51780
ззче
БУРЕНИН
631
8945
9352
7673
4734
’094665'> 8065751S 9 5'695106ц
634
658
>•98
95 06
6543465564456 23153’3236*85 KKEr3G9167936 45671965556
551
344

06575139518951964
’>4 'i 5 l 11 • i *
v ♦ £ ?
1 Д l Г 7
ФОРВАРДЫ
ФЬЮЧЕРСЫ
|||»'йв «I
СЕРИЯ
ISSN 1683-0393

32364854665 498478662069 9385’86238'3 415637136753
6565 6523 37 6
9655 34:6 4564
847
7862
65546634551633465
H6253446523I56253 1й$8769<66519636721
1 >89516S430 733488И
I ’65784671 3641 465Г
ОПЦИОНЫ, ш	 JH   .
551633465456 523156253145 93367210667й
ЭКЗОТИЧЕСКИЕ И ПОГОДНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
646554363455 54-625344652 687394665190 898945786061


МОСКВА 2005
1 3466544657-53'45
64
:36t В
Серия «Теория и практика финансового рынка»
А.Н. Буренин
ФОРВАРДЫ, ФЬЮЧЕРСЫ, ОПЦИОНЫ, ЭКЗОТИЧЕСКИЕ И ПОГОДНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Издание 1-е
Москва
Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова 2005
УДК 336 763 01
ББК 65 262 2
Б 91
Буренин А.Н.
Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные
М , Научно-техническое общество имени академика С.И. Вавилова, 2005, - 534 + 6 с
В книге рассматриваются вопросы организации и функционирования срочного рынка, в том числе на Фондовой бирже РТС раскрываются основные понятия, теоретические концепции инструментарии и стратегии, используемые участниками современного финансового рынка
Рекомендуется для студентов аспирантов преподавателей высших учебных заведений бизнес-школ и работников финансовой сферы
Научно-техническое общество имени академика С И Вавилова. Почтовый и юридический адрес
119019, город Москва, улица Моховая, дом 10. строение 2
E-mail: NTO@NTOvavilov ru, innashentseva@mail ru www.NTOvavilov ru
Телефон. (095)364-44-90, 203-35-03
Факс:(095)203-34-65.
© Буренин A H
ISBN 5-90218-906-3
ISSN 1683-0393
СОДЕРЖАНИЕ
ЧАСТЬ L ФОРВАРДНЫЙ И ФЬЮЧЕРСНЫЙ РЫНКИ..................3
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЫНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ................................3
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ........................................14
ГЛАВА 2. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ.........................15
2.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА.............................................15
2.2.	ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА И ЦЕНА ПОСТАВКИ .................19
2.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ ЦЕНЫ И ЦЕНЫ ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА...............................20
2.3.1.	Форвардная цена и цена форвардного контракта
на актив, по которому не выплачиваются доходы.20
2.3.1.1.	Форвардная цена акции...................20
2.3.1.2.	Цена форвардного контракта..............27
2.3.2.	Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому выплачиваются доходы.......36
2.3.2.1.	Форвардная цена акции с учетом абсолютной величины дивиденда...............................36
2.3.2.2.	Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда........................................41
2.3.2.3.	Цена форвардного контракта..............49
2.3.3.	Форвардная цена и цена форвардного контракта на валюту.......................................50
2.3.3.1.	Форвардная цена.........................50
2.3.3.2.	Форвардный валютный курс и инфляция.....56
2.3.3.3.	Цена форвардного контракта..............57
2.3.3.4.	Котировка валюты на спотовом и форвардном рынках...........................................57
2.3.4.	Форвардная цена товара......................58
2.3,5.	Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам.
Внутренняя ставка доходности..................62
2.4.	СИНТЕТИЧЕСКИЙ ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ................70
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ........................................72
Организация и функционирование фьючерс ного рынка...................................
3.1.	ОБЩА*) характеристика фьючерсного рынка.........
3.2.	ФЬЮЧЕ:рСНДЯ цЕНд БАЗИС ЦЕНА ДОСТАВКИ............
□ о о фьючерсная цена.............................
^00 г аЗИС- Мена А°с™.............................
3-2 3. Чоотношение форвардной и фьючерсной цен....
^ 2 5 КУДУЩЭЯ ЦеНЭ СП°Т...........................
vrnw отиРовка фьючерсных контрактов...............
^Ц|||Р0ВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМИ КОНТРАКТАМИ .............
3.4. ФУНКЦ^оинровдинЕ МЕХАНИЗМА EFP..................
КРАТКИЕ В<Ь|В0ДЫ.....................................
ПРИЛОЖЕН м
irKuiv/ixun^E 1 форвардная и фьючерсная цены для случая, когда ставку ^ез рИСКа постоянна и одинакова для любых периодов BR)eMeHM....................................
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Определение коэффициента хеджирования с помощью гПроГраМмы Excel ..........................
ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ НА АКЦИЮ, ИНДЕКС И ВАЛЮТУ........................
4.1.	ФЬЮЧЕ(рСНЫЙ КОНТРАКТ НА АКЦИЮ ..................
4-Н1- Цианизация торговли фьючерсными контрактами
На^ акции. Фьючерсная торговля акциями на^ Фондовой бирже РТС.......................
4.1.2.	^дЖИрОвание фьючерсным контрактом на акции.
4.2.	ФЬЮЧЕ^СНЬ|Й КОНТРАКТ НА ФОНДОВЫЙ ИНДЕКС.........
4-2-1  Фьючерсная цена фондового индекса.........
1 о’п' Индексный арбитраж.........................
Хеджирование фьючерсным контрактом на индекс..., 4.3. ФЫОЧЕЬСНЫй КОНТРАКТ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС
НАКУРИ БЕЗНАЛИЧНОГО ДОЛЛАРА К РУБЛЮ ..............
1^'1’ Определение фьючерсной цены и арбитраж......
4.3.2. Сп^|екуЛЯТИВНЬ1е СТраТегии.................
КРАТКИЕ fej".........................................
и виды.....................................
.74 .74 .83 .83 .85 .87
.89 .89 .90 107 109
110
112
115
115
115
118
127
128
130
133
137
137
138
139
143
ГЛАВА 5. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ НА ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ...........................................145
5.1.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА КАЗНАЧЕЙСКУЮ ОБЛИГАЦИЮ США......................................145
5.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФЬЮЧЕРСНОЙ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ И АРБИТРАЖ.........................................147
5.2.1.	Определение фьючерсной цены облигации, по которой не выплачиваются купоны в течение действия контракта............................148
5.2.2.	Определение фьючерсной цены облигации, по которой выплачиваются купоны в течение действия контракта............................155
5.2.3.	Расчет коэффициента конверсии казначейской облигации.....................................161
5.3.	ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ОБЛИГАЦИЮ......................................162
5.4.	ХЕДЖИРОВАНИЕ	ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ ............164
5.5.	ДЮРАЦИЯ ФЬЮЧЕРСНОГО	КОНТРАКТА.............164
5.6.	УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНОГО КОНТРАКТА.............................166
5.7.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА ТРЕХМЕСЯЧНЫЙ ЕВРОДОЛЛАРОВЫЙ ДЕПОЗИТ ...........................167
5.7.1	Общая характеристика контракта на трехмесячный
евродолларовый депозит...................167
5.7.2.	Определение фьючерсной цены контракта и арбитраж....................................171
5.7.3.	Использование контракта для увеличения доходности инвестиций.........................181
5.7.4.	Хеджирование фьючерсным контрактом на трехмесячный евродолларовый депозит........182
5.7.5.	Хеджирование соглашений о форвардной ставке и процентных свопов...........................191
5.8.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА КАЗНАЧЕЙСКИЙ ВЕКСЕЛЬ США.......................................193
5.8.1.	Общая характеристика контракта на казначейский вексель США...................................193
5.8.2.	Определение фьючерсной цены и арбитраж..196
5.8.3.	Хеджирование фьючерсным контрактом на казначейский вексель.......................199
5.9.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС
НА РУБЛЕВЫЕ ОБЛИГАЦИИ ГОРОДСКОГО ВНУТРЕННЕГО ОБЛИГАЦИОННОГО ЗАЙМА г. МОСКВЫ......201
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.....................................206
ЧАСТЬ II. ОПЦИОННЫЕ РЫНКИ..........................208
ГЛАВА 6. ОРГАНИЗАЦИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ОПЦИОННОГО РЫНКА...................................208
6.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОПЦИОННЫХ КОНТРАКТОВ.....208
6.1.1.	Опцион колл..............................209
6.1.2.	Опцион пут...............................213
6.1.3.	Категории опционов.......................215
6.1.4.	Премия...................................216
6.2.	ОРГАНИЗАЦИЯ ОПЦИОННОЙ ТОРГОВЛИ.
ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСЫ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС..........220
6.3.	ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНАМИ .......................224
6.4.	КОТИРОВКА ОПЦИОННЫХ КОНТРАКТОВ................226
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.....................................227
ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ...........................................228
7.1.	ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ НЕ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ ..............228
7.1.1.	Стоимость американского и европейского опционов
колл к моменту истечения срока действия контрактов... 228
7.1.2.	Стоимость американского и европейского опционов пут к моменту истечения срока действия контрактов.230
7.1.3.	Верхняя граница премии американского и европейского опционов колл.....................231
7.1.4.	Верхняя граница премии американского и европейского опционов пут......................232
7.1.4.1.	Верхняя граница премии американского опциона пут...................................232
7.1.4.2.	Верхняя граница премии европейского опциона пут..................................232
7.1.5.	Нижняя граница премии европейского опциона колл...................................233
7.1.6.	Нижняя граница премии европейского опциона пут........................................236
7.1.7.	Нижняя граница премии американского опциона колл.
Раннее исполнение американского опциона колл...239
7.1,8.	Нижняя граница премии американского опциона пут.
Раннее исполнение американского опциона пут....240
7.2.	ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ ....................240
7.2,1.	Верхняя граница премии европейских
и американских опционов.......................240
7.2.2.	Нижняя граница премии европейского и американского опционов	колл...................241
7.2.3.	Нижняя граница премии европейского и американского опционов	пут....................244
7.2.4.	Раннее исполнение американского опциона колл.247
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ..........................................249
ГЛАВА 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ
8.1.	СТОИМОСТЬ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ К МОМЕНТУ ИСТЕЧЕНИЯ СРОКА ДЕЙСТВИЯ КОНТРАКТОВ............................251
8.2.	СТОИМОСТЬ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ ПУТ К МОМЕНТУ ИСТЕЧЕНИЯ СРОКА ДЕЙСТВИЯ КОНТРАКТОВ............................252
8.3.	ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ....................252
8.4.	ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ ПУТ.....................254
8.4.1.	Верхняя граница премии американского опциона пут.... 254
8.4.2.	Верхняя граница премии европейского опциона пут.254
8.5.	НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ КОЛЛ...................255
8.6.	НИЖНЯЯ ГРАНИЦА ПРЕМИИ АМЕРИКАНСКОГО И ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНОВ ПУТ....................259
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.................................262
ГЛАВА 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ .... 264
9.1.	СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ
С РАЗНЫМИ ЦЕНАМИ ИСПОЛНЕНИЯ, СРОКАМИ
ИСТЕЧЕНИЯ И СТАНДАРТНЫМИ ОТКЛОНЕНИЯМИ ........  264
9.1.1.	Соотношения между премиями опционов с разными ценами исполнения...................  264
9.1.2.	Соотношения между премиями опционов с разными сроками истечения.....................266
9.1.3.	Соотношения между премиями опционов с разными стандартными отклонениями.............268
9.2.	РАЗНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ КОЛЛ НА
ОДИН БАЗИСНЫЙ АКТИВ С ОДНОЙ ДАТОЙ ИСТЕЧЕНИЯ.... 268
9.2.1.	Разность между премиями европейских опционов..268
9.2.2.	Разность между премиями американских опционов.269
9.3.	РАЗНОСТЬ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ ПУТ НА
ОДИН БАЗИСНЫЙ АКТИВ С ОДНОЙ ДАТОЙ ИСТЕЧЕНИЯ ... 270
9.3.1.	Разность между премиями европейских опционов..270
9.3.2.	Разность между премиями американских опционов.271
9.4.	ПАРИТЕТ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ КОЛЛ И ПУТ ......272
9.4.1.	Паритет европейских опционов на акции,
по которым не выплачиваются дивиденды......272
9.4.2.	Паритет европейских опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды. Взаимосвязь между премиями американских опционов............275
9.4.3.	Паритет европейских опционов на фьючерсные контракты.......................................275
9.4.4.	Паритет европейских опционов на валюту...277
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.....................................278
ГЛАВА 10. МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ.........279
10.1.	БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ..........................279
10.1.1.	Простая биномиальная модель............279
10.1.1.1.	Портфель из акций и заемных средств эквивалентный опционному контракту..........279
10.1.1.2.	Формирование портфеля без риска .284
10.1.1.3.	Риск-нейтральная вероятность.....287
10.1.2.	Двухпериодная биномиальная модель......290
10.1.3.	Многопериодная биномиальная модель.....291
10,1.4.	Биномиальная модель оценки премии американских опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды......................................297
10,1.5.	Вычисление стандартного отклонения доходности акции...............................300
10.1.6.	Биномиальная модель для акций, по которым выплачиваются дивиденды........................302
10.2.	МОДЕЛЬ БЛЭКА-ШОУЛЗА...........................306
10.2.1.	Дифференциальное	уравнение Блэка-Шоулза..306
10.2.2.	Формула Блэка-Шоулза для опционов на акции, по которым не выплачиваются дивиденды..........308
10.2.3.	Оценка премии европейских опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды.............310
10.3.	ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ
НА ИНДЕКСЫ, ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ И ВАЛЮТУ........311
10.3.1.	Оценка премии опциона на индекс.........311
10.3.2.	Формулы Блэка оценки премии опциона на фьючерсный контракт.........................313
10.3.3.	Биномиальная модель оценки премии опциона на фьючерсный контракт.........................314
10.3.4.	Оценка премии опциона на валюту.........319
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ......................................320
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Лемма Ито.............................321
ПРИЛОЖЕНИЕ 2........................................323
2.1.	Дифференциальное уравнение для производного актива
на акцию, по которой выплачивается непрерывно начисляемый дивиденд............................323
2.2.	Дифференциальное уравнение для производного актива на валюту....................................324
2.3.	Дифференциальное уравнение для производного актива на товар.....................................325
2.4.	Дифференциальное уравнение для производного актива на фьючерсный контракт.......................325
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Вывод формулы Блэка-Шоулза............326
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Определение премии европейского опциона колл на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, с помощью программы Excel................330
ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Определение значений вероятности нормально распределенной стандартной случайной величины с помощью программы Excel...........................331
ГЛАВА 11. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ПРЕМИИ
ОПЦИОНА...........................................333
11.1.	ДЕЛЬТА......................................333
11.1.1.	Общая характеристика дельты...........333
11.1.2.	Дельта-хеджирование...................337
11.2.	ГАММА.......................................341
11.3.	ВЕГА........................................345
11.4.	ТЕТА........................................348
11.5.	РО..........................................350
11.6.	ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДЕЛЬТОЙ, ГАММОЙ И ТЕТОЙ....350
11.7.	ФОРМИРОВАНИЕ ПОЗИЦИИ С ЗАДАННОЙ ДЕЛЬТОЙ И ВЕГОЙ...........................................351
11.8.	ДЕЛЬТА-ГАММА-НЕЙТРАЛЬНАЯ ПОЗИЦИЯ............352
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ....................................353
ГЛАВА 12. ВНУТРЕННЯЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ................355
12.1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕЙ ВОЛАТИЛЬНОСТИ ОПЦИОНА...........................................355
12.1.1.	Метод бисекций........................355
12.1.2.	Метод Ньютона.........................358
12.2.	УЛЫБКА ВОЛАТИЛЬНОСТИ........................360
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ....................................364
ГЛАВА 13. СИНТЕТИЧЕСКИЕ АКТИВЫ....................365
13.1.	СИНТЕТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ.......................365
13.2.	СИНТЕТИЧЕСКАЯ АКЦИЯ.........................371
13.3.	СИНТЕТИЧЕСКАЯ ФЬЮЧЕРСНАЯ ПОЗИЦИЯ............374
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ....................................382
ГЛАВА 14. ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ.....................384
14.1.	ПОКУПКА И ПРОДАЖА ОТДЕЛЬНЫХ ОПЦИОНОВ........384
14.2.	ПОКРЫТЫЙ КОЛЛ И ПОКРЫТЫЙ ПУТ................386
14.3.	КОМБИНАЦИИ И СПРЭДЫ.........................388
14.3.1.	Комбинации............................389
14.3.1.1.	Стеллажная сделка (стрэддл)......389
14.3.1.2.	Стрэнгл..........................396
14.3.1.3.	Стрэп............................402
14.3.1.4.	Стрип............................405
14.3.2.	Спрэд.................................408
14.3.2.1.	Вертикальный спрэд........................408
14.3.2.1.1.	Спрэд быка..........................408
14.3.2.1.2.	Спрэд медведя.......................414
14.3.2.1.3.	Обратный спрэд быка.................418
14.3.2.1.4.	Обратный спрэд медведя..............419
14.3.2.1.5.	Бэкспрэд............................419
14.3.2.1.6.	Рейтио спрэд........................425
14.3.2.1.7.	Спрэд бабочка (сэндвич).............431
14.3.2.1.8.	Спрэд кондор........................435
14.3.3.	Временной спрэд.................................437
14.3,3.1.	Длинный временной спрэд...................437
14.3.3.2.	Короткий временной спрэд..................441
14.4.	ТОРГОВЛЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬЮ................................444
14.4.1.	Покупка волатильности...........................445
14.4.2.	Продажа волатильности...........................453
14.5.	БОКС-АРБИТРАЖ..........................................454
14.6.	ВЗГЛЯД НА ОПЦИОННЫЕ СТРАТЕГИИ..........................459
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ...............................................459
ЧАСТЬ III. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ И ПОГОДНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ...............461
ГЛАВА 15. ЭКЗОТИЧЕСКИЕ ОПЦИОНЫ...............................461
15.1.	ОПЦИОНЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ДИНАМИКИ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА.............................................461
15.1.1.	Опционы со средней ценой........................461
15.1.1.1.	Азиатские опционы.........................461
15.1.1.2.	Опционы со средним значением цены исполнения (average-strike option)..............462
15.1.2.	Опционы, зависящие от одного или нескольких значений цены базисного актива .........................463
15.1.2.1.	Барьерные опционы ........................463
15.1.2.2.	Опцион лукбэк (lookback option)...........464
15.1.2.3.	Опцион лестница (ladder option)...........465
15.1.2.4.	Опцион клике (clique option)............  466
15.1.2.5.	Опцион выкрик (shout option)..............466
15.2.	МНОГОФАКТОРНЫЕ ОПЦИОНЫ ................................467
15.2.1.	Опцион радуга ..................................467
15.2.2.	Опцион кванто...................................468
15.2.3.	Опцион корзина..................................468
15.3.	ДРУГИЕ РАЗНОВИДНОСТИ ОПЦИОНОВ......................468
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ...........................................471
ГЛАВА 16. ОЦЕНКА ПРЕМИИ НЕ СТАНДАРТНЫХ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ.....................................472
16.1.	ДЕКОМПОЗИЦИЯ ФОРМУЛЫ БЛЭКА-ШОУЛЗА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ КОМПОНЕНТЫ.......................472
16.2.	ОЦЕНКА СТОИМОСТИ БИРНАРНОГО ОПЦИОНА................473
16.2.1.	Оценка стоимости европейского бинарного опциона с выплатой денег...................473
16.2.2.	Оценка стоимости европейского бинарного опциона с поставкой акции..................474
16.3.	ОЦЕНКА СТОИМОСТИ ДРУГИХ РАЗНОВИДНОСТЕЙ НЕ СТАНДАРТНЫХ ОПЦИОНОВ..........................475
16.3.1.	Оценка стоимости опциона суперакция..........475
16.3.2.	Оценка стоимости европейского опциона кэп....478
16.3.3.	Оценка стоимости европейского опциона фло....480
16.3.4.	Оценка стоимости европейского опциона коллар.482
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ...........................................485
ГЛАВА 17. ПОГОДНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ...........................487
17.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОГОДНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ......................................487
17.2.	ПОГОДНЫЙ СВОП......................................492
17.3.	ОПЦИОН ПУТ.........................................493
17.4.	КОЛЛАР ............................................494
17.5.	БИРЖЕВАЯ ТОРГОВЛЯ ПОГОДНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.............................................495
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ...........................................498
ПРИЛОЖЕНИЕ. Материалы фондовой биржи РТС «ИНСТРУМЕНТЫ
И ТЕХНОЛОГИИ СРОЧНОГО РЫНКА РТС».................499
Список основной литературы.......................523
ФОНДОВАЯ БИРЖА РТС
Во всем мире срочный рынок является важной составной частью финансового рынка. Рынок фьючерсных и опционных контрактов снискал популярность среди большого круга инвесторов благодаря широким возможностям эффективно управлять капиталом при минимальных затратах. Оборот срочного рынка в развитых странах превышает объем торгов на рынках базовых активов.
Развитие рынка срочных инструментов в России в значительной степени определили события августа 1998 года, когда деятельность участников в этом сегменте была практически парализована. Непрерывное функционирование в такой ситуации срочной секции Фондовой биржи «Санкт-Петербург» доказало надежность используемых биржей технологий и системы гарантий, что стало определяющим фактором в выборе РТС при создании рынка фьючерсов и опционов. В сентябре 2001 года две ведущие торговые площадки России - Фондовая биржа РТС и Фондовая биржа «Санкт-Петербург» - объединили свои усилия для построения качественно нового более надежного и ликвидного срочного рынка FORTS (Futures&Options on RTS). На текущий момент Фондовая биржа РТС является лидером срочного рынка России.
Фондовая биржа РТС считает, что срочный рынок в России является неотъемлемой частью отечественного финансового рынка. Развитие торговли стандартными инструментами способствует снижению общего системного риска на финансо
вом рынке На срочном рынке присутствуют различные категории участников, и рынок, уравновешивая различные интересы, распределяет риски между хеджерами и арбитражерами с одной стороны и спекулянтами с другой Все ведущие игроки финансового рынка работают на срочном рынке PTC-FORTS, и в ближайшее время их круг расширится за счет управляющих компаний и иностранных инвесторов
Сегодня срочный рынок - динамично развивающийся сегмент финансового рынка России Наибольшее развитие получили производные финансовые инструменты на ликвидные российские акции Все большую популярность среди инвесторов завоевывает фьючерс на основной индикатор российского фондового рынка - Индекс РТС Активно развивается торговля еще одним новым инструментом, появившемся в 2005 году, -фьючерсами на процентные ставки.
Фьючерсы и опционы являются достаточно сложными финансовыми инструментами, требующими высокой квалификации трейдеров и управляющих. Мы надеемся, что книга Алексея Буренина «Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные» поможет раскрыть безграничные возможности срочного рынка и станет Вашей настольной книгой
Успешной работы на срочном рынке!
Управление срочного рынка Фон9№М9иржи РТС
Межрегиональная Общественная Организация
Научно-Техническое Общество
имени академика С.И. Вавилова
ОТ ИЗДАТЕЛЯ
Межрегиональная общественная организация «Научно-техническое общество имени академика С.И.Вавилова», основанное в 1947 году по инициативе академика Сергея Ивановича Вавилова, в настоящее время осуществляет деятельность по следующим направлениям:
•	НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
о приборостроение
о программные комплексы, компьютерные системы и сети
•	ОБЩЕСТВЕННАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
о участие в мероприятиях Союза Научных и инженерных обществ
о программа «Бизнес-клуб»
•	ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
о серия книг «Теория и практика финансового рынка»
о электронная библиотека
•	КОНСАЛТИНГ
о юридические консультации
о бухгалтерское обслуживание
о маркетинг
о финансовая инженерия и риск-менеджмент
о программы обучающего консультирования
В НТО им. академика С.И. Вавилова с 2005 года развивается программа «Финансовая инженерия и риск-менеджмент». В работе программы принимают участие лучшие профессионалы данной области.
Цель программы - оказание консультационных, образовательных услуг и разработка программных продуктов для осуществления технической поддержки финансового бизнеса.
Услуги включают консалтинг по направлениям:
1.	Количественные финансы и финансовая инженерия
•	Рыночные и кредитные деривативы
•	Структурные продукты
•	Финансовые продукты со встроенными деривативами
2.	Риск-менеджмент
* Организация системы управления рисками
• Количественные методы оценки финансовых рисков Портфельные риски Хеджирование рисков
3.	Управление активами/пассивами
4.	Управление портфелем и оценка эффективности с учетом риска
5.	Торговые стратегии и системы
Образовательные услуги представлены обучающим консультированием по тематикам:
•	Рынок финансовых деривативов
•	Математика финансовых деривативов
•	Количественные методы в финансах
*	Организация системы риск-менеджмента
•	Количественные методы оценки рисков
•	Практика управления рисками на Российском рынке
•	Практика торговли деривативами на фондовой бирже РТС
Более подробную информацию о наших услугах можно получить на сайте
www.ntovavilov.ru
Будем рады сотрудничеству со всеми заинтересованными лицами!
IV
С 2002 года Издательство НТО имени академика С.И. Вавилова издает серию книг «Теория и практика финансового рынка». Международным центром в Париже настоящей серии был присвоен номер ISSN.
Автор серии Буренин Алексей Николаевич - доктор экономических наук, профессор, один из ведущих специалистов в области рынка ценных бумаг и производных финансовых инструментов, заведующий кафедрой «Фондового рынка» МГИМО(У) МИД РФ.
В 2004 году Институтом международных отношений МИД РФ автору серии было присвоено звание лауреата премии имени И.Д. Удальцова.
Книги серии рекомендованы Федеральной комиссией по рынку ценных бумаг России (ФСФР) для подготовки к специализированному экзамену серии 7.0 и экзамену по «Базовому курсу по рынку ценных бумаг». Книги также включают материал для подготовки к специализированным экзаменам серии 1.0 и 5.0.
Первая книга серии «Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов» вышла в 2002 году. В ней рассматриваются вопросы организации и функционирования рынка ценных бумаг и производных финансовых инструментов, раскрываются основные понятия, теоретические концепции и инструментарий современного финансового рынка.
Вторая книга серии «Фьючерсные, форвардные и опционные рынки» вышла в 2003 году. В ней рассматриваются вопросы организации и функционирования срочного рынка, раскрываются основные понятия, теоретические концепции, инструментарий и стратегии, используемые участниками современного финансового рынка.
Третья книга серии «Управление портфелем ценных бумаг» вышла в 2005 году. В ней рассматриваются вопросы управления портфелем ценных бумаг, основные концепции и финансовые стратегии, используемые в этой области деятельности. В книге широко представлен материал по использованию программы Excel для финансовых расчетов и построения моделей.
Настоящее издание - четвертая книга серии.
В 2006 году издательство планирует выпустить «Сборник задач с решениями по рынку ценных бумаг». На 2006 год запланировано издание книги «Процентные финансовые инструменты и кривая доходности».
Вице-президент НТО
Шенцева Ирина
ЧАСТЬ I. ФОРВАРДНЫЙ И ФЬЮЧЕРСНЫЙ РЫНКИ
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РЫНКА ПРОИЗВОДНЫХ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ
В данной главе дается общее представление о функциях, структуре, современном состоянии и участниках рынка производных финансовых инструментов.
Временной срез рыночной экономики представлен двумя сегментами: спотовым и срочным рынками. Спотовый рынок - это рынок, на котором сделка заключается и сразу же исполняется. Законодательство разных стран обычно отводит контрагентам несколько дней с момента заключения сделки для осуществления взаиморасчетов. Цену, возникающую в сделках на спотовом рынке, называют спотовой.
Срочный рынок - это рынок, на котором заключаются и обращаются срочные контракты. Срочный контракт представляет собой соглашение о будущей поставке предмета контракта. В момент его заключения оговариваются все условия, на которых он будет исполняться, в том числе и цена.
В основе контракта лежит некоторый актив. Его называют базисным активом. В качестве базисного актива обычно выступают ценные бумаги, фондовые индексы, банковские депозиты, валюта, собственно товары, сами срочные контракты. Однако в практике встречаются и более экзотические базисные активы. Например, на западных рынках базисным активом является погода, или точнее, индексы на погоду. В отечественной практике в период выборной президентской кампании 1996 г. торговался так называемый 'президентский фьючерс", в котором базисными активами выступали кандидаты на пост президента.
В основе срочного контракта могут лежать финансовые или товарные активы. В первом случае говорят о финансовых, во втором о товарных срочных контрактах.
Срочный контракт возникает на основе базисного актива. Поэтому его также называют производным активом, т. е. инструментом, производным от базисного. Следует, однако, подчеркнуть, что понятие “производный актив” шире понятия “срочный контракт”. Произ
водный актив-это актив, цена которого зависит от базисного. Поэтому производным активом является и АДР. АДР - это производный актив спотового рынка. В качестве другого примера можно назвать сертификаты ETF.1
В отечественной литературе в качестве синонима понятия производный инструмент используется также термин дериватив. Он является прямой калькой с английского языка. На английском слово производный - это derivative.
Срочный рынок выполняет в экономике важные функции. Во-первых, позволяет согласовывать планы предпринимателей на будущее. Заключив срочный контракт, предприниматели обеспечивают себе гарантированный сбыт или покупку товара в будущем. Это дает возможность планировать производственный процесс. Во-вторых, позволяет страховать ценовые риски. В контракте контрагенты устанавливают цену будущих взаиморасчетов. Поэтому, они не зависят от конъюнктуры рынка, которая сложится к моменту истечения его срока. В-третьих, он позволяет прогнозировать будущую конъюнктуру. На срочном рынке формируются срочные цены. Они в определенной степени отражают ожидания участников рынка относительно будущего состояния экономики. Поэтому уже сегодня общество может составить представление о векторе развития будущей хозяйственной конъюнктуры.
Срочный рынок является высокодоходным, но и очень рискованным полем инвестирования. Доходность спекулятивных операций с производными инструментами потенциально может достигать нескольких тысяч процентов годовых. Однако большими могут оказаться и потери. Например, 25 февраля 1995 г. был объявлен банкротом английский инвестиционный банк “Бэрингс”, история которого насчитывала 233 года. Причина заключалась в том, что трейдер сингапурского отделения банка Ник Писон потерял за очень короткое время на фьючерсных и опционных контрактах на индекс Никкей 225 1,3 млрд. долл.
Похожая история произошла с инвестиционным фондом “Long Term Capital Management". Фонд был основан в 1994 г., и в основном осуществлял операции с такими производными активами как процентные свопы2, играя на изменении доходностей активов между различ-
1 Подробно о ETF (Exchange Traded Fund) см в книге А.Н.Буренина "Управление портфелем ценных бумаг", Научно-техническое общество им. академика С.И Вавилова, М , 2005, глава 6
2 Своп представляет собой соглашение между контрагентами об обмене в будущем платежами в соответствии с условиями контракта. Наиболее распространены процентные и валютные свопы. Характеристику свопов см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", Научно-техническое общество им академика С.И.Вавилова, М., 2002, глава 15
Глава 1. Общая характеристика рынка производных финансовых инструментов ными рынками. В состав управляющих фонда вошли лауреаты нобелевской премии по экономике Р.Мертон и М.Шоулз, бывший руководитель Федеральной резервной системы США Д.Муллин и известный специалист в области международных финансов Дж. Меривеза. Капитал фонда составлял 4 млрд. долл. Фонд заключил срочные контракты более чем на 1,25 трлн, долл. В 1995 и 1996 годах доходность по его операциям превосходила 40%. Однако в 1998 г. в результате кризиса на финансовых рынках он проиграл 90% своего капитала.
Структурно на срочном рынке выделяют первичный и вторичный, биржевой и внебиржевой сегменты. По виду торгуемых инструментов его можно подразделить на форвардный, фьючерсный, опционный рынки и рынки свопов и ФРА3.
Участниками рынка являются хеджеры, спекулянты и арбитражеры. Спекулянт - это лицо, стремящееся получить прибыль за счет разницы в курсовой стоимости финансовых активов, которая может возникнуть во времени. Если спекулянт прогнозирует рост цены актива, он играет на повышение, т.е. покупает актив в надежде продать его позже по более высокой цене. Таких спекулянтов часто называют быками. Если спекулянт прогнозирует падение цены актива, он играет на понижение, т.е. продает актив в надежде выкупить его в последующем по более низкой цене. Таких спекулянтов именуют медведями. Спекулянт обычно осуществляет краткосрочные операции. Когда он начинает операцию, то говорят, что он открывает позицию, когда завершает - закрывает позицию. Спекулянт, открывающий позицию на очень короткое время, называется скальпером. Скальпер держит позицию открытой от нескольких секунд до нескольких минут. Его риск и, соответственно, прибыль по каждой операции обычно невелики, так как за небольшой промежуток времени курс актива, как правило, изменяется не сильно.
Арбитражер - это лицо, извлекающее прибыль без риска за счет одновременной покупки и продажи одного и того же актива на разных рынках, если на этих рынках наблюдаются разные цены. В результате действий арбитражеров цена одного и того же актива на разных рынках выравнивается. Синонимом понятия 'арбитражная операция ' является понятие “операция без риска”.4
' ФРА (Forward Rate Agreement) - соглашение между контрагентами об обмене в будущем платежами на основе краткосрочных процентных ставок. Подробно о ФРА см. в книге А.Н.Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., “Научно-техническое общество им. академика С.И. Вавилова”, 2002, параграф 15.9.
4 Более подробные определения спекулянта, арбитражера и арбитражной операции см. п книге А.Н.Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”,
Хеджер - это лицо, страхующее ценовой риск или риск изменения объемов производства или потребления некоторого актива. Операция по страхованию называется хеджированием. В качестве хеджеров выступают главным образом лица, занимающиеся бизнесом и желающие обеспечить стабильность своих доходов и расходов в условиях неустойчивой конъюнктуры рыночной экономики. Понятие ценового риска включает в себя не только риск изменения собственно товарных цен, но и процентных ставок, курсов валют, ценных бумаг. Компания, занимающаяся экспортно-импортными операциями, будет использовать срочные контракты на валюту для хеджирования валютных рисков. Если предприятие прибегает к кредитам для финансирования своей деятельности, оно воспользуется срочными контрактами на процентные инструменты для страхования от роста процентных ставок. Если компания размещает средства на депозитах, например, страховая компания, или банк, выдающий кредиты, она будет заключать срочные контракты для страхования от падения процентных ставок. Лицо, управляющее портфелем ценных бумаг, воспользуется срочными контрактами для страхования от роста или падения курсовой стоимости финансовых активов.
С появлением срочных контрактов на погоду участники рынка получили возможность хеджировать риск изменения объемов производства и потребления базисных активов в связи с изменением погоды.
На срочном рынке пользуются следующей терминологией. Если лицо заключает срочный контракт для покупки базисного актива, то говорят, что оно покупает контракт или открывает длинную позицию. Если лицо заключает срочный контракт для продажи базисного актива, то говорят, что оно продает контракт или открывает короткую позицию. Соответственно возникают понятия “длинный контракт"' и “короткий контракт"". В первом случае это означает покупку контракта, во втором - продажу.
Исторически срочный рынок возник давно. Его истоки уходят в историческое прошлое предпринимательства. Например, в средние века в Японии заключались срочные контракты на рис. Зарождение организованной срочной торговли можно отнести к появлению в 1751 г. Нью-Йоркской продовольственной биржи. Первая срочная биржа - Чикагская торговая палата (СВТ) была образована в 1848 г. для торговли фьючерсными контрактами на сельскохозяйственную продукцию. Однако действительно бурное развитие срочный рынок получил только в 70-80-е годы прошлого века. В это время
М., "Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова", 2002. параграф 2.8, и »
Гпава 1 Общая характеристика рынка производных финансовых инструментов стали активно формироваться срочные биржи. В 1972 г. был образован Международный валютный рынок (IMM), являющийся подразделением Чикагской товарной биржи (СМЕ). В 1973 г. начала работу Чикагская биржа опционов (СВОЕ), где впервые открылась торговля биржевыми опционами. Лондонский рынок торгуемых опционов (LTOM) образован в 1978 г. при Лондонской фондовой бирже. В 1979 г. возникла Нью-Йоркская фьючерсная биржа (NYFE). В 1982 г. образована Лондонская международная биржа финансовых фьючерсов (LIFFE). В этом же году открылась торговля срочными контрактами на Филадельфийской фондовой бирже (PHLX). Во Франции в 1985 г. образована Биржа финансовых фьючерсов (MATIF), и т. д.
В 1998 г. произошло объединение Немецкой срочной биржи (DTB) и Швейцарской биржи опционов и финансовых фьючерсов (SOFFEX), в результате чего образовалась срочная биржа Eurex.
В 2000 г. произошло слияние Французской биржи (Societe des Bourses Francaises), Бельгийской биржи (Combined Belgian Stock Exchange and Belgian Futures and Options Exchange) и Амстердамской биржи (Combined Amsterdam Stock Exchange and Amsterdam Options Exchange) и образовалась биржа Euronext-рап European Exchange. В 2001 г. к Euronext присоединилась LIFFE, а в 2002 г. Португальская биржа. Euronext действует как самостоятельные подразделения Euronext Paris, Euronext Brussels, Euronext Amsterdam Lisbon, Euronext UK.
Активное развитие срочного рынка в конце прошлого столетия было стимулировано такими факторами как либерализацией финансового сектора экономики западных стран, быстрым ростом активов институциональных инвесторов, прогрессом в области информационных технологий. Важным фактором явилось также опубликование в 1973 г. Ф.Блэком и М.Шоулзом работы, посвященной оценке стоимости опционов. Она позволила поставить теорию оценки стоимости производных инструментов на объективную математическую основу.
К настоящему моменту срочный рынок достиг больших масштабов. Данные по общему объему биржевой торговли фьючерсными и опционными контрактами в 2003 и 2004 годах и в разбивке по базисным активам представлены в таблицах 1.1 и 1.2. В целом в 2003 г. на биржах было заключено 7920,27 млн. контрактов, в 2004 г. - 8665,38 млн. контрактов. По сравнению с 2003 г. в 2004 г. прирост составил 9,4%. В 2002 г. было заключено порядка 6 млрд, контрактов. По сравнению с 2002 г. в 2003 г. прирост соста-
вил 31%. Практически аналогичный прирост (28%) наблюдался в 2002 г. по сравнению с 2001 г.5 За последние 20 лет - с 1984 г. по 2004 г среднегодовой темп прироста количества торгуемых контрактов равнялся 21% Данная цифра соответствует удвоению объемов торговли каждые 3,5 года.6 7 8
Из общего объема торговли в 2003 г. 34,5% пришлось на фьючерсы и 64,5% на опционы. В 2004 эти цифры соответственно составили 37,1% и 62,9%. Наиболее популярными контрактами в 2003 и 2004 годах были опционы на фондовые индексы. Их уд. вес в общей биржевой торговле составил соответственно 42,4% и 36,2% Второе место занимали опционы на акции - 18,5% и 21,7%, третье - фьючерсы на долгосрочную процентную ставку -10,9% и 11,3%.
Таблица 1.1. Объем фьючерсной торговли е 2003-2004 годах
(млн, контрактов)7______[________'_______________
Год	Фьючерсные контракты на						Всего
	акции	фондовые индексы	краткосрочную процентную ставку	долгосрочную процентную ставку	валюту	товары	
2003	84,96	695,99	707,75	863,42	55,65	321,22	2728,99
2004	126.06	754,47	917,23	976,83	82,59	359,00	3216,18
Таблица 1.2. Объем биржевой опционной торговли в 2003-2004
годах (млн, контрактов)8__________________________________
Год	Опционные контракты на						Всего
	акции	фондовые индексы	краткосрочную процентную ставку	долгосрочную процентную ставку	валюту	товары	
2003	1468,34	3357,35	182,99	118,91	13,94	49,95	5191,48
2004	1876,89	3137,48	216,87	143,50	12,94	61,52	5449,20
5 World Federation of Exchanges Annual Report and Statistics 2004, p 16
6 G Burghard FIA Annual Volume Survey The Invigorating Effects of Electronic Trading, http //www futuresindustry org/fimagazi-1929 asp9a=1026
7 Составлено по источнику World Federation of Exchanges Annual Report and Statistics 2004, pp 85-92
8 Составлено по источнику World Federation of Exchanges Annual Report and Statistics
2004, pp 85-92
Наиболее активно на биржах торгуются финансовые срочные контракты. Уд. вес товарных контрактов составлял в 2003 и 2004 годах соответственно только 4,69% и 4,85%.9
Совокупный номинал внебиржевых срочных контрактов в западной экономике в декабре 2004 г. составил 248,288 трлн, долл., биржевых финансовых контрактов - 46,592 трлн. долл. (см. табл. 1.3, 1.4 и 1.5). Для сравнения можно сказать, что совокупный номинал внебиржевых срочных контрактов в декабре 2000 г. равнялся 95,2 трлн, долл., биржевых - 14,3 трлн, долл., в 1987 г. совокупный номинал биржевых контрактов составлял только 729,9 млрд. долл. 10 11 12
Таблица 1.3. Совокупный контрактный номинал внебиржевых
срочных контрактов на конец года (трлн. долл. США)"			
Контракты на:	Год		
	2002	2003	2004
валюту	18,448	24,475	29,575
процентную ставку	101,658	141,991	187,340
акции и фондовые индексы (Equity-linked)	2,309	3,787	4,385
товары	0,923	1.406	1.439
Прочие	18,328	25,508	25,549
Всего	141,665	197,167	248,288
Таблица 1.4. Совокупный контрактный номинал финансовых фьючерсных контрактов (трлн, долл. США)'2
Контракты на:	год			
	2002 декабрь	2003 декабрь	2004 декабрь	2005 март
валюту	0,047	0,0801	0,1042	0,0875
процентную ставку	9,9556	13,1237	18,1649	20,4496
фондовые индексы	0,3255	0,5019	0,6343	0,7124
Всего	10,3281	13,7057	18,9034	212494
9 Рассчитано на основе таблиц 1.1 и 1.2.
10 Inlernaiional Capital Markels. Developments, Prospects and Key Policy Issues, IMF, August 2001, p.21-23.
11 BIS Quarterly Review, June 2005, p.A99.
12 BIS Quarterly Review, June 2005, p.A104.
Часть i. Фореарс Таблица 1.5 биржевых on	)ный и фьючерсный рынки	 Совокупный контрактный номинал финансовых 4ионных контрактов (трлн. долл. США)]3			
Контракты на:	ГОД			
	2002 декабрь	2003 декабрь	2004 декабрь	2005 март
валюту	0,0274	0,0379	0,0607	0,060
процентную ставку	11,7595	20,7938	24,6041	34,3286
фондовые индексы	1,7008	2,2023	3,0239	3,7689
Всего	13,4876	23,034	27,6887	38,1574
Если судить по совокупному контрактному номиналу, то наиболее популярными контрактами в мировой практике как на внебиржевом, так и биржевом рынках являются срочные контракты на процентные ставки. Их уд. вес на внебиржевом рынке составляет более 70%, а на биржевом - более 90% (см. табл. 1.6). На внебиржевом рынке наибольший уд. вес в целом и среди процентных инструментов, занимают процентные свопы. Их доля в общем объеме внебиржевого рынка за последние годы превышает 55%, а среди процентных инструментов более 77% (см. табл. 1.7).
Таблица 1.6. Уд.вес срочных контрактов на процентные ставки
на внебиржевом	и биржевом рынках на конец года (%)14		
	год		
	2002	2003	2004
Внебиржевой рынок	71,76	72,02	75,49
Биржевой рынок (финансовые контракты)	91,18	92,32	91,79
Таблица 1.7. Доля процентных свопов на конец года, считая по контрактному номиналу, на внебиржевом рынке и среди кон-трактов на процентные ставки (%)15_____________
	ГОД		
	2002	2003	2004
Внебиржевой рынок в целом	55,85	56,40	59,35
Контракты на процентные ставки	77,83	78,32	78,66
13 BIS Quarterly Review, June 2005, p.A104.
14 Рассчитано на основе BIS Quarterly Review, June 2005. рр.АЭЭ, A104, таблицы 19, 23A.
15 Рассчитано на основе BIS Quarterly Review, June 2005, p A99, таблица 19.
На внебиржевом рынке преимущественно заключаются финансовые срочные контракты. Доля товарных контрактов на нем, считая по совокупному контрактному номиналу, составила только 0,71% в 2003 г. и 0,58% в 2004 М6
В настоящее время наиболее динамично на внебиржевом рынке развиваются кредитные срочные контракты. На конец 2004 г. их совокупный контрактный номинал равнялся 6,4 трлн. долл. США. По состоянию на конец июня 2004 г. за последние три года данный сегмент рынка вырос на 568%. По сравнению с ним весь внебиржевой рынок вырос только на 121 %,17
На биржевом рынке финансовых производных инструментов лидирующая роль принадлежит Североамериканскому континенту. По итогам 2004 г. его доля на фьючерсном рынке составляла 55,4%, на опционном - 61,9%, доля Европы соответственно - 31,6% и 37,3% (см. табл. 1.8,1.9).
Таблица 1.8. Торговля финансовыми фьючерсными контрактами по регионам мира, считая по контрактному номиналу и е процентах.'*
	год			
	2002 декабрь	2003 декабрь	2004 декабрь	2005 март
Все рынки (млрд.долл.США)	10328,1	13705.7	18903,4	21249,4
Доля (%)	100	100	100	100
Северная Америка (млрд.долл.)	5870,5	7700,0	10466,5	12445,0
Доля (%)	56,84	56,18	55,37	58,57
Европа (млрд.долл.)	3274,3	4362,8	5971,5	6340,9
Доля (%)	31,7	31,83	31,59	29,84
Азия и регион Тихого океана (млрд.долл.)	1084,5	1484,4	2293,8	2195,0
Доля (%)	10,5	10,83	12,13	10,33
Другие рынки (млрд.долл.)	98,8	158,5	171,6	268,6
Доля (%)	0,96	1,16	0,91	1,26
111 Рассчитано на основе таблицы 1.3.
17 BIS Quarterly Review, June 2005, p.50.
,н Составлено и рассчитано на основе BIS Quarterly Review, June 2005, p.A104, таблица 23A.
Часть / Форвардный и фьючерсный рынки
Таблица 1.9. Торговля биржевыми опционными контрактами по ре-
гионам мира, считая по контрактному номиналу и в процентах.™
	ГОД			
	2002 декабрь	2003 декабрь	2004 декабрь	2005 март
Все рынки (млрд.долл.США)	13487,6	23034,0	27688.7	38157,4
Доля (%)	100	100	100	100
Северная Америка (млрд.долп.)	7823,3	11803,9	17142,5	23406,5
Доля (%)	58,0	51,25	61,91	61,34
Европа (млрд.долл.)	5526,1	11043,3	10335,5	14477,4
Доля (%)	40,97	47,94	37,33	37,94
Азия и регион Тихого океана (млрд.долл.)	107,9	128,7	133,1	207,0
Доля (%)	0,8	0,56	0,48	0,54
Другие рынки (млрд.долл.)	30,3	58,0	77,6	66,5
Доля (%)	0,23	0,25	0,28	0,18
Наиболее популярными в 2004 г. срочными контрактами были: опцион на индекс Kospi 200 Корейской фьючерсной биржи (Kofex, 2586,8 млн. контрактов), фьючерс на трехмесячный евродолларовый депозит Чикагской товарной биржи (СМЕ, 297,58 млн. контрактов) и фьючерс на Euro-Bund, представленный на Еигех (239,79 млн. контрактов).19 20
По объемам торговли в 2004 г. первое место среди срочных бирж заняла Корейская фьючерсная биржа (2586,82 млн. контрактов), второе - Еигех (1065,64 млн. контрактов), третье - Чикагская товарная биржа (805,34 млн. контрактов), четвертое - Euronext.Liffe (790,38 млн. контрактов), пятое - Чикагская торговая палата (599,99 млн. контрактов). Если рассматривать торговлю только фьючерсными контрактами, то тогда первое место приходится на Еигех (684,63 млн. контрактов), второе - на Чикагскую товарную биржу (664,88 млн. контрактов), третье - Чикагскую торговую палату (489,23 млн. контрактов), четвертое - Euronext.Liffe (310,67 млн, контрактов) и пятое -Мексиканскую биржу производных инструментов (Mexican Derivatives Exchange, 210,36 млн. контрактов).21
19 Составлено и рассчитано на основе BIS Quarterly Review, June 2005, р.А104, таблица 23A.
20 G.Burghard. Global Futures and Options Volume 2004, http://www.futuresindustry.org/ fim agazi-1929.asp?a=1032
21 Там же.
Одним из существенных моментов развития срочного рынка в 2004 г. стало развитие фьючерсной торговли в Китае. Так, по количеству фьючерсных контрактов, заключенных в 2004 г. на биржах мира китайская биржа Dalian Commodity Exchange (DCE) занимает десятое место (88,03 млн. контрактов). Для сравнения можно отметить, что девятое место приходится на Нью-Йоркскую товарную биржу (133,28 млн. контрактов). С учетом опционной торговли DCE занимает 16-е место в мире. Ее контракт на соевые бобы (No.1 Soybeans) входит в двадцатку наиболее торгуемых контрактов в мировой практике. В 2004 г. он занял 18-е место (57,34 млн. контрактов). Объем торговли другим контрактом на DCE - на сою (Soy Meal) составил 24,75 млн. контрактов. Для сравнения можно отметить, что контракт на сою-бобы (Soybeans) на Чикагской торговой палате составил только 18,85 млн. контрактов. Следует подчеркнуть, что пока DCE обслуживает только внутренний рынок Китая,22
С переходом к рыночной экономике в начале 90-х годов прошлого века срочный рынок стал развиваться и в России. Возник ряд срочных бирж. Однако в результате финансового кризиса 1998 г. срочный рынок в нашей стране практически прекратил свое существование. В настоящее время идет процесс его развития. В 2001 г. произошло объединение Фондовой биржи ‘'Санкт-Петербург" и Фондовой биржи РТС. РТС выполняет функцию организатора торгов, а СП техническую поддержку торгов. На Фондовой бирже РТС сейчас сосредоточена подавляющая часть срочной торговли в России. Кроме того, она занимает второе место в мире по торговле фьючерсными контрактами на акции. Первое место занимает Национальная фондовая биржа Индии, третье - Euronext (см. табл. 1.10).
Таблица 1.10. Ведущие мировые биржи по фьючерсам на акции23
Биржа	Объем торговли (млн. контрактов)		Совокупный контрактный номинал (мпн. долл. США)		Количество открытых позиций (кол-во контрактов)	
	2004	2003	2004	2003	2004	2003
Национальная фондовая биржа Индии	44,021	25,573	344811	194659	38732	143512
РТС	39,062	31.782	10630	6414	318904	131255
Euronext	13,492	7,004	57850	20586	250838	444996
' Там же.
’ Источник: World Federation OF Exchanges. Annual Report and Statistics 2004, p.86.
Таблица 1.11. Объем торговли фьючерсами и опционами на Фондовой бирже РТС (тыс, долл. США)24__________________
Год	Фьючерсы	Опционы
2005 январь-апрель	3319350	518273
2004	10794123	940304
2003	6615700	397379
2002	2976857	43941
Объем торговли производными инструментами на РТС представлен в таблице 1.11. Как из нее следует, темп прироста объемов торговли фьючерсными контрактами в 2003 г. по сравнению с 2002 г. составил 122%, в 2004 г, по сравнению с 2003 г. - 63%. Аналогичные цифры по опционным контрактам составили соответственно 800% и 137%,
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Срочный рынок - это рынок, на котором заключаются и обращаются срочные контракты. Срочный контракт представляет собой соглашение о будущей поставке предмета контракта.
Актив, который лежит в основе срочного контракта, называют базисным.
Срочный рынок позволяет участникам экономических отношений страховать ценовые риски, риски изменения объемов потребления продукции и согласовывать планы хозяйственной деятельности на будущее.
В структуре срочного рынка можно выделить первичный и вторичный, биржевой и внебиржевой сегменты. По виду торгуемых инструментов его можно подразделить на форвардный, фьючерсный, опционный рынки и рынки свопов и ФРА.
Участниками срочного рынка являются спекулянты, хеджеры и арбитражеры. Хеджер - это лицо, страхующее ценовой риск или риск изменения объемов производства или потребления некоторого актива. Операция по страхованию называется хеджированием. Арбитражер - это лицо, извлекающее прибыль без риска за счет одновременной покупки и продажи одного и того же актива на разных рынках, если на этих рынках наблюдаются разные цены.
Если лицо заключает срочный контракт для покупки базисного актив, то говорят, что оно покупает контракт или открывает длинную позицию. Если лицо заключает срочный контракт для продажи базисного актива, то говорят, что оно продает контракт или открывает короткую позицию.
24 Интернет сайт http //www rts ru/index cfrrPid=2403
ГЛАВА 2. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ
В настоящей главе рассматриваются форвардные контракты. Вначале мы остановимся на общей характеристике контракта, определим понятия форвардной цены и цены поставки. Затем приведем формулы определения форвардной цены и цены форвардного контракта для разных базисных активов, остановимся на понятии внутренней ставки доходности форвардного контракта, В заключение рассмотрим синтетические форвардные позиции.
2.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА
Форвардный контракт - это срочный контракт, который заключается, как правило, вне биржи. Это индивидуальный контракт, соответствующий потребностям контрагентов. Он заключается для осуществления реальной продажи или покупки базисного актива и страхования продавца или покупателя от возможного неблагоприятного изменения цены. Заключение контракта не требует от контрагентов каких-либо расходов (здесь мы не принимаем в расчет возможные накладные расходы, связанные с оформлением сделки, и комиссионные, если она заключается с помощью посредника). Исполнение контракта происходит в соответствии с условиями, которые были согласованы участниками в момент его заключения.
Пример 1.
30 апреля лицо X заключило с лицом Y форвардный контракт на поставку 1 сентября 100 акций компании А по цене 100 руб. за одну акцию. В соответствии с условиями контракта лицо X 1 сентября передаст лицу F100 акций компании А, а лицо Yзаплатит за данные бумаги 10000 руб.
Форвардный контракт - это твердая сделка, т. е. сделка, обязательная для исполнения. Лицо, которое обязуется купить базисный актив по контракту, открывает длинную позицию, т.е. покупает контракт. Лицо, продающее базисный актив по контракту, открывает короткую позицию, т.е. продает контракт.
Предметом форвардного контакта могут выступать разные активы. Однако в мировой практике наиболее широкое развитие получил форвардный валютный рынок, и форвардные контракты активно
используются для хеджирования валютного риска. Приведем примеры страхования валютного риска с помощью валютного форварда.
Пример 2.
Импортер планирует через три месяца купить за границей товары, Ему нужна валюта. Чтобы не рисковать, он решает хеджировать покупку валюты трехмесячным форвардом на доллар США. Банки предлагают трехмесячные контракты по цене 1долл =30 руб. Импортер покупает контракт по данной котировке, т. е. заключает с банком контракт, в рамках которого обязуется купить доллары. Проходит три месяца, импортер уплачивает по контракту 30 руб. за один доллар и получает контрактную сумму.
В этот момент конъюнктура на спотовом рынке может оказаться любой. Допустим, курс доллара составил 31 руб. Однако по контракту импортер получает доллар по 30 руб.
Пусть курс доллара равен через три месяца 29 руб., но импортер обязан выполнить условия сделки и купить доллар за 30 руб.
Таким образом, заключение форвардного контракта застраховало импортера от неблагоприятной конъюнктуры, но не позволило воспользоваться благоприятной ситуацией,
В данном примере возникает общая закономерность для срочных контрактов, а именно: если страхуются от роста цены базисного актива, то покупают контракт, т.е. гарантируют себе на будущее цену покупки.
Пример 3.
Пусть в условиях примера 2 вместо импортера фигурирует экспортер, Через три месяца он должен получить валютную выручку, которую планирует конвертировать в рубли. Чтобы не рисковать, экспортер хеджирует будущую продажу долларов форвардным контрактом. Он продает форвард на доллары банку, т. е. заключает с банком контракт, в рамках которого обязуется продать доллары банку по цене 30 руб. за доллар.
Проходит три месяца, экспортер поставляет по контракту доллары по цене 30 руб. за один доллар и получает контрактную сумму.
Конъюнктура на спотовом рынке в этот момент может оказаться любой. Допустим, курс доллара составил 29 руб. Однако по контракту экспортер продает доллар по 30 руб.
Пусть курс доллара равен через три месяца 31 руб., но экспортер обязан выполнить условия сделки и продать доллар за 30 руб.
Таким образом, заключение форвардного контракта застраховало экспортера от неблагоприятной конъюнктуры, но не позволило воспользоваться благоприятной ситуацией.
В данном примере возникает общая закономерность для срочных контрактов, а именно: если страхуются от падения цены базисного актива, то продают контракт, т.е. гарантируют себе на будущее цену продажи.
Несмотря на то что форвардный контракт предполагает обязательность исполнения, контрагенты не застрахованы от его неисполнения в силу, например, банкротства или недобросовестности одного из участников сделки. Таким образом, для форвардного контракта характерен кредитный риск.
Форвардный контракт может заключаться с целью игры на разнице курсовой стоимости активов. Лицо, открывающее длинную позицию, рассчитывает на рост цены базисного актива, лицо, открывающее короткую позицию - на понижение его цены. Поясним сказанное на примерах.
Пример 4. Игра на повышение.
Пусть в примере 2 вместо импортера фигурирует спекулянт. Он ожидает, что курс доллара через три месяца составит 31 руб. Поэтому спекулянт покупает контракте котировкой 1 долл =30 руб.
Через три месяца курс доллара на спотовом рынке равен 31 руб. Спекулянт покупает доллар по контракту за 30 руб. и сразу продает его на спотовом рынке по 31 руб., выигрывая на одном долларе один рубль.
Если курс доллара к этому моменту упал до 29 руб., спекулянт проигрывает 1 руб. Он обязан исполнить форвардный контракт, т.е. купить доллар за 30 руб., а продать его может сейчас только за 29 руб.
выигрыши
30	31
проигрыши
Рис. 2.1. Игра на повышение
Графически выигрыши-проигрыши спекулянта в расчете на один доллар показаны на рис. 2.1. По горизонтальной оси представлен курс доллара в рублях, по вертикальной - выигрыши-проигрыши спекулянта. Покупка контракта, как и любого другого актива, изображена восходящей линией под углом 45 градусов, чтобы в пропорции один к одному перенести на вертикальную ось результат изменения курса доллара.
В данном примере возникает общая закономерность для срочных контрактов, а именно: если играют на повышение, то покупают контракт, выигрывают от роста цены и проигрывают от ее падения.
Пример 5. Игра на понижение.
Пусть в предыдущем примере спекулянт ожидает падения курса доллара через три месяца до 29 руб. Он играет на понижение, т.е. продает контракт за 30 руб.
Через три месяца доллар стоит 29 руб. Спекулянт покупает его на спотовом рынке за 29 руб. и поставляет по форвардному контракту за 30 руб., выигрывая рубль.
Пусть доллар стоит 31 руб. Чтобы исполнить контракт, спекулянт вынужден купить доллар на спотовом рынке за 31 руб. и поставить его по контракту за 30 руб. Его проигрыш равен 1 руб.
Графически выигрыши-проигрыши спекулянта в расчете на один доллар показаны на рис. 2.2, Продажа контракта, как и любого другого актива, изображена нисходящей линией под углом 45 градусов.
Рис. 2.2. Игра на понижение
В данном примере возникает общая закономерность для срочных контрактов, а именно: если играют на понижение, то продают контракт, выигрывают от снижения цены и проигрывают от ее роста.
Валютные форвардные контракты как правило имеют стандартные сроки обращения. Обычно это 1,2,3,6,9 и 12 месяцев.
По своим характеристикам форвардный контракт - это контракт индивидуальный. Поэтому вторичный рынок форвардных контрактов на большую часть активов но развит или развит слабо, Исключение составляет форвардный валютный рынок.
2.2.	ФОРВАРДНАЯ ЦЕНА И ЦЕНА ПОСТАВКИ
При заключении форвардного контракта согласовывается цена, по которой будет исполнена сделка. Ее называют ценой поставки. Она остается неизменной в течение всего времени действия контракта.
Существует также понятие форвардной цены базисного актива. Это цена актива для определенного времени в будущем, например, трехмесячнвя форвардная цена, шестимесячная форвардная цена и г,д. Это более общее понятие по сравнению с понятием цены поставки. Оно характеризует конъюнктуру данного актива относительно определенного момента времени в будущем. Когда участники контракта согласовывают цену поставки, они учитывают конъюнктуру рынка относительно этого момента и записывают данную цену как цену поставки по контракту. Поскольку в этой цене учтены все уело-ия конъюнктуры, то a этот момент она является и форвардной ценой актива для определенного момента времени в будущем. В следующие моменты времени конъюнктура рынка будет изменятся, поэтому в новых контрактах на данный актив, которые истекают одновременно с нашим первым контрактом, будет возникать и новая цена поставки и, соответственно, новая форвардная цена базисного актива. Поэтому можно сказать, что для каждом момента времени форвардная цена базисною актива - это цена поставки форвардном контракта, который был заключен в этот момент, Таким образом, на рынке в каждый момент времени для определенной даты в будущем существует форвардная цена базисного актива и она равна цене поставки форвардных контрактов, заключаемых в этот момент.
Пример.
1 марта заключается форвардный контракт на поставку акции компании А 1 июля по цене 100 руб. В момент заключения контракта
форвардная цена акции с поставкой 1 июля равна цене поставки, т. е. 100 руб. 1 апреля заключается еще один контракт на поставку акции компании А 1 июля по цене 120 руб. В новом контракте появилась новая цена поставки, так как изменилась конъюнктура рынка. Таким образом, форвардная цена акции 1 апреля (с поставкой 1 июля) равна цене поставки второго контракта, т. е. 120 руб. В этом случае цена поставки для первого контракта остается равной 100 руб., но форвардная цена акции с поставкой 1 июля в этот момент составляет 120 руб.
2.3.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРВАРДНОЙ ЦЕНЫ И ЦЕНЫ ФОРВАРДНОГО КОНТРАКТА
Форвардная цена актива строится на безарбитражном подходе. В его рамках форвардная цена актива должна быть такой, чтобы невозможно было заработать арбитражную прибыль. Рассмотрим арбитражный подход применительно к разным активам. Чтобы показать существо вопроса, допустим, что ставки по кредитам и депозитам равны, и инвестор имеет возможность занимать базисный актив на время без уплаты процентов. В последующем данные ограничения можно будет опустить.
2.3.1.	Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому не выплачиваются доходы
2.3ЛЛ. Форвардная цена акции
Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому не выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта дивиденды не выплачиваются.
Инвестор хотел бы владеть через шесть месяцев акцией компании А. Он может получить ее двумя способами: купить сегодня на спотовом рынке и держать полгода, или купить шестимесячный форвардный контракт. Тогда через полгода ему будет поставлена акция. Возникает вопрос, какой должна быть форвардная цена? Она должна быть такой, чтобы с финансовой точки зрения оба варианта действий для инвестора были одинаковыми, т.е. он должен быть безразличен в выборе первого или второго варианта. Как создать такое безразличие? Если инвестор купит акцию по форвардному контракту, то сегодня он может разместить под ставку без риска на шестимесячном депозите сумму денег равную спотовой цене акции. Через полгода по депозиту он получит сумму денег равную спот-цене акции
плюс начисленные на нее проценты. Поэтому, если в качестве форвардной цены акции в контракте записать данную сумму, то инвестор будет безразличен в выборе первого или второго вариантов действий. С финансовой точки зрения они для него одинаковые, поскольку и в первом и во втором случае в начальный момент времени от него требуется сумма денег равная спотовой цене акции. На основе приведенных рассуждений можно записать общий алгоритм определения форвардной цены. Она равна цене спот базисного актива плюс безрисковый процент на цену спот за период действия контракта. Представим формулу определения форвардной цены в общем виде:
F = S 1 + г--
\	базаj
(2.1)
где F- форвардная цена акции;
5 - спотовая цена акции;
г-ставка без риска;
Г- период времени до истечения форвардного контракта;
база - финансовый год.
Пример.
В момент заключения форвардного контракта цена спот акции равна 100 руб., ставка без риска 10%. Определить шестимесячную форвардную цену.
Решение.
Л = 100| 1 + 0,1 —
I 12 J
Рассчитанная в примере цена называется теоретической форвардной ценой. Она должна быть именно такой, иначе откроется возможность совершить арбитражную операцию и заработать прибыль без риска. Покажем это на цифрах.
Допустим, фактическая форвардная цена на рынке ниже теоре-1ической и равна 103 руб. Тогда арбитражер сегодня покупает форвардный контракт по цене 103 руб., так как он стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт, он обязуется купить акцию через шесть месяцев, поэтому сейчас акцию надо продать по спотовой । делке. В связи с этим он занимает акцию у брокера и продает ее на i потовом рынке за 100 руб., и размещает их на шестимесячном безрисковом депозите под 10%.
Через полгода он получает от инвестирования 100 руб. сумму в 105 руб., уплачивает по контракту за акцию 103 руб. и возвращает ее брокеру. Прибыль арбитражера равна:
105-103 = 2руб.
Таким образом, если фактическая форвардная цена окажется ниже теоретической, то арбитражеры своими действиями сразу же вернут ее к 105 руб., так как начнут активно покупать форвардные контракты.
Выше мы упростили ситуацию, допустив возможность занять акцию без процентов. Это условие можно опустить, если на рынке имеется достаточное количество лиц, владеющих акциями данной компании. В этом случае при возникновении на рынке шестимесячной форвардной цены в 103 руб. владелец акции сразу же: а) купит форвардный контракт; б) продаст акцию на спотовом рынке за 100 руб.; б) разместит полученные средства на безрисковом депозите на полгода под 10%.
Через шесть месяцев он: а) получит по депозиту 105 руб.; б) уплатит по контракту 103 руб. и вернет себе акцию.
Таким образом, он по-прежнему будет владеть акцией, но дополнительно получит еще доход в размере 2 руб. за счет совершенной операции. В результате таких действий фактическая форвардная цена быстро вернется к ее теоретическому уровню.
Пусть владельцы акций не оказывают своими действиями влияния на формирование форвардной цены, и для совершения арбитражной операции арбитражеру необходимо уплатить брокеру за акцию проценты. В такой ситуации характер и последовательность действий арбитражера останутся прежними. Единственное, что может измениться, - это уровень форвардной цены. Она должна быть такой, чтобы за счет разницы между теоретической и фактической ценами арбитражер смог покрыть проценты за кредит и получить прибыль. Допустим, в нашем примере процент брокера за кредит по акции составляет 2 руб. Тогда арбитражная операция будет возможна, если фактическая форвардная цена окажется ниже 103 руб. Если же процент брокера за кредит меньше 2 руб., например, равен 1,5 руб., то инвестор совершит операцию, уплатив брокеру данную сумму за кредит по акции. В этом случае его прибыль составит 0,5 руб.
Допустим теперь, что фактическая форвардная цена выше теоретической и равна 107 руб. Тогда арбитражер сегодня продает форвардный контракт по цене 107 руб., занимает 100 руб. под 10% на полгода, покупает на них акцию и хранит ее.
Через шесть месяцев он поставляет по контракту акцию за 107 руб., возвращает кредит в сумме 105 руб. Его прибыль равна:
107 -105 = 2руб.
Таким образом, если фактическая цена окажется выше теоретической, то арбитражеры быстро восстановят их равенство своими операциями, активно продавая форвардные контракты.
В рассмотренном примере в первом случае арбитражер покупал контракт по 103 руб., осуществлял короткую продажу акции на спото-hom рынке и размещал 100 руб. на шестимесячном депозите. Финансовый результат он получал к моменту истечения контракта. Может пи арбитражер воспользоваться будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ на этот вопрос является утвердительным. Сумма денег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной сюимости будущей арбитражной прибыли. В примере арбитражная прибыль составила 2 руб. Поэтому в момент заключения контракта можно воспользоваться суммой:
--------7—--Г = 1$РУ6 1 + 0,1(6/12)
Таким образом, из 100 руб, которые арбитражер получит от пролижи акции на спотовом рынке, он может сразу израсходовать 1,9 руб. Оставшуюся сумму:
100-1,9 = 98,1^6.
ст разместит на депозите. К моменту окончания действия контракта получит по депозиту:
Г	6^
98,1 1 + 0,1 —
I	12 )
Купит акцию по контракту и вернет его брокеру.
Чтобы определить сумму арбитражной прибыли на момент начали операции, можно рассуждать следующим образом. К моменту пкончания контракта арбитражер должен располагать суммой в 103 руб чтобы уплатить их по контракту. Следовательно, в начале операции надо разместить на депозите сумму равную дисконтированной । юимости данной величины:
103
-----7----г = 98,1руб.
1+0,1(6/12) Л
От короткой продажи акции арбитражер получает 100 руб. Поэтому из этой суммы он 98,1 руб. разместит на депозите, а:
100-98,1 = 1,9 руб.
может использовать сразу в качестве арбитражной прибыли,
В рассмотренном примере во втором случае арбитражер продавал контракт по 107 руб,, занимал 100 руб, на шесть месяцев и покупал акцию на спотовом рынке. Финансовый результат он получал к моменту истечения контракта. Может ли арбитражер воспользоваться будущей прибылью сразу же, т.е. в момент начала осуществления арбитражной операции, и в каком объеме? Ответ также является утвердительным. Сумма денег, которую можно использовать сразу, равна дисконтированной стоимости будущей арбитражной прибыли, т.е. вновь:
1 + 0,1(6/12) " 1,9РУб'
Чтобы получить данную сумму в момент заключения контракта, арбитражер должен действовать следующим образом. Через полгода за акцию контрагент уплатит ему 107 руб. по контракту. Поэтому сегодня он может взять шестимесячный кредит в размере:
——7—г = 101,9 руб.
1 + 0,1(6/12)
(107 руб, составят сумму долга с процентами.)
Из этой суммы за 100 руб. он покупает на спотовом рынке акцию. Оставшиеся:
101,9-100 = 1,9руб.
составляют его прибыль. Через полгода арбитражер поставляет по контракту акцию за 107 руб. и возвращает данные средства в погашение кредита.
Формулу (2,1) можно использовать для определения форвардной цены бескупонных облигаций.
Пример.
Цена спот краткосрочной облигации равна 85%, ставка без риска - 10%. Определить форвардную цену облигации с поставкой через месяц. Она равна: 1/1
( 1
F-85 1 + 0,1— = 85,71%.
I  12J
Форвардную цену бескупонной облигации можно также определить дисконтированием номинала под форвардную процентную ставку1, а именно:
100
1 + гф(Т / база)
। де гф - форвардная ставка для периода Т.
Пример.
Государственная краткосрочная облигация погашается через 90 дней. 30-дневная форвардная ставка без риска через 60 дней равна 10% годовых, финансовый год составляет 365 дней. Определить 60-дневную форвардную цену бескупонной облигации. Она равна:
На рынке производных инструментов в формулах активно используется непрерывно начисляемый процент.2 Это в первую очередь связано с определением вероятностной модели доходности актива. Оказывается, что более приближенной к реальности вероятностной моделью доходности актива является модель, использующая в качестве случайной переменной не простую доходность, а непрерывно начисляемую доходность.3 Запишем формулу (2.1) с использованием непрерывно начисляемого процента:
F = SerT
(2.2)
где г - непрерывно начисляемая ставка без риска;
Т - время действия контракта в годах.
На практике доходность обычно задается как простой процент в расчете на год. Для пересчета его в эквивалентный непрерывно начисляемый процент служит следующая формула:
1 Определение форвардной процентной ставки см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., 2002, глава 6.
2 О непрерывно начисляемом проценте см. в книге А.Н. Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов". М., 2002, параграф 3,1.2,3,
3 Более подробно об этом вопросе см. в книге А.Н, Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., 2002, параграф 9.3.
i t г ru = т In 1ч—
I т
(2.3)
где гн - непрерывно начисляемый процент;
г - простой процент;
т - частота начисления простого процента в рамках года.
Соответственно, определить простой процент на основе непрерывно начисляемого можно по формуле:
г — т ет-1
(2.4)
Приведем пример на использование формулы (2.2).
Пример.
Цена спот акции 100 руб,, трехмесячная ставка без риска на основе простого процента равна 10% годовых. Определить трехмесячную форвардную цену с помощью формулы (2,2).
Решение,
Определяем эквивалентный непрерывно начисляемый процент;
Г on гл=41п 1 + — = 0,09877 или 9,877%.
4 )
Трехмесячный период, представленный в годах, составляет:
3/12 = 0,25 года.
Форвардная цена равна:
F = lOOe(),()%770,25 = 102,5дуб.
Докажем формулы (2.1) и (2.2) на основе подхода, не допускающего получения арбитражной прибыли. Доказательство проведем для случая непрерывно начисляемого процента.
Имеется два портфеля Л и В. Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит f , и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки Ke~rl, где К - цена поставки акции, г непрерывно начисляемая ставка без риска, Т время действия контракта. Сумма денег Ке~гТ инвестируется под процент г на время Т . В портфель В входит одна акция, цена спот которой равна 5 .
По прошествии времени Т портфель В состоит из одной акции. II портфель А также входит одна акция, поскольку величина Ке~гТ hi время Т выросла до суммы К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту. Таким образом, стоимости портфелей Ли В равны в конце периода Т. Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:
f + Ке~'т = S.	(2.5)
Поскольку в момент заключения контракта его стоимость (/) равна нулю, а цена поставки равна форвардной цене (К = F), то
FerT = S
ИЛИ
F = SerT.
2.3.1.2. Цена форвардного контракта
Когда заключается форвардный контракт, его цена равна нулю, так как форвардная цена равна цене поставки. Однако по прошествии времени контракт получит некоторую цену. Прошло время, возможно изменилась и процентная ставка, поэтому на рынке возникла новая форвардная цена. Однако наш форвардный контракт дает инвестору возможность получить базисный актив по цене поставки, которая отличается от цены поставки контрактов, заключаемых в данный момент времени. Рассмотрим вопрос определения цены форвардного контракта на примере.
Пример 1.
В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту выросла до 120 руб. Необходимо определить цену контракта,
В соответствии с условием контракта его владелец через три месяца должен будет заплатить 105 руб. за акцию. Дисконтированная стоимость данной суммы сейчас равна:
------т----г - 102,44руб.
1 + 0,1(3/12)
Инвестор может разместить данную сумму на безрисковый депозит на три месяца и купить по некоторой цене форвардный контракт. Тогда через три месяца он получит акцию. В то же время, он может купить сегодня акцию за 120 руб. на спотовом рынке. Тогда через три месяца он также будет располагать акцией. На акцию не выплачиваются дивиденды, поэтому сегодня оба варианта действий должны быть одинаковыми для него с финансовой точки зрения, поскольку в конце периода они приносят ему одинаковый результат. Поэтому можно записать равенство:
/4102,44 = 120^6.
Отсюда:
/ = 120-102,44 = 17,56руб.
Таким образом, цена форвардного контакта равна разности между ценой акции в момент продажи форвардного контракта и приведенной стоимостью цены поставки к моменту его перепродажи. Запишем сказанное в виде формулы:
14- г(г ! база}
или для непрерывно начисляемого процента: / = 5-^г.
Умножим обе части формулы (2.6) на
база )
база)
база )
(2-6)
(27)
где Т - время, остающееся до истечения контракта.
( т \
В формуле (2.8) величина 5 1 + г---
базаJ
является новой форвард-
ной ценой акции для момента перепродажи контракта. Поэтому:
или
F-K
1 + г(Г / база)
(2.9)
Дня непрерывно начисляемого процента эквивалентом формулы (2 9) является формула:
f = (F-K)e-'T.
(2.Ю)
1аким образом, формулы (2.9) и (2.10) показывают, что цену форвардного контракта можно найти дисконтированием разности между новой форвардной ценой, т.е. форвардной ценой в момент продажи контракта, и ценой поставки контракта.
Мы рассмотрели цену форвардного контракта для участника, занимающего длинную позицию. Чтобы получить стоимость контракта для участника с короткой позицией, необходимо формулы (2.6), (2,7) и (2,9), (2.10) умножить на минус один. В частности для случая непрерывно начисляемого процента получим:
~f = Ke~rT-S
-f = (K-FYrT
где -f - цена контракта для лица с короткой позицией.
Поскольку цена спот акции в последующем может как вырасти, так и упасть, то цена форвардного контракта может иметь как положительную, так и отрицательную цену. Причем, если для участника с длинной позицией цена положительная, то для участника с короткой позицией она отрицательная, и наоборот. Отрицательная цена для участника контракта означает: для того, чтобы освободиться от обязательств по форварду, ему необходимо уплатить данную сумму новому лицу, которое займет его позицию в контракте. Так в рассмотренном примере, если контракт перепродает лицо с короткой позицией, то ему придется уплатить покупателю, который возьмет на себя его обязательства, 17,56 руб. Этого требует принцип получения одинакового результата при разных вариантах действий. В нашем случае лицо, желающее открыть короткую позицию по акции с поставкой через три месяца, может не покупать уже действующий контракт, а продать новый форвардный контракт. Тогда в нем будет записана цена поставки:
(	3
F = 120 1 + 0,1 —
I	12
Купив старый контракт, оно сможет продать акцию только по 105 руб. Естественно, такой вариант является для него не выгодным. Однако, если продавец контракта уплатит ему 17,56, то, разместив их на трехмесячном депозите, новый владелец контракта получит:
(	3 А
17,561 1 + 0,1 — 1 = 18/?уб.
В сумме с поставкой акции по контракту за 105 руб. данный вариант действий также обеспечит ему получение через три месяца 123 руб.
Если в примере 1 цена форвардного контракта будет отлична от 17,56 руб, то можно совершить арбитражную операцию. Проиллюстрируем это на цифрах.
Пример 2. (Сохраняются условия примера 1).
Алгоритм действий арбитражера можно получить на основе формулы (2.6).
Пусть форвардный контракт для участника с длинной позицией стоит 17 руб. Тогда равенство (2.6), не допускающее арбитражной ситуации, превращается в неравенство:
1 + г(Т / база)
(2-11)
Представим левую часть неравенства как портфель А правую - как портфель В. Поскольку портфель А стоит дешевле, его необходимо купить. Портфель В стоит дороже, его следует продать. Покупка актива обозначается знаком плюс. Знак плюс стоит перед знаком f. Продажа актива обозначается знаком минус. Поэтому для определения действий, которые означают продажу портфеля В, умножим правую часть неравенства (2.11) на минус один и раскроем скобки:
S------------т
1+ \Г/база) j
1 + (Гбаза)
(2.12)
Знак минус перед 5 говорит о том, что акцию надо продать. Поскольку арбитражер акцией не располагает, ее следует занять. Знак плюс перед вторым слагаемым выражения (2.12) означает: деньги, полученные от короткой продажи акции, надо разместить на депози
те. В целом в рамках арбитражной стратегии инвестор осуществляет короткую продажу акции, покупает на часть полученных средств форвардный контракт, оставшуюся часть денег размещает на депозите до момента истечения контракта.
Таким образом, арбитражер занимает акцию у брокера и продает ее на спотовом рынке за 120 руб. За 17 руб. покупает форвардный контракт. Сумму денег:
120-17 = 103^6.
размещает на депозите и получает через три месяца:
(	3 1
103 14-од— =105,
I	12 J
Из них уплачивает по контракту 105 руб. за акцию и возвращает ее брокеру. Арбитражная прибыль равна:
105,575 -105 = 0,515 руб.
Прибыль можно получить и непосредственно в начале операции. К моменту истечения контракта арбитражер должен располагать 105 руб. для покупки акции. Поэтому он разместит на трехмесячном депозите:
которые и принесут ему 105 руб. В результате, из полученных от короткой продажи акции 120 руб. он может сразу использовать прибыль в размере:
120 -17 -102,439 = 0,561/туб.
Она равна дисконтированной стоимости прибыли, рассчитанной на момент истечения контракта:
Рассмотрим другой вариант арбитража. Предположим, инвестор не имеет возможности занять акцию для короткой продажи. Тогда он займет 17 руб,, купит старый контракт и продаст новый форвардный контракт по цене 123 руб., истекающий одновременно со старым.
Через три месяца по старому контракту он покупает акцию за 105 руб. и продает ее по новому за 123 руб, выиграв на разнице цен:
123-105 = 18руб.
По кредиту возвращает сумму:
17 1 + 0,1— = 17,425руб.
Арбитражная прибыль равна:
18-17,425 = 0.575 руб.
Если инвестор желает использовать прибыль в момент заключения контрактов, то ему следует занять сумму:
77од(5/17) ‘ 7,56'
т.е. дисконтированную стоимость дохода, который будет получен через три месяца. Из них за 17 руб. он покупает контракт. Арбитражная прибыль, как и раньше, равна:
17,561-17= 0,561руб.
Если форвардный контракт стоит больше 17,56 руб., например, 18 руб., то можно совершить следующую арбитражную операцию. Для владельца короткой позиции контракт стоит минус 18 руб. Арбитражер покупает контракт с короткой позицией, т.е. его прежний владелец уплачивает ему 18 руб. Арбитражер занимает:
120-18 = 102 руб.
и покупает акцию на спотовом рынке за 120 руб.
Через три месяца он поставляет акцию по контракту за 105 руб., и отдает по кредиту:
102 1 + 0,1— =104,55руб.
Прибыль равна:
105 -104,55 = 0,45 руб.
Пусть инвестор желает использовать арбитражную прибыль сразу. Через три месяца по контракту он получит за акцию 105 руб. Поэтому сегодня он занимает:
тт^Ьг102'439^
и покупает акцию. Сумма:
18 + 102,439 -120 = 0,439 руб,
составляет его прибыль. Она равна дисконтированной стоимости величины прибыли на момент истечения контракта:
О 45
Рассмотрим другой вариант арбитража. Инвестор покупает контракт с короткой позицией, т.е. прежний владелец уплачивает ему 18 руб., и заключает новый длинный форвардный контракт по цене 123 руб., истекающий одновременно со старым, чтобы к моменту истечения первого контракта (с короткой позицией) располагать акцией. Тогда полученные 18 руб. от владельца короткой позиции по первому контракту он инвестирует на три месяца. В конце периода получает сумму:
18,45 руб.
По старому контракту арбитражер продает акцию за 105 руб., а по новому должен купить ее за 123 руб. Чтобы купить акцию по этой цене, к 105 руб. он прибавляет 18 руб. от средств, полученных по депозиту. Арбитражная прибыль равна:
105-123+ 18,45 = 0,45 руб.
Пусть инвестор желает использовать прибыль в начале периода. Тогда на трехмесячном депозите он разместит:
------г-—г = 17,561 руб.
1 + 0,1(3/12)
Разница между суммой, полученной от владельца короткой позиции и размещаемой на депозите суммой составит его прибыль. Она равна:
18-17,561=0,439руб.
Мы рассмотрели случаи, когда контракт имел положительную цену для владельца длинной позиции. Остановимся теперь на действиях арбитражера, если цена для него отрицательная, т.е. курс спот акции меньше 102,44 руб.4
4 Курс спот акции для случая, когда цена контракта будет нулевой, найдем из равенст-
Пример 3.
В момент заключения шестимесячного форвардного контракта цена спот акции была равна 100 руб., ставка без риска 10%. Как мы определили выше, цена поставки по данному контракту составила 105 руб. Прошло три месяца. Цена спот акции к этому моменту упала до 95 руб. В соответствии с формулой (2.6) цена контракта для лица с длинной позицией должна быть равна:
/ = 95-------------г = -7,439руб.
1 + 0,1(3/12)
Соответственно для лица с короткой позицией она составляет 7,439 руб.
Пусть фактическая цена равна 7 руб. (для лица с короткой позицией). Контракт стоит дешевле чем должен стоить. Поэтому арбитражер покупает короткий контракт, заняв для этого 7 руб. Одновременно он заключает новый длинный форвардный контракт с ценой поставки:
95 1 + 0,1— = 97,375руб.
Через три месяца по второму контракту он покупает акцию за 97,375 руб., по первому - продает за 105 руб. По кредиту уплачивает:
-7,175^6.
Арбитражная прибыль равна:
105 - 97,375 - 7,175 = 0,45руб.
Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале операции. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов на разности цен акций будет получена сумма:
105 -97,375 = 7,625руб.
Ее дисконтированная стоимость равна:
sa f =S----------------г, приравняв f к нулю. Отсюда следует, что в нашем при-
{ + г\Т; база)
мере при курсе спот акции меньше 102,44 руб, цена контракта для лица с длинной позицией будет отрицательной.
7,625	_
1 + 0,1(3/12)	’ РУ '
Из этой суммы на 7 руб. арбитражер покупает контракт. Соответственно сумму:
7,439-7 - 0,439 дуб.
можно использовать в качестве арбитражной прибыли.
Пусть для лица с длинной позицией контракт стоит минус 8 руб. Тогда арбитражер покупает контракт с длинной позицией, т.е. бывший владелец уплачивает ему 8 руб. Он размещает их на депозит и заключает трехмесячный контракт с короткой позицией по цене 97,375 руб.
Через три месяца по первому контракту арбитражер покупает акцию за 105 руб. и поставляет ее по второму за 97,375 руб., по депозиту получает сумму:
Арбитражная прибыль равна:
97,375 + 8,2 -105 -0,575 дуб.
Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в начале операции. Чтобы определить ее величину будем рассуждать следующим образом. К моменту истечения контрактов по первому контракту инвестор должен уплатить 105 руб., а по второму получит 97,375 руб. Отрицательное сальдо на разности цен составит:
97,375-105 =-7,625дуб.
Следовательно, к моменту окончания срока действия контрактов он должен располагать дополнительной суммой в 7,625 руб. Ее дисконтированная стоимость равна:
7,625 п , ------т г- - 7,43 9ру о. 1+0,1(3/12)
Поэтому из полученной по первому контракту суммы 8 руб. он размещает на депозите 7,439 руб., чтобы через три месяца получить 7,625 руб. Вместе с 97,375 руб. они дадут 105 руб. для покупки акции по первому контракту. Соответственно прибыль равна:
8-7,439 = 0,561дуб.
2.3.2. Форвардная цена и цена форвардного контракта на актив, по которому выплачиваются доходы
2.3.2.1 Форвардная цена акции с учетом абсолютной величины дивиденда
Рассмотрим вопрос определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы, на примере акции. На акцию в течение периода действия контракта выплачивается дивиденд. Предполагается, что участникам рынка известна величина дивиденда.
Приобретая контракт, инвестор не получит дивиденд, а также тот процент, который можно начислить на дивиденд до момента окончания срока действия контракта. Эти условия необходимо учесть при определении форвардной цены.
Рассмотрим вначале простой случай: дивиденд выплачивается перед самым моментом истечения контракта. Тогда инвестор не получает только дивиденд. Форвардная цена равна:
г Т '
F-5 1+г--------div ,
<	база)
(2.13)
где Т- период действия контракта; div- дивиденд.
Пример 1.
Цена спот акции 100 руб., ставка без риска - 10%, дивиденд - 2 руб., выплачивается через полгода. Определить шестимесячную форвардную цену. Она равна:
- 2 = 103 руб.
Следующий случай предполагает, что дивиденд выплачивается в некоторый момент времени (/,) в период действия контракта (см. рис. 2.3). Тогда покупатель контракта не получит не только дивиденд,
/ 2
г
h
Рис 2.3. Срок действия контракта-t2) день выплаты дивиденда-и
но и проценты от его реинвестирования до момента истечения срока действия контракта (/2), т. е. за период времени /2	. В этом слу-
чае формула (2.13) принимает вид:
база
- div 1 + г
база
(2.14)
где г2 - ставка без риска для периода времени
r2.i - форвардная ставка без риска для периода
t2 - период действия контракта.
В формуле (2.14) вместо абсолютной величины дивиденда можно воспользоваться значением его приведенной стоимости к моменту заключения форвардного контракта. Она равна:
(2.15)
база
где D - приведенная стоимость дивиденда;
- ставка без риска для периода .
Тогда можно сказать, что покупатель контракта не получает доход от инвестирования приведенной стоимости дивиденда на весь период действия контракта, и формула (2.14) примет вид:
база )
(2.16)
где л - период действия контракта;
г2 - ставка без риска для периода z2.
Формула (2.16) получается из формулы (2.14), подстановкой в нее значения дивиденда из формулы (2.15), а именно:
2 база
В выражении (2.17)
5 Объяснение формулы (2.18) см в книге АН. Буренина “Управление портфелем ценных бумаг", Научно-техническое общество им академика С.И.Вавилова, М., 2005, параграф 5.1.1.6.
( t Y / -Л l + n-L 1 + г21-^А ч база ' база ;
- _ь_
2 база
(2.18)
Поэтому:
F = S 1 + г2
t (
—г-----D 1 + г2
база)
/ А / J	t 1
—=(S-ZH 1 + г2 — база J	база)
(2-19)
Пример 2.
Цена акции 100 руб., через четыре месяца на акцию выплачивается дивиденд в размере 10 руб. Определить шестимесячную форвардную цену акции, если ставка без риска на шесть месяцев равна 20% годовых, на четыре месяца - 19,8% годовых.
Решение,
Приведенная стоимость дивиденда к моменту заключения контракта равна:

10
1 + 0,198(4/12)
= 9,38р>б.
Шестимесячная форвардная цена акции составляет:
(100 - 9,3 к/1 + 0,2 -у I = 99,68руб.
Если фактическая форвардная цена в примере не равна полученному теоретическому значению, то арбитражеры заработают прибыль без риска и восстановят единство цен. Проиллюстрируем это на цифрах.
I. Фактическая шестимесячная форвардная цена составляет 99 руб. Тогда арбитражер: а) покупает форвардный контракт, так как он стоит дешевле, чем должен стоить; б) занимает акцию и продает ее на спотовом рынке за 100 руб.; в) из 100 руб. сумму равную дисконтированной стоимости дивиденда, т. е. 9,38 руб., размещает на депозит под 19,8% на четыре месяца; г) оставшуюся сумму в 90,62 руб. размещает на шестимесячном депозите под 20%.
Через четыре месяца по депозиту он получит 10 руб. и отдаст их в качестве дивиденда кредитору (поскольку на акцию выплачивается дивиденд в 10 руб., то арбитражер должен отдать данную сумму кредитору):
Через полгода арбитражер: а) получает по депозиту:
(z. i
1 + 0,2— =99,68руб.;
б) уплачивает за акцию по контракту 99 руб. и возвращает ее кредитору. Его прибыль равна:
99,68-99 = 0,68руб.
68 копеек арбитражер получит к моменту истечения действия контракта. Если он заинтересован в использовании прибыли в момент начала операции, то он может сразу же воспользоваться суммой в размере дисконтированной стоимости 68 копеек:
0,68 П ЛП -
Тогда на шестимесячном депозите он разместит сумму:
90,62-0,62 = 90руб.
Через шесть месяцев получит:
90 1 + 0,2—
I 12
= 99 руб.
и уплатит их за акцию по контракту.
Определить величину арбитражной прибыли на начало операции можно еще следующим образом, Через полгода арбитражер должен располагать 99 руб. Их дисконтированная стоимость равна:
99
------Г—т-90 руб.
1+0,2(6/12)
Поэтому из оставшейся суммы в 90,62 руб. он 90 руб. размещает на депозите, а 0,62 руб. оставляет в качестве прибыли.
П. Фактическая форвардная цена акции составляет 100 руб. Тогда арбитражер: а) продает контракт, так как он стоит дороже, чем должен стоить; б) занимает 100 руб. и покупает акцию; (из 100 руб. он занял 9,38 руб. на четыре месяца под 19,8%; оставшуюся сумму в 90,62 руб. занял на шесть месяцев под 20%.)
Через четыре месяца арбитражер получает по акции дивиденд и возвращает первую часть кредита.
Через полгода он: а) поставляет акцию по контракту и получает 100 руб.; б) из данной суммы возвращает кредит в размере:
90,62 1 + 0,2 —
I 12
= 99,68/грб.
Его прибыль равна:
100-99,68 = 0,32руб.
Инвестор может воспользоваться арбитражной прибылью и в начале действия контракта. Она равна дисконтированной стоимости рассчитанной прибыли к моменту его окончания:
0,32 пэо л
-——-г—-Т = 0,29руб.
Чтобы рассчитать данную сумму, можно рассуждать следующим образом. По истечении контракта инвестору будет уплачено за акцию 100 руб. Поэтому в момент его заключения по второй сумме на шесть месяцев надо занять не 90,62 руб., а:
-----—г = 90,91 руб, 1+0,2(6/12)
Из них вместе с первой суммой он использует для покупки акции 90,62 руб. Разница:
90,91-90,62 = 0,29руб.
составляет его арбитражную прибыль.
На акцию в течение действия контракта дивиденды могут выплачиваться несколько раз. В этом случае формула (2.14) примет вад
( Т
F = S 1 + гт-----
\	база
«	/	T-t \
- V div 1 + rT. --
у	база J
(2.20)
где Т - период действия контракта;
п - количество выплачиваемых дивидендов в течение действия контракта;
divf ~ i -й дивиденд, выплачиваемый в течение действия контракта;
гт - ставка без риска для периода Т;
rT,tt “ форвардная ставка для периода времени с момента выплаты
i -го дивиденда до момента окончания действия контракта.
Формула (2.16) соответственно примет вид:
(2.21)
где D( - приведенная стоимость i -го дивиденда к началу действия контракта.
Рассмотренные выше формулы применимы и для процентных инструментов, В таком случае вместо дивиденда учитывается купон, выплачиваемый на базисный актив,
С учетом непрерывно начисляемого процента формулы (2.16) и (2.21) примут вид:
и
гТ
где г - непрерывно начисляемый процент без риска для периода Т; Т - время действия форвардного контракта.
2.3.2.2. Форвардная цена акции с учетом ставки дивиденда
Форвардную цену акции можно определить, воспользовавшись вместо абсолютной величины дивиденда ставкой дивиденда. Получим соответствующую формулу. В рассуждениях используем простой процент, сделаем допущение о делимости акции на части.
Имеется два портфеля Ан В. Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит f , и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки g
----7---------, где К - цена поставки акции, г - ставка без риска, 1 + гуТ/база)
К
Т - время действия контракта. Сумма денег -----------_ инве-
1 + г(Т/база)
стируется под процент г на время Т. В портфель В входит акция в количестве —— где 5- цена спот акции, q - ставка \ +q\T i база}
дивиденда. Дивиденд выплачивается на акцию непосредственно
перед истечением времени действия контракта и реинвестируется в акцию.
По прошествии времени Т портфель А состоит из одной акции, поскольку величина -----—------- за время Т выросла до суммы
1 + г(Т/ база)
К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.
В портфель В также входит одна акция, поскольку на акцию был выплачен дивиденд по ставке q и реинвестирован в акцию. Таким образом, стоимости портфелей А и В равны в конце периода Т. Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Поэтому можно записать:
1 + г(Г /база) 1 + /база)
Поскольку в момент заключения контракта f = 0 и К = F, то:
_	1 + г(Т /база)
(223)
В приведенном доказательстве у читателя может возникнуть вопрос. почему в портфель В в конце периода Т обязательно будет входить одна акция, поскольку за период действия контракта ее цена изменялась не только в результате накопления дивидендной составляющей, но также и в связи со спекулятивным изменением курса? Для ответа на этот вопрос важно не забывать, что в каждый данный момент времени ставка дивиденда рассчитывается относительно текущей цены акции. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. На основе ставки дивиденда дивиденд будет рассчитан относительно текущей цены акции в момент его выплаты. Инвестировав данную сумму в акцию, мы получим в портфеле В одну единицу акции. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом. В начальный момент акция входит в портфель В в количестве:
1 акция
1 + ц(Т/база)
Начисление дивиденда в конце периода Т на текущую цену акции и реинвестирование его в акцию дает результат:
1 акция
1 + ц(Т/база)
( Т \
1 + q---- ~ 1 акция.
ч	база)
Другими словами, в результате спекулятивного изменения курса акции ее пропорция в портфеле В остается неизменной. Выплата дивиденда по ставке q от текущей цены акции позволяет докупить ее в количестве, дополняющем ее в портфеле до одной целой акции. Проиллюстрируем данный результат на цифровом примере.
Пример 3.
Курс акции равен 100 руб., ставка дивиденда 20% годовых, дивиденд выплачивается через шесть месяцев. Акция входит в портфель на сумму:
1 А^/^Г90’9091^-
1 + 0,2(6/12)
Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,909091 единиц. Пусть за полгода цена акции спекулятивно выросла на 20%, т.е. до 120 руб. Тогда стоимость портфеля увеличилась до:
90,9091 1,2 = 109,091руб.
Стоимость портфеля увеличилась только благодаря росту курса акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался неизменным, т.е. он по-прежнему соответствует 0,909091 единицам.
На сумму акции в портфеле был выплачен дивиденд в размере:
109,091 • 0,2 — = 10,9091руб.
12
Эта сумма реинвестируется в акцию:
109,091ч-10,9091 = 120/^6.
Стоимость акции в данный момент равна 120 руб., стоимость портфеля также составляет 120 руб. Следовательно, в портфель входит одна единица акции.
В формуле (2.23) дивиденд выплачивался в конце действия контракта. Если он выплачивается в некоторый момент времени t в ходе действия контракта, то формула (2.23) примет вид:
Г = с1 + Г(Г/ба3а)
1 + q(t/6a3a)
(2.24)
Получим данную формулу, сравнивая как и выше портфели А и в. Портфель А состоит из одного длинного форвардного контракта на акцию, который стоит f, и суммы денег равной приведенной стоимости цены поставки ------------Д-------. Сумма денег
1 + г\Т/база)
------—------- инвестируется под процент г на время Т. В порт-1 + г(Г/6йзй)
s
фель В входит акция в количестве------------. Дивиденд выпла-
1 + q(t/база)
чивается на акцию в момент i.
По прошествии времени Т портфель А состоит из одной акции, Д'
поскольку величина-----:.-------за время Т выросла до суммы
1 + г{Т/ база)
К . Она была уплачена за акцию по форвардному контракту.
В портфель В также входит одна акция, поскольку в момент t от текущей цены на акцию был выплачен дивиденд по ставке q и реинвестирован в акцию. (В дальнейшем в течение времени Т -1 в портфеле В находилась одна акция.) Таким образом, стоимости портфелей Ли В равны в конце периода Т. Следовательно, в начале периода Т их стоимости также должны быть равны, чтобы исключить возможность совершения арбитражной операции. Отсюда следует формула (2.24).
Каким образом корректно определить ставку дивиденда, чтобы использовать ее в формулах (2.23) и (2.24). Для этого можно приравнять формулы (2.23) и (2.24) к формуле (2.16) и выразить из полученного равенства q . Приравняем формулы (2.24) и (2.16):
( Т л
(S-Щ 1 + г--
база)
\ + г{Т/база) \ + q{tj6a3a)
Отсюда:
S-D =
S
1 + qfy/база)
или
ИЛИ
база
t
D база
S-D t
(2.25)
Поскольку D =-------------г, то окончательно можем записать:
1 + r(tj база)
_	di v/[l + г(?/база)] база
S - {dzv/[l + г(//базя)]} t
Рассчитаем ставку дивиденда для примера 2 на основе формулы (2-25):
= —9’38	.11 = о з 10527 или 31,05%.
100-9,38 4
Рассчитаем шестимесячную форвардную цену из примера 2 с помощью формулы (2.24):
F = 100 1 + 0’2(6/12) = 99 68 6
1 + 0,3105(4/12)
Для случая непрерывного процента аналогом формулы (2.23) является формула:
F = 8е(г~ч}т ,	(2.26)
где q - непрерывно начисляемая ставка дивиденда.
С теоретической точки зрения непрерывно начисляемая ставка дивиденда означает, что дивиденд начисляется и постоянно реинвестируется. Если инвестор знает величину ставки дивиденда в расчете на год, то по формуле (2.3) он сможет пересчитать ее в непрерывно начисляемую ставку дивиденда. Докажем формулу (2.26) в общем виде.
Имеются два портфеля А и В В портфель А входит длинный форвардный контракт на покупку акции и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены поставки Ке гТ. Данная сумма денег инвестируется под непрерывно начисляемый процент на период Т . В портфель В входит акция в количестве Se~qT, где S - цена спот акции, е 4 - количество единиц акции в портфеле. Мы предполагаем, что акцию можно дробить. В конце периода Т в
портфель А входит одна акция, так как величина Ке гТ выросла до суммы К, и она была уплачена по контракту. В портфель В также входит одна акция. На акцию за время Т непрерывно начислялся дивиденд и реинвестировался в бумагу. Стоимости портфелей равны в конце периода Т. Следовательно, они должны быть равны и в начале периода, чтобы арбитраж был невозможен. Поэтому можно записать:
f + Ke~rT =Se~qT.	(2.27)
Поскольку в момент заключения контракта f = 0, а К = F , то
Fe~rT = Se~gT или
F = Se^7'.
В приведенном доказательстве у читателя также может возникнуть вопрос, почему в портфель В в конце периода Т обязательно будет входить одна акция? Вновь следует помнить, что в каждый данный момент времени на основе ставки дивиденда величина дивиденда рассчитывается от текущей цены акции, и на эту сумму она докупается по текущей цене. Поэтому не важно, как будет изменяться ее цена в силу спекулятивной динамики рынка. В общем виде отмеченный результат можно показать следующем образом, В начальный момент акция входит в портфель В в количестве:
1 акция • ечТ.
За период действия контракта начисление и реинвестирование дивиденда на текущую цену дает результат:
1 акция е t/7 -ечТ =1 акция.
Проиллюстрируем сказанное также на цифровом дискретном примере.
Пример 4.
В начальный момент времени цена спот акции равна 100 руб., непрерывно начисляемая ставка дивиденда составляет 20% годовых. Рассматриваемый период времени равен полгода, т.е. 0,5. Акция входит в портфель на сумму:
ЮОе02 05 = 90,48374руб.
Соответственно в пропорции от одной акции это составляет 0,9048374 единиц.
Пусть прошел период времени равный 0,1 года и цена акции спекулятивно выросла на 10%. Тогда стоимость портфеля составила: 9O,48374e0,1 0,1 = 91,39312руб.
Стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, поэтому пропорция акции в портфеле, считая от единицы, осталась прежней, т.е. новой стоимости портфеля 91,39312 руб. соответствует по-прежнему 0,9048374 единицы акции.
В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,1 года и реинвестируется в акцию по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:
91,39312<?°’2	= 93,23938/>уб.
Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее УД-вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:
91,39312 - 0,9048374
93,23938 - х
Отсюда:
93,23938’0,9048374
91,39312
-0,923116.
Таким образом, стоимость портфеля в сумме 93,23938 руб. соответствует 0,923116 единицам акции.
Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно вырос на 20%. Стоимость портфеля составила:
93,23938е0’20,2 = 97,04455^6.
Так как стоимость портфеля выросла только за счет роста курсовой стоимости акции, то ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. новой стоимости портфеля 97,04455 руб. соответствует по-прежнему 0,923116 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого новая стоимость портфеля равна:
97,О4455е0,20,2 = 101,055/^6.
Акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, поэтому ее УД. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:
97,04455 - 0,923116
101,005 - л
Отсюда:
101,005-0,923116
97,04455
= 0,960789.
Таким образом, стоимость портфеля в сумме 101,005 руб. соответствует 0,960789 единицам акции.
Прошло еще время 0,2 года, и курс акции спекулятивно упал на 10%. Стоимость портфеля составила:
101,055с' ° ’°2 = 99,00498руб.
Стоимость портфеля уменьшилась только за счет снижения курсовой стоимости акции, поэтому ее уд. вес в портфеле остался прежним, т.е. стоимости портфеля 99,00498 руб. соответствует по-прежнему 0,960789 единицы акции. В этот момент на акцию выплачивается дивиденд за время 0,2 года и реинвестируется в нее по текущей цене. С учетом этого стоимость портфеля равна:
99,00498е (М *‘2 = 103,0455руб.
Так как акцию докупили на сумму выплаченных дивидендов, то ее уд. вес в портфеле вырос. Найдем его на основе следующей пропорции:
99,00498 - 0,960789
103,0455 - х
Отсюда:
103,0455 0,960789
99,00498
Таким образом, по завершении периода времени Т ~ 0,5 года в портфель входит одна акция. Данный результат не зависит от того, как спекулятивно изменялся ее курс за прошедшее время.
Для того, чтобы корректно определить ставку дивиденда для формулы (2.26), приравняем ее к формуле (2.22):
(s - D)erT = Se(r-q}T
ИЛИ
(5 - D)err
ИЛИ
1 , S a = — In--
Г S~D
Для расчета форвардной цены акции можно использовать формулы на основе приведенной стоимости дивиденда и ставки дивиденда. Какую из них применять в каком случае? Если рассматривается небольшой период времени, в рамках которого можно относительно точно прогнозировать абсолютную величину будущего дивиденда, то целесообразнее остановиться на формуле с приведенной стоимостью дивиденда. Для долгосрочного периода лучше использовать формулу на основе ставки дивиденда, поскольку обычно она является величиной постоянной или изменяется не сильно для многих компаний. Поэтому она может точнее поддаваться прогнозу чем величина дивиденда.
2.3.2.3. Цена форвардного контракта
Для определения цены форвардного контракта через некоторое время после его заключения воспользуемся формулой (2.9):
F-K
1 + г(Т / база)
Подставим в нее значение форвардной цены из формулы (2.16):
(5 - £>)[1 + г(Т/база)\-К
1 + г(Т/база)
После преобразования получим:
Для случая непрерывно начисляемого процента формула (2.28) принимает вид:
f = S-D-KerT ,
где 5 - цена спот актива в момент определения стоимости контракта. Таким образом, цена форвардного контракта равна цене спот актива минус приведенная стоимость выплачиваемого на него дохода и минус приведенная стоимость цены поставки.
При использовании в расчетах непрерывно начисляемой ставки дивиденда цену форвардного контракта получаем из формулы (2.27): f = Se <iT -KerT.	(2.29)
2.3.3. Форвардная цена и цена форвардного контракта на валюту
2.3.3.1. Форвардная цена
Форвардная цена валюты основана на так называемом паритете процентных ставок, который говорит о том, что инвестор должен получать одинаковый доход от размещения средств под процент без риска как в национальной, так и иностранной валюте. В противном случае возникнет возможность получить арбитражную прибыль.
Допустим, что курс спот рубля к доллару (прямая котировка) равен 1 долл = 5 руб., ставка без риска по рублевому депозиту составляет г, по долларовому - rf. Инвестор планирует разместить средства на депозите на время Т, Перед ним два варианта. Во-первых, разместить сумму S на рублевом депозите и получить по завершении периода Т средства в размере:
( Т
5 । + г----\руб.
I	база J
Во-вторых, конвертировать сумму 5 в 1 долл., разместить его под ставку rf (на период Г и по его завершении конвертировать получен-
ные средства в сумме:	/	р	\ 1 + Г! 	 долл. ч	база>
в рубли по некоторому форвардному курсу F.
Оба варианта должны принести инвестору одинаковый результат. В противном случае возникнет возможность совершить арбитражную операцию. Поэтому можно записать, что:
база )
Т база )
Отсюда:
F --S ^ + г(т16аза)
1 +(Г / база)
(2.30)
Пример.
Курс доллара равен 30 руб., трехмесячная ставка без риска по рублям - 10%, по долларам - 5%. Определить трехмесячный форвардный курс.
Он составляет:
г=м 1*040^12)
1 + 0,05(3/12)
= 30,37/трб.
Если фактический форвардный курс в примере отличен от рассчитанной величины, можно получить арбитражную прибыль. Рассмотрим действия арбитражера.
I. Фактический форвардный курс равен 30,20 руб. Тогда арбитражер покупает контракт, так как доллар стоит дешевле, чем должен стоить. Купив контракт, он обязался купить доллар через три месяца, поэтому сейчас его необходимо продать. Для этого арбитражер занимает один доллар под 5% на три месяца и продает его, т.е. конвертирует по спот курсу в 30 руб., размещает 30 руб. на трехмесячном депозите под 10%.
Через три месяца по рублевому депозиту арбитражер получает:
30 1 + 0,1 —
30,7 5руб.
По форвардному контракту конвертирует 30,75 руб. в 30,75:30,20 = 1,0182d<wz.
По кредиту отдает сумму:
1- 1 + 0,05— = 1,0125долл.
Его прибыль равна:
1,0182 -1,0125 = 0,0057Эао.
II. Фактический форвардный курс составляет 30,60 руб. Тогда арбитражер продает контракт, так как доллар стоит дороже, чем должен стоить. Продажа контракта означает, что ему придется через три месяца продать доллар, поэтому сейчас его надо купить. Для этого он занимает 30 руб. на три месяца под 10% и конвертирует их по спот курсу в 1 долл., размещает 1 долл, на трехмесячном депозите под 5%.
Через три месяца арбитражер по долларовому депозиту получает:
1,0125болл.
По форвардному контракту конвертирует 1,0125 долл, в 1,0125-30,60 = 30,98руб.
По рублевому кредиту отдает:
30 1 + 0,1 —
= 30,75руб.
Его прибыль равна:
30,98-30,75 = 0,23 руб.
Выше мы привели примеры совершения арбитражных операций. Однако для осуществления их на практике необходимо точно рассчитать количество рублей или долларов, которые следует занимать, чтобы не выйти за рамки контрактной суммы, поскольку она представляет собой некоторую фиксированную величину, например, 100 тыс. долл., 500 тыс. долл, и т.д.
Рассмотрим первый вариант, когда арбитражер покупал контракт и занимал доллар, чтобы его продать. Расчет сделаем для контракта номиналом в один доллар. На практике необходимо занять не один доллар, а меньшую сумму. Ее можно найти на основе следующих рассуждений. Арбитражер купил контракт с ценой поставки 30,20 руб. Таким образом, к моменту истечения контракта он должен располагать ровно данной суммой. Он получит к этому моменту 30,20 руб. за счет того, что в начале арбитражной операции займет некоторую сумму в долларах, конвертирует ее в рубли по спот курсу и разместит на рублевом депозите до момента истечения контракта. Поэтому сумму, которую арбитражеру необходимо занять в долларах, можно получить, рассуждая в обратной последовательности действий от момента истечения контракта. Таким образом, необходимо дисконтировать 30,20 руб. под ставку 10% на три месяца и конвертировать полученную сумму в доллары по спот курсу, а именно:
30 20 - = 0,982114 долл.
| 1 + 0,1- 30
I 12J
0,982114 долл, является той суммой, которую необходимо занять арбитражеру. Далее он конвертирует ее в рубли по спот курсу:
0,982114-30 = 29,46341^6.
Размещает рубли на депозите под 10%:
29,463411 1 + 0,1—1 = 30, I 12 J
Через три месяца арбитражер уплачивает по контракту 30,20 руб. и получает 1 долл. По долларовому кредиту возвращает сумму:
(	3 1
0,982114 1 + 0,05 — = 0,99439долл.
12J
Арбитражная прибыль равна:
I- 0,99439 = 0,0056\долл.
Она получается к моменту истечения контракта. Однако арбитражер может воспользоваться прибылью и при его заключении. По контракту через три месяца ему поставят 1 долл. Дисконтированная стоимость 1 долл, сегодня равна:
Поэтому арбитражер занимает на три месяца данную сумму. В то же время, чтобы получить к моменту истечения контракта 30,2 руб., ему сегодня необходимо располагать:
3
1 + 0,1— 30
12 )
= 0,982114 долл.
Поэтому разницу:
0,987654-0,982114 = 0,00554датл.
он сразу получает в качестве прибыли.
Рассмотрим второй вариант, когда арбитражер продавал контракт и занимал 30 руб., чтобы купить доллар. На практике необходимо занять не 30 руб., а меньшую сумму. Ее можно найти на основе следующих рассуждений, К моменту истечения контракта арбитражер должен располагать 1 долл. Он получается за счет того, что в начале операции арбитражер занимает некоторую сумму в рублях, конвертирует ее по спот курсу в доллары и размещает их на долларовом депозите. Поэтому сумму, которую арбитражеру необходимо занять в рублях, можно получить, рассуждая в обратной
последовательности действий от момента истечения контракта. Таким образом, необходимо дисконтировать 1 долл, под ставку 5% на три месяца и конвертировать полученную сумму в рубли по спот курсу, а именно:
—зо руб. - 29,62963руб.
1 + 0,05 —
12
29,62963 руб. является той суммой, которую необходимо занять арбитражеру. Далее он конвертирует ее в доллары по спот курсу:
29,62963 —--------= 0,987654болл.
30
Размещает доллары на депозите под 5%:
0,987654 1 +0,05 — = 1болл.
Через три месяца поставляет по контракту 1 дол. и получает 30,60 руб. По рублевому кредиту должен вернуть:
29,62963 1 + 0,1— = 30,37руб.
Его прибыль равна:
30,60-30,37-0,23руб.
Она получается к моменту истечения контракта. Однако арбитражер может воспользоваться прибылью и при его заключении. По контракту через три месяца ему заплатят 30,60 руб. Дисконтированная стоимость этой величины сегодня равна:
30,60	_.. о _ -
------7——г - 29,85366руб.
Поэтому арбитражер занимает на три месяца данную сумму. В то же время, чтобы получить к моменту истечения контракта 1 долл., ему сегодня необходимо располагать:
1 д0ЛЛ' 30 руб. = 29,62963руб.
1 + 0,05 —
12
Поэтому разницу:
29,85366руб. - 29,62963 = 0,22403руб. он сразу получает в качестве прибыли.
Как следует из формулы (2.30), если ставка без риска для иностранной валюты больше ставки без риска для национальной валюты, то для более отдаленных периодов времени форвардная цена будет понижаться. Если же г > rf, она будет возрастать.
Форвардный контракт на валюту можно рассматривать как контракт на акцию, для которой известна ставка непрерывно начисляемого дивиденда. Ставкой дивиденда является ставка без риска для иностранной валюты. Поэтому форвардную цену с использованием непрерывно начисляемых процентов можно определить на основе формулы (2.26), заменив величину q на rf\
F = Se r"' ]7 ,	(2.31)
где г - непрерывно начисляемая ставка без риска по национальной валюте;
rf- непрерывно начисляемая ставка без риска по иностранной валюте.
Докажем формулу (2.31). Имеется два портфеля - Л и В. В портфель А входит один длинный форвардный контракт на покупку единицы иностранной валюты и сумма денег равная дисконтированной стоимости цены поставки Ке~гТ. Она инвестируется на период Т под ставку г. Портфель В содержит дисконтированную стоимость единицы иностранной валюты Se> fT (т.е. по текущему спотовому курсу S покупается иностранная валюта в количестве дисконтированной стоимости ее одной единицы). Она инвестируется под ставку г( на период Т.
По завершении периода Т портфель А состоит из единицы иностранной валюты, так как сумма К была обменена по контракту на иностранную валюту. В портфель В также входит единица иностранной валюты. Поскольку стоимости портфелей равны в конце периода Т, они должны быть одинаковы и в начале этого периода, чтобы невозможно было получить арбитражную прибыль. Поэтому можно записать:
f + Ke-rT = Ser/T.	(2.32)
В момент заключения контракта f ~ 0 и К - F . Тогда из формулы
(2.32) следует:
Fe~fT = Se f'fT
или
2.3.12. Форвардный валютный курс и инфляция
В рыночной экономике обменный курс двух валют должен отвечать соотношению уровней цен товаров в этих странах. В этом состоит содержание так называемой теоремы о паритете покупательной способности. Несоблюдение данной пропорции открывает возможность совершить операцию подобную арбитражной. Поясним сказанное на примере. В расчетах абстрагируемся от транспортных и иных накладных расходов.
Пример.
Цена некоторого товара в США 1 долл., в России - 32 руб., обменный курс - 30 руб. за 1 долл. Тогда арбитражер купит 1 долл за 30 руб., приобретет на него в США единицу товара и продаст его в России за 32 руб. Прибыль составит 2 руб. Такая ситуация будет способствовать повышению курса доллара в результате спроса на него со стороны импортеров. Чтобы арбитраж был невозможен, доллар должен стоить не 30, а 32 руб.
Теорема о паритете покупательной способности утверждает, что курсы валют должны изменяться в соответствии с изменением цен на товары внутри стран. Изменение цен главным образом говорит о развитии инфляции. Поэтому форвардный курс зависит от прогнозов развития инфляции в странах рассматриваемых валют.
Обозначим через So обменный курс в начале некоторого периода, 5, - в конце этого периода, Р^9 РА^ и р^ - соответственно уровни цен в странах А и В в начале и конце периода. Тогда обменный курс в начале периода равен:
(2.33)
В конце периода он составит:
Р=~^-	(2.34)
Й1
Разделим формулу (2.34) на (2.33):
jL=-p.</P< =J±k	(2 35)
50 ря!Ря 1+'д v	О|	Dq	о
где i - уровень инфляции.
Если iA и iB ожидаемая инфляция за некоторый период, то форвардный обменный курс валют А и В из формулы (2.35) можно определить следующим образом:
F = ^Sa.	(2.36)
l + zg
В формуле (2.36) валютный курс представлен в прямой котировке.
Пусть страна А - это Россия, В - США. Тогда формула (2.36) говорит о том, что при опережающем росте инфляции в России форвардный курс доллара больше спотового. Напротив, если инфляция в США больше, то форвардный курс доллара меньше спотового.
2.3.3.3. Цена форвардного контракта
Если форвардный контракт продается на вторичном рынке, то его цену можно определить на основе формулы (2.32):
f = Se~r/T - Ке~г'' ,
где К - цена поставки форвардного контракта;
S - спотовый валютный курс в момент продажи контракта на вторичном рынке.
2.3.3.4. Котировка валюты на спотовом и форвардном рынках
В большинстве стран мира на спотовом и форвардном валютных рынках принята прямая котировка национальной валюты, т.е. единица иностранной валюты представляется в единицах национальной валюты. Например, 1 долл, равен 30 руб. В некоторых странах используется обратная (косвенная) котировка, т.е. единица национальной валюты приводится в единицах иностранной валюты. Примером является котировка фунта стерлингов в Великобритании. В мировой практике форвардные цены даются вместе с курсами спот параллельно на основе прямой и обратной котировок (см. табл. 1.1). На
пример, для фунта стерлингов в первых двух колонках для двух дней указан курс спот и форвардные курсы для одного, трех и шести месяцев относительно доллара США на основе прямой, а в третьей и четвертых колонках - обратной котировки.
Таблица 1.1. Котировка спотовой и форвардной цен на валютном
рынке (Wall Street Journal)
Country	CURRENCY			
	U.S, $ EQI	JIVALENT	per U	.S.$
	Mon		F"	Mon	Fri
Argentina (Peso)	.3125	.3361	3.2000	2.9750
Australia (Dollar)	.5305	.5308	1.8852	1.8841
Bahrain (Dinar)	2.6523	2.6525	.3770	.3770
Brazil (Real)	,4229	.4235	2.3645	2.3615
Bnlain (Pound)	1.4262	1.4256	.7012	.7015
1-month forward	1.4234	1.4229	.7025	.7028
3-month forward	1.4186	1.4180	.7049	.7052
6-month forward	1.4121	1,4114	.7082	.7085
2.3.4. Форвардная цена товара
Лицо, которое заинтересовано в будущем располагать некоторым товаром имеет альтернативы: купить его сегодня на спотовом рынке или по форвардному контракту. Купив товар сегодня, чтобы потребить в будущем, инвестор несет расходы по его хранению и страхованию, а также не получает процент на сумму стоимости товара, которую он мог бы разместить на счете на период действия контракта. Если форвардная цена товара равна цене спот плюс расходы по хранению и страхованию и упущенный процент, то покупатель безразличен к приобретению товара на спотовом рынке или по форвардному контракту по данной цене. Если форвардная цена не соответствует данной сумме, то возникнет возможность совершения арбитражной операции. В результате действий арбитражеров указанное равенство восстановится. Поэтому форвардную цену товара можно представить следующей формулой:
(2.37)
где F - форвардная цена товара;
S - спотовая цена товара;
Т - период действия форвардного контракта;
г - ставка без риска для периода Т ;
Z - расходы по хранению и страхованию товара за период Т.
Пример.
Цена спот пшеницы равна 4000 руб. за тонну, ставка без риска на 90 дней - 8% годовых, расходы по хранению и страхованию за этот период составляют 6,5 руб. Определить 90-дневную форвардную цену пшеницы . Финансовый год равен 360 дням.
Она равна:
4000 1 + 0,08
90
360;
+ 6,5 = 4086,5^6.
Если стоимость хранения и страхования товара пропорциональна цене спот, то формула форвардной цены примет следующий вид:
(2.38)
где 2 - процент (в расчете на год) от стоимости товара, уплачиваемый за хранение и страхование.
Пример.
Допустим, что в приведенном выше примере расходы по хранению и страхованию составляют 0,65% годовых от стоимости товара. Определить форвардную цену пшеницы.
Она равна:
90
4000 1 +(0,08+0,0065)-—
= 4086,5/7^6.
При использовании непрерывно начисляемого процента формула (2.38) принимает вид:
F = Se[r+z}T,	(2.39)
где Т - период действия форвардного контракта;
г - непрерывно начисляемая ставка без риска для периода Т;
z~ непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) от стоимости товара, уплачиваемый за хранение и страхование.
Все форвардные контракты на товары можно разделить на две группы: товары, которые приобретаются в основном для инвестиционных целей, например, золото, серебро; и 2) товары, которые в первую очередь предназначены для целей потребления. В отношении товаров первой группы арбитражеры широко прибегают к арбитражным операциям при расхождении теоретических и фактических форвардных цен.
Для второй группы арбитражные стратегии используются в более редких случаях, так как данные товары в первую очередь предназначены для целей потребления. Если Рф> FT , где Рф - фактическая форвардная цена, FT - теоретическая форвардная цена, то инвесторы будут совершать арбитражные операции. Они займут деньги, купят на спотовом рынке товар и продадут форвард. Если то лица, владеющие товаром для потребительских целей, вряд ли начнут продавать его на спотовом рынке, чтобы разместить деньги на депозите, и покупать форварды или предоставлять товар в кредит арбитражерам для осуществления коротких продаж, так как они заинтересованы в наличии товара, например, для поддержания непрерывности производственного процесса. В результате для потребительских товаров можно установить только верхнюю границу форвардной цены, которая не должна нарушаться в силу арбитражной зависимости. Поэтому можно записать:
F <S l + (r + z)~—
база
(2-40)
Неравенство (2.40) говорит о том, что фактическая форвардная цена не должна превышать цену спот на величину цены доставки, но в то же время она может быть и ниже, поскольку разница в ценах вряд ли будет стимулировать совершение арбитражных операций. Если у владельцев существует большая потребность в товарах, то фактическая форвардная цена должна упасть довольно низко, чтобы побудить участников рынка к совершению арбитражных операций.
С учетом непрерывно начисляемого процента формула (2.40) принимает вид:
F < &(г+г'7
Фактическая форвардная цена товара может оказаться ниже теоретической. Это говорит о том, что владельцы товара получают полезность от владения им. Данную полезность можно оценить с по-
мощью ставки полезности (convenience yield). В этом случае уравнение (2.38) можно представить как:
а уравнение (2.39) как:
Fe'1 = Se(r+z}T.
Из уравнений (2.41) и (2.42) соответственно получаем:
г. _ 1 + (^ + ZX^/^a3a)
1 + у(Т/база)
и

F = 5е(,+
(2.41)
(2.42)
(2.43)
(2.44)
где у - ставка полезности, получаемая от владения товаром.
Уравнения (2.43) и (2.44) показывают, что форвардная цена будет меньше при росте ставки полезности, и наоборот. Ставка полезности отражает ожидания участников рынка в отношении будущего наличия товара. Небольшое значение у говорит о том, что участники рынка не ожидают дефицитности товара в будущем. Наличие большого количества товара уменьшает степень полезности его единицы для потребителя. Большое значение у свидетельствует о дефицитности товара. Соответственно полезность единицы товара для потребителя возрастает. Таким образом, небольшое значение у прежде всего говорит о наличии значительных запасов товара у потребителей.
Формулы (2.37), (2.38) и (2.39) показывают, что форвардная цена товара должна быть больше текущей цены спот. Однако на практике форвардная цена часто оказывается ниже спотовой. Это можно объяснить рядом факторов. Как было отмечено выше, при падении фактической форвардной цены ниже теоретической арбитраж затруднен. Арбитражеры вряд ли смогут занять товар для продажи его на спотовом рынке, так как он необходим владельцам для текущего потребления. Поэтому теоретически форвардная цена может упасть довольно низко, особенно, если на рынке наблюдается дефицит товара в настоящий момент времени. Кроме того, значительный рост цены товара в настоящий момент скорее всего вызовет увеличение его выпуска в будущем. В свою очередь, при такой конъюнктуре часть потребителей данного товара может пересмотреть свои планы
по его будущим закупкам в сторону уменьшения. В совокупности оба эффекта в тенденции могут вызвать понижение форвардной цены. Производство ряда товаров имеет сезонные циклы, что также изменяет баланс спроса и предложения в разное время года.
Еще одно объяснение предложил Дж.М.Кейнс. Согласно Кейнсу на товарных рынках количество хеджеров и спекулянтов не одинаково с каждой стороны рынка. Хеджеры являются по преимуществу продавцами товаров, а спекулянты - покупателями. Спекулянт будет участвовать в сделке, если будущая цена спот окажется выше текущей форвардной цены, поскольку именно в этом случае он получит прибыль. Поэтому хеджеры соглашаются на более низкие форвардные цены в качестве платы за стабильность своего финансового положения. Таким образом, хеджеры уплачивают спекулянтам своеобразную премию за риск за счет заключения контрактов по более низким форвардным ценам.
Обычно форвардная цена бывает ниже спотовой на рынках товаров, которые сразу потребляются по мере их производства и являются дорогостоящими в хранении.
2.3.5. Форвардная цена при различии ставок по кредитам и депозитам.
Внутренняя ставка доходности
При рассмотрении вопроса определения форвардной цены мы исходили из предположения о том, что ставки по кредитам и депозитам одинаковы. Данный прием позволил представить технику расчета форвардной цены на основе безарбитражного подхода. Были получены формулы для определения теоретической форвардной цены. На примерах было показано, что при расхождении между фактической и теоретической форвардными ценами можно заработать арбитражную прибыль. Поскольку ставки по кредитам и депозитам были равны, то возникала единственная теоретическая форвардная цена, относительно которой рассматривались возможности совершения арбитражной операции. На практике ставки по кредитам выше чем по депозитам. Поэтому для определения возможности совершить арбитражную операцию необходимо рассчитать две форвардные цены -верхнюю ) на основе ставки по кредиту и нижнюю (FH) - на основе ставки по депозиту. Если фактическая форвардная цена выше верхней теоретической цены или ниже нижней теоретической цены, то существует арбитражная ситуация. Когда фактическая цена
находится в диапазоне между теоретическим ценами, то арбитраж невозможен. Поясним сказанное на примере.
Пример 1.
Курс акции 100 руб. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту - 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить верхнюю и нижнюю теоретические шестимесячные форвардные цены.
Решение.
Форвардная цена акции, по которой не выплачиваются дивиденды, для простого процента рассчитывается по формуле (2.1). Определяем верхнюю теоретическую границу на основе ставки по кредиту:
6
F -100 1+0,15 — -107,5/зуб.
I 12;
Определяем нижнюю теоретическую границу на основе ставки по депозиту:
(	6
/7 =100 1 + 0,1— =105/?уб.
Если форвардная цена акции в примере 105руб. < Еф <\07,5 руб,> арбитраж невозможен. Фактический уровень цены в рамках этого диапазона будет определяться соотношением спроса и предложения на рынке. Если спрос больше предложения, цена приблизится к верхней границе. Если предложение больше, - то к нижней границе. При F < 105 руб. последует арбитраж. Инвестор: а) купит более дешевый форвард; б) займет акцию, продаст ее и разместит полученные средства на безрисковом депозите на шесть месяцев под 10%.
При F(f) > 110руб. инвестор: а) продаст более дорогой форвард; б) займет 100 руб. под 15% годовых на полгода и купит акцию.
Более удобно сделать вывод о возможности арбитражной операции на основе внутренней ставки доходности форвардного контракта. Она определяется из формулы форвардной цены. Из формулы (2.1) получим:
<5	) Т
(2.45)
где г - внутренняя ставка доходности форвардного контракта для актива, по которому не выплачиваются доходы.
Если она выше ставки по кредитам или ниже ставки по депозитам, то существует возможность получить арбитражную прибыль.
Пример 2.
Курс акции 100 руб. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту - 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить возможность совершить арбитражную операцию, если шестимесячная форвардная цена равна: а) 110 руб.; б) 104 руб.
Решение.
а)	На основе формулы (2.45) внутренняя ставка доходности форвардного контракта составляет:
<100
-1 — = 0,2
или 20%.
Внутренняя ставка доходности выше ставки по кредиту, поэтому инвестор сейчас: продает форвард по цене 110 руб., занимает 100 руб. под 15% годовых на полгода и покупает акцию на спотовом рынке, хранит ее полгода. Через шесть месяцев: поставляет акцию по контракту и получает за нее 110 руб., по кредиту отдает сумму:
100 1 + 0,15 —
107,5/туб.
Прибыль равна:
110 -107,5 = 2,5 руб.
Арбитражной прибылью можно воспользоваться и в момент заключения форвардного контракта. По контракту за акцию инвестору заплатят 110 руб. Дисконтированная стоимость данной величины при заключении контракта составляет:
-----И?-----г = 102,3256руб.
1 + 0,15(6/12)
Инвестор занимает данную сумму на полгода и за 100 руб. покупает акцию. Сумма:
102,3256-100 = 2,3256/М7.
составляет арбитражную прибыль. (Она равна дисконтированная стоимости 2,5 руб. прибыли к моменту истечения контракта:
------------г = 2,3256руб.) 1 + 0,15(6/12)
б)	Внутренняя ставка доходности форвардного контракта составляет:
<104 ^12
г = — -1 _-о,О8 или8%.
Ц00 ) 6
Она ниже ставки по депозиту, поэтому инвестор сейчас: покупает форвард по цене 104 руб., занимает акцию на полгода и продает ее на спотовом рынке за 100 руб., размещает их на шестимесячном депозите под 10% годовых. Через шесть месяцев: получает по депозиту сумму:
loofl + 0,1 — | = 105^6., V 12/
платит за акцию по контракту 104 руб. и возвращает ее кредитору. Прибыль равна:
105 -104 = \руб.
Арбитражной прибылью инвестор может воспользоваться и при заключении форвардного контракта, К моменту его истечения он должен располагать 104 руб. Дисконтированная стоимость этой величины сегодня составляет:
104 ----- z , ч = 99,0476руб. 1 + 0,1(6/12)
Поэтому именно данную сумму он будет размещать на шестимесячном депозите. От продажи акции он получает 100 руб. В результате, можно сразу воспользоваться суммой:
100-99,0476 = 0,9524руб.
(Она равна дисконтированной стоимости одного рубля прибыли к моменту истечения контракта:
-----—— = 0,9524руб.) 1 + 0,1(6/12)
На основе величины внутренней ставки доходности инвестор может принять решение об инвестировании средств.
Пример 3.
Пусть в примере 2 в ситуации (а) вкладчик не имеет доступа к кредиту, но располагает 100 руб., которые хотел бы инвестировать на полгода. Его устраивает доходность 20% годовых. Тогда он купит сейчас акцию на спотовом рынке за 100 руб. и продаст форвардный контракт. Через попгода поставит акцию по контракту за 110 руб. Доходность его операции составит:
110-100
----------2 = 0,2 или 20% годовых.
100
Следует подчеркнуть, что в рамках такой операции эта доходность является для инвестора доходностью без риска.
Пусть в ситуации (б) инвестор не может занять базисный актив, но владеет акцией. Тогда он продаст ее на спотовом рынке, разместит 100 руб. на депозит под 10% на полгода и купит форвард по цене 104 руб. Через полгода он заплатит по контракту 104 руб., получит назад акцию и дополнительно заработает 1 руб.
Для определения возможностей совершения арбитражных операций при расчете форвардных цен необходимо использовать разные ставки по кредитам и депозитам как было показано выше. Для получения еще более точной картины следует также учесть, что спотовая цена актива в каждый данный момент не является единой, а представлена котировками с ценой продавца и ценой покупателя, между которыми имеется некоторый спред. Инвестор может купить актив только по более высокой цене продавца и продать его по более низкой цене покупателя. Поэтому при расчете верхней теоретической границы форвардной цены надо использовать спотовую цену продавца, а нижней границы - цену покупателя.
Пример 4.
Котировка акции на спотовом рынке составляет: 100 руб. - цена покупателя, 101 - цена продавца. Ставка без риска по депозиту равна 10%, по кредиту - 15%. Дивиденды по акции не выплачиваются. Определить верхнюю и нижнюю теоретические шестимесячные форвардные цены.
Решение.
Форвардная цена акции, по которой не выплачиваются дивиденды, для простого процента рассчитывается по формуле (2.1). Определяем верхнюю теоретическую границу на основе ставки по кредиту и цены продавца:
F = 101| 1 + 0,15 —
I 12;
= 108,58/?уб.
Определяем нижнюю теоретическую границу на основе ставки по депозиту и цены покупателя:
FH =100 1 + 0,1— rf	J -| Л
= 105 руб.
При совершении арбитражных операций с валютными форвардными контрактами одновременно одна валюта занимается, а другая размещается на депозите. Поэтому при расчете форвардных цен необходимо учитывать как котировки продавца и покупателя, так и разные ставки по кредитам и депозитам. Верхняя и нижняя теоретические границы соответственно равны:
\ + гь(Т1база) мк \ + г^(Т/база)
Р Х + г^/база) bid 1 + гбаза)
где Sask - цена продавца;
Shid ~ Мена покупателя;
гь - ставка по кредиту;
rz - ставка по депозиту;
буква f означает иностранную валюту ( или более точно, валюту, курс которой представляется в единицах другой валюты.)
Рассмотрим пример.
Пример 5.
Спотовая котировка доллара равна: 27,5 руб.(цена покупателя) - 28 руб. (цена продавца). Трехмесячная рублевая ставка по депозиту - 4%, по кредиту - 10%, по доллару - 2% по депозиту, 6% - по кредиту. Определить теоретические верхнюю и нижнюю форвардные цены.
Решение.
Верхняя теоретическая граница равна:

2g 1 + 0,1(3/12)
1 +0,02(3/12)
= 28,5572^6.
Если фактическая форвардная цена выше, например, 28,8 руб., то арбитражер продаст доллар по форварду за 28,8 руб,, возьмет рублевый кредит в размере:
----—с 28 руб. = 27,8607руб.,
1 + 0,02(3/12)
конвертирует его в доллары по спот курсу:
27,8607 :28 = 0,9950долл.,
разместит данную сумму на долларовом депозите:
0,9950 1+0,02—
- 16олл.
Арбитражер уплачивается по контракту 1 долл, и получает 28,8 руб. По рублевому кредиту он отдает:
27,8607 1 + 0,1— =28,5572руб.
I 12 7
Его прибыль равна:
28,8 - 28,5572 = 0,2428руб.
Если инвестор желает воспользоваться прибылью при заключении контракта, то он возьмет рублевый кредит в размере:
----—г = 28,0976руб.
1+0,1(3/12)
Из них:
\долл.
1 + 0,02(3/12)
28руб. = 27,8607руб.
использует на покупку долларов:
27,8607: 28 = 0,9950боо.
Его прибыль равна:
28,0976 - 27,8607 = 0,2369руб.
Нижняя теоретическая граница равна:
1 + 0,04(3/12) ’ 1 + 0,06(3/12)
= 27,ЗМ5 руб.
Если фактическая форвардная цена ниже, например, 27 руб., то арбитражер купит доллар по форварду за 27 руб., возьмет долларовый кредита размере:
27
1 + 0,04(3/12)27,5
= 0,972 \долл.
Конвертирует его в рубли по спот курсу:
0,9721-27,5 = 26,7327 руб.
Разместит данную сумму на рублевом депозите:
26,7327 1 + 0,04—
= 27 руб.
Уплачивает ее по контракту и получает 1 долл. По долларовому кредиту возвращает:
0,9721 1 + 0,06—
= 0,9867долл.
Прибыль равна:
1 -0,9867 = 0,0133доял.
Если инвестор желает воспользоваться прибылью при заключении контракта, то он возьмет долларовый кредит в размере:
1долл.
1 + 0,06(3/12)
= 0,9852долл.
Для того, чтобы располагать к моменту истечения контракта 27 руб. он конвертирует в рубли сумму:
------------------= 0,9721долл.
1 + 0,04(3/12)27,5
Прибыль составит:
0,9852 - 0,9721 = 0,0131долл.
2.4. СИНТЕТИЧЕСКИЙ ФОРВАРДНЫЙ КОНТРАКТ
На финансовом рынке существует понятие синтетического актива. Синтетический актив можно определить как портфель, состоящий из разных активов. Такой портфель обладает определенными характеристиками риска и доходности. Характеристики синтетического актива могут копировать характеристики какого-либо существующего финансового инструмента, например, акции или облигации. Тогда такой синтетический актив назовут соответственно синтетической акцией или облигацией. Вопрос формирования синтетической акции и облигации мы рассмотрим в главе 13. В настоящем параграфе остановимся на вопросе формировании синтетического форвардного контракта.
Алгоритм создания синтетической форвардной позиции можно полу* чить на основе алгоритма определения форвардной цены. Рассмотрим длинный форвардный контракт на акцию по которой не выплачиваются дивиденды. В его рамках покупатель обязуется в конце периода времени Т уплатить продавцу акции сумму денег равную форвардной цене! которая определяется по формуле (2.1), в обмен на акцию. Инвестор может получить результат аналогичный покупке форвардного контракта и иным образом. Для этого сегодня ему необходимо занять сумму денег равную спотовой цене акции 5* на время Т под процент г, купить акцию и держать ее в течение отмеченного времени. В конце данного периода он уплатит по кредиту (как и по форвардному контракту) сумму F . Таким образом, в результате отмеченных действий в конце периода Т инвестор фактически уплачивает сумму денег равную форвардной цене. В этот момент в его распоряжении находится акция. Представленный алгоритм действий связан для инвестора с такими же финансовыми издержками и фактическим результатом как и заключение форвардного контракта. Поэтому формирование длинной синтетической форвардной позиции по акции заключается в заимствовании суммы денег и покупке акции на спотовом рынке в начальный момент времени.
Короткий синтетический форвардный контракт состоит в продаже сегодня акции по стоповой цене 5 и размещении денег на время Т под процент г. В конце периода Т продавец имеет такой же результат как и по форвардному контракту, т.е. получает от инвестирования денег сумму F.
Рассмотрим формирование синтетического валютного форвардного контракта на примере.
Пример.
Курс доллара равен 30 руб., трехмесячная ставка без риска по рублям - 10%, по долларам - 5%. Трехмесячный форвардный курс составляет:
301 + 0,10(3/12)
1 + 0,05(3/12)
= 30,37 руб.
Для формирования синтетической длинной форвардной позиции инвестору следует занять на три месяца под 10% сумму в рублях:
----—ЗО/туб. = 29,6296руб.,
1 + 0,05(3/12)
конвертировать их в доллары по спотовому курсу:
29,6296:30- 0,9877долл.,
разместить доллары на трехмесячном долларовом депозите:
0,9877 1 + 0,05—
7	7	- Л
Idrwz.
По кредиту через три месяца инвестор должен вернуть:
29,
6296 1 + 0,1 —
= 30,37р^б.
Таким образом, через три месяца инвестор получит по депозиту 1 долл, и уплатит по кредиту 30,37 руб. Поскольку трехмесячный форвардный курс равен 30,37 руб., то осуществленные действия по своему результату эквивалентны покупке форвардного контракта на доллар.
Для получения синтетической короткой форвардной позиции следует занять в долларах под 5% сумму:
30,37
1 + 0,1(3/12)30
= 0,987600+.+,
конвертировать их в рубли по спотовому курсу:
0,9876-30 = 29,628^.,
разместить рубли на трехмесячном депозите:
29,628 1 + 0,1 —
30,37/туб.
По долларовому кредиту необходимо вернуть:
(	ЗА
0,9876 1 + 0,05— = 1долл.
I	П)
Таким образом, инвестор через три месяца получает по депозиту 30,37 руб. и отдает по кредиту 1 долл. Данная операция эквивалентна продаже доллара по трехмесячному форварду по цене 30,37 руб.
В предыдущих параграфах было показано, что инвестор может заработать арбитражную прибыль при расхождении фактической и теоретической форвардных цен. Его действия заключаются именно в том, что в случае недооценки форвардного контракта (Еф < Fr) он его покупает и продает синтетически, поскольку синтетическая форвардная позиция стоит дороже. Когда форвард переоценен (F0 > Fr), арбитражер продает контракт и формирует длинную форвардную синтетическую позицию, поскольку она стоит дешевле.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Форвардный контракт - это соглашение о будущей поставке базисного актива. Он заключается, как правило, вне биржи для реальной покупки или продажи актива и не является стандартным. С помощью форвардной сделки участник контракта получает возможность застраховаться от неблагоприятного изменения цен. Для форвардных контрактов характерен кредитный риск.
Форвардный контракт можно заключать с целью игры на разнице курсов активов. Лицо, играющее на повышение, покупает контракт. Лицо, играющее на понижение, продает контракт.
Цена поставки - это цена, по которой поставляется базисный актив по форвардному контракту. Она устанавливается в момент его заключения. Для каждого момента времени форвардная цена - это цена поставки форвардного контракта, который заключается в этот момент.
В момент заключения форвардного контракта его цена равна нулю. Если в дальнейшем контракт продается на вторичном рынке, то он получает некоторую цену, поскольку возникает разница между ценой поставки и текущей форвардной ценой.
При оценке форвардной цены исходят из посылки, что вкладчик с финансовой точки зрения должен быть безразличен в вопросе покупки базисного актива по спотовой цене сейчас или по форвардной в будущем. Данное условие предполагает невозможность получить
арбитражную прибыль на разнице между спотовой и форвардной ценами.
С теоретической точки зрения непрерывно начисляемая ставка дивиденда означает, что дивиденд начисляется и постоянно реинвестируется в акцию.
Если ставка без риска для иностранной валюты больше ставки без риска для национальной валюты, то для более отдаленных периодов времени форвардная цена будет понижаться. Если же г > rs , она будет возрастать.
Формирование длинной синтетической форвардной позиции по акции заключается в заимствовании суммы денег и покупке акции на спотовом рынке в начальный момент времени.
Формирование короткой синтетической форвардной позиции по акции заключается в продаже сегодня акции по стоповой цене и размещении денег на депозите.
ГЛАВА 3. ОРГАНИЗАЦИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНОГО РЫНКА
В настоящей главе рассматриваются вопросы организации и функционирования фьючерсного рынка. Раскрывая данную тему, вначале мы остановимся на общей характеристике фьючерсного контракта, расскажем о механизме фьючерсной торговли, определим понятия фьючерсной цены, контанго, бэквардейшн, базиса и базисного риска, цены доставки, В заключение рассмотрим технику хеджирования фьючерсными контрактами и охарактеризуем коэффициент хеджирования.
3.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФЬЮЧЕРСНОГО КОНТРАКТА
Фьючерсный контракт - это соглашение о будущей поставке базисного актива, которое заключается на бирже. Биржа (расчетная палата)1 сама разрабатывает его условия, и они являются стандартными для каждого базисного актива. Поэтому, по сравнению с форвардными контрактами, фьючерсные контракты высоко ликвидны, поскольку их условия одинаковы для всех инвесторов. В то же время, стандартный характер условий контракта может оказаться неудобным для контрагентов. Например, им требуется поставка некоторого товара в ином количестве, в ином месте и в другое время, чем это предусматривается спецификацией контракта на данный базисный актив. Кроме того, на бирже может вообще отсутствовать фьючерсный контракт на актив, в котором заинтересованы контрагенты. Исполнение фьючерсного контракта гарантируется расчетной палатой. Именуются контракты по месяцу их истечения. Например, мартовский фьючерс. Это означает, что контракт истекает в марте.
Фьючерсные контракты обычно являются краткосрочными. С момента, когда биржа открывает торговлю контрактом, и до момента его истечения, как правило, проходит девять месяцев. Однако существуют и долгосрочные фьючерсы, срок действия которых насчитывает несколько лет. В мировой практике котировка фьючерсного контракта дается в расчете на единицу базисного актива.
1 В большинстве случаев биржевая торговля ведется с помощью двух организаций: биржи и расчетной палаты. На бирже происходят торги срочными контрактами. Расчетная палата осуществляет финансовое сопровождение торгов.
В основе контракта могут лежать как товары, так и финансовые инструменты. Контракты, базисными активами которых являются финансовые инструменты, а именно, ценные бумаги, фондовые индексы, валюта, банковские депозиты, драгоценные металлы, называются финансовыми фьючерсными контрактами. Контракты, базисными активами которых выступают собственно товары, называются товарными фьючерсными контрактами. Современный фьючерсный рынок развивается в первую очередь за счет роста торговли финансовыми фьючерсными контрактами.
Фьючерсный контракт можно заключить только при посредничестве брокерской компании, которая является членом биржи. Поэтому первый шаг к началу фьючерсной торговли состоит в заключении контракта с брокером на брокерское обслуживание.
При открытии позиции по контракту его участник должен внести гарантийный взнос (залог). Он называется начальной или депозитной маржой. По величине маржа составляет обычно от 2% до 10% стоимости контракта. Данные средства вносятся на клиентский счет, который открывается в расчетной палате каждому участнику торгов.
Чтобы определить величину начальной маржи, инвестор должен знать текущую стоимость фьючерсного контракта. Она определяется как произведение фьючерсной цены на количество базисных активов в контракте. Например, фьючерсный контракт на акцию компании А включает 100 акций. Фьючерсная цена февральского фьючерса равна 100 долл, за акцию. Тогда текущая стоимость контракта составляет:
1 ООакций • 1 ООдолл. = 1 ООООда?,?.
Таким образом, контракт сейчас стоит 10000 долл. Пусть начальная маржа равна 10% от стоимости контракта. Это значит, что гарантийный залог составляет 1000 долл.
Размер маржи устанавливается расчетной палатой, исходя из величины наблюдавшихся дневных колебаний фьючерсной цены. Величина маржи должна быть такой, чтобы она покрывала возможный дневной проигрыш по контракту в условиях текущей конъюнктуры. При изменении конъюнктуры рынка расчетная палата будет изменять величину гарантийного взноса. Брокер может потребовать от клиента внести маржу в большей сумме. Условия контрактов могут допускать внесение начальной маржи как деньгами, так и ценными бумагами.
Рассмотрим функционирование элементарного фьючерсного рынка на примерах.
Пример 1.
Имеется фьючерсный контракт на акции компании At который насчитывает 1 акцию. Сейчас 1 декабря, контракт истекает 15 марта. Котировка мартовского фьючерса равна 100 руб. за акцию. Это означает, что акция с поставкой в середине марта стоит сейчас 100 руб. Пусть на рынке присутствуют только четыре участника. Два из них (1 и 2) хотели бы купить по одной акции компании А в марте по текущей фьючерсной цене, а два других (3 и 4) - продать по одной акции этой компании. Поэтому 1 и 2 участники отдают приказы своим брокерам купить по одному мартовскому контракту по текущей цене, а 3 и 4 - продать по одному контракту.
Так как условия контрактов стандартны, то единственное, что согласовывается на рынке - это фьючерсная цена. В нашем примере участники заявили одинаковые цены, поэтому были заключены два фьючерсных контракта. Заключив контракты, 1 и 2 участники взяли на себя обязательства купить по одной акции компании А в марте, а 3 и 4 - продать по одной акции.
Контракты заключались через брокеров. Поэтому участники торгов не знали контрагентов по сделке. Но в этом нет никакой необходимости, так как все контракты стандартны. После заключения фьючерса стороной сделки для каждого из участников становится расчетная палата, т.е. для покупателей она выступает продавцом, для продавцов - покупателем.
Наши участники хотят купить и продать акции в марте. Поэтому они открыли позиции и держат их открытыми до момента истечения контрактов. Незадолго до окончания срока действия контрактов они информируют расчетную палату о том, что собираются исполнять контракты. Хотя формально расчетная палата выступает стороной сделки, сама она не будет ни покупать, ни продавать акции. Поэтому расчетная палата начинает сводить участников контрактов парами. Поскольку контракты стандартны, то все равно, какие пары она сформирует, например, 1 и 3; 2 и 4 или 1 и 4; 2 и 3.
Контракт истек 15 марта. Согласно его условиям, покупатели уплатили деньги, а продавцы поставили им по одной акции компании^.
Остановимся теперь на действиях спекулянта одного дня. Утром он “приходит” на рынок, а вечером “уходит” с рынка, чтобы сильно не рисковать.
Пример 2. Игра на повышение.
Утром котировка мартовского фьючерса составляет 100 руб. Спекулянт полагает, что к вечеру она вырастет до 110 руб. Поэтому он играет на повышение, т.е. покупает мартовский фьючерс по 100 руб. К вечеру фьючерсная цена поднялась до 110 руб. Тогда спекулянт продает мартовский фьючерс по 110 руб.
После окончания торговой сессии расчетная палата проводит клиринг по счету спекулянта, т.е. зачитывает его противоположные обязательства. Первой сделкой спекулянт взял на себя обязательство купить одну акцию компанию А в марте, второй сделкой - продать одну акцию компании А в марте же. Таким образом, вторая сделка погасила его обязательство по первой: он уже не должен ни покупать, ни продавать акцию. Однако учитывается, что он купил первый контракт по 100 руб., а второй продал по 110 руб., т.е. дороже. Разница в 10 руб. составляет выигрыш спекулянта. 10 руб. вечером переводятся расчетной палатой на его счет. Данная сумма списывается со счета участника торгов, который имел короткую позицию по контракту.
Допустим теперь, что спекулянт ошибся в прогнозе, и к вечеру фьючерсная цена упала до 90 руб. Чтобы не рисковать еще больше, он продает контракт по 90 руб. Вновь вторая сделка погасила его обязательство по первой сделке. Однако финансовый результат для него отрицательный: он купил контракт по 100 руб., а продал только по 90 руб. Поэтому уже с его счета расчетная палата списывает сумму в 10 руб. и переводит на счет лица, которое имело короткую позицию по контракту.
Пример 3. Игра на понижение.
Утром котировка мартовского фьючерса составляет 100 руб. Спекулянт полагает, что к вечеру она упадет до 90 руб. Поэтому он играет на понижение, т.е. продает мартовский фьючерс по 100 руб. К вечеру фьючерсная цена снизилась до 90 руб. Тогда спекулянт покупает мартовский фьючерс по 90 руб.
После окончания торговой сессии расчетная палата проводит клиринг по его счету. Первой сделкой спекулянт взял на себя обязательство продать акцию компании А в марте, второй сделкой - купить акцию компании А в марте. Таким образом, вторая сделка погасила его обязательство по первой: он уже не должен ни продавать, ни покупать акцию. Однако учитывается, что он продал первый контракт по 100 руб., а купил второй по 90 руб., т.е. дешевле. Разница в 10 руб. составляет его выигрыш, который вечером переводится на его счет. Данная сумма списывается со счета участника торгов с длинной позицией по контракту.
Допустим теперь, что спекулянт ошибся в прогнозе, и к вечеру фьючерсная цена выросла до 110 руб. Чтобы не рисковать еще больше, он покупает контракт по 110 руб. Вновь вторая сделка погасила его обязательство по первой. Однако финансовый результат для него отрицательный: он продал контракт по 100 руб., а купил по 110 руб. Поэтому с его счета списывают маржу в размере 10 руб.
В первом примере спекулянт играл на повышение, поэтому открыл длинную позицию, т.е. взял на себя обязательство купить акции. Второй сделкой он снял с себя это обязательство. В этом случае скажут, что второй сделкой он закрыл позицию.
Во втором примере спекулянт играл на понижение, поэтому открыл короткую позицию, т.е. обязался продать акции. Второй сделкой он снял с себя это обязательство или закрыл позицию. Сделка, закрывающая открытую позицию по срочному контракту, называется офсетной. Она противоположна первоначальной. Если первая сделка была покупкой контракта, то офсетная будет продажей. Если первая была продажей, то офсетная будет покупкой.
Участник контракта может держать позицию открытой в течение длительного времени, например, несколько дней. Однако все равно ежедневно по его счету будет происходить движение средств: расчетная палата будет начислять ему текущий выигрыш или списывать текущий проигрыш. Текущие выигрыши (проигрыши) она определяет по итогам каждой торговой сессии на основе так называемой котировочной или расчетной цены. Котировочная цена - это цена, которая определяется по итогам торговой сессии на основе котировок или сделок, заключенных в ходе данной сессии. В мировой практике котировочная цена обычно рассчитывается на основе сделок, заключенных перед закрытием биржи. Рассмотрим механизм клиринга для данного случая на примере.
Пример 4.
Спекулянт полагает, что фьючерсная цена будет расти несколько дней подряд. Поэтому покупает утром мартовский фьючерс на акцию компании А по цене 100 руб. Котировочная цена по итогам торговой сессии в первый день составила 105 руб. Расчетная палата осуществляет клиринг по счету спекулянта. Она сравнивает цену открытия позиции - 100 руб. с котировочной ценой - 105 руб. Так как спекулянт открыл длинную позицию, то он выигрывает от роста цены. Поэтому расчетная палата вечером переводит на его счет разницу между
ценами - 5 руб. - в качестве выигрыша спекулянта за сегодняшний день.
На второй день спекулянт не предпринимает никаких действий. Мартовский фьючерс торгуется, и вечером котировочная цена определена на уровне 115 руб. Расчетная палата проводит клиринг по счету спекулянта. Она сравнивает вчерашнюю котировочную цену (105 руб.) с сегодняшней котировочной ценой (115 руб,). Цена выросла на 10 руб. Это означает, что спекулянт выиграл 10 руб. Вечером данная сумма переводится на счет спекулянта в качестве текущего выигрыша.
На третий день котировочная цена равна 110 руб. Расчетная палата проводит клиринг по позиции спекулянта. Она сравнивает вчерашнюю котировочную цену (115 руб.) с сегодняшней (110 руб.). Котировочная цена мартовского фьючерса упала на 5 руб. Поскольку у спекулянта длинная позиция, а цена понизилась, то он проигрывает в этой ситуации. Его проигрыш равен 5 руб. Данная сумма вечером списывается с его счета.
На четвертый день спекулянт продает контракт по 111 руб., т.е. закрывает свою позицию. Расчетная палата проводит клиринг по его счету. Она сравнивает вчерашнюю котировочную цену (110 руб.) с ценой закрытия позиции (111 руб.). Так как цена выросла, то спекулянт выиграл 1 руб. Данная сумма переводится на его счет.
Если нас интересует общий результат по операции спекулянта, то необходимо сравнить цены открытия и закрытия позиции. Контракт был открыт по 100 руб., а закрыт по 111 руб. Таким образом, спекулянт выиграл 11 руб.
Как было показано в примере, по результатам торгов расчетная палата ежедневно определяет выигрыши-проигрыши участников, списывает деньги со счета проигравшей стороны и зачисляет их на счет выигравшей. Сумма выигрыша или проигрыша, начисляемая по итогам торгов, называется вариационной или переменной маржой. Положительная вариационная маржа означает выигрыш, отрицательная - проигрыш.
Мы рассмотрели механизм клиринга на примере спекулянта. Следует однако подчеркнуть, что расчетная палата ежедневно проводит клиринг по всем открытым позициям, т.е. как спекулянтов, так и хеджеров и арбитражеров.
Расчетная палата устанавливает минимальную сумму средств, которая должна находится на счете участника торгов, имеющего открытую позицию. Она называется поддерживающая маржа. Она
может равняться или быть ниже начальной маржи. Если в результате проигрыша по фьючерсному контракту на клиентском счете окажется сумма меньше поддерживающей маржи, клиент обязан восстановить ее величину до уровня начальной. В противном случае брокер самостоятельно закроет его позицию офсетной сделкой. Такое условие включается в договор с брокером.
Участники торгов, которые не закрыли свои позиции до момента истечения контрактов, обязаны их исполнить. По общему правилу фьючерсные контракты исполняются по цене равной котировочной цене последнего торгового дня. Поясним это на примере.
Пример 5.
Имеется фьючерсный контракт на акции компании Л, который насчитывает одну акцию. Сейчас 1 декабря, контракт истекает 15 марта. Котировка мартовского фьючерса равна 100 руб. Инвестор хотел бы купить акцию компании А в феврале по 100 руб. Поэтому он сейчас покупает мартовский фьючерс по цене 100 руб. и держит позицию открытой до момента истечения контракта. Допустим, фьючерсная цена росла, и в последний день торгов котировочная цена составила 150 руб. Это означает, что инвестор должен исполнить контракт по цене 150 руб. Биржа назначает ему контрагента по контракту. Он уплачивает ему 150 руб. и получает акцию.
Когда инвестор покупал контракт 1 декабря, он хотел получить акцию по цене 100 руб. Несмотря на то, что он заплатил 150 руб., его фактические расходы составили 100 руб. Он открыл позицию по 100 руб. В последующем фьючерсная цена выросла до 150 руб. Это означает, что за период действия контракта в качестве выигрыша на его счет была перечислена вариационная маржа на сумму 50 руб. Таким образом, 100 руб., которые он готов был заплатить плюс 50 руб. выигрыша по фьючерсу и дают общий итог в 150 руб.
Допустим, что котировочная цена в последний день торгов составила 50 руб. за акцию. Поэтому инвестор уплачивает контрагенту 50 руб. и получает акцию. Однако его фактические расходы вновь равны 100 руб. Он открыл длинную позицию по 100 руб., а фьючерсная цена упала до 50 руб. Это означает, что с его счета за период действия контракта списали отрицательную вариационной маржу на сумму 50 руб. Таким образом, 50 руб., уплаченные контрагенту за акцию, плюс 50 руб. проигрыша на акцию по контракту дают в сумме 100 руб. Как видно из примера, инвестор в обоих случаях уплачивает за акцию ту цену, по какой он открыл позицию.
Фьючерсные контракты могут быть поставочными и беспо-ставочными или расчетными. По поставочному фьючерсу предусматривается физическая поставка базисного актива, Беспоставоч-ный фьючерс предполагает расчеты между участниками только в денежной форме, а поставка базисного актива отсутствует. Поясним сказанное на примере.
Пример 6.
! Пусть в примере 5 фьючерсный контракт на акцию является бес-поставочным. В предпоследний торговый день котировочная цена равна 145 руб. На следующий день (последний торговый день) котировочная цена составила 150 руб. В конце дня расчетная палата осуществляет последний клиринг по счетам участников, которые имели на этот день открытые позиции по контракту. Участники с длинной позицией получили положительную вариационную маржу в размере 5 руб. на один контракт, а со счетов участников с короткой позицией данная сумма была списана. Таким образом, контракт истек, взаиморасчеты между контрагентами завершены.
Как правило, фьючерсный контракт делают расчетным, если неудобно осуществлять поставку базисного актива. В мировой практике, например, беспоставочными являются контракты на фондовые индексы.
Чтобы не допустить чрезмерной спекуляции фьючерсными контрактами и усилить систему гарантий их исполнения, биржа устанавливает по каждому виду контракта лимит отклонения фьючерсной цены текущего дня от котировочной цены предыдущего дня Например, котировочная цена предыдущего дня равна 100 руб. Лимитное отклонение вверх и вниз составляет 10%. Это значит, что в ходе текущей торговой сессии фьючерсная цена может колебаться в границах от 90 руб. до 110 руб. Если фьючерсная цена выходит за рамки данного интервала, биржа останавливает торговлю контрактом. Иногда она может изменить ценовые границы. Торговля прекращается с целью ограничить спекуляцию и позволить инвесторам реально оценить конъюнктуру рынка. Торговлю могут останавливать на короткий период или до конца торгового дня.
Если фьючерсная цена отклонилась от предшествующей котировочной цены на величину, равную нескольким лимитным интервалам, то торговля контрактом в течение последующих дней будет открываться и сразу же закрываться без осуществления каких-либо сделок. Такая ситуация продлится до тех пор, пока фьючерсная цена
не установится в границах лимитного интервала. В описанной ситуации новая котировочная цена будет фиксироваться на уровне лимитной цены. Проиллюстрируем сказанное на примере.
Пример.
Котировочная цена предыдущего дня равна 100 руб. Лимитное отклонение - 10%. Резкое изменение конъюнктуры на спотовом рынке базисного актива привело к тому, что на следующий день (день 1) инвесторы готовы продавать фьючерсы по 130 руб. Биржа открыла торговлю и сразу же закрыла. Сделки по данной цене не заключались, а новая котировочная цена была установлена на уровне 110 руб., т. е. на уровне верхнего лимита. На следующий день (день 2) фьючерсная цена, по которой участники рынка готовы были продавать контракты, оставалась на прежнем уровне (130 руб.), поэтому торговля контрактом вновь не велась, а котировочную цену установили на уровне 121 руб. На третий день фьючерсная цена оказалась в рамках лимитных границ, и торговля контрактом возобновилась.
Ограничение ценовых колебаний играет важную роль с точки зрения снижения риска потерь и предотвращения банкротств участников торгов и биржи, однако такой механизм делает фьючерсные контракты неликвидными в течение периода времени, пока биржа закрыта. Система лимитов приводит к тому, что в течение некоторого времени существует разница между официально зарегистрированной фьючерсной ценой и равновесной фьючерсной ценой Следует отметить, что не всегда фьючерсная цена испытывает резкие изменения только в силу спекулятивных настроений, поскольку она является зеркалом ситуации на спотовом рынке базисного актива. Биржа, как правило, снимает лимитные ограничения для месяца поставки по фьючерсному контракту.
Для ограничения спекулятивной активности биржа устанавливает позиционный лимит, т. е. ограничивает общее число контрактов, которые может держать открытым один инвестор, и в разбивке по времени их истечения.
Фьючерсные контракты, как правило, заключаются не с целью осуществления реальной поставки, а для хеджирования и спекуляции. В мировой практике только небольшое число всех заключаемых контрактов оканчиваются поставкой, остальные закрываются офсетными сделками. Когда заключается новый контракт, число существующих на бирже контрактов возрастает на одну единицу. При совер-
число
Рис. 3.1. Число открытых позиций в течение действия фьючерсного контракта
шении офсетной сделки только одним инвестором число заключенных контрактов остается прежним. Если два лица, которые имеют противоположные позиции, заключают офсетные сделки, число контрактов уменьшается на единицу.
Общую динамику торговли фьючерсными контрактами можно охарактеризовать с помощью рис. 3.1. Как видно из графика, максимальный объем открытых позиций, т. е. действующих контрактов, приходится на момент времени После этого количество существующих контрактов начинает резко падать, поскольку хеджеры и спекулянты, как правило, не заинтересованы в осуществлении поставки. Поэтому при приближении срока истечения контрактов они начинают активно закрывать свои позиции. На дату поставки остается лишь небольшое число контрактов.
3.2.	ФЬЮЧЕРСНАЯ ЦЕНА. БАЗИС. ЦЕНА ДОСТАВКИ
3.2.1.	Фьючерсная цена
При заключении фьючерсного контракта участники согласовывают цену базисного актива с поставкой в определенный момент в будущем. Она называется фьючерсной ценой. Важно подчеркнуть, что согласованная фьючерсная цена не фиксируется во фьючерсном контракте. Она фиксируется только по счету каждого из участников сделки как цена открытия позиции. Фьючерсная цена может
быть выше или ниже текущей цены спот базисного актива. Ситуация, когда фьючерсная цена выше цены спот, называется кон-танго (премия к цене спот). Ситуация, когда фьючерсная цена ниже цены спот, называется бэквардейшн (скидка относительно цены спот). Графически оба случая показаны на рис. 3.2. Если для нескольких фьючерсных контрактов (ситуация контанго) с разными датами истечения фьючерсная цена ближайшего контракта ниже фьючерсной цены более отдаленного контракта, то такая ситуация называется нормальным контанго. Если фьючерсная цена ближайшего контракта (ситуация бэквардейшн) выше фьючерсной цены более отдаленного контракта, то это нормальное бэквардейшн.
На рис. 3.2 показано, что в день истечения срока действия контракта фьючерсная цена равняется цене спот. Такая закономерность для поставочных фьючерсов должна обязательно выдерживаться, иначе возникнет возможность совершить арбитражную операцию. Поясним это на примере.
фьючерсная
Рис. 3.2. Контанго и бэквардейшн; z, - дата заключения контракта, t2 - дата истечения срока действия контракта
Пример.
В последний день торгов фьючерсным контрактом на акцию в какой-то момент времени фьючерсная цена оказалась выше цены спот (цена спот акции равна 100 руб.) и составила 110 руб. Тогда арбитражер продает фьючерсный контракт за 110 руб. Одновременно он
занимает деньги и покупает акцию на спотовом рынке за 100 руб. Во исполнение фьючерсного контракта арбитражер поставляет акцию контрагенту. Его прибыль составляет 10 руб. за минусом процента по кредиту. При возникновении такой ситуации арбитражеры начнут активно продавать фьючерсные контракты, что понизит фьючерсную цену. Одновременно они начнут покупать акции на спотовом рынке, что вызовет рост спотовой цены. В результате их действий фьючерсная и спотовая цены быстро сойдутся и окажутся одинаковыми или почти одинаковыми. Некоторая разница может возникнуть в силу комиссионных расходов, которые несут арбитражеры при совершении операций.
Допустим, что фьючерсная цена в последний день торговли контрактом составила 90 руб. Тогда арбитражер купит фьючерсный контракт за 90 руб. и одновременно осуществит короткую продажу акции на спотовом рынке за 100 руб. Получив базисный актив по фьючерсному контракту, он вернет его кредитору. Его прибыль составит 10 руб. за минусом суммы кредита по заимствованию акции. В такой ситуации арбитражеры активно начнут покупать контракты, что повысит фьючерсную цену, и продавать базисный актив на спотовом рынке, что понизит спотовую цену. В результате действий арбитражеров спотовая и фьючерсная цены сойдутся.
Чтобы распространить правило единства спотовой и фьючерсной цен в последний день обращения контракта и на расчетные фьючерсы, на биржах принимается следующее правило: котировочная цена расчетного контракта в последний день торгов устанавливается равной цене базисного актива в этот день на спотовом рынке.
3.2.2.	Базис. Цена доставки
Разница между ценой спот базисного актива и фьючерсной ценой называется базисом. В зависимости от того, выше фьючерсная цена или ниже спотовой, базис может быть отрицательным или положительным, К моменту окончания периода действия контракта базис будет равен нулю, так как фьючерсная и спотовая цены сойдутся. Для финансовых фьючерсных контрактов базис может также определяться и как разность между фьючерсной ценой и ценой спот. Такой порядок расчета возникает в связи с тем, чтобы сделать базис величиной положительной, так как фьючерсная цена финансовых фьючерсных контрактов часто выше спотовой. Для товарных фью-
мереных контрактов более характерна ситуация бэквардейшн. По своей величине базис представляет собой не что иное, как цену доставки базисного актива.
Понятие “цены доставки” является одним из центральных моментов определения фьючерсной цены. Цена доставки - это все затраты, связанные с владением базисным активом в течение действия контракта и упущенная прибыль. Она включает в себя следующие элементы:
а)	расходы по хранению и страхованию актива;
б)	процент, который получил бы инвестор на сумму, затраченную на приобретение базисного актива; процент, который инвестор уплачивает по займу. В соответствии с концепцией “цены доставки” фьючерсная цена равняется следующему соотношению:
фьючерсна цена	расходы по хранению
цена спот	и страхованию ' к '
При нарушении данного равенства возникает возможность совершить арбитражную операцию. Если
F>S + fk+Z ,	(3.2)
где /А. -процент по кредиту;
S - цена спот базисного актива;
Z - расходы по хранению и страхованию;
то арбитражер:
а)	продаст контракт;
б)	займет средства под процент Ik, купит на них базисный актив, уплатит сумму за хранение и страхование актива и будет хранить его до момента поставки,
в)	по истечении срока контракта поставит актив и получит прибыль в размере [f - (S + lk + z)]. В случае ценных бумаг величина Z равна нулю, и неравенство (3.2) принимает вид:
F>5 + A.
Если
где 1д - процент по депозиту, то арбитражер:
а)	купит контракт;
б)	займет актив под процент 1к;
в)	продаст актив и разместит полученную сумму под процент 1д;
г)	по истечении срока контракта получит проценты по депозиту, заплатит за актив по контракту, вернет его с процентами кредитору. Его прибыль составит сумму (s +1() - Ik - F).
Как следует из формулы (3.1), цена доставки равна разности между фьючерсной ценой и ценой спот и представляет собой не что иное, как базис.
Разность между двумя фьючерсными ценами для разных месяцев поставки называется спрэд. Он равен:
спрэд - F2- F{,
где F, - фьючерсная цена контракта с более близкой датой истечения;
F2 - фьючерсная цена контракта с более отдаленной датой истечения.
Разница между двумя фьючерсными ценами представляет собой также не что иное, как цену доставки. Если цена доставки положительна (F2 > FJ , то это ситуация контанго, если цена доставки отрицательна (F2<F]), - ситуация бэквардейшн. Когда величина спрэда меньше или превышает цену доставки, возникает возможность совершить арбитражную операцию.
Одной из разновидностей фьючерсных стратегий является так называемая торговля базисом. Она предполагает покупку (продажу) фьючерсного контракта с одновременной продажей (покупкой) базисного актива. Инвестор покупает базис, если он приобретает фьючерсный контракт и продает базисный актив. Продажа базиса предусматривает противоположные действия. В первом случае инвестор надеется на расширение величины базиса, во втором - на ее сужение2. Рост величины базиса может произойти за счет роста фьючерсной цены или/и падения цены актива. Сужение величины базиса возможно за счет падения фьючерсной цены или/и роста цены актива. Инвестор использует данные стратегии, когда величина базиса не равна цене доставки.
3.2.3.	Соотношение форвардной и фьючерсной цен
В главе 2 мы вывели формулы определения форвардных цен на основе безарбитражного подхода. Как следует из равенства (3.1), расчет фьючерсных цен основан на том же принципе. Поэтому для определения фьючерсных цен используют формулы расче-
' Ситуация контанго.
та форвардных цен. Однако на практике фьючерсные цены могут несколько отличаться от форвардных. Это объясняется разными факторами, например, уровнем комиссионных на форвардных и фьючерсных рынках, степенью ликвидности контрактов, необходимостью внесения начальной маржи и т.п., которые не учтены в рассмотренных выше моделях определения форвардной цены, а также особенностью арбитражного подхода на фьючерсном рынке. Здесь необходимо учитывать тот факт, что позиции участников фьючерсной торговли переоцениваются расчетной палатой ежедневно. В результате арбитражер может потерять всю теоретически рассчитанную прибыль за счет отрицательной вариационной маржи, если динамика фьючерсной цены будет не в его пользу. Поэтому арбитраж на фьючерсном рынке не является чистым, а содержит в себе долю риска.
По ряду контрактов определение точной фьючерсной цены усложнятся тем фактом, что лицо с короткой позицией имеет право поставить базисный актив в любой день в рамках отведенного для этого периода поставки. Так, инвестор может поставить актив в начале, середине или конце месяца поставки. Каждому случаю будет соответствовать своя фьючерсная цена. Момент поставки зависит от того, когда инвестору выгодно поставить базисный актив. Для такой ситуации можно сформулировать следующее правило. Если значение фьючерсной цены является возрастающей функцией от значения Т , инвестору выгодно поставить актив в начале периода поставки, поскольку он сможет инвестировать полученные по контракту средства под более высокий процент, чем он получает от владения базисным активом. Если фьючерсная цена является убывающей функцией от Т, инвестору выгоднее поставить актив в последний день периода поставки, поскольку владение активом приносит ему более высокий доход, чем тот, который он сможет получить от реинвестирования выплаченных по контракту средств. В связи с этим расчет фьючерсной цены в первом случае следует делать на начало периода поставки, во втором - на конец периода. Поясним приведенное правило на примере формулы для акции с известной ставкой непрерывно начисляемого дивиденда:
F = Se—,!.
Как из нее следует, фьючерсная цена является возрастающей функцией времени, если г > q , т.е. в этом случае инвестор может получить более высокую доходность (ставку без риска) от инвестирова
ния денег, уплаченных за акцию, по сравнению с размером дивиденда, который приносит ему владение акцией. Функция является убывающей от времени при г <q. Это значит, что вкладчик получает более высокую доходность от владения бумагой по сравнению с инвестированием полученных по контракту средств под ставку без риска.
Отметим еще следующую зависимость между форвардной и фьючерсной ценами. Дж. Кокс, Дж. Ингерсол и С.Росс доказали, что если форвардный и фьючерсный контракты имеют одинаковую дату истечения, а ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени, то форвардная и фьючерсная цены будут равны. Доказательство данного положения приводится в приложении 1 к настоящей главе.
3.2.4.	Будущая цена спот
Если фьючерсный контракт заключается в спекулятивных целях, то особую важность приобретает вопрос предвидения будущей цены спот, Дж.М.Кейнс и Дж.Хикс сделали следующие замечания в этом отношении. На фьючерсном рынке присутствуют как хеджеры, так и спекулянты. Спекулянты открывают позиции для получения прибыли за счет курсовой разницы. За риск, который они берут на себя, они ‘требуют" соответствующего вознаграждения. При отсутствии ожиданий потенциального вознаграждения они не будут заключать контракты. Поэтому, если большая часть спекулянтов открыла длинную позицию по контракту, это говорит о том, что фьючерсная цена должна быть ниже будущей цены спот (ситуация бэквардешн), поскольку именно повышение в дальнейшем фьючерсной цены принесет спекулянту прибыль. Если большая часть из них открыла короткую позицию, то это свидетельствует о том, что фьючерсная цена пыше будущей цены спот (ситуация контанго), поскольку именно понижение в дальнейшем фьючерсной цены принесет спекулянтам прибыль.
3.2.5.	Котировка фьючерсных контрактов
В западной финансовой прессе регулярно публикуются котировки фьючерсных контрактов. Котировки строятся по единой схеме. В качестве примера в таблице 3.1 представлена котировка контракта на пшеницу, который торгуется на Чикагской торговой палате (СВТ).
В котировке сообщаются итоги торговли зерном за 25 марта 2002 г.
Таблица 3.1. Котировка фьючерсного контракта на пшеницу
(Wall Street Journal, March 26, 2002 г., p.M9)
-------г—.---------------------------------—
	Monda		if March 25, 2002		LIFETIME	
	OPEN	HIGH	LOW SETTLE	OHG	HIGH | LOW _ 		OPEN INT
	Corn (CBT)-5,000 bu.; cents per bu.					
Мау	204 75	205 00	203 50 I 203 75 	I	-1 00	266 50 j 203 50	191 032
July	211 50 		211 75 		210 25 [ 210 50	-1 00	279 50 j 210.00	117 662
Est vol па, vol Fri 30 606 open tnt 438 880, -*-5,249						
В ней указан размер контракта (5000 бушелей), цена в центах за один бушель. В первой колонке дается месяц истечения фьючерсного контракта (май, июль). Вторая колонка - это фьючерсная цена при открытии торговли (204.75 для майского контракта), третья колонка - наивысшая за день цена (205.00), четвертая колонка - самая низкая за день цена (203.50). В пятой колонке указана котировочная цена (203.75), шестая колонка - это изменение котировочной цены по сравнению с котировочной ценой предыдущего торгового дня (-1.00). Седьмая и восьмая колонки - соответственно самая высокая и самая низкая цены за время действия контракта. Девятая колонка - общее число существующих контрактов (открытых позиций). В ней приводится информация за торговый день, предшествующий дню, за который указывается котировка. В нашем примере 191.032 - это число открытых позиций, существовавших в пятницу 22 марта. Последней строчкой в таблице приводится оценка объема торговли (Est vol) за рассматриваемый торговый день для всех контрактов на пшеницу, независимо от срока их истечения - в котировке данная цифра отсутствует (па), - и точный объем торговли за предшествующий торговый день (30.606). Далее - общее число открытых позиций на предыдущий торговый день и разница в количестве контрактов по сравнению с 21 марта.
3.3. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМИ КОНТРАКТАМИ
Страхование или хеджирование состоит в нейтрализации неблагоприятных изменений цены актива. Хеджирование может быть полным или неполным (частичным). Полное хеджирование целиком исключает риск потерь, частичное хеджирование осуществляет страхование только в определенных пределах. Существует хеджирование продажей и хеджирование покупкой фьючерсного контракта.
Хеджирование продажей контракта, или короткое хеджирование. используется для страхования от будущего падения цены базисного актива на спотовом рынке; хеджирование покупкой, или длинное хеджирование, - от ее повышения. Рассмотрим технику короткого и длинного хеджирования на примерах.
Пример 1. Хеджирование продажей контракта.
Фермер планирует через три месяца продать одну тонну пшеницы. Существует риск снижения к этому моменту цены на зерно. Поэтому он решает застраховаться от ее падения с помощью фьючерсного контракта. Один фьючерсный контракт включает одну тонну пшеницы. Фьючерсная котировка с поставкой пшеницы через три месяца равна 4500 руб. за тонну. Фермера устраивает цена, так как позволяет окупить затраты и получить прибыль. Он продает фьючерсный контракт по этой цене. Фермера устраивают все условия контракта, поэтому он просто исполнит его через три месяца.
Пусть через три месяца цена спот пшеницы равна 4000 руб. Поскольку спотовая и фьючерсная цены в последний день торговли контрактом одинаковы (см. рис. 3.2), то котировочная фьючерсная цена также равна 4000 руб. Биржа назначила фермеру контрагента. Он поставил ему пшеницу и получил за нее 4000 руб. По фьючерсному контракту он также выиграл 500 руб., поскольку продал фьючерс три месяца назад по 4500 руб., а в последующем фьючерсная цена упала до 4000 руб. Таким образом, в сумме по операции он получил 4500 руб.
Пусть через три месяца пшеница на спотовом рынке стоит 5000 руб. Тогда котировочная фьючерсная цена также равна 5000 руб. Фермер поставляет пшеницу контрагенту за 5000 руб. Однако по фьючерсу он проиграл 500 руб., так как продавал контракт, а цена в последующем выросла. Вновь в сумме по операции он получает 4500 руб.
Рассмотренный пример представляет собой идеальный случай хеджирования, когда фьючерсный контракт полностью соответствовал потребностям хеджера, и он просто исполнил его. В реальной практике условия ведения бизнеса достаточно разнообразны. Поэтому обычно фьючерс будет использоваться только для хеджирования, а реальная продажа пшеницы будет осуществляться на спотовом рынке. В день продажи пшеницы на спотовом рынке фермер закроет свою фьючерсную позицию офсетной сделкой. Рассмотрим сказанное на примере.
Пример 2. Хеджирование продажей контракта.
Допустим, что в примере 1 биржа требует осуществление поставки пшеницы в строго обозначенном месте, а фермеру удобнее продать ее у себя на спотовом рынке. Поэтому он использует фьючерс только для хеджирования, а пшеницу будет продавать через три месяца по спотовой сделке. Фермер сейчас продает трехмесячный фьючерс по цене 4500 руб. Через три месяца пшеница на спотовом рынке стоит 4000 руб. Фермер продает ее по этой цене на спотовом рынке. В этот же день он закрывает фьючерс офсетной сделкой. Поскольку это последний день обращения фьючерсного контракта, то фьючерсная цена равна спотовой. Поэтому фермер закрывает фьючерс по 4000 руб., выигрывая 500 руб. В сумме по операции он получает 4500 руб.
Если цена пшеницы выросла до 5000 руб., то фермер продал ее на рынке по этой цене, однако по фьючерсу проиграл 500 руб., так как закрыл его также по 5000 руб. Вновь в сумме по операции он получил 4500 руб.
Таким образом, заключение фьючерсного контракта позволило фермеру застраховаться от падения цены пшеницы. В то же время, следует подчеркнуть, что хеджирование фьючерсным контрактом не позволяет воспользоваться благоприятной конъюнктурой.
Пример 3. Хеджирование покупкой контракта.
Производителю хлеба через три месяца понадобится новая партия пшеницы. Чтобы застраховаться от возможного роста ее цены, он решает купить фьючерсный контракт с котировкой 4500 руб. за тонну. Производителя хлеба устраивают все условия контракта, поэтому он просто будет его исполнять через три месяца.
Через три месяца цена пшеницы на спотовом рынке выросла до 5000 руб. Это означает, что котировочная фьючерсная цена также равна 5000 руб. Производитель уплачивает данную сумму контрагенту и получает пшеницу. Однако по фьючерсу он выиграл 500 руб., так как купил контракт по цене 4500 руб., а в последующем она выросла до 5000 руб. Поэтому в сумме его расходы по покупке пшеницы составили 4500 руб.
Пусть через три месяца пшеница стоит 4000 руб. Тогда он покупает ее у контрагента по этой цене, однако по фьючерсу теряет 500 руб. Вновь его расходы равны 4500 руб.
Пример 4. Хеджирование покупкой контракта.
Производителю хлеба через три месяца понадобится новая партия пшеницы. Чтобы застраховаться от возможного роста ее цены,
он решает купить фьючерсный контракт с котировкой 4500 руб. за тонну. Производителя хлеба устраивают все условия контракта, кроме места покупки. Допустим, биржа требует осуществления поставки пшеницы в строго обозначенном месте, а производителю хлеба удобнее купить ее у себя на спотовом рынке. Поэтому он использует фьючерс только для хеджирования, а пшеницу будет покупать на своем рынке в день истечения фьючерсного контракта.
Через три месяца цена пшеницы на спотовом рынке выросла до 5000 руб. Производитель покупает ее по этой цене на спотовом рынке. Одновременно он закрывает фьючерс офсетной сделкой также по 5000 руб,, поскольку спотовая и фьючерсная цены в последний день действия контракта равны Таким образом, по фьючерсу он выигрывает 500 руб. В сумме его расходы по покупке пшеницы составляют 4500 руб.
Пусть через три месяца пшеница стоит 4000 руб. Тогда он покупает ее на спотовом рынке по этой цене, однако фьючерс также закрывает по 4000 руб., проигрывая 500 руб. Вновь его расходы равны 4500 руб.
Таким образом, заключение фьючерсного контракта позволило производителю хлеба застраховаться от роста цены пшеницы, однако во втором случае он не смог воспользоваться благоприятной конъюнктурой,
В приведенных примерах мы рассмотрели идеальный случай хеджирования, когда потери (выигрыши) на спотовом рынке полностью компенсировались выигрышами (потерями) по фьючерсному контракту, На практике подобная ситуация случается редко. Фьючерсные контракты истекают только в определенные моменты времени. Однако хеджер может быть заинтересован в продаже или покупке базисного актива в иные сроки. Если завершение операции хеджирования не совпадает с моментом истечения периода действия фьючерса, то не будет совпадения фьючерсной и спотовой цен, В результате хеджер может получить как некоторый выигрыш, так и понести убытки. Другими словами, для хеджера возникает риск того, что к моменту окончания хеджа спотовая цена не будет равна фьючерсной, и базис не будет равен нулю. Данный риск называют риском базиса или базисным риском. Поясним сказанное на условиях примера 2.
Пример 5.
Фермер продает пшеницу на спотовом рынке не в момент истечения фьючерсного контракта, а на две недели раньше. Пусть в это
время спотовая цена пшеницы составляет 4000 руб., а фьючерсная -4100 руб. Фермер продает пшеницу на спотовом рынке за 4000 руб. и одновременно закрывает офсетной сделкой фьючерс по 4100 руб. По фьючерсу он выигрывает 400 руб. Общая сумма, полученная фермером за пшеницу, равна 4400 руб. Таким образом, в сравнении с полным хеджированием он недополучил 100 руб.
Возможен и другой результат. Спотовая цена пшеницы 4000 руб., а фьючерсная цена в момент закрытия позиции - 3900 руб. В результате по фьючерсу фермер выиграл 600 руб. Общая сумма, полученная за пшеницу, равна 4600 руб. Таким образом, в сравнении с полным хеджированием фермер получил дополнительно 100 руб.
Когда сроки окончания хеджа и фьючерсного контракта не совпадают, надо ответить на вопрос, каким по времени истечения фьючерсным контрактом хеджировать. Для хеджирования надо остановиться на контракте, который истекает после осуществления спотовой сделки. Если выбрать контракт, истекающий раньше нее, то после его окончания спотовая позиция хеджера будет не застрахована от изменений цены базисного актива.
Как видно из рис.3.2, чем больше времени между завершением хеджа и окончанием фьючерсного контракта, тем больше базисный риск. Поэтому хеджер должен минимизировать время между окончанием хеджа и истечением срока фьючерсного контракта. В результате следует выбрать ближайший фьючерсный контракт. Хеджирование с помощью ближайшего фьючерсного контракта называют спот-хеджированием
Пусть спотовая цена пшеницы в начале операции хеджирования равна 50, фьючерсная цена - /т , в момент окончания хеджа цена пшеницы составляет 5,, а фьючерса - F}, Тогда общая сумма, которую получит фермер в результате страхования в момент завершения хеджа, равна:3
сумма, полученная хеджером = Sr+(j\t- F()	3)
или
сумма, полученная хеджером = Fo + (5, — F,),	(3.4)
3 Когда рассчитываются суммы денег по позиции хеджера, то продажу актива обозначаем знаком плюс, так как это его доходы, покупку актива со знаком минус, так как это его расходы. Поэтому в формуле (3 3) £ и Fo берем со знаком плюс, a Ft - со знаком минус.
где (5, - Ff) ' базис в момент завершения хеджа.
Подставим в формулу (3.4) цифры из примера 5. Получим для первого случая результат:
4500 + (4000 - 4100) - 4400руб.;
для второго:
4500 + (4000 - 3900) - 4600руб.
Контрагентом фермера выступает производитель хлеба. Соответственно, он уплатит сумму:
сумма, уплаченная хеджером — —St + (-	+ Ft)
или
сумма, уплаченная хеджером = -Fo - (S, - Ft), или
сумма, уплаченная хеджером ~	+ (5,-Л)1	(3.5)
Знак минус в формуле (3.5) говорит о том, что хеджер уплачивает данную сумму денег.
Как вытекает из формул (3.4) и (3.5), в результате страхования хеджер заменяет непосредственный риск изменения цены базисного актива на риск изменения базиса. Риск базиса существенно меньше прямого риска по базисному активу.
Сумму, которую получит или уплатит хеджер в результате страхования в момент завершения хеджа, можно представить еще следующим образом:
сумма, полученная или уплаченная хеджером
= 50-50 + Fu+(5(-F,)
или
сумма, полученная или уплаченная хеджером
= SO~(SO—FO)+(SI—F,),
(3.6)
где (So - Fo) - базис в момент начала хеджа.
Таким образом, результат хеджера равен начальной цене спот базисного актива плюс разница в величине конечного и начального базисов. Проиллюстрируем формулу (3.6) цифрами из примера 5 для первого случая. Пусть цена пшеницы в начальный момент равна 4600 руб. Фермер получает за пшеницу сумму:
4600 - (4600 - 4500)+ (4000 - 4100) = 4400руб.
Мы рассмотрели ситуацию применительно к товарному фьючерсу. Как было сказано выше, для финансового фьючерса базис может определяться как разность между фьючерсной и спотовой ценами. Поэтому в таком случае для финансового фьючерса формулы (3.4) и (3.6) соответственно примут вид:
сумма, полученная хеджером = Fo -	- St) (
и
сумма, полученная или ,	, t .
= 5(1+ F0-50 -{F-S, . уплаченная хеджером
Период хеджирования может оказаться больше срока действия фьючерсного контракта. Тогда хеджер может страховать свою позицию по базисному актива за счет последовательного заключения нескольких фьючерсных контрактов. Перед истечением срока действия первого контракта он закроет его офсетной сделкой и откроет позицию по второму контракту и т.д. до момента завершения хеджа. В такой ситуации для хеджера возникает дополнительный риск, связанный со спрэдом между ценами закрываемого и открываемого контрактов при продлении хеджа, так как в начале операции точно неизвестна величина будущих спрэдов.
На бирже может отсутствовать контракт на требуемый базисный актив. В таком случае для страхования выбирается контракт на родственный актив. Данная техника называется кросс-хеджированием. Страхование контрактом с тем же активом именуют прямым хеджированием. При кросс-хеджировании возникает дополнительный риск, который состоит в том, что спотовая цена базисного актива фьючерсного контракта имеет корреляцию с ценой хеджируемого актива меньше чем плюс один.
Для страхования своей позиции хеджер должен определить необходимое количество фьючерсных контрактов, которые требуется открыть. Если время окончания хеджа и истечения фьючерса совпадает (полное хеджирование), то количество контрактов определяется по формуле:
количество
,	количество единиц хеджируемого актива /п
фьючерсных =---------------:-------------------------
количество единиц актива в одном контрактов	,
фьючерсном контракте
Пример 6.
Фермер хеджирует будущую продажу 100 тонн пшеницы продажей фьючерсных контрактов. Один фьючерс включает 1 тонну пшеницы. В случае полного хеджирования ему следует продать:
\ 00 тонн
I тонна
= ХООконтрактов.
Формула (3.7) не учитывает того факта, что по фьючерсному контракту в течение периода его действия будет начисляться или списываться вариационная маржа. На положительную вариационную маржу фермер сможет получать проценты, отрицательную маржу ему придется финансировать за счет процентов на положительную маржу, или занимая средства под проценты. Поэтому в первом случае в результате хеджирования фермер получит лучший результат, чем в примере 1, а во втором случае худший результат, чем в примере 1. Аналогичная ситуация будет и с результатами производителя хлеба в примере 3. Чтобы скорректировать погрешность, возникающую при полном хеджировании, следует уменьшить количество открываемых позиций.4 Корректировку количества контрактов можно осуществить дисконтированием формулы (3.7) на величину:
2 база
где г - процентная ставка, которая начисляется или уплачивается по вариационной марже;
Т - период действия фьючерсного контракта.5
В то же время, следует подчеркнуть, что корректировку целесообразно осуществлять по расчетным фьючерсам, так как реальную продажу пшеницы фермер осуществит по спотовой сделке. Если же фьючерс поставочный, и фермер будет его исполнять, то он заинтересован в определенном количестве контрактов, поскольку планирует продать определенное количество пшеницы.
4 На сленге срочного рынка данную технику корректировки количества фьючерсных контрактов именуют словом “tailing”.
5 В литературе также можно встретить рекомендации осуществлять корректировку количества фьючерсных контрактов дисконтированием на величину । + г- ,
см., например, Ch.Smilhson. Managing Financial Risk. A Guide to Derivative Products, Financial Engineering, and Value Maximization, - McGraw-Hill, 1998, p.134.
Пример 7.
. Пусть в примере 6 г = 10% годовых, Т - 90 дней, база - 360 дней. Тогда количество контрактов, которые следует открыть хеджеру, равно:
100 контрактов __ __ --------------- = 98,77 контрактов.
1	+ _1---
2	360
В примере 7 получилось дробное количество фьючерсных контрактов. Поскольку контракты не делимы, то результат следует округлить до целого значения. Поэтому количество контрактов, которые следует открыть хеджеру, равно 99. Получаемая в результате округления погрешность составляет элемент риска хеджера.
Если время окончания хеджа и истечения фьючерса не совпадает, то формулу (3.7) следует дополнить коэффициентом хеджирования, чтобы свести к минимуму риск базиса. С учетом коэффициента хеджирования она принимает вид:
количество
фьючерсных ~ КОЛцчество единиц хеджируемого актива
количество единиц актива в одном , (3.8) контрактов
фьючерсном контракте
где h - коэффициент хеджирования.
Суть коэффициента хеджирования можно понять на основе следующих рассуждений. Степень реакции фьючерсной цены на изменение спотовой цены может быть отличной от единицы. Поэтому, чтобы компенсировать изменение спотовой цены с помощью фьючерсных контрактов, необходимо открыть фьючерсные позиции в ином количестве, чем при полном хеджировании. Для расчета коэффициента хеджирования надо определить зависимость между изменением спотовой и фьючерсной цен. Поясним сказанное на примере.
Пример 8.
Допустим, хеджер заметил, что при изменении спотовой цены на 1 руб. фьючерсная цена изменяется на 2 руб. Пусть фьючерсные контракты делимы. Тогда для страхования от падения спотовой цены базисного актива на 1 руб. необходимо продать половину фьючерса. Если спот цена базисного актива упадет на 1 руб., цена фьючерса упадет на 2 руб. Соответственно цена половины фьючерса понизит
ся только на 1 руб. В результате хеджер выиграет на фьючерсе 1 руб., что компенсирует снижение цены базисного актива. Обратная ситуация наблюдается при росте цены базисного актива; хеджер выиграет 1 руб. на спот цене, но проиграет 1 руб. на фьючерсе.
Величину h в данном примере можно определить с помощью следующей формулы:
h =---- ,
&F
где Л51 - изменение цены базисного актива;
АГ - изменение фьючерсной цены.
Соответственно коэффициент хеджирования равен:
(3.9)
---~—- = 0,5 контракта. &F 2 руб.
Пример 9.
Пусть в примере (6) хеджер продает пшеницу на спотовом рынке раньше времени истечения фьючерсного контракта. Он определил, что при изменении спотовой цены пшеницы на 1 руб. цена фьючерсного контракта изменяется на 1,11 руб. Тогда коэффициент хеджирования составляет:
h = —— - —- о 9 контракта.
AF Щруб.
Количество контрактов, которые необходимо продать, равно:
lOOmoww
--------0,9 = 90 контрактов.
{тонна
Рассмотрим вопрос определения коэффициента хеджирования в общей форме. Представим позицию инвестора как портфель, состоящий из единицы базисного актива и h единиц фьючерсного контракта. Стоимость портфеля равна:
И = 5 +	(3.10)
где К-стоимость портфеля;
5-стоимость единицы базисного актива;
F- стоимость фьючерсного контракта;
h - коэффициент хеджирования.
Чтобы исключить риск потерь при небольшом изменении цены базисного актива, должно выполняться условие:
АГ = AS + AAF = 0 ,
где А - изменение значения соответствующей переменной. Отсюда коэффициент хеджирования равен:
h = -~-	(3'11)
Мы получили формулу аналогичную формуле (3.9). Знак минус в формуле (3.11) говорит о том, что по фьючерсному контракту позиция должна быть противоположна позиции по спотовому инструменту, В последующем мы иногда будем опускать знак минус, поскольку из существа примеров будет следовать, какую позицию необходимо открыть хеджеру по фьючерсному контракту.
Таким образом, за счет продажи фьючерсных контрактов в коли-AS
честве — инвестор исключает риск изменения стоимости порт-AF
феля.
В приведенном рассуждении мы хеджировали портфель относительно единицы базисного актива. Реальный портфель может содержать большее количество единиц спотового инструмента. Для такого случая количество фьючерсных контрактов определяют по формуле (3.8).
Для практических целей алгоритм для расчета величины h можно получить на основе минимизации дисперсии портфеля, представленного следующей формулой:
AK-AS + MF.	(3.12)
Возьмем дисперсию от левой и правой частей уравнения (3.12):
Гаг(ДК) = Иаг(Д5 + h^F),	(3.13)
где Var означает дисперсию.6
Формула (3.13) раскрывается как дисперсия суммы двух зависимых переменных - AS и AF:
Иаг(дГ) =	+ h2a2^ + Iha^a^corr^ ,	(3.14)
где сг^у - дисперсия переменной AS;
6 Объяснение понятий дисперсии, стандартного отклонения, корреляции и использования их в финансах см, в книге А.Н.Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М„ 2002, параграфы 9.1 и 16.2.1.
&lF -дисперсия переменной АЛ;
соккАЗЛ/. - коэффициент корреляции между AS и АЛ.
Чтобы минимизировать величину Иаг(АИ), продифференцируем уравнение (3.14) по А и приравняем полученный результат к нулю:
Жгг(АИ) 2
----L = 2АсгЛЛ + 2&M&^corr^F = 0 .
ah
Отсюда:
=	•	(3.15)
<ТА, Аг
Знак минус в формуле (3.15) вновь говорит о том, что по фьючерсному контракту позиция должна быть противоположна позиции по спотовому инструменту.
Поскольку вторая производная Иаг(дк) по h величина положительная, то найденное значение коэффициента хеджирования является минимумом функции. Длину временного периода для определения переменных AS и АЛ выбирают равным сроку хеджирования.
Если осуществляется прямое хеджирование, то коэффициент корреляции между AS и АЛ скорее всего близок к единице, и поэтому его можно принять равным плюс один. Тогда коэффициент хеджирования принимает вид:
1 гг
Если осуществляется кросс-хеджирование, то коэффициент корреляции может значимо отличаться от единицы, и его следует принять но внимание. Поэтому при кросс-хеджировании коэффициент хеджирования определяют по формуле (3.15),
Пример 10.
Фермер планирует продать через два месяца 100 тонн мягкой пшеницы. На бирже торгуется фьючерсный контракт только на твердую пшеницу. Один контракт насчитывает одну тонну пшеницы. Фермер использует кросс-хеджирование. Двухмесячное стандартное отклонение изменения спотовой цены мягкой пшеницы равно 30 руб,, двухмесячное стандартное отклонение изменения фьючерсной цены тш’рдой пшеницы - 35 руб. Коэффициент корреляции между изменением спотовой цены мягкой пшеницы и изменением фьючерсной
цены твердой пшеницы за двухмесячный период равен 0,9. Определить количество контрактов, которые необходимо открыть фермеру.
Решение.
В соответствии с формулой (3.15) коэффициент хеджирования равен:
30 h = —0 9 = 0 7714.
35
Фермеру следует продать:
1 WmoHH п л	__
---------0,7714 = 77,14 контрактов или 77 контрактов.
Пример 11.
Продолжим пример 10 и предположим, что через два месяца спотовая цена мягкой пшеницы упала на 15,43 руб. На основе формулы (3.15) можно записать следующие соотношения между AF и Л5:
30
= — 0,9ДГ	(3.16)
и
&F = —1.111Д5.	(3.17)
30
Тогда, согласно формуле (3.17), фьючерсная цена твердой пшеницы понизилась на:
AF = 22 1,111  15,43 руб. = 20 руб.
По спотовой позиции фермер проиграл сумму:
ЮОто////  15,43pWT = 1543/трб.
Однако по фьючерсным контрактам он выиграл:
11 контрактов • 20/л б. = 1540 руб.
Таким образом, потери по спотовой сделке компенсировались выигрышем на фьючерсном рынке.
На практике разница между выигрышем и проигрышем может быть несколько больше, чем получилась в примере, поскольку взаимосвязь между изменением спотовой и фьючерсной цен определяется формулой (3.16) не жестко, а лишь в среднем.
основе рег-
(3-18)
AS и AF
Коэффициент хеджирования можно определить на рессионного анализа. Зависимость между значениями можно представить в виде:
AS = a +	+ е ,
где а и р - некоторые константы;
€ - остаточный член (ошибка).
На основе статистических данных прошлых значений
можно построить линию регрессии AS на AF как показано на рис.3.3. Уравнение данной линии можно представить как:
AS-^ + ftAF,	(3.19)
где a - ордината точки, в которой линия регрессии пересекает ось AS;
b - коэффициент регрессии, равный тангенсу угла наклона линии регрессии к оси AF;
Уравнение (3.19) показывает, как в среднем значение AS зависит от
Рис. 3.3. Линия регрессии AS на AF
Из уравнения (3.19) и рис. 3.3 видно, что коэффициент хеджирования равен коэффициенту b , взятому с обратным знаком, т.е.:
АЛ
Коэффициент регрессии b можно определить по формулам:
ь - согг^
&\F
ИЛИ
1 COV.-AF L _ ДЛАг
<
Коэффициент регрессии легко определить с помощью программы Excel. Техника его расчета представлена в приложении 2 к настоящей главе.
Наиболее просто построить регрессию на основе данных о ежедневных изменениях спотовой и фьючерсной цен, поскольку они являются наиболее доступными. Однако следует помнить, что в этом случае можно получить некоторую ошибку оценки, так как коэффициент не учтет факта схождения фьючерсной и спотовой цен по мере приближения срока истечения контракта.
При кросс-хеджировании необходимо выбрать фьючерсный контракт, для которого изменение фьючерсной цены имеет наиболее тесную корреляцию с изменением спотовой цены страхуемого актива. Вследствие не полной корреляции позиция по фьючерсным контрактом вряд ли полностью компенсирует риск по спотовому инструменту. Поэтому целесообразно оценить величину уменьшения риска с помощью фьючерсных контрактов Это можно сделать на основе коэффициента детерминации или R2. Он говорит том, какой процент дисперсии одной переменной определяется другой переменной. Его значение изменяется от нуля до единицы и равно квадрату коэффициента корреляции между этими переменными. В качестве переменных рассматриваются - изменение фьючерсной цены (Д/7) и изменение спотовой цены хеджируемого актива (Л5). Для нашей цели мы полагаем, что независимой переменной является AF , и ее изменение определяет значение Д5 . На основе уравнения регрессии (3.18) найдем дисперсию величины AS:
= h'&l +&<	(3.20)
Отсюда:
Эта величина показывает долю дисперсии изменения цены хеджируемого актива определяемую фьючерсной позицией. Таким обра
зом, значение коэффициента детерминации можно интерпретировать как величину, на которую в среднем можно уменьшить риск страхуемой позиции с помощью фьючерсного контракта.
Поскольку корреляция переменных AS и AF не полная, то дисперсия изменения цены хеджируемого актива определяется и величиной . Доля ее дисперсии в дисперсии переменной AS рав-э
(J~ п
на —Поэтому доля риска, остающаяся после открытия хеджи-
рующих позиций в среднем составляет:
средний не хеж -жируемый риск
I-/?2.
Оценить эффективность хеджирования можно с помощью коэффициента эффективности хеджа. Он равен:
коэффициент выигрыиДрроигрыш) по фьючерсной позиции эффективности хеджа проигры ш{рыигрыш) по спотовой позиции
100%
В примере (11) эффективность хеджа составила:
—И 00% = 99,8%.
1543
В задачу хеджера может входить не полное страхование, а ограничение колебания стоимости спотовой позиции в определенных границах. Для такого случая также необходимо определить значение коэффициента хеджирования, которое бы соответствовало желаемому изменению стоимости спотовой позиции. Назовем его частичным коэффициентом хеджирования и обозначим через А*. Рас-смотрим данную задачу на основе следующего уравнения:
АИ =AS + FAF,	(3.21)
где ЛИ - желаемое изменение стоимости позиции инвестора.
Из уравнения (3.21) А* составит:
,, ДИ-AS
h =---------.
AF
Пушь хеджер хотел бы ограничить изменение стоимости своей позиции к процентами изменения спотовой цены актива. Тогда ДИ можно представить как:
Л7 = Ш.
(3.22)
Подставим значение ДИ из (3.22) в формулу (3.21): ASV А
(3.23)
Из формулы (3.11)
= -h. Подставим вместо — значение -h
в формулу (3.23):
ИЛИ
(3-24)
Пример 12.
Допустим, в примере 10 фермер ожидает роста цены пшеницы, и не хотел бы полностью исключать спекулятивный потенциал спотовой позиции. Поэтому он осуществляет частичное хеджирование и решает ограничить возможное колебание стоимости своей спотовой позиции 40% изменения спотовой цены. Согласно формуле (3.24) частичный коэффициент хеджирования равен:
/?*= (1 -0,4) 0,7714 = 0,463.
Количество контрактов, которые фермеру следует продать, составляет:
---------0,463 46.3 контракта или 46 контрактов.
{тонна
Допустим, через два месяца спотовая цена мягкой пшеницы выросла на 15,43 руб. Тогда фьючерсная цена твердой пшеницы увеличилась на:
35 AF = —1,111-15,43 руб, = 20 руб.
30
По спотовой позиции фермер выиграл сумму:
1 ООтонн ’ 15,43руб. = 1543руб.
Однако по фьючерсным контрактам он проиграл: ^контрактов  20руб. = 920руб.
Таким образом, за счет меньшего количества фьючерсных контрактов он получил положительное сальдо на разнице изменения цен спотовой и фьючерсной позиций в размере:
1543 -920 - ЫЗруб.
Это составляет:
= 0,4038
1543
или 40% от изменения стоимости спотовой позиции или спотовой цены. Спекулятивный прогноз фермера оправдался, и он фактически продал пшеницу на:
623pv6.	п
------— = 6,23руб. за тонну дороже, чем в примере 10.
1 ООтонн
Аналогично, если спотовая цена через два месяца упала на 15,43 руб., соответственно фьючерсная цена на 20 руб., то по сумме спотовой и фьючерсной позиций фермер проиграл 623 руб., что вновь составило 40% от изменения спотовой цены:
^=L = 0,4038 или 40%.
15,43
3.4. ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМА EFP
Фьючерсные контракты бывают поставочными и беспоставочны-ми. Каждый из вариантов их исполнения может отвечать интересам одних участников рынка и не подходить другим. Например, беспоста-вочные контракты более удобны для спекулянтов и при кроссхеджировании. В то же время, у части покупателей или продавцов товаров может существовать потребность в физическом исполнении контрактов. Для расчетных фьючерсов отмеченная проблема решается с помощью использования механизма, который называется ‘'exchange futures for physicals'' (EFP), На русский язык это можно перевести как обмен фьючерсных контрактов на физический актив.
EFP представляет собой договоренность между двумя участниками фьючерсной торговли одновременно исполнить две сделки, одну - на фьючерсном рынке, другую - на спотовом. Механизм EFP функционирует следующим образом. Два участника с противоположными позициями по фьючерсному контракту договариваются об осуществлении EFP. Это означает, что после завершения фьючерсной торговли один участник поставляет другому
товар, который является базисным активом фьючерсного контракта. Количество товара должно соответствовать условиям контракта. Поставка происходит по согласованной между ними цене. Одновременно на бирже по этой же цене закрываются их фьючерсные позиции. Они ликвидируются до проведения биржей общего клиринга по всем открытым контрактам. В качестве поставляемого актива также может выступать родственный актив. Например, по фьючерсам на электричество физическая поставка может включать электричество или мазут, или уголь, или природный газ. В отличие от поставочного фьючерса биржа не гарантирует исполнение физической поставки между контрагентами, поскольку EFP является их частной двусторонней договоренностью.
Рассмотренный механизм EFP является наиболее распространенным. Однако он может включать и некоторые модификации. В момент согласования EFP одна сторона может иметь, а другая не иметь фьючерсной позиции. Тогда физическая поставка товара будет сопровождаться одновременным закрытием фьючерсного контракта для первого участника и открытием его у второго. Следующий случай включает отсутствие фьючерсных позиций у обоих участников EFP. Согласовав физическую поставку товара, участники декларируют EFP на бирже для открытия соответствующих фьючерсных позиций.
EFP имеет еще одно интересное применение. Он позволяет контрагентам в их двусторонней сделке одному купить, а другому продать товар фактически по разным ценам. Каждый может рассчитывать получить более выгодную цену. Суть операции сводится к следующему. Продавец и покупатель договариваются о том, что товар будет поставлен на определенную дату в будущем по котировочной цене фьючерсного контракта. В последующем продавец и покупатель самостоятельно открывают свои фьючерсные позиции в те моменты, которые представляются им наиболее выгодными с точки зрения цен. Если продавец полагает, что существующая цена слишком низкая и она вырастет, он может дождаться ее повышения и открыть фьючерс по более высокой цене. Аналогично, покупателю существующая цена может казаться завышенной. Тогда он будет ждать ее понижения и откроет фьючерс по более низкой цене. На согласованную дату они осуществляют на бирже EFP, т.е. происходит физическая поставка товара и одновременная ликвидация фьючерсных позиций. Таким образом, с помощью EFP участники рынка могут заключать сделки с физической поставкой товара и обеспечи
вать каждому из них наиболее выгодные финансовые условия. Поясним сказанное на примере.
Пример.
Имеются покупатель и продавец нефти. Они планируют осуществить сделку через три месяца. В настоящий момент трехмесячная фьючерсная цена равна 55 долл, за баррель. Продавец полагает, что в следующем месяце цена может еще вырасти, а покупатель считает, что она может несколько упасть. Они договариваются осуществить через три месяца на бирже EFP по котировочной цене, которая будет зафиксирована в этот день. Пусть через две недели цена нефти опустилась до 50 долл, за баррель, и покупатель полагает, что дальше она будет вновь расти. Поэтому он покупает фьючерсный контракт по этой цене. Прошел еще месяц, и цена нефти выросла до 60 долл, за баррель. Продавца нефти устраивает данная цена, поэтому он продает фьючерс по этой котировке. Трехмесячный период истек, и котировочная цена нефти составила 56 долл. Участники сделки осуществляют взаиморасчеты по данной цене. В итоге, реальная цена, уплаченная покупателем за баррель нефти с учетом выигрыша по фьючерсному контракту составила 50 долл., цена, получена продавцом - 60 долл. При отсутствии механизма I I P три месяца назад наши участники могли бы заключить фьючерсную сделку по цене 55 долл, за баррель,
В рассмотренном механизме EFP реальная поставка товара может нн обязательно осуществляться в месте, который оговаривается в Пиржевом контракте, а в ином месте. В этом случае цена физической поставки актива соответствующим образом корректируется относи-шпьно котировочной цены. Кроме того, дата физической поставки может несколько отличаться от даты, на которую согласован EFP.
В качестве примера биржи, использующей механизм EFP, можно назвать Международную нефтяную биржу (IPE).
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Фьючерсный контракт - это срочный контракт, который заключатся на бирже. Условия контракта для каждого базисного актива раз-1'.||>атываются биржей и являются стандартными. Контракты заклю- ишся главным образом в целях хеджирования и игры на курсовой с । шице Фьючерсных цен. Открывая позиции, участники торгов обя-- и и,| внести в расчетную палату биржи гарантийные платежи.
К моменту истечения периода действия контракта фьючерсная цена должна равняться цене спот, иначе возникнет возможность совершить арбитражную операцию.
Ситуация, когда фьючерсная цена выше цены спот, называется контанго. Ситуация, когда фьючерсная цена ниже цены спот, называется бэквардейшн.
Цена доставки - это все затраты, связанные с владением базисным активом в течение времени действия контракта и упущенная прибыль.
Базис определяется как разность между ценой спот и фьючерсной ценой.
Хеджирование - это страхование от неблагоприятного изменения рыночной конъюнктуры. Хеджирование продажей фьючерсного контракта, или короткое хеджирование, используют для страхования от падения цены базисного актива, хеджирование покупкой, или длинное хеджирование, - от ее повышения.
При неполном хеджировании используют коэффициент хеджирования для определения оптимального количества контрактов, которые необходимо открыть хеджеру. Коэффициент хеджирования можно использовать для ограничения колебания стоимости спотовой позиции в определенных границах.
EFP представляет собой договоренность между двумя участниками одновременно исполнить две сделки, одну - на фьючерсном, другую - на спотовом рынке.
ПРИЛОЖЕНИЕ!.
Форвардная и фьючерсная цены для случая, когда ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени
Докажем положение о том, что форвардная и фьючерсная цены должны быть одинаковыми, если ставка без риска постоянна и одинакова для любых периодов времени7. Для краткости доказательства рассмотрим временной отрезок длиной Т, состоящий из трех периодов: (/t - о), (t2 - Z,), (т -12) В случае более длительного промежутка времени рассуждения будут аналогичными. Для любого отрезка времени непрерывно начисляемая ставка без риска равна
7 При доказательстве данного положения мы следуем рассуждениям как они представлены в M.Capinski, T.Zastawniak, Mathematics for Finance. An Introduction to Financial Engineering, Springer, N.Y,, 2005, p, 136-138.
г. Сделаем допущение о том, что фьючерсный контракт можно дробить. Клиринг по контракту происходит в конце каждого периода.
Инвестор заключает форвардный контракт на покупку акции, истекающий в момент Т, по форвардной цене FT и размещает на депозите сумму FTe tT. В конце периода Т она вырастает до суммы F}, и уплачивается по контракту в обмен на акцию. Таким образом, по завершении периода Т инвестор располагает акцией, цена спот которой равна .
Получим аналогичный финансовый результат с помощью фьючерсного контракта. В конце нулевого дня котировка фьючерса, истекающего в момент Т, равна F’. Инвестор покупает его по котировочной цене в количестве \ В качестве начальной маржи он вносит сумму F{'e , т.е. она инвестируется под ставку г на время Т. В конце данного периода по депозиту он получит сумму:
V	F^e1 =F{<.
В момент /, фьючерсная котировка равна F*. В результате клиринга по счету инвестора происходит перечисление вариационной маржи в размере:
В зависимости от конъюнктуры данная величина может быть отрицательной или положительной. Если она отрицательная, инвестор финансирует ее, заняв средства под ставку г на период Т -tA, если положительная, размещает эти средства под данный процент на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае инвестор выплатит, а во втором получит сумму:
е г(7' ''’(f;'	= F^ - F„ .
По котировочной цене в момент он докупает фьючерсный кон-тракт до величины е <
В момент /2 по контракту перечисляется вариационная маржа в размере:
е r(r -F,t)
Если она отрицательная, инвестор финансирует ее, заняв средства на период Т -t2, положительная - размещает под данный процент на этот период. Соответственно по окончании действия контракта в первом случае он выплатит, а во втором получит сумму:
б НТ -2)^Т _ pl	,2) = pl _ pl _
По котировочной цене в момент t2 инвестор докупает фьючерс до одного целого контракта.
По истечении контракта по нему перечисляется вариационная маржа в размере S, - Е,7 , поскольку котировочная фьючерсная цена равна спотовой. Если она отрицательная, эта сумма списывается, если положительная, начисляется на счет инвестора. В этот момент он погашает заимствованные средства и получает деньги по размещенным депозитам. Финансовый итог операции равен:
FJ + F’ -F' +F]	=S,.
Таким образом, стоимость позиции инвестора в конце периода Т по фьючерсному контракту равна позиции по форвардному. Следовательно они должны быть одинаковыми и в начале периода:
FTerT=FjerT.	(П.3.1)
(Напомним, именно эти средства были инвестированы в начале периода по каждой операции). Поскольку процентная ставка и период времени одинаковые, то в равенстве (П.3.1) Ff = Fj , т.е. форвардная цена равна фьючерсной. Если для разных периодов времени процентные ставки не одинаковые, но известны заранее, то равенство цен также сохранится.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Определение коэффициента хеджирования с помощью программы Excel
Рассмотрим определение коэффициента хеджирования на примере.
Пример.
Имеется выборка наблюдений спотовой цены (S) актива А и фьючерсной цены (F) (Для примера ограничимся одиннадцатью зна
чениями). Печатаем значения спотовой цены актива в ячейках от А2 до А12, фьючерсной цены - в ячейках от С2 до С12, как показано на рис. П.3.1. На основе значений спотовой цены необходимо получить значения ее разностей (Д5). Для этого в ячейке В2 печатаем формулу:
= АЗ-А2,
наводим курсор на квадратик в правом нижнем углу рамки ячейки В2, нажимаем левую клавишу мыши, и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор до ячейки В11, отпускаем клавишу мыши В ячейках диапазона В2:В11 получили значения А5 для десяти периодов Значения AF получим аналогичным образом в диапазоне D2:D11 Для этого в ячейке D2 печатаем формулу:
-СЗ-С2,
наводим курсор на квадратик в нижнем правом углу рамки ячейки D2, нажимаем левую клавишу мыши, и, удерживая ее в нажатом положении, доводим курсор до ячейки D11, отпускаем клавишу мыши. В ячейках диапазона D2:D11 получили значения AF для десяти периодов.
Рис П.З 1. Определение коэффициента хеджирования
На основе полученных данных AS и AF определяем коэффициент хеджирования h. Решение получим в ячейке Е2, поэтому выделяем ее, т.е. наводим на нее курсор и щелкаем мышью. Открыва
ем окно “Мастер функций”, т.е. наводим курсор на значок на панели инструментов и щелкаем мышью. В поле “Категория" выбираем курсором строку “Статистические” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом. В поле окна “Функция" выбираем курсором строку “НАКЛОН” и щелкаем мышью. Строка высветилась синим цветом. Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. Появилось окно “НАКЛОН”. В окне две строки: “Изв_знач_у" и '‘Изв_знач_х”. В первую строку заносим значения AS . Для этого наводим курсор на знак 5J с правой стороны первой строки и щелкаем мышью. Окно “НАКЛОН” свернулось в поле первой строки. Наводим курсор на ячейку В2, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим курсор вниз до ячейки В11, отпускаем клавишу. Вновь наводим курсор на знак Ч и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “НАКЛОН”. Заносим значения А/7 во вторую строку. Для этого наводим курсор на знак во второй строке и щелкаем мышью. Наводим курсор на ячейку D2, нажимаем левую клавишу мыши и, удерживая ее в нажатом положении, проводим курсор вниз до ячейки D11, отпускаем клавишу. Наводим курсор на кнопку 5J и щелкаем мышью. Появилось развернутое окно “НАКЛОН". Наводим курсор на кнопку ОК и щелкаем мышью. В ячейке Е2 появилась цифра 0,60396. Таким образом, коэффициент хеджирования, который соответствует использованным статистическим данным, равен 0,6.
(Получить значение коэффициента хеджирования можно другим способом: выбираем курсором ячейку Е2 и печатаем в ней формулу:
= НАКЛОНОВ!: В\ 1; D2: Di 1)
и нажимаем клавишу Enter.)
Программа Excel позволяет определить коэффициент хеджирования и другими способами. Заинтересованный читатель сможет найти их описание в книге А.Н. Буренина “Управление портфелем ценных бумаг”, М.: 2005, параграф 3.5.
ГЛАВА 4. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ НА АКЦИЮ, ФОНДОВЫЙ ИНДЕКС И ВАЛЮТУ
В настоящей главе рассматриваются фьючерсные контракты на акцию, фондовый индекс и валюту. В отличие от товарных фьючерсов данные фьючерсные контракты получили распространение относительно недавно. Например, торговля контрактами на валюту началась в 1972 г.( фондовые индексы - в 1982 г.
4.1. ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА АКЦИЮ
4.1.1. Организация торговли фьючерсными контрактами на акции. Фьючерсная торговля акциями на Фондовой бирже РТС
Фьючерсные контракты на акции появились еще в Амстердаме в 17 веке. Однако до недавнего времени они не пользовались большой популярностью и были представлены в 80-е и 90-е годы на ряде периферийных бирж. В конце 90-х годов контракты на акции появились и в России. Например, торговля ими велась на Московской центральной фондовой бирже. В мире интерес к ним проснулся в январе 2001 г., когда торговлю фьючерсными контрактами на акции открыла UFFE (Universal Stock Futures). В частности это вызвало интерес в США, так как на LIFFE стали торговаться фьючерсы на акции американских компаний Майкрософт, Сиско, Интел, АТТ и ряда других. В ноябре 2002 г. фьючерсы на акции появились и в США. До этого на биржах Соединенных Штатов были представлены только опционы на акции.
В США торговлю фьючерсами на акции совместно регулируют Комиссия по товарным фьючерсам (Commodity Futures Trading Commission - CFTC) и Комиссия по ценным бумагам и биржам (Securities and Exchange Commission - SEC). Торговля контактами происходит на четырех основных биржах - One Chicago Exchange1, NASDAQ LIFFE (NQLX), ISLAND Electronic Communication Network (ISLAND ECN) и AMEX2. Торговля на первых трех биржах ведется в элек-
One Chicago Exchange является совместным предприятием Чикагской товарной биржи (СМЕ), Чикагской торговой палаты (СВОТ) и Чикагской биржи опционов (< НОЕ)
; В ноябре 2002 г торговля фьючерсами на акции первоначально открылась на One < Chicago Exchange и NQLX
тронной форме через компьютерную систему. На АМЕХ сохраняется традиционная торговля открытого аукциона с участием маркет мейкеров. One Chicago Exchange использует систему Lead Market Maker (LMM), т.е. систему ведущих маркет мейкеров. В рамках данного механизма биржа выделяет группу маркет мейкеров. Каждый из них котирует определенное количество контрактов на определенные акции с определенным максимальным спредом. Торговля на NQLX построена на базе системы LIFFE CONNECT, разработанной LIFFE. Она основана на технологии, называемой Central Limit Order Book (CLOB). В ее рамках приоритетность исполнения приказов определяется по цене и времени их поступления на биржу. Также имеются маркет мейкеры. Однако их меньше чем на One Chicago Exchange, и в целом ликвидность торговли зависит от самих участников рынка. Контракты на акции насчитывают в США по 100 акций и являются поставочными.
Фьючерсы на акции составляют альтернативу коротким продажам акций на спотовом рынке и по сравнению с ними обладают рядом преимуществ. Для осуществления короткой продажи инвестор должен занять акции у брокера и уплатить ему за это процент. Объем торговли ограничивается возможностями заимствования бумаг. Короткую продажу можно осуществлять только в рамках правила uptick, т.е. предшествующая короткой продаже котировка акции должна идти вверх. При торговле фьючерсом на акции правило uptick не действует. Теоретически инвестор не ограничен в объемах своих операций. Ему необходимо внести только начальную маржу. Чем больше средств перевел на свой счет инвестор, тем больше позиций он может открыть. Начальная маржа по фьючерсу составляет 20% от его стоимости. Ограничения изменения фьючерсной цены не применяются и отсутствует позиционный лимит. Поставка по фьючерсу в США осуществляется в течение трех рабочих дней со дня истечения срока действия контракта3. Последний торговый день по контракту - третья пятница месяца поставки. Контракты торгуются с поставкой в конце каждого квартала плюс два текущих месяца.
В России в настоящее время фьючерсные контракты на акции составляют основу функционирования фьючерсного рынка. Торговля главным образом представлена на бирже РТС в системе FORTS. Она организована в электронной форме. Поэтому любой инвестор,
3 На спотовом рынке США взаиморасчеты по акциям также осуществляются по правилу “T+3”, т.е. в течение трех рабочих днвй с момента заключения сделки.
как юридическое, так и физическое лицо, заключив договор с брокерской компанией, получает возможность самостоятельно заключать сделки по интернету. Контракты существуют на акции ведущих российских компаний. В момент написания данной книги на бирже торговались контракты на акции компаний РАО ЕЭС, Газпрома, Лукойла, Ростелекома, Сургутнефтегаза и Норильского Никеля. Количество бумаг в контрактах различается по эмитентам. Контракты по РАО ЕЭС и Сургутнефтегазу насчитывают 1000, Ростелекому и Газпрому - 100, Лукойлу, Норильскому Никелю - 10 акций.
Торговля новыми контрактами открывается 15 марта, июня, сентября и декабря. Последним днем обращения контракта является рабочий день, предшествующий 15 числу месяца его истечения. В каждый данный момент на акции каждой из перечисленных компаний в момент написания данной книги на бирже торговались контракты с несколькими сроками истечения. Например, на 12.06.05 на бирже обращались контракты на РАО ЕЭС с истечением в сентябре, декабре 2005 г. и марте, июне 2006 г.
Котировка контракта дается в расчете на общее количество акций в нем, т.е. как его текущая стоимость. Например, на момент завершения торгов 12.01.05 цена мартовского контракта на акции РАО ЕЭС была равна 7692 руб. Цена самой акции на спотовом рынке ММВБ в этот момент составляла порядка 7,62 руб. Минимальное изменение цены контракта равно 1 руб.
По окончании торгового дня расчетная цена контракта принимается равной цене последней сделки. Однако, если на момент окончания торговой сессии цена заявки на покупку оказалась выше или цена заявки на продажу ниже цены последней сделки, то значение цены этой заявки принимается в качестве расчетной.
Начальная маржа по контрактам определяется от их текущей стоимости. В момент написания данной книги она составляла: для РАО ЕЭС, Газпрома и Лукойла - 15%, Ростелекома, Сургутнефтегаза и Норильского Никеля - 20%.
Контракты являются поставочными. Исполнение проводится в первый торговый день после последнего дня обращения контракта. Исполнение осуществляется путем поставки-приемки акций через Фондовую биржу “Санкт-Петербург”, которая является организатором торговли на рынке акций, и Фондовую биржу РТС, которая яв-няется Клиринговой организацией по сделкам с акциями. Для исполнения контракта инвестор должен зарегистрироваться на рынке ценных бумаг Фондовой биржи “Санкт-Петербург’' в качестве участника торгов акциями или клиента участника торгов. От продавца
требуется задепонировать в расчетном депозитарии (“Депозитарно-клиринговая компания") необходимое количество акций, а от покупателя - задепонировать в расчетной организации (“Расчетная палата РТС”) соответствующее количество денежных средств, в том числе для оплаты сборов, предусмотренных на рынке акций. В случае неисполнения контракта участником на него налагается штраф в размере гарантийного обеспечения контракта, установленного на начало последнего дня его обращения. Штраф списывается с его маржевого счета в безакцептном порядке. Данная сумма в качестве неустойки зачисляется на счет лица, выполнившего свои обязательства по контракту, но не получившего исполнения от своего контрагента.4
4.1.2. Хеджирование фьючерсным контрактом на акции
В главе 3 общую характеристику фьючерсного контракта мы представили на основе примера контракта на акцию. Поэтому сейчас остановимся на вопросе хеджирования спотовой позиции по акциям с помощью фьючерсного контракта на акцию.
Пример 1.
Инвестор владеет портфелем из 10000 акций компании А и хотел бы застраховаться от падения их цены через три месяца. Он хеджирует портфель с помощью фьючерса на данную акцию. Контракт насчитывает 100 акций и истекает через три месяца. Цена спот акции равна 100 руб. На акцию в течение следующих трех месяцев дивиденды не выплачиваются. Ставка без риска составляет 10% годовых. Инвестор продает:
1ООООакиий
------------- 1ОО контрактов.
Ю^акций
В данном примере хеджер сформировал безрисковый портфель, так как проигрыш за счет падения цены акции через три месяца полностью компенсируется выигрышем по фьючерсным контрактам, и наоборот. Согласно принципам функционирования финансового рынка такой портфель должен приносить инвестору доходность равную ставке без риска. Иначе возникнет возможность получить арбит
4 Более подробную информацию о спецификации фьючерсных контрактах можно получить на сайте Фондовой Биржи РТС www.rts.ru
ражную прибыль. Покажем, что в условиях эффективного рынка5 доходность портфеля в примере действительно равна 10% годовых.
Согласно формуле (2.1), в момент начала хеджа трехмесячная фьючерсная цена акции должна была составить:
F3=100 1 + 0,1 —
102,5 руб.
Пусть через три месяца цена акции упала до 90 руб. Тогда по спотовой позиции инвестор проиграл:
1 ООООакций АО руб. = 100000/л+л
В последний день действия контракта фьючерсная цена и спотовая равны. Поэтому по фьючерсной позиции он выиграл:
1 ООконтрактов • 1 00 акций  12,5руб. ~ 125000руб.
Доходность портфеля в расчете на три месяца составила:
|250оо^-'0000»/>г6. = ад25или2Л
1000000/грб.
В расчете на год она равна:
2,5%-4 = 10%.
Таким образом, полностью хеджированный портфель должен приносить инвестору доходность равную ставке без риска. Докажем данный результат в общей форме. Проведем рассуждения для портфеля из одной акции и одного фьючерсного контракта, включающего одну акцию.
Инвестор покупает одну акцию и продает один фьючерсный контракт. Контракт истекает в момент времени Т, ставка без риска равна г (в процентах годовых), цена акции - 50, фьючерсная цена составляет:
( Т '
К=$(1 1 + г — . база)
Доходность портфеля инвестора за период времени Т равна:
т
5 Понятие эффективного рынка подробно раскрывается в книге А.Н.Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М.,2002, глава 8.
где AF = Fr-F0;
Д5 = 5г-50;
5Г - цена спот акции в момент окончания периода Т;
Fy. - фьючерсная цена акции в момент окончания периода Т, она равна ST;
гт - ставка без риска для периода Т.
Тогда из формулы (4.1):
или
Т
гт - г—— база
Откуда:
база
В примере 1 для хеджирования спотовой позиции по акциям инвестору надо продать 100 контрактов. Однако, как отмечалось выше (пример 7 глава 3), на положительную вариационную маржу инвестор может получать дополнительный процент, отрицательную вариационную маржу ему скорее всего придется финансировать под процент. Поэтому в таких условиях количество контрактов следует
г Т
скорректировать на величину 1 +-----. Как уже отмечалось в гла-
2 база
ве 3, корректировку целесообразно осуществлять по расчетным фьючерсам, так как покупка-продажа определенного количества акций по контракту потребует открыть соответствующее, а не меньшее число контрактов.
Выше было показано, если инвестор полностью хеджирует свою позицию по акциям, то, согласно законам финансового рынка, он обеспечивает доходность на инвестиции равную ставке без риска. Поэтому хеджировать позицию по акциям на длительный период времени не имеет смысла. В этом случае целесообразно вообще не покупать акции, а приобрести безрисковую бумагу. Таким образом, если возникает необходимость хеджировать позицию по акциям, то период хеджирования является краткосрочным Например, по мнению инвестора ситуация на рынке становится очень неопределен-
но
ной, и разумно застраховаться от возможного изменения конъюнктуры на следующий день или несколько дней. Альтернативой хеджированию является просто продажа акции. Однако это связано с большими трансакционными издержками В то же время комиссионные на срочном рынке существенно ниже чем на спотовом.
Поскольку позиция по акции хеджируется с помощью фьючерсного контракта, до истечения которого остается еще какое-то время, то необходимо использовать коэффициент хеджирования. Его можно определить на основе подходов, изложенных в главе 3, однако для контракта на акции его удобно рассчитать на основе формулы определения теоретической фьючерсной цены (4.2), которая связывает фьючерсную и спотовую цену акции:
база )
(4.2)
В соответствии с формулой (4.2) зависимость между изменением фьючерсной и спотовой цен за короткий промежуток времени можно представить как:
база j
Откуда:
(4.3)
база
Пример 2.
Инвестор владеет портфелем из 10000 акций компании А и хотел бы застраховаться от падения их цены в течение следующего дня. Он хеджирует портфель с помощью фьючерса на данную акцию. Контракт насчитывает 100 акций и истекает через 90 дней. Цена спот акции равна 100 руб., в течение действия контракта дивиденды на акцию не выплачиваются. Ставка без риска равна 8% годовых. Определить количество контрактов, которые необходимо продать. База равна 360 дням.
Решение.
Согласно формуле (4.3) коэффициент хеджирования равен:
h =--------J------г = 0,9804.
1 + 0,08(90/360)
Поэтому необходимо продать:
1 ООООакгшй п п л л п л п л ----------— 0,9804 = 98,04 контракта.
1 OOdfKZ/ww
или 98 контрактов.
Допустим, через день цена акции упала до 90 руб. Тогда по спотовой позиции инвестор потерял:
10000 акций - 10руб. = 100000руб.
В момент начала хеджирования трехмесячная фьючерсная цена, согласно формуле (4.2), составляла:
(	90
=1001 + 0,08 — =102 руб.
<	360 J
Через день она равна:
(	89
К9 =90 1 + 0,08---
I	360 J
= 91,78 руб.
т.е. упала на 10,22 руб. Поэтому по фьючерсной позиции хеджер выиграл:
^контрактов Л^акций -10,22руб. = 100156руб.
Возможен другой вариант. Пусть через день спотовая цена выросла на 10 руб. По спотовой позиции инвестор выиграл 100000 руб. Новая фьючерсная цена составила:
89 >
360>
НО 1 + 0,08
= 112,18руб.,
т.е. выросла на 10,18 руб. Проигрыш по фьючерсной позиции равен: ^контракта \{^}акций  10,18руб. = 99764руб.
Таким образом, изменения стоимости спотовой и фьючерсной позиций с небольшой разницей компенсируют друг друга, и в целом стоимость портфеля остается практически неизменной.
В рассмотренном примере мы не получили полного соответствия между финансовыми результатами по фьючерсной и спотовой позициям. Дело в том, что формула (4.3) представляет собой не что иное как производную фьючерсной цены по спотовой. Как известно, значение производной учитывает лишь главное, а не полное, приращение функции при изменении аргумента. Чем существеннее измене-
Гпава 4 Фьючерсные контракты на акцию, фондовый индекс и валюту ние аргумента, тем зависимость становится все менее точной, что и находит отражение в фактических результатах хеджирования. Однако, как было показано в примере, использование коэффициента хеджирования на основе формулы (4.3) дает приемлемый результат. Если инвестор не учтет коэффициент хеджирования при страховании фьючерсным контрактом, то он может понести потери по своей позиции. Покажем это на примере.
Пример. 3.
Пусть в примере 2 инвестор открыл 100 контрактов как при полном хеджировании. Если цена акции упала до 90 руб. то по спотовой позиции инвестор потерял 100000 руб., а по фьючерсной выиграл: \00контрактов- \00акций* \0,22 руб. = 102200/птл
Таким образом, он получил прибыль в 2200 руб. Однако, в случае роста цены акции до 110 руб. по фьючерсной позиции он проиграл:
1 ^контракта -1 ООакций 10,18 руб. = 101800/туб., и его общий проигрыш составил 1800 руб.
В примере 2 наблюдается некоторое расхождение между выигрышами и проигрышами по спотовой и фьючерсной позициям. Однако, если определить доходность, которую получил инвестор по своей операции, то она будет близка к ставке без риска. Так, в первом случае вкладчик получил в рамках хеджа доходность на свои инвестиции в размере:
100156-100000 n
----------------360 = 0,05616 или 5,616% годовых.
1000000
Во втором случае:
100000-99764 36О = 0	% или 8 496% Г0Д0ВЬ|Х
1000000
Как следует из примера 1, “идеально” хеджированные инвестиции должны были бы принести доходность равную 8% годовых. Разница в фактической доходности, полученной инвестором, и ставкой без риска возникла как за счет округления цифры количества контрактов, которые необходимо было открыть, так и в связи с тем, что, формула (4 3) является производной и не учитывает полное приращение функции при изменении аргумента.
В качестве иллюстрации хеджирования на российском рынке рассмотрим пример страхования с помощью фьючерсного контракта на акции РАО ЕЭС.
Пример 4.
Сегодня 12.01.05. Акция РАО ЕЭС на ММВБ стоит 7,62 руб., котировка мартовского фьючерса на акции РАО ЕЭС на РТС равна 7692 руб. До истечения контракта остается 62 дня. Двухмесячная ставка без риска на базе 365 дней составляет 5,56% годовых. Инвестор, владеющий портфелем акций РАО ЕЭС в количестве 10 млн штук, полагает, что на следующий день возможно существенное падение курса, и поэтому принимает решение застраховать свою позицию с помощью фьючерса на РАО ЕЭС.
В соответствии с формулой (4.3), коэффициент хеджирования составляет:
h =
= 0,9906.
база
Необходимо продать контракты в количестве:
1 0000000
---------------0,9906=9906 контрактов.
1 000<7/ар/б
Пусть на следующий день курс акции упал до 7 руб., т.е. на 62 копейки, соответственно новая фьючерсная цена составила:
Г 61
1000-7 1 + 0,0556—
I 365)
= 7065руб.,
т.е. упала на:
7692-7065 = 627 руб.
Тогда по спотовой позиции инвестор потерял:
10000000 • 0,62 руб. = 6200000руб., однако по фьючерсам он выиграл:
99Q6koi [трактов • 627руб. - 6211062руб.
Если он ошибся в прогнозах, и на следующий день курс акции вырос до 8,24 руб., т.е. на 62 копейки, то цена фьючерса увеличилась до:
г	61
8240 1+0,0556-----
I	365
= 8317руб.,
т.е. на 625 руб. В результате по акциям он выиграл 6,2 млн. руб., а по фьючерсам проиграл:
9906контрактов  625руб, = 6191250руб.
Таким образом, возможные выигрыши и проигрыши по спотовой и фьючерсной позициям хорошо сбалансировали друг друга.
Фьючерсный контракт можно использовать для частичного хеджирования спотовой позиции по акциям, если инвестор желает сохранить в определенной степени их спекулятивный потенциал. Для этого служит частичный коэффициент хеджирования, определяемый по формуле (3.24). Поясним сказанное на примере:
Пример 5. (Сохраняются условия примера 4).
Пусть в примере 4 инвестор желает ограничить колебания стоимости своего портфеля на уровне 20% изменения цены акции, т.е. изменения спотовой позиции, поскольку не исключает вероятности роста курса бумаги на следующий день. Он определил, что полный коэффициент хеджирования равен 0,9906. Частичный коэффициент согласно формуле (3.24) составляет:
h’ =(1-0,2)0,9906 = 0,7925.
Инвестор должен продать:
10000000лкг/мй
-----------;—0,7925 = 7925 контрактов.
\000акций
Если на следующий день цена акции выросла до 8,24 руб., и фьючерсная цена до 8317 руб., то по акциям он выиграл 6,2 млн. руб, а по фьючерсам потерял:
7925контрактов' 625руб. = 4953125/туб.
Изменение стоимости его портфеля составило:
6200000руб. - 4953125руб.
= 0,2011
620QQ00py6.
или 20,11% от изменения стоимости спотовой позиции.
Если же курс акции упал до 7 руб, и фьючерсная цена соответственно до 7065 руб, то по спотовой позиции было проиграно 6,2 млн. руб, а по фьючерсной выиграно:
7925контрактов • 627руб. = 4968975руб.
Изменение стоимости портфеля составило:
6200000руб. - 4968975руб. _ 0 19g6 6200000руб.	” ’
или 19,86% от изменения стоимости спотовой позиции
Фьючерсный контракт на акцию можно использовать для получения арбитражной прибыли, если базис не равен цене доставки. Однако следует не забывать, что в связи с ежедневным клирингом позиций арбитражера и перечислением вариационной маржи арбитраж не будет строго безрисковым. Как и для форвардного контракта на акцию возможность совершения арбитражной операции удобно определить на основе расчета внутренней ставки доходности фьючерсного контракта. Техника расчета представлена в примере 2, приведенном в главе 2, параграф 2.3.5, Фьючерсный контракт можно также использовать для получения более высокой доходности от инвестирования средств.
Пример 6.
Курс акции 100 руб., ставка без риска 8% годовых. Двухмесячная фьючерсная цена акции равна 102 руб., контракт включает 100 акций. Контракт беспоставочный.
Внутренняя ставка доходности контракта составляет:
-----1 — = 0,12 или 12% годовых.
U00 J2
Инвестора устраивает такой уровень доходности, поэтому он покупает 100 акций и продает один фьючерсный контракт. Через два месяца фьючерсная и спотовая цены сойдутся, и инвестор получит по операции доходность на уровне 12% годовых.
Пусть через два месяца спотовая цена акции равна 90 руб. Поскольку фьючерсная и спотовая цена в последний день действия контракта одинаковы, то котировочная фьючерсная цена также равна 90 руб. В этот день инвестор продает акции на споте. Убыток от владения акциями составил.
1 ООакций -10 руб. -1 000 руб.
Выигрыш по контракту равен:
100акций  12 руб. — 1200руб.
Доходность, полученная инвестором по операции, составляет:
1200-1000
10000
 6 = 0,12 или 12% годовых.
В данном примере фьючерсная цена падала, поэтому инвестор получал положительную вариационную маржу по контракту. Данные средства также можно инвестировать под процент. Поэтому при такой конъюнктуре инвестор может получить доходность и выше 12%.
Возможен и другой вариант: спотовая цена росла, поэтому инвестору приходилось финансировать отрицательную вариационную маржу. Это потребовало дополнительных средств. Поэтому при такой конъюнктуре фактическая доходность по операции будет ниже 12%.
4.2. ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА ФОНДОВЫЙ ИНДЕКС
В мировой практике фьючерсные контракты на фондовые индексы появились в 1982 г., когда биржа Торговая Палата Канзаса (Kansas City Board of Trade) открыла торговлю контрактом на индекс Вэлью Лайн. В этом же году на Чикагской Торговой Палате стал торговаться контракт на индекс S&P500, который является наиболее популярным фьючерсом на индекс. Сейчас на мировых биржах представлено большое разнообразие фьючерсных контрактов на индексы.
На российском рынке на Фондовой Бирже РТС также торгуется фьючерсный контракт на индекс. Базисным активом контракта является рассчитываемый агенством “РТС-Интерфакс" индекс “S&P/RUIX”. Контракт является расчетным.
Как известно, в каждый данный момент времени фондовый индекс представляет собой некоторое число. В рамках фьючерсного контракта данное число умножают на определенный множитель, представленный в денежных единицах. В результате получают стоимость контракта. Например, на Чикагской Торговой Палате (СВОТ) торгуется контракт на индекс Доу-Джонса промышленных компаний. Его множитель равен 10 долл. Поэтому, если фьючерсная цена индекса равна 10000 пунктов, то стоимость фьючерсного контракта составляет:
[Q000пунктов • 1 Одолл. ~ 1 ОООООдолл.
Контракты на индексы являются расчетными. Расчетная цена последнего торгового дня принимается равной значению базисного индекса при закрытии в этот день. В то же время, существует и дру
гой порядок определения котировочной цены. Она может рассчитываться на основе цен открытия акций на следующий день после истечения срока действия фьючерсного контракта. Примером служит контракт на индекс S&P500. Данный порядок расчета котировочной цены в США возник в ответ на так называемый час “triple-witching-hour”, наступающий в третьи пятницы марта, июня, сентября и декабря, когда одновременно истекают фьючерсные контракты, опционы на фьючерсы и опционы на индексы.
Для индексов, включающих большое количество бумаг, может случиться так, что по какой-либо акции на следующий день не будет заключено ни одной сделки. Тогда для расчета котировочной цены фьючерса берут цену данной акции при закрытии за предыдущий день.
Фьючерсные контракты на индекс используются для хеджирования портфелей ценных бумаг и изменения их состава, а также извлечения спекулятивной прибыли.
4.2.1. Фьючерсная цена фондового индекса
Фондовый индекс можно рассматривать как акцию, по которой выплачиваются дивиденды. Поэтому его фьючерсную цену можно определить по формулам форвардной цены для акции, по которой выплачиваются дивиденды в течение действия контракта.
Индексы рассчитываются по разным методикам. При строгом подходе к определению фьючерсной цены индекса следует учитывать его структуру. Фьючерсную цену индекса, который определяется как среднее арифметическое, можно определить по формуле (4.4):
г-д
база /
(4.4)
где F - фьючерсная цена индекса;
I - спотовое значение индекса в момент заключения контракта;
Т - период действия контракта;
гт - ставка без риска для периода времени Т;
rTu - форвардная ставка без риска для периода Т -t{;
п - количество акций, входящих в индекс.
divt - дивиденд на i -ю акцию, выплачиваемый в течение действия контракта;
Формула (4.4) учитывает, что дивиденд выплачивается на z-ю
,	div,
акцию в момент t, и часть этого дивиденда в размере —- инве-
' < п
^тируется до истечения контракта на период Т -tt.
Вместо формулы (4.4) можно воспользоваться формулой (4.5):
где D, - приведенная стоимость величины —- на момент заключу
чения контракта.
Пример 1.
Индекс состоит из четырех акций - А, В, С и D Акция А стоит 40 руб., Я - 30 руб., С -20 руб. и D - 30 руб. Индекс рассчитывается как среднеарифметическая величина, и его спотовое значение равно 30 пунктам. Контракт истекает через 90 дней, ставка без риска 10% годовых. По акции А выплачивается дивиденд в размере 2 руб. через 60 дней, по акции В дивиденд в 1 руб. через 30 дней. Форвардные процентные ставки равны спотовой, база составляет 360 дней. Определить фьючерсную цену индекса.
Фьючерсная цена индекса равна:
30 1+0,1----
I 360 J
-0,25-2 1 + 0,1
90-60^
360 )
-0,25’1 1 + 0,1
90-30
360 )
- 29,99 пункта.
Как правило, невозможно точно знать величину будущих дивидендов, а также будут ли они выплачены. Поэтому и фьючерсная цена индекса не является точной и имеет большую дисперсию, чем дисперсия спотового значения базисного индекса.
Если фондовый индекс включает большое количество акций, то дивиденды по ним будут выплачиваться в разное время. Поэтому с достаточной степенью допустимости индекс можно рассматривать как актив, по которому выплачивается непрерывно начисляемая ставка дивиденда. В результате фьючерсную цену индекса можно определить по формуле с использованием непрерывно начисляемого дивиденда:
F = 1ег^т , где q - непрерывно начисляемая ставка дивиденда в расчете на год. Ставку q надо взять как среднюю ставок акций. входящих в индекс.
4.2.2. Индексный арбитраж
Фактическая фьючерсная цена индекса может не соответствовать ее теоретическому значению. Тогда открывается возможность совершить арбитражную операцию. Если фактическая цена [F(/)) выше теоретической (Fr), следует продать более дорогой фьючерсный контракт и купить акции, входящие в индекс. Поскольку контракт на индекс является расчетным, арбитражер не может поставить по нему акции. Поэтому в день истечения контракта он продаст их на спотовом рынке. Если F(// < F{ , арбитражер купит более дешевый фьючерс и осуществит короткую продажу акций, входящих в индекс. В день истечения контракта он купит акции на спотовом рынке. Поскольку фьючерсная цена индекса рассчитывается на основе прогнозов выплаты дивидендов, которые могут и не осуществиться, то индексный арбитраж несет в себе риск. Кроме того, риск возникает и в связи с возможным финансированием отрицательной вариационной маржи.
Принять решение о возможности арбитражной операции можно на основе внутренней ставки доходности фьючерсного контракта. Если она больше ставки по кредиту, то необходимо продать фьючерс и купить акции. Если она ниже ставки по депозиту, то надо купить фьючерс и осуществить короткую продажу акций. На основе внутренней ставки доходности инвестор также может принять решение об инвестировании собственных средств. В этом случае его действия напоминают арбитражную операцию, только с той разницей, что он использует не заемные, а собственные средства. Рассмотрим пример арбитражной операции.
Пример 2. (На основе условий примера 1).
Множитель фьючерсного контракта равен 100 руб. Как было показано в примере 1, теоретическая фьючерсная цена индекса равна 29,99 пункта. Пусть фактическая фьючерсная цена составляет 31 пункт. Поэтому возможен арбитраж. Следует продать фьючерс по цене 31 руб. и купить акции, входящие в портфель.
Текущая стоимость индекса с учетом множителя фьючерсного контракта равна:
30 100руб. = 3000руб.
Копируем индекс с помощью покупки акций, входящих в него. Для этого количество акций каждой компании, которое следует купить, рассчитаем по формуле:
количество	()-Is
акций i-й компании	S-t 1
где @i - уд. вес акций i -й компании в стоимости индекса;
- текущая стоимость индекса;
S{ -текущий курс акции / -й компании.
Покупаем акции в количестве:
1) акции А :
0,25-3000 1Оле
----—-----= 18,75 или 19 акции;
2)акции В\
0,25-3000
----= 25 акции;
3)акции С
0,25-3000
———-------= 37,5 или 38 акции;
4)акции D\
0,25-3000 ---------= 25 акции.
30
Для покупки акций занимаем под 10% годовых на 90 дней сумму:
19-40+25-30 + 38-20 +25-30 = 3020руб.
Через три месяца возвращаем сумму:
= 3095,5 руб.
3020 14-0,1---
360 J
Через 30 дней получаем дивиденды по акциям В в размере:
1 руб.  25акций = 25 руб.,
инвестируем их на 60 дней под 10% годовых и получаем сумму:
25| 1 + 0,1—
I 360
= 25,42руб.
Через 60 дней получаем дивиденды по акциям А в размере: 2руб,  акций = 38/ж5..
инвестируем их на 30 дней под 10% годовых и получаем сумму:
(	30
38 1+0,1----
I	360)
= 3^32 руб.
Пусть через 90 дней акция А стоит 35 руб., В - 35 руб., С - 22 руб., D - 24 руб. Новое значение индекса равно 29 пунктов. Продаем акции и получаем сумму 2976 руб. С учетом выплаченных дивидендов сумма по акциям составила 3039,74 руб.
По фьючерсному контракту получен выигрыш:
(3129 )100 руб. = 200руб.
Общий результат составил:
3039,74 + 200 = 3239,74/^6.
По кредиту отдаем 3095,5 руб. Арбитражная прибыль равна 144,24 руб.
Арбитражную операцию можно было строить и несколько иным образом, а именно, как представлено в примере 2 параграфа 2.3.2.1, т.е. занимать средства для покупки акций с учетом того, что часть их можно будет вернуть за счет будущих дивидендов.
Мы рассмотрели арбитраж с индексом, рассчитываемым как среднее арифметическое. Для средневзвешенного индекса действия будут аналогичными с той только разницей, что в формуле (4.4) дивиденды учитываются в соответствии с уд. весами бумаг в индексе.
Если индекс насчитывает большое количество акций, то полное копирование его состава в арбитражной или инвестиционной стратегиях при покупке или продаже акций может оказаться дорогостоящим делом. В этом случае можно сделать выборку из акций, входящих в индекс, динамика которых наиболее близко повторяет динамику индекса, и оперировать только этим портфелем6. Однако, следует учитывать, что возрастает риск отклонения его динамики от динамики индекса.
6 Технику копирования индекса на основе выборки из входящих в него акций см. в книге А.Н Буренина “Управление портфелем ценных бумаг’”1, Научно-техническое общество им академика С.И.Вавилова, М ,2005. параграфы 5 1.1 1 и 5.1.1.2.
4.2.3. Хеджирование фьючерсным контрактом на индекс
При использовании фьючерса на индекс для хеджирования портфеля необходимо рассчитать коэффициент хеджирования, который бы связывал портфель инвестора с фьючерсным контрактом. Это можно сделать, например, на основе уравнения регрессии. Однако приведем здесь еще один прием определения коэффициента хеджирования.
Имеется фондовый индекс (его спотовое значение равно /), на который заключаются фьючерсные контракты. Бета портфеля инвестора относительного данного индекса равна Д,. Тогда изменение единицы стоимости портфеля (АР) при изменении значения индекса (А/) составит:
АР = Д,А/.
Цена фьючерсного контракта на индекс акций равна: /	Т1 \	1	«	/	т- Л
(4.6)
база ) п ~	' база)
На основе формулы (4.6) изменение фьючерсной цены при изменении значения индекса составит:
ч 7 база
Отсюда, согласно формуле (3.11):
Л,	й=—=_______
(47)
Т
(4-8)
Пример.
Имеется фьючерсный контракт на индекс S&P500. Множитель контракта равен 250 долл. Контракт истекает через 90 дней. Фьючерсная цена индекса равна 1000. Ставка без риска 5% годовых. Инвестор владеет широко диверсифицированным портфелем акций на сумму 10 млн. долл. Бета портфеля равна 1,2. Он принимает решение застраховаться на следующий день от возможного падения курса акций. Какое количество контрактов необходимо открыть.
Решение.
Коэффициент хеджирования равен:
h =----------------= 1,185185.
1 + 0,05(90/360)
Стоимость контракта составляет:
XQQQ пунктов  250долл. = 250000долл.
Количество контрактов, которые необходимо открыть, определяется по формуле:
количество	стоимость портфеля	gj
контрактов стоимость фьючерсного контракта
Следует продать:
10000000 jд g5 j g5 _ 47 4 или 47 контрактов_
250000	н
Количество фьючерсных контрактов, которые следует открыть для хеджирования спотовой позиции, можно определить и на основе уравнения регрессии, связывающего доходность хеджируемого портфеля с доходность индекса. Как следует из главы 3, коэффициент хеджирования при таком подходе равен значению беты портфеля. Таким образом, в формуле (4,9) в качестве коэффициента хеджирования учитывается только бета портфеля. Обоснование такого подхода заключается в зависимости изменения стоимости между рыночным индексом и портфелем. Если портфель характеризуется бетой рр относительно данного индекса, то это означает, что в среднем при изменении стоимости индекса стоимость портфеля должна измениться в рр раз,
В формуле (4.9) в знаменателе мы рассчитывали стоимость фьючерсного контракта на основе фьючерсной цены индекса. Возможен и другой подход: определить стоимость контракта на основе спотового значения индекса. В частности такой метод расчета приводится в книге Hull J. Options, Futures and Other Derivatives, 4-th ed., L: Prentice-Hall, 2000, страница 66 пример 3.8.
Фьючерсные контракты на индекс можно использовать для изменения беты портфеля. Получим для этих целей соответствующую формулу.
Пусть инвестор располагает портфелем акций с бетой Рр относительно фондового индекса /. Он желал бы изменить состав портфеля таким образом, чтобы его бета составила величину /Г.
Для изменения состава портфеля инвестор использует фьючерсный контракт на индекс /,
Изменение единицы стоимости портфеля с бетой (}р при изменении значения индекса составляет Д, А/, а портфеля с бетой Д,* -fjР*Д1. Отсюда формулу (3.12) можно представить следующим образом:
/?;д/ = pp\i + h
Т 1
+ г----- А/.
база )
Тогда h равно:
/Г-В
h =__Рр .
1 + г (Г / база)
(4.10)
(4.11)
Пример.
Стоимость портфеля инвестора составляет 10 млн. долл. Его бета относительно индекса S&P500 равна 0,8. Инвестор ожидает подъема на рынке и решает перестроить портфель таким образом, чтобы его бета выросла до величины 1,2. Фьючерсный контракт на S&P500 истекает через два месяца, его цена равна 1000 пунктов, ставка без риска для этого периода равна 6% годовых. Для данных условий величина h составляет:
h =
1,2-0,8
1 + 0,06(2/12)
= 0,396.
(4-12)
Стоимость контракта равна:
250 1000- 250000^7.
Количество фьючерсных контрактов, по которым необходимо открыть позиции определяется по формуле (4.9):
10000000
250000
0,396 = 15,84.
Таким образом, чтобы получить портфель акций с бетой 1,2 необходимо купить 16 фьючерсных контракта на индекс S&P500. В данном примере следует купить фьючерсные контракты, поскольку в формуле (4.12) мы получили положительную величину. Ответ со знаком минус говорил бы о том, что необходимо продать фьючерсные контракты. Например, бета портфеля инвестора равна 1,2, а он желает получить бету 0,8, поскольку ожидает
ухудшения конъюнктуры рынка. Тогда инвестору следует продать 16 фьючерсных контрактов.
В качестве альтернативного способа определения величины h при изменении беты портфеля можно просто взять разность между новым и старым значениями бет:
h = p'-В .
Гр
В этом случае в примере величина h равна:
h = 1,2 -0,8 = 0,4.
Поэтому для увеличения беты портфеля со значения 0,8 до 1,2 инвестору необходимо купить:
10000000Л л
---------0,4 = 1 ^контрактов.
250000
Выше мы говорили о портфеле из акций. Однако они могут составлять только его часть. Поэтому возникает задача изменения удельного веса акций в портфеле. Она решается аналогичным образом с помощью фьючерсных контрактов, только в формулах (4.10) и (4.11) необходимо учесть удельный вес акций в текущем и создаваемом портфелях. Тогда формулы принимают следующий вид:
е-ар-аы = еараы+и\ 1+г-Д|д/	(4.13)
V база)
и
; в*аРа~ваРа	.....
h =	,	(4.14)
1 + г(Г /база)
где 6»; - уд. вес акций с Д;
Д - уд. вес акций с Д.
Продолжая предыдущий пример, предположим, что уд. вес акций с Д в текущем портфеле составляет 30%, а инвестор желал бы получить портфель с пропорций акций с Д равной 70%, Стоимость портфеля равна 10 млн. долл. Найдем коэффициент h для данных условий:
^0,7-1,2-0,3-08
1 + 0,06(2/12)
Количество контрактов, которые необходимо купить, определяется по формуле7:
количество 0* > стоимость портфеля	(415)
контрактов стоимость фьючерсного контракта
Оно равно:
^“•0,5941 = 16,63.
250000
Таким образом, инвестору следует купить 17 фьючерсных контрактов.
4.3.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС НА КУРС БЕЗНАЛИЧНОГО ДОЛЛАРА К РУБЛЮ
На фондовой бирже РТС обращается фьючерсный контракт на доллар США. Базисным активом является курс безналичного доллара к рублю на день исполнения контракта. Контракт включает 1000 долл. США, и является расчетным. В качестве расчетного курса в день исполнения контракта принимается опубликованный агенством Интерфакс средневзвешенный курс доллара к рублю по итогам единой торговой сессии межбанковских валютных бирж. Если в день исполнения контракта торги не проводились, то в качестве расчетного принимается курс, объявленный Банком России. Шаг цены контракта равен 1 рублю. Котировка контракта приводится в расчете на 1000 долл, В системе РТС код контракта обозначается буквами Si. Далее в обозначении следует месяц и год исполнения, например, Si-03.06. Это означает, что контракт истекает в марте 2006 года8.
4.3.1.	Определение фьючерсной цены и арбитраж
Фьючерсная цена контракта рассчитывается на основе формулы (4.16) определения форвардной цены валюты:
1 + г, (Т / база)
1 + rd (Г / база)
(4-16)
где X - спот курс доллара к рублю в прямой котировке;
! В формуле (4.15) стоимость портфеля умножается на величину 0', так как коэффици-
ентом /Г должна характеризоваться только часть портфеля в указанной пропорции. и Подробную спецификацию контракта см. на сайте биржи PTC www,rts,ru
г - ставка без риска по рублю;
rt) - ставка без риска по доллару.
Поскольку котировка дается в расчете на 1000 долл. США, то формулу (4.18) следует записать как:
1 + гдТ /база)
(4.17)
Рассмотрим определение фьючерсной цены на примере.
Пример 1.
Курс спот доллара равен 29 руб., трехмесячная ставка без риска по рублю - 6%, по доллару - 3%. Определить цену трехмесячного фьючерсного контракта. В соответствии с формулой (4.17) цена равна:
F = 1 000  291 + 0’06(3/|2) = 29215,88руб.
1 + 0,03(3/12)	к
Если фактическая фьючерсная цена отличается от полученного теоретического значения, то можно совершить арбитражную операцию. Действия арбитражера аналогичны тем, которые были рассмотрены в параграфе 2.3.3.1. Поскольку речь идет о фьючерсном контракте, то при осуществлении арбитража по контракту будет возникать вариационная маржа. За время действия контракта на положительную маржу можно получить процент, отрицательную маржу придется финансировать. Во втором случае возникает риск того, что отрицательная маржа может превысить расчетную прибыль.
Решение о возможности совершить арбитраж удобно принять на основе внутренней ставки доходности фьючерсного контракта, которую можно рассчитать на основе формулы (4.17)9:
4.3.2.	Спекулятивные стратегии
Спекулятивные стратегии с использованием фьючерсного контракта на доллар принципиально не отличаются от стратегий по уже рассмотренным контрактам. Если ожидается рост курса доллара, следует играть на повышение, т.е. купить контракт. Если ожидается падение курса - играть на понижение, т.е. продать контракт. Поясним сказанное на примерах.
9 См. параграф 2,3.5,
Пример 1.
Цена фьючерсного контракта, до истечения которого остается 62 дня, равна 28734 руб. Инвестор ожидает падения курса, поэтому продает контракт по этой цене. Через три дня цена контракта упала до 28705 руб., и инвестор закрыл позицию. Выигрыш составил:
28734-28705 = 29^6.
Начальная маржа по контракту в момент его заключения была равна 864 руб. Эффективность операции инвестора в расчете на год составила:
= 4 0837 или 408,37% годовых.
864 3
Пример 2.
Цена фьючерсного контракта, до истечения которого остается 62 дня, равна 28715 руб. Инвестор ожидает роста курса в течение данной торговой сессии, поэтому покупает контракт по этой цене. Вечером он продает его по 28720 руб. Выигрыш составил:
28720-28715 = 5 руб.
Начальная маржа по контракту в момент его заключения была равна 864 руб. Эффективность операции инвестора в расчете на год составила:
-^-365 = 2,1123 или 211,123% годовых.
^864
4.3.3.	Хеджирование
Контракт на доллар США является беспоставочным, поэтому в его рамках хеджер не может купить или продать доллары. В связи с этим контракт будет использоваться только для хеджирования, а сама валюта будет покупаться или продаваться на спотовом рынке в момент завершения хеджа.
При совпадении срока хеджа с моментом истечения фьючерсного контракта возникает случай полного хеджирования. Если инвестора устраивает фьючерсная цена, то он просто покупает или продает контракт. Страхуясь от возможного роста курса доллара, следует купить контракт. Страхуясь от падения курса доллара - продать контакт. Контракт насчитывает 1000 долл. Хеджер может продавать (покупать) большие суммы валюты. Поэтому необходимо рассчитать
количество контрактов, которые следует открыть. Оно определяется по следующей формуле:
количество _ хеджируемая сумма (долл} контрактов	1 ОООдялл.
Пример 3.
Инвестор планирует купить 500000 долл, через три месяца. Будущую покупку хеджирует на фьючерсном рынке. Он приобретает:
500000долл. _
------------= Ъоо контрактов.
1 ОООдолл.
Если инвестор в будущем собирается продать 500000 долл., то он продает 500 контрактов.
Для фьючерсного контракта на валюту коэффициент хеджирования можно определить на основе регрессионного анализа, используя прошлые данные статистики или с помощью формулы (4.16). Из нее следует:
1 + г (Т/база) AF = AS--------------Ь
1 + ГД71 /база)
Отсюда коэффициент хеджирования равен:
AS' _ 1 + r/Г/база) AF 1 + гр (Г / база)
Пример 4.
Экспортер получит через 30 дней 10 млн. долл. США и будет конвертировать их в рубли. Он опасается падения курса доллара и страхуется 65-дневным контрактом на доллар США. Ставка без риска по рублю составляет 6%, по доллару - 3%. Курс спот доллара равен 28 руб. Определить количество контрактов, которое необходимо продать. Финансовый год равен 365 дням.
Решение.
Экспортер будет конвертировать доллары через 30 дней. Поэтому, чтобы учесть схождение фьючерсной цены к спотовой, рассчитаем коэффициент на момент завершения хеджа, т.е., когда до истечения контракта останется 35 дней. Коэффициент равен.
h = 1 + 0,03(35/365) =	7 j 39?
1 + 0,06(35/365)
Хеджеру следует продать:
1 ОООООООдолл. q _ 9971397 или 9971 контрактов.
ЮООЭатг
В момент начала хеджа 65-дневная фьючерсная цена равна:
™	। + 0,06(65/365) _О1 г
= I 000 • 28 руб.---т—------4 “28149 руб.
6	1 + 0,03(65/365)
Пусть через месяц курс доллара на споте упал до 27 руб. Экспортер обменял 10 млн, долл, по спотовому курсу и получил сумму:
10000(К)0()ол7. • 27 руб. = 270000000 руб.
35-дневная фьючерсная цена составила:
+ ^000 27P+'|^'g;gp7077P+.
Разность между фьючерсными ценами в конце и начале хеджа равна: 28149-27077 = 1072руб.
Поэтому по фьючерсной позиции он выиграл:
991 {контрактов АГГИ руб. = 10688912 руб.
Фактический обменный курс для экспортера с учетом хеджа составил:
270000000 руб. +10688912руб.
ЮООООООболл.
-28,06889руб.
Если через месяц курс доллара вырос до 29 руб,, то по спотовой позиции от продажи валюты экспортер получил:
1 ОООООООбаял. • 29 руб. = 290000000 руб.
35-дневная фьючерсная цена составила:
г 1ЛЛЛ ™ < I + 0,06(35/365)
Гs =1000 29руб.-----{ - 29083руб.
35	1 + 0,03(35/365)
Разность между фьючерсными ценами в конце и начале хеджа равна: 28149-29083--934руб.
Поэтому по фьючерсной позиции он проиграл:
997 {контрактов • (-934)руб. = -9312914руб.
Фактический обменный курс для экспортера с учетом хеджа составил:
290000000руб,-9312914руб. = ЮООООООдолл.
Пример 5.
Импортер через 30 дней собирается конвертировать 10 млн. руб. в долл. США. Он опасается роста курса доллара и страхуется 65-дневным контрактом на доллар США. Ставка без риска по рублю составляет 6%, по доллару - 3%. Курс спот доллара равен 28 руб. Фьючерсная цена равна 28149 руб. Определить количество контрактов, которое необходимо купить.
Решение.
Коэффициент хеджирования, как и в предыдущей задаче, составляет 0,9971397. Поскольку фьючерсный контракт представлен в долларах, то, в отличие от задачи 4, количество контрактов определяется по следующей формуле:
количество стоимость хеджируемой позиции	(418)
контрактов спотовая номинал фьючерсного
цена	контракта
В знаменателе формулы (4.18) присутствует множитель ‘’слотовая цена”. Он необходим, чтобы определить текущую стоимость хеджируемой позиции в рублях, так как номинал фьючерсного контракта представлен в долларах10. Количество контрактов, которое необходимо купить импортеру, равно:
.	q 9971397 = 35^42 или 356 контрактов.
2% руб, -ЮООЭатл.
Допустим, через месяц курс спот равен 29 руб. Импортер на спотовом рынке конвертировал 10 млн. руб. в:
10 В формуле (4,18) вместо спотовой цены можно взять фьючерсную цену. Разница между спотовой и фьючерсной ценами доллара является незначительной вследствие незначительной разности в процентных ставках. Поэтому расчетный результат и для первого и второго вариантов будет практически одинаковым. Если расчет сделать на основе курса спот, то хеджер получит более низкий курс при дальнейшем росте курса доллара. Если расчет сделать на основе фьючерсной цены, то хеджер получит более низкий курс при дальнейшем падении курса доллара.
10000000руб. ^AAQ^^ ---------—— = 344827, бдолл.
29 руб.
По фьючерсной позиции он выиграл:
ЗЬбконтрактов  934руб. = 332504руб.
Обменял их по спот курсу на:
332504руб.
------------11465,666олл.
29 руб.
Фактический обменный курс для импортера с учетом хеджа составил:
10000000руб.
= 28,06677 руб.
344827,бдолл. +11465,66д<мл.
Допустим, теперь, что через месяц курс спот упал до 27 руб.
По фьючерсной позиции он проиграл:
35бкошпрактов  (-1072)руб. = —381632руб.
Поэтому на доллары он обменивает сумму:
10000000 - 381632 = 9618368руб.
После обмена получает:
9618368руб.
-----------— 356235,9долл.
27 руб.
Фактический обменный курс для импортера с учетом хеджа составил:
10000000^.^
356235,96^7/7.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Фьючерсы на акции составляют альтернативу коротким продажам акций на спотовом рынке.
Котировка контракта на акции на Фондовой бирже РТС дается в расчете на общее количество акций в нем, т.е. как его текущая стоимость.
Полностью хеджированный портфель должен приносить инвестору доходность равную ставке без риска.
Если фондовый индекс включает большое количество акций, то дивиденды по ним будут выплачиваться в разное время. Поэтому с достаточной степенью допустимости индекс можно рассматривать
как актив, по которому выплачивается непрерывно начисляемая ставка дивиденда.
Если фактическая фьючерсная цена индекса не соответствует ее теоретическому значению, можно совершить индексный арбитраж. При Еф > F} следует продать более дорогой фьючерсный контракт и купить акции, входящие в индекс. При Гф < FT надо купить более дешевый фьючерс и осуществить короткую продажу акций, входящих в индекс. Принять решение о возможности арбитражной операции удобно на основе внутренней ставки доходности фьючерсного контракта. Если она больше ставки по кредиту, необходимо продать фьючерс и купить акции. Если она ниже ставки по депозиту, надо купить фьючерс и осуществить короткую продажу акций. На основе внутренней ставки доходности также можно принять решение об инвестировании собственных средств.
Фьючерсные контракты на индекс можно использовать для изменения беты портфеля инвестора.
Базисным активом фьючерсного контракта на доллар США Фондовой биржи РТС является курс безналичного доллара к рублю на день исполнения контракта. Контракт включает 1000 долл. США и является расчетным. В качестве расчетного курса в день исполнения контракта принимается опубликованный агенством Интерфакс средневзвешенный курс доллара к рублю по итогам единой торговой сессии межбанковских валютных бирж. Котировка контракта приводится в расчете на 1000 долл. США.
ГЛАВА 5. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ НА ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ
5.1.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА КАЗНАЧЕЙСКУЮ ОБЛИГАЦИЮ США
Рассмотрим долгосрочный процентный фьючерс на примере фьючерсного контракта на казначейскую облигацию США, который торгуется на Чикагской Торговой Палате (СВОТ), Базисным активом контракта служит государственная облигация с доходностью до погашения 6% и номиналом 100 тыс. долл., купон выплачивается два раза в год. Котировка облигации на спотовом и фьючерсном рынках приводится для номинала в 100 долл., дробные значения даются в 32 долях доллара. Например, облигация имеет котировку 96-12. Это означает 96 долл, и 12/32 доллара или 96,375 долл. Для облигации номиналом 100 тыс. долл, ее цена равна 96375 долл. В котировке указывается чистая цена бумаги, т.е. без накопленных процентов, которые причитаются продавцу облигации, если он продает ее в ходе купонного периода. Полная цена облигации равна чистой цене плюс накопленная сумма купонного процента за время, прошедшее после выплаты последнего купона до дня продажи бумаги на спотовом рынке или поставки ее по фьючерсному контракту.
По контракту можно поставить разные казначейские облигации, до погашения которых на первый день месяца поставки остается больше 15 лет. Если поставляется облигация с правом отзыва, то она должна быть безотзывной в течение остающихся 15 лет. Разные облигации имеют разные доходности до погашения. Однако доходность поставляемой облигации в соответствии с условиями контракта должна составлять 6% годовых. Приведение фактической доходности поставляемой облигации к уровню в 6% достигается за счет использования так называемого коэффициента конверсии. Он рассчитывается биржей до начала торговли контрактом для каждой облигации, которую можно поставить по контракту? Коэффициент конверсии приводит цену поставляемой облигации на первый день месяца поставки к такому уровню, чтобы ее доходность до погаше-
Коэффициент конверсии рассчитывается следующим образом. Находят цену облигации, которая соответствует доходности до дня погашения или дня первого отзыва равной 6%, и делят ее на 100 Полученная цифра и является коэффициентом конверсии. Примеры расчета коэффициента конверсии приводятся в параграфе 5.2.3.
ния составляла 6%. Цена, получаемая продавцом фьючерса при исполнении контракта, определяется по формуле:
цена поставки котировочная коэффициент ~ • + облигации фьючерсная цена конверсии
(5.1)
сумма начисленных
процентов
По фьючерсу продавец имеет право поставить разные облигации. Поэтому он выберет ту из них, которая обойдется ему дешевле остальных, т.е. так называемую "самую дешевую облигацию”. Покупая облигацию на спотовом рынке, продавец фьючерса уплачивает за нее цену равную чистой цене плюс сумма накопленных процентов по купону. Поставляя облигацию по контракту, он получает от покупателя цену равную котировочной фьючерсной цене, умноженную на коэффициент конверсии, плюс сумма накопленных процентов по купону. Поэтому продавец выберет для поставки такую облигацию, для которой разность:
цена котировочная коэффициент спот фьючерсная цена конверсии
(5-2)
будет наименьшей. Данная облигация является для него “самой дешевой". Она принесет ему наибольший доход, так как за облигацию по контракту он получит сумму:
котировочная	коэффициент
фьючерсная цена конверсии
а уплатит за нее на спотовом рынке только спотовую цену. Таким образом, “самой дешевой” будет облигация, которая дает минимум в выражении (5.2):
цена котировочная коэффициент	_ _
-	= минимальное значение (5.3)
енот фьючерсная цена конверсии
Разделим выражение (5.3) на коэффициент конверсии:
цена енот	котировочная	_ .
------------------- -	~ минимальное значение (5.4) коэффициент конверсии фьючерсная цена
Котировочная фьючерсная цена является фиксированной величиной, поэтому прибавим ее клевой и правой частям выражения (5.4):
цена спот
----------------------= минимальное значение, (э.о) коэффициент конверсии
Таким образом, "самой дешевой” облигацией для поставки по фьючерсному контракту будет бумага с наименьшим значением отношения:
цена спот коэффициент конверсии
Продавец имеет право поставить облигацию в любой день в течение периода поставки. Естественно, что конъюнктура на спотовом рынке за это время может меняться, и соответственно может меняться выбор самой дешевой облигации. Поэтому покупатель контракта до последнего момента не знает, какая облигация и в какой день будет ему поставлена.
5.2.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФЬЮЧЕРСНОЙ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ И АРБИТРАЖ
Фьючерсная цена рассчитывается на основе формул определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются и не выплачиваются доходы, которые мы вывели в главе 2. Как и в случае с акцией, здесь возможны два варианта. При первом по облигации в течение периода действия контракта купон не выплачивается, при втором - выплачивается. В отличие от акции величина выплачиваемого дохода, представленного купонным процентом, известна. Однако некоторая сложность возникает в связи с тем, что, как правило, нет полной ясности по вопросу о том, в какой день периода поставки, и какая облигация будет поставлена по контракту. При изменении конъюнктуры будет изменяться и выбор "самой дешевой” облигации. Если уровень процентных ставок на рынке ниже 6%, то самой дешевой скорее всего окажется облигация с наименьшей дюрацией.2 Такую дюрацию имеют наиболее краткосрочные бумаги с наибольшим купоном. Если уровень процентных ставок на рынке больше 6%, то самой дешевой скорее всего будет облигация с наибольшей дюрацией. Дюрация является наибольшей для более долгосрочных облигаций с наименьшим купоном. Для облигаций с одинаковой дюрацией бумага с наибольшей доходностью до погашения, как правило, окажется самой дешевой.
2 Понятие дюрации подробно рассматривается в книге А.Н Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., 2002, параграф 5.1.4.
Рассмотрим определение фьючерсной цены облигации на примерах, предполагая, что мы знаем, в какой день и какую облигацию поставят по контракту.
5.2.1.	Определение фьючерсной цены облигации, по которой не выплачиваются купоны в течение действия контракта
Пример 1.
Фьючерсный контракт на облигацию истекает через 60 дней (т.е. через 60 дней будет поставлена облигация). Ставка без риска равна 5% годовых. По контракту поставляется облигация, котировка которой сейчас равна 134-04, купон 8%, выплачивается два раза в год. Предыдущий купон был выплачен 20 дней назад (см. рис. 5.1). Продолжительность текущего купонного периода 182 дня.3 Коэффициент конверсии равен 1,23. Определить фьючерсную цену облигации.
выплата
купона
р----20 дней--►«--------------60 дней ------------•
момеш	момент
заключения	окончания
контракта	контракта
Рис. 5,1. В течение действия контракта купон не выплачивается
Чистая цена облигации равна 134-4/32 или 134,125 долл, в расчете на номинал в 100 долл. За 20 дней по купону накопилась сумма:
1 ООдолл. • 0,04------= 0,44долл.
182<)нем
Полная цена облигации на момент расчета фьючерсной цены равна: 134,125 + 0,44 - 134,565Эолл.
Поскольку по облигации купон в период действия контракта не выплачивается, то для расчета фьючерсной цены используем формулу для актива, по которому не выплачиваются доходы:
3 В США для казначейских облигаций определение суммы накопленных процентов осуществляется на основе учета фактического количества дней, за которые накопился процент, и фактического количества дней в текущем купонном периоде.
134,565 1 + 0,05
60
360 j
- 135,686<)а+7.4
Котировка дается на основе чистой цены. Поэтому из полученной Цифры надо вычесть сумму купонных процентов, которая накопится По облигации к моменту истечения контракта. С момента выплаты Последнего купона пройдет:
20 + 60 = 80 дней.
Соответственно сумма купонных процентов равна:
1 ООдодл.  0,04------= 1,75 Ъдолл.
182d//ew
С учетом корректировки на сумму процентов получим фьючерсную цену:
135,686-1,758 = 133,92Ядолл,
Мы рассчитали фьючерсную цену облигации с купоном 8%, а нам надо определить цену облигации с доходностью до погашения 6%. Для этого используется коэффициент конверсии. Он говорит о том, что одной облигации с купоном 8% соответствует 1,23 облигации с доходностью до погашения 6%. Поэтому искомая фьючерсная цена равна:
133,928 :1,23 = 108,8846<Ьлл.
На основе представленных рассуждений можно в общем виде записать формулу определения фьючерсной цены облигации:
(5.6)
где F - фьючерсная цена;
N - номинал облигации (100 долл.);
С - купонный процент в расчете на год;
Р - полная цена "самой дешевой облигации”, т.е. с учетом суммы накопленного купонного процента за период t;
t - количество дней, которые прошли с даты выплаты последнего купона до момента определения фьючерсной цены;
4 В данной формуле в качестве базы мы использовали 360 дней, так как в США для краткосрочных финансовых инструментов, таких как казначейские векселя и другие инструменты денежного рынка используется 360 дней в году для расчета процентных платежей.
Т - период действия фьючерсного контракта, или более точно, количество дней до даты поставки облигации по контракту;
база * - 360 дней;
база - фактическое количество дней в текущем купонном периоде;
г - ставка без риска для базы 360 дней;
К - коэффициент конверсии.
Формула (5.6) непосредственно вытекает из формулы (5.1). Чтобы это увидеть, выразим из нее котировочную фьючерсную цену:
котировочная цена поставки облигации — сумма начисленных процентов (5.7 фьючерсная цена	коэффициент конверсии
В формуле (5.7) "цена поставки облигации" есть не что иное как фьючерсная цена для актива, по которому не выплачивается доход в течение действия контракта. Соответственно она равна цене спот плюс процент без риска, начисленный на цену спот за период действия контракта. При расчете фьючерсной цены облигации надо вычесть из данной цифры "сумму начисленных процентов" ПО купону, так как котировка дается на основе чистой цены. Поскольку необходимо найти фьючерсную цену облигации с доходностью до погашения 6%, то полученный результат делим на ”коэффициент конверсии", рассчитанный биржей для нашей облигации.
Фактическая фьючерсная цена облигации в какие-то моменты времени может отличаться от теоретической. Тогда открывается возможность совершить арбитражную операцию. Рассмотрим технику арбитражной операции на основе условий примера 1 для случаев недооценки и переоценки фьючерсного контракта.
I. Как было определено, теоретическая фьючерсная цена облигации равна 108,8846 долл. Пусть фактическая фьючерсная цена составляет 108,5 долл,, т.е. фьючерс недооценен. В этом случае арбитражер покупает фьючерс, занимает облигацию и продает ее на спотовом рынке за 134,565 долл. Это чистая цена облигации плюс накопленный процент по купону за 20 дней. Инвестирует данную сумму под безрисковую ставку до момента окончания контракта. Через 60 дней получает:
(	60 1
134,565 1 + 0,05---
L 360)
= 135,686далл.
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а)	Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. В соответствии с формулой (5.1) арбитражер уплачивает по контракту цену:
108ч5Эсъ7л. -1,23 + 1,758Эолл. = 135,213долл.,
получает облигацию и возвращает ее кредитору. Его прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна разности между суммой по депозиту и уплаченной за облигацию по контракту:
135,686 -135,213 = 0,473долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,473бклад. 1000 = 473долл.
б)	Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
109Эа7л,-1,23 + 1,758дот,7. = 135,828долл.,
получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная цена составила 109 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
109-108,5 = 0,5Эолл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,686 -135,828 + 0,5 - 0,358дао.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,35 Ъдолл.-1000 = 358долл,
в)	Котировочная фьючерсная цена равна 108 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
108с)шл.  1,23 + l,758do^7. - 134,598датл.,
получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная составила
108 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:
108 -108,5 =-0,5Эолл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,686 -134,598 - 0,5 = 0,588^7.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,588(Ьлх4000 = 588<Ълл.
II, Пусть фактическая фьючерсная цена составляет 109 долл., т.е. фьючерс переоценен. Тогда арбитражер продает фьючерс, занимает 134,565 долл, на 60 дней под 5% годовых, покупает облигацию на спотовом рынке и хранит ее до момента истечения контракта. По кредиту он должен будет вернуть сумму:
134,565| 1 + 0,05 — | = 135,6860олл.
360
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а)	Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает от контрагента в соответствии с формулой (5.1) сумму:
109дш./.  1,23 +1,758долл, = 135,828б>шл.,
возвращает кредит. Его прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,828-135,686 = 0,142долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,142долл.1000 = 142долл.
б)	Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер получает по контракту за облигацию:
108,5 долл. • 1,23 + 1,758долл. = 135,21 Здолл.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
109 -108,5 = 0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,213 -13 5,686 + 0,5 = 0,027долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,02 7долл.  1000 = 27долл.
в) Котировочная фьючерсная цена равна 109,5 долл. Арбитражер получает по контракту за облигацию:
109,5долл.  1,23 + 1,758долл. = 136,443долл.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 109,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:
109-109,5 = -0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
136,443 -135,686-0,5 - 0,257долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,257долл. • 1000 = 257долл.
Мы рассмотрели арбитраж без учета возможного финансирования позиции вследствие возникновения отрицательной вариационной маржи в ходе действия контракта и получения дополнительных процентов на положительную маржу. Данные суммы составляют элемент риска при совершении арбитража на фьючерсном рынке. Как было отмечено выше, арбитраж на фьючерсном рынке не является абсолютно безрисковым.
В качестве элемента риска в рассмотренных арбитражных операциях следует выделить еще один принципиальный момент. При расчете цены поставки используется коэффициент конверсии, который приводит к тому, что изменение вариационной маржи и цены поставки, уплачиваемой по контракту за облигацию, не происходит в пропорции один к одному. Это может вызвать потери арбитражера в случае существенного изменения цены облигации, если коэффициент конверсии значительно отличается от единицы. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 2.
Рассматриваем случай 1. Фактическая фьючерсная цена равна 108,5 долл., поэтому арбитражер покупает фьючерс, занимает облигацию, продает ее на спотовом рынке за 134,565 долл., инвестирует данную сумму под безрисковую ставку до момента окончания контракта. Через 60 дней получает сумму 135,686 долл.
а) Пусть котировочная цена выросла до 111 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
111дЛ'7л.  1,23 + 1,758Эолл. - 138,288Эолл., получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108,5 долл. Котировочная цена составила 111 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
111-108,5 = 2,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,686-138,288 + 2,5 = -0,1020олл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
-0,102долл.' 1000 = -102Эо_7.7.
Таким образом, был получен убыток в 102 долл. Он возник потому, что при росте котировочной цены, цена поставки, уплачиваемая арбитражером, увеличивается с коэффициентом 1,23. В то же время, положительная вариационная маржа, призванная компенсировать этот эффект, возрастает только с коэффициентом единица.5
Отмеченный риск совершения арбитражной операции в данном примере наблюдается только в случае роста котировочной цены облигации. В случае ее падения он отсутствует. Чем больше опустится цена, тем большая прибыль будет получена. Поскольку риск связан с ростом цены, то, начиная арбитражную операцию, целесообразно оценить вероятность последующего падения процентных ставок на рынке и, соответственно, роста цен и масштабов их роста.
Пример 3.
Рассматриваем случай П. Фактическая фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер продает фьючерс, занимает 134,565 долл, на 60 дней под 5% годовых, покупает облигацию на спотовом рынке и хранит ее до момента истечения контракта. По кредиту он должен будет вернуть сумму 135,686 долл.
Пусть котировочная фьючерсная цена упала 108 долл. Арбитражер получает по контракту за облигацию:
108<)шл. -1,23 + 1,758ск?лл. = 134,598сЫл.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
109-108 = 1долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
134,598 -135,686 +1 = -0,088долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
-0,088Эолл. 1000- -Шолл.
Таким образом, был получен убыток в 88 долл.
5 Если бы в примере коэффициент конверсии был меньше единицы, то при росте цены арбитражер получал бы большую прибыль, так как цена поставки увеличивалась бы в меньшей пропорции чем размер вариационной маржи
Отмеченный риск совершения арбитражной операции в данном примере наблюдается только в случае падения котировочной цены облигации. В случае ее роста он отсутствует. Чем больше вырастет цена, тем большая прибыль будет получена. Поскольку риск связан с падением цены облигации, то, начиная арбитражную операцию, целесообразно оценить вероятность последующего роста процентных ставок на рынке и, соответственно, падения цен и масштабов их снижения.
5.2.2. Определение фьючерсной цены облигации, по которой выплачиваются купоны в течение действия контракта
Пример 4.
фьючерсный контракт на облигацию истекает через 210 дней (т.е. через 210 дней будет поставлена облигация). По контракту поставляется облигация, котировка которой сейчас равна 134-04, купон 8%, выплачивается два раза в год. Предыдущий купон был выплачен 20 дней назад, следующий купон будет выплачен через 162 дня (см. рис. 5.2). Продолжительность текущего купонного периода 182 дня, следующего купонного периода - 184 дня. Коэффициент конверсии равен 1,23. Ставка без риска для 210 дней равна 5% годовых, для 162 дней 4,85% годовых. Определить фьючерсную цену облигации.
выплата купона
выплата
4—20 дней-
162 дня
купона
---**— 48 дня
210 дней
момент	момент
заключения	окончания
контракта	контракта
Рис. 5.2. В течение действия контракта купон выплачивается
В данном примере по облигации выплачивается купон в течение периода действия контракта. Поэтому воспользуемся формулой определения форвардной цены актива, по которому выплачиваются доходы.
Как было определено в примере 1, чистая цена облигации равна 134,125 долл. За 20 дней, прошедших после выплаты последнего купона, накопилась сумма купонного процента в 0,44 долл. Полная
цена облигации составляет 134,565 долл. За период действия контракта данная сумма на безрисковом депозите вырастет до:
134,565 1 + 0,05
210>
360;
138,49долл.
Через 162 дня будет выплачен купон, величина которого равна: ЮОдолл.  0,04 = 4долл.
После выплаты купона до истечения контракта остается еще:
210-162 - 48^w.
Форвардная ставка для периода в 48 дней через 162 дня равна:
1 + 0,05(210/360) _ Л 360
1 + 0,0485(162/360) J 48
За 48 дней на 4 долл, по форвардной ставке можно получить сумму:
4 1 + 0,0539
48
360
= 4,029долл.
Полная фьючерсная цена облигации с купоном 8% равна:
138,49-4,029 = 134,461да?л.
За 48 дней, остающихся до истечения контракта с момента выплаты следующего купона, по облигации будет начислена сумма купонного процента:
48 100долл.0,04------ 1,043долл.
184
Чистая фьючерсная цена 8%-й облигации равна:
134,461-1,043= 133,418долл.
Поскольку коэффициент конверсии для 8%-й облигации составляет 1,23, то фьючерсная цена облигации с доходностью до погашения 6% равна:
133,418:1,23 = 108,47долл.
В общем виде формулу определения фьючерсной цены можно записать как:
Р
F = —
, Т-'Л .Vе
ф база* )	2 V база J ,
--------------------, Э.В
т
\база
2
где Р - полная цена “самой дешевой облигации” на день заключения контракта;
Т - период действия контракта;
ti - количество дней с момента расчета фьючерсной цены до момента выплаты купона в рамках действия контракта;
rf - ставка спот для периода Т.
гф - форвардная ставка для периода Т - г(.
Вместо формулы (5.8) для расчета фьючерсной цены можно воспользоваться аналогом формулы (2.16):
F =
Т } ус[т->Г база* )	2 база j
(5-9)
где D - приведенная к моменту расчета фьючерсной цены стоимость купона, который выплачивается в ходе действия контракта; в качестве ставки дисконтирования используется ставка спот для периода .
В нашем примере величина D равна:
Лдолл.
D =---------т—:------г = 3,9146 дай.
1 + 0,0485(162/360)
Фьючерсная цена облигации согласно формуле (5.9) составляет:
(134,565-3,914б/ 1 + 0,05--Х100°-—^21° 162 *
_____________\	360 J 2
1,23
184
= 108,47да7л
Если фактическая цена контракта отличается от рассчитанного уровня, то можно совершить арбитражную операцию. Рассмотрим технику арбитражной операции на основе условий примера 4 для случаев недооценки и переоценки фьючерсного контракта.
I. Пусть фактическая фьючерсная цена равна 108 долл. Тогда инвестор покупает контракт, занимает облигацию и продает. Поскольку на облигацию выплачивается купон, то арбитражер должен будет выплатить его владельцу бумаги. Поэтому сумму 134,565, полученную от продажи бумаги, он делит на две части: 3,9146 долл, (это дисконтированная стоимость будущего купона) и:
134,565 - 3,9146 = 130,6504долл.
Первую сумму он размещает под 4,85% на 162 дня, получает в конце этого периода 4 долл, и за счет них выплачивает владельцу облигации купон. Вторую сумму размещает под 5% до момента истечения контракта. Через 210 дней получает сумму:
(	210
130,6504 1 + 0,05 —
360)
= 134,46 Id олл.
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а)	Котировочная фьючерсная цена равна 108 долл. Тогда в соответствии с формулой (5.1) арбитражер уплачивает по контракту цену:
108дши.  1,23 +1,0433олл. = 133,8833олл.,
получает облигацию и возвращает ее кредитору. Его прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна разности между суммой по депозиту и уплаченной за облигацию по контракту:
134,461 -133,883 - 0,578долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,578долл. • 1000 = 5783аял.
б)	Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
108,5долл.  1,23 + 1,043Эолл. = 134,4983олл
получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в сумме:
108,5-108 = 0,53олл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
134,461 -134,498 + 0,5 - 0,463долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,463долл. ’ 1000 = 463долл.
в)	Котировочная фьючерсная цена равна 107,5 долл. Арбитражер уплачивает по контракту цену:
107,5долл.-1,23 + 1,043долл. - 133,268долл,, получает облигацию и возвращает ее кредитору.
Он покупал контракт по цене 108 долл. Котировочная составила 107,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в сумме:
107,5-108 =-0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
134,461 -133,268 - 0,5 = 0,693долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,69 Здолл.  1 000 = 693да7,7.
II. Пусть фактическая фьючерсная цена равна 109 долл. Тогда инвестор продает контракт, занимает сумму 134,565 долл, и покупает облигацию. Поскольку на облигацию выплачивается купон, то арбитражер занимает данную сумму двумя частями: 3,9146 долл, (дисконтированная стоимость будущего купона) на 162 дня и 130,6504 долл, на 210 дней. Через 162 дня получает платеж по купону и возвращает первую часть кредита. По второму кредиту он должен вернуть на момент окончания контракта сумму:
130,6504| 1 + 0,05 — I = 134,461долл.
I 360 )
Рассмотрим три варианта конъюнктуры на рынке к моменту истечения контракта.
а)	Котировочная фьючерсная цена равна 109 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, в соответствии с формулой (5.1) получает сумму:
109<Ълл. -1,23 + 1,04 Здолл. = 135,11 Здолл.
и возвращает кредит. Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,113 -134,461 - 0,652долл.
Общая прибыль по контракту составляет:
0,652долл. -1000 = 652долл.
б)	Котировочная фьючерсная цена равна 109,5 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает сумму:
109б)олл.  1,23 + 1,043долл. = 135,728долл.
и отдает кредит.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 109,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена отрицательная маржа в размере:
109 -109,5- -0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
135,728 -134,461 - 0,5 = 6,767долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
OJ 67 долл.  1000 = 767долл.
в)	Котировочная фьючерсная цена равна 108,5 долл. Арбитражер поставляет по контракту облигацию, получает сумму:
108,5е)шл.  1,23 + 1,043долл. = 134,498Эолл.
и отдает кредит.
Он продавал контракт по цене 109 долл. Котировочная цена составила 108,5 долл. Поэтому за период действия контракта была получена положительная маржа в размере:
109 -108,5 = 0,5долл.
Прибыль в расчете на 100 долл, номинала облигации равна:
134,498 -134,461 + 0,5 - 0,537долл.
Общая сумма прибыли по контракту составляет:
0,537долл.-1000 = 537долл.
Планируя арбитражную операцию, как и в примере 1 следует не забывать, что в случае недооценки стоимости фьючерсного контракта можно получить убыток при дальнейшем росте котировочной цены (падении ставок). В то же время при ее падении (росте ставок) прибыль будет возрастать.
В случае переоцененности фьючерсного контракта можно получить убыток при дальнейшем падении котировочной цены (росте ставок). В то же время при ее росте (падении ставок) прибыль будет возрастать.6
Для фьючерсного контракта на облигацию существует понятие базиса. Для каждой облигации, которая может быть поставлена по контракту, существует коэффициент конверсии. Он связывает спотовую цену (р) данной облигации с соответствующей ей фьючерсной ценой (pj по формуле:
6 Противоположная тенденция будет наблюдаться, если коэффициент конверсии облигации меньше единицы
Базис можно определить как:
базис - Р - Fp.
Спотовую цену \ соответствующую данной теоретической фьючерсной цене (f) можно рассчитать по формуле:
R - FK. г
Поэтому базис также можно определить как:
базис = Pr- F.
5.2.3.	Расчет коэффициента конверсии казначейской облигации
При определении коэффициента конверсии казначейской облигации остающийся период до погашения облигации округляется в меньшую сторону до целых трех месяцев. Например, до погашения бумаги 15 лет и два месяца. В этом случае для расчетных целей время до погашения принимается равным 15 годам. Если до погашения 15 лет и 4 месяца, время погашения считается равным 15 годам и 3 месяцам. По облигации доход по купону выплачивается два раза в год. Однако, если после округления время до погашения облигации не разбивается на целые 6-месячные периоды, а остается еще три месяца, то считается, что первый купон такой облигации выплачивается через три месяца. Приведем расчет коэффициента конверсии на примерах.
Пример 1.
Номинал облигации 100 тыс. долл,, купон 10%, выплачивается два раза в год, бумага погашается через 15 лет и 2 месяца. После округления период до погашения облигации принимается равным 15 годам.
Чтобы облигация приносила инвестору доходность равную 6% она должна стоить:
!«“ J, „0000 -	. > 39200.90,™.
0,06	0,06 ) (1 + 0,03)
Делим данную цену на номинал облигации и получаем коэффициент конверсии 1,392.
Пример 2.
Номинал облигации 100 тыс. долл., купон 10%, выплачивается два раза в год, бумага погашается через 15 лет и 4 месяца. После
округления период до погашения облигации принимается равным 15 годам и трем месяцам. Вначале определяют цену облигации в конце трехмесячного периода, т.е. как если бы до погашения бумаги оставалось 15 лет. Как и в примере 1 данная цена равна 139200,9 долл. После этого полученную сумму с шестимесячным купоном, выплаченным в этот момент, дисконтируют под ставку процента, которая соответствует трехмесячному периоду (ставка равна 7^03 -1 = 0,014889):
(139200,9 + 5000) / 1,014889 = 142085,4долл.
Изданной цифры вычитаем сумму купонного процента за три месяца
( юооо-3 Y ---------= 2500оао .
12
142085,4 - 2500 = 139585,4г)олл.
Результат делим на номинал и получаем коэффициент конверсии 1,395854.
5.3.	ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ОБЛИГАЦИЮ
Страхование облигаций фьючерсом на облигацию осуществляют с использованием показателя дюрации. Изменение цены хеджируемой облигации при небольшом изменении ее доходности до погашения определяется по формуле:
ДР = -От/7.р-Дгг ,	(5.10)
где Dmp - модифицированная дюрация хеджируемой облигации;
Р - цена спот облигации;
гр - доходность до погашения облигации.
Изменение цены фьючерсного контракта при небольшом изменении доходности до погашения самой дешевой облигации определяется по формуле:
\F = -DmFF\rF ,	(5.11)
где DmF - модифицированная дюрация фьючерсного контракта;
F - фьючерсная цена;
rF - доходность до погашения самой дешевой облигации.
Как известно, коэффициент хеджирования равен:
Отсюда:
Д/\
АЛ1 Dmr-F^rF
(5-12)
Формулу (5.12) можно упростить, если допустить, что кривые доходности “самой дешевой” и хеджируемой облигаций сдвигаются параллельно на одну величину при изменении конъюнктуры рынка. Тогда она примет вид:
(5-13)
Формулы (5.12) или (5.13) следует использовать в случае, когда хеджируемая облигация не является “самой дешевой”. Если инвестор страхует позицию по “самой дешевой” облигации, то коэффициент хеджирования равен просто коэффициенту конверсии. Данный вывод можно получить дифференцированием формулы (5.6) или (5.8) по Р:
dF _ 1 4 Г^/база *)
dP К
или, опуская величину г
поскольку она является малой,
dF
(5-14)
Величина — в формуле (5.14) представляет собой не что иное как
dF
коэффициент хеджирования.
С учетом коэффициента хеджирования количество фьючерсных контрактов, которые необходимо открыть при страховании спотовой позиции по облигации, определяется по формуле:
количество
,	хеджируемая сумма	,
фьючерсных -----------------—--------------------— н. (0.1 OJ
номинал фьючерсного иена самой дешевой контрактов контракта	облигации
В формуле (5.15) цена самой дешевой облигации указывается в десятичных значениях от номинала в 100 процентов. Так, если цена облигации равна 95 долл., то в формулу следует подставить значение 0,95.
Пример.
Инвестор планирует получить через три месяца 1 млн. долл, и купить облигации, которые не являются “самыми дешевыми” для поставки по фьючерсному контракту на 6-процентную 15-летнюю облигацию номиналом 100 тыс. долл. Цена спот данных облигаций равна 95,125 долл., цена спот “самой дешевой” облигации - 95 долл., фьючерсная цена - 94,25. Модифицированная дюрация облигации составляет 11 лет, фьючерсного контракта - 9,8 года. Предполагается, что кривые доходности сдвигаются параллельно при изменении конъюнктуры. Определить количество фьючерсных контрактов, которые необходимо открыть.
Решение.
Коэффициент хеджирования равен:
Л=-'95,125 =1,1329.
9,8-94,25
Следует купить:
ЮОООООаолл. л
-------------—  1,1329 = 11,9 или 12 контрактов.
100000да7Л.0,95
При расчете коэффициента хеджирования необходимо определить, какая облигация будет “самой дешевой”. Если конъюнктура изменится, то скорее всего изменится и выбор “самой дешевой” облигации. Это потребует корректировки хеджа.
5.4.	ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ОБЛИГАЦИЙ
Показатель дюрации используют для хеджирования портфеля облигаций. Коэффициент хеджирования можно рассчитать по формулам (5.12) или (5.13). В этом случае D - это дюрация портфеля облигаций. Она определяется как средневзвешенная дюрация облигаций, входящих в портфель. Р - это средневзвешенная цена облигаций в портфеле. Количество фьючерсных контрактов рассчитывается по формуле (5.15).
5.5.	ДЮРАЦИЯ ФЬЮЧЕРСНОГО КОНТРАКТА
В формулах (5.12) и (5.13) присутствует показатель дюрации фьючерсного контракта. О дюрации фьючерсного контракта можно
говорить на основе его связи с “самой дешевой” облигацией. Как известно, модифицированная дюрация облигации определяется по формуле:
1
D"‘ Р dr
(5.16)
где Р - цена облигации;
г - доходность до погашения облигации.
По аналогии с формулой (5.16) можно определить дюрацию фьючерсного контракта на основе “самой дешевой” облигации как:
В,*
Найдем на основе формулы (5.6) величину —— , которая представав
ляет собой производную фьючерсной цены по доходности до погашения (у>) “самой дешевой” облигации:
dF 1 Г dP (, Т У D dr Т
---= — ----- 1-Ы-----7 + ' ~~-----7
drF К drF оаза J drF база J
ИЛИ
dF	pF 1 dP (, Т \	dr Т
— = —------------1 +	*---------г •
drF	К Р drF	база* J drF база*
(5.18)
1 dP
В формуле (5.18) величина----- = -Dm , поэтому:
Р drF
Т \ dr Т
------ ч-----------—
база ) drF база
^L.L _Dj drF К
где Dm - дюрация “самой дешевой” облигации.
dF
Подставим значение — в формулу (5.17):
drF
m
(5.19)
ИЛИ
DmF=~

т
dr T
база*J drF база
В-
К F
1 Р
база* )
dr____Т_
drr база*
(5.20)
Формула (5.20) рассчитана на основе формулы (5.6), т.е. для случая, когда по облигации купоны не выплачиваются в течение периода действия фьючерсного контракта. Если купоны выплачивают-dF ся, то для расчета дюрации следует определить величину — на drk основе формулы (5.8) или (5.9).
При использовании показателя дюрации для хеджирования спотовой позиции по облигации в формулах (5.12) и (5.13) можно вместо дюрации фьючерсного контракта взять дюрацию самой дешевой облигации. Погрешность в расчетах не будет существенной, поскольку сама методика определения коэффициента хеджирования с помощью дюрации не является точной. Как известно, дюрация является линейным приближением изменения цены облигации при изменении ее доходности до погашения. В случае значительного изменения процентной ставки ее использование приводит к погрешности, и необходимо корректировать хедж. Для упрощения расчетов часто полагают параллельность смещения кривых доходностей процентных ставок, т.е. используют формулу (5.13). На практике отношение —- скорее всего будет отличным от единицы. Как Дг,
правило, в формуле (5.20) сложно точно предсказать, как изменится
dr
отношение — при изменении процентных ставок, поскольку г - это dr;
краткосрочная процентная ставка, a rF - долгосрочная. Между ними не наблюдается большой корреляции. Кроме того, они могут изменяться даже в противоположных направлениях.
5.6.	УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ФЬЮЧЕРСНОГО КОНТРАКТА
Изменять состав портфеля облигаций можно с помощью фьючерса на облигацию. Допустим, модифицированная дюрация портфеля инвестора равна Dml. Он хотел бы изменить состав портфеля таким образом, чтобы его дюрация составила Dm2. В соответствии с формулой (3.12) запишем:
D,P&r = D . P &r + h D F F-&rF. (5.21)
Отсюда:
P(O2-Oj Ar
LCF '
(5.22)
Количество контрактов, которые необходимо открыть, определяется по формуле (5.15).
Облигации могут составлять только часть портфеля. Допустим, уд. вес облигаций в портфеле с дюрацией Dml равен . Инвестор хотел бы получить портфель, в котором уд. вес облигаций составлял бы в2, а дюрация - Dm2. В соответствии с формулой (3.12) запишем:
в2 D P &r = 0-D-P'&r + h Dm>	(5.23)
z m2	I гл I	ffir	r	\	/
Отсюда:
, p(e,D ,-PD ,) Ar
h = V m2------|_жи----	(5 24)
D fF &rF
Количество контрактов, которые необходимо купить, определяется по формуле:
количество	 стоимость портфеля	(5 25)
контрактов стоимость фьючерсного контракта
Используя формулы (4.15) и (5.24) инвестор может одновременно изменять уд. веса акций и облигаций в портфеле с помощью фьючерсных контрактов на фондовый индекс и облигацию.
5.7.	ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА ТРЕХМЕСЯЧНЫЙ ЕВРОДОЛЛАРОВЫЙ ДЕПОЗИТ
Рассмотрим краткосрочный процентный фьючерс на примере фьючерсного контракта на евродоллар. Контракт торгуется на Чикагской Товарной Бирже (СМЕ) с 1981 г. По объему торговли в настоящее время он занимает первое место в мире среди фьючерсных контрактов. Поэтому остановимся на его характеристике более подробно.
5.7.1.	Общая характеристика контракта на трехмесячный евродолларовый депозит
Базисным активом контракта является трехмесячный (90 дней) пиродолларовый депозит, т.е. депозит в долл. США, открытый в бан
ке за пределами Соединенных Штатов7. Номинал контракта равен 1 млн. долл. Контракт котируется на базе индексной цены, которая определяется как:
Fk -100(1 -rj,	(5.26)
где гф - ожидаемое значение ставки по депозиту, выраженное в процентах, на дату истечения контракта, т.е. форвардная ставка для трехмесячного депозита, который начинается с момента истечения срока действия контракта;
Fk - котировка фьючерсного контракта.
Например, доходность по депозиту ожидается на уровне 10% годовых. Тогда котировка фьючерсного контракта равна:
100-10 = 90%.
В формуле (5.26) значение гф дается в расчете на год. В то же время евродолларовый депозит является трехмесячным. Поэтому цена фьючерсного контракта определяется по формуле:
F = 10000[100 - 0,25(100 - Aj]	(5.27)
Так, для фьючерсной котировки в 90% цена контракта составит:
10000(100 - 0,25(100 - 90)] = 975000долл.
Минимальное изменение цены контракта (шаг цены) составляет один базисный пункт, т.е. 0,01%. Цена одного базисного пункта для фьючерсного контракта составляет 25 долл., т.е.:8
90
1000000 долл. - 0,0001 —- = 25 долл.
360
По завершении периода обращения контракта определяется фактическая трехмесячная ставка LIBOR9 по евродолларовому
7 Изначально депозиты в долларах размещались в европейских банках, что и вызвало к жизни определение евродоллар. В современных условиях они могут размещаться и в других странах за пределами США, однако название евродоллар сохраняется.
8 Для ближайших месяцев (со 2 по 10) минимальное изменение цены может составлять 0,005%, т.е. 12,5 долл., а для последнего торгового месяца - 0,0025%, т.е. 6,25 долл.
9 LIBOR (London Inierbank Offered Rate) - ставка, по которой банки предоставляют средства на межбанковском лондонском рынке ведущим банкам, т.е. это ставка предложения денег.
LIBID (London Interbank Bid Rate) - ставка, по которой ведущие банки готовы занять средства на межбанковском лондонском рынке, т.е. это ставка спроса на заемные средства.
депозиту, который начинает действовать с момента его истечения. На основе формулы:
100 - г, где г - ставка ло трехмесячному депозиту, - рассчитывается котировочная цена. Например, на момент истечения контракта фактическая ставка по трехмесячному депозиту определена как 9%. Это означает, что котировочная фьючерсная цена равна:
100-9-91%.
Ставка L1BOR рассчитывается Британской Банковской Ассоциацией (British Bankers Association) на основе данных по ставкам, которые она получает от банков, включенных в соответствующий список.10
Контракт является расчетным. Контракты предлагаются с истечением вплоть до десяти лет вперед. Например, контракт с истечением 16 июня 2014 г. торгуется на бирже с 14 июня 2004 г. Торгуются контракты в так называемом мартовском цикле, т.е. с истечением в марте, июне, сентябре и декабре. В мартовском цикле торгуется 40 контрактов с истечением в указанные месяцы, а также контракты для четырех ближайших месяцев. Последним торговым днем считается второй рабочий лондонский банковский день перед третьей средой месяца поставки. Код контракта на СМЕ представлен буквами ED. Например, мартовский контракт с истечением 17 марта 2008 г. имеет код EDH8, где ED относится к контракту, Н обозначает месяц март, цифра 8 - 2008 год. В системе GLOBEX код контракта GE.
Контракт на евродоллроый депозит торгуется также на Сингапурской международной валютной биржей (Singapore International Monetary Exchange - (SIMEX)).11
С марта 2004 г. контракт на трехмесячный евродолларовый депозит также торгуется на бирже Euronext.life в системе электронной торговли LIFFE CONNECT. Контракт торгуется также в мартовском цикле, т.е. с поставкой в марте, июне, сентябре и декабре. В мартов
10 Ставка рассчитывается ежедневно на 11.00 лондонского времени.
11 В 1984 г. Чикагская товарная биржа вместе с Сингапурской международной валютной биржей основали совместную клиринговую систему MOS (Mutual Offset System). MOS позволяет открывать контракты на евродолларовый депозит на одной бирже, а закрывать на другой. В результате торговля контрактом может осуществляться круглые сутки. Аналогично через систему MOS на СМЕ и S1MEX торгуется контракт на грехмесячный депозит в евройенах.
ском цикле торгуется 24 контракта с истечением в указанные месяцы, а также контракты для четырех ближайших месяцев. Минимальное изменение цены контракта (шаг цены) составляет 0,005%, что соответствует 12,5 долларам. Последний торговый день определен также как и на СМЕ.
Контракт можно использовать для извлечения спекулятивной прибыли в связи с прогнозами изменения краткосрочной процентной ставки. Если ожидается падение процентной ставки, т.е. рост фьючерсной цены, то следует купить контракт. Если ожидается рост процентной ставки, т.е. падение фьючерсной цены, следует продать фьючерс.
Пример.
Котировка фьючерсного контракта на трехмесячный евродолларовый депозит равна 90%. Спекулянт ожидает падения процентных ставок и покупает фьючерс. Через три дня форвардная ставка по евродолларовому депозиту упала, и фьючерсная котировка составила 92%. Определить финансовый результат для спекулянта.
Решение.
Котировка фьючерсной цены изменилась на 2%. Разделим эту цифру на шаг цены:
2 ----= 200 шагов. 0,01
Каждому шагу цены соответствует изменение цены контракта на 25 долл. Поэтому выигрыш спекулянта равен:
25 долл.- 200 = 500()долл.
Выигрыш по контракту можно определить и другим способом.
Цена контракта в момент его открытия в соответствии с формулой (5.27) составляла:
10000[100 - 0,25(100 - 90)] = 975000долл.
В последующем она выросла до:
10000[100 - 0,25(100 - 92)] = 980000долл.
Спекулянт выиграл:
980000 - 975000 = 5000долл.
Для контракта существует понятие базиса. Он определяется как разность между фьючерсной ценой, которая соответствует текущей трехме
сячной спотовой ставке L1BOR и фактической фьючерсной ценой, т.е. котировкой фьючерсного контракта.
Пример.
Котировка фьючерсного контракта на трехмесячный евродолларовый депозит равна 90%. Текущая ставка LIBOR составляет 9%. Ей соответствует фьючерсная цена:
100-9 = 91.
Базис равен:
91-90= 1%.
5.7.2.	Определение фьючерсной цены контракта и арбитраж
Фьючерсная котировка представляет собой оценку форвардной ставки для трехмесячного периода, который начнется по завершении периода обращения фьючерсного контракта. Поэтому фьючерсную цену можно определить на основе расчета форвардной ставки.12
Пример.
В настоящий момент трехмесячная ставка LIBOR равна 1,8%, шестимесячная ставка -1,99%. Определить теоретическую фьючерсную цену фьючерса на евродоллар, который истекает через три месяца.
Решение.
Теоретическая форвардная ставка равна:
^1+0,0199(180/360) УзбО 0021?
ч 1 + 0,018(90/360)	) 90
Теоретическая фьючерсная цена составляет:
100 - 2,17 = 97,83.
На практике инвестору доступны фактические цены фьючерсного контракта. Сравнивая их с теоретической, можно сделать вывод о недооценке или переоценке контракта рынком. Допустим, фактическая фьючерсная цена равна 97,80. Это говорит о том, что фьючерс
|; Определение и технику расчета форвардной ставки см. в книгах А.Н.Буренина “Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., 2002, глава 6 и "Управление портфелем ценных бумаг”, М., 2005, параграф 5.1.1.6.
ный контракт недооценен, так как его цена предполагает более высокую ставку доходности:
100-97,80 = 2,2%,
чем теоретическая фьючерсная цена.
Если фактическая фьючерсная цена выше теоретической, то фьючерс переоценен, так как его ставка доходности ниже теоретической форвардной ставки, определяющей теоретическую фьючерсную цену
Знание теоретической фьючерсной цены позволяет принять решение о покупке или продаже контракта, а также относительно возможностей совершения арбитражной операции. Однако в последнем случае необходимо учесть следующий момент. На практике ставки спот даются как котировки покупателя и продавца, т.е. L1BID и LIBOR. В результате, на их основе следует рассчитать две форвардные ставки, которые позволят определить возможные границы фьючерсной цены контракта в целях совершения арбитражной операции. Если котировка фьючерса выходит за эти границы, то арбитраж возможен. Рассмотрим пример.
Пример 1.
Конъюнктура процентных ставок представлена следующей таб-
лицей:
	LIBID (%)	LIBOR (%)
3 месяца	1,8	1,85
6 месяцев	1,99	2,04
9 месяцев	2,15	2,19
Рассчитать пограничные форвардные ставки и котировки фьючерсного контракта.
Решение.
Трехмесячный фьючерс служит для того, чтобы обеспечить инвестору в будущем по депозиту процентную ставку, соответствующую цене контракта. В то же время данную ставку можно получить за счет использования спотовых ставок LIBOR и LIBID. Для этого сегодня необходимо занять деньги на три месяца под трехмесячную ставку LIBOR и разместить их на шестимесячном депозите под ставку LTBID. Форвардная ставка, которую в этом случае обеспечит себе инвестор по депозиту, равна13:
13 Более подробно о технике совершения подобной операции см в книге А.Н.Буренина “Управление портфелем ценных бумаг", М , 2005, параграф 5116
г1 +0,0199(180/360) ч 1 + 0,0185(90/360)
-1 I—= 0,021202 или 2,12%.
) 90
Если инвестор в будущем планирует занять деньги, то он может обеспечить себе в будущем ставку равную форвардной за счет использования спотовых ставок следующим образом. Он займет сейчас средства на шесть месяцев под ставку LIBOR и разместит их на три месяца под ставку L1BID, гарантируя себе в будущем заимствование средств под ставку14:
Л 1 + 0,0204(180/360) /360 ч 1+0,018(90/360) ) 90
= 0,022698 или 2,27%.
Таким образом, в условиях представленной конъюнктуры ставок LIBOR и L1B1D, котировка фьючерсного контракта должна находится в границах 97,88-97,73, в противном случае можно совершить арбитражную операцию. В данном примере фьючерсной цене 97,73 соответствует ставка 2,27%. Поэтому, если фактическая фьючерсная цена окажется ниже значения 97,73, то ей будет соответствовать более высокая ставка, которую в будущем сможет обеспечить себе арбитражер по депозиту. Фьючерсной цене 97,88 соответствует ставка 2,12%. Если фактическая фьючерсная цена будет выше, этого значения, то арбитражер сможет обеспечить себе в будущем более низкую ставку по кредиту. Рассмотрим технику совершения операций на примерах.
Пример 2. (Сохраняются условия примера 1)
Пусть котировка трехмесячного фьючерса составляет 97,70. Она ниже нижней теоретической фьючерсной цены, т.е. фьючерс недооценен. Трехмесячная форвардная ставка, соответствующая котировке контракта, равна:
100-97,70 = 2,3%.
Она выше форвардной ставки, определяемой ставками спот, поэтому можно совершить арбитражную операцию. Суть ее состоит в следующем. Согласно рассчитанной форвардной ставке, инвестор может обеспечить себе заимствование средств через три месяца на три месяца под 2,27%. В то же время текущая котировка фьючерсного контракта позволяет обеспечить размещение средств через три месяца на три месяца под более высокую ставку 2,3%. В связи с этим
14 См. сноску 13.
арбитражер может занять деньги под 2,27% и разместить их под 2,3%. Разница в ставках даст арбитражную прибыль. Действия арбитражера сводятся к следующему. Он занимает 1 млн. долл, на шесть месяцев под ставку LIBOR 2,04%, размещает их на трехмесячный депозит под ставку LIBID 1,8% и покупает15 трехмесячный фьючерс по цене 97,70.
Через три месяца по депозиту получает сумму:
90
1000000(1 + 0,018—) - 1004500руб.
Рассмотрим два сценария развития ситуации на рынке через три месяца, т.е. случаи, когда процентные ставки выросли и когда упали.
а)	Пусть через три месяца трехмесячная ставка L1BOR в день истечения контракта составила 2,34%. Следовательно котировка фьючерса равна:
100-2,34 = 97,66.
Котировка по сравнению с моментом покупки упала на:
97,70-97,66 = 0,04.
ИЛИ
0,04 л
------- 4 шага.
0,01 -
Проигрыш по контракту составляет:
25<)о.7л.'4- ЮОдолл.
Проигрыш покрывается за счет суммы, полученной по трехмесячно-
му депозиту. Оставшаяся сумма:
1004500 -100 = 1004400да7л.
размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,34%. Еще через
три месяца арбитражер получает по депозиту сумму:
(	90
1004400 1 + 0,0234---- = 1010276долл.
I	360
По шестимесячному кредиту он возвращает сумму:
/	180^
1000000 1+0,0204----
360)
- 1010200да7л,
15 Арбитражер покупает фьючерс, так как через три месяца он будет размещать день ги на депозите и поэтому страхуется от падения процентных ставок
Арбитражная прибыль равна:
1010276 -1010200 = Убдолл.
б)	Пусть трехмесячная ставка LIBOR в день истечения контракта через три месяца составила 2,26%. Следовательно котировка фьючерса равна:
100-2,26 = 97,74.
По сравнению с моментом покупки котировка выросла на:
97,74-97,70 = 0,04.
или
°’04 л ----— 4 шага.
0,01
Выигрыш по контракту составляет:
25долл.’^ = ЮОдолл.
Данная сумма вместе с суммой, полученной по трехмесячному депозиту, размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,26%. Еще через три месяца арбитражер получает по депозиту:
/	/	90
(1004500 +1001 1 + 0,0226— \	360)
По шестимесячному кредиту он возвращает:
lOOOOOof 1 + 0,0204—
360)
Арбитражная прибыль равна:
1010276-1010200 = 76долл.
= 10102760олл.
= 1010200Эолл.
В приведенном примере после истечения фьючерсного контракта арбитражер размещал средства под ставку LIBOR. Однако, поскольку ио ставка предложения денег, то более реальной будет ситуация, когда ему удастся разместить средства только под ставку LIBID. Из таблицы < гаиок следует, что спрэд между трехмесячными и шестимесячными мамами LIBID и LIBOR составляет 0,05%. Поэтому арбитражеру уднмся разместить средства в первой ситуации под:
2,34-0,05 = 2,29%.
Й результате по трехмесячному депозиту он получит сумму:
1004400 1 + 0,0229--
360)
1010150долл.
По шестимесячному кредиту должен отдать:
1000000 1 + 0,0204
180Л
360;
= 1010200 долл.
Поэтому операция принесет убыток в 50 долл. Однако, если в целях совершения арбитражной операции определить теоретическую границу фьючерсной цены с учетом корректировки на спрэд ставок LIBOR и LIBID как:
97,73-0,05 = 97,68,
то это будет котировка фьючерсного контракта при которой арбитражер получит нулевую прибыль. Покажем это на цифрах.
Пусть инвестор купил фьючерс по цене 97,68 и взял кредит под 2,04%. Трехмесячная ставка LIBOR в день истечения контракта через три месяца составила 2,34%, и котировка фьючерса равна:
100-2,34 = 97,66.
Котировка по сравнению с моментом покупки упала на:
97,68-97,66 = 0,02
или
0,02
0,01
шага.
Проигрыш по контракту составил:
25дшл/2 = 50долл.
Проигрыш был покрыт за счет суммы, полученной по трехмесячном, депозиту. Оставшаяся сумма:
1004500-50 = 1004450Эолл.
была размещена на трехмесячном депозите под ставку LIBID:
2,34-0,05 = 2,29%,
Через три месяца арбитражер получил по депозиту:
(	90
1004450 1 + 0,0229--- = 1010200Эолл.
I	360)
По шестимесячному кредиту он должен вернуть:
1000000 1 + 0,0204
180 >
360)
=10102003г?™.
Таким образом, арбитражная прибыль равна нулю. Арбитражная прибыль будет положительна в том случае, если фьючерсная цена контракта в момент его заключения была ниже границы в 97,68.
Аналогично во второй ситуации, когда ставка LIBOR была определена на уровне 2,26%, арбитражер сможет разместить средства под ставку LIBID:
2,26- 0,05 - 2,21%
Тогда сумма по депозиту составит:
,	/	90 Л
(1004500 + 1001 1 + 0,0221- = 10101503оо.
v	\	360)
а вернуть по кредиту следует 1010200 долл. Проигрыш по операции равен 50 долл. Однако, если котировка фьючерса была равна 97,68, то по сравнению с моментом покупки она выросла на : 97,74-97,68 = 0,06
или
0,06 ,
------- о шагов, 0,01
Выигрыш по контракту равен:
25доллгб = 1503а™.
(1004500+150
Длнная сумма вместе с суммой, полученной по трехмесячному депо-ину, размещается на трехмесячный депозит под ставку 2,21%. Еще чг^рез три месяца арбитражер получает по депозиту сумму:
90 А
1 + 0,0221— = 10102013а™.
360 J
Арбитражная прибыль практически равна нулю. Однако, если котировка контракта будет ниже уровня в 97,68, то арбитражер получит прибыль.
Таким образом для целей определения теоретической границы фьючерсной цены, соответствующей форвардной ставке по кредиту, необходимо рассчитать форвардную ставку по кредиту на основе спото-ёы* < швок LIBOR и LIBID и прибавить к ней предполагаемый спрэд Мв*ду ставками. После вычитания из 100 данной ставки получим грани
цу фьючерсной цены. В нашем примере форвардная ставка по кредиту составила 2,27%. Прибавим к ней спрэд в 0,05%:
2,27 + 0,05 - 2,32.
Граница фьючерсной цены должна составлять:
100-2,32 = 97,68.
Пример 3. (Сохраняются условия примера 1).
Пусть трехмесячный фьючерс стоит 97,93. Это выше верхней границы фьючерсной цены, поэтому можно совершить арбитражную операцию. Ее суть сводится к следующему. Фьючерсная цена 97,93 соответствует форвардной ставке:
100-97,93 = 2,07%.
Данная ставка ниже форвардной ставки по депозиту, которую можно обеспечить на основе ставок спот. Поэтому с помощью фьючерсного контракта арбитражер может обеспечить себе заимствование денег в будущем под более низку ставку 2,07%. В то же время он может разместить их под ставку 2,12%. Разница в ставках образует арбитражную прибыль. Действия арбитражера сводятся к следующему. Он занимает 1 млн. долл, на три месяца под ставку LIBOR 1,85%, размещает их на шестимесячном депозите под ставку L1B1D 1,99% и продает16 трехмесячный фьючерс по цене 97,93.
Через три месяца арбитражеру необходимо отдать кредит в размере:
90 1000000(1 + 0,0185—) - 1004625руб.
а) Пусть через три месяца ставка LIBOR составила 2,11%. Тогда котировка фьючерсного контракта равна:
100-2,11-97,89.
Фьючерсная цена снизилась на:
97,93-97,89 = 0,04
или
0,04
----~ 4 шага, 0,01
16 Арбитражер продает фьючерс, так как через три месяца он будет брать кредит и соответственно должен застраховаться от возможного роста процентной ставки.
Выигрыш по контракту составляет:
25долл.*4 = ЮОдолл.
За счет выигрыша по контракту он уплачивает 100 долл, кредита, который он брал на три месяца в момент заключения контракта, а оставшуюся часть суммы кредита в размере:
1004625 -100 = 10045250олл.
покрывает, заняв деньги на три месяца под ставку LIBOR 2,11%. Через три месяца по данному кредиту он должен вернуть сумму:
(	90 А
1004525 1 + 0,0211--- = 1009824Эолл.
I	360 J
По шестимесячному депозиту получает:
1 oooooof 1 + 0,0199—I = 1009950долл.
I 12 J
Арбитражная прибыль равна:
1009950 -1009824 = 126долл.
0) Пусть через три месяца ставка L1BOR составила 2,03%. Тогда когировка фьючерсного контракта равна:
100-2,03 = 97,97.
Фьючерсная цена выросла на:
97,97-97,93 = 0,04
ИЛИ
°,04 л
----= 4 шага.
0,01
П|иini рыш по контракту составляет:
25долл.-4 = ЮОдолл.
•>мрыш по контракту и трехмесячный кредит покрываются за счет того трехмесячного кредита, который арбитражер берет под ставку и размере:
1004625 +100 = 10047250олл.
। ри месяца по кредиту он должен вернуть:
1004725 1 + 0,0203
90 л
360;
= 10098240ОЛЛ.
По шестимесячному депозиту он получает:
(	6
1000000 1 + 0,0199 — = 1009950Эолл.
I	12
Арбитражная прибыль равна:
1009950-1009824 = 126долл.
Прибыль арбитражера будет нулевой, если в момент заключения фьючерсного контракта его котировка равна верхней границе рассчитанной цены. Покажем это для первого случая, когда ставка LIBOR составила 2,11%, а котировка фьючерсного контракта была равна 97,89.
Фьючерсная цена выросла на:
99,89-97,88 = 0,01
или
0,01
0,01
= 1 шаг.
Проигрыш по контракту составляет:
25долл.-1 = 25 долл.
Проигрыш по контракту и трехмесячный кредит он покрывает за счет нового трехмесячного кредита, под ставку 2,11%.
Через три месяца арбитражеру необходимо отдать кредит в размере:
/	/	90
(1004625 + 251 1 + 0,0211-- = 1009950долл.
v	\	360 J
По шестимесячному депозиту он получает сумму:
(	6
1000000 1 + 0,0199— = 1009950долл.
I	12)
Арбитражная прибыль равна нулю.
Подводя итог вышесказанному можно сформулировать следующий порядок действий для определения возможностей совершения арбил ражной операции. 1) На основе ставок LIBID и LIBOR вначале рассчи тываются форвардные ставки по депозиту и кредиту, как показано в примере 1. В примере были получены следующие ставки: 2,12% и 2,27%. 2) Определяется существующий спрэд между ставками LIB1I) и LIBOR. В этом случае арбитражер полагает, что такая величина спрэда сохранится и в дальнейшем. В примере спрэд равен 0,05%. 3) Данный
спрэд прибавляется к форвардной ставке по кредиту: 2,27 + 0,05 = 2,32% . 4) На основе полученных ставок определяются теоретические границы фьючерсной цены: 97,88 - 97,68.
Сделать вывод о возможности совершения арбитражной операции можно также на основе форвардной ставки, определяемой текущей котировкой фьючерсного контракта. Например, котировка фьючерса равна 97,65. Соответствующая ей форвардная ставка составляет:
100-97,65 = 2,35.
Поскольку она выше пограничной ставки в 2,32%, то можно совершить арбитражную операцию.
j 5.7.3. Использование контракта для увеличения доходности инвестиций
Фьючерсный контракт на евродолларовый депозит можно использовать для увеличения доходности инвестиций. Приведем возможный пример.
Пример.
Инвестиционный горизонт вкладчика 150 дней. Доходность облигации с погашением через 150 дней равна 10% годовых, облигации с погашением через 60 дней - 8% годовых. Котировка фьючерсного контракта на евродолларовый депозит, который истекает через 60 дней, составляет 88,4 %.
90-дневная форвардная ставка для периода, который начинается через 60 дней, равна:
1 + 0,1(150/360)
1 + 0,08(60/360)
----= 0,1118 или 11,18% годовых.
90
Поскольку котировка фьючерса 88,4%, то доходность евродолларового депозита равна 11,6%, что выше форвардной ставки. Поэтому инве- юру следует купить 60-дневную облигацию и фьючерсный контракт. После погашения облигации он размещает полученные средства на чн’хмесячном депозите. Купив фьючерс, инвестор обеспечил себе доходность по депозиту на 90 дней, которые начнутся после погашения 60-дневной облигации, на уровне 11,6% годовых. В результате Общая доходность за период его инвестиционного горизонта, составит:
60 Y, П11Г 90 ) 1 + 0,116--------
360 )
— = 0,1025 или 10,25%. 150
+ 0,08 360Л
Отмеченный вариант действий предпочтительнее простой покупки 150-дневной облигации. В заключение данного примера следует отметить, что реальная доходность инвестора окажется несколько меньше, поскольку, как отмечено в примерах с получением арбитражной прибыли, он, скорее всего, сможет инвестировать средства под ставку LIBID, которая ниже ставки LIBOR, соответствующей фьючерсному контракту.
5.7.4. Хеджирование фьючерсным контрактом на трехмесячный евродолларовый депозит
Фьючерс на евродоллар можно использовать для хеджирования краткосрочных процентных ставок. Если инвестор в будущем собирается занять деньги и опасается роста процентной ставки, то необходимо поодать фьючерс. В случае роста ставки он займет средства под более высокий процент, однако компенсирует его за счет выигрыша по контракту вследствие падения фьючерсной цены. Если инвестор в будущем планирует разместить деньги на депозите и ожидает падения процентной ставки, то необходимо купить фьючерс. В случае падения ставки он разместит средства под более низкий процент, однако компенсирует его за счет выигрыша по контракту вследствие роста фьючерсной цены. Рассмотрим технику хеджирования на примерах.
Пример 1.
Предприятие использует двухлетний банковский кредит для среднесрочного финансирования на сумму 1 млн. долл. По кредиту ежеквартально выплачивается плавающая процентная ставка LI-BOR+1%. Время выплаты процентов совпадает с временем истечения фьючерсных контрактов на евродолларовый депозит. До фиксирования уровня процента на очередной трехмесячный период остается месяц. Финансовый директор опасается роста ставки L1BOR и страхуется продажей одного фьючерсного контракта на трехмесячный евродолларовый депозит. Котировка контракта равна 97,90. Ей соответствует ставка LIBOR 2,1%. Данная ставка процента по кредиту устраивает менеджера.
Через месяц ставка LIBOR зафиксирована на уровне 2,3%. Следовательно, процентная ставка по кредиту предприятия для очередного платежа через три месяца составляет:
LIBOR +1 % = 2,3 +1 - 3,3%.
По кредиту предприятию следует уплатить проценты на сумму:
1000000 • (0,023 + 0,01) -у = 8250<3олл.
Если бы ставка LIBOR осталась на уровне 2,1%, платеж по кредиту составил:
1000000  (0,021 + 0,01)^ = 77500олл.
Разница в платеже составляет:
8250-7750 = 500долл.
Котировка фьючерсного контракта равна:
100-2,3 = 97,7.
По сравнению с моментом продажи она упала на:
97,9-97,7 = 0,2
или
°’2 on
----= 20 шагов.
0,01
Выигрыш по контракту составляет:
25 долл.'20 = 500долл.
Таким образом, увеличение суммы платежа по кредиту полностью компенсируется выигрышем по фьючерсному контракту.
Аналогично приведенному примеру инвестор может застраховаться о г снижения процентов по депозиту. В этом случае он будет покупать фьючерсный контракт.
В приведенном примере рассматривался случай полного хеджирования, когда риск возможных потерь полностью компенсировался противоположными результатами по фьючерсному контракту. Количество фьючерсных контрактов, которые необходимо открыть в этом случае, определяется по формуле (3.7),
Как известно, фьючерсная позиция ежедневно пересматривается по клирингу. Поэтому положительную вариационную маржу можно сразу же (^инвестировать, отрицательную маржу придется финансировать за inn дополнительных средств. Если хеджируемая сумма и период операции хеджирования небольшие, то финансовый эффект от ежедневного клиринга позиции будет небольшим, и им можно пренебречь. Если же юджируется большая сумма или на длительный период, то данный
эффект следует принять во внимание. Для его компенсации, как было отмечено в параграфе 3.3, необходимо дисконтировать количество полученных для полного хеджирования контрактов. В качестве ставки дисконтирования используется форвардная ставка для периода, на который берется заем или средства размещаются на депозит. Период дисконтирования равен периоду заимствования средств или размещения их на депозит.
Пример 2.
Предприятие использует двухлетний банковский кредит для среднесрочного финансирования на сумму 180 млн. долл. По кредиту ежеквартально выплачивается плавающая процентная ставка LIBOR+1%. Время выплаты процентов совпадает с временем истечения фьючерсных контрактов на евродолларовый депозит. До фиксирования уровня процента на очередной трехмесячный период остается месяц. Финансовый директор опасается роста ставки L1BOR и страхуется продажей фьючерсных контрактов на трехмесячный евродолларовый депозит. Одномесячная ставка LIBOR равна 1,73%, четырехмесячная - 1,91%. Определить количество контрактов, которое необходимо открыть.
Решение.
Для полного хеджирования, согласно формуле (3.7) надо открыть:
180 млн.долл.
-------------= 180 контрактов.
1 млн.долл.
Форвардная трехмесячная ставка LIBOR для периода времени, который начинается через месяц, равна:
f 1 + 0,0191(4/12) _ Л 4 = 0 ! %7 или 1	%
^1 + 0,0173(4/12) J
Количество фьючерсных контрактов, которые необходимо открыть, составляет:
180 контрактов
1 + 0,01967(90/360)
-179,12 или 179 контрактов.
С помощью фьючерса на евродоллар можно хеджировать заимствование денег или размещение их на депозите на сроки не обязательно равные трем месяцам. В этом случае для определения количества фьючерсных контрактов необходимо использовать коэффициент хеджирования. Рассмотрим технику хеджирования на примере
Пример 3.
Банк планирует выпустить через три месяца шестимесячные депозитные сертификаты на сумму 10 млн. долл. Чтобы застраховаться от возможного роста процентных ставок он хеджирует будущую эмиссию ' продажей фьючерсных контрактов. Необходимо определить количество 1 Контрактов, которые следует открыть.
Решение.
В данном примере представлено кросс-хеджирование, так как Страхуется шестимесячная процентная ставка с помощью контракта на Трехмесячную ставку. Поэтому определяем коэффициент хеджирования h. Как известно из главы 3, его можно рассчитать или по формуле (3.15), или получить на основе уравнения регрессии (3.19). Допустим, на основе месячных данных за последние три года было определено следующее уравнение регрессии:
г( D = 0,5 + 0,9г/г ,
где rCD - доходность шестимесячного депозитного сертификата;
rF - доходность фьючерсного контракта.
В уравнении первая цифра 0,5 говорит о том, что за рассматриваемый период ставка по шестимесячным депозитным сертификатам в среднем была выше ставки L1BOR на 0,5%. Вторая цифра 0,9 означает, что при изменении доходности фьючерсного контракта, т.е. форвардной ставки L1BOR, на 0,01% доходность депозитных сертификатов изменялась в среднем на 0,009%. Таким образом, необходимо открыть меньшее количество фьючерсных контрактов для хеджирования эмиссии депозитных сертификатов. Коэффициент хеджирования позволяет определить, как в среднем изменится процентная ставка по депозитным сертификатам, если изменится ставка I IBOR.
Для процентных инструментов в дополнение к коэффициенту хеджирования необходимо ввести еще один поправочный коэффициент -коэффициент денежной эквивалентности (money equivalent ratio). Он призван учесть разную степень реакции изменения стоимости одного фьючерсного контракта и эквивалентной стоимости будущего займа или депозита при изменении процентной ставки на один базисный пункт. В нашем примере заем осуществляется на шесть месяцев. Поэтому при и.1менении процентной ставки на один базисный пункт стоимость заимствования одного миллиона долларов изменится на величину:
1000000	0,0001-у = 50долл.	(5.28)
В то же время изменение стоимости фьючерсного контракта составит:
1 OOOOOOdo.w. • 0,0001 — = 25долл.,	(5.29)
12
т.е. оно будет в два раза меньше. Поэтому для хеджирования суммы в 1000000 долл, для шестимесячного периода необходимо два трехмесячных фьючерсных контракта. Если бы заимствование осуществлялось на девять месяцев, то при изменении процентной ставки на один базисный пункт стоимость заимствования одного миллиона долларов изменилась бы на величину:
9
1000000дшл.-0,0001— = 75долл.,	(5.30)
12
т.е. оно в три раза сильнее по сравнению с трехмесячным периодом. Поэтому для хеджирования суммы в один миллион долларов для девятимесячного периода необходимо использовать три трехмесячных фьючерсных контракта.
Из представленных примеров следует, что коэффициент денежной эквивалентности можно определить на основе отношения временных периодов для хеджируемого актива и фьючерсного контракта, так как все остальные переменные в выражениях (5.28) - (5.30) являются одинаковыми, поэтому:
Л,=^,	(5.31)
где h( - коэффициент денежной эквивалентности;
Th - время продолжительности хеджируемого займа или депозита;
TF - время, соответствующее периоду, для которого задается базисная ставка фьючерсного контракта;
Таким образом, в примере коэффициент денежной эквивалентности равен:
3 месяца
В результате количество фьючерсных контрактов, которые следует открыть, составляет:
10000000
1000000
0,9 2 = 18 контрактов.
На основе приведенных в примере рассуждений запишем формулу расчета количества фьючерсных контрактов в общем виде:
количество фьючерсных -контрактов
стоимость хеджируемой позиции стоимость фьючерсного контракта
Количество контрактов, которые необходимо открыть для хеджирования позиции по депозитному сертификату, можно также определить на основе следующих рассуждений. Депозитный сертификат имеет фиксированную доходность. Его цена в каждый данный момент времени представляет собой дисконтированную стоимость суммы, выплачиваемой при погашении. Если при погашении по активу выплачивается один доллар, то сейчас его цена равна:
1 + г(77360) ’
(5.33)
где Р - цена сертификата;
г - доходность до погашения сертификата;
Т - время до погашения сертификата.
Продифференцируем выражение (5.33) по г:
dP	Г/360
dr [1+r(n360)]2
или
dP =
Г/360
[| + /-(Г/360)]2
(5.34)
Выражение (5.34) показывает, как изменится цена сертификата при вменении его доходности до погашения на небольшую величину.
Цена фьючерсного контракта на евродолларовый депозит номи-иалом 1 доллар определяется как:
F = 0,01  [100 -0,25(100 -FJ]
ИЛИ
F = 0,01  [100-0,25/;],
Или
F = 1-0,0025^.	(5.35)
Продифференцируем выражение (5.35) по г:
dF
- = -0,0025 dr ф
или
dF ~ -0,0025^.	(5.36)
Поскольку в выражении (5.27) котировка фьючерсной цены дана в процентах, то в формуле (5.36) размерностью значения гф также являются проценты (в то время как в формуле (5.34) величина г представлена в десятичных значениях). Поэтому формулу (5.36) можно записать как:
JF = -0,25<7r/v ,	(5.37)
где размерность гф дана в десятичных значениях.
Коэффициент хеджирования (/?**) равен:
~	dr
~ dF~ 0,25[1+г(г/360)Р dr*	(5 38)
В формуле (5.38) отношение dr/drt> показывает зависимость между изменением доходности до погашения хеджируемого актива и форвардной процентной ставкой по евродолларовому депозиту. Коэффициент хеджирования, полученный в формуле (5.38) уже учитывает в себе коэффициент денежной эквивалентности, поэтому количество фьючерсных контрактов с его использованием непосредственно определяется по формуле (3.8), в которой роль коэффициента h выполняет найденный коэффициент А**.
Страхование будущих обязательств или заимствования средств на более длительные периоды времени можно осуществить с помощью нескольких последовательных краткосрочных контрактов. Данная техника называется стрип-хеджироеанием (strip hedge).
Пример.
Сейчас середина января. Инвестор планирует через три месяца взять шестимесячный кредит на сумму 10 млн. долл, и хеджируем будущий заем от роста процентной ставки с помощью контрактов на
__________	_ ___ Глава 5 Фьючерсные контракты на процентные ставки трехмесячный евродолларовый депозит. Он продает десять мартовских контрактов и десять июньских контрактов.
Для упрощения процесса формирования стрипа, т.е. одновременного заключения контрактов с разными сроками истечения, Чикагская товарная биржа предлагает такие инструменты как пакеты (pack) и связки (bundle). Они представляют собой ряд серийных контрактов, которые покупаются или продаются одной сделкой. В пакетах количество контрактов равно четырем. Код пакета для соответствующего года задается названием определенного цвета. Например, кодом пакета первого года, который содержит контракты в серии от первого до четвертого, является белый цвет, кодом второго пакета, в который входят контракты с пятого по восьмой месяцы, - красный цвет, пакета третьего года - зеленый цвет и т.д. Обычно на бирже торгуются девять пакетов, охватывающих период времени от второго до десятого года. Связка одновременно включает в себя большее количество серий контрактов по сравнению с пакетом. В настоящее время биржей предлагаются связки для одного, двух, трех, пяти, семи и десяти лет Связка первого года содержит четыре контракта, связка для двух лет - восемь контрактов и т.д. Первый контракт в любой связке - это первый серийный контракт.17
Приведем возможный вариант использования стрип-хеджиро-вания банком.
Пример.
В середине сентября предприятие обратилось в Банк за годичным кредитом в 5 млн. долл, с фиксированной процентной ставкой. Банк собирается предоставить кредит, занимая средства у другого банка на трехмесячный период под ставку LIBOR, и в последующем рефинансировать свой долг за счет заимствования средств под ставку LIBOR на следующие трехмесячные периоды в рамках года. Таким образом, он планирует получить дополнительную прибыль за счет разницы между более высокой долгосрочной годичной ставкой и краткосрочными трехмесячными ставками. Выдача кредита и последующее рефинансирование задолженности практически совпадает по времени с истечением фьючерсных контрактов.
Банк использует фьючерсный рынок, чтобы определить уровень процентной ставки, которую он может назначить по кредиту, а также
17 По фьючерсным контрактам на евроиену предлагаются пакеты для второго и Ничьего года и связки для одного, двух и трех лет
для хеджирования будущих трехмесячных заимствований при рефинансировании краткосрочного долга.
Трехмесячная ставка LIBOR равна 2,03%, цены декабрьского, мартовского и июньского контрактов составляют 97,62, 97,34 и 97,16. Соответственно их доходности равны 2,38%, 2,66% и 2,84%. Если банк возьмет трехмесячный кредит под ставку 2,03% и продаст трехмесячные, шестимесячные и девятимесячные контракты, он обеспечит себе расходы по заимствованию денег на уровне:
90 Г I + 0,0203---
360 Д
90 I + 0,0238----
90 Y
1 + 0,0266----
360 А
90 I
1 + 0,0284--- I - ! - 0,025
360 J
или 2,5% годовых.
Таким образом, издержки банка по обеспечению годичного кредита составят порядка 2,5% годовых. Поэтому данная цифра выступает как отправной ориентир для определения процентной ставки по кредиту предприятию. Например, банк определяет ставку по кредиту предприятию в 3,25%. В целом, операция банка по выдаче кредита предприятию будет включать следующие действия. Он занимает сумму в 5 млн. долл, на три месяца под ставку LIBOR, предоставляет их предприятию под 3,25% на год. Одновременно банк продает пять декабрьских, мартовских и июньских контрактов. Через три месяца он занимает под текущую ставку L1BOR деньги для рефинансирования трехмесячного займа и закрывает декабрьские фьючерсы. Еще через три месяца он рефинансирует долг, заняв деньги на следующие три месяца, и1 закрывает мартовские фьючерсы. Еще через три месяца занимает средства для рефинансирования долга и закрывает июньские фьючерсы. В результате банк обеспечил себе прибыль по операции на уровне 0,75%. На практике величина прибыли может колебаться в некотором диапазоне в зависимости от спрэда между ставками LIBOR, под которые банк рефинансировал задолженность, и ставками, под которые ему удалось закрывать фьючерсные контракты.
При страховании будущих заимствований или обязательств инвестор может столкнуться с проблемой ликвидности дальних контрактов. В этом случае используется техника роллинг-хеджирования (rolling hedge). Она состоит в страховании будущих периодов времени с помощью последовательного заключения краткосрочных контрактов.
Пример.
Сейчас начало января. Банк планирует через три, шесть и девять месяцев выпустить депозитные сертификаты на 10 млн. долл, в каждой эмиссии, и хеджирует будущий заем от роста процентной ставки контрактами на трехмесячный евродолларовый депозит. Допустим, июньский и сентябрьский контракты слабо ликвидны. Поэтому банк продает сейчас 30 мартовских контрактов. В начале марта выпускает ‘Сертификаты на 10 млн. долл, и закрывает мартовские контракты. Одновременно продает 20 июньских контрактов. В начале июня выпускает сертификаты еще на 10 млн. долл, и закрывает июньские контракты. Одновременно продает 10 сентябрьских контрактов. В начале сентября выпускает сертификаты еще на 10 млн. долл, и закрывает сентябрьские контракты.
5.7.5. Хеджирование соглашений о форвардной ставке и процентных свопов
Фьючерсный контракт на трехмесячный евродолларовый депозит можно использовать для получения арбитражной прибыли или хеджирования соглашений о форвардной ставке (ФРА).18 Приведем примеры.
Пример 1.
Сейчас середина февраля. Банк заключает с предприятием трехмесячное ФРА через четыре месяца номиналом 10 млн. долл. Форвардный период начинается в середине июня и совпадает с моментом истечения июньского фьючерсного контракта. Банк рассчитывает получить спекулятивную прибыль за счет роста процентной ставки, поэтому покупает ФРА.19 В ФРА фиксируется твердая трехмесячная форвардная ставка LIBOR 3,32%. Через месяц процентные ставки выросли, и банк решил зафиксировать прибыль хеджированием позиции фьючерсами на трехмесячный евродолларовый депозит. Котировка июньского фьючерса равна 96,48, что соответствует форвардной ставке 3,52%. Банк покупает 10 контрактов.20
Характеристику и расчеты выплачиваемых сумм по ФРЛ см. в книге А.Н. Буренина Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", М., “Научно-грхническое общество им. академика С.И. Вавилова”, 2002, параграф 15.9.
,ч В случае роста процентной ставки предприятие должно будет выплатить банку < («нветствующую сумму от номинала контракта.
Как было отмечено выше и проиллюстрировано в примере 2 параграфа 5.7.4, для учета вариационной маржи, начисляемой по контракту, количество контрактов, соот-
В результате, выигрыш банка должен составить порядка:
3,52-3,32 = 0,2%
от номинала контракта.
Рассмотрим возможные результаты по операции банка для разных условий конъюнктуры к моменту истечения ФРА в середине июня.
I. В последний день торгов котировка июньского фьючерса равна 96,88, т.е. трехмесячная ставка LIBOR составила 3,12%. Так как спотовая ставка L1BOR упала по сравнению со ставкой, зафиксированной в ФРА, то по ФРА банк выплачивает предприятию сумму:
10000000долл.(0,0332 -0?Q312X90/360) = 4%
1+~0?0312(90/360)
По фьючерсу банк выигрывает:
25^о। контрактов - 1 ООООдао.
0,01
Прибыль банка равна:
10000 - 4961,3 5038,7 долл.
II. В последний день торгов котировка июньского фьючерса равна 96,28, т.е. трехмесячная ставка L1BOR составила 3,72/о. По ФРА банк получает от предприятия сумму:
10000000долл.(0,0372 - 0,0332^90/360) = 9907>86доД1.
1 + 0,0372(90/360)
По фьючерсу банк проигрывает:
96,48-96,28 25б)шл.  1 Оконтрактов = 5000дсшл.
0,01
Прибыль банка равна:
9907,86 - 5000 = 4907,86долл.
ветствующее полному хеджированию, следует дисконтировать под форвардную став ку. Таким образом, в рассматриваемом примере количество контрактов должно составлять:
__22____________= 9,9.
l+0,0352(90/360)
Однако округление дает 10 контрактов.
Пример 2.
Сохраняется ситуация примера 1, однако банк теперь покупает шестимесячное ФРА через четыре месяца номиналом 10 млн, долл. Через месяц процентные ставки выросли, и банк хеджирует свою позицию фьючерсом на трехмесячный евродолларовый депозит. Поскольку хеджируемый период по ФРА больше срока действия фьючерсного контракта, то при определении количества покупаемых контрактов необходимо учесть коэффициент денежной эквивалентности (5.31), как было показано в примере 3 параграфа 5,7.4. Поэтому количество фьючерсных контрактов равно:
10000000 6
----------= 20 контрактов.
1000000 3
Фьючерс на евродолларовый депозит можно использовать для хеджирования позиции по свопу.21
Пример.
В середине марта банк заключил с компанией процентный своп номиналом 10 млн. долл, сроком на два года. В свопе банк обязался выплачивать ежеквартально плавающую ставку. Через год (в марте) по мнению банка стала складываться ситуация к возможному росту ставок, поэтому он принимает решение хеджировать позицию по свопу на оставшийся период времени с помощью фьючерсов на евродоллар. Он продает по 10 контрактов июньских, сентябрьских и декабрьских.
5.8. ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА КАЗНАЧЕЙСКИЙ ВЕКСЕЛЬ США
5.8.1.	Общая характеристика контракта на казначейский вексель США
Контракт торгуется на СМЕ. В его основе лежит казначейский вексель США, до погашения которого остается 13 недель, т.е. три месяца, номиналом 1 млн. долл. Контракт поставочный. По контракту может быть поставлен вновь эмитированный вексель, до погашения которого остается 13 недель (90 дней), или уже обращающийся на
Характеристику свопов см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов", Научно-техническое общество им. академика С.И. Ва-нипова, М.,2002, глава 15.
рынке вексель, выпущенный на более длительный период, но к моменту поставки которого до погашения также осталось 13 недель. Котировка фьючерсной цены дается на индексной базе как:
100-d ,
где d - ставка дисконта по векселю в расчете на год.
Например, ставка дисконта равна 10%, тогда котировка фьючерсной цены будет представлена как:
100-10 = 90.
На основе котировки фьючерсной цены можно определить стоимость фьючерсного контракта. Поскольку срок обращения векселя 90 дней, то в приведенном примере цена фьючерсного контракта равна:22
(	90 1
1000000 1-0,1--- = 975000дао.
I	360)
В финансовой прессе котировка фьючерсной цены дается для бумаги номинальной стоимостью 100 долл. Для удобства определения стоимости фьючерсного контракта по его котировке, между ними можно установить следующее соответствие:
PF = 10000[100 - 0,25(100 - FJ],	(5.39)
где PF - цена фьючерсного контракта; Fk - котировка фьючерсной цены.
Пример.
Котировка фьючерсной цены равна 90. Стоимость фьючерсного составляет:
= 10000[100 - 0,25(100 - 90)] = 975000долл.
Для определения фьючерсной котировки на основе стоимости' контракта из формулы (5.39) можно получить следующую формулу:
Fk = 100-4 100
PF 10000 J
22 Подробно об определении курсовой стоимости и доходности векселя см. в книге А.Н.Буренина "Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов”, М., “Научно-техническое общество им. академика С.И.Вавилова", 2002, параграф 5.3.
Пример.
Стоимость контракта составляет 975000 долл. Котировка фьючерсной цены равна:
Fk = 100-4 100
_ 975000^1
10000 J
Последним торговым днем считается рабочая среда третьей недели месяца поставки. В этот день проходит аукцион по 91-дневным казначейским векселям США. Котировочная фьючерсная цена в этот день определяется как 100 минус самая высокая ставка дисконта, принятая на аукционе Казначейством США.
Минимальный шаг цены контракта 0,005%, что соответствует 12,5 долл.:
90
1000000  0,00005---= 12,5 долл.
360
Контракт торгуется в мартовском цикле с истечением контрактов в марте, июне, сентябре и декабре. Кроме этого торгуются два текущих контракта не в мартовском цикле.
Контракт можно использовать для извлечения спекулятивной прибыли в связи с прогнозами изменения процентной ставки по казначейским векселям. Если ожидается падение процентной ставки, т.е. рост фьючерсной цены, то следует купить контракт. Если ожидается рост процентной ставки, т.е. падение фьючерсной цены, следует продать фьючерс.
Пример.
Котировка фьючерсного контракта на трехмесячный казначейский вексель равна 90%. Спекулянт ожидает падения процентных ставок и покупает фьючерс. Через три дня фьючерсная котировка составила 92%, и спекулянт закрыл свою позицию. Определить финансовый результат для спекулянта.
Решение.
Котировка фьючерсной цены изменилась на 2%. Разделим эту цифру на шаг цены:
2 ------= 400 шагов. 0,005
Каждому шагу цены соответствует изменение цены контракта на 12,5 долл. Поэтому выигрыш спекулянта равен:
12,5 Эол.?.• 400 - 5000Эолл.
Выигрыш по контракту можно определить и другим способом.
Цена контракта в момент его открытия в соответствии с формулой (5.39) составляла:
10000[100 - 0,25(100 - 90)] = 975000долл.
В последующем она выросла до:
10000[100 - 0,25(100 - 92)] = 980000е)<мл.
Спекулянт выиграл:
980000-975000 = 5000Эолл.
5.8.2.	Определение фьючерсной цены и арбитраж
Казначейский вексель - это финансовый инструмент, который продается со скидкой и погашается по номиналу. Поэтому цену векселя можно определить дисконтированием номинала к настоящему моменту времени под ставку без риска для периода, остающегося до его погашения:
1000000	(5.40)
1 + гг(Т/360)
где Р - цена векселя;
гТ - ставка без риска для периода времени Т;
Т - время до погашения векселя.
Цену фьючерсного контракта можно определить на основе формулы форвардной цены акции, по которой не выплачиваются дивиденды в течение действия контракта (2.1).
Пусть время с момента заключения фьючерсного контракта до момента погашения векселя, поставляемого по контракту равно , и до истечения контракта остается время . Тогда:
„	1000000 f < А
=----т—:-----d 1 + t\ —-
1 + r2 (t2/база)	база /
где - спотовая процентная ставка для периода ;
г2 - спотовая процентная ставка для периода /2.
Пример 1.
Фьючерсный контракт истекает через 30 дней, до момента погашения векселя, поставляемого по контракту, 120 дней. Процентная ставка для 30 дней 1,84%, для 120 дней - 2,09%. Процентные ставки заданы для базы 360 дней. Определить цену фьючерсного контракта.
Решение.
п 1000000 Л пЛ1О,30^
Р =---------т------г 1 + 0,0184-- = 994604, Здолл.
F 1 + 0,0209 120/360Д	360)
Цену фьючерсного контракта можно также определить, дисконтируя номинал контракта под форвардную ставку для периода времени с момента его истечения до момента погашения векселя, поставляемого по контракту:
1000000
(	90
I. + ---
^360
где гф- форвардная ставка,
или
1000000
1 + 0,25г^
(5.41)
Пример 2.
Для условий примера 1 определить цену фьючерсного контракта на основе форвардной ставки.
Решение,
Форвардная ставка для периода времени составляет:
+ 0,0209(120/360) ч 1 + 0,0184(30/360)
1 2Ё2.... -0,0217 или 2,17%. J120-30
Стоимость фьючерсного контракта равна:
1000000
1 + 0,25 0,0217
= 994604,Здолл.
Если фактическая фьючерсная цена контракта не равна теоретической, можно совершить арбитражную операцию. Рассмотрим пример.
Пример 3. (Сохраняются условия примера 1).
Котировка фьючерсного контракта равна 97,68, что соответствует фьючерсной цене контракта:
Pf = 10000[100-0,25(100-97,68)] =99420(Ю<мл.
Контракт стоит дешевле теоретически рассчитанной цены. Поэтому арбитражер: а) покупает контракт; б) занимает казначейский вексель, до погашения которого остается 120 дней и продает его по спотовой цене; ставка для 120 дней составляет 2,09% годовых, поэтому он продает его за:
1000000
1 + 0,0209(120/360)
= 993081,5до.м.
в) размещает данные средства на 30-дневном депозите под 1184% годовых.
Рассмотрим два сценария на момент истечения срока действия контракта через 30 дней.
I. Фьючерсная котировка равна 98,00. Это соответствует цене векселя:
PF = 10000[100 - 0,25(100 - 98)] = 995000долл.
По контракту арбитражер выиграл сумму:
98-97,68
---------П,5долл. ~ ъООдолл.
0,005
По депозиту получил сумму:
993081,5 1 + 0,0184
30
360;
~ 994604,Здолл.;
Общая сумма полученных средств составила:
800 + 994604,3 = 995404,3<kw.
По контракту уплачивает 995000 долл., получает вексель и возвращает его кредитору. Арбитражная прибыль равна:
995404,3 - 995000 - 404,Здшл.
II. Фьючерсная котировка равна 97,00. Это соответствует цене векселя:
PF = 10000[100 - 0,25(100 - 97)] = 992500долл.
По контракту арбитражер проиграл сумму:
—— 12,5долл, = ПООдолл. 0,005
По депозиту получил сумму:
(	30
993081,5 1 + 0,0184---
= 994604, Ъдолл,
I 360J
/4
-Общая сумма полученных средств составила:
994604,3 -1700 = 992904, Ъдолл.
По контракту уплачивает 992500 долл., получает вексель и возвращает его кредитору. Арбитражная прибыль равна:
992904,3 - 992500 = 404,3долл.
5.8.3. Хеджирование фьючерсным контрактом на казначейский вексель
Фьючерс на казначейский вексель можно использовать для страхования от изменения краткосрочных процентных ставок. Если инвестор страхуется от падения процентной ставки, следует купить контракт. Если инвестор страхуется от роста процентной ставки, необходимо продать фьючерс. Рассмотрим технику хеджирования на примерах.
Пример.
Менеджер компании должен получить через четыре месяца сумму в 975000 долл, и планирует приобрести на нее трехмесячный казначейский вексель. Он опасается падения процентных ставок и страхует будущую покупку векселя приобретением фьючерсного контракта. Котировка фьючерсного контракта на трехмесячный казначейский вексель, до истечения которого остается четыре месяца, равна 90%. Это соответствует стоимости контракта в 975000 долл.
Через четыре месяца фьючерсная котировка составила 92%. По контракту менеджер должен уплатить за вексель:
10000[100 - 0.25(100 - 92)] = 980000<1олл.
Котировка фьючерсной цены выросла на 2%. Поэтому по контракту он выиграл:
------12,5 долл. = 5000долл.
0,005
Вместе с полученной в этот момент суммой в 975000 долл, это как раз и составляет:
5000 + 975000 = 980000Эатл.,
которые он уплачивает по контракту.
Момент завершения операции хеджирования может не совпадать с моментом истечения фьючерсного контракта, или хеджируется продажа или покупка векселя, срок погашения которого не равен трем месяцам. В этом случае для определения количества контрактов, которые необходимо открыть, следует рассчитать коэффициент хеджирования. Количество контрактов, как и в случае фьючерса на евродолларовый депозит, можно определить по формуле (5.32).
Количество контрактов, которые необходимо открыть для хеджирования позиции по векселю, можно также на основе следующих рассуждений. Цена векселя в каждый данный момент времени представляет собой дисконтированную стоимость его номинала. В расчете на один доллар номинала, согласно формуле (5.40), его цена в начале периода Т равна:
1+гг(Т’/360)’
(5-42)
Продифференцируем выражение (5.42) по гт : dP _ Г/360 drT ~ (1 + rT (Т / 360)]2
или
dP =
77360
[1 + г7(77 360)]2 Гт'
(5.43)
Выражение (5.43) показывает, как изменится цена векселя при изменении его доходности до погашения на небольшую величину.
Цена фьючерсного контракта на вексель номиналом 1 доллар, согласно формуле (5.41), определяется как:
1 + 0,25гф
(5.44)
Продифференцируем выражение (5.44) по г. :
dPF _	0,25
<1гф (1 + O,25rj
ИЛИ
02 5 Jr.
(1 + 0,25гД
Коэффициент хеджирования (&**) равен:
„ =	= _ (7’/360)/[1 + 'г(77360)]2 сЛу
dP?	0,25/(1 + 0,25^	<1гф
ИЛИ
г(1 + 0,25г < J2 J,-90[1 + гг(Г/360)Р^
В формуле (5.45) отношение drT / dt^ показывает зависимость между изменением доходности до погашения хеджируемого векселя и форвардной безрисковой процентной ставкой. Коэффициент хеджирования, полученный в формуле (5.45) уже учитывает в себе коэффициент денежной эквивалентности, поэтому количество фьючерсных контрактов с его использованием непосредственно определяется по формуле (3.8), в которой роль коэффициента h выполняет найденный коэффициент //*.
5.9. ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС НА РУБЛЕВЫЕ ОБЛИГАЦИИ ГОРОДСКОГО ВНУТРЕННЕГО ОБЛИГАЦИОННОГО ЗАЙМА г. МОСКВЫ
Фьючерсный контракт на трехлетние облигации г. Москвы заключается на Фондовой бирже РТС. Контракт включает десять облигаций г. Москвы любого выпуска, отвечающего следующим требованиям. До погашения поставляемых облигаций на дату исполнения контракта должно оставаться от 28 до 40 месяцев, объем эмиссии составляет не менее 4 млрд, руб., дата первичного размещения облигации не позднее 1 месяца перед датой исполнения контракта, отсутствует право досрочного выкупа или погашения облигаций, номи
нальная стоимость одной облигации 1000 руб. Список выпусков облигаций, которые можно поставить по контракту, публикуется на сайте биржи РТС. На момент написания данной книги на бирже обращались два контракта: первый с исполнением 19 сентября 2005 г., второй-19 декабря 2005 г. По контрактам можно было поставить облигации выпусков RU25029MOS и RU25036MOS.
Контракт является поставочным. Последний торговый день -это рабочий день, предшествующий 17 числу месяца окончания контракта.
Исполнение осуществляется в первый торговый день после последнего дня обращения контракта путем передачи продавцом 10 облигаций покупателю. Покупатель уплачивает продавцу цену исполнения. На участника, не выполнившего обязательства по исполнению контракта, налагается денежный штраф в размере базового гарантийного обеспечения, установленного на начало последнего торгового дня. Покупатель и продавец по взаимному согласию вправе не исполнять контракт поставкой облигаций, а осуществить взаимозачет обязательств. Для этого они должны не позднее 19.15 последнего торгового дня предоставить в Клиринговый центр Акт о взаимозачете обязательств по исполнению контракта.
Цена контракта указывается как чистая цена за 10 облигаций. Минимальный шаг цены 1 рубль. Минимальный размер начальной маржи установлен в размере 10% от стоимости контракта. За 5 торговых дней Клиринговый центр вправе увеличить лимит колебания фьючерсной цены и/или величину гарантийного обеспечения.
Для каждого выпуска облигаций, которые могут быть поставлены по контракту, Президентом биржи устанавливаются коэффициенты конверсии. Они рассчитываются на день исполнения контракта и остаются постоянными в течение всего времени его действия. Коэффициенты публикуются на сайте биржи. Например, по контракту с исполнением 19.09.05 коэффициенты конверсии для облигаций выпусков RU25029MOS и RU25036MOS соответственно равны 1,0053 и 1,0062. По контракту с исполнением 19.12.05 - 1,0050 и 1,0060.
Коэффициент конверсии облигации рассчитывается по формуле:
где К - коэффициент конверсии;
Р - чистая цена облигации;
У - номинал облигации.
В свою очередь цена облигации рассчитывается по формуле:
p = V —______+___-____С
2-(1+г)' + (1+гу с-
где С, - купон, выплачиваемый по облигации в момент t;
N - номинал облигации;
С(ф - купон, накопившейся по облигации на день исполнения  фьючерсного контракта;
1 г - доходность до погашения облигации; ее величина устанавливается решением Президента биржи;
Т - срок до погашения облигации.
Коэффициенты конверсии приводят цены облигаций всех выпусков на день исполнения контракта к таким уровням, чтобы их доходности до погашения были одинаковыми.
Цена исполнения контракта рассчитывается по формуле:
цена цена облигации количество облигаций ( с = L	. (5.46)
исполнения ! - го впуска	1 - го выпуска
Формула (5.46) предполагает, что по контракту инвестор может одновременно поставить облигации не только одного, но и разных выпусков, разрешенных в рамках данного контракта. Например, по контракту с исполнением 19.12.05 можно поставить четыре облигации выпуска RU25029MOS и шесть облигаций выпуска RU25036MOS или иные их комбинации.
В формуле (5.46) цена облигации i -го выпуска определяется следующим образом:
цена облигации котировочная цена
=---------------------К ( + С . ,
I - го выпуска	10
।де С1ф - купон, накопившейся по облигации на день исполнения фьючерсного контракта;
Л, - коэффициент конверсии облигации i -го выпуска.
По контракту инвестор имеет право поставить разные облигации. Однако он будет стремиться к тому, чтобы поставить “самую дешевую облигацию". Как мы определили в параграфе 5.1 выбор “самой дешевой” облигации можно сделать на основе расчета отношения
цена спот коэффициент конверсии
(5.47)
для всех облигаций, которые можно поставить по контракту. "Самой дешевой” будет бумага с наименьшим значением этого отношения.
Пример 1.
Сегодня 19 июля 2005 г. Фьючерсный контакт истекает 16.09,05 г„ исполнение состоится 19.09.05. По контракту могут быть поставлены облигации выпусков RU25029MOS и RU25036MOS. Их коэффициенты конверсии соответственно равны 1,0053 и 1,0062. Цена спот облигации RU25029MOS равна 107,85, облигации RU25036MOS - 108,30. Определить “самую дешевую” облигацию для поставки по контракту.
Решение.
Согласно формуле (5.47) отношения цен к коэффициентам конверсии для облигаций RU25029MOS и RU25036MOS соответственно составляют:
107,85 mn.ow	Ю8,3
-----— = 107,2814;	 — =	107,6327.
1,0053	1,0062
Таким образом, самой дешевой для поставки по контракту является облигация выпуска RU25029MOS.
Техника расчета фьючерсной цены контракта на трехлетние облигации г. Москвы аналогична технике ее определения для фьючерсного контракта на казначейскую облигацию США (см. параграф 5.2). Поэтому приведем здесь только пример расчета фьючерсной цены для случая, когда в период действия контракта по облигациям купоны не выплачиваются.
Пример.
Сегодня 19 июля 2005 г. Фьючерсный контакт истекает 16.09.05 г., исполнение состоится 19.09.05. До исполнения контракта остается 62 дня. Инвестор определил (см. пример 1), что по контракту будет поставлена облигация выпуска RU25029MOS. Ее коэффициент конверсии равен 1,0053. Цена облигации на спотовом рынке равна 107,85%. Купоны выплачиваются два раза в год. Предыдущий купон был выплачен 5 июня 2005 г. Следующий купон выплачивается 5 декабря 2005 г. Величина купона равна 50 руб. 14 коп. Продолжительность купонного периода составляет 183 дня (с 5 июня по 4 декабря 2005 г.). Процентная ставка для периода 62 дня равна 4% годовых. Определить цену фьючерсного контракта.
Решение.
С момента выплаты купона 5.06.2005 г. до определения фьючерсной цены 19.07.05 г. прошло 45 дней.23 За это время по облигации накопился купон в размере:
50,14pyg. 45 = 12	5 j
183
Полная цена облигации на момент расчета фьючерсной цены равна:
1000руб.  1,0785 +12,32951 = 1090,83 руб.
Поскольку по облигации купон в период действия контракта не выплачивается, то для расчета фьючерсной цены используем формулу для актива, по которому не выплачиваются доходы:
(	62
1090,83 1 + 0,04—
I	365
1098,241руб.
Котировка дается на основе чистой цены. Поэтому из полученной цифры надо вычесть сумму купонных процентов, которая накопится по облигации к моменту истечения контракта. С момента выплаты последнего купона 5.06.05 г. до 19.09,05 г. пройдет 107 дней.
Соответственно сумма купонных процентов за этот период равна: 50J4p.yg. j07 = 29 3j6g3 б 183
С учетом корректировки на сумму процентов получим фьючерсную цену:
1098,241 - 29,31683-1068,924руб.
Мы рассчитали фьючерсную цену одной облигации. Контракт насчитывает 10 облигаций. Коэффициент конверсии облигации выпуска RU25029MOS равен 1,0053. Поэтому цена фьючерсного контракта равна:
1068,924 10
1,0053
-10632,89руб. или 10633 руб.
На основе рассмотренного пример можно записать общую формулу определения фьючерсной цены контракта для случая, когда по облигациям не выплачиваются купоны в период действия контракта.
у оаза )
-С — \база
Ю ,
По условиям эмиссии облигации следующий купонный период начинается со дня выплаты купона за предыдущий период
где F - фьючерсная цена контракта;
С - купон за текущий полугодовой период;
Р - полная цена “самой дешевой облигации”, т.е. с учетом суммы накопленного купонного процента за период t;
t - количество дней, которые прошли с даты выплаты последнего купона до момента определения фьючерсной цены;
Т - период действия фьючерсного контракта, или более точно, количество дней до даты поставки облигации по контракту;
база * - 365 дней;
база - фактическое количество дней в текущем купонном периоде;
г - ставка без риска для базы 365 дней;
К - коэффициент конверсии.
Если фактическая фьючерсная цена не равна теоретической, то можно получит арбитражную прибыль. Техника совершения операции аналогична примерам, рассмотренным в параграфах 5.2.1 и 5.2.2 для фьючерса на казначейскую облигацию.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Коэффициент конверсии - это коэффициент, который приводит цену поставляемой облигации на первый день месяца поставки к такому уровню, чтобы ее доходность до погашения соответствовала требованиям фьючерсного контракта.
“Самой дешевой" облигацией для поставки по фьючерсному контракту является бумага с наименьшим значением отношения:
цена спот коэффициент конверсии
При хеджировании облигаций фьючерсом на облигацию используют показатель дюрации. Дюрацию фьючерсного контракта определяют на основе “самой дешевой” облигации.
При хеджировании спотовой позиции по облигации с помощью дюрации можно вместо дюрации фьючерсного контракта использовать дюрацию самой дешевой облигации.
Краткосрочные процентные фьючерсы котируются на базе индексной цены.
Коэффициент денежной эквивалентности учитывает разную степень реакции изменения стоимости фьючерсного контракта и экви-
Гпава 5 Фьючерсные контракты на процентные ставки валентной стоимости хеджируемой позиции при изменении процентной ставки на один базисный пункт.
Страхование на более длительные периоды времени с помощью нескольких последовательных краткосрочных контрактов называется стрип-хеджированием.
Пакеты и связки представляют собой ряд серийных контрактов, которые покупаются или продаются одной сделкой.
ЧАСТЬ II. ОПЦИОННЫЕ РЫНКИ
ГЛАВА 6. ОРГАНИЗАЦИЯ И ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ ОПЦИОННОГО РЫНКА
В настоящей главе приводится общая характеристика опционных контрактов и рассказывается об организации торговли опционами. Мы остановимся на понятиях типов и видов опционов, рассмотрим опционы на покупку и продажу, дадим определение категорий опционов и премии.
6.1.	ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОПЦИОННЫХ КОНТРАКТОВ
Опцион - это срочный контракт, который дает право одному из его участников отказаться от исполнения сделки. В контракте участвуют два лица. Одно лицо покупает опцион, т. е. приобретает право выбора исполнить или не исполнить контракт. Другое лицо продает или, как говорят, выписывает опцион, т. е. предоставляет право выбора. Покупатель опциона уплачивает продавцу вознаграждение, называемое премией. Премия уплачивается в момент заключения контракта. Продавец опциона обязан исполнить свои контрактные обязательства, если покупатель (его еще называют держателем) опциона решает его исполнить. Если покупатель не исполняет опцион, то контракт истекает для продавца без наступления обязательств. Покупатель имеет право исполнить опцион, т. е. купить или продать базисный актив по цене, которая указана в контракте. Она называется ценой исполнения.
С точки зрения сроков исполнения контрактов опционы подразделяются на три типа: американские, европейские и бермудские. Американский опцион можно исполнить в любой день до истечения срока действия контракта, европейский - только в день истечения контракта. Бермудский опцион дает право исполнить его в определенные моменты времени в течение действия контракта.
Термины американский и европейский опцион имеют исторический контекст. В США опционы на акции традиционно можно было исполнить в любой день в течение действия контракта. Когда в Евро-ле в 1977 г. в Амстердаме возникла первая биржа опционов - Европейская биржа опционов (European Option Exchange) - на ней стали торговаться опционы с одним единственным возможным сроком исполнения. В современных условиях понятия американский и евро
пейский опцион представляют собой только термины без географической привязки к месту их обращения.
Существует два вида опционов: опцион на покупку или опцион колл; и опцион на продажу или опцион пут. Опцион колл дает право держателю опциона купить или отказаться от покупки базисного актива. Опцион пут дает право держателю опциона продать или отказаться от продажи базисного актива. Для лучшего понимания такого инструмента как опцион, следует не забывать, что вначале инвестор покупает опцион, т. е. само право на покупку или продажу базисного актива. После этого он исполнит опцион, если ему это выгодно, т. е. купит или продаст базисный актив в зависимости от вида опциона. Если конъюнктура окажется для него неблагоприятной, он оставит опцион без исполнения. Опционы используются для хеджирования, получения спекулятивной и арбитражной прибыли.
Выписывая опцион, продавец открывает по данной сделке короткую позицию, а покупатель - длинную позицию. Соответственно понятия 'короткий колл" или "короткий пут" означают продажу опционов колл или пут, а “длинный колл" или “длинный пут" - их покупку. Рассмотрим подробно существо каждого вида опциона.
6.1.1.	Опцион колл
Опцион колл дает право покупателю опциона купить базисный актив у продавца опциона по цене исполнения в установленные сроки или отказаться от этой покупки. Инвестор приобретает опцион колл, если ожидает повышения курсовой стоимости базисного актива. Рассмотрим суть опциона колл на примере.
Пример.
Имеется трехмесячный европейский опцион колл на акцию. Цена исполнения опциона равна 100 руб., опцион стоит 5 руб. Цена спот акции составляет 100 руб. Инвестор покупает опцион. Это означает, что он уплачивает продавцу опциона 5 руб. и получает право купить через три месяца акцию по цене исполнения, т. е. за 100 руб.
Допустим, покупатель опциона спекулянт, играющий на повышение. Он ожидает повышения курса акции к моменту истечения срока действия контракта до 120 руб. Он оказался прав. Тогда через три месяца спекулянт исполняет опцион, т. е. покупает акцию у продавца опциона за 100 руб. и сразу продает ее на спотовом рынке за 120 руб. На разнице цен он выигрывает 20 руб. Общий выигрыш спекулянта следует скорректировать на уплаченную премию, поэтому он составит:
120 - 100 - 5 = 15/трб.1
Пусть спекулянт ошибся, и курс акции через три месяца упал до 80 руб. Тогда он не исполняет опцион, так как бессмысленно покупать акцию за 100 руб. по опциону, если она стоит сейчас на рынке 80 руб. Итог операции инвестора - потеря премии.
Представим возможные результаты сделки для покупателя опциона к моменту истечения контракта графически (см. рис. 6.1). По оси абсцисс показана спотовая цена акции к моменту истечения срока действия опциона. По оси ординат - потенциальные выигрыши и проигрыши. Поскольку на рисунке представлен график покупателя опциона колл, то его также могут назвать длинный опцион колл.
Рис. 6.1. Выигрыши-проигрыши покупателя европейского опциона колл к моменту истечения срока действия контракта
Как видно из графика, опцион не исполняется, если к моменту истечения контракта цена спот акции равна или ниже 100 руб. Проигрыш инвестора в этом случае равен уплаченной им премии, т. е. 5 руб. Если курс акции больше 100 руб., опцион исполняется. При цене акции 105 руб. результат по сделке нулевой, так как выигрыш в 5 руб. компенсирует уплаченную премию. При более высокой цене инвестор получает прибыль. При курсе акции больше 100, но меньше 105 руб. опцион также
1 Если быть более точным в вопросе определения издержек покупателя опциона, то следует также учесть упущенный процент, который можно получить на сумму премии опциона за период действия контракта. Например, ставка по депозиту равна 10% годовых. За три месяца по депозиту будет получена сумма:
Поэтому общий выигрыш спекулянта составит:
120-100-5,125 = 14,875руб.
исполняется, поскольку это позволяет уменьшить потери инвестора. Например, цена акции равна 103 руб. Тогда, исполнив опцион и продав акцию на спотовом рынке, инвестор выиграет 3 руб, что сократит его убыток до 2 руб.:
5-3 = 2 руб.
Сформулируем общее правило, когда исполняется европейский опцион колл. Европейский опцион колл исполняется, если спотовая цена базисного актива к моменту истечения срока действия контракта выше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или ниже цены исполнения.
Финансовый результат для покупателя опциона можно представить следующей таблицей:
Таблица 6.1. Выигрыши-проигрыши покупателя опциона колл.
(Sr - цена спот базисного актива к моменту истечения контракта, X - цена исполнения, с - премия опциона)
Цена акции к моменту истечения контракта	ST>X	ST < X
Выигрыши-проигрыши по опциону	S г — X — с	-с
Например, выигрыш инвестора при 5Т = 120руб. согласно алгоритму таблицы 6.1 составит:
120-100-5 = 15руб.
Итоги сделки для продавца опциона противоположны по отношению к результатам покупателя и показаны на рис. 6.2. Его максимальный выигрыш к моменту истечения срока действия контракта равен величине
Рис 6.2. Выигрыши-проигрыши продавца европейского опциона колл к моменту истечения срока действия контракта
премии в случае неисполнения опциона, т. е. при цене спот акции 100 руб. или ниже. При ST = 105руб. результат сделки для него нулевой. В случае существенного роста курса акции его проигрыш может оказаться очень большим. При заключении сделки продавец опциона рассчитывает, что цена базисного актива к моменту его истечения не превысит цены исполнения. Представленный на рис. 6.2 график называют графиком продавца опциона колл или короткий опцион колл.
Финансовый результат для продавца опциона можно представить следующей таблицей:
Таблица 6.2. Выигрыши-проигрыши продавца опциона колл.
(- цена спот базисного актива к моменту истечения контракта, А7 - цена исполнения, с - премия опциона)
1	Цена акции к моменту ;	истечения контракта	ST> X	S, <х
| ВЫИГрЬНиИ-ПрОИГрЫШИ '	по опциону	-(ST-X)+c	с
Например, цена акции выросла до 120 руб. Согласно алгоритму таблицы 6.2, проигрыш продавца опциона составит:
-(120-100)+ 5 = -15 руб.
Знак минус говорит о том, что это проигрыш.
В отличие от фьючерсного контракта позиции покупателя и продавца опциона не симметричны. Максимальный проигрыш покупателя равен уплаченной премии, потенциальный выигрыш не ограничен. Для продавца максимальный выигрыш равен премии, потенциальные убытки не ограничены.
Продавец опциона может понести большие потери при сильном росте курса акции, так как ему придется приобретать бумагу по текущей цене и поставлять по цене исполнения. Чтобы застраховаться от такой ситуации, он может купить акцию в момент заключения контракта. В случае последующего роста цены бумаги опцион будет исполнен. Тогда инвестор поставит акцию и не понесет потерь. В качестве итога операции у него сохранится премия.
Если инвестор выписывает опцион колл и не страхует свою пози* цию приобретением базисного актива, то такой опцион называется непокрытым. Если одновременно покупается и базисный актин, опцион именуют покрытым.
6.1.2.	Опцион пут
Опцион пут предоставляет покупателю опциона право продать базисный актив по цене исполнения в установленные сроки продавцу опциона или отказаться от его продажи. Инвестор приобретает опцион пут, если ожидает падения курсовой стоимости базисного актива.
Пример.
Цена спот акции равна 100 руб. Инвестор покупает трехмесячный европейский опцион пут на акцию с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Это означает, что он уплачивает продавцу опциона 5 руб. и получает право продать ему акцию через три месяца за 100 руб.
Допустим, инвестор является спекулянтом, играющим на понижение. Он ожидает падения цены акции к моменту истечения срока контракта до 80 руб. Он оказался прав. Тогда через три месяца он покупает акцию на спотовом рынке за 80 руб. и исполняет опцион, т. е. продает ее по цене исполнения. На разнице цен он получает выигрыш:
100-80 -20 руб.
Чистый выигрыш с учетом уплаченной премии равен:
20-5-15 руб.
Если спотовая цена к моменту истечения контракта оказалась равной 120 руб. опцион не исполняется, так как отсутствует возможность купить акцию по более низкой цене и продать по более высокой. Выигрыши-проигрыши покупателя опциона пут представлены на рис. 6.3. Как из него следует, при цене акции больше или равной 100 руб. опцион не исполняется, и покупатель несет потери в размере
Рис б.З. Выигрыши-проигрыши покупателя европейского опциона пут к моменту истечения контракта
уплаченной премии. При 5г<100^уб. опцион исполняется. При 8Т = 95/ml покупатель имеет нулевой результат по сделке, так как выигрыш в 5 руб. только компенсирует уплаченную премию. При более низкой цене инвестор получает прибыль. Потенциально ее величина ограничена падением курса акции до нуля. Тогда максимальный выигрыш составит величину:
Х-р ,
где р - премия опциона пут.
Сформулируем общее правило, когда исполняется европейский опцион пут. Европейский опцион пут исполняется, если к моменту истечения срока действия контракта спотовая цена базисного актива меньше цены исполнения, и не исполняется, если она равна или выше цены исполнения.
Представленный на рис. 6,3 график называют графиком покупателя опциона пут или длинный пут.
Финансовый результат для покупателя опциона можно представить следующей таблицей:
Таблица 6.3. Выигрыши-проигрыши покупателя опциона пут
Цена акции к моменту истечения контракта	Sr < X	ST>X
Выигрыши-проигрыши по опциону	X~ST-p	-р
Например, цена акции к моменту истечения контракта упала до 80 руб. Согласно алгоритму табл. 6.3 выигрыш покупателя равен:
100-80-5 = 15^6.
Рис. 6.4. Выигрыши-проигрыши продавца европейского опциона пут к моменту истечения контракта
Итоги сделки для продавца опциона противоположны по отношению к результатам покупателя и представлены на рис. 6.4. Его максимальный выигрыш равен премии в случае неисполнения опциона, т. е. при ST > 100/туб. При Sr =95 руб. он получит нулевой результат. При более низкой цене акции - понесет потери. Максимальный проигрыш ограничен падением цены акции до нуля, В этом случае он составит:
Х-р.
График на рис. 6.4 называют графиком продавца опциона пут или короткий пут. Финансовый результат для продавца опциона пут можно представить следующей таблицей:
Таблица 6.4. Выигрыши-проигрыши продавца опциона пут
Цена акции к моменту истечения контракта	< X		 ST>X
Выигрыши-проигрыши 	 по опциону		-(Х-5Г)+ р	р 	
Например, курс акции упал до 80 руб. Согласно алгоритму табл. 6.4 проигрыш продавца опциона составит:
-(100-80)+5 = -15дуб.
Опцион пут может быть покрытым. Это означает, что, выписывая опцион, продавец осуществляет короткую продажу базисного актива. Если опцион является расчетным, то он резервирует сумму денег достаточную для приобретения базисного актива.
6.1,3.	Категории опционов
Существует классификация опционов по категориям. Выделяют три категории опционов: 1) опцион с выигрышем или ITM (in the money); 2) опцион без выигрыша или А ТМ (at the money); 3) опцион с проигрышем или ОТМ (out of the money). Для отнесения опциона к одной из категорий сравнивают только два параметра: текущую цену базисного актива (5) и цену исполнения (х). На рынке возможны следующие ситуации: цена базисного актива выше цены исполнения (S > Д'), равна ей (5 = Д') или ниже ее (s< А").
Опцион колл при (5 > А") относят к категории ITM. поскольку в случае его немедленного исполнения держатель получает выигрыш в размере (5 - X); при (5 = А") - к ATM, так как в результате его немедленного исполнения держатель получает нулевой результат; и
при (5 < х) - к ОТМ, поскольку в случае его немедленного исполнения держатель получает проигрыш в размере {5 - х).
Пример.
Цена исполнения опциона колл 100 руб. Если курс акции равен 105 руб., то данный опцион отнесут к категории “с выигрышем” или ТТМ, при 5 = 100 руб, - к категории “без выигрыша” или ATM и при 5 = 95 руб., - к категории “с проигрышем” или ОТМ.
Опцион пут при (5 < х) относят к категории ITM, поскольку в случае его немедленного исполнения держатель получает выигрыш в размере (Х-S'); при (5 = Х) - к АТМ, так как в результате его немедленного исполнения держатель получает нулевой результат; и при (5 > х) - к ОТМ, поскольку в случае его немедленного исполнения держатель получает проигрыш в размере (Х-51). Опционы исполняются, если на момент исполнения они являются выигрышными.
6.1.4.	Премия
При покупке опциона покупатель уплачивает продавцу премию. Премия есть не что иное, как цена опциона. Она состоит из двух частей. внутренней стоимости и временной стоимости. Временную стоимость могут назвать еще внешней стоимостью. Для опциона колл внутренняя стоимость - это разность между текущим курсом базисного актива и ценой исполнения опциона, если эта величина положительная. Если она отрицательная или равна нулю, то внутренней стоимости у опциона нет. Для опциона пут - это разность между ценой исполнения и текущим курсом базисного актива, если эта величина положительная. Если она отрицательная или равна нулю, то внутренней стоимости нет. Временная стоимость для обоих опционов представляет собой разность между величиной премии и внутренней стоимостью.
Пример 1.
Цена исполнения опциона колл 100 руб., текущий курс акции 105 руб., опцион стоит 7 руб. Внутренняя стоимость опциона равна:
105-100 = 5руб.
Временная стоимость составляет:
7-5 = 2руб.
Пример 2.
Цена исполнения опциона колл 100 руб., текущий курс акции 95 руб, опцион стоит 1 руб. Внутренняя стоимость опциона равна:
95-100 = ~5руб.
Поскольку результат отрицательный, то внутренней стоимости у такого опциона нет. Его премия целиком состоит из временной стоимости, которая равна 1 руб.
По своей сути временная стоимость - это надежды рынка на то, |Что данный опцион принесет прибыль к моменту истечения контракта. Чем больше надежд, тем больше временная стоимость. Временная стоимость будет тем больше, чем больше времени остается до истечения опциона, так как в этом случае больше неопределенности и, соответственно, надежды (вероятности) на благоприятное развитие конъюнктуры рынка. Она максимальна для опционов АТМ и убывает по мере того, как они становятся все с большим проигрышем или выигрышем. Если опцион с большим проигрышем, то надежды на получение в будущем прибыли невысоки, поэтому и временная стоимость также невелика. Если опцион с большим выигрышем, то цена базисного актива и так уже сильно выросла, поэтому надежды на ее дальнейший значительный рост также малы. Кроме того, существует вероятность потерять часть внутренней стоимости в результате возможного неблагоприятного изменения курса базисного актива. В результате временная стоимость тоже небольшая. Если это опцион А ТМ, то надежды на получение прибыли наибольшие, так как уже при небольшом движении цены базисного актива в благоприятном направлении он принесет держателю выигрыш. Поясним сказанное с помощью графиков. Для простоты иллюстрации допустим, что цена базисного актива имеет нормальное распределение. Случай опциона колл А ТМ представлен на рис. 6.5. Если цена спот равна цене исполнения, то вероятность получить положительный результат от исполнения опциона колл равна 50%. На рис. 6.5 это соответствует заштрихованной области. Для опциона колл ГТМ (см. рис. 6.6) вероятность принести инвестору еще больший результат равна площади, заштрихованной косыми чертами. Она лежит справа от линии, соответствующей цене спот актива. В то же время вероятность потерять часть существующей в данный момент внутренней стоимости равна площади фигуры слева от цены исполнения. Она заштрихована вертикальными линиями. Данный факт влияет в направлении уменьшения временной стоимости. Для опциона колл
ОТМ (см. рис. 6.7) вероятность принести положительный результат равна заштрихованной площади под кривой распределения справа от цены исполнения.
вероятность
Рис 6.5. Вероятность получить в будущем положительный результат от исполнения опциона колл ATM
Рис. 6.6. Вероятность получить в будущем положительный результат от исполнения опциона колл ITM
Рис. 6.7. Вероятность получить в будущем положительный результат от исполнения опциона колл ОТМ
Временная стоимость зависит от стандартного отклонения доходности базисного актива. Чем оно больше, тем больше риск, связанный с данным активом, и, следовательно, больше временная стоимость. Временная стоимость также является функцией процентной ставки.
Для опционов колл на акции временная стоимость положительна. Для европейских опционов пут с большим выигрышем она может быть отрицательной величиной. Европейские опционы колл и пут на фьючерсный контракт с большим выигрышем также могут иметь отрица-| тельную временную стоимость. Это говорит о том, что по мере при-| ближения срока истечения контракта, при неизменной конъюнктуре рынка, цена опциона будет расти. Данный случай будет показан аналитически в параграфах, посвященных границам премии опционов.
На рис, 6.8 графически представлено деление премии опциона колл на внутреннюю и временную стоимость. Кривая восходящая линия представляет собой график премии опциона в зависимости от цены спот базисного актива. При цене акции премия опциона равна и и состоит только из временной стоимости. При цене акции премия равна с и включает внутреннюю стоимость (отрезок Ьо) и временную стоимость (отрезок cb). Косыми линиями заштрихована область временной стоимости. Как было отмечено выше, и следует из графика, наибольшее значение временной стоимости имеют опционы ATM.
премия опциона
Рис. 6.8. Внутренняя и временная стоимость премии опциона колл
По мере приближения срока истечения контракта величина временной стоимости будет уменьшаться, так как будет умень
шаться неопределенность в отношении результата по опционному контракту. Поэтому цена опциона будет приближаться к его внутренней стоимости.
Опционы без выигрыша и с проигрышем не имеют внутренней стоимости, их премия целиком состоит из временной стоимости. Соответственно исполняются только те опционы, которые имеют внутреннюю стоимость.
6.2.	ОРГАНИЗАЦИЯ ОПЦИОННОЙ ТОРГОВЛИ.
ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСЫ ФОНДОВОЙ БИРЖИ РТС
Существует биржевая и внебиржевая опционная торговля. Внебиржевые контракты не являются стандартными и заключаются с помощью брокеров или дилеров. Биржевая торговля опционами была открыта в апреле 1973 г. на Чикагской Бирже Опционов (СВОЕ) и организована по типу фьючерсной. Биржевые опционы по своей разновидности преимущественно являются американскими. Контракты именуют по месяцу их истечения. Поэтому опцион, истекающий в июне, назовут июньским опционом. Биржевые опционы в основном являются краткосрочными контрактами. С момента открытия торговли контрактом биржей до момента его истечения обычно проходит девять месяцев. Однако существуют и долгосрочные опционы, которые заключаются на срок до трех лет. Они получили название LEAPS (long term anticipation securities). LEAPS являются американскими опционами. Биржевые опционы подобно фьючерсам являются стандартными контрактами для каждого базисного актива. Это означает, что участники торгов согласовывают только цену опциона. Все остальные условия устанавливает биржа. В последнее время конкуренция между биржами привела к появлению биржевых не стандартных опционов. Например, участники контракта могут согласовать отличную от стандартных условий цену исполнения или время истечения опциона. Такие контракты получили название флекс опционы (flex options).
Покупатель опциона при открытии позиции уплачивает премию. Продавец обязан внести начальную маржу. При изменении текущего курса базисного актива размер маржи будет меняться, чтобы обеспечить гарантии исполнения опциона со стороны продавца. При исполнении опциона расчетная палата наугад выбирает лицо с короткой позицией по данному опционному контракту и предписывает ему осуществить действия в соответствии с условиями контракта.
На многих биржах существует система маркет-мейкеров, которые 1 на постоянной основе дают котировки опционных контрактов, В любое время они готовы купить и продать опционы по данным ценам. , Такой механизм повышает ликвидность опционной торговли. Биржа i устанавливает ограничения на величину спрэда между котировками ’ продавца и покупателя, которые могут назвать маркет-мейкеры.
 На один и тот же базисный актив биржа может одновременно  Предлагать несколько опционных контрактов, которые могут отли-’ Маться друг от друга как ценой исполнения, так и сроками истечения, i Все опционы одного вида, т. е. колл или пут, на один базисный актив называют опционным классом. Опционы одного класса с одинаковой ценой исполнения и датой истечения контракта образуют опционную серию.
' Инвестор, купивший или продавший опцион, может закрыть свою Позицию офсетной сделкой. Когда заключается новый контракт, число существующих на бирже контрактов возрастает на одну единицу. При совершении офсетной сделки только одним инвестором число заключенных контрактов остается прежним. Если два лица, которые имеют противоположные позиции, заключают офсетные сделки, то число контрактов уменьшается на единицу.
Для того чтобы уменьшить влияние какого-либо инвестора на конъюнктуру рынка, биржа устанавливает для опционов каждого вида два ограничения: позиционный лимит и лимит исполнения. Позиционный лимит определяет максимальное число контрактов, которые может открыть инвестор с каждой стороны рынка. В данном случае одной стороной рынка считаются длинный колл и короткий пут, другой стороной - короткий колл и длинный пут. Лимит исполнения устанавливает максимальное число контрактов, которые могут быть исполнены инвестором в течение определенного времени.
При заключении опциона клиент уплачивает брокеру комиссионные. При исполнении опциона инвестор вновь уплачивает брокеру комиссию.
Базисным активом опционного контракта может выступать фьючерсный контракт. В этом случае при исполнении опциона колл на фьючерс у покупателя открывается длинная позиция по фьючерсному контракту, и он получает выигрыш за счет разницы между котировочной фьючерсной ценой текущего дня и ценой исполнения. У продавца опциона открывается короткая позиция по фьючерсному контракту, и с него списывают проигрыш равный разности между котировочной фьючерсной ценой и ценой исполнения.
Пример.
Цена исполнения опциона на фьючерсный контракт на акцию равна 100 руб. Котировочная фьючерсная цена сегодня равна 120 руб. Покупатель исполнил опцион. Это означает, что ему была открыта длинная позиция по фьючерсному контракту на акцию, и он получил 20 руб. положительной вариационной маржи на каждую акцию, входящую в контракт. Если фьючерс включает 100 акций, то держатель опциона получил 2000 руб. вариационной маржи. Продавцу опциона была открыта короткая позиция по фьючерсу, и с него списали указанную сумму вариационной маржи. После этого инвесторы могут обычным образом закрыть свои фьючерсные позиции на рынке с помощью офсетных сделок или держать их открытыми до момента истечения контракта.
При исполнении опциона пут на фьючерс у покупателя опциона открывается короткая позиция по фьючерсному контракту, и он получает положительную вариационную маржу равную разности между ценой исполнения и котировочной ценой текущего дня. У продавца опциона открывается длинная фьючерсная позиция и с него списывается указанная величина вариационной маржи.
Пример.
Цена исполнения опциона на фьючерсный контракт на акцию 100 руб. Котировочная фьючерсная цена 80 руб. Покупатель исполнил опцион. Это означает, что ему была открыта короткая позиция по фьючерсному контракту н!а акцию, и он получил 20 руб. положительной вариационной маржи на каждую акцию, входящую в контракт. Продавцу опциона была открыта длинная позиция по фьючерсу, и с него списали указанную сумму вариационной маржи. После этого инвесторы могут обычным образом закрыть свои фьючерсные позиции на рынке с помощью офсетных сделок или держать их открытыми до момента истечения контракта.
При исполнении опциона на фьючерсный контракт следует не забывать о следующей возможной ситуации, которую мы проиллюстрируем на примере.
Пример.
Инвестор купил американский опцион колл на фьючерсный контракт на 100 акций. Текущая фьючерсная цена равна цене исполнения и составляет 100 руб. Премия опциона равна 5 руб. за одну акцию или 500 руб. за контракт.
На следующий день (вторник) фьючерсная цена выросла, поэтому держатель опциона отдал брокеру приказ исполнить контракт. Опцион исполняется по завершении торгового дня по котировочной фьючерсной цене вторника, которая равна 120 руб. Таким образом, покупатель опциона получил выигрыш в размере:
120руб. -100руб)- 500руб. = 1500руб. (
Данные средства реально появятся у него на счете на следующий день, т. е. утром в среду. Также в среду у него будет открытая длинная позиция по фьючерсному контракту.
Предположим, что во вторник после закрытия биржи произошли события, которые должны привести к сильному падению цен на рынке. Поэтому утром в среду фьючерс на акции открылся по цене 80 руб. В итоге вместо выигрыша по опциону в 1500 руб. инвестор несет потери по фьючерсному контракту за счет падения фьючерсной цены.
Чтобы избежать подобной ситуации, держатель опциона во вторник должен поступить следующим образом: отдать приказ исполнить опцион и продать фьючерс. В результате исполнения опциона у него откроется длинная позиция по фьючерсу, однако она сразу же будет закрыта, поскольку продажа фьючерса явилась в этом случае офсетной сделкой. Соответственно вариационная маржа будет определена на основе цены продажи фьючерса и цены исполнения. Пусть во вторник фьючерс был продан по цене 122 руб. Тогда выигрыш инвестора составил:
100шауш}(122руб. - 100руб) - 500руб. = 1700руб.
При заключении контракта покупатель опциона должен уплатить премию. Такой порядок организации торговли является наиболее характерным. Однако для опционов на фьючерсные контракты, как и во фьючерсной торговле, существует также система внесения начальной маржи со стороны и продавца и покупателя.
В отечественной практике ведущей биржей, на которой заключаются опционные контракты, является Фондовая биржа РТС. Опционы заключаются на фьючерсные контракты. На момент написания данной книги на бирже предлагались опционы на фьючерсные контракты на акции РАО ЕЭС, Газпрома, Лукойла, Ростелекома, фьючерсный контракт на доллар США. Наиболее активно торгуются опционы на фьючерс на акции РАО ЕЭС.
Опционные контракты на фьючерсы на акции имеют аналогичную структуру, поэтому в качестве примера приведем основные условия опциона на фьючерс на акции РАО ЕЭС.
Опцион включает один фьючерсный контракт и является американским. Контракт поставочный. Минимальное изменение премии по контракту составляет 1 руб.
Когда биржа открывает торговлю новым временным контрактом, то в его рамках она предлагает участникам рынка заключать контракты с разными ценами исполнения. Между ценами исполнения выдерживается постоянный интервал. Например, в момент написания данной книги для опционов на фьючерсный контракт на акции РАО ЕЭС он составлял 500 руб., для опциона на фьючерс на акции Ростелекома 250 руб. Так, для опциона на сентябрьский 2005 г. фьючерсный контракт на акции РАО ЕЭС биржа предлагала сентябрьские опционы, начиная с цены исполнения 6000 руб. и так далее с интервалом 500 руб. до 10000 руб. В общем случае интервал между ценами исполнения зависит от уровня цены базисного актива. К примеру, в США для опционов на акции интервал между ценами исполнения составляет 2,5 долл, для акций стоимостью 25 долл, и ниже, 5 долл, при курсе бумаги больше 25 и до 200 долл включительно и 10 долл, при цене акции свыше 200 долл.
В течение действия данного временного контракта спотовый курс базисного актива может превысить или стать ниже заявленных соответственно самой высокой или низкой цен исполнения Тогда биржа в рамках данного временного контракта добавляет новые цены исполнения.
6.3.	ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОНАМИ
С помощью опционов можно страховаться от повышения и понижения цены базисного актива. При хеджировании от роста цены базисного актива покупают опцион колл, при страховании от падения цены базисного актива покупают опцион пут. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 1.
Инвестор планирует купить через три месяца акцию. Он опасается, что к этому моменту цена бумаги может вырасти, поэтому покупает трехмесячный опцион колл с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб.
К моменту истечения срока действия контракта курс акции равен 120 руб. Тогда инвестор исполняет опцион, т.е. покупает акцию за 100 руб. С учетом уплаченной за опцион премии фактическая цена покупки бумаги составила 105 руб.
Допустим, к моменту истечения срока действия контракта курс акции равен 80 руб. Инвестор не исполняет опцион и покупает акцию на спотовом рынке. Фактическая цена покупки составляет 85 руб.
Пример 2.
Инвестор владеет акцией, курс которой равен 100 руб. Он опасается падения ее цены в течение следующих трех месяцев и покупает трехмесячный опцион пут с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Через три месяца курс акции составил 80 руб. Тогда инвестор исполнил опцион, т. е. продал акцию за 100 руб. С учетом уплаченной премии он фактически получил за акцию 95 руб.
Если цена акции выросла до 120 руб., он не исполнил опцион, а продал акцию на спотовом рынке по этой цене. С учетом премии фактически полученная цена составила 115 руб.
Как видно из примеров, хеджирование с помощью опционов позволяет инвестору застраховаться от неблагоприятной конъюнктуры, но оставляет возможность воспользоваться благоприятным развитием событий.
Страхование от роста цены базисного актива можно осуществить продажей опциона пут, а хеджирование от падения цены - продажей опциона колл. Однако в отмеченных случаях страховка ограничивается только величиной полученной премии
Пример 3.
Инвестор планирует купить через три месяца акцию. Опасаясь роста цены акции в будущем, он страхуется продажей трехмесячного опциона пут с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Страховка сработает, если курс акции не превысит 105 руб.
Пример 4.
Инвестор владеет акцией, курс которой равен 100 руб. Он опасается падения ее цены в течение следующих трех месяцев и страхуется продажей опциона колл с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб. Страховка сработает, если курс акции не опустится ниже 95 руб.
Инвестор может использовать опцион колл для страхования короткой продажи базисного актива.
Пример 5.
Курс спот акции 100 руб. Инвестор ожидает в течение следующих пяти дней падения цены акции до 80 руб. и осуществляет короткую продажу акции. Поскольку существует вероятность роста курса бумаги, он страхуется покупкой американского опциона колл с ценой исполнения 100 руб. за 5 руб.
Пусть инвестор оказался прав: курс акции снизился до 80 руб. Он закрыл короткую позицию. Прибыль с учетом уплаченной по опциону премии составила 15 руб.
Пусть инвестор ошибся в прогнозе: курс акции вырос до 120 руб. Тогда он исполнил опцион, т.е. купил бумагу за 100 руб. и вернул кредитору. Его проигрыш равен только величине уплаченной премии, т.е. 5 руб,
6.4.	КОТИРОВКА ОПЦИОННЫХ КОНТРАКТОВ
Рассмотрим котировки опционов, приводимые в деловой прессе, В таблице 6.5 представлена котировка из газеты Уолл Стрит Джор-нел за 10 июня 2002 г. (стр. М10).
Таблица 6.5. Котировка опционов
OPTION	STRIKE	EXP	-CA VOL.	LL-LAST	-Pt VOL	П» LAST
[ Intel	15	Jan	81	8.10	2450	0.85
22.0	17.5	Oct	297	5.70	1954	1
I 22.0	20	Jun	1320	2.50	4540	0.40
В ней сообщается информация о торгах за предыдущий день. В первой колонке слева указывается название компании и цена акции при закрытии на спотовом рынке. Она составила 22 долл. Во второй и третьей колонках дается цена исполнения опционов по месяцам окончания сроков обращения контрактов. В четвертой и пятой колонках приводится информация об опционах колл, а в шестой и седьмой об опционах пут. Соответственно в четвертой и шестой колонках указан объем торговли, а в пятой и седьмой - цена последней сделки.
В мировой практике премия опциона дается в расчете на единицу базисного актива. Контракт может насчитывать определенное количество единиц актива. Поэтому премия за весь контракт определяется по формуле:
премия за	количество
премия за контракт =	х
единицу актива единиц актива.
Например, в США контракт на акцию включает 100 акций. Поэтому согласно таблице 6.5 стоимость последней сделки с июньским опционом колл составила 250 долл.
В отечественной практике котировка опциона относится к одному фьючерсному контракту. Например, цена сентябрьского 2005 г. оп
циона колл на фьючерс на акции РАО ЕЭС с ценой исполнения 8500 рублей равна 75 руб.
Инвестор, торгующий опционами, должен не забывать, что, как и по другим активам между ценами покупателя и продавца существует некоторый спрэд, который отражает риск и ликвидность рынка. Например, котировки сентябрьского 2005 г. опциона колл на фьючерс на акции РАО ЕЭС с ценой исполнения 8500 руб. в середине дня 13.05.2005 г. составляли: цена покупателя 75 руб., цена продавца -85 руб. Таким образом, инвестор в этот момент мог продать контракт за 75 руб. и купить за 85 руб. В зависимости от цен исполнения спрэд между ценами может быть весьма существенным. Например котировки сентябрьского 2005 г. опциона колл на фьючерс на акции РАО ЕЭС с ценой исполнения 8000 руб. в середине дня 13.05.2005 г. были следующими: цена покупателя 251 руб,, цена продавца - 298 руб.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
"’Существует три типа опционов: американский, европейский и бермудский. Американский опцион можно исполнить в любой день в течении срока действия контракта, европейский - только в день его окончания. Бермудский опцион дает право исполнить его в определенные моменты времени в течение действия контракта. Различают два вида опционов: колл и пут. Опцион колл дает право держателю опциона купить или отказаться от покупки базисного актива. Опцион пут дает право держателю опциона продать или отказаться от продажи базисного актива. Инвестор приобретает опцион колл, если рассчитывает на повышение курса базисного актива, опцион пут - когда ожидает его понижения.
Европейский опцион колл исполняется, если к моменту истечения контракта курс спот базисного актива выше цены исполнения, европейский опцион пут - если курс спот актива ниже цены исполнения.
Выделяют три категории опционов: с выигрышем (УГЛУ), без выигрыша (ATM), с проигрышем (ОТМ).
Покупая опцион, инвестор уплачивает продавцу премию. Она состоит из двух частей: внутренней и временной стоимости.
Организация торговли опционными контрактами в своей основе аналогична торговле фьючерсными контрактами. При открытии позиции продавец контракта обязан внести гарантийный залог. При торговле опционами на фьючерсные контракты оба участника вносят начальную маржу.
При страховании от роста цены базисного актива надо купить опцион колл, при страховании от падения - опцион пут.
ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ
В настоящей главе на примере опционов на акции рассматривается вопрос определения границ премии опционов. Мы ответим на вопрос о стоимости опционов перед истечением срока действия контрактов и выведем формулы для верхних и нижних границ премии опционов, проанализируем целесообразность раннего исполнения американских опционов.
7.1.	ГРАНИЦЫ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ НА АКЦИИ, ПО КОТОРЫМ НЕ ВЫПЛАЧИВАЮТСЯ ДИВИДЕНДЫ
7.1.1.	Стоимость американского и европейского опционов колл к моменту истечения срока действия контрактов
Непосредственно перед истечением срока действия контрактов стоимость европейского и американского опционов колл может принимать только два значения. Если 5 < X, (где S - цена спот базисного актива к моменту истечения контракта, X - цена исполнения опциона), то премия равна нулю, поскольку покупка опциона не принесет инвестору выигрыша. Если S > X , то премия составит 5-%. При нарушении данного условия возникает возможность совершить арбитражную операцию. Поясним сказанное на примерах.
Пример 1.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл равна 5 руб., цена исполнения - 100 руб., цена акции - 110 руб.
Указанное выше условие нарушено, поэтому арбитражер покупает опцион за 5 руб., так как он стоит дешевле чем должен стоить, и осуществляет короткую продажу акции на спотовом рынке за 110 руб. Исполняет опцион, т. е. приобретет акцию по контракту за 100 руб., и возвращает ее кредитору. Его выигрыш равен:
-5-100 + 110 = 5руб.
Пример 2.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона колл равна 15 руб., цена исполнения - 100 руб., цена акции - 110 руб.
Указанное выше условие нарушено, поэтому арбитражер продает опцион, поскольку он стоит дороже чем должен стоить, занимает
деньги и покупает на спотовом рынке акцию. При исполнении контрагентом опциона, арбитражер поставляет ему акцию за 100 руб. Его выигрыш равен:
15-110 +100 = 5руб.
минус процент за кредит.
Таким образом, к моменту истечения срока действия контракта цена опциона колл равна его внутренней стоимости, т.е. нулю, если 5 < X , или 5' - X, если 5 > X . Г рафик цены опциона колл к моменту истечения действия контракта представлен на рис. 7.1. ломаной линией оХа.
Рис. 7.1. Цена опциона колл к моменту истечения срока действия контракта
Следует подчеркнуть, что до окончания периода действия контракта график премии опциона колл будет иметь выпуклую форму, как показано на рис. 7.2. По мере приближения срока окончания контракта график все ближе будет подходить к ломаной линии оХа, пока не сольется с ней непосредственно перед моментом истечения опциона.
Рис. 7.2. График премии опциона колл за 6, 3 месяца и перед моментом истечения срока действия контракта
7.1.2.	Стоимость американского и европейского опционов пут к моменту истечения срока действия контрактов
Непосредственно перед истечением срока действия контрактов цена европейского и американского опционов пут может принимать только два значения. Если 5 > X , премия равна нулю. Если 5 < X , она составит Х-S. При нарушении последнего условия можно совершить арбитражную операцию.
Пример 1.
Перед истечением срока действия контракта цена опциона пут равна 5 руб., цена исполнения - 100 руб., цена акции - 90 руб.
Указанное выше условие нарушено, поэтому арбитражер покупает опцион, поскольку он стоит дешевле чем должен стоить, и акцию, заняв для этого деньги. Исполняет опцион, т, е. поставляет акцию по контракту за