'ix) непрерывно обратим и для любого
x^Sr{xa) выполняется неравенство II[F'(а;)]~Ч1 < тп\
3) точка х„ такова, что \\Р(.хо)\\-^ц (/, т, ц — посто-
янные). Тогда, если q —^ т'Ч\\, г' = пщ^ q2 -1 </¦,
То
уравнение F(x) = 0 имеет решение х* е5Г/ (xQ), к которо-
которому сходится следующий итерационный процесс Ньютона}
), n e N,
хп = ж,,-, - [F'(xn^)] ,
начатый с х0. Скорость сходимости хп к х* может быть
130
оценена из неравенства
Теорема 24.3. Пусть выполняются предположения
1), 2), S) теоремы 24.2. Если 2тЧг\ < 1 и
/Г
Г =
2m2/n
ml
то уравнение F(x) = 0 имеет в шаре Sri (хй) единствен-
'ное решение х*, к которому сходится начатый с ха моди-
модифицированный процесс Ньютона
х — х _ _ [F'(xa)]~xF(x _i) nsN.
Справедлива оценка скорости сходимости
II ^.
/гл
2m2/ n
mr\.
Теорема 24.4. Пусть оператор Ф{х) отображает
замкнутое ограниченное выпуклое множество D банахова
пространства X в себя. Тогда, если Ф вполне непрерывен
на D, то он имеет на D неподвижную точку.
Следствие. Если непрерывный оператор Ф отобра-
отображает замкнутое выпуклое множество D банахова про-
пространства X в компактное множество Do^D, то он имеет
на D неподвижную точку.
24.1. Доказать, что оператор Ф: R ->- R, Ф(?) = t2 яв-
является сжимающим на шаре 5,@) = {teR: Ul«?r}, где
г < 1/УЗ, но не является сжимающим вблизи неподвиж-
неподвижных точек t = 1 и t = —l.
24.2. Пусть функция x = f(t) задана и дифференци-
дифференцируема на [а, Ь] и отображает этот отрезок в себя, причем
Доказать, что уравнение /(?) = t имеет на [а, Ь] единст-
единственное решение.
24.3. Пусть функция x = j(t) определена и дифферен-
дифференцируема на всей вещественной оси и для любого t e R
выполняется неравенство:
a) l/'(i)|sSA<l; б) |/'U)I >).> 1.
Доказать, что уравнение /U) == t имеет, и притом един-
единственное, решение.
24.4. Рассмотрим уравнение 2W' = 1 (teR).
137

а) Доказать, что ото уравнение имеет единственное
решение и что это решение лежит на интервале @, 1).
б) Привести уравнение к виду, пригодному для со-
составления итераций, и определить число итераций, не-
необходимых для того, чтобы приближенное решение от-
отличалось от точного не более чем на 0,01, если в каче-
качестве начального приближения принято ta = 0.
в) Составить и реализовать на ЭВМ программу для
нахождения приближенного решения, выводя па печать
результат каждой итерации.
г) Решить это же уравнение с помощью стандартной
программы и сравнить результаты.
24.5. Доказать, что всякое непрерывное отображение
отрезка в себя имеет неподвижную точку.
24.6. Пусть задано уравнение Fit) = 0, где у = Fit) —
непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция. Рас-
Рассмотрим равносильное уравнение t — /.F(t) = t, где /. е R.
Всегда ли значение параметра 7. можно выбрать так,
чтобы оператор t-*t — 7.Fit) был сжимающим на [а, Ь]?
24.7. Рассмотрим уравнение tb + t + I =0 ((eR),
а) Доказать, что это уравнение имеет единственный
вещественный корень, и найти отрезок, на котором он
лежит.
б) Привести уравнение к такому виду, чтобы его
можно было решать итерационным методом.
в) Найти число итераций, необходимых для нахожде-
нахождения корня с погрешностью, не превышающей 0,01.
г) Составить и реализовать на ЭВМ программу для
нахождения приближенного решения, выводя на печать
результат каждой итерации.
д) Решить это же уравнение с помощью стандартной
программы и сравнить результаты.
24.8. При движении планеты вокруг Солнца по эл-
эллиптической орбите ее положение в момент времени t,
отсчитываемый от момента прохождения перигелия, оп-
определяется уравнением Кеплера
Е — esin? = 2л j,
где Е — определяющая положение планеты эксцентриче-
эксцентрическая аномалия, е. — эксцентриситет орбиты @<е<1),
Т — период обращения по орбите.
а) Доказать, что уравнение Кеплера имеет для любо-
любого t единственное решение, которое определяет функ-
функцию ШеСЮ, 71.
138
б) Принимая е = 0,5, <е[0. 71, определить число
итераций, необходимых для нахождения Eit) с погреш-
погрешностью, не превышающей 0,01, если в качестве нулевого
приближения взято Еа = 0.
в) Составить программу для ЭВМ нахождения при-
приближенного решения и реализовать ее, выводя на печать
результат каждой итерации. Построить график Eit) на
10, 71 при е = 0,5, придавая t значения с шагом Г/12.
' г) Составить программу для ЭВМ, позволяющую оп-
определить зависимость ?G74) от е, учитывая, что с из-
изменением е меняется н число итераций; необходимых
для достижения погрешности, не превышающей 0,01.
С помощью этой программы построить график ?G7i)
при е <= [0,25, 0,75] с шагом 0,05.
24.9. Рассмотрим уравнение xit) = t + exit"), где
0 < е < 1, к > 1.
а) Доказать, чго это уравнение имеет единственное
решение xit) eCtO, 11.
б) Полагая ха = 0, е = 0,5, определить число итера-
итераций, необходимых для нахождения xit) на [0, 1] с по-
погрешностью, не превышающей 0,01.
в) Составить программу для ЭВМ и с ее помощью
построить график xit) на [0, U, придавая t значения с
шагом 0,1 при е = 0,5 п к, изменяющемся от 2 до 7 с
шагом 1.
24.10. Доказать, что при 0 «2 a «S 1 итерации
сходятся к 1'я.
24.11. Доказать, что последовательность цепных
дробей
1
-; 2 +
1
l
'24-i-
имеет предел, и найти его.
24.12. Доказать, что в пространстве Е" линейное ото-
отображение А: Е" -* ?" с матрицей HaJI (г, /=s=l, 2, ..., п)
будет сжимающим, если
2 Ui;l2<l-
',.1 = 1
24.13. Доказать, что в пространстве с" линейное ото-
отображение А: с" -»- с" с матрицей Иа1;11 И, j = 1, 2, ..., п)
139

будет сжимаюшим, если
п
max 2i I ар-
ар24.14. Доказать, что в пространстве I" линейное ото-
отображение А: Г' -*¦ /" с матрицей UtfJI (/, / = 1, 2, ..., п)
будет сжимающим, если
п
max 2 |я;;|<1.
24.15. Следующие системы линейных алгебраических
уравнений преобразовать так, чтобы их можно было ре-
решать итерационным методом:
а) 2а: + г/-2, б) аг + 2/ = 4,'
лг-3«/-1; я + 2у = 3.
Исследовать характер приближения итерации к точному
решению.
24.16. Рассмотрим в пространстве Е" систему линей-
линейных алгебраических уравнений Сх = Ь, где х, Ь^Е",
C = llc,jl! (г, j •= 1, 2, ,.., п). Рассмотрим равносильную
систему х = (КС + 1)х — Kb, где ?,eR, / — единичная мат-
матрица. Положим А = КС + 1 п составим итерации x,L ==¦
= Axn-{ — Kb, neN, где o,\i e ?" — произвольно. Предпо-
Предположим, что выполняется следующее условие:
п
2 с»
Доказать, что существует ?.eR, при котором итерацион-
итерационный процесс сходится к решению исходно]! системы.
24.17. Рассмотрим оператор A: CiO, U -*¦ CiO, 1]
а) Доказать, что при \К\ < 1 этот оператор является
сжимающим в пространстве С[0, 1].
б) Найти неподвижную точку этого оператора при
% = 0,5.
в) Составить итерации, выбрав в качестве начального
приближения хп ^ 0, и убедиться, что они являются ча-
частичными суммами ряда Тейлора для неподвижной
точки.
г) Найти оценку погрешности, допускаемой на и-м
шаге итерационного процесса, исходя из оценки остаточ-
140
ного члена в формуле Тейлора и из оценки в теоре-
теореме 24.1.
д) Имеет ли рассматриваемый оператор неподвижные
точки при 1X1 > Г?
24.18. Пусть Ф: X -*¦ X — такой непрерывный опера-
оператор, переводящий банахово пространство X в себя, что
некоторая его итерация является сжимающим па X опе-
оператором. Доказать, что оператор Ф имеет в X неподвиж-
неподвижную точку.
24.19. Привести пример оператора Ф: .X -»- X, перево-
переводящего банахово пространство X в себя, удовлетворяю-
удовлетворяющего при х, у^Х ix?>y) условию !!ФЫ — Ф(;/)!1 <
<\\х — у\\ н не имеющего в Л' неподвижной точки.
24.20. Пусть Q — бикомпактное множество в банахо-
банаховом пространстве А', Ф: Q -*¦ Q — оператор, удовлетворя-
удовлетворяющий при х Ф у условию \\Ф{х) — Ф(г/I1 < \\х — г/II. Дока-
Доказать, что оператор Ф имеет в Q единственную неподвиж-
неподвижную точку и что итерации х,, = Ф(х11-1) («eN) сходят-
сходятся к пей при любом х„ е Q. Является ли оператор Ф
сжимающим?
24.21. Рассмотрим уравнение
ъ
или (/ —X.-lk = /, где ;.gC, /(s)eC[a, Ы, K(s, t) непре-
непрерывна при а < s, t s? b, M — max \K(s, i)\.
а) С помощью теоремы 24.1 доказать, что при \К\ <
< [/{М(Ь — а)) данное уравнение имеет, и притом един-
единственное, решение x(s)sC[a, b].
б) Доказать, что при |?,1 < i/(M(b — а))
x = U- U)-1/ = (/ + КЛ + К'Л1 + ...)/
и что А" — интегральный оператор с ядром
ь
Кп (s, 0 -= ] К (я. т) Л',,-! (т, t) dr, н --= 2, 3, . . .,
в) Доказать, что ряд Неймана
я —1
сходится равномерно в круге |Х| < 1/(М(Ь — а)) и его
141

сумма Ris, t, к) (резольвента яяра) аналтлтпчна по к в
этом круге.
г) Доказать, что при \к\ < 1/iMib — а)) решение
данного уравнения имеет вид
R{s,t,X)f(t)dt.
24,22. Доказать, что при I/.I < 1/iMib — а)) резоль-
резольвента Ris, t, к) непрерывного ядра K(s, t) удовлетворяет
уравнениям:
ь
a) R(s,t,k) = k \K(s, т) Д(т, t,k)dr + K(s,t);
б) R (s. t,k) = k$K (т, t) R (s, т, k)dx + К (.?, t);
в)
24.23. Рассмотрим уравнение
где /(s)eC[0, 1].
а) Доказать, что ряд Неймана для данного уравне-
уравнения сходится при I/J < 3.
б) Найти итерированные ядра K,,(s, t), просуммиро-
просуммировать ряд Неймана и записать решение данного урав-
уравнения.
в) Имеет ли данное уравнение решения при \кI > 1?
24.24. Доказать, что ряд Неймана для уравнения
Вольтерра 2-го рода с непрерывным ядром сходится при
любом значении параметра к и, следовательно, решение
этого уравнения существует при любой непрерывной
правой части.
24.25. Доказать, что уравнение Вольтерра 2-го рода
не имеет характеристических чисел.
24.26. Оператор F: X -*¦ Y будем называть нерастя-
еивающи.ч на выпуклом множестве flcX, если для лю-
любых хи x2^D выполняется неравенство WFixJ — F(x2)\\^
*S llxi — x2\\. Доказать, что непрерывно дифференцируе-
дифференцируемый на выпуклом множестве D оператор Fix) является
142
нерасгягивающим тогда и только тогда, когда
24.27. Пусть оператор ф(х) отображает замкнутое
выпуклое множество D с X в себя и непрерывно диффе-
дифференцируем на D. Доказать, что оператор Ф(г) является
сжимающим на D тогда и только тогда, когда
8ир|)Ф»|| = 4<1.
24.28. Пусть оператор Ф{х) отображает замкнутое
множество Q с: X в себя п при некотором натуральном
т оператор
m раз
является сжимающим на Q. Доказать, что в Q существу-
существует единственная неподвижная точка оператора Ф(х) и
что итерации хп — Ф(хг^^ (n e N) сходятся к ней при
любой Х(, е О.
24.29. П\сть функция у = fix) дважды дифференци-
дифференцируема на [а, Ь], /(.а)<0, f{b)>0, причем f'{x)> тп>0,
f"(x) ^0 на [а, Ь).
а) Доказать, что последовательные приближения хп
итерационного процесса Ньютона, начатые с хи — Ь, не
возрастают, ограничены снизу и сходятся к точке х* —
корню уравнения fix) = 0.
б) Сформулировать аналогичные утверждения в слу-
случаях:
1) f'(x)>m>0, f"ix)^O на [а, Ы;
2) i'u)sS-m<0, f"(x)>0 на [а, Ы;
3) /'Ы^-т<0, f"ix)^O на [а, Ы.
24.30. В условиях предыдущей задачи рассмотрим
последовательные приближения метода хорд
)
Доказать, что:
а) последовательность хп не убывает, ограничена
сверху и сходится к х*;
б) справедливо неравенство хп < х* < хп (neN);
/ (х) ~
в) справедливы оценки 1 хп — х* '
№I
—, х* — хп
т
143

24.31. Пусть в условиях задачи 24.29 а) при х,,<Ъ
выполняется неравенство \} {хо)\ <.--—, 1ДС I — ит\ f (л).
l»"l [a,b]
Доказать, что для скорости сходимости хп к х* справед-
справедлива оценка, приведенная в теореме 24.2.
24.32. Составить формулы последовательных прибли-
приближений для итерационного и модифицированного итера-
итерационного процессов Ньютона, когда I = R и Х — Еп.
24.33. В пространстве _/2 рассмотрим оператор Fix),
определенный на шаре 6\@) и переводящий элемент
* = (аг„ х2, ...)е/2 в F{x) = O'i-Wx\\\ xh x2, ...). До-
Доказать, что Fix):
а) переводит шар SiiO) в себя;
б) непрерывен на шаре 5Д0);
в) не имеет неподвижных точек на шаре SiiO);
г) не является вполне непрерывным.
24.34. Пусть функция fit, x) непрерывна по совокуп-
совокупности переменных в области \t — ta\^a, \x — xo\^b,
М— максимум \jit, х)\ в этой области, Л = min (я, Ъ/М).
Рассмотрим задачу Кошн для обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения 1-го порядка
/(*) (t)
а) Доказать, чт< эта задача эквивалентна интеграль-
интегральному уравнению
= ZQ+ f/(T,l(T))dT,
б) Доказать, что оператор
определенный на шаре Ib — xall ^b в пространстве
Clto — h, tc + h], переводит этот шар в себя и является
вполне непрерывным на нем.
в) Доказать, что рассматриваемая задача Коши име-
имеет на отрезке Uo ~ h, to + h] хотя бы одно решение.
г) Привести пример непрерывной функции fit, x) и
точки Но, х0) таких, что рассматриваемая задача Коши
имеет на некотором отрезке, содержащем точку t0, более
одного решения.
24.35. В пространстве С3[0, 1] рассмотрим следующую
краевую задачу для обыкновенного квазилинейного диф-
144
ферешгпалыюго уравнения 3-го порядка (модельная за-
задача теории погрсшп'шого слоя):
¦г"'+а\г" =0, 0<i<l,
xiO)=a, *'@)-Ь, xii) = c.
а) Доказать, что эта задача эквивалентна следующе-
следующему нелинейному интегральному уравнению в простран-
пространстве СЮ, 1):
с с \ °- ¦ 1
I 1 ехр \— \ х is) ds\ da d-c
\ Г ехр — Г x (s) ds\ da
oo l о J
б) Пусть хотя бы одно из чисел а, Ъ, с — a— b отлич-
отлично от нуля. Доказать, что оператор ФЫ, задаваемый
правой частью интегрального уравнения, отображает
шар SAO) радиуса r=\a\ + \b\ + \c-a — b\ в себя.
в) С помощью теоремы 15.3 доказать, что Ф(я) впол-
вполне непрерывен в этом шаре.
Таким образом, согласно принципу Шаудера, уста-
установлено существование решения исходной краевой за-
задачи.
24.36. Пусть функция Kit, s) ^ 0 непрерывна при
a^t, s^b, функция i/(J)^0 непрерывна на [а, Ь), при-
причем выполняется неравенство
где
\К 1 = max j \K(t,s)\ ds, \y\ = max\y(t)\,
a n > 1 — натуральное. Пусть, далее, г,,, < г* — неотрица-
неотрицательные решения уравнения WKWr" + \\y\\ = г. Рассмотрим
в пространстве С[а, Ы интегральный оператор
а) С помощью принципа сжимающих отображений
доказать, что в шаре ||а:||^г# оператор Ф имеет един-
единственную неподвижную точку.
Ю В. А Тренашн и др. ^™

б) С помощью принципа Шаудера доказать, что в
шаре 11x11 < г* оператор Ф имеет по крайней мере одну
неподвижную точку.
§ 25. Неявные операторы
Пусть X, У, А — банаховы пространства, Л' + Л — пря-
прямая сумма пространств X п А. Уравнение Fix, У.) = О,
где F: X 4- А ->- У, может определять решения x = xi).),
каждое из которых называется неявным оператором {не-
{неявной функцией), определяемым исходным уравнением.
Теорема 25.1. Пусть оператор Fix, У.) непрерывно
дифференцируем в окрестности точки {х0, Х„). Пусть, да-
далее, Fixa, Хо) = 0, а оператор Fx{x0, У.а) непрерывно об-
обратим. Тогда найдутся числа р>0 и г>0 такие, что
для каждого У. е 5р(>.0) уравнение Fix, У.) = О имеет в
шаре ST{xQ) единственное решение x = xiX). При этом
хО.а) = х0, неявная функция х(/„) дифференцируема в
Sr(xa) и
В частности, х (л0) = — F'1 (х0, X0)-Fh(x0, Хо).
Теорема 25.2. Если в условиях теоремы 25.1 опе-
оператор Fix, У.) аналитичен в точке Uo, У.о), то неявный
оператор х(Х) также аналитичен в точке Хо, т. е. в не-
некотором шаре И/. — ^о" < р (р > 0) представим абсолютно
и равномерно сходящимся рядом
ОС
х (Я) - 2 xh (I - 10)\
25.1. Проверить, что при х, /.eR уравнение:
а) аг + л2 + 1 = 0 не определяет ни одной неявной
функции;
б) х~ + У.' *= 0 определяет единственную неявную
функцию х = 0, определенную только при X = 0;
в) х — X2 = 0 определяет единственную неявную функ-
функцию, определенную для любого У. е R;
г) х1 + Хг = i определяет две непрерывные неявные
функции при X е [— 1, 1];
д) х2 — Хг = 0 определяет на R две дифференцируе-
дифференцируемые неявные функции и четыре непрерывные функции.
25.2. Доказать, что в пунктах г) и д) задачи 25.1
существует бесконечное множество разрывных неявных
функций.
146
25.3. Найти числа р п г, о которых говорится б фор-
формулировке теоремы 25.1, в пункте г) задачи 25.1, когда
#о + ^о = 1 (х„?=0). Применима ли эта теорема в точках
О Х 1?
25.4. Найти числа р и г, о которых говорится в фор-
формулировке теоремы 25.1, в пункте д) задачи 25.1, когда
х\ — XQ (хаФ0). Применима ли эта теорема в точке
(О, 0)?
25.5. Переформулировать теоремы 25.1, 25,2 о неяв-
неявных функциях для случаев:
а) X = A=y = R;
б) Х=У = ?\ \ = Еп.
25.6. Пусть X = У = С[а, Ь\, А = R. Переформулиро-
Переформулировать теоремы 25.1 и 25.2 о неявных операторах для ин-
интегрального оператора:
Ь
a) F (х, У.) --= х @ - f К (t, s) / (s, x (s), X) ds;
6) F (x, X) = x{t)- \ К (t, s, x (s), X) ds;
¦ в) F(x,).) = O{x(t),t,\)-]y(t,s,x(i),x(8),X)ds.
а
25.7. Доказать, что интегральное уравнение
я
х {t) = А \ sin t [x (s) sin 5 + х2 (s)] ds
имеет при У. = ?.0=1 решение xait) = sin t. Найти непре-
непрерывное no (t, У.) решение этого уравнения xit, X) такое,
что xit, I) = sin t.
25.8. Найти все неявные функции, определяемые ин-
интегральным уравненном задачи 25.7.
25.9. Рассмотрим краевую задачу для нелинейного
обыкновенного дифференциального уравнения 2-го по-
порядка с малым параметром
х" +fit, х, х\ е) = 0, 0<t<lt ж@)«=ж(/) = 0.
Предположим, что функция fit, x, у, е) является доста-
достаточно гладкой по совокупности своих переменных при
fs[(l, /J, -oo<2-, y<+^, le|sSe0.
Пусть, далее, при е = 0 эта задача имеет решение xa(t),
10* 147

причем линеаризованная задата
2" + U ('• ^о V), ЧС). °) 2' + U{U *„ @. 4 (*). 0) z = О
имеет только тривиальное решение л = 0. Полагая
Х = 6'Ч0, /J, Y = C[Q, /], A = R,
/•Ч-г, е) = х" + /U, а:, ж', е),
переформулировать для данного случая теоремы 25.1,
25.2 о неявных функциях.
25.10. Найти с точностью до О{г~) решение краевой
задачи
х" +sina: = e sin л^, я@) = хA) = 0.
25.11. Пусть функция ц(х), <j: R->-R апалитнчна в
окрестности 5 точки си. Рассмотрим уравнение
х = а + Еф(х)
с параметрами a^S и е е ( —е„, е0). Доказать, что:
а) существуют числа р>0 и г>0 такие, что при
всех (а, г), удовлетворяющих условиям \а — а„|<р,
41 <р, рассматриваемое уравнение имеет на интервале
\х — aj<r единственное решение х = х(а, е); это реше-
решение аналншчпо по а, е и удовлетворяет условию х(«„,0) =
= а«\
б) для производных х(а, е) no e справедливы фор-
формулы Лапласа
21; = 4^ [ч* (-0-1
из которых, в частности, следует, что
• в) для х(а, е) справедлива формула Лагранжа
25.12. Пользуясь формулой Лаграюка из задачи 25.11,
доказать, чю аналитическое при е=0 решение уравне-
уравнения Кеплера (см. задачу 24.8)
Е - е sin E = Л/, 0<е<1,
143
задается рядом
? = ЛУ + е мп .1/ + J- ^ мп2 Л/ + . ..
25.13. Сформулировать н решить задачу 25.11 для
случая, когда <р — отображение комплексной плоскости,
а е и а — комплексные параметры.
25.14. Рассмотрим уравнение }(х) = е, где функция
/(х) аналптнчпа в точке х = 0, /@) = 0, /'@)^0. Это
уравнение определяет "в окрестности точки е=0 един-
единственную обратную функцию х = х(е), причем х@) = 0,
и эта функция аиалптнчиа в точке е = 0. Пусть
Докааать, что обратная функция определяется рядом
Лагранжа
X P =
25.15. Пусть фупкцпя Fix, ?.), F: Е2 -*¦ R непрерывна
вместе с частной производной ^(ж, К) в полосе « < к =$ Ь,
—оо<д:<+оо, и в этой полосе 0 < т < ^(х, >.) ^ Л/, где
0 < /7i ^ Л/ — постоянные, не зависящие от х и к. Дока-
Доказать, что уравнение Fix, /.) = 0 определяет в простран-
пространстве С[а, Ь] единственную неявную функцию х = х{).).
25.16. Пусть оператор Fix, к), F: Ек + Е" -*¦ Ек непре-
непрерывен вместе с частной производной Fxix, к) в цилиндре
ге?', k^G^E", где G — замкнутая ограниченная об-
область. Пусть для точек этого цилиндра выполняется не-
неравенство
mWrekiFxix, k)h, йХЛ/Ш2,
где 0 < т < Л/ — постоянные, не зависящие от х и к.
Доказать, что уравнение Fix, к) = 0 определяет единст-
единственный неявный оператор x — xik), непрерывный на G.
25.17. Рассмотрим задачу Кошп для обыкновенного
дифференциального уравнения 1-го порядка
-,—у ах ¦¦
dt
cp(.x), 0<C<+oo, r\t=a = d,
где а>0, функция фЫ непрерывно дифференцируема
в окрестности 5 точки х = 0, a s 5, ф@) = ср'(О) = 0. До-
149

казать, тто эта задача эквивалентна пчтегратьному урав-
уравнению
х{1) = ае
-0.1
„-'<((-
¦fL{x{s))ds,
т. е. всякое решение задачи Кошп является решением
интегрального уравнения и обратно, всякое непрерывное
решение интегрального уравнения непрерывно диффе-
дифференцируемо па полуоси, удовлетворяет начальному усло-
условию и является решением дифференциального уравнения.
25.18. Запишем интегральное уравнение предыдущей
задачи в виде х — Ф(а, х). С помощью теоремы о неяв-
неявных операторах доказать, что при достаточно малых 1я|
интегральное уравнение имеет единственное малое реше-
решение x(t, а) -*¦ 0 при а -> 0 в пространстве Са (см. зада-
задачу 7.31). Переформулировать полученное утверждение
для задачи Кошн из 25.17.
Глава 7
ДИСКРЕТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 26. Приближенные и разностные схемы
Для приближенного решения уравнения Ах = у с ли-
линейным оператором А, действующим из области опреде-
определения D(A)<=X в область значений Ж/1) <= У (X, У —
банаховы пространства), и правой частью уеУ рассмат-
рассматривают последовательность приближенных уравнении
Апхп = уп (neN), называемую приближенной схемой с
лпн_ейными_ операторами Ап, действующими из D(An) <=
С.Х„ в ЖЛ„) с уп и уле}'в (хп и У„ — банаховы прост-
пространства). Связь между пространствами X и Хп (У и У„)
осуществляется линейными операторами Г„ <= 9?{Х, Х„)
(соответственно Г„е5'(У,Уп)) такими, что ТпХ — Хп
¦\ТпУ = У„), и называемыми_о/гератора.ки сужения.
Последовательность хп е X?l (n e N), называется Т-схо-
дящейся к элементу ? е X (записывают ж„ —> х, п -> <»),
если Их,, — ^„^Ij ->-0 при п -*¦ ». Если а;,, —> а; при «-»¦«>,
то говорят, что Хп аппроксимирует х. Аналогично опреде-
определяется Т-сходимость последовательности j.eF.K элемен-
элементу у s У. Если при некотором натуральном к справедливо
неравенство
то говорят, что хп аппроксимирует х с порядком к. Ана-
Аналогично определяется порядок _аппроксимации элемента
jsF последовательностью г/„ е уп.
Говорят, что на решении г* исходного уравнения вы-
выполнено условие аппроксимации, если Тпх* <= D(An) и
при а -*¦ °°
71 г* li II-
п1 к* Уп Ну
-
у
" 0.
В этом случае говорят также, что исходное уравнение
аппроксимируется на х* приближенной схемой. Если,
151

кроме того, существуют постоянная с>0 п натуральное
к такие, чю при »еХ выполняется неравенсгво
то говорят, что приближенная схема аппроксимирует
исходное уравнение с порядком к.
Если существует постоянная f > 0 такая, что для
любых ineflUJ выполняется неравенство
1 п. 'лп
то говорят, что приближенная схема А~пхп = уп устойчива
или выполнено условие устойчивости.
Предположим, что точное уравнение Ах = у однознач-
однозначно разрешимо, х* — его решение, приближенные уравне-
уравнения АпхЛ = уп для всех п однозначно разрешимы и хп —
их решения. Если хп —> х* при п-»•<», то говорят, что
приближенная схема сходится. Если, кроме того, суще-
существуют постоянная с > 0 и натуральное I такие, что
справедливо неравенство
то говорят, что приближенная схема сходится с поряд-
порядком I, или порядок точности приближенной схемы ра-
равен /.
Теорема 26.1. Пусть точное и приближенные урав-
уравнения однозначно разрешимы. Если выполнены условия
аппроксимации и устойчивости, то приближенная схема
сходится-и справедливо неравенство
Если приближенная схема аппроксимирует точное урав-
уравнение на х* с порядком I, то I 'есть порядок точности
приближенной схемы.
В этом параграфе рассмотрены задачи общего харак-
характера п задачи о разностных схемах, когда А — диффе-
дифференциальный оператор, а Л„ — аппроксимирующий его
разностный оператор. В § 28 рассматривается другая
реализация приближенных схем — схемы Галеркнпа.
26.1. Пусть при п-+ °° хп?+х,
б
для любых скаляров а п р
152
. Доказать, что
¦ ах
26.2. Пусть X = I,, Хп = l'"\ Определим операторы
сужения Тп так: для любого х = (ih)^=\ e I, положим
Тпх = (?k+i)"=i. Пусгь х„ = (I^V-i e 12. Доказать, что
последовательность хп = (^+i)?=i имеет бесконечное чис-
число Т-пределов (чю свидетельствует о плохой аппрокси-
аппроксимации пространства /2 пространствами I? с помощью
операторов сужения Тп).
26.3. Если из соотношения lTnx\j ->0 при п -> °°
вытекает, что х = 0, то нормы в Х„ называют невырож-
невырожденными. Доказать, что для единственности Г-предела
необходима и достаточна невырожденность норм в А'„.
26.4. Если || Тпх||^ -> 1 хЦ для любого ieX при п-+ <х,
то нормы в Хп называют согласованными с нормой в X.
Доказать, что если нормы в Х„ согласованы с нормой
в X, то Г-предел единствен.
26.5. Доказать, что если последовательность \\Тпх\\-^^
ограничена при каждом х е А', то ограничена и последо-
последовательность
26.6. Пусть Х = С[0, 1]. Выберем на [О, I] при каж-
дом п е N сетку, т. е. наоор узлов и^.гх <~...^гп ^t.
Введем операторы сужения Т„, полагая r,1x=(x(ift")))^i.
В качестве А'„ возьмем сеточное пространство (линейное
пространство функций, заданных лишь на сетке)_со сле-
следующей нормой: если хп = (х? )|,'=1 е Х„, то |х„!1>7б =
= max \xih') 1 (таким образом, A7,l = c'O. Доказать, что нор-
мы в л, согласованы с нормой в л, т. е. для люоон
функции x(t) e С[0, I]
lira max \x{t(^)\ = max \x{t)\,
h teloi]
если Х„ = max
An)
l
¦ 0 при п
26.7. В условиях предыдущей задачи зададим нормы
в Хп так:
V
h I
153

Доказать, что при )„ -* О
Ига | Тпх Реф =
| х (t) I2 dt
Г
откуда вытекает невырожденность сферических норм в Л'п.
26.8. Доказать неравенство
У ^ II хп
п |Ц
Цкуб-
26.9. Последовательность х„ <= Х„ называют Т-сходя-
щейся к элементу isi':
а) в среднем, если 11хп — Г„х11сф-*¦ 0, и-*- °°;
б) равномерно, если llf „— 7т,га:11кчб ~^ 0, и-* °°.
Доказать, что из равномерной /-сходимости вытекает
jT-сходимость в среднем, но обратное утвррждение не-
неверно.
26.10. ЕслиЦхц—Г„.г||-^ ^ ф„ ->¦ 0(/г -*- oo)j T0 говорят,
чтохп~^хсо скоростью ф„. Если г|-п > 0 и \хп — Тпх\^ —
= о(^п) (п-*-°°), то говорят, что хп—*х со скоростью
о(\|;„). Доказать, что:
а) если хп—*х равномерно со скоростью фп, то
хп—>х в среднем с той же скоростью;
б) если хп~-хв среднем со скоростью о(—;=- , то
\]/>ч
_ т
хп —> хравномерно;
'— Т / 1 \
в) если хп -> х в среднем со скоростью фп = о (—7=.),
_ т - Wnl
то хп —> х равномерно со скоростью Угеф„.
26.11. Пусть x(t) — достаточно гладкая функция на
L0, Л, а операторы сужения Г„ и пространства Хп зада-
заданы, как в задаче 26.6. Будет ли хп Г-сходиться к х и с
каким порядком, если tt = il/n, i = 0, I, 2, ..., п и:
б) ?„
26.12. Пусть Q — прямоугольник: Ъ^х^А, 0<?<0,
C(Q) — пространство непрерывных на Q функций с нор-
мой
= max \ u(x, t) \.
0 Q
Разобьем [0, 1] на п равных частей точками я, = i/n
(? = 0, 1, ..., п), а отрезок [0, 81 — на m равных частей
точками t1 = ]Q/m {j = 0, 1, ..., m). Пусть Qnm — сеточ-
сеточное множество
<?,im = (U, tj), i = 0, 1, ..., п; j = 0, 1, ..., m).
Рассмотрим сеточное пространство C{Qnm) с нормой
||unml= max \u(x,t)\.
Доказать, что нормы в C(Qnm) согласованы с нормой в
C(Q).
26.13. Говорят, что последовательность Ап аппрокси-
аппроксимирует А на элементе x<^D{A), если Тпх<= D(An) (веЮ,
и при п ->¦ °о
l^
Пусть Ап аппроксимирует А на точном решении х*, уп
аппроксимирует у. Доказать, что тогда уравнение Ах — у
аппроксимируется па х* приближенной схемой Л„.т„ = г/„.
26.14. Пусть Х„ = Х, Yn = Y, Tn и Т'п -тождест-
-тождественные операторы. Доказать, что условие аппроксимации
оператора А последовательностью операторов Ап на неко-
¦ тором множестве МсШ) означает сильную сходимость
Ап к А на М. _ _
26.15. Пусть Х = У = СЮ, 1], Xn = Yn = cn, Тпх =
т' ( ( Ь \\П л dx г, . ..
= Тпх = т— , Ах ~ -г с О (А), состоящей из не-
прерывно дифференцируемых на [0, 1] функций x(t),
удовлетворяющих условию х@) = 0. Доказать, что опе-
оператор А на D{A) аппроксимируется последовательностью
операторов
п
I — п. п
0 — п п ...
0 0 ...
О О
о о
о о
О 0 0 ... — п п
26.16. Если выполняется неравенство
\АЛТих-Т'пАх% <с(я)'л',
1 п
то говорят, что последовательность Ап аппроксимирует
155

А на элементе х с порядком /. Пусть в условиях преды-
предыдущей задачи x(t) e D{A) н имеет на [0, 1] ограничен-
ограниченную вторую протводпую. Доказать, чло Д„ аппроксими-
аппроксимирует А на х с порядком I, причем справедлива оценка
AnTnz- T'nAx\\?
где у., = sup \x"(t)\.
fs[o,i]
26.17. Пусть последовательность Ап аппроксимирует
А на точном решении х* с порядком /, а последователь-
последовательность уп аппроксимирует у с порядком А;. Доказать, что
приближенная схема аппроксимирует точное решение с
порядком min (/, к). _
26.18. Пусть R~n = R(An)_— подпространства в У„, на
Rn определены операторы А~1 и
\ ^п11^(я„,х„) < Y~\ где 7 > 0 — постоянная.
Доказать, что для последовательности Ап выполнено ус-
условие устойчивости. Доказать, что если выполнено усло-
условие устойчивости, то R(An) замкнуты и, следовательно,
являются подпространствами в Yn.
26.19. Пусть Yn = Хп. Доказать, что для Ап выпол-
выполнено условие устойчивости, если для любой последова-
последовательности Xn^D(An) выполняется неравенство
<хп, АпхпУ > fWxJ2,
где ^ > 0 — постоянная.
26.20. Доказать, что в условиях задачи 26.15
||Л,71|^2, и, следовательно, условие устойчивости вы-
выполнено.
26.21. Пусть Хп п Р„ конечномерны, их размерности
равны и выполнено условие устойчивости. Доказать, что
N{An) = Q, т. е. Ап отображает Хп на У„ взаимно одно-
однозначно.
26.22. Пусть для _всех возможных решений хп при-
приближенной схемы AuXn — ijn получена оценка 11*„11 <
^ Tf"'lly,JI, где 1 — постоянная (такие оценки называются
априорными). Доказать, чго в эгом случае условие ус-
устойчивости выполняется.
26J23. Пусть приближенная схема А„хп = ул при уп е
ей(.4„) имеет единственное решение х„. Говорят, что
решение хп непрерывно зависит от правых частей уп
равномерно по п, если ¦ для любого е > 0 существует
156
таких,
хп
6 = fi(p)>0 такое, что для всех ]/„, у„ s R \А„)
что 1 Уи—Уп!|<°» Для соответсгвующих решепий хп, п
выполняемся lioji.meiicmo |хп — .ги|<;8. Доказать, чю для
устойчивости приближенной схемы необходима и доста-
достаточна непрерывная зависимость ее решений от правых
частей равномерно по п.
26.24. Пусть выполнено условие устойчивости. Дока-
Доказать, что каждое приближенное уравнение имеет не бо-
более одного решения.
26.25. Пусть xt, х2 — точные решения; т. е. Ах{ = у,
Ахг = I/ и выполнено условие устойчивости. Доказать,
что справедливо неравенство
K\AnTnXl~ Т'пАх^ + \1пТьхг- КАх,\уп.
26.26. Пусть последовательность Яп аппроксимирует
А на каждом точном решении, нормы в Хп невырожде-
невырождены (см. задачу 26.3) и выполнено условие устойчивости.
Пользуясь неравенством предыдущей задачи, доказать,
что точное уравнение имеет не более одного решения.
26.27. Пусть в условиях предыдущей задачи уп-->У
при п ->¦ оо. Доказать:
а) справедливость оценки
|хп - Тпх|^
П
уп- Т'пуп||у + 1 Т'пАх - АпТпх
* 71
где х — точное решение;
б) сходимость приближенной схемы.
В задачах 26.28—26.34 на отрезке [О, I] рассматри-
рассматривается задача Кошн
jt + a(t)x = f(t), *@) = a.
Положим Х-=С10, П, У = С[0, П + R, Ах = {^f + а (О*,
*@)}, D(A)<=Ci[0,l), ait), /tt)e=C[0, П. Ha [0, П
зададим равномерную сетку 2 = Ufcl'/I=b tk = kx (.к ¦=
•= 1, 2, ..., и), где т = 1п~1 —шаг сетки. Пусть Х~п —
n-мерное пространство столбцов а1,, = (?,)"=i, ||х„| =
max |
, Уп = Хп 4- R, операторы сужения имеют вид
157

26.28. Рассмотрим разностную схему
i_1=/l) i= 1,2,
а) Записать схему в каноническом виде:
ж, = /?,(т)а;1-1 + т/1, i = 1,-2, ...,«; ха = а,
где |Д,(т)К1 + ст, с = Halloo,,,.
б) Доказать, что схема имеет единственное решение
х„ = (•?;);=!, причем для i = l, 2, ..., и справедлива
оценка
в) Получить априорную оценку
/Л-
г) Доказать устойчивость разностной схемы.
26.29. Запишем разностную схему предыдущей зада-
задачи в сеточной форме B — сетка):
а) Пользуясь формулой Тейлора, доказать, что на
точном решении в каждом узле tk сетки 2 разностная
схема аппроксимирует исходную задачу Коши.
б) Доказать, что справедлива оценка
Ап = \\АпТпх-у„
¦¦ sup
x(t)-x{t- т)
где Y->
*(Oil-
P I
26.30. Рассмотрим разностную схему
ос2я
Как надо выбрать постоянные a,, a2, ,3i, Р_2, Ti, Тг, чтобы
она аппроксимировала точную задачу со 2-м порядком?
158
26.31. Рассмотрим разностную схемл- предыдущей за-
задачи при cci = сь = ?i = ^2 = 7i = Та = 1/2.
а) Доказать, что эта схема имеет единственное реше-
решение, если
ст<2, с = lal'c@,i].
б) Записать схему в каноническом виде
x, = R,(r)xl-i + xkt, i = l, 2, ..., п; хо = а.
в) Доказать, что справедливы неравенства
г) Пользуясь неравенствами из пункта в), доказать
устойчивость разностной схемы.
26.32. Пусть точное решение x(t) имеет на [0, I] ог-
ограниченную третью производную.
а) Доказать, что разностная схема задачи 26.29 имеет
2-й порядок точности.
б) Оценить хн— Тпх\^ .
26.33. Доказать, что разностная схема
2т
Тпа,
(/0Г=1 = Гп/, i = 1,2, ...,«- 1,
lLZl± = / @) - а @) а
¦¦ а,
однозначно разрешима. Записать ее в сеточной форме и
доказать, что она аппроксимирует исходную задачу с
порядком 2, если точное решение имеет на [0, I] огра-
ограниченную третью производную.
26.34. Запишем разностную схему предыдущей лада-
чи в матрнчно-канонпческом виде:
ut-i + т/г,-, i = 1, 2, ..., п — 1,
где
задано;
0 1
1 — 2я,т
В возникшем двумерном пространстве фиксируем норму:
для u=>{\i, U полагаем Hull = max {||J, l|2|},
15'J

а) Доказать, что справедливы оценки
б) Пользуясь оценками из пункта а), доказать устой-
устойчивость разностной схемы.
в) Доказать, что разностная схема задачи 26.33 име-
имеет порядок точности 2.
г) Оценить \\хп — Тпх\\^п.
26.33. Доказать, что разностная схема
г = 1, 2, . . ., 72— 1; х„ = 1, ^ = 1 + т3. т = 1 /г,
аппроксимирует задачу Кошп
^-0, ?@)=1, is 10,1],
на ее точном решении.
26.36. Доказать, что:
а) разностная схема предыдущей задачи имеет ре-
решение
•к, = 1 + т-B'-1), *-0, 1, ..., 71-1;
б) если х — точное решение, то Их,, — Тлх\\ -*¦ <» при
п ->- °° и, следовательно, разностная схема расходится.
Объяснить, почему из пункта б) вытекает неустойчи-
неустойчивость схе*мы.
26.37. Доказать, что разностная схема
¦х
i= 1,2, .. ,,п— 1; ха = 1; л\ = 1 + т2, т = 1 я,
при с Фа, аФО аппроксимирует задачу Кошп x'(t) = 0,
лЧО) = 1 (fs [0, 1]) на ее точном решении.
26.38. Доказать, чго разностная схема предыдущей
задачи сходится, если |е/я| < 1 или с = — а, и расходит-
расходится, если I с/а I > 1.
В задачах 26.39—2G/il рассматривается задача Кошп
для системы к дифференциальных -уравнений с к неиз-
неизвестными функциями переменного t е [0, I];
Здесь неизвестная функция разыскивается в X — прост-
100
ранстве непрерывных вектор-функций x(t) — (xs (i))s=i
с нормой
|j.r|| = max max [ j-, (f; |,
l<5</i (=[o,;j
fi(?) — квадратная м<п]шца порядь'а к с непрерывными
элементами Ь,/О (/, / = 1, 2, ..., /:). /(i) е X, а е с\ У =
= X4- с\ Введем операюр /1: пусть ZX.A) состоит из
функций х, непрерывно дифференцируемых на [0, П,
Ax = {x'(t)+B{t)x, хШ для хеЩ). Ца [0, I] зада-
задается равномерная сетка с шагом х = lh~i. Из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений известно,
что задача Ах = у, где у = {/, сх), имеет единственное
классическое решение.
26.39. Рассмотрим разностную схему
'i-'j-i + g(ft)jt-i = /(tt), « = 1,2 га; жо«а.
а) Записать разностную схему в сеточной форме и
доказать, что если точное решение имеет на [0, I] огра-
ограниченную вторую производную, то разностная схема ап-
аппроксимирует исходную задачу на точном решении с 1-м
порядком.
б) Записать разностную схему в каноническом виде:
Xi = Я,(т).Г(_1 + т/(, i = 1, 2, ..., п; х0 = а
и доказать устойчивость разностной схемы.
в) Доказать, что разностная схема сходится, и дать
оценку _
26.40. Пусть /U) = 0, Л(г) = Л — постоянная на [0, Л
матрица, имеющая /с линейно независимых собственных
векторов cpj (/ = 1, 2, ..., к), отвечающих собственным
значениям Xj (/ = 1, 2, ..., к). Рассмотрим разностную
схему
Х'1 1*{~1 + Axi-i = 0, ¦ i = 1, 2, .. ., п; х0 = а,
а) Найти решения точной задачи и разностной схемы
в виде разложений но собственным векторам матрицы А:
И В. А. Трсногпн и др.

б) Доказать неравенство
и с его помощью оценить \\хп— Тпх\%
26.41. Рассмотрим на [0, +<») задачу Кошп с постоян-
постоянной матрицей С (х&Ек):
С @)
и семейство разностных схем (tIICH < 1, т > 0)
X (t + Т) — X (t) /-,~/J4 ~,л\
¦ ~ ' — = Cx(t), • х@) = а.
а) Проверить, что x{t) =ecta — точное решение, x(t) =
= (/ + тСУ/ха — единственное решение разностной схемы.
б) Доказать, что в S'LX) при х -*¦ + 0
A + хСУ" -* ect.
в) Дать оценку для Wxit) — x{t)W при т -+¦ + 0.
26.42. Рассмотрим на [0, I] задачу Коши для диффе-
дифференциального уравнения 2-го порядка
Запишем ее в виде системы
du
Ж-и С)-О,
)*(t) = y («), г@)=а, м(О)=р.
схема
а)> Доказать, что при равномерной сетке разностная
- ^_1 = 0, ? = 1,2, . ..,га; х0 = а,
и. — и-
1= 1,2, . ...га; мо = р
сходится, причем Jn аппроксимирует .r(f), а п„ аппрокси-
аппроксимирует x'(i).
в) Привести соответствующие оценки.
162
26.43. Доказать, что в условиях яадачи 26.42 разност-
разностная схема
х.,, — 2х. + х, , х- — х. . . ...
С (<*_!
" I = 1,2, ...,и-1; л-0 = а, ^-^ - р
однозначно разрешима и сходится, причем хп— (Xj)"=1 &n-
проксимируетгМ.а х'п=[ ' г-1 аппроксимирует z'(i).
В »задачах 26.44—26.47 рассматривается краевая
задача
Здесь Х=У = С[0, Я, c(t), ^
-\-c(t)x, D{A) — множество дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых на [О, I] функций xit), удовлетворяющих
граничным условиям х{0) •=• хA) = 0. Для равномерной на
[О, I] сетки Х„ = Fn — пространства столбцов высоты п— 1
#п = (^л)"^! с нормой | хп ||сф=т 2 I ?ft I2! операторы суже-
ния
я nn ((h))hl
26.44, Доказать, что разностная схема
Xh-l
г С
— У (h)>
к= 1,2, .-. ,,п — 1;
аппроксимирует исходную задачу со 2-м порядком, если
точное решение имеет на [О, I] ограниченную четвертую
производную.
26.45. Доказать неравенства {ха = хп = 0):
п—1 п
а) — 2 (*«+1 — 2х. + г,_х) ж, = S (^ — ^й-iJ;
»=1 . h=l
б) I^f =
26.46. Пусть с(О > 0 на [0, I).
а) Записать разностную схему задачу 26.44 в матрич-
матричной форме Апхл = ул.
**• 163

б) Пользуясь неравенствами задачи 26.45, доказать
априорную оценку
откуда, согласно задаче 26.19, следует устойчивость раз-
разностной схемы.
26.47. Пусть точное решение x(t) имеет на [О, I] огра-
ограниченную четвертую производную, yi = sup |х'4)(Ы,
te[o,i]
хп — решение разностной схемы задачи 26.44.
а) Доказать, что справедлива оценка
I
\хп
б) Пользуясь задачей 26.16, доказать, что
1 хп - Тпх |,,уб = max | xh - x (t,) J < Ц^-.
§ 27. Интерполяция сплайнами
Пусть X, X — гильбертовы пространства, причем X =
= ТХ, где Т^2'(Х, X) — оператор сужения в терминах
§ 26. Пусть Y — гильбертово пространство и оператор
А е </?{Х, У). Элемент seX называется интерполяцион-
интерполяционным сплайном ({Т, А)-сплашюм), соответствующим «век-
«вектору входных данных» х е X, если
\\AS\$= inf \\Axf.
xSl-Цх)
Через Т~1(х) здесь обозначено множество прообразов эле-
элемента х при отображении Т, т. е. множество решений
уравнения Тх = х. Наиболее часто Т — оператор сужения
функции на сеточное множество. Таким образом, интер-
интерполяционный сплайн s осуществляет в определенном
смысле оптимальное продолжение (интерполяцию) эле-
элемента х в элемент пространства X.
Теорема 27.1. Если линейное многообразие AN{T)
замкнуто и NiA) ПЛ'(Г) =0, то для каждого х&Х суще-
существует единственный интерполяционный (Г, А)-сплайн s.
Теорема 27.2. Пусть оператор А нормально разре-
разрешим, его ядро N(A) конечномерно и N(A) П N(T) = 0.
Тогда линейное многообразие AN{T) замкнуто,
lGi
27.1. Пусть s — интерполяционный (Т, Л)-сплайн. До-
Доказать, что для любых s е X таких, что Tz = 0, выполня-
выполняется соотношение ортогональности (-.4s, Az) = Q.
27.2. Пусть элемент sel интерполирует х, т. е. удов-
удовлетворяет соотношению Ts = x, так что для любых
z^N(T) выполняется соотношение ортогональности
(As, Az) — 0. Доказать, что s — интерполяционный {Т, А)-
сплапп.
27.3. Пусть Х = 1Г[0, П, У = Ь2[0, П, X = En+l - се-
сеточное пространство функций, заданпих на сетке
Q = ta < ti < ,.. < tn = I, T — оператор сужения функции
*(*)еМ0, I] па эту сетку. Пусть Ax = d?, А е 2 (Н1 [0, 1\,
L2[0, l)). Доказать, что кусочно линейная функция
Sl(t) = Xi + {xiH-xl) -f-,
ti+l 4
te=[ti,ti+i], 1 = 0,1, ...,и-1,
интерполирует вектор ос= {^i}?=oi удовлетворяет соотно-
соотношению ортогональности п, следовательно, согласно задаче
27.2, является интерполяционным сплайном (такие сплай-
сплайны называются линейными).
21 А. Пусть Qk(t) — характеристическая функция отрез-
отрезка [**_,, tj: QkU) = 1 па [th-if tk] и Qk(t) = O вне Uk-h lX
Проверить, что
«! @ =
27.5. Пусть s, s — два {Т, 4)-сплайна, соответствую-
соответствующих одному и тому же вектору х.
а) Пользуясь соотношением ортогональности, доказать,
что (As, As) = Us\\2 = UAs\\2.
б) Используя задачу 3.19, доказать, что A(s — s) = 0,
т. е. что s — s e N(A).
27.6. Пусть N(A) П N(T) = 0. Доказать, что каждому
ief соответствует не более одного (Т, Л)-сплайна.
27.7. Используя задачи 27.4, 27.5, доказать, что ку-
кусочно линейная функция является единственным интер-
интерполяционным линейным сплайном.
27.8. Рассмотрим на отрезке [0, I] систему функций-
«шапочек»:
ll-tlh на [0,^],
0
на
1С5

со, (О
t—t
1-1
Ене
(О
= 1,2, .... n-1;
на [0,
t— t
n-1
на
'»-i
а) Нарисовать графики этих функций.
б) Доказать, что в условиях задачи 27.3 со,(I) является
сплайном, отвечающим вектору входных данных х' с ко-
координатами ?,== 1, xh"=0 (к =» 1, 2 /— 1, i+ 1, ..., и).
27.9. Пусть 8,U) — характеристическая функция отрез-
отрезка [?(_1, <J (i= 1, 2, .. ., п). Проверить, что на [0, I]
со0 @ = fl - f) Q, @, со,, @ = -^р! 9„ @,
(О^^ ^)- « = 1.2 и —1.
4-1
4-1
27.10. Проверить, что
п
~ 2 ^i^iOi т. е. что си-
1
1-0
стема ы,Ш (i-=0, 1, ..., п) образует базис в простран-
пространстве линейных сплайнов.
27.11. Для случая равномерной сетки tl = ih, nh = l
(i = 0, 1, ..., п) доказать, что па [0, /]
где
0
на [- 1,0],
на [0,1],
вне [- 1, 1].
27.12. Пусть Х^НЧО, П, Y = L2l0, I], J = ?"+1, n> 1,
(О{*(«,)}2-о. Ax(t)=x"(t). Доказать, что iVU)fl
П iV(J") -= 0 и, следовательно, задача отыскания {Т, А)-
сплайнов имеет не более одного решения.
27.13. Доказать, что если линейное многообразие
AN(T) замкнуто, то аффинное многообразие АТ~'(х) так-
также замкнуто.
166
. 27.14. С помощью теоремы 15.4 доказать, что в усло-
условиях задачи 27.13 существует единственный элемент у,
реализующий в пространстве У расстояние от 0 до аф-
аффинного многообразия АТ'Чх). Доказать, что существует
сплайн s, интерполирующий х, и он является общим ре-
решением уравнений As ¦= у, Ts — х.
27.15. С помощью задач 27.13 и 27.14 доказать, что
в условиях задачи 27.12 (Г, Л)-сплайн существует.
27.16. Назовем функцию sa(i) кубическим сплайном,
интерполирующим сеточную функцию х =-{х1}"=,0, если:
1) «аМеС»[0, Л;
2) на каждом отрезке Uu tt+i] <-,{t) явтяется многочле-
многочленом не выше третьей степени;
3) Tst = x;
4) /я@) = *,'(/) = ().
Пусть на [ft, tl+i] ii = 0, 1, . . ., п - 1)
/.,. — « . t — t.
где рп = рп = о согласно п. 4). Доказать, что на [t,, t,+l]
(i = 0, 1, ..., n-1)
¦+k-^
M+i
+
где
27.17. В условиях задачи 27.16:
а) вычислить Sj(();
б) прнрарнивая ^з (*i — 0) п sa (*t + 0), докатать, что
постоянные р(, р2, ..., Рл-i удовлетворяют системе урав-
уравнений
6
О
Т2
6
!
"Г
6
0
о ...
тзтз ...
6
0 . . . -
0
0
1 1
хп
Рц-1
167

в) доказать, что эта система имеет единственное реше-
решение, и, таким образом, для каждого х существует един-
единственный кубический сплайн s3[t).
27.18. Проверить, что для кубического сплайна s3(t)
выполняется соотношение ортогональности и, следова-
следовательно, согласно задаче 27.2 s3it) есть (Г, ^4)-сплайн в
условиях задачи 27.12.-
27.19. Рассмотрим функцию
ГО
2-
при i>2,
О3 на [1,2],
И + 3 A - t) + 3 A - tf - 3 A - if на [0, 1],
a(t) = о(—t) при I < 0. Доказать, что функция a(t) дваж-
дважды непрерывно дифференцируема на ( —°°, +°°), и нари-
нарисовать ее график.
27.20. В условиях задачи 27.19 введем на [0, 1] ciicic-
му функций
= 0,
п; h =
Доказать, что для любой функции z(t) e #2[0, 1] такой,
что z(jh) = O (/ = 0, 1, ..., п), выполняется соотношение
ортогональности
\a'[{t)z"(t)dt = O,
о
н, следовательно, согласно задаче 27.2, o,(i) является ку-
кубическим сплайном, отвечающим вектору входных дан-
данных х с координатами Xi = 2/3, xt-i = xl+l = 1/6, xk = О
при к Ф i — 1, I, i + 1 (при i = 0 х0 = 2/3, xt = 1/6, zk = 0,
если к>1, а при t = /г a;fe = 0, если к<п — 1, #n_i = 1/6,
ж„ = 2/3).
27.21. Проверить, что в условиях задачи 27.20 система
о,(?) (? = 0, 1, ..., /г) образует базпс в пространстве ку-
кубических сплайнов в случае равномерной сетки, причем
где вектор
уравнений
определяется пз системы линейных
2/3 1/6 О
ге 2/з re
0 0 0
о
о
2/3 I
X(h)
27.22. Пусть Х = Я'[0, П,
мерных столбцов с нормой
- пространство (п+¦ D-
\х „1 ¦= так | .г;<
х max
— хк\,
h = ^'т' WT = '< Тих = (д;(^))"=0. Пусть Sn — оператор ку-
кусочно-линейной ингерполяцип, ставящий в соответствие
вектору входных данных (x(tk))^a линейный сплайн
Si(t). Доказать, что:
а) Sa е Э?кХК, X) и II5JI ^ 2П; *
б) оператор Sa является правым обратным к операто-
оператору Тп.
27.23. Пусть даны банаховы пространства X, А'„
(n e N) и операторы сужения Тп е 3?_{Х, Хп), ТпХ = Хл.
Доказать, что если оператор Sn^ 2?(Хп, X) является пра-
правым обратным к оператору Тп (neN), то операторы
Pn = S.,,Tn являются ограниченными проекторами па
Xn = SnXn (ueN).
27.24. В условиях задач 27.22 и 27.23:
а) доказать, что проектор Р„ можно задать в виде
1=0
где (o,(i) (i = 0, 1, .. ., п) — система функций из задачи
27.8;
б) доказать, что.
X — РпХ =
= 29' (*) {х W - * (*i-i) - [х (tt) - x{t^)) ^irrj;
в) с помощью формулы Тейлора доказать, что при
27.25. Пусть Х = L2l0, П, Хп - евклидово пространство
столбцов х = (z()"=i с нормой
163
169

Пусть, далее,
Thx
х (s) ds
Доказать, что:
п
а) (Т, /)-сплайны имеют вид Snxn = 2 яД@;
_ 1=1
б) min hfLi[Qtl] = \xn\^ .
хет-Ххп)
27.26. В условиях предыдущей задачи доказать, что
Tne=&(X,JZn),\Tn\<l. Sn<=2(Xn,X), \Sn\=i,
>« = (Tn)r l, Pn = SnTn — проекторы, и |Рпа;—ж| =
i (n -*¦ oo) прИ
§ 28. Приближенные схемы Галеркнна
Пусть X, Y — банаховы пространства, Л — линейный
оператор с DiA)czX, R(A)czY. Для отыскания при-
приближенного решения уравнения Ах = у (у е R{A)) за-
задают две последовательности подпространств Xncz D{A),
Yn с Y и две последовательности проекторов Рп и Qn,
РпХ = Хп, QnY=*Yn. Последовательность приближенных
уравнений (схема Галеркина) задается в виде
QnAxa = Qny, xn s Xn.
Эго частный случай более общего подхода, рассмотренно-
рассмотренного в § 26.
Теорема 28.1. Пусть выполнены следующие условия:
а) Qny = R(QnAPJ, т. е. приближенные уравнения раз-
разрешимы;
б) Рпх -*¦ х (и -»¦ оо) на каждом точном решении х;
в) Qny -* у (п-+ «о);
г) \lQnAx —QnAPnx\\-+О («-+¦«>) на каждом точном
решении х, т. е. выполнено условие аппроксимации:
д) WQnAxnll > y'W для каждого хпеХ„ и каждого
п s N, где f — положительная постоянная, т. е. выполне-
выполнено условие устойчивости.
Тогда точное и приближенные решения единственны,
галеркинская схема сходится и справедлива оценка
\\хя - all ^ \\Рпх - х\\ + гЧ1<?„ Ах - QnAPnx\\.
Пусть подпространства Хп, 7„ — n-мерные, (t(,"'1?=i —
базис в Хп, (yi" li=i~ биортогональная к нему система
170
линейных функционалов, югда оператор Рп можно задать
в виде
1=1
Аналогично, пусть [z(l")}^=1~ базис в У„, {-фл™5)л=i —би-
—биортогональная к нему система линейных функционалов;
тогда
Разыскивая галер'кипское приближение хп в виде
n
^» = 2j Sl Фг
1=1
11
и подставляя его в приближенное .уравнение, получаем
для определения \\ , • •., \п систему линейных уравнений
2
& = i, 2,.... п.
Отметим важный частный случай, когда Хп и У„ явля-
являются соответственно линейными оболочками первых п.
векторов систем {(fi}T=i и {zft}"=1. Тогда системы {Yt}^=i и
{¦ф»(}Г=1 также можно выбрать, не зависящими от п.
28.1. Пусть х„еХ„ (ra<=N). Запись хп—> х (п->¦ °°)
означает, что 11а;п — Рпх\\ -*¦ 0 при п -*¦ °°. Доказать, что ее-
Р Р
ли хп —> х, уп-*у Ы-+ °°), то для любых скаляров a, JJ
будет а^п + $Уп ^ ах + $у.
28.2. Точка ieX называется Р-предельной точкой пос-
последовательности подпространств Хп, Хп — РпХ (neN),
если Р„х -*- а; при'/г-*- °°. Пусть а; — Р-предельная точка
последовательности Х„. Доказать, что для юго чтобы пос-
последовательность хп Р-сходилась к х, необходимо и доста-
достаточно, чтобы хп сходилась kib пространстве X. .
28.3. Если всякий алемент х е X является Р-предель-
Р-предельной точкой последовательности Хп, то последовательность
подпространств Хп называют предельно плотной в про-
пространстве X. Доказать, что если последовательность Х„
предельно плотна в X, то понятия Р-сходимости и сходи-
сходимости в X совпадают.
28.4. Пусть
Ф(Г\
1пУ = 2 ¦
171

где системы M">)?=i и (vV° KU, D'°}?=i n {t|#"]U бпор-
тоюнальны. Доказать, что Р\ = Ли (?п = <?«•
28.5. Пусть ок > О, II0J s? о,,, А <= ^(Z, У), а а; есть
Р-предельиая точка последовательности подпространств Хп,
причем \\х— Рп%\ — ° \(Л'п) при п ->¦ °°. Доказать, что на
элементе х выполнено условие аппроксимации.
28.6. Пусть существуют линейно независнмые системы
=Z)U) ^е=?>и*) (i N)
<jp,e=Z)U), ^
(г, / е N). Положим
такие, что
(i,
= 2
г=1
п
-= 2
(Полученная схема называется схемой наименьших квад-
квадратов.) Доказать, что в этом случае WQnAx — QnAPnx\\ = 0
для любого ^еД(Л), т. е. условие аппроксимации выпол-
выполнено точно.
28.7. Пусть 'А = Аг+А2, причем для каждого из опе-
операторов At, A2 условие аппроксимации выполнено. Дока-
Доказать, что оно выполнено и для оператора А.
28.8. Пусть для любого iefl(i) выполняется нера-
неравенство VAxW ^ a'W, а для любой последовательности
уп^АХп выполняется неравенство WQ,,yJ > j^J/J, где а,
Р — положительные постоянные. Доказать, что галеркнп-
ская аппроксимация усюйчива с постоянной f = оф.
28.9. Пусть оператор А действует в вещественном гиль-
гильбертовом пространстве // и для любого x^D(A) выпол-
выполняется неравенство {Ах, х) 3* ^{х7 х), где f > 0 — посто-
постоянная. Доказать, чю (РпАхп, хп) 5* ^х,У для любой пос-
последовательности хп s Хп. Вывести отсюда устойчивость га-
лоркипскон аппроксимации.
28.10. Пусть в схеме наименьших квадратов (задача
28.6) D(A) плотна в X и для любого x^-DiA) выполняет-
выполняется неравенство WAxW > у\Ы\ где 7 — положительная по-
постоянная. Доказать устойчивость этой схемы.
28.11. Доказать, что в условиях задачи 28.10 для схе-
схемы наименьших квадратов справедлива оценка
II*» - х\\ < r4Qay - у\\
и, следовательно, схема сходится при Qny ->¦ у Ы -*¦ °°).
28.12. Пусть Н — гильбертово пространство, А: Н -*-
•^-// — линейный оператор с D(A), плотной в Н. Прове-
172
рить, что на решении уравнения Ах=у реализуется ми-
минимум функционала
(р(х) = Ых-у\\\
28.13. В условиях задачи 28.12 пусть ф, (ieN) — ли-
линейно независимая система в //. Приближенное решение
а
хп= 2 сгфг будем разыскивать из требования
г=1
112
= min.
Выписать систему уравнений для си с2, . .., с„. Доказать,
что этот метод {метод Ритца) приводит к схеме наимень-
наименьших квадратов.
28.14. Пусть подпространства Хп, Yn — п-мерные. До-
Доказать, что из устойчивости схемы Галеркпна вытекает
однозначная разрешимость приближенных уравнений.
28.15. Пусть X, У — гильбертовы пространства, Рп,
Qn*— операторы ортогонального проектирования Рпх —
п и
= 2 (х, ((,) Фг, Q,,y = 2 (У, i\) $i- Доказать, что условие
г-1 t-1
можно записать в виде
¦ >т2&
Вычислить коэффициенты сХ1 (i, / = 1, 2, .. ., п).
28.16. Пусть оператор A = At + A2 действует в веще-
вещественном гильбертовом пространстве Н, причем для лю-
любого j;ei)U) справедливы неравенства (AiX, x) > ffixW2,
{А2х, х) 5^ "fJ-cli2, где "it, fa — постоянные, "fi + Тг > 0. До-
Доказать, что для оператора А выполнено условие устойчи-
устойчивости (по Галеркипу).
28.17. В пространстве Я = L2[0, 1] рассмотрим опера-
оператор Ах = s с областью определения D(A) состоящей
at"
из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функ-
функций xit), удовлетворяющих граничным условиям х@) =
= а:A)=0. Выберем в Н систему элементов фц = -фл =
¦=V2sm/en? (/teN), одновременно координатную и про-
проекционную; тогда
п
Qnx = Рпх = 2 (х, Ф0
173

Доказать, что:
а) II Рп 11=1;
п
б) РпАх =•- 2 &2л2 (х, ф/,) фА = Л/>п;г, откуда /МЛ,* -
— Р„Лх = 0 для всех x^D(A), т. е. выполняется условие
галеркинской аппроксимации.
28.18. В пространстве L2l0, 1] рассмотрим оператор
Ax(t) *= c(t)x(t), где c(t) — непрерывная на [0, 1] функ-
функция. Зададим Р„ ¦=¦ Qn, как в задаче 28.17. Пользуясь за-
задачей 28.6, доказать, что для оператора А выполнено ус-
условие галеркинской аппроксимации.
28.19. Пусть А = At + A2, где оператор Л, определен
в задаче 28.17, а оператор А2 — в задаче 28.18. Пользуясь
задачей 28.7, проверить, что для оператора А выполнено
условие аппроксимации по Галеркину.
28.20. Пусть А — дифференциальный оператор, опре-
определенный в задаче 28.17.
а) Доказать, что для любого x^D(A) выполняется
1
1
{Ах, х) = J х'2 @ dt.
б) Используя задачу 22.19, доказать, что для любого Л
выполняется неравенство (Ах, х)>л2(х, х).
в) Используя задачу 28.9, доказать что для оператора
А выполнено условие устойчивости.
28.21. Пусть А — оператор, определенный в залаче
28.18, причем всюду на [0, 1] выполняется неравенство
c(t) > а. Доказать, что для оператора А выполнено ус-
условие (Ах, х) 5> а(х, х).
28.22. Доказать, что для оператора А — А, + А2, где
At определен в задаче 28.17, &'Аг — в задаче 28.21, при-
причем а > — л2, выполнено условие устойчивости.
28.23. Пусть функция y(t) непрерывна на [0, 1]. Рас-
Рассмотрим краевую задачу
~х" +c(t)x = y,
Пусть фь = -фл = У2 sin knt (к е N).
а) Доказать, что галеркинские приближения решения
этой задачи имеют вид
где коэффициенты |1? |2, . . ., §„ определяются из системы
174
линейных уравнений
п
2
1=1
Л*, «=1,2 п.
61 Найти выражения для сл и цк (t, k = l} 2, . .., п).
28.24. Пользуясь задачами 28.17—28.23, проверить для
краевой задачи 28.23 выполнение условий теоремы о схо-
сходимости галеркинской схемы. Дать оценку скорости схо-
сходимости галеркинского приближения к точному решению.
28.25. Пусть А <^ 3? (X, У), операторы QnAPn непре-
непрерывно обратимы и для п е N выполняется неравенство
UQnAPJ-lW < у.
а) Доказать, что галеркинское условие устойчивости
выполнено.
б) Пусть А непрерывно обратим, точное решение х
является Р-предельной точкой, a WQJ < с. Доказать, что
условие галеркинской аппроксимации выполнено и что
справедлива оценка
\\хп~х1\<чс\\А\\\\Рпх-х\\.
28.26. Пусть У = Х, A-I-K, K^S(X), Qn = Pn.
Предположим, что операторы /„ — РпКРл, где /„ — тож-
тождественный оператор в Рп%, непрерывно обратимы, и для
любого п е N справедливо неравенство
Доказать устойчивость галеркинской схемы.
28.27. В условиях предыдущей задачи пусть операто-
операторы / — К и / — РпК (п е N) непрерывно обратимы и для
любого nsN выполняется неравенство
\\РпК - KW < q\\(I - К)~1\\-г,
где q е @, 1). Доказать устойчивость галеркинской схе-
схемы с
1G-*)-Ч
28.28. Пусть в условиях задачи 28.26 РпК -*¦ К при
п -* оо, а Рпх -*¦ х при п -> ». Доказать, что:
а) для галеркинской схемы выполнены условия ап-
аппроксимации и устойчивости;
б) выполняется неравенство Па:„ — xll ^ ^Рпх — х\\.
28.29. Пусть в условиях задачи 28.26 при п -*¦ °°
Р„К -+• К, Рпу -»- у. Доказать, что справедлива оценка
\\хп - х\\ < ч№пу - г/ii +141 - к)-ч \\Рпк - к\\ iij/ii.
175

28.30. В пространстве LJ0, 1] рассмотрим интеграль-
интегральный оператор
1
где
= K(t,s)x(i)ds,
K(t,s) =
4-s2
4 — As cos m + л-2
Выберем в L2f0, 1] координатную систему cpk = V2 cos knt
(k e N) и построим проекторы
Доказать, что РЛК -* К при и -> °°.
28.31. В пространстве 1Л0, 1] рассмотрим интеграль-
интегральное уравнение Фредгольыа 2-го рода
t, s)x(s)ds =
Выберем в Ьг[0, 1] координатную систему <pkit) (IteN).
а) Выписать систему для вычисления коэффициентов
галеркипского приближения.
б) Для сличая, рассмотренного в задаче 28.30, дока-
доказать счодимос!ь галеркипской схемы.
28.32. В нространс1ве С[0, 1] рассмотрим интеграль-
интегральное сравнение предыдущей задачи с у it) е С[0, 1] и яд-
ядром Kit, s), непрерывным при 0 ^ t, s < 1. Положим
l\x = Qux= 2 5,@,@,
1=0
где функции со,(t) определены в задаче 27.8.
а) Выписать систему уравнений для определения ко-
коэффициентов |j, С,, . . ., In.
б) Пусть ma\ |/v(^, s)| = A-<12. Доказать, что
при п> . __ .и прпблн/ьеппые уравнения однозначно раз-
разрешимы и галеркннская схема ^сшичива.
в) Доказать сходимость галеркннской схемы.
28.33. На отрезке [О, I] рассмотрим задачу К&шп
i
с 5D)сЯ'[0, I]—пространством функций из Я'[0, Л,
176
удовлетворяющих начальному условию х{0) = 0, и с
R(A) = Z,2[0, 1] (предпола1ается, что cU) <= С[0, Л). Для
равномерной на [О, I] сетки с шагом т введем проекторы
1-0
•=1 VCi 1
где со,it) (? = 0, 1, . . ., n) — базисные функции подпро-
подпространства линейных сплайнов (задача 27.8), а 0,(?) — ха-
характеристическая функция отрезка U,_,, ?,] (? = 1, 2, ...
..., и).
а) Вычислить (Лео,, 6Д (г/, 6Л) и выписать систему для
определения коэффициентов lo, li, ..., In галеркинского
приближения
п
^л= 2 1гМ! @-
1=-0
б) Доказать, что при тИсПсю, о < 1 существует единст-
единственное галеркннское приближение.
в) Для исследования сходимости положим z = х — х„.
Доказать, что z есть решение задачи Кошп
z = fit), S@) = 0,
где fit) s L,[0, /] и (?„/ = 0. Пользуясь этим, доказать, что
если /е Lot0, /], то
при т -*¦ 0, а если fit) еще и ограничена, то
при т -*¦ 0.
§ 29. Метод монотонных операторов
Пусть X — вещественное сепарабельное нормирован-
нормированное пространство, X* — пространство, сопряженное
к X, А: X -*¦ X* — нелинейный оператор с DiA) — X и
RU)<=X*.
Оператор А называется монотонным, если для любых
х, у е X выполняется неравенство <х — у, Aix) — Aiy)} >
^ 0. Если при х ?= у имеет место строгое неравенство, то
оператор А называется строго монотонным. Если же су-
12 в. А. Треногий и др. 177

ществует непрерывная и неотрицательная при t > О
функция cit) такая, что с@) = 0, cit) > О при t > 0, cit) -*¦
-*¦ °° при t -*¦ °° и такая, что справедливо неравенство
<х — у, Aix) — Aiy)) > с(Их- 2/Н) ¦ II j/ — xll, то оператор 4
называется сильно монотонным. Оператор Л называется
коэрцитивным, если существует функция f(?), ваданная
при ОО и стремящаяся к + °° при t-*- + °° такая, чго
для любого хэХ выполняется неравенство <х, Жх)> 3s
«^ "^A1x11) ¦ 11x11. Оператор Л называется деминепрерывным
в точке Хо е X, если из х„ -»- х0 по норме X следует, что
AixJ -*- /Кж0) (« -^ °°) слабо, т. е. (х, Aixn)) -+¦ <х, Л(хо)>
(п ->- оо) для любого х s X.
Теорема 29.1. Пусть оператор А отображает веще-
вещественное сепарабелъное банахово пространство X в про-
пространство X* и является сильно монотонным и демине-
деминепрерывным. Тогда уравнение Aix) = у имеет единствен-
единственное решение х для любого у s X*.
Для приближенного отыскания решения х в условиях
теоремы 29.1 применяется метод Галеркина. Пусть Хп
(nsN) — последовательность n-мерных подпространств
в X с базисом |ф!П )"=i, предельно плотная в X. Галер-
кинское приближение
п
"С1 t(") («)
здесь разыскивается из системы уравнении
^ф* > ^ (Хп)У = (фI 1 У)| /с = 1, 2, . . . , П.
Теорема 29.2. В условиях теоремы 29.1 при каждом
п существует единственное галеркинское приближение хп
точного решения х. При этом х„ -*¦ х in -*¦ оо) по норме
пространства X. Если WAiu) — A(.v)H ^ KWu — v\\ в некото-
некотором шаре S, содержащем все х„ и х, то справедлива оцен-
оценка скорости сходимости
где c{t) — функция из определения сильной монотонности,
а Рп — проектор на Хп.
29.1. Пусть оператор fix), /: R-»-R удовлетворяет ус-
условию ix — г/)[/(х) — /(г/)] > 0 для любых х, jeR. Дока-
вать, что / — монотонный оператор.
29.2. Пусть оператор fix), /: R -*¦ R удовлетворяет ус-
условию ix— г/)[/(х) — fiy)] ^ а\х — у\г для любых х, г/е R,
178
где а > 0 — постоянная. Доказать, что / — сильно моно-
монотонный оператор.
29.3. Доказать, что функция fix) = х'1 + х + 1 (х е R)
определяет в R сильно монотонпый оператор.
29.4. Пусть функция fix), /: R -»- R дифференцируема
на R и /'(х) 5= а на R, где а — постоянная. Доказать, что
при а 7& 0 / — монотонный оператор, а при а > 0 / —
сильно монотонный оператор.
29.5. Пусть для всех х = {х,}/=1 е ?" определен опе-
оператор A: Eh-+E\
А(х) =
¦
Проверить, что если для любых х^
венство
h h
S (Xi — У г) If г (Хи ¦ ¦ ¦ , Ч) — /г (Уи ¦ ¦ ¦ , Ук)\ > С
выполняется нера-
нера1=1
t=l
где с — постоянная, то при с 5= 0 оператор Aix) моното-
монотонен, а при с > 0 — сильно монотонен.
29.6. Рассмотрим оператор Aix) задачи 29.5 при к = 2.
Пусть координатные функции Д и /2 имеют всюду в Е2
3h
частные производные т— {i, j = 1, 2), причем- во всех
axi
точках Е2 выполняются неравенства
дх.
i>a, * = 1,2;
<Р.
где а, р — постоянные. Доказать, что оператор Aix) при
Р < а является монотонным, а при fi < а — строго моно-
монотонным с <"Ш = (а — p)f.
29.7. Доказать, что оператор А: Е2 -»¦ ?2
является сильно монотонным оператором.
29.8. Пусть оператор А; X -*¦ X* — сильно монотон-
йый. Доказать, что А — коэрцитивный оператор с fit) =¦
()M()ll
29.9. Доказать, что если оператор Л: X -*¦ X* коэрцп-
тивен, то (х, Aix)) -> +°° при Hxll -*- +°°.
29.10. Доказать, что если оператор А: X -*- X* коэр-
цитивен, то ИЛ(хI1 -»- + °° при Hxll -»- оо.
12» 179

29.11. Пусть Я — гильбертово пространство, А: Н-*¦
-»- Я — оператор с D{A)=H. Сформулировать для А оп-
определения монотонности, сильной монотонности, коэрци-
тивности.
29.12. Пусть А е SBiW), причем для любого х^Н вы-
выполняется неравенство {Ах, х) > ^ix, х), где ^ > 0 ~ по-
постоянная. Доказать, что А сильно монотонен и коэр-
цитивен.
29.13. Пусть оператор fix), f: R -*• R непрерывен и мо-
монотонен на R и fix) -*¦ °° при х -*- °°. Доказать, что урав-
уравнение /(л;) = 0 имеет в R хотя бы одно решение, а если /
строго монотонен, то это решение единственно.
29.14. Проверить, что функция
х3 — 5 при x<i — 1,
/ (х) = х + 2 при — 1<.z<1,
х1 + 4 при х > 1
монотонна, стремится к +°° при х->+°°, но разрывна, и
уравнение fix) = О решений не имеет.
29.15. Пусть оператор /: R -*¦ R непрерывен и сильно
монотонен. Доказать, что уравнение fix) = 0 имеет в R
единственное решение.
29.16. Пусть функция двух переменных fix, t), f: Ег -+•
-»¦ R непрерывна на ?2 и при любых х, у, (eR удовлет-
удовлетворяет неравенству
ix-y)lfix, t)-fiy, t)] >с\х-у\г,
где с > 0 — постоянная, не зависящая от t. Доказать, что
уравнение fix, t) = 0 определяет на R единственную не-
неявную функцию.? = (fit), непрерывную на R.
29.17. Обобщить результат задачи 29.16 на случай,
когда (eG — открытой или замкнутой области в Ек.
29.18. Пусть непрерывная в Е1 функция fix, t) удов-
удовлетворяет неравенству fx{x, t) S= с > 0. Доказать, что спра-
справедливо утверждение задачи 29.16.
29.19. Пусть оператор А (х) =
Г -2
для люоых
= Ь непрерывен и удовлетворяет условию силь-
сильной монотонности
— 1?Syii ]J2>' ^ ciKXi уi/ ~r \X% y%) J,
где с > 0 — постоянная. Доказать, что уравнение
180
fiixi, хг) = 0 имеет для любых х, е R единственное ре-
решение х% = Ц){хС> и оно непрерывно на R.
29.20. В условиях задачи 29.19 рассмотрим оператор
Aiixi) = /U,, cpU,)). Доказать, что А{ непрерывен и силь-
сильно монотонен иа R.
29.21. В условиях задачи 29.19 доказать, что уравне-
уравнение А(х) = 0 имеет в Е2 единственное решение.
29.22. Пусть оператор А: Ек ->¦ Ек непрерывен в Ек и
сильно монотонен при dt)=ct, где с > 0. Доказать мето-
методом математической индукции по к, что уравнение Aix) =
*= 0 имеет в Ек единственное решение.
29.23. Пусть оператор А: Е" ->¦ Ек непрерывен и моно-
монотонен. Доказать, что при с > 0 оператор Ас{х) = А{х) + сх
непрерывен и сильно монотонен с cit) = ct.
29.24. Пусть оператор А: Ек -> Е" обладает следующим
свойством: существует г > 0 такое, что для всех х с ilarll >
>г выполняется неравенство ix, Aix)) 5=0. Доказать, что
при WxW > г справедливо неравенство ix, Acix))>0 (опе-
(оператор Ас{х) определен в задаче 29.23).
29.25. Пусть оператор А: Ек ->¦ Ек непрерывен, моно-
монотонен и удовлетворяет условию задачи 29.24. Доказать,
что уравнение А(х) =0 имеет в Ек решение. Для этого
рассмотреть операторы Ап (х) = А (х) + — х и, пользуясь
результатами задач 29.23 и 29.24, доказать, что:
а) при nsN каждое уравнение Ап{х)=0 имеет в Ек
единственное решение хп]
б) решения хп удовлетворяют неравенству Плгп11 ^ г
(neN);
в) существует подпоследовательность хПк {к s Jf) по-
последовательности х„, сходящаяся к ^ — решению уравне-
уравнения Aix) = 0.
В задачах 29.26 — 29.38 на отрезке [0, I] рассматри-
рассматривается краевая задача
Sxit)-fit, x(t)) = O,
с формальным дифференциальным выражением (яг
h-o
Здесь 2) = -j — оператор дифференцирования, коэффици-
коэффициенты Р,(()еСЮ, I] (Л = 0, 1, ..., т), а функция fit, x)
непрерывна в полосе t <= t0, l\, x^ (—°°, °°).
1S1

Пусть йт[0, I] — линейное пространство т раз непре-
непрерывно дифференцируемых па [О, I] функций со скалярным
произведением
Пополнение пространства ПтЮ, I] есть гильбертово про-
пространство, называемое пространством Соболева и обозна-
обозначаемое H"'[Q, I]. Элементы, присоединяемые к Я"'[0, I]
при его пополнении, могут быть отождествлены с функ-
функциями из пространства Ст~ЧО, I], имеющими обобщенные
производные. Справедливо утверждение о вложении про-
пространства //'"[О, 2] в пространство С [О, I], аналогичное
теореме 4.1.
В пространстве //n't0, l] рассмотрим подпространство
/МО, П =
10, П: 2>*х@) =
•=2>kx{l) = Q, k = 0, 1, ..., т-\).
о
Функция x(t) e //™[0, I] пазывается обобщенным ре-
решением данной краевой задачи, если для любого z s
о
e//m[0, I] выполняется интегральное то;кдество
а (х, z) = \ 2 Рк @ ?>** («) a?' z @ dt = | / (f, x @) z @ df.
О
29.26. Доказать, что при каждом х^Н"'1О, I] выра-
выражение а{х, z) является ограниченным линейным функцпо-
о
налом относительно z е //'"[0, I] п, следовательно, прод-
ставимо в виде
29.27. Доказать, что А е ^ (Я1П [0, ZJ, Ят [0, Zj), где
оп ратор Лж = х определен в предыдущей задаче.
29.28. Пусть существует постоянная а>0 такая, что
о
для всех х^Нт[0, П выполняется неравенство
Используя задачу 29.12, доказать, что оператор А сильно
монотонен.
29.29. Доказать, что для любой функции f(t) e Ьг[0, I]
i
§f(t)z(t)dt
о
является ограниченным линейным функционалом относи-
о
тельно z е Нт[0, I] и, следовательно, существует единст-
о
венная функция у е //"'[О, IV такая, что
о
29.30. Рассмотрим в Нт[0, I] уравнение Ах = у, где
А, у определены в задачах 29.26—29.29. Доказать, что в
предположениях задачи 29.28 это уравнение имеет един-
единственное решение, являющееся обобщенным решением ис-
исходной линейной краевой задачи с fit, x)^f(t).
29.31. Пусть 77i = l, P,(i)^l, а норма в Н1[0,1\ по-
порождается скалярным произведением
( ) = JV
Пусть G(t, s) — функция Грина для оператора Штурма —
Лиувилля Ux = —x", x(Q) = x(l) = 0. Доказать, что урав-
уравнение, введенное в задаче 29.30, является следующим ли-
линейным интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода!
i i
ж @ + J G (t, s) Рй (я) х (s) ds = $G (t, s) / (в) ds.
о о
29.32. Доказать, что при выполнении условия задачи
29.28 скалярное произведение в //'"[О, I] можно ведать
формулой
()()
29.33. Пользуясь задачей 29.29, доказать, что исход-
исходная линейная краевая задача (при fit, x) = fit)) имеет
единственное обобщенное решение х — у, где у таково, что
i
183

29.34. Доказать, что при каждом х^Нт[0, I] выра-
выражение
\f(t,x(t))z(t)dt
является ограниченным линейным функционалом относи-
о
тельно ze#m[0, Л, и, следовательно, существует единст-
О
венный линейный оператор Ф(х), отображающий НтЮ, I]
в себя и такой, что
i
29.35. Пусть в предположениях задачи 29.28 для всех
хи х2^( — °°, +oo); fe[0, l] выполняется неравенство
[fit, xj-fti, x2)](xi-x2)^0.
Доказать, что оператор F(x)=A — O(x) сильно моното-
монотонен и, следовательно, краевая задача имеет единственное
обобщенное решение.
О
29.36. Пусть #„ — n-мерное подпространство в Я"'[0, 1\.
Галеркинское приближение хп е Я„ обобщенного решения
исходной краевой задачи определим как функцию, удов-
удовлетворяющую для любого 2„ е //„ интегральному тож-
тождеству
a(xn,zn)
Доказать, что существует единственное галеркинское при-
приближение хп.
29.37. Пусть {фл (?)}"=i— базис в //„. Доказать, что ин-
интегральное тождество для
равносильно следующей системе уравнений:
т = 1,2, ...,п.
29.38. Пусть m = l, f(t, x) = f{t). Рассмотрим подпро-
подпространство линейных сплайнов, обращающихся в нуль при
181
t= 0 и I = I (см. задачу 27.8). Положим
_ V i
1-1 — _l '
k=-l
а) Вычислить для этого случая a((i)k,am) и
)
(У, ш,„)?.2[0,г]
1, 2, . .., п - 1).
б) Написать галеркинскую систему уравнений для
в) Доказать сходимость схемы и оценить порядок
(В задачах 29.37 и 29.38 зависимость базисных функции
(cph (?))?=1 и координат {?ft}?=1 от размерности п подпрост-
подпространства #„ не обозначена.)

Глава 8
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ
И ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
§ 30. Необходимые условия экстремума функционала
Пусть ц>(х) — функционал в вещественном линейном
нормированном пространстве X, определенный в окрест-
окрестности S точки х„. Говорят, что (fix) достигает в точке х„
локального минимума [максимума), если найдется окрест-
окрестность Si<=S точки х„ такая, что (fix) > ц>[х0) (ф(.г) ^
^ф(я0)) для всех areS,. Если (fix) достигает в точке г„
локального минимума или максимума, то говорят, что
ф(.г) имеет в точке ха локальный экстремум.
Пусть Fix) — нелинейный оператор, определенный в
окрестности 5 точки х„ банахова пространства X со зна-
значениями в банаховом пространстве Y. Если при всех h е
а X существует предел
то этот предел называется первой вариацией оператора
Fix) в точке х„. Если 8F[x0; h) = Ah, где A eS'U, У), то
говорят, что оператор F дифференцируем в точке х„ в
смысле Гато п А = ц>'{х0).
Теорема 30.1. Пусть функционал (fix) определен в
окрестности точки xf, достигает в точке х<> локального
экстремума и имеет в точке х„ первую вариацию
6ф(.Го; h). Тогда бф(х0; /г) = 0.
Следствие. Если в условиях теоремы 30.1 прост-
пространство X банахово, а функционал ф(ж) дифференцируем
в точке х0 в смысле Гато iOpeuie), то ф'(ж0) *= 0.
В классическом вариационном исчислении в качестве
о
X берется пространство Clt0, t{] непрерывных на отрез-
отрезке [t0, tj функций xit), удовлетворяющих условиям xito) =
о
= x[ti) =*0, или пространство C"[t0, fj n раз непрерывно
дифференцируемых на [t0, tj функций xit), удовлетворя-
удовлетворяющих условиям z""U0) = xwiti) •= 0 (к = 0, 1, ..., п — 1).
186
При этом рассматриваются функционалы
A)
F(t, x,y,x',y')dt,
B)
{nY)dt.
C)
Экстремум функционала называется сильным, если
окрестность St, в которой выполняется неравенство, пони-
о
мается в смысле пространства Clt0, tt], и слабым, если она
о
понимается в смысле пространства Cnlt0, fj in > 1).
Если функция F в A) —C) является достаточно глад-
гладкой, то вытекающее из теоремы 30.1 необходимое усло-
условие экстремума имеет вид:
для функционала A) — уравнение Эйлера
F — -F ,
О, D)
для функционала B) — система уравнений Эйлера
E)
для функционала C) — уравнение Эйлера — Пуассона
F)
Функция или пара функций из рассматриваемого про-
пространства, являющаяся решением D), E) или F), назы-
называется экстремалью; существование экстремали, вообще
говоря, не гарантируется.
Если экстремум функционалов A), B) или C) ищется
•в классе функций, удовлетворяющих неоднородным гра-
граничным условиям
xiU) ¦=*„, x{tt) =-x, G)
или
<"
xi
k — 0 1 п 1
к — и, i, . . ., п 1,
187

то необходимые условия D) —F) сохраняют силу, а удов-
удовлетворяющая соответствующему из уравнений D) —F)
экстремаль должна удовлетворяв таклее условиям G)
или (8).
Пусть кривая х = x(t) является решением вариацион-
вариационной задачи с подвижными границами, т. е. реализует
экстремум функционала
среди всех кривых y класса С, соединяющих произволь-
произвольные точки двух данных гладких кривых x = fXt) и х =
= /2U). Из теоремы 30.1 вытекает, что для нахождения
экстремален в задаче с подвижными границами надо:
1) составить и решить уравнение Эйлера D), получив
семейство экстремалей x = f(t, Cu С.), зависящее от двух
параметров С, и С2;
2) из условий трансверсальности
п из уравнений f(t0, Си С2) = /1(?о), /U,, С„ С2) = /2(
определить точки tc, ?, и постоянные С,, С2.
Пусть кривая y реализует экстремум функционала
U
удовлетворяет граничным условиям x(to) = x0, x(tO=xt
и является кусочно гладкой, т. е. может иметь скачок
производной (угловую точку) в некоторой точке х (@ <
<x<ti). Тогда Fxtxt |(=х=0 и из теоремы 30.1 вытекает,
что в угловой точке экстремаль должна удовлетворять
условиям Вейерштрасса — Эрдмана
Fx> Ь=т-о — FX' U=x+o = 0.
(F - x'F'x,) |(=I_0 -(F- X'F'X,) |(=T+0 = 0.
(9)
На каждом из отрезков [?0, т] и [т, ij экстремаль должна
удовлетворять уравнению Эйлера D). Возникающие при
решении D) четыре произвольные постоянные можно, во-
вообще говоря, определить из граничных условий, условий
непрерывности экстремали и условий (9).
188
Пусть функция х — x{t) является решением изопери-
метрической задачи на условный экстремум, т. е. реали-
реализует экс iремум функционала
ф(х) = | F(t,x, x')dt
«о
цри граничных условиях x(U) => х0, x(ti)=xi и условии
= \G(t,x,x')dt
Из теоремы 30.1 вытекает, что для определения экстрема-
экстремалей в изопериметрической задаче надо:
1) составить функционал Лагранжа ? = ср+Я\|з;
2) составить п решить уравнение Эйлера D) для функ-
функционала L, получив семейство экстремалей х =
= /(*, си с„ х);
3) определить постоянные Си Сг и параметр X из гра-
граничных условий и условия $(.х) =С.
30.1. Доказать, что всякий сильный экстремум функ-
функционала A) является одновременно и слабым экстре-
экстремумом.
30.2. В пространстве С'[0, я] рассмотрим функционал
<р
л
J х2 A - *")
а) Доказать, что слабый минимум (р(х) достигается на
функции х= 0.
б) Полагая
У п
убедиться, что на
У п
функции хШ=0 сильный минимум фЫ не достигается.
30.3. Доказать, что для функционала
уравнение Эйлера D) может быть записано в виде
F - xfF'x, = С,
где С — произвольная постоянная.
180

30.4. Найти экстремали функционалов в классе глад- 30.5. Найти экстремали функционалов, содержащих
ких кривых: старшие производные:
1 1
а) ф (х) = j (л;2 + х'2 + 2xef) dt, х@) = 0,5, х A) = е; а) Ф (х) --
0 о
0 х
б) ФИ= J (Шх-х'2)^, 2(-1)=1, а: @) =- 0, б) ф (х)-
в) <H2) = jV Ь2^' + ^)^, :гA) = 1, хB) = е; -1' Х {i)~t SM;
1 п
В\ СП (т\ \ { Г Л- ~г' \ fit 1 (t \ Г Г (t \ У * -г' / /¦ \
1
1
Д] ф (X) = XX at, X (У)) = 1, Ж {I) = | 4, v
о
л
е) ф(х) = jDxcosf + x'2 — x2)<dt, x @) = x (л) = 0; = ^, or' (^)
о
2Я
ж) ip(i)-f (i"-i-)d(, i@)=iBi) = 1; «)T(')-- | |7г" + :'1.)Л, ,(-!|,,(,)=,'|-<| =
= х' (?) = 0;
Л 2
1 0
и) Ф (x) = J (e* + te') df, a; @) = 0, x(l)^xx; , a;' @) = 0, x (y) = - 1;
ь) <р(х)^Л((х'2 ~x')dt, x @)^=1, хA1) = Ш: ж) Ф(х)= |B40х-л;)Л, х(-1) = 1, х@) = 0,
_ j
? "' " ' a^ (— 1) 4,5, ж' @) = 0, ж" (— 1) = 16, л:'@) = 0;
190
л) ф (х) = J [2е — х ) dt, х @) - 1, х A) — е; Р f '2 »!\ , /п. п , . ,
0 / т v / *^~ 1 V i~ J 1 \\^) ~™ j \ у — SXI J.f СС \*~-) —"
2 О
1 30.6. Найти экстремали функционалов, зависящих от
' , г тг нескольких функций:
о а)ф(х, v)= \ Bu—ix2 + х'2 — y'2)dt, x@)=0,x\r) —
'г11 л ; , , ° ы \
о) ф (х) = j |/ 1 + х - dt, x (g = ta, i (tj) = ^. «= 1, у @) = 0, г/ f^J = 1;
(o
191

б) <p(x,y) =
0, г/(-1)_-1,
,/3
= 1;
i) ф(лг, у) = j {х'г + у'2 + 2х) dt, i@) = 1, z(l) = 1,5,
у(О) = 0, ?/ A) = 1;
Л 2
Д) Ф (*¦ tf) = j Bлгу - 2z2 + х'2 - у'2) dt, х @) = 0,
г/'2) Л,
= 0, уA) = -3.
30.7. Пусть подвижные границы для функционала
ф) задаются уравнениями i = а и i = Ь. Используя тео-
теорему 30.1, записать необходимое условие экстремума
функционала и найти экстремали, если:
Я 2
а) ф (х) = j (хг — х'г — 2х sin t) dt;
о
л/1
б) ф {х) = С (ж'2 - 2хх' - lGx2) dt.
30.8. Записать условие трансверсальности для функ-
функционала
если ж(^0) = х„, а точка (ii, xj может перемещаться по
кривой х = t|)U).
30.9. Найш экстремали функционала
Я 4
ф (*) = j (z* - Х'2) dt,
если х@) = 0, а другая граничная точка может переме-
перемещаться по прямой t = я/4.
30.10. Наьти экстремали функционала
если ж@)=0, а точка (tit ?i) может перемещаться:
а) по прямой х = t — 5;
б) по окружности (t — 9J + х2 = 9.
30.11. Методами вариационного исчисления найти рас-
расстояние:
а) между параболой у = хг п прямой х — у = 5;
б) от точки ЛA, 0) до эллипса Ах2 + 9у2 = 36.
30.12. Существуют ли решения с угловыми точками
в задаче об экстремуме функционала:
h
а) ф {х) = j <У2 + 2fi - z2) dt, х (t0) = я;0, х {tx) = ar1?
б) ф (х) = j (ж'4 - 6.г'2) Л, х @) = 0, а; B) = 0?
о —
30.13. Найти решение с одной угловой точкой в задаче
о минимуме функционала:
г
а) Ф (х) = J z'2 (s' - IJ dt, x @) = 0, x B) = 1;
о
4
б) ф(а-) = \{x'-\f{x' + \fdt, x@)-0, жD) = 2.
о
30.14. Найти решение с угловой точкой в задаче о ми-
минимуме функционала
x2(l-x'2)dt, ж(-1) = 0,
-1
30.15. Найти экстремали изоперпметрпческой задачи:
a) (f(x)=\(xi+x'2)dt, х@) = 0,5, z(l) = e при условии
192
13 В- А. Треногий и др*
193

б) ф (х) = \ (V2 + ?) dt, х{О) = х A) = 0 при условии
x*(t)dt = 2;
1
в) ф (х) = ] х'г dt, а: @) = 1,
1
г) ср(х) = \ x'2dt,
при условии
1
= -? при условии
1
30.16. Среда кривых данной длины I, соединяющих
точки Ait0, ха) и Z?Ui, a;i), найти ту, у которой центр тя-
тяжести лежит наиболее низко.
30.17. Найти экстремаль в изопериметрпческой задаче,
об экстремуме функционала
при }словии J(x'2 — tx'—y'2) dt = 2 и граничных услови-
условиях .т@) = 0, i(l) = 1, yiO) = 0, i/(l) = 1.
30.18. Найти экстремаль функционала
при наличии связи х2~\- у2 = R1 и граничных условиях
ж@) = R, хШ = 0, у@) = 0, i/(l) = R.
30.19. Найти экстремаль функционала при наличии
дпфференцнальнои связи:
Л 4
а) Ф (х, у) = j {I - 2tw) dt, x @) = 0, х (j) = 1,
при условии ^ = 2г/ — itx;
194
= 0, 35A) =
dx
d
при условии j- = г/ — ж.
. 30.20. Пусть у1 — самосопряженный оператор в ве-
вещественном гильбертовом пространстве //, у s H — фикси-
фиксированный элемент. Доказать, что необходимое условие
экстремума функционала (fix) сводится к уравнению:
а) Ах = у, если фЫ = iAx, x) — Их, у); ¦
б) х + Ах = у, если фЫ = iAx, x) + ix, x) — 2ix, у).
Что можно утверждать о разрешимости этих уравнений;
если А — вполне непрерывный оператор?
30.21. Доказать, что изопериметрическая задача для
функционала
ъ
при граничных условиях xia) — xib) =0 и условии
где pit) s C[a, Ы, pit) > 0 на [а, Ы, gU) e C[a, 6], qit) >
>0 на [a, b], равносильна задаче о собственных функциях
оператора Штурма — Лиувилля.
§ 31. Достаточные условия экстремума функционала
Теорема 31.1. Пусть функционал ф(ж) дважды не-
непрерывно дифференцируем по Фреше в окрестности S
точки х„ банахова пространства X и ф'(а\,)=0. Если су-
существует а> 0 такое, что для любого he X выполняется
неравенство q>" ixo)h2 > аШ\\2 (ф" ixo)h2 < —all/ill2), то
х0 — точка локального минимума iMaKcmiyMa) (fix).
Ниже рассматривается вопрос о достаточных условиях
экстремума функционала
<i
«о
О
в пространстве ChlU, tj ik>0).
Семейство кривых х — xit, С) ix^C^a, b]) образует
собственное поле в заданной области, если через каждую
точку it, x) этой области проходит одна и только одна
13* 195

кривая xit, С) этого семейства. Угловой коэффициент
pit, х) касательной к кривой семейства xit, С), проходя-
проходящей через точку it, х), называетсд наклоном поля в точке
it, х). Семейство кривых х = x(t, С) образует центральное
поле в заданной области, если кривые этого семейства
покрывают всю область, не пересекаются в этой области
и исходят из одной точки itu, х0), лежащей вне заданной
области. Точка Uo, x0) называется центром пучка кривых.
Собственное или центральное поле, образованное семейст-
семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, назы-
называется полем экстремалей.
Пусть кривая х ='xit) является экстремалью функ-
функционала A). Говорят, что экстремаль х = x{t) включена
в поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей
x = xit, С), образующее поле, содержащее при некотором
значении С = Со экстремаль x = xit), причем эта экстре-
экстремаль не лежит на границе заданной области, в которой
семейство х = x(t, С) образует поле. Если пучок экстре-
экстремалей с центром в точке A(tu, x0) в окрестности экстре-
экстремали x = x(t), проходящей через ту же точку, образует
поле, то тем самым найдено центральное иоле, включаю-
включающее данную экстремаль х = xit). За параметр семейства
в данном случае можно взять угловой коэффициент ка-
касательной к кривым пучка в точке A{ta, ха).
Для того чтобы на данной экстремали функционала
A) достигался слабый минимум, необходимо выполне-
выполнение условия /'Vx'^O во всех точках рассматриваемой
экстремали (условие ^х'х'>0 называется условием Ле-
жандра).
Уравнение вида
= о
называется уравнением Якоби для функционала A). Если
существует решение уравнения Якоби, удовлетворяющее
условию uita) = 0, не обращающееся в нуль ни в какой
точке полуинтервала to<t< tu то дугу экстремали АВ,
где Ait0, х0), Biti, Xi), можно включить в центральное по-
поле экстремален с центром в точке А.
Функцией Вейерштрасса для функционала A) называ-
называется функция
Е (t, х, р, х') = F (t, х, х') - F (t, х, р) - (х' - р) F'p (t, x, p),
где pit, x) — наклон экстремалей в точке it, х).
196
Для достижения функционалом A) слабого экстремума
на кривой С достаточно выполнения следующих условий:
1) кривая С является экстремалью;
2) экстремаль С может быть включена в поле экстре-
экстремалей;
3) функция E{t, х, р, х') не меняет внака во всех
точках U, х), близких к точкам кривой С, в для х', близ-
близких к pit, х). Минимум реализуется в случае Е ^ 0, мак-
максимум — в случае Е < 0.
Если наряду с условиями 1), 2) выполняется условие
3°) функция E(t, х, р, х') не меняет знака во всех
точках it, x), близких к точкам кривой С, и для произ-
произвольных значений х , то на кривой С реализуется силь-
сильный экстремум, минимум — в случае ?5>0 и максимум —
в случае Е < 0. у
31.1. Указать собственное и центральное поле экстре-
экстремалей функционала:
а) Ф (х) = J (У2 + х2) dt, а>0;
Я,4
б) ф (х) = J (V2 - х3 + *а + 4) dt.
31.2. Выяснить, включается ли экстремаль данного
функционала в поле экстремалей (собственное или цент-
центральное):
2
б) ф(ж) = JO'3+ sin2 0 Л, г@) =
о
в) ф(а:)= \x'[2t-\x\dt, х (-
1
Г) ф (х) = j (х'г - 2tx) dt, x{0) = x
о
1
д) ф(а:) =
0, а:A) = 0,5;
^ 0:
е) (?(x) = ){x*-x'*)dt, x@) =
о
= 0| а>0, а
197

ж) <р(я) = j (а=" + **) А, аг@) = 1, аB) = 3?
о
31.3. Выполнено ли условие Якобп для экстремали
функционала, проходящей через заданные точки:
x'i + f-)dt, л@) = 0, а;(а) = 3, а>0;
б) ф (Х) = J [а:'2 - 4л;2 + е"'2] dt, х@) = х {а) = О,
а
в) ф (z) = J (V2 + гЧ Z2) А, а: @) = ж (а) = 0;
О
а
г) ф (х) = f (V2 - х-) dt, х{0) = х (а) = 0;
о
1
д) ф (х) = j A2^ + z'2 + ^2) Л, х (- 1) =-2, х A) =0;
а'0Л, я @) = а: A) = 0;
2-Г
ж) ф(аг) = J (x'*-x*
о
1
з) ф (а;) = J (х'2 + 9z2
, а; @) = г A) = О?
31.4. Доказать, что если подынтегральная функция
функционала A) явно не содержит х, то каждая экстре-
экстремаль может быть включена в поле экстремалей.
31.5. Проверить выполнение условия Лежандра для
экстремали функционала, проходящей через заданные
точ*ки:
г
о) ф (а;) = j (я'4 + xri) dt, x @) = 1, х B) = 5;
о
1
б) ф (а;) = J 0V2 + 12а:2) А, х{- 1) = 1, х{{) = 1;
-1
1
в) ф (х) =. j (я'2 - яга;'4) dt, х{0) = х A) = 0;
198
г) ф (а;) = j' x'3 dt, х @) = 0, х {а) = Ъ > 0, а > 0;
о
д) ф (Х) = j (V2 _ ^'3) df, а; @) = а; A) = 0;
о
2
е) ф(х)= fFx'2-2-'4 + xa:')^, а; @) = 0, а: B) = 1;
ж) ф (х) = j хх'2^, аг@) = 3, а;A)=3;
о
3
з) ф(г) = j^df, а: B) = 4, ж C) = 9;
и)
= 0, а; B) = 1.
i
31.6. Исследовать на экстремум функционалы:
1
а) ф (а-) = J(*'a + a:') А, *@) = 0, а:A) = 2;
о
б) <f(x) = ][t + 2x + ±x'2)dt, x@)=x(i) = 0;
о
2
в) ф (х) = j (/ + 3 )&, х @) = 0, х B) = 1;
о
г) Ф(а;) = ]'в'(л2 + {а:'г)А, ж @) = 1, а;A) = е;
о
1
д) Ф (а:) = J eV2 А, ж @) =0, х A) = In 4;
о
2
е) ф [х) = [ х' A + iV) А, х (- 1) = 1, х B) = 1;
= 1, а; B) = 4;
з) Ф(*)= Г^, х@) = 0, а:(а) = Ь>0, а>0;
-1
199

л
и) ?(*) = j(l + t)x'2dt, z@) = 0, *A) = 1;
о
1
к) ф (х) = { (х'3 + г'2) А, ж (- 1) = - 1, а: A) = 3;
-1
я'4
) ф (я) = j Dг2 - х'2 + 8х) dt, х @) = - 1; х (|) = 0;
о
2
н) Ф(г) = |(^'2-12^)Л, д:A) = 1, х{2) = 8;
1
П'4
н) фИ= J (r>-a;'2
о
о) ф(^)=|A-е~ж')^, *@) = 0, хB) = 1;
1
п) ф (х) = j (х'2 - хх'3) dt, х @) = х A) = 0.
о
31.7. В пространстве СЮ, 11 рассмотрим функционал
Ф (х) = J г.2 (« — х) dt,
о
-е) Доказать, что единственной экстремалью фЫ яв-
является х = 0.
б) Найти сРф в точке z = 0 н убедиться, что при лю-
любом приращении h^ClO, I] (/i^0) выполняется неравен-
неравенство cf ф > 0.
в) Убедиться, что в любой окрестности точки х = 0
ф(х) может принимать значения разных знаков и, следо-
следовательно, гаОне является точкой экстремума.
31.8. В пространстве /2 для x = {xt, x2, ...)<=12 рас-
рассмотрим функционал
A=1
а) Доказать, что в точке хй = @, 0, ...) 6ф(^0; Ю = 0.
б) Найти с?2ср в точке х0 н убедиться, что при любом
приращении /г = (//„ Ji2, ...) е= /2 (/г =^ 0) выполняется не-
неравенство й2ф > 0.
в) Убедиться, что в любой окрестности точки х„ ф(х)
200
может принимать значения разных знаков и, следователь-
следовательно, точка х0 не является точкою экстремума.
31.9. В вещественном шльбертовом пространстве Н
рассмотрим функционал ц1 х) = 1Ы12. Используя теорему
31.1, доказать, чго ф'г) достигает минимума в точке
х = 0
§ 32. Полунепрерывные п выпуклые функционалы
Вещественный функционал, определенный на множест-
множестве М банахова проорансгва X, называется:
выпуклым, если М выпукло и для любых хи х2 s M и
любого ie[0, 1] выполняется неравенство (fitxi^-
Л- ( 4 f)~ ) <"/m(r ) 4- М f)ir( -r )¦
полунепрерывным снизу, если из того, что хп -*¦ х0
jipn п -»- оо (х„, I, e J/, n e N), следует, что ф(^о) ^
*? lim (fixn);
слабо полунепрерывным снизу, если из того, что хп -+¦
-> а:0 (п^-оо) слабо (хп, хае=М, веЮ, следует, что
ф(аг0) ^ lim ф(д;п).
Теорема 32.1. Слабо полунепрерывный снизу функ-
функционал, заданный в рефлексивном банаховом пространст-
пространстве X, ограничен снизу и достигает наименьшего значения
на каждом ограниченном слабо замкнутом Ограниченном
замкнутом выпуклом) множес/ве 1/сХ.
Теорема 32.2. Пусть функционал (fix) дифферен-
дифференцируем по Гато в каждой точке банахова пространства X.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) (fix) — выпуклый функционал;
2) оператор ф'(х) монотонен;
3) для любых х, у е X выполняется неравенство ф(г/) —
— фЫ > (f'ix)iy — х).
Следствие. Всякий заданный всюду в банаховом
пространстве дифференцируемый по Гато выпуклый функ-
функционал слабо полунепрерывен снизу.
32.1. Пусть ф(.г)—линейный функционал на банахо-
банаховом пространстве X. Доказать, что 1фЫ| — выпуклый
функционал.
32.2. Пусть X — банахово пространство, М czX — вы-
выпуклое множество, ф(.г) — определенный на М выпуклый
функционал такой, что фЫ ^ 0 для любого х^М. Дока-
Доказать, что ф2(.г) — выпуклый функционал.
32.3. Пусть X— банахово пространство; для х^Х по-
положим ф(.г) = I'-r'l. Будет ли функционал ф(а;):
а) выпуклым;
201

б) непрерывным;
в) слабо непрерывным;
г) слабо полунепрерывным снизу.'
32Л. Пусть X—рефлексивное банахово пространст-
пространство, М с: X—ограниченное замкнутое выпуклое множест-
множество. Доказать, что:
а) в М найдется элемент с наименьшей нормой;
б) для любого zsX найдется х е М такое, что
рB, M) = \\z'-xl\.
32.5. Пусть выпуклый функционал фЫ определен на
выпуклом множестве М банахова пространства X, т =
= inf а(х). Доказать, что множество {х е М: а>{х) = т)
выпукло.
32.6. Пусть выпуклый функционал (fix) определен на
выпуклом множестве М банахова пространства X. Дока-
Доказать, что всякая точка локального минимума ц>(х) явля-
является точкой его глобального минимума.
32.7. Пусть ц>(х) — выпуклый функционал, определен-
определенный на банаховом пространстве X. Доказать, что для лю-
любого вещественного числа X множество Ck={j;s X:
ж) «S X) выпукло.
32.8; Пусть (fix) — такой функционал в банаховом
пространстве X, что для любого вещественного числа X
множество d = {х е X: фЫ ^Х} выпукло. Следует ли
отсюда, что ф(х) — выпуклый функционал?
32.9. Доказать, что функционал (fix) в банаховом
пространстве X является полунепрерывным снизу (слабо
полунепрерывным снизу) тогда и только тогда, когда для
любого вещественного числа X множество Сх = {х е X:
(fix) < X) замкнуто (слабо замкнуто) в X.
32.10. Доказать, что выпуклый функционал в банахо-
банаховом пространстве слабо полунепрерывен' снизу тогда п
только тогда, когда он полунепрерывен снизу.
32.11. Доказать, что выпуклый полунепрерывный сни-
снизу функционал, заданный в рефлексивном банаховом про-
пространстве X, достигает наименьшего значения на каждом
ограниченном замкнутом выпуклом множестве М с X.
32.12. В пространстве С[0, 1] рассмотрим множество
М=
1]: \x{t)\ < 1, л:@) = 0, х{\) =
Для xit) e С[0, 1] положим
202
а) Доказать, что множество М ограничено, замкнуто
и выпукло.
б) Доказать, ' что (fix) — непрерывный выпуклый
функционал.
в) Достигает ли (f(x) на М своего наименьшего зна-
значения?
32.13. Доказать, что всякий слабо полунепрерывный
снизу функционал в банаховом пространстве достигает
своего наименьшего значения па каждом бикомпактном
множестве.
32.14. В пространстве Lz[0, [] рассмотрим функционал
1
4(x) = $\x(t)\dt.
о
Доказать, что ф(ж) достигает своего наименьшего значе-
значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом'мно-
выпуклом'множестве.
32.15. Пусть // — гильбертово пространство, А а
е 2ЧН) — самосопряженный оператор, ф(ж) = (Ах, х).
Будет ли функционал (fix):
а) непрерывным;
б) слабо непрерывным;
в) слабо полунепрерывным снизу?
32.16. Доказать, что функционал ф(я) из предыдущей
задачи является выпуклым тогда и только тогда, когда
А >0.
32.17. В пространстве h для х = ixit хг, .. ¦) е h рас-
рассмотрим функционал
Ф
П=1
а) Доказать, что ц>(х) определен на всем U и диф-
дифференцируем.
б) Будет ли ц>(х) слабо полунепрерывным еппзу?
32.18. Пусть X — рефлексивное банахово пространст-
пространство, А е giX, X*), (fix) = <х, Ах).
а) Доказать, что функционал ($(х) дифференцируем по
Гато и найти его производную.
б) Пусть оператор А является положительным, т. е.
для любого х е X выполняется неравенство <х, Ах) > 0.
Доказать, что ф'(.г) — монотонный оператор.
в) Доказать, что при положительном операторе А функ-
функционал ц>(х) достигает своего наименьшего значения на
203

каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве
М<=Х.
32.19. Пусть Н — гильбертово пространство, А&
еЗ'(Н), Ь еН — фиксированный элемент. Для хеЯ по-
положим (fix) =¦ Ых- Ы\г. Доказать, что ф(ж):
а) дифференцируем по Гато и найти его производную;
б) достигает своего наименьшего значения на каждом
ограниченном замкнутом выпуклом множестве М <= //.
32.20. Пусть в условиях предыдущей задачи Н — Е2
и в некотором ортонормированием базисе оператор А оп-
определяется матрицей
В какой точке достигается наименьшее значение функ-
функционала (fix) на шаре 5,@) при различных г?
ОТВЕТЫ II УКАЗАНИЕ
ГЛАВА 1
§ 1
1.12. Строгое вк поченпе воэмо/кно 1.13. Вообще говоря, не
следует. 1.17. Возчолшо. 1.25. Нет. По юаим
1
0
0
0
. 2/ =
0
1
0
0
тогда Д1Я z_=x/2 + y/2 нарушается акспома треугольника.
1.26. се„, = 1/Vm", Pm = 1, 1т = Uт, Sm = 1, е,„ = 1, vm = jm.
1.30. а), в), г)
Тогда z("> ->-0 при п -> оо в простраиства\ т 12, с0, но раслодится
в пространстве U. б), д)
(LL i00
Тогда z("'-»-0 при п-*¦ оо в пространствах с0 и т, но расходится
в пространстве h- 1.32. Для с0 и U установить два противополож-
противоположные включения. Включение с0 с h вытекает из того, что всякий
элемент пространства с0 можно приблизить, заменяя «\вост» ну-
нулями. Обратное включение — из свойств равномерной сходимости.
1.33. а) Да. б) Нет 1.34. а) Да. б) Да. 1.37. Во всех четырех слу-
случаях можно. 1.38. а), г), д) Можно, б), в) Нельзя. 1.39. а) Нет. До-
потение к нему не замкнуто, б) Пет. Оно всюду плотно в про-
страпстве С [а, Ь]. 1.40. а) Да. Доказательство замкнутости исполь-
использует либо конечномерность, либо представление многочленов ин-
интерполяционной формулой Лагранжа. б) Нет. Последовательность
многочленов степени п может равномерно сходиться к многочлену
меньшей степени. 1.42. а) Да. б) Да. 1.44. Использовать равномер-
равномерную непрерывность. 1.45. Доказательство — индукцией по к. Пусть
P(t) — многочлен такой, что
V -Pih-i < h-l+V <?(«)=/ (а) + f P (т) dx.
205

Убедиться, что
1/iG. а) Если ^ aJi < °°< б) Еслп ал — ограниченная последова-
телыюсть. 1.48. Если существует eeR (г > 0) такое, что для лю-
любого iigN выполняется неравенство ап > е. В противном слу-
случае дополнение к параллелепипеду не замкнуто. 1.50. Пусть oi (О)
содержит отрезок [х, у], х ф у. Убедиться, что \\х + ;/!! = Hill 4-
+ \\у\\. Обратно, если \\х 4- у\\ = \\x\\ + ||у|[, причем х ф 0. у Ф 0,
н не существует X > 0 такого, что у = }.х, то положим а = i/||i|i,
Ь = y/lly'l- Убедиться, что [д, Ь] с оч@). 1.51. Строго нормирован-
нормированными являются пространства h и L2 [0, 1]. 1.52. Л (] В н Л + 5.
1.53. Нет, так как Л — А = А + (—А) ф 0. 1.54. Да. 1.53. Нет.
1.58. а) Нет. б), в), г), д) Да. 1.66. Пусть Li — конечномерно. До-
Доказательство — индукцией по п = dim L2. 1.67. а), в), д), е), ж),
к) Нет. б), г), з), п) Да. 1.68. б) Нет. Положим
= A, -1/л, -1/», ..., —1/п, 0,0, ...)¦
тогда при n-i-oo х„->-г= A, 0, 0, ...) ф L. 1.69. а) Да. б) Нет.
1.72. Возможно. 1.73. Обратное утверждение, вообще говоря, не-
несправедливо. 1.78. В задаче 1.22 несепарабельно только пространст-
пространство 1ч, в задаче 1.23 несепарабельны пространства М[а, Ь] п V[a, Ь].
1.81. Нет. В пространстве h рассмотрим последовательность
*n=f0,0, ...,0,1 + 1/и,0,0, ...\
п элемент х= @, 0, ..., 0, ...). 1.83. а), б) Вообще говоря, нет.
Рассмотреть /: R^R, }(х) = 1/A + х2). 1.88. Использовать задачи
1.87 ц 1.85. 1.89. в) Вообще говоря, нет. 1.91. Нет. Пусть
хп = sin ntjn s L. Тогда xn-+0 при и-»-оо, но f{xn) АО. 1.92. а)
Да. б) Нет. Положим
о
при 0<<<1 —1/ге2,
nS (t - 1 + 1Лх2) прп 1 - 1/n2 г
Тогда' в пространстве ?2[0, 1] xn(t)-+x = 0, но xn{i) = п ^
Ai(l) =0. 1.93. а) Будет, но не равномерно, б) Нет. Пример —
из задачи 1.92 б), в) Будет, но не равномерно. 1.95. а) Да. Пусть
F: ?2->-R, F(x, у) = ху, А — гипербола ху = 1, 5 — прямая у =
= 0. б) Нет.-
§ 2
2.3. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. 2.5, б) Нет.
Последовательность
k=0
фундаментальна в обеих нормах, по пе сходится в рассматривае-
рассматриваемом пространстве, в) Пополнения изометрически изоморфны со-
20G
ответственно пространствам С[а, Ь] и Г2[я, Ь]. 2.6. б) Нет. 2.7. В за-
задаче 1.22 все пространства — банаховы. В задаче 1.23 банаховы-
банаховыми являются все пространства, кроме К и ?Р[я, Ъ]. При доказа-
доказательстве полноты пространства V[a, Ь] используется то обстоя-
обстоятельство, что фундаментальная в норме У [а, Ь] последователь-
последовательность xn(t) оказывается поточечно на [а, Ь] сходящейся к неко-
некоторой функции x(t). Остается доказать, что х (t) e V [а, Ь] и что
xn(t) -*x(t) при п-э-оо. 2.11, Нет. Использовать задачи 29 и 1.36,
2.12. Нормы пунктов г) и д) задачи 1.38 эквивалентны норме про-
пространства С1 [а, Ь]. 2.24. Аналогично доказательству теоремы 2.2.
2.25. Пусть хп е X — фундаментальная последовательность. Най-
Найдется номер tii такой, что при всех п > пЛхп — хп II < 1/2, номер
пг такой, что пг > «1 и для всех п> пг lixn — xn |^l/22 и т.д.
Далее рассмотреть последовательность шаров 5А =5 Jx \ и
воспользоваться задачей 2.2. 2.26. В силу задачи 1.5 последователь-
последовательность радиусов г„ является невозрастающей. Если гп -*¦ 0 при п -*¦
-* оо, то все сводится к теореме 2.2. В противном случае или г„ ста-
стабилизируется и тогда все доказано, или г„ -*¦ р > 0, г„ > р. Тогда
последовательность шаров с теми же центрами радиусов г„ — р так-
также является вложенной. 2.27. Может. Пусть eh= f0, 0, ..., 0,
1, 0,...). ^ft= U «k.2.28. б) Пусть ?п фундаментальна в X/L, тог-
' к~п
да для любого е > 0 найдется N такое, что для любого п > N и для
любого m^l выполняется неравенство |||n+m — \п\\ < е. Пусть
е» = 2-\ пк таковы, что|Щ+П1-Щ < 2~h. Тогда Щ-Ц|<
< 1/2 и найдутся ^ е |п , х^ е \п такие, что ||г2 — г,II < 1.
такие, что
Аналогично строятся хк е 1Пк \h h |
Последовательность хц фундаментальна в X, поэтому хц -*¦ ха е X.
Пусть ?о — класс, содержащий ха. Тогда % -*¦ |Q, а значит,
и ?
§ 3
3.9. Нет. 3.11. Вообще говоря, нет. Пусть ряд
схо"
дится и для выбранного е>0 число N таково, что 2 ^<е-
Рассмотрим последовательность гп =11, ...,1,0,0, .. А. Тогда при
т, п~> N имеем \\хт —arnll < е, но хп не является сходящейся.
3.23. Строгое включение возможно (если, например, множество М
всюду плотно в пространстве Н). 3.26. б) }t(t) = 1, /2@= ~г + 1'
hit) = <2-4г + 2. 3.27. б) /,@=1, h(t)=2t, /3@ = 4*2 —2.
3.29. В качестве такой системы можно, например, выбрать хп =
П, 0, 0, ..., 0, — 1, 0, 0, .. Л . 3.30. Л' = ЛР- — одномерное под-
Л . 3.30.
пространство с базисом an=^l- U ... ,1,0,0, .. .у 3.32. Нет.Л/и/V
I 1
207

могут даже по являться лииейпымп многообразиями. 3.33. В каче-
качестве М достаточно взять всюду плотное в пространстве h мно-
множество. 3.34. Нет. Пусть, например, М есть подпространство
пространства U из задачи 3.30, Л' — одномерное подпространство
с базисом A, 0, 0, ..., 0, ...). Тогда, согласно задаче 3.30, N ф М-1-,
но 1% = M®N. 3.36. б) Л/1- = {x{t) еГ2[—1, 1]: ^@=0 при
<;2гО}. в) Нет. 3.37. Из предположения, что элемент х е= 12 орто-
ортогонален линейной оболочке, сделать вывод, что х = 0. 3.38. Дока-
Доказать, что
М - х0 = {х е Н: (х, xh) = 0, к е N}.
3,41. Рассмотреть последовательность
3.42. Пусть для любого :eK выполняется неравенство (х — у,
у — z) 3s 0. Тогда
||*-*||'= ((x-y) + (y-z), (x-y) + (y-z)) ^ \\x-y\\\
Обратпо, если уе! таково, что р(х, М) — \\х — у\\ и z e Л/, то
для любого Яе[0, 1] Ху + A — X)z <= М, следовательно, \\х — yW1^.
^ На: — Ху — A — А)г||2, откуда ирн 1е[0, 1) (х — у, у — z) ^
^ _ у A _ X) || г/ — яЦ2 и> устремляя Я, к 1, получаем требуемое
утверждение. 3.43. Использовать задачу 3.42. Предварительно рас-
рассмотреть случай ха = 0. 3.44. Пусть Mi э i/2 d ... — такая после-
последовательность, ah e Мь (teN) — элемент с наименьшей нормой,
существующей согласно задаче 3.40. Используя выпуклость и огра-
ограниченность Mh, а также равенство параллелограмма, доказать, что
последовательность аК фундаментальна. 3.45. Ап = {x(t) еСГО, 11:
llxll <g 1, х@) = 0, x(i) = 1 при 1/й ^ t gc 1}.
§ 4
4.9. coscp = 1'6/я. 4.10. ф, = я/2, ф2 = л/3, ф3 = л/6. 4.11. При
а =И= 0 <ае1р[0, 1], р > 1 для а > —1/р, при этом ||/а|| •=
= (ра + 1)-'/". При а = 0 i(l)sieif[0, 1] для любого р ^ 1
и ||1||=1. 4.12. а) Дйз 1, /2 (*)=', /з (г) =3^-1, /4@=5«3-3t.
б) /,A)а1, /аС*1 = 2t — 1, /3@ =6г2-6Н-1, /4@=20г3^
— ЗОг2 + I2t — 1. 4.13. Нет. Положим
nU
0 при |*-1/2|<1/я,
1 при \t-i/2\>l/n, л
К,
Тогда xn(t)eA, но при и-х» 1„(()-+г(()е1^1 4.14. Да.
4.16. Выпуклость очевидна. Достаточно доказать, что множество
является всюду плотным в множестве всех многочленов. Для про-
произвольного многочлена P(t) последовательность Рп (t) =
= P(t)(i — tn) удовлетворяет условию РпA) =0 (га е N) и схо-
сходится к Р(г) при «-* оо.'
4.18. .«¦L={i(t)el![ii, 6]: х(/)=0 при «^ [г, rf] почти
всюду}. 4.19. М-1 — одномерное подпространство с базисом х (t) ==1.
203
4.21. Положим для г@ е ij;[a, b], Jx = х. Так как /> > s, то
ъ ь
B) f I ^ (/) |'! Л < Ъ - я -I (iZ'J 1 | * (i) \" dt < оо.
В неравенстве ГОльдера
(S) | / (-') ^
ь \i/a'
j" I 6 (t) f dt
положим /@ = I*(О I". S@ = U P' = P/'s > !• Tor^a
b Г b "Jl/g'
a L " J
ИЛИ
т. e.
l
5
л +3
kll. 4.22. Использовать задачу 1.45. 4.24. cos ф
. 4.25. /,@=1,/2@ =', /а@ =1-ЗГа,Л@ =^
Ю^3 4.27. (h[a, b]I- — двумерное подпространство с базисом
xAt) = е\ xo(t) = е-'. 4.28. ^-"- — одномерное подпространство с
базисом x(t)=sh(t — (a + b)/2). 4.29. Л/-"- — одномерное подпрост-
подпространство с базисом x(t) =1. 4.3!. y(t) = |М- 4.32. x{t)=
5.5. Множество э.1ементов вида {//@ бС[0, 1]: у@) = 0, 0 <
'< i/C) < 2 ДМ любого f е= [0, 1]}. 5.6. а) и* = 1/2, p(.r0, L) = 1/2.
б) и* = t — 1/8, p(xi, I) = 1/8. 5.9. Воспользоваться задачами 4.19
и 5.8. р(х, L) = 1/3. 5.10. Воспользоваться задачами 3.30 и 5.8.
pn(i, L) = 1/у«. 5.11. 0,25 при п = 0; 0,9* — 0,2 при га = 1; 1,5г2 -.
—0,6< + 0,05 при га = 2. 5.12. Переписать указанное в задаче иред-
ставлеияе в виде
х (г) = j х (х) dx + j К (t, т) х- (т) (?т,
о о
в каждом из слагаемых в правой части воспользоваться неравен-
неравенством Коши — Бушшовского. При этом
J
K2(t, т)<7т<-,
о
В. А Тре.югш; п др.
209

так что
5.13._а) и* = 1/2, р(г0, i) = 1 39/6. б) u* = t — 1/6, p(zi, L) =
= |210/30. 5.14. Ортогонализащта базиса L, состоящего из функций
1. t, *2, i3, удобно выполнить следующим образом: первоначальный
базис записывается в виде единичной матрицы F, затем первая
строка F переписывается в первую строку матрицы А — матрицы
преобразованного базиса — и нормируется. Последующие строки
матрицы F переписываются в строки ыаррицы А в соответствии
с формулами ортогоналпзации, причем всякий раз строки нормн-
рлются. Ко1да матрица А сформирована, вычисляется скалярное
произведение x(t) на элементы строки, транспонированной столбцу
1 ¦
Умножая полученную строку на столбец матрицы А, получаем со-
соответствующий коэффициент многочлена наилучшего при-
приближения.
Скалярные произведения п нормы в пространстве Нр [0, 1]
вычисляются обращением к соответствующей подпрограмме.
Коэффициенты многочленов округлены до двух знаков после
запятой, в вариантах с параметром ответ приводится при а = 0.
а) u*(t) = 1,00 — 0,01* + 0,37*2 — 0,1 I*3;
б) и* (*) = 1,31 + 7,98* + 12Д7*2 — 4.65*3;
в) и* (t) = 2,00 + 0,99* — 0,2l?2 + 0,05*3;
г) u*(t) =• — 0,01* + l,12*2 — 0,42i3;
д) u* (i) = 2,00 + 1,40/ + 0,44*2 + 0,16i3;
е) it* (*) = 1,00 + 0,33* — 0.09*- + 0,02/3;
ж) и* (*) = 1,17 — 9,24* + 20,72г2 — 13,82г3;
з) и*A) = —0.01* + 1,13*2 — 0,42*3;
и) и* (t) = 1,00 — 0,02г + 0,44i2 + 0,09*3;
к) и* (*) = —1,00 + 1,02* + 0,42*2 + 0,28*3.
5.15. Основная программа осуществляется структурно по алго-
алгоритму, описанному в условии задачи. Для этого: 1) последователь-
последовательным обращением к подпрограммам скалярных произведений за-
потаяются матрица коэффициентов н правая часть системы линей-
линейных уравнений; 2) производится обращение к стандартной под-
подпрограмме решения систем линейных уравнений; 3) полученные
в результате решения коэффициенты многочленов наилучшего при-
приближения выдаются на печать; 4) интегрированием вычисляются
д ; )
и выдаются па печать величины||г — u*\\l [о i] п 1 х —
>
5) если построение графика не предусмотрено программой, выда-
выдаются на печать значения х, и*, о*.
Интегралы вычисляются по формуле Спмпсопа, реализованной
в необходимых местах циклически. Для вычисления скалярных
произведений в пространствах L2 [0, 1] и /Л [0, 1] заносятся по
два оператора-функции.
Коэффициенты многочленов округлены до двух знаков носле
запятой:
210
a) u*(t) = 1,00 + 1,10* + 0,C2i2 + 0,18f3 + 0,Ш4, v* (t) = 1,00 +
10i + 0G2i2 + 018«3 + 0UC
, + , , + ,;
б) и* @' = 0,99 + 0,23i — 6,69i2 + 4,45f3 — 0,01 J* v* (t) = 1,00 +
+ 0,16i — (>,47г2 + 4,3U3;
u) it"@ = 1,00 + 1,00/ + 0.5U2 + 0,Mi3 + 0,07t* v* It) = 1 00 +
+ l,00i + 0,51 г2 + 0,Ш3 Н- 0,07/';
r) и* (/.) = 3,10i + 0,47f- - 7,14/3+ 3,57г4, u- (г) = 3,12* + 0,39г--
-7,02г3 + 3,51/1;
д) и*A)= 0,97 + l,9h-40,65i2 + 77/i8i3-38,74t4, u*(f)=100+
+ 1,09* — 36,64г2 + 71,llti _ З5.55г4;
е) и*(!)= 0,22г+ 1,32г2 — 0,82г3 + 0,28г4, v*(t)= 0,12* + 1,68г2—
— l,29i3 + 0,48*4;
ж) и-A)= 1,14 — 8,92* + 20.37/2 — 14,49г3 + 0,77г4, v* (t) =0 01 +
+ \.Ш — 13 87*2 + 9,98?3 - 0,G3t4;
з) ^(*)= 1,00* — 0,46*2 + 0,21f3 — 0.03*4, v* (t) = 1,00* — 0,47;2 +
+ 0,22г3 —0,06г4;
п) u*(t) = —0,55 + 1,28* - 0,56i2 + 0,37*3, v* (t) = —0,55 +
+ 1,29* — 0,58*2 + 0,39*3;
и) к* (*) = 0,93 + 2,36* — 22,1112 + 38,79*3 - 20.S8*4, v* @=1,00+
+ 1,52* — 20,35г2 + 38,30*3 — 21,47*4.
5.17. Коэффициенты многочленов паилучшего приближения
при п = 5 округлены до двух знаков после запятой: и* = 0,31,
р(х, LQ) =0,38; ц*(*) =-0,17 + 0,96*, р (х, I J= 0,16; и\ (*) =--
= 0,02- 0,54* + 1.50Г, р(х, 12)=0,03. 5.18.6) и=9. в) lim «„=.
= 0, lim Р„=2/я.
?г->оо
5.1!). Коэффициенты многочленов наилучшего приближения
ирп п = 15 округлены до двух знаков после запятой:
а) и* (*) = - 0,12 + 35,28* - 302.37*2 + 859Д6*3 - 986.37*4 +
+ 394.55*5;
б) и* (*) =0,10 — 0,03*2 + 0,61*3 — 0,12*4—0,04*5;
в) и* (*) = 1,02* + 0,68*2+1,04г3-0,41*4 + 0,51*5;
г) и* (*) =0,99* —0,49*2 + 0,28*3 —0,13*4 + 0,03*5;
д) ц« (*) = 1,33-25,58*+ 112,04*2-172,92*3 + 84,46*4;
е) и«(*)= 3,10* + 0,48*2 — 7,17*3 + 3,58*4;
ж) и* (*) =0,10 + 1,00* + 0,50*2 + 0,17*3+0,03*4 + 0,01*5;
з) им (*) = 0,47* - 13,56*2 + 26,20*3 - 24,03*4 + 8,28*5;
и) и* (*) = 0,34* - 0,41 Г + 1,75*3 - 3,38** + 3,00*5;
к) ^(*) = -0,54+1,30*-0,69*3
-0,40*' +0.16*5.
6.2. Все три пространства являются полными. 6.3. Функция
и = ](о) должна быть монотонной. 6.4. Функция и = f(v) должна
быть монотонной, а область ее значений должна совпадать с R.
6.5. а) Пространство неполное, его пополнение изометричао отрез-
отрезку [—л/2, я/2], б) Пространство неполное, его пополнение изо-
метрпчпо полупрямой [0, +оо). в) Пространство полное. 6.6. в) Ес-
14*
211

ля р(х, у) = \\z— t/!l, то р(х, 0) = \\x\\. Рассмотрим элемент х —
= A, 1, 1, ...) е s. Тогда ||2х!1 =й= 2||г||, поэтому порму ввести нель-
нельзя, г) хп = A, 1, ..., 1, 0, 0 ..,). 6.7. Строгое заключение возможно,
п
например, в пространстве задачи 6.1. 6.9. Строгое включение
Sa{x)
возможно, если а < 2. 6.10. S1+1 Bn)
ГЛАВА 2
§ 7
7.2. Вообще говоря, нет. 7.4. Да. 7.12. а) — е) \\А[\ — 1. ж) ||Л|] =
•= 1/13.з) \\АА\ = 1. н) ||Л!| < 1. к) \\A\\ = 1. л) IL-HI < 2. м) |[Л||<
eg: 1. 7.13. Нет. Рассмотреть последовательность х„ (t) =¦ tn (n e N).
7.14. Да, \Ш sSl. 7.1э. а) ф @ е С[0,1], \\ А || = || ср ||с[м]. б) qi(()a
е С[0,1], || А [| = [] q: ||C|-fl, j-|. 7.18. Нет. Для построения примера
воспользоваться задачей 7.17. 7.20. б) Пет. Воспользоваться зада-
задачей 7.12 д). 7.21. Нет. Построить пример неограниченного операто-
оператора, для которого Y = R. 7.23. Нет. Воспользоваться задачей 7.13.
7.24. Так как N(A) — подпространство, рассмотрим факторпрост-
ранство X/N(A) и оператор я: X-*¦ Х/У(А) (см. задачу 7.7). Опе-
Оператор А определяет ваапмпо однозначный оператор А': XjN(A)-*-
-+R(A) такой, что А = Л'л. Так как А' взаимно однозначен п
R(А) конечномерно, то п Х/Х(А) конечномерно. Согласно задаче
7.19, оператор А' непрерывен, согласно задаче 7.7. оператор л непре-
непрерывен. Тем самым, непрерывен и оператор А. 7.25. Нет. Рассмот-
Рассмотреть оператор А: Е2-+Е2, А
у \
I 7.28. Тогда и только тогда,
когда ф(() не обращается в пучь на [я, Ь]. 7.29. а) Нет, так как
возможно, что Л'(Л) ф 0. Если Л'(Л) = 0, то пространство не обя-
обязано быть полным, так как оно плометрпчно R(A). б) Да. В этой
норме X является банаховым пространством. 7.30. б) sup|Xn|<
< + оо. в) sup I кп |<+ оо, || А || =sup [ %.п I. г) Нет. д) Тогда п только
п п
тогда, когда inf |X
8.3. Вообще говоря, нет. Пример построить для оператора А:
Ег-+Ег. 8Л. Вообще говоря, пет. Воспользоваться задачей 7.12 д).
8.5. Нет, -М может не быть даже линейным многообразием. 8.6. Да.
8.9. а), б). Да. 8.11. Вообще го,воря, нет. В пространстве h рассмот-
рассмотреть А — / — тождественному оператору, А„х— (хи х2, ..., arn_i,
пхп, 1п+1, ...) для х = (xi, хг, ...) е h, в качестве линейного мно-
многообразия рассмотреть множество элементов пространства к, у ко-
которых лишь конечное число координат отлично от нуля. 8.15. д)
С ростом п последовательность \\Ап\\ растет, но медленно: \\А$\\ =
= 2,07, 1И6|| ¦= 2.35, ||Л811 = 2,41, ||Лю11 = 2,57. Поэтому вывод об
ограниченности плп неограниченности последовательности ||Л„||
по полученным результатам сделат* труДпо. В [11] доказывается,
что последовательность ||Л„Н пеограпичена. 8.16. д) С ростом п
последовательность \\Ап\\ растет быстро: 1М3|| = 3,80, ЦЛ311 = 4,75,
242
n^an = 7,60, |M 10II = 9,50, поэтому правдоподобно (и это доказа-
доказано — см. [14]), что последовательность |[Л„|| неограннчена. 8.17.
Нет. Рассмотреть последовательность операторов А „: h~*-h,
для х = (ri, та, .,.) е U.. 8.19. Последовательность Ап сходится к
нулевому оператору равномерно, последовательность Вп — сильно.
8.20. Последовательность А „ сходится к оператору А равномерно.
8.21. Последовательности Л„ ий, сходятся к оператору А равно-
равномерно. 8.22. в) Нет. 8.28. а), б) Да. 8.31. е' = el. 8.33. Нет. Для
и е [0, 1] положить
1 при t ^ и,
0 при t > и
и воспользоваться задачами 7.12 з) п 1.77. 8.34. Пусть }еУ. Су-
Существует nsX такое, что ||Лг, — у\\ s? a'iyW, ll^ill < plltfll. Далее,
существует ^el такое, что \\Ах2 — (Ахг — у) \\ = \\А (xi — х2) —
" " "" " п т. д. В итоге получа-
ществует ^е ,
у\\ < a\\Axi — \j\\ sg аг||г/!|, ||z2[| < фуИ
ем последовательность ingl такую, что
и ряд xi — х% + х^ — Xi + ... сходится к некоторому г е I С дру-
)'1 х\^>-у при п -*¦ оо, и так как А —
той стороны, А ( ^ (— I)'1 х{
непрерывный оператор, то Ах = у. 8.35. Пусть х = и + v, и е L.
i> e il/. Положим ||a:||i = ||ui| + \\v\\ и дока/кем, что пространство X
полно относительно || L. Нормы |1 ||, и || IU эквивалентны (см.
[25], с. 168, теорема 3). Это п означает ограниченность операто-
оператора Р. 8.36. Пусть Р — ограниченный оператор, удовлетворяющий
условию Р2 = Р. Положить L = N (I — Р), М = N (Р) и доказать,
что X = L ф М. 8.37. Пусть Р ограничен и Р2 = Р. Установить, что
R(l — f) = jV(P) и R{P)=NA — P), и воспользоваться задачей
7.22. Обратно, если линейные многообразия R(P) и R(I — P) зам-
замкнуты, то доказать, что X = R(P) фЯ(/ — Р) и что Р — оператор
проектирования, после чего воспользоваться задачей 8.35. 8.38.
а) ||Л|| = HSII = 1. б) А1 = Л, В2 = В; являются. 8.39. ||РЦ = 1.
8.41. а) У- с Л'D). б) R(A) aL. в) L, L1- — инвариантные подпро-
подпространства для А, т. е. из х е L следует /liei, из ie/.1 сле-
следует iiei1. 8.42. Пусть L — замыкание L; тогда оператор А мо-
может быть продолжен на L с сохранением нормы по теореме 8.4.
Пусть Р — оператор ортогонального проектирования на L. Поло-
жим Вх = А (Рх) для ieff. Тогда В — продолжение А с сохра-
сохранением нормы. 8.43. Пусть Р — оператор проектирования на L па-
параллельно М. Оператор A ei?(X, Y) представим в виде А = РА +
+ (/ — Р)А. 8.44. Неверно. Пример привести для случая X—Y = EZ.
§ 9
9.3. Да. Доказать, что N{A) = N (В) = 0. 9.4. Пусть
A — АВ)-1 = С. Доказать, что (/ — ВА)~1 = 1 + ВСА. 9.5. Дока-
Доказать, что А~1 = — 1 — В. 9.8. Воспользоваться теоремой 9.1.
213

9 9. Оператор А'1 существует прп Х„ <Ф 0 п ограничен тогда п толь-
только тогда, когда inf | Хп | > 0. 9.10. Существуют операторы Af1 = В
п В~*=А. 0.13. a) R(A) —липейпое многообразно непрерывно диф-
дифференцируемых функций y(t), удовлетворяющих условию г/@)=0.
б) Оператор А'1 существует, но не ограничен. 9.14. б)
А~1У = У (D - J eT-fy (x) dr.
9.15. A~hj = y(t)-
e2-
9.16.6) A~*y = \ у (т) sin (f — t) dt.
о
9.17. Да. Из равенства Ах = у вывести, что у" — у = — 2ж.
^.19. Положить В = 1 — 4 п воспользоваться теоремой 9.3. 9.20.
Представить А — XI в виде А—XI = —ХA—Х~1А) и воспользо-
воспользоваться теоремой 9.3. 9.22. Если для nsN | А~г | < с, Апхп = у,
Ах = у, то ^xn-xl = lA-1An(xn-x)l^clAn(xn-x)l =
= с\Апх—Ах+ /х — Апхп^ = с\ Апх—Ai\\-*0. Обратно, если хп-*х
при п -*¦ оо, то последовательность хп = А~1у О1ранпчена для любо-
любого г/ е У, п в силу теоремы 8.2 последоватсльпость | Л1 ограниче-
ограничена. 9.23. Пусть оператор А непрерывно обратим. Найдется N такое,
чго прп п > N )\AnA-t — 1\\ = ||Л„4-' — АЛ~1\\ < \\А„ — А\\ X
X \\А~Щ < 1/2. Далее воспользоваться теоремой 9.4. Прп доказа-
доказательстве достаточности воспользоваться той же теоремой. 9.24.
Пусть АВ =. I, т. е. В^А'1. Если Л'(Л) ?= 0, то для ye=N(A)
положим С: 11-+П, Сх= (х, у)у. Тмда СфО п В + С<=2{11),
при этом А(В-\-С) = 1, что противоречит единственности опера-
оператора В,
§ 10
10.1. Доказать, что 4~1s5'(C[0, 1]) п воспользоваться тео-
ромои 10.2. 10.2. Найти оператор Л и воспользоваться теоремой
10.2. 10.3. Воспользоваться задачей 9.16 и теоремой 10.2. 10.4. Со-
Согласно теореме 10.3 достаточно доказать, что Р замкнут. Замкну-
Замкнутость Р вытекает из замкнутости L и М. 10.8. Нет. Подпространство
.icX+ Y элементов вида @, у), где у е Y, не является графиком
никакого оператора. 10.10. а) Нет. Воспользоваться примером из
задачи 102. б) Нет. Рассмотреть оператор А: С'[0, 1]->С[0, 1],
Ах — х. 10.12. Воспользоваться теоремой 9.1. 10.14. Воспользовать-
Воспользоваться теоремами 10.2 и 10.3. 10.15. Пусть оператор А замкнут и по-
последовательность gn фундаментальна в || Hi. Тогда gn-*-g в X а
Agn->-h в У, в силу замкнутости g^D(A) и Ag = k. Отсюда
Wgn —glli = llgn — g\lx + №gn — Ag\\Y ->0. Обратно, если D(A) —
банахово, gtli=D(A), gn-*g, Agn~>-h при га ->- оо, и так как gn
фундаментальна в || Hi, то существует f^D{A) такое, что
214
ц?п_/11,-^-0 прп л-*°°. Так как ||?„ — /II < \\gn — /IIi, то ?„-»-/
в норме X, спедователыю, д = f и \\Адп —Ад\\-у0 при п->-оо. От-
Отсюда h — Aj — Ад.
ГЛ ABA 3
д)
11.1. Если существует ieX такое, что (х, /> = X Ф 0, то
п
> /> = 1. Ц.З. а) ||/|г=2/3 б) 11/11=4 в)!|'[|=2'1ай|. г) ll/il = 2/8-
fe=i
H/li = 1. е) 11/11 = 3. ж) 11/11 = 2. з) 11/11 = 3+2 2Щ- 11А а)'
= OЩ.
б), в) Да. 115. а) 11/11 = 1. б) 11/11 = 1/2. в) ||/|| = 1. г)
Д) 11/11 =I е) |1/|| =>Т. ж) 11/11=1/ 2 TT = W 3)' И) Л/11 =
= 1. к), л) 11/11 = 2. м) ||/,| = 1. 11.6. а) При /) 5г 1. б) При р >
> 2. 11.7. а) Да, 11/11 = \. б) Нет. Рассмотреть последовательность
.xn(t) = sin nti'n. 11.8. б) Положим
Ь t
с = - 1 ¦ a (t) at, x(t)=-\ [и (т) - с] <*т;
i — a J J
а О
тогда i(l)eii г'(') = "@ — е> следовательно,
ь
Г и (г) (и @ — с) rfi =0,
а
откуда
ь ь ь
Г [и (г) _ с]2 ^г = Г и (г) (и (t) -с) at-с (и (t) -c)dt = 0,
п так как и (О — с - непрерывная па [а, Ь] функция, то u{t) = с.
в) Интегрируя по частям, с учетом того, что i(!)eI, получаем
ь ъ/t \
[v(t)x{t)at = -\\y (т) а% х' (г) di.
Поэтому
Согласно пункту б) отсюда вытекает, что w
ь Г ' 1
IV a J
(t) - j V (Т) ¦
== Г,
а это и означает, что ЮA)еС'[», Ь] и и'@ = i@- И-9- Восполь-
215

аоваться задачей 11.3 ж). 11.10. Воспользоваться задачами И.5 и),
л). 11.11. 11/11 = 1/B/). 11.12. При дока.)л<\-1ьстве достаточности вос-
воспользоваться тем фактом, что венков открытое множество на пря-
прямой есть объединение конечного или счетного числа интервалов и
задачей 1.85 б). 11.13. Если / ко ограничен, то он не ограничен на
шаре 5i@), поэтому существует последовательность хп s X та-
такая, что \\хп\\ ^ 1 и |<х„, /> | > п. Рассмотреть последователь-
последовательность а„ = хп1)п. 11.15. При доказательстве достаточности вос-
воспользоваться задачей 11.11. 11.16. Пусть х е X — таково, что
<х, /> = с ф 0; тогда (х/с, /> = 1 и хо = х/с есть базис М.
11.18. Если хф. L, то L+{).х\, где J.eR, —подпространство,
содержащее L, поэтому L + {кх} = X. Определим па X функци-
функционал / равенством (у, /> = X, если у = и -f Хх, где ust.
11.21. Воспользоваться задачами' 11.14, 11.15 и 11.20. 11.22. При
x<=L \{х, /У| = 1 ^ IMIi/ll, откуда inf ||х|| ^ 1/Ц/Ц. С другой сто-
роны, существует последоватсльпость 1„е! такая, что ||яп[| —1
^ „ = (x-fjy' TO^SL « \\Уп\\<
"
«+11
l
1 l
;77Т- поэтому inf j] x ||< уу-р. ц 23. Если i/e-I, то
" II'II xfSL II'II
— г/, />|<||* — г/1-1|/1|, но <г— (/,/> = <х,/>, поэтому || г —
/И>—iiTii—» и, следовательно, р (х, L) = inf I] x — у|| >
II/ И sL
^ |<д,/>| _
^—ijyij—. С другой стороны, существует последовательность
п
хп<=Х такая, что |яп|| = 1 и | (хп, /) | > ^-т~\ УI Положим
— i/ I
11.24. Воспользоваться предыдущей задачей.
§ 12
12.3—12.5. Воспользоваться следствием 1 теоремы 42.1. 12.8. Вос-
Воспользоваться следствием 2 теоремы 12.1. 12.9. В А существует ко-
конечномерное подпространство L любой размерности; тогда раз-
размерность L* равна размерности L. Заданный па L непрерывный
линейный функционал продолжается па все X. 12.10. б) Ортого-
Ортогональное дополнение к АЛ в) Воспользоваться следствием 2 тео-
теоремы 12.1. 12.13. Пусть /i, /2, ... с А* — всюду плотное множество.
Для каждого /А выберем хк еХ такое, что ||хЛ1| = 1и |(хц,/*>| ^
5= II/*,1/2. Множество & всех линейных комбинаций хк с рацио-
рациональными коэффициентами счетно. Если К ф X, то но следствию 2
теоремы 12.1 найдется / е А* такое, что /^0 и <х, /> = 0 для
любого х из К, в частности, (хк, /> = 0 для к s= N. Найдется т s
eN такое, что ||/-/nl|J<e. Тогда |<*m./-/т> | = |<*?„,/т)|>
|| / 11 II / II ll / II
> \\_rnl = |_т? )( ^ |[; отсюда ^ ; _ ^^ |, ^ L|i , || fm л < -2е П] сде.
довательно, ||/|| е^ 11/Л + II/ — /«.II < Зе. Таким образом, / = 0 —
противоречие. Обратное утверждение, как это следует пз задача
216
12,24, неверно. 12.14. Если
1
<х, /> = J x(t) g(t) dt,
-1
•го поюжпм x(t) = t2g(t). Функция
ГО при
g^' = (l при t>0
имеет ограниченную на [—1, 1] вариацию п j-довлетворяет условию
1
х@)= j x(t)dg(t).
12.15. б)
-1
0 при t = —
:2/2 при — 1 < t <
1 при * = 1.
12.16. б). 1) Однозначно, <т, /> = хA). 2) Неоднозначно, продол-
продолжения <х, /i>=x@) и <х, /2> =•—хA) совпадают с / на L.
12.17. Если г
?2, то продолжение есть <х,/>=-^-г1 +-^х2.
12.20. Убедиться, что в лемме об элементарном продолжении ([25]_,
§ 16.1) а = р\ так что ч определено однозначно. 12.25. ||/||=]2.
12.26. Да. ~*
1
[х cos t — x' sin t] it
-1
(t-f (f) dt
=1/2И art
Из условия <х, /> = (x, у) вытекает, что функция y(t) является
решением краевой задачи у" — у = 0, у'A) = sin 1, у (—У) —
sin 1
sin (—1), откуда у (t) = ^j ch «.
§ 13
13.3. а) (х„, уп) -> (х, у) при н->-оо. б) (х„, у,,) может и не
иметь предела. Пусть, например, еп (п е N) — ортонормированная
система в //. Положим гп = е„,
С*п при п печетаом,
Iе"п-1 ПРП " четноы-
217

13.7. Нет. Пусть, например, X = U; согласно задаче 12.24, X* = т.
Положим /п=/1, 1> ...Л,0,0, ... \ . Тогда ic с0 с: т, но для любо-
I ' п ' J
п оо
го ieli <z, /n) = ^ xi' следовательно, ^ г{ = (г, /Q), где /0 =
i=i
i=l
= A, 1, ..., 1, ...) ?с0. 13.8. Нет. Найти ||/„||. 13.9. а) ||/|| = 1.
в) Нет, это вытекает из пункта а). 13.12. Положим для ngN
*п @ =
l~?
при
ПРП
1 . _L
l
Тогда г,еС[0, 1], ||г„|| == 1 п, следовательно, хп не сходится к
нулю. В то же время г„->-0 (н-»-оо) слабо. Действительно,
K-v/>|=
п @ <** (О
f '„ @ ^ @
1 2"
V
'2п
ПрП п_>оо д in любой функции g(t) с огранпченпой на [0. 1] ва-
вариацией. 13.13. Надо доказать, что в пространстве Z, из слабой сходи-
сходимости следует сходимость по норме, причем эго достаточно доказать
для сходимости к нулю. Пусть r("'e/i, .г<">-^0 (в-*-с») слабо,
000m = l1' и <z, /4) = х{ — соответ-
ствующпй функционал в lt; тогда \^"', /,) = i*-"' и, следовательно,
для любого i при /г-»- со i'"U0. Пусть г<") не стремится к нулю,
lnk)
тогда найдется подпоследовательность хх такая, что для всех
"° \
к <= N будем иметь || ^"'^ | > M > 0. Тогда | х^Щ =
' cc
и найдется m, такое, что V1
4
("a )
По.1ои;им ai = 1. Так как.г> lf
i=m1+l
любого t, то
>М
л/
<Го-
Ц К
и найдется
218
>
такое, что
I (п«2)
I1
^ I (
2j I1;
<Jq, откуда
9
и найдется m2 > ml такое, что
t=m2+l
лжая этот про-
песс почучим последовательность i' ^"^ и соответствующую по-
последовательность тх<гп2<... такие, что для любого к
mh-l
iO"' . >-<
l=mb
Определим теперь с = (си сг, .. ¦) s m следующим образом: для
каждого / найдем такое к, чтобы выполнялись неравенства тцй
(па л
«?Г f ^ mt, и положим Cj = 1, если a;N я; ^ 0 и с; = —1, если
а;\ k> < 0. Тогда для соответствующего функционала <х, /> =
t=i
будем иметь
/
/ х
:;х; >
t=i
> 2
I- s
Л/ Л/ . 4 .. Л/ 3
\
/у
п \^гу fi/, /у не стремится к нулю при fc-*oo. 13.10. Если / = 0,
то можно взять любое х. Пусть / # 0. Согласно следствию 1 теоре-
теоремы 12.1 найдется F <= X** такое, что НЛ1 = 1/llfll и </, F> = 1 =
= llfll'll/tl- Так как X рефлексивно, то (g, F>, где jeX*, имеет
вид <х, ?>, где Ы\ = (If II = 1/II/II Ф 0. Таким образом, </, F> =
= <г, /> = 11/11-IIFH = 11/Ц -IIг||. 13.21. б) Ортонормировавная систе-
система в гильбертовом пространстве. 13.22, 13.23. Воспользоваться тео-
теоремой 13.5. 13.24. Нет. Рассмотреть последовательность х„(?) = f
(neN). 13.25. Пусть ei, ег, ... — счетное всюду плотное в X мно-
множество (можно считать, что его элементы линейно независимы),
Ln — подпространство X, порожденное а, е2, ..., е„, п, г2, ..., г„ —
рациональные числа. Набору (п, гь г2, ..., гя) поставим в соответ-
соответствие следующий функционал: на Ln определим его значениями
на элементах базиса <е,, /> = г,, а затем продолжим на X с со-
сохранением нормы. Ясно, что множество таких функционалов счет-
219

но. Остается доказать, что оно всюду плотпо в X* в смысле «-сла-
«-слабой сходимости. 13.26. Нет. В качестве /, взять пространство
С [0, 1] как подпространство пространства X*, где X = С [О, 1] *.
§ 14
14.4. Тан как отображение линейно, достаточно доказать его
непрерывность в точке 0. 14.6. г) Воспользоваться задачей 7.11,
14.9. а) А*у = ( у (т) dx; б) А*у = ty («);
i
i
i i
в) А*у = f ty{t) dt; г) А*у = \ ty (s) da.
о о
14.10. a) A*: m ->- m, A*x = (xu x2, ..., xn, 0, 0, ...).
б) A*: m.-+m, A*x = (}.ixi, Я2х2, ...).
в) A*: m -*¦ m, A*x = (x2, zj, ...).
г) A*: m ->- от, A*x = @, xi, x2, ...).
14.11. Формулы те же, что и в задаче 14.10, но операторы
действуют в случае а) из /, в /,, б) — пз 1г в 1г, в) — из
h в т. 14.12. б)А*п:12-+12, Л*х = (ОДК^О, *r Zj, ... ). Так как
п
|| то Л* не стремится к нулю при п -»• оо сильно. 14.13.
/*: 1г-*12, ]*х = х. 14.14. A*: H-+I1, Л*х = (x,z)y. 14.15. Пусть су-
существует последовательность Д s Я такая, что ||Д|| = 1и|ЦД|| >
> А:. Положим <g, ф„> =(г,-4/*); тогда фй — линейные функциона-
функционалы в/?, причем (g, фй) = (Bg,fk), откуда последовательность (g,
фй) ограничена при любом g e Я. По теореме 8.2 последовательность
IIср*. 11 = \\AjkW ограничена — противоречие. 14.17. в) D(А*) = D(A),
А*х = (и, 2г2, 3x3, ...). 14.18. в) Л*: 1
||л*л;|= \
п=1
Э. в)
/2, D (А*) =
(
(
= |г (t) ei[0, 1]:
{
г
¦ линейное мно-
многообразие функций на [0, 1], принадлежащих Я1 [0, 1]
A*x(t) = dx/dt. 14.21. D(A*) —ортогональное дополнение к функ-
функции x(t) = t, Л*х = 0 для хе?>(Л*). 14.22. /*; Lt[0, 1]->¦//'[О, 1],
J*y = j G (s, t) у (s) da, где
о
G (s, t) = ;
при
при
220
Для z = 7*i/ решить краевую задачу — z" + z = у, z'@) = z'(i) = 0.
14.23. 4*; Li [0, 1] ->//' [0, 1],
t i
^*i/ = j i/ (") cli (« - 0 ds 4 ^-j l у (,) sh (s - 1) da.
0 . 0
Для z = A*y решить краевую задачу z" — z = у', z'@) = y(Q),
ГЛАВА 4
§ 15
_15.8. Пусть ai, a2, ..., an — е/3-сеть для М. Положим Fk =
t= St/-i(ai,) (] M. 15.10. Воспользоваться задачей 1.87 и теоремой 15.1.
15.12. Если А бикомпактно, а В замкнуто, то таких точек может
и не найтись,— воспользоваться задачей 1.81. 15.14. Пусть М — би-
бикомпактное множество, / : М ->- М—изометрпя, f(M) Ф Д/, ха е
e.V, Xa<?f(M), in = /(!„-,) (resN). Тогда xns/(M) для
n~^i, при этом множество /('!/) замкнуто, а множество Л =
= Д/\/(У1/) открыто, поэтому при некотором е>0 Se(za)gLM.
С другой стороны, из бикомпактности М следует, что найдутся но-
номера к, I такие, что к <1 и \\xk — z,|| < е.. Тогда ||х0 — хк-Л < 8
и x/i_i e S?(zo)—противоречие. 15.15. Рассмотреть па плоскости
множество А = (cos n}'2rt, sin яУ2и) (га е N) и поворот этого мно-
множества вокруг начала координат на угол 1'2. 15.16. Достаточно до-
доказать, что отображение Ф изометричпо; то, что оно является ото-
отображением «на», вытекает из задачи 15.14. Пусть для каждого до-
достаточно малого е > 0 существует е-сеть Л/е множества М такая,
что Ф(МС) также является е-сетыо и для любых хь х2 е Мг
\\х\ — хг\\ = ЦФ(х1) — Ф(х2)||. Отсюда вытекает, что отображение
Ф изометрично. В самом деле, если я, be 31, то най-
найдутся хи х2 s Ме такие, что Н-г, — а\\ < е, ||х2 — Ь\\ < е, ||Ф(г,) —
-Ф(я)[| <е. ||ФЫ-Ф(ЬI| <е. Тогда
|||Ы|||Ф()Ф(Ь)|||
< ЩП + Illxi-bll-IIXi-x^lH +
-Ф(х2)|| - ||Ф(хО - Ф(Ь)||| + ЩФ(г,) - ФF)|| ()
— Ф(Ь)||| <4е.
Пусть .*»/„ — такое множество, состоящее из п точек М, что ве-
величина d — min Vix. — xA, t?=j, максимальна. Если таких
множеств несколько, то выберем из них то, для которого
максимально. Тогда Мп отображается на Ф(Д/„) изометричпо. Су-
Существование Л/п вытекает из бикомпактное™ М.
Пусть е>0 произвольно, Лс/2—s/2-сеть для М, содержащая
к элементов. Тогда d^ + i < е. Пусть I — наименьшее натуральное
такое, что d, < е. Тогда -Mi-, — искомая е-сеть. 15.18. Положить
Ап = Mi П Mi П ¦.. П Л/п и воспользоваться задачей 15.17. 15.20.
221

г) Нет. 15.23. Пусть Л? —не бпкомпактпо, хп^М (s e N) п но
имеет продельных точек, причем элементы х„ по повторяются,
rn= -г- inf Iх > — хт\[ Определим /: М ->¦ R, f(x) =0 для ie.1/,
о пфт "
x<?Sr (хп) п в случае а) /(*) = пA — ||г — гп||/г„), а в случае
б) /(г) = A — 1/л) A — \\х— х„\\1т„). Убедиться, что в обоих слу-
случаях j(x) непрерывна на М, но в а) по ограничена, а в б) не до-
достигает точной верхней грани. 15.24. Нет. Рассмотреть в R множе-
множество натуральных чисел и определенную на нем числовую функ-
функцию. 15.26. Воспользоваться задачами 1.85 а) и 15.25. 15.27. Нет.
Рассмотреть случай Л" = R, Y = R, М = (—я/2, я/2), f(x) = tg х.
15.29. Да, это связано с бикомпактностью отрезка. 15.37. Нет, так
как оно не замкнуто. 15.39. Воспользоваться задачами 15.38 и 15.10.
15.40. Воспользоваться задачей 1.40 а) или 15.38. 15.41. Шар Si@)
не является бикомпактным множеством. Рассмотреть функцию
' x(t) = \t — 1/2| и существующую в силу теоремы Вейерштрасса
последовательность многочленов Pn(t), равномерно на [0, 1] схо-
сходящуюся к x{t). 15.43. Пусть
2nt при is [0,1/2"], '
l прн*е<1/2М1, *»«
о
Тогда уп компактна в С [0, 1], но не имеет предельпых точек в
С1 [0, 1]. 15.44. а) Нет. б) Нет. в) Да. г) Нет. д) Да. е) Нет. ж) Да.
15.45. Будет, только если cp(i) =0. 15.46. Если бы компактное мно-
множество М не было нигде не плотным, то его замыкание содержа-
содержало бы некоторый шар, что противоречит теореме 15.4. 15.47. До-
Доказательство — индукцией по к. 15.51. а) Тогда и только тогда,
оо
когда 2 ^2
Тогда и только тогда, когда >.„-»-0 при п
711
-> оо. 15.52. Если L — подпространство С [а, Ь], состоящее из не-
непрерывно дифференцируемых функций, и хп е L, хп-+х0 по нор-
норме С1 [а, Ь], то хп -*¦ ха и по норме С [а, Ь], следовательно, х0 е L.
Таким образом, на L можно ввести две нормы и получить два ба-
банаховых пространства LC [а, Ь] и LC [а, Ь]. Тождественный опе-
оператор У: LC' [я, Ь] -*¦ LC [a, b], lx = x линеен и непрерывен. Поэ-
Поэтому оператор У непрерывен, обе нормы на L эквивалентны, еди-
единичный шар в LC [a, b] ограничен по норме LC1 [a, b] и, следова-
следовательно, компактен. По теореме 15.4 подпространство L конечно-
конечномерно. 15.55. Воспользоваться теоремой 15.6 и задачей 13.23. 15.57,
Рассмотреть последовательность хп (t) = t" (n t= N).
§ 16
16.1. а) Нет. Рассмотреть Ах„, где х„ = t" (neN). б) Да.
в) Да. г) Да. д) Нет. 16.2. Нет. Рассмотреть АхП1 где хп = t2n.
16.3. Только при срB)=0. 16.4. Воспользоваться теоремой 16.2.
16.5. а) Нет. Рассмотреть Ахп, где х„ = t"ln (beN). б) Нет._Рас-
смотреть Ахп, где хп = tn + 4(n(n + I)) (neN). в) Да. Шар 5,@)
пространства С2 [0, 1] оператор А переводит в множество М, ле-
лежащее в шаре S = Si@) пространства С [0, 1], а всякое подмно-
подмножество S компактно в С [0, 1]. 16.8. а) Нет. б) Да. Воспользовать-
Воспользоваться задачей 15.50. в) Да. Воспользоваться теоремой 16.3. 16.10. Нет.
222
16.12.
у =\G(s,t)y (t) dt,®{A-i)=C[O,i],
fs(t — 1) при 0< s< г<1,
где G(s, t) = |f (s_1} при 0<t<s<l.
16.15. Только если X конечномерно. 16.16. а) Да. б) Нет. В этом
случае А может не быть непрерывным, в) Да. 16.17. Нет. Рассмот-
Рассмотреть последовательность операторов Рп: h-*-h, PnX = (xi, хг, ...
..., хп,0, 0, ...) для х= {xh хг, ...) е!2. 16.18. Рассмотреть по-
последовательность операторов Ап = АРп, где Рп — оператор из пре-
предыдущей задачи. 16.19. Пусть для х = (хи хг, .. ¦) е h Ax =
= (j/i. !/2, ...). Рассмотреть последовательность Апх = (г/i, уг, ...
..., уп, 0, 0, ...). 16.20. Пусть М cz H — ограниченное множество;
так как оно слабо компактно, то в нем найдется слабо фундамен-
фундаментальная последовательность /„ (neN). Тогда \А (/n — /m)|,2-=
Так
k=l
оо
как \k ->• 0, то при достаточно большом г будет Лг < е2 ^j | (fn~
fc=r + l
-/m, гй) |2 < е2 I/n — /m||2. Фиксировав г, в силу слабой сходи-
сходимости последовательности /„ выберем такое Л', чтобы при п, m >
> Л' каждое слагаемое в Sr не превышало бы ?2/г; тогда Sr < е ,
A(fn— /m)f< се2 и А вполне непрерывен. 16.21. Если Кп не стре-
стрето найдется подпоследовательность \
мится к нулю при п
такая, что для всех
то найдется подпоследовательность
к е N будет
I > М > 0. Положить
е _ (о, 0, ... ,0, 1,0, 0,...) и доказать, что множество Aek не-
компактно. 16.22. Определим последовательность операторов Вп:
Н-+ Н равенствами
Ае„
N,
при т <: п, л
\0 при m > 0.
Доказать, что Вл — вполне непрерывные операторы и что
11/2
прИ п-»¦ оо. 16.23. Пусть г„ е Н — ограниченная последователь-
последовательность; тогда.4*Axllh сходится, но | Лх,^—Аг)ч|2 < 2|| х)г|| .4*/Ц^—
— А*Ахп . | ->• 0 при nk, п,-*<х>. 16.24. Если А вполне непрерывеп,
то по теореме 16.3 оператор АА* вполне непрерывен, по А =
= (А*)*, поэтому (А*)*А* вполне непрерывен, согласно задаче
16 23 Л*'вполпе непрерывен. 16.25. Воспользоваться теоремой 10.10
н'теоремой 9.1. 1G.26. R (А) =- U A [Sn@)\. 16.27. Воспользоваться
и
теоремой lfi.4. 16.28. в) => б) совпадает с теоремой 16.4. б) =>¦ а)
очевидно. Докажем а) =*- б), Пусть хп-*х (п->оо), слабо, тогда
223

Ах. при п -»¦ со слабо, поэтому
(Л*п, j/u) = {Ахп, Ахп) = ||Л*„||2-> (Лг, у) = М*1Р.
Такпм образом, Ахп-*Ах (п->оо) слабо п ||Лг„|| ->• [|Лз-[|. Соглас-
Согласно задаче 13.4, Ахп->-Ах. 16.29. а) =>¦ б) Ае.9?(Х, Y) и если
Хп^-х (я->-со) слабо, то для f e= Y* Л*/еХ* и <г„, Л*/> =
•= (Ах„, /) ->- {Ах, />, поттому Лгп->у1г (га->оо) слабо, б) =>¦
в) Всякая сходящаяся последовательность является слабо сходя-
сходящейся, в) =*¦ а) Пусть а) неверно; тогда существует последова-
последовательность хп е X, такая, что хп-+0, по Ах„ отделена от нуля
при л-voo. Можно считать, что при всех п хп ф 0. Положим а„ =
«= Ди/УН-г-пII; тогда ||а„]| = ] ||гл|| иа,-+0 при п-»-оо, но Ла„ =
Axn
веогранпчена и, следовательно, не является слабо
) 1630
fl р
сходящейся, что противоречит в). 16.30. Воспользоваться теоре-
теоремой 15.6. 16.31. Воспользоваться задачей 13.13. 16.32. Если А впол-
вполне непрерывен, то утверждение вытекает из теорем 16.5 и 16.4.
Обратно, если У сепарабельно, то всякое ограниченное множество
в Y* слабо компактно ([25], стр. 211), поэтому А*, а следователь-
следовательно и А, вполне непрерывен. 16.33. а) Воспользоваться тем, что М
слабо компактно и слабо замкнуто, б) Воспользоваться тем, что
множество А (М) бикомпактно.
16.35. а) Нет. Рассмотреть оператор А: С [—1, 1]-*-С [—1, 1],
Ax(t)-
Тогда xa(t) = |М ? Л E,@)), по хп @ = ) t- + I/»2 <= А E, @)) и
при п -> оо xn(t) -+xo(t). б) Да. 16.36. Множество Л E,@)) би-
бикомпактно согласно задаче 16 34; поэтому в нем существует элемент
с наибольшей нормой. 16.37. а) Нет. б) Да. 16.38. Воспользоваться
теоремой J6.9. 16.39. а), б) Только если X конечномерно, в) Да.
16.40. Нет. 16.41. Только если X копечпомерно. 16.42. Нет. -В про-
пространстве С [0, я] рассмотрим оператор Ax(t) =x(«)sini; тогда
уравнение г — Аг = 0 имеет только нулевое решение, но уравне-
ппе x(t)(i—sin t) = y(t) не имеет решения при y(t) еэ 1. 16.44.
Применяя к обеим частям уравпения (В — А)х = у оператор В"'1,
получаем уравнение I — В~'Ах = В~1у, где В~'А е о(Х). 16.45.
а) Уравнение х — Ах = 0 имеет только нулевое решение.
б) (/ - А) -1 у (?) = у @ + е* j у (т) «-т rfT.
16.48. а) Предположим, что последовательность Л (Л*) строго
убывает. По лемме о почти перпендикуляре ([25], стр. 35) для
любого JN найдется R(Ak) акое чо lk|| l \] \\^
у
любого
рдур
найдется xk^R(Ak) такое, что
б ЙA'+') В
([] р )
) ft|| = l и \]хк— z\\^
2 1/2 для любого 2 6Й(.1'+'). Тогда Ва-д = Ахк — хк обладает
тем свойством, что \\Bxi, — BxiW ^ 1/2 при к < I, а оператор В
вполне непрерывен — противоречие, б) Воспользоваться теорема-
теоремами 16.3, 10.7 и теоремой 1 с. 220 в [25]. в) Воспользоваться зада-
задачей 4.49 б) и теоремой 9.2. 16.49. а), б) Пусть е%, /— базисы в //,
2
234
Тогда
S [ КII2 =
К',) I2 =
if - S SI (е>>
I2 =
в) Пусть х ев Н, \\x\\ = 1; тогда х — 2 ад, где
!¦ Но
2
i
Таким образом, \\Ax\\ sg [|Л||2 для любого iefl такого, что IUII =1.
ж) Пусть последовательность Л„ фундаментальна по II -h, тогда
она фундаментальна и по обычной норме и, следовательно, Лп -*-В.
При этом существует М такое, что НЛЛг-СД/ для всех п е N.
Так как для любого / Anet-* Be,, то для любого п существует т
п п
такое, что
Bej f < *• Отсюда
Be- f
1 + М и В -
ji ii
оператор Гильберта — Шмидта. Остается доказать, что Ап-*-В
в смысле 1Н1г. з) Аналогично задаче 16.22. и) Воспользоваться не-
00
равенством Бесселя в пространстве L2 [0, 1] X [0, 1]. л) 2 >.?< °°-
_ n=i
м) Оператор предыдущей задачи с Хп = 1/У"- 16.50. а) Воспользо-
Воспользоваться задачей 16.49 к), б) Если Л = ВС, то AD = В {CD) и DA =
=. (ЛВ)С. в) Л* = С*В*, а С*, В* —операторы Гильберта — Шмид-
Шмидта по задаче 16.49 б), г) \(Аеп,еп)\ = \{ВСеп,еп)\ = \{Сеп,В*еп)\^
<? 1/2{||Се„1!2 + ||В*е„||2}. 16.51. Оператор Л: 1г-+1г, Ах «= (A,x,,
A2i2, • ¦ •) для г = (zi, г-2, ...jsIjcL = 1/и является оператором
Гильберта — Шмидта в силу задачи 16.49 л), но не является ядер-
ядерным в силу задачи 16.50 г).
§ 17
17.1. (у, t> = (Ах, ф> = (х, Л*г|;> = 0. 17.2. Если уеД(Л),
то (у, г()> = 0 по предыдущей задаче. 17.3. Пусть г/<=Д(Л); тогда
существует последовательность jnei?(i), такая, что Уп-^у при
n-j-oo. Но <г/п, г|)> = 0 и по непрерывности i|) при п-»-оо такя;е
<;^1 г|'> = 0. 17.7. Определение нормальной разрешимости Л мож-
можно записать в виде Д(Л) =-"-^(.4*). Далее воспользоваться зада-
задачей 17.5. 17.10. Воспользоваться тем, что число нулей Л равно
к —г, а его дефектное число равно т — г, где г — ранг матри-
матрицы Л. 17.14. б) %{А) = -1, %{А*) = 1. в) х(Л") = -/с, ХD*й) *=*.
17Л7. Нет. 17,19. Нет, ибо
1
А"г @ *= [ z (*) cfe,
откуда .^(Л*) = {0}. Из нормальной разрешимости А следовало
15 в. А. Треногий и др, 225

бы (задача 17.8), что R(A) = Y. Это пе так: функции из Я (Л) не-
непрерывны п равны 0 при t = 0. 17.20. Если уп = Ахп, где х„ <s
<=D(A) и Уп^-Уа (га->-°°), то \\хп — х,|| <g т-Ц\уп — i/,|| ->-0
(я, i-i-oc). Но тогда из-за полноты X существует ха е X такое,
что хп-*-х0 при п -*¦ сю. Вследствие замкнутости Л iiEfl(<)) и
[/о = Лх0, т. е. !/ое/?(Л). Значит, R(A) замкнута. 17.21. Восполь-
Воспользоваться следствием 2 теоремы 12.1. Возьмем tpi и через L\ обозна-
обозначим линейную оболочку элементов срг, ..., <рп. Найдем fi такое, чю
<Ф1, 4i> = 1, (х, ft) =0 па L\. Аналогично найдем Чг, •. ¦, *f»-
17.23. Пусть г/1, ..., уп линейно независимы и их линейная оболоч-
оболочка имеет нулевое пересечение с ?. По задаче 17.21 существуют
функционалы ft, ..., /„, ft е Ух. 17.24. При п = 1 утверждение
очевидно. Пусть оно верно для i|)i, ...,^n_j и {^;}"=1И (г{}"=|
биортогональны. Для1"любого ieX рассмотрим элемент у = х —
— ^ (х-
и заметим, что (у,
0 (! = 1, ..., п — 1). Ни
(У, фп> =0 невозможно для igX, иначе система {^^"—j была
бы линейно зависима. Значит, найдется хп е X такая, что <х„,
\|)„) ф 0. Другое решение следует из задачи 17.23. Разложим v|i;
по базису|/Д"=1и будем искать Zk в виде разложения по базису
(уЛ?=1' требуя биортогональности систем |zftj™=1 и |if;J"=1. Ес-
Если первое разложение задается матрицей Т, то второе, как нетруд-
нетрудно проверить,— матрицей (Т')~л.
и
17.25. (Кх, /> = 2 <*. Yi) <*г />
где |, =
Если Ах = 0, то Лх = — Кх, т.е. Ах = — 2 I
1=1
(I — 1, ..., п). Но <Лх, i|>j> = 0 = — gj, откуда Лх = 0, т. е.
п
х = 2 с'гЧ5! п 0 = ?< = (х, Т') == a'i т- е- х = О- Аналогично
Л'(А*) = {0}. 17.27. Для любого у е У найдется 1бЛ такое, что
п
Ах = у. Можно взять х = х + 2 (<</> ^;> — ^ . Yi>) Фг гДе ^ ""
г=1
гг
решение уравнения Лх= г/— 2 ^'^гJ!- 17.28. Следствие задач
17.26 и 17.27. 17.30. А = А — К, т. е. В = Л, Р = —X. 17.31. С = Л7
Г = —К, так как конечномерный оператор является вполне непре-
непрерывным (см. задачу 16.166)). 17.32. Воспользоваться равенством
Л = С[1 + С-1Т]. 17.33. Следствие задач 17.30—17.32. ПМ. Система
(y^i\—\ линейно независима. Выберем в У* систему {^}"=1 биор-
тогснальнок {г/j}"—jH ортогонально к R(A). Тогда {^j}"=1C Л' (А*),
откуда dim Л'(Л*) 5= л. Если 1|)ё^И'), то положим
п
\)з = 2 <!/j' г15)г1'«+/. Теперь для любого у е У будет <i/, /> = 0,
откуда / = 0, т. е. dim Л'(Л*) = п. 17.35. а) Из определения не-
неотрицательного оператора вытекает, что (r2AA*xt х) ^ | (х, у)\2.
226
Если .г е=М(Л*), то (х, i/) = 0, п тогда y<=R(A). б) (ЛЛ*)* =
-— АЛ*, и если ЛЛ*х = 0, toie Л'(Л*) и (х, у) = 0.
ГЛАВА 5
§ 18
18.1. U>0. 18.7. (Ла, у) = -^-{(Л (^
~ У) +  ((^ (г + гг/)' г + fj/) "" (^ (r ""
— 1У) )¦ Меняя здесь
местами х и г/, получаем, что {Ах, у) = (Лу, х) =^ (г, Лу). 18.8. Во-
Вообще говоря, нет. Рассмотреть оператор Л: I2-+I2, Ax = {ц, хг/2,
x-J3, ...) для х = (xi, хг, ...) <= h. 18.9. Если [Ах, х) = 0 для лю-
любого 1еЯ, то для любого he.Il (A(x + h), г-f/i) = (Ля, Л)+
+ (Ah, x) ¦= 0. Полагая А' = (А, получаем (Лх, /i')+ (Ah',x)= Оили
— (Лх, А) + (Ah, х) = 0, поэтому (Ах, h) ¦= 0, Лх ¦= 0 и Л = 0.
В вещественном пространстве утверждение неверно — рассмотреть
в пространстве Е2 оператор поворота на угол я/2. 18.10. Утвержде-
Утверждение справедливо для любого ограниченного линейного оператора.
18.11. а) Нет. Привести пример в Ег. б) Да. Замкнутость N выте-
вытекает из задачи 18.10. Ясно, что из х е N следует Ях е N для лю-
любого X <= С. Пусть х, г/ s Л'; тогда (Л (х + #), х + {/) = (Ля, j/J +
+ (Л у, х) = 2Re (ЛI, г/) > 0. С другой стороны, (Л (х — ;/). х — у) =
= —2Re(Ax,y)-$z0. Поэтому Ев(Ах,у)=0, (А (х + у), х + у)= Ои
x + i/sN. 18.12. б) ^«=-|"D + л*)' Ле = ^(Л-Л*). 18.13. Да.
Рассмотреть оператор задачи 18.8.18.14. Воспользоваться задачей 14,7
в). 18.15. Для самосопряженного оператора Л2 воспользоваться за-
задачей 18.6 а). 18.18. Если Апх = 0, то 0 ¦= (Апх, Л"х) <=* (Ап~1х,
Л"-'х) = ИЛ"-1!!!2, следовательно, Л"~'х = 0. 18.19. б) Доказать,
чго последовательность ап не убывает и ограничена сверху.
18Ж б) •*¦_ в) Пусть х <#> 0, ^Лх, х) = 0. Тогда (Лх, х) = (fAx,
}Ах) = [|УЛх||2 = 0, откуда УЛх = 0 и Ах = 0, N(A) Ф 0. 18.21.
в) =»- а) Рх — Р2х = 0, следовательно, (I-P)x^N(P) для любо-
любого х s //, поэтому (Рх, у) «= (Рх, Pj/ + (/ — Р) у) =¦ (Рх, Ру) для
любых х, j/ в Я или (Рх, у) = (Рх, Pj/) == (x, Pjr). г) => а) ||Рх||2 =
= (Рх, х) = (х, Р*х), и так как левая часть вещественна, ^то
(х, Р*х) «= (Р*х, х). Таким образом, (Рх, х) = (Р*х, х) для любого
icSjb силу задачи 18.9 Р = Р*. 18.24. ((С* АС — С*ВС)х, х) =
= ((А-В)Сх, Сх) 5s 0. 18.25. Воспользоваться задачей 18.9. 18.26.
Пет. Рассмотреть в пространстве Е1 операторы, задаваемые
матрицами
|2 0
0 8
В
1 0
0 4
18.28. Воспользоваться задачей 18.6 а). i8.29. (Л-'х, у) — (Л-'х,
АА~лу) = (х, А-1 у). 18.30. (Л-'х, х) = (Л*, АА~'х) = (Л(Л-'г),
Л-'х) 5» 0. 18.31. Пусть X = a + ф (Р ?= 0). Тогда || (Л - Х/)х||2 =
= [|(Л-а/)г||»+^11х||35вР2||1||:1. 18.34. Доказать, что II (А+Ь/)*II 5»
^ Х||х||. 18.35. Воспользоваться теор_емой 9Л. 18.36. ||х||2 ¦= (/х, х)^
sz._(Ax, х) = ЦУЛхЦ5. Отсюда N(yA) =- 0 и в силу неравенства
\\\Ах{\ Js ||х|| оператор ]'А непрерывно обратим, а тогда существует
15* 227

п непрерывен операюр А ' — [(\Л) ']-. ГГрп .ном (Л~'>. Г) -
= |[Л-1/2г||2 ?=: ||.т||2 = (х, д). Покажем теперь, что В-1 < Л~'. В не-
неравенстве (Ах, х) <; (Вт, х) положим х — А~{/2у; тогда (А1'гу,
А'1 "у) = llylPsS (ВА~1>2у, Л-'/2;/) = (А-ВА-Лу, у). Отсюда,
как и выше, следует, что оператор Л~1/2ВЛ~1/2 непрерывно обратим
и что (Л-1/2ВЛ-'/2)-' <С /, т. е. Л1/2Вл1Л1/2 </, откуда, согласно
задаче 18.24, В'1 ^ Л. 18.38. Воспользоваться задачей 18.24.
18.39. \А~=А. 18.40. Воспользоваться задачей 18.1.1 18.41.УЛг=
. 18.47. б) Пусть В2 = Л. Еслп N(B) = 0, то Л'(В2) =
= N(A) = 0. Так как Л'(В) c/V(B2) = N(A), то Л'(В) —одномер-
—одномерное подпространство, порожденное элементом ?i. Далее, Аег =
= В2е2 = ei/2, поэтому ВВгег = Ве,/2 = 0, т. с. АВе2 = 0, откуда
Ве2 = Хй1 п Ле2 = В(Вег) = B(Xet) = 0 — противоречие. 18.48. До-
Докажем единственность. Еслп Ви В2еб(Я), В,, В2 ^ 0, ||Лд;|| =
= ||-В,г|| = 1|В2г1|, то(В^,х) = |В1^|2-|В2г||2 = (B^,j), откуда
В\ = В\ и Bi = B2. В качестве В возьмем оператор "|'Л*Л. 18.49.
Воспользоваться задачей 14.15. 18.53, | Л* ^|2=(ЛП^, Л*д) = ||Л)Гт|2^-
-* || Ах f = (Ах, Ах) = {А*Ах,х) = || А*х (. Отсюда |Л*ж— Л*г[2 =
= | А*пх |" — (Л**, Л*х) — (A*Lx, А*х) + || А*х f -> 0 при n-foo. 18.54.
Пусть г„->0 («->- оо) слабо. Так как_Л вполпе_непрерывен, то
Лт_„-»-0, но _(Лх„, х„) = (УЛг„, >'Л.т„) = ||)'Лхп||2. Поэтому
~\!Ахг,-+0 и ")Л—вполне непрерывный оператор. 18.55. Пусть
хп -> 0 (п-> оо) слабо. Так как В вполне непрерывен, то (Вхп, !„)-+
-^-0. Но 0 s? (Ах п, хп) s? (Bin, я я), поэтому (Лх„, х„)_->0__и, сле-
довательпо, Лхп->-0. Так как УЛ непрерывен, то \А(}'Ахп) =
= Лх„-*0. 18.56. а) Доказать, что WU(Xx) — XUx\\2 =0 и \\U(x +
-fу) — Ux— Uy\\2 = 0. б) Воспользоваться равенством \\Ux\\ =
= ||гегЦ и тем, что R(U) — Я. г) Еслп Л — изометрический опера-
1
тор, то (Ах, Ay) = -j [{А{х-\-у), А(х -\-у)) — (Ах, Ах) — (Ay, Ay)] =
= У (II * + # II2-И2 HI г/II2] = (г. 2/). 18.57. б) (Ux,Uy) =
AB~ly) = {А*АВ~1Х, B-ty) = (В2В~]х, В-]у) =
i = (х, ВВ-'у) = (*, у).
§ 19
19.2. Нет. 19.4. а) Собственному значению к = 1 соответству-
соответствует собственное подпространство четных функций, собственному
значению ?. = —1 — подпространство нечетных функций, б) ^.i =
= я, xi (t) = cos <, Хг = —л, i2@ = sin t, собственному значе-
значению к = 0 соответствует собственное подпространство {a sin I +
4- (J cos г}1, где а, (i e R — произвольны, а ортогональность пони-
понимается в смысле вещественного пространства Ьг [—я, л]. 19.5. а)
^п = — п2, xn(i)=sin«J (n = l, 2, ...). б)Ао = О, а:0@ в- 1,
^п = — И2, Xn@=COSR( (П=1, 2, ...). В)Х0 = 0, !(,(() в> 1,
Хп = — in,2, xn (t) = cos 2nt, sm2nt (n = 1, 2,....). 19.7. Пусть
существует (Л —X/). Обе части равенства Л (Л— XI) =
= (А — Х/)Л умножить слева па (Л — Х/)~'. 19.8. Убедиться, что
228
справедливо равенство (R> (А) — /?„(Л)) (Л — |J) (Л — XI) =
=¦- (/. — ц)/. 19.10. Если Л^ = ВЛ. то В (Л — X/) = (А—Х1)В, и,
\ множая обе части последнего равенства на Я> справа и'слева,
получаем требуемое утверждение. Если дяя некоторого Я справед-
справедливо равенство R>B — ВЯ>, то, умножая обе его части слева и
справа па Л — XI, получаем, чю В (А — XI) — (А — Х1)В или АВ =
= ВА. 19.11. Воспользоваться тем, что оператор Л —XI непрерыв-
непрерывно обратим, В — А= (В — XI) — (Л —XI), и теоремой 9.4. 19.12.
Воспользоваться тем, что Л — (X — \i)I — А — XI + \xl и теоре-
теоремой 9.4. 19.13. Тогда и только тогда, когда X конечномерно. 19.16.
а (А) состоит из собственного значения X = 1 с собственным под-
подпространством, порожденным функцией x(t) = t, и собственного
значения X = 0 с собственным подпространством \x(t) eC [0, 1]':
*@) =хA) =0}, г„(Л) =1,
y{0)
ty{i)
ty{0)
19.17. Спектр состоит из собственного значения X = 1 с собствен-
собственным подпространством i/ и собственно'го значения X = 0 с собст-
Р (I — P)
венным подпространством Л/-Ч R^ (Р) = , _ л г • 19.18.
а (Л) состоит только из точки Я = 0 и
19.20. а (А) совпадает на комплексной плоскости с замыканием
множества {X,}. 19.21. Воспользоваться задачей 19 20. 19.23. Пусть
X Ф 0, оператор (ЛВ —Я/)-1 существует и С = {АВ — Х1)~1. Убе-
Убедиться, что (В А — XI)'1 =Zy~ [I — ВС А]. 19.26. Пусть X ф О, X е
е о(Л"'). Тогда оператор А~1 — Х1 не является непрерывно обра-
обратимым и, следовательно, Л
также не является таковым. 19.27. Воспользоваться задачей 18.50 в).
19.28. Пусть ХФ0, _хф0, АА*х = Хх. Тогда Л*х^=0 п
(А*А)(А*х) =Х(А*х) и аналогично наоборот. 19.29. Точка Я = 0
принадлежит спектру, но при А^ ^ 0 не является собственным зна-
значением. 19.30. Воспользоваться задачей 18.15. 19.32. Пусть е > 0.
Найдется Л' такое, что
(А'1 — XI) = I — ХА = — Я (л — —,
лп 111 'и
1111'"
supt || Л" Ц1'" < ra (A) + e, slip || В1111'" < гд (В) + е.
n>N
Тогда для п > W
n>N
(B) + 2e)"
""* 1+
229

ho
Отсюда
'
- Ч.Л"
h при n -> oo го(Л + Д) ;g; го(И) + /•„(?) + 2e. Второе неравенство
устанавливается нз справедливого для коммутирующих операто-
операторов неравенства II (АВ) "II < 11-4 "II ¦ ||ВП||.
§ 20
20.1. а (А) состоит из точш непрерывного спектра X = 0.
20.2. о (А) состоит из точки X = 0, которая является собственным
значением бесконечной кратности. 20.3. а (А) состоит из точки X =
= 0 — собственного значения бесконечной кратности и собственных
значений А.,, Х2, являющихся корнями уравнения 240Х2 -- 32Х— 1 =
= 0, для которых собственные подпространства одномерны. 20.4.
Пусть уп е R(A — XI), уп-+у при п->-оо; тогда уп •= (А—Х1)хп.
Если г,, содержит ограниченную подпоследовательность, то в силу
полной непрерывности оператора А некоторая подпоследователь-
подпоследовательность Ахп сходится, следовательно, ж„ = -^ М^ — у \ -*¦ xQ,
откуда у = (А — Х1)х0, у е R(A — XI). Если же хп не содержит
ограниченной подпоследовательности, то |!г„||->-+оо при п -*¦ оо
и, полагая zn =» г„/||.г „||, повторяем прежнее доказательство.
20.6. Воспользоваться утверждением задачи 18.50 б), применив его
к оператору А — XI. 20.7. о (.4) = [0, 11, причем все точки являют-
являются точками непрерывного спектра. 20.8. Пусть X = а + ф, у =
= {А-Х1)х. Тогда (г, у) - (у, х) = 2i$\x\\\ откуда ||j/|| ^ |РМ|г||
или \\Ах — Хх\\ ^ |[3|-|И|. Согласно теореме 9.1. Х^р(А). Если
?. < W, то при IMI =1 11D —Я/) 11| ^ т — X и снова воспользу-
воспользуемся той же теоремой. 20.10. Воспользоваться задачей 18.14. 20.11.
Если R(A — XI) =//, то X не является собственным значением
и югда существует оператор (А — Х1)~К Далее воспользоваться
задачей 18.49. 20.14. Да. 20.16. А определен на всем II и вполне
непрерывен в силу задачи 16.20. Непосредственной проверкой убеж-
убеждаемся, что для любых х, у е II справедливо равенство (Ах, у) =
= (х, Ау). Согласно задаче 18.49, А самосопряжен. 20.17 а(А)
состоит из собственных значений вида Хн — 1/(л;2я2) с соответ-
соответствующими собственными функциями хп = sin nnt («eN).
Дважды продифференцировав обе части уравнения Ах <= Хх.
20.18. Рассмотрим собственное подпространство L оператора А, со-
соответствующее собственному значению X «= 1; тогда L инвари-
инвариантно относительно А, и так как А самосопряжен, то и Lx инва-
инвариантно относительно Л. Если Ах = 0 для любого а е 1Л, то
утверждение доказано, в противном случае у оператора А
в подпространстве L1- нашлась бы точка спетра, отличная от
230
0 и I = I. 20.19. б) (А*Ах, г) =
, Л„)' Ин- То.
0
для всех л, вытекает из неотрицательности левой части.
xJ-kC'n'А*А\) =я5;(\. *А) = о.
При ft = п из предыдущей выкладки Ц^Ц3 = ^|| hnf = 1. Далее
доказываел?, что ряд сходится, оценивая его остаток
Ih+p |а
S
I
n=h II n=h
и так как ?. „ -> 0 при п~> оо, то ряд сходится и остается доказать,
что он сходится именно к Л г. Достаточно доказать это для всюду
итотного подмножества II; в качестве такого подмножества можно
гнять линейную оболочку всех собственных векторов оператора
А*А (включая и лежащпе в Х(А)).
§ 21
2
21.1. а) x(s) == 1. б) При X ф 2 х (s) = 2—i sin s> ПРИ ^ = 2
решений нет. в) x(s) = sin s. г) При К ф 2, X Ф —6
.. i-Ъ-К X D2 - Я)
при X — 2 или X = —6 решений нет. д) При X ф —5/2, X Ф ?>/2
, 35 — \0Х 2
х (s) = s -f- 35 -f 14A, s ' ПРИ ^ = ~5/2 решений нет, при X = 3/2
x (s) = s* -\- -n.s' + Cs, где С произвольно, e) z(s) = j -f Xn'sin s.
ж) При X ф 1/2, X ф —1/2 г (s) = 1 — _s— ? cos s, при Х =
л G 1 -f- 2A.
=—1/2 решений нет, при X = 1/2 я; (*) ^ С — ? s +( С1—— lL
л \ 4 3
cos s,
ЗлА,
ЗлА,
где С — произвольно, з) При X ф —3/2, Я # —3/4 д(д)= 0 ,0, , „. X
X sin s -f cos 2s, при X = —3/2 решений нет, при X — —3/4 x(s) =
Зл
= cos 2s — -^-sins-fC cos s, где С произвольно. 21.2. а) Xi = 1/л,
Ф1 = sin s -f cos s, X2 = — 1/я, ф2 = sin s — cos s. 6) Xi = 2/л,
(pi = cos s, Xi = —2/л, ф2 = sin s. в) Xi — Хг = 3, ф =s —
5 3
-2s2, г) Я1=-2, ф1 = 52, Х2 = -j, Ф2 = 5.
21.3. Xh = 2k и/л, ФА = sin les (к е /V). 21.4. а) При X ф 3/2
разрешимо при любых a, p, f и
2 3Р
при ?. = П/2 разрешимо тогда и только тогда, когда |5 = 0 п x(s) =
= c.i2 + 7 + ^s> гДе С произвольно, б) При X ф +2/л разрешимо
231

при пюоы\ а, [1 и
2 (а - 2дР) .
"" v> - 2 + Ял
при Л = 2'л разрешимо при любых а, [5 и
,. ал+ 46 . . .
2л
sin
где С —произвольно, при X = —2/л разрешимо тогла п только тш-
да, когда ал + 4р = О и x(s) = ji + С sin s, где С произвольно,
в) При 7. Ф 3/2, X Ф —3/4 разрешимо при любых а, [} и
*^ = с" - 15 + 20Л,
при X = 3/2 разрешимо при любых a, J3 и
х (s) = as + Cs — ¦
- 6а
15
где С произвольно, при X = —3/4 разрешимо тогда и только тогда,
когда За — 5J3 = 0 и x(s) = as3 + Cs, где С произвольно, г) При
За
I ф 3/2, X =?^= —1/2 разрешимо при любом а иг (а) =о _ 2р. *' ПРН
X = —1/2 разрешимо при любом а и г (s) = -т (а — С) s -)- Cs2, где
С произвольно, при X = 3/2 разрешимо тогда и только тогда, когда
a = 0 и x(s) = Cs, где С произвольно. 21.5. х (а) = / ($) --
2Л
+Х f sin (s - 2t) f (t) di.
21.6. a) >.„ =(я/2 + лнJ,ф„ = sin(.i/2+n«)? (h<=N). б) Я„ =
= 4rc2—1, <rn=sin2ns (raeN). в) Xn = (n + 1/2J — 1, (р„ =
= sin (n + 1/2)s (n e N). r) Ao = 1. ep0 = e\ Xn = —л2п2, ф„ =
= sin nns + пл се лл? (neN). д) Xn =-j (l + k^j, у„ =
= А-„ cos A-,,s + sin fr,,s (?ieN), где А\, — положительные корни
\ равнения 2 ctg /с = A — 1/fr. e) Xn = — A-/J/3, (pn = A-n cos tns +
|-sinfrnx (nsN), где /.-„—те же, что и в предыдущей задаче.
21.7, 21.8. Воспользоваться задачей 20.10. 21.9. а) Характеристиче-
Характеристические числа Я,, = —п2л2, собственные функции ф„ = sin tins (n e
eN), При ХФ\п
хЫ-i — —
Л t^l " (>< + jl2)
sm nns,
при X = —п2л2 (;г e N) решений нет. б) Характеристические чис-
числа и собственные функции определены в задаче 21.6 г): Хо = 1,
(Ро === ба, X л ^ —л2?!2, ф,1 = sin ?1Л5 -f" '*л cos fijis (n ?= N) При / Ф
Ф Xh (k e\]
,. , X Г 2 .я
¦r(s) = COS Л4- -j- —;—
233
при /. = 1 и /. = —л2 решении нет. при 1 = —?г2п2 (и = 2, 3,
j(v) =¦_ соа
А
л2
2
2 L(« - 1) ft
¦ (-ill Л4 -',- Я COS Л4) -
где
E) _
С произвольно.
D) = e-(l + sJ.
-]- С [«in ила -)- ?гя cos /ins],
21.11. a) ,t(s) = 2s + 1, б) .r(i) = s + s3/0.
- silli - C04 ¦>)¦ 21 12. а) Точ-
Точ)
ное peuiL-ние x(s) = 1. б) Точное решение x(s) = —1. в) Точное
решение a (s) s —1. г) Точное решение a (s) = s/2. д) Уравнение
решения не имеет. 21.14. а), б) Нет. в) Да. 21.15 a) x(t) = 1.
б) а-(/) = 2sin*. в) x(t) = 1 + 2t+ B/2+ г3/3. г) а: (<) = 2< — tL.
д) а-(?) = 1. 21.16. а) Имеется точное решение х{1) = t. б) Имеет-
Имеется точное решение хA) = е'. в) Имеется точное решение x(t) ==
е5е 1. г) Имеется точное решение х(t) = e~'.
§ 22
22.3. (i
("', У) =
— (г, Ay) = i^(z'~y-t-2~y')dt- i [xy\\la =0. Пуст
о
** — неопределенный
i
JVG +1^)^-0,
уь
о
г, j/*) и j/** — неопределенный интеграл от г/*; тогда
1
откуда Д = у + ii/** почти всюду на [0, 1] постоянна; изменив ее
литния на множестве меры пуль, получим у + гу** = г, откуда
if -f п/* = 0 почти всюду. По )тому область определения Л* состо-
состоит из всех абсолютно непрерывных функций y(t), производные
которых лежат в L2 [0, 1] без всяких ограничений на граничные
значения. 22.5. Вообще говоря, неверно, так как возможно, что
Й(Л*) = 0. 22.6. Пусть у е D(A*) и А*у = у*. Так как R{A) = Я,
то найдется h<=D(A) такое, что Ah = у*, поэтому при любом
x^D(A) будет (Ах, v) = (г, у*) = (х, Ah) = (Ах, к). Отсюда
(/ = /, «= О(Л). 22.8. Если Аи = 0, то (и, Л и) = (Ли, г) = 0 для
любого г<=О(Л), поэтому и ортогонален R(A) и, следовательно,
и = 0 и оператор Л~' существует. Далее устанавливается, что су-
существует оператор (Л*) и что (Л*)-' = (Л)*, откуда и выте-
i ает, что оператор А~[ симметрический. 22.9. В проверке нуждает-
нуждается лишь плотность R(A). В противном случае найдется *е//
(h Ф 0) такое, что h ±R(A). Тогда (/, Ah) = (Л/, h) = 0 для лю-
любого / е Я, откуда Ah = 0, а ото противоречит существованию об-
обратного оператора. 22.11. a) =s- б) А = А*, и так как А* замьнут,
то и Л замкнут. Если найдется x^D(A*) = D(A) такое, что
А*х = tx, то Ах = 1х и — i(t, г) = (иг, г) = (Ах, х) = (г, Ах) —
— i(x, х), откуда х = 0. Тем самым N(A — d) =0, аналогично
устанавливается, что Л'(Л + г7) = 0. б) =>• в) Если Я (Л — (/) на
плотно в Я, то для у е [Я(Л — И)}1- (уфО), мы имели бы
I — U)x, у) = 0 для любого геО(Л), а тогда ysD(A*) и
— f/)*y = (Л* + И)у — 0, что невозможно, так как Л'(Л* + (/) =
233

--П Осталось доказать замкнутость 1ЦА — И) Если ieD(i) то
( l — i/) ^1Р - || lr||2-f || г i п" о(чп х , e=D(\) и A - il)xu-+ i/ ,
in i „ -+ ла а Лх„ таь,ке tvcniiTui 1аккакЛ jaMKHjT, то x0 e D( 1)
и (A — tI)x(,= Hi idMiM oopajou, ЛA — il) заминаю п совпада-
совпадаем с Я. Аналогично устанавливается, что /?(Л + il) = Я. в) => а)
Пусть reJ(.4«). Так как R(A-iI) = Я, то найдется y<=D(A)
такое, что (Л — il) у = (Л* — il)x. Но /)(Л) с ?>(Л*), поэтому
з -ye О (Л*) и (Л*-(/)(*-!/) =0. Так как Л (Л + il) = Я, то
Л (Л*— (/) = 0, следован1.1ьно, г=г/еД(Л) и Д(Л*) = D(A).
22.13. Предположить, что существуют две собственные функции
с одним и тем же собственным значением и доказать, что их оп-
определитель Вронского равеп нулю.
«.m.^(..,.{;{1z« zti:<',%u
б) G(s, t)= -3"{(t+ 1) B — *) при 0<i<s<l!
при 0<х<г<я,
[sin t cos s при 0 < t < ;
1 Csh s sh A — /) npn
li A — s) при
я.
д) При
es~l-
1-Y
Y
при 0 <s<* < 1,
.e*+t-i
при 0 < t <s< 1.
1
Прп f = —1 G(s,t) пе существует, при -{ =1 G (s, /) =-j e~|s~(l.
l
22.15. a) x (s) =>. j G (s, ;) г (t) rf(, где
G (s, t) = - «
("arctgs при 0<s<fs^l,
[arctgi при 0^<<i^l.
G) x(s)=k \G {s, t) x(t)dt+\G (s, t) j @ dt, где
о о
A tic I t\ It
— s) при
в) Функция Грина при данных граничных условиях не сущест-
существует. 22Л6. Утверждения а), б), в) вытекают из равенства
(Ux, х) = j (рх'2 + qx2) dt-\- ~ р (а) х2 (а) + - р (Ь)
ф).
22.17.6) Соб<_твегтпые тначенпя оператора U обратны собственныл!
значениям интегральною оператора с ядром G(?, /). Воспользо-
Воспользоваться теоремой 20 1 в) Bot почковаться теорелгои 20 4 22.18. Пусть
x(t)^D, ф, (!)(/. е\) — шотпая в пространстве /",2[а, Ь] в сипу
задачи 22 17 в) ортонормирования система собственны* ср^н1гции
оператора С, соответств\ющик собственным 1пачспиям Хй, 0 <;
1!2 = >-i. 22.19. xa(t)
ГЛАВА 6
§ 23
23.5. Следствие ограниченности компактного множества 23.fi.
Непрерывность F вытекает из непрерывности функции K(t, s, x)
по х и воямо/кчости предельного пере\оча под знаком интеграла
при равномернон сводимости, почная непрерывность — из теоремы
15 3. 23.7/ Вообще говоря, пет 23.12. F(x) — F(x0) = F'(xa) (x —
-х0) + co(r — ie)(ie5), где ||со (h) !| = о(Ш) при h-+0 вслед-
вследствие Д1гс|)фереицир\емо(тн F. Далее, G(z)—G(z0) =G'(zo)(: —
— с0) +б(: — --t) (jeI), пе ||б(?)|| = o(k||) при__ g-> 0 вслед-
вследствие дифференцируемоеги G Но тогда в некоторой окрестности
точки z0
(F*G)(z) - (F * G)(-n) =/'(<?(--)) -f(G(m)) = Р'(г0) Х
X (G(z) -G(zo)) +ca(G(:) -GC,)) =P(^)G'(JO) +n(z-rn),
где p(;-io) =f'(>u)SB---0) + co(GC)-GC0)) [|()||
= o(||?|l)npn г
23.13.
) Л -
^
при
0.
23.18. a) /'A, 1,1) -111 2 ЗЦ, 6)
0
I 1 I
в)
23.19.
0
— e
1
'('
0
0
)) - II
; 0 i
'(i
¦ i,
1=1
3=1
1)=
,2,
,2,.
n l|
h
/—
1
dz,
1 V^
1
|
IL=i
8=1
,t,
,2,-
23.21. a) F'(u0) =cossini; б) Г (и,) = sin cos x; в) F'@)
= 1-х; r) /"@) = l-]-^2.
23.22.
ь
F (и) - F (ug) = A (i) - j [/(«,«, н0 (s) n- A (s)) -/(j,i,»0 @)J d»
235

23.23. F' @) h — h (л) -| ?. | sin xh D) ds. Интегрируя jравнение
h B) -\-X sin x h (s) ds = cos x
от н^ля до я, получим
71
а — 2Ха = 0, а = Г
При Я. =И= —1/2 а = 0 п А(г)= cos г. При?. => —1/2 /г(г)= cos л+
+ С sin г, где С — произвольная постоянная. 23.24. Согласно зада-
задаче 23 12, jq [F(xt + в(х2-х>)] =F'[xl + B(x2-xi)](xi-xl).Un-
тегрируя это тождество по [0, 1]. получаем формулу Лагранжл.
23.28. Применяя сначала формулу Лагранжа для F, а затем усло-
условие Липшица для F', получаем
JIF'
- *«)) ~ F'
IIdeII\- \
23.30. Пусть х = {xh)™=l а т и || х || < с, пусть Л/= sup I /n (.) I;
тсида |/„ (-г„) | < Л/(« е N) и, следовательно, F(x)<=m. По фор-
формуле Тейчора при х« = (zSlfL s та
Вследствие равное гепенной непрерывности /п правая часть пос-
последнего равенства есть о (| а-„ — л"° | ) при я;1 -> j^ Следовательно,
^'И*=(/;(*!)*!./;(*;)*,.¦¦ ¦)¦
23.31.
\ (I/
дх
)
; 1
I
236
1
23.36 [F2xy] (t) =lx (t) Г AT (t,
s) у (s)
1
) Г
(<) Гк(*.
23.38. a) d/-" (rQ, /i) = k" -\-'h cos г. d''F (rQ, h) = sin (i+frn/2) У
6) f (xq -f h) = sin г + h" + Й cos t +
1. 23.39.
Повторить рассуждения доказательства теоремы Абеля. 23.42
о = {(*!, хг) е= R: |xix2| < 1}. pu = 1.
ь
23.44. F (xQ + Л) = F (x0) + h (t) + ( K(t, s)eX°(s)h (s),
a
со Ь
23.46. При x (t) <= Ca snp | tx @ | < sup | «e-a( | • ||x||a = (
[0, + °°) [0,+ oo)
< 1 при ||г||a < ae. Следовательно,
§ 24
24.3. а) Воспользоваться теоремой Лагранжа и теоремой 24.1.
б) С помощью теоремы Лагранжа доказать, что для j{x) существу-
существует обратная фуш.ция. Далее воспользоваться теоремой 241. 24.4.
t = 0,35. 24.7. I = -0,75. 24.8. в) Ео = 0,00, Ех = 0,92, Е2 = 1,55,
йа= 2,02, ?4 = 2,42, Еь = 2,79, ?6 = 3,14, Е7 = 3,49, ?8 = 3,86,
Е9 = 4,26, ?,0 = 4,73, ?„ = 5,36, ?12 = 6,28,Eh = Я (^]
= 0, 1, ..., 12). г) Е{ТЦ) = 1,81 при е = 0,25, Е(Т/{) = 2,02 при
е = 0,5, ?(Г/4) = 2,18 при е = 0,75. 24.9. в) При к = 2 х„ = 0,00,
х, = 0,10, з-2 = 0,22, 13 = 0,35, ц = 0,49, хь = 0,64. г6 = 0,81, г7 =
= 1,01, г8 = 1,25, хя = 1,54, xw = 2,00, х,„ = *(нг/;О), та = 0, 1, ...
.. , 10. 24.10. Рассмотреть функцию/(г) = г —-^(х2 — а) и убе-
убедиться, что она является сжимающим отображением [а/2, 1] в се-
себя. 24.11. Предел равен 1 + }'2. Рассмотреть функцию /(г) =2 +
+ 1/т и убедиться, что она является сжимающим отображением
[2, 3] в себя 24.19. Рассмотреть отображение Ф: R->R, Ф(х) =
= х + л/2 — arclg г 24.20. Пусть ср: Q-»-R — вещественная функ-
функция па Q, определешия равенством i|>(x) = ||Ф(-с) —х||, xeQ-
237

Так как Ф — непрерывное отображение, то <р непрерывна. В силу
бикомпактности Q функция ф достигает на Q наименьшего значе-
значения «>0 j некоторой точке ха е Q. Если а > 0, то ф(Ф(г0)) =
= ||Ф(Ф(г0))— Ф(лг0) II < ЦФ(яо) — *oll = ф(жо)= я, что противоре-
противоречит определению а. Поэтому а = 0 и т0 — неподвижная точка Ф.
Отображение Ф может и по являться сжимающим — рассмотрим
Ф(х)=&\пх для же [0, л/2]. 24.23. б) #„ (s, г) =si/3"-1, Л (s, t,Я) =-
= 3s2/C —Я), в) При X =^ 3 решение имеет вид x(s) = /(s) +
ЗЯ Г*
+ d _ v I st/ (t) dt. 24.28. Оператор ф = Фт имеет единственную
о
неподвижную точку х*. Но if и Ф перестановочны на Q, поэтому
Ф(х*)—также неподвижная точка г|), т.е. Ф(т*) = х*. Если х —
еще одна неподвижная точка Ф, то ij:(.r) = Фт{х) = х, т. е х =
= г*
24.31. По формуле Тейлора
/(*„)
- *„) + \ /" (У (** - *„
Отсюда 0 < хп+1 - х* <__(л,1-
2. Кроме ТОГО]
+ /'(i) (г* — го) и^ следовательно, 0 < хй — х* sg |/(ar0) \/т. Отсюда
по индукции устанавливается требуемая оценка. 24.33. Если х =
= (х\, х2, ...) ei> — неподвижная точка для F, то, так кап
||f (ж)|| = 1 для всех х е 12, \\x\\ = 1. Из условия х = f (х) следует,
что Т| == Лг = ... = 0,— противоречие. 2\.34. б) Непрерывность
оператора F вытекает из непрерывности функции /(г, г) и возмож-
возможности предельного перехода под знаком интеграла при равномер-
равномерной сходимости, полная непрерывность вытекает m оценок
\F(x)\^\xa\+b\h\, \F(x)(tl)-F(x)(t2)\^b\tl-t2\ и теоремы
15.3. в) Воспользоваться теоремой 24.4. г) f(t,j) = yr~c (ta = 0,
ха = 0), 24.35. а) Пусть х (t) — решение краевой аадачи. Тогда iu
дифференциального уравнения находим
следовательно,
- \ x(s)d
I о
(t) --¦= Lt + Л/ + К j" j
exp -
0 0
rfs
где постоянные К, L, M определяются из граничных условий, чго
приводит к интегральному уравнению. Обратно, если x(t)*=C[O, 1]
есть решение интегрального уравнения, то оно удовлетворя-
удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению, б) Пусть
\x(t)\*zr=.\a\ + \b\ + \c-a-b\, тогда и |Ф(х)|<|а| +
+ \Ъ\ + \с — a — Ь| = г. в) Из пункта б) следует, что множество
функций y(t) = {Ф(х)} (t) ограничено. Далее проверяется, что
\y(h)-V(t,)\
+2е-'\с-а-Ь\]
238
оплдл след\ ет рлвиогтснгннля непрерывность функций этого мно-
жества. 24.36. Условие
\\K\\-n-
<1
обеспечивает существование роЕпо двух положительных решений
.. ^ 1
уравнения \\К\\гп + \\y\\ = г. Шар \\x\\ ^ г„ оператор Ф отобра-
отображай в себя, как и шар ||х|| sg r*. В нервом-шаре Ф является
сжатием, ибо в нем !|Ф {х')— Ф (г") || < || К \\ -п-г**1 \\х'— х" \\ и
ll^il •«•г#~1 < 1. Во втором шаре Ф вполне непрерывен как про-
произведение вполне непрерывного линейного интегрального опера-
юра п ограниченного нелинейного оператора (см. задачу 23.4).
§ 25
25.7. Заметим, что x(t) = A sin (, поэтому А удовлетворяет
Яг п ,я]
уравнению А = —1 Л -j + 4 у , корень Л = 0 не подходит и, сле-
2 —Я 2-Я
довательно, А = —;—¦ x(t)~—^—sin г (Я^=0). 25.8. Кроме ре-
теппя, найденного в задаче 25.7. интегральное уравнение при лю-
любых Я имеет решение x{t) =s 0. 25.10. Решение ищем в виде (при
е->-0) x(t) — xo{t) + Exi(t) + О(е2). Для xo{t) a x{(t) имеем за-
задачи
^ + sinxo=0, хо(О)=*оA)=О,
= 0.
Отсюда х0@ = 0, ^@ = -\г2_1 s'mnt-
25.11. а) Следствие теоремы 25.2.
дх
]"ЧИ. Тп = 1
дх дх
откуда ^ = Ф (х) -^а . Далее по индукции потучаются требуемые
Следствие формулы Тейлора. 25.14. Рассмотрим вспо-
х = а + е/ф(аг). Согласно задаче 25,11 в)
его решение дается рядом
При a = 0 получаем искомое решение
239

25.15. Оператор Ф (и) -- х — т rMF (х, к) при к е= [a, ij явля-
является сжимающим отображением в Пространстве С(—оо, оо) скоэф-
71/ — т
фициентом сжатия '^ г—.
ГЛАВА 7
§ 26
26.2. *
?* =
произвольно. 26.3. Пусть нор-
нормы в Хп невырожденны. Допустим, что последовательность
\L\x", Тогда
X Т X
Но тогда «' — я" = 0. Обратно, если || Тпх || _ -+0 при некотором
х Ф 0, то in = ^п*-* г и хп~> 0 (п -у оо). 26.4. Воспользоваться ре-
результатом предыдущей задачи. 26.5. Доказательство дословно пов-
повторяет доказательство теоремы 8.2. 26.6. Множество узлов сетки
плотно на [0, I], поэтому существует последовательность [rh s'\s—i
узлов, сходящаяся к to, в которой | x(t^ | =\\x \\C^Q ^ , 26.7. Доста-
Достаточно заметить, что || хп |а есть интегральная сумма Римана для
непрерывной функции 22((). 26.9. Воспользоваться предыдущей за-
задачей. 26.11. а) Да, с первым порядком, если x'(t) ограничена на
[0, /], б) Да, с третьим порядком, если х'(t) интегрируема на
[0, I]. 26.13. Следует из неравенства
пх ~~Уп \\Уп < || AJnx - Т'пАх \уп л. | т'пу - уп
26.15.
х \ —
max
¦ 0, п -> оо,
вследствие равномерной непрерывности x'(t) на [0, /], 26.16. Со-
Согласно формуле Лагранжа
26.18.
| = || ~А-пхА,7хп
^n|.См. также задачу 17.20. 26.19.
26.21. Выберем
Следует из_неравенства (х п, А хп) < ||г~„|||| ^nzn|| р
базисы в Хп и Уп; тогда определитель матрицы оператора отличен
от нуля, 26.27. Следует из неравенства задачи 26 25 и преобразо-
240
ванил
|- Г
| У а - T'u'J || "I-
|| \\ т'пАх -
T'nAx - AJnx\[ 26.28. a) R, (т) =
|| || Jn\[
= 1 — та,, б) Уравнения системы решаются последовательно, от-
откуда и следует, что она имеет единственное решение, в) Восполь-
Воспользоваться методом математической индукции, г) См. задачу 26.22.
26.30. Рассмотреть разность
J (t) ~ * (t ~ T) -r[«ia С - t) + «2о О] -[Рг" (* - т) + Р^ (/)]-
- [Yi/ С - 1) - V,/ @J
п применить к ней формулу Тейлора, содержащую члены до 2-го
порядка малости. При cci = аг = Pi = Ра = Yi = Ya = 1/2 име-
имеем 2-й порядок точности. 26.31. а) Разрешить 1-е уравнение от-
относительно г,. 26.35. На точном решении x(t) = 1 разностные урав-
уравнения удовлетворяются точно, как и первое начальное условие.
Второе начальное условие удовлетворяется с точностью т2. 26.36.
Частные решения этой разностной схемы можно найти в виде
.т, = ).', откуда Xi = 1, ?i2 = 2. Общее решение системы без на-
начальных условий имеет вид х, = с\ -f- c22'. Используя начальные
значения при i — 0 и i = 1, находим решение разностной схемы,
26.37. См. решение задачи 26 35. 26.38. Заметим, что х, = 1 — т2+
+ т2(с/л)' (? = 0, 1, .... л). Если Ж <1, то \\xn-Tnil- -+0
(я-
Если
то ||^п —
(и ->¦ оо), 26.39.
а) Воспользоваться формулой Тейлора для вектор-функции ^@-
С) Оценить предварительно норму матрицы Я,(т). 26.40. б) При-
Применить к функции
A + >,т)т = е х
формулу Тейлора по т, содержащую члены 1-го порядка относи-
относительно т и остаточный член в интегральной форме, а затем оценить
этот остаточный член.
§ 27
27.1. Точка t = 0 является точкой минимума функции ср(() =
= \\As + tAz\\2 при любом г е Аг с Ts = 0. По теореме Ферма
ф'@) = 2(As, Az) =0. 27.2. Вследствие условия ортогональности
Ц-4 (s + гI|2 = \\AsV + \\Az\\1 ^ \\As\\\ 27.3. Проверяем условие ор-
ортогональности. Для любого 2(()еЯ'[0, 1] такого, что г(^) =0
(( = 0, 1, ..., л), имеем
г'{t) it = 0.
27.5. Так как S — ssNIT), то (A(s — s), As) = 0 или \\As\\2 =
= (AS, As). Меняя местами s и s, получаем искомое утверждение.
Согласно задаче 3.19 A(s — s) = 0. 27.6. Согласно предыдущей зада-
Че( j_s е №(/1). Кроме того, T(s — s) = 7s — ts = ж — Г = 0, т. е.
s — s e /V(jT). Но тогда s-se{0), т. е. ? — s = 0. 27.7. Докажем,
что здесь Л'(Л) f\N{T) == {0}. Л7(Л) состоит из многочленов первой
или нулевой степени вида С it + С2. Если T{Cxt + Сг) = 0, то при
16 В А. Треногий и др.
?41

7i ^ 1 C[ = Сц = 0, ибо многочлен первой степени имеет не более
о того пуля. 27.8. G) Тьи = I', далее для любого геЛ'[0, /) с
7г = 0 выполнено условие оргогоналыюсш (см. задачи 27.3 п
27.2). 27.12. См. указание К задаче 27.7. 27.13. Достаточно заметить,
что АТ~1{х) = Ахй + AN(T), где х0 <= X таково, что Тхп = х.
27.14. Аффинное многообразие АТ~*(х) является замкнутый выпук-
выпуклым множеством. Элемент у, реализующий расстояние от 0 до
~АТ~1(х), принадлежит ему. Следовательно, существует s такое, что
As = у, Ts = х. 27.15. Пусть ;/„,(/) е=А\'(Т) (m <= N) и ym(t) ->
— ya(t) (m-*oo) в Li[0, I]. Найдется xm (/) e Л'(Г) такое, чти
жт @ = г/щ(*)- Отсюда
t I
(из xmezN(T) следует, в частности, что xm @) = х„, A) = О).
При m^-oo im(<)-^a:o(O еЛ'(Г), т. е. ya<=AN(T). 27.16. Дважды
проинтегрировать «j@i a произвольные постоянные определить из
требования s3((.) = г,-, s3(t1 + i) = ?;+i- 27-17- B) Запишем систему
в виде #Р = / с симметричной матрицей А". Имеем
г=1
ГД9 р0 = р„ = 0. Если К) = 0, то отсюда р = 0. Следовательно,
dXO. 27.18.
1
8, Лг) = j Sg (t) z" (i)
dt
-1 (i-l
Но /3'—постоянная — третья производная sj(() па [t,-i, t,],
U
а [ z' (/) dt — z(t.) — z It- Л — О.ибо Tz = 0. Поэтому (As , Azj —
= s"a (I) z' A) — «g @) 2 @) = О вследствие условия 4),
§ 28
28.2. Воспользоваться оценками ||г„ — Рпх\\ ^ ||жп — а:II + \\х —
-Рпх\\, \\хп-х\\^\\хп-Рпх\\ + \\Р„х-х\\. 28.3. Воспользовать-
Воспользоваться предыдущей задачей. 28.5. Воспользоваться оценкой \\QnAPnx —
-<М*|| ^CCIUII \\PnX-x\\.
242
28.6. Убедиться, чго Q Ах = V<
р.= АРпх =
5?||Р„/1.г„|| ¦ ||жп||, откуда ||/>„Л2-„|| >7H^nl|. 28.10. Согласно зада-
задаче 28.6, ?QnAxn\\ = \\АРптп\\ = \\Ахп\\ ^t\\xnl 28.11. Воспользо-
Воспользовавшись задачами 28.0 и 28.10, получим
\\Рпх — х\\
пх — Ах\\
28.13. <г(*п) = 2 (A'fv %) c/j - 2^(А(р. у) сг + (у, у).В точке
*J=1 i=l
минимума дц{хпIдс. = 0 (s = 1, 2, ..., re). 28.14. ЕслиЛ„ —суже-
—сужение оператора QnA на Z,,, то, вследствие условия устойчивости,
У(А„) — {0}, и как оператор, действующий из n-мерного простран-
пространства в и-мерное, Ап непрерывно обратим.
28.25. а) ||*„|| = UQnAP^-^APnxA^tlQnAxnl
б) \xn-x\\ = \\{QnAPn)^QnAPn(xn~x)\\^
«S i\\QnA(xn-PnT)\\ = i\\QnAxn-QnAPnx\\ ^
28.27. Воспользоваться предыдущей задачей и теоремой 9.4.
28.28. Следует пз тождества хп— х = (I — Р„К)-{ (Рпх — х). 28.29.
Следует пз тождества хп — х = (/ — Р пК)~1 (Рпу — у) + (/ —.
— Рп&)~] (РпК — К) A — К)~1у. 28.30. Воспользоваться тождеством
1 -(- 2 > р' cos /to =
1 -f— р2 — 2р cos со
при р = s/2, со = лт, откуда
1-1
— 1 cos nh,
— cos л/т,
28.31. б) Воспользоваться задачей 28.29.
§ 29
29.6. Воспользоваться формулой копечныч приращений Лаг-
ранжа. 29.7. Воспользоваться предыдущей задачей. 29.8. Полагая
у = 0 в неравенстве (х — у, А (х) — А (у) > ^ с(\\х — у\\) \\х — у\\,
16*
243

получим <•<•, А(х))^с(\\х\\) . |U||_<jr,
X Ik||. 29.10. Ш условия колрцнтнвиости следует, что \\А(х)\]^
^ Ч\\х\\. 29.16. Существование и единственность неявной функции
х = ф(г) вытекают из теоремы 29.1. Полагая в заданном
неравенстве x = t((t); у — <р(*0), получим К @ — Ч (го) I «S
rg: с~' |/(ф(<о), 0 I -*¦ 0 при I->¦ 10. 29.18. По формуле конечных прп-
ращепий.Лаграижа (x — y)[f(x, t)—f{y, t)] = /i(?. t) (x — УJ ^
^ c(x—!/J. 29.19. Полагая в условии сильной монотонности у( =
«= хи получим (хг — у->)[1г(хи Xi)—h(x\, Уч) ] > с [хг — УчJ,
и можно воспользоваться задачей 29.16. 29.20. Полагая в условии
сильной монотонности задачи 29 19 х-2 = ц(х^), у2 = <p(yt), получим
ф(Уi
-Ф(г/ОJ
Оператор A\(xt) непрерывен как суперпозиция непрерывных функ-
функций. 29.21. Согласно задаче 29.15. уравнение А^(ху) = О имеет един-
единственное решение х^\ тогда х° — (г", ф (.fj JJ—единственное реше-
решение уравнения А (х) — 0. 29.23. (Ас(х) — Ас(у), х — у) ^ с\\х — у\\2.
29.25. а) Следствие задачи 29.22. б) Пусть для некоторого п \\х„\\ >•
> г; тогда 0= (х„, А„(х„)) >0—противоречие, в) По теореме
Вейерштрасса m i, как ограниченной в Ек последовательности
можно выбрать сходящуюся подпоследовательность тп . Пусть
1
xnk-*rn (к-*ос). Тогда 0 = А(х \+— х -+А(х) при
А- ->- оо, т. е. А (х0) = 0.
29.26. |а(.т,гI< max ||^fc |с[а, ь] f
 I rf'
fe--=0
"нт[о,
"нт[о,
и, кроме того, а (г, г) линеен по г. 29.28. Воспользоваться равенст-
равенством (Ах — Ау, х—у) =а(х — у, х — у). 29.29. Следует из сценки
) dt
u.2[o,/] -|1
29.30. Воспользоваться теоремой 29.1. 29.31. Согласно теореме 12.2
о
существует и единственна g(t) e H1 [0, /] такая, что
[ i
\f{t)z(t)dt ^ j g @ z (t) dt
о о
для любого iefl'[0, I]. Этому уравнению удовлетворяет
;
244
29.36 Воспользоваться теоремой 29.1. 29.38. а)
ft ft
в(«0, и0) - п* j PQ (?) dt -|- j Px@ A - ntfdt,
e(<V «Vn) = »2 J
J
1-/»
J ^(
ft
йК-1<03;<) "--'l2
j
(h-l)h
j
hh
(ft-H)ft
wh(t)y(t)dt.
(k
j
(h-l)h
б) Получается трехдпагональная система, в) Оператор А ограни-
ограничен: ||Л|| < К, согласно теореме 29.2 и задаче 27.24,
II Г ?|| <-- 1гК\-\\\^Г Р^Г II
ГЛАВА 8
§ 30
30.3. Произвести дифференцирование по t и умножение на х'.
t + 1 ,
30.4. а) х {I) = —2~ «'. б) г@ = -i3. в) ж(<) = е'. г) а:(«) =
= In t x)x(t) = V[t + lJ, функция я@ =l/"C( — lJ в данном
случае по считается экстремалью, так как в точке t = 1/3 не име-
имеет конечной производной, е) x(l) = (C + t)smt, где С — произ-
произвольная постоянная, ж) x(t) = С sin t -f cos t, С — произвольная
постоянная, з) Вариационная задача не имеет смысла, так как ин-
интеграл не зависит от пути интегрирования, и) x(t) = 0, если
х\ = 0, при х\ Ф 0 экстремалей среди гладких кривых не суще-
существует, к) x(t) = cos t. л) Экстремалей нет. м) x(t) = 4/f — 1.
и) x(t) ="D — tz. Воспользоваться задачей 30.3. о) x(t) ¦= t.
30.5. а) x(t) =l3 — I2. б) а-(г) = A — /) sin. в) Экстремалей нет.
г) Вариационная задача не имеет смысла, так как интеграл не за-
виепт от п>ти интегрирования, д) x(t) =— (t2 — е2J. е) x(t) =
COS t. Ж) X (t) = jr I
30.6. а)
= sin 2t,
л
+ 1).з) x(t) = sh г.
32 + л2
8л
245

- 6),
д) Гх(«) =¦ 2 sin i +fcos t,
(г/ @ =- t cos «j
t cos t
30.7. a) x (t) = — —2~ +
e) Г ж (г) = г,
\f/ @ = — з/.
я 1
 cos l + J sin <¦
6) x(t) ¦=> C(sin4f + 4 cos 4t), где С произвольно.
30.8. Условие трансверсальности имеет вид
и означает, что экстремали должны пересекать заданную кри-
кривую д = г|з(О под углом л/4. 30.9. x(t) = 0. 30.10. a) x(t) =
•= ±1'25— (t — 5I. Использовать задачу 30.3. б) x(t) = ±>'8t — Г*.
Использовать задачу 30.3. 30.11. а) Расстояние равно 19)'2/'8
б) Расстояние равно 4/|5. 30.12. а) Нет. б)
*(() =
УЗ
при 0 < t < 1,
— Уз (г —2) при
—1/3* при 0<г<1,
Уз (г-2) при 1<г<2.
30.13. а) Ломаные линии, составленные из отрезков прямых
x(t) = t и г(?) s 1 илп из отрезков прямых x(t) ^0 и x(t) =
= г—1, реализуют абсолютный минимум, прямая x(t) = t/2 реа-
реализует слабый максимум, б)
—< при
_2 при
П1'и
при
на обеих ломаных функционал достигает абсолютного минимума.
30.14.
0 при - 1 < t < 0,
[ при 0<<<1.
30.15. а) х (/)= —^— е'; б) г (<) = 2 sin nnt, n=± 1, + 2,. . .;
В) X
248
-. 30,16. Исследовать на
экстремум функционал
¦ х" dt
при условии
Получаем семейство экстремалей х (*)•» Cj ch—gr;— — X. Реше-
Решение находится из системы уравнений относительно С\, Сг, А;
б 2 7

¦ — sh-
30.17. \x(t) = —  г + -g- *i 30.18
U@-'.
30.19. a) !x(t) = sin 2/,
Ь (i) = cos2i + It sin 2г.
x (t) = R cos -n t,
(г) = Rsm-2 t.
Найти экстремали функционала
dx
Уравнение Эйлера дает у — 2К = 0. Исключить г/ из этого уравне-
уравнения н уравнения связн.
sh У 2 <
б) *(() =
2 '
У 2 ch У 21 +sh У 2 f
ah У 2
§ 31
31.1. а) Решение уравнения Эйлера пмеет вид x(t) = С, ch t +
+ С. sh г. Кривые z(t, С) = С ch t образуют собственное поле, кри-
вые"хD, С) = С sh « — центральное поле, б) z(f, С) = С cos J —
собственное поле экстремалей, x(t, С) — С sin t — центральное по-
поле. 31.2. а) Экстремаль x(t) s 1 включается в собственное поле
247

экстремалей x(t, С) = С. б) Экстремаль x(t) = 2t включается в
центральное поле экстремалей x(t, С) = Ct с центром в точке
/1@, 0). в) Экстремаль x(t) = «2 + г/4 — 3/4 включается в собствен-
собственное поле экстремалей хB, С) = 22 + '/4+ С. г) Экстремаль г{2) =
= 2/6A — г2) включается в центральное поле экстремалей x(t,C) —
= С/— 23/6 с центром в точке /1@, 0). д) Экстремаль :rB) = е1
включается в собственное поле экстремален хA, С) = е'+С.
е) При а <_ п экстремаль x(t) = 0 включается в центральное поле
экстремалей x(t. С) = С sin 2 с центром в точке .4@, 0), при а > я
семейство кривых хA, С) = С sin г поля не образует, ж) Экстре-
Экстремаль x(t) = ( + 1 включается в собственное поле экстремалей
x(t, С) = 2 + С. 31.3. а) Да. Решение уравнения Якоби с условием
3
и@) =0 имеет вид и B) = Ct, экстремаль х (/)=— t включается
в центральное поле экстремалей с центром в точке А @. 0). б) Пет.
Решение уравнения Якоби с условием и@) =0 имеет вид u(t) =
¦= С sin 2l и при а > я/2 обращается в нуль в точке 2 — я/2. в) Да.
Решение уравнения Якобп с условием и@) =0 имеет впд и B) =
— Csht. г) Решение уравнения Якоби с условием и@) =0
имеет вид иA) = С sin 2; если 0 < я < я, то условие Якобп вы-
выполнено, если а > я, то нет. д) Да. е) Да. ж) Нет. я) Да. 31.4. Тли
как уравнение Эйлера имеет вид Fx, = С, то условие Якоби выпол-
выполняется тождественно для любой экстремали. 31.5. а) Экстремаль
хA) =22+1, условие выполнено, б) Экстремаль x(t) = /3, усло-
условие не выполнено, в) Экстремаль x(t) ^ 0, условие выполнено.
Ь
г) Экстремаль х (t) =¦ — 2, условие выполнено. д) Экстремаль
x(i) =0, условие выполнено, е) Экстремаль x(t) = 2/2, условие
выполнено, ж) Экстремаль x(t) s 3, условие выполнено, з) Экст-
Экстремаль x(t) = t2, условие выполнено, и) Экстремаль i (I) = t— 1,
условие выполнено. 31.6. а) хA) = 22 — слабый мипимум. б) x(t) =.
= t2 — 2 — сильный минимум, в) x(t) = 2/2 — сильный минимум,
г) x(t) = е1 — сильный минимухг. д) x(t) — 2 In (/ + 1) — сильный
минимум, е) x(t) ^ 1 —сильный минимум, ж) x(t) = t- — слабый
Ь
минимум, з) x(t) = — 2— слабый минимум, и) x(l) = In A +
+ 2)/ln2 — сильный минимум, к) x(t) =22 + 1—слабый мпнп-
мум. л) x(t) = sin 22 — 1 — сильный максимум, м) x(t) = 23 —
сильный минимум. н) zB) = sin 22 — сильный максимум,
о) x(t) = 1/2 — слабый минимум, п) x(t) ='0 — слабый минимум.
1
31.7. б) а2ф |ж=о = f th2{t)dt >0 при любой АB)
о
h B) ф 0. в) Пусть
С[0, 1],
-2
0
при
при
2 > е.
Тогда (f(xe) = —е'/6 < 0. 31.8. 6)d2(p \x=Xq ==^ "Т > ° ПРИ любом
hi
? 0). в) Пусть
/*5 - 1/>И < 0.
=^0,0, ...,0, 1/л,0,0, .. Л. Тогда
00 = /0,0, ,.
248
§ 32
32.2.
- t)x2)
()
ф2
23
22A - t)<f(Xl)<f(x2)
(!) [@
()VW Ф(.) + @ф(^) () [p@
— (f(^2)]2«: f(|2(>"i) + A —2)фг(г2). 32.3. а) Да. б) Да. в) Вообще
говоря, нет. Рассмотреть в пространстве 1} последовательность еп =
= /0.0 0,1.0,0, .. Л. г) Да. Если Хп->х0 (и->-оо) слабо
и |ко[[ > Ит \\хп\\, то найдется с такое, что ||д0Ц > с > Нт \\хп\\
и, следовательно, существует подпоследовательность zn такая,
что | jtq || > с > | хп II при ieN, Определим функционал /0:
(,г0, /0) = \\хо\\ и продолжим его па вес X с сохранением нормы.
Тогда (*nh> /0) не стремится к <а;0, /о>. так как- (xnh> /0> <
<il/ol:lSi|<c' a <VO =llroi > с - противоречие. 32.6. Пусть
и — точка локального минимума ср(^) на .1/; тогда найдется е>0
такое, что для любого i'eS?(u) П -1/ выполняется неравенство
ф(ц) <: (р(г). Пусть х е М — произвольно, а>0 таково, что
а\\х — и|| < е. Тогда и + а(х — и) е St(u) (] М, поэтому ф(и +
+ а(х — и)) ^ ф(")- Но ф(гг) ^ ф(и) + а[ф(г) — ф(и)] И так как
а > 0, то ф(г)—ф (it) ^ 0 и, следовательно, м — глобальный мини-
минимум на М. 32.8. Нет. Рассмотреть ф(г) = у|а:| для ieR, 32.9. Не-
Необходимость сразу вытекает из (слабой) полунепрерывности сни-
снизу. При доказательстве достаточности воспользоваться идеей ре-
решения задачи 32.3. г). 32.10. Из слабой полунепрерывности снизу
следует полунепрерывность снизу без дополнительного требования
выпуклости. Если ф — выпуклый и полунепрерывный снизу функци-
функционал, то по задаче 32.9 для любого вещественного X множество С\
замкнуто, по задаче 32.7 — выпукло, по задаче 13.23 С\ слабо замк-
замкнуто, по ладаче 32.9 ф слабо полунепрерывен снизу. 32.12. в) Нет.
Теорема 32.1 не применима, так как пространство С[0, 1] нереф-
нерефлексивно. 32.13. Пусть М с X — бикомпактно, ф(.г) определен на
М и слабо полунепрерывен снизу. Если т = Ш ф (х) и z,,e-l/
xsM
таково, что ф(а'н) -*¦ т при и->-оо, то найдется подпоследователь-
подпоследовательность хп такая, что *п.-*- г0 е м> и тогда ф(г0) = ™. 32.14. <р(х) —
непрерывный выпуклый функционал. 32.15. а) Да. б), в) Вообще
говоря, нет. 32.16. фBг, +A — t)x2) = t*(Axh a:,)+ 2A — 2) (Ах,, Xl) +
+ t(l-t)(Ax», x,) + (l-t)*(Ax2, x2) = 2ф(г,) + A-()ф(г,)-
— 2A — 2) (А(х] — х2), xt — x2) и таге как (е[0, 1], то
i([ — t)(A(xi — xi), xi — хг) ^0. 32.17. б) Нет. Рассмотреть после-
довагелыюсть еп= @,0, ...0,1,0, .. .\е 1.у 32.18. а) <?'(х) =
ii
= Ах + А*г. б) {х-у, <р'(х) -ф/(г/)> = 2<.r-i/, А(х-у)>>0.
в) Воспользоваться теоремой 32.2, непрерывностью оператора А и
задачей 32.11. 32.19. а) ср'(х) = 2А*(Ах — Ь). б) Доказать, что
Ф'(.т) — монотонный оператор, воспользоваться теоремой 32.2, не-
непрерывностью оператора А и задачей 32.11. 32.20. При г ^= 5 наи-
наименьшее значение ф равно пулю и достигается в точке С D, 3).
При г < Г) наименьшее значение ф равно 2г- — 20с + 50 и достп-
lae-io! R ючке пересечения ог@) с прямой ОС.

ЛИТЕРАТУРА
1. Антоневич А. Б.. Князев П. Н., Рады к о Я. В. Задачи
и упражнения по функциональному анализу.— Мпнск: Вышш-
шая школа, 1978.
2. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач.—
М.: Наука, 1981.
3. Гельфанд И. М., Ф о м и н С. В. Вариационное исчисле-
исчисление.— М : Фнзматпи, 1961.
4. Г у р е в и ч А. П., 3 е л е н к о Л. Б. Сборник задач по функци-
функциональному анализу.— Саратов: Нзд-во СГУ, 1978.
5. Дробышевич В. И., Д ы м н и к о в В. П., Р и в и н Г. С. За-
Задачи по вычислительной математике.— М.: Наука, 1980.
6. Дьедонпе Ж. Основы современного анализа.— М.: Мир,
1901
7. К а н т о р о в п ч Л. В., Ann лов Г. П. Функциональный ана-
анализ в нормированных пространствах.— М.: Физматгиз, 1959.
8. К а т о Т. Теория возмущений линейных орераторов.— М.: Мир,
1972.
9. Кириллов А. А., Г в и ш и ан и А. Д. Теоремы и задачи
функционального анализа.— М.: Наука, 1979.
10. К о л л а т ц Л. Функциональный анализ и вычислительная ма-
математика.— М.: Мир, 1969.
11. К о л и о г о р о в А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функ-
функций и функционального анализа.— М.: Наука, 1968.
12 Краснов М. Л , М а к а р е н к о Г. И., Киселев А. И. Ва-
Вариационное исчисление.— М.: Наука, 1973.
13. Краснов М. Л., Киселев А. II.. Макаренко Г. И. Ин-
Интегральные уравнения.— М.: Наука, 1976.
11. Лоран П. Ж. Аппроксимация и оптимизация.— М.: Мир,
1975.
15. Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И. Элементы функциональ-
функционального анализа.— М.: Наука, 1965.
16 Н а й м а р к М. А., М а р т ы н о в В. В. Функциональный ана-
анализ.— Долгопрудный: Изд-во МФТИ, 1970.
17 Рид М.. Саймон Б. Методы современной математической
физики. Том I. Функциональный анализ,— М.: Мир, 1977.
18. Рудпн У. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1975.
19. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем.—
М.: Наука, 1971.
20 Сборник задач по функциональному анализу.— М.: Изд-во МГУ,
1977.
21. Сборник задач по уравнениям математической фпзикп/Под ре-
редакцией В. С. Владимирова.— М.: Наука, 1974.
22. С о б о л е в В. И. Лекции по дополнительным главам математи-
математического анализа.— М.: Наука, 1968.
250
23. Соболева Т. С. Задачи по функциональному анализу.—М.:
Нзд-во МНИХ и ГЦ, 1977.
21 Тихонов А. Н. А рее нин В. Я. Методы решения некор-
некорректных задач.— М : Наука, 1974.
25. Треногий В. А. Функциональный анализ.— M.t Наука,
1980..
26. Фет А. И. Задачи по функциональному анализу.— Новоси-
Новосибирск: Изд-во HIT, 1968.
27. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.—М.: Мир,
1970.
28. Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одно№ пере-
переменного. Часть 3.— М.: Наука, 1970.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
N — множество натуральных чисел
R — множество вещественных чисел
С — множество комплексных чисел
Л + В — алгебраическая сумма множеств Л и В A0)
Л_— продолжение оператора Л E2)
УЛ —квадратный корень из оператора А A02)
IIЛII — норма оператора А D6)
| А | — модуль оператора А A02)
Л+— положительная часть оператора Л A02)
Л"— отрицательная часть оператора А A02)
Л* — оператор, сопряженный к Л G7)
Л —оператор, обратный к Л E8)
AJ1 — оператор, левый обратный к Л E9)
Л — оператор, правый обратный к Л E9)
С, LP — пространства непрерывных функций A3, 14)
С* — пространство к раз непрерывно дифференцируемы\ функ-
функций A3)
С — пространство сходящихся числовых последовательностей
A3)
Со — пространство сходящихся к нулю числовых последова-
последовательностей A3)
Ст, Ет, 1т, /™ — пространства числовых столбцов A2)
(Ham Л — диаметр множества Л (9)
дА —граница множества Л A1)
E(t, х, р, х') —функция Вейерштрасса A96)
FkXh — fc-степенной оператор A28)
Fk(xi, х2, ..., xk) — ^--линейный оператор A27)
G(s, l) —функция Грина A23)
// — гильбертово пространство B6)
//', Нт — пространства Соболева C4, 182)
/ — тождественный оператор E1)
Я — пространство финитных функций A3)
K(s, l) — ядро интегрального уравнения A14)
1л, L2. Lp — пространства Лебега C3, 34)
L © М — прямая сумма подпространств L и М A0)
3? (X), 3?(Х, Y) — пространства ограниченных линейных опе-
операторов'E1)
'ь h, lP — пространства числовых последовательностей A2,13)
ЛГ — множество предельных точек для .множества М (9)
М — замыкание множества М (9)
М1- — ортогональное дополнение к множеству М B6)
М[а, Ь] —пространство ограниченных функций A3)
т — пространство числовых последовательностей A3)
252
A4)
Л'(Л) —множество пулен (ядро) оператора D0)
Й>.(Л) —резотьвента оператора A07)
г„{А) —спектральный радиус оператора A07)
?гB0) —открытый шар с центром в .г0 радиуса г (9)
5г{хо) —замкнутый шар с центром в х<> радиуса г (9)
V[a, Ь\ — пространство функций с ограниченной вариацией
ь
V х @ •
полная вариация функции A4)
X/L — факторпространство B5)
X* — сопряженное пространство F5)
X** — второе сопряженное пространство G4)
X -+- Y — прямая сумма пространств F2)
||я|| — норма элемента (9)
(х, у) — скалярное произведение B6)
<г, /> — значение функционала / на элементе х F5)
х±.у — ортогональные элементы B6)
Г(я1, г2, •••, *п) —определитель Грама B7)
6F(x0; h) —первая вариация оператора A86)
б (Я) — множество самосопряженных операторов A02)
ри — радпус сходимости A28)
р(Л) —резольвентное множество A07)
р(ж, у) —метрика, расстояние между точками (9, 43)
а (А) —спектр оператора A07)
о(Х), а(Х, У)—множество вполне непрерывных . операторов
(88, 89)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома треугольника 43
Аналитическая оператор-функция
108
Аппроксимация 151, 155
Коэффициент сжатия 136
Кратность характеристического
корня 115
Биортогональные системы 99
Вариационная задача с подвижны-
подвижными границами 188
Вариация оператора 186
Вложение нормированных прост-
пространств 22
Вторая производная оператора 128
Гиперплоскость 05
Граница множества И
График линейного оператора 62
Диаметр множества 9
Дифференциал Гато 186
— Фреше 127
Задача корректная 116
— некорректная 116
Замыкание в
Линейно независимая система 27
Локальный максимум 186
— минимум 186
— экстремум 188
Метод Галеркийа 178
— наименьших квадратов 172
— регуляризации 118
— Ритца 173
Метрика 43
Многообразие аффинное 10
— линейное 10
Множество бикомпактное 81
— всюду плотное 10
— выпуклое 10
— замкнутое 9, 43
— компактное 81
— Локально компактное 82
— меры нуль 33
— нигде не плотное 10
— нулей оператора 48
— ограниченное 9
— открытое 9, 43
— равномерно ограниченное 81
— равностепенно непрерывное 81
— слабо замкнутое 76
Пзометрпчные пространства 22
Шоморфные пространства 22
Нэоперйметрическая задача 189
Индекс оператора 96
Интеграл Лебега 33
— Стилтьеса 70
Интегральное уравнение Вольтсрра
1-го рода 114
2-го рода 118
Фредгольма 1-го рода 114
2-го рода 116
Интегральный оператор Фрсдготь-
ма 115
Интерполяционный многочлен Лаг-
рапжа 41
— сплайн 164
Итерации 136
КваЗирешение 93
Конечный подъем 94
— спуск 9а
254
Наклон поля 196
Неподвижная точка 136
Неравенство Птолемея 28
— Коши — Буняковского 26
Норма ft-линейного оператора 128
— ограниченного линейного опера-
оператора 46
— элемента 9
Нормы невырожденные 153
— согласованные 153
Область значений оператора 46
— определения оператора 40
Обобщенная производная 34, 182
Обобщенное решение краевой зада-
задачи 182
Оператор 48
— аналитический 129
— Гильберта — Шмидта 95
— деминепрерывный 178
оператор, дифференцируемый в
точке в смысле Фреше 127
— замкнутый 62
— коэрцитивный 178
— левый обратный 59
— линейный 46
вполне непрерывный 88
— Л-лнпсйный 127
ограниченный 127
¦ симметрический 128
— монотонный 177
— нелинейный вполне непрерыв-
непрерывный 127
— неотрицательный 102
— непрерывно обратимый 58
— непрерывный 46, 127
а точке 46, 127
— нерастнгивающцй 142
— неявный 146
— нётеров 96
— нормально разрешимый 96
•— нормальный 106
— обратный 58
— ограниченный 46, 127
— ортогонального проектирования ,
57
— праоый обратный 59
— проектирования 57
— самосопряженный 1П2, 123
неотрицательный 102
— сжимающий 136
— симметрически ii 123
неотрицательный 123
— сильно монотонный 178
— сопряженный 77
— ft-степешшп 128
— строго монотонный 177
— сужения 151
— тождественный 51
— унитарный 106
— фредгольмов 96
— Штурма — Лнувилля 123
— ядерный 96
Определитель Грама 27
Ортогопалпзация 27
Ортогональная система 27
¦ многочленов Чебышсва — Ла-
герра 31
Ортогональный базис 27
Ортопорчпрованная система 27
Отображение непрерывное 10
в точке 10
— равномерно непрерывное 10
Отрезок 10
Оценка априорная 158
Параметр регуляризации 116
Подпространство 10
Покрытие множества 81
Поло экстремалей 136
Полная вариация функции 14
Поляра 71
Полярное разложение 107
Пополнение 22
Порядок аппроксимации 131, 152
— точности приближенной схемы
152
Последовательность слабо ограни-
ограниченная 74
фундаментальная 74
Предельная точка 9
Р-предельнля точка 171
Продолжение оператора 52
Проекция элемента 27
Производная Гато 188
— Фреше 127
Пространство банахово 22
— гильбертово 26
— евклидово 26
— Лебега 33
— линейное нормированное 9
— метрическое 43
— ограниченных линейных опера-
операторов 51
— полное 22
— рефлексивное 74
— сеточное 153
— Соболева 34, 182
— сопряженное 65
— строго нормированное 10
— унитарное 26 •
Прямая сумма пространств 62
Радиус сходимости 128
Разностная схема 158
Расстояние 43
— между множествами 9
— от точки до множества 9
Регулярная точка 107
Резольвента 107
Резольвентное множество 107
Ряд Неймана 141
— Тейлора 129
— Фурье 27
Сингулярные числа 114
Скалярное произведение 26
Собственная функция ядра 115
Собственное значение 107
— поле 195
Собственный вектор 107
Спектр оператора 107
Спектральный радиус 107
Сплайн интерполяционный 164
— кубический 167
— линейный 165
Сумма алгебраическая 10
— прямая 10
Сфера 9
Схема Галеркнна 170
— наименьших квадратов 172
— приближенная 151
Сходимость 10, 43
— в среднем 33
— почти всюду 33
— приближенной схемы 152
— равномерная 51
— сильная 51
— слабая 73
— «-слабая 74
Т-сходнмость 151
— в среднем 154
— равномерная 154
е-сеть 81
Тождество Аполлония 28
Угловая точка 188
Угол между элементами 26
Уравнение Эйлера 187
— Эйлера — Пуассона 187
255

Уравнение Яноби 19в
Уравнения 1-го рода 89
— 2-го рода 89
Условие аппроксимации 151
— Лежандра 196
— устойчивости 152
Условия Вейерштрасса — Эрдмана
188
— трансверсальности 188
Устойчивость 162
Факторпространство 25
Фундаментальная последователь-
последовательность 22
Функционал 65
— выпуклый 201
— линейный 65
— Полунепрерывный снизу 201
— слабо полунепрерывный снизу
201
Функция Вейерштрасса 196
— Грица 123
—, интегрируемая по Лебегу 33
— неявная 146
— о ограниченной вариацией 14
Характеристическое число ядра По
Центр пучка 198
Центральное поле 196
Число дефрьтное 96
— нулей 93
— обусловленности 59
Шар замкнутый 9, 43
— открытый 9, 43
Эквивалентные нормы 22
Экстремаль 187
Экстремум функционала 188
сильный 167
слабый 187
Элемент наилучшего приближения
37
Ядро интегрального оператора 111
— оператора 46