Н. М. БЕСКИН
ЗАДАЧНИК-
ПРАКТИКУМ
по
ТРИГОНОМЕТРИИ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАНИЕ 3-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1966
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачник-практикум — это книга, которая учит читателя
решать задачи, показывая, как они решаются.
Этот задачник-практикум отличается от школьных за-
дачников и по содержанию и по расположению материала.
Отличие по содержанию заключается, во-первых, в том,
что здесь главное внимание уделено аналитической стороне
тригонометрии (тригонометрические функции числового,
в частности комплексного, аргумента, нахождение пределов,
экстрем^'мы, суммирование рядов, приближенные методы
решения уравнений). Во-вторых, отсутствуют наиболее простые
и традиционные задачи, рассматриваемые в школьном курсе.
Количество задач на решение треугольников (на плоскости)
сведено к минимуму. Однако это не значит, что задачник
комплектовался из трудных и искусственных задач. Это —
задачник повышенной тематики, а не повышенной трудности.
Предпочтение отдано более высоким (по сравнению со школь-
ными) точкам зрения на вопросы тригонометрии и тонкостям
исследования задач, а не элементарной тренировке, необхо-
димой при первоначальном изучении тригонометрии.
Включен параграф, посвященный решению сферических
треугольников.
Отличие по расположению материала заключается в том,
что задачи не расположены по разделам школьного курса
тригонометрии. В школьных задачниках, например, сначала
идут тождества и уравнения, основанные на формулах сло-
жения, а уже затем — на формулах двойного и половинного
аргумента. Здесь же сначала идут все тождества, а затем —
все уравнения. Предполагается, что, приступая к решению
задачи № 1, учащийся уже владеет в полном объеме школь-
ным курсом тригонометрии.
Автор не имел в виду дублировать задачник по анализу.
Задачи на раскрытие неопределенностей должны решаться
з
без использования правила л’Опиталя, а задачи на экстре-
мумы — без дифференцирования. В предлагаемой книге эти
задачи приводятся, чтобы показать возможные применения
тригонометрических преобразований.
Этот задачник был впервые издан в 1959 году Москов-
ским государственным заочным педагогическим институтом
как пособие для студентов. Он может быть использован
в школе (для внеклассной работы и в математических шко-
лах). На этот случай в задачах, где используются форму-
лы Эйлера, дается параллельно и более элементарное ре-
шение.
В задачах на приближенное решение уравнений (§ 11)
предполагается только метод проб.
Вычислительные задачи не рассчитаны на какие-либо
определенные таблицы. Углы задаются и вычисляются
в минутах (т. е. погрешностью меньшей, чем 30"), а значе-
ния тригонометрических функций — с четырьмя цифрами
после запятой. Учащийся обязательно должен располагать
таблицей тригонометрических функций числового аргумента.
Задачник разделен на два раздела: основной и дополни-
тельный. Основной раздел содержит минимальный, набор
задач, которые рекомендуется перерешать полностью. До-
полнительный раздел (повторяющий ту же тематику и со-
стоящий из таких же параграфов) дает выбор задач для
дополнительной тренировки.
Большинство задач этого задачника заимствовано из рус-
ской дореволюционной и иностранной литературы. Не пере-
числяя всех источников, укажем один, который был ис-
пользован особенно значительно: С. В о й т и н с к и й, Собра-
ние вопросов и задач прямолинейной тригонометрии, Спб.,
вып. 1, 1909, вып. 2, 1909, вып. 3, 1911.
Некоторые задачи заимствованы из критических писем
читателей. За критические указания автор искренне благо-
дарен |И. Я. Танатару|, И. И. Беловой и А. М. Люстиг
(Елабуга), Е. А. Мурзаеву (Саратов), М. Б. Балку (Смо-
ленск), Э. Г. Гетману (Арзамас), Н. Н. Шоластеру (Москва)
и К. П. Сикорскому (Москва). Он надеется, что этот
перечень будет в дальнейшем пополняться.
Ник. Бескин
9 августа 1965 г.
ОСНОВНОЙ РАЗДЕЛ
§ I. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Доказать тождества (№ 1—3).
1.	l+sin2g+cos2g ctga
14-sin 2g— cos 2g
Решение. Используем формулы: 1 -f-cos х=2 cos2 у,
1—cosx=2sin2 Средние члены (в числителе и знамена-
теле) рассматриваем как синус двойного аргумента:
1 -f-sin 2a4-cos 2g  2 cos2 a4-2 sin a-cos a 
14-sin2g—cos 2g	2sin*g4-2sing-cos g
'2 cos g (cos g 4- sin g) c^ga
2 sin g (sin g 4- cos g)
В этом рассуждении мы сократили дробь на cos a 4-
-f-sina, что незаконно в случае cosa-f-sina=0, т. е. когда
a = — — -\-k л. В этом особом случае левая часть данного тож-
4
. О
дества принимает неопределенный вид —* а правая часть
равна — I. Возможны две точки зрения на этот случай.
1)	Если при некотором значении а хотя бы одна из
двух частей равенства теряет смысл, то равенство призна-
ется несправедливым при этом значении а. Таким образом,
данное тождество справедливо для всех значений а, кроме
значений вида а= — —+kn.
4
2)	Если при некотором значении a=a0 в равенстве
f(a)=<p(a) хотя бы одна из частей (например, левая) теря-
ет смысл, то мы приписываем ей значение, равное lim f (a),
a->a®
т. e. считаем равенство справедливым, если lim/(a)=<p (<х0).
5
При решении уравнений приходится исследовать, так ли
это. При доказательстве же тождеств такое исследование
не требуется: если тождество /(а)=<р(а) справедливо для
всех значений а в некоторой двусторонней окрестности а0
и если функция (а) непрерывна при а=а0 (каковые
условия в данной задаче соблюдаются), то тождество
/(a)=<f(a) при а=Оо обязательно верно (в указанном
выше смысле).
В этой книге принята вторая точка зрения.
2.	2 (sinH a+cos6 a) — 3 (sin4 a+cos1 a)+1 ^0.
3.	(sin a-j-sin P)2+(cos a+cos P)2=4 cos2
4.	Найти (точно) синус и косинус 15° и 75°.
Решение. Первый способ. Рассматриваем 15° как
разность между 45° и 30°:
sin 15° = sin (45° — 3b°) = sin 45°  cos 30° — cos 45°-sin 30°=
__1^2 j z3	2 1   pz6 — у'2
~~2~' 2	2	2	4
аналогично:
cos 15°=cos (45° — 30°) = YltZL.
Второй способ. Рассматриваем 15° как половину от
30°. Используем формулы (VI. 1) и (VI.2) *>. Двойной знак
не нужен, так как синус и косинус 15° заведомо положи-
тельны:
f 2	2
Эти выражения можно упростить, пользуясь формулой
(XVI 1.1):
- «го 6 ~2	«го 1^6 -f-j.’ 2
Sin 15  ---------—, cos 15 = ——;
4	ч ’
sin 75°=cos 15°, cos 75°=sin 15°.
•) См. список формул в конце книги.
6
5.	Найти х (точно), если sinx =
Решение. Найдем cos2x [формула (V. 12)):
cos2x=l — 2sin2x=I----- <2— /2 ) = —,
2 к /	2
откуда одно из возможных решений: 2х=45°, х=22°30'.
Но если 22’30' есть один из углов, имеющих такой синус,
какой указан в условии задачи, то все углы, имеющие
тот же синус, задаются формулой х=180%+(—1)* 22’30'.
Как видно, мы должны сначала догадаться, чему равен
х, а затем эту догадку проверять. Без такой догадки
неясно, почему мы вычисляли cos 2х. В подобных задачах,
если такая догадка затруднительна, рекомендуется обра-
щаться к таблицам. В данном случае имеем:
/2=1,4142,
2-/2=0,5858,
]/г — /2 = /0,5858 = 0,7654,
sinx= 1-20,3827, х =22’30'.
2
Разумеется, вычислениями но таблицам нельзя доказать,
что х точно равен 22с30', потому что эти вычисления —
приближенные. Они могут использоваться не- в качестве
доказательства, а лишь в качестве наведения. После них
следует провести доказательство, изложенное выше.
6.	Найти (точно) tg 11’15'.
Доказать тождества (№ 7—9).
7.	^-^-=14-2cos2a-|-2cos4a4-2cos6a.
sin a
Решение. Первый способ. Заменим синусы по
формуле Эйлера [формула (XIII.5)J:
. ,	7a	— <• 7a
sin 7a e —e_______
sin a	«’a	—
e — e
7
Далее в ходе выкладок мы для краткости дважды делаем
замену обозначений: е/а=/, t2=s.
1
Г — —
sin7ц _____Р —1 s7—— 1*) _
sin а	1	Iя—t9	s* — s3
I— —
t
=s3+s2+s+1+j±t£±l
s3
=s8+s2+s+1+- + -b|4 =
s s3 s3
= i + /s+ lUp+_LUp+_LU
\ s ] \ sa / \ s3 /
= 1	2“+e- ‘ 2“)4-(e‘ 4а4-е-'4а)+(е' ^-l-e- ' 6o)=
= 14-2 cos 2a-}-2 cos 4a+2 cos 6a.
Второй способ. Используем формулу (VHI. 3):
sin a • cos 6a =-i (sin 7a — sin 5a),
sin a-cos 4a = -i (sin 5a—sin 3a),
sin a  cos 2a= 1 (sin 3a — sin a),
sin a-cosO = -i (sin a-|-sin a).
Стожим эти равенства. При сложении правых частей неко-
торые члены уничтожатся.
sin a (14~cos 2a4-cos 4a-|-cos 6a) = ± (sin 7a-|-sin a).
Умножим на 2 и разделим на sin a:
24-2 cos 2aq-2 cos 4a-|-2 cos 6a = -in 7a—1-1.
sin a
Особый случай: a=k п (см. решение задачи № 1).
8.	sin a-J-sin 3a-|-sin 5a4-sin 7a=4 cos a cos 2a sin 4a.
Решение. Первый способ (слева направо). Сумму
двух синусов преобразуем в произведение. Группируем пер-
•) Далее производится деление многочленов.
8
вый член со вторым, а третий с четвертым (по одинаковой
разности аргументов):
sin a-|-sin 3a+sin 5a+sin 7a=
= 2 sin 2a cos a-|-2 sin 6a cos a=
= 2 cos a (sin 2a-|- sin 6a)=2 cos a  2 sin 4a • cos 2a.
Можно группировать первый член с четвертым, а второй
с третьим (по одинаковой сумме аргументов).
Второй способ (справа налево). Преобразуем пра-
вую часть данного тождества в сумму по формуле (VIII.6).
Вывод этой формулы приводится в решении задачи № 43.
Полагая в этой формуле х=4а, у=а, 2=2а, сразу полу-
чим нужное тождество.
g sin За-cos3 a+cos За-sin3 а sin 4а ,
’	3	4
10.	1) Выразить cos и а через cos а и sin а.
Решение. 1)По формуле бинома Ньютона:
(cos a-H sin a)"=cos"a+i n cos"-1a • sin a —
— n(n— 1) cosn-2 a. sjn2 a — {.п(п —1)(и —2) cosn—s a. Sjns a_|_
21	31
j(n-l.M«-2)(«-3). co^n_4a.sin4a+ ...
4!
... +i"-1 n cos a sin"- 1a4-tn sin" a.
По формуле Моавра [формула (XIll.l)l:
(cos a-H sin a)" =cos n a+i sin n a.
Правые части этих равенств можно отождествить.
Приравнивая отдельно действительные части, получим:
cos п a=cos" a — w	cos"-2 a sin2 a-|-
21
. n(n—l)(n — 2)(n — 3)	п_д - д
-I--5----—------—------ cos" 4a-sin4 a — ...
41
Последний член равен:
n—I
(— 1) 2 n cos a -sin"-1 a при нечетном n,
n
(— 1) 2 sin" a при четном n.
2) Выразить sinna через cos a и sin a.
9
11.	Упростить sin 47°+sin61° — sin 11° — sin 25°.
Решение. Объединяем первый член с четвертым, а
второй с третьим (по одинаковой сумме аргументов):
sin47°+sin 61° — sin 11° — sin 25°=
=2cos36°sin ll°+2cos36° sin25°=
=2cos36°(sin 1 l°4~sin 25°)=
=4sin 18° cos 36°cos 7°=4 sin 18° (1 —2 sin2 18°)cos7°= ...
Ho sin 18° можно определить, пользуясь теоремой: хорда
равна диаметру круга, умноженному на синус половины
дуги, стягиваемой этой хордой. Если за хорду взять
сторону правильного вписанного десятиугольника, то
a10=27?sin 18°,
откуда sin 18°=^-. Из геометрии известно, что
D /5 — 1
---------•
Таким образом,	_
sin 18°=-^12-.
4
Теперь можно вычислить:
1 — 2 sin218° = -LiEtL.
4
Продолжаем прерванные выкладки:
. 1/5—1 /5+1 ,о ,о
... =4------------—-cos7=cos7.
4	4
Примечание. Можно было бы обойтись без вычисления sin 18°
и получить результат значительно белее коротким, но зато п более искус-
ственным приемом, а именно: дейдя до выражения 4 sin 18° cos 36° cos 7°,
следовало умножить и разделить его па cos 18’. Дальнейшие вы-
кладки протекали бы так:
. . 1QO	~,о	4 sin 18° cos 18° cos 36° cos 7°
4 si п 18 cos 36 cos 7 =----------------------
ebs 18’
2sin36°-cosc6°"Cos7° sin72acos7°
----------------------------------------	= COS 7 ,
cos 18’------------------cos 18°
потому что sin 72°=cos 18’.
12.	Вывести формулы для:
1)	синуса суммы трех аргументов,
10
2)	косинуса суммы трех аргументов.
3)	тангенса суммы трех аргументов.
Решение. Первый способ. Преобразуем двумя
различными способами выражение ё <“+₽+>> [формула
(ХП1. 2)]:
gi<a+CM) =cos(a+P+Y)+l sin(a+P+y),
ё (О'ЬР4"¥) —-	• g* v
=(cos a+i sin a) (cos P+i sin P) (cos у+t sin y)=
= cos a • cos P-cosy — cosa • sinp -siny— sina-cosP-siny—
— sin a-snip-cosy + i (sin a-cos p-cos у + cosa-sinP-cos у 4-
4-cosacosp-sin у —sina-sinP-sin y).
Отождествляя правые части этих равенств (отдельно при-
равнивая действительные и мнимые члены), получим:
cos (a+P+ у)=cos a • cos P  cos у — cos a  sin P • sin у —
— sin a cosp-sin у — sin a-sin P-cos y,
sin(a+p+y)=sina-cosp-cosy+cosa-sinp-cos y+
4-cosa-cosp-sin у — sin a-sinP-siny.
Деля второе равенство на первое и после этого в пра-
вой части деля числитель и знаменатель почленно на
cos d • cos Р- cos у, получим:
tg(a+p+y) = tea+tgp+try-jgajep-tgy
1 —tga-tgp—tgp-tgy — tgy-tga
Второй способ.
sin (a-|-P+y)=sin |(a+P) 4-y!
= sin(a+P)-cosy+cos(a+P)-sin y =
=(sina-cosP4~cosa-sinP)cos yj-
+(cosa-cosp — sin a-sin P) sin y=sina cosp-cos y+
+cosa- sin P- cos y+cosa-cos P- sin у — sin a• sin p  sin y.
Формула для cos(a+p+Y) выводится аналогично, формула
для tg(a+p+Y) получается делением.
13.	Вычислить
tg/i-arcctg 31
11
Решение. Обозначим a=arcctg3. Это значит
ctga=3,
(Вообще arcctg x заключается в интервале (0, л) [формула
(XI. 4)1, но арккотангенс положительного аргумента при-
надлежит первой четверти.) Вычисляем:
1	1	ctga 3
sin а= —	= ——, cos a = —	=——.
/14-ctgsa	/10	/l-|-ctg®a /10
(Двойной знак перед радикалом не берется, потому что a
принадлежит первой четверти.) Далее используем формулу
(VI .5):
1____1_
(1	, „ \	. a	f 10	.—
у arcctg 3 j= tg - =---J--= у ю — 3.
/10
14.	Упростить sin (2 arcsin х).
15.	Вычислить sin f 2arccos—).
\	4 /
16.	Упростить ctg (2 arccos x).
Доказать (№ 17—19).
17.	arcctg — + 2 arcctg y=—.
7	3	4
Решение. Обозначим: a=arcctg —, 0=arcctg —.
7	3
Тогда
ctga= 1 ctg 0=1-.
I	о
1 — 1
ctg2B=c-tg,p~l=-____=-l
8 P 2ctg₽ 2	3’
3
— 1 — 1
ctg(a+2₽)= ctga.ctg2P-l=^l---
w ctga+ctg2₽ JL_ 4
7	3
12
Из того, что ctg(a4-2p)=l, еще нельзя однозначно опре-
делить а-]~2р. Необходимо установить достаточно узкие
границы, в которых заключается а4~2Р; а принадлежит
первой четверти. Кроме того, раз ctgac^l, тоа2>— - Ана-
4
логичные замечания относятся икр. Итак, —
4	2
—-<^Р<^~-;-^-<2р<^л. Складывая первое и третье нера-
венства, находим:
<a+ 2Р <
В этих границах (см. черт. 1)
существует единственный аргу-
мент, котангенс которого равен
единице: это —. Следовательно,
4
а-(-2р= —, т. е. arcctg — +
4	7
. _	, 1 5л
4-2arcctg-=—.
О 4
112
18.	arctg—4- arctg—4- arctg—=
3	4	9
— л
"4*
1	ч
19.	2arctg—= arctg—.
Найти к из уравнений (№ 20—22).
20.	arctgx=2 arctga.
Решение. Сначала найдем область возможных значений
параметра а. Для того чтобы правая часть могла представ-
лять арктангенс, необходимо и достаточно:
— y<2arctga<^.
откуда
—-2-< arctg о <-5-,
4	4
— 1 <fl< 1.
13
Для нахождения х берем тангенс от обеих частей дан-
ного уравнения:
*	* ч 2tg (arctg л) 2л
х= tg (2 arctg а) =--—-----5---=-------.
1 — tg 2 (arctg л) 1 — а-
у
Ответ. х~----------. Задача возможна только при |а|<Ч.
1 —ла
21. arcctg х=-л— arcsin3o.
22. 1) arccos x=arccosa— 2 arcsin b;
2) arcsin x=arcsin a+2 arccos b.
1). Решение. Прежде всего заметим, что должно быть:
|с|<1 и |Ь|<1.
Правая часть может представлять собой арккосинус при
условиях:
0< arccos а — 2 arcsin b < л.
Рассмотрим эти условия отдельно.
A) arccos а — 2 arcsin b > 0.
Если Ь с 0, то условие А) всегда соблюдается (потому что
оба члена левой части неотрицательны). Если же Ь О,
то преобразуем условие А) так:
arccos ct> 2 arcsin b,
cos (arccos а) cos (2 arcsin b),
a < 1 — 2b2.
Уравнение a= 1 — 2b2 изобра-
жается параболой. Неравенство
a 1 — 2b2 удовлетворяется для
всех точек внутри этой пара-
болы. Теперь ясно, что три ус-
ловия:
Черт. 2	ОН Ъ
2)|Ь|<1,
3) при Ь>0 а <11—2b2 определяют область, изобра-
женную на чертеже 2 (включая границу). Для точек этой
области (включая границу) соблюдается условие А), а так-
же условия | а ]	1 и | b |	1.
Переходим к условию В):
arccos а — 2 arcsin b л.
Если Ь > О, то условие В) всегда соблюдается. Если же
b ^0, то преобразуем условие В) так:
arccos а < л+2 arcsin b.
14
cos (arccos a) > cos (л+2 arcsin b)= — cos (2 arcsin b),
О 2b2 — 1.
Итак, условие В) вместе с условия ми |а|< 1 и |Ь|<1
определяет область, изобргженн^ю га чертеже 3 (напом-
ним, что при b > 0 выполнения неравенства а > 2b2 — 1
не требуется).
Чтобы задача была возможна, необходимо одновременное
выполнение условий А) и В). Эти условия выполняются
в общей части областей, изображенныха и чертежах 2 и 3
(см. черт. 4).
Черт. 3
Черт. 4
Значение х легко найти, беря косинус от обеих частей
данного уравнения.
Ответ. х=а(1 —2b2) + 2Ь/(1 — а2)(1—Ь2).
Задача возможна при одновременном соблюдении условий:
Эти условия иллюстрируются чертежом 4.
§ 2.	УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
23.	Доказать, что при а+Р+У=л имеет место тож-
дество:
tga-Mg ₽+tgy=tga tg p-tg Y.
Решение. Первый способ. Заметим, что tgy—
=16(я-(«+ю1=-16(«+в=^г^^.
15
Знаменатель последнего выражения должен быть отли-
чен от нуля. Равенство его нулю означало бы, что tgy не
существует. Разумеется, доказываемое тождество имеет
смысл лишь в предположении, что все три тангенса суще-
ствуют.
Из тождества tgy=-----освобождением от
1 — tga-tgp
знаменателя получается требуемое тождество.
Второй способ. Используем формулу для тангенса
суммы трех аргументов [формула (IV. 11)]. Если a4-P4~Y=
=л, то tg(a-j-p4-y)=0. Следовательно, числитель правой
части формулы равен нулю (числитель н знаменатель этой
формулы не могут одновременно быть нулями, см. задачу
№ 224), т. е.
tga+tgP4-tgy = tga-tgP-tgY.
24.	Доказать, что при а-|-Р4-у=я имеет место тожде-
ство:
cosa-f-cos P4-cosy=1-J-4sinsinsin у.
25.
Доказать, что при а4~Р4~у=-у имеет место тож-
дество:
sin а4- sin р 4-sin у=
а \ . / л В\ . /л	V
— 14-4 sin I----1 sin J----—] sin I----
\ 4	2 J \ 4	2 / H 2
26. Доказать, что при a4-p4-y=2n имеет место тож-
дество:
cos2 а 4-cos2 P4-cos2 y=-1 +2 cos а • cos р • cos у-
27. Доказать: если a+P4-Y=(2n4-l)n и sina4-sinp=
= 2siny, то либо а-[-Р=2£л, либо tg~tg—=-^-.
2	2	3
28.
29.
30.
тождество:
sina4-sinP4-sinY+sin6=4sin
Доказать: если а4~Р= —, то (14-tg«) (l+tg₽)—2.
4
Доказать, что при a4-P=Y имеет место тождество;
sina4-sinP4-sinY=4cos-^-cos-£ sin-|-.
Доказать, что при а4-Р+у+в=2 л имеет место
а-|-В	64-у . у4-а
—— sin	Sin .
2	2
16
Решение. Первый способ (справа налево). По
формуле (VIII. 4):
. . a+p р+у . у+а . /а+р . р+у . у+а v .
4 sin —— sin	sin i-!—= — sin I ——+ - '	1+
2	2	2	\ 2	2	2 }
+sinf_5±L+₽±Y+Y±5.\+
2	2	2 /
+sin («±L - P±V+Y±±\+sin f5±₽-+₽±Y - Y±“)=
\2	2	2/	\ 2 1 2	2 /
— —sin(a+P4-y)+sin y+sina+sinp=
=sin a4-sin P4-sin y4-sin 6.
Второй Способ (слева направо):
sina+sin p+sin y+sin 6=2 sin	cosa~^ 4~
. _ . y+6 у — 6
-(-2 sin22—cos --= ...
2	2
Заметим, что
a+p । Y+6	• Y+®	 a+P
——+-12—=л; sin2-—=sin——.
2	2	2	2
„ . a+p Г ' a — p . у — 6 1
... =2sin—— cos-------— -4-cos1- =
2 [	2	2 J
. . a+p	a+y— p — 6	a+6 —В— y
=4 sin —— cos ———~-----cos ——---!---— = ...
2	4	4
Заметим, что
a+y — P — 6 aj-y _fit_a+y \ ____fn___a+y \
4	~~ 4	\ 2	4 I ~	^2	2/
a+6 —P —у л___p+y ____Р+У _ л___p+y
4	2	4	4	2	2 *
Поэтому
a+y — p — 6	a+y	a+6 — p—у	P+Y
COS-2-! C--= sln_£_L cos—------c ! = Sin!-!-1.
2	2	2	2
Таким образом,
sina+-sinp+sin Y4-sin6=4sin^iL sin—sin^E.
31. Доказать, что при а+р+у+в=2л имеет место
тождество:
tga+tgp+tgY+tgd= iin(«H-p)sin(a+y)sin(a+6) .
cos a • cos p • cos у • cos 6
2
H. M. Бескин
17
п	sin* а . cos4 а 1	_
32. Доказать: если-------4--------------, то
т п /и+п
sin" a .cos8 а____	1
т3 л" (пЦ-л)"
(/п+л^О).
Решение. План решения:
1) нз первого равенства найдем si па и cos а,
2) подставим их во второе равенство и убедимся, что
они ему удовлетворяют.
Для краткости обозначим:
cos2a=x.
Тогда
sin2a=l(l—х), sin4 а= 1(1— 2x4-х2),
cos2 а= 1(14-х), cos4 а= 1 (14-2х4-х2).
Подставляем эти значения в первое уравнение:
1 —2*4-ха	1+2х+ха  1
4/п	4л	т+п
или после упрощений:
(m4-n)2x24-2(m — п) (т+п)х+(т— п)2=0.
Сразу видно, что это уравнение может быть переписано так:
1(/п4-п) х4(т — п)]2=0,
откуда
л — т
х ---------------------------.
п+т
Далее:
 9	1/1 л — т\ т
sin2a= — 11------)=-----,
2 \ п+т) п+т
°	1 /, . л — т \	л
cos' a=—11 4-----1 =----•
2 \ л+т/ п+т
Подставляем эти значения во второе уравнение:
т* , л* _________________________	1
(п+т)* тя (п+т)* пя (т+п)я ’
что верно.
Доказать (№ 33—35).
33.	Если sin2 р=sin a -cos a, то cos 2₽ = 2 cos2 «
16
34.	Если tga и tgP суть корни уравнения х2+рх+
+ q = 0, то sin2(а + ₽) + psin (а + P)cos(a + Р) +gcos2x
Х(а+Р) = <7.
Решение. Из условия задачи вытекает, что tga-f-
4-tgP= — р, tga-tgp=(?. Преобразуем данное выражение,
стараясь, чтобы в нем фигурировали только сумма и про-
изведение тангенсов:
sin2 (a+P)+p sin (a+P) cos (a-rPJ+^cos2 (a+P) =
=cos2 (a 4- P) I tg2 (a+P)+p  tg (a+ P) + q] -=
=	, RJtg2(a+P)+p-tg(o+P) + <7i = ...
l+tg*(a+P)
Заметим, что
tg(a+P)= tga+tgP
l-tga-tgp o-l
Продолжаем:
...=-----!----[_£L_+^ + gL
/Я |(g-iy <?-!	4
+ (9-I)2
= P2 I P2 (<? — О । <?(<?—I)2 _ ;
P2+(<? — I)2	Pa+(?-l)2 P2+(<?-! )2
_ pa<? + <? (<? — I)2 =
₽»+(?-1)3 4‘
35.	Если sin(n-ctga)=cos(n-tga), то либо csc2a=
=A-|~—, либо ctg 2 a.
4	4
Решение. Преобразуем данное равенство, используя
формулу (VII. 12):
cos |д- + у (tg a+ctg a) j cos [-у — у (tg a — ctg a) j=0,
откуда получаются две возможности:
1)	cos jy+*y «+ctg a) j^O,
•у + у (tg «+ctg a) = у +k л.
tg a+ctga=2A:+y
2*
19
——=2k+- [формула (VII. 19)],
sin 2 a	2
csc2a=&+ —.
4
Это возможно при | k + | > 1, t. e.
либо k + ~	—1.	,
4	4
либо k+ — > 1, k> —.
4	4
Так как, кроме того, k — целое, то выходит, что k
может принимать любые целые значения, за исключением
— 1 и 0.
2)	cos [y — у (tg a — ctg a)]=0,
y-y(tga-ctga)»i+ftrt,
tg a — ctg a= — 2k — y,
— 2ctg2a=—2k— -i- [формула (VII. 20)],
ctg2a=M~*
4
Здесь k—любое целое число.
§ 3.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ПРОИЗВЕДЕНИЙ В СУММЫ
Преобразовать в произведения (привести к «логариф-
мическому виду» № 36—38).
36.	1 + tgatgp.
37.	sin 3a+sin 7a+sin 10a.
Решение. Объединяем, например, первые два члена:
sin 3a+sin 7 a+sin 10 a=2 sin 5 a - cos 2 a+
+2 sin 5a  cos 5 a=2 sin 5 a (cos 2 a+cos 5 a)=
=4 sin 5a • cos — cos—.
3	2
20
Тот же результат получится, если начать с объедине-
ния любой другой пары членов.
38.	1) sin a+sin p+sin (а+Р),
2)	sin a+sin p — sin (a+ P).
39.	Преобразовать в произведение при помощи введения
вспомогательного угла:
(|Ь|<|о|).
Решение. Положим:
| — |=sin <р, 0	ф < 90°.
Область значений ф выбрана так, чтобы 51пф принимал все
возможные для него значения по одному разу. Расширение
этой области было бы бесполезно и внесло бы многознач-
ность в дальнейшие выкладки:
]fa2— б2=|а| ]/1 — sin2 ф =|а|-С03ф.
Заметим, что в силу условия
0<ф<90’ cos<p=/l— ьш2ф (без двой-
ного знака).
При а>>0 и Ь2>0 полученный ответ
иллюстрируется чертежом 5.
40.	При помощи введения вспомогатель-
ного угла представить в виде произведе-
ний корни уравнения х2+рх-|-д=0 в случае,
когда р2 — 4g > 0 и q > 0.
41.	Преобразовать в произведение при
помощи введения вспомогательного угла:
Черт. 5
V 4 tg a + sin a +У 4 tg a — sin a.
42.	Определить амплитуду и начальную фазу гармони-
ческих колебаний:
1) s=2cosf-|-3sinf. 2) s=cos(2f—l)-|-sin(2f-|-5).
Решение. 1) s=2cosf+3sin/=...
Выносим за скобку	2®+32 (это и есть амплитуда),
... =У 13 f —— cosH—— Б1пЛ = ...
у/Тз /13	)
Обозначим:
Д=/ТЗ=3,6056.
21
откуда <р=33°4Г.
sin <г=-=0,55470,1
Д
cos ip=— = 0,83205,
д
(0<4,<90'j,
___= A (sin cos 14-cos <р  sin t)=A • sin
2) Преобразуем сначала данное выражение по фор-
муле (VII. 9):
cos (2/ — 1 )-J- sin (2/4-5)=
=2sin(— 4-3^sin (—4-24-2^=...
Обращаемся к таблицам:
—=0,78540, —4-3=3,78540,
4	4
sin ^-f-3j = sin 3,78540=— 0,60025.
Продолжаем прерванные вычисления:
.. .=— 1,2005 sin (2,785404-2/) = ...
Можно потребовать, чтобы начальная фаза заключалась
между 0 и Замечая, что л=3,14159, напишем:
2,78540=л —0,35619
и далее:
.. .=— 1,2005-sin 1л — (0,35619 — 2/)] =
= 1,2005 sin (2/ — 0,35619).
43.	Преобразовать в сумму:
1)	cos a-cos Р-cos у,
2)	cos а  cos р • sin у,
3)	cos а-sin Р-sin у,
4)	sin а• sin р-sin у.
Решение. Первый способ. Используем форму-
лу (VIII. 1):
cos а - cos Р- cos у =— [cos (а — Р)-J-cos (а4- P)J cos у=
=-i- [cos (а — Р) cos у4- cos (а-)- Р) • cos у]=
22
=Y lcos(a — 0 — y) f cos (a —0 ]~y) 4-cos (a 4-0 —y) 4-
4-cos (a+0-H)j.
Второй способ. Будем исходить из формулы
(IV. 10):
cos (a-|-04-Y)=cos a • cos 0 -cos у — cos a • sin 0  sin у —
— sina-cos0-sin у — sin a-sin 0-cos y.
Для краткости обозначим временно:
cos a-cos 0-cos у=A,
cosa-sin0-sin y=B,
sin a  cos 0 • sin y=C,
sin a  sin 0 • cos у = D.
Изменяя знаки a, 0, у и замечая, что
изменение знака а влечет изменение знаков С и D,
»	»0»	»	»	В » D,
»	» у »	»	»	В » С,
получим еще три формулы. Выпишем все четыре:
cos(a4-04-y)=/l — В — С — D,
cos(— а+0+у)=Л — В + С 4- D,
• cos(a — 0+у)=Л4-В — C4-D,
cos(a+0 — у)=Л В + С — D.
Составим следующие две линейные комбинации из этих
равенств:
cos(a4-04-y)4-cos(— a4-04-y)4-cos(a — 04-у)4-
4-cos (a 4-0 — у)=44,
— cos (a 4-04-у’) — cos (— a 4-04- y)4-cos (a — 04-y)4-
4-cos(a4-0 — y)=4B,
откуда, восстанавливая смысл обозначений А и В,
cos a  cos 0 • cos у=—Icos (а 4-04-у)-|-cos (—a 4-04-у) 4-
4
4-	cos (a — 04- у) 4- cos (a 0 — y)|,
cosa-sin 0-sin y=— [— cos (a4-04-y) — cos (—a4-04-y)4-
4
4-cos (a — 04-y)4-cos (a4-0 — y)|.
Чтобы решить примеры 2) и 4), надо повторить ана-
логичные рассуждения, отправляясь от формулы (IV. 9).
Отвег — см. формулы (VIII. 6) и (VIII. 4).
23
Легко понять, почему произведения 1) и 3) выражаются
через косинусы: они не изменяются при одновременном
изменении знаков a, [J и у. Произведения же 2) и 4). изме-
няют свое значение на противоположное при одновремен-
ном изменении знаков a, Р и у и потому выражаются
через синусы.
44.	Преобразовать в сумму:
sin а • cos Р• cos (а--Р).
45.	Вычислить (точно) cos20°-cos40°-cos80°.
Решение. Обозначим искомое произведение через х:
cos 20° cos 40° cos 80°.
Умножим обе части этого равенства на sin 20° и затем три
раза используем формулу
1	• о
sin a cos а=— sin 2 а.
2
х • sin 20°=sin 20° cos 20° cos 40° cos 80’=®
— — sin 40° cos 40° cos 80°= — sin 80° cos 80° =>
2	4
=1 sin 160° = 1 sin 20°.
8	8
откуда
1
x=~.
8
46. Понизить степень (до первой):
1) cos3 а, 2) sin3 а.
Решение. Первый способ:
/ eta+e-«a.3 е«.За+3ей+з -ia+e-/ 3a
cos3 а= I —J-----I =------—--—-----—-------=
\ 2 / 8
1 /Зо4-е—-30 , 3 е1а+ё~la	1 „0,3
4	2	4	2	4	4
аналогично:
. 3 I eia—e~ia V 1 . о , 3 .
sin3 a= ---------- =--------sin 3a 4— sin a.
\ 2i I 4	4
24
Второй способ:
cos3 а=cos2 а - cos а=у (14- cos 2а) cos а=cos а+
+— cos2a-cosa= у cos a-}-— (cosa+cos3a)=
3	,	1 Q
=— cos a -1-cos 3a.
4	4
Для sin3 а рассуждение аналогично, ответ — см. формулу
(IX. 3).
Понизить степень (до первой) (№ 47 и 48).
47. 1) cos4 а, 2) sin4 а. 48. sin2 a-cos2 а.
§ 4.	УРАВНЕНИЯ
49.	Решить уравнения:
1)	sinx— cosx=l.
Решение. Для решений уравнений вида a sin х+
4-cos х=с существует много способов. Укажем три
из них.
Первый способ (самый примитивный, ио не луч-
ший). Выразим cos х через sinx (или наоборот):
sin х + У I — sin2 х = 1,
+ V 1 — sin2 х = 1 — sin х,
1 — sin2 x=(l — sin x)2,
sinx-(l — sinx)=0,
откуда либо Л) sinx=0, х=180°л,
» В) sinx=l, x=90°4-360’6=90° (4^4-1).
Недостаток этого способа заключается в том, что он
содержит возведение уравнения в квадрат и поэтому может
приводить к лишним корням. Следовательно, применение
этого способа должно сопровождаться проверкой. Проверяя
решение х=180°л (подстановкой в заданное уравнение),
мы видим, что оно верно только при нечетном л, т. е. при
п=264-1- Второе решение верно всегда. Итак, имеем две
серии решений:
х= 180° (2/г |1) и х=90’(46-J-1).
25
Второй способ. Преобразуем левую часть в произ-
ведение методом введения вспомогательного утла (вынося
за скобки амплитуду Л=|/а2-|-6г и вводя начальную фа-
зу <р по формулам sin<p=j-, cos<p=-^j. В данной задаче
можно также воспользоваться формулой (VII. 16);
— У 2 cos(45°4-x)= 1,
cos (45° 4- х)=— iy-,
45°4-x=360° п± 135°,
х=45° (8п — 1 + 3).
Беря верхний и нижний знаки, мы получим отдельно реше-
ния, к которым пришли первым способом.
Третий способ. Возведем данное уравнение в квад-
рат, после чего умножим правую часть на sin2x-|-cos2x:
a2 sin2x-\-2ab sin х  cos х-Ь£>2 cos2 х=сг (sin2 x-l-cos2х).
Теперь получилось уравнение, однороднее относительно
sinx и cosx. Делим его на cos2x и получаем уравнение,
содержащее одну неизвестную функцию (tgx). При этом
могут потеряться решения, для которых cosx=0. Поэтому
надо специально испытать значения х=90°-|-180%.
В данной задаче вследствие ее индивидуальных особен-
ностей следует действовать иначе: после возведения в квад-
рат сразу определяется sin2x:
sin2x— 2sinx-cosx-f-cos2x=l,
откуда
~sin2x=0.
2х=180°л; х=90°л.
Проверка обязательна. Она показывает, что значения
л=4А+1 н л=4й-|-2 годятся, а л=4А и л=4А+3
не годятся.
2)	sinx-|-cosx=0,3,
3)	sin х+j/Tcos х= 1.
Решить уравнения (№ 50—71).
50.	7sin2x— 8 sinx-cbsx= 15ccs2x.
51.	sin® x-J-cos® х—sin2x-cos2x.
26
Решение. Будем рассматривать левую часть как
сумму кубов:
(sin® x+cos2 х) (sin* х — sin2 х-cos2 x+cos4 x)=sin2 x-cos2 x;
sin’ x — 2sin2x-cos2x+cos4 x=0;
(cos2 x — sin2 x)2=0;
cos22x=0;
cos2x=0;
2«=90°(2AH-l), x=45° (2&+1).
52.	sin1 x+cos4 x='|-
53.	tgx+ctg2x=6.
54.	cos2x+sin2x — cosx+sinx=l.
55.	3 (sin x+cos x)=2 sin 2x.
Решение. sin2x легко выражается через sinx+cosx:
sin 2x=2 sin x • cos x=(sin x+cos x)2 — 1.
Поэтому данное уравнение можно переписать так:
3(sinx+cosx)=2l(sin x+cosx)2 — 1J.
Обозначим:
sinx+cosx=y.
Тогда данное уравнение примет вид:
2/ —Зу —2=0,
откуда ух=—у2=2. Второе значение невозможно, по-
тому что sinx+cosx не может равняться 2. Следова-
тельно,
1
sin x+cos х= — — ,
или [формула (VII. 13)1
V 2 sin (45°+х)= — -i,
sin(45°+x)= —	~ — 0,35355,
45°+х= 180° k — (— 1)* <р, где <p=arcsin st 20°42',
х=45°(4Л — 1)+(— 1)*+* Ч>.
27
56.	tgx=2cosy.
57.	tgx4-tg2x4-tg3x=0.
Решение. Сумму первых двух членов преобразуем
в произведение:
sin3x ^sin3x___q
cos х - cos 2x cos 3x
si n 3jc (cos 3x4- cos * • cos 2x) q
cos x- cos 2x • cos 3x
Заметим,, что левая часть данного уравнения теряет
смысл в следующих случаях:
cosx=0, x=90Q (2л4-1);
cos2x=0, х=45°(2л4-1);
cos3x=0, х=30°(2л4-1).
Приравниваем нулю каждый из множителей числителя:
1)	sin3x=0, х=60°6.
Проверим, не может ли это решение принять одно из
«запрещенных» значений:
а)	60° k=90° (2л 4-1); 26=3 (2л 4-1). Этого не может
быть, потому что 26 — четное число, а 3(2п4~1) — не-
четное;
Ь)	60°6=45°(2л-|-1); 46=3 (2л 4-1) — не может быть;
с)	60° 6=30° (2 л 4-1); 26=2л4-1 — не может быть.
Следовательно, ответ х=60°6 годится при любом целом 6.
2)	cos3x4-cosx-cos2x=0,
cos х (4 cos2 х — 3) 4- cos x (2 cos 2 x — 1) = 0 [формулы
(V. 4) и (V. 2)]:
cos x (3 cos2 x — 2)=0,
2j	) cosx=0. He годится!
2,) cosx= + i/ — =+	+0,81650,
— у 3	— 3	— *
откуда x=180°6±<p, где <p=arccos^-~ ^35 16'.
3
28
58. sinx-sin3x= —.
' 2
59. sin5x=16sin5x.
Решение. В правой части понизим степень [формула
(IX. 7)1:
sin 5х= 10 sin х — 5 sin 3x-|-sin 5х.
Далее преобразуем sin3x по формуле (V. 3):
2sinx—sinx(—4sin2x4-3)=0,
sin x (4 sin2 x — 1)=U,
1) sinx=0, x=180o£
2) sinx= + -|, х=30°(6Л + 1).
Примечание. Можно было бы начать с преобразования левой
части данного уравнения по формуле (V. 7). В этом случае выкладки
будут немного длиннее.
60.	sin5x4-cos5x-|-sin7x4-cos 7х=0.
61.	sin л'4-sin 2x4-sin Зх — cos х — cos 2х= 1.
Решение.
(sin x-|-sin 3x)-|-sin 2х — cosx — (1 -|-cos 2x)=0.
2sin2x-cosx4-2sinx-cosx — cosx — 2cos2x=0.
cosx (2 sin 2x+2 sin x — 1 —2cosx)=0.
cosx(4sinx-cosx-|-2sinx— 1 —2cosx)=0.
cos x [2 sin x (14-2 cosx) — (14-2 cos x)]==0.
cosx(l 4-2 cosx) (2 sin x— l)=0.
1)	cosx=0, x=90° (2^4-1)-
2)	14-2cosx=0, cosx=—у, х=120°(3& + 1).
3)	2sinx—1=0, sinx=-~, x=30°[6fe4-(—1)* 1.
62.	• sin x4-sin 3x=sin 2x4-sin 4x.
63.	sinx4-sin 2x4~sin3x=cosx4-cos 2x-|-cos3x.
*64. tg(y+xUtg^ — x)=2.
29
з
65. cosx+cosy—cos(x+y)=—.
Решение. Это уравнение имеет определенное реше-
ние, хотя оно и с двумя неизвестными. Причина заклю-
3
чается в том. что — — максимальное значение функции,
стоящей в левой части. Если бы в правой части задать
число большее, чем —, то уравнение не имело бы деистви-
3
тельных решении, а если меньшее, чем —, то задача была
бы неопределенной.
Данное уравнение может быть решено многими спосо-
бами, более или менее искусственными. Укажем два из них.
Первый способ. Положим:
tg—=и, tg— —V.
ь 2 Б 2
В таком случае
1 — и1	. 2и
cos х=-------, st п х=---
14- и®	14~ч®
(формулы (VI. 7) и (VI. 6)1. Аналогично cosy н sin у вы-
ражаются через V. Преобразуем данное уравнение так:
cos x+cosy — cos х • cos y+sin x • sin y=
1 —u*	1 —o® (1 — t?) (1 — v®)	3
l-H? +	+ (1-H?)(14-V-) ~2’
3 (I +U2) (I +t>2) — 2 (1 — u2) (1+U2) — 2 (I +u2) (1 —1>2)+
+2(1 — u2)(I —1>2) —8:w=0,
u2+tt2 — 8tw+9tt2ir!+1 =0,
(u — »)«+9uV — 6tw+1 =0,
(u — t02+(3tw— l)2=0,
откуда
и — v=0, 3uv—1 = 0.
Таким образом,
tgf=tg2:	1=0-
30
Получаем две возможности:
1) tgv=J?’ *=60°(6m+l),
y=60°(6n+i).
3
2) tgA=-j£, *=60°(6m—1),
tpZ=—11, y=60°(6n—1).
6 2	3
Второй способ. Преобразуем левую часть данного
уравнения по формулам (VII. 3) и (V. 2):
2 cos ^cos х-*~ 2 cos2 -^+1 =-,
2	2	2	2
2 cos cos^=l+ 2 cos2^.
2	2	2	2
Jt-
Выразим отсюда 2cos-—
1+4 cos’---
о	*—У	2
2 cos---=-------------
2	„	*+P
2 c®s-у-
или
2 cos--------!---+ 2 cos ±!±.
2 n x+y	2
В правой части — сумма двух обратных величин. Она по
модулю >2 [формула (XVII. 2)1. Левая часть по модулю
’С 2. Поэтому равенство может иметь место лишь в том
случае, когда каждая часть равенства по модулю равна 2.
Получаем две возможности:
a) cos* 1,
cos-i±>: = l
2	2
* — у =720° т,
х+у= 120° (6п 4- 1).
31
b) cos-—-=— I,
2
x+y	1
COS—— =--,
2	2
X — y=360°(2m+l),
х+у=240°(Зп+1).
При решении тригонометрического уравнения различны-
ми способами иногда бывает нелегко убедиться в тождест-
венности полученных ответов. Если оба ответа выражены
общими формулами, содержащими бесконечное множество
значений, удовлетворяющих уравнению, то тождественность
надо понимать так: множество значений, даваемых первой
формулой (или первой системой формул), совпадает
с множеством значений, даваемых второй формулой (или
второй системой формул).
Рассмотрим ответы, полученные вторым способом. Заме-
тим, что множество всех чисел вида 6p-J-5 совпадает с
множеством всех чисел вида (и?—1, потому что
6р+5=6(р+1) -1.
Аналогично множество чисел 6р— 5 совпадает с множест-
вом 647+I.
В случае а) имеем:
(х— у=120°6т
l*+y=120°.(6/i+ 1),
откуда
fx=60°46(n+m)± 1]
U (у=60°-[6(и — т) + 11.
На' первый взгляд может показаться, что серия реше-
ний (I) совпадает с тем множеством решений, которое было
получено первым способом, но это не так. Дело в том, что
коэффициенты n-f-m и п — т нельзя считать произвольны-
ми независимыми целыми числами. Они одинаковой четно-
сти (т. е. одновременно оба четные или оба нечетные).
Перейдем к случаю Ь):
(х — у=120°-(6/п-|-3)
I *+у= 120° • (6п + 2),
откуда
|x=60946(n-|-m) ± 2-|-3]
(у=€0”.[6(л —т) + 2 —3]
32
(знаки — оба верхние или оба нижние). Для удобства обо-
зрения расчленим этот результат на две серии:
(И) /х=60°•I6(n-f-m)+5]=60°«I6(n-|-m-|-l) — U
( ' (у=60°46(л — т)— 1],
(III) (х==60°-16<п+т)+Н
' ’ |у=60°-[6(л — m)-5]=60°.[6(n—m-l) + lj.
Серию (I) можно записать так:
/п |х=60°-(6р + I) и q — целые числа одинаковой
1 ly=60°-(6g+ 1) четности),
а серии (II) и (III) вместе так:
(II III) |х==6^°‘(6р± 1) (р и q— челые числа различной
Чу=60°-(6$±1) четности).
Объединяя эти три серин, получим:
(р и q — произвольные целые
числа).
с тем, которое было получено
(I, II, III) I* 60°-(6p±l)
|y=60°-(6<7 + I)
Эго решение совпадает
первым способом.
66. sec5x=cos2x.
Решение. |sec5x|>l, |cos2x|<<1. Поэтому равен-
ство sec5x=cos2x может иметь место лишь в двух слу-
чаях:
1) sec5x=cos2x=I,
2) sec5x=cos2x =—1.
Исследуем эти случаи:
1) 5x=360°m; х=72°т,
2х=360°л; х=180сл.
Следовательно, 72°т=180сл, или (сокращая на 36°) 2т=
=5п. Это возможно, если т=5&, n=2k. Таким образом,
х=360°А.
2) 5х=180°(2т+1); х=36°(2т-]-1).
2х=180°(2и+1); х=90°(2л+1).
Следовательно, 36°(2иг-|-1)=90°(2л4-1) или 2(2т-^-1)=
=5(2л+1). Это равенство невозможно (левая часть —
четная, правая — нечетная). Значит, второй случай не может
иметь места.
67. sinx-siny=l.
3
Н. М. Бескин
33
Решение. Если бы один из двух сомножителей был
по абсолютной величине меньше единицы, то другой дол-
жен быть больше единицы, что невозможно. Поэтому
данное уравнение может удовлетворяться только в следую-
щих случаях:
1) sinx=l; x=90°(4m-{-I),
siny= 1; j’ 90° (4л+1),
2) sinx=—1; x=90°(4m—1),
sin у-—1; у 90°(4п—1).
*68. sinx+sin5x=2.
69.	З’е'е'+З'е'*6 х=2.
Решение. Предварительно отметим, что область до-
пустимых значений х такова:
90°-2А<х<90°(2А+1).
В самом деле, во-первых, х не должен равняться 0, 90ч
и т. д., потому что при этих значениях либо тангенс, либо
котангенс не существует. Во-вторых, tgx и ctgx должны
быть оба положительны (иначе не существовал бы их лога-
рифм), т. е. х должен оканчиваться в первой или третьей
четверти.
Далее заметим, что Igctgx=—Igtgx. Поэтому данное
уравнение можно записать так:
у+—=2, где y=3,EtE*.
Последнее уравнение можно решить как квадратное урав-
нение. Однако проще рассуждать так. Ясно, что у>0.
Известно, что сумма положительных взаимно обратных
величин удовлетворяет неравенству
y+L>2
У
(формула (XVII. 2)1. Минимальное значение достигается
при у=1. Следовательно,
З'е •#*=!,
Igtgx O,
tgx=l,
х=45° (4Л+1).
34
Все эти значения х принадлежат области допустимых
значений.
70.	sin (x-]-a)-|-sin x=cos -у.
71.	tg2x+tg(a+x)-tg(a —х)= 0.
72.	Найти значения х в интервале — л< х < п, удо-
влетворяющие уравнению sin (х — 2)=sin (Зх — 4).
Решение.
sin(x— 2) — sin(3x— 4)=0,
sin (х— l)cos(2x— 3)=0,
- 1) sin(x—1)=0, х=£л-|-1.
Теперь найдем допустимые значения k, исходя из условия
— л х л:
— Л<А Л +1 < л,
— л— 1<й л< л-----I,
— 1— -<k< 1 —-1-,
л	л
— 1,3 < k < 0,7, т. е. k — 1 или 0,
2) cos (2х - 3) = 0. х=4 (2k +1) + Л
4	2
Найдем допустимые значения k:
_я<А(2А!+1)+|<п,
— 4 — - < 2fe+l <4 — —,
л	л
— 5 —- <2fe<3—
л	я
— 3,5 <£<0,5, т. е. £=—3, —2, —1 или 0.
3*
35
Задача имеет шесть решений (мы нумеруем их в порядке
возрастания):
—2,42699, х4=—-+-^0,71460,
1	4	2	4	2
Л'2=—л + 1st:—2,14159, ' хь=1,
5?+-1~ — 0,85619, хв=—+-5-^2,28540.
3	4	2	®	4	2
73.	Решить и исследовать уравнение
tgzx=m(I —cosx).
Решение. Одно решение сразу видно: tg х = 0,
cos*=l, т. е. х=2/гл. Это решение справедливо при лю-
бом значении параметра т. При т=0 имеется еще одно
решение: tgx=O, cosx=—1, т. е. х=(2£+1)л. Если ис-
ключить эти случаи, то tg2x2>0 и 1—cosx2>0, поэтому
обязательно должно быть т >> 0, что мы и будем предпо-
лагать в дальнейшем.
Обозначим cosx=y. Тогда данное уравнение запишется
так:
Далее:
(1_у)(1+у) = ту2(]_у),
(1_у)(т/_у_])=0,
откуда находим три корня:
„_1	У1 +4т	1+/1 + 4т
У1 —1  Уз ~	о • Уз-----------о
2т	2т
Первый корень уже был обнаружен. Выражения для у2
и уз действительны, потому что т>0. Для возможности
задачи необходимо, чтобы было |у2|<1, |)%К1. Для удоб-
ства исследования перенесем иррациональность в знаме-
натель:
2	2
Уз=--------— —------• Уз=- . =—-------------
У I + 4яг 4-1	} 1 4- 4т — 1
Корень у2 заведомо отрицателен. Поэтому требуем
jAl 4- 4т 4-1
36
откуда
Y'l+4m>-l, m>0.
Значение т==0 мы исключили из рассмотрения. При т=0
имеем у.2=— 1, а такое решение уже было отмечено.
Корень у3 заведомо положителен. Поэтому требуем
У1 + 4m— 1
откуда	________
УI -\-4tn >3, т>2.
Ответ. При всех значениях т имеется решение
cosx=l. При 0<т<оо, кроме этого, имеется еще одно*»
решение: cosx=-------—  ------- (при т=0 оно дает отме-
уЛ + 4m 4-1
ченное раньше решение cosx=—1, которое поэтому не
требует особого упоминания). При 2<zn<oo, кроме этих
2
двух, имеется еще третье решение: cosx= ——-	----
/ 1 + 4m — 1
(оно существует и при т=2, но совпадает с первым).
Этот ответ иллюстрируется чертежом 6.
-Ч -3 -2 -1	0	1	2 3	4
--------------------------------- C0SX=1
C0S X=~Vf+4m + 1
°--------^C0SX= VrAnPi
Черт. 6
74.	Решить и исследовать уравнение:
2sec2x— 3sec x+a=0.
75.	Решить и исследовать уравнение:
sin10 x+cos10 х~а.
*» Под словами <одно решение» мы здесь понимаем одно значение
cos х. Разумеется, оно приводит к бесконечной последовательности
значений х.
37
Решение. Полезно сразу отметить, что должно быть
а>0. В самом деле, оба члена левой части неотрицатель-
ны и не могут быть нулями одновременно. Обозначим у=
= cos2x. Тогда данное уравнение запишется так:
/ 1_ У Xs । п
I 2 ) I 2 I
лее*
(1 - У)5+(1 +у)5=32 а,
(1 —Sy-f-lOy2— 10у3-|-5у4— у5)+
+(14-5у+ 10у’+ 10y3+5y4-f-y5)=32 а,
1-|- 10у24-5у4 = 16а.
Обозначим z=cos4x. Тогда
2 »о I-f-cos4x I4-z
y2=cos- 2х= —L---- - —.
z	2	2
и уравнение примет вид:
l+5(l-bz)+4 (l+z)2=16a,
4
ИЛИ
5г24-30г+29 —64а=0,
— 15±4 Уб+гос
~	5
Мы уже знаем, что а>0. Поэтому подкоренное выражение
положительно.
Исследуем каждое из двух значений z отдельно:
_ < —15+4 lz5+20n
"	5
‘	—5 < — 15+4 ]/ 5 + 20а < 5,
4" К5+2°а 5-
^5+20ач25,
1 , ,
—а ' 1 (при этом соблюдается и нера-
венство а>0).
38
Второе значение z заведомо отрицательно. Требуем:
—15 —4lZ5+20a j
5
15+4 ]z 5+20а ss5. Это невозможно.
Таким образом, второе значение z при любом а не годится.
Ответ. Задача возможна при ' ++<11
16
.	—15+4 /5+20а
СОЗ 4х=------—X------.
5
76. Доказать, что уравнение 2x+sin2x=— при п>2
п
имеет единственный корень; этот корень заключен меж-
ду 0 и —.
п
Решение. Перепишем данное уравнение так:
- л 2л	л
sin 2х=-----2х.
п
Рассмотрим графики:
y=sin2x,	(а)
(Ь)
Линия (Ь) — прямая, отсекающая на осях X и Y отрезки
соответственно — и —; ее угловой коэффициент равен —2.
л л
Линия (а) — синусоида. В начале координат ее угло-
вой коэффициент равен 2, потому что при стремлении ар-
гумента к нулю синус эквивалентен своему аргументу (их
отношение стремится к 1) и, значит, угловой коэффициент
y=sin2x при х=0 такой же, как у линии у=2х. В точке
о) (чеРт‘ ?) угловой коэффициент равен —2 (по
симметрии). Прямая (Ь) при п=2 тоже проходит через точ-
ку Д^-, oj и имеет угловой коэффициент—2. Следова-
тельно, эта прямая — касательная к синусоиде в точке А.
Увеличивая п, мы будем получать прямые, параллель-
ные этой касательной и расположенные ближе к началу.
39
Ясно, что каждая такая прямая пересекает синусоиду в
одной точке. Впрочем, это можно доказать аналитически.
Рассмотрим функцию
и вычислим ее приращение:
/ (х J-A) — /(x)=sin 2 (х-}-Л) — sin 2x+2ft=
=2 sin й-cos (2х-}-//)4-2ft.
Знак этого приращения совпадает со знаком Л, потому
что |sinft|<|ft| и |cos2(x-|-ft)|<3- Значит, /(х) моно-
тонно возрастает. Если при некотором значении х линии
(а) и (Ь) пересекаются, то (при этом значении х) / (х)=0.
Так как /(х) непрерывна и монотонно возрастает, то она
не может обращаться в нуль более одного раза.
Итак, каждая прямая (Ь) при и > 2 пересекает сину-
соиду (а) в одной точке. Абсцисса этой точки заключена
чо
между 0 и—, потому что — — отрезок, отсекаемый этол
Л	Л
прямой на оси X.
Только при и=2 упомянутая абсцисса равна —, т. е.
п
л
равна —.
77.	Доказать, что уравнение x4-cosx=a при любом о
имеет ровно один корень.
78.	Зная, что а и ₽ суть два существенно различных * ••))
корня уравнения fl-sinx4-A-cosx=c, определить sinaj-
4-sinp.
Решение. По условию аир удовлетворяют данно-
му уравнению, т. е.
{asina-|-6cosa=c,
asinp+Ь cosp=c.	(*)
Вычитанием находим:
a (sin a — sin P)+b (cos a — cosP)=0,
a-2sin °~P cos— b-2sin a ~ P sin ^P=0,
2	2	2	2
a— P / a+P l  “+P\ n
sin------ | fl COS —— — о sin —— 1=0.
2 у 2	2 I
Первый множитель отличен от нуля (потому что a — Р=+
+360° k). Следовательно,
a+P L. • П+Р Л
a cos — — — о sin — —=0,
2	2
откуда
Е±₽=_£_**>
2 ь
Сложение равенств (*) дает:
a (sin a+sin Р)+Ь (cosa+cosp)=2c.	(*♦)
*) Корни существенно различны, если a — р+360°-Л.
a+p
••) Если бы было cos =0, то следовало бы написать:
a+P b
ctg —~=—.
2- а
Окончательный результат был бы тот же самый.
41
С другой стороны, известно (формулы (VII.
1) и (VII. 3)]):
sina-f-sin f
cos a-boos Р
т. е.
sin a-f-sinP а
cos a+cos p b
cosa+cos p=—(sin a+sin P).
a
Подставим это в (**):
ул \
a 4— I (sina+sinP)=2c,
л j
откуда
.	. a Ум.
sin a+sin p=~——.
79.	Решить уравнение:
sin (л cos x)=cos (л sin x).
Решение, sin (л cos x) — cos(nsinx)=0.
Применим формулу (VII. 12):
Я . л cosjc+л sin jc \	1 я , ncosx —
4	2 I I 4	2
—+— (cos x+sin x)=+ n л,
4	2	2
cos x+sin x - 2n+y,
j/2 sin ( — 4-x\=2n+— (формула (VII. 13)1,
I 4 I 2
sin(—+x^=l/2
14/	4
Возможные значения k определяются из неравенств:
42
откуда
/2
2
~7<л<
I
4*
приближенно
— 0,96 < и <0,46.
Таким образом, для п возможно только одно значение:
и=0.
Поэтому
sin 4-х )- ^^ 0,35355,
4 4~*—лЛ4~(— 1)* <р,
\=^(4fc-l)+(- 1)4,
4
где <р=arcsin -—^.0,3614
4
или в градусной мере
х=45°(4&—1)4-(—1)4» где q> arcsin’^-^20t?42'.
2) (cosx — sinx)=^-4-nn,
о , 1
cos х — sin x=2n 4-—,
J/2 cos ^4-xj=2n4--^-,
cos f^4-*)=V2'n4J^-.
\ 4 j	4
Как уже было выяснено, обязательно п=0.
cos /-4-И = —^0,35355,
\4 / 4
у 4~*=2& л±<р,
х= — (8ft— 1)±ф, где q> = arccos^4r 1,2094,
4	л
43
или в градусной мере
x=45e.(8fe—1)±ч>. где <p=arccos^^-^69°18'.
Решить уравнения (№ 80—84).
80.	sin sin х=—0,8. 81. tgx2=ctg5x.
Решение. tgx2— ctg5x=0.
Преобразуем левую часть по формуле (VII. 18):
cos(*3+5*) Q
cos*2-sin5*
cos(x24-5x)=0,
хг+5х=у(2*+1).
2х2+1 Ох — л (2k+1)=0,
— 5+/ 25+2л(2Л+1)
“	2
Условие действительности:
25+2л(2Л+1)>0,
откуда
2,5.
2 4л
Таким образом, k может принимать значения:
Л=—2, —1, 0, 1, ...
82.	sin —=cos3x.
х
83.	esc2х— ctg2x=V3.
84.	sinx=cos Yx .
85.	Доказать, что уравнение sin (cosx)=cos(sinx) не
имеет решений (действительных).
Решение, sin (cos х)—cos(sinx)=0.
Преобразуем левую часть по формуле (VII. 12):
/л . cos*4-sin* \ /л . cos*—sin*
cos I — H---—---- | cos | — 4-------
I 4	2 I I 4	2
44
1) cos
cosx-t-sinx \_q
2	)— ’
я . cosjc+sinjc я . ,
7+—2—“2+*".
2
cos %+sjn x=~ (4&+1).
/2 sin ^+*)=l(4n+l).
Уже ясно, что это невозможно. Левая часть по абсолют-
ной величине не более 1^2^1,41, а правая часть по
абсолютной величине не менее —-^1,57.
Аналогично доказывается невозможность равенства:
2) cos (-+--Х~-1П-Х =0.
I4 2 /
86.	Доказать, что уравнение sin (sin х)=cos (cosx) не
имеет решений (действительных).
87.	Решить уравнение: arccos х — arcsin х=-^.
Решение. Присоединим к данному уравнению тож-
дество (XI. 12):
arccos %+arcsin х=-^.
arccos х — arcsin х= —.
6
Сложением этих равенств находим:
arccos х= —,
з
откуда
I
Х=—.
2 88 89
88. Решить уравнение: arcsin х-|-arcsin ———-z-
уТ" 2
89. Решить уравнение; arcsin 2х=3 arcsin х.
45
Решение. Введем обозначения:
arcsin2x—а, откуда sina=2x,
arcsinx=0, откуда sin0=x.
Данное уравнение запишется так:
а=3р.
Возьмем синус от обеих частей уравнения, используя при
этом формулу для синуса тройного аргумента (V. 3):
2.г=3х — 4х3, х (4х2 — 1)=0.
„ । 1
откуда Xi=0, х2=—,	хя=—
Проверка обязательна, потому что, беря синусы от
обеих частей уравнения, мы получаем уравнение, не равно-
сильное данному. Проверка показывает, что все три ре-
шения удовлетворяют исходному уравнению. .
Проверка была бы излишней, если бы мы предвари-
тельно установили область допустимых значений х:
— — <^3arcsinx<;—,
2	2
л___	.
----<^arcsin х <—,
6 .	6
____I <х < £
2 С 2 '
90.	Решить уравнение (найти х и и):
3 arctg (2+1'^3") — arctg х=л л-l-arctg -U
О
91.	Решить уравнение;
arctg (х— l)+arctg x+arctg(x4-l)=arctg3x.
92.	Решить в целых числах уравнение:
arctg x-f-arctg — arctg 3.
У
46
Решение, нения:	Возьмем тангенс от обеих частей урав- 1 х+~ = 3. 1-- У 22±1=з, У — х Л 3 — X
или, выделяя из неправильной алгебраической дроби це-
лую часть,
Теперь ясно, что целые решения могут получиться
только в тех случаях, когда 3 — х есть делитель числа 10,
т. е. +1, + 2, +5 или +10. Рассмотрим восемь случаев:
1) 3 —Х=1,	х=2,	У=7.
2) 3 — х=— 1,	х=4.	— 13,
3) 3— х=2,	х=1,	У=2,
4) 3 — х= — 2,	х=5,	У=-8,
5) 3 — х=5.	х=—2,	у=-1.
6) 3 — х= —5,	х=8,	У= — 5,
7) 3 —х=10.	X- —7.	У=-2,
8) 3 —х= — 10,	х=13,	у= —4.
Проверка
1
должна только подтвердить, что arctg х-{-
4-arctg — заключено в интервале	в против-
у
ном случае левая часть не может равняться никакому арк-
тангенсу. ।
Прежде всего заметим,’ что если числа а и b имеют
различные знаки, то сумма arctg a-f- arctg b обязательно
47
например, t£>0, b<^0. Тогда
0<arctg a <
---— < arctg b<0,
откуда, складывая, получим:
— ~ < arctg a+arctg 6 <-5.
В силу этого замечания решения 2), 4), 6) и 8) го-
дятся. Проверим остальные. Установим для каждого арк-
тангенса, какой восьмушке он принадлежит:
1) 7 < arctg2 <	0< arctg 1 < »
4	2	/4
< arctg 2+arctg 1 < ~
3) arctg L =-^, 0 < arctg 1 < -J,
j < arctg 1+arctg— < ”,
5)_i<arctg(-2)<—J, arctg (— 1)=-±
- V < arctg (—2)4-arctg(-!)<_”
4	2
7) - ^<arctg(-7)< -arctg 1)<0,
< arcte7>+ arcte l~ 7) < — 7-
Из этой проверки видно, что решение 3) подтверждает-
ся, а решение 5) неверно. Для решений 1) и 7) вопрос
остался нерешенным. Чтобы его решить, следует устано-
вить более узкие границы для рассматриваемых арктанген-
48
до —, от — до —. Но и
3	3	2
сов, например от 0 до —, от —
6'	6
эти границы могут оказаться недостаточно узкими. Ука-
жем два других способа, действующих безотказно.
Первый способ. Обратимся к таблицам:
1) arctg 2=1,11, arctg y^=+, 14, arctg 2+arctg у=гг1,25,
7) arctg(—7)^— 1,43, arctg
arctg (— 7) + arctg ( —
Таким образом, решение 1) верно, а решение 7) нет (вспом-
ним, что у^ 1,57 j'.
Проверка по таблицам может дать категорический ре-
зультат лишь в тех случаях, когда проверяется неравен-
ство. Если же требуется проверить точное равенство, то
проверка по таблицам недостаточна.
Второй способ. Используем тождество:
arctg а+arctg —	:
а 2
1) arctg 2+arctg у=у
arctg у- < arctg у,
следовательно,
arctg 2-f-arctg у <у.
7) arctg 2+arctg у=у.
arctg 7 > arctg 2,
следовательно,
arctg7+arctgy>y
или arctg (—7)+
+arctg /—1\<-Д
Итак, из найденных восьми решений верными оказа-
лись шесть. Нумеруем их заново:
Ответ. Xi=2,	У1=7,	*4= 5,	?4 =	— 8,
х2 -4,	у,= -13,	х6= 8,		— 5,
х3=1.	Уз=2,	хе13,	Уо=	— 4.
4 Н. И. Бескин
49
93. Решить при помощи тригонометрической подстанов-
ки уравнение 2x1/ 1 —x2=cos/.
Решение. Положим:
Л	Я-
Х = 51Пф,—— <^ф<^ —.
Смысл ограничений для у был разъяснен в решении зада-
чи № 39. В силу этих ограничений
У 1 — Л'2 = COS ф
(двойной знак не нужен, так как cos <р > 0), и данное урав-
нение запишется так:
sin 2 (p=cosf.
Далее
sin 2 <p — cos/=0,
— 2 cos ^^-Н-ф+yj cos ^~+ф—^=0 ^Ф°РМУ"
ла (Vll. 12)1.
Имеем две возможности:
a)	cos (у+ф+^^О.
JX .	, t л . <
f+t+y-j+Ь.
т=Ля+Д_|.
, . / it t
x=sinw=-- +sin I--
I 4	2
b)	cos (7+Ф — ij=°-
He повторяем выкладок, так как ясно, что разница
только в знаке при t:
х=+ sin (— + —
~ I 4	2
Проверка вносит дополнительное ограничение: знак х
должен совпадать со знаком cos Л Поэтому из двух знаков
50
в полученных ответах в каждом данном случае должен
выбираться только один, и всего получится два ответа.
Предостережем читателя от возможного недоразумения.
Если, например, cos/ отрицателен, то это не значит, что в
полученных ответах следует взять знак «—» перед синусом, а
значит, что из значений + sin
/л . t \
f“±—I следует
вы-
бирать отрицательное.
Пусть, например,
а 2 л	.	1	г».
/=—, cos/=---------. Тогда
3	2
Следовательно, в этом случае ответы надо выбрать так:
x1 = -J-sin I— — — Y х2=—sin/—+—
14	2 J 2	[42
Ответ. x=+sin +-^у, знак х должен совпадать
со знаком cost
Решить при помощи тригонометрических подстановок
уравнения (№ 94 и 95).
94, 2x=(l-]-x2)sina.
95.	2х=(1—x2)tg«.
§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
96.	Решить систему -уравнений:
(х±у=а,
(sin2x — sin2v=&.
Решен не.
(sin х ! sin y)(sin х — sin у) =- 6.
2 sin ^Cos-^2sinA=Zcosi±-v=6.
2	2	2	2
4*
51
Группируя сомножители с одинаковыми аргументами,
получим:
sin (х+у) • sin (х — у)=Ь *),
но х+у=а. Следовательно,
. .	. ь
sin(x — у)=---,
sin а
откуда можно найти х — у:
х— у=£л+(—1)Л<р, где w=arcsin ——.
' sin а
Ясно, что решение существует лишь при условии
[6[ < |sin а|.
Теперь имеем:
| х+у=а,
|х — у=&л+(—l)ft <р,
откуда
2	' 2
В этих двух формулах k — одно и то же.
97.	Решить систему уравнений:
sin x.cosy=0,36,
cosx-siny=0,175.
Решение. Сложим и вычтем данные уравнения:
sin (х+у)=0,535,
sin(x — у)=0,185.
Откуда
х + у=180°Л+(—где cp=arcsin0,535^32°2r.
*) Этот результат можно было бы получить проще, если бы ко
второму из данных уравнений применить понижение степени по форму-
ле (IX. 10)
cos 2у — cos 2x=2fc
в затем преобразовать левую часть по формуле (VII. 4).
52
х—у=180°/+(— где ip=arcsin 0,185^=10°40',
«=90“»+0+^=1^=^ .
y=90°(t — D-i-l-^T-t-1*1*,
Эти ответы можно упростить. Разберем четыре случая:
1)	k=2p,	1=2 q,
2)	k=2p,	1=29+1,
3)	k=2p+l, l=2q,
4)	fc=2p+l, 1=2?+1.
Имеем соответственно:
1)	x=90°(2p+2 9)+^, y=90°(2p-2 9)+l=*.
2)	x=90°(2p+29+l)+^=^-,
у=90° (2p - 2q - l)+-5±*-.
3)	x=90° (2p+29+1)- tji,
y=90°(2p-29+l)-^,
4)	*-=90° (2p+29+2) -«±5-,
y.+0°(2p-29)-^.
Эти четыре случая можно записать экономнее, объеди-
няя 1) с 4) и 2) с 3):
1) х=90°-2т+^-, у=90°-2п+^=-^,
2)х=90° (2т+1) + ?-^, у=90°(2п+1)+М-.
В каждом случае знаки либо оба верхние, либо оба
нижние.
53
Решить системы уравнений (№ 98—100).
98.	|sin2x+sin2y=3(sinx+siny),
I cos 2x+cos 2y=cos x+cos у.
99.	I25inx+35iny=4,
I 22+siiur_5_gSiny=_2
100.	x+y+z= 180°,
sinx:siny:sinz=5 :6:? 13.
Исключить x из системы уравнений (<№ 101—103).
101.	f sinx=a,
(sin2x=b.
102.	f cosx+sinx^a,
I cos 2x=b.
103.	| x-sin x=m,
I x-cosx=n.
104.	Исключить x и у из системы уравнений:
sinx+siny=o,
cos x+cos у=b,
Решение. Преобразуем сначала третье уравнение:
X
sin —-sin
2
х
cos — -cos
2
У.
у * 2
2
x—y	х+у
cos —---cos----
2	2
x — y ,	x+y
cos-----4-cos----
2	2
a
,giT
1 
Образуем производную
a — b c— d
пропорцию по схеме:
ИЗ
— ~ c
b~ d
сле-
Дует —г
c+d’
x+y a .
— cos ——	te2----1
2	6 2
x' — у a
cos	tg2 —+1
54
или
*+У
cos —
-------=cos а.	(*)
Теперь возведем каждое из первых двух уравнений в квад-
рат и сложим:
2+2 cos (х— у)=о2+&2,
1+cos (х — у) =	.
2 cos2	(**)
2	2	'
Перемножим (*) и (**):
о х+у	х— у а14-Ь2
2 cos —— cos----------— cos а.
2	2	2
Левая часть этого равенства тождественно равна левой
части второго из данных уравнений. Следовательно,
(a2+fc2)cosa=2fc.
105. Исключить х и у из системы уравнений:
х+у=а,
sinx-siny=a,
cosx-cosy=&.
9 6. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И СВЕРТЫВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
106. Суммировать: .
sina+sin(a+ft)+sin(a+2ft)+ ... +sin(a+n/j)-
Решение. Первый способ. Для суммирования
конечного ряда
S„=«l + u2+ ... +«я
иногда удается применить следующий способ. Подберем
так называемую производящую функцию, т. е. функцию»
обладающую следующим свойством:
/ (6+1) — / (А) ик.
55
Придавая k последовательно значения 1, 2, 3, п,
получим:
/ (2) — f (1)=иг,
/(3) —/(2)=ия,
/(4)-/(3)=«э,
/(«) — f(n —
/(n+1) — f(n)=un.
Сложим эти равенства. В левых частях некоторые
члены взаимно уничтожатся (как показано на схеме), а в
правой части получится искомая сумма:
Z(«+l)-/(l)=s„.
При решении' разных задач встречаются многочислен-
ные модификации приведенного хода выкладок.
В данной задаче можно исходить из формулы 1
/ , 2А+1Л	( , 2А— 1 «Л cos/aj—— Лj—cos^a-]		—h \ -- Придавая k значения 0, 1, 2, ..., 1 , ft\	/	Л\ cos ( a Ч— 1 — cos a — — I = \ 2 J	\	2 j cos ( a-i—- 1 — cos a -I— =— I 2 1	\	2 / /	5й\	/ . 3ft \ cos I a-k — 1 — cos «+— |=— 1	2 J	2 1 / . 2я4-1	. 2л —1, \ cost a+-—— n I—cost a J	h b I	2	1	\	2	/ 56	= — 2 sin (a+/sft)-sin-^-. n, получим: =—2sina-sin—, 2 - 2 sin (a-|-ft)-sin 2 sin (a4-2ft)-sin =—2 sin (a-|-nft)-sin .
Сложим эти равенства:
cos (а 4
2п4-1 , \	/ Л\ о .Л
—— п \ — cos [а------\=—2s„+1-sin —,
2 I I 2 /	"+1	2
где через sn+1 обозначена искомая сумма. Левую часть
преобразуем в произведение:
— 2 sin (а+— h Vsin^i1 h=— 2s„+1-sin —,
I 2 I 2	+	2
откуда
. / n \ . n+1
sin a+—h I sin----ft
\	2 /	2
S'1+1~ ~h •
sin-
Второй способ. При суммировании синусов или
косинусов, аргументы которых образуют арифметическую
прогрессию, можно использовать тот факт, что каждый
синус или косинус входит в состав показательной функции:
e‘f=cos<p+Zsin<p.
Вместо того чтобы суммировать данные синусы или
косинусы, можно суммировать соответствующие показа-
тельные функции. Они образуют геометрическую прогрес-
сию. От полученной суммы следует отобрать действитель-
ную часть, если требуется найти сумму косинусов, или
мнимую часть *), если требуется найти сумму синусов.
В данной задаче следует рассмотреть геометрическую
прогрессию:
(“+А> ~i~e‘ (а+2А>-|~ • •. -|-е* (“+яА>,	(*)
знаменатель которой д=еиг. Сумма геометрической прог-
рессии вычисляется по формуле:
5 , Ml-?")
*) «Мнимой частью» называется коэффициент при /.
57
где n — число членов. В прогрессии (*) число членов рав-
но п+1. Следовательно,
е'а[| — е‘ <п+|) й
s"«“	^7
Следует преобразовать S„+1 к виду A+iB (Л и В дейст-
вительны). Укажем на один удобный способ преобразова-
ния выражения вида 1+е'л Это выражение следует
_,ч>
умножить и разделить на е 2 :
_up
е 2
— с
е 2 — с 2
1 — -------------------—
е г
Теперь используем формулы Эйлера (ХШ. 4) и (ХШ. 5):
е~1 г+е1т=2 cos х,
e~Lr — eix=— 2i  sin x.
Подставим это в выражения для 1+е'?:
» ф
Т ф
1+е‘?=2е cos—,
2
• ч>
1—еЪ=—2t-e -sin—.
2
Вернемся к выражению для Sn+1:
/(n+I) Л
«/“(— 2i)e	2 sin *
e2 (—2i) sin—
2
Ь8
= е
. (л+1)Л
sin-------
_____2
h ~
sin —
. I nfl . («4-1)h
4-l-sin I a+— I -sin---:—
К 2 /]'	2___
h
sin —
2
Ряд (*), сумму которого мы нашли, может быть
сан так:
[cosa-J-i sinaJ+lcos(a4-ft)+tsin (a+ft)]+ • ••
• • • +lcos (a+nft)+t sin (a+nA)J.
Приравнивая отдельно действительные и мнимые
выражений (*) и (**), получим:
cosa-|-cos(«+A)4-cos(a+2ft)+ ... +cos(a+n/i)=
cos ; a-f-— j-sin — h
~	h ’
sin--
(**)
запи-
(*)
части
sin a+sin (a+A)4-sin (а-}-2Л)Ч------]-si п (а+лА)=
• I . nh\  "±1
sin Ia4-—l-sin — h
h
sin —•
2
Примечание. Полученные решения теряют силу при
sin^ = 0, т. е. /1=2£л. В этом случае возможны два спо-
соба суммирования.
Первый способ — непосредственное обращение к дан-
ной сумме. Все члены этой суммы при А=2Ал одинаковы,
и мы получаем:
sin a-J-sin a-]-|-sin a=(n+1) sin a.
Второй способ — предельный переход в общей фор-
муле. Этот способ сложен, но поучителен. Обозначая
Л — 2Ал=?, Л=2Лл-Н.
59
получим:
lim
h -* 2k Л
h
sin —
2
sin a-|-
= lim —i—
t — о
n(t+2kn) ] . («4-1)(<4-2Лл)
•	—	— I sin-----------------
sin[n*n+a4——) «sin («4-1) А л-J----1
= lim -----------—-----1-----------£---! =
stnl*n4-—I
Заметим, что
sin(mn+x)=(— l)m sinx
.	. nt\f n<n+1>* - (n+l)f
(-1) sin O4- —)(—1) sin----------
   = lim ------i---tL---------------£—
"°	(—l)*siny
. («4-1) t П
sin--------
t	”
siny
Предел второго множителя в квадратных скобках таков:
. («4-1Н
8‘п-----------------------------
lim------------- («+1)*).
'-° sin-L
\	2
Поэтому окончательно получим:
Г	«и <'2+1>г
 sin-------
t
Sin-
= lim
/-»о
lim
t _ о
=(«+!)• sin a.
*) Способ для нахождения таких пределов показан в решении за-
дачи № 139.
60
107.	Суммировать:
sin a+sin 2 a+sin 3 a+ • • • +sin n a.
Решение. Эта задача может быть решена теми же
способами, что и предыдущая. Кроме того, можно сразу
получить ответ, рассматривая ее как частный случай пре-
дыдущей. Для этого надо в предыдущей задаче положить
а=0, а букву h заменить на а. Получим:
па (л-|-1)а
sin • sin--—
sina+sin2a+sin За+.. .+sin na=--------------------.
a
siny
O случае, когда sin —=0, см. примечание к решению пре-
дыдущей задачи.
108.	Решить уравнение:
sinx+sin2 х+.. ,+sin nx=cos*+cos2 *+.. -+cosnx
109.	Суммировать:
, . / . л\	. I , 2 я\ ,	>  Г , (п— 1)л
sin a+sin ( a4—|+sin (a-|-]+.. .+sin a+5---—
\ nj \ n)	[	2
ПО. Суммировать:
sin a-sin 2 a+sin 2 a-sin 3 a+sin 3 a-sin 4 a+...
.. .+sinna-sin(n+ l)a.
Решение. Каждый член ряда преобразуем при помо-
щи формулы (VIH. 2):
sin a- sin2 a=-^ (cos a — cos 3 a),
sin 2a-sin3a = y(cosa — cos.5a),
sin 3 a-sin 4 a=i (cos a — cos7a), J (*)
sin n a-sin (n+1) a=~
cos a — cos(2n+l)a .
J )
Заметим, что
cos3 a+cos5 a+cos7 a+.. ,+cos(2n+l) a=
__cos (n+2) «-sin n a
sin a
61
(это легко получить любым из способов, изложенных в ре-
шении задачи 106). Сложим равенства (*):
sin а • sin 2 a+sin 2 а • sin 3 a+sin 3 а • sin 4 а-|-
• • •+sinna-sin(n+l)a= —f n-cosa —Sff("+2)«-»innal.
2 [	sin a J
111.	Найти частную сумму ряда:
tga+-tg-+-tg-+...+ — tg — -4----
2^244	2И 2«
Доказать, что этот ряд сходится, и иайти его полную
сумму.
Решение. Будем исходить из следующего легко до-
казываемого тождества (формула (VII. 20)1:
tg x=ctg х — 2ctg 2х.
Преобразуем по этой формуле члены данного ряда:
tg a ctg a — 2ctg 2a,
1 , a	1 . a	1	a
7tg7=Tctg4~?ctg?’
4	4	4	4	2	2
_L tg=— ctg—--------— ctg—~ .
5 2"	2"	2"	2"—i	2"—»
Складывая эти равенства и замечая, что некоторые члены
взаимно уничтожаются, как показано на схеме, получим:
s.«=^c‘S^-2clg2«.	С)
Формула (*) требует двух оговорок. Во-первых, a 7-
7= (2fe+1) 2ml л (k— произвольное целое, т — 1,2,3, ..л).
62
При несоблюдении этого условия член ряда, имеющий но-
мер т, лишился бы смысла. Во-вторых, а =# 0, потому что
при а=0 тождества, при помощи которых мы преобразовыва-
ли члены ряда, теряют силу.
При п -> оо первый член правой части формулы пред-
ставляет неопределенность вида 0-оо. Эта неопределенность
раскрывается следующим образом:
потому что lim—— =1; в данном случае х—-—-.
х -► о sinx	2"
Отсюда следует, что данный ряд сходится и его полная
сумма такова:
s= lim sn4-j=——2ctg2a
п -+• oo	a
(a=/=0 и a=£(2A+1)2'1 л, где k — любое целое, а n — лю-
бое натуральное].
112.	Суммировать:
л , Зл . 5л . 7л . 9л .	11л
cos-+cos —+cos —+cos —4-cos —Ч-cos — .
1о 1о 1о 1о 1о
Решение. Эта задача может быть решена теми же
двумя способами, что и задача № 106. Не повторяя их,
укажем третий способ. Числа, фигурирующие в условии
этой задачи, возникают при извлечении корня тринадцатой
степени из — 1. Обозначим z=j/~ —1. По известной форму-
ле для извлечения корня из комплексного числа
13 —; 13/--------——
Z- у —I p cosn+isinn =
л+2Лл . . . л+2Ал
= COS 5------h 1 Sin ---
13 .	13
>3/—:
у — 1 имеет тринадцать различных значении; они по-
лучаются из последней формулы при А=0, 1, 2, •••, 12:
ze=cos — +i-sin —
0	13	13
€3
Зя ।	. Зл
z.=cos---H'Sin — ,
13	13
5л ... 5л
za=cos —4-fSln — ,
lu	Ao
25л .. . 25л
Z., = COS-----hi-sin -.
1S 13	13
Известно, что сумма всех значений yfа равна нулю:
Zo4-21"I_?2_I_ * ‘ * 4“Z12 = 0-
Следовательно, и сумма действительных частей от этих чи-
сел равна нулю:
л .	Зл	. 5л	, 7л	. 9л	. „Ил	. „ _ .
cos——{-cos——kcos-----kcos-----bcos----bcoS----h cos л +
13	13	13	13	13	13
.	15л ,	17л .	19л .	„ 21л .
+ cos-— 4-cos —+cos ——hcos +
до	lo	До	Ao
.	23л .	25 л n
+ cos+cos— = 0.
IО	lo
Теперь заметим, что члены, равноудаленные от концов,
равны между собой. В самом деле, cos(n-|-a)=cos(n — а),
г,	2л 4л	12л
Придавая в этом тождестве а значения —,	, .... ----,
13 13	13
(*)
получим:
15л	11л
cos--=cos----,
13	13
17л	9л
cos —=cos ,
13	13
19л	7л
cos——=cos ,
13	13
21л	5л
cos---=cos — ,
13	13
23л	Зл
COS---= cos— ,
13	13
25л	л
cos--=cos —.
13	13
Учитывая равенства, можно переписать равенство так:
cos----hcos---hcos--hcos----hcos--hcos----1—1 — 0,
13	13	13	13	13	13 /
64
откуда
л -	Зя	. 5л	, 7л	. 9л	.	11л	1
COS----pCOS---1-cos---1-cos-----kcos---kcos --- - - .
13	13	13	13	13	13	2
113. Суммировать:
n , 2л , 3л ,	, пл
cos— 4~cos -4-cos— 4- • •. 4-cos —.
114. Доказать:
arcctg 3+arcctg 5 4- ... 4- arcctg (2n 4-1) =
=arctg 24-arctg —4- ... 4-arctg -^±1---2L2. t
2	n 4
Решение. Заменим арккотангенсы в левой части до-
казываемого тождества арктангенсами по формуле:
'	1
arcctg х=arctg —
X
при условии х>0
и запишем это тождество так:
По формуле (XI. 45): (в данном случае
так что условие ху >• — 1 гарантировано);
Л+1
*>0и у>0.
1
. Л+1	.1	. k 26+1
arctg -----arctg — = arctg >+|
1+t(2t+l)
=arctg
2^+26+1
2k2+2k+l
arctg 1 =-5 .
Таким образом, каждая из скобок в левой части равен-
л
4 ’
ства (♦*) равна
а число скобок равно п. Тождество
доказано.
*115. Свернуть произведение:
cos a-cos 2 a-cos4a- ... •cos2n-1a.
5
Н. М. Бескин
65
*116. Найти предел произведения:
а а а
cos — cos — cos — • • •
2	4	8
§ 7. ГРАФИКИ
Построить графики (№ 117 и 118).
117.	1) y=|sinx|, 2) y=|cosx|.
118.	1) y=x+sinjc, 2) y=x+cosx.
119.	Построить график y=x-sinx.
Решение, sinx возрастает от — 1 до 1, затем убывает
ордината данной линии совпадает с ординатой прямой
у=х (черт. 8). Когда sinx^—1 [т. е. при х=— (4k—1)1,
ордината данной линии совпадает с ординатой прямой
у—— х. Данная линия пересекает ось X в тех же точках,
что и синусоида у—sinx. Заметим еще, что функция
66
y=x-sinx— четная и, следовательно, ее график симметри-
чен относительно оси Y.
120.	Построить график у = Е (2 sin х) *).
Решение. Пусть вычерчен график функции y=f(x)
(черт. 9). Чтобы получить график функции у— Elf (ж)], надо
каждую ординату графика y=f(x) «округлить» до ближай-
шего меньшего (точнее, не
большего) целого числа. Для
этого проводим прямые... у =
= — 2, у=—I, у=0,у=--1...
График у=/(х) делится этими
прямыми на части. Берем каж-
дую часть, высеченную пря-
мыми у=п и у—п +1, и проек-
тируем ее на нижнюю из
этих прямых, причем концы
оставляем на своих местах.
Например, дуга АВ на чертеже 9 заменяется полуинтерва-
лом [ДВ'1.
Применяя описанный прием к линии у=2 sin х (на
черт. 10 показана пунктиром), получим график функции
у~Е(2 sinx).
121.	Построить график функции у=sin” ж
1) при весьма большом четном и,
2) при весьма большом нечетном п.
*) Функция Е (х) определяется так: если п<х<п+1 (п — целее),
то Е(х)=п. Другими словами, если х не есть целее число, то Е(х)
равна ближайшему целому числу, которое левее х (на числсвсй сси),
если же х — целое число, то £(х)=х. Функция Е (х) называется «це-
лая часть х». Е — начальная буква французского слова ent ier — целый-
67
Решение. Рассмотрим синусоиду у = sinx (на черт. 11
изображена пунктиром). При возведении в степень щи —
весьма большое) каждая ордината, для которой 0<^|у| <; 1,
значительно уменьшится по модулю. Ординаты, для кото-
рых |у|= 1 или у=0, по модулю не изменяются. Если п —
нечетное, то sin’1 х имеет тот же знак, что и sin х, т. е.
расположение полуволн кривой y^sin^x такое же, как „у
синусоиды y=sinx (черт. 12). Если же п — четное, то
sin"x>0 (черт. 11). В точках, где sinx=0, кривая плотно
Черт. 12
касается оси X, потому что при бесконечно малом х (это
относится к окрестности начала координат; в других точках
пересечения с осью X дело обстоит аналогично) sinx есть
бесконечно малая того же порядка, что и х, a sinnx(n>2) —
бесконечно малая высшего порядка.
Построить графики функций (№ 122—125).
122.	y=j/sinx.
123.	y=j/ sinx
1)	при весьма большом четном п,
2)	при весьма большом нечетном п.
124.	у=lgsinx.
125.	у=У lgsinx.
6й
§ 8. НЕРАВЕНСТВА
126.	Доказать неравенства: —1/2"< sin a+cosа <1^2.
127.	Доказать: если 0 <а 0 <₽<-£ ,0 <;у	,
то sin(а+0+у) <sin a+sin0+sinу.
Решение. Будем исходить из формулы (IV. 9):
si п (а+0+у)=sin а • cos 0 • cos y+cos а • sin 0  cos у+
+cosa-cos0-sinY — sina-sin0-siny.
Во-первых, отбросим последний член в правой части. От
этого правая часть увеличится (все сомножители положи-
тельны).
Во-вторых, заменим все косинусы единицами (как вид-
но из условия, каждый косинус строго меньше единицы).
От этого правая часть увеличится.
Итак, при 0<^а<;-^, О<20<^, 0<^у*С^
sin(a+0+Y) Oin a+sin 0+sin у.
128.	Решить неравенство: sinx+cosx>0.
Решение. Преобразуем левую часть в произведение
[формула (VII. 13)1; множитель 1^2 сокращается;
sin(45°+x)> 0,
откуда
360° &<45°+х < 360° k+180°,
360% — 45° О < 360° k+135°,
45° (8k — 1) <х<45° (8Л+3).
129.	Решить неравенство: 5sin2x+3sinx—1 <0.
130.	Определить значения a(0^ а< 180°), при которых
квадратное уравнение относительно z
2z2 cos2 a — 4z cos a+ 4 cos2 a— 1=0
имеет действительные корни. Определить знаки этих корней.
Решение. Вычислим дискриминант данного квадратного
трехчлена:
D=(2 cos a)2 — 2 cos2 a (4 cos2 a — 1)=2 cos2 a (3—4 cos2 a).
69
Корни уравнения действительны и различны, если
0. Это приводит к условиям:
3—4cos2a>0, cosa=jfeO.
Условие cosa=0 должно соблюдаться во всяком случае
(а не только для того, чтобы корни были действительны
и различны), так как при cosa=0 данное уравнение при-
нимает вид: —1=0.
Итак,	cos2a< —, cosa=/=0,
4
|cos a| , cos a =/= 0,
_	2	_
	«CcosacT	, cosav=0,
2-----------------2
30° < a <150°, a ^=90°.
Допустим, что корни действительны, и исследуем, при
каком условии они разных знаков. Для этого свободный
член должен быть отрицателен (поскольку старший коэффи-
циент данного уравнения положителен):
4cos2a—1<0, cosa^O,
cos2 a —, cos a =# 0,
4
|cosa|<^-^, cosa=#0,
откуда
60° < a < 120°, a =/= 90°.
Констатируем, что этот интервал находится внутри интер-
вала (30°, 150°), в котором корни действительны. В осталь-
ной части интервала (30°, 150°) корни имеют одинаковые
знаки. Выясним, какие именно. Сумма корней такова:
,	2
г1+г2=--------•
cos a
В интервале (30°, 60°) cosa>>0 и оба корня положи-
тельны. В интервале (120°, 150°) cosa<^0 и оба корня от-
рицательны.
Результаты этого исследования представим графически
(черт. 13). Жирным показаны интервалы (значений а), в ко-
торых корни (а, и г2) действительны и различны.
В интервале АВ оба корня положительны.
70
В интервалах ВС и CD корни имеют разные знаки.
При переходе а через точку С корни облениваются зна-
ками. В самой точке С уравнение теряет смысл.
А	9	О	О	S л
О 30	60°	90°	120°	160°	’80°
Черт. 13
В интервале DE оба корня отрицательны.
В точках В и D один из корней обращается в нуль.
В точках А и Е корни действительные совпадающие.
g 9. ПОВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
131.	Какие . из следующих функций периодические
и каков их период?
1) sin3x, 2 cos^, 3) cosnx, 4) cos2x, 5) sin’x,
5
6) sin x2, 7) cos V x.
Решение. Непосредственно ясно, что первые три
функции периодические. Их периоды соответственно:
Т.=~, Т2=—=5л, Т3^-=2.
1 3	2	2_	3 л
5
Четвертая и пятая функции тоже периодические.
В этом можно убедиться из формул (IX.2) и (IX.3):
cos2x=y+~ cos2x; 7’4=^=л,
sin3x=— sinx--sin3x; Т5=2л.
4	4
В самом деле, первый
Второй член (— у sin Зх)
кратное этого числа, т. е.
Таким образом, 2л есть
общий) период этих обоих
член (— sinxj имеет период 2л.
2л
имеет период у, но всякое
2Л л
, тоже служит периодом.
общий (и притом наименьший
членов.
71 -
Шестая и седьмая функции не периодичны. Покажем
на примере шестой функции, как это доказать.
Допустим, что функция /(x)=sinx2— периодическая.
Это значит следующее: существует число Т, отличное от
нуля и не зависящее от х, для которого удовлетворяется
равенство:
М*+Т)=/(х).
Это равенство тождественно относительно х. Для данной
функции
sinx2=sin(x-|-7^2,
— 2 sin	Cos -|-x2j=0,
откуда
либо ^+xT=kn, либо ^-\-xT-\-xt=^--\-kn.
Эти равенства не определяют числа Т, удовлетворяющего
перечисленным условиям (Т=#=0, Т не зависит от л).
132. При каком условии функция /(x)=sinax-|-sinfex
периодична?
Решение. Период этой функции Т (если он суще-
ствует) должен быть кратным периодов 7'1 = — и Та=—
а	Ь
отдельных слагаемых:
т 2л	2л
Т=—р=— q,
а	Ь
где р и q — натуральные числа. Отсюда
'	а _ р
Ъ ч'
т. е. отношение — рационально. Другими словами, а и b
ь
соизмеримы. Периоды 7\ и Та тоже соизмеримы, потому
что
Л___2л ,2л_q
Тг а b р
Ответ. Данная функция периодична в том и только
в том случае, когда а и b соизмеримы. Ее период равен
наименьшему общему кратному периодов Tj=— и Т2=— .
а	Ь
133. Исследовать на возрастание и убывание функцию:
y=6cos2x— 5cosx-|-l.
72
Решение. Запишем данную функцию при помощи
цепочки:
y=6z2 — 5z+l, z=cosx.
Сформулируем несколько положений, которые бывают
полезны при исследовании поведения функций:
1. Любая функция от периодической функции — перио-
дическая.
Период Т исходной функции служит также периодом
функции от функции, хотя он может оказаться не наимень-
шим*). Поэтому у — периодическая функция от х, н 360°
для нее период. Учитывая это, мы ограничимся исследо-
ванием данной функции на отрезке [0; 360°).
2. Монотонная функция от . монотонной функции —
монотонная. Подробнее:
возрастающая от возрастающей — возрастающая,
возрастающая от убывающей — убывающая,
убывающая от возрастающей — убывающая,
убывающая от убывающей — возрастающая.
Таким образом, если имеем сложную функцию y[z(x)],
то изменение ее поведения (переход от возрастания к
убыванию или от убывания к возрастанию) происходит
при одном из следующих условий:
1)	если х— граница интервалов монотонности г(х),
2)	если z(x)— граница интервалов монотонности у (г).
Если при некотором х одновременно выполняются усло-
вия 1) и 2), то это значение х не есть граница интерва-
лов монотонности у[г(х)1.
Наконец, отметим следующее положение, хорошо из-
вестное из школьного курса алгебры:
3.	Квадратный трехчлен ах*-\-Ьх-\-с имеет экстре-
мум при х——Если то
при—---------------трехчлен убывает.
2а
b
при —— < X	со	> возрастает.
Если а <^0, то дело обстоит наоборот.
В данной задаче квадратный трехчлен
у=6г2 — 5?4-i
*) Например, sin х имеет период (наименьший) 2л. Для функции
sin* х 2л тоже служит .периодом, но ие наименьшим.
73
имеет минимум при
2=^^0.416.67.
Обозначим:
<r=arccos— 65С2У.
12
Для наглядности обратимся к следующему чертежу, на
котором изображена косинусоида z=cosx (черт. 14).
На этом чертеже изоб-
ражена (пунктиром) пря-
мая У=^- Она пересе-
кает косинусоиду в точ-
ках, для которых cosx=
5
Для точки A x=(f)ss 65°23.'.
Для точки В х=360° —	294°37'.
Для всех точек, лежащих ниже пунктирной прямой,
г<^ и, следовательно, y(z) = 6z2— 5z-|-l убывает.
Для всех точек, лежащих выше пунктирной прямой,-
г > и, следовательно, у(г)=6г2— 5z-|-l возрастает.
Теперь ясно:
Интервал	У(2)	г (x)=cosx	У [г (х)]
(0, Ф) (Ф, 1S0-) (180°, 360 —(р) (360° — <р, 360°)	возрастает убывает убывает возрастает	убывает убывает возрастает возрастает	убывает возрастает убывает возрастает *
Полезно еще вычислить
значения у [г(х) 1 на границах
ииге рвало в монотонности:
при	х=0,	г=1.	у=2.
»	х=<р,	5	- г“12’	У=~21’
»	х=180°,	2= — 1,	у=12,
74
при	х=360°— ®,	г=—,	у=—-,
12	24
»	х=360°,	2=1,	У=2.
Теперь окончательный ответ может быть сформулиро-
ван так:
при 0 <	*<Ф	У	убывает	ОТ	2	1 до	, 24
» ф <	х< 180°	»	возрастает	» "	1 24	» 12,
» 180°	<^х <360° — ф	»	убывает	»	12	I »	, 24
» 360°	— Ф < х < 360°	»	возрастает	» 	1 24	» 2.
В заключение даем гра-
фик функции у=6 cos2 к —
— 5 cos х 4-1 (черт. 15).
Примечание. Читателю
могут показаться противоречи-
выми утверждения, что на интер-
вале (0, ф) у (г) возрастает, а
У1г(х)1 убывает. Разве у (г) и
у [г (х) ] не есть одна и та же
функция?
Под у (г) мы понимаем фун-
кцию у (z)=6z2 — 5z4-1, где г —
независимое переменное. Ут-
верждение, что у(г) возра-
стает, подробнее формулируется
так: если z возрастает, то и
у (г) возрастает, а если г убы-
вает, то и у (г) убывает. 'При
этом мы не утверждаем, что
z обязательно возрастает (или
убывает), поскольку z — неза-
висимое переменное.
Под у [г (х)| мы понимаем
функцию у=6 cos’'x —5 cos x-t-1,
где х — независимое перемен-
ное. Если х возрастает от 0 до
ф, то z=cosx обязательно убы-
вает, а, следовательно, у [г(х)1
гоже убывает.
Короче говоря, утверждение «у(г) возрастает!, значит, «возра-
станию г соответствует возрастание у». Утверждение же «у[г(х)]
убывает», значит, «возрастанию х соответствует убывание у». Эти
утверждения не противоречат одно друпму.
75
134.	Доказать, что при возрастании х от 0 до функ-
ция у=х— sinx возрастает.
Решение. Если у(х)=х— sinx. то у(х+Л)=
=х+Л — sin(x-J-/z). Огедовательно,
у (x+h) — у (x)=h — sin (x-p/O+sin х=
~h — 2 sin — cosfx-l-— )=2 Г— — sin —-cosfxl-^-) 1.
2	\	2/	12	2	\	2/J
Если x и x-\-h принадлежат интервалу jO, у) и Л>»0,
то выражение в квадратных скобках положительно,
потому что
h . h I , л\ ,
—1 > sin —, a cos хЧ— <1.
2	2	\	21
Итак, при Л>0 у(х-|-Л)> у(х), т. е. у(х) возрастает.
135.	Доказать, что при возрастании х от 0 до -^-функ-
sin х ,
ция у=------ убывает. .
136.	В данный круговой сектор вписать прямоуголь-
ник наибольшей площади (угол сектора <^90°).
Решение. Прямоугольник может быть вписан в сек-
тор двумя способами [черт. 16 а) и б)]. Рассмотрим
способ а). Имеем:
b =• R sinx,
76
a=Rcosx—bctga=R(cosx— sin v-ctga)==
cosx-sin a — sinx-cos a _R sin (a — x)
sin a	sin a ’
5_afj — /J2 sinx-sin (a —x)  cos (2x — a) — cos a
sin a	2 sin a
Наибольшее значение S достигается при cos(2x— a)=l,
откуда -
2x — a=0,
a
x-—.
2
Это наибольшее значение таково:
Smax=/?2 l~cos° =— /?2 • tg —.
2 sin a 2	2
«
В случае б) проведем биссектрису OL угла а. Тогда
прямоугольник разделится этой биссектрисой на два прямо-
угольника. Каждый из них вписан в половинный сектор
по способу а), и поэтому задача сводится к предыдущему
случаю: ОВ должно быть биссектрисой угла LON, г. е.
^LOB=—, ^АОВ=—.
4	2
Обозначим через Smax наибольшее значение площади
прямоугольника, вписанного по способу б). Очевидно,
4
Теперь надо выяснить, какое из двух чисел (5шах или
Sn,»T) больше. Рассмотрим разность:
По условию 0 < а 90ч. Следовательно,
О < — < 22с30', 0 < tg — < 1.
4	4
77
Таким образом, Smajt — Smax > 0, т. е. прямоугольник
наибольшей площади получится при способе а).
137. Даны основание а треугольника и сумма т двух
других сторон. Определить наибольшее возможное значе-
ние угла А.
g 10. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Найти пределы (138—144).
138. lim ——
к -* а х — а
~	v sin к — sin а
Решение, lim----------
—lim
х—а к-.а
_ х — а	х4-а
2 sin —— cos-------
2	2
„ х — а
2 —
х — а
sin —-—
=lim---------lim cos = cos a.
x .a X — О x—a 2'
2
В задачах этого параграфа мы .постоянно будем пытаться
преобразовать данное выражение так, чтобы получился
предел lim Мы предполагаем известным, что этот
хч-0 х
предел равен единице.
139. lim 2^.
х -. о sin 2х
.. sin3x
Решение. Itm ----------
х -» о sin 2х
sin Зх
3 ,.	Зх	3
2 х » О sin2x	2
2х
,	..	cos х — cos a
140.	lim --------------.
x -* a x — a
141.	lim
x - о sin! x
142.	lim --------------.
x — о 1 — cos mx
143.‘lira [(1 — x)tg— 1
* -♦ 11	2 J
78
Решение. Обозначим 1—х=г. Тогда
lim 1(1 —x)tg^-]=lim l?.tg-(l~~2) 1 =
I I	2 j z-» о [	2 J
= lim ktg(4 -	]= limz-ctg—=
г-ol \ 2	2/J z^o 2
яг
— lim--------lim cos—=— lim —-— limcos—=—.
г -* 0 .Яг г -> 0	2 Я z-^Q Яг	2 Я
Sin—	Sin —
144. lim (x-tg —).
К •+ CO \	X /
§ 11. ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ
145. Вычислить по таблицам:
1)	sin 1g 3.
Решение, sinlg3=sin 0,47712=0,45922.
2)	sin sin 1.
3)	cos cos cos 0,5.
4)	ctg /2,5.
146.	Вычислить приближенно наименьший положитель-
ный корень уравнения:
sin x+cosx=tgx.
Решение. Прежде всего определим графически,
в каком интервале расположен искомый корень. Построим
графики y=sinx+cosx и y=tgx (черт. 17). При постро-
ении первого’графика преобразуем [формула (VII. 13)].
sin x-f-cos х= |z 2 sin (45°+х).
Наименьший положительный корень — это абсцисса
гочки А. Из чертежа ясно, что он заключен между 45°
и 90°. Если чертеж выполнен более или менее тщательно,
;о видно, что
50°<х<603.
79
Далее применяем метод проб:
X
sin x+cos х
tg*
50°
55°
60. •
1,409
1,393
1,366
1,192
1,428	50° < х < 55°
1,732
Эта таблица составляется следующим образом. Находим
sinx и cosx (этого мы не показываем) и записываем их
сумму. Между графами « sin хЦ-cosx» и «tgx» мы запи-
сываем результат сравнения этих двух чисел. Знак в
первой строке означает, что при х=50*5 точка синусоиды
лежит выше точки тангенсои ды. Знак во второй строке
означает, что п ри х=55° точка синусоиды лежит ниже
точки тангенсоиды. Следовательно, пересечение кривых
происходит между 50“ и 55°. Делим этот интервал на пять
равных частей:
X	sin x-f-cos х		tgx	
50-				
51°				
52°				
53'’ 54°	1,400 1,397	>	1,327 1,376	54° < х < 55
55°		<		
По поводу заполнения этой таблицы сделаем замечания:
80
1) Числа в первой п последней строках не записыва-
ются. Числа нужны только для того, чтобы определить
знак неравенства между ними. Знаки неравенства в пер-
вой и последней строках всегда переносятся из предыду-
щей таблицы.
2) Графы заполняются не подряд, а начиная прибли-
зительно с середины, т. е. с 52° или 53°. После запол-
нения этой строчки отпадает необходимость заполнять
один из двух получившихся частичных интервалов. Так,
заполнив строку «53°», мы получаем в ней знак «С».
Следовательно, искомый корень лежит между 53’ и 54°.
После этого заполнять строки «51°» и «52’» уже не нужно,
а нужно лишь заполнить строку «54°».
Дальнейшие пробы не нуждаются в объяснениях:
X	sin х 4- cos*		tg*
54’00'			
54°30'	1,395		1,402	54’00'< х < 54’30*
55°00'		<	
Так как значения sin х+cos х уже стали мало отли-
чаться от значения tgx (т. е. мы подошли близко к корню),
то следует увеличить точность. В дальнейших’ таблицах
мы пользуемся значениями тригонометрических функций
с четырьмя и пятью знаками после запятой:
X	| sinx-f-cosx		tg*
54’Сф 20' 30'	1,3961 1.3955	1 Л VV V	*1’3934 54’20'< х < 54’30'
54°20' 25' 30'	1,3952	1 ЛЛ V	1,3976 54’20' < х < 54’25'
54’20' 21' 22' 23' 24' 25'	1,39542 1,39536 1,39529	ЛЛ Л V V	1,39421 1,39507 54 22' < х < 54’23' 1,39593
6
Н. М. Бескин
81
Мы условились давать ответ в минутах. Нужна еще
одна проба, чтобы выяснить, к которой из двух границ
54°22' и 54°23' корень лежит ближе.
X	sin x-f-cos х		lg*
54°22'00*			
22'30"	1,39533		1,39550	54 22'00' < х < 54°22'30"
23'00"		<	
Ответ. х=54°22' (с недостатком; погрешность мень-
ше 30").
147.	Вычислить приближенно наименьший положитель-
ный корень уравнения tgx=x.
Решение. Эта задача
решается тем же мето-
дом, что и предыдущая.
Графически устанавливаем,
что наименьший положи-
тельный корень (см. точку
А на черт. 18) лежит между
4 и — 4,7. Ветвь тан-
2
генсоиды, проходящая через
начало, касается прямой
у=х и не имеет с ней об-
щих точек, кроме начала
координат.
При пробах следует
тригонометрической таблицей числового аргу-
пользоваться
мента;
X		tgx		
4,0		1,158		
4,1				
4,2				
4,3		2.286	4.4 < х <	14.5
4,4		3,096		
4,5	<	4,638		
4,6	<	8,860		
4,40	>			
4,45 4,50	<	3,723	4,45 < х	< 4,50
82
Продолжая аналогичные вычисления, найдем последо-
вательно:
4,49 < х < 4,50
4,490 <х<4,495
4,493	4,494
4,4930 О < 4,4935
Ответ. х= 4,493 (с недостатком; погрешность меньше
0,0005).
148.	Вычислить приближенно наименьший положитель-
ный корень уравнения tgx=—.
§ 12.	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА
Вычислить (№ 149 и 150).
149.	1) cost,
2)	sini.
150.	sin(24-3t).
151.	Решить уравнения:
1)	cosz=I,25.
Решение. Выразим cosz по формуле Эйлера [форму-
ла (XIII. 4)]:
^+gZ-=it25.
2
Обозначим ^=t. Тогда
1
z+7
----- = 1,25,
2
2/г —5М-2=0, Ц 2,
а)	Рассмотрим первый случай: е'г=2. Логарифмируем
это равенство, используя формулу для логарифма (нату-
рального) комплексного числа [формула (XIII.’ 10)1:
iz= Ln 2 = In 2-Н 2 k л.
Умножаем обе части на —i:
z=2 k л — ё In 2.
83
b)	е/г=— ; tz=Ln —=ln —+i-2A> л-=— In 24-i-2k л:
2	2	2
z~2kn-]-i In2.
Ответ. z=2An + tln2.
• 25
2)	smz=y.
152.	Решить уравнения:
1)	cosz=2,4t, 2) sinz=tj/3.
153.	В каких случаях sinz, где z=x-Hy, есть дей-
ствительное число?
Решение.
sin z=sin (x+ty)=sin x  dos iy+cos x  sin iy=
=sinx-chy+tcosx-shy
[см. формулы (ХШ. 6) и (XIU. 7)1.
sinz действителен при одном из двух условий:
a)	shy=O, откуда у=0.
Это — тривиальный случай: синус действительного аргу-
мента действителен.
b)	cosx=0, откуда х=-у (2&+1).
ё 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(Обозначения см. на стр. 170.)
154.	Решить прямоугольный треугольник: с=12,8,
й=4,6.
Решение.
a=c-sin А,
b=c-cos А.
Перемножаем эти равенства:
efe=c2-sin.4-cos Л=— sin 2 А.
2
С другой стороны, известно, что ab=ch. Следовательно,
ch=— sin 2 А,
2
. _ .	2/г	9,2 n 71О-,г
ап2 А=~ = —=0,71875,
с 12,8
84
откуда
либо 2Д=45°57', Л = 22°59',
либо 2Л = 180” — 45°57' = 134°03', Л=67°01'.
Эти две возможности не следует считать существенно
различными, так как они определяют один и тот же тре-
угольник. Поскольку в условии задачи нет данных для
различения острых углов, можно любой из них принять
за 22°59', а другой за 67°0Г.
Наконец,
а=с sin А = 12,8 - sin22°59' = 12,8 - 0,39046 = 4,9979,
Ь=с-cos А = 12,8 • cos 22°59'= 12,8 • 0,92062=11,8391.
Примечание. Здесь показан ход вычислений в предположении,
что данные точные. Если же считать их приближенными (что более
естественно, поскольку они выражены десятичными дробями), то резуль-
таты следует округлить:
а = 5,0, 6=11,8.
Углы (при вычислениях с тремя значащами цифрами) определяются
с точностью порядка 6'. В данной задаче можно округлить угол А так:
А = 23°.
Аналогичное замечание относится ко всем геометрическим задачам-
на вычисление.
155.	Решить прямоугольный треугольник: р=6, £>=35°.
156.	Доказать: если в прямоугольном треугольнике
тангенс половины острого угла равен 1, то это — «египет-
ский» треугольник*.
157.	Решить треугольник: a=67, ftt=58, пгс=56.
Решение. Заметим (хотя это и не требуется знать
заранее, можно сразу приступить к аналитическому реше-
нию), что задача допускает в общем случае два решения.
Для построения искомого треугольника проведем две па-
раллельные прямые, расстояние между которыми равно
hb (черт. 19). Примем произвольную точку, например, на
верхней прямой за В и опустим из нее перпендикуляр В В'
на нижнюю прямую; это и будет hb. Из точки В радиусом а
делаем засечки на нижней прямой. Если а >> hb, то получим
две засечки Сг и С2; это — два возможных положения
вершины С. Из точки С! радиусом 2тс делаем засечки
* Т. е. треугольник с отношением сторон 3:4:5.
85
и Е2 на верхней прямой (предполагая, что 2тс^> пь).
Середины отрезков С1Ё1 и С\Ё2, обозначенные соответствен-
но £>! и Р2, сут^ возможные положения конца медианы тс.
Проводя прямые BDX и BD2 до пересечения с нижней пря-
мой, получим точки А± и Л2. Треугольники ЛХВСХ и Л2ВС,
удовлетворяют условиям задачи.
Используя вместо точки Ci точку С2, мы придем к таким
же треугольникам, т. е. решений — два, а не четыре.
Переходим к аналитическому решению. Деля hb на а,
получим:
sinC=——0,86567,
а 67
откуда находим два возможных значения С. Сразу же най-
дем (по таблице) их косинусы:
С]=59°58'; cos С=0,50061;
С2= 180° — С1= 120°02'; cos С2=— 0,50061.
Используем формулу для медианы (формула (XIV. 11)1:
(a3-\-b1 2+2abcos>C).
В этой формуле все величины, кроме Ь, известны. Поэтому
она представляет уравнение для нахождения Ь. Рассмотрим
отдельно два варианта:
1) 562=-(672+62+2-67-0,50061-6),
4
ИЛИ
Ь2+67,082 Ь — 8055 = 0,
Ь-— 33.541 ±) 1125,0+8055=— 33,541 ± /9180=
=—33,541 ±95,812.
86
Окончательно: ^=62,271 (отрицательное значение, разу-
меется,- не годится).
2) Второй вариант отличается только знаком cos С. Урав-
нение для b будет:
Ь2 — 67,082ft — 8055=0,
откуда 5=33,541+95,812; 6а= 129,35.
Теперь вычисляем с по теореме косинусов:
с2=а2+&2— 2aftcosC.
1) са=672+62,2712 — 2-67-62,271 -0,50061=
= 4489 +3877.68 — 4177,25 = 4189,43,
сг = 4189,43 = 64,726.
2) с2=67а+129,352+2  67 -129.35 • 0,50061 =
=4489+16731.42+ 8677,02 =29897.44,
са=J/29897.44 = 172,91.
Угол А проще всего определить по формуле sinX=—.
С
Первый вариант.
sin Л. =	=0,89609.
1	с, 64,726
Угол треугольника определяется по синусу двузначно.
В данном случае угол Л, —острый, потому что a2 <^ft2+c2.
Можно даже не проверять это неравенство, так как сразу
видно, что треугольник со сторонами a=67, 5,^62 и
q 65 близок к равностороннему и, следовательно, его углы
близки к 60°. Поэтому
Л1=63°39'.
Наконец, В, = 180° — (63°39' +59 58')=56с23'.
Второй вариант.
sin.4,=—=—^—= 0,33544.
2	с3 172,91
В этом варианте треугольник уже имеет одна тупой угол
(Са=;120°02'). Поэтому угол А2 — острый.
Ла=19°36'.
В.2 = 180° — (19°36' +120’02') - 40°22'.
158.	Решить треугольник:
/в = 72,5, Л = 36°41‘. В-10540'.
58
87
159.	Дуга сегмента круга в угловом выражении равна
и радианов, а длина ее равна s. Определить радиус круга,
вписанного в этот сегмент.
160.	Диаметр монеты (одна копейка выпуска 1961 г.)
равен 15 лип. Диаметр Луны виден с Земли (при средней
высоте Луны над горизонтом) под углом ЗГ. На каком
расстоянии от глаза следует поместить монету, чтобы она
в точности закрыла лунный диск?
161.	Доказать, что во всяком треугольнике
5=-^.
4R
Решение. Как известно, S=±ab-sin С. По теореме
синусов ,с£ —2R, откуда sinC=—. Таким образом,
£_______________________1 с________abc
~"2	"2R~~4R'
162.	6=(24-р<3)с, А=60°. Найти (точно) В и С.
Решение. Из условия нам известно отношение —.
с
Но мы можем также узнать отношения других сторон и тем
самым узнать форму треугольника. Для этого используем
теорему косинусов:
С2=6г+сг_ 26c.cosA = (2+y3)2c2+c2 —
—2 (24-/3)с2-|=(64-3/3 )с2,
откуда
-;=/б+3]/3 •
Используя формулу для преобразования сложных радикалов
[формула (XVII. 1)1, это отношение можно представить так:
З/г-ц^б-
с 2
Так как синусы углов пропорциональны противолежащим
сторонам, то
sin А 3/2 +уЛГ
2
sin С
88
^/Л = €П° Таким образом,
2
sinC=
6-/2
4
откуда С = 15° (см. решение задачи № 4). Следовательно,
В= 180° — (60°+15’)= 105°.
163.	a:b:R=k:]i:v. Найти углы треугольника.
164.	Доказать: если котангенсы половин углов треуголь-
ника суть последовательные целые числа, то это «египетский»
треугольник.
Решение. Пусть ctg-y=n. ctg-^-=n+l,
ctgY=ft+2. Из равенства А+В+С=180° следует:
£=90° —
2	\2 ' 2/
АВ
ctgyctgy— 1
х А ~В
ctgy+ctgy
1	n(n+l)—1
n-f-2	n-f-(n-f-l)
л3 4- Зпг — п — 3=0,
(п+3) (л2 — 1)=0.
Из трех корней этого уравнения по смыслу задачи го-
дится только один: н=1 (потому что котангенсы половин
jt.tob треугольника не могут быть отрицательны). Следова-
тельно,
А	1* —I
ctgy=l, ctg^=-L_=O,
. В о . D 2* — 1 3
ciev=2, dgs=—
ctg£-=3, cteC- 3-~'-
2	2-3	3
откуда видно, что треугольник — прямоугольный (А=90°)
и отношение его катетов есть 3:4.
89
165.	Отношения сторон треугольника:
a:fe:c=(2/+l>:G2—1):(/2+/+1).
Д оказать, что один из углов этого треугольника равен
120°.
166.	Дан двугранный угол а. В одной из его граней
из точки М проведена наклонная, равная а (от точки М
др ребра) и образующая с ребром двугранного угла угол,
равный р. Найти расстояние точки М до другой грани
двугранного угла.
167.	Найти двугранный угол правильного тетраэдра.
§ 14.	СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
(Обозначения см. на стр. 171.)
168.	Тропики отстоят на 23°27'30" от экватора, а поляр-
ные круги — на такой же угол от полюсов. Какую часть
(выразить в процентах с одной цифрой после запятой)
составляет площадь каждого климатического пояса от пло-
щади всей поверхности Земли (Землю принимать за шар).
169.	Решить прямоугольный сферический треугольник:
й = 38°24', Ь=59°36'.
Решение. Различают шесть случаев решения прямо-
угольных треугольников. Это — первый (даны два катета).
Используем формулы (XV. 7) и (XV. 3):
cos с=cos a-cos b,
ч sin a
SIH A =---,
sin c
r, sin b
Sin B~----.
sin c
cos c=cos 38n24' - cos 59"36' =0,78369 -0,50603 = 0.39658;
c=60338'; sine=0,91801.
Заметим, что sine может быть найден и без нахождения с
в той же строке таблицы (или между теми же строками
при помощи интерполяции), что и cos с:
. sin38°24'	0,62115 л стссо
sin А —--------------------=0,67662.
sine	0,91801
90
Этому значению синуса соответствуют два угла между О
п 180°. Следует выбрать один из них, руководствуясь
правилом: катет и противолежащий угол одновременно соот-
ветственно острые, прямые или тупые. Учитывая, что катет
п<90°, заключаем:
/=42°35'.
Наконец,
Sin в = sin.5_9.C36,_ = 0 jg251.=0,93955; В=69с59'.
sine 0,91801
Решить прямоугольные сферические треугольники
(№ 170—173).
170.	а=32°44', с=139г00'.
171.	а=38°28', Л=56с0Г.
172.	fc=37°52', Л=49°22'.
173.	Л=58°28', в=53°43'.
174.	Решить прямосторонний сферический треугольник:
а=138°55', 5=115°50'.
Решение. Если данный треугольник — прямосторон-
ний, то полярный ему треугольник — прямоугольный. Снаб-
жая элементы полярного треугольника индексом 1, получим:
4^180° —а:41°05',
/V I80° - 5=64°10'.
Таким образом, задача сводится к решению прямоугольного
треугольника по двум углам (шестой случай). Используем
формулы (XV. 6) и (XV .8):
cos41°05'	0,75376	« оо*7лс. „
cos а, =---------==--------= 0,83745; а, = 33 U8.
sin64°10'	0,90007
cos&t=cos64°1-= 0,43576 =0,66309; Z>1=48°28',
1 sin41°05'	0,65716
cos C1=c tg 41 °05' • etg 64° 10' = 1,14700 • 0,48414=
= 0,55530; q=56°16'.
Теперь переходим от полярного треугольника обратно
к данному:
Л=180° —а1=146°52'1
180° —Ь, 13Г32',
С=180° —с1=123°44\
91
Решить прямосторонние сферические треугольники
(№ 175—177).
175.	а=36°42', В=70°02'.
176.	а=58°26', Л=49°43'.
177.	Л=50°59', В=39°20'.
178.	Решить сферический треугольник:
а~34°13', Ь—42°55', с=5Г03'.
Решение. Это — первый случай решения косоуголь-
ных сферических треугольников (даны три стороны). Можно
воспользоваться формулами «косинуса стороны» [формулы
(XVI. 4)]:
. cos а — cosb-cosc cos34°13'— cos42°55'-cos51°03'
COS A - ------------(---=-----------—---------------------=
sinb-sinc	sin 42°55'-sin 51°03'
0,82692 - 0,73235-0,62864	0,82692 — 0,46044 _
~~	0,68093-0,77770	~	0,52956	~
= °’36647-=0,69203; Л=46°13'.
0,52956
n cos b— cosc-cosa	cos 42°55'— cos 51 °03'* cos 34° 13'
COS В =-----------------—----------------------------------
sinc-sina	81п51о03'-8*п34°13'
_ 0,73235-0,62864-0,82692 _ 0,73235 — 0,51981 _ 0,21253 =
~	0,77770-0,56232	“ . 0,43732	~ 0,42732 ~
=0,48599; B=60°55'.
x, cosc — cosa-cosb cos51°03' — cos34°13'-cos42°55'
cos C=-----------------------------------------------------
sin a-sin b	sin34°13'-sin42o55'
_ 0,62864 - 0,82692-0,73235 _ 0,62864 — 0,60558 _ 0,02307 _
~	0,56232-0,68093	—	0,38291	~ 0,38291 “
=0,06024; C=86’33'.
Решить сферические треугольники (№ 179—181).
179.	Л=62°06', В=54°36', С=70°15'.
180.	а=48°13', Ь=37°31', С=55с06'.
181.	а=47°05', Ь=36э40', Л=56с17'.
92
182.	На земной поверхности даны две точки:
А 30° 16' сев. шир., 151°20' вост, долг.,
В 32°34' »	»	158°09' »	»
Принимая Землю за шар радиуса 7?=6370 км, найти крат-
чайшее расстояние по земной поверхности между точками
А и В.
Решение. Соединим дугами меридианов (кратчайшими)
точки А и В с Северным полюсом и рассмотрим сфериче-
ский треугольник АВС (С — Северный полюс). Очевидно,
а=СВ=90°— широта В=57°26',
Ь=СЛ=90°— широта Л=59°44'.
Теперь сторона с (в угловой мере) может быть найдена
по формуле косинуса стороны [формулы (XVI. 4)]:
cosc=cos a-cos ft4-sin a• sin b• cos C=
=cos 57°26' • cos 59°44' 4- sin 57°26'sin 59°44' • cos 6°49' =
=0,53828 • 0^04034-0,84277 • 0,86369 • 0,99293=
-0,271314- 0,72274=0,994056; c=6°15'.
Используя таблицы, дающие длину дуги окружности радиуса
/?=1, найдем: длина дуги 6°15'=0,109. Отсюда искомое
расстояние равно 6370 км-0,109=695 км.
183.	Какие углы образует дуга большого круга АВ
(см. предыдущую задачу) с меридианами точек А и В?
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ
§ 1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Доказать тождества (№ 184—210).
184.	cos’ а — sin® <x=cos 2а11--- sin2 2а
4
185.	cos® а+sin® а= 1 —- sin2 2а.
4
186.	seco+tP(1-
sec а — tg a \ 4	2 '
tg (45	tg/45o —
187.	-------=sina.
tg 45'+^j+tgj453-y^
l_tg*l45°--|)
188.	------------= s:na.
l+tg«^45°— yj
189	2 sin ct—sin2a t 2 a .
2sina+sin2a 2
190.	1) ----?----=sm
a a
^2^2
2)	-----------= cosa
tg '45= + 7^+ctg (45=
I91.	Jg2°-}g«_=sin2ct>
tg2a—tga
94
192 —>ga 2a = 2te*a
2+tg22a	14-tg*a
193.	sin (a4-30°) • sin (a — 30°)+cos2 a= .
194.	tga+tg(a4-60°)4-tg(a — 60°)=3tg3a.
195.	tga-tg(a+60°)-tg(a —60°) = — tg3a.
196.	sin 3a- sin3 a+cos 3a- cos3 a=cos3 2a.
197.	sin3a-csca — cos3a-seca=2.
198. sin23a — sin2 2a=sin 5a-sin a.
sin a +2 sin 3a+sin 5a sin 3a
sin3a+2sin5a+sin7a sin 5a
(tg a+tg 2a) (cos a+cos 3a)=2 sin 3a.
tg3a —tg2a —tga=tg3a-tg2a-tga.
ctg a j tga j
ctg a—ctg3a	tga — tg3a
2(cos2a+sin2a)_______cgc
cos a— sin a — ccs3a-|-sin3a
sin a — sin 3a — sin 5a-|-sin 7a tg 2a
cos a — cos 3a+cos 5a — cos 7 a
cos a+cos 2a+cos 4a+cos5a__
sin a+sin 2a+sin 4a+sin 5a
1 1
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
206.
207.
= ctg 2a.
tg 3a — tg a ctg 3a — ctg a
1 1
208.
209,
210.
=ctg 4a.
tg3a-f-tga ctg3a+ctga
3 — 4 cos 2a4-cos 4a . d
-----------•----= tg4 a.
3^-4 cos 2a-f-cos 4a
tga+2 tg2a+4 tg4a+8ctg8a=ctga.
a	2a
sin —-f-sin —
— --------tg-.
a	2a	6 2
COST--J-COS —
3	3
Найти tg—. зная, что
2	tga
211
95
г,	. a	sinJa 11
212.	Вычислить tg—, зная, что------- —.
6 2	sin а	25
213.	Доказать:
2) sin —=
(п>2, радикалов п—1).
.. . 180° Г 2—У~2+У2+ ... 4-/2"
4) sin---- ---------------------
' 2п	2
(п>2, радикалов п—1).
214.	1) Выразить cos па при п нечетном Через cos а.
Применить к случаям п=3,5.
2)	Выразить cos па при п четном через sin а. Применить
к случаям л=2, 4, 6.
3)	Выразить cos на при п четном через cos а. Применить
к случаям п=2, 4, 6.
215.	Выразить tgna через tga.
*216. 1) Составить уравнение для нахождения cos — ,
3
если известен cos а.
2)	Составить уравнение для нахождения sin —, если
3
известен sin а.
96
217.
3)	Составить уравнение для нахождения tg у, если
известен tga.
Доказать тождества (№ 217—221).
tg и+^ I tgn~P^ 2 sin и -
2	2 cosa+cosp
sin (a — P)+sin(P — y)+s>n(Y —«)=
. . a—P	В — у v — л
=— 4 sin---L sin   L sin  --.
2	2	2
218.
219.	tga+tgp+tg у—tga-tgP-tgy= Stn_(n4-P4-Y)
c os a-cosp-cosy
220.	1) cosa+cosp+cosY+cos(a-)-p+Y)=
. a+P ₽+v Y+a
=4 cos —r cos ——1 cos -i-1—.
2	2	2
2)	sina+sinP+sin у — sin(a+p+Y) =
. . a+p . p+y . Y+a
=4 sin——sm — sin  .
2	2	2
221.	1 —cos2 a — cos2P — cos2 y+2 cos a cos p cos y =
. . a+P+Y  —a+P+Y  a — P+Y a-t-p— v
= 4 Sin —	Sin-- - sin---Sin —.
2	2	2	2
222.	Выразить sin2 (a + P) + p sin (a + P) cos (a + P) +
+q cos2 (a+p) через p и q, зная, что tga и tgp суть кор-
ни уравнения x2-i~px-}-q=0.
223.	Может ли быть, и если может, то в каких случаях
sin (a+P)=sin a-J-sin Р?
Доказать (№ 224—229).
*224. Числитель и знаменатель правой части формулы
(IV. 11)
tg «,+р+v)= Vtg,Tr,le-le," "7
1 — tg a- tg р — tg Р- tg y — tg y tg a
не могут одновременно быть нулями.
*225. Выражения tg a + tg р -+ tg у — tg a tg ₽ tg у и
ctga-j-ctgP+ctg y — ctgactgpctgy не могут одновременно
быть нулями.
7 Н. М. Бескин	97
226. tga и sin 2a всегда одного знака.
227.. Выражение -у (sin8 х — cos® х) — у sin® хф-
ф~— cos®x + — sin4x не зависит от х.
6	4
228. Если sin(—а-|~р+у), sin(a — 0+у) Hsin(a+0— у)
образуют арифметическую прогрессию, то tga, tg0 и tgy
тоже образуют арифметическую прогрессию.
229. sinx и cosx оба рациональны в том и только в том
. *
случае, если tg — рационален.
Найти (точно) синусы и косинусы следующих углов
(№ 230—234).
*230. 42° и 48°.
231.	33° и 579.
232.	27° и 63°. 233. 12° и 78Q.
234.	36° и 54°.
Найти (точно) острый угол а, для которого (№ 235—244):
235.	cosa~-^]/r2+]/r2^ 236. cosa=yj/2—| 2.
237.	tga=]/!T—1.	238. cosa=y	.
239. cosa=y|/2— ]/3” . 240. tga=2—J,'3~-
241. sina=-j^/5‘ + l).	242. sina=l( j/5—1) .
243. csca=p 5 + 1.	244. ctga= ]/ t +1^0,8.
Доказать тождества (№ 245 — 248).
245.	Cos25°+cos47°=cos 1 l°+cos61°+sin 7Q.
246.	tg9°— tg27° — tg63°+tg81°=4.
247.	2 (cos4 44°+sin4 44°)= 1 — cos 4°+cos22Q.
248.	cos 27° — cos 63°= / - ~	-.
4
Вычислить (№ 249 и 250).
249.	cos arcctg —}.	250. ctg (2 arctg 2).
98
Упростить (№ 251 и 252).
251. cos (2 arccos х). 252. tg (2 arcsin х).
Доказать тождества (№ 253—264).
псо о -2	41
253.	2arcsin—=arccos —.
7	49
пел - 1^5 ।	/10	Jt
254.	arcsin -—+arcsin -—=—.
5	10	4
nee • 3 I	8	-77
255.	arcsin—t- arcsin —=arcsin —.
5	17	85
256.	1) arcsin—+arcsin —/arcsin —= — .
’	5	13	65 2
o. 3 .	5 ,	. 33 л
2) arcsin —harcsin —l-arcsin —=— .
’	5	13	65 2
257.	arctg 3 — arcsin	.
258.	arcsin +arccos = arcctg .
259.	cos ^2 arctg ~ j=sin 4 arctg j.
260.	1) arctg arctg	-
2)	arctg 1 + arctg^—.
n\ . fr' 2 4~ 1	,	2 л
3)	arctg -------arcctg -L— = - .
/2-1	2	4
261.	1) arctg—+arctg"^- = y .
~ m	m-f-1	4
лк 1 n ,	—n	л
2)	arctg—+arctg—— =- .
m	m-j-n	4
262.	1) arctg—+arctg-^-+arctg-^=arcctg3.
7	о	18
ox *11	* 2	.3л
2)	arctg y+arctgу —arctg-=- .
99
263.	4arctg-!— arctg —=— .
6 5	239 4
264.	arctg4+arctg-^-+arctgA-+arctgl=y .
o	/	o 4
Найти x (№ 265—276).
265.	arcsin x=2 arcsin a.	266.	arccos x=2 arcsin a.
267.	arcsin x=4 arcsin a.	268.	arcctgx=2 arctg a.
269.	arctg x=4 arctg a.	270.	arcctgx=arctg 2a.
271.	arccos x=arcsin 2a.		
272.	arcsin x=-^+arcsina.
273.	arctg x = — -|- arctg 3a.
4
274.	arccos x=— — 3 arcsec a.
2
275.	1) arctg x=3 arcsin a.
2)	arcctg x=3 arccos a.
276.	arcsin x=2 arcsin a-H arcsin 2b.
§ 2. УСЛОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Доказать, что при а+0-|- у=-^ имеют место тождества
(№ 277—288).
277.	cosa-|-cosp-|-cos у=
Р • V
sin — sin — .
2	2
278.	cosa-|-sinP-|-sin y=4sin ---coscos .
279.	1) cos a — sinp — siny=
i •	/ 31 Ct
- — 4 sm--------
И 2,
2)	cos a — cosp+cosy=
= 4cos(—
\4
+
100
3)	cos a+sin р— siny =
.	/ rt	a \ . В	v
=4 cos-------sin —cos —.
И	2/	2	2
280 tga+tg^ cosaV
tg P+ tg Y cos2 a
2g| ctgft + ctg у sin 2a
ctgal-ctgy sin 20
282.	tg a+ tg p+tg у = tg a • tg p • tg у+sec a • sec P • sec y.
283.	ctg a+ctg P+ctg у=ctg a  ctg p • ctg у 
284.	tga- tg p + tg P• tgy + tg у • tg a= 1.
285.	tga+tgp — ctgy = — tga-tgP-ctgY-
286.	1) cos2a+cos2P+cos2y=2(l+sina-sinP-siny).
2)	sin2 a+sin2 p+sin2 y=l —2 sin a-sin P-sin y.
287.	1) sin2a+sin2p — sin2y = l—2cosa-cosP-sin y.
2)	cos2 a+cos2 P — cos2 у = 2 cos a • cos p • sin y.
288.	1) cos a • sin p • sin y+sina-cosp-sin y+
+sin a • sin P • cos у =cos a • cos p  cos y.
2)	sina cosP-cosy+cosa sinP-cosy+
+cos a - cos p • sin у = 1+sin a sin p sin y.
Доказать, что при a+P+y=n имеют место следующие
тождества (№ 289—301).
,,	о ,	1  2sin a-sin fi-sin v
289.	1) cosa+cosp+cos y=H------------J------ .
sin a+sin p+sin у
2)	cosa+cosp — cos у=4 cos ~ cos sin —1.
3)	sina+sinp — siny=4sin -^-sin -|-cos^-.
4)	sin a+cos p+cosy=
. . a	/ n	p \	In	y\
=4 sin —cos/-----— cos------L.
2	\ 4	2/	1 4	2)
sina+si+P—siny . a P
sin a+sin p+sin у 2 b 2
101
291.	ctg аЦ-ctg P+ctg у = ctg а•ctg p ctg у +
+esc a esc p esc у.
292.	tga — ctgp — ctgy = tga-ctgP-ctg y.
293	ctga+ctgp [ ctgp+ctgу i ctgy4-ctga|
tga+tgP tgP+tgy tgy+tga
294.	1) sin 4л a+sin 4л p+sin 4л у=
=—4 sin 2л a • sin 2л P-sin 2n y.
2)	sin(4л + 1) a+sin(4л+1)p+sin(4л+1)Y=
=4 cos ^2n+yj a cos ^2n+yj P cos ^2n+yj y.
3)	sin(4n+2)a+sin(4n+2)P+sin(4n4-2) y=
=4 sin (2л 4-1) a sin (2n+1) p sin (2n+1) y.
4)	sin (4n+ 3) a+sin (4n+3) P+sin (4л+3) y =
=— 4 cos^2n+^ a cos ^2n+^ pcos ^2лЦ—y.
295.	1) cos 4л a+cos 4л p+cos 4л y=
= 4cos2nacos2npcos2ny — 1.
2)	cos (4n+1) a+cos (4л+1 )P+cos (4n+1) у =
= 14-4sin^2n+yjasin ^2n+yjpsin 2n+-^-jy.
3)	cos(4л+2) a+cos (4 л+2) p+cos (4 л+2) у =
= 1 — 4cos(2n+l) acos (2n+l)Pcos(2n+l)y.
4)	cos(4n+3) a+cos(4n+3)P+cos (4n+3) y=
= 1 — 4 sin ^2n.+—j a sin ^2n+ j P sin ^2л + y.
296.	1) cos2 a+cos2 P+cos2 у—1 — 2 cos a cos p cos y.
2)	sin2 a+sin2 p+sin2 y=2 (1 +cos a cos p cos y).
297.	1) cos2a+cos2p — cos2y = l—2 sin a sin p cos y.
2)	sin2 a+ sin2 P — sin2 у = 2 sin a sin P cos y.
298.	1) cos2n a+cos2 nP+cos2ny=
= 1+2 (— 1)" cos n a cos n p cos n y.
2)	sin2na+sin2nP+sin2ny=
=2H+(—l)ncosna cosnPcosny].
102
299.	1) tg a tg p+tg p tg y+tgу tga=sec a sec p sec у — 1.
2) ctgactgp+ctgpctg y+ctgyctg a = l.
300 (sir1 a+sir1 P+sin y)8
tga+tgP+tg у
=2 cos a cos p cos у ctg ctg ctg .
301.	sin3 a+sin3 P+sin3 y = 3cos ^-cos £ cos-^ +
3a 3B 3v
-J-COS — cos — cos — .
2	2	2
Доказать (№ 302 и 303).
302.	Если a+P=—, то (1 +ctga)(1 +ctgP) = 2.
303.	Если a+p=—, TO ------ctga£tg-^---=1.
4	(14-ctg a) (14-ctg P)	2
Доказать, что при а+р+у+6=2л имеют место сле-
дующие тождества (№ 304—308).
304.	1) cos a-)-cos Рн-cos y+cos S =
. a+p р+у у+а
=4 cos---— cos ——— cos —--.
2	2-2
2)	cos a+cos p — cos у — cos 6 =
. a+p . p+y • Y+a
=4 cos —sm ——— sin	.
2	2	2
3)	sin a+sin p— sin у — sin 6=
, . a+P	P+Y	Y+a
=4 sm—cos ——+ cos —-------.
2	2	2
305.	1) cos2 a+cos2 p+cos2 y+cos2 6=
=2 H+cos(a+P) cos (P+y) cos (y+a)].
2)	sin2 a+sin2 p+sin2 y+sin2 6 =
=2 [1 — cos(a+P) cos(P+y) cos(y+a)I.
306.	sin2 a+sin2 p— sin2 у — sin2 6=
=— 2 cos (a+P) siri (P+y) sin (y+a).
103
307.	ctga+ctgP+ctg у4-ctg б=
____ sin (a-|-|3) sin (P+v) sin (v+fy
sin a sin |3sin у sin 6
soe. ^+^ +‘о-1-а» ,,„„,ер,„т1е&
ctg a+ctg p+ctg y+ctg 0
Доказать (№ 309—312).
309.	Если а+р+у=пл, то tga+tgp+tg у =
= tgatgptgy.
310.	1) Если а+Р+у=2лл> то s*na+sinp+sinу=
=4(—l)n+I sin — sin —sin —.
'	2	2	2
2)	Если а+р+у=2лл, то cos a+cos p4-cos у=
=— l+(— l)"4cos —cos—cos— .
2	2	2
311.	1) Если а+р+у=(2л—1)л, то
sin a+sin P+sin у=(— l)n+14 cos ~ cos cos .
2) Если а+р+у = (2л + 1)л, то
cos a+cos P+cos y = 1 +(—1)" 4 sin sin у sin .
312.	Если а+р+у=(2л+1) л, то
cos1— +cos4 —+cos4—2^cos2 3 —+cos2 —+cos2—)+
2	2	2	\	2	2	2 /
+4 cos2 — cos2 — cos2 —=0.
2	2	2
Доказать, что при a+p=y имеют место следующие
тождества (№ 313—317).
313.	1) cosa+cosp+cosу=4cos у-cos — cos— — 1.
2	2	2
2) cos a — cosP — cos y=4 sin — cos —sin ——1.
2	2	2
3) cos a+cos P+sin y=
. I я	a\	{я	В \
=4 cos---- 1	cos- 1 cos y.
\4	2J	и	2/ 1
104
4)	cos a — cos P+sin y=
. . / Л	a\	/ Л	B\ . V
=4sm/-------cos/-----— J sin —.
И	2/	\4	2/	2
5)	cos a — sin p+cos y=
=4cos(— —-)cos — sin	.
\4	2/	2	\4	2/
6)	sin a+sin P+cos y=
= 1 +4 sin ) sin (— — — i sin —.
U 2/ H 2>	2
7)	sin a — cosp+siny=
. ..tn	a\ р./л	у \
= 1 —4 sin/----1	cos - sin/-— .
\4	2/	2	\4	2/
8)	sina+sinp — siny=4sin ^-sin sin .
314.	cos2a+cos2p+cos2Y=4cosacosPcos у — 1.
315.	ctga+ctgP+tga=ctgactgp tgy.
316.	tgatgP+(tga+tgP)ctgy = l.
317.	1) cos2a+coszp+cos2Y = l + 2cosacosPcosy.
2)	cos2a+cos2 p+sin2 у=2 (1 + sin a sin p cos y)-
3)	sinza+ sin2p+cos2y = l — 2 sin a sin P cos y.
4)	sin2 a+sin2 p+sin2 y = 2 (1 —cos a cos p cos y),
5) cos2 a+cos2 P — cos2 у = 1 + 2 sin a sin P cos y.
6)	sin2 a+sin2 p — sin2 у=— 2 sin a sin p cos y.
Доказать (№ 318—330).
318.	Если tga+tgp+tgy=tga.tgp.tgy, to
a+p+y=n л.
319.	Если tga-tgp+tgp-tgy+tgy-tga=l,
to a+p+y=(2n+l)y.
*320. Если cos2 a+cos2 P+cos2 y+
+2cosa-cosP-cosy = l,-то одно из выражений a+p+y,
— a+p+y, a — P+y, a+p — у равно (2и+1)л.
1U5
321.	Если cosa-|-cos04-cos у=0, то
cos 3a4-cos304-cos3y= 12 cos a cos 0 cos y.
322.	Если --------= tg<p, to
sin a+cos a
sin a — cosa= + p 2 sin<p.
323.	Если tg—=4tg—, to tg^£=—.
2	5 2	2	3cosa — 5
324.	1) Если (14-cosa)(l+cos0)(l+cosy)=
=(1—cosa)(l—cos0)(l—cosy), то каждая из частей
этого равенства равна + sin a sin 0 sin у.
2)	Если (1-|-sin <х) (1 -f-sin 0) (1-l-sin у)—
=( 1 — sin a) (1 — sin 0) (1 — sin у), то каждая из частей
этого равенства равна + cos a cos 0 cos у.
325.	Если sin(a+tP)= I f S1 —a , to tg2<p=tgatg0.
sin(fJ+<p) V sin20	6 Y
326.	Если cosa+cos04-cosy=l+4sin-^ sin -|-sin-^ >
то либо а4-0+у=(4л4-1)л> либо одно из выражений
a — 0 — у, —а+0 — у и —а — 0-{-у равно (4п—1)л.
327.	Если ctga-{-ctg04-ctg y=ctga-ctg0-ctgу, то
а4-0-ру=(п+—j л.
328.	Если а+04-у=л и ctga-|-ctg0=2ctgy, то
ctg^ctg4=3’
329.	Если а+04-у=л и sina:sin0:siny=4:5:6, то
cos а:cos 0:cos у = 12:9:2.
330.	Если а+0+у=2л, то sin2a-f-sin20+sin2 у=
=2(1 — cos a cos 0 cos у).
§ 3.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ В ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ПРОИЗВЕДЕНИЙ В СУММЫ
Преобразовать в произведения (привести к «логарифми-
ческому виду») (№ 331—345).
331.	1) l+cosa4-sina.
2)	l-j-cosa — sin a.
106
332.	1) cos a+cos 2а+cos За.
2) sin a+sin 2a 4-sin За.
3)
sin a+sin 2a+sin 3a
cos a+cos 2a+cos 3a
333. sin3a+2sin5a+sin7a.
334.	1 — 2 sin 44= sin 46Q.
335.	3 —tg2a.
336.	tg 3a — tg 2a — tg a.
337.	1) cos a+cos 0+sin (a+fj).
2)	cos a+cos p — sin(a+P).
338.	1) sin2a+sin2p—sin2(a+P).
2)	sin2a+sin2p — sin2(a — P).
339.	1) sina+sin (a+ft)+sin (a+2ft).
2)	cos a+cos (a+/г)+cos (a+2ft).
3} sin a-i-sin (a+ft)+sin (a+2ft)
cos a+cos (a+ft)+cos (a+2A)
340.	l+tg67°+tg68°.
341.	1) 1—tg2atg2p.
2)	tg2actg2p- 1.
342 cos a — sin a — cos3a+sin3a
cos 2a+sin 2a
343.	cos a+sin a+cos P+sin p.
344.	1+sina+cosa+tga.
345.	cos (54° — a) — cos (18® — a) — cos(54°+a)+
+cos(18°+a).
Следующие выражения преобразовать в произведения
(привести к «логарифмическому виду») при помощи введе-
ния вспомогательного угла (№ 346—350).
346.	347. | a2+62.
a-pb
348.	+
107
349.	1) а+\'а2+Ьг (а > О, b > О).
2)	а — ]/ а2 — Ь2 (О < b < а).
350.	Уа+Ь +1 ^6 (0 < b < а).
Следующие выражения преобразовать в сумму (№ 351
и 352).
351.	sinasin Pcos(a+P).
352.	1) cos a cos 2 a sin 3 a.
2)	cos a cos 2 a cos 3 a.
353.	Найти (точно) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80°.
Понизить степень (до первой) (№ 354—357).
354.	1) cos6 a. 2) sin6 a.
355.	sin3 a cos3 a. 356. sin2 a cos3 a.
357. 1) cos'1 a. 2) sin" a.
§ 4. УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения (№ 358—425).
358.	1) sin x-|-cosx= 1,14.
2)	2sinx+7cosx=6.
359.	asin2x4-6cos2x=csin2xcos2x.
360.	1) asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d.
2)	5sin2*4-3sinxcosx—14cos2x=4.
361.	cosx+cos2x-|-cos4x=0.
362.	sin(x+a)+sin(x+P)=m.
363.	sin 10x + cos lOx =VZ2 cos 15 x.
364.	cosx+cos3x+cos 5x-)-cos7x=0.
365.	sin 3x=8 sin3 x.
366.	cos3x=—2cos2x.
367.	2 cos2 5x — 1 = cos 3x.
368.	sin 4x-t-4 sin 3л cosx=0.
369.	l+cosx=2sin2x.
108
370.	1) sinx4-cosx4-sinx-cosx= 1.
2)	sinx4-cosx— 2sinx-cosx=l.
371.	tgx=4cosx.
372.	tg 3x4-2 tgx=0.
373.	5tgx=tg3x.
374.	4tg—=3sinx.
2
375.	sinx=ctgx (0<x<90°).
376.	1) secx4~cscx=2.
2)	secx4-cscx=-l.
377.	sin x4-cos x=secx.
378.	sinx4-secx=2 cosx.
379.	sinx4-cosx — cscx=0.
380.	sin x4~tgx=cosx — secx.
381.	2 (tg2x4-ctg2x)=seczx4~csc2x.
3
*382. cosax-sin3x4-sin3x-cos3x=—.
4
383. sin3x — sinx=—.
2
(3 \	/	1 \
x-|-yj4-cos/x4—J = sin a.
385.	sin (x4-a)4-cos (x4-a)=sin (x — a)4~cos (x — a).
386.	p sin (a — x)=q sin (0 — x).
387.	cospx4-cosgx4-cos(2p4-(7) x=
=sin gx4-sin (2p4-?) x.
388.	sin 9x4-sin 5x4-2 sin2 x=l.
389.	cosx4-cos7x=cos4x.
390.	1) cospx+cosgx — cos(p4-p)x=l.
2)	sinpx4-sin^x-|-sin (p — q)x — V.
391.	sin2(a4-x)+sin2 (a — x)=—.
3
109
392.	sin2 (a+x) — sin2 (P+x)=sin (u — P).
393.	sin® x+cos" x—a.
394.	sin® x+cos® x =—.
8
395.	sinx+sina =tgp
cos x+cos a
396.	l + tg®x=sec®x — sec2x.
397.	4sin2x+sin22x=3.
398.	sin2x+cos2x='|/r2 sinx.
399.	sin22x—sin2x=—.
4
400.	sin -|-+cosx= 1.
*401. tg2x + sec2x=7— ^p.
402.	2sin2x+sin5x+sin9x=l.
403.	tgpx-tggx=l.
404.	tg(l+|j tg(l-1.
405.	tgx tg-^=cosx.
406.	tg—= te* —2..
e2 tgx+2
407.	tgx+tg2x+tg3x=0.
408.	sec^+Xj+sec^—x^ = 2)z2.
409.	cosxcos3x=cos5xcos7x.
410.	sin 4xsin llx+sin2xsin 5x=0.
411.	sin2x+sin3x=3sinx.
412.	sin2x+sin22x+sin23x=0.
413.	tg(nctgx)=ctg(ntgx).
414.	sin (л ctg x)—cos (n tgx).
415.	sin	cosxj=cossinxj.
110
*	416. sinx=csc5x.
*	417. sinx-|-siny = 2.
*	418. cosx=£ecy.
*	419. cosx+secx=2.
*	420. sinx+siny-) sinz=—3.
♦	421. logcos, sin x+logstn x cosx=2.
422.	ctg 2"~1 x — ctg 2" x=csc px.
423.	ctg2x-1a— ctg2Va=esc3a (0<a<;2n).
424.	1 — 2sin2 (2-‘—1)=cos 3a.
425.	----555^-----=2)/3~.
sin2A~2-cos2x—2
Решить уравнения и исследовать полученные решения
(№ 426—430).
426.	cos2x— 3cosx-|-a=0.
427.	a cos2х+(2а2— a+l)sinx— 3a-f-l=0.
428.	tg2x— 2tgatgx+l=0.
429.	sinx tgx-|-2cosx=a.
430.	sinatg2x — 2cosatgx4-l =0.
431.	Доказать, что уравнение 4x+2sin2x=n имеет
единственный корень и что этот корень заключен между
л	л
— и —.
8	4
432.	Зная, что аир суть два существенно различ-
ных ♦’ корня уравнения asinx+6cosx=c, найти:
1)	sin a sin Р;
2)	cos2—
'	2
3)	sin2 a+sin2 Р;
4)	sin2a+sin2p.
Решить уравнения (№ 433—447).
433.	cosx2=y.
•> См. сноску на стр. 41.
111
434.	sin3x=cos(x2—1).
435.	tg (ctg x)=ctg (tg x).
436.	tg (sec x)=ctg (cos x).
437.	cos (cos x)=sin (cos 2x).
438.	sin (ctg x)=cos (tgx).
439.	tg (УТГ sin x)=tg (cos x).
440.	1) arcsin хЦ-arcsin у
2)	arcsin x-|-arcsin x | 3=-^.
x 2
441.	arcsin x=2arcsin ——.
2
442.	I) arccos x — arcsin x=arccos x V 3 .
2)	arcsin x — arccos x=arcsin (3x — 2).
443.	arctg (x+1) — 3 arctg (x — 1)=0.
444.	arcctg(x—1) — arcctg (x4-l) = ^.
445.	arcctg x4-arcctg 2x=—.
4
446.	arcsin 2x-|-arc tg =-?.
447.	arccos1	+ arcsin ———|-arctg- 2* =—.
l+x'	1+X2	&l-x®	2
Решить следующие уравнения при помощи тригономет-
рических подстановок (№ 448—455).
448.	х=0,7854 |Л1 — х2.
449.	2х 1 — л2 — sin t.
450.	2}Лх(1—х)—sin/.
451.	х(1 — х)=0,22644.
452.	3(х2 — x)=ctg 104° 04'.
453.	1 —x2=2xctga.
454.	1) 2х=(1 4-х2) sina.
2) 2x=(14-x2)cosa.
455.	x=k(l — х2).
112
§ 5. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решить системы уравнений (№ 456—472).
456. 1)	sinx+siny=O, cosx-|-cosy=0, .	2 Sinx4-cosy = y,
2)	. .	3 COSx4-Siny = Y-
457.	' sinxcosy=0,36, . cosxsiny=0,14.
458.	3 (sin x — sin y)=4 (sin 2x—sin 2y), 3 (cos x — cos y)=4 (cos 2x — cos 2y).
459.	sinx=3siny, tgx=5tgy. sin X ctg у
460.	2 tgxcosy —.
ftgx=siny,
(sinx=2ctgy.
462.	4sinx_|_3.9cosy =3f 4-s<n«+5.81“^ + T=n. 2
463.	с£Г й" * X T Л» • о .© I
464.	x+y+z=180’, sinx=2siny, |/3 siny=sinz.
465.	x+y+z=180°, tgxtgz=2, tgytgz=18.
В Н. М. Бсскии
113
	x+y+z= 180°,
466.	tgxtgy=2, tg x-Mgy+tgz=6.
467.	lx+y+z=90?, [tgx:tgy:tgz=a:6:c (ct> 0,	0, c>0).
468.	; x+y+z= 180°, .tgx:tgy:tgz=a:6:c (a>0, b>0, c>0). x+y+z=a,
469.	sin x+sin y+sin z=sin p, cos x+cos у 4-cos z=cos p. x(cosy+cosz)=2,
470.	x (cos 2y+cos 2z)——2, x (cos Зу+cos 3z)»=— 4. sin x=cosy,
471.	У 6 siny=tgz, 2sinz = j/3 ctg x. sin2 x+ sin2 у+sin2 z = 1,
472.	cos2 x+cos2 у — cos2 z=1, tg2x —tg2y+tg2z=l.
Из следующих систем уравнений исключить
(№ 473 — 483).
' 473.	f sin 3x=a, I cos 2x=b.
474;	(cos x — sin x=a, (sin 2x=b.
475.	Jcos x+sin x=a, | cos3 x+sin3 x=b.
476.	fsin x+sin 2x—a, (cos x+cos 2x=b.
477.	f sin x+cos x=a, 1 tg2x+ctg 2x=b.
114
478.	J sin x+cos х=а, 1 tg3x+ctg3x=b.
479.	j 1 asinx+bcosx^p, I cos 2x=q. 2^ f asinx+bcosx =p, 1 sin 2x=q.
480.	J sin x+cos x=a, | sin 2x+cos 2x=b.
481.	J sin4x — cos*x=a, [sinxcosx^b.
482.	J b cos x — a sin x—c cos 2x, lbsinx+flcosx=csin2x.
483.	| 3cosx+cosxcos2x — sinxsin2x=a, 13 sin x — cos x sin 2x — sin x cos 2x= b.
Из следующих систем уравнений исключить к и у
(№ 484 и 485).
484.	x — у—a, sin x cosy=a, cosx sin у=b.
485.	sin x+siny=fl, 1) cosx+cosy=b, cos(x — y)=c. sin x+cos у=a, 2) cos x+siny—b, sin (x+y)=c.
486.	При каком значении а система cos x+cos y=l, sin(x —y) a sin(x+y) tgf-tg|=tg 15’
совместна?
115
Из следующих систем уравнений исключить к, у а г
(№ 487 и 488).
	хЦ-уЦ-2 = Л,	ctgx=a,
487.	sin(x+y)=a,	488_	ctgy=6.
	cos (уЦ-z)=6,	ctg Z-C,
	cos(z4-x)=c.	tg(* *+y+z)=d.
§6. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ И СВЕРТЫВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
489. Суммировать:
cosa4-cos(a4-/i)+cos(a4-2ft)+ ... Ц-cos (аЦ-лй).
490. Доказать тождество:
sin a+sin2a+sin 3a+ •••
cos a+cos 2a+cos 3a +
+sin/ia ,
-------= tg
+cos n a
2
Суммировать (№ 491—494).
491. cosa — cos(a+ft)4-cos(a-]-2/i)— •••
• • • Ц-(— 1)" cos (аЦ-/»Л).
492. sin a — sin(a-)-ft)4-sin(a+2ft)— •••
• •• Ц-(—1)" sin (аЦ-лй).
493. 1) cosa — cos2a-|-cos3a— ••• Ц- (—l)n-1cosna.
2) sin a — sin 2a-J-sin 3a— ••• -+ (—I)"-1 sin л a.
494. 1) sina-J-sin3a+sin5a-J- Ц-sin(2n—l)a.
2) cos аЦ- cos ЗаЦ-cos5аЦ- • • • Ц-cos(2n — 1) a.
495. Доказать:
., пт , Злm . 5лm ,
1) COS----l-COS-----hcos-----1- •••
n	n	n
i (2n — 1) л m n
• • • Ц-cos--------=0.
n
. л m . . Зл m , . 5л in ,
2) sin-----1- sin--f-sin-----J- • • •
n	n	n
... ^sin^-^-^^O.
n
*496. Суммировать:
1) со5(аЦ-й)Ц-2соз(аЦ-2й)Ц-Зсоз(аЦ-Зй)Ц-...
• •• Ц-лсо5(аЦ-лй).
116
2) sin(a+ft)+2sin(a+2A)+3sin(a+3ft)+ • ••
+nsin(a+n/f).
497. Решить уравнение:
l+2cosx+3cos2x+4cos3x+ ••• =2.
*498. Доказать тождество:
sina=a — 4/sin3—+3sin3—+32sin3—+ • • • ).
3	3>	33	/
Суммировать (№ 499—502).
499. sin2 a+sin2 (a+ft)+sin2(a+2/i)+ •••
• •• +sin2(a+nft).
500. cos2 a+cos2 (a+ftj+cos2 (a+2/i) + • • •
+cos2 (a+л/г).
501. 1) cos2a+cos2fa+—^+cos2fa+—^+ •••
\ n /	\ n /
... +c^fa+(++-|.
2) sin2a+sin2 ^a+—)+sin2^a+—)+ •••
. . ,[ . (n— 1)л 1
••• +sin2 a + --—I.
L « J
,л_	• Л i • 2Л , Зя ,	. . (П — 1)Я
502.	sm—|-sin—i-sin—|- ••• +sin-------—.
n n n	n
Доказать (№ 503 и 504).
en„ 2л .	4л,	6л,	.	2(n— 1)л	,
503.	cos—|-cos—И cos—|- ••• +cos—*-----—=—1.
n n n	n
глл ii л । ол 5л *	17л	1
504.	1) cos—bcos-bcos----b ••• +cos----=—.
'	19	19-	19	19	2
л. 2я , 4п . 6л .	.	20п	1
2)	cos--bcos-—bcos-—h	+cos----=----.
21	21	21	21	2
Суммировать (№ 505 и 506).
505.	1) cos2a+cos22a+cos23a+ ••• +cos2na.
2)	sin2a+sin22a+sin23a+ ... +sin2na.
117
506.	cos2 * a+cos2 3a+cos2 5a+ • • • +cos2 (2л — 1) a.
507.	В окружность радиуса R вписан правильный
л-угольник Д1Д2.. ,АП. М — произвольная точка окруж-
ности. Доказать, что
МА\+МА%+ ••• +.41Л„-2л/?2.
508.	Около окружности радиуса г описан правильный
2л-угольник. Из произвольной точки окружности опущены
перпендикуляры на все его стороны (или их продолжения).
Доказать, что сумма квадратов этих перпендикуляров
равна Зиг2.
509.	В окружность радиуса R вписан правильный
п-угольник Д1 А2 ... An. М — произвольная точка окруж-
ности.
Доказать, что
MA]+MAt+ +AM4n-6nfl*.
Суммировать (№ 510—512).
510.	1) со5асо5Р+со5(а+й)со8(р+Л)+
+cos(a+2ft)cos(₽+2ft)+ ••• +cos(a+nft)cos(P+n/i).
2) sinasinp+sin(a+ft)sin(Р+й)+
+sin(a+2ft)sin(P+2ft)+ ••• +sin(a+nft)sin(P+nft).
511.	1) sec a sec 2a+sec 2 a sec За+sec За sec 4a + •••
---J-sec(n—l)asecna.
2) cscaTsc2a+csc2acsc3a+csc3acsc4a+ •••
-----------|-csc(« — l)acscna.
' 512. esc a-esc 3a+esc 3a-esc 5a + •••
---|-csc(2n— l)a-csc(2«+l)a.
513. Доказать:
»	. л , .4Зя .	.5л , „ *7л	3
1) COS* —+cos«—+cos«—+cos«—=— .
о	О	о	о	2
2) sin* -J+sin* ^-+sin* v+sin4 *
о	о	с	D	z
118
514. Суммировать;
-----1---+-----J------+------!----+ ...
cos a+cos За cos a+cos 5a cosa+cos7a
...+________1---------.
cos a+cos (2n— 1) a
*515. Найти сумму всех произведений по два следую-
щих чисел:
1) cos a, cos 2а, cos За, ..cos па.
2) sin a, sin 2а, sin За. .... sin па.
В следующих задачах найти частную сумму ряда (sn=
• • • +ы«)’ доказать сходимость ряда и найти его
полную сумму (№ 516—520).
516. arctg-1--+arctg-1—1- ••• +arctg —Ц—|- •••
2	8	2п"
517. arcctgf——t-2a^4-arcctg/—+6а)+ •••
\ а /	\ а }
+arcctg [—-+п(п+1)а]+ •••
I а	I
518. arcctg3-+arcctg7-+ ••• +arcctg(n2-|-n+l)-|- •••
519.	arctg--------harctg-——4- •••
Б *«+1-2	*«+2-3
• • • Ц-arctg-------Ь • • •
s *«+n(n+l)
520.	arctg-1—1-arctg••• Ц-arctg+ •••
521.	Найти- (точно):
л „„„ 2л	Зл	4л	5л	6л ___ 7л
cos—-cos — cos —cos — cos —cos —cos —
15	15	15	15	15	15	15
Свернуть произведения (№ 522—524).
522.	(2cosa—1)(2cos2a—1) ... (2cos2n—1a—1).
523.	fcos —Ц-cos—Wcos —-|-cos—1 ...
\	2	2 Д 4	4 /
/	a . В \
... cos-----l-cos— .
\	2"	2" /
524.	(l-|-sec2a)(l-|-sec4a)(14-sec8a) ... (l+sec2na).
119
§ 7. ГРАФИКИ
Построить графики (№ 525—533).
525.	у=а~-'•sinx (а>1).
526.	y=sin" x+cos" к
1)	при весьма большом четном л.
2)	при весьма большом нечетном л.
527.	y=tgn х
1)	при весьма большом четном л,
2)	при весьма большом нечетном л.
528.	cosx
1)	при весьма большом четном л,
2)	при весьма большом нечетном л.
529.	у= lgcosx.
530.	1) y=sin|x|, 2) y=cos|x|, 3) y=tg|x|.
531.	y=tgx-|cosx|.
532.	1) y=|tgx|,
2)	у = — |sin x|,
3)	y=-y(sinx+|sinx|).
533.	(sin x) *>.
§ 8. НЕРАВЕНСТВА
Доказать неравенства (№ 534 и 535).
534.	|sin acosa| .
535.	/^<VTcos-|- (_JL<q,<2L).
*536. Доказать, что выражение *	(|cos6| + l)
№ — 2xcos p+1
при любых действительных значениях х заключено между
1 — cos a	1 +cos a .	.
--------и —L——* (крайние значения тоже достижимы).
l--cosp 1+cosp
Доказать, что углы всякого треугольника удовлетворя-
ют неравенствам (№ 537—540).
• А В С ~ 1
*537. sm — sin — sm —	— .
2	2	2	8
*) См. сноску на стр. 67.
120
538, sin ^4-sinB+sinC > sin2/-f-sin2B4-sin2C.
c„n Л в C 3 /з
539.	cos — cos —cos— < —-— .
2	2	2	8
540.	sin2—Ц-sin2—4-sin2— > — .
2	2	2	4
Решить неравенства (№ 541—547).
541.	sin2x>cosx. 542. sinx-j-Vs cosx<0.
543. ]/3sinx-|-l >4sinx+l.
544.	3 — 4 cos2 x > 3 sin хД-1.
sinx-f-cosx . n
545. ------'----> 2 cos x.
sinx
546 2sin2x+sinx—1 g
sin x— 1
s 9. ПОВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
*547. Какие из следующих функций периодичны? Како-
вы их периоды?
1) sin /2 х Ц-sin 2К2 х,
2) cos л хЦ-cos^y,
. 3) sin У2 x Ц-sin x,
4)	tg3x+sin 2x.
*548. Найти наименьшее значение функции y=tgx+
-|-ctg x на интервале 0 < х <; -j-.
549.	Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y=asin x-|-5cosx(a>0, й>0).
550.	Найти экстремумы функции у=2 cos2 х — 2cos х — 1
и исследовать поведение этой функции при возрастании х
от 0 до л.
Следующие функции исследовать на возрастание и убы-
вание (№ 551—553).
551.	y=2cos2x — 5cosx-|-2. 552. y=sin2jc-|-sinx.
553. y=sin2 x— 5sin хЦ- 6.
Найти наибольшие значения функций (№ 554 и 555).
554. y=sinx-f-sin(x — a).
121
y=sin x cos (.v-|-a).
Найти наименьшее значение функции y=atgx+
(a > 0, b > 0) на интервале (о,
Найти экстремумы функции
y=tgatgx+
555.
556.
+6ctgx
*557.
+ctg a ctg x ^0 < a < -Д- j на интервале (
558. Исследовать знак выражения
0< х^2л.
559.	В каких границах заключены выражения:
1)	sin(cosx), 2) cos(sinx), 3) tg(ctgx)?
sin (sin х) при
560.	В данный круг вписать угол данной величины так,
чтобы сумма образующих его хорд была наибольшей.
561.	Вершина треугольника находится в центре круга,
основанием служит хорда этого круга. Каков должен быть
угол при вершине, чтобы площадь была наибольшей?
562.	Дапы диагонали параллелограмма. При каком угле
между ними площадь параллелограмма будет наибольшей?
§ 10.	РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Найти пределы (№ 563—607).
563.	lira .
«-.о tg2x
564.	lim	.
х -» о sin3 х
570. lim tg-*-sinx .
x - 0 X’
565. lim te*~tea .
x-*a	x — a
566. lim sln-x~sina-
x a cos x — cos a
571.
cos2x
zz
cosx 2
567. lim sinx~*in.a
X ♦ O tg X — tg a
572.
lim
568. lim sin_?~col±
tgx —ctgX
4
573. lim
ЗЯ
K-r—~
2
sin2x
1 +sin x
!22
ezi
О*-*
•(% Эр — X эбэ) ШЦ *66S
x euts о * *
•------—5- ШЧ ‘gag
xujs—x8|	••	°
' г X \ 0 «-*
_St-3V—Juii( -86g
(g	\ <*”-*
— uis^mif -£6S
(u \ oo«-u
— UISU^ ШЦ -g6g
t> SOO X-X SOO DO**
D UIS X-XUISD *U^ S6S
»
x soo — x uis “
g4-x3)^ — xg3) £>)ме-*
g—*8)g—xg3) Ш?1 665
xtfsoo— xt/uis+x о* *
• -r^-xuis'+F10*1 7569
ц-xoso— X 3)Э к
’ '.-««.Hfo ШИ 463
I “~ л JbJ-f-л 0|J
x 3)	0 -1
• У83)-^ЩИ -06fi
xsooxuisx о *-*
• xesoo—~Ш}1 ’68S
_5_»
О X	D *-»
в soo-x ^7UIH ‘£83
kJ joAjJ Л g»UJ
(o — x) 3) П «- »
,.3,-,.а,Ш|1 ’MS
Ъ	»
-x.soo
;-----7— Ш.Ч *fr8S
X —-----’UIS
,	и /
x€soo
xujs — x
ШЯ *E8S

nDSOO-VDSoS^ ’28S
(d — x)uis “*-*
----------— iinf ’lag
DtUIS—X,U)S 1
г
K xg3)0 "*'X
• ----г- ШЧ (Z
xgsoo+i 1 '°
x ,3) U - *
!^==ТШ« <' °89
г
xsoo u
• T+xE^s ШИ ’6«
x oas — io*-»
-------ШИ '8ДЗ
XSOO — I •*
x sot — x o-1
•--------- ши "ng
xuis-x •*
£
X — x sot z « •
;-------- шц -QZS
X---— ' UIS
t И '
xsoo — X °*"r
•-Тэг- Ш«
г
— X
X7— W м
•Т^ГШ!1 *»«
600.	lim psinx— cosx)tg ^-^-4-x
4
601.	lim [(1—sinx)tg2x].
r —
2
602.	lim pa — x) sec .
603.	lim ( sin °~x tg-^Л .
r-ak 2 2a J
604.	limarctex-arCtgfl.
x—a	x — a
605.	Jim ar:^~3^° .
t —► a arcsinx— arcsina
606.	iiinaretgftx-arctgftfl.
r a arctg x — arctg a
607.	’ lim (arccos — tg-^-j •
§ 11. ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ
608.	1) Доказать формулы Симпсона:
cos(n+l)a=2cosna—cos(n— l)a — 4 sin2	cosna,
sin (n+1) a=2 sin n a — sin (n — 1) a — 4 sin2 -y- sin n a.
2)	Сформулировать план, как, пользуясь формулами
Симпсона, составлять таблицы косинусов и синусов.
609.	1) Доказать формулы:
cos (30° — ft) — cos (30е 4-ft)=sin ft,
sin (30° — ft)4-sin (30e4-ft)=cosft.
2)	Сформулировать план, как, пользуясь этими форму-
лами. продолжать после 30е таблицы косинусов и синусов,
составленные до 30е.
610.	Вычислить: 1) cos]/5 ,	2) tg(tg2).
611.	Решить приближенно уравнения:
1)	sinx=0,7x, 2) sinx=0 ,8х.
124
Вычислить приближенно наименьший положительный ко-
рень следующих уравнений (№ 612 и 613).
2
613. tgx=—
612. tgx=2x.
Решить приближенно следующие уравнения (№614—615).
614. sinx=x2.
615. sjnx=4x2— л2—1.
$ 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
АРГУМЕНТА
616.	В каких случаях cos г, где z=x~Hy, есть действи-
тельное число?
617.	Вычислить tg(l — t).
Решить уравнения (№ 618—620).
618.	1) cosz=—. 2) cosz=—. 3) cos z= 1,45.
5	8
619.	1) sinz=^. 2) sinz—4,0625. 3) sinz=^.
620.	1) cos z=0,75i. 2) sin z= 1,8751.
§ 13. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(Обозначения см. на стр. 170.)
621. Доказать, что во всяком прямоугольном треуголь-
нике:
.А	. / с — Ъ а	с—Ь
2	у с+Ь	с+Ь	а
*6	22. В прямоугольном треугольнике даны а и /г
Найти углы.
623.	Решить прямоугольный треугольник: та= 12,
т„=7.
624.	Решить треугольник: а=4, 6=6, /с=3.
125
Найти площадь треугольника (№ 625 —627).
625.	а—25, с=19, та=14.
626.	а = 74, с=57, тй=48.
627.	та- 315, а 41° 19', 0=35°5Г (а и 0 — углы,
на которые медиана делит угол Д).
Найти углы треугольника (№ 628—632).
628.	Йй= 14, /тг„=15, С — Л=23° 52'.
629.	Л„ = 93, ща=97, R=72.
630.	а=444,2, г= 152.3, В=63°07'.
631.	а=26, ftft=25, г=9.
632.	г=6,1, Я=21,4, йа=3.
633.	а=5, Ь=6, с=7. Найти 1Ь.
634.	Две окружности радиусов г и R пересекаются. Их
общая хорда равна а. Вычислить площадь общей части двух
кругов.
635.	Сторона ромба видна из 'середины противоположной
стороны под углом а. Определить углы ромба.
636.	Найти косинусы углов треугольника, если
637.	/?=2, та=\, Ь=с. Найти (точно) А, В, С.
638.	б+с=5, /а=—, Д=120р. Найти (точно) а, Ь, с.
639.	2 (6 — с)~ (I 5 — 1) а, Д=72°. Найти (точно) В, С.
640.	а+b = 11, г=-J —, S = 61^6 . Найти (точно) а, Ь, с.
641.	й=3к 3, a+c=3hb, Д=30°. Найти (точно) а, с.
642.	йа=8, йй=6, тс=5. Найти (точно) С.
643.	4р= (З+Г 5) а, Д=36°. Найти (точно) В. С.
644.	b+c—2a, r= F 2, R=2V 2. Найти (точно) все
стороны и углы.
126
645.	Два равных квадрата имеют общую сторону. Их
плоскости образуют двугранный угол а. Из обшей вершины
проведены диагонали. Найти угол между этими диагона-
лями.
646.	Найти угол между ребром и гранью правильного
тетраэдра.
647.	Найти двугранный угол правильного октаэдра.
648.	Минутная стрелка имеет длину 3 см, а часовая —
2-^- см. Через сколько времени после полудня в первый
раз расстояние между концами стрелок составит 3 си?
649.	Конус и полушар имеют общее основание. Сфери-
ческая поверхность полушара делится боковой поверхностью
конуса в отношении т: п (считая от основания). Найти угол
наклона образующей конуса к плоскости основания. Рас-
смотреть случаи m=n и л-0.
650.	Два равных конуса имеют общую вершину и ка-
саются друг друга по образующей. Один из них неподви-
жен, а другой катится по нему. Высота катящегося конуса
описывает коническую поверхность, площадь которой равна
площади боковой поверхности каждого из данных конусов.
Найти угол в осевом сечении каждого из данных конусов.
651.	Треугольник, углы которото суть А, В, С, враща-
ется поочередно около каждой стороны. Найти отношения
объемов тел вращения.
652.	Круговой сектор вращается около своего крайнего
радиуса. Объем полученного тела вращения составляет —
4
объема шара того же радиуса. Определить угол сектора.
Доказать, что во всяком треугольнике имеют место сле-
дующие соотношения (№ 653—665).
__________ 2_
653.	hjijie=(abc)3 .
654.	S=a J? sin BsinC и т. д. ♦>.
*> Слова «и т. д.» обозначают, что можно производить цикличе-
скую перестановку. Например, в задаче № 654 они заменяют формулы:
S=b R sin С sin Л н S=c R sin A sin В.
127
655.	S=2/?2sin Д sin fl sin С.
656.	pS = abc cos — cos — cos .
2	2	2
657.	S2=(p— a) abc sin cos -y- cos -у и т. д. *)•
658.	S=p*tgy tg-y tg-y.
659.	S=—i/ a2b2c2 sin A sin В sin C =
2 r
=— p/ 2a2 b2 c2 (sin 2Д 4-sin 2B+sin 2C).
4 r
660.	S (sin ДЦ-sin ВЦ-sin C)=2p R sin A sin В sin C=
=p2(cos ДЦ-cos B-j-cosC — 1).
661.	Rr=-^-— — Ssec— sec — sec— .
Ap 4	2	2	2
662.	p=4 7?cos —cos—cos—.
2	2	2
663.	a sin (B — C)-\-b sin (C — Д)+с sin (Д — B)=0.
664.	a (sin В — sin С)Ц-Ь (sin C — sin Д)Ц-
Ц-с (sin A — sinB)=0.
665.	l-tg4tg4=— и т- Д- *>•
z z p
666.	Доказать, что величины сторон всякого треуголь-
ника удовлетворяют уравнению:
х3 — 2рх2+(г2+ра-|-47?г) х — 4Rrp=0.
Доказать (№ 667—670).
667.	1) Если S=p(p — а), то треугольник — прямо-
угольный.
2) Если S = (р — Ь) (р — с), то треугольник — прямо-
угольный.
668.	Если a2+bz+c2=8/?2, то треугольник — прямо-
угольный.
*> См. сноску на стр. 127.
128
669.	Если расстояние между центром описанного круга
и ортоцентром равно половине одной из сторон, то тре-
угольник — прямоугольный.
670.	Если ctg — =
2 с
то треугольник — прямо-
угольный.
По данному соотношению между элементами треуголь-
ника определить вид треугольника (№ 671—674).
671.	sin2Л-f-sin2 B=sin2C.
672.	sin Л+cos 4=sin B+cosfi.
673 te^ — sin2
tg В sin2 В .
674.	c=	.
2	2
Доказать (№ 675—678).
675.	Если Л=60°, то а=1/ — +с—
I/ t>4-c
676.	1) Если отношения сторон треугольника рациональ-
ны, то косинусы его углов имеют рациональные значения.
2) Если стороны и площадь треугольника рациональны,
то все тригонометрические функции его углов имеют ра-
циональные значения.
677.	Если синусы углов треугольника образуют арифме-
тическую прогрессию, то произведение тангенса половины
меньшего угла на тангенс половины большего равно .
678.	Углы и стороны разностороннего треугольника
не могут одновременно образовывать арифметические про-
грессии.
§ 14. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
(Обозначения см. на стр. 171.)
Решить прямоугольные сферические треугольники
(№ 679—684).
679. 1) а=66° 48', Ь= 119° 31'.
2) а=118°41', 6 = 150°31'.
680. 1) а=47° 39',	с=80°00’.
2) а -- 123° 37', с=159°00'.
9 Н. М. Ьесхии
129
681. 1) а= 136° 49'. Л-99° 10'.
2) а= 134° 48'. А-160е 02'.
682. 1) 6= 118° 13', Л=55°30'.
2) Ь= 124° 30', Л=159° 18'.
683. 1) с=164°13'. Л = 47°39',
2) с=109°31', Л=138°25'.
684. 1) Л = 15°49', В=102°02'.
2) А= 149° 12', В=123°06'.
Решить прямосторонние сферические треугольники
(№ 685—690).
685. о=48° 14', 6 = 75°57'.
686. а -105е, В=76°.
687. а=119°26', С=69°05'.
688. 1)а=114°49', Л—136 29'.
2) а=38° 27', А = 107° 06'.
689.	Л=59° 58', В=140°0Г.
690. 1) Л-127° 39', С=98° 25'.
2) А=64° 56', С=58° 12'.
Решить сферические треугольники (№ 691—696).
691.	1) а=59°46', fe=83° 18', 2) а= 119° 37'. Ь— 158° 11',	с=96° 04'. , с=48°28'.
692.	1) Л = 116°08', В=6О°О7', 2) Л=128°30', В=119°15',	С=69э45'. С=125°02'
693.	1)а=104°23', fe=67°04', 2) а=108°14', i>—60°28',	С=36° 18'. С=98° 32'.
694.	1) Л 39°04', В=5746', 2) /=107° 46', В=69°42',	с=100°00' с=40°11'.
695.	1) а=112°40', 5=58°28', 2) а=121°05', 6=66°25',	Л=98°23'. Л=138°17'.
696.	1) Д=54°42', В=81°27', 2) Л=39°37', В=69°25',	а=52°35'. а=26°50'.
ОТВЕТЫ
6. 1— (24-i 2)(l — 1^2 — <2 ). 10. 2) См. формулу (V. 15).
2х*—1
За
„ _----	/15	2х*—1	,	/1	9а«
14. 2х/1—х*. 15.	16. -----. 21. г — -
.	8	2х/1 — х*
Задача возможна приО<а<—. 22. 2) х=а(‘2Ьг — 1)+
□
42b-/(1—а*)(1— Ъг). Задача возможна при условиях
36 cos (a — Р)
cos аcosр
<2b® — 1, 0< b< 1 (см. черт. 20).
.	<*	Р	а+Р
38.	1) 4cos	—	cos	“Sin	—-—,
а	В	а+В
2) 4sin — sin у sin ——. 40 . х,=
ф	ф
=—psln2 —, х3=—pcos1—, где
sin ф:
0 < ф < 90°.
41.
где cos ф=— cos а, О < ф < 180°.
4
44. —[sin2(a4P)4sin2a—sin 201.
4
47.	1) См. формулу (IX. 6), 2) См. формулу (IX. 11).
48.	j(l— cos4а). 49. 2) х=15 (4Л — 1)4(— 1)* 12°15', 3) х=
=30° [6й — 24(— 1)*]. 50. а) х=45л (4й — 1), Ь) х=180°Ь4Б4°59'.
52.	х = ЗО°(Зй±1). 53. х = 22°30' (4й ± 1). 54. а) х = 45° (4Л+1),
Ь) х = 30°[6й4(—1)‘1- 56. а) х = 180° (2^41), Ь) х = 60°[644
4 ( — !)*]•	58. а) х = 45°(2*4 1). Ь) х = 30“ (6й ± 1).
131
60. х=7°30'(46 —
с) х = 36° (26+1). 63.
1).	62. а) х= 90° (26+1), b) х = 360°6,
а) х = 120° (36±1), b) х = 22°30'(46+1).
64. х = fat. Указание.
tg
взаимно обратные
равна 2 в том и только в том случае, когда
1 [формула (XVII. 2)]. Можно решить задачу
“	= 90° (46+1).
величины. Их сумма
каждая из них равна
и без этого соображения, но несколько длиннее. 68. х =
Указание. Сумма двух синусов равна 2 в том и только в том случае,
когда каждый из них равен 1. 70. Если а 180° (2/1+1), то х =
= 30°[66+(—l)fc]-----если а = 180° (2и+1), то уравнение удовле-
творяется. при всяком х. 71. Если а= 180Jn, то уравнение обращается
(2л-|-1), то уравнение
случаях х =
два
отнссительно х; если а = 45°
Во всех остальных
в тождество
решений не имеет.
74. При — оо < а < — 5 уравнение имеет
3+ /9 —8а	3 — <9 —8а
------	, b) sec х =------------
--- "-= 45° (2А+1).
решения: a) sec х =
— 5 < а < 1 — толь-
при
4
< а < оо решений
.	(4/п+1) л ± / (4/п+1)гл2 — 240
+(_ l)*+i. 1,1871. 82. а) х=-—’ Тп ~ ~-----------------------
4
ко первое из них; при 1
нет. 80. х = л /г+
12
т — любое целое число, кроме 1 и 0.
— (4п + 1) л ± <(4п + l)sn’ + 240
Ь) х =---------------------------------------
где п — любое цел^
число. 83.
при любом
ное число.
12
log-^ + >og(3* + 1)
х = 1 +-----------—----------, где л-тарифмы берутся
log 2
(одинаковом) основании, k — любое целое неотрнцагель-
Прибл. х= 1,06653+3,32192 1g (36+1), где 1g — деся-
1 + (46 + 1) л + / 1 + 2(46 + 1)я
-----------------------------------, где
тичный логарифм. 84. х
k — любое целое неотрицательное число.
2
88. х=^-
. 90.
1
Х~ 2’
£
2'
п=1. 91. Xi = 0, х2 = -^-, л
95. xj= tgy, х2 = — etgy. 98. а) х =
а
94. xi=tg-^, x2=ctf>^.
2 ’
= 360°т, у = 360° п, Ь) х —
= 120е (3/п ± 1), у = 120е (Зл + 1), с) х = 30° (6/71+ 1) ± <р,
132
у = 30° (6л + 1) Т ф, d) х = 30° (6/л — 1) ± ф, у = 30° (6л — 1) Т ф-
В решениях Ь), с) и d) знаки оба верхние или оба нижние, ф =
|/~3 —/П
= агссЛ ------~------% 113°20'. 99. х = 90° (4*4-1), у = 180' Z4-
.	Iog2
4-(—1)' ф. где ф = arcsin « 39'07 . Логарифмы берутся при
любом (одинаковом) основании. 100. х ==. 360*±56J19', у и 3601 ±
±86°49', г = Зб0°/п±36с52'. Знаки либо все верхние и *4-14
4-гл = 0, либо все нижние н k 4- I + т = 1. 101. 4дг(1 —л*) =
г
102. д’(2 —	= ЮЗ. tgi/m1 4-ла=—. 105. b — a = cosa.
л*
360° k
108. а) х = —-—, где k — любое целое число, не кратное л,
(л — 1) л
2л
о) х=---------—----. гон. ----------------
л4-1	л
sin —
2л
пл (л4-1) я
sin — cos---------- ----------------------
2*	2*	sin 2я a
113. --------------------- (k =£ 0). 115. ——-------. Указание. См.
. л	2я sin a
sin a 4-
90° (4*4-1)
решение задачи № 45. 116.------. Указание. См. решение задачи
a
№ 45. 117. 1) См. чертеж 21. Пунктиром показана синусоида
133
y=sinx. 2) См. чертеж 22. Пунктиром показана косинусоида y=cosx.
118. 1) См. чертеж 23. Пунктиром показаны прямая у=ж и синусои-
да у = sinх. 2) См. чертеж 24. Пунктиром показаны прямая У—х
134
и косинусоида у = cos х. 122. См. чертеж 25. Пунктиром показана
синусоида у = sin ж. 123. 1) См. чертеж 26. Пунктиром, показана
синусоида y=sinx. 2) См. чертеж 27. Пунктиром показана сину-
соида у = sin х. 124. См. чертеж 28. 125. График состоит из отдели-
Черт. 27
135
(4k + 1) л
mix точек оси абсцисс, для которых х =------------------- (см. чертеж
29). 129. а) ]80°-2А —< х < ]80°-2fe+<P2, Ь) 180°(2А>+1) —
у29 + 3
— ф2 < х < 180° (2Л + О+Фь W Ф1 = arcs*" -------—---~ 56е59',
/29 — 3
ф2=агс51п----—----к 13°48'. 137. Наибольшее значение угла А
а	1
достигается при Ь = с и равно 2 arcsin—. 140. —sina. 141. —.
т	2
2
142. —. 144. a. 145. 2) 0,74562, 3) 0,80268, 4) 0,21711.
m2
148. х = 0,8603 (с недостатком; погрешность меньше 0,00005).
149. 1) cos I = ch 1~ 1,54308, 2) sin i = i sh 1«1,17520/. 150. 9,15450 —
— 4.1689U’. 151. 2) z=y(4fc+l)±Hn7.	152.	1) z=2An±
± (y — /Insj, 2) z=kn + (~ l)*i ln(2 +/Т). 155. a=4,]082,
5=2,8766.0 = 5,0152. 158. a = 60,6114, 5=97,8877, 0=62,5226,
s(l-cosf)
C = 38°08'. 159. r- ------------. 160. ]66 cm. 163. sin A~,
2a	2v
Ц	1
sinB=~~. 166. asina-sinp. 167. arccos— a70°32'. 168. Холодные
Z'*	о
пояса — 8,3%, умеренные пояса — 51,9%, жаркий пояс—39,8%.
170. Ь= 153°48', Л = 55°32', В=137°42'. 171. Два решения:
5, = 32°23', о, = 48°36', В, = 45°33', Ь2 = 147°37', съ = 131°24',
Ва=134°27'. 172. а = 35°35', с = 50°03', В = 53°12'. 173. а =
= 49°33', 5=46°02', о = 63°]3'. 175. 5=78°14', Л = 35°01',
С=106°14'. 176. Два решения: Ь1=125°57', BI=I33°33', С, =
= 63°33'; 5а = 54°03', В2 = 46°27', С„=116с27'. 177. а = 62°49',
5 = 46°31', С = 119°09'. 179. а = 30°05', 5 = 27°32', c = 32°16,.
180. с = 37°58', Д = 83°43', В = 54’16'. 181. о=60°46', В=42°42',
С = 97°37'. 183. В точке А 66°40', и точке В 70’14'. Замечание:
это — не внутренние углы треугольника АВС. 209. Указание. По фор-
муле (VII. 20) имеем: tg а — ctg а = — 2ctg 2а, 2tg 2а — 2ctg 2а =
= —4ctg4a, 4tg4a — 4ctg4a = — 8ctg8a. Складывая эти тожде-
ства, получим го.
что требуется доказать. 211.
tg
a
V
Зт — 1 1 Ли — 1
т — 3 ±2 V т-3'
Знаки — оба верхние или оба нижние.
136
Задача возможна при — оо < т < — или при 3 < т < о-, хотя при
3
т = 3 данная форма ответа становится неопределенной. 212. а) ±2,
Ь) ±у-
'	п	(П + 1)П(П— 1)
214. 1) (— I)2 cos п а = — cos а —---------------— cos® а +
'	'	11	31
УЬ
-о---------- "	.1 Ч -О-------------------1---
Л	2л in ЗЯ X
*
Черт. 29
5!
И (V. 8),
sin* а —
При п = 3
2) cosn а-- 1
и п = 5 см. формулы (V. 4)
п-п	(п + 2) п-п (п — 2)
- sin2ji +-----------------т;-----------
(п + 4)(п + 2)п-п(п — 2)(п— 4) .	„
—  -------------—-------------- sin6 а + • • • +(—1) 2п * 1 sm” а.
При п = 2, п = 4 и и = 6 см. формулы (V. 2), (V. 6) и (V. 8),
-к	п-п	(п+2)п'п(п — 2)
3) (— 1) 2 cos п а = 1 — — cos2 а +----—----------cos* а —
(п + 4) (п + 2)п-п(п— 2)(п — 4)
—4	- 7 б[ 1cos’ а4- • • • +(—1) 2 2^‘cos” а.
При п = 2, п — 4 и п = 6 см. формулы (V. 2), (V. 6) и (V. 10).
Cln-iga — C3ts3a + C3tgsa-----
215. tgna =------------------------------—. Последние чле-
1 — С2 tg2 а 4-С* tg4 а — • • •
ны числителя и знаменателя содержат tga в п-й и (п — 1)-й степенях.
216. 1) 4ха— Зх—cosa = 0. Указание. Воспользоваться формулой
(V. 4). 2) 4х3 — 3%4-sina = 0. Указание. Воспользоваться формулой
(V.. 3). 3) № — 3№ tg a — Зх 4- tg a = 0. Указание. Воспользовать-
ся формулой (V. 18). 222. q. 223. Может в одном из трех случаев:
а) a = 360° k, b) ₽ = 360° k, c) a + p = 360° k. 224. Указание. Оба-
137
значим для краткости: tga = a, tgp = a,.tgY = w. Предположим, что
и + и 4- w = a. uuw = a, uv 4 иг, 4- cu = 1 (здесь через а обозначен^
общее значение и 4- v 4- w и шла). Согласно формулам Виета и. v и
w суть корни уравнения s3 — as* 4 s — а = 0. Остается доказать, что
это уравнение не имеет трех действительных корней. 225. Указание.
Эту задачу можно свести к предыдущей. 230. sin 42° = cos 48° =
=-^-(/3”/1042/5 — /5 4- 1). cos42°=sin 48° = -Ц /1042/54
о	8
4- /3 (/5 — 1)]. Указание. 42° = 60° — 18°; sin 18° =
231. sin 33° = cos 57° =	[(/О' — /2)	10 4 2/iT 4
16
4 (/б- 4 /2)(/5 - 1)1: cos33° = sin57° =
= ^[(/б+/2)/ 10 4 2/5 -(/T —/У) (/5-1) ].
232. sin 27° = cos 63° = 4- /2 (/ 10 4 2/5 — /5~ 4 1);
8
cos27°=sin63°=4^1042/5'4/5—1). 233. sin 12°=cos78° =
О
£
8
[V1042/5—/3"(/5—1)1; cosl2°=sin78°=4(/3/1042»/5 +
8
4/5 —1). 234. sin36°= cos54°= — V 10 — 2/5; cos36° =
4
= sin54° = — (/5 4 1). 235. 22°30'. 236. 22°30'. 237. 22°30'.
4
238. 15°. 239. 75°. 240. 16°. 241. 54°. 242. 186. 243. 18°. 244. 36°.
249. \/ ~ +	. 250. — —. 251. 2x* — 1. 252. -2xy. 1——.
У 34	4	1—2x’
,____ /2	/2"
265. x = 2a у 1 — a*. Задача возможна прн — —-— < a < —-—.
Z	Л
266. x= 1 — 2a®. Задача возможна при 0<a<l. 267. t =
= .4a(l—2a1)/1 — о*. Задача возможна при —У 2 — /2~
<a<	2-/2 .
1—a*
268.	x — —-—. Задача возможна при a>0.
2a
1U yi — U f	.	——
269.	x = ;-7—-----Задача возможна при—(/2— 1)<с</2-1.
1 — 6a1 4- a1
270.	x = Задача возможна при a > 0. 271. x= I 1 —4a* . Зада-
2a
138
ча возможна при 0 < a <	272. х = у/Л — cP. Задача возможна
1 4-3a	1
при — 1 < а < О. 273. х=----—. Задача возможна при —оо<о<—.
1 — Зо	3
(4—a»)/a»—1
274. x =------—------. Задача возможна при 1 < а <
a3
a (3 — 4o»)
1
2
3
275. 1) х =----—----’ Задача возможна при —— <о < —.
(1—4а®)/1—а®	2	2
„	о(3 —4а»)	„	1
2) х—----------  Задача возможна при — <о<1.
(1 — 4а») /1 — о»	2
276. х = 2а/ (1 — а»)(1—46») 4-26(1 — 2о»), Задача возможна прн
1^26	1	1
—•-------g < 6 < у («рт. 30).
условиях: —
Черт. 30

320. Указание. Преобразовать данное условие к виду:
а 4- ₽ 4- Y	— “ 4-₽ 4-Y а — Р 4-Y <*+₽ —Y Л
2	2
2) 2 /"2 cos sin ^45° —
cos
331.
2
a
— S>n
a \
Tr
332.
1)	4 cos
30°
2

2) 4 sin2a-cos
а За
=4 cos —cos a sin—, 3) tg2a.
_	„„.г.	. .о «л» 4 sin (60° 4- a)-sin (60° — а)
333. 4sin5a-cos»a. 334. 2sin* 1°. 335.----------------------------.
cos* a
336. tg a-tg 2a-ig3a. 337. 1) 4cos——
45°—
45°
139
2) 4cos—^cos^45°+-^-jcos^45°+	338.1)—2sina-sinP*cos(a4-P).
2) 2sin a-sin P-cos(a—P). 339. 1) 4 sin(a4-ft)cos^3004--^-jcos^300—
2) 4cos (a 4- A) cos ^30° 4- cos AjO® — yj \ 3) tg(a-f-A).
340. ctg 22° ctg 23°. 341.
2)
stnfa 4- P) sin (a — P)
cos2 a-sin2 p
cos (a 4- P) cos(a —P)
cos2 a-cos2 p
342. 2 sin a.
R i „.r,	2/2cos*-y sin(45°+a)
343. 2/2 cos‘Ц-—cos (45° — ——Y 344.-----------------------------
2	\	2 !	cosa
b
345. sin a. 346. tg(45°—<p), где tg <p=—, —90° <<p<90°.
a
lai	I b I	л
347. -----, где tgq>= — , 0<<p< —. 348. 21 a | sin (45° + <p), где
costp	| a I	2
Ф
2a-cos2-^-
cos2 <₽ = (—Г, 0<<p<45’. 349. 1)--------------где tg<p=A,
. \aj	cos<p	a
0<<p<90°. Данное выражение представляет сумму гипотенузы и катета.
Ф	b
2) 2а sin2—, где sin<р=—, 0<ф<90°. Дан-
2	а
заключающих угол <р.
ное выражение представляет разность гипотенузы и катета, заключаю-
(<р \	А
45° 4--—], где cos ф=—, 0 < ф < 90°.
2 /	а
351. — | cos2a 4-cos2p — cos2(Ct + Р)—1]. 352. 1) — (sin 2 a 4-
1	3
4-sin4 a 4-sin6 a); 2)— (1 4-cos 2a 4-cos 4 a 4-cos6 a). 353. — .
4	16
354. 1)См. формулу (IX. 8), 2)См. формулу (IX. 7). 355. — (3 sin 2 a—
— sin 6 a). 356.—(2 cos a — cos 3 a — cos 5 a). 357. См. формулы (IX. 17)
16
и(1Х.18), 2) См. формулы (IX. 15) и (IX. 16). 358. 1) а) х = 90°- 4*4-
4-8°43', Ь) х=90° (4*4-1) —8°43', 2) а) х=360*4-50°26', Ь) х=360° *—
— 18°33'. 359. cos х определяется из биквадратного уравнения: c-cos4 х 4-
4-(6 — а — с) cos2 х4-о=0. 360. 1) tg х=
— b±yt/>—4(a — d)(c~{i)
2(a-d)
*) См. также решение задачи 106.
140
2) а) х=180”*4-ф, где <p=arctg 3я:71°34'; b) х=180э*— ф, где
Ф = arctg6 ss 80°32'. 361. а) х= 90’(2*4-1), Ь) х=40’(3*±1).
.	<>+₽	ЯГ
362. х=180° *4-(— I)* ф—~ где <p=arcs:n---------------•
2.	„ о — р
2cos-2
363. а) х = 9°(8* —1), Ь) х= 1’48'(8* 4-1). 364. х~= 22’30' т.
где т — любое целее число, не кратное 8, т. е. т /Ь 8*.
365. х = 30°(6*±1). 366. а) х = 120° (3*±1), Ь) х=360°*±ф, где
/17 — 1	360°*	360°*
Ф = arccos--------я?38 40 . 367. а) х ——~, Ь) х=—-—.
/3"
368. а) х=90° *, Ь) х=180° *±ф, где<p=arccos-i-— а-54’44'. 369. а) х=
«5
=180° (4*±1), Ь) х=60°(6*±1). 370. 1) а) х=90°-4*, Ь) х=
-90°(4*4-1), 2) а) х = 45°(4* — 1), Ь) х=90°-4*. с) х = 90°(4*4-1).
/65 — 1
371. х=180°*4-(— 1)А ф, где ф=агсз1п----«61’59*. 372. а)х=
О
/35
=180°*, Ь)х=180°*±ф, me<p=arctg л 40°12'. 373. а)х=180°*.
Ь) х=180°*±ф, где ф=агс<й-у~ «20’42*. 374. а)х=360’*, Ь)х =
/5-1
=360°*±70°32'. 375. x=arccos -— -----«51’50'. 376. 1) а) х =
1	/5 — 1
=90° (4*4-2) — ф, Ь) х=90° (4*4-3)4-ф, где ф=—arcsin -------и
«19’05'. 2) а) х = 90° (4*4-2) —ф, Ь) х=90° (4*4-3)-|-ф, где
ф= ^arcsin (4/5 — 8) «35’23'. 377. а) х=180°*; b) х=45° (4*4-1).
378. х=90°*4-31’43'. 379. а) х=45° (4*4-1), Ь) х=90° (2*4-1).
380. х = 180° *. 381. х = 45° (2* -|- 1). 382. х = 22°30' (4* 4- 1).
3
Указание. Левую часть можно заменить через —sin 4х (см. задачу № 9).
4-
383. а) х=ЗО°[6*4-(—1)*]. Ь) х=18° [10 *4-(— 1)А], с)х=18’[10*4-
4-3(—1)*+Ч. 384. cos(x-f-l)=---—-—» 0,56975 sina. 385. При
2cos-|
а Ф-180° т х=45° (4*4-1); при а=180° т данное уравнение превраща-
р sin a — о sin В „	90° _
ется в тождество. 386. tgx=--------------. 387. а) х=— (2*4-1),
р cos a — q cos p	p
1	к	1^2
b) x=----[45° (4*4-l)4-( —О* Ф1. где ф=агс81п!—-«20°42'. 388. а)х=
₽4-9	4
= 45° (2*4-1), b) x= у 30° [6*4-(—l)ft]. 389. а)х=22°30'(2*4-1),
141
b) x=20° (бАНЧ ) 390. 1) При p =/= 0. <7 =p 0 и p+q =j= 0 уравие-
360° k	360° k
иие имеет три серии решений: а) х = ----------, Ь) х=---------- ,
Р	q
180" (2*4-1) „	„
с) х = -------------. Еслц р #= 0. q #= О. р4-<7=0. то серия с) отпадает,
р+Ч •
а серии а) и Ь) совпадают между собой. Если хоть одно из чисел р и
q равно нулю* то даниЛ уравнение с братается в тождество. 2) При
р 0, q Q и р — q уравнение имеет три серии решений: а) х=
360е*	360°*	180° (2*4-1)
=--------, Ь) х=----, с) х =-------------. При p = q^O серия с)
Р	q	p — q
отпадает, а серин а) и Ь) совпадают между собой. При р =f= 0, q = О
180°*
х=-------. При р=0 уравнение обращается в тождество. 391. cosx =
Р _____________
1 Г 3 cos2 а — 1
= ± I/ ---------г---. Задача возможна в следующих случаях:
'	3 cos 2а
а) 90°-2* —<р _ a%90’-2*4-q>, Ь) 9О’-(2*4-1>—а ^90°-(2*4-1)4-
i 6	тЗ
4-ф, где arccos——~35°16', ф=агссоз —— ss 54°44'. 392. х =
3	о
Q-kft	-1/1_____a
=45° (4*4-1) —------. 393. sin2x=x2 I/ —-— Задача возможна при
2	г 3
— <а< 1.394. х=45°(4*±1). 395. х = 360° * — а 4- 2В. 396. х =
4
= ЗО’(6*±1). 397. х = 45° (4*±1). 398. а) х = 45’ (8* — 1), Ь) х =
= 15° (8*-I- 3). 399. а) х= 18° (10*+1), Ь) х = 18° (10*±3).
ь	4 i 34-5
400. а)х=360°*. b) х=60° |6*)-(—1)*]. 401. cos2x= ——
1 о
х = 180° *х78°17'. Указание. При нахождении cos2x рекомен-
дуется воспользоваться формулой (XVII. 1) Согласно этой формуле
V 813 — 420 V 3=14 V 3—15. 402. а) х=45° (4*4-1), Ь) х=у-30°х
2*4-1
Х[6*4-(—1)* ]. 403. х = 90°---------. Предполагается, что p+q=£0,
p+q
Р*0. ? / 0. Некоторые корни могут оказаться .несобственными.
Зл
404. х= — (2* 4- 1). 405. х =360°*+51°50'. 406. Уравнение имеет
О
только несобственные решения х=90° (4*4-1). Это значит, что
они удовлетворяют уравнению лишь при условии, что правая
часть понимается не как результат непосредственней подстановки
вместо х значения 90° (4*4-1),
407. а) х= 60’ *; Ь) х=180’+ф.
как lim
х- 90° (4*4-0
yz3
где <р = arcsin —-—
«5
tgx-2
tgx4-2
=s 35’44'.
а
142
2k л
408. x= —. 409. x=22°30' k. 410. a) x=20° k. b) x=30° (2*4-1).
3
>417—1
4|I. a) x=180° k, b) x=360° *+<p, где <p=arccos----« 38°40'.
4
412. x= 180°*. 413. sin2x = —---где * — любое целое число, за
2*4-1
исключением —2, —1, 0 и 1. При *=2 годятся лишь те значения х.
для которых cos2x>0. 414. a) ctg2x = *4- b) esc 2х=1 4- —:
4	4
I — любое целее число, кроме — 1 и 0. 415. а) х = 2* я+ф, Ь) х'=
я , _	19
=~(4*+1)-рр (зЬаки оба верхние или оба нижние), q>=— arcsin —=
2	2	16
0,29870. 416. х=90°(4*+1). Указание. Синус равен косекансу толь-
ко в тех случаях, когда каждый из них равен 1 или каждый из них
равен—1. Следует убедиться, что система sinx=l, csc5x=l (или
sinx =— 1, csc5x =—1) непротиворечива. 417. х— 90°(4*4-1), У =
=90° (4/4-1). Указание. Сумма двух синусов равна 2 только в том
случае, когда каждый из них равен 1. 418. х=180°*. >>=180° (*4-2/).
Указание. См. указание к задаче № 416. 419. х=360° *. Указание.
Использовать формулу (XVII. 2). 420. х=90° (4* — 1), >>=90° (4/ — 1).
г=90° (4m—1). Указание. См. указание к задаче № 417. 421. х=
=45° (8*4-1). Указание. Известно, что loge 6-log» а=1. Таким обра-
зом, левая часть уравнения есть сумма двух взаимно обратных величин.
Эта сумма равна 2 только в том случае, когда- каждая нз них равна 1
360е*	_	180° (2*4-1)
(формула(XVII. 2)]. 422. а) х= —---- (р 2"), Ь)х=-------—-------
— р	2 р
(р*- 2П). 423. а) х=--—-
log 2
(2*4-1) я
а
hg2
За 1\	„
— — — I. Логарифмы можно брать при
log (2я *+За) г _ За\
любом (одинаковом) основании. 424. х=-----:—------I * > — I. Зна-
log 2	К 2я/
ки оба верхние нли оба нижние. Логарифмы можно брать при любом
о . log я — log 12 4-lop (24*44)
(одинаковом) основании. 425. х = 2 4------------------------------
log 2
(* > 0). При *=0 знак только верхний. Логарифмы можно брать при
любом (одинаковом) основании.
3—/9 —4л
426.	cos х — -------- . Задача возможна при — 4 < а < 2.
427.	При —ос < а < —1 или 1 < а <со slnx= —, при 0 < а <1 sin х=
143
=2ч — 1 (при с=1 оба ответа совпадают). При—1<а<0 задача
нео зможна.	4
428.	tgx=tga+/tg2u — 1. Задача возможна, если 45° (4*+1) < в<
<, 45° (4*4-3) и притом a =/= 90° (2*4-1). 429. При — оо < a <—2
п+/ о* — 4
cos х=-----------, при — 2 < a < 2 решений нет, при 2 а <• оо
а — -J а- — 4
cosx =----------. 430. При 180°(2*—1) — ф а < 180° • 2* 4- ф
, cos a+ /cos3 a — sin a	,„„„
tg x=-------------------, при 180 2*-Hp <a < 180° (2*+l) — ф
sin a
с3 —6»
с*4-6* '
k — целое
брать верх-
Я-з±
k — целое
тЛ5 — 1
решений нет; <p=arcsin —— --------- =38° 10'. 432. 1)
2	с11	3 ' 26* (о34-Ьг)+2с2 (о8-Ь8)
' a’4-d3 ’	'	(о24-Ь3)4
(a34-62)3	F 3
неотрицательное число. При k=0 под радикалом следует
ний знак, при положительных k — с ба знака. 434. а)х =
+ /13+2 л(4*+Г)|, Ь) х=Д [з±/13+2л(4* —
положительнее.
435. tg х = — 1л (2* + 1) + / л3 (2*4-1)3 — 1б], * — любое целое чис-
ло, кроме —1 и 0. 436. а) cosx=— 1л(2*+1)4- / л3 (2*+1)Р — 1б],
*=—2, —3, —4...........b) cos х=j 1л (2*+1) — / л3 (2*+1)» — 161.
*=1, 2, 3, .... 437. х=*л+ф, где ф=агссоз * -------— а;0.42512.
4
438. а) tgx=— (л(4*+1)+ /л2 (4*+1 )3 — 1б1 (* ф 0), b) tgx =
= — - 1л (4*4-1) + /л3 (4*4-1)3 4-16 1. 439. х=^-(6*4-1).
4	6
/Ю — 4 /2”	W
-----— ----л0,50547, 2) х= — ~ 0,18898.
17---------14
441. Xl=0, х2 = 1, х3= — I. 442. 1) х, = О,	Xj = — -|.
2) Xj=^, Ха=1. 443. х=у/2. 444. х=±(1 + /3). 445. х =
144
f'17
3	2
— ^0,28078. 446. x= —. 417. Уравнение имеет только не-
4	о
собственный корень х=1 —0. Эго значит, что уравнение удовлетворяется,
2х
е.лн
arctg ------ понимать как односторонний предел при стремлении
1 слева, а в остальные члены левой части подставить
tgq> = 0,7854, ф=38°09', к = sin ф = 0,61767. 449.
= +ссз—, xa= + sin—. Знак х должен совпадать со знаком
t	t
450. xt=coss —, x2=sin2 —.
451. Полагая x=sin’q> (ясно,
1), получим: sin2 2ф=0,90576,
1 — cos 2qj
x = sin2 ф==-----------
x к
448.
x~ 1.
*i =
sin t.
> 0.
Задача возможна при sin t
что оба корня положительны н меньше
cos2 2ф = 0,09424, cos 2ф = ± 0,30699,
; Xi=0,346Sl, х2=0,65350. 452. *1=0,09201,
х2 = 0,90799. 453. Xi = tg хг= — ctg 454. 1) x=tg~p
*2= ctg 2) *1 = tg^-, *s=ctg~- 45S- *=tg4>. где tg2<p = 2A.
456. 1) x—у = 180° (2*4-1). в остальном x и у произвольны,
2) а) х= 360° * 4-Ю1°31', у = 360°/4-108°15', b) х=360°*~
— 18°15', у =360° 1 — 11° 31'. 457. а) к = 180°* 4- 21°21', у =
= 180° I 4- 8°39', Ь) х = 180° k 4- 81°21', у = 180° I + 68°39'.
458. а) х— у = 360° k, в остальном хну произвольны, Ь) х=180°*,
у=180° I, с) х=360° k ± 41°24’, у=360° /4-41°24', знаки оба верх-
ние иль оба нижние. 459. а) х=180°*, у =180° I, b) х=180°* + ф.
у=180° 1+ ф. Знаки оба верхние или сба ннжнне, k 4-1 — четное,
q>—arcsin ^^a54°44', ф= arcsin -^~-s:15o48'. 460. а) x=45°(8*-|-l),
у = 30° (8/4-1), b) x=45°(8*—1), y = 30°(8/ —3), c) x =
=45° (8* — 3), у = 30= (81 — I), d) x = 45° (8*4-3), у = 30= (8/ — 1).
46t. a) х = 360°*4ф, у = 360°/4ф; b) x= 180° (2* 4- 1) + ф,
y=160° (214-l) + i|>. В каждом варианте знаки оба верхние или оба
т/^500	1/~500
нижние, ср = arctg ——=*43°24’, i|>=arcsin-l-^—«71°02'. 462. х =
= 30° [6* 4-(—1)*1. у = 60° (6/ 4-3+ 1). 463. х= 180° * 4-26°27',
у= — 180° * 4-33°33'. 464. х= 90° (4* 4-1), У = 30° [61 4- (— 1)'].
г = 60° 13m 4-(—1) mJ; 6(2* 4- I 4- т) 4- (— П' + 2 (-1)т==3.
465. х=180°* + <р, у= 180= ( + ф, г=180°т + Х. Знаки либо все
верхние и * 4- 1 4- т = 0, либо все ннжнне н * 4- I 4- т = 2;
1	9
<р= arctg — =:26°34', i|>=arctg —s 77°28', % = arctg4 я: 75°58'.
466. а) х= 180 *4-45°, у= 180=/4-ф, г=180° т4-Ф; Ь) х=180° *4-ф,
у = 180° I 4- 45=, z = 180° т 4- ф. В обоих случаях * 4- I 4-	== 0,
ф = arctg 2 г: 63°26', ф = arctg3 « 71 °34',	467. х= 180°* + ф,
10 Н. М. Бескин
145
y=180° I + ф, г=180° m + X. Знаки либо все верхние и k 4- I + т = О,
либо все нижние и fe+Z+m=l;
<р = arctg — а ф=агсtg —	X=arctg — с _
^ab+bc+ca	у ab-\-bc+ca	fab+bc + ca
468. а) х = 180° k, у =180°/, г = 180° т; й + / + гл = 1, Ь) х =
=180°*±<р, у= 180°/ + ф, г= 180° т + X- Знаки либо все верхние
и k + I + т = 0, либо все нижние и k 4- I 4- т = 2;
/"о + Ь + с	, /а +6 4- с
<p= arctg о 1/ ------,	ф = arctg 6 1/ -------,
у abc	у abc
/а 4- b + с а — В	а — В
. 469. —i’+90°(2*+l)>—-^-90°(2А+1)
abc	2	2
и р. Любой из этих трех ответов может быть принят за к, любой
другой за у и третий за г. 470. х=2, у=60°(6й + 1), г=60°(6/+1).
471. х = 45° (2*4-1), у = 45° (2* 4-8/— 1), г = 60° [6m 4- (— 1)*+Ч.
472. х=30°(6* + 1), у=30°(6/+1), г=45°(2т4-1).
473. (1 — 6) (14-262) = 2аа. 474. о24-2Ь=1. 475. о3 — За+2Ь=0.
476. (и2 + Ьг)(ов 4-Ь2 —3)= 2Ь. 477. о2 Ь2 (а2 — I)2 (л2 — 2)4-1 = 0.
478. b(a2 — l)s + 6(o2— I)2 — 8 = 0. 479. 1) [2р2 — а2 (1 — q) —
— ЬМ +у)]2=4л2Ьф1— q2), 2)(2р2—а2 — Ь2 — 2д/>9)2=(Ь2 — tffll- <?2).
480. (о2— Ъ — 1)2= и2(2 — л2). 48|. а24- 462= 1. 482. а24-Ь2 = с2.
2_	£	£
483. о34-Ь3 =23. 484. о —6= sin а. 485. 1) а2 4- Ь2 = 2 (1 4- с).
27 — 12/3
2) о24-62=2 (14-с). 486. д2 =---у5----.	487. а4 4- 6’4- с1 —
— 2 (а2 Ь24-Ь2с24-с2 д2)4-4о2 Ь*с2 = 0. 488. ab 4- Ьс 4- са = (abc — а —
— b — c)d4-l. 489. С:и. формулу (X. 2).
[	п(п4-/1) ] . (я4-1)(Л4-й)*)
C0S “+-----2--- S'n-----2-------
491.		---------Ц.
h
cos —
2
, [ л(л4-/1)| ,_(«+1)(л+/1)*)
sin а-)- —--- stn------------
492.		---------.
Л
cos —
2
rn Q <П+ 1 ) <Л + а) - П (Л + а) *)
сиэ----------sm------------
2	2
493.	1)—-----------------------
а
cosy
*) О случае, когда знаменатель обращается в нуль, см. примечание
к решению задачи Ns 106 (стр. 57),
146
. («+l)(n+a) . п(л+а) *)
sin----------sin--------
2
2	sinsna*)
-------. 494. 1) -------- *.
sin a
2)
а
cos —
2
sin 2па *) (п-р 1)cos (а-рпА)—«cos (а+(п+1) ft] —cosa*)
2sina
, h
4 sin®—
2
(n+1) sin(a+«ft) — n sin |a+(«+ 1) h]—sin a *)
2)
л
4sin* 2 * * —
2
Указание. В обоих случаях применить «треугольное суммирование».
записывая данную сумму в п строках:
S1=cos(a+ft)+cos(a+2ft)+cos(a+3ft)4- ... -f-cos(a+nA),
S2=	ccs(a+2ft)+cos(a+3ft)+ ... 4-cos(a-f-nA),
S3=	ccs(a+3ft)+ ... +cos(a+«ft).
S„=	cos (a+nft).
Каждое 5, рычисляется no формуле (X. 2) (разумеется, для каж-
дого 5, надо взять соответствующие значения х и п), затем вычисляет-
ся S,+S.>+ - • • +$п-
Еще лучше применить способ треугольного суммирования к сумме:
ei (a+Л) +2e'(D+2h) 4-3e/(a+3ft,+ ... +nez(a+nh).
Тогда в каждой строке получится геометрическая прогрессия. Ответ
расчленим на действительную и мнимую части 497. х=360°+<р, где
/ V 2"\
<p=arcccs I 1— —— 1 ~72°58'. 498. Указание. Воспользоваться форму-
a
леи (V. 3), полагая последовательно x=~,
О
ине равенства умножить соответственно на
Затем перейти к пределу при «-><».
n+1	cos (2 a+nhy sin (n+1) h
499 "Г~	2 sin ft
n+1 cos(2a+nft)sin(n+l)ft
500.	+-----'-------— »'
q	a	_
—.......—— •	Полу чеи-
За	3n+1
1,3,	.... 3” и	сложить
n n
501- 1)	2)у. 502.
2 sin h
Л „	.	«
Ctg 2n‘ 505‘	~2 +
sinna-cos (n+1) °
2 sin a
*) О случае, когда знаменатель обращается в нуль, см. примеча-
ние к решению задачи № 106 (стр. 57).
147
n	sin n a-cos (n+1) q	n	sin4na
2) 2	2 sin a	2	4 sin 2 a
1 (n+1) cos (a — P) i sin(n+l)/t-cos(a+p+nft)
2	2 sin h
(n+l)cos (a — P) sin(n+l)ft-cos(a+p+nA)
2)
2
511.
2 sin h
*)•
ctg a— ctg(2n+l)a	tgna —tga
612. -----------~------- )• 514. --—-------.
sin 2 a	2 sin a
. .n a . (n+1) a
sin2 —cos2 ---------
51g ।j 2 2  sinn a-cos(n+l)a________________________n
a	4 sin a
2sin2 —
2
зание. Искомая сумма произведений может быть представлена так:
[(cos a+cos2a-f- .. . +c.osna)2—(cos2 a+cos2 2a+	. +cos2na)[.
Отдельные части этого выражения — см. формулу (X. 4) и ответ к за-
2
па (п+1) а
sin2 —-sin2---------
м.«к п о» 2	2	, sinn a-cosin+1) а
даче № 505 1)  2) ----------—--------1-----------• т ’—
4 sin а
2 Sin2 —
2
п
4
*). Указание. Искомая сумма произведений может быть пред-
ставлена так:
£
2
[(sin a+sin2 a+ . . . +sinna)2—(sin2 a+sin2 2a+ .. . +sin2na)|.
Отдельные части этого выражения — см. формулу (X. 3) и ответ к за-
даче № 505,2).
п	л
516. Sn=arctg----, s=limsn=arctg 1=—.
п+1 п-»эо	4
1+(п+1)а2
517. Sn=arcctg---------, s=lim sn=arcctga.
п а	п-гх
*) О случае, когда знаменатель (или один из знаменателей) обра-
щается в нуль, см. примечание к решению задачи № 106 (стр. 57).
148
518, sn=arcctg---, s=lim sn=arcctgl=—.
П n-#-oo	4
519.
x &
л	л
—, s=limsn=—
4 п .--с	4
силу, если 2 cos «4-1=0,
sn=arctgx — arctg —, s=limsn=arctg х. Ряд сходится, если
Л-H п-*оо
(2*4-1). 520. sn=arctg (ла4-п4-1)
, 1	2cos2"q4-1
521. —. 522.-----------. Этот ответ теряет
2’	2 cos Q4-1	F
т. е. а=120° (3*+1). Можно доказать, что
1
=—— при любом целом неотрицательном т, и данное произведение
примет вид: (—2)-(—2) ... (—2)=(—2)п. Тот же результат можно
при
в этом случае cos 2т а=
получить из общего решения путем предельного перехода
cos q — cos В
а-»-120°(3*+1). 523. ------------------. Этот ответ теряет силу,
/	q	В \
2n . cos — — cos—
\	2я	2я
а В	а
cos— — cos — =0. Можно доказать, что в этом случае cos —— = cos —
2n 271	J 2rn 2m
если
1
2<п
при m=l, 2, 3, .... п и данное
, Q ।	/ a \
X(2ccs - J ...(2 cos-)
sin a
о
slnF
прсизведение примет вид: (2cos— |X
*). Тот же результат можно полу-
чить из обшего решения путем предельного перехода при Р—2Я+1* л+а.
*) Этот результат можно найти те.м способом, который показан в
решении задачи № 45. Он же встречался в задаче № 115.
149
tg 2" Q	Л
524. --------. Эта формула неприменима при a=k л и а==-^" (2« +1 )
В первом случае произведение принимает вид: 2-2 ... 2=2П, а во
втор ом 0-0 . . . 0=0. И в том и в другом случае эти результаты мож-
но получить из общего решения путем предельного перехода
5 2 5. См. чертеж 31. Пунктиром показаны линии у=а~~х и у=—а~х-
5 26. 1) См. чертеж 32. 2) См. чертеж 33. 527. 1) См. чертеж 34. Пунктиром
К
Черт. 32
показана тангенсоида y=tgx. 2) См. чертеж 35. Пунктирам показана
тангенсоида y=tg jc. 528. I) На чертеже 26 (стр. 136) сдвинуть график на
—- влево. 2) На чертеже 27 (стр 136) сдвинуто график из —— влево.
2	2
Черт. 33
150
529. На чертеже 28 (стр
136) сдвинуть график на
л
влево.
2
530. 1)См. чертеж 36. Пунктиром показана синусоида v=sin х. 2) cos |л| =
=cosx. 3) См. чертеж 37. Пунктиром показана тангенсоида
y=tg х. 531. См. чертеж 38. Пунктиром показана синусоида
y=sinx. 532.	1) Взять тангенсоиду y=tgх . и те ее части,
которые лежат ниже оси X, заменить зеркальными отражениями
151
относительно оси X. 2) Взять синусоиду y=sinxH те ее части, кото-
рые лежат выше оси X, заменить зеркальными отражениями относи-
тельно оси X. 3) При 0< х < л — синусоида y=sin х, при л < х < 2 л—
отрезок сси X. Дальше (а также прижО)— периодическое повторение.
£33. См. чертеж 39. Пунктиром показана синусоида y=sin х.
Чер т. 38
536. Указание. Обозначивланнэе выражение через т, получим квадратнее
уравнение для х и используем условие действительности его корней.
537.Указание.Для равностороннего треугольникаэто произведение равно—.
АВС
Пытаясь деформировать треугольник, получим sin — sin — sin —=
=sin30°-sin (30° -f-6)-sin (30° — 6)= — sin (30°-f-6)-sin (30° — 6), где
0<6<30°. Преобразовав это выражение по формуле (VIII. 2), увидим,
что оно имеет наибольшее значение при 6=0. 541. а) 30° (12A-j-i)<x<
Черт. 39
<30° (12fe-ЬЗ), Ь) 90° (4fe+2)<*<90° (4fe+3). 542 . 60°(6fe+2)<x<
<60° (6Л +5). 543. а) 180° (2fe4-l)<jc< 180° (2А4-1)+<р, b) 180°-2Л —
— <р <х<180°-2А, где <p=arcsin i-ssl9°28'. 544. 30° (12А+7) < х<
<30° (12А+ 11} 545. а) 180°-2Л <х<180° (2А+1) — <р, b)90°(4fe+2)<
1	/5“— 1
<х<90° (4А + 3)+<р, где <р = — arcsin------яЛ9°05'.
546. а) 30°(12Л+1)<х<30°(12Л+3), b)30° (12fe4-3)<x<30°( 12^+5).
547. Третья функция не периодична, остальные функции периодичны.
Их периоды 7'1=л у' 2,72=4, Гд=л. Указание. См. решение зада-
152
чи № 132. 548. Наименьшее значение равиз 2, оно достигается при
л
х= —. указание, tg х н ctg х — взаимно обратные величины. Исполь-
зовать свойство (XVII. 2). 549. Наибольшее значение достигается при
х=90° (4й-|-1) — <р, оно равна да4-6г . Наименьшее значение дости-
гается при
а
х=90°(4А—I) — <р, оно равно —cos <р=
b
sin<p=—-- - , —180° <<р<180°. 550. При возрастании
л от О
л
ДО —
3
ДО
Л
функция убывает от —1 до —1—; при возрастании х
 1	л
функция возрастает ст —1 — до 3. При х=— функ-
2	3
. 1
п
от 3
ция имеет минимум, ранный —1 —. При х = л функция принимает наи-
большее значение на отрезке [0, л], равное 3. 551. При 0<х<л воз-
растает от — I до 9, при л<х<2 л убывает от 9 до — 1.
л	л
вторяется периодически. 552. При —— <х<——-
2	6
1	л	л	1
до — —, при — — <х< — возрастает ст — — до 2, при
4	6	2	4
7 л	1	7 л 3 л
<-— убывает от 2 до— —, при — <х< ~~ возрастает от — — до
6	4	6	2	4
2’
Дальше по-
убивает от О
л
7<х<
1
4 Д°
л л
0. Дальше повторяется периодически. 553. При — — <*< — убы-
л 3 л
вает ст 12 до 2, при — <х< — возрастает от 2 до 12. Дальше
повторяется периодически. 554. Следует различать три случая: а) Если
а
cos —>0, т. е. 180° (4А—1) <а<180° (4A-J-1), то наибольшее эначе-
а	°	_
ние достигается при jc=90° (4£-f-l)-f- —; оно равно 2 cos —. Ь)Если
cos-^<0, т. е. 180° (46+1)<а<180°(4А-1-3), то наибольшее значение до-
а	„ а	а „
стигается при х=90° (4А — 1)	; оно равно — 2cos —. с) Если cos— =0,
т.е. а=180° (2А4-1), то исследуемое выражение тождественно равно нулю,
а
555. Наибольшее значение достигается при jc=45° (4А4-1)—— ; оно
равно sina
а \
3 — — L 556. Наименьшее значение достигается при х=
г__	л
; оно равно 2у ab. 557. При х= — — а — минимум.
153
л
равный 2. При х=~^ +а—максимум, равный — 2. Указание. Исполь-
зовать свойство (XVII. 2). 558. При 0<х<л положительно, при л<
<х<2л отрицательно, при х=0, х=л и х=2 л равно 0. 559. 1) — sinl 4,
< sin (cos х)<4 sin 1 (sin 1 =0,84147),	2) cos 1 • cos (sio x)< 1 (cos 1 =
=10,54030). 3) — oc <tg (ctg x)< •-». 560. Хорды, заключающие данный
угол, должны быть равны между
т. е. параллелограмм должен быть
565. sec® a. 566. —ctg a. 567. cos® a.
собой. 561. 90°. 562. 90°,
3
ромбом. 563. —.	564 . оо.
568. У—. 569.	570. — 
4	2	2
У3
577. 2.
О
a*sin а а
2а
571.	572. 2 /2~. 573. оо. 574. у. 575. ос. 576.
578. —1. 579. 0. 580. I) 2, 2) 2. 581. sin 2 а. 582.
1	I sin 2 а
583,—-584. 1.585. —. 586.-----. 587,—2sin2a. 588. 3 sin® а-cos’а.
2	2 cos1а
3	1	,—	sin а— n-cos а
589. —. 590. 3. 591. 1. 592.— . 593. 2. 594. 3 /2 . 595.
596.
x
602.
2a
р	cos а 4- a sin a
597. а. 598. —. 599. 0. 600. — УТ. 601.	0.
а I /1 — о® ft(l+a®)
603.—. 604. —-—. 605.	------. 606. —;------—.607. со
л l-|-a®	1-|-а®	1-|-А®а®
л
2) a — ступень таблицы. Вычислить каким-либо способом cosa и
a
cos 2 а (или sin а и sin 2 a); заодно легко определяется sin® —.Затем,
полагая в формулах Симпсона последовательно п=2, 3, 4.........будем
получать косинусы (илисинусы) За, 4а, 5а, . . . 609. 2) а — ступень
таблицы. Полагаем в формулах Симпсона последовательно ft=a, 2 a,
3a, .... Каждый раз два члена формулы будут известны, и мы смо-
жем определить третий член [cos (30°-|-ft) или sin (30о+Л)].
610. 1)—0,61254, 2) 1,41793. 611. 1) x,=0, х2=1,410, х3=—1,410,
2) х,=0. х2=1,131, х3= —1,131. 612. х=1,166. 613. х=1,О77.
л
614. х=0,877. 615.	— — (точно), х2~1,721 (с недостатком, по-
грешность меньше 0,0005). 616. Если у=0 (т. е. г есть действительное
число) или '	~	”
+/1п5.	2)
608.
x=kn. 617. 0,27175— «.1,08392 618. 1) г=2/гл+
5
г=2Лл + /1п4,	3) г=2йл + '1п—. 619. I) г=
л
=(4ft+l)	+ i ln9, 2) ?=(4Лч-1) у + i In 8, 3) г=(4Л4-1) ~~ +
2
л _
+ /1п6. 620. 1) z=(4A+1) у + <1п2; знаки оба верхние или оба
нижние; 2) г=£л+(—1)*.1п4. 622. ctg В= °	.-—.Указание.
4
154
Воспользоваться формулой (XIV. 6). 623. а=—------------«3,7238,
_________	15
2 /7905
Ь=—~--------- =t 11,8547, Л=17°26'. В=72°34'. 624. с=7,9057,
15
Д=29°35', В=47°47', С=102°38'. 625. 5=174,95. 623. 5=2105,43.
627. 5=78504. 628. Д=47=46', В=60°36', С=71°38'. 629. Л=
=68°25’, В=67°03', С=44°32'. 630.	Д=41°15', С=75°38’.
631. Д=74°03', В=40°44'. С=65°13'. 632. Д=25°32', два других угла
J105
суть 47°13* и 107°15' 633. l6=—-—«5,12348. 634. Если центры
a —sin 2aj +
то
лежат по разные стороны сбщей хорды, то
4-га sin 2 р). Если центры лежат по одну сторону сбщей хорды,
а — — sin 2 aj рга pt — ^Р— ~ sin 2pj
a	a	3
=arcsin p=arcsin —. 635. sin/1= — ctg a. 636. cos A=
, где R>r, а=
2X.» —p.» —
=----- — ~ ~ и т. д. •). Задача возможна
2 /(2 Ха+ 2ра — v’X2 Ха+2 — ца)
в том и только в том случае, когда X, р, м удовлетворяют неравенству
треугольника, т. е. X-|-p>v (предполагая, что X^pcv). 637. Д=120°,
В=С=30°. 638.	о=/19, 6=2,	с=3.	639.	В=84°, С=24°.
640. а=5, 6=6, с=7. 641. о=3, с=6. 642. С=90°. 643. В=132°,
С=12°. 644. о=6=с=2/6", Д = В=С=60°. 645. sin =
i/"2 a	>/"6	i/~6
=-—sin—. 646. arcsin ^——«54°44z. 647. 2arcsin —-—wI09°28'-
2	2	3	3
648. Через 14 мин 16 сек. 649. sin2a=———. Прида=п a=15°. При
m+n
n=0 a=45° (при этом вершина конуса находится в полюсе полусферы).
/4-
650. 2 arccos—^—«74°56'.651. Ve:V6:Vc=cscZ:cscB:cscC. 652.60е,
671. Прямоугольный (С=90°). 672. Прямоугольный (С=90°) или
равнобедренный (о=6). 673. Прямоугольный (С=90=) пли равн. бед-
ренный (о=6). 674. Равносторонний. 679. 1) с=101°11', Д=69°33'.
В=П7=29', 2) с=65=18', Л=105°04', В=147°12'. 680. 1) 6=75=05',
Д=48°37', В=73°51'; 2) треугольник невозможен. 681. 1) Два реше-
ния: ’ 6, =8°45', с^Зб^бЭ', В,=12э39'; 6.2=171°15', сг=44°0Г.
В»=167°21',	2) треугольник невозможен. 682.	1) о=52°03'.
с=106°54', В=112°56'.	2) 0=162=43', с=57-Ч6',	В=101°33'.
*) См. сноску на стр. 128.
155
683. 1) <z=ll°36', 6=169°13', B=136°33', 2) a=141°17', 6=64°39',
B=73°29'. 684. 1) a=10°22', 6=139э51'. c=138°45', 2) треугольник
невозможен. 685. Л=46°38', B=71°00', С=102°55'. 686. 6=76°29',
<4=105°27', С=86°18'. 687. 6=57°41', Л=125°33', В=52°08'.
688. I) Два решения: b,=35d23', В^гб^З', Ci=49°20’; 62=144°37',
В2=153°57', Са=130°40', 2) треугольник невозможен. 689. а=69°37',
6=135°54', С=67°27'. 690. 1) а=126°50', 6=101°04', В=103°53',
2) треугольник невозможен. 691. 1) <4 = 58°31', В=78°35', С=101°03'_
2) А=64°07’, В=157°22°', С=50“48'. 692. I) а=109°15', 6=65°46',
с=80°38', 2) а=118°36', 6=101°50', с=113617'. 693. 1) с=51°32',
<4=132°54', В=44°09', 2) с=106°05',	Д=102°10'. В=63°34'.
694. 1) а=46°03'. 6=75°04'. С=120°26', 2) а=83°55', 6=56°24',
С=113°22'. 695. 1) с=122°27', В=66°02'. С=115°13',2) Два реше-
ния: с,=71°03', В1=45°25', С|=47°19', с,= 169°40', Вг=134°35',
С2=171°59'. 696. 1) Два решения: 6,=74°14'', с|=74°58', С,=82°55';
62=105э46', с2=127=03'. Са=124°55', 2) Два решения: Ь,=41°31',
Ci=44°21', С^вГОг'; £>а=138329', 62=155'48', С2=144°37'.
СПИСОК ФОРМУЛ
I. Связь между радианной и градусной мерами угла
II. Связи
п°=—— рад 5=0,01745 п рад. 180	(1.1)
а рад=^-^y%57,296aQ.	(1. 2)
1° 0,017453 рад.	(1.3)
Г0,000291 рад.	(1-4)
1"^ 0,000005 рад.	(1-5)
1 рад 5= 5 7° 17'44",8.	(1.6)
между тригонометрическими функциями аргумента	одного
sin2x+cos®x=l.	(II. 1)
. s*n х tgx=		 ccsx	(П.2)
.	cosx ctgx=—. sin x	(II. 3)
1	(II- 4)
cosx	
1	(П. 5)
sin x	
CtgX=^-. tgx	(II. 6)
1 + tg® x= sec® x.	(11.7)
1 +ctg®x=csc®x.	(И- 8)
157
—	III. Формулы приведения							
ОО Наименование функций	Значения аргумента						
	—a	а 1	ю|3 + я	я — a	я+а	в 1	Зя 7+’
sin	—sin a	cosa	cosa	sin a	—sin a	—cos a	—cos a
COS	cos a	sin a	—sina	—cosa	—cos a	—sin a	sin a
tg	—tga	ctg a	—ctg a	—tga	tg Cl .	ctg a	—ctg a
Ctg	—ctg a	tga	—tga	—ctg a	Ctg a	tga	—tg a
sec	sec a	 esc a	—esc a	—sec a	—sec a	—esc a	esc a
CSC	—esc a	sec a	sec a	esc a	—esc a	—sec a	—sec a
IV. Формулы сложения
sin(x-|-y) —sin x-cosy4cosx-siny.	(IV.	1)
sin(x— y)=sinx-cosy— cosx-siny.	(IV.	2)
cos (x+y)-cos x-cosy—sin x -sin у.	(IV.	3)
cos(x — y)=cosx-cosy-|-sinx-siny.	(IV.	4)
tg(*+y)	.	(IV. 5)
1 — tgx-tgy
=	.	(IV. 6)
1+tgx-tgy
+	0V.7)
ctg x 4-ctg у
(IV. 8)
ctg x — ctg у
sin (x+у 4-г)=si n x  cos у • cos z 4-cos x • sin у • cos z+
4-cosx-cosy-sinz — sinx-siny-sinz. (IV. 9)
cos(x4-y4-z)=cosx-cosy-cosz — cosx-sin у-sinz —
— sinx-cosy-sinz — sinx-sinycosz.	(IV. 10)
tg(x+y+z)= «g^»gy+*g5-»g*-»gy-tg^ .	(1V. Il)
I — tg x-tgy — tgy-tgz — tgz-tgx
Ctg (x I у I z)—. ctgA'-c|g y-ctez — ctgx — ctg y —ctg г
ctgx-ctg y4-ctgy-ctg г+ctg г-ctg x — 1
(IV. 12)
V. Кратные аргументы
sin2x=2sinx-cosx.	(V. 1)
cos 2x=cos2 x — sin® x"= 2 cos® x — I =— 2 sin® x4-1. (V. 2)
sin3x=sinx(3cos®x— sin®x)=sinx(4cos®x— I)=
=sinx(—4sin®x4-3). .	(V. 3j
cos 3x=cos x (cos® x — 3 sin® x)=cos x (4 cos® x — 3)=
=cosx(—4sin®x4- l).	(V. 4)
sin4x=4sin x-cosx(cos2x— sin®x) =4sinx-cosxx
X(2cos®x— l)=4sinxcosx(—2sin®x4-I).	(V.5)
cos4x=cos4 x—6cos2x-sin®x4-sin* x=8cos4 x—8 cos® x 4- 1 =
=8sin4x — 8sin®x4-l.	(V. 6)
169
sin 5x=sin x (5 cos1 x — 10 cos® x • sin2 x+sin1 x)=
=sinx(16cos4x—12cos®x+l)=
=sinx(16sin4 x— 20sin®x+5).	(V. 7)
cos 5x=cos x (cos1 x — 10 cos2x • sin® x+5 sin4x)=
=cosx(16cos4x— 20 cos® x-|-5)= .
=cosx(16 sin1 x — 12sin®x4-l).	(V. 8)
sin 6x=2 sinx-cosx (3cos4 x — 10 cos® x-sin® x+3 sin1 x)=
=2 sin x-cosx (16 cos1 x — 16 cos® x+3)=
=2 sin x-cos x(l&sin4 x — 16 sin® x+3).	(V. 9)
cos 6x=cos® x — 15cos4x-sin® x+ 15 cos® x-sin4 x — sin® x=
=32 cos® x — 48 cos4 x+18 cos® x — 1 =
=—32 sin® x+48sin4 x— 18sin®x+l.	(V. 10)
sin 7x=sin x (7 cos® x — 35 cos4 x sin® x+
. 4-21 cos®xsin1 x— sin® x)=sinx (64cos®x— 80cos1 x+
+24 cos®x — 1) =
=sin x(— 64 sin6 x+112 sin1 x — 56sin® x+7).	(V. 11)
cos 7x=cos x (cos6 x — 21 cos1 x  sin® x+
+ 35 cos® x  sin1 x — 7 sin® x)=
= cos x (64 cos® x — 112 cos1 x+56 cos® x — 7)=
=cosx(—64 sin6 x4 80 sin4 x — 24sin®x+l).	(V. 12)
sin 8x=8 sin x - cos x (cos6 x — 7 cos1 x- sin® x+
+7 cos®x-sin4 x —s in® x) =
=8 sin x-cosx (16 cos6x — 24 cos1 x+ 10cos®x — 1)=
=8sinx-cosx(—16sin®x424sin4x—10sin®x+l). (V 13)
cos 8x=cos® x — 28 cos® x • sin® x+ 70 cos1 x • sih1 x —
— 28 cos® x- sin® x+sin® x= 128 cos® x — 256 cos® x+
+160 cos4 x — 32 cos2 x+1 =
= 128 sin® x—256 sin® x+160 sin4 x—32 sin® x+1. (V. 14)
sin nx=C„ cos'1- *x-sin x— cos"-3x-sin3x+
+C,® cosn-5x sin5 x—...
последний член =
n-i	(V. 15)
_ (—1) 2 sin"x	при n нечетном,
и—2	I
( -1) 2 n cosx-sinn-lx при n четном. j
160
COS ПХ= COS'* X — Cn cos'1-2x  sin2x+	| +C*cosn-,1xsin4x—...	I
последний члеи=	1 (V 16)
_ (—1) 2 n-cosx-sinn-1x при n нечетном,
Л
,(—l)2sinnx	при n четном.
tg2x=-A{f3 .	(V. 17)
1 — tga X
tg3x=-^(3~tg2x) .	(V. 18)
1 — 3tg2x
tg4x=f-tg*(1~te2x).	(V. 19)
1 — 6 tg2 x+ tg4x
ctg 2x=ctg2x-Д.	(V. 20)
2 ctg x
ctg3x=c-!-g*(ctga*~3).	(V.21) 3 ctg2 x — 1
ctg4x=Slg^-6ctg2^l.	(V.22)
4 ctg x (ctg2 x— 1)
VI. Половинный аргумент
sin -= + ]/	(VI. 1)
2	~ F 2
cos-| = + 1+cosx	(у]. 2)
tg-= + ]/1-cos*. (VI. 3) tg- = sin—	(VI. 4)
e 2	~ V 1+cosx '	’	6 2	1 + cusx	'
X
1	2tg—
tg- = -~cos*. (VI. 5) sinx=----------(VI. 6)
2	sinx	. . , *
1-tg2y	2tgy
------(VI. 7) tg x=-------—. (Vl.8)=(V.55)
l+tg2f	' 1-tg2-^
11 H. M. Бескин
161
VII. Преобразование сумм в произведения
sin х + siny=2sin —cos—. •	п • х— у	х+у sin X — sin v=2 sin 		 cos	 z	2	2 .	n	X+y	X	V cos x+cos y=2 cos —— cos	 7	2	2 cosx — cos y= — 2 sin-^-^ sin z	2	2 tgx + tgy- “"<w>. cos X-COS у tg»-tgy-s'n<>-)’). COS X’COS у ctgx+ctgy^ sln(t+y) . Sin X’Stn у ctgx-ctgy=—sin(x~^. stnx-sin у •	1	г» • л 1 x+y \ • л . х — у\ sin x+cosу = 2sin 1 Sin — q—. \ 4	2 /	.4	2 / sinx + cosy=2 cos ^у —cos sin х — cos у=— 2 sin (у — -+y^sin (у —	• sin х — cosy=— 2 cos	cos^y+^^j. sin x+cosx=]/2 sin (y+x^.	(VII. 1) (VII. 2) (VII. 3) (VII. 4) (VII. 5) (VII. 6) (VII. 7) (VII. 8) (VII. 9) (VII. 10) (VII. 11) (VII. 12) (VII. 13)
sin x+cos x=2 cos — xj. sinx — cosx= — ]/2sin(y —xj. sin x — cos x=—2 cos ^y+xj. tgx+ctgy^s.<*-*>. cosx* sin У	(VII. 14) (VII. 15) (VII. 16) (VII. 17)
162
,	4.	cos (х+у) tg x — Ctg y =	 COS Л'-Sln у	(VH. 18)
tgx+ctgx=—. sin 2x	(VII. 19)
tg x — Ctg x=— 2 ctg 2x.	(VII. 20)
VIII. Преобразование произведений в	суммы
COS X-cos y = ^cos (x — y)4-COS (x4-y)j	(VIII. 1)
sin x • sin у =	cos (x — y) — cos (x4-y)	]. (VIII. 2)
sin x-cos уsin (x— y)+sin(x+y) j.	(VIII. 3)
sinx-siny-sinz= — [—sin(x-|-y4-z)4-sin(— 4 [	*+y+2:)4-
+sin (x — y+z)-|-sin (x-|-y — z) j	(VIII. 4)
sinx-sinycosz=-^|— cos(x4-y-|-z)4-cos(—	*4-H-2)4-
+cos (x — у 4-z) — cos(x+y — z)	(VIII. 5)
sin x-cosy-cosz=— I sin (x4-y4-z) — sin (— x4-y4-z)+ 4	
4-sin (x —у 4-z)+sin (x+у — z)	(VIII. 6)
cos x- cos у • cos z=-^-1 cos (x4-у4-z)4-cos (— x4-y4-z)4~	
4-cos (x —y4-z)4-cos(x4-y — z)j	(VIII. 7)
IX. Понижение степени	
sin2 x=± (1 — cos 2x).	(IX. 1)
cos2 x==~~ (14-cos 2x).	(IX. 2)
sin3 x=^ (3 sin x — sin 3x).	(IX. 3)
cos3 x=~ (3 cos x4-cos 3 x).	(IX. 4)
163
sin1 x=	(3 — 4 cos 2x 4- cos 4x).	(IX. 5)
cos1 x=	(3-|-4 cos 2x-|-cos 4x).	(IX. 6)
sin5 x=	(10 sin x — 5 sin 3x-|-sin 5x).	(IX. 7)
cos5 x—	— (10 cos x 4 5 cos 3x4* cos 5x). 2’	(IX. 8)
sin®x=	^(10— 15 cos 2x4-6 cos 4x— cos6x).	(IX. 9)
cos® x=	~ (10 4-15 cos 2x4-6 cos 4x4-cos 6x).	(IX. 10)
sin7 x=	(35 sinx — 21 sin 3x-|-7 sin 5x — sin 7x).	(IX. 11)
cos7x=	= ^(35cosx-|-21 cos 3x4-7 cos5x-|-cos7x).	(IX. 12)
sin®x=	Д (35 — 56 cos 2x4-28 cos 4x — 8 cos 6x4-cos 8x).	
(IX. 13)
cos® *=~ (354-56 cos 2x4* 28 cos 4x4-8 cos 6x-|-cos 8x).
(IX. 14)
sin"x= ——[— C2 —C 2 cos2x4-C 2 cos4x—...
...-|-(— 1) 2 Cn cos (n — 2)x4-(—l)2cosnx]
(n — четное).
(IX. 15)
• n 2 Г 1	n—3	л—6
s,n x= 2П—i [Cn2 sin x — Cn2 sin3x-|-Cn2 s'n5x—...
n—3	n—1	"1
...+ (—I)2 -Cisin(n — 2)x-H—1) 2 sinnx]
(n — нечетное).
(IX. 16)
cos" x=—Ц-Г—С2 4-C 2 cos 2x4- C 2 cos 4x-|-. .
2n— i [2 "	"	"
.. .-|-Cncos(n — 2)x-|-cosnxj
(n — четное).
(IX. 17)
164
.	п—1	n—3	л—5
cos'1 х— Cn 2 cosx+Cn2 cos3x+Cn2 cos5x+...
... 4-Ci cos (n — 2) x+cos nx.
(n — нечетное)
(IX. 18)
X. Суммирование конечных рядов
sin x+sin(x+/i)+sin(x+2ft)+-. .+sin(x+n/i)=
. I . nh\ , (' + !)/!
sin{x+j)-sin----—
h
sin —
2
(X. 1)
cosx+cos(x+A) + cos(x+24)+ .. ,+cos(x+nft)=
/ ий\ (n+l)ft
----------------—
h
sin —
2
(X.2)
sinx+sin2x+sin3x+. . .+sinnx=
лх («4-l)x
sin —  sin--—
=------------.	(X.3)
X
sm —
cos л 4-cos 2%4-cos 3x 4-•  .+cosnx=
(«+I)X
sin — cos---
2	2
X
sin —
2
(X.4)
1+cosx+cos2x+cos3x+ . . ,+cosnx=
nx (n-J-l)x
cos —sin----------
2	2
X
sin —
2
(X.5)
165
XI. Обратные тригонометрические функции
л	л
---«С arcsin х -< —.
2	2
О arccos х л.
Л	Л
—-<arctgx
О < arcctg х <л.
(XI. 1)
(XI. 2)
(XI. 3)
(XI. 4)
Общее выражение аргументов, которым соответствует
одно и то же значение тригонометрической функции (фор-
мулы (Х1.5—7)]:
Если sinx=a,	то	х=пл+(—1)лх0.	(XI.5)
» cosx=a	»	х=2пл + х0.	(XI. 6)
» tgx=a,	»	х=пл4-х0.	(XI. 7)
В формулах (XI. 5—7) х0 — любое значение аргумента,
для которого синус (соответственно косинус, тангенс) равен
а, п принимает все целые значения.
Для аргументов, соответствующих одному и тому же
значению котангенса, секанса или косеканса, справедливы
соответственно формулы (XI. 7), (XI. 6) или (XI. 5).
arcsin (— х)=—arcsin х.	(XI. 8)
arccos (— х)=л — arccos х.	(XL 9)
arctg (— х)=— arctg х.	(XI. 10)
arcctg (— х)=л— arcctg х.	(XI. 11)
arcsin x-|-arccosx=y.	(XI. 12)
arctg x 4-arcctg x=.	(XI. 13)
sin (arcsin x)=x (—l^x^l).	(XI. 14)
cos (arcsin х)=|/ 1—xz (—l<x<l).	(XI. 15)
tg (arcsin x) =——	(— 1 < x 1). _	/1—X2	(XI. 16)

ctg (aresin л)— * x	— (— 1<х<1, x^=0).	(XI. 17)
sin (arccos x) — \S 1 —	X2 (— 1 sC x 1).	(XI. 18)
cos (arccosx) = x(—	<xCl).	(XI. 19)
. ,	. У1 — x tg (arccos x) = x	-(— IsCx^Cl, x=#0).	(XI. 20)
ctg (arccos x) =	-	_(	1<X<1).	(XI. 21)
sin (arctg x) - 1П-—	- (— oo < X < oo).	(XI. 22)
1 1 +x		
,	X	X	1		(XI. 23)
У 1 + x	o '	'	
tg (arctg x) = x (—oo	< X < co).	(XI. 24) #
ctg (arctgX) = y (— oo < X < co, x^=0).		(XI. 25)
sin (arcctgx) = y== (- oo < x < oo).		(XI. 26)
		(XI. 27)
cub (ai ccig л) — j/rqr		
tg (arcctgx) =!-(— oc	< X <oo, X ~ 0).	(XI. 28)
ctg (arcctg x) = X (— oo < x <_ oo).		(XI. 29)
arcsin (sin x) = x у x y^ .		(XI. 30)
arcsin (sinx) = (—1)Л(х—mt) p2”^-*<x<-”^—j		. (XI. 31)
. Г , (2л—l)7tl arcsin sin1— =	— у при четном л, у » нечетном л.	(XI. 32)
arccos (cos x)=x (0<	;Х тт).	(XI. 33)
arccos (cos x)_ (—!)"	[Л ? } ] + 2 ltt77<x<(«+ O'J. (XI. 34)	
arccos (cos ли) = (ПРИ четном л, (те » нечетном n.		(XI. 35)
167
arctg(tgx)=x	<х<^- arctg(tgx)=x—пл	~ 1 )-п <^х < - —у arcctg (ctg х)=х (0 <;х <л). arcctg(ctgх)=х— пл [пл <х<;(п+1)л).	(XI. 36) (XI. 37) (XI. 38) (XI. 39)
arcsinx+arcsin y=arcsin(xy 1 —у2+ук 1 —x2), если ху 0 или х^у2 1. arcsin х+ arcsin у= = л — arcsin (хр41—у2 +у[/ 1—х2),	(XI. 40)
если х>> 0, у > 0 и x^+y2^» 1. arcsin х-|-arcsin y= =—л—arcsin (x]7 1 —у2 +y| '1 —x2), если x 0, у < 0 и x2+y2> 1. arcsin x — arcsin y=		 — arcsin (x [/ 1 — y2 -- - yj/ 1 — x2), если xy 5- 0 или x2 4-y2	1. arcsin x— arcsin y=	
=л — arcsin (x]/ 1 — y2 — у]/ 1 — x2), если x>0, у<0и x2+y2^> 1. arcsin x — arcsin y= =— л — arcsin (x]/ 1 — y2 — yV 1 — x2). если x<^0, y>0 и x2+y2>> 1.	(XI. 41)
arccos у+arccos у=arccos [ху — ]/(! — x2)(l — у2)],
если x+y^-0.
arccos х+arccos у=
=2 л— arccos [ху— р^(1 —х2)(1— У2) 1.
если х+у < 0.
arccos х — arccos у— _________________
==— arccos Ixy 4- [/( 1 — x2) (1 — у2) ], если х> у.
arccos х — arccos у=
= arccoslxy+j/(l —х2)(1 — у2) ],
если х<у.
(XI. 42)
(XI. 43)
168
arctg x-Ьarctg y=arctg , если xyc^l.
1 — xy
arctg x+arctg у = л+arctg ,
1 — xy
если x>> 0 и xy^> 1.
arctg x-Ь arctg у = — л+arctg 2E+2Lt
1 — xy
если x < 0 и xy> 1.
arctgx—arctgу=arctg *~y, если xy> —1.
arctg x — arctg у= л+arctg x~y,
1+xy
если x > 0 и xy < —1.
arctg x — arctg y= — л4-arctg ,
1 + xy
если x < 0 и xy < — 1.
(XI. 44)
(XI .45)
XII. Бесконечные ряды и бесконечные произведения
sinx=x —	X? _ 31 + 51	”	(ХП. 1)
cos х= 1 —	х^ х^_ 2! + 41	(XII. 2)
sinx=x^l 	_2£_Vi_2ELWl_2t\ . 12л2/	22л2/' к 32я2/	(XII. 3)
/.	4х2 \	4№ W,	4№ \	,Y11
cosx= 1 — —— 1 — —— 1 — —— ... (Xll. 4)
\	12л2 / \	3br2 /\	52л2 /
. 1 з । 1’3 = , 1-3-5 , .
arcsin х=х+—х3Н--------х54--------—х7+...
2-3	2-4-5	2-4-б-7
(— 1 <х< 1). (XII. 5)
arctg х = х— —+— — — -|~... (— 1	(XII. 6)
3	5	7
169
ХШ. Формулы Моавра и Эйлера. Связь
тригонометрических функций с гиперболическими
(cos x+i sin x)'!=cos nx+i sin nx. (формула Моавра)	(XIII. 1)
ei v=cos x+i sin x.	(ХШ. 2)
e~ix=cos x — t sin x.	(XIII. 3)
etx-i-e—/ViTT м		e‘* — e~lx cos x=	. (ХШ. 4) sin x=	. 2	2/	(XIII. 5)
Формулы (XIII. 2—5) называются формулами	Эйлера.
cosix=chx.	(ХШ. 6)	chix=cosx.	(XIII. 8)
sinix=ishx.	(XIII.7)	shix=isinx.	(XIII. 9)
Lnz=lne+i (<р+4Ал),	1 (X1II 10)
где z=q (cos <p+i si n <p), In — табличный логарифм.)
XIV.	Решение треугольников (плоских)
Обозначения. а, Ь, с — стороны треугольника АВС,
противолежащие соответственно вершинам А, В, С. ha,
hb, hc—высоты, та, ть, тс — медианы, la, 1Ь, 1С — бис-
сектрисы, г — радиус вписанной окружности, R — радиус
описанной окружности, р — полупериметр, S — площадь.
В прямоугольном треугольнике а, Ь— катеты, с — гипоте-
нуза, h — высота, опущенная на гипотенузу.
——=—— =2R (XIV. I)
sin Л sin В sin С
(теорема синусов).
а2=Ь2+с2 — 2bc-cosA и т. д.*> (XIV. 2)
(теорема косинусов).
А+В
tg---
---------— (теорема тангенсов). (XIV. 3)
а— Ъ А — В
tg------
2
•) См. сноску на стр. 127.
170
А—В	. А—В
। l cos —«—	l sln------
—---------(XIV. 4) —-----------------(XIV. 5)
c . С	с	C
sin 2	cos j .
Формулы (XIV. 4 и 5) называются формулам и Мольвейде.
с	п	b — — cos В	— — cos С			(XIV. 6)
Ctg А=2.			 sin В	sin С	— И	т. д.	
ЫПЛ л/ (Р~Ь){р-с)	и Т.		(XIV. 7)
~,П2 J/	Ъс		д*	
А	/ р(р — а) COS —= 1 /			 и т. 2	|/	Ьс	д.		(XIV. 8)
/ (₽— Ь)(Р~ с) _	Г	 и т.	Д. (XIV. 9) (XIV. 10)
2	]/	Р(Р — а) ftfl=b-sinC=c-sinВ и	р — а г. д.		
ma=±V b2+c2+2fec-cos А	И т.	д.	(XIV. 11)
А 2fec-cos— .	2 / =	 И т. д. “	Ъ+с			(XIV. 12)
. А . В . С r=p-tg-.tg-.tg-.			(XIV. 13)
.D  А .В .С г= 47? • sin — • sin — sin —. 2	2	2			(XIV 14)
XV.	Решение сферических прямоугольных треугольников
Обозначения. А, В, С — вершины сферического тре-
угольника, а, Ь, с — соответственно противолежащие сто-
роны (в угловой мере). В прямоугольном треугольнике
С=90°, в прямостороннем треугольнике с=90°.
е=Л+В+С — л («сферический избыток»).
17)
Если	а <90°.	b<90°,	то	с <90°,
»	а>90°,	Ь>90°,	»	с <90°,
»	а <90°,	Ь>90°,	»	с>90°,
»	а >90°,	b < 90°,	»	с >90’.
Если	А < 90°,	В < 90°,	то	с < 90°,
»	А >90°,	В >90°,	»	с <90°,
»	А <90°,	В>90’,	»	с>90°,
»	Л >90°,	В <90°,	»	с >90°,
sin a=sinc-sin Л,|	(XV 3)
sinb=sin c-sin В.J
tga=sinb-tgZ,'l	(XV 4)
tgb=sina-tgB.J	v ’
tga=tgc-cosB,|	(XV 5)
tgb=tgc-cos Л.) *	1	’
COS Л = COS G-Sin B,|	zXy
cos В=cos b- sin A.J
cos a • cos b=cosc.	(XV. 7)
(сферическая теорема Пифагора)
cosc=ctg Л-ctg В.	(XV. 8)
XVI.	Решение сферических косоугольных треугольников
(Обозначения см. перед формулами XV.)
0 <a+b+c < 2л.
л<Л+В+С<3 л.
(XVI. 1)
(XVI. 2)
sin a sin b sine
sin A sin В sin C
(XVI. 3)
(теорема синусов)
cosa = cosb-cosc+sinb зтс-созЛ и т. д.
(XVI. 4)
(формулы косинуса стороны)
cos Л=—cos В-cosc+sin В-sin с-cosа и т. д. (XVI. 5)
(формулы косинуса угла)
172
sintz-cosB=cosb-sinc— sin b  cos с • cos А и т. д. (XVI. 6)
sina cosC=cosc-sinb — sinc-cos b-cos А и т. д. (XVI. 7)
cosa-sin B=cos Л-sinC+sin Л-cosC-cosb. (XVI. 8)
cosa-sinC=cos Л-sin B+sin Л-cos B-cosc.	(XVI. 9)
Формулы (XVI. 5—8) называются формулами пяти
элементов.
S=e/?2.	(XVI. 10)
(R— радиус сферы)
XVII.	ОТДЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ, НА КОТОРЫЕ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ
В ЭТОЙ КНИГЕ
|/л±/в=ул^±/Л^=-в+|/л(xvii. 1)
(Формула для преобразования сложных радикалов. Ее
целесообразно применять лишь в тех случаях, когда
Л2 — В есть точный квадрат.)
В частности,
Знак равенства имеет
только при х=±1.
при х > 0:
Знак равенства имеет
только при х=1.
место
место
(XVII. 2)
СОДЕРЖАНИЕ
Основной Дсполни-
раздел тельный
раздел
Предисловие ....................................    3
§ 1. Тождественные преобразования	....	5	94
$ 2. Условные тождества	15	100
§ 3.	Преобразование сумм в произведения и ирг -
изведений в суммы.................................. 20	106
§ 4.	Уравнения	  25	108
§ 5.	Системы уравнений ........................... 51	113
§ 6.	Суммирование рядов и свертывание пр. изве’-
дений ............................................. 55	116
§ 7.	Графики ..................................... 66	120
§ 8.	Неравенства ,	  69	—
§ 9.	Поведение тригонометрических	функций . .	71	121
§ 10.	Раскрытие неопределенностей	78	122
j 11.	Применение таблиц	79	124
§ 12.	Тригонометрические функции	комплексного
аргумента	.	.	...	83	125
§ 13.	Геометрические задачи . .	.............. 84	—
§ 14.	Сферическая тригонометрия	........... 90	129
Ответы	............ 131
Спис. к формул.............................  157
Николай Михайлович Бескин
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ
Редактор И. С. Комиссарова
Художник Р. Г. Алеев
Художественный редактор В. С. Эрденко
Технический редактор Й. Ф. Макарова
Корректор Р. Б. Берман
Сдано в набор 26 X 1965 г. Подписано к печати
17/Н 1966 г. 84X1O8,/SS. Печ. л. 5,5 (9,24) Уч.-изд. л.
7,59. Тираж 120 тыс. экз. (Тем. пл. 1966 г. № 14Ф
А 13827
Издательство «Просвещение» Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Сортавальская книжная типография
Управления по печати при Совете Министров
Карельской АССР.
Сортавала, Карельская, 42.
Цена 20 коп. Заказ 996.
Книги для учителей средней школы,
выходящие в свет в 1966 г.
1.	Крон род А. С., Беседы о программиро-
вании.
2.	Курант Р., Роббинс Г., Что такое
математика?
3.	Математический анализ и алгебра. Серия
«Проблемы математической школы». Сост.
С. И. Ш в а р ц б у р д.	"
4.	Линейная алгебра и геометрия. Серия
«Проблемы математической школы». Ссст.
С. И. Шварцбурд.
5.	Островский А. И., 75 задач по эле-
ментарной математике простых, но...
Цена 20 коп.